Введение в квантовую статистическую механику - Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н. (мл.)

Author: Боголюбов Н.Н. Боголюбов Н.Н. (мл.)
Tags: анализ термодинамика квантовая механика статистическая физика статистическая механика
Year: 1984
Similar
Термодинамика. Статистическая механика
Введение в квантовую механику
Сборник задач по теоретической физике: Квантовая механика, статистическая физика
Квантовая механика
Text
                    Н. Н. БОГОЛЮБОВ,
Н. Н. БОГОЛЮБОВ (мл.)
ВВЕДЕНИЕ
В КВАНТОВУЮ
СТАТИСТИЧЕСКУЮ
МЕХАНИКУ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
! 984

22.16
Б 74
УДК 517
Боголюбов Н. Н., Боголюбов Н. Н. (мл.)- Введение
в квантовую статистическую механику.— М.: Наука, Главная редак-
ция физико-математической литературы, 1984.— 384 с.
Дано последовательное изложение основных понятий и положе-
ний квантовой статистической механики. Рассмотрены уравнения
Лиувилля в классической и квантовой механике, каноническое рас-
пределение и термодинамические функции, двухвременные корреля-
ционные функции и функции Грина в теории статистического равно-
весия. В рамках нового подхода последовательно излагается метод
вторичного квантования. Рассмотрена диагонализация квадратичных
форм общего вида по ферми- и бозе-операторам. Излагаются вопросы,
связанные с применением квадратичных гамильтонианов в статисти-
ческой механике. Вводится фундаментальная концепция квазисред-
них в статистической механике.
Для научных работников и преподавателей, 'специализирующих-
ся в области математической физики, а также для студентов и аспи-
рантов университетов.
Ил. 2. Библиогр. 112 назв.
Рецензент
доктор физико-математических наук профессор Д. Я- Петрит
Николай Николаевич Боголюбов, Николай Николаевич Боголюбов (мл.)
введение в квантовую статистическую механику
Редакторы А. Н. Киреев, В. В. Абгарян
Техн. редактор Л. В. Лихачева
Корректоры О. А. Сигал, Т. С. Вайсбере
ИБ JA 12473
Сдано в набор 24.05.84. Подписано к печати 14.11.84. Т-21354. Формат
84ХЮ8</и- Бумага тип. № 1. Лвтературная гарнитура. Высокая печать. Усл.
печ. л. 20,16. Усл. кр.-отт. 20,16, Уч.-изд. л. 20,94. Тираж 7800 экэ.
Заказ Jft 3050. Цена 2 р. 4 0 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71. Ленинский проспект. 15
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Первая
Образцовая типография имени А. А. Жданова Союэполиграфпрома при Госу-
дарственной конитете СССР по делам издательств, полиграфин [и киижяой тор-
говли. 113054 Москва, Валовая, 28
Отпечатано во 2-ой типографии над-ва «Наука»
12Ю99 Москва, Шубине кий пер., 10 Зак. 83Б
© Издательство «Наука».
„ 1702050000—17S „ , Главная редакция
Б nfen tM,—gj— 3—84 физико-математической
053@2)—84 литературы, 1S8 4

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Часть I
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Глава 1. Уравнение Лиувилля в классической механике .. . . 11
§ I. Введение: статистический подход в классической и квантовой
схемах описания 11
§2. Классическая статистическая схема 13
а. Оператор преобразования 6A3). б. Плотность распределения ве-
роитностн .2A4). в. Теорема Лиувилля A5). г. Зависящая от времени
плотность J, w!7).
§3. Квантовомеханическая аналогия 18
§ 4. Свойства симметрии 20
§ 5. Изолированные динамические системы 22
§ 6. Система одинаковых одноатомных молекул 23
§7. Свойство обратимости 24
Г л а в а 2. Уравнение Лиувилля в квантовой механике 25
§ 1. А'-представленне 25
§ 2. Квантовая статистическая схема 28
а. Статистические операторы B8). б. Уравнение Лиувилля C0).
в. Оператор 11^ + C1). г. Свойства статистических операторов C3).
§ 3. Свойства симметрии волновых функций 35
§4. Дискретное Х-представлеиие 39
§ 5. Дискретное импульсное представление 42
§ 6. Совместность с уравнением Шредингера 43
§ 7. Предельный переход и циклические граничные условия. 45
§ 8. Изолированная динамическая система 48
§ 9. Сохранение и иесохранение числа частиц 49
а. Л'-частичные волновые функции E 0). б. Л" представление в случае
переменного числа частиц E2). в. Гильбертово пространство вол-
новых функции и его подпространства E 4). г. Проекционный опе-
ратор E6). д. Комбинированный индекс E6).
Г л а в а 3. Канонические распределения и термодинамические
функции 57
§ 1. Интегралы движения 57
§ 2. Каноническое распределение Гиббса 58
§ 3. Построение термодинамических функций 61
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Квазистатические процессы 03
а. Понятие квазистатического процесса F3). б. Построение квази-
статических процессов F4). в. Интерпретация слагаемых F6).
г. Теплоемкость F8). д. Однородные системы F8). е. Соотношение
между Я н Е F9).
§ 5. Предельные переходы 70
а. Основные предположения G0). б. Граничная поверхность G2).
в. Пределы G 2). г. Справедливость рассуждений о предельных пере-
ходах G3).
§ 6. Большой канонический ансамбль 75
а. Статистические операторы G5). б. Определения: и, Г, G G5).
в. Единственность и. G6). г. Термодинамические функции G9).
д. Предельный переход V-»-eo (81).
§ 7. Квантовый подход в теории классических канонических
распределений 83
§ 8. Энтропия динамической системы 85
а. Канонический ансамбль (86). б. Экстремальное свойство энтро-
пии (85). в. Вспомогательный оператор (86). г. Большой канони-
ческий ансамбль (88). д. Независимость от времени (89). е. Энтро-
пия для неравновесных состояний (90). ж. Трудности, связанные
с исследованием неравновесных процессов (91).
Глава 4. Двухвремениые корреляционные функции и функции
Грина в теории статистического равновесия ... 92
§1. Двухвременные корреляционные функции для квантовых
систем 92
§ 2. Спектральная интенсивность 96
а. Определение (96). б. Основные свойства (97).
§3. Двухвременные функции Грина 98
а. Определения (98). б. Представление Фурье (99). в. Предельный
переход (99). г. Основные свойства A02).
§ 4. Бесконечно малое возмущение 104
а. Гамильтониан, содержащий возмущающий член A04). б. Вариа-
ции среднего значении A04). в. Запаздывающие и опережающие
функции Грина A07). г. Некоторые замечании A07).
§ 5. Функции Грина для классических систем 108
а. Корреляционные функции и спектральная интенсивность A09).
б. Средине значения скобок Пуассона A12). в. Запаздывающие и
опережающие функции Грина A14). г. Основные свойства A16).
§6. Классическая вариация среднего значения 117
§ 7. Преобразования Лапласа корреляционных функций ... 121
Глава 5. Статистические операторы 123
§ 1. Введение 123
§ 2. Статистические операторы комплексов частиц 123
а. Волновые функции и операторы A23). б. Статистический опера-
тор A24). в. Статистические операторы комплексов частиц A26).
г. Флуитуации A28). Д. Свойства статистических операторов комп-
лексов частиц A29).
§ 3. Временная эволюция статистических операторов 131
а. Цепочка уравнений для приведенных статистических операторов
A31). б. Замечания о физическом смысле цепочки уравнений A34).

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 4. Применение метода статистических операторов к системам
одноатомных бесспиновых молекул i'd'o
а. Модель и уравнение эволюции A35). б. Переход к статистическим
операторам F A36). в. Предельное уравнение эволюции статистиче-
ских операторов A38). г. Плотность и флуктуация числа молекул
A39).
Список литературы к части I 142
Часть II
АСПЕКТЫ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ
Глава 1. Матричное представление симметричных динамиче-
ских операторов 145
§ 1. Введение 145
§ 2. Свойства симметрии 146
а. Перестановки A46). 6. Симметричность н антисимметричность
(U7).
§ 3. Симметричные операторы 148
а. Симметричные одночастичные операторы A48). ¦ Симметричные
двухчастичные операторы A4 9). в. Симметричные s-кратпые операто-
ры A50).
§ 4. Некоторые соотношения 152
§ 5. Гамильтониан 153
Глава 2. Переход от непрерывного к дискретному представ-
лению. Введение чисел заполнения 155
§ 1. Представления волновых функций , . , 155
а. Дискретное f-представлеьие A55). б. Дискретное импульсное
представление A56). в. Периодичность A57). г. Термодинамический
предел. Квазидискретное представление A58).
§ 2. Числа заполнения 159
а. Определения A59). б. Бозоны A61). в. Ферыионы A62).
Глава 3. Представление вторичного квантования для вол-
новых функций бозонов и фермионов 164
§ 1. Случай статистики Бозе 164
а. Операторы а, а+ A64). 6. Квантовые бозе-операторы а., а/Aб5).
в. Волновые функции A66).
§2. Случай статистики Ферми 168
а. Операторы о, о+ A68). б- Операторы Паули A69). в. Операторы
Ферми а, а + A70). г. Волновые функции A72).
§3. Сравнение волновых функций бозонов и фермионов .... 175
§4. Представление вторичного квантования 175
§ 5. Оператор числа частиц 177
Глава 4. Представление вторичного квантования для дина-
мических операторов 179
§ 1. Введение 179
§2. Лемма 180
а. Доказательство A80). б. Следствия леммы A83).

б ОГЛАВЛЕНИЕ
§3. Волновые функции 184
а. Обращение представления A84). б. Инвариантность скалярного
произведения A84).
§ 4. Преобразование динамических величин к представлению
вторичного квантования 185
а. Построение преобразования A85). б. Аддитивные динамические
величины A86). в. Плотность числа частиц A88). г. Оператор числа
частиц A88). д. Динамические величины бинарного типа A89).
е. s-кратные операторы A90).
§ 5. Гамильтониан системы в представлении вторичного кван-
тования 192
§ 6. Временная эволюция операторных функций 193
а. Представление Гейэенберга A93). б. Перестановочные соотноше-
ния A94). в. Временная эволюция операторных функций A96).
г. Обсуждение A96).
Глава 5. Общие замечания к методу вторичного квантования 198
§ 1. Не зависящие от числа частиц системы 198
а. Большой канонический ансамбль A99). б. Кваэндискретное пред-
ставление A99). в. Базисные и операторные фуииции B00). г. Пред-
ставление вторичного квантования для гамильтониана Г B 01). д. Век-
тор импульса B 02).
§ 2. Волновые функции в представлении вторичного квантования 203
а. Условия B03). б. Замечания к условию Г) B04). в. Вывод выра-
жения для волновой функции B 05).
§ 3. Динамическая система, состоящая из нескольких сортов фер-
мионов и бозонов ...... ......... 209
а. Обычные волновые функции B 09). б. Операторные функции B09).
в. Преобразование динамических величии B10). г. Динамические
переменные «смешанного типа» B12). д. Отсутствие зависимости от
числа частиц B13).
§ 4. Коммутационныесоотношеиия для операторных функций . . 214
а. Коммутативность произвольного типа B14). б. Замечание о ком-
мутативности B15).
§ 5. Числа заполнения и /представление (замечания к главе 2). . 216
а. Бозоны B17). б. Фермионы B19).
Глава 6. Некоторые аналоги метода вторичного квантования
в классической механике 220
§ 1. Метод вторичного квантования 220
а. Временная эволюция иваитоваииого оператора Вигнера B21).
б. Предельный переход й->0 B23). в. Квантование и вторичное
квантование B24)
§ 2. Переход к классической механике 224
а. Бинарная динамическая величина B25). б- Временная эволюция
функции f B26). в. Уравнение Власова B28).
§ 3. Система одинаковых упругих шаров . 230
а. Система из двух идентичных упругих шаров B30). б. Система из N
одинаковых упругих шаров B36). в. Уравнение Больцмаиа —
Энскога B39). г. Уравнение диффузии выделенной частицы в газе
B41). д. Бинарное взаимодействие B4 3).
Список литературы к части II 245

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
Часть III
КВАДРАТИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
Глава 1. Квадратичные гамильтонианы в статистической
механике 247
§ 1. Равновесные свойства идеальных газов 247
а. Идеальный газ B47). б. Свободная энергия и средние значения чи-
сел заполнения B48). в. Спектр черного излучения B51). г. Идеаль-
ный бозе-газ B52). д. Идеальный ферм и-газ B54).
§ 2. Диагоиализация квадратичной формы ?j Efgafag в случаях
бозе- и ферми-сператорсв 256
а. Метод канонических преобразований B57). б> Операторная фор-
ма канонических преобразований B59).
§ 3. Диагонализация квадратичных гамильтонианов в теории
сверхпроводимости и сверхтекучести 261
а. Случай статистики Бозе — Эйнштейна B61). б. Случай статисти-
ки^Ферми — Дирака B62). в. Операторная форма канонического
преобраэоиаиия для статистики Боэе — Эйнштейна B65).
§4. Статистическая теорема Блоха — де-Доминисиса 266
а. Теорема Блоха —де-Доминисиса B 66). б. Доказательство теоре-
мы Блоха — де-Домииисиса B69).
Глава 2. Диагояализация квадратичных форм общего вида 271
§ 1. Диагонализация квадратичной формы по бозе-операторам . . 271
а. Каноническое преобразование B71). б. Система уравнений для
параметров канонического преобразования B72). в. Матричная фор-
ма записи'B73). г. Собстиеииые значения B75). д. Условия на пара-
метры канонического 'преобразования B77). е. Диагонализацня
B79). ж. Гамильтонианы с линейными операторными слагаемыми
B81).
§2. Диагоналиэация квадратичной формы по фермн-операторам 282
а. Каноническое преобразование B82). б. Система уравнений для
параметров канонического преобразования B83). в. Матричная
форма [записи B84). г. Собственные значения B84). д. Условия на
параметры канонического преобразования B86). е. Лемма о соб-
ственных векторах и собственных значениях B91). ж. Диагоиализа-
ция B92).
Список литературы к части III 294
Часть IV
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ И КВАЗИСРЕДНИЕ
В ЗАДАЧАХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Глава 1. Сверхтекучесть и яеидеальный бозе-газ 295
§ 1. Идеальный бозе-газ 295
§2. Конденсация в пространстве импульсов и явление сверхте-
кучести 298
§ 3. Сверхтекучесть 307
а. Квазичастицы C08). б. Возникновение сверхтекучести C11).
в. Ураинения движения C13). г. Элементарные возбуждения и
сверхтекучесть C17). д. Замечания C21). е. Распределение по им-
пульсам C22). ж. Корреляционная функция C25). э. Обсужде-
ННС C28).

g ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 2. Квазисредиие в задачах статистической механики 329
§ 1. Функции Грина, построенные из обычных средних. Аддитив ¦
ные законы сохранения и правила отбора 329
§ 2. Вырождение состояний статистического равновесия. Введе-
ние квазисредних 332
а. Вырождение состояний статистического равновесия C33).
6- Квазнсреднне C35), в. Вырождение в теории кристаллического
состояния C36). г. Идеальный бозе-газ C39). д. Квазисредние
в теории сверхпроводимости C41). е. Модель Дикке C48). ж. Квази-
средиие для произвольной системы C52).
Глава 3. Об определении квазисредиих для гамильтониана с
отрицательным четырехфермионным взаимодей-
ствием 354
§ 1. Предельные свойства свободных энергий 354
§ 2. Квазисреднне для гамильтониана с отрицательным четырех-
фермионным взаимодействием 358
Глава 4. Принцип ослабления корреляции и теоремы об
особенностях типа 1/<7а 367
§ 1. Принцип ослабления корреляции 367
§ 2. Теоремы об особенностях типа \1ф и некоторые приложения
метода квазисредннх 372
Глава 5. О некоторых вопросах, связанных с проблемами
обоснования статистической механики 373
§ 1. Замечания к эргоднчсской теории 373
§ 2. Динамическая система, взаимодействующая с бозонным
полем 377
Список литературы к части IV 383

ПРЕДИСЛОВИЕ
Монография посвящена последовательному изложению
основных понятий и положений квантовой статистической
механики, а также вопросам теории неидеального бозе-газа,
сверхтекучести и фундаментальным вопросам квазисредних,
В первой части рассмотрено уравнение Лиувилля
в классической и квантовой механике, равновесное рас-
пределение Гиббса, термодинамические функции, двух-
временные корреляционные функции и функции Грина
в теории статистического равновесия. Сформулирована
теорема об инфинитезимальном изменении среднего значе-
ния динамической переменной при малом изменении га-
мильтониана системы, которая далее может использовать-
ся при составлении кинетических уравнений в функциях
Грина.
Во второй части предложено последовательное изложе-
ние метода вторичного квантования, результаты которого
широко используются в современной квантовой статисти-
ческой физике, теории твердого тела, задачах теории маг-
нетизма, теории лазеров и в других проблемах теории мно-
гих тел.
Настоящий подход, в отличие от ранее известных, обла-
дает большей общностью, простотой доказательств и ес-
тественностью постановки задач. В его рамках обсуждены
с единой точки зрения фундаментальные вопросы, возникаю-
щие при использовании метода вторичного квантования.
Определенный интерес к такому последовательному изложе-
нию возник в связи с развитием метода аппроксимирующих
гамильтонианов, который широко использует представ-
ление вторичного квантования. К тому же в большинстве
учебных пособий по квантовой механике и статистической
физике со ссылкой на громоздкость вычислений часто
перечисляются некоторые результаты метода вторичного
квантования, которые, как правило, выглядят формально

10 ПРЕДИСЛОВИЕ
и не затрагивают глубокой физической сущности этого важ-
ного метода.
Во второй части показано, как можно записать различ-
ные динамические операторы через операторы рождения
и^ уничтожения. После введения представления Гейзенберга
получены уравнения движения, определяющие временную
эволюцию операторных функций. Далее для операторных
функций построены уравнения типа «самосогласованного
поля». Рассмотрена их связь с уравнениями Власова в клас-
сической статистической механике. Введены псевдоопера-
горы бинарных соударений для изучения динамики систем,
состоящих из N упругих шаров и находящихся в макроско-
пическом объеме V. Показано, что уравнение Больцмана —
Энскога обладает микроскопическими решениями.
В третьей части рассмотрены вопросы теории статисти-
ческого равновесия идеальных бозе- и ферми-систем, а так-
же задачи о диагонализации квадратичных форм, записан-
ных в ферми- и бозе-операторах. Сформулирована теорема
К- Блоха и С. де-Доминисиса о вычислении среднего
значения, построенного на основе квадратичного гамиль-
тониана, от произведения операторов рождения и уничто-
жения. Рассмотрены также задачи о диагонализации квад-
ратичных форм общего вида как в случае статистики Бозе,
так и в случае статистики Ферми.
В четвертой части исследованы вопросы, связанные с те-
орией неидеального бозе-газа. Дано объяснение явления
сверхтекучести на микроскопическом уровне. Рассмотрены
также фундаментальные проблемы теории квазисредних
в задачах статистической физики. Обсуждаются некоторые
вопросы, связанные с проблемой обоснования статистиче-
ской механики. Найдена плотность вероятности распреде-
ления по импульсам для поляронной модельной системы.
Авторы выражают благодарность А. М. Курбатову и
А. Н. Кирееву за помощь при подготовке рукописи к из-
данию .
Н. Н. Боголюбов,
Н. Н. Боголюбов (мл.)

Часть I
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Глава 1
УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ [1}
§ 1. Введение: статистический подход в классической
и квантовой схемах описания
В квантовой механике, как и в классической, эволюция
состояний динамической системы совершается детермини-
рованно — задание динамического состояния для начального
момента времени U полностью определяет состояния этой
системы для всех других моментов времени i.
Коренное отличие классической механики от квантовой
связано с принципиально различной формулировкой таких
основных понятий, как понятия о состоянии динамической
системы и ее динамических переменных.
В классической механике состояние Q какой-либо дан-
ной динамической системы с п степенями свободы опреде-
ляется одновременным заданием ее п координат и п импуль-
сов.
Возможные состояния Q=(qi, ... , qn; pu ... , рп) обычно
рассматривают как точки 2л-мерного «фазового простран-
ства».
Эволюция Q во времени характеризуется канонически-
ми уравнениями Гамильтона
дН dpk__dH . . о пи
где Н — гамильтониан системы, являющийся веществен-
ной " функцией4 Q:
H=H{t, qu ... , qn; pu ... , рп). A.2)
В случае динамической системы, изолированной от
внешних воздействий, гамильтониан не зависит явно от t:
\H=H(qi,...,tfn;Pu...,pn), A.3)

12 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
В схеме классической механики какая-либо динамиче-
ская переменная А является функцией динамического со-
стояния:
A=A(Q)=A(qlt ... , qn; Pl, ... , рп), A.4) •)
так что задание состояния Q полностью определяет вели-
чину рассматриваемой динамической переменной А.
В квантовой же механике понятия динамического со-
стояния и динамической переменной вводятся совершенно
иным образом.
Так, состояние динамической системы характеризуется
волновой функцией ф, которую можно рассматривать как
вектор из некоторого гильбертова пространства. Соответст-
вующее скалярное произведение двух его векторов будем
обозначать, как обычно, символом
(Фь ф2). A.5)
Эволюция динамического состояния задается волновым
уравнением Шредингера
в котором Ht есть гамильтониан рассматриваемой системы,
являющийся линейным самосопряженным оператором, дей-
ствующим на волновые функции ф.
Далее, в квантовой механике динамические переменные
не являются функциями динамического состояния, а пред-
ставляются линейными операторами, действующими на
волновые функции ф.
В связи с этим даже точное задание динамического со-
стояния рассматриваемой системы, вообще говоря, не
определяет значения данной динамической переменной,
получающегося при ее измерении в этом состоянии.
Только когда ф является собственной функцией опера-
тора А, представляющего исследуемую динамическую пере-
менную, т. е. когда
А(р=ац>, A.7)
где а — обычное с-число, можно утверждать, что, измерив
величину А [3] для нашей динамической системы, нахо-
дящейся в состоянии ф, мы получим определенное значе-
ние а.
•) Мы ограничиваемся здесь для простоты рассмотрением тех
динамических переменных, которые явно не зависят от времени.

§2. КЛАССИЧЕСКАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ СХЕМА 13
В общем же случае задание динамического состояния
определяет лишь среднее значение (А) динамической пере-
менной А.
Так, если мы нормируем на единицу (ф, ф)=1 волновую
функцию ф, характеризующую данное динамическое со-
стояние, то это среднее значение выразится известной фор-
мулой
<Л> = (ф, Лф). A,8)
Следует заметить, что в задачах статистической меха-
ники, где мы имеем дело с динамическими системами, со-
стоящими из громадного, или, как говорят, макроскопиче-
ского числа N взаимодействующих частиц, изучение
эволюции индивидуального динамического состояния ни
в рамках классической, ни в рамках квантовой механики
практически невыполнимо.
Действительно, в классической механике для динамиче-
ской системы, состоящей из N частиц,
Й = (<7х, •••, qN\ Pi, ¦•-, Pn)> О-9)
где qj, p;—трехмерные векторы, представляющие поло-
жение и импульс /-й частицы, так что здесь n = 3N.
В квантовой механике состояние подобной системы ха-
рактеризуется волновой функцией типа
где X представляет, например, совокупность qlt ..., qN,
возможно дополненную еще совокупностьюТцискретных
спиновых переменных.
Ясно, что фактическое построение и фазовой траектории
Й (t) в 6iV-мерном фазовом пространстве и волновой функции
ф(?, X), зависящей от времени и от не менее чем ЗМ аргу-
ментов, при макроскопической величине N настолько нереа-
листично, что совершенно необходимо прибегнуть к
статистическому подходу. Далее мы последовательно введем
основные понятия такого подхода для классической и
квантовой схемы.
§ 2. Классическая статистическая схема
а. Оператор преобразования О. Рассмотрим вначале
случай динамических систем классической механики и об-
ратимся к основным уравнениям движения A.1). Эти урав-
нения определяют точку ?2@ фазового пространства через

14 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
ее начальное положение Qo при каком-то времени t — U:
Q0 = G,WQ0). A.11)
Ясно, что мы можем рассматривать Git t как преобразова-
ния в фазовом пространстве, переводящие какую-то точку
Qo в соответствующую точку Q(t) из того же пространства.
Сделаем несколько замечаний относительно преобразо-
ваний G. Так, поскольку каждый момент времени мы мо-
жем считать начальным, из A.11) найдем
и Q(i2) = Gt2ttit(Q0). Как видно, правые части этих соот-
ношений равны для любых положений Qo в фазовом про-
странстве. Мы можем поэтому убрать здесь индекс 0 и
написать
Это тождество справедливо во всем фазовом пространстве
и притом для любых t0, tlt t2. Возьмем, в частности,
*г = ^о» ti—t- Тогда, поскольку G/oifa(Q)=Q, из A.12)
будем иметь
Q G(G(Q)) A.13)
Так как t0, t совершенно произвольны, мы можем про-
вести в A.13) переобозначение: t0—+ t, t —*¦ ta. Поэтому
можем написать также
Из полученных тождеств A.13), A.14) убеждаемся, что
преобразования Gu /o, Gfoi t взаимно обратны:
б. Плотность распределения вероятности 3>. Отметив
это, введем в начальный момент времени tQ некоторое
распределение вероятности в фазовом пространстве. Пусть
Я>0(Й) будет плотностью этого распределения, так что
произведение
mo(Q)dQ=S>t(gt, ...,qn;pu ..., p^dqt.*.dqndpx.. .dpn
представляет вероятность того, что начальное состояние
Q = Q0 лежит в 6#-мерном бесконечно малом объеме dQ,
^ силу такого определения
= 1, A.16)

§ 2. КЛАССИЧЕСКАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ СХЕМА 15
Возьмем какую-либо динамическую переменную А = А (Q).
Тогда ввиду A.11) ее значение в момент времени t будет
A.17)
и потому ее среднее значение представится интегралом
O4,>=Si4(G,t,.ft))«tft)dQ,. О-»»)
В связи с этим займемся сейчас рассмотрением интегра-
лов вида*)
Учитывая тождество
u и Л) = J 6 (О,, и (Й»)-Й) F <Q) dQ,
в котором, разумеется,
6(Q-Q)= Ц Ь{Я;-
мы можем представить интеграл A.19) в форме
где
®*. to (О) - S в (Gfi fo (О„)-Й) ®0 ft) dQ,. A.20)
В частности,
®f.. /о (О) = J « ft-O) ®o ft) «ffl,- в. (О). A -21)
Таким образом, переименовав в A.19) переменную инте-
грации: й0—s-Q, убеждаемся, что
{u)®uu{u)clu. A.22)
в. Теорема Лиувилля. Найдем теперь удобное для нас
выражение для -=$ &>tt tt (Q). Для этого представим основ-
ные уравнения движения в сокращенном виде
*, A.23)
, *) При этом рассмотрении мы не будем принимать во внимание
условие нормировки A.16).

16 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
где
dh'¦; -??-.¦¦¦.-Sr-V 0-24)
dpi ' '' дрп
Таким образом, на основании A.11) можем заметить, что
Следовательно, продифференцировав A.20) по /, найдем
Ф(*, Q1)^T8(Q1—Q)S}
где для сокращения положено ^ = Gu ta(Qd). Но
II1) "/ Д?> \"^1 ян I -—™ ""Л*-. *Х' v*1 j ***1) ^ l""l "™J ~~*
и^потому
Принимая во внимание A.24), можем написать это урав-
нение в более раскрытой форме:
д i дН ел \ д ( дН ел
откуда, упрощая, получаем уравнение Лиувилля
дН d@>t,ta дН
dt
в котором
= "(*! 9и ¦¦•! 9п> Pi> ••¦>Рп) A2Й)
и
A.29)
Как видно из A.27), если мы возьмем в качестве
начальной функции ®O(Q)=»1, той ®ti/o(Q) = 1. Под

($2. КЛАССИЧЕСКАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ СХЕМА 17
ставив это выражение в A.22), получим тождество
A.30)
Пусть б будет некоторой конечной областью фазового
пространства. Возьмем в качестве F в равенстве A.30)
характеристическую функцию этой области, т.е. положим
F(Q)=1, Q?6, F(Q)=0, Q?6.
Тогда, так как G1o>i является преобразованием, обратным
к преобразованию Gu t,
Здесь Gto<t6 обозначает область фазового пространства,
в которую перейдет область 6 после преобразования Gfoi t.
Ясно теперь, что объем Лиувилля обеих областей "б,
Gtu4t6 равен
^ }Q, du = dqx.. .dqn&px.. .dpn.
Gu.t® б
Поскольку здесь t0 и t произвольны, можем ввести пере-
обозначение ts-t0, ta—+t и написать также
J du=\du. A.31)
¦ ои ф 6
Но, как видно, Gti to6 представляет область, которую будут
занимать во время t те фазовые точки (и только те), ко-
торые в момент времени ta занимали область 6.
Таким образом, равенство A.31) представляет извест-
ную теорему о сохранении фазового объема Лиувилля
при движении, характеризуемом уравнениями A.1).
г. Зависящая от времени плотность &t,u- Положим
теперь в равенстве A.22) F(Q)~ 1. В результате получим
Отсюда, учитывая опргделение A.20) функции ?Dtt u и
принимая теперь во внимание условие A.16), найдем
Q-l. A.32)

18 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Но на основании упоминавшихся равенств A.18), A.22)
можем написать:
<Л>< = I A (Gu u(Q))®0(Q)du= J A (Q)S>ti u(Q)dQ. A.33)
Видим, таким образом, что функция. @>и to (Й) представ-
ляет распределение вероятности в момент времени t. Как
уже отмечалось, она удовлетворяет уравнению Лиувилля
A.27) и начальному условию И.29).
Вводя классические скобки Пуассона
) 0-34>
для двух произвольных функции Л = Л(Й), ()
точки фазового пространства, можем представить урав-
нение Лиувилля в форме
Возьмем теперь равенство A.30) и'положим в нем F(Q)=
-Л(Й)®0(flfai,(Й)). Тогда F (О,.fo(Й))=A(Gtt и(Й))®0(Й),
и потому
S Л(С,, ,о (Й)) т, (Q)dQ- J Л(Й) &>0 (О,.,, (Й)) dQ A.36)
или, принимая во внимание A.33),
f, ti (Q) dQ= S Л(Й) ®
Ввиду произвольности функции Л(Й) отсюда заключаем,
что
§ 3. Квантовомеханическая аналогия
Рассмотрим линейный оператор S/i(o, преобразующий
произвольную функцию динамического состояния /(Q)
в функцию
Мы видим тогда, что
A. 8)

§3. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ 19
Динамическая же переменная в момент времени t A(GU te(Q))
представится в виде
A.38')
Приняв во внимание A-12), имеем
S, СС /1 ЧО\
/ / ^^ ^t t t t I \ •&'?)
а из A.15)
С С C-l /1 Д(\\
Л Л — LJV 4 . LJ4- 4. ^^~ *J/ / • I 1 *1\J I
Уравнение A.27) можно представить в виде
- — —3?t^uu* ^&t,t ==^0 для ^ = ^о. A -41)
где
H(t,Q) d dH(t,
Отметим еще, что если мы введем в пространство функ-
ций /(Q) скалярное произведение, положив
Ui. Ы= ) It
то оператор S?t будет антиэрмитовым (антисамосопря-
женным).
Действительно, интегрируя по частям,
щ ^-щг п
т.е. (fit S?xU) = -{3th, /,) или
S>*t=—3?t, A.43)
Поэтому уравнение A.41), описывающее эволюцию плот-
ности распределения вероятности в классической меха-
нике, имеет некоторую формальную аналогию с волновым
уравнением квантовой механики

20 ГЛ. 1. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
где также D-#) ^ — Т^! а опеРатоР «S аналогичен
оператору, характеризующему временную эволюцию вол-
новой функции.
Разумеется, здесь дело идет лишь о чисто формальной
математической аналогии, поскольку физический смысл
ф и ® совершенно различен. Тем не менее ею можно
воспользоваться для перенесения некоторых методов кван-
товой механики на случай исследования эволюции §D для
классических систем.
Заметим, что на такого рода аналогию было уже давно
обращено внимание.
§ 4. Свойства симметрии
Укажем еще на одно положение, вытекающее из урав-
нения A.41), а именно, заметим, что если Л есть неко-
торый линейный оператор, коммутирующий с ??г:
A.44)
то тогда из соотношения
= ®0 A.45)
будет следовать, что и для любого t
ЛГ«,. «, = »,.«,. A.46)
Действительно, из A.41) имеем
и потому
s>tU-Jia>tti .
С другой стороны, из A.45) мы видим, что §Dtt ia—Лё&и и—0
при t = tQ. Отсюда и вытекает справедливость сделан-
ного утверждения.
Утверждение A.46) служит основой установления
свойств симметрии функции §DU ta. Возьмем случай, когда
рассматриваемая динамическая система состоит из ^V
одинаковых точечных частиц. Положим
Й=*(?.Р). ? = (¦.¦,?/> ¦¦¦). /»==(-,?/ ), /=1,-, #,

§ 4. СВОЙСТВА СИММЕТРИИ 21
где qy, pj—трехмерные векторы, определяющие положе-
ние и импульс /-й частицы; пара векторов (q}, pj), таким
образом, характеризует динамическое состояние /-й ча-
стицы.
Пусть Р обозначает любую перестановку между N
трехмерными векторами. Ясно тогда, что действие линей-
ного оператора
Xf(q,p) = f(Pq,Pp) A.47)
сводится лишь к изменению нумерации частиц. Ввиду
идентичности частиц, изменение их нумерации не может
влиять на такую физическую величину, как гамильтониан
системы H(t, q, р). Имеем поэтому
H(t,Pq, Pp) = H(t, q,p). A.48)
Далее из A.42) получим
К/<и\ дру dqj dqj dPj
Таким образом, очевидно, что если мы сначала изменим
нумерацию частиц в какой-то функции f(q, p), а потом
применим оператор Я?ь то тот же результат получим, если
мы сначала применим к f(q, p) оператор ??ь а потом
уже произведем то же изменение нумерации индексов.
Иначе говоря, StJIf(q, p) = JIJ?tf(q,p), т.е. опера-
торы ??t и Л коммутируют.
Поэтому на основании выше сформулированного по-
ложения мы видим, что если начальная функция ®0 будет
симметричной функцией индивидуальных динамических
состояний N частиц:
S>.(Pq, Pp)^mo(q, p), A.50)
то этим же свойством симметрии будет обладать и ®t% t|j
для любого времени t:
S>uu(Pq, Pp)-a>ttUlq. Р). A.51)
Это свойство сохраняется и в более общей ситуации,
когда динамическая система состоит из s сортов частиц
и идентичность частиц имеет место лишь внутри каж-
дого сорта:
-> -*¦
#=(•¦¦. Я/,а, ••). /» = ( — • Ру.а. —).
/-1, .... Na, a=\, ..., s,

22 ГЛ. I. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Здесь (qjia, pJta) представляет индивидуальное динами-
ческое состояние /-й частицы а-го сорта.
В данной ситуации должна иметь место инвариантность
по отношению к изменению нумерации частиц, принадле-
жащих к одному и тому же сорту а. Поэтому A.48) справед-
ливо лишь для перестановок Р, действующих на индексы j
и не меняющих номера сорта а. Повторяя дословно преды-
дущие рассуждения, убеждаемся, что при таком ограниче-
нии на выбор Р из A.48) будет опять вытекать свойство сим-
метрии A.51).
§ 5. Изолированные динамические системы
До сих пор мы рассматривали общий случай, когда
гамильтониан Н мог явно зависеть от времени /. Будем
рассматривать теперь случай динамических систем, пол-
ностью изолированных от внешних влияний, когда в со-
ответствии с A.3) Н не зависит явно от t: H = H(q, p).
Тогда, как видно из A.42), A.49), линейный опера-
тор также не зависит от t:
St^S, A.52)
и уравнение A.41) дает
откуда
Таким образом, Statt = e~('~'o)х. Как видно, в данной
ситуации оператор эволюции зависит от t, te лишь по-
средством разности t — t0, что совершенно естественно,
поскольку ввиду отсутствия явной зависимости гамиль-
тониана Н от t уравнения движения оказываются инва-
риантными по отношению к временным трансляциям:
t—>-? + т, так что начальный момент времени ничем*не
выделен.
Условимся считать, что в начальный момент времени
io = 0, и напишем оператор эволюции в виде
St=*etJS. A.53)
Тогда
A.54)

§ 6. СИСТЕМА ОДИНАКОВ ЫХ ОДНОАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ 23
Аналогично, динамическую переменную в момент вре-
мени t A(Q(t)) = At(Q) можем представить в форме
At(Q)=SiA(Q) = et^A(Q). A.55)
Отсюда следует, что
или, учитывая форму A.42), A.49) оператора 3,
^ = 1А, Щ. A.57)
В этом случае из A.33) следует
At (Q) ® (Q) dQ=m J A(Q) 8>t (Q) dU. A.58)
§ 6. Система одинаковых одноатомных молекул
Рассмотрим^ качестве примера динамическую систему
из N одинаковых одноатомных молекул. Обычной моделью
такой системы является система N «материальных точек»
с кинетической энергией
и потенциальной энергией бинарного взаимодействия
S фA-9/Х Ф(Й-Ф(-Й. A.
где Ф(<7)=ФA<7)—радиально симметричная функция,
характеризующая взаимодействие пары частиц.
Чтобы учесть то, что частицы данной динамической
системы должны постоянно находиться в некотором ко-
нечном пространственном объеме, можно ввести «потен-
циальный барьер».
Введем потенциал U(q), равный нулю внутри V, за
исключением узкой пограничной полосы, и быстро при-
ближающийся к ос: U(q)—» + оо при приближении q к
границе области V. Тогда довведение в гамильтониан
дополнительного члена
2 U (9,) A.60)

24 гл. i. Уравнение лиувйлля в классической механике
гарантирует нам, что частицы, находящиеся в объеме V, не
выйдут из него. Кроме того, движение частиц внутри V,
за исключением упоминавшейся узкой приграничной об-
ласти, будет таким же, как движение, характеризуемое
гамильтонианом, состоящим только из суммы кинетической
энергии A.59) и потенциальной энергии взаимодействия
A.59')-
С учетом дополнительной потенциальной энергии A.60),
полный гамильтониан системы будет
и потому
«_ У Hi Л ди
dq. др/
\ dPfr
Ясно, что такой гамильтониан A.61) инвариантен по
отношению к изменению знака всех импульсов:
H(q, p) = H(q, -p). A.63)
§ 7. Свойство обратимости
Покажем, что для динамической системы с гамильто-
нианом, удовлетворяющим условию A.63), имеет место
так называемое свойство обратимости. Действительно, из
A.63) следует тождество
*Пя, -Р) — {^(«, р))р^~р-
Поэтому, совершив в формуле A-54) преобразование
р—>—р, t—+ — t, найдем
3>.t(q, -p)=e-tJ*®0(q, p). A.64)
Следовательно, если @>t(q, p) является решением урав-
нения Лиувйлля
dt
то, обратив знаки у всех импульсов и у времени:
®-*@> —Р)> мы опять получим решение этого уравне-
ния. Это и есть свойство обратимости.

§ I. Х-ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 25
Свойством обратимости, разумеется, будут обладать
и индивидуальные движения в фазовом пространстве, по-
скольку из уравнений Гамильтона вытекает, что если
Q(t)^\q(t), p(t)} представляет их решение, то и «обра-
щенное» решение Q(t)^{q(—t), —p(—t)} также удов-
летворяет уравнениям Гамильтона.
Глава 2
УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
В этой главе мы обобщим в рамках квантовой механики
понятие функции распределения вероятности в фазовом
пространстве и соответствующие уравнения Лиувилля для
динамических систем [2].
§ 1. Л-представление
Выберем какое-либо представление волновых функций
для рассматриваемой динамической системы:
Ф = Ф(Х), B.1)
в котором скалярное произведение имеет вид
(<Pi, cp^cpIWcPsWdX- B.2)
В данном представлении X может быть совокупностью
непрерывных и дискретных переменных. Интеграл
[...dX
B.3)
обозначает здесь интегрирование по всем допустимым
значениям непрерывных переменных и суммирование по
всем возможным значениям дискретных переменных. Пусть
мы имеем, например, систему, состоящую из N идентич-
ных частиц. В этом случае можем принять
Х=*(хи ...,xN), B.4)
где X] обозначает совокупность пространственных декар-
товых координат и дополнительных квантовых чисел для
/-й частицы:]
*,-(<!,, v,), qj-tj-WtfiKiT)* B-5)

26 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ В КВАНТОВОЙ МЕХ АН PIKE
где <?/а> («=1, 2, 3)—декартовы координаты, a v^—ди-
скретные квантовые числа, соответствующие «внутренним
степеням свободы» частицы.
В обычно рассматриваемых простейших моделях дина-
мических систем такие внутренние степени свободы ча-
стицы учитываются лишь заданием определенного спина
и в качестве v берется его проекция на «ось 2».
В этом случае, следовательно, для частиц со спином 1/2
можно принять v = ±l/2; для частиц со спином 1 v =
= —1,0, 1 и т. д. Для частиц со спином 0—для бесспи-
новых частиц—v вообще не вводится, и для них x»*q.
В рассматриваемом случае представления B.4) интеграл
B.3) раскрывается в виде
J ...dX-$ ...dx1...dxN, B.6)
причем интегрирование по Xj обозначает интегрирование
но q}- вместе с суммированием по v^:
-.«? B.7)
В более общем случае, когда динамическая система
состоит из s разных сортов идентичных частиц, можем
использовать представление
Х-(..., xJta, ...), /=1 Na, а-1, ..., s, B.8)
в котором индекс /" определяет номер частицы, принадлежа-
щей к одному данному сорту, а индекс а указывает на номер
этого сорта.
Интеграция по X определяется аналогично B.6). Ска-
жем еще несколько слов о матричном Х-представлении ди-
намических переменных, выражаемых линейными опера-
торами, действующими на волновые функции B.1).
Пусть А (X, X') будет таким представлением для не-
которого линейного оператора А.
Тогда, по определению,
X')q>(X')dX' B.9)
и
X)dX. B.10)
Заметив это, возвратимся теперь к основному уравнению
динамической системы A.6), взяв сперва общую ситуацию,

f l. Х-ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 27
когда гамильтониан системы может зависеть явно от вре-
мени. Его X-представление
H(t, X, X') B.11)
будет тогда *) функцией X, Xf, t и уравнение A.6) может
быть написано в виде
H(t, X, Х')Ф(Л X')dX'. B.12)
При этом в силу самосопряженности оператора Н имеем
для его матричного представления
H*(t,X,X')=H(t,X',X). B.13)
Для определения cp(f, X) надо задать ее выражение в не-
который начальный момент времени i0:
«p(f, Х)=Ф(Х) при Ыи. BЛ4)
Тогда, как видно, при данной ф(Х) волновая функция в мо-
мент времени if будет зависеть также и от ta:
Заметим, что поскольку уравнение Шредингера сохраняет
норму волновой функции, то если ср(Х) нормирована на
единицу:
то ф(?, t0, X) также будет нормирована на единицу.
Пусть А будет некоторой динамической переменной,
не зависящей явно от времени; обозначим ее Х-представле-
ние через А (X, X'). Тогда ее среднее значение в момент
времени t в состоянии, которое в начальный момент време-
ни характеризовалось волновой функцией B.14),.нормиро-
ванной на единицу, будет в соответствии с A.8) следующим:
ta, Х)А(Х, Х')«р(*, f,, X')dXdX'. B.16)
Но, как уже ранее отмечалось, для динамических систем
с громадным числом степеней свободы, обычно рассматри-
*) Заметим, что, как и для классической механики, в случае,
если рассматриваемая динамическая система изолирована от внешних
влияний, гамильтониан Н не зависит явно от времени, и поэтому
его Х-лредставление будет функцией лишь X и X':
Н(Х, А"). B.11)

Й8 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЕ ЛЙУВИЛЛЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
ваемых в статистической механике, исследование эволюции
волновой функции (ft, t совершенно нереалистично, по-
этому здесь необходим статистический подход.
§ 2. Квантовая статистическая схема
Для того чтобы сформулировать статистический подход
в квантовой механике, возьмем в начальный момент време-
ни t0 какой-то ансамбль возможных динамических состоя-
ний нашей системы, характеризуемых нормированными
волновыми функциями ф(Х), и введем в нем некоторое рас-
пределение вероятности.
В таком ансамбле среднее значение динамической пере-
менной А в момент времени t будет на основании B.16)
равно выражению
(Х, Х')Ф*С 'о. *)фС. 'о. X')dXdX', B.17)
в котором черта сверху указывает на статистическое усред-
нение по введенному ансамблю начальных волновых функ-
ций ф(Х) с заданным распределением вероятности.
а. Статистические операторы. Пусть, например, мно-
жество допустимых состояний в момент времени t0 пред-
ставляется (нормированными) функциями (. . .,чр„(Х), ...),
а вероятность n-го состояния равна wn. Тогда
Ф* (t, /„ X) ф (t, t0, X')-2 wnVn(i, ta, X)%(t, t0, X'), B.18)
n
где %(t, /0, X) есть решение уравнения B.12), соответ-
ствующее начальной функции ^(Х)«=1рй(Х). Здесь, разу-
меется,
wn>0, 2ю.-1. B-19)
л
Построим функции
9>ии{Х,Х>)-ГЦ,и,Х')ч{1, t0, X). B.20)
Отсюда
S>ttU{X, X')-SDa(X, X1) при t = ta, B.21)
а из B.17) следует, что
< A>t - [А (X, Xf) Яи и (Xf, X) dX dX>. B.22)

$2. КЁАНТОВАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЙХЁМА 29
Условимся рассматривать функции B.20) как Х-пред-
ставления статистических операторов ®0, §bu t(i.
Напомним, что понятие статистического оператора было
введено впервые в квантовую механику фон Нейманом.
С помощью статистического оператора B.22) можем
записать в форме
U. B.23)
Как видно, статистический оператор полностью характери-
зует рассматриваемый статистический ансамбль в том смыс-
ле, что с его помощью мы можем определять среднее зна-
чение любой динамической переменной А для произволь-
ного момента времени t.
Скажем сейчас несколько слов по поводу некоторых об-
щих свойств статистического оператора.
Заметим прежде всего, что из самого его определения
B.20) сразу же следует, что
Таким образом, статистический оператор является эрми-
товым:
»u.-»t.fc- B24)
Имеем далее
$ $>•(*, U, Х)Ф(*. tu, X)dX.
Но
5*(/, tQ, XYjv(t, te,
а потому и среднее значение этого интеграла равно 1.
Получаем, следовательно,
Sp3»t.i.-1.H B-25)
Рассмотрим^ еще произвольную комплекснозначную
функцию h(X). Имеем, опять благодаря B.20),
(h, a>tt uh) 11 h* (X) gfi и (х, Г) h (X>) dx dx>
и te, X')dX<
, t
e,

30 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИК*
Поэтому эрмитовый оператор S>t< tg будет положительным:
3>t,u>Q- B-26)
Подчеркнем, что это неравенство понимается как опера-
торное неравенство, выражающее положительность ска-
лярного произведения (ft, 3)u tah) при любом ft. Отсюда
никоим образом не следует положительность функций
B.20), дающих Х-представление статистического опера-
тора. Значения этих функций при ХфХ1 могут быть даже
комплексными числами.
б. Уравнение Лиувилля. Перейдем теперь к выводу
уравнения, определяющего временную эволюцию стати-
стического оператора. Будем исходить из уравнения Шре-
дингера, которое представим в форме
(i, X, Х")Ф(*. /„, X")dX".
Взяв сопряженное уравнение и переобозначив X через X',
найдем
= -1 И*(i, X', Xй) ф* (*, <„ X") dX"шь
(«. X*. Х')Ф*(/,/., X")dX".
Поэтому
* дф(Л te, Х)ф»(<, /„ X') _
in Wt -
, X, Х*)Ф(<, *„, Х")Ф*(/, t0, X
. tet X')H(t, X",
откуда, производя усреднение по статистическому ан-
самблю, будем иметь
lh ш =
С STi /Y YH\ H H Y" Y^AY" /0 Q7\
или, переходя к операторной форме,
-в=Я,й>, * — &>t tHt. B.28)

§2. КВАНТОВАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ СХЕМА 31
Введем квантовые скобки Пуассона:
[А, В]шшАВ~ВА. B.29)
Тогда уравнение B.28) может быть записано в форме
уравнения Лиувилля
®м.]. B-3°)
dt
аналогичного уравнению Лиувилля A.35) для случая клас-
сической механики.
Обратим также внимание на формулы B.22), B.25),
B.26) и соответствующие им классические формулы A.32),
A.33). Видим, таким образом, что статистический оператор
фон Неймана действительно является естественным кван-
товым аналогом классической функции распределения.
в. Оператор Ut, t,. Введем оператор Utt ia, определяемый
уравнением
i%'^lL±=iHtUttU B.31)
и начальным условием
С/,,,,-1 при *-*,. B.32)
Подчеркнем, что мы всэгда будем обозначать в дальней-
шем, как и в B.32), единичный оператор арифметическим
символом 1, поскольку это не приведет к недоразумениям.
Установим сейчас ряд основных свойств операторов U.
Прежде всего умножим обе части уравнения B.31) справа
на Utet ti, где tt—произвольно фиксированный момент
времени. Видим тогда, что произведение Vt^UtttoUtatti
удовлетворяет уравнению
= H,Vt B.33)
и, кроме того, на основании B.32)
У*«^..«. при t=*te. B.34)
Ясно, однако, что уравнению B.33) и начальному усло-
вию B.34) удовлетворяет оператор Uttti. Поэтому имеем
тождественно
Jl J1 II /О QR\

32 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Взяв здесь, в частности, tx = tt получим Uu taUtat t= 1,
так что
Ut..t-Uu.. B.36)
Отметив это, возвратимся к уравнению B.31) и совершим
в нем операцию эрмитового сопряжения. Тогда, учитывая
самосопряженность гамильтониана, найдем
-tb^Tjb—UZtJtt. B-37)
Но из B.31), B.37) следует, что
т. е. что произведение U*,ttUtt <0 не зависит от t. С другой
стороны, в силу начального условия B.32) это произве-
дение при t^t0 равно единичному оператору. Поэтому
для всех моментов времени t сохраняется равенство
#.-1. B-38)
показывающее, что операторы Uti ta являются унитарными.
Благодаря свойству унитарности B.38) имеем !/?<„ =
= иГ.), и, следовательно, ввиду^B.36) получаем
Utu = Vtatt. B.39)
Таким образом, переход от U к эрмитово сопряженному U*
эквивалентен перестановке t *n? t0 «начального» и «конеч-
ного» времен.
Займемся далее уравнением B.28). Приняв во внимание
также уравнения B,31), B.37), найдем
= - ut tjit s>t, uut,
Отсюда видим, что произведение U*ittS)ti t(iUtt it не зависи
от t. Но в силу начальных условий это произведение при

§ 2. КВАНТОВАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ СХЕМА 3 S
равно й>„. Поэтому
Умножая это равенство слева на Utt ta, а справа на ?/?<„,
получим благодаря унитарности операторов U
attU-uitUatut.u. B.40)
Подставив это выражение в формулу B.23) для сред-
него значения динамической переменной А в момент вре-
мени t, будем иметь
«.. B.41)
где
Auu = Ut,hAUuu B.42)
или благодаря B.39)
At * =?/, *AUt t. B.43)
Равенство B.41) является квантовым аналогом классиче-
ского равенства A.33). Отметим также, что, как показы-
вают соотношения B.40), B.43), выражения статистиче-
ского оператора и динамической переменной через их
начальные значения получаются одно из другого пере-
становкой 17^- te, точно так же, как это имеет место и для
соответствующих классических формул A.38), A.38').
г. Свойства статистических операторов. Рассмотрим
специфически квантовые свойства статистических опера-
торов. Как уже отмечалось, S)o является самосопряжен-
ным положительным оператором с единичным шпуром,
Возьмем полную ортонормированную систему ф„:
1, п = т,
0, пфт
собственных векторов <2J0:
й>офя = рпфя. B.44)
Здесь
Р„>0, 2р„=1, B.45)
п
ввиду положительности оператора й>„ и единичности его
шпура. Из B.44) получим, в частности, Фп®0 —РпФп иЛИ»
2 II. Н. Боголюбов. II. Н. Боголюбов (мл.)

34 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
переходя к Х-представлению,
Sq*(X")»e(X-, X'JdX'-ftXfX'). B.46)
Заметив это, разложим представление @>0(Х, X') ста-
тистического оператора как функцию X в ряд по орто-
нормированной системе ф„(Х). Найдем
».(Х, Х')-2ф.(Х)
п
откуда благодаря B.46) получим
B.47)
Как видно, суммирование здесь мы можем распространить
лишь по тем п, для которых
р„>0. B.48)
Воспользовавшись формулой B.40), можем заметить
отсюда, что
Я>ии(Х, Х')-2Р.Ф.С. '.. Х)Ф;(«, U, Х% B.49)
ft
где
Ф,(*, U, X) = (Uuuq>n)x. B.50)
Ввиду унитарности операторов V ясно, что система
функций B.50) также будет ортонормированной:
Далее, из определения операторов ?/ следует, что эти
волновые функции удовлетворяют уравнению Шредин-
гера B.12)
И^у, X, Х')ф„(/. U, X')dX> B.51)
и начальному условию
Фп(*, t0, Х)=Ф„(Х) при t = t0. B.52)
Сравнивая B.49) с B.18), B.20), заметим, что выражение
B.49) статистического оператора соответствует случаю,

$ 3 СВОЙСТВА СИММЕТРИИ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ 36
когда ансамбль возможных состояний в начальный момент
времени t0 представляется ортонормированными волновы-
ми функциями ф„, причем вероятность состояния ф„ рав-
на р„.
Обратим здесь внимание на то, что хотя мы можем опре-
делить статистический ансамбль, взяв в качестве возможных
состояний в момент /0 состояния, характеризуемые норми-
рованными, но неортогональными функциями г|)„(Х) (см.
формулу B.19)), и даже взять не обязательно дискретное
множество таких функций, задав лишь на нем вероятност-
ную меру и воспользовавшись выражением B.20), тем не
менее такой ансамбль будет эквивалентен статистическому
ансамблю из состояний уп(Х) с вероятностями р„. Иначе
говоря, получается тот же статистический оператор ?b%t te,
что и статистический оператор для случая, когда в началь-
ный момент времени t0 возможные состояния характери-
зуются ортонормированными собственными векторами опе-
ратора ®в, а их вероятности равны соответственным собст-
венным значениям @>0.
§ 3. Свойства симметрии волновых функций
Перейдем теперь к рассмотрению вопроса о свойствах
симметрии волновых функций динамической системы. Возь-
мем сперва для простоты случай динамической системы,
состоящей из N идентичных, неразличимых частиц и соот-
ветственно в качестве X примем совокупность N аргумен-
тов *х, ... , xN (см. B.4)).
Рассмотрим в этом случае некоторую динамическую
величину А и обозначим, как всегда, ее матричное Х-пред-
ставление через А (X, X). Тогда, если ф является волновой
функцией нашей динамической системы,
Возьмем некоторую перестановку Р аргументов xlt ..., xN
и заметим, что
Совершим в интеграле, стоящем в правой части, замену
переменных Х'—+РХ', очевидно, не изменяющую dX'.
Получим
\{Х, РХ')цчХ')йХ'
2'

36 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
И
(PAP-1 q>)x = (АР-1 ф)р^= J А (РХ, РХ') Ф (X\dX'.
Таким образом, А (РХ, РХ') будет матричным Х-пред-
ставлением для оператора РАР'1 и наоборот:
РАР~1^А(РХ, РХ'). B.53)
Но, очевидно, РХ представляет ту же совокупность N
аргументов Х—(Хх, ... , xN), только с измененной нумера-
цией частиц, а именно такой, когда между номерами A,
2, ... , N) частиц совершена перестановка Р. Поэтому
А (РХ, РХ') представляет выражение А (X, X') после
того, как была совершена перестановка частиц Р. Однако
физические величины, относящиеся к системе идентичных
неразличимых частиц, не могут зависеть от того или иного
способа их нумерации. Поэтому, в частности, для гамиль-
тониана рассматриваемой динамической системы мы долж-
ны иметь тождество
H(t, РХ, PX')=H(t, X, Х% B.54)
кстати, полностью аналогичное свойству классического га-
мильтониана A.48).
Благодаря соотношению B.53) это свойство симметрии
гамильтониана в операторной форме будет
PHtP-* = Ht, B.55)
или
PHt*=HtP. B.56)
Отсюда видно, что если ф* есть волновая функция, удов-
летворяющая уравнению Шредингера
и начальному условию ф*»ф при t^te, то
tqt tqt и Рф4=Яф при t = *„.*Поэтому если
начальная волновая функция ф является собственной функ-
цией для перестановки Р, т. е. если
B.57)
где Ср есть с-число, то мы будем иметь
~Р^ = Ht(C/pt-Pq>«), C/ft-Pfft-Ъ при

§3. Свойства симметрии волновых функций з?
Отсюда следует, что для всех t
=C/b. B.58)
Итак, из соотношения B.57), справедливого для начального
момента времени i0, автоматически вытекает его справед-
ливость для любого момента времени B.58).
Возьмем какую-либо транспозицию Т, т. е. перестановку
лишь между двумя различными аргументами и рассмотрим
два случая:
А) Допустимые начальные волновые функции <р сим-
метричны по отношению к своим N аргументам Xi, ... , xN.
Тогда для любой транспозиции между этими аргументами
Гф=ф. Поскольку любая перестановка Р из N элементов
получается последовательным примененная транспозиций,
можем в данном случае написать для любой Р:
Ф. B.59 А)
Б) Допустимые начальные волновые функции антисим-
метричны: Тф=—ф. Тогда для произвольной перестановки
Р получим
(-1)"Ф, B.59Б)
где (— \)р=\, если перестановка Р четная, т. е. состоит
из четного числа транспозиций, и (—1)р""«—1, если
Р нечетна, т. е. состоит из нечетного числа транспозиций.
В силу вышедоказанного мы видим, что в обоих слу-
чаях соотношения B.59) будут выполняться для всех
моментов времени. Такимвобразом, свойство симметрии (А)
и свойство антисимметрии (Б) волновых функций остаются
неизменными с течением времени.
Совершенно аналогичная ситуация возникает ки для
более общего случая, когда рассматриваемая динамическая
система состоит из некоторого числа, скажем s, разных
сортов идентичных и неразличимых частиц. Мы применим
здесь представление B,8): X =«(..., Xj<a, ...)• У3*!, •••
..., Na, a «el, ..., s. В данном случае для физических
величин несущественны лишь перестановки между номе-
рами / = 1, .... Na частиц, принадлежащих к одному
и тому же сорту а. Такие перестановки условимся обо-
значать символом Ра. Поэтому вместо соотношения B.54)
будем иметь теперь
Н(РеХ, РеХ') = Н(Х, X'), а-1, ...,s. B.54A)

38 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Дословно повторяя далее все предыдущие рассуждения,
заменив при этом произвольные перестановки Р переста-
новками Ра, действующими только внутри одного сорта
частиц, убеждаемся, что как свойство симметрии волновых
функций по отношению к аргументам х1<а, ..., Хца, а,
так и свойство их антисимметрии остаются неизменными
с течением времени.
На этот факт было обращено надлежащее внимание уже
основоположниками квантовой механики. Так, в своей
классической книге [3] Дирак отмечает, что в связи с этим
законом сохранения симметрии и антисимметрии волновых
функций возникает альтернатива: для некоторых сортов
идентичных частиц всегда реализуются лишь симметричные
состояния, а для других сортов идентичных частиц только
антисимметричные состояния.
Как теперь установлено для всех до сих пор известных
частиц, действительно реализуется лишь одна из этих
возможностей. Частицы, по отношению к которым волно-
вые функции симметричны, называются бозонами, а час-
тицы, по отношению к которым волновые функции анти-
симметричны, называются фермионами. Эти два типа час-
тиц приводят к существенно разным принципам статисти-
ческого отбора допустимых состояний — статистике Бозе,
принимающей в качестве возможных лишь состояния с сим-
метричными волновыми функциями, и статистике Ферми,
учитывающей лишь состояния с антисимметричными вол-
новыми функциями.
Поскольку в квантовой статистической механике мы бу-
дем иметь дело лишь с бозонами и фермионами, мы должны
в качестве гильбертова пространства допустимых состояний
рассматривать только линейное пространство волновых
функций, элементами (векторами) которого являются вол-
новые функции, симметричные по отношению к идентичным
бозонам и антисимметричные по отношению к идентичным
фермионам.
Таким образом, для всех рассматриваемых динамиче-
ских состояний будем иметь
Л,Ф=Л(Л,)Ф, B.60)
где У](Ра) = \, если частицы сорта а являются бозонами и
| 1, если Ра четна,
ti^J-HI)".-] . * B.61)
iK а/ к ' 1—1» если Ра нечетна, v '
если частицы сорта а являются фермионами.

§4. ДИСКРЕТНОЕ Х-ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 39
Приняв теперь во внимание выражение B,49) для
Х-представления статистического оператора, видим, что
»,, ь (РаХ, X') - Л (Pa) »,. U (*• Х')-
S>uu(X,PaX')^(Pa)S)uta(X, X').
Поскольку всегда ц'(Ра) — ^г отсюда, в частности, выте-
кает соотношение
®ии(РаХ, Ра*') = ®и и(Х, X'), B,63)
совершенно аналогичное классическому свойству симмет-
рии A.51). Свойства же B.62) явля гея специфически
квантовыми и не имеют классического аналога.
Как уже отмечалось, соотношение симметрии типа
B.63) в операторной форме принимает вид РаЗ>ииРа1 =
= §Ьи ц, т. е. PJbu u=>@>t, u Pa. Но первое из соотноше-
ний B,62) в операторной форме будет
Итак, в операторной форме свойства симметрии статисти-
ческого оператора могут быть записаны в виде
Pjbu и - ®tt tfa - т, (Ра) ®и и. B,64)
§ 4. Дискретное ^-представление
Сделаем ряд замечаний по поводу принятого Х-пред-
ставления волновых функций. Поскольку X является
совокупностью аргументов (..., х/ша, ...), а каждый
аргумент х включает положение частицы q и дискретные,
например, спиновые, индексы, ясно, что волновая функ-
ция ф (X) зависит, кроме дискретных индексов v/-i a, еще
от непрерывных переменных qJt a, характеризующих воз-
можные положения частиц в пространстве. Иногда бы-
вает удобно иметь "дело с чисто дискретным представ-
лением волновых функций, даже когда их аргументы не
будут дискретными.
Для простоты обозначений возьмем случай, когда все
частицы принадлежат к одному и тому же сорту, и нам
потому не надо будет вводить индекс а.
Чтобы перейти к чисто дискретному представлению,
возьмем зависящую от дискретного [индекса k последо-
вательность функций точки q^=q трехмерного евклидова

40 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
пространства:
Ф* (Я), B.65)
определенных во всей области 6 точек q, в которой на-
ходится рассматриваемая динамическая система.
Последовательность этих функций выберем так, чтобы
она обладала свойствами ортонормированности и полноты:
Подчеркнем, что здесь, как и везде, мы будем обозначать
символом б и символ Кронеккера, и б-функцию Дирака.
Это не приведет к недоразумению, поскольку у символа
Кронеккера аргумент всегда дискретный, а у 6-функции
Дирака — всегда непрерывный.
Далее, для простоты обозначений мы не указываем явно
в интеграле по q область интегрирования 6 в случае, когда
интеграция совершается по всей области.
Целесообразно будет ввести в рассмотрение также 6-
функции для комбинированного, с непрерывной и дискрет-
ной компонентой, аргумента *=(?» v) и соответствующий
«интеграл», положив
В случае, когда область б совпадает со всем трехмерным
пространством точек q, в качестве системы функций B.65)
можем взять, например, систему собственных функции для
трехмерного гармонического осциллятора; индекс k тогда
будет характеризоваться совокупностью трех целых чисел.
Возьмем общий случай системы B.65) и рассмотрим раз-
ложение Фурье для волновой функции одной точки: ф(х) =
=q>(<7, v). Имеем
= 2 Щ (<7) 6 (v-cr) Ж Ф (q', v') б (v'-tf) ф; (q') dq'\ .
k. a \ V ' I
Полагая
(v-°), B.68)

§4. ДИСКРЕТНОЕ Х-ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 41
получим отсюда
ф м - 2 ъ м J ф (*') y; (д*) djf. B.69)
Как видно из B.66), B.68), система функций B.68) будет
ортонормированной и полной:
$*,(*)*?.(*) л*-в (/-П.
Применив разложение B.69) к каждому из аргументов
Xj функции
Ф(Х)-мр(*,..., хм)ъ B.71)
будем иметь
ф(*1, ••-, ¦%)— 2
^ B.72)
где
^...^. B.73)
Как видно, это выражение и определяет волновую функ-
цию в дискретном «/-представлении».
Совершим в B.73) какую-либо транспозицию
ft^fj B.74)
и заметим, что значение интеграла в правой части B.73) не
изменится при любой перестановке переменных интеграции,
поскольку она приводит лишь к «переименованию» этих
переменных. В частности, мы можем взять транспозицию
xi7=tx). B.75)
Но после совершения транспозиций B.74), B.75) произ-
ведение ?/*,(*!) ... Ч^(я#) останется неизменным, и по-
тому транспозиция B.74) эквивалентна транспозиции
B.75), выполненной в B.73) под знаком функции <р.
Следовательно, если q> симметрична, то и F симметрична,
если ф антисимметрична, то и F антисимметрична. Совер-
шенно аналогично из разложения B.72) убеждаемся в спра-

42 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
ведливости и обратного утверждения — из симметрии F вы-
текает симметрия ф, а из антисимметрии F — антисиммет-
рия ф. Таким образом, свойства симметрии и антисимметрии
будут одинаковыми у обоих представлений динамического
состояния.
§ 5. Дискретное импульсное представление
В ряде случаев, особенно для задач статистической ме-
ханики, оказывается удобным использовать дискретное
импульсное представление.
Чтобы сделать импульсное представление дискретным,
прибегают к следующему искусственному приему: рассмат-
ривается ситуация, в которой все частицы нашей динамиче-
ской системы находятся внутри конечного большого объ-
ема V:
—L/2 <<?«"< L/2, D=*V. B.76)
Продолжим такую систему в пространстве периодиче-
ски вдоль всех трех декартовых осей (а) с периодом L.
Иначе говоря, в качестве граничных условий для вол-
новых функций в области B.76) выбираем так называемые
циклические граничные условия, т. е. условия периодич-
ности волновых функций B.71), по каждой из пространст-
венных координат с периодом L:
0у»«р-Ф, /-1 N, о-1, 2, 3, B.77)
где &>)а)—оператор, заменяющий <7/а> на ifi^+'L и остав-
ляющий все остальные пространственные координаты
в выражении ф неизменными. Тогда в качестве последо-
вательности функций B.65) можем взять
. V=L*> (*-*)-(*-5). B-78)
-BппЩ 2яйB)
где л'а)—целые числа, которые могут принимать любые
значения между ±оо. Как видно, полученная последо-
вательность функций B.77) с дискретным импульсом
¦ршй B-80)
будет ортонормированной и полной в области V. Заме-
тим, кстати, что буквой V мы обозначаем одинаково и
область B.76) и ее объем L3.

§6. СОВМЕСТНОСТЬ С УРАВНЕНИЕМ ШРЕДИНГЕРА 43
§ 6. Совместность с уравнением Шредингера
Обратим теперь внимание на то, что условия перио-
дичности B.77) должны быть совместны с уравнением
Шредингера. Нетрудно показать, чтс$ такая совместность
будет иметь место, если гамильтониан Ht коммутирует
со всеми <25/а>:
atpHt-HtOlj*. B.81)
В самом деле, рассуждая, как и в случае операторов пере»
становок, убеждаемся, что если в начальный момент /0
волновая функция удовлетворяет условиям B,77), то эти
условия будут также выполнены и для любого другого t.
Возьмем в качестве примера обычно рассматриваемый
в статистической механике систем N идентичных частиц
гамильтониан вида
B.82)
где Яо—оператор кинетической энергии:
V Ч,
Ны—гамильтониан бинарного взаимодействия между
парами частиц:
1 < /t < it <
и где, наконец, #ext—потенциальная энергия внешнего
воздействия, которая может явно зависеть от времени:
Яех^Д^С,?,)- B.85)
Ясно, что Не коммутирует с любыми трансляциями коор-
динат, а потому и со всеми Й5{ге>. Заметим далее, что
если бы Ф'(<7) была периодической функцией координат q
с 'периодом L, то и Ны также коммутировал бы со
всеми 9>f\
Действительно, взяв любую волновую функцию ф =»
ф(^ v,; ..,; qN, vN), будем иметь

44 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
откуда и следует операторное соотношение
4 = Яы®}а>. B.86)
Здесь мы сталкиваемся с некоторой формальной труд-
ностью, связанной с тем, что на самом деле Ф (q) является
функцией, стремящейся к нулю при \q\-+оо. Нам надо,
следовательно, построить для Ф(<7) аппроксимирующее ее
при L -*¦ оо выражение, которое при конечном L обладало
бы указанным свойством периодичности.
Для этого будем исходить из интегрального представ-
ления Фурье
^1 B.87)
в котором
ф(к) = J Ф (q) «-'<*•« dq. B.88)
Интеграция в B.87), B.88) [ведется по всему трехмер-
ному пространству. 'Заменим теперь интеграл гв B.87)
суммой, взятой по решетке 'B.79). Поскольку для нее
Aft«1'A/fe«s)A^s) B/L)s B)8V напишем вместо B.87)
<2-87'>
Данное выражение уже будет периодической функцией ^<0"
(а=1, 2, 3)"'с периодом L; при L—>'оо оно переходит
в интегральное представление B.87).
Совершенно [аналогичным приемом воспользуемся и
для W (i, q). Исходя из интегрального представления
$ = Ш J ет'я)^' *) dk> <2-89>
где
W (i, k) - J е-* <*•«>№ (t, q) dq, B.90)
заменим в нем интеграл суммой, взятой по решетке B.79).
Тогда вместо B.89) получим выражение
Как видно, подставив в B.84), B.85) дискретные суммы
B.87'), B.89'), мы получим соответственно для Яыи #„,

5 7. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД! 45
выражения, коммутирующие со всеми ЗУ^я тем самым
добьемся выполнения условий совместности B.81).
Итак, чтобы сделать наложенные граничные условия
.периодичности B.77) совместными с уравнением Шредин-
гера, мы заменим интегральные представления B.87), B.89)
соответствующими дискретными суммами B.87'), B.89').
Совершенно аналогичную процедуру можно использовать
и для гамильтонианов более общего типа.
§ 7. Предельный переход и циклические
граничные условия
Чтобы устранить искусственность изложенного выше
подхода, нефизичность требования периодичности волновых
функций, мы должны всегда иметь в виду предельный пере-
ход L -*• оо, когда объем V (см. B.76)) распространяется
на все трехмерное пространство и дискретные суммы B.87'),
B.89') переходят в правильные интегральные представле-
ния B.87), B.89) для функций Ф и W.
Так как в процессе этого предельного перехода спектр
волновых векторов k переходит в непрерывный, рассмат-
риваемое дискретное импульсное представление называется
также кваз и дискретным.
Квазидискретное представление обычно используется
в статистической механике для изучения объемных свойств
макроскопических систем — динамических систем, состоя-
щих из очень большого числа взаимодействующих частиц,
находящихся внутри некоторого объема V, линейные раз-
меры которого весьма велики по сравнению с естественными
микроскопическими единицами длины, такими, напри-
мер, как эффективный радиус сил междучастичного взаимо-
действия, длина^свободного пробега и т. п.
Ясно, что для математического оформления упоминае-
мых тут расплывчатых характеристик — «очень большое»,
«весьма велики» — целесообразно прибегнуть к предельно-
му переходу, при котором число частиц N и линейные раз-
меры области V стремятся к бесконечности. Поскольку
отношение n=NlV представляет физическую величину —
среднюю плотность числа частиц, оно должно оставаться
постоянным в процессе предельного перехода.
Такой предельный переход
N-+00, V-+oo, ЛГ/V—л —const B.91)

46 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
фактически играет основную роль в статистической механи-
ке, определяя объемные макроскопические свойства как
соответствующие предельные свойства. Этот предельный
переход B.91) называется термодинамическим пределом.
Основываясь на физически естественном допущении
о том, что поверхностные эффекты, существенно зависящие
от граничных условий, благодаря междучастичным взаимо-
действиям быстро затухают при удалении от границы объ-
ема V, мы можем, учитывая указанный предельный переход,
использовать простейшие граничные условия, например
вышерассмотренные условия цикличности B.77).
Возьмем гамильтониан вида B.82). Если внешнее воз-
мущение отсутствует, то полный гамильтониан
н— S -ЁЛ+ 2 ф<*/.-о <2-92>
1 < /< N Kii<ji<N
или
ф(?л-?у,). B-93)
где р^ — импульс ;-й частицы.
Напомним, что при рассмотрении динамических систем
классической механики в гл. 1 мы вводили тогда потенци-
альный барьер, препятствующий частицам выходить из объ-
ема V. Для этого мы дополняли гамильтониан вида B.93)
суммой A.60)
2 U(q,), B.94)
К/ЧЛ1
где U (q) равно нулю внутри V, за исключением узкой
пограничной полосы, и быстро приближается к +°° при
приближении точки q к границе области V. Как видно,
введение потенциального барьера такого типа по существу
эквивалентно граничным условиям, соответствующим
упругому отражению от стенок V.
Такая же процедура допустима и для квантовомеха-
нических систем как альтернатива вышеизложенного
приема введения циклических граничных условий.
Нетрудно заметить, что и в классической механике
можно^воспользоваться вместо введения потенциального
Eарь.ера циклическими граничными условиями для функ*

§7. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД 47
ции распределения @>t(q, р), q^(qu •¦., q^), p —
= (plt ..., Рм). Наложим, действительно, на эту функцию
условия периодичности с периодом L по каждой из ко-
ординат <7/а>:
@>lj*}@)t — <3)t B.95)
и рассмотрим уравнение временной эволюции функции
распределения:
*~ B.96)
dt
в котором (см. A.62))
t
\<i<N дЯ/
^%z& D4) B.960
Здесь для функции Ф(^) используется квазидискретное
представление B.87'). Поскольку его правая часть фор-
мально является периодической функцией по каждой из
координат <7/а> с периодом L, непосредственно прове-
ряется, что получающийся оператор Л! коммутирует со
всеми ®f5. Отсюда вытекает, что если условия циклич-
ности B.95) выполняются в начальный момент времени,
то они будут выполнены и для всех t. Таким образом,
циклические граничные условия действительно совместимы
с уравнениями эволюции B.96).
Пользуясь случаем, напомним, что как было показано
в гл. 1, уравнение эволюции плотности распределения
вероятности можно написать в виде
^ B.97)
формально аналогично уравнению Шредингера для волно-
вой функции.
При этом мы подчеркивали, что хотя дело и идет о чисто
математической формальной аналогии, тем не менее ее мож-
но использовать для применения квантовомеханических
методов.

