Text
                    ГЛОБАЛЬНАЯ
дж.Бим ЛОРЕНЦЕВА
п.Эрлих ГЕОМЕТРИЯ


GLOBAL LORENTZIAN GEOMETRY John Beem Paul Ehrlich Department of Mathematics University of Missouri Columbia. Missouri MARCEL DEKKER. INC. New York and Basel 1981
ГЛОБАЛЬНАЯ Дж.Бив ЛОРЕНЦЕВА П.Эрлих ГЕОМЕТРИЯ Перевод с английского Е. В. Шикина Москва «Мир» 1986
ББК 22.151.2 Б61 УДК 513.814 Бим Дж., Эрлих П. Б61 Глобальная лоренцева геометрия: Пер. с англ. — М.: Мир, 1985. 400 с., ил. Систематическое изложение лоренцевой геометрии в целом, написанное известными американскими математиками. Книга отражает современные успехи в разработке обшей теории относительности, а также достижения современной дифференциальной геометрии. Изложение доступное и ясное. Для математиков разных специальностей, студентов и аспирантов универ- ситетов. 1702040000-486 _ _ Б~041(0ТН5- ’ Ч- ББК 22.151.2 517.5 Редакция литературы по математическим наукам Джон Бим, Пол Эрлих ГЛОБАЛЬНАЯ ЛОРЕНЦЕВА ГЕОМЕТРИЯ Старший научный редактор А. А. Бряндинская. Младший научный редактор Н. С. По- лякова Художественный редактор В. И. Шаповалов. Художник Е. К- Самойлов Технический редактор А. Г. Резоухова. Корректор М. А. Смирнов ИБ № 5267 Сдано в наборов 02.85. Подписано в печать 25.10.85. Формат бОХОО1/^- Бумага типографская № I. Печать высокая. Гарнитура литературная. Объем бум. л. 12,50- Усл. печ. л. 25,0. Усл. кр.-отт. 25,0. Уч.-изд. л. 24,77. Изд. № 1/3961. Тираж 4500 экз. Зак. 69. Цена 3 р. 90 к- ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР», 129820, ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижский пер., 2. Ленинградская типография № 6 ордена Трудового Красного Знамени Ленинград- ского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграф- прома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 193144. г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10. © Marcel Dekker, Inc., 1981 © перевод на русский язык, «Мир», 1985
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ Значительные достижения последних лет в разработке общей теории относительности (достаточно упомянуть исследования причинной структуры пространства-времени, изучение сингуляр- ностей и черных дыр) привели к возрождению интереса к гло- бальной лоренцевой геометрии. Естественным путем удовлетворе- ния этого интереса следует признать предпринятую авторами пред- лагаемой книги попытку систематического изложения лоренцевой геометрии в целом. Идею построения этой книги авторам подсказал современный подход к изложению римановой геометрии. Изучение геометрии лоренцевых многообразий основывается на трех основных по- нятиях: полноте (метрической и геодезической), лоренцевой фун- кции расстояния и теории Морса для непространственноподоб- ных геодезических. При этом авторы постоянно сравнивают обсуждаемые результаты и разрабатываемую ими технику дока- зательств в лоренцевой геометрии с соответствующими результа- тами и методами римановой геометрии. Свойства лоренцевых аналогов фактов римановой геометрии часто оказываются неожиданными и удивительно разнообразными. Укажем, например, наличие нескольких неэквивалентных типов полноты, обратное неравенство треугольника, неограниченность лоренцева расстояния и др., а из более фундаментальных отли- чий — существование причинной структуры лоренцевых много- образий, идеальных границ и сингулярностей. Многие отличия возникают из-за отсутствия достаточно сильного аналога теоремы Хопфа—Ринова. Авторы постоянно стремятся объяснить, чем они руководство- вались при выборе того или иного подхода к изложению рассма- триваемых вопросов и подборе доказательств. Поэтому, помимо общего введения к книге, каждая глава и даже каждый раздел главы содержит обстоятельную вводную часть. Следует подчерк- нуть близость этой книги к переведенным у нас монографиям Громола Д., Клингенберга В. и Мейера В. «Риманова геометрия в целом» (М.: Мир, 1971) и Хокинга С. и Эллиса Дж. «Крупно- масштабная структура пространства-времени» (М.: Мир, 1977).
6 Предисловие к русскому изданию В предлагаемой вниманию читателя книге излагаются недав- ние научные результаты, многие из которых получены при учас- тии авторов. Этим, по-видимому, объясняется своеобразный стиль книги — эмоциональный и порой несколько вольный (особенно во вводных частях); переводчик стремился сохранить этот стиль. И хотя эта книга не является учебником, воспроизводимые в ней доказательства изложены достаточно четко и подробно. При переводе были устранены замеченные в оригинале мелкие неточности и опечатки; при этом учтены и материалы, прислан- ные авторами для русского издания. Переводчик считает своим приятным долгом поблагодарить Дж. К. Бима и П. Э. Эрлиха за сотрудничество при подготовке этого издания. Книги, на которые особенно часто ссылаются авторы, в основ- ном переведены на русский язык и изданы, что было учтено в на- стоящем издании: соответствующие ссылки даны на русские переводы. Хочется надеяться, что читатели, желающие ознакомиться с современным состоянием лоренцевой геометрии в целом, найдут в этой книге много интересного и полезного. 22 января 1985 г. •Ё. В. Шикан
ПРЕДИСЛОВИЕ Это книга о математической теории, которая используется в общей теории относительности — лоренцевой геометрии, рас- сматриваемой с точки зрения глобальной дифференциальной гео- метрии. Ее цель — перекинуть мостик между современной диффе- ренциальной геометрией и математической физикой общей теории относительности, дав инвариантное изложение глобальной ло- ренцевой геометрии. Растущую важность такого подхода в физике можно наглядно проиллюстрировать на примере недавних теорем Хокинга—Пенроуза, изложенных в книге Хокинга и Эллиса (1977). Лоренцева функция расстояния используется в нашей книге как универсальное средство. Кроме того, мы постоянно сопостав- ляем и противопоставляем результаты и методы лоренцевой гео- метрии с результатами и методами римановой геометрии, с тем чтобы подготовить читателя к восприятию основных отличий между этими двумя геометриями. Эта книга написана специально для математиков, знакомых с основами римановой геометрии и желающих изучить лоренцеву геометрию. В соответствии с этим в книге используются бозкаче- ния и методы современной дифференциальной геометрои. Для читателей, менее знакомых с этими обозначениями, мы вкилючил добавление А, в котором приводятся выражения для используеи мых символов в локальных координатах. Основным требованием к читателям является практическое владение основами общей топологии и дифференциальной геоме- трии. Таким образом, книга окажется доступной студентам стар- ших курсов, специализирующимся в математике, а также в мате- матической физике. При работе над этой книгой обоим авторам оказалась очень полезной возможность изложить часть ее в весеннем семестре 1978 г. в лекциях для студентов Университета Миссури (Колум- бия). Второй из авторов в летнем семестре 1978 г. прочитал также цикл лекций по обсуждаемым здесь темам на семинаре Эрнста Руха по дифференциальной геометрии в Боннском университете и хотел бы поблагодарить профессора Руха за предоставленную
8 Предисловие ему эту возможность. Мы благодарны К- Альбрандту, Д. Карл- сону и М. Якобсу за несколько полезных бесед, касающихся ва- риационного исчисления и некоторых фактов из разд. 2.4. Мы хотели бы поблагодарить также М. Энгмана, С. Харриса, К- Но- мидзу, Т. Пауэлла, Д. Рецлофф и X. Вуза полезные замечания по первоначальному варианту настоящей монографии. Мы призна- тельны С. Харрису за написание добавления Г к этой монографии, а также Й.-Х. Эхенбургу за то, что он обратил наше внимание на дипломную работу Бёлтса (1977). Каждому, кто читал превосход- ные книги Громола, Клингенберга и Мейера (1971) по римановой - геометрии или Хокинга и Эллиса (1977) по общей теории относи- тельности, должно быть ясно, сколь многим мы обязаны этим ав- • торам. Обоим авторам доставляет удовольствие поблагодарить Совет по научным исследованиям Университета Миссури (Колум- бия), а второму автору — еще и 40-й отдел специальных исследо- ваний в области теоретической математики Математического от- деления Боннского университета. Кроме того, мы хотели бы вы- разить признательность Национальному научному фонду Гранта MCS 77-18723 (02), контролируемого институтом повышения ква- лификации (Принстон, Нью Джерси), за частичную финансовую поддержку во время нашей работы над этой монографией. Наконец, нам приятно выразить благодарность Диане Гоффман, Деанне Уилльямсон и Дебре Рецлофф за терпеливое и неутомимое печа- тание рукописи. , ,, Джон К. Бим ' Пол Э. Эрлих
Г лава 1 ВВЕДЕНИЕ: РИМАНОВЫ МОТИВЫ . В ЛОРЕНЦЕВОЙ ГЕОМЕТРИИ Недавние достижения в теории причинности, теории сингу- лярностей, а также в изучении черных дыр в общей теории отно- сительности, изложенные в фундаментальной книге Хокинга и Эллиса (1977), послужили причиной возрождения интереса к гло- бальной лоренцевой геометрии. Действительно, для разработки теории сингулярностей потребовалось более глубокое понимание глобальной лоренцевой геометрии. Например, оказалось необхо- димым знать, что причинно связанные точки в глобально гипербо- лических подмножествах пространственно-временных многообра- зий можно соединить непространственноподобным геодезическим сегментом, максимизирующим лоренцеву длину дуги в классе всех непространственноподобных кривых, соединяющих две задан- ные точки. Добавим еще, что значительная работа, которая была проделана в 70-х годах по асимптотическому расслаиванию пло- ских лоренцевых многообразий семействами максимальных ги- перповерхностей, мотивировалась нуждами общей теории отно- сительности (см. Шоке-Брюа, Фишер и Марсден (1979), где приве- ден (неполный) список ссылок). Все эти результаты естественно наводят на мысль о необходи- мости систематического изучения глобальной лоренцевой геоме- трии. Изложение «современной» римановой геометрии, как это сде- лано в любом из общепризнанных учебников (см. Бишоп и Крит- тенден (1967), Громол, Клингенберг и Мейер (1971), Хелгасон (1964), Хикс (1965)), подсказывает идею, что всестороннюю разра- ботку глобальной лоренцевой геометрии следует вести в трех основных направлениях: геодезическая и метрическая полнота, лоренцева функция расстояния, теория Морса для непростран- ственноподобных геодезических сегментов в произвольном лорен- цевом многообразии. Геодезическая полнота или, точнее, геодезическая неполнота играет решающую роль в изложении теории сингулярностей в об- щей теории относительности, и в этих рамках она была тщательно исследована. В то же время лоренцева функция расстояния, хотя она и использовалась при исследовании сингулярностей (см. Хо- кинг (1967), Хокинг и Эллис (1$77), Типлер (1977а), Бим и
10 Гл. 1. Введение Эрлих (1979 а)), изучена не.столь хорошо. Хокингом и Эллисом (1977, с. 239—241) кратко описаны свойства лоренцевой функции расстояния, необходимые в общей теории относительности. Неко- торые результаты, связывающие лоренцево расстояние с причинностью и глобальным поведением непространствен- ноподобных геодезических, получены также Бимом и Эрлихом (1979 б). Уленбек (1975), Эверсон и Толбот (1976) и Вудхуаз (1976) изучали теорию Морса для глобально гиперболических простран- ственно-временных многообразий; нами (см. Бим и Эрлих (1979 в, г)) опубликовано схематическое изложение теории Морса для непространственноподобных геодезических в произвольных про- странственно-временных многообразиях. Однако сколь-либо пол- ной разработки этой теории для произвольного пространства-вре- мени ранее не публиковалось. Цель настоящей монографии состоит в следующем. Сначала будут рассмотрены известные результаты по геодезической и ме- трической полноте. Затем мы подробно изложим свойства лорен- цевой функции расстояния и теорию Морса для непространствен- ноподобных геодезических в произвольных пространственно-вре- менных многообразиях. В заключение мы покажем, как эти по- нятия можно прилагать к глобальной лоренцевой геометрии и теории сингулярностей в общей теории относительности. Лоренцева функция расстояния имеет много общего с римано- вой функцией расстояния, но есть и много различий. Так как ло- ренцева функция расстояния не так хорошо известна, мы начнем с того, что напомним основные свойства римановой функции рас- стояния, а затем сопоставим и противопоставим их соответствую- щим результатам для лоренцевой функции расстояния. Всюду до конца введения мы будем придерживаться следую- щих обозначений: риманово многообразие будем обозначать через (М, go), а лоренцево — через (Л4, g). Итак, N — гладкое паракомпактное многообразие, наделен- ное в каждом касательном пространстве TpN положительно опре- деленным скалярным произведением g0|p: TPN X TPN ->IR. Кроме того, если X и К — произвольные гладкие векторные поля на N, то функция N -+ R, задаваемая по правилу р i—* g0 (X (р), Y (р)), должна быть гладкой. Тогда риманова структура g0: TN X TN -э-R определяет риманову функцию расстояния d0: N X Х-*[0, оо) следующим образом. Пусть q — множество кусочно-гладких кривых в N из р в q. Для заданной с £ Qp, q, с: [0, 1 ] -> N, су- ществует конечное разбиение 0 = Т < t2 <Z... <Z tk = 1, такое, что c] [Д, /z+1] является гладкой кривой для каждого i. Рима-
Римановы мотивы в лоренцевой геометрии 11 нова длина дуги кривой с относительно метрики g0 определяется по формуле L» (с) = S J (с' (0, с (/)) dt. i=i tt Риманово расстояние d0 (р, q) между точками р и q задается соот- ношением . do (Р> о) = inf \L0 (с): с Q йр> S& 0. Для любой римановой метрики g0 на N функция d0: N X N -> [0, ос) обладает следующими свойствами: (1) d0 (р, о) = d0 (q, р) для всех р, q £ N; (2) d0 (р, о) с d0 (р, г) + d0 (г, q) для всех р, q, г £ N; (3) d0 (р, q) = 0 «=> р = q. Более удивительным является следующее свойство: (4) функция dn: NxN [0, оо) непрерывна и семейство ме- трических шаров В (р, е) = \q £ /V: d0 (р, q) < е} для любых р f /V и £ >0 образует базис исходной топо- логии многообразия. Таким образом, метрическая топология и исходная топология многообразия совпадают. Более того, согласно результату Уайт- хеда (1932), для любой данной точки р £ N существует R >0, такое, что для любого е, подчиненного условию 0< е< /?, ме- трический шар В (р, е) является геодезически выпуклым. Тем самым для любого е, 0 <£ е <£ R, множество В (р, е) диффео- морфно n-диску, п = dim N, а множество {q £ N: d0 (р, q) = е} диффеоморфно сфере X"-1. Выбрасывая из R2 начало координат, вычислим расстояние между точками р = (—1, 0) и q = (1, 0) (R2 наделена обычной евклидовой метрикой). Имеем d0 (р, q) = 2, однако в Qp, q нельзя найти кривой с, для которой выполнялось бы равенство Lo (с) = = d0 (р, q). Тем самым гладкой геодезической, соединяющей точки р и о, в этом пространстве нет. Поэтому естественно возникают следующие вопросы. Для дан- ного многообразия N найти условия на риманову метрику g0, та- кие, чтобы: (1) Все геодезические в N можно было продолжить так, чтобы они были определены для всех t из R. (2) Пара (N, d0) была бы полным метрическим пространством в смысле сходимости всех последовательностей Коши. (3) Для любых двух заданных точек р, q £ N существовал бы гладкий геодезический сегмент с £ QP1 Q, для которого Lo (с) = = do (Р, q)-
12 /л. 1. Введение Геодезический сегмент, реализующий расстояние, как указано в (3), называется минимальным геодезическим сегментом. Слово минимальный используется здесь вследствие того, что из опреде- ления риманова расстояния вытекает неравенство Lo (у) d0 (р, q), справедливое для всех у £ q- Более общо, можно определить произвольную кусочно-гладкую кривую у С q как мини- мальную, если £0 (у) = d0 (р, q). Применяя к функционалу длины дуги методы вариационного исчисления, можно показать, что если у С Пр, q минимальна, то ее можно перепараметризовать в глад- кий геодезический сегмент. Вопрос об отыскании критерия того, чтобы метрика g0 допу- скала выполнение требований (1), (2), (3), был решен Хопфом и Риновом в их знаменитой работе (1931). В современной термино- логии теорема Хопфа—Ринова утверждает следующее. Теорема Хопфа-Ринова* Для любого риманова многообразия (N, g0) следующие условия равносильны: (А) Метрическая полнота: (N, d0) — полное метрическое про- странство. (Б) Геодезическая полнота, для любого вектора и £ TN геоде- зическая с (/) на N, у которой с (0) — v, определена для всех поло- жительных и отрицательных вещественных чисел t £ R. (В) Для каждой точки р £ N экспоненциальное отображение ехрр определено на всем касательном пространстве TpN к N в р. (Г) Конечная компактность, каждое подмножество К многооб- разия N, являющееся ^-ограниченным (т. е. sup {d0 (р, р): р, q £ К} <С °°), имеет компактное замыкание. Кроме того, если хотя бы одно из условий (А)—(Г) выполнено, то (Д) Любые две точки р, q, £ N можно соединить гладким геоде- зическим сегментом с из р в q, для которого Lo (с) = d0 (р, q). Риманово многообразие (N, g0) называется полным при усло- вии, что хотя бы одно (а следовательно, все) из требований (А)— (Г) выполнено. Следует подчеркнуть, что теорема Хопфа—Ринова гарантирует эквивалентность метрической и геодезической пол- ноты, а также и то, что все римановы метрики на компактном глад- ком многообразии полны. К сожалению, ни одно из этих утверж- дений не имеет силы для произвольных лоренцевых много- образий. Оставшийся вопрос для некомпактных, но паракомпактных многообразий — существование полных римановых метрик — был решен Номидзу и Одзеки (1961). Они доказали, что для любой заданной римановой метрики g0 на N существует полная риманова метрика на N, глобально конформная g0. А так как любое пара- компактное связное гладкое многообразие N допускает риманову метрику (при помощи разбиения единицы), то N допускает также и полную риманову метрику.
Римановы мотивы в лоренцевой геометрий 13 Обратимся теперь к лоренцеву многообразию (М, g). Лорен- цева метрика .g-для- гладкого, пардкомпактного многообразия М— это задание на каждом касательном пространстве ТРМ не- вырожденной билинейной формы: g |р: ТРМ X ТрМ -> R с диа- гональным видом (—, +, +). Хорошо известно, что если М компактно и его эйлерова характеристика % (А4) У= О, то М не допускает никакой лоренцевой метрики. С другой стороны, любое некомпактное многообразие лоренцеву метрику допускаст.Терок (1968а) и Марате (1972) показали также, что если гладкое хаус- дорфово многообразие допускает лоренцеву метрику, то оно пара- компактно. Ненулевые касательные векторы классифицируются как времениподобные, пространственнэподобные, непространстеенно- подобные или изотропные соответственно тому, что g (с, о) < О, >0, <0 или = 0. (Некоторые авторы используют для лоренцевой метрики соглашение (+,—, ..., —), и поэтому у них все неравен- ства приведенного определения заменяются на противоположные.) Лоренцево многообразие (M, g) называется ориентируемым во ' времени,'если на М существует непрерывное, нигде не обращаю- щееся в нуль времениподобное векторное поле X. Это векторное "поле используется для разбиения в каждой точке множества не- пространственноподобных векторов на два класса — класс век- торов, направленных в будущее, и класс векторов, направленных в прошлое. Пространством-временем называется лоренцево мно- гообразие (/И, g) вместе с выбранной на нем ориентацией во вре- мени. Ниже мы, как правило, будем иметь дело именно с такими пространственно-временными многообразиями. Чтобы определить лоренцеву функцию расстояния и обсудить ее свойства, нам необходимо ввести некоторые понятия из элемен- тарной теории причинности. Если на М существует направлен- ная в будущее кусочно-гладкая времениподобная кривая, идущая из точки р в точку q, то обычно пишут р < q, если же р = q или на многообразии М существует направленная в будущее кусочно- гладкая непространственноподобная кривая из р в q, то пишут р с q. Хронологическое прошлое и хронологическое будущее точки р задаются следующими соотношениями Г (р) = \q R М: q < р\ и Л (р) = \q б М: р q\, а причинное прошлое и причинное будущее точки р имеют вид (р) = \q R М'. q р\ и J+ (р) = = {q £ М: р с q\ соответственно. Множества 7“ (р) и /+ (р) в любом пространстве-времени всегда открыты, а множества J (р) и J+ (р) в общем случае ни открыты, ни замкнуты (рис. 1.1). Причинная структура пространства-времени (/И, g) может быть определена как набор множеств прошлого и множеств буду- щего во всех точках многообразия М вместе с их свойствами. Можно показать, что две сильно причинные лоренцевы метрики gi и g2 на М определяют одни и те же множества прошлого и бу-
14 Гл. 1. Введение дущего во всех точках М в том и только том случае, когда эти метрики глобально конформны (т. е. gj = Qg2 для некоторой гладкой функции Q: М ->(0, оо)). Обозначим через С (М, g) множество лоренцевых метрик, глобально конформных g. Тогда из сказанного выше вытекает, что свойства, соответственно опре- деленные через множества прошлого и будущего, либо выпол- няются одновременно для всех метрик из С (М, g), либо не вы- полняются ни для одной из метрик множества С (М, g). Таким образом, все основные свойства элементарной теории причинности зависят только от конформного класса С (Л4, g), но не от выбора конкретной метрики из него. По-видимому, двумя самыми простыми свойствами, которыми надо снабдить конформную структуру С (М, g), являются следую- щие: (Л4, g) является либо хронологическим, либо причинным. Пространство-время (М, g) называется хронологическим, если р 1+ (р) для всех р £ М. Это означает, что (М, g) не содержит замкнутых времениподобных кривых. Пространство-время (M, g) называется причинным, если в нем нельзя указать пары различ- ных точек р, q £ М, связанных соотношением р с q < р. Это Рис. 1.1. Хронологическое (соответственно причинное) будущее заданной точки состоит из всех точек, которые можно достичь из этой точки направленными в будущее времениподобными кривыми (соответственно непространственноподоб- ными). В данном примере причинное будущее J+ (г) точки г является замыка- нием хронологического будущего 1+ (г) этой точки. С другой стороны, множество .Г (q) не является замыканием /+ (q). В частности, точка w лежит в замыкании J+ (q), но не принадлежит J+ (q).
Римановы мотивы в лоренцевой геометрии 15 равносильно требованию, что (Л4, g) не содержит замкнутых не- пространственноподобных кривых. Уже на этой стадии проявляется основное различие между лоренцевой и римановой геометриями. Из физических соображе- ний пространственно-временные многообразия общей теории от- носительности обычно предполагаются хронологическими. Однако легко показать, что если М компактно, то (Л4, g) содержит замкну- тую времениподобную кривую. Поэтому пространственно-вре- менные многообразия, обычно рассматриваемые в общей теории относительности, предполагаются некомпактными. В общей теории относительности каждая точка лоренцева многообразия соответствует событию. Таким образом, существо- вание замкнутой времениподобной кривой порождает возмож- ность того, что, пересекая некоторый путь, можно встретить са- мого себя в более юном возрасте. Более общо, замкнутые непро- странственноподобные кривые порождают парадоксы, включаю- щие причинность, и поэтому говорят о «нарушении причинности». Даже если в пространстве-времени нет замкнутых непространст- венноподобных кривых, оно может содержать точку р, для кото- рой существуют направленные в будущее непространственнопо- добные кривые, покидающие произвольно малую окрестность этой точки р и затем возвращающиеся. Такое поведение непро- странственноподобных кривых называется нарушением сильной причинности в точке р. Пространственно-временные многообразия, в которых таких нарушений нет, называются сильно причинными. Сильно причинные пространственно-временные многообразия об- разуют важный подкласс причинных пространственно-временных многообразий. Для этого класса пространственно-временных мно- гообразий топология Александрова с базисом\1+(р) П С Л1) для М и исходная топология многообразия связаны следующим образом (см. Кронхеймер и Пенроуз (1967), Пенроуз (1972)): Теорема. Следующие требования равносильны: (а) многообразие (М, g) является сильно причинным', (б) топология Александрова, индуцированная на многообразии М, совпадает с исходной топологией многообразия; (в) топология Александрова хаусдорфова. Наконец, мы готовы к тому, чтобы определить ЛРДСнцеву функцию расстояния d = d (g): М X М ->• [0, оо ] произвольного пространства-времени. Если с: К), I I > АТ—кусочно-гладкая непространственноподобная кривая, дифференцируемая всюду, кроме точек 0 = А < t2 th = 1, то длина L (с) = Lg (с) кривой с задается следующей формулой:
16 Гл. t. Введение Рис. 1.2. Множества вида /+ (р) f| (q), грр р, q £ М произвольны, образуют базис топологии Александрова. Эта топология всегда является по меньшей мере столь же грубой, что и исходная топология на М. Топология Александрова совпа- дает с исходной топологией тогда и только тогда, когда (Л1, g) сильно причинно. Если р q, то существуют времениподобные кривые из р в q (очень близкие к кусочно гладким изотропным кривым), имеющие произвольно малую длину. Таким образом, точная нижняя грань лоренцевых длин дуг всевозможных кусочно гладких кривых, соединяющих две произвольные, хронологически связанные точки р, q (р < q), равна нулю. С другой стороны, если р < q и р, q лежат в геодезически выпуклой окрестности U, то направленный в будущее времениподобный геодезический сегмент в U из р в q имеет наибольшую лоренцеву длину дуги среди всех непростран- ственноподобных кривых в U, идущих из р в q. Поэтому для d (р. q) естественным является следующее определение: зафикси- ровав р £ М, полагаем d (р, q) = 0, если q ,Г (р); если же q £ J+ (р), то в качестве d (р, q) берем точную верхнюю грань лоренцевой длины дуги в классе всех непространственноподоб- ных кривых из р в q. Поэтому если q £ J+ (р) и у — произвольная направленная в будущее непространственноподобная кривая из р в q, то L (у) с d (р, q). Следовательно, в отличие от римановой функции расстояния лоренцева функция расстояния априори может принимать бесконечные значения. В самом деле, так назы- ваемое полностью искаженное пространство-время можно охарак- теризовать при помощи его лоренцевой функции расстояния сле- дующим образом: d (р, q) = со для всех р, q £ М. Точно так же, если (M, g) не является хронологическим и р с I+ (р), ТО d (р, р) = оо. Пространства Райсснера—-Нордстрома, представляющие собой физически важный пример точного решения уравнений Эйнштейна в общей теории относительности, также содержат
Римановы мотивы в лоренцевой геометрии 17 Рис. 1.3. Если точка г находится в причинном будущем точки р, а точка q на- ходится в причинном будущем точки г, то функция расстояния удовлетворяет обратному неравенству треугольника d (р, q) d (р, г) + d (г, д). Обратное не- равенство треугольника для точки г', которая не является причинно располо- женной межд}' р и q, в общем случае не выполняется. пары хронологически связанных различных точек р q, для ко- торых d (р, q) = со. По определению лоренцева расстояния d (р, q) = 0, если q £ М \ J+ (р). Мы даже видели, что возможно d (р, р) = со. Поэтому для произвольных лоренцевых многообразий нет аналога свойства (3) римановой функции расстояния. К тому же лоренцева функция расстояния, как следует из ее определения, несимме- трична. В частности, для любого пространства-времени можно показать, что если О < d (р, q) < °°, то d (q, р) = 0. Вместе с тем лоренцева функция расстояния обладает полезным аналогом свойства (2) римановой функции расстояния: d (р, q) d (р, г) + + d (г, q) для всех р, q, г С М, связанных условием р < г < q. Обращение знака неравенства не является неожиданным вследст- вие того, что непространственноподобные геодезические в лорен- цевом многообразии максимизируют, а не минимизируют длину дуги. В силу того, что d (р, q) >0 в том и только том случае, когда q £ 1+ (р), и d (q, р) >0 в том и только том случае, когда q С £ / (р), функция расстояния определяет хронологию многооб- разия (А4, g). Сдругой стороны при конформном изменении метрики изменяется расстояние, но не хронология, так что хронология не определяет функцию расстояния. Ясно также, что функция рас- стояния не определяет множеств J+\ (р) или J~ (р) вследствие того, что d (р, q) = 0 не только для q ( fJ+ (р)\/+ (р), но также и для q 6 А4\Л (р). Свойством (4) римановой фудащщ^а££1РЯВИЯ_^ДЛ^Д8-Ре непрерывность для любой риманрвой метрики^.Ддя пространст- » » *.’= w V - ... - I
18 Гл. J. Введение венно-временных многообразий, напротив, лоренцева функция расстояния может не быть даже полунепрерывной сверху. В са- мом деле, из непрерывности d: Л4 X А4 [0, °о ] вытекает сле- дующее свойство причинной структуры многообразия (Л4, g) (см. теорему 3.24). Если (М, g) является различающим простран- ством-временем и функция d непрерывна, то (.44, g) причинно непрерывно (см. гл. 2, где приведены соответствующие определе- ния). Следовательно, для произвольных пространственно-вре- менных многообразий необходимо допускать отсутствие непре- рывности и конечности лоренцевой функции расстояния. Тем не менее лоренцева функция расстояния в случае, если она конечна, является полунепрерывной снизу. Это может быть связано с полу- непрерывностью сверху в С°-топологии лоренцева функционала длины дуги сильно причинных пространств при построении непро- странственноподобных геодезических реализующих расстояние, в некоторых классах пространственно-временных многообразий (см. разд. 7.1 и 7.2). Учитывая все эти замечания, естественно задаться вопросом: можно ли найти класс пространственно-временных многообразий, для которых лоренцева функция расстояния принимает только конечные значения и/или непрерывна? Одним из таких классов являются глобально гиперболические пространственно-временные многообразия. Пространство-время (Д4, g) называется здесь гло- бально гиперболическим, если оно сильно причинно и удовлетво- ряет следующему условию: множества вида J+ (р) J" (q) ком- пактны для любых р, q £ А4. При доказательстве теорем о сингу- лярностях в общей теории относительности информация о том, что (А4, g) глобально гиперболично и, значит, лоренцева функция расстояния конечнозначна и непрерывна, оказывается чрезвы- чайно полезной. Любопытно отметить, что конечность функции расстояния в большей степени, чем ее непрерывность, характери- зует глобально гиперболические пространственно-временные многообразия в следующем смысле (см. теорему 3.30). Будем говорить, что пространство-время (/И, g) удовлетворяет условию конечности расстояния, если d (g) (р, q) <. ос для любых р, q (: б: М. Можно показать, что сильно причинное лоренцево много- образие (М, g) глобально гиперболично тогда и только тогда, когда (М, g') удовлетворяет условию конечности расстояния для всех g' 6 С (M, g). На основе определения минимальной кривой в римановой гео- метрии дадим соответствующее определение для пространственно- временных многообразий. Определение. Направленная в будущее непростргнственно- подобная кривая у из р в q называется максимальной, если L (у) = • d (р, 7). .
Романовы мотивы в лоренцевой геометрии 19 Можно показать (см. теорему 3.13) в точности так же, как для минимальных кривых в римановых пространствах, что если у яв- ляется максимальной кривой из р в q, то у можно перепараметри- зовать в непространственноподобный геодезический сегмент. Этот результат можно использовать для построения геодезических в сильно причинных пространственно-временных многообразиях как предельных кривых подходящих последовательностей «почти максимальных» непространственноподобных кривых (см. разд. 7.1 и 7.2). Ввиду свойства (Д) теоремы Хопфа—Ринова для римановых многообразий вполне разумно искать класс пространственно-вре- менных многообразий, удовлетворяющих следующему свойству: если р < q, то существует максимальный геодезический сегмент из р в q. Используя компактность J+ (р) П J~ (q), можно показать, что глобально гиперболические пространства всегда содержат мак- симальные геодезические, соединяющие две любые причинно свя- занные точки. Наконец, мы подошли к рассмотрению того, что можно сказать о лоренцевых аналогах остальных утверждений теоремы Хопфа— Ринова. Здесь, однако, каждая мыслимая ситуация оказывается невозможной. Таким образом, множество трудностей в лоренце- вой геометрии (с точки зрения глобальной римановой геометрии) или разнообразие ее ситуаций (с точки зрения теории сингуляр- ностей) проистекает из-за отсутствия достаточно сильного аналога теоремы Хопфа—Ринова. Приведем теперь основное определение, которое интересно сопоставить со свойством (Б) теоремы Хопфа—Ринова. Определение» Пространство-время (М, g) называется времени- подобно (соответственно изотропно, пространственноподобно, непространственноподобн^) полным, если все времениподобные (соответственно изотропные, пространственноподобные, непро- странственноподобные) геодезические можно определить для лю- бых значений аффинного параметра t (— оо < t < + оо). Таким образом, пространство-время, которое не является не- пространственноподобно полным, содержит времениподобную или изотропную геодезическую, которую нельзя определить для всех значений аффинного параметра. Такие пространственно- временные многообразия в общей теории относительности назы- вают сингулярными. Важно отметить прежде всего, что из наличия глобальной ги- перболичности не следует ни одна из этих форм геодезической полноты. В этом можно убедиться следующим образом: зафикси- руем в пространстве Минковского две точки р и q, связанные отно- шением р < q, и рассмотрим М = /+ (р) Г| Г (р) вместе с лорен- цевой метрикой, которую оно получает как открытое подмноже-
20 Гл. 1. Введение ство пространства Минковского. Это пространство-время М яв- ляется глобально гиперболическим. Однако из того, что геодези- ческие в М — это в точности ограничения геодезических простран- ства Минковского, вытекает, что каждая геодезическая в М не- полна! Когда-то полагали, что времениподобная полнота может просто повлечь за собой изотропную полноту и т. п. Однако Кундт, Герок и Бим предложили серии примеров глобально гиперболи- ческих пространственно-временных многообразий, для которых времениподобная геодезическая полнота, изотропная геодезиче- ская полнота и пространственноподобная геодезическая полнота логически не эквивалентны. Таким образом, существуют глобаль- но гиперболические пространства, которые являются простран- ственноподобно и времениподобно геодезически полными, однако изотропно неполны! Метрическая и геодезическая полнота ((А) <=> (Б) в теореме Хопфа—Ринова) для произвольных лоренцевых многообразий никак не связаны. Существуют также лоренцевы метрики, кото- рые времениподобно геодезически полны, но содержат точки р и q, р q, такие, что нет ни одной времениподобной геодезической, идущей из р в q (см. рис. 5.1). Но если смотреть на вещи оптимистически, то можно заметить для глобально гиперболических пространственно-временных мно- гообразий существование определенной связи со свойствами (А) и (Г) теоремы Хопфа—Ринова. Вследствие того что d (/?, q) = О при q J+ (р), сходимость произвольных псследсвательностей в (А4, g) относительно лоренцевой функции расстояния не имеет смысла. В то же время времениподобная полнота Коши может быть определена (см. разд. 5.3). Для глобально гиперболических пространств можно показать, что времениподобная полнота Коши и конечная компактность равносильны. Добавим, что получены некоторые результаты, аналогичные упомянутой выше теореме Номидзу—Одзеки для римановых мно- гообразий. Например, для любого заданного сильно причинного пространства-времени (М, g) существует конформный множитель Q: 7И ->(0, со), такой, что пространство-время (Д4, fig) времени- подобно и изотропно геодезически полно (см. теорему 5.5). Пока неизвестно, однако, можно ли усилить этот результат, включив сюда и пространственноподобную геодезическую полноту. Теперь должно быть понятным, что наряду со сходством между лоренцевой и римановой функциями расстояния, особенно для глобально гиперболических пространственно-временных много- образий, существуют также и поразительные различия. Однако, несмотря на эти различия, лоренцева функция расстояния имеет много полезных применений, подобных тем, которыми обладает риманова функция расстояния.
Римановы мотивы в лоренцевой геометрии 21 В гл. 7 лоренцева функция расстояния используется при по- строении максимальных непространственноподобных геодезиче- ских. Эти максимальные геодезические играют ключевую роль в доказательстве теорем о сингулярностях (см. гл. 11). В гл. 8 ло- ренцева функция расстояния применяется для определения и изучения лоренцева множества раздела. В гл. 9 развивается теория Морса об индексе для временипо- добных и для изотропных геодезических. Ряд глобальных результатов для лоренцевых многообразий с использованием теории Морса и лоренцевой функции расстояния получен в гл. 10.
Глава 2 ЛОРЕНЦЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ И ПРИЧИННОСТЬ В разд. 2.1 и 2.2 дается краткий обзор элементарной теории причинности, являющейся основой не только для этой моногра- фии, но и для общей теории относительности вообще. Далее, в разд. 2.3 исследуется важная связь между топологией предель- ной кривой и С°-топологией для последовательностей непростран- ственноподобных кривых в сильно причинных пространствах. Именно если у: [а, /?] М — направленная в будущее непро- странственноподобная кривая, предельная для последователь- ности направленных в будущее непространственноподобных кривых, то существует подпоследовательность, сходящаяся к у в С°-топологии. Этот результат полезен при построении макси- мальных геодезических в сильно причинных пространствах при помощи лоренцевой функции расстояния (см. гл. 7 и гл. 11, разд. 4). В разд. 2.4 мы изучим причинную структуру двумерных ло- ренцевых многообразий. В частности, мы покажем, что если про- странство-время (М, g) гомеоморфно R2, то (Л4, g) устойчиво причинно. В разд. 2.5 приводится краткое изложение теории лоренцевых подмногообразий и описание основных свойств второй фундамен- тальной формы. Эти факты необходимы при рассмотрении теории сингулярностей в гл. II. Важная теорема расщепления Герока (1970) гарантирует воз- можность представления глобально гиперболического простран- ства-времени в виде топологического (хотя и не обязательно ме- трического) произведения R X S, где S — поверхность Коши. Этот результат наводит на мысль о целесообразности изучения пространств, представимых в виде (R X М, —di? ф g), где (Л'1, g) — риманово многообразие. Однако, хотя указанный класс и включает в себя пространство-время Минковского и статическую вселенную Эйнштейна, он не содержит физически важных решений уравнений Эйнштейна — внешнего решения Шварцшильда и решения Робертсона—Уокера. В разд. 2.6 мы изучим более общий класс пространственно- временных многообразий — так называемые искривленные произ- ведения, представляющие собой пространства Mz >'(М2с метри-
2.1. Лоренцевы многообразия 23 ками вида gx ф fg2. Этот класс метрик, изученный для римановых многообразий Бишопом и О’Нейлом (1969), а для псевдоримано- вых многообразий О’Нейлом (1981), включает пространства, допу- скающие представление в виде произведений, пространство-время Шварцшильда, пространство-время Робертсона—Уокера. Ниже- следующее утверждение, которое можно рассматривать как «ме- трическое обращение» теоремы Герока, типично для результатов этого раздела. Пусть лоренцево многообразие представимо в виде произведения (R X Л4, —dt2 ф g), где (Л4, g) — риманово много- образие. Тогда следующие условия эквивалентны: (а) (Л4, g) — полное риманово многообразие. (б) (R X М, —dt2 ф g) глобально гиперболично. (в) (R X М, —dt2 ф g) геодезически полно. 2.1. Лоренцевы многообразия и нормальные выпуклые окрестности Пусть М — гладкое связное паракомпактное хаусдорфово многообразие. Обозначим через л: ТМ-+М касательное рас- слоение многообразия М. Лоренцевой метрикой g на многообра- зии М называется гладкое симметричное тензорное поле типа (О, 2), заданное на М так, что в каждой точке р R М тензор g | р: ТРМ X ТРМ -> R представляет собой невырожденное скалярное произведение с сигнатурой (—, +, ..., +). Другими словами, матрица тензора g в точке р должна иметь ровно одно отрицатель- ное собственное значение, а все другие собственные значения должны быть положительны. Лоренцевым многообразием называется пара (Л4, g), где М — многообразие, a g — лоренцева метрика на нем. Все некомпактные многообразия допускают лоренцевы метрики. В то же время ком- пактное многообразие допускает лоренцеву метрику в том и только том случае, когда его эйлерова характеристика равна нулю (см. Стинрод (1953, с. 250)). Пространство всех лоренцевых ме- тр_11к_ца_ЛГ будем обозначать через ГбТД/ГГ)'. Ненулевой вектор v R ТМ называется времениподобным (соот- ветственно непространственноподобным, изотропным, простран- ственноподобным), если g (v, v) < 0 (соответственно <0, = 0, >0). Непрерывное векторное поле X на ТМ называется времениподоб- ным, если g (X (р), X (р)) 0 для всех точек р £ М. В общем случае лоренцево многообразие не обязательно имеет времени- подобное векторное поле, определенное на всем многообразии. Если же многообразие (М, g) допускает времениподобное вектор- ное поле X: М ->ТМ, то (М, g) называют ориентируемым во времени посредством поляХ. Времениподобное векторное поле X разбивает все непространственноподобные касательные векторы на два непересекающихся класса — класс векторов, направлен-
24 Гл. 2. Лоренцевы многообразия и причинность ных в будущее, и класс векторов, направленных в прошлое. Именно непространственноподобный касательный вектор v £ ТРМ на- зывается направленным в будущее (соответственно в прошлое), если g (X (р), v) < 0 (соответственно g (X (р), п) >0). Лоренцево многообразие называется ориентируемым во времени, если оно допускает ориентацию во времени посредством некоторого вре- мениподобного поля X. В этом случае (/И, g) допускает две раз- личные временные ориентации, определяемые полями X и —X соответственно. Ориентированное во времени лоренцево многообразие тради- ционно называют пространством-временем. Более точно Определение 2.1. Пространством-временем (/И, g) называется связное С°°-гладкое хаусдорфово многообразие размерности не меньшей двух со счетным базисом, лоренцевой метрикой сигна- туры (—, +,..., +) и временной ориентацией. Покажем, как для произвольного лоренцева многообразия (М, g), не являющегося ориентируемым во времени, можно по- строить ориентированное во времени двулистное накрывающее лоренцево многообразие л: (М, g) -> (М, g). Предположим сна- чала, что (М, g) — произвольное лоренцево многообразие. За- фиксируем базовую точку р0 £ М и зададим на ТРвМ временную ориентацию следующим образом. Прежде всего выберем в ТРоМ времениподобный касательный вектор v0. Непространственно- подобный вектор w ТР„М назовем направленным в будущее (соответственно в прошлое), если g (п(), w)<Z 0 (соответственно g (v0, w) > 0). Пусть далее, q— произвольная точка из М. Кусоч- но-гладкие кривые у: [0, 1] ->Л4, соединяющие точки р0 и q, у (0) = р0, у (1) = q, можно разбить на два класса эквивалент- ности по следующему правилу. Пусть у1; у2: [0, 1 ] -> М — ку- сочно-гладкие кривые, подчиненные условиям уг (0) = у2 (0) = = р0 и ул (1) = у2 (1) = q. Обозначим через Ул (соответственно через У2) единственное векторное поле (см. добавление А), парал- лельное вдоль ул (соответственно у2) и такое, что Ул (0) = У 2 (0) = = v0. Будем говорить, что кривые уг и уа эквивалентны, если g (Ул (1), У2 (1)) < 0. Если кривые у л и у2 соединяют точки р0 и q и гомотопны, то они эквивалентны. Обратное не верно: эквивалент- ные кривые не обязательно являются гомотопными. Класс кривых, эквивалентных данной кривой у: [0, 1 ] М, у (0) = р0, будем обозначать через [у]. Рассмотрим множество М всевозможных классов эквивалентности для кусочно-гладких кривых у: [0, 1 ] -> -+М, у (0) = р$, и определим отображение л: М. М при по- мощи соотношения л ([у]) = у (1). Если (TH, g) ориентируемо во времени, то М — М. В противном случае л: М -+М предста- вляет собой двулистное накрытие (см. Маркус (1955, с. 412)).
2.1. Лоренцевы многообразия 25 Допустим, теперь, что лоренцево многообразие (Af, g) не яв- ляется ориентируемым во времени. На множестве М стандартным образом (используя методы теории накрывающих пространств) вводится топология и задается дифференцируемая структура так, что л: М М становится двулистным накрывающим многообра- зием. Лоренцеву метрику g на М определим посредством формулы g = n*g, т. е. g (и, w) = g (л*о, л*и>). Тогда отображение л: (/И, g) -* (М, g) является локальной изометрией. Для того чтобы показать, что многообразие (Л4, g) допускает временную ориентацию, полезно доказать предварительно вспомо- гательную лемму. Зафиксируем на М базовую точку р0 £ л-1(р0). Пусть v0 G Тр0М — единственный времениподобный касатель- ный вектор, удовлетворяющий условию л*о0 = уо- Лемма 2.2. Пусть q £ М — произвольная точка и ух, у2: [О, 1] -> М —две кусочно-гладкие кривые, соединяющие р0 и q: Т1 (°) = ?2 (°) = Ро U Т1 (1) = У2 (1) = q- Если Vj и Т2 — вектор- ные поля, параллельные вдоль ух и у2 соответственно и удовлетво- ряющие условию Vi (0) = К2 (0) = уо, то g (Vi (1), V2 (О) < 0- Доказательство. Положим ух = hoYj и у2 = л»у2. В силу того что л: (М, g) (М, g) — локальная изометрия, векторные поля Vi = (Vi) и V2 — п* (V2) параллельны соответственно вдоль Ух и уа, причем 1Д (0) = V2 (0) = л*п0 = и0. Кроме того, g(Vi (1), V2 (1)) = g (лЛ (1), лЛ (1)) = g (V, (1), V2 (1)). Предположим теперь, что неравенство g (1Д (1), И2 (1)) < 0 неверно. Из того что Vi (1) и V2 (1) — времениподобные каса- тельные векторы, вытекает неравенство g (ТД (1), V2 (0) >0. Тем самым g (1Д (1), V2 (1)) > 0 в точке q = л (</). По определению отношения эквивалентности, заданного на множестве кусочно- гладких кривых, соединяющих точки р0 и q, имеем [уД [у21. С другой стороны, из построения М известно, что ух (1) = [уД и у2 (1) = [уД. Таким образом, У1 (1) =/= у2 (1), что противоречит условию. □ Теперь мы подготовлены к тому, чтобы доказать следующее утверждение. Теорема 2.3. Пусть (М, g) неориентируемо во времени. Тогда построенное выше двулистное накрывающее лоренцево многообразие
26 Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность (М, g) ориентируемо во времени, и, следовательно, является про- странством-временем . Доказательство. Пусть рб и v0 определены, как и выше. Рас- смотрим гладкую кривую о: [0, 1] ->Л4, соединяющую точки р0 и q; точка q £ М произвольна. Обозначим через V единственное векторное поле, параллельное вдоль о и такое, что V (0) = v0. Рассмотрим множество F+ (q) = {времениподобный w (f ТцМ: g (lz (1), w) < 0}. Определение множества F+ (q) в силу леммы 2.2 не зависит от выбора кривой о. Следовательно, отображение q -> -> F+ (q) корректно определяет конус будущего в каждом каса- тельном пространстве Т$М, q £ М. Пусть h — вспомогательная, положительно определенная ри- манова метрика на М. Непрерывное, нигде не равное нулю вре- мениподобное векторное поле X на М можно определить путем выбора в каждом F+ (q) единственного единичного в метрике h вектора X (q), имеющего отрицательное собственное значение метрики g по отношению к метрике h, т. е. можно указать непре- рывную функцию F: М ->•(—оо, 0) и непрерывное временипо- добное поле X на М, удовлетворяющие условиям X (q) € Р* (q), h (X (q), X (q)) = 1, g (X (q), v) = F (q) h (X (q), v) для всех v Q TqM и q G M. □ В доказательстве теоремы 2.3 неявно содержится другое опре- деление того, что лоренцево многообразие (Л4, g) допускает вре- менную ориентацию. Именно (Л1, g) ориентируемо во времени, если для произвольной фиксированной базовой точки р0 г М и - времениподобного касательного вектора v0 £ ТРоМ следующее условие выполняется для всех q С М. Пусть ух, у2: [0, 1 1 -> 7И — две произвольные гладкие кривые, соединяющие р0 и q. Если параллельны вдоль уь причем V,- (0) = v0, i = I, 2, то g (Vj (1), V.2 (О) < 0- Это условие означает, что параллельный перенос конуса будущего, определяемого вектором v0 в точке р0, в любую другую точку q £ М не зависит от выбора пути, идущего из р0 в q. Следовательно, параллельным переносом из точки р0 можно / подходящим образом выбрать времениподобные векторы будущего для каждого касательного пространства. Лоренцево многообразие (М, g) обладает однозначно опреде- ленной аффинной связностью V без кручения, совместимой с ме- / трикой g. Это означает, что / \'ЛУ - \'УХ |Х, У]
2.1. Лоренцевы многообразия 27 х (g (К, Z)) = g (?XY, Z) + g (Y, YXZ) для любых гладких векторных полей X, Y, 7. на М. Эта связность V может быть определена для лоренцевых многообразий таким же способом, как для римановых многообразий определяется связ- ность Леви—Чивита. Описание связности V, тензора кривизны R, кривизны Риччи Ric и скалярной кривизны т метрики g дано в до- бавлении А. Туда же включено их представление в локальных координатах. Гладкая кривая на многообразии (Af, g) называется времени- подобной (соответственно непространственноподобной, изотроп- ной пространственноподобной), если в каждой точке этой кривой ее касательный вектор является времениподобным (соответственно непространственноподобным, изотропным, пространственнопо- добным). Как и в римановом случае, геодезической называется гладкая кривая с: (a, b) М, касательный вектор которой пере- носится вдоль этой кривой параллельно, т. е. с' (f) = О для любого t С («, Ь). Касательное векторное поле с' (t) геодези- ческой с в силу соотношения 4 fe (с' (0. с' (/))) = 2g (ус, wc' (I), с' (0) = о удовлетворяет условию g (с' (t), с (/)) = const для всех t б (fl, Ь). Следовательно, если геодезическая времениподобна (соответст- венно изотропна, пространственноподобна) для некоторого зна- чения своего параметра t, то она является времениподобной (соот- ветственно изотропной, пространственноподобной) для всех зна- чений параметра I. А ффинным параметром t для геодезической с называется лю- бой параметр для с, такой, что равенство Vc-e' (Z) = 0 выпол- няется для всех его значений. Для времениподобных и простран- ственноподобных геодезических аффинный параметр соответствует такой параметризации геодезической, относительно которой гео- дезическая имеет постоянную скорость. Для изотропных геодези- ческих аффинные параметризации имеют теснейшую аналогию с естественной параметризацией неизотропных геодезических длиной дуги. Экспоненциальное отображение ехрр: ТРМ -> М определяется для лоренцевых многообразий в точности так же, как и для ри- мановых многообразий. Пусть v £ ТРМ. Обозначим через cv (t) однозначно’определенную геодезическую на NI, у которой cv (0) = = р, c'v (0) = V. Тогда экспоненциальное отображение ехр;) (о) вектора v задается формулой expp(v) = с^, (1) (при условии чтосо (1) определена).
28 Гл. 2. Лоренцееы многообразия и причинность Пусть ..., vn — произвольный базис ТРМ. Для достаточно малых (хь хп) £ R" отображение ад + • • + xnvn -> ехрр (xjVi + . . . 4- xnv„) является диффеоморфизмом окрестности начальной точки из ТРМ на окрестность U (р) точки р из М. Так, введенные координаты (хь хп) точки ехрр (х^! + ...+ xnvn) в U (р) определяют коор- динатную карту на М и называются нормальными координатами в окрестности U (р) базовой точки р. Множество U (р) называют (простой) выпуклой окрестностью точки р, если любые две точки из U (р) можно соединить единственным геодезическим сегментом в (Л4, g), целиком лежащим в U (р). Уайтхед (1932) показал, что у каждой точки произвольного псевдориманова (значит, и лорен- цева) многообразия существует выпуклая окрестность (см. Хикс (1965, с. 133—136)). На самом деле можно даже считать, что для каждой точки q r U (р) существует нормальная координатная карта с базой q, содержащая U (р). Назовем такую окрестность U (р) выпуклой, нормальной окрестностью (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 44)). Доказательство следующего предложения, существенно ис- пользуемого для изучения локального поведения причинности, приведено в книге Хокинга и Эллиса (1977, с. 117—119). Предложение 2.4. Пусть U - выпуклая нормальная окрест- ность точки q. Тогда те точки из U, которых можно достичь из q по времениподобным (соответственно непространственно- подобным) кривым, содержащимся в U, можно представить в виде expQ (у), и r TqM,edeg(v, v) <Z 0 (соответственно g (v, v) < 0). 2.2 Теория причинности пространства-времени В пространстве-времени (/И. g) (нигде не вырождающееся) , непространственноподобное векторное поле вдоль кривой не мо- жет путем непрерывного изменения перейти из поля, направлен- ного в будущее, в поле, направленное в прошлое. Это вытекает из^того, что гладкая времениподобная, изотропная или непро- странственноподобная кривая в (Л4, g) либо всегда направлена в будущее, либо всегда направлена в прошлое. * Мы будем пользоваться следующими общепринятыми обозна- чениями: р q, если существует гладкая направленная в будущее времениподобная кривая, идущая из точки р в точку q, и р < q, если либо р = q, либо существует гладкая направленная в буду- щее непространственноподобная кривая, идущая из р в q. Непрерывная кривая у: (а, Ь) -ж М называется направленной в будущее непространственноподобной кривой, если для любого , t0 £ (а, Ь) существуют 8 >0 и выпуклая нормальная окрестность , U (? (to)) точки у (t0), такие, что у (t0 — е, t0 + е) cr U (у (4)) и ;
2.2. Теория причинности пространства-времени 29 для любых и t2, удовлетворяющих условию t0 — е. <. ti <Z t2 <Z < /0 |-e, найдется гладкая направленная в будущее непростран- ственноподобная кривая в (U (у (4)), gl U (Т (4))), идущая из У Ц1) в У (^)- Выпуклую нормальную окрестность U (у (/«)) в этом определении необходимо взять по следующей причине. Сущест- вуют пространства, у которых р < q для всех (р, q) £ М X М. Однако в этих пространствах любая непрерывная кривая у удов- летворяет одновременно и условию у (/J <С у (t2), и условию У (4) С У (Б) Для всех t2 из области-задания у. Хронологическим будущим 1+ (р) точки р называется множество I+ (р) = \q С М: р < q\, а хронологическим прошлым—множе- ство Г (р) = \q £ AB q р]. Причинное будущее точки р — это J+ (р) = Е М\ р < q\, а причинное прошлое J~ (р) = \q С Л4: Pl- Ясно, что отношения <<; и с транзитивны. Более того, из соот- ношений р X q и q < г вытекает, что р Х г, а пз р q к q X r что р < г (см. Пенроуз (1972, с. 14)). Если существует направлен- ная в будущее времениподобная кривая, идущая из р в q, то су- ществует и окрестность U точки q, такая, что любой точки из U можно достичь направленной в будущее времениподобной кривой. Отсюда вытекает справедливость следующего утверждения. Лемма 2.5. Пусть р - произвольная точка пространства- времени (М. g). Тогда множества 1+ (р) и Г (р) открыты в М. В гл. 1 был приведен пример (рис. 1.1), показывающий, что в общем случае множества J+ (р), J~ (р) ни открыты, ни замкнуты. Может оказаться так, что р Е 1+ (р). В этом случае сущест- вует замкнутая времениподобная кривая, проходящая через р, и пространство-время называют имеющим нарушение причинности. Например, на цилиндре М = S1 X R с лоренцевой метрикой ds2 = —с/02 + dt2 окружности t = const являются замкнутыми времениподобными кривыми. В этом пространстве-времени I+ (р) = А4 для всех р £ М. Именно из-за проблем, тесно свя- занных с примерами нарушения причинности, в последние годы в общей теории относительности было дано большое число различ- ных формулировок условий причинности. Пространство-время, которое не содержит ни одной замкнутой времениподобной кривой (т. е. р ф Н (р) для всех р Е А1) назы- вают хронологическим. Пространство-время с незамкнутыми не- пространственноподобными кривыми называется причинным. Этому эквивалентно следующее свойство: причинное пространство- время не содержит ни одной пары различных точек р и q, связан- ных соотношением р q < р. Цилиндр М = S1 х R с лоренце- вой метрикой ds2 = dO dt представляет собой пример хронологи- ческого пространства-времени, которое не является причинным. Единственные замкнутые непространственноподобные кривые
30 Гл. 2. Лоренцевы многообразия и причинность в этом примере— это окружности t = const, которые подходящей параметризацией можно превратить в изотропные геодезические. Условие хронологичности является слабейшим из условий при- чинности, которые будут введены. Следующее ниже предложение гарантирует, что никакое компактное пространство-время не мо- жет быть ни причинным, ни хронологическим. Предложение 2.6. Любое компактное пространство-время (Л1, g) содержит замкнутую времениподобную кривую и поэтому не может быть хронологическим. Доказательство. Вследствие того что множества вида /+ (/?) открыты, нетрудно заметить, что семейство \1+ (р)-. р £ М\ обра- зует открытое покрытие М. В силу компактности М из него можно выбрать конечное подпокрытие {/+ (р^, ..., Д (pk)\. Пусть те- перь щ С (Pi (i)) Для некоторого 7(1), 1 < i (1) k. Подоб- ным же образом pt (i) £ 7+ (Pi <2>) Для некоторого I (2), 1 с i(2) < < k. Рассуждая аналогично, получим бесконечную последова- тельность ... Pi (3) < pi (2) < Pi (1) < Pl- Ввиду того что let (m) < с k, существует лишь конечное число различных индек- сов i (т). Тем самым в полученном списке есть повторения. Из транзитивности отношения < вытекает, что pi С 1+ (Рцп>) Для некоторого индекса i(n). Таким образом, (М, g) содержит замкну- тую времениподобную кривую, проходящую через точку Раю- □ Недавно Типлер доказал, что некоторые классы компактных пространств содержат замкнутые времениподобные геодезические, но не содержат других замкнутых времениподобных кривых. Ввиду того что в доказательстве этого факта существенно исполь- зуется лоренцева функция расстояния, рассмотрение результата Типлера откладывается до разд. 3.1 (теорема 3.15). Пространство-время называется различающим, если для лю- бых точек р, q G М либо из равенства /+ (р) = /+ (q), либо из равенства 1~ (р) = Г (q) следует, что р =q. В различающем пространстве-времени разные точки различаются и своим хроно- логическим будущим, и своим хронологическим прошлым. По- этому точки можно выделять и по хронологическому будущему, и по хронологическому прошлому. Различающее пространство-время называется причинно непре- рывным, если множествозначные функции /+ и 1~ внешне непре- рывны (см. Хокинг и Сакс (1974, с. 291)). Ввиду того что /+ и 1~ всегда внутренне непрерывны, причинно непрерывными простран- ствами являются такие различающие пространства, для которых и хронологическое будущее, и хронологическое прошлое точки непрерывно изменяются вместе с точкой. Множествозначная функция 1+ называется здесь внутренне непрерывной в точке р £ G /И, если для каждого компактного множества Д G 1+ (р) су- ществует окрестность U (р) точки р, такая, что Д а /+ (г/) для
2.2. Теория причинности пространства-времени 31 Рис. 2.1. Пространство-время, которое не является причинно непрерывным. Отображение р -+ 1~ (р) не может быть внешне непрерывным в точке q. Ком- пактное множество К содержит- ся в М \ /~ (q), однако каждая окрестность U (q) точки q вме- щает некоторую точку г, такую, что К не содержится в М \ \rlfy. всех q Г U (р). Множествозначная функция /+ называется внешне непрерывной в точке р £ Л1, если для каждого компактного мно- жества Д cz Л1\ /+ (р) существует окрестность U {р) точки р, такая, что Д cz Л4\/+ (д) для всех q £ U (р)- Внутреннюю и внешнюю непрерывность для 1~ можно определить аналогично. На рис. 2.1 приведен пример пространства-времени, для которого множествозначная функция Л не является внешне непрерывной. Понятие причинной непрерывности было введено Хокингом и Сак- сом (1974). Для этих пространств причинная структура может быть продолжена до причинной границы (см. Бьюдик и Сакс. (1974)). Более того, на причинном пополнении причинно непрерывного пространства-времени может быть определена метризуемая топо- логия (см. Бим (1977)). Открытое множество U в пространстве-времени (Л4, g) назы- вается причинно выпуклым, если никакая непространстгеннопо- добная кривая не пересекает U по несвязному множеству. Про- странство-время (М, g) называют сильно причинным в данной точке р С М, если у р есть сколь угодно малые причинно выпук- лые окрестности. Таким образом, точка р обладает такими произ- вольно малыми окрестностями, для которых никакая непростран- ственноподобная кривая, покидающая одну из этих окрестностей, никогда в нее не возвращается. Пространство-время (Л4, g) назы- вается сильно причинным, если оно сильно причинно в каждой точке. Можно показать, что множество точек произвольного про- странства-времени (Л1, g), в которых (М, g) сильно причинно, является открытым подмножеством М (см. Пенроуз (1972, с. 30)). Нетрудно показать, что сильно причинные пространства являются различающими.
32 Гл. 2, Лоренцевы многообразия и причинность Сильно причинные пространства можно охарактеризовать в терминах топологии Александрова для многообразия М. Тополо- гия Александрова на произвольном пространстве-времени (Л1, g) — это топология, которая задается на Л1 путем выбора в качестве базиса топологии совокупности всех множеств вида /+ (р) f| Л Г (q), где р, q £ М (ср. с рис. 1.2). Исходная топология много- образия М является по меньшей мере столь же тонкой, как и то- пология Александрова, ввиду того, что в заданной топологии множество /+ (р) Л (q) по лемме 2.5 всегда открыто. Между исходной топологией многообразия и топологией Александрова имеется следующая связь (см, Пенроуз (1972, с. 34)). Предложение 2.7. Топология Александрова для многообразия (Д4, g) совпадает с исходной топологией многообразия в том и только том случае, когда (М, g) сильно причинно. Доказательство. Допустим сначала, что (Л1, g) сильно при- чинно. Тогда у каждой то4ки р £ М найдется выпуклая нормаль- ная окрестность U (р), такая, что никакая непространственно- подобная кривая не пересекает U (р) более одного раза. Множе- ство U (р) является выпуклой нормальной окрестностью каждой своей точки, и вследствие предложения 2.4 хронологическое буду- щее (соответственно прошлое) любой точки q £ U (р) состоит в (U (р), g | U (р)) из всех точек, которых можно достичь в U геоде- зическими сегментами вида ёхрд (tv), 0 < t с 1, где v — направ- ленный в будущее (соответственно в прошлое) времениподобный вектор в точке q. Это приводит к тому, что топология Александрова на (U (р), g | U (р)) совпадает с исходной топологией многооб- разия на U (р). Используя тот факт, что никакая непространст- венноподобная кривая на (М, g) не пересекает U (р) более одного раза, получаем, что топология Александрова совпадает с исходной топологией многообразия. Предположим теперь, что сильная причинность нарушается в точке р £ М. Тогда существует выпуклая нормальная окрест- ность V (р) точки р, такая, что если W (р) — произвольная ок- рестность точки р, подчиненная условию W (р) cz V (р), то для нее найдется непространствениоподобная кривая, которая начи- нается в W (р), покидает V fp) и затем возвращается в U7 (р). Отсюда вытекает, что все окрестности точки р в топологии Алек- сандрова содержат точки, лежащие вне V (р). Таким образом, то- пология Александрова отличается от исходной топологии много- образия. □ Для изучения нарушений причинности и геодезической не- полноты в общей теории относительности полезно сформулировать понятие непродолжаемости для непространственноподобных кри- вых. Это можно сделать следующим образом. Пусть у: [а, Ь) ->
2.2. Теория причинности пространства-времени 33 Рис. 2.2. Причинное пространство-время (М, g), которое имеет непродолжаемые захваченные непространственноподобные кривые. Пусть а — иррациональное число, а М = R X S1 X S1 == {(/, у, г) g R3: (/, у, г) ~ (t, у, г + 1) и (t, у, г) ~ (t, у 1, z + а)}. Лоренцева метрика задается следующим образом: ds2 = = (ch t — I)2 (dy2 — dt2} — dt dy + dz2. M —кривая на многообразии M. Точка р £ М называется концевой точкой кривой у, соответствующей значению параметра t = b, если lim у (/) = р. t^b~ Если у: la, b) -> М — направленная в будущее (соответственно в прошлое) непространственноподобная кривая с концевой точкой р, соответствующей t = b, то р называется концевой точкой в бу- дущем (соответственно в прошлом) кривой у. Непространственно- подобная кривая называется непродолжаемой в будущее (соответ- ственно в прошлое), если у нее нет концевой точки в будущем (соответственно в прошлом). Соглашение 2.8. Непространственногодобная кривая у: (а, Ь) Л1 называется непродолжаемой, если она непродолжаема ни в прошлое, ни в будущее. Существуют причинные пространства, которые содержат не- продолжаемые непространственноподобные кривые, имеющие ком- пактное замыкание. На рис. 2.2 приведен пример такого простран- ства-времени, построенный Картером (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 217)). Непродолжаемая непространственноподобная кривая, которая имеет компактное замыкание и, следовательно, содер- жится в компактном множестве, называется захваченной этим множеством. Тем самым пример Картера показывает, что в при- чинных пространствах может встречаться явление захвата. Пусть у: [a, b) -> М — направленная в будущее непростран- ственноподобная кривая. Будем говорить, что кривая захвачена в будущем компактным множеством К, если существует t0 < b и 2 Дж. Бим, П. Эрлих
34 Гл. 2. Лоренцееы многообразия и причинность такое, что у (t) Е К для всех t0 < t < b. Кривая у называется частично захваченной в будущем компактным множеством Д', если существует бесконечная последовательность tn f Ь и такая, что у (tn) Е К Для любого п. Если многообразие (Al, g) сильно причинно, а Д — компакт- ное подмножество At, то Д можно покрыть конечным числом вы- пуклых нормальных окрестностей таких, что никакая не- пространственноподобная кривая, покидающая некоторое С/г, никогда в него не возвращается. Из этого вытекает следующее утверждение. Предложение 2.9. Если (Л1, g) сильно причинно, то никакая непродолЗюаемая непространственноподобная кривая не может быть частично захваченной в будущем (или в прошлом) никаким компактным множеством. Рассмотрим теперь другой важный в общей теории относи- тельности класс пространств — устойчиво причинные простран- ства. Для этого, равно как и для дальнейшего использования, полезно определить тонкую Сг-топологию на Lor (Al). Напомним, что через Lor (At) обозначено пространство всех лоренцевых метрик на М. Тонкие Сг-топологии на Lor (М) можно определить при помощи фиксированного счетного покрытия & = = {БД многообразия М координатными окрестностями со сле- дующим свойством: каждое компактное подмножество М пересе- кается лишь с конечным числом множеств Bt. Такое координатное покрытие называется локально конечным. Пусть б: М -> (0, сю) — непрерывная функция. Метрики gv g2£Lor (At) называются б-близкими в Сг-топологии (обозначение: |gt— g2|r <?б), если для каждой точки р Е М все соответствующие компоненты ме- трических тензоров gi и g2 и их производные до порядка г включи- тельно б (р)-близки в точке р (вычисления проводятся в фиксиро- ванных координатах содержащих точку р окрестностей Bt(^i%!). Множества {gx Е Lor (М): |gi — g2|r <56}, где метрика g2E Е Lor (At) и б: At -> (О, оо) — непрерывная функция, произ- вольны, образуют базис тонкой Сг-топологии на Lor (At). Можно показать, что эта топология не зависит от выбора координатного покрытия 9Е Сг-топологиям для г = 0, 1,2 можно дать следующую интер- претацию. Замечание 2.10. (а) Лоренцевы метрики на М, которые близки в тонкой С°-топологии, имеют близкие световые конусы, (б) Ло- ренцевы метрики на At, которые близки в тонкой ^-топологии, имеют близкие системы геодезических (см. разд. 6.2). (в) Лорен- цевы метрики на At, которые близки в тонкой С2-топологии, имеют близкие тензоры кривизны.
2.2. Теория причинности пространства-времени 35 Пространство-время (/И, g) называется устойчиво причин- ным, если существует тонкая С°-окрестность U (g) метрики g в Lor (Л1), такая, что каждая метрика g'£ U (g) является при- чинной. Таким образом, устойчиво причинное пространство- время остается причинным при малых С°-возмущениях. Устойчиво причинные пространства можно охарактеризовать в терминах частичной упорядоченности на Lor (Л1), если для сравнения лоренцевых метрик использовать световые конусы. Именно пусть А — подмножество 7И, тогда g, g2, если для всякой точки р£А и ненулевого вектора v^TpM из неравен- ства gj (у, v) < 0 следует, что g2 (у, v) < 0. Аналогичным обра- зом: g, g2, если для каждой точки р £ А и ненулевого вектора vC FpM из неравенства gj (о, v) < 0 следует, что g2 (у, v) <0. Вместо g, <^м g2 (соответственно gj g2) будем писать: gt g2 (соответственно: g, =^g2). Таким образом, отношение g, g2 оз- начает, что в каждой точке из М световой конус метрики gr меньше светового конуса метрики g2. Можно показать, что (М, g) устой- чиво причинно в том и только том случае, когда существует при- чинная метрика g1 £ Lor (7И), для которой g <( gv Непрерывная функция /: Л1 -> IR называется глобальной функ- цией времени, если f строго возрастает вдоль каждой направлен- ной в будущее непространственноподобной кривой. Пространство- время (/И, g) допускает глобальную функцию времени тогда и только тогда, когда оно устойчиво причинно (см. Хокинг (1968), Зейферт (1977)). Однако в общем случае для устойчиво причин- ного пространства-времени нет способов естественного выбора функции времени. Пусть f: М -> R — гладкая функция, градиент V/ которой всегда времениподобен. Если у: (a, b) -> М —направленная в бу- дущее непространственноподобная кривая, касательный вектор у' (<) которой нигде не обращается в нуль, то величина g (V/ (у (t)), у’ (/)) = у' (t) (/) должна быть либо всегда положительной, либо всегда отрицательной. Поэтому f должна быть или строго возрас- тающей вдоль у, или строго убывающей. Отсюда следует, что f должна быть строго возрастающей или строго убывающей вдоль всех направленных в будущее непространственноподобных кри- вых. Значит, f либо —/ является гладкой глобальной функцией времени на М. Более того, градиент V/ должен быть ортогонален ко всякой поверхности уровня функции f: 1 (с) = \р £ А1: f (р) = с\, с £ R. Эти поверхности уровня представляют собой пространственноподобные гиперповерхности, ортогональные вре- мениподобному векторному полю (то, что поверхности уровня пространственноподобны, означает, что ограничение g на каждую из них является положительно определенной метрикой). В силу того что градиент функции f невырождается и является точной 1-формой, поверхности уровня (с): с £ R) расслаивают мно- 2*
36 Гл. 2. Лоренцевы многообразия и причинность гообразие М. Каждая непространственноподобная кривая у на М может пересечь данную поверхность уровня самое большое один раз вследствие того, что f должна быть либо строго возрастающей вдоль у, либо строго убывающей. Одним из наиболее важных условий причинности, которое мы будем рассматривать в этом разделе, является глобальная ги- перболичность. Глобально гиперболические пространства обла- дают следующим важным свойством: каждую пару причинно свя- занных точек можно соединить непространственноподобным гео- дезическим сегментом максимальной длины. Определение 2.11. Сильно причинное пространство-время (М. g) называется глобально гиперболическим, если для каждой пары точек р, q £ М множество J+ (р) П J~ (q) компактно. Различающее пространство-время (М, g) называется при- чинно простым, если J+ (р) и J- (<;) —' замкнутые подмноже- ства М для всех р, q £ М. Справедливо следующее утверждение. Предложение 2.12. Глобально гиперболическое пространство- время причинно просто. Доказательство. Пусть q С J+ (р) \ J+ (р) Для некоторой точки р £ М. Выберем в /+ (q) произвольную точку г. Вслед- ствие того что 1~ (г) открыто и q (р), легко убедиться в том, что г £ Л (р). Для этого достаточно взять последовательность \qn\ cz J+ (р), сходящуюся к q, и воспользоваться тем, что из соотношений р < qn, qn г вытекает р Д г. Следовательно, q С (р) С J~ (г) \ (J+ (р) П J~ (г)). Но это невозможно в силу того, что множество J+ (р) ["] J~ (г) компактно и, значит, замк- нуто. □ Глобально гиперболические пространства можно охарактери- зовать при помощи поверхностей Коши. Поверхность Коши S — это такое подмножество М, которое каждая непродолжаемая непространственноподобная кривая пересекает ровно в одной, точке. Можно показать, что пространство-время глобально гипер- болично тогда и только тогда, когда оно допускает поверхность Коши (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 232—235)). Более того, Герок (1970) установил для глобально гиперболических пространств следующую важную структурную теорему (см. Сакс и By (19776, с. 1155)). Теорема 2.13. Глобально гиперболическое пространство-время (М, g) размерности п гомеоморфно R х S, где S есть (п — -мерное топологическое подмногообразие М и для каждого t у S — поверхность Коши. t>.
2.2. Теория причинности пространства-времени 37 В доказательстве этой теоремы используется функция f: М -* R, за- даваемая по правилу f (р) — = т (J+ (р))/т (J~ (р)), где т — мера на М, т (М) = 1. Можно убедиться в том, что множества уровня функции fявляются поверх- ностями Коши, как и требуется, однако функция f необязательно гладкая. Функцию времени f: М R бу- дем называть функцией времени Ко- ши, если каждое множество уровня- Г1 (с), с С R, является поверх- ностью Коши для М. При изучении глобально гиперболических про- странств удобнее пользоваться не произвольной временной функцией, а временной функцией Коши. В полном римановом многообра- зии любые две точки можно соеди- нить геодезической минимальной длины. Авез (1963) и Зейферт (1967) получили лоренцев аналог этого ре- зультата для глобально гиперболи- ческих пространств. Теорема 2.14. Пусть (М, g) гло- бально гиперболично и р < q. Тогда существует непространственноподоб- ная геодезическая, идущая из р и q и такая, что ее длина не меньше длины любой другой направленной в будущее непространственноподобной кривой, соединяющей р с q. различающее Рис. 2.3. Диаграмма связей ме- жду собой различных условий причинности, используемых в этой книге. Наиболее сильным из условий причинности, кото- рые мы будем использовать, яв- ляется условие глобальной ги- перболичности. Следует отметить, что геодезическая в теореме 2.14 не обяза- тельно единственна. Этот результат также будет рассматриваться в разд. 3.2 (с точки зрения лоренцевой функции расстояния). Герок и Хоровиц (1979, с. 289—293) составили интересный спи- сок утверждений, касающихся причинности и требующих дока- зательства или опровержения (вместе с ответами). Мы приводим диаграмму, указывающую на связь между рассмотренными выше условиями причинности (см. Хокинг и Сакс (1974, с. 295), Картер 19716)).
38 Гл. 2. Лоренцевы многообразия и причинность 2.3. Предельные кривые и С°-топология на кривых В лоренцевой геометрии и общей теории относительности используются два различных вида сходимости для последователь- ности непространственноподобных кривых {уп} (см. Пенроуз (1972), Хокинг и Эллис (1977)). Первый тип сходимости основы- вается на понятии предельной кривой последовательности кри- вых, в то время как второй использует понятие С°-топологии на кривых. Для произвольного пространства-времени ни один из этих типов сходимости не является более сильным, чем другой. Однако, как мы покажем, для сильно причинных пространств эти две формы сходимости тесно связаны. Эта связь оказывается весьма полезной при построении максимальных геодезических в сильно причинном пространстве-времени (см. разд. 7.1 и 7.2). Определение 2.15. Кривая у называется, предельной кривой последовательности |уп}, если существует подпоследовательность {у,,,.}, такая, что для всех точек р в образе у выполняется следу- ющее условие: каждая окрестность точки р пересекается со всеми, за исключением (не более чем) конечного числа кривых подпо- следовательности {у,,,.}. Эта подпоследовательность назы- вается выделяющей предельную кривую. В общем случае последовательность {уп} может либо не иметь предельных кривых, либо иметь много предельных кривых. Это справедливо и в том случае, если кривые последовательности |уп} непространственноподобны. Более того, даже в причинных пространствах кривая, предельная для последовательности не- пространственноподобных кривых, не обязательно является не- пространственноподобной. Например, кривая у (и) = (0, 0, и) в примере Картера (см. рис. 2.2) не является непространственно- подобной, хотя она и является предельной кривой для любой последовательности непродолжаемых изотропных геодезических, содержащихся во множестве t = 0. С другой стороны, для сильно причинных пространств спра- ведливо следующее утверждение. Лемма 2.16. Пусть (М, g) — сильно причинное пространство- время. Если у — предельная кривая для последовательности jy,J непространственноподобных кривых, то у непространственно- подобна. Доказательство. Покроем у локально конечным набором {Uk\ выпуклых нормальных окрестностей, таких, что для каждого k никакая непространственноподобная кривая, покидающая Uk, никогда не возвращается. В силу того что причинная связь с транзитивна, достаточно показать, что кривая у ("| 1Д является непространственноподобной для каждого k.
2.3. Предельные кривые и С°-тополоеия на кривых 39 Пусть {ут} — та подпоследовательность последовательности {уп}, которая выделяет у. Для любой пары точек р, q £ у f] Uh можно найти последовательности \рт} и {<7„г}, такие, что рт, Ят € У™ Для любого т и рт -> р, qm -> q. По построению Uh и вследствие предположения о том, что каждая кривая ут непро- странственноподобна, точки рт и qm причинно связаны в Uh для всех достаточно больших т. Переходя к пределу, получаем, что р и q причинно связаны в U4. Так как это выполняется для любой пары р, q £ у (] Uk, то кривая у f] Uk является непро- странственноподобной. □ Понятие предельной кривой тесно связано с хаусдорфовым замкнутым пределом. Пусть {Лп} — произвольная последова- тельность подмножеств из М (не обязательно кривых). Хаусдор- фовы верхний и нижний пределы последовательности |ЛП} опре- деляются так: lim sup }An} = \р £ М: каждая окрестность точки р пересе- кается с бесконечным числом множеств Ап\ и lim inf {An} = {р £ М: каждая окрестность точки р пересе- кается со всеми множествами Ап, кроме, может быть, конечного числа} (см. Буземан (1955. с. 23)). Хаусдорфовы верхний и нижний пределы всегда существуют и являются замкнутыми подмноже- ствами, хотя, может быть, и пустыми. Ясно, что lim inf {Дп} ст ст lim sup }ДП|. Если эти пределы равны, то определен хаус- дорфов замкнутый предел последовательности }ДП}, обозначае- мый через lim }ДП}: lim {Дп| = lim inf {.4n} — lim sup {Дп}. Предельная кривая у последовательности кривых {уп| со- держится в хаусдорфовом верхнем пределе lim sup }уп}. Кроме того, кривая у является предельной кривой последовательно- сти {уп} в том и только том случае, когда для некоторой под- последовательности {ут| последовательности {ут1} выполняется соотношение у cz lim inf }ym}. Обратимся теперь к доказательству существования непро- странственноподобных предельных кривых для последователь- ностей }уп} непространственноподобных кривых, имеющих точки накопления (предложение 2.18). Этот результат - важнейший инструмент в теории причинности общей теории относительности — является следствием теоремы Арцела (теорема 2.17), к которой можно обратиться, так как непространгтвенноподобные кривые локально удовлетворяют условию Липшица.
40 Гл. 2. Лоренцевы многообразия и причинность Пусть U — выпуклая нормальная окрестность пространства- времени (Л4, g) с компактным замыканием U, которое содержится в карте (У, х) с локальными координатами х = (хъ х„), та- кими, что функция f = Xj: U -> к' имеет на U времениподобный градиент \f. Тогда / — функция времени на U, и если с лежит в образе /, то множество уровня f-1 (с) является пространственно- подобной гиперповерхностью в U. Для достаточно малой окрест- ности U существует постоянная k0 > 0, такая, что g g0 на V, где g0 — плоская метрика на U, задаваемая формулой go = — A’(i с/Х[ -f- dXj. j=2 Кроме того, каждая непространственноподобная кривая у в U, соединяющая точки р, q U, связанные отношением / (р) < / (q), может быть перепараметризована так, что в локальных коорди- натах кривая у будет задаваться следующим образом: у (i) = = (t, х2 (t), ..., хп (t)) для всех t, удовлетворяющих условию )(/))</</ (q). Вследствие того что кривая у непространствен- ноподобна как для метрики g0, так и для метрики g, она удовлет- воряет условию Липшица вида (2.1) Здесь для вычисления выражения в левой части мы используем заданные локальные координаты / п IIР - q lb = У Zj 1*г (р) - Xi (q)]2 для p, q £ U; постоянная A', = (k0 + 1)I/2 зависит от метрики g, окрестности U и выбора локальной координатной карты (V, х). Это условие Липшица обеспечивает дифференцируемость у почти всюду, при этом | x't | < k\ вдоль у для всех i = 1, 2, ..., п. Зададим теперь на пространстве-времени (/И, g) вспомогатель- ную полную риманову метрику h с функцией расстояния d0. По теореме Хопфа—Ринова замкнутые шары \q £ М: d0(p, q) < г} компактны для всех фиксированных р М и 0 < г < оо. Если непространственноподобная кривая у (t) параметризована в U, как и выше: у (t) = (t, x2(t), . . ., хп (t)), то длина Lo (у | t2]j кривой у от до /2 относительно метрики h задается формулой и(Т|[/ь 4J) = J y^hijXiX'idt, (2.2) где htj — компоненты h относительно локальных координат Xi, ..., хп. Вследствие неравенства | х[ | << ki длина Lo (у | (Л, /zl) удовлетворяет соотношению
2.3. Предельные кривые и С°-топология на кривых 41 где Н — точная верхняя грань | | на компактном множестве U, 1 < 1, / п. Поэтому любая непространственноподобная кривая, идущая из множества уровня f'1 (Д) во множество уровня f'1 (1ф и лежащая в U, имеет длину, не большую величины tiH'^ki |/t—/2|. Покрывая (M, g) локально конечным набором множеств с опи- санными выше свойствами U и (V, х), получаем, что всякая непро- странственноподобная кривая в (Л4, g), заданная на отрезке из R, должна иметь конечную относительно метрики h длину. Поэтому каждую непространственноподобную кривую из (Л4, g) можно перепараметризовать так, что новый параметр будет совпадать с длиной дуги относительно метрики Ь. Далее, непродолжаемая кривая у, параметризованная так, что параметром является длина дуги относительно метрики h, должна быть определена для всех вещественных значений (параметра), в силу того что функция рас- стояния d0 полна (см. лемму 2.52). Сформулируем теперь один из вариантов теоремы Арцела (его можно доказать при помощи стандартных рассуждений (см. Манкрс (1975, разд. 7.5))). Теорема 2.17. Пусть X—локально компактное хаусдорфово пространство со счетным базисом, а (М, h) — полное риманово многообразие с функцией расстояния d0. Предположим, что по- следовательность {fn\ функций fn: X -* М равностепенно непре- рывна и для каждой точки хп бХ множество (J \fn (х,,)} огра- ничено относительно d0. Тогда существуют непрерывная функция f: X -* М. и подпоследовательность \fm\ последовательности \fn\, которая сходится к f равномерно на каждом компактном под- множестве из X. При помощи теоремы Арцела мы сейчас докажем утверждение, гарантирующее существование предельных кривых для последо- вательности непространственноподобных кривых, имеющей точку накопления (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 205—206)). Предложение 2.18. Пусть |у,г}—последовательность непродол- жаемых (в будущее) непространственноподобных кривых из (М, g). Если р — точка накопления последовательности {уп}, то суще- ствует непространственноподобная кривая у, предельная для по- следовательности и такая, что р Е у и у непродолжаема (в будущее). Доказательство. Мы ограничимся рассмотрением доказатель- ства только для непродолжаемых кривых вследствие того, что доказательство для кривых, непродолжаемых в будущее, про- водится аналогично. Пусть, как и выше, h — вспомогательная полная рпманова метрика на М с функцией расстояния d0 и каждая кривая
42 Гл. 2. Лоренцевы многообразия и причинность параметризована длиной дуги, вычисленной относительно ме- трики h. Тогда область определения каждой уп совпадает с R, поскольку предполагается, что каждая кривая последователь- ности непродолжаема. Сдвигая параметризации, если необхо- димо, можно выбрать подпоследовательность |ут} последова- тельности {у,,.} так, чтобы ут (0) -> р при т -* оо. Это возможно вследствие того, что р — точка накопления последовательности {уп}. Пользуясь тем, что каждая кривая уто параметризована длиной дуги относительно метрики h, получаем, что d0(ym(4), Ъп (4)) < |4 - 4| (2.3) для всех т и С R- Таким образом, кривые jym} образуют равностепенно непрерывное семейство. Более того, вследствие сходимости ут (0) -> р найдется N, такое, что d0 (ут (0), р) < 1 для всех N. Это означает, что для любого фиксированного /0 Е R кривая ут | [—10, tol из подпоследовательности jym} лежит в компактном множестве {q R М: d0 (р, q) с t0 + 1}, если только N. Следовательно, семейство jym} удовлетво- ряет условиям теоремы 2.17, и мы получаем (непрерывную) кри- вую у: R -* М и подпоследовательность |у;!} подпоследователь- ности |ут1, такую, что |yfe} сходится к у равномерно на каждом компактном подмножестве из R. Ясно,, что у/, (0) -* Р = 7 (0)- Из сходимости {уй} к у вытекает, что для всех t2 R R выпол- няется неравенство d0 (у (4), у (4)) < I 4— 41- Остается дока- зать, что у непространственноподобна и непродолжаема. Чтобы доказать, что у является непространственноподобной, зафиксируем 4 6 R и рассмотрим выпуклую нормальную окрест- ность U из (М, g), содержащую точку у (4). Выберем б > 0 так, чтобы множество \q R М: d0 (у (4), q) < 6} содержалось в U. Если 4 < 4 < 4 + б, то из неравенства (2.3) и равномерной сходимости на компактных подмножествах вытекает, что для всех больших k множество yh (4, 41 лежит в U. Используя пре- дельные соотношения yk (4) -> У (4), Уь (4) 7 (4) 11 отношение yh (4) Ук (4), справедливое для всех больших k, а также то обстоятельство, что U — выпуклая нормальная окрестность, получаем, что у (4) у (4)- Тогда у|(4> 41 — направленная в будущее непространственноподобная кривая в U (см. Хокинг и Эллис (1977, лемма 4.5.1)). Таким образом, у — направленная в будущее непространственноподобная кривая в (М, g). Остается доказать, что у непродолжаема. Мы приведем дока- зательство только для случая непродолжаемости в будущее, так как случай непродолжаемости в прошлое рассматривается аналогично. Предположим противное: кривая у не является не- продолжаемой в будущее. Тогда при t -> оо имеем у (/) % € М. Пусть U' — выпуклая нормальная окрестность точки qit с ком- пактным замыканием U', которое содержится в карте (V, х)
2.3. Предельные кривые и С®-топология на кривых 43 многообразия М. с локальными координатами (лу, хп), где f = U' -> Ь — временная функция для U'. Из неравенства вида (2.2) следует, что если у| оо) сз U', то никакая непро- странственноподобная кривая в U', идущая от множества уровня Д1 (f (Т (4))) к множеству уровня f-1 (f (<70)), не может иметь длину дуги в метрике h больше, чем некоторое число б' > 0. С другой стороны, для достаточно больших k должно выполняться вклю- чение п [Д + 1, Д + б' + 2] GZ /-1 ([/ (у (0), / (7о)1). Это приводит к противоречию вследствие того, что длина Бо (Th l^i + 1. Д “I" 6' + 2]) = б' -|- 1 для всех k. □ Предельная кривая у, получающаяся в ходе доказательства предложения 2.18, не обязательно параметризована длиной дуги, даже если непродолжаемые непространственноподобные кривые последовательности параметризованы длиной дуги относи- тельно полной римановой метрики h. Это является следствием того факта, что риманов функционал длины не обладает свойством полунепрерывности сверху (хотя он и полунепрерывен снизу) в топологии равномерной сходимости на компактных подмноже- ствах. Тем не менее, хотя построенная входе доказательства пред- ложения 2.18 кривая у не обязательно параметризована длиной дуги, она будет определена для всех значений (параметра) из R (по условию каждая уп непродолжаема). Более того, если (M, g) сильно причинно, то из теоремы Хопфа—Ринова и предложе- ния 2.9 вытекает, что d0 (у (0), у (/)) -> оо, когда | -* со. Здесь через d0, как и выше, обозначена полная рпманова функция рас- стояния, индуцированная на М. метрикой h. В глобально гиперболическом случае предложение 2.18 можно усилить. Предложение 2.19. Пусть (M,g) глобально гиперболично. Пред- положим, что {рп\ и {qn\ — последовательности в М, сходя- щиеся к точкам р и q £ М. соответственно, причем р q, р q и рп < qn для любого п. Пусть уп — направленная в будущее не- пространственноподобная кривая, идущая из рп в qn, п £ IN. Тогда существует направленная в будущее непространственнопо- добная кривая у, предельная для последовательности {у,,} и с°~ единяющая р с q. Доказательство. Пусть h — вспомогательная полная рима- нова метрика на М. с функционалом длины Lo. Выберем конечное покрытие компактного множества J+ (р) f) J- (q) выпуклыми нор- мальными окрестностями 1Д, ..., Uk, каждая из которых имеет компактное замыкание и такова, что никакая непространственно- подобная кривая, покидающая любую окрестность никогда в нее не возвращается. Как в доказательстве предложения 2.18,
44 Гл. 2. Лоренцевы многообразия и причинность устанавливается, что для каждого i существует число Nt, такое» что любая непространственноподобная кривая у: la, Ь] -> Ut имеет длину относительно метрики h, меньшую Nt (см. формулу (2.2)). Поэтому, если U = 10 U ••• U и 2V = Л\ + ... + Nk, то любая непространственноподобная кривая у: [a, bl -* V должна удовлетворять неравенству Lo (у) < N. Продолжим каждую данную непространственноподобную кри- вую уп ДО непродолжаемой в будущее непространственноподобной кривой, также обозначаемой через у„. Можно считать, что каждая уп: [0, оо) -> М параметризована длиной дуги относительно метрики h (см. формулу (2.2)). Поэтому, если U = 10 J ... (J 10, то, согласно предложению 2.18, существует непродолжаемая в будущее непространственгюподобная кривая у: [0, оо) -> М, У (0) = предельная для {уп} и такая, что некоторая подпосле- довательность (у,,,) последовательности сходится к у равно- мерно на компактных подмножествах [0, оо). Из соотношений Ут (tm) = Чт, 0 < tm <5 N, и сходимости qm -> q заключаем, что при некотором значении параметра т, удовлетворяющего усло- вию 0 < т N, кривая у проходит через точку q. Отсюда сле- дует, что т | [0, т] - непространственноподобная кривая, пре- дельная для {у™ | IO, и соединяющая р с q. □ Обратимся теперь к рассмотрению сходимости в С°-топологии (см. Пенроуз (1972, с. 49)). Определение 2.20. Пусть у и все кривые последовательно- сти {уп} определены на отрезке [а, &]. Будем говорить, что по- следовательность сходится к у в С''-топологии на кривых, если уп (а) -> у (a), yn (/?) -> у (Ь) и для любого открытого множе- ства V, содержащего у, можно указать целое число N, такое, что уп с: V для всех п N. Произвольное пространство-время содержит последователь- ность которая имеет предельную кривую у, однако не схо- дится к у в С°-топологии. Пусть а, Р: [0, 11 -* М. — две направ- ленные в будущее времениподобные кривые, связанные усло- вием а ([0, 1 ]) f] Р ([0, 1]) = 0. Положим ( а, если п = 2т, I Р» если п = %т — 1. Тогда (уп) не сходится в С°-топологии ни к а, ни кр. В то же время подпоследовательность у2т (соответственно y2m_i) последова- тельности сходится к а (соответственно к Р) в С°-топологии. Не являющееся сильно причинным пространство-время может содержать также последовательность |уп} непространственно- подобных кривых, которая имеет непространственноподобную предельную кривую у, но не содержит ни одной подпоследова-
2.3. Предельные кривые и С'1-топология на кривых 45 Рис. 2.4. Причинное пространство-время (Л4, g), в котором последовательность {уп} непространственноподобных кривых может обладать предельной кривой у, но не имеет подпоследовательности, сходящейся к у в С°-топологии на кривых, может быть построено из подмножества пространства Минковского, как показано на рисунке. тельности cz |уп}, сходящейся к у в С°-топологии. Это показано на рис. 2.4 (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 214), где рас- сматриваются причинные свойства этого примера). Обратно, последовательность непространственноподобных кри- вых {уп} может сходиться в С°-топологии к некоторой непростран- ственноподобной кривой у, но не иметь у предельной кривой. В этом можно убедиться на примере цилиндра М = S1 X R с лоренцевой метрикой tfe2 — dQ dt. Пусть уп — сегмент на обра- зующей 0 = 0, задаваемый формулой уп (/) = (0, t) для 0 t < X 1, м любое. Если у — кусочно-гладкая непространственнопо- добная кривая, получаемая в результате обхода по окружности t = 0 (это изотропная геодезическая), а затем вверх по образу- ющей 0 = 0 от t = 0 до t = 1, то сходится к у в (^-тополо- гии; однако у не является предельной кривой для последова- тельности |уп| (рис. 2.5). В сильно причинных пространствах для последовательностей непространственноподобных кривых эти два вида сходимости почти равносильны (см. Бим (1979а, с. 164)). Более точно: Предложение 2.21. Пусть (М, g) — сильно причинное про- странство-время. Предположим, что •— последовательность непространственноподобных кривых, определенных на [а, Ы и таких, что уп(а) р и уп (b) -> q. Непространственноподобная
46 Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность Рис. 2.5. В хронологических пространствах последо- вательность {уп} непространственноподобных кривых может сходиться к непространственноподобной кривой у в С°-топологии на кривых, однако у может не быть пре- дельной кривой ни для какой подпоследовательно- сти {V,,,} последовательности {1’„}. Кривые уп — от- резки на прямой 0=0 от / = 0 до t ~ 1. Кривая у обегает вокруг цилиндра один раз и затем идет по уп. кривая у: la, Ь] -* М, удовлетворяющая условию у (а) = р и у (&) = СЬ является предельной кривой для последовательности {уп} тогда и только тогда, когда найдется подпоследовательность последовательности сходящаяся к у в С°-топологии на кривых. Доказательство. (=>) Без ограничения общности можно пред- полагать, что и у, и все у„ являются кривыми, направленными в будущее. Пусть V — произвольное открытое множество, содер- жащее у. Покроем компактный образ у выпуклыми нормальными окрестностями Wlt ..., Wk так, что каждая окрестность W; с V и никакая непространственноподобная кривая, покидающая Wi, никогда в Wi не возвращается. Существует разбиение а = t0 < < < ... < tj = b отрезка [a, b], такое, что для всех 0 с i С i — 1 каждая пара у (tt), у (ti+1) лежит в некоторой Wh- Здесь h = h (i) и 1 < h (i) < k для всех i. Пусть — под- последовательность, выделяющая предельную кривую у. Для любого т положим р (0, т) = ym(c), p(j, tn) = ym (b). Для каж- дого фиксированного i, 0 < i < /, выберем точку р (i, т) С Ут так, чтобы последовательность {р (J, т)\ сходилась к у (Д). Вслед- ствие того что точка у (ti+l) лежит в причинном будущем точки у (tt), а М сильно причинное, точка р (I + 1, т) лежит в причин- ном будущем точки р (i, т) для всех т, больших некоторого Д\. Кроме того, существует N2, такое, что точки р (i, т) и р (i + 1, т) лежат в Wh ц) для всех 0 с i < j — 1 и m N2. Положим N = max 2V2|. Часть кривой ут, соединяющая р (i, т) с р (i + 1, m), должна целиком лежать в Why) при m^N в силу того, что никакая непространственноподобная кривая не может покинуть Wh и вернуться. Отсюда следует, что cz IFj U U ... Wk cz V для всех m~^N, как и требовалось.
2.3. Предельные кривые и Са-топология на кривых 47 (<=) Пусть }ут} — подпоследовательность, сходящаяся к у в С°-топологии на кривых. Покажем что множество А == {#0 £ £ [а, bl: каждая точка кривой у | [а, £0] является предельной точкой данной подпоследовательности} совпадает с [а, bl. Ясно, что из сходимости ут (а) -> у (а) вытекает включение а £ А. Если т = sup {t0: t0 £ А}, то для каждого t, а t, с т, точка у (£) является предельной точкой для подпоследовательности {ут}. Чтобы доказать включение т £ А, предположим, что т > а, и рассмотрим последовательность у которой tk -> т. Всякая окрестность U (у(0) точки у (t) для достаточно больших k яв- ляется также и окрестностью точки у (th) и, следовательно, должна пересекаться со всеми кривыми подпоследовательности |ут}> кроме, быть может, конечного числа. Поэтому у (т) — предельная точка для }ут}, и множество А должно быть замкнутым отрезком, содержащимся в [а, &]. Допустим, что т < Ь. Используя сильную причинность многообразия (М, g), можно найти выпуклую нор- мальную окрестность V точки у (т), такую, что никакая непро- странственноподобная кривая на (Л4, g), которая покидает V, в нее не возвращается. Полагая V достаточно малой, мы можем допускать, что (V, g | V) глобально гиперболично и что /: V -> -* R — функция времени Коши для (V, g | V), причем f (V) = R и f (у (т)) = 0. Предположим, что у (Ь) ф V. Тогда любая непро- должаемая непространственноподобная кривая из (М, g), име- ющая непустое пересечение с V, должна пересекать каждую поверхность Коши f-1 (s) ровно один раз. Зафиксируем s, 0 < < s < оо, и рассмотрим х (s) = у П f-1 (s). Вследствие того что у (т) £ V и у (Ь) V, это пересечение не пусто. Из того что у (т) и у (Ь) — предельные точки подпоследовательности {ут}, кривые ут должны иметь непустые пересечения с f-1 (s) для всех достаточно больших т. Для всех таких т положим хт (s) = ут £ П fs1 (s). Чтобы убедиться в сходимости хт (s) -* х (s), заметим, что для каждой окрестности W кривой у точки хт (s) должны лежать в W П f-1 (s) для всех достаточно больших т (рис. 2.6). Это показывает, что каждая точка х (s) является предельной точ- кой для подпоследовательности |уП!}. Следовательно, множество А содержит числа, большие т, в противоречии с определением т, и мы заключаем, что А = [а, &]. Полученное соотношение пока- зывает, что у — предельная кривая для подпоследовательности {"Рт}- П Пусть у — непространственноподобная кривая в сильно при- чинном пространстве-времени (М, g). Выберем в М компакт- ное подмножество К так, чтобы у cz Int (К). Предположим, что на множестве непространственноподобных кривых, содержащихся в К, задана С°-топология. Известно (см. Пенроуз (1972, с. 54)), что лоренцев функционал длины дуги L (у) (см. равенство (3.1))
48 Гл. 2. Лоренцеаы многообразия и причинность Рис. 2.6. В доказательстве предло- жения 2.21 глобально гиперболиче- ская окрестность V точки у (т) имеет временною функцию Коши /: V -> R, для которой / (у (т)) = 0. Для всех достаточно больших т кривые ут должны пересекать по- верхность Коши /-1 (s) в единствен- ной точке хт (s). Если W — произ- вольная окрестность у, то хт (s) С 1К Л /-1 (s) Для всех достаточно больших т. Можно выбрать W так, чтобы W Л f1 (s) было столь малой окрестностью точки х (s) = у Л Л С1 (s) в f~l (s), сколь мы поже- лаем. Тогда хт (s) -> х (s) и х (s) должна быть предельной кривой для подпоследовательности {Тт}. полунепрерывен сверху относительно С°-топологип на кривых (см. Буземан (1967, с. 10)). Этот факт является аналогом хорошо известного результата, что рпманов функционал длины дуги по- лунепрерывен снизу. Замечание 2.22. Пусть (М, g) сильно причинно и у — задан- ная непространственноподобная кривая в (M, g). Если последова- тельность непространственноподобных кривых сходится к у в С°-топологпи на кривых, то L (у) lim L (уп). 2.4. Двумерное пространство-время В этом разделе мы рассмотрим топологическую п причинную структуры па двумерных лоренцевых многообразиях. Мы пока- жем, используя пару изотропных векторных полей, образованных векторами, которые в каждой точке М касаются двух изотропных геодезических, что универсальное накрывающее многообразие произвольного двумерного лоренцева многообразия гомеоморфно R2. Затем мы докажем, что каждое двумерное лоренцево много- образие, гомеоморфное R2, устойчиво причинно. В частности, всякое односвязное двумерное лоренцево многообразие причинно. Поэтому никакая лоренцева метрика на R2 не имеет замкнутых непространственноподобных кривых. Следует отметить также, что двумерные (но не выше) лоренцевы многообразия обладают тем свойством, что (А4, —g) тоже лоренцево. Это иногда оказывается
2.4. Двумерное пространство-время 49 i полезным, например при получении сведений о поведении всех геодезических в (М, g) из результатов, выполняющихся в высших размерностях только для непространственноподобных геодези- ческих. Пусть (Л4, g) — произвольное двумерное лоренцево многооб- разие. Зафиксируем точку р б М и выберем выпуклую нормаль- ную окрестность U (р) с р в качестве базовой точки. Рассмотрим следующий способ задания локальных координат для точек из U (р), достаточно близких к р. Пусть yj: (—ех, -j-Ej) -* U (p) 11 ?2: (—e2> +ег) U (P) — две изотропные геодезические, про- ходящие через точку р так, что (0) = у2 (0) = р. Для каждой достаточно близкой к р точки q £ U (р) две изотропные геодези- ческие, проходящие через точку q, будут пересекать удгув окрест- ности U (р) в однозначно определяемых точках -jy (t0) и у., (s0) соответственно. Припишем точке q координаты (/0, s0). В этих координатах изотропные геодезические вблизи р содержатся в множествах вида t = tB или s = s0. Тем самым мы доказали следующее утверждение. Лемма 2.23. Пусть (М, g) — двумерное лоренцево многообра- зие. Тогда у каждой точки р (М есть окрестность, в которой можно ввести локальные координаты х = (лу, лу) так, чтох(р) = 0 и любая изотропная геодезическая в этой окрестности содержится либо в множестве вида хг = const, либо в множестве вида х2 = = const. Предположим, что X направленное в будущее временипо- добное поле на М. Тогда в каждой точке р £ М. существует два однозначно определенных направленных в будущее изотропных вектора nlt п2 £ ТРМ, таких, что X (р) = пг + п2. Нетрудно видеть, что в достаточно малой окрестности U (р) точки р век- торы щ и н2 можно продолжить до непрерывных изотропных век- торных полей и Х2, определенных на U (р) и удовлетворяющих условию X (q) = X, (q) + Х2 (q) для всех q U (р). Если М односвязно, то, как мы сейчас покажем, Хг и X., можно продол- жить на все М. Предложение 2.24. Пусть (М, g)—односвязное двумерное лоренцево многообразие.-Тогда на М. можно определить два глад- ких, нигде невырождающихся векторных поля Хг и Х2, которые линейно независимы в каждой точке из М. Доказательство. Вследствие односвязности М. многообразие (М, g) ориентируемо во времени. Поэтому на М можно выбрать гладкое направленное в будущее времениподобное векторное поле X. Зафиксируем базовую точку р„ £ М и положим X (р„) ~ = пг + и8, как и выше. Рассмотрим кривую у. [0, I ] -> М,
50 Гл. 2. Лоренцевы многообразия и причинность идущую из ро в произвольно выбранную другую точку q С М. Непрерывные изотропные векторные поля и Х2 вдоль у, у ко- торых Xi (0) = пъ Х2 (0) = п2 и X (у (0) = Xi (0 4- Х2 (0 для всех t G [0,1 1, определяются однозначно. Если т): [0, 11 -> М — любая другая кривая, связывающая р0 и q, то у и т] гомотопны вследствие того, что Л! по предположению односвязно. Таким образом, если Уг н У2 — изотропные векторные поля вдоль т], подчиненные условию У\ (0) = п1 и У2 (0) = п2, то стандартными рассуждениями теории гомотопий получаем, что Уг (1) = Х} (1) и У2 (1) = Х2 (1). Тем самым предложенная конструкция дает пару непрерывных векторных полей Хг и Х2 на М, линейно независимых в каждой точке. □ Следствие 2.25. Пусть (М, g) — произвольное двумерное ло- ренцево многообразие. Тогда универсальное накрывающее лоренцево многообразие (М, g) многообразия (Al, g) гомеоморфно R2. Доказательство. Вследствие того что М. односвязно и дву- мерно, оно гомеоморфно либо R2, либо S2. Однако ввиду того, что эйлерова характеристика сферы S2 отлична от нуля, S2 не допу- скает непрерывных векторных полей, всюду отличных от нуля. Q Напомним, что интегральная кривая гладкого векторного поля X на М. — это такая гладкая кривая у, что у' (0 = X (у (0) для всех t из области задания у (см. Кобаяси и Номидзу (1981, с. 21)). Следующий результат хорошо известен (см. Хартман (1970, с. 184)). Предложение 2.26. Пусть X — гладкое нигде невырождающее векторное поле на К2 и у: (a, b) -> R2 — максимальная интегральная кривая поля X. Тогда у (0 выходит из любого компактного под- множества плоскости R2, когда t ->а+ (или t Рассмотрим лоренцево многообразие (Л4, g), гомеоморфное R2. Пусть Xlt Х2 — изотропные векторные поля на М, существование которых доказано в предложении 2.24. Ясно, что каждую изо- тропную геодезическую на (Л4, g) можно перепараметризовать так, чтобы в результате она стала интегральной кривой поля Хг или Х2. Поэтому интегральные кривые полей Хг и Xz естественно назвать изотропными предгеодезическими. Пусть у: (a, й) Л4 — непродолжаемая изотропная геодезическая, которая перепара- метризуется в интегральную кривую поля Хг. Если у (0) = у (0) для некоторых 0 и 0, 0 0, то из того, что у' (0) и у' (tz) отли- чаются от Xt (у (0)) лишь скалярным множителем, и из единствен- ности геодезической вытекает, что у — гладкая замкнутая гео- дезическая. Однако, согласно предложению 2.26, это невозможно. Таким образом, справедливо следующее
2.4. Двумерное пространство-время 51 Следствие 2.27. Лоренцево многообразие (Л4, g), гомеоморфное R2> не содержит замкнутых изотропных геодезических. Более того каждая непродолжаемая изотропная геодезическая у. (a, b) -+ М является вложением и, значит, не содержит петель. Говорят, что семейство F непродолжаемых изотропных гео- дезических просто покрывает многообразие М, если каждая точка р £ М лежит ровно на одной геодезической из F. Пусть (М, g) — лоренцево многообразие, гомеоморфное к2. Тогда инте- гральные кривые векторного поля Хг (соответственно Х2), опре- деленного в предложении 2.24, можно перепараметризовать в се- мейство F1 (соответственно F2) геодезических на М. Каждое семейство F, покрывает М вследствие того, что Х{ (р) 0 для i = 1, 2 и всех р £ М. Более того, так как через каждую точку р £ М проходит ровно одна интегральная кривая поля Xit то каждое семейство F, покрывает М просто. Поэтому из предложе- ния 2.24 вытекает следующее утверждение (см. Бим и By (1969, с. 51)). Предложение 2.28. Пусть (Л4, g) — лоренцево многообразие, гомеоморфное R2. Тог^а непрсдолжаемые изотропные геодезические (Л4, g) можно разбить на два семейства Fv и F2 так, что каждое из этих семейств покрывает М просто. Пусть у: (а, Ь) М — непродолжаемая времениподобная кри- вая, а с: (а, Р) -> Л4 — непродолжаемая изотропная геодезиче- ская. Ясно, что в произвольных лоренцевых многообразиях у и с могут пересекаться более одного раза. Однако если М гомео- морфно R2, то у и с пересекаются самое большее в одной точке (см. Бим и By (1969, с. 52)). Предложение 2.29. Пусть (Л4, g) — лоренцево многообразие, гомеоморфное R2. Тогда каждая времениподобная кривая пересе- кает заданную изотропную геодезическую не более одного раза. Доказательство. Пусть с0 — непродолжаемая направленная в будущее изотропная геодезическая в Л4. Можно считать, что с0 принадлежит семейству Flt определяемому по изотропному век- торному полю X1( как Ьписано выше. Пусть о — направленная в будущее времениподобная кривая в М, которая пересекает с0 дважды (возможно, в одной и той же точке). Тогда можно найти такие a, b £ R (а < Ь), что точки о (а), о (Ь) лежат на с0, а о (/) $ $ с0 при а <у t < b. Ввиду того что о времениподобна, задавае- мое ею отображение локально взаимно однозначно. Следова- тельно, если о|[а, Ь] не является взаимно однозначным, то о содержит замкнутые времениподобные петли. Взяв одну из этих петель, можно найти а, р С R, подчиненные условию а У а < < Р <; Ь, и вторую изотропную геодезическую щ £ Fr так, что
52 Гл. 2. Лоренцевы многообразия и причинность су | [а, р] — взаимно однозначно, точки ст (сс) и ст (р) лежат на сг и ст (t) £ сг при а < t < р. Ниже мы покажем, что если на- правленная в будущее времениподобная кривая у: [а, b ] М не имеет самопересечений, то не существует кривой с £ Flt на которой лежали бы точки у (а) и у (b), ay (/) £ с для всех /, удовлетворяющих условию а <</ <Е b. Если исходная времени- подобная кривая ст | [а, И не имеет самопересечений, то, при- менив к ней приведенный выше факт, получим требуемое противо- речие. Если же ст [ [а, /И имеет самопересечения, то требуемое противоречие возникает при рассмотрении щп ст | [а, р]. Поэтому предложение будет доказано, если мы покажем, что нельзя найти кривой у: [а, Ь} ->Л4, обладающей следующими свойствами: у направлена в будущее, времени подобна, не имеет самопересечений, точки у (а) и у (Ь) лежат на с0, а у (t) с0 при а <Z t < b. Проходя по у от у (а) до у (Ь), а затем по части с0 от у (Ь) до у (а), получим замкнутую жорданову кривую, огра- ничивающую множество W, замыкание W которого компактно (рис. 2.7). Пусть U — выпуклая нормальная окрестность с базо- вой точкой у (а). Выберем tv так, чтобы а < < b и у (/J Е U- Пусть q — изотропная геодезическая семейства Fx, проходящая через у (4). Вследствие того что перепараметрнзацией кривую щ можно превратить в интегральную кривую поля Хг и щ входит в W через точку у из предложения 2.26 вытекает, что ct по- кидает W в некоторой точке у (6), t\ > t\. Так как со пересекает у в точке у (й), то должно выполняться неравенство < b. В част- ности, Iti, t\ \ cz («, b). Таким образом, мы нашли сегмент [F, /i]cz(n, Ь), обладающий следующими свойствами: у (1Л, t\ 1) cz cz VIZ и у пересекает изотропную геодезическую С\ £ Fi в точках у (Л) и у (Л) (рис. 2.7). Теперь можно построить вторую замкнутую жорданову кри- вую, пройдя сначала по у от Л до /(, а затем по части су от точки у (/() до точки у (6). Повторяя рассуждения предыдущего абзаца, получим сегмент [/2, F] cz (t\, такой, что времениподобная кривая у | [4, ti ] пересекает изотропную геодезическую & се- мейства А в точках у (/2) и у (4), причем так, что у (4) содержится в выпуклой нормальной окрестности точки у (iy). Рассуждая по индукции, мы можем построить вложенную последователь- ность сегментов 14+ь ] cz (tk, t'k), такую, что точка у (4+i) лежит в выпуклой нормальной окрестности точки у (//г) и у | tj;.<-\ ] пересекает изотропную геодезическую £7*4-1 Е Б в точ- ках у (4yi,) и у (//,--!-()• Более того, сегменты (4, t'k ] можно выбрать так, что P/;=i [4, 4] = {4} для некоторой 4 (Е (о, b)- Тем самым мы построили две последовательности 4 t to и t’k | /о, обладающие следующим свойством: времениподобная кривая у пересекает изотропную геодезическую семейства Fr в точках
2.4. Двумерное пространство-время 53 Рис. 2.7. В гомеоморфном R2 лоренцевой многообразии предполагается, что времениподобная кривая у пересекает изотропную геодезическую си в точках у (а) и у (6). Изотропная геодезическая сг входит в W' в точке у (tj) и впервые выходит в точке у (^), t'r > /х. V (tk) и у (Д) для каждого k 1. Однако, согласно предложению 2.24, это невозможно. Следовательно, геодезическая у: [«, Н -> М пересекает с0 самое большее в одной точке. Q Теорема 2.30. Лоренцевомногообразие (Л1, g), гомеоморфное R2, устойчиво причинно. Доказательство. Напомним, что g С Lor (Л4) устойчиво при- чинна, если существует С°-окрестность U метрики g в Lor (Л4), такая, что все метрики в U причинны. Так как сильная причин- ность влечет причинность, то отсюда вытекает, что все метрики в Lor (Л4) устойчиво причинны, если они сильно причинны в Lor (/И). Поэтому теорема будет доказана, если показать, что для любой лоренцевой метрики g на М многообразие (Л4, g) сильно причинно. Предположим противное: лоренцева метрика g на М такова, что многообразие (At, g) не^является сильно причинным. Тогда найдется точка р С М, в которой сильная причинность нару- шается. Пусть (U, х) — карта, содержащая р и такая, что изо- тропные геодезические в U лежат на множествах xL = const и х2 = const (существование такой карты гарантируется леммой 2.23). Ввиду того что сильная причинность в точке р нарушается, существуют произвольно малые окрестности V точки р, V сг U, и времениподобные кривые, которые начинаются в р, покидают V и затем возвращаются в V. Согласно предложению 2.29, замкну-
54 Гл. 2. Лоренцевы многообразия и причинность Рис. 2.8. Показано двумерное пространство-время (Л1, р), у которого в точке р нарушается сильная причинность. Существует направленная в будущее времени- подобная кривая у, которая начинается в точке/?, возвращаясь, проходит вблизи р и пересекает одну из изотропных геодезических, проходящих через р. тых времениподобных кривых, проходящих через точку р, не существует. Поэтому, если у, у (0) = р, — направленная в бу- дущее времениподобная кривая, которая покидает V и затем воз- вращается, то у (t) Р для всех t >0. Вследствие того что изо- тропные геодезические в U, проходящие через р, задаются в ло- кальных координатах х = (лу, х2) окрестности U уравнениями Ху = 0 и х2=0, можно продеформировать у так, чтобы полученная кривая при возвращении в V пересекала одну из изотропных геодезических, проходящих через р (рис. 2.8). Следовательно, у пересекает изотропную геодезическую семейства Fr или F2 дважды, что противоречит предложению 2.29. □ Следствие 2.31. Никакая лоренцева метрика на R2 не имеет замкнутых непространственноподобных кривых. Другое доказательство того, что всякое односвязное лоренцево 2-многообразие сильно причинно, можно найти у О'Нейла (1981). Что же касается случая больших размерностей, то в R", п 3, можно построить лоренцевы метрики, которые не являются хронологическими, а значит, и сильно причинными. Каждое двумерное лоренцево многообразие (Л4, g) имеет естественно связанное с ним лоренцево многообразие (7И, —g). Времениподобные кривые многообразия (Л4, - -g) являются про- странственноподобными кривыми многообразия (7И, g), и наоборот. Полагая 7И = R2 и применяя к (Л4,— g) следствие 2.31, получим Следствие 2.32. Никакаялоренцева метрика на R2 не содержит замкнутых пространственноподэбных кривых.
