/
Author: Бурдаков В.П.
Tags: тепло термодинамика физика серия высшее образование учебное пособие для вузов издательство дрофа авиаций ракетно космическая отрасль законы термодинамики
ISBN: 978-5-358-06127-9
Year: 2009
Text
ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ
СОВРЕМЕННЫЙ УЧЕБНИК
ТЕРМОДИНАМИКА
ОСНОВНОЙ КУРС
Часть 1
Допущено Учебно-методическим объединением высших
учебных заведений Российской Федерации по образованию
в области авиации, ракетостроения и космоса в качестве
учебного пособия для студентов высших учебных заведений РФ,
обучающихся по направлению подготовки дипломированного
специалиста 160300 «Двигатели летательных аппаратов»
и специальности 160304 «Авиационная и ракетно-космическая
теплотехника»
МОСКВА
профа
2009
УДК 536(075.8)
ББК 22.317я73
Б91
Рецензенты:
кафедра теплотехники и тепловых двигателей
Самарского государственного аэрокосмического
университета им. С. Л. Королева
(зам. зав. кафедрой д-р техн, наук, проф. В. В. Бирюк);
д-р техн, наук, проф. В. Н. Кобельков
(Военно-воздушная инженерная академия
им. проф. Н. Е. Жуковского)
Бурдаков, В. П.
Б91 Термодинамика : учебное пособие для вузов. В 2 ч. /
В. Л. Бурдаков, Б. В. Дзюбенко, С. Ю. Меснянкин,
Т. В. Михайлова. — М. : Дрофа, 2009.
ISBN 978-5-358-06127-9
Ч. 1. Основной курс. — 479, [1] с. : ил.
ISBN 978-5-358-06031-9 (ч. 1)
Фундаментально изложены основные законы термодинамики и ме-
тоды термодинамического расчета различных процессов и систем с иде-
альными и реальными веществами. Подробно рассмотрены термодина-
мические особенности практически всех известных в настоящее время
двигателей летательных аппаратов и энергетических установок.
Книга хорошо иллюстрирована, в ней приведены исторические све-
дения, тематически подобранные задачи с решениями и комментария-
ми, а также справочный материал, необходимый в практической дея-
тельности.
Для студентов, аспирантов и преподавателей вузов, а также
научных работников и инженеров авиационной и ракетно-космичес-
кой отраслей.
УДК 536(075.8)
ББК 22.317я73
ISBN 978-5-358-06031-9 (ч. 1)
ISBN 978-5-358-06127-9
© ООО «Дрофа», 2009
Оглавление
Введение
Глава 1.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
1.16.
1.17.
Глава 2.
2.1.
2.2.
2.3.
Глава 3.
3.1.
3.2.
Глава 4.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
......................................... 7
Основные понятия и определения
Предмет и метод термодинамики .......... 17
Термодинамическая система................ 18
Термодинамическое рабочее тело........... 23
Термодинамическое состояние.............. 26
Термодинамические силы................... 27
Параметры термодинамического состояния... 28
Уравнения состояния...................... 33
Проявление межмолекулярных сил........... 35
Термические уравнения состояния идеального
газа..................................... 37
Термические уравнения состояния реальных
газов.................................... 39
Термодинамические процессы............... 50
Смеси идеальных газов.................... 52
Формы движения и виды энергии............ 54
Внутренняя и внешняя энергии............. 55
Энтальпия................................ 59
Способы энергомассообмена................ 59
Классификация термодинамических параметров . 61
Задачи и их решение...................... 62
Первый закон термодинамики
Краткая историческая справка............. 71
Математическая формулировка.............. 73
Различные выражения первого закона
термодинамики............................ 75
Задачи и их решение...................... 79
Приложения первого закона термодинамики
к процессам в идеальных газах
Теплоемкость............................. 80
Политропные процессы..................... 88
Задачи и их решение......................108
Второй закон термодинамики
Сущность второго закона термодинамики....115
Изменение энтропии в термодинамических
процессах................................117
Формулировки второго закона термодинамики . . 121
Гипотеза о «тепловой смерти» Вселенной...123
Задачи и их решение......................125
Q
Оглавление
Глава 5. Объединенные выражения для первого
и второго законов термодинамики
и соотношения, получаемые из них
5.1. Различные формы записи объединенных
уравнений.....................................127
5.2. Характеристические функции
и дифференциальные соотношения
в термодинамике...............................131
5.3. Дифференциальные уравнения состояния.....135
5.4. Соотношения между изобарной и изохорной
теплоемкостями................................138
5.5. Дифференциальные уравнения внутренней
энергии, энтальпии и энтропии.................140
Задачи и их решение......................145
Глава 6. Термодинамическое равновесие
и фазовые переходы
6.1. Краткие сведения о равновесии............147
6.2. Условия равновесия однородных систем.....148
6.3. Условия равновесия неоднородных систем...153
6.4. Фазовые переходы.........................154
Задачи и их решение......................167
Глава 7. Термодинамика реальных газов и паров
7.1. Основные понятия.........................169
7.2. Получение водяного пара..................170
7.3. Процесс парообразования при постоянном
давлении.................................171
7.4. ри-Диаграмма водяного пара...............173
7.5. Основные параметры воды и водяного пара .... 176
7.6. Таблицы водяного пара....................185
7.7. Тз-диаграмма водяного пара...............188
7.8. hs-Диаграмма водяного пара...............191
7.9. Основные термодинамические процессы
с водяным паром..........................196
Задачи и их решение......................203
Глава 8. Влажный воздух
8.1. Основные понятия.........................209
8.2. Расчет основных характеристик влажного
воздуха..................................211
8.3. Удельная газовая постоянная и плотность
влажного воздуха.........................214
4
Оглавление
8.4. Теплоемкость и энтальпия влажного воздуха ... 215
8.5. hd-Диаграмма влажного воздуха.............217
8.6. Основные процессы с влажным воздухом......220
Задачи и их решение.......................223
Глава 9. Термодинамика потоков
жидкости и газа
9.1. Вводные замечания.........................227
9.2. Основные уравнения процессов течения......228
9.3. Закономерности течения....................232
9.4. Частные случаи движения идеального газа...241
9.5. Параметры торможения......................246
9.6. Уравнение скорости адиабатного потока.....248
9.7. Истечение газа из сосуда неограниченной
емкости........'..........................250
9.8. Истечение реальных газов и паров..........258
9.9. Истечение с учетом трения.................260
9.10. Дросселирование газов и паров.............262
Задачи и их решение.......................275
Глава 10. Процессы в машинах для сжатия
и расширения газа
10.1. Классификация машин.......................283
10.2. Принципиальные схемы компрессоров.........285
10.3. Работа одноступенчатого поршневого
компрессора...............................289
10.4. Работа одноступенчатого центробежного
компрессора...............................293
10.5. Многоступенчатый компрессор...............295
10.6. Детандеры.................................298
Задачи и их решение.......................300
Глава 11. Термодинамические циклы
11.1. Прямые и обратные циклы...................303
11.2. Эффективность обратимых циклов............307
11.3. Цикл Карно................................308
11.4. Обратный цикл Карно.......................312
11.5. Циклы поршневых двигателей внутреннего
сгорания..................................314
11.6. Циклы газотурбинных установок.............335
11.7. Циклы реактивных двигателей...............349
11.8. Двигатели с внешними источниками энергии . . . 387
5
Оглавление
11.9. Оценка эффективности различных тепловых
двигателей.............................. 392
Задачи и их решение..................... 398
Глава 12. Циклы паросиловых установок
12.1. Принцип действия и устройство паросиловой
установки............................... 403
12.2. Паровой цикл Карно...................... 404
12.3. Цикл Ренкина............................ 406
12.4. Цикл с промежуточным перегревом пара..... 414
12.5. Регенеративный цикл паротурбинной
установки............................... 417
12.6. Бинарные циклы.......................... 419
12.7. Циклы парогазовых установок............. 424
12.8. Циклы ядерных энергетических установок .... 427
Задачи и их решение..................... 430
Глава 13. Безмашинное преобразование энергии
13.1. Классификация и эффективность процессов
преобразования.......................... 433
13.2. Топливные элементы...................... 435
13.3. Термоэлектрические генераторы........... 438
13.4. Солнечные батареи....................... 441
13.5. Термоэлектронный генератор.............. 442
13.6. Энергетические установки
с МГД-генераторами...................... 445
Задачи и их решение..................... 450
Глава 14. Циклы холодильных машин
и теплового насоса
14.1. Классификация холодильных машин......... 451
14.2. Цикл воздушной холодильной машины........ 452
14.3. Цикл парокомпрессионной холодильной
установки............................... 455
14.4. Цикл пароэжекторной холодильной
системы................................. 457
14.5. Цикл абсорбционной холодильной установки. . . 459
14.6. Термоэлектрическая холодильная установка .. . 460
14.7. Вихревая труба.......................... 462
14.8. Тепловой насос.......................... 463
Задачи и их решение..................... 466
Основные условные обозначения..................... 469
Приложение........................................ 473
Памяти нашего учителя,
заслуженного деятеля нау-
ки и техники РСФСР, про-
фессора Валентина Кон-
стантиновича Кошкина
Введение
В современном мире существует около 1000 научных дис-
циплин, объединенных в три большие группы: обществен-
ные (в сбалансированном обществе на их долю приходится
20% людских и материально-технических научных ресурсов),
естественные (30%) и инженерные (50%). Более деталь-
ной классификацией занимаются ученые-науковеды, в чис-
ле которых были и наш соотечественник М. В. Ломоносов,
и француз А. Ампер. Найти закономерность (порядок) в кажу-
щемся хаосе предметов и событий, фактов и действий — это и
есть задача любой научной дисциплины.
Объекты, которые исследует каждая конкретная наука сво-
им особым только ей одной присущим методом, могут быть
весьма различны, но если эти объекты весьма разнообразны и
их очень много, наука носит название фундаментальной.
К фундаментальным наукам относятся, например, физика,
химия, математика, философия, термодинамика. Есть науки,
без которых не может обойтись практически ни один человек.
К ним относятся языкознание, которое оперирует буквой и
словом; экономика, изучающая балансы между доходами и
расходами разного рода ресурсов; математика, оперирующая
количественными соотношениями с помощью чисел; термоди-
намика — наука об эффективности (о коэффициентах полез-
ного действия) процесса преобразования различных видов
энергии в необходимую полезную работу. Такие «всеобщие»
науки мы рекомендуем называть суперфундаменталъны-
ми. В области инженерных дисциплин суперфундаменталь-
ными являются термодинамика и механика.
Термодинамика занимается поведением
макроскопических, т.е. состоящих из боль-
шого числа элементов систем, которые мож-
7
Введение
но охарактеризовать термодинамическими
параметрами, в частности температурой.
Становление термодинамики как науки продолжалось около
четырех веков и было сопряжено со многими трагедиями, за-
блуждениями и озарениями лучших умов человечества. Впер-
вые понятие энергия появилось в 1619 г. в трудах И. Кеплера
(1571 —1630) применительно к механике, законы которой
сформулировали Г. Галилей (1564—1642) и И. Ньютон
(1642—1727).