4g ГЛ. 2. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Действительно, представляя Л в виде суммы
B.98)
«главного» и «возмущающего» членов, мы можем восполь-
зоваться квантовомеханической теорией возмущения, ко-
торой можно придать также и форму диаграммной техники.
Такой подход к статистической механике классических ди-
намических систем в настоящее время используется во мно-
гих работах по теории газов и плазмы.
§ 8. Изолированная динамическая система
Возвратимся теперь к рассмотрению уравнения B.31)
в случае, когда динамическая система изолирована от внеш-
них влияний и когда, следовательно, ее гамильтониан Н
не зависит явно от времени.
В этом случае из B.31) будем иметь
U* * —e-(i/fi)it-U)H
Как видно, в данной ситуации зависимость от t, U появляет-
ся лишь через посредство разности t—10, так что начальный
момент времени ничем не выделен. Ввиду этого условимся
считать, что to—O. Тогда выражения B.40), B.42) примут
следующий вид:
B.99)
Ясно отсюда, что
ifl^L = AtH—HAt. B.100)
Таким образом, заключаем, что At будет гейзенберговским
представлением той динамической переменной, шрединге-
ровское представление которой дается оператором А. Со-
отношение B.41) в данном случае будет
B.101)

«9. СОХРАНЕНИЕ И НЕСОХРАНЕНИЕ ЧИСЛА ЧАСТИЦ 49
являясь квантовым аналогом классического соотношения
A.58).
Скажем в заключение несколько слов о свойстве обрати-
мости для квантовых динамических систем с гамильтони-
аном, не зависящим явно от времени.
Будем исходить из уравнения для эволюции стати-
стического оператора
^ HS>t—S>tH B.102)
и рассмотрим случай, когда для данного Х-представления
имеем для произвольной волновой функции ty(X)
(Нцух = (НГ)х- B-103)
Заметим, что такое соотношение выполняется, например,
в случае гамильтониана вида B.92). Тогда из B.102) и
B.103) получим
Заменим далее t на —t. Поскольку Н не зависит явно
от времени, можем написать также
но по свойству эрмитовости статистического оператора
имеем
&• (-1, х, х')=з> (— t, х', X).
Таким образом, убеждаемся, что статистический опера-
тор ibt с матричными элементами
g>{t,x,x')=s>{— t, x',X) B.Ю4)
также удовлетворяет уравнению эволюции B.102).
То же свойство при обращении знака t можем уста-
новить и для гейзенберговских динамических перемен-
ных, исходя из уравнения движения B.100).
§ 9. Сохранение и несохранение числа частиц
Мы рассматривали выше динамические системы, состоя-
щие из фиксированного числа частиц. Вообще говоря, не-
сохранение числа частиц, возможность их возникновения

50 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
и уничтожения типична для релятивистского случая, изу-
чаемого в квантовой теории поля. Однако и в рамках нере-
лятивистской статистической механики иногда приходится
иметь дело с несохраняющимся числом частиц или, вообще
говоря, квазичастиц. Такое положение мы имеем, напри*
мер, при рассмотрении систем фононов, плазмонов, эксито-
нов и т. п. «элементарных возбуждений», поскольку в про-
цессе их взаимодействия с веществом они могут возникать
и уничтожаться.
Кроме того, и в тех случаях, когда в действительности
числа частиц сохраняются, иногда бывает целесообразно
рассматривать динамические системы с нефиксированным
числом частиц.
а. JV-частичные волновые функции. Возьмем сперва для
простоты ситуацию, когда все частицы идентичны. Тогда
волновая функция, характеризующая состояние динамиче-
ской системы с нефиксированным числом частиц, может
быть представлена цепочкой Af-частичных волновых функ-
ций
Ф — {ф(°), ф(*> 1), Ф(*1.*а>2), ..., ф(*<, ... xN, N),...}.
B.105)
Мы ввели сюда «нуль-частичную» или «вакуумную» *)
волновую функцию—с-число ф@).
Далее, ф(xlt ..., xN, N), N^\, представляет обычную
Af-частичную функцию, удовлетворяющую принципу сим-
метрии, т. е. является симметричной функцией аргумен-
тов Xt xN, когда рассматриваемые частицы являются
бозонами и антисимметричной, когда эти частицы будут
фермионами.
Для сокращения условимся представлять иногда
B.105) в виде
ФB), ..-,
Скалярное произведение двух таких волновых функций
с переменным числом частиц естественно определим
суммой
2 B.Ю6)
2
N > О
*) В каком-то смысле роль вакуумного состояния аналогична
роли нуля в арифметике или роли «пустого множества» в теории
множеств.

§9. СОХРАНЕНИЕ И НЕСОХРАНЕНИЕ ЧИСЛА ЧАСТИЦ 51
в которой (ср, .'.V), <pa(W)) при N"^\ обозначает обычное
скалярное произведение двух W-частичных волновых
функций, а при Af-0 просто"алгебраическое произведе-
ние двух е-чисел: <p*@)q>2@).
Как видно, гильбертово пространство 5 из элементов
B.105) со скалярным произведением B.106) является
прямым произведением гильбертовых пространств *) t$N,
соответствующих W-частичным волновым функциям:
^jssa (Я) SftN. Такое пространство .? условимся называть
гильбертовым пространством волновых функций с [пере-
менным числом частиц.
Следует заметить, что в этом пространстве $ число
частиц представляется оператором Щ, определенным соот-
ношением
ЯФ-{°. ФA), 2фB), .... Ny(N), ...}.
Ясно, что собственные числа Ne оператора Ш будут
0,1,2..., а соответствующую No собственную функцию
мы получим из B.105), положив tp(Af)=eO для МфМ
Если число частиц при движении сохраняется, то
гамильтониан данной динамической системы должен пре-
образовывать TV-частичную волновую функцию также
в Af-частичную функцию. Поэтому в таком случае будем
иметь
где HN—гамильтониан системы W частиц, например,
заданный выражением B.82), для которого, очевидно,
#0 = 0. Если же число частиц не сохраняется при дви-
жении, мы будем иметь более общую форму:
..., Ф'(ЛП, ...}, B.107)
в которой
^.л.фЧЛП, B-108)
N'
a HNi N. представляет оператор, переводящий iV'-частич-
ную волновую функцию в ^-частичную.
*) Очевидно, при W = 0, §Q вырождается в одномерное прост-
ранство комплексных чисел,

52 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
6. Х- представление в случае переменного числа частиц.
Заметим теперь, что и рассматриваемый сейчас случай
динамических систем с нефиксированным числом частиц
также может быть непосредственно включен в ранее изла-
гавшуюся схему, основанную на представлении волновой
функции в виде ф(Х) и скалярного произведения (фь ф2)
интегральной формой
Для этого стоит только изменить определение X. Ранее,
когда мы имели дело с фиксированным числом частиц, мы
полагали Х=(хи ... , xN). Теперь же мы положим, что X
равно либо 0, либо (хх),. . . ,либо(*х,... ,xN),. . . ит. д.*).
Тогда, если мы имеем какую-либо функцию F(X), опре-
деленную для всех возможных точек X, то она представит-
ся цепочкой функций вида
F(Xi, 1), ..., F(xlt .... xN; N), ...}.
Определим далее интеграл СF(X)dX суммой
$F(X)dX-F@) + ^ Jf(*, 'xN, N)dXi..-:dxN.
B.109)
Обращаясь к волновой функции ф, определенной цепоч-
кой B.105), введем функцию
ф(Х) —ф@), если Х=«0,
B.110)
..., х„, N), если Х*ш(ъ, ...,xN), JV>1,
определенную на множестве всех возможных точек X. Тем
самым волновая функция B.105) представляется как функ-
ция B.110) точки X.
Взяв скалярное произведение B.106) двух волновых
функций и принимая во внимание определения B.109),
B.110), убеждаемся, что оно может быть записано в форме
*) Таким образом, множество Щ. всех возможных «точек» X
представляется суммой 91= ] Шм множеств^ ЗЯлг- Здесь
при N ёз 1 является множеством всех возможных совокупностей
(хг, .... xN), a Hi о состоит из одного элемента 0.

9. СОХРАНЕНИЕ И НЕСОХРАНЕНИЕ ЧИСЛА ЧАСТИЦ 53
Наконец, B.107), B.108) дают
где
Н(X, Х')==НNt N> (xv ..., xN, x'x, ..., x'pj,),
если
X = (x1, ...,xN), X ^(xlt ...,xN,),
a HN, N-(xlt ..., xN, x\, ..., x'N,) представляет обычное
матричное Х-представление оператора HNt N>, преобра-
зующего ЛГ-частичную волновую функцию в Xf-частичную.
Разумеется, если здесь Л''=— 0, то отсутствуют аргу-
менты Xj, если N'ssO—аргументы х), а если одновре-
менно Af = O, ЛГ=О, то мы имеем просто с-число Ясо.
Итак мы видим, что с помощью принятого определения
множества точек X и интеграции по X мы пришли фор-
мально к той же схеме, которая^была развита|в?начале
этого параграфа.
Совершенно аналогичная ситуация получается и в слу-
чае, когда мы имеем динамическую систему, состоящую
из нескольких s различных сортов частиц (s фиксиро-
вано!), а числа Na (a=l, ..., s) могут принимать любые
целые неотрицательные значения.
Напомним, что в случае фиксированных Nif ..., #,
волновая функция представлялась в виде [<р (X#t Ns),
где
Х#, JVse(---» х;,а> )> /="^' •••> Na, Oel, ..., S.
B.111)
При этом форма7[ф(Х^, Ns) должна быть разрешена
принципом симметрии, т. е. <р должна быть симметричной
или антисимметричной при транспозициях аргументов Xj<a,
принадлежащих к одному и тому же сорту а в зависи-
мости от того, являются ли частицы этого сорта бозонами
или фермионами.
В случае же переменных Afe возможными X будут 0
и любое из XNl Ns при Nt+... + N^1. Разумеется,
если некоторые из //л«=0, то в Х^, Ns будут отсут-
ствовать аргументы х/гп соответствующих сортов а. Тогда
набор функций
F@), .... F(XNl Ns, N, Ns) B.112)
определяет функцию F (X) и наоборот.

54 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Введем также понятие «интеграции по X», положив
=F@)+ 2 С F(XNt Nt; Nlt..., Ns)dXN, Ns.
N Ns J
1
B.113)
Здесь F (X) представляет функцию Х, определенную на-
бором B.112). Рассуждая далее, как и в случае sal,
убеждаемся, что волновая функция динамической системы
с переменными числами частиц Nlt ..., Ns может быть
представлена в виде
Ф-Ф(Х), B.114)
а соответствующее скалярное произведение выражается
интегральной формой
(Ф1.Ф|)-5ф;<Х)фДХ)<1Х._ B.115)
Итак, изложенная в этой главе схема исследования
статистического оператора и динамических переменных ос-
тается в силе и для динамических систем с переменным ч г-
лом частиц при соответствующем подборе представления
волновых функций таких систем.
в. Гильбертово пространство волновых функций и его
подпространства. Скажем в заключение несколько слов
по поводу пространства ф волновых функций типа B.114)
со скалярным произведением B.115). Такое <$ мы будем
называть гильбертовым пространством волновых функций
с переменным числом частиц.
Заметим, что в ряде случаев полные числа частиц Nj
некоторых сортов «/» сохраняются при движении, ком-
мутируя с гамильтонианом. В этих случаях иногда удобно
иметь дело с подпространством $, для которого волно-
вые функции являются собственными для соответствующих
операторов 0?: fUjfp^Njtp. Такое подпространство усло-
вимся обозначать через
¦$(•¦¦> If/. •¦•)• B.116)
Подчеркнем, что когда в рассматриваемой динамической
системе имеются еще другие сорта частиц, полные числа
которых не сохраняются, то по отношению к ним подпрост-
ранство B.116) будет содержать волновые функции с пере-
менным числом частиц этих, сортов.

§9. СОХРАНЕНИЕ И НЁСОХРАНЕНИЕ ЧИСЛА ЧАСТИЦ 55
Заметим еще, что подпространства B.116), соответствую-
щие различным системам значений (... , Nj, ...), будут ор-
тогональны. Иначе говоря, если
причем хотя бы одна из разностей [Nj—N'j отлична от
нуля, то (фъ ф2)=я0. С другой стороны, нетрудно убе
диться, что всякая ф из ^ может быть представлена
в виде суммы функций, принадлежащих $(..., ЛГ/. ...).
В самом деле, по определению JQ всякая волновая
функция ф(Х), согласно B.112), представляется сово-
купностью функций:
,.., N'i Nrt,,..; ..., N'j, ..., N't, ...
B.117)
Мы здесь выделили среди (N'lt ..., N's) набор (..., Nj, ...),
соответствующий тем сортам частиц, полное число кото-
рых сохраняется при движении, и набор (..., W,-, ...)
для остальных сортов.
Положим
= {-- -Ф )t
)n\ B.U8)
где N представляет совокупность
JV = (..., Nj, ...) B.119)
чисел Nj, каждое из которых может принимать любое
целое неотрицательное значение. Поскольку из опреде-
ления B.118) мы видим, что $lj(pN=*Njq>N, построенная
Фл, принадлежит подпространству §(..., NJt ...).
Но так как 21Г^(^/—N/)— ^. мы видим, что дейст-
N /
вительно ф
г. Проекционный оператор. Введем проекционный опе-
ратор Ядг*). проектирующий любой «вектор» из § на
*) Среднее значение динамической величины <Л>==|1|з*, Ац), (if*,
-ф) == 1 = можно вычислить, введя проекционный оператор Р(Х,Х') —
=-i|)(X)^»(X#), <А> = $А(Х, X') Р(Х', X) dX' dX^SpAP. Он проек-
тирует вектор ф на состояние 1|з: Рф = ("ф*, ф)г|з и обладает свойст-
вами: Р+=Р, Р" Р SPl

56 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
подпространство $(..., Nj, ...). Ясно, в частности, что
ф^ = Я^ф, и поэтому
Ф = 2^Ф- B-120)
N
Возьмем теперь в каждом из подпространств B.116) пол-
ную в нем ортонормированную систему cpv> N, где индекс N
указывает на соответствующее подпространство. Если те-
перь мы, кроме v, будем изменять также и N, то мы
получим ортонормированную систему в ¦§. Действительно,
при разных N (cpv_ N, tpv,, N,)=0, если N=?N', ввиду
ортогональности соответствующих подпространств. Таким
образом,
(<Pv, N, <Pv. A")=6(V-V') Ц6(^—iV/).
Покажем, что данная система является также полной
в .§. Для этого нам достаточно показать9 что если для
какой-либо ф из Sq для всех vh JV имеем равенство
(Фу.#. Ф)-0. B-121)
то ф тождественно равна нулю.
Чтобы это установить, заметим, что раз фч N принад-
лежит к §(..., Nj, ...), то тождественно Р^цч,, n = 4v. w.
и поэтому ввиду самосопряженности проекционного опе-
ратора из B.121) найдем
(Фъ*. Р*Ф)-0. B.122)
Фиксируем здесь Л^; тогда поскольку при данном N си-
стема <pVf N является полной в §(..., Л^-, ...), a PNq>
содержится в этом подпространстве, то из B.122) следует,
что Ядгф = О при любом N, а отсюда ввиду B.120) и сле-
дует справедливость сделанного утверждения. Итак, си-
стема <pVi N является полной ортонормированной системой
в §. Согласно ее определению
N. B.123)
д. Комбинированный индекс. Удобно ввести комбини-
рованный дискретный индекс a> = (v, Л^). Тогда рассмат-
риваемую систему можем обозначить кратко как фк,
а соотношения B.123) запишутся в виде 9[?/фк = Л^}и)фк.
В дальнейшем мы всегда будем иметь дело с гамильто-
нианами, которые при конечном объеме V (т. е. до перехода

§ 1. ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ 57
к пределу) в каждом из подпространств B.116) обладают
дискретной, ортоноркнрованной и полной в нем системой
собственных функций.
Тогда на основании ранее сказанного мы можем утвер-
ждать, что при конечном объеме V в гильбертовом простран-
стве волновых функций с переменным числом частиц су-
ществует ортонормированная и полная система функций фю,
зависящая от дискретного индекса со, такая, что
-ЛГрри. B.124)
При этом, каковы бы ни были неотрицательные целые
числа N,-, всегда существуют такие со, что Nf^ — Nf.
Глава [3
КАНОНИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Интегралы движения
Как было показано в предыдущих параграфах, для клас-
сических и квантовых динамических систем с не зависящим
явно от времени гамильтонианом уравнения движения для
динамических переменных будут следующими:
= [Л,,*Я] = — [Я, At].
Таким образом, интегралы движения, т. е. динамические
переменные, не изменяющиеся при движении, должны
удовлетворять соотношению [Я, Л] = 0. С другой стороны,
уравнение Лиувилля для эволюции вероятностного рас-
пределения может^быть представлено в форме
Следовательно, данное вероятностное распределение @>
будет стационарным, не меняющимся с течением времени,
если [Я, ®] = 0, т. е. если SD является интегралом дви-
жения. Заметим, что среди многообразия стационарных @>
реальное физическое значение имеют формы, соответст-
вующие статистическому равновесию, т. е. @>, задавае-
мые каноническими распределениями Гиббса. • * *
Их особая роль обусловлена основным постулатом, вве-
денным Гиббсом в статистическую механику, согласно

58 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
которому именно канонические распределения характери-
зуют термодинамическое равновесие реальных макроско-
пических систем [1].
§ 2. Каноническое распределение Гиббса
Возьмем сперва макроскопическую динамическую си-
стему 2 классической механики, изолированную от внеш-
них влияний, с гамильтонианомЯ2 = Н. Для нее обычное
каноническое распределение Гиббса будет
Й>-С-Чг*", C.1)
где С—множитель нормировки
-V'dil, C.2)
обеспечивающий единичное значение интеграла
Здесь р=»1/0, где 0—положительная величина—темпе-
ратурный модуль, пропорциональный абсолютной темпе-
ратуре.
Обратим сейчас внимание на характерное свойство
распределения C.1). Пусть рассматриваемая динамиче-
ская система состоит из нескольких макроскопических
подсистем: 2 —2t+ ... + 2Л, причем для ее гамильтониана
можем написать:
Здесь #v представляет энергию 2^, а Ны—энергию
взаимодействия между подсистемами.
Если теперь эта знергия взаимодействия исчезающе
мала по сравнению с «собственными энергиями» подси-
стем, то пренебрегая в C.1) членом Нш, найдем, что
т. е. в данной ситуации SD разбивается на произведение
канонических распределений, относящихся к отдельным
подсистемам.
Таким образом, если система 2 находится в состоянии
статистического равновесия и энергия взаимодействия меж-
ду ее подсистемами 2;- пренебрежимо мала, то и корреляция
в распределении вероятности между подсистемами также
исчезает.

§ 2. КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА 59
Легко заметить, что если положить в основу канониче-
ского распределения именно это свойство «ослабления кор-
реляции», то распределение C.1) представится в более
общей форме:
где Р7-—постоянные, а /7-—аддитивные интегралы дви-
жения.
Напомним, что аддитивными называются такие инте-
гралы движения системы, которые равны сумме инте-
гралов движения, относящихся к подсистемам. Для клас-
сической механики такими аддитивными интегралами
являются полный импульс системы Р и полный момент
количества движения ЗК. Кроме того, имеются еще три-
виальные «интегралы движения», а именно, числа частиц-
Так, если классическая динамическая система состоит
из s различных сортов частиц, то числа частиц Na со-
ответствующих сортов, очевидно, неизменны. Ограни-
чимся рассмотрением случая, когда наша динамическая
система как целое покоится. Тогда в сумме 2 Pih не
надо принимать во внимание члены, соответствующие
трем компонентам Р и трем компонентам ШГ, поскольку
они учитывают движение системы как целого с отличной
от нуля скоростью.
Таким образом, в данном случае нам надо учитывать
в этой сумме лишь 2 Ра#в, и формула C,3) тем
самым представится в виде
C.4)
Используем теперь обычный подход, в котором числа Na
считаются заданными постоянными при фиксированном
объеме V, Только в процессе предельного перехода V^J-'oo
они неограниченно увеличиваются так, что Hm JVfl/7e
—па — const. Поэтому в данном подходе фактор
ехр /— 2 PaNa\ при фиксированном V является
\ К a< s |
постоянной и его можно просто включить в зависящую

66 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
от V постоянную С. Таким образом, мы опять приходим
к обычному каноническому распределению Гиббса C.1)*),
Заметим, между прочим, что для гамильтониана A.61),
состоящего из суммы кинетической и потенциальной энер-
гий, это распределение факторизуется и представляется
произведением функции от импульсов на функцию, завися-
щую только от координат:
}
C.5)
где
1 < / < N 1 < Л < /i < JV
J
В случае, когда стенки сосуда, заключающего объем V,
абсолютно непроницаемы и упруго отражают налетающие
на них частицы, мы должны здесь положить
1/@ =+оо, q$V
Тогда выражение для W имеет вид
"(Й-о. hv,
V
}
1 < л < /1 < jv j
C.7)
-¦
если все точки q} лежат внутри V, и оно будет равно
нулю, если хотя бы одна из этих точек оказалась бы
вне V.
•) Вместо того чтобы говорить о распределении вероятности со-
стояний данной динамической системы в фазовом пространстве,
можно, очевидно, интерпретировать это распределение, введя беско-
нечный ансамбль точных копий рассматриваемой системы (не взаимо-
действующих друг с другом!) такой, что относительное число систем
ансамбля, для которых фазы лежат в инфинитеэимальном объеме^,
будет &)t (Q) dQ.
Именно в такой форме понятие статистического ансамбля и было
введено Гиббсом. Каноническое распределение C.1) поэтому иногда
называется, следуя Гиббсу, распределением, соответствующим кано-
ническому ансамблю [1].

S3. ПОСТРОЕНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 61
§ 3, Построение термодинамических функций
Основываясь на своем постулате о том, что канониче-
ское распределение характеризует термодинамически рав-
новесное состояние реальных макроскопических систем,
Гиббс разработал метод построения термодинамических
функций [1].
Этот метод мы здесь вкратце изложим применительно к
квантовым динамическим системам, имея в виду, что соот-
ветствующий переход от классического случая к квантовому
с формальной точки зрения проводится, в сущности, совер-
шенно тривиально.
Так, в квантовом случае основную формулу канони-
ческого распределения запишем в том же виде, что
и C.1):
® = 2е-Ря, 0 = 1/6, C.8)
с постоянными положительными Z и р. Только теперь Н
имеет операторную природу. Как и в классической ме-
ханике, в нашей динамической системе могут содержаться
частицы нескольких различньцс_сортов.
В квантовом случае полное число частиц каждого
сорта не обязательно должно быть интегралом движения.
Обозначим индексом / = 1, .... s все те сорта частиц,
полные числа которых 2\j являются интегралами движе-
ния, коммутируя с Н. Обобщая идею обычного канони-
ческого распределения Гиббса, мы будем считать Щ.- за-
данными числами Nj. Выражаясь более, точно, мы будем
рассматривать гамильтониан динамической системы в гиль-
бертовом пространстве !q (Nlt ..., Ns)t о котором мы
говорили., в конце гл. 2. Напомним, что это есть про-
странство^всех волновых функций, разрешенных принци-
пом симметрии, для которых
где Nlt ,.., Ns—заданные числа, фиксированные при
фиксированном объеме V.
В настоящем исследовании мы будем ограничиваться
обычным случаем, когда при конечном объеме V. спектр
гамильтониана в пространствах ф (Nx Ns) является
дискретным, так что в этих пространствах существуют
полные ортонормированные системы собственных функ-
ций гамильтониана, характеризуемые дискретными ин-
дексами.

62 |ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Фиксировав Nit ..., Ns, обозначим соответствующую
совокупность собственных значений Н величинами Ev.
Мы предположим также, что ряд 2e~P?v> Ф > ®> яв'
V
ляется сходящимся.
Поскольку Sp®=l, мы видим, что
v
Условимся говорить, что данная макроскопическая
система находится в состоянии статистического равновесия,
если наблюдаемые значения относящихся к ней макроскопи-
ческих динамических величин представляются их средними
значениями, взятыми по статистическому оператору C.8).
В соответствии с постулатом Гиббса состояния статисти-
ческого равновесия и являются термодинамическими рав-
новесными состояниями данной макроскопической систе-
мы [23, 24].
Рассмотрим теперь среднее значение энергии
и заметим, что
а
|-P--e-|lnZ. C.10)
Положим, по определению,
Fmm— GlnZ. C.11)
Тогда из C.10) получим
Е—8а!т^-8-ж- К3-12)
Сравним это [равенство с известной формулой термоди-
намики
C.13)
в которой Е—энергия системы, F—свободная энергия,
S—энтропия: S=—dF/дТ, Т — абсолютная температура.
Так как температурный модуль пропорционален аб-
солютной температуре Q = kBT с коэффициентом пропор-
циональности kB—известной константой Больцмана, мы
можем заметить, что выражение Е — <Н> естественно

S4. КВАЗИСТАТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ 63
отождествить с энергией Е из термодинамического соот-
ношения C.13), выражение C.11)—со свободной энергией
и, наконец, Ьв—$§ с энтропией 5.
§ 4. Квазистатические процессы
а. Понятие квазистатического процесса. Чтобы углу-
бить связь с термодинамикой, рассмотрим понятие о квази-
статическом процессе.
Фиксировав числа частиц Nu ... , Ns, будем достаточно
медленно изменять объем F, например, путем пропорцио-
нального изменения всех линейных размеров на фактор \.
Кроме того, сам гамильтониан Н может зависеть еще от
ряда внешних параметров аи ... , at:
таких, например, как компоненты электрического или маг-
нитного полей и т. п. Вместе с объемом будем также доста-
точно медленно изменять и значения этих параметров.
Основное допущение, которое делается при изучении
квазистатических процессов, состоит в том, что если внеш-
ние параметры V, аь ... , щ меняются достаточно медленно,
то рассматриваемая динамическая система в каждый мо-
мент времени остается в состоянии статистического равно-
весия, соответствующего тем значениям V, ait ... , ah какие
они принимают в данный момент времени. Допущение это
мотивируется представлением о том, что когда у изолиро-
ванной динамической (макроскопической) системы, находя-
щейся в состоянии статистического равновесия, гамильто-
ниан Я изменяется, переходя в гамильтониан #i=#+A#,
в системе будет протекать «процесс релаксации» — процесс
постепенного установления нового статистического равно-
весия, соответствующего новому гамильтониану Ht. Па
этому, если скорость изменения внешних параметров будеч
много меньше эффективной скорости процессов релаксации,
естественно предположить, что рассматриваемая система
все время находится в состоянии статистического равно-
весия, характеризуемого переменными значениями внеш-
них параметров, притом с тем меньшим отклонением, чем
медленнее будут меняться V, аь ... , аг.
Квазистатические процессы можно рассматривать не
только для изолированной системы, но также и для макро-
скопической системы, находящейся во взаимодействии с

64 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
другими макроскопическими системами, лишь бы это взаи-
модействие практически не выводило данную систему из
состояния статистического равновесия, соответствующего
ее собственному гамильтониану Я.
Например, можем рассматривать систему, находящуюся
в тепловом контакте с термостатом. Заметим, что в стати-
стической механике термостат представляется как «большая
система» с числом степеней свободы много большим, чем
у нашей динамической системы, и притом находящаяся в со-
стоянии статистического равновесия. Тепловой контакт
трактуется как относительно слабое взаимодействие (могу-
щее быть эффективным, например, лишь в весьма узком
слое у границы объема V), фактическая роль которого
сводится к установлению в нашей динамической системе
состояния статистического равновесия, соответствующего
ее гамильтониану Н и притом с температурным модулем,
равным температурному модулю термостата. Последнее
обстоятельство — неизменность температурного модуля
термостата от включения теплового контакта с рассматри-
ваемой системой — объясняется тем, что из-за гораздо
большего числа степеней свободы возникновение этого кон-
такта практически вообще не повлияет на наблюдаемые зна-
чения макроскопических динамических величин, относя-
щихся к термостату.
6. Построение квазистатических процессов. Из всего
сказанного для нас существенно лишь то, что для квази-
статического процесса мы можем все время пользоваться
формулами (ЗЛО), C.1!) для средней и свободной энергии,
которые теперь будут функциями"медленно изменяющихся
Э, V, ах, ... , аг. Заметив это, составим полный дифферен-
циал
%'%% ?%• <314>
В соответствии с ранее сказанным
^e — SdT. C.15)
Имеем, далее, на основании C.11)
д
j?L = дй! з C.16)

И- КВАЗИСТАТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ 65
Так как изменение параметров а/ не влияет на область
интеграции V по положениям q частиц, входящей в опре-
деление шпура, мы можем написать:
4Spe"p"=Sp4e"p"- (ЗЛ7)
Заметим, с другой стороны, что
C.18)
и что под знаком шпура можно переставлять операторы
ввиду тождества
Поэтому
Зре-Р^
и, следовательно,
". C.19)
Таким образом, из C.16) получим
„ дН о и
Sp с™ р
да/ =/-jjg-N C.20)
Чтобы привести к аналогичному виду -^, рассмотрим
выражение Sp e~&H, представляющее шпур от е~^н, в ко-
Л
тором интеграция по пространственным векторам q, ха-
рактеризующим положения частиц, ведется по области VV
получающейся из области V пропорциональным измене-
нием всех пространственных размеров на фактор X.
Совершим в Я преобразование над всеми пространст-
венными векторами q частиц и их импульсами р:
Это преобразование, очевидно, является каноническим,
поскольку оно не нарушает перестановочных соотноше-
ний между координатами и компонентами импульсов. Его
применение к Я преобразует гамильтониан Н=Н(аи ..., а,)
3 Н. Н. Боголюбов, Н. Н. Боголюбов (мл.)

66 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
в некоторый новый гамильтониан, явно зависящий от %:
Нх~Н(Х, аи ..., а,), совпадающий с Н при Я=1.
Кроме того, когда «новые» переменные интеграции q'
принадлежат к недеформированной области V, «старые»
переменные интеграции q принадлежат к деформиро-
ванной области V и наоборот. Но так как каноническое
преобразование не изменяет величины шпура, мы убеж-
даемся, что
p p
Замечая, что объем области V^, очевидно, равен PV, и
взяв %z=\+dX, получим dV V{l ft) 1}3VU
и потому
Отсюда, уже повторяя предыдущие рассуждения, будем
иметь окончательно
в. Интерпретация слагаемых. Скажем сейчас несколько
слов по поводу полученных формул C.20), C.22). Так,
изменению операторов aj, которые мы можем рассматри-
вать как внешние «обобщенные координаты», соответству-
ют «обобщенные силы» Aj——dH/daj, наблюдаемые значе-
ния которых в состоянии статистического равновесия будут
9F
А,—
Поэтому сумма
представляет собой работу, совершаемую рассматривае-
мой динамической системой при бесконечно малых изме-
нениях параметров af.
Заметим далее, что давление, определяемое в термо-
динамике: Р == — dF/dV, будет равно ввиду C.22)
3V \ дХ Д = Г

§4. КВАЗИСТАТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ 67
а произведение
PdVs /™\ d%
дает работу, совершаемую системой при бесконечно ма-
лом изменении объема области V на объем (\+d%KV
области Vi+dx- Формулу C.14) мы можем теперь напи-
сать в виде
dF^ — SdT—PdV—^Ajdaj C.24)
или
т. е.
dE=—P dV— 2 Aj daj -f T dS. C.25)
Как мы уже видели, сумма РdV + 2 Aj da{ представляет
собой работу, произведенную рассматриваемой динами-
ческой системой при бесконечно малом изменении внеш-
них параметров V, ... а;- ... .
Поэтому данное выражение с обратным знаком пред-
ставит соответствующее изменение внутренней энергии
системы; учитывая C.22), C.23), будем иметь
— PdV—^iAJ.daJ^=<dHy) C.26)
где dH — бесконечно малое приращение гамильтониана,
обусловленного бесконечно малыми изменениями dait...
..., dat, d%.
Таким образом, третий член Т dS в правой части ра-
венства C.25), определяющего полный дифференциал вну-
тренней энергии, может быть интерпретирован как беско-
нечно малое количество тепловой энергии
dQ=T dS, C.27)
получаемое (или отдаваемое) от внешних систем, с которыми
рассматриваемая система находится в тепловом контакте.
Напомним кстати, что в классической феноменологиче-
ской термодинамике энтропия вводится соотношением dS=
=dQ/T, a \IT играет роль «интегрирующего множителя»,
преобразующего бесконечно малое количество тепловой
энергии dQ в полный дифференциал.
В случае изолированной системы тепловая энергия не
может ни поступать в нее, ни уходить, и потому квазиста-
тические процессы в изолированной системе совершаются
з*

68 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
при постоянной энтропии:
dS^O. C.28)
Г. Теплоемкость» Введем еще понятие теплоемкости
Нашей системы при постоянном объеме (и постоянных aj).
Такая теплоемкость определяется как отношение коли-
чества тепла, которое надо сообщить системе, чтобы
повысить ее температуру на dT, к изменению темпера-
туры dT. Удельной теплоемкостью при постоянном объ-
еме с_ называется отношение вышеопределенной тепло-
емкости к объему системы V: cv = Т ^ -у. Но из соот-
ношения C.25) мы видим, что при постоянных!^, аи..., at:
дЕ rr dS
fff = T-§f, и потому
г — — — — U — — СЗ 9Q\
С»"~ дТ V ~ й дв V ' 1 >
д. Однородные системы. Ограничимся теперь рассмот-
рением лишь макроскопически однородных систем, у ко-
торых макроскопическая плотность чисел частиц одина-
кова по всей области V.
Рассмотрим для такой системы величины F и Е
в процессе предельного перехода статистической меха-
ники, когда V—»оо, NylV=*nj = const, ay = const. При
этом обычно предполагается, что существуют пределы
Нт -^ = /F, alt ..., а„ nlt ..., ns),
v
E C.30)
Нт -Т7 = <8 F, fli, • • •, at, nlt .... ns)
V-+oo '
и что эти соотношения можно дифференцировать по ар-
гументам функций /, $ за возможным исключением тех
значений, которые соответствуют критическим ситуациям,
например фазовым переходам.
Таким образом, если в процессе указанного предель-
ного перехода мы ограничимся лишь главными членами
по V, то C.30) можем написать в форме
F = V/, E = VS. C.31)
Это допущение в том или ином виде всегда делается в фе-
номенологической термодинамике, основываясь на приня-
той интерпретации экспериментальных фактов.

§4- КВАЭИСТАТИЧЕСКИЁ ПРОЦЕССЫ 69
Величины, такие как F или Е, которые при фиксирован-
ных 9, ... , а.;, ... , пк пропорциональны V, называются
обычно экстенсивными величинами.
Такие же величины, как, например, удельная свободная
энергия f, удельная внутренняя энергия ?, удельная тепло-
емкость cv и т. п., не зависящие от макроскопического
объема V, называются интенсивными.
е. Соотношение между Н и Е. Покажем, что через ве-
личину cv легко можно выразить среднюю квадратичную
флуктуацию энергии <(#—?)8>.
Для этого будем исходить из формулы, определяю-
щей величину Е:
f
Sp e-W '
откуда, дифференцируя по р, получим
Но очевидно, что
а—?^)> = <(Яа—2НЕ
поскольку <Я?>^=?<Я> —?3. Имеем, следовательно,
и поэтому благодаря C.29)
?)*> = 1/|^ = ™в7Х. C.32)
Возьмем представление, в котором Н диагоналей, и обо-
значим через wv соответствующие вероятности; ^wv—l.
v
Очевидно, в данном случае канонического распределения
Wv =;

70 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Тогда C.32) можно записать в виде
Е ($-
откуда следует, что вероятность того, что | E4/V—$ \ ^ б
(где б некоторая положительная величина), равная
2 wv (суммирование производится лишь по тем значе-
V
ниям v, для которых \EV/V—$j^6), будет, очевидно,
меньше чем Bv^v. Взяв в качестве б величину, стре-
мящуюся к нулю при V —*оо, но так, чтобы V62—*оо,
убеждаемся, что с вероятностью, большей чем
т. е. с вероятностью, асимптотически равной единице, зна-
чение $ асимптотически равно собственному значению опе-
ратора HlV.
Иначе говоря, главные члены (т. е. члены порядка V)
в выражениях Е и ближайшего к Е собственного значения
оператора энергии Н совпадают с вероятностью, асимпто-
тически равной единице. Таким образом, в макроскопиче-
ском приближении Е является не только средним значением
<#> энергии системы, а и ее фактическим значением.
§ 5» Предельные переходы
Скажем теперь несколько слов по поводу основного пред-
положения теории статистического равновесия о предель-
ных свойствах C.30) или C.31). Прежде всего, можно заме-
тить, что в тех случаях, когда F и Е удается вычислить точ-
но, например, в случаях идеального газа, идеального кри-
сталла и т. п., свойства эти проверяются элементарно.
Кроме того, можно еще привести следующие общие фи-
зические соображения, которые, впрочем, имеют чисто ин-
туитивный характер и не могут претендовать на какую-
либо законченность аргументации.
а. Основные предположения. Возьмем некоторый парал-
лелепипед Vo и рассмотрим геометрически подобный парал-
лелепипед V, получающийся из Уо пропорциональным уве-
личением всех линейных размеров Vo в М раз. Объем V
будет поэтому равен MaVo. Напомним, что мы обозначаем
какую-то пространственную область и ее объем одной и той

5 5. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ 71
же буквой. Как видно, V состоит из примыкающих друг
к другу М3 параллелепипедов V), получающихся из Уо, ко-
торый мы расположим в центре соответствующими прост-
ранственными трансляциями.
Пусть в области V находится макроскопическая система,
изолированная от внешних влияний в «однородной фазе»,
например однородный газ или жидкость, находящиеся в со-
стоянии статистического равновесия. Можем рассмотреть
также и случай кристалла. В этом случае возьмем длины
граней Ve, пропорциональные периодам кристаллической
решетки по трем декартовым осям. Таким образом, каждый
из Vj будет содержать одинаковое число узлов кристалли-
ческой решетки.
Возьмем размеры области Ve так, чтобы в среднем на
ее долю приходилось очень большое число частиц:
Заметим теперь, что полная средняя энергия Е — Еу,
вообще говоря, не равна сумме средних энергий
2?у C.34)
частиц, находящихся в отдельных областях Vj, ввиду того,
что частицы, находящиеся в различных областях, взаимо-
действуют между собой.
Обычно, однако, взаимодействие и вызываемая им кор-
реляция эффективны лишь на расстояниях, характеризуе-
мых некоторой микроскопической величиной б. Возьмем
линейные размеры Vo весьма большими по сравнению с «эф-
фективным радиусом взаимодействия»:
C.35)
где / — длина наименьшей грани VV
Тогда взаимное влияние частиц будет существенно лишь
в соприкасающихся областях V] в приграничных зонах с ши-
риной порядка б. Сумма объемов этих зон будет, очевидно,
пропорциональна Vbll.
Естественно поэтому допустить, что разность между
полной средней энергией всей системы Еу и суммой
C.34) не превышает по абсолютной величине IV -г, где
/—некоторая постоянная, не меняющаяся в процессе
предельного перехода статистической механики. Таким

72
ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
образом,
L
V
C.36)
б. Граничная поверхность. Обратим теперь внимание
на роль граничной поверхности области V. Ее влияние
в обычных условиях фактически распространяется лишь
на слой с шириной порядка некоторой микроскопиче-
ской величины 6L.
Условимся взять длину / много большей бг: /^>бх.
Тогда влияние граничной поверхности V будет распро-
страняться лишь на примыкающие к ней параллелепи-
педы Vy, которые условимся обозначать Vp. Число
остальных Vy, которые условимся обозначать VH, будет
(М—2K. На находящиеся в них частицы наличие гра-
ницы области V не оказывает влияния, и потому все
соответствующие средние энергии Еув) будут равны;
в частности, они будут равны EVa, поскольку все Vj
получаются из V0 пространственной трансляцией. Дейст-
вительно, мы рассматриваем ситуацию, в которой транс-
ляционная инвариантность нарушается лишь граничной
поверхностью.
П ^\E
р
Поэтому
—2K E
в. Пределы. Естественно предположить, что для при-
граничных V*/' соответствующие средние энергии огра-
ничены выражением вида
= VaJ, C.38)
где J есть некоторая постоянная для процесса предель-
ного перехода V—»-оо. Тогда
поскольку число приграничных Vf не превосходит 6М2.
Поэтому, учитывая C.37), найдем
М-
М
C.39)

§5. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ 73
Следовательно, на основании C.36) будем иметь
Отсюда видим, что при AI —^ оо отношение Ev/V остает-
ся ограниченным. Поэтому по теореме Вейерштрасса у
этого отношения будут предельные значения. Но то же
неравенство C.40) показывает, что эти предельные зна-
чения лежат в интервале длины 2/ -г. Этот интервал
может быть сделан сколь угодно узким, если взять длину
достаточно большой. Таким образом, все возможные
предельные значения EV(V совпадают, что и указывает
на существование предела lim EVIV, причем из C.40)
следует, что
</f.
Подобное же рассуждение можно применять с помощью
той же процедуры и для средней вида <,дН1д%>, где
%—параметр равномерного расширения всех линейных
размеров, о котором мы уже ранее говорили.
Мы приходим тогда к заключению о существовании
предела при равномерном расширении объема у выра-
жения
HL — l./dJL\
dV~~V W/xsi*
что в свою очередь покажет, что Fv, как и Ev, при достаточ-
но большом V практически пропорциональны V.
Можем рассмотреть также и их производные по G и дру-
гим параметрам.
г. Справедливость рассуждений о предельных переходах.
Все эти рассуждения, однако, явно неприменимы в том
случае, когда длины, характеризующие «эффективный ра-
диус взаимодействия частиц» и влияние граничной поверх-
ности V, становятся макроскопическими величинами. Как
раз такой случай возникает в действительности в критиче-
ских ситуациях, связанных с фазовыми переходами.
Мы говорили сейчас об одном из вариантов интуитив-
ного, эвристического подхода к вопросу о предельном пере-

?4 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
ходе в теории статистического равновесия. Таких вариан-
тов, кстати сказать, в настоящее время имеется много, что,
впрочем, не повышает степени их убедительности, посколь-
ку все они основаны на тех или иных «почти очевидных»
допущениях.
Следует особо подчеркнуть, что когда мы имеем дело
с определенным гамильтонианом, вопрос о нахождении
асимптотических выражений для lnSpe~Pw и для сред-
них значений различных динамических переменных пред-
ставляет собой в сущности чисто математическую задачу,
которая и должна решаться на строго математическом
уровне.
Однако ввиду того, что при рассмотрении реалистиче-
ских ситуаций обычно возникают чрезвычайно большие
трудности, приходится прибегать к различным приближен-
ным методам без надлежащего математического обоснова-
ния. Тем не менее в настоящее время разработаны и далее
развиваются методы, обеспечивающие строго математиче-
ский подход к теории статистического равновесия, подход,
с помощью которого уже удалось получить ряд важных и
перспективных результатов.
Укажем, например, на многочисленные работы [4—10,
25], посвященные анализу упрощенных «модельных» задач,
для которых оказалось возможным построить асимптоти-
чески точные решения.
Следует отметить также и направления исследований
«реалистических» гамильтонианов, например, составленных
из суммы кинетических энергий частиц и бинарных взаимо-
действий, характеризуемых радиально симметричными по-
тенциальными функциями [26, 30]. Здесь прежде всего
изучались динамические системы классической механики,
а затем появились и обобщения для квантовомеханических
систем.
При этом законченные результаты были получены пока
лишь для газов достаточно малой плотности. Мы здесь спе-
циально говорили о строгих математических методах в тео-
рии статистического равновесия, а не вообще о математиче-
ских методах в статистической механике, где в основном
используются приближенные схемы без надлежащего мате-
матического обоснования.
Например, даже такое понятие, как «приближение к со-
стоянию статистического равновесия» с математической точ-
ки зрения требует глубокой разработки и выяснения его
точного смысла.

§6. БОЛЬШОЙ КАНОНИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ 75
§ 6. Большой канонический ансамбль
а. Статистические операторы. Перейдем к рассмотре-
нию статистического оператора, соответствующего «боль-
шому каноническому ансамблю Гиббса».
Мы будем исходить из классической формулы C.4),
квантовый аналог которой представится оператором
—РЯ— 2 Р/ЯД. C.41)
Здесь Щ—оператор, представляющий число частиц /-го
сорта. Существенно подчеркнуть, что эти -ЭТ, являются
интегралами движения; если число частиц какого-то
сорта не сохраняется, то соответствующий оператор 91У-
не появится под знаком экспоненты в правой части C.41),
поскольку в противном случае сумма Р#4*ХР/^/ не будет
интегралом движения, и тем самым оператор C.41) не
будет удовлетворять необходимому условию стационар-
ности [Н, eD] = 0. Как и ранее, мы будем предполагать,
что спектр гамильтониана Н является дискретным при
фиксированном конечном объеме V в каждом из подпро-
странств § (Nlt ..., Ns) гильбертова пространства ф,
о котором говорилось в конце гл. 2.
Как там было показано, в § существует тогда пол-
ная ортонормированная система волновых функций фш,
характеризуемых дискретным индексом <в, для которой
ш sb ?fflq>ffl;
Мы предположим, что ряд
сходится, чтобы обеспечить существование шпура у опе-
ратора C.41). Ввиду сказанного выражение C.41) можно
рассматривать как статистический оператор, определен-
ный в гильбертовом пространстве .ft волновых функций
с переменным числом частиц.
б. Определения: р, Г, G, Введем общепринятые обо-
значения, положив \ij = —р~1Ру = —0ру.. Тогда из C.41)
найдем
Z} C 42)

76 ГЛ, 3. КАНОНИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
причем из условия нормировки SpS) = l следует, что
Заметим далее, что средние значения Nf операторов
будут равны
C-43)
Положим для сокращения
Г = Я-2|1у«/ C.44)
и введем аналог свободной энергии для рассматривае-
мого сейчас статистического оператора C.42), соответст-
вующего большому каноническому ансамблю:
G=— Э1пС = — einSpe-Pr. C.45)
Поскольку из C,44) следует дТ/дц^=—Щу, то, так как
5Ry- коммутируют с Г,
Sp « е-*? Sp -*L e-pr
Ф/~ spe-Pr ~ p
Таким образом, C.43) может быть представлено в форме
Эти соотношения могут быть рассматриваемы также как
система уравнений для определения s параметров Цу по
данным значениям iVx, ..., Л^,
в. Единственность цу-. Покажем, что эти уравнения
не могут иметь два различных решения ц° = (..., [л}0>,...)
и цA> = (..., ц}1',...) для одной заданной совокупности
значений (..., Nj, ...).
Допустим^обратное, и пусть уравнения C.46) дейст-
вительно имеют два различных решения ц1о), [лA). Введем
вспомогательную переменную т 0^т^1 и положим
[а){А Д[д, = ц,ш—ц<0), так что
ц@)-ц«»\ цA) = цA>. C.47)

§6. БОЛЬШОЙ КАНОНИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ 77
Рассматривая выражение
t) = ?/(t) C.48)
как функцию т, заметим, что
Но ввиду C.46), C.47) G^ (ц (т)) + Nj = 0 при т = 0 и
т=1, и потому dU (t)/dt = 0 при т = 0 и т = 1, откуда
следует, что
J??P*-O. C.49)
о
С другой стороны, из C.48) найдем
Поэтому, если мы сумеем показать, что для любых А(д,
то тогда окажется, что . а > 0, а это неравенство
противоречит соотношению C.49).
Таким образом, чтобы установить правильность сде-
ланного ранее утверждения о единственности решения
уравнений C.46), нам остается доказать неравенство
C.50). Для этого нам не понадобится никакой информа-
ции о значениях А[л, кроме той, что по крайней мере
одно из них не равно нулю. Найдем сейчас подходящее
d*G
d*G т,
выражение для -~ & . Имеем
dG Sp%
откуда

78 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Но так как операторы 9^ коммутируют между собой и
с Н, они тем самым будут коммутировать и с Г. Поэтому
и из C.51) получим
Учитывая тождества
найдем
Таким образом, получаем следующее выражение:
с помощью которого для квадратичной формы, стоящей
в левой части C.50), обнаружим равенство
в котором
Как видно, нам остается показать, что <9Ла> может
обращаться в нуль, лишь если все величины Лцу равны
нулю.
Для этого воспользуемся упоминавшейся ранее диск-
ретной системой функций <рш, ортонормированной и пол-
ной в ^, являющейся собственной для операторов Н и $1.
Найдем

§6. БОЛЬШОЙ КАНОНИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ 79
где
Ь rfi^, C.54)
S
Поскольку все №ш положительны, <5Ща> может обра-
титься в нуль, лишь если все
ЗИШ = О. C.55)
Но, как указывалось в конце гл. 2, каковы бы ни
были целые неотрицательные значения Nj, всегда есть
такие <в, для которых N^ — Nj. Поэтому из C.55) сле-
дует, что
для любых совокупностей (A/j Ns) целых неотри-
цательных чисел, а это возможно, лишь если все Дцу
равны нулю.
Итак, нами показано, что уравнения C.46) не могут
удовлетворяться при данных Ns двумя различными си-
стемами параметров (|Xj, ..., \is).
г. Термодинамические функции. Возвратимся к выра-
жению C.45) и заметим, что
т. е. <Г> = ^ = О + р^или <r>-G-0g. Отсюда
§Z=G-Q§-Z^e- C-56)
Подчеркнем, что здесь G рассматривается как функция
параметров \ij (а также 0, V, ait ..., at). Построим вы-
ражение

80 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Имеем, очевидно,
/¦
т. е.
Будем рассматривать выражение C.57) не как функцию
[Ау, а, подставив вместо \ij решения уравнений C.461, как
функцию Nj-, V, G, cij. Запишем C.58) в форме
}Zf- C-59>
/ J s
Тогда увидим, что
<?_ — <№ dF__dG 6F__dG_ jtf__ ,
dV~dV дв~дв' daj~daj-J dNj~^J- \
Далее, с другой стороны,
dG /дН у. „ ^ ^ я дН
т. e-^" = (gj". )• Вводя «обобщенные силы» Aj = —^
мы замечаем на основании C.60):
Совершенно аналогично, вводя параметр X пропорцио-
нального изменения всех линейных размеров области V,
найдем
3V\ дк /х=\:
и поэтому работа, совершаемая системой при изменении
объема V, будет равна —<дН/дХ>х=] dX=—(dF/dV)dV. Та-
ким образом, величина
Р- fdF) fdG
e, а, N (dVje, a, N
будет представлять давление.

§6. БОЛЬШОЙ КАНОНИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ 81
Заметим далее, что из C.56) и C.60) следует
-Р-в?. C.63)
Как видно, F здесь можно рассматривать как свободную
энергию, а величину
S *.?--? C-64)
— как энтропию.
Мы можем теперь переписать соотношение C.59)
в форме
—2 Ay daf—SdT+^ цу dNf,
откуда на основании C*63) видим, что
dE = — Р dV —2 Aj daj + Т dS + 2 fydNf. C.65)
/ /
Как видно, при постоянных Nj, когда dNj**0, эта фор-
мула переходит в формулу C.25).
Ее интерпретация с термодинамической точки зрения
остается прежней. Дополнительные члены \ijdNj пред-
ставляют приращение энергии системы Е при изменении
числа Nj на Nj-\-dNj. Факторы \ij называются хими-
ческими потенциалами.
д. Предельный переход V-> оо. В термодинамической
интерпретации мы можем представлять рассматриваемую
динамическую систему в макроскопическом состоянии,
характеризуемом статистическим оператором C,42), как
находящуюся в тепловом и материальном контакте с термо-
статом и имеющую возможность обмена с ним частицами.
Объединяя нашу систему с термостатом в одну «большую
систему», можем считать, что данный статистический опера-
тор C.42) характеризует малую (но еще макроскопическую)
часть большой системы, находящуюся с ней в термодинами-
ческом равновесии.
Рассмотрим теперь вопрос о предельном переходе
К-»-оо при равномерном увеличении всех линейных раз-
меров области V. Возьмем опять случай, когда асимпто-
тически удерживается лишь главный член по V: G =
— Vg(Q, [а, а), причем это соотношение можно диффе-
ренцировать.

82 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Тогда, вводя средние плотности rij-^Nj/V, мы видим,
что уравнения C.46) дают rij — — dgld\if. Тем самым ц
будут функциями от n, G, а. С помощью C.57) убежда-
емся также, что асимптотически F = Vf, /=2
g42
и что удельная свободная энергия зависит от N,, V лишь
через посредство средних плотностей: / = /(8, п, а).
Заметим, что из C.52) следует
или
в а»,
C'66)
Таким образом, при V —> оо с вероятностью, равной еди-
нице, «у асимптотически равны собственным значени-
ям 91,/V.
Основываясь на C.62), нетрудно убедиться, что g =
= —Р. Рассмотрим случай, когда число сортов частиц/
равно единице. Тогда [i можем считать функцией п и
наоборот. Имеем
д?_№_дР_дп_
П~ 5ц дц дп дц •
откуда
dlt П .п сс\
oJ = W> <ЗЛ36>
дп
дп
Как уже отмечалось, наблюдаемые значения макро-
скопических величин (с точностью до множителя V в слу-
чае экстенсивных величин), взятые по статистическому
оператору C.8) с фиксированными значениями 9?у = ЛЛ,
зависят от Nf, V лишь через посредство плотностей
nj = NjlV.
Поэтому (поскольку при использовании статистиче-
ского оператора C.42) с переменным числом частиц,
когда числа частиц формально не связаны никакими
ограничениями, все же $l//V асимптотически равны их
средним значениям л,) мы видим, что при решении задач
о вычислении наблюдаемых значений макроскопических

§7. КВАНТОВЫЙ ПОДХОД 83
величин для состояния статистического равновесия оба
статистических подхода эквивалентны *).
В ряде случаев, особенно при работе с методом вторич-
ного квантования, метод большого канонического ансамбля
оказывается более удобным, чем способ, основанный на рас-
смотрении обычного канонического ансамбля, поскольку
в нем не требуется налагать на волновые функции допол-
нительные условия типа
и можно иметь дело со всем гильбертовым пространством
^ волновых функций (разрешенных принципом симметрии)
с переменным числом частиц.
§ 7. Квантовый подход в теории классических
канонических распределений
Скажем несколько слов по поводу канонических распре-
делений для динамической системы классической механики,
состоящей из s различных сортов идентичных частиц. Возь-
мем обычный канонический ансамбль с функцией распре-
деления C.1):
Н = Н(п), С
где
Q-(..., ?,.«, Р/.а, •••)¦ C-67)
Здесь индекс а=1 s характеризует сорт частиц, а ин-
декс /=1, ... , Na нумерует идентичные частицы, принадле-
жащие к данному сорту.
Интересно особо отметить, что Гиббс определил свобод-
ную энергию не как
—8 In С, C.68)
а как
*) Принятое здесь изложение имеет, очевидно, лишь интуитив-
ный характер, и вопрос об эквивалентности обоих методов подхода
к теории статистического равновесия требует также строгого мате-
матического исследования. В этом направлении имеется ряд важ-
ных работ.

84 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Дело в том, что динамическое состояние п C.67) не мо-
жет зависеть от способа нумерации идентичных частиц
внутри каждого сорта. Иначе говоря, динамическое сос-
тояние системы не меняется, если совершить все Л^!.. .Ns\
возможные перестановки между частицами одного и того
же сорта. Таким образом, Гиббс как бы предвосхитил
квантовую формулу C.9), C.11), где свободная энергия
выражается через логарифм суммы состояний 2 ?~p?v>
v
берущейся по различным возможным состояниям. С дру-
гой стороны, в классической механикеdQ —\№\АЯа, jdpa,f
есть величина размерная, и ее всегда можно умножить
на фактор i4jv«+-+A'*, где А—постоянная, имеющая раз-
мерность, обратную размерности dq-dp. Поэтому в ста-
тистической механике классических систем свободная
энергия
A, + ...+ s
F 61п V.-ЛМ je"pH(Q)^ C-70)
определена лишь с точностью до слагаемого —6х
X(JV1+-..+iVJ) const.
Заметим, кстати, что в современных изложениях клас-
сической статистической механики, используя идеи квази-
классического подхода, основываясь на том, что мини-
мальный объем элементарной ячейки в 6-мерном фазо-
вом пространстве одной частицы в соответствии с прин-
ципом Гейзенберга равен BяЙK, полагают
А=—\— . C.71)
Мы говорили сейчас об обычном каноническом рас-
пределении. Для большого же канонического ансамбля
Гиббс полагает
s j
F GIn 2- Nl N , el
xduNt Ns, C.72)
где H(UNt Ns) обозначает гамильтониан для системы,
состоящей из Na частиц а-го сорта, и dfi/v, ns—соот-
ветствующий инфинитезимальный объем 6W«+ •¦•+ ^-мер-
ного фазового пространства.

§8. ЭНТРОПИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 85
Подчеркнем, что вышепроводившиеся рассмотрения от-
носительно введения термодинамических функций и их ос-
новных свойств были детально изложены Гиббсом примени-
тельно к классическим системам, а мы здесь лишь перевели
его рассуждения на квантовый язык.
§ 8. Энтропия динамической системы
а. Канонический ансамбль. Займемся вопросом о на-
хождении различных выражений для энтропии динамиче-
ской системы. Прежде всего рассмотрим статистический опе-
ратор для обычного канонического ансамбля C.8).
Ввиду C.11) представим C.8) в виде
й>в»в«''~н». C.73)
С другой стороны, из C.13) имеем
Далее, благодаря C.73) — 1п®=^-(Я—F), Итак, для
статистического оператора C.73)
S = —kBSp2>ln2>. C.74)
Взяв полную ортонормированную в ^(Nt, ..., Ns) сис-
тему собственных функций для гамильтониана Я: /Apv —
= ?vq3v, можем записать C.74) в форме
?, C.75)
V
где wv =e v / 5 ? v. Так как wv > 0, !>] wv = 1, то
V V
wv < 1 и l/o>v> 1, ввиду чего wvln — > 0, и потому
S>0. ¦ "*
Заметим, что операторное выражение C.74) было
впервые получено фон Нейманом, который обобщил со-
ответствующее классическое выражение Гиббса.
б. Экстремальное свойство энтропии. Упомянем, кстати,
об одном экстремальном свойстве формы C.74). Возьмем
класс статистических операторов ®, определенных везде
в том же пространстве $(Мг Ns) и соответствую-
щих той же средней энергии Е.

86 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Тогда в этом классе именно канонический статисти-
ческий оператор C.73) дает абсолютный максимум выра-
жению C.74). Иначе говоря, если Ш> является положи-
тельным оператором со свойствами
Sp®
то, полагая
получим
— 1, SpH& = E=SpH&
S = -fcBSp®ln®,
S—S>0,
», C-76)
C.77)
C.78)
причем знак равенства достигается лишь при &> = &>.
Имеем действительно
kE1 (S—S) = Sp ?5 In &—Sp Ш> In @>.
Но так как ln® = P(F—H), то благодаря C,76)
Sp Ё> In ®=PF Sp 3>—p Sp tf® = Sp ® In ®,
и потому
^i(S—S) = Sp®(ln®—lnfl>). C.79)
в. Вспомогательный оператор. Введем вспомогатель-
ный оператор
рт = A_т)® + т®, 0<т<1, C.80)
зависящий от параметра т, и рассмотрим функцию этого
параметра
#(T) = Sppx(lnpT-lnp0). C.81)
Ясно, что
C.82)
Имеем далее, по определению C.81),
Но
^ ^ O C.83)

§8, ЭНТРОПИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 8?
и, следовательно,
Как видно,
^^ = 0 при т = 0. C.84)
Продифференцировав по т еще раз, найдем
Но для положительных р%
С другой стороны,
Получим поэтому
— = \ !sd Д® Д® \dz.
1 J \ v г+рг z + px \
d*R{x
dx*
Обратим теперь внимание на то, что при
оператор р% будет положителен и Sp рт = 1. Можем в
связи с этим найти в ^> (Л^, ..., Ns) полную ортонор-
мированную систему ф?! с дискретным индексом v, являю-
щуюся собственной для рт:
Собственные значения wv(x) будут все положительны и
отличны от нуля, во всяком случае при O^t^l, так
как здесь рт>A—т)®, а все собственные числа ?&
больше нуля.
Обозначим через (A®)v,, v, матричный элемент опе-
ратора Д®, взятый между ф^ и ф^. Тогда
SpAe-ji-Ав '
г + Рт г+рх
v4. v,

88 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Благодаря самосопряженности А® имеем
= (А^)*,, v, и потому
? dz
Как видно, для указанных т а%™>0, причем знак
равенства может иметь место лишь в случае, когда все
матричные элементы (A*Z>)ViiVt равны нулю, т. е, благо-
даря полноте системы собственных функций ц>$\ когда
Д® 0
Таким образом, учитывая C.84), мы убеждаемся, что
^т > 0. а следовательно, и R(l)—R @) > 0, если
только Й> не совпадает с й>. Тем самым, приняв во вни-
мание C.79), C.82), мы и доказываем упоминавшееся
экстремальное свойство C.78).
г. Большой канонический ансамбль, Рассмотрим теперь
статистический оператор для большого канонического
ансамбля C.42), определенный везде в гильбертовом
пространстве ^ волновых функций с переменным числом
частиц. Принимая во внимание C.45), представим этот
оператор в форме
fi>=eP<°-r>. C.86)
Но, как было показано,
причем благодаря C.64), C.60) для энтропии системы
будем иметь
<?_ Ь dGF, {i, a)
¦Ь kB gg .
Поэтому
Но —ln^> = р (Г—G) и, следовательно, S =—?B<ln®>,
т. е.
5 — ^ gp <gj jj-j sfi ^3 87)
Как мы видели, для рассматриваемого статистичес-
кого оператора имеют место соотношения:
V=*Nt A=1, .... s), Sp®=l. C.{

§8. ЭНТРОПИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ gg
Нетрудно показать, что в классе статистических опера-
торов ®, определенных везде в $ и удовлетворяющих
соотношениям C.88), выражение C.87) достигает своего
абсолютного максимума только при й> = й).
Заметим для этого, что Т = Н—2иу^/» и поскольку
® удовлетворяет условиям C.88), то
Sp Г® = <Г> =Sp Г®, Sp®=Sp®=l. C.89)
Для того чтобы убедиться, что
S—S>0, C.90)
нет надобности принимать во внимание все условия C.
и вполне достаточно учитывать их следствия — условия
C.89). Тогда повторением ранее проводившегося рассужде-
ния с естественной заменой в нем
мы и убеждаемся в справедливости экстремального свой-
ства C.90), в котором знак равенства достигается лишь
при Ё> = @>.
д. Независимость от времени. Мы видели, что для
статистического равновесия и при использовании обыч-
ного канонического распределения и при использовании
статистического оператора, соответствующего большому
каноническому ансамблю, энтропия может быть пред-
ставлена в виде S = —&BSp^ZMn®. Нетрудно, однако,
заметить, что такое выражение нельзя отождествлять
с термодинамической энтропией при неравновесных
состояниях. Дело в том, что оно остается постоянным
при изменении времени, даже если эволюция статисти-
ческого оператора характеризуется гамильтонианом, явно
зависящим от времени:
Положив
St = —kBSpS>tln&t, C.91)
мы найдем
-, i Sp 2|>LIn @>t = Sp (Ht3>t In &t—&tHt In ?>,).