2.5. Вторая фундаментальная форма 55 Если (М, g) двумерно и оба многообразия (7И, g) и (Л4, —g) устойчиво причинны, то, используя технику, развитую Бимом (1976а), можно доказать существование гладкого конформного множителя Q: М ->(0, оо), такого, что многообразие (Л4, Qg) геодезически полно. Это приводит к следующему утверждению. Следствие 2.33. Пусть (М, g)—лоренцево многообразие, гомео- морфное R2. Тогда существует гладкий конформный множи- тель Q: Л4 ->(0, оо), такой, что (М, Og) геодезически полно. Существуют примеры двумерных пространств, никакое гло- бально конформное изменение которых не превращает их в не- пространственноподобно геодезически полные (см. разд. 5.2). Поэтому следствие 2.33 нельзя распространить на все двумерные пространства при помощи накрывающего пространства. 2.5. Вторая фундаментальная форма Пусть N — гладкое подмногообразие лоренцева многообра- зия (М, g) и it N->-M—-вложение. Отождествляя i*p (TPN) с TPN, можно считать TPN подпространством Тр М. Обозначим через g0 = i*g симметричное тензорное поле, индуцированное на N. Наряду с TPN и i* (TPN) мы будем также отождествлять g0 в точке р и g| TPN У. TPN для всех р £ N. Такое отождествле- ние будет использоваться всюду в этом разделе. Определение 2.34. Подмногообразие N лоренцева многообра- зия (М, g). называется невырожденным, если для любых точки р £ N и ненулевого вектора v £ TPN существует вектор w С с TpN, для которого g (п, w) Ф 0. Если к тому же форма g | TPNX X TPN положительно определена в каждой точке р С N, то N называется пространственноподобным подмногообразием. Если же в каждой точке р С N g I TPN X TPN является лоренцевой метрикой, то N называется времениподобным подмногообразием. До конца этого раздела будем предполагать, что N — невы- рожденное подмногообразие. Тем самым для каждой точки р £ N подпространство TPN пространства ТРМ, задаваемое формулой TPN — {v £ТРМ: g(v,w)~0 для всех w £ TPN], однозначно определено и обладает следующим свойством: Тр N П Г) TPN = {0}. Следовательно, однозначно определено и орто- гональное проектирование Pt ТрМ -+TPN. Связность V, за- данную на (М, g), можно спроектировать в связность V0 на под- многообразии N, полагая по определению Vx Y — Р (\7xY), где X, Y — векторные поля, касательные к N. Легко убедиться
56 Гл. 2. Лоренцевы многообразия и причинность в том, что V0 — единственная связность без кручения на (N, g0), удовлетворяющая равенству X (go (Y, Z)) = g0 ( V°yK Z) + go (У, VxZ) для всех векторных полей X, Y, Z на N. Вторая фундаменталь- ная форма, измеряющая разницу между V и V0, может быть определена в точности так же, как и для римановых многообра- зий (см. Херман (1968, с. 319), Болте (1977, с. 25, 51—52)). Определение 2.35. Пусть N — невырожденное подмногообра- зие (М, g). Для данного вектора п TPN определим вторую фундаментальную форму Sn: TpN X TPN ->: б направлении п по следующему правилу. Продолжив векторы х, у £ TVN до локальных векторных полей X, У, касательных к N, положим ' S„ (X, y) = g (\7XY |Р, n) = g (vAy |p ~ 7°У L «)• Вторая фундаментальная форма S'. Tp N X TPN X TPN ->R определяется соотношением S’ (n, x, y) = Sn (x, у). Оператор второй фундаментальной формы Ln: TPN ^~TPN определяется равенством g (Ln (x), y) — Sn (x, у), где x, у £ TpN произ- вольны. Нетрудно проверить, что определение Sn (х, у) не зависит от выбора продолжений X, У векторов х, у £TpN и что форма * Sn'. TPN X TpN ->R симметрична, а форма S: Tp NX TPN X X TPN ->R трилинейна для каждой точки р £ N. Лемма 2.36. Пусть N — невырожденное подмногообразие (М, g). Вторая фундаментальная форма S = 0 на N тогда и только тогда, когда V.\У = Х7хУ для всех векторных полей X, У, ка- сательных к N. Доказательство. Из определения 2.35 ясно, что если Х7хУ = = \7хУ для всех векторных полей, касательных к N, то S = 0. Полагая S = 0, возьмем произвольную точку р £ N. Тогда для всех п С TpN и векторных полей X, У, касательных к N, выполняется равенство g(vAy|p — УхУ|р, п) = 0. Вслед- ствие невырожденности g | TPN X TPN форма g | Тр N X Tp N также невырожденна. Поэтому векторы \7хУ|р и Х7лУ |р , имеют одинаковые проекции на TPN. Из разложения ТРМ = = TPN @ TjjN вытекает, что Vx У |р = Vx Y\p, как и тре- буется. □ Вторую фундаментальную форму можно использовать для описания вполне геодезических невырожденных подмногообра- зий (Л4, g). Подмногообразие N лоренцева многообразия (Л4, g)
2.6. Искривленные произведения 57 называется геодезическим в точке р £ N, если всякая геодезиче- ская у многообразия (7И, g), подчиненная условиям у (0) = р и У' (0) 6 TpN, содержится в некоторой окрестности точки р на N. Подмногообразие N называется вполне геодезическим, если оно является геодезическим в каждой своей точке. Следующее пред- ложение является лоренцевым аналогом хорошо известного ри- манова результата (см. Херман (1968, с. 338), Чигер и Эбин (1975, с. 23)). Предложение 2.37. Пусть N — невырожденное подмногообра- зие (М, g). Тогда N вполне геодезично в том и только том случае, когда вторая фундаментальная форма S обращается в нуль всюду на N. Доказательство. Предположим сначала, что S = 0 на N. По лемме 2.36 Va Y = Vx Y для любых векторных полей X, Y, касательных к N. Пусть с: (—е, е) М — геодезическая на (А4, g), причем с' (0) = v £ TPN для некоторой точки р £ N. Рассмотрим на (N, g0) геодезическую у: (—6, 6) -> N, у' (0) = о. Вследствие равенства V?- у — V?'?' = 0 кривая у будет гео- дезической и на (М, g). Положим т] = min (е, 6). Из того что геодезическая на (TH, g) с данным начальным направлением v единственна, вытекает справедливость равенства с (t) = у (/) для любого t С (—Л» П)- Следовательно, с| (—т), rj) cz N, как и тре- бовалось. Обратно, предположим, что N — вполне геодезическое под- многообразие (М, g). Пусть р £ N — произвольная точка, п С Е TpN и х С TPN. Пусть далее с: J N— геодезическая (и в М, и в N), у которой с' (0) = х. Продолжим с' (/) до вектор- ного поля X, касательного к N вблизи точки р. Тогда форма S (и, х, х) = g (VxX |р, п) = g (Ve-c’ (0), п) = g (0, п) = 0. Полярная ей билинейная форма S (и, х, у) = 0 для всех х, у £ С TpN. Тем самым S = 0 на N. □ Как мы увидим в гл. 11, вторая фундаментальная форма играет важную роль в теории сингулярностей общей теории относительности. 2.6. Искривленныэ произведения Пусть (М, g) и (Я, h) — римановы многообразия. На произ- ведении многообразий 7И X Н существует естественное произве- дение метрик g0, такое, что (М X Н, g0) — вновь риманово много- образие. Бишоп и О’Нейл (1969) изучили больший класс римано- вых многообразий, включающий произведения, которые они назвали искривленными. Если (7И, g) и (Я, h) — римановы мно- гообразия и f: М ->(0, оо) — некоторая гладкая функция, то
58 Гл. 2. Лоренцевы многообразия и причинность произведение многообразий Л4 X Н, снабженное метрикой g @ fh, называется искривленным произведением, a f: М —>(0, оо) назы- вается искривляющей функцией. Следуя Бишопу и О'Нейлу, будем обозначать риманово многообразие (Л4 X Н, g @ /11) через М Xf Н. Бишоп и О’Нейл (1969, с. 23) показали, что М X f Н является полным римаповым многообразием тогда и только тогда, когда оба римановых многообразия (Л4, g) и (Я, h) полны. При помощи этого результата им удалось, используя искривленные произведения, построить широкий класс полных римановых многообразий со всюду отрицательной секционной кривизной. В этом разделе мы применим искривленные произведения для построения лоренцевых многообразий; затем мы изучим причин- ную структуру и свойства полноты построенного нами класса лоренцевых многообразий. Эта теория для лоренцевых многообра- зий несколько отличается от соответствующей теории для рима- нова случая вследствие того, что произведение двух лоренцевых многообразий (М, g) и (Н, h) имеет сигнатуру (—, —, +, ..., +) и, значит, не является лоренцевым многообразием. Тем не менее лоренцевы метрики искривленных произведений построить можно, используя для этого в качестве сомножителей лоренцево и ри- маново многообразия. Эту конструкцию можно применить, в част- ности, для построения примеров биинвариантных лоренцевых метрик для групп Ли (см. разд. 4.5). Исследование искривленных произведений псевдоримановых (не обязательно лоренцевых) многообразий, включающее вычисление их тензоров кривизны Римана и Риччи, проведено О’Нейлом (1981). Всюду в этом разделе через л: 7И X Н -> М н у: М X И Н будут обозначаться отображения проектирования, задаваемые следующими формулами: л (т, Ь) = т и ц (m, b) = Ь для (т, Ь) £ £ М X Н соответственно. Определение 2.38. Пусть (7И, g) есть «-мерное многообразие (п 1) с сигнатурой (—, +, ..., +) и (Я, h) — риманово много- образие. Пусть далее /: М -»-(0, оо) — гладкая функция. Лорен- цевым искривленным произведением М Xf Я называется много- образие, которое оснащено лоренцевой метрикой g, определяемой по следующему правилу: g (у, w) = g (л*ц, л^) + f (л (р)) h (т]*ц, т]^), где р^М = А4 X Я, v, w£TpM. Определение 2.39. Искривленное произведение М X; Я с f = = 1 будем называть лоренцевым произведением и обозначать через М X Я. Замечание 2.40. Лоренцевы многообразия можно получать также путем рассмотрения искривленных произведений вида
2.6. Искривленные произведения 59 Н Xf М, где (Я, h) — риманово многообразие, (Л4, g) — лорен- цево многообразие и /: Н ->(0, оо) — гладкая функция. Универ- сальное накрывающее многообразие пространства-времени де Ситтера 2-го рода (см. разд. 4.3) представляет собой важный в общей теории относительности пример пространства-времени, которое можно записать в виде искривленного произведения И Xf Л4, где Н — риманово, а Л4 —лоренцево многообразия, но которое нельзя записать в виде искривленного произведения М. X / Я из определения 2.38. Тем не менее в этой книге мы огра- ничимся рассмотрением только искривленных произведений вида М X f Я. Изучение причинных свойств искривленных произведений мы начнем со следующей леммы. Лемма 2.41. Искривленное произведение М Xf Я многообра- зий (М, g) и (И, h) можно ориентировать во времени тогда и только тогда, когда либо (Л4, g) ориентировано во времени (если dim М 2), либо (М, g) —одномерное многообразие с отрица- тельно определенной метрикой. Доказательство. Предположим, что М Xf Я ориентировано во времени. Рассмотрим сначала случай, когда dim Л1 2. Вследствие того что М Xf И ориентировано во времени, на М Xf Я существует непрерывное времениподобное векторное поле X. Так как f >0 и h — положительно определенная ме- трика, то g (л*Х, л^Х) = g (X, X) < 0. Тем самым векторное поле л^Х задает на (7И, g) ориентацию во времени. Обратно, допустим, что dim М 2 и (М, g) ориентировано во времени посредством времениподобного векторного поля V. Тогда V можно поднять до времениподобного векторного поля V на М X И, удовлетворяющего двум условиям^ л*Р = V и = 0. Именно для любого фиксированного р = (т, Ь) £ £ М X Я существует естественный изоморфизм Tp (М х f Н) = Tp (М X Н) TmM X Тьн. Используя этот изоморфизм для отождествления(М X Я) и TmM X ТрН, можно определить Увр, полагая У (р)_==^У (т), 0). Из определения 2X8 немедленно следует, что g (V, V) = g (V, V) < 0. Поэтому V ориентирует М X f И во времени, что и тре- бовалось. Рассмотрим теперь случай dim М = 1. Известно, что тогда Л4 диффеоморфно либо S1, либо R. Если dim М = 1, то по опреде- лению 2.38 (Л4, g) имеет отрицательно определенную метрику. Пусть Т — гладкое векторное поле на М, такое, что g (Т, Т) = = —1. Определяя Т (р) = (Т (л (р)), 0t|(p)), как и выше,
60 Гл. 2. Лоренцевы многообразия и причинность имеем щ Т = 0, так что Т ориентирует М во времени. Заметим также, что в случае, когда Л4 = S1, интегральные кривые поля Т на М являются замкнутыми времениподобными кривыми. По- этому Л4 не хронологическое. □ Лемма 2.42. Пусть (Н, h) — произвольное риманово много- образие, а на М = (а, Ь), где —оо < а < b < оо, задана отри- цательно определенная метрика —dt2. Тогда для любой гладкой функции f: М (0, оо) искривленное произведение (М X f И, g) устойчиво причинно. Доказательство. В качестве временной функции можно взять отображение проектирования л: Д4ХЯ->Л4сг₽.П Из приведенной на рис. 2.3 таблицы условий причинности получаем следующее утверждение. Следствие 2.43. Пусть (Н, h) — произвольное риманово много- образие и М — интервал (а, Ь), где —оо с а < Ь < оо, с задан- ной на нем отрицательно определенной метрикой —dt2. Тогда для Любой гладкой функции f: М (0, оо) искривленное произве- дение (М X f И, g) является хронологическим, причинным, разли- чающим и сильно причинным. В приведенном выше доказательстве леммы 2.41 мы видели, что если Д4 = S1, то (S1 X f Н, g) не может быть хронологиче- ским, а отсюда и причинным, различающим или сильно при- чинным. Составим перечень некоторых элементарных свойств искрив- ленных произведений, непосредственно вытекающих из опреде- ления 2.38. Гомотетией F: (Л4Х, g,) g2) называется такой диффеоморфизм, что F* (g2) = для некоторой постоянной с. Заметим, что некоторые авторы требуют от гомотетичных отобра- жений только гладкости, опуская взаимную однозначность. Замечание 2.44. Пусть Л4 У^Н — лоренцево искривленное произведение. Тогда (а) для каждой точки b С Н ограничение л | т/ 1 (Ь): т]-1 (Ь) -> -+ М является изометрией г]-1 (Ь) на М. (б) для каждой точки т С Л4 ограничение т| | л-1 (/и): л’1 (т) -* Н является отображением гомотетии л-1 (т), при этом коэффициент гомотетии равен l/f (т). (в) Если v С Т (М X Я), то g (л^ц, л*ц) < g (v, v). Поэтому отображение лф: Тр (М У, Н) -+ТП(Р)М переводит непростран- ственноподобные векторы в непространственноподобные векторы, а отображение л переводит непространственноподобные кривые в М. X; Н в непространственноподобные кривые в М.
2.6. Искривленные произведения 61 (г) Отображение л не уменьшает длин непространственнопо- добных кривых вследствие того, что | g (n^v, n*v) | | g (v, и) |, если v g Т (М X Н) — непространственноподобный вектор (см. разд. 3.1, формулу (3.1), где определяется лоренцева длина дуги). (д) Для каждой точки (m, b) С М X И подмногообразия л"1 (/и) и 1]-1 (ft) многообразия М X [ Н являются невырожденными в смысле определения 2.34. е) Если <р: Н -> Н — изометрия, то отображение Ф = 1 X X ср: М Xf Н-^-М X/Н, задаваемое формулой Ф (т, Ь) - = (т, <т (ft)), также является изометрией (ж) Если ф: М М — изометрия М, для которой f = f, то отображение = ф х 1: М X f Н М X f Н, задаваемое формулой (т, Ь) = (ф (т), Ь), является изометрией МХ[Н. Поэтому, если X — векторное поле Киллинга на М (т. е. Lxg = 0), подчиненное условию X (/) = 0, то естественное поднятие X на М '<f Н поля X, задаваемое формулой X (р) = (X (л (р)), 0,1(Р)), является векторным полем Киллинга на М Xf И. Лемма 2.45. Пусть MXjH— лоренцево искривленное про- изведение. Тогда для каждой точки b й Н слой if1 (ft) вполне геодезичен. Доказательство. Из того, что отображение л: Л4 Xf Н не уменьшает длин непространственноподобных кривых, а также из того, что непространственноподобные геодезические локально мак- симизируют длину, вытекает, что любая непространственноподоб- ная геодезическая слоя t]-1 (b) (в метрике, индуцированной вклю- чением i]-1 (b) cz М X f Н) является геодезической в объемлющем многообразии М Xf Н. Поэтому вторая фундаментальная форма обращается в нуль на всех непространственноподобных векторах в Т (t]"1 (b)). Из того, что любой касательный вектор из Т (if1 (ft)) можно записать в виде линейной комбинации непространственно- подобных векторов из Т (t]-1 (ft)), вытекает, что вторая фундамен- тальная форма обращается в нуль тождественно. Отсюда и из предложения 2.37 следует, что слой if1 (ft) является вполне гео- дезическим. □ Ввиду следствия 2.43 мы можем теперь ограничить наше внима- ние изучением основных причинных свойств ориентированных во времени лоренцевых искривленных произведений (MXfH, g), у которых dim М 2. Лемма 2.46. Пусть р = (рх, р2) и q = (c/i, с/2) — точки из М X f Н, связанные отношением р < q (соответственно р < q) в (М :<f Н, g). Тогда р, <Х qy (соответственно р{ < c/J в (М,г£). Доказательство. Если у — направленная в будущее времени-, подобная (соответственно непространственноподобная) кривая
62 Гл. 2. Лоренцевы многообразия и причинность ь Рис. 2.9. Пусть (ffi, Ь) — точка искривленного произведения М X f И. Тогда ограничение отображения проектирования л на тр1 (Л) является изометрией на М, а ограничение отображения проектирования т] на л-1 (т) — гомотетией на Н. в М Xf Н, идущая из р в q, то л ° у является направленной в будущее времениподобной (соответственно непространственно- подобной) кривой в М, идущей из рх в qx. □ Хотя отображение л: М X f Н -> М и переводит непростран- ственноподобные кривые в непространственноподобные кривые, оно не сохраняет изотропных кривых. В самом деле, из опре- деления 2.38 вытекает, что если у — произвольная гладкая изо- тропная кривая, у которой (/) =/= 0 для всех t, то g (л*у (/), л* у (0) < 0 для всех t. Для случая, когда точки р и q расположены в одном слое if1 (Ь) произведения M'/qH, лемма 2.46 может быть усилена в следующем направлении. Лемма 2.47. Если точки р = (рь Ь) и q = (qlt b) расположены в одном и том же слое i]-1 (b) произведения М Xf Н, то р <Х q (соответственно р с q) в (М XfH, g) тогда и только тогда, когда pY < qv (соответственно рг с q}) в (М, g). Доказательство. В силу леммы 2.46 остается только показать, что если р, < qY (соответственно рх с qx) в (Л4, g), то р < q (со- ответственно р < q) в (Л4 XfH, g). Но если Vi". [0, 1 ] -э-Л4 — направленная в будущее времениподобная (соответственно не- пространственноподобная) кривая в М, идущая из ру в qv, тс Т (0 = (Тг (0, Ь), 0 < i < 1, — направленная в будущее време- ниподобная (соответственно непространственноподобная) кривая в М 'XfH, идущая из р в q. □
2.6. Искривленные произведения 63 Из леммы 2.47 вытекает, что каждый слой т]-1 (b), b £ Н, имеет те же хронологию и причинность, что и (44, g). В частно- сти, леммы 2.46 и 2.47 позволяют сформулировать следующий результат: (44 X f Н, g) обладает замкнутой времениподобной (соответственно непространственноподобной) кривой тогда и только тогда, когда (М, g) имеет замкнутую времениподобную (соответ- ственно непространственноподобную) кривую. Отсюда вытекает Предложение 2.48. Пусть (44, g) — пространство-время и (Н, h) — риманово многообразие. Тогда лоренцево искривленное произведение (44 X fH, g) является хронологическим (соответственно причинным) в том и только том случае, когда (М, g) хронологично (соответственно причинно). Аналогичный результат имеет место и для сильной причин- ности. Предложение 2в49« Пусть (Н, g) — пространство-время и (Н, h) — риманово многообразие. Тогда лоренцево искривленное произведение (М х fH, g) является сильно причинным в том и только том случае, когда (44, g) сильно причинно. Доказательство. Покажем сначала, что если (М, g) не является сильно причинным в точке plf то (М X fH, g) не является сильно причинным в р = (plt Ь) для любой точки b £ Н. В силу того что в точке рх сильная причинность (М, g) нарушается, можно указать открытую окрестность 1Д точки рг в М и последователь- ность : [О, 1 ] ->- 44} направленных в будущее непространст- венноподобных кривых, такие, что yh (0) -> р±, yh (1) рА при k оо, но yk (1/2) дЛЯ всех к. Определим последователь- ность oh : [0, 1] МхН, положив Gk (/) = (yh (/), b). Рассмо- трим в 44 X Н множество U = 4/х X Ух, где 1/х — произвольная от- крытая окрестность точки b в И. Множество U представляет собой открытую окрестность точки р = (рх, b) в 44 X fH, a Gh — после- довательность направленных в будущее непространственнопо- добных кривых в 44 X/ Н, у которых о h (0) —> р, ch (1) -> р при k —> оо, но (1/2) ф Н для всех k. Поэтому (44 Xу Н, g) не может быть сильно причинным в точке р. Обратно, предположим, что сильная причинность нарушается в точке р = (р17 qi) искривленного произведения (44 XfH, g). Пусть (хъ ..., Xi)—локальные координаты на 44 вблизи ри такие, что в точке рх метрика g имеет вид diag |—1, +1, ..., + 1}, a (xi+1, ..., хп) —локальные координаты на И вблизи такие, что в точке щ fh имеет вид diag { + 1, .... +1}. Тогда (хх, ..., хг, хг+1, ..., хп) — локальные координаты на 44 Xf Н вблизи точки р. Кроме того, = хх и F2 = хх ° л являются (локально опреде-
64 Гл. 2. Лоренцевы многообразия U причинность ленными) временными функциями для Л1 вблизи и для М X y.fH вблизи р соответственно. Нарушение сильной причинности ' в точке р означает, что существует последовательность направлен* , ных в будущее непространственноподобных кривых уь : [О, 1 ] -> М '<f Н, обладающих следующим свойством: (0) —’ ри Ть О) Р при k оо, но F2 (Т/г (1/2)) в > 0 для некоторой параметризации ук, k любое. Выберем окрестность W точки рх в М так, чтобы в W можно было ввести локальные координаты (хх, ..., xt), как и выше, и sup {Fx (г) :r С IE} < Тогда л ° Th являются направленными в будущее непространственно- подобными кривыми в М, для которых выполнены следующие со- отношения: л о yh (0) рх, л - yh (1) рх и л о yh (1/2) £ W. Возможность построения W и {л ° Th}, обладающих указанными свойствами, показывает, что сильная причинность (/И, g) нару- шается в точке р, как и требовалось. □ В предложении 2.51 мы докажем эквивалентность устойчи- вой причинности многообразий (/И Xf Н, g) и (/И, g) в случае, когда dim /VI Js 2. Из этого и последних двух предложений выте- кает, что основные причинные свойства (М Xf Н, g) определяются соответствующими свойствами (/И, g). Прежде чем приступить к рассмотрению предложения 2.51, сформулируем следующее замечание. Замечание 2.50. Если g gx на М, то существует гладкий конформный множитель Q : М —> (0, оо), такой, что L’gx (v, v) < < g (v, u) для всех ненулевых векторов, непространственнопо- добных относительно метрики g. Предложение 2.51. Пусть (/И, g)—пространство-время и (Н, h)—риманово многообразие. Тогда лоренцево искривленное произведение (/И X f Н, g) является устойчиво причинным в том и только том случае, когда (М, g) устойчиво причинно. Доказательство. При доказательстве мы будем пользоваться отождествлением Тр {М X Н) TPiM X ТД для всех р = = (л, ь) е М X Н. Предполагая, что (/И >1 f И, g) устойчиво причинно, получаем, что существует метрика gx £ Lor (М X И), такая, что g gx и gi причинна. Если b — фиксированная точка в Н, то без потери общности можно считать, что gx | гр1 (Ь) невырожденна (вследст- вие невырожденности g | ip1 (b)). Полагая gr gx | 1Г1 (Ь) и используя л | гр1 (b) для отождествления т]"1 (b) с М, получим метрику gx £ Lor (/И), такую, что л | гр1 (й) является изометрией
2.6. Искривленные произведения 65 (ч] 1 (b), gx) на (Л4, gx). Заметим, что в силу причинности (Л1 X X Я, gi) пространство-время (i]-1 (b), gx), а отсюда и (Л4, gx) яв- ляются причинными. Чтобы доказать справедливость отноше- ния g gx на М, выберем ненулевой вектор £ ТР1М так, чтобы g (fi, fi) < 0. Обозначив через Оь нулевой вектор в ТЬН, полу- чаем, что g (о, v) = g (vj,_ V] с 0, где v = (иь 0/,) £ TPlM X X ТЬН. Из того, что g < gx, вытекает gx (if, v) = gx (t'x, £',) < 0. Отсюда следует, что g gi и (Л4, g) устойчиво причинно. Обратно, предположим теперь, что (7И, g) устойчиво причинно. Пусть gx С Lor (/И) — причинная метрика, удовлетворяющая условию g gx- Согласно замечанию 2.50, можно считать, что gi (fi, И) < g (vi> fi) Для всех векторов их 0, непространственно- подобных относительно метрики g. Так как предложение 2.48 позволяет утверждать, что gx = gx ф fh — причинная метрика на М X Н, то достаточно показать, что g gx. Пусть v = = (vx, v2) — ненулевой вектор в касательном пространстве Тр (М X Я), являющийся непространственноподобным относи- тельно метрики g. Тогда вследствие неравенств g (v, v) = = g (И, fi) + i (л (v)) h (v2, v2) < 0 и f (n (v)) h (v2, vt) > 0 и (последнее выполняется при v2 0) из нетривиальное™ v полу- чаем, что их 0 и g (vx, fi) < 0. Поэтому gx (v, v) = gx (t'x, t'x) + + / (n (o)) h (v2, v2) < g 0?x, fi) + f (л (w)) h (v2, v2) < 0. ^Полу- ченное неравенство доказывает справедливость отношения g<( gx и всего утверждения. □ Теорема расщепления Герока (см. теорему 2.13) гарантирует, что любое глобально гиперболическое пространство-время можно представить в виде топологического произведения R X S, где X — гиперповерхность Коши. Результат Герока подсказывает, какие условия следует наложить на (Л4, g) и на (И, h) для того, чтобы искривленное произведение (М AtH, g) было глобально гипер- болично. Эти условия приведены в теореме 2.53 (для dim М =Т) и в теореме 2.55 (для dim М 2). Чтобы доказать эти теоремы, необходимо показать сначала, что в полном римановом простран- стве непродолжаемая в одном направлении кривая должна иметь бесконечную длину. Лемма 2.52. Пусть (Н, h) — полное риманово многообразие. Если у : [0, 1) —» Н — кривая конечной длины в (Н, h), то найдется точка р £ Н, такая, что У (I) р при t —> 1~. Доказательство. Обозначим через d0 риманову функцию рас- стояния, индуцированную на Н римановой метрикой h. Пусть L = Lo (у) — риманова длина дуги кривой у и Д = \q £ £ Н : d0 (у (0), q) < £}. Из теоремы Хопфа—Ринова (см. Хикс .4 TT,.. Т?.--- ГТ -
66 Гл. 2. Лоренцем многообразия и причинность (1965), с. 163—164)) вытекает, что множество К компактно. За- фиксируем в [0, 1) последовательность \tn}, сходящуюся к 1, —> 1. В силу неравенства d (у (0), у (/)) < L (у | [0, /]) < L, справедливого для всех t £ Ю, 1), имеем у [0, 1) cz Д. Вследствие компактности Д последовательность {у (tn)\ имеет предельную точку р £ К. Если lim у (() р, то тогда должно существовать <-»1- е > 0, такое, что у покидает шар {т £ М : d (р, т) < в} беско- нечное число раз. Но это приводило бы к тому, что у имеет беско- нечную длину, что противоречит условию. □ Формулируемую ниже теорему можно получить из следствия 2.43 и леммы 2.52. Ее доказательство аналогично доказательству теоремы 2.55 и потому будет опущено. Теорема 2.53. Пусть (Н, h) — риманово многообразие, а М ~ = (а, Ь), где —оо < а < b < оо, наделено отрицательно опреде- ленной метрикой —dt2. Тогда лоренцево искривленное произведе- ние (Л4 XfH, g) является глобально гиперболическим в том и только том случае, когда (Н, h) полно. Теорему 2.53 можно рассматривать как «метрическое обраще- ние» теоремы расщепления Герока. В случае, если f = 1, так что искривленное произведение (Л4 Xf Н, g) является просто метри- ческим произведением (Л4 X Н, g ф h), теорему 2.53 можно уси- лить, включив и геодезическую полноту (определение геодезиче- ской полноты см. в определении 5.2). Теорема 2.54. Пусть (Н, h) — риманово многообразие. Пред- положим, что на произведении R X Н задана лоренцева метрика —dt2 ф h. Тогда следующие три утверждения равносильны: (а) (Н, h) — геодезически полное. (б) (R X Н, —dt2 ф h) — геодезически полное. (в) (R X Н, —dt2 ф h) — глобально гиперболическое. Доказательство. Из теоремы 2.53 нам известно, что (а) выпол- няется или не выполняется одновременно с (в). Поэтому остается показать равносильность (а) и (б). Но она является следствием того факта, что все геодезические произведения R X Н имеют (с точностью до параметризации) либо вид (7/, с (£)), (7С, с (£)), либо вид (W, Ьо), где 2., Хо £ R — постоянные, b0 £ И, а с : J Н — нормальная геодезическая в Н. □ Предположим, что пространство-время (Л4, g) размерности Xs3 имеет всюду неотрицательную непространственноподобную кри- визну Риччи и удовлетворяет «типовому условию»: все непро- должаемые непространственноподобные геодезические содержат точку, в которой кривизна отлична от нуля (см. определение 11.7,
2.6. Исправленные произведения 67 , где дается точная фромулировка типового условия). Тогда, если пространство-время (7И, g) имеет компактную поверхность Коши, то оно геодезически неполно. Поэтому для произвольных искрив- ленных произведений усиление теоремы 2.53 за счет геодезической полноты (как в теореме 2.54) невозможно. Космологические мо- дели «большого взрыва» Робертсона—Уокера (см. разд. 4.4) являются примерами глобально гиперболических искривленных произведений, которые геодезически не полны. С другой стороны, пусть (R X Н, —dt2 ф h) — пространство- время вида, рассматриваемого в теореме 2.54. Зафиксируем точку b0 £ Н. Тогда у (t) = (t, %) является времениподобной геодези- ческой, у которой 7? (у' (/), о) = 0 для всех v £ Ту (R X Н) и любых t Е К- Поэтому (R X Н, —dt2 ф h) не может удовлетво- рять типовому условию. Если dim 7И = 1 и М гомеоморфно R, мы можем дать необ- ходимые и достаточные условия для того, чтобы искривленное произведение М XfH было глобально гиперболическим (см. тео- рему 2.53). Если же М = S1, то, как мы отметили выше, (Л4 XjH, g) не является хронологическим вне зависимости от того, какая риманова метрика h выбрана на Н. Поэтому ни- какое искривленное произведение (X1 XfH,g) не может быть гло- бально гиперболическим пространством-временем. Рассмотрим теперь случай dim Л4 2. Теорема 2.55. Пусть (М, g) — пространство-время и (Н, h) — риманово многообразие. Тогда лоренцево искривленное произведе- ние (Л4 XfH, g) является глобально гиперболическим в том и только том случае, когда одновременно выполнены следующие условия'. (а) (Л4, g) — глобально гиперболическое. ' fSi (б) (Н, h) — полное риманово многообразие. Доказательство. (=>) Предположим сначала, что (Л4 X у Н, g) является глобально гиперболическим. Фиксируя b £ Н, можно отождествить (М, g) с замкнутым подмногообразием t]-1 (b) = . = Л1 х {Ь\ вследствие того, что отображение проектирования л : if1 (Ь) —> М является изометрией. Из леммы 2.47 вытекает, что при таком отождествлении множество J+ (рх) f| J~ (</j) в М соответствует множеству i]-1 (b) f| J+ ((plt /;)) f] J~ ((</,, b)) в M Xf H для любых pj, ч/х M. Так как t]-1 (b) замкнуто, a (Л4 XfH, g) глобально гиперболично, то ч]-1 (b) f] J+ ((pr, b)) f] П ((<7i, ^)) компактно в M Xf H. Отсюда следует, что (рх) (~| П J~ (<7i) компактно в Д4. Так как (М Xf Н, g) глобально гипер- болично, то оно также и сильно причинно. Тем самым, согласно предложению 2.49, (Л4, g) сильно причинно. Значит, (Л1, g) гло- бально гиперболично, как и требовалось. 3*
68 Гл. 2. Лоренцевы многообразия и причинность Рис. 2.10. В доказательстве теоре- мы 2.55 кривая с: [0, Р) Н яв- ляется геодезической, непродолжае- мой в t = Р < сю. Кривые у (0 — = (Т1 (0. с (0) и у = (Tj (£ — I), с (0) — непродолжаемые непро- странственноподобные кривые в (М X f Н, g) и, следовательно, не имеют компактного замыкания. Покажем, что глобальная гиперболичность (М XfH, g) оз- начает, что (Н, h) — полное риманово многообразие. Предполо- жим, что (Н, h) неполно, и получим отсюда противоречие с гло- бальной гиперболичностью (М Xf Н, g). Зафиксируем произволь- ную пару точек plt q} £ М, связанных отношением pr < qlt и рассмотрим в М направленную в будущее времениподобную кривую ух : [0, L ] —» М с единичным вектором скорости, идущую из р! в qr. Положим a = sup \f (ух (/)) : t С [0, L]\, где f : : М —> (0, оо)— заданная искривляющая функция. Вследствие того что Vi ([0, £]) —компактное подмножество М, имеем 0 < < а < оо. Ввиду предположенной неполноты (Н, h) из теоремы Хопфа— Ринова получаем, что существует геодезическая с : [0, |3) —> Н, удовлетворяющая условию h (с' (/), с' (f)) = 1/а и не продолжае- мая в t = Р < оо. Путем изменения с (0) и перепараметризации с, если это необходимо, можно добиться того, чтобы 0 < |3 < 1/2. Определим направленную в будущее непространственноподобную кривую у : [0, Р) —»М X Н и направленную в прошлое непро- странственноподобную кривую у : 10, Р) —» М X Н, положив со- ответственно у (/) = (Ух (/), с (/)) и у (/) = (ух (£ — /), с (/)). Для каждого t, 0 с t < Р, вследствие условия t < L — t имеем Ух (0 <S. Т1 (£ — t) в (М, g). Отсюда по лемме 2.47 мы заклю- чаем, что (ух (/), с (/)) < (Ti (L — f), с (/)) в М Xf Н. Поэтому (Рг> с (0)) « У (7) < у (/) < (?х, с (0)) для всех 0 «: t < р (рис. 2.10). Отсюда следует, что у ([0, Р) 1 содержится в J+ ((plt с (0)) П J~ ((<7х, с (0))). Ввиду того что с = г) о у не имеет компакт- ного замыкания в Н, кривая у : [0, Р) -> /И xf Н не имеет ком- пактного замыкания в J+ ((plt с (0))) f) J~ ((qlt с (0))). Однако вследствие глобальной гиперболичности (Al Xf Н, g) множество
2.6. Искривленные произведения 69 J+ ((Pi, с (0))) П J ((<?!, с (0))) компактно, что и приводит к ожи- даемому противоречию. (<=) Предположим теперь, что (М, g) глобально гиперболично. Допуская, что (М Xf Н, g) не является глобально гиперболиче- ским, мы должны показать, что (Н, h) неполно. Вследствие силь- ной причинности (М, g) искривленное произведение (М Х^ Н, g), согласно предложению 2.49, также сильно причинно. Вследствие того что (Л4 '<f Н, g) не является глобально гиперболическим, в (М Н, g) должна существовать пара различных точек (plt /?,) и (р2, Ь2), для которых множество J+ ((рх, Ьх)) П J~ ((р2 А)) некомпактно. Тогда найдется направленная в будущее непростран- ственноподобная кривая у : [0, 1) —> J+ ((рх, Ьх)) Q J~ ((р2, Ь2)), непродолжаемая в будущее в (М X/ Н, g). Пусть у (/) = (пх (Z), п2(/)), гДе «1 : [0,1)-> Л4 и «2 [0,1) Н. Тогда их:[0,1)->- Л4 — направленная в будущее непространственноподобная кри- вая, содержащаяся в J+ (рх) Q J~ (р2). Последнее компактно вслед- ствие глобальной гиперболичности (М, g). Отсюда вытекает, что а0 = inf {f (in) : tn £ J+ (px) f] J~ (p2)\ > 0. Ввиду сильной при- чинности (M, g) никакая направленная в будущее непродолжае- мая в будущее непространственноподобная кривая не может быть захвачена в будущем компактным множеством (рх) f] J~ (р2) (см. предложение 2.9). Тем самым существует точка г £ J+ (рх) П П (^2), такая, что lira пх (t) = г. Тогда, полагая пх (1) = г, м- Ui можно продолжить до непрерывной кривой : [0, 1]->-Л1. В силу того что кривая у = (нх, п2) непродолжаема в t = 1, за- ключаем, что и2 (t) не может сходиться ни к какой точке из Н при t^- 1". Тогда по лемме 2.52 либо (Я, h) неполно, либо и2 имеет бесконечную длину. Так как непространственноподобная кривая щ: [0, 1 ] -> Л4 определена на замкнутом отрезке, то она имеет в (М, g) конечную длину. Вследствие того что f (пх (/)) а0 > 0 для всех t С [0, I ] и g (о> у (0)=g w (о> (0)+f (^ (0) ь («2 (о, «2 а» < о, кривая и2 в (Я, h) также имеет конечную длину. Поэтому (Я, h) неполно, что и требовалось. □ Для глобально гиперболических лоренцевых искривленных про- изведений поверхности Коши можно строить следующим образом. Теорема 2.56. Пусть (Н, h) — полное риманово многообразие и (М Xf Н, g) —лоренцево искривленное произведение (М, g) и (Н, h). (1) Если М. = (а, Ь), где — оо < а < b с оо, наделено метри- кой —dt2, то \pi\ X Я — поверхность Коши многообразия (М Xf Н, £)^для любой точки Pi £ М.
70 Гл. 2. Лоренцевы многообразия и причинность (2) Если многообразие (Л4, g) глобально гиперболично и St — его поверхность Коши, то Sv х Н — поверхность Коши для (М Xf Н, i). Доказательство. Вследствие того что доказательства утвержде- ний (1) и (2) весьма схожи, мы приведем только доказательство утверждения (2). При высказанных предположениях Sx X Н является ахрональным подмножеством многообразия (М X,f Н, g). Чтобы доказать, что S, X Н — поверхность Коши, нужно убе- диться в том, что каждая непродолжаемая непространственно- подобная кривая в KI X f Н встречает S, X Н. Возьмем точку (pi, р2) € М >•' X Н, а в остальном произвольную. Тогда либо каждая направленная в будущее непродолжаемая в будущее непространственноподобная кривая в (М, g), исходящая из ри встречает Sx, либо каждая направленная в прошлое непродолжае- мая в прошлое непространственноподобная кривая, исходящая из рх, встречает Sx. Ввиду того что оба случая весьма похожи, будем предполагать, что выполнена первая из двух возможностей, и покажем тогда, что каждая направленная в будущее непродол- жаемая в будущее непространственноподобная кривая у : [0, 1) -> М XfH, у которой у (0) = (рх, р2), встречает S, X Н. Предположим противное: найдется направленная в будущее непродолжаемая в будущее непространственноподобная кривая у : [0, 1) М Xf Н, исходящая из точки у (0) = (рх, р2), кото- рая не встречает S, X Н. Представим у (/) в следующем виде: у (t) = (wx (t), и2 (/)), где Ui : [0, 1) М, и2 Ю, 1) -+ Н. Так как .S, является поверхностью Коши для (Л1, g), a (/И, g) глобально гиперболично, то множество J+ (рх) f| J~ (Sx) компактно (см. Бим и Эрлих (1979а, с. 163)). Как и в доказательстве теоремы 2.55, сильная причинность (М, g) означает, что существует точка г С 7+ (рх) П Д (Sx), для которой lim wx (/) = г. Вследствие ком- /^1- пактности множества Д (рх) f~| J" (<SX) искривляющая функция f: М (0, оо) достигает на нем минимума а0 > 0. Как и в дока- зательстве теоремы 2.55, это означает, что кривая z/2: Ю, 1) Н имеет конечную длину. Ввиду полноты (Н, h) и в силу леммы 2.52 в Н найдется точка b = lim и2 (I). Полагая у (1) -= (г, Ь), про- Z—1- должаем у до непространственноподобной направленной в бу- дущее кривой у: [0, 1 ] М XfH, что противоречит непродол- жаемости у. Отсюда следует, что у должна встретить <SX X Н, как и требуется. □ Обратимся теперь к рассмотрению непространственноподоб- ной геодезической полноты лоренцевых искривленных произве- дений М = (а, Ь) х f Н, g = —dt2 ф /h. Пространство-время назы- вается здесь изотропно (соответственно времениподобно) геодези-
2.6. Искривленные произведения 71 чески неполным, если некоторую направленную в будущее изо- тропную (соответственно времениподобную) геодезическую нельзя продолжить так, чтобы она была определена для произвольных положительных и отрицательных значений аффинного параметра (см. определения 5.2 и 5.3). Ввиду того что на (а, Ь) мы пользуемся метрикой —dt2, кривая с (t) = (t, у0), где у0 £ Н фиксирована, является времениподобной нормальной геодезической в (М, g) вне зависимости от того, какая искривляющая функция выбрана. Следовательно, если а > —оо или b < оо, то (Л4, g) временипо- добно геодезически неполно для всевозможных искривляющих функций f. Более того, если оба числа а и b конечны, а у — произ- вольная времениподобная геодезическая на М = (a, b) Xf Н, то L (у) с b — а < оо. Таким образом, если а и b конечны, то все времениподобные геодезические неполны и в прошлом, и в бу- дущем. Тем не менее если выбрать искривляющую функцию f подходящим образом, то (М, g) может оказаться изотропно гео- дезически полным даже в том случае, когда конечны а и Ь. Это бу- дет ясно из доказательства приводимой ниже теоремы 2.57. Для лоренцева искривленного произведения М = R Xf Н с метрикой g = —dt2 © fh любая времениподобная геодезическая вида с (f) = (Л г/о) является временпподобно полной и в прошлом, и в будущем. С другой стороны, можно построить лоренцевы ис- кривленные произведения Л4 = R Xf Н, у которых все непро- странственноподобные геодезические, кроме имеющих вид / —> -> (t, у0), неполны в будущем. Один такой пример можно получить путем следующих рассуждений. Буземан и Бим (1966) изучали пространство-время М = {(х, у) £ R2: у > 0} с лоренцевой ме- трикой ds2 = у~2 (dx2 —dy2) и заметили (с. 245 их работы), что все времениподобные геодезические этого пространства-времени, за исключением геодезических вида t->(t,ylt), являются непол- ными в будущем. Полагая t = In у, преобразуем это пространство- время в лоренцево искривленное произведение R X.f R с метри- кой g = —dt2 © fdt2, где f (t) = e~2t. Вследствие того что отобра- жение F: (М, ds2) -> (R Xf R, g), задаваемое формулой F (х, у) = = (х, In у), является глобальной изометрией, все времениподоб- ные геодезические (R Xf R, g), кроме тех, что имеют вид I -> -> (/, у0), неполны в будущем. Из приводимой ниже теоремы 2.57 вытекает, что все изотропные геодезические также неполны в бу- дущем. Рассуждая подобным же образом, можно получить еще один пример. Пусть (Rn, h) — пространство R" с обычной евкли- довой метрикой h = dx? + • • • + dx„. Тогда лоренцево искривлен- ное произведение (R Ху R", g) с g = —dt2 © fh и f (J) = e~2Z представляет собой пространство-время, все непространственно-
Т2 Гл. 2. Лоренцевы многообразия и причинность подобные геодезические которого, за исключением геодезических вида t(t, у0), неполны в будущем. Чтобы изучать геодезическую полноту лоренцевых искривлен- ных произведений, необходимо определить связность Леви—Чи- вита для их метрик. Рассмотрим для этого общее искривленное произведение (М Xf Н, g @ fh), где f: М -> (0, оо), (Н, h) — риманово многообразие, а (Л4, g) наделено метрикой с сигнатурой (—, +,...,+). Обозначим через V1 связность Леви—Чивита для (.И, g), а через V2 связность Леви—Чивита для (И, h). Вектор- ные поля Xlt Kj и Х2, К2, заданные на М и Н соответственно, можно поднять до векторных полей X = (Хх, 0) (0, Х2) = = (Хх, Х2) и Y = (Г1Т 0) + (0, Г2) = (Гх, Г2) на М X И. На- помним, что связность V для (Л-1 Xf Н, g © /Ъ) и метрика g = = g © fh соотносятся так, что справедлива формула 2g (VxK, Z) = X~g (Y, Z) -b Yg(X, Z) - Zg (X, Y) + + g([X, У], Z)-i([X, Z], Y) — g([Y, Z], X) (см. Чпгер и Эбпн (1975, с. 2)). Используя эту формулу и полагая Ф = In f, получаем для V следующее соотношение: VA-r = V.xxy1+Vx2H2 + + у [Х1 (ф) У2 + (Ф) Х2 - i (Х2, Y2) grad ф], (2/4) где X и Y определены выше. Здесь grad ф обозначает градиент функции ф на (Л4, g), вектор Vx.Hi |р С ТРМ отождествлен с век- тором (Vx.Ki |р, 09) Е Лр. 9) (М х #) 11 т- п- Теперь можно сформулировать следующий критерий изотроп- ной геодезической неполноты лоренцевых искривленных произве- дений Л-1 = (a, b) Xf Н (см. Бим, Эрлих и Пауэлл (1980)). Всюду до конца этого раздела через <о0 будет обозначаться точка (а, Ь). Теорема 2.57. Пусть М = (a, b) Xу Н— лоренцево искрив- ленное произведение с лоренцевой метрикой g = —di2 © fh, где — oo<g а < b С оо, (П, h) — произвольное риманово многообра- зие и f: (а, Ь) -> (0, оо). Положим S (/) = 7/f (t). Тогда, если lim 8 (s) ds (соответственно lim 8 (s) ds\ конечен, то каждая направленная в будущее изотропная геодезическая в (М, g) является неполной в прошлом (соответственно в будущем). Доказательство. Пусть у0 — произвольная направленная в бу- дущее изотропная геодезическая в (М, g). Можно перепараметри-
2.6. Искривленные произведения 73 зовать у0 к виду у (t) = (t, с (/)), где у — гладкая изотропная предгеодезическая. Соответственно этому существует гладкая функция g (f), такая, что WI/=g (0 т' (/) = g (/) 4 |л ё (О с (/) (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 44)). С другой стороны, вследствие того что у' (t) = d/dt |t + с' (t)u g (у', у') = —1 + g (c', c') = 0, из формулы (2.4) получаем, что VV'T' |f = Vo/dt |, + V|-c' 11 -ф - J- (ф)c' (0 — ~ T S <P (0- c' (0) grad <p = + 44 c' ® 4 |z • Приравнивая выражения, содержащие d/dt, приходим к формуле (2.5) Поэтому Vy'?' |/ = (1/2) [In f (t)l'y' (/) = [In S (£)l'y' (t). Если определить отображение р: (b, b) -> R при помощи соотношения Р (0 = Ко S (s)ds’ то из того, что р' (t) = S (t) > 0, можно заключить, что сущест- вует обратное, р"1. Более того, из классической теории преобра- зований проектирования известно, что Ух (/) — у ° р~г (t) = = (р-1 (/)> с ° Р”1 (/)) ’является изотропной геодезической (см. Спивак (1970, с. 6—35 и далее)). Пусть А — lim р (/), В = lim р (/). Ввиду того что функция р монотонно возрастает, отображение р: (а, Ь) -> (Л, В) взаимно однозначно. Отсюда вытекает, что р-1: (Л, В) -> (о, Ь), и поэтому ух = у ° р"1 : (А, В)^>-М. Таким образом, если А конечно, то ух неполна в прошлом, а если В конечно, то ух неполна в будущем, что и требовалось доказать. □ Из теоремы 2.57 немедленно следует, что если а и b конечны и искривляющая функция /: (а, Ь) -> (0, оо) ограничена, то (Л4, g) является изотропно геодезически неполным как в прошлом, так и в будущем. Таким образом, предполагая,, что а и b конечны, можно легко строить однопараметрические семейства пространств (М, g (s)) — (Л4, —dt2 © f (s) h), избтропно геодезически непол- ных в прошлом и в будущем. Выбирая однопараметрическое семейство функций f (s): (а, b) -> (0, оо) подходящим образом,
74 Гл. 2. Лоренцевы многообразия и причинность можно добиться того, что кривая s g (s) = —dt* © f (s) h в пространстве Lor (M) не будет непрерывной кривой в тонкой Сг-топологин. Такимобразом, пространства (Л4, g (0)) и (М, g (s)) могут оказаться весьма далекими в Lor (/Й) при s Ф 0. Заметим, что если риманово многообразие (Я, h) геодезически неполно, то М. (a, b) X f Н может быть изотропно геодезически неполным даже в том случае, когда оба интеграла из теоремы 2.57 расходятся. С другой стороны, если предполагать полноту (Н, h), то из доказательства теоремы 2.57 можно получить следующее необходимое и достаточное условие изотропной геодезической не- полноты М = (а, Ъ) X / Н. Замечание 2.58. Пусть М = (a, b) Xf И — лоренцево искрив- ленное произведение с лоренцевой метрикой g = —dtz © /h, где (Я, h)— полное риманово многообразие и —оо < а < b с оо. Положим, как и выше, S (t) = у f (t). Тогда (Л4, g) является изо- тропно геодезически неполным в прошлом (соответственно в буду- щем) в том и только том случае, когда 1 ini . ° S (s) ds (соответ- t >а+ J ственно lim J S (s) ds) конечен. В теории сингулярностей общей теории относительности на тензор кривизны (Л4, g) накладываются некоторые условия. Эти условия — типовое условие и сильное энергетическое условие — будут рассматриваться в разд. 11.2. Выполнение этих условий гарантирует, что если непространственноподобную геодезиче- скую у можно продолжить на все положительные и отрицатель- ные значения аффинного параметра и dim Л4 Хз 3, то у обязательно содержит пару сопряженных точек. Поэтому для того, чтобы по- казать непространственноподобную геодезическую неполноту (Л4, g), эти условия на кривизну можно объединять с такими геометрическими или физическими допущениями, как, например, причинная разделяемость (Л4, g) или то, что (Л4, g) содержит замкнутое ловушечное множество (см. разд. 11.4). Вследствие того что (Л4, g) удовлетворяет типовому условию и сильному энер- гетическому условию, если непространственноподобная кривизна Риччи всюду положительна, представляется интересным рассмо- трение условий на искривляющую функцию f лоренцева искрив- ленного произведения, которые обеспечивали бы положительность непространственноподобной кривизны Риччи всюду в (М, g). Допущение dim М 3, принимаемое в теории сингулярностей, необходимо (вследствие того что никакая изотропная геодезиче- ская произвольного двумерного лоренцева многообразия не со-
2.6. Искривленные произведения 75 держит сопряженных точек) для существования изотропно сопря- женных точек. Сейчас мы приведем формулы для вычисления тензора кри- визны R и тензора кривизны Риччи Ric лоренцева искривленного произведения (М X fH, g), где g = g © fh. Как и выше, обозна- чим через у?1 (соответственно у/2) ковариантное дифференциро- вание на (Л4, g) (соответственно на (Н, h)). Положим <[1п /' и напомним, что через grad ф обозначается градиент функции ф на (Л4, g). Касательные векторы х £ Тр (Л4 У Н), как и выше, будем представлять в виде х = (хъ х2). Пусть R1 (соответственно /?2) — тензор кривизны (Л4, g) (соответственно (Н, h)). Для за- данных векторов X], уг £ ТРМ тензоры Гессе и /гф определя- ются соответственно по правилам ’ (*i) = V*i g'rad Ф (2-6) и М*1> У1) = g (vk grad ff, tjr). (2.7) Вместо g (grad <p, grad q>) будем писать также || grad ф |f. Исполь- зуя соглашение о знаке тензора кривизны R (X, Y) Z ~ Va VyZ — YyVxZ — V[.v, vjZ и заменяя у/ по формуле (2.4), получим следующее соотношение: R(x, y)z = R1 (xlt R2(x2, y2)z2± -r 4" (*i> 2i) У-i — (//i, ?i) л'2 + g (x2, t/2) (y-i) — g (У2, z2) (xJJ 4- + 4"! [*1 (ф)(ф) + ё (*2. Z2) || grad ф ||2 (/?)] y2 - ' •'' - 1У1 (ф) zv (ф) + g (t/2, z2) || grad ф ||2 (/?)] х2 ф- + 1У1 (ф) g (*2, z2) - Xi (ф) g (ys, zs)] grad ф (р)}, (2.8) где х, у, z £ Т(Р, q} (Л4 х Н). Пусть dim М = m и dim Н = и. Для вычисления в точке р =- (р, q) Л4 X Н кривизны Риччи выберем в ТГМ базис \ег, ..., ет} так, чтобы g (еп е2) =—1, g (е;, е,) = 1 для 2 с с / < т и g (ef, ef) =- 0, если / ]. Пусть \ет+1, ..., cm+,J — ортонормированный базис пространства TqH. Тогда для любых х, у Тр (М X Н) имеем Ric (х, у) = — g (R (еь х) у, ег) -]- £ g (R х) у, е-). - / -2
Гл. 2. Лоренцевы многообразия и причинность Даламбертиан Пф функции ф можно вычислить по правилу □ Ф (р) = — fa, ej) 4- £ hq (eh ej). у Используя формулу (2.8), получаем Ric (х, у) = Ric1 (Xj, уг) 4- Ric2 (х2, у2) — - g fa, У?) [4- □ Ф (Р) 4~ ^4^ IIgrad ф II2] “ dim// , , , dim// , . , , -----2~ fa fa, У1)-----4— *1 (ф)У1 (ф), (2-9) где х = fa, л-2), у = (уи уг) С Лр. <7) (м '< а RicI и Ric2 — тензоры кривизны Риччи многообразий (М, g) и (Н, h) соответ- ственно. Сосредоточим теперь наше внимание на случае, когда М = • = (а, Ь) А ;Н с метрикой искривленного произведения g = = —dt2 ® fh. В этом случае Оф (/) = —ф" (/) и || grad ф (/) ||2 = = — 1ф' (012- Поэтому из формулы (2.9) для v = (0, с) С 4 Л/. <?) (R Н) получаем Ric (V, V) = Ric2 (у, V) 4- g (у, V) Ф" (0 + [ф' (013) • (2-10) Если х = d/5/| t + v 4 l\t, q) (R X Н), где v 4 TqH, то 4 (1 < — ( 1 (у.С У'Л Ric (х, х) = Ric2 (у, v) | g (у, v) |-y ф" (/) j - •fa, ' , dim//, ,/,V19'I , ( dim// „ dim// r , ....d /o ,,, + —4 - [Ф (OF) + (------2~ф ®----------4~ [(P (OFJ• (2.11) Выражения, заключенные в формулах (2.10) и (2.11) в фигурные скобки, будут положительными при условии, что — [ф' (/) I2 dim Н < 2ф" (/) < — [ф' (/) I2 (2.12) для всех t Е (fit b). Поэтому, если Ric2 (у, и) 0 для всех v 4 TH и выполняется неравенство (2.12), то кривизна Риччи простран- ства-времени (М, g) будет всюду положительна. Глобально ги- перболическое семейство таких пространств образуют искривлен- ные произведения Л4 = (0, оо) X fH, в которых (Н, h) — полное риманово многообразие неотрицательной кривизны Риччи и g — —dt2 © fh с f (t) = f, где г 4 R — постоянная, подчинен- ная условию 2/dim Н < г < 2. Если в качестве (Н, h) взять R3 с обычной евклидовой метрикой и положить г = 4/3, то мы полу- чим вселенную Эйнштейна — де Ситтера (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 157), Сакс и By (1977а, предложение 6.2.7 и далее)).
2.6. Искривленные произведения 77 Если тензор Риччи многообразия (Н, h) ограничен снизу, то для положительности непространственноподобной кривизны Риччи можно получить на <р = In f следующее условие. Предложение 2.59. Пусть М = (a, b) X jH, где п = dim Н 2 /г g —dt2 © fh, <р = In f. Предположим, что Ric2 (v, v) 2-h (и, v) для некоторой постоянной X R R и всех v £ TH. Тогда, если неравенство 2ф"(/)<пйп{— (Ф'(О)2, 4(n-(2.13) выполняется для всех t С (а, Ь), то лоренцево искривленное произ- ведение (М, g) имеет всюду положительную непристранственно- подобную кривизну Риччи. Доказательство. Достаточно показать, что Ric (%, л) > О для всех непространственноподобных касательных векторов х вида х d/dt + v £ Т (М X Н), v TH. Вследствие того что g (.г, х) < 0 и g (д/dt, d/dt) = —1, имеем |3 = g (у, v) с 1. Отсюда О X fi < 1. Тогда h (у, v) = Ре_<₽, и из формулы (2.11) мы полу- чаем Ric (х, х) ре-Х + [4- - ] ф" -|- (Р - 1) (Ф')2. (2.14) Поэтому неравенство Ric (%, х) > 0 будет выполнено, если для всех р [0, 1 ] ф" < G (Р), где 4ре~Ч~п(1 -₽)(<р')2 и W “ 2 (п — Р) Нетрудно подсчитать, что на отрезке [0, 1 ] производная G' (Р) не изменяет знака. Поэтому минимальное значение на [0, 1 ] функция G (Р) принимает либо при р = 0, либо при р = 1. Следо- вательно, Ric (х, %) > 0 при условии, что ф" < min {G (0), G (1)}. Последнее неравенство и дает условие (2.13). □ Рассмотрим теперь скалярную кривизну искривленных произ- ведений вида Л4 = R X fH, g = -~dt2 © fh. Ниже будем считать, что п = dim Н. Пусть (t, q) G М — произвольная точка. Выбе- рем е,- С TqH, 1 < / с п, так, что если = (0, е^ -R Т(/, q}M, то векторы \d/dt = (д/dt, 0ч), ег, образуют g-ортонорми- рованный базис пространства Тц.^уМ. Отсюда следует, что {у / (I) ех, ..., У f (t) еп] есть h-ортонормированный базис TqH. Поэтому если т: М -> R и тн: Я R —- скалярные кривизны соответственно (М, g) и (Н, h), то - - п ‘ Т(Л (}) = — Ric [-0Р 4-] + ё7)
78 Гл. 2. Лоренцевы многообразия и причинность И Тн(?) = ДО ij Ric2 (ei> Ъ). /=i Приведенные выше формулы (2.10) и (2.11) можно упростить: ’ Hlr 4] = Ы'-Ю!2 (2.15) И Ric (ё}, = Ric® (еу, еу) + ±- <р" (/) + [ф' (0]2, (2.16) где 1 < / < п. Тем самым справедлива формула т V’ = “Ж Хц "ф,/ ® + Т [f|/ ^J2- Вспоминая, что ср (I) = In f (t), можно переписать ее в следующем, виде: ЧЛ9) = 7^-^(9)Ч-«^ + 4-(/12-3п)[т<]2’ (2-17) где dim Н = п, как и выше. В частности, при /? - 3 (как в об- щей теории относительности) получаем тИ=^тн(9) = 3™ (2.18) Пример 2.60. Пользуясь полученными в этом разделе форму- лами, приведем пример однопараметрического семейства gx не- изометричных между собой метрик Эйнштейна для R'!+1, такого, что при X = 0 получается (и + 1)-мерное пространство-время Минковского (Rn+I, g0). Пусть (R'!, h) есть п-мерное евклидово пространство с обычной евклидовой метрикой h = dx? -+•••+ dx2. Рассмотрим семейство, составляющими которого являются искрив- ленные произведения Мк = R'!+1 = R х R" с лоренцевыми метриками g?. = —dt2 ® e^h, т. е. f (t) = еи. По теореме 2.57 для всех X >0 пространство-время (R'!+1, gz) является изотропно геодезически полным в будущем, но изотропно геодезически не- полным в прошлом, а для всех X < 0 пространство-время (R"+1, gj изотропно геодезически полно в прошлом, но не яв- ляется изотропно геодезически полным в будущем. Применяя формулы (2.15)—(2.17), получаем (2.19) = 4" Х2’ ьд, ** (2.20)
2.6. Искривленные произведения 79 Таким образом, если X =$£ 0, то (Л4х, gx) представляет собой про- странство-время Эйнштейна с постоянной положительной скаляр- ной кривизной. Пример 2.61. Пусть Л4х = (0, оо) X УЕ3, где gx = —di? © /h, f (t) = W, X >0, и h — обычная евклидова метрика на R3. Тогда из формулы (2.18) немедленно следует, что т (g\) = 0 для всех X > 0. С другой стороны, вследствие равенства q> (t) — In Qi) можно убедиться, используя формулы (2.15) и (2.16), что для любого К > 0 (Л4Х, gj не является ни риччи-плоским, ни эйн- штейновым. Кроме того, для любого л> 0 и всех t > 0 _ 3 — 4 1 Отсюда вытекает, что пространство-время (Л'К, gx) «непродолжаемо через» {0} X R3 (см. разд. 5.5). Отметим также, что по теореме 2.57 (Л4х, gx) изотропно геодезически полно в будущем.
Г лава 3 ЛОРЕНЦЕВО РАССТОЯНИЕ Цель этой главы состоит в том, чтобы изучить свойства ло- ренцева расстояния, соответствующие основным свойствам ри- манова расстояния (см. гл. 1), и показать, как лоренцево расстоя- ние связано с причинной структурой заданного пространства- времени. Мы покажем также, что отображения сильно причин- ного пространства-времени на себя, которые сохраняют лоренцево расстояние, являются диффеоморфизмами, сохраняющими метри- ческий тензор. Хотя многие свойства римановой и лоренцевой функций рас- стояния похожи, в этой главе будут выявлены также и многие существенные различия. Тем не менее как в этой главе, так и в последующих главах двойственность между «минимальными» свойствами в римановых многообразиях и «максимальными» в лоренцевых многообразиях будет постоянно отмечаться. 3.1. Основные понятия и определения Пусть (M, g) — лоренцево многообразие размерности, боль- шей или равной двум. Для заданных точек р, q £ М, связанных отношением р с q, обозначим через Qp> q пространство путей, образованное всеми направленными в будущее непространствен- ноподобными кривыми у: [0, 1 ] -> М, для которых у (0) = р, у (1) = q. Функционал лоренцевой длины дуги L = Lg: -> R определяется по следующему правилу (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 119)). Выберем разбиение 0 = t0 < Ц < t2 < • • • < < tn = = 1 заданной кусочно-гладкой кривой у £ ПА q так, чтобы кри- вая у| (ti, ti+1) была гладкой для каждого i — 0, 1, 2, ..., п — 1. Тогда и—1 9+1 l(t) = Mt)=S f /—£(т'(0> V’ttydt- i=o t=ti (3.1) Как и в элементарной дифференциальной геометрии, можно про- верить (см. О'Нейл (1966, с. 51—52)), что это определение лорен- цевой длины дуги не зависит от выбора параметризации кривой у.
3.1. Основные понятия и определения 81 Рис. 3.1. Времениподобная кри- вая у, идущая из р в q, аппрокси- мируется последовательностью кри- вых уп; при этом уп -> у в (^-топо- логии, но L (уп) -> 0. В силу того что произвольная непространственноподобная кри- вая локально удовлетворяет условию Липшица, она дифферен- цируема почти всюду. Следовательно, лоренцеву длину дуги L (у) такой кривой у можно по-прежнему определить, используя фор- мулу (3.1). Другие, но1 .эквивалентные определения L (у) для произвольных неизотропных непространственноподобных кривых можно получить или путей, аппроксимации у (^-гладкими вре- мениподобными кривыми (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 237)), или путем аппроксимации у последовательностями ломаных не- пространственноподобных геодезических (см. Пенроуз (1972, с. 53)). Лоренцеву длину дуги произвольной изотропной кривой положим равной нулю. Зафиксируем точки р, q £ М., связанные отношением р < q. Если у — времениподобная кривая, идущая из р в Q, то L (у) > 0. С другой стороны,у можно аппроксимировать последовательностью кусочно-гладких «почти изотропных» кривых уп: [0, 1 ] -> М, подчиненных условию уп (0) = р, уп (1) = q и таких, что -> у в С°-топологии, в то время как L (уп) -> 0 (рис. 3.1). Эта конструк- ция показывает, кроме того, что для любых р, q £ М, связанных отношением р <^q, существуют кривые у € HPi<z произвольно малой лоренцевой длины. Следовательно, точная нижняя грань лоренцевых длин всех кусочно-гладких кривых, соединяющих две хронологически связанные точки р и q, всегда равна нулю. С другой стороны, если р и q лежат в геодезически выпуклой ок- рестности U, то направленный в будущее времениподобный гео- дезический сегмент, лежащий в U и соединяющий точки р и q, имеет наибольшую лоренцеву длину среди всех непространствен- ноподобных кривых, лежащих в U и соединяющих точки Р и q.
82 Гл. 3. Лоренцево расстояние Рис. 3.2. Показано пространство-время Райсснера— Нордстрема с е!= zn2. Выбирая времениподобные кри- вые у, идущие из р в q близко к и мы можем сделать L (у) произвольно большим. Поэтому d (р, q} = = оо. Поэтому естественно дать следующее определение лоренце- вой функции расстояния d — d (g): М х М -> R U 5°°} в про- странстве-времени (М, g). Определение 3.1. Для данной точки р £ М полагаем d (p,q) = = 0, если q ф J+ (р). Если же q £ J+ (р), то d (р, q) — = W \Lb (у): у С &р, q\- Из определения немедленно следует, что d (р, q) > 0 <=> q Е /+ (Р)- (3-2) Таким образом, лоренцева функция расстояния определяет хро- нологическое прошлое и хронологическое будущее каждой точки. Вместе с тем лоренцева функция расстояния, вообще говоря, не ' определяет причинного прошлого и причинного будущего мно- жеств точки р вследствие того, что из равенства d (р, q) = 0 не вытекает включения q G J+ (р) — 1+ (р). Тем не менее, если q £ € J+ (р)\/+ (р). то d (р, q) = 0. Подчеркнем, что лоренцево расстояние d (р, q) не обязательно должно быть конечным. Одной из возможностей того, что d (р, q) = — оо, может быть следующая: времениподобные кривые из р в q при подходе к некоторым граничным точкам пространства- времени могут достигать произвольно больших длин. На рис. 3.2 показаны две точки в пространстве-времени Райсснера—Норд- стрема с е2 = т2, расстояние между которыми бесконечно: d (р, q) = 00 (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 179)). Второй возможностью того, что лоренцево расстояние может оказаться бесконечным, являются нарушения причинности. На- помним, что пространство-время называется полностью искажен- ным, если /+ (р) П 1~ (р) Л4 для всех р £ М. Лемма 3.2. Пусть (М, q) — произвольное пространство-время.
3.1. Основные понятия и определения 83 (а) Если р £ /+ (/?)» то d (/?, р) — оо. Поэтому для любой точки р f М либо d (р, р) = 0, либо d (р, р) = оо. (б) (Л4, g) является полностью искаженным в том и только том случае, когда d (р, q) = оо для всех р, q £ М. Доказательство, (а) Пусть р /+ (/?). Тогда можно найти зам- кнутую времениподобную кривую у: [0, 1 ] -> М, у которой у (0) = У (1) = Р- Вследствие того что у времениподобна, L (у) > > 0. Если оп 6 НР; р — времениподобная кривая, получаемая путем /г-кратного обхода у, то L (оп) = nL (у) -> оо при п -> оо. Поэтому d (р, р) = оо. (б) Пусть (М, g) полностью искажено. Зафиксируем в М точки р и q. Пусть п > 0 — произвольное целое число. По дока- занному в (а) из включения р 6 И (р) вытекает существование кривой ул 6 длина которой L (yL) п. Так как q 6 И (р)> то найдется времениподобная кривая у2, идущая из р в q. Тогда у = ул -х- у2 6 &Р,д — времениподобная кривая, длина которой L (у) = L (Vi) + L (у2) > п. Следовательно, d (р, q) = - оо. Обратно, предположим, что d (р, q) — оо для всех р, q 6 М. Фиксируя г 6 М, получаем, что d (г, р) > 0 и d (р, г) > 0 для всех р 6 М. Поэтому из формулы (3.2) вытекает, что /+ (г) |~| n I- (г) = М. □ Согласно определению 3.1, если 1+ (р) =Д М, то существуют точки q 6 М, отличные от р, р ф q, и такие, что d (р, q) = 0. Тем самым в отличие от римановой функции расстояния лоренцева функция расстояния обычно не может быть невырожденной. Мы видели даже, что возможно и такое неравенство d (р, р) > 0. Но если (М, g) — хронологическое, то d (р, р) = 0 для всех р (_ 6 М. Кроме того, лоренцева функция расстояния имеет извест- ную склонность к несимметричности. Более точно, для произ- вольных пространств можно показать справедливость следующего утверждения. Замечание 3.3. Если р =Д q и оба расстояния d (р, q) и d (у, р) конечны, то либо d (р, q) = 0, либо d (q, р) = 0. Или, что равно- сильно, если d (р, <;) > 0 и d (q, р) > 0, то d (р, q) d (q, р) — = оо. Доказательство. Если и d (р, q) > 0, и d (q, р) > 0, то можно указать направленные в будущее времениподобные кривые уг из р в q и у2 из q в р соответственно. Положим уп — ух * * С?2 * У1)п € Пр,<?• Так как L (уп) оо при п -> оо, то d (р, q) = °о. Аналогично доказывается, что d (q, р) = оо. □ Менее очевидным следствием определения 3.1 является такой факт: если у: [0, оо) -> (М, g) — любая направленная в будущее
84 Гл. 3. Лоренцево расстояние полная в будущем времениподобная геодезическая в произвольном пространстве-времени (М, g), то lim d (у (0), у (/)) lim L (у | [0, /]) = оо. t-*-OQ t~^OO С другой стороны, полное риманово многообразие (N, g0) может со- держать (незамкнутые) геодезические о: [0, оо) -> (Д\ g0), для ко- торых sup {d0 (о (0), о (/)): t 0} конечна. Для того чтобы гаран- тировать для всех геодезических о: [0, оо) (N, g0) в римановых многообразиях предельное соотношение lim d (о (0), о (()) = оо, необходимы дальнейшие допущения (см. Чигер и Эбин (1975, с. 53 и 151)). Хотя лоренцева функция расстояния не может быть симме- тричной и невырожденной, выполняется по крайней мере обрат- ное неравенство треугольника (см. рис. 1.3). Именно если р < г < q, то d (р, q) d (р, г) + d (г, q). (3.3) Рассмотрим теперь некоторые свойства лоренцева расстояния, которые делают его полезным инструментом в общей теории отно- сительности и в лоренцевой геометрии. Прежде всего лоренцева функция расстояния полунепрерывна снизу там, где она конечна (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 237)). Лемма 3.4. Если (р, q) < оо и рп->- р, qn <7> tno d (р, q) < lim d (pn, qn). Если же d (p, q) — оо и pn p, qn -> q, mo lim d (pn, q„) = oo. n->oo Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда d (р, q) < оо. Если d (р, q) = 0, то утверждение леммы не вызы- вает сомнений. Пусть d (р, q) > 0. Тогда q £ /+ (/?) и полунепре- рывность снизу вытекает из того, что для любого е > 0 можно найти времениподобную кривую у длины d (р, q) — е/2, идущую из р в q, и достаточно малые окрестности (7Х точки р и (/2 точки q так, что у можно продеформировать во времениподобную кри- вую, связывающую произвольную точку г из 1Д с произвольной точкой s из П2 и имеющую длину, не меньшую d (р, q) — в. Предположим теперь, что d (р, q) = оо, но lim d (pn, qn) = = R < оо. Вследствие того что d (p, q) = оо, найдется времени- подобная кривая у из р в q длины L (у) > R + 2. Это означает, что существуют окрестности (7Г и U2 точек р и q соответственно, такие, что кривую у можно продеформировать во времениподоб- ную кривую длины, не меныней/? + 1, идущую из произвольной точки г окрестности U1 в произвольную точку s из U2. Это противо- речит тому, что lim d (pn, qn) — R. □
$.1. Основные понятия и определения 85 Р Рп+Х Рп Рис. 3.3. Показано пространство-время (Л1, ds2), где М — множество {(х, у) £ £ R2-’ 0 у 2} \ {(х, 1): —1 гс: х 1}, в котором точки (х, 0) и (х, 2) отождествляются, и ds2 = dx2 — dz/2 — плоская лоренцева метрика. Пусть р = = (0, 0), q = (0, 1/2) и рп р, как показано. Тогда рп £ 1+ (рп) и, значит, d (Рт Рп) “ сю Для всех п. Для больших п q £ /+ (рп), и поэтому d (рп, q) = оо. С другой стороны, из d (р, q) = 1/2 получаем, что d (р, q) < lim d (рп, q). Это пространство-время не является причинным. Однако функция расстояния может не быть полунепрерывной сверху и в причинных пространствах (см. рис. 3.6). Полунепрерывной сверху лоренцева функция расстояния, вообще говоря, может не быть. Мы приведем пример пространства- времени (М, g), содержащего бесконечную последовательность точек рп -> р и точку q £ /+ (р), такие, что d (рп, q)~oo для всех больших п, но d (р, q) < оо (рис. 3.3). С другой стороны, для глобально гиперболических пространств лоренцева функция расстояния так же, как и риманова функция расстояния, конечна и непрерывна. Лемма 3.5. Если (Л4, g) — глобально гиперболическое простран- ство-время, то лоренцева функция расстояния конечна и непре- рывна на М х М. Доказательство. Чтобы доказать конечность d, покроем ком- пактное множество J (р) П J (q) конечным числом выпуклых нор- мальных окрестностей Blt В2, ..., Вт так. что никакая непростран- ственноподобная кривая, покидающая произвольную окрест- ность Bit никогда в нее не возвращается и каждая непространст- венноподобная кривая в любой Bt имеет длину не больше единицы. Вследствие того что произвольная непространственноподобная кривая у из р в q может входить в каждую окрестность Вг не более одного раза, ее длина L (у) < т. Тем самым d (р, q) < т и d конечна. Если d не является полунепрерывной сверху в (р, q) £ М х X /И, то можно указать 6 > 0 и последовательности \рп\ и \qn}, сходящиеся к р и q соответственно и такие, что d (рп, qn) d (р, q) + 26 для всех п. По определению d (/?„, qn) тогда суще- ствует (для каждого п) направленная в будущее непространствен-
86 Гл. 3. Лоренцево расстояние ноподобная кривая у,г из рп в q, длина которой L (у„) d (р, q) + + 6. Согласно следствию 2.19, последовательность {ут} имеет непространственноподобную предельную кривую у, идущую из р в q, а по предложению 2.21 некоторая подпоследовательность последовательности сходится к у в С°-топологии. От- сюда L (у) >s d (р, q) + 6 в соответствии с замечанием 2.22. Но это противоречит определению лоренцева расстояния. Поэтому функция d полунепрерывна сверху в точке (р, q). □ Определим теперь следующее понятие (см. Бим и Эрлих (1977, условие 4)). Определение 3.6. Будем говорить, что пространство-время (Л4, g) удовлетворяет условию конечности расстояния, если d (g) (р, <-/) < оо для всех р, q £ М. Тогда из леммы 3.5 вытекает Следствие 3.7. Если (М, g) глобально гиперболично, то оно удовлетворяет условию конечности расстояния и функция d (g): М X М -> R непрерывна. Если (Л4, g) глобально гиперболично, то и все метрики из конформного класса С (М, g) являются глобально гиперболичными. Отсюда следует, что все метрики из С (М, g) удовлетворяют ус- ловию конечности расстояния. Обращение этого утверждения мы разберем в разд. 3.3 (теорема 3.30). Поскольку исходная топология гладкого многообразия совпа- дает с метрической топологией, индуцированной произвольной ри- мановой метрикой, то для лоренцева многообразия представляется естественным рассмотрение множеств вида \т £ /+ (р): d (р, т) < < в). Однако, как показывает пример пространства Минковского, эти множества не образуют базиса исходной топологии многообра- зия (рис. 3.4). Фактически тот же самый пример показывает, что вне зависимости от малости в > 0 множества \т £ J+ (р): d (р, т) < в} могут не быть ни компактными, ни геодезически выпук- лыми, так же как они могут не быть диффеоморфными замкнутому /г-диску. Сфера радиуса в с центром в точке р С М задается формулой К (р, в) = \q С М: d (р, q) = в}. Это множество не обязательно компактно. Однако из обратного неравенства треугольника и со- отношения (3.2) вытекает, что К (р, в) является ахрональным для всех конечных в > 0 и всех р £ М. В произвольных пространствах внутренний шар будущего (соответственно прошлого) В+ (р, в) = \q £ /+ (р): d (р, q) < ej (соответственно В~ (р, г) = \q С I~ (р)- d (у, р) < в}) не обяза- тельно открыт. С другой стороны, если функция расстояния d: М X М R U jooj непрерывна, то эти внутренние шары должны быть открытыми. В разд. 3.3 мы покажем, что для раз-
3.1. Основные понятия и определения 87 Рис. 3.4. Множество В+ (р, е) = {q С /+ (р): d (р, q) < е) в пространстве-вре- мени Минковского не имеет компактного замыкания, не является геодезически выпуклым и не содержит точку р. Более того, множества вида В+ (р, е) не обра- зуют базиса топологии этого многообразия. Однако в общем случае, когда (М, g) является различающим пространством-временем с непрерывной функцией ло- ренцева расстояния, то подбазис топологии многообразия образуют множества вида В+ (р, в) и В~ (р, е) (см. предложение 3.31). Отсюда, в частности, следует, что эти множества должны образовывать подбазис исходной топологии про- странства-времени Минковского. личающих пространств с непрерывными функциями расстояния внутренние шары прошлого и будущего образуют подбазис то- пологии многообразия. Другой подбазис для топологии любого сильно причинного пространства-времени (А4, g) с возможно разрывной функцией расстояния d = d (g): М х М -> R (J {оо} можно получить, ис- пользуя вместо внутренних шаров внешние шары 0+ (р, в) и О- (р, в). Определение 3.8. Внешний шар 0+ (р, в) (соответственно О- (р, е)) множества /+ (р) (соответственно I- (р)) задается следую- щей формулой: 0+ (р, в) = \q С М: d (р, q) > в} (соответственно: О- (р, в) = \q Е М-. d (q, р) > в}) (рис. 3.5). Так как лоренцева функция расстояния полунепрерывна снизу там, где она конечна, то внешние шары 0+ (р, в) и О~ (р, в) в произвольном пространстве-времени открыты. 11з обратного не- равенства треугольника вытекает следующее свойство: если т, п £ 0+ (р, в) (соответственно т, п £ О~ (р, в)) и т < п, то любая направленная в будущее иепространственноподобная кривая из т в п лежит в 0+ (р, в) (соответственно в О~ (р, в)). Более того, справедливо следующее утверждение.
88 Гл. 3. Лоренцево расстояние Рис. 3 5. Внешние шары О' (р, е) — {q £ М. d {р, q) > е) и 0~ (р, е) = {q £ М: d (д, р) "> е) открыты в произвольном пространстве-времени. Кроме того, О' (р, е) и О- (р, с) всегда являются подмножествами множеств /+ (р) и 1~ (р) соответственно Если (М, g) сильно причинно, то внешние шары О+ {р, е) и О~ (р, е), где р £ М и е > 0 произвольны, образуют подбазис топологии много- образия. Теорема 3.9. Пусть (М, g) сильно причинно. Тогда набор |О+ (р, е,) П О~ (q, в2): р, q М, е,, е2 > 0} образует базис исходной топологии многообразия. Доказательство. Обозначим через U произвольную открытую окрестность точки т £ М. Можно указать локально причинную окрестность Ult для которой т £ U1 с U, т е. никакая непро- странственноподобная кривая, покидающая С7г, никогда не воз- вращается. Выберем р1У р2 £ 1Д так, чтобы р± < т < р2 и /+ (Pi) Л I~ (р2) cz Ui- В соответствии с хронологическими допу- щениями относительно рг и р2 получаем, что d (р1У т) > 0 и d (tn, р2) > 0. Выберем постоянные е, и е2, исходя из следующих условий: 0 < е^ < d (plt tri) и 0 < s2 < d {tn, pa). Тогда tn £ £ O+ (plf eJ П O~ (p2, e2). Из включений O+ (plt г,) с /+(pj и 0- (p2, e2) с I- (p2) получаем, что O+ (р1У ex) 0 О- (p2, e2) c (Pi) Л I~ (P2) c L/l cz [7, как и требуется. □ В полном римановом многообразии любые две точки можно соединить минимальным (реализующим расстояние) геодезическим сегментом. Исследуем теперь соответствующее свойство для про- странства-времени. Хокинг и Эллис (1977, с. 125) называют времениподобную гео- дезическую у, соединяющую р и q, максимальной, если ее индекс- ная форма отрицательно полуопределена. Это означает, что если геодезическая у не максимальна, то существуют вариации у,
3.1. Основные понятия и определения 89 которые дают кривые, проходящие из р в q «близко» от у и имею- щие лоренцеву длину, большую, чем у у. Но если у максимальна в указанном выше смысле, то никакая малая вариация у, сохра- няющая фиксированные точки р и q, не дает времениподобных кривых о из р в q, имеющих лоренцеву длину L (oj > L (у). Тем не менее в М может существовать геодезическая ах, идущая из р в q («далеко» от у) и такая, что d (р, q) = L (oj > L (у). Поэтому максимальность, как она определена Хокингом и Эллисом, не означает «максимальности в большом». Чтобы исследовать «мак- симальность в большом», мы примем на вооружение по аналогии с понятием минимальности в римановой геометрии определение максимальности, привлекая все кривые из пространства путей Qp>(7 (см. Бим и Эрлих (1977, определение 1)). Обоснованием нашего оп- ределения может служить излагаемая ниже теорема 3.13 (см. Бим и Эрлих (1979а, с. 166)) и ее приложения, в частности построе- ние геодезических как предельных кривых для последователь- ностей «почти максимальных» кривых (гл. 7) и определение лорен- цева множества раздела (гл. 8). Определение 3.10. Пусть р, q £ М, причем р < q и р =f= q. Кривая у С ^2?, q называется максимальной, если L (у) = d (р, q). Непосредственным следствием обратного неравенства треуголь- ника является Замечание 3.11. Если у: [0, 1 ] -> М из ПР)(г максимальна, то для любых s, t, связанных условием 0 < s < t < 1, имеем d (у («), У (0) = L (ТI t«. по- следующий результат, полученный несколько иначе Пенроу- зом (1972, предложение 7.2), является аналогом того принципа в римановой геометрии, что геодезические «локально» минимизи- руют длину (см. Бишоп и Криттенден (1967, с. 189, теорема 2)). Предложение 3.12. Пусть U — выпуклая нормальная окрест- ность с базовой точкой р 0 М. Обозначим через pq, где q £ 7+ (р), единственную непространственноподобную геодезическую с: [0, 1] -> U, для которой с (0) = р, с (1) = q. Если у — произвольная направленная в будущее непространственноподобная кривая в U, идущая из р в q, длина которой L (у) = d (р, q), то у совпадает с pq с точностью до параметризации. Доказательство. Для случая, когда q £ Н (р) и d (р, q) > 0, Пенроуз (1972, с. 53) показал, используя синхронную координат- ную систему, что если у — произвольный причинный путь в U из р в q, отличный от pq, то L (у) < L (pq) = d (р, q). Этот резуль- тат можно получить также, используя лемму Гаусса (см. след- ствие 9.19 разд. 9 1). Таким образом, для d (р, q) > 0 утвержде- ние доказано.
90 Гл. 3. Лоренцево расстояние Предположим теперь, что d (р, q) — 0. Пусть у — произвольная непространственноподобная кривая в U из р в q. Тогда L (у) < d (р, q) = 0. Поэтому у: Ю, 11 М — изотропная кривая. Предположим, что у (t) ф Int (pqY Обозначим через ух однозначно определяемую изотропную геодезическую в U, идущую из р в у (t), а через у2 однозначно определяемую изотропную геодезическую в U, идущую из у (t) в q. Согласно предложению 2.19 Пенроуза (1972, с. 15), либо у! * у2—гладкая изотропная геодезическая, либо р q. Вследствие того что d (р, q) = 0, последнее невозможно. Отсюда вытекает, что У1 * у2 — гладкая изотропная геодезиче- ская, которая в силу выпуклости U должна совпадать с pq с точ- ностью до параметризации. □ Доказанное предложение имеет важное следствие. Теорема 3.13. Если у С д В * * 11 выполняется равенство L (у) = = d (р, q), то у можно перепараметризовать так, чтобы получи- лась гладкая геодезическая. Доказательство. Зафиксируем на у произвольную точку у (t). Можно указать 6 > 0 так, чтобы выпуклая окрестность с базовой точкой у (t + 6) содержала у (U — б, t + 61). Согласно замеча- нию 3.11, кривая у | [t — б, t + б] максимальна. Поэтому предло- жение 3.12 обеспечивает возможность перепараметризации у | [t — б, t + б 1 в гладкую геодезическую. Ввиду произвольности выбора I теорема доказана. □ В качестве примера использования определения 3.10 и тео- ремы 3.13 приведем простое доказательство основного результата элементарной теории причинности (см. Пенроуз (1972, предложе- ние 2.20)), который обычно получают другими методами. Следствие 3.14. Если р с q, но не выполняется р Ду, tno существует изотропная геодезическая, идущая из р в q. Доказательство. Согласно предположениям причинности, сде- ланным относительно р и q, выполняется равенство d (р, q) = 0. Пусть у — направленная в будущее непространственноподобная кривая из р в q. По определению лоренцева расстояния d (р, q) L (у) 0. Поэтому L (у) = d (р, q) = 0 и у максимальна. По теореме 3.13 кривую у можно перепараметризовать в гладкую геодезическую с: [0, 11 -> М из р в q. Вследствие неравенства L (с) < d (р, q) = 0 эта геодезическая с должна быть изотроп- ной. □ В качестве второго примера использования элементарных свойств функции расстояния приведем доказательство существо- вания гладкой замкнутой времениподобной геодезической на любом компактном пространстве-времени, имеющем регулярное
3.1. Оснозные понятия и определения 91 накрытие с компактной поверхностью Коши. Используя беско- нечномерную теорию Морса (см. Клингенберг (1982)), можно по- казать, что любое компактное риманово многообразие допускает по крайней мере одну гладкую замкнутую геодезическую. Однако метод доказательства существенно опирается на положи- тельную определенность метрики и потому неприменим к лоренце- вым многообразиям. Тем не менее прямыми методами можно получить следующую теорему Типлера (см. Типлер (1979), где доказан более сильный результат). Теорема 3.15. Пусть (М, g)— компактное пространство- время с регулярным накрывающим пространством, которое гло- бально гиперболично и имеет компактную поверхность Коши, Тогда (М, g) содержит замкнутую времениподобную геодезическую. Доказательство. Вследствие компактности М существует зам- кнутая направленная в будущее времениподобная кривая у. [О, 11 М. Пусть р = у (0) = у (1). Обозначим через л: М -> М заданное накрывающее многообразие, а через у: [0, 11 -> М поднятие у, т. е. л ° у (t) = у (/) для всех t £ [0, 1 ]. Тогда у — направленная в будущее времениподобная замкнутая кривая в М. Положим рг = у (0), р2 — у (1). Из глобальной гиперболич- ности М вытекает, что р! и р2 — различные точки, которые не могут лежать на общей для них поверхности Коши. В силу того что накрытие л: М -> М регулярно, должно существовать пре- образование накрытия ф: М --> М, переводящее /ц в р2 (см. Вольф (1982, с. 53—56, 78)). Выберем компактную поверхность Коши Sx накрытия М, содержащую ри и положим S2 — ф (Sx). Вследствие того что (М, g) глобально гиперболично, функция расстояния d el (g): М х М R U {°°} принимает конечные значения и непрерывна. Поэтому посредством формулы f (s) — d (s, ф (s)) определяется непрерывная функция f: SL -> R. Заметим, что А -= sup (d (s, ф (s)): s £ Sx} > 0 вследствие того, что f (/ц) > 0. Более того, в силу компактности Sx А < оо и существует rx £ Sx, для которой d (гх, ф (/у)) =• А. Пусть с: [0, 1 1 -> М — времени- подобный геодезический сегмент, такой, что с (0) гх, с (1) = = ф (гх) и L (с) = d (гх, ф (гх)) = А. Эта геодезическая существует вследствие того, что (Af, g) глобально гиперболично. Так как g = л*g, то с = л ° с: [0, 1J М — времениподобная геоде- зическая, у которой в силу равенств с (0) = гх, с (1) = ф (гх) с (0) = с (1). Если с не является гладкой в с (0), то ее можно про- деформировать во времениподобную кривую о: [0, 11 -> М со следующими свойствами: Lg (о) > L (с), о (0) = о (1) £ л (Sx); при этом кривую о можно поднять до кривой о: [0, 1 1 —> М,
92 Гл 3. Лоренцево расстояние у которой 5 (0) С 5 (1) = ф (о (0)) £ S2. Но тогда Lg (а) = = L (с) > Lg (с) = L- (с) = А, что и приводит к противоре- чию. □ 3.2. Изометрические и гомотетические отображения Майерс и Стинрод (1939) и Палэ (1957) показали, что если отображение f риманова многообразия (7VX, gx) на риманово много- образие (М2, g2) сохраняет расстояние, то f является диффеомор- физмом, сохраняющим метрические тензоры, т. е. f*g2 = gx. В частности, каждое отображение (А\, gx) на себя, сохраняющее расстояние, является гладкой изометрией. В этом разделе, следуя Биму (1978а), мы приведем аналогичные результаты для лоренце- вых многообразий. Напомним, что диффеоморфизм f: (Мъ gx) -> (М2, g2) лоренцева многообразия (7ИХ, gx) на лоренцево многообразие (М2, g2) назы- вается гомотетичным, если существует постоянная с > 0, такая, что g2 {f*v, f*w) = cgx (v, uy) для любых v, w £ TpMt и p 6 A-lx. В частности, если с = 1, то f — (гладкая) изометрия. Группа гомотетических преобразований важна в общей теории относитель- ности вследствие того, что, как было показано Зиманом (1964) и Гебелем (1976), она является группой преобразований,сохраняю- щих причинную структуру большого класса пространств. Обозначим через dx лоренцеву функцию расстояния на (Мг, gx), а через d2 лоренцеву функцию расстояния на (А42, g2). Аналог гладкого гомотетического отображения для расстояния опреде- ляется следующим образом. Определение 3.16. Отображение f: (А4Х, gx) (Af2, g2) назы- вается гомотетично преобразующим расстояние, если существует постоянная с > 0, такая, что d2 (f (/?), f (</)) = cdx (p, q) для всех p, q 6. A4X. Если c = 1, то отображение f называют сохраняющим расстояние. Важно отметить, что для произвольных лоренцевых много- образий сохранение расстояния не означает непрерывности отобра- жения. Как мы видели, если (А4, g) — полностью искаженное про- странство-время, то d (р, q) = оо для любых р, q £ М (см. лемму 3.2 (б)). Отсюда следует, что любая теоретически мыслимая биекция f: М -+ М сохраняет расстояния, но не обязана быть не- прерывной. Теорема 3.17. Пусть (А4Х, gx) — сильно причинное простран- ство-время, а (М2, g2) — произвольное пространство-время. Если отображение f: (7ИХ, gx) (А42, g2) является гомотетично преоб- разующим расстояние (f не предполагается непрерывным), то f
3.2. Изометрические и гомотетические отображения 93 является гладким гомотетическим отображением, т. е. f — диффеоморфизм, и существует постоянная с > 0, такая, что f*g2 = с&1- В частности, каждое отображение сильно причинного пространства-времени на себя, которое сохраняет лоренцево рас- стояние, является изометрией. Следствие 3.18. Если (М, g)—сильно причинное простран- ство-время, то пространство отображений (М, g) на себя, гомоте- тично преобразующих расстояние, наделенное компактно-откры- той топологией, является группой Ли. Доказательство следствия 3.18. Так как (М, g) сильно при- чинно, то эта группа по теореме 3.17 совпадает с пространством гладких гомотетических отображений М на себя, сохраняющих ориентацию во времени. А последняя является группой Ли. □ Доказательство теоремы 3.17 разобьем на несколько лемм. Лемма 3.19. Пусть (АД, gx) и (АД, g2) —два пространства- времени и f: (Afx, gx) -> (АД, g2) — сюръективное (не обязательно непрерывное) отображение. Если f является гомотетично преоб- разующим расстояние, то (а) /> <с/ тогда и только тогда, когда f (р) <•?' f (q). (б) f (Н (р) П I- (Q)) = /+ (f (р)) П /- (f (<?)). Доказательство. Первое утверждение (а) выполняется вслед- ствие того, что d2 (f (р), f (q)) = cdx (p, q) и p Л q (соответственно f (p) Д f (?))» тогда и только тогда, когда dx (р, q) > 0 (соответ- ственно d2 (f (р), f (q)) > 0). Из того, что (а) обеспечивает справед- ливость отношений р г q в том и только том случае, когда f (р) < f (г) < f (q), получаем утверждение (б). □ Утверждение (б) важно вследствие того, что если (Af, g) сильно причинно, то множества {1+ (р) I~ (q): р, q £ М] образуют базис топологии на М. Напомним, что отображение f: АД -> М2 называется открытым, если f переводит каждое открытое множе- ство из АД в открытое множество из АД. Лемма 3.20. Пусть (АД, gx) — сильно причинное простран- ство-время, а (М2, g2) — произвольное пространство-время. Если f — отображение (АД, gx) на (М2, g2) (не обязательно непре- рывное), гомотетично преобразующее расстояние, то f открыто и взаимно однозначно. Доказательство. Открытость f немедленно вытекает из утверж- дения (б) леммы 3.19. Остается показать, что f является взаимно однозначным. Предположим противное: найдутся точки р и q из АД, такие, что f (р) = f (q). Пусть U (р) — открытая окрест- ность р, не содержащая q и такая, что никакая непространственно- подобная кривая не пересекает U (р) более чем один раз. Выберем
94 Гл. 3. Лоренцево расстояние t\, r2 £ U (р) так, чтобы rx р С г2. Ясно, что q /+ (гх) П П 1~ (г2). Согласно лемме 3.19, из f (гх) < f (р) — f (q) < f (r2) вытекает, что rx q Д г2. Это означает, что q £ 1+ (гх) П Л(г2), и требуемое противоречие получено. □ Прилагая результаты леммы 3.20 к f и f 1, получим Предложение 3.21. Пусть (/Их, gx) — сильно причинное про- странство-время, (М2, g2) — произвольное пространство-время и f — не обязательно непрерывное отображение Al, на М2. Если f является гомотетично преобразующим расстояние, то f — гомео- морфизм и (Л42, g2) сильно причинно. Доказательство. Отображение /_1 существует в силу того, что по лемме 3.20 f взаимно однозначно. Более того, f~l непрерывно, так как по той же лемме 3.20 отображение f открыто. Чтобы завершить доказательство, достаточно убедиться в том, что М2 сильно причинно, так как тогда в силу леммы 3.20 можно утверждать, что Д' — открытое отображение и, следовательно, f непрерывно. Взяв р' £ М2, положим р = Д1 (р'). Если г’ р' Я', то, применяя лемму 3.19 к отображению Д\ гомо- тетично преобразующему расстояние, получаем, что Д1 (г') •С Р Д. Д1 (<7 )• Пусть U' (р') — открытая окрестность точки р’. Выберем V' (р') cz U’ (р1) так, чтобы замыкание V (р') было компактным множеством, вмещающимся в открытую выпуклую нормальную окрестность W (р') точки р’. Можно считать, что (W" (р'), g21 W (р'У) глобально гиперболично. Пусть jr/J и \q',t] — последовательности в V (р'), сходящиеся к р', r'n р’, q'n -> р', и такие, что r’n < р' < q'n для всех п. Предположим, что сильная причинность М2 нарушается в точке р'. Это означает, что для каж- дого п множество /+ (r'n) П 1~ (д'п) не может содержаться в выпук- лой нормальной окрестности W' (р'), так как в противном случае множества /+ (г,',) f] I~ (q'n) дали бы произвольно малые окрестно- сти точки р', которые каждая непространственноподобная кривая пересекает самое большее один раз. Выберем последовательность точек {г'п\, содержащихся в границе V (р') и таких, что г'п £ € 1+ (г’п) П 7~ (q’n) для каждого п. Последовательность \г'п} имеет точку накопления г, потому что замыкание V (р') компактно. Кроме того, р-1 (г,',) С Д' (Д) П 1~ О = Н (Д1 П П I~(f~l(q'n)). Непрерывность f-1 означает, что -> р и Д' (.Qn) -> q, а сильная причинность приводит к тому, что множе- ства 1+ (/-1 (г'п)) П /-1 (f-1 (q’n)) подходят близко к точке р. По- этому f-1 (z'„) -> р, откуда следует равенство f~l (z) = р = f-1 (р'), которое противоречит взаимной однозначности Д1. Следовательно, М2 обязано быть сильно причинным, и предложение дока- зано. □
3.2. Изометрические и гомотетические отображения 95 Рассмотрим сильно причинное пространство-время М. Возьмем р С М и построим ее выпуклую нормальную окрестность U (р). Множество U (р) можно выбрать столь малым, что если q, г £ С (р) и связаны отношением q с г, то расстояние d (q, г) равно длине единственного геодезического сегмента a (q, г) с концами q и г, лежащего в U (р). Более того, U (р) можно выбрать так, что если q, z, г £ U (р) связаны соотношением q z < г, то обрат- ное неравенство треугольника d (q, г) > d (q, z) + d (z, г) обра- щается в точное равенство тогда и только тогда, когда z лежит на геодезическоМ-Сегменте с концами q и г, лежащем в U (р). Таким образом, времениподобные геодезические в сильно причинном пространстве-времени описываются при помощи функции рас- стояния, а отображения, гомотетично преобразующие расстояния, переводят времениподобные геодезические во времениподобные геодезические. Лемма 3.22. Если отображение f, гомотетично преобразующее расстояние, определено на сильно причинном пространстве-вре- мени, то f переводит изотропные геодезические в изотропные геодезические. Доказательство. Пусть U (р) — выпуклая нормальная окре- стность точки р, выбранная, как и в абзаце, предшествующем формулировке леммы, достаточно мала, так что f (U (р)) лежит в выпуклой нормальной окрестности точки f (р). Пусть далее а (Д г) — изотропная геодезическая в U (р). Выберем qn ->q и гп -> г, связанные отношением qn гп, где п любое. Тогда из предложения 3.21 вытекает, что f (qn) -> f (q) и f (rn) -> f (r). Отображение f переводит времениподобную геодезическую a (qn, rn) с концами qn и rn во времениподобную геодезическую a (f (qn), f (fn))- Вследствие сходимости геодезических a (qn, rn) к a (q, r) и геодезические a (f (qn), f (rn) сходятся к a (f (q), f (г)). Это озна- чает, что f отображает a (q, г) в a (f (q), f (r)). □ Доказательство теоремы 3.17. To, что f — диффеоморфизм, вытекает из результата, доказанного Хокингом, Кингом и Мак- картни (1976), которые установили, что гомеоморфизм, переводя- щий изотропные геодезические в изотропные геодезические, дол- жен быть диффеоморфизмом. Вследствие сильной причинности ЛК и ТИ2для каждой точки р £ существует выпуклая нормальная окрестность U1 (р), такая, что для точки q С Ui (р), подчиненной условию р q, длины времениподобных геодезических а (р, q), соединяющих р с q, и a (f (р), f (q)), соединяющих f (р) с f (q), соответственно равны dT (р, q) и d2 (f (р), f (q)). Из того, что d2 (f (р), f (q)) = с d1 (р, q), вытекает, что f отображает gt на тен- зор c-2g. □
96 Гл. 3. Лоренцево расстояние Хорошо известно, что если полное риманово многообразие не является локально плоским, то оно не допускает гомотетических отображений на себя, отличных от изометрий (см. Кобаяси и Но- мидзу (1981, с. 228, лемма 2)). Существенным местом в доказатель- стве этого факта является обоснование того, что любая гомотетия произвольного полного риманова многообразия, отличная от изометрии, имеет единственную неподвижную точку. Это можно сделать, применяя неравенство треугольника к римановой функ- ции расстояния и используя метрическую полноту произвольного геодезически полного риманова многообразия. Принимая во внимание теорему 3.17, интересно рассмотреть аналогичный вопрос о существовании гомотетических преобразо- ваний лоренцева многообразия, отличных от изометрических (см. Бим (19786)). Ниже мы будем использовать стандартную терминологию, называя гомотетические преобразования, отличные от изометрических, собственными. Заметим сначала, что R2 с лоренцевой метрикой ds2 = dxdy представляет собой пример глобально гиперболического геоде- зически полного пространства-времени, которое допускает собственное гомотетическое преобразование без неподвижных точек. Для произвольного фиксированного Р 0 и произвольно выбранного с > 0 отображение f (х, у) = (х + р, су) является гомотетическим отображением без неподвижных точек с коэффи- циентом гомотетии с. Поэтому в отличие от риманова случая для геодезически полных лоренцевых многообразий у собственно гомотетического отображения должно предполагаться наличие неподвижной точки. Предположим, что f является собственно гомотетическим преобразованием пространства-времени (М, g), так что f (р) = р для некоторой точки р £ М. Тогда f* : ТРМ -> ТРМ имеет по крайней мере один непространственноподобный собственный век- тор (см. Бим (19786, с. 319, лемма 3)). Однако этот собственный вектор может быть изотропным. Например, соединяя лоренцеву изометрию F (х, у) = (х ch t + у sh t, х sh / + у ch t), где t > 0 фиксировано, многообразия (R2, ds2 = dx2 — dy2) и рас- тяжение T (x, у) = (ex, су), с > 0, с 1, получим собственное гомотетическое преобразование f пространства-времени Минков- ского, сохраняющее начальную точку, так что f*(0 0) имеет изо- тропные собственные векторы. Но если f* : ТРМ -> ТРМ — собственно гомотетическое пре- образование, имеющее времениподобный собственный вектор с соб- ственным значением 7 < 1, то можно показать, что (М, g) является пространством-временем Минковского (см. Бим (19786, с. 319,
3.2. Изометрические и гомотетические отображения 97 предложение 4)). Также если f — гомотетическое преобразование с неподвижной точкой р и такое, что все собственные значения f* вещественны и по абсолютной величине меньше единицы, -Го (М, g) является пространством-временем Минковского (см. Бим (19786, с. 316, теорема 1)). Приведем пример неплоского пространства-времени, допуска- ющего глобально гомотетпческую деформацию. Пусть на М = = R3 задана метрика g = ds2 = e*zdxdy + dz2. Тогда если д , . д , д д , .- д . _ д и - --а~~— у о—-- с-r-—, w = а —5—г Ь-—. -с-— дх'ду'дг дх 1 ду 1 дг суть касательные векторы в точке (х, у, z), то , \ „ ab \ al> g (у, w) = exz-g--1- cc. Нетрудно проверить, что, хотя (М, g) и неплоское, преобразова- ние <pt: (R3, ds2) -> (1RS, ds2), задаваемое формулой <pf (х, у, z) = (е‘х, e~3ty, e~fz), является собственно гомотетией, у которой g (ф/,щ ф/, tw) = = e~'l'g (у, &у) для каждого фиксированного t =?£= 0. Однако сейчас мы покажем, что это пространство-время изо- тропно геодезически неполно. Пусть X = д/дх, Y = д/ду^и Z = = д/dz. Тогда все скалярные произведения, кроме g (X, Y) = = eXi/2, g (Z, Z) = —1, обращаются в нуль и [X, Y] = [X, Z] = 0. Отсюда, используя соотношение 2g (VoV, W) = Ug (V, W) + Vg (U, W) - Wg (U, V) + g ([U, vi, in — g Ж ivi, V) - g (iv, w), u), получим для связности Леви-Чивита пространства-времени следу- ющие формулы: VxX = zX, vrv=vzz=o, ---XTexzZ, YxZ = ^-X, yrZ = -±-Y. Таким образом, отличными от нуля являются только следу- ющие символы Кристоффеля: Гц = z, Г?2 = Г2] =--Г}3 = = = VL = Г|2 = Отсюда следует, что есл и у (0 = == (х (t), у (t), г (/)) — геодезическая, то обычная система диф- ференциальных уравнений второго порядка 4 Дж. Бим, П- Эрлих
98 Гл. 3. Лоренцево расстояние для у сводится к следующей системе: х" + г (х')2 + хх'г' = О, у" + xy'z' = О, ' : „ exz z"----g— хх'у' = 0. Непосредственными вычислениями можно убедиться в том, что у: (—1, оо) -> (К3, ds2), задаваемая по правилу у (t) = (In (1 + + t), 0, 1), удовлетворяет этой системе дифференциальных урав- нений, и, значит, существует единственная изотропная геодези- ческая, у которой у'(0) = д'дх |(о, о, о- Поэтому пространство- время (Rs, ds2) изотропно геодезически неполное. 3.3. Лоренцева функция расстояния и причинность В этом разделе мы исследуем связь между причинной структу- рой многообразия (М, g) и непрерывностью и конечностью лорен- цевой функции расстояния d = d (g): М х М -> R [) {оо) для этого многообразия. Наиболее простые свойства, включая утвер- ждение сформулированной выше леммы 3.2, собраны в следующей лемме. Напомним, что через Lor (А4) обозначено пространство всех лоренцевых метрик на М. С°-топология на Lor (М) опре- делена в разд. 2.2. Лемма 3.23. (a) d (р, </) > 0 тогда и только тогда, когда Я € . I* (р)- (б)' П ространство-время (М, g) является полностью искажен- ным в том и только том случае, когда d (р, q) = оо для любых p,q € М. (в) П ространство-время (М, g) является хронологическим в том и только том случае, когда d тождественно равно нулю на диа- гонали А (М) = \(р, р): р £ М} произведения М х М. (г) Пространство-время (М, g) является различающим будущее (соответственно прошлое) в том и только том случае, когда для каждой пары различных точек р, q ( М найдется некоторая точка х £ М, такая, что в точности одно из расстояний d (р, х) или d (q, х) (соответственно d (х, р) или d (х, q)) равно нулю. (д) Пространство-время (М, g) является устойчиво причинным в том и только том случае, когда существует окрестность U метрики g в С°-топологии на Lor (М), такая, что d (g') (р, р) = 0 для всех g’ б U и Р € AL Доказательство этих свойств проводится аналогично доказа- тельствам леммы 3.2 и замечания 3.3. □ Напомним, что лоренцева функция расстояния в общем случае не является полунепрерывной сверху. Поэтому непрерывность
3.3. Лоренцева функция расстояния 99 d (g) должна быть как-то связана с причинной структурой (М, g). Примером этого может служить следующий результат, впервые установленный Бимом и Эрлихом (1977, с. 1130). Здесь d считается непрерывной в точке (р, q) £ М х М, где d (р, д) = оо, потому что d (pn, qn) -* оо для всех последовательностейрп->рн qn -> q (см. лемму 3.4). Теорема 3.24. Пусть (М, g) — различающее пространство- время. Если d = d (g): М у. М -> k U {°°} непрерывна, то (М, g) причинно непрерывно. Доказательство. Нужно показать только, что /+ и 1~ внешне непрерывны. Предположим противное: 1+ не является внешне непрерывным. Тогда найдутся компактное множество К cz М \ \ /+ (р) и последовательность рп -> р, такие, что К Q /+ (р„) =£ 0 для всех п. Пусть qn £ К Л Н (рп), a \qm\ — подпоследова- тельность последовательности \qn\, такая, что qm сходятся к не- которой точке q компактного множества К. Тогда qm q и qm £ 6 Е (рт) означают, что должна существовать последовательность qln, сходящаяся к q так, что q'm £ 1+ (рт) для любого т. Вслед- ствие того что М \ /+ (р) — открытая окрестность q, найдется г (г М \ /+ (р), подчиненная условию q г. Тогда q'm Д г для достаточно больших т, а отсюда и р,„ Л q'm г. Тем самым справедливо неравенство d (р,„, г) d (рт, q’m) + d (q'm, г). Ис- пользуя полунепрерывность снизу расстояния и причинную связь q г, получаем 0 < d (7, г) с lim d (q'm, г). Следовательно, d (рп>, г) d (q, r)!2 > 0 для всех достаточно больших т. Однако ввиду того, что г (р), выполняется соотношение d (р, г) = 0, откуда следует, что d (р, г) =# lim d (pm, г). Таким образом, если d непрерывна, то /+ внешне непрерывно. Аналогичные рассуждения показывают, что 1~ является внешне непрерывным. Тем самым непрерывность d означает, что (Л4, g) причинно непрерывно. П Причинная непрерывность, напротив, не означает непрерыв- ности лоренцевой функции расстояния. Обозначим через (М, g) пространство-время Минковского с одной выколотой точкой. Пространство-время (М, Qg) 65 дет причинно непрерывным для любого гладкого конформного множителя О: Л4 -> (0, оо). Однако О можно выбрать так, что d = d (Qg) не является непрерывной (рис. 3.6). Обратимся теперь к описанию сильно причинных пространств при помощи лоренцевой функции расстояния. Определение вы- пуклой нормальной окрестности было дано в разд. 3.1. Пусть (М, g) — заданное пространство-время. Определение 3.25. Локальной функцией расстояния (D, U) на (М, g) называется выпуклая нормальная окрестность U вместе 4*
100 Гл. 3. Лоренцево расстояние Рис. 3.6. Обозначим через (М, g) пространство-время Минковского С выброшен- ной точкой г. Выберем р, q £ М так, чтобы в пространстве-времени Минков- ского точка г лежала на границе множества 7+ (р) П /“ (q), как показано на рисунке. Пусть {qn} — последовательность точек, сходящаяся к q, причем такая, что q <С <7п для каждого п. Существует гладкий конформный множитель fi: М -> -> (0, оо), равный единице на /+ (р) (~l 1~ (q) и такой, что d (fig) (р, qn)^2d (g)X X (р, q) для каждого п. Вблизи выброшенной точки г функция £2 будет неогра- ниченна. Ввиду того что d (g) (р, q) = d (fig) (/?, q) < lim d (fig) (p, qn), лоренцева функция расстояния причинно непрерывного пространства-времени (Л4, fig) разрывна в точке (р, q) £ М М. с функцией расстояния D.U х U -> R, индуцированной на U пространством-временем (U, g | U). Более подробно, пусть р, q £ U. Тогда D (р, q) = 0 в том случае, если в U не существует направленной в будущее времени- подобной геодезической с концами р и q. В противном случае, Z? (р, q) равно лоренцевой длине дуги однозначно определенного времениподобного геодезического сегмента в U с концами р и q. Хронологическое (соответственно причинное) будущее точки р относительно пространства-времени (77, g ) (7) будем обозначать через А (р, U) (соответственно через J+ (р ,U)). Лемма 3.26. Пусть (TH, g) — пространство-время и U — выпуклая нормальная окрестность (М, g). Пусть D: U у U -> -> R — функция расстояния для (U, g | U). Тогда D непрерывна на U х U и дифференцируема на — \(р, q) С U X И: q С е а (р. и)\. Доказательство. Для заданных р, q С U, связанных усло- вием q £ А (р, 17), обозначим через crq-. 10, 1 ] -> U единственный непространственноподобный геодезический сегмент, у которого Ср</ (°) = Р и ст (1) = q. Тогда D (р, q) = I—g (c'rq (0), сРЧ (О))]1-'2
3.3. Лоренцева функция расстояния 101 и [D (р, q) В = —g (срч (0), срч (0)). Из дифференцируемой зависи- мости геодезических от концевых точек в выпуклых окрестностях сразу же вытекает и непрерывность D на V х П, и дифференци- руемость D на U+. □ Пример пространства-времени Минковского показывает, что D не дифференцируема в направлениях, трансверсальных изо- тропным конусам, и поэтому не может быть гладкой всюду на U X U. Нетрудно видеть, что локальная функция расстояния (D, U) однозначно определяет лоренцеву метрику g на U. Следовательно, если \UU\ — покрытие М выпуклыми нормальными окрестно- стями с согласованными локальными функциями расстояния \(Da, Ua)\, то {(Da, однозначно определяет g на М. Попробуем теперь охарактеризовать сильно причинные про- странства при помощи локальной функции расстояния (см. Бим и Эрлих (1979в, теорема 3.4)). Теорема 3.27. Пространство-время (М, g) является сильно причинным в том и только в том случае, когда у каждой точки г С М есть выпуклая нормальная окрестность U, такая, что локальная функция расстояния (D, U) на U х U согласуется с функцией расстояния d = d (g): М х М. -> R J )оо|. Доказательство. Если (М, g) сильно причинно и г С Л4, то существует выпуклая нормальная окрестность U точки г, такая, что никакая непространственноподобная кривая, которая поки- дает U, в нее не возвращается. Тогда локальная функция рассто- яния для U согласуется с d = d (g) | (U х U). Обратно, предположим, что сильная причинность нарушается в некоторой точке г £ М. Пусть U — выпуклая нормальная окре- стность точки г, такая, что D (р, q) = d (р, q) для всех р, q £ U. Существует окрестность W cz U точки г, для которой любая направленная в будущее непространственноподобная кривая у: (0, 1 ] -> U, не продолжаемая в U в прошлое и подчиненная условию у (1) G содержит точку, не принадлежащую J+ (W, U). Вслед- ствие того что в г нарушается сильная причинность, найдется направленная в будущее времениподобная кривая ух: [0, 1 ] -> М, у которой г' = ух (0) £ W, ух (V2) ф U и ух (1) С 1Ё. По по- строению W существует точка р С Ti А П, для которой р ф J+ (г', U). Отсюда D (г', р) = 0. В то же время d (г', р) > 0, так как d (г', р) не меньше длины ух от г' до р. Поэтому D (г’, р) М d (г', р). Полученное противоречие доказывает справедливость утверждения теоремы. □ Следствие 3.28. Если (М, g) сильно причинно, то d непре- рывна в некоторой окрестности диагонали Д (М) = Цр, р): р С
102 Гл. 3. Лоренцесо расстояние G М) произведения М у М. Кроме того, для любой точки т £ £ М существует выпуклая нормальная окрестность U точки т, такая, что d | (U у U) принимает конечные значения. Используя лоренцеву функцию расстояния, приведем харак- теристику глобально гиперболических пространств, выделяющую их из класса всех сильно причинных пространств. Для этого сначала необходимо показать, что обычное определение гло- бальной гиперболичности можно несколько ослабить. В доказа- тельстве леммы 3.29 для обозначения замыкания мы будем поль- зоваться символом cl. Лемма 3.29. Пусть (М, g)—сильно причинное простран- ство-время. Если множество J+ (р) Q J- (р) имеет компактное замыкание для любых р, q £ М, то (М, g) глобально гиперболично. Доказательство. Необходимо показать только, что множество J+ (р) 11 (<?) всегда замкнуто. Пусть г £ cl (J+ (р) П J~ (<?)) \ \ (J+ (р) A J~ (?)) Выберем в J+ (р) П (<?) последователь- ность \сп\ точек, сходящуюся к г, и возьмем для каждого п на- правленную в будущее непродолжаемую в будущее непростран- ственноподобную кривую уп: [0, 1) -> М, подчинив ее условиям Р = Тп. (0) и q, гп С уп. Согласно предложению 2.18, существует направленная в будущее непродолжаемая в будущее непростран- ственноподобная кривая у: [0, 1) -> М, предельная для последова- тельности {уп(, причем р — у (0). Предельная кривая у не может быть захваченной в будущем никаким компактным подмножеством 7И вследствие сильной причинности (М, g) (см. предложение 2.9). Поэтому на у найдется точка х, удовлетворяющая условию х <ф. ф cl (J+ (р) П J~ (</)). Определение предельной кривой подразуме- вает наличие подпоследовательности {ут} последовательности {уп| и точек хт С ут, сходящихся к х. Вследствие того что х С cl (J+ (р) П J- (<?)), для достаточно больших т имеем хт <ф. <ф. J+ (р) Г) J- (q). Используя включение у,„ cz J+ (р), получаем, что для больших т х,п ф J- (</). Отсюда следует, что для больших т точка q лежит на у,,, между р и хт. Обозначим через у Ip, х] (соответственно у,„ [р, л',„]) часть у (соответственно уП|), соединя- ющую р и X (соответственно хт). Согласно предложению 2.21, можно считать, переходя, если необходимо, от {у,„ [р, х„, ]} к ее подпоследовательности, что \ут 1р, хт Ц сходится к у 1р, х] в С°-топологии на кривых. Из того, что q £ Ут 1р, хт 1 Для боль- ших т, получаем q £ у [р, х]. Кроме того, из того, что гт -> г и rm < q, следует включение г £ у (р, q). Поэтому г £ J+ (р) П П (q), что и приводит к требуемому противоречию. □ Напомним, что по определению 3.6 пространство-время (М, g) удовлетворяет условию конечности расстояния тогда и только Тогда, когда d (g) (р, q) < oq для всех р, q б: М. Это условие
3.3. Лоренцева функция расстояния (03 можно применить для того, чтобы выделить глобально гипербо- лические пространства среди всех сильно причинных пространств (см. Бим и Эрлих (19796, теорема 3.5)). Теорема 3.30. Сильно причинное пространство-время (М, g) является глобально гиперболичным тогда и только тогда, когда (М, g') удовлетворяет условию конечности расстояния для всех g' С С (М, g). Доказательство. Ранее уже было замечено (см. следствие 3.7), что если (М, g) глобально гиперболическое, то все метрики в С (М, g) удовлетворяют условию конечности расстояния. Обратно, допустим, что (М, g) не является глобально гипер- болическим. Из леммы 3.29 вытекает, что существуют точки р, q С М, для которых множество J+ (р) П J~ (q) не имеет ком- пактного замыкания. Пусть h — вспомогательная геодезически полная положительно определенная метрика на М, и пусть d0: М >- М -> ₽ — риманова функция расстояния, индуцирован- ная на М метрикой h. По теореме Хопфа — Ринова все подмноже- ства М, ограниченные относительно d0, имеют компактные замы- кания. Поэтому J+ (р) П J~ (q) неограниченно. Отсюда заключаем, что для каждого п можно выбрать рп С J+ (р) П J~ (q) так, что do (р, Рп) > И- Возьмем р' и q’, связанные условием р' << р <£ q С <?', и покажем, что существует конформный множитель Q, такой, что d (Qg) (р', q') = оо. Для каждого п > 1 в качестве уп выберем направленную в будущее времениподобную кривую из р' в р,гтак, что уп [1/2, 3/4] cz {г £ М: п — 1 < d0 (р, г) < п\. Обозначим через йп: М -> IR гладкую функцию, обладающую следующими свойствами: Qn (х) = 1, если х еД \г: п — 1 < d0 (р, г) < < п\, и длина уп [1/2, 3/4] в метрике Q;ig больше п. Пусть Й = = Пй;г. Это бесконечное произведение на М корректно опреде- лено вследствие того, что для каждого х М самое большее один из множителей Йп отличен от единицы. Тогда получаем, что d (Hg) (р', Pn) > п для каждого п > 1. Из того, что d (Qg) (р', </)>; d (Qg) (р', рп) d (Qg) (р;г, q') выполнено для любого п, вытекает соотношение d (Qg) (р', <?') оо. □ Обратимся теперь к доказательству того, что для различающего пространства-времени с непрерывной функцией расстояния вну- тренние шары будущего и прошлого образуют подбазис исходной топологии многообразия. Напомним, что В+ (р, е) = {q С 1+ (р): d (р, q) < е] = \q С М: 0 < d (р, q) < Д В“(р, е)= \q Е 7"(р): d(g, р)<ь] = \q 6 М: 0< d (q, р) <tl. Поэтому, определяя [р М -> R для i = 1,2 соотношениями Л = d (р, q) и (q) = d (</, p), получаем, что B+ (р, е) =
104 Гл. 3. Лоренцево расстояние = Д (0, е) и В' (р, е) = /J1 (0, ₽)• Отсюда вытекает, что если функция расстояния для (М, g) непрерывна, то внутренние шары В+ (р, е) и В~ (р, е) открыты в топологии многообразия М. Предложение 3.31. Пусть (7И, g) — различающее простран- ство-время с непрерывной функцией расстояния. Тогда набор (В+ (р, ех) Г) В~ (q, е2): р, <7 Е Л1, ет, образует базис исходной топологии многообразия. Доказательство. Соображения, изложенные выше, показы- вают, что множества вида ZP (р, ех) П В~ (q, е2) открыты в топо- логии многообразия. Поэтому достаточно показать, что для произ- вольной точки г М и произвольной ее окрестности U (г), от- крытой в топологии многообразия, существуют точки р, q £ Л'1 и числа ех, е2 > 0, для которых выполняется соотношение г £ Е В+ (р, ех) П В- (q, е2) с U (г). Теорема 3.24 обеспечивает причинную непрерывность (Л4, g), а, следовательно, также и сильную причинность. Поэтому можно выбрать выпуклую нормальную окрестность V a U (г) точки г, такую, что никакая непространственноподобная кривая, покида- ющая V, никогда в нее не возвращается и d: И х V R U {оо| принимает только конечные значения (см. следствие 3.28). Зафи- ксируем р, q б V, связав их с г соотношением р < г q. Тогда г С Н (р) А 1~ (<?) с Р вследствие того, что никакая непро- странственноподобная кривая из р в <7 не может покинуть V и вернуться. Полагая ех = d (р, г) + 1 и е2 = d (г, q) + 1, по- лучим г Е В+ (р, ех) П В' (q, е2) с= И (р) П 1~ (7) с V с U (/). Из этого соотношения получаем требуемое. □ Мы заключим этот раздел описанием вполне геодезических времениподобных многообразий при помощи лоренцевой функции расстояния. Аналогичный результат имеет место и для подмного- образий (не обязательно полных) римановых многообразий (см. Громол, Клингенберг и Мейер (1971, с. 177)). Пусть (М, g) — произвольное сильно причинное пространство- время. Рассмотрим гладкое подмногообразие i: N -> М и положим g = t*g. Напомним, что (N, g) называется времениподобным подмногообразием. (М, g), если g |р: TpN х TPN -> R является лоренцевой метрикой для каждой точки р £ Как обычно, мы будем отождествлять N и i (М). Пусть L, L и d, d — функци- оналы длины дуги и лоренцевы функции расстояния на (N, g) и (М, g) соответственно. Тогда, если у — гладкая кривая в (N, g), то L (у) =Д (у). Заметим также, что если q R /+ (р, N), то р <$' q
3.3. Лоренцева функция расстояния 105 в (М, g), а если q б. J+ (р, N), то р с q в (Л4, g). Поэтому из определения d и d немедленно следует, что d (т, п) < d (m, п) для всех ш, п £ N. (3.4) Используем сделанное замечание для доказательства следующего результата. Предложение 3.32. Пусть (N, g) — вполне геодезическое вре- мениподобное подмногообразие сильно причинного пространства- времени (М, g). Тогда для любой точки р £ N можно указать в N ее окрестность V, такую, что d | (И х V) = d | (V х V). Доказательство. Пусть IT — выпуклая окрестность точки р в (М, g), каждую пару точек которой можно соединить един- ственной геодезической в (М, g), лежащей в W, а если эти точки т, п £ W связаны отношением т < п, то эта геодезическая будет максимальной в (Л4, g). Тогда можно выбрать меньшую окрестность По точки р в М, лежащую в W, Vo cz W, и такую, что если V = Vv A N, то V содержится в выпуклой нормальной окрестности U точки р в N, причем U cz IT. Предположим сначала, что т, п б V и п Т (т, N). Ввиду того что V cz U, найдется непространственноподобная геодези- ческая у в (АД g), соединяющая в U т и п. Так как подмного- образие N вполне геодезическое, то у является непространственно- подобной геодезической в (Л4, g). Вследствие того что у содержится в V сз W, она максимальна в (М, g). Поэтому d (т, п) L (у) — = L (у) = d (m, п). Из соотношения (3.4) получаем равенство d (т, п) = d (m, п), как п требовалось. Остается рассмотреть случай, когда т, п б V и п ф J+ (т, N). По определению получаем, что d (m, п) == 0. Предположим, что d (m, ri) > 0. Тогда найдется времениподобная геодезическая ух многообразия (М, g), связывающая т и п в W. С другой стороны, из того, что т, п U, вытекает существование геодезической у3 многообразия (N, g), соединяющей т и п в U и являющейся пространственноподобной вследствие условия п ф J+ (т, П). Так как (АД g) вполне геодезическое, то у3 является также простран- ственноподобной геодезической (Л4, g), связывающей т и п в U cz cz W. Таким образом, у нас есть две различные геодезические ух и у3 из т в п в W, что противоречит условию. Отсюда следует, что d (m, ri) = 0 = d (m, п), как и требовалось. □ Докажем теперь обращение предложения 3.32. Предложение 3.33. Пусть (N, g) — времениподобное подмного- образие сильно причинного пространства-времени (Л4, g). Пред- положим, что для любой точки р б N в N существует ее окре-
106 Гл. 3. Лоренцево расстояние стность V, такая, что d | (I/ >< V) = d | (V х I'). Тогда (N, g) является вполне геодезическим в (М, g). Доказательство. Достаточно зафиксировать точку р £ N и по- казать, что вторая фундаментальная форма Sn в точке р обра- щается в нуль (см. определение 2.35). Так как любой касательный вектор из TPN можно представить в виде суммы непростран- ственноподобных касательных векторов, то достаточно показать, что Sri (v, ay) = 0 для всех непространственноподобных касатель- ных векторов из TPN. А так как —Sn (—v, w) == Sn (v, ay), to можно ограничиться рассмотрением только направленных в буду- щее касательных векторов из Tt,N. Пусть v £ TPN — направленный в будущее непространствен- ноподобный касательный вектор. Обозначим через у единственную геодезическую в (N, g), у которой у' (0) = v. Пусть далее V — окрестность точки р в N, на которой функции d и d совпадают. Выберем I >0 так, что если т == у (/), то m Е V п d (р, т) = — L (у | [0, 11) < 00 Тогда получим d (р, т) X* В (у) [0, Л) = L (у) 10, /1) ~-~= d (р. т). Но так как т б V, то d (р, т) — d (р, т) и, значит, L (у [0, /1) = — d (р, т). Отсюда по теореме 3.13 получаем; что у [0, 11 — геодезическая в (М, g). Таким образом, мы показали, что если v £ T7)N — произвольный направленный в будущее касательный вектор, то геодезическая в (Л4, g) с начальным направлением v является также геодезической и в (TV, g) вблизи р. Следовательно, Sn (v, и) = 0 для всех направленных в будущее непространствен- ноподобных касательных векторов. Так как сумма двух непарал- лельных направленных в будущее непространственноподобных векторов является направленной в будущее и времениподобной, то, переходя к билинейной форме S„ (v, w), полярной Sn (v, v), получим, что Sn (и, ш) = 0 для всех направленных в будущее непространственноподобных касательных векторов v, w TPN, как и требовалось. □ Объединяя предложения 3.32 и 3.33, получаем следующую характеристику вполне геодезических времениподобных подмного- образий сильно причинных пространств в терминах лоренцевой функции расстояния. Теорема 3.34. Пусть (Д1, g) — сильно причинное простран- ство-время размерности ^2. Предположим, что(П, i*g)— гладкое времениподобное подмногообразие (/VI, g), т. е. g = i*g — лорен- цева метрика на N. Тогда (N, g) является вполне геодезическим в том и только том случае, когда у любой точки р £ N есть окре- стность V в N, такая, что лоренцевы функции расстояния d на (N, g) и d на (.И, g) равны на V :< V.