Одним из основоположников «науки о теплоте» был наш
великий соотечественник М. В. Ломоносов (1711—1765),
который в своей диссертации «Размышления о причинах теп-
лоты и стужи» (1750) высказал мысль о том, что теплота —
это форма «вращения» многих мельчайших частиц, состав-
ляющих тело. Кроме того, он утверждал в «Рассуждении о
твердости и жидкости тел», что из двух соударяющихся тел
одно тело «теряет своего движения» ровно столько, сколько
передает другому. Впоследствии весь ученый мир стал исполь-
зовать это гениальное предвидение как первый закон тер-
модинамики, или закон сохранения энергии. Но вер-
немся к «Размышлению о причинах тепла и стужи», в котором
утверждалось, что холодное тело самопроизвольно не может
воспринять большую «степень теплоты», чем имеет окружаю-
щее его более горячее тело. Это уже явная предтеча толкова-
ния закона природы, который ныне именуется вторым зако-
ном термодинамики или законом, запрещающим са-
мопроизвольную концентрацию тепловой энергии.
Наконец, утверждение ученого о том, что «высшей степени хо-
лода на нашей планете не может быть», очень напоминает
третий закон термодинамики, или закон недости-
жимости абсолютного нуля температур. Именно эти
три утверждения и составляют сущность современной класси-
ческой термодинамики. Но как много пришлось пройти науч-
ной мысли, чтобы прозрения М. В. Ломоносова были воспри-
няты всем научным миром как незыблемые законы миро-
здания! Прообраз современного соосного воздушного винта
вертолета или так называемая «аэродромная машина», т. е.
летающая машина тяжелее воздуха, также была пред-
ложена, построена и продемонстрирована М. В. Ломоносо-
8
Введение
вым, которого с полным правом можно назвать пионером сов-
ременной авиации, использующей эффект возникновения
подъемной силы на движущемся крыле, и основоположни-
ком метеорологии, поскольку на своей летательной машине
он предполагал проводить измерения параметров атмосферы
на разных высотах. Затем научная мысль сделала ошибочный
шаг — в 1779 г. Клехгорн выдвинул теорию об упругой, неве-
сомой, неуничтожимой и невоссоздаваемой жидкости, кото-
рую в 1787 г. Лавуазье назвал теплородом. К счастью, вско-
ре, а именно в 1796 г., Б. Томсон (1753—1814) — позже он по-
лучил титул графа Румфорда — доказал несостоятельность
теории теплорода, исследуя процесс сверления пушек и сравни-
вая нагрев отрезанных частей ствола и работу лошадей. В этом
же году родился будущий основоположник термодинамики
(в переводе с греческого слово «термодинамика» означает дви-
жущая сила теплоты) С. Карно (1796—1832), который в
1824 г. выпустил свой классический труд «О движущей силе
огня и машинах, способных развивать эту силу». Без разности
температур рабочего тела в начале и конце процесса тепло не
может быть превращено в работу — такой основной вывод был
сделан молодым инженером. Современное здание классиче-
ской термодинамики, которая не рассматривает про-
странственных координат и времени, строительство
которого начал С. Карно, было завершено трудами очень мно-
гих ученых, и прежде всего Б. Клапейрона, Р. Майера,
Д. Джоуля, Г. Гельмгольца, В. Томсона (лорда Кельви-
на), Р. Клаузиуса, У. Ренкина, В. Нернста, представите-
лями российской термодинамической школы Г. Г. Гессом,
М. Ф. Окатовым, О. Хвольсоном и др. Классическую тер-
модинамику именуют еще и феноменологической от слова
«феномен», или опытный факт. Но опытным фактам требу-
ется теоретическое обоснование, и такое обоснование было да-
но авторами статистической термодинамики Л. Больц-
маном и Д. Гиббсом. Эквивалентность положений термо-
динамики и теории информации К. Шеннона (1948) была
доказана в 1957 г. Э. Джейнсом', были получены все резуль-
таты Д. Гиббса. Существенный вклад в развитие неравно-
весной термодинамики, начало которой положил в 1854 г.
В. Томсон (лорд Кельвин), принадлежит Л. Онзагеру, опуб-
9
Введение
ликовавшему в 1931 г. соотношения взаимности между коэф-
фициентами линейных уравнений переноса, и И. Р. Приго-
жину, доказавшему основные теоремы об инвариантных
свойствах и условиях экстремальности возрастания энтропии.
В 1947 г. И. Р. Пригожин практически завершил создание ос-
нов новой науки «Термодинамика необратимых процессов»,
которая в настоящее время имеет и другое наименование «Не-
равновесная термодинамика».
Значительные работы по неравновесной термодинамике
принадлежат также Л. Больцману, Р. Клаузиусу, П. Дюге-
му, Г. Казимиру, Дж. Мейкснеру, С. де Грооту, П. Ма-
зуру, М. Трайбусу и др. Советские ученые А. В. Лыков,
А. Ф. Иоффе, Ю. А. Михайлов, Д. Н. Зубарев и многие
другие также внесли немалый вклад в развитие неравновес-
ной термодинамики.
Неравновесная термодинамика или термодинамика необра-
тимых процессов, в отличие от термодинамики классической,
позволяет исследовать наиболее общие свойства потоков ве-
щества под действием термодинамических сил, а со-
ветский исследователь А. Вейник в 1965 г. высказал идею о
возможности всеобщего применения этой новой обобщенной
термодинамики ко всем явлениям природы и общества. На ба-
зе обобщенной термодинамики в 1970 г. возникло новое
научное направление — экоматермика, сочетающее дости-
жения экономики, математики и термодинамики {В. П. Бур-
даков), нашедшее поддержку лауреатов Нобелевской премии
А. М. Прохорова и И. Р. Пригожина. В дальнейшем эта
наука получила и другое название — общая фрактально-
кластерная теория организмов (ОФКТО).
(Сложные термодинамические системы, способные само-
стоятельно циклически функционировать под воздействием
природных или/и антропогенных факторов, носят название ор-
ганизмов.
Организмы могут быть машинными (часы, авиационный
или ракетный двигатель, беспилотный самолет-разведчик,
баллистическая ракета), биологическими (человек, птица,
бактерия, растение, живая клетка), человеко-машинными
(самолет-истребитель, пилотируемый космический корабль,
10
Введение
орбитальная станция), общественными (пчелиный рой, му-
равейник), социальными (город, область, государство, чело-
вечество).
Абсолютно все организмы построены по
одной и той же структурной схеме и вклю-
чают пять обязательных блоков, выпол-
няющих соответственно пять жизненно
важных функций высшего уровня: энерге-
тическую, транспортную, безопасностную,
производственную и информационную.
Областями практического применения современной термо-
динамики являются все пять ипостасей организма: энергети-
ка, транспорт {явления переноса), безопасность, про-
изводство и информатика. Отсюда ее важность и значение
в современном мире. Не случайно именно термодинамике по-
священо более 25 000 монографий и учебников и, естественно,
огромное число научных статей, сборников, методических по-
собий и справочников. Вот почему знание основных законов и
положений термодинамики необходимо для всех без исключе-
ния специалистов, работающих в области исследований, про-
ектирования, создания, производства, эксплуатации и утили-
зации летательных аппаратов любого типа и их систем, а так-
же в области обеспечения интеграции летательных аппаратов
с экипажем и управляющим персоналом, решающим пробле-
мы стратегии выбора схем и параметров, проблемы экономи-
ки, конкуренции и эксплуатации техники.
Учебное пособие «Термодинамика» для удобства пользова-
телей разделено на две части. Первая часть «Основной курс»
дает первичные базовые знания предмета, позволяющие с по-
мощью приведенной библиографии самостоятельно углубить
знания и осуществить их инженерное приложение к конкрет-
ным задачам, не включенным в данное издание из-за недостат-
ка места. Вторая часть «Специальный курс» предлагается бу-
дущим специалистам, которые захотят посвятить себя углуб-
ленному изучению тех или иных разделов термодинамики.
В технической термодинамике рассматриваются толь-
ко идеальные обратимые и равновесные процессы в так назы-
ваемых идеальных машинах (двигателях или орудиях) на
начальном этапе проектирования.
11
Введение
Предварительные термодинамические вычисления, выпол-
ненные с использованием методов технической термоди-
намики, химической термодинамики и основ теплопе-
редачи, в инженерной практике лишь предшествуют дли-
тельным расчетам и экспериментальным работам по созданию
реальной машины. Еще не так давно основной объем инже-
нерного труда приходился на «доводочные» работы. Теперь,
когда на помощь инженеру пришла электронно-вычислитель-
ная техника, объем экспериментальных работ начинает со-
кращаться, так как проводятся детальные расчеты на этапе
проектирования. Теоретическая база для таких расчетов, т. е.
фундаментальные научные дисциплины, также продолжает
совершенствоваться. Термодинамика входит в число важней-
ших фундаментальных научных дисциплин, необходимых
современному инженеру любой специальности.
Термодинамические методы, главным образом метод
циклов и метод термодинамических потенциалов (в их
основе лежат принципы температуры, энергии и энтро-
пии, на базе которых сформулированы первый и второй законы
термодинамики), в настоящее время широко используются.
Удобство и наглядность термодинамических представле-
ний способствовали развитию и неравновесной термодина-
мики — сначала при описании процессов тепло- и массопере-
носа, а затем и других известных процессов движения мате-
рии. Кроме того, была установлена аналогия между неравно-
весной термодинамикой и наиболее изученными механически-
ми явлениями, сопровождающимися диссипацией энергии.
В механике и физике” широко применяются энергетические
функции Лагранжа и Гамильтона, в прикладных дис-
циплинах — понятия потенциала и диссипации. Термо-
динамические уравнения состояния удобно использовать
при расчетах процессов, протекающих в реальных газах, рас-
творах, жидких и твердых кристаллах, твердых телах при их
намагничивании и поляризации.
* Казалось бы, физика охватывает все области знаний, включая и
термодинамику, однако это не так. По образному выражению Ричарда
Фейнмана, «у физиков есть привычка брать простейший пример како-
го-то явления и называть его «физикой», а примеры посложнее отда-
вать на растерзание других наук».
12
Введение
Сложность и энергетическая напряженность современных
машин возрастает пропорционально их возможностям. Прин-
ципы их действия также усложняются, так как используются
последние достижения науки, новые материалы и вещества.
Все технологические процессы интенсифицируются, масштабы
производства расширяются. В этих условиях использование по-
ложений только лишь классической термодинамики не всегда
оправдано, например, если термодинамическое рабочее те-
ло (ТРТ) — это жидкий кристалл, который нагревается, поля-
ризуется, частично изменяет фазовое состояние и химиче-
ский состав, а кроме того, находится в состоянии движения.
В качестве такой научной дисциплины и выступает в на-
стоящее время неравновесная термодинамика, развитие и ос-
воение которой в инженерной практике позволяет не только
отказываться от огромного числа эмпирических коэффициен-
тов и зависимостей, но и более осмысленно создавать машины
принципиально нового типа. Расчет топливных элемен-
тов, электрохимических источников тока и аккуму-
ляторов, тепловых труб, сложных процессов тепло- и мас-
сообмена в пограничном слое, процессов смесеобразования и
горения, процессов в электрореактивных двигателях — вот
далеко не полный перечень применения неравновесной термо-
динамики в инженерной практике.
С наиболее общих позиций термодинамика может быть опре-
делена как наука о методах исследования свойств любых мак-
роскопических материальных тел, проявляющихся в процессах
преобразования одних видов движения материи в другие.
Основная задача неравновесной термодинамики заключается
в установлении зависимости между возрастанием энтропии
в термодинамической системе и происходящими в ней различ-
ными необратимыми процессами. С этой целью исследуются
макроскопические (справедливые для большого числа частиц)
законы сохранения массы, количества движения и энер-
гии в дифференциальной форме, пригодной для исследова-
ния малых объемов (так называемая локальная форма законов).