90 ГЛ. 3. КАНОНИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Но ввиду перестановочности под знаком шпура pt
xHtln@)t = SpHt(\n@)t)@>f Но оператор S>t всегда
перестановочен со своей функцией, в частности с \x\S>t.
Поэтому Sp^5f#tln^5f = Sp#t^5tln^3f, и, таким обра-
зом, убеждаемся в справедливости свойства dSt/dt=*O,
выражающего постоянство формы C.91) при эволюции
статистического оператора, даже если соответствующий
гамильтониан явно зависит от времени.
е. Энтропия для неравновесных состояний. С другой
стороны, возьмем стандартный пример из термодинамики.
Пусть мы имеем два газ", заключенных в сосуде, полностью
изолированном от внешних влияний и разделенных между
собой полностью изолирующей перегородкой. Таким об-
разом, при наличии перегородки мы имеем две макроскопи-
ческие системы 2Х, 2 2, каждая из которых полностью изо-
лирована от внешних влияний. Пусть 2Ь 22 находятся
в равновесных состояниях, но с разными температурами
Ti, 7Y
Вынув изолирующую перегородку, мы устанавливаем
динамический контакт между рассматриваемыми газами, в
результате которого система 2i+22 окажется в неравно-
весном состоянии, и начнется процесс постепенного уста-
новления равновесного состояния с некоторой одинаковой
температурой. Как следует из термодинамики, такой про-
цесс приводит к увеличению энтропии.
Подойдем к этому примеру с точки зрения статистиче-
ской механики. До открытия изолирующей перегородки
мы имели две независимые, полностью изолированные сис-
темы, каждая из которых характеризовалась равновесным
статистическим оператором:
Так как эти системы занимают различные объемы Vi и V-i,
их гамильтонианы Ни Н% должны коммутировать между
собой. Мы можем поэтому представить статистический опе-
ратор суммарной системы при наличии полностью изолирую-
щей перегородки в виде произведения
fi>, —efl«e»-H«>eP«(''«-"'). C.92A)
Нетрудно заметить, что в такой ситуации выражение
—kB Sp ?>elni2>e *,SpeM''--"">p1(/71— Я,)—
2, + Z, ' 2,

§8. ЭНТРОПИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ §1
равно сумме равновесных энтропии S^^-^—F1),S2 =
= ^-(?2—F2) обеих систем 2lf 22.
Как только, скажем, в момент времени t0 изолирующая
перегородка начнет убираться, полный гамильтониан сис-
темы 2г+22 начнет отличаться от Нг-\-Н2- Он будет явно
зависеть от времени, пока, скажем, в момент U-j-kt изоли-
рующая перегородка будет полностью убрана: Ht=H для
f^U+kt. Поскольку для t>i0 гамильтониан системы 2t+
+2 2 начнет отличаться от #г+#2, начальный статистиче-
ский оператор C.92А) уже не будет стационарным. Начнет-
ся, следовательно, эволюция статистического оператора,
характеризуемая уравнением
и начальным условием &)t = eD0 при t = tb. Но, как мы
уже видели, выражение
—fcBSp?)tln^ C.92Б)
остается постоянным. Следовательно,
—kB Sp3>t In@>t*=— kBSp @H In^o —
Таким образом, данное выражение C.92Б) остается равным
начальной энтропии системы, и потому оно не может пред-
ставлять термодинамическую энтропию системы в неравно-
весном состоянии.
ж. Трудности, связанные с исследованием неравновес-
ных процессов. Проблеме построения выражения для энтро-
пии в статистической механике, которое оказалось бы при-
годным и для исследования неравновесных процессов, уде-
лялось большое внимание еще со времен Гиббса, и в настоя-
щее время разрабатываются различные подходы к этой весь-
ма трудной задаче.
То же надо сказать и о вопросе о том, в каком смысле
следует понимать «приближение к состоянию статистиче-
ского равновесия» для изолированной макроскопической
системы и для системы, находящейся в контакте с термо-
статом.
Ясно лишь то, что о таких свойствах можно говорить
только после совершения предельного перехода статистиче-
ской механики: V -*• оо. В самом деле, в обычно рассматри-

92 ГЛ. <¦ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИМА
ваемых случаях спектр Н является дискретным при конеч-
ном V. Обозначая через Ек его собственные значения, а че-
рез фь — соответствующую полную ортонормированную
систему собственных функций Н, найдем
C.93)
Таким образом, среднее значение SpA (t) @>0 будет почти
периодической функцией / с дискретным спектром час-
тот со= т . Только после предельного перехода V —>
%
—*¦ оо, когда можно ожидать, что дискретный спектр
перейдет в непрерывный и сумма Фурье C.93) перейдет
в интеграл Фурье, можно будет поставить вопрос о при-
ближении средней величины SpA(t)@>tt при t—»- + oo,
хотя бы для некоторого класса динамических перемен-
ных, к ее равновесному значению SpAS)^.
В связи с этим следует отметить, что указанные вопросы
исследуются в многочисленных работах, хотя пока иссле-
дования эти проводятся в рамках различных приближенных
схем без надлежащего математического обоснования ввиду
чрезвычайной сложности данных вопросов.
Некоторые вопросы, связанные с указанным кругом
проблем, мы предполагаем обсудить в главе 5 части IV.
Глава 4
ДВУХВРЕМЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
И ФУНКЦИИ ГРИНА В ТЕОРИИ
СТАТИСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ
Мы продолжим в этой главе исследование средних зна-
чений динамических переменных, взятых по статистиче-
скому оператору, соответствующему большому канониче-
скому ансамблю.
§ 1. Двухвременные корреляционные функции
для квантовых систем
Исследуем подробнее так называемые двухвременные
корреляционные средние: <А(г)В(т)>, в которые входит
произведение двух динамических переменных A(t),B(x),
зависящих от двух времен / и т.

g I. КЁАНТОВЫЁ CHCfEMbl §3
Напомним, что нами рассматривается динамическая
система, находящаяся в конечной области V, с гамиль-
тонианом Н, не зависящим явно от времени, состоящая
из нескольких сортов частиц.
Предполагается, что имеется всего s сортов таких,
что частицы, принадлежащие к одному сорту, идентичны,
а их числа сохраняются при движении. Операторы,
представляющие эти числа, обозначаются, как и ранее,
через 9ij (j = \, ..., s).
Напомним еще, что нами рассматриваются случаи,
когда для конечной области V в гильбертовых простран-
ствах ^(Wn ..., Ns) при любом наборе целых неотри-
цательных чисел Nlt ..., Ns существуют всегда полные
ортонормированные последовательности волновых функ-
ций нашей динамической системы, являющиеся собствен-
ными функциями для оператора энергии Н.
Тогда, как об этом уже говорилось ранее, в гильбер-
товом пространстве § волновых функций с переменным
числом частиц имеется полная ортонормированная сис-
тема волновых функций
Ф». D-1)
характеризуемых некоторым дискретным индексом Л,
которые являются собственными функциями как для Н,
так и для всех $$у.
Ясно также, что все $if коммутируют друг с другом и
с Н.
Согласно принятому определению равновесного ста-
тистического оператора, для большого канонического
ансамбля напишем @> = С~1е-$т, где
Р=1/8, C = Spe~F, Г-Я—2(iy«Ry.
Фигурирующий здесь оператор Г условимся называть
гамильтонианом для большого ансамбля.
Как видно, ц>к будут собственными функциями также
и для такого гамильтониана:
r<Pfe = IVpfe, D.2)
где

94 ГЛ. 4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Заметим теперь, что при изучении двухвременных
корреляционных функций нам будет удобно использовать
не обычную форму гейзенберговского представления с га-
мильтонианом Н:
mt сн( шт шх
A(t)=>ek Ae k, B(x)=eh Be h , D.3)
а ту его форму, которая соответствует гамильтониану Г:
т _ irt jrx iTt
AT(t) = eh Ae ft, BT(x) =e ^~ Be~~^. D.4)
Так как все Щ коммутируют с Н, эти последние выра-
жения могут быть представлены в виде
Лг@ =
1Ш IHt
Шх Шх
D.5)
В частном случае, когда операторы Л и В не изме-
няют числа частиц упоминавшихся s сортов, т. е. когда
они коммутируют со всеми 3lit ..., !ЭТ/.
Л9г;=^Л, БЯу-^В, D.6)
из формул D.5) нетрудно заметить, что выражения D.4)
совпадают с обычными выражениями D.3).
Поскольку в дальнейшем мы будем иметь дело с гейзен-
берговским представлением динамических переменных, со-
ответствующим гамильтониану Г для большого ансамбля,
то значок Г внизу больше ставить не будем и запишем ис-
следуемую корреляционную среднюю в форме
<А (О В (т)> =С Sp {A @ В (т) е-ег}, D.7)
в которой A (t) и В (т) даются выражениями D.4).
Для раскрытия шпура воспользуемся полной и орто-
нормированной в $ последовательностью волновых функ-
ций D.1). Найдем
Sp {А (О В (т) е-РГ} = | (фй, А (О В (т) Фй) <Грг*. D.8)

§ 1. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ 95
Имеем далее
или, воспользовавшись представлением D.4),
iTx _iTx
SU*. щ)\щ>, eh Be byj. D.9)
Так как, согласно свойству скалярного произведения,
+
(Ф, ?/т|)) = (?Лр, if), где ?/—некоторый оператор, то
iT?
Но поскольку фй являются собственными функциями
Г, то на основании D.2)
_irt
е Лфй
и потому
да _ _3i
У , Ае
С другой стороны, по определению скалярного произве-
дения, если Сц с2 есть с-числа, а б, б'—волновые функ-
ции, то (сД с2б')=с*с2(б, б'). Поэтому
, е
Совершенно аналогично получим
(.Гх i_
В~ ЬУ ( В) ехр
ьфй'/ = \е fe фй, е fe Лфй-/ =
Таким образом, основываясь на формулах D.7) — D.9),
найдем
<А (t) В (т)> =
k,k'
D.Ю)

96 гл, 4, корреляционные функции и функции грина
Заменим Л на В, t на т и наоборот. Кроме того, в соот-
ветствующей сумме D.10) переменим роли индексов k и k'.
Тогда получим
ехр {'(rfe~rfe<) (t-тI.
й, fe' 3 «- i
D.11)
§ 2. Спектральная интенсивность
а. Определение. Введем в рассмотрение выражение
^А-а)\ D.12)
в которое входит б-функция Дирака.
Нетрудно заметить, что
D.13)
поскольку
Принимая во внимание D.12), D.13), мы можем пред-
ставить выражения для корреляционных средних D.11)
и D.10) в следующей форме:
<В(т) А $
;" w <414)
—ее
Подчеркнем, что хотя мы и говорили об Л, В как
о динамических переменных, мы нигде не предполагали
в этом параграфе, что они обладают свойством самосо-
пряженности. Таким образом, формулы D,14), D.12) при-
менимы и в том случае, когда операторы эти не являются
самосопряженными.

§2. СПЕКТРАЛЬНАЯ ИНТЕНСИВНОСТЬ 97
б. Основные свойства. Рассмотрим некоторые свойства
спектральной интенсивности JAi B (со).
Так, из самого определения D.12) сразу же следует,
что JAt в (со) является билинейной формой по отношению
к А и В. Именно, если А=с1А1-\-с2А2, В == sxSx + s2B2,
где с, s являются с-числами, то
JA, В И -Ср^|„ В И +C2J А» В И,
•/л, в И =¦ Ми, в, И + S2^, в, И-
Кроме того, так как
можем заметить, что
k,k-
D.15)
и потому
JA, A+ (Ш)> 0. . D.16)
Ясно также, что
Но
и, следовательно,
Ja.b{u) — Jb+.a+(u). D.17)
Установим еще одно важное неравенство. Из D.12)
найдем
откуда, применяя неравенство Коши, получим
, в ИI Л» < т/с-1 S |(Ф*.
fe» fe'
4 Н. Н. Боголюбов, Н. Н. Боголюбов (мл.)

98 ГЛ. 4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Но, подставив D.15) в D.14) и положив там t=x
получим
С'1 Ц |(ф„ Лф*.)!ге~рГ*'= J
k,k' _ж
Совершенно аналогично
k, k'
k.
и, таким образом, имеем неравенство
J \JAiB(e>)\da>^<A+Ayi*<BB+yf. D.18)
— се
Аналогично на основе D.13) нетрудно также заметить, что
^. D.19)
§ 3. Двухвременные функции Грина
а. Определения. Возвратимся теперь к спектральным
представлениям D.14) и заметим, что представления эти
оказываются полезными, в частности, при рассмотрении
двухвременных запаздывающих и опережающих функций
Грина. Функции эти вводятся следующим образом [21, 9,
12, 131:
Or(t—%)-&(t—%)<[A(t), ff(T)]>,
Ge(*-'0--e(x-0'<H@. B(x)]>. D.20)
Здесь Gr = Gtel и Ga = Gaiv будут соответственно запазды-
вающими и опережающими функциями Грина,
, t<0,
а выражение в квадратных скобках в правых частях ра-
венств D.20) является квантовой скобкой Пуассона.
Причинную функцию Gc определим через среднее зна-
чение Т-произведения [27—32]:

§3. ДВУХВРЁМЁННЫЁ ФУНКЦИИ ГРИНА Qg
где Т-произведение операторов^ определяется в виде
Т {А (О В (т)} = 6 (t—x) А (Г) В (х) + 6 (т—t) В (т) A (t).
На основании D.14) можем написать:
'. D.21)
б. Представление Фурье, Рассмотрим представление
Фурье функций Грина по отношению к переменной t—т
и обозначим соответствующие фурье-образы через
ЛВ <Л В>&. Тогда
+ 00
D-22)
+ 00
;:
-2?Г S Gc(t)eiatdt.
Выражения D.23) условимся называть частотными
представлениями двухвременных функций Грина. Если
вместо переменной ю иметь дело с переменной Е — 1ш>,
то можно говорить о рассматриваемых выражениях
D.23) как об энергетических представлениях функций
Грина.
в. Предельный переход. Чтобы подставить формулы
D.20), D.21) в интегралы D.23), удобно трактовать функ-
ции G(/) как пределы:
Q(t) = lime-E'8@, 6(—t) — lim е*'в(—t). D.24)
в > 0 в> О
е-»- 0 в-»- о

100 ГЛ. 4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Рассмотрим интегралы
D.25)
~5Г S e"+lirfe(-O<[^(O. B]>dt,
отличающиеся от интегралов, стоящих в правых частях
равенств D.23), лишь тем, что входящие в D.23) функ-
ции Q(t), в(—t) заменены соответственно на e~et6(t) и
еЕ'6 (—t). На основании D.21) получим
2л
— ас
к
—
О
1
— OS
+ 00
+ 00
— -о- 1 -^ »(<»>) 1 : Г- D.26)
Аналогично с учетом D.14) и D.24) имеем
+ 00
«л, в>% = ~ J в
+ ее

3. ДВУХВРЕМЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА 101
— ев
Введем функцию комплексного переменного v
^-KJ-^T11^' D27)
регулярную во всей комплексной плоскости v, за исклю-
чением вещественной оси. Заметим, что предельный пе-
реход V —»- оо целесообразно проводить именно при ком-
плексных v, поскольку тогда l/(v—ю) будет гладкой
функцией на вещественной оси переменной интегриро-
вания а/.
Подчеркнем, что до предельного перехода при конеч-
ном V, когда выражение D,12) содержит действительно
дискретную сумму, особенности функции D.27) представ-
ляются дискретной совокупностью полюсов в веществен-
ных точках (» = (IV—Tk)/fl.
Однако после совершения предельного перехода V -> оо
в обычных случаях, изучаемых в статистической механике,
энергетический спектр становится непрерывным и особен-
ность функции D.27) комплексного переменного v приобре-
тает характер линии разреза, которая вообще может распро-
страняться на всю вещественную ось в плоскости v.
Именно такое положение проявляется во всех схемах,
в которых исследуются физически реалистические динами-
ческие системы, хотя надо сказать, что исследования в этом
направлении в основном еще далеки от полной математиче-
ской обоснованности.
Сейчас же заметим, что на основании D.26) интегралы
D.25) будут равны соответственно <Л, В>Шч18,
<Л, В>ш_*е- Но, как мы уже говорили ранее, интегралы
D.25) получаются из интегралов, входящих в D.23),
заменой функций Q(i) -+e-eiQ{t), B(—t)~>-eetQ(—t).

102 ГЛ. 4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Поэтому ввиду D.24)
«Л,
D.28)
где, как всегда в таких случаях, используются обозна-
чения
/г(ю-г-;0+)= lim f(a)-He), F (a>—1'0+)= lim f(a)—je).
E > 0 E > 0
е-» О e-+ 0
г. Основные свойства. Воспользуемся теперь извест-
ными представлениями:
в которых 5s—символ, обозначающий, что соответствую-
щий интеграл берется в смысле главного значения.
Тогда на основании D.27), D.28) найдем
«А,
г
J Л.ДК)
Отсюда, в частности, вытекает, что
* П- D-30)
Возьмем случай, когда Б = Л+. Поскольку, как мы
видели, спектральная интенсивность Jа, л+(<*>) вещест-
венна (и не отрицательна), интегралы, взятые в D.29),
в смысле главного значения оказываются также вещест-

§3. ДВУХВРЕМЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА ЮЗ
венными, и потому в данном случае имеем
Заметим еще, что на основании D.26) выражение
D.27) в верхней полуплоскости v есть не что иное, как
преобразование Лапласа от среднего значения коммута-
тора [A (t), В]. Действительно, положив v = a)-j-te, e > О,
имеем из D.26)
«Л, Я»ш+,е = -^$е-**<[Л(О, B]>dt, z = e-ta) = -jv.
D.261)
Рассмотрим далее ту же форму D.27) в нижней плоско-
сти v = a>—ie, в > 0. Тогда, опять благодаря D.26),
о
«Л, Я»^1е = --^ J
Но ввиду инвариантности средних по отношению к тран-
сляции времени:
и, взяв x — t, убеждаемся, что
<[Л(-0, В]>*=<[А,
Таким образом и в нижней полуплоскости формула D.27)
сводится к преобразованию Лапласа:
«Л, Я>>и_,е = ^е~<^><<[?(*), A]>dt. D.26-)
о
Отсюда ясно также, что
«Л, fi»tt_IE=«B, Л»_м+<8! D.32)
и потому
«Л,

104 гл- 4- КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
§ 4. Бесконечно малое возмущение
а. Гамильтониан, содержащий возмущающий член. Пе-
рейдем теперь к вопросу о так называемой линейной реак-
ции динамической системы на включение в гамильтониан
бесконечно малого возмущения, к вопросу, который в об-
щей форме впервые изучался в работах Кубо [113.
Говоря более детально, мы будем рассматривать ситуа-
цию, когда гамильтониан системы имеет вид
Г,=Г+8ГЬ D.33)
отличаясь от Г на бесконечно малый возмущающий член
+8%; D.34)
где 8?—бесконечно малое с-число, В—некоторый опера-
тор, не зависящий явно от времени, а е—положитель-
ное число, которое в окончательном результате устрем-
ляется к нулю. Ввиду наличия фактора eet возмущение
6Г( исчезает при t —*¦ — оо.
6. Вариация среднего значения. Будем исходить из
общего уравнения для эволюции статистического опера-
тора
d§ TtS>t-S>tTt, D.35)
а в качестве начального условия примем, что при t = —оо
наша динамическая система находилась в состоянии
статистического равновесия:
3>_„ = 3>еа = С-1е-Рг. D.36)
Напомним еще, что среднее значение некоторой ди-
намической переменной А в момент времени t будет
<.A>f = Sp ASDt. Поскольку динамическая система выво-
дится из состояния статистического равновесия адиаба-
тически включающимся бесконечно малым возмущением,
мы будем рассматривать статистические операторы, бес-
конечно мало отличающиеся от равновесного: &>t =
= @)eq-\-&@)t. Тогда из уравнения D.35) и начального
условия D.36) получим
art»eq»e4ar,,
при t—* — оо.

!М- БЕСКОНЕЧНО МАЛОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ
Кроме того, найдем
так что
6<A>t = SpA6&t. D.38)
Именно этой вариацией среднего значения мы сейчас
и будем заниматься.
[ Положим
i — t -i—t
Тогда из D.38) получим
'Г Г Г Г
-i±t i±-t i±-t -i—t
= Sp e % Ae n 8Д,.
Применяя, как всегда в этой главе, гейзенберговское
представление динамических величин с гамильтонианом Г:
г г
Л@ = е Ь Ae h ,
найдем
6<i4>t = Spi4(O6A<1 D.39)
Далее умножим обе части уравнения D.37) слева и
г г
справа соответственно на е ь , е " . Тем самым мы
преобразуем его к виду
г г
'' ''
±4*
Так как е " коммутирует с S>eq D.36), то это урав-
нение может быть записано в форме
где
г г
бГ/ = е'"*' bTte~ i'ht = е*~ш B[t)bl + (*t*^ B+ {1)Ь1Л.
D-41)

106 гл. 4. корреляционные функции и функции гринл
Интегрируя уравнение D.40) с учетом начального
D.37),
условия D.37), получим
= I е(/-т)(агтя>в,-я>е,бгт)Л.
— сю
Подставив это выражение в D.39), получим
е«-гMрЛ@
— 00
= Г 9«-
J
Учитывая D.41), отсюда найдем
— 00
00
В+(т)]>^. D.42)
Но, очевидно,
Заменив в интегралах D.42) переменную интеграции т
на z = t—т, убедимся, что
Q(t—т)е-«

§4. БЕСКОНЕЧНО МАЛОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ 107
и что аналогичное выражение получим и для второго
интеграла, входящего в правую часть равенства D,42).
Итак,
g«. D.43)
в. Запаздывающие и опережающие функции Грина.
Таким образом, мы получили один из возможных рецептов
для построения частотного представления запаздываю-
щей функции Грина <СЛ, В >щ4, который сформулируем
следующим образом.
Рассмотрим исследуемую динамическую систему, ко-
торая в отдаленном прошлом, при t = — оо, находилась
в состоянии статистического равновесия, соответствующего
гамильтониану Г. Включим бесконечно малую вариацию,
взяв rt = r + 6Ff, где 8Ft дается выражением D.34).
Рассмотрим бесконечно малую вариацию, вызванную
этим возмущением, 6<Л>4 среднего значения динамиче-
ской переменной Л, в момент времени t. Тогда коэффи-
циент у этой вариации при е-'<ш+|'е>'6| будет равен
2я<Л, В>м+,е.
Совершив затем предельный переход е>0, е -> 0, мы
и получим выражение для частотного представления запаз-
дывающей функции Грина.
Нетрудно заметить, что если бы мы обратили постановку
задачи во времени, рассмотрев динамическую систему, ко-
торая находится при f=+oo в состоянии статистического
равновесия с гамильтонианом Г, и пошли бы по времени
назад, введя при этом в гамильтониан возмущающую ва-
риацию
D.44)
исчезающую теперь уже при t^—y-\-oo, то в получаемой
формуле для бесконечно малой вариации б <Л>4 коэффи-
циент при е~1 <ю-'е><6| оказался бы равным 2п<?А, B^>M-ie-
Совершив в нем предельный переход, мы и получим
частотное представление для опережающей функции
Грина:
2л «Л, B»5
Е>0
е-»-О
г. Некоторые замечания. Заметим, что в ряде случаев
целесообразно вводить функции Грина, в которых^в опре-

108 ГЛ. 4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
делении D.20) вместо фигурирующей в скобках Пуассона
разности A(t)B(x)—B(r)A(t) будет входить сумма
A (t)B(r)-\-B{x) A (t). Как нетрудно убедиться, спектраль-
ные формы для частотных представлений для таких функ-
ций Грина будут отличаться от ранее получившихся
форм лишь тем, что вместо разности еРйш— 1 в них будет
входить сумма ePfi(u+l-
Возвратимся к функциям Грина с обычными скобками
Пуассона. До сих пор мы рассматривали их средние
значения, взятые по статистическому оператору, соответст-
вующему большому каноническому ансамблю. Если,
однако, операторы Л, В не меняют числа частиц, ком-
мутируя со всеми 9Z/, то все ранее сказанное относится
и к тому случаю, когда средние значения берутся по
статистическому оператору для обычного канонического
ансамбля.
Действительно, все наши рассуждения основывались
на спектральных представлениях D.14), а представления
эти применимы и для средних, взятых по обычному ка-
ноническому ансамблю, разумеется, если только А и В
не изменяют чисел частиц Э1,-. При их выводе в данной
ситуации стоит лишь везде заменить Г на обычный га-
мильтониан Н, а гильбертово пространство $—на его
подпространство ^ {Nlt ..., Ns). Легко видеть, что здесь
сохраняются все полученные нами результаты, включая
и формулы типа D.43).
§ 5. Функции Грина для классических систем
Перейдем теперь к рассмотрению функций Грина для
динамических систем классической механики, которые впер-
вые были введены в работах [14] Н. Н. Боголюбова (мл.)
и Б. И. Садовникова и в дальнейшем обсуждались в много-
численных работах [9, 15, 163.
Возьмем динамическую систему с гамильтонианом явно
не зависящим от времени:
Я-Я(Й), D.45)
где, как и в гл. 1, ?2=(<7ь .... qn, pi, ••-, рп) представляет
точку фазового пространства.
В классическом случае динамические переменные яв-
ляются функциями Q, например:
Bt(Q)~B{Gt(Q)}, D.46)

$5. ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИСТЕМ Ю9
где Q(t)=Gt{Q) представляет решение канонических урав-
нений Гамильтона, которое при /=0 совпадает с Q: Ge(fi) =
=Q.
Как в квантовом случае мы не ограничивались лишь са-
мосопряженными операторами, так и в настоящем, класси-
ческом случае мы можем иметь дело и с комплекснозначны-
ми функциями точки фазового пространства.
Условимся далее средние значения определять при
помощи функции канонического распределения:
где
= C-ie-e//<Q). 0=1/0, С-
а. Корреляционные функции и спектральная интенсив-
ность. Рассмотрим корреляционную функцию
D.47)
Ввиду инвариантности таких средних по отношению
к временной трансляции, имеем тождественно
<Л,+2Ят+г> = <Л,Ят> D.48)
для любого вещественного г и, в частности,
<At_xB> = <AtBt>, D.49)
Возьмем представление Фурье:
<MtB> = 5 J-A. в(а>)е-шAо>. D.50)
— оо
Тогда на основании D.49) получим
^,B((o)r'ffl"-T>da). D.51)
По поводу свойств спектральной интенсивности JA>B (a>)
можно сразу же заметить, что по самому своему опре-
делению она является билинейной формой по отношению
к функциям А и В.
Далее, из D.51) следует, что

ПО ГЛ.4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Заменив здесь t на т, а т на t, найдем
Сравнивая этот результат с формулой, также получаю-
щейся из D,51),
<В;Л;>= J JB.t А. (а) е-*»«-
— во
устанавливаем, что
D.52)
Взяв здесь В = А*, видим, что JAt а*^)~^а, а*(®)> т-е-
что спектральная интенсивность JAi A* (со) является ве-
щественной функцией со.
Нетрудно установить также классические аналоги
квантовых неравенств D.16), D.18), а именно:
D.53)
Мы ограничимся здесь лишь рядом замечаний, на основе
которых могут быть доказаны эти свойства спектральной
интенсивности.
Будем исходить из тождества D.49;, в котором t за-
меним на /+т. Получим <Л<+ТВТ> = <Л4В>, откуда
X
-at
' . D.54)
где ё > 0.
Так как

§5. ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИСТЕМ
то из D.54) будем иметь
е
-4-f
= ]/"|j" j J e-^^A {Gt+x(Q)}e-**B{G%(Q)}dx\ X
D.55)
Напомним сейчас, что для функций F1(t), Fs(t) с ин-
тегрируемым квадратом имеет место равенство
=± J \Fx{t)emdt}
откуда__следует, что
05
Но
се
I F (x)
-ее
и поэтому
(t + x)O(x) dx =
ее
Применив это равенство к правой части соотношения
D.55), получим
^<f!B((o)e-'fi>'c(u), D.56)

112 ГЛ.4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
где
Ж* И~Я? (?
. D.57)
Отсюда, в частности, вытекает, что
4{G,<0)},>-
X
X ®eq(Q)dQ>0. D.58)
Применив к D.57) неравенство Шварца и учитывая D.58),
найдем | J%B (со) | <J/ J%!a* HVJbK в И, откуда следует,
опять по неравенству Шварца,
S №в(<»IЖй<]/ J JltfA.(®)de>y J У®, в (a») dto.
Поэтому, положив в D.56) / = 0, найдем
во
J | J% B (co)jdco < К<М|а><|Б1а>. 4 59)
— X
Сравнивая D.56) с D.50), видим, что ^л,н(<*>) является
обобщенным пределом ^jf.'sM при е > 0, е—>0. Не
останавливаясь на деталях такого предельного перехода,
лишь заметим, что из D.58) и D.59) вытекают ранее
сформулированные неравенства D.53).
б. Средние значения скобок Пуассона. Перейдем теперь,
основываясь на D,51), к выводу спектрального пред-
ставления для среднего значения скобок Пуассона
Имеем, по определению скобок Пуассона:
S
1 </<п
dpj
%dqj) dqj\ xdpjjf

§5. ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИСТЕМ ИЗ
Поэтому, интегрируя по частям в интеграле, взятом
по всему фазовому пространству, получим
_ГД jdAt dg>eg (S) dAt
Но, по определению @>e
'eq-
Таким образом, получаем <[Ли Bx]> = $<.[At, H]BX>. Но,
согласно уравнениям движения для динамических пере-
менных A.57), -~-=[At, H], и, следовательно,
D.60)
Кстати, заметим, что, дифференцируя D.48) по г и затем
положив г==0, можно найти
- («Ч
Благодаря D.60) из D.51) получим
D.62)
Заметим, между прочим, сравнивая классическую
формулу D.62) с соответствующей квантовой формулой
D.21), что сейчас вместо множителя (ePfe(u'—\)li% стоит
его предельное значение при %—*-0:
С помощью представления D.62) мы можем почти
дословно повторить все наши предыдущие рассуждения,
относившиеся к квантовомеханическим системам.

114 ГЛ. 4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
в. Запаздывающие и опережающие функции Грина.
Так, следуя упоминавшейся работе [14], мы вводим за-
паздывающую и опережающую функцию Грина, полагая,
как и в D.20):
(j /^ т) = Q(x t) < \A В ]> (*-D<5/
Тогда их представления Фурье будут
X
г, а[}—т/ — J ^$ч "¦ i О j> а> е ' UCU, ^t.OtJ
-во
где
X
<Л, fi>rQet= Km 4: f e-"'+'B/e@<[i4tI B]>d/,
E-»-0+ «
D.65)
«Л, fi >?>dv == — lim \ е*1+ш Q (—
По аналогии с квантовомеханической формулой D.27)
рассмотрим функцию комплексного переменного v:
«Л, fi»v = i J ^,B(<o')v-^do.', D.66)
регулярную во всей комплексной плоскости v, за исключе-
нием вещественной оси. Можем также заметить, что предель-
ный переход статистической механики целесообразно про-
водить именно для комплексных v (Imv^O), поскольку
в этом случае l/(v—ад') будет гладкой функцией на всей
вещественной оси переменной интеграции ад'. Между про-
чим, укажем, что, в отличие от квантового случая, особен-
ности функции D.66) для динамических систем классиче-
ской механики типа линии разреза могут, вообще, появ-
ляться и до предельного перехода при фиксированной ко-
нечной области V.

SB. ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИСТЕМ Ц5
Проведем теперь дословно те же преобразования, кото-
рые были использованы при выводе формул D.26). Получим
_L J e-si^e(t)<[At, B]ydt
. ° D.67)
Поэтому на основании D.65) для частотных представ-
лений запаздывающей и опережающей функций Грина
найдем
«Л, В»?4 = «Л, B>Q+I-o+, «Л, ВХ^СЛ.ВЭи-.он-,
D.68)
и потому, благодаря D.66), будем иметь
«Л, В^-±
D.69)
X
«Л, ^ J ^14
откуда
^.вИ=-^{«Л, В»^.^, B»adv}. D.70)
В частности, при В = Л* соответствующая спектральная
интенсивность Jа, а* (<») вещественна, и потому окажется
вещественным и интеграл, взятый в смысле главного
значения, входящий в правые части формул D.69). Следо-
вательно,
Ja, а* (со) = - ~ Im «Л, Л*»«' = -^- Im «Л, Л*»^.
D.71)

116 гл. 4. корреляционные функции и функции грина
г. Основные свойства. Сделаем сейчас ряд замечаний
относительно свойств спектральной интенсивности при
замене со на —со.
Будем исходить из равенства D.51) и изменим в нем
роли А к В. Получим
D.72)
Возьмем опять равенство D.51) и заменим в нем t на т,
а т на t. Учитывая, что В и А являются функциями
фазовой точки и порядок их следования не играет роли,
найдем
Сравнив этот результат с D.72), убедимся в наличии
тождества
Ja,b(-<u) = Jb.a(«>)- D.73)
Воспользуемся этим равенством для преобразования
выражения
«Л, B»«a-fe=-^ J Л.,(«.') a_y_fa<fa't e>0.
Заменим в данном интеграле переменную со' на —со'.
Тогда ввиду D.73) получим
«А,
2я
— СС
аи
= — f JB
т. е.
e > 0. D.74)
Таким образом, изучение функции <^А, B>.v в. ниж-
ней полуплоскости комплексного переменного v может
быть приведено к изучению функции <^В, Л>„ в верх-
ней полуплоскости. Из D.74) следует также, что
. D.75)

$6. КЛАССИЧЕСКАЯ ВАРИАЦИЯ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ Ц7
Заметим еще, что на основании D.60) и D.67) можем
написать:
«Л, fl»e+lB=^.^e-**-A.<i4tI B>dt, z = e-ico, D.76)
о
и потому, благодаря D.74),
2-=*е + »ш. D.77)
о
Интегрируя по частям в правых частях равенств
D.76), D.77), получим
1 D78)
«Л, i |?
Таким образом, мы видим, что для динамических
систем классической механики функция D.66), через
которую выражаются частотные представления запазды-
вающей и опережающей функций Грина, полностью опре-
деляется и в верхней и в нижней полуплоскости комп-
лексного переменного v преобразованиями Лапласа для
корреляционных функций: <AtB>, <,BtA>. Обратно, эти
преобразования Лапласа
D.79)
о о
с помощью формул D.78) могут быть непосредственно
выражены через <Л, 5
§ 6. Классическая вариация среднего значения
Перейдем теперь к выводу классического аналога фор-
мул D.43).
Рассмотрим ситуацию, когда гамильтониан динами-
ческой системы имеет вид
D.80)
и отличается от H — H(Q) на бесконечно малый возму-
щающий гамильтониан
"(о)бЕ*. D.81)

118 ГЛ. 4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
где 6?, 6|*—бесконечно малые комплексно сопряженные
постоянные. Здесь е > 0, и потому 6#t—*0 при t—+—оо.
Будем исходить из общего уравнения для эволюции функ-
ции распределения S>t=^S>t(Q):
Щ*- = [Ни g>tl D.82)
а в качестве начального условия примем, что при t =— оо
наша система находилась в состоянии статистического рав-
новесия:
®_„ =2>eq=C-1e-P". D.83)
Напомним еще, что благодаря A.33)
D.84)
Так как наша динамическая система выводится из состоя-
ния статистического равновесия постепенно включаю-
щимся бесконечно малым возмущением, мы будем рас-
сматривать функции распределения, бесконечно мало
отличающиеся от равновесной:
Я^-Я^ + бЯ),. D.85)
Поэтому из уравнения D.82) и начального условия D.83)
получим
-^-оо. D.86)
С другой стороны, по определению классических скобок
Пуассона, имеем тождественно
[F (G), «„] р [F (Й), Н (В)] ®eq,
и потому
[В (О), ®eq] = -P[B(G), tf(Q)]?Deq,
Таким образом, на основании D.81) и D.86) найдем
_ $е*'-ш [В, Н] 81 + ре»'+'^ [В*, Н] 6g«} ®eq.
—0 при Г—к— оо: D.87)

§6. КЛАССИЧЕСКАЯ ВАРИАЦИЯ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ Цд
Введем теперь, следуя A.42), оператор 3?, действующий
на функцию фазовой точки:
По этому определению имеем вообще SF (Q) =[F (й), Я],
и потому уравнения D,87) могут быть записаны в форме
D.89)
Положив
= 6bt, D.90)
(
на etJB\
из D.89) получим, помножив обе стороны D.89) слева
^}^eq. D.91)
Заметим, что по своему определению
Bt(&), D.92)
т. е. это преобразование, действуя на функцию фазовой
точки Q, сводится к замене Q на Q(t)=Gi(Q). Таким обра-
зом, Bt(Q) представляет динамическую величину в момент
времени t в ситуации, когда движение определяется га-
мильтонианом Я, а начальное значение при ?—0 этой дина-
мической величины дается выражением B(Q).
Учитывая начальные условия из D,86) и соотношение
D.90), из D.91) можем написать
= — p f 6|e(E-'M)T-^-c(T®eq—p С
ИЛИ
"I
^6|*. D.93)

120 Гл- ¦*. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
С другой стороны, из D.85) находим
O4t> = $4(Q)fi>eq(Q)dQ + 6o4>t, 6<Л>4 = J A(QNS)tda
D.94)
или ввиду D.90)
Но так как точечное преобразование Q—*Gt(Q) сохра-
няет фазовый объем, то
6 <Л >, - J etJB {A (Q) е-
Кроме того, можем заметить, что
ё* {«(Й) 93 (О)} = Щ {Gt (Q)} 33 {Gt (Q)} =
= {e"«(Q)} {«*¦•» (О}),
и потому
Отсюда на основании D.93) будем иметь
— ре("-'«)' J е(в-^)и-ов(/—т) (Л, ^
,^-)йтб^. D.95)
Но в силу D.48), D.60), D.61)
Поэтому, вводя в D.95) вместо т переменную интегра-
ции t—T = t' и принимая во внимание соотношения D.67),
найдем в полной аналогии с квантовомеханической фор-
мулой D.43)
D.96)

$7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 121
§ 7» Преобразования Лапласа корреляционных функций
Как видно, коэффициент при
е-Ма> + <е)б| D.97)
в D.96) будет равен 2п<?А, B>a>+ie- Обозначим теперь
Коэффициент при множителе D,97) в 8?Dt(Q) через
А (г, Q), г = е—to. D.98)
Тогда, во-первых,
=$ А (fi)A(e—to, Q)dQ, D.99)
а во-вторых, из D.81) и D.86) вытекает следующее урав-
нение для определения этой функции D.98):
[ ®еа (О)], D-100)
z = e—to), Rez>0.
Имея в виду формулы D.78), в которых <Л, В>,.1+,Е
выражается через преобразование Лапласа от корреля-
ционной функции
-gt<AtBydt, Rez>0, D.101)
можно построить несколько иной, но по существу совер-
шенно аналогичный метод для построения выражений
типа D.101). Рассмотрим эволюцию функции распределе-
ния:
dt
начальное значение которой при / = 0 бесконечно мало
отличается от канонического: @>е = <2>eq + В (Q) @>тЬ?,.
Тогда S>t=^S>etl-{-b§Dt, причем
^ = 0. D.102)
Так как
t = J At (Q) 3>e (Q) du = J A (Q) @>t (Q) dQ,
то <Л>, = <Л> + 6<Л>,, где
б<A>t = J At (Q) Шо (П)dQ=<AtB> 6g= J /1 (П) 6fi)t (fi)

122 ГЛ. 4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Поэтому
оо / ев ч
J e~* <AtB> dt 81 = J A (Q) <J e-?)t (Q) \ dQ. D.103)
о ' о t
Далее, умножим обе части уравнения для b§Dt D.102)
на е~'*, Rez>0 и проинтегрируем по частям:
О
получим
00
B + &) J e-ztb$Dt (Q)dt = B (Q) S)e<1 (Q) 6g. D.105)
о
Введем функцию G(z, Q), Re2>0, определенную урав-
нением
(z-\-S)G(z, Q) = В (Q)S)eq(Q). D.106)
Тогда на основании D.103) находим
00
~* <AtBy dt = \A(Q)G (z, Q) dQ. D.107)
Следует подчеркнуть, что метод изучения корреляцион-
ных функций с помощью преобразования Лапласа теперь
широко используется в многочисленных работах [17—20],
особенно при изучении динамических систем классической
механики. Подобные же рассуждения можно также обоб-
щить и для квантовомеханических систем.
Интересно сравнить уравнение D.100) для A (z, Q), через
которую выражаются частотные представления функций
Грина, с уравнением D.106) для функции G(z, Q), с помощью
которой находятся преобразования Лапласа корреляци-
онных функций.
Как видно, все различие сводится к различию пра-
вых частей этих уравнений. В уравнении D.100) в пра-
вой части стоит скобка Пуассона [Bt ®eqj. a B уравне-
нии D.106)—произведение ?®

§ 2 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ КОМПЛЕКСОВ ЧАСТИЦ 123
Глава 5
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 1. Введение
Напомним, что, как мы уже отмечали, если можно
вычислить суи'му состояний C.9)
как функцию температуры и внешних параметров, то мож-
но определить все термодинамические функции рассматри-
ваемой макроскопической системы. Заметим, однако, что
для нахождения Z по формуле E.1) необходимо, во-первых,
определить возможные энергетические уровни системы и,
во-вторых, провести суммирование по всем этим уровням.
Обе эти проблемы весьма сложны и решены только для
нескольких простых систем.
С другой стороны, если нам даже удастся решить их для
какой-либо конкретной системы, то мы можем использо-
вать полученные результаты только для состояний стати-
стического равновесия.
Следовательно, целесообразно поставить вопрос о раз-
работке методов, которые давали бы возможность исследо-
вать как состояния статистического равновесия, так и ки-
нетические процессы без предварительного определения
энергетических уровней системы, т. е. без решения задачи
на собственные функции и собственные значения.
Поэтому здесь мы изложим основы метода — метода
статистических операторов комплексов молекул, который
уже с успехом применялся при решении ряда задач стати-
стической физики [23. Этот метод был первоначально разра-
ботан Н. Н. Боголюбовым для классических систем и рас-
пространен К- П. Гуровым на квантовые системы [22].
§ 2. Статистические операторы комплексов частиц
а. Волновые функции и операторы. Рассмотрим динами-
ческую систему, состоящую из N одинаковых частиц. На-
помним наши обозначения (см. § 1 гл. 2). Обозначим через х
совокупность величин, использующихся для представле-
ния волновой функции одной частицы. Например, в случае
бесспиновых одноатомных молекул можно взять в качестве

124 ГЛ. 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ
совокупности х совокупность qj — трех декартовых коор-
динат, характеризующих положение частицы в простран-
стве; при учете спина можно положитьx—(q, v), где v будет
2-компонентой спина. Условимся сопровождать эти х для
различных частиц соответствующими индексами внизу. Сле-
довательно, волновые функции всей системы представятся
в виде
а операторы А, действующие на эти функции, матрицами
вида
А = А (X, X') = А (хи ..., xN, x[, .... x'N)
(см. B.9)).
Будем иметь дело с операторами, действующими на
волновые функции не всей системы, а только подсистемы,
s(s^.N) частиц, например на волновые функции
? (xlt ..., xs). Такие операторы условимся или записывать
в матричном представлении, например А (хи ..., xst
х[, ..., x's), или обозначать символически номерами соот-
ветствующих частиц, т. е. ЛA, 2, ..., s).
б. Статистический оператор. Рассмотрим статистический
оператор Ш>%> и (см. § 2 гл. 2):
который далее будем записывать в виде
zD(t, Xlt ..., Xtf, Хг, ..., Хр]) —
= 2оЛ('. Хг х„)Щ((, х[ x'N).
Учитывая формулы B.62), B.63), нетрудно убедиться, что
статистический оператор является симметричным относи-
тельно перестановок частиц.
Рассмотрим гамильтониан системы одинаковых частиц.
Положим, что он состоит из индивидуальных энергий от-
дельных частиц и парных взаимодействий, т. е.
//= 2 Н(г)+ 2 Ф(г, s), E.2)
Н(г) — индивидуальная энергия r-частицы, Ф (г, s) — энер-
гия взаимодействия r-й и s-й частиц.

§2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ КОМПЛЕКСОВ ЧАСТИЦ 125
Например, для системы одноатомных молекул, взаимо-
действующих при помощи центральных сил, положим
H = ~^\r+U(qr), ф(г, 8)-Ф(|?г-ъ|), E-3)
где U (д)—потенциал внешнего поля, а Ф(г)—потенциаль-
ная энергия двух молекул на расстоянии г.
Отметим, что если бы можно было проинтегрировать
уравнение эволюции статистического оператора
ih^- = HS>—S>H, E.4)
где Н определяется формулой E.3), то мы могли бы полу-
чить максимальную информацию о поведении рассматрива-
емой системы. Очевидно, что постановка проблемы инте-
грирования такого уравнения является совершенно безна-
дежной, хотя бы в силу большого числа jV аргументов, от
которых зависит @>.
Поэтому вводят более простые статистические операто-
ры, с помощью которых мы можем получить более ограни-
ченную информацию об основных динамических величинах.
в. Статистические операторы комплексов частиц. Вве-
дем для этого статистические операторы
ЗД), R2(\, 2), .. .;Rs(\,2 s), E.5)
действующие соответственно на волновые функции 1, 2, ...
..., s частиц, положив
?,0)= Sp в>, Я,A, 2)- Sp 8>, -
2 N 3 N
E.6)
я,0, 2 s)= sP a>,
s+I N
или более подробно в «Х-представлении»
Ri (Л хи xi) — 2j zD (^> Хц Х2> • • • 1 xNi xi> хг\ • • •
XN
s(t, хг, -..,
2 ^
*i + i. "XN
.... ^) =
• • • 1 Лг | "-S "bit * *
., xN, x[, ...
xs + т •
¦ • - *jv)

126 ГЛ. 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ
Покажем, что средние значения динамических величин
аддитивного типа
Я - 2 А {г)
I <r<iV
могут быть вычислены с помощью оператора Rt. Дейст-
вительно, Щ = 2 Sp [А (г) Ш>\ Принимая во внимание
симметрию оператора Ш> относительно любой перестанов-
ки «номеров» частиц, видим, что все Sp[/l(r)ib] с раз-
личными г— 1, ..., jV равны друг другу, и в силу этого
%=NSp[A(l)g>] = N Sp [ЛA)?>] =
= WSp Sp '[A(\)@)]=*NSpA(l)i Sp S>\
I 2 N I \2 N /•
Отсюда на основании определения E.6)
или
^=iVpSPi4(l)J?1(l), E-7)
так как, поскольку Л A)/?х A) является оператором, дейст-
вующим на волновую функцию ^Ffai)» нет необходимости
указывать специально, по каким частицам происходит опе-
рация нахождения следа.
Рассмотрим теперь динамические величины бинарного
типа
91 = S Л {г, s),
I < r<s< N
где оператор А (г, s) симметричен относительно перестанов-
ки r7±s. Покажем, что средние значения динамических
величин такого типа можно вычислить при помощи ста-
тистического оператора Rt(l, 2).
Действительно,
1= 2 Sp{A(r,
1 <r< s< N

$2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ КОМПЛЕКСОВ ЧАСТИЦ 127
Из соображений симметрии следует, что все члены в этой
гумме равны, а поэтому
}1 sP {A A,2)®} =
I, 2, 3 N
SрИA, 2) Sp
1,2 3 N
, 2)}.
Следовательно, действительно среднее значение динами-
ческой величины бинарного типа может быть выражено
через Rt:
*0У') аA, 2)}. E.8)
Обобщая понятие динамической величины аддитивного
и бинарного типов, рассмотрим динамические величины
«s-кратного» типа
31 — 2 A(rit r2 rs),
где операторы A(rlt r2, ..., rs) симметричны относительно
перестановки номеров (rlt r2, ..., rs). Рассуждая аналогич-
но, убеждаемся, что средние значения динамических вели-
чин s-кратного типа вычисляются с помощью /?,A, 2, ..., s):
E.9)
Как видим, статистические операторы комплексов 1,
2, ... , s молекул дают возможность вычислять средние зна-
чения динамических величин аддитивного, бинарного, . . .
..., s-кратного типов. Заметим, что обычные макроскопичес-
кие динамические величины принадлежат к аддитивному и
бинарному типам. Например, полный импульс, полный мо-
мент количества движения, кинетическая энергия принад-
лежат к аддитивному типу. Энергия взаимодействия яв-
ляется динамической величиной бинарного типа.
Рассмотрим, далее, некоторую совокупность <в динами-
ческих величин, которые относятся к одной частице и могут
быть одновременно наблюдаемы. Здесь мы можем предста-
вить в качестве <в, например, совокупность компонент им-
пульса одной частицы или совокупность координат ее по-
ложения и т. д.

128 ГЛ. 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ
Нетрудно убедиться, что распределение частиц в прост-
ранстве возможных значений со определяется аддитивными
динамическими величинами.
Действительно, попытаемся вычислить число частиц
Wo, для которых значения со принадлежат в данный момент
времени некоторому объему G. Для этого возьмем функцию
F((>)) так, чтобы она равнялась единице или нулю в соот-
ветствии с тем, находится со в G или нет. Ясно тогда, что
^".Д/^1 EЛ0)
Следовательно, числа NG, которые и характеризуют распре-
деление частиц по спектру возможных значений со, принад-
лежат к динамическим величинам аддитивного типа.
Аналогично величины, которые определяют распределе-
ние пар частиц по спектру возможных значений динамиче-
ских величин, относящихся к одной паре частиц, принадле-
жат к бинарному типу.
Рассмотрим, наконец, полную энергию системы E.2).
На основании E.7) и E.8) формула для ее среднего значения
имеет вид
E.11)
Следовательно, если бы нам были известны только выраже-
ния Ri, Ri для состояния статистического равновесия, мы
смогли бы по этой формуле вычислить среднюю (или, как
иногда говорят, внутреннюю) энергию системы и затем
найти также другие термодинамические функции.
г. Флуктуации. Мы говорили здесь, что достаточно
знать статистические операторы Rit R* для того, чтобы вы-
числять средние значения обычных макроскопических ди-
намических переменных. Однако следует подчеркнуть, что
с их помощью можно находить также флуктуации, т. е.
средние значения квадратов отклонения динамической ве-
личины от ее среднего значения.
Рассмотрим, например, аддитивную динамическую ве-
личину
«= 2 А (г) E.12)
и обозначим
*. E.13)

§2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ КОМПЛЕКСОВ ЧАСТИЦ 129
Тогда
I<s< Л/
откуда
= 2 И(г)-а}» + 2 2 {Л (/¦)_<*}= {Л (s)-a}.
I < г< N I < г < s< N
Поскольку эта величина является суммой величин адди-
тивного и бинарного типов, формула для вычисления
флуктуации имеет следующий вид:
+ /V(/V— 1)Sp {(Л A)—а) (^ B)—а) /?а A, 2>},
или, если учесть E.13),
+ N(N-l)Sv{A(l)AB)[RA\,2)-R1(\)RiB)]). E.14)
Таким образом, флуктуация динамической величины
аддитивного типа вычисляется с помощью Ri, R2. Можно
было бы также показать, что флуктуации динамической
величины s-кратного типа вычисляются с помощью Ri,
Ri, • •.. R2s- Следовательно, для практических целей было
бы вполне достаточно находить простейшие статистические
операторы R\[l), /?аA, 2), а иногда также несколько опе-
раторов высшего порядка. Благодаря этому целесообразно
поставить вопрос об определении цепочки статистических
операторов Ri, Ri, ... без предварительного нахождения
«полного» статистического оператора й> и явного вычисле-
ния его следов E.6).
д. Свойства статистических операторов комплексов
частиц. Прежде всего установим несколько общих свойств
RitR2, ... Так, непосредственно из формул E.6)"видим,"что
Sptf1(l)-Sp/?1(l,2)-...=SptfeA.2> ...,«)= ... =1
E.15)
и
R.fl s)=Sp/?,+1) s^l.2,3, ... E.16)
s + I
5 Н. Н. Боголюбов, Н. Н. Боголюбов (мл.)

130
ГЛ. 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ
Нетрудно убедиться также, что Rs является самосопря-
женным оператором и что из свойств симметрии опера-
тора @> вытекают следующие свойства симметрии Rs:
в случае бозе-частиц
RS, E.17)
в случае ферми-частиц
=*RsP = (-l)PRs. E.18)
Здесь Р—оператор перестановки, действующий на вол-
новые функции у?{х1, -..,xs) частиц 1, ..., s.
Установим, наконец, что собственные значения Rs
положительны. Для этого достаточно доказать, что квад-
ратичная форма
2 Rs(xi,...,xs,x'l,...,x's)X
xi
xs)h*(x[, ...,x's)
с произвольными комплексными h(xlt ...,xs) положи-
тельна.
На основании E.6)
2
Xu
•. xt, xs+1 xv)x
X xfe(t, Xi, ..., x's, xs+1,
Отсюда
)h{xl, ..., xs) h*(Xj, ..., xs).
x
2
h(xt, ...,
0.
Таким образом, собственные значения статистических опе-
раторов в самом деле положительны.
Пусть теперь Vs(t, xlt ..., xs\f) — полная ортонормиро-
ванная система собственных функций Rs, a ws(f)—соот-
ветствующая система собственных значений. Имеем
Rs (*> Xi, . . ., Xs, X\, . . . , Xs) =
-5
4
EЛ9)

§3. ВРЕМЕННАЯ ЭВОЛЮЦИЯ 131
причем на основании установленных выше свойств значения
wt(f) положительны, а их сумма по / равна единице. Из фор-
мул E.17), E.18) видим, что для бозе-частиц функции
^«(^ xi> • • •» Xs\f) будут симметричны относительно xlt ...
. .., xs, а для ферми-частиц— антисимметричны. Эти собст-
венные функции можно было бы интерпретировать как
волновые функции различных квантовых «состояний» комп-
лекса s молекул, а соответствующие собственные числа
ws(f) — как вероятности таких «состояний». Однако ис-
пользование таких представлений должно быть строго
ограниченным, так как сам статистический оператор Rs
имеет смысл только для вычисления средних значений ди-
намических величин специального, а именно s-кратного
типа.
§ 3. Временная эволюция статистических операторов
Установив несколько общих свойств наших статисти-
ческих операторов, перейдем теперь к выводу уравнений,
которые должны определять их эволюцию во времени.
а. Цепочка уравнении для приведенных статистических
операторов. Исходим из основного уравнения эволюции
полного статистического оператора E.4). Применяя опе-
рацию Sp к обеим частям этого уравнения, получаем
2 N
+ 2 I Sp Ф(г, s)?>—SpSMDfr, s)l. E.20)
l<r<s< N\2 N 2 N J
Но из свойства операции следа вытекает, что
SpH{r)S>=Sp&H{r),
г г
в силу чего
2 I Sp Н(гJ>— Sp Ш>Н(г)) =
I < г< N \2 N 2 N f
- Sp ЯA)Я>— Sp Я>#A)=:
-ЯA) Sp'"&-( Sp &\H(l)-H A)^A)-
2 N \2 N J
—^AO/A). E.21)

132 ГЛ.5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ
На основании этого же свойства операции следа также
2 / Sp Ф(г, s)?>— Sp Ш)Ф{г, s)\ =
l<r<s<A/\2 N 2 N )
= 2 / Sp a>(i,sK>— sp а>ФA,
2< s< N [2 N 2 N
Но исходя из соображений симметрии, видим, что
p (,) p (,)
2 Л/ 2 JV
= Sp ФA,2)?>— Sp ®ФA,2), s = 2, 3, ...,
2 Л» 2 Л/
Таким образом, можем написать
2 i Sp Ф(г, s)S>— Sp Я)Ф(г, s)l =
1<г<«<Л/ \2 JV 2. ...,Л/ /
= (iV-l)|Sp|0(l,2K Sp ^^j-
—Sp |з Sp ^®ФA!2)||=(/У-1)'|5рФA,
— Sp/?2A,
В силу этого на основании формулы E.21) можем напи-
сать уравнение E.20) в виде
. E.22)
Применим теперь к обеим частям уравнения E.4)
операцию Sp . Получаем
з. ...,л/
L^ V { Sp Н{г)Ш>- Spj
3 N 3
2 i Sp Ф(г, s)&>— Sp ®Ф(г, s)l. E.23)
l<r<s<JV\3 Л/ 3 N J
Но, рассуждая, как и прежде, видим, что
2 i Sp Н{г)Ш>— Sp
1 < г < JV |_3 N 3 N
Sp Н(\)Ш>— Sp ?>/7(l)+ Sp НB)Ш)~
3, .. ,/V 3 /V 3 N
-з Sp ^Я>ЯB)-[ЯA) + ЯB)]ДаA,2)-
E.24)

S3. ВРЕМЕННАЯ ЭВОЛЮЦИЯ 133
И далее:
2 / Sp Ф(г, sK>— Sp Ш>Ф(г, s)\ =
Kr<s<N{3 N 3,...,N f
= / Sp ФA,2K>— Sp 3>ФA,2)\ +
\3 N 3 Л/ /
+ S ( Sp Ф(\,8)Ш)+ Sp ФB, sJD —
3<s< W \з Л/ 3 N
— Sp ?>0>(l,s)— Sp ?>ФB, s)} =
3 Л/ 3 Л/
= ФA, 2)Я,A, 2)-/?2A, 2)ФA, 2) +
+ (iV—2) |Sp[O(l, 3)+ФB, 3)]/?,(!. 2, 3)-
-Sp Д,A, 2, 3)[ФA, 3) + ФB, З)]j .
Таким образом, благодаря E.23) и E.24), приходим
ко второму уравнению
>а)-Я,A, 2I2,A, 2)-Л,A. 2)ЯаA, 2) +
2) |Sp[O(l, 3) + ФB, 3)]/?,A, 2, 3)-
-S3p Л,A, 2, 3)[ФA, 3) + ФB, 3)J} , E.25)
где для сокращения гамильтониан одной [пары частиц
обозначен #2A, 2):
2). E.26)
Полностью аналогично получаем и общее уравнение
" dt —
= tis(\ s)Rs(\ s)-Rs{\ s)Hs(\ s) +
+(iV-s)Sp/ 2 Ф(г,8+1)Д1+1A s+1)-
s+ 1 \l<r<s
-«. + l(l S + l) 2 Ф(Г,8 + 1)}, S=l,2,3
1 < /-SJ s
E.27)
где #s(l, ..., s)—гамильтониан системы s частиц, изо-
лированных от остальных:
Я, 0 s) - 2 Я (г) + 2 Ф (г„ г2). E.28)
1 < г < s I < rt < гг < N

134 ГЛ. 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ
б. Замечания о физическом смысле цепочки уравнений.
Мы получили здесь уравнения, дающие возможность опре-
делить независимо от Ш> статистические операторы Ru ...
..., Rs, ..., если только известны их «начальные выраже-
ния» при t=t0. Общие свойства операторов, установленные
нами выше, можно рассматривать как дополнительные ус-
ловия, которые в известной степени сужают произвол в вы-
боре начальных выражений для ...Rs...
Отметим, между прочим, что, рассматривая уравнение
E.27) независимо от ранее детально изложенных рассуж-
дений, нетрудно убедиться, что достаточно наложить упо-
мянутые условия на решения этих уравнений только для
какого-нибудь начального момента времени, чтобы они
автоматически выполнялись для всех других моментов вре-
мени t.
Скажем теперь несколько слов о физическом значении
отдельных членов в общем уравнении эволюции цепочки
статистических операторов E.27). Так, если бы в этих урав-
нениях не было члена со Sp, как это всегда бывает при от-
сутствии взаимодействия между частицами:
Ф(/Ч, /-0=0,
мы могли бы написать:
ihd-§f = HsRs-RsHs. E.29)
Сравнивая это уравнение с уравнением эволюции полного
статистического оператора для какой-нибудь динамической
системы, видим, что на основании E.29) рассматриваемый
комплекс s молекул движется так, как будто все другие
молекулы совсем не влияют на него и он является изолиро-
ванной динамической системой, a Rs как будто является
для него полным статистическим оператором.
Таким образом, можно считать, что в истинном уравне-
нии E.27) члены HSRS—RSHS выражают обусловленное
молекулами из рассматриваемого же комплекса влияние
на изменение Rs, а член с (N—s)Sp соответственно учитывает
влияние всех других N—s молекул системы.
Далее, поскольку структура операторов Rs(l, • ¦. s)
быстро усложняется при возрастании номера s, хотя бы
в силу возрастания числа аргументов, необходимых для их
фактического представления, и поскольку для практиче-

§4. ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ 135
ских целей мы полностью можем ограничиться вычислением
лишь #i(l) и Rz(\, 2), было бы целесообразно получить
уравнение для определения именно Ri, Ra независимо от
определения статистических операторов высших порядков.
Однако уравнение E.22) для определения Ri(\) содержит
члены с Ra(\, 2); уравнение E.25) для определения Rj(l, 2)
содержит члены с /?3A, 2, 3) и т. д. Это, очевидно, значи-
тельно усложняет проблему фактического отыскания вы-
ражений Ri, R2.
Для решения этой проблемы можно указать две возмож-
ности. Одна из них существует тогда, когда взаимодействие
между молекулами слабое. Тогда «неприятныр члены»,
появление которых обусловлено влиянием других молекул
на данный комплекс, можно рассматривать как малые, и
поэтому их можно вычислять с помощью методов типа мето-
дов теории возмущений. Вторая возможность состоит в раз-
работке определенных аппроксимаций, которые выражают
приближенно, например, R3 через Ri и R2 и тем самым дают
возможность написать «замкнутую» систему уравнений для
«изолированного» определения простейших статистических
операторов Ri, R2. Эта возможность особенно важна при
изучении динамических систем в конденсированном состоя-
нии, например, жидкостей, когда нет подходящих «малых
параметров» для построения степенных разложений.
§ 4. Применение метода статистических операторов
к системам одноатомных бесспиновых молекул
а. Модель и уравнение эволюции. Рассмотрим теперь
специальный случай системы одноатомных бесспиновых
молекул, взаимодействующих при помощи центральных
сил.
Предположим для простоты, что внутри объема V, в ко-
тором находится система, внешнее поле отсутствует. Тогда
в соответствии с E.3) для индивидуальной энергии молеку-
лы и для энергии взаимодействия пары можем написать
2fl ' E.30)
Ф(г, s) = <D(\qr—qs\),
в силу чего общее уравнение для эволюции цепочки

136 ГЛ. 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ
статистических операторов E.27) можем написать в виде
dt
2
xRa(t,qit ...,qt;q[, .... qd + N (l—fj*
X^s+i(^,<7i. •••,?,. ft+il <7i <7s, qs+1)dqs+i. E.31)
6. Переход к статистическим операторам /v Рассмот-
рим истинную плотность числа молекул 2 6(<7—qr).
1 < г< Л/
Принимая во внимание аддитивность этой динамической
величины, видим, что ее среднее значение равно
N Г б (q-qj Rt (qlt Й1) dqr = NR, (t, q, q). E.32)
Таким образом, «диагональный элемент» R^t, q, q) равен
плотности вероятностного распределения координат одной
молекулы. Нетрудно также убедиться в том, что Rs{t, qu • • •
• • •. qs\ <7ь • ¦ •» <7«) можно рассматривать как плотность ве-
роятностного распределения координат комплекса s моле-
кул. Следовательно, в том случае, когда вероятность коор-
динаты молекулы равномерно распределена по всему объе-
му V, например, в случае однородной фазы,
Rr(t, q, q)=UV. E.33)
Далее, если нет корреляции между координатами раз-
личных молекул, то по теореме умножения вероятностей
независимых событий
RJt, fc.l..., qs; qit ...,qa) = l/V. E.34)
Отметим, что в реальном случае взаимодействующих
молекул между их координатами всегда существует опре-
деленная корреляция, но она практически исчезает, если
расстояния между молекулами комплекса \qfi—qr \ велики
по сравнению с «эффективным диаметром» молекулы ге,
который определяет порядок величины «радиуса действия»
межмолекулярных сил. Поэтому, так как линейные разме-

§4. ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ 137
ры объема макроскопической системы несравненно велики
по сравнению с г0, почти для всего спектра возможных коор-
динату, .. •, q& комплекса соотношение E.34) приближенно
выполняется. Следовательно, Rs{t,qu • • •. <7«1 <7ь • • •• <7«)
вообще можно рассматривать как величины порядка l/Vs.
Подчеркнем теперь по сути тривиальное замечание о том,
что в макроскопических системах, обычно рассматриваемых
в статистической физике, число молекул N очень велико,
а линейные размеры объема V системы очень велики по
сравнению с «естественной единицей длины» — эффектив-
ным диаметром молекулы. Ясно, что для математического
оформления таких расплывчатых понятий, как «очень ве-
лики», необходимо сделать здесь предельный переход:
N -*¦ оо, У-> оо. Необходимость этого предельного пере-
хода в свое время подчеркивалась еще Гиббсом, и он фак-
тически всегда применяется в исследованиях реальных
макроскопических систем таких, как газы, жидкости и т. д.,
хотя это иногда специально и не оговаривается.
Поскольку нашей задачей является исследование лишь
объемных свойств системы и мы хотим поэтому исключить
влияние граничной поверхности объема, указанный пере-
ход можно осуществить обычным способом, считая, что при
#->оо граничная поверхность расширяется и удаляется
на бесконечность, V-*-oo, а объем на одну молекулу V—
=V/N остается постоянным. Учитывая установленные выше
порядки величин Rs при осуществлении предельного пере-
хода целесообразно изменить нормировку статистических
операторов и ввести статистические операторы
FS = V<RS, E.35)
для которых диагональные элементы в «^-представлении»
Fs(t> Я\ Qi, Яг, •••» Qs)
являются величинами порядка единицы. Добавим к этому,
что поскольку статистические операторы положительны,
<*%(*» Яп •••. Яi\ 0i» •••» Яа)РА** Яи •••» Я» Яг, •••» <7»)-
Следовательно, все элементы новых статистических опера-
торов в ^-представлении являются ограниченными величи-
нами порядка единицы. Именно поэтому Fs и более удобны
по сравнению с Rs для осуществления предельного пере-
хода.

138 ГЛ. 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ
в. Предельное уравнение эволюции статистических
операторов. Подставляя E.35) в уравнение E,31), полу-
чаем
it dF,(t,q1 qs;q[ q's) _/ &2 у д д
+ , 2 (Ф (I ?„-?,. |)-
1 < Г, < Г| < S
X /^(f.ft qs\q[, .
+
X Fs+1(t, qit ..., <75,
Принимая во внимание, что
T=- = const, 1— -^-+1,
видим, что эти уравнения после формального выполнения
предельного перехода, принимают вид
Л dFt(t,qi qs;q'i, ') i Ы у /Л
ОиФО^^ |)I х
1 < rt < г2 < s
xFa(t,qu --;Ям\ Яи
|f 2
у J 1 <
-^.и-ФО^,-^ |)I
J
XFI+I(t,qlt ...,qa.q,+i', qi,, >¦-, q,, q,+i)dqa+i, E.36)
причем теперь интегрирование проводится по всему трех-
мерному пространству. К этим уравнениям следует при-
бавить новые условия нормировки
Km -|r
E.37)
Все же другие свойства, установленные нами выше для
статистических операторов Rs, например свойства сим-
метрии и положительности, остаются без изменения и
для Fs, поскольку они не зависят от той или иной нор-
мировки статистических операторов.
Рассматривая уравнения E.36), можем убедиться в их
инвариантности относительно пространственных трансля-

§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ 139
ций qr—+qr-\-q и q'r—+q'r-\-q с произвольным q. Поэтому,
если в начальный момент функции Fs были «пространст-
венно однородными», т. е. инвариантными относительно
этих трансляций, то они и останутся инвариантными
для всех t. Следовательно, рассматриваемые уравнения
всегда имеют пространственно однородные решения. Для
таких решений имеем, например,
РгA, qlt q[) = Fi(t, qi-q'i)\ F^t, qlt q^ = Fl(t, 0l
F,{t, qlt q2; qlt q2) = F2(t, q1—qi).
Заметим далее, что уравнения E.36) также инвари-
антны относительно группы вращений вокруг точки q=0.
Следовательно, всегда существуют пространственно одно-
родные решения Fs, инвариантные относительно этой
группы. Для таких решений имеем, например,
ki—?i I).
Рассмотрим случай, когда для данной температуры 8
и удельного объема v существует только одно возможное
состояние статистического равновесия, как это обычно бы-
вает для систем в однородной фазе вне критической точки.
В этом случае 'стационарные решения уравнений E.36)
Mft, ...,?,; q» ...,q's), E.39)
соответствующие состоянию статистического равновесия,
должны быть пространственно однородными.
Действительно, если E.39) не являются пространственно
однородными, то после произвольной пространственной
трансляции получаем другую цепочку статистических опе-
раторов
которые описывают уже другое состояние статистического
равновесия.
Совершенно аналогично устанавливаем также, что Fs
для состояния статистического равновесия инвариантны
и относительно упомянутой группы вращений.
г. Плотность и флуктуация числа молекул. Сделав эти
замечания, перейдем к вычислению ряда важных функций
распределения с помощью /ч и Fz.

140 ГЛ. Б. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ
Так, из формулы E.32) видно, что средняя пространст-
венная плотность на одну молекулу
9(t^) = ^FAt,q,q). E.40)
Вычислим еще среднюю плотность на одну молекулу
в пространстве импульсов. Иначе говоря, найдем такую
функцию w{t,p), что произведение Nw(t,p)dp даст
среднее число молекул, импульсы которых в момент t
будут принадлежать объему dp.
Заметим, что истинная плотность молекул в прост-
ранстве импульсов равна У, 8(р—/?,), и поэтому ее
среднее значение
~ j 6(Р — рг) {Fjjp,; pidpi=~ {FJp; р.
Следовательно,
w(Up)^{F1)p,,p. E.41)
Но, применяя обычные формулы для перехода от q-
к р-представлению, получаем
и в силу этого
E.42)
В частности, в случае пространственной однородности
w(t, р) =
откуда после формального выполнения предельного пере-
хода получаем окончательно
ПРО)
i{t>q)e k dq- E<43)

§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ 141
Нетрудно убедиться, что в случае E.39) w(t,p) ради-
ально симметрична относительно р.
Вычислим теперь среднюю плотность «облака молекул»,
окружающего одну данную молекулу.
Заметим, что среднее число всех тех пар молекул,
координаты которых попадают соответственно в объемы
dq1 и dq2, равно
N(N—1) Е .. ч , ,
- >а FA^ Яи Й2, <7i. q*)dqxdq2.
В то же время среднее число молекул, находящихся
в объеме dqx, равно
-vF1(t,quq1)dqi.
Следовательно, в качестве средней плотности «молеку-
лярного облака», окружающего одну данную мелекулу,
координата которой равна qt, можем принять дляточки
q2 выражение
N — 1 F2(t,q-,,qs; qu Чг) J_ fa (*i gi.gaigi.ga)
V ' Fi&qr^r) v ' F^t.quqJ
или, в случае пространственной однородности,
-F2(t,q1—q2).
Вычислим, наконец, с помощью этой корреляционной
плотности, флуктуацию числа молекул, ограничившись
при этом случаем стационарных пространственно одно-
родных распределений, i
Возьмем какой-нибудь объем G, достаточно малый по
сравнению с V, но достаточно большой по сравнению
с эффективным объемом одной молекулы. Число па мо-
лекул в этом объеме равно 2 fa(Qi)> гДе
0, qiG.
Поэтому по формуле E.14) флуктуация этого числа
Sp {ГеЫ Л}

142 ЛИТЕРАТУРА К ЧАСТИ I
откуда после упрощений на основании E.38) получаем
(по—поJ
G G
Но поскольку линейные размеры объема G^>1, находим
асимптотически
S {'7.(<7i-<7i)-l}d71d<7l~G S {Ft(q)—\)dq.
в в
Учитывая теперь, что G/F<^1, получаем окончательно
следующее выражение для флуктуации числа частиц в
объеме G:
E.44)
Следовательно, если функция F2(q) радиально сим-
метрична, приходим к известной классической формуле
-\}dr). E.45)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ЧАСТИ I
1. Г и б б с Дж. В. Основные принципы статистической механики.—
М.; Л.: Гостехиздат, 1946.
2. Боголюбов Н. Н. Лекции по квантовой статистике. Избран-
ные труды, тт. I—III, Киев: Наукова думка, 1970.
3. Д и р а к П. А. М. Принципы квантовой механики (перевод с чет-
вертого английского издания).— М.: Физматгиз, 1960.
4. Боголюбов Н. Н. (мл.) Украинский математический журнал,
1965, т. 17, № 3, с. 3; Physica, 1966, v. 32, p. 933.
5. В о g о 1 u b о v N. N., Jr. A Method for Studying Model Hamilto-
nians.— Oxford; New York: Pergamon Press, 1972.
Боголюбов Н. Н. (мл.) Метод исследования модельных га-
мильтонианов.— М.: Наука, 1974.
6. Боголюбов Н. Н. (мл.) Ядерная физика, 1969, т. 10, вып. 2,
с. 425; Теоретическая и математическая физика, 1970, т. 4, с. 412.
7. В ogol ubov N. N.. Jr. J. Math. Phys., 1973, v. 14, No. l,p. 79.
8. Tindemans P. A. J., Capel H. W. Physica, 1975, v. 79A, p. 478.
9. Боголюбов Н. Н. (мл.), Садовников Б. И. Некоторые
вопросы статистической механики.— М.: Высшая школа, 1975.
10. В о g о 1 u b о v N. N.. Jr., Р 1 е с h k о V. N. Physica, 1976, v.
82А, p. 163, Preprint IC/75/68.— Trieste, 1975.

ЛИТЕРАТУРА К ЧАСТИ I 143
11. Kubo R. J. Phys. Soc. Japan, 1957, v. 12, p. 570; см. также:
К у б о Р. Вопросы квантовой теории необратимых процессов.—
М.: ИЛ, 1961; Термодинамика необратимых процессов.—М.: ИЛ,
1962.
12. 3 у б а р е в Д. Н. Неравновесная статистическая термодинами-
ка.— М.: Наука, 1971.
13. Ахиезер А. И., Пелетминский СВ. Методы статисти-
ческой физики.— М.: Наука, 1977.
14. Б о г о л ю б о в Н. Н. (мл.), Садовников Б. И. ЖЭТФ,
1962, т. 43, вып. 8, с. 667. Selected Papers in Physics Published by
the Physical Society of Japan, Tokyo, 1968, p. 108.
15. Адхамов А. А..Лебедев В. И. Применение метода функций
Грина в классической статистической механике.— Душанбе: До-
ниш, 1975.
1В. Боголюбов Н. Н. (мл.), К а м а е в а В. В., П л е ч к о В. Н.
Теоретическая и математическая физика, 1977, т. 32, №1, с. 59.
17. D о г f m a n J. R., С о h e n E. G. D. Phys. Rev., 1972, v. A6,
p. 776.
18. Ernst M. H., Hauge E. H., van Leeuwen J. M. J.
Phys. Rev. 1971, v. A3, p. 2055.
19. D о г f m a n J.R., Cohen E. G. D. Phys. Rev. 1975, v. A12,
p. 292.
20. Боголюбов Н.Н.О стохастических процессах в динамических
системах. — Физ. ЭЧАЯ, 1978, т. 9, вып. 4, с. 501; Preprint JINR,
Е17—10514.— Dubna, 1977.
21. Боголюбов Н. Н., Тябликов СВ. ДАН СССР, 1959,
т. 126, с. 53.
22. Г у р о в К- П. Основания кинетической теории.—М.: Наука,
1966.
23. Л е о н т о в и ч М. А. Введение в термодинамику. Статистическая
физика.—М.: Наука, 1983.
24. Б а з а р о в И. П. Термодинамика.— М.: Высшая школа, 1983
(издание 3-е, перераб. и дополн.).
25. Боголюбов Н. Н. (мл.) и др. Метод аппроксимирующего
гамильтониана в статистической физике.— София: Б АН, 1981.
26. Займан Дж. Принципы твердого тела.—М.: Мир, 1974.
27. Боич-Бруевич В. Л.,Тябликов СВ. Метод функций
Грина в статистической механике.— М.: Физматгиз, 1961.
28. 3 у б а р е в Д. Н. УФН, 1960, т. 71, с. 71.
29. Т я б л и к о в СВ. Методы квантовой теории магнетизма.— М.:
Наука, 1965.
30. И с и х а р а А. Статистическая физика.— М-: Мир, 1973.
31. Абрикосов А. А., Горькое Л. П., Дзялошин-
с к и й И. Е. Методы квантовой теории поля в статистической
физике.— М.: Физматгиз, 1962.
32. М а р ч Н., Янг У., Сампантхар С. Проблема многих тел
в квантовой механике.— М.: Мир, 1969.