Г лава 4 ПРИМЕРЫ ПРОСТРАНСТВЕННО- ВРЕМЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ В этой главе мы приведем большое количество примеров пространственно-временных многообразий. Некоторые из них интересны как с физической, так и с математической точки зрения. В частности, пространство-время Минковского, пространства Шварцшильда, пространства Керра и пространства Робертсона — Уокера имеют важные физические интерпретации. Пространство-время Минковского описывает одновременно и геометрию специальной теории относительности, и геометрию, индуцированную на каждом фиксированном касательном про- странстве произвольного лоренцева многообразия. Тем самым геометрия Минковского играет для лоренцевых многообразий такую же роль, как евклидова геометрия для римаиовых много- образий. Иногда пространство-время Минковского называют пло- ским пространством-временем. Однако обычно плоским называют любое лоренцево многообразие, тензор кривизны которого тожде- ственно равен нулю. Пространства Шварцшильда представляют собой сферически- симметричные пространственно-временные многообразия, пустые вне невращающихся сферически-симметричных тел. Вследствие то- го что солнца и планеты предполагаются медленно вращающимися и приближенно сферически-симметричными, пространства Шварц- шильда можно использовать при моделировании гравитационных полей вне этих тел. Эти же пространства можно использовать также и при моделировании гравитационных полей вне мертвых (т. е. невращающихся) черных дыр. Обычные координаты для шварцшильдовского решения вне массивного тела — (С г, В, <р), где t играет роль времени, аг — радиуса (см. Сакс и By (1977а, гл. 7)). Эта метрика имеет специальный, тесно связанный с ней радиус г = 2m. Точки, радиус которых равен г = 2т, соответ- ствуют поверхности черной дыры. Сразу же приходит в голову мысль, что при г --= 2т метрика имеет особенность. Однако теперь хорошо известно, что обычная метрика Шварцшильда с г > 2т может быть аналитически продолжена на точки, для которых О < г <; 2m. В действительности существует максимальное ана- литическое расширение пространства-времени Шварцшильда (см.
108 Гл. 4. Примеры пространственно-временных многообразий Крускал (I960)), которое содержит другую вселенную, лежащую по «ту сторону» черной дыры. Гравитационные поля вне вращающихся черных дыр, несо- мненно, соответствуют пространствам Керра (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 180, 361)). Эти пространственно-временные многообразия представляют собой стационарные осесимметричные метрики вне вращающихся объектов. Пространства Керра и Шварцшильда являются асимптотически плоскими и соответствуют мирам, которые пусты, за исключением одного массивного тела. Поэтому, хотя эти метрики можно рассматривать как допустимые модели вблизи заданного единственного массивного тела, их нельзя ис- пользовать в качестве крупномасштабных моделей для вселенной со многими массивными телами. Обычные космологические модели «большого взрыва» строятся на пространствах Робертсона — Уокера. Пространственно-вре- менные многообразия такого типа расслаиваются на специальное множество пространственноподобных гиперповерхностей так, что каждая гиперповерхность соответствует одному моменту времени. Группа изометрий / (Л4) пространства-времени Робертсона — Уокера (.-И, g) на этих гиперповерхностях постоянного времени действует транзитивно. Поэтому вселенные Робертсона — Уокера пространственно однородны. Более того, они пространственно изотропны в том смысле, что для каждой точки р ф М подгруппа группы изометрий i (Л4), сохраняющая р, транзитивна на напра- влениях из р, касательных к проходящей через р гиперповерх- ности постоянного времени. При рассмотрении пространств Ро- бертсона — Уокера мы будем использовать лоренцевы искривлен- ные произведения Мо Xf Н, описанные в разд. 2.6. Космологи- ческие допущения на вселенные Робертсона — Уокера означают, что (Я, h) — изотропное риманово многообразие. Следовательно, классификация двухточечных однородных римановых многообра- зий дает и классификацию всех пространств Робертсона — Уокера. Мы также покажем, как можно приспособить результаты разд. 2.6 для построения групп Ли с биинвариантными глобально гипер- болическими лоренцевыми метриками. 4.1. Пространство-время Минковского Пространство-время Минковского — это многообразие М — = R" вместе с метрикой п ds = — dx'\ + У dx?. i-—2 Это пространство-время ориентировано во времени векторным полем д/д.х^. Оно является также глобально гиперболическим
4.1. Пространство-время Минковского 109 Рис. 4.1. Пусть (7И, g) — пространство-время Минювского. Изотропный конус в точке р имеет полость будущего и полость прошлого. Полость будущего (соот- ветственно прошлого) является также контуром будущего Е+ (р) (соответственно прошлого Е~ (р)) точки р. Хронологическое будущее I* (р) — открытое вы- пуклое множество с границей £+ (р). В белее общих пространствах Н (р) может не быть выпуклым, но оно обязательно открыто. и в силу этого удовлетворяет всем условиям причинности, рас- смотренным в разд. 2.2. Геодезические пространства-времени Минковского в точ- ности совпадают с прямыми линиями евклидова пространства R", а аффинная параметризация этих геодезических в пространстве Минковского пропорциональна обычной евклидовой параметри- зации в R" длиной дуги. Изотропные геодезические, проходящие в пространстве Минковского через заданную точку р, образуют конус вращения с вершиной р. В частности, направленные в буду- щее изотропные геодезические, исходящие из р, образуют одну полость изотропного конуса. Эта полость является в R'' границей открытого выпуклого множества, которое представляет собой не что иное, как хронологическое будущее /+ (р) точки р. В про- странстве Минковского причинное будущее J+ (р) точки р совпа- дает с замыканием /+ (р). Контур будущего Е+ (р) = J+ (р) \ \ /+ (р) — это полость изотропного конуса в точке р, соответству- ющая будущему (рис. 4.1). Пространство-время Минковского является лоренцевым произведением (т. е. искривленным произведением в смысле опре- деления 2.38 с f = 1). Если на R задана отрицательно определен- ная метрика —dt2, а на R'!~1 задана обычная евклидова метрика go, то (Rn = R X R"-1, —dt2 @ go) есть n-мерное пространство- время Минковского. Рассмотрим в пространстве-времени Минковского две точки р = (рх, ..., рп) и q = (<?!, ..., qn). Хронологическое отношение р q выполняется, если р} <^ qx и (рх — q^2 > (р2— р2)2 +...
110 Гл. 4. Примеры пространственно-временных многообразий Рис. 4.2. Единичная сфера К (р, 1), соответствующая точке р, представляет собой половину двуполостного гиперболоида. Она некомпактна, и точка р не лежит в выпуклом открытом множестве, границей которого К (р, 1) является. ... + (рп — Рп)2 в R- Если р q, то расстояние между точ- ками р и q задается формулой d(/2, £/) = п (in - Qi)2 - Е (р, - qiT i=2 1/2 «Единичная сфера» в пространстве-времени Минковского с цен- тром в точке р определяется формулой К (р, 1) = \q Е М: d (р, q) — 1}. Однако в действительности это множество представляет собой одну из полостей двухполостного гиперболоида (рис. 4.2). Если из пространства-времени Минковского удалить одну точку, то оно уже не будет причинно простым, а значит, и гло- бально гиперболическим (рис. 4.3). Все пространство-время Минковского можно конформно отоб- разить на малое открытое множество, содержащее начальную точку. Это показано на рис. 4.4 (см. Пенроуз (1972, с. 98), Хокинг и Эллис (1977, с. 139)).
4.1. Пространство-время Минковского 111 Рис. 4.3. Показано двумерное пространство-время Минковского с одной выбро- шенной точкой q. Контур будущего точки р — это L-образная фигура, состоя!дая из полуоткрытого прямолинейного луча и полуоткрытого прямолинейного от- резка. Причинное будущее J+ (р) является объединением /* (р) и £+ (р). Заме- тим, что J+ (р) не совпадает с замыканием /+ (р) и вообще не является замкнутым. Рис. 4.4. Пространство-время Минковского конформно открытому множеству, заключенному в двух указанных изотропных конусах. Вершины i+ и i~ соот- ветствуют времениподобной бесконечности. Все направленные в будущее вре- мениподобные геодезические идут из i~ в i+. Множества 9 + и 9~ представляют изотропную бесконечность в будущем и в прошлом. Топологически 5'+ и 9~ представляют собой R X S"~2. Пересечение двух изотропных конусов - мно- жество, которое отождествляется с единственной точкой (°. Точка i° называется пространственноподобной бесконечностью.
112 Гл. 4. Примеры пространственно-временных многообразий Рис. 4.5. Показана диа- грамма Пенроуза для про- странства-времени Мин- ковского. Пространство-время Минковского и многие другие простран- ственно-временные многообразия можно представлять диаграм- мами Пенроуза. Укажем соглашения, используемые в диаграммах Пенроуза. Диаграмма Пенроуза является двумерным представлением сфе- рически-симметричного пространства-времени. Радиальные изо- тропные геодезические представляются изотропными геодези- ческими, проходящими под углами ±45°. Штриховая линия пред- ставляет полюс (г = 0) полярной системы координат. Точки, соответствующие гладким граничным точкам (см. разд. 11.5), которые не являются сингулярностями, изображаются простыми линиями. Двойные линии представляют неустранимые сингуляр- ности (рис. 4.5; см., например, также рис. 3.2 пространства- времени Райстнера — Нордстрема с в2 = /и2). 4.2. Пространства Шварцшильда и Керра В этом разделе мы опишем четырехмерные решения Шварц- шильда и Керра уравнений Эйнштейна. Пусть в К'4 введены коор- динаты (Л г, 6, ф), где (г, 6, ф) — обычные сферические коорди- наты в R3. Для заданной положительной постоянной т внешнее пространство-время Шварцшильда определяется на подмноже-
4,2. Пространства Шварцшильда и Керра 113 стве г > 2т пространства R4, топологически эквивалентном R2 X S2. Шварцшильдовская метрика в области г > 2т задается в координатах (/, г, 6, ф) следующей формулой: ds- = - - (J —dt2 + (1 - - ^-yldr2 + г2 (de2 + sinWcp2). Каждый элемент группы вращения SO (3) пространства R3 индуцирует движениешварцшильдовского решения. Именно для Ф Е SO (3) движение ф пространства-времени Шварцшильда опре- деляется формулой ф (/, г, 0, ф) = (t, ф (г, 0, ф)). Поэтому в фикси- рованный момент времени / внешнее пространство-время Шварц- шильда сферически-симметрично. Метрика этого пространства- времени инвариантна также относительно переноса времени i -+t + а. Координатное векторное поле d/dt является времени- подобным векторным полем Киллинга (которое есть градиент), и потому метрика называется статической. Это пространство- время является риччи-плоским (т. е. Ric = 0). Используя урав- нения Эйнштейна (см. добавление В), получаем, что тензор энер- гии-импульса для внешнего пространства-времени Шварцшильда тождественно равен нулю. Таким образом, это пространство- время пусто. Внешнее пространство-время Шварцшильда можно рассма- тривать как лоренцево искривленное произведение (см. разд. 2.6). Пусть на М == {(/, г) Е R2: г >2т| задана лоренцева метрика а на Н = S2 — обычная риманова метрика h постоянной секцион- ной кривизны I, индуцированная вложением S2 -э-R3. Определим функцию f: М ->-R по правилу / (/, г) = г2. Тогда (М Xf Н, g), где g = g © /h, представляет собой внешнее пространство-время Шварцшильда. Внешнее решение Шварцшильда физически представляет гра- витационное поле вне невращающегося сферически-снмметрич- ного массивного объекта. Сравнение с ньютоновской теорией (см. Эйнштейн (1916, с. 819), Патриа (1974, с. 217)) показывает, что т можно отождествить с гравитационной массой массивного тела. Внутри тела решение не имеет силы. Указанная выше форма внешней шварцшнльдовской метрики производит впечатление имеющей особенность при г 2т. Однако это не истинная сингулярность. Внешнее решение Шварцшильда можно аналитически продолжить через поверхность г = 2т. Крускал (1960) исследовал максимальное аналитическое рас- ширение пространства-времени Шварцшильда. Опуская 0 и ф, можно дать следующее двумерное представление этого максималь- ного расширения (рис. 4.6).
114 Гл. 4. Примеры пространственно-временных многообразий Рис. 4.6. Показана диаграмма.Крускала для максимального аналитического рас- ширения внешнего пространства-времени Шварцшильда. Расширенное простран- ство-время представляет собой связную невыпуклую область / (J II (J Г (J 1Г, ограниченную гиперболой, соответствующей г — 0. Точки этой гиперболы яв- ляются истинными сингулярностями пространства-времени. Прямые, проходя- щие под углами ±45с к горизонтальней оси, делят это пространство-время на четыре области. Область I соответствует внешнему решению Шварцшильда. Область II — «внутренность» невращающейся черней дыры. Область Г изо- метрична области I и соответствует другой вселенной по «ту сторону» черной дыры. Не существует кривой, которая была бы непространственноподсбноц ц шла из области I в область Г. Гравитационное поле вне вращающейся черной дыры не отве- чает решению Шварцшильда. Общепризнанным решением уравне- ний Эйнштейна для вращающихся черных дыр является решение Керра. В координатах Бопера и Линдквиста (t, г, 6, <р) метрики Керра задаются следующим образом (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 180)): ds2 == р2 г г О'2 + a2) sin2 0 dq? — d/2 j 2тг ^.n.2 g __ р где р2 = г2 + о2 и А = г2 — 2тг + о2. Постоянная т предста- вляет собой массу, а постоянная та — угловой момент черной
4.3. Пространства постоянной кривизны 115 дыры (см. Бойер и Прайс (1965), Бойер и Линдквист (1937)). Тотимацу и Сато (1973) привели серию точных решений, которые включают как частный случай решения Керра. 4.3. Пространства постоянной кривизны Известно, что два лоренцевых многообразия одной размерно- сти, имеющие постоянную секционную кривизну k, локально изометричны (см. Вольф (1982, с. 88)). Поэтому любое лоренцево многообразие постоянной нулевой секционной кривизны локально изометрично пространству-времени Минковского. В этом разделе будут рассмотрены модельные лоренцевы пространства постоян- ной ненулевой секционной кривизны. Обозначим через К" стандартное псевдоевклидово пространство с сигнатурой (—, ..., —, -I-, ..., -)-), где s отрицательных и п — s положительных собственных значений. Отсюда следует, что псев- доевклидова метрика на F" задается по правилу S п ds1 = — У dx j -р У dxj. «= I n h-i В частности, Rj есть /z-мерное пространство-время Минковского. Для г >0 мы определим также (см. Вольф (1982, разд. 2.4)) 5Г = {х е Ri!+I; —4 Е х! :• • • • к a;2i+1 == ,2) и Я" = {х Е Rz+I: —х? — х| К хз г • г x;1+i = —г2}. Топологически определенные выше множества эквивалентны соответственно 5" R1 X S”~', Я” 51 / R" 1 (см. Вольф (1982, с. 87)). Псевдоевклидова метрика на 'R"+l (соответственно на ₽2+') индуцирует на 5" (соответственно на Н'[) лоренцеву метрику постоянной секционной кривизны k +г"2 (соответ- ственно k = —г-2). Пространство-время X'1 является лоренцевым аналогом обычного риманова сферического пространства ра- диуса г и имеет положительную кривизну г2. Универсальное накрывающее многообразие Я" многообразия Я" топологически эквивалентно R,! и поэтому может рассматриваться как лорен- цевый аналог обычного риманова гиперболического пространства отрицательной кривизны —г~2. Определение 4.1. Пусть S'7 и Я'( определены, как указано выше. Тогда S;1 называется пространством-временем дг Ситтера (1-го рода), а универсальная накрывающая Я'7 многообразия Я"
116 Гл. 4. Примеры пространственно-временных многообразий Рис. 4.7. ;г-мерное пространство-время де Ситтера с положительной секционной кривизной г~2 яв- ляется подмножеством пространства-времени Минковского R”+1: -*1 + xl-\- ... 4-4+| = А Геодезические S" лежат на пересечении S” с пло- скостями, проходящими через начало коорди- нат Р"". называется (универсальным) пространством-временем де Ситтера (2-го рода). Замечание 4.2. (a) S" односвязно для п > 2, а Л| (S?) = Z. (б) S” глобально гиперболично и геодезически полно. (в) Н'( нехронологично вследствие того, что у (/) —- (г cos /, г sin /, 0, ..., 0} является замкнутой времениподобной кривой. Накрывающее пространство Н", хотя и является сильно причин- ным, также не глобально гиперболично. Пространство де Ситтера, представленное на рис. 4.7, можно покрыть координатами (t, %, 6, ср), где —оо <’ / <' оо, 0 < / < л, 0сб<ли0<ф< 2л. Здесь / — координата на R, а (%, 6, ф) — координаты на S3 (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 140—151)). В этих координатах метрика пространства-времени де Ситтера постоянной положительной секционной кривизны г’2 задается следующим образом: ds2 — —dt2 + г2 ch2 [d%2 + sin2% (d62 + sin2 бгйр2) 1. Эту формулу можно представить как метрику лоренцева искри- вленного произведения (см. разд. 2.6). Пусть /: R —>-(0, оо) за- дается по правилу f (/) — г ch2 a S3 наделено обычной пол- ной римановой метрикой постоянной секционной кривизны 1. Тогда пространство-время де Ситтера, описанное в локальных координатах, как указано выше, является искривленным произ- ведением (R X S3, —dt2 @ /Ь).
4.4. Пространства Робертсона—Уокера 117 Универсальное пространство-время де Ситтера 2-го рода кривизны k = —1 допускает введение координат (f, г, 6, <р), в которых его метрика имеет вид ds2 = —ch2 г (dt')2 + dr2 + sh2 r (dQ2 + sin2 6d<p2) (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 148, 155)). Рассматривая —(dt')2 как отрицательно определенную метрику на R, a dr2 4- sh2 г (dQ2 -j- + sin2 6d<p2) как полную риманову метрику h постоянной отри- цательной секционной кривизны —1 на трехмерном гиперболи- ческом пространстве Н = F'3, можно представить это простран- ство-время в виде искривленного произведения (R X/ Н, —fdt2 © © h), где искривляющая функция определена на римановом со- множителе Н (см. замечание 2.40). 4.4. Пространства Робэртсона — Уокера В этом разделе мы рассмотрим пространства Робертсона — Уокера с точки зрения лоренцевых искривленных произведений. Эти пространства включают в себя такие космологические модели общей теории относительности, как статическую вселенную Эйн- штейна и большой взрыв. Чтобы привести точное определение пространства-времени Робертсона — Уокера, необходимо сначала напомнить некоторые понятия из теории двухточечных однородных римановых многообразий и изотропных римановых многообразий. Пусть (Н, h) — риманово многообразие. Обозначим через / (Н) группу изометрий многообразия (Н, h), а через d0: Н X X Н -> R его риманову функцию расстояния. Определение 4.3. Риманово многообразие (Н, h) называется однородным, если группа 1 (Н) действует на Н транзитивно, т. е. для любых двух точек р, q Н существует изометрия </ £ J (Н), переводящая р в q-. q = q> (р). Далее, (Н, h) называется двухточеч- ным однородным, если для любых точек рг, qlt р2, q2 € Н, связан- ных соотношением dn (р1; <?х) = d0 (р2, q.2), существует изометрия <р Е I (Н), такая, что р2 = <р (р^) и q2 = q> (q^. Поскольку точки pi, qi, р2, q2 можно выбрать так, что р-, = = qit i = 1, 2, то двухточечное однородное риманово многообра- зие является также и однородным. Впервые двухточечные одно- родные пространства изучались Буземаном (1942) в более общей ситуации локально компактных метрических пространств. Вонг (1951, 1952) и Титс (1955) дали классификацию двухточечных однородных римановых многообразий. Заметим, что в определении 4.3 не требуется, чтобы риманово многообразие (Н, h) было полным. Тем не менее однородные римановы многообразия всегда полны.
118 Гл. 4. Примеры пространственно-временных многообразий Лемма 4.4. Если (Н, h) — однородное риманово многообразие, то (И, h) полное. Доказательство. Согласно теореме Хопфа — Ринова, доста- точно показать, что многообразие (Я, h) является геодезически полным. Предположим, что с: [а, 1) -+• Н — нормальная геодези- ческая, непродолжаемая в t 1. Взяв в Н произвольную точку р, можно найти постоянную а > 0, такую, что любая нормальная геодезическая, исходящая из точки р, имеет длину ^а. Положим 6 = min (а/2, (1 - о)/2) >0. Из того, что изометрии сохраняют геодезические, и из однородности (Н, h) вытекает, что любая нормальная геодезическая, исходящая из точки с (1 — 6), может быть продолжена до геодезической длины у>-2б. В частности, с можно продолжить до геодезической с. Iа, 1 + б) И, что про- тиворечит непродолжаемости с в / - 1. □ Замечание 4.5. Важно отметить, что утверждение леммы 4.4 для лоренцевых однородных многообразий в общем случае неверно (см. Вольф (1982, с. 118), Марсден (1973)). Напомним теперь понятие изотропного риманова многообра- зия. Для заданной точки р С (Н, h) изотропная группа Ip (И) многообразия (Я, h) в точке р определяется как замкнутая под- группа 1Р (Н) — {ф С I (Я), ф (р) = р} группы 7 (Я), состоящая из всех изометрий многообразия (Я, h), сохраняющих точку р. Дифференциал ф* произвольной изометрии ф £ 1РН отобра- жает ТРН на ТРН вследствие того, что ф (/?) — р. Так как h (ф*у, Ф*у) ~ h (у, v) для любого и £ ТрН, то дифференциал ф* отобра- жает единичную сферу SPH -- (v £ ТРН\ h (у, v) = 1) в ТРН также на себя. Определение 4.6. Риманово многообразие (Я, h) называется изотропным в точке р, если 1Р (Я) действует транзитивно на единичной сфере SPH касательного пространства ТРН, т. е. для любых v, w SPH существует изометрия ф Iр (Н), для кото- рой ф*1) — w. Риманово многообразие (Я, h) называется изотроп- ным, если оно изотропно в каждой точке. Покажем теперь, что класс изотропных римановых многообра- зии совпадает с классом двухточечных однородных римановых многообразий (см. Вольф (1982, с. 340)). Предложение 4.7. Риманово многообразие (Н, h) изотропно тогда и только тогда, когда оно двухточечно однородно. Доказательство. Напомним, что через d0 обозначена риманова функция расстояния многообразия (Я, h). Предположим сначала, что (Я, h) изотропно. Тогда для каждой точки р £ Я и любой непродолжаемой геодезической с: (а, Ъ) -+Н, с (0) = р, найдется изометрия ф £ Iр (Я), для которой ф*с'(0) = —с' (0). Отсюда
4.4. Пространства Робертсона—Уокера 119 в силу единственности геодезической ф (с (/)) с (—t) для всех t Е (а, Ь). Это означает, что длина с | (а, 0] равна длине с | (0, Ь). Так как в качестве р можно выбрать любую точку геодезической с, то а = —оо и Ь = оо. Поэтому (Я, h) геодезически полно. Из теоремы Хопфа — Ринова следует, что для любых двух точек Pi, P-г Е Н найдется геодезический сегмент с0 минимальной длины d0 (pi, р2)> соединяющий рх и р2. Пусть р — средняя точка сег- мента г0. Так как (И, h) изотропно, то найдется изометрия ф Е Е 1р (Я), которая обращает с0. Отсюда следует, что <р (р,) = р,. Значит, (Я, h) однородно. Остается показать, что если точки р1; . 9ь Р-2, Qi Е связанные условием d0 (ръ qy) -= d0 (р2, q2) > 0, заданы, то можно найти изометрию <[ I (Я), для которой <р (Pi) Ръ и <Р (я) = 9г- Выберем минимальные нормальные геодезические с, из pL в ср и с2 из р2 в q2. В силу однородности (Я, h) существует изометрия ip f / (Я), переводящая р1 в р2, ф (Pi) = Pi- Далее, так как (Я, h) изотропно, то можно найти *1 Е 1рг (ff), Для которой 1].t ((Ф ° 01)') (0) - со (0). Отсюда сле- дует, что ф == г] оф — требуемая изометрия. Предположим теперь, что (Я, h) — двухточечное однородное многообразие. Зафиксируем точку р Е Н и рассмотрим выпуклую нормальную окрестность U с базой в точке р. Выберем а > 0 так, чтобы ехрр (у) Е U для всех v Е ТРН, подчиняющихся условию h (у, у) < 0. Пусть теперь у, w Е ТРН — произвольная пара ненулевых касательных векторов, у которых h (у, у) = — h (w, к») < а/2. Положим qt = exp;jy и q2 = ехр;, w. Тогда 9i, q-2 Е и и d (р, 9х) = Г h (у, у) -- I h (ю, ю) = d (р, q2). Поскольку (Я, h) двухточечно однородно, найдется изометрия Ф С I (Я), для которой ф (р) -= р и ф> (i/x) = q2. Следовательно, Ф*у = w. Из линейности ТРН Т РН (для любого т; £ 1Р (Я)) вытекает, что 1Р (Я) действует на SPH транзитивно. Поэтому (Я, h) изотропно в точке р. Так как те же самые рассуждения проходят для любой точки из Я, то многообразие (Я, h) изотропно, как и требовалось. □ Следствие 4.8. Всякое изотропное риманово многообразие одно- родно и полно. Замечание 4.9. (а) Двухточечные однородные римановы много- образия хорошо известны (см. Вольф (1982, с. 340—348)). В ча- стности, нечетномерные двухточечные однородные (следовательно, изотропные) римановы многообразия — это в точности нечетно- мерные евклидовы, гиперболические, сферические и эллиптиче- ские пространства (см. Вонг (1951, с. 473)). (б) Астрономические наблюдения указывают, что простран- ственная вселенная приближенно сферически-симметрична вокруг земли. Это подсказывает мысль о том, что вселенную следовало бы
120 Гл. 4. Примеры пространстенно-временных многообразий моделировать трехмерным изотропным римановым многообра- зием. Тогда возникающие здесь возможности ограничиваются евклидовым, гиперболическим, сферическим и эллиптическим пространствами. С другой стороны, если предполагать только локальную изотропию, то возможностей становится существенно больше (см. Мизнер, Торн и Уилер (1977)). (в) Любое трехмерное изотропное риманово многообразие (И, h) имеет постоянную секционную кривизну и dim I (Я) = 6 (см. Уокер (1944)). Теперь мы подготовлены к тому, чтобы, используя лоренцевы искривленные произведения и изотропные римановы многообра- зия, определить пространства Робертсона — Уокера. Определение 4.10. Пространство-время Робертсона — Уокера (М, g) — это любое лоренцево многообразие, допускающее запись в виде лоренцева искривленного произведения (Л40 Xf И, g), где Мо = (а, Ь), — оо < а <С Ь с оо, — интервал с заданной на нем отрицательно определенной метрикой —dt2, (Н, h) — изо- тропное риманово многообразие, а [: Л40 —>-(0, оо) — искривля- ющая функция. В обозначениях разд. 2.6 имеем g = —dt2 @ /h; Л'/о Ху Н топологически эквивалентно произведению Мо X Н. Обозначая через da2 риманову метрику h многообразия Н и полагая S (t) = = i' f (t) , можно переписать лоренцеву метрику g для Мо У-.jH в более привычном виде: ds2 = —dt2 + S2 (/) do2. Отображение л: Л40 Ху Н ->-К, задаваемое правилом л (/, х) == = t, является гладкой временной функцией на Мо Н, так что лоренцево многообразие Мо yfH из определения 4.10 действи- тельно является (устойчиво причинным) пространством-временем. Кроме того, каждая поверхность уровня л"1 (с) отображения л: А40 Ху Н —Л40 6 R — это изотропное риманово многообра- зие, гомотетичное (И, h). Далее, группу изометрий I (Я) много- образия (Я, h) можно отождествить с подгруппой I (Я) группы изометрий I (Л40 Ху Я) следующим образом. Полагая <p С I (Я), определим ф ( / (Я) посредством соотношения <р (г, Ь) = = (г, <р (Ь)), где (г, Ь) С d40 X Я произвольна. В соответствии с этим определением ограничение I (Я) на поверхности уровня л"1 (с) отображения л действует транзитивно на каждой поверх- ности уровня. Вследствие того что все изотропные римановы многообразия являются полными, теорема 2.53 позволяет утверждать, что все пространства Робертсона — Уокера глобально гиперболичны. Из теоремы 2,56 известно также, что всякая поверхность уровня
4.4. Пространства Робертсона—Уокера 121 л-1 (с) = {с} X Н является поверхностью Коши многообразия Мо Xf Н. Следующим по простоте пространством-временем Робертсона — Уокера после пространства Минковского является статическая вселенная Эйнштейна. Пример 4.11 (статическая вселенная Эйнштейна). Пусть на 7И0 = R задана отрицательно определенная метрика —dt2, а на Н = S"'1 — стандартная сферическая риманова метрика. Если /: R —(О, оо) — тривиальная искривляющая функция, /=1, то лоренцево многообразие М == Ми /f Н = Мо :< Н предста- вляет собой n-мерную статическую вселенную Эйнштейна. В дву- мерном случае, п = 2, М является цилиндром R X S1 с плоской метрикой —di2 + dt)2. Если я X 3, то эта метрика для М = R X X S'! j уже не плоская вследствие того, что S" 1 имеет по- стоянную секционную кривизну, равную 1. В оставшейся части этого раздела мы ограничим наше внимание четырехмерными пространствами Робертсона — Уокера. Согласно замечанию 4.9, это искривленные произведения Д40 Ху И, где (Я, Ь) — евклидово, гиперболическое, сферическое или эллипти- ческое пространство размерности 3. В первых двух случаях Н гомеоморфно R3, в третьем случае Н = S3, и в последнем Н яв- ляется вещественным проективным пространством RP3. Таким образом, имеет место следующее утверждение. Следствие 4.12. Все четырехмерные пространства Роберт- сона — Уокера топологически эквивалентны либо R4, либо R X X S3, либо R X RP3. Согласно замечанию 4.9, секционная кривизна k многообразия (Я, h) постоянна. Если k отлична от нуля, то перенормировкой метрику на М можно привести к виду ds2 — —dt2 + S2 (/) do2, так что k равна либо 1, либо —1. Метрики такого вида обычно и изучаются в общей теории относительности. В физике космологические модели, построенные при помощи четырехмерных пространств Робертсона — Уокера, предпола- гаются заполненными идеальной жидкостью. Тогда для того, чтобы найти вид указанной выше искривляющей функции S2 (/), используются уравнения Эйнштейна (см. добавление В). Среди тех моделей, которые дает эта техника, есть и космологические модели большого взрыва (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 153—157)). Эти модели зависят от плотности энергии р и давления р идеальной жидкости, равно как и от космологической постоянной А в урав- нениях Эйнштейна. В космологических моделях большого взрыва все непродолжаемые непространственноподобные геодезические неполны в прошлом. Устойчивость этой неполноты при возмуще- ниях метрики будет рассмотрена в разд. 6.3. Астрономические
122 Гл. 4. Примеры пространсМвенно-временных многообразий наблюдения скоплений галактик показывают, что далекие скопле- ния галактик удаляются от нас. Это расширение вселенной пред- полагает существование в прошлом «большого взрыва», а также и то, что вселенная является скорее искривленным произведением с нетривиальной искривляющей функцией, а не просто лоренцевым произведением. Наблюдения излучения черных дыр подтверждает эти мысли (см. Хокинг и Эллис (1977, гл. 10)). 4.6. Биинвариантные лоренцевы метрики на группах Ли Цель этого раздела состоит в том, чтобы показать, как можно использовать теоремы 2.54 и 2.55 разд. 2.6 для построения боль- шого класса групп Ли, допускающих глобально гиперболические биинвариантные лоренцевы метрики. Сначала коротко изложим некоторые основные факты из эле- ментарной теории групп Ли. Подробности можно найти либо у Милнора (1965, гл. 4; доступное изложение), либо у Хелгасона (1964, гл. 2; изложение, требующее от читателя предварительной подготовки). Группа Ли — это группа G, которая, кроме того, является аналитическим многообразием, так что отображение G >; G -> G, задаваемое по правилу (g, h) -> gh~l, аналитично. Это умножение индуцирует левые и правые отображения сдвига Lg и Rg для каждого g С G: Lg (h) = gh и Rg (h) — hg. Риманова или лоренцева метрика (, ) на G называется левоинвариантной (соответственно правоинвариантной), если (Lfen, ~ -- (о, ш) (соответственно Rg,w) — (о, к,)) для всех g С С G, v, w Г TG. Метрики, являющиеся одновременно и лево- и правоинвариантными, называются биинвариантными. На всякой компактной группе Ли можно задать биинвариантную метрику при помощи процедуры осреднения, использующей меру Хаара (см. Милнор (1965, с. 122)). Фактически меру Хаара можно при- менять для построения биинвариантной римановой метрики на G по любой левоинвариантной римановой метрике для этой группы. Произвольная группа Ли может быть наделена левоинвариантной римановой (или лоренцевой) метрикой путем задания положи- тельно определенного скалярного произведения (соответственно произведения с сигнатурой п — 2) (, }с на касательном про- странстве TeG к G в единичном элементе е £ G и последующего определения отображения (, ) |g: TgG X TgG -> R по правилу (и, ю) Lg-lW) |е. (4.1) Таким образом, любая компактная группа Ли снабжается боль- шим набором биинвариантных римановых метрик. С другой стороны, хотя правило (4.1) и оснащает произволь- ную группу Ли левоинварпантной лоренцевой метрикой, стандарт-
4.5. Биинвариантные лоренцевы метрики 123 ная процедура осреднения при помощи меры Хаара, используемая для римановых метрик, не сохраняет сигнатуру (—, + , +), и поэтому ее нельзя использовать для превращения левоин- вариантных лоренцевых метрик в биинвариантные лоренцевы метрики. Однако вскоре мы увидим, что для некомпактных групп Ли, имеющих вид R > G, где G — произвольная группа Ли, допуска- ющая биинвариантную риманову метрику, можно построить большой класс биинвариантных лоренцевых метрик. Прежде чем предъявлять соответствующую конструкцию, необ- ходимо кратко остановиться на понятии произведения групп Ли. Пусть G и Н — группы Ли. Произведение многообразий G у. Н превращается в группу Ли, если умножение определить на нем по формуле (gi, >h) X (&>> М = (gigf hih2)- (4.2) Непосредственно из соотношения (4.2) следует, что если ст = = (g> Л) € G х Н, то отображения сдвига L„, Rn: G X Н -> -> G х Н задаются по правилам Lo — (Lg, Lh) и R^ = (Rg, Rh), т. e. (gt, 7ix) = (Lggt, LiJij) и т. п. Напомним, что Т,. (G X П) = TgG х Т\Н. Прямыми вычислениями можно убедиться в том, что для любого а £ G X И и любого касательного вектора § = = (о, да) £ Та (G х П) = TkG X ThH справедливы следующие формулы: = (Eg/Л Lktw) (4.3) и R'£ = (Rg.v, R„tw). ' (4.4) Если (, — лоренцева метрика на G, а (, )2 — риманова метрика на И, то ((,)) = (, )х ф (, )2 ~ лоренцева метрика на произведении G > И. Для касательных векторов £х = кнх) и £2 = (п2, w2) из пространства Т„ (G И), вспоминая опреде- ление 2.38, это можно записать следующим образом; «бь £2)) == (c'i> £’г)1 <^'2)2- Из формул (4.3) и (4.4) немедленно вытекает, что если (, )х — биинвариантная лоренцева метрика на G, а ( , )2—биинвариант- ная риманова метрика на Н, то ((,)) — биинвариантная метрика произведения G х Н. Подведем итог. Предложение 4.13. Пусть (G, (, )х) —группа Ли, наделенная биинвариантной лоренцевой метрикой и (И, (, )2) — группа Ли, наделенная биинвариантной римановой метрикой. Тогда (( , )) = = (, )i ® (, )2 — биинвариантная лоренцева метрика для произ- ведения групп Ли G х Н. Следовательно, (G у. И, ((,))) является
124 Гл. 4. Примеры пространственно-временных многообразий лоренцевым симметрическим пространством и, в частности, геодезически полно. Доказательство. Необходимо доказать только последнее утверждение, применяя для этого стандартные приемы из теории групп Ли. Напомним, что мы должны показать, что для каждого о t G х Н существует изометрия Io: G х Н -> G х И, которая оставляет о на месте и переворачивает геодезические, проходя- щие через о, т. е. нужно показать, что если у — геодезическая на G х Н и у (0) = о, то /о (у (0) = у (—t) для всех t. Это равно- сильно тому, что отображение А,: Т,, (G х Н) Та (G х Н) действует по правилу /с, (£) = —£, а также, что I„ = id. Мы будем следовать доказательству, предложенному Мил- нором (1966, с. 119, 122). Обозначим через е единичный элемент G X Н и определим отображение /е: G х Н -> G х Н посредством соотношения 1е (о) = о-1. Тогда Ie,'. Те (G х Н) Те (G х Н) задается формулой Ic, (v) — —v. Поэтому /г,: Те (G х И) -> —> Те (G х Н) является изометрией пространства Те (G х Н). Чтобы убедиться в том, что Л, — изометрия любого другого касательного пространства Та (G х И) -> Та-^ (G х Н), и, значит, в том, что Ц'- G х Н -> G X Н — изометрия, заметим просто, что /е = jRq—iI еЦг‘. Так как ((,)) биинвариантна, то все левые и все правые сдвиги являются изометриями. Тогда из формулы и того факта, что t |с — изометрия Те (G х Н), получаем, что TQ (G х Н) -> Ta-i (G х Н) также является изометрией. Поэтому отображение Ie: G х И -> G ;< Н является требуемой геодезической симметрией в е. Геодезическую симметрию 1<г для любого о £ G х Н опре- делим посредством формулы Ia = RoIcRo-i. Так как Ra и 7?a-i — изометрии вследствие биинвариантности ((,)) и, как мы только что показали, 1е — также изометрия, то G х И -> G х И является изометрией, и ясно, что 1а (о) = о в силу соотношения (/г) = = oh-1 о. Окончательно для любого £ С (G х Я) получаем (Л. (Яс;*)) = (~ = =адад=адл-о j ввиду того, что Ro-iZ Е Те (G х И). Таким образом, 1а пере- ворачивает геодезические в о, как и требовалось. Следовательно, мы доказали, что G X Н — симметрическое пространство. То, что любое симметрическое пространство геодезически полно, можно показать следующим образом. Пусть у геодезическая
4.5. Биинвариантные лоренцевы метрики 125 из /И и р == 7 (0). Предположим, что определена q = у (Л). Тогда при условии, что определены у (t) и у (I + 2Л), можно получить формулу (см. Милнор (1966, с. 119)) Мк (т (0) + 2Л). Поэтому, если геодезическая у первоначально определена на отрезке [0, Z], у: [0, /.] -> G х Н, то ее можно продолжить до геодезической у: [0, 22.] -> G х Н путем выбора q = у (М2), по- ложив у (0 = 1Ч1Р (у (t — /.)) для t G IX 2М. Ясно, что у таким способом можно продолжить на (—оо, оо). Тем самым (G .< И, ((,))) является геодезически полным. □ Предложение 4.13 имеет несомненный недостаток, состоящий в том, что в нем предполагается существование групп Ли (G, (, )х), наделенных бнинвариантными лоренцевымп метриками. Сейчас будет показано, что такие группы Ли можно строить из произ- ведений вида (R х G, —dt2 ф (, )), где (G, (, )) является груп- пой Ли, оснащенной римановой биинвариантной метрикой. Структура группы Ли на (R, d/2), которой мы будем поль- зоваться, индуцируется обычным сложением вещественных чисел. Соответственно этому будем пользоваться для обозначения «умно- жения» в группе Ли следующей записью: (а, Ь) .-->а + Ь, несмотря на используемое выше обозначение для групповой операции. Здесь R представляет собой аналитическое многообразие, опре- деляемое картой t: R R, t (г) = г. Обозначим через д/dt соот- ветствующее координатное векторное поле на R. Левые и правые сдвиги R„: R -> R задаются формулами L„ (г) = а + г и Ra (г) = г + а. Легко проверить, что если v = Xd/dt |r £ TrR, то LCfv, Rctv C Ta+r (R) задаются по правилу LCtv = Ra9v = — Mldt | a+r- Следовательно, —dt2 (LCtv, LCtv) = —dt2 (Retv, Ra,v) = —W = —dt2 (v, п), так что —dt'2 и лево-, и правоинвари- антна. Пусть (G, (, )) — группа Ли с биинвариантной римановой метрикой. Согласно доказанному в предложении 4.13, G является полным симметрическим пространством. Используя формулы (4.3) и (4.4), легко убедиться и в том, что метрика ((,)) = —dt2 ф (, ) является биинвариантной лоренцевой метрикой на R х G. (Здесь скалярное произведение векторов £х = (^d/dt |г, пх) и §2 = = (Z,2d/d/| г, п2), где пх, v2 С TgG, вычисляется по формуле ((£х, = —XxZ2 + g (пх, п2)). Произведение (R х G, ((, ))) глобально гиперболично по теореме 2.54 в силу того, что (G, (, )) — полное риманово многообразие. Таким образом, мы получили следующее утверждение. Теорема 4.14. Пусть на (R, —dt2) задана обычная структура addumuenou группы и (G, ( , )) — произвольная группа Ли с би- инвариантной римановой метрикой. Тогда метрика произвебения
126 Гл. 4. Примеры пространственно-временных многообразий ((,)) = —dt2 ® ( , ) является биинвариантной лоренцевой метри- кой для произведения групп Ли R х G. Поэтому (R х G, (( , ))) — геодезически полное глобально гиперболическое пространство- время. По группам Ли, однородным и симметричным пространствам, оснащенным биинвариантными индефинитными метриками, было проведено много исследований, инициированных работой Кар- тана, прежде чем современная теория причинности стала играть столь важную роль в общей теории относительности. Поэтому большая часть этих результатов была получена не для лоренцевых метрик, а для общих псевдоримановых метрик произвольной сигнатуры. Вместо того чтобы делать попытку дать сколь-либо подробный список ссылок, мы обращаем читателя к библиографии в книге Вольфа (1982). Большинство этих исследований связано с проблемой классификации всех геодезически полных псевдо- римановых многообразий постоянной кривизны («проблема про- странственных форм»). Две недавние работы по псевдоримановой теории групп Ли написаны Кулкарни (1978) и Номпдзу (1979). Работа Номпдзу посвящена специально лоренцевым метрикам: в ней рассматриваются вопросы существования левоинвариантных лоренцевых метрик постоянной кривизны на некотором классе некоммутативных групп Ли. ,, ,
Г лава б ПОЛНОТА И РАСШИРЕНИЯ В гл. 1 мы упоминали о том, что теорема Хопфа—Ринова гарантирует эквивалентность геодезической и метрической пол- ноты для произвольных римановых многообразий. Кроме того, любое из этих условий обеспечивает существование минимальных геодезических, т. е. для любых двух точек р, q £ М существует геодезическая из р в q, длина дуги которой равна метрическому расстоянию между этими точками. Если М компактно, то из теоремы Хопфа—Ринова следует также, что все римановы метрики на /И полны. Что касается некомпактного случая, то, как уста- новили Номидзу и Одзеки (1961), каждое некомпактное гладкое многообразие допускает полную риманову метрику. Обобщая их доказательство, Морроу (1970) показал, что полные римановы метрики на М образуют всюду плотное множество в компактно- открытой топологии в пространстве всех римановых метрик на /И (см. Фиган и Миллман (1978)). В первых трех разделах этой главы мы сопоставим (и про- тивопоставим) эти результаты со свойствами геодезической и метрической полноты для произвольных лоренцевых многообра- зий. В разд. 5.1 разбирается стандартный пример, показываю- щий, что геодезическая полнота, вообще говоря, не гарантирует существования максимальных геодезических сегментов, соеди- няющих причинно связанные точки. Напомним, однако, что класс глобально гиперболических пространств этим полезным свойством обладает. В разд. 5.2 мы рассмотрим такие формы полноты, как непространственноподобная геодезическая полнота, полнота ограниченного ускорения (о. у.) и fc-полнота, которые изучаются в теории сингулярностей общей теории относитель- ности (см. Кларке и Шмидт (1977), Эллис и Шмидт (1977)). Мы также докажем следствие из теоремы 8 Бима (1976а, с. 184), устанавливающее существование непространственноподобно пол- ных метрик для всех различающих пространств. В разд. 5.3 мы исследуем связь между лоренцевой метрической полнотой и конечной компактностью. В оставшихся четырех разделах этой главы мы рассмотрим расширения и локальные расширения пространства-времени.
128 Гл. 5. Полнота и расширения Вследствие того что расширение тесно связано с геодезической полнотой, оно играет важную роль в теории сингулярностей об- щей теории относительности (см. Кларке (1973, 1975, 1976), Хокинг и Эллис (1977), Эллис и Шмидт (1977)). В частности, обычно стремятся избегать исследований пространств, являю- щихся собственными подмножествами больших лоренцевых мно- гообразий, из-за того что такие собственные подмножества гео- дезически неполны. Пространство-время (/И', g') называется расширением про- странства-времени (М, g), если (Л4, g) можно изометрично вло- жить в собственное открытое подмножество (ЛГ, g'). Простран- ство-время, не имеющее расширений, называется либо нерасши- ряемым (см. Хокинг и Эллис (1977)), либо максимальным (см. Сакс и By (19776, с. 29)). Локальное расширение — это расширение подмножества ис- ходного пространства-времени определенного вида. В общем случае локальная нерасширяемость (т. е. отсутствие локальных расширений) влечет глобальную нерасширяемость. В силу того что вопросы расширения естественно связаны с границей про- странства-времени, в разд. 5.4 мы коротко опишем свойства Ь-границы Шмидта и причинной границы Герока—Кронхеймера— Пенроуза. В разд. 5.5 будут определены и изучены два вида локальных расширений. Будет показано, что если лоренцево многообразие не допускает локальных расширений любого из этих двух видов, то оно нерасширяемо. Мы также построим ло- кальное расширение пространства-времени Минковского, пока- зывающее, что, хотя Ь-полнота и вынуждает пространство-время быть (глобально) нерасширяемым, тем не менее она не препят- ствует его локальным расширениям. В разд. 5.6 локальные расширения связываются с сингуляр- ностями кривизны. Например, если (Л4, g) — аналитическое пространство-время, каждая времениподобная геодезическая у: [О, а) -> М которого, непродолжаемая через t = а, либо полна (в том смысле, что а = оо), либо соответствует сингулярности кривизны, то (Л4, g) не имеет аналитических локальных 5-гра- ничных расширений. 6.1. Существование максимальных геодезических сегментов Цель этого раздела двояка. Во-первых, мы напомним, что для произвольных лоренцевых многообразий геодезическая пол- нота не обеспечивает существования максимальных геодезических сегментов, соединяющих причинно связанные пары точек. Во- вторых, мы обсудим важный и полезный факт, что в глобально
5.1. Максимальные геодезические сегменты 129 Рис. 5.1. Показано универсальное на- крытие двумерного пространства-вре- мени де Ситтера второго рода Л1 = {(x, f): —л/2 < х < л/2}, метрика которого задается формулой ds2 = sec2 х (—dt2 + dx2). Точки p и q хронологически связаны в М. Однако максимальной времениподобной геоде- зической вЛ1изрв</не существует вследствие того, что все направленные в будущее времениподобные геодези- ческие, исходящие из р, фокусируют- ся в г. гиперболических пространствах геодезические, на которых рас- стояние реализуется, существуют. Универсальное накрывающее многообразие (Л4, g) двумерного пространства де Ситтера 2-го рода может служить примером того, что геодезическая полнота пространства-времени не обеспе- чивает существования времениподобной геодезической у, которая соединяла бы две произвольные точки р, q £ Л4, связанные от- ношением р q, и имела длину L (у) = d (р, q) (рис. 5.1). На- помним, что если у — произвольная направленная в будущее времениподобная кривая из р в q, длина которой L (у) = d (р, q), то у можно перепараметризовать во времениподобную геодези- ческую (см. теорему 3.13). Поэтому тот же самый пример пока- зывает, что существуют геодезически полные пространства, со- держащие такие точки р и q, что р q, но L (у) < d (р, q) для всех у £ Пространство-время (М, g) можно представить в виде полосы М = {(х, t) £ R2: — <х <л/2| в R2 с ло- ренцевой метрикой ds2 = sec2x (— dt2 + dx2) (см. Пенроуз (1972, с. 7)). Точки р и q на рис. 5.1 связаны отношением р q. Однако все направленные в будущее времениподобные геодези- ческие, исходящие из р, вновь фокусируются в будущем во вре- мениподобно сопряженной точке г. Поэтому времениподобных геодезических в М, идущих из р в q, нет. Вследствие этого среди кривых, соединяющих р и q, не существует ни максимальной вре- мениподобной геодезической, ни максимальной времениподобной кривой. 5 Дж. Бим, П. Эрлих
130 Гл. 5. Полнота и расширения Рассмотрим теперь, какие условия нужно наложить на про- странство-время для того, чтобы любую пару точек р, q £ М, где q J+ (р), можно было соединить геодезической, реализую- щей расстояние. Если М = R2 \ {(0, 0)} и имеет лоренцеву метрику ds2 = dx2 — dy2, то р = (0, —1) и q = (0, 1) — точки в М, расстояние между которыми d (р, q) = 2 >0, но которые нельзя соединить максимальной времениподобной геодезической. (Нужная геодезическая должна бы быть кривой у (t) = = (0, t), —1 < t < 1, проходящей через выброшенную точку (0, 0).) Правда, с др у гой стороны, это пространство-время является хронологическим, сильно причинным и устойчиво причинным. Поэтому имеет смысл ограничиться рассмотрением только класса глобально гиперболических пространств. Тем более что для этих пространств Авез (1963) и Зейферт (1967) показали, что любые точки р, q 6 М, связанные отношением р < q, можно соединить геодезической, которая имеет наибольшую длину среди всех направленных в будущее непространственноподобных кривых, идущих из р в q (см. теорему 2.14). На языке определения 3.10 это можно сформулировать следующим образом. Теорема 5.1. Пусть (Al, g)— глобально гиперболическое пространство-время. Тогда для любых точек р, q (- М, связанных условием q Т.П (р), существует максимальный геодезический сегмент у (- Йр><г, т. е. направленная в будущее непростран- ственноподобная геодезическая у, соединяющая р с q и такая, что L (у) = d (р, q). Мы дадим набросок доказательства этого результата, предло- женного Зейфертом (1967, теорема 1) (см. также Пенроуз (1972, гл. 6)). Вследствие того что (Л4, g) глобально гиперболично, можно показать, что для любой пары точек р, q £ М, связанных отношением р < q, пространство непространственноподобных пу- тей q компактно. С другой стороны, в силу строгой причин- ности (М, g) функционал длины дуги L: йР1<г->1Р полунепре- рывен сверху в С°-топологии (см. разд. 2.3). Поэтому найдется кривая у0 Е &Р,9, длина которой L (у0) = sup \L (у): у £ йр>9|. Методами вариационного исчисления нетрудно показать, что если у0 не является перепараметризованной гладкой геодезической, то можно построить кривую о £ большей длины L (о) > > L (у), что противоречит максимальности у0. В свою очередь, если L (у0) = sup {L (у): у £ йр, то L (уп) = d (р, q) по опре- делению лоренцева расстояния. Тем самым теорема 3.13 позво- ляет утверждать, что у0 с точностью до перепараметризации является гладкой геодезической. В случае когда р q, максимальную кривую у0 можно по- строить также, используя результаты разд. 2.3. Пусть/: /И -> R — глобально гиперболическая временная функция для (/И, g).
5.2. Геодезическая полнота 131 Выберем t0 так, чтобы f (р) < t0 < f (<?)• Тогда пересечение К = (р) Г! Т- (q) П (to) компактно и любая непространст- венноподобная кривая из р в q пересекает Д’. По определению лоренцева расстояния найдется кривая ytl R Qp> ч, для которой d(p,?)^Z.(T„)^d(/7,9) - где п — произвольное натуральное число. Пусть rn G уп f) Д’. Вследствие того что К компактно, подпоследовательность гп </> сходится к I' £ К. Согласно следствию 2.19, существует непро- странственноподобная кривая уо, проходящая через г, соединяю- щая р с q и предельная для последовательности \уп (,)}. Так как (М, g) сильно причинно, то из предложения 2.12 вытекает, что некоторая подпоследовательность последовательности (/)J сходится к у0 в С°-топологии. Используя замечание 2.22 и условие (1), получим, что L (у0) d (р, q). Отсюда по определе- нию расстояния L (у0) = d (р, q) и у0 можно (по теореме 3.13) перепараметризовать в гладкую геодезическую. Если р q и d (р, q) = 0, то, согласно следствию 3.14, как мы уже знаем, найдется максимальный изотропный геодезический сегмент из р в q. В связи с теоремой 5.1 следует отметить, что глобальная ги- перболичность не является обязательным условием для сущест- вования максимальных геодезических сегментов, соединяющих все пары причинно связанных точек. Пусть 7И = \(х, у) R2: О < х < 10, 0 < у < 10) оснащено лоренцевой метрикой, кото- рую оно получает как открытое подмножество пространства- времени Минковского. Вследствие того что геодезические на М являются евклидовыми прямолинейными отрезками, видно, что для любой пары причинно связанных точек существует соединя- ющая их максимальная геодезическая. С другой стороны, если р = (1, 1) и q = (1, 9), то /+ (р) П (q) некомпактно. Поэтому это пространство-время не может быть глобально гиперболи- ческим, хотя оно и сильно причинно. 6.2. Геодезическая полнота В теореме 3.9 мы показали, что лоренцеву функцию расстоя- ния можно использовать в сильно причинном пространстве- времени при построении подбазиса исходной топологии много- образия. В то же время множества \q £ М: d (р, q) < не могут образовывать базиса исходной топологии многообразия. Поэтому в общей теории относительности геодезическая полнота пространства-времени обычно рассматривается чаще, чем метри- ческая полнота. Пусть (М, g) — произвольное лоренцево многообразие. 5*
132 Гл. 5. Полнота и расширения Определение 5.2. Геодезическая с с аффинным параметром t на многообразии (М, g) называется полной, если эту геодези- ческую можно продолжить так, чтобы она была определена для всех значений параметра t, — оо < t < оо. Непродолжаемая ни в прошлое, ни в будущее геодезическая называется неполной, если ее нельзя продолжить до произвольно больших положитель- ных и отрицательных значений аффинного параметра. Неполные в будущем или неполные в прошлом геодезические можно опреде- лить аналогично. Аффинный параметр кривой с возникает в том случае, если существует такая параметризация кривой с, относительно ко- торой с (t) удовлетворяет дифференциальному уравнению геоде- зических (t) = 0 для всех t (см. Кобаяси и Номидзу (1981, с. 135)). Необходимость использования понятия аффинного пара- метра возникает вследствие того, что изотропные геодезиче- ские, длины которых равны нулю, не могут быть параметризо- ваны длиной дуги. Если s и t — два аффинных параметра для с, то из дифференциального уравнения геодезических вытекает суще- ствование постоянных a, b £ R, а =А= 0, таких, что s = at + b для всех значений t из области задания с. Отсюда следует, что пол- нота и неполнота, введенные в определении 5.2, не зависят от выбора аффинного параметра. В частности, если с — непродол- жаемая времениподобная геодезическая, параметризованная дли- ной дуги (т. е. g (с' (0, с' (0) = —1 для всех t из области опре- деления с), то с неполна, если L (с) < оо. Может случиться, что с неполна даже в том случае, если L (с) = оо. Это происходит, например, тогда, когда область определения с имеет вид (а, оо), где а > —оо. Некоторые точные решения уравнений Эйнштейна в общей теории относительности, как, например, расширенное решение Шварцшильда, содержат непространственноподобные геодезиче- ские, которые становятся неполными при входе в черную дыру. И хотя существование неполных непродолжаемых непространст- венноподобных геодезических вовсе не обязывает пространство- время содержать черную дыру, тем не менее эти примеры под- сказывают идею возможного использования наличия непростран- ственноподобной геодезической неполноты в качестве теста пер- вого порядка для выделения «сингулярных пространств» (см. Хокинг и Эллис (1977, гл. 8), Кларке и Шмидт (1977), Эллис и Шмидт (1977)). Поэтому нижеследующее определение в общей теории относительности является общепринятым. Напомним, что геодезическая называется непродолжаемой, если она непро- должаема ни в прошлое, ни в будущее. Определение 5.3. Пространство-время (М, g) называется вре- мениподобно (соответственно изотропно, непространственнопо-
5.2. Геодезическая полнота 133 добно, пространственноподобно) геодезически полным, если все времениподобные (соответственно изотропные, непространственно- подобные, пространственноподобные) непродолжаемые геодези- ческие полны. Пространство-время называется геодезически пол- ным, если все непродолжаемые геодезические являются полными. Совершенно аналогично пространство-время (А4, g) называется времениподобно (соответственно изотропно, непространственно- подобно, пространственноподобно) геодезически неполным, если некоторые времениподобные (соответственно изотропные, непро- странственноподобные, пространственноподобные) геодезические неполны. Непространственноподобно неполное пространство- время называется геодезически сингулярным пространством-вре- менем . Ранее высказывались предположения о том, что временипо- добная геодезическая полнота может повлечь за собой изотроп- ную геодезическую полноту и т. п. Однако Кундт (1963) привел пример пространства-времени, которое времениподобно и изо- тропно геодезически полно, но не является пространственнопо- добно геодезически полным. Затем Герок (19686, с. 531) построил пример пространства-времени, конформного пространству-вре- мени Минковского и потому глобально гиперболического, которое времениподобно неполно, но является полным и изотропно, и пространственноподобно. Герок заметил также, что модификации примеров Кундта и его собственных дают примеры пространствен- но-временных многообразий, которые: 1) неполны в любых двух смыслах, но непременно полны в третьем; 2) пространственнопо- добно неполны, но полны времениподобно и изотропно; 3) вре- мениподобно неполны, но полны и пространственноподобно, и изотропно. Затем Бим (1976в) построил пример глобально гипер- болического пространства-времени, которое изотропно неполно, но является и времениподобно, и пространственноподобно пол- ным. Эти результаты можно объединить следующим образом. Теорема 5.4. Времениподобная геодезическая полнота, изотроп- ная геодезическая полнота и пространственноподобная геодези- ческая полнота логически не эквивалентны. Чтобы пояснить конструкции, используемые при доказатель- стве теоремы 5.4, мы опишем принадлежащий Героку пример пространства-времени, которое является и изотропно, и прост- ранственноподобно полным, а времениподобно неполно. Пусть (R2, go) — двумерное пространство Минковского с глобальными координатами (х, t) и обычной лоренцевой метрикой g0 = (fs2 = = dx2 — dt2. Конформно преобразуем метрику g0 к новой метрике g = <pg0, где <р: R2 -> (0, оо) — гладкая функция со следующими свойствами (см. рис. 5.2): (1) <р (х, t) — 1, если х < —1 или х 1;
134 Гл. 5. Полнота и расширения (2) q (х, t) = <р (—х, t) для всех (х, t) Q Rs; (3) на оси t q (0, t) при 7 —> оо стремится к нулю, как /*4. Вследствие того что метрика g конформна метрике g0, про- странство-время (R2, g) является глобально гиперболическим, а изотропные геодезические имеют в качестве образов прямые линии, образующие с осью х углы в 45°. По свойству (2) отраже- ние F (х, t) = F (—х, t) является изометрией пространства (R2, g). Вследствие того что множество неподвижных точек этой изометрии является вполне геодезическим, ось t можно параметри- зовать так, чтобы она стала времениподобной геодезической. Согласно условию (3), эта геодезическая является неполной при t-* оо. Поэтому многообразие (Rs, g) времениподобно не- полно. Однако всякая изотропная, или пространственноподобная геодезическая, которая входит в полосу —1 с х с 1, в конце концов покидает ее, а затем остается вне этой полосы. Таким образом, условие (1) означает, что (R2, g) изотропно и простран- ственноподобно полно. Рассмотрим теперь обратную задачу — построение геодези- чески полных лоренцевых метрик для паракомпактных гладких многообразий. Чтобы сохранить причинную структуру исходного пространства-времени, ограничим наше внимание главным обра- зом не произвольными деформациями метрики, а лишь ее глобально конформными преобразованиями. Для риманова случая Номидзу и Одзеки (1961) показали, что произвольную риманову метрику можно сделать полной при помощи конформного преобразования. С другой стороны, сущест- вуют пространственно-временные многообразия, обладающие тем свойством, что никаким глобально конформным множителем их невозможно превратить в непространственноподобно геодезически полные. Пример двумерного пространства-времени с таким свой- ством был построен Мизнером (1967). В его примере есть непро- должаемые изотропные геодезические, которые неполны в буду- щем и захвачены в будущем компактным множеством (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 191—193)). Любое конформное преобразование рассматриваемого пространства будет оставлять эти изотропные геодезические точечно неизменными и неполными в будущем. Тем самым аналог результата Номидзу и Одзеки для произволь- ного пространства-времени получить нельзя. Тем не менее для пространственно-временных многообразий, удовлетворяющих некоторым условиям причинности, было до- казано существование непространственноподобно полных лорен- цевых метрик. Зейферт (1971, с. 258) показал, что если (714, g) устойчиво причинно, то 7И конформно пространству-времени, у которого все направленные"^ будущее (или все направленные в прошлое) непространственноподобные геодезические полны. Кларке (1971) показано также, что путем конформного преобра-
5.2. Геодезическая полнота 135 зования метрики сильно причинное пространство-время можно сделать изотропно геодезически полным. Бим (1976а) изучал пространственно-временные многообразия, обладающие следую- щим свойством: никакая непродолжаемая в будущее непростран- ственноподобная кривая не может быть захваченной в будущее произвольно взятым компактным подмножеством К из М. (На- помним, что непространственноподобная кривая у называется захваченной в будущем множеством К, если существует 1(1 Г IP, такое, что у (/) £ К для всех t £0-) Если (Д4, g) — причинное пространство-время, удовлетворяющее этому условию, то най- дется конформный множитель Q: М (0, оо), для которого многообразие (М, Qg) изотропно и времениподобно геодезически полно (см. Бим (1976а, с. 184, теорема 8)). Это условие захвата выполнено, если (М, g) устойчиво причинно, сильно причинно или является различающим. Тем самым мы можем сформулиро- вать следующий результат. Теорема 5.5. Если пространство-время (М, g) является раз- личающим, сильно причинным, устойчиво причинным или гло- бально гиперболическим, то существует гладкий конформный множитель Q : Л4 —> (С), оо), для которого пространство-время (М, Qg) времениподобно и изотропно геодезически полно. Вопрос о том, можно ли усилить теорему 5.5, включив в нее пространственноподобную геодезическую полноту, остается пока открытым (см. следствие 2.33 для пространственно-временных многообразий, гомеоморфных R2). Допустим, что несингулярным пространством-временем наз- вано геодезически полное пространство-время. Тогда «никакие области из пространственно-временного многообразия» несингу- лярного пространства-времени «не выброшены» (Герок (19686, свойство 1)). Но там же Герок (19686, свойство 2) выдвигает второе условие, которому должно удовлетворять несингулярное пространство-время, а именно «наблюдатели, которые следуют по «допустимым» (в некотором смысле) мировым линиям, должны иметь бесконечное полное собственное время». Здесь «мировая линия» — это времениподобная кривая в (М, g). Далее Герок (19686, сс. 534—540) строит геодезически полное пространство- время, содержащее гладкую времениподобную кривую ограни- ченного ускорения, но имеющую конечную длину. Тем самым этот пример не удовлетворяет второму условию Герока, хотя все времениподобные геодезические вследствие геодезической полноты имеют бесконечную длину. В соответствии с вышесказанным в общей теории относитель- ности кроме геодезически неполных пространств изучаются также другие типы сингулярных пространственно-временных многооб- разий. В оставшейся части этого раздела мы рассмотрим два из
136 Гл. 5. Полнота и расширения этих дополнительных типов полноты — о.у. полноту («полноту ограниченного ускорения») и b-полноту («полноту расслоения»). Понятие о.у. полноты возникает из рассмотренного выше при- мера Герока. Прежде чем сформулировать определение 5.6, на- помним, что любую С2-гладкую времениподобную кривую можно перепараметризовать в С2 — гладкую времениподобную кривую у: J -► М так, что g (у' (I), у' (t) = —1 для всех t £ J. Определение 5.6. Будем говорить, что С2 — гладкая времени- подобная кривая у: J -> М, у которой g (у' (f), у' (t)) = —1 для всех t J имеет ограниченное ускорение, если существует постоянная В > 0, такая, что | g (Vr/ (0> VvV (0) I < В для всех t £ J. Здесь через \/ обозначается единственная на М. связность без кручения, определяемая метрикой g (см. разд. 2.1). В част- ности, если у — геодезическая, то она имеет ограниченное уско- рение (всегда равное нулю). Требование С2-гладкости на у обеспе- чивает возможность вычисления Vv'?z- Перейдем теперь к определению о.у. полноты. Определение 5.7. Пространство-время (М, g) называется о.у. полным, если все направленные в будущее (соответственно в про- шлое) непродолжаемые в будущее (соответственно в прошлое) С2-гладкие времениподобные кривые с единичным вектором ско- рости и ограниченным ускорением имеют бесконечную длину. Если же найдется направленная в будущее (или в прошлое) непродолжаемая в будущее (или в прошлое) С2-гладкая времени- подобная кривая с единичным вектором скорости и ограниченным ускорением, но с конечной длиной, то (44, g) называется о.у. неполным. Пример Герока (19686, с. 534—540) показывает, что из геоде- зической полноты о.у. полнота не следует. Позже Бим (1976в, с. 509) привел пример того, что даже для глобально гиперболи- ческого пространства-времени геодезическая полнота не влечет за собой о.у. полноты. Вместе с тем ясно, что из о.у. полноты времениподобная геодезическая полнота вытекает с очевидно- стью. С другой стороны, модифицируя пример Герока, приведен- ный на рис. 5.2, путем изменения знака метрического тензора, можно показать, что из о.у. полноты пространственноподобная геодезическая полнота не следует. Более сильная форма полноты, b-полнота, обеспечивает гео- дезическую полноту и, следовательно, преодолевает этот послед- ний недостаток о.у. полноты. Для лоренцевых многообразий fe-полнота впервые изучалась Шмидтом (1971). Интуитивно ^-пол- нота определяется следующим образом (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 289)). Сначала обобщается понятие аффинного пара- метра с геодезических на все С1-гладкие кривые. Затем опреде-
5.2. Геодезическая полнота 137 Рис. 5.2. Показан принадлежащий Героку пример пространства-времени, кото- рое глобально конформно двумерному пространству Минковского, изотропно и пространственноподобно геодезически полно, а времениподобно геодезически неполно. В этом примере положительную полуось t можно параметризовать так, чтобы она стала неполной времениподобной геодезической (за счет выбора функции ср (х, {). при оо Гр (0, /) 0 как /~4) ляется понятие й-полноты: назовем пространство-время fe-полным, если каждая (^-гладкая кривая конечной длины относительно этого параметра имеет концевую точку. Перейдем теперь к более подробному рассмотрению fc-полноты. Прежде всего необходимо ввести понятие обобщенного аффинного параметра для произвольной С1-гладкой кривой у: J -> М. Напомним, что гладкое векторное поле V вдоль у представляет собой гладкое отображение V: J -> ТМ., такое, что V (t) £ ТущМ для всех t £ J. Гладкое векторное поле V называется параллель- ным вдоль у, если V удовлетворяет дифференциальному урав- нению уТ'Г (О = О для всех t J (см. добавление А). Обобщенный аффинный параметр р = р (у, Еъ ..., £п) для кривой у: J М можно построить следующим образом. Выбрав t0 G J произвольно, рассмотрим какой-нибудь базис \еъ ..., еп\ касательного пространства Ту М. Пусть £г — однозначно определенное векторное поле, параллельное вдоль у и такое, что Ei (io)=et, 1 < i < п. Тогда набор {£1(0. • Еп (t)\ образует базис
138 Гл. 5. Полнота и расширения пространства М для любого t £ J. Поэтому возможно раз- ложение у (t) = V1 (0 Et (f), где V1: J -> R для 1 < I < п. Обобщенный аффинный параметр р = р (у, Еъ .... Еп) задается следующей формулой: Предположение о ^-гладкости кривой у необходимо для того, чтобы получить векторные поля \ЕЪ Еп\ путем параллель- ного переноса. Можно убедиться непосредственно, что у имеет конечную длину дуги относительно обобщенного аффинного параметра р = р (у, Elt Еп) в том и только том случае, когда у имеет конечную длину дуги относительно любого другого обоб- щенного аффинного параметра р = р (у, Elt Еп), который вычислен относительно базиса на ТМ |v, также полу- ченного параллельным переносом вдоль у (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 288)). Отсюда следует, что понятие конечной длины дуги по отношению к обобщенному аффинному параметру не зависит от выбора этого параметра. Поэтому корректно следу- ющее определение. Определение 5.8. Пространство-время (М, g) называется Ь- полным, если каждая Сх-гладкая кривая конечной длины, из- меренной посредством обобщенного аффинного параметра, имеет в М концевую точку. Пусть у: J М — произвольная гладкая геодезическая. Взяв в предложенной выше конструкции Er (t) = у' (t), при любом выборе £2, ..., Еп имеем р (у, Ех Е2 ,..., En)(t) = t. Следова- тельно, 6-полнота влечет за собой геодезическую полноту. Кроме того, из 6-полноты вытекает о.у. полнота. Пример Герока (см. рис. 5.2) с измененным знаком метрического тензора показывает, что существуют глобально гиперболические лоренцевы много- образия, которые являются о.у. полными, а 6-неполны. Поэтому из о.у. полноты 6-полнота не следует. 5.3. Метрическая полнота Теорема Хопфа—Ринова для римановых многообразий (N, g0) утверждает, что следующие высказывания равносильны: (1) Многообразие N с римановой функцией расстояния d0: N х М -> [0, оо) является полным метрическим пространством, т. е. все последовательности Коши сходятся. (2) (N, g0) конечно компактно, т. е. все d0-ограниченные множества имеют компактное замыкание. (3) (N, g0) геодезически полно.
5.3. Метрическая полнота 139 Множество К в римановом многообразии (N, g0) называется (10-ограниченным, если sup jd0 (р, q): р, q (= /Q < оо. Из нера- венства треугольника вытекает, что последнее эквивалентно следующему условию: множество К содержится внутри замкну- того шара конечного радиуса. В разд. 5.2 мы рассмотрели геодезическую полноту лорен- цевых многообразий. В этом разделе мы будем рассматривать лоренцевы аналоги сформулированных выше условий (1) и (2). Непосредственно из определения лоренцева расстояния (т. е. d {р, q) = 0, если q ф J+ (р) видно, что следует ограничиться рассмотрением только времениподобных последовательностей Коши. Буземан (1967) изучал общие хаусдорфовы пространства, на которых вводилась частичная упорядоченность; причем свой- ства этой частичной упорядоченности весьма похожи на свойства хронологической частичной упорядоченности р q пространства- времени. Буземан предполагал также, что рассматриваемые им пространства (он называл их времениподобными пространствами) оснащены функцией, которая ведет себя в точности так же, как лоренцева функция расстояния хронологического пространства- времени, ограниченная на множество \(р, q) М х М: р q\. Он заметил, что для этого класса недиф^ренцируемых про- странств можно определить длину непрерывных кривых, и, более того, функционал длины оказывается полунепрерывным сверху в топологии равномерной сходимости (см. Буземан (1967, с. 10)). При изучении этого класса пространств целью Буземана было развитие геометрической теории для индефинитных метрик, аналогичной теории метрических G-пространств (см. Буземан (1962)). В частности, он изучал конечную компактность и метри- ческую полноту времениподобных пространств в духе условий (1) и (2) теоремы Хопфа—Ринова. Бим (19766) заметил, что буземановские определения конечной компактности и метрической полноты для времениподобных G-пространств можно приспособить и к причинным лоренцевым многообразиям. Начнем с определения понятия времениподобной полноты Коши для причинного пространства-времени. Определение 5.9. Причинное пространство-время (Л1, g) на- зывается времениподобно Коши-полным, если всякая последо- вательность {хп| точек, подчиненных условиям хп < хп+т для п, т = 1, 2, ... и d (хп, хп+т) < Вп (или же хп+т < хп и d (хп+т, хп) < Вп) для всех т 0, где Вп -> 0 при п -> оо, сходится. Для римановых многообразий конечную компактность можно определить, например, требованием, что все замкнутые метри- ческие шары компактны. С другой стороны, как мы заметили
i40 Гл. 5. Полнота и расширения выше (см. рис. 3.4), подмножества \q £ J+ (р): d (р, q) с е} произвольного пространства-времени некомпактны. Поэтому ри- маново определение должно быть видоизменено. Одна из возмож- ностей состоит в следующем (см. Буземан (1967, с. 22)). Определение 5.10. Причинное пространство-время (Al, g) на- зывается конечно компактным, если для любой фиксированной постоянной В > 0 и всякой последовательности точек \хп\, удовлетворяющих для всех п либо условиям р < q < хп и d (р, хп) < В, либо условиям хп < q < р и d (хп, р) < В, в М существует точка накопления для Нетрудно заметить, что без требования хп < q С р (или р q < Хп) для некоторого q £ М в определении 5.10 простран- ство-время Минковского не может быть конечно компактным (см. рис. 5.3). Для глобально гиперболических пространств можно привести описание конечной компактности, в большей степени напоминаю- щее условие (2), сформулированное выше для римановых много- образий. Лемма 5.11. Пусть пространство-время (М, g) глобально гиперболично. Тогда (М, g) является конечно компактным в том и только том случае, когда для любой постоянной В > 0 множе- ство \х £ М: р < q < х, d (р, х) < В} компактно для всех
5.4. Идеальные границы 141 p,q £ М, связанных отношением q С 1+ (р), а множество \х £ М: х < q р, d (х, р) < В\ компактно для всех р, q М, свя- занных отношением р £ /+ (q). Доказательство. Утверждение легко следует из того, что множества J+ (q) замкнуты и лоренцева функция расстояния вследствие глобальной гиперболичности (Л4, g) непрерывна. □ Пространство-время Минковского одновременно и времени- подобно коши-полно, и конечно компактно. Более того, можно показать, что эти понятия равносильны для всех глобально ги- перболических пространственно-временных многообразий (см. Бим (19766, с. 343—344)). Теорема 5.12. Пусть (М, g) — глобально гиперболическое про- странство-время. Тогда (М, g) является конечно компактным в том и только том случае, когда оно времениподобно коши-полно. Если же (М, g) глобально гиперболично и непространственно- подобно геодезически полно, то (М, g) конечно компактно и вре- мениподобно коши-полно. Замечание 5.13. Даже для класса глобально гиперболиче- ских пространственно-временных многообразий конечная ком- пактность, или, что равносильно, времениподобная коши-полнота, не означает наличия времениподобной геодезической полноты. В самом деле, приведенный на рис. 5.2 пример Герока представ- ляет собой времениподобно геодезически неполное глобально гиперболическое пространство-время, которое конечно компактно. 6.4. Идеальные границы В этом разделе мы приведем краткое описание свойств Ь- границы и причинной границы пространства-времени. Допол- нительные сведения и детали можно найти у Хокинга и Эллиса (1977, разд. 6.8 и 8.3) или у Додсона (1978). Будем обозначать b-границу пространства-времени (М, g) через Эта граница строится следующим образом: сначала на расслоении линейных структур L (М) над М определяется неко- торая положительно определенная метрика, затем строится замы- кание Коши L (М) и далее построенные идеальные точки L (Л4) используются для получения идеальных точек многообразия М. Особенно полезной Ь-граница оказывается при выяснении ответа на вопрос: выброшены или нет конкретные точки из исследуе- мого пространства-времени. Несколько жаль, что Ь-граница часто состоит из одной-единственной точки (см. Боссхард (1976), Джон- сон (1977)). Эта граница неинвариантна относительно конформных преобразований и, кроме того, не столь тесно связана с причинной структурой (М, g). Сравнительно недавнее обсуждение достоинств
142 Гл. 5. Полнота и расширения и недостатков й-гранпцы и геодезической неполноты мож- но найти в обзорной статье Типлера, Кларке и Эллиса (1980). Напомним, что кривая у. [0, а) —> М называется Ь-неполной, если у нее есть конечный обобщенный аффинный параметр (см. разд. 5.2). Всякая кривая у: [0, а) -> М, которая одновременно является и Ь-неполной, и иепродолжаемой в t =а, определяет точку границы дьМ, соответствующую у (а). В пространстве-времени Минковского значения обобщенного аффинного параметра вдоль кривой можно сделать такими, чтобы они соответствовали евкли- довой длине дуги. Поэтому пространство-время Минковского имеет пустую й-гранпцу, и каждая й-неполная кривая в простран- стве времени Минковского имеет в этом пространстве-времени концевую точку. Причинную границу пространства-времени (Л4, g) будем обо- значать через д^М. Эта граница строится при помощи при- чинной структуры пространства-времени. Поэтому она инвариантна относительно конформных преобразований. Нас будет интересовать использование этой границы только для сильно причинных пространственно-временных многообра- зий. Причинная граница образуется при помощи неразложимых в прошлом (соответственно в будущем) множеств, которые не соответствуют прошлому (соответственно будущему) никакой точки из М. Множество прошлого (соответственно будущего) есть такое подмножество А многообразия М, для которого /" (Л) с А (соответственно /+ (А) с А). Открытые множества прошлого (со- ответственно будущего) описываются равенствами 1~ (А) = А (соответственно /+ (А) = А). Неразложимым множеством прош- лого (сокращенно НП) называется всякое открытое множество прошлого, которое нельзя представить в виде объединения двух собственных подмножеств, каждое из которых было бы открытым множеством прошлого. Аналогично определяется неразложимое множество будущего (сокращенно НБ). Г раничным неразложимым множеством прошлого (ГНП) на- зывается подмножество А многообразия М, такое, что (1) А — неразложимое множество прошлого; (2) А не является хронологическим прошлым никакой точки Р G М. Аналогично определяется граничное неразложимое множество будущего (ГНБ). Причинная граница д,,М образуется при помощи множеств ГНП и ГНБ путем некоторых отождествлений, кото- рые будут описаны ниже (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 241—245)). Эти отождествления позволяют продолжить топологию М на М* = М U дсМ таким образом, что причинное замыкание мно- гообразия М будет хаусдорфовым.
5.4. Идеальные границы 143 Рис. 5.4. Идеальная точка р из дсМ представляется граничным неразложимым множеством прошлого (ГНП) А, а идеальная точка q — граничным неразложи- мым множеством будущего (ГНБ) В. Точка г представляется одновременно и множеством С, которое является ГНП, и множеством D, которое является ГНБ. Назначение ГНП и ГНБ состоит в том, чтобы представлять идеальные точки причинной границы многообразия (Л4, g), как показано на рис. 5.4. Покажем теперь, что ГНП можно представить как хроноло- гическое прошлое непродолжаемой в будущее времениподобной кривой. Этот результат принадлежит Героку, Кронхеймеру и Пенроузу (1972, с. 551). Предложение 5.14. Подмножество W сильно причинного про- странства-времени (М, g) является ГНП в том и только том случае, когда существует направленная в будущее и непродол- жаемая в будущее времениподобная кривая у, для которой 117 = = Г (у). Доказательство. Предположим сначала, что существует не- продолжаемая в будущее времениподобная кривая у, для кото- рой W = Г (у). Из сильной причинности многообразия (Л4, g) вытекает, что если 117 есть НП, то 117 есть ГНП. Чтобы показать, что 117 является НП, предположим, что 117 = 1Д U U2 для не- пустых открытых множеств прошлого 1Д и (72, ни одно из которых не лежит в другом. Возьмем точки ry £ U1\ U2 и г, U2 \ U±. Тогда в силу равенства (у) = Hi (J U2 должны существовать точки r'i £ у, такие, что rf Г (r’t) для i = 1, 2. Однако неза- висимо от того, какое из множеств Ut содержит наиболее отне- сенную в будущее точку г{ или г2, оно должно содержать все
144 Гл. 5. Полнота и расширения четыре точки rlt г2, г{ и fi. Это противоречит определению либо точки г1г либо точки г2. Обратно, допустим, что W является ГНП. Если р — произ- вольная точка W, то IF = [IF П /+(р) ] U [W \ /+ (р) 1 и, значит, IF = Г (W П /+ (р)) U Г (IF \ /+ (р)) в силу того, что IF — множество прошлого. Так как IF — НП, то либо IF = = Г (IF П /+ (р)), либо IF = Г (VF\ 1+ (р)). Следовательно, если р Г (IF П /+ (р)), то W = Г (VF\ /+ (р)). Таким обра- зом, для любой пары точек р и q из IF, р =# q, в этом множестве должна найтись некоторая точка г, которая будет лежать в хро- нологическом будущем обеих точек р и q. Рассуждая по индук- ции, получаем, что для любого конечного подмножества из IF в IF можно указать некоторую точку, которая расположена в хронологическом будущем каждой точки этого подмножества. Выберем теперь последовательность точек рп, образующую счет- ное всюду плотное подмножество IF. Вторую последовательность qn определим индуктивно. Пусть точка q0 £ IF находится в хро- нологическом будущем точки р0. Если qt определены для всех i = 1, ..., k — 1, то точку qh в IF выбираем так, чтобы она рас- полагалась в хронологическом будущем и точки ph, и точек qit i = 1, ..., k — 1. Наконец, пусть у —• произвольная направленная в буду- щее времениподобная кривая, которая начинается в q0 и после- довательно соединяет точки р;. Ясно, что каждая точка рп лежит в /" (у) и что Г (у) с IF. Из того, что IF открыто, а последо- вательность \рп\ расположена в IF всюду плотно, вытекает, что IF = Г (у), как и требовалось. □ В пространственно-временных многообразиях, которые не яв- ляются сильно причинными, могут существовать направленные в будущее и непродолжаемые в будущее времениподобные кривые у, такие, что Г (у) является хронологическим прошлым неко- торой точки (т. е. Г (у) не ГНП). Рассмотрим, например, цилиндр R1 X S1 с плоской метрикой ds2 = dtdf) и обычной ориентацией во времени, для которой будущее соответствует возрастанию t. Нижняя половина цилиндра IF = \(t, 6): t < 0} является НП, которое можно представить как Г (у) для направленной в буду- щее и непродолжаемой в будущее времениподобной кривой у. Однако IF не является ГНП вследствие того, что IF можно пред- ставить как хронологическое прошлое любой точки окружности t = 0. Ограничивая наше внимание сильно причинными простран- ствами, мы избежим примеров такой природы. Для сильно при- чинных пространств НП, не являющиеся ГНП, находятся во взаимно однозначном соответствии с точками из М. Анало- гичное утверждение справедливо и для НБ, не являющихся ГНБ.
5.5. Локальные расширения 145 Обозначим через М (соответственно /И) объединение всех НП (соответственно НБ). Пусть далее М# = М (J М1~, где для каждой точки р Q М элементы Г (р) из М и В (р) из М отождествляются. Отображение /+: М -> М#, задаваемое пра- вилом р -> /+ (р), отождествляет М с подмножеством М#. Исполь- зуя это отождествление, мы можем утверждать, что множество М# соответствует точкам М вместе со всеми ГНП и ГНБ. Чтобы задать на М# топологию, определим сначала для про- извольного НБ А £ М два множества Л‘п* и Aext: Aint = {у £ М: V fl А #= 0} и Aext = {у (С М: V = Г (W) влечет 7+ (IF) ф А}. «*ч Аналогично для произвольного НП В С: М определяются мно- жества Bint и Bext. Подбазис топологии на М# задается всевоз- можными множествами вида Aint, Aext, Bint и Bexi. Множества Aint и B'№t являются аналогами множеств /+ (р) и /" (р) соот- ветственно, а множества Aext и Bext — аналогами множеств М \ В (р) и М \ (р) соответственно. Множество М* = М (J дсМ получается из М#, наделен- ного построенной выше топологией, путем отождествления наи- меньшего числа точек в М#, необходимых для получения хаус- дорфова пространства. Другими словами, М* есть факторпро- странство M#lRh, где Rh — пересечение всех отношений эквивалентности R на М#, для которых M#/R хаусдорфово. Топо- логическое пространство М* содержит подмножество, которое можно отождествить с М при помощи отображения /+: М описанного выше. При этом отождествлении исходная топология многообразия М согласуется с относительной топологией, ин- дуцированной на /+ (/И) как подмножестве М*. Выбрасывая подмножество I+ (М) из пространства М*, получим причинную границу дсМ. Эта граница состоит из ГНП и ГНБ, где отожде- ствления проведены так, как указано выше. Наконец, отождест- вляя М с подмножеством В (М) пространства М*, получаем требуемое разложение М* = М U дсМ. б.б. Локальные расширения В этом разделе определяются расширяемость и нерасширяе- мость лоренцевых многообразий. Кроме того, здесь рассматри- ваются два типа локальных расширений. Большинство резуль- татов этого раздела справедливо как для пространственно-вре-
146 Гл. 5. Полнота и расширения менных многообразий, так и для тех лоренцевых многообразий, которые неориентируемы во времени. Определение 5.15. Расширением лоренцева многообразия (АГ, g) называется лоренцево многообразие (М', g') вместе с изо- метрией /: М -> М', отображающей М на собственное открытое подмножество из М'. Аналитическое расширение (/И, g) — это такое расширение /: (М, g) —>-(Af', g'), что оба лоренцевы много- образия аналитичны и отображение /: М -> М' аналитично. Если (М, g) не имеет расширений, то оно называется нерасширяемым. Предположим, что лоренцево многообразие (АГ, g) имеет расширение /: (Af, g) (АГ', g'). Из того, что АГ' связно, a f (АГ) открыто в АГ', вытекает, что Bd (f (АГ)) = f (АГ) \ f (АГ) =5^ 0, где / (АГ) — замыкание f (АГ) в АГ'. Так как Bd (/ (АГ)) 0, а изометрия /: АГ -> АГ' переводит геодезические из АГ в геоде- зические из АГ', лежащие в f (АГ), то, как легко видеть, (АГ, g) не может быть ни времениподобно, ни изотропно, ни простран- ственноподобно геодезически полным. Вспоминая, что и Ь-полнота и о.у. полнота влекут за собой геодезическую полноту (см. разд. 5.2), получаем следующий критерий того, что лоренцево многообразие нерасширяемо. Предложение 5.16. Лоренцево многообразие (АГ, g) нерас- ширяемо, если оно является полным, хотя бы в одной из следую- щих форм: (1) Ь-ПОЛНЫМ; (2) полным о.у.; (3) времениподобно геодезически полным; (4) изотропно геодезически полным; (5) пространственноподобно геодезически полным. Определим теперь два вида локальных расширений (см. Кларке (1973, с. 207), Бим (1980), Хокинг и Эллис (1977, с. 71)). Определение 5.17. Пусть (АГ, g)—лоренцево многообразие. (1) Предположим, что у: [0, а) -> АГ есть й-неполная кривая, непродолжаемая в t = а в АГ. Локальным b-граничным расшире- нием кривой у называется открытая окрестность U cz АГ кривой у и расширение (U', g') многообразия (U, g| (7), такое, что образ у в U' является непрерывно продолжаемым за t = а. (2) Локальным расширением многообразия (АГ, g) называется связное открытое подмножество (7 из АГ, имеющее в М неком- пактное замыкание, и расширение (1Г, g') пары (Г7, g| £7), такое, что образ U имеет компактное замыкание в U’. Замечание 5.18. Это определение локального расширения от- личается от соответствующего определения локального расшире-
5.5. Локальные расширения 14? ния у Хокинга и Эллиса (1977, с. 71) тем, что в определении 5.17 (1) требуется, чтобы U было связным (у Хокинга и Эллиса этого не требуется) (рис. 5.5 и 5.6). Теперь мы исследуем взаимосвязь между этими двумя ви- дами локальных расширений. Произвольное пространство-время может содержать й-неполную кривую у: [0, а) -> М, которая непродолжаема в t = а, хотя у [0, а) и имеет компактное замы- кание в М. Однако Шмидт показал, что такие пространства содержат компактно захваченные непродолжаемые изотропные геодезические (см. Шмидт (1973), Хокинг и Эллис (1977, с. 312)). С другой стороны, если (М, g) не содержит захваченных непро- странственноподобных кривых и кривая у имеет в (М, g) локаль- ное й-граничное расширение, то, как мы сейчас покажем, то же самое расширение дает и локальное расширение. Лемма 5.19. Если пространство-время (М, g) не содержит захваченных непространственноподобных кривых и в (М, g) су- ществует локальное b-граничное расширение кривой у, то (М, g) имеет локальное расширение. Доказательство. Пусть f: (U, g| U) g') —локальное Ь-граничное расширение кривой у. Тогда f°y: [0, a) -+U’ про- должаема и у (/) сходится к некоторой точке р б U' при t ->-а. Пусть W' — открытая окрестность точки р с компактным замы- канием в U'. Выберем /0 £ [0, а) так, чтобы /°у (/) G W для всех с t < а. Пусть V — компонента множества / х (W") в U, которая содержит некомпактное множество у | [/0, а). Ввиду того что U открыто в М, множество V является связным откры- тым множеством, имеющим в М некомпактное замыкание. Его образ f (V) в силу включения f (В) с W' имеет в U’ компактное замыкание. Тем самым f | V: (В, g | В) (U', g') — локальное расширение (М, g). □ Покажем теперь, что каждый из этих двух видов локальной нерасширяемости влечет за собой нерасширяемость глобальную. Предложение 5.20. Если лоренцево многообразие (Л4, g) не имеет локального расширения хотя бы одного из указанных в опре- делении 5.17 видов, то (М, g) нерасширяемо. Доказательство. Предположим, что (Л4, g) имеет расширение F: (Л4, g) -> (ЛГ, g'). Пусть р £ Bd (F (Л4)). Возьмем геодези- ческую о: [0, 1 ] -> (ЛЕ, g') так, чтобы ст (0) G F (Л4) и ст (1) = р. Вследствие того что F (М) открыто в М' и р F (Л4), найдется некоторое t0 £ (0, 1), такое, что ст (0 £ F (М) для всех t, 0 < < t < t0, но ст (?0) F (Л4). Тогда кривая у = ст | [0, /0): Ю, ?0) -* М Ь-неполна, непродолжаема в t = t0 в М и имеет в М некомпактное замыкание. Полагая U = М, U’ = М' и f =
148 Гл. 5. Полнота й расширения 7| Рис. 5.5. Пусть у: [0, а) —>~ М есть /^-неполная кривая, непродолжаемая в t= а в пространстве-времени (М, g). Допустим, что существует изометрия /: (U, g| U) ((/', g'), которая переводит у в кривую / ° у, имеющую концевую точку р в U'. Тогда / ° у может быть непрерывно продолжена за t = а. Таким сбразсм, в (М, g) существует локальное 6-граничное расширение кривой у. Рис. 5.6. Пусть U — связное открытое подмножество многообразия М, имеющее в М некомпактное замыкание. Локальное расширение — это изометрия f: (U, g| U) -> (IT, g'), такая, что / (£/) имеет в U' компактное замыкание. Пример пространства-времени Минковского показывает, что даже вещественное анали- тическое 6-пол ное пространство-время может допускать аналитические локаль- ные расширения (см. пример 5.21). Таким образом, пространство-время может допускать локальные расширения, но не иметь локальных 6-граничных рас- ширений.
5.5. Локальные расширения 149 = F (см. определение 5.17 (1)), получаем, что в (М, g) существует локальное й-граничное расширение кривой у. Выбирая в качестве W любое открытое множество, содержащее р и имею- щее в М' компактное замыкание, полагая U' = М' и выбирая в качестве (7 компоненту множества F~l (117), содержащую у, получим локальное расширение U: (U, g| U) ->(Л4', g'). □ Следующий пример показывает, что пространство-время Мин- ковского имеет локальные расширения. Ввиду того что простран- ство-время Минковского &-полно, этот пример показывает, что, хотя ft-полнота и является препятствием к глобальным расши- рениям, она не создает помех расширениям локальным (см. пре- дложение 5.16). Необычность этого примера состоит в том, что он не соответствует локальному расширению М ни через точку ft-границы дьМ, ни через точку причинной границы деМ. Он представляет собой локальное расширение множества к i° (см. рис. 4.4). Пример 5.21. Пусть (/И = R", g) есть n-мер ное пространство- время Минковского, а М' = R X Г"”1, где Тп~1 = {(02, ... .... 6п):а0 < 6j < 1} — (п — 1)-мерный тор (здесь используются стан- дартные отождествления). Лоренцеву метрику g' для М' можно определить следующим образом: g' = (ds)2 = —dt2 + d0f r ... ... + dl„. Тогда (7И, g) представляет собой лоренцево универсаль- ное накрывающее пространство многообразия (ЛГ, g') с накры- вающим отображением f: (М, g) ->(A4',g'), задаваемым по пра- вилу / (хъ ..., хп) = (хъ х2 (mod 1), ..., хп (mod 1)). Зафиксируем Р >0 и рассмотрим кривую 7: [0, ос) ->-М, опре- деляемую посредством соотношения у (s) = (s~₽, s, 0, ..., 0). Тогда f°yi [1, 00) —Л4' представляет собой спираль, асимпто- тически приближающуюся к окружности / = 08 = ... = 0П = 0 в М'. Пусть U — открытая трубчатая окрестность кривой у в М такая, что U содержится в открытом множестве {(лу, ... ... хп) £ R": 0 <Z xt <Z а}, где а > 1 фиксировано, а /1 U: U -> М' является гомеоморфизмом U на ее образ (рис. 5.7). Интуитивно ясно, что для того, чтобы удовлетворить требованию хг>0 для (хг...xn) £ U, множество U должно быть выбрано так, чтобы оно становилось тоньше, когда s ->оо. Хотя U и не обладает компактным замыканием в пространстве-времени Минковского, его образ / (U) имеет в М' компактное замыкание вследствие того, что f (17) содержится в компактном множестве [0, а] X X Тп~1. Таким образом, /: (17, g| (7) ->(ЛГ, g') — аналитическое локальное расширение пространства-времени Минковского. За-
150 Гл. 5. Полнота и расширения Рис. 5.7. Пространство-время Минковского имеет аналитические локальные рас- ширения. Пусть на М = R" задана стандартная метрика Минковского g, и пусть Тп~} есть (п — 1)-мерный тор с обычной положительно определенной плоской метрикой h. Пусть далее на М = В X Т"-1 задана лоренцева метрика произведения g' = •—dt2 ф h. Тогда (Л4, g) является универсальным накрываю- щим пространством многообразия (М', g') и естественная проекция f : М -+• М' локально изометрична. Выберем в качестве U открытое множество в М, содер- жащее •у (s) = (s“₽, s, ..., 0), у: [1, оо) -> М и такое, что отображение /1 U взаимно-однозначно и f (U) имеет компактное замыкание в М'. Тогда /| IJ: (U, g| 17) (TH', g') — аналитическое локальное расширение пространства Минковского. Но это — расширение не через точки дсТИ и не через точки д^М. метим, что если yf. [0, а) -+ U —- произвольная кривая с неком- пактным замыканием в М, то не может быть продолжено в t = а в М'. 6.6. Сингулярности кривизны Пусть дМ — идеальная граница многообразия М (т. е. либо дьМ, либо дсЛ1). Точка q £ дМ называется регулярной граничной точкой многообразия М, если существует глобальное расшире- ние (ЛГ, g') многообразия (Л4, g), такое, что q можно естественно отождествить с точкой из М'. Тем самым регулярная граничная точка может рассматриваться как устранимая сингулярность Л4. Пусть у: [0, а) —М — непродолжаемая кривая, такая, что
5.6. Сингулярности кривизны 151 точка у (а) соответствует идеальной точке М. Говорят, что кри- вая у определяет сингулярность кривизны (см. Эллис и Шмидт (1977, с. 916)), если некоторая компонента Rabcd не является непрерывной на [0, а ] при параллельном переносе ортонорми- рованного базиса elt ..., ek вдоль у. Сингулярность кривизны является препятствием к локальному 6-граничному расширению кривой у, так как если локальное fe-граничное расширение у существует, то тензор кривизны и все его производные, вычисля- емые относительно ортонормированного базиса, параллельно переносимого вдоль у, должны быть непрерывны и, следовательно, при t -+сГ должны сходиться к определенным пределам. Почти регулярной сингулярностью называется fe-граничная точка q д6Л1, которая не является ни регулярной граничной точкой, ни сингулярностью кривизны. Кларке (1973, с. 208) доказал, что если у. [0, а) -> М — непродолжаемая fe-неполная кривая, соответствующая почти регулярной сингулярности, то существует ее локальное fe-граничное расширение. Это утвержде- ние показывает, что сингулярности кривизны представляют собой единственное реальное препятствие для локальных fe-rpa- нпчных расширений. В общем случае может оказаться весьма затруднительным от- ветить на вопрос: имеет ли данное пространство-время локальные расширения какого-либо вида? Однако для аналитических fc-rpa- ничных расширений аналитических пространственно-временных многообразий положение несколько проще (см. теорему 5.23). Для доказательства теоремы 5.23 полезно убедиться в спра- ведливости следующего утверждения о вещественных аналити- ческих пространственно-временных многообразиях и локальных изометриях. Напомним, что локальная изометрия F: /И -> М' — это такое отображение, для которого у каждой точки р £ М найдется открытая окрестность U (р), на которой F является изометрией. Тем самым локальные изометрии являются ло- кальными, но не обязательно глобальными диффеоморфиз- мами. Предложение 5.22. Пусть (7И1; gj и (М, g) — вещественные аналитические лоренцевы многообразия одинаковой размерности и F: М -> — вещественное аналитическое отображение. Если М содержит открытое множество U, для которого F\U \11 — изометрия, то F - локальная изометрия. Доказательство. По теореме об обратной функции множество W — \т С М: F*v Ф 0 для всех v 0 в ТтМ\ является от- крытым подмножеством М. Вследствие того что F\U — изоме- трия, U содержится в W. Зафиксируем произвольную точку р £ И и обозначим через V линейно связную компоненту W, которая ее содержит. Справедливость сформулированного утверждения
152 Г л. 5. Полнота и расширения будем доказывать следующим образом: сначала покажем, что F\V — локальная изометрия, а затем, что V = М. Пусть q — произвольная точка V. Возьмем кривую у: [О, 1 ] —>- V так, чтобы у (0) = р и у (1) = q. Пользуясь компакт- ностью у [0, 1 ], покроем его конечной цепочкой координатных карт (£7Х, <Pi), (£4, <рь), таких, что каждое множество Ut односвязно, F\Ui'. Ui Mt— аналитический диффеоморфизм, р 6 Ui cz U П V- q t 0, и Ut П Ut+i 0 Для каждого i, удовлетворяющего условию 1 < i < k — 1. Так как Ur cz U Я V, то на Ui g = (F| t/J* gj. Поэтому g =.(F| UJ* gx на Ux Я U2. Из того, что Я П2 — открытое подмножество t/2, a F — ве- щественно аналитический диффеоморфизм U2 на его образ, выте- кает, что g = (F|U2)* gi на U2. Рассуждая по индукции, полу- чим, что g = (F| Uk)* g( на Uh’, откуда следует, что F является изометрией в открытой окрестности Uk точки q. Тем самым F| V: V Мх — локальная изометрия. Остается показать, что V = М. Предположим, что V =/= М, и выберем в М \ V произвольную точку г. Пусть у: [0, 1 ] — гладкая кривая, у которой у (0) = р и у (1) = г. Существует наименьшее 4 С Ю, 1 ], для которого г = у (4) € М \ V. Тогда ограничение F на окрестность V кривой ут [0, t0) является локаль- ной изометрией. Чтобы получить требуемое противоречие, до- статочно показать, что г £ V. Из того, что г £ М \ V, выте- кает существование в ТГМ касательного вектора х 0, для ко- торого F.,x = 0. Пусть X — однозначно определенное векторное поле, параллельное вдоль у и такое, что X (4) = х. Так как в окрестности кривой у: [0, 4) М отображение F является локальной изометрией, то поле F*°X параллельно вдоль F°y: [0, 4) -*• Alp В силу гладкости F имеем F..,x = F...X (t0) = = lim F.-.X (/). Из того, что F* — параллельное векторное поле ^0 для всех t, подчиненных условию 0 с t с t0, получаем, что lim F..X(t) =^=0. Отсюда следует, что F,.x #= 0. Таким образом, F несингулярно в точке г. Отсюда вытекает, что г £ V, и требу- емое противоречие получено. □ Теперь мы подготовлены к тому, чтобы обратиться к доказа- тельству теоремы 5.23 о локальных 6-граничных расширениях вещественно аналитического пространства-времени. Теорема 5.23. Пусть (М, g) — аналитическое пространство- время без захваченных непространственноподобных кривых, в ко- тором кривая у: [0, а) -> Л4 имеет аналитическое локальное b-граничное расширение. Тогда существуют времениподобные, изотропные и пространственноподобные геодезические с конечным аффинным параметром, которые являются непродолжаемыми
5.6. Сингулярности кривизны 153 в одном из направлений и не соответствуют сингулярностям кривизны. Доказательство теоремы 5.23 опирается на две леммы. Лемма 5.24. Пусть (М, g) — аналитическое пространство- время без захваченных непространственноподобных кривых, в ко- тором у: [0, а) -+ М имеет аналитическое локальное Ь-гранич- ное расширение. Тогда (714, g) содержит неполную геодезическую. Доказательство. Пусть f: (U, g| 4/)->(t/', g')— аналити- ческое расширение у. Можно предполагать, что U содержит образ у. Кроме того, f° у продолжаемо в U'. Поэтому f°y (0 Р Е U’ при t -* а~- Обозначим через W' окрестность точки р, являющуюся выпуклой нормальной окрестностью каж- дой своей точки. Тогда exp;1: W' -> TXU' — диффеоморфизм для каждой фиксированной точки х £ W. Пусть t0 выбрано так, что у (t) £ W' для всех t, t0 < t < а. Положим q = у (40) и г = f (q). Тогда отображение И = ехр? °/*‘°ехрД: W -> 7И определено вблизи г и аналитично. Это отображение Н переводит геодезические, начинающиеся в г, в геодезические, исходящие из q, и сохраняет длины вдоль этих геодезических. В действи- тельности Н совпадает с f-1 вблизи г. Отображение Н не обя- зательно взаимно однозначно вследствие того, что таковым свой- ством обладает ехр7. Поскольку область определения ехрч пред- ставляет собой объединение прямолинейных отрезков, начинаю- щихся в начальной точке пространства Т^ТИ, то область опреде- ления V отображения Н должна быть некоторым подмножеством из W, представляющим собой объединение геодезических сег- ментов, исходящих из г. Отсюда следует, что множество V' не может совпадать со всем W только в том случае, если ехр7: ТЧМ -> 7И определено на собственном подмножестве пространства 797И, не включающем в себя всех точек из образа f^-exp;1 (IF'). Поэтому, если показать, что V' =# W, то из этого неравенства можно заключить, что найдется некоторая неполная непродол- жаемая геодезическая, исходящая из q. Но аналитические ото- бражения Н и f~r должны совпадать на компоненте множества f (U) Я V, содержащей точку г. Это означает, что V W'. С другой стороны, если Н и /-1 совпадают на множестве f (47) f| IF', то они совпадают и в окрестности множества f°y Uo, а)- Это при- водит к тому, что H°f°y = y для всех t0 с t < а, и означает, что у продолжаема в 7И через точку Н (р). И мы приходим к про- тиворечию. □ В следующей лемме мы будем пользоваться теми же услови- ями и обозначениями.
154 Гл. 5. Полнота и расширения Рис. 5.8. В доказательстве теоремы 5.23 изометрия f: (t/, g| 17)->((/', g') яв- ляется аналитическим локальным 6-граничным расширением у. Точка р a L" — концевая точка f ° у в U'. На этом рисунке f (ср = г и все точки f ° у, располо- женные между г и р, находятся в хронологическом будущем х. Лемма 5.25. Отображение Н: V -> М является локальной изометрией. Доказательство. Пространство-время (М, g), пара ([/', g') и отображение Н аналитичны. Более того, Н совпадает с изо- метрией f-1 вблизи г и определено на линейно связном множе- стве V'. Поэтому из предложения 5.22 вытекает, что Н — локаль- ная изометрия. □ Теперь мы подготовлены к тому, чтобы завершить Доказательство теоремы 5.23. Необходимо рассмотреть три случая, соответствующих неполным времениподобным, изотроп- ным и пространственноподобным геодезическим. Мы ограничимся доказательством только времениподобного случая, сохранив обо- значения лемм 5.24 и 5.25. Без потери общности можно предпо- лагать, что существует некоторая точка х £ W, для которой в хронологическом упорядочении на W имеем х <С р их < (О Для всех Л to С t < а (рис. 5.8). Пусть х ф. V. Обозначим через а геодезический сегмент в W из г в х. Отображение Н переводит a f] V' в непродолжа- емую неполную времениподобную геодезическую, исходящую из q, а лемма 5.25 показывает, что эта геодезическая не соот- ветствует сингулярности кривизны. Пусть х £ V'. Положим у — Н (х) и рассмотрим Н' = ехру ° ° Я «ехр^1: W'->M. Отображение Н’ определено на некотором подмножестве V" из W и является локальной изометрией по тем же самым причинам, по которым локально изометрично Н;
5.6. Сингулярности кривизны J55 кроме того, Н' вблизи г совпадает и с Я, и с f-1. Множество V" не может содержать всех точек из множества f <> у, где t0 < t < а, вследствие того что это вносило бы концевую точку Н' (р) кривой у в М. Используя отношение х < f°y (t), справедливое для всех t, подчиненных условию t() < t < а, мы заключаем, что существует непродолжаемая неполная времениподобная геодезическая, ис- ходящая из у в М, которая не соответствует сингулярности кри- визны. □ Замечание 5.26. Есть примеры С°°-гладких пространственно- временных многообразий, которые являются одновременно и геодезически полными, и локально ^-расширяемыми (см. Бим (1976в, с. 506)). Отсюда следует, что аналитичность в условии теоремы 5.23 нельзя заменить предположением о бесконечной дифференцируемости. Следствие 5.27. Пусть (М, g) — аналитическое пространст- во-время с незахваченными непространственноподобными кривыми, в котором каждая времениподобная геодезическая у: [0, а) -> М, непродолжаемая в t = а, либо полна (т. е. а = оо) в указанном направлении, либо соответствует сингулярности кривизны. Тогда (714, g) не имеет аналитических локальных Ь-граничных рас- ширений.
Г лава 6 УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОСТРАНСТВ РОБЕРТСОНА - УОКЕРА При доказательстве теорем сингулярности в общей теории относительности очень важны предположения, которые выпол- няются не только для заданной «основной» лоренцевой метрики g0 на М, но и для всех метрик g на М, достаточно близких к g0. К этому вынуждают различные обстоятельства: не только то, что погрешности астрономических измерений не позволяют точно определить лоренцеву метрику вселенной, но также и то, что космологические предположения, как, например, пространст- венная однородность вселенной, выполняются лишь приближенно. Как бы то ни было, если теорема о неполноте идеализированной модели (714, g0) получена в предположениях, имеющих силу для всех метрик g на М из открытой окрестности метрики g0, то каж- дое пространство-время (М, g) с метрикой g, достоточно близкой к go, также будет неполным. Отсюда следует, что если модель построена достаточно точно, то выводы, справедливые для модели, также имеют силу и для фактически существующей вселенной. Напомним, что через Lor (7И) обозначается пространство всех лоренцевых метрик на данном многообразии, а через Con (714) — факторпространство, образованное путем отождествления всех глобально конформных метрик gi = Qg2 на 7V1, где Q: TVt -> (0, оо) — гладкая функция. Пусть т: Lor (714) -> Con (714) — естественная проекция, которая каждой лоренцевой метрике g на М ставит в соответствие множество т (g) = g всех лоренцевых метрик на 7И, глобально конформных g. Для данного g С Con (714) положим С (М, g) = т-1 (g) cz Lor (714). В общей теории относительности принято называть условия на кривизну или условия причинности для пространства-времени (7И, g0) Сг-устойчивыми в Lor (714) (соответственно в Con (7V1)), если выполнение этих условий для (714, g0) влечет за собой их выполнение для всех метрик g в По- открытой окрестности метрики g0 в Lor (TVt) (соответственно в Con (714)). После того как были получены теоремы сингулярности (см. Хокинг и Эллис (1977, гл. 8)), возник интерес к изучению Сг- устойчивости таких условий, как существование замкнутых
6.1. Устойчивые свойства Lor (М) и Con (М) 157 ловушечных поверхностей, положительность непространственно- подобной кривизны Риччи и геодезическая полнота, играющих ключевую роль в теоремах сингулярности. Герок (1970) доказал устойчивость глобальной гиперболичности в интервальной топо- логии на Con (714). Затем Лернер (1973) провел тщательное изу- чение устойчивости на Lor (М) и на Con (7W) условий причинно- сти и условий на кривизну, весьма полезных в общей теории относительности. В частности, Лернер заметил, что интервальная топология и фактортопология на Con (7W) совпадают. Отсюда сразу же вытекает, что результат Герока об устойчивости гло- бальной гиперболичности выполняется для Con (М) в фактор- топологии и, значит, автоматически в Lor (М). Лернером был поднят также следующий вопрос (1973, с. 35) о моделях большого взрыва Робертсона—Уокера: всякая ли непространственноподоб- ная геодезическая остается неполной при малых 7?'"-гладких возмущениях метрики? Основная цель гл. 6 состоит в том, чтобы ответить на этот вопрос утвердительно. В разд. 6.1 мы определим О'"-топологии и интервальную топологию для Con (М). Затем мы рассмотрим свойства устойчивости на Lor (М) и на Con (714), доказанные Героком (1970) и Лернером (1973). В разд. 6.2, применяя «ев- клидову норму» I 2п Г 1/2 Н--< = SlW--Mn)l2 , b=i ' индуцированную на (ТМ. ] у, х) координатной картой (U, х) для М, и стандартные оценки из теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений в Rn, мы получим оценки поведе- ния геодезических в (U, х) при С1-гладких возмущениях метрики. В разд. 6.3 мы применим эти оценки к координатным картам, приспособленным к структуре искривленного произведения М = = (a, b) Xf Н пространства-времени Робертсона — Уокера (см. оп- ределение 4.10), чтобы изучить устойчивость геодезической не- полноты в таких пространственно-временных многообразиях. Мы покажем также (теорема 6.15), что если ((а, Ь) XfH, g0), а >—оо, — пространство-время Робертсона — Уокера, то най- дется С°-окрестность U (g0) метрики g0 в Lor (714), такая, что все времениподобные геодезические каждого пространства-времени (TH, g) неполны в прошлом для всех g С (7 (g0). Если предпола- гать к тому же, что b < оо, то можно получить (теорема 6.16) одновременно и неполноту в будущем, и неполноту в прошлом всех времениподобных геодезических для любых g £ U (go)- Похожий результат (теорема 6.19) можно доказать и для изо- тропной геодезической неполноты, привлекая для этого С1-топо- логию на Lor (714). Объединяя эти результаты, получаем С1-
158 Гл. 6. Устойчивость пространств Робертсона—Уокера устойчивость непространственноподобной геодезической непол- ноты в прошлом для пространств Робертсона—-Уокера. В конце разд. 2.6 уже обсуждалась связь между выбором искри- вляющей функции f: (а, Ь) -> (0, оо) и непространственноподоб- ной геодезической неполнотой заданного лоренцева искривлен- ного произведения (a, b) Xf Н. Результаты разд. 6.2 и 6.3 приведены в работе Бима и Эр- лиха (1980). 6.1. Устойчивые свойства Lor (М) и Con (М) На пространстве Lor (714) лоренцевых метрик на 714 можно ввести отношение эквивалентности С: метрики gb g2 £ Lor (714) эквивалентны, если существует гладкий конформный множи- тель Q: М. -> (0, оо), такой, что gj = Qg2. Как и в гл. 1, мы бу- дем обозначать через С (714, g) класс эквивалентности метрики g в Lor (714). Фактормножество классов эквивалентности Lor (714)/С будем обозначать через Con (714). Естественное проектирование т: Lor (714) -> Con (714) задается следующим правилом: т (g) = = С(М, g). С°-топология на Lor (714) (см. разд. 2.2) обычным образом индуцирует на Сон (714) фактор топологию. Именно подмноже- ство А из Con (714) называется открытым в этой топологии, если его прообраз т-1 (Л) открыт в С°-топологии на Lor (714). На Con (714) можно задать также и интервальную топологию (см. Герок (1970, с. 447)). Напомним из наших рассмотрений устойчивой причинности в разд. 2.2, что частичная упорядо- ченность на Lor (714) определялась следующим образом: gj g2, если из неравенства g, (v, v) с 0, справедливого для всех v 0 из ТМ, вытекает неравенство g2(f, о) < 0. Путем непосредствен- ных вычислений можно убедиться в том, что метрики gj, g2 ф L Lor (714) удовлетворяют отношению gj g2 тогда и только тогда, когда g{ < g2 для всех g[ t С (714, gj) и g(> t С (714, g2). Таким образом, частичная упорядоченность на Lor (714) инду- цирует частичную упорядоченность на Con (714), которую мы также будем обозначать через Подбазис интервальной топо- логии на Con (714) задается множествами вида (714, g) ф Con (7И): С (М, gl) < С (М, g) < С (М, g2)} где gi и g2 — произвольные лоренцевы метрики для М, связан- ные отношением gi g2. Известно, что фактортопология и ин- тервальная топология на Соп (714) совпадают (см. Лернер (1973, с. 23)). Таким образом, интуитивно ясно, что два конформных класса С (714, gj) и С (714, g2) близки в какой-нибудь из этих топо- логий на Соп (714) тогда и только тогда, когда во всех точках 714 световые конусы метрик gx и g2 близки в ТРМ.