Перенос массы может при этом характеризоваться потоком диф-
фузии, перенос энергии — потоком теплоты, а перенос импуль-
са — тензором давления. Эти и другие рассматриваемые не-
равновесной термодинамикой потоки являются следствием не-
равновесного состояния термодинамической системы.
13
Введение
Выражение для скорости возрастания энтропии рас-
сматривается как сумма ряда слагаемых, каждое из которых
есть произведение конкретного термодинамического пото-
ка, характеризующего необратимый процесс, и так называе-
мой термодинамической силы, обусловленной неоднород-
ностью (градиентом) соответствующего термодинамического
параметра (температуры, давления, концентрации, химиче-
ского сродства и т. д.).
В результате, в отличие от классической термодинамики,
получается более сложная система уравнений, содержащая
упомянутые законы сохранения, уравнение баланса энтропии
и уравнения состояния. В качестве неизвестных параметров в
эту систему входят необратимые потоки, определив которые
можно найти скорость возрастания энтропии. Для весьма боль-
шого числа прикладных задач уже само по себе определение
потоков, особенно взаимосвязанных, имеет самостоятельное
значение (термодиффузия, термоэлектричество, элек-
трофорез, электроосмос и т. д.).
Для решения системы уравнений используются феномено-
логические (подтвержденные опытом) уравнения связи пото-
ков и термодинамических сил. В современной неравновесной
термодинамике уравнения связи предполагаются линейными,
справедливыми для случая, когда система близка к состоянию
равновесия. Феноменологические коэффициенты перено-
са в уравнениях связи могут отражать и перекрестные эффек-
ты (термодиффузию, термоэлектричество и т. д.).
Связь между коэффициентами переноса устанавливается
соотношением взаимности, уменьшающим число незави-
симых величин и связывающих между собой различные про-
цессы переноса.
Теория учитывает также и пространственную симмет-
рию, например независимость скалярного явления (химиче-
ской реакции в изотропной среде) от векторного явления
(теплопроводности). Такое упрощение системы феноменологи-
ческих коэффициентов переноса именуется принципом Кюри.
На живые организмы этот принцип не распространяется, по-
этому возникло еще одно специфическое направление термо-
динамики — биологическая термодинамика, которой по-
священа последняя глава второй части учебного пособия.
14
Введение
И наконец, современная теория использует свойства инва-
риантности (неизменности) соотношений взаимности относи-
тельно ряда преобразований потоков и термодинамических сил,
а также дополнительную инвариантность и экстремальность
скорости возрастания энтропии при ряде ограничительных ус-
ловий (механического равновесия, стационарного нерав-
новесного состояния и т. д.).
Большое число работ по неравновесной термодинамике по-
священо проблемам ее статистического обоснования, им в
учебном пособии уделена специальная глава.
Еще не так давно считалось, что термодинамические силы
не имеют ничего общего с силами в ньютоновском понимании
этого слова, хотя и отмечалось, что между уравнениями меха-
ники и неравновесной термодинамики существует прямая
аналогия, создающая перспективу «механического» обоснова-
ния ряда положений последней. Эта аналогия послужила
толчком для использования достижений неравновесной тер-
модинамики в анализе различных видов сложных механиче-
ских систем, в частности для наиболее сложных видов механи-
ческого движения — полета космической системы или лета-
тельного аппарата. Дальнейшие работы в этой области привели
к объединению неравновесной термодинамики с системотехни-
кой и созданию основ исключительно важного научного на-
правления — теории эффективности сложных динами-
ческих систем.
Таким образом, если техническая термодинамика является
основой для определения энергетической эффективности
машин, то неравновесная термодинамика может служить ба-
зой для определения эффективности сложных динамических
процессов, происходящих в так называемых больших систе-
мах (энергетических, транспортных, экологических, техноло-
гических, информационных), включая социальные.
Эффективность социальных организмов характеризуется
критерием эффективности жизни (КЭЖ), которому во второй
части посвящен раздел, представляющий интерес для буду-
щих политиков, экономистов, юристов и управленцев.
Неравновесная термодинамика будет, естественно, разви-
ваться и самостоятельно. Дальнейшей ее задачей является со-
здание теории для нелинейных законов переноса как для
15
Введение
сплошной среды, так и для прерывных систем с подвижными
границами раздела. Последний вопрос еще только начинает
исследоваться в линейной постановке. Наконец, объединение
в единой теории линейных и нелинейных процессов переноса
как макроскопических, так и элементарных (квантовых),
по-видимому, завершит создание общей теории.
В настоящее время теплопроводность, дозвуковое течение
вязкой среды, линейная акустика, электропроводность и
диффузия являются частными случаями явлений переноса,
изучаемых неравновесной термодинамикой. Нелинейная акус-
тика и нелинейная сверхзвуковая аэрогазодинамика пока еще
не могут без достаточных упрощений входить в общую тео-
рию, поэтому эти дисциплины, как правило, изучаются само-
стоятельно — главным образом в качестве технического при-
ложения, хотя в них и используются основные принципы тер-
модинамики.
Авиационная и ракетно-космическая техника — наиболее
динамичные области машиностроения. В связи с этим структу-
ра и содержание учебного пособия направлены на подготовку
инженерного персонала, способного самостоятельно решать
сложные современные термодинамические проблемы энерге-
тики — прежде всего в области двигателей и энергетики лета-
тельных аппаратов, а также в многочисленных смежных облас-
тях инженерной деятельности. Материал учебного пособия от
главы к главе усложняется, а для понимания последних глав
второй части потребуется еще и знакомство со специальной ли-
тературой.
Наиболее важные главы снабжены подробным решением за-
дач, обычно встречающихся в повседневной работе инжене-
ров-теплофизиков и инженеров-конструкторов авиационной и
ракетно-космической техники.
Глава 1
Основные понятия
и определения
1.1. Предмет и метод термодинамики
Исторически термодинамика возникла на рубеже XVIII и
XIX вв. как наука, изучающая переход теплоты в механиче-
скую работу. В это время тепловые машины были уже широко
распространены, и надо было подвести теоретические основы
их работы.
Современная термодинамика является теоретической осно-
вой всех без исключения макроскопических процессов в приро-
де и обществе. Макроскопическими называются процессы, в
которых участвуют многие частицы, например молекулы окру-
жающего нас воздуха, муравьи в муравейнике, галактики во
Вселенной. Применительно к разного рода антропогенным,
т. е. построенным людьми, летательным аппаратам совре-
менная термодинамика занимается прежде всего изучением пя-
ти глобальных инженерных проблем земной цивилиза-
ции, а именно: энергетики, транспорта, безопасности,
производства и информатики. Основная задача термодина-
мики — указать инженерам способы подсчета и увеличения эф-
фективности или КПД самых разных организмов — от ма-
шинных до биологических (генная инженерия).
Еще не так давно — в начале XX в. — главной задачей тер-
модинамики считали исследование проблем преобразования
(взаимопревращения) одних видов энергии в другие. Было да-
же предложено термин термодинамика заменить другим —
энергетика, но этого, к счастью, не произошло.
Но современная термодинамика является не только инже-
нерной наукой. Она входит важной составной частью в теоре-
тическую физику.
2-5580
17
Глава 1. Основные понятия и определения
Термодинамический метод базируется на ряде принци-
пов и законов. Основным принципом термодинамики явля-
ется принцип температуры (два тела, находящиеся в теп-
ловом равновесии, имеют одну и ту же температуру). Основ-
ными законами или началами термодинамики являются:
• первый закон, или закон сохранения энергии;
• второй закон, или закон рассеяния (обесценивания)
энергии;
• третий закон, или закон о неисчерпаемости энергии
(абсолютный нуль температуры недостижим).
Наиболее широко распространенными рабочими методами
термодинамики являются метод циклов и метод термо-
динамических потенциалов.
1.2. Термодинамическая система
Объектом изучения термодинамики является термодина-
мическая система (ТС).
Под термодинамической системой понимается выделенная
из окружающего мира условной замкнутой поверхностью часть
пространства вместе с находящимися в нем телами и полями.
Эти тела и поля могут взаимодействовать как между собой,
так и с окружающей средой, в том числе трансформироваться
(изменять размеры и свойства) и обмениваться как энергией,
так и веществом. Под окружающей средой понимается все,
что не включено в ТС. В системе могут присутствовать не-
сколько тел, одно тело или его часть. Ограничивающую систе-
му поверхность называют также границей ТС или ее конт-
рольной поверхностью.
Примеры ТС — 1 м3 воздуха, авиационный двигатель, кос-
мический носитель, живой организм, государство, земная ци-
вилизация.
В настоящее время именно вид ТС определяет деление тер-
модинамики как науки на множество ее конкретных прило-
жений:
• техническая термодинамика (изучает эффективность тех-
нических систем);
18
1.2. Термодинамическая система
• химическая термодинамика (изучает поведение ТС с уче-
том химических реакций);
• статистическая термодинамика (изучает законы распре-
деления параметров частиц и квазичастиц в термодина-
мическом рабочем теле (ТРТ), с помощью которых рас-
четным путем, без проведения экспериментов, получает
все феноменологические параметры);
• биологическая термодинамика (изучает биологические
процессы и явления);
• социальная термодинамика (изучает социальные и эко-
номические ТС).
Термодинамика как раздел теоретической физики под-
разделяется на:
• классическую термодинамику, пренебрегающую про-
странственными координатами и временем;
• термостатику, т. е. термодинамику, изучающую ста-
тические ТС без учета времени, но с учетом координат;
• термокинетику, т. е. термодинамику, изучающую ТС
с учетом времени и координат, но в бессиловом поле
(движение по инерции, сверхтекучесть и сверхпроводи-
мость);
• линейную неравновесную термодинамику, изучаю-
щую ТС с учетом координат и времени, но вблизи равно-
весия, когда термодинамические потоки зависят ли-
нейно от термодинамических сил',
• нелинейную неравновесную термодинамику (наибо-
лее общий случай термодинамики).
Нередко и линейную, и нелинейную неравновесную термо-
динамику именуют общим термином термодинамика необ-
ратимых процессов.
В инженерной практике используется техническая термо-
динамика, которая год от года совершенствуется из-за услож-
нения ТС — инженерных объектов ее исследования.
Материю, составляющую ТС, удобно разделить на вещество
и поле. Под веществом понимается материя, обладающая
массой покоя. Поле может быть электростатическим, магнит-
ным, электромагнитным (излучение), гравитационным и внут-
риядерным.
2*
19
Глава 1. Основные понятия и определения
Изолированная термодинамическая система ни-
как не взаимодействует с окружающей средой, однако в такой
системе отдельные части (подсистемы) могут взаимодейство-
вать между собой.
Неизолированная термодинамическая система
взаимодействует с окружающей средой, причем число воз-
можных взаимодействий (механическое, тепловое, электро-
статическое и др.) определяет число степеней свободы ТС.
Термодинамическая система называется закрытой, если
она не может обмениваться веществом с другими системами.
Термодинамическая система может быть закрытой, но масса
отдельных ее частей может изменяться (например, при фазо-
вом переходе жидкость — пар), поэтому такие системы полу-
чили название неоднородных.
Термодинамические системы, которые могут обмениваться
веществом с другими системами, называются открытыми.