Часть II
АСПЕКТЫ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ
Во второй части книги мы предлагаем последовательное
изложение метода вторичного квантования, результаты ко-
торого широко используются в современной квантовой ста-
тистической физике, теории твердого тела, задачах теории
магнетизма, теории лазеров и других проблемах теории
многих тел.
Следует заметить, что метод вторичного квантования
возник одновременно с окончательной формулировкой
квантовой механики в работах Дирака [1], Фока [3] и Виг-
нера [2], однако активно развиваться он начал лишь в по-
слевоенное время. В этой связи фундаментальное значение
имеет работа Боголюбова [4], посвященная методу вторич-
ного квантования. Ряд математических вопросов метода
вторичного квантования разработан в книге Березина [5],
где используется естественная реализация пространства
состояний как пространства функционалов от функций
определенного числа переменных. Такой подход позволяет
рассматривать задачи вторичного квантования как задачи
квантовой механики с бесконечным числом степеней свобо-
ды. В [5] описываются пространства состояний и простей-
шие операторы на них, устанавливается связь между век-
торами и функционалами, операторами и функционалами.
Настоящий подход, в отличие от известных ранее, об-
ладает большей общностью, простотой доказательств и ес-
тественностью постановки задачи. В нашем подходе мы об-
судим с единой точки зрения фундаментальные вопросы,
возникающие при использовании метода вторичного кван-
тования. Отметим, что определенный интерес к такому пос-
ледовательному изложению возник в связи с развитием ме-
тода аппроксимирующих гамильтонианов [6], который ши-
роко использует представление вторичного квантования.
К тому же в большинстве учебных пособий по квантовой
механике и статистической физике со ссылкой на громозд-
кость вычислений часто перечисляются некоторые резуль-
таты метода вторичного квантования, которые, как прави-

$!. ВВЕДЕНИЕ 145
ло, выглядят формально и не затрагивают глубокой физи-
ческой сущности этого важного метода.
В излагаемом здесь подходе уделяется должное внима-
ние преобразованию динамических величин к представле-
нию вторичного квантования (рассматриваются случаи
представления аддитивных, бинарных Hs-кратных величин).
Изучаются системы, состоящие из нескольких сортов фер-
мионов и бозонов. Обсуждаются уравнения движения для
временной эволюции операторных функций и строятся
уравнения типа «самосогласованного поля» в операторной
форме. Подробно освещаются идеи, близкие методу вторич-
ного квантования, применяемые в кинетической теории
классического газа.
Глава !
МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИММЕТРИЧНЫХ
ДИНАМИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
В этой главе, так же как и в последующих главах час-
ти II, обсуждаются вопросы статистической механики,
непосредственно связанные с рассмотренными в первой
части книги. Поэтому по ходу изложения мы будем вкрат-
це повторять основные идеи и результаты, подробно опи-
санные ранее. Это дает возможность сделать вторую часть
книги полностью замкнутой так, что читатель, уже знако-
мый с основами, может непосредственно приступить к изу-
чению аспектов вторичного квантования.
§ 1. Введение
Рассмотрим динамическую систему из iV одинаковых
частиц, состояния которой характеризуются волновыми
функциями
Ф = ф(*1 XN), A.1)
зависящими от переменных хх, ..., xN. Здесь Xj—сово-
купность пространственных координат и дополнительных
квантовых чисел для ;-й частицы:
x=(q, v), q = (q<», <7<я'> О, A-2)
¦
где <7<а> (а=1, 2, 3)—декартовы координаты, a v—кван.
товые числа, соответствующие «внутренним степеням сво
боды» частицы. Если такие степени свободы учитываются

146 ГЛ. I. МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
лишь заданием спина частицы, то в качестве v можно
взять проекцию спина на ось г. В этом случае для ча-
стицы со спином 1/2 имеем v = zt 1/2, для частицы со
спином 1 будет v==— 1, 0, +1 и т.д. Для бесспиновых
частиц v вообще не вводится, и для них x~q.
Совокупность параметров A.2) будем иногда обозначать
также буквами х, у с соответствующими индексами, ука-
зывающими «номер» частицы. Целесообразно будет ввести
еще понятие «интегрирование по х», определив соответст-
вующий интеграл как интеграл по всему пространству q
вместе с суммированием по дискретному индексу v:
dq™dq™dqi3K A.3)
Введем также б-функцию
b(x-x')^6(q-~q').6(v-v')t A.4)
где 6 (q) — трехмерная функция Дирака, 6 (v) — символ
Кронеккера; мы везде будем использовать для символа
Кронеккера то же обозначение, что и для б-функции Ди-
рака. Это не приведет к недоразумению, так как у нас ар-
гумент у символа Кронеккера всегда дискретный, а у б-
функции Дирака — всегда непрерывный.
Иногда будет удобно обозначать всю систему перемен-
ных (xlt . . ., xN) одной буквой X, например
...)«ki...Л*- A.5)
§ 2. Свойства симметрии
Рассмотрим теперь уравнение Шредингера для вол-
новых функций A.1):
*^ = Яф,. A.6)
Так как все частицы нашей динамической системы оди-
наковы, гамильтониан Н не может зависеть от способа
их нумерации, т. е. от того, какую частицу считать пер-
вой, какую второй и т. д., ввиду чего оператор Н должен
быть симметричным (инвариантным) по отношению ко
всем перестановкам Р между частицами.
а. Перестановки. Скажем несколько слов о формаль-
ном определении свойства симметричности операторов по

§2. СВОЙСТВА СИММЕТРИИ 147
отношению к перестановкам Р. Пусть Ш>—некоторый опе-
ратор, матричное Х-представление которого будет 3) (X,
-X'). Тогда
\(Х, X')<p(X')dX',
откуда
J > (X, X') Ф (P-W) dX'.
Совершим в интеграле, стоящем в правой части, замену
переменных Х'—>~РХ', очевидно, не меняющую dX'.
Получим
и
(®Р-\)Х = $ 3> (X, РХ') Ф (X') dX'
J з> (РХ, РХ') ф (Xf) dX'.
Таким образом, &) (РХ, РХ') будет матричным Х-пред-
ставлением для оператора PSDP'1 и наоборот:
, РХ'). A.7)
Как видно, й) (РХ, РХ') представляет собой выражение
й) (X, X') после того, как над номерами частиц 1, 2,
3, ... совершена перестановка Р.
Поэтому, для того чтобы оператор 3) не зависел от
способа нумерации частиц, т. е. был симметричным по
отношению к любым перестановкам Р, надо потребовать,
чтобы
3)(РХ, РХ') = Ш>(Х, X').
Следовательно, ввиду A.7) условие симметрии опера-
тора &> по отношению к перестановкам Р будет
или A.8)
Рё® @>Р
Таким образом, гамильтониан Н, будучи симметрич-
ным, должен коммутировать со всеми перестановками Р\
РН—НР=0, A.9)
которые, следовательно, оказываются интегралами движе-
ния,
6. Симметричность и антисимметричность. Возьмем ка-
кую-либо* транспозицию Т, т. е. перестановку только

148 ГЛ. 1. МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
между двумя неравными элементами, например г-м и /-м;
рассмотрим два случая:
А) Допустимые волновые функции симметричны. Тогда
для любой транспозиции Т среди хи . . ., xN будет 7\p=q>.
Поскольку любая перестановка Р среди N элементов полу-
чается последовательным применением транспозиций, в
данном случае имеем также для любого Р
/>Ф=ср. A.10)
Б) Допустимые волновые функции антисимметричны.
Тогда 7q>=—ф, и потому для любого Р
Ар = (-1)РФ, A.11)
где (—1)р=1, если перестановка Р четная, т.е. состоит
из четного числа транспозиций, и (—1)р = — 1, если Р —
нечетная, т. е. состоит из нечетного числа транспозиций.
Поскольку Р являются интегралами движения, то если
соотношения A.10) или соотношения A.11) выполняются
для какого-то одного момента времени, они останутся спра-
ведливыми всегда. Таким образом, свойство симметрии вол-
новых функций и свойство антисимметрии их не изменя-
ются с течением времени. Отсюда возникают две возмож-
ности: для некоторых частиц всегда реализуются лишь
симметричные состояния, а для других — только антисим-
метричные состояния.
Эти две возможности приводят к различным статисти-
кам: статистике Бозе, принимающей в качестве допусти-
мых лишь симметричные состояния, и статистике Ферми,
принимающей в качестве допустимых лишь антисиммет-
ричные состояния. Как теперь установлено, все до сих пор
известные частицы (мы не обсуждаем здесь кварки) явля-
ются или бозонами, т. е. подчиняются статистике Бозе,
или фермионами, подчиняющимися статистике Ферми. По-
этому в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением толь-
ко указанных двух случаев: случая А) симметричных вол-
новых функций ф системы одинаковых частиц, и случая Б)
антисимметричных волновых функций ф.
§ 3. Симметричные операторы
Скажем несколько слов по поводу возможной конструк-
ции симметричных операторов.
а. Симметричные одночастичные операторы. Возьмем
некоторый оператор А, действующий на функцию ц>(х)

§3, СИММЕТРИЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 149
одной точки х, и обозначим через А (х, х') соответствующую
матрицу в Х-представлении. Введем оператор Aj, пред-
ставляющий собой тот же оператор А, только действующий
на /-ю точку. Полное матричное Х-представление для Aj мы
получим, умножая A (xj, xj) на единичную матрицу, дейст-
вующую на остальные аргументы:
A,(Xt X')-A(x/t х^Цб^-хд. A.12)
Нетрудно заметить, что если среди (xlt ..., xN), (x[, ...
..., x'N) мы совершим одну и ту же перестановку Р, за-
меняющую Xj, х} соответственно на xit х\ (i = Pj), то из
Aj(X, X') получим в результате At(X, X'):
Aj(PX, PX') = AP/(X, Xf), A.13)
или ввиду A.7)
Следовательно,
APJ. (l.H)
Но какова бы ни была данная перестановка Р, когда j
пробегает N значений /=1, 2, ..., jV, индекс Р\ пробе-
гает те же значения, только в^другом порядке. Поэтому
PAjP~1=APJ.
p
\<i<N '
и, таким образом, оператор
= S A, A.15)
удовлетворяет условию симметрии
РЩР-1-^. A.16)
Операторы 31 вида A.15) условимся называть симметрич-
ными аддитивными операторами.
6. Симметричные двухчастичные операторы. Возьмем
некоторый оператор В, действующий на функцию <р(х, у)
двух точек, и обозначим через В(х, у; у', х') соответствую-
щее матричное представление. Будем рассматривать толь-
ко случай симметричных В, когда
В(х, у, у', xf)=B(y, x; х', у'). A,17)

150 ГЛ. 1. МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
Введем оператор ?/„/,, являющийся оператором В, дей-
ствующим на /j-й и /j-й аргументы волновой функции
Ф(Х! xN). Благодаря A.17) Bu,lt — BJnh. Поэтому
бинарный оператор
»- S */,.,. A.18)
K//<W
можно представить также в форме
Возьмем полное матричное представление B]itj%(X, X'),
получающееся умножением матрицы B(x.t, xJt; x'}t, х))
на единичную матрицу по отношению к (..., х{, ...) для
i Ф Ь /¦:
ВА,/л(Х,Х>) = В(Х/1,хь;хи,х}) П 8(Х1-хд. A.20)
Отсюда, как и в случае операторов Л, вытекает, что
BJttft(PX, PX') = BPJtP/m(Xt X'), A.21)
т. е.
Суммируя здесь по всем различным ]lt /2=1,
получим благодаря A.19)
Л,р/1. A.22)
/14*=/.
Но когда /х и /s пробегают все свои различные N (N — 1)
значений Pjlt Pj% пробегают те же значения, только в дру-
гом порядке, и потому из A.22) следует
РЪр-1 = %. A.23)
Итак, бинарный оператор A.18) является симметричным.
в. Симметричные s-кратные операторы. Нетрудно бу-
дет несколько обобщить описанные построения и ввести в
рассмотрение симметричные операторы «s-кратного» типа.
Пусть S будет некоторым симметричным оператором,
действующим на функции q>(#i ys) от s точек.

§ з. Симметричные операторы 151
Обозначим через
/i=l,2, ...,N
S/. /,; ; кФН A-24)
тот же оператор S, только действующий соответственно
на /х-й, ..., /4-й аргументы волновой функции ф(хг, .... *#)¦
Введем «s-кратный» оператор @ы, положив
/ /.- A-25)
Так как S является симметричным оператором, выраже-
ние SJt ,-, инвариантно по отношению к любой пере-
становке между индексами /\, ..., /,. Поэтому @D> можно
привести к форме
4 2 ,,.....,,. A.26)
Обозначим через Sfi/j, ..., у4; t/s. •••. i/i) принятое ма-
тричное представление оператора S. Тогда, как и ранее,
/t,.is()
= S(x/t, ..., x,s; Xjs, .... x))
откуда
= SPJ Ph(X, X') A.28)
или
PSj i^-'-Spy,.....^.
Ввиду A.26) отсюда получим
± X Spy p/, = ®<». A.29)
Итак, «s-кратная» динамическая величина, представлен-
ная выражением типа A.25), будет симметричным операто-
ром. Как видно, при s=l она переходит в аддитивную ве-
личину, при s=2 — в бинарную.

152 ГЛ. '¦ МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
§ 4. Некоторые соотношения
Установим сейчас, основываясь на соотношении A.28),
одно важное тождество, которое в дальнейшем будет нами
использовано. Пусть 9(Х), ф(Х) — какие-то две волновые
функции: или обе симметричные, или обе антисимметрич-
ные. Тогда, очевидно, в обоих случаях
9(ЯХ)ф(ЯХ)=9(Х)ф(Х). A.30)
Рассмотрим интеграл
J б (X) (©««q>)x dX = J 9 (X) ?'*> (X, X') ф (X') dX' dX
или, учитывая представление A.25),
2 j
<...<;j</v
A.31)
Возьмем какой-нибудь отдельный член в этой сумме и
совершим в интеграле замену переменных X—*ЯХ;
Х'-*РХ'. Получим
S 9 (X) Sjt.... /f(X, X') Ф (X') dX> dX -
= S 9 (ЯХ) Sh,....,, (ЯХ, ЯХ') Ф (ЯХ') dX' dX.
Отсюда и на основании A.28) и A.30) видим, что
$6(X)S,. ,Ш(Х, X>)<p(X>)dX'dX =
- S в (X) Sp/ р/, (X, X') ф (X') dX> dX.
Здесь Я—произвольная перестановка среди A, 2, ..., iV).
Выберем ее для данных jit ..., /, так, чтобы ЯД — 1,
Я/2вг2, ..., Pjs=s. Таким образом, убеждаемся, что все
члены в сумме A.31) одинаковы и равны
Поскольку число различных ju /2, ..., js, удовлетворяю-
щих неравенствам 1 ^ ]\ < /а < /а <... < js ^ N есть

S 5. ГАМИЛЬТОНИАН 153
N(N — i).. .(/V—s4-l)
— -—p —-, находим окончательно
'««. A.32)
Запишем это тождество в более развернутой форме.
Учитывая выражение A.27) для Sj S(X, X')t имеем
9 (х1? ..., xN) (©(*>ф)* xNdxx. ..dxN^
i, .... x;; xJ+11 .... х^)^...^^...^. A.33)
Отсюда, взяв s = 1, получим для аддитивных операторов
x хи)А(Хъ х[)х
1; х«, -.., xN) dxidXi.. .dxN\ A.34)
при s = 2 будем иметь для бинарных операторов
У ~^f В(Xt, .... xN)B(xlt x2; x'2t х[)х
Хц>{х[, 4; д^, ..., xN)dx\dx'z&xx.. .&xN. A.35)
Соотношения A.33) — A.35) будут использованы далее
для преобразования динамических переменных к пред-
ставлению вторичного квантования.
§ 5. Гамильтониан
Обратимся теперь к гамильтониану Н. В обычных за-
дачах квантовой механики гамильтониан Н системы оди-
наковых частиц состоит из аддитивной симметричной сум-
мы индивидуальных энергий частиц и бинарной симмет-
ричной суммы энергий взаимодействия различных пар
частиц:
я= 2 т,+ 2 и/1ч/г. A.36)

154 гл- 1- МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
Матрицы
Т(хи х[), U(xu х2; 4, х[), A.37)
определяющие одночастичный Т и парный U операторы,
должны обладать свойством самосопряженности:
Т* (хи х[) = Т (х[, Xl), U* (Xl, х,; х2, х[) = U (х[, х2; х2, хг),
обеспечивающим эрмитовость гамильтониана Н.
Весьма важным часто рассматриваемым случаем яв-
ляется случай гамильтониана вида
"=- 2 ?\+ ? ф(<7/,-<а A-38)
состоящего из аддитивной суммы кинетических энергий
частиц и из бинарной суммы не зависящих от спина потен-
циальных энергий пар. Эта потенциальная энергия взаи-
модействия характеризуется вещественной функцией, ин-
вариантной по отношению к отражению:
Ф(<7)=Ф {-q). A.39)
Как видно, такой гамильтониан A.38) является симметрич-
ным оператором вышерассмотренной конструкции, причем
для него функциями A.37) будут соответственно
т <*• *') ^ —ш д«6 (*-*') = - ш Д^6 (я-Л6 (v-v')>
U(xu х2; х2, х[) = O(q1—qs) 8 {х1~х'1) 8(х2—х'2) =
= Ф Цх-Я,) б (Яг-Яд 6 {Яш-Яш) 6 K-vO б (v.-vi). A.40)
Если такая динамическая система находится во внешнем
поле, характеризуемом потенциальной энергией U{q), то
к выражению A.38) надо добавить еще аддитивный член
вида
2 U(gj). A.41)
По поводу гамильтониана типа A.36) заметим в заклю-
чение, что вообще было бы возможно ввести в него еще трой-
ные, четверные и тому подобные взаимодействия, но этого
обычно не делают, так как уже учет одних лишь бинарных
взаимодействий приводит к исключительно трудным зада-
чам, которые, как правило, пытаются решать лишь с по-
мощью различных приближенных методов.

SI- ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ |65
Глава 2
ПЕРЕХОД ОТ НЕПРЕРЫВНОГО
К ДИСКРЕТНОМУ ПРЕДСТАВЛЕНИЮ.
ВВЕДЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ
§ 1. Представления волновых функций
а. Дискретное /-представление. Чтобы ввести понятие
чисел заполнения более наглядным образом, целесообразно
перейти для волновых функций
Ф=Ф(ла, . . ., xN) B.1)
от непрерывного Л"-представления к дискретному представ-
лению.
Возьмем для этого систему функций
Ф*(<7), B.2)
заданных во всем трехмерном пространстве точек q, завися-
щую от дискретного индекса k и обладающую свойствами
ортонормированности и полноты:
6(А-П B.3)
2Ф*(<7)ФИ<П = 8(<7-<П- B.4)
k
В качестве такой системы B.2) можем взять, например,
систему собственных функций для трехмерного гармони-
ческого осциллятора. В этом случае индекс k характери-
зуется совокупностью трех целых чисел.
Рассмотрим теперь разложение Фурье для волновой
функции <р(*)=--ф(<7, v) одной точки х. Имеем
2 Ф*G)^){2$ФG )(y)Yk{q)q\. B.5)
к, а [ J
Полагая
f=(k, о); ^(х) = Ф*(<7)8(*-о), B.6)
получим отсюда
Ф (*) = 2! Ь (х) I ф (*) *; (*) dx. B.7)

1S6 ГЛ. 2. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Как видим, система B.6) будет ортонормированной и
полной:
Sti(*)*r(*)<k-e(/-n. B-8)
2 */(*)*?(*')-«(*-*'). B.9)
Применяя разложение B.7) к каждому из аргументов х,
волновой функции B.1), будем иметь
Ф(*„ ...,**)- 2 F{fu-J
где
B.11)
Ясно, что F{fi, . . ., fN) будет волновой функцией
рассматриваемой динамической системы в дискретном
«/-представлении». Из определения B.11) нетрудно заклю-
чить также, что если <р симметрична, то и F симметрична, а
если F антисимметрична, то и ф антисимметрична. Разло-
жение B.10) показывает и обратное утверждение: из сим-
метрии F следует симметрия ф и из антисимметрии F выте-
кает антисимметрия ф. Таким образом, свойства симметрии
и антисимметрии будут одинаковыми для обоих пред-
ставлений волновой функции.
б. Дискретное импульсное представление. В ряде слу-
чаев, особенно для задач статистической механики динами-
ческих систем с гамильтонианом A.38), оказывается удоб-
ным использовать дискретное импульсное представление.
Чтобы сделать импульсное представление дискретным,
прибегают к следующему искусственному приему. Рассмат-
ривается ситуация, в которой все частицы нашей динами-
ческой системы находятся внутри конечного большого
объема V:
—L/2<qW<L/2; a = l,2, 3, V = L\ B.12)
В качестве граничных условий выбирают так называемые
циклические граничные условия, т. е. условия периодич-
ности волновых функций B.1) по каждой из пространст-
венных координат с периодом L:
;.«>m ^
= Ф, /=1,2 N, а=1,2, 3, B.13)

Si. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ
где ®/а>—оператор, заменяющий q1** на ^/"-f-L и остав-
ляющий все остальные координаты в выражении <р неиз-
менными.
Тогда в качестве системы B.2) можем принять
! "¦¦•'. B.Н)
k^Bnnn)/L, 2nni2)/L, 2nn^/L), V = L3, B.15)
где nia) — целые числа, принимающие все значения между
=F<x>. Полученная система функций B.14) с дискретным им-
пульсом p=ilk, очевидно, будет ортонормированной и пол-
ной в объеме V B.12). Иначе говоря, в соотношениях B.3)
мы должны проводить интеграцию не по всему трехмерному
пространству, а лишь по всему «основному объему» V.
В соотношениях B.4) мы должны теперь подразумевать, что
точки q и q' лежат внутри V.
Вводя функции tyf{x) по формуле B.6), сделаем анало-
гичные замечания и в отношении равенств B.8), B.9),
B.11). Вообще подчеркнем, не оговаривая этого в дальней-
шем, что в принятом дискретном импульсном представлении
интеграция по пространственным переменным совершается
лишь по объему V.
в. Периодичность. Скажем еще несколько слов по по-
воду условий периодичности B.13). Эти условия будут
совместны с уравнением Шредингера, если Н коммути-
рует со всеми Ща>:
>, Я] = 0. B.16)
Действительно, в этом случае Ща* будут интегралами
движения, и потому, если условия периодичности B.13)
выполняются в один какой-то момент времени, они будут
выполняться и для всех t. Но оператор кинетической
энергии
входящий в Н, очевидно, коммутирует со всеми тран-
сляциями координат. Если бы Ф(^) была периодической
функцией координат с периодом L, то, очевидно, и по-
тенциальная энергия
Ktt<h<N

158 Г Л. 2. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
была бы периодической функцией координат q)a) с перио-
дом L. Но тогда, взяв любую функцию
Ф^Ф^, vi; q2, v2 qN, vM),
мы получим
= 11&))тФ,
т. е. Ш^ коммутирует с U, а тем самым и с Я, и ус-
ловия B.16) выполняются.
Здесь мы сталкиваемся с некоторой формальной труд-
ностью. Дело в том, что на самом деле Ф (q) есть функция,
стремящаяся к нулю при \q\—>- оо. Нам надо, следователь-
но, построить для Ф (q) аппроксимирующее ее при L -> с»
выражение, которое при конечном L обладало бы указан-
ным свойством периодичности.
Для этого возьмем интегральное представление Фурье:
^^ B.17)
в котором
/(*)= $Ф(<7) «-'<*¦•> d?; B.17а)
интеграция в B.17а) берется по всему трехмерному про-
странству. Заменим теперь интеграл в B.17) суммой, взя-
той по решетке B.15). Поскольку для нее
напишем вместо B.17)
Ц B.18)
Это выражение уже будет периодической функцией коор-
динат <7(lS, <7<2S, qiS) с периодом L.
г. Термодинамический предел. Квазидискретное пред-
ставление. Итак, чтобы сделать наложенные условия перио-
дичности для волновых функций совместными с уравне-
нием Шредингера, следует заменить интегральное пред-
ставление B.17) для потенциальной функции Ф(^) соот-
ветствующей дискретной суммой B.18). Чтобы устранить
искусственность такой замены, как и вообще нефизичность
требования периодичности волновых функций, мы должны
всегда иметь в виду предельный переход: V-*¦ с», когда

§2. ЧИСЛА ЗАПОЛНЕНИЯ 159
эбъем V B.12) распространяется на все трехмерное про-
странство и дискретная сумма B.18) переходит в правиль-
ное интегральное представление B.17) для потенциаль-
ной функции.
jV Подчеркнем, что при V-*• оо мы должны устремить к
бесконечности также и число частиц N -*¦ оо таким обра-
аом, чтобы плотность числа частиц на единицу объема в
пределе была конечной величиной, отличной от нуля:
V^oo, N-^oc, p = N/V-+ const, B.19)
Так как в процессе этого предельного перехода спектр вол-
новых векторов k приближается к непрерывному, рассмат-
риваемое импульсное представление называется также
квазидискретным представлением.
Отметим, что предельный переход B.19) следует всегда
иметь в виду в задачах статистической физики. В этих за-
дачах физический смысл имеют, как правило, лишь вели-
чины, вычисляемые в пределе B.19), который здесь назы-
вают термодинамическим пределом.
§ 2. Числа заполнения
а. Определения. После этих замечаний рассмотрим вол-
новые функции F(fu . . ., fN) в дискретном /'-представлении
в любом из случаев — или в случае истинного дискретного
представления, или в случае квазидискретного импуль-
сного представления, но в этом последнем — до перехода
к пределу V-+¦ оо. В обоих этих случаях f характеризуется
конечным набором целых чисел, например тремя целыми
числами и спиновым индексом v.
Множество (. . ., f, . . .) всех f является, как говорят
в математике, счетным множеством. Мы можем поэтому
установить взаимно однозначное соответствие между эле-
ментами этого множества и натуральным рядом
/<->*, Х = 0, 1, 2, ... B.20)
Короче говоря, счетное множество можно занумеровать
одним индексом Х=0, 1, 2, 3, 4, ... Отсюда вытекает, что
мы можем полностью упорядочить множество f, т. е. так
определить понятие «больше» (>) или «меньше» (<С), что
для любых двух fef будет или />/', или f<f. Именно, бу-
дем говорить, что f>f, если для соответствующих по B.20)
А, будет Х>Х' и, наоборот, /</' при Х<Л'. Разумеется, та-
кое упорядочение завидит от способа нумерации / и потому

160 ГЛ. 2. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
неоднозначно. Нам, однако, достаточно иметь дело с упо-
рядочением, основанным на какой-то данной фиксирован-
ной системе соответствия B.20).
Как уже отмечалось, волновые функции в /-представле-
нии будут или симметричными (для случая системы оди-
наковых бозонов), или антисимметричными (для случая
системы одинаковых фермионов). В обоих этих случаях
вместо аргументов fu . . ., fN введем систему чисел запол-
нения (..., п.}, ...), положив
nf = 0, если f отсутствует среди fu f2, .... fN,
tif — m, если f встречается т раз среди flt ..., fN.
Так как всего fj в системе (flt ..., fN) будет N, то
S«/-iV. B.21)
В случае фермионов функция F (flt ..., /^вследствие
свойства антисимметрии обращается в нуль, если среди
(fu • • •» /лг) будет хотя бы одна пара равных fj. Следова-
тельно, в этом случае мы можем считать, что все fu . . ., /лг
различны между собой. Но тогда какое-либо значение fj
может встречаться среди fu . . ., fN не более одного раза,
ввиду чего
щ. = 0, 1 (ферми-статистика). B.22)
В случае же статистики Бозе функция F(fu . . ., fN)
является симметричной, и потому нам надлежит рассмат-
ривать произвольные совокупности (fu . . ., fN), в том чис-
ле и такие, у которых некоторые из f) равны между собой.
Следовательно, здесь числа заполнения могут принимать
произвольные значения, согласующиеся с B.21):
nff = 0, 1, 2, 3, ..., N (бозе-статистика). B.23)
Ясно, что задание системы (flt . . ., fN) однозначно
определяет соответствующую систему чисел заполнения
(. . ., tif, . . .), удовлетворяющую условию B.21). Возьмем
теперь, наоборот, некоторую систему чисел запол-
нения (. . ., tif, . . .), удовлетворяющую условию B.21),
и рассмотрим все те системы (flt . . ., />), для которых
tfi» ....Ы<*>(..., л,, ...), B-24)
т.е. для которых (...,nf,...) является соответствующей
системой чисел заполнения,

§2. ЧИСЛА ЗАПОЛНЕНИЯ 161
Возьмем все те /у-, для которых tif. отличны от нуля:
f/ = 8u •••> Ss> нумерацию здесь выберем «в порядке воз-
растания g», т.е. gi<.-..<gs. Таким образом, пе.^\,
j = 1, 2, ..., s; из B.21) видим, что s<N.
Как видим из самого определения чисел заполнения,
среди ft, ..., fN из B.24) ngi элементов будут равны
8\, • • •» nRs элементов будут равны gs. Любое распределение
N элементов ft, ..., fN no s группам gu g2 соответст-
венно из ngi, ngi, ... элементов, приводит к той же си-
стеме чисел заполнения (..., щ *...). Таким образом, дан-
ная система чисел заполнения (..., rif, ...) определяет
(/и •••> In) с точностью до перестановок между N эле-
ментами по s группам из ngi, ..., ngs элементов, и потому
число 5R(..., tif, ...) всех возможных (fit ..., fN), соответ-
ствующих (..., п{, ...), будет
B-25)
Поскольку 0!=l!, можем написать также
б. Бозоны. В случае статистики Бозе функция F (fu...
. . ., fN) не меняется от перестановок между (Д, . . ., }N) и,
следовательно, ее значения однозначно задаются системой
чисел заполнения. Можно поэтому ввести в рассмотрение
волновые функции как функции С(. . ., nf, . . .) от чисел
заполнения. Определим их следующим образом:
А) для 2
., я/, -)F(fi Ы), B.27А)
где (fv ..., fN)<y>(..., nf, ...);
Б) для ^tif^N
f
C(..., nf, ...) = 0. B.27Б)
Заметим, прежде всего, что благодаря Б) мы можем
рассматривать ..., щ, ... как независимые аргументы, могу-
щие принимать любые значения из натурального ряда
fy = 0, 1, 2, ... Ясно далее, что симметричная функция
F(fi, ..., fN) полностью определяет функцию С(..., tif, ...)
6 И. Н. Боголюбов, Н. Н. Боголюбов (мл.)

162 ГЛ. 2. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
и, наоборот, любая функция С от чисел заполнения, удо-
влетворяющая условию B.27Б), однозначно определяет
симметричную функцию F(fi} ..., fN). Такое взаимно одно-
значное соответствие будем записывать для краткости
в форме Р*-$С.
Заметим, наконец, что нормировочный множитель
введен в определение B.27А), чтобы сохранить скалярное
произведение при переходе от F к С, поскольку число
различных систем (Д, ...,/#), соответствующих одной
данной системе чисел заполнения, как раз и равно 5R.
В самом деле, перестроив сумму по (fit ..., fN) в ска-
лярном произведении
(Ft. FJ- S Flifi fN) F2 (ft fN) B.28)
fi fN
к сумме по системам чисел заполнения:
2=2 2 . B-29)
ft Iff ...i«,, ... fif-tfff
видим, учитывая B.27А), что все члены в сумме
2 B.30)
равны произведению
где Cf, C2—соответствующие функциям Fit F2 волновые
функции в представлении чисел заполнения, а число таких
членов в B.30) равно 5R. Таким образом, число 5R ком-
пенсирует квадрат множителя l/j/tft и, следовательно,
(Fit FJ-VbCJ. B:31)
Таким образом, видим, что введение нормировочного
множителя в определение B.27А) действительно обеспе-
чивает неизменность скалярного произведения при пере-
ходе от волновых функций F к соответствующим волно-
вым функциям С.
в. Фермисны. Рассмотрим теперь случай статистики
Ферми. Как уже отмечалось, в этом случае числа запол-

§ 2, ЧИСЛА ЗАПОЛНЕНИЯ 163
нения могут принимать значения 0, 1. Поэтому 9{ = ЛП.
Возьмем какую-либо систему чисел заполнения, для
которой
^nf = N, B.32)
и рассмотрим те /, для которых п{ > 0, т.е. nf~l. Их
число благодаря B.20) будет равно N. Занумеруем эти /
«в порядке возрастания»:
f = 8i,g2 8n. gi<g2<gs<"-<gN- B.33)
Ясно, что не только данная система чисел заполнения
(..,, п{, ...) (с условием B.20)) однозначно определяет си-
стему B.33), но и наоборот, так что
(&<...<&*>«-»(••..«/. •••)• B-34)
По аналогии со случаем статистики Бозе введем вол-
новые функции в представлении чисел заполнения, поло-
жив по определению:
А) для ^nf=sN:
C(...,nf,..,) = VTlF(gi,..., gN), B.35A)
где igt <... < g>,) «-> (..., л/, ...);
Б) для 2ЩфМ\
f
C(.,.,nf, ..,)=()• B.35Б)
Благодаря Б) мы можем рассматривать ... ,щ,... как не-
зависимые аргументы, могущие принимать два значения:
0, 1.
Точно так же, как и в случае статистики Бозе, в
рассматриваемом случае статистики Ферми нетрудно
убедиться, что из-за включения в B.35А) нормировочного
множителя К$Н = КЛМ скалярное произведение остается
неизменным при переходе от F к соответствующим С.
Здесь дело в том, что произведение двух антисимметрич-
ных функций является симметричной функцией, так что
Flifit ••-, fjv)рг{h, • • •»h)=Fl(Si, • • •»
для
(fi fo)Cfl(...,n/, ...)**(ft, .... gN).
6*

164 гл. з. волновые функции
Глава 3
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ
ДЛЯ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ БОЗОНОВ И ФЕРМИОНОВ
Чтобы преобразовать динамические переменные, пред-
ставленные операторами, действующими на обычные вол-
новые функции, к операторам, действующим на волновые
функции С(. . ., rif, . . .), целесообразно ввести в рассмот-
рение так называемые квантованные амплитуды Бозе или
Ферми.
§ 1. Случай статистики Бозе
а. Операторы а, а+. При исследовании задач об одно-
мерном гармоническом осцилляторе вводятся операторы
а, а+, действующие на волновые функции f(n) от целочис-
ленного аргумента и—0, 1, 2, . . ., по формулам
-\). C.1)
В матричном представлении
Рассмотрим волновую функцию fm{n), для которой
оператор п=а*а имеет определенное фиксированное
собственное значение т:
(я-/п)/,(л)=0.
Имеем тогда
где 9С—некоторая постоянная. Поэтому ввиду C.1)
Шп-V"n+\ Э?6(п + 1 -/я)-КЙЛL_i(п),
Таким образом, оператор а уменьшает число т на еди-
ницу, а оператор а+ увеличивает это число на единицу.
Нетрудно заметить также, что всегда

{I. СЛУЧАЙ СТАТИСТИКИ БОЗЕ 165
ИЛИ
а*а = п, C,3)
аа*—а*а=\. C.4)
Возьмем волновую функцию
Ш = Ь(п), C,5)
соответствующую нулевому собственному значению опе-
ратора а+а — п. На основании C.1) имеем
т. е.
fl/,=-0. C.6)
Далее, благодаря C.1) имеем
а+/,-Кяб(я—1)—б(п—1),
(а+)«/. = КпКя=Тб(я—2)-|/б(я—2), C.7)
(а+У/а-^/пТб^—/п).
6. Квантовые бозе-операторы af, af. После этих
предварительных замечаний перейдем к рассмотрению
волновых функций
C(...,ng, ...), C.8)
зависящих от системы чисел заполнения {...,ng, ...).
Введем операторы af, af, являющиеся теми же операто-
рами а, а*, действующими только на f-e число заполне-
ния п}. Поэтому на основании C.3), C.4) имеем
afaf=>nf, C.9)
afaf—afaf=l. C.10)
Заметим далее, что af, af и а/<, ар при f=?f' дей-
ствуют на разные аргументы волновой функции С, и
потому они коммутируют между собой. Таким образом,
ufuf—afaf=s0, apap—apaf — O. (З.П)
Поскольку эти равенства тривиальны при /¦¦/', они
имеют место для всех f, f. Далее, af коммутирует с ар
при !ФГ, а при f = f' имеем C.10). Следовательно,
-apaf = b{f-f'). C.12)

166 гл. з. волновые функции
Введенные операторы с перестановочными соотноше-
ниями C.11), C.12) называются квантовыми бозе-опера-
торами. Так как af увеличивает значение щ на единицу,
a af уменьшает это значение на единицу, af можно на-
зывать амплитудами рождения, a af — амплитудами
уничтожения.
в. Волновые функции. Рассмотрим вакуумную волно-
вую функцию
Су.е-Пб(и,>. (Cv«. Cvac) = l C.13)
g
или в обозначениях Дирака
Cvac = \0>. C.14)
Как видно, для Cvac все щ имеют значения, равные ну-
лю. Ввиду C.6) ясно, что для всех f будет
a/Cvac = 0. C.15)
Учитывая C.7), видим также, что
(а/+)"Су,с=К«Гб(я,-/п) И б (я,). C.16)
g
Рассмотрим теперь выражение
«?•••<?«« (зл7>
и обозначим через (.. .,n'fi...) систему чисел заполнения,
соответствующую системе (/\, ..., ^д,):
2n/ = iV. C.18)
Так как все операторы df. коммутируют между собой,
выражение C.17) инвариантно по отношению ко всем
перестановкам между (/lt ..*, fN), и тем самым мы мо-
жем представить C.17) в виде
Умножение здесь совершается по тем f, которые встре-
чаются среди flt..., fx- Но для остальных f будет
п^в=0, и оператор (af)nf оказывается единичным. Поэтому
мы можем распространить умножение в C.19) вообще на

Si. СЛУЧАЙ СТАТИСТИКИ БОЗЕ 167
все f. Тогда благодаря C.16) имеем
П
f
С помощью этого тождества можем представить вы-
ражения B.27) для С через F{fit ..., fN) как линейную
комбинацию из выражений вида C.20). Действительно,
учитывая B.27Б), имеем
С(...,п„...)- 2 C(...,nf,...)Jl^(ng-ng),
.... n'f, ... &
т. е.
С (...,«,,...)= 2 ТТ1'/4, <*?...а? СV
Перестроим здесь суммирование по (,..,п'{, ...) к сум-
мированию по ft, ..., fN. Так как число различных си-
стем (fit ..., fN), соответствующих одной и той же системе
чисел заполнения (..., щ, ...), равно
то на основании B.27А) можно представить C.21) в
форме
^ Х
П
xF(ft,..., f„)(?...afN
где с учетом формулы B.26) *)
...,«;,¦¦¦) 1
*) Так как для бозе-газа 91 (.¦.,««,

168 ГЛ. 3. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
Таким образом, получим окончательное выражение
для волновой функции в представлении чисел заполне-
ния через волновую функцию в «/-представлении»:
C(n )
C.22)
§ 2» Случай статистики Ферми
а. Операторы о, о+. Как известно, при рассмотрении
0 О
1 О
6 1
О О
состояний со спином 1/2 вводятся матрицы
действующие на двухкомпонентный вектор, или, что то
же самое, на функцию /(м) аргумента п, принимающего
только два значения: п = 0, п=\.
Обозначим соответствующие операторы через о, о+:
(о)„,„. = б(м).б(м'—1), (<*+)„. „- = 6 (м— 1)-б(м'). C.23)
Из такого определения сразу следует, что
о(—1)" + (— 1)"о = 0, о+(_!)« + (_1)«а+=0. C.24)
Далее, из C.23) видим, что
(°/)я-в(п)./A), (а-ь/)„ = б(м-1)./@). C.25)
Поэтому, если возьмем волновую функцию /0(м):
М«)=6(«).
для которой число п равно нулю, то
°fo = O, а+/0 = б(м-1). C.26)
Если же возьмем волновую функцию /i(n):
^(ftj-etft-l),
для которой число м равно единице, то
о^8(п), о+Л-0.
Таким образом, оператор а уменьшает число и на еди-
ницу, а оператор о+ увеличивает его на единицу.
Из C.25) следует, что
а* = 0, (а+J = 0, C.27)
а также
а+а/(м) = б (я—1)/(я) = я.Дя),

§2. СЛУЧАЙ СТАТИСТИКИ ФЕРМИ 16Q
т. е.
а+ог=п. C.28)
Совершенно аналогично ао+ = 1—п, и потому
аа++а+а=1. C.29)
б. Операторы Паули. Перейдем к рассмотрению волновых
функций С(...,ng,...), зависящих от системы чисел за-
полнения (...,ng,...), причем каждое из ng может при-
нимать лишь два значения 0 или 1. Введем в рассмотре-
ние операторы bf, bf, являющиеся теми же операторами
а, а+, только действующими лишь на /-е число заполне-
ния П{. Поэтому bj уменьшает это число на единицу, а
bf увеличивает его на единицу. Из C.27)—C.29) видим, что
=Q, bfbf^nf, bfbf + bfbf=\. C.30)
Нетрудно заметить далее, что, поскольку bf, bf действуют
только на nf, оба эти оператора коммутируют с ng при
^f. Учитывая C.24), получим поэтому
l)"* = (-\)ntbf,b}(-l)ni-[-l)ngb} для цФ1. C.31)
Введенные операторы bf, bf называются иногда опе-
раторами Паули.
Пусть f=fcf. Тогда операторы Паули с индексами /
и f действуют на разные аргументы функции С и по-
тому коммутируют между собой:
bfbf,—bf,bf = O, bfbp—bpbf = O, bfbp—bf+Jtf^O C.32)
при 1
Рассмотрим вакуумную волновую функцию
Стм-Пв(я,). C.33)
g
для которой все nf имеют значения, равные нулю. Имеем§
очевидно,
(Wac> ^vacK" '•
Кроме того, на основании C.26)
П - C.34)

170 гл. з. волновые функции
Перестановочные соотношения C.30), C.32) для опе-
раторов Паули представляют, однако, определенные не-
удобства при работе с ними—они не сохраняются при
унитарных преобразованиях вида
Bx^HUxfbf,
где Я,—также дискретный индекс, а матрица Uxf удовлет-
воряет соотношениям унитарности
Для преобразованных амплитуд В%, В\ нельзя даже ут
верждать, что хотя бы одно соотношение
остается справедливым для произвольного преобразова-
ния только что упомянутого типа.
Имеем, действительно,
2 1>мЩ> Фрр + bpbf) =
2 uxlui
/¦ /'
(f Ф П
т. e.
а ф п
в. Операторы Ферми а, а+. Поскольку, однако, в силу
C.32) амплитуды bf, bp (при f^=f) не антикоммутируют,
а коммутируют, то присутствующая здесь сумма, до-
полняющая единицу, не обязана исчезать, и соотноше-
ния C.30) не обязаны всегда выполняться для преобра-
зованных амплитуд. Как видно, такие соотношения были
бы автоматически выполнены, если бы bf и Ьр антиком-
мутировали (f=?f). Отсюда возникает идея о целесо-
образности перехода от операторных амплитуд Паули к
так называемым операторам Ферми, для которых в со-
отношениях, заменяющих C.32), в левой части вместо
знака минус стоит знак плюс.
Для такого изменения знака воспользуемся свойством
C.31), выражающим антикоммутацию (—l)"f с опера-
торными амплитудами bf, bf. Чтобы построить операторные

§2. СЛУЧАЙ СТАТИСТИКИ ФЕРМИ 171
амплитуды Ферми, домножим bf, bf на знакопеременный
множитель
(_1)«<)Я*. C.35)
Благодаря C.31) этот множитель можем ставить и слева
и справа от bf, b), поскольку он с ними коммутирует.
Итак, положим
2j fig .2j ng
1 v ' ' -чз C.36)
Тогда из C.30) следует, что
*nf , C.37)
oJ-0, (af+)a = 0, -ataf+Mfafam-l. C.38)
Из определения C.36) ясно, что про операторы af, af уже
нельзя говорить, что они действуют только на аргумент
rif функции С, они действуют и на все «предыдущие»
аргументы ng при g<f.
Чтобы рассмотреть свойства коммутации, возьмем два
произвольных индекса f,f, причем положим для опре-
деленности
f<f*. C.39)
Тогда
^(M%
X п S п
Г gbp + bp\)f<<f gbf. C.40)
Примем во внимание соотношение C.31); Так как,-
fen йЯ* C.41)
содержит множитель (—1)"/, антикоммутирующий с bf,
и множитель (—!)/<«</' Kt коммутирующий с bf, мы

172 ГЛ. 3. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
видим, что
Далее, множитель C.41) состоит из произведений (—\)пе
npnfk^gKf и потому коммутирует с Ьр. Следовательно,
из C.40), учитывая C.32), найдем
afaf, + afiaf = (— \)f< « < У "* (— bfbp + bpb}) = 0. C.42)
Как видно, при f < /' (см. C.39)) операторы af и afb,
антикоммутируют. Переходя в C.42) к сопряженным опера-
торам, найдем
{afafi +af.af}+ = af,af + afaf. = O.
Отсюда заключаем, что C.42) справедливо не только для
/ < f, но и для f' < f, т. е. оно выполняется при лю-
бых [ФУ- Приняв во внимание C.38), мы можем на-
писать для всех f, f':
+ apaf = 8(f—f'). C.43)
Рассуждая совершенно аналогично, убеждаемся, что
af, af, между собой антиколшутируют, а также что af,
ар антикоммутируют при /=^=/'. Но при f = f квадраты
af и af исчезают в силу C.38). Поэтому всегда
apv + af,af = 0, afap + afaf =0. C.44)
Полученные перестановочные соотношения называются
перестановочными соотношениями Ферми.
г, Волновые функции. Благодаря определению C.36)
можем называть операторы af квантовыми амплитудами
уничтожения, a af—квантовыми амплитудами рождения,
поскольку af, af соответственно уменьшают и увеличи-
вают rif на 1.
Заметим далее, что на основании C.34), C.36)
аА,с = 0 C-45)
и

§2. СЛУЧАЙ СТАТИСТИКИ ФЕРМИ 173
Пусть /' < /, тогда
П в (и,)
в
= 6^-1N^,-1) П Hng).
Продолжая увеличивать число af+, действующих на Cvac»
найдем
< • • .а?/:„« = 6 (ng-1)... 6 (ngN-1) П 6 (n,),
(g^gt gjv)
C.46)
если gt<g2<...<gN.
С помощью тождества C.46) нетрудно выразить вол-
новую функцию C(...,nf, ...) в случае статистики Ферми
с помощью такой же суммы C.22), как и для случая
статистики Бозе. Рассмотрим, в самом деле, сумму
у= ? Fifi,.... fN)a}t• • • <Cvac C.47)
и заметим, что ее можно представить в форме
l> • • •» In) ah • • ' я/
{,... ft fN
...,п'{,... ft
' C.48)
Напомним здесь, что система (ft,..., fN), соответствующая
данной допустимой системе чисел заполнения (.. .,п'{, ...),
определена с точностью до ЛП перестановок между (f±,
n)
Сумма
S F(f1....,fN)atl...a?NCvaci C.49)
входящая в выражение C.48), содержит, следовательно,
ЛП членов, причем все они оказываются равными, по-
скольку произведение F(fv ..., fN) а?,.. .a^Cvac двух

174 ГЛ. 3. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
антисимметричных функций (ft, ,.., fN): F(ft, ..., fN) и
a^.. .afNCvac является инвариантным по отношению ко
всем перестановкам между (fis.... fN).
Возьмем среди учитываемых в сумме C.49) систем
«упорядоченную последовательность»:
>(•• •.«;. •••)• C.50)
Тогда выражение C.49) будет равно
NIF(gj,..., gN)Gg,..-ugNC4ae,
и потому убеждаемся, что рассматриваемая сумма C.47)
может быть представлена в форме
2f
Но ввиду C.50)
п'е —0, если g?=glt .-., gN,
Mg=«l# если g — gj, /=sl,...,N.
Так что благодаря C.46) можем написать
< • • • flJvCvtc e П б (ng—n'g).
С другой стороны, учитывая C.50), имеем, по определе-
нию B.35А):
V"N\F{gt,...,gN)=C{,..,n-,, ;..)..
Видим, следовательно, что выражение C.47) будет равно
2 С(....п',. ...
....n'f,..,
Ясно отсюда, что это выражение равно нулю, если
2 щ Ф N, и равно С(...,п,, ...) в случае; когда 2 я> — Л^-

§4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ 175
§ 3. Сравнение волновых функций бозонов
и фермионов
Итак, для рассматриваемой системы фермионов, так же
как и для ранее рассматривавшейся системы бозонов, вол-
новая функция в представлении чисел заполнения выража-
ется формально идентичным образом с помощью амплитуд
рождения:
2 Filf)aiatC C.51)
Отличие состоит в том, что в случае бозонов (см. C.22))
здесь F (flt ..., /^—симметричная функция (fit ..., f#),
af—бозе-амплитуды, числа заполнения могут принимать
любые значения натурального ряда: nf = 0, 1, 2,...
В случае же фермионов F (fx fN)—антисимметричная
функция (ft,..., /лг). af—ферми-амплитуды, числа за-
полнения могут принимать лишь значения 0 или 1. В обоих
случаях вакуумная волновая функция Cv,c характери-
зуется равенствами
fl^«e-°. C-52>
справедливыми для всех /.
§4. Представление вторичного квантования
Будем теперь рассматривать форму C.22), C.51) сразу
для обоих случаев Бозе и Ферми. Подставим в нее выраже-
ние для F(fu . . ., fN) через волновую функцию в Х-пред-
ставлении, данное формулой B.11). Получим
2
• • • ^ Ш dxt... dxN a*... a+NCw. C.53)
Введем операторные функции:
S'. C.54)
Тогда выражение C.53) приведется к виду так называе-
мого фоковского представления:
! xN)\lp+(x1)...^+(xN)dxi...dxNC4tc;
C.55)

176 ГЛ. 3. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
при этом на основании C.52) имеем для всех х
Ц(х)Счас = 0 C.56)
и, кроме того,
(Wac» ^vac'— *•
Рассмотрим теперь перестановочные соотношения
между введенными операторными функциями C.54). Чтобы
не повторять вычислений отдельно для случаев Бозе
и Ферми, введем символ [А, В]^, в котором А, В—не-
которые операторы. Этот символ определяем как комму-
татор
[А, В]_ = АВ—ВА
для случая статистики Бозе и как антикоммутатор
[А, В]+ =
для случая статистики Ферми. Как видно, для оператор-
ных амплитуд выполняются перестановочные соотношения!
, ap]T=8(f-f'), [af, flfc.]T-0, [af, afi^^O. C.57)
Имеем поэтому
[^ (х), ф ар % (х
2
откуда благодаря B.9)
[¦(*), ^(x'Jb-e^-x'). C.58)
Далее,
,, в,.]т-0 C.59)
и, совершенно аналогично,
3+
Итак, рассматриваемые операторные функции i|^;c), tJ3 ()
удовлетворяют перестановочным соотношениям C.58) —
C.60); соответственно в случае Бозе (—) и в случае
Ферми (+).

§5. ОПЕРАТОР ЧИСЛА ЧАСТИЦ 177
Заметим, между прочим, что если бы af, а? были не
операторами, а обычными с-числами, то ty(x), г|)+ (х), за-
данные суммами C.54), можно было бы рассматривать
как обычные сопряженные волновые функции одной ча-
стицы.
Но чтобы вообще ввести волновые функции для части-
цы, следует перейти от классической механики к квантовой
механике — совершить, так сказать, одно квантование.
Таким образом, когда мы переходим от обычных волновых
функций к операторным функциям ty(x), ty+(x) с переста-
новочными соотношениями C.58) — C.60), мы как бы со-
вершаем еще одно, «вторичное квантование». Поэтому ме-
тод, основанный на введении вместо волновых функций
у(хи . . ., xN) волновых функций С, и называется методом
вторичного квантования. Волновая функция С называется
тогда волновой функцией в представлении вторичного кван-
тования.
В теории квантованных полей, когда классические поле-
вые (волновые) функции заменяются операторными функ-
циями с соответствующими перестановочными соотноше-
ниями, волновые функции С, чтобы не спутать их с
операторными волновыми функциями, называются обычно
амплитудами состояния или векторами состояния (state
vector).
§ 5. Оператор числа частиц
В заключение скажем несколько слов относительно
представления С как функций от чисел заполнения щ —
собственных значений операторов afa^.
С = С(..., щ, ...)• C.61)
Рассмотрим оператор
JC = S Ф+ (х)ф(х)dx^%afaf, C.62)
для которого
Поэтому на основании B.27), B.35) будем иметь
(Jf—N)C = 0. C.63)

178 ГЛ. 3. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
Таким образом, рассматриваемые N-частичные волновые
функции в представлении вторичного квантования будут
собственными функциями оператора JV, соответствующими
его собственному значению, равному N. Этот оператор dV
представляет, следовательно, число частиц в системе.
Конкретное представление C.61) зависит, очевидно,
от выбора полной ортонормированной системы ^/(х). Такая
зависимость, однако, исчезает в особом случае, когда для
всех х
в = 0. - C.64)
Тогда на основании C.62)
= 0, C.64А)
и мы видим, что Со соответствует вакуумному состоянию—
состоянию, в котором нет частиц.
Из C.62) следует, что для любой ортонормированной
полной системы 4f (x) для всех / будет
Поэтому
C0 = 3^Cvac, 3fff = const, C.65)
где
Cvac=Il6(i/). (Cvac, Cvac)=l C.66)
и где ЭС—нормировочный множитель, который можно
вынести за знак скалярного произведения:
(Q 2 (
..., п , . . .
Взяв С = СЧЛС, получим
С,). C.67)
Итак, Со определено соотношением C.64) с точностью до
нормировочного множителя C.67). Как видно, понятие
вакуумного состояния представляет специфическое поня-
тие метода вторичного квантования, играющее в нем важ-
ную роль,— через такое «пустое» состояние, как Cvac,
выражаются с помощью формул C.51) или C.55) реальные
N-частичные состояния.

SI ВВЕДЕНИЕ 17g
Глава 4
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ
ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
§ 1. Введение
Рассуждения глав 2, 3 показали, что можно ввести
волновые функции в представлении вторичного кванто-
вания, положив
D.1)
Вакуумное состояние Cvac здесь нормировано:
(С».с, С„с)=1 D.2)
и характеризуется соотношением
*(*)Cvtc = 0, D.3)
справедливым для всех х. Такое представление D.1) имеет
место и для случая Бозе, и для случая Ферми.
В случае Бозе ф (хи ..., xN) есть симметричная функ-
ция *i, ..., xN, а операторные функции г|з(дс), i]5+ (x)
удовлетворяют перестановочным соотношениям Бозе:
К*) Ф (*')-* (*) *(*) = <>. D.4)
я|5+ (х) г|з+ (х')— г|з+ (*') я|)+ (дс) = 0.
В случае же ферми-статистики ф^, ..., xN) является
антисимметричной функцией х\, ..., xN, а операторные
функции ' я|э(;с)," i|j+(х) удовлетворяют перестановочным
соотношениям Ферми:
ф (X) Г (X') + ^ (X1) 1|5 (X) --б (*-*'),
-0. D.5)
; Займемся преобразованием.динамических величин, рас-
сматривавшихся в гл. 1, и, в частности, преобразованием
гамильтониана нашей динамической системы Н к пред-
ставлению вторичного квантования.
При этом нами будет использовано лишь представление
D,1), свойства D.2), D.3) вакуумной функции, свойства
симметрии обычной волновой функции <p(Xi, . . ., xN) и

380 ГЛ. 4, ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ
перестановочные соотношения для операторных функций
в форме D.4) для случая статистики Бозе или в форме D.5)
для случая статистики Ферми.
Подчеркнем здесь, что мы вообще можем забыть все ска-
занное в главах 2, 3 и рассматривать равенство D.1) при
только что перечисленных свойствах просто как определе-
ние волновой функции в представлении вторичного кванто-
вания.
§ 2. Лемма
Чтобы преобразовать динамические величины к пред-
ставлению вторичного квантования, не прибегая при этом
к громоздким преобразованиям, докажем следующую лемму
для двух случаев.
А) Случай Бозе. Операторные функции ty(x), -ф+ (а:)
удовлетворяют перестановочным соотношениям Бозе, обыч-
ная функция <р(Лф ..., xN) является симметричной.
Б) Случай Ферми. Операторные функции -ф (jc), i|;+ (х)
удовлетворяют перестановочным соотношениям Ферми,
обычная функция ф^, ..., xN) является антисиммет-
ричной.
Тогда в обоих случаях имеет место тождество
J i|) (х') \|з
(xN) Cvac ф (xlt ...,xN)dXi.. .dxN =
c6(x'—xjyixi, ..., %)<&!•. .dxN.
D.6)
а. Доказательство. Чтобы единообразно провести дока-
зательство этой леммы для обоих случаев А и Б, введем
ЧИСЛО 8 = ± 1, ПОЛОЖИВ
е-1 (А), Г47)
е = -1 (Б). <*¦''
Тогда
),
ф- (xh) ф- (*/a) = e^+ (xJt)i|)+ (xh). K ¦ }
Далее, обозначая через TJ%tjt транспозицию
Xjt —* Xtt, jt Ф /a,

§2. ЛЕММА 181
будем иметь также в обоих рассматриваемых случаях
Т/лФ-вР- D.9)
Рассмотрим теперь выражение
¦"vac
и будем передвигать т|)(х') вправо, пользуясь перестано-
вочными соотношениями D.8). Найдем последовательно
Cvac =
') т|>+ (дс.)...Г fov) Cvie = ...
Учитывая, что по свойству D.3)
¦ +(ДС1)...*
в итоге будем иметь
2 «Д iV ( ^ {Г (l) |
D.10)
где
получается из «полного» произведения т|)+ (xjty* (xs)...
...ty+(xN) в результате вычеркивания из него ip+ (ху).
Если мы поместим в D.11) ij;+ (xj на вакантное место,
занимавшееся гр+ (ху), то получим выражение, в которое
переходит произведение т|)+ (х2)ч|)+ (х8).. .я|)+ (xN) после
замены х^ на хг. Но чтобы поставить в D.11) ф+ (хх) на
указанное место, необходимо провести этот оператор че-
рез произведение (/'—2) операторов г|>+ (х2).. .я|>+(х/_1),
ввиду чего появится множитель г}'~г.
Таким образом,

182 ГЛ. 4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ
Подставим найденный результат в D.10) и заметим, что
е/-1е'~8 = еа^-4е = е. Получим
+ 2 e7\,/{6(*W1)r(*2)-..r(%)}Cvac.
Помножим обе части данного тождества наф^, ...,xN)
и проинтегрируем по хи ..., xN. Найдем
= $8 (д;'—^) ij>+ (л2)...ij3+ (%)Суасф (j^, ..., хм) йхх...dxN-\-
+ S e f TUJ\b{x'-x№ (JO- • ¦¦* Ы}С„ех
й < i < N J
X<p(xu ..., xN)dxl...dxN. D.12)
Рассмотрим член суммы 2 :
2 < /" < N
8 J Tu j {б (*'-Ж1) tl5+ (*,). . .$+ (XN)} Суасф (Xlt .... ^)X
.XdXi...dxN D.13)
и совершим в этом интеграле замену переменных: xt —+ Хр
Х]—+хг. Видим тогда, что выражение D.13) будет равно
Xtuj4>(Xi, ...
Но
Г1(/»1, Т1|уФ = еф, e»«
Таким образом, D.13) равно
J &(x' —xjty+ (x2).. .i|j+ (дс^) Суасф (xlf ...,
и мы убеждаемся, что все (Л^—1) членов суммы
входящей в D.12), равны первому члену правой части
этого тождества. ,
Итак, .. .. .
и наша лемма доказана.

§ 2, ЛЕММА 183
б. Следствия леммы. I. Рассмотрим выражение
э («И ф (*0 ij5+ (xj . • • V (%) СуасФ (*lt ..., xN)dxl.. -dxN
D.14)
при условиях леммы. Применяя эту лемму, видим, что
выражение D.14) равно
x^...dxN. D.15)
Воспользуемся еще раз нашей леммой для выражения
D.15), содержащего (N—1) операторных функций у\>+.
Убедимся тогда, что
i|) (х'2) Ф («О i|)+ (*i) • • ¦ ij5+ fov) Суасф (xlt ...txN)dxl... dxN =
= N(N-\)\ ф+ (x,).. .ф+ (^)Cvac6 (xl-xJfiW-^x
С1, ..., xN)dxx...dxN. D.16)
II. Последовательным s-кратным применением леммы
придем к следующему тождеству:
- Л^ (ЛГ—1).. .(W-s+ 1) I Г (хя+1).. .^+
X6(дс!—jd)...6(х;—жя)ф(jcit ...,xN)dxl...dxN D.17)
для s < Л/'.
III. Применив рассматриваемую лемму W раз, найдем
X
= N1 J6(xj—дсг) —6(дсЯ^—
Взяв скалярное произведение от обеих частей этого
равенства с вакуумной функцией Cvac, получим, учтя
нормировку D.2) для Cvac,
(Cvac, ф (дс^) •..у\> (х[) ^ (Xl)... ф+ (*„) Cvac) х
ХФК, .... xN)dxl...dxN =
= N1 l6{x[—xl)...b(x'N—xN)q{xl, ...,xN)dx1...dxN =
= N\<p(xl x'N). D.18)

184 ГЛ. 4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ
Поскольку, по определению скалярного произведения,
всегда
(С, АВС) = (А+С, ВС),
где А, В—некоторые операторы, действующие на волно-
вые функции С, тождество D.18) можно также предста-
вить в форме
Г (х[) ...Г (x'N) Cvec, Г (Xl)... i>+ (xN) Cvac) x
X<p(*i xN)dxx...dxN =
= N\ $6 (xi— xt).. .8(x'N—Xx) <p{xt, ..., Xy)dxt.. .dxN. D.19)
§ 3. Волновые функции
а. Обращение представления. Используем полученные
тождества. Начнем с использования тождества D.18) для
обращения представления D.1). Рассмотрим выражение
и подставим в него представление D.1). Получим
(Cvac pf j
...ф(*0*+(*1)-"*+(^)Су.с)фГ*1, .... xN)dxx...dxN,
откуда на_ основании D.18) видим, что это выражение
равно V^\ q>(x[, ..., x'N). Таким образом, получили фор-
мулу обращения представления D.1)
(СЪ(х)Ъ(хДС). D.20)
Обозначим для краткости правые части D.1), D.20) соот-
ветственно через С{ф}, ф{С}. Видим, что имеется вза-
имно однозначное соответствие между рассматриваемыми
обычными функциями ф и соответствующими волновыми
функциями С в представлении вторичного квантования:
Ф<-»С. Именно, С(ф) соответствует ф, а ф(С) соответ-
ствует С.
б. Инвариантность скалярного произведения. Устано-
вим теперь сохранение скалярного произведения при
переходе к вторичному квантованию. Возьмем две обыч-
ные волновые функции ф, щ и соответствующие им

И- ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ J 85
функции С, Сг:
Ф — С-С(ф),
Ф1-^С1 = С(ф1).
Тогда на основании D,1) найдем
• • -V (x'N)Cvac, г|>+ (Xl).. -Г (xN)Cvac)dx[.. .dx^^.. .dxN,
и потому, воспользовавшись тождеством D.19), получим
(Ci, С) = J фх* (xi, .... **) ф (xlf .... х^) б (xl—хО...
...6 (x'N—xN) dx[.. ,dx'N dXi.. ,dxN =
= S Ф1 (JCi, • ¦ ¦» *лг) Ф (ж» ¦ ¦ ¦ 9 xN)dx,... .dxN,
т. e,
(Clt С) = (фи Ф) для ф<->С, ф!^^. D.21)
§ 4. Преобразование динамических величин
к представлению вторичного квантования
а. Построение преобразования. Перейдем к преобразо-
ванию динамических величин к представлению вторичного
квантования. Пусть @> будет некоторой динамической
величиной, которая в обычном представлении выражается
суммой операторов типа 91, Ъ, ..., ©tsl, рассматривав-
шихся в гл. 1. В представлении вторичного квантования
эта величина должна изображаться таким оператором Й>,
действующим на волновые функции С, у которого все
соответствующие матричные элементы Й) и® были бы
равны
для ф!^С„ ф«->С. D.22)
Ясно, что нам достаточно найти отдельные выражения
для Ш, 58, ...,Фа\ ...,так как, по определению D.22),
сумма типа
9I + 23+...
в представлении вторичного квантования будет
$ + 23+...

186 ГЛ. i. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ
Чтобы фактически построить изучаемое представле-
ние для
Я=Щ, 33, ...,
поступим следующим образом. Для произвольной рассмат-
риваемой функции ф возьмем соответствующее С = С(ф).
Возьмем также С-функцию, соответствующую ®ф: С =
= С(®ф), и подберем оператор @> так, чтобы он пере-
водил С в С: С' = Ш>С. Мы увидим тогда, что
Й D.23)
Возьмем еще некоторую волновую функцию фх и соответ-
ствующее ей Сг:
^ D.24)
Из D.23), D.24) па основании свойства сохранения ска-
лярного произведения D.21) и будет вытекать требуемое
равенство D.22) матричных элементов операторов &> и 3>.
б. Аддитивные динамические величины. Итак, перейдем
к фактическому построению динамических величин в пред-
ставлении вторичного квантования.
Начнем с рассмотрения аддитивной динамической ве-
личины, характеризуемой оператором типа
Щ= S А» D.25)
К / < N J
упоминавшимся в гл. 1. Имеем
'vac (^ф)*1 xNdxx... dxN,
D.26)
Заметим, что в случае системы бозонов выражения
iCvac, <P(*i хм) D.27)
симметричны по отношению к xit ..., xN. В случае си-
стемы фермионов выражения D.27) являются антисиммет-
ричными функциями xlt ..., xN. Поэтому в обоих рас-
сматриваемых случаях можем применить к интегралу,
стоящему в правой части D.26), тождество A.34), уста-
новленное в гл. 1.