1. Устойчивые свойства Lor (М) и Con (М) 159 Всякое свойство, заданное на Lor (М), которое выполняется на С -открытом подмножестве'из Lor (Л1), называется С-устой- чивым. Аналогично заданное на Lor (Л!) свойство, инвариантное относительно отношения конформности С, называется конформно устойчивым, если оно выполняется для открытого множества в фактортопологии (или в интервальной топологии) на Con (Л4). Непрерывность отображения проектирования т: Lor (Л1) -> -> Con (7W) означает, что любое конформно устойчивое свойство, определенное на Lor (Л1), будет также и С°-устойчивым на Lor (/И). Более того, из того, что С -топология на Lor (М) строго тоньше, чем О-топология для г > s, вытекает, что любое конформно устойчивое свойство, определенное на Lor (Л1), будет также и Сг-устойчивым для всех г 0. Пример 6.1. Устойчивая причинность конформно устойчива, а отсюда и Сг-устойчива для всех г 0. В самом деле, метрику go £ Lor (М) можно определить как устойчиво причинную, если свойство причинности является С°-устойчивым в Lor (Л1) на метрике g0- Второй пример свойства конформной устойчивости предста- влен результатом Герока (1970, с. 448). Теорема 6.2. Глобальная гиперболичность конформно устой- чива, а отсюда и Сг-устойчива в Lor (Л1) для всех г^>0. Можно также показать, что если S — гладкая поверхность Коши для многообразия (Л4, g), то существует С°-окрестность U метрики g в Lor (Al), такая, что если gi С U, то S является поверхностью Коши и для (М, gi) (см. Герок (1970, с. 448)). Следующие два результата получены Лернером (1973). Предложение 6.3. Если (М, g) — лоренцево многообразие, для которого из неравенства g (v, v) с 0, где 0 v £ ТМ, выте- кает, что Ric (g) (v, v) > 0, то найдется СГ-окрестность U (g) метрики g в Lor (Л4), такая, что для всех gi С И (g) из условия gt (v, v) < 0, где 0 #= о С ТМ, вытекает неравенство Ric (gt) (и, v) > 0. Предложение 6.4. Геодезическая полнота является С-устой- чивой в Lor (М) для всех г 2. Согласно предложению 5.16, геодезически полное лоренцево многообразие глобально нерасширяемо. Поэтому из предложений 5.16 и 6.4 вытекает, что если (М, g) геодезически полно, то в Lor (М) найдется такая С2-окрестность U (g) метрики g, что многообразие (М, gi) нерасширяемо для каждой метрики gi С С U (g). Если же (М, g) — расширяемое лоренцево многообра- зие и U (g) — произвольная Сг-окрестность метрики g в Lor (М),
160 Гл. 6. Устойчивость пространств Робертсона—Уокера то найдется метрика gL £ U (g) \ |g(, такая, что (М, g2) рас- ширяемо. В этой главе многообразие М всегда фиксированно. Отметим, однако, что в общей теории относительности рассматриваются также и однопараметрические семейства ЦАЦ, gx)} многообразий и лоренцевых метрик (см. Герок (1969)). 6.2. О-топология и системы геодезических Если (М, g) — произвольное лоренцево многообразие, то : метрики в Lor (М), близкие к g в ^-топологии, имеют системы геодезических, которые близки к системе геодезических метрики g. Цель этого раздела состоит в том, чтобы дать аналитическую формулировку этого понятия, удобную для наших исследований ^-устойчивости изотропной геодезической неполноты пространств Робертсона—Уокера в разд. 6.3. Начнем с того, что напомним оценку, хорошо известную из теории обыкновенных дифференциальных уравнений (см. Бирхгоф и Рота (1969, с. 155)). Евклидову норму точки х = (х15 ..., хт) L С L"1 будем обозначать через |[х||2: ||х||2 = (£ Т=Лн]1'2. Предложение 6.5. Пусть f — (/у, f,n) uh = (hlt ..., hm) — непрерывные функции с общей областью определения D с R х Rm, причем f удовлетворяет условию Липшица’. 11/(5, х)||2 < L ||х - х||2 для всех (s, х), (s, х) £ D. Пусть х (s) = (хх (s), ..., хт (s)) и У (5) = (^1 (5), • • • > Ут («)) — решения дифференциальных урав- нений ~ = f(s,x), ^L = h(s,y) соответственно (здесь 0 < s < b). Тогда если || f (s, х) — h (s, х) ||2 < е для любых (s, х) Е D и 0 < s < b, то II * (s) - у (в) ||2 < ||х (0) - у (0) ||2 eLs + (eLs - 1) для всех s, подчиненных условию 0 с s с Ь. Пусть М — гладкое многообразие, a (U, х) — произвольная координатная карта на М. Ассоциированную карту х = (хъ ... ..., хп, хп+1, ..., х2П) для TMju можно получить следующим образом. Рассмотрим базисные векторные поля д/дхъ ..., д/дхп, определяемые на U локальными координатами х = (хъ ..., хп). Заданный вектор v Е ТЧМ, где g U, можно записать в следу- ющем виде: v = (д/дх^ | q. Тогда х (v) определяется сле- дующей формулой: х (v) = (х±(у), ..., хп (v), ах..ап). По-
6.2. СХтопология и системы геодезических 161 строенные координатные карты можно использовать для опреде- ления евклидовых расстояний на U и ТМ I ц. Именно для дан- ных р, q £ U и v, w £ ТМ \ и положим 1 ,• 2 IIР ~ - ?#2 = IS U—1 и {2n 1 1/2 S (r>" xi соответственно. Если г 0 задано, мы будем пользоваться обозна- чением || gx — g2 ||r, v < б, где gx, ga £ Lor (M) и 6 > 0 — поло- жительная постоянная, если вычисленные в локальных коорди- натах (U, х) соответствующие компоненты этих двух метрических тензоров и все их соответствующие частные производные до по- рядка г включительно б-близки к каждой точке из U. Символы Кристоффеля второго рода для метрик gx, ga С С Lor (М) обозначим соответственно через V'jk (gx) и Г)* (ga). Тогда уравнения геодезических в координатной карте (U, х) для (М, gn), а = 1, 2, задаются следующим образом: dxt ~dT ~ Xi+n dx- i (61) где 1 < i, j, k с n (всюду в этой главе используется соглашение суммируемости Эйнштейна). Экспоненциальное отображение в точке С (М, ga), а = 1,2, будем обозначать через ехр9 [gaI. Если v С TMfu, то s -> -> ехр9 [g(,l (sv) представляет собой решение системы (6.1) в U с начальными условиями (q, и) для (М, g0). Чтобы применить к этим экспоненциальным отображениям предложение 6.5, отожде- ствим ТМ | и с подмножеством R2'1, используя для этого коорди- натную карту (ТМ j и, х). Определим f (s, X) = f (X)nh (s, X) = = h (X) посредством соотношений: A(X)=ft{(X)=xj+n, fi+n (X) = F/fe (g[) Xj+nXi!+n, hi+n (X) = F/fc (g2) Xj+nXh+n> где 1 < i, j, k <. n и X — (xx, ..., x2n) £ Ra". Лемма 6.6. Пусть (U, x) — локальная координатная карта для п-мерного многообразия М. Пусть далее (р, v) £ ТМ | v 6 Дж. Бим, П. Эрлих
162 Гл. 6. Устойчивость пространств Робертсона—Уокера и сг (s) = expp[gx] (sv) лежит в U для всех 0 с s b. Тогда для любого заданного е > О найдется постоянная 6 > О, такая, что из неравенств || v — w ||а < 6 и || gx — ga ||х, и < 6 вытекает, что с2 = ехр,7 [ga] (scu) лежит в U для всех s, подчиненных условию О < s с Ь; более того. |(Xj«cx)(s)-(Xj«c2)(s)|<e и I Uj- ° C1Y (s) - (*/ ° с2у (s) I < е для всех jus, 1 < j < п, () ^: s b. Доказательство. Пусть f (X) и h (X) такие, как указано выше. Тогда X (s) = (сх (s), с{ (s)) и Y (s) = (c2 (s), c'2 (s)) являются ре- шениями дифференциальных уравнений dX/ds = f (X) и dY/ds = = h (У) соответственно. Выберем в ТМ. | v открытое множество Do так, чтобы оно содержало образ кривой X (s) и имело компакт- ное замыкание Do. Тогда существует постоянная L, такая, что f удовлетворяет условию Липшица |j J (X) — J (X) ||2 с L || X — — X ||а на Do. Выражение || X (0) — У (0) ||а в оценке предложения 6.5 можно сделать столь малым, сколько требуется, выбирая достаточно малым || v — ьу||2. Далее, так как символы Кристоффеля зависят только от коэффициентов метрического тензора и их первых част- ных производных, Ц f (X) — h (X) ||а можно сделать на Z?o сколь угодно малым, потребовав, чтобы достаточно мало было || gx — — &? Hi. и- Ввиду достаточной малости 6 > 0 можно применить предложение 6.5 для того, чтобы обеспечить справедливость вклю- чения са (s) £ U для всех 0 < s < b, а также чтобы выполнялась оценка |( X (s) — У (s) ||а < е для всех 0 < s b. Следовательно, | Xt (s) — Уг (s) | < е для всех 1 < i < 2и, 0 < s < b. Требуе- мые неравенства легко следуют из формул (6.1). □ Следующая, несколько более техническая лемма, необходимая в разд. 6.3, непосредственно вытекает из леммы 6.6, если восполь- зоваться неравенством треугольника и непрерывностью решения X (s) = (cx(s), c'i (s)) уравнений геодезических. Лемма 6.7. Пусть (U, х) — локальная координатная карта на п-мерном многообразии М. Предположим, что cL (v) = = ехрГ) [gx) (sv) лежит в U для всех s, подчиненных неравенству 0 s b. Пусть в > 0 и sL, 0 < sT < Ь, заданы. Тогда сущест- вует постоянная 6 > 0, такая, что если || v — w ||2 < 6, II gx — — g2 ||Х) и < 6 и | So — sx | < 6, то геодезическая c2 (s) = exp9 [g2 ] >< X (sic) лежит в U для всех s, подчиненных условию 0 с s < b, и, более того, I (М ° сх) (sx) - (Xj о с2) (s0) | < е (6.2)
6.3. Устойчивость геодезической неполноты 163 I (Ч ° п)' («1) - (Xj о с2)' (So) | < е (6.3) для всех 1 < / < л. Кроме того, если (xr' cr)'(s,) 4=0, то постоянную 6 > 0 мо- жно выбрать так, чтобы выполнялось неравенство 6.3. Устойчивость геодезической неполноты пространств Робертсона — Уокера В этом разделе мы исследуем устойчивость в пространстве лоренцевых метрик непространственноподобной геодезической не- полноты пространств Робертсона—Уокера М — (a, b) y.f Н (см. определение 4.10). Оказывается, что доказательство (^-устойчи- вости времениподобной геодезической неполноты использует т оль- ко однородность риманова сомножителя (Н, h), но не его изот роп- ность. В соответствии с этим мы будем формулировать результаты в первой части этого раздела для более широкого класса искри- вленных лоренцевых произведений М = (a, b) >;fH, где —6о с С а < b < оо и (Н, h) — однородное риманово многообразие. Всюду в этом разделе хх == t будет обозначать обычную коорди- нату на (а, Ь). Чтобы изучить геодезическую неполноту таких пространств при возмущениях метрики, полезно использовать координаты, приспособленные к структуре произведения. Зафиксируем р = = (^i, hi) £ (п, Ь) X Н. Вследствие того что подмногообразие {(х| х Н многообразия М. пространственноподобно, лоренцева метрика g на М индуцирует на касательном пространстве к этому подмногообразию в точке р положительно определенное скалярное произведение. Чтобы определить на Н римановы нормальные координаты х2, ..., хп в окрестности V точки hlr можно, отожде- ствив j/j} Н и Н, использовать ортонормпрованный базис касательного пространства к j/x} ' Н в точке р. Тогда (хъ ха, ... ..., х„) определяет координатную систему для М на (a, b) х V. По построению в этих координатах метрика g в точке р имеет вид diag {—1, +1, ..., +1}. Так как подмногообразие X Н не обязательно вполне геодезическое, если f отлична от посто- янной, то эти координаты не обязательно нормальные. Тем не менее координаты (хх, х2, ..., хп) хорошо приспособлены к струк- туре произведения в силу того, что множества уровня хг (t) = X есть в точности {X} х V. Будем говорить, что построенные выше координаты (хх, х2, ..., хп) адаптированы в точке р £ М, и будем называть такие координаты адаптированными координа- тами.
164 Гл. 6. Устойчивость пространств Робертсона—Уокера Определение 6.8. Выпуклая нормальная окрестность U много- образия (М, g) с компактным замыканием (^называется адапти- рованной нормальной окрестностью, если U покрыто адаптиро- ванными координатами (хг, хп), которые приспособлены в ка- ждой точке U так, что выполняются следующие условия: (1) В каждой точке из U компоненты gtJ метрического тен- зора g, выраженные в данных координатах (хг, хп), отлича- ются от элементов матрицы diag {—1, +1, .... +1} самое боль- шее на 1/2. (2) Метрика g удовлетворяет соотношению g g0, где g0 — метрика Минковского —Js2= z/.v2/ ...ф-сДпДля U (по поводу обозначения g g0 см. определение устойчивой причинности в разд. 2.2). Таким образом, в окрестности U из определения 6.8 лоренцеву метрику g можно выразить посредством формулы g I (/ = — dx\ ф- dx-2 ф- • • • -ф- kij dxi dXj, где функции kif. U R удовлетворяют неравенству 1/2 для всех i, /: 1 < i, / <: п. Чтобы применить это в дальнейшем, нам необходимо доказать существование счетных цепей \Uk\ адаптированных нормальных окрестностей, покрывающих направленные в будущее непродол- жаемые в прошлое времениподобные геодезические вида с (/) = = (/, у0). Вследствие того что и в определении 6.10, и в лемме 6.11 допускается возможность а = —оо, мы примем следующее со- глашение, которое будет выполняться до конца раздела. Соглашение 6.9. Через соо будем обозначать произвольную фиксированную точку интервала (а, Ь). Дадим теперь следующее определение. Определение 6.10. Пусть М = (a, b) >< fH— лоренцево ис- кривленное произведение с метрикой g = —dt2 ф fh. Зафикси- руем произвольно выбранную точку у0 £ Н. Пусть с: (а, ю0 ] -> -► (/И, g) — направленная в будущее непродолжаемая в прошлое времениподобная геодезическая, заданная соотношением с (/) = = (Л go)- Счетное покрытие {(/fe}“=[ геодезической с открытыми множествами и строго монотонно убывающая последовательность {6Ф^=1> У которой = ci)0 и tk-+a+ при k-> оо, называются допустимой. цепью для с: (a, wol-> (Л4, g), если: (1) Каждая Uk является адаптированной нормальной окрест- ностью, приспособленной в некоторой точке геодезической с и содержащей с = (tk, t/fl).
6.3. Устойчивость геодезической неполноты 165 (2) Каждая направленная в будущее и непродолжаемая в про- шлое непространственноподобная кривая о (t) = (t, Gt 4)), где а (th) = (4. Уо)> остается в Uh для всех t, подчиненных условию 4+i < t < 4> k — любое. Для произвольной направленной в будущее непространственно- подобной кривой в в (М, g) параметризация может быть выбрана так, что о (t) = (t, (t)). Поэтому условие (2) накладывается на все направленные в будущее непространственноподобные кри- вые, исходящие из (th, у0). Покажем теперь, что допустимые цепи существуют. Лемма 6.11. Пусть М — (a, b) х fH, где а —оо, и g = = —dt2 © fh — лоренцево искривленное произведение. Для любого у0 £ Н времениподобная геодезическая с: (а, <оо I (М, g), зада- ваемая соотношением с (t) = (t, у0), может быть покрыта до- пустимой цепью. Доказательство. Будем говорить, что {64}, {4}—допусти- мая цепь для с | (0, сй01, 0 5» а, если {64}, {4} удовлетворяет условиям определения 6.10, за исключением одного: при k —> оо th -> 0+ вместо th -> а+. Положим т = inf {0 £ [с, со0Ь сущест- вует допустимая цепь j Uh\, {th} для с | (0', <»01 и для всех 0' 0}. Мы должны показать, что т = а. Взяв адаптированную нормальную окрестность с центром в с (<й0), нетрудно увидеть, что т < со0. Предположим, что т > а. Пусть U — произвольная адаптированная нормальная окрест- ность, приспособленная в точке (т, у0) £ М. Выберем г > т так, чтобы все направленные в будущее непространственноподоб- ные кривые а 4) = (f, 04 4)), берущие начало в (г, у0), лежали в U для всех т — е < t < г, где е > 0. Тогда для с {{г + т)/2, соо ] найдется допустимая цепь {Un\, |<п}, У которой tm < г для неко- торого т. Положим Um = Um+l = U. Расширяя конечную цепь {64, —, иm-i, Uт, 4m+i{, {4» —» 4i-t> 4г» в} Д® беско- нечной допустимой цепи, получаем требуемое противоречие. □ Покажем теперь, что подмножество из Uh, для которого вы- полняется свойство (2) определения 6.10, можно расширить от точки (4> Уо) Д° окрестности {tk\ х Vh (Уо) в {4} X Н. Обозна- чение jig — gijlo, uk < 6 определено в разд. 6.2. Лемма 6.12. Пусть {64}, {4}—допустимая цепь для вре- мениподобной геодезической с: (a, w0] —> (М, g), с 4) = (4 Уо)- Для каждого k в Н существует окрестность Vk (у0) точки у0, для которой любая направленная в будущее непространственно- подобная кривая g (t) = (t, оу (i)) с g 4а) € {4} X V/ДУо) оста- ется в Uk для всех t, подчиненных условию tk+i с t с tk. Более того, Vh (у0) и 6 > 0 можно выбрать так, что если gx С 4ог (М) и
166 Гл. 6. Устойчивость пространств Робертсона—Уокера II 6 — gx ||о, uh <6, то выполняются следующие два утверждения: если у (/) — (4 Ух (0) — произвольная непространственноподобная кривая в (М, gi) с у (th) £ |4| х Vh (у0), то (1) у остается в Uh для всех I, подчиненных условию 4+1 < < t < 4; (2) gi-длина у | l4+i, 41 не 'больше । 6/г (4 — 4+1)- Доказательство. Напомним сначала, что отображение л: М = (а, Ь) / Н -» к, задаваемое правилом л (4 h) = t, вы- ступает в роли глобальной функции времени для М. В частности, векторное поле ул удовлетворяет неравенству g (ул, ул) < 0 во всех точках из М. Определим g 4 Lor (М) посредством соот- ношения g (*. У) = ё (в У) - g (*, V^) g (У, V31)- Из определения g вытекает, что g g на М, так что U2 = = |g2 С Con (М): g2 < т (g)| является открытой окрестностью С (М, g) в Con (М). Положим (/, ~ т-1 (U2). Тогда t/j-есть С- открытая окрестность метрики g в Lor (М), такая, что если gr £ £ L/х, то отображение проектирования л: М -» R представляет собой глобальную функцию времени для (М, gj. Отсюда следует, что гиперповерхности \t\ х Н, t £ (а, Ь), остаются простран- ственноподобными в (7И, gi). Поэтому любая непространственно- подобная кривая у в (М, gx), gx £ Uy, может быть параметризована так, что у (/) = (4 Ух (0)- Таким образом, лемма будет применима к любой непространственноподобной кривой в (М, gx), исходящей из произвольной точки в |4| У. Vh (уо), при условии, что gx £ Uy достаточно близка к g на Uh. Пусть (л'х, ..., хп) —заданная адаптированная координатная система в адаптированной нормальной окрестности 64. Ввиду условия (2) определения 6.8 можно найти > 0, такое, что из || g — gx||o. ц < вытекает, что соотношение gx < g0 вы- полняется на Uh, где g0 — лоренцева метрика на Uk, заданная в адаптированных локальных координатах посредством формулы go = —dx? + dxl + ... + dxn- Во-вторых, по соображениям ком- пактности из того, что С°-близкие метрики имеют близкие свето- вые конусы, вытекает существование окрестности Vk (//,,) точки у0 в И и постоянной б2 > 0, таких, что если g, £ Lor (Л4) удовле- творяет неравенству || g — gx ||0, uk < 62. а у (/) = (4 ух (0) — любая направленная в будущее непространственноподобная кривая в (М, gx), у которой у (4) £ (41 х V, (г/0), то у (t) £ Uh для всех 4 подчиненных условию 4+i < t с 4- Остается доказать оценку длины (2). Пусть 6 = min (бх, 1/2). Предположим, что метрика g' £ Lor (М) удовлетворяет
6.3. Устойчивость геодезической неполноты 167 неравенству||g' — g||0,<; б, ay (t) -= (t, yx (/)) — произвольная непространственноподобная кривая в (/И, g') с условием у (tk) £ Е {4} х 14 (Уо), у. [4+1, 4I-* М. Обозначим через L (у) длину кривой у в (М, g'). Таким образом, L(y) = J |/ - &/(т(0)т- (0т/(0^- В силу определения 6.8 и выбора б' имеем | g,7 | <: (1 + 1/2) + + 1/2 = 2 и | у/ (/) | < -j 3 для всех 1 с /, / < п. Поэтому 4 (у) < ]^+1 У2п2 (j З)2 dt = । б/z (4 — 4+i), как и требова- лось. □ Предполагая теперь, что риманов сомножитель (И, 11) лорен- цева искривленного произведения однороден, распространим утверждение леммы 6.12 с Uh до 14+1, 41 X Н. Будем исполь- зовать обозначение | gx — g |0 < б, определенное в разд. 2.2. Лемма 6.13. Пусть (/И, g)—лоренцево искривленное произ- ведение с однородным (Н, h), и пусть \th\ — допустимая цепь для с (t) = (4 у0), с: (a, wol -> М. Если для каждого k су- ществует непрерывная функция б?(: [4+1, 41 , Н -> (0, оо), такая, что для метрики gx Е Lor (/И), удовлетворяющей условию |g — gi |о < 6h на l4+i, 41 7. H, любая непространственно- подобная кривая у (/) =~- (4 Ух (/)), у: 14+i, tk 1 -> (/И, gx), сое- диняющая произвольную точку из {4+4 X Н с произвольной точкой из {tk\ х Н, имеет длину не больше у 6п (tk— 4+4- Доказательство. Зафиксируем произвольное k > 0. Пусть б > 0 — постоянная из леммы 6.12, такая, что если gx £ Lor (/И) удовлетворяет неравенству ||gx -g||o,oft < б, то любая непро- странственноподобная кривая у (!) -= (4 ух (4) в (/И, gx) с усло- вием у (4) Е {4} X К (ро) остается в Uk для всех t, подчинен- ных условию 4+1 < t < 4, и имеет длину не больше । 6п (4 — — 4+1)- Пусть далее (.\-х, .... хп) — заданные координаты, при- способленные для Uh. В группе I (Я) можно найти изометрии {<ргтакие, что если tjt = <рг (р0) и Vk (tjt) = (рг (Vh (//о)), то множества {V* (//г)}“;1 вместе c Vk (у0) образуют локально конечное покрытие И. Пусть Ф;: М —> М — изометрия, заданная посредством правила Фг (4 /г) = (4 фг- (/г)). Положим 4,- -= Ф; (Uk) для каждого 4 Тогда множества {Ut\ покрывают [tA+i, 41 X Н, а (хх, х^Ф/1, ... ..., Хп^Ф/1) являются адаптированными локальными коорди- натами для и;, i любое. Так как все строится при помощи изометрий, то постоянная б > 0, которая работает в лемме 6.12
168 Гл. 6. Устойчивость пространств Робертсона—Уокера для Uh и с (I) = (t, у0), одинаково хорошо работает для каждого Ut и ф;ос при условии, что для Ui используются адаптированные координаты (хХ1 х2с Фу', лусф^1). Если бй: [Z/f+x, /;J у П М — произвольная непрерывная функция, для которой из неравенства J) gi — - g J)() < на ltk+1, tk] >, Н вытекает, что || gj — g ||Oj < б для каждого t, то утверждение леммы немед- ленно следует из леммы 6.12. □ Теперь мы подготовлены к тому, чтобы доказать (^-устойчи- вость времениподобной геодезической неполноты для лоренцевых искривленных произведений М = (a, b) yf Н, где а >—оо и (Я, h) однородно. Теорема 6.14. Пусть пространство-время (7И, g) пред- ставляет собой искривленное лоренцево произведение М = (а, b) z jH, где а > —оо, g = —dt2 ф fh и (Н, h) — однородное ри- маново многообразие. Тогда существует С°-окрестность U (g) метрики g в пространстве Lor (М) всех глобально гиперболических метрик, такая, что для каждой метрики б П (g) все времени- подобные геодезические в (Л4, gx) неполны в прошлом. Доказательство. Зафиксируем произвольную точку г/0 £ М. Пусть с. (а, сй0] -> М — непродолжаемая в прошлое и направлен- ная в будущее геодезическая, задаваемая по правилу с (/) = — (t, уп). Пусть \tk\ —допустимая цепь для с, существо- вание которой гарантируется леммой 6.11. Выберем для каждого tk в соответствии с леммой 6.13 бЛ: [tk+1, tkl х Н -> (0, оо). Пусть б: М -> (0, оо) — непрерывная функция, у которой б (р) с < (д) для всех q £ [/Л+х, tk] х Н и любого k > 0. Положим Гх (g) = {gx С Lor (М); | gx — g |o < б|. Вследствие того что глобальная гиперболичность является С°-открытым условием, можно также предполагать, что все метрики в Vx (g) глобально гиперболические. Согласно изложенному в первом абзаце доказательства леммы 6.12, можно выбрать С°-окрестность V2 (g) метрики g в Lor (М) так, что для всех gx £ 1/2 (g) каждая гиперповерхность х Н, t Е (fl, b), пространственноподобна в (Л1, gx). Тогда каждую непространственноподобную кривую у: (а, |3) -+ (М, gx) путем перепараметризации можно привести к следующему виду: у (t) = ~ (L Ti (0)- Вследствие того, что лемма 6.12 применима ко всем непродолжаемым непространственноподобным геодезическим в (М, gx), получаем, что gx t (g). Рассмотрим теперь С°-окрестность U (g) = Г, (g) f] V2 (g) ме- трики g в С°-топологии. Пусть gx £ U (g), ay: (a, |3) (M, gx) — произвольная направленная в будущее непродолжаемая времени- подобная геодезическая. Используя рассуждения Герока (1970,
6.3. Устойчивость геодезической неполноты 169 с. 448), можно считать, что {/х} х Н — поверхность Коши для (44, gi), и, значит, существует s0 £ (а, Р), для которого у (s0) £ с {М X н. При переходе от {tM\ х Н к \tk} х И gj-длина кривой у, согласно лемме 6.13, не больше у 6п (tk— tk+1) для каждого k. Складывая эти оценки, получаем, что gj-длина у | (a, s01 не больше у 6п (tk— а). Поскольку у| [a, s0]—непродолжа- емая в будущее времениподобная геодезическая конечной gx- длины, кривая у неполна в прошлом в (44, gJ.D Вследствие того что риманов сомножитель (И, h) простран- ства Робертсона—Уокера однороден, мы получаем приводимоениже следствие из теоремы 6.14, которое для времениподобных геоде- зических утвердительно решает вопрос, поднятый Лернером (1973, с. 35). Теорема 6.15. Пусть (44, g) —пространство-время Роберт- сона—Уокера, М = (a, b) Xf И, а > —оо. Тогда существует С°-окрестность U (g) метрики g в пространстве глобально ги- перболических метрик Lor (44), такая, что все времениподобные геодезические в (44, gx) неполны в прошлом для каждой gx Е Я (g)- Если изменить временную функцию на (44, g) на другую лх: 44 —> Р, где лх (/, h) = —t, и применить к полученному при этом пространству-времени леммы 6.12 и 6.13, то получится точ- ный аналог этих лемм для направленной в будущее времениподоб- ной геодезической с: (оэ0, Ь) -> (44, g), задаваемой в этом про- странстве-времени посредством соотношения с (1) = (t, у0). От- сюда следует, что если (44, g) — искривленное лоренцево произ- ведение М = (a, b) xf Н с однородным сомножителем (Н, h) и b < оо, то то же самое доказательство, что и в теореме 6.14, устанавливает С°-устойчивость времениподобной геодезической неполноты в будущем. Объединяя это замечание с теоремой 6.14, получим следующий результат. Теорема 6.16. Пусть (М, g) — лоренцево искривленное про- изведение М = (a, b) Xf И, g = —dt2 ф fh, где а и b конечны, а (Н, h) однородно. Тогда существует С°-окрестность U (g) метрики g в пространстве глобально гиперболических метрик Lor (44), такая, что все времениподобные геодезические в (44, gx) для любой gx £ U (g) являются неполными как в прошлом, так и в будущем. Интересно отметить, что, в то время как конечность а и b существенно используется при доказательстве теоремы 6.16, оно не зависит от конкретного выбора искривляющей функции f: (а, Ь) -» (0, оо); существенно используя однородность риманова сомножителя (Я, h), доказательство теоремы 6.16 ни на какие другие геометрические и топологические свойства не опирается.
170 Гл. 6. Устойчивость пространств Робертсона—Уокера В общей теории относительности и в космологии рассматри- ваются замкнутые модели большого взрыва (см. Хокинг и Эллис (1977, разд. 5.3)). Эти модели представляют собой пространства Робертсона—Уокера, у которых b — а < оо и Н компактно. Из этого можно заключить, что в теореме 6.16 доказывается, в частности, С°-устойчивость времениподобной геодезической не- полноты этих моделей. Обратимся теперь к доказательству (^-устойчивости изотроп- ной геодезической неполноты для пространств Робертсона— Уокера. Взяв Л4 = (0, 1) Х/Я с искривляющей функцией f (/) = = (2Z)-2 и метрикой g = —dt2 ф fdx2, можно непосредственно убедиться, используя результаты разд. 2.6, в том, что кривая у: (—оо, 0) -> (Л4, g), задаваемая правилом у (() — (Я, е2/), является полной в прошлом изотропной геодезической. Поэтому подходя- щим выбором искривляющей функции можно построить про- странства Робертсона—Уокера с а > —оо, которые являются изотропно геодезически полными в прошлом. Таким образом, в от- личие от доказательства устойчивости времениподобной геодези- ческой неполноты здесь необходимо предполагать, что (М, g) содержит неполную в прошлом (соответственно неполную и в про- шлом, и в будущем) изотропную геодезическую для того, чтобы получить изотропный аналог теоремы 6.15 (соответственно тео- ремы 6.16). Неудивительно, что доказательство (^-устойчивости изотропной геодезической неполноты является более сложным, чем для времениподобного случая; это происходит вследствие того, что для доказательства изотропной неполноты необходимо вместо лоренцевой длины дуги использовать аффинные параметры. Для доказательства леммы 6.18 также необходимы как изотропность, так и однородность (Н, h). Поэтому в оставшейся части этого раз- дела мы будем предполагать, что М = (о, b) zfЯ — простран- ство-время Робертсона—Уокера. Пусть (I', xL..х„)— адаптированная нормальная окрест- ность многообразия (М, g) с адаптированными координатами (л\, ..., л'п). Для доказательства леммы 6.18 необходимо опреде- лить расстояние между компактными подмножествами, состав- ленными из изотропных для различных лоренцевых метрик на М векторов и приложенных в различных точках V. Напомним (из разд. 6.2), что локальные координаты (х1, ..., хп) на V можно поднимать до локальных координат х — (хх, ..., хп, хп+1, ... ..., х211) на TV = ТМ | у. Таким образом, для любых q £ V, gi Е £ Lor (7И) и а > 0 можно определить 5 (7- gi) = !» Е Д#: gx (v, v) = 0 и хп+1 (ц) = —а). Множество S (q, a, g() является компактным подмножеством пространства Tq М для любых а > 0 и g, £ Lor (М). Пусть р, q Е Y, gx, g„ V Lor (М) и «j, сха > 0 заданы. Хаусдорфово
б.З. ,Vстойчизость геодезической неполноты 171 расстояние между S (р, оу gy) и S (<7, оу g,) определим по- средством следующей формулы: disi (S (р, alt gj, S (q, a,, g2)) = лу- (г®)]2 1/2 : v G S (p, alr gx), ^65(7, oc2, g2) Непрерывность компонент метрического тензора g как функций gtf. V V —> R и замкнутость световых конусов для лоренцевых метрик, близких в С°-топологии, обеспечивают непрерывность этого расстояния по р, а и g (см. Буземан (1962, с. 25)). Лемма 6.17. Пусть V — адаптированная нормальная ок- рестность, адаптированная в точке р G (М, g). Для заданных а > 0 и в > 0 найдется 6 > 0, такое, что из условий Ц р — q j3 < < 6, || g( — g |)0> v < 6, gx G Lor (Л1) и | «x — a | < б вытекает, что dist (S (<7, oy gx), 3 (p, a, g)) < e. Пусть теперь (Л1, g) — пространство-время Робертсона— Уокера (a, b) х fH, изотропно неполное в прошлом. Тем самым некоторая направленная в будущее непродолжаемая в прошлое изотропная геодезическая с: 10, А) -» (М, g) неполна в прошлом (т. е. А < оо). Из того, что (Н, h) изотропно и пространственно однородно, а изометрии переводят геодезические в геодезические, вытекает, что все изотропные геодезические неполны в прошлом. Зафиксируем эту непродолжаемую в прошлое неполную в прошлом изотропную геодезическую с: [0, Л) -» (М, g) с заданной пара- метризацией до конца доказательства теоремы 6.19. Пусть (соо, у0) = с (0) G М = (a, b) х И. Применим лемму 6.11 к направленной в будущее времениподобной геодезической t —> (t, у0), t < су, и построим для нее допустимую цепь {Uk}, \tk\. При помощи выбранных можно найти у так, что 0 = — Si < sz < ... < sk < ... < А ис (sh) £ \th\ х Н для каждого k. Положим Ay = sft+1 — sk. Как и выше, пусть ху М -> R — отображение проектирования на первый сомножитель многообра- зия А4 — (a, b) '<fH: xt (t, h) = t. Заметим, что если (V, xL, ... ..., хп) — произвольная адаптированная координатная карта, то координатная функция лу; V -> R совпадает с этим отображением проектирования. Если у — произвольная гладкая кривая из М, пересекающая каждую гиперповерхность х П cz М ровно один раз, и у (s) G W X Д, то будем говорить, что величина |(Хх°у)' (s)| является ху-скоростью кривой у в х Н. В част- ности, лу-скорость фиксированной изотропной геодезической с: 10, А) (М, g) в {th| Н будем обозначать через ah - = | (д'х о с)' (sh) | для каждого k.
172 Гл. 6. Устойчивость пространств Робертсона—Уокера Лемма 6.18. Пусть е > 0 задано. Тогда для каждого /г > О существует непрерывная функция [4+i, tk ] >'//—> (О, оо) со следующими свойствами. Пусть g, g Lor (/VI) такая, что на 14+1, 41 X П выполняется оценка | g,—g |i < 6/г, и пусть у: [О, В) - > Л! — произвольная направленная в прошлое изотропная геодезическая, у которой у (0) £ {4} х И, и х^-скорость {4} X П равна ah. Тогда у достигает {4+i| X Н при возрастании аффинного параметра самое большее на 2&sh, и более того, хг- скорость кривой у в {4+1} X Н удовлетворяет оценке 1 - е<| —|<1 +е. I «й+1 I Доказательство. Пусть с: [О, А) -> (Л4, g) — заданная выше неполная в прошлом изотропная геодезическая. Фиксируем k > >0. Из пространственной однородности пространств Роберт- сона—Уокера следует, что существует изометрия <р £ I (Я), для которой ф = id х Е / (Л1, g) удовлетворяет условию ф (р ($й)) = (4, go), где Уо определено выше. Ввиду того что k в ходе доказательства предполагается фиксированным, можно, не опасаясь путаницы, положить р = (tk, у0). Пусть щ (s) = ф ° о с (s + sk). Тогда щ — непродолжаемая в прошлое неполная в прошлом изотропная геодезическая из (Л4, g), для которой гу (0) € {4} х п, Ci (Ash) Е {4+1} X П и Cl (s) = ехрр [g] (sv), где v = ф* (с' (sh)). Выберем b > 0 так, чтобы Ag. < b < 2ksh и Ci (s) Е Uk для всех s, подчиненных условию 0 с $ < Ь. Ввиду того что b > Asa, для некоторого t < 4+i имеем щ (b) Е {4 X Н. Отсюда (%1°С1) (Asfi) -- (х^гу) (Ь) = 4+1 — 1 > 0. Положим ег = = min {е, 4+1 — (xi°Cj) (6)} > 0. Пусть теперь gr Е Lor (Л4) и q g- Uh Q (\tk\ x П). Предпо- ложим, что у: [0, В) (М, gr) — произвольная направленная в будущее непродолжаемая в будущее изотропная gj-геодезиче- ская, у которой у (0) = q, a Xj-скорость в q равна ak. Тогда w = = (0) Е Tq Л1 удовлетворяет следующим соотношениям: gi (w, w) = 0 и х„+1 (да) < 0. Более того, у (s) = ехр9 [gj ] (sw). Применяя к Ci и с„ = у леммы 6.6 и 6.7 с постоянной ej (опреде- ленной, как указано выше), можно найти постоянную 60, 0 < < 60 < Л<у, так, что из || v - w ||2 < 60, || gr — g ||,, U/{ < 60 и ( $0 -— A.g, | < 60 вытекают соотношения | (Xi о ci) (s) - (xi ° с2) (s) | < Er « 4+i - ('У " Q) (b) (1) для всех s, 0 < s < b, 1 p <T | (X1 ° (So) b- 1 I„ (0\ 1 “ 61 < I I 1 +F1- (2) Полагая в неравенстве (1) s= b, получаем, что ((х^гу) (b) — — (Xi c c2) (b) | < tll+i - - (Xi ty) (b), откуда следует, что (Xi -c2) (b) <
6.3. Устойчивость геодезической неполноты 173 < tM. Значит, найдется s', 0 < s' < b, такая, что (х, ° ° с2) (s') = th+1. Но тогда s' < b < 2As/e. Последнее неравен- ство показывает, что аффинный параметр для с2 при переходе от {tk\ х Я к {4+11 х Н возрастает меньше, чем 2AsZi, при условии, что 60 выбрано так, как указано выше. Для произвольной геодезической с2 (s) = exp [gr] (sw), где g± и w 60-близки к g и v (как и выше), обозначим через s' значение аффинного параметра $ для с2, такое, что (Х|<с2) (s') = th+l. Согласно лемме 6.6, при 60 —> 0 соответствующее значение s' стремится к Asft. Таким образом, в силу непрерывной зависимости от параметра можно выбрать 6Ь 0 < 6Г < 60, так, чтобы для лю- бой геодезической с2 (s) = exp [gr] (sw), у которой gi и w 6гблизки к g и v соответственно, выполнялось равенство (лу<с2) (s ) = = tk+i, где s' С I As* — 60, As* + 60]. Отсюда, применяя оценку (2) при s0 = s', что возможно ввиду неравенства 6, <С <%, получаем 1 с<-| (*1°^)'(<) |-| 0 |^. , (*! О q)' (AS/i) | К+1|^ Л (6-4) Теперь нам нужно распространить эти оценки с окрестности v £ С ТРМ на окрестность S (р, ak, g). Заметим для этого, что так как М = (a, b) X /И — искривленное произведение одномер- ного сомножителя (а, Ь) и Н с f: (а, b) ->-R, то группа I (Я) действует на S (р, ak, g) транзитивно. Поэтому для любого за- данного z f S (р, ak, g) можно применить предыдущие рассу- ждения, используя ту же самую допустимую цепь {ТД, {tk\ для того, чтобы найти постоянную 6, (z) > 0, такую, что если w £ ТМ удовлетворяет условию || w — z||2 < 6, (z), у (w) £ € Я* f| ({4| X Я), || gj, — gUr, Uk < 6i (z) и c2 (s) = exp |gj X X (sw) имеет в {4} X Ялу-скорость, равную а*, то с2 при переходе от \tk\ X Я к {4+1} X Я имеет прирост аффинного параметра не больше, чем на 2As*, и подчиняется оценке (6.4). Используя компактность S (р, a*, g), можно выбрать изотропные векторы ..., 17 £ S (р, аь, g) так, чтобы множества {w £ S (р, a*, g): II t<y — I'm ||2 < 61 (vm), где т = 1, ..., j} покрывали S (р, ak, g)- Положим 62 = min (6 (um): 1 <. т < j\. Согласно лемме 6.17, существует постоянная б3, 0 < 63 < 62, Для которой из неравенств II Р — q ||2 < 63, || gi — g 111, uk < 63, w e s (p, ak, g) вытекает, что || w — vm ||2 < 61 (cm) для некоторого m. Отсюда вытекают следующие свойства 63. Если у: [О, В) ->-(M, gr) —произвольная непродолжаемая в прошлое направленная в прошлое изотропная геодезическая из (М, gt), для которой (| — gj|i, uk <Z 63, у (0) E € (Щ X Я) П {g £ Uk: ||p — q Ца < 63|, где p = (4, Уо)> и которая имеет в у (0) хгскорость ah, то к у применимы заклю- чения теоремы 6.16. Ввиду того что I (Я) действует на Я транзи- тивно, этот результат можно распространить с ({4l X Я) П
174 Гл. 6. Устойчивость пространств Робертсона—Уокера П {q € Uh'- || Р — q\\z < S3' на все \th\ X Н в точности так же, как и в доказательстве леммы 6.13. В частности, функции 6ft: Uft+I, ti, ] X Н —>(0, оо) можно построить именно так, как в лемме 6.13. □ Доказав лемму 6.18, мы теперь готовы к тому, чтобы доказать ^-устойчивость изотропной геодезической неполноты в прошлом для пространств Робертсона—Уокера. Вследствие изотропности и пространственной однородности пространств Робертсона—Уоке- 1 ра неполнота в прошлом одной непродолжаемой изотропной геоде- зической влечет за собой неполноту в прошлом всех изотропных геодезических. Таким образом, теорему устойчивости можно сформулировать следующим образом. Теорема 6.19. Пусть (М, g) —пространство-время Роберт- сона—Уокера, содержащее непродолжаемую изотропную геодези- ческую, которая неполна в прошлом. Тогда существует ^-окрест- ность U (g) метрики g в пространстве глобально гиперболических метрик Lor (/VI), такая, что все изотропные геодезические на (Л4, gj неполны в прошлом для каждой gr £ V (g). Доказательство. Пусть М = (a, b) >: и с: [0, Л ] —> (М, g) — заданная непродолжаемая неполная в прошлом изо- тропная геодезическая. Положив = лу (с (0)), будем считать {(Д|, {4|, {s\| и {аД выбранными, как и в абзаце, предшеству- ющем лемме 6.18. Пусть {|3Й| — последовательность вещественных чисел, у которой 0 < < 1 для каждого k и 1/2 < Д£Д (1 — — 1’л) < 1- Тогда для каждого т 1 имеем tn 1<П(1-РЙГ<2. (6.5) *=1 Применяя лемму 6.18 для каждого с е = pfe, получаем непрерывную функцию 6Й: [/Л,+1, tk] хН-ДО, оо), свойства которой описаны в лемме 6.18. Выберем непрерывную функцию 6: М -> (0, оо) так, чтобы для произвольной точки q £ М, лежащей в области определения dk, выполнялось неравенство 6 (q) < < Л/. (q). Положим Ut (g) = ]gr 6 Lor’/И: | g, — g |i < $} и вы- берем ^-открытую окрестность U2 (g) метрики g в Lor (/И) так, чтобы все метрики из 6'2 (g) были глобально гиперболическими, и так, чтобы каждая гиперповерхность {Д у Н была простран- ственноподобной в (М, gx) для всех t £ (а, Ь) и любой g, £ U2 (g) (см. лемму 6.12). Положим U (g) — U} (g) f) U2 (g). Допустим теперь, что g, L U (g) и у: [0, В) -> M — произ- вольная направленная в будущее и непродолжаемая в будущее изотропная геодезическая в (М, gr). Перепараметризуя у, если это необходимо, можно предполагать, что хг (у (0)) ~ tk для некото- рого k 1 и что у имеет в {41 X Н лу-скорость, равную a!t. Сог-
6.3. Устойчивость геодезической неполноты 175 ласно лемме 6.18, при переходе от {4} X П к {4+i! X Н аффин- ный параметр у у изменяется самое большее на 2Asb. Чтобы при- менить лемму 6.18 к у, когда у переходит от х Н к X X Н, может оказаться необходимым перепараметризовать у в {tk+i} X Н так, чтобы она имела в х Н .^-скорость, равную afe+1. Тем не менее, если обозначить через 0ft+1 Xj-скорость У в ^л+1} X И, то из леммы 6.18 получаем, что 1 —f>;; < < | 0/(+]/ай+) | < 1 + . Тем самым х, -скорость у в х Н не может быть меньше (1 — pfe) ak+1. Значит, аффинный параметр кривой у при переходе от X Н к X П возрастает самое большее на 2 (1 — Ph)-1 Asft+1. Рассуждая по индукции, мо- жно убедиться в том, что при переходе от х Н к |^+/+г} X у.Н аффинный параметр кривой у возрастает самое большее на 2As/,+i]X’==o (1 — Р*+>) '• Применяя неравенство (6.5), получаем, что при переходе от {tk+t\ х Н к |6i+/+i} X Н аффинный па- раметр у возрастает самое большее на 4Asfi+/. Из того, что 1jS=i Asfe = А, вытекает, что полная аффинная длина В кривой у меньше 4А. Но так как 4А < оо, то это означает, что у неполна в прошлом, что и требовалось доказать. □ Обращая ориентацию во времени, можно получить аналог те- оремы 6.19 для пространств Робертсона—Уокера, имеющих не- полные в будущем изотропные геодезические. Таким образом, теорема 6.19 приводит к следующему результату. Теорема 6.20. Пусть (/VI, g) — пространство-время Роберт- сона—Уокера, содержащее непродолжаемую изотропную геодези- ческую, которая одновременно неполна и в прошлом, и в будущем. Тогда существует (А-окрестностъ U (g) метрики g в пространстве глобально гиперболических метрик Lor (7И), такая, что все изо- тропные геодезические в (М, gt) являются неполными и в прошлом, и в будущем для каждой метрики g, £ U (g). Сформулируем теперь две теоремы устойчивости для непро- странственноподобной геодезической неполноты, объединив те- оремы 6.15 и 6.19 и соответственно теоремы 6.16 и 6.20. Первая из этих теорем применима ко всем моделям большого взрыва, а вторая — к замкнутым моделям большого взрыва. Теорема 6.21. Пусть (М, g) — пространство-время Роберт- сона—Уокера вида (a, b) XfH, где а > —оо. Предположим, что (Л1, g) содержит неполную в прошлом и непродолжаемую в прошлое изотропную геодезическую. Тогда найдется О-окрест- ность U (g) метрики g в пространстве глобально гиперболических метрик Lor (Л4), такая, что все непространственноподобные геодезические в (М, gr) неполны в прошлом для каждой метрику gi G U (g).
176 Гл. 6. Устойчивость пространств Робертсона—Уокера Теорема 6.22. Пусть (М, g) — пространство-время Роберт- сона—Уокера вида (a, b) х fH, где и а и b конечны. Предположим, что (М, g) содержит непродолжаемую изотропную геодезическую, которая одновременно неполна и в прошлом, и в будущем. Тогда существует С1 -окрестность U (g) метрики g в пространстве глобально гиперболических метрик Lor (Л4), такая, что все не- пространственноподобные геодезические из (М, g,) одновременно неполны 'и в прошлом, и в будущем для каждой метрики g( из
Г лава 7 МАКСИМАЛЬНЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ И ПРИЧИННО РАЗДЕЛЯЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ Многие основные свойства полных некомпактных римановых многообразий выводятся из того принципа, что предельная кривая последовательности минимальных геодезических сама является минимальной геодезической. После того как Хопфом и Риновым (1931) было дано корректное определение полноты, Ринову (1932) и", Майерсу (1935) удалось доказать, используя этот принцип, что из каждой точки полного некомпактного риманова много- образия исходит геодезический луч. Здесь под лучом понимается геодезическая у: [0, оо) -> (N, g0), реализующая риманово рас- стояние между любой парой своих точек. Ринов и Майерс постро- или требуемый геодезический луч следующим образом. В силу полноты и некомпактности (N, g0) существует бесконечная по- следовательность {р„\ точек в N, такая, что для любой точки р £ N d0 (р, рп) —> оо при и —> оо. Пусть — минимальный (т. е. реализующий расстояние) нормальный геодезический сег- мент с концами р — уп (0) и рп. Этот сегмент существует в силу полноты (N, g0). Если v £ TpN - любая точка накопления по- следовательности (0)} единичных касательных векторов в про- странстве TPN, то у (t) = ехрр tv — требуемый геодезический луч. То, что у является лучом, интуитивно ясно вследствие того, что у представляет собой предельную кривую для некоторой под- последовательности минимальных геодезических сегментов ]y„J. Существование геодезических лучей, проходящих через каждую точку, является важным инструментом в недавно построенной те- ории структуры полных некомпактных римановых многообразий как положительной (см. Чигер и Громол (1971, 1972)), так и отрицательной (см. Эберлейн и О'Нейл (1973)) кривизны. Вторым приложением этого основного принципа построения геодезических как пределов минимальных геодезических сегментов является конкретная геометрическая реализация для полных ри- мановых многообразий теории бесконечно удаленных точек (кон- цов) некомпактных хаусдорфовых топологических пространств (см. Кон-Фоссен (1959)). Бесконечная последовательность {р„\ точек в многообразии называется расходящейся к бесконечности, ^сли для произвольно заданного компактного множества К лишь
178 Гл. 7. Максимальные геодезические конечное число членов этой последовательности может содержаться в Л'. Если полное риманово многообразие (N, g0) имеет больше чем одну бесконечно удаленную точку, то в N существуют ком- пактное подмножество К и последовательности \рп] и которые расходятся к бесконечности, так, что 0 < d0 (рп, q,t) —> оо и каждая кривая, идущая из рп в qn, встречает К для любого п. Пусть — минимальный (т. е. реализующий расстояние) геоде- зический сегмент, соединяющий рп с qn. Так как каждый сег- мент уп встречает К, то можно построить предельную геодези- ческую у: R —> М, которая будет минимальной как предел после- довательности минимальных кривых. Тогда «у (—оо)» соответствует бесконечно удаленной точке многообразия N, представленной по- следовательностью {/?„}, а «у (-[—оо)» — бесконечно удаленной точке Л\ представленной последовательностью {</„}. В частности, полное риманово многообразие, имеющее более одной бесконе- чно удаленной точки, содержит прямую, т. е. геодезическую у; (—оо, оо) -> N, которая реализует расстояние между любой парой своих точек. Описанные римановы конструкции побуждают к изучению аналогичных теорем существования для геодезических лучей и прямых в сильно причинных пространственно-временных много- образиях. С точки зрения общей теории относительности жела- тельно иметь конструкции, годные не только для глобально ги- перболических подмножеств пространственно-временных много- образий, но также и для сильно причинных пространств. Однако если предполагать только сильную причинность, то в общем слу- чае оказывается неверным утверждение о том, что причинно связанные точки можно соединить максимальным геодезическим сегментом. Поэтому для лоренцевых многообразий нужен чуть более слабый, чем для полных римановых многообразий принцип построения максимальных геодезических. Именно в сильно при- чинном пространстве-времени предельные кривые последователь- ностей «почти максимальных» кривых являются максимальными, а значит, и геодезическими. В разд. 7.1 мы приведем два способа построения семейств почти максимальных кривых, предельные кривые которых в сильно причинном пространстве-времени явля- ются максимальными геодезическими. Сильная причинность ну- жна для того, чтобы обеспечить полунепрерывность сверху длины дуги в С°-топологии на кривых, а также и возможность применения предложения 2.21. В разд. 7.2 мы применим эту конструкцию к доказательству существования направленных в прошлое и в бу- дущее непространственноподобных геодезических лучей, исходя- щих из каждой точки сильно причинного пространства-времени. В разд. 7.3 мы исследуем класс причинно разделяемых про- странственно-временных многообразий. Будем говорить, что ком- пактное множество f\ причинно разделяет пространство-время,
7.1. Почти максимальные кривые 179 если найдутся две бесконечные последовательности и {</,,}, расходящиеся к бесконечности так, что рп с <?,,, рп qn, и все непространственногюдобные кривые, идущие из рп в q„, встречают К для каждого п. Пространство-время (М, g), допу- скающее такой компакт К, причинно разделяющий две расходя- щиеся последовательности, называется причинно разделяемым. Из определения видно, что причинная разделяемость является глобальным конформным инвариантом класса С (М, g). Далее, применяя принцип из разд. 7.1, мы показываем, что если сильно причинное пространство-время (7И, g) причинно разделяемо ком- пактным множеством К, то (М, g) содержит непространственно- подобную геодезическую прямую у: (а, Ь) -> М, которая пересе- кает /\, т. е. d (у (*), у (t)) Л (у | ($, Л) для всех s, t, подчинен- ных условию а < s < t < b. Этот результат, как будет видно в гл. 11, является существенным для доказательства теоремы син- гулярности 6.3 в работе Бима и Эрлиха (1979а). Мы заключаем эту главу исследованием условий на глобальную геодезическую структуру заданного пространства-времени (Al, g), из которых вытекала бы причинная разделяемость (Л1, g). В частности, мы покажем, что все двумерные глобально гиперболические простран- ственно-временные многообразия причинно разделяемы. Одно из этих условий и существование в сильно причинных простран- ственно-временных многообразиях причинно разделяемых непро- странственноподобных геодезических прямых влекут за собой также, что сильно причинное пространство-время, не содержащее направленных в будущее изотропных геодезических лучей, со- держит времениподобную геодезическую прямую. 7.1. Почти максимальные кривые и максимальные геодезические Цель этого раздела состоит в том, чтобы показать способ по- строения геодезических как пределов «почти максимальных» кривых в сильно причинных пространственно-временных много- образиях. В обеих конструкциях важную роль играют полуне- прерывность сверху лоренцевой длины дуги в С°-топологии на кривых для сильно причинных пространственно-временных мно- гообразий и полунепрерывность снизу лоренцева расстояния. Сильная причинность (Al, g) является существенной, так как в этом случае сходимости в смысле предельной кривой и в С°- топологии на кривых тесно связаны (см. предложение 2.21). Первую конструкцию можно применить к паре хронологически связанных точек р, q, для которых d (р, q) < оо. Хотя этот под- ход и достаточен для доказательства существования непростран- ственноподобных геодезических лучей в глобально гиперболиче- ских пространствах (см. Бим и Эрлих (1979в, теорема 4.2)), он
180 Гл. 7. Максимальные геодезические не годится для точек, расстояние между которыми бесконечно. В соответствии с этим для нужд разд. 7.2 и 7.3 мы приведем вто- рую конструкцию, которую можно использовать в произвольных сильно причинных пространственно-временных многообразиях. Пусть (М, g) — произвольное пространство-время. Пред- положим, что р и q — различные точки М, связанные условием р < q. Если d (р, q) = 0, то, взяв в качестве у направленную в будущее непространственноподобную кривую из р в q, полу- чим, что L (у) < d (р, q) — 0. Отсюда L (у) = d (р, q), и, сог- ласно теореме 3.13, у можно перепараметризовать в максимальный изотропный геодезический сегмент из р в q. Поэтому предполо- жим, что р <С q, или, что равносильно, d (р, q) > 0. Если d (р, q) < °°, то по определению 3.1 для любого е > 0 сущест- вует направленная в будущее непространственноподобная кривая у из р в q, удовлетворяющая условию d (р, q) is L (у) 5а d (р, q) — е. (7.1) Конечно, неравенство (7.1) представляет собой единственно ограничение на L (у) при условии, что е < d (р, q). В этом слу- чае мы будем называть у «почти максимальной» кривой. Отметим следующее простое следствие обратного неравенства треугольника. Замечание 7.1. Пусть у: [0, 1 ] -> Л4 — направленная в бу- дущее непространственноподобная кривая из р в q, р q, такая, что d (р, Q) — е с L (у) < оо. Тогда для любых s и I из отрезка [0, 11, s < t, имеем Е (у | [s, И) 5== d (у (s), у (0) — е. Доказательство. Предположим, что для некоторой пары чисел s и t из [0, 1], связанных неравенством $ < t, L (у 1s, Л) < < d (у (s), у (0) — е. Тогда L (у) = L (у | [0. sj) + L (у | [s, 0) + L (у | [Л 1]) < С d (у (0), у (0) + L (у | [s, 0) + d (у (0, у (1)) < < d (р, У (0) + d (у (s), у (0) - е + d (у (0, q) < d (р, q) - е, что и приводит к противоречию. □ Теперь мы подготовлены к тому, чтобы привести образец принципа, согласно которому для сильно причинных простран- ственно-временных многообразий пределы почти максимальных кривых являются максимальными геодезическими. Сильная при- чинность здесь существенна вследствие того, что сходимость в смысле предельной кривой и сходимость в С°-топологии для сильно
7.1. Почти максимальные кривые 181 причинных (но не для произвольных) пространственно-временных многообразий тесно связаны. Предложение 7.2. Пусть (М, g) — сильно причинное про- странство-время. Предположим, что рп -> р и qn -> q, где рп < с qn для каждого п гг 0 < d (р, q) < оо. Пусть далее уп: [а, Ь] -> М — направленная в будущее непространственноподобная кри- вая из рп в qn, подчиненная условию d (рп, qn) Sa L (уп) d (рп, qn) - е„ > 0, (7.2) где еп —> 0 при п -> оо. Если у. la, b] -> М — предельная кривая последовательности )ynj, у которой у (а) = р и у (b) = q, то L (у) = А (р, q). Тем самым у можно перепараметризовать в глад- кую максимальную геодезическую из р в q. Доказательство. Прежде всего заметим, что, согласно лемме 2.16, кривая у является непространственноподобной. Во-вторых, согласно предложению 2.21, некоторая подпоследовательность {уП!} последовательности (у„| сходится к у в С°-топологии на кривых. В силу полунепрерывности сверху длины дуги в этой топологии для сильно причинных пространственно-временных многообразий (см. замечание 2.22) из формулы (7.2) получаем L (у) > lim L (ytu) у- lim [d (рт, qm) - сг„]. Используя полунепрерывность снизу лоренцева расстояния (лем- ма 3.4), приходим к неравенству L (у) d (р, q). Но по опре- делению расстояния d (р, L (у). Таким образом L (у) = =- А(р, q). Последнее утверждение следует из теоремы 3.13. □ Рассмотрим теперь второй метод построения максимальных геодезических в сильно причинных пространствах (М, g), ко- торый может быть применен также и к точкам, лоренцево расстоя- ние между которыми бесконечно. Выберем для этого произволь- ную точку р0 Т М и полную (положительно определенную) рима- нову метрику h для паракомпактного многообразия М (и будем считать их фиксированными до конца гл. 7). Обозначим через d0: М у Л4 R риманову функцию расстояния, индуцированную на М метрикой h. По теореме Хопфа—Ринова множества Вп = \т £ М: с!0 (р„, tri) < компактны для всех натуральных чисел п. Таким образом, се- мейство \Вп: п > 0} образует компактное исчерпывание много- образия М связными множествами. Обозначим через d [BJ: Вп U лоренцеву функцию расстояния, индуцированную на Вп включе- нием В„ cz (Л4, g), п — любое. Иначе говоря, для данной точки
182 Гл. 7. Максимальные геодезические р (г Вп положим d [Bn I (р, q) равным точной верхней грани длин направленных в будущее непространственноподобных кри- вых, идущих из р в q и содержащихся в Вп, если q £ J+ (р, В,,). Если же q $ J+ (р, В„), то полагаем d IBn] (р, q) = 0. Отсюда немедленно следует, что d [Вп J (р, q] < d (р, q) для всех р, q £ Вп. Однако в общем случае d [Вп ] не является ограничением на множество Вп х Вп заданной лоренцевой функции расстояния d многообразия (М. g). Тем не менее для сильно причинных про- странственно-временных многообразии эти два расстояния «в пре- деле» совпадают. Лемма 7.3. Пусть многообразие (М, g) сильно причинно. Тогда для всех р, q £ М имеем d (р, q) — lim d IB,,) (p, q). Доказательство. Вследствие того что cl 1Вп ] (p, q) < d (p, q), требуемое равенство очевидно, если d (р, q) = 0. Предположим поэтому, что d (р, q) > 0. По определению лоренцева расстояния можно найти последовательность {уй| направленных в будущее непространственноподобных кривых из р в q так, что L (ул) -> - > d (р, с/) при Е>к. (Если d (р, </) —оо, выбираем |yft| так, чтобы L (у,;) х_- k для каждого k.) Из того, что образ у1{ в М ком- пактен, а риманова функция расстояния d0: М х М -> R непреры- вна и принимает конечные значения, для каждого k вытекает су- ществование п (k) > 0, такого, что yk сз Bj для всех j п (k). Таким образом, d (р, q) = lim L (yfc) < lim d IB,J (p, q). А так как cl IB„ ] (p, q) c d (p, q) для всякого я, то лемма доказана. □ Удобно ввести следующее соглашение об обозначении, которое будет использоваться до конца этой главы. Соглашение об обозначении 7.4. Пусть у — направленная в будущее непространственноподобная кривая в причинном пространстве-времени. Пусть р = у (s) и q = у (t), где s < t и р ф q. Ограничение у на отрезок Is, 11 будем обозначать через у [р, q}. Для сильно причинных пространственно-временных многооб- разий лоренцевы функции расстояния d и d 1В„ 1 связаны сле- дующим образом. Лемма 7.5. Пусть многообразие (М, g) сильно причинно. Если р„ -> р и qn -> q, то d (р, q) < lim d (B„ 1 (p, q). Доказательство. Отбрасывая очевидный случай d (р, q) — 0, предположим сначала, что 0 < d (р, q) < оо. Пусть е > 0 за- дано. Используя определение лоренцева расстояния и стандартные методы теории причинности (см. Пенроуз (1972, с. 15—16)),
7.1. Почти максимальные криные 183 можно найти времениподобную кривую у из р в q, для которой d (р, q) — е < L (у) < d (р, р). Вследствие того что у времени- подобна и L (у) > d (р, q) - е, найдутся точки г2 £ у, под- чиненные условиям d (р, q) — е < L (у [гъ г21) и р -X г, у; г2 < q. Так как множества 1~ (гД и /+ (г2) открыты и рп -> р, qn -> -» q, то для всех достаточно больших п имеем рп ; гх < qn. К этому следует добавить, что для всех достаточно больших п у<^Вп, рп G J-(гг, Вп) \\_qn G Т* (г2, Вп). Тем самым d (р, q) -- е < L (у 1гЛ, r2l) с d [B,J (р„, qn) для всех больших п. Так как е > 0 произвольно, то в случае, когда 0 < d (р, д) < оо, имеем d (р, р) с lim d (В„ ) (рп, д„). Рассмотрим, наконец, слу- чай, когда d (р, р) — оо. Выбирая связывающие р с р времени- подобные кривые yft так, чтобы L (уЛ) k(k любое), и рассуждая, как и выше, получим, что d [Вп ] (pn, р„) k — в для всех до- статочно больших п и каждого k. Отсюда вытекает требуемое lim d [В,J (р„, pn) = oo. □ Вследствие того что по предположению (М, g) является сильно причинным, но не обязательно глобально гиперболично, возможны значения лоренцевой функции расстояния d: М X М -> -> J? (J {оо}, равные бесконечности + оо. Вместе с тем для лю- бого данного В1г функция расстояния d [В,(1: Вп ; В„ -> R Ц U |оо| конечнозначна. Этот факт является следствием компакт- ности множеств Вп и компактности некоторых определенных подмножеств, образованных непространственноподобными кри- выми в С’°-топологии на кривых (см. Пенроуз (1972, с. 50, те- орема 6.5)). Более того, эта компактность влечет также существо- вание кривых, реализующих d [В„ 1-расстояние для точек р, р ( В„, связанных условием р £ (р, В„). Лемма 7.6. Пусть (М, g)—сильно причинное ^простран- ство-время и п > 0 произвольно. Если q ( ,!' (р, В;(), то 1) d I В„ 1 (р, р) < оо и 2) существует направленная в будущее непространственноподобная кривая у в В„, соединяющая р с р и удовлетворяющая равенству L (у) = d |В„ ] (р, р). Доказательство. По определению расстояния d IВп ] из соот- ношений d [B,J (р, р) = 0 и р £ J+ (р, Вп) вытекает существо- вание направленной в будущее непространственноподобной кри- вой у в Вп, идущей из р в р и удовлетворяющей неравенству L (у) < d |В„ 1 (р, р) -- 0. Отсюда, как и требуется, вытекает, что L (у) -= d (В„ 1 (р, р). Поэтому можно предполагать, что d IBJ, (р, р) > 0, Вновь используя определение cHB,J, найдем
184 Гл. 7. Максимальные геодезические последовательность {уь} направленных в будущее непростран- ственноподобных кривых, связывающих р с q так, что L (yft) -> -> d fBn ] (р, q). (Если d [Вп] (p, q) = <x>, to yk выбираем так, чтобы L (yft) is k для любого k.) Из того, что Вп компактно, а (Л4, g) сильно причинно, вытекает существование в Вп направ- ленной в будущее непространственноподобной кривой у из р в q, обладающей следующим свойством: подпоследовательность {ут} последовательности {у*,} сходится к у в С0-топологии на кри- вых согласно теореме 6.5 Пенроуза (1972, с. 50—51). Используя теперь полунепрерывность снизу длины дуги в С°-топологии на кривых, получаем, что d [В„ I (р, q) = lim L (ym) c L (у), от- куда следует, что расстояние d [Bn J (р, q) конечно. Так как по определению L (у) < d [Вп ] (р, q), то отсюда получаем требу- емое d [Вп ] (р, q) = L (у). □ Пусть теперь точки р, q £ М связаны условиями р < q, р q, а в остальном произвольны. Возьмем любую непростран- ственноподобную кривую уп, соединяющую р с q. Вследствие того что образ кривой у0 компактен в Л4, а риманова функция рас- стояния непрерывна, можно найти N > 0, такое, чтоу0 содержится в ВЛ-. Отсюда следует, что q £ J+ (р, Вп) для всех п N. Поэ- тому, используя лемму 7.6, можно найти направленную в буду- щее непространственноподобную кривую уп из р в q так, что L (Tn) — d 1 (Р> У) для каждого п N. Тогда для Сопредель- ных кривых последовательности ]у„} получаем следующий ана- лог предложения 7.2. Предложение 7.7. Пусть многообразие (Л4, g) сильно причинно up, q £ М — различные точки, связанные условием р с q. Пусть уп — направленная в будущее непространственноподобная кри- вая, идущая в Вп из р в q так, что L (у„) = d [В„ I (р, q), где nz>h! (М — достаточно большое положительное число). Если у — непространственноподобная кривая из р в q—такова, что {y,J сходится к у в С°-топологии на кривых, то L (у) — d (р, q), и значит, у можно перепараметризовать в максимальный геодезический сегмент из р в q. Доказательство. Используя лемму 7.5 и полунепрерывность сверху длины дуги в С°-топологии на кривых в сильно причинных пространственно-временных многообразиях, получим d (р, q) < lim d [ Bn] (p, q) - = lim L (y„) C < liin L (y„) < L (у) c d (p, q). что и требовалось, ц
7.2. Непространственноподобные геодезические лучи 185 Пусть теперь р, q, р < q, — различные точки произвольного сильно причинного пространства-времени. Предположим, что последовательность jyrJ непространственноподобных кривых из р в q выбрана, как в предложении 7.7. Несмотря на то что пре- дельная для последовательности {у„} кривая у, у (0) = р, всегда существует (см. предложение 2.18), нет гарантии в том, что у достигнет точки q, если (М, g) не является глобально гиперболи- ческим. В самом деле, если d (/?,<?) = оо, то максимальных ге- одезических из р в q просто не существует, а поэтому нет и пре- дельной для последовательности |уп| кривой у, исходящей из р (У (0) = Р) и проходящей через q. Совмещая вывод, полученный из предложения 7.7, с предположением о том, что у соединяет р с q (см. предложение 7.7), приходим к неравенству d (р, q) < оо. Напротив, условие d (р, q) < оо не приводит к тому, что любая кривая у (у (0) = р), предельная для последовательности |уп}, достигнет q, если многообразие (М, g) не является глобально гиперболическим. Соответствующие примеры можно легко по- строить, выбрасывая точки из пространства-времени Минков- ского. 7.2. Непространственноподобныз геодезичзские лучи в сильно причинных пространствах Целью этого раздела является доказательство того, что из каждой точки сильно причинного пространства-времени (М, g) исходят направленные в прошлое и направленные в будущее непространственноподобные геодезические лучи. Определение 7.8. Направленным в будущее (соответственно в прошлое) непространственноподобным геодезическим лучом на- зывается направленная в будущее (соответственно в прошлое) непродолжаемая в будущее (соответственно в прошлое) непро- странственноподобная геодезическая у: (0, а) -> (Л4, g), облада- ющая следующими свойствами: d (у (0), у (1)) = L (у | [0, t]) (соответственно d (у (/), у (0)) — L (у | [0, £]) для всех t, удов- летворяющих условию 0 с t < а. Из обратного неравенства треугольника вытекает, что не- пространственноподобный геодезический луч максимален между любой парой своих точек. Используя леммы 7.5 и 7.6, докажем сначала предложение, необходимое для доказательства существования не только непро- странственноподобных геодезических лучей, но также и суще- ствования непространственноподобных геодезических прямых в сильно причинных причинно разделяемых пространственно-вре- менных многообразиях (разд. 7.3). Пусть Вп и d [Вп 1: Вп z Вп -> -> R те же, что и в разд. 7.1.
186 Гл. 7. Максимальные геодезические Предложение 7.9. Пусть (М, g) - сильно причинное про- странство-время и К — произвольное компактное подмножество М. Предположим, что р и q — различные точки из М, такие, что р с q и каждая непространственноподобная кривая из р в q встречает 1\. Тогда выполняется хотя бы одно из следующих ут- верждений: (1) Существует направленный в будущее максимальный непро- странственноподобный геодезический сегмент с концами в р и q, который пересекает К. (2) Существует направленная в будущее максимальная непро- странственноподобная геодезическая, которая начинается в р, пересекает К и является непродолжаемой в будущее. (3) Существует направленная в будущее максимальная непро- странственноподобная геодезическая, которая кончается в q, пересекает К и является непродолжаемой в прошлое. (4) Существует максимальная непространственноподобная ге- одезическая, которая пересекает К и является одновременно не- продолжаемой и в прошлое, и в будущее. Доказательство. Пусть у0 — произвольная направленная в бу- дущее кривая в М, идущая из р в q. Из того, что К U |уп| ком- пактно, вытекает существование N > 0, такого, что множество К U {Vo} содержится в Вп для всех п N. Тем самым q С J* (.Р, Вп) для всех п N. Поэтому, согласно лемме 7.6, для каждого п N найдется направленная в будущее непространственно- подобная кривая у„ в Вп, соединяющая р с q так, что L (у„) = = d [Вп] (р, q). По предположению каждая уп пересекает К в некоторой точке гп. В силу компактности К существуют точка г С К и подпоследовательность \гт\ последовательности такие, что гт -> г при т -> оо. Продолжим каждую кривую у„, до непространственноподобной непродолжаемой ни в прошлое, ни в будущее кривой, которую по-прежнему будем обозначать через уш. Согласно предложению 2.18, существует непродолжа- емая непространственноподобная кривая у, предельная для под- последовательности {уП1| и такая, что у содержит г. Переобозна- чая, если необходимо, мы можем считать, что jym} определяет у. Предельная кривая у либо содержит и р, и q, либо только р, либо только q, либо не содержит ни р, ни q. Эти четыре возмож- ности приводят соответственно к четырем случаям (1)—(4) рас- сматриваемого предложения. Так как доказательства весьма по- хожи, приведем доказательство только для второго случая. Предположим поэтому, что у: (а, b) М. содержит р = у (1П) и не содержит <?. Нужно показать, что у] Uo, b) максимальна. Возь- мем на кривой у| |Т0, Ь) произвольную точку х. Так как {у,„} выделяет у, то можно найти точки хт С Ут> такие, что хт -> х
7.2. Непространственноподобные геодезические лучи 187 при т-*оо. Переходя, если необходимо к подпоследовательности {у,.} последовательности |у,„}, согласно предложению 2.21, можем предполагать, что yh Ip, xfl1 сходится к у 1р, х[ в С°- топологии на кривых (вспомните соглашение 7.4 об обозначениях). Из того, что у [р, х] замкнуто в М и q ф у, вытекает существо- вание открытого множества V, содержащего у Гр, х] и не содер- жащего q, q V. Так как у/; [р, Х/, | > у [р, х] в С°-топологии на кривых, то найдется > 0, такое, что у(1 Г/?, х(1 I cz V для всех k р-- Отсюда следует, что q ф уЛ [р, xh I для всех k zs--N,. Тем самым для всех k^Nt справедливо включение у к Гр, х,) cz уА Ip, ql, которое означает, что L (у)( (р, л(1) J = = d [ВЛ, 1 (р, X/,) для всех k N,. Из леммы 7.5 и полунепрерыв- ности сверху длины дуги в С°-топологии на кривых для сильно причинных пространств имеем d (р, х) с lim d [Bi,] (р, xft) == lim L (y/; [p, xZi|) c C lim£(yft[p, x;,])<L(y[p, xj). Так как по определению лоренцева расстояния L (у \р, х!) < С d (р, х), то d (р, х) = L (у, Гр, х]), что и требовалось до- казать. □ Для глобально гиперболических пространственно-временных многообразий случай (1) предложения 7.9 имеет место всегда вслед- ствие того, что множество J+ (р) f) J~ (q) компактно и никакая непродолжаемая непространственноподобная кривая не оказыва- ется захваченной компактным множеством в прошлом или в бу- дущем. Однако путем выкалывания точек из пространства-вре- мени Минковского можно построить сильно причинное, но не глобально гиперболическое пространство-время, имеющее хроно- логически связанные точки р р, к которым применим в точности один из случаев (2)—(4). Теперь при помощи предложения 7.9 можно доказать, что из каждой точки сильно причинного пространства-времени исходят направленные в прошлое и направленные в будущее непростран- ственноподобные геодезические лучи. Как обычно, достаточно показать, что из каждой точки исходят лучи, направленные в бу- дущее. Теорема 7.10. Пусть (М, g) —сильно причинное простран- ство-время и точка р С- М произвольна. Тогда существует на- правленный в будущее непространственноподобный геодезический луч у: [0, а) —> М, у которого у (0) = р, т. е. d (р, у (/)) = = L (у | [0, И) для всех t, удовлетворяющих условию 0 < t < а. Доказательство. Пусть с: [0, b) —> М — направленная в бу- дущее и непродолжаемая в будущее времениподобная кривая,
188 Гл. 7. Максимальные геодезические с (0) = р. Вследствие того что (М, g) сильно причинно, с не может быть захвачена в будущем никаким компактным множеством (см. предложение 2.9). Таким образом, существует последова- тельность {tn\, такая, что /„->Ьис10 (р, с (1п)) оо при п -> оо. Положим qn = с (in) для каждого п. Применим теперь предложение 7.9 к каждой паре р, qn с К = = \р\. Для каждого п либо (1) существует максимальный на- правленный в будущее непространственноподобный геодезиче- ский сегмент из р в q„, либо (2) существует направленный в буду- щее непродолжаемый в будущее непространственноподобный гео- дезический луч, начинающийся в р. Если при некотором п имеет место случай (2), то все доказано. Предположим поэтому, что для каждого п найдется максимальный направленный в будущее непространственноподобный геодезический сегмент уп, соединя- ющий р с qn. Продолжим кривую уп до направленной в будущее непродолжаемой в будущее непространственноподобной кривой, сохранив за ней обозначение уп. Согласно предложению 2.18, последовательность имеет направленную в будущее непро- должаемую в будущее непространственноподобную предельную кривую у: [0, а) -> М, у которой у (0) = р. Перенумеровывая qn, если это необходимо, можем считать, что сама последовательность {Тп} определяет у. Остается показать, что если точка х у, р х произвольна, то L (у (р, х]) = d (р, х). Так как выделяет у, то для каж- дого и можно выбрать хп С Тп так, чтобы хп х при п —> оо. В соответствии с предложением 2.21 выделим из последователь- ности подпоследовательность так, чтобы \ут |р, х,„Ц сходилась к у {р, х] в С°-топологии на кривых. Отсюда вытекает существование N > 0,_ такого, что ут 1р, хт ] a: BN для всех т N. Из того, что — компакт, a d0 (р, q„) оо, следует, что существует А\ для которого qm <£ BN при всех т Nt. Отсюда вытекает, что соотношение L (у,п |р, хт ]) = d (р, хт) = = d [Вт I (р, хт) справедливо для всех т Д\. Используя лемму 7.5 и полунепрерывность сверху лоренцевой длины дуги в С°-топологии на кривых, получаем d(p, х) < limd [Bm](p, xm) = limL(ym[p, xmJ) < < lim L (ym [p, xmJ) <-L(y [p, x]), откуда d (p, x) = L (у [p, x]), как и в предложении 7,9, □
7.3. Причинно разделяемые пространственно-временные многообразия 18Э 7.3. Причинно разделяемые пространственно-временные многообразия и непространственноподобные геодезические прямые В этом разделе мы определим и изучим класс причинно раз- деляемых пространств. Обоснованием нашего определения этого класса пространственно-временных многообразий является гео- метрическая реализация бесконечно удаленных точек некомпакт- ного полного риманова многообразия при помощи геодезических прямых, рассмотренная во введении к этой главе (см. Фройден- таль (1931), где впервые дано определение бесконечно удаленной точки некомпактного хаусдорфова топологического пространства). Напомним, что бесконечная последовательность в некомпактном топологическом пространстве называется расходящейся к беско- нечности, если для любого заданного компактного подмножества С лишь конечное число элементов последовательности содержится в С. Определение 7.11. Пространство-время (Л4, g) называется при- чинно разделяемым компактным множеством К, если существуют две бесконечные последовательности точек {рп\ и {qn\, расходя- щиеся к бесконечности так, что р„ < qn, рп qn для любого п и все направленные в будущее кривые из р„ в qn встречают К. Пространство-время (М, g), которое причинно разделяемо неко- торым компактом К, называется причинно разделяемым. Заметим прежде всего, что если k п, то ръ не обязательно причинно связана с qn или рн. Отметим также, что компактное множество К может быть совершенно отличным от поверхности Коши (см. теорему 2.13) и что глобально гиперболические сильно причинные пространственно-временные многообразия могут быть причинно разделяемыми, даже если они и не содержат поверх- ностей Коши. Пример такого рода дает пространство-время Райсснера—Нордстрема с е2 = т2 (рис. 7.1). Непосредственно из определения 7.11 следует, что если (М, g) причинно разделяемо, то для произвольной метрики gi € С (М, g) многообразие (М, gx) будет также причинно разделяемо. Это означает, что причинная разделяемость является глобальным конформным инвариантом. Ранее мы пользовались более обременительным вариантом причинной разделяемости, в котором в дополнение к условиям определения 7.11 предполагалось, что 0 < d (рп, qn) < оо для любого п (см. Бим и Эрлих (1979а, с. 171; 1979в)). С этим до- полнительным условием наше предыдущее определение было, вообще говоря, конформно инвариантным только для класса глобально гиперболических пространственно-временных много- образий.
190 Гл. 7. Максимальные геодезические Рис. 7.1. Показана диаграмма Пенроуза для пространства-времени Райсснера—Нордстре- масса = т2, содержащего причинно разде- ляющее множество К и связанные расходя- щиеся последовательности {рп} и {qn}- Это пространство-время не содержит поверхно- стей Коши потому, что оно не является гло- бально гиперболическим. Дадим теперь следующее Определение 7.12. Пусть (Л4, g) —произвольное простран- ство-время. Непродолжаемая в прошлое и в будущее направленная в будущее непространственноподобная геодезическая у: (a, b) -> М называется непространственноподобной геодезической прямой, если L (у | [s, / ]) -= d (у (s), у (/)) для всех s и t, связанных условием а < s < t <b. Установим существование непространственноподобных геоде- зических прямых для сильно причинных причинно разделяемых пространственно-временных многообразий. Этот результат будет важным вкладом в доказательство теорем о сингулярностях для причинно разделяемых пространственно-временных многооб- разий в разд. 11.4. Теорема 7.13. Пусть (М, g) —сильно причинное простран- ство-время, причинно разделяемое компактным множеством К.
7.3. Причинно разделяемые пространственно-временные многообразия 191 Тогда М содержит непространстеенноподобную геодезическую прямую у: (а, Ь) —> М, которая пересекает К. Доказательство. Пусть К, {рп} и \qn\ те же, что и в опреде- лении 7.11. Применяя предложение 7.9 к К, рп и qn, для каж- дого п получим направленную в будущее непространственноподоб- ную геодезическую уп, пересекающую К в некоторой точке гп и удовлетворяющую по крайней мере одному из случаев (1)—(4) предложения 7.9. Если случай (4) имеет место для любого п, то мы получаем требуемое. Предположим поэтому, что уп не удовлетворяет условию (4). Отсюда вытекает, что хотя бы один из случаев (1)—(3) выполняется для бесконечного числа номеров п. В силу того что разбор этих случаев весьма схож, мы приведем доказательство только для ситуации (2). Переходя, если это не- обходимо, к подпоследовательности, можно предполагать, что случай (2) выполняется для всех п. Ввиду того что К — компакт, существует подпоследовательность последовательности {гД, |г,„}, такая, что гт -> г при т -> оо. Продолжим каждую ут через рт в прошлое так, чтобы получить непространственноподобную кривую (за ней мы сохраняем то же обозначение ут), которая для лю- бого т является непродолжаемой как в прошлое, так и в будущее. Согласно предложению 2.18, последовательность {уП|} имеет направленную в будущее непродолжаемую ни в прошлое, ни в бу- дущее непространственноподобную предельную кривую у, причем г С У- Переходя, если это необходимо, к подпоследовательности, можно предполагать, что сама {у,Д определяет у. Докажем, что у —требуемая непространственноподобная прямая. Чтобы выяснить это, достаточно показать, что если х, у С У — различ- ные точки, связанные отношением х < г с у, то L (у [х, у]) = = d (х, у). Ввиду того что {ут| выделяет у, можно найти точки хт, Ут h Ут> такие, что хт -> х и ут -> у при т -> оо. Переходя, если это необходимо, к подпоследовательности {yk\ последова- тельности {ут|, согласно предложению 2.21, можно считать, что Уй 1хй, Ук 1 сходится к у [х, у 1 в С°-топологии на кривых. Из того, что у [А', у 1 компактно в М, вытекает существование N > О, такого, что у [а*, //1 cz Int (BN). По определению С°-топологии на кривых найдется такое Л\ N, что уй Ia'., yk 1 сс. Int (ВД для всех k ДД. Так как {pk} расходится к бесконечности, a BN компактно, то можно указать N2 N\, для которого р/, Ф ф BN, где k N2 любое. Следовательно, хй для всех /г As Л'' 2 идет вслед за ph на уй, так что yh 1а'л, yk] максимальна для всех k e> N\. Поэтому d (х, у) <. lira d (хй, yk) = lim L (yh [хй, yh]) < « lim L (yft [xfe, yk]) <.L(y [x, y]) < d (x, y). , Отсюда вытекает, как и требовалось, что d (х, у) = L (у [х, у ]). □
192 Гл. 7. Максимальные геодезические Сформулируем теперь в терминах глобальной геодезической структуры несколько критериев того, чтобы глобально гиперболи- ческие и сильно причинные пространственно-временные много- образия были причинно разделяемы. В частности, мы сможем показать, что все двумерные глобально гиперболические про- странства являются причинно разделяемыми. Один из наших критериев (предложение 7.18) вместе с теоремой 7.13 означает, что если сильно причинное пространство-время (Л1, g) не содер- жит изотропных геодезических лучей, то (Л4, g) содержит вре- мениподобную геодезическую прямую. Напомним, что непродолжаемая изотропная геодезическая у: (а, Ь) -> (Л1, g) называется изотропной геодезической прямой, если d (у (s), у (/)) = 0 для всех s и /, связанных соотношением а < s < t < b. Предложение 7.14. Пусть (М, g) —глобально гиперболиче- ское пространство-время. Если (Л4, g) содержит изотропную геодезическую прямую, то (М, g) является причинно разделяемым. Доказательство. Пусть с: (a, b) -> М — заданная изотропная геодезическая прямая и г —произвольная точка с. Выберем в М компактное подмножество К так, чтобы г £ Int (К). Построим последовательности tn -> а+ и tn -> b~, удовлетворяющие условию С (/„) S? Г < С (fn) ДЛЯ любого п. Положим рп = с (tn). Доста- точно показать, что для каждого п найдется некоторая точка qn ~ со свойствами: с (t'n) Д. qn и все непространственноподобные кривые из рп в qn встречают К. Если для какого-нибудь п такой точки qn не существует, то должны быть последовательность точек {xh\, сходящаяся к с (fn) так, что с (in) Д xk для всех k, и последовательность направлен- ных в будущее непространственноподобных кривых yk, соединя- ющих с (tn) с xk так, что К П Т/г = 0 Для любого k. Последова- тельность {yk} будет иметь в качестве предельной направленную в будущее непространственноподобную кривую у, начинающуюся в с (in). Из глобальной гиперболичности (М, g) вытекает, что у должна соединять с (tn) с с (ln). С другой стороны, из того, что с — максимальная изотропная геодезическая, вытекает, что един- ственной (с точностью до параметризации) непространственнопо- добной кривой из с (fn) в с (f'n) является изотропная геодезиче- ская с | [tn, t'n) (см. лемму 8.13). Тем самым усси последова- тельность должна пересекать К для некоторого большого k. □ Предложение 7.14 позволяет утверждать, что пространство- время Минковского, пространство-время де Ситтера и космологи- ческие модели Фридмана причинно разделяемы. С другой стороны, пример 4.11 статической вселенной Эйнштейна показывает, что существуют глобально гиперболические причинно разделяемые пространственно-временные многообразия, не содержащие изо-
7.3. Причинно разделяемые пространственно-временные многообразия 193 тропных геодезических прямых. Поэтому наличие изотропной геодезической прямой не является необходимым условием того, чтобы глобально гиперболическое пространство-время было при- чинно разделяемым. В следующем предложении мы дадим достаточное условие для того, Чтобы глобально гиперболическое пространство-время (Л4, g) было причинно разделяемым. Для доказательства этого резуль- тата (предложение 7.18) необходимо ввести несколько дополни- тельных понятий из элементарной теории причинности. Под- множество S пространств а-времен и (М, g) называется ахрональ- ным, если никакие две точки из S хронологически не связаны. Для заданного замкнутого подмножества S пространства-времени (Л1, g) область Коши в будущем, или область зависимости, D+(S) множества S определяется как множество всех точек q, для кото- рых каждая непродолжаемая в прошлое непространственноподоб- ная кривая, исходящая из q, пересекает S. Горизонт Коши в бу- дущем П+ (S) задается формулой Н+ (S) = cl (D+ (S)) \ I~ (D+(S)). Контур будущего E*(S) подмножества S определяется как Е+ (S) = J+ (S) \ К (S). Ахрональное множество S называется ловушечным для будущего, если £+(S) компактен. Более разверну- тое описание этих понятий можно найти у Хокинга и Эллиса (1977, с. 135, 207, 224 225 п 297). Для доказательства предложения 7.18 нам также необходим один результат, впервые установленный Хокингом и Пенроузом (1970, с. 537, лемма 2.12). В книге Хокинга и Эллиса (1977, с. 296) этот результат представлен в несколько иной форме в ходе до- казательства теоремы 2. В доказательстве этой теоремы пред- полагается, что dim Л1 3s 3, (Л1, g) имеет всюду неотрицательную непространственноподобную кривизну Риччи и удовлетворяет типовому условию (условия (1) и (2) теоремы 2). Однако нетрудно заметить, что если в формулировке леммы 8.2.1 и идущего за ним следствия в книге Хокинга и Эллиса (1977, с. 298—299) дополнительно предполагать, что (Л1, g) сильно причинно, то легко получить наши лемму 7.15 и следствие 7.16. Для полноты изложения мы сформулируем оба эти результата. Лемма 7.15. Пусть А —замкнутое подмножество сильно при- чинного пространства-времени (М, g). Тогда П+ (cl (Е+ (Л))) либо некомпактно, либо пусто. Из этой леммы, как и у Хокинга и Пенроуза (1970, с. 537) или у Хокинга и Эллиса (1977, с. 298—299), получается следу- ющее утверждение. Следствие 7.16. Пусть (Al, g) сильно причинно. Если S — ловушечное множество для будущего в (М, g), т. е. E+(S) ком- 7 /Дж. Бим, П. Эрлих
194 Г.1. 7. Максимальные геодезические пактно, то существует непродолжаемая в будущее временипо- добная кривая у, целиком содержащаяся в D* (Е* (S)). Для доказательства предложения 7.18 полезно установить справедливость следующей леммы. Лемма 7.17. Пусть (М, g) сильно причинно. Если Е+(р) некомпактно, то Е+(р) содержит бесконечную последователь- ность \qn\, которая расходится к бесконечности. Доказательство. Если Е+(р) замкнуто, то сформулированное утверждение немедленно следует из того, что замкнутое и неком- пактное подмножество М. должно быть неограниченным относи- тельно d0. Предположим поэтому, что Е+(р) незамкнуто. Тогда существует бесконечная последовательность сз Е+ (р), такая, что хп -> х ф Е+ (р) при п оо. Вследствие того что С Е+ (р), имеем d (р, хп) = 0. Отсюда в силу включения хп £ J+ (р) вы- текает существование максимального направленного в будущее изотропного геодезического сегмента уп из р в хп, п любое. Про- должим каждую кривую уп через хп до непродолжаемой в будущее непространственноподобной кривой, за которой сохраним то же обозначение уп. Согласно предложению 2.18, последовательность |Тп| имеет непродолжаемую в будущее непространственноподоб- ную предельную кривую у: [0, а) -> М, для которой у (0) = р. Можно считать, что сама последовательность определяет у. Если х £ у, то х С И (р). Из неравенства d (р, х) < lim d (р, Хп) = 0 получаем, что х С J+ (р) \ /+ (р) = Е+ (р) в противоре- чии с предположением х Е+ (р). Тем самым х у. Покажем теперь, что у [0, а) целиком содержится в ЕДр). Возьмем для этого произвольную точку z С Т- Вследствие того что {уп} опре- деляет у, можно найти zn С Тп, такие, что zn -> z при п -> оо. Согласно предложению 2.21, существует подпоследовательность последовательности у которой yh [р, zh 1 сходятся к у [р, zl в С°-топологии на кривых. Так как х ф. у, то можно найти открытое множество U, содержащее у [р, z] и такое, что х ф U. Вследствие сходимости xk -> х точки zh расположены на yh перед xh для всех достаточно больших k. Тем самым у [р, zh 1 максимален и d (р, z;.) = 0 справедливо для всех достаточно боль- ших k. Отсюда вытекает неравенство d (р, z) < lim d (р, zlt) = 0. Так как z выбрано произвольно, то тем самым d (р, z) = 0 для всех z £ у. В силу того что у — непространственноподобная кривая, она является максимальным направленным в будущее непродол- жаемым в будущее изотропным геодезическим лучом. Взяв по- следовательность подчиненную условию tn а", а в осталь- ном произвольную, и положив qn = у (4), получим требуемую расходящуюся последовательность. □
7.3. Причинно разделяемые пространственно-временные многообразия 195 Завершив эти приготовления, мы теперь можем получить достаточное условие того, что сильно причинное пространство- время причинно разделяемо. Пример пространства-времени Мин- ковского показывает, что это условие не является необходимым. Напомним, что направленная в будущее и непродолжаемая в буду- щее изотропная геодезическая у: [0, а) —> М называется изо- тропным геодезическим лучом, если d (у (0), у (/)) 0 для всех t, подчиненных условию 0 С t < а. Предложение 7.18. Пусть (М, g) сильно причинно. Если р С М не является начальной точкой никакого направленного в будущее (соответственно в прошлое) изотропного геодезического луча, то (М, g) причинно разделяемо контуром будущего (соот- ветственно прошлого) Е+ (р) = J+ (р) \ /+ (р) (соответственно Е (р) = J~ (р) \ Г (р)) точки р. Доказательство. Покажем сначала, что предположение о том, что р не является начальной точкой никакого направленного в будущее непродолжаемого в будущее геодезического луча, означает компактность Е* (р). Предположим противное: Е+ (р) некомпактно. Тогда существует последовательность точек ]qn} а Е* (р), которая по лемме 7.17 расходится к бесконечности. Вследствие включения qn € Е+ (р) имеем d (р, qn) = 0 для всех п. Так как qn £ J+ (р), то, согласно следствию 3.14, найдется на- правленная в будущее изотропная геодезическая уп из р в qn. Продолжим каждую уп через qn до непродолжаемой в будущее непространственноподобной кривой, по-прежнему обозначаемой через уп. Пусть у — непродолжаемая в будущее непространствен- ноподобная кривая, предельная для последовательности jy„|, существование которой гарантирует предложение 2.18, у (0) --= р. Используя предложение 2.21 и тот факт, что qn расходятся к бес- конечности, можно показать подобно тому, как это делалось при доказательстве теоремы 7.10, что если q —произвольная точка на у, удовлетворяющая условиям q =£= р, q р, то L (у [р, i/1) = d (р, q). Поэтому у можно перепараметризовать в изотропный геодезический луч, исходящий из р, что и приводит к необходи- мому противоречию. Значит, Е+ (р) компактно. Покажем теперь, что Е+ (р) причинно разделяет (Л4, g). Из компактности Е+ (р) вытекает, что множество \р\ является лову- шечным в будущем в М. Тем самым, согласно следствию 7.16, найдется непродолжаемая в будущее времениподобная кривая у, целиком содержащаяся в D+ (Е+ (р)). Продолжим у до непродол- жаемой как в прошлое, так и в будущее времениподобной кривой, за которой сохраним прежнее обозначение у. Из определения D+ (Д' (р)) вытекает, что кривая у должна пересечь Е+ (р) в не- которой точке г. Вследствие того что Е+ (р) ахронально и у вре- 7*
196 Гл. 7. Максимальные геодезические Рис. 7.2. В доказательстве предложения 7.18 показано, что множество Е+ (р) причинно разделяет (М, g), если р не является начальной точкой никакого на- правленного в будущее изотропного геодезического луча. Времениподобная кривая у пересекает Е+ (р) в единственной точке г, и любая непространственно- подобная кривая Л. из рп в qn должна встретить Е+ (р). мениподобна, у встречает /£+ (р) только в точке г. Пусть \рп\ и —две последовательности точек на у, расходящиеся к бесконечности, причем так, что рп г <<' q,. для каждого п (см. предложение 2.9). Чтобы показать, что \рп\, \qn} и Е+ (р) причинно разделяют (М, g), нужно убедиться в том, что для каж- дого п любая непространственноподобная кривая 'К'. [О, 11 -> М, у которой А, (0) = рп и % (1) = qn, пересекает Е+ (р). Продол- жим Адо непродолжаемой в прошлое кривой А, которая получится, если сначала пройги по у вплоть до рп, а затем по А от рп до qn (рис. 7.2). Так как qn £ D+ (Е+ (р)), то кривая Л должна пересе- кать Е+ (р). Вследствие того что у встречает Е+ (р) только в г, Л пересекает (р). Поэтому \рп}, {qn} и К = £+ (р) причинно разделяют (Л1, g), как и требовалось. □ Объединяя теорему 7.13 и предложение 7.18, получим сле- дующий результат о геодезической структуре сильно причинных
7.3. Причинно разделяемые пространственно-временные многообразия 197 пространственно-временных многообразий, не содержащих изо- тропных геодезических лучей. Примерами таких многообразий являются статические вселенные Эйнштейна (пример 4.11). Теорема 7.19. Пусть (Л1, g) —сильно причинное простран- ство-время, ни одна точка которого не является начальной ни для какого направленного в будущее изотропного геодезического луча. Тогда (М, g) содержит времениподобную геодезическую прямую. Доказательство. Согласно предложению 7.18, (Л1, g) причинно разделяемо. Поэтому в силу теоремы 7.13 (/И, g) содержит не- пространственноподобную прямую. По предположению прямая линия должна быть времениподобной, а не изотропной. □ Эквивалентный результат можно сформулировать, используя предположение о том, что ни одна точка не является начальной точкой никакого направленного в прошлое геодезического луча. Используя предложения 7.14 и 7.18, мы можем показать теперь, что все двумерные глобально гиперболические простран- ственно-временные многообразия причинно разделяемы. Уста- новим сначала следующую лемму. Лемма 7.20. Пусть (Л1, g) —двумерное глобально гипербо- лическое пространство-время. Если Е+ (р) (соответственно ЕЕ (р)) некомпактно, то обе изотропные геодезические, и направленные в будущее {соответственно в прошлое), и непродолжаемые в буду- щее (соответственно в прошлое), начинающиеся в точке р, макси- мальны. Доказательство. Предположим, что Е+ (р) некомпактно для некоторой точки р Q М. Пусть сх: [0, а) —> М и с2: (0, b) -> М — две направленные в будущее непродолжаемые в будущее изо- тропные геодезические, у которых сх (0) = с2 (0) = р. Допустим, что сх не максимальна. Полагая /0 = sup \t С Ю, a): d (р, щ (()) = = 0}, имеем 0 < t0 < а вследствие того, что щ не максимальна, а (М, g) сильно причинно (см. разд. 8.2). Положим q = сх (i0) и выберем tn -> to так, чтобы /п < а для всех п. Из полунепре- рывности снизу лоренцева расстояния имеем d (р, q) = 0. Так как сх (tn) б I+ (р), а (М, g) глобально гиперболично, то для каждого п найдется максимальная направленная в будущее времениподобная геодезическая уп из р в щ (tTl). Согласно след- ствию 2.19, последовательность {уп} имеет предельную кривую у, являющуюся непространственноподобной геодезической из р в q. Кроме того, равенство d (р, q) = 0 означает, что у — изотропная геодезическая. Из того, что dim М = 2, вытекает, что у —либо подсегмент геодезической сх, либо подсегмент геодезической с2. Если у с: с2, то с2 проходит через q при некотором значении пара-
198 Гл. 7. Максимальные геодезические метра to. В этом случае Е+ (р) = сг | 10, t0 ] (J с21 10, to 1 ком- пактно, п мы приходим к противоречию. Предположим, что у cz сх. Пусть U (q) —выпуклая нормаль- ная окрестность точки q. Выберем U (q) столь малой, что никакая непространственноподобная кривая, покидающая U (q), никогда не возвращается. Непродолжаемые изотропные геодезические из U (q) можно разделить на два непересекающихся семейства Fr и F.,, каждое из которых просто покрывает U (q) (см. разд. 2.4). Пусть Fj — тот класс, который содержит изотропную геодези- ческую сг П U (q)- Обозначим через с3 единственную изотропную геодезическую из F2, которая содержит q. Для некоторого доста- точно большого п времениподобная геодезическая уп должна пересекать с3 в некоторой точке г. При этом должно выполняться условие q <. г ввиду того, что если бы г с q, то р Д г привело бы к р Д </, которое неверно. Однако условия q <, г, q = сх П О, q < сх (tn) и г £ с3 означают, что г сх (/„) (см. Буземан и Бим (1966, с. 245)). Это противоречит тому, что г Д сх (С), так как г появляется на времениподобной геодезической прежде сх (/„). Это и завершает доказательство леммы. □ Теорема 7.21. Все двумерные глобально гиперболические про- странства причинно разделяемы. Доказательство. Пусть (Л1, g) —двумерное глобально ги- перболическое пространство-время. Если для некоторой точки р0 £ М множество Е+ (р0) компактно, то каждая направленная в будущее изотропная геодезическая, начинающаяся в ра, имеет точку раздела и поэтому не может быть глобально максимальной (см. разд. 8.2). Поэтому в силу предложения 7.18 (Л4, g) причинно разделяемо. Предположим теперь, что Е+ (р) некомпактно для всех р £ Л4. Пусть с: (a, b) -> М — направленная в будущее непродолжаемая изотропная геодезическая. Пусть далее s и t удовлетворяют условию а < s < t < b, ав остальном произвольны. Применяя к точке р = с (s) лемму 7.20, находим, что с I [s, b) максимален и поэтому d (с (s), с (/)) = L (с | (s, 11). Это означает, что с макси- мальна, и, следовательно, с — изотропная прямая. Используя предложение 7.14, получаем, что (Л1, g) причинно разделяемо. □ Сформулируем следствие из теорем 7.13 и 7.21. Следствие 7.22. Пусть (М, g) —произвольное глобально ги- перболическое пространство-время размерности 2. Тогда (М, g) содержит непространственноподобную прямую.
Г лава 8 ЛОРЕНЦЕВО МНОЖЕСТВО РАЗДЕЛА Пусть с: [0, оо) -> N — геодезическая в полном римаповом многообразии с начальной точкой р == с (0). Рассмотрим на с мно- жество всех точек q, для которых часть кривой с от р до q является единственной кратчайшей среди всех кривых в N, соединяющих р и q. Если это множество имеет наиболее удаленную от р предель- ную точку, то эта предельная точка называется точкой раздела для р вдоль луча с. Множество раздела С (р) определяется как множество точек раздела для р вдоль всевозможных геодезиче- ских лучей, начинающихся в р. Вследствие того что негомоте- тпчные конформные преобразования не сохраняют предгеодези- ческих, множество раздела точки в многообразии не является конформным инвариантом. Множество раздела играет ключевую роль в современной глобальной римановой геометрии, особенно в связи с теоремой о сфере Рауха (1951), Клингенберга (1959, 1961) и Берже (1960). Понятие точки раздела как противопоставление связанному с ним, но отличному понятию сопряженной точки было впервые определено Пуанкаре (1905). Наблюдение Пуанкаре, опублико- ванное в 1905 г. и оказавшееся важным для последующих работ Рауха, Клингенберга и Берже, состояло в том, что если для полного риманова многообразия точка q содержится в множестве раздела точки р, то либо q сопряжена р, либо существуют по крайней мере два геодезических сегмента одной и той же кратчай- шей длины, соединяющие р и q (см. Уайтхед (1935)). Клингенберг (1959, с. 657) показал, что если q ближайшая к р точка раздела и q не сопряжена р, то существует геодезическая петля, начина- ющаяся ври содержащая q. Клингенберг использовал этот ре- зультат для того, чтобы получить оценку сверху для радиуса инъективности полного риманова многообразия положительной кривизны через нижнюю грань секционной кривизны и длину наи- кратчайшей нетривиальной гладкой замкнутой геодезической на N. Важность множества раздела в римановой геометрии наводит на мысль изучения аналогичных понятий и результатов для вре- мениподобных и изотропных геодезических в пространственно- временных многообразиях. Ведущая роль, которую играют в тео-
200 Гл. 8. Лоренцево множество раздела рии сингулярностей в общей теории относительности тесно свя- занные с точками раздела сопряженные точки (см. гл. 11), под- тверждает эту мысль. Несмотря на большое сходство между рима- новым множеством раздела и времениподобным множеством точек раздела, между римановым и лоренцевым множествами раздела есть также и поразительные различия. Наиболее значительным является то, что точки изотропного раздела инвариантны относи- тельно конформных преобразований. Таким образом, множество изотропного раздела является инвариантом причинной структуры пространства-времени (Л4, g). Это можно использовать для того, чтобы показать (см. Бим и Эрлих (1979а, следствие 5.3)), что если (Л1, g) —космологическая модель Фридмана, то в пространстве С (М, g) лоренцевых метрик для М, глобально конформных g, существует С2-окрестность U (g), у которой каждая изотропная геодезическая в (М, gj является неполной для любой метрики gi е и (g). Ввиду существенных различий между изотропными и времени- подобными точками раздела предпочтительно изучать эти случаи по отдельности. Одно из таких отличий состоит в том, что в проти- воположность точкам изотропного раздела точки времениподоб- ного раздела неинвариантны при глобальных конформных пре- образованиях лоренцевой метрики. В разд. 8.1 мы рассмотрим аналог риманова множества раз- дела для времениподобных геодезических. В лоренцевой пере- ложении времениподобные геодезические локально максимизи- руют длину дуги между любыми двумя своими точками. Поэтому при определении точек времениподобного раздела уместно за- даться вопросом: является часть данного времениподобного гео- дезического сегмента от р до q наидлиннейшей непространственно- подобной кривой среди всех кривых в М, соединяющих р с у? Это можно удобно сформулировать при помощи лоренцевой функции расстояния. Пусть у: [0, а) -> М — направленная в бу- дущее непродолжаемая в будущее времениподобная геодезиче- ская в произвольном пространстве-времени. Положим 4 = - sup {t е 10, a): d(y(O), у (/)) = L (у | [0, /])}. Если 0< < t0 < а, то у (t0) называется точкой времениподобного раздела в будущем для точки у (0) вдоль у. Точка времениподобного раз- дела в будущем у (/0) обладает требуемыми свойствами: (а) если t < /0, то у | [0, /1 является единственной с точностью до пере- параметризации максимальной времениподобной кривой из у (0) в у (/); (б) у | [0, tl максимальна для любого / < 4; (в) если t > > 4, то найдется направленная в будущее непространственно- подобная кривая о, идущая из у (0) в у (/) и удовлетворяющая неравенству L (о) > L (у | [0, /1); (г) точка раздела в будущем у (t0) совпадает или предшествует первой точке, сопряженной в будущем точке у (0) вдоль у.
8.1. Множество времениподобного раздела 201 Ввиду того что многие теоремы для римановых точек раздела справедливы только для полных римановых многообразий, пред- ставляется совсем неудивительным, что более «глобальные» ре- зультаты, приводимые во второй половине разд. 8.1, часто тре- буют глобальной гиперболичности. И здесь существенно выяс- нить — можно ли хронологически связанные точки, находящиеся на произвольно больших расстояниях, соединить максимальными времениподобными геодезическими сегментами. Даже в этом случае доказательства для пространственно-временных многооб- разий носят более технический характер, чем для римановых многообразий. Вместо того чтобы, как в римановой геометрии,, прямо использовать экспоненциальное отображение, необходимо рассмотреть последовательность максимальных времениподобных геодезических как последовательность непространственноподоб- ных кривых, выделить предельную кривую, взять подпоследова- тельность, сходящуюся к этому пределу в С°-топологии (см. разд. 2.3), и, наконец, используя полунепрерывность сверху длины дуги, доказать, что предельная кривая является макси- мальной и, значит, геодезической. Этот технический прием, вы- деленный в лемму 8.6, дает следующий аналог теоремы Пуанкаре, известной для полных римановых многообразий. Если (М, g) — глобально гиперболическое пространство-время и q является точкой раздела в будущем для р вдоль времениподобного геоде- зического сегмента с из р в q, то выполняются одно или оба сле- дующих утверждения: (a) q — первая точка, сопряженная р в будущем, или (б) существует не менее двух максимальных геодезических сегментов из р в q. В разд. 8.2 мы изучим точки изотропного раздела. Несмотря на то что изотропные геодезические имеют нулевую длину дуги, точки изотропного раздела можно определить при помощи ло- ренцевой функции расстояния. Пусть у: [0, а) -> М, у (0) = р, — направленная в будущее непродолжаемая в будущее изотропная геодезическая. Положим /0 = sup \t С [0, a): d (р, у (/)) = 0}. Если 0 < 4 < а, то у (/0) называется точкой изотропного раз- дела в будущем для у (0) вдоль у. Точка изотропного раздела, если она существует, обладает следующими свойствами: (а) у макси- мизирует длину дуги вплоть до точки изотропного раздела, вклю- чая последнюю; (б) для любого t с /0 не существует никакой вре- мениподобной кривой, соединяющей р с у (0; (в) если t0 < t < а, то существует времениподобная кривая из у (0) в у (0; (г) точка изотропного раздела в будущем совпадает с первой точкой, со- пряженной у (0) вдоль у в будущем, или предшествует ей. Для глобально гиперболических пространственно-временных много- образий аналог теоремы Пуанкаре для полных римановых мно- гообразий выполняется как для точек изотропного раздела, так и для точек времениподобного раздела. Следовательно, если
202 Гл. 8. Лоренцево множество раздела (М, g) глобально гиперболично и q —точка изотропного раздела точки р = у (0) в будущем вдоль изотропной геодезической у, то выполняется хотя бы одно из следующих свойств: (a) q — первая точка, сопряженная точке р в будущем вдоль у, или (б) существуют по крайней мере два максимальных изотропных геодезических сегмента, соединяющих р и q. Мы завершим разд. 8.2, показывая (следуя Биму и Эрлиху (1979а, разд. 5)), как можно применять точки изотропного раздела к доказательству теорем о сингуляр- ностях для изотропных геодезических. Множество непространственноподобного раздела — объедине- ние множеств изотропного и времениподобного раздела в данной точке — изучается в разд. 8.3. Для полных римановых много- образий известно, что если q — ближайшая к р точка раздела, то либо q сопряжена р, либо существует геодезическая петля, начинающаяся ври проходящая через q. Однако глобально ги- перболический аналог этого результата (теорема 8.24) имеет несколько иной оттенок. Если (44, g) —глобально гиперболиче- ское пространство-время и q С Л4 — ближайшая к р точка (не- пространственноподобного) раздела, то либо q сопряжена р, либо q —точка изотропного раздела для р. Поэтому ближайшей несопряженной точки времениподобного раздела для р не суще- ствует. Мы покажем также, что для глобально гиперболических пространственно-временных многообразий множества непро- странственноподобного и изотропного разделов замкнуты (пред- ложение 8.29). Причем можно будет убедиться (пример 8.28), что предположение о глобальной гиперболичности здесь суще- ственно. 8.1. Множество времениподобного раздела Напомним, что направленная в будущее непространственно- подобная кривая у из р в q называется максимальной, если d {р, q) = L (у). Выше мы видели, что максимальную направленную в будущее непространственноподобную кривую можно путем перепараметризации сделать геодезической (теорема 3.13). Напом- ним также аналог одного классического результата из римановой геометрии. Доказательство этого утверждения можно провести, следуя Кобаяси (1967, с. 99). При этом вместо минимального геодезического сегмента из ру в р.г в римановом доказательстве нужно использовать следующий факт. Если р < q и точки р, q содержатся в выпуклой нормальной окрестности, то их можно соединить максимальным времениподобным геодезическим сегмен- том, лежащим в этой окрестности. «Лемма 8.1. Пусть с: [0, а] М —максимальный времени- подобный геодезический сегмент. Тогда для любых s и /, связанных условием 0 < s < / < а, с | Is, t ] является единственным (с точ-
8.1. Множество времениподобного раздела 203 ностыо до параметризации) максимальным геодезическим сегмен- том из с (s) в с (I). Прежде чем начинать изучение множества времениподобного раздела, необходимо определить наблюдаемое в будущем единич- ное расслоение Т_гМ (см. Торп (1977а, 19776)). Определение 8.2. Положим ТЛМ = {» ( ТМ: g (и, о) = —1 и вектор v направлен в будущее}. Будем обозначать через Т\М |7, слой Т^М в точке р Q М. Кроме того, для данного и Q Т_гМ обозначим через cv единственную времениподобную геодезиче- скую, у которой с'е (0) = V. Непосредственно из неравенства треугольника следует, что если у: 10, а) —> М — направленная в будущее непространствен- ноподобная геодезическая и d (у (0), у (s)) = L (у | 10, si), то d (Т (0), У (0) = L (Т I [0, t ]) для всех /, удовлетворяющих усло- вию 0 < I с s. Кроме того, из неравенства треугольника вытекает также, что если d (у (0), у (s)) > L (у | [0, s]), то d (у (0), у (/)) > > L (у | [0, t]) для всех t, удовлетворяющих условию s < t < а. Поэтому имеет смысл следующее Определение 8.3. Определим функцию s: Т^М -> R J {°°! посредством формулы s (о) = sup {/ >0: d (л (u), cv (/)) = /}. Нетрудно заметить прежде всего, что если d (р, р) = оо, то s (о) = 0 для всех v t Т_ДЛ, для которых л (о) = р. Кроме того, если (М, g) сильно причинно, то s (v) >0 для всех v g Т^М. Число s (н) можно интерпретировать как «наибольшее» значение параметра /, для которого cv является максимальной геодезиче- ской между cv (0) и cv (t). Действительно, из леммы 8.1 легко вытекает Следствие 8.4. Для значений параметра I, подчиненных усло- вию 0 < / < s (и), геодезическая ср. [0, / ] —> М является един- ственной (с точностью до перепараметризации) максимальной времениподобной кривой из cv (0) в cv (t). *• Для произвольных пространственно-временных многообразий функция s не может быть полунепрерывной снизу, в чем легко убедиться, выбрасывая точку из пространства Минковского. Но для времениподобно геодезически полных пространственно- временных многообразий выполняется следующее утверждение. Предложение 8.5. Если (Л4, g) времениподобно геодезически полно, то функция s: Т^М -> IR j {оо} полунепрерывна сверху. Доказательство. Достаточно показать следующее. Пусть vn -> v в ТДМ так, что {s (ип)} сходится в R U {оо}. Тогда s (и) 5? lim s (п,,). Если s (и) == оо, то неравенство очевидно. Предпо-
204 Г л. 8. Лоренцево множество раздела ложим поэтому, что s (п) < оо и s (v) < lim s (уп) = А, и по- строим противоречие. Можно выбрать б > 0 так, чтобы s (v) + б < А, и считать, что s (пп) 2г s (о) + б = b для всех п. Положим сп = cv . Из того, что b < s (vn), получаем, что d (л (щ), сп (b)) = b для всех п. В силу условия vn -> t) и полунепрерывности расстояния снизу имеем d (л (v), cv (/?)) с lim d (л (t)n), сп (b)). Тем самым d (л (е), cv (б)) с b = L (cv | [0, /?]; последнее равенство получаем по определению длины дуги. С другой стороны, d (л (о), cv (b)) L (cv | 10, b I), так что d (л (п), cv (b)) = L (cv ( |0, Ь]) = Ь. Отсюда s (п) 2г b = s (v) + б, что и приводит к противоречию. □ Чтобы доказать полунепрерывность s снизу для глобально гиперболических пространственно-временных многообразий, по- лезно сначала установить следующую лемму. Лемма 8.6. Пусть (М, g) —глобально гиперболическое про- странство-время, а \рп} и \qn] -две бесконечные последователь- ности точек, для которых рп -+ р и qn q, причем р q. Пусть сп: [0, d (рп, </п)1 М —нормальный максимальный геодезиче- ский сегмент из рп в qn. Положим vn = сп (0) С Т_гМ.. Тогда последовательность Д,,} имеет времениподобный предельный век- тор w £ Т_гМ. Более того, cw-. 10, d (р, q) 1 -+ М —максималь- ный геодезический сегмент из р в q. Доказательство. В силу следствия 2.19 существует непро- странственноподобная направленная в будущее кривая с, пре- дельная для последовательности сп и соединяющая р с q. Согласно предложению 2.21 и замечанию 2.22, имеем L (с) 2г lim L (сп) = = lim d (рп, qn) = d (р, q) > 0. Из неравенства d (р, q) L (с) вытекает, что L (с) = d (р, q) > 0. Отсюда и из теоремы 3.13 следует, что кривую с можно перепараметризовать в максимальный времениподобный геодезический сегмент из р в q. Наконец, w = = с' (0) / [—g (с' (0), с' (0))]i/2 —требуемый касательный век- тор. О Теперь мы подготовлены к тому, чтобы доказать полунепрерыв- ность s снизу для глобально гиперболических пространств. Предложение 8.7. Если (М, g) глобально гиперболично, то s'- Т_ДЛ -► R U {оо} полунепрерывна снизу. Доказательство. Достаточно показать, что из условий vn v в Т_гМ и s (щ) -> А в R (J {оо} вытекает неравенство s (v) с А. Если А = оо, то утверждение очевидно. Предположим поэтому, что А < оо, и, допуская, что s (о) > А, придем к противоре- чию.