Неравновесное состояние термодинамической сис-
темы характеризуется наличием в ней или в объеме ТРТ
потоков экстенсивных величин (теплоты, электричества,
массы жидкости и т. д.), вызванных термодинамическими
силами — градиентами соответствующих интенсивных пара-
метров (температуры, электрического потенциала, давления,
концентрации и т. д.). При этом ТС определяется пространст-
венно-временным полем значений каждого термодинамиче-
ского параметра.
Изотропной {гомогенной) термодинамической сис-
темой называется система, у которой свойства по всем на-
правлениям одинаковы. Такие ТС используются для термоди-
намического анализа химических реакций и явлений релакса-
ции (возбуждение, внутреннее превращение и т. д.), которые
протекают медленно и не нарушают гомогенности ТРТ. Основ-
ным параметром анализа служит время, а работа процесса за-
висит только от объема системы. Массообмен такой термодина-
мической системы с внешней средой допустим, т. е. ТС может
быть неизолированной. В гомогенных системах отсутствуют
электризация, намагниченность и диссипативные эффекты,
так как нет градиентов и потоков, хотя концентрация, темпе-
ратура и давление с течением времени могут изотропно изме-
няться.
20
1.2. Термодинамическая система
Гетерогенной (неоднородной
или прерывной) термодинами-
ческой системой называется сис-
тема, состоящая из нескольких гомо-
генных ТС. В неравновесной термо-
динамике большое распространение Рис. 1.1
получила модель (рис. 1.1), состоя-
щая из двух 1, 2 гомогенных ТС (термодинамическая пара),
разделенных мембраной, поверхностью раздела фаз или в об-
щем случае — перегородкой, которая позволяет осуществлять
между этими ТС тот или иной вид термодинамического вза-
имодействия 3. Протяженностью и объемом соединительной
фазы 3, например капилляром в разделительной мембране,
часто пренебрегают. Различают, как правило, четыре класса
неоднородных термодинамических систем: ТС жидкость —
пар, ТС жидкость — жидкость с неоднородными свойствами,
ТС вентильного типа первого рода, когда два вещества одина-
кового агрегатного состояния разделены проницаемой перего-
родкой (вентилем) и ТС вентильного типа второго рода. Она
отличается от предыдущей ТС тем, что перегородка (вентиль)
полупроницаема, т. е. может пропускать лишь частицы с оп-
ределенными свойствами и задерживать остальные.
Стационарное состояние термодинамической систе-
мы возникает тогда, когда определяющие ее свойства термоди-
намические параметры не зависят от времени. Стационарное
состояние может быть как равновесным, так и неравновесным.
Термодинамическое равновесие — состояние термоди-
намической системы или термодинамического рабочего тела,
при котором никакие термодинамические процессы в них не-
возможны, в том числе и процессы переноса, поскольку термо-
динамические воздействия на ТС или ТРТ уравновешены. Термо-
динамическое равновесие — это наиболее вероятное состоя-
ние термодинамической системы, устойчивое по отношению к
возмущениям (принцип Ле Шателье—Брауна). Равновесие ТС
может быть частичным, например в случае механического рав-
новесия, когда ускорения частей ТС равны нулю. Однако если
в термодинамической системе происходит хотя был один необ-
ратимый процесс, например имеются тепловые потоки, то та-
кая ТС равновесной названа быть не может.
21
Глава 1. Основные понятия и определения
I Термодинамическое равновесие — фундаментальное поня-
тие классической термодинамики, позволяющее изучать обра-
тимые термодинамические процессы.
Противоположное понятие — термодинамическое нерав-
новесие — основа для изучения необратимых процессов или
процессов, идущих с рассеянием энергии, а для изолирован-
ных (замкнутых) ТС — с выравниванием физико-химических
свойств и параметров состояния. Но если равновесие и обрати-
мость в смысле термодинамической идеализации (квазиравнове-
сие) могут считаться синонимами, то неравновесие и необрати-
мость — понятия более сложные и с точки зрения термодина-
мической идеализации не эквивалентны. При этом понятие
неравновесности, как это ни парадоксально, шире понятия необ-
ратимости, поскольку известны потоки, признаки необратимос-
ти для которых пренебрежимо малы (потоки фотонов в вакууме,
сверхтекучесть гелия, сверхпроводимость и т. д.).
Т ерлгодиналгическое квазиравновесие — плавное, бес-
конечно медленное протекание термодинамического процес-
са, вызванное бесконечно малыми вынуждающими силами и
связанное с изменением хотя бы одного из термодинамиче-
ских параметров состояния равномерно по всему объему ТРТ
при отсутствии каких-либо процессов переноса в ТРТ, вызван-
ных неоднородностью его свойств.
Термодинамическая система — совокупность любых мате-
риальных тел и полей, находящихся в энергетическом взаимо-
действии и отделенных от окружающей (внешней) среды реаль-
ной или условной замкнутой контрольной поверхностью, назы-
ваемой границей термодинамической системы.
При этом каждое материальное тело внутри термодинами-
ческой системы может иметь собственную контрольную по-
верхность. В качестве ТС может рассматриваться летатель-
ный аппарат, а в качестве его подсистем — двигатель, баки с
топливом и т. д. Если же необходимо рассмотреть только вну-
трибаковые процессы, то в качестве ТС рассматривается толь-
ко внутрибаковый объем, ограниченный внутренними стенка-
ми бака, а в качестве подсистем рассматриваются жидкая и
газовая фазы топливного компонента.
22
1.3. Термодинамическое рабочее тело
1.3. Термодинамическое рабочее тело
I Непрерывное материальное тело или поле, ограниченное
замкнутой контрольной поверхностью термодинамической сис-
темы или входящей в ТС подсистемы, называется термодина-
мическим рабочим телом.
Объем термодинамического рабочего тела (ТРТ) может
быть равен как объему ТС, так и объему подсистемы, если ТС
состоит из нескольких ТРТ. Нередко, давая определение ТРТ,
некоторые авторы, стремясь упростить курс термодинамики,
не упоминают о контрольной поверхности и не включают в по-
нятие ТРТ поле, поскольку еще не все разновидности поля,
например гравитационное, достаточно изучены. В действи-
тельности, даже в классической термодинамике широко ис-
пользуются такие понятия, как параметры состояния фотон-
ного газа, или, что то же самое, однородного электромагнит-
ного поля. В неравновесной термодинамике градиенты
потенциалов электрического, магнитного или грави-
тационного полей выступают в роли движущих сил,
поэтому материальное поле наравне с материальными телами
может выступать в качестве ТРТ. Каждый вид ТРТ может ха-
рактеризоваться термодинамическими параметрами со-
стояния.
В классической и технической термодинамике ТРТ всегда
однородно по составу и изотропно, а выступающие в роли ТРТ
вещества могут быть чистыми (если состоят из одинаковых
частиц), могут представлять собой смеси, например атмо-
сферный воздух, состоящий из примерно 21% кислорода и
79% азота, а также растворы или двухфазные среды. При
этом вещества должны быть однородно перемешаны, а осред-
ненные физико-химические свойства одинаковы по всему
объему ТРТ. В неравновесной термодинамике ТРТ может быть
и неоднородным — содержать градиенты термодинамических
параметров, иметь поверхности раздела фаз, переменный хи-
мический состав. Иначе говоря, в неравновесной термоди-
намике физико-химические свойства и параметры со-
стояния ТРТ зависят как от координат, так и от
времени.
23
Глава 1. Основные понятия и определения
Термодинамическое рабочее тело может состоять как из ре-
альных частиц (атомы, молекулы, атомарные или молекуляр-
ные положительно или отрицательно заряженные ионы,
электроны, кванты электромагнитного излучения и т. д.), так
и из виртуальных (фононы, экситоны и т. д.). В биологиче-
ской термодинамике частицы могут быть более сложными:
это клетки, клеточные органеллы и макромолекулы.', в со-
циальной термодинамике: это люди и даже хозяйственные
единицы.
В термодинамических системах ТРТ могут находиться в
различных агрегатных (твердых, жидких, газообразных) и
фазовых состояниях. Под фазой понимается совокупность
частей системы с одинаковыми свойствами и имеющих грани-
цу раздела с другими частями системы. Такое определение фа-
зы приемлемо при отсутствии полей. Если же система нахо-
дится, например, в поле центробежных сил или она достаточ-
но протяженна по высоте в гравитационном поле, то вдоль
этих сил свойства системы могут заметно меняться. Фаза мо-
жет быть чистой (содержит чистое вещество), газовой смесью
или конденсированным раствором, находиться в твердом,
жидком и газообразном состояниях. Как правило, контакти-
рующие газообразные вещества образуют одну газообразную
фазу. Однако при достаточно высоких давлениях в газе воз-
можно образование и более чем одной фазы.
Агрегатные состояния веществ в случае необходимости
принято отмечать подстрочными буквами, например Н2О(т);
Н2О(ж); Н2О(г); Аг(г) и т. д., обозначающими твердое (т), жид-
кое (ж) и газообразное (г) состояния. Для газообразных ве-
ществ, если это не вызывает недоразу-
мений, отметку агрегатного состояния
обычно опускают.
На рис. 1.2 приведен пример термо-
динамической системы, содержащей
различные тела в трех агрегатных и
шести фазовых состояниях.
Вещества с одинаковой химической
формулой, но находящиеся в разных фа-
зах, имеют различные свойства. Чтобы
Рис. 1.2 отличить их один от другого, вводится
24
1.3. Термодинамическое рабочее тело
понятие индивидуального вещества — чистого вещества в
определенном фазовом состоянии.
Например, твердые графит и алмаз, а также пары графи-
та — различные индивидуальные вещества, хотя они и образо-
ваны из одного и того же химического элемента углерода (С).
Из рассмотренного понятно, что ТРТ — это частный случай
наиболее простой термодинамической системы, оно представ-
ляет собой однородное материальное (физическое) тело, запол-
няющее все пространство ТС. Именно с помощью ТРТ проис-
ходит превращение теплоты в работу, и наоборот. Например, в
компрессоре воздушно-реактивного двигателя (ВРД) ТРТ —
это атмосферный воздух, в камере сгорания — химически ре-
агирующая смесь горючего и сжатого воздуха, в турбине — га-
зообразные продукты сгорания. Иначе говоря, по тракту ВРД
термодинамические свойства ТРТ существенно изменяются.
Виды ТРТ в авиации и ракетно-космической технике весьма
разнообразны. Орбитальный корабль «Буран» перед полетом в
космос заправляется следующими термодинамическими рабо-
чими телами: воздухом для дыхания экипажа, питьевой и
технической водой, жидким кислородом в качестве окислите-
ля для объединенной двигательной установки, газообразным
кислородом для топливных элементов, углеводородным горю-
чим для объединенной двигательной установки, газообразным
водородом для топливных элементов, жидким гелием для над-
дува баков объединенной двигательной установки, газообраз-
ным гелием для автоматики, газообразным азотом для автома-
тики и для прецизионных ракетных двигателей, твердыми
топливными составами для пиросредств, элегазом (шестифто-
ристая сера) для заполнения систем управления и пожароту-
шения, кремнийорганической жидкостью для гидросистем,
жидкими и порошкообразными смесями для пожаротушения,
жидкими теплоносителями для систем термостатирования и
систем обеспечения теплового режима как самого корабля, так
и космонавтов, пусковыми самовоспламеняющимися смесями
для запуска двигателей и т. д. Всего различных ТРТ в орби-
тальном корабле не менее 20 наименований. Даже обычные
урина и пот, выделяемые экипажем в космосе, перерабатыва-
ются в специальных инженерных системах, а стало быть, так-
же являются рабочими телами, термодинамические свойства
25
Глава 1. Основные понятия и определения
которых необходимо тщательно изучать и умело использо-
вать. Многие применяемые в авиации и ракетно-космической
технике ТРТ представляют собой гетерогенные смеси. Только
небольшая часть из них — двухкомпонентные смеси — приве-
дена в табл. 1.1.