§4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ Jg7
Тогда получим
С'=-~=¦ JV (х,).. .ц+ (xN)CxacA (xlt xi)x
ХФ (х[, х2, ..., xN) dx'1dx1.. .dxN.
Заменим переменные в этом интеграле: хг на х, а х[ на х'\
тогда имеем
(х', х2, ..., x#)dxdx'dx2...dxN. D.28)
Обратимся к тождеству D.6) и заметим, что его можно
записать в виде
', хг
Подставив это тождество в правую часть D.28), убежда-
емся, что
(^i, • ¦ •, xN) dx1... dxNl~
s= J Ф+ (x) Л (дс, д;') ^з (x1) d^ с/д;' С
Отсюда видим, что в представлении вторичного кванто-
вания рассматриваемая аддитивная динамическая величина
изображается оператором
Л (х, x')y>(x')dxdx'. D.29)
Так как Щ из D.25) и I из D.29) представляют одну
и ту же динамическую величину, а сами формы D.25),
D.29) ясно указывают, на волновые функции какого рода
(обычные или функции вторичного квантования) действуют
эти операторы; мы не будем далее ставить знак ~ для
обозначения того, что мы имеем дело с представлением
вторичного квантования.
Заметим еще, что D.29) может быть также записано
в виде
{S}Jrfx. D.30)

188 ГЛ. 4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ
в. Плотность числа частиц. Возьмем в качестве при-
мера пространственную плотность числа частиц. В обычном
координатном представлении такая плотность в точке q
будет
Р(<7)= 2 «fo-fy). D-31)
Этот оператор диагоналей в координатном представлении
и не действует на индексы vy-. Возьмем формулу D.30)
и, чтобы не спутать данной фиксированной точки q с про-
странственной частью переменной интеграции х, обозначим
эту последнюю через qx: х = (qx, v). Тогда в случае D.31)
6v),
и потому благодаря D.30) в представлении вторичного
квантования будем иметь
Р (Q) = 2 $ Ч>+ (Яг, v) 6 (q—qx) if (qu v) dqx =
V
2v). D.32)
г. Оператор числа частиц. Проинтегрировав плот-
ность числа частиц по всему рассматриваемому прост-
ранству точек q, получим оператор, представляющий
полное число частиц:
V
или, более кратко:
x. D.33;
Очевидно, для рассматриваемых N-частичных функций С
из D.1)
D.34)
т. е. для них оператор JV имеет собственное значение,
равное W.
Рассмотрим выражение
J г|;+ (дс) ф (лч) г|; (л;) йд; = ф (xj + e2 J г|;+ (дс) г|; (дс

§4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ 189
где е = + 1 (Бозе), е = —1 (Ферми). Имеем
У(х1)№-\) = ЛЦ(х1), т.е. 4>(*1)JY1-(JV>+1I>(*1).
D.35)
Взяв здесь сопряжение и учитывая сопряженность JV,
найдем также
(JCt) — *+ (JCJ aW. D.36)
Пусть теперь С будет собственной функцией опера-
тора JV для собственного значения N. Иначе говоря,
пусть имеет место равенство D.34) J^C=sNC. Помножим
обе части этого равенства соответственно на ф (хг) и ij)*^):
(xt) С
и воспользуемся соотношениями D.35), D.36). Получим
^(Xl)C^(N^\)^(Xl)C, JW+ (дсх)С — (Л^ + 1)** (*i)С.
D.37)
Видим, таким образом, что оператор ф уменьшает
число частиц на единицу, а г|)+ увеличивает это число
на единицу. Можем поэтому называть операторные функ-
ции г|)+, г|; соответственно операторными функциями
рождения и уничтожения частиц.
д. Динамические величины бинарного типа. Перейдем
к рассмотрению динамических величин бинарного типа:
аз= 2 ви.и D.38)
и воспользуемся схемой рассуждения, изложенной выше
для аддитивных величин. Имеем
.. г|;+ (xN) Cvac (Щ)х, ^dxt ... dxN.
Принимая во внимание, что выражения D.27) или оба
симметричны (случай Бозе), или оба антисимметричны
(случай Ферми) по отношению к хх, ..., xN, мы можем
здесь воспользоваться тождеством A.35) и написать:
ущ J *+
vac33(xlt хг; х'2, х[) х
X ф (х[, x'it х3, ..., xN) dx[ dx'2 dxt dxz ... dxN, D.39)

190 ГЛ. 4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ
Сделаем замену переменных х1—*х1, х2—*хг. В новых
обозначениях имеем
jM*i)t+(*2)?(*i, Ч, x'it х[)х
)CnL4 {х[, х'г, х9, ..., xN) х
X dxxdx%dxldx\dxs ... dxN. D.40)
Воспользуемся теперь тождеством D.16), которое пере-
пишем в виде
^ (N—l) J ^+ (х,) ... i|>+ (xN) Суасф (х[, xit xs, ..., xN) x
X dxs ... dxN - J г|; D) г|5 (дс!) г|,+ (xj -ф+ (дс2) ...
• • • ^+ fov)CvacФ(х1( ...txN)dXi... dxN.
На этом основании из D.40) получаем
С' =j^§*+ &И* Ш В(х\, xt\ x't, х[)Ъ(?)ЪD)Х
xt dx2 dxl dx's J i|>+ (xj ... i|>+ (%) Суасф (xi( ..., xN) X
т. e.
i D.41)
Таким образом, в представлении вторичного квантования
динамическая величина бинарного типа изобразится опе-
ратором
В (*ь **' X's> X>l)
xdXidJt.dJtld^. D.42)
В более краткой форме можно записать:
8 = у IV (хг) if + (х2) (В», 2^Ж)^ *. Лс» dxt. D.43)
е. 5-кратные операторы. Займемся теперь преобразо-
ванием s-кратных операторов, рассмотренных в гл. 1:
2 Sit,i , D.44А)
K/i </¦<...< /л < JV *

§4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ \Q\
Для этого воспользуемся принятой схемой. Имеем
= -4=г Г о|з+ (хг) - - - -ф-ь (Xn) Cvac (S"»q>),, xNdxt... dxN,
D.44Б)
откуда, воспользовавшись тождеством A.33), получим
М ...«'ЫС, х
х<Ь (х1г •.., xs\ xs, ..., Xi) ф (Xi, ..., xs; л;Л+1, ..., x^j) x
Xdx[ ... dxldxt ... dxN.
Переобозначим здесь xt—*-xit ..., xs~*-xs. Тогда
... iJ3+ (хм)Суасф(д^, ..., xs, xs+i, .. ¦, xN) dxt ...
... dx'sdxt ... dxs dxs+i ... dxN. D.45)
Обратимся к тождеству D.17) и запишем его в виде
N(N-l)... (Af-s+l)Sf(O...
. . . Up* (XN) Суасф {Х'г, ..., X's, Xs+i XN) X
Xdxs+i ... dxN= $ ^(x's) ... i|> (xi) я|>+ (x^ ...
... t|)+ (xN) Суасф (дг4, ..., xN) dxt ... dxN.
Подставив это равенство в правую часть D.45), по-
лучим
*jV(*j ... il5+(J,)S(?, .... ^;^s х[)х
X -ф (JCs) • • • "ф (х[) dxi ...dxsdx[...dx'aX.
х Jil5+ (xj ... il5+ (xN) Суасф (Xj, ..., x^) dXi ... dxN,
т. e.
C' = -jj-Jil3+ (x\) ...^>+{xs)S(lclt ..., xs; x's, ...,^)x
X if (x's) ... if (л;!) d^i ... d~xs dx[ ... dx'sC.
Итак, в представлении вторичного квантования рас-
сматриваемая динамическая величина s-кратного типа

192 ГЛ. 4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ
¦¦г
дается оператором
X -ф (x's) ... -ф (х[) dxt ... dxs dxi ... dx's D.46)
или, в более краткой записи,
X {Si ,1|>4... qx\Xl Xt dxl... dxs. D.47)
§ 5. Гамильтониан системы
в представлении вторичного квантования
Можем теперь перейти к преобразованию гамильтониа-
на нашей динамической системы к представлению вторич-
ного квантования. Возьмем гамильтониан в форме A.36),
введенный в гл. 1:
UluUt D.48)
где для матричных элементов одночастичного оператора Т
и двухчастичного оператора U будем пользоваться обозна-
чениями A.37).
Поскольку такой гамильтониан состоит из суммы адди-
тивной и бинарной компонент, в представлении вторичного
квантования будем иметь
Н = J т|з+ (х) Т (х, х') т|з (x')dxdx' +
) х
D.49)
В частности, гамильтониан A.38)
D.50)
для которого переход от D.48) характеризуется форму-
лами D.49), в представлении вторичного квантования

S6. ВРЕМЕННАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ОПЕРАТОРНЫХ ФУНКЦИЙ 193
будет
т Я ф ^—
Если в Я из D.50) необходимо учесть член, происходя-
щий от внешнего поля Ve{q):
5 U.{qt), D.52)
1 < / < N
то в D.51), очевидно, добавится выражение вида
dx. D.53)
§ 6. Временная эволюция операторных функций
а. Представление Гейзенберга. 6 рассматриваемом
представлении уравнение Шредингера будет
D.54)
но можно также воспользоваться подходом Гейзенберга.
Как известно, в этом подходе какая-либо динамическая
величина, которая в трактовке Шредингера изображается
оператором SD, представится оператором, явно зависящим
от времени по закону
iJLt -iJLi
D.55)
Введем, в частности, операторные функции
x)—e h 1|>(дс)е
D.56)
Заметим, что
e h
= e h ?bxe k e h S>2e h ... e
JLt -t2L, tJL, -iJLt
т. е.
е * fzbJzb, ... 3),е * г=^Щ>г (t)€D2 (t) ... €bl(i). D.57)
7 Н. Н. Боголюбов, Н. Н. Боголюбов (мл.)

194 ГЛ. 4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ
Вспомним далее, что на основании D.29), D.42), D.46) рас-
сматривавшиеся нами операторы типа 8(, 33, ..., ©(s>, ...
выражаются через произведения операторных функций
••¦*(*,ж*;)•••*&), s=-1,2,3...
Поэтому благодаря свойству D.57) видим, что
«@. »@ ©"(О
представляются выражениями, получающимися из соот-
ветствующих выражений D.29), D,42), D.46) просто за-
меной i|)(x), i|)+ (x) на i|5(f,x), \p+(t,x). Таким образом,
задача нахождения зависящих от времени динамических
величин в картине Гейзенберга приводится к нахождению
операторных функций -ф (^, х), ty+(t, x).
б. Перестановочные соотношения. Основываясь на
равенствах D.56), D.57), видим, что
{ф (t, х) ф+ (t, x') ± ij>+ (t, x') * (Л х)} =
Ц+(х')Ц+ (х)\е к .
Отсюда вытекает, что операторные функции -ф (^, х),
ty+(t,x) удовлетворяют таким же перестановочным соот-
ношениям D.4) или D.5), как и ip(x), i|)+(x).
А) Случай Бозе:
х) * (Л х')
*)==°. D-58)
(f, jc)i|)+ (/, x')-il5+ (<, х')^+ (t, x) = Q.
Б) Случай Ферми:
(t, x>)+q+ (t, х')Ф(Л х)-б(х-х'),
хI1>(Лдс') + 1|)(Лх')*('.*) = 0. D-59)
+ (t, x')+q+ (t, x')t+ (t. x)^0.
Подчеркнем, что такие перестановочные соотношения
верны лишь для одновременных операторных функций

§6. ВРЕМЕННАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ОПЕРАТОРНЫХ ФУНКЦИЙ Jg5
$(,x), i|)+(*. х). Коммутационные соотношения при раз-
ных временах, скажем, i|5(^ls xt) с i|)+ (tit хг) отсюда
никоим образом не вытекают.
в. Временная эволюция операторных функций. По-
строим теперь уравнение для временной эволюции опера-
торных функций. Так, из D.56) имеем
D60)
Заметим далее, что поскольку Н является интегралом
движения:
t
He
и это выражение не зависит от t, можем заменить в пред-
ставлении гамильтониана, например D.49), операторные
функции i|)(x), i|)+ (x) соответственно на ty(t, x), ty+\t,x)
и затем, пользуясь перестановочными соотношениями
D.58) или D.59), раскрыть коммутатор, стоящий в пра-
вой части уравнения D.60),
Возьмем для примера случай гамильтониана D.50),
для которого в представлении вторичного квантования
получено выражение D.51). Ввиду только что сказанного
это выражение будет равно
Используя перестановочные соотношения D.58) или D.59),
нетрудно убедиться, что в обоих случаях справедливы
следующие выражения для коммутаторов:
, х), ^ (t, xjq* (t,
= 6(x-x1)ij)+ (t,

196 ГЛ. 4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ
Поэтому для коммутатора в правой части D.60) найдем
ввиду D.61)
Обозначим в первом интеграле правой части перемен-
ную х2 через х', а во втором интеграле обозначим через х'
переменную интеграции хх. Получим
V'
Таким образом, в более развернутом виде, положив
x = q, v, представим уравнение D.60) в следующей форме:
где
D.63)
г. Обсуждение. Заметим на основании D.32), что опе-
ратор, стоящий в D.63) в фигурных скобках, есть опера-
тор, представляющий плотность числа частиц в момент
времени t:
2ч>+(*. Я, v)i|>(*f q, v) = p(f, q), D.64)
и, следовательно, D.63) эквивалентно выражению
?/,.(*, q)=^O(q-q')9(t,q')dq'. D.65)
Как видно, по своей форме уравнение D.62) аналогично
обычному уравнению Шредингера, соответствующему дви-
жению частицы в поле потенциала t/t. Сам этот потенциал

§6. ВРЕМЕННАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ОПЕРАТОРНЫХ ФУНКЦИЙ \QJ
как бы вызывает распределение частиц с плотностью p(t, q)
(см. D.65)).
Характерное отличие нашего уравнения D.62) от соот-
ветствующего «классического» нелинейного волнового урав-
нения состоит «лишь» в операторной природе i|>, ty+, т. е.
в наличии перестановочных соотношений D.58) или D.59).
Формально это уравнение D.62) получается как бы «вто-
ричным» квантованием — квантованием волновых функций
из «классического» уравнения Шредингера с «самосогласо-
ванным полем» Ui(q). Слово классический мы ставим в ка-
вычки, поскольку для самого получения такого уравнения
уже требуется одно, так сказать «первичное», квантова-
ние. В теории поля имеется подобный подход: берут поле-
вые уравнения, получаемые из некоторого лагранжиана,
и затем на полевые функции накладывают соответствующие
перестановочные соотношения, совместные с данным вре-
менным уравнением для полевых функций.
Можно также дать представление для статистического
оператора комплекса s частиц (см. [43, формула B.50)):
f.
f'x П
•••%'t(xa)%(x'i) •¦• %№). D.66a)
Учитывая введенные операторные функции C.54), имеем
*\s \Xl> • ¦ • i Xs", Xi, • • . , Xs) —
nvT >- D-666>
Здесь черта сверху (угловые скобки) означает усреднение
по «переменным вторичного квантования». В случае
усреднения по «чистому ансамблю» [4]
as(l, ..., s) = (C, os(l, ...,
= 2 C*(...,nh...){as(\, ..., (I ..
..., П ,| ... '

198 ГЛ. 5. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В общем случае усреднения по «смеси»
••••¦•••• 4
X®(...,«;,... ; .... nff ...), D.67)
где S>—полный статистический оператор системы в пред-
ставлении вторичного квантования. Кроме того, со-
гласно [4]
ЯЛ1 s) = as(l, ..., s),
a 0Д1, ..., s) является оператором «двойного действия»,
действующим, с одной стороны, на обычные волновые
функции комплекса частиц, а с другой—на волновые
функции вторичного квантования [4]. Указанное выше
усреднение переводит его в обычный оператор
действующий на обычные волновые функции комплекса
s частиц.
Глава 5
ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
К МЕТОДУ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ
В этой главе мы сделаем ряд дополнительных замеча-
ний по поводу метода вторичного квантования.
§ 1. Не зависящие от числа частиц системы
Прежде всего обратим внимание на то обстоятельство,
что в представлении вторичного квантования форма опе-
раторов аддитивного, бинарного и т. д. типов, в частности,
и гамильтониан нашей динамической системы, не зависит
явно от числа частиц N. Это число войдет в выражение мат-
ричных элементов таких операторов через посредство JV-
частичных волновых функций С. Указанное обстоятельство
оказывается весьма удобным для задач статистической ме-
ханики, в которых мы имеем дело с так называемым боль-
шим ансамблем Гнббса.

g 1. HE ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ЧИСЛА ЧАСТИЦ СИСТЕМЫ 199
а. Большой канонический ансамбль. Большой ансамбль
Гиббса характеризуется гамильтонианом
E.1)
содержащим параметр \i, называемый химическим потен-
циалом. Средние значения динамических величин берутся
по статистическому оператору
большого ансамбля
Существенное отличие такого ансамбля от обычного
ансамбля Гиббса состоит в том, что шпуры в E,2) берутся
по состояниям с произвольным, а не с фиксированным
значением числа частиц N.
Ввиду E.2) среднее число частиц N будет
syp7-r/f---/(^ о). E-3)
и мы можем рассматривать зто соотношение как урав-
нение для определения химического потенциала |л по
заданному значению N.
б. Квазидискретное представление. Вообще, в статисти-
ческой механике целесообразно рассматривать динамиче-
ские системы, находящиеся в конечном объеме, и затем
уже совершать предельный переход, расширяя этот
объем на все пространство. Дело в том, что если имеем лю-
бое конечное число частиц в бесконечном пространстве, то
их средняя плотность оказывается равной нулю. Поэтому,
если мы желаем рассматривать динамическую систему сра-
зу во всем бесконечном пространстве и вместе с тем обеспе-
чить отличную от нуля плотность числа частиц, мы тем са-
мым оказываемся вынужденными иметь дело с бесконечным
числом частиц. Но тогда оператор J\T, да и сам гамильто-
ниан Н, эффективно пропорциональный числу частиц, те-
ряют смысл и становится необходимым проводить дополни-
тельные исследования, связанные с переформулировкой
самой постановки задачи. Чтобы избежать этой формальной
трудности и иметь дело с конечным объемом, удобно

200 ГЛ. 5. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
воспользоваться методом квазидискретного представления,
о котором говорилось в гл. 2.
В соответствии с основной идеей этого представления
рассматриваем в качестве допустимого пространства точек
конечную область, определенную неравенствами
-Ь/2<ф*)<Ь/2, а-1,2,3, E.4)
с объемом V — D. Буквой V будем обозначать как область
E.4), так и ее объем. На волновые функции
Ф(Х!, ..., xN), x = (q, v)
наложено условие периодичности с периодом L по каж-
дой из пространственных координат ffiK При этом, чтобы
обеспечить выполнение такого условия периодичности
для всех моментов времени t, берем для потенциальной
энергии взаимодействия пары частиц вместо интеграла
Фурье B.17)
ф м -w 1е'(М>f (k) dk (k q)=(* ¦ ^ E-5)
дискретную сумму B.18)
E-6)
в которой в качестве k взято дискретное множество B.15)
k = Bnnil)/L, 2nn{%)lL, 2nn{s)/L), E.7)
где nia) — целые числа, могущие принимать любые отри-
цательные и положительные (а также нулевые) значения.
в. Базисные и операторные функции. Как отмечалось
в гл. 2, дискретная сумма E.6) переходит в интеграл
Фурье E.5) при V—>-оо. Ввиду периодичности волновых
функций по отношению ко всем пространственным коор-
динатам система базисных функций взята в форме
B.6), B.14):
^<*-«e(v-o) E.8)
с дискретным k из множества E.7). Данная система E.8),
очевидно, будет полной и ортонормированной для обла-
сти V.

§ 1. НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ЧИСЛА ЧАСТИЦ СИСТЕМЫ 201
Введем теперь операторные функции, положив
, E.9)
где Ofe, v, а? v являются квантованными амплитудами Бозе
или Ферми с соответствующими перестановочными соот-
ношениями. Нетрудно заметить, что поскольку
для q и q', лежащих внутри области V, введенные опе-
раторные функции E,9) удовлетворяют перестановочным
соотношениям D.4) и D.5) внутри этой области, которую
мы только и рассматриваем.
г. Представление вторичного квантования для гамильто-
ниана Г. Отсюда видно, что все рассуждения гл. 4
остаются верными и в данном случае, когда в качестве
допустимого пространства точек q берется область V.
Получим поэтому для гамильтониана следующее пред-
ставление вторичного квантования:
Е ^ф()*+( O^+fa H(? v2)x
X4>(?i. vjdqidq,. E.10)
Для преобразования Г к форме, составленной из кван-
тованных амплитуд, нам остается только подставить
соотношения E.6), E.9) в выражение E.10). При вычисле-
ниях целесообразно иметь в виду соотношения ортонор-
мированности с кронеккеровской функцией
V6KJl(k—k'). E.11)
Заметим, что связь между дираковской 6-функцией и кро-
неккеровской 6 будет

202 ГЛ. 5. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Запишем теперь
и далее
ф(<7г-<72)^+(<7i.
fci, fcj, felf
Ввиду E.11) интеграция этого выражения по ^ и
дает множитель
Таким образом, из E,10) получим
k, v
**. E-12)
Здесь в случае бесспиновых частиц индекса v совсем не
будет. При рассмотрении частиц с половинным спином v
пробегает два значения v = ± 1/2.
д. Вектор импульса. Заметим, между прочим, что
гамильтониан E.10) коммутирует с вектором импульса
нашей динамической системы:
J
V v
E.13)
Действительно, коммутация Р с первой суммой в правой час-
ти E.12) тривиальна, в отношении же второй части доста-
точно заметить, что оператор ak\ak\t вызывает уменьшение
Яна k[-\-k'i, а оператор aklVlaklV, вызывает увеличение

§2. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ 203
Р на ^ + ^2. Но этот вектор равен вектору k\ + k'2 ввиду
наличия кронеккеровской 6-функции t>(k1 + k2—k[—k'i).
Таким образом, в принятой квазидискретной схеме
импульс Р является интегралом движения. В заключе-
ние подчеркнем еще раз, что при пользовании квази-
дискретным представлением необходимо всегда иметь
в виду предельный переход
V—> «>. E.14)
§ 2. Волновые функции в представлении
вторичного квантования
В гл. 4 мы основывались на формуле D.1), рассматри-
вая ее как определение волновых функций в представле-
нии вторичного квантования. При этом мы существенно
использовали лишь перестановочные соотношения D.4)
или D.5) для операторных функций ty(x), ^+ (х) и совер-
шенно не нуждались в той конкретной специальной конст-
рукции квантовых амплитуд, о которой говорилось в гл. 3.
а. Условия. Покажем, что представление D.1) можно
формально получить из следующих общих соображений:
A) Рассматриваем линейное пространство 3? векто-
ров С, представляющих состояния изучаемой динамической
системы, в котором определено скалярное произведение
двух векторов
(Си Сг) E.15)
с обычными свойствами.
Б) Пусть на векторы этого пространства действуют
операторные функции т|э(х), т|)+ (х), удовлетворяющие пере-
становочным соотношениям D.4) или D.5), переводя их
опять в векторы того же пространства. Таким образом,
если С есть вектор из J2*, то
гр(*)С, V(x)C E.16)
также будут векторами из 2.
B) В S? существует нормированный вектор Cvac, для
которого
и для которого для всех х

204 ГЛ. 5. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Г) Если Со будет таким вектором в 3', что для всех х
¦ф (ж) С. = 0, E.17)
С.-Ж-С„е, E.18)
где Э?—нормировочный множитель, который можно выно-
сить за знак скалярного произведения:
(С, Св) = Э?-(С, Cvac). E.19)
б. Замечания к условию Г). Скажем сейчас несколько
слов по поводу смысла этого условия, которое на пер-
вый взгляд может показаться тривиальным.
I. Ограничение на число сортов частиц.
Возьмем динамическую систему, состоящую из двух под-
систем—у 1-й подсистемы состояния нумеруются числами
заполнения (... rif ...), а состояния 2-й подсистемы нуме-
руются некоторыми независимыми величинами X, Пред-
ставим волновые функции всей такой системы в виде
С = С(..., nf, ...; X) E.20)
и введем скалярное произведение, положив
(Ci, С,) = 2 2 Cl(...,nf, ...;X)C2(...,ni, ...;X).
X .... n , ...
E.21)
В случае, если X непрерывны, естественным образом
заменяем суммирование по X соответствующей интегра-
цией. Введем операторные функции г|)(х), i|>+ (x), оказы-
вающие воздействие лишь на числа заполнения ..., nf, ...
и не действующие на X. В таком случае из соотноше-
ния E.17) будет вытекать, что
C0(...,nf, ...; Х)-ф(Х)Пб(«/). E-22)
Но ввиду принятого определения E.21) скалярного про-
изведения входящий в E.22) множитель ф (X) уже нельзя
выносить за знак скалярного произведения. Таким обра-
зом, условие Г) является, в сущности, условием того,
что рассматриваемая динамическая система состоит из
частиц одного сорта—бозонов или фермионов.
Если же полагаем, как и везде ранее, что имеются
лишь частицы одного сорта, и соответственно определим

§2. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ 205
скалярное произведение как
(Ci. С.)- S СГ(..., Л/, ...)Са(..., П/1 ...),
то если С и зависят от некоторых параметров X, не свя-
занных с (..., rif, ...). то в соотношении E.22) ф(Х)
будет множителем, который можно выносить за знак
скалярного произведения. Примером С, зависящих от X,
могут служить, например, выражения E.16), в которых
Х = х.
II. Выражения для Э? и Со. Взяв в E.19) С=Суас,
найдем Э? = (С„ас, Со), и подставив в E.18), будем иметь
C0-Cvac.(Cvac, С„). E.23)
Таким образом, из условия (Г) следует, что если E.17)
имеет место для всех х, то такое Со представимо в виде
E.23).
в. Вывод выражения для волновой функции. Основы-
ваясь на этих общих положениях, перейдем к получению
представления D.1).
Введем оператор
$ E.24)
Поскольку oJV представляется интегралом от произведе-
ния оператора ty(x) на сопряженный оператор \|з+ (х),
ясно, что оАГ" является самосопряженным оператором
и что его собственные значения не могут быть отрица-
тельны. Повторяя вычисления гл. 4, основанные только
на перестановочных соотношениях, убеждаемся, что
— 1), E.25)
). E.26)
Но из E.25) вытекает
(*,) ... i|> ixj = i|> (xs) ... яр (Xj) (о!\Г—s). E.27)
Основываясь на этом равенстве, нетрудно заметить, что
собственные значения j\P целые. Действительно, возьмем
некоторый собственный вектор С„ для #, соответствую-
щий собственному значению п:

206 ГЛ. 5. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Ввиду E.27) будем иметь
т. е.
JVNjHxJ ... *(х,)Ся=(п—8)ф(х,) ... WJC.. E.27A)
Таким образом, если вектор
... Ф(Ж!)СВ E.28)
не является тождественным нулем (равным нулю при всех
#и •••• xs), то он будет собственным вектором для ol\P,
соответствующим собственному значению, равному (п—s).
Поскольку, однако, собственные значения о1\Г не могут
быть отрицательными, отсюда следует, что, начиная
с некоторого s, выражения E.28) должны тождественно
обращаться в нуль. Если E.28) тождественно обращается
в нуль уже при s=l, то это значит, на основании усло-
вия Г), что С„ пропорционально Cvac и, следовательно,
п = 0. Пусть далее E.28) не обращаются тождественно
в нуль при s=l, 2, ..., I, а для s = /+l данное выра-
жение уже является тождественным нулем. Стало быть,
имеем
CB}-0
для всех х[+п и потому
Приняв во внимание E.27А), убеждаемся, что п = /.
Итак, все собственные значения N оператора dV8 яв-
ляются целыми: # = 0, 1, 2, ... Возьмем состояние, для
которого JV>1: о1\ГСлг = Л^Сдг, и попробуем представить
его в виде D.1). Чтобы построить такое представление,
введем, воспользовавшись D.20)э функцию
E.29)
Если N^2, то в случае статистики Бозе чр (Ху) коммути-
руют между собой и у(хи ..., xN) оказывается сим-
метричной функцией хи ..., д;^, в случае статистики
Ферми i|)(;O ... ty(xN) антикоммутируют и ф (хи .... xN)
оказывается, тем самым, антисимметричной функцией
X | • • . ! ХДГ.

§2. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ 207
Нам остается теперь показать, что в обоих случаях
E.30)
Чтобы доказать это равенство, заметим, что
(*) * Ы ... i|) («0 С^—-ф (х) яр Ы ... i|) («0 х
X
Так как JV не имеет отрицательных собственных зна-
чений, отсюда вытекает, что при всех х
Применив условие Г), видим, что
г|> (ж*) ... г|> (*i) С* = Cvac (Cvtci_i|> (x^) ... г|) (xj CN) =
-ИгЛПСтФ(х1, .... хл,), E.31)
и потому благодаря E.30)
j V («0 Ф+ (%) Сф (xlt .... xN)dxt ... dxN =
•• Ф (*i) Cffdxt... dxN.
E.32)
Для вычисления интеграла по xlt ..., xN заметим, что
>+ (xj ... i|)+ to) ф to) ... гр to) CNdxs =
-(лг—S+ 1)яр+to)... v to_x)^ to-0 • • •
Отсюда получаем последовательно
J i|)+ to) ... гр+ to)i|> fay) ... i|> (xx)dxj ... dxNCN =
= J i|>+ (xx) ... г|)+ to_ 01 to-i) • • • t (*i) dXj... dxN_rCN=
= 2 J V to) • • • V tor-¦)* tov-i) • • • * (*i) dxi• • -Лслг-3cjv=
- ... = m cN.

208 ГЛ. 5. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Подставив это тождество в E.32), мы и получим искомое
представление E.30). Поскольку
C
vac,
видим, что для выражения E.30) оператор ol\T действи-
тельно принимает собственное значение, равное N. Ясно
теперь, что оператор Jf в нашей общей схеме также
представляет число частиц.
Мы до сих пор имели дело с ^-частичными С-собст-
венными функциями оператора числа частиц о1\Г. В общем
случае, если мы имеем дело с состояниями, в которых
число частиц не фиксировано, то можем написать
C = %CN E.33)
N
ИЛИ
E.34)
причем ф определяется через CN с помощью формул E.29).
Нетрудно заметить, что два С, соответствующие различ-
ным значениям N, будут ортогональны. Имеем, действи-
тельно,
t, CNi),
т. е. (Nl~N2)(CNi, Щ = 0, и потому
(Саг,. Щ = 0 для ЫгфЫ2.
Отсюда видим, что выражение
Ы Cvac, Cat,)
равно нулю, если Nt Ф N, поскольку ty+ (xj ... ij;+ (xN) Cvac
есть Л/'-частичный вектор в 3'. Поэтому, подставив E.33)
в E.29) вместо CNi мы не изменим результата. Итак,
ф := (Civac, о),
\ . . v.ac'. . ! . '. E.35)

§3. МНОГОКОМПОНЕНТНАЯ СИСТЕМА ' 209
Как видно, состоянию С с нефиксированным значением числа
частиц соответствует цепочка обычных волновых функций;
С будет играть роль как бы «производящего функционала».
Особо важное значение такие С с нефиксированным чис-
лом частиц имеют для динамических систем, для которых
оператор числа частиц не является интегралом движения.
Динамические системы, в которых частицы могут появ-
ляться и уничтожаться, весьма типичны для квантовой тео-
рии поля. Однако и в обычных, нерелятивистских задачах
статистической механики иногда оказывается целесообраз-
ным рассматривать динамические системы с несохраняющим-
ся оператором числа частиц Jf.
§ 3. Динамическая система, состоящая
из нескольких сортов фермионов и бозонов
Мы до сих пор рассматривали динамические системы,
состоящие из одинаковых частиц. Не представляет, одна-
ко, затруднений перенести все наши рассуждения и на бо-
лее общий случай, когда мы имеем динамическую систему,
состоящую из нескольких сортов бозонов и фермионов.
а. Обычные волновые функции. Возьмем для простоты
изложения случай, когда имеем дело с двумя сортами час-
тиц. Обычные волновые функции такой динамической си-
стемы представим в форме
Ф = Ф (*i xNt; y1 yNt). E.36)
Здесь Nj — число частиц /-го сорта (/=1, 2), х — перемен-
ные, параметризующие состояния одной частицы 1-го сорта,
а у — 2-го сорта.
Поскольку все частицы данного сорта одинаковы, они
являются бозонами или фермионами. Таким образом, если
частицы 1-го сорта являются фермионами, то ф — анти-
симметрическая, а если бозонами, то симметрическая функ-
ция хи • • -, xN. Аналогичное утверждение относится и к
свойствам симметрии ф по отношению к ylt . . ., yNa.
б. Операторные функции. Для перехода от обычного
представления E.36) к представлению вторичного кванто-
вания введем операторные функции *)
*) Для конкретного построения таких операторных функций
можно воспользоваться процедурой, подробно изложенной в гл. 2 и 3.
Именно, возьмем полные ортонормированные системы ^/(х),
6f, (у) и перейдем от х, «/-представления E.36) волновых функции

210 ГЛ. 5. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ.
со свойствами:
A) \|)lt \J)f всегда коммутируют с ty2, tJ^+.
Б) ty, ¦ф/' при данном /=1, 2 удовлетворяют пере-
становочным соотношениям Бозе (если частицы этого
сорта—бозоны) или Ферми (если частицы этого сорта —
фермионы).
B) Имеется Cvac—функция «вакуумного состояния»,
для которой
(CvaC9 Cvac)= 1
и для всех х и у
Тогда путем естественного обобщения применявшейся
процедуры определим С-волновую функцию в представ-
лении вторичного квантования в виде
1 xNl; у1 у^йхг ... dxNdyx...dyNt. E.38)
в. Преобразование динамических величии. Как было по-
казано в гл. 4, преобразование динамических величин к
к их /, /'-представлению:
<P(*i xN\ y1 yN) =
2 M/i /а',;/! W^
i
Далее вводим две системы чисел заполнения ..,, п., ...; ...,т^,, ...,
соответственно двум системам аргументов /1; ..., fNl; f[ /л/а
функции F. Указанным в гл. 3 способом строим амплитуды alt .
at f, «a, f, as,f, действующие соответственно на аргументы ..., я,, ...
и на аргументы ..., mf функции С = С (..., я^, ...;..., т. ).
Таким путем получаем в качестве aj, af амплитуды Боэе или Ферми
в зависимости от характера частиц /-го сорта. Во всяком случае
(alt /, Oij f) всегда коммутируют с (а2, f>, a2* /-) как операторы, дей-
ствующие на рааные группы аргументов. С помощью квантованных
амплитуд строим, наконец, и операторные функции:
+1 м=2 Vf (х) «1,,! +• (у) -- Ъ в, (й в,,,.

§з. многокомпонентная Система , 211
представлению вторичного квантования целиком основы-
валось на лемме и ее следствиях I, II. Фактически такое
представление непосредственно вытекало из равенств D.6),
D.16) (следствие I) и D.17) (следствие II), причем в равен-
стве D.17) содержится и D.6) прия=1 и равенство D.16) при
s—2. Но если обратить внимание на доказательство леммы
и ее следствий, то легко заметить, что при этом использо-
валось только одно свойство Cvac, а именно
при всех х. Так как
^(x)^t (yj- ¦ -^ (yNa) Cvac = 0
при всех х, то в нашем случае можем переписать D.17)
в виде
S *i &)• • -*i (*i) *f (*i)• • •*? for,) tf (fc> • • •# (Vn) Qac X
X Ф (xlt ..., xNi; ylt ..., ^) d^.. .dxNl dyx.. .dyNi -
• • •# (yN2) cvac Ф (Xi, ¦•-,xNi; ylt ..., yNi) 6 (xi—xj.. •
• • .bix'i—xjdb.. .dxN,dyx.. .dyNl. E.39)
Совершенно аналогично, изменив роли iJv, tyX\ tyv 'фа и
учитывая их коммутацию, получим
• • •№ (У*,) Cvac-Ф (Xi, ...,xNi;y1:..., yN) 6 (y[— y,)...
¦ ¦ .b(y's-ys)dXl.. .dxNtdyi.. .dyN%. E.40)
Если теперь приложим оператор %(y's)- ¦ -^(у[) слева к
обеим частям тождества E.39) и учтем затем тождество
E.40), то будем иметь
• • ¦№(Уъ)cvacФ(^i. • • •» xNi; ylt .
...dxNidy1...dyN={Ni...(N1-s1+\)}{Ni...(Ns-s2+l)\x
X J -ф? (x,i+1) • • -W (^,) ^2+ (y,1+ x)—чр* (yNi) Cvac x
, ...,xNt;ylt...,yNtN (x'i—xd... 6 (*;,—x,,)a@i—ft)...
. E.41)

212 ГЛ. 5, ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Основываясь на E.39) и дословно повторяя рассуждения
гл. 4, видим, что динамические величины аддитивного,
бинарного, . . ,, s-кратного типов, относящиеся лишь к
частицам 1-го сорта, в представлении вторичного кванто-
вания имеют ту же форму, что и в гл. 4, если взять там
ip=ip].. Благодаря E.40) то же относится и к динамическим
величинам этих типов, относящихся лишь к частицам 2-го
сорта. Здесь в соответствующих формулах гл. 4, мы, ес-
тественно, должны положить ty^sj.
г. Динамические переменные «смешанного типа».
Пусть теперь мы имеем дело с динамическими переменными
«смешанного типа», являющимися Si-кратными по отноше-
нию к частицам 1-го сорта и Бг-кратными по отношению к
частицам 2-го сорта:
2 &i:*lta-.i /„, E.42)
где
«i!1..8!.,:! S? E.42A)
— оператор, действующий на переменные хи ..., xSt;
Уп ¦••>#«, рассматриваемых волновых функций <р, сим-
метричных по отношению к перестановкам между индек-
сами 1, ..., Si и по отношению к перестановкам между
индексами 1, ..., s2, соответствующим частицам 1-го и
2-го сортов, и где й)}),1.?', ( :/, / —тот же оператор
E.42А), только действующий соответственно на перемен-
ные *,-,, . ..,xlsi; yh, ..., y/sj функций ф.
Для приведения рассматриваемого (st, s2)-KpaTHoro
оператора E.42) к представлению вторичного квантова-
ния воспользуемся рецептурой гл. 4. Возьмем С, соот-
ветствующее ф, и построим
по формуле E.38).
Ввиду того, что ИХ1-2) симметричен по отношению к
частицам каждого из сортов, можем написать с помощью
простого обобщения формулы D.44Б) соотношение
с -
Ы • • • 1* ( Vn) cvac x
xNliV UN dx1...dxNidy1...dyNi.
E.43)

S3. МНОГОКОМПОНЕНТНАЯ СИСТЕМА 213
Обозначим через ЙК1- 2>(|, г\; г\', |'), где для краткости
положено
? = (*!, ...,*,,), Л = (Уь •••, 0,,),
л' = 0/ь •••,&',), ?' = (*i. •••,<), E.44)
матричное представление для оператора E.42). Тогда, ос-
новываясь на тождестве E.41) и почти дословном повторе-
нии рассуждений гл. 4, получим окончательно следующее
выражение для рассматриваемого (slt 5г)-кратного опера-
тора E.42) в представлении вторичного квантования:
{Уг)'"
y[.. .dy'Sidx[.. .dx'sr E.45)
д. Отсутствие зависимости от числа частиц. Возьмем
в качестве примера динамическую величину, аддитивную
по отношению к частицам и одного, и другого сорта
l
и обозначим через 1Ли 2) (хг, у^, у[, х[) матрицу, соответ-
ствующую U\\'i2\ Тогда благодаря E.45) видим, что в
представлении вторичного квантования
' = J UO. 2) (Х> у; у', Х') ^ (у) ф+ (д;
Рассмотрим теперь случай приведения к форме вто-
ричного квантования гамильтониана, содержащего член
взаимодействия частиц разных сортов:
+ s i«+ s i/i:/f). E.46)
i<i<l<x i<<jv

U14 ГЛ. Б. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Вводя принятые выше обозначения для соответствующих
матричных элементов, получим
Н = J # (д) Т™ (*,' х') ^ (x')dxdx' +
X d^ dxa^; cbca + 4 J i|* (Уг) № (У2) ^B> 2) (i/i, г/а; У» f/i) X
х(х,у; у', х')у, (у')-фх (дс')Лсdydx'dy'. E.47)
Как видно, в рассматриваемом представлении получаю-
щиеся выражения не зависят от чисел частиц Nu N2.
Эти числа войдут лишь в матричные элементы выраже-
ний через посредство С, соответствующих конкретным
значениям этих чисел:
где
oWi = J Ч>? (х) Ъ (х) dx, J\T2 = J iK (У) ^2 (У) dy.
Если нам приходится иметь дело с состояниями, для кото-
рых операторы чисел частиц dVi, oJVa не имеют определен-
ного собственного значения, то следует просуммировать
выражения вида E.38) по всем Wi, N*.
Заметим, что все только что отмеченное тривиально рас-
пространяется и на случай, когда имеется любое число раз-
личных сортов частиц.
§ 4. Коммутационные соотношения
для операторных функций
а. Коммутативность произвольного типа. В изложен-
ном методе операторные функции, относящиеся к различ-
ным сортам частиц, коммутировали. Нетрудно, однако,
сделать их антикоммутирующими. Пусть, например, име-
ем две пары вышерассмотренных операторных функций:
*(, #, ¦„ #. E.48)

/ §4. КОММУТАЦИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ 215
Построим новые операторные функции, положив
- E.49)
Поскольку оператор JVi = ) ty? (х) -фг (х) dx коммутирует
fe i}?2 и г|з? ясно, что свойства коммутации г|з\ г|з+' из одной
пары не изменятся. Возьмем, однако, две операторные
функции E.49), принадлежащие к различным парам:
6;, 6;, где б; = 1|); или ijjj', a 62 = ^, или tyf,
и заметим, что оператор в[ = в1 при перестановке с оЛР
изменяет #! на ±1. Поэтому
Таким образом, 6^ будет антикоммутировать с в'2. Вместе
с тем очевидно, что в формулах E.45), E.47) мы можем,
не изменяя результата, заметить операторные функции
E.48) на оперативные функции E.49), поскольку воз-
никающие знакопеременные множители (—lH**1 взаимно
компенсируются.
Сказанное непосредственно обобщается и на случай
любого числа сортов. Пусть, действительно, имеем сис-
тему пар операторов
*i, *i, *i, Ц, ¦Фз. *i Ь> №
таких, что любые два из них, относящиеся к различным
сортам частиц, коммутируют. Соответствующую систему,
у которой операторные функции, относящиеся к различ-
ным сортам частиц антикоммутируют, получим, положив
^ = (-1)^1++^-Ча = я|;Л-1)оЛГ1++сЛГа-1^^2, .... s,
и приняв аналогичные выражения для я|)+'.
б. Замечание о коммутативности. Таким образом, ви-
дим, что коммутация или антикоммутация операторных
функций, относящихся к различным сортам, может быть
выбрана произвольно — так сказать, по соглашению. Об-
щепринятое соглашение — предписывать коммутацию для
бозонных операторных функций, как для различных бо-
зонов, так и с фермионными операторными функциями.

216 ГЛ. 5. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Между фермионными операторными функциями, отно-
сящимися к различным фермионам, обычно принимают со-
отношения антикоммутации. Такой выбор удобен, в част-
ности, тем, что позволяет объединить формально в один
сорт фермионы различных сортов или бозоны различных
сортов за счет дополнения спинового индекса v индексом
сорта а.
Пусть, действительно, имеем в рамках принятого со-
глашения систему операторных функций
для s сортов фермионов или для s сортов бозонов. Чтобы
формально привести ее к случаю одного сорта, введем ком-
бинированный индекс (o = (v, а) и новый символ x=(q,
ш)= (q, v, а). Тогда, если положитья|з(х) =^a(q, v), то легко
убедиться, что ¦ф(лг), я|з+ (х) будут удовлетворять обычным
перестановочным соотношениям Ферми или Бозе. Имеем,
например,
= 6(a—а') 6 (v—v') 6 (q—q') = 6 {x—x').
Аналогично устанавливаем и остальные соотношения.
§ 5. Числа заполнения и /-представление
(замечания к главе 2)
Сделаем еще ряд дополнительных замечаний по по-
воду введенных в гл. 2 волновых функций в представ-
лении чисел заполнения. Прежде всего заметим, что
благодаря B.10) и ортонормированности полной системы
^(W имеем
где Flf F2—/-представления, соответствующие <ри ф2.
Таким образом, на основании ранее сказанного
(С15 С2) = (ф1, Ф.) Для С^ф!, С2«-*ф2. E.50)
Рассмотрим теперь равенство B.10) и воспользуемся не-
однократно применявшимся приемом перестройки суммы
по индексам /ls ..., fN к сумме по всем допустимым

системам
Ф (*i
¦-V-
f "f
чисел
, xN) =
(fi f
§5. ЧИСЛА
заполнения
v со-.«,.-
ЗАПОЛНЕНИЯ
. Получим
(/i, -Jn)
217
E.51)
а. Бозоны. Возьмем сначала случай системы бозонов.
Тогда благодаря B.27) видим, что F (fu ...,fN), стоя-
щую в E.51) под знаком второй суммы, можем заменить
на г С(..., щ, ...), следовательно,
V 9J (¦. ¦, if,...)
2 С(..., /zf, ...)Ф..., «,, ...(^i. ¦••
..п.... f
f E.52)
где
Ф..., Я/,...
=
(¦¦-,«,.¦¦¦)
E.53)
Фиксируем какую-либо систему (f[, ..., f'N) со (..., nf, ...
и рассмотрим произвольную систему fu ..., fN, также
соответствующую (..., nf, ...). Как видно, всегда можно
указать такую перестановку Р, что P(flt..., fN)=(f[,..., f'N).
Суммирование в E.53) можем поэтому рассматривать как
суммирование по всем $l(...,nf, .. Л — Л^!/Ц (nf\) раз-
личным перестановкам Р (включая тождественную). Заме-
тим далее, что если одновременно провести перестанов-
ку Р над (хи ..., xN) и над (/„..., fN), то произве-
дение обычных С-функций Ч^ (х^). .. Wf (xN) от этого не
изменится. Следовательно, данное произведение равно
P'xPf'{x1)...}:Pf' (xN), причем здесь перестановка Р дейст-
вует на (*!, ..., xN). Итак, выражение E.53) можно

218 ГЛ, 5, ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
представить в виде
«р....-,..л*.••¦.**)= i
E.54)
Нетрудно установить свойства ортонормированности
таких симметризованных произведений. Действительно,
из E.52) видно, что
*.... „р.... (*i, • • •, xN) <r> Ct = Дб, (nf—np).
Отсюда благодаря E.50) находим
т. е.
<*_..,*....• Г...^...»"^6*""'-"!"»- E-55)
..,
Итак, в случае Бозе волновая функция в представлении
чисел заполнения C(...,nf, ...) является коэффициент-
ным разложением симметричной функции ц>(х1г ...,xN)
в ряд по функциям E.53), получающимся из произведения
E-56)
симметризацией и введением нормирующего множителя
1/К0Г.
Здесь имеем существенное отличие представления чи-
сел заполнения от обычного /-представления B.10), в ко-
тором мы разлагаем симметричную функцию ф по полной
системе, вообще говоря, несимметричных функций E.56).
В /-представлении имеем поэтому дополнительное условие
симметрии, наложенное на волновые функции F(fu . . .
. . •» /л), а в представлении чисел заполнения ввиду E.52)
условие симметрии волновых функций ф(лгь . . ., л:^) ав-
томатически выполнено при «произвольных» функциях
(

§6. ЧИСЛА ЗАПОЛНЕНИЯ 219
б. Фермионы. Совершенно аналогичная ситуация воз-
никает и в случае системы фермионов. Действительно, воз-
вратимся опять к равенству E.51) и среди
(/i Ысл(...,п/, .-.) E.57)
|ыберем «упорядоченную» систему:
t
>(•••, «/. ••¦)• E.58)
Но для каждой системы (ft fN), удовлетворяющей
{5.57), мы, очевидно, можем найти такую перестановку Р,
.что P{fu ...,fN) = (gu ...,&v). Тогда в E.51)
ft. ••¦.**)-
-(
и мы получим
= 2 С(...,я,, ...) Ф.„, ...... (*!.¦•
¦-"Г- f
E.59)
где
ф.... пг ...(*!,...; ^H^ii^ ^
E.60)
Повторяя рассуждения, только что использованные для
случая системы бозонов, убеждаемся, что и эти антисим-
метризованные функции E.60) обладают свойством орто-
нормируемости E.55). Итак, в случае Ферми волновая
функция в представлении чисел заполнения является
коэффициентом разложения антисимметричной функции <р
в ряд по функциям E.60), получающимся из произведе-
ния E.56) с помощью антисимметризации и введения
нормирующего множителя 1/]/*ЛП.
Отметим в заключение, что правая часть E.60) есть
не что иное, как умноженный на этот множитель детер-
минант Л^-го порядка

220 гл- 6- АНАЛОГИ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Г л а в в 6
НЕКОТОРЫЕ АНАЛОГИ
МЕТОДА ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ
В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Рассмотрим некоторые аналоги метода вторичного кван-
тования в классической механике. Возьмем для этого си-
стему N одинаковых бесспиновых частиц с гамильтониа-
ном, состоящим из суммы кинетических энергий частиц
и потенциальной энергии бинарного взаимодействия, ха-
рактеризуемого радиально симметричной функцией Ф (г)
(см. A.38) гл. 1).
§ 1. Метод вторичного квантования
Как видно из изложения гл. 4, метод вторичного кван-
тования в представлении Гейзенберга можно рассматривать
как прием формального сведения уравнений динамики дан-
ной системы N частиц к уравнению одной точки, движущей-
ся в «самосогласованном» потенциальном поле. Это до-
стигается за счет того, что волновая функция одной части-
цы ty(t, q) (и тем самым самосогласованный потенциал)
становится операторной функцией, удовлетворяющей пе-
рестановочным соотношениям Бозе или Ферми (см. D.58),
D.59)).
Рассмотрим какую-либо, например, аддитивную дина-
мическую переменную:
*= 2 А,- F.1)
Тогда в представлении Гейзенберга метода вторичного
квантования будем иметь
= S Л (qlt Й2)Г (t, <7i)iW, q,)dqidqz, F.2)
причем операторные волновые функции удовлетворяют
«одночастичному уравнению Шредингера»:
в котором
U(t,q)=l<S>(q-q')p(t,q')dq',
( • *

§ 1. МЕТОД ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ 221
а. Временная эволюция квантованного оператора Виг-
нера. Для выявления аналогии, или, говоря более осто-
рожно, некоторого соответствия между квантовой и класси-
ческой механикой одной частицы, находящейся во внешнем
поле, Вигнером было разработано специальное преобра-
зование, которым мы здесь воспользуемся в рассматри-
ваемом случае квантованных волновых функций.
Возвратимся для этого к выражению F,2) и совершим в
нем замену переменных интегрирования:
Яг=а+У2, q,=q-\l2. F.5)
Получим
$1 @ =
Введем смешанное, координатно-импульсное представле-
ние матрицы А, положив
A(q, />)=-$Л(9 + ?/2, q-l/2)e *d?, F.6)
а также квантованный оператор Вигнера
l2)e * d%. F.7)
Тогда, учитывая, что
^ b(l-l% F.8)
видим, что выражение F.2) можно представить в форме
F.9)
Из F.7), F.8) ясно также, что входящая в F.4) опера-
торная плотность числа частиц будет представляться
интегралом
\ F.10)
Заметим теперь, что, основываясь на уравнении F.3),
нетрудно получить уравнение для операторной функции

222 ГЛ. 6. АНАЛОГИ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
F.7). Имеем, действительно, благодаря F.3), F.4)
+ J Ф fa—Ф V V, Я) * {t, q) ф (*,
откуда, проводя сопряжение, получим
Таким образом, найдем
в
- S Ф fo-9) t+ (Л йг) V [t, q) * (/, 9) ¦ (Л <7Я) dq.
Но, воспользовавшись перестановочными соотношениями
D.58) или D.59), видим, что в обоих случаях
-t+ (t, q)$(t, q) ty+(t,
и потому
Ф(9l—
Кроме того, благодаря F.5) имеем
Следовательно, F.11) можно представить в форме
..fe эц> +(/,? +1/2) Ц* (<. g — 6/2)
{ft д.
ЛЛг (
, q-l/2)-U (t, q + t/2)-®(-t)+ F.12)

§ I. МЕТОД ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ 223
1 |Й
Помножим обе части этого уравнения на /2n.fo81% e ь и
проинтегрируем по |, а также воспользуемся фурье-раз-
ложением:
U(t,q± |/2) = J U (k) e» <«±S/«> dk, F.13)
Интегрируя по частям, найдем
'т
= — ?/(', ?' /»)¦ F>l4)
Имеем далее
1Й ±tt±
Таким образом, с учетом F.13)—F.15) приходим к
следующему уравнению для операторной функции /:
-Cb(k)[f(t, 9, p-ti)-f{U Я, P)]}dk. F.16)
б. Предельный переход Ь,—>0. Посмотрим, во что пе-
рейдет это уравнение, если совершить в нем формальный
переход к пределу %—>-0, не задумываясь пока над фи-
зическим смыслом такой процедуры. Получим
dq
\U&±f(t,q, p).
dp

224 ГЛ. 6. АНАЛОГИ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Но из F.13) имеем
t [ Ь»0 (к) dk - Щ^ _ J™*a=il p «,,', <,,<,
Таким образом, формальный переход к пределу % —»¦ О
приводит к уравнению вида
Г
J
/( ?,/,). F.17)
др
в. Квантование и вторичное квантование. Сделав это
замечание, возвратимся теперь к выражению F.9). Если
бы \|>, \|>+ были обычными волновыми С-функциями одной
частицы, то выражение F.2), F.9) представляло бы сред-
нее значение динамической переменной St в момент вре-
мени /, a f(t,q,p) была бы зависящей от t обычной
С-функцией в шестимерном фазовом пространстве точек
(q, p) и являлась бы квантовомеханическим обобщением
Вигнера классической функции плотности распределения
частицы в данном фазовом пространстве.
Однако, поскольку мы имеем дело с операторными
волновыми функциями в представлении Гейзенберга,
выражение F.9) задает саму динамическую величину —
оператор 31@, и функция f(t,q,p) также является опе-
ратором, действующим на состояния рассматриваемой
динамической системы из N частиц.
§ 2. Переход к классической механике
Возникает вопрос — как в такой ситуации перейти к
классической механике? Ответ на него в какой-то степени
тривиален. Квантовомеханическим операторам, действую-
щим на состояния динамической системы, соответствуют
в классической механике функции состояния, характери-
зуемого совокупностью пространственных координат и
импульсов:
ft@. ¦¦•> fcv@. /МО. •••> /МО-

S A(q{(t\Pi(t)), F.18)
1 < К N
§2. ПЕРЕХОД К КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ 225
Рассмотрим динамическую величину аддитивного типа,
теперь уже в схеме классической механики:
Тогда
где q{ — gi(t), Pi = Pt{t) как функции времени опреде-
ляются известнымиЗ[уравнениями классической механики
Klt<N
Из F.18) легко убедиться, что
%(t)=lA(q,p)f(t,q,p)dqdp, F.20)
где
2 (p-P/(t)). F.21)
Здесь, как всегда, &(q—qj), б (p—pj) — трехмерные дира-
ковские б-функции.
Итак, в классическом аналоге F.20) квантовомеханиче-
ской формулы F.9) выражение F.21) для / естественно ока-
зывается функцией состояния нашей динамической систе-
мы, т. е. функцией от совокупности qj(t), Pj(t). Как видно
из F.21), f представляет плотность числа частиц в фазовом
пространстве точек (с/, р). Заметим еще, что, как и в кван-
товом случае, мы можем выразить через эту функцию F.21)
бинарные, . . ., s-кратные динамические величины.
а. Бинарная динамическая величина. Возьмем, напри-
мер, бинарную величину
»(*)- S B{qit(t),plt(tY, w.(O;pi.(OJ. F.22)
1 </ <I<N
в которой В, {разумеется, симметрична по отношению
к перестановке обеих фазовых точек:
8 Н. Н. Боголюбов, Н. Н. Боголюбов (мл.)

226 ГЛ. в, АНАЛОГИ Б КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Имеем, очевидно,
1 < Л. К /t. Ki,< N
H F-2.3)
Ho
= J fi fo, p; q', p') 2 б (q-qJ{ (t)) б {p~ph (()) X
К Л < л/
, p; q', p')f(t, q, p)f(t, q', p')dqdpdq'dp'
. 5 h.j\
^ ^ /l "^ Л/
= lB(q,p'1q',p')f(t,q,p)b(q-q'N(p-p')dqdpdq'dpi.
Итак, учитывая F.23), получим для бинарной динами-
ческой величины следующее выражение:
S(O-4J fife, р; ?',/»'){/(*.*'./>')-
-b(q-q'N(p-p')}f(t, q, p)dqdpdq'dp'. F.24)
Совершенно такая же процедура непосредственно обоб-
щается и на случай s-кратных динамических переменных,
все они могут быть подобным же образом выражены
через функцию /.
6. Временная эволют я функции /. Составим теперь
уравнение, характеризующее временную эволюцию этой
функции. Положим
/, (/, q, р) -8 Kq-qj (/)) 8 (р-р, (t)), F.25)
так что
f(t,q,p)= S М*.*Р). F.26)
1 < (< N

$2. переход к Классической механике 227
Основываясь на уравнениях F.19), видим, что
df/(t,4,p) р/ д
i < А < л/
ИЛИ
'Ч'Р) = J д б (<7—<
dt — m ^?
"I" *^ ~ ~^(q~~~q/)^{p~~Pi)' F.27)
1 < /i < JV 5^ gp
Здесь
X
Xdq' b(q—q).
Но, как видно из F.21),
S ^(q-q/)^U(t^,P)dp = P(t,q), F.28)
i ^ it < л/
причем это выражение, очевидно, представляет плотность
числа частиц в трехмерном пространстве точек q. Следо-
вательно,
К ii <
J ^

228 ГЛ. 6. АНАЛОГИ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
и потому из F.27), F.25) найдем ¦••••.;•
"' '" dq
+ С^Й=Й {p(i,q')-6(q>-q)} dq'.±ff(t. q,p). F.29)
Отсюда, суммируя по всем j, получим искомое уравне-
ние для f(t,q,p)
f
J
^ {р( вмыцА
dq dp
Ап*. я. ру,
d
в. Уравнение Власова. Как [видно, F.30) полностью
совпадает с уравнением F.17), которое мы получили из
квантового уравнения F.16) с помощью формального
предельного перехода при %—»-0. Из только что приве-
денного вывода уравнения F.30) ясно, что в выражении
9{t,q')—6(qf—q) второй член с 8-функцией обусловлен
исключением «самодействия»—в уравнении для —%4-
в сумме по индексу }lt стоящей в правой части, исклю-
чается член с индексом ji = j.
Если формально регуляризовать функцию Ф(г) хотя
бы в сколь угодно малой окрестности г ~ 0, то ввиду
ее радиальной симметрии
(^) =o, F.31)
^(*w(^
dq v dr
и мы можем опустить упомянутый член с 8-функцией и
написать уравнение F.30) в форме
q,p). F.32)
dq dp
Это уравнение было впервые открыто А. А. Власовым [7]
и потому называется теперь уравнением Власова. Оно рас-

§2. ПЕРЕХОДА КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ 229
сматривается обычно как приближенное уравнение для
Макроскопической (усредненной) плотности числа частиц
в шестимерном" фазовом пространстве. Следует, однако,
подчеркнуть, что именно сам А. А. Власов также впервые
опубликовал в своей монографии [8], изданной в 1950 г.,
важное замечание о том, что его уравнение имеет и «микро-
скопические решения» F.21), которые мы рассматривали
выше, причем указал и на условие F.31) для исключения
«самодействия».
Аналогия между исследованием таких микроскопиче-
ских решений с методом вторичного квантования обсужда-
лась в работах Ю. Л. Климонтовича [9], [15].
Уравнение Власова, выведенное для микроскопических
решений, разумеется, может служить источником для полу-
чения приближенных уравнений для усредненных функ-
ций распределения (см. [16]). Возьмем, например, какую-
либо плотность распределения начальных значений qj,
Pj в момент времени ^=0:
в 6#-мерном фазовом пространстве, нормированную на
единицу:
l...dq%dp% = l,
и условимся обозначать среднее значение какой-либо
динамической величины F(t) — F(t, ql» pi; ...; q%, p%),
#, p\\ ...; q%, p%)dqldpl... dq%dp%.
символом <.F(t)>. Тогда, если в качестве первого при-
ближения принять
F.33)
то, проводя усреднение в обеих частях уравнения F.32),
получим приближенное уравнение Власова для усреднен-
ной функции распределения </(f, q, p)> числа частиц
в 6#-мерном фазовом пространстве
F.34)
dq dp

230 ГЛ. 6. АНАЛОГИ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Как видно, это уравнение F.34) сохранило исходную форму
F.32). Можно также использовать вместо F.33) и более
точные приближения — см., например, монографию
Ю. Л. Климонтовича [10].
Заметим далее, что в классической механике системы
из N одинаковых упругих шаров имеется еще одно уравне-
ние — уравнение Больцмана — Энскога, считавшееся
всегда лишь приближенным, но которое, тем не менее, име-
ет и микроскопические решения типа F.21) (см. [11]).
§ 3. Система одинаковых упругих шаров
Формально случай упругих шаров мы можем свести
к ранее исследовавшемуся случаю, в котором, однако, би-
нарная функция взаимодействия сингулярна:
Ф(г)=+оо, г<а,
Ф(г)-0,
где а—диаметр шара. Такую потенциальную функцию,
конечно, можно рассматривать как предел регулярной
функции, например
при 6-> оо. Однако этот предельный переход нам не пред-
ставляется удобным проводить непосредственно в уравне-
нии F.32) для функции F.21), и мы будем здесь исходить
прямо из известных классических законов соударения двух
упругих шаров.
а. Система из двух идентичных упругих шаров. Возьмем
вначале ситуацию, когда наша динамическая система со-
стоит из двух таких шаров, центры которых обозначим че-
рез qlt q2, а импульсы — соответственно через plt pt. До-
пустимыми будут, очевидно, лишь такие положения точек
Чи <7а. Для которых
\Ч1-Чш\>а. F.35)
Рассмотрим функцию состояний нашей динамической
системы F(qv Pi,qa, p3) и будем строить выражение для

§ 3. СИСТЕМА ОДИНАКОВЫХ УПРУГИХ ШАРОВ 231
Возьмем бесконечно малое положительное приращение
времени и составим разность
F (яУ. />*'; я?. p$*)-f tot, Ри q», л), F.36)
где для краткости положено: qj = qj(t), pf — pj(t); qf*=
=qj(t + M), pft = pJ{t + M). Если бы в течение данного
промежутка времени Д* соударения не произошло, то
наши точки—центры шаров—двигались бы равномерно
и прямолинейно, т.е. мы имели бы qf' = qj-\- — ht,
pfi==P/, /=1,2. В общем же случае представим иссле-
дуемую разность F.36) в форме
Ftoi*. pt*\ q?, tfO—Ffoi. Pu qt, р^ = Д1+Д„ F.37)
где
Как видно, разность Д^ отлична от нуля, лишь если
в промежутке времени Д* произойдет соударение обоих
упругих шаров. Ясно, однако, что такое соударение
фактически произойдет, если
m
F.39)
Положим для сокращения записи
F.40)
Тогда
;+о ДО2 = Y г2 + 2г (ев) Д< + Д/*и2
или, так как Д* бесконечно мало,
F.41)

232 ГЛ. 6. АНАЛОГИ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Отсюда сразу видно, что в области F.39) ввиду положи-
тельности At будет
(е- v) < 0. |F.42j
Далее можно заметить, что в области F.39)
9(— е-о)=1. F.43)
Так как Alt как уже отмечалось выше, может отличаться
от нуля лишь в области F.39), в которой справедливы
соотношения F.43), мы можем представить выражение
Aj, с учетом F.40), F.41), в следующей форме:
(—l.v){Q(r—а)—В (г—а+е-оД0}х
*Д*. р2)} .
Введем одномерную б-функцию 6(х), локализованную
в интервале @, -J-oo):
6(»)а|1швМ-||М<)| F44)
Тогда 0(г—а)—0(г—а+е-оАО^ — е • vЫ8(г—а),
*) Как видно из определения F.44),
8(х) = 0, хтЬО, F.46)
(x)d*=l. F.47)
Заметим, что при обычном определении функции б (х) она также
локализуется в бесконечно малой окрестности точки х = 0 F.46), но
не обязательно лишь в бесконечно малой окрестности положитель-
ных х. Поэтому ее условие нормировки будет
Как видно, наша б-функция F.44) формально может быть опреде-
лена из обычной б-фуикции с помощью соотношения
Итб(д;—е) (е > 0, г—>0). -
Таким образом, в F.45), если считать входящую в правую часть
б-функцию обычной, надо заменить в ней а иа а-\-0, т. е. сделать
замену a—>-а + в и совершить предельный переход к—>-0, в > 0.