8.1. Множество времениподобного раздела 205 Выберем б > 0 так, чтобы А ф- б < s (v). Положим bn = = s (щ) + b и возьмем 7V0 таким, чтобы bn < s (и) для всех п 2s No. Положим сп = cVn, рп = сп (0) и q = cv (A -у- б). Из того, что vn -> v, a cv определена для значений параметра, боль- ших А + б, вытекает, что геодезические сп, начиная с некоторого N No, также должны быть определены для некоторых значений параметра, больших Ьп. Положим qn —• с„ (Ь), где п N. Из того, что bn > s (пп), вытекает, что с,г ] [0, Ьп 1 не может быть макси- мальной. Так как М является глобально гиперболическим и сп (0) С сп (Ьп), то можно найти максимальные нормальные вре- мениподобные геодезические сегменты уп: [0, d (р„, qn)] —> М из рп в qn. Положим wn == у’п (0). Из того, что cv | [0, s (п)) — максимальная геодезическая и, значит, не имеет сопряженных точек, вытекает, что v не может быть предельным направлением для {к1,,: n^N}. Поэтому максимальная геодезическая с1С, соединяющая р с q, существование которой обеспечивается лем- мой 8.6, примененной к отлична от cv. Эго приводит к оценке s (п) < А + б, которая противоречит неравенству А + б < < s (V). □ Приводимый ниже пример сильно причинного пространства- времени, не являющегося глобально гиперболическим, показы- вает, что условие глобальной гиперболичности в предложении 8.7 является необходимым для полунепрерывности снизу s. Пусть на R2 задана обычная метрика Минковского ds2 = dx2 —dy2 и (Л4, g) — пространство-время, образованное путем оснащения М = R2 \ {(1, у) С R2: 1 < у < 2} индуцированной метрикой (рис. 8.1). Пусть р = (0, 0), рп == (1/п, 0) и v = д/ду\р, vn — = д!ду\р для всех /г 1. Тогда v„ -> v при п -> оо. Пусть далее у (t) — (0, t) и уп (t) = (рп, t) для всех / 2s 0. Конформно преобразуя g на указанном на рис. 8.1 компактном множестве С, отделенном от 1+ (р) разрезом {(1, у) £ k2: 1 < у с 2|, получим для М метрику g со следующими свойствами. Прежде всего, у еще является максимальной геодезической в (М, g), так что s (и) = -j-oo. Но для каждого п существует времениподобная кривая <т„, пересекающая множество С и соединяющая точку рп с точкой qn = (1/п, у,г), Уп < 4, на так, что L (оп) > L (у 1р„, qn 1). Следовательно, у lpn, Уп 1 не может быть максимальной для всех п. Отсюда вытекает, что s (у,,) < 4 для всех п. Поэтому функ- ция s не является полунепрерывной снизу. Заметим, что (М, g) сильно причинно, но не глобально гиперболично вследствие того, что J+ ((1, 0)) Л J~ ((1, 3)) некомпактно. Аналогичная конструк- ция, примененная к /г-мерному пространству Минковского, позво- ляет построить сильно причинное /г-мерное пространство-время, для которого функция s не может быть полунепрерывной снизу.
206 Гл. 8. Лоренцево множество раздела Рис. 8.1. Показано сильно причинное пространство-время (Л1, g), содержащее последовательность {с,,} единичных времениподобных касательных векторов vn, которая сходится к», но s (о) = oohs (щ) <С. 4 для всех п 1. Поэтому функция s: Т_ГМ -+Р U {оо} не является полунепрерывной снизу. Можно построить также примеры глобально гиперболических пространственно-временных многообразий, для которых функция s не является полунепрерывной сверху. Объединяя предложения 8.5 и 8.7, получаем следующий результат. Теорема 8.8. Если пространство-время (М, g) глобально ги- перболично и времениподобно геодезически полно, ' то s\ Tt М—> -> IR U {оо} непрерывна. Теперь мы готовы определить множество времениподобного раздела. Определение 8.9. Множество времениподобного раздела в бу- дущем Г+ (/?) в пространстве ТРМ определяется по следующему правилу: 1+ (р) = {s (и) о: о f 7\tM |р и 0 < s (и) < оо}. Мно- жество времениподобного раздела в будущем Ct (/?) для точки р в М определяется по формуле С} (р) = ехр;, (Г+ (р)). Если 0 < < s (v) < оо и cv (s (и)) существует, то точка cv (s (о)) называется
8.1. Множество времениподобного раздела 207 точкой раздела в будущем для p cv (0) вдоль сг„ Множество времениподобного раздела в прошлом Ct (р) и точки раздела в про- шлом определяются аналогично. Величину s (и) можно интерпретировать как меру расстояния от точки р до точки раздела вдоль си в будущем. Таким образом, теорема 8.8 означает, что для глобально гиперболических вре- мениподобно геодезически полных пространственно-временных многообразий расстояние от фиксированной точки р £ М до соответствующей ей в направлении v б Т_ХМ. |р точки раздела в будущем является непрерывной функцией от v. Приведем теперь лоренцевы аналоги двух хорошо известных результатов, связывающих в полных римановых многообразиях точки раздела и сопряженные точки. Следующее свойство сопря- женных точек хорошо известно (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 125 — 129), Лернер (1972, теорема 4 (6))). Теорема 8.10. Времениподобная геодезическая не является ма ксимальной за первой сопряженной точкой. На языке определения 8.9 это можно сформулировать следу- ющим образом. Следствие 8.11. Точка раздела в будущем для точки р = = cv (0) вдоль cv появляется не позже, чем первая точка, сопря- женная р вдоль cv в будущем. Используя этот факт, можно доказать второй основной резуль - тат о точках раздела и сопряженных точках в глобально гипербо- лических пространствах. Теорема 8.12. Пусть (М, g) глобально гиперболично. Если q = с (t) является точкой раздела в будущем для точки р = с (0) вдоль времениподобной геодезической с из р в q, то выполняется хотя бы одно (возможно, и оба) из следующих утверждений: (1) q — первая точка, сопряженная в будущем точке р вдоль с. (2) Существует по меньшей мере два максимальных времени- подобных геодезических сегмента из р в q. Доказательство. Без потери общности можно считать, что с = cv для некоторого v С Т_гМ, и, значит, t = d (р, q) = s (v). Пусть —монотонно убывающая последовательность веще- ственных чисел, сходящаяся к t. Из включения с (!) ( М вытекает, что точки с (tn) существуют для достаточно больших п. В силу глобальной гиперболичности с (0) и с (tn) можно соединить макси- мальной времениподобной геодезической сп = cv , у которой ип Е Т_гМ |р. Из того, что tn > t = s (v), получаем, что v Ф vn для всех п. Пусть w С Т_]М — времениподобный предельный вектор для последовательности {пл} (он существует по лемме 8.6).
208 Гл. 8. Лоренцево множество раздела Если v w, то с и cw — два максимальных времениподобных геодезических сегмента из р в q. Остается показать, что если v = w, то q — первая точка, сопряженная в будущем точке р вдоль с. Если v = w, то суще- ствует подпоследовательность {vm} последовательности та- кая, что vm V. Если бы v не была сопряженной точкой, то на- шлась бы окрестность U вектора v в Т^М |р, отображение ехрр: U М которой инъективно. С другой стороны, из того, что сп и с | [0, tn ] соединяют с (0) с с (tn) и vm -+ v, такой окрестности U существовать не может. Поэтому точка q сопряжена точке р вдоль с в будущем. Согласно следствию 8.11, q должна быть пер- вой точкой, сопряженной р вдоль с в будущем. □ Теорема 8.12 имеет непосредственное приложение: для гло- бально гиперболических пространственно-временных многообра- зий q Q Ct (р) <=> р Е Ct (q). Множество времениподобного раздела полного глобально ги- перболического пространства-времени имеет следующее структур- ное свойство, уточняющее теорему 8.12. Из этой теоремы видно, что если q g Cf (р) и q не является сопряженной р, то суще- ствует по крайней мере два максимальных геодезических сегмента из р в q. В соответствии с этим имеет смысл рассматривать мно- жество Seg (р) = {q g Ct (р): существует по меньшей мере два направленных в будущее максимальных геодези- ческих сегмента из р в q\. Вследствие того что функция s: 7\,Л1 -+ R U ^оо^, согласно теореме 8.8, является непрерывной и в глобально гиперболиче- ских пространствах существуют максимальные геодезические, соединяющие произвольную пару причинно связанных точек, можно показать, что Seg (р) плотно в Ct (р) для всех р g М. Доказательство этого факта можно провести, следуя доказа- тельству Уолтером леммы 2 для полных римановых многообразий (см. Уолтер (1979, с. 93)). Для множества времениподобного раздела в прошлом Ct (р) имеет место аналогичный результат. 8.2. Множество изотропного раздела Определение точки изотропного раздела было дано Бимом и Эрлихом (1979а, разд. 5), где это понятие использовалось при доказательстве изотропной геодезической неполноты некоторых классов пространственно-временных многообразий. Пусть у: [0, а) -► (М, g) — направленная в будущее изотропная геодезиче- ская, исходящая из точки р = у (0). Положим tB = sup \t g [0, a); d (p, у (/)) = 0}. В случае если 0 < t0 < а, будем называть
8.2. Множество изотропного раздела 209 точку у (4) точкой изотропного раздела для точки р на с в будущем. Точки изотропного раздела в прошлом определяются аналогично. Обозначим через Сд? (р) (соответственно Сй (р)) множество изо- тропного раздела в будущем (соответственно в прошлом) для точки р, состоящее из всех точек изотропного раздела для точки р в будущем (соответственно в прошлом). Из определения мно- жества Cn (р) и полунепрерывности снизу расстояния вытекает, что d (р, q) = 0 для всех q £ Сд? (р)- Множество непростран- ственноподобного раздела в будущем определим посредством фор- мулы С+ (р) = Ct (р) U Си (р). Множество непространственнопо- добного раздела в прошлом определяется подобным же образом. Для подкласса глобально гиперболических пространств Бьюдик и Сакс (1976) дали другое, но эквивалентное определение точки изотропного раздела при помощи изотропных образующих гра- ницы множества 1+ (р). Геометрический смысл точек изотропного раздела схож с гео- метрическим смыслом точек времениподобного раздела: геодези- ческая у является максимальной от точки р вплоть до точки раз- дела у (/0), включая и ее, т. е. L (у | [0, /])- (! (р, у (/)) = 0 для всех I < t0. Таким образом, для любого t, t с tB, времени- подобной кривой, которая соединяла бы р с у (t), не существует. Напротив, за точкой раздела у (/0) геодезическая у не является более максимальной. Действительно, каждую точку у (/), 10 < < t < а, можно соединить с р времениподобной кривой. Используя предложение 2.19 Пенроуза (1972, с. 15) и опре- деление максимальности, можно легко доказать следующую лемму. «Лемма 8.13. Пусть (М, g) —сильно причинное простран- ство-время. Если существует два изотропных геодезических сег- мента, соединяющих р с q, то на каждом из них точка q либо совпа- дает с точкой изотропного раздела для точки р, либо располо- жена за ней. Пример цилиндра S1 X R с лоренцевой метрикой ds2 = dd di показывает, что условие причинности многообразия (М, g) в лемме 8.13 нельзя отбросить. Перейдем к доказательству изотропного аналога леммы 8.6. «Лемма 8.14. Пусть (М, g) глобально гиперболично и с: [0, 1 —» -> (М, g) — направленная в будущее изотропная геодезическая, идущая из точки р = с (0) в точку q = с (t), которые связаны условием d (р, q) = 0. Предположим, что рп р, qn q и рп С < qn. Пусть сп —максимальная геодезическая, соединяющая рп и qn и имеющая начальное направление vn. Тогда множество на- правлений \vn\ имеет предельное направление w и cw является максимальной изотропной геодезической из р в ц.
210 Гл. 8- Лоренцево множество раздела Доказательство. Применяя следствие 2.19, построим направ- ленную в будущее непространственноподобную предельную кри- вую К из р в q. Кривая X в силу равенства d (р, q) = 0 должна удовлетворять условию L (Т) = 0. Отсюда следует, что X можно перепараметризовать в максимальную изотропную геодезиче- скую. □ Теперь можно получить изотропный аналог теоремы 8.12. Теорема 8.15. Пусть (TH, g) глобально гиперболично и q = = с (t) — точка изотропного раздела в будущем для точки р = = с (0) вдоль изотропной геодезической с. Тогда имеет место хотя бы одно (возможно, и оба) из следующих утверждений'. (1) q —первая точка, сопряженная точке р вдоль с в будущем. (2) Существует по меньшей мере два максимальных изотроп- ных геодезических сегмента из р в q. Доказательство. Положим v = с' (0). Пусть tn —монотонно убывающая последовательность вещественных чисел, tn -+ t. В силу включения q £ М точки с (tn) определены для всех доста- точно больших п. Из того, что (Л4, g) глобально гиперболично, вытекает существование максимальных непространственноподоб- ных геодезических сп с начальными направлениями vn, соединя- ющих р с с (tn). Согласно лемме 8.14, множество направлений имеет предельное направление w. Если v а>, то геодезическая с10 является второй максимальной изотропной геодезической, соеди- няющей р с q, так как d (р, q) = 0. Если же v = w, то q сопря- жена р вдоль с. Из равенства d (р, q) = 0 вытекает, что точка q должна быть первой сопряженной точкой геодезической с (см. теорему 9.72). □ Покажем теперь, как множество изотропного раздела можно использовать в доказательстве теорем об устойчивости изотроп- ной геодезической неполноты. Наводящие соображения, в из- вестной степени обосновывающие такой подход, состоят, во- первых, в том, что большое число физически интересных про- странственно-временных многообразий можно конформно вло- жить в часть статической вселенной Эйнштейна (см. пример 4.11), свободной от изотропных точек раздела, а во-вторых, в том, что точки изотропного раздела инвариантны относительно конформ- ных преобразований метрики. Глобально конформные вложения пространства-времени де Ситтера 2-го рода и космологических моделей Фридмана описаны Пенроузом (1972а) (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 150—157)). Сейчас в кратком отступлении мы приведем прямые вычисле- ния, обосновывающие хорошо известный факт, что изотропные предгеодезпческие инвариантны относительно глобально конформ- ных преобразований. Доказательство конформной инвариантности
8.2. Множество изотропного раздела 211 точек изотропного раздела можно провести также при помощи лоренцевой функции расстояния. Напомним, что гладкая кривая у: J М называется пред- геодезической, если у можно перепараметризовать в гладкую кривую с, удовлетворяющую дифференциальному уравнению гео- дезических Vc- с' (t) = 0. Напомним также следующее Определение 8.16. Диффеоморфизм f: (Mj, g,) —> (ТИ2, g2) мно- гообразия МТ на многообразие Л42 называется глобально конформ- ным диффеоморфизмом, если существует гладкая функция й: М Р, такая, что /^ = C2«gi_ Пространство-время (Mlt g,) называется глобально конформно диффеоморфным открытому подмножеству U пространства-вре- мени (М2, g2), если существуют диффеоморфизм [: Мг U и гладкая функция й: М1 —> R, такие, что Г(& I = Использование в определении 8.16 вместо положительно опре- деленной функции множителя вида е2й необходимо для того, чтобы дать возможно более простую формулу, описывающую зависимость между связностью V для (Mlt и связностью V для (М2, g2). Можно показать непосредственно, что если /*g2 = = e2Rg1; где f: (Mlt g,) (Л42, g2) — гладкое отображение, то V/. v/Л |f (р) = f*YxY |р + Хр (й) /Л (р) -ф + Yp (й) /Л (р) - gl (X (р), Y (р)) f* (grad Й (р)) (8.1) для любой пары X, Y векторных полей на Мг. Здесь через grad й обозначено векторное поле градиента функции й относительно метрики gj на Мг. При помощи формулы (8.1) можно показать, что если у: J -► Мг — изотропная геодезическая в (Л41; g2), то о = / оу: J -> М2 — изотропная предгеодезическая в (Л42, g2). Суть дела в том, что так как у' (t) изотропен и Yy-y' = 0, то формула (8.1) упро- щается: Va-o' (0 = 2у' (0 (й) а' (/), где t б J любое. Заметим, однако, что если у была бы времени- подобной, то множитель gi (у', у') Д (grad Й) в формуле (8.1) препятствовал бы тому, чтобы /оу была времениподобной пред- геодезической в (Л42, g2). Лемма 8.17. Пусть f: (Мъ gi)-> (Л42, g2) глобально кон- формный диффеоморфизм на М2. Тогда у: J -> (Мъ gi) яв- ляется изотропной предгеодезической в (Л4Ь g>) в том и только
212 Гл. 8. Лоренцево множество раздела том случае, когда foy является изотропной предгеодезической в С^2, &)• Доказательство. Ввиду того что f'1: (Л42, g2) -> (М1; g,) также является конформным диффеоморфизмом, достаточно показать, что если у: J -> Мг — изотропная геодезическая, то о = /о у — изотропная предгеодезическая в (Л42, g2), т. е. мы должны пока- зать, что в пространстве-времени (Л42, g2) о можно перепараметри- зовать в изотропную геодезическую. Однако уже было показано, что для некоторой гладкой функции /: J R VlZo' (0 = Г(/)о' (/). (8.2) Так же как и в классической теории проективно эквивалентных связностей в римановой геометрии, формула (8.2) означает, что о — предгеодезическая (см. Спивак (1970, с. 6-35—6-37)). □ Теперь мы подготовлены к тому, чтобы доказать конформную инвариантность точек изотропного раздела относительно гло- бально конформных диффеоморфизмов /: (ЛД, g,) (М2, g-2). Заметим, что если (Мъ g/) ориентировано во времени векторным полем Хъ то (М2, g2) ориентировано во времени либо векторным полем Х2 = либо —Х2. Если М2 ориентировано во времени полем Х2, то f отображает направленные в будущее кривые в на- правленные в будущее кривые, и поэтому точки изотропного раздела в будущем (соответственно в прошлом) переходят в точки изотропного раздела в будущем (соответственно в прошлом) (см. предложение 8.18). Напротив, если М2 ориентировано во времени полем —Х2, то / отображает точки изотропного раздела в будущем (соответственно в прошлом) в точки изотропного раздела в прошлом (соответственно в будущем) вследствие того, что при отображении f кривые, направленные в будущее, переходят в кривые, направлен- ные в прошлое. Предложение 8.18. Пусть [: (ЛД, g1)->(Mz, g2) —глобально конформный диффеоморфизм (М2, g,) на (Mz, g2). Пусть у: [0, а) -> -► (Mj, gj) - изотропная геодезическая на Мг. Если q = у (4) — точка изотропного раздела для точки р = у (0) вдоль геодезиче- ской у, то f (q) является точкой изотропного раздела для f (р) вдоль изотропной предгеодезической foy: [0, -а)-> (М2, g2). Доказательство. Достаточно предположить, что q является точкой изотропного раздела для точки р вдоль у в будущем и что (Л42, ga) ориентировано во времени так, что foy является направ- ленной в будущее изотропной кривой в (М2, g2)- Перепараметри- зуем f оу в направленную в будущее изотропную геодезическую о: [0, Ь) —(Л42, g2), что возможно в силу леммы 8.17, при этом так, чтобы f (р) — о (0). Тогда / (д) = о (Q для некоторого Е С (0, й).
8.2. Множество изотропного раздела 213 Обозначим через dj лоренцеву функцию расстояния пространства- времени (Mi, g{), i=l, 2. Покажем сначала, что d2 (о (0), о (t)) = 0 для любого t, 0 < Предположим противное: d2 (о (0), о (t)) 0 для неко- торого t, 0 < I с R. Тогда в М2 можно найти направленную в будущее непространственноподобную кривую р из сг (0) в сг (1), для которой Lgs (Р) > 0. Тогда f-1 о р является направленной в будущее непространственноподобной кривой в Л4 из р в / ' (о (0), длина которой Lgl (f”1 op) >0. Вследствие равенства f (q) = = а (4) для некоторого 4 < 4 имеем f~l (о (Г)) = у (4). Отсюда следует, что d, (р, у (4)) 5= Lg, (f~l о Р) >0. Но это противоре- чит тому, что di (р, у (/2)) = 0. Последнее справедливо в силу того, что 4 < 4 и у (4) = q —точка изотропного раздела для р вдоль у в будущем. Покажем теперь, что d2 (о (0), о (t)) Ф 0 для любого t > 4, т. е. f (q) = о (4) является точкой изотропного раздела в будущем для точки / (р) вдоль о, как и требуется. Зафиксируем для этого t > 4- Тогда найдется 4 > 4, для которого 41 (о (0) = У (4)- В силу того что у (4) = q — точка изотропного раздела в буду- щем для р вдоль у, имеем di (р, у (4)) > 0. Значит, существует направленная в будущее непространственноподобная кривая а из р в у (4) длиной L3t (а) > 0. Тогда / о а — направленная в бу- дущее непространственноподббная кривая из f (р) в о (I). Следо- вательно, d2 (( (р), о (0) Lg2 (f о а) > 0, как и требовалось. □ Доказав предложение 8.18, мы имеем все основания использо- вать множество изотропного раздела для изучения изотропной геодезической неполноты. Напомним, что геодезическая назы- вается неполной, если ее нельзя продолжить на все значения аффинного параметра (см. определение 5.2). Пусть R и Ric — соответственно тензор кривизны и тензор кривизны Риччи пространства-времени (М, g). Говорят, что не- продолжаемая изотропная геодезическая у удовлетворяет типо- вому условию, если для некоторого значения параметра t суще- ствует ненулевой касательный вектор v £ Ту^М, подчиненный условию g (v, у' (0) = 0 и такой, что вектор R (v, у' (0) у' (0 ненулевой и непропорционален у' (0 (см. определение 11.7, разд. 11.2). В частности, если Ric (и, v) > 0 для всех изотропных векторов v Q ТМ, то каждая непродолжаемая изотропная гео- дезическая пространства-времени (М, g) удовлетворяет типовому условию. В разд. 11.2 будет показано, что для выполнения изо- тропного типового условия требование dim М 5= 3 необходимо. Поэтому в следующем предложении мы будем предполагать, что dim Л4 5= 3. Предложение 8.19. Пусть (М, g) —пространство-время раз- мерности 5:3, такое, что все непродолжаемые изотропные гео-
214 Гл. 8. Лоренцево множество раздела дезические удовлетворяют типовому условию и Ric (у, v) > О для всех изотропных векторов. Если (Л4, g) глобально конформно диффеоморфно открытому подмножеству пространства-времени (М', g'), не имеющему точек изотропного раздела, то все изотроп- ные геодезические (М, g) неполны. Доказательство. В предложении 4.4.5 Хокинга и Эллиса (1977, с. 115) показано, что если кривизна Риччи неотрицательна на всех изотропных векторах, то каждая полная изотропная геодезическая, удовлетворяющая типовому условию, имеет со- пряженные точки (см. предложение 11.17). Так как максимальные геодезические не содержат сопряженных точек, то для доказа- тельства неполноты всех изотропных геодезических пространства- времени (Л4, g) необходимо убедиться только в том, что каждая из них максимальна. Предположим, что направленная в будущее изотропная геодезическая у из р в q не максимальна. Тогда суще- ствует времениподобная кривая, соединяющая р с q. В силу того что конформный диффеоморфизм переводит изотропные геодези- ческие в изотропные предгеодезические, а времениподобные кри- вые во времениподобные кривые, образ у должен быть немакси- мальной изотропной геодезической в пространстве-времени (Л4', g'). Эго означает, что (Л4', g') имеет точку изотропного раздела, что п приводит к противоречию. □ Напомним, что четырехмерная статическая вселенная Эйн- штейна (пример 4.11) представляет собой цилиндр х2 ф- у2 ф- ф- z2 ф- w2 = 1, вложенный в IR8 с метрикой, индуцированной на нем метрикой Минковского ds2 = —dt2 ф- dx2 ф- dy2 ф- dz2 ф- dw2. Тем самым статическая вселенная Эйнштейна есть R X S3 с ме- трикой лоренцева произведения. Геодезические и точки изотроп- ного раздела в этом пространстве-времени легко определяются. Множество изотропного раздела точки (/, х, у, z, w) состоит просто из двух точек (t + л, —х, —у, —z, —w). Следовательно, под- множество Л4' = \(t, х. у, z, w)\ О < t < л, х2 ф- у2 ф- z2 ф- w2 = = 1} обладает тем свойством, что CN (р) П Л1' = 0 Для всех р £ М'. Из предложения 8.19 вытекает тогда следующее утвер- ждение. Следствие 8.20. Пусть (Л4, g) —пространство-время, у ко- торого все изотропные геодезические удовлетворяют типовому условию и Ric (у, и) > 0 для всех изотропных векторов. Если (М, g) глобально конформно диффеоморфно некоторой части подмно- жества Л4' статической вселенной Эйнштейна, то все изотропные геодезические (М, g) неполны. Так как пространство-время Минковского свободно от точек изотропного раздела, то сформулированный выше результат оста-
8.3. Множество непространственноподобного раздела 215 нется справедливым, если заменить М' на пространство-время Минковского. В космологии пространства Фридмана используются в ка- честве моделей вселенной. При этом предполагается, что вселен- ная наполнена идеальной жидкостью, имеющей нулевое давление. Будем также предполагать, что для этих моделей космологическая постоянная Л равна нулю. Тогда эти пространства являются про- странствами Робертсона—Уокера (разд. 4.4), у которых р = А = 0. Эти пространства можно конформно вложить в определенное выше подмножество М' статической вселенной Эйнштейна (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 157—158)). Более того, для всех непро- странственноподобных векторов в космологической модели Фрид- мана (М, g) Ric (g) (v, v) > 0. Согласно предложению 6.3, суще- ствует С2-окрестность U (g) метрики g в С (М, g), в которой для всех g, £ 6' (g) выполняется неравенство Ric (g() (у, v) > 0. Ввиду того что из Ric (g,) (и, и) > 0 вытекает выполнение типового условия в (М, g,) всеми изотропными геодезическими, следствие 8.20 приводит к следующему результату. Следствие 8.21. Пусть (Л4, g) —космологическая модель Фрид- мана. Тогда существует С2-окрестность U (g) метрики g в С (М, g), такая, что каждая изотропная геодезическая в (М, gx) неполна для всех gj Q U (g). 8.3. Множество непространственноподобного раздела Напомним следующее понятие. Определение 8.22. Множество непространственноподобного раздела С+ (р) точки р в будущем определяется по правилу С+ (р) = Cf (р) [J Су (р). Соответственно множество непростран- с/пвенноподобного раздела в прошлом — С (р) ~ Ct (р) (J Су (р) и множество непространстсенноподобного раздела С (р) = -= С” (Р) и С* (р). В гл. 7 мы упоминали о том, что полное некомпактное рима- ново многообразие допускает из каждой точки геодезический луч. Таким образом, в каждой точке существует такое направле- ние, что геодезическая, исходящая из этой точки в этом направле- нии, не имеет точек раздела. Для сильно причинных простран- ственно-временных многообразий лоренцев аналог этого свойства подобным же образом извлекается из существования исходящих из каждой точки направленных в будущее и направленных в про- шлое непространственноподобных геодезических лучей. Это можно сформулировать так, как это сделано в первой половине следую- щего утверждения.
216 Гл. 8. Лоренцево множество раздела Предложение 8.23. (а) Пусть (М, g) сильно причинно. Тогда для любой заданной точки р Q М существует направленный в будущее и направленный в прошлое непространственноподобные касательные векторы в ТрМ, такие, что геодезические, исходящие из точки р в этих направлениях, не имеют точек раздела. (б) Пусть (М, g) глобально гиперболично и р Q М —про- извольно взятая точка. Тогда у р нет самой далекой точки не- пространственноподобного раздела. Доказательство. Как мы уже отмечали, часть (а) непосред- ственно вытекает из теоремы 7.10. Для доказательства части (б) предположим, что q Q М является наиболее далекой точкой раздела для р. Тогда q является точкой раздела вдоль максималь- ного геодезического сегмента у из р в q. Выберем последователь- ность точек \qn\ так, чтобы q rx qn для каждого п и </„ q. Из глобальной гиперболичности (М, g) вытекает существование для любого п максимальных времениподобных геодезических сегментов сп: [0, d (р, qn)]^- М из р в qn. Продолжим каждый сп до непродолжаемой в будущее геодезической. Вследствие того что q — наиболее удаленная точка раздела для точки р и d (р, qn) Дэ d (/;, q) + d (q, qn) > d (p, q) для каждого n, геодезиче- ский луч cn не содержит точек раздела точки р. Последователь- ность {сп! имеет предельную кривую с, которая в соответствии с предложением 2.18 является направленной в будущее и непро- должаемой в будущее непространственноподобной кривой, исходя- щей из р. Переходя, если необходимо, к подпоследовательности, можно считать, что \сп\ сходится к с в С°-топологии на кривых (см. предложение 2.21). Используя глобальную гиперболичность пространства-времени (М, g) и тот факт, что q„. -> q, получаем, что q Q с. Если г £ с и rn б сп, причем гп -> г, то d (р, г) = = lim d (р, гп). Из того, что в сильно причинных пространствах длина дуги полунепрерывна сверху, вытекает, что длина с от р до г не меньше lim d (р, rn) = lim d (р, r„) = d (р, г). Тем самым с —максимальный геодезический луч. Ввиду того что q является точкой раздела для р на у, геодезические сну — различные макси- мальные непространственноподобные геодезические, проходящие через р и q. Тогда, воспользовавшись либо леммой 8.1, либо лем- мой 8.13, получаем противоречие с максимальностью с за точ- кой q. □ Обратимся теперь к аналогу наблюдения Клингенберга, сде- ланному им для римановых многообразий, о том, что если q яв- ляется ближайшей к р точкой раздела и q не сопряжена р, то существует геодезическая петля в точке р, проходящая через q. Для лоренцевых многообразий, однако, верен другой результат. Если {qn\ cz (Д (р) сходится к q С СД (р), то в глобально гипер-
8.3. Множество непространственноподобного раздела 217 болическом пространстве-времени вследствие непрерывности ло- ренцевой функции расстояния d {р, qn) -> 0. Таким образом, есть основания ожидать, что для глобально гиперболических пространств не существует ближайшей к р времениподобной точки раздела q, которая была бы не сопряжена р. Теорема 8.24. Пусть (М, g) —глобально гиперболическое про- странство-время. Предположим, что у р Q М есть ближайшая к ней точка непространственноподобного раздела в будущем {или в прошлом). Тогда либо q сопряжена точке р, либо q является точкой изотропного раздела для р. Доказательство. Пусть q —точка раздела в будущем для точки р, ближайшая среди точек раздела для р относительно ло- ренцева расстояния d. Допустим, что q не является ни сопря- женной точке р, ни точкой изотропного раздела для р. Тогда р <^q, и по теореме 8.12 найдутся по меньшей мере две направ- ленные в будущее максимальные времениподобные геодезические сх и с2 из р в q. Пусть у: [0, а) М — направленная в прошлое времениподобная кривая, исходящая из q. Выбирая а > 0 доста- точно малым, мы можем предполагать, что образ кривой у лежит в хронологическом будущем точки р. Тогда из того, что р « С У (t) Q для всех t, 0 < t < а, при помощи обратного нера- венства треугольника получаем d (р, q) ^s А (р, у (/)) + + d (у (t), q)> d (р, у {t)). Вследствие того что q является ближай- шей точкой раздела, точка у (t) на каждой времениподобной гео- дезической из р в у {t) появляется раньше, чем точка раздела для р. Тем самым всякая времениподобная геодезическая из р в у (t) максимальна. Из того, что q не сопряжена р вдоль щ, выте- кает, что существует времениподобная геодезическая из р в у (/), находящаяся вблизи щ для всех достаточно малых t. Аналогич- ными рассуждениями доказывается существование времениподоб- ной геодезической из р в у {t), находящейся вблизи с2, для всех достаточно малых t. Из существования двух максимальных време- ниподобных геодезических, соединяющих р с у {(), вытекает, что у (0 является точкой раздела для р; это приводит к противоречию вследствие неравенства d (р, у (0) < d (р, q). □ Для римановых многообразий множество единичных каса- тельных векторов в любом касательном пространстве компактно. Поэтому непосредственным следствием римановых аналогов пред- ложений 8.5 и 8.7, доказанных выше, является следующее утверж- дение: множество раздела каждой точки в полном римановом Многообразии —замкнутое подмножество в М (см. Громол, Клингенберг и Мейер (1971, с. 187—188), Кобаяси (1967, с. 100— 101)). Для лоренцевых многообразий множество времениподобного раздела в общем случае не является замкнутым подмножеством
218 Гл. 8. Лоренцево множество раздела в М, как показывает пример статической вселенной Эйнштейна (пример 4,11). Однако для глобально гиперболических пространств можно показать, что множество непространственноподобного раздела и множество изотропного раздела любой точки представ- ляют собой замкнутые подмножества М (см. Бим и Эрлих (19796, предложение 6.5)). Из приводимого ниже примера 8.28 будет видно, что предположение о глобальной гиперболичности яв- ляется необходимым для замкнутости в М множества непростран- ственноподобного раздела. Доказательство для лоренцевых многообразий оказывается сложнее соответствующего доказа- тельства для римановых многообразий вследствие отсутствия еди- ничных изотропных касательных векторов. Обратимся теперь к доказательству замкнутости множеств непространственноподобного и изотропного разделов для глобально гиперболических пространств. Докажем сначала следующую тех- ническую лемму. Лемма 8.25. Пусть (М, g) —сильно причинное простран- ство-время. П редположим, что р < qn и q„ q ф р. Если expp(i>n) = q„, ехрр (v) = q и направления непространственнопо- добных векторов ип сходятся к направлению вектора V, то vn V. Доказательство. Выберем числа ап > 0 так, чтобы векторы = anvn сходились к V. Тогда последовательность точек гп = = ехрр (щ„) должна: 1) быть определена для больших п и 2) сходиться к q. Ввиду причинности (М, g) найдется только одно значение tn параметра I, для которого ехрр (tnwn) = qn, а именно tn = аД. Используя сходимость гп —q, q„ —> q и силь- ную причинность (М, g) вблизи q, находим, что /п -> 1. В силу равенства vn = l„Awn последовательность сходится к V. □ Зафиксируем точку р с Л4. Касательный вектор v Q ТрМ сопряжен точке р в ТрМ, если отображение (ехрр)* вырожденно в о. Точки, сопряженные р, должны образовывать в ТрМ замкну- тое подмножество в области определения ехрр вследствие того, что (ехрр)^ является невырожденным на открытом подмножестве пространства ТРМ. Точка q б М сопряжена точке р вдоль гео- дезической с, если существует сопряженная точка v Q ТРМ, для которой ехрр v = q и с является (с точностью до перепараме- тризации) геодезической ехрр (tv). Будем называть точку q не- пространственноподобно сопряженной точке р в будущем, если q С М, р < q и q сопряжена точке р вдоль непространственно- подобной геодезической. Непространственноподобно сопряженные точки в прошлом определяются аналогично. Если (М, g) является причинным пространством-временем, то р не может лежать ни в множестве непространственно сопряженных ей точек в буду- щем, ни в множестве непространственно сопряженных ей точек
8.3. Мчэж'стю непространсткнноподобного раздела 219 в прошлом потому, что непространственноподобная геодезиче- ская проходит через р самое большее один раз и (ехрр)^. невы- рожденно в начальной точке пространства ТРМ. Замечание 8.26. Однако даже в глобально гиперболических пространствах точки могут быть сопряженными сами себе вдоль пространственноподобных геодезических. Это и происходит в лю- бой статической вселенной Эйнштейна размерности ^3. Лемма 8.27. Пусть (,'И, g) —глобально гиперболическое про- странство-время. Тогда множество точек непространственнопо- добно сопряженных в будущем (соответственно в прошлом) является замкнутым подмножеством в М. Доказательство. Предположим, что {qtl\ —последователь- ность точек, непространственноподобно сопряженных точке р в будущем, причем qn -> q. Тогда р q, р < q и для любого п р < qn. Пусть vn Q ТрМ —непространственноподобный вектор, такой, что (ехрр),. вырожденно в vn и ехрр (vn) = qri. Тогда с„ (t) = ехрр (tvn) является направленной в будущее, непродол- жаемой в будущее геодезической, исходящей из р и содержа- щей qn. Согласно предложению 2.18, геодезические сп должны иметь предельную кривую у. Так KaK(A4,g) глобальногиперболично, то у должна содержать q. Используя сильную причинность (M, g) и тот факт, что кривая у предельная для непространственноподоб- ных геодезических, получаем, что сама у является непростран- ственноподобной геодезической. Пусть v — единственный (непро- странственноподобный) вектор, касательный у в точке у (0) = р и такой, что ехрр (и) = q. Из того, что у — предельная кривая последовательности {с„\, вытекает, что у последовательности {п\ должна существовать подпоследовательность \т\, для которой направления векторов и„, сходятся к направлению вектора V. На основании леммы 8.25 можно заключить, что vm —v. Так как векторы vm принадлежат множеству всех точек, сопряженных р в ТРМ, и это множество является замкнутым подмножеством области определения ехрР, то вектор v сопряжен р в ТРМ. Вслед- ствие того что v — направленный в будущее непространственно- подобный вектор, точка q = ехрр (и) является непространственно- подобно сопряженной точке р в М в будущем. Это доказывает замкнутость в М множества точек, непространственноподобно сопряженных в будущем. Аналогичные рассуждения показывают, что множество точек, непространственноподобно сопряженных в прошлом, также замкнуто. □ Пример 8.28. Пусть на М = -S1 X R = {(0, /) : 0 < 0 2л, t Е R} введена плоская метрика ds2 = d62 —dt2. Это простран- ство-время представляет собой двумерную статическую вселен-
220 Гл. 8. Лоренцево множество раздела ную Эйнштейна. Оно глобально гиперболично и не имеет сопря- женных точек. Если р = (0, 0), то множество точек изотропного раздела в будущем Cn (р) состоит из единственной точки (л, л). Множество времениподобного раздела в будущем Ct (р) совпадает с множеством {(л, t): t > п\ и потому не замкнуто. С другой стороны, С+ (р) = Ct (р) U Cn (р) замкнуто. Если из М выбросить две точки (±л/4, 2л), то мы получим сильно причинное пространство-время (М', g | М'), которое не является глобально гиперболическим. В этом пространстве-вре- мени (М', g | М') множество изотропного раздела в будущем С+ (р) не замкнуто. Предложение 8.29. Пусть (М, g) —глобально гиперболическое пространство-время. Для любой точки р £ М все множества Cn (р), Cn (р), С* (р), С7 (р) являются замкнутыми подмножествами в М. В частности, замкнуты и множество изотропного раздела, и множество непространственноподобного раздела. Доказательство. Так как рассмотрение этих четырех случаев весьма похоже, покажем только, что Cn (р) замкнуто в М. Пусть qn С Cn (р) и qn -+ q. Ввиду того, что (Л4, g) глобально гипер- болично, q р и q С J+ (р). Из определения множества Cn (р) видно, что d (р, с/„) = 0. Используя непрерывность лоренцева расстояния для глобально гиперболических пространственно- временных многообразий (лемма 3.5), получаем, что d (р, q) = lim d (р, qn) = 0. Пусть у — произвольная непространственно- подобная геодезическая из р в q. Равенство d (р, q) = 0 означает, что у является максимальной изотропной геодезической и что точка раздела для точки р вдоль у не может появиться преж- де q. Возможны два случая. Либо бесконечно много точек qn яв- ляются непространственноподобно сопряженными точке р в бу- дущем, либо для больших п точек, непространственноподобно сопряженных точке р в будущем, среди qn нет. В первом случае, применяя лемму 8.27, находим, что если точка q непространствен- ноподобно сопряжена р вдоль у в будущем, то q является точкой раздела вдоль у потому, что точка раздела вдоль у либо совпа- дает с первой сопряженной точкой вдоль у, либо появляется раньше. Если же q непространственноподобно сопряжена р в будущем вдоль некоторой другой непространственноподобной геодезической у', то у' должна быть изотропной. Из леммы 8.13 тогда вытекает, что q —точка раздела и вдоль у, и вдоль у'. Допустим теперь, что для всех достаточно больших п точки qn не являются непространственноподобно сопряженными точке р в будущем. В силу теоремы 8.15 для каждого большого п суще- ствуют по меньшей мере две максимальные изотропные геодези- ческие из р в qn. Тем самым для каждого большого п найдутся
8.3. Множество непространственноподобного раздела 221 два направленных в будущее изотропных вектора v„ и wn, для которых ехрр (уп) = ехрр (wn) = qn. Направленные в будущее непространственноподобные направления в точке р образуют компактное множество направлений. Поэтому направления, опре- деляемые последовательностями ДЛ и имеют предельные v и w соответственно. Если v и w определяют различные направле- ния, то, применяя лемму 8.14, получаем две максимальные изо- тропные геодезические из р в q. В этом случае q - - точка раздела для р. С другой стороны, векторы v и w могут определять одно направление. Пусть это так. Прежде всего заметим, что суще- ствуют постоянные а > 0 и b > 0, такие, что av = bw и ехрр (av) = = expp(bw) = q. Из леммы 8.25 вытекает, что для некоторой подпоследовательности {т] последовательности {/г} справедливы предельные соотношения vm av и wm av. Однако в силу того, что vm =/= wm, а ехрр (v,„) = ехрр (wm), заключаем, что (ехрЛ),., должно быть вырожденно в av. Поэтому q сопряжена р вдоль у (0 = ехрр (tav), и в силу равенства d (р, q) = 0 полу- чаем, что q —-точка раздела для р вдоль у (i). □ Интересно отметить, что полученный выше результат имеет место без каких бы то ни было предположений о времениподобной или изотропной геодезической полноте (Л4, g). В частности, мно- жество изотропного раздела и множество непространственнопо- добного раздела в глобально гиперболических пространственно- временных многообразиях, согласно предложению 8.29, замкнуты, даже если функция s: T_tM -> R U {°°i и не является полуне- прерывной сверху. Хорошо известно (см. Кобаяси (1967, с. 100—101)), как, ис- пользуя множество раздела, можно показать, что компактное риманово многообразие является непересекающимся объедине- нием открытой клетки и замкнутого подмножества (множества раздела фиксированной точки р С Л4), представляющего собой непрерывный образ (при отображении ехрр) (и — 1)-мерной сферы. Таким образом, множества раздела наследуют многие из топологических свойств самого компактного многообразия. Для лоренцевых многообразий точки раздела можно определить (в крайнем случае используя лоренцево расстояние) только для непространственноподобных геодезических. Значит, соответству- ющий результат для пространственно-временных многообразий должен описывать топологию не всего многообразия М, а только множества J+ (р) для произвольных р М. Чтобы получить это разложение, необходимо предположить, что (Л4, g) времени- подобно геодезически полно, равно как и глобально гиперболично для того, чтобы функция s: Т^М -> R J {оо|, введенная в опре- делении 8.3, была непрерывной, а не только полунепрерывной снизу (см. предложения 8.5 и 8.7).
222 Гл. 8. Лоренцево множество раздела Напомним, что контуром будущего Е+ (р) произвольной точки р (- М называется Е+ (р) == J+ (р)\/+ (р), а через С+ (р) обозна- чается множество непространственноподобного раздела точки р в будущем. Предложение 8.30. Пусть (М, g) глобально гиперболично и времениподобно геодезически полно. Тогда для каждой точки р £ М множество J+ (р)\1С+ (р) U Е+ (р) 1 является открытой клеткой' Доказательство. Пусть В = J+ (р)\[С+ (р) J Е+ (р) I. Тогда q £ В в том и только том случае, если существует максимальная направленная в будущее времениподобная геодезическая, которая начинается в р и продолжаема за q. Тем самым В = /+ (р)\С+ (р), откуда следует, что В открыто. Множество Т_гМ = {п £ ТрМ: о направлен в будущее и g (о, о) = —1} гомеоморфно If "'1. Пусть Н: ТЛМ R"-1 —соответствующий гомеоморфизм. Определим s: —> R J i°°i по формуле s = so Н~\ Инду- цированный гомеоморфизм В на множество {(х, /) С К"'1 X X R: 0 < t < $ (х)| определяется по правилу q (Н (г), t), где v — вектор в для которого ехрр (sv) является един- ственной (с точностью до перепараметризации) максимальной геодезической из р в q и expj; (tv) = q. Пусть f: [0, оо ] -> [0, 1J — гомеоморфизм, причем f (0) = 0 и f (оо) = 1. Тогда отображение (х, t) -> (х, f (f)/f (s (х))) показывает, что В гомеоморфно Rn-1 X X (0, 1). Утверждение доказано. □ Замечание 8.31. Из того, что 1+ (р) cz J+ (р), доказанное пред- ложение позволяет получить некоторую косвенную информацию о топологическом строении 1+ (р). Пример статической вселенной Эйнштейна показывает, что 1+ (р) не обязательно является откры- той клеткой, даже если (Л4, g) глобально гиперболично. В то же время из глобальной гиперболичности (М, g) следует, что (1+ (р), g I (р)) также является глобально гиперболическим. Поэтому /+ (р) топологически можно представить в виде произведения /+ (р) = S iR’, где S есть (п — 1)-мерное многообразие (см. теорему 2.13).
Г лава 9 ТЕОРИЯ МОРСА ОБ ИНДЕКСЕ ДЛЯ ЛОРЕНЦЕВЫХ МНОГООБРАЗИИ Пусть у: [0, о) -> М есть заданная непространственноподоб- ная геодезическая. Если у (t0) —точка раздела в будущем для у (0) вдоль у, то, как мы видели в гл. 8, для любого t < t0 геоде- зический сегмент у | [0,/]является наидлиннейшей кривой среди всех непространственноподобных кривых многообразия М, иду- щих из у (0) в у (t). Можно несколько смягчить формулировку и поставить вопрос: выполняется ли неравенство L (у) L (о) в классе всех непространственноподобных кривых о, проходящих из V (0) в 7 (t0) достаточно «близко» к у? Если это так, то у (t0) либо совпадает с первой точкой, сопряженной у (0) вдоль t в бу- дущем. либо располагается перед ней. Главное различие здесь заключается между условием «среди всех из А!» для точек раздела и условием «близко к у» для сопряженных точек. Важность такого различия иллюстрируется тем фактом, что, хотя ни одно дву- мерное пространство-время не имеет изотропных сопряженных точек, все изотропные геодезические статической вселенной Эйнштейна обладают точками изотропного раздела и в прошлом, и в будущем. Поскольку при изучении сопряженных точек рассматривается только поведение «близких» кривых, естественно применить к вы- числению вариаций непространственноподобных геодезических в произвольных лоренцевых многообразиях технику, подобную той, которая применяется к геодезическим в произвольных ри- мановых многообразиях. Чтобы показать особенности лорен- цевой теории об индексе, коротко опишем теорию Морса об ин- дексе для произвольного (не обязательно полного) риманова многообразия (N, gc). Пусть с: \а, Ь \ N — фиксированный геодезический сегмент. Рассмотрим однопараметрическое семей- ство кривых as, начинающихся в с (а) и заканчивающихся в с (Ь). Более точно, пусть а: [«, b] X (—е, е) —> N есть непрерывное кусочно гладкое отображение, у которого a (t, 0) = с (t) для всех t £ [а, Ь] и a (a, s) = с (a), a (b, s) = с (Ь) для всех s £ (—е, е). Тогда каждая соседняя кривая t as (t) = = a (t, s) является кусочно-гладкой. Векторное поле вариации
224 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лОренцссЫх многообразий (или s-параметрическая производная) V этой деформации за- дается правилом = s))|s=0. Так как с — гладкая геодезическая, то путем прямых вычисле- ний можно убедиться в том, что -^(bo(as))|s=o = O, а вторая вариация имеет вид t>s2 (То (Ks)) |s=o = = j^Jgo (V', V') - go (R (V, с’) с', V) - C (go (V, с'))] |z Л + 4 go (WK 01*- Эта формула второй вариации естественно предполагает опреде- ленной на бесконечномерном линейном пространстве KL (с) ку- сочно-гладких векторных полей X вдоль с, ортогональных к с и удовлетворяющих условию X (а) = X (Ь) = 0, индексную форму / (X, Y) = j'; [g (X', Y') - g (R (X, с') с', У)] |t dt. Затем показывается, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы с была свободна от сопряженных точек, является выполнение неравенства / (X, X) > 0 для всех нетривиальных X С w (С). Это наводит на мысль, что для геодезической с: [a, b]->-N с сопряженными точками индекс Ind (с) относительно формы /: W (с) х W (с) R следует определять как точную верхнюю грань размерностей всевозможных линейных подпространств пространства W (с), на которых форма I отрицательно опреде- лена. Несмотря на то что W (с) является бесконечномерным ли- нейным пространством, теория Морса для произвольных римановых многообразий утверждает, что (1) Ind (с) конечен; (2) Ind (с) равен геодезическому индексу с, т. е. числу точек, сопряженных вдоль с, с учетом кратности. Более точно, если обо- значить через Jt (с) линейное пространство гладких векторных полей Y вдоль с, удовлетворяющих дифференциальному уравне- нию Якоби Y" + R (Y, с') с' = 0 и краевым условиям Y (а) = = Y (!) = 0, то утверждение (2) эквивалентно формуле (3) Ind (с) = У dim Jt (с). t £ (a, b)
9.1. Теория Морса для^времениподобных геодезических 225 Таким образом, у с имеется лишь конечное число точек на (а, Ь], сопряженных с (а). Теперь при помощи теоремы Морса об индексе можно вычислить гомотопический тип пространства путей для полных римановых многообразий геометрически (см. Милнор (1966, с. 107)). Полу- чается следующий результат: если (N, gc) — полное риманово многообразие и р, q С N — произвольная пара точек, которые не сопряжены (какую бы геодезическую мы ни взяли), то простран- ство Q(p, q) всех возможных непрерывных путей из р в q, на- деленное компактно-открытой топологией, имеет гомотопиче- ский тип счетного клеточного комплекса, который содержит клетку размерности А. для каждой геодезической из р в q, имеющей индекс X. Целью разд. 9.1 и 9.3 является доказательство аналогов утвер- ждений (1)—(3) для непространственноподобных геодезических в произвольных пространственно-временных многообразиях. Пусть с: [а, Ь] М (соответственно р: [a, Ь \ Л4) — произвольный времениподобный (соответственно изотропный) геодезический сег- мент в многообразии (Л4, g). Обозначим через У^- (с) (соответственно через (р)) бесконечномерное линейное пространство кусочно- гладких векторных полей Y вдоль с (соответственно вдоль р), ортогональных с (соответственно р) и удовлетворяющих условию Y (а) = Y (Ь) = 0. По аналогии с римановой индексной формой времениподобную индексную форму I: У()к (с) X yj- (с) -> R можно определить соотношением /(X, y) = -Jjg(X', Y’)-g(R(X, с') с', Y)]dt. Можно показать также, что геодезическая с: [а, b 1 -> М не имеет на (а, Ь) сопряженных точек в том и только том случае, когда форма /: У^- (с) X У01 (с) -» R отрицательно определена. Индексная форма /: У^ (Р) X У^ (р) —> R вводится анало- гично: ЦХ, y) = -Jjg(X', Y')-g(X(X, Р')Р', Y)]dt. Но так как р —-изотропная геодезическая, то g (р', р') = 0. Следовательно, векторные поля вида У (/) = f (t) р' (i), где f: [a, &]->R —кусочно-гладкая функция, подчиненная усло- вию f (а) = f (b) = 0, всегда располагаются в нулевом простран- стве формы /: (р) X yj- (р) —> R, но тем не менее никогда не порождают изотропных сопряженных точек. Обойти эту трудность можно путем рассмотрения фактор- пучка 3f0 (р) пространства У,,1- (Р), который получается при отож- дествлении векторных полей Y± и Y.2 из Ус| (р), связанных равен- ством Y± —У2 = гДе f- Н-> R—кусочно-гладкая функция. При этом индексная форма /: V'J (р) X Уок (р) R 8 Дж . Б нм, П. Эрлих
226 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий проектируется в индексную фактор-форму J : Х0(Р) '< Хо (£) -> Р. Можно показать, что изотропный геодезический сегмент |3: [а. b 1 -> М не имеет на [a, b I сопряженных точек тогда и только тогда, когда фактор-форма I: Дч() (|3) X .Т() (Р) —> R отрицательно опре- делена (ср. Хокинг и Эллис (1977, § 4.5), Бёлтс (1977, ч. 2 и 4)). Обозначим через Jt (с) (соответственно Jt (|3)) пространство полей Якоби вдоль с (соответственно р), удовлетворяющих усло- вию Y (о) = Y (Ь) — 0. Определим индекс Ind (с) геодезической с (соответственно Ind (|3) геодезической р) как точную верхнюю грань размерностей всех векторных подпространств простран- ства (с) (соответственно 3f0 (Р)), на которых форма / (соответ- ственно /) положительно определена. В разд. 9.1 и 9.3 мы дока- жем соответственно теорему Морса об индексе Ind (с) = У dim Jt (с) t (z (а, !>) для времениподобной геодезической с: [n, b ] -> Л4 и теорему Морса об индексе Ind(p)= J] dimJJp) t 6 (a, b) для изотропной геодезической (1: [а, Ь\ М. Причиной раздель- ного рассмотрения времениподобного и изотропного случаев яв- ляется то обстоятельство, что для получения теоремы Морса об индексе изотропной, но не времениподобной геодезической необ- ходимо использовать индексную фактор-форму 1: Э?с (Р) X X (р) -> R. В разд. 9.2 мы займемся изучением теории пространств вре- мениподобных путей для сильно гиперболического пространства- времени, подводя итог некоторым последним результатам Улен- бека (1975). И здесь опять, поскольку для разработки теории рима- новых пространств путей необходима полнота, неудивительно, что для лоренцевой теории требуется глобальная гиперболич- ность . Однако между лоренцевыми и римановыми пространствами путей имеется существенное различие. Пусть (N, g0) — полное риманово многообразие, кривизна Риччи которого положительна и отделена от нуля. По теореме Майерса N компактно. В книге Милнора (1966, теорема 19.6) показано, что если в таком рима- новом многообразии точки р и q не сопряжены, то пространство путей w имеет гомотопический тип клеточного комплекса, у которого в каждой размерности лишь конечное число клеток. Тем не менее пространство путей, как видно на примере сферы Sn с обычной полной метрикой постоянной секционной кривизны, может быть и бесконечным клеточным комплексом. Напротив, если
9.1. Теория Морса для времениподобных геодезических 227 (Л4, g) —произвольное глобально гиперболическое (следовательно, некомпактное) пространство-время и р, q £ М — любые две его точки, удовлетворяющие условию р <$.; q (тем самым р и <7 не сопряжены), то времениподобное пространство путей C(Pi9) имеет только конечное число клеток. Это поразительное несходство между лоренцевым и римановым пространствами путей является результатом следующего фунда- ментального различия между лоренцевыми и римановыми много- образиями. Если у—произвольная непространственноподобная кривая из р в q в произвольном пространстве-времени и d (р, q) конечно, то у имеет ограниченную лоренцеву длину вследствие того, что L (у) < d (р, q). С другой стороны, любая кривая а в римановом пространстве путей удовлетворяет условию £с (о) d (р, q) и, значит, имеет длину, ограниченную снизу, а не сверху. 9.1. Теория Морса для времениподобных геодезических В этом разделе мы дадим подробное доказательство теоремы Морса об индексе для времениподобных геодезических в произ- вольном пространстве-времени. Несколько разных подходов к тео- рии Морса для времениподобных геодезических при различных условиях причинности опубликовано в работах Уленбека (1975), Вудхауза (1976), Эверсона и Толбота (1976) и Бима и Эрлиха (1979в). Здесь мы предлагаем подход, который следует доказа- тельству теоремы Морса об индексе для произвольного риманова многообразия, приведенному в книге Громола, Клингенберга и Мейера (1971, разд. 4.5 и 4.6). Похожее изложение результатов этого параграфа, включая теорему 9.22, дано Бёлтсом (1977). Пусть (М, g) — произвольное пространство-время размерности не меньшей двух. Лоренцеву метрику g всюду в этом разделе будем обозначать через (, ). Будем также предполагать, что все времениподобные геодезические с: [а, b 1 -> М имеют единичную скорость, т. е. (с' (t), с' (/)) = —1 для всех t £ [a, &J. Определение 9.1. Непрерывное отображение У: [а, ТМ называется кусочно-гладким векторным полем вдоль (временипо- добной геодезической) с: [о, если У (t) £ Tc(t)M для всех t £ [о, b 1 и существует конечное разбиение а = < ... <tk = b сегмента [а, й), такое, что У|^. / р 6+11 —> Л'1 —гладкое отображение для каждого i = 0, 1, ..., k — 1. Обозначим через V1 (с) R-линейное пространство всех кусочно-гладких векторных полей У вдоль с, для которых равен- ство {У (t), с' (0) = 0 справедливо при любом t [а, &]. По- 8*
228 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцесых многообразий ложим Vх (с) - |У £ У1- (с): У (а) = У (Ь) = 0} и N (с (t)) = = {и £ TcWM: (и, с' (0) = 0).' Для данного У £ У!- (с) существует конечное множество точек /0 ст (а, Ь), такое, что на [а, Ь]\10 векторное поле У дифферен- цируемо. Построим отображение У': [а, ] -> М, полагая У' (t) — = Уу У (/) для t £ [а, Ь]\10 и доопределяя в точках tt £ /с посредством соотношения У'(6) = Нт У (О- Тем самым У продолжено на [о, b ] по левой непрерывности; однако оно не обязательно непрерывно в точках /0. Замечание 9.2. Поскольку вектор с (/) времениподобен, N (с (t)) представляет собой линейное пространство размерности п — 1, состоящее из пространственноподобных касательных век- торов, и потому множество £ N (с (t)): (у, »}<!} ком- пактно. Определение 9.3. Пусть с: [а, ] -> А4 — времениподобная ге- одезическая. Точки и /2 С Iй, b], Ц =/= называются сопря- женными относительно с, если существует не равное тождественно нулю векторное поле J вдоль с, удовлетворяющее уравнению Якоби J" + R (J, с') с' — 0 и условию J (R) = J (t2) = 0. Здесь J' обозначает ковариантную производную векторного поля J вдоль с, индуцированную связностью Леви-Чивита метрики (,) на многообразии М. Точка R £ (а, Ь) называется сопряженной точкой геодезического сегмента с: [а, Ь] -> М, если точки а и R сопряжены вдоль с. Если же на полуинтервале (а, Ь ] нет точек, сопряженных t = а вдоль с, то говорят, что геодезический сег- мент с не имеет сопряженных точек. Гладкое векторное поле J вдоль с, удовлетворяющее дифференциальному уравнению J" + + 7? (J, с') с' = 0, называется якобиееым полем вдоль с. Определим лоренцеву индексную форму. Определение 9.4. Индексной формой I: V1 (с) X Vх (с) R называется симметрическая билинейная форма, определяемая для любых векторных полей X, У £ У'- (с) соотношением I(X, Y) = -\ba[{X', Y') — (R(X, с') с', Y)]dt. (9.1) Если поле X £ Ух (с) гладкое, то / (X, У) = -(X', У) \ba + [(X" + R (X, с’) с’, У)] dt. (9.2)
9.1. Теория Морса для времениподобных геодезических 229 Таким образом, если У £ EJ (с) и X — гладкое поле, получается формула ЦХ, У) = \'a{X"-\R(X, с') с', У) di, (9.3) связывающая индексную форму с якобиевыми полями. Замечание 9.5. Для данного кусочно-гладкого векторного поля X у Г1 (с) можно выбрать разбиение а = t0 <_ t t < ... < tk = b так, чтобы сужение X | ^+J) было гладким полем для каж- дого t = 0, 1, ..., k — 1. Положим Д/о (X1) = X' (п+), Д/л (X') = —X' (Ь~) и Л/. (X') = lim X' (t) - lim X' (t) t-tf для 4 = 1, 2, ..., k — 1. Применяя равенство (9.2) к каждому интервалу разбиения (^-, /;.н1), нетрудно получить формулу второй вариации / pc n=SLo оч ро. о+К <*"+* (*>с')с’’ r>dt- м В таком виде формула второй вариации приведена в работах Хокинга и Эллиса (1977, с. 108) и Бёлтса (1977, с. 86—87) (см. Чигер и Эбин (1975, с. 21)). Чтобы привести геометрические приложения индексной формы, полезно дать следующее (стандартное) определение. Определение 9.6. Пусть с: la, b] М —гладкая кривая. Вариацией (или гладкой гомотопией) с называется гладкое ото- бражение a: [a, b] X (—е, г) Л1 (е > 0 —некоторое число), удовлетворяющее условию а (i, 0) = с (t) для всех t у [а, Ь]. Вариация а называется собственной, если а (а, s) = с (а) и а (b, s) = с (Ь) для всех s £ (—е, е). Непрерывное отображе- ние а: [a, b] X (—в, е) —> М называется кусочно-гладкой вариа- цией с, если существует конечное разбиение а = t0 < tx < ... < < tj. = b отрезка la, б], такое, что а | lit, /,-+, 1 X (—е, в) суть гладкая вариация с | [tt, для каждого I = 0, 1, ..., k — 1. Если в определении 9.6 положить as (t) = a (t, s), то для гладкой вариации а каждая кривая as: la, b I М является гладкой, и, таким образом, отображение s -> as представляет собой деформацию кривой с в «соседние кривые» as. Если a — кусочно-гладкая вариация, то соседние кривые будут кусочно- гладкими. Если a — собственная вариация, то все соседние кри- вые начинаются в с (а) и заканчиваются в с (Ь). При определении вариаций времениподобных кривых обычно ограничиваются рас- смотрением вариаций, обладающих дополнительным свойством, что
230 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцыых мнсгсобрагий все соседние кривые <xs: [о, b 1 -> М времениподобны. Однако если пользоваться определением 9.6, то это ограничение оказы- вается излишним согласно следующей лемме. Лемма 9.7. Пусть а: [о, Ь] :< (—е, е) -> М. —кусочно-глад- кая вариация времениподобного геодезического сегмента с: [а, й] -> М. Тогда существует положительная постоянная 6, зависящая от а и такая, что соседние кривые as времениподобны для всех s, подчиняющихся условию ] s | < 6. Доказательство. Предположим сначала, что а — гладкая ва- риация. Выберем е1; удовлетворяющее условию 0 < ех < в, а в остальном произвольное. Тогда по определению 9.6 а диффе- ренцируема на компактном множестве [a, b] X [—е1; е11. В силу определения дифференцируемости а продолжается до гладкого отображения открытого множества, содержащего прямоугольник lo, 61 X [—е1; е1]. Так как с —времениподобная геодезическая, то векторы с' (а+) и с (Ь~) времениподобны. Из этого и из возмож- ности продолжения а на открытое множество, содержащее [a, b] X X I—еь е1], вытекает существование постоянной >0, такой, что касательные векторы сц (о+) и a's (b~) к соседним кривым <xs времениподобны для всех s, удовлетворяющих неравенству | s | < <6i- Предположим теперь, что нельзя найти такое 6 > 0, чтобы все кривые as при |s | < S были времениподобны. Тогда мы можем указать последовательность sn —> 0, такую, что кривые <xs не являются времениподобными. Вследствие этого существует после- довательность tn £ [а, Ы, для которой неравенство g (tn), a's 0 справедливо при любом п. Ввиду компактности прямоугольника [«, й] X [—еь е1] у последовательности \(tn, sn)| есть точка накопления (/, s). В силу того что sn 0, точка накоп- ления должна иметь вид (t, 0); при этом из существования вытекает, что t а, Ь. Переходя в неравенстве g (сц (tn), a's (in)) 0, справедливом при любом n, к пределу при п —> оо, получим соотношение g (с (t), с' (/)) 0, которое противоречит тому, что с—времениподобный геодезический сегмент. Таким образом, мы видим, что если а: [а, b ] X (—е, е) —» М — гладкая вариация времениподобной геодезической с: [о, Ь\—>М, то существует положительная постоянная б, такая, что а' (а+) и a,'s (Ь~) — вре- мениподобные векторы, a ач — времениподобные кривые для всех | s| < 6. Пусть теперь а: [а, Ы х (—в, е) -► М — кусочно-гладкая ва- риация времениподобной геодезической с: [a, Ь] -> М. По опре- делению 9.6 найдется конечное разбиение а = t0 < 4 < ... < < = b отрезка [о, й], такое, что а | [4, /;+, 1 х (—е, е) яв- ляется гладкой вариацией кривой с Из предыдущего
9.1. Теория Морса для е>ремениподобных геодезических 231 абзаца вытекает существование постоянной 6; > 0, такой, что для всех s, подчиненных условию |s| < 6Z, касательные векторы a's (tt) и «j (Ди) времениподобны и as | 1/г, /г+1] — времени- подобная кривая. Требуемое 6 получаем, полагая 6 = min (60, 61, 6Й^). □ Замечание 9.8. Для вариаций изотропных геодезических ре- зультата, соответствующего лемме 9.7, не существует (см. опре- деление 9.58 и далее). Теперь индексную форму можно следующим образом связать с вариациями времениподобных геодезических сегментов с: 1«, Ы -* М. Для данного Y ф V,} (с) определим каноническую соб- ственную вариацию а: [о, Ы х (—е, е) -> М геодезической с, положив а (/, s) = expc(z) (sY (/)). (9.5) Прежде всего следует заметить, что так как с ([а, Ы) — компакт- ное подмножество М, а дифференциал экспоненциального отобра- жения ехрр* не имеет особенностей в начальной точке ТрМ для всех р ф Л4, то для данного с ([о, Ы) можно найти е > О, такое, что ехрс w (sY (/)) определено для всех s, подчиненных условию I s | < е, и для каждого I б [а, Ы. Во-вторых, из определения 9.1 вытекает, что a (t, s), определяемое формулой (9.5), является ку- сочно-гладкой вариацией с. Следовательно, для данного Y £ Е (с) в силу леммы 9.7 существует постоянная 6 > 0, такая, что соседние кривые as: I -> a (t, s) времениподобны для всех $, удовлетворяющих условию —6 < s < 6. Пусть а-, [а, b ] х (—е, е) -> М — произвольная гладкая ва- риация с: [о, bl -> М. Определим векторное поле V вариации а как векторное поле V (/) вдоль с, задаваемое формулой = s))|s=0. (9.6) Более точно, пусть d/ds — координатное векторное поле на пря- моугольнике [о, Ь] х (—е, е), соответствующее параметру х. Тогда векторное поле вариации задается формулой V(/) = cc^4-| • (9.7) Для кусочно-гладкой вариации а: [а, Ы х (—е, е)-> М не- прерывное кусочно-гладкое векторное поле вариации получается следующим образом. Пусть а — t0 < /, < ... < th b — раз- биение отрезка [о, Ь], такое, что а | |Д, /,+1 ] > (—е, е) — гладкое отображение для всех i = 0, 1, ..., k — 1. Для данного
232 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий t £ la, b] выберем номер i так, чтобы Ц < t < ti+l, и поло- жим . V (/) = [а | [tt, li+1] X (-е, e)L 1 o Каноническая вариация (9.5) обладает следующим свойством: каждая кривая s -> a (t, s) суть геодезическая s -> ехрс (/) (sY (t)), имеющая при s = 0 начальное направление Y (t). Вследствие этого векторное поле канонической вариации (9.5) есть в точ- ности векторное поле Y PVp (с). Если положить L (s): = L (ccs) = L (i a (t, s')), to L' (0) = = L (s) |s=o = 0 в силу того, что с — гладкая времени- подобная геодезическая, а £" (°) = ДТё L (s) ls=° = 1 Г)‘ <9-8) Таким образом, если I (У, Y) > 0 для некоторого Y £ J/J- (с), то каноническая собственная вариация a (t, s), определенная формулой (9.5), использующей Y, будет выдавать времениподоб- ные соседние кривые as, соединяющие с (а) с с (Ь) и такие, что L (as) > L (с) для достаточно малых s. Итак, если времениподоб- ная геодезическая с: [о, Ь] -> М. максимальна (т. е. L (с) = == d (/?, q)), то индексная форма I: У(|'- (с) >< yj- (с) -> R должна быть отрицательно полуопределенной. Прежде чем доказывать теорему Морса об индексе для времениподобных геодезических, необходимо установить следующую более четкую взаимосвязь между сопряженными точками, якобиевыми полями и индексной формой. Заметим, во-первых, что нулевое пространство индексной формы на Уо (с) состоит из гладких якобиевых полей в Уо (с) и, во-вторых, что с свободна от сопряженных точек на [о, b ] тогда и только тогда, когда индексная форма отрицательно определена на Уо (с). Прежде всего выведем из дифференциального уравнения Якоби простое, но важное следствие. Лемма 9.9. Пусть с [о, Ы -> М — времениподобный геоде- зический сегмент и Y — произвольное якобиево поле вдоль с. Тогда (Y (/), с’ (/)) является линейной функцией /, т. е. (У (/), с' (t)) = = at + р для некоторых постоянных а, р £ R. Доказательство. Вследствие того что с — геодезическая, \jC'C' = 0, и, значит, (У, с'}' = (Y’, с'} + (Y, с") = (Y', с}. Дифференцируя еще раз, в силу косой симметрии тензора Ри- мана—Кристоффеля по первым двум индексам получаем, что (У, с'у = (У", с') + (У', с") = (У", с') = ~{R (У, с’) с', с') = 0.
9.!. Теория Морса для времениподобных геодезических 233 Таким образям, (Y, с') — линейная функция. Следствие 9.10. Если Y — произвольное якобиево поле вдоль времениподобной геодезической с: \а, b] -> М и Y (^) = Y (/2) = = 0 для различных t.z б la, b], то Y б V-' (с). Следствие 9.11. Ea/iuY б У0(с)— полеДкоби, то Y' б VJ(c). Используя теперь каноническую вариацию, мы можем из существо- вания точки t0 G (о, Ь), сопряженной t = а вдоль с, вывести сле- дующий геометрический факт. Предложение 9.12. Пусть времениподобная геодезическая с: [о, bl -> М содержит точку t0 б (fl, Ь), сопряженную 1~а вдоль с. Тогда существует кусочно-гладкая собственная вариация as гео- дезической с, такая, что L (as) > L (с) для всех s 0. Таким, обра- зом, геодезическая с: [а, Ы -> М не максимальна. Доказательство. В силу формул (9.5), (9.8) и леммы 9.7 доста- точно построить кусочно-гладкое векторное поле Y б (с)> удовлетворяющее неравенству I (Y, И) > 0, и взять в качестве а каноническую вариацию, ассоциированную с И. С этой целью поступим следующим образом. Пусть Yx — не равное тождественно нулю якобиево поле вдоль с, подчиненное условию Yr (а) = Yr (4) — 0. Согласно следствию 9.10, Yx б Y-1 (с). Из равенства У^а) = Yr (t0) = 0 в силу следствия 9.11 вытекает, что YI б б V3- (с). А из того, что Yt (t0) = 0 и У1 — не равное тожде- ственно нулю якобиево поле, следует, что YJ (Д) — (ненулевой) пространственноподобный касательный вектор. Обозначим через / ( , )а ограничение индексной формы на сегмент с |[а, ,sj: I(V, W)sa = - W')-(K(V, c')c', W)]dt. Так как Yr — якобиево поле, то из определения 9.4 (формула (9.2)) получаем, что I(Yt, Z)sa = -<y;, Z)|’ (9.9) для любого Z £ V1 (с). Теперь можно построить кусочно-гладкое векторное поле Y б У о (с) так> чтобы I (Y, Y) > 0. Пусть ф: 1а, Ь] -> R — гладкая функция, удовлетворяющая условию ф (а) — ф (Ь) = 0 и Ф (4) = 1- Пусть Zi — единственное гладкое векторное поле, параллельное вдоль с и такое, что Zi (/0) = —YI (/0). Тогда Z = = фZ1 б Уо (с)- Определим однопараметрическое семейство Уе б б (с), полагая ( Л (0 + eZ (/), если а < t с t0, £ ( eZ (t), если t0 < t < b.
234 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий Тогда, используя формулу (9.9), получаем I (YE, Ye) = I (YE, Yja° +1 (YE, Ye}1 = = I(Yi + tZ, Yt-I-sZ)^-Y I(zZ, eZ)l = ’ = / (П, Y^ + 2e/ (YL, Z)fa° + e2/ (Z, Z)'° -J- E2 I (Z, Z)bit = ~--\Y\, -2e(Y;, Z>|^ + e3/(Z, Z). Ввиду того что Yy (о) = (<0) = 0, последнее выражение можно упростить: I(Ye, Ye) = -2e(Y;(/0), 7 (to)) 4- 4 еЧ (Z, Z) = 2е || Y{ (Zo) IP + еЧ (Z, Z). Из того, что Y{ (ф) — (ненулевой) пространственноподобный каса- тельный вектор, и из ограниченности величины I (Z, Z) вытекает существование некоторого е > 0, такого, что I (YE, Y.) > 0. Векторное поле Y = YB, отвечающее этому значению е, является ИСКОМЫМ. □ Обратимся теперь к весьма важному описанию якобиевых полей при помощи индексной формы. Это описание то же, что и для римановых пространств, и с такими же доказательствами. Важно заметить, что индексная форма выделяет якобиевы поля среди всех кусочно-гладких векторных полей в VJ (с), а не только в классе всевозможных гладких полей в J/J- (с)- Предложение 9.13. Пусть с: [a, b] М —времениподобный геодезический сегмент. Тогда для Y £ Иф (с) следующие высказы- вания эквивалентны (a) Y — (гладкое) якобиево поле вдоль с. (б) 1 (Y, Z) 0 для всех Z £ (с). Доказательство. Заметим прежде всего, что (б) непосредст- венно вытекает из (а) вследствие того, что для гладких векторных полей Y и произвольного поля Z индексную форму I можно за- писать в следующем виде: I (Y, 2) = - (Y', Z) £ + J'; (Y" £ R (Y, с') с, 7) dt. Если Y— якобиево поле, то I (Y, Z) = —(Y', Z) |ф Поэтому / (Y, Z) обращается в нуль для любого Z £ V-) (с). Чтобы показать, как из (б) следует (а), заметим сначала, что из того, что с — времениподобный геодезический сегмент и Y £ VJ (с), вытекают равенства (Y', с') = 0 и (Y" + R (Y, с')с', с’) = 0, справедливые во всех точках, где Y дифференцируемо. Вычисляя левосторонние пределы, получаем также, что (Y' (t,), с' (^)) = 0 в конечном множестве точек разрыва а — t0 < < < ... < th = b поля Y. По непрерывности правосторонние пре-
9.1. Теория Морса для времениподобных геодезических 235 делы lim (V' (/), с' (/)) также равны нулю. Следовательно, векторы А, (У'), определенные в замечании 9.5, удовлетворяют соотношению (Az. (У'), с' (6)) = 0- Согласно формуле (9.4) замечания 9.5, индексную форму можно вычислить следующим образом: k 1(У, Z)=S<My,). ^-\ba(Y" + R(Y, C')c, Z)dt. (9.10) i==0 Пусть (p: Io, 5] —> 10, 1 ] — гладкая функция, у которой ср (/„) — = Ф (V = ••• Ф (б,) 0 и ср (/) > 0 во всех других точках. Тогда векторное поле Zt = ср (У" 4- R (У, с') с) лежит в (с) и Zt (/,) = 0 для всех i. Ввиду того что равенство I (У, Z) = 0 предполагается выполненным для всех Z С Уо' (с), из формулы (9.10) получаем 0 = /(Z, Z1) = J>(Ojy" ! R(Y, с')с'Г|Л- Так как Zt — пространственноподобное векторное поле, гладкое, всюду, крометочек t-„ и ср (/) > 0 при t ф то Y" (0 + R (У (<), с' (/)), с' (/) — 0, если t ф \ti}. Таким образом, У — кусочно якобиево поле, и формула (9.10) сводится к следующей: ЦУ, 2) = ^(А<г. (У'), Z (/,•)). (9.11) Вспоминая, что (Y'), с' (/г)^ = 0 для каждого /, можно построить векторное поле Z2 С IV (с)> У которого Z2 (/,) = = А, (У') для i = 1, ..., k — 1. Тогда будем иметь 0 = /(У, Z2)=S||A,.(y')||2. Из того, что все касательные векторы в этой сумме простран- ственноподобны, вытекает, что А, (У') = 0 для i — 1, ..., k — 1. Это означает, что У' не имеет разрывов в точках tt. Вследствие того что для любого t £ [а, b ] существует единственное якобиево поле вдоль с, для которого У (t) = v, У' (f) — w, получаем, что требуемое гладкое якобиево поле получается, если собрать вместе якобиевы поля У| [/г, /(+11. □ Ввиду предложений 9.12 и 9.13 не вызывает удивления тот факт, что отрицательную определенность лоренцевой индексной формы следует связывать с отсутствием сопряженных точек в точ- ности так же, как положительная определенность римановой индексной формы гарантируется отсутствием сопряженных точек
236 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий (Громол, Клингенберг и Мейер (1971, с. 164)). Отрицательная по- луопределенность индексной формы в отсутствие сопряженных точек доказана Хокингом и Эллисом (1977, лемма 4.5.8). Бёлтсом (1977, предложение 4.4.5) и Бимом и Эрлихом (1979в, с. 376) было замечено, что отрицательная определенность индексной формы в отсутствии сопряженных точек «алгебраически» вытекает из полуопределенности так же, как и в доказательстве положи- тельной определенности для римановой индексной формы. Чтобы привести доказательство отрицательной полуопределенности ло- ренцевой индексной формы в отсутствие сопряженных точек, нам необходимо получить лоренцевы аналоги нескольких важных результатов из римановой геометрии (см. Громол, Клингенберг и Мейер (1971, с. 151, 155 158)). Для удобства конструирования якобиевых полей полезно вве- сти некоторые обозначения для отождествления касательного пространства Tv (ТрМ) с самим ТрМ при помощи «параллельного переноса в ТрМ». Определение 9.14. Для любых заданных р £ Л4 и v £ ТрМ касательное пространство Tv (ТрМ) к касательному пространству ТрМ. в v задается по правилу TV(TPM) = {4>W-. Р.-+ТрМ\, где <Pw (О = V + tw. Тогда Tv (ТрМ) интуитивно можно отождествить с ТрМ путем отождествления образа отображения <р,„ в ТрМ с вектором w. Более формально, пусть на R задана стандартная карта много- образия: х (г) = г для всех г £ R, т. е. х = id. Тогда д/дх — векторное поле на R. Поскольку <p,„: R -> ТрМ и <pw (0) = v, имеем фи,*: T0R -> Tv (ТрМ). Теперь можно дать следующее определение. Определение 9.15. Канонический изоморфизм ТрМ -> Tv х X (ТрМ) задается по правилу tv (w) : = <p„,. |о = <р' (0), где Ф,с. (t) = v + tw. В частности, пусть v = 0J( — нулевой вектор в касательном пространстве ТрМ. Тогда <р(Л: R -> ТрМ — кривая (/) = tw в То (ТрМ), и мы получаем, что т0 (и) = <рш. Поэтому То (ТрМ) часто канонически отождествляют с самим ТрМ, не делая разли- чия между вектором £ ТРМ и отображением <р,„. Если р £ М
9.1. Теория Морса для времениподобных геодезических 237 и о Е ТРМ, то по определению дифференциала получаем для экспоненциального отображения ехрр: ТрМ -> М следующее правило: ехрр*: Tv(TpM)-+TexPpil)M. В частности, для v = 0р имеем ехрр*: ТОр(ТрМ)-^ТрМ, ввиду того что ехрр (0р) = р. Если Ь = т0 (и) £ То (ТрМ), а отображение <p: R -> ТрМ определено по правилу <р (/) == tv, то ехрр* (Ь) = ехрр* («р^д/дх |0), где д,дх -стандартное базис- ное векторное поле для MR, определенное выше. Тем самым по- лучим exp,,. (Ь) = (ехрр. о Ф J (JL |о ) = (ехрр о <p)* |q ) = = ~ЗГ^-^ ехРг (fo)) k=o = v. Откуда ехрр о tv = id?- м. Этот факт просто устанавливает, др р что «дифференциал экспоненциального отображения в начальной точке пространства ТрМ является тождественным отображением». Следующее предложение показывает, как дифференциал экспо- ненциального отображения можно использовать для построения якобиевых полей. Предложение 9.16. Пусть с: [0, bl -> М — геодезическая, у ко- торой с (0) = р, и вектор w С ТрМ произволен. Тогда единствен- ное якобиево поле J вдоль с, удовлетворяющее условиям J (0)=0 и J' (0) = w, задается по формуле J (t) = ехрр* (tticr (0)а>). Доказательство. Пусть v = с (0). Можно указать е > 0 так, чтобы была определена гладкая вариация а: [0, Л] х (—е, е)-> -> М геодезической с: 10, Ы -> М, задаваемая посредством фор- мулы а (/, s) = ехрр (t (v + su>)). Из того, что это вариация кри- вой с, у которой «-параметрические кривые s) являются геодезическими, вытекает, что векторное поле вариации для этой деформации якобиево. Вследствие того что и.Д)/дн | (Z, ь) = = ехрр* (tz (v+su,) (u>)), векторное поле вариации есть в точ- ности J (/) = ехрр* (TZlJte>) = ехрр* (/т<оцу). Ввиду того что а (0, s) = = с (0) для всех s, имеем J (0) — 0; путем прямых вычислений получаем второе соотношение J' (0) = w (см. Громол, Клинген - берг и Мейер (1971, с. 151)). □ Как и в римановой теории, теперь при помощи предложения 9.16 возможно доказать лемму Гаусса. Но сначала необходимо
238 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий ввести на Tv (ТрМ) естественное скалярное произведение (( , )), используя для этого заданную на ТрМ лоренцеву метрику ( , ) и канонический изоморфизм. Определение 9.17. Скалярное произведение (( , )): Tv(TgM) х X Tv (ТрМ) -> R, ассоциированное с лоренцевой метрикой ( , ) для М задается по правилу {(а, Ь}) = (т~'(о), т;'(Ь)) для любых а, b £ Т„ (ТРМ). Теперь мы готовы доказать следующее утверждение. Теорема 9.18. (лемма Гаусса). Пусть v С ТрМ— касатель- ный вектор в области определения экспоненциального отображе- ния и а: = tv (f) С Tv (ТрМ). Тогда для любого b (Т1: (ТрМ) имеем ((a, b)) — (ехрРе a, expPt b). (9.12) Таким образом, экспоненциальное отображение является «.ра- диальной изометрией'». Доказательство. Если ф (t) — tv, то а = ф' (1). Если с — геодезическая, с (t) = ехрр (tv) = ехрр о ф (t), тоехрРео = с (1). Положим w: = т;1 (Ь) £ ТРМ. Пусть Y — однозначно опреде- ленное якобиево поле вдоль с, у которого Y (0) = 0 и Y' (0) = w. Согласно предложению 9.16, мы знаем, что Y (t) — ехрР), (tTtlpL’). В частности, Y (1) = ехрР. (тгщ) ~ ехрР. (b). Из определения 9.17 получаем, что ((а, Ь)) = (т;1 (а), т“’ (Ь)) = = (v, w). Следовательно, лемма Гаусса будет доказана, если мы покажем, что (v, w) = (с' (1), Y (1)). Но по лемме 9.9 функ- ция / (t) = (с (t), Y (t)) — at + р для некоторых постоянных а, р С R. Из того, что Y (0) = 0, вытекает, что р = 0 и f (t) — = tf (0) = t (с (0) Y (Q)) = t (v, w). В частности, (с' (1), Y (1)) — = f (1) = (у, w), как и требовалось. □ Лемма Гаусса имеет интересные геометрические следствия. Доказательство этих следствий, которые можно провести в полной аналогии с соответствующими доказательствами Громола, Клин- генберга и Мейера (1971, с. 156—159) (см. Бёлтс (1977, с. 75—77), будут опущены. У Пенроуза (1972а, с. 53) вместо леммы Гаусса используется синхронная координатная система. Следствие 9.19. Пусть U—выпуклая нормальная окрест- ность в М, а с: [0, 11 -> U — направленный в будущее времени- подобный геодезический сегмент, идущий из р = с (0) в q = с (1) в U. Тогда если (3: [0, 1 I -> U — любая направленная в будущее времениподобная кусочно-гладкая кривая из р в q, то L (р) < с L (с) и L (Р) < L (с), если р нельзя получить из с перепараме- тризацией.
9.1. Теория Морса для времениподобных геодезических 239 Основная идея доказательства состоит в том, что ввиду вы- пуклости U кривые Рис можно поднять до лучей р: [0, 11 -> ТРМ, с: [0, 1 ] т* ТрМ, где с (/) = tc (0). Затем для сравнения Р' = = ехр,,, о Р и с' = ехрр# о с, а следовательно, и длин кривой Р и геодезической с можно применить лемму Гаусса. Другая формулировка следствия 9.19, также приведенная у Бёлтса (1977, с. 75—77)), такова. Следствие 9.20. Пусть v £ ТрМ — времениподобный каса- тельный вектор в области определения ехр;, и ф: [0, 11 -> ТрМ, Ф (t) = tv, — кривая. Пусть далее ф: [0,. 1 J -> ТРМ — кусочно- гладкая кривая, такая, что ф (0) = ф (0), ф (1) = ф (1) и ехрр о оф: [0, 1 ] -> М является направленной в будущее непростран- ственноподобной кривой. Тогда L (ехр о ф) с L (ехр о <р) и, более того, L (ехр о ф) < L (ехр о <р) при условии, что существует t0 £ (0, 1), для которого компо- нента b вектора ф' (/0), ортогональная вектору (ф (/0))/1| Ф (10)||, не переводится в нуль отображением ехр,,,. Теперь мы подготовлены к тому, чтобы показать, что если времениподобный геодезический сегмент с не имеет сопряженных точек (вспомните определение 9.3), то длина сегмента с является локальным максимумом. Предложение 9.21. Пусть с. [о, Ы -> М — направленный в бу- дущее времениподобный геодезический сегмент без сопряженных точек и а: [о, Ы х (—е, е) -> М — любая собственная кусочно- гладкая вариация сегмента с. Тогда существует положительная постоянная б > 0, такая, что соседние кривые а,,: [а, б] -> М, задаваемые по правилу ач (/) = ос (t, s), удовлетворяют неравен- ству L (as) < L (с), справедливому для всех s, подчиненных усло- вию | $ | < б. Если же 0 < | s [ < б и кривую as нельзя получить из с простой перепараметризацией, то L (ccs) < I. (с). Доказательство. Перепараметризуем сс в вариацию а: [0, р I х X (—е, е) -> М. Согласно лемме 9.7, найдется г, > 0, такое, что все соседние кривые ccs вариации а | [0, Р I х (—elt ej вре- мениподобны. Поэтому можно ограничить внимание рассмотре- нием сс | [0, р] х (—Bi, ej). Положим р = с (0). Пусть <р: [0, р 1 - > ТрМ — луч ф (/) = = tc' (0). Ввиду того что у с нет сопряженных точек, ехрр имеет в <р (/) £ ТрМ максимальный ранг для любого t £ [0, $ ]. По теореме об обратной функции существует окрестность точки ф (/) в ТрМ, которую ехрр диффеоморфно отображает на окрестность точки с (/) в М. В силу того что ф ([0, pi) компактно в ТрМ, Можно найти конечное разбиение 0 == t0 < tx < ... < th = р
240 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий и окрестность гэ ф ([//, /;+1]) в ТРМ, где j = 0, 1, k — 1, такую, что hj = ехрр | Uf. Uj -> М является диффеоморфизмом окрестности Uj на ее образ. По непрерывности можно найти по- стоянную бу > 0, для которой а ([(,-, /у+1|) х (—6/, бу) (ехрр([/,), где j = 0, 1, k — 1. Положим б = min {бп бй|. Кусочно-гладкое отображение Ф: [0, [Их (—б, б) -> ТрМ, удовлетворяющее условиям ехрр о Ф = сс и Ф (/, 0) = <р (/) для всех t С [0, [j 1, можно определить теперь следующим образом. Для данной пары (t, s) £ [0, Р I х (—б, б) выберем / так, чтобы t £ O+i Ь и положим Ф (/, х) = (hj)-1 (a (t, s)). Следствие 9.20 позволяет утверждать, что L (ач) = L (ехрр о о Ф) < L (ехрр о <р) = L (с) для каждого х, удовлетворяющего условию |х | < б, причем равенство имеет место лишь в том слу- чае, когда ccs — перепараметризация кривой с. □ При помощи предложения 9.21 можно показать, что отрица- тельная определенность индексной формы на Ц,' (с) эквивалентна допущению, что с не имеет на [а, b I точек, сопряженных t = а вдоль с. Теорема 9.22. Для направленного в будущее времениподобного геодезического сегмента с: [a, b I -> М следующие высказывания равносильны-. (а) с не имеет на (а, Ы сопряженных, точек. (б) /: У± (с) х К) -> R отрицательно определена. Доказательство, (а) => (б) Предположим, что в Уо]- (с) суще- ствует Y ф 0, для которого I (У, Y) > 0. Пусть a (t, s) = ехрс (/) ,< у (хУ (0) — каноническая вариация, ассоциированная с У. Тогда L' (0) = 0, L" (0) = I (У, У) > 0, так что для всех достаточно малых s =Д 0 выполняется неравенство L (as) > L (с). Но это противоречит предложению 9.21. Следовательно, I (У, У) с 0, если У 0, так что индексная форма отрицательно полуопре- делена. Остается показать, что если У t (с) и (У* У) = то У = 0. Возьмем для этого произвольное Z С V(,L (с). Согласно замечанию 9.2, У — tZ (- (с) для всех 1 £ R. Значит, I (У — — tZ, У — tZ) < 0 для всех t £ R вследствие уже установлен- ной выше отрицательной полуопределенности индексной формы. Из равенства I (У — tZ, У — tZ) = —2tl (У, Z) + t2I (Z, Z) вытекает, что I (У, Z) = 0. Так как Z было взято произвольным, то отсюда, применяя предложение 9.13 (б), получаем, что У — якобиево поле. Ввиду того что с свободна от сопряженных точек, имеем У = 0. (б) => (а) Предположим, что У — якобиево поле, удовлетво- ряющее условию У (а) = У (^) — 0, а < < b. Согласно след-
9.1. Теория Морса для времениподобных геодезических 241 ствию 9.10, Y £ V1 (с). Продолжим Y до нетривиального вектор- ного поля Z £ V0L (с), полагая I Y (I), если а с/с/,, Z(Z) = { 0, если t^t^b. Тогда / (Z, Z) = I (Z, Z)*a + I (Z, Z)htl = -<Z, Z> £ + 0 = 0. □ Следствием из теоремы 9.22, весьма существенно используе- мым при доказательстве теоремы Морса о времениподобном ин- дексе, является нижеследующее свойство максимальности якобие- вых полей относительно индексной формы для времениподобных геодезических без сопряженных точек. Этот результат двойстве- нен минимальности якобиевых полей по отношению к индексной форме для геодезических без сопряженных точек в римановых многообразиях. Теорема 9.23 (максимальность якобиевых полей). Пусть с: [cz, b 1 -> Л4 — времениподобный геодезический сегмент без со- пряженных точек и J С Vх (с) — произвольное якобиево поле. Тогда для всякого векторного поля Y (- V1 (с), отличного от J и такого, что Y (о) = J (a), Y (b) = J (Ь), (9.13) выполняется неравенство I (J, J) > 1 (У, У). (9.14) Доказательство. Векторное поле W = J — Y б \Д(с) по условию (9.13), и W 0, так как по предположению У + J. Тогда, согласно теореме 9.22, имеем / (W, W) < 0. Вычисляя I (W, W), получаем, что I(W, W)~I(Y, Y) — 2I(J, У) (-/(+ J) = = I(Y, У) | 2(+, У) С-(Л /)£ Ввиду того что У (а) = J (а) и У (/?) = J (Ь), имеем (/', У)|д = = (J', J) £ Таким образом, I(W, W)~I(Y, У) + 2(+, Т)|^-(Г, Т)|> = = 1 (У, У) + (J', J)\ba = I (У, У) - I (J, J). Так как I (W, W) < 0, то требуемое неравенство (9.14) дока- зано. □ Теперь после того, как доказана теорема 9.23, можно присту- пать к рассмотрению теоремы Морса об индексе. Но сначала нам нужно определить индекс для произвольной времениподобной гео- дезической с: [cz, b] Л4. Приводимое ниже определение имеет смцсл ввиду того, что Уог (с) — линейное пространство.
242 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий Определение 9.24. Квазииндекс Ind0 (с) и индекс Ind (с) вре- мениподобной геодезической с: [cz, b] -> М определяются следу- ющими правилами: Ind0 (с) = sup {dim А: А — линейное подпространство про- странства VJ- (с) и форма I | А х А положительно полуопре- делена} и Ind (с) = sup {dim А: А — линейное подпространство про- странства 1Д(с) и форма / | А х А положительно определена}. Через Jt (с) будем обозначать R-линейное пространство глад- ких якобиевых полей Y вдоль с, подчиненных условию Y (а) = = Y (7) = 0, а < I с Ь. В предложении 9.25 мы установим связь между Ind (с) и Ind0 (с) и докажем их конечность. Решающую роль в доказатель- стве этого предложения играет максимальность якобиевых полей относительно индексной формы для времениподобных геодезиче- ских без сопряженных точек. Основные идеи, положенные в основу доказательства предложения 9.25 и теоремы 9.27, восходят к Морсу (1934). Предложение 9.25. Пусть с: [о, b] -> М — направленный, в бу- дущее времениподобный геодезический сегмент. Тогда индекс Ind (с) и квазииндекс Ind0 (с) конечны и Ind0 (с) = Ind (с) + dim Jb (с). (9.15) Доказательство. Применим стандартный метод аппроксимации пространства 1/,L (с) конечномерными линейными пространствами кусочно-гладких якобиевых полей. Возьмем для этого конечное разбиение а = t0 < tr < ... < th = b так, чтобы с | \tt, /г+1] не имела сопряженных точек для каждого I, удовлетворяющего условию 0 с i < k — 1. Обозначим через J \tt\ подпространство пространства 1Д (е), состоящее из всех Y £ V„L (с), таких, что Y | 11,, — якобиево поле, где 7 = 0, 1, ..., k — 1. Из того, что с | [7г, /;+1] не содержит сопряженных точек, выте- кает, что для любого i dim J {/,} (/z — 1) (k — 1). Аппроксимацию ср: (е) -> J {/z-} пространства Vo' (e) под- пространством J {t-Д определим следующим образом. Пусть X £ (с). Для каждого I, подчиненного условию 0 с 7 с k— 1, построим (единственное) якобиево поле (<рХ) | [th 7г+11 вдоль с I ti+i L удовлетворяющее условиям (<рХ) (7Z) = X (Ц) и (<рХ) (^+i) = X (7г-+1). Тем самым X аппроксимируется ку- сочно-гладким якобиевым полем <рХ, у которого (<рХ) (7г) = = X (ti) для каждого 7г, 0 с 7 с k. Эта аппроксимация полезна еще и тем, что ср не уменьшает индекса. Более точно, <р | J яв- ляется тождественным отображением, так что I (X, X) = / (<рХ, фХ), если X J {ti\ С Другой стороны, если X J {/г{, то I (X, X) < I (фХ, фХ), (9.16)
9.1. Теория Морса для времениподобных геодезических 243 в чем легко убедиться, применив теорему 9.23 к каждому частич- ному сегменту разбиения и просуммировав полученные неравен- ства. Следующее вспомогательное утверждение показывает конеч- ность индекса Ind (с) и квазииндекса Ind0 (е) и позволяет при вычислении этих индексов заменять (с) на J \tt\. Лемма 9.26. Пусть Indo (с) и Ind' (с) —соответственно ква- зииндекс и индекс формы I | J \tt\ у J Тогда Ind0 (с) = Ind6 (с), Ind (с) = Ind' (с). Следовательно, Ind0 (с) и Ind (е) конечны. Доказательство. Вследствие единственности якобиева поля J вдоль [1г-, удовлетворяющего условиям J (1г) = v и J (/г+1) — w, легко видеть, что отображение ср: У,' (с) -> J \tt\ является R-линейным, т. е. если Xt, Х2 С (с) 11 а, 0 С R, то <р (ссХ1 + РХ2) = а<р (X,) + Р<р (X,). Поэтому <р отображает линейное подпространство пространства Ц- (с) в ли- нейное подпространство пространства J \tt}. Чтобы убедиться в справедливости леммы, покажем сначала, что если А — подпространство пространства (с), на котором форма I | А х А положительно полуопределена, то отображе- ние (р | А х А: А х А ->• J {ti} инъективно. Пусть X £ А и (р (X) = 0. Если X £ J \ti\, то (р (X) = X, и, следовательно, X “ 0. Если же X J то, согласно формуле (9.16), / (ср (X), <р (X)) > / (X, X). Тем самым условие tp X = 0 приводит к не- равенству 1 (X, X) < 0, которое противоречит положительной полуопределенности формы / | А у. А. Таким образом, если срХ = = 0, то X = 0. Теперь, зная, что отображение <р инъективно на тех подпро- странствах пространства V'J (с), где форма / положительно полу- определена, можно завершить доказательство леммы. Пусть А — подпространство пространства V'(; (е), на котором форма I \ А у А положительно полуопределена. Тогда из неравенства (9.16) по- лучаем, что индексная форма пространства J {I,} является по- ложительно полуопределенной на подпространстве ср (Л) cz J {С\. Вследствие того что <р инъективно на каждом таком подпростран- стве (см. выше), получим равенство dim А = dim (р (Л). Значит, Indo (с) Ind0 (с). С другой стороны, из того, что J является линейным подпространством (е), имеем Ind' (с) с Ind0 (с). Тем самым Ind0 (с) = Indo (с)- Те же самые доводы показывают, что Ind (с) = Ind' (с). Чтобы завершить доказательство предложения 9.25, мы должны Установить справедливость равенства Ind0 (с) = Ind (с) + + dim Jb (с). Возьмем для этого второе разбиение а = s0 < <_...
244 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий <sm = b так, чтобы {sv .... П tk_i\ = 0 и с I si+il не имела сопряженных точек для каждого i, удов- летворяющего условию 0 < i < m — 1. Обозначим через J линейное подпространство VJ- (с), состоящее из всех векторных полей Y, таких, что Y | [хг, д+1| — якобиево поле для каждого i = 0, 1, ..., т — 1. Из того, что разбиения jsf} и различны, за исключением точек а = s0 = t0 и b = sm = th, вытекает, что J П J {st\ = Jb(c), где через Jb (с) обозначено линейное пространство всех (гладких) якобиевых полей J вдоль с, подчиненных условию J (а) = J (Ь) = = 0. Согласно следствию 9.10, имеем Jb (с) cz V'J (е). Кроме того, если X £ J но X Jb (е), то в силу неравенства (9.16) получаем I (X, X) < I (<рХ, <рХ). (9.17) Применяя доказательство леммы 9.26 к разбиению (s,) отрезка [а, Ь], выберем линейное подпространство Bq пространства J {sf-} так, чтобы форма / | Во х Во была положительно полу- определена и Indo (с) ~ dim Bq. Из того, что dim В’о = lnd0 (с) < < оо, вытекает, что Jb (с) является линейным подпространством Во. Согласно неравенству (9.17), в соответствии с доказательством леммы 9.26 отображение ф | Во: Bo-^J инъективно. Поэтому, положив Во ф (Bq), получаем, что dim Во= = dim Во = Ind0 (с)- Так как Во — конечномерное линейное пространство и Jb (с) — его подпространство, то можно указать линейное подпространство В пространства Во, такое, что Во = = В @ Jb (с), где знак @ обозначает прямую сумму линейных пространств. Покажем теперь, что форма I \ В у. В положительно опре- делена. По построению известно, что форма / I Во > Во положи- тельно полуопределена. Далее, представляя 0 Z Q В в виде Z = Ф (X), где X £ Во, заключаем, что X Jb (с). (Если X £ G Jb (с), то ф (X) = X, так что Z = ф (X) = X £ Jb (с); послед- нее невозможно ввиду того, что по построению В f) Jb (с) = = (0).) Следовательно, I (Z, Z) = I (фХ, <рХ) > I (X, X) (пос- леднее неравенство получаем согласно формуле (9.17)). Ввиду того что форма I | Bq х Во положительно полуопределена, полу- чаем, что I (Z, Z) > I (X, X) Хэ 0, так что I (Z, Z) > 0. Это рас- суждение показывает, что форма / | В х В положительно опре- делена. В обозначениях леммы 9.26 имеем Ind' (с) dim В. Из разложения Во в прямую сумму Во — В @ Jb (с) полу- чаем равенство Ind0 (е) = dim Во = dim В + dim Jb (с);
9.1. Теория Морса для времениподобных геодезических 245 и, кроме того, известно, что Ind' (с) Дэ dim В. Поэтому доказа- тельство предложения 9.25 будет завершено, если мы покажем, что Ind' (с) < dim В. Чтобы установить это неравенство, предположим, что В' cz J {ti\ — линеное подпространство, для которого форма / | В' х В' положительно определена и dim В' = Ind' (с). До- пустим, что dim В’ > dim В. Тогда форма / положительно полу- определена на В' @ Jb (с), так что dim (В' @ Jb (е)) < Ind0 (с). С другой стороны, вследствие неравенства dim В’ > dim В по- лучаем, что dim (В' @ Jb (е)) > dim (6 @ Jh (с)) = Ind0 (с). Это противоречие показывает, что dim В' с dim В. Откуда Ind' (с) х dim В, как и требовалось. □ Теперь мы подготовлены к тому, чтобы доказать теорему Морса об индексе для времениподобных геодезических сегментов. Доказательство, которое мы здесь приведем, основывается на доказательстве Громола, Клингенберга и Мейера (1971, с. 168— 171) для римановых пространств. Теорема 9.27 (теорема Морса о времениподобном индексе). Пусть с: [п, b] -> М — времениподобный геодезический сегмент. Обозначим через Jt(c), t О [о, Ь], R-линейное пространство гладких якобиевых полей Y вдоль с, удовлетворяющих условию Y (а) = Y (Ь) = 0. Тогда 1) число сопряженных точек геодези- ческой с конечно и 2) индекс Ind (с) и квазииндекс Ind0 (с) формы I- (с) х YJ- (с) -> R вычисляются по формулам Ind (е) = У dim Jt (с) t € (а, ft] Indtl (с) = Zj dim Jt (c) t € (a, (9.18) (9.19) соответственно. Доказательство. Покажем, что сумма (о ч dim Jt (с) ко- нечна. Мы знаем, что dim Jt (с) 1 тогда и только тогда, когда точка с (I) сопряжена I = а вдоль с. Вложения i - (с) можно определить для каждого t 0 [с, t» 1 при помощи формул i(Y) (s) K(s) для 0 для t х s < b. Ясно, что dim Jt (с) = dim i (Jt (с)) для любого t 0 (fl, b ].
246 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий Напомним, что, согласно предложению 9.25, индекс Ind0 (с) конечен. Тем самым, для того чтобы показать, что у с лишь ко- нечное число сопряженных точек, достаточно убедиться в том, что если [t-t, ..., th} —любое множество попарно различных точек, сопряженных t = а вдоль с, то k < Ind0 (с). Положим Aj = i (Jt. (с)), где t = 1, 2, ..., k. Тогда А - ЛА @ ® Ah является линейным подпространством E0L (с), и, раскладывая Z £ А в сумму Z = Ef=iZjZj, где Zj £ Е, Z7- £ Aj, получаем, что I (Z, Z) = gKjKjI (Zj, Z,). Если tj < th то, используя фор- мулу (9.2), включение ZL t At и равенства Zj (а) = Zj (t,) —- О, получаем, что / (Zj, Z,) = I (Zj, Z^ i~ I (Zj, Z^ = Z-) + I (0, Zz)/; = 0. В силу симметричности индексной формы I (Z, Z) = 0. Поэтому форма I\A X А положительно полуопределена. Следовательно, k < dim А = dim Лг I— •+ dim Ah < Ind0 (c), как и требовалось. Таким образом, с: [о, 6 ] -> М имеет лишь конечное число сопряженных точек. Обозначим их через tL < <4 <---<tr, tm £ (a, b(. Для всех t £ (a, b], кроме t £ 6 Ki, t2, ..., tr\, имеем dim Jt (c) = 0, и поэтому сумма У! dim Jt (с) конечна. (о. /.] Ввиду того что, согласно предложению 9.25, Ind0 (с) = == Ind (с) + dim Jb (с), для доказательства теоремы 9.27 доста- точно установить справедливость равенства Ind0 (с) = Е dim Jt (zj. (9.20) t£(a. fc] Обозначим через Z, как обычно, множество целых чисел с диск- ретной топологией и определим отображения f, f0: (a, &]->Z по правилам f (/) = Ind (с | [0, /1) и /0 (0 = Indo (с | [0, О). Покажем, что соотношение (9.20) будет выполнено, если отобра- жение f непрерывно слева, а отображение f0 непрерывно справа, т. е. z / (Zn) = f (t), lim(j) p /0 (tn) = f0 (t). Из соотноше- ния (9.15) вытекает, что f (t) —f0 (t) = —dim Jt (c) = 0, если t {/j, ..., tr\. Допуская, что f непрерывно слева и f0 непрерывно справа, имеем также, что f (/,+i) = f0 (tj) для любого / = 1,2, ... .... г — 1. Тем самым Е dim Jt (с) = Е [fo(0 /(01 = / (а, /<| t (а, Л] г -%(f0(h)~f(ti)]=fn(tr)~f(tl)-
9.1. Теория Морса для времениподобных геодезических 247 Согласно теореме 9.22, индексная форма отрицательно определена в том случае, если с свободна от сопряженных точек, так что f (/) = 0 для всех t < tx. Отсюда в силу непрерывности / слева получаем, что f = 0. Поэтому (О, ч dim Jt (с) = f0 (t,.). Из того, что постоянно на ЦГ, 61, имеем f0 (Q = f0 (6). Следова- тельно, Е dim Л (с) = f0 (tr) = f0 (b) = Ind0 [ [о. И). t £ (a. b] что и доказывает равенство (9.20). Таким образом, доказательство теоремы Морса об индексе свелось к установлению непрерывности отображения f слева, а отображения f0 справа. Заметим прежде всего, что функции [ и /о являются неубывающими (т. е. f (/) f (s), f0 (t) 5» f0 (s), если / s). Зафиксируем для этого tlt t2 E (a, b], tr c t2. Пусть Ci = c| [0, El и c2 = c| [0, /2]. Вложение i: VJ- (c2), за- даваемое формулой ( Y(t\ для a < t Л, о для 4^4, R-линейно. Это отображение обладает следующим свойством: I (Y, Y) = I (i (Y), i (У)), где индексы вычисляются относительно Cj и с2 соответственно. Поэтому, если A cz Ц' (ci) — линейное под- пространство, на котором индексная форма геодезической сх положительно (полу)определена, то i (Л) —линейное подпро- странство пространства Е,,1 (сг)> на котором индексная форма гео- дезической с2 положительно (полу)определена и dim А = = dim i (Д). Тем самым f (/х) = Ind (с| (0, Ixl) < Ind (c| [0, I21) = = f (t2). Неравенство f0 (ZJ < f0 (t2) доказывается аналогично. Таким образом, /0 и f не возрастают. Чтобы исследовать свойства непрерывности функций f и f0, зафиксируем произвольное I Е (а, b ] и изучим непрерывность f и /0 в ?, используя тот же прием аппроксимации, что и в доказа- тельстве леммы 9.26. Из того, что с ([tz, b ]) — компактное подмно- жество многообразия Л1, вытекает существование положитель- ной постоянной 6 > 0, такой, что для любых s2 Е (о, 6], связан- ных соотношениями | sx —s2 | < 6hsx < s2, геодезический сегмент с| fsi, s2l свободен от сопряженных точек. Выберем разбиение а = t0 < < ... </ь = t так, чтобы | tt — ti+l | < 6 для лю- бого i=0, 1, ..., k — 1. Пусть J cz [а, Ь] —открытый проме- жуток, содержащий ?, для всех точек t которого выполняется не- равенство —th_L j <6. Обозначим через J (ct) конечномерное R-линейное подпространство V(^(c|[0, fl), состоящее из всевоз- можных векторных полей Y, которых Y | ], где / = == 0, 1, ..., k —2, и Y j [//.j, t] —якобцевы поля. Согласно
248 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий лемме 9.26, f (t) равно индексу формы I, ограниченной на J (ct) X J (ct), a f0 (/) — квазииндексу формы I, ограниченной на J (ct) X J (ct). Положим Е = N (с (/г)) X • • • X N (с (4-1))- Множество Е замкнуто вследствие того, что каждое N (с (/,)) = (у Е TC(Z.)A4: (у, с (ti)) = 0) является замкнутым подмножеством простран- ственноподобных касательных векторов. Полагая ({v, w)) = = для v = (vlt .... оь_!), w = (wlf ..., wk_!) £ E, определяем евклидову метрику произведения (( , )): Е X E->R. Тогда, согласно замечанию 9.2, S = {и С Е: [|vj| = 1} компактно. Если Y £ J (ct), то по определению имеем Y (0) = Y (/) = 0. Ввиду того что с | [th ti+11 не содержит сопряженных точек, для любых v £ N (с (t})) и w С N (с (ti+l)) существует единственное якобиево поле Y вдоль с, удовлетворяющее условиям Y (tt) = v и Y (ti+1) = w. Так как <TZ, с') |t является линейной функцией переменной t и (v, с' (tt)) = (w, с’ (ti+1)) = 0, то (Y, с') |z = 0 для всех t. Следовательно, отображение <р(: J (ct)~+E, определенное для / С J по правилу <Р4(У) = (^(4), У(^!)), является изоморфизмом. Для каждого t P.J квадратичная форма Qt: Е X Е -> R определяется следующим образом: Qt (и, v) = = I (qT1 (и), <рД (и)). Согласно лемме 9.26, для каждого t С J f0 (t) равно квазииндексу квадратичной формы Qt на Е X Е, a f (t) — индексу квадратичной формы Qt на Е X Е. Определим отображение Q : EX Е X J -> R, применяя по- строенную выше форму Qt: Q (и, v,t ) — Qt (и, v). Чтобы доказать объявленные выше свойства непрерывности отображений / и f0, убедимся сначала в том, что непрерывно отображение Q. Поло- жим В = {У| [0, Y С J (чЙ- Множество В изоморфно Е; соответствующий изоморфизм <у. В -> Е задается по правилу т (П = (У .... у Тогда Q (и, v, t) = I (<рД (и), <рД (v)) = I («р-Д/, cp^v) - (Хи, t, Y'v, где t и YV)t — якобиевы поля вдоль с: t = ЧТ1 (и) I ltk-ъ Л И yv, t = (v) | П-
9.1. Теория Морса для времениподобных геодезических 249 Вследствие того что отображение (и, п) -> / (ф'1 (и), ф-1 (у)), переводящее Е X Е в Е, является билинейной формой, полу- чаем, что отображение (и, v,t) -> / (<р-1 (и), Ф-1 (о)) безусловно непрерывно. Согласно предложению 9.16, отображение (и, v, t) -> -> (Xu, t, Vi, |i также непрерывно. Тем самым непрерывность отображения Q: Е X Е х J -> R установлена. Наконец, мы готовы показать, что функция f0 непрерывна справа, а функция f непрерывна слева для любого i Q (а, b ]. Ввиду того что отображение /, согласно лемме 9.26, является конечнозначным, можно выбрать подпространство А пространства Е, у которого dim А = f (?) и Q (и, и, I) > 0 для всех и £ А, и 0. Так как Q: Е X Е х J R непрерывно, a S = \и Q £ А: || и || = 11 компактно, то в J существует окрестность Jo точки I, такая, что Q (и, и, /) > О для всех t Q Jo и и £ S. Следо- вательно, форма Qt | А X А положительно определена для лю- бого t С То. Тем самым f (?) Хэ f (I) для всех t £ Jo- Из того, что функция f неубывающая, вытекает, что f (?) = f (I) для всех t £ С Jo, подчиненных условию / < /. Таким образом, функция / непрерывна слева. Остается показать непрерывность /0 в I справа. Пусть {sn| — последовательность в J, такая, что sn > t для всех п и sn -> t. В силу того что /о не убывает и принимает только целые значения, можно считать, что /0 (sn) = k Для всех п. Тогда вследствие моно- тонности функции /о имеем f0 (I) < k. Поэтому остается показать, что /0 (?) k. Чтобы убедиться в этом, выберем для каждого п 6-мерное подпространство Ап пространства Е так, чтобы форма Qsn | Ап X Ап была положительно полуопределена. Пусть |нх(п), ..., ah (п)\ —ортонормированный базис подпространства Ап. Поэтому {ах (и), ..., ak (п)\ содержится в компактном подмно- жестве S пространства Е. Вследствие компактности S можно пред- полагать, что а, (п) dj £ S для каждого /. Из непрерывности скалярного произведения вытекает, что векторы {ах, ..., ah} образуют ортонормированное подмножество S. Тогда А = = Lin {ох, ..., ak\ —6-мерное подпространство пространства Е, причем для любого и Q А справедливо разложение и = Положим м (и) = (°)- Ясно, что и (п) и при п -> оо. Поэтому, используя непрерывность отображения Q: Е X Е X J -> -> R, из положительной полуопределенности QS)l |Hn X Ап для любого п получаем, что Qt (и, п) == lim Q (и (п), и (п), sn) 0. П~>оо Таким образом, форма Q{ | А X А является положительно полу- определенной. Таким образом, /0 (?) dim А = k, как и требо- валось. □
250 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий Рис. 9.1. Показано пространство-время М = R3 \ Т, которое является одно- связным и тем не менее неодносвязно в будущем. Направленные в будущее вре- мениподобные кривые 71 и у2 из Р в q не гомотопны в классе времениподобных кривых с концами р и q. Мы заключим этот раздел одним приложением теоремы Морса о времениподобном индексе к исследованию структуры множества раздела односвязных в будущем глобально гиперболических про- странственно-временных многообразий (см. Бим и Эрлих (1979в, разд. 8)). Определение 9.28. Пространство-время (Л4, g) называется односвязным в будущем, если для любых произвольных р, q £ М любые две направленные в будущее времениподобные кривые из р в q гомотопны в классе гладких направленных в будущее времениподобных кривых с фиксированными концами р и q. Это понятие, являющееся лоренцевым аналогом простой односвязности, изучалось Авезом (1963), Смитом (1960а) и Флаэрти (1975а, с. 395). Обращение в нуль лоренцевой фундаментальной группы означает, что многообразие (Л4, g) односвязно в будущем. Однако односвязность М как топологического пространства не влечет за собой, как показывает приводимый ниже пример Герока, односвязности (Л4, g) в будущем. Рассмотрим R3 с координатами (х, у, f) и лоренцевой метрикой ds2 = —dt2 + dx2 + dy2. Пусть T = {(х, 0, 0) С К3; х^эО}. Рассмотрим М = Ь3'\7' с лоренце- вой метрикой, индуцированной из (R3, ds2). Легко видеть, что М односвязно. Точки р = (2, 0, —1) и q = (2, 0, 1) можно соединить направленными в будущее времениподобными кривыми и проходящими по разные стороны от оси Ох (рис. 9.1). Однако и у2 не гомотопны в классе направленных в будущее временипо- добных кривых, начинающихся в р и заканчивающихся в q, ввиду
9.1. Теория Морса для времениподобных геодезических 251 того что такая гомотопия должна была бы огибать точку (0, 0, 0) и, значит, включать и пространственноподобные кривые. Заметим, что если (7И, g) односвязно в будущем, то простран- ство путей гладких времениподобных кривых из р в q связно. Тем самым, привлекая лемму 4.11 Чигера и Эбина (1975, с. 85) и стандартную теорию Морса для пространства путей (см. Эвер- сон и Толбот (1976), Уленбек (1975), Вудхауз (1976)), получаем следующее утверждение. Предложение 9.29. Пусть (М, g) —односвязное в будущем и глобально гиперболическое пространство-время. Зафиксируем р б_ М и предположим, что каждая направленная в будущее времениподобная геофизическая, исходящая из р, имеет либо ну- левой индекс, либо не меньший двух. Тогда для данной точки q б б 1+ (р), такой, 4'1 о р и q времениподобно не сопряжены, су- ществует в точности одна направленная в будущее е ремениподоб- ная геодезическая нулевого индекса, идущая из р в q, а именно един- ственная максимальная геодезическая из р в q. Теперь мы подготовлены к тому, чтобы доказать лоренцев аналог для глобально гиперболических односвязных в будущем пространственно-временных многообразий —теорему Чигера и Эбина (1975, теорема 5.11) о множестве раздела полного риманова многообразия, являющуюся обобщением теоремы Криттендена (1962) для односвязных групп Ли с биинвариантными римановыми метриками. Глобальная гиперболичность используется в теореме 9.30 для того, чтобы гарантировать наличие максимальных гео- дезических сегментов, соединяющих хронологически связанные точки. Теорема 9.30. Пусть (М, g) —односвязное в будущем глобально гиперболическое пространство-время. Предположим, что для точки р бе М первая точка, сопряженная р в будущем вдоль каж- дой времениподобной геодезической у, у (0) = р, является точкой порядка 2. Тогда множество времениподобного раздела точки р в будущем и множество первых сопряженных р точек в будущем совпадают. Тем самым все, исходящие из р геодезические являются максимальными вплоть до первой сопряженной точки. Доказательство. В ходе этого доказательства все геодезические будут времениподобными, нормальными и направленными в буду- щее. Достаточно показать, что если у. [0, и -> М, у (0) = р, имеет нулевой индекс и точка у (/) не сопряжена р вдоль V ! 10, t], то у максимальна. Вследствие замкнутости множества вырожденных точек отображения ехрр из теоремы 9.27 вытекает существование положительных чисел щ, е2, таких, что если (Щ у' (0)) < вх и Е < е?, то направленная в будущее времени'
252 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий подобная геодезическая о: 10, t + е] -> М, у которой о' (0) = V, имеет нулевой индекс. Здесь символ обозначает угол, измерен- ный при помощи произвольной вспомогательной римановой метрики. Согласно теореме Сарда, найдется последовательность точек \Pi\ cz 1+ (р), сходящаяся к у (/) и такая, что всякий времени- подобный геодезический сегмент из р в pt имеет несопряженные концевые точки. По предположению каждый такой сегмент имеет либо нулевой индекс, либо индекс не меньший двух. Согласно предложению 9.29, существует единственный времениподобный максимальный геодезический сегмент уг из р в pt индекса 0. Вследствие того что (exp,,)* неособенно в t’; (0), для достаточно больших i существуют геодезические сегменты уг из р в р;, сходя- щиеся к у, уг->у. Так как 4 (у/ (0), у' (0)) 0, то для больших I эти сегменты имеют нулевой индекс. Отсюда вытекает, что уг — = yt для достаточно больших i и, следовательно, уг- максимален. Поэтому сегмент у как предел максимальных геодезических является максимальным. □ 9.2, Пространство времениподобных путей глобально гиперболического пространства- времени В этом разделе, следуя Уленбеку (1975) (см. также Вудхауз (1976)), мы рассмотрим теорию Морса для пространства путей направленных в будущее времениподобных кривых, соединяющих две хронологически связанные точки в глобально гиперболическом пространстве-времени. Оба подхода основываются на изложении теории Морса для пространства путей полного риманова много- образия, предложенном Милнором (1966, с. 100—109), в котором полное пространство путей аппроксимируется кусочно-гладкими геодезическими. Другой подход к теории Морса для непростран- ственноподобных кривых в глобально гиперболических простран- ствах предложен Эверсоном и Толботом (1976, 1978). Они восполь- зовались результатом Кларке (1970) о том, что всякое четырехмер- ное глобально гиперболическое пространство-время можно изо- метрично вложить в пространство-время Минковского высокой размерности, задавая тем самым на подклассе времениподобных кривых в М структуру гильбертова многообразия. Однако вернемся к обобщению теории Морса для пространства путей кусочно-гладких времениподобных кривых, соединяющих точки р q в произвольном глобально гиперболическом простран- стве-времени (М, g) размерности >»2, предложенному Уленбеком. Определение 9.31. Обозначим через С(р>^, где р, q £ М — заданные точки, связанные отношением р q, пространство
9.2. Пространство времениподобных путей 253 направленных в будущее кусочно-гладких времениподобных кри- вых, соединяющих р с q, где отождествляются любые две кривые, отличающиеся лишь параметризацией. Хотя С<р, р) можно превратить в бесконечномерное многообра- зие только после надлежащего пополнения, оно тем не менее об- ладает касательными пространствами, состоящими из кусочно- гладких векторных полей вдоль заданной кусочно-гладкой кри- вой, которая предполагается в свою очередь параметризованной длиной дуги. Поэтому функционалы F: С(Рт q} -> R можно рас- сматривать с позиций вариационного исчисления. Таким образом, критическая точка функционала F —-это точка, в которой все первые производные обращаются в нуль, а критическое значение — это образ критической точки при отображении F. Функционал F на С{Рг q} называется гомотопической функцией Морса, если для любого некритического значения b функционала F, b > а, топо- логическое пространство F1 (—оо, Ь) гомотопически эквивалентно пространству F1 (—оо, а) с присоединенными клетками, так что каждой критической точке функционала F с критическим значе- нием из интервала (а, Ь) соответствует одна клетка, размерность которой равна индексу этой критической точки. В этом разделе мы покажем, что функционал лоренцевой длины дуги является гомотопической функцией Морса для С(р, при условии, что точки р и q непространственноподобно не сопряжены. Этот результат аналогичен соответствующему результату теории Морса для полных римановых многообразий (см. Милнор (1966, теоремы 16.3 и 17.3)). Именно, если р и q —любые две различные несопряженные точки, то пространство й(р, qy кусочно-гладких кривых из р в q имеет гомотопический тип счетного клеточного комплекса, в котором каждой геодезической из р в q индекса Л отвечает одна клетка размерности %. Для того чтобы L была функцией Морса, необходимо, чтобы точки р и q были не сопряжены (какую бы геодезическую из р в q мы ни взяли). Поэтому интересно знать, существуют ли такие пары точек. Как и для римановых пространств, сопряженные точки в произвольном лоренцевой многообразии можно рассма- тривать как особенности дифференциала экспоненциального отобра- жения. Следовательно, можно применить теорему Сарда (см. Хирш (1976, с. 69)). Подмножество X многообразия Л4 называется здесь имеющим меру нуль, если для каждой карты (U, (р) множество <р (U П X) ст R" имеет в IF'1 лебегову меру нуль, п = dim Л4. Подмножество многообразия называется множеством второй кате- гории, если оно содержит пересечение счетного семейства всюду плотных открытых множеств. Подмножество второй категории полного метрического пространства является всюду плотным в М по теореме Бэра о множествах второй категории (см. Келли (1981, с. 264)). Из теоремы Сарда вытекает следующий результат,
254 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцееых многообразий Теорема 9.32. Пусть (Л4, g) —глобально гиперболическое про- странство-время и р —произвольная точка из М. Тогда мно- жество точек из М, сопряженных р вдоль некоторой геодезической, имеет меру нуль. Поэтому для множества точек q б М второй категории р и q не являются сопряженными {какую бы геодезиче- скую, их соединяющую, мы ни взяли). Напомним некоторые свойства функционала лоренцевой длины дуги L: С(р, R. Во-первых, из вариационного исчисления следует, что критические точки L на С(Р, являются в точности направленными в будущее времениподобными геодезическими сег- ментами из pvq, параметр на которых пропорционален длине дуги. Во-вторых, из теоремы 9.27 о времениподобном индексе Морса вытекает, что индекс критической точки функционала L равен ее индексу как геодезической!, т. е. числу точек, сопряженных р вдоль геодезической из р в q с учетом кратности (сама точка q исключается). Чтобы показать, что L является гомотопической функцией Морса, необходимо аппроксимировать С(р, <;) подмножеством M(Pt q}, определяемым следующим условием: существует ретракция С(Р, qy на ТИ(р>(7), увеличивающая функционал длины L. Это соответст- вует конечномерной аппроксимации пространства путей в рима- новой теории Морса. Соответствующая лоренцева аппроксимация, как будет ясно из приводимой ниже леммы 9.34, делает решаю- щим использование глобальной гиперболичности (Л4, g). Но сна- чала полезно дать следующее определение. Определение 9.33. Пусть р, q С (М, g) и связаны отноше- нием р С q. Конечный набор jxy, ..., Xj\ точек из Л4 называется времениподобной цепью из р в q, если р < xr < ху- q. Следующая лемма вытекает из существования выпуклых нор- мальных окрестностей (см. разд. 2.2), компактности J+ (р) П Г) J~ (q) в глобально гиперболическом пространстве-времени и теоремы 5.1. Лемма 9.34. Пусть (М, g) —глобально гиперболическое про- странство-время с фиксированной глобально гиперболической функ- цией времени f: М -+ К. Пусть р, q ф М и связаны отношением р q. Тогда существует набор {К, ..., tk\, для которого f (р) < < • • < tk < f (q), со следующими свойствами: (1) Если х С f1 (J (р), tr] и р с х, то существует единствен- ный максимальный направленный в будущее непространственно- подобный геодезический сегмент из р в х. (2) Для каждого i, 1 < z < £ — 1, из условий х С К1 (Л), У С f ' (К, К+11 и р < х с у < q вытекает существование един- ственного максимального направленного в будущее непростран- ственноподобного геодезического сегмента из х в у.