Таблица 1.1
Основной компонент Добавленный^. компонент Газ Жидкость Твердое тело
Газ Газовая смесь Смесь жидкость + газ Поры с газом, абсорбция
Жидкость Туман Эмульсия Поры с жидкостью
Твердое тело Аэрозоль Суспензия, пульпа Сплав, смесь
Особое место при рассмотрении различных рабочих тел в
двигателях для космоса занимает плазма — частично или
полностью ионизированный газ, в котором плотности поло-
жительных и отрицательных зарядов практически одинако-
вы. При сильном нагревании любое вещество испаряется, пре-
вращаясь в газ. Если увеличивать температуру и далее, резко
усиливается процесс термической ионизации, т. е. молекулы
газа начинают распадаться на составляющие их атомы, кото-
рые затем превращаются в ионы. Свободно заряженные части-
цы, особенно электроны, легко перемещаются под воздействи-
ем электрического поля, что позволяет внешним электромаг-
нитным полям дополнительно ускорять или тормозить их.
1.4. Термодинамическое состояние
Под термодинамическим состоянием системы понима-
ется распределение материи и ее энергетических характерис-
тик по объему системы.
26
1.5. Термодинамические силы
Состояние системы называется равновесным, если после изо-
ляции от окружающей среды в ней не наблюдается никаких из-
менений. При наличии изменений — система неравновесная.
Под изоляцией понимается прекращение энерго- и массообмена
между системой и окружающей средой. Если система находится
в механическом взаимодействии с внешней средой, а тепловое
взаимодействие исключено, то ее называют адиабатной.
Не следует смешивать равновесное и стационарное состоя-
ния. Последнее может быть и неравновесным, если эта нерав-
новесность поддерживается потоками энергии или массы че-
рез границы.
Неравновесность бывает пространственной, т. е. между раз-
личными точками объекта, и локальной, т. е. в одной точке.
В случае пространственной неравновесности в разных
точках объема могут оказаться различными, например, тем-
пература, давление. При локальной неравновесности в
рассматриваемой точке могут отсутствовать, например, хими-
ческое равновесие между поступательными и вращательными
степенями свободы молекул.
В реальных условиях равновесных в строгом смысле этого
слова систем не существует. При бесконечно малом отклоне-
нии от равновесия систему называют квазиравновесной. Од-
нако в дальнейшем квазиравновесную систему будем для про-
стоты называть также и равновесной.
1.5. Термодинамические силы
Воздействия, которые могут привести систему в неравно-
весное состояние, называются термодинамическими силами.
Силы можно разделить на внешние и внутренние. Внеш-
ние силы возникают при взаимодействии системы с окружаю-
щей средой, внутренние — за счет внутренних причин.
Примеры внешних сил: р, Рх, F, Т, НП, Еп, где р — нор-
мальное к границе системы давление, Рт — касательное на-
пряжение, F — механическая сила, Т — термодинамическая
температура, Нп — напряженность магнитного поля, Еа —
напряженность электростатического поля.
27
Глава 1. Основные понятия и определения
Первые три из представленных сил являются механически-
ми, остальные — немеханическими. Для всех сил будем ис-
пользовать термин «обобщенные силы». Общее свойство сил:
каждая, будучи умноженной на соответствующий ей обобщен-
ный путь, дает значение порции энергии.
Пусть N — число действующих на систему внешних сил.
Если на систему действуют только давление и температура, то
N = 2 и система называется простой. При наличии других
внешних сил N > 2 и система называется сложной.
Все внутренние силы стараются изменить систему в на-
правлении, приближающем ее к состоянию равновесия. Эти
силы можно объединить в одну внутреннюю обобщенную
силу.
Общее число внешних и внутренних сил, действующих на
систему, называется числом степеней свободы системы.
Для неравновесной системы ZCT = N + 1, для равновесной
системы ZCT = N.
1.6. Параметры термодинамического состояния
Все величины, характеризующие термодинамическое со-
стояние системы, называются параметрами состояния системы.
Примеры таких параметров (единицы величин приводятся
в системе СИ): р — давление, Па; Т — термодинамическая
температура, К; И — объем, м3; m — масса, кг; п — количест-
во вещества, моль; Н — энтальпия, Дж; На — напряженность
магнитного поля, А/м; J — намагниченность, А/м; а — мест-
ная скорость звука, м/с.
Давление — величина, определяемая отношением нор-
мальной, т. е. направленной перпендикулярно к поверхности,
на которую она действует, силы в ньютонах к площади этой
поверхности в квадратных метрах.
Согласно Международной системе единиц СИ давление
имеет единицу величины Н/м2 и называется паскаль (Па), но
допускаются и другие так называемые внесистемные единицы
давления:
28
1.6. Параметры термодинамического состояния
• техническая атмосфера (ат), обозначаемая иногда через
ати (избыточная техническая атмосфера) или через ата
(абсолютная техническая атмосфера);
• физическая атмосфера (атм) — давление атмосферного
воздуха на уровне моря;
• бар (бар);
• миллиметры ртутного (мм рт. ст.) и водяного столба
(мм вод. ст.).
Числовые соотношения между различными единицами из-
мерения давления следующие:
1 ат = 1 кг/см2 = 104 кг/м2 = 9,81 • 104 Н/м2 = 9,81 • 104 Па;
1 ат = 735,6 мм рт. ст. = 104 мм вод. ст. (при О °C);
1 атм = 760 мм рт. ст. = 101 325 Па;
1 бар = 105 Па.
Для измерения давлений применяют приборы, называемые
барометрами, манометрами и вакуумметрами. Исполь-
зование жидкостного манометра требует приведения высоты
столба жидкости h при температуре t к столбу жидкости при
температуре 0 °C Ло. Например, для ртути
h0 = h (1 - 0,000172 t), (1.1)
где численный коэффициент соответствует объемному расши-
рению ртути.
Барометрами измеряют атмосферное давление рбар на уров-
не земли, манометрами — давление рман, которое больше ат-
мосферного, а вакуумметрами — давление меньше атмосфер-
ного раак.
Термодинамическим параметром состояния являет-
ся только абсолютное давление, которое отсчитыва-
ется от абсолютного нуля давления (абсолютного ва-
куума), что хорошо видно на рис. 1.3. Для точки 1 абсолют-
ное давлениерг = рбар +;?ман, для точки 2 — р2 = p6ap ~ paaK.
Избыточным или манометриче-
ским давлением называется дав- п п
J. мин /^вак /^ман
ление выше атмосферного, т. е. раз- *7*
ность между абсолютным и баромет- J; ° 4 :
u F2 "бар Pl Р
рическим давлением:
.Рман=7?-7?бар- (!-2) Рис. 1.3
29
Глава 1. Основные понятия и определения
Избыточное давление не определяет состояния ТРТ и по-
этому параметром состояния не является.
В технике до сих пор часто используют внесистемную еди-
ницу атмосферу (ат), добавляя к этому обозначению букву
«а» или «и», чтобы обозначить абсолютную или избыточ-
ную величину давления: ата или ати. Очевидно, что абсо-
лютное давление р будет в этом случае иметь единицу вели-
чины ата.
Разрежением или вакуумом рвак называется разность меж-
ду атмосферным давлением и абсолютным давлением той среды,
где оно измеряется
Рвак — Рбар Р (1’3)
и показывает, насколько давление ТРТ меньше давления ок-
ружающей среды.
В термодинамических уравнениях всегда используются
значения абсолютного давления р, ввиду того что оно являет-
ся параметром, характеризующим состояние термодинамиче-
ской системы:
Р = Рбар + Рман - (i-4)
Р=Рбар- Рвак- С1’5)
Естественно, арифметические действия необходимо выпол-
нять с величинами, выраженными в одних и тех же единицах
измерения давления.
Температура показывает, насколько нагрето или охлаж-
дено ТРТ. Она является физической величиной, характеризи-
рующей интенсивность хаотического движения частиц, обра-
зующих систему. Для газов и жидкостей она пропорциональ-
на квадрату средней скорости поступательного движения
атомов или молекул, а для твердых тел — энергии колеба-
тельных движений атомов или молекул. Предельно малая или
нулевая абсолютная температура — недостижимое на
практике для большого числа частиц состояние, когда полно-
стью прекращено тепловое движение всех частиц, составляю-
щих ТРТ. Абсолютная температура — величина всегда поло-
жительная. В настоящее время используются две температур-
ные шкалы:
30
1.6. Параметры термодинамического состояния
• термодинамическая шкала температур в кельвинах (К);
• международная практическая шкала в градусах Цель-
сия (°C).
За основные точки в международной практической шкале
принимаются точка таяния льда (О °C) и точка кипения воды
(100 °C) при нормальном атмосферном давлениир = 101325 Па.
Разность показаний в этих двух точках, деленная на 100, пред-
ставляет 1 °C.
Между шкалой температур в кельвинах (Т) и шкалой
температур в градусах Цельсия (£) имеется следующее соотно-
шение:
T = t + 273,15. (1.6)
Наряду с указанными шкалами в США широко использует-
ся шкала Фаренгейта. В этой шкале температура таяния льда
соответствует 32 °F, а кипения воды равна 212 °F. Разность
показаний в этих точках, деленная на 180, представляет 1 °F.
Связь между международной практической температурой £
и температурой Фаренгейта f определяется из следующей про-
порции:
t 100 5
/ - 32 180 9‘
5
Отсюда £ = д(/ - 32).
Параметром состояния является температура, выраженная
в кельвинах, но один градус термодинамической шкалы тем-
ператур в кельвинах (1 К) равен градусу шкалы Цельсия
(1 °C), так что dT = d£.
Для измерения такой важной величины, как температура,
придумано огромное число измерительных устройств и индика-
торов. Все они основаны на фиксировании изменений свойств
тел при изменении температуры (тепловое расширение, элект-
рическое сопротивление, контактная ЭДС, мощность теплово-
го излучения, изменение цвета и т. д.). Оказалось, что можно
измерять температуру даже на поверхности спускаемых аппа-
ратов космических кораблей, а она может доходить до 2500 °C.
Для этого используются специально разработанные термокра-
ски, изменение цвета которых и свидетельствует об имевших
место температурах.
31
Глава 1. Основные понятия и определения
Для характеристики объема, занимаемого единицей массы
вещества, вводится понятие удельного объема. Удельный
объем v связан с массой вещества т и его объемом V соотно-
шением v = V/m, выражаемым обычно в м3/кг.
Термодинамические параметры могут получаться один из
другого:
р = m/V = l/i? — плотность, кг/м3;
V = V/n — мольный или молярный объем, м3/моль;
С* = n/V = 1/У — молярная концентрация, моль/м3;
h = Н/т — удельная энтальпия, Дж/кг;
Н = Н/п — молярная энтальпия, Дж/моль.
В дальнейшем по мере необходимости будут вводиться и
другие термодинамические параметры состояния. При этом
всегда следует придерживаться такого правила: все величи-
ны, отнесенные к массе вещества т, обозначать аналогичны-
ми малыми буквами (прописными) и называть удельными, а
величины, отнесенные к количеству вещества в молях (и),
обозначать такой же буквой, как и для произвольного количе-
ства вещества, только с символом «"» и называть молярными
или мольными величинами.