S3. СИСТЕМА ОДИНАКОВЫХ УПРУГИХ ШАРОВ 233
поскольку e-i>A?<0. Далее, так как для фаз из об-
ласти F,39) соударение -щароъ. произошло, то р^ = р^
(/=1, 2); где р) обозначает импульсы после соударения.
Далее, qfl, ^+—Д* будут лишь бесконечно мало отли-
чаться от <7у- Таким образом, найдем, учитывая, естест-
венно, лишь члены первого порядка малости по отноше-
нию к М:
\ = At\~e-v\Q(—~e-v)8(r—a)X
X {F fa, pi; qt, p\)—F (qt, Pi; qv />,)} . F.45)
Найдем сейчас выражения для р], входящих в F.45).
Рассмотрим относительную скорость v (см. F.40) и выде-
->
лим в ней компоненту, параллельную г (т. е. параллель-
-> ->
нуюе), и компоненту, перпендикулярную к г:
v = e(ev)-\-v±, v± — v—е (е ¦ v). F.48)
Но после соударения v±_ сохраняется, а е -v меняет знак
->ф ->->-> -> ->
на обратный: di = 0j., e -v*~ — е • v. Поэтому, учитывая
F.48),
-» -»-»->-> -> -»->-»
о* = — е (е • v)-\-v± = v—2е (е • v),
т. е.
p:-p'*=Pi-p*-2 {(Pi-рУе) е. F.49)
Но по закону сохранения суммарного импульса
/»;+/»;=/»!+/»•• F.50)
Таким образом, из F.49), F.50) получим
pX^Pi—e{(Pi—pt)e),
pl = P2+e{(pi—pt)e}.
Как видно теперь, коэффициент при Д^ в F.45) является
функцией вида 8(г—а)/^у]=б(г—a)f(e), зависящей
также от ft + ft, ft.p,, t.
Установим сейчас одно полезное для нас тождество,

234 ГЛ. 6. АНАЛОГИ В КЛАССИЧЕСКИЙ МЕХАНИКЕ
Имеем
Введем орт в—единичный вектор по направлению R.
Тогда R—Ro, dR=R*dRdo, где, как обычно, da обо-
значает бесконечно малый элемент телесного угла. Таким
образом, найдем
6 (г—a) / $ = J б G—Ra) б (R —в) / (а) Я* d/? do =
(г—aa)f(a)da. F.52)
Это тождество мы используем для преобразования выра-
жения Л,, задаваемого формулой F.45).
Будет удобно ввести оператор Bltt(a), действующий
лишь на импульсы plt pv переводя их в «импульсы
после соударения» F.51):
ta)),
Pi,2 = Pi—P2- У '
Заметим, что из этого определения вытекает
Я,.1(-о) = ^.,(о). F.54)
Используя F.40), F.52), F.53), напишем для выражения
F.45) следующее представление:
?8—qt—aa){Blt3(a)— l}F(qit Pl\ q3,p2)da.
Для Д8 из F.38) находим непосредственно
Итак, на основании F.37) получим окончательно
dF(Qi,Pi\ gg, Pa)
dt
^ , 2)F(qu A; ?l, Pl),
/=1.2 а^
F.55)

S3. СИСТЕМА ОДИНАКОВЫХ УПРУГИХ ШАРОВ 235
где ГA, 2)—оператор, действующий на функции двух
фазовых точек
Ри <7s. PJdo. F.56)
В уравнении F.55) q. = qf{t), pf^pj(t) представляет
фазовую точку в момент времени t для центра /-й сферы.
Заметим, между прочим, что из самого определения
F.56) вытекает, что
7A. 2)-7B, 1), F.57)
поскольку, переставив две фазовые точки, достаточно
заменить переменную интегрирования орт а на —а,
чтобы получить исходное выражение.
Заметим далее, что если в начальный момент вре-
мени
\q\-ql\>a, F.58)
то и во все последующие моменты времени t > 0 будем
иметь
ki-?,l>e. F-59)
поскольку, как только | qi—q2 I станет равным а, произой-
дет соударение и это расстояние начнет увеличиваться.
Подчеркнем, что условие F.58) есть просто условие огра-
ничения лишь физически допустимыми траекториями цент-
ров упругих шаров, выражая свойство непроницаемости
шаров.
Однако само уравнение F.55) никак не связано с об-
ластью F.59) и формально может быть расширено. В част-
ности, из определения F.56) сразу же следует, что ТA,
2)=0 при | qt—q2 \<ia. Таким образом, хотя уравнение
F.55) и может быть тривиально расширено и на другие
области определения, физически правильные результаты
мы получим лишь для области F.59). Оператор бинарного
соударения Т(\, 2) называется поэтому иногда псевдоопе-
ратором.
Псевдооператоры бинарных соударений такого типа
были введены рядом авторов (см., например, [12, 13]).
Разумеется, они вводились этими авторами на основе ис-
пользования подобного рода операторов для изучения ди-
намических систем из N одинаковых упругих шаров,

236 ГЛ. 6. АНАЛОГИ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
находящихся в макроскопическом объеме V, которые могут
быть приняты в качестве классической модели газа. Пе-
рейдем сейчас к рассмотрению такой системы.
6. Система из N одинаковых упругих шаров. Так как
соударения шаров в принятой схеме классической механи-
ки происходят мгновенно, вероятность того, что данный
шар одновременно сталкивается с двумя и более шарами,
бесконечно мала, и мы можем учитывать поэтому лишь би-
нарные столкновения.
Возьмем какую-либо функцию динамического состоя-
ния:
F=F(qu рй . . .; qN, Pn),
где
F.60)
причем предполагается, что для начальных значений вы-
полнены физические условия непроницаемости шаров:
яи—Яи\>а при нФн. F.61)
Тогда, поскольку движение частиц равномерно и прямо-
линейно в промежутках между бинарными соударениями
можем написать
F.62)
dt I < / < n m dq}- a
Здесь 2 иДет по всем парам частиц, причем каждая
а.
пара учитывается, конечно, один раз; выражение для Та
дается формулой F.56), в которой вместо индексов A, 2)
поставлены индексы частиц, входящих в пару. Так как
ввиду F,57) TitJ=sTjtl, то в уравнении F.62)
aF=4 ? Г,и//. F.63)
К /, < N ...
' ' 1</
it
Применим теперь уравнение F.62) к частному виду функ-
ции типа F.25):
¦fj(t, q, p)mb\q-qj(<))б(р-р, («). ¦ F.64)

§3. СИСТЕМА ОДИНАКОВЫХ УПРУГИХ ШАРОВ 237
Найдем
dfj(t,q,p) Р/ д ^ . ,
dt m dq/ l < /, < Л/
Л*/
F.65)
поскольку
^O" W + ^C/i. /И-г (Л М-
При этом
-»¦ , ->
b(qq)b(p-Pj) = --—fj(t,q,p). F.66)
m 3?/ m
Перейдем теперь к раскрытию второго члена в правой
части уравнения F.65). Имеем
/. ь) /, - ?
—аа) б(?—9У) {б (p—Pj + o(pJt ;p))—8(p—pj)}da,
откуда, замечая, что
можем написать
|J6(ру,Ла)j(рЛЛо)|б(^-^.-
хЬ(р'—ph—a(PjtJp))dq' dp' do—
X б (9-^) б (?'-?,,) б (р-рУ|) б (р#—рЛ) d?' d/»' da. F.67)
Рассмотрим первый член в правой части F.67), содер-
жащий произведение трехмерных б-функций
о)в(р'-рЛ—а(ру,Ло)). F.68)
Заметим вообще, что если а есть какой-то трехмерный
вектор, то, выделяя в нем компоненту а-а, параллель-
ную о, и компоненту а±, перпендикулярную к этому

238 ГЛ. 6. АНАЛОГИ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
орту, можем представить трехмерную б-функцию б (а)
в виде б(а) = б1(а-а)ба(а1), где б^—одномерная, а б2—
двумерная б-функция. Применяя это замечание к произ-
ведению F.68), найдем, что оно будет равно следующему
выражению:
6l ((P — Pj) <* + (/>/. /,")) fil ((Р' — Р/г) ° —
~(pj, j?)) s2 (p^-ph б2 (р >L~pb- F.69)
Но тождественно
j—P/l)o=pa—p/ia = р'а + (р — р')а — рАа,
(P'-Pj) o-(p/—pJl)a = pia—pJ<j=p-a~(p—p') a~P/a.
Поэтому F.69) может быть записано в форме
6\ (pa—(p—pr) o—pjO) 6, (р'а + (р—р') а—
-Р/а) b2(pi—pj-)82(p '1_яй -
= &(p-o{(p-pl)o}-p/)-6(p'+o{(p-p')o)-pjl). F.70)
Таким образом, в первом члене правой части F.67) выра-
жение F.68) может быть заменено на F.70) и, как видно,
(PjttJa)s=—(р—р')о. Поэтому этот член будет равен
? ]'0 ЦР'-Р) °] I (Р'-Р) оI б (qj-qj-aa) x
У.ЧЧ-Ч/)ЧЧ''-Я/)Ь{Р'-<'\{Р-Р')*\ —
-р.)Ь(р> +o{{p-p')o}-p}t)<ki' dp' dxs. F.71)
Введем оператор Ъ (а), действующий на функции импуль-
сов р, р', определив его соотношением
р')о}). F.72)
Тогда из F.71) имеем
XНа) б (q-qf) б (р-Р/) b(q'-qj)b(p'-p^dq'dp'do. F.73)
Обратимся теперь ко второму члену правой части F.67).
Здесь, очевидно, (pJt jO) может быть заменено на (р—р') о.
Совершив над переменной интеграции—ортом о—замену

S3, CHCTfeMA ОДИНАКОВЫХ УПРУГИХ ШАРОВ 239
—а, представим\данный член в виде
XQ (?-?,) б (p-pj) 6 (q'-q/t) 6 (p'~Pj) dq' dp' do. F.7<)
в. Уравнение Больцмана — Энскога. Заметим теперь,
что хотя в уравнении F.65) сумма по /, идет с исклю-
чением индекса /х = /, мы можем распространить ее по
всем \г, поскольку, как это видно уже из F.67), имеем
тождественно
ТA. /)/; = О,
ибо, так как аа^1, то б(^у—qf—аа) — 0. Поэтому,
полагая
2 б iq-q,) б (p-pJt)-f(t, q, p) F.75)
i < it < «
и вспоминая, что на основании F.64)
b{q^qj)b(p-Pj)=f}{t, q, p), F.76)
а также учитывая представления F.73), F.74) для чле-
нов правой части равенства F.67), найдем
, q, p)f(t, q', p')dq'dp'do.
Подставив это выражение в уравнение F.65), будем иметь
-f/(t, q, p) +
d
dt m dq
>}\(р'-Р
t, q, p)f(t, q>, p')dq'dp'da

240 ГЛ. 0. АНАЛОГИ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
или, выполняя интеграцию по q', запишем
df;(t, q, p) p д ..
- = fj{t,q,p) +
at m oq
¦faa, p*')-fj{t, q, p)f(t, q-aa, p')}dp'da, F.77)
где
p^p-oiip-rta}, p*'=p + a{(p-p')o}. F.78)
Просуммируем теперь обе части уравнения F.77) по всем
/¦¦1, •-., N. Тогда, учитывая F.75), получим
dt m dq
-/(<. Я, P)f{t, q-aa, p')}dpfdo. F.79)
Нетрудно заметить, что это есть уравнение Больцмана —
Энскога. Преобразуем его сейчас для удобства сравне-
ния с введением общепринятой нормировки. Так, в кине-
тической теории газов в уравнении Больцмана—Энскога
вместо импульсов обычно используются скорости. Имеем
так что
fit, q, p) =
S
/л»
Далее, сейчас
Поэтому, чтобы перейти к обычной нормировке
, 17, и) = 1. F.80)

\
S3. СИСТЕМА ОДИНАКОВЫХ УПРУГИХ ШАРОП 241
где V—'макроскопический объем, в котором движутся
наши {^астицы, положим . . .
? 6 W у <7у @) б («-«у @). «.=»
К / < N
F.81)
Тогда в уравнении F.79) будем иметь
/С 9, Р)-?РЦ. Я> у), dp'-m'dv*
и, таким образом, приходим к стандартной форме урав-
нения Больцмана—Энскога:
14rF(t. q. v
d
dt dq
+а*п J \(v'-v)-a\{F(t, q, v*)F(t, q + aa, o*')-
(D'-D)-O>0
—F(t, q, v)F(t, q—aa, vf)}dv'da, F.82)
в котором
0*_o—o((o—of)o), v" =v' + o((v—v')o). F.83)
г. Уравнение диффузии выделенной частицы в газе.
Рассмотрим также функцию
W(t, q, v) = m*fi{t,q,p) = 5(q-q1(t)N(v-vi(t)), F.84)
с нормировкой
[dq\dvW(t, q,v)^\, F.85)
где V—объем, v—скорость. Для нее из F.77) при /=1
найдем
%( ,,
dt dq
+ аал J \(v'-v)-a\{W(t, q, V)F(t, q + ao, »•')—
(v'-v) a>0
— W(t, q, v)F(t, q—aa, v')}dv'da. F.86)
Как видно из определений F.81), F.84), nF(t, q, v)dqdv
представляет число частиц в фазовом объеме dq dv, a
W(t, q, p) представляет плотность распределения фазы

242 ГЛ. 6. АНАЛОГИ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
одной фиксированной «первой частицы». Подчеркнем, что в
литературе уравнение Больцмана'—Энскога всегда рас-
сматривалось лишь как приближенное. Мы же показали
выше, что оно имеет и микроскопические решения вида
F.81). Это было впервые получено в работе 111].
Из микроскопических уравнений F.82), F.86) можно
получить и приближенные уравнения для усредненных мак-
роскопических функций *):
<F(t, q, o)>, <W(t, q, o)>.
Если опять воспользоваться в качестве первого прибли-
жения приближением типа F.33) для уравнения Власова,
положив
<F(t, q', v')F(t, q,v)> = <F(t,q',v')><F(t,q,v)>
и F.87)
<W(t, q, v)F(t, q', o')>-<lP (t, q, v)><F(t, q', vf)>,
то для макроскопических усредненных функций распре-
деления
<F{t, q, o)>, <W(t, q, o)> F.91)
•) Подчеркнем, что выражения F.81), F.84) для F (t, q, v),
W(t, q, v) зависят от qj(f), vj(t) и тем самым являются функциями
также начальных значений этих переменных:
F(t, q, v) = F(l, q, v; ql, vi; ...; q%, v%),
W (t, q,v)=W (t, q, v; q°u v\- ...; q%, v°N).
Для усреднения используем какую-либо функцию распределения
SD (ql, о'; ••¦; q%, v%) с условием нормировки:
> (ql v\\ ...; q%, v%) dq\ dv\ .. .dq%dv% = 1,
и притом, разумеется, такую, которая обращается в нуль для нефи-
эических состояний, когда шары «проникают» друг в друга, т. е.
?><gb&q%.vto=0, F-89)
если хотя бы для одной пары двух различных частиц | </? — qj \ <
< а. Тогда используем следующие определения:
<F (t, q, ф = J F (t, q,v)S> (ql vl\ ...;q°N, v°N)dql dv\ .. .dq% dv°Nt
<W (t, q, v)>^W (t, q, v) 3) (ql «& ...; qaN, v%)dq\ dv\ . ..dq%dv%.
F.90)

§3. СИСТЕ/ЛА ОДИНАКОВЫХ УПРУГИХ ШАРОВ 243
получим также уравнения F.82), F.86J, но, разумеется,
для функций F.91) он*! будут уже приближенными ввиду
использования приближенного «расцепления» F.87).
Кстати заметим, что если для <F(t, q, о)> возьмем
равновесное максвелловское распределение
ту*
F(q, о)-Ф(|0«(^гI/Т"я". F.92)
то, положив в приближенном уравнении F.86) для
W(t q, о)>
<W(t, q, о)>-<р(оЖ*, q, v) F.93)
и отметив, что тождественно ф (и) ф (v') = ф (и*) ф (v*'), полу-
чим приближенное уравнение
dtii(t, a. v) -* д
dt dq
J <7, о*) —
J
(в'—и)-о> О
9, о)}ф(о')Л'Л». F.94)
Уравнение это обычно используется в кинетической теории
газов для изучения диффузии одной выделенной частицы
в газе, находящемся в состоянии статистического равнове-
сия.
Возвратимся теперь к уравнению F.82). Мы уже виде-
ли, что, кроме приближенных решений, основанных на
аппроксимационной формуле F.87), оно имеет и микроско-
пические решения F.81). Естественно поэтому, что этим
нелинейным уравнением можно воспользоваться и для по-
лучения более точных приближений — в принципе сколь
угодно точных. Разумеется, существенные трудности весь-
ма быстро возрастают при переходе к более точным форму-
лам. В этой связи отметим работу [14], к которой авторы,
исходя из нелинейного уравнения Болышана (получаю-
щегося из F.82) заменой в аргументах F: q+aa -*¦ q,
q—ао -*¦ q), сумели получить приближения, которые вы-
ходят за рамки общепринятых представлений о пределах
применимости уравнений этого типа.
д. Бинарное взаимодействие. Заметим еще, что все вы-
шеизложенные рассуждения непосредственно обобщаются
и на тот случай, когда, кроме непроницаемого ядра,

244 ГЛ. 6. АНАЛОГИ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
имеется и обычное бинарное взаимодействие:
~+°о (г<а/2),
(г>а/2), <Ц(г)-0 (г<а)
где Ф0(г) — регулярная функция г в интервале (а, +оо),
т. е. на тот случай, когда между центрами упругих шаров
имеются и регулярные бинарные взаимодействия. Тогда
можно дословно повторить все наши рассуждения, и все
различие сведется к тому, что к выражению Т(\, 2), задан-
ному формулой F.56), надо лишь добавить член
(б.9б)
Чтобы убедиться в этом, достаточно лишь соответственно
изменить выражения Alt As F.38) для разности F.37),
положив
-F(gi + %At, Pl-EAt; q,+%
+ ^At, Pl-EAt; qs+<%At )
—FDi, Pu Яъ Р»)ш
где Е — _» - . Преобразование Ах совершается точно
так же, как и раньше, и приводит к тому же псевдоопе-
ратору ТA, 2); от раскрытия же члена Да как раз и
произойдет добавка F.96).
Ввиду наличия дополнительного к ТA, 2) оператора
F.96) к уравнениям F.82), F.86) добавятся «власовские
члены», и мы получим соответственно уравнения для
функций F.81), F.84)
4
dt dq
*л- ¦¦¦$ \(v'-v)o\{F(tt q,tfi)F(t, q^ao, о*')--
(o'-o)-o>0
—F(t, q, v)F(t, q—aa, v'))dv'do +
±^F(t, g,o),F.97)
d
J . dq
m dv

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ЧАСТИ II 245
d
р (, „ W 4
dq m dv
+ аал J |(o'-f)«»|{V
(о'—о)о> О
— У(Л q, v).F(t, q—aa, vf)}dvfda, F.98)
в которых
. p(f, ?)-n $*¦(*, 9l г)do. F.99)
Подчеркнем в заключение, что все изложенные рассуж-
дения, относившиеся к динамической системе из N упругих
шаров, существенно основаны на мгновенности процесса
бинарного соударения и потому не могут быть точно пере-
несены на случай квантовой механики, где процессы со-
ударения упругих шаров совершаются за конечный про-
межуток времени (пропорциональный константе % План-
ка). Что же касается обобщения изложенных результатов
в рамках классической механики на случай системы упру-
гих шаров, принадлежащих к различным сортам, например,
на случай, когда имеется я различных систем одинаковых
шаров, причем шары, принадлежащие к разным сортам,
имеют разные диаметры и разные законы регулярных би-
нарных взаимодействий, то такое обобщение может быть
проведено изложенным выше методом.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ЧАСТИ II
1. D i г а с P. A. M. Theory of the Emission and Absorption of Radiati-
on.—Proc. Roy. Soc, 1927, A144, p. 243.
2. J о r d a n P., W i g n e r E. Uber das Paulische A" quivalenzver-
bot.— Zs. fur Phys., 1928, v. 47, p. 631.
3. V о k W. Konfigurationstraum und zweite Quantelung.—Z. fur
Phys., 1932, v. 75, p. 622; Zur Quantenelectrodynamic— Soviet
Phys., 1934, v. 6, p. 425.
4. Боголюбов Н. Н. Лекции по квантовой статистике, —Киев:
Радяньска школа, 1949, гл. 2, с. 38—65; Избранные труды, т. II.—
Киев: Наукова Думка, 1970, с. 319—350.
5. Б е р е з и н Ф. А. Метод вторичного квантования.— М.: Наука,
1965.
6- Боголюбов Н. Н. (мл.). Метод исследования модельных га-
мильтонианов.— М.: Наука, 1974; Bogolubov N. N., Jr.
A Method for Studying Model Hamiltonians.— Oxford; New
York: Pergamon Press, 1972.

246 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ЧАСТИ II
7. Власов А. А. ЖЭТФ, 1937, т. 7, с. 203; Известия АН СССР, серия
физ., 1944, т. VIII, № 5.
8. Власов А. А. Теория многих частиц.—М.: Гостгхиздат, 1950,
с. 92.
9. К л и м о н т о в и ч Ю. Л., ЖЭТФ, 1957, т. 33, с. 982.
10. К л и м о и т о в и ч Ю. Л. Статистическая теория неравновесных
процессов в плазме.— М.: Изд-во МГУ, 1964.
11. Боголюбов Н. Н. Микроскопические решения уравнения
Больцмаиа — Энскога в кинетической теории для упругих шаров.—
ТМФ, 1975, т. 24, № 2, с. 242.
12. Н о р f i I d J. J., В a s t i n J. F. Phys. Rev., 1968, v. 168, p. 193.
13. S e n g e г s J. V., С о h e n E. G. D. Physica, 1961, v. 27, p. 230;
Ernst M. H., Dorfamn J. R., Hogy W. R., van L e-
euven J. M. J. Physica, 1969, v. 45, p. 927.
14. U b b i n k j. Т., H a u g e E. H. Physic», 1973, v. 70, p. 297.
15. К л и м о н т о в и ч Ю. Л. Статистическая физика.— М.: Наука,
1982.
16. 3 у б а р е в Д. Н. Неравновесная статистическая термодинами-
ка.— М.: Наука, 1971.

Часть III
КВАДРАТИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ
И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
Глава 1
КВАДРАТИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ
В СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
§ 1. Равновесные свойства идеальных газов
Рассмотрим динамическую систему из N одинаковых
частиц, заключенных в макроскопическом объеме V, с
обычным бинарным взаимодействием. Для ее изучения вос-
пользуемся методом большого канонического ансамбля.
В квазидискретном представлении [4] соответствующий
гамильтониан будет (см. часть II, формула E.12))
(^Г (LI)
k, V Ч '
где а+, а—бозе- или ферми-амплитуды, Ны—гамильто-
ниан взаимодействия. Для бесспиновых частиц индекса v
не будет, для фермионов со спином 1/2 этот индекс при-
нимает два значения.
а. Идеальный газ. Введем теперь общепринятое опре-
деление идеального газа: данная динамическая система
считается идеальным газом, если при вычислении средних
значений макроскопических величин для состояния ста-
тистического равновесия мы можем пренебречь гамильто-
нианом взаимодействия.
Таким образом, для идеального газа
*. V
или, положив для сокращения
/ = (ft, v), е(/)—^-Ц, A.2)

248 ГЛ. I. КВАДРАТИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ
будем иметь . ¦ .
¦¦¦• A.3)
Подчеркнем, что такой гамильтониан вообще имеет смысл
лишь для состояний статистического равновесия. Гамильто-
ниан взаимодействия, каким бы «малым» он ни был, явля-
ется весьма существенным при изучении неравновесных
состояний, например для исследования вопроса о процессе
приближения к состоянию статистического равновесия.
Действительно, при полном отсутствии взаимодействия
все числа заполнения щ Являются интегралами движения,
и статистическое равновесие не может установиться.
Заметим далее, что форма A.3) получается и при рас-
смотрении так называемого черного излучения, когда име-
ют дело с статистическим равновесием системы фотонов,
заключенных в макроскопическом объеме V и слабо взаимо-
действующих с веществом внутри V.
Считая данную систему фотонов «идеальным газом»,
т. е. пренебрегая взаимодействием, получим
t к = \к\, nk,v = a?,vakiV. A.4)
Здесь с—скорость света, v—индекс, принимающий два
значения соответственно двум возможным направлениям
поляризации фотона, a?jVt aftjV—бозе-амплитуды.
Заметим, что и в случае весьма слабого взаимодействия
фотоны могут испускаться и поглощаться веществом так,
что их полное число не является интегралом движения.
Поэтому в данном случае гамильтониан для большого
ансамбля совпадает с обычным гамильтонианом: Г=//,
1*=0.
Положив в A.4)
/ = (*. v), B(f)=%cK A.5)
мы опять приходим к форме A.3).
б. Свободная энергия и средние значения чисел запол-
нения. Итак, рассмотрим гамильтониан A.3) и соответ-
ствующий равновесный статистический оператор
C-^Spe-r/8, A.6)
диагональный в ..., щ,... представлении.

§ I. РАВНОВЕСНЫЕ СВОЙСТВА ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ 249
Напомним, что в случае бозонов каждое из nf про-
бегает независимо друг от друга все неотрицательные
целые значения, в случае же фермионов возможные зна-
чения для tif равны 0, 1.
Имеем для свободной энергии
_Х i e(f)
- GlnSpe 0=-П{2 ~
fin
Но в случае фермионов
е (f) „ е if)
и потому для свободной энергии найдем
^, ( Mf) \
G = -B2lnU + e « J. A.7)
Если же рассматриваем случай бозонов, тогда
е (f) „ » f e (f) 1 fi
Ряд этот сходится, лишь если
e(fl>0. A.8)
При выполнении этого условия сумма данного ряда будет
\ 1 —е е | ,и потому
/ е (f) \
G-e^lnil—e~ e J.
A.9)
Составим теперь выражения для ^средних значений
чисел заполнена.. Имеем,- обозначая через g один из
индексов ...,/,.'.'., " ¦'¦ ¦ -•' ¦ ¦ ¦'¦¦'

250 ГЛ. I. КВАДРАТИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ
т. е.
2
. . ., п., . . .
1
¦-"г-
е (g) ng
2«/~ 2
п1-/A
B(g)n •
2-" е
я
Поэтому для фермионов
2
я=0
2*"~ 2
...,яс1...
Отсюда
в (g)n
^тэ• (М0)
а для бозонов
Чтобы вычислить сумму, стоящую здесь в числителе,
возьмем при положительном х выражение
е хп — i—e-x > х<*¦ Ot

$ 1. РАВНОВЕСНЫЕ СВОЙСТВА ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ §51
Продифференцировав его по х, найдем
• 2 пе~хп
i w ~-A-е-*)*' • 1—е-* ~е*— Г
"" 2j e~xn
Подставив сюда x = e(g)/B, из A.11) получим оконча-
тельно
<лг> — —
ее -1
Проиллюстрируем сейчас полученные формулы на ряде
упоминавшихся выше примеров.
в. Спектр черного излучения. Так, для случая черно-
го излучения A.5) из A.12) найдем
fee* \-1
Поэтому средняя энергия фотонов с волновым вектором k
будет
k, v
—l) .
Заметим теперь, что так как hkn) • &ki2) • &klsi — ^у*- , то
сумма по k S( ПРИ V—>-оо асимптотически перехо-
дит в интеграл
Таким образом, средняя энергия фотонов с волновым
вектором k, лежащим в сферическом слое Аг0 < k < ku
будет
Bл)«
*(,<*<*<

252 ГЛ. I. КВАДРАТИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ
Вводя вместо k еоответствующую частоту ю=с&, полу-
чим для энергии фотонов с частотами в [интервале
(со0, со1) следующее выражение:
1U--
-1
или
)= ii? ^ ' ю" ('¦'**/
Мы приходим, таким образом, к известной формуле
Планка для спектра черного излучения.
г. Идеальный бозе-газ. Перейдем теперь к рассмот-
рению идеального бозе-газа A.2, 3), В соответствии с
A.12) находим для случая бесспиновых частиц
A.15)
Тогда средняя плотность числа частиц
k
асимптотически выразится интегралом
Введя безразмерную переменную -g^o^*. можем написать
^Jg^j /« dx.
0 е »-]
Здесь разумеется |х<0. Соотношение A.16) может слу-
жить в качестве уравнения для определения химическо-
го потенциала ji по заданной средней плотности числа
частиц N/V.
Заметим далее, что когда при фиксированном значе-
нии 6 величина \[i\ уменьшается, интеграл в правой ча-
сти A.16) увеличивается, и для (л—»0, (л<0, он при-
ближается к своему максимальному значению, соответст-

§ 1. РАВНОВЕСНЫЕ СВОЙСТВА ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ 253
вующему ц, = 0: ¦
Рассмотрим ситуацию, в которой
N/V>p(Q), A.18)
и в которой, следовательно, уравнение A.16) не имеет
решения относительно ц. Заметим, что такое положение
получилось ввиду того, что мы ^начала совершили пре-
дельный переход V—»-оо, а лишь затем положили ц = 0.
Для его выяснения положим рО в нашем гамиль-
тониане Г до предельного перехода. Получим
Как видно, в такой гамильтониан входят лишь числа
заполнения пк при /г^О. Число заполнения п0 частиц
с нулевым импульсом в нем отсутствует.
Поэтому для вычисления средних соответствующий
шпур будем брать лишь по значениям nk с /гфб, а пе
оставляем фиксированным. Тогда
и для их суммы 2 <"*> найдем асимптотическое выра-
жение
Как видно, только часть Vp(d) общего числа частиц N
непрерывно распределена по импульсам, остальная же
часть
A.19)
приходится на долю а$ае = пе, так что асимптотически
= Ne. A.20)
Таким образом, макроскопическое число частиц No обла-
дает нулевым импульсом или, как говорят, находится

254 Гл. i. квадратичные Гамильтонианы
в бозе-кснденсате. Появление бсзе-кснденсата называется
также вырождением рассматриваемого идеального газа
бозонов.
Замегим еще, что так как р@) —0, то при нулевой
температуре все частицы оказываются в конденсате —
состоянии с наименьшей энергией.
д. Идеальный ферми-газ. Перейдем теперь к рассмот-
рению идеального газа фермионов со спином 1/2.
В силу A.10) имеем
I
( , а=
<«*,«>= VV2m ;e + U . *=±l/2, A-21)
и потому
Здесь ц может принимать любое вещественное значение.
При увеличении \ь от —оо до +оо интеграл в правой
части A.22) увеличивается от 0 до + оо. Таким образом,
каждому значению плотности числа частиц N/V соответ-
ствует одно значение (г.
Рассмотрим случай, когда
|х>0, 9 = 0. A.23)
В этом случае из A.21) следует, что
Как видно, все индивидуальные состояния внутри «сфе-
ры Ферми» -к— = \i заняты, а вне этой сферы частиц нет.
При температуре, отличной от нуля, разрыва в <nfti „>
как функции k уже не будет. Внутри сферы Ферми по-
явятся «дырки»—незаполненные состояния, а вне ее
появятся частицы.
Иногда удобно вместо данных частиц ввести «квази-
частицы», которые внутри сферы Ферми совпадают с
«дырками», а вне ее—с обычными частицами.

§ 1. РАВНОВЕСНЫЕ СВОЙСТВА ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ 255
Для этой цели можно ввести новые ферми-амплитуды:
atk, -о. «*.о =
«*.¦„ = я*, а. ai.a = aia, -^ > V»
Как видно, такие амплитуды удовлетворяют всем пере-
становочным соотношениям для ферми-амплитуд.
Так как
<4,оа*, a = (l — п-к,-о) для ^-<И.
то в новых амплитудах гамильтониан Г принимает вид
ft, о
где
С = const =2 X (tRT-
Возьмем еще полный импульс системы
2
fe, о
и представим его в форме
5» = "?
ft, о ft, о
где в 2' суммирование идет по всем k, для которых
-я—^ц> а в 2"—п0 всем ^ вне сФеРы Ферми. Так как
сфера Ферми инвариантна по отношению к отражению
k—>—k, имеем
2' A*0i? <flk, о = — 2' ^a+fei _oa_fe, _„ = — 2' ^*afe, „a^, „
k, a k,a k, a
k, a
Но здесь опять в силу инвариантности сферы Ферми по
отношению к отражению k—»-—k
2
ft, о

256 ГЛ. I. КВАДРАТИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ
Поэтому окончательно
* = 2
k, a
Теперь уже'ясно, что а? „, afe „ будут соответство-
вать операторам рождения 'и ^уничтожения квазичастиц
с импульсом k, спином а. Нетрудно заметить, что
I
4

и что выражение в правой части практически исчезает,
когда
¦55—1»
Таким образом, при достаточно малой температуре числа
заполнения квазичастиц фактически будут локализованы
лишь в окрестности сферы Ферми. Заметим еще, что в
ряде случаев, например для свободных электронов в
металле, оказывается целесообразным ввести в качестве
энергии частиц не -д— , а некоторую другую функцию
Е (k), которая вообще не будет уже радиально симмет-
ричной, так что поверхность ферми E(k) — \i не является
сферической.
Нетрудно убедиться, однако, что все сказанное выше
тривиально обобщается и на такие случаи.
§ 2. Диагонализация квадратичной формы
2 Efgafag в случаях бозе- и ферми-операторов
f. g
В квантовой теории многочастичных систем часто воз-
никает задача диагонализации квадратичных форм из бозе-
или из ферми-операторов рождения и уничтожения. Так,
например, при исследовании вопросов теории сверхтеку-
чести [13 и сверхпроводимости [2] оказываются важными
методы, основанные на аппроксимации гамильтониана ис-
ходной системы специальным образом подобранной квадра-
тичной по бозе- или ферми-операторам эрмитовой формы.
Для практического проведения вычислений на основе та-
ких квадратичных форм их необходимо предварительно
диагонализовать.

S 2. ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ 257
а. Метод канонических преобразований. Рассмотрим
квадратичный гамильтониан
H = JjEf,.ata,., ?/,.=??.,, A.25)
где a~f,af—бозе- илиферми-операторы рождения и уничто-
жения, удовлетворяющие перестановочным соотношениям:
а) в случае статистики Бозе—Эйнштейна
afaf—af,af = 0, A-26)
б) в случае статистики Ферми—Дирака
afaf+.+af+,af-Afr,
afaf, + a^af = 0, A.27)
Диагонализация гамильтониана A.25) сводится к диа-
гонализации эрмитовой матрицы ||?^» ||. Как известно,
любую эрмитову матрицу всегда можно привести к диа-
гональному виду с помощью унитарного преобразования.
Поэтому для матрицы Е — Е+ существует диагонализую-
щая унитарная матрица U = \Ufgl такая, что
A.28)
где Л—диагональная матрица, Л = [Л^.|; в матричном
виде эти соотношения имеют вид
2 l«ffr-i; A-29)
при /#/':
l<g<n 1< g < и
I < g < "
здесь /, /' принимают значения от 1 до п.
Зная матрицы (/[иЛи используя способы, анало-
гичные применяемым при диагонализации «с-числовых»
квадратичных форм, легко привести гамильтониан A.25)
к диагональному виду. Из A.28) имеем
E = U+MJ A.30)
? II. Н. Боголюбов, Н. И. Боголюбов (мл.)

258 ГЛ. I. КВАДРАТИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ
ИЛИ
Eff = S «ifAgUgf.. A.31)
1 < g< n
Подставляя A.31) в A.25), имеем
Н = S ?ff,af+ar
^SW2n A.32)
Вводя новые операторы
S S A-33)
получим из A.32) диагональную форму
Нетрудно проверить, что условия унитарности A.29)
обеспечивают канонический вид преобразований A.33),
т. е. 6g, bg удовлетворяют тем же перестановочным со-
отношениям, что и операторы а?, af.
В случае статистики Бозе—Эйнштейна
bgbg,—bg,bg = Q, A.35)
В случае статистики Ферми—Дирака
g = \g.,
= °. A-36)
где g, g' принимают значения от 1 до п.
Соотношения A.35), A.36) дают возможность ввести
понятие «квазичастицы» сорта g (g=I, 2, ..., п) и на-
звать fcj и bg операторами рождения и уничтожения
такой квазичастицы. При этом гамильтониан A.34) опи-
сывает идеальный газ невзаимодействующих квазичастиц.
Формулы обратного преобразования от квазичастиц
к частицам нетрудно получить из формул A.33), домно-
жая их соответственно на u*gf, и ugfl, суммируя по

§2. ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ 259
g=l, ..., п и учитывая при этом условия A.29):
Диагональный вид гамильтониана A.34) можно
использовать при вычислении термодинамических вели-
чин. Например, свободная энергия будет
( =f<
8 A.38)
бинарные корреляционные функции примут вид
Здесь верхний знак соответствует случаю статистики
Бозе, нижний—случаю статистики Ферми.
б. Операторная форма канонических преобразований.
Линейные канонические преобразования могут быть
представлены как унитарные преобразования операторов
рождения и уничтожения:
а'е^Ш+ае%, aJ'-Sl+a^. A.40)
Здесь Ш,—унитарный оператор.
Пусть задано некоторое непрерывное линейное пре-
образование операторов ag, зависящее от параметра ф:
и обладающее групповым свойством L (ф2) • L (ф2) =
=1(ф1 + ф2). Тогда явный вид унитарного оператора §(,
который в силу упомянутого свойства имеет экспонен-
циальный вид
может быть найден по следующему рецепту.
Рассмотрим инфинитезимальное преобразование ф
^1
а'~
9*

260 ГЛ. 1. КВАДРАТИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ
приравнивая а + вЛ = A—ieV)a(l + ieV), получим А=
=i[a, V]—основное уравнение для определения явного
вида оператора V.
Рассмотрим случай канонических преобразований
где матрица U = \\uef\\ унитарная. Заметим, что матрица
U представима в виде U = eiA, где Л—эрмитова матрица
А — А+. Покажем, что с помощью матрицы Л = ||Л^,||.
преобразования A.41) могут быть записаны в виде A.40)
bg = %+ag%, b+ = Sl+a+Sl, A.42)
где унитарный оператор 21 определяется следующим
образом:
B) A.43)
Введем оператор
а^ехр fit JjAff.af-af.\ ,A.44)
для которого имеем уравнение
l<f<n
или, сокращенно,
с начальным условием a(t)\tse=a. Отсюда
a (t) = eitAa
и, в частности,
a(l)e=eiAa,
или, в матричных обозначениях,
ae(l)= S (eiA)&faf. A.46)
1 < / < «
Учитывая формулы A.42, 44), перепишем A.46) в виде
2t+a^ = 2 uKfa,, SI+ag+9( = 2 u^af. A.47)
Сравнивая A.41) и A.47), убеждаемся в справедливости
представления A.42).

§3. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ И СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ 2б1
§ 3. Диагонализация квадратичных гамильтонианов
в теории сверхпроводимости и сверхтекучести
Рассмотрим примеры диагонализации квадратичных
гамильтонианов, возникающих при построении квантовой
теории сверхтекучести и сверхпроводимости. В общем
случае эти гамильтонианы можно привести к виду
t fff ;ff A.48)
f f
где af, af—операторы Бозе или Ферми, Tf = T*f, Of,
O*f—некоторые функции индекса f = p, Ра = (
па~®> ± If ±2,...; У—L?—объем системы. В общем
случае можно считать f = (p, a).
а. Случай статистики Бозе — Эйнштейна. В гамильто-
ниане A.48) af, щ—бозе-операторы, удовлетворяющие
перестановочным соотношениям A.35). Причем полагают,
что Ф( = Ф,{, Oj?=Olf.
Для диагонализации гамильтониана введем новые
операторы af, af".
Vfdtf, af=u*faj;—v*fa_f, A-49)
где параметры Uj и vf удовлетворяют условиям
I"H2—lyfla=l> «f = «-f. yf = «-f- (I-50)
Нетрудно проверить, что условия A.50) обеспечивают
канонический характер преобразований A.49); т. е. новые
операторы а^, а^ являются бозе-операторами, удовлет-
воряющими перестановочным соотношениям статистики
Бозе. Учитывая A.50), нетрудно выразить операторы af,
af как линейные комбинации новых, т. е.
±f, af = ufaf +v*fa_f. A-51)
Покажем, что, подобрав соответствующим образом пара-
метры uf, vf в A.49), можно привести гамильтониан
A.48) к диагональному виду
f?f A.52)
Используя соотношения A.49), нетрудно вычислить ком-
мутатор
[of, H]^u,(T,af + Ofitt) + vf(rfatf—<I>'faf). A.53)

262 ГЛ. 1. КВАДРАТИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ
С другой стороны, учитывая A.52), имеем
[о,, H] = EfLt = Et(u,af—vfitt). A.54)
Сравнивая коэффициенты при операторах af, atf в пра-
вых частях формул A.53), A.54), получим систему урав-
нений для определения Ef, щ, vf.
Uf(T}—Ef)+vf<U*f=0, ufOf + Vt(Tf + Ef)=*Q. A.55)
Из условия^разрешимости этой системы имеем спектр Е}\
т. е. Е) = Т)—\ <3}f |2, откуда
Ef = VT)-\<Df\\ A.56)
Определим еще постоянную ЭС. Для этого введем
вакуумное состояние 10>, обладающее свойствами
а,|0> = 0, <0|af+=0, A.57)
откуда имеем
<0|Я|0> = 0. A.58)
Учитывая A.57) и A.49), нетрудно получить
Замечая A.52), A.58), имеем
(^) Ж. A-59)
Сравнивая A.58) и A.59), получаем ЭС= —^^(Т(—
б.^Случай статистики Ферми—Дирака. Пусть опера-
торы af, af, входящие в гамильтониан A.48), являются
ферми-операторами. Функции Gfy обладают свойствами
антисимметрии: <Df =—ф^^ф^—Ф1^. Задача диагона-
лизации такого гамильтониана возникает, например, при
исследовании модельных систем теории сверхпроводи-
мости.
Введем^новые ферми-операторы:
OLf=ufaf—vfatf, af = u)af—v*fa_t, A.60)

§ 3. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ И СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ 263
где Uf, vf удовлетворяют условиям
Эти условия обеспечивают канонический характер ли-
нейных преобразований A.60).
Нетрудно убедиться, что введенные новые ферми-опе-
раторы удовлетворяют коммутационным соотношениям
статистики Ферми:
f = Q, A-62)
afap+apaf^O.
Значения параметров uf, vfy при которых гамильтониан
A.48) имеет диагональный вид, можно определить спо-
собом, аналогичным использованному выше в случае
статистики Бозе.
Воспользуемся другим подходом. Учитывая A.60), вы-
числим операторные произведения
afuf = (up.f + v*fa_f
= | uf I2 OLfoLf + u^VfOLfoLtf + v'fU^OL^OLf +1 vf \2 a_fatf,
if) = A.63)
Подставляя выражения A.63) в гамильтониан A.48),
с учетом соотношений A.60)—A.62) получаем
Н = >: af+af {Tf (| Uf \*-\vf \^)-
{Tf I "' I' +
Из условия обращения в нуль коэффициентов при опе-
раторах ^afalf, Xa-faf находим уравнение
A.65)

264 ГЛ. 1. КВАДРАТИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ
Обозначая
находим, что наш диагонализованный гамильтониан
в новых ферми-операторах принимает вид
fff A.67)
Параметры uf, vf, входящие в уравнения A.65), A.66),
удовлетворяют еще условиям A.61).
Определим uf, vf, Ef и fK? из уравнений A.65), A.66).
Умножая A.65) на (u'f-v*f), получаем
A.68)
Отсюда следует, что величина Ф^u*fVf вещественна:
v'f = =f | Ф}! • | uf | ¦ | vf \. A.69)
Выберем в правой части A.69) для определенности знак
(—). Тогда из A.66) и A.68) получаем соответственно
Отсюда имеем
Учитывая A.61), находим
где ?f—спектр элементарных возбуждений, ?f =
Постоянную З^Г в формуле A.67) находим аналогич-
ным путем, как и в случае бозе-операторов:
В заключение заметим, что выбор знака ( + ) в A.69)
привел бы к отрицательному спектру Ef. Выбор знака

§3. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ И СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ 265
( + ) вместо (—) равносилен преобразованию Eh \uf\,
\Vf\—>—Ef, \vf\, |uf\.Это преобразование эквивалентно
каноническому преобразованию операторов af—>af,
в. Операторная форма канонического преобразования
для статистики Бозе — Эйнштейна. Покажем, что в этом
случае для гамильтониана A.48) можно построить диа-
гонализующее преобразование вида
Заметим, что преобразования A.49), A.50) можно пара-
метризовать, полагая
где xf, q>f, ify—четные функции индекса (/).
Запишем преобразования A.49) в виде
af-ajTchx,— a.fShXfePr*!), '
где
a,^a]e^f, о,+ =о^'е-'ф/. A.71)
Нетрудно показать, что преобразования A.70) можно
записать как
f, *r'~e-tx?ta}Jxff, A.72)
где эрмитов оператор S определяется следующим образом:
S, = »6, {о, аче'{ (¦/"V—aifateWr<*f)},
A, /^0, A.73)
6f"\l/2, / = 0,
при этом оператор exp(ixfSf) унитарный.
Из A.73) нетрудно найти
Отсюда следует, что

266 ГЛ. I. КВАДРАТИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ
Из A.72) и A.74) имеют место начальные условия
Ctf \x =0 —
daf
я.
Общее решение уравнения A.75) имеет вид
а'} == сг ch xf + с* sh xf,
где операторы clt cs определяются условием A.76):
В результате получаем
e~lxfsiafeixfsi = af ch xf—a±f sh xfe{ &t "*/),
A.76)
e~ixt siafeixfsi«. af+ ch x,—e_ f
Таким образом, преобразования A.70) и A.72) эквива-
лентны.
Легко проверить также, что канонические преобразо-
вания A.71) представимы в форме
где
Nf = N'f = af'a'f» afaf (ch x,J + a_fa±} (sh x^2—
— sh xf ch xf [a_ f af e~l t*/"»/) + af+a i/e' (*ГФ/)].
Вводя теперь унитарный оператор
получим операторное представление для преобразования:
a, = Stf+a,Stf! af+ *=Ща}+Щ.
§ 4. Статистическая теорема Блоха — де-Доминисиса
При исследовании ряда задач квантовой статистической
физики особый интерес представляет вычисление статисти-
ческих средних от произведений операторов рождения и
уничтожения [3]. В случаях, когда гамильтониан соответ-
ствующей системы является квадратичной формой по опе-
раторам рождения и уничтожения, такие средние можно
вычислять точно. Для этого следует применить теорему
Блоха — де-Доминисиса, являющуюся аналогом извест-
ной теоремы Вика в теории квантованных полей.

§ 4. ТЕОРЕМА БЛОХА — ДЕ-ДОМИНИСИСА 267
а. Теорема Блоха — де-Доминисиса. Сформулируем тео-
рему Блоха — де-Доминисиса для случая идеального газа,
состоящего из бозе- или ферми-частиц, с гамильтонианом
Пусть требуется вычислить статистическое среднее *)
У ¦ (U8)
где Afl — aft или а,+ . Назовем спариванием двух опера-
торов Af., At среднее значение произведения этих опе-
раторов
SpAfAfe-H/0
' (
Возьмем произведение некоторого четного числа опе-
раторов, разобьем все эти операторы на пары, заменим
каждую пару операторов на соответствующее спаривание
и в случае статистики Ферми домножим еще на (—\)р,
где Р—минимальное число перестановок операторов, не-
обходимое для перехода от исходного расположения опе-
раторов к такому их расположению, при котором входя-
щие в одно спаривание операторы стоят рядом. Назовем
полученное таким образом число полной системой спа-
риваний. Например, для произведения Afr . .A^ полной
системой спариваний является
x(—Пя в случае статистики Ферми,
* Af A, AfAtAfi. „
'• '5 '«'»'•'• \ х 1 в случае статистики Бозе,
I ! I I I I
A, A, A, Af Af Af =
/I /a /3 l« 'б 'б
i—i i—i i—i f x(
Af A, AfAtAfi.
где Р—число перестановок при переходе от порядка
A23456) к порядку A52346), т. е. Р = Ъ. Ясно, что для
S
произведения 2s операторов"можно построить Ц Bt—1)
полных систем спариваний.
Справедлива следующая статистическая теорема
Б лоха—де-Домин ис ис а.
*) Рассматривается вычисление среднего от произведения чет-
ного числа операторов рождения и уничтожения, так как в случае
нечетногсГих числа среднее равно нулю.

268 ГЛ. 1. КВАДРАТИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ
Среднее значение произведения операторов рождения и
уничтожения <Aft.. .Afit>H для системы с гамильтониа-
ном A.77) равно сумме всех возможных полных систем
спариваний этого произведения.
Например,
>„ <AfAft>H ±
где второе слагаемое входит со знаком (+) в случае
статистики Бозе и со знаком (—) в случае статистики
Ферми,
Таким образом, теорема Блоха—де-Доминисиса поз-
воляет выразить среднее A.78) через известные бинар-
ные средние. Нетрудно вычислить в случае статистики
Ферми:
1'+ + fih
af.afj= <af.af/yH= -д /е
?/e ,
I +e f
A A.80)
-д /е •
для случая статистики Бозе:
a+at, - <a}afj>H = —j-
1—^e
или, комбинируя, запишем
?,/0.
.81)

§4. ТЕОРЕМА БЛОХА — ДЕ-ДОМИНИСИСА 269
где
4-1 в случае статистики Бозе,
— 1 в случае статистики Ферми.
6. Доказательство теоремы Блоха — де Доминисиса *)*
Установим соотношения
где Н = ^Ef(tfaf.
Составим уравнения движения
Заметим, что
efiEf'/e]*1 Af=at' A.83)
или
Покажем, что
Учитывая A.83) и циклическую перестановку под знаком
шпура, получаем
A.84)
*) См. также [5]. Аналогичный подход возможен при рассмот-
рении обобщенной теоремы Вика [6]. Под теоремой Вика здесь под-
разумевают формулу, которая связывает невоэмущенные термодина-
мические средние п операторов 'от Г-произведений со средними от
меньшего числа операторов:
<Th (i)... /„ (т„)>„ с <Tlt (n)... /. (хт)>н (т<п),
;(),, рр
Эта теорема доказывалась в случае, когда под /; разумеют опе-
раторы рождения и уничтожения, а гамильтониан Н полагают га-
мильтонианом свободных спинов во внешнем] магнитном поле. [Под-
робнее см. [7,8].

270 ГЛ. 1. КВАДРАТИЧНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ
Заметим также, что соотношение A.82) можно записать
как
где
Воспользуемся теперь тождеством
AtAи---Atti— VM/,- • • AUiAu =
AhAfi[Afi, Ath...
усредняя это тождество по гамильтониану Н и учитывая
соотношения A.84) и A.85), приходим к равенству
<AfAfi.. .
+ Л <AfAh>H<AftAfi.. .Л
+ <Af,Aft>H <AfAhAfs.. .
В правой части этого равенства имеются только средние
от произведения 2s—2 операторов. Выражая такие сред-
ние по вышеприведенной формуле через средние от про-
изведения меньшего числа операторов и повторяя этот
процесс, придем в итоге к представлению среднего
<Aft...AftS>H в виде суммы произведений элементарных
бинарных средних. Нетрудно видеть, что полученное таким
путем выражение будет суммой всевозможных полных
спариваний операторов Afr..AflS.
Тем самым теорема Блоха—де-Доминисиса для слу-
чая идеального газа доказана. Нетрудно обобщить эту
теорему на случай произвольного квадратичного гамиль-
тониана, основываясь на том обстоятельстве, что всякий
квадратичный гамильтониан может быть приведен к диа-
гональному виду с помощью соответствующего канони-
ческого преобразования.

SI- КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПО БОЗЕ-ОПЕРАТОРАМ 271
Глава 2
ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
ОБЩЕГО ВИДА
§ 1. Диагонализация квадратичной формы
по бозе-опера торам
Рассмотрим квадратичную эрмитову бозонную форму
общего вида
аР аВ ар
а, р=1, ...,п. B.1)
Здесь &а> ^а—бозе-операторы, удовлетворяющие переста-
новочным соотношениям A.26), Лар, Bafi—числовые пара-
метры. Матрица параметров Л=||Лар| предполагается
эрмитовой:
А = А+ или А* = АТ, Лав = Л;а, B.2а)
а матрица параметров В = |5ар||—симметричной:
В = ВТ или В*^В+, Bap = 5pa. B.26)
Здесь +, * и Т означают соответственно операции эр-
митова сопряжения, комплексного сопряжения и транс-
понирования. На матрицы А и В налагается еще физи-
ческое требование, вытекающее из условия строгой поло-
жительности формы B.1).
а. Каноническое преобразование. Для диагонализации
формы B.1) применим методы, обобщающие приемы диа-
гонализации квадратичных форм частного вида, изложен-
ные в предыдущих параграфах гл. 1.
Введем новые операторы
Ец= 2 РХц-Ь&йД B.3а)
lt= S (btuafi-bavafl), B.36)
где на параметры ыац, ааA налагаются следующие усло-
вия нормировки и ортогональности*):
2 («an«av—ОацО—Д|и. B.4а)
<<
2
1<о<л
2 G, B.46)
*) Как показано ниже, условия B.5) являются следствием усло-
вий B.4).

272 ГЛ, 2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ОБЩЕГО ВИДА
И
2 («ацИрц—ОрЛ) = Лав> B.5а)
2 (««Л—«рА) = 0. B-56)
Нетрудно проверить, что условия B.4,5) обеспечивают
канонический характер преобразований B.3). Вычислим,
например, коммутатор:
= 2 [Мац—^ац
ар
n = Anv B.6a)
Аналогичным образом получаем
l^v-ivi^O, t^-t+t^Q. B.66)
Таким образом, ij, |ц является бозе-операторами.
Используя условия B.4, 5), легко получить преобра-
зования, обратные B.3):
Ьа= 2 (иац 1ц+ ?„?;), B.7а)
6J= S («iJJ + oA). B.76)
б. Система уравнений для параметров канонического
преобразования. Покажем теперь, что параметры uafl,
^ац. удовлетворяющие дополнительным условиям B.4, 5),
можно подобрать таким образом, чтобы в представлении
квазичастиц B.3) гамильтониан B.1) имел диагональный
вид
И= 2 Л^^ + 1-ЭР, Лц = л;, Ж=Ж*. B.8)
Выясним необходимые условия, которым должны удов-
летворять соответствующие значения uaVL, va^ и Лц. Пред-
положим, что гамильтониан B.1) приводится к виду B.8).

§ 1. КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПО БОЗЕ-ОПЕРАТОРАМ 273
Тогда уравнения движения для операторов ?? и ?ц будут
'^—[EJ. Я]—Л,|+, B.9а)
i %¦ = [$>, Щ = ЛЛ- B-96)
С другой стороны, уравнения движения для операторов
Ьа, определяемые формой Н B.1), имеют вид
db
р
причем &а линейно выражаются через ?? и ?ц. Подстав-
ляя B.7) в B.10) и учитывая B.9), получаем
= 22 (Ррц э^;
B.11)
Приравнивая числовые коэффициенты при операторах ?„ и
Ц в B.11), имеем*)
/¦л
(второе уравнение заменено на комплексно сопряженное).
Таким образом, Л^ и uav,, vail являются собственными
значениями и собственными функциями однородной ли-
нейной системы уравнений B.12).
в. Матричная форма записи. Свойства решений системы
уравнений B.12) удобно изучать, используя матричную
форму записи. Вводя наряду с матрицами А и В (см. 2.2)
матрицы параметров преобразований B.3а) и B.36), U =
*) Формально уравнения B.12) можно получить из B.11), «по-
мещая» соотношение B.11) в обкладки <0|...|1> и <lj... 0>, где
|0>=—состояние без квазичастиц (вакуум кваэичастиц): Е 0> = 0,
<0|0>=1, а | 1> —состояние, в котором имеется по одной квази-
частице каждого сорта: | l> = E.i",. .?« | 0>, <1|1> = 1. При этом сле-
дует воспользоваться соотношениями

274 ГЛ. 2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ОБЩЕГО ВИДА
=1"ац| и V = || Wan |i, a также диагональную матрицу
Л = |Л[1.ЛAA»3, запишем систему уравнений B.12) в виде
AU + BV-UA,
Отметим также, что условия B.4) и B.5) в матричной
записи имеют соответственно вид
U+U—V+V=\, B.14а)
UTV—VTU = 0, B.146)
и
UU*—V*VT=l, B.15а)
UV*— V*UT=^0. B.156)
В дальнейшем нам будет удобно использовать блочные
матрицы вида
*ap=i
построенные из квадратных матриц Х^ (i, /=1, 2) раз-
мера «х« таким образом, что 2пх2п таблица матрицы SC
является «графическим» объединением таблиц матриц XtJ,
т.е. X = lxae\ (а, р=1, ..., 2л), где
(Хп)ар при 1<а<«, 1<Р<«,
при
при
р при
B.166)
С другой стороны, матрицы вида B.16а) удобно рассмат-
ривать как 2x2 «суперматрицы», элементами которых
являются «субматрицы» Х,7 (i, /= 1, 2). Две такие супер-
матрицы ^ = 1X^11 и Й/ ='|| Yij || можно перемножать по
обычным правилам:
S Х,.яГяу| (f,/=l,2). B.17)
m» 1.2 Ml
При этом надо только помнить, что Xim и Ymj-, вообще
говоря, не перестановочны. Отметим также следующие
очевидные правила для матриц вида B.16а):
B.18)

S 1. КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПО БОЗЕ-ОПЕРАТОРАМ 275
Используя матрицы B.16а), можно переписать систему
уравнений B.13) в виде одного матричного уравнения:
-.-„ B.19a)
-КЛ|О/
или
'Л :'0\
B.196)
где 1 и 0—единичная и нулевая матрицы размера пхп.
г. Собственные значения. Обозначим через
»(v\ V ()
2гс-мерный вектор-столбец, совпадающий с ;х-м столбцом
матрицы
B.206)
Тогда уравнение B.196) можно записать в виде п систем
уравнений для определения п первых столбцов матрицы
№ц и соответствующих значений Л^:
Собственные значения Л^ определяются из секуляр-
ного уравнения
det
где 1—единичная пхп матрица. Уравнение B.22) яв-
ляется алгебраическим уравнением степени In относи-
тельно К и имеет, следовательно, ровно 2п корней.
Покажем прежде всего, что все эти корни вещест-
венны. Из B.19а) получаем
о I о )W\a*)\v\q) = \ о ioj-
Поскольку левая часть этого уравнения эрмитова (сле-
дует учесть свойства B.18) и правила B.17)), то и ма-
трица в правой части B.23) эрмитова. Поэтому
(U*U— V+V)A—Л+(?/+?/—V+V) = 0. B.24)

276 ГЛ. 2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ОБЩЕГО ВИДА
Выписывая диагональную часть матричного равенства
B.24), имеем
откуда и получаем
ЛЦ = Л;. B.25)
Заметим теперь, что в выражении B.25) фигурируют п
значений Л^, в то время как уравнение B.22) имеет в два
раза больше корней. Чтобы выяснить, какие именно из
этих корней нам понадобятся, рассмотрим подробнее урав-
нения B.21). Прежде всего покажем, что если Л„—собст-
венное значение системы уравнений B.21), то и —Л^ яв-
ляется собственным значением. В самом деле, из B.19)
следует
9.; \\(бЧЛИУ. J 9Л_/ 9J 1\(
перемножая матрицы по правилу B.17) и переходя к комп-
лексно сопряженному равенству, получаем
B*v*+A*u*\oJ~\ u*a\oJ-
(
\
Сравнивая B.19) и B.26), видим, что если матрицы {Л,
U, У} Удовлетворяют уравнению B.19), то и матрицы
{—Л, V*, U*} удовлетворяют этому уравнению.
Таким образом, 2л корней уравнения B.22) разбива-
ются на п пар (Лц, —Лц). Покажем теперь, что выбор
только одного значения из каждой такой пары (либо +Л|1,
либо —Лц) не противоречит условию B.14), налагаемому
на матрицы U, V. В самом деле, пусть {Лц, «a|l! vav]
удовлетворяют системе уравнений B.21) и при этом
)-const >0; B.27)
тогда {— Л^, псф, уКц}, где ыац==Уац, va]l = и*ац, также
будет решением B.21), причем
= —const <0.
Таким образом, из всех 2п корней уравнения B.22) сле-
дует отобрать только те п значении Л^, для которых

§ 1. КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПО БОЗЕ-ОПЕРАТОРАМ 277
соответствующие решения уравнений B.21) {uail, vaii}
удовлетворяют условию B.14), а остальные отбросить.
При этом, чтобы форма B.8) была положительно опреде-
лена, все отобранные значения должны быть (оказаться)
строго положительными:
Лц>0, ц=1, .... п. B.28)
В оставшейся части этого параграфа под Лц A<!ц<:гг)
понимаются отобранные описанным способом положи-
тельные корни уравнения B.22).
д. Условия на параметры канонического преобразова-
ния. Каждому значению Л^ (ц=1, .... п) соответствует
2«-мерная однородная, имеющая нетривиальное решение,
система уравнений для определения W^ (см. B.21)). Если
Лц не вырождено (A^^Av при v^ji), то W^ опреде-
ляется с точностью до мультипликативной комплексной
постоянной, модуль которой фиксируется условием B.14а)
при fx = v, а фаза остается произвольной. Условие B.14а)
при уьфч при этом удовлетворяется автоматически.
В самом деле, из B.24) следует
(Л,-Лц) 2 ("a(Xv-^Xv) = 0, B.29)
откуда и вытекает справедливость B.14) при fx^v (если
АА)- Если же Лц й-кратно вырождено,
то этому значению Лц соответствует k-мерное линейное
многообразие нетривиальных решений системы уравне-
ний B.21). В качестве столбцов W^, WUi, ..., Wiik ма-
трицы W B.206) в этом случае можно выбрать любой
ортонормированный (в смысле условий B.14)) базис в этом
многообразии.
Покажем теперь, что в любом случае условие B.146)
выполняется автоматически. Из B.19) следует
6 To
\У\о) [\-о)['в*]А*
С другой стороны, учитывая условия B.18), нетрудно
проверить равенство
/от (А \в \_(А \в \Т/0;п
UT6.) \Ща^) - [в*Га'Ч [\Тб) •

278 ГЛ. 2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ОБЩЕГО ВИДА
Из B.31) следует, что при транспонировании левая часть
равенства B.30) не изменяется, следовательно, не изме-
няется при транспонировании и его правая часть, откуда
получаем
(VTU—UTV)A—AT(UTV—VTU)=Q, B.32а)
или в матричных элементах
-(Av + Лц) 2 («o^Obv—vailuav) = 0. B.326)
1<а<п
Поскольку Av > 0, Лц > 0 (см. B.28)), из B.326) следует
B.146). Тем самым проверка условий B.14) закончена.
Обратимся теперь к условиям B.15) и покажем, что
эти условия являются следствием условий B.14). Прежде
всего заметим, что матричная форма записи условий B.14)
эквивалентна следующему равенству:
ут iUTj [-vy U*)-\O\[J
Возьмем теперь произвольную матрицу вида
и построим матрицу
Y i
Воспользовавшись B.33), получаем из B.346):
X !0\ ,'U+\V+\ (Y ;0
Bl35)
Подставляя B.35) в правую часть B.346), приходим к
равенству
В силу произвольности матрицы B.34а), а следовательно,
и матрицы B.346) получаем из B.36)
( VJ
\-v"\
v*) Jj
Y*YT{- иУ +—У?Чт) — (\'9
что эквивалентно условиям B.5) в форме B.15).

§1. КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПО БОЗЕ-ОПЕРАТОРАМ 279
Таким образом, показано, что можно построить ма-
трицы Л, U,V, удовлетворяющие как уравнениям B.21),
так и условиям B.14) и B.15).
е. Диагонализация. Проверим теперь непосредствен-
ным вычислением, что в результате канонического пре-
образования B.3), где параметры uail, vafl определяются
описанным выше образом, квадратичная форма B.1) при-
водится к диагональному виду B.8). Подставляя B.7)
в B.1), получаем
iAI«1 B.37)
где
V /
V (a •
V (л *
*P ^
или в матричном виде
Q=VTAU
G = U*AU
F^yrAV*
1
i -f- ~2 Ba,fP
• i •
• i *
xn«pv+~^W
y*+luTB*\
3uan"pvji
О* Ы )
B.38a)
/, B.386)
Г B.38b)
Преобразуем эти выражения, используя свойства B.2) и
уравнения B.19).
Рассмотрим величину
у (Л
т (-УЛ)Г U = ф (VTUA-AVW)
При этом в силу условия B.146)
j

280 ГЛ. 2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ОБЩЕГО ВИДА
т. е.
Отсюда и из B.37) следует
2 Q^lv = S Q№-0. B.39а)
HV HV
Преобразуем теперь матрицы B.386) и B.38в):
G = \ С/* {AU + BV) + у
F = [1(У
^. [(_ VA)+ V+F+ (— FA)]*" = — 1 (AFrV* + VTV*A),
1
или в матричных обозначениях:
i X ««n««v, B.396)
К а < л
B.39в)
I<a<n
Подставляя B.396), B.39в) в B.37), получаем
В последнем слагаемом переставим операторы ?ц и |J,
учитывая при этом B.6а), и заменим индексы (J-^iv.
В результате получим
Н = y 2 SJSv (Лц
Таким образом,
B.40)
что совпадает с B.8). Диагонализация бозонной квадратич-
ной формы B.1) тем самым завершена.

§ I. КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПО БОЗЕ-ОПЕРАТОРАМ 281
ж. Гамильтонианы с линейными операторными сла-
гаемыми. В заключение заметим, что в задачах статистиче-
ской физики встречаются бозонные гамильтонианы, содер-
жащие наряду с квадратичными и линейные по операторам
рождения и уничтожения члены:
н>=н+ s (с«й+с;&в), B.41)
1<а<л
где Н—квадратичная форма B,1), &?, Ьа—бозе-операто-
ры, С а, С а—числовые параметры.
Гамильтонианы типа B.41) также могут быть приве-
дены к диагональному виду B.40). Для этого надо пред-
варительно диагонализовать квадратичную часть Н в
B.41) и перейти в линейных членах к операторам ??,
ip, с помощью преобразования B.7). В результате получим
Я'= 2 (A^^+D^ + D-y + t.^, B.42а)
1< ц<л
где
Лц = 2 (СаИаи+СХ,!),
D'-'TV» +Cv ) B42б)
1<а<п
Введем теперь операторы
Л,, B.43а)
Очевидно, операторы ij', |^ по-прежнему удовлетворяют
перестановочным соотношениям бозе-статистики, т. е.
преобразование B.43) каноническое; в отличие от преоб-
разования «поворота» B.3), это преобразование «транс-
ляции» или «сдвига». Переходя в B.42а) к операторам
B.43), получаем
w, ж#=ж- 2 |^1'/Л1»-
B.44)
Таким образом, гамильтониан B.41) приведен к диагональ-
ному виду, соответствующему случаю идеального газа ква-
зичастиц.
Отметим, что канонический характер преобразования
«трансляции» B.43) является специфическим свойством
статистики Бозе. В случае статистики Ферми преобразова-

282 ГЛ. 2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ОБЩЕГО ВИДА
ния типа B.43) уже не будут каноническими. Впрочем, в
задачах статистической механики гамильтонианы с ли-
нейными по ферми-операторам членами не встречаются,
поскольку в системах, описываемых такими гамильтониа-
нами, были бы разрешены процессы рождения и уничтоже-
ния нечетного числа фермионов. Поэтому необходимость
в преобразованиях типа «трансляции» в случае статистики
Ферми не возникает.
§ 2. Диагонализация квадратичной формы
по ферми-операторам
Всякая квадратичная по ферми-операторам рождения
и уничтожения эрмитова форма Н = Н* представима в
виде
nv uv uv B.45a)
|X, V=l, .... П,
где ферми-операторы аД, а^ удовлетворяют перестановоч-
ным соотношениям A.27), а числовые параметры Ац? и
Bnv подчинены условиям
а. Каноническое преобразование. Рассмотрим вопрос
о приведении формы B.45а) к диагональному виду. Вве-
дем новые операторы:
аш= 2 {a^u^ + a+v^), B.46а)
2 , B.466)
и потребуем выполнения следующих условий нормиров-
ки и ортогональности *):
2 Квир+|»да) = А«р, B.47а)
<
*) Как показано ниже, условия B.48) являются следствием
условий B.47).

§2. КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПО ФЕРМИ-ОПЕРАТОРАМ 283
И, кроме того,
2 C«) = A|iv. B.48а)
2 (u»
2 («ц«А'(о + 0Нш «га) = 0. B.486)
Нетрудно проверить, что условия B.47), B.48) обес-
печивают канонический характер преобразования B.46):
B.49)
а+а++а+а+=0.
Используя условия B.47, 48), нетрудно получить преоб-
разования, обратные B.46):
»а»)> B.50а)
2 ^ + ;вов). B.506)
I <(й< Л
Предположим теперь, что при некоторых значениях па-
раметров и^ш, Уцю в B.50) форма B.45) приводится к
диагональному виду
B.51)
б. Система уравнений для параметров канонического
преобразования. Получим необходимые условия, которым
в этом случае должны удовлетворять параметры преоб-
разования B.50), и убедимся, что эти условия не про-
тиворечат требованиям B.47,48). Как следует из B.49)
и B.51),
^-Лша?, B.52)
поэтому (см. B.50а))
^ -^юа?). B-53)
С другой стороны, используя явный вид гамильтониана
B.45а), получаем
'7?= ? 0Vav+/W4). B.54)
I <V<.1

284 f-Л. 2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ОБЩЕГО ВИДА
Выражая правую часть B.54) через операторы а+, аю с
помощью соотношений B.50) и сравнивая результат с
правой частью B.53), приходим к следующей системе
уравнений:
2j
Kv<n
в. Матричная форма записи. Заменяя второе уравне-
ние в B.55) на комплексно сопряженное и вводя матри-
цы А = \А^\, 5 = ||finv||, 1/=|«м»|, V = \vw\ и Л =
= ||ЛЮ-ЛШШ<| (Л—диагональная матрица), получаем сис-
й
тему матричных уравнений
—B*U—A*V* = V*A. (
Далее, введем суперматрицы вида B.16) и объединим
уравнения B.56) в одно:
Заметим теперь, что в силу условий B.456) матрицы А
и В обладают свойствами:
B.58а)
B.586)
Вследствие B.58) матрица параметров формы B.57) в
B.56) эрмитова:
&?)(&^Г B-59>
Она обладает также следующим важным свойством:
/O;1W A\ BW0il\ / А\ В\* /
(lioj l-Щ-А*) (iioj = - [-B*Г-А*) • (
Здесь 1 и 0—единичная и нулевая матрицы размера
пхп.
т. Собственные значения. Обозначая через
^-= в* ... M=1- ••¦• п, B.61а)

§2. Квадратичная форма по фермй-опёраторам 28§
ю-й столбец матрицы
(?) <2-61б>
запишем матричное уравнение B.57) в виде л систем
уравнений для определения п первых столбцов матрицы
=1 "¦ Bб2>
Таким образом, Лю и Wm определяются как собственные
значения и собственные векторы эрмитовой матрицы
B.62), обладающей свойством B.59).
Для определения Лю имеем секулярное уравнение
O. B.63)
Это уравнение, левая часть которого суть полином сте-
пени 2/г по %, имеет 2л корней. Эти корни все вещест-
венны, как собственные значения эрмитовой матрицы B.59).
Другое важное свойство спектра матрицы B.59) вытека-
ет из B.60). Воспользовавшись B.57) и учитывая, что
/0;1\ /0; |\ /\ ;0\ /O'ilW^i^ (У. Щ
U"to/ \П"б7 "~ \'о!/' \Щ) \v*\o) = \'и*\о
нетрудно получить
А\ B\(V |0\ (V SOW—
Отсюда видим, что 2л вещественных значений Лш корней
уравнения B.63) разбиваются на л пар (Лю, —Лш).
В частности, если среди {Лю} имеется корень Лю = 0, то
он всегда вырожден, причем четное число раз.
Заметим теперь, что для определения матриц Л, U
и V нам нужны не все 2л значений {±ЛЮ}, а только
половина из них (см. B.63)). Выберем поэтому из каждой
пары ±ЛШ по одному числу, которое, не нарушая общности,
обозначим через Лш; если имеется несколько одинаковых пар
{±ЛШ}, то из каждой пары в качестве Лю выберем одно
и то же число; из четного числа корней Лю — 0 возьмем
половину. Полученные таким образом п значений Лю объ-
единим в диагональную матрицу Л. Остальные л чисел
{—Лю} образуют при этом матрицу —Л. При этом, как
следует из B.64), если в качестве решения уравнения

286 ГЛ. 2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ОБЩЕГО ВИДА
B.57) матрице Л соответствуют матрицы U и V*, то мат-
рице Л = — Л соответствуют матрицы О =V и V* = U*:
Л, U, V*^±—A, V, U*. B.65)
д. Условия на параметры канонического преобразова-
ния. Покажем теперь, что описанный выбор матрицы Л *)
позволяет построить матрицы U и V, удовлетворяющие
как уравнению B.57), так и условиям B.47), B.48).
Рассмотрим уравнение B.55) в форме B.57). Если Лю
не равно нулю и не вырождено (ЛЮ4^ЛР при со^р), то
оно определяется из B.63) с точностью до комплексного
числового множителя, модуль которого фиксируется до-
полнительным условием B.47а) присо = р, а фаза остается
произвольной. Покажем, что условие B.47а) при со#р
при этом выполняется автоматически. Из B.57) следует
U+:VT\/ А\ В\ /U ¦0\_/(V + U + yTV*)Ai0\
'Г6~1 \-mB*\~—"Ai) [yt'lOj ~ [ О" \01 •
Левая часть этого равенства эрмитова в силу B.59); из
эрмитовости его правой части, учитывая, что Л = Л+, по-
лучаем
(U*U +VTV*) А—Л (U*U+VTV) = О,
или
(Лр—Лш) 2 (u*mui
Если Лш не вырождено, то отсюда и следует B.47а) при
со#р.
Если же Лш не равно нулю и й-кратно вырождено,
Л^^Л^^.-.-^Л^^О, й<п, B.66)
то соответствующие ему собственные векторы образуют
й-мерное линейное многообразие JFft, и в качестве столб-
цов {Wm,, Wm,, • • ¦, Wm } можно выбрать любой ортонор-
мированный (в смысле условий B.47)) базис в ??к.
*) Как следует из способа построения, в выборе матрицы Л име-
ется некоторый произвол. Этот произвол непосредственно связан с
возможностью канонических преобразований «отражения». Отметим,
кстати, что матрицу Л всегда можно выбрать знакоопределенной
(по желанию, неотрицательной или неположительной).

§2. КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПО ФЕРМИ-ОПЕРАТОРАМ 287
Покажем, что условие B.476) выполняется автомати-
чески для тех значений индексов со и р, для которых
хотя бы одно из чисел Лю или Лр не равно нулю. Из
B.57) следует
и ; о\туо
а\
) [
B.б7)
С другой стороны, учитывая свойство B.59), можно за-
писать соотношение B.60) в виде
В
А: В\Т@
Отсюда следует, что при транспонировании левая часть
B.67) меняет знак. Учитывая это свойство и складывая
равенство B.67) со своим транспонированным, приходим
к равенству
(V*TU + UTV*) Л +ЛГ (VTU + UTV*) = 0.
Комплексно сопряженное равенство в матричных элемен-
тах имеет вид
(Лш+Лр) 2 КЛр + ^;р)=0. [B.68)
1<<
Если Лш^=0 или Лр^=0, то, как следует из способа
построения матрицы Л, Лю + Лр=^=0 и из B.68) вытекает
справедливость условия B.476).
Рассмотрим теперь особый случай &-кратно вырож-
денного (включая &=1) нулевого собственного значения
матрицы Л:
Лв1 = Лв1=...=Лв4 = 0, 1<?<п. B.69)
В этом случае эрмитова матрица B.59) имеет 2k нулевых
собственных значений, которым соответствует 2&-мерное
линейное пространство собственных векторов (решений
B.57)) L\k. Покажем, что и в случае B.69) можно вы-
брать k соответствующих столбцов матрицы W B.61)
таким образом, чтобы удовлетворялись условия B.47).
Пусть х = {*!, ..., х2п} и y = {yir ..., у2п}~^-мерные
вектор-столбцы, принадлежащие L\k. Введем обычным
образом скалярное произведение
(*> у)= 2

288 ГЛ. 2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ОБЩЕГО ВИДА
и норму вектора
II Y II — \/~1х Х\
Покажем теперь, что в L%k можно ввести 2&-мерный
ортонормированный базис специального вида, состоя-
ний из двух групп по k векторов: {zt,l—\, ...,&} и
{Sz*t, /=1,..., &}, где через S обозначена матрица
s=m.;v B.70)
Тогда в качестве искомых векторов {Wa , i— I, ..., k)
достаточно будет выбрать одну" из ортонормированных
систем векторов: \zt) или {Sz/}.
При построении базиса {zt, Sz*t\ нам потребуются сле-
дующие свойства оператора S:
5s =1, 5 = S+=S*. B.71)
Заметим, кстати, что из B.70) и B.71) следует, что если
вектор x^L°2k, то и вектор Sx*?Llk.
Возьмем теперь произвольный нормированный вектор
lAk, 1^11=1, и построим вектор у± вида
_ ^, если
Уг = -
если #i+S*t = O.
Очевидно, yi€.L%k и |0г|=;1, причем Ui = Sy\. Далее,
возьмем произвольный нормированный вектор х%?Цк,
jx2l = 1, ортогональный к уг, (х2, Ух) = О. Вектор Sx2 тогда
будет также ортогональным к уг. В самом деле, учиты-
вая свойства B.71), получаем
Построим вектор
V, если л
У 2 =
ix2, если
Поскольку ха J_ ух и Sxl JL Уг, то у2 J_ уг\ очевидно также,
что 10,1=1 и y2-Sy*2.
Продолжая аналогичным образом процесс построения
векторов Уз, yit .. •, получим ортонормированную сие-

§2. КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПО ФЕРМИ-ОПЕРАТОРАМ 289
тему 2k векторов \yh i=l, ..., 2k),
обладающих свойством
yi = Sy\, y;=Syt. B.726)
Введем теперь систему k векторов вида
U , /=1, ...,*. B.73)
Нетрудно проверить, воспользовавшись соотношениями
B.72а), что эта система векторов также является орто-
нормированной:
(Zt,zJ = Alm, I, m=l, .... k. B.74)
Воспользуемся теперь свойством B,726) и получим из
B.73) вторую систему k векторов
Sz;=y=-{yu-x-(yu), /=1, ...,*. B.75)
Из ортонормированности системы векторов {zt} B.74) и
свойств оператора S B.71) вытекает ортонормированность
системы векторов {Sz]\ B.75)
(&;, Sz'm)=\m, l,m=l, .... k. B.76)
Далее, исходя из B.72а), непосредственным вычислением
легко убедиться, что векторы zt и Sz^ ортогональны при
всех / и т:
(« Sz*) (
J -0. [B.77)
Соотношения B.74), B.76) и B.77) означают, что совокуп-
ность векторов {zt, Sz'i, l=\, .... k) является ортонор-
мированным базисом в L\k. Отсюда, в частности, следует,
что справедливо разложение L%k — S%@<?l, где $\ яв-
ляется линейной оболочкой системы к векторов {zt}, a
S?%—линейной оболочкой системы k векторов {Sz*}; при
этом, очевидно, &% _]_ &%.
В качестве столбцов матрицы W B.616), соответст-
вующих нулевым собственным значениям B.69) матрицы
10 Н. И. Боголюбои, Н. П. Богилюбон (мл.)