9.2. Пространство времениподобных путей 255 (3) Если у б f1 [/h, f (q)) и у < q, то существует единствен- ный максимальный непространственноподобный геодезический сег- мент из у в q. (4) В частности, если ..., xk\ —произвольная времени- подобная цепь из р в q, подчиненная условию х, £ (/г), I = = 1, k, то существует единственный максимальный направлен- ный в будущее времениподобный геодезический сегмент, соединяю- щий р с xr, xk с q и xt с хг+1 для каждого i, 1 < i с k — 1. Вследствие того что точки р, q б М, связанные отношением р q, считаются заданными, можно зафиксировать набор tk\, удовлетворяющий условиям леммы 9.34. Обозначим через S, поверхность Коши: S; = f~' (ti), i — k. Теперь мы можем определить пространство M(P1P) ломаных времениподоб- ных геодезических, чтобы аппроксимировать С(р.,7) с точки зре- ния функционала длины дуги. Определение 9.35. Пусть Л4(р.р) —пространство всех непре- рывных кривых у: [0, 1 1 -> М, у которых у (0) = р, у (1) = q, у (il(k + 1)) £ Sj и у | lU(k + 1), (i + 1)/(/г + 1)] —направ- ленная в будущее времениподобная геодезическая, где i = 0, 1, ..., k. Так как каждая у | [i/(k + 1), (i + \)/(k + 1) ], согласно лемме 9.34, должна быть единственным максимальным сегментом, со- единяющим собственные концевые точки, то М(Р. <п = {(*1, ’ xh) Xi € Si для 1 < i < k и p xlt xt хг+1 для каждого i, 1 < i c k — 1, и xh q\. (9.21) Поскольку множества хронологического будущего и прошлого открыты, множество Л4(р, ¥), определяемое правилом (9.21), является открытым подмногообразием произведения Si X • • • X S7;. Пусть яр. М^Р,Ч)Si —отображение проектирования, задан- ное правилом л7 (xlt ..., xh) = xt, i = 1, ..., k. Из того, что 1+ (р) П (<?) в силу глобальной гиперболичности М имеет ком- пактное замыкание и Л/ (M(P1<7)) cz /+ (р) П 1~ (q), вытекает, что лг (Л4(р имеет компактное замыкание в S7 для каждого i = = 1, 2, ..., k. Не уменьшающую длину ретракцию С(р, ?) на Л4(р, можно получить аналогично тому, как это делается в римановой теории Морса (см. Милнор (1966, с. 102)). Предложение 9.36. Существует ретракция Q;, 0 < Л < 1, пространства С(РгЧ) на M{P,q), не уменьшающая лоренцеву длину дуги. Доказательство. Пусть у б С{Р. произвольна. Можно счи- тать, что у параметризована так, что f (у (0) = t, где f: М R —
глобально гиперболическая функция времени, зафиксированная в лемме 9.34. Таким образом, у: I/ (р), f (q)l-+ М. Для каждого К с [0, 11 определим Qx (у): [f (р), f (?)] -> М по следующему правилу. Положим Р = (1 —М f (р) -Т 'Pf (q), to — f (p) и th+1 = = f (q). Если P удовлетворяет соотношению 0 < p < ti+l для некоторого i, 0 c i с k, возьмем за Q,. (у) единственную ломаную, звеньями которой являются времениподобные геодезические, со- единяющие точку р с у (0), у (0) с у (Q, ..., у (/;j) с у (Л) и у (tt) с у (Р) соответственно для t < р, и положим QK (у) (t) = = У (0 для t р (рис. 9.2). Непосредственно из определения вытекает, что Qo (у) = у и Qi (у) С М(р,9). Ввиду того что <2Р (у) [у (If), у (Р) 1 максимальна среди всех кривых из у (/,) в у (Р), по лемме 9.34 имеем L (Ох (у) [у (ti), У (Р)1) = d (у (h), у (Р)) > L (у | [ti, PJ), где через d обозначена лоренцева функция расстояния на много- образии (М, g) (мы использовали здесь также соглашение об обо- значении 7.4). Аналогично, ввиду того что Qx (Р) —единствен- ный максимальный геодезический сегмент из у (t}) в у (0+1) для каждого /, О С j < i — 1, имеем L (Qx (т) И’ (Q), У (0+iH 5s L (у | [0, 0+11). Объединяя, получаем L(QK(y) [р,у(Р)])^ L (у J (f(p), pi). Вследствие того, что Qx (у) (0 = У (О, t Р, имеем L (Qx (у)) L (у). Более того, из рассуждений, проведенных выше, ясно,
9.2. Пространство времениподобных путей 257 что L (QK (у)) = L (у) для всех к тогда и только тогда, когда у — ломаная времениподобная геодезическая из р в q с возможными изломами только на поверхностях St. В частности, Q>. | M(P,Q) = = Id для всех % [0, 1 ]. Наконец, непрерывность отображе- ния % -> QK легко следует из дифференцируемой зависимости гео- дезических в выпуклых окрестностях от их концевых точек. □ Следуя Уленбеку (1975, с. 79), обозначим через L.., = L | 7И(Р> ограничение функционала лоренцевой длины дуги на подмноже- ство М(р, 9) пространства C{PtQ}. В точности так же, как и в рима- новом случае (см. Милнор (1966, теорема (16.2)), можно убедиться в том, что L*: М(р, R является точной моделью L: С(р, -> R. в следующем смысле. Предложение 9.37. Если многообразие (А4, g) глобально ги- перболично, то критические точки функционала Ls. = L | М(р, суть гладкие времениподобные геодезические сегменты из р в q. Эти критические точки невырожденны в том и только том слу- чае, если р и q времениподобно не сопряжены. Более точно, индекс каждой критической точки один и тот же и в пространстве С{Р, о), ив его ретракте М(Р:(Р1,а именно, это индекс по сопряжен- ным точкам. Доказательство. Отождествим Л4(р, с ^-цепями ..., из р в q, где xt б St для каждого I, как в формуле (9.21). Поло- жим х0 = р и х)[+1 = q. Пусть ур. [0, 11 -> М — (единственная) максимальная времениподобная геодезическая из xt в xi+1, i = == 0, 1, ..., k. Тогда fc+i i L* (хь ..., xft) = 2 j /(— Ш y'i{t)} dt. i=00 Рассмотрим гладкую деформацию \xr (f), ..., xk (/)| данной цепи \xL, ..., xft}. Вследствие того что каждое отображение t хг (t) является кривой в S;, векторное поле вариации деформации должно лежать в касательном пространстве TXi (S;) в хг. Так как мы деформируем заданную цепь, представляющую собой кусочно- гладкую времениподобную геодезическую, в классе кусочно- гладких времениподобных геодезических с разрывами только на поверхностях Коши S,-, то пространство деформаций цепи {хъ ... ..., можно отождествить с множеством всевозможных вектор- ных полей Y вдоль {лу, ..., xh\, у которых У (лу) € TXi ($,) для i = 1, ..., k, Y (p) = Y (q) = О И Y | yt —гладкое якобиево поле вдоль у) для каждого i = 0, 1, ..., k. В силу того что поверх- ности 5/ выбраны, как в лемме 9.34, ни одна ур [0, 1 ] -> М не имеет сопряженных точек. Поэтому для любых заданных щ ф € Тх. (Si) и Wi £ Тх.+1 (5г+1) существует единственное якобиево 9 Дж. Бим, П. Эрлих
258 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых Многообразий поле J вдоль у;: [0, 1 ] -+ М, у которого J (0) = vt и J (1) = = w;. Таким образом, пространство 1-струй деформаций данной цепи xh} можно отождествить просто с декартовым произ- ведением ТХ1 (Si) X • • X 7\ (Sft). Пусть о: [о, b 1 М —.гладкая направленная в будущее времениподобная кривая, параметризованная так, что П — (o'(s), у' (s)) = А постоянно для всех s £ («, b), а о' (а+) и о' (Ь~) — времениподобные касательные векторы. Пусть a: [a, b ] X (—в, в) -> М — гладкая вариация кривой о в классе непространственноподобных кривых с векторным полем вариации V. Если as: [п, b ] -> М — кривая, определяемая фор- мулой as (t) = a (t, s), то первая формула вариации для L' (0) = = (d/ds) L (as) | s=o представляется следующим образом: ь L' (0) = =г(К о') |> т J [/*• (9-22) а Поэтому, если о —времениподобная геодезическая, то £'(0) = (—!/-')(V, о') |а- Применим теперь формулу (9.22) для того, чтобы вычислить первую вариацию собственной деформации а элемента {лу, ... ..., xh\ £ Как и раньше, пусть у;: [0, 1 ] -> М —времени- подобные геодезические из xt в xi+1, где i = 0, ..., k. Тогда ..., xh} представляется кусочно-гладкой времениподобной гео- дезической у = у0 * Ti * ' ‘ ’ * Уг- Пусть V — векторное поле вариации а вдоль у и yt — V (х;) С Тх (St). Как мы упоминали выше, кусочно-гладкое якобиево поле V вдоль у можно отождест- вить с (ylt ..., yh) G (Sj) Х---Х TXk (Sk). Ограничивая V на каждую уг и применяя формулу (9.22), получим требуемую формулу первой вариации для L* = L \ M{p,qy. 0/ь ...,№) = 2 ~ т)) ’ (9-23) 1=1 ' 1 1 где = /— (у) (0), у;- (о)>, Bi = к — <уИ1)> О)) для каждого i. Из формулы (9.23) стандартными рассуждениями получаем, что 6Л* (уь yh) = 0 для всех (у1г ..., уk) £ TXi (Sj) X • • • X TXk (Sk) тогда и только тогда, когда касатель- ные векторы О' ?;+i (0) —--- и —' • — г /О'И’И1)) (0). yj+1(o)}
9.2. Пространство времениподобных путей 259 в пространстве Тх. (М) имеют одну и ту же проекцию на под- пространство Тх. (S;) cz Тх (М) для каждого i = 1, .... k. Это дает возможность утверждать, что у == у0 *ут* • • • * уу можно перепараметризовать в гладкую времениподобную геодезическую из р в q. Таким образом, мы видим, что критические точки функциона- лов Ls;. М^р'^ -> R и L: C{PtQ) -> R совпадают и являются в точ- ности гладкими времениподобными геодезическими из р в q. Из нашего доказательства теоремы Морса о времениподобном ин- дексе (теорема 9.27), проведенного путем аппроксимации (с) пространствами кусочно-гладких якобиевых полей (см. лемму 9.26), вытекает, что индексы L*. MiP, ?) -> R и L: С(р, R совпадают. Из теоремы Морса оТвремениподобном индексе (теорема 9.27) вытекает также, чтоТкритическая точка с является вырожденной в том и только том’случае, если р и q сопряжены вдоль с (см. также предложение 9.13). □ При помощи предложения 9.37 можно получить следующий результат. Предложение 9.38. Пусть (М, g) глобально гиперболично. Если точки р и q непространственноподобно не сопряжены, то функционалы L: C(Pjlj) -> R и L*. М(Р,<р -> R имеют лишь конечное число критических точек. В частности, существует лишь конечное число направленных в будущее времениподобных геодези- ческих из р в q. Доказательство. Согласно предложению 9.37, достаточно пока- зать, что функционал L..:: M{P,Q} -* R имеет конечное число кри- тических точек. Предположим противное: L* имеет бесконечно много критических точек. Тогда должна существовать бесконеч- ная последовательность гладких времениподобных геодезических {cn}^=i из р в q. Из того, что каждое множество л; (7И(Р1(?)) имеет в S; компактное замыкание, вытекает существование подпоследо- вательности последовательности сходящейся к временипо- добной или изотропной геодезической с из р в q. Поскольку с — предел бесконечной последовательности геодезических из р в q, получаем, что р сопряжена q вдоль с, что приводит к противоре- чию с условием. □ Другим интересным свойством функционала L*: М(Р, -+ R является следующий результат. Предложение 9.39. Функционал Е.;. M(PtQ) -> R достигает своего максимального значения на каждой компоненте множества 9*
260 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий Доказательство. Так как —открытое подмногообра- зие произведения Хц Х---Х 5Л> то его замыкание компактно в Si Х---Х Sj. Кроме того, k La (| xlt .... x;J) = £ d (xh xi+1) < d (p, q), i=l где x0 = p и xb+1 = q для любой времениподобной цепи (лу, ... ..., Х/Л из р в q. Поскольку лоренцева функция расстояния для гло- бально гиперболических пространств конечнозначна, функционал L* ограничен на каждой связной компоненте U множества ТИ(Р>(7). Пусть {у,,} —последовательность в связной компоненте U мно- жества М(Р, ч), для которой L* (yn) sup \L... (у): у Р U\ при п -> оо. Ввиду компактности замыкания cl в Sj X • • • X последовательность jy,J имеет предельную кривую у,. в cl (U) cz cz Sj X • • X Sk. Из того, что {уп} является максимизирующей последовательностью для функционала L* | U, вытекает, что L* (Тео) Sa Ь* (о) для любого о С cl ((/) n 'L* > 0. Если у„, представляется элементом (хъ ...,%/,) С $! X • • • X Sft, то р < лу < • • • < xh с q, а если у. —единственная максимальная геодезическая из х, в х.-+1, наличие которой гарантируется лем- мой 9.34, то каждая у; либо изотропна, либо времениподобна. Если некоторая у; является изотропной, то из формулы первой вариа- ции (9.23) следует, что у<х> можно продеформировать в кривую у С cl (U), притом так, что L* (у) > L* (у^). Это противоречит максимальности L* | cl (U) на у.х.. Поэтому предельный эле- мент у со С Вновь рассмотрим М(р,<,) как подмножество Х---Х Sft. Обозначим через Pp Тх (М) Тх (Sf) отображение ортогональ- ного проектирования, где х9 S; —любое и i = 1, 2, ..., k. На множестве 7И(Р.?), рассматриваемом как открытое подмножество произведения St X • • • X можно задать риманову метрику, индуцированную ограничением лоренцевой метрики на простран- ственноподобные гиперповерхности Коши ..., S/;. Из формулы (9.23) вытекает, что в точке из M(P,Q), представляемой ломаной времениподобной геодезической у = у0 * уг * • • • * yft, где каж- дая у; параметризована на [0, 1 ], а /1; и В, определены выше, градиент функционала L* задается следующей формулой: nradL -(р Г:(0) Y°(I)) ?:(1П gradL*—QT), Р2\-^ %-), п О))) h\ Л Bh_t }}• Используя эту формулу, Уленбек (1975, с. 80—81) доказал сле- дующую лемму.
9.2. Пространство времениподобных путей 261 Лемма 9.40. Пусть Р: (a, b) -> MiP,<n —максимальная ин- тегральная кривая grad L*. Тогда h = оо и lim р (/) лежит в кри- тическом множестве функционала L*. Из доказанного свойства градиента L* вытекает (Уленбек (1975, с. 81)), что если р и q времениподобно не сопряжены, то L*. -> R является функцией Морса для Л4(р, <?). Из этого факта и предложений 9.36 и 9.38 следует основной результат. Теорема 9.41. Пусть пространство-время (М, g) глобально гиперболично и р, q —любая пара точек из (М, g), связанных отношением р ^ q и таких, что р и q непространственноподобно не сопряжены. Тогда в (М, g) существует лишь конечное число на- правленных в будущее времениподобных геодезических из р в q, и функционал длины дуги L: C(J), -> R является гомотопической функцией Морса. Поэтому если Ь и а, b > а, —любые два некри- тических значения функционала L, то пространство L"1 (—оо, Ь) гомотопически эквивалентно пространству L 1 (•—оо, а) с приклеен- ной клеткой для каждой гладкой времениподобной геодезической у из р в q, для которой а < L(y) < b, где размерность приклеенной клетки равна (геодезическому) индексу у. Тем самым С(„, имеет гомотопический тип конечного клеточного комплекса с одной клет- кой размерности X для каждой гладкой направленной в будущее времениподобной геодезической у из р в q индекса X. Заметим, что в теореме 9.41 топология С(р, не связана с ис- ходной топологией многообразия. Но Уленбек (1975, теорема 3) показал для класса глобально гиперболических просранств, удов- летворяющих условию роста метрики (см. Уленбек (1975, с. 72)), что гомотопия самого пространства путей многообразия М может быть вычислена геометрически следующим образом. Пусть (М, g) — глобально гиперболическое пространство-время, удовлетворяю- щее условию (Уленбека) роста метрики. Тогда существует класс гладких времениподобных кривых у: [0, оо) -> М со следующим свойством. Для каждой такой времениподобной кривой у найдется множество точек р £ М второй категории, такое, что простран- ство путей многообразия М гомотопно клеточному комплексу с одной клеткой для каждой изотропной геодезической из р в у, где размерность клетки равна индексу геодезической. Из доказательства приводимого ниже предложения 9.42 будет ясно, что конечность гомотопического типа времениподобного пространства путей С(Р, в теореме 9.41 вытекает из предположе- ния о том, что точки р и q изотропно не сопряжены, и того факта, что L (у) < d (р, q) < оо для всех у £ С(Р,С). С другой стороны, для полных римановых многообразий (Лг, g0) известно (см. Серр (1951)), что если N не является ацикличным (т. е. Ht (N, Z) У= 0 для некоторого i > 0), то пространство путей Р(р, 9) является бес- конечным клеточным комплексом для всех р, q б N. Поэтому,
262 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий если р и q не сопряжены, то существует бесконечно много геоде- зических {сп: [0, 1 ] -> N\ из р в q. Из того, что р и q не сопряжены и из неравенств Lo (у) d0 (р, q) > 0, справедливых для всех У £ Цр,9), видно, что Lo (сп)-> ОО при П->ОО. Для полноты изложения мы приведем сейчас другое доказатель- ство предложения 9.38 — о существовании лишь конечного числа критических точек у функционала L: Сщ, qy М. Вместо того чтобы применять конечномерную аппроксимацию простран- ства CtP'Q) множеством Л4(р>9), мы будем работать непосредст- венно с С(Р>9), пользуясь, как и в разд. 2.3, существованием не- пространственноподобных предельных кривых. Предложение 9.42. Пусть'" (М, g) глобально гиперболично. Предположим, что точки р, q б Л4, р < q, выбраны так, что не существует направленной в будущее непространственноподобной геодезической, вдоль которой они были бы сопряжены. Тогда най- дется лишь конечное число времениподобных геодезических, иду- щих из р в q. Доказательство. Предположим противное: найдется беско- нечно много направленных в будущее времениподобных геодези- ческих сегментов сп: [0, 1 ] М в пространстве С(р>1?). Используя следствие 2.19 и рассуждения из разд. 2.3, получим непростран- ственноподобную геодезическую с: [0, 11 -> М, с (0) = р, с (1) = = q, которая является предельной кривой последовательности jcn} и такова, что подпоследовательность последовательности сходится к с в С°-топологии на кривых. Так как подпоследователь- ность попарно различных касательных векторов (0)} схо- дится к с'(0), то q сопряжена р вдоль с в противоречие с усло- вием. □ Предположим, что в условиях предложения 9.42 сделано сле- дующее допущение: точки р и q не сопряжены лишь временипо- добно. Если найдется бесконечно много времениподобных гео- дезических jcn} в пространстве С<р, с>, то мы получим тогда, что L (сп) -> 0 при п -> оо, и предельная кривая с в доказатель- стве предложения 9.42 является изотропной геодезической, так что q сопряжена р вдоль с. В частности, с содержит точку изотроп- ного раздела в будущем для р (см. разд. 8.2). Поэтому и теорема 9.41, и доказательство предложения 9.42 приводят к следующему результату, который применим, в частности, к космологическим моделям Фридмана с р = А ='0. Следствие 9.43. Пусть (М, g) глобально гиперболично, а точки р, q б М выбраны так, что р q, р и q времениподобно не сопряжены и множество изотропного раздела в будущем для точки р в М пусто. Тогда существует лишь конечное число вре- мениподобных геодезических из р в q.
9.3. Теория Морса для изотропного индекса 263 Доказательство. Если бы существовало бесконечно много вре- мениподобных геодезических, идущих из р в q, то из р в q выхо- дила бы изотропная геодезическая с, такая, что q была бы сопря- жена р вдоль с. Но тогда с содержала бы точку изотропного раз- дела вдоль с в будущем, что противоречит условию. □ Если dim М = 2, то (М, g) не содержит изотропных сопряжен- ных точек (см. лемму 9.45). Поэтому имеет место следующий ре- зультат. Следствие 9.44. Пусть (М, g) — произвольно двумерное гло- бально гиперболическое пространство-время, а точки р, q £ М выбраны так, что р q и р и q времениподобно не сопряжены. Тогда найдется лишь конечное число времениподобных геодезиче- ских, идущих из р в q. 9.3. Теория Морса для изотропного индекса Этот раздел посвящен доказательству теоремы Морса об ин- дексе для изотропных геодезических сегментов (3: [0, 1 ] -> М в произвольном пространстве-времени. Подходящей индексной формой, однако, является здесь не стандартная индексная форма, определенная на кусочно-гладких векторных полях, ортогональ- ных р', а ее проекция на факторрасслоение, образованное путем отождествления векторных полей, отличающихся на кратное Р'. Идея использовать факторрасслоение в качестве области опре- деления изотропной индексной формы неявно содержится в рас- смотрении вариации длины дуги изотропных геодезических у Хо- кинга и Эллиса (1977, разд. 4.5) и была развита в дальнейшем Белтсом (1977). В первой части этого раздела основная теория ин- дексной формы разрабатывается в соответствии с гл. 2 и 4 из книги Белтса (1977). Во второй части мы приводим подробное до- казательство теоремы Морса об индексе для изотропных геодези- ческих, краткое изложение которого имеется в работе Бима и Эрлиха (19796). Вместо того чтобы работать с функционалом энергии, Улен- бек (1975, теорема 4.5) строил теорию Морса для непространствен- ноподобных кривых в глобально гиперболических пространственно- временных многообразиях следующим образом. Выбирая гло- бально гиперболическое расщепление М = S X (а, Ь), как в тео- реме 2.13, Уленбек проектировал непространственноподобные кривые у (t) = (q (0, с2 (/)) на второй сомножитель и показывал, что функционал J (у) = j [ci (0 Vdt дает теорию индекса. Следует упомянуть вначале, что теория изотропного индекса в отличие от теории времениподобного индекса интересна только для dim Л4 3 по следующей причине.
264 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий Лемма 9.45. Никакая изотропная геодезическая р в произ- вольном двумерном лоренцевом многообразии не имеет изотроп- но сопряженных точек. Доказательство. Пусть р: (a, b) -> (М, g) —произвольная изотропная геодезическая. Предположим, что J —якобиево поле вдоль р, удовлетворяющее условию J (4) = J (t2) = 0 для неко- торых 4 4 из (а, Ь). В точности так же, как и в доказательстве леммы 9.9, имеем (J, р')" = —(R (J, р') Р', Р') = 0, так что (J (/), Р' (£)) = 0 для всех t £ (а, Ь). Вследствие того что простран- ственноподобный и изотропный векторы в случае dim М = 2 неортогональны, пространство векторных полей Y вдоль р, перпендикулярных Р', порождается самим Р'. Следовательно, J (t) = f (t) Р' (t) для некоторой гладкой функции f: (е, b) -> R. Тогда уравнение Якоби принимает следующий вид: 0 = J' + + R (J, Р') Р' = /"Р' + /7? (Р', Р') Р' = /"Р'; здесь используется также косая симметрия тензора кривизны по первым двум аргу- ментам. Тем самым /" (t) = 0 для всех t £ (а, Ь). Из равенств J (4) = J (4) = 0 вытекает, что f =~- 0. Поэтому J = 0, как и тре- бовалось. □ Всюду в этом разделе мы будем предполагать, что (М, g) — произвольное пространство-время размерности не меньшей трех (ввиду леммы 9.45) и что р: [п, Ь] -> М —фиксированный изо- тропный геодезический сегмент в М. Обозначим через V1 (Р) Не- линейное пространство всевозможных кусочно-гладких вектор- ных полей Y вдоль р, удовлетворяющих условию {Y (/), Р' (/)) = = 0 для всех t С to, Ы. Тогда и Р' (t), и 4 (/) — якобиевы поля в У-’-(Р). Допустим далее, что мы рассматриваем индексную форму / : VJ- (р) X У£ (Р) -> R, определенную соотношением / (X, Y) = - f [(X', У') - (/?(X, р') р', У)] dt по аналогии с индексной формой (9.1) для времениподобных геодезических в разд. 9.1. Тогда А = \f (f) р' (t): f : [a, b] -> R — гладкая функция, / (а) = f (b) = 0} является бесконечномерным линейным пространством, в котором I (У, У) = 0 для всех У £ А. Поэтому квазииндекс геодезической р, определенный при помощи индексной формы Г. У^- (Р) X Уо' (Р) -> R, всегда бесконечен. Кроме того, хотя I (/р', У) = 0 для любого У £ Уок (Р) и /ф' £ А, векторное поле /р' не является якобиевым, за исключением случая /" = 0. Поэтому те свойства, которые мы получили для индексной формы времениподобной геодезической в разд. 9.3, связывающие якобиевы поля, сопряженные точки и определенность индексной формы, не выполняются для Г. Уф (Р) X Уф(Р)->Р. Разгадка этих затруднений состоит в том, что и Р', и ф' яв- ляются якобиевыми полями в У-1- (Р). Поэтому, пренебрегая век-
9.3. Теория Морса для изотропного индекса 265 торными полями в А, можно определить индексную форму для изотропных геодезических, хорошо связанную не только с форму- лой второй вариации для функционала энергии, но также и с со- пряженными точками и якобиевыми полями. Этого можно доби- ться, работая вместо V1 (Р) с факторрасслоением V1 (Р)/[р]. Используя это факторрасслоение, можно определить индексную форму I так, чтобы р не имела сопряженных точек, в том и только том случае, если форма I отрицательно определена (см. Хокинг и Эллис (1977, предложение 4.5.11), Бёлтс (1977, теорема 4.5.5)). Теорему Морса об индексе можно получить также для индексной формы I для изотропных геодезических сегментов в произвольных пространственно-временных многообразиях (см. Бим и Эрлих (1979г)). Ввиду того что нас интересует исследование сопряженных точек вдоль изотропных геодезических, важно заметить, что лемма 9.9 и следствия 9.10 и 9.11 переносятся на случай изотроп- ных геодезических с теми же доказательствами. Лемма 9.46. Пусть Р: [a, g) — изотропный гео- дезический сегмент и Y — произвольное якобиево поле вдоль р. Тогда (Y (t), р' (/)) — линейная функция от t. Поэтому если Y (4) — Y (Ъ) = 0 для различных tr, t2 С [а, Ь], то (Y (t), Р' (/)) = 0 для всех t £ 1а, Ь]. Соответственно мы можем ограничить наше внимание рассмо- трением только следующих пространств векторных полей. Определение 9.47. Обозначим через V-1- (Р) R-линейное про- странство всевозможных кусочно-гладких векторных полей Y вдоль р, у которых {Y (/), Р' (t)) = 0 для всех t £ [а, Ь]. Пусть yj- (Р) = {У С У1 (Р): Y (а) = Y (Ь) = 0}. Положим далее N (Р (/)) = = 7>(/)М: (щ Р' (/)> = 0} и м(Р)= и w(P(0)- a^t^b Для каждого Y (V[ (Р) векторное поле Y' £ У1 (Р) можно определить, используя левосторонние пределы в точности так, как и в разд. 9.1. Ввиду того что р — гладкая изотропная геоде- зическая, имеем Р' (I) £ N (Р (f)) для всех t £ [а, &]. Следуя Бёлтсу (1977, с. 39—44), мы построим следующую алгебраиче- скую конструкцию. Так как 7V (р (t)) является линейным простран- ством для любого t £ [а, Ь] и [р' (01 = ИР' (ty. % 6 R} (9.24) есть его линейное подпространство, то можно определить линей- ное факторпространство G(P (/)) = лчр (O)/fp'(0J (9-25)
266 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий и факторрасслоение G(P) = N(P)/[P'] = U G(p(0). (9-26) Элементами фактор пространства G (Р (0) являются смежные классы вида и + ЕР' (ОЬ где v С Е (Р (0), а линейное подпростран- ство [р' (0] является нулевым элементом G (Р (0) для каждого t £ [а, Ь]. Элементы v + [pz (0] и w + Ер' (01 равны в G (Р (0) в том и только том случае, когда v = w + ХР' (t) для некоторого К G R- Естественное отображение проектирования л: N (Р (0)-> -> G (Р (0) можно определить следующей формулой: л (v) = v + [р' (/)]. (9.27) Отображение проектирования л на каждом слое индуцирует ото- бражение проектирования л :N (Р) -> G (Р), которое можно за- дать правилом: л (У) = У + ГР' ], т. е. л (У) (t) = У (0 + + IP' (01 € G (Р (0) для каждого t £ [а, Ь]. Этой конструкции факторрасслоения можно дать следующую (неединственную) геометрическую реализацию. Пусть п £ £ Тр(0)Л/ — изотропный касательный вектор, для которого {п, Р' (0)) = —1. Перенесем п параллельно вдоль р. Получим изотропное векторное поле т), параллельное вдоль р и удовлетво- ряющее условию (ц (t), Р' (0) = —1 для всех t G la, Ь]. Выбе- рем пространственноподобные касательные векторы ег, ..., n„_2 £ G Тр(0)М так, чтобы (n, е}) = (Р' (0), е7-) = 0 для всех j = 1, ... ..., п — 2 и (е;, е,} = 6i7- для всех i, j = 1, .... п — 2. Продолжим эти векторы параллельным переносом до пространственноподоб- ных векторных полей ..., Еп_2 G У1 (Р), параллельных вдоль р, и положим {п-2 j S k} е R, /=1,...,п-2 . (9.28) 7=1 J Тогда V (Р (0) является линейным подпространством пространства N (Р (0), состоящим из пространственноподобных касательных векторов, и мы имеем следующее разложение в прямую сумму: TV (Р' (0) = [р' (/)] Ф У(Р(0), (9.29) справедливое для каждого t £ (а, Ы- Пусть V (Р) = = V (Р (0) и У(1 (Р) = |У С V (Р): У (а) = У (Ь) = 0}. Если Р' (0 и т] (0 заданы, то V (Р) не зависит от конкретного вы- бора \е1г .... еп_2\ в Тр(0)М. Однако, если п £ 7р(0)Л1, а значит, и т] изменены, может появиться разложение в прямую сумму, отличное от (9.29), вследствие того что заданная лоренцева мет- рика g, рассматриваемая только на N (Р (0), вырождается. Тем не менее V (Р (0) можно рассматривать в качестве геометрической реализации факторрасслоения G (Р) при посредстве отображения
9.3. Теория Морса для изотропного индекса 267 Z -* Z + [р' 1 из V (Р) в G (Р). Поскольку формула (9.29) является разложением в прямую сумму, легко вычисляется, что это отобра- жение есть изоморфизм. Обратный изоморфизм 6: G (Р (0) V (Р (0) (9.30) для каждого t £ la, b] определяется следующим образом. Для заданного v £ G (Р (0) возьмем любой х £ N (Р (0) так, чтобы л (х) = v. Согласно формуле (9.29), разложение х = Zp' (0 + + и0, где и0 С V (Р (0). единственно. Положим 6 (и) = о0. Если взять любой другой х, С N (Р (0), для которого л (хг) = и, то, поступая, как и выше, имеем х} = рР' (0 + v0 с тем же самым v0 С Е (Р (0) и некоторым р £ R. Поэтому 6 корректно опреде- лено. В качестве первого шага к определению индексной формы I на факторрасслоении G (Р) покажем, как лоренцева метрика, ко- вариантная производная и тензор кривизны многообразия (М, g) могут быть спроектированы на G (Р). Сначала по произвольно заданным и, w £ G (Р (0) выберем х, у £ N (Р (0) так, чтобы л (х) = v, л (у) = w, и определим g по правилу g (и, w) = g (х, у). (9.31) Предположим далее, что мы выбрали х}, у± £ N (Р (0), для кото- рых л (хх) = v, л (z/0 = w. Тогда х = хх + Хр' (0, у = + + цР' (0 для некоторых X, р С R и поэтому g (х, у) = g (хх, у^ + + Xg (рх, р' (0) + pg (хъ Р' (0) + pig (Р' (0, р' (0) = g (хх, pi). Следовательно, g корректно определена. Легко проверяется, что g (и, w) = g (6 (и), 6 (да)) для всех v, w £ G (Р (0). Поэтому метрику g на G (Р (0) можно отождествить с заданной лоренцевой метрикой g на V (Р (0). Из того, что форма g | V (Р (0) X V (Р (0) положительно определена для любого t С 1а, Ь], вытекает, что индуцированная метрика g: G (Р (0) X G (Р (0) -> R обладает сле- дующим важным свойством. Замечание 9.48. Для каждого t С 1&> Ь] метрика g: G (Р (0) X X G (Р (0) -> R положительно определена. Теперь мы расширим оператор ковариантного дифференциро- вания, действующий на векторных полях вдоль р, до оператора ковариантного дифференцирования для сечений G (Р). Введем сначала следующее обозначение. Определение 9.49. Пусть Ж (Р) — множество кусочно-глад- ких сечений факторрасслоения G (Р). Положим То (Р) = = {Г £ Ж (Р): W (а) = [р' (а)1 и W (b) = [р' (Ь)]}.
268 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий По заданному V £ £ (0) выберем X £ V1 (р) из условия л (X) = V и положим У (0 = VP' У (*) = л (ур-Х (0). (9.32) Если Хг (Е У1 (Р) также удовлетворяет условию л (Хх) = V, то = X + /Р' для некоторой функции f: 1а, Ь] -> R, и, по- скольку р — геодезическая, получаем X; = X' + ЛР'. Таким образом, л (Xi (0) = л (*' (0) для всех t £ (о, й]. Значит, ковариантная производная для X (Р), задаваемая формулой (9.32), корректно определена. Можно убедиться в том, что это кова- риантное дифференцирование совместимо с метрикой g для G (Р) и удовлетворяет обычным свойствам ковариантного дифферен- цирования. Для заданного V С $ (Р) выберем X £ V1 (Р) из условия л (X) = V. Тогда X (0 = f (t) Р' (0 + 0 (V) (t), где в то же, что и в формуле (9.30). Согласно правилу (9.32), при помощи 0 (V) можно вычислить V (t): V' (t) = л (ур- (0 (V)) (0)- Кроме того, 0 (V) удовлетворяет соотношению (Р' (t), 0 (V) (t)) — (г) (t), 0 (Е) (t)) для всех t (Е [о, Ь]. Из того, что р — геодезическая, а г] парал- лельно вдоль р, после дифференцирования получаем, что(Р'(0, Vp-0 (V) (0) = (т] (0, V₽'0 (Ю (0) = ° для всех iQ [а, Ь]. По- этому Vp-0 (V) С У (Р). Следовательно, для всех t £ [а, Ь\ 0 (У' (0) = (6 (V))' (0, (9.33) где дифференцирование в левой части последнего равенства про- водится в G (Р), а в правой части — в V (Р). Поэтому, если отожде- ствить G (Р) и V (Р) при помощи изоморфизма 0, то ковариантное дифференцирование в G (Р) и в У (Р) будет одинаковым. Чтобы перенести на G (Р) якобиевы поля и дифференциальное уравнение Якоби, необходимо определить эндоморфизм кривизны Я(-,Р' (0) Р' (0:G(P (0)->G(P (0) для каждого t £ [а, Ь]. Это можно сделать следующим образом. Для заданного v С G (р (0) выберем произвольный х С ЛЕ (Р (0) из условия л (х) = v и положим Я (у, Р' (0)Р' (0 = л (R (х, Р' (0) Р' (0). (9.34) Легко видеть, что в силу равенства Д (Р', р') р' = 0 это определе- ние не зависит от выбора х С X (Р (0), если только л (х) = v. Если v = л (х) и w = л (у), где х, у £ X (Р (0), то из формул (9.31) и (9.34) вытекает, что g (Я (и, р' (0) Р' (t), w) = g(R (х, р' (0) р' (0, у). (9.35)
9.3. Теория Морса для изотропного индекса 269 Наконец, пользуясь симметрией g (/? (х, у) г, и»), получаем, что g (Я (f, Р' (0) Р' (0. = g (R (щ, Р' (0) р' (0, V) (9.36) для всех и, w £ G (Р (0). Теперь мы подготовлены к тому, чтобы определить в G (Р) якобиевы классы (см. Бёлтс (1977, с. 43—44)). Определение 9.50. Гладкое сечение И £ ЗЕ (Р) называется якобиевым классом в G (Р), если V удовлетворяет дифференциаль- ному уравнению Якоби V" + R (V, р') р' = [р'1, (9.37) где ковариантное дифференцирование задается формулой (9.32), а эндоморфизм кривизны R—формулой (9.34). Как мы увидим в приводимой ниже серии лемм, для заданного якобиева класса U7 £ ЗЕ (Р), подчиненного условиям IT (а) =Д ф [Р' (а) 1 и W (Ь) #= [р' (6)], в Г-1 (Р) существует двупараметри- ческое семейство якобиевых полей вида </&,„ = / + ^Р' + + цф', где X, р £ R и л (Тл.ц) = Далее следует подчерк- нуть, что для заданного якобиева класса W £ ЗЕ (Р) может и не быть якобиева поля J, для которого л (J) = W, в произволь- ной геометрической реализации V (Р) факторрасслоения G (Р). С другой стороны, всегда существует якобиево поле J £ Vх (Р), у которого л (J) = W. Но для J может оказаться необходимым иметь компоненту в [р' ]. Причина этого станет ясна в лемме 9.52. В доказываемых ниже леммах мы будем использовать геометри- ческие реализации Vх (Р) = [р'1фУ (Р), определенные в фор- муле (9.29). Лемма 9.51. Пусть W — якобиев класс векторных полей в G (Р). Тогда существует гладкое якобиево поле Y G V1 (Р), у которого л (У) = W. Обратно, если Y — якобиево поле в Vх (Р), то л (У) — якобиев класс в G (Р). Доказательство. Вторая часть утверждения леммы ясна, по- тому что если У" + R (У, р') р' = 0, то 0 = л (У" + R (У, Р') Р')= (л (У))" + R (л (У), Р') р'. Остается доказать первое утверждение леммы. Для заданного якобиева класса U7 рассмотрим гладкое векторное поле У, в гео- метрической реализации V (Р), для которого л (Ух) = W. Ввиду того что W" R (W, р') Р' = [р' ], в ЗЕ (Р) существует гладкая функция /: [а, Ь\ -> R, такая, что У( + R (Ух, Р') Р' = f Р'. Пусть h: [а, b 1 ->• R — гладкая функция, h" = f. Положим У = Ух — йр'. Тогда л (У) = W, и мы получаем /Р' = Y'{ + R (Ух, Р') Р' = (У + ЙР')" + R (У + ЙР', Р') р' = = У" + Й"Р' + R (У, Р') Р' = Y" + /р' + R (У, Р') Р'. Следовательно, 0 = У" + R (У, р') р', как и требовалось. □
Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий Более точно связь между якобиевыми полями в геометрической реализации V (Р) факторрасслоения G (Р) и якобиевыми классами в X (Р) описывается следующей леммой. Лемма 9.52. Пусть W — якобиев класс в X (Р). Тогда яко- биево поле J £ V (Р) с условием л (J) = W существует в том и только том случае, когда геометрическая реализация 6 (W) класса W в V (Р) удовлетворяет условию R (6 (W), р') Р' |; £ Е V (Р (0) для всех t £ [а, Ь]. Доказательство. Если J £ V (Р) и л (J) = W, то 6 (U7) = J. Но так как J — якобиево поле, то R (6 (W), Р') Р' = R (J, Р') Р' = -Г е v (Р) ввиду того, что J £ V (Р). Допустим теперь, что R (6 (IT), Р') Р' £ V (Р) и J = 6 (W7). Тогда R (6 (W), Р') Р' = R (J, Р') Р'. Вследствие того что IT" + + R (W, р') Р' = [р'1 в G (Р), известно, что J должно удовлет- ворять дифференциальному уравнению вида J" + R (J, р') р' = = /Р' в V1 (Р). Однако если R (6(E), Р') р' = R (J, Р') р' £ V (Р), то векторное поле J" + R (J, р') р' лежит в V (Р). Следовательно, согласно разложению (9.29), J" + R (J, Р') Р' = 0. □ Для изучения сопряженных точек необходимо доказать сле- дующее уточнение леммы 9.51 (см. Бёлтс (1977, с. 43—44)). Лемма 9.53. Пусть IE Е X (Р) — якобиев класс, подчинен- ный условиям W (а) = [р' (а)] и W (Ь) = [р' (£») 1. Тогда сущест- вует единственное якобиево поле Z Е V1 (Р), для которого л (Z) = = W и Z (а) = Z (Ь) = 0. Доказательство. Из леммы 9.51 известно, что существует яко- биево поле Y Е К-1 (Р) с условием л (У) = W. Однако мы не знаем, выполняются ли равенства Y (а) = Y (Ь) = 0. Для любых по- стоянных X, р С R векторное поле Y + Хр' + p/р' также яв- ляется якобиевым полем в V1 (Р), причем л (У + Хр' + рф') = = W. Вследствие равенств л (У) = W и W (а) = [р' (а)], W (b) = [р' (Ь) ] можно утверждать, что У (а) = схр' (а) и У (Ь) = = с2 (Р# (й) для некоторых постоянных clt с2 ( Р. Выбирая 1 = = (с2а — щЬ) (b — а)-1 и ц = b'1 [(схй — с2а) (Ь — а)"1 — с2], легко убедиться в том, что Z = У + Хр' + p/р' удовлетворяет условиям Z (а) = Z (Ь) = 0. Чтобы доказать единственность, предположим, что Zx — вто- рое якобиево поле в V1- (Р), удовлетворяющее условиям л (ZJ = = IE и Z1 (й) = Zj (b) = 0. Тогда X = Zx — Z является якобие- вым полем вида X = йр', причем X (й) = X (6) = 0. Из соотно- шения 0 = X" + R (X, р') Р' = Й"Р' + hR (Р', р') р' = й"р' вы-
9.3. Теория Морса для изотропного индекса 271 текает, что h — линейная функция. А так как h (а) = h (b) = О, то необходимой. = 0. Следовательно, ZT = Z, как и требовалось. □ Доказанная лемма 9.53 позволяет дать следующее определе- ние. Напомним также, что если J — произвольное якобиево поле вдоль р, удовлетворяющее условиям J (4) = J (4) = 0, где 4 тА 4, то J G V1 (Р) (см. лемму 9.46). Определение 9.54. Пусть р: [a, b]-+(M, g)— изотропная геодезическая. Будем говорить, что точки 4 и h из Iе> й], =£ 4, сопряжены вдоль р, если в $ (Р) существует якобиев класс W #= [p'J, для которого W (4) = tp' (4)J и IT (4) = I₽z (4)Ь Будем говорить также, что 4 С (а- й ] — сопряженная точка геодезической р, если t = а и 4 сопряжены вдоль р. Положим Jt (Р) = {якобиевы поля Y вдоль Р: Y (а) = Y (t) = 0} и Jt (Р) = {якобиевы классы W £ X (Р): W (а) = [р' (и)] и W (0 = Гр' (/)]}. Тогда Jt (Р) cz V1- (Р) и 4 и 4 сопряжены вдоль Р в смысле оп- ределения 9.54 в том и только том случае, когда существует не- тривиальное якобиево поле J вдоль р, у которого J (4) = J (t2) = = 0. Из единственности, доказанной в лемме 9.53, вытекаетсле- дующий важный результат. Следствие 9.55. Естественное проектирование л: Jt (Р) -> -> Jt (Р) является изоморфизмом для каждого t С (а, Ь]. Таким образом, Jt (Р) конечномерно и dim Jt (Р) = dim ./( (Р) для всех t 4 (а, й]. Теперь мы подготовлены к изучению индексной формы изо- тропной геодезической Р: [a, b] -> (М, g). Для геометрической интерпретации индексной формы полезно ввести функционал, аналогичный функционалу длины дуги для времениподобных гео- дезических, а именно функционал энергии. Основанием для ис- пользования энергии вместо длины дуги является простое обстоя- тельство: производная функции / (х) = ух в точке х = 0 не су- ществует, а у—g (Р' (/), Р' (0) = 0 Для всех t € й], если только р — изотропная геодезическая. Определение 9.56. Пусть у: [с, d] -> (ЛТ, g) — гладкая непро- странственноподобная кривая. Гладкое отображение Еу: [с, d] -> -*• R, задаваемое формулой =4~ j L (s) ins=—4~ JLg (s)’(s)) ds>
272 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий называется функционалом энергии кривой у, а число Е (у) = = Еу (d) — энергией кривой у. Энергия кусочно-гладкой непространственноподобной кривой у вычисляется при помощи суммирования энергий по интервалам, на которых у является гладкой, в точности так же, как и в фор- муле (3.1) для функционала длины дуги. Если положить Lv (t) = = Z. (Т | [/7, /]), то, применяя неравенство Коши—Буняковского (Коши—Шварца), получим L* (d) <c2(d-c}Ev(d). (9.38) Равенство в формуле (9.38) достигается в том и только том случае, если || / (f) || постоянна. Тем самым равенство выполняется только для изотропных или времениподобных геодезических. Напомним, что через V1 (0) обозначается пространство ку- сочно-гладких векторных полей Y ъррпъ 0, ортогональных 0' и VJ- (0) = {У е У1 (0): Y (а) = Y (Ь) = 0}. Определение 9.57. Индексная форма /: V1 (0) X VL (0) R изотропной геодезической 0: [о, Ы -> М определяется по правилу I (X, Y) = — J* ((X', Y') - (Z? (X, 0') 0', У}) dt (9.39) для любых X, У £ V1- (0). Интеграл в правой части формулы (9.39) можно проинтегри- ровать по частям совсем так же, как и во времениподобном слу- чае (см. замечание 9.5). Это позволяет дать другое, но равносиль- ное определение индексной формы, используемое Хокингом и Эллисом (1977, с. 129) и Бёлтсом (1977, с. ПО). Или, подробнее, k I (X, У) = J* (X" + Z? (X, 0') 0', У)dt + 2 (Az. (X'), У), (9.40) i=0 где разбиение а ~ t0 < <• • •< tk = Ь выбрано так, что -У ] ^г+il гладкое для всех i = 0, 1, ..., k и А/о (X') = X’ (а+), A,ft (X') = —X' (b~) и Az. (X') = limX'(П - limX' (t), где i — k — 1. Если a — вариация изотропной геодезической 0, такая, что все соседние кривые изотропны, то все производные функционала энергии обращаются в нуль при s = 0, так как Е (as) = 0 для
9.3. Теория Морса для изотропного индекса 273 всех s. Поэтому обычно ограничиваются рассмотрением следую- щего класса вариаций. Определение 9.58. Кусочно-гладкая вариация а: [«, 6] X X (—е, е) -> М кусочно-гладкой непространственноподобной кривой |3: [а, 61-> Л4 называется допустимой, если все со- седние кривые as: [о, Ь]-+М, задаваемые формулой as (t) = = a (t, s), являются времениподобными для каждого s =£ О’из (— в, в). Предположим теперь, что для W £ V1 (Р) существует допу- стимая вариация а: [а, 6] X (—е, е) М с векторным полем вариации a* (d/ds) | (<, 0> = W (/) для каждого t £ [а, Ы. Пусть Е (as) — энергия соседней кривой as: [а, Ь] Л4 для каждого s Е (—Е> Е)- Тогда (dlds) Е (as) | s=0 = О ввиду того, что р — геодезическая, и (р. ~E(as)\s^ = I(W, W). (9.41) Так как Е (Р) = Е (а0) = 0, то должно выполняться неравенство (c?/d&) Е (as) | s=o 0. Поэтому условие / (IF, IF) 0 является необходимым для того, чтобы W £ VL (р) было векторным полем некоторой допустимой вариации а геодезической р. Заметим, также что если точка изотропного раздела для р (а) вдоль р в буду- щем появляется позже Р (6), то допустимых собственных вариаций геодезической р не существует (см. следствие 3.14 и разд. 8.2). Непосредственно из формулы (9.39) вытекает, что если X £ € (Р) — векторное поле вида X (f) = f (t) Р' (f) для любой кусочно-гладкой функции f : [а, b 1 -> R с условиями f (а) = = f (b) = 0 и произвольного Y (- V,1, (р), то I (X, Y) = 0. Поэ- тому индексная форма I: VJ- (Р) X (Р) -> R никогда не мо- жет быть отрицательно определенной и, хуже того, всегда имеет бесконечномерное нулевое пространство. Это наводит на мысль, что индексную форму следует спроектировать на G (р) (см. Хо- кинг и Эллис (1977, с. 129), Бёлтс (1977, с. 111)). Напомним, что обозначение ЗЕ (Р) было введено для кусочно-гладких сечений факторрасслоения G (р) и ЗЕ0(р) = {IF Е $ (Р): W GO^P' (G)l, W(b) = [р' (6)1|. Определение 9.59. Индексная форма I: X (р) X %. (Р) -> R за- дается формулой 7(17, IF) = —Р te(l/', r')-g(^(Kp')P', W)]dt (9.42) J t—a где V, W £ ЭЕ (P), a g, R и ковариантная производная сечений факторрасслоения G (Р) задаются формулами (9.31), (9.34) и (9.32) соответственно.
274 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий Так же как и в случае индексной формы I: V-L (Р) X V1 (Р) ->- R, интегрируя в формуле (9.42) по частям, получаем соотно- шение 7 (V, W) = j* g (V" + R (V, Р') Р', W) dt + + ^g(W/). ^(П). где разбиение a = t0 < < • • • < tk = b выбрано так, что V I ti+i] является гладким для i = 0, 1, ..., k. В частности, если V — гладкое сечение G (Р), то ь ЦУ, W) = — g(V’, Г)|^ + jg(V"+W> РЖ Г)ЙЛ(9.44) а и если V — якобиев класс в ЗЕ (Р), то 7(У, = Г)|*. (9.45) Из того, что векторные поля вида f (f) Р' (/) располагаются в нуле- вом пространстве формы /: Vх (Р) X V1 (р) -> R, для любых X, Y С У1 (Р), подчиненных условиям л (X) = V и л (У) = W, вытекает, что 7 (V, W) =1 (X, У), (9.46) где индекс в левой части равенства вычисляется в ЗЕ (Р), а в пра- вой — в У1 (Р). В разд. 9.1 мы видели, что для времениподобных геодезических сегментов нулевое пространство индексной формы состоит из гладких якобиевых полей, обращающихся в нуль в обеих конце- вых точках. Сейчас мы докажем аналогичный результат для индексной формы I на факторпространстве ЗЕ0 (Р) для произволь- ного изотропного геодезического сегмента Р: [о, b ] -> М. Теорема 9.60. Для кусочно-гладких векторных классов W £ С ЗЕП (Р) следующие высказываний эквивалентны: (a) W — гладкий якобиев класс в ЗЕ0 (Р). (б) 7 (W, Z) = 0 для всех Z £ ЗЕ0 (р). Доказательство. Из формулы (9.45) ясно видно, что (а) влечет за собой (б). Чтобы показать, что (б) влечет за собой (а), зафикси- руем единственное кусочно-гл ад кое векторное поле У в геометри- ческой реализации V (Р) для G (Р), задаваемой соотношением (9.28), с л (У) = W и У (а) = У (Ь) = 0. Пусть а = t0 < 4 < < ... < Zfe = b — конечное разбиение отрезка [а, Ь], такое, что У | Itj, tj+l} — гладкое поле для / = 0, 1, ..., k — 1. Пусть далее р: U, fe]-*R — гладкая функция, у которой р (t}) =0
9.3. Теория Морса для изотропного йндексй 275 для каждого j, 0 < / с Л, и р (t) > 0 во всех других точках. Положим Z = л (р (Y" + 7? (У, Р') Р')) £ ЗЕ0 (Р). Тогда из соот- ношения (9.43) получаем, что О = F(W, Z) = ftflP (0 g + R (V, р') р', W" + + т? (W, Р') p')Pd/. Вспоминая, что метрика g положительно определена (см. замеча- ние 9.48), получим, что IF" (/) + 7? (IF (t), Р' (/)) Р' (t) = [р' (/) I, за исключением, может быть, точек tj. Поэтому IF | (tj, /7-+L] является гладким якобиевым классом для каждого j. Чтобы показать, что значения IF в точках tj согласуются так, что на всем [с, Ь] возникает гладкий якобиев класс, достаточно убедиться в том, что векторное поле Y, представляющее IF, в геометрической реализации V (Р) является С1-гладким векторным полем. Прежде всего заметим, что так как равенство IF" (f) + 7? (IF (7), Р' (0) Р' (0 = IP' (01 справедливо всюду, кроме, может быть, точек tj, то, применяя формулу (9.43), получаем, что 0 = /(IF, Z)=Sg(Z(M, Af.(IF')) для любого Z г ,Т0 (Р). Из того, что Y V (Р), имеем (Y (t), Р' (t)) = (Y (t), и] (<)) =0 для всех t С [а, М. Поэтому (Y' (t), Р' (0) = v (0> ’1 (0) = ® Для 7i> •••, tk\> а по непре- рывности &t.(Y') £ V (Р (tj)) для каждого j = 1, ..., k — 1. Пусть X С V (Р) — гладкое векторное поле, у которого X (а) = X (Ь) = = 0 и X (tj) = А/. (У') для каждого j = 1, ..., k — 1. Положим Z = л (X) С (Р)- Тогда получаем, что _ k~^ 0 = I(W, Z) = g (A,. (Y'), Az. (/')>. Из этого соотношения вытекает, что А^. (Y') =0 для j = 1, .. ..., k — 1. Следовательно, Y’ непрерывно в точках tj, как и тре- бовалось. □ Заметим, что в первой части доказательства (б) => (а) теоремы 9.60 мы не знаем, что Y" + 7? (Y, Р') Р' С F (Р)» Даже если Y £ £ V (Р). Поэтому мы не можем заключить, что Y — якобиево поле во всех точках, кроме tj. Это как раз и есть то самое место в переходе к факторрасслоению G (Р), в котором IF" + 7? (IF, Р') Р' лежит в G (Р) по построению, и индуцированная метрика g поло- жительно определена на G (Р) X G (Р). Целью следующей части этого раздела является доказательство важного результата о том, что индексная форма I: (Р) X
276 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий X Хо (Р) -> R отрицательно определена в том и только том слу- чае, когда на [a, b ] нет точек, сопряженных t = а, ъдрлъ р. До- казательство этого результата, который неявно содержится в пред- ложениях 4.5.11 и 4.5.12 Хокинга и Эллиса (1977), проведено во всех деталях Бёлтсом (1977, с. 117—123). Ввиду того что доказа- тельство отрицательной определенности значительно отличается от соответствующего доказательства для времениподобных гео- дезических (см. теорему 9.22), мы коротко обрисуем доказатель- ство для времениподобного случая, с тем чтобы прояснить отли- чия. Напомним, что прежде всего мы показали, что произвольные собственные кусочно-гладкие вариации а времениподобного гео- дезического сегмента имеют времениподобные соседние кривые as для достаточно малых s. Затем как следствие из леммы Гаусса и теоремы об обратной функции было доказано, что если с: fa, b ] -> -> М. — направленный в будущее времениподобный геодезиче- ский сегмент без сопряженных точек, то для любой собственной кусочно-гладкой вариации а геодезической с соседние кривые as удовлетворяют неравенству L (as) с L (с) для всех достаточно малых s. Это приводило к тому, что в отсутствие сопряженных точек индексная форма отрицательно полуопределена. Затем мы смогли алгебраически доказать отрицательную определенность. Обратно, если с имела на fa, b ] сопряженную точку, мы строили кусочно-гладкое векторное поле Z £ (с) нулевого индекса, используя для этого нетривиальное якобиево поле, гарантирован- ное существованием точки, сопряженной t = а. Для того чтобы построить содержательную теорию для изо- тропных геодезических, необходимо работать с допустимыми вариациями. Однако из теории для точек изотропного раздела известно, что если р (Ь) приходит раньше точки изотропного раздела для р (а) вдоль р в будущем, то в М не существует напра- вленных в будущее времениподобных кривых из р (а) в р (Ь). Поэтому геометрические доводы поднятия в отсутствие сопряжен- ных точек и применение леммы Гаусса не могут быть использованы для получения отрицательной полуопределенности индексной формы / в отсутствие сопряженных точек. Вместо этого необ- ходимо работать непосредственно с самими якобиевыми поля- ми. Наиболее удобно сделать это при помощи якобиевых тензоров. С другой стороны, доказательство того, что если I < 0, то сопряженных точек нет, можно провести в точности так же, как в римановом случае и в случае времениподобных геодезических. Значительно более сложные доказательства представлены у Хо- кинга и Эллиса (1977, предложение 4.5.12) и Бёлтса (1977, теорема 4.5.3) вследствие того, что эти авторы хотели получить следу- ющий результат: если Р: [а, Ы ->• М имеет точку Р (f), t £ (о, b), сопряженную р (а), то существует времениподобная кривая,
9.3. Теория Морса для изотропного индекса 277 идущая из р (а) в р (Ь) «близко» к р. Векторное поле W собствен- ной допустимой вариации кривой р, используемое для доказатель- ства этого результата, проектируется в векторное поле W = — л (W) С (Р). W =£= [р' ], которое в силу условия (9.46) удо- влетворяет неравенству I (IF, IF) 0 и, следовательно, доказы- вает оставшуюся половину теоремы 9.69. Для полноты изложения мы приведем также доказательство предложения 4.5.12 из книги Хокинга и Эллиса. Отметим, что этот результат состоит в следу- ющем: точка изотропного раздела геодезической р появляется одновременно с первой изотропно сопряженной точкой р или раньше. Чтобы доказать отрицательную определенность формы I в слу- чае, если р свободна от сопряженных точек, коротко опишем основные понятия и факты теории якобиевых и лагранжевых тензоров (см. Бёлтс (1977, с. 45—49)). Описание этих тензоров, приведенное в указанной монографии с точки зрения V-обозначе- ний, впервые было дано Эшенбергом (1975) для римановых много- образий и опубликовано также в работе Эшенберга и О’Салливена (1976), где эти тензоры привлекались для изучения расходимости геодезических в полных римановых многообразиях. Вспомним, что для заданной изотропной геодезической Р: 1а,Ь)-*-М было выбрано изотропное векторное поле т], параллельное вдоль Р и такое, что g (т| (£), Р' (t)) = —1 для всех / Е Ь, b I, а затем были выбраны пространственноподобные поля \Е1г ..., Еп_2\, параллельные вдоль Р и удовлетворяющие усло- виям g (Et (/), Ej (/)) = бу и g (£; (0, Р' (0) = g (0, (0) = 0 для всех I, / и всех t С Положим Ео = р'. (1,1)-тензорное поле А (/) пространства FJ (Р) —это линейное отображение А = А (/): N (Р (0) -> N (Р (0) для каждого t Е Ь, b ]. Поэтому, если v С N (Р (/)), то A (t) (v) С £ N (р (/)). Составной эндоморфизм RA (/): N (Р (/)) N (Р (?)) можно определить, полагая RA (I) (v) = R (A (t) (v), Р' (0) Р' (t) (Е АЧР (0) (9-47) для любого v С N (р (/)). Тензорное поле A (t) будет гладким (соответственно кусочно-гладким), если отображения A (Ej) (t), [и, b] -> V1 (p), являются гладкими (соответственно кусочно-гладкими) для каж- дого j = 0, 1, ..., п — 2. Записывая п—2 A(ES)=H /;Л+АР', (9-48) 4—1
Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий где //, /;•: [а, Ь]R, можно определить (1,1)-тензорное поле A' (t): N (Р (/)) -» N (|3 (/)) по правилу п—2 где / =0, 1, п—-2. Отсюда вытекает, что композицию (1,1)-тензоров можно отождествить с матричным умножением компонент функций $ и fj. Поэтому, если А = А (/) и В = В (t) — (1,1)-тензорные поля вдоль р, то мы имеем (ЛВ)' = А'В + АВ'. (9.49) Применяя правило (9.49) к равенству АА~г = id в случае, если A (t): N (Р (/)) -> N (Р (/)) неособенно для всех t, получим следу- ющее правило дифференцирования для неособенных (1,^-тензор- ных полей: (Л-1)' = —- Л'М'ЛЧ (9.50) Для построения теории изотропного индекса, однако, нам необходимо рассматривать (1,1)-тензорные поля не на V1 (Р), а на факторрасслоении G (Р). Для каждого t G la, b] (1,1)-тензор- ное поле А = А (/): G (Р (/)) -> G (Р (/)) является линейным отоб- ражением, которое переводит векторные классы в векторные классы. Применяя к X (Р) операцию проектирования ковариант- ной производной (см. соотношение (9.32)), мы сможем дифферен- цировать кусочно-гладкие (1,1)-тензорные поля в G (Р (/)) и полу- чим формулы (АВ)' — А'ВАВ' (9.51) и ((Л)-1)' = -Й)-М' (Л)-1 (9.52) при условии, что А невырожденно. В силу того что спроекти- рованная метрика g: G (Р (t)) X G (Р (/)) R положительно опре- делена, можно определить тензорное поле А* = A* (i), сопря- женное (1,1)-тензорному полю A (t) для G (р (/)), по формуле g (A (W), Z) =g (Л* (Z), W) (9.53) для всех векторных классов Z, W £ G (Р (t)) и всех t G la, Ь]. Можно также определить составной эндоморфизм /?Л: G (Р (t)) -» -> G (Р (/)) посредством правила RA (W) = R (A (W), р') р', (9.54) где R — спроектированный оператор кривизны, задаваемый фор- мулой (9.34). Ядром ker (Л (/)) (1,1)-тензорного поля A (t): G (Р (0) G (Р (I)) является линейное пространство ker (Л (0) = {ю б G (Р (/)): A (t) (w) = [Р' (/)]). (9.55)
9.3. Теория Морса для изотропного индекса 279 Если A (t) (w) = [|У (/)] для всех w £ G (р (/)) и всех t £ la, 51, то (1,1)-тензорное поле A (t): G (Р (/)) -> G (Р (/)) будет нулевым тензорным полем; обозначение А = 0. Теперь после всех этих вспомогательных приготовлений мы готовы определить якобиевы и лагранжевы тензорные поля. Определение 9.61. Гладкое (1,1)-тензорное поле A: G (Р) -> G (Р) называется якобиевым, если А удовлетворяет условиям ~А" + RA = 0 (9.56) и ker (Л (/)) П кет (А' (/)) = ЦР' (/)]} (9.57) для всех t G la, Ь]. Условие (9.56) является следствием того, что если Y С (Р) — произвольный векторный класс, параллельный вдоль р, то J = = А (У) — якобиев класс вдоль р. Это вытекает из того, что J" + R (J, Р') Р' = ~А" (У) ЯЛ (У) = (А" + ЯЛ) (У) = 0, так как У' = 0. Условие (9.57) означает, что если Ylt ..., Уп_2 — линейно независимые параллельные сечения ЗЕ (Р), то Л (У2), ... ..., Л (Уп_2) являются линейно независимыми якобиевыми се- чениями в следующем смысле. Если ..., ?п_2 — вещественные постоянные, для которых п—2 S М (У;) (0 = [р' (/)] /=1 при всех t G. [а, Ы, ТО ^ = ... = 7п_2 = 0. Обращение приведенной выше конструкции можно использо- вать для доказательства существования якобиевых тензоров. Пусть Ег, ..., Еп_2 — пространственно подобные параллельные поля, выбранные в (9.28) и порождающие V (Р). Пусть Е} = = л (Ej) — соответствующие параллельные векторные классы в X (Р). Пусть далее ..., — якобиевы классы_ вдоль р с начальными условиями Ji (а) = [р' (t) 1 и J’i (а) = Е, (а) для i 1, ..., п — 2. Якобиев тензор Л, удовлетворяющий началь- ным условиям Л (о) = 0, Л' (а) = id, может быть определен требованием, что 7г = Л(Ёг) (9.58) для каждого i = 1, ..., п — 2, и по линейности продолжен на все G (Р). Из того, что Ji — якобиевы классы, a Et — параллельные классы в X. (Р), вытекает, что Л удовлетворяет равенству (9.56). Чтобы проверить, что Л удовлетворяет условию (9.57), предполо-
280 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий жим, что A (t) (v) = A' (f) (у) = [pz (t) ] для некоторого v С С G(P (0)- Выберем единственный вектор v £ V (р (t)) из усло- вия л (v) = v и запишем его в следующем виде: v Тогда v = (t), и мы получаем, что [р' (t) 1 = А (о) = п—2 п—2 [Р'(О]=л'(?)=s мчад = s ыщ. i=l i=l Таким образом, J = 2j?=i2Wi — якобиев класс в G (Р), удовлет- воряющий условиям J (I) ~ ]' (t)= [pz (/)]. Следовательно, J = = (Р'1. Тем самым (s) = [р' (s) ] для всех s С Ь. ft], что противоречит линейной независимости параллельных классов Ег, ..., Еп_2. Следовательно, ker (A (s)) fl ker (Д' (s)) = [р' (s) ] для всех s С [с. Ь], как и требовалось. Полезно отметить также следующий результат. Лемма 9.62. ker (A (s0)) fl ker (A' (s0)) = IP' (s0) 1 для неко- торого s0 £ la, b] в том и только том случае, если А удовлетво- ряет условию (9.57). Доказательство. Предположим, что v С ker (A (s0)) fl fl ker (A' (s0)), v =A= [pz (Sp) ], a Y — параллельный класс в $ (p), для которого Y (s0) = v. Тогда J = А (У) — якобиев класс, у которого J (s0) = А (и) = [р' (s0)J и J' (s0) = А' (v) = [jV_(s0) ]. Следовательно, J = [р'1. Откуда вытекает, что Y (f) С ker (А (/)) fl fl ker (А' (/)) для всех t £ [а, Ь\. □ Следующие две леммы нетрудно получить из тех связей между параллельными классами, якобиевыми классами и якобиевыми тензорами, которые указаны выше (см. Бёлтс (1977, с. 28 и 49)). Лемма 9.63. Точки Р (/0) и Р (4) сопряжены вдоль изотропной геодезической Р: [а, 5]-> 7И в том и только том случае, если существует якобиев тензор A: G (Р) -> G (Р), для которого A (t0) = = 0, А'(/о) = id и ker (А (4)) =# {ГР' (4)1}- Лемма 9.64. Пусть р: [a, b] —> М — изотропная геодези- ческая без сопряженных точек. Тогда существует единственное гладкое (1,1)-тензорное поле A: G (Р) -> G (р), удовлетворяющее дифференциальному _ уравнению А" + RA =0 с заданными гра- ничными условиями A (a): G (р (а)) -> G (Р («)) и А (5): G (р (5)) -> ^•G(P(fc)).
9.3. Теория Морса для изотропного индекса 2R1 Доказательство. Обозначим через J пространство (1,1)-тен- зорных полей в G (0), удовлетворяющих дифференциальному уравнению А" + ДА = 0. Тогда можно определить линейное отображение <р: J -> L (G (0 (а))) X L (G (0 (6))), полагая <р (Л) = = (А (а), А (Ь)). Из того, что 0: [а, Ы-+ М свободна от сопря- женных точек, вытекает инъективность <р. Поэтому, если <р (Л) = = (0, 0) и Y — произвольный параллельный векторный класс в Ж (0), то J = Л (F) — якобиев класс, у которого J (а) = = [0' (а) I и J' (Ь) = [0' (Ь) 1, так что J = [0' ]. В силу того что <р — инъективное линейное отображение и dim J = = dim (L (G (0 (а))) X L (G (0 (fc)))), получаем биективность <р. □ Даже если Д = Д* и (Л')* = {А*)’, тензор Л*, сопряженный якобиеву тензору Л, не обязательно сам якобиев вследствие того, что в общем случае (7?Л)* ДА*, хотя всегда (7?Л)* = Л*7?. Тем не менее якобиевы тензоры и сопряженные имеют следующее полезное свойство, которое удобно установить при помощи тен- зорного поля Вронского (см. Эшенбург и О’Салливэн (1976, с. 226), Бёлтс (1977, с. 48)). Определение 9.65. Пусть А и В — два якобиевых тензора вдоль G (0). Тогда их вронскиан W (Л, В) —это (1,1)-тензорное поле вдоль G (0), задаваемое по правилу W (Л, В) = (Л')* В - А*В’. (9.59) Из того, что Д* = Д, и равенств (9.51) и (9.56) вытекает, что если Л и В — любые два якобиевых тензорных поля вдоль G (0), то [W (Л, В)]' =0. Тем самым W (А, В) является постоянным тензорным полем. Тогда естественно рассмотреть следующий подкласс якобиевых тензоров. Определение 9.66. Якобиево тензорное поле Л вдоль G (0) называется лагранжевым тензорным полем, если W (А, А) =0. Для доказательства предложения 9.68 нам понадобится не- большое следствие из определения 9.66. Лемма 9.67. Пусть А — якобиев тензор вдоль G (0). Если A (s0) = 0 для некоторого s0 £ [a, b 1, то А — лагранжев тензор и, в частности, (А')*А = А*А'. (9.60) Доказательство. Мы уже знаем^что W (Л, Л) — постоянный тензор. Но если Л (s0) = 0, то _и A* (s0) =0, и, следовательно, IF (Л, Л) (s0) = 0. Поэтому IF (Л, Л) =0, как и требовалось. □
282 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий Теперь мы готовы доказать следующее важное утверждение. Предложение 9.68. Пусть 0: [a, b\ -> М — изотропная гео- дезическая, свободная от точек, сопряженных t = а. Тогда I (W, W) <0 для всех W £ Жо (0), W =# [₽' L Доказательство. Пусть А — якобиев тензор вдоль G (0) с на- чальными условиями А (а) =0 и А' (а) = id. Из того, что 0 не имеет сопряженных точек, в силу леммы 9.63 получаем, что ker (Л (/)) = {[0' (/)]} для всех t 6 («, Н. Пусть теперь W £ (0) произвольно. Из того, что А — неособенный на (а, Ь] и IF (а) = [0' (а)], вытекает существование Z С Э? (0) с условием W = A (Z). По правилу ковариантного дифференцирования тензорных полей получаем, что A (Z) = [A (Z)]' — A (Z') (9.61) и A" (Z) = (A' (Z))' — A' (Z'). (9.62) Приступим к вычислению I (IF, IF). Привлекая формулы (9.56) и (9.61), получим сначала Z(IF, IF) = - Jjg(IF', IF')— g (7? (IF, 0')0', IF)] rtf = = -Jjg([A(Z)]', [A(Z)]')-g(^A(Z), A(Z))\dt — = - J(g (A' (Z), A' (Z)) + 2g (A' (Z), A (Z')) Ф- + i (A (Z')> A (Z)) + i (A" (Z), A (Z))] dt. И далее g(A"(Z), A(Z)) = g([A'(Z)]', A(Z))— g(A'(Z'), A(Z)) = = [i (A' (Z), A (Z))]1 - g (A' (Z), [A (Z)]') - g (A' (Z'), A (Z)) = = [g Й' (Z), A (Z))]' - g (A' (Z), A (Z')) - g(A' (Z), A' (Z)) - ’1; -g(A'(Z'), A(Z)). Подставляя полученное выражение в приведенную выше формулу для I (IF, IF), получим, что 7 (IF, IF) = -i(4'(Z), 4(Z))|^- - П ЁЙ(Z'), A (Z')) + g(A' (Z), A(Z')) - -g(A'(Z'), A(Z))]dt = -g(A'(Z), W)\ba- - (i(A (Z'), A (Z')) + i(AM' (Z), Z') - i(Z', (A')* A (Z))J dt:
9.3. Теория Морса для изотропного индекса 283 Первое слагаемое обращается здесь в нуль, поскольку W (а) = = 10' (а) ] и W (Ь) = 10' (&)]. Поэтому, используя равенство (9.60), получаем 7 («7, W) = - J* ii (Л (Z'), A (Z')) + g (ГЛ*Л' - (Д')* Д] (Z), Z')\ di = = — J*g (A(zZ), ~A(Z'))dt, Если Z' (t) = 0 для всех t, то Z параллельно вдоль 0, и, значит, W = Л (Z) должен быть якобиевым векторным классом вдоль 0, для которого W (а) = [0' (а) 1 и W (Ь) = [0' (&)]. Так как 0 не имеет на (а, Ы сопряженных точек, это невозможно. Следова- тельно, из положительной определенности метрики g и невыро- жденности Л (I) для t £ (а, &] мы получаем, что / (W, IF) < 0, как и требовалось. П Это предложение имеет хорошо известное в общей теории относительности геометрическое следствие: если 0: [а, b ] -> М свободна от сопряженных точек, то никакая «малая» вариация не дает времениподобной кривой из р в q (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 130)). Приступим к доказательству следующей теоремы. Теорема 9.69. Пусть 0: 1а, Ь]->• М — изотропный геодези- ческий сегмент. Тогда следующие высказывания эквивалентны: (а) 0 не имеет на (а, &] сопряженных точек. (б) 7 (IF, IF) < 0 для всех IF 6 Жо (0), IF =/= [0'1. Доказательство. В предложении 9.68 мы уже показали, что из (а) следует (б). Чтобы показать, что (б) влечет за собой (а), допустим, что точка 0 (а) сопряжена 0 (t0), где 0 < t0 с Ь, и построим нетривиальный векторный класс 1F £ Жо (0), для кото- рого / (IF, IF) 0. Известно, что если 0 (а) сопряжена 0 (/0), то существует нетривиальный якобиев класс Z £ 3? (0), у которого Z(a) = [0' («)], Z(Q =[0' (ML Положим (2(0. <>««,. up'(01. Тогда, применяя формулу (9.45) и равенства Z (а) = [0' (а)], ^(4) = [0'(Ш получим, что 7 (IF, IF)^=/(VF, IF)'° + Z(IF, IF)|/0 = —g(Z', Z)|'» + 0 = 0. Тем самым (б) => (а) выполняется. □ Как и в римановом и времениподобном случаях (см. теорему 9.23), теорема 9.69 имеет приводимое ниже следствие, которое
284 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий существенно используется в доказательстве теоремы Морса об индексе для изотропных геодезических. Теорема 9.70. (максимальность якобиевых классов). Пусть Р: [a, i>] -> М — изотропный геодезический сегмент без сопряжен- ных точек а J С Ж (Р) — произвольный якобиев класс. Тогда для любого векторного класса Y С ЭЕ (Р) , удовлетворяющего условиям Y ¥= J и Y (а) = J (a), Y (b) = J (Ь), (9.63) имеем 1 (J, J) >7 (Y, Y). (9.64) Доказательство. Сформулированное утверждение можно доказать в точности так же, как и теорему 9.23; достаточно при- менить формулу (9.45) и теорему 9.69. Поскольку каноническая вариация (9.5) из разд. 9.1, при- мененная к векторному полю W Е Vй- (Р), не обязательно яв- ляется допустимой вариацией р в смысле определения 9.58, тео- рема 9.69 не гарантирует существования времениподобной кривой из р (а) в р (Ь) в том случае, если t = а сопряжена некоторой t0 С (а, Ь) вдоль р. Поэтому мы приведем отдельное доказатель- ство этого результата в теореме 9.72 (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 130—131), Бёлтс (1977, с. 117—121)). Сначала полезно полу- чить условия того, чтобы собственная вариация изотропной геодезической была допустимой. Для удобства будем предпола- гать, что Р: [0, 11 —/И, так что формулы в доказательстве тео- ремы 9.72 будут попроще. Пусть а: [0, 1 ] X (—е, е) -> М — кусочно-гладкая допусти- мая собственная вариация Р, такая, что каждая соседняя кривая as (/) = a (t, s) является в будущем времениподобной для s 0. Обозначим через d!dt и d!ds координатные векторные поля на [0, 1 ] X (—е, в) и положим V = a* (d/ds) и Т = a* (d/df). Тогда Т |(/г о) = Р' (0 и V |(/, о» называется векторным полем вари- ации а геодезической р. Ввиду того что а —• собственная вари- ация, V |(о, о» = V |(i, о». Кроме того, Л) |«. о) = 0 (9.65) вследствие того, что g (Т, Т) |(Z. s) < 0 для s 0 и g (Т, Т) |(г, 0) = = g (Р' (0. Р' (0) = 0- Вычисляя (g (Т, Т)), получаем 4 (g (Л Л) к о, = 2g (\d/dsT, Л |(/. о) = 2g ^dwV, Т) |(/, 0) = = 2 A (g (V, Л) к о) - 2g (V, Vd/dtT) к 0) = = 2-4(g(V, Л)ко>-2ё(Уко>, Vrfk
9.3. Теория Морса для изотропного индекса 285 Так как 0 — геодезическая, то 4(g(T’ n)lo.0) = 2 4(g(V, 7))|а,о>. .. Функция f (t) = g (V, 7) |(z, о) является кусочно-гладкой на [0, 1J и f (0) = f (1) =0. Значит, если f (/) =# 0 для некоторого t £ £ [0, 1], то существует точка 4 € (0, 1), в которой /' (4) > 0- Тогда 4(е(Л Л)|(/о,о) = 2/'(4)>о в противоречии с равенством (9.65). Тем самым в качестве первого необходимого условия того, чтобы а была допустимой вариацией геодезической 0, получаем, что g(V, 7)|(/.о) =0 (9.66) для всех / С Ю,1]. Поэтому V (V1 (0). Следовательно, ^(ё(Т, 7))|а.о> = 2 A(g(V> Т))|{<,0) = 0 (9.67) для всех t G [0, 1 ]. Из соотношения (9.67) вытекает, что соседние кривые вариации должны быть времениподобными при условии, что поле вариации удовлетворяет равенствам (9.66), (9.67) и усло- вию (da/ds2) (g (7, 7)) |(/, о) < —с < 0 для всех t £ (0, 1). Как и выше, 4(g(T’, T)) = 24<g(K, 7)) —2g(V, V^7). Следовательно, -2-Ж-(8(К У«П)|«.», = 24[48(К — 2g (Vd/dsV, Vg/gtT) 1(1!, 0) — 2g (И, Vg/gs Vg/gfT) ](/, о). Используя тождество 7? (V, 7) 7 = Vg/gs Vg/gfT — Vg/dt Vg/gsT = = Vg/gs Vd/dtT — Vg/gt Vg/gtV и равенства ¥7й/а/7|(<, o> — Vd/a/0' |/ = = 0, получим, что -Jr (g (Т, Т)) |(/, 0) = 2 A lg (VwsV, 7) + g (V, V6/as7)] |u, о) - - 2g (V, y/g/dt Vg/gtV + R (V, 7) /) |a, о» = 2 |[g (\gtdsV, 7) + + g (K Vg/gfV)] |a, o) — 2g (V, Vg/gs Vg/gtT) |a, o). Проведенные вычисления позволяют сформулировать следу- ющую лемму.
286 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий Лемма 9.71 .^Достаточное условие того, чтобы кусочно-гладкая вариация а: [0,1] X (— е, е) -* М изотропной геодезической 0: [0, 1 ] -> М была допустимой вариацией (т. е. кривые as (t) = = a(t, s) времениподобны при s=#0) для всех достаточно малых s О, состоит в том, что векторное поле вариации V (/) = = а, (d/ds) |(/, о) удовлетворяет следующим соотношениям: g (V (t), 0' (t)) = 0 для всех t £ [О, 1 ], (9.68) 4 fe Т» h- 0) = 0 для всех * £ 1°’ (9-69) 4 (g (W ₽') + g (V, F')] |(л o> - - g (Г, V" + R (V, 0') 0') |< < - c <0 (9.70) для всех t £ (0, 1), в которых V является гладким. Теперь мы подготовлены к тому, чтобы доказать требуемый результат (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 130)). Теорема 9.72. Пусть 0: [0, 1 ] -> М — изотропная геодези- ческая. Если для некоторого t0 £ (0, 1) точка 0 (t0) сопряжена 0 (0) вдоль 0, то существует времениподобная кривая из 0 (0) в 0(1). Доказательство. Будем [предполагать, что t0 > 0 — первая точка, сопряженная 0 (0) вдоль 0. Достаточно показать, что для некоторого t2, подчиненного условию t0 < t2 С 1, существует направленная в будущее времениподобная кривая, идущая из 0 (0) в 0 (/2), так как тогда мы имеем: 0 (0) 0 (А>) <$С 0 (1) и, значит, 0 (0) 0 (1). Таким образом, времениподобная кривая из 0 (0) в 0 (1) существует. Поскольку точка 0 (£0) сопряжена 0 (0) вдоль 0, существует гладкий нетривиальный якобиев класс W £ ЗЕ (0), для которого IF (0) = [0' (0)1 и W (t0) = [0' (4)]. Справедлива [следующая формула: W (t) (t) W (t), (9.71) где IF — гладкий векторный класс вдоль 0 с условием, что g (IF, IF) = 1 и /: ГО, 11 —э- R — гладкая функция. Ввиду того что t0 — первая сопряженная точка вдоль 0 и f (0) — f (t0) = 0, изменяя, если необходимо, IF на —IF, можно считать, что / (t) >0 для всех t С (0, t0). Из того, что IF — нетривиальный якобиев класс и IF (tQ) = [0* (4)], имеем IF' (t0) =/= 10' (4)]. Поэтому из фор- мулы IF' (t0) =f (t0) W (t0) + f (t0) IF' (to) = /' (/<) W (t,.) вы- текает, что f'(t0) 0. Таким образом, можно выбрать tA С (to-, И так, что IF’(/) ф [0' (t) ] и f (t) < 0 для всех t £.(t(h 41- Покажем теперь, что существует t2 £ (А» ^1»\где выбрано выше, для которого можно найти допустимую вариацию а: [0,
9.3. Теория Морса для изотропного индекса 28? t2} X (—е, е) —>•/И геодезической 0 | [О, /2]. Тогда соседние кри- вые as вариации а для s 4 0 будут времениподобными кривыми из 0 (0) в 0 (/2). Но это означает, что 0 (0) <0 (1), как и требо- валось. Продеформируем для этого W | [0, в векторный класс Z | IO, t2], удовлетворяющий условию g (Z, Z" 4 R (Z, 0') 0Э > > 0, так, что если Z С V1 (0) — соответствующее поднятие Z G С Ж (0 | [0, t2]) и а — вариация геодезической 0 | [0, t2 ] с век- торным полем вариации Z, то условия (9.69) и (9.70) леммы 9.71 будут выполнены. Рассмотрим векторный класс вида Z (0 = [& (еа< — 1) +/(?)] W (t), где b = —f (4) (eaZ* — l)^1 € R и a > 0 выбрано в R так, что (а2 4 inf \h (t): t 6 (0, 41}) > 0,. где h(t) 4 R(W, 0') 0', in It- Так как IF— якобиев класс, то О (IF" + R (W, 0') 0', W) = f" + 2f~g (Wr, W) 4- (Wn, W) + + fg(R(W, 0')0', W)=r + 2f'g(W', W)+fh. Из того, что g (IF', IF) = (1/2) (g (IF, IF))' =0, получаем фор- мулу f" = —fh. Возвращаясь к рассмотрению векторного класса Z, заметим сначала, что за счет выбора постоянных а и b вы- полнены равенства Z (0) = [0' (0) ] h_Z_(/x)_ = [0' (£i) 1- Ввиду формулы (9.70) хотелось бы иметь также g (Z, Z" 4 R (Z, 0') 0') > > 0. Полагая г ft) = b (е°* — 1) 4 / (t), вспоминая, что g (IF', IF) — 0, и дифференцируя, получаем, что g (Z, Z" 4 R (Z, 0') 0') = = г (г" + rh) = г {be11* (а2 4 h) —• bh 4 f" 4 fh 1. Из равенства f" — —fh вытекает, что g(Z, Z" 4 R (Z, 0') 0') 11 = r (/) b {e°* [a2 4 h (/)] - h (t)\. Так как f (R) < 0, to b = —f (R) (e°*' — 1) >0. Поэтому выра- жение b \e°* [a2 4 h (t) ]_— h (t)] >0 для всех t £ [0, ]. Таким образом, g (Z, Z" 4 R (Z, 0') 0') |t > 0 при условии, что r ft) > 0. Ввиду того что f (/) >0 для t Е (0, t0), имеем г ft) > 0, где t С f (0, fol. В силу непрерывности существует такое t2 > t0, что г (?) >0 для t £ 1/0> и г (t2) = 0. Если t2 tlt то фактически t2 = вследствие того, что г (/х) = 0 по построению. Поэтому ниже мы будем предполагать, что t2 == Если t2 < R, то век- торный класс Z | [0, t2 ] будет удовлетворять условию Z (/2) = = Г0' (t2) I ввиду того, что г (t2) = 0 и, кроме того, g (Z, Z" 4 4 R (Z, 0') 0') |f > 0 для всех t (0, /2). Далее будем рассма- тривать 01 [0, ?2].
266 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий Пусть Z R V1- (Р | [0, t21) удовлетворяет условию п (Z) = == Z. Из того, что Z (0) = ЕР' (0) ], Z (С) = IP' (f2) 1, имеем Z (0) = = рР' (0) и Z (t2) = (t2) для некоторых постоянных ц, X £ R. Положим Z = Z — рР' + ((р — k)/t2 ] /р'. Тогда Z (0) == Z (4) = = 0 и л (Z) == Z. Следовательно, g(Z" + /?(Z, Р')Р', Z)|f=l(Z" + ^(Z, Р')Р', Z)|z>0. (9.72) для всех t С (0, t2). Выберем постоянную е > 0 так, чтобы е<inf<g(Z"(/) р' (0)0' (О, (9.73) что возможно ввиду неравенства (9.72). Определим теперь функ- цию р: [0, /2] ->• R следующим образом: — eZ, 4 р(0 = (к(4-1), Итак, у нас теперь есть заданное векторное поле Z £ С lz0L (₽ I 10» Zj) и заданная функция р: [0, /,]->• R. Напомним, что в формуле (9.28) мы зафиксировали псевдоортонормированное поле реперов Е1г ..., Еп_2 ддя р. Теперь нам необходимо найти собственную вариацию а: [0, t2) (—в, е) -> М геодезической Р| [0, f2], удовлетворяющую начальным условиям a<4h>=z<(> <9-74> и Va'asa* 4 L. о)=tg <z> z'> i* -p (/)] 11 ® <9-75) для всех t C [0, Z2]. Поэтому хотелось бы определить первую и вторую производные кривых s -> a (t, s) для каждого t С Ю, t2]. Существование такой деформации гарантируется теорией диф- ференциальных уравнений, примененной к соотношениям (9.74) и (9.75), выписанных в координатах Ферми для геодезической р, определяемых псевдоортонормированным репером Elt Еп_2, п» £'• Для заданной собственной вариации а геодезической Р |[0, /2], удовлетворяющей условиям (9.74) и (9.75), полагая Т = (d/dt) и V = a* (d/ds), как и выше, получаем g(y^sV, Р') |(<. 0) + g(V, V') [(f. 0)=р(0.
9.3. Теория Морса для изотропного индекса 289 Следовательно, 4(g(V^sK p') + g(V, Г)) h, 0) = р' (0 = — 8, + Б, — е, Поэтому в силу условия (9.73) вариация а геодезической 0 | [0, /21 удовлетворяет условию (9.70) леммы 9.71. Применяя эту лемму, находим, что эта вариация дает времениподобные кривые as из 0 (0) в 0 (/2) для малых s 0, как и требовалось. □ Следствие 9.73. Точка изотропного раздела геодезической 0: [0, а) ->• М появляется одновременно с первой изотропно сопря- женной точкой или раньше. Наконец мы подготовлены к тому, чтобы обратиться к дока- зательству теоремы Морса об индексе для изотропных геодези- ческих. Доказательство проводится по той же схеме, что и доказа- тельство теоремы Морса о времениподобном индексе, теорема 9.27. Учитывая утверждение теоремы 9.69, индекс Ind (0) и квази- индекс Ind0 (0) геодезической 0 относительно индексной формы L: ЗЕ0 (0) X Э£о (0) R следует определить так. Определение 9.74. Индекс Ind (0) и квазииндекс Ind0 (0) гео- дезической 0 относительно индексной формы 7: .То (0) X Зс0 (0) — -> R задается по правилам _ Ind (0) = sup (dim А: А — подпространство То (0) и форма 11 Ах хА положительно определена} и Ind0 (0) = sup (dim А: А — подпространство Жо (0) и форма 7| Ах ХА положительно полуопределена} соответственно. В качестве первого шага на пути к доказательству теоремы об изотропном индексе нам понадобится следующая лемма. Лемма 9.75. Если 0 | Is, t\ свободна от сопряженных точек, то для любых заданных v £ G (0 (s)) и w £ G (0 (I)) существует единственный якобиев класс Z £ X (0), для которого Z (s) ~ v и Z (t) = w. Доказательство. Пусть v £ V (0, (s)) и w £ V (0 (/)) удовлет- воряют условиям л (u) = v и л(ш) = w. Так как сопряженные точки по предположению отсутствуют, то найдется единственное якобиево поле J £ У1 (0), для которого J (s) = v и J (t) = Тогда Z = л (J) — якобиев класс в Ж (0), такой, что Z (s) = v и Z (t) = w. Ю Дж. Бим, П. Эрлих
290 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий Предположим теперь, что Zi — второй якобиев класс в X (0), удовлетворяющий условиям Z; (s) = v и Z, (/) = w. Согласно лемме 9.51, существует якобиево поле J1 £ для которого л (JT) == Zx. Из соотношений Zx (s) = v и Z1(t) =w вытекает, что Ji (s) = v + Ci0' (s) и Ji(t) = w + c20' (0 для некоторых постоянных c1( c2 C R- Непосредственными вычислениями не- трудно убедиться в том, что существуют постоянные X, р, £ R, такие, что якобиево поле J2 (т) = (т) 4- Z0' (т) ф- утр' (т) С € И1 (0) удовлетворяет условиям J2 (s) = v и J2 (t) = w. В силу предположения об отсутствии сопряженных точек J2 =J Но это означает, что Z = л (J) == л (Л) = Zn как и требовалось. □ Теперь мы подготовлены к доказательству того, что индекс и квазииндекс конечны. Предложение 9.76. Индекс Ind (0) и квазииндекс Ind0 (0) ко- нечны и связаны равенством Ind0 (0) = Ind (0) + dim Jb (0). Доказательство. Выберем конечное разбиение а = t0 < t± <Z < ... < th ~ b заданной изотропной геодезической 0: [a, &] ->- M так, чтобы каждый частичный геодезический сегмент 0 | (tj, t]+l 1 был свободен от сопряженных точек. Обозначим через J [tj] линейное пространство непрерывных векторных классов IF вдоль 0, таких, что W | [tj, t]+ х] — гладкий якобиев класс. Непосредственно из установленной в лемме 9.75 единственности вытекает, что пространство J \tj\ конечномерно. Тогда по анало- гии с римановой теорией индекса и с лоренцевой теорией времени- подобного индекса можно определить конечномерную аппрокси- мацию ф: (0) -> J \tj\. Именно для данного W £ Жо (0) опре- делим кусочно-гладкий якобиев класс ф (IF) в J \ tj} следующим образом: для каждого / векторный класс Ф (IF) | [(?-, /;+1] яв- ляется единственным якобиевым классом в 0 | tj+l ], у кото- рого ф (IF) (tj) = IF (tj) и ф (IF) (tj+1) = IF (tj+1). Тогда Ф | J \tj\ = id, и соотношение (9.64), примененное к каждому частичному отрезку [tj, tj+i 1, приводит к неравенству / (ф (IF), ф (IF)) >/ (IF, IF), (9.76) если IF t Э£о (0), IF ф J \tj\. Используя неравенство (9.76), можно показать так же, как и в доказательстве леммы 9.26 разд. 9.1, что Если А — подпространство Т‘о (0), на котором форма I | А X А положительно полуопре- (9.77) делена, то отображение ф: А -> J \tj\ инъ- ективно.
9.3. Теория Морса для изотропного индекса 291 Пусть Ind’ (0) и Indo (₽) ~ соответственно индекс и квази- индекс индексной формы 7: 7 [tj\ У. J R, ограниченной на J Допустим, что А — подпространство Э?о (0), на котором форма 1 ] А X А положительно полуопределена. Применяя не- равенство (9.76), легко убедиться в том, что форма Г. J \tj] X X J [tj\ -> R положительно полуопределена на подпространстве Ф (А) из J \ tj\. Согласно свойству (9.77), dim А = dim ср (А). Следовательно, Ind6 (0) Хг Indfl (0). С другой стороны, так как J {(,-} cz ЗЕо (Р), то Ind0 (Р) < Ind0 (Р)- Таким образом. Indp (р) = = Ind0 (Р). Аналогично доказывается равенство Ind' (0) = = Ind (р). Поскольку J \tj\ конечномерно, из этих равенств сле- дует конечнозначность Ind (Р) и Indfc (0). Остается показать, что Ind0 (Р) = Ind (Р) + dim Jb (0). Вы- берем для этого второе конечное разбиение а = sg •< Sj < ... < < s;_L < S( = b так, чтобы ...... П \h, • ••. A-i} = = 0 и для каждого i геодезическая р ( [s{, si+11 не имела со- пряженных точек. Тогда J П J = Jb (р). Поэтому, если X R J {s,}, X ф Jb (Р), то из неравенства (9.76) вытекает, что I (ф (X), ф (X)) > I (X, X). (9.78) Согласно первой части доказательства этого предложения, при- мененной к разбиению несвязанному с ним конечномерному линейному пространству J («Д, можно в J {зг| выбрать линейное подпространство Вь так, что форма 1 | B'b X Вс будет положи- тельно полуопределена и Ind0 (Р) = dimBp<<oo. Заметим, что Jb (Р) должно быть подпространством пространства В'о. Если бы это было не так, то существовало бы нетривиальное линейное подпространство V с Jb (Р), для которого V П В'о = {fp'l}. Тогда Вр = В’о ф V было бы подпространством пространства J {s,-}, на котором форма 11 В'о X В’о была бы положительно полуопределена. Но dim B'b > dim В'с, что противоречит нашему выбору В'о. Если рассматривать В'о как подпространство ЭС0 (Р), то из свойства (9.77) можно заключить, что ф] В'(,: B'(i->J инъек- тивно. Поэтому, если положить Во — ф (Вр),_то получим, что dim Во = dim В'с = Ind0 (0). Из того, что ф ( Jb (0) = id, имеем также, что Jb (0) — подпространство Вс. Выберем линейное_под- пространство В пространства Во так, чтобы Во = В ф Jb (0). Используя неравенство (9.78), можно доказать в точности так же, как и при доказательстве предложения 9.22 из разд. 9.1, что 10*
292 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий форма I | В X В положительно определена. Следовательно, Ind' (Р) dim В. Но Ind0 (Р) = Indp (р) = dim Вь = dim В + dim Jb (р). По- этому доказательство будет завершено, если мы покажем, что Ind' (Р) с dim В. Предположим, что В' — подпространство J {tj\, для которого форма 1 | В' X В' положительно определена и В' П Jb (Р) = {[р']|. Так как форма / | В' X В' положи- тельно определена, то Ind' (Р) = dim В' > dim В. Следовательно, форма / на прямой сумме В' ф Jb (р) является положительно полуопределенной, так что dim В' + dim Jb (р) с Indp (р). С другой стороны, dim В' + dim Jb (р) > dim В + dim Jb (р) = = Indg (р), что противоречит предыдущему неравенству. Таким образом, Ind' (р) с dim В, как и требовалось. Доказательство предложения завершено. □ Теперь после того, как предложение 9.76 доказано, непосред- ственно видно, что доказательство теоремы 9.27 из разд. 9.1 при- менимо к индексной форме /; G (р) X G (р) -> R и спроектирован- ной положительно определенной метрике g, что дает равенства Ind (Р) = 2 dim Jt (Р) t € (а. 6) И Ind0 (Р) = S dim Jt (Р). Поскольку dim Jt (р) = dim Jt (Р) согласно следствию 9.55, мы убедились таким образом в справедливости следующей теоремы Морса об индексе для изотропных геодезических. Теорема 9.77. Пусть р: [а, Ь] -+М — изотропная геодези- ческая в произвольном пространстве-времени. Пусть I: То (р) X X То (Р) -> R — индексная форма на кусочно-гладких сечениях факторрасслоения G (Р), определенная формулой (9.42). Тогда р имеет лишь конечное число сопряженных точек и индекс Ind (Р) и квазииндекс Ind0 (р) формы I: То (р) X Жо (р) —> R связаны с геодезическим индексом изотропной геодезической р по формулам Ind (Р) = dim Jt (р) и Ind0 (Р) = dim Jt (р), где Jt (Р) — линейное пространство якобиевых полей Y яйоль ф, удовлетворяющих условию Y (а) = Y (Ь) = 0. > >
Г лава 10 НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В ГЛОБАЛЬНОЙ ЛОРЕНЦЕВОЙ ГЕОМЕТРИИ В этой главе мы применим технику, развитую в предыдущих главах, к доказательству лоренцевых аналогов двух замечатель- ных результатов глобальной римановой геометрии. Первый из них, теорема Бонне — Майерса о диаметре, утверждает, что если полное риманово многообразие N имеет всюду положительную отделенную от нуля кривизну Риччи, то N компактно, имеет ко- нечный диаметр и конечную фундаментальную группу. Второй результат, теорема Адамара — Картана, состоит в том, что если полное риманово многообразие имеет всюду неположительную секционную кривизну, то его универсальное накрывающее много- образие диффеоморфно и, значит, высшие группы гомотопии лг (М, *) -.= 0, где i 2. Кроме того, универсальное накрыва- ющее пространство с римановой метрикой расслоенного произ- ведения имеет следующее свойство: любые две точки можно со- единить ровно одной (с точностью до перепараметризации) гео- дезической. В разд. 10.1 мы рассмотрим лоренцев аналог теоремы Бонне — Майерса и в ходе этого рассмотрения изучим времениподобный диаметр пространства-времени. Времениподобный диаметр diam (М, g) пространства-времени (М, g) задается формулой diam (М, g) = sup jd (р, q): р, q £ Л4|. Классы пространств с конечным времениподобным диаметром, включая «вселенные Уилера», уже изучались в общей теории относительности (см. Типлер (1977в, с. 500)). Если полное риманово многообразие имеет конечный диаметр, то по теореме Хопфа — Ринова оно компактно. И как следствие метрической полноты все геодезические имеют бесконечную длину. Но для пространства-времени (М, g), поскольку L (у) < С d (р, q) для всех направленных в будущее непространственно- подобных кривых у, идущих из р в q, каждая времениподобная геодезическая должна удовлетворять неравенству L (у) с < diam (М, g). Поэтому, если пространство-время имеет конеч- ный времениподобный диаметр, то все времениподобные геодези- ческие имеют конечную длину и. значит, неполны. В частности.
294 Гл. 10. Некоторые результаты пространство-время (/И, g) с конечным времениподобным диа- метром является времениподобно геодезически неполным. Ввиду того что мы используем для лоренцевой метрики согла- шение (—, +, +) (а не (+, —, —)), условия положитель- ности (соответственно отрицательности) секционной кривизны для римановых многообразий переходят в условия отрицатель- ности (соответственно положительности) времениподобной сек- ционной кривизны для лоренцевых многообразий. Используя теорию о времениподобном индексе, развитую в разд. 9.1, получим следующий лоренцев аналог теоремы Бонне — Майерса для полных римановых многообразий. Пусть (М, g) — глобально гиперболическое пространство-время, в котором либо (а) все непространственноподобные кривизны Риччи положи- тельны и отделены от нуля, либо (б) все времениподобные секцион- ные кривизны отрицательны и отделены от нуля. Тогда (М, g) имеет конечный времениподобный диаметр. В разд. 10.2 мы приведем лоренцевы переложения двух хорошо известных теорем сравнения из римановой геометрии — теоремы сравнения индексов и теоремы сравнения Рауха. Используя послед- ний из этих результатов, мы сможем дать простое доказательство (следствие 10.12) основного факта о том, что в пространстве-времени с всюду неотрицательными времениподобными секционными кривизнами дифференциал ехрр„ экспоненциального отображения ехрр,: Tv(TpM)-*-TcxPp{v)M не уменьшает нормы непространственноподобных касательных векторов. Наконец, в разд. 10.3 мы приведем аналог теоремы Адамара — Картана для односвязного в будущем пространства-времени. Про- странство (М, g) называется здесь односвязным в будущем, если для любых р, q г М, связанных отношением р << q, любые две направленные в будущее гладкие времениподобные кривые, иду- щие из р в q, гомотопны в классе гладких направленных в будущее времениподобных кривых с концами в р и q. Используя теорию Морса для пространства С(р>9) времениподобных путей из разд. 9.2, можно показать, что если (М, g) — односвязное в буду- щем глобально гиперболическое пространство-время с непро- странственноподобно сопряженными точками, то для любых заданных р, q £ М, связанных отношением р С Q, существует ровно один (с точностью до параметризации) направленный в бу- дущее времениподобный геодезический сегмент, идущий из р в q. 10.1. Времениподобный диаметр Понятие диаметра полного риманова многообразия побуждает к рассмотрению для произвольного пространства-времени следу- ющего его аналога (см. Бим и Эрлих (1979в, разд. 9)).
10.1. Времениподобный диаметр 295 Определение 10.1. Времениподобный диаметр diam (М, g) пространства-времени (Л1, g) определятся так: diam (М, g) = sup \d (р, q): р, q £ М\. Близкое понятие использовалось Типлером (1977а, с. 17) при изучении теории сингулярностей в общей теории относитель- ности. Физически времениподобный диаметр представляет собой точную верхнюю грань возможных собственных времен, в течение которых произвольная частица могла бы существовать в данном пространстве-времени. Пространство-время конечного времени- подобного диаметра является поразительно сингулярным (вспом- ните определение 5.3). Замечание 10.2. Если diam (М, g) < оо, то все времениподоб- ные геодезические имеют длину, не большую diam (М, g), и потому неполны. Доказательство. Пусть с: (а, Ь) М — времениподобная гео- дезическая, длина которой L (с) >> diam (Л4, g). Тогда можно найти s, t £ {a, b), s < t, такие, что L (с | [s, П) > diam ( М, g). Но тогда d (с (s), с (t)) L {с | [s, Л) > diam (Л'1, g), что невозможно. С физической точки зрения наиболее интересными простран- ствами конечного времениподобного диаметра являются вселенные Уилера (см. Типлер (1977в, с. 500)). В частности, примерами вселенных Уилера являются «замкнутые» космологические мо- дели Фридмана. Для полного риманова многообразия (N, g0) диаметр конечен, если многообразие компактно. В этом случае всегда можно ука- зать пару точек из N, расстояние между которыми совпадает с диаметром. Напротив, для пространства-времени с конечным времениподобным диаметром таких точек нет — диаметр никогда не достигается. Предложение 10.3. Пусть (М, g) — произвольное простран- ство-время. Предположим, что существуют точки р, q Р М, такие, что d (р, q) = diam (М, g). Тогда d (р, q) = оо. Доказательство. Предположим, что d (р, q) = diam (М, g) < < оо. Тогда для произвольного q' £ I+ (q) должно выполняться неравенство d (р, q) d (р, </) + d (q, q) > d (p, q) = diam (M, g), приводящее к противоречию. □ Вспоминая, что глобально гиперболические пространства удо- влетворяют условию конечности расстояния, из предложения 10.3 получаем следующее утверждение.
296 Гл. 10. Некоторые результаты Следствие 10.4. (1) В пространстве-времени конечного време- ниподобного диаметра нельзя найти пару точек, на которой этот времениподобный диаметр реализовался бы. (2) В глобально гиперболическом пространстве-времени времениподобный диа- метр никогда не достигается. Докажем теперь лоренцев аналог (теорема 10.9) теоремы Бонне — Майерса для полных римановых многообразий (см. Чигер и Эбин (1975, с. 27—28)). Близкие результаты были полу- чены Авезом (семинар-лекция), Флаэрти (не опубликовано), Улен- беком (1975, теорема 5.4 и следствие 5.5) и Бимом и Эрлихом (1979в, теорема 9.5). Теорема 10.9 неявно содержится также в более сильных результатах, использующих уравнение Рай- чаудхури, которое играет важную роль в теории сингулярностей в общей теории относительности (см. разд. 11.2 или Хокинг и Эллис (1977, разд. 4.4)). Определение 10.5. Времениподобной 2-плоскостью о назы- вается любое двумерное подпространство касательного простран- ства ТРМ, где р М — некоторая точка, которое порождается пространственноподобным и времениподобным касательными векторами. Напомним, что секционную кривизну А(о) времениподобной 2-плоскости о можно вычислить путем выбора базиса {ц, для о, состоящего из времениподобного и пространственноподобного касательных векторов, если положить д = _________g(/?(c, tc)w, с)___ ' ' g(v, v)g(w, ш)— [g(c. си)]2 Замечание 10.6. Вместо того чтобы рассматривать все секционные кривизны, необходимо ограничить внимание лишь времениподоб- ными секционными кривизнами по следующей причине. Если (М, g) — пространство-время размерности и все секционные кривизны (М, g) ограничены либо сверху, либо снизу для всех неособенных 2-плоскостей, то (М, g) имеет постоянную секцион- ную кривизну (Кулкарни (1979)). Здесь 2-плоскость о называется неособенной, если g (v, v) g (w, w) =/= Ig (v, ay) j2 для некоторого базиса jv, ay| в о. С другой стороны, существуют пространства, у которых либо все времениподобные секционные кривизны С—k2, либо все времениподобные секционные кривизны z^k2 Однако Харрис (1979) показал, что если все времениподобные секционные кривизны ограничены и сверху, и снизу, то (Л4, g) имеет постоянную секционную кривизну. Тем самым для защеп- ленных римановых многообразий не существует явного аналога лоренцевой секционной кривизны (см. Чигер и Эбин (1975, с. 118), где рассматривается риманово защепление).
10.1. Времениподобный диаметр 297 Вследствие соглашения о сигнатуре (—, +, +), исполь- зуемого здесь для лоренцевых метрик, условиям положитель- ности (соответственно отрицательности) секционной кривизны для полных римановых многообразий в римановой геометрии в лоренцевой геометрии соответствуют теоремы для глобально гиперболических пространств отрицательной (соответственно положительной) секционной кривизны. С другой стороны, если изменить это соглашение о сигнатуре на (+, —, .... —). положив (Л4, g) = (М, —g), то /( (g) = —/( (g). Тогда римановым теоре- мам для положительной (соответственно отрицательной) секцион- ной кривизны будут соответствовать лоренцевы теоремы для положительной (соответственно отрицательной) секционной кривизны для (М, g) (см., например, Флаэрти (1975а, с. 395— 396), где используется соглашение (4-, —, ..., —)). Однако вне зависимости от того, какая из метрик, g или g, выбирается в ка- честве лоренцевой метрики для М, Ric (g) = Ric (g). Удобно выделить часть доказательства теоремы 10.9 в отдель- ное утверждение. Предложение 10.7. Пусть (Л1, g) — произвольное простран- ство-время размерности п ^2. Предположим, что (М, g) удо- влетворяет одному из следующих условий кривизны; либо (а) все времениподобные плоскости имеют секционную кривизну, оцениваемую сверху постоянной —k <Е 0, либо (б) Ric (g) (и, v) (n — 1) k > 0 для всех единичных времени- подобных касательных векторов v (Е ТМ. Тогда, если с; [0, й] М — произвольная времениподобная геодезическая длины L (с) л/у k , то геодезический сегмент с имеет пару сопряженных точек. Доказательство. Вследствие того что из условия кривизны (а) вытекает условие кривизны (б) (достаточно взять след), будем доказывать сформулированное утверждение, исходя из условия (б). Для удобства предположим, что с; [0, L 1 М — нормальная времениподобная геодезическая длины L. Положим Еп (t) — с (f) для всех I £ [0, L]. Пусть (fj, ..., En_i\ есть п— 1-простран- ственноподобное векторное поле, параллельное вдоль с и такое, что векторы (t), Е2 (0, Еп (0 образуют лоренцев орто- нормированный базис пространства Тс щМ для каждого t (Е (Е [0, £]. Положим Wt (t) = sin (nt/L) Et (t), так что Wt (E ^(c) (обозначение V()l введено в определении 9.1). Используя формулу (9.3) определения 9.4, получим I (Wt, Wt) = ££=оsin2 [g (R (Et, с') c', Ft) |, - -g-] dt.
298 Гл. 10. Некоторые результаты Откуда S1 =JLsin24-[Ricс'---44* ]dt- i=i Если Ric (с' (t), с' (/)) (п — 1) k для всех t £ Ю,/. ] и л/у k , то, как нетрудно заметить, 2"=/ / (IF/, !Ft)^0. Сле- довательно, I (Wt, Wt) < 0 для некоторого i £ {1, 2,..., п — 1}. С другой стороны, если с | [O^L ] свободна от сопряженных точек, то по теореме 9.22 I (Wt, Ю;) < 0 для любого i. Отсюда, как и требовалось, следует, что с имеет пару сопряженных точек, если только L п/у k . □ Используя теорему о времениподобном индексе Морса (теорема 9.27), можно доказать также более слабый вариант предложения 10.7. Предложение 10.8. Пусть (М, g) — произвольное простран- ство-время размерности п, удовлетворяющее одному (либо обоим) из условий кривизны предложения 10.7. Если с: [а, Ы М — произвольная времениподобная геодезическая длины L (с) > >л/у k, то точка t = а сопряжена вдоль с некоторому С (а, Ь) и, следовательно, с не максимальна. Доказательство. Из того, что L (с) _> л/У k , повторяя соответ- ствующие рассуждения из доказательства предложения 10.7, в данном случае получим, что /2—1 L / (wt, wd >о. i=i Значит, / (Wt, Wt) >0 для некоторого i. Тем самым Ind (с) >0. Согласно теореме о времениподобном индексе Морса (теорема 9.27), получаем, что dim Jt (с) 0 для некоторого t С (а, Ь). Это завершает доказательство. □ Теперь мы подготовлены к тому, чтобы обратиться к лоренцеву аналогу теоремы Бонне — Майерса для полных римановых много- образий о диаметре. Теорема 10.9. Пусть (М, g) — глобально гиперболическое про- странство-время размерности п, удовлетворяющее одному из сле- дующих условий кривизны: (а) Все времениподобные секционные кривизны ограничены сверху постоянной —k <70. (б) Ric (v, v) (п — 1) k для всех единичных времениподобных векторов v С ТМ. Тогда diam (М, g) < л/у/k .