Массу частиц ТРТ характеризуют следующие вели-
чины:
• молекулярная масса тг — масса отдельной частицы, кг;
• относительная молекулярная масса вещества, вводимая
соотношением
М = mJ ^2 mi2C’
где т12(, — масса атома изотопа углерода 12С; М — вели-
чина безразмерная;
• молярная масса т вещества — масса одного моля,
кг/моль,
т = — = m.N д,
П 1 А’
где 2Va = 6,022045 • 1023 моль1 — постоянная Авогад-
ро.
32
1.7. Уравнения состояния
Между этими величинами имеет место следующая связь
числовых значений:
{т} = 10”3М.
Таблица 1.2
Вещество тг, 10 26 кг М 7П
кг/моль кг/кмоль
n2 4,65196 28,0134 0,0280134 28,0134
СО2 7,30812 44,0098 0,0440098 44,0098
В табл. 1.2 приведены примеры рассматриваемых величин
для азота и диоксида углерода.
1.7. Уравнения состояния
Число параметров, определяющих состояние термодинами-
ческой системы, может быть весьма большим. Для однознач-
ного задания термодинамического состояния равновесной
термодинамической системы следует указать значения N
параметров, называемых независимыми (N = ZCT, при равно-
весии). Все остальные параметры являются зависимыми и на-
зываются также термодинамическими функциями.
Независимые параметры не должны выражаться друг че-
рез друга. Их выбор зависит от постановки задачи.
Примеры наборов независимых параметров для простой
(р, Т); (р, V); (р, Т) и сложной систем (р, Т, Нп).
Следующие наборы для простой системы (р, и), (V, С*) не
1 1
являются независимыми, так как р = - : С = — .
r v у
Выражение, содержащее N + 1 параметр, называет-
ся уравнением состояния. Любой параметр в этом уравне-
нии можно выбрать в качестве функции, если задается осталь-
ными.
Наиболее часто уравнение состояния записывается в виде
ftp, v, Т) = 0 (1.7)
3 - 5580
33
Глава 1. Основные понятия и определения
и может быть наглядно представле-
но сложной термодинамической по-
верхностью в декартовых координа-
тах, характеризующей равновесные
состояния однородной термодинами-
ческой системы (рис. 1.4). На этой по-
верхности каждому равновесному со-
стоянию системы соответствует опре-
деленная точка.
X. Камерлинг-Оннес назвал уравнение, в которое входит тем-
пература, термическим, в то время как уравнения с энерге-
тическими функциями,например
f(u, S, V) = О,
(1.8)
он же стал называть калорическим (тепловая энергия тогда
измерялась только в калориях). Эта терминология применяет-
ся и сейчас.
Очевидно, что в уравнении (1.7) независимых параметров
только два, а третий, например давление, может быть найден
через два других:
p=p(v,T). (1.9)
Конкретный вид термического уравнения зависит от свойств
веществ и совершенно различен для веществ в твердом, жидком,
газообразном и плазменном состояниях. Основной фактор, вли-
яющий на уравнение состояния, — интенсивность взаимодейст-
вия частиц ТРТ. Все уравнения состояния, применяемые в прак-
тических целях, получены из опытных данных, поэтому тер-
модинамику часто называют феноменологической научной
дисциплиной. В 1945 г. только для реальных газов было извест-
но около 150 уравнений состояния, а сейчас — более 400, для
жидкостей и твердых тел их еще больше. Казалось бы, парадокс,
но и уравнения состояния обычной воды до сих пор считаются
недостаточно изученными. Для других веществ, наоборот: термо-
динамика открыла широкие технологические возможности. По-
лучены уравнения состояния для алмаза, фианита, сапфира.
В частности, искусственные алмазы получают при давлении по-
рядка 1О10 Па и температуре 3000 К. Вспомогательным материа-
лом служит рубин, маленький кусочек которого, помещенный в
камеру высокого давления, по спектральной особенности своего
излучения свидетельствует о достигнутом давлении.
34
1.8. Проявление межмолекулярных сил
При изучении основ термодинамики исследуют, как прави-
ло, только лишь уравнения состояния идеальных газов и урав-
нение Ван-дер-Ваальса, дающее качественное представление
о переходе вещества из газообразного состояния в жидкое. Для
практических нужд в настоящее время частные, т. е. справед-
ливые только для определенного интервала термодинамиче-
ских параметров, уравнения состояния для реальных газов,
как правило, не используются, так как в результате обобщения
огромного экспериментального материала был открыт эмпири-
ческий закон соответственных состояний, суть которого
состоит в том, что все газы подчиняются одному уравнению со-
стояния (так называемому вириалъному уравнению), выра-
женному в приведенных параметрах (закон термодинамическо-
го подобия газов — см. разд. 1.10).
1.8. Проявление межмолекулярных сил
Под термином частица ТРТ будем далее понимать атомы,
ион!>1, молекулы, свободные электроны. Силы взаимодейст-
вия между частицами могут иметь механическую, электриче-
скую, магнитную или гравитационную природу. В частности,
межмолекулярные и межатомные силы подразделяются на:
• кулоновские — действующие между ионизированными
молекулами;
• магнитные — действующие между ферромагнитными,
диамагнитными или парамагнитными молекулами, на-
пример молекулами кислорода;
• короткодействующие (валентные) — приводящие к
образованию новых химических соединений;
• вандерваалъсовы — проявляющиеся между нейтраль-
ными частицами в процессах конденсации, растворения,
вязкости, образования кластеров, при сжатии реаль-
ных газов и подразделяющиеся на ориентационные
(между частицами с дипольным моментом), индукцион-
ные (между дипольными или заряженными и нейтраль-
ными частицами), дисперсионные (между любыми час-
тицами), резонансные (между частицами в одинаковом
квантовом состоянии).
3*
35
Глава 1. Основные понятия и определения
Потенциал (потенциальная энергия) U(r) и сила F кулонов-
ского взаимодействия (притяжения или отталкивания) между
частицами зависят от расстояния г между их центрами:
Щг)кул~1/г; ^кул~1/А (1.10)
Сила в потенциальном поле равна градиенту потенциала:
F = grad U(r), (1-11)
поскольку в общем случае
термодинамической силой называется векторная величина,
равная градиенту соответствующего термодинамического па-
раметра, не зависящего от массы вещества.
Потенциал и сила ориентационного взаимодействия полу-
чаются путем усреднения по всевозможным взаимным распо-
ложениям полярных частиц с учетом их теплового движения.
Для такого взаимодействия имеем
^(Нор
—— . F
Тгъ ’ ор
(1.12)
Индукционное взаимодействие возникает при поляризации
неполярной частицы под воздействием близко расположенной
полярной или заряженной частицы, а дисперсионное — под
воздействием энергии электромагнитного излучения с различ-
ными длинами волн.
Для индукционных, дисперсионных и резонансных взаи-
модействий справедливы следующие соотношения:
F~±. (1.13)
В общем случае даже между
двумя частицами могут возни-
кать несколько типов взаимо-
действия, причем существенный
вклад могут давать не только пар-
ные, но и более сложные (трой-
ные, четверные) взаимодействия,
поэтому на практике часто при-
меняют упрощенные зависимос-
36
1.9. Термические уравнения состояния идеального газа
ти, среди которых можно назвать потенциал взаимодейст-
вия Леннарда—Джонса (рис. 1.5):
' U{r) = 4епот[(^12 - (1.14)
где Епот — максимальная энергия притяжения (-гпот — глуби-
на потенциальной ямы); <5 — диаметр молекулы.
Зависимость (1.14) показывает, что на больших расстояни-
ях между центрами частиц (порядка 10 9 м) действуют силы
притяжения, убывающие с увеличением расстояния, а на ма-
лых (1О-10 м) — силы отталкивания, которые уменьшаются с
увеличением расстояния гораздо быстрее (левая часть графи-
ка на рис. 1.5). Численные значения параметров для наиболее
употребительных газов приведены в табл. 1.3.
Таблица 1.3
Газ Не н2 Аг Воздух n2 о2 СО со2 NO
^тгот’ 10~23 Дж 14,10 45,95 171,1 133,9 126,3 155,9 121,4 262,2 164,2
<У, 1010 м 2,576 2,968 3,418 3,617 3,681 3,433 3,541 3,996 3,470
Наиболее простая модель взаимодействия реализуется меж-
ду частицами идеального газа, т. е. такого газа, у которого и
диаметр частиц, и потенциал взаимодействия равны нулю,
т. е. межмолекулярные силы отсутствуют, а взаимодействие
может быть только лишь механическим как между абсолютно
упругими шарами. Многие реальные газы при небольших дав-
лениях могут рассматриваться как идеальные.
1.9. Термические уравнения
состояния идеального газа
I Идеальным называется газ, у которого диаметр частиц (мо-
лекул) и потенциал межмолекулярного взаимодействия равны
нулю.
В случае невыполнения хотя бы одного из этих условий газ
считается реальным.
37
Глава 1. Основные понятия и определения
В строгом смысле все существующие газы являются реаль-
ными, однако при достаточно низких давлениях и не очень
низких температурах отклонениями от идеальности можно
пренебречь.
Связь между параметрами состояния для идеального газа
описывается уравнением Менделеева—Клапейрона.
Поскольку оно широко используется, приведем его в раз-
личных формах записи:
pv = RT — для 1 кг; (1-15)
pV = mRT — для т кг; (1-16)
pV = RT— для 1 моль; (1.17)
pV = nRT—для и молей; (1-18)
Р = рЛГ; 1 (1.19)
f — для 1 м .
j, = CijRTl (1.20)
Здесь R = 8,31441 Дж/(моль • К) — молярная газовая
постоянная; R = R/m — удельная газовая постоянная,
Дж/(кг • К).
Численные значения молярных масс и удельных газовых
постоянных для часто встречающихся ТРТ приведены в
табл. 1.4.
С помощью (1.15) или любого другого из приведенных урав-
нений состояния можно дать формальное определение понятия
идеального газа: идеальным называется газ, подчиняю-
щийся уравнению состояния (1.15). Это уравнение было по-
лучено Клапейроном в 1834 г. путем объединения уравнений
законов Бойля—Мариотта и Гей-Люссака:
= const. (1-21)
Клапейрон установил, что постоянная величина в уравне-
нии (1.21) не зависит от состояния газа, а зависит только от
его свойств.
Уравнение (1.17) было выведено Д. И. Менделеевым в
1874 г. Он же нашел численное значение R для одного моля
газа при нормальных физических условиях (То = 273,15 К;
38
1.10. Термические уравнения состояния реальных газов
Таблица 1.4
Термодинамическое рабочее тело Молярная масса пг, кг/кмоль Удельная газовая постоянная R,, Дж/(кг • К)
Водород Н2 2,016 4124,3
Гелий Не 4,003 2077,2
Метан СН4 16,043 518,3
Аммиак NH3 17,031 488,2
Водяной пар Н2О 18,016 461,5
Азот N2 28,013 296,8
Оксид углерода СО 28,011 296,8
Воздух 28,96 287,1
Кислород О2 32,000 259,8
Диоксид углерода СО2 44,01 188,9
Фреон-12 120,92 68,76
р = 101325 Па). В соответствии с этим уравнением объем од-
ного моля любого газа при нормальных условиях есть величи-
на постоянная: Уо = 22,4 • 10 3 м3/моль.