290 ГЛ. 2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ОБЩЕГО ВИДА
Л (см. B.62)), можно выбрать либо систему векторов {zt},
либо систему векторов [Sz*}. Выберем для определенности
{^ } {SWu =32^}; б
} р
ш( = 2ш,}, тогда {SWu =32^}; таким образом:
В силу B.74), B.76) и B.78)
(™СЙ;> " СО ,.) — ^щ щ ,
(wa sw: )=o B-79а)
или в матричных элементах (см. B.78))
что совпадает с условиями B.47). Проверка условий B.47)
тем самым закончена.
Покажем, что условия B.48) являются следствием
B.47). В матричных обозначениях условия B.47) имеют вид
-1,
UVT+VUT = 0. {
а условия B.48) записываются в виде
Вводя суперматрицу
можно записать условия B.79) в виде
Щ+ = 1, B.82а)
откуда следует, что Ш—унитарная матрица, и поэтому
ЗР31=1. B.826)

§2. КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПО ФЕРМИ-ОПЕРАТОРАМ 291
Раскрывая соотношение B.826), получаем
lJ9
что эквивалентно условиям B.48) в форме B.81).
Таким образом, мы убедились, что матрицы Л, U и V
всегда можно выбрать таким образом, чтобы удовлетворя-
лись одновременно как уравнения B.55), так и дополни-
тельные условия B.47), B.48).
е. Лемма о собственных векторах и собственных значе-
ниях. Следует заметить, что при изучении свойств решений
уравнений B.55) и, в частности, при изучении случая нуле-
вых собственных значений B.69) использовались лишь об-
щие свойства B.59) и B.60) матриц
А ! В \ /011
) S4
Поэтому, обобщая приведенное выше рассуждение, можно
без труда доказать представляющее и самостоятельный
интерес общее утверждение, которое мы сформулируем
здесь в виде следующей леммы.
Лемма. Обозначим через R2n 2п-мерноеевклидово про-
странство вектор-столбцов
x = (xlt ..., х2п),
со скалярным произведением
(х, */)= 23
К К 2л
и нормой \x\ = V(x, x). Пусть квадратные 2пх2п мат-
рицы М и S, рассматриваемые как операторы в прост-
ранстве R2n, удовлетворяют условиям
Тогда:
1) Множество 2п вещественных собственных значений
эрмитовой матрицы М состоит из п пар (± ЛИ! со = 1, ...
..., п). В частности, число нулевых собственных значений
заведомо четное.
2) Если собственному значению Лш матрицы М соот-
ветствует собственный вектор Хш, то вектор SX*a также

292 ГЛ. 2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ОБЩЕГО ВИДА
является собственным, и ему соответствует собственное
значение—Лш.
3) Можно построить такую ортонормированную^си-
стему из п собственных векторов матрицы М: [W^, со —
= 1 п}, что система собственных векторов {Ww,
SW'a, <o=l, ..., п} является ортонормированным базисом
в пространстве R2n:
AГа, Гр) = Дар,
При этом систему векторов {W^} всегда можно выбрать
таким образом, что соответствующие п собственных зна-
чений матрицы М все неотрицательны (или неположи-
тельны).
4) Из пункта 3 следует, что справедливо разложение
R2n = Rn®Rn, где Rn является линейной оболочкой векто-
ров {W&}, a Rn—линейной оболочкой векторов {SW*W}. При
этом Rn ± Rn.
ж. Диагонализация. Проверим теперь непосредствен-
ными вычислениями, что преобразование B.46), B.50),
в котором параметры и^ и ийш удовлетворяют уравне-
ниям B.55) и условиям B.47), B.48), позволяет привести
гамильтониан B.45) к диагональному виду B.51). Под-
ставляя B.50) в B.45), получаем
|iv asp
2
(IV
|iv asp
asp
+ 2 (a«ePQ«p + Qp«P#xJ), B.83a)
p
top
где
( + Y B(iv«UUvp + у ^цОцвМур). B.836)
(IV
( ^^« + J *luV»p). B.83b)
( 
M.V
M.V
Qasp = 2 (^vV"vp + Y ДцA«»vp +  ?v^"^as«vp)- B.83r)
HV

J2. КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПО ФЕРМИ-ОПЕРАТОРАМ 293
Преобразуем выражения B.836)—B.83г), записывая их
в матричном виде и воспользовавшись уравнениями B.56)
и условиями B.58):
G = U* A U + j U+BV + j VTB+ U =
= ±(U+UA+AU+U), B.84a)
V
B.846)
= j(V+UA—AV+U). B.84в)
В матричных элементах равенства B.84а) и B.846)
имеют вид
0Шр = ^ (Л«> + лр) 2 "»«>"*" B-85а)
>нр. B.856)
Воспользовавшись перестановочными соотношениями B.49)
и условием B.47а), на основании B.85) имеем
2(а?аРОо)Р + ашс
<ор
2 f
юр \
6>р
—2.1 °i«iia«p| =
J i <: а < п
-, 2 ЛшB|^|2). B.86)
1 < < \ У

294 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ЧАСТИ III
Далее, воспользовавшись B.84в) и вторым из условий
B.79), получаем
QT = ± (Л1ЛУ—UTV*A) = у (— AV+U+V+UA) = Q,
или в матричных элементах:
Qa>p=Qpa>. B.87)
Учитывая перестановочные соотношения B.49), получаем
отсюда
2 <?шрашаР = 2 СЖ = 0. B.88)
юр <ор
На основании B.83), B.86) и B.88) получаем оконча-
тельно
Я- 2 ЛшаХ, + 1-Г, B.89а)
I < ft) < П
Г = - 2 Л. f 2 К*!2)- B.896)
На этом закончим изложение метода диагонализации
фермионной квадратичной формы общего вида B.45).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ЧАСТИ III
1. Боголюбов Н. Н. К теории сверхтекучести.—Известия
АН СССР, Физика, 1947, т. 11, № 1, с. 77.
2. Боголюбов Н. Н. О новом методе в теории сверхпроводимо-
сти.— ЖЭТФ, 1958, т. 34, № 1, с. 58.
3. Боголюбов Н. Н. Квазисредние в задачах статистической
мехавики.— Препринт Д-781, ОИЯИ, Дубва, 1961; переиздано:
Избранные труды по статистической физике.— М.: Изд-во Москов-
ского университета, 1979.
4. Боголюбов Н. Н. Лекции по квантовой статистике.— Киев:
Радянська школа, 1949; переиздано: Избранные труды в трех то-
мах.— Киев: Наукова думка, 1970, т. II.
5. G а и d i n M. Nuclear Physics, 1960, v. 15, p. 89.
6. Westwanski В., Pawlikowski A. Phys. Lett., 1973,
v. 43A, N. 2.
7. В а к с В. Г., Л а р к и н А. И., П и к и н С. А. ЖЭТФ, 1967,
т. 53, с. 281, 1089.
8. Изюмов Ю. А.,Кассан-оглы Ф. А. ФММ, 1970, т. 30,
с. 225.

Часть IV
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ И КВАЗИСРЕДНИЕ
В ЗАДАЧАХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Глава 1
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ И НЕИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
§ 1. Идеальный бозе-газ
Рассмотрим свойства газа Бозе — Эйнштейна, т. е.
свойства макроскопических динамических систем, состоя-
щих из одинаковых частиц, подчиняющихся статистике
Бозе, взаимодействие между которыми можно считать до-
статочно малым.
Возьмем сначала случай идеального газа, в котором не
учитывается взаимодействие между частицами. Тогда пол-
ный гамильтониан системы состоит только из суммы инди-
видуальных энергий отдельных частиц; переходя к пред-
ставлению вторичного квантования запишем (часть II,
гл. 4) (%— 1):
A1)
Предполагается, что система заключена в объеме V — L1.
Импульс р принимает обычные квазидискретные значения
р— — {Пй па, па), A.2)
где па, а=\, 2, 3,— целые числа, операторы Ър, Ьр обо-
значают уничтожение и рождение одночастичного состоя-
ния с импульсом р. Мы будем рассматривать свойства
системы в пределе, когда объем V и число частиц N стре-
мятся к бесконечности, при этом отношение W/F = p
остается постоянным.
Вместо гамильтониана Н будем рассматривать оператор
большого ансамбля
0-3)

296 ГЛ. 1. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ И НЕИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
где (А обозначает химический потенциал. В этом случае
нам не следует требовать, чтобы число частиц N сохра-
нялось. В состоянии статистического равновесия сред-
нее число частиц в состоянии р задается известной
формулой
[ ((^i^j)]-1, A.4)
где Q = kT, Т—температура, k—постоянная Больцмана.
Заметим, что ц < О, иначе некоторые из чисел заполне-
ния <п/)> станут отрицательными. Мы можем определить \х
из следующего уравнения:
vp A5)
Начнем с простого примера конденсации идеального
бозе-эйнштейновского газа. Для удобства выделения кон-
денсата запишем гамильтониан идеального газа A.3) в виде
>р> 8>0-
Величину е устремим к нулю после совершения предель-
ного перехода V—>оо.
Учитывая формулу A.4) для средних чисел заполне-
ния <п/)>, для /з = 0 и рфО видим, что [I < 0. Обозначая
полное число частиц через N, имеем
>Е
Рассмотрим случай конденсации Бозе—Эйнштейна,
когда ио = Нщ-гг является конечной отличной от нуля
величиной. В этом случае, перейдя к пределу в формуле
A.5а), найдем

S 1. ИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ 2g7
Устремив здесь «импульс обрезания» е к нулю, получим
окончательно
^J(^Id/?. A.6)
Отсюда нетрудно видеть, что <.пр> имеет полюс при р = 0.
Принимая это во внимание, запишем*)
)\ A.7)
где с—постоянная. Интегрируя A.7), получаем
Подставляя значение для с из A.8) в A.7), имеем
-1)-1. A.9)
Функция распределения <л/?> поэтому содержит непрерыв-
ное распределение (представленное вторым членом) плюс
конечная часть, имеющая нулевой импульс. Говорят, что
частицы с нулевым импульсом образуют «конденсат». При
абсолютном нуле температуры <пр>=с8(р), т. е. все ча-
стицы находятся в состоянии с импульсом, равным нулю.
При температуре в = вс происходит фазовый переход.
Тисса и Лондон предполагали, что существование
бозе-конденсата в бозе-газе может объяснить сверхтекучие
свойства жидкого гелия II. Конденсат соответствует сверх-
текучей компоненте; при этом возбужденные частицы
образуют нормальную компоненту. Это объяснение пра-
вильно критиковалось Л. Д. Ландау, который возражал,
•) Замечание (к формуле A.6)):
Нетрудно заметить, что оператор boba/V асимптотически равен
с-числу
Рассмотрим амплитуды bJYV, btlVv, коммутирующие со всеми
амплитудами Ьр, Ьр, р Ф 0. Поскольку коммутатор \bjy~V, btl\Tv\ =
= l/V бесконечно мал (V—*¦ оо), можем считать также рассматрива-
емые ^мплитуды с-числами, причем ввиду (*) bJVv ~ Vna exp la,
btlV~V ~ Упоехр (— lot). Вещественный фазовый угол а здесь про-
изволен. Это связано с градиентной инвариантностью 1-го рода, обу-
словленной законом сохранения числа частиц, и свидетельствует
о появлении вырождения.

298 ГЛ. 1. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ И НЕИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
что идеальный бозе-газ не может проявлять свойство сверх-
текучести. Чтобы представить это, рассмотрим случай
8 = 0 и предположим, что бозе-конденсат движется со
скоростью и через трубку (капилляр). Результаты для
бозе-газа, рассмотренные выше, справедливы для системы
отсчета, в которой вся система как целое покоится, т. е.
и = 0. Рассмотрим поэтому систему отсчета S', движущу-
юся с конденсатом. Предположим, что в S1 одна молекула
вышла из конденсата из-за взаимодействия со стенками
капилляра. Если это происходит в состоянии с импуль-
сом р и энергией -^-, то, согласно инвариантности Га-
лилея, энергия возбуждения в первоначальной системе
отсчета определится выражением
-+ -+
где импульс р противоположен скорости и. Ясно, что
если -J— < ри, то Е < 0, т. е. бозе-конденсат теряет энер-
гию, если частица выходит из него. Другими словами,
равномерное течение конденсата при температуре Т —0
неустойчиво против элементарных возбуждений и отсюда
не может проявить сверхтекучее поведение. Это было воз-
ражение Л. Д. Ландау против теории Тиссы и Лондона.
Занимаясь этой проблемой, Н. Н. Боголюбов [1] пред-
положил, что взаимодействие между частицами бозе-газа
может стабилизировать конденсат так, что частица не те-
ряет энергию, выходя из коллективного движения, т. е.
рождение элементарных возбуждений будет увеличивать
энергию, а не уменьшать ее, как это происходит в случае
идеального газа.
§ 2. Конденсация в пространстве импульсов
и явление сверхтекучести
Рассмотрим идеальный газ Бозе—Эйнштейна, состоя-
щий из одноатомных бесспиновых молекул. Предположим,
что число их N фиксировано.
Рассматриваем случай, когда объем V представляет
собой куб со стороной L=V1/3 и наложим обычные усло-
вия периодичности.

§2. КОНДЕНСАЦИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ИМПУЛЬСОВ 2S9
При этом
<PG)
где f™ = ^nia\ а=\, 2, 3, лю> = 0, ± 1, ±2, ... Учи-
тывая формулу A.4) из § 1 и вводя обозначение А = е^/0,
перепишем ее в виде
Отсюда, поскольку средние числа заполнения щ должны
быть неотрицательными, Л^1, С другой стороны, на
основании A.5) получаем для определения постоянной А
следующее уравнение:
где v—объем на одну молекулу.
При рассмотрении предельного перехода N—+oo,
V—* оо, v = const исследуем отдельно два случая:
1) когда А можно считать фиксированным числом,
которое строго больше единицы;
2) когда А ~ 1.
В первом случае nf—регулярная функция f, и поэтому
предельный переход выполняется тривиальным образом.
Необходимо только в условии A.11) сумму по /заменить
соответствующим интегралом, приняв во внимание, что
при V —* оо спектр f стремится к непрерывному.
Следовательно, учитывая, что
^f - др> а?» д/«>
видим, что для произвольной достаточно регулярной функ-
ции F(f)
tEF^^wIF^^' df^dfn)drdf«\ A.12)
и поэтому из A.11) получаем

300 гл- 1- СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ И НЕИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
ИЛИ
х* dx _ 2n2h3
Аехрх* —1~~ иBтОK/а '
о
A.13)
Поскольку А > 1 и интеграл в левой части возрастает
при уменьшении А, это уравнение при данных оиО имеет
надлежащее решение относительно А только тогда, когда
оBт6)8/а
Таким образом, первый случай реализуется, когда при
данной плотности числа молекул температура превышает
определенную критическую температуру:
Вычислим, наконец, для этого случая основные функ-
ции распределения w (p) и g(r).
Возьмем произвольную регулярную функцию *) им-
пульса частицы F(p) и рассмотрим среднее значение
динамической переменной
По определению функции распределения импульсов w(p)
A.16)
Но, с другой стороны, $L=^Fifaf)nf. В силу этого
•) Говоря о регулярности функции импульса F(p), мы подра-
зумеваем, что она также достаточно быстро убывает при р—> оо.

§2. КОНДЕНСАЦИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ИМПУЛЬСОВ 301
Следовательно, тождественно
и поэтому, учитывая произвольность функции F(p), по-
лучаем окончательно
ИЛИ
Переходя к вычислению корреляционной плотности
g{r), исходим из формулы D.66а) метода вторичного кван-
тования. Имеем
Rntoi. Яш. Я1> Яш)=
2 Ь*> Ь**Ьf'abf^ № У*. (й) Ф,; (9i) Ф,; (Я*)¦
A.19)
Здесь
f« h fiJ....n ..........п.
..п.... г f
2 jv
A.20)
Но, поскольку bf и Ьр соответственно уменьшают и уве-
личивают число заполнения на единицу, видим, что диа-
гональный элемент (bt.btb^b.A может
быть отличным от нуля только тогда, когда (flt fj) — (f'u /з).
т. е. когда либо /i = /i, /a = /a, либо /i = /a, /2 = /[.
Заметим, что
и что

302 ГЛ. 1. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ И НЕИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
Поэтому
"''nn?'N"
X expJ —51~fl nf \ ~ nfinf*—^ (ft—№ nfi*
I f
и отсюда
Аналогично
Таким образом, из A.19) получаем
Rntou ft*, ft. fi)=-
= N(N-\) 51 "''"ь{ 1 + exp[t(/,—/,)(%—
h. h
Введем теперь статистические [операторы F2. Можем
написать
рш(Яи ?¦; Яи Яш) =
= ЛПЛГГТM1 "f."f.{l + exp [»(/,-/!)(?!-?,)]}. A-21)
и поэтому после предельного перехода
Рш(Яи Я%\ Яи Я*) =
= 1 + щг J «f^b exp [t (/,—/J (?!—
Заметим далее, что
= j nflexp[— f/, fa—
4я ? tsia(t\g\)dt _ 4я 1 ? x sin (x [ ?/re |)
Я ) л %Ч* ~ rl 1?/г.|. Л*«1 '

S2. КОНДЕНСАЦИЯ
где
Го
Таким образом,
где
V
Следовательно,
В ПРОСТРАНСТВЕ ИМПУЛЬСОВ
\
=* Й/1//пё. ч
9а) = 1 + ы* (I 9i""~9a D»
ге Р дс sin (xr/r0) ,
3 1 J луп V^ 1 **""*
A
303
.22)
.23)
A.25)
На основании этой формулы можем вычислить флук-
туацию плотности числа частиц
1
Имеем
W 00
""'" -та- О-26)
Теперь перейдем к рассмотрению второго случая,
когда в процессе предельного перехода А —* 1. В этом
случае при фиксированном \f\> 0, переходя к пределу,
получаем
Возьмем теперь определенное фиксированное S, однако
как угодно малое. Поскольку щ является регулярной
функцией / при |/|^6, из A.11) находим
v 2u nf~ v т 2-1 nf~ v~
\f\<&
Отсюда
J ехр *2 — 1
О
129

304 гл- '• СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ И НЕИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГЛЗ
Как видим, рассматриваемый случай имеет место при
6 < 0кр- Соотношение A.29) показывает, что если темпера-
тура меньше критической, только часть общего числа
молекул, пропорциональная F/вкр)з/а, непрерывно распре-
делена по всему спектру импульсов. Остальная же часть
частиц, пропорциональная 1—F/0крK/а, имеет импульсы,
практически равные нулю.
Найдем теперь соответствующее выражение для функ-
ции распределения импульсов w(p).
Возьмем некоторую достаточно регулярную произволь-
ную функцию F (р) и рассмотрим среднее значение адди-
тивной динамической переменной $1= У\ F(p), По
_ К/<л/ w
определению limSt/AT = \ F(p)w(p)dp. Но, с другой сто-
роны,
f4
Отметим также, что на основании A.9)
F(p)dp,
и поэтому тождественно
F(p)w(p)dp =
Таким образом, учитывая произвольность функции
F(p), получаем окончательно
^EZT- (U0)
Как видим, после предельного перехода функция рас-
пределения импульсов молекулы w(p) носит различный

E 2. КОНДЕНСАЦИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ИМПУЛЬСОВ ЗОЗ
характер при 0 > 0кр и при 0 < 0кр. При 0 > 0кр эта функ-
ция определяется выражением A.18) и является непре-
рывной относительно аргумента р и, наоборот, при 9 < в^
она, как показывает формула A.30), имеет сингулярную
часть.
Рассмотрим выражение статистического оператора Fx
и отметим, что в импульсном представлении (Fx)p, р> =
= w(p)8 (p—р'). Следовательно, в координатном пред-
ставлении
Поэтому
Отсюда
(Л),.,' —0, |^_^| —оо при6>е1Ч),
рK/2, \q-q'\-+°° при 9<екр.
Аналогичные «скачки» при переходе через критическую
температуру можем заметить] и в структуре статистиче-
ских операторов высших порядков. С физической точки
зрения эти скачки соответствуют своеобразной «конден-
сации», которая появляется в идеальном газе Бозе—Эйн-
штейна при переходе через критическую температуру.
В самом деле, хотя бы из формулы A.30) видно, что
часть молекул, так сказать, «замерзла в импульсном
пространстве», имея один и тот же импульс р = 0. От-
носительное число этих «замерзших» молекул равно
1—(в/в„рK/г» следовательно, оно мало при В~6кр и
постепенно увеличивается при понижении температуры.
При абсолютном нуле все молекулы «замерзают» и

306 ГЛ.1. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ И НЁИДЁАЛЬНЫЙ ПОЗЕ-rv-
Когда 0 < 9 < 0кр, существуют одновременно и «конденсат»
из замерзших молекул, и «нормальная компонента», ко-
торая несет всю энтропию системы. Следовательно, можем
говорить отдельно о плотности конденсата ps = —X
XI 1 — (а~~) )и нормальной компоненты р,,**—( «— ) .
Необходимо подчеркнуть, что рассматриваемая «бозе-
эйнштейновская конденсация» наблюдается в пространстве
импульсов. В обычном же координатном пространстве и
конденсат и нормальная компоненты полностью «размеша-
ны» и в состоянии статистического равновесия наблюдается
полная пространственная однородность.
Явление бозе-эйнштейновской конденсации было ис-
пользовано для объяснения явления сверхтекучести жид-
кого гелия. Как известно, явление сверхтекучести жидкого
гелия можно макроскопически описать, если принять, что
при переходе через критическую температуру 2,19 К жид-
кий гелий становится смесью «сверхтекучей компоненты»,
плотность которой ps постепенно возрастает от нуля до
полной плотности \lv (при О К), и «нормальной компонен-
ты» с плотностью pn, Pn+Ps~l/p> которая несет всю энт-
ропию жидкости. Обе эти компоненты полностью размеша-
ны в обычном пространстве.
Как и для бозе-эйнштейновской конденсации, переход
через критическую температуру необходимо считать соот-
ветствующим фазовому переходу второго рода. Аналогия
между описанными явлениями еще больше подчеркивается
тем, что если подставить в формулу A.14) критической тем-
пературы конденсации атомную массу т и плотность l/v
для жидкого гелия, получается значение 3,2 К.
Принимая во внимание тот факт, что модель идеального
газа, очевидно, не может считаться достаточно подходящей
моделью для жидкости, следует признать, что совпадение
критических температур 3,2К и 2.19К более чем удовлетво-
рительно. Однако существует коренное различие между
явлениями сверхтекучести и бозе-эйнштейновской конденса-
ции идеального газа. Так, из формулы A.30) для функции
распределения импульсов ясно, что средние скорости нор-
мальной компоненты и конденсата одинаковы. В рассмат-
риваемом случае нулевого полного импульса эти скорости
равны нулю. В общем случае, когда полный импульс отли-
чен от нуля, следовательно, когда система как целое
движется с определенной скоростью и, вместо A.30)

§3. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ 307
справедливо равенство
откуда ясно, что обе указанные скорости равны и.
Наоборот, в случае явления сверхтекучести необходимо
было бы, чтобы в состоянии статистического равновесия
конденсат мог двигаться относительно нормальной компо-
ненты с определенным спектром скоростей. Ясно, что для
идеального газа это невозможно, так как тогда атомы кон-
денсата не должны были бы обмениваться импульсами с
атомами нормальной компоненты, а в идеальном газе соуда-
рения происходят между парами индивидуальных атомов и,
следовательно, ничто не препятствует атому конденсата
отдавать свой импульс атомам нормальной компоненты.
Есть еще одно возражение против теории сверхтеку-
чести жидкого гелия, построенной на теории бозе-эйнштей-
новской конденсации идеального газа. Мы уже видели, что
флуктуации плотности идеального газа неограниченно воз-
растают, когда температура, понижаясь, стремится к кри-
тической. Можно было бы вычислить их также при 9<С9кр.
Тогда мы убедились бы, что эти флуктуации бесконечно
велики при всех 0<С9<8кр. Следовательно, при переходе
через критическую температуру происходило бы аномаль-
ное рассеяние света, а этого не бывает в реальном случае
жидкого гелия. Эти трудности заставили Л. Д. Ландау
построить совершенно другую, правда, не молекулярную,
а полуфеноменологическую теорию сверхтекучести. (Под-
робнее см. работу [1], § 3. Критический анализ теории
Ландау.)
§ 3. Сверхтекучесть
В данном параграфе мы рассмотрим некоторые вопросы,
связанные с теорией сверхтекучести. Прежде всего, сле-
дуя работе [2], продемонстрируем возможность сверхте-
кучести в модели слабонеидеального газа Бозе — Эйн-
штейна с вырожденным конденсатом. Затем кратко обсу-
дим дальнейшее развитие этой модели и приведем примеры
других систем, в которых осуществляется бозе-конденса-
ция и сверхтекучесть.
При построении последовательной микроскопической
теории явления сверхтекучести без феноменологических
предположений о структуре энергетического спектра,

308 ГЛ. 1. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ И НЕИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
естественно начать с достаточно простой модели, с одной
стороны, допускающей аналитические вычисления, а с
другой — правильно отображающей качественное поведение
реальной системы.
Наиболее естественно здесь исходить из модели не-
идеального газа Бозе — Эйнштейна со слабым взаимодейст-
вием между частицами. Аналогичные попытки объяснения
сверхтекучести с помощью явления вырождения идеального
газа Бозе — Эйнштейна уже делались Тиссой и Лондоном,
но столкнулись с сильной критикой. Указывалось, на-
пример, что гелий II ввиду наличия интенсивного взаимо-
действия между его молекулами не имеет ничего общего с
идеальным газом. Это возражение, впрочем, не может счи-
таться существенным. От молекулярной теории сверхте-
кучести, во всяком случае на первом этапе, можно требовать
лишь принципиального, качественного объяснения, осно-
ванного на упрощенной модели.
Действительно, существенное возражение против ука-
занного круга идей состоит в том, что в вырожденном
идеальном газе Бозе — Эйнштейна частицы, находящиеся
в основном состоянии, не могут вести себя как «сверхте-
кучие», поскольку ничто не могло бы помешать им обмени-
ваться импульсом с возбужденными частицами при столк-
новениях и тем самым испытывать трение при их движении
через жидкость.
а. Квазичастицы. Рассмотрим систему? N одинаковых
одноатомных молекул, заключенных в некотором макроско-
пическом объеме V и подчиняющихся статистике Бозе.
Предположим, как обычно, что ее гамильтониан имеет
вид
2
где
-^ 2т
Т(р()—кинетическая энергия i-й молекулы, Ф(|^—<?/|) —
потенциальная энергия пары (t, /').
В представлении вторичного квантования (см. часть II)
такой гамильтониан можемпредставить в видеЯ=Я0+Я1п4,
где Яо—гамильтониан свободного бозе-газа, а Ны за-
дается выражением
), A.33)

§3. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ 309
здесь yjp(x)—оператор бозонного поля
Если мы подставим выражение для г|з(л;) в A.33) и по-
ложим
^, A.35)
то
A.36)
Заметим, что \{р) —функция только от р и действитель-
ная, Г есть сложный оператор. Для того чтобы продвинуть-
ся в исследовании движения рассматриваемой совокупно-
сти молекул, предположим, что взаимодействие v(p) про-
порционально малому параметру Х<^1 (слабое взаимодейст-
вие). Предположим также, что температура Т близка к
0°К. Тогда в отсутствие взаимодействия, Х=0, почти все
частицы газа находятся в состоянии с импульсом, равным
нулю. Для малых X мы можем ожидать, что ситуация будет
такая же, т. е. большинство частиц все еще находится в
состоянии с нулевым импульсом, и в то же время имеется
небольшая примесь частиц с ненулевым импульсом. Рас-
сматривая коммутационные соотношения
—Ь.+Ь.-1. A.37)
видим, что для состояния рассматриваемой системы bibe
имеет макроскопическое значение. Можем поэтому прене-
бречь единицей в правой части A.37) и трактовать b0, b?
как классические величины. Пусть
Ье=|/"Л^е"р, Ь+ = |/"Л^в-**, A.38)
где No имеет смысл числа частиц в конденсате. В гамиль-
тониане выделим члены с импульсом р = 0 от членов
с импульсами р Ф 0,?поскольку амплитуды Ър малы в срав-
нении с амплитудой Ьо. Удерживая только члены, квад-
ратичные по операторам Ьр, и пренебрегая всеми другими,

310 ГЛ. 1. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ И НЕИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
мы получим
§ ?(Р)Ь-РЬР. A.39)
р р
В первом приближении основное состояние энергии опре-
деляется выражением
(л определяется условием
жп=°- <L41>
Таким образом, в первом приближении
(x = ^v@). A.42)
Подставляя выражение для химического потенциала ц
в A.39) и делая преобразование Ьр-^Ърё^% Щ —»-Ь%е~|Чр,
имеем во втором приближении
Йр + Ь-А)- A-43)
Этот гамильтониан легко диагонализируется преобразо-
ванием
где параметры ир, vp—вещественные числа. Если выберем
«J-o«=i; A.45)
легко проверить, что это преобразование каноническое,
т. е. ?р, \? удовлетворяют тем же самым коммутацион-
ным соотношениям, что и операторы bpt Ь+.
Рассматривая A.45) вместе с условием, что гамиль-
тониан Г, выраженный через операторы \р, ??, должен
быть диагональным, получаем для параметров ир, vp

15Л. Сверхтекучесть
выражения
A>46)
где
Гамильтониан Г записывается в виде
с—|4'@|-т 2 (?-+TvW-
Мы опять получили гамильтониан идеального бозе-газа.
Этот газ, однако, состоит из квазичастиц, описываемых
операторами %р, |+.
б. Возникновение сверхтекучести. Итак, полная энер-
гия рассматриваемого неидеального газа складывается
из энергии основного состояния Но и суммы индиви-
дуальных энергий отдельных квазичастиц. Квазичастицы,
очевидно, не взаимодействуют друг с другом и образуют
идеальный газ Бозе—Эйнштейна.
Легко видеть, что отсутствие взаимодействия между
квазичастицами обусловлено применявшейся аппроксима-
цией, в которой в выражении энергии отбрасывались
члены, начиная с кубических по отношению к \pt |?.
Поэтому полученный результат относится лишь к слабо
возбужденным состояниям.
Если бы мы учли как малое возмущение отброшенные
кубические члены в выражении энергии, то мы обнару-
жили бы слабое взаимодействие между квазичастицами,
обусловливающее установление статистического равно-
весия в их совокупности.
Заметим, что канонические преобразования A.44) в
работах [1, 2, 4] обычно записываются в форме

312 ГЛ. t, СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ И НЕИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
где
Элементарная проверка коммутационных соотношений
показывает, что новые операторы %pt Ц также являются
операторными амплитудами в случае статистики Бозе.
Обращая преобразование A.44), находим
Подставляя эти выражения в гамильтониан A.49), после
элементарных преобразований получаем
где
A.52)
Аналогично, подставляя A.50) в выражение полного
2
импульса системы / = 2р^р^р' полУчаем
р
ЦР р A.53)
р р
Итак, слабовозбужденные состояния могут рассматри-
ваться как идеальный газ Бозе—Эйнштейна из квази-
частиц, у* которых зависимость между энергией ? и им-
пульсом р "определяется формулой
Теперь, поскольку мы здесь учитываем только главные
члены, можно написать в том же приближении
4m»

S3. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ 313
откуда для малых импульсов Е(р)= у ^^-\
Поэтому на основании A.48) Е(р) = с \ р |A + •••). где
с—скорость звука при абсолютном нуле. Наоборот, при
достаточно больших импульсах можно разложить Е(р)
по степеням е и написать
В силу того, что v(/j) стремится к нулю при увели-
чении \р\, для достаточно больших импульсов Е(р) стре-
I я I2
мится к кинетической энергии одной молекулы J^j-.
Следовательно, отношение -ру является непрерывной по-
ложительной функцией \р\, принимающей значениес>0
при р — 0 и возрастающей как 4р- при \р\—>-оо.Поэтому
оно имеет существенно положительное минимальное зна-
чение min -r^f !=; и* > 0.
р \р\
Таким образом, мы убеждаемся, что выполняются усло-
вия применимости теории Ландау и, следовательно, что в
рассматриваемой модели слабонеидеального газа Бозе —
Эйнштейна существует сверхтекучесть.
в. Уравнения движения. Существует другой эквива-
лентный подход вывода вышеприведенных результатов.
Составим уравнение движения Гейзенберга для функции 1|з.
Воспользовавшись методом вторичного квантования, на-
пишем основное уравнение в следующей форме:
'* Ж = ~ "? Д* + $Ф С 9-?' I) Ч>+ (? W) ¦(?) dq', A.54)
причем
Ф = S а/ Ф/ (?), V = S af<Pf (Я) ¦
В этих формулах af, af—сопряженные операторы
с перестановочными соотношениями известного типа
afaf—af>af = 0, afap —aj.af = Afj f, = < j , = ,#

314 ГЛ- 1. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ И НЕИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕГАЗ
a {q>f(q)}—ортонормированная,
полная система функций.
Для простоты изложения будем применять в дальней-
шем систему собственных функций оператора импульса
одной частицы:
% \
(f.q)=
" 1 <а< 3
для которой оператор Nf==afaf представляет число моле-
кул с импульсом /. При конечном значении V вектор f,
очевидно, является квантованным. Например, при обычных
граничных условиях типа периодичности fta>=2nknla)/L,
где па\ п(а), пC)—целые числа, L—сторона куба, объем
которого V.
Поскольку, однако, мы здесь будем заниматься иссле-
дованием термодинамических объемных свойств, мы должны
всегда иметь в виду предельный переход, при котором
стенки сосуда раздвигаются до бесконечности, V—>-оо,
N—i-oo, а удельный объем v — VjN остается постоянным.
Поэтому в конечном результате будем переходить к не-
прерывному спектру, заменяя суммы вида ^F (/) интег-
ралами Vl{2nhy\F{f)df.
Уравнения A.54) являются точными уравнениями зада-
чи N тел, и чтобы продвинуться в исследовании движения
рассматриваемой совокупности молекул, нам необходимо
совершить некоторую аппроксимацию, основанную на до-
пущении малости энергии взаимодействия. В соответствии
с этим допущением будем считать потенциальную функцию
Ф(г) пропорциональной некоторому малому параметру е.
Какое безразмерное отношение может быть принято за е,
выяснится из дальнейшего. Заметим лишь, что строго го-
воря, сделанное предположение соответствует пренебреже-
нию конечностью радиуса молекул, поскольку мы здесь
не учитываем интенсивного возрастания Ф (г) при малых г,
обеспечивающего непроницаемость молекул. Впрочем, как
мы увидим, результаты, которые будут получены, могут
быть обобщены и на случай, учета конечности радиуса
(см. [2]).

S 3. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ 315
Переходя к формулировке приближенного приема, за-
метим, что если бы взаимодействие полностью отсутство-
вало, т. е. если бы параметр е точно равнялся нулю, то
при нулевой температуре мы могли бы положить Ne—Nt
Nf—Q (/V=0). В рассматриваемом же случае малого & и сла-
бо возбужденных состояний газа эти соотношения выпол-
няются приближенно в том смысле, что подавляющая часть
молекул обладает импульсами, близкими к нулю. Ра-
зумеется, выбор нулевого импульса, как предельного для
частиц в основном состоянии, очевидно, соответствует спе-
циальному выбору координатной системы — именно та-
кой, в которой «конденсат» покоится.
На этих соображениях мы основываем следующий прием
для приближенного решения уравнений A.54). Полагая
-f (Р- <7>
/1 0 "-
будем считать 9 «поправочным членом первого порядка» и
пренебрежем в уравнении A.54) членами, начиная с квад-
ратичных относительно 9, что соответствует учету слабости
возбуждения.
Тогда получим основные приближенные уравнения в
виде
•J- 00 Ла
~дТ = Ъп
_|—— \ ф ^q—q' j) G+ (^
A.55)
dt V
где
Для перехода от операторной волновой функции 9
к операторным амплитудам af воспользуемся разложением
Фурье
A.55a)

316 fn. 1. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ И НЁИДЁАЛЬНЫЙ БОЗЁ-ГАЗ
Благодаря радиальной симметрии потенциальной функ-
ции амплитуды
S h dq
в этом разложении зависят лишь от длины \f\ вектора /.
Подставив A.55а) в уравнение A.55), найдем
или, полагая
-tM
af = e * bh ao = e * 60,
можем написать также
,. A.56)
Решая эту систему двух уравнений с постоянными
коэффициентами, убеждаемся, что зависимость от времени
операторов bf, Щ выражается линейной комбинацией
экспоненциалов вида
± 4 ? <f >'
е k
где
yj A.57)
Заметим теперь, что если
0, A.58)
то в рассматриваемом случае (е достаточно мало) под-
коренное выражение в A.57) будет положительным, и,
таким образом, Ь», bf оказываются периодическими функ-
циями времени. Если, наоборот, v@)<0, то для малых
импульсов это подкоренное выражение будет отрица-
тельным, и, следовательно, E(f) окажется комплексным.
Поэтому bf, Щ будут содержать вещественный экспонен-

§3. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ 31?
циал, возрастающий со временем, ввиду чего состояния
с малыми Nf оказываются неустойчивыми.
Чтобы обеспечить устойчивость слабовозбужденных со-
стояний, будем рассматривать в дальнейшем только такие
типы взаимодействия между молекулами, для которых не-
равенство A.58) удовлетворяется. Интересно отметить, что
неравенство A.58) представляет собой не что иное, как усло-
вие термодинамической устойчивости газа при абсолютном
нуле.
В самом деле, при абсолютном нуле свободная энергия
совпадает со средней энергией, а главный член в выраже-
нии этой последней имеет вид
откуда на основании формул преобразования A.50) убеж-
даемся, что
у 0<«,_у f<«> (Ц+1<П-г)(Ь+ЧЪ)
Аи Pi — Ашк\ . ¦,, |2
1 < i< N f l~\Lf I
Но ввиду инвариантности Lf, Ц при замене f на —f можно
написать
у «и» №-& _у fm> Lf|f+?-f .-о
hnz?i я у
l-\Lf\* ?
У > |Lf' t+
1-| Lfp 4
откуда следует, что
т. е. что полный импульс совокупности молекул равен
полному импульсу совокупности квазичастиц. Поскольку
полный импульс совокупности молекул сохраняется, то
сумма ^tfrif действительно представляет собой интеграл
движения.
г. Элементарные возбуждения и сверхтекучесть. Как
мы уже отмечали, совокупность элементарных возбуждений

318 гл. i. Сверхтекучесть и неидеальный бозе-газ
можно рассматривать как идеальный газ Бозе — Эйн-
штейна. При этом энергия их и импульс являются интег-
ралами движения. Число же элементарных возбуждений
не фиксировано, поскольку под влиянием возмущения (мы
имеем в виду отброшенные в принятом приближении члены
третьего и высших порядков в гамильтониане) они могут
появляться и исчезать.
Повторим рассуждения § 1 с тем отличием, что в статис-
тическом операторе учтем сохранение импульса и возьмем
его в виде
где X.—произвольный вектор, или
где u = 'KQ и имеет смысл средней скорости газа элемен-
тарных возбуждений. Тогда получим
}1, A.59)
где 9—температурный модуль, и—произвольный вектор.
Длина этого вектора, впрочем, должна быть ограничена
сверху. В самом деле, так как средние числа заполнения
должны быть положительны, то для всех /=^0 должно
выполняться неравенство ?(/)>(/и), из которого сле-
дует неравенство E(f)>\f\ • \и\. Но в силу ранее уста-
новленных свойств E(f) отношение E(f)f\f\ является
непрерывной положительной функцией |/|, принимающей
значение с>0 при jf| = O и возрастающей как -Ш- при
f—к». Поэтому рассматриваемое отношение имеет сущест-
венно положительное минимальное значение; таким обра-
зом, условие положительности чисел nf эквивалентно
неравенству
^ A.60)
Если бы при малых импульсах E(f) убывало не пропор-
ционально импульсу, а пропорционально его квадрату,
как кинетическая энергия молекулы, то правая часть полу-
ченного неравенства равнялась бы нулю, и единственно

§3. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ 319
возможным значением и был бы нуль. В нашем же случае
вектор и может быть произвольным, лишь бы его длина
была достаточно мала.
Заметим, что формула A.59) дает такое распределение
импульсов в газе квазичастиц, при котором он как целое
движется со скоростью и. Вначале мы выбрали координат-
ную систему, в которой конденсат, т. е. совокупность моле-
кул, в основном состоянии покоится. Если бы мы перешли
к координатной системе, в которой газ квазичастиц как це-
лое покоится, мы обнаружили бы, наоборот, движение кон-
денсата со скоростью и. Поскольку это относительное дви-
жение происходит стационарно в состоянии статистического
равновесия при отсутствии внешних сил, мы видим, что
оно не сопровождается трением и представляет собой, сле-
довательно, свойства сверхтекучести.
Если мы возьмем систему координат, в которой конден-
сат движется со скоростью и, нетрудно заметить, что энер-
гия рассматриваемой совокупности молекул будет
» ^ АЛ 1/л
LJf ^L Г С / S\ / ? \"Т I U i
^ Щ о 2
Отсюда с помощью рассуждения Ландау из его работы [3]
свойство сверхтекучести делается непосредственно очевид-
ным, поскольку возникновение элементарных возбужде-
ний энергетически невыгодно, так как сопровождается уве-
личением энергии.
Как мы видели, энергия квазичастицы при малых им-
пульсах приближенно равна с \f ], где с — скорость звука.
Поэтому квазичастица при малых импульсах представляет
собой не что иное, как фотон. При увеличении импульса,
когда кинетическая энергия T(f) делается большой по срав-
нению с энергией связи молекулы, энергия квазичастицы
непрерывно переходит в индивидуальную энергию (моле-
кулы Т(/).
(Таким образом, ни о каком разделении квазичастиц на
два различных сорта — на фононы и ротоны — не может
быть речи.
Для малых импульсов
E(f)=c\f\, A.61)
где с — скорость звука при абсолютном нуле. Наоборот,
для достаточно больших импульсов можно разложить ?(/)

320 ГЛ. 1. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ И НЕИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
по степеням в и написать
A62)
Так как v(/) стремится к нулю при увеличении | / |,
то для достаточно больших импульсов E(f) приближается к
кинетической энергии одной молекулы T(f).
Таким образом, возбуждения, соответствующие малым
значениям импульса, представляют коллективное поведе-
ние. Для больших значений импульса возбуждения пред-
ставляют собой существенно одночастичные возбуждения.
Наши результаты справедливы в рамках того, что систе-
ма как целое находится в состоянии покоя.
Если предположим, что газ течет со скоростью и, мо-
жем, как и раньше, найти энер-
гию возбуждений, используя
инвариантность Галилея
?
?p
/1
//
//
i ^
/
-(Pu) ?
Графическое представление
дано на рис. 1.
Видим, сравнивая с идеаль-
Рис. 1. ным газом, что Е положитель-
но для малых ы, т. е. рождение
возбуждения (из-за взаимо-
действия со стенками) будет увеличивать энергию системы.
Течение с малыми скоростями поэтому устойчиво против
возбуждений. С другой стороны, для больших и Е будет
отрицательно, и отсюда сверхтекучее поведение будет не-
возможно. Появляющиеся возбуждения будут стремиться
остановить течение.
Явление, которое мы здесь описали, имеет общую при-
роду. Аналогичная ситуация будет иметь место и для фер-
мионов.
В состоянии статистического равновесия, среднее зна-
чение числа возбуждений с импульсом р будет
<|+|,> «(<**/¦» -I). A.63)
Функция распределения числа частиц <Jbp>p> может быть
вычислена, выражая операторы Ьр как линейные формы
от операторов ?я посредством соотношений A.44). Резуль-

§3. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ 321
тат имеет вид
ЬЬр
Ер
A.64)
д. Замечания. 1. Из A.64) следует, что для р—»-0
t0
,^ A.65)
Теперь
В случае трех измерений интеграл в левой части имеет
конечное значение <np~>ct/p3. В случае двух измерений
или одного измерения бозе-газа ничего не изменится
в вышеприведенной теории для случая трех измерений,
так что <пр~> для р —¦- 0 все еще будет пропорциональ-
на 1//7а. Для случая бозе-газа в двух измерениях интег-
рал в A.66) будет расходиться подобно Aп /?)„ _*. о> а Для
случая одного измерения бозе-газа интеграл будет рас-
ходиться как (l/jt?)p-*o. Мы должны поэтому заключить,
что бозе-эйнштейновская конденсация (и отсюда сверх-
текучесть) невозможна в случае одного измерения или
двух измерений даже гв присутствии взаимодействия.
В результате A.65) есть частный случай общей теоремы
«об особенностях типа 1/?а», которая будет доказана позже.
2. Вышеприведенная теория годится только в случае
слабого взаимодействия v(p). Если взаимодействие не
слабое, но плотность малая, вышеприведенные резуль-
таты справедливы при условии, что взаимодействие \v'{p)
заменяется матрицей рассеяния двух частиц.
3. Если мы вычислим парную функцию <Ф+ (х) Ь+ (х')>,
то найдем
11 Н. Н. Еогслюбсш, Н. И. Боголюбов (мл.)

322 ГЛ. 1. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ И НЕИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
Из этого результата вытекает, что в газе с взаимодейст-
вием находится небольшое число пар с импульсами р
и —р. Но если такие пары находятся в бозе-газе, они
должны иметь энергию диссоциации, связанную с каждой
парой. Это означает, что в дополнение к фоионной ветви
спектраГмы имеем другую ветвь в
спектре возбуждений, соответству-
ющую возбуждению пар. Спектр
возбуждений будет поэтому иметь
вид, представленный на рис. 2.
е. Распределение по импульсам.
Отыскав распределение элементар-
ных возбуждений по импульсам в
состоянии статистического равнове-
сия, рассмотрим теперь распределе-
ние по импульсам отдельных мо-
лекул. Для этого целесообразно
ввести функцию распределения w(p), определив ее так, что-
бы Nw(p) было средним числом молекул с импульсами из
элементарного объема dp. Эта функция, очевидно, норми-
рована в том смысле, что
-I. A.67)
Пусть теперь F (р)—произвольная регулярная функ-
ция импульса. Тогда среднее значение динамической пере-
менной 2 F(P/)> очевидно, равно
Рис. 2.
N\F{p)w{p)dp.
A.68)
Но, с другой стороны, это же самое среднее значение
равно
F(O)JVe+ V. F(p)Np. A.69)
РФ О
Далее Np = a^ap = b+bp. Отсюда, подставляя выраже-
ния A.64), получаем
. A.70)

§3. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ 323
Таким образом, принимая во внимание предельный
переход, можем представить выражение A.69) в виде
Сравнивая это выражение с A.68) и учитывая произ-
вольность функции F (р), получаем
w (р) — со (р) \
где c = NofN. Видим также благодаря A.67) что
В полученных формулах на основании A.46)—A.48)
и поэтому!при абсолютном нуле функция распределе-
ния импульсов
2Е
2m ^ V Kl
'A.73)
причем
. r (t^w)"
'—c-= „ ... \—¦—?—s—..,, ' „. i—*(p- A-74)

324 ГЛ. 1. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ И НЁИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЁ-ГАЗ
Таким образом, и при абсолютном нуле лишь часть
молекул имеет в точности нулевой импульс. Остальные
же непрерывно распределены по всему спектру импульсов.
В соответствии со сказанным ранее примененный нами
приближенный метод пригоден только до тех пор, пока
(N—N0)/N=l—с<^1, и поэтому взаимодействие между
молекулами должно быть достаточно малым, чтобы обес-
печить малость интеграла^A.74). Мы можем теперь выяс-
нить, как следует понимать малость взаимодействия.
Пусть <b(r) = <bmF (— ] , где F(г)—функция, прини-
мающая со своими производными значения порядка еди-
ницы при г» 1 и быстро стремящаяся к нулю при г —*¦ оо.
Тогда
где (й(х)—функция, принимающая значения порядка еди-
ницы при а;» 1 и быстро стремящаяся к нулю при х —>- оо.
Переходя в A.74) к безразмерным переменным и при-
водя трехмерный интеграл к одномерному, находим
No v 1 Г Tjco2 (х)
—Г|
N
у 1 Г
где
2mrt
Нетрудно убедиться теперь, что при малом т| инте-
грал в правой части A.75)—величина порядка У^ц и,
таким образом, условие применимости нашего метода
определяется неравенствами т)<^1, -хП8/а<^1» т- е*
! 2mr\ '
При температурах, отличных от нуля, аналогичное
рассмотрение общей формулы приведет к вспомогатель-
ному условию слабости возбуждения, которое требует,
чтобы температура была малой по сравнению с крити-
ческой температурой для бозе-конденсации.

§з. сверхтекучесть 325
ж. Корреляционная функция. Найдем еще корреля-
ционную функцию распределения. Имеем
V2
= щм^гц ф+ Ш ф+ Ш ф Ы ф Ы
Здесь ф(^)—операторная волновая функция
Для вычисления Fa используем наш приближенный метод
и пренебрежем всеми членами, начиная с членов третьего
порядка относительно Ьр, 6?.
Таким образом, получаем
С другой ^стороны, выражая Ьр, Щ через новые опера-
торные амплитуды gjp, \p, соответствующие элементарным

326 ГЛ. 1. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ И НЕИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
возбуждениям, убедимся, что для состояния статистичес-
кого равновения
Ьр-0, Ь? = 0, fe+X = 0, если Pt + РъфО,
ЬрЬ-р = ;—7Т К + п-р + 0, 6р, 6Л ^ °. если
1 —Лг
pU»- Г=1 ~J?p-
777- п, + Л'р(я-,+ Ц -77
Поэтому
и, следовательно,
A-76)

§3. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ 327
Взяв диагональный элемент q[^qlt qi = q3, найдем от-
сюда функцию распределения пар молекул:
^y A.77)
Но
Следовательно, в принятом приближении это выражение
равно единице. Поэтому заменим в A.77) сумму двух пер-
вых членов единицей; это тем более целесообразно, что
Fi{qi—qz) должно стремиться к единице при j qx-~qz ! ->• 00;
нетрудно заметить, что третий и четвертый члены в A.77)
стремятся при этом к нулю. Получим тогда
. A-78)
Формулу A.78) можно использовать для вычисления
флуктуации плотности:
G-NQf = NQ {1 + I J [F, fo)_
где iVG —число молекул в пространственном объеме G.
Отметим для этого, что
[F2(G)_l]d<7=2 ? о- ura
и р-*о 1—Лр
A.79)
Но, с другой стороны,

328 гл- •¦ СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ И НЕИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
где 8р—>¦(), Tjjp—>0 при ^7 —»- 0. Таким образом,
i
и в силу этого получаем окончательно
^| A.80)
Как видим, при абсолютном нуле
и флуктуация становится очень малой, что также указы-
вает на наличие определенного упорядочения, а именно
упорядочения типа обычной электронной плазмы.
з. Обсуждение. В связи с применявшейся аппроксима-
цией, в которой в разложениях по степеням г удерживались
лишь главные члены, автоматически исключается возмож-
ность учета короткодействующих сил отталкивания, обус-
ловленных непроницаемостью молекул. Но теорию можно
расширить на более реалистический случай газа малой плот-
ности с молекулами, обладающими конечным эффектив-
ным радиусом. В этом случае взаимодействие, разумеется,
также в среднем мало, но в отдельных малых областях кон-
фигурационного пространства, соответствующих сближе-
нию пар молекул на расстояния порядка их эффективного
диаметра, достигает весьма больших значений. Чтобы ра-
нее приведенные формулы распространить на случай газа
малой плотности, нужно использовать простой рецепт [4] —
выражение для v(/) определить с помощью равенства
в котором A (f) — амплитуда рассеяния.
Приближение малой плотности для разреженного не-
идеального бозе-газа исследовалось Беляевым [5] на осно-
ве диаграммной техники. Выделение конденсата в парном
гамильтониане также проводилось им посредством опера-
ции сдвига на константу
У+v. A.82)
Микроскопический вывод кинетических уравнений для
слабонеидеального газа Бозе — Эйнштейна с вырожден-

§ 1. ФУНКЦИИ ГРИНА. ПРАВИЛА ОТБОРА 3^9
ным конденсатом, начатое статьей [6], подробно излагался
в работе [7], в которой исследовалась гидродинамика сверх-
текучей жидкости без вихревых нитей. В дальнейшем были
учтены и вихри [8]. Феноменологическая теория кинетиче-
ских явлений в сверхтекучем гелии развивалась Халатни-
ковым [9].
Возможна также точка зрения на сверхтекучее состоя-
ние как на метастабильное, но при фиксированной скорости
движения термодинамически более выгодное, чем нормаль-
ное состояние [8, 10]. Приближение к равновесию при этом
состоит в образовании вихревых нитей и последующего за-
тухания относительного движения между нормальной и
сверхтекучей компонентами. Таким образом, вихри играют
роль зародышей нормальной фазы в сверхтекучей [11, 123,
аналогично такому же явлению в сверхпроводниках [13].
Явление сверхтекучести может наблюдаться и в ферми-
системах, в которых фермионы спариваются, образуя бо-
зевские квазимолекулы,. Так, спаривание электронов за
счет обмена виртуальными фононами приводит к появле-
нию сверхпроводимости [14, 15] *), а спаривание частиц
8Не — к сверхтекучести этой ферми-системы.
Глава 2
КВАЗИСРЕДНИЕ В ЗАДАЧАХ
СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
В этой главе, исходя из работ [16, 17], мы кратко изло-
жим основные положения метода квазисредних и обсудим
его возможные применения.
§ 1. Функции Грина,
построенные из обычных средних.
Аддитивные законы сохранения и правила отбора
Весьма плодотворным оказалось введение в статисти-
ческую механику функций Грина (см. [22]), с помощью
которых удается, например, обобщить диаграммное пред-
ставление теории возмущений и проводить парциальное
суммирование 4 разложений. Обсудим прежде всего само
определение функций Грина. Как известно, эти функции
*) В последнее время весьма перспективным представляется
поиск новых сверхпроводящих соединений на органической основе [48].

330 гл.2 квазисрйдниё
выражаются линейными формами из средних значений
<---V(tJf xf)...q(ts, х5) ...> B.1)
с коэффициентами, составленными из произведений функций
9(^i—h)- Используем следующие обозначения: х=(г, а) —
совокупность пространственных координат (г) и ряда
дискретных индексов (а), характеризующих спин частиц,
их сорт и т. п.; \\i(t, x), ty+(t, x) — полевые операторные
функции в гейзенберговском представлении. Эти полевые
функции выражаются «квазидискретными» суммами
B.2)
через операторы рождения а%а и уничтожения аы, удов-
летворяющие обычным перестановочным соотношениям
Бозе или Ферми. В этих суммах ka = 2nnaiL, а=1, 2, 3,
па — целые числа, V = La—объемы системы. Так как
функции Грина представляются универсальными (не за-
висящими от специфики системы) линейными формами
из средних значений типа B,1), то вопрос об определе-
нии функций Грина сводится к вопросу об определении
выражения B.1). Обычно они определяются как средние
по гиббсовскому (большому) каноническому ансамблю,
причем всегда совершается общепринятый предельный
переход статистической механики V —>¦ оо. Таким образом,
где Н — полный гамильтониан системы; при наличии зако-
на сохранения числа частиц в Я включаются известные
члены с химическим потенциалом. Условимся называть
средние значения B.1), определяемые соотношениями B.3),
обычными средними, а соответствующие функции Грина —
функциями Грина, построенными из обычных средних.
Обратим теперь внимание на хорошо известный факт,
что аддитивные законы сохранения приводят к правилам
отбора для обычных средних, а тем самым и для построен-
ных из них функций Грина.
Пусть, например, выполняется закон сохранения пол-
ного числа частиц: N = 2! я&Асг = 2 [ У+1$ dr, так
к. а а J

§ 1, ФУНКЦИИ ГРИНА. ПРАВИЛА ОТБОРА 331
что [Н, N] = 0, где Н—полный гамильтониан системы
(включающий член XN с химическим потенциалом ^).
Так как тогда Н = U*HU, где {/ = е'ч)Л'иф — произволь-
ное вещественное число, видим, что гамильтониан инва-
риантен по отношению к градиентному преобразованию
1-го рода aka—>- U+ake U = el4>aka. Следовательно,
Sp({...ato(t)...ak,a,(t')...}e-H'°) =
= Sp({.. .ata(t).. .ak,a, (Г).. .}U4
.. .aia(t).. .ak,a. (f)...} iZ
.. .a?a(t).. .ak,a,(t').. .}e-
где n — разность между числом операторов а и числом
операторова+ в рассматриваемом произведении .. .a$a(t)...
...ak.a,(t').
Отсюда на основании самого определения B.3) находим
и убеждаемся, что <.. .ajj:a(t).. .ak,a, (f).. .> = 0, если
в данном произведении число операторов рождения не
равно числу операторов уничтожения.
Так как функции Грина выражаются универсальными
линейными формами из обычных средних, то правила
отбора для обычных средних справедливы и для функ-
ций Грина, например
<T(..MZa(t)...ak,a,(t')...)> = 0, если пфО.
Рассмотрим еще правила отбора, обусловленные за-
коном сохранения полного импульса Р= 2 kaiaaka. При
ft, a
наличии этого закона сохранения имеем
Sp{[P, 9l]e-"/e} = Sp{2l[e-"/e, Я]} = 0.
Положим здесь Щ=.. .ф* (fy, ry+gy, ay).. .\\>(ts, гл+?„о,)...
и заметим, что
Таким образом, средние B.1) не изменяются при про-
странственной трансляции rt—*-г, + ? с произвольным
вектором |. Иначе говоря, обычные средние B.1) должны
быть пространственно однородны.

332 ГЛ. 2. КВАЗИСРЕДНИЕ
Воспользуемся теперь импульсным представле-
нием B.2). Получим
' 2
Fv... У' У
= 0.
Отсюда, принимая во внимание трансляционную инвари-
антность, находим правило отбора <...а*& a.{tj) ...
(O> 0 ^++/^0 У
•«*,. oI(O---> = 0, если „
Такие же соотношения выполняются и для функций
Грина. Например
<T(--^tk.,a(tj)---akta(ts)...)>=0, если М-...+*„^0.
J J S S
Аналогичная ситуация возникает при учете законов сохра-
нения суммарного спина и других аддитивных динамиче-
ских величин.
Правила отбора приобретают особую наглядность при
переходе к диаграммному представлению теории возмуще-
ний. Для формулировки теории возмущений полный га-
мильтониан разбивается на две части: H—H0-\-Hlf причем
разложения проводятся «по степеням Я!». Как правило,
в качестве Яо выбирают гамильтониан, соответствующий
«идеальному газу» без взаимодействия; все взаимодействие
включается в Яг. Мы хотим здесь подчеркнуть, что при
выделении Яо обеспечивается выполнение упоминавшихся
выше аддитивных законов сохранения также для «динами-
ческой системы нулевого приближения», характеризуемой
гамильтонианом Яо- Благодаря такому выделению Яо для
совокупности точных функций Грина и совокупности функ-
ций Грина нулевого приближения получаются одни и те
же правила отбора.
§ 2, Вырождение состояний
статистического равновесия. Введение квазисредних
Применяя диаграммную технику, нельзя упускать из
виду, что она является лишь удобным представлением обыч-
ной теории возмущений и, естественно, приводит к тем же
трудностям, в частности к весьма сложному вопросу о схо-
димости получающихся разложений. Сходимость удается
доказать лишь для ряда простейших модельных примеров.

§2. ВВЕДЕНИЕ КВАЗИСРЕДНИХ 333
В более реалистических задачах можно только предпола-
гать наличие некоторого соответствия между истинными ре-
шениями и получающимися формальными разложениями.
Такие формальные разложения используются, в частности,
для построения приближенных решений.
Если возмущение «достаточно слабое» и характеризуется
малым параметром, приближенные решения строятся как
асимптотические формулы. Парциальные суммирования
играют здесь роль средства учета особенности при нулевом
значении параметра малости возмущения. При решении
многих важных задач таким путем удается получать физи-
ческие корректные результаты, относящиеся к качествен-
ным свойствам точных решений. Однако в ряде случаев,
например в теории сверхпроводимости и теории кристалли-
ческого состояния, обычная диаграммная техника не при-
водит к физически корректным результатам. По нашему
мнению, было бы недостаточно ограничиться здесь лишь
ссылками на такие формальные причины, как отсутствие
сходимости, сложность аналитической структуры по отно-
шению к малому параметру и т. п. Следует поискать физи-
чески обоснованные, конструктивные разрешения возни-
кающих трудностей.
а. Вырождение состояний статистического равновесия,
Обратим внимание на такое хорошо известное в квантовой
механике понятие, как вырождение. При рассмотрении за-
дач о нахождении собственных волновых функций в кван-
товой механике разъясняется, что теорию возмущений в
обычной форме, разработанной для невырожденных слу-
чаев, нельзя прямо применять к задачам, где имеется вы-
рождение. Необходимо ее предварительно видоизменить.
В задачах статистической механики благодаря наличию
аддитивных законов сохранения всегда имеется случай
вырождения. Однако на первый взгляд может показаться,
что в этих задачах вырождение неэффективно, и его прак-
тически можно не учитывать. В самом деле, в упоминав-
шихся задачах квантовой механики одному собственному
значению энергии может соответствовать линейное много-
образие из различных собственных функций; собственная
функция в таком случае содержит неопределенные постоян-
ные. В статистической же механике среднее значение лю-
бой динамической величины 81 всегда однозначно опреде-
лено:

334 ГЛ. 2. КВАЗИСРЕДНИЕ
Следовательно, и построенные из обычных средних функ-
ции Грина также должны определяться однозначно. Поэто-
му и может показаться, что при изучении статистического
равновесия, скажем, с помощью диаграммной техники, не
надо принимать во внимание наличие вырождения.
Но в действительности положение не так просто. Чтобы
составить себе интуитивное представление о характере воз-
никающих здесь трудностей, рассмотрим случай идеально
изотропного ферромагнетика. Для определенности возьмем
динамическую систему, характеризуемую гамильтонианом
(модель Гайзенберга),
2 /,. и
где /—пространственные точки, соответствующие узлам
кристаллической решетки (лежащие в объеме V), Sf —
векторы спина с обычными перестановочными соотноше-
ниями, J (ft—fi)—неотрицательные числа; предполагается,
что J (fx—/2) положительны, например, когда узлы flt
/2—«ближайшие соседи».
Для рассматриваемой динамической системы каждая
из компонент вектора суммарного спина 5 = 2 Sf является
интегралом движения. Кроме того,
y y
SyS,-S2Sy-iSx,
SSS S
Отсюда следует, что
i Sp (S^-w/в) = Sp {(SxSy-SySx) e-»i*}.
Но, поскольку Sx коммутирует с Н, получим
Sp (S Дв-W) =- Sp (StJe-^Sx) = Sp (S^e
и поэтому Sp(S2e-/y/0) = O. Совершенно аналогично найдем
Введем вектор намагничения, отнесенный к единице
объема,

§2. ВВЕДЕНИЕ КВАЗИСРЕДНИХ 335
Имеем §р($}1е~нР) = 0 и, следовательно,
<«>- 1ЫЗ^р_о. B.5)
V -> а> Sp e "/D
Итак, обычное среднее от вектора Ш равно нулю,
что, очевидно, соответствует изотропии рассматриваемой
динамической системы по отношению к группе враще-
ния спина. Подчеркнем, что соотношение ^B.5) справед-
ливо для всех температур Э, в частности ьи для темпе-
ратур ниже точки Кюри.
Рассмотрим специально именно последний случай.
Тогда, как известно, величина вектора намагничения
отлична от нуля, направление же его может быть взято
произвольно. В этом смысле состояние статистического
равновесия в рассматриваемом случае является вырож-
денным. Включим теперь внешнее магнитное поле ve
(v > 0, ег = 1), заменив гамильтониан B.4) гамильтонианом
. B.6)
Принимая во внимание характерное свойство изотропных
ферромагнетиков при температурах ниже точки Кюри,
видим, что <9Jt> = eMv, где Afv—стремится к конечному, от-
личному от нуля пределу, когда интенсивность v внешнего
магнитного поля стремится к нулю. С формальной точки
зрения мы имеем здесь «нестабильность» обычных сред-
них: при добавлении к гамильтониану B.4) члена v (e¦ ЗЛ) V
с бесконечно малым *) v среднее <Ш1> претерпевает ко-
нечное, отличное от нуля приращение em; m= lim Mv.
v-t-0
б. Квазисредние. Введем теперь для динамической
системы с гамильтонианом B.4) понятие «квазисредней».
Возьмем какую-либо динамическую величину А, являю-
щуюся линейной комбинацией из произведений Sf'ltJ...
... S*r (tr)), и определим квазисреднее <Л> от этой
величины, положив <Л>= lim <,A>ve, где <Л>№—обыч-
V-> О
ное среднее от А при гамильтониане #w.
Таким образом, наличие вырождения непосредственно
отражается на квазисредних их зависимостью от произ-
*) Когда мы говорим о бесконечно малом v, то всегда подразу-
меваем, что сначала совершается предельный переход статистической
механики V—*¦«>, а затем v устремляется к нулю.

336 ГЛ. 2. КВАЗИСРЕДНИЕ
вольного орта е. Нетрудно заметить также, что
e. B.7)
Понятно теперь, что для описания рассматриваемого'
случая вырожденного состояния статистического равно-
весия квазисредние более удобны, более «физичны», чем
обычные средние. Последние представляют собой те же
квазисредние, только усредненные по всем направлениям е..
Заметим еще, что обычные средние <S?'(tt)...Sjr(tr)>
должны быть инвариантны по отношению к группе вра-
щения спина. Соответствующие квазисредние
будут обладать лишь свойством ковариантности: при вра-
щении спинов надо подвергнуть такому же вращению и век-
тор е, чтобы выражение B.8) не изменилось. У квазисред-
них, таким образом, не будет тех правил отбора, которые'
для обычных средних обусловливались их инвариантностью»
по отношению к группе вращения спина. Как видно, орт.
е — направление вектора намагничения — характеризу-
ет вырождение рассматриваемого состояния статистическо-
го равновесия. Чтобы снять вырождение, надо зафиксиро-
вать направление е. Выберем это направление вдоль оси г..
Тогда все квазисредние будут определенными числами. Как
раз с такого рода средними обычно и имеют дело в теории:
ферромагнетизма. Иначе говоря, можно снять вырожде-
ние состояния статистического равновесия по отношению*
к группе вращения спина, включив в гамильтониан Н до^-
полнительный неинвариантный член v$RzV с бесконечно)
малым v.
в, Вырождение в теории кристаллического состояния..
Перейдем теперь к рассмотрению другого примера вырож-
дения, обратимся для этого к теории кристаллического»
состояния. Возьмем динамическую систему бесспиновык
частиц с бинарным взаимодействием, характеризуемую га-
мильтонианом обычного типа:
» #
Pi. Pe> Ру Р2
-pi-pS) v (Pi-pl), B'.9>

IS 2. ВВЕДЕНИЕ КВАЗИСРЕДНИХ 33?
в котором Ь(р)—дискретная 8-функция, \(р)—фурье-
образ потенциальной энергии взаимодействия Ф(г) пары
частиц. Предположим, что взаимодействие такого типа,
что наша динамическая система должна находиться
в кристаллическом состоянии при достаточно низких
температурах Q<.QKp.
Рассмотрим наблюдаемую плотность числа частиц р (г),
которая, очевидно, должна быть периодической функцией г
с периодом решетки кристалла. Естественно, казалось
бы, считать, что р (г) равна обычному среднему значению
операторной плотности г|э+ ())
Это, однако, неправильно.
В самом деле, в рассматриваемом случае выполняется
закон сохранения полного импульса Р = 2 ka%ak, и по-
этому на основании сказанного в § 1 выполняются пра-
вила отбора <а?аА+в> = 0, если q^O, откуда
<г|5+ (г) ф (г)> - -р" L <а* а*> = Т = const>
k
Таким образом, обычное среднее значение операторной
плотности не может быть равно периодической функции
р(г). Ясно, что такое положение вызвано вырождением рас-
сматриваемого состояния статистического равновесия. Дей-
ствительно, кристаллическая решетка как целое может
быть произвольно расположена в пространстве. В част-
ности, наш гамильтониан обладает трансляционной инва-
риантностью, и поэтому всегда можно придать решетке
произвольную трансляцию.
Какое-либо специальное положение кристаллической
решетки в пространстве ничем не выделено, и когда мы бе-
рем обычную среднюю, то тем самым проводим усреднение
по всем возможным расположениям этой решетки. Чтобы
•снять такое вырождение и ввести квазисредние, включим в
выражение гамильтониана член
dr, v>0, v-+0, B.10)
¦соответствующий бесконечно малому внешнему полю vU(r).
Полученный гамильтониан обозначим Hv. В качестве ?/(г)

338 ГЛ. 2. КВАЗИСРЕДНИЕ
возьмем периодическую функцию г с соответствующей
периодичностью (периодичностью решетки) так, чтобы внеш-
нее поле \U снимало вырождение, фиксируя положение
нашего кристалла в пространстве. Так как, с другой сто-
роны, мы, естественно, рассматриваем только физически
стабильные случаи, ясно, что включение бесконечно мало-
го внешнего поля, может быть, лишь бесконечно мало изме-
нит физические свойства изучаемой динамической системы.
Поэтому, взяв обычную среднюю от операторной плотности
т\>+(г)щг) для гамильтониана Hv с бесконечно малым v,
мы фактически получим среднюю для системы с первона-
чальным гамильтонианом Н, но без дополнительного ус-
реднения по расположениям (как целого) кристаллической
решетки в пространстве, поскольку ее положение теперь за-
креплено. Таким образом, мы получим наблюдаемую про-
странственную плотность распределения частиц р(г).
Определим формально квазисредние, положив
Тогда, как отмечалось, <ф+ (г)гЩг)> = р(г). Приняв во
внимание, что
)
видим, что квазисредние
<а?ак>>, к'Фк, B.11)
не могут все равняться нулю. Таким образом, правила
отбора, обусловленные законом сохранения суммарного
импульса, не выполняются для введенных квазисредних.
Заметим теперь, что квазисредние зависят, вообще,
от ряда произвольных параметров, например от произ-
вольного вектора ?. В самом деле, если заменить функ-
цию U (г) столь же допустимой функцией t/(r + |), то
нетрудно убедиться, что квазисредние B.11) заменяются
квазисредними <aj?afe»>e'<*'*'> Б. Квазисредние становятся
однозначно определенными, когда фиксируется функ-
ция U (г).
Мы рассматривали до сих пор случаи вырождения со-
стояния статистического равновесия, связанные с законом
сохранения суммарного вектора спина или суммарного

§2, ВВЕДЕНИЕ КВАЗИСРЕДНИХ 339
вектора импульса. В обоих случаях можно было снять вы-
рождение и ввести физические адекватные квазисредние
путем включения подходящего бесконечно малого внеш-
него поля.
г. Идеальный бозе-газ, Перейдем теперь к рассмотрению
тех случаев, когда вырождение связано с законом сохране-
ния полного числа частиц. Начнем с элементарного примера
конденсации бозе-эйнштейновского идеального газа. Что-
бы было удобнее выделить конденсат, возьмем гамильто-
ниан идеального газа в форме
Величину е устремим к нулю после совершения предель-
ного перехода V—»-оо. Для средних чисел заполнения
импульсов найдем
\k\>e.
Сразу же видно отсюда, что А, < 0. Обозначая полное
число частиц через N, получаем
т=т+т,i- lexp--e—
,lpe
B.13)
Рассмотрим случай бозе-эйнштейновской конденсации,
когда no = lim~- является конечной, отличной от нуля
величиной. В этом случае, перейдя к пределу в соотно-
шении B.13), найдем (подробнее см. § 1)
n=""° + wi ехр{А»/ртв)}-1 • BЛ4)
Поскольку оператор ctoajV асимптотически равен
с-числу:
а0+а0/1/~л0, B.15)
то амплитуды aJ\fV, atll^V можем также считать с-чис-
лами, причем ввиду B.15)
V B.16)

340 ГЛ. 2. КВАЗИСРЕДНИЕ
Возьмем обычные средние <ao/j/V>, <a;l7j/V> и заме-
тим, что благодаря правилам отбора они точно равны
нулю. Тем самым обнаруживаем, что обычные средние
включают еще дополнительное усреднение по углу а. Чтобы
ввести квазисредние и снять вырождение, включим в га-
мильтониан Н члены
( v>0.
Положим
Hv. , = Я-v (afe* + a,e-<*) №, B.17)
где ф — некоторый фиксированный угол.
Для приведения B.17) к диагональной форме совер-
шим каноническое преобразование над амплитудами а0,
at не меняя остальных амплитуд ak, ар.
J lt. B.18)
Получим
Положим здесь
U v/KH. B.20)
Тогда
2m
где <...>v ф—среднее для гамильтониана HVi4>. Поэтому
на основании B.18), B.19)
B.21)

§2. ВВЕДЕНИЕ КВАЗИСРЕДНИХ 341
Благодаря наличию в экспоненте «предохранительного»
слагаемого v/j/"n0 нам сейчас можно и не вводить «импульс
обрезания» е. Непосредственно перейдя к пределу в соот-
ношении B.22), найдем
ft2
Заметим далее, что
{JVV)t ф = <а„+W> =
' _U—=0.
v-к* v ev/eVn0 _{
Следовательно, асимптотически
т. е. для системы с гамильтонианом #v, ф амплитуды кон-
денсата являются асимптотически фиксированными с-чис-
лами. Полученные формулы B.21)—B.23) показывают,
что, совершив предельный переход v —>- 0 (после предель-
ного перехода V —>¦ оо), мы придем к обычным результатам
теории конденсации идеального бозе-газа.
Введем квазисредние
<...>= lim <... >v. ф-
v-*0
Тогда
<aJVV> = Vnoe% <atlVV> =
Как видно, правила отбора, обусловленные законом со-
хранения частиц, не выполняются для квазисредних.
Видим также, что квазисредние зависят от фазового угла ф,
который можно фиксировать произвольно. Возьмем ф = 0.
Тогда квазисредние будут определенными величинами.
Иначе говоря, вырождение снимается добавлением к га-
мильтониану Н бесконечно малого члена—v (ao + at)VV'•
В данном случае квазисредние отличаются от обычных
средних только для амплитуд конденсата благодаря тому,
что мы рассматриваем идеальный газ без взаимодействия.
При наличии взаимодействия это отличие распространяется
и на остальные амплитуды. Появляются, например, отлич-
ные от нуля квазисредние.
д, Квазисредние в теории сверхпроводимости. Перейдем
теперь к рассмотрению более сложного примера. Возьмем

342 ГЛ. 2. КВАЗИСРЕДНИЕ
модельную динамическую систему с гамильтонианом
ifi-fOf; B.24)
/
f.f
изучавшуюся в связи с теорией сверхпроводимости (см.
[25, 26]). Примем следующие обозначения:
/ = (/>, s), —/ = (—/?,—s), s—±1,
Ч/)
О
2m •*
а/, а/" — обычные ферми-амплитуды.
Этот пример интересен в том отношении, что он нетри-
виален: уравнения движения для гамильтониана B.24)
точно не интегрируются; вместе с тем асимптотически
точные формулы (при V —у оо) могут быть получены для
функций Грина всех порядков.
Приведем здесь вкратце относящиеся к этому случаю
результаты, опубликованные в работах [19, 20]. Возьмем
«аппроксимирующий гамильтониан»
не=х т о ataf -т L ь (fl V'w-f+Св^* + ]S?~ •
B.25)
в котором величина С является с-числом (вообще говоря,
комплексным), определяемым как нетривиальное СО)
решение уравнения
B.26)
Здесь
Spe"
В связи с принятым обозначением напомним, что обыч-
ное среднее <...>// определяется как предел Ига<.,.>^>.
V'-*¦ оо
Так как Но с точностью до постоянного члена представ-
ляется квадратичной формой по отношению к операторам
uj, af, можно привести Но к «диагональному виду» по-

§2. ВВЕДЕНИЕ КЁАЗИСРЁДМИХ 343
средством линейного канонического преобразования. Дей-
ствительно, введем новые ферми-амплитуды а и а+, по-
ложив
где
f~ K2 У Н^Ш ' f~ ^ \C\ У l~ E(f) '
тогда
^o=S?(/)+afaf4-/C, B.27)
где К—постоянная:
f
Отсюда
<ача{>(н! = UfUf 1+eeE(f)/a = — utvf th -^-^
Можно теперь раскрыть соотношение B.26), Получим
Таким образом, искомое нетривиальное решение С опре-
деляется уравнением
1
26
или, после предельного перехода V—»-оо,
Г _J8(pHp th
J Кл«(р)|С|»+Т»</>)
! в _J th j^MIE
BnKJ Кл«(р)|С|»+Т»</>) I 26
B.29)
Как известно, это уравнение имеет решение для G, мень-
ших некоторого критического Экр. Мы будем рассматри-

344 ГЛ. 2. КЁАЗИСРЁДНИЕ
вать только такой случай G < Экр. Заметим также, что
уравнение B.28) или B.29) определяет только модуль |С|,
фаза же С остается произвольной.
Рассмотрим среднее
<...tf/^"-e'.('«)-.->8? B.30)
от произведения любого числа операторов а и а+ (в лю-
бом порядке следования). Так как ферми-амплитуды а, а+
линейно выражаются через ферми-амплитуды а, а+
в которых На имеет диагональную форму^B.27), видим,
что для вычисления выражений B.30) применимы пра-
вила Вика—Блоха. С их помощью эти выражения пред-
ставятся в виде суммы произведений «простейших спа-
риваний»:
<af @ а} (г»К} - «? j^
<a.f @ Of (t)>^> = ufvf
~x) e~iB
Два последних из них зависят не только от модуля С,
но и от фазы. Следовательно, вообще выражение B.30)
может зависеть от фазы С. Нетрудно заметить, что
эта зависимость весьма проста. Действительно, гамиль-
тониан На инвариантен по отношению к замене
af — e'4>af, af — e-^af, С -к е*{*С,
в которой ф—произвольный (вещественный) угол. Поэтому
<.. .a^(tj).. .a,,(',)•¦ .>й =<¦ • ,a?.(tf)...ah(ts)...>%y<™>*t
B.32)
где п — разность между числами операторов рождения
и операторов уничтожения в рассматриваемом произведе-
нии. Ясно, что п здесь может считаться четным, так как

§2. ВВЕДЕНИЕ КВАЗИСРЕДНИХ 345
при нечетном п тождественно
Заметим также, что в случае п = 0 из B.32) следует, что
средние B.30) не зависят от фазы С. Как видно, иссле-
дование системы с «аппроксимирующим гамильтонианом»
Но совершенно элементарно. Соответствующие уравнения
движения точно интегрируются. Мы рассматривали вспо-
могательную систему с гамильтонианом Но, так как удается
доказать (см. [17, 21]) следующий важный результат.
Если для произведения
...а,* (*,)...а,, (/,)... B.33)
число п равно нулю, то
(/--->К-*°. V~*oo. B.34)
С другой стороны, совершенно элементарно устанавли-
вается существование предела
Нш <...af+(*y)... a/, (*,)•••>».
V-*¦ as '
для любого произведения B.33). Кроме того, если соот-
ветствующее п не равно нулю, то в силу правил отбора
для системы с гамильтонианом Н, обусловленных законом
сохранения числа частиц, <,.. .af(tf)...afs(ts).. .ур — О.
Таким образом,
I
j.afs (ts). ..
0,
т. е. можно вычислить обычные средние B.35) любого
порядка, а следовательно, и'функции Грина для рассмат-
риваемой модельной системы с гамильтонианом Н. Больше
того, доказывается, что при любом значении числа п
<... at (tj).. .afs(ts),. •>„ = <. • .a?At,).. .afs(ts). ..>«..
B.36)
Здесь, как и раньше, символ <...> обозначает квази-
средние. Как отмечалось, вторая часть равенства B.36)

346 ГЛ. 2. КВАЗИСРЕДНИЕ
содержит фактор e~ina'2. Поэтому
<...а,+ (^)...а,ЛО-¦¦>/,=
2я
т. е. обычная средняя получается из квазисредней после
дополнительного усреднения по произвольному углу а.
Как и в ранее рассматривавшихся случаях, квазисред-
ние можно ввести, дополняя гамильтониан бесконечно
малыми членами, снимающими вырождение. Возьмем га-
мильтониан
Я,-Я—J.?*,(/) {a.,a, + ofat,}, v > 0, B.37)
f
содержащий члены, снимающие вырождение по отношению
к градиентной инвариантности 1-го рода, или, что то же
самое, снимающие закон сохранения полного числа ча-
стиц. Аппроксимирующий гамильтониан возьмем в виде
f
Величина С определяется уравнением
т. е.
26
или после предельного перехода
С+1Г ХЧ
BлK J
2+Т2
В качестве С возьмем корень этого уравнения, который
при V—»-0 приближается к положительному корню урав-
нения B.29). Тогда можно доказать, что
af*(tj). • .ah(ts)... >tfv = <... af.itj).. .ah(ts). ..>Ho.