10.2. Лоренцевы теоремы сравнения 299 Доказательство. Предположим, что diam (М, g) >л/р' k. Тогда по определению diam (Л4, g) можно указать р, q М, для которых d (р, q) > л/р k. Из того, что (М, g) глобально гипер- болично, вытекает существование максимального времениподоб- ного геодезического сегмента с: [0, 1 ] —> М, такого, что с (0) = р и с (1) = q. Но так как L (с) = d (р, q) ^>л/у' k , то геодези- ческий сегмент с, согласно предложению 10.8, не максимален, что и приводит к противоречию. □ Ясно, что аналог предложения 10.8 можно получить и для изотропных геодезических, используя теорию об изотропном индексе, развитую в разд. 9.3. С другой стороны, применяя ре- зультат Райчаудхури, можно получить более сильное утверждение (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 111)). Поэтому вместо того, чтобы прослеживать далее здесь отмеченную аналогию, мы отсылаем читателя к разд. 11.4 для обсуждения этих результатов (см. также Харрис (1979)). 10.2. Лоренцевы теоремы сравнения Для последующего использования в разд. 10.3 приведем теперь времениподобные аналоги двух важных рабочих результатов глобальной римановой геометрии: теорему сравнения индексов (Громол, Клингенберг и Мейер (1971, с. 192)) и теорему сравне- ния Рауха (Громол, Клингенберг и Мейер (1971, с. 196) или Чигер иЭбин (1975, с. 29)), имеющие также самостоятельный интерес. Все результаты этого раздела, исключая следствие 10.12, опубли- кованы в работе Бима и Эрлиха (1979, разд. 9). В действительности фактически существуют две версии теоремы сравнения Рауха, часто называемые теоремой Рауха I и теоремой Рауха II, весьма полезные в глобальной римановой геометрии (см. Чигер и Эбин (1975, теоремы 1.28 и 1.29 соответственно)). Приведенный в этом разделе результат (теорема 10.11)является лоренцевым аналогом теоремы Рауха I. Харрис (1979, 1982) доказал лоренцевы аналоги обеих теорем Рауха, I и II, и, используя теорему Рауха II, полу- чил лоренцев аналог теоремы сравнения Топоногова для времени- подобных геодезических треугольников в некоторых классах пространственно-временных многообразий (см. Чигер и Эбин (1975, с. 42)). Харрис (1979, 1982) получил также, применяя упомянутый выше результат, лоренцев аналог теоремы Топоно- гова о диаметре (см. Чигер и Эбин (1975, с. ПО)) (см. также до- бавление Г). В оставшейся части этого раздела (Л4Ь gj) и (A42,g2) — произ- вольные пространства, размерности которых связаны соотно- шением dim Л!, < dim Л42. Пусть ср [0, L) -> Mt — направлен- ная в будущее времениподобная нормальная геодезическая. Всюду
300 Гл. 10. Некоторые результаты в этом разделе индексные формы на К1 (сг) и V1 (с3) будем обоз- начать через /. Обе лоренцевы метрики gt и g2 в ходе доказательства будем обозначать через (, ). Индексная форма / для времени- подобной геодезической с, индекс Ind (с) и квазииндекс Ind0 (с) определены в разд. 9.1, формула (9.1) и определение 9.24 соответ- ственно. Прежде всего необходимо определить изоморфизм <р: V-l (С1) -> V-l (с2) так, чтобы g2 (фХ (0, фХ (0) = g{ (X (0, X (0) для всех t £ С [0, L\. Это можно сделать, применяя обычную конструкцию параллельного переноса в римановой геометрии. Определим сна- чала изометрию ЧУ-’ TCl (t)M\ TCi(t}M2 по следующему правилу. Пусть Рг. TCt(t) М\ -> — изо- морфизм параллельного переноса вдоль cL, сохраняющий лорен- цево скалярное произведение: по заданному v t ТС1 строим единственное поле Y, параллельное вдоль cL и удовлетворяющее условию Y (0 — и, и полагаем Pt (v) = Y (0). Аналогично опре- деляется Qt: Tc2[t)M2 ТСг{0)М2 — параллельное перенесение вдоль с2. Построим инъективное линейное отображение, сохраня- ющее лоренцево скалярное произведение: г: g\ |с,(о) ->• (Tc,mM2, g2 |Са<0)), где i (ф (0)) = с2 (0). Тогда отображение ф<: (7fl(0Afi, gi |С1 (О) g‘2\c2(tf), задаваемое формулой ф^ = Q/' i ° Pt, является изометрией, поскольку параллельный перенос сохраняет лоренцевы струк- туры. Отображение ф: V-l (сх) - V1- (с2) можно определить следующим образом. Для заданного X ГУ': (сг) найдем ф (X) t К1 (с2) по правилу (фХ) (0 = ф{ (X (0). Как и в римановом варианте доказательства, получаем, что (фХ)' = = ф(Х'), где первое ковариантное дифференцирование прово- дится в М2, а второе — в Мг. Обозначим через G2, z (cf) множество всех времениподобных плоскостей о, содержащих сг- (0, где i = 1, 2. Тогда индуциро- ванное отображение Фб С2,/ (Сц) —>- G2, i (с2) определяется следующим образом. Условие о G 62,t (сх) можно записать так: а = Lin с{ (0}, где v — пространственноподобный вектор. Полагаем ф( (о) — Lin {ф( (v), с'2 (0) L G2. / (с2).
10.2. Лоренцевы теоремы сравнения 3()i Теперь можно сформулировать времениподобный вариант тео- ремы сравнения индексов. Теорема 10.10. (теорема сравнения времениподобных индек- сов). Пусть размерности пространств (Alr, g}) и (Л12, g2) связаны условием dim Л1г < dim М2 и ср [0, |3] -> Mt — направленные в будущее времениподобные нормальные геодезические, i = 1,2. Предположим, что для всех t, 0 < t < Р, и всех времениподобных плоскостей cr £ G2,t (с() секционные кривизны связаны соотноше- нием Км, (о) Км, (ф/О). Тогда для любого X £ 1/! (сх) выпол- няются следующие неравенства'. (1) I (X, X) I (фХ, фХ). (2) Ind (сх) < Ind (с2). (3) Ind0 (ti) < Ind0 (c2). Доказательство. Вспоминая, что (c{, cR) = —1 и (X, ci) = 0, получаем, что <R (X, ci) d, X) = ~(X, X) К (X, ci). Аналогичные формулы справедливы для фХ и с2. Поэтому /(фХ, фХ) = ^[-((фХ)', (фХ)') + (7?(фХ, с2)с2, <pX)]dl = = Jo [~ <Ф (X'), Ф (X')) + (R (ФХ, с2) с2, фХ)] dt > > Joi <Х'. Х')-НК(Х, Ci) ci, X}]di = I(X, Х).П Используя только что доказанную теорему сравнения для вре- мениподобных индексов, получим теперь более сильную времени- подобную теорему сравнения Рауха. Напомним сначала, что так как ср [0, L] Mi— времениподобные геодезические сегменты, то все векторные поля в Iя (сг) пространственноподобны. Теорема 10.11. (времениподобная теорема сравнения Рауха). Пусть размерности пространств (М,, gj и (М2, g2) связаны условием dim < dim М2, а ср. [О, L ] -> Мг и ср [0, L ] ->• —ТИ2 — направленные в будущее времениподобные нормальные геодезические сегменты. Предположим, что для всех t £ [0, L] и любой cr £ G2jt (c't) выполняется неравенство Км, (о) 2s Км, (ф/О). Пусть далее Ух £ V! (с,) и Y2 £ V1 (с2) — якобиевы поля на Mt и М2 соответственно, удовлетворяющие начальным условиям Yi (0) = Y2 (0) = 0, (10.1) gi (И (0), Y{ (0)) = g2 (Y2 (0), Y2 (0)). (Ю.2)
362 Гл. 10. Некоторые результаты Если с2 не имеет на (О, L) сопряженных точек, то gi (У! (О, Уь (/)) & (У* У), Уг (/)) (10.3) для всех t О (О, L\. В частности, с, не имеет сопряженных точек на (О, L). Доказательство. Его можно провести таким же образом, как и в книге Громола, Клингенберга и Мейера (1971, с. 196—199), за исключением неравенства (7) на с. 198, которое необходимо модифицировать следующим образом. Пусть Z Q V1 (с2) — (един- ственное) якобиево поле вдоль с2, для которого Z (0) = 0 и Z(t0)= = фУг (t0), где ф — то же, что и выше. Нужно показать, что <Г! (t0), У{ (fo)) Ss (Z (Zo), Z' (/о)). Положим для этого с3 = Ci | [0, /0] и с4 = с2 | [0, /0]. Тогда <У1 (t0), у; (/о)) = I (У1 ] С3, У, I Сз) / ((фУ1) I Q, (фУх) | с4). Согласно теореме сравнения для времениподобных индексов (тео- рема 10.10 (1)), последнее выражение не меньше —I (Z | с4, Z | с4), которое в свою очередь в силу максимальности якобиевых полей по отношению к индексной форме в отсутствие сопряженных точек (теорема 9.23) равно (Z (/0), Z' (/0)). □ В теореме 10.11 можно также предполагать, что с2 не имеет сопряженных точек на сегменте [0, L !. Тогда по теореме 10.10 (3) с, также не будет иметь сопряженных точек на этом сегменте. Для римановых многообразий, наделяя касательное простран- ство «плоской метрикой» (см. определение 9.17), можно показать, что экспоненциальное отображение не уменьшает длин касатель- ных векторов (точную формулировку см. Бишоп и Криттенден (1967, с. 223, теорема 2 (1))). Сопоставляя якобиевы поля на дан- ном римановом многообразии с якобиевыми полями в R” и ис- пользуя теорему сравнения Рауха, можно получить простое до- казательство этого факта. Для доказательства аналогичных ре- зультатов для пространств с неотрицательной времениподобной секционной кривизной мы воспользуемся времениподобной тео- ремой сравнения Рауха (см. Флаэрти (1975а, с. 397)). Интуитивно ясно, что приведенное ниже следствие 10.12 выражает тот факт, что если времениподобные секционные кривизны (М, g) поло- жительны, то направленные в будущее времениподобные геодези- ческие, исходящие из данной точки, разбегаются в Л4 быстрее, чем «соответствующие» геодезические в пространстве-времени Минковского. Напомним, что канонический изоморфизм то опре- делен в разд. 9.1, определение 9.15. Следствие 10.12. Пусть (Л4, g) —пространство-время со всю- ду неотрицательной времениподобной секционной кривизной, и
10.2. Лоренцевы теоремы сраснения ЗСЗ пусть v £ ТрМ — направленный в будущее времениподобный ка- сательный вектор, подчиненный условию g (v, v) = —1. Тогда для любого направленного в будущее непространственноподобного касательного вектора w £ ТрМ вектор h 'cv (w) С Tv (ТрМ) удовлетворяет неравенству g(expPtb, expPfb)^g(w, w) = {(b, b)). Доказательство. Сначала докажем это неравенство для век- тора b xv (w) С Tv (ТрМ) при условии g (v. w) = 0, приме- няя времениподобную теорему сравнения Рауха к следующей паре пространств: (Мг, g,) = (М, g) и (М2, g2) — пространство- время Минковского (R", g0), где п = dim М. Положим с1 (t) = = ехрр fon рассмотрим (единственное) якобиево поле Fl С V1 (с), для которого (0) --= 0 и У; (0) = w. Согласно предложению 9.16, имеем (1) = ехрр, Ь. Пусть с2: 10, 11^- к" — произвольная времениподобная нор- мальная геодезическая. Выберем w б N (с2 (0)) так, чтобы g0 (w, w) = gi w)- Пусть далее У2 С У ! (сг) — (единственное) яко- биево поле, для которого У2 (0) = 0 и У2 (0) = ш. Тогда У2 (I) = = t Pt (w), где через Pt обозначен лоренцев параллельный пере- нос из с2 (0) в с2 (I) вдоль с2. Применяя теорему 10.11, получим, что ё,(ехрРЛ expp.6) = gl(y1(l), У1(1))^^о(^(1)> = = go(Pi(w), Pi(w)) = g0(w, w) = g1(w, w) = ((b, b)), что и требовалось доказать. Обратимся теперь к общему случаю. Вектор w можно предста- вить в виде суммы w = Wt + ю2, где w± = 7.v для некоторого X >0 и g (v, w.2) = 0. Положим bt = (u>{), i == 1, 2, так, что b = bt + b2, и вычислим £(ехрРЛ exp,,. 6) = g(expp,6i, ехрр. bi) -|- Н 2g-(expp,fcb expps62) + g(expp. b2, expp„b2). Применяя лемму Гаусса (теорема 9.18) к первым двум слагаемым, получим g (ехрр. Ь, ехрр. Ь) = , bi)) + 2 {{bt, fe)) + + S'(ехрр, b2, expp.62) = «i?i, bx)) + g (expp,fr2, expPt h). вследствие того, что ((fcj, b2)) = g (®b ki2) = 0. Заменяя остав- шееся слагаемое на произведение ((б2, Ь^)} и используя неравен- ство, полученное в первой части доказательства, приходим к тре- буемому: ^(ехрр.б, ехрр.Ь) ((fci, bi)) + ((b2, Ь2)) = = «Ь1 + b2, bt + b2)} = «б, Ь)). □
304 Гл. 10. Некоторые результаты 10.3. Лоренцевы теоремы Адамара — Картана Прежде всего мы докажем основной результат, связывающий сопряженные точки и времениподобную секционную кривизну (см. Флаэрти (1975 а, предложение 2.1); для лоренцевой метрики Флаэрти использует соглашение (+, —, ..., —), так что его условие на секционную кривизну имеет знак: противоположный используемому нами). Предложение 10.13. Пусть (М, g) — пространство-время, времениподобная секционная кривизна которого всюду неотрица- тельна. Тогда никакая непространственноподобная геодезическая не имеет сопряженных точек. Доказательство. Пусть сначала с: [0, а) М — произволь- ная направленная в будущее времениподобная нормальная геоде- зическая. Из следствия 9.10 вытекает, что если X — якобиево поле вдоль с, у которого X (0) = X (t0) = 0 для некоторого /0 € £ (0, а), то X £ V- (с). Поэтому можно ограничиться рассмо- трением только якобиевых полей J £ V1 (с), у которых J (0) = 0. Вследствие того что J £ V1 ( с) и с — времениподобная геодези- ческая, также и J' £ V1 (с). Дифференцируя гладкую функцию / (t) = g (J (t), J' (t)), получаем, что Г (О = g (j' (t), J' (t)) +g(J (t), J" (/)) = = g (Jr (t), J' (/)) - g (J (0, R (J (0, o' (t))c' (/))= = ^(J'(/), J'(t)) + g(J(t), J(t))K(J(t), c' (0)>O для всех t £ (0, а). Если J (t0) = 0 для некоторого t0 £ [0, a), to f (0) = f (t0) — 0. Так как f не убывает, то / (t) = 0 для всех t £ [0, U- Значит, 0 = f (t) = g (J' (0), J' (0)) в силу условия J (0) = 0. Отсюда мы заключаем, что J' (0) = 0. Следовательно, J = 0, и на отрезке [0, а) точек, сопряженных t = 0 вдоль с, нет. Обратимся теперь к случаю: когда Р: [0, а) М — изотроп- ная геодезическая, и воспользуемся изотропной индексной фор- мой. Пусть tQ С [0, а) произвольно. Покажем, что форма I: То (Р | [0, /01 х То (Р | Ю, t0)) ->R отрицательно определена. Тогда: согласно теореме 9.69, точек, сопряженных t = 0 вдоль с, на отрезке (0, /0 ] не будет. Если W С То (сг) — гладкий параллельный векторный класс, то W = [р ] ввиду того, что W (0) = [р' (0)]. Поэтому, если 1Е € То (Р) не является гладким параллельным векторным клас- сом, то g(W (s), W' (s)) >0 для некоторого s С (0, t0). Вслед- ствие положительной определенности g неравенство g(lF' (t), W' (t)) 2^ 0 выполняется для всех s R [0, ^0]. Для произвольного фиксированного t £ [0, рассмотрим теперь следующую вели- чину: g (R (W (/), р' (0) Р' (0, W (()). Если F (0 = [р' (0 1, то
10.3. Лоренцевы теоремы Адамара—Картона 305 g (Я (W (0, г (0) ₽' (0. 0)) = 0. Если же W (?) 10'(t) I, то можно найти пространственноподобный касательный вектор w, перпендикулярный 0' (t) и такой, что л (w) = W (/). Тогда, поль- зуясь формулой (9.35) разд. 9.3, получим, что g(R(W (t), Р' (/)) р' (t), W (t)) = g(R (w, P' (/)) P' (t), w). Ввиду того что w пространственноподобен, можно найти последо- вательность времениподобных 2-плоскостей ап — Lin (wn, vn), таких, что wn пространственноподобен, vn времениподобен, g (wn, vn) =-- 0, wn -+w и vn -> Р' (t), так что оп Lin (да, Р' (/). Вследствие того что неравенства g (дап, u»n) >0, g (vn, vn) <; 0, К (vn, wn) 0 справедливы для любого n, по непрерывности получаем 1(Я(И7(/), р'(О)Р' (0. W{t))=g(R(w, р'(0)О). №) = = limg(7?fen, v„)vn, wn)= lim /<(дап, vn)g(wn, wn)g(vn, vn) < 0. /2->оо П-^-оо Таким образом, в обоих случаях g (R (W (f), Р' (t)) Р' (t)), W (t)) < 0. Отсюда при условии, что W [р' J, получаем требуемое 7 (IF, W) = fto (-g(W', W') + g(R(W, P') P', IF)) I tdt<Q. Стандартное определение в глобальном римановой геометрии (см. О’Салливэн (1974), Галливер (1975)) может служить основа- нием для следующего определения. Определение 10.14. Будем говорить, что пространство-время (М, g) не имеет точек, времениподобно сопряженных в будущем, если для любой направленной в будущее времениподобной геоде- зической с: (0, а) —>- (М, g) выполняется следующее условие: никакое нетривиальное якобиево поле из V1 (с) не обращается в нуль более одного раза. Ввиду леммы 9.46 аналогичное определение можно сформули- ровать и для пространств, либо не имеющих точек, изотропно со- пряженных в будущем, либо не имеющих точек, непространствен- ноподобно сопряженных в будущем. Предложение 10.13 гаран- тирует, что если (Л4, g) — пространство-время со всюду неотри- цательной времениподобной секционной кривизной, то (М, g) не имеет точек, непространственноподобно сопряженных в буду- щем. Лоренцевы многообразия с неотрицательной времениподобной секционной кривизной или без времениподобно сопряженных в будущем точек можно охарактеризовать через поведение их якобиевых полей. Подобное описание применяется и к римановым многообразиям (см. О, Салливэн (1974, предложение 4)).
306 Гл. 10. Некоторые результаты Предложение 10.15. (а) (М, g) имеет всюду неотрицатель- ную времениподобную секционную кривизну в том и только том случае, когда -^-(ё(У(0. ПО))=^о для каждого якобиева поля Y £ V1 (с) вдоль любой направленной в будущее времениподобной геодезической с. (б) (М, g) не имеет точек, времениподобно сопряженных в бу- дущем, в том и только том случае, если g (Y (t), Y (t)) > 0 для всех t >0, где Y £ УЛ- (с), Y (0) = 0, —любое нетривиальное якобиево поле вдоль произвольной направленной в будущее времени- подобной геодезической с. Доказательство, (а) Допустим, что (М, g) имеет всюду неотри- цательную времениподобную секционную кривизну. Пусть Y £ £ V1 (с) — якобиево поле вдоль нормальной времениподобной геодезической с. Тогда и Y' £ V1 (с), и мы получаем, что , (g (У, П) = 2g (У', Y) - 2g (R (Y, с) o', Y) = = 2g(K', Y')-\-2g(Y, Y)R(Y, c')^Q. Обратно, пусть v — направленный в будущее времениподоб- ный и w — пространственноподобный касательные векторы, поро- ждающие времениподобную 2-плоскость и подчиненные условиям g (v, v) = —1, g (w, да) = 1 и g (v, w) = 0. Пусть c (t) = exp (tv) и V £ V-! (c) — якобиево поле с начальными условиями Y (0) = w и Y' (0) = 0. Тогда по предположению 0 < ~ (g (Y, Y)) |<=0 = -2g (R (Y (0), с’ (0)) с' (0), Y (0)) = = —2g (R (w, v) v, w) = 2/< (v, w) ввиду того, что первое слагаемое при дифференцировании обра- щается в нуль вследствие условия Y' (0) = 0. Поэтому К (v, да) 0, что и требовалось. (б) Доказательство ясно из определения 10.14. □ Пользуясь развитой в разд. 9.1 и 9.2 теорией времениподоб- ного индекса, приведем теперь лоренцев вариант теоремы Ада- мара—Картана для глобально гиперболических пространств. Его доказательство проводится подобно тому, как доказывается тео- рема Адамара—Картана для полных римановых многообразий в теории Морса (см. Милнор (1966, с. 114)). Напомним, что про- странство-время называется односвязным в будущем, если любые две направленные в будущее времениподобные гладкие кривые, соединяющие р с q, гомотопны в классе (гладких) направленных в будущее времениподобных кривых с фиксированными конце- выми точками р и q (определение 9.28).
10.3. Лоренцевы теоремы Адамара—Картана 307 Теорема 10.16. Пусть (М, g) —односвязное в будущем гло- бально гиперболическое пространство-время без непространствен- ноподобно сопряженных в будущем точек. Тогда для любых р £ М и q С М, связанных отношением р С q, существует ровно одна (с точностью до перепараметризации) направленная в будущее времениподобная геодезическая, идущая из р в q. Доказательство. Вследствие того что (М, g) — глобально ги- перболическое, существует максимальная направленная в буду- щее времениподобная геодезическая, соединяющая р с q. Из того, что точек, непространственноподобно сопряженных в будущем, нет, вытекает, что любая направленная в будущее геодезическая, идущая из р в q, имеет нулевой индекс (см. теорему 9.27). Тем самым пространство времениподобных путей С(р, имеет гомо- топический тип клеточного комплекса с одной клеткой нулевой размерности, т. е. точкой, для каждой направленной в будущее времениподобной геодезической, идущей из р в q. С другой сто- роны, из того, что Л! односвязно в будущем, вытекает, что С(р, связно и, значит, состоит из одной точки. Поэтому найдется са- мое большее одна направленная в будущее времениподобная гео- дезическая, идущая из р в q. □ Похожий результат был получен Уленбеком (1975, теорема 5.3) для глобально гиперболических пространств, удовлетворяющих условию роста метрики (см. Уленбек (1975, с. 72)) и условию кри- визны —g (Д (v, w) w, v) < 0 для всех направленных в будущее изотропных векторов и и векторов w, таких, что g (v, w) = 0 в каждой точке из М. Такое пространство-время М можно на- крыть пространством, которое топологически эквивалентно про- странству Минковского (т. е. евклидову пространству). Флаэрти (1975а, с. 398) показал также, что если(/И, g) одно- связно в будущем, непространственноподобно полно в будущем и имеет всюду неотрицательные времениподобные секционные кривизны, то в каждой точке р £ М экспоненциальное отобра- жение ехрр регулярно вкладывает конус будущего из ТрМ в М. Чтобы получить этот результат, Флаэрти воспользовался подня- тием и показал, что при сделанных предположениях любые два направленных в будущее времениподобных касательных вектора v, w £ ТрМ, связанные условием ехрр и = ехрр w, равны: v = w. Таким образом, односвязное в будущем и непространственнопо- добно полное в будущем пространство-время с неотрицательными времениподобными секционными кривизнами удовлетворяет ус- ловию теоремы 10.16. С другой стороны, Флаэрти показал, что любое односвязное в будущем непространственноподобно полное в будущем пространство-время со всюду неотрицательными време- ниподобными секционными кривизнами является также и гло- бально гиперболическим (19756, с. 200).
Глава 11 СИНГУЛЯРНОСТИ Общее допущение, которое принимается при изучении рима- новых многообразий, состоит в том, что рассматриваемые про- странства предполагаются полными в смысле Коши, или, что рав- носильно, геодезически полными. Это предположение кажется вполне обоснованным вследствие того, что большое число важных римановых многообразий являются полными. Для лоренцевых многообразий положение совсем иное. Зна- чительное число наиболее важных лоренцевых многообразий, ис- пользуемых в общей теории относительности в качестве моделей, геодезически неполно. Кроме того, проблема полноты усложняется еще и тем фактом, рассмотренным в предыдущих главах, что для лоренцевых многообразий существует несколько неэквивалентных видов полноты. В этой главе мы займемся рассмотрением основных теорем, которые обеспечивают непространственноподобную геодезическую неполноту большого класса пространственно-временных много- образий. Каждое такое пространство-время содержит по крайней мере одну непространственноподобную геодезическую, которая является одновременно и непродолжаемой, и неполной. Такая геодезическая имеет концевую точку р в причинной границе ДМ, которую можно вообразить находящейся вне пространства-вре- мени, но не на бесконечности. Например, если у — непродолжае- мая в будущее и неполная в будущем времениподобная геодезиче- ская, для которой р дсМ — концевая точка в будущем, то у соответствует пути «свободно падающей» пробной частицы, кото- рая падает на край вселенной (в точку р) за конечное время. В общей теории относительности уже давно было известно, что многие важные пространственно-временные многообразия яв- ляются непространственноподобно неполными. Тем не менее считалось, что эта неполнота вызвана симметрией рассма- триваемых моделей. И поэтому было ощущение, что непространст- венноподобная полнота является разумным допущением для физи- чески реальных пространственно-временных многообразий. Основной довод для этого допущения базировался на физиче ской интуиции, которая была явно неоправданной, о чем мож'
11.1. Якобиевы тензоры 309 но говорить постфактум (см. Тпплер, Кларке и Эллис (1980, гл. 4)). Если (М, g) — нерасширяемое пространство-время, имеющее непродолжаемую непространственноподобную геодезическую, которая к тому же и неполна, то говорят, что (М, g) имеет сингу- лярность. Цель этой главы — установить несколько теорем син- гулярности (т. е. неполноты). Прежде чем начать наше исследование теории сингулярностей, мы остановимся на том, что поясним, почему эта теория работает для пространственно-временных многообразий размерности ^3 и не работает в случае, если размерность пространства равна 2. Отмеченный в начале разд. 9.2 простой факт состоял в том, что в двумерном пространстве-времени никакая изотропная геодези- ческая не содержит сопряженных точек. Вместе с тем основной ход в доказательстве теорем сингулярности заключается в том, чтобы показать, что определенные условия на кривизну вынуж- дают каждую полную непространственноподобную геодезическую содержать пару сопряженных точек. В этой главе будет предполагаться, что читатель знаком с по- нятиями и некоторыми основными свойствами якобиевых полей, рассмотренными в разд. 9.1 и 9.3. 11.1. Якобиевы тензоры Как мы видели в разд. 9.3 (определение 9.61 и следующие за ним страницы), якобиевы тензоры являются удобным средством для изучения сопряженных точек. Для данного времениподобного геодезического сегмента с: [a, b 1 М обозначим через N (с (I)) (п — 1)-мерное подпространство пространства Тс (О М, состоящее из касательных векторов, ортогональных с' (/), как в определении 9.1. (1. 1)-тензорное поле А (I) на V1 (с) является линейным ото- бражением А = A (t): N (с (t)) -+N (с (t)) для каждого t t la, И. Кроме того, можно определить составной эндоморфизм RA (/): N (с (t)) N (с (/)), положив RA (t) (u) = R (А (/) (и), с (/)) с' (/). Тензорное поле А* (/), сопряженное A (!), определяется следую- щим требованием: g (А (0 (w), и) = g (Л* (/) (о), да) для всех и, да £ N (с (/)). Гладкое (1, 1)-тензорное поле A (!) на V1 (с) называется яко- биевым тензорным полем, если А" + RA = 0 и кег(Л(/)) П кег (Д'(/)) = {0|
310 Гл. 11. Сингулярности для всех t б [а, &]. Если Y — векторное поле, параллельное вдоль с, и А —• якобиев тензор на V1 (с), то векторное поле J — = А (У) удовлетворяет дифференциальному уравнению J" + + R (J, с') с' = 0 и, следовательно, является якобиевым полем. Из того, что ker (Л (t)) Q ker (A' (t)) = {0} для всех t б la, Ь], вытекает, что если Y является ненулевым полем, параллельным вдоль с, то J = А (У) — нетривиальное якобиево поле. Предпо- ложим, что А — якобиев тензор на Vх (с), у которого А (а) — 0. Если Л (t0) (v) = 0для некоторого t0 б (а, ИиО #= v £ N (с (t0)), то, взяв в качестве Y (единственное) векторное поле, параллель- ное вдоль с и такое, что Y (/«) = v, получаем, что J — A (Y) — якобиево поле, подчиненное условиям J (а) = J (f0) = 0. Якобиево тензорное поле А называется лагранжевым тензор- ным полем, если (Л')*Л — А* А' = 0 для всех t £ [а, Ь]. Как и в доказательстве леммы 9.67, можно показать, что якобиево тензорное поле А является лагранжевым, если А (/'о) = 0 для некоторого /0 б И. Замечание 11.1. Пусть с: [a, b] М — нормальная времени- подобная геодезическая и Еъ ..., Еп = с' — параллельно пере- несенный ортонормпрованный базис вдоль с. Тогда N (с (t)) яв- ляется линейной оболочкой, натянутой на Еъ ..., Е,^, и каждое якобиево векторное поле J вдоль с, всюду ортогональное с', можно выразить через Еъ ..., En_i. Тем самым J можно представить в виде вектор-столбца с п — 1 компонентами. Используя это пред- ставление, обозначим через 7г = Jt (t) вектор-столбец, соответ- ствующий якобиеву полю J вдоль с, которое удовлетворяет усло- виям J (t0) =0 и J' (t0) = Et (t0). Пусть Л (t) = [Jr (t), ..., Jn_r (t) I есть (n — 1) X (n — 1)-матрица, в i-м столбце которой располо- жен Jt (t). Эта матрица A (f) является представлением лагран- жева тензорного поля вдоль с. Используя тот же базис Е1г ..., Еп-ъ легко убедиться в том, что сопряженному полю A* (t) соот- ветствует матрица, получаемая из A (t) транспонированием. Пространство якобиевых полей, обращающихся в нуль в t0, про- изводные которых ортогональны к с' в /0> можно отождествить с линейной оболочкой столбцов матрицы А. Таким образом, точки, сопряженные с (t0) вдоль с, — это в точности те же точки, в которых det A (t) = 0. Следовательно, det A (t) имеет на [а, б] лишь изолированные нули. Кроме того, кратность точки t = tb сопряженной t0, совпадает с дефектом А (/х): N (с (tr)) -> N (с (^)). Тот факт, что A (t0) = 0 и A' (t0) = Е, в проведенном выше обсуждении является весьма существенным. Можно построить лагранжевы тензоры вдоль времениподобной геодезической с:
11.1. Якобиевы тензоры 311 J ->- (М, g), которые вырождаются в различных точках t0, £ J, хотя с и не имеет сопряженных точек. Например, пусть (/И, g) — это R3 с лоренцевой метрикой ds2 -= —dx2 + dy2 + dz2 и c (t) — = (/, 0, 0). Положим Е± = д/ду и = д!дг. Тогда, если А яв- ляется якобиевым тензором вдоль с с матрицей Л(0 = t 0 О t- 1 вычисленной относительно Ецс п £2»с, то А' = Е и А* = А, так что (Л')* А — А*А' = 0 и А — лагранжев тензор. Ясно, что А (0) (fi (с (0))) = 0 и Л(1) (£2 (с(1))) = 0. Однако у с нет со- пряженных точек вследствие того, что (R8, ds2) — пространство Минковского. Определим теперь расхождение, вращение и сдвиг якобиева тензора А вдоль времениподобной геодезической с: [a, й] ->Л4. Как и прежде, Е = Е (/) представляет (1, 1)-тензорное поле на l/J- (с), такое, что Е (с) = id: N (с (/)) -> N (с (/)) для каждого t. Определение 11.2. Пусть А — якобиево тензорное поле вдоль времениподобной геодезической и В = Л'Л-1 в тех точках, где определено Л-1. (а) Расхождение 0 определяется по правилу 0 = tr (В). (б) Тензор вращения со определяется по правилу «>=±-(в-в*). (в) Тензор (поперечного) сдвига а определяется по правилу „=4_(В + В.)__±г£. Применяя методы матричной алгебры и используя ортонорми- рованный базис параллельных полей для V1- (с), можно показать, что 0 = tr (Л'Л'1) = (det Л)'1 (det Л)'. Тогда, если А — якобиево тензорное поле, для которого Л (/0) = 0, A' (i0) = Е и ] 0 (t) | оо при t ti, то det Л (R) = 0 и t = Е сопряжена t0 вдоль с. Используя соотношение (Л'1)' = —Л-1Л'Л-1, вычислим те- перь производную В = Л'Л'1. Имеем В' = (Л'Л-1)' = Л"Л-1 — Л'Л-1Л'Л-1 = — R — ВВ. (11.1)
312 Гл. 11. Сингулярности Так как 6 = tr (В) и В w Т ст 4 - Е, то отсюда получаем, что О' =tr(B') = — tr(R) tr (ВВ) = — tr (В) - - tr ((to Rст 4- ,, 2 j В)2) = -tr(R) - — tr (со2 4- о2 у -—Е ) = .’ft- • - = —tr (7?) tr (со2) - tr (ст2) - пТГ1 -, где мы использовали тот факт, что tg (ы) = tr (ст) = tr (ист) — 0. Привлекая ортонормированный базис E]t ..., Еп вдоль с, в кото- ром Еп = с', найдем п—I tr(7?)=S g(R(Eb с’) с, £0 = £=1 П— 1 = Е g(£<> ^z)g(₽(^> Г’')с', Bj)==Ric(c, с). i=l Это приводит к уравнению Райчаудхури для якобиевых тензоров вдоль времениподобных геодезических: 0' = —Ric (с , с) tr (со2) - tr (ст2) — ---. Определение 11.2 означает, что тензор сдвига ст для произ- вольного якобиева тензорного поля А является самосопряженным. Таким образом, если Еъ .... Еп — ортонормированный базис в с (f), у которого Elt_ = с (t), то ст можно представить относи- тельно Еь ..., En_t при помощи симметричной матрицы Следовательно, tr(cr) = tr^2j = :=== Xj “ Xj Xj 0. i, k i k Тем самым tr (ст2) = 0 в том и только том случае, если о = 0. Если А является лагранжевым тензорным полем, то тензор В = А'А^1 обладает следующим свойством. Лемма 11.3. Если А —лагранжево тензорное поле, то В = = Л'Л-1 является самосопряженным. Доказательство. Из равенства А*А' = Л'*Л вытекает, что В = А'А^1 = (Л*)'1 (Л*)' = В*. □ Лемма 11.3 имеет простое следствие.
11.1. Якобиевы тензоры 313 Следствие 11.4. Если А —лагранжево тензорное поле, то вращение со = (1/2) (В — В*) равно нулю вдоль с. Таким образом, мы пришли к свободному от вращения уравне- нию Райчаудхури для лагранжевых тензорных полей вдоль вре- мениподобных геодезических: О' = —Ric (с', с') — tr (ст2)-~ • (11 -2) Рассмотрим теперь уравнение Райчаудхури для изотропной геодезической [3: [а, Ь] ->-Л4. Как отмечалось в разд. 9.3, исполь- зование факторрасслоения G ((5) = N ф)/ [(3' 1 вдоль (3 предпочти- тельней использования Л? ф). Напомним, что гладкое (1, ^-тен- зорное поле Д: G ((3) ->G((3) называется якобиевым тензорным полем вдоль изотропной геодезической (3, если А" + RA = 0 и ker (А (/)) П ker (А' (t)) = ДО' (/)] 1 для всех if [a, bl (см. определение 9.61). В изотропном случае мы будем действовать во многом так же, как и во времениподобном, не забывая, впрочем, о том, что мы работаем здесь по модулю (3' в G ф) и что dim G (|3 (/)) = п — 2. Тензорное поле А*, сопряжен- ное А, определяется по формуле g (Aw, v) = g (A*v, w), где g — положительно определенная метрика на G ф), задавае- мая по формуле (9.31) разд. 9.3. Определение 11.5. Пусть А —якобиев тензор вдоль изотроп- ной геодезической (3 и В = Л'А”1 в тех точках, где определен Д-1. (а) Расхождение В определяется по правилу 0 = tr (В) = (det Д)"1 (det А)'. (б) Тензор вращения со определяется по правилу (в) Тензор сдвига ст определяется по правилу ?=4(в+&)-^г. Используя те же соображения, что и во времениподобном слу- чае, можно получить, что В' = — R—BB ' ' (11.3)
314 Гл. 11. Сингулярности 0' = —tr (R) — tr (со2) — tr (ст2)----------------7-_-o След tr (R) можно вычислить следующим образом. Пусть V (0) — геометрическая реализация для G (0). построенная, как и в правиле (9.28) разд. 9.3, и {Ух, ..., У71_2} — ортонормиро- ванный базис для V (0) в каждой точке р. Продолжим {Ух, ..., Уп_2\ до ортонормированного базиса {У1; ..., Уп} вдоль 0, где Уп является времениподобным и 0' = (Уп-1 + Уп)/У 2. Тогда, используя основные свойства тензора кривизны, получим, что g(R(Yn_i, Р')Р', Уп_1)-б(/?(Уп. ₽')₽'. Уп) = = ~g(R(Уп_х, Уп) Уп, Уп_г) —g(RУп, Уп-i)Уп-ь Уп) = О- Следовательно, tr (/?)=£ g (7?(тс(У0, Р')Р', я(Уг)) = 1=1 = Е g(Wt. Р')Ю Ki)=Eg(yi,y{)g№.0')0,.yj = /—I i=l = Ric(P',p'). Эго дает уравнение Райчаудхури для якобиевых тензоров вдоль изотропных геодезических: 02 О 0 = —Ric (0 , 0 ) — tr (©2) — tr (о2) —. (11.4) Те же соображения, что и при доказательстве леммы 11.3, позволяют упростить приведенное выше уравнение для случая, когда А является лагранжевым тензорным полем (т. е. когда 4М' = (Л')*Л). Лемма 11.6. Если А —лагранжево тензорное поле, то тен- зор вращения со вдоль р равен нулю. Таким образом, мы получаем свободное от вращения уравнение Райчаудхури для лагранжевых тензорных полей вдоль изотроп- ных геодезических: 6 = -Ric(0', 0') — tr (ст2) —-2-у (11.5)
11.2. Типовое и сильное энергетическое условия 315 11.2. Типовое и сильное энергетическое условия В этом разделе мы покажем, что если размерность пространства- времени (Л4, g) не меньше 3, то при выполнении типового и силь- ного энергетического условий каждая полная непространственно- подобная геодезическая содержит пару сопряженных точек (см. Хокинг и Пенроуз (1970, с. 539)). Времениподобный и изотропный случаи разбираются отдельно. Изложение материала, сходное с представленным в этом разделе, можно найти у Бёлтса (1977), Хокинга и Эллиса (1977, с. ПО—116) и Эшенбурга и О’Салливэна (1976). Прежде всего сформулируем определения типового условия и сильного энергетического условия. Определение 11.7. Времениподобная геодезическая с: (а, Ь) —>- (/И, g) называется удовлетворяющей типовому условию, если существует некоторое /0 £ (а, Ь), для которого эндоморфизм кри- визны R (• > с' (/„)) с' (t0): VJ- (с (t0)) -> V1 (с О не является нулевым тождественно. Изотропная геодезическая (3: (a, b) М называется удовлетворяющей типовому условию, если существует такое /0 £ (а, Ь), что эндоморфизм кривизны Я (•, Г (4)) Г (t0): G (Р (4)) ->-G (0 (М) факторпространства G (0 (/0)) не является тождественно нулевым. Пространство-время (/И, g) называется удовлетворяющим типо- вому условию, если этому условию удовлетворяет каждая непро- должаемая непространственноподобная геодезическая. В добавлении Б показано, что такая формулировка типового условия эквивалентна обычному определению в общей теории от- носительности; именно, непространственноподобная геодезическая с с касательным вектором W удовлетворяет типовому условию, если на с найдется точка, в которой WcWdWlaRncdleWn^0. Определение 11.8. Пространство-время удовлетворяет силь- ному энергетическому условию, если Ric (у, v) 0 для всех не- пространственноподобных касательных векторов v £ ТМ. В силу непрерывности условие кривизны определения 11.8 эквивалентно условию времениподобного схождения Хокинга и Эллиса (1977, с. 109), состоящему в том, что Ric (v, v) 0 для всех времениподобных v б ТМ. Условием изотропного схождения Хокинг и Эллис называют следующее условие кривизны: Ric (w, tc) 0 для всех изотропных w G ТМ (1977, с. 108). Там же (1977, с. 102) четырехмерное пространство-время (М, g) с тензором энер- гии импульса Т (см. добавление В) называется удовлетворяющим
316 Г л. 11. Сингулярности слабому энергетическому условию, если Т (v, v) рм 0 для всех вре- мениподобных v б ТМ. Если уравнения Эйнштейна выполняются для четырехмерного пространства-времени (/И, g) и Т с космоло- гической постоянной Л, то условие Ric (у, у) 3» 0, где v t ТМ — произвольный времениподобный вектор, означает, что ТС для всех времениподобных у - ТМ. Следуя Хокингу и Эллису (1977, с. 109), будем говорить, что четырехмерное пространство- время (44, g) и тензор энергии-импульса Т удовлетворяют силь- ному энергетическому условию, если Т (v, v) (tr 772) g (v, v) для всех времениподобных v £ ТМ. Если dim М = 4 и Л = 0, это эквивалентно, как можно видеть, условию Ric (v, у) 0 для всех времениподобных v £ ТМ (см. добавление В). У Хо- кинга и Пенроуза (1970, с. 539) неравенство Ric (v, и) 0, вы- полненное для всех единичных времениподобных векторов v С С ТМ, называется энергетическим условием. Франкл (1979) и Ли (1975) пользуются тем же определением сильного энергети- ческого условия, что и мы (см. определение 11.8). Обсуждение фи- зической интерпретации этих условий кривизны в общей теории относительности можно найти у Хокинга и Эллиса (1977, разд. 4.3). Как мы только что отметили выше, если (44, g) удовлетворяет условию времениподобного схождения или сильному энергети- ческому условию, то (Л4, g) удовлетворяет и условию изотроп- ного схождения. Ввиду того что несколько теорем жесткости в ри- мановой геометрии связаны с условиями кривизны (см. Чигер и Эбин (1975, с. V и VI)), естественно рассмотреть условие кривизны Ric (w, а?) = 0, выполненное для всех изотропных векторов ay Е ^7'44. Применяя к каждому касательному пространству линей- ноалгебраические рассуждения, Дайцер и Номидзу (1980а) полу- чили следующий результат о жесткости: если dim 44 3 и Ric (ay, ay) = 0 для всех изотропных векторов ш (-• ТМ, то (44, g) является эйнштейновым, т. е. Ric = Ag для некоторой постоянной А £ R. Поэтому, если (44, g) не является пространством Эйн- штейна, то найдутся изотропные векторы, для которых кривизна Риччи отлична от нуля. Предположим далее, что (Л4, g) глобально гиперболично с гладкой глобально гиперболической временной функцией /г: М такой, что для некоторой гиперповерхности Коши S = /Г1 (t0) все изотропные кривизны Риччи Ric (g) (ay, ay) >0, если л (ay) S. Если (44, g) удовлетворяет к тому же условию изотропного схождения, то М допускает ме- трику gi, глобально конформную g и такую, что глобально гипер- болическое пространство-время (М, gj удовлетворяет для всех изотропных векторов w £ ТМ следующему условию кривизны: Ric (gj) (ay, ay) >0 (см. Бим и Эрлих (1978, с. 174, теорема 7.1)).
11.2. Типовое и сильное энергетическое условия 317 Существенным шагом в доказательстве того, что всякая полная времениподобная геодезическая в пространстве-времени, удов- летворяющем типовому и сильному энергетическому условиям, содержит пару сопряженных точек, является следующее пред- ложение. Предложение 11.9. Пусть с: J ->(М, g) —непродолжаемая геодезическая, удовлетворяющая условию Ric (с' (1), с' (/)) 0 для всех t C J. Пусть А — лагранжево тензорное поле вдоль с. Пред- положим, что расхождение 0 (/) = tr (Л' (/) Л”1 (/)) принимает отрицательное (соответственно положительное) значение 0Х = = 0 (Н) при Н С J • Тогда det Л (t) = 0 для некоторого t из ин- тервала (tlt 1Л — (п — 1) 0J (соответственно некоторого t из интервала (tj — (п — 1) 0Ь /х) при условии, что t С- J. Доказательство. Вследствие равенства 0 = (det Л)' (det Л) ’1 имеем det Л (t0) = 0 при условии, что | 0 | оо, когда t -+t0. Тем самым нужно только показать, что на указанных выше ин- тервалах | 0 | —оо. Положим Уравнение Райчаудхури (11.2), свободное от вращения, для вре- мениподобных геодезических и условие Ric (с', с) 0 приводят к неравенству de о2 . , dt п — I Интегрируя это неравенство от lt до t (в случае 0Х < 0), по- лучаем, что п „ п — 1 для t £ (tlt (г — St). Отсюда следует, что | 0 (t) | бесконечно ве- лика для некоторых t (tlt — sx) при условии, что с (I) опреде- лена. В случае, если 0Г >0, для t £ (/| —sx, t, ] получаем, что 0(О> • t -f- sx — tj Отсюда вновь приходим к заключению, что | 0 (t) | является не- ограниченно большой для некоторых t £ (Н — sx, /х) при условии, что с (t) определена. □ Покажем теперь, что времениподобная геодезическая в про- странстве-времени, удовлетворяющем сильному энергетическому и типовому условиям, должна либо быть неполной, либо содержать пару сопряженных точек.
318 Гл. 11. Сингулярности Предложение 11.10. Пусть (М, g)—произвольное простран- ство-время, размерность которого 2. Предположим, что полная времениподобная геодезическая с: R -> (Л1, g) удовлетворяет усло- вию Ric (с' (/), с' (t)) 0 для всех t R R. Если при некотором Н £ R отображение R (, с' (/х)) с' (tj): N (с (1г)) N (с (Ч)) от- лично от нулевого, то с имеет пару сопряженных точек. Прежде чем доказать предложение 11.10, рассмотрим следую- щие четыре леммы (см. Бёлтс (1977, с. 30—37)). Лемма 11.11. Пусть с: [a, bl ->(М, g) -времениподобная геодезическая без сопряженных точек. Тогда существует единствен- ное (1, Е)-тензорное поле А на VL (с), которое удовлетворяет диф- ференциальному уравнению А" + RA = 0 с заданными гранич- ными условиями А (а) и А (Ь). Доказательство. Пусть S — линейное пространство (1, 1)- тензорных полей А на V1- (с), удовлетворяющих уравнению А" + + RA = 0. Обозначим через L (N (с (t))) множество линейных эндоморфизмов N (с (/)). Линейное преобразование ф, S -> -> L (N (с (а))) X L (N (с (6))) определим по следующему пра- вилу: Ф (Л) = (Л (а), А (Ь)). Чтобы доказать, что ф является изоморфизмом, и установить су- ществование единственного решения А вследствие равенства dim S = dim’ (L (N (с (a)))) + dim (L (JV,(c (b))))'= 2 (n — I)2, необходимо только показать, что ф инъективно. Допустим, что Ф (Л) = (Л (а), А (Ь)) = (0, 0). Если Y (Z) — произвольное век- торное поле, параллельное вдоль с, то J (t) = А (1) Y (/) является якобиевым полем, для которого J (а) = J (Ь) = 0. Поэтому J = = 0. С другой стороны, в силу того что Y (/) — произвольное па- раллельное поле, это означает, что A (I) = 0. Последнее показы- вает инъективность ф и завершает доказательство леммы. □ Пусть теперь с: [4, оо) —> (/И, g) —времениподобная геодези- ческая без сопряженных точек и s( (4, оо) фиксировано. Тогда, согласно лемме 11.11, на V4 (с) существует единственное (1, 1)- тензорное поле, которое мы будем обозначать через Ds, удовлет- воряющее дифференциальному уравнению Ds + RDS = 0 с на- чальными условиями Ds (Ч) = Е и Ds (s) = 0. Так как Ds (Ч) = = Е, то ker (Ds (Ч)) Г] ker (D's (Ч)) = {0}. Тем самым Ds — якобиево поле (см. лемму 9.62). Из того, что Ds (s) = 0, вытекает, что Ds является лагранжевым тензорным полем. В ходе доказа- тельства леммы 11.12 будет показано также, что если А —лагран- жево тензорное поле на (с), у которого А (Ч) = 0 и А' (Ч) == - Е, то D' (s) = - (Л*)’1 (s).
11.2. Типовое и сильное энергетическое условия 319 Лемма 11.12. Пусть с: [/ь <х>)-> (/И, g) —времениподобная геодезическая без сопряженных точек и А — (единственный) лаг- ранжев тензор на Y-' (с), у которого А (6) = 0 и А' (/,) = Е. Тогда для каждого s £ (Л, оо) лагранжев^тензор Ds на V1- (с), у которого Ds (1г) = Е и Ds (s) = 0, удовлетворяет равенству Ds (г) = A (t) j ’ (ДМ)”1 (т) dx для всех t £ (4, sj. Тем самым Ds (t) является невырожденным для t (1Ъ s). Доказательство. Положим X (^) = A (t) (Д*Д)-1 (т) dx. Достаточно показать, что X" + RX = О, X (s) = Ds (s) = 0 и X' (s) = D' (s). Убедимся сначала в справедливости равенства X" + RX = 0. Дифференцируя, получаем, что X' (t) = A' (t) J * (А* А)"1 (т) dr —A (t) (ДМ)”1 (t) = = Д' (/) [\ (ДМ)"1 (г) dx - (Д*)-1 (t). Значит, X" (/) = А" (/) (ДМ)"1 (т) dx - Д' (/) (ДМ)"1 (/) - - (игу (о=а" (о [; (дм)-1 (т) dx - - д' (о л-1 (() (д*г (о+(д*)-1 т иг1 (о- Но в силу того, что А является невырожденным лагранжевым тензором, (А*)' = А*А’А-1, так что (Д*)1 (Д*)' (Д*)-1 = = Д'Д-1 (Д*)', и мы получаем X" (/) = А" (/) (ДМ)’1 (т) dx. Но тогда в силу равенства A" (t) + 7? (t) A (t) = О X" (t) ф R (t) X (t) = [А" (/) г R (0 Л (/)] JJ (ЛМД1 (т) dx = 0. Таким образом, X удовлетворяет дифференциальному уравнению Якоби. Полагая t = s, получим, что X (s) = A (s) j ® (ДМ)"1 (т) dx = 0 и X' (s) = Д'(s) j* (ДМ)”1 (т) dx — (Д*)-1 (s) = — (Л*)-1 (s).
320 Гл. 11. Сингулярности Таким образом, остается проверить, что D's (s) = —(Л*)~1 (s). Используя равенство /?* = 7?, получаем, что [(Л*)'А - 4’DS]' = (Л*) Ds ф- (Л-)Т>8 - (Л’)П' - A’D"S = (A*)”DS - A*D"S = — Л*/?*Г>з + A" RD, = 0. Таким образом, поле (A*)’DS—A*D'S параллельно вдоль с. Начальные условия для Л при t = 4 приводят к тому, что А* (4) = 0 и (Л*)' (4) = (Л')* (4) = Е. Так как Ds (4) = 0, то л*г>;)(4)=£. Следовательно, ((A*)'DS —A*D'S) (t) = Е для всех t. Полагая t =s, получаем равенство Е = ((Л*)' Ds - A*D’S) (s) = - (A*D'S) (s), которое означает, что D's (s) = — (Л*)-1 (s) = X' (s). Отсюда вы- текает, что тензоры Ds и X должны совпадать для всех t (D, и X обращают уравнение А" + 4 Л = 0 в тождество и принимают в точке t = s одинаковые значения). Наконец, невырожденность Ds (/) для t < (tlt s) вытекает из формулы £>8(0-Л(0 в силу того, что (Л*Л-1) (/) является положительно определенным самосопряженным тензорным полем для всех t > R. □ Заметим, что хотя интегральное представление лагранжева тензора Ds вдоль с, у которого Ds (4) = Е и Ds (s) = 0, дока- зано в лемме 11.12 только для / С (4> s], тем не менее в случае, если с определена для всех t ~ R и не имеет сопряженных точек, Ds (t) определено для всех t - R . Покажем теперь, что если с: [а, оо) -> (/И, g) —временипо- добная геодезическая без сопряженных точек, то построенное выше тензорное поле Ds сходится к лагранжеву тензорному полю D при S—> оо. Эта конструкция вполне аналогична построению устойчивых якобиевых полей для некоторых классов полных ри- мановых многообразий без сопряженных точек (см. Эшенбург и О’Салливэн (1976, с. 227 и далее), Грин (1958), Э. Хопф (1948, с. 48)). Лемма 11.13. Пусть с: [а, оо) -> (/И, g) —времениподобная геодезическая без сопряженных точек. Пусть Dk, где s £ [а, оо) \ и t х > а, — лагранжево тензорное поле вдоль с, определяемое условиями Ds (ti) = Е и Ds (s) = 0. Тогда D (t) = lim Ds (/) S->-|-oo также является лагранжевым тензорным полем. Более того, D (t) невырожденно для всех t, t <. оо.
11.2. Типовое и сильное энергетическое условия 321 Доказательство. Покажем сначала, что D's (tt) имеет при s —> оо самосопряженный предел. В силу того что D. является лагранжевым тензором, имеем ((D()* Ds) (Ч) = (DtDs) (Д). Ис- пользуя условие Ds (/i) = Е, получаем, что (Ds)* (h) = D‘s (h). Поэтому предел D’s (Ч), если он существует, должен быть само- сопряженным линейным отображением. Будем обозначать его через D' (Ч): N (с (tj)) -> N (с (tt)). Следовательно, нам необхо- димо показать только, что для каждого у £ N (с (Ч)) значения g (Ds (tt) у, у) сходятся к некоторому значению g (D' (Ч) у, у). Чтобы установить существование этого предела, мы докажем, что функция s -> g (Ds (tt) у, у) монотонно возрастает по s на луче Ч < s < оо и ограничена сверху числом g (D« (Ч) у, у). Пусть Ч < г < оо. Тогда, согласно лемме 11.12, имеем Ds (t) = A’ (I) J* (ЛМ)~‘ (т) dr - (Л*) (t). Тем самым для /£(Ч, s) получаем, что g(D'(t)Y(t), Y(t)) = - g ((А' (О J/ (А*А)~‘ (т) d-r) (У (0), У (о) - g((ATL (0 У (0, У (О), где А —лагранжево тензорное поле вдоль с, удовлетворяющее условию А (Ч) = 0, А' (Ч) = Е, a Y (t) -векторное поле, па- раллельное вдоль с, У (Ч) = У- Таким образом, для Ч Ч < t < г, получается равенство g (D's (t) У (/), У (t)) - g (D( (t) Y (t), Y (t)) = = g (k (0 К (ЛМ) -‘ (T) dr) (У (0), У (о) Устремляя t tt и используя равенства У (Ч) = у и А' (Ч) = Е, имеем g(D’s(tt)y, г/) ~g(D; (Ч)у, у) =ё((^(Л*Д)-’ (T)dx)(y(4)), У(Ч)). Из того, что У параллельно вдоль с, путем выбора ортонормиро- ванного базиса параллельных полей для У-1 (с) можно убедиться в справедливости соотношения g (т) dr)(Y (Ч)), У(Ч)) = = J;g((A*A)-’(r)(y(T)),y(T))dT. Вследствие равенства (А*А)"1 = А-1 (А*) ' последнее соотноше- ние можно записать в следующем виде: g ((|^ (А*А)"1 (т) dr ) (У (Ч)), У(Ч)) = = J s g ((АП'1 (т) У (т), (А*)"1 (Т) У (т))dr. И Дж. Бим, П. Эрлих
322 Гл. 11. Сингулярности Полученное выражение должно быть положительным в силу того, что (Д*)-1 (т) Y (т) является пространственноподобным вектором в N (с (t)) из каждого т£ [г, si. Поэтому g(^s(4)g, У} -giD'rttJy, г/)>0 и отображение s -> g (D's (/,) у, у) монотонно для всех s > t\, как и требовалось. Покажем теперь, что g (D's (6) у, у) < g (Е)'а (/,) у, у) для всех s > 4 и любого у £ N (с (t)). Вновь обозначим через Y един- ственное векторное поле, параллельное вдоль с, у которого Y (4) — = у. Пусть J —кусочно-гладкое якобиево поле вдоль с|[ц, s], задаваемое следующим образом: (Dc,R)Y(t), а<{<Л J{t) \DAt)Y(t), Положим J„ = 41 и Js = / ( [4, s]. Тогда J (a) = J (s) = = 0, и J при t = 4 является корректно определенным в силу того, что Da (4) = Ds (4) = Е. Используя для с| [и, s] индекс- ную форму /, введенную в разд. 9.1, определение 9.4, получаем, что 1 (J, J) = / (J, ч- / (J, = , = - - g (J'a (Ю, Ja (tt)) +- g (Л (4), Js (4)) = ' ' Y^ + giD'^Y^), Y(h)) = = — g(E>'a(ti)y, y) + g(D's(ti)y, y) (при выводе мы пользуемся формулой (9.2) определения 9.4 и ра- венствами Da (4) = Ds (4) = Е). Поскольку J (а) = J (s) = 0 и с не имеет сопряженных точек на [и, оо), согласно теореме 9.22 имеем / (J, J) < 0. Тем самым g(D's(ti)y, y)<g(D'a(tt)y, у) для всех s > 4, и мы заключаем, что самосопряженный тензор D' (t) = lims>+ooDj (ti) существует. Пусть D (t) — единственное якобиево тензорное поле вдоль с, удовлетворяющее условиям D (4) = Е и D' (4) = lims_>+<x,Ds (4). Так как и D (t), и D, (t) удовлетворяют дифференциальному уравнению А" + RA = 0, а начальные условия для Ds сходятся к начальным условиям для D при s -> + 00, то D (t) = = „ Ds (t) и D’ (t) = lims_+co Ds (t) для всех t C 1«> °°)- Это означает, что предел D (t) лагранжевых тензоров Ds (t) также должен быть лагранжевым тензором. Последнее утверждение леммы получаем, воспользовавшись представлением D (4 = А (/) J; (А*А)-1 (т) dt
11.2. Типовое и сильное энергетическое условия 323 и тем фактом, что (Л*Л) 1 (t) является положительно определен- ным самосопряженным тензорным полем для всех t >4- □ Разобьем теперь лагранжевы тензоры вдоль полной времени- подобной геодезической с: (— оо, оо) (7И, g), считая выполнен- ными следующие условия: Ric (с', с') ^0 и Л (4) = Е, R (, с' (4)) с' 01) ¥= 0 для некоторого 4 4 R, на два класса Д,. и (см. Бёлтс (1977, с. 36), Хокинг и Эллис (1977, с. 112)). Положим S>+ = {Л: А —лагранжев тензор, для которого Л (4) = Е и tr (А' (4)) > 0j и S’_ = }Л: Л —лагранжев тензор, для которого Л (4) — Е п tr (Л' 01)) < 0}. Лемма 11.14. Пусть с: R (At, g) —полная времениподоб- ная геодезическая, такая, что ДИ (с', с') и R (-, с' (4)) X Хс' 01) S= 0 для некоторого 4 к. Тогда каждый А 4 S’_ удовлетворяет условию def Л (/) — 0 для некоторого t > tlt а каж- дый А £ 2” + удовлетворяет условию det A (t) = 0 для некоторого t < t±. Доказательство. Если А 4 S_, то 0 (4) = tr (Л' (4) /11 (4))= = tr (Л' (4)) < 0. Применяя свободное от вращения уравнение Райчаудхури (11.2) для времениподобных геодезических, подчи- ненных условиям Ric (с', с') > 0 и tr (о2) 0, получим, что 0' 0) < 0 Для всех t. Таким образом, 0 R) < 0 для всех t > 4- Если для некоторого t0 > 4 выполняется строгое неравенство, то сформулированное утверждение следует из предложения 11.9. Допустим поэтому, что 0 0) = 0 для t Xs ty. Тогда 0' 0) = 0 для t 4 и tr (°2) = 0- Отсюда в силу того, что о является самосо- пряженным, вытекает, что о = 0 при t tr. Используя равенство 0 = 0 и самосопряженность В, имеем тогда, что В = о = 0. Отсюда, согласно формуле (11.1), получаем, что R = —В2 — В' — = 0 для t 4> что противоречит условию R (4) S= 0- Если Л 4 S?+> то доказательство проводится аналогично. □ Теперь мы подошли к доказательству предложения 11.10. Доказательство предложения 11.10. Пусть с: R -► (Al, g) — полная времениподобная геодезическая, для которой Ric (с' Д), с' (0) 0 при всех Д- R и R ( ,с' (4)) с (4) S= 0 Для некоторого 4 t R. Предположим, что с не имеет сопряженных точек. Пусть тогда D = lim, ,„Ds —лагранжево тензорное поле на VL (с), D (4) = £> построенное в лемме 11.13. Вследствие того что с | [4» °°) не имеет сопряженных точек, D Д) не вырожден для всех t tT. Поэтому D ф S’ _ по лемме 11.14. Значит, D 4 -А+ и, более того, tr (£>' (4)) > 0, так как D уА <£_. В силу соотноше- 11*
324 Гл. 11. Сингулярности ния D' (ti) = D's (ti) найдется s > tt, для которого tr (D's (ti)) > 0. Отсюда, согласно лемме 11.14, следует существо- вание t2 < и ненулевого касательного вектора v N (с (t2)), таких, что Ds (t2) (и) = 0. Напомним также (из доказательства леммы 11.12), что хотя Ds (s) = 0, но D's (s) = (/I*)'1 ($) не вы- рождено. Следовательно, если У ( Г’ (с) — (единственное) век- торное поле, параллельное вдоль с, у которого Y (t2) = v, то J = Ds (F) является нетривиальным якобиевым полем вдоль с, для которого Y (t2) = Y (s) = 0, что и приводит к противоре- чию. □ Следствие 11.15. Пусть (М, g) —пространство-время раз- мерности ^2, удовлетворяющее сильному энергетическому и ти- повому условиям. Тогда каждая времениподобная геодезическая из (М, g) либо неполна, либо имеет пару сопряженных точек. Рассмотрим теперь вопрос существования сопряженных точек на изотропных геодезических. Методы и результаты для изотроп- ных геодезических во многом те же, что и для времениподобных геодезических, за исключением условия dim М 3, которое не- обходимо вследствие равенства dim G (|3) = dim М — 2 и того, что изотропные геодезические в двумерных пространственно-вре- менных многообразиях свободны от сопряженных точек. Приме- няя свободное от вращения уравнение Райчаудхури (11.5) для изотропных геодезических, можно установить следующий аналог предложения 11.9 (рассуждая так же, как и во времениподобном случае). Предложение 11.16. Пусть (М., g) —произвольное простран- ство-время размерности ^3. Предположим, что |3: J (М, g) — непродолжаемая изотропная геодезическая, удовлетворяющая условию Ric (|3Z (t), [>' (t)) 0 для всехt J. Пусть А -лагран- жево тензорное поле вдоль р, такое, что расхождение 6 (t) = = tr (A' (t) А~г (/)) = [det A (t) I"1 [det A (t) ]' имеет при t1 g J отрицательное (соответственно положительное) значение. Тогда det A (t) = 0 для некоторого t из интервала (tA, t± —(соот- ветственно некоторого t из интервала ” _-2, при усло- вии, что t G J', здесь 0Т — 0 (tt). Для всех пространственно-временных многообразий размер- ности 3 можно получить также изотропный аналог предложе- ния 11.10, используя соответственно А, В, 0, о и т. д. вместо А, В, 0, о н т. д., участвующих в доказательстве для времениподоб- ных геодезических.
11.3. Фокальные точки 325 Предложение 11.17. Пусть |3: R -> (Л4, g) —полная изотроп- ная геодезическая с условием Ric (|3' (t), |3'(0) О для всех t € R- Если dim Л4 > 3 zz для некоторого 4 £ R отображение R (, ₽' (О) р' (i): G (₽ (0) -> G (Р (0) ненулевое, то Р обладает парой сопряженных точек. Объединяя этот результат со следствием 11.15, получаем сле- дующую теорему. Теорема 11.18. Пусть (М, g) —пространство-время размер- ности зэ 3, удовлетворяющее сильному энергетическому и типо- вому условиям. Тогда каждая непространственноподобная геоде- зическая в (М, g) либо неполна, либо имеет пару сопряженных точек. Таким образом, всякая непространственноподобная геодези- ческая в (М, g) без сопряженных точек является неполной. Материал, представленный в этом разделе, можно также рас- сматривать в рамках теории сопряженных точек и теории осцил- ляции для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. Типлер (1977 г), Киконе и Эрлих (1980)). При таком подходе урав- нение Райчаудхури преобразуется заменой переменных к диффе- ренциальному уравнению х" (t) + F (/) х (t) = 0, где F (о = [Ric (У (о, Т' (0) + 2о2 (01 и - (п — 1, если у времениподобна, П1 ~=. < [ п — 2, если у изотропна. 11.3. Фокальные точки Понятие сопряженной точки вдоль геодезической можно обоб- щить до понятия фокальной точки подмногообразия. Пусть П — невырожденное подмногообразие пространства-времени (Л1, g). В каждой точке р £ П касательное пространство ТГН можно естественным образом отождествить с векторами из ТрМ, которые касательны к П в точке р. Нормальное пространство ТрН состоит из всех векторов, ортогональных Н в р. Поскольку Н не вырож- дено, Tp Н П ТрН — [0р[ для каждой р £ Н. Обозначим огра- ничение экспоненциального отображения на нормальное расслое- ние Т1 Н через ехр\ Тогда вектор ХСТрН называется фокаль- ной точкой подмногообразия Н, если отображение (ехр1), вырож- дается в X. Соответствующая точка exp1 (X) многообразия М называется фокальной точкой подмногообразия Н вдоль геодези- ческого сегмента ехр 1 (IX). Если Н состоит из одной точки, то
326 Гл. 11. Сингулярности ТрН --= ТРМ и фокальная точка является просто обычной сопря- женной точкой. Фокальные точки можно определять и при помощи якобиевых полей и второй фундаментальной формы (см. Бишоп и Криттенден (1967, с. 279)). Этот подход, следуя Бёлтсу (1977), мы и будем ис- пользовать в этом разделе. Якобиевы поля привлекаются для того, чтобы измерять отклонение (или девиацию) соседних геодезических. Например, если q сопряжена р вдоль геодезической с, то геодези- ческие, исходящие из р, с начальной касательной, близкой к с' в р, будут стремиться сфокусироваться в q вплоть до второго порядка. Они не обязательно проходят через q, но должны проходить близко к q. При изучении подмногообразий можно взять конгруэнцию геодезических, ортогональных подмногообразию, и использовать якобиевы поля для измерения девиации геодезических в этой кон- груэнции. Если р —фокальная точка вдоль геодезической с, орто- гональной подмногообразию И, то некоторые геодезические, близкие с и ортогональные Н, имеют тенденцию фокусироваться в р. Это иллюстрируется на рис. 11.1 для евклидовой плоскости с обычной положительно определенной метрикой и на рис. 11.2 для лоренцевых многообразий. В разд. 2.5 мы определили вторую фундаментальную форму Sft: ТРН X ТРН —R в направлении п, вторую фундаменталь- ную форму X: ТрН X ТрН X ТрН -> R и оператор второй фун- даментальной формы Ln: ТРН ТрН (см. определение 2.35). На- помним, что X (п, х, у) = Sn (х, у) = Sn (у, %) и g (L„ (%), у) = = Хп (х, у) = g (Vx Y, n) для n g ТрН и x, у g TPH, где. X и У —локальные векторные продолжения х и у. В этом разделе мы прежде всего коснемся оператора Ln: ТРН -> -+ ТрН. Заметим, что векторное поле щ ортогональное Н во всех точках Н, определяет (1, 1)-тензорное поле ЕГ| на Н. Рассмотрим сначала пространственноподобные гиперповерхности. Если време- ниподобное нормальное векторное поле ц на Н удовлетворяет усло- вию g(i], ц) = —1, то Lt] можно вычислять следующим образом. Лемма 11.19. Пусть Н —пространственноподобная гиперпо- верхность с времениподобным, нормальным полем ц из единичных векторов. Если х — касательный вектор к Н, то L.t] (х) = — \ х ц Доказательство. В силу условия g (ц, г]) = —1 справедливо соотношение 0 = х (g (t], т])) = 2g (Vxi], ц), показывающее, что касателен к Н. Если теперь Y — произвольное векторное поле, касательное к Н, то g (ц, У) = 0. Таким образом, 0 = = х (g (ц, У)) = g (Vs/q, Y) + g (л, УЖУ), так что g (УЖУ, ц) = = g (— Vx9. Y)- Следовательно, g (£„ (х), У) = g (\ХУ, п) = = g ( —\Хл, V). Ввиду произвольности У получаем требуе* мый результат, □
11.3. Фокальные точки 327 Рис. 11.1. Фокальными точками кри- вой на евклидовой плоскости являются ее центры кривизны. На рисунке по- казана соприкасающаяся окружность к кривой у в t — t0. Точка х является внутренней точкой сегмента, идущего из у (/о) в центр р соприкасающейся окружности. Точка у лежит на луче, идущем из у (/(1) через р, за точкой р. Для некоторого интервала tB — И < < t < to ei ближайшей точкой на у к х является у (/0). С другой стороны, для некоторого интервала tB — е2 <С < t < tc + s3 точка у (/) является наиболее удаленной от у точкой на у. Более того, прямые линии, ортого- нальные у вблизи у (/с), как бы фоку- сируются в р. Рис. 11.2. Показано пространственноподобное подмногообразие Н лоренцева многообразия (М, g). Здесь р является фокальной точкой для Н ъррлъ геодези- ческой с. Геодезический сегмент из р в q содержит х внутри себя, а у лежит на геодезической с за точкой р. Все непространственноподобные кривые, «близкие» к с [q, х], которые соединяют точки Н, близкие к q, с х, имеют длину не больше длины с [q, х]. С другой стороны, наиболее удаленная от у точка из точек Н, близких к q, не есть q. Существуют точки, близкие к q на Н, которые можно соединить с у времениподобными кривыми длины большей, чем ус |с/, р]. Более того, найдется по крайней мере одна кривая у на И, проходящая через q и такая, что семейство геодезических, ортогональных Н относительно заданной лорен- цевой метрики и исходящих из точек у, близких q, как бы фокусируется в р вплоть до второго порядка. Для заданного нормального поля т] единичных векторов, орто- гональных пространственноподобной гиперповерхности Н, сово- купность нормальных времениподобных геодезических, ортого- нальных Н, с начальными направлениями 'г; (q), где q £ Н, опре- деляет конгруэнцию времениподобных геодезических. Пусть с —
328 Гл. It. Сингулярности времениподобная геодезическая пз этой конгруэнции, пересекаю- щая Н в точке q. Обозначим через J векторное поле вариации вдоль с однопараметрического подсемейства конгруэнции. Тогда J является якобиевым полем, измеряющим скорость девиации геодезических однопараметрического подсемейства от с. Так как все геодезические из конгруэнции ортогональны Н, то, используя результат леммы 11.19, можно показать, что J удовлетворяет на- чальному условию •f (Я) — Это подсказывает следующее определение фокальной точки про- странственноподобной гиперповерхности в терминах якобиевых полей. Определение 11.20. Пусть с —времениподобная геодезиче- ская, ортогональная пространственноподобной гиперповерхности Н в точке д. Точка р на с называется фокальной точкой гиперпо- верхности И вдоль с, если существует нетривиальное якобиево поле J вдоль с, ортогональное с', обращающееся в нуль в точке р и удовлетворяющее условию J' = —L^J в точке q. Предположим, что А — якобиев тензор вдоль времениподоб- ной геодезической с, удовлетворяющий условиям А = Е и А' = = —ЕГ1А = —Lri в точке q, где с пересекает пространственнопо- добную гиперповерхность Я. Тогда каждое якобиево поле J, ортогональное с и удовлетворяющее в точке qусловию J' = —Lr.J, можно представить в следующем виде: J — AY, где Y = Y (t) — векторное поле, параллельное вдоль с и ортогональное с. Так как существуют п — 1 линейно независимых параллельных векторных полей, ортогональных с, то существует и (п — 1)-мерное линейное пространство якобиевых полей вдоль с, удовлетворяющих в точке q следующему условию: J’ = —L^J. Покажем теперь, что такой якобиев тензор А, удовлетворяющий условиям А = Ё и А' =—Ln в точке q, на самом деле является лагранжевым тензором. Лемма 11.21. Предположим, что А является якобиевым тен- зорным полем вдоль времениподобной геодезической с. Пусть с орто- гональна Н в t} и L,, — оператор второй фундаментальной формы на Н. Если A ДА = Е и A' ДА = —LViA ДА, то А —лагранжево тензорное поле. Доказательство. Вторая фундаментальная форма £„ в т] £ С TLH симметрична. Ввиду того что g (L^ (х), у) = (х, у) = = ST, (у, х) = g (Тп (у), х), это означает, что самосопряжен в q. Тем самым А' (^) = —Ё^А ДА = —Ln также является само- сопряженным. Следовательно, (А*)' (4) = Д'(^1)- Из того, что A ДА = Д* ДА = Е, вытекает равенство (Д*)' (^) Д (^) =
11.3. Фокальные точки 329 = A* (Е) А' (4). Таким образом, А —лагранжево тензорное поле, как и требовалось. □ Тензор В = А'А'1, расхождение 0 и сдвиг о лагранжева тензора А, удовлетворяющего условиям леммы 11.21, можно определить, как в разд. 11.1, определение 11.2. Как и раньше, расхождение 0 лагранжева тензора А вдоль с удовлетворяет сво- бодному от вращения уравнению Райчаудхури (11.2) для времени- подобных геодезических. Докажем для пространственноподобных гиперповерхностей следующий аналог предложения 11.9. Предложение 11.22. Пусть (М, g) —произвольное простран- ство-время размерности ^2. Предположим, что с: J->(M, g) — непродолжаемая времениподобная геодезическая, удовлетворяющая условию Ric (с' (t), с' (/)) 0 для всех t -- J и ортогональная пространственноподобной гиперповерхности Н в точке q = с (tj. Если —tr (L„) принимает в точке q отрицательное (соответст- венно положительное) значение 61; то на интервале с концами и Е — (п — 1 )/0i существует фокальная точка t гиперповерхности И (если только t (: J). Доказательство. Вторая фундаментальная форма S.r] в т) С £ Т^Н является симметричной. Поэтому, согласно лемме 11.21, якобиево тензорное поле А, удовлетворяющее условиям A (tj = = Е и A' (Е) = —(?), является лагранжевым. Тогда 0L = = 0 (tj) = —tr (L^). В силу предложения 11.9 тензор А на интер- вале с концами Е и Е — (п — 1)/0т имеет точку вырождения. Поэтому требуемый результат вытекает из замечаний, непосред- ственно следующих за определением 11.20. □ Для изучения фокальных точек подмногообразий полезно иметь под рукой формулу второй вариации для функционала длины дуги. Для полноты мы приведем вывод формул и первой, и второй вариа- ций. Рассмотрим кусочно-гладкую вариацию а: [и, Ь] X X (—е, е) -> (М, g) кусочно-гладкой времениподобной кривой с: [<7, Ы -> (М, g). Тем самым а (I, 0) = с (t) для всех t (- [а, Ь], и существует конечное разбиение а = Е <t1<Z ... <th= b, такое, что а | [/;_!, tj ] X (—е, s) — гладкая вариация кривой с | (Е_ъ Е ] для каждого i = 1, 2, ..., k (см. определение 9.6). Предполо- жим также, что соседние кривые as = а (•, s): [<7, /И -> (М, g) являются времениподобными для всех s, —s < s < е (см. лемму 9.7). Как и в разд. 9.1, определим для t, подчиненных условию ti_i < t <Е, векторное поле V вариации а вдоль с посредством формулы ; Г(О = («||(,.„ адх(-е, = М-о-
330 Гл. 11. Сингулярности Положим также А/,. (У') = У' (tt) - У' (17) для 1 = 1.k 1 ^h(Y') = -y'(t7), /yo(Y’) = Y'(to) для любого кусочно-гладкого векторного поля У (t) вдоль с, глад- кого на каждом интервале разбиения (^_ъ ti). Как и в разд. 9.1, для длины кривой t -> a (t, s) будем поль- зоваться обозначением L (s) = L (as). Тогда формула первой вариации для функционала длины дуги может быть получена обычным образом. Предложение 11.23. Пусть с: [и, b](М, g) —нормальная кусочно-гладкая времениподобная кривая. Если а: [<7, b 1 X X (—в, е) (М, g) является вариацией с в классе времениподоб- ных кривых, то L' (fi) = (" g (V. с") |(/. 0) dt -ф £ g (V (ti), (С)). <=о Доказательство. Обозначим через Lp (—е, е) -> R функцио- нал длины дуги а | t, ] X (—в, в). Тогда L (s) = Лг (s) и Таким образом, " - dL, Hi 1 г I д д \ 1~’/2 . ’/ ds ” ]«г_! 2 [ dt ’ “* dt )] X ' " x[-2g(Vd/«(a,^), 0*4)] dt. (H-6) С другой стороны, из того, что d [ d d\ / d d \ । Id d \ I . И Ца*IF’ a* dr)|(t.0) = ~ ’ вытекает> что I __ Hl / d „ d \ ,, ds Lo J g \a* ds ’ dt )dt ~
11.3. Фокальные точки 331 Тем самым ь;-(0) = |/'ig(v, с-) л - [g(i/C')i;L, откуда следует, что k L' (0) = J:’а g (У, с") dt у 2 8 (V ft)- Ч (-'))- i :.-() ’ ’'’’-t rfl * • i-i. как и требовалось. П Если с: [о, Ь] -> (/И, g) —времениподобная геодезическая, то с" = Vc-c' = 0 и Az. (с') = 0 для всех i = 1, ..., k — 1. Тем самым для времениподобной геодезической формула первой ва- риации упрощается. Предложение 11.24. Если с: [а, Ь] (/И, g) —нормальный времениподобный геодезический сегмент и a: [a, b] X (—е, е) -> -> (Л4, g) —вариация с, то L'(0) = -g(V, с')\ьа. Пусть теперь Н — пространственноподобная гиперповерхность и с: [о, b]-+(M, g) —нормальная времениподобная кривая, у которой с (а) £ Н. При изучении фокальных точек подмногооб- разия Н можно ограничиться рассмотрением только тех вариаций a: [a, b] X (—е, е) -> (М, g) кривой с, которые начинаются на Н (т. е. a (a, s) ( Н для всех s £ (—е, е), и заканчиваются в с (Ь) (т. е. a (b, s) = с (Ь) для всех s £ (—е, е). Тогда предложе- ние 11.23 дает следующую формулу первой вариации: А—1 L' (0) - \Ьа g(ft с") |(Л 0) dt + J g (V (/,), ft')) Т g (ft С) |(й> 0) • 11 (П-7) Пусть Н — пространственноподобная гиперповерхность без края в (/И, g). Зафиксируем q £ М\Н. Рассмотрим совокупность (возможно, пустую) всех времениподобных кривых, соединяющих с q некоторую точку из Н. Если эта совокупность содержит наи- длиннейшую кривую с: [a, g), то с должна быть глад- кой времениподобной геодезической. Это вытекает из следующих обычных рассуждений: 1) времениподобные геодезические локаль- но максимизируют длину дуги и 2) с не имеет углов (в чем нетрудно убедиться при помощи формулы первой вариации). Таким образом, допустим, что нормальная времениподобная геодезическая с: [о, Ы-> (М, g) является наидлиннейшей кривой, идущей из Н в q. Если a: la, b] X (—е, е) —> ftW, g) —вариация с в классе времениподобных кривых, у которой a (a, Н и a (b, s) = q
332 Гл. 11. Сингулярности для всех s, —8 < s < 8, то, пользуясь равенством V (Ь) = 0 и следствием 11.24, получаем L' (0) = g (V (о), ? (о)). С другой стороны, L' (0) = 0 вследствие того, что с — кривая максимальной длины среди всех кривых, идущих из Н в q. Тем самым V (а) ортогонален с' (а). Вследствие того что описанные выше вариации можно построить с произвольным V (а) £ Тс(а)Н, получаем, что с должна быть ортогональной Н в с (а). Тем самым мы приходим к следующему стандартному результату. Отметим также, что отсутствие края у Н необходимо для того, чтобы экстре- маль с была перпендикулярна Н в точке с (а). Предложение 11.25. Пусть Н—пространственноподобная гиперповерхность в (М, g) без края. Предположим, что с: \а, Ь] -> —> (М, g) —времениподобная кривая из Н в точку q = с (b) Н, имеющая максимальную длину среди всех времениподобных кривых из Н в q. Тогда с является времениподобным геодезическим сегмен- том, ортогональным Н в точке с (а). Векторное поле вариации V (/) = a* (d/ds) |(/,0) вдоль с может иметь разрывы производных при тех значениях (4, ...,tk~i], пара- метра t, в которых а не гладка. Поэтому нормальная компонента N = ajd/ds + g (rj..d/ds, ajd/dt) а^д/dt поля V вдоль с также может не быть гладкой при этих значениях параметра t. Получим теперь формулу второй вариации для L" (0) (см. Бёлтс (1977, с. 86—89), Хокинг и Эллис (1977, с. 124)). Предложение 11.26. Пусть с: [о, й ] -> (Л4, g) —нормальный времениподобный геодезический сегмент и а: [а, Ь] X (—8, 8) -* -> (М, g) —кусочно-гладкая вариация с, гладкая на каждом мно- жестве (/;_ь ti) X (—8, s) для разбиения а = t0 < ^ < ...< 4= — Ь отрезка [а, Ь]. Обозначим через V (t) = a^d/ds век- торное поле вариации а вдоль с и положим N(t) = V(t)±g(V(t), c'(t))c'(t) = I , f д д \ <31 -- од. ~ -4- g ( а* а* -тт- а* -^т- * дч (ДО) 1 ь\ * dt / * dt (ДО) Тогда L”(0) = \bag(N" + R(V, с')с', N)|(),o)^ + k + S g (N {tip Az. W')) - g {\d/d&v, C) |>. »=o
11.3. Фокальные точки 333 Доказательство. Полагая Lt = L | [/г_х, /,1 и вспоминая, что Дифференцируя выражение под знаком интеграла и используя тождество Vd/ща* -- -— = а* [-| 4] = 0, приве- дем его к следующему виду: a-,d/dt)-~g(Vd/dta.td/ds, Уд/д^д/д1) । | {Да* d/dt, a*d/dt)\'/2 ' g(Vd/diatd<ds. atd/dt)g^d/diatd,ds. a, d/dt) I -g (a, d/dt, a, d/dt)]1/2 g (a* d/dt, a* d/dt) где (t, s) £ tt) x (—e, e). Из того, что с — гладкая геоде- зическая, получаем, что \djdta, d/dt о> = Vd/st с' (/) = 0. Поэ- тому / 3 д \ д I d / d д \ д I , Vewfi а.-г-, «.тг Щ.тг = -лг £ тг + \ • й • dt / * dt |(Ц0) dt \ • ds • dt / * dt [ц,о> , / д д \„ д I d / д д \ д I + g(QK -Г-, а.-гг \<>/<>/«. -ГТ- = g XT а. -47 1 6 \ * ds • dt 1 * 1 * dt ц,0) dt ь\ * ds • dt / * dt (/,0) А так как g (N, a* d/dt) [(Zi0) = 0 для всех t £ to g a. |-)|(/ o) = L) " -g^,V6/^,.4)|(^O)=0. Используя результаты проведенных вычислений, получаем, что g(v^, Vo/« [g(«.4’ a-4)a*OLo>== =4 (g a-4)) L,0) g (v^- a-4) Lo,=°-
334 Гл. 11. Сингулярности Поэтому из соотношения д I л- /л ! 3 д \ д I 0,-4— = 'V ’О — g а*-г-, ~s~ ) ts- & |(ло> 7 ь\*йз’ * dt / * dt |(ло) вытекает, что g(Vwz.-£-, v^ta.4)|(/,0) = = g (Va/г/а. V^/5/a. |(Z 0) = g (V>/«/V, Va/^.V) |</.o> — - 2.3 Vdw [g(«. A, at a. + I g(v^/[g(a^, Vd/«[g(“*4’ “•4')a*^'J)L.o)==g(V6'wyV’ V^7V)l<'-°> + 4- (a*^’ a*~^r)]2g (“*’4"’ “•4_)2I = ’ I. dt b \ • ds ' * dt / J ъ \ * dt * dt J ](/, 0) = g(Ve/t)/^, Vd/dtN) |(/.0) - [g (v5/a/(a., “•'^Гко/ Заменяя g ^д/ d.'ds, Va/5Sa, д/dt) |(/,o> в сумме (11.8) на полученное выражение и используя равенство g (a* d/dt, a*didt) |(f,o> — —1> приходим к соотношению d ( Г f д d XT—1/2 г / d d \1 ) a.ar)J |-gkV^a-^a-ar)j)(/,0) = — —g (Vd/dsVd/a/a.-J--, a.|(/ 0) “ g($d/d/N, Vd/diK) |(/ 0). Это позволяет написать формулу L, (0) = J4x [~g «.^г)|(Л0) - — g(Vc)/<3/M \dld/N) |(Л 0) J dt. Вследствие того что имеем , (“*4’ a*i)a*^= ^/dsVw(a,^-). Так как с (t) = a (t, 0) — геодезическая, то /г?!-? 3 \ I d / d d \ I
11.3. Фокальные точки 335 Следовательно, Z4 (0) == f fg ' ’ J L \ \ * dt • ds / * ds • dt 1 [(/,О) —Vo/dtN) |(/,0)J dt — g (\1д/д&а, a»7jr)j/ Из равенства —g(¥d/dtN, Vd/dtN) |(/,o> = —^-g(/V, |(/,o) г -l-g(Af, ^d/dtMd/JtH) |(Z, 0) определения V (/) = a* d/ds |(/, о» и разложения L = по- лучаем L" (0) = [ b0 [g (/? (d, V) V, d) |(/, o) + g (M /V") |<д o)] dt - k -£g(AC Ю 1=1 ‘+ - g (Vd/asV, d) £ = J>(W d)d, N-g(V, C)L + g(/V. ЛГ")|.-]^+- + S g (N> - gC} [>, i=0 пользуясь тем, что V — N—g (V, c') d. Таким образом, L" (°) = J a g lN" + R (^> f') C’’ k dt + + S g (N AC ^')) - g (V^sV, c') i=0 где Vd/()SV |(oo) = д/ds |(fr0), как и требовалось. □ Предложение 11.26 имеет приводимое ниже следствие. Следствие 11.27. Пусть Н — пространственноподобная ги- перповерхность и с. 1а, Ь1-+(М, g) — нормальная временипо- добная геодезическая, ортогональная Н в точке р = с (а) С Предположим, что a: 1а, Ь] х (—е, е) -» (/И, g) — вариация ге- одезической с, у которой a (a, s) С Н и a (b, s) ~ q = с (Ь) для всех s, —8 < s < е. Если V = d/ds о> и N = V + + g (V, с') с , то L" (0) g CV" + R c’) C’ N) I/dt + k—1 + Sg(/V(M, A(f(/V'))4 g(/V, N’)\P + g(LC’(N), N)\p>
336 Гл. 11. Сингулярности где Lc — оператор второй фундаментальной формы гиперпо- верхности Н в точке р. Доказательство. В силу предложения 11.26 и равенства ’ S g {N (ti), А/ (N')) = £ g (X (ti), bt. (N')) + g (N, N') |p I—0 t=l необходимо показать только, что -g(V5/(>sV, r')|> = g(£c,(JV), N). Заметим сначала, что условие си (b, s) = q означает, что apd/ds !(,...) = 0 для всех s. Откуда в свою очередь получаем, что g (Va/ds К с')|О. о, 0. Из того, что a (a, s) £ Н для всех s, —е < s < е, вытекает, что a* д/ds |(а, s) касается Н для всех s н, следовательно, N (а) = a^d.-ds |(с,о)- Пусть у (s) = a (a, s) для всех $, —е < s < е. Продолжим вектор N (а) £ ТрН до локаль- ного векторного поля X вдоль Н так, что X о у ($) = a* d/ds |(n,s) для всех s, —е < s<e. Тогда g(Lc,{!!)(N), N) = g(\X{o}X, с'(а)) по определению 2.35. Пусть теперь л — поле единичных векторов, ортогональных Н вблизи точки р, причем л (р) = с' (а). Тогда g(V^sV, С (a)) = g(v<wx.-^, т|е«.)1 = = (g(a»-r~. “g(a. Vd/dsi]0 a') I ds \ • ds 1 ) / |(O,Q) \ • ds U,U!' 1 / l(o,0) Ввиду того что co d/ds |(o,s) касателен к Н, получаем, что g (a* d/ds, 1] < а.) |(о, 5) -- 0 для всех s. Поэтому g(V6/asV, с'(о)) = —g(а, А, vWl°«)|(o 0) = = ~-g(N(a), Гл,(а)11)==—g(X, Vx-i])|r(o)= , . = lP (g (^> П)) + g (Vx% |P> (a)) = = 0 + g (VxX |p, c’ (a)) = g (Lc> (a5 (N), N), как и требовалось. Здесь мы воспользовались тем, что величину Ip (g (^, Л)) можно вычислить так: х |7. (g (X, л)) = 4 (g (X ( у (s), л (s))) |s о = 4 (°) = ° в силу того, что X |р - a* d/ds |(О,0). □ Ввиду следствия 11.27 индекс /Л (V, V) векторного поля V вдоль времениподобной геодезической, ортогональной простран- ственноподобной гиперповерхности, целесообразно определить следующим образом (см. Бёлтс (1977, с. 94)).
11.3. Фокальные точки 337 Определение 11.28. Пусть с: [а, Ы-> (М, g)— нормальная времениподобная геодезическая, ортогональная пространствен- ноподобной гиперповерхности Н в точке с (а). Пусть Z — кусо- чно-гладкое векторное поле вдоль с, ортогональное с. Если Z (а) Ф 0 и Z (Ь) = 0, то индекс Z относительно И задается формулой \ IH (Z, Z) = 1 (Z, Z) 4- g (Lc. (Z), Z) |o, где k—i I(Z, Z)^=\bag(Z" + R(Z, c')c', Z)ltdt+£g(Z(ii), At.(Z'))_ i=0 Пусть a: [<?, b] x (—8, e) -> (714, g) — вариация времени- подобной геодезической с. Предположим, что векторное поле вари- ации V = се* d/ds |(л 0> удовлетворяет условиям определения 11.28. Тогда из формулы (9.4) разд. 9.1 и следствия 11.27 вытекает, что L" (0) = 1ц(У, Ё). Это можно записать в следующем виде: L** (V) = 1Н (V, V). Используя индексную форму 1Н, можно показать, что времени- подобная геодезическая, ортогональная пространственноподобной гиперповерхности Н, не может максимизировать длину дуги от Н после первой фокальной точки. Напомним, что Vх (с) состоит из кусочно-гладких векторных полей вдоль с, ортогональных с. Предложение 11.29. Пусть с: [а, Ы -> (7И, g) — нормальная времениподобная геодезическая, ортогональная пространственно- подобной гиперповерхности Н (без края) в точке p c (a) С Н. Если для некоторого tk 4 (а, Ь) точка с (tk) является фокальной точкой для Н вдоль с, то существует векторное поле вариации Z с J/J- (с), у которого Z (а) касается Н, Z (Ь) = 0 и IH (Z, Z) > > 0. Следовательно, найдутся времениподобные кривые, идущие из Н в с (Ь), которое длиннее, чем с. Доказательство. По предположению существует нетривиальное якобиево поле Д вдоль с, ортогональное с, у которого (th) = 0 и J\ (а) = —LC' (a)J\ (а). Определим кусочно-гладкое якобиево поле J вдоль с следующим образом: [ Jr (t), если а с t с th, = \ О /7 к ( 0 , если 4 < t с Ь. В силу неравенства At (/') 0 можно построить гладкое век- торное поле V, ортогональное с и такое, что V (а) = V (а) =‘ 12 Дж. Бим, П. Эрлих
338 Гл. 11. Сингулярности = V (b) = 0 и g (V (th), А/, (J')) = —1- Определим векторное поле Z в V1 (с) по правилу Z = J — rV для г R \ {0}. Тогда Z' (а) = —Lc (о) Z (а), и индекс IH (Z, Z) вычисляется так: IH (Z, Z) = / (Z, Z) + g (Lc- (Z), Z) |o = I (Z, Z) + 4- g (Lc (f4 - rV), /•-V - rV) |0 = = I(Z, Z) y/-2g(W, Z)|a = , =/(z, z) + ^g(-z; J)|„= = /-3/(J, J)+ >2I(V, V)-2I(J, V) |- + 42W'> J)\a = rI(V, V) — 2I(J, V). Здесь мы воспользовались тем, что I(J, J) = Е g (Д/г (Л, J R = g(Л J) к- Из того, что J является кусочно-гладким якобиевым полем, можно воспользоваться соотношением (9.4) разд. 9.1 для вычисле- ния / (J, V): I(J, V) = g(V(4), M-О) = ~1’ следовательно, IH (Z, Z) = г2/ (V, V) + 2. Полученное равенство показывает, что для достаточно .малых г 4 0 индекс удовлетворяет условию IH (Z, Z) > 0. Из этого последнего неравенства и условия Z' (а) = —Lc- (о) (Z (а)) вытекает существование малых вариаций кривой с с векторным полем вариации Z, которые соединяют Н с с (Ь) и имеют длину, большую длины с. □ Обратимся теперь к фокальным точкам вдоль изотропных гео- дезических, ортогональных (п — 2)-мерным пространственно- подобным подмногообразиям. Если Н — пространственноподобное (п — 2)-мерное подмногообразие, то метрика, индуцированная на ТрН, положительно определена, а метрика, индуцированная на ТрН, является двумерной метрикой Минковского для каждой точки р Н. Поэтому существуют ровно две изотропные прямые, проходящие через начальную точку в ТрН. Так как ориентация во времени пространства-времени (Л4, g) индуцирует ориентацию во времени на ТрН, то для каждого р £ Н в ТрН существуют два
11.3. Фокальные точки 339 корректно определенных изотропных направления в будущее. Тогда локально можно выбрать гладкий псевдоортонормированный базис векторных полей Elt En_j, Еп на Н так, что ЕГ1^ и Еп являются направленными в будущее изотропными векторами в ТрН, где р £ Н, т. е. g(Eit Ej) = bijt если 1 с i, j < /г- - 2, g(£f, E„_i) = g(£i> = если Uicr.--2, g(En, En) = g(E^, EnJ) = 0, g(En, Изотропные векторные поля En_t и En, определенные на Н локально, можно поднять до операторов второй фундаментальной формы LEn t и соответственно, которые являются локально определенными (1, 1)-тензорными полями на Н. Если р: [а, 61—>(Л4, g)— направленная в будущее изо- тропная геодезическая, у которой Р' (а) = Еп (/?) (или Р' (а) = — Еп_! (р)) в р Н, то касательные векторы Ег (р), ..., Еп (р) в р можно параллельно перенести вдоль р так, чтобы получить псевдоортонормированный базис вдоль р, за которым сохранится то же обозначение Elt ..., Еп. Поэтому множество векторов, орто- гональных Р' (t), представляет собой пространство N (Р (0), на- тянутое на Ег, ..., En_z, Р', и мы можем построить факторпро- странство G (Р (0) = N (Р (0)/[р' (01 с соответствующим ему факторрасслоением G (Р), как и в разд. 9.3. Обозначим через л: N (Р) -> G (Р) отображение проектирования. Тогда л | ТрН: ТрН -> G (Р (о)) является изоморфизмом линейных пространств. Значит, оператор второй фундаментальной формы LE.: ТрН -> -* ТрН можно спроектировать в оператор LE.t G (Р (о)) -> G (Р (а)), полагая Ее. — я °’EEi о (я | ТрН)'1 для i = n — 1, п. Пусть а: [а, 6] х (—е, в) (М, g) — вариация изотропной геодезической р, такая, что a (a, s) f Н для всех s, —е < s < 8. Пусть V = се* d/ds и W = a* d/dt. Потребуем, чтобы W (a, s) = = Еп (а (а, s)) для всех s, —8 < s < е. Тем самым соседняя"кри- вая а (-, s) начинается в a (a, s) на Н и имеет начальное направ- ление, задаваемое изотропным вектором Еп (а, (а, s)) для всех s. Вычислим V (а). Лемма 11.30. Пусть, как и выше, V — a..d/ds касательно кН при t = а и произвольном s. Toeda V' (а) = —Lp-(a) (V (а)) + + Хр' (a), ede X £ R — некоторая постоянная. Доказательство. Из равенств [ V, IE] = laS; d/ds, а* d/dt] — = a* [d/ds, d/dt] = 0 получаем, что yvIF = VwV — Vg-V при t = a, s ~ 0. 12*
340 Гл. 11. Сингулярности С другой стороны, в силу условий W (a, s) — Еп (а (а, s)) и g(En, Еп) = 0 имеем 0=V(g(№, W)) - 2g (Vv^, W) = = 2g (WK IE) = 2g (Vp' V, P'), где t = a, s = 0. Поэтому Vp- (O)V £ N (p (а)) = TPH ф [p' («)]. В силу включений Lp-(0)(V(o)) £ Тща)Н и Vp.(o)V t £ N (P (о)) для получения сформулированного результата до- статочно показать, что g (Й' (о) (У («))- У) = — g(V₽' (a)V, у) ДЛЯ любого у £ Тр(а)Н. Чтобы ВЫЧИСЛИТЬ g (Lp- (а) (V (а)), у), продолжим у до локального векторного поля Y вдоль кривой s -> a (a, s), касательного к Н. Тогда g(Lp-(fl) (V(a)), y) = g(VvK |(с,о), Р'(«)) = =g(WK w) |(о, о» =«.^-|(йг0) (е(к Я- - g (Y, VvW 1(О. о, = 0 - g (У, YWV) |(о, о» = ' =~ё(У, YP-(O)V). Здесь мы воспользовались равенством a* d/ds | (о, 0> (g(y, Я) = = 0, которое справедливо вследствие того, что g (У, W) = = g (У, Еп) = 0 вдоль кривой s —> a (a, s). Если V — якобиево поле, измеряющее девиацию конгруэн- ции изотропных геодезических, перпендикулярных Н, то из по- следнего результата вытекает, что векторный класс V = л (V) вдоль р должен удовлетворять начальному условию V' (а) = (a)V (а) в точке р = Р (а) £ Н. Здесь Ер- = п ° Ер- ° (л | ТрН)-1, как и выше. Это обосновывает следующее определение фокальной точки вдоль изотропной геодезической, перпендикулярной Н (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 113), Бёлтс (1977)). Определение 11.31. Пусть Н — пространственноподобное подмногообразие размерности п — 2 п ₽: [о, Ь] -> (М, g) — изо- тропная геодезическая, ортогональная Н в точке р = Р (а). Тогда t0 £ (о, Ь] называется фокальной точкой для Н вдоль р, если в G (Р) существует гладкий якобиев класс J, для которого 7' (а) = —Lp' <a)J (а) и 7 (t0) = 0. Выше мы отметили, что времениподобная геодезическая, орто- гональная пространственноподобной гиперповерхности, не может быть наидлиннейшей непространственноподобной кривой к этой гиперповерхности после первой фокальной точки (см. предложе- ние 11.29). Аналогичный результат справедлив и для изотропной
J 1.3. Фокальные точки 341 Рис. 11.3. Пусть (М, g) —трехмерное пространство-время Минковского с обыч- ной метрикой ds2 = — dt2\- dx2 -j- dy2. Пусть H — окружность радиуса а на плоскости ху. Тогда Н — пространственноподобное подмногообразие кораз- мерности 2. Для каждой точки q Н существуют ровно две направленные в бу- дущее изотропные геодезические и проходящие через q ортогонально Н. Фокальной точкой для И вдоль (ч будет точка рг = (0, 0, с), а фокальная точка вдоль Р2 точка р2 = (0, 0, —а). Точка yt лежит на Рх за рг. Все точки из Н \ {<?} содержатся в хронологическом прошлом точки ух. Тем самым существуют вре- мениподобные кривые, исходящие из точек Н в ух произвольно близко к <?, и Pi I?. не реализует расстояние от Н до у,. геодезической, ортогональной (и — 2)-мерному пространственно- подобному подмногообразию (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 131), Бёлтс (1977, с. 123)). Мы сформулируем этот результат в виде следующего предложения. Предложение 11.32. Пусть Н— пространственноподобное подмногообразие (М, g) размерности п — 2 и [5: (а, Ы-+ (Л1, g) — изотропная геодезическая, ортогональная к Н в Р (а). Если t0 С- £ (а, Ь) — фокальная точка для Н вдоль р, то существует вре- мениподобная кривая из Н в р (Ь). Таким образом, Р не?максими- зирует расстояние до Н после первой фокальной точки. Простой пример фокальной точки приведен на рис. 11.3. Пользуясь рассуждениями того же типа, что и в предложении 11.22, можно получить также следующий результат. Предложение 11.33. Пусть (М, —пространство-время раз- мерности п 3 и Н — пространственноподобное подмногооб- разие размерности п — 2. Предположим, что Р: J (Al, g) — непродолжаемая изотропная геодезическая, ортогональная Н в точке р = Р (4) и удовлетворяющая условию кривизны
342 Гл. 11. Сингулярности Ric ((У (/), Р' (/)) 5* 0 для всех t £ J. Если —tr (Lp- (/1)) прини- мает в р отрицательное {соответственно положительное) зна- чение 0Ъ то существует фокальная точка t0 для Н вдоль ле- жащая в интервале с концами и t± — (п — l)/0i (при условии что t0 £ J). Особенно важным является случай, когда Н — компактное пространственноподобное (п — 2)-мерное подмногообразие, удов- летворяющее условию (tr Lsn)-(tr Ьеп ) > 0 в каждой точке (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 292)). Если ..., еп_2\ — орто- нормированный базис для ТрН, то tr ЬЕ можно вычислить по следующей формуле: trL£n= Е g (Lfje,), е,). Определение 11.34. Предположим, что Н является компакт- ным пространственноподобным подмногообразием (Л1, g) без края размерности п — 2. Пусть Еп и Еп_г — линейно независимые направленные в будущее изотропные векторные поля на Н (как и выше). Пусть Ll и Ь2 — вторые фундаментальные формы на И, определяемые Еп и Еп_± соответственно. Тогда Н называется замкнутой ловушечной поверхностью, если tr и tr L2 либо оба положительны на Н, либо оба отрицательны. С только что введенным понятием связано понятие ловушечного множества (см. Хокинг и Пенроуз (1970, с. 534—537)). Напомним, что контур будущего для множества А определяется посредством правила Е+ (Л) = /+ (Л)\/+ (Л). Определение 11.35. Непустое ахрональное множество Л на- зывается ловушечным для будущего (соответственно для прошлого), если Е+ (А) (соответственно Е~ (Л)) компактно. Ловушечным называется множество, которое является либо ловушечным для будущего, либо ловушечным для прошлого. В общем случае замкнутая ловушечная поверхность не обяза- тельно является ловушечным множеством и наоборот. Однако в предложении 11.45 мы покажем, что при определенных условиях существование замкнутой ловушечной поверхности означает либо изотропную неполноту, либо наличие ловушечного множества. Для доказательства предложения 11.45 нам будет нужно фор- мулируемое ниже следствие из предложения 11.33. Следствие 11.36. Пусть (М, g)— пространство-время раз- мерности 3, удовлетворяющее условию Ric (щ v) 0 для всех изотропных векторов v £ ТМ. Если (М, g) содержит замкнутую ловушечную поверхность Н, то справедливо либо утверждение (1.), либо утверждение (2), либо оба:
11.3. Фокальные точки 343 (1) по меньшей мере одно из множеств Е+ (Н) или Е~ (К) является компактным. (2) (М, g) изотропно неполно. Доказательство. Предположим, что (Л1, g) является изотроп- но полным и что tr > 0 и tr L2 > О для всех q у И. Рассмо- трим всевозможные направленные в будущее изотропные геоде- зические, которые начинаются в некоторой точке из Н п имеют в этой точке в качестве начального направления либо Е7,_г, либо Еп. Каждая такая геодезическая содержит геодезический сегмент, идущий из точки q £ Н в первую фокальную точку р для Я. Пользуясь предложением 11.33 и компактностью Я, получаем, что объединение всех таких изотропных геодезических сегментов из Я в фокальную точку содержится в компактном мно- жестве К, состоящем из изотропных геодезических сегментов, начинающихся на Я. Если теперь г £ Е+ (Я), то г можно соеди- нить с Я направленной в прошлое изотропной геодезической, но нельзя направленной в прошлое времениподобной кривой. Поэ- тому г t К. Следовательно, Е+ (Я) cz К- Чтобы показать замк- нутость Е+ (Н), рассмотрим последовательность |хп} точек из Е+ (Я). Эта последовательность имеет предельную точку х К- Из определения К получаем, что х у J+ (Я). Если х v /+ (Я), то открытое множество Я (Я) должно содержать некоторые эле- менты последовательности в противоречии с тем, что хп (- с Е+ (Я) для всех «.Тем самым х ф. I+ (Н), откуда следует, что х С Е' (Н). Проведенное рассуждение показывает, что Ел (И) является замкнутым подмножеством компактного множества К и, значит, само компактно. Если предположить, что (М, g) является изотропно полным и что tr L, < 0, tr L, < О для БСех 9 С то аналогичные рас- суждения показывают, что Е~ (Я) компактно. Это и доказывает следствие. □ Определим теперь области Коши замкнутого подмножества S многообразия (М, g) (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 224—229)). Определение 11.37. Пусть S — замкнутое подмножество (М, g). Область Коши будущего Е)+ (S) (соответственно прошлого) Ь~ (S)) состоит из всех точек р б /И, таких, что каждая непродол- жаемая в прошлое (соответственно в будущее) непространствен- ноподобная кривая, проходящая через р, пересекает S. Областью Коши множества S является D (X) = D+ (S) (J D~ (5) (рис. 11.4). Замкнутые ахрональные множества играют важную роль в те- ории причинности и в теории сингулярностей в общей теории от- носительности. Они обладают следующим свойством (см. Хо- кинг и Эллис (1977, с. 232, 297), Хокинг и Пенроуз (1970, с. 537)).
344 Гл. 11. Сингулярности Рис. 11.4. Область Коши будущего D+ (S) множества S состоит из всех точек Р, таких, что каждая непродолжаемая в прошлое непространственноподобная кри- вая, проходящая через р, пересекает S. Предложение 11.38. Если S — замкнутое ахрональное мно- жество в пространстве-времени (М, g), то Int (£> (S)) = = D (S)\dD (S) глобально гиперболично. 11.4. Существование сингулярностей В этом разделе мы приведем доказательства нескольких те- орем о сингулярностях в общей теории относительности. В част- ности, мы докажем основную теорему Хокинга и Пенроуза (1970, с. 538). Наш подход несколько отличается от подхода Хокинга и Пенроуза (1970) в том, что мы показываем причинную разделя- емость (Л4, g), если оно содержит ловушечное множество, а затем применяем теорему 6.3 Бима и Эрлиха (1979а, с. 172). Основной прием в доказательстве непространственноподобной неполноты заключается в том, чтобы, используя физические или геометрические допущения на (М, g), построить непродолжаемую непространственноподобную геодезическую, которая является мак- симальной и, следовательно, не содержит сопряженных точек. Если (М, g) имеет размерность 2s3 и удовлетворяет типовому и сильному энергетическому условиям, эта геодезическая, сог- ласно теореме 11.18, должна быть неполной. Покажем сначала, что хронологическое пространство-время с достаточным числом сопряженных точек является сильно при- чинным (см. Хокинг и Пенроуз (1970, с. 536), Лернер (1972, с. 41)). Предложение 11.39. Если (М, g) — хронологическое простран- ство-время, в котором каждая непродолжаемая изотропная гео- дезическая имеет пару сопряженных точек, то (М, g) сильно причинно. Доказательство. Предположим, что сильная причинность на- рушается в р б М. Пусть U — выпуклая нормальная окрест-
11.4. Существование сингулярностей 345 ность точки р, a Vh cr U — последовательность окрестностей, стягивающихся к р. Вследствие того что сильная причинность в точке р нарушается, для каждого k найдется направленная в бу- дущее непространственноподобная кривая yh, которая начинается в Vh, покидает U и возвращается в Vk. Используя предложение 2.18, можно получить непродолжаемую непространственноподоб- ную предельную для последовательности кривую у, проходя- щую через р. Никакие две точки у хронологически не связаны, так как в противном случае можно было бы получить замкнутую времениподобную кривую, а пространство-время (М, g) хроноло- гическое. Таким образом, у — изотропная геодезическая. Это приводит к противоречию ввиду того, что по предположению каж- дая изотропная геодезическая имеет сопряженные точки и поэтому содержит точки, которые можно соединить времениподобными кривыми. □ Предложение 11.39 и теорема 11.18 позволяют сформулировать следующий результат. Предложение 11.40. Пусть (Al, g)—хронологическое прост- ранство-время размерности 2гЗ, удовлетворяющее типовому и сильному энергетическому условиям. Тогда (М, g) является либо сильно причинным, либо изотропно неполным. Теперь мы можем доказать следующую теорему о сингуляр- ности. Понятие причинно разделяемого пространства-времени было сформулировано в разд. 7.3, определение 7.11. Теорема 11.41. Пусть (М, g) — хронологическое пространст- во-время размерности 2*3, которое является причинно разделя- емым. Если (М, g) удовлетворяет типовому и сильному энерге- тическому условиям, то (М, g) непространственноподобно неполно. Доказательство. Предположим, что все непространственнопо- добные геодезические (М, g) являются полными. Согласно предло- жению 11.39, пространство-время (М, g) является сильно при- чинным, а по теореме 11.18 каждая непространственноподобная геодезическая имеет сопряженные точки. С другой стороны, те- орема 7.13 обеспечивает существование непродолжаемой макси- мальной непространственноподобной геодезической. Но тогда эта геодезическая свободна от сопряженных точек, что и при- водит к противоречию. □ Напомним, что контур будущего (соответственно прошлого) подмножества S пространства-времени (М, g) задается соотно- шением £+ (S) = J+ (S) \ /+ (S) (соответственно ЕЕ (S) = J~ (S) \ \ Г (S)). Ахрональное множество S называется ловушечным для будущего (соответственно ловушечным для прошлого), если £+(S) (соответственно £” (S)) компактно. Сформулируем условия, при
346 Гл. 11. Сингулярности которых существование ловушечного множества влечет причин- ную разделяемость. Предложение 11.42. Пусть (М, g) — хронологическое про- странство-время размерности у^З, каждая непродолжаемая изо- тропная геодезическая которого имеет сопряженные точки. Если (М, g) содержит ловушечное для будущего (соответственно -для прошлого) множество S, то (М, ^причинно разделяемо контуром Е+ (S) (соответственно Е~ (S)). Доказательство. Предложение 11.39 показывает, что (Л1, g) сильно причинно. Если предположить, что S является ловушечным для будущего, то следствие 7.16 приводит непродолжаемую в бу- дущее времениподобную кривую у в область Коши будущего D+ (Е+ (S)). Продолжим у до времениподобной кривой в (М, g), непродолжаемой как в будущее, так и в прошлое, сохранив за полученной кривой прежнее обозначение у. Тогда у пересекает ахрональное множество Е+ (S) ровно в одной точке г. Как и в доказательстве предложения 7.18, выбираем две последователь- ности ]рп\ и \qn] на у, которые расходятся к бесконечности и для каждого п удовлетворяют соотношению рп г << qn. Чтобы доказать, что \рп\, \qn] и £+ (S) причинно разделяют (М, g), нужно убедиться в том, что для каждого п всякая непространствен- ноподобная кривая К [О, 11 -> (Л4, g), у которой X (0) = рп и (1) = qn, встречает Е+ (S). Продолжим заданную кривую % до непродолжаемой в прошлое кривой А, проходя по у вплоть до рп, а затем по а от рп до qn. Так как qn £ D+ (Е+ (S)), то кри- вая X должна пересекать Е+ (S). Из того, что у встречает £+ (S) только в г, следует, что X пересекает £+ (S). Это рассуждение до- казывает предложение для случая, когда множество S является ловушечным для будущего. Аналогично разбирается случай, когда S является ловушечным для прошлого. □ Теорема 11.41 и предложение 11.42 приводят к основной теореме Хокинга и Пенроуза (1970, с. 538). Теорема 11.43. Ни одно пространство-время (Al, g) размер- ности 2>3 не может удовлетворять одновременно всем трем сле- дующим требованиям'. (а) (Al, g) не содержит замкнутых времениподобных кривых. (б) Каждая непродолжаемая непространственноподобная гео- дезическая в (М, g) содержит пару сопряженных точек. (в) В (М, g) существует ловушечное множество S либо для будущего, либо для прошлого. Этот результат Хокинга и Пенроуза позволяет сформулиро- вать следующий результат, весьма близкий к теореме 11.41.
11.4. Существование сингулярностей 347 Теорема 11.44. Пусть (М, g)—хронологическое пространство- время размерности ^3, удовлетворяющее типовому и сильному энергетическому условиям. Если (М, g) содержит ловушечное множество, то (М, g) является непространственноподобно не- полным. Напомним, что замкнутая ловушечная поверхность — это компактное пространственноподобное подмногообразие размер- ности п — 2, для которого след обеих изотропных вторых фунда- ментальных форм и L2 либо всегда положителен, либо всегда отрицателен (см. определение 11.34). Предложение 11.45. Пусть (М, g) — сильно причинное про- странство-время размерности 0-3, удовлетворяющее условию Ric (v, v) 0 для всех изотропных векторов v ТМ. Если (М, g) содержит замкнутую ловушечную поверхность Н, то справедливо по меньшей мере одно из утверждений (1) или (2): (1) (М, g) содержит ловушечное множество. (2) (М, g) изотропно неполно. Доказательство. Допустим, что (М, g) изотропно полное. Тогда на основании следствия 11.36 можно заключить, что хотя бы одно из множеств Е+ (Я) или Е~ (Я) является компактным. Рассмотрим случай, когда компактно Е+ (Я). Положим S = = Е+ (Я) П Я и покажем, что множество S является ловушеч- ным для будущего. Заметим, что S ахронально в силу ахрональ- ности Е+ (Я) и компактно как пересечение компактных множеств. Из соотношения Е+ (Я) = J+ (Я)\Я (Я) следует, что мно- жество S непусто в том и только том случае, если Я содержит точки, не лежащие в Я (Я). Однако если бы Я целиком содер- жалось в 1+ (Я), то существовало бы конечное покрытие компакт- ного множества Я открытыми множествами Я (рг), ..., Я (рп), где все р, С Я. Но это означало бы существование замкнутой времениподобной кривой в (М, g) (см. доказательство предло- жения 2.6), что противоречило бы сильной причинности (М, g). Следовательно, S 0. Чтобы показать, что множество S является ловушечным для будущего, достаточно доказать равенство Я (S) = /Я (Я). Мы убедимся в его справедливости, показав, что Я (S) = Я (Я) и /+ (S) = Я (Я). Покроем для этого компактное множество Я конечным числом открытых множеств U±, ..., Uh из (М, g), каждое из которых является выпуклой нормальной окрестностью, и никакая непространственноподобная кривая, покидающая Ut, никогда не возвращается. В силу того что Я — пространственноподобное подмногооб- разие, можно допускать, что каждое Ut П Я является ахрональ- ным (этого можно добиться, выбирая достаточно малым).
348 Гл. 11. Сингулярности В силу включения S cz Н ясно, что /+ (S) с: /+ (Я). Чтобы дока- зать обратное включение Л (Я) gz Я (S), предположим, что q Е /+ (Я)\Я (S). Тогда найдется pi f Н, для которой рх < q. Но pi £ О, (i) f] Я для некоторого i (1). Из того, что q ф /+ (S), имеем рх ф S и, следовательно, рх ф Е+ (Я). Тем самым сущест- вует р2 £ Я, связанное с рг отношением р2 4. Рх- Так как ЕЕ (1) Я П Я ахронально, то рг ф Значит, р2 £ L7f (2) Я И для некоторого i (2) i (1). Вновь из условия q ф I+ (S) получаем, что р2 ф Е+ (Н). Тем самым найдется р3 С Я, для которого Ръ С Рг- Кроме того, по построению множеств имеем р3 ф Ul(l} Я Поэтому р3 t7£(3) Я Я для некоторого г (3), отличного и от i (1), и от i (2). Продолжая в том же стиле, полу- чим бесконечную последовательность plf р2, р3, ... точек из Я и соответствующие им множества ЕЕ (1), (2), ЕЕ (3), ..., где i (/1) ¥= i- (А), если /х #= /2. Это противоречит конечности числа множеств Ui в данном покрытии. Следовательно, /+ (S) = Я (Я). Остается показать, что Я (S) = Я (Я). Заметим, что Я (S) cz cz Я (Я) в силу S с Я. Предположим поэтому, что 7 £ Я (Я)\ \ Я (S). Тогда q ф I+ (S) = Я (Я), и, следовательно, найдется направленная в будущее изотропная кривая, идущая из неко- торой точки р С Н в точку q. Из того, что р у Я и р ф Я (Я), в силу условий р с q и q ф 1+ (Я) имеем р с Е+ (Я). Поэтому р С Е+ (Я) (] Н = S. Отсюда следует, что q с Я (S). Последнее включение приводит к противоречию. Тем самым показано, что S является ловушечным множеством для будущего. Аналогичные рассуждения показывают, что если (Al, g) изо- тропно неполно и Е (Я) компактно, то множество S = Е~ (Я) П Я является ловушечным для прошлого. Таким образом, пред- ложение доказано. □ Вполне возможен случай, когда ловушечное множество состоит из единственной точки. Это можно установить, например, таким путем (см. Хокинг и Пенроуз (1970), с. 543), Хокинг и Эллис (1977, с. 297—298)). Пусть (М, g) — пространство-время раз- мерности z>3, удовлетворяющее условию кривизны Ric (у, v) 0 для всех изотропных векторов v Е ТМ. Предположим, что най- дется такая точка р, что на каждой направленной в будущее изотропной геодезической fl: [0, а) (М, g), у которой fl (0) = р, расхождение 6 лагранжева тензорного поля А на G (fl), удовлетво- ряющего условиям А (0) = 0, А' (0) = Е, становится отрицатель- ным для некоторого А > 0. Интуитивно ясно, что каждая напра- вленная в будущее изотропная геодезическая, исходящая из точки р, имеет в будущем точки р точку fl (/х), в которой сходятся все направленные в будущее изотропные геодезические. Поэтому, если данная изотропная геодезическая fl может быть продолжена до значения Е — (п — 2)/0 (ti) параметра t, то на fl существует
11.4. Существование сингулярностей 349 точка, изотропно сопряженная точке t — в будущем. Значит, Р (О Е I* (р) для всех t tv — (п — 2)/0 (4). Из того, что мно- жество изотропных направлений в р компактно, вытекает, что множество £+ (р) = J+ (р)\/+ (/;) является компактным при условии, что (М, g) изотропно геодезически полно. Тем самым мы получили следующий результат. Предложение 11,46# Пусть (М, g) — пространство-время размерности 5гЗ, у которого Ric (и, и) 0 для всех изотропных v £ ТМ. Предположим, что существует точка р £ М, такая, что на каждой направленной в будущее изотропной геодезической Р, исходящей из р = р (0), расхождение 0 лагранжева тензорного поля А на G (Р), подчиненного условиям А (0) = 0, А' (0) = Е, становится отрицательным при некотором ty > 0. Тогда выпол- няется по крайней мере одно из следующих утверждений'. (О \р\ —ловушечное множество, т. е. Е+ (р) = J+ (р)\Н (р) компактно. (2) (М, g) изотропно неполно. Рассмотрим теперь случай, когда S является компактной связ- ной пространственноподобной гиперповерхностью в (М, g). Ес- ли S ахронально, то Е+ (S) = S назначит, S — ловушечное множество. С другой стороны, S может и не быть ахрональным. В самом деле, можно легко построить пример компактной про- странственноподобной гиперповерхности S, для которой X с: /+ (S) и, следовательно, Е+ (S) = 0 (рис. 11.5). Компактную пространственноподобную гиперповерхность S, не являющуюся ахрональной, можно использовать для построе- ния ахрональной замкнутой пространственноподобной гиперпо- верхности S в накрывающем М многообразии М (см. Герок (1970), Хокинг (1967, с. 194), О’Нейл (1981)). Поэтому, если простран- ство-время имеет компактную пространственноподобную гипер- поверхность, то существует накрывающее многообразие исходного пространства-времени, которое содержит ловушечное множество. Однако при доказательстве непространственноподобной непол- ноты (М, g) с накрывающими многообразиями для (М, g) можно работать так же, как и с (М, g), вследствие того что (М, g) яв- ляется непространственноподобно неполным в том и только том случае, когда каждое многообразие, накрывающее (Al, g), наде- ленное метрикой расслоенного произведения, непространствен- ноподобно неполно. Эти свойства накрывающих пространств вместе с теоремой 11.44 и предложениями 11.45, 11.46 приводят к следующей теореме. Теорема 11.47. Пусть (Л1, g) — хронологическое пространс- тво-время размерности 03, удовлетворяющее типовому условию
350 Гл. 11. Сингулярности. M = Sl*Sl Рис. 11.5. Пусть на М = S1 X S1 задана лоренцева ме- трика ds2 = d0j — d0|. Множество S = {(0Х, 0): 0i £ £ S1} является компактным пространственноподобным подмногообразием коразмерности 1 и таким, что Е+ (.8) = ~ 0- Здесь S не является ловушечным множеством вслед- ствие того, что оно не ахронально. Тем не менее суще- ствует накрывающее многообразие (М, g) пространства- времени (М, g), которое содержит ловушечное множе- ство S, диффеоморфное S. и сильному энергетическому условию. Тогда пространство-время (М, g) является непространственноподобно неполным, если вы- полнено одно из следующих условий: (1) (М, g) имеет замкнутую ловушечную поверхность. (2) (М, g) содержит точку р, такую, что все изотропные геодезические, начинающиеся в р, сходятся где-то в будущем (или прошлом) точки р. (3) (Л4, g) содержит компактную пространственноподобную гиперповерхность. Замечание 11.48. Условия (1) и (2) теоремы 11.47 являются вполне обоснованными космологическими допущениями. Про- странства Робертсона—Уокера с физически допустимыми тензо- рами энергии-импульса, положительной плотностью энергии и Л = 0 содержат замкнутые ловушечные поверхности (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 392)) и поэтому удовлетворяют условию (1). Есть также некоторые астрономические основания и для условия (2) (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 395)). 11.5. Гладкие границы В этом разделе мы рассмотрим связь между причинной разде- ляемостью, непространственноподобной геодезической неполно- той и точками причинной границы дсМ (разд. 5.4), в которых эта граница дифференцируема. Многие из наиболее важных про-
11.5. Гладкие границы 351 странственно-временных многообразий, изучаемых в общей теории относительности, имеют причинные границы, дифференцируемые в большом числе точек. Например, дифференцируемая часть при- чинной границы пространства-времени Минковского состоит из .7+ и (рис. 4.4). Так как эти множества соответствуют изо- тропным гиперповерхностям, то естественно называть точки из и изотропными граничными точками. Пенроуз (1968) применил для изучения гладких граничных точек пространства- времени Минковского и других пространственно-временных мно- гообразий конформные методы. Рассмотрим пространство-время (М, g) с причинной гра- ницей й,./И. Обозначим через Л1* причинное пополнение М. (J U дсМ пространства-времени (Л4, g). Это пополнение допускает задание на нем хаусдорфовой топологии, причем так, что исходная топология на М согласуется с топологией, индуцированной на М как подмножестве Л4* (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 244—245) или разд. 5.4). Предположим, что р £- д^М. Пусть U* = U* (р) — окрест- ность р в Л4. Обозначим через (U, g) метрику g, ограниченную на множество и = и* п м. Конформным представлением окрестности U* (р) назовем про- странство-время (ЛГ, g') и гомеоморфное вложение /: U* -+ -* ЛГ, такое, что (1) f | U — гладкое отображение. (2) Существует гладкая функция fi: U —>- R, у которой Й > О и fig = f*g' на U (рис. 11.6). Если конформное представление f: U* -> М.' отображает U* в гладкое многообразие с границей, то мы будем говорить, что р — гладкая граничная точка. Определение 11.49. Пусть U* (р) имеет гладкое конформное представление /: U* -> М.', такое, что / (U) — гладкое многооб- разие с гладкой границей д (j (U)) в М'. Тогда точка р называется гладкой пространственноподобной (соответственно изотропной, времениподобной) граничной точкой, если соответствующая гра- ница д (f (J7)) является пространственноподобной (соответственно изотропной, времениподобной) гиперповерхностью в (М‘, g'). Если у: (и, b) М — кривая в /И, у которой у (t) -> р £ С Л4*\П при t-*-b, то говорят, что кривая имеет граничную точку р С Л4* в качестве концевой точки. Если же р является гладкой пространственноподобной граничной точкой, то в М нетрудно найти компактное множество К, которое должно пере- секать все непродолжаемые непространственноподобные кривые с одной концевой точкой в р. В самом деле, в качестве К можно
352 Гл. 11. Сингулярности Рис. J1.6. Пространство-время (М, g) имеет причинную граничную точку р, и U* (р) является окрестностью р в причинном пополнении М* = М U дсМ пространства-времени (М, g). Гомеоморфное вложение f: U* М' представляет собой гладкое конформное отображение на U = U* (р) f) 7И. Рис. J J .7. Показано пространство-время с гладкой пространственноподобной граничной точкой р. Компактное множество К выбрано так, что каждая непро- странствениоподобная кривая у с одной концевой точкой в р должна пересе- кать К.
11.5. Гладкие границы 353 Рис. 11.8. Показана замкнутая космологи- ческая модель Робертсона—Уокера, кон- формно эквивалентная подмножеству ста- тической вселенной Эйнштейна. Множе- ство К является причинно разделяющим множеством. взять компактную ахрональную пространственноподобную ги- перповерхность с границей (рис. 11.7 и 11.8). Более того, для любой заданной окрестности U* (р) точки р в М* компактное множество К можно выбрать так, чтобы оно лежало в U = = U* (р) Г) м. Лемма 11.50. Если (М, g) — пространство-время с гладкой пространственноподобной граничной точкой, то (М, g) причинно разделяемо. Доказательство. Пусть р — гладкая пространственноподоб- ная граничная точка пространства-времени (Л1, g). Выберем компактное ахрональное множество К так, чтобы любая непро- должаемая непространственноподобная кривая, имеющая р един- ственной концевой точкой, должна была встретить К. Пусть у: (—оо, оо) -> (М, g) •— непродолжаемая непространственнопо- добная кривая с концевой точкой р. Положим рп ~ У (—п), qn = у (п) для каждого п. Точки рп и qn для всех больших п
354 Гл. 11. Сингулярности причинно разделяемы множеством К; см. доказательство пред- ложения 11.42. □ Теорема 11.51. Пусть (М, g)—хронологическое пространство- время размерности ^3, удовлетворяющее типовому и сильному энергетическому условиям. Если у (М, g) есть гладкая простран- ственноподобная граничная точка, то (М, g) непространственно- подобно неполно. Доказательство следует из леммы 11.50 и теоремы 11.41.П Заметим, что если (7И, g) имеет одну гладкую пространственно- подобную (соответственно изотропную, времениподобную) гра- ничную точку, то (Л4, g) имеет несчетное множество гладких пространственноподобных (соответственно изотропных, времени- подобных) граничных точек. Если р С дсМ соответствует точке х с д (f (Z7)) при данном конформном представлении f: U* -> М’ (см. определение 11.49), то точки у б (f (И)), близкие к х, также представляют собой гладкие пространственноподобные (соответ- ственно изотропные, времениподобные) граничные точки в дсМ при заданном конформном представлении и д (f ((/)) имеет в М' размерность п— 1. Следовательно, М содержит несчетное мно- жество гладких пространственноподобных граничных точек. Используя тот факт, что причинно разделяемое множество К можно выбрать произвольно близко к любой гладкой простран- ственноподобной граничной точке р, а также то, что в сильно при- чинном пространстве-времени предел максимальных кривых мак- симален, можно получить следующий результат. Теорема 11.52. Пусть (М, g) — сильно причинное простран- ство-время размерности ^>3. Допустим, что (Л4, g) имеет глад- кую пространственноподобную граничную точку и удовлетворяет типовому и сильному энергетическому условиям. Тогда для любой гладкой пространственноподобной граничной точки р найдется неполная непространственноподобная геодезическая, которая яв- ляется непродолжаемой и имеет концевую точку р. Таким об- разом, (М, g) имеет несчетное множество неполных непродолжа- емых непространственноподобных геодезических. Доказательство. Из предыдущих замечаний следует, что (М, g) содержит неполную непространственноподобную геодезическую для каждой гладкой непространственноподобной граничной то- чки. Но мы уже отмечали, что если (7И, g) содержит одну про- странственноподобную граничную точку, то оно содержит и не- счетное множество таких точек. □
Добавление А СВЯЗНОСТИ И КРИВИЗНА Пусть (М, g) — (псевдо)риманово многообразие произвольной сигнатуры (—, , +, +). Тогда существует единствен- ная аффинная связность V на М, которая согласуется с метри- кой g и не имеет кручения. Эта связность, которая называется связностью Леви-Чивита, удовлетворяет одним и тем же соотно- шениям вне зависимости от того, является (7И, g) римановым или псевдоримановым многообразием. Поэтому для псевдоримановых многообразий геодезические, кривизну, кривизну Риччи, скалярную кривизну и секционную кривизну можно определить в точности так же, как и для римано- вых метрик. Единственная возникающая при этом трудность со- стоит в том, что секционная кривизна не определена на вырожден- ных сечениях касательного пространства, если (Л4, g)—много- образие непостоянной кривизны. На самом деле в случае постоян- ной кривизны секционная кривизна вблизи вырожденных сечений лишь ограничена (разд. А.2). В этом дополнении мы кратко рассмотрим аффинные связности, псевдоримановы многообразия и тензоры кривизны. Используя естественный базис д/дх*, ..., д!дхп, введем их представление в ло- кальных координатах для произвольной карты (U, х) на М. Мы покажем также, что если (М, g)—двумерное лоренцево многообразие, то Ric (и, и) = 0 для всех изотропных векторов v из ТМ. А.1. Аффинные связности Обозначим через £ (р) множество гладких векторных полей, область определения каждого из которых содержит точку р £ М, а через Ж (7И) множество гладких векторных полей, определенных на всем М. Аффинной связностью в точке р называется функция у ->• Vo, которая каждому вектору и £ ТРМ ставит в соответствие отображение VD: Ж(р)^ТрМ,
356 Добавление А обладающее следующими свойствами: Vv(X + K) = VaX + Vor, (А.1) Vfv+g» + g V„X, (А.2) V0(/X)=/V0X + v(/)X. (А.З) Здесь fug — гладкие функции, области определения которых содержат точку р; v, w £ ТРМ\ X, Y, £ $ (р). Аффинной связностью на М называется функция, которая каждой точке р £ М ставит в соответствие аффинную связность V в точке р так, что для любых X, Y £ £ (Л1) отображение Va-У: р->Ух(Р)У является гладким векторным полем на М. Вектор Va (р) Y = Va Y |р в точке р £ М зависит только от X (р) и от значений Y вдоль любой гладкой кривой, проходящей через точку р и имеющей в этой точке касательный вектор X (р) (см. Хикс (1965, с. 57)). Чтобы убедиться в этом, рассмотрим глад- кие векторные поля ..., Еп, определенные вблизи точки р, которые образуют базис касательного пространства в каждой то- чке некоторой окрестности точки р. Тогда X (р) = XX' (р) Е, (р) и Y = ХХ‘Б;. Отсюда следует, что Vxr|p = Vx(P) (£У‘'£;) = = Е У1 (P)V.X (₽)£<• + Е X (р) (У‘) Д- (р) = г—1 1=1 = Е Х/(р)У‘ (р)У£ (Р)ЕН-EX(p)(K')£t-(p). I, J=1 1 l l Тем самым величины Xi (р), У' (р) и X (р) (У‘) полностью опре- деляют Vx-У |р, если известны Vf . (P)£z. По заданной на Л4 аффинной связности V можно определить параллельный перенос векторных полей вдоль данной кривой у. [д, Ь] ->-М. Под векторным полем У вдоль у понимается гладкое отображение У: [а, Ь]-*~ТМ, такое, что У (f) С Tv (1)М для каждого t Г. 1а, Ь]. Для t0 £ la, b] можно продолжить У до гладкого векторного поля, определенного в окрестности точки у (t0). Тогда можно рассматривать векторное поле VT-ц)У вдоль у, определенное в этой окрестности. Согласно сказанному вначале предыдущего абзаца, это векторное поле вдоль у не за- висит от локального продолжения, и, следовательно, Ут-У — корректно определенное векторное поле вдоль у. Говорят, что векторное поле У вдоль у, удовлетворяющее равенству У7'У (0= = 0 для всех t Г. [а, Ь], получено посредством параллельного переноса вдоль у. Геодезическая с\ (a, b) М — это гладкая кри-
Связности и кривизна &>1 вая на М, касательный вектор с' которой параллельно перено- сится вдоль с. Другими словами, если \с-с’ = О, (А.4) то с является геодезической. Предгеодезической называется гладкая кривая с, которая путем перепараметризации может быть сделана геодезической. Любой параметр, для которого с является геодези- ческой, называется аффинным параметром. Если s и t — два аффинных параметра для одной и той же геодезической, то s = = at + b для некоторых постоянных a, b С R, п 0. Предгеоде- зическая с называется полной, если для некоторых (а следова- тельно, и для всех) аффинных параметризаций область изменения параметра совпадает с R. Равенство (А.4) можно выразить также системой линейных дифференциальных уравнений. Выберем на М локальные коорди- наты ((/, (х1, ..., х")) и рассмотрим естественный базис д!дх\ ..., д!дхп относительно этих координат. Коэффициенты Г*, связности V в координатах (х1, ..., х") определяются соотношениями = . (А-5) /? — 1 Используя эти коэффициенты, можно записать уравнение (А.4) в виде системы , п . . с12хг , \Л г-1, dxl dx! n 1 Г«/ТТ=°- (А-6> i, J=I Коэффициенты связности можно использовать также для локаль- ного представления действия связности V- Если векторные поля А и В имеют локальные представления д дх1 и д дх1 ’ то Va В имеет локальное представление д дхк ’ (А.7)
358 Добавление А Тензор кручения Т связности V — это функция, которая при- писывает каждой точке р G М билинейное отображение X (р) X X ЗЕ (р) -> X (р), задаваемое по формуле Т(Х, У) = ухУ- VrX-[X, П (А.8) Здесь через [X, Y] обозначена скобка Ли векторных полей X и Y, которая задается по правилу [X, Y] (f) = X (Y (/))— — Y (X (/)), где f — произвольная гладкая функция. Значение Т (X, Y) |р зависит только от связности V и значений X (р),' Y (р). Следовательно, Т определяет билинейное отображение TVM X ТрМ -> ТрМ в каждой точке р £ М. Используя косую симметрию скобки Ли, легко убедиться в том,- что Т (X, Y) ~ —Т (Y, X) и, значит, тензор Т кососимметричен. Из того, что 1д/дх1, д/дхП = 0 для всех i, j (1 < i, j < ri), полу- чаем, что T ('l = У (Г?/ - Гу,-) . (А.9) \ дх1 дх> / dxk 1 ’ k=i Таким образом, тензор кручения определяет меру несимметрич- ности коэффициентов связности. Ясно, что Т = 0 в том и только том случае, когда эти коэффициенты симметричны по нижним ин- дексам. Аффинная связность V, тензор кручения которой Т = О, называется связностью без кручения или симметричной связностью. Кривизна К связности V есть функция, которая каждой точке р С М и любой паре X, Y С ЗЕ (р) ставит в соответствие /-линейное отображение К (X, F): .¥ (р) ЗЕ (р), задаваемое формулой R(X, Y)Z^VxVyZ-VyVkZ~V[X,y]Z. (А. 10) Поэтому кривизна дает меру некоммутативности Vx и Vy- Следует заметить, что некоторые авторы пользуются иным выбо- ром знака для кривизны: К (X, F) Z = — V.yVyZ + VrVxZ + V[A-, y\Z\ соответственно изменяются и некоторые из свойств кривизны, приводимых ниже. Из того, что отображение (X, Y, Z) R (X, Y) Z из ЗЕ (р) X X ЗЕ(р) X ЗЕ(р) в ЗЕ(р) /-трилинейно, вытекает, что К представ- ляет собой тензорное поле и что R (X, Y) Z |р зависит только от V, X (р), Y (р) и Z (р). Следовательно, если х, у, z С TVM, то эти векторы можно локально продолжить до соответствующих векторных полей X, Y, Z и определить К (х, у) z = R (X, Y) Z |р. Тензор кривизны — это (1, 3)-тензорное поле, также обозна- чаемое R. Если со Г Tp М — кокасательный вектор в точке р и х, у, z С ТрМ, то определена К (со, х, у, z) = (со, R (х, у) z) = со (К (х, у) г). (А. 11)
Связности и кривизна 359 В локальных координатах имеем X Rijkm ®dx>®dx'0 dx'n’ <A-12) t, /, kt m где i i n + X - r^r-)- <A-13) dx dx r-- . . a—\ EcrfH У' 2Х1д/дх‘, Y = XYld/dx‘ и Z = dldxi, to R(X,Y)Z = У, ^kmZjXkYm(A. 14) ' dx i, j, /?, m A.2. Псевдоримановы многообразия •-! Пусть M — гладкое паракомпактное хаусдорфово многообра- зие и л: ТМ М — касательное расслоение М. Псевдоримановой метрикой g на М называется гладкое симметричное тензорное поле типа (0, 2) на 7И, такое, что для каждой точки р £ М тен- зор ё |р: X ТРМ -* R является невырожденным скалярным произведением с сигнатурой (—, , 4-, +). Невы- рожденность здесь означает, что для каждого ненулевого вектора и с ТрМ найдется вектор w R ТРМ, такой, что gp (у, w) Ф 0. Мы ограничимся рассмотрением только гладких метрик, хотя не- которые авторы изучали псевдоримановы метрики и более общего вида (см. Паркер (1979), Тауб (1980)). В локальных координатах (V, (х1, ..., х")) на М псевдорима- нова метрика g может быть представлена в следующем виде: п ё k = U ёа (X) dx‘ ® dxi. i, J=1 где gij = gji и det g^= 0. Если у метрики g s отрицательных и г = п — s положительных собственных значений, то ее сигна- тура будет обозначаться через (s, г). Для каждой фиксированной точки р СМ существуют локальные координаты, в которых g |р можно записать в виде diag {—1, ..., —1, +1, ..., 4-1). У каждого псевдориманова многообразия (7И, g) есть связанное с ним псевдориманово многообразие (М, —g), получаемое путем замены g на —g. За исключением некоторых второстепенных изменений в знаках, между (М, g) и (М, —g) нет существенных различий. Поэтому результаты для пространств сигнатуры (s, г) всегда можно перевести в соответствующие результаты для про- странств сигнатуры (г, s) путем подходящих изменений знаков и обращения неравенств.
360 Добавление А Для заданного псевдориманова многообразия (М, g) существует единственная аффинная связность V на М, такая, что Z(g(X, K))-g(VzX, Y) + g(X, VZK) (A.15) и VAK-VrX = [X, Г] (A. 16) для всех X, Y, Z £ X (7И). Эта связность V называется связ- ностью Леви-Чивита многообразия (7И, g). Равенство (А. 15) является требованием того, чтобы связность V была совместима с g. Полагая в (А. 15) Z = с', нетрудно заметить, что параллель- ный перенос векторных полей вдоль любой кривой с в М со- храняет скалярное произведение. Равенство (А. 16) является тре- бованием того, чтобы связность V не имела кручения (см. фор- мулу (А.8)). Коэффициенты связности V задаются формулами п ___ 1 / dgia . dgqj___dgij \ /Д jy\ 4 2 \ dx* dx1 dxa / ’ где gi есть (2, 0)-тензор, определяемый из соотношений ЕЛИ- 0=1 Локальное представление тензоров go и g;j- можно использо- вать для поднимания и опускания индексов. Например, если опустить верхний индекс тензора кривизны, то мы получим ком- поненты тензора Римана—Кристоффеля Rijkm — §,aiRjkm~ (А. 18) 0=1 С другой стороны, тензор Римана—Кристоффеля R можно опре- делить как (0,4)-тензор, такой, что R (W, Z, X, Y) = g (W, R (X, Y) Z). (А. 19) Следом тензора кривизны является симметричный (0, 2)-тен- зор — кривизна Риччи. Для каждой точки р £ М кривизну Риччи можно рассматривать как симметричное билинейное отображение Ricp: ТРМ X ТрМ ->R. Для вычисления Ric (о, w) выберем в ТрМ ортонормированный базис ег, еп. Тогда Ric (и, w) = % g(eh ei)g(R(ei, w)v, е,) = £ g(eir et) R (eit v, eh w). 1=1 <=i (A.20)
Связности и кривизна 361 С другой стороны, разложив векторы v и ш по естественному базису v — ^vl д/дх1, w = д/дх1, получим, что Ric (v, w) = У RtjVlwi, (А.21) «. /=1 где Rf/=£ Rtaj- (А.22) а—1 Тензором Риччи называется (1, 1)-тензорное поле, соответст- вующее кривизне Риччи. Компоненты тензора Риччи можно по- лучить, поднимая у кривизны Риччи один индекс. Вследствие того что кривизна Риччи симметрична, эту операцию можно проделать с любым индексом. Поэтому Rj = Е gaiRai - £ gaiRia. (А.23) а—1 а—1 Следом тензора Риччи является скалярная кривизна т. Истори- чески сложилось так, что эта функция обозначается многократно используемым символом R. Соответственно этому (А.24) < 0=1 Тем самым, если elt еп — ортонормированный базис в ТРМ, то г = R = 1] g (eit et) Ric (eh ef). (A.25) 1=1 Двумерное линейное подпространство E пространства TpM называется плоским сечением. Плоское сечение Е называется не- вырожденным, если для каждого ненулевого вектора v С Е су- ществует вектор п С Е, такой, что g (v, п) ф 0. Это эквивалентно требованию, что gp |Е — невырожденное скалярное произведение на Е. Если векторы и и w образуют базис невырожденного пло- ского сечения Е, то отлична от нуля величина g (v, и) g (w, w) — — [g (v, w) ]2, представляющая собой квадрат псевдоевклидовой площади параллелограмма в Е, определяемого векторами v и ш. Секционная кривизна К (р, Е) невырожденного плоского сечения Е с базисом {п, ю} задается по правилу А(р, Е) = —------f {R±W' (А.26) v ' g(v, v)g(w, w) — [g (v, и;)]2 4 ’ Эта величина не определена на вырожденных плоских сечениях вследствие того, что знаменатель в формуле (А.26) для вырожден- ных плоских сечений всегда равен нулю.
362 Добавление А Если v = Jw1' д/дх1 и w = д!дх1 — базис невырожденного плоского сечения Е, то соотношение (А.26) можно переписать в следующем виде: Е} =________Z RiikmWlviwkvm _____ /Д 271 ' Zg^VZgftm^-(Zgi^/)2 ’ ( } Псевдоримановы многообразия, секционная кривизна которых одинакова по всем (невырожденным) плоским сечениям, называются многообразиями постоянной кривизны. Если (Л4, g) — псевдори- маново многообразие постоянной кривизны с, то К (X, У) Z = с [g (У, Z) X - g (X, Z) У) (см. Грейвус и Номидзу (1978, с. 268)). Невырожденная плоскость Е называется времениподобной, если она натянута на пространственноподобный и времениподобный касательные векторы. Можно показать, что если секционные кри- визны ограничены и сверху, и снизу и dim М 3, то (7И, g) имеет постоянную кривизну (см. Харрис (1979, добавление А)). Поэтому совсем неясен лоренцев аналог понятия «защемленного риманова многообразия» (см. Чигер и Эбин (1975, с. 118)). С дру- гой стороны, можно построить семейства лоренцевых многообра- зий, конформных пространствам постоянной кривизны, у кото- рых все времениподобные секционные кривизны ограничены в одном направлении (см. Харрис (1982)). Однако если секционная кривизна по всем невырожденным плоскостям ограничена сверху (или снизу), то секционная кривизна постоянна (см. Кулкарни (1979)). Поэтому необходимо ограничить внимание только времени- подобными плоскостями. Градиент для псевдоримановых многообразий определяется в точности так же, как и для римановых многообразий. Если /: М -> R — гладкая функция, то df — это (0, 1)-тензор на М и grad f— (1, 0)-тензорное поле, соответствующее df. Тем самым для произвольного векторного поля У имеем У (/) = (df, У) - g (grad f, У). (А.28) В локальных координатах векторное поле grad f представляется следующим образом: п ' <А-29) w дх1 дх1 i, /=1 А.З. Изотропная кривизна Риччи в двумерных многообразиях Псевдориманово многообразие (М, g) сигнатуры (1, п — 1) (т. е. сигнатуры (—, +, ..., +)) является лоренцевым много- образием. В этом разделе мы покажем, что в двумерном лоренце-
Связности и кривизна 363 вом многообразии для любого изотропного вектора v выполня- ется равенство Ric (v, v) = 0. Предложение А.1. Пусть (М, g) — двумерное лоренцево мно- гообразие. Если v — изотропный вектор, то Ric (v, v) = 0. Доказательство. Зафиксируем в М произвольную точку р. Пусть ег, е2 — ортонормированный базис ТрМ, причемg (е1, ег) = = —1 и g (е2, е2) = +1. Билинейность Ric (-, •) означает, что для доказательства сформулированного утверждения доста- точно показать, что Ric (v, и) = Ric (w, w) — 0 для линейно независимых изотропных векторов v = ег + е2 и w = ег — е2. Ввиду того что доказательства для v и w похожи, приведем только обоснование равенства Ric (о, v) = 0 для вектора и = ех + е2. Используя равенства (А.20), g (ег, et) = —1 и g (е2, е2) = +1, получим, что Ric (v, v) = —g (R (elt e, + e2) (ex + e2), ex) + + g (R (e2, ex + e2) (ex + e2), e2). Из трилинейности отображения (X, Y, Z) -> R (X, У) Z и тож- дества для кривизны R (X, У) = —R (У, X) вытекает, что Ric (о, о) = — g (R (ех, е2) ех, ех) — g (R (elt е2) е2, ех) + + g (R (е2, еД er, е2) + g (R (е2, ех) е2, е2). Тождества R (W, Z, X, У) = - R (Z, W, X, У) и R (W, Z, X, У) = —R (W, Z, У, X) для тензора Римана—Кристоффеля (см. (А.19)) приводят к требуемому результату Ric (о, о) = 0.
Добавление Б ТИПОВОЕ УСЛОВИЕ В разд. 11.2 мы использовали определение (см. определение 11.7), что времениподобная геодезическая с с касательным век- тором W = с’ удовлетворяет типовому условию, если для неко- торого 4 из области определения кривой с эндоморфизм кривизны Я(-> ВД(.: V4^o))->V-4^o)) не равен тождественно нулю, т. е. существует у £ VL(c такой, что R (у, W (4)) W (t0) 7^ 0. В этом добавлении мы пока- жем, что сформулированное условие эквивалентно обычно исполь- зуемому в общей теории относительности условию того, что WcWdlaRb] cd [eWn 0 (Б.1) в точке с (t0). Здесь V1 (с (4)) = Е Tc(tc)M: g (и, с' (4)) = 0}- Мы будем использовать также еще одно определение гл. 11 (см. определение 11.7) о том, что изотропная геодезическая р удовлет- воряет типовому условию, если для некоторого 4 из области оп- ределения кривой р эндоморфизм факторрасслоения ₽' (t0)) ₽' G (р (t0)) -> G (p (4)) нетривиален (см. равенство (9.25) разд. 9.3, определяющее G (Р (4)))- Мы покажем, что это условие равносильно тому, что неравенство (Б.1) выполняется в р (4), a W — Р'. Таким образом, пространство-время (М, g) удовлетворяет типовому условию то- гда и только тогда, когда у каждой непродолжаемой непростран- ственноподобной геодезической у с касательным полем W сущест- вует некоторая точка, в которой выполняется условие (Б.1). Достаточным условием того, чтобы типовое условие выполня- лось вдоль непространственноподобной геодезической у, является неравенство Ric (у', у') =/= 0 в некоторой точке на у. Отсюда следует, что пространство-время, в котором Ric (и, и) > 0 для всех ненулевых непространственноподобных векторов V, должно удовлетворять и типовому, и сильному энергетическому усло- виям.
Типовое условие 365 Начнем с доказательства того, что типовое условие для вре- мениподобной геодезической можно описать посредством нера- венства Rbnm =f= 0. Лемма Б.1. Пусть с — времениподобная геодезическая и {ox, v2, ..., vn = с' (£0)} —базис пространства ТС(мМ. Если компоненты тензора Римана—Кристоффеля заданы относи- тельно этого базиса, то с удовлетворяет типовому условию в то- чке t0 тогда и только тогда, когда Rbne.-i 0 в с (t0) для неко- торых b, е (1 Ь, е — 1). Доказательство. Если с удовлетворяет типовому условию в /0, то существует у± £ V1- (с (/п)), для которого R (у1У vn) vn 0. Из трилинейности R и равенства R (vn, vn) = 0 ввиду наличия у, вытекает существование в линейной оболочке векторов о1, такого вектора у, что R (у, vn) vn 0. Используя невырожден- ность g в точке с (t0), получаем вектор хг £ Тс такой, что R (Ху, vn, у, vn) = g (х1; R (у, vn) vn) =# 0. Здесь R — тензор Ри- мана—Кристоффеля, определенный в добавлении А.2, формула (А. 19). Из полилинейности R и равенства R (vn, vn, у, vn) = 0 вытекает, что в линейной оболочке векторов п1; ..., сУи сущест- вует вектор х, для которого R (х, vn, у, vn) #= 0. Отсюда следует, что Rbmn 0 Для некоторых b и е, подчиненных условию 1 < < Ь, е с п — 1. Обратно, если Rbnen 0, [то R (vb + avn, vn, ve + pnn, t>n) = = R (vb, vn, ve, vn) 0 для всех сх, p, £ R. Поэтому R (ve £ + pon, vn) vn =£ 0 для всех p £ R; откуда вытекает, что R (у, on) для некоторого у £ V1 (с (ф)). □ Покажем теперь, что соотношение (Б.1) описывает типовое условие вдоль времениподобных геодезических. Предложение Б.2. Времениподобная геодезическая с с каса- тельным вектором W = с' удовлетворяет при t = t0 типовому условию в том и только том случае, когда W^WdW[aRb}cd[eWf}^Q в с (t0). Доказательство. Без потери общности можно предполагать, что с — нормальная геодезическая (с единичным вектором ско- рости). Поэтому для вычисления нужного нам тензора можно ис- пользовать ортонормированный базис ..., еп = W = с' (t0)\ в с (t0). Компоненты W относительно этого базиса и дуального
366 Добавление Б кобазиса задаются соотношениями IF1 = ... = IF"-1 = IF, — = ... = Wn_! = 0, Wn = 1, Wn = —1. Следовательно, W°WdWlaRb} cd [eWn = 4- [WaRtnneWf - IFfc7?o„„eIFf - WaRtnnfWe + + WbRannfWc\ = 4 WaRbnn&l ~ ^bRanneRf - baRbnnfRe + 6Xn„f62] . Легко видеть, что это выражение отлично от нуля тогда и только тогда, когда Rbnne У= 0 для некоторых 1 с Ъ,е < п — 1. Сфор- мулированный результат вытекает из леммы Б.1 вследствие ра- венства Rbnne Rbnen* D Покажем теперь, используя лемму Б.1, что если Ric (<?', с') #= У= 0 в некоторой точке времениподобной геодезической с, то с удовлетворяет типовому условию. Лемма Б.З. Пусть с: (a, b) М — времениподобная [гсс де- вическая и Ric (с', с') #= 0 в некоторой точке с. Тогда с удовлетво- ряет типовому условию. Доказательство. Можно предполагать, не теряя общности, что с имеет единичный вектор скорости. Допуская, что Ric (с' (4), с* (4)) #= 0, выберем в пространстве Тс </„> М ортонормированный базис е2, ..., еп = с' (/0)}. Тогда при t = 10 имеем Ric(cz, c')=^g(eit Cj)g(R(eh с')с, е^. , i=\ • Из того, что R (с', с') с' =0, получаем и—1 п—1 - Ric(с, [с')=Е g(R(Ci, с) с’, Rintn- у, , 4=1 4=1 Тем самым условие Ric (с', с') У= 0 означает, что для некото- рого i С U, ••> п— 1} выполняется неравенство R;n;n у= 0. Сформулированный результат вытекает из леммы Б.1. □ Рассмотрим теперь типовое условие для изотропной геодезиче- ской р: (a, Ь) ->• М. Для каждой точки р на р существуют параме- тризация р, ортонормированный базис {ех, ..., еп_2, ёп_г, ёп] пространства ТРМ и изотропный вектор N б ТрМ, такие, что ё - y+N ё п И 2 ’ "-1 /2 в точке р. Здесь ёп — единичный времениподобный вектор в ба- зисе ех, ..., еп_2, ёп,Л, ёп\. Легко убедиться в том, что g(P', N) —g(en, ёп) =— 1, так что {ег, е2, ..., е„_2, N, р'} — псевдоортонормированный базис пространства ТРМ. Метрический
Типовое условие 367 тензор в точке р в этом псевдоортонормированном базисе имеет вид ёи = если 1 < 4 / < и — 2, ёп, п—1 33 ёп—1, п И ёпп ёп-1, п-1 0. Исполь уя этот базис, покажем, что типовое условие для р в р равносильно тому, что Rbnne ¥= 0 для некоторых 1 < Ь, е < < п — 2. Лемма Б.4. Пусть р --= р (4) — точка изотропной геодезиче- ской р и {е1, ..., еп_2, N, Р*'} —псевдоортонормированный базис пространстве ТРМ, определенный выше. Если компоненты тензора Римана—Кристоффеля заданы относительно этого базиса, то р удовлетворяет типовому условию при t = t0 тогда и только тогда, когда Rbnne ¥= 0 в точке р (4) для некоторых 1 < Ъ, е < п — 2. Доказательство. Обозначим через N (р (4) (п — 1)-мерное линейное пространство векторов, ортогональных р' (4). Тогда \elf ..., en_s, Р'} —базис N (Р (4)). Положим G (Р (4)) --= = N (р (/0))/[р' (4)] и обозначим через л: N (Р (4)) ->• G (Р (4)) естественную проекцию. Напомним, что эндоморфизм кривизны Я (-,₽')₽': G (Р (4)) -> G (р (4)) определяется правилом R (v, р') р' = n°R (v, р') р', где v — произвольный вектор из л-1 (о) (см. формулу (9.34) разд. 9.3). Предположим теперь, что типовое условие вдоль р удовлетво- ряется при t = 4- Тогда найдется вектор vt £ N (Р (4)), для которого 7?(л(щ), Р') Р' р') Р'=И= 0. Из равенства R (Р', pz) Pz = 0 п трилинейности R вытекает, что для некоторого 1 < i с п — 2 справедливо неравенство л» R (eit Р') Р' #= 0. Вследствие того что факторметрика g на G (Р (4)) не вырождена, найдется вектор w £ G (Р (4)), для которого g(w, n°R (eit р')Х X р') у= 0. Значит, существует номер / (1 < j < п — 2), такой, что RJnin = g (е}, R (eh р') р') #= 0. Обратно, предположим, что Rjnin 0 для некоторых 1 < 4 / с п. Легко убедиться в том, что g (R (л (ег), р') р', л (е^)) =/= 0, и, следовательно, эндоморфизм R (•, Р') Р': G (р (4)) G (р (4)) не равен нулю тождественно. □ Покажем, что соотношение (Б.1) описывает типовое условие вдоль изотропных геодезических. Предложение Б.5. Изотропная геодезическая Р с касательным вектором W == Р' удовлетворяет типовому условию при t = 4 тогда и только тогда, когда W<WaWloRbJcdleWn^0 в точке Р (4)-
368 Добавление Б Доказательство. Не теряя общности, можно предполагать, что компоненты тензора Римана—Кристоффеля заданы относительно построенного выше псевдоортонормированного базиса {Cj, en_2, N, р' (t0)\- Если W = Р', то его компоненты в этом базисе и соответствующем дуальном кобазисе суть IF1 = ---=Wn~l = IF, Гп_2 = Wn =0, W" =+l, Сле- довательно, WcWdWiaRbJ cdleWn = -|- [^Rbnne^-1 -- ^RannJT1 ~ - ^Rbnnfi"-1 -f er'R^er1]- Это выражение равно нулю, если хотя бы одни из индексов а, Ь, е или f равен п. Кроме того, если оно отлично от нуля, го в точности один из индексов а или b должен быть равен п — 1 и ровно один нз индексов е или f должен быть равен п — 1. Отсюда следует, что №'cWdWfaRb]Cd[eWf] Ф о тогда И ТОЛЬКО тогда, когда Rbnne ¥= 0 для некоторых Ь, е, связанных условием 1 < Ь, е < п — 2, и сформулированное утверждение вытекает из леммы Б.4. □ Докажем теперь изотропный аналог леммы Б.З. Лемма Б.6. Пусть Р — изотропная геодезическая и Ric (р' (/0), р' (4)) ¥= 0- Тогда р удовлетворяет типовому условию при t = /0. Доказательство. Используя ортонормированный базис ..., en_2, ёп_1, ёп\, определенный выше, вычислим прежде всего Ric (р' (t0), р' (t0)): п-2 Ric (В' (t0), Р' (t0)) = Е g(ef, et) g (et, R (eh p') p') ф- 1=1 + S g(e,, ei)g(ei, R(et, P')P'). I— n—1 Используя те же рассуждения, что и при доказательстве предло- жения А. 1 дополнения А.З, можно показать, что п U g\Ti. ^i)g(et, R(eit Р')Р') = 0. i=n—1 Следов ател ьно, п—2 п—2 Ric (Р' (t0), р' (to)) = S g (et, R (eh ₽')P') = £ Rinin, i=l i~l
Типовое условие 369 где Rated — компоненты тензора Римана—Кристоффеля относи- тельно псевдоортонормированного базиса {elt еп_2, N, Р' (/,,)}. Ясно, что из неравенства Ric (Р' (Zc), Р' (/</)) =/= 0 вытекает соотно- шение Rintn = —Rinnt #= 0, справедливое для некоторого 1 < < i < п — 2. Применяя лемму Б.4, получаем требуемое. □ Используя леммы Б.З и Б.6 и определение сильного энергети- ческого условия (см. определение 11.8), получаем Предложение Б.7. Пусть (М, g) — пространство-время. Если Ric (и, v) > 0 для всех ненулевых непространственноподсб- ных векторов из (М, g), то (М, g) удовлетворяет и типовому, и сильному энергетическому условиям. 13 Дж. Бим. П. Эрлих
Добавление В УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА Целью этого добавления является краткое описание уравнений Эйнштейна. Эвристический вывод этих уравнений можно найти у Франкла (1979, гл. 3). Поскольку эти уравнения допустимы лишь для многообразий размерности четыре, мы ограничимся этой размерностью. Уравнения Эйнштейна связывают чисто геометрические вели- чины с тензором энергии-импульса, который является величиной физической. Поэтому их можно использовать для того, чтобы сфор- мулировать сильное энергетическое условие при помощи тензора энергии-импульса. В случае идеальной жидкости тензор энергии- импульса имеет простой вид. Это обстоятельство важно в общей теории относительности потому, что в стандартных космологиче- ских моделях предполагается, что вещество вселенной ведет себя как идеальная жидкость. В.1. Тензор энергии-импульса и уравнения Эйнштейна Физическим обоснованием для изучения лоренцевых много- образий является допущение, что гравитационное поле можно эффективно моделировать при помощи некоторой лоренцевой ме- трики g, определенной на подходящем четырехмерном многооб- разии М. Так как каждое многообразие, допускающее одну ло- ренцеву метрику, допускает бесконечное число лоренцевых ме- трик, то необходимо решить, какую лоренцеву метрику следует взять для того, чтобы смоделировать заданную гравитационную проблему. Этот вопрос приводит к уравнениям Эйнштейна, свя- зывающим метрический тензор g, кривизну Риччи Ric и скаляр- ную кривизну с тензором энергии-импульса Т. Тензор Т опреде- ляется из физических соображений, связанных с распределением вещества и энергии (см. Хокинг и Эллис (1977, гл. 3), Мизнер, Торн и Уилер (1977, гл. 5)). Уравнения Эйнштейна можно запи- сать в следующем виде: Ric-4-^ + A^ = 8nT’ <B1)
Уравнения Эйнштейна 371 где Л — постоянная, известная как космологическая константа. Постоянный множитель 8л вводится просто из соображений мас- штаба. В локальных координатах уравнения (В.1) принимают вид Rii - Rgti + Aga = 8пТа- (В.2) где 1 < I, / < 4. Кривизна Риччи и скалярная кривизна требуют от компонент gij метрического тензора двукратной дифференцируемости. Таким образом, уравнения Эйнштейна представляют собой (нелинейные) дифференциальные уравнения в частных производных относи- тельно метрики и ее первых двух производных. Эти шестнадцать уравнений сводятся к десяти уравнениям в силу того, что все тен- зоры в формуле (В.1) симметричны. Последующая редукция к ше- сти уравнениям (см. Мизнер, Торн и Уилер (1977)) возможна вслед- ствие тождества 4 + .-О (В.З) /=1 ’ ’ для кривизны, из которого следуют четыре консервативных закона 4 £7^ = 0. (В.4) /=1 Здесь символ ,/ обозначает ковариантное дифференцирование в на- правлении х>. Уравнения Эйнштейна не определяют метрику на М без доста- точных граничных условий. Например, пусть М = R2 X S2 = = {(/, г): t С R, г > 2т} X S2 и Л = 0, Ти = 0, dQ2 = d62 + + sin2 6 dip2. Тогда М с этими космологической постоянной и тен- зором энергии импульса допускает в качестве решений уравнений Эйнштейна и плоскую метрику ds2 = —dt2 + dr2 + г2 dQ2, и ме- трику Шварцшильда ds2 = — (1 — 2miг) d/2 + (1 — 2mlr)~l drs+ 4- г2 dQ2. Каждая из этих метрик является асимптотически пло- ской и риччи-плоской (т. е. Ric = 0). Однако метрика Шварц- шильда имеет ненулевой тензор кривизны, и, значит, эти метрики не изометричны. С другой стороны, вычислительные соображения показывают, что уравнения Эйнштейна должны определять метрику с точ- ностью до диффеоморфизма (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 88)). Отметим, во-первых, что метрический тензор имеет 16 компонент, которые в силу симметрии сводятся к 10. Во-вторых, 4 из этих 10 компонент можно объяснить размерностью М, которая допу- скает 4 степени свободы. Тем самым уравнения Эйнштейна дают 6 независимых уравнений для определения 6 существенных ком- понент метрического тензора. Строгий подход к проблеме сущест- 1 Oik
372 Добавление В вования и единственности решений уравнений Эйнштейна, исполь- зующий поверхности Коши для построения начальных условий, можно найти у Хокинга и Эллиса (1977, гл. 7); см. также Марс- ден, Эбин и Фишер (1972, с. 233—264). В.2. Сильное энергетическое условие и тензор энергии-импульса Свяжем теперь сильное энергетическое условие Ric (и, о) О для непространственноподобных векторов с тензором энергии- импульса. Чтобы выразить скалярную кривизну R в точке р (М через Т, выберем в ТРМ ортонормированный базис е2, es, е4}. Тогда из формулы (В.1) получим, что c)[Ric(e;, eg) --i-figfa, eg)-)-Agfa, ef)] = = 8n^g(e;, C)T (eg, eg). Вследствие того что dim M = 4, а скалярная кривизна является следом кривизны Риччи, из этого уравнения получаем R — 2R + 4Л = 8л tr Т. Следовательно, R = —8л tr5T + 4Л, (В.5) и уравнения Эйнштейна приводятся к виду Ric---(—8л tr Т ! - 4Л) g ф- Ag = 8лТ. Таким образом, R|c = 8»(T-^g + -^-£). (В-6) Последнее соотношение показывает, что условие Ric (о, о) О эквивалентно неравенству Т (v, [(tr 7)/2 — Л/(8л) I g (v, о). Отсюда вытекает, что при Л = 0 и dim М = 4 сильное энергети- ческое условие Ric (v, о) 0 для всех непространственноподобных v равносильно условию tr Т Т (v, о) 2 g (о, v) для всех непространственноподобных v (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 109)),
Уравнения Эйнштейна 373 В.З. Идеальная жидкость Рассмотрим жидкость, которая движется через пространство- время с единичной скоростью так, что линиями тока жидкости являются интегральные кривые векторного поля, образованного ее времениподобными касательными векторами V. Жидкость назы- вается идеальной, если ее тензор энергии-импульса Т имеет вид Т --- (р + р) W ® + pg, (В.7) где р — плотность энергии и р — давление, или в локальных координатах TiS = (р -г Р) Че, + pgij. (В.8) Здесь <> -~ y,Vidxl есть 1-форма, соответствующая векторному полю v = £vt д/дх1. Из вида тензора Т вытекает, что идеальная жидкость изотропна, лишена вязкости и не имеет внутреннего трения. Напомним, что пространство-время Робертсона—Уокера пред- ставляет собой искривленное произведение вида (a, b) xfH, где Н — изотропное риманово многообразие (см. разд. 4.4). Прост- ранства Робертсона—Уокера используются для построения кбс- мологических моделей, в которых за вещество берется идеальная жидкость. В этом случае векторное поле v задается в виде d,!dt, и поэтому линиями тока жидкости являются кривые у (/) — (/, Уо)< где у0 G Н. Тензор энергии-импульса Г имеет требуемый вид (В.7), а функции р и р зависят только от t. Обсуждение космо- логических моделей Робертсона—Уокера можно найти у Хокинга и Эллиса (1977, с. 151 и сл.); см. также Мизнер, Торн и Уилер (1977, ч. VI). Рассмотрим теперь сильное энергетическое условие в простран- ствах, тензор энергии-импульса которых имеет вид (В.7). Если рх, е2, es, е4 = v} — ортонормированный базис пространства ТрМ, то след тензора Т можно вычислить по следующей формуле: 4 tr Т = S g (eit et) Т (eh = — (р р р) р 4р Зр -- р. i=i Применяя формулу (В.6), получим, что сильное энергетическое условие эквивалентно неравенству Т (w, w) ( -Зр2~~и - g (w, w), справедливому для всех непространственноподобных ю. Из фор- мулы (В.7) вытекает, что (И 4- Р) [g (v, w)]2 -р pg (w, w) > g (w, щ).
374 Добавление В откуда (И + Р) [£ (^. ®)]2 -----S (w< w). (В.9) Вследствие неравенств g (w, w) < 0 и g (у, w) 0 из соотноше- ния (В.9) вытекает, что отрицательная космологическая постоян- ная делает сильное энергетическое условие более вероятным, а по- ложительная космологическая постоянная обладает обратным эффектом. Типлер (19776) провел исследование тех пространств, которые имеют отрицательные космологические постоянные. Пер- воначально космологическую постоянную ввел Эйнштейн ввиду того, что уравнения (В.1) с Л = 0 предсказывают вселенную, которая либо расширяется, либо сжимается, а вначале этого века считалось, что вселенная существенно статична. После открытия расширения вселенной первоначальная мотивировка для космол гической постоянной была отброшена. С другой стороны, исклю- чить Л из теории было бы более затруднительным. И хотя астро- номические эксперименты не в состоянии показать, что Л отлична от нуля, можно привести следующий довод: Л столь мала, что проведенные эксперименты были недостаточно чувствительными.
Добавление Г ЯКОБИЕВЫ ПОЛЯ И ТЕОРЕМА ТОПОНОГОВА ДЛЯ ЛОРЕНЦЕВЫХ МНОГООБРАЗИЙ1 Одним из важных следствий теоремы сравнения Рауха в рима- новой геометрии является теорема Топоногова о сравнении треу- гольников (см. Чигер и Эбин (1975, с. 42—49)). Пусть М — полное риманово многообразие (всюду в этом добавлении метрика обозна- чается через (, )), секционная кривизна которого по всем двумер- ным площадкам о в М удовлетворяет условию К. (о) Н, где Н — некоторое число. Пусть Уг, Тз) — геодезические в М, обра- зующие треугольник: Yi (0) = у2 (0), у2 (Д) = ys (0) и у2 (L2) = = Тз (Т-з), где Lt = L (yt). Предложим, что у2 и у3 — минималь- ные геодезические, и в случае Н = ф (q > 0) будем считать, что L; < n/q, i =1, 2, 3. Допустим, что геодезические у,- параметри- зованы длиной дуги, и определим а3 = (у) (0), у’2 (0)) и ос2 = = (—Ti (jTi)» Уз (0)). Для треугольника (уъ у2, у3), возможно расположенного в другом многообразии, а3 и а2 определяются аналогично. (а) В односвязном двумерном римановом многообразии Ми по- стоянной кривизны Н существует геодезический треугольник (Yi> Y2, Ys). такой, что L (yf) = Lt, i =1, 2, 3, ий2 < cc2, a3 < a3. Этот треугольник определен с точностью до конгруэнтности, если Н < 0 или если Н > 0 и все Lt < n/q. (б) Пусть Yi и y2 — геодезические в многообразии Мн, для кото- рых Yi (0) = Y2 (0), L (уг) = Lh i = 1, 2, и a3 = as. Пусть Ys — минимальная геодезическая, соединяющая концевые точки геоде- зических Yi и у2. Тогда L (ys) L (у3). Оказывается возможным построить аналог этой теоремы для лоренцевой геометрии. Мы приведем здесь краткое изложение соответствующей программы, опустив все доказательства. Под- робности изложены в работах Харриса (1979, 1982, с. 3—41). Первый шаг состоит в модификации времениподобной теоремы сравнения Рауха I (см. теорему 10.11) так, чтобы она была приме- нима к времениподобным геодезическим с сопряженным точками, но без фокальных точек. Если N — подмногообразие многообра- зия М, то q £ М называется фокальной точкой N для р (р £ N), х) Написано Стивеном Г. Харрисом (Steven G. Harris), Department of Math., University of Missouri, Columbia, Missouri.
376 Добавление Г если q является образом критической точки экспоненциального отображения ехр в нормальном расслоении подмногообразия N в точке р. Для вектора v из касательного расслоения ТМ обозна- чим через N (v) подмногообразие многообразия М, являющееся образом при отображении ехр достаточно малой окрестности на- чальной точки пространства, перпендикулярного v, так, что ехр в этой окрестности является вложением. Таким образом, N (о) есть (п — 1)-мерное подмногообразие, ортогональное v. В формулируемом ниже утверждении—теореме Рауха II — и всюду в этом добавлении через А Д В будет обозначаться 2-пло- скость, натянутая на векторы А и В. Теорема Г.1 (времениподобная теорема Рауха II). Пусть |/г — якобиево поле вдоль нормальной времениподобной геодезической ур [О, L) Mt в пространстве-времени Mt, i = 1, 2. Положим Tt = yj. П редположим выполненными следующие условия'. <И±, КДо =(v2, V2>0, (Vt, Л>0 = <P2, Т2>0, (Vj-.V,) (0) о и, кроме того, для любых векторов А; в у,- (/) Л' (Хх Д Л) > к (х2 к Т2), и у2 не имеет фокальных точек N (у2 (0)) для у2 (0). Тогда для всех t из [0, L] выполняется неравенство <Vi, Vi\ <v2, р2\. Важное следствие из этой теоремы показывает, как кривизна может влиять на длины времениподобных геодезических. Следствие Г.2. Пусть ур [0, Ь]-*-Мь i = 1, 2, —две вре- мениподобные (или две изотропные, или две пространственнопо- добные) геодезические, и пусть Et — единичные времениподобные векторные поля, параллельные вдоль и связанные условием (Elt 1\) = (Е2, Т2) (Tt = y't). Пусть f : [0, L) -> R — любая глад- кая вещественнозначная функция. Предположим, что&х^г X Et (t)) определено для всех t из [0, L]; обозначим его через a (t). Предположим далее, что для всех t из [0, L] геодезическая tj: s ь—> I—> ехр?2 (/) (sE2 (t)) не имеет фокальных точек N (т/ (0)) для г; (0) при s </(/) Наконец, предположим, что для всех времениподоб- ных 2-плоскостей о, в выполняется неравенство Е (<Ъ) =& К (о2). Тогда для всех t из 10, L] (с\, c'i)t > (с2, c2)t. Таким образом., если с} — непространстве топодобная кривая, то этим же свойством обладает и с2, при этом L (ох) < L (с2).
Якобиевы поля 377 Это следствие делает возможной теорему сравнения треуголь- ников для «тонких» треугольников. Модельными пространствами, используемыми для сравнения, являются двумерные пространства де Ситтера 1-го и 2-го рода (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 140—151), Вольф (1961, с. 114—118)). Треугольник (ух, у2, Та), образован- ный времениподобными геодезическими, будем называть «тонким», если выполняются следующие условия. Пусть ух и у2 — времени- подобные геодезические в односвязном двумерном лоренцевой многообразии Мн постоянной кривизны Н, у которых ух (0) = = у2(0), L (Yi) = Д, L (у2) С2 и а3 = а3. Предположим, во- первых, что существует времениподобная геодезическая у3, соеди- няющая концевые точки геодезических у} и у2- Пусть Е — резуль- тат параллельного переноса yj (0) вдоль у2. Для каждого t £ € Ю, Аа) существует наименьшее положительное число / (/), такое, что exp (/' (t) Е (/)) лежит на у3. Во-вторых, предположим, что для всех таких t геодезическая si—>ехр (sE (/)) не имеет фо- кальных точек N (Е (t)) для у2 (t) при s </'(/). Если эти два пред- положения выполнены и если Тз максимальна, а все времениподоб- ные плоскости о в М удовлетворяют неравенству К (о) С Н, то L (у3) > L (у3). Задача заключается в том, чтобы, взяв более общий времени- подобный геодезический треугольник, разрезать его на «тонкие» треугольники, после этого применить только что сформулирован- ный результат к каждому «ломтику» и затем сложить их вместе. В римановой теореме для того, чтобы обеспечить возмож- ность продолжения в произвольном треугольнике (ух, у2, у3) минимальных геодезических от у3 (Л3) до ух для нарезания перво- начального треугольника используется полнота. В лоренцевой случае того же эффекта достигают при помощи глобальной гипер- боличности, если Н 0. Однако для Н = —q2 возникает про- блема: даже модельные пространства МИ не являются глобально гиперболическими; в самом деле, согласно предложению 10.8, никакая времениподобная геодезическая длины, большей чем nlq не может быть максимальной в лоренцевом многообразии, вре- мениподобные плоскости о которого удовлетворяют условию К (о) < —q2. Решение этой проблемы содержится в новом поня- тии, своего рода глобальной гиперболичности в малом. Для любых двух точек х и у в лоренцевом многообразии М обозначим через С (х, у) пространство непространственноподобных кривых в М, идущих из х в у (по модулю перепараметризации), с компактно открытой топологией. Определение Г.З. Лоренцево многообразие М называется гло- бально гиперболическим порядка q (q > 0), если М сильно при- чинно, и для всех точек х и у из М, подчиняющихся условию
378 Добавление Г sup \L (у): у С С (х, у)} < л/q, это пространство С (х, у) ком- пактно. Теперь можно сформулировать лоренцев аналог теоремы Топоногова (геодезические предполагаются нормальными). Теорема Г.4 (лоренцева теорема сравнения треугольников). Пусть М — пространство-время, времениподобные плоскости о которого удовлетворяют неравенству К (о) < Н, где Н — некото- рая постоянная, М глобально гиперболично или в случае Н = —q2 глобально гиперболично порядка q. Пусть (у,, у2, у3) — треуголь- ник, образованный времениподобными гесдезическими, причем у2 — направленная в будущее сторона треугольника между самой дале- кой в прошлом и самой далекой в будущем из трех концевых течек, У( — другая направленная в будущее сторона, исходящая из у2 (0), и уз — оставшаяся направленная в будущее сторона. Предположим, что у2 и уз максимальны, и если Н = —q2, что L-, л/q, i = 1, 2, 3. Тогда (а) В Мн существует времениподобный геодезический треуголь- ник (уг, у2, Уз), для которого L (уг) = L;, i = 1, 2, 3, и а2> «2, а3 сс3. (б) Для времениподобных геодезических уг и у2, построенных в Мн таким образом, что уг (0) == у2 (0), L (уу) = Llt L (у2) = L2 и а3 = а3, из существования времениподобной геодезической у3 между концевыми течками У1 и у2 вытекает неравенство L (у3) < < Т (у3). Теорему Топоногова сравнения треугольников можно исполь- зовать для того, чтобы показать, насколько жестко может опреде- ляться полное риманово многообразие ограничением на секцион- ную кривизну при условии, что пределы наложенных на кривизну ограничений достигаются. Одним из таких результатов является теорема о максимальном диаметре (см. Чигер и Эбин (1975, с. ПО), Если полное риманово многообразие Мп удовлетворяет неравен- ству К (о) q2 > 0 для всех плоскостей о и если диаметр М до- стигает максимального допустимого значения л/q, то М изоме- тр ично сфере Sn кривизны q2. Подобным же образом можно использовать теорему Г.4. Теорема Г.5. Пусть пространство-время Мп является гло- бально гиперболичным порядка q и для всех времениподобных пло- скостей о выполняется неравенство Д (о) с —q2. Предположим, что М содержит полную времениподобную геодезическую у, макси- мальную на любом интервале длины л/q. Тогда М изометрично односвязному геодезически полному п-мерному лоренцеву многообра- зию постоянной кривизны —q2. Изучение влияния кривизны на якобиевы поля возможно не только вдоль времениподобных, но и вдоль изотропных геодези-
Якобиевы поля 379 ческих. Секционную кривизну для этого использовать уже нельзя, вследствие того что она не определена для изотропных (особых) плоскостей. Однако определяемое ниже понятие будет работать. Определение Г.6. Если о — изотропная плоскость и N — произвольный ненулевой элемент из одномерного пространства изотропных векторов в о, то изотропная секционная кривизна пло- скости о относительно вектора N, Кк (о), определяется посред- ством формулы К о- (R(A, N)N, А) KN (о)---------- где А — произвольный неизотропный вектор в о. Это выражение для изотропной секционной кривизны не зави- сит от вектора А, а зависит (квадратично) от вектора N. Эта кри- визна имеет интересные связи с обычной секционной кривизной (см., например, предложение 2.3, Харрис (1979)). Предложение Г.7. Если в единственной точке лоренцева много- образия все изотропные секционные кривизны положительны (соот- ветственно отрицательны), то времениподобная секционная кри- визна в этой точке не ограничена снизу (соответственно сверху). Если же все изотропные секционные кривизны обращаются в нуль, то все времениподобные и пространственноподобные секционные кривизны равны. Поэтому лоренцево многообразие, размерность которого не меньше трех, имеет постоянную кривизну тогда и только тогда, когда его изотропная секционная кривизна всюду равна нулю. Изотропную секционную кривизну можно использовать по отношению к якобиевым полям во многом также, как и времени- подобную секционную кривизну. Предложение Г.8. Пусть [О, L] -> Мп — изотропная гео- дезическая (параметризация аффинная}, у которой Т = р'. Если для всех неизотропных векторов V, перпендикулярных Т, Кт (V/\Т) < 0, то р не имеет сопряженных точек. Если для неко- торого q неравенство Кт (У f\T) <?2 выполнено для всех таких V, или, более общо, если Ric (Т, Т) (п —• 2) q2, mo L л/q озна- чает, что р должна иметь сопряженную точку. Изотропная секционная кривизна пригодна также и для теорем типа Рауха. Теорема Г.9 (теорема сравнения Рауха для изотропных гео- дезических). Пусть рг: [О, L] -> /И,-, i =1, 2, — изотропные геодезические, Tt = Р? Пусть Vi, I =1,2, —якобиевы поля, пер- пендикулярные вдоль рг, но не всюду параллельные Tt (и поэтому нигде непараллельные Ti), для которых Vi (0) = 0 и (Vi, У()о = = <К2, У2>0.
Й80 Добавление Г Предположим, что для любого t из [О, L] и для любых неизо- тропных векторов X; в р;(О, перпендикулярных Tt, выполняется неравенство J\t, (Х| Л ^i) < (Х2 Л Т2) и что р2 не имеет точек, сопряженных р2 (0). Тогда для всех t из [О, LI (Vb К)( (V2, V2\. Необходимость использования перпендикулярных векторных полей делает эту теорию менее удобной по сравнению с соответст- вующей теорией для времениподобных геодезических. Подробности, касающиеся предложения Г.8 и теоремы Г.9, можно найти в работе Харриса (1979). J
Литература Авез (Avez А.) (1963) Essais de geometric riemannienne hyperbolique globale. Applicationes a la Relativite Generale. Ann. Inst. Fourier 132, 105—190. Андерсон (Anderson J. L.) (1967) Principles of Relativity Physics. Academic Press. New York. Ауслендер, Маркус (Auslander L., Marcus L.) (1959) Flat Lorentz 3-Manifolds. Memoir 30. Amer. Math. Soc. Берже (Berger M.) (1960) Les varietes riemanniennes (l/4)-pincees, Annali della Scuola Normale Sup. di Pisa. Ser. Ill 14, 161—170. Бёлтс (Bolts G.) (1977) Existence und Bedeutung von konjugierten Werten in der Raum-Zeit, Bonn Universitat, Diplomarbeit. Бим (Веет J. К.) (1976a) Conformal changes and geodesic completeness. Commun. Math. Phys. 49, 179—186. Бим (Веет J. К.) (19766) Globally hyperbolic space-times which are timelike Cauchy complete. Gen. Rel. Grav. 7, 339—344. Бим (Веет J. К.) (1976b) Some examples of incomplete space-times. Gen. Rel. Grav. 7, 501—509. Бим (Веет J. К.) (1977) A metric topology for causally continuous completions. Gen. Rel. Grav. 8, 245—257. Бим (Веет J. К.) (1978a) Homothetic maps of the space-time distance function and differentiability Gen. Rel. Grav. 9, 793—799. Бим (Веет J. К.) (19786) Proper homothetic maps and fixed points. Lett. Math. Phys. 2, 317—320. Бим (Веет J. К.) (1980) Minkowski space-time is locally extendible. Commun. Math. Phys. 72, 273—275. Бим, By (Веет J. K., Woo P. Y.) (1969) Double Timelike Surfaces. Memoir 92. Amer. Math. Soc. Бим, Эрлих (Веет J. К., Ehrlich P. E.) (1977) Distance lorentzienne finie et geodesiques f-causales incompletes. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A. 581, 1129—1131. Бим, Эрлих (Веет J. K-, Ehrlich P. E.) (1978) Conformal deformations, Ricci curvature and energy conditions on globally hyperbolic space-times. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 84, 159—175. Бим, Эрлих (Веет J. К., Ehrlich P. E.) (1979a) Singularities, incompleteness and the Lorentzian distance function. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 85, 161—178.
382 Литература ------------------------------------------ ---------------------- ... ., д„ Бим, Эрлих (Веет J. К., Ehrlich Р. Е.) (19796) The space-time cut locus. Gen. Rel. Grav., 11, 89—103. Бим, Эрлих (Веет J. K-, Ehrlich P. E.) (1979b) Cut points, conjugate points and Lorentzian comparison theorems. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 86, 365—384. Бим, Эрлих (Веет J. K-, Ehrlich P. E.) (1979г) A Morse index theorem for null geodesics. Duke Math. J. 46, 561—569. Бим, Эрлих (Веет J. К., Ehrlich P. E.) (1980) Stability of geodesic incompleteness for Robertson—Walker space-times. Gen. Rel. Grav. 13, 239—255. Бим, Эрлих, Пауэлл (Веет J. К.-, Ehrlich Р. Е., Powell Т. G.) (1982) Warped product manifolds in relativity. Einstein volume. Athens. Greece. Th. Rassias, G. Rassias, eds, Selected Studies, North Holl., 41—56. Биркгоф, Рога (Birkhoff G. D., Rota G.-C.) (1969) Ordinary Differential Equations, second edition. Blaisdell, Waltham, Massachu<ett<. Бишоп, Криттенден (Bishop R. L., Crittenden R.) (1964) Geometry of Manifolds. Academic Press. New York. (1967) (Имеется перевод: Бишоп P., Криттенден P. Геометрия многообразий. — М.: Мир.] Бишоп, О’Нейл (Bishop R. L., O’Neill В.) (1969) Manifolds of negative curvature. Trans. Amer. Math. Soc. 145, 1—49. Бойер, Линдквист (Boyer R. H., Lindquist R. W.) (1967) Maximal analytic extension of the Kerr metric — J. Math. Phys. 8, 265—281 Бойер, Прайс (Boyer R. H., Price T. G.) (1965) An interpretation of the Kerr metric in General Relativity. Proc. Camb. Phil. Soc. 61, 531—534. Бонди (Bondi H.) (1968) Cosmology, second edition Cambridge University Rress, Cambridge. Боссхард (Bosshard B.) (1976) On the В-boundary of the closed Friedmann model. Commun. Math. Phys. 46, 263—268. Брилл, Флаэрти (Brill D., Flaherty F.) (1976) Isolated maximal surfaces in spacetime. Commun. Math. Phys. 50, 157—165. Буземан (Busemann H.) (1942) Metric Methods in Finsler Spaces and in the Foundations of Geometry. Annals of Math. Studies 8. Princeton University Press. Princeton. New Jersey Буземан (Busemann H.) (1955) The Geometry of Geodesics. Academic Press. New York. (1962) [Имеется перевод: Буземан Г. Геометрия геодезических. — М.: Физ- матгиз. ] Буземан (Busemann Н.) (1967) Timelike Spaces. Dissertationes Math. Rozprawy Mat. 53. Буземан, Бим (Busemann H., Beem J. K.) (1966) Axioms for indefinite metrics. Rnd. Cir. Math. Palermo 15, 223—246. Бьюдик, Сакс (Budic R., Sachs R. K.) (1974) Causal boundaries for general relativistic spacetimes. J. Math. Phys. 15, 1302—1309. Бьюдик, Сакс (Budic R., Sachs R. K.) (1976) Scalar time functions: differentiability. — in Differential Geometry and Relativity eds. M. Cohen and M. Flato, Reidel: Dordrecht, 215—224. Вейнберг (Weinberg S.) (1972) Gravitation and Cosmology. John Wiley. New York (1975) [Имеется перевод: Вейнберг С. Гравитация и космология.—М.: Мир] Вольф (Wolf J. А.)
Литература 383 1961) Homogeneous manifolds of constant curvature — Comment. Math. Helv. 36, 112—147. Вольф (Wolf J. A.) (1974) Spaces of Constant Curvature, 3rd edition. Publish or Perish Press. Boston (1982) [Имеется перевод второго издания: Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны.—М.: Наука] Вонг (Wang Н.-С.) (1951) Two theorems on metric spaces. Pacific J. Math. 1, 473—480. Вонг (Wang H.-C.) (1952) Two-point homogeneous spaces. Ann. of Math. 55, 177—191. Вудхауз (Woodhouse N. M. J.) (1973) The differentiable and causa] structures of space-time. J. Math. Phys. 14, 495—501. Вудхауз (Woodhouse N. M. J.) (1976) An application of Morse theory ti space-time geometry. Commun. Math. Phys. 46, 135—152. Галливер (Gulliver R.) (1975) On the variety of manifolds without conjugate points. Trans. Amer. Math. Soc. 210, 185—201. Галлоуэй (Galloway G.) (1977) Closure in antisotropic cosmological models. J. Math. phys. 18, 250—252. Галлоуэй (Galloway G.) (1979) A generalization of Myers’ Theorem and an application to relativistic cos- mology— J. Diff. Geo. 14, 105—116. Герок (Geroch R. P.) (1968a) Spinor structure of space-times in general relativity I. J. Math. Phys., 9, 1739—1744. Герок (Geroch R. P.) (19686) What is a singularity in general relativity. Ann. Phys. (N. Y.) 48, 526—540. Герок (Geroch R. P.) (1969) Limits of spacetimes. Commun. Math. Phys. 13, 180—193. Герок (Geroch R. P.) (1970) Domain of dependence. J. Math. Phys. 11, 437—449. Герок, Кронхеймер, Пенроуз (Geroch R. P., Kronheimer E. H., Penrose R.) (1972) Ideal points in space-time. Proc. Roy. Soc. Lend. A327, 545—567. Герок, Хоровиц (Geroch R. P., Horowitz G. T.) (1979) Global structure of space-time in General Relativity: An Einstein Cente- nary Survey, eds. S. Hawking and W. Israel, Cambridge University Press. Cambridge, 212—293. Гебель (Gobel R.) (1976) Zeeman topologies on space-times og general relativity theory. Commun. Math. Phys. 46, 289—307. Грейвс (Graves) (1979) Codimention one isometric immersions between Lorentz spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 252, 367—392. Грейвс, Номидзу (Graves, Nomizu K.) (1978) On sectional curvature of indefinite metrics. Math. Ann. 232, 267-—272. Грин Л. (Green L. W.) (1958) A theorem of E. Hopf. Mich. Math. J. 5, 31—34. Грин P. (Green R. E.) (1970) Isometric Embeddings of Riemannian and Pseudo-Riemannian Manifolds. Memoir 97, Amer. Math. Soc. Громол, Клингенберг, Мейер (Gromoll D., Klingenberg W., Meyer W.) (1975) Riemannsche Geometric im Grossen. Lectures Notes in Math. 55. Springer- Verlag. Berlin. (1971) [Имеется перевод первого издания: Громол Д., Клингенберг В., Мейер В, Риманова геометрия в целом. —М,: Мир.]
384 Литература Громол, Мейер (Gromoll D., Meyer W.) (1969) On complete open manifolds of positive curvature. Ann. of Math. 90, 75—90. Дайцер, Номидзу (Dajczer M., Nomizu K.) (1980a) On The boundedness of Ricci curvature of an indefinite metric. Bol. Soc. Brazil Math. 11, 25- 30. Дайцер, Номидзу (Dajczer M., Nomizu K.) (19806) On sectional curvature of indefinite metrics II — Math. Annalen 247, 279—282. Джонсон (Johnson R. A.) (1977) The bundle boundary in some special cases. J. Math. Phys. 18, 898—902. Додсон (Dodson С. T. J.) (1978) Space-time edge geometry. Int. J. Theor. Phys., 17, 389—504. Додсон (Dodson С. T. J.) (1980) Categories, Bundles and Spacetime Topology. Shiva Math. Series 1 Shiva, Kent. Додсон, Постон (Dodson С. T. J., Poston T.) (1977) Tensor Geometry: The Geometric Viewpoint and Its Uses. Survey and Reference Works in Math. 1. Pitman, San Francisco. Додсон, Салли (Dodson С. T. J., Sulley L. J.) (1980) On bundle completion of parallelizable manifolds. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 87, 523—525. Ердли, Смарр (Eardley D. M., Smarr L.) (1979) Time functions in numerical relativity: Marginally bound dust collapse. Phys. Rev. D 19, 2239—2259. Зейферт (Seifert H.—J.) (1967) Global connectivity by timelike geodesics. Zs. f. Naturforsche. 22a, 1356— 1360. Зейферт (Seifert H.—J.) (1971) The causal boundary of space-times. Gen. Rel. Grav. 1, 247—259. Зиман (Zeeman E. C.) (1964) Causality implies the Lorentz group. J. Math. Phys. 5, 490—493. Зимаи (Zeeman E. C.) (1967) The topology of Minkowski space. Topology. 6, 161 —170. Картер (Carter B.) (1971a) Causal structure in space-time. Gen. Rel. Grav. 1, 349—391. Картер (Carter B). (19716) Axisymmetric black hole has only two degrees of freedom. Phys. Rev. Lett. 26, 331—333. Казн, Паркер (Cahen M., Parker M.) (1980) Pseudo-riemannian Symmetric Spaces. Memoir 229. Amer. Math. Soc. Келли (Kelly J. L.) (1955) General Topology Univ. Ser. in Higher Math. D. Van Nostrand, Princeton, New Jersey. (1981) [Имеется перевод более позднего издания: Келли Дж. Л. Общая тополо- гия. — М.: Наука. ] Киконе, Эрлих (Chicone С., Ehrlich Р.) (1980) Line integration of Ricci curvature and conjugate points in Lorentzian and Riemannian manifolds. Manuscripta Math. 31, 297—316. Кларке (Clarke C. J. S.) (1970) On the global isometric embedding of pseudo-Riemannian manifolds. Proc. Roy. Soc. Lend. A314, 417—428. Кларке (Clarke C. J. S.) (1971) On the geodesic completeness of causal space-times. Proc. Camb. Phil. Soc. 69, 319—324. Кларке (Clarke C. J. S.) (1973) Local extensions in singular space-times. Commun. Math. Phys. 32, 205—214. Кларке (Clarke C. J. S.)
Л итература 385 (1975) Singularities in globally hyperbolic space-times. Commun. Math. Phys. 41, 65—78. Кларке (Clarke C. J. S.) (1976) Space-time singularities. Commun. Math. Phys. 49, 17—23. Кларке, Шмидт (Clarke C. J. S., Schmidt B. G.) (1977) Singularities: the state of the art. Gen. Rel. and Grav. 8, 129—137. Клингенберг (Klingenberg W.) (1959) Contributions to Riemannian geometry in the large. Ann. of Math. 69, 654—666. Клингенберг (Klingenberg W.) (1961) Uber Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit nach positive! Krummung. Comment. Math. Helv. 35, 47—54. Клингенберг (Klingenberg W.) (1962) Uber Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit nach oben beschrankter Krum- mung. Annali di Mat. 60, 49—59. Клингенберг (Klingenberg W.) (1978) Lectures on Closed geodesics. Grundlehren der mathematischen Wissen- schaften 230. Springer-Verlag. New York. (1982) [Имеется перевод: Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических. — М.: Мир. ] Кобаяси (Kobayashi S.) (1967) Ov conjugate and cut loci, Studies in global geometry and analysis, MAA studies in Math. 4, 96—122. Кобаяси, Номидзу (Kobayashi S., Nomizu K.) (1963) Foundations of Differential Geometry, vol. I. Interscience Tracts in Pure and Applied Math. 15 John Wiley, New York. (1981) [Имеется перевод: Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии т. I. —М.: Наука.] Кон-Фоссеи (Cohn-Vossen S.) (1936) Total Kriimmung und geodatische linien auf einfach zusammenhangenden offenen vollstandigen Flachenstucken. Recueil Mathematique 1, 139—163. ’ (1959) [Имеется перевод: Полная кривизна и геодезические линии на односвяз- ных открытых полных поверхностях. — В кн.: Кои-Фоссен С. Э. Неко- торые вопросы дифференциальной геометрии в целом. — М.: Физматгиз. ] Криттенден (Crittenden R.) (1962) Minimum and conjugate points in symmetric spaces. Cand. J. Math. 14, 320—328. Кроихеймер, Пенроуз (Kronheimer E. H., Penrose R.) (1967) On the structure of causal Spaces — Proc. Camb. Phil. Soc. 63, 481—501. Крускал (Kruskal M. D.) (1960) Maximal extension of Schwarzschild metric Phys. Rev. 119, 1743—1745. Кулкарни (Kulkarni R. S.) (1978) Fundamental groups of homogeneous space-forms. Math. Ann. 234, 51—60. Кулкарни (Kulkarni R. S.) (1979) The values of sectional curvature in indefinite metrics. Comment. Math. Helv. 54, 173—176. Кундт (Kundt W.) (1963) Note on the completeness of spacetimes. Zs. ftir Phys. 172, 488—489. Лернер (Lerner D. E.) (1972) Techniques of topology and differential geometry in general relativity. Springer Lecture Notes in Phys. 14, 1—44. Лернер (Lerner D. E.) (1973) The space of Lorentz metrics. Commun. Math. Phys. 32, 19—38. Ли (Lee К. K-) (1975) Another possible abnormality of compact space-time. Canad. Math. Bui. 18, 695—697. Майерс (Myers S. IJ.)
386 Литература (1935) Riemannian manifolds in the large. Duke Math. J. 1, 39—49. Майерс. Стинрод (Myers S. B., Steenrod N.) (1939) The group of isometries of a Riemannian manifold — Ann. of Math. 40, 400—416. Манкрс (Munkres J. R.) (1963) Elementary Differential Topology. Ann. of Math. Studies 54. Princeton University Press. Princeton. New Jersey. (1979) [Имеется перевод более позднего издания: Манкрс Дж. Элементарная дифференциальная геометрия. —В кн.: Милнор Дж., Сташеф Дж. Ха- рактеристические классы. —М.: Мир.] Манкрс (Munkres J. R.) (1975) Topology: A First Course. Prentice—Hall. Enqlewood Cliffs. New Jersey. Марат (Marathe K.) (1972) A condition for paracompactness of a manifold. J. Diff. Geo. 7, 571—573. Маркус (Marcus L.) (1955) Line element fields and structures on differentiable manifolds. Ann. of Math. 62, 411—417. Марсден (Marsden J. E.) (1973) On completeness of homogeneous pseudo-Riemannian manifolds. Indian Univ. Math. J. 22, 1065—1066. Марсден, Эбин, Фишер (Marsden J. E., Ebin D. G., Fischer A. E.) (1972) Diffeomorphism groups, hydrodinamics and relativity. In Proceedings of the thirteenth biennial seminar of the Canadian Mathematical Congress, ed. J. R. Vanstone, 135—279. Мизнер (Misner C. W.) (1967) Taub-NUT space as a counterexample to almost anything in Relativity and Astrophysics I. Relativity and Cosmology. Amer. Math. Soc. ed. J. Ehlers, 160—169. Мизнер, Тауб (Misner C. W., Taub A. H.) (1969) A singularity-free empty universe. Soc. Phys. J. E. T. P. 28, 122—133. Мизнер, Тори, Уилер (Misner C. W., Thorne К. S., Wheeler J. A.) (1973) Gravitation. W. H. Freeman, San Francisco. (1977) [Имеется перевод: Мизнер Ч., Торн К. С., Уилер Дж. А. Гравитация. — М.: Мир. ] Миллер (Miller J. G.) (1979) Bifurcate Killing Horizons — J. Math. Phys. 20. 1345—1348. Милнор (Milnor J.) (1963) Morse Theory. Ann. of Math. Studies 51. Princeton University Press. Prin- ceton. New Jersey. (1966) [Имеется перевод: Милнор Дж. Теория Морса. —М.: Мир.] Монкриф (Moncrief V.) (1975) Spacetime symmetries and linearization stability of the Einstein equations, j: Math. Phys. 16, 493—498. Морроу (Morrow J.) (1970) The denseness of complete Riemannian metrics. J. Diff. Geo. 4, 225—226 Mope (Morse M.) (1934) The calculus of Variations in the Large. Amer. Math. Soc. Colloq. Pub. vol. 18. Номидзу (Nomizu K.) (1979) Left invariant Lorentz metrics on Lie Groups. Osaka Math. J. 16, 143—150. Номидзу, Одзеки (Nomizu К., Ozeki H.) (1961) The existence of complete Riemannian metrics. Proc. Amer. Math. Soc. 12, 889—891. О’Нейл (O’Neill B.) (1966) Elementary Differential Geometry. Academic Press. New York. О’Нейл (O’Neill B.) (1981) Semi-riemannian Manifolds. Academic Press. New York,
Литература 387 О’Салливэи (O’Sullivan J.) (1974) Manifolds without conjugate points. Math. Annalen 210, 295—311. Охаииан (Ohanian B.) (1976) Gravitation and Spacetime W. W. Norton. New York Палэ (Palais R. S.) (1957) On the differentiability of isometries. Proc. Amer. Math. Soc. 8, 805—807. Паркер (Parker P. E.) (1979) Distributional geometry. J. Math. Phys. 20 1423—1426. Патриа (Pathria R. K.) (1974) The Theory of Relativity. Second edition. Pergamon Press, Oxford. Пенроуз (Penrose R.) (1965) Gravitational collapse and space-time singularities. Phys. Rev. Lett. 14, 57—59. Пенроуз (Penrose R.) (1968) Structure of space-time in Battelle Recontres. Lectires in Mathematics and Physics ed. by de Witt С. M. and Wheeler J. A., Benjamin. New York, 121—235. (1972a) [Имеется перевод: Пенроуз P. Структура пространства-времени. — М.: Мир.) Пенроуз (Penrose R.) (19726) Techniques of Differential Topology in Relativity. Regional Conference Series in Applied Math. 7. SIAM. Philadelphia. Петров A. 3. (1961) Пространства Эйнштейна. — M.: Физматгиз. Пуанкаре (Poincare Н.) (1905) Sur les lignes geodesiques des surfaces convexes. Trans. Amer. Math. Soc. 6, 237—274. (1972) [Имеется перевод: О геодезических на выпуклых поверхностях. — В кн.: Избранные труды т. 2. —М.: Наука.] Раух (Rauch Н.) (1951) A contribution to differential geometry in the large. Ann. of Math. 54, 38—55. Рецлофф, Де-Фацио, Деннис (Retzloff D. G., DeFacio B., Dennis P.) (1981) A new mathematical formulation of accelerated observers in general rela- tivity. J. Math. Phys. Риан, Шепли (Ryan M. P., Shepley L. C.) (1975) Homogeneous Relativistic Cosmologies Princeton. Series in Physics. Prin- ceton University Press. Princeton New Jersey. Ринов (Rinow W.) (1932) Uber Zusammenhange der DifferentialgeoMetrie im Grossen und im Kleinen. Math. Z. 35, 512—528. Сакс, By (Sachs R. K., Wu H.) (1977a) General Relativity for Mathematicians. Grad. Texts in Math. 48. Springer Verlag. New York. Сакс, By (Sachs R. K., Wu H.) (19776) General Relativity and cosmology. Bull. Amer. Math. Soc. 83, 1101—1164. Cepp (Serre J. P.) (1951) Homologie singuliere des espaces fibres, applications. Ann. Math. 54,425—505- (1958) [Имеется перевод: Сингулярные гомологии расслоенных пространств — В кн.: Расслоенные пространства и их приложения. —М.: ИЛ.] Смит (Smith J. W.) (1960а) Fundamental groups on a Lorentz manifold. Amer. J. Math. 82, 873—890. Смит (Smith J. W.) (19606) Lorentz structure on the plane. Trans. Amer. Math. Soc. 95, 226—237. Спивак (Spivak M.) (1970) A Comprehensive Introduction to Differential Geometry vol. II Publish or Perish Press, Boston.
388 Jlumepainypa Стинрод (Steenrod N. E.) (1951) The Topology of Fibre Bundles. Princeton University Press. Princeton. New Jersey. (1953) [Имеется перевод: Стинрод H. Топология косых произведений.—М.: ИЛ.] Тауб (Taub А. Н.) (1951) Empty space-times admitting a Three parameter group of motions. Ann. of Math. 53, 472—490. Тауб (Taub A. H.) (1980) Space-times with distribution valued curvature tensors. Типлер (Tipler F.) (1977a) Singularities and causality violation. Ann. of Phys. 108, 1—36. Типлер (Tipler F.) (19776) Singularities in universes with negative cosmological constant. Astrophys. J. 209, 12—15. Типлер (Tipler F.) (1977b) Black holes in closed universes. —Nature 270e, 500—501. Типлер (Tipler F.) (1977г) Causally symmetric space-times. J. Math. Phys. 18, 1568—1573. Типлер (Tipler F.) (1978) General Relativity and conjugate ordinary differential equations. J. Diffe- rential Equations 30, 165—174. Типлер (Tipler F.) (1979) Existence of closed timelike geodesics in Lorentz spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 76, 145—147. Типлер, Кларке, Эллис (Tipler F., Clarke C. J. S., Ellis G. F. R.) (1980) Singularities and horizons. A review article in General Relativity and Gra- vitation. vol. 2 ed. A. Held. Plenum Press. New York, 97—206. Титс (Tits J.) (1955) Sur certaines classes d’espaces homogenes de groups de Lie, Memoir Belgian Academy of Sciences. Topn (Thorpe J.) (1969) Curvature and the Petrov canonical forms. J. Math. Phys. 10, 1—7. Topn (Thorpe J.) (1977a) Curvature invariants and space-time singularities. —J. Math. Phys. 18, 960—964. Topn (Thorpe J.) (19776) The observer bundle. Abstracts of contributed papers to the 8th Interna- tional General Relativity Congress 334. Томимацу, Сато (Tomimatsu A., Sato H.) (1973) New series of exact solutions for gravitational fields of spinning mass. Prog. Theor. Phys. 50, 95—110. Уайтхед (Whitehead J. H. C.) (1932) Convex regions in^the geometry of path. Quart. J. Math. Oxford Ser. 3, 33—42. Уайтхед (Whitehead J. H. C.) (1933) Convex regions in the geometry of paths. Addendum Quart. J. Math. Oxford Ser. 4 226__________227. Уайтхед (Whitehead J. H. C.) (1935) On the covering of a complete space by the geodesics through a point. Ann. of Math. 36, 679—704. Уилер (Wheeler J. A.) (1977) Singularity and unanimity. Gen. Rel. Grav. 8, 713—715. Улеибек (Uhlenbeck K-) (1975) A Morse theory for geodesics on a Lorentz manifold. Topology 14, 69—90. Уолкер (Walker A. G.) (1944) Completely symmetric spaces. J. Lond. Math. Soc. 19, 219—226.
Литература 389 Уолтер (Wolter F.-E.) (1979) Distance function and cut loci on a complete Riemannian manifold. Archiv. der Math. 32, 92—96. Фиган, Миллмаи (Fegan H., Millman R.) (1978) Quadrants of Riemannian metrics. Mich. Math. J. 25, 3—7. Фишер, Марсден (Fischer A. E., Marsden J. E.) (1972) The Einstein equations of evilution. A geometric approach. J. Math. Phys. 13, 546—568. Флаэрти (Flaherty F.) (1975a) Lorentzian manifolds of nonpositive curvature. Proc. Symp. Pure Math. 27, part 2. Amer. Math. Soc. 395—399. Флаэрти (Flaherty F.) (19756) Lorentzian manifolds of nonpositive curvature II. Proc. Amer. Math. Soc. 48, 199—202. Франкл (Frankel T.) (1979) Gravitational Curvature. W. H. Freeman. San Francisco Фрейденталь (Freudental H.) (1931) Uber die enden topologischer Raume und Gruppen. Math. Zeitschrift 33, 692—713. Фридландер (Friedlander F. G.) (1975) The Wave Equation on a Curved Spacetime. Cambridge University Press Cambridge Харрис (Harris S. G.) (1979) Some comparison theorems in the geometry of Lorentz manifolds. Thesis. University of Chicago. Харрис (Harris S. G.) (1982) A triangle comparison theorem for Lorentz manifolds. Indiana Math. J. 31, 289—308. Хартман (Hartman P.) (1964) Ordinary Differential Equations. Wiley. New York. (1970) [Имеется перевод: Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные урав- нения. — М.: Мир. ] Хелгасон (Helgason S.) (1962) Differential Geometry and Symmetric Spaces. Academic Press. New York. (1964) [Имеется перевод: Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симме- трические пространства. —М.: Мир.] Херман (Hermann R.) (1968) Differential Geometry and The Calculus of Variations. Academic Press. New York. Хикс (Hicks N. J.) (1965) Notes on Differential Geometry. D. Van Nostrand Princeton. New Jersey. Хирш (Hirsch M.) (1976) Differential topology. Grad. Texts in Math. 33. Springer-Verlag, New York. Хокинг (Hawking S. W.) (1967) The occurrence of singularities in cosmology III. Causality and singulari- ties. Proc. Roy. Soc. Lond. A300, 187—201. Хокинг (Hawking S. W.) (1968) The existence of cosmic time functions. Proc. Roy. Soc. Lond. A308, 433—435. Хокинг Hawking S. W.) (1971) Stable and generic properties in general relativity. Gen. Rel. Grav. 1, 393—400. Хокинг. Кинг, Маккартни (Hawking S. W., King A. R., McCarthy P. J.) (1976) A new topology for curved space-time which incorporates the causal, diffe- rential and conformal structures. J. Math. Phys. 17, 174—181. Хокинг, Пенроуз (Hawking S. W., Penrose R.) (1970) The singularities of gravitational collapse and cosmology. Proc. Roy. Soc. Lond. A314, 529—548.
390 Л umeparftypa Хокинг, Сакс (Hawking S. W., Sachs R. K-) (1974) Causally continuous space-times. Commun. Math. Phys. 35, 287—296. Хокинг, Эллис (Hawking S. W., Ellis G. F. R.) (1973) The Large Scale Structure of Space-time. Cambridge University Press. Cambridge. (1977) [Имеется перевод: Хокииг С., Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-времени. —М.: Мир.] Хопф, Ринов (Hopf Н., Rinow W.) (1931) Uber den Begriff des vollstandigen differentialgeometrischen Flache. Com- ment. Math. Helv. 3, 209—225. Хопф (Hopf E.) (1948) Closed surfaces without conjugate points. Proc. Nat. Acad. Sci. 34, 47—51. Чигер, Громол (Cheeger J., Gromoll D.) (1971) The splitting theorem for manifolds of nonnegative Ricci curvature. J. Diff. Geo. 6, 119—128. Чигер, Громол (Cheeger J., Gromoll D.) (1972) On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature. Ann. Math. 96, 413—433. Чигер, Эбин (Cheeger J., Ebin D.) (1975) Comparison Theorems in Riemannian Geometry. North-Holland, Amsterdam. Шмидт (Schmidt B. G.) (1971) A new definition of singular points in general relativity. Gen. Rel. Grav. 1, 269—280. Шмидт (Schmidt B. G.) (1973) The local b-completeness of space-times. Commun. Math. Phys. 29, 49—54. Шоке-Бруа, Фишер, Марсден (Choquet-Bruhat Y., Fischer A. E., Marsden J. E.) (1979) Maximal hyperfaces and positivity of mass. Il nuovo cimento. Эберлейн (Eberlein P.) (1972) Product manifolds that are not negative space forms. Mich. Math. J. 19, 225—231. Эберлейн (Eberlein P.) (1973) When is a geodesic flow of Anosov type I. J. Diff. Geo. 8, 437—463. Эберлейн, О’Нейл (Eberlein P., O’Neill B.) (1973) Visibility manifolds. Pacific J. Math. 46, 45—109. Эверсон, Толбот (Everson J., Talbot C. J.) (1976) Morse theory on timelike and causal curves. Gen. Rel. Grav. 7, 609—622. Эверсон, Толбот (Everson J., Talbot C. J.) (1978) Erratum: Morse theory on timelike and causal curves — Gen. Rel. Grav. 9, 1047. Эйнштейн (Einstein A.) (1916) Die Grundlage der allgemeinen Relativitatstheorie. Annalen der Phys. 49, 769—822. (1966) [Имеется перевод: Эйнштейн А. Собрание научных трудов. М.: Наука, т. 2.) Эйнштейн (Einstein А.) (1953) The Meaning of Relativity. Fouth edition. Princeton University Press. Princeton. New Jessey. (1955) [Имеется перевод: Эйнштейн А. Сущность теории относительности. — М.: ИЛ.] Эллис, Шмидт (Ellis G. F. R., Schmidt В. G.) (1977) Singular space-times. Gen. Rel. Grav. 8, 915—953. Эресман (Ehresmann C.) (1951) Les connexions infinitesimales dans un espace fibre differentiable. Colloque de Topologie (Espaces Fibres). Bruxelles 1950. Masson. Paris. 29—55. Эрлих (Ehrlich P. E.) (1974) Metric deformations of curvature I: local convex deformations. Geometriae Dedicate 5, 1—24.
Литература 391 Эрлих (Ehrlich Р. Е.) (1976а) Continuity properties of the injectivity radius function. CompositioMath. 29, 151 — 178. Эрлих (Ehrlich P. E.) (19766) Metric deformations of curvature II: compact 3-manifolds. Dedicata 5, 147—161. Эшенбург (Eschenburg J.—H.) (1975) Stabilitatsverhalten des Geodatischen Fliisses Riemannscher tigkeiten. Thesis. Bonn University, 1975. Эшенбург, О’Салливэн (Eschenburg J.-H.. O’Sullivan J.) Geometriae Mannigfal- (1976) Growth of Jacobi fields and divergence of geodesics. Math, zeitschrift 150, 221—237.
ИМЕННОМ УКАЗАТЕЛЬ Авез (Avez А.) 37, 130, 250, 296 Адамар (Hadamard J.) 293, 294, 304, 306 Александров А. Д. 15, 32 Андерсон (Anderson J. L.) 381 Арцела (Arzela С.) 39, 41 Ауслендер (Auslander L.) 381 Берже (Berger М.) 199 Бёлтс (Bolts G.) 56, 226, 227, 229, 236, 238, 239, 263, 265, 269, 270, 272, 273, 276, 277, 280, 281, 284, 315, 318, 323, 326, 332, 336, 340, 341 Бим (Веет J. К.) 9, 10, 20 45, 51, 55, 70—72, 86, 89, 92, 96, 97, „ 99, 101, 103, 127, 133, 135, 136, 141, 146, 155, 158, 179, 189, 198, 200, 202, 208, 218, 227, 236, 250, 263, 265, 294, 296, 299, 316, 344 Биркгоф (Birkhoff G. D.) 160 Бишоп (Bishop R. L.) 9, 23, 57, 58, 89, 302 326 Бойер (Boyer R. Н.) 114, 115 Бонди (Bondi Н.) 382 Бонне (Bonnet О.) 293, 294, 296, 298 Боссхард (Bosshard В.) 141 Брилл (Brill D.) 382 Буземан (Busemann Н.) 39, 48, 71, 117, 139, 140, 171, 198 Буняковский В. Я. 272 Бьюдик (Budic R.) 31, 209 Бэр (Baire R.) 253 Вудхауз (Woodhaus N. M. J.) 10, 227, 251, 252 Галливер (Gulliver R.) 305 Галлоуэй (Galloway G.) 383 Гаусс (Gauss C. F.) 89, 237, 238, 239, 276, 309 Герок (Geroch R. P.) 13, 20, 22, 23, 36, 37, 65, 66, 128, 133, 135— 138, 141, 143, 157—160, 168, 250, 349 Гессе (Hesse O.) 75 Гёбель (Gobel R.) 92 Грейвс (Graves L.) 362 Грин Л. (Green L. W.) 320 Грин P. (Green R. E.) 383 Громол (Gromoll D.) 9, 104, 177, 217, 227, 236—238, 245, 299, 302 Дайцер (Dajczer M.) 316 Дефацио (DeFacio B.) 387 Деннис (Dennis P.) 387 Джонсон (Johnson R. A.) 141 Додсон (Dodson С. T. J.) 141 Евклид 160 Ердли (Eardley D. M.) 384 Зейферт (Seifert H.-J.) 35, 37, 130, 134 Зиман (Zeeman E. C.) 92 Вейнберг (Weinberg S.) 382 Вольф (Wolf J. А.) 91, 115, 118, 119, 126, 377 Вонг (Wang Н.-С.) 117; 119 Вроньский (Hoene-Wronski J.) 281 By (Woo Р. Y.) 51 By (Wu H.) 36, 76, 107, 128 Картан (Cartan E.) 293 294, 304, 306 Картер (Carter B.) 33, 37, 38 Казн (Cahen M.) 384 Келли (Kelly J. L.) 253 Kepp (Kerr R. P.) 107, 108, 112, 114 Киконе (Chicone C.) 325
Именной указатель 393 Киллинг (Killing W.) 61, 113 Кинг (King A. R.) 95 Кларке (Clarke С. J. S.) 127, 128, 132, 134, 142, 146, 151, 252, 309 Клингенберг (Klingenberg W.) 9, 91, 104, 199, 216, 217, 227, 236—238, 245 299 302 Кобаяси (Kobayashi S.) 50, 96, 132, 202, 217, 221 Кон-Фоссен (Cohn-Vossen S.) 177 Коши (Cauchy А.) 11, 20, 22, 36, 48, 65, 67, 69, 70, 91, 121, 138, 139, 141, 159, 169, 189, 190, 193, 255, 257, 260, 272, 308, 316, 343, 344, 346, 372 Криттенден (Crittenden R.) 9, 89, 251 302 326 Кристоффель (Chrisoffel Е. В.) 97, 161, 162, 232, 360, 363, 365, 367—369 Кронхеймер (Kronheimer Е. Н.) 15, 128, 143 Крускал (Kruskal М. D.) 108, 113, 114 Кулкарни (Kulkarni R. S.) 126, 362 Кундт (Kundt W.) 20, 133 22, 78, 86, 87, 96, 97, 99, 100, 101, 107, 108—112, 115, 116, 121, 128, 131, 133, 137, 140— 142, 149, 150 164, 185, 192, 195, 203 205, 214, 215, 252, 301, 303, 307, 311, 341, 351 Монкриф (Moncrief V.) 386 Морроу (Morrow J.) 127 Морс (Morse М.) 9, 10, 21, 91, 223, 225, 226, 227, 232, 241, 242, 245, 247, 250—255, 259, 261, 263, 265, 284, 289, 292, 294, 298, 306 Номидзу (Nomizu К-) 12, 20, 50, 96, 126, 127, 132, 134, 316, 362 Нордстрем (Nordstrom G.) 16, 82, 112, 189, 190 Одзекн (Ozeki Н.) 12, 20, 127, 134 О’Нейл (O’Neil В.) 23, 54, 57, 58, 80, 177, 349 О'Салливэн (O'Sullivan J.) 277, 281, 305, 315, 320 Оханиан (Ohanian В.) 387 Леви-Чивита (Levi-Civita Т.) 17, 72, 97, 228, 355, 360 Лернер (Lerner D. Е.) 157—159, 169, 207, 344 Ли (Lee К. К.) 58, 93, 108, 122— 126, 251, 316, 358 Линдквист (Lindqust R. W.) 114, 115 Липшиц (Lipschitz R.) 39, 40, 81, 160, 162 Лоренц (Lorenz Е. N.) 10, 34, 51, 53, 58, 75, 81, 98, 146, 149, 199, 223, 227, 293, 304, 305, 377 Майерс (Myers S. В.) 92, 177, 226, 293, 294, 296, 298) Маккарти (McCarthy R. J.) 95 Манкрс (Munkres J. R.) 41 Марате (Marathe К.) 13 Маркус (Marcus L.) 24 Марсден (Marsden J. Е.) 9, 118, 372 Мейер (Meyer W.) 9, 104, 217, 227, 236—238, 245, 299, 302 ч Мизнер (Misner С. W.) 120, 134, 370, 371, 373 Миллер (Miller J. G.) 386 Миллиан (Millman J.) 127 Милнор (Milnor J.) 122, 124, 125, 225, 226, 252, 253, 255, 257, 306 Минковский (Minkowski Н.) 19, 20, Палэ (Palais R. S.) 92 Паркер (Parker Р. Е.) 359 Патриа (Pathria R. К.) 113 Пауэлл (Powell Т. G.) 72 Пенроуз (Penrose R.) 15, 29, 31, 32, 38, 44, 47, 81, 89, 90, НО, 112, 128, 130, 143, 182—184, 190, 193, 209, 210, 238, 315, 316, 342— 344, 346, 348, 357 Петров А. 3. 387 Постон (Poston Т.) 384 Прайс (Price Т. G.) 115 Пуанкаре (Poincare Н.) 199, 201 Райсснер (Reissner G.) 16, 82, 112, 189, 190 Райчаудхури (Raychaudhuri А. К.) 296, 299, 312—314, 317, 323—325, 329 Раух (Rauch Н.) 199, 294, 299, 301— 303, 375, 376, 379 Рецлофф (Retzloff D. G.) 387 Риан (Ryan М. Р.) 387 Риман (Riemann В.) 58, 117, 118, 122, 232, 360, 362, 365, 367, 368 Ринов (Rinow W.) 12, 19, 20, 40 , 43, 65, 68, 103, 118, 119, 127, 138, 139, 177, 181, 293 Риччи (Ricci G.) 27, 58, 66, 74—77, 157, 193, 214, 226, 293, 294, 316, 355, 360—362, 370, 371, 372
394 Именной указатель Робертсон (Robertson М.) 22, 23, 67, 107, 108, 117, 120, 121, 156— 158, 160, 163, 169, 170, 171, 174—176, 215, 350, 353, 373 Рота (Rota G.-C.) 160 Салли (Sulley L. J.) 384 Сакс (Sachs R. К.) 30, 31, 36, 37 76, 107, 128, 209 Сард (Sard А.) 252, 253 Сато (Sato Н.) 115 Серр (Serre J. Р.) 261 де Ситтер (de Sitter F.) 59, 76, 115, 116, 117, 129, 192, 210, 377 Смарр (Smarr L.) 384 Смит (Smith J. W.) 250 Спивак (Spivak M.) 73, 212 Стинрод (Steenrod N. E.) 23, 92 Тауб (Taub A. H.) 359 Типлер (Tipler F.) 9, 30, 91, 142, 293—295, 309, 325, 374 Титс (Tits J.) 117 Толбот (Talbot C. J.) 10, 227, 251, 252 Томимацу (Tomimatsu A.) 115 Топоногов B. A. 299, 375, 378 Торп (Thorpe J.) 120, 203, 370, 371, 373 Уайтхед (Whitehead J. H. C.) 11, 28, 199 Уилер ’ (Wheeler J. A.) 120, 293, 295, 370, 371, 373 Уленбек (Uhlenbeck K.) 10, 226, 227, 251, 252, 257, 260, 261, 263, 296, 307 Уокер (Walker A. G.) 22, 23, 67, 108, 117, 120, 121, 156—158, 160, 163, 169, 170, 171, 174, 175, 176, 215, 350, 353, 373 Уолтер (Wolter F.-E.) 208 Ферми (Fermi E.) 288 Фиган (Fegan H.) 127 Фишер (Fischer A. E.) 9, 372 Флаэрти (Flaherty F.) 250, 296, 297, 302, 304, 307 Франкл (Frankel T.) 316, 370 Фрейденталь (Freudental H.) 189 Фридландер (Friedlander F. G.) 389 Фридман A. A. 192, 200, 210, 215, 262, 295, Xaap (Haar A.) 122, 123 Харрис (Harris S. G.) 296, 299, 362, 375, 379, 380 Хартман (Hartman P.) 50 Хаусдорф (Hausdorff F.) 39 Хелгасон (Helgason S.) 9, 122 , Херман (Hermann R.) 56, 57 Хикс (Hichs N. J.) 9, 28, 65 Хирш (Hirsch M.) 253 Хокинг (Hawking S. W.) 9, 10, 28, 30, 31, 33, 35—38, 41, 42, 45, 73, 76, 81, 82, 84, 88, 89, 95, 108, 110, 114, 116, 117, 121, 122, 128, 132, 134, 136, 138, 141, 142, 146, 147, 156, 170, 193, 207, 210, 214, 215, 226, 229, 236, 263, 265, 272, 273, 276, 277, 283, 284, 286, 296, 299, 315, 316, 323, 332, 340—344, 346, 348— 351, 370—373, 377 Хопф (Hopf H.) 12, 19, 20, 40, 43, 68, 103, 118, 119, 127, 138, 139, 177, 181, 293, 320 Хоровиц (Horowitz G. T.) 37 Чигер (Cheeger J.) 57, 84, 177, 229, 251, 296 299, 316, 362, 375, 378 Шварц (Schwarz H.) 272 Шварцшильд (Schwarzschild K.) 22, 23, 107, 108 112—114, 132, 371 Шепли (Shepley L. C.) 387 Шмидт (Schmidt B. G.) 127, 128, 132, 136, 147, 157 Шоке-Брюа (Choquet-Bruhat Y.) 9 Эберлейн (Eberlein P.) 177 Эбин (Ebin D. G.) 57, 84, 229, 251, 296, 299, 316, 372, 375, 378 Эверсон (Everson J.) 10, 227, 251, 252 Эйнштейн (Einstein A) 22, 76, 78, 79, 112—114, 117, 121, 132, 161, 192, 197, 210 214, 215, 218, 219, 220, 222, 223, 316, 353. 370, 371, 374 Эллис (Ellis G. F. R.) 9, 10, 28, 33, 36, 38, 41, 42, 45, 73, 76, 81, 82, 84, 88, 89, 108, 110, 114, 116, 117, 121, 122, 127, 128, 132, 134, 136, 138, 141, 142, 146, 147, 151, 156, 170, 193, 207, 210, 214, 215, 226, 229, 236, 263, 265, 272, 273, 276, 277, 283, 284 , 286, 296, 299, 309, 315, 316, 323, 332, 340— 343, 348, 350, 351, 370—373, 377 Эресман (Ehresmann C.) 390 Эрлих (Ehrlich P. E.) 9, 10, 70, 72, 86, 89, 99, 101, 103, 158, 179, 189, 200, 202, 208, 218, 227, 236, 250, 263, 265, 294, 296, 299, 316, 325, 344 Эшенбург (Eshenburg J.-H.) 277, 281, 315, 320 Якоби (Jacobi C.) 224, 226, 228, 232, 233, 264, 268, 269, 279, 281, 309, 310, 319, 326, 375
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Адаптированные координаты 163 Аффинная связность 355 Аффинный параметр 27, 357 ----обобщенный 137 Ахрональное подмножество 193 ----ловушечное (trapped) для бу- дущего 193 Будущее причинное 13, 29 — хронологическое 13, 29 Вариация кривой 229 ----кусочно-гладкая 229 ----собственная 229 Вектор времениподобный 23 — изотропный 23 — непространственноподобный 23 — пространственноподобный 23 Векторное поле 356 ----вариации 223, 231, 284 ---- времениподобное 23 ----кусочно-гладкое 227 Внешний шар 87 Времениподобная 2-плоскость 296 Вронскиан 281 Вторая фундаментальная форма 56 Геодезическая 27, 356 — времениподобная 30 ---- нормальная 299 — неполная 132 ----в будущем 132 ----в прошлом 132 — полная 132 прямая непространственноподобная 190 Геодезический луч (непространствен- ноподобный), направленный в бу- дущее 185 -------в прошлое 185 — сегмент минимальный 12 Гладкая кривая времениподобная 27 ---- изотропная 27 ----непространственноподобная 27 ----пространственноподобная 27 Гомотетия 60 Горизонт Коши в будущем (horison) 193 Градиент 302 Граница причинная 351 Граничная точка гладкая 351 ------- времениподобная 351 ------- изотропная 351 -------пространственноподобиая 351 Группа изотропная 118 Диаграмма Пенроуза 112 Диаметр времениподобный 292, 294 Допустимая кусочно-гладкая вариа- ция 273 Естественный базис 357 Жидкость идеальная 373 Замкнутая ловушечная (trapped) по- верхность 342 Изотропная геодезическая прямая 192 Изотропный геодезический луч 195 Индекс времениподобной геодезиче- ской 242 — геодезической 289 Индексная форма 228 Искривленное произведение (warped) 22, 57 Канонический изоморфизм 236 Квазииндекс геодезической 289 — времениподобной геодезической 242
396 Предметный указатель Класс векторов, направленных в бу- дущее 13, 24 -------в прошлое 13, 24 Клеточный комплекс 226 Контур (horismos) будущего 193, 345 — прошлого 345 Конформное представление окрестно- сти 351 Концевая точка (endpoint) 33 ----в будущем 33 Координаты нормальные 28 Кривая, захваченная (imprisoned) в бу- дущем 33 Кривизна 358 — плоскости (изотропная секционная) относительно вектора 379 — Риччи 360 — секционная 361 — скалярная 361 Критическое значение 253 Лагранжево тензорное поле 281, 310 Ловушечное (trapped) множество 342 Лоренцева метрика 23 Лоренцево многообразие 23 ---- глобально гиперболическое 377 ----ориентируемое во времени 13, 24 — произведение 58 ---- искривленное 58 Максимальная кривая 89 Метрика биинвариантная 122 — левоинвариаптная 122 — правоинвариантная 122 — Ривди-плоская 371 Минимальная кусочно-гладкая кри- вая 12 Многообразие, ориентируемое во вре- мени 23 Множество второй категории 253 — будущего 142 ------ граничное (terminal) неразложи- мое (indecomposable) 142 - ----неразложимое 142 — времениподобного раздела в буду- щем 206 ---------- для точки 206 — изотропного раздела в будущем 209 ------- в прошлом 209 — непространственноподобного раз- дела в будущем 209, 215 •---------в прошлом 215 — ловушечное для будущего 342, 345 ---для прошлого 342, 345 — односвязное в будущем 250 -s- прошлого 142 ---граничное неразложимое 142 ---неразложимое 142 Множествозначная функция внешне непрерывная 31 --- внутренне непрерывная 31 Наидлиннейшая непространственно- подобная кривая 200 Неособенная 2-плоскость 296 Непродолжаемая непространственно- подобная кривая 33 ------- захваченная 33 Непродолжаемость 32 Непространственноподобная кривая максимальная 18 ----непродолжаемая в будущее 33 -------в прошлое 33 Область (development) Коши 343 ----будущего 193, 343 ----прошлого 343 Ограниченное ускорение (bounded acce- leration) времениподобной кривой 136 Окрестность адаптированная нормаль- ная 164 — выпуклая 28 — — нормальная 28 Оператор второй фундаментальной фор- мы 56 Отображение гомотетично преобразу- ющее расстояние 92 — экспоненциальное 27 Параллельный перенос 356 Плоское сечение 361 ----невырожденное 361 Плоскость времениподобная 362 Поверхность Коши 36 Подмногообразие вполне геодезическое 57 — времениподобное 55, 104 — геодезическое 57 — невырожденное 55 — пространственноподобное 55 Ь-полнота 136 Последовательность, расходящаяся к бесконечности 177 — выделяющая (distinguishing) кри- вую 38 Предгеодезическая 357 — изотропная 50 — полная 357 •Предельная кривая 38 - .
Предметный указатель 397 Преобразование гомотетическое соб- ственное 96 Причинная структура 13 Причинно выпуклое открытое множе- ство 31 Причинное прошлое 29 Пространство-время 24, 227 — времениподобно геодезически непол- ное 70, 133 ------- полное 132 ---Коши-полное 139 — геодезически полное 133 --- сингулярное 133 z— глобально гиперболическое 18, 36, 227 — де Ситтера 115 — изотропно геодезически неполное 133 -------полное 133 — — полное 133 — конечно компактное 140 — максимальное 128 — неполное 136 Пространство-время непространствен- ноподобно геодезически непол- ное 133 --- полное 132 --- полное 19 — нерасширяемое (inextendible) 128 — односвязное в будущем 294 — плоское 107 — полное 136 — 6-полное 138 — о. у полное 136 — причинно простое 36 — причинно разделяемое (disconnec- ted) 179 -------компактным множеством 178, 189 — причинное 14 — пространственноподобное геодези- чески полное 132 -------неполное 70, 133 --- полное 19 — различающее (distinguishing) 30 ---причинно непрерывное 30 — Робертсона—Уокера 120 — сильно причинное 31 -------в точке 31 — сингулярное 19 — устойчиво причинное 34 — хронологическое 14, 29 Псевдориманова метрика 359 Расстояние хаусдорфоео 171 Расхождение (expansion,) 311, 313 Расширение кривой локальное Ь-гра- ничное 146 — лоренцева многообразия 146 ------- локальное 146 Расширение пространства-времени 128 Регулярная граничная точка 150 Риманова метрика полная 12 Риманово многообразие двухточечное однородное 117 --- изотропное 118 ------- в точке 118 --- однородное 117 ' ---полное 12 Свойство конформно устойчивое 159 — устойчивое 159 Связность без кручения (симметрич- ная) 358 — Леви—Чивита 360 Сингулярность кривизны 151 — почти регулярная 151 Сопряженная точка геодезического сег- мента 228 Сопряженные точки 271 Тензор вращения (vorticity) 311, 313 — кривизны 27, 358 — кручения 358 — Римана—Кристоффеля 360 — Риччи 361 — сдвига (shear) 311, 313 Тонкая Сг-топология 34 Топология Александрова 32 — интервальная 158 СО-топология на кривых 44 Точка изотропного раздела 209 — критическая 253 Точка непространственноподобно со- пряженная в будущем 218 — раздела 199 ----в будущем 207 Точки, времениподобно сопряженные в будущем 305 Уравнение Райчаудхури 312, 314 Условие времениподобного схождения (convergence) 315 — изотропного схождения 315 — конечности расстояния 18, 82, 102 — типовое (generic) 74, 315 — энергетическое 316 ----сильное 74, 315, 316 ---- слабое 316
398 Предметный указатель Фактортопология 158 Фокальная точка 325, 340, 375 ---- гиперповерхности 328 Функционал энергии 272 Функция искривляющая (warped) 58 — расстояния глобальная 35 ---- локальная 99 — времени Кении 37 — Морса 253 Хрэиологическое прошлое 29 Цепь времениподобная 254 — допустимая 164 Энергия кривой 272 Хаусдорфов предел верхний 39 ----замкнутый 39 ----нижний 39 Ядро тензорного поля 278 Якобиев класс 269 Якобиево поле 228 •----тензорное 279, 309
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к русскому изданию 5 Предисловие 7 Глава 1. Введение: римановы мотивы в лоренцевой геомет- рии 10 Глава 2. Лоренцевы многообразия и причинность 22 2.1. Лоренцевы многообразия и нормальные выпуклые окрестности .......................................... 23 2.2. Теория причинности пространства-времени 28 2.3. Предельные кривые и С°-топология на кривых . . . . 38 2.4. Двумерное пространство-время . 48 * 2.5. Вторая фундаментальная форма . ........... 55 2.6. Искривленные произведения . . 57 Глава 3. Лоренцево расстояние 80 3.1. Основные понятия и определения................... 80 3.2. Изометрические и гомотетическне отображения .92 3.3. Лоренцева функция расстояния н причинность . . 98 Глава 4. Примеры пространственно-временных многообразий 107 4.1. Пространство-время Минковского 108 4.2. Пространства Шварцшильда и Керра . . 112 4.3. Пространства постоянной кривизны . •............ 115 4.4. Пространства Робертсона—Уокера . . .... 117 4.5. Биинвариантные лоренцевы метрики на группах Ли . . 122 Г лава б. Полнота и расширения 127 5.1. Существование максимальных геодезических сегментов 128 5.2. Геодезическая полнота .... .................. 131 5.3. Метрическая полнота............................ 138 5.4. Идеальные границы . ........... 141 5.5. Локальные расширения . ........... 145 5.6. Сингулярности кривизны .............. . 150 Глава 6. Устойчивость пространств Робертсона—Уокера 156 ’’’ 6.1. Устойчивые свойства Lor (Л4) и Con (Л4).......... 158 6.2. С-топология и системы геодезических....... . 160 6.3. Устойчивость геодезической неполноты пространств Робертсона—Уокера..................................... 163
400 Оглавление Глава 7. Максимальные геодезические й причинно разделяе- мые пространственно-временные многообразия 177 7.1. Почти максимальные кривые и максимальные геодези- ческие .............................................. 179 7.2. Непространственноподобные геодезические лучи в силь- . но причинных пространствах......................... 185 7.3. Причинно разделяемые пространственно-временные мно- гообразия и непространственноподсбные геодезические прямые................................. . . 189 Глава 8. Лоренцево множество раздела 199 8.1. Множество времениподобного раздела 202 8.2. Множество изотропного раздела...................... 203 8.3. Множество непространственноподобного раздела ... 215 Глава 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообра- зий 223 9.1. Теория Морса для времениподобных геодезических . 227 9.2. Пространство времениподобных путей глобально ги- перболического пространства-времени.................. 252 9.3. Теория Морса для изотропного индекса .... 263 Глава 10. Некоторые результаты в глобальной лоренцевой геометрии 293 10.1. Времениподобный диаметр........................... 294 10.2. Лоренцевы теоремы сравнения....................... 299 10.3. Лоренцевы теоремы Адамара—Картана................. 304 Г лава 11. Сингулярности 308 11.1. Якобиевы тензоры.................................. 309 11.2. Типовое и сильное энергетическое условия . . . . 315 11.3. Фокальные точки.................. . . . 325 11.4. Существование сингулярностей . 344 11.5. Гладкие границы ... 350 Добавление А. Связности и кривизна 355 А.1. Аффинные связности........ . . 355 А.2. Псевдорпмановы многообразия . . 359 А.З. Изотропная кривизна Риччи в двумерных многообра- зиях ................................................... 362 Добавление Б. Типовое условие 364 Добавление В. Уравнения Эйнштейна 370 В.1. Тензор энергии-импульса и уравнения Эйнштейна . . . 370 В.2. Сильное энергетическое условие и тензор энергии- импульса ......................................... 372 В.З. Идеальная жидкость................................. 373 Добавление Г. Якобиевы поля и теорема Топоногова для ло- ренцевых многообразий 375 Литература ........................................... 381 Именной указатель.............................. .... 392 Предметный указатель.................................... 395