1.10. Термические уравнения
состояния реальных газов
Для количественной оценки отклонения состояния реаль-
ного газа от идеального используют величину г\
pV _ pv
RT RT ’
(1.22)
которая называется сжимаемостью. Для идеальных газов
z = 1, а для реальных при небольших давлениях z < 1 и z > 1
39
Глава 1. Основные понятия и определения
Рис. 1 .6
при больших (рис. 1.6). При
р 0 сжимаемость реальных
газов стремится к единице. На
рис. 1.7 приведены зависимос-
ти сжимаемости некоторых га-
зов от давления при О °C. Из
графиков видно, что для реаль-
ных газов сжимаемость может
принимать значения больше и меньше единицы в зависимос-
ти от давления и физических свойств газа. На рис. 1.8 приведе-
на зависимость сжимаемости от давления и температуры для
азота. Хорошо видно, что отклонение от идеальности особенно
сильно проявляется при высоком давлении и низкой темпера-
туре, что обусловлено проявлением сил отталкивания с ростом
давления и реальным объемом, занимаемым частицами. А вы-
сокие давления и низкие температуры характерны для азотных
баллонов наддува баков ракет, погруженных в жидкий кисло-
род для большей вместимости газа в баллоне минимальной мас-
сы. Все это наглядно свидетельствует, что применение уравне-
ний Менделеева—Клапейрона для этих условий — неправомер-
но. В частности, экспериментальные данные для азота по
зависимости произведения pv от давления р при температуре
То = 273 К, приведенные в табл. 1.5, показывают, что уравне-
нием Менделеева—Клапейрона для идеального газа примени-
тельно к азоту можно пользоваться только до давлений 107 Па
(100 ата), в то время как реально эти давления могут составлять
400 ата и выше. Это же ограничение справедливо для большин-
ства реальных газов, которые используются в технике при ус-
ловии, если их состояние очень далеко от жидкой фазы.
40
1.10. Термические уравнения состояния реальных газов
Таблица 1.5
р, Па 105 107 2-Ю7 5 • 107 108
V, м3/кг 103 98,41 х х 107 52,41х х 10-7 27,8 х х 10“7 20,685 х х 10-7
pv, м3Па/кг 100 99,41 104,83 139 206,85
2 1 0,9941 1,048 1,39 2,068
Анализ расчетных и опытных данных показывает, что урав-
нения состояния идеального газа достаточно хорошо описыва-
ют поведение реальных газов при высоких температурах и ни-
зких давлениях, причем чем выше температура, тем для боль-
шего диапазона давлений справедливы уравнения (1.15)—(1.20),
поэтому их применяют даже для первого приближения расче-
тов генераторов и камер сгорания жидкостных ракетных двига-
телей, давление в которых может достигать 3 • 107 Па, а темпе-
ратура 3900 К.
Разумеется, приведенные выше границы применимости
уравнений состояний идеального газа для реальных рабочих
тел условны и носят качественный характер.
Для более точных расчетов соотношений между параметра-
ми реального газа необходимо пользоваться соответствующи-
ми уравнениями.
Для реальных газов было предложено большое число раз-
личных уравнений состояния, но наибольшую популярность
получил универсальный закон соответственных состоя-
ний, суть которого состоит в том, что все газы подчиняются
одному уравнению состояния, если оно выражено в приведен-
ных параметрах состояния, отражающих термодина-
мическое подобие реальных газов.
Речь идет о так называемом вириальном уравнении состоя-
ния Камерлинг—Оннеса, записанном в виде так называемой
У-формы:
Д.1 + вЩ + сШ + ^р+..„ (1.23)
R Т V V V
где В(Т), С(Т), D(T) — второй, третий и четвертый вириаль-
ные коэффициенты, зависящие от температуры.
41
Глава 1. Основные понятия и определения
Очень часто используют также и /2-форму записи вириаль-
ного уравнения:
= 1 + В'(Т)р + С'(Т)р2 + D'(T)p3 + ..., (1.24)
в котором коэффициенты с помощью предельных соотноше-
ний связаны с коэффициентами уравнения (1.23) следующим
образом:
В'(Т)=^;
RT
(RT)2
= Р(Т)-ЪВ(Т)С(Т) + 2В3(Т)
( } (ВТ)3
Запись в /2-форме используется более часто, так как при
расчете удобнее задаваться не объемом, а давлением.
В основу вириальных уравнений были положены принципы
статистической механики, которые учитывают силы меж-
молекулярного взаимодействия. Первый вириальный коэф-
фициент, равный единице, соответствует идеальному газу, вто-
рой — парным, третий — тройным и т. д. взаимодействиям
между частицами (имеются в виду коэффициенты без штрихов).
Вириальные уравнения неприменимы для ионизированно-
го газа (плазмы) из-за того, что силы взаимодействия медлен-
но убывают с увеличением расстояния.
На практике в правой части уравнения (1.23) оставляют
два и реже три слагаемых:
2=1+^); (L25)
2 = 1 + Щ+^ф; (1.26)
V V
2 = 1+ (1.27)
RT
Последнее уравнение р-формы для больших плотностей га-
за не годится.
42
1.10. Термические уравнения состояния реальных газов
Теория вириальных уравнений применима не только к тер-
мическому уравнению состояния, но и к описанию других
свойств газа: вязкости, скорости распространения звука, теп-
лоемкости. Вириальные коэффициенты находят обработкой
результатов измерений вязкости газов или рассчитывают по
известным потенциалам взаимодействия между частицами.
Например, для второго вириального коэффициента, в случае
если потенциал взаимодействия U(r) зависит только от рас-
стояния г, получено соотношение
В(Т) = 2kNa
г2 dr,
(1.28)
где NA — число Авогадро, J7(r) — потенциал взаимодействия,
к — постоянная Больцмана.
Во многих практических случаях для авиационной и ра-
кетно-космической техники применяют известное уравнение
Ван-дер-Ваальса, которое для 1 кг ТРТ имеет вид
а для 1 моль
^+^)(П-Ь') = Л7\
(1.29)
(1.30)
Это уравнение было получено Ван-дер-Ваальсом в диссер-
тации «О непрерывности газообразных и жидких состояний»
в 1873 г.
Параметры а и а' учитывают силы притяжения, а b и Ь' —
силы отталкивания. Величина Ь', именуемая эффективным
молекулярным объемом, по подсчетам Ван-дер-Ваальса,
оказалась в четыре раза больше действительного объема моле-
кул. Выражение во вторых скобках в (1.30) представляет собой
тот реальный (уменьшенный) объем, в котором могут двигаться
т-г а,
молекулы газа. Параметр часто именуют внутренним или
добавочным давлением, возникающим из-за межмолекуляр-
ного взаимодействия в реальных газах. Очевидно, что пренеб-
режение эффективным молекулярным объемом и добавочным
давлением приведет нас снова к уравнению идеального газа.
43
Глава 1. Основные понятия и определения
Уравнение (1.30) видах: можно представить в следующих трех a' р~ , „2; (1.31) V-b' V2
V3- + ^)п2 + -П-— =0; (1.32) Р J Р Р ’ z=J^~ (1.33) v-b' RTV
Во всех этих уравнениях молекулы представляются упру-
гими шарами и соблюдаются условия: V pub'V V, где а'
и Ь' — постоянные для конкретного газа.
Для баллонов со сжатым газом уравнения Ван-дер-Ваальса
не подходят, но процесс конденсации влаги при умеренных
давлениях они описывают приемлемо, но только качественно.
Эти уравнения — идеализация, но более близкая к реальности.
Если в уравнении Ван-дер-Ваальса для 1 кг вещества (1.29)
раскрыть скобки и расположить полученные величины по
убывающим степеням, то получится уравнение третьей степе-
ни относительно удельного объема газа:
pv3 - (bp + RT)v2 + av - ab = 0.
(1-34)
Из математики известно, что такое уравнение при задан-
ных значениях р и Т должно иметь три корня. При этом воз-
можны три расчетных случая:
• один корень мнимый и два действительных;
• три действительных равных корня;
• три действительных различных корня. ’
Если в проекции термодинамической поверхности на коор-
динаты р и v на так называемой рк-диаграмме построить ли-
нии постоянной температуры — изотермы, найденные по урав-
нению Ван-дер-Ваальса, то они будут иметь вид кривых, изо-
браженных на рис. 1.9.
Анализ кривых позволяет заключить, что при сравнитель-
но низких температурах они имеют в средней части волнооб-
разный характер с максимумом и минимумом. При этом чем
44
1.10. Термические уравнения состояния реальных газов
выше температура, тем коро-
че волнообразная часть изотер-
мы. Изобара АЕ, пересекаю-
щая изотерму, дает три дейст-
вительных значения объема в
точках А, С и Е (три различ-
ных действительных корня).
Наибольший корень, равный
удельному объему в точке Е,
относится к газообразному со-
стоянию вещества, а наимень-
ший (в точке А) — к жидко-
му состоянию. Участок кривой
ABCDE в реальности практически не существует и заменяется
горизонтальной линией АЕ, соответствующей двухфазному
состоянию — состоянию влажного пара. Участки EL и НА от-
носятся, соответственно, к перегретому пару и жидкости. Если
жидкость очень чиста, то при медленном расширении мож-
но придвинуться на некоторое расстояние вдоль кривой АВ.
В этих состояниях жидкость называется перегретой. Если
медленно сжимать пар, то при отсутствии в нем центров кон-
денсации можно добиться изменения вдоль кривой ED. Такой
пар называется переохлажденным. Состояния на линиях АВ
и ED являются метастабильными, т. е. слабо устойчивыми.
Достаточно небольшого возмущения, чтобы вещество перешло
в более устойчивое двухфазное состояние на прямой АЕ. Со-
стояние на участке BCD экспериментально не реализуется.
При некоторой температуре, называемой критической,
изотерма не будет иметь волнообразного участка. На этой изо-
терме есть лишь точка перегиба, касательная к которой долж-
на быть горизонтальной. Это соответствует второму случаю
решения уравнения Ван-дер-Ваальса, когда все три корня дей-
ствительные и равны между собой (точка К на рис. 1.9).
При температурах выше критической изотермы будут
иметь монотонно спадающий характер. Здесь будем иметь
один действительный корень.
Соединив точки М, А и К, получим нижнюю погранич-
ную кривую, на которой жидкость начинает кипеть, а соеди-
нив точки К, Е и N, — верхнюю пограничную кривую (ко-
нец кипения).
45
Глава 1. Основные понятия и определения
Таким образом, для реального вещества pv-диаграмму мож-
но разбить на три характерные области:
• область жидкого состояния, расположенную левее ниж-
ней пограничной кривой;
• область двухфазного состояния, расположенную между
пограничными кривыми;
• область перегретого пара, расположенную правее верх-
ней пограничной кривой и выше точки К.
Постоянные а и Ь, равно как и а' и Ъ', входящие в уравнение
Ван-дер-Ваальса, вычисляются из решения для критической
изотермы, когда все корни одинаковы. Тогда (v - t>K)3 = 0 и
v3 - 3vv2 + 3v2v - v3 = 0.
(1.35)
Сравнивая почленно это выражение с уравнением (1.34),
получаем
, . RTK о а _ 9 ab ,
Ь + -- = 3t> , — = 3v2 , — = v°
Рк Рк Рк
откуда
(1.36)
я 3pKvK , Ь £ , R
Постоянные я и & в уравнении Ван-дер-Ваальса (1.29) мож-
но получить из соотношений (1.36), заменяя як через другие
критические параметры
27
а = ---
64 рк
(1-37)
;
’ 8 Рк
Соотношения (1.36) и (1.37) имеют важное практическое
значение, так как дают возможность, используя эксперимен-
тальные величины рк и Тк, рассчитать постоянные а и Ь и най-
ти соотношения между параметрами состояния газа Ван-дер-
Ваальса.
Значения постоянных я и & некоторых рабочих тел приве-
ду
дены в табл. 1.6. Для отношения -, называемого крити-
Р vPv.
ческим коэффициентом, с учетом соотношений (1.36) и (1.37)
получим
ЛГ 8
^=^ = з=2’67- (Е38)
46
1.10. Термические уравнения состояния реальных газов
Как видно, величина Кк — постоянная и не зависит ни от
значений критических параметров, ни от величин постоян-
ных а и Ь.
В табл. 1.6 приведены экспериментальные значения Кк для
ряда реальных рабочих тел. Видно, что значения Кк находятся
в интервале от 3,33 (этилен) до 4,26 (аммиак) и существенно
отличаются от значения Кк = 2,67, полученного для газа
Ван-дер-Ваальса.
Таблица 1.6
Газ Постоянные Критические параметры RT к = —5 Prvk
а • 106, Па • см6/кг h й ес S л температура, Тк,К давление, Рк, МПа плотность, рк, кг/м3
Азот 1,345 38,6 126,1 3,28 311 3,54
Аргон 1,333 32,3 150,8 5,20 531 3,54
Водяной пар 5,38 30,6 647,3 22,16 325 4,60
Водород 0,241 26,6 33,3 1,25 31 3,49
Гелий 0,0323 23,4 5,3 0,22 69 3,48
Кислород 1,323 31,9 154,4 4,98 430 3,56
Аммиак 4,12 37,3 408,7 11,18 235 4,26
Метан 2,21 42,8 190,8 3,39 162 3,56
Окись углерода 1,43 39,4 133,6 3,48 311 3,66
Углекислый газ 3,53 42,8 304,1 7,38 460 3,66
Хлор 6,37 56,2 417,0 7,45 573 3,74
Этилен 4,4 57,2 282,7 5,00 220 3,33
47
Глава 1. Основные понятия и определения
Таким образом, в критической точке наблюдается отступ-
ление от уравнения Ван-дер-Ваальса, которое, однако, и в
этих условиях является более точным, чем уравнение состоя-
ния идеального газа.
Подстановка выражений (1.36) в уравнение (1.29) дает воз-
можность осуществить его запись в безразмерном виде
(й + Д)(3® ~ 1) = 8т, (1.39)
где й = р/р,„ й = р/рк, т = Т/Т^ — безразмерные переменные,
называемые приведенными параметрами.
Последняя форма записи не содержит ни одной константы,
которая была бы связана с индивидуальными свойствами ве-
ществ (величины a, b, R). Следовательно, это уравнение спра-
ведливо для любых газов Ван-дер-Ваальса.
Большинство других существующих термических уравне-
ний реального газа применимо лишь в узком интервале пере-
менных и содержат ряд трудно определяемых констант. В свя-
зи с этим в инженерной практике они применяются в виде
различных таблиц и диаграмм.
Однако для нахождения параметров состояния реальных
газов можно использовать уравнение состояния в приведен-
ном виде
й = /(й, т), (1-40)
которое получило название приведенного уравнения со-
стояния реального газа.
Состояния двух или нескольких веществ, которые имеют
одинаковые параметры й, йит, называются соответствен-
ными состояниями. Так как в критических точках приведен-
ные параметры всегда равны единице, то критические состоя-
ния являются всегда соответственными для всех веществ.
Если любые два или несколько веществ, удовлетворяющих
одному и тому же приведенному уравнению состояния, имеют
какие-либо два одинаковых приведенных параметра, то и тре-
тий приведенный параметр у них будет одинаков. Это утверж-
дение известно как закон соответственных состояний.
Из этого закона следует, что критические коэффициенты ве-
ществ должны быть равны. В действительности же для реаль-
ных рабочих тел критический коэффициент постоянным не
является (см. табл. 1.6).
48
1.10. Термические уравнения состояния реальных газов
Следовательно, не все вещества строго подчиняются закону
соответственных состояний. Однако на практике это отступле-
ние во многих случаях можно не учитывать.
Термодинамические рабочие тела, подчиняющиеся закону
соответственных состояний и удовлетворяющие одному и то-
му же приведенному уравнению состояния, называются тер-
модинамически подобными. Термодинамическое подобие
позволяет судить о свойствах одного вещества, если известны
свойства другого.
Для термодинамически подобных газов можно построить
единую z я -диаграмму (рис. 1.10), которая базируется на экс-
периментальных данных. Создав такую диаграмму для одного
Приведенное давление, р/рк
Рис. 1.10
4 - 5580
49
Глава 1. Основные понятия и определения
из достаточно хорошо изученных рабочих тел, можно опреде-
лить неизвестные свойства другого термодинамически подоб-
ного ему рабочего тела, даже не зная конкретного вида приве-
денного уравнения состояния.
Например, определение удельного объема или плотности
малоизученного вещества при температуре Т и давлении р
производится следующим образом. По критическим парамет-
рам вещества рассчитывают значения приведенных парамет-
ров й = р/рк и т = Т/Тк. Затем, зная й и т, по зй-диаграмме
определяется сжимаемость з.
Значение удельного объема рассчитывается с использова-
нием формулы (1.22):
RT
v = з— .
Р
Необходимо отметить, что для многих веществ закон соот-
ветственных состояний выполняется весьма приблизительно.
Поэтому точность расчетов, основанных на термодинамиче-
ском подобии веществ, как правило, не превышает 15% .
1.11. Термодинамические процессы
Под термодинамическим процессом понимается непре-
рывное изменение состояний системы. Причиной термодина-
мических процессов является наличие в термодинамической
системе обобщенных термодинамических сил, определяемых
как градиенты параметров состояния: gradр, grad Т и т. д.
В изолированной термодинамической системе процессы идут
в направлении, приближающем систему к состоянию равнове-
сия. При достижении равновесия градиенты исчезают и процес-
сы прекращаются.
В открытой термодинамической системе процессы и свя-
занные с ними силы также стремятся к состоянию равнове-
сия. Однако внешние воздействия могут поддерживать гради-
енты, и поэтому неравновесность сохраняется. В зависимости
от характера внешних воздействий система при этом может
находиться в стационарном состоянии, приближаться к
равновесию или удаляться от него. В стационарном состоянии
параметры системы во всех точках остаются неизменными.
Состояние равновесия также является стационарным, но оно
возможно лишь как конечное состояние изолированной ТС.
50
1.11. Термодинамические процессы
Летательные аппараты, живые организмы, планеты, звез-
ды относятся к неравновесным ТС. Достижение равновесия
для живого организма означает его смерть.
В термодинамике используется термин равновесный про-
цесс. В буквальном смысле — это процесс, при протекании кото-
рого система в любой момент находится в состоянии равновесия.
Но в равновесной системе процессы невозможны. Следовательно,
это понятие, строго говоря, некорректно. В дальнейшем под
равновесием будем понимать квазиравновесный процесс, при
протекании которого система проходит ряд квазиравновесных
состояний. Поскольку градиенты при этом бесконечно малы, то
этот условно названный равновесным процесс протекает беско-
нечно медленно.
Идеализированное понятие равновесный процесс позволяет
в уравнениях классической термодинамики отказаться от ис-
пользования времени и пространственных координат. Задать
конкретный процесс — значит указать последовательность изме-
нения состояний системы. Равновесные процессы изображаются
на термодинамической поверхности или на ее плоских проекци-
ях (в координатах pV, рТ или VT) в виде непрерывных линий без
указания временных отметок и пространственных координат.
При этом удобнее использовать не пространственные трех-
мерные изображения линий процессов, а их двухмерные про-
екции на координатные плоскости pV,pT, VT.
Изображение линий термодинамического процесса на плос-
кости pV называется />У-диаграммой.
Каждый термодинамический процесс, изображенный линией
на плоскости, отображает совокупность последовательных рав-
новесных состояний системы, выраженных в виде зависимости
одного параметра от другого при постоянстве значения третьего
параметра или при каких-то других определенных условиях.
На рис. 1.11 и 1.12 в координатах pV в качестве примера
приведены процессы 1—2 и 2—3, 1—а—2-, 2—Ъ—1.
4*
51
Глава 1. Основные понятия и определения
Последовательный набор повторяющихся процессов назы-
вается термодинамическим циклом. Цикл может быть как
замкнутым (см. рис. 1.12), так и разомкнутым (см. рис. 1.11).
Для разомкнутых циклов возвращение ТС в исходное состоя-
ние осуществляется с помощью условного замыкающего тер-
модинамического процесса.
1.12. Смеси идеальных газов
В качестве ТРТ используются не только однородные (чис-
тые) газы, но и смеси газов, например атмосферный воздух,
состоящий из 21% -кислорода и 79% азота (приближенно).
Состав газовой смеси задается по-разному:
• массами отдельных компонентов т^,
• массовыми долями <в; = т^/т (отношениями масс mt к
массе всей системы т = £ m,)J
i
• количеством молей отдельных компонентов
• мольными долями xL = njn, где п = £
i
Сумма всех долей равна 1, т. е. £ = 1; S = 1.
i i
Все параметры ТРТ, представляющего собой смесь газов,
могут быть найдены независимо от способа задания смеси.
Рассмотрим в качестве примера определение молярной мас-
сы смеси. По определению для отдельного газа и всей смеси
имеем
mi = mjrit', nt = т/п.
Выразим правую часть последнего выражения сначала че-
рез массовый, а затем через мольный состав:
52
1.12. Смеси идеальных газов
В зависимости от способа задания смеси будем пользовать-
ся одним из полученных соотношений:
1 <в;
— = L — или т = S (1-43)
m lml i
которые в дальнейшем позволят определить удельную газо-
вую постоянную смеси'.
п R 8,314 Дж/(моль • К) ...
R = — = ------=—. (1-44)
т т
(1-45)
(1-46)
(1.47)
Установим связь между массовыми и мольными долями.
Из определения следует, что
mt = rhyif, а т= тп.
Разделим первое выражение в (1.45) на второе
mt mt
т т п ’
а с учетом введения понятий долей будем иметь
m-t , ,
со, = — х. или тп®, = т-х-.
1 7TL 1 1 11
Рассмотрим особенности идеальных газовых смесей. Урав-
нения состояния для отдельной составляющей и всей смеси
имеют вид
piV=niRT-, (1.48)
pV^niRT-, (1.49)
pV=nRT. (1.50)
Здесь Pt — парциальное давление z-ro газа (давление от-
дельного газа в объеме смеси и при температуре смеси), a V\ —
приведенный объем z-ro газа (объем отдельного газа при дав-
лении и температуре смеси).
Разделив (1.48) и (1.49) на (1.50) и учтя определение моль-
ной доли,получим
53
Глава 1. Основные понятия и определения
откуда, в частности, будем иметь
А = (1.52)
Суммируя это соотношение по всем веществам и учитывая,
что £х; = 1, получаем известный закон Дальтона'.
= (1.53)
i
Кроме того, из соотношения (1.51) следует, что способы за-
дания смеси через количество молей и объемы отдельных со-
ставляющих равнозначны. Вспомним, что xt = Vt/V, и, учиты