§2. ВВЕДЕНИЕ КВАЗИСРЁДНИХ 34?
С другой стороны, легко убедиться, что
<• • 'Otj(t/)- • -а/,(*,)- •¦>/*«-*<•• -of^j)- • -afs(ts). ¦ •>«„
С = |С|.
Следовательно,
= lim<...а/-(*,)...а,,(*,)...>/*,,=
Если бы мы вместо //v взяли гамильтониан HVi4>
l[ , v > О,
то получили бы
* a,+ (<y).. .ah(ts).. .>nv=
v-+ о
V> 0
Таким образом, как и следовало ожидать, в рассматривае-
мом случае квазисредние зависят от произвольного фазо-
вого угла ф. Существенно также, что для квазисредних
здесь не выполняются правила отбора, обусловленные за-
коном сохранения числа частиц. Чтобы иметь вполне оп-
ределенные значения для квазисредних, мы должны как-то
фиксировать этот угол. Положим ф=0, т. е. условимся сни-
мать вырождение включением в гамильтониан Н бесконеч-
но малых членов типа
.a-faf + afatf). B.38)
f
*) Как видно, обычная средняя
2л
терпит разрыв, когда в гамильтониан Н добавляются бесконечно ма-
лые члены с источниками пар

348 ГЛ. 2. КВАЗиС?ЕДНИЁ
Такой выбор фазового угла удобен в том отношении, что
делает вещественными значения всех «одновременных»
квазисредних типа <,, ,щ (t)...afs (t).. .>. Заметим также,
что результат не изменится, если дополнительные члены
B.38) написать в более общей форме:
-v2^(/)(a-^ + af+aif), v>0, B.39)
где w(f) — вещественная, нетривиальная, достаточно регу-
лярная функция.
В связи с асимптотически точным решением модельной
задачи теории сверхпроводимости B.24) на основе введения
аппроксимирующего гамильтониана B.25) заметим, что в
работе [21] такое решение было получено лишь для основно-
го состояния. Метод асимптотически точного решения, спра-
ведливый для произвольных температур 0^0, был развит
в работах [22—25]. В дальнейшем указанный метод уда-
лось распространить на широкий класс модельных задач,
изучаемых в теории фазовых переходов [26—30,55]. При этом
были развиты новые вариационные принципы для термоди-
намических потенциалов, позволяющие получить физи-
чески корректные результаты для ряда физических систем,
а также разработаны специальные тонкие неравенства для
функций Грина и корреляционных функций.
е. Модель Дикке. Укажем еще один пример, важный
с точки зрения физических приложений. Возьмем гамиль-
тониан так называемой модели Дикке [31], описывающей
взаимодействие двухуровневых атомов с полем электро-
магнитного излучения:
N N
i aaf). B.40)
Здесь of, а0—операторы рождения и уничтожения резо-
нансного фотона с энергией о> и of—операторы Паули,
связанные с /-м атомом. Преобразование сдвига бозонных
переменных
аналогичное применявшемуся нами в теории сверхтеку-
чести B.18) (см. также предыдущую главу), позволяет

§2. ВВЕДЕНИЕ КВАЭИСРЁДНЙХ 346
преобразовать B.40) к виду [32]
f fq яФЯл
причем в термодинамическом пределе
В указанном пределе [32] ( а°) = — <orf+>. Поэтому при
N —*¦ оо можно ограничиться рассмотрением только а-под-
системы в B.41):
y^^j B.42)
f fe
Проблема определения квазисредних для модельной
задачи типа Дикке была исследована в работе [33], в ко-
торой рассматривался класс модельных гамильтонианов
со взаимодействием «вещества» с конечным числом мод
бозонного поля. Общий гамильтониан имеет вид [32—34]
*a.La + KflaL*) — NxaLaL+ } + T
B.43)
и описывает s мод бозонного поля. Операторы Г = 71+ и
La удовлетворяют следующим общим дополнительным
условиям
где М^, Мг, Mj —const. Кроме того, предполагается, что
свободная энергия / (Т) существует как при конечном N,
так и при N —+оо.
Построим аппроксимирующий гамильтониан [32]

350 гл' 2- КВАЗИСРЕДНИЕ
где Си, С*и—комплексные вариационные параметры. По-
строим также вспомогательный гамильтониан
H' = T-N 2 gJM.
a=l
Имеет место предельное соотношение [32]
Нт /(Я) = Нт /(Я') = Нт /[Я.(С)], B.44)
М -у as N -> ав N -*¦ «
где через {С} обозначен набор параметров, реализующий
абсолютный минимум функции /[Яо (С)] и, следовательно,
удовлетворяющих системе уравнений Са = <Ьа>ною-
Несмотря на равенства B.44), средние, вычисленные
с помощью гамильтонианов Я, Н' и Я0(С) могут не сов-
падать в пределе N~-+oo. Так, например, для ряда кон-
кретных моделей из класса B.43) (в частности, для B.40)
[32, 33] при достаточно низких температурах <La>«,(c>=/=
фО, но в силу симметрии соответствующего гамильто-
ниана </,а>я = 0 при всех температурах. В качестве га-
мильтониана с нарушенной симметрией, позволяющего
корректно определить квазисредние сразу для всего класса
моделей B.43), в работе [33] предлагался следующий:
B.45)
где та—вещественные положительные параметры.
Изложим схему построения квазисредних на основе
гамильтониана B.45) [33]. Воспользуемся известным
неравенством для свободной энергии
<*»> < / (ЗУ/ <ЗД< 4"<*!-*.>«.. B-46)
где Stf>2 —Sti.j. Выбирая Шг~Н% и Ш2 — Н'х, где Н'х полу-
чается из Н% B.45) заменой Я на Я', получаем

§2. ВВЕДЕНИЕ КВАЗИСРЕДНИХ 351
где
Заметим, что
4
а
С другой стороны, выбирая в B.46) Шг = Нх и
методами работы [32] можно получить
f[Hx]^f[H
Учтем также оценку (см. [32])
Теперь имеем
_e-^a/e)__o. B.47)
Воспользовавшись неравенством [17]
j<§Ш
и неравенством [32]
на основании B.47) нетрудно получить мажорационные
оценки, доказывающие асимптотические соотношения вида
1 Urn <La>Hx=- Urn ^^
lim <Щ^Н = lim

352 ГЛ. 2. КВАЗИСРЕДНИЕ
Мы рассмотрели ряд примеров вырождения состояния
статистического равновесия. Во всех этих случаях такие
особые состояния статистического равновесия возникают
при температурах ниже некоторых критических: б < 6кр.
При б = 6кр происходит фазовый переход к «нормальному»
невырожденному состоянию.
ж. Квазисредние для произвольной системы. В приве-
денных примерах вырождение связано с наличием адди-
тивных законов сохранения, или, что то же самое, с нали-
чием инвариантности по отношению к соответствующим
группам преобразований. Подчеркнем, что не все имеющие-
ся в данной системе законы сохранения вызывают вырожде-
ние. Так, в третьем и четвертом примерах вырождение со-
стояний статистического равновесия связано только с за-
коном сохранения числа частиц. В соответствующих ква-
зисредних нарушились только те правила отбора, которые
обусловливались именно этим законом; правила отбора,
обусловленные другими аддитивными законами сохране-
ния, например законом сохранения импульса и спина (в 4-м
примере), оставались в силе. Во втором же примере вырож-
дение связано только с законом сохранения импульса.
Правила отбора, обусловленные, например, законом сох-
ранения числа частиц, здесь не нарушались.
Можно было бы умножить число подобных примеров,
рассматривая случаи вырождения, связанные с другими
группами или одновременно с несколькими группами пре-
образований. На этом мы здесь останавливаться не будем
и перейдем к общему рассмотрению, введя соответствующие
общие определения.
Возьмем некоторую макроскопическую систему с га-
мильтонианом Н. Добавим к Н бесконечно малые члены,
соответствующие внешним полям или источникам, нару-
шающим аддитивные законы сохранения, и получим, та-
ким образом, некоторый гамильтониан #v. Тогда, если все
средние значения
*,)... B.48)
получают лишь бесконечно малые приращения, будем го-
ворить, что рассматриваемое состояние статистического рав-
новесия не вырождено. Наоборот, если некоторые из сред-
них B.48) получают конечные приращения при переходе
от Я к бесконечно близкому гамильтониану Hv, будем го-
ворить о вырождении состояния статистического равнове-
сия. Заметим, что мы, естественно, ограничиваемся рас-

§ 2. ВВЕДЕНИЕ КВАЗИСРЕДНИХ 353
смотрением лишь стабильных систем, поскольку только
они имеют физический смысл. Поэтому бесконечно малая
вариация 8#—#v—Н гамильтониана может вызывать лишь
бесконечно малое изменение тех величин, которые действи-
тельно характеризуют реальные физические свойства си-
стемы.
Для случаев вырождения целесообразно вводить вместо
обычных средних квазисредние, положив
<А>=Пт <А>Н
v
v
Как мы уже убедились на ряде примеров, для квазисред-
них не обязательно выполнение всех правил отбора, обус-
ловленных аддитивными законами сохранения. Подчерк-
нем, что, определяя квазисредние, следует сначала выпол-
нить предельный переход V -*¦ оо, а затем уже устремить v
к нулю.
Выше отмечалось, что бесконечно малые члены, обра-
зующие разность Hv—Н, выбираются так, чтобы наруша-
лись аддитивные законы сохранения. Вообще говоря, нет
необходимости нарушать все такие законы, чтобы получить
гамильтониан Hv, снимающий вырождение.
Пусть, например, бесконечно малые члены, вызываю-
щие нарушение некоторых аддитивных законов сохранения,
дают лишь бесконечно малый вклад в <.A>Hv. Ясно тогда,
что эти законы нет надобности нарушать и что Hv, содер-
жащий только члены, нарушающие остальные законы сох-
ранения, уже будет снимать вырождение. В таком случае
для квазисредних не будут выполняться как раз те правила
отбора, которые обусловлены этими последними законами
сохранения. F
Рассмотрим, в частности, обычную динамическую мо-
дель для теорий сверхпроводимости, в которой мы имеем
дело с континуумом и не учитываем непосредственно нали-
чия кристаллической решетки. При отсутствии внешних
полей в этой модели естественно ожидать полной простран-
ственной однородности и считать, что все средние
<...<j>+ (ta,
являются трансляционно инвариантными. В такой ситуации
закон сохранения импульса будет выполняться и для ква-
зисредних, и нет надобности его нарушать, чтобы снять
вырождение.
12 Н. II. Боголюбов, II. Н. Боголюбов (мл.)

354 ГЛ. 3. ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Предположим также наличие полной спиновой одно-
родности, когда законы сохранения суммарного спина вы-
полняются для квазисредних. Тогда у нас останется для
нарушения только закон сохранения числа частиц. В та-
ком случае можем положить
tfv = tf + v2H0(a№ + «-/a,). w(t) = e(o)v(P), B.49)
где v(p)—вещественная функция импульса.
Если мы хотим рассмотреть случай, когда спиновой
однородности может и не быть, целесообразно исходить
из более общей формы
Hv = H+v^{w(p, a, a')a*fitpa.+
+ w*(p, о, о')а_р0,ара^-'К{р, о, o')apyipa,)
и т. п.
Глааа 3
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КВАЗИСРЕДНИХ
ДЛЯ ГАМИЛЬТОНИАНА С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ
ЧЕТЫРЕХФЕРМИОННЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
В предыдущем разделе процедура квазиусреднения вво-
дилась с помощью включения инфинитезимальных внешних
полей. Однако в ряде случаев при таком определении ква-
зисредних конечный результат может зависеть от выбора
параметра v, устремляемого к нулю после совершения пре-
дельного перехода N -> оо [35]. Для преодоления этой труд-
ности одним из авторов был развит метод определения ква-
зисредиих [25, 36—38], суть которого мы здесь обсудим.
§ 1. Предельные свойства свободных энергий
Приведем некоторые вспомогательные результаты, от-
носящиеся к свойствам свободных энергий.
В [25] была разработана общая методика асимптотически
точного вычисления одновременных и многовременных кор-
реляционных функций, 7-произведений и функций Грина.
Имея в виду приложения этих общих результатов к кон-
кретным модельным системам и, в частности, вычислению
квазисредних, возьмем систему с «отрицательным взаимо-
действием», характеризуемую гамильтонианом:
H = T-2V 2 &/./J. C.1)

$1. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СВОБОДНЫХ ЭНЕРГИЙ 355
Здесь ga положительные параметры A <Ja <js). Мы будем
специально рассматривать здесь те случаи, когда опера-
торы Т, Ja имеют следующий конкретный вид:
,, Т(Л = -^~ц,
C.2)
Перед тем как мы перейдем к новому определению квази-
средних, сформулируем две вспомогательные теоремы.
Начнем с теоремы, относящейся к общему гамильтониану,
которая была доказана нами в работе [24].
Теорема 1. Пусть операторы Т, Ja в гамильто-
ниане C.1) удовлетворяют следующим условиям:
\JaJt-J»Ja\<Mt/V, C.3)
Mlt Мг Ms—константы
Пусть, кроме того, свободная энергия, вычисленная на
единицу объема, для гамильтониана Т *) ограничена посто-
янной:
C.4)
Построим операторную форму «аппроксимирующего га-
мильтониана»:
He(C) = T~2Vyiga(CaJ+a + CtaJa-CaC*a), C.5)
a
где С = (Си С2, ..., Cs), aCt, ..., Cs—комплексные числа.
Тогда справедливы неравенства
О < min / [Яо (С)]-/ [Я] < е A/10, C.6)
с
*) Свободную энергию на единицу объема для какого либо ra-
ts
мильтониана А, —гг lnSpexp(—/4/6), будем обозначать f (А) или,
если желаем подчеркнуть ее зависимость от объема V, —/у(^)-
Условимся везде обозначать min/(C) абсолютный минимум функции-
0
/(С) в пространстве всех точек С.
12*

356 ГЛ. 3. ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
причем e(l/V)—*-0 при V —> оо равномерно по отношению
к 0 в интервале Q <.Qz^.tio,j2deJ)o—произвольная фикси-
рованная температура.
Заметим, что из неравенств C.6) не следует еще суще-
ствования предельного выражения для свободной энер-
гии, построенной на основе гамильтониана C.1), т.е.
lira f(H). C.6a)
V -* «с
Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда опе-
раторы Tt Ja в гамильтониане C.1) имеют вид C.2). Как
это указывалось в [24J, условия*) теоремы 1 будут вы-
полнены, если
¦у 2,! Т(РЖ(р, о) |< Qo = const,
р
\К(Р, a)|<Qi-const, o-l s, о =±1/2. C.7)
Сформулируем теорему, которая раскроет некоторые
свойства свободной энергии, построенной на основе C.1),
C.2), и решит вопрос о существовании предельного выра-
жения C.6а).
Теорема 2. Пусть в гамильтониане C.1) операторы
Г, J имеют вид C.2), а функции Г(/), Ха(р, о)удовлет-
воряют условиям C.7). Предполагается еще, что функции
^л(Р* °) для всех точек р пространства Е везде непре-
рывны, за возможным исключением множества точек раз-
рыва меры нуль. Тогда
для \Ca\^.2Mit a=l, 2, ..., s, где би—>0 равномерно
по отношению к 6 в интервале 0 < 0<.6„.
Функция /,„[#(?)] представляется выражением B.44)
и обладает непрерывными частными производными по пере-
*) 1) Из этих неравенств следует также
Y LI ь« (р. о)|< <2i, -у
где Qi, Q%—константы. Эти константы нетрудно связать с констан-
тами неравенств C), положив M1 = ql, Mi=2QQ, Мя = Qs.
2) Эти же условия G), очевидно, выполнены, если
где А и Б—положительные постоянные.

S 1. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СВОБОДНЫХ ЭНЕРГИЙ 357
менным Clt ..., Cs, С*, ..., Cg всех порядков для всех
комплексных значений этих переменных.
1) Эта функция имеет абсолютный минимум в про-
странстве всех точек (С)*который реализуется в некото-
рых точках С = С:
2) Имеет место неравенство
^. C.8)
где 8и = (еA/У)-|-би)—»0 равномерно по отношению к 0
в интервале 0 < 0 <; 0О.
Доказательство этой теоремы можно провести, осно-
вываясь на результатах работы [38].
В рассматриваемом случае операторов C.2; аппрокси-
мирующий гамильтониан C.5), упоминавшийся в теореме 2,
имеет вид
# о(С) = Е Т (/) at а,—? ? {А* (/) a4at+A </) of ai,} +
a
Переходя к «новым» ферми-амплитудам af, af, связан-
ным с каноническим преобразованием af = ufaf—vfa,tf,
в котором
L
найдем

368 ГЛ. 3. ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Выражение для свободной энергии на единицу объема V,
Построенной на основе этого гамильтониана, будет
fv - 2 ? gaCaC'a —дг 2 (Е (/)- Т (f)) +
a f
+4-2lnA+e~?(')/8)- C-9)
Исходя из теоремы 2, можно показать, что выражение
C.9) надлежащим образом (при V —> оо) аппроксимируется
предельным выражением
§ 2. Квазисредние для гамильтониана с отрицательным
четырехфермионным взаимодействием
Займемся сейчас вопросом об определении квази-
средних.
Пусть Ш будет каким-либо оператором того типа, для
которого в [24] были сформулированы предельные тео-
ремы, например произведение из ферми-амплитуд, поле-
вых функций и т. д. Следуя стандартному методу, квази-
среднюю <?1>// такого оператора для рассматриваемого
гамильтониана Н C.1) можно определить как предел
Нт <Щ>гЛ C.10)
V-t- оо J
обычных средних <81>г, взятых по гамильтониану Г, по-
лучающемуся из Н добавлением «членов с источниками»:
e/S-VS(ve/S + v:/.). C.11)
a a
Мы хотим обратить внимание на некоторые трудности, свя-
занные с определением C.10). Так, в данном определении
не указывается, например, в какой области должны ле-
жать параметры и каким образом следует их стремить к
нулю, чтобы обеспечить сходимость в определении C.10).

§2. КВАЗИСРЕДНИЕ 359
Покажем, что даже в простейших случаях при произ-
вольном стремлении | v j к нулю предела в выражении C.10)
может и не существовать.
Возьмем, например, гамильтониан C.1) (при s=l).
Здесь Т и J имеют вид
C.12)
а функции "К (t) удовлетворяют всем наложенным там усло-
виям.
В качестве Г был взят гамильтониан с вещественным
положительным v:
J+). C.13)
Как было показано, Г приводится к виду
Г - Ta-2Vg (J -С (v)) (J * -С* (v)),
f
здесь C(v) + y->0» а величина С = С (v) реализует абсо-
лютный минимум функции
L Р1. (С)] = 2gpC-j?p J df \E (f)-T (/)}-
Кроме того,
C(v))(y +—С(фг<е„—0 C.14)
при V-> оо.
Ясно что рассматриваемый гамильтониан Г C.13) при-
надлежит к классу C.1), а благодаря условиям, наложен-
ным на %(f) и неравенству C.14) выполняются условия при-
менимости сформулированных в [24] предельных теорем.
В силу этого можем воспользоваться упоминавшимися
там предельными теоремами и установить существование

360 ГЛ. 3. ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
пределов типа
Нт <31>г= Нгп <31>Гв. C.15)
V -*¦» V-* со
Заметим далее, что как указывалось в [23],
C(v)-*C@) = C (v>0, v^O). C.16)
С другой стороны, выражение lim <§1>г раскрывается
V-+ се а
в явной форме с помощью правил Блоха и де-Домини-
циса и совершенно элементарно можно установить, что
предельный переход (v > 0, v —»- 0) выполним и сводится
просто к замене в этом выражении C(v) на С, т. е. к за-
мене усреднения по Гд усреднением по гамильтониану
Н (С).
Тем самым устанавливается существование квази-
средних
<S(>=Hm lim <$>г= Hm <Ш>Н.^ C.17)
V>0/-»-ce V-*-* "tCJ<
V-»-0
Посмотрим теперь, как изменится ситуация с определе-
лением C.2) в случае, когда СфО, если перейдем к ком-
плексным значениям v, и вместо гамильтониана Г C.13)
возьмем
V). C.18)
Положив v = | v | e**f заметим, что FVi v» приводится к виду
rassTjvi (т.е. к гамильтониану Г, в котором вместо v
поставлено | v |) посредством градиентного преобразования
Таким образом, получим, например *)
@ at, (x)>rv> v. - в-*<о,+ @ at, (х)>Г| v, -
?±f(t)>r1Vi. (ЗЛ9)
•) Предельный переход V —> oo будем понимать в смысле поня-
1ия сходимости, введенного для функций Fv(f1, ..., fs), заданных
ua дискретных множествах Фу (см. [25]).

§2. КВАЗИСРЕДНИЕ 361
Предел нетрудно вычислить:
ton
|vK0
= UfVt /е»Д(О(<-т) еЕШ' e-lE{f){t-x)
C.20)
где в выражениях Uj, Vf, ?(/) вместо С поставлено зна-
чение С. При этом в рассматриваемом случае С выра-
жение C.20) не обращается тождественно в нуль.
Следовательно, хотя lira <aj!" (t) atf (t)>rv v» существует
всегда при |v|—»-0, но предела
Jim lira <af (t) at, (T)>rv, v. C.21)
нет по тривиальной причине: при v ->- 0 отношение v/|v |
не стремится ни к какому пределу. Предел существует в
C.21), лишь когда мы стремим v к нулю таким образом, что-
бы и отношение v/| v | оказалось сходящимся.
Естественно, что в общем случае C.11) ситуация с пре-
дельным переходом v -> 0 оказывается еще более сложной.
Кроме градиентной инвариантности (обусловленной гра-
диентной группой), могут появиться и другие группы пре-
образований, например группа вращений.
Обратим еще внимание на трудность, специфичную для
s>\, возьмем гамильтониан
причем vlt va берем вещественными и положительными.
Положим здесь /i = //K2, Ji = —J/Vr2, где операторы /,
Т имеют вид C.12).
Таким путем в данном случае Н будет тем же гамиль-
тонианом, который только что [рассматривался. Возьмем
v1 = v2; тогда члены с источниками полностью выпадают:
Г = Я, и, поскольку оператор Н сохраняет число частиц,

362 ГЛ. 3. ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
имеем тождественно: <с^cif>r = 0, Как видно, в такой
ситуации мы не можем вообще правильно определить
квазисредние.
Чтобы избежать такого рода трудностей, выдвинем
предложение взять v пропорциональными С с положи-
тельными коэффициентами пропорциональности:
v«=r«C«, ra>0, о=1,2,"..., s. C.22)
Рассмотрим в таком случае аппроксимирующий гамиль-
тониан
+ const. C.23)
Постоянный член здесь не выписываем, поскольку он не
влияет ни на вычисление средних <...>г, ни на урав-
нения движения. Как видно, мы получили аппроксими-
рующий гамильтониан для Н с измененными параметрами
Для того чтобы Гд из C.23) оказался аппроксимирую-
щим гамильтонианом не для Нг, а для первоначального Н,
следует в выражении Г из C.11) (в котором v взято со-
гласно C.12)) заменить ga на (ga — rj2), положив тем
самым
Ясно, что здесь, кроме добавления «источников», мы про-
вели некоторую «ренормировку» параметров ga. К этому
выражению для Г можно добавить любой постоянный
член, поскольку он не окажет влияния ни на средние
<...>г, ни на уравнения движения.
В качестве такого постоянного члена возьмем
^аСа. Тогда гамильтониан Г представится формой
C.24)

§2. кКазисредние 363
Подчеркнем, что здесь, как^ всегда, С обозначает точку,
в которой достигается абсолютный минимум функций:
Для удобства обозначений положим в C.24) ra = 2xaga,
где та>0 (l^a<[s). Таким образом, условимся иметь
дело с гамильтонианом, имеющим вид
Т = Н + 2V?\aga(Ja-Ca) (J+a-Ca) =
а
= T-2V?gaJaJ+ + 2V2xaga(Ja-Ca)(J+-Ca, C.25)
a a
та>0, a=l, 2, ..., s.
Покажем, что при сделанном выборе Г у нас не возни-
кает трудностей с определением квазисредних:
, ta>0, а=1, 2, ..., s.
•w-0 V-*oo
Для этого заметим прежде всего, что при ^=1, ...
...,т,= 1 из C.25) будем иметь
Поскольку (/а—Ca){J?—Са)^0, видим отсюда, что
Я(С)-Г>0, Г-Я>0 C.26)
для 0<та< 1, а=1, 2, ..., s.
Следовательно, справедливы неравенства
C.27)
при 0<та< 1, а= 1, 2, ..., s. Но
Поэтому на основании теоремы 2 получим

364 ГЛ. 3. ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ/ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
откуда, учитывая C.17), находим
К±Ьу ,3 28)
Чтобы связать эти неравенства с корреляционными сред-
ними, приведем вывод соответствующих мажорационных
неравенств.
Рассмотрим системы, определяемые гамильтонианом,
линейно зависящим от некоторого параметра т: Нх ~
= Гв+г1\. Определим формально выражение
которое назовем свободной энергией на единицу объема V
для модельной системы Нх.
Дифференцируя это^выражение, имеем
— Н У
%) _ 1 f'
где Гх = ri-<ri>Ht. Но, как следует из [25], ^"х) < О,
ввиду чего
dfv(Hx)<fdfv(H%)
и '~\ d
<dfv(Hx)<
'^~ их '~-
\ dx Jt=i'^~ их '~-\ dx
И потому для разности, где
получим неравенство
\ dx Lml^tvV-i> + li)—tvi)-d<\ dx |t=0
Таким образом, на основании C.28а) мы установили сле-
дующее важное для нас неравенство:
у <Г|>г.+г1 < fv (Г. + TJ-fv (Г„) < ± <Г1>Гв.

§2. ЮЗЛЗИСРЕДНИЕ 365
Воспользуемся теперь этим\еравенством, положив в нем
Т0 = Н, Ti^Y-H = 2V2lT&a(Ja-Ca)(J+~C'a). Тогда,
основываясь на первом из неравенств C.28), получим
2ltrfB<(JB-^)(/J-t)>r<ey + e,. C.29)
\
Таким образом, мы доказали следующую теорему.
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2 и
Г представляется выражением C.25), ё котором 0 < ха <
< 1, а—1, 2, ...,rs, тогда имеют место следующие
неравенства:
HXb bQ при V~+oc, (ззо)
при V-+oo,
где т0—наименьшая из величин (xit т2 xs).
Заметим еще, что доказанная теорема 3 в случае
конкретного вида операторов C.2) и при выполнении
условий теоремы 2 дает возможность непосредственно
преобразовать гамильтониан Г к форме C.1).
Имеем действительно
и потому *)
2a(l-xa)(Ja-Ca)(J+-C'a). C.31)
Как видно, этот гамильтониан имеет здесь вид гамиль-
тониана из [25], в котором положено
Га=>Н(С), Л(/) =
Га
'aCa, Ga = 2ga(l-xa)>0: C.32)
a
В силу теоремы 3 выполняется неравенство
2 Ga<(Ja-Ca) (/J-Ca)>r< ev, C.33)

366 ГЛ. 3. ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
где ev = (bv-\-8v)/x0 (V—>¦ oo^f равномерно по отношению
к температуре 6 в любом интервале вида 0<6^60.
Тем самым установлен^ справедливость пункта C.3)
(см. [15]) условий I.
Остальные пункты условий (/, /') тривиально выте-
кают из неравенств C,7), C.8) и условия C.9) конечно-
сти числа s в суммах по (а) и независимости величин С
от V. Можем поэтому воспользоваться всеми предель-
ными теоремами, доказанными в работе [25].
Так как Гв = #«((?), запишем теоремы о существова-
нии пределов
в виде
V-HD V-XS
Но Н (С) не зависит от параметров т в рассматриваемом
случае, когда
0<та<1, а=1, 2, .... s. C.34)
Поэтому и выражение lim <МУт не зависит от т, лежа-
щих в области C.34).
Следовательно, когда все тх, та, ..., хя стремятся
к нулю, оставаясь положительными, имеем тривиально:
lim lim <21>г = Hm <$l>H,n-
t-»-0 V-*-a> V-*-* (
Квазисредние в данной ситуации можем определить соот-
ношениями
='Ит <Щ>Н(с), C.35)
V-»- оо V-+ ее
в которых т могут принимать любые значения из области
C.34).
Подчеркнем еще раз, что главным пунктом наших рас-
суждений было установление неравенства C.29), основан-
ного на неравенстве C.28).
Как видно, из неравенства C.28) следует предельное со-
отношение
Km fv (Г) = lim fv (И). C.36)
V-+ce V->cc

$ I. ПРИНЦИП ОСЛАБЛЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИИ 367
Заметим, между прочим, что, данное предельное соотно-
шение, вообще говоря, перестает быть справедливым для
отрицательных значений т. \
В заключение заметим, что ограничение случаем g«>0
не является необходимым. Можно,рассмотреть также слу-
чай, когда константы ga имеют хразные знаки. В этом
случае также удается привести гамильтониан к форме,
рассмотренной в работе [24].
\
Г л а в а 4
ПРИНЦИП ОСЛАБЛЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
И ТЕОРЕМЫ ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ТИПА l/q2
§ 1. Принцип ослабления корреляции
В этом параграфе мы сформулируем интуитивные пред-
ставления (общепринятые в статистической механике) о
том, что корреляция между пространственно отдаленными
частями макроскопической системы практически исчезает.
Рассмотрим средние
F(tlt х1г .... tn,xn) = ^..^{tj,Xj) ...i|j(*,, *,)...>, D.1)
и разобьем совокупность аргументов {t1} хг, ..., tn, х„\
произвольно на ряд групп {..., ta, xa, ...}, {..., t&,
х$, ...}... Нас интересует асимптотическая форма F,
когда все моменты времени tlt ..., tn фиксированы,
а расстояния между точками из различных групп стре-
мятся к бесконечности. Постулируем прежде всего, что
под знаком рассматриваемой средней полевые функции
-»• -»•
Ф(^, rlt аг), ф(^а, гг,а2) (ф = -ф+ или я|з) при фиксирован-
-»• -*
ных tu t2 и \rt — raI —з-оо в пределе будут точно ком-
мутировать или антикоммутировать между собой. Тогда
для нахождения асимптотической формы F мы можем пе-
реставлять в выражении D.1) полевые функции ф(^, х{)
с аргументами из различных групп и тем самым добиться
такого положения, чтобы полевые функции для каждой
группы аргументов оказались вместе в одном комплексе.
Получим, таким образом,
— !!<«!(..., ta, Ха, ...)ШЯ(..., tp, Х&, ...)...>—>О,

368 ГЛ. 4. КОРРЕЛЯЦИИ И ТЕОРЕМЫ
где $!(..., ta, xai ..,)—произведение полевых функций
с аргументами только из^-й-* группы, Ш2 (..., t$, х$, .. .)—
соответствующее произведение с аргументами только из
2-й группы и т. д. Допущение об асимптотической ком-
мутации выражает, по ^ашему мнению, совершенно уни-
версальную закономерность для реальных динамических
систем статистической механики.
Как известно, в,-квантовой теории поля все полевые
функции ф (tlt Xj),! ф (t2, *a) должны даже точно комму-
тировать или антикоммутировать, если^ четырехмерный
вектор tt—ta, rt—г2 пространственно подобен. В задачах
статистической механики, где мы имеем дело с формально
нелокальными взаимодействиями, свойства коммутации
должны удовлетворяться лишь приближенно, тем более
-+ -»•
точно, чем больше \гг—г2| при данных tt, t2.
Перейдем теперь к рассмотрению асимптотической
структуры выражения
<«i(.,., *«, *«, ...)«.(•¦¦, h, «pi ...)•¦•> D-3)
при неограниченном увеличении пространственных рас-
стояний между точками rf из различных групп (времен-
ные аргументы tx...tn фиксированы). Так как корреля-
ция между динамическими величинами 31 lf Ш2, • • • должна
ослабевать^ практически исчезать для достаточно боль-
ших расстояний, следует считать,'^что соответствующая
асимптотическая форма для D.3) распадается на произве-
дение вида
<«t(..., tat xa, ...)><««(..., tp xp, ...)>... D.4)
Необходимо уточнить, с какого рода «средними» мы
имеем дело в нашей формулировке принципа ослабления
корреляции. В случаях отсутствия вырождения выраже-
ния <. . .>, очевидно, являются обычными средними. Мож-
но заметить, однако, что в случаях вырождения рассмат-
риваемого состояния статистического равновесия выраже-
ния <. . .>, входящие в нашу формулировку, следует по-
нимать как квазисредние: приведенная выше формулиров-
ка принципа ослабления корреляции становится прямо
неверной, если продолжать считать выражения <. . .>
обычными средними.
Действительно, представим себе, что мы рассматриваем
кристаллическое состояние. Тогда при ссылке на ослабле-

«1. ПРИНЦИП ОСЛАБЛЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИИ 369
ние корреляции между динамическими величинами §d,
Шг, ... мы интуитивно пофазумеваем, что кристалличе-
ская решетка как целое фиксирована в пространстве; хотя
и произвольно фиксирована, нош одна и та же при вычис-
лении средней и §d, и!3ит. д. Иначе говоря, мы считаем,
что все рассматриваемые в этом случае выражения средних
относятся к одному и тому же фиксированному расположе-
нию кристаллической решетки, т. е.мы имеем дело с ква-
зисредними, а не с обычными средними, которые получаются
из квазисредних в результате дополнительного усреднения
по всем возможным положениям и ориентациям кристалли-
ческой решетки. Такая же ситуация возникает и в других
случаях вырождения состояния статистического равнове-
сия. В качестве параметров, остающихся одинаково фикси-
рованными для всех частей системы, здесь могут выступать
или магнитный момент (случай ферромагнетизма), или фа-
зовый угол (сверхтекучесть либо сверхпроводимость) и
т. п.
Таким образом, в нашей формулировке принципа ослаб-
ления корреляции выражения <. . .> действительно сле-
дует считать квазисредними *). Подчеркнем, что мы не мо-
жем строго доказать принцип ослабления корреляции для
макроскопических динамических систем, рассматриваемых
в статистической механике. Строгое доказательство мы мо-
жем провести лишь для ряда простых моделей, например
для модели, упоминавшейся в предыдущем параграфе.
Для общего же случая мы можем сослаться либо на интуи-
тивные соображения, либо на аргументы, заимствованные
из теории возмущений. Заметим, что в этом отношении
принцип ослабления корреляции не стоит особняком среди
других общепринятых важнейших положений статистиче-
ской механики. Например, вопрос о доказательстве зна-
чительно более простого утверждения, а именно, утвержде-
ния о существовании предела
•) Так как в случаях вырождения мы всегда будем иметь дело
с квазисредними, а в случаях отсутствия вырождения квазисредние
и обычные средние совпадают, то в дальнейшем не будем применять
особый символ <...> для обозначения квазисредних и будем поль-
зоваться одним символом <...>, поскольку теперь это уже не при-
ведет к недоразумениям.

370 гл. 4. корреляцией теоремы
выражающего свободную энергию на единицу объема, на-
ходится примерно в таком же положении. Поэтому мы не
будем здесь исследовать труднейшую математическую проб-
лему обоснования принципа ослабления корреляции и
ограничимся выводом ряда его физических следствий.
Прежде всего обратим внимание на применение этого
принципа для построения несколько иного, чем раньше,
вообще говоря, более «физического» определения понятия
квазисредней.
Исследуем в качестве примера случай, рассматриваемый
в теории сверхпроводимости, когда имеется состояние ста-
тистического равновесия, вырождение которого связано
только с законом сохранения числа частиц. Рассмотрим
выражение
*;, х'2) ф (f;, хд>. D.5)
Так как оператор ф+ (tlt *i)*+(*i. X2)^{t'2, ?)y(t'lt x[)
сохраняет число частиц, выражение D.5) является обыч-
ной средней. Будем неограниченно увеличивать расстоя-
ние между двумя группами пространственных точек (rlt г2),
(r'i, г'г) при фиксированных моментах времени. Тогда на
основании принципа ослабления корреляции выражение
D.5) будет приближаться к произведению
<V(*i, xx)^+(t2, х2ъ<$(П, x;)^(ti, x[)y.
Исходя из такого асимптотического распределения обыч-
ной средней D.5), можем теперь определить квазисредние
Аналогичным приемом можно воспользоваться и для
введения квазисредних от произведений высшего порядка
из полевых функций. Если ранее мы вводили квазисредние
с помощью бесконечно малых добавок к гамильтониану,
не всегда имеющих ясный физический смысл, то теперь с по-
мощью принципа ослабления корреляции мы можем вво-
дить квазисредние, рассматривая асимптотические формы
обычных средних, относящихся только к исследуемой ди-
намической системе, с данным неизменным гамильтониа-
ном. Правда, надо сказать, что для формального вывода
обобщенной диаграммной техники, использующей аномаль-
ные линии, метод бесконечно малых добавок к гамильто-
ниану удобнее, поскольку он автоматически сводит эту
задачу к уже решенной.

SI. ПРИНЦИП ОСЛАБЛЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИИ 371
Рассмотрим еще систему\бесспиновых бозе-частиц, на-
ходящуюся в пространственно-однородном состоянии ста-
тистического равновесия, и построим выражение
V
" D-6)
Перейдя здесь к импульсному представлению, найдем
F{гх—гг)--~ у^<акак>е~ 1к(п~Гг). D.7)
к
Поэтому в интеграле Фурье
произведение w{k)dk выражает плотность числа частиц
с импульсами из бесконечно" малого импульсного объема
dk. Отсюда следует, что w(k)^0, \^хю(к)йк — р, где р==
=N/V—плотность числа частиц.
Рассмотрим случай, когда в нашей системе имеется
покоящийся конденсат. Тогда w (k) = po8(k)-{-w1(k), где
w1(k) — обычная функция, характеризующая непрерывное
распределение по импульсам частиц, не находящихся
в конденсате, а р0—плотность числа частиц конденсата.
Но поскольку wx (k) является обычной интегрируемой
функцией,
Jwj (А) *-<*¦**№—> О, М-+ОО,
и поэтому
= Ро + S Щ (k) е~^п-Ъ dk-+ Ро ф 0, | ?! —гя | -. оо.
С другой стороны, на основании принципа ослабле-
ния корреляции
Поэтому <1ф(г1)> ^=0. Если бы рассматриваемое состояние
статистического равновесия не было вырождено по отно-
шению к закону сохранения числа частиц, то в силу

372 ГЛ. 4. КОРРЕЛЯЦИИ И ТЕОРЕМЫ
соответствующих этому закону правил отбора мы имели
-»
бы тождественно <г|з(г)> = 0.
Таким образом, в случае конденсата правила отбора,
обусловленные законом сохранения N, не выполняются
и данное состояние статистического равновесия вырож-
дено.
§ 2. Теоремы об особенностях типа \/qa
и некоторые приложения метода квазисредних*)
Как было показано в работах [16, 17] (см. также гл. 2),
фазовый переход в низкотемпературную фазу сопровож-
дается понижением симметрии. В ряде случаев, нарушив
симметрию основного состояния, можно получить ветвь
элементарных возбуждений с энергией, обращающейся в
нуль в длинноволновом пределе. Так, для сверхтекучих
бозе-систем имеет место неравенство [17]
где <С---^>—энергетическое представление соответствую-
щей функции Грина, т — масса частицы, р0—плотность
частиц в конденсате и р—полная плотность.
Из неравенства D.8) вытекает следующее неравенство:
D-9)
Таким образом, плотность непрерывного распределения
бозонов по импульсам при q—*-0 стремится к бесконеч-
ности как \/q*.
Это общее утверждение, известное как теорема об осо-
бенностях типа Vq2, справедливо также для сверхтекучих
ферми-систем [17]. С помощью неравенств типа D.8) и D.9)
удалось, в частности, строго доказать отсутствие фазового
перехода в изотропных спиновых системах типа B.4) при
размерности решетки d<3 и учета взаимодействия только
ближайших соседей [39]. Сходный результат удалось стро-
го установить также и для некоторых систем с переходом
жидкость — кристалл [40]. Отметим, что в случае ферро-
магнитных спиновых систем, удовлетворяющих теореме о
^i/q2y, соответствующие возбуждения называются маг-
нонами.
*) Мы ограничимся лишь кратким резюме работы [17], в кото-
рой приведены подробные доказательства.

$ 1. ЗАМЕЧАНИЯ К ЭРПОДИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 373
Нужно отметить, что идеи о спонтанном нарушении
симметрии и о связанных с таким нарушением элементар-
ных возбуждениях, подчиняющихся теореме о С1/<7*!3>»
находят широкое применение в квантовой теории поля при
рассмотрении бозонов с нулевой массой в случае скаляр-
ных полей [41] (голдстоуновские возбуждения) в связи с
феноменом Хиггса [42, 43] (возникновение массы у перво-
начально безмассовых векторных частиц), в теории электро-
слабых взаимодействий [44] и т. д.
Еще одним приложением метода квазисредних, пред-
ставляющим интерес в связи с рядом физических задач,
возникающих в теории фазовых переходов, является опи-
сание состояний со смешанной симметрией (гетерофазных
флуктуации), предпринятое на основе общего метода квази-
средних [16, 17] в работах [45, 46]. При этом удалось полу-
чить интересные результаты в теории магнетизма [46] и
сверхпроводимости [47], в частности, объяснить ряд экспе-
риментов и предсказать существование нового фазового
перехода — из состояния со смешанной симметрией в чи-
стое фазовое состояние.
Глава 5
О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ, СВЯЗАННЫХ С ПРОБЛЕМАМИ
ОБОСНОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
§ 1. Замечания к эргодической теории
Рассмотрим здесь несколько вопросов, относящихся к
проблемам обоснования статистической механики.
Как известно, основным постулатом статистической ме-
ханики, обеспечивающим ее применимость к термодинами-
ке, является следующее допущение: если рассматриваемая
динамическая система является макроскопической систе-
мой, изолированной от внешних влияний и заключенной в
некотором конечном макроскопическом объеме V, то наб-
людаемые значения макроскопических динамических ве-
личин стремятся при t -*¦ оо к постоянным значениям (пред-
ставляемым средними этих величин, взятыми по равновес-
ному распределению Гиббса). В более краткой форме гово-
рят, что в такой системе происходит процесс приближения
к состоянию статистического равновесия.
Подчеркнем, что постулат этот используется для рас-
смотрения как классических, так и квантовых динамических

374 ГЛ. 5. ОБОСНОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
систем. В рамках классической механики попытки обосно-
вания указанного постулата привели к созданию весьма
глубокой и интересной математической теории — так на-
зываемой эргодической теории *). В эргодической теории
рассматриваются динамические системы, изолированные
от внешних влияний, с компактным фазовым пространством,
независимо от того, могут ли они считаться макроскопи-
ческими или нет.
Пусть, например, имеем динамическую систему с га-
мильтонианом Н(х) (где х представляет «фазовую точку»,
т. е. совокупность координат и импульсов) такую, что
инвариантная гиперповерхность Н(х) = Е, Е = const, за-
ключена в конечной области точек х. Эту гиперповерх-
ность будем в дальнейшем считать фазовым пространст-
вом. Тогда лиувиллевская мера ^\_dQjdpt порождает на
/
данной гиперповерхности инвариантную меру \а, которую
можем нормировать на единицу, ^ d|x= 1.
Весьма интересным оказывается случай транзитив-
ности меры ц, когда указанное фазовое пространство
нельзя разбить на два инвариантных множества, каждое
из которых обладало бы положительной, отличной от
нуля мерой \и. Возьмем временную среднюю от некото-
т
рой динамической величины f(x), -f\f(xt)dt, где xt
о
представляет фазовую точку системы в момент t при
начальном условии xt = x для t = 0. Тогда в случае тран-
зитивности эта временная средняя почти везде в нашем
фазовом пространстве приближается при Т—> сю к про-
странственной средней \if(x)d\n.
Еще более ясной становится аналогия с «установле-
нием статистического равновесия» для динамических си-
стем, обладающих свойством перемешивания. Для систем
этого типа оказывается справедливым следующее утверж-
дение: пусть g(x), f(x)—две произвольные функции из
La (ц), тогда J / (xt) g (x) d\i — $ / (х) d\i • $g (x) ф. Рассмот-
рим начальное распределение вероятности в нашем
*) Критический обзор эргодических теорий можно найти в кни-
гах [49, 56, 50].

§ I. ЗАМЕЧАНИЯ К ЭРГОДИЧЕГ.К.ОЙ ТЕОРИИ 37FS
фазовом пространстве ро(х), \po(x)d\i=l, и возьмем
g(x) = po(x). Тогда для динамических систем со свойст-
вом перемешивания будем иметь процесс приближения
при t—*• оо средней динамической величины к простран-
ственной средней: \ / (xt) р0 (х) ф —> } / (х) ф.
Надо, однако, отметить по поводу результатов эргоди-
ческой теории, что свойство транзитивности, а особенно
свойство перемешивания чрезвычайно трудно установить
для динамических систем, которые могут служить моделя-
ми систем, рассматриваемых в статистической механике.
По-видимому свойства транзитивности и перемешивания
требуют слишком узких условий, налагаемых на динами-
ческие системы. По нашему мнению, здесь дело в том, что
в классической эргодическои теории не учитывается макро-
скопический характер этих систем и соответственно дина-
мических величин. С точки зрения статистической механи-
ки только для них и нужно установить наличие прибли-
жения средних. Конечно, само понятие макроскопичности
в общем случае трудно математически сформулировать так,
чтобы ввести его в рамки общей теории динамических си-
стем. Его, однако, легко сформулировать на ряде типичных
примеров.
Возьмем, например, гамильтониан одноатомного газа,
состоящего из одинаковых частиц,
\<1<N
находящихся в замкнутом сосуде с объемом V. Здесь
Ф(г)—потенциальная энергия взаимодействия пары ча-
стиц. Потенциал U ^ (г)'вводится, чтобы формально учесть
конечность объема V. Именно, можем для этого выбрать
Uv(r) равным] нулю внутри сосуда (за исключением
узкой окрестности граничной поверхности) и быстро воз-
->
растающим к оо при приближении г к граничной по-
верхности V.
Динамическая система с указанным гамильтонианом бу-
дет макроскопической, если число Af весьма велико. Таким
образом, с математической точки зрения макроскопи-
ческие свойства являются асимптотическими для предель-
ного перехода N—>-оо. Имея в виду исследование объем-
ных свойств, этот предельный переход совершается обыч-

3?6 ГЛ. 5. ОБОСНОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
ным образом, считая, что когда N —*оо, граничная по-
верхность сосуда бесконечно расширяется, уходя на
бесконечность, V—*-оо, а плотность числа частиц на еди-
ницу объема N/V = n остается постоянной. В качестве
макроскопических динамических величин естественно при-
нять динамические величины аддитивного, бинарного, тер-
нарного и т. п. типов.
Заметим, что для обоснования статистической меха-
ники совершенно не обязательно, скажем, свойство пере-
мешивания при любых конечных N, V. Важно лишь со-
ответствующее поведение при V—* оо предельных сред-
них значений макроскопических величин после соверше-
ния предельного перехода статистической механики:
N —*оо, V—юо, Af/V = n = const.
Недостаточность эргодической теории в ее стандарт-
ной формулировке становится особенно ясной при пере-
ходе к динамическим системам квантовой механики.
Возьмем, например, квантовую динамическую систе-
му с тем же гамильтонианом, о котором упоминалось
выше. При выполнении для функции Ф(г) обычных ус-
ловий, налагаемых на потенциальную энергию взаимо-
действия, гамильтониан этот при конечных N, V имеет
чисто дискретный спектр #фв = ?вф„.
Пусть р0 будет начальным (при t = 0) статистическим
оператором фон Неймана, /—динамическая величина,
ft—эта же величина в представлении Гейзенберга для
момента времени t. Тогда
Sp ftPo = 2 (ф„, /*q>J'(<Pm, Р0Ф„)»
п, т
IVP.)
т
Таким образом, рассматриваемая средняя Sp/t.p0 является
почти периодической функцией времени и потому при
t —* оо ни к какому пределу не стремится. Следовательно,
при конечных N, V аналога перемешивания не будет.
Более того,
т
lira ~ f (Sp ftPo) Л = 2 (Ф«. /Ф«) (Ф«. РвФ«).
n, m

S 2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С БОЗОННЫМ ПОЛЕМ 377
существенно зависит от начального распределения вероят-
ности р0 и аналогии с более слабым свойством транзитив-
ности также не будет. Отсюда ясно, что приближение к
состоянию статистического равновесия можно ожидать от
средних значений макроскопических динамических пере-
менных лишь после совершения предельного перехода ста-
тистической механики.
Надо, однако, подчеркнуть, что и в классическом, и в
квантовом случаях требуемое основным постулатом статис-
тической механики свойство средних значений динамиче-
ских величин строго доказать пока не удалось (хотя бы,
например, для систем с вышеуказанным гамильтонианом).
Для интуитивного рассмотрения ситуации с предельным
переходом в классической и квантовой механике целесооб-
разно ввести приведенные распределения вероятности од-
ной, двух, ..., s частиц: рA), рA, 2), . . ., рA, 2, . . ., s).
В классической механике это будут функции координат
соответствующих частиц, в квантовой механике — ста-
тистические операторы, действующие на волновые функции
этих частиц.
Исходя из уравнений Лиувилля, нетрудно получить для
приведенных распределений зацепляющуюся цепочку урав-
нений [51—53]. В этой цепочке можно формально перейти
к пределу статистической механики и получить цепочку
уравнений уже для предельных приведенных распределе
ний вероятности р. Трудности здесь возникнут, если мы
попытаемся математически обосновать закономерность пре-
дельного перехода в цепочке уравнений. Если не обращать
внимания на эту сложную проблему и ограничиться слу-
чаем достаточно слабого взаимодействия, то из данной це-
почки при надлежащих начальных условиях расцепления
корреляций можно получать в качестве уравнений первого
приближения уравнения типа Больцмаиа, характеризую-
щие процесс установления статистического равновесия.
§ 2. Динамическая система, взаимодействующая
с бозонным полем
Обратим теперь внимание на то, что в статистической
механике используется еще следующий постулат. Пусть мы
имеем некоторую «малую» динамическую систему S, слабо
взаимодействующую с «большой» динамической системой 2.
Слова «малая» и «большая» следует понимать'в том смысле,
что число степеней свободы 2 много больше числа степеней

378 ГЛ. 5. ОБОСНОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
свободы S. Тогда, если большая система находится в со-
стоянии статистического равновесия, т. е. является термо-
статом, то распределение вероятности в системе S прибли-
жается к равновесному.
Более подробно, если pt (S, 2) является статистическим
оператором для системы S + 2 в момент времени t при
начальном условии po(S, 2) = р0 (S)pB), в котором рB)
соответствует состоянию статистического равновесия в
2, то тогда приведенный статистический оператор
для системы S, pt(S) = Sp pt(S, 2), после выпол-
B)
нения предельного перехода статистической механики
стремится при f—>¦ оо к равновесной форме. Здесь была
приведена квантовая формула. В классическом слу-
чае для выражения приведенной функции распределения
вероятности в S надо лишь Sp заменить интегралом по
B)
фазовому пространству системы 2.
Простейшим примером системы S может служить сво-
бодная материальная точка, а системы 2 — совокупность
невзаимодействующих гармонических осцилляторов. Для
определенности будем рассматривать этот случай с точки
зрения квантовой механики. Тогда имеем задачу о взаимо-
действии частицы с квантовым бозонным полем. Такого
типа задача рассматривается, в частности, в теории поля-
рона, где взаимодействие электрона с фононным полем ха-
рактеризуется гмильтонианом
k
Здесь cofe, 3? (k) — радиально симметричные вещественные
функции волнового вектора k, причем сой—существенно
положительные функции, bg, bg—бозе-амплитуды, соот-
ветствующие вектору k. В суммах по k суммирование
идет по обычному квазидискретному спектру k =
= (t'!i|T'I!i тл')^11 = ^ Па—Челые числа, V —
объем системы), переходящему в непрерывный спектр при
V—> оо. К сожалению, и эта, казалось бы, упрощенная
задача оказывается чрезвычайно трудной для строгого

§ 2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С БОЗОННЫМ ПОЛЕМ 379
математического доказательства факта приближения пре-
дельного приведенного статистического оператора lim pt (S)
к равновесной форме при t—*oo.
Мы поэтому ограничимся здесь рассмотрением лишь
весьма упрощенной модельной задачи, когда гамильтониан
системы представляется операторной квадратичной формой
E.2)
где
d
а=1, 2, 3, р—оператор импульса, г—оператор положе-
ния частицы, b-?, b^k—бозе-операторы. Благодаря такому
выбору С наш гамильтониан можно представить в виде
< ylim). E.4)
Отсюда видно, что эта квадратичная форма положительна.
Для удобства рассмотрения положим, что суммы по k
.при конечном V содержат лишь конечное число членов,
например таких, [,что №<iKv, Kv—*oo при V—*оо.
Тогда уравнения движения в представлении Гейзенберга
образуют конечную систему линейных однородных диф-
ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
и, таким образом, точно решаемую:

380 ГЛ. 5. ОБОСНОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Легко видеть, что три корня соответствующего секуляр-
ного уравнения равны нулю, а остальные отличны от нуля.
Эти три нулевых корня связаны с законом сохранения пол-
ного импульса. Для того чтобы убедиться в существовании
указанного закона сохранения, заметим, что гамильтониан
E.2) при условии E.3) инвариантен по отношению к транс-
ляционной группе
Такая инвариантность и должна привести к существова-
~* dp
нию сохраняющегося вектора Я, -57=0, который можно
представить себе как вид «суммарного импульса».
Для нахождения вектора Р заметим, что из E,5)
следует
Tt
откуда
at уу
к

§ 2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С Б030ННЫМ ПОЛЕМ 381
Учитывая E.3)
t
получаем
Из последнего выражения следует, что сохраняющийся
вектор «суммарного импульса» для рассматриваемой ди-
намической системы будет
Из операторных дифференциальных уравнений E.5)
непосредственно следует, что движение частицы представ-
ляется суперпозицией инерциального движения и гар-
монических колебаний.
Займемся сейчас нахождением плотности вероятности
распределения по импульсам в S—Wt(p) (диагональные
элементы матрицы, соответствующей pt(S) в импульсном
п ре дставл ении).
Будем исходить из тождества
Sp/(S, 2)P<(S, 2) = Sp/(St> 2t)pe (S, 2) =
= Sp/(St, 2<)po(S)j>B),
в котором f(Su 2f) обозначает динамическую величину
/ (S, 2) в представлении Гейзенберга для момента времени
t. В частности, для f(S, 2) = / (S) = F (р) найдем, что
J F (?) Wt Cp) dp = Sp F (p) pt (S) = Sp F (Й p0 (S) p B)
Cp) dp = Sp e-^tp0 (S) p B). E.6)

382 ГЛ. Й. ОБОСНОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Таким образом, плотность вероятности распределения
по импульсам Wt(p) можно определить, проинтегрировав
упоминавшуюся систему дифференциальных уравнений и
-* -> -» +
выразив pt через начальные значения г, р, ..., b?t bg,...
С помощью формулы E.6) можно установить, что при
конечном V Wt(p) является почти периодической функ-
цией времени и потому не стремится ни к какому пре-
делу при t—у оо.
Посмотрим сейчас, как будет обстоять дело после со-
вершения предельного перехода V—Лэо. Наложим на
функции волнового вектора а>ъ 2 (k) следующие условия.
Возьмем какую-либо функцию J (Q), являющуюся ана-
литической функцией Q в полосе, окружающей вещест-
венную ось и обладающую свойствами: /(—Q) = /(Q),
| J (Q) j <! тшь и на вещественной оси J (Q) > 0. Выберем
теперь 2 (k), a>ft так, чтобы
V Л, ffl* Ш '
где Cx — постоянная, не зависящая от V,
1 у &{к)к _^ Гудо^ со > 0.
и. < со о
Такой выбор можно, например, реализовать, положив
(uk = s\k\, s = const; J^z(й) = 2n2rr-j2/ (s j й|), =2^@) = 0.
При соблюдении этих условий можно показать [54], что,
во-первых, существует предел I lira Wt (p) \, а, во-вторых,
| V-+CD |
эта предельная функция стремится к равновесной при
t—юо. Для доказательства этого утверждения удобно ис-
ключить fe-> (t), frt (t) из наших дифференциальных урав-
R ft
нений, получив уравнение вида
-> t _
dP(t) . 1
о
E.7)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ЧАСТИ IV 383
где
2
4
cos щ* •
Уравнение E.7) можно решить с помощью преобразо-
вания Лаплгса. Таким образом, находим выражение р(t)
-» -> +
через начальные величины г, р, ..., Ь.^, Ь->, ..., что поз-
k k
воляет с помощью формулы E.6) найти плотность вероят-
ности распределения по импульсам (подробнее метод на-
хождения функции Wt(p) дан в работе [54]).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ЧАСТИ IV
1. Боголюбов Н. Н. Лекции по квантовой статистике.— Киев:
Радянська школа, | 1949.
2. Боголюбов Н. Н. Известия АН СССР, 1947, т. 11, с. 77.
3. Л а н дау Л. Д. ЖЭТФ, 1941, т. 11, с. 492.
4. Боголюбов Н. Н. Вестник Московского ун-та. Сер. физ.,
1947, т. 7, с. 43.
5. Беляев СТ. ЖЭТФ, 1958, т. 34, с. 417.
6. Боголюбов Н. Н. ЖЭТФ, 1948, т. 18, с. 622.
7. Боголюбов Н. Н. Сообщения ОИЯИ, Р-1395, Дубна, 1963.
8. Иорданский СВ. ЖЭТФ, 1965, т. 48, с. 704.
9. Халатников И. М. Теория сверхтекучести.— М,, 1971.
10. L a n g e r J. S., R е р р у J. D. Prog. Low Temp. Phys., 1970,
v. 6, p. 1.
11. V i n en W. F. In: Liquid Helium.— New York: Academic Press,
1963.
12. L a n g e r J. S., F i s h e r M. E. Phys. Rev. Lett., 1967, v. 19,
p. 560.
13. L a n g e r J. S., A b e g а о k a r V. Phys. Rev., 1967, v. 164,
p. 498.
14. Б о г о л ю б о в Н. Н. ЖЭТФ, 1958, т. 34, с. 58.
15. Б о г о л ю б о в Н- Н., Толмачев В. В., Ширков Д. В.
Новый метод в теории сверхпроводимости.— М.: Физматгиз, 1958.
16. В о g о 1 u b о v N. N. Physica, I960, v. 26S, p. 1.
17. Боголюбов Н. Н. Сообщения ОИЯИ, Д-781, Дубна, 1961.
18. В а г d e e n J., С о о р е г L. N., S с h r i e f f e r J. R. Phys.
Rev., 1957, v. 106, p. 162; v. 108, p. 1175.
Ш.Боголюбов Н. Н., Зубарев Д. Н., Церковни-
ков Ю. А. ДАН СССР, 1957, т. 117, с. 788.
20. Б о г о л ю б о в Н. Н., Зубарев Д. Н., Церковни-
ков Ю. А. ЖЭТФ, 1960, т. 39, с. 120.
21. Боголюбов Н. Н. Сообщения ОИЯИ, Р-511, Дубна, 1960.
22. В о g о 1 u b о v N. N., Jr. Physica, 1966, v. 32, p. 933.
23. Боголюбов Н. Н. (мл.) Препринт ИТФ-67-1, Киев, 1967.
24. Б о г о л ю б о в Н. Н. (мл.) ТМФ, 1970, т. 4, с. 412.
25. Боголюбов Н. Н. (мл.) Метод исследования моде.пышх гамиль-
тонианов.— М.: Наука, 1974.

384 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ЧАСТИ IV
26. Боголюбов Н. Н. (мл.) Ядерная физика, 1969, т. 10, с. 425.
27. Т h i r r i n g W. Comm. Math. Phys., 1968, v. 7, p. 181.
28. В о g о 1 u b о v N. N., Jr., Shumovsky A. S., Indian J.
Pure Appl. Phys., 1970, v. 8, p. 121.
29. V a n Hemmeti L. Fortschr. Phys., 1978, v. 26, p. 397.
30. О с и п о в М. А., Ш у м о в с к и й А. С. ТМФ, 1981, т. 46, с. 125.
31. D i с k e R. H. Phys. Rev., 1954, v. 93, p. 93.
32. Bogolubov N. N.. Jr., Plechko V. N. Physica, 1976,
v. 82A, p. 163.
33. Б о г о л ю б о в Н. Н. (мл.), П л е ч к о В. Н. ДАН СССР, 1976,
т. 228, с. 1061.
34. Б о г о л ю б о в Н. Н. (мл.), ПлечкоВ. Н., Шумовский
А. С, ЭЧАЯ, 1983, т. 14, с. 1443.
35. Б о г о л ю б о в Н. Н. (мл.). ТМФ, 1970, т. 5, с. 136.
36. В о g о 1 u b о v N. N., Jr., J. Math. Phys., 1973, v. 13, № 1.
37. Боголюбов Н. Н. (мл.), Шумовский А. С. Труды Ма-
тематического ин-та АН СССР, 1975, т. 136, с. 351.
38. В о g о 1 u b о v N. N., Jr. Physica, 1966, v. 32, p. 933.
39. M e r m i n N. D., Wagner H. Phys. Rev. Lett., 1966, v. 17,
p. 1133.
40. Sadovnikov В., Sorokina E., Indian J. Pure Appl.
Phys., 1970, v. 8, p. 61.
41. Goldstone J. Nuovo Cimento, 1961, v. 19, p. 154.
42. H i ggs P. W. Phys. Rev. Lett., 1964, v. 13, p. 508.
43. H i ggs P. W. Phys. Rev., 1966, v. 145, p. 1156.
44. В а й н б е р г С. УФН, 1980, т. 132, с. 201.
45. Ю к а л о в В. И. ТМФ, 1976, т. 26, с. 403; Physica, 1981, v. 108A,
p. 402.
46. S h u m о v s k у A. S., Yukalov V. I. Physica, 1982, v. 110,
p. 518.
47. Ш у м о в с к и й А. С, Ю к а л о в В. И. ДАН СССР, 1982, т. 266,
с. 320.
48. J er о m e D. J. Magn. Magnetic Mater., 1983, v. 31—34, p. 20.
49. X и н ч и н А. Я. Математические основания статистической ме-
ханики,— М.: Гостехиздат, 1943.
50. Терлецкнй Я. П. Статистическая физика. Изд. 2, гл. III,
§ 9, с. 54.— М.: Высшая школа, 1973.
51. Боголюбов Н. |Н. Проблемы динамической теории в стати-
стической физике.—М.: Гостехиздат, 1946; переиздано: Бого-
любов Н. Н. Избранные труды по статистической физике.—
М.: Изд-во Московского университета, 1979, с. 5—114.
52. Б о г о л ю б о в Н. Н. О стахастических процессах в динамиче-
ских системах.—ЭЧАЯ, 1978, т. 8, вып. 4.
53. Б о г о л ю б о в Н. Н. (мл.), Садовников Б. И. ЖЭТФ,
1962, т. 48, вып. 8.
54. Б о г о л ю б о в Н. Н., Б о г о л ю б о в Н. Н. (мл.). Кинетиче-
ское уравнение для динамической системы.—ЭЧАЯ, 1980, т. 11,
вып. 2.
55. Б о г о л ю б о в Н. Н. (мл.) и др. Метод аппроксимирующего
гамильтониана в статистической физике.— София: БАН, 1981.
56. К о р н ф е л ь д И. П., С и н а й Я. Г., Ф о м и и С. В. Эр-
годическая теория — М.: Наука, 1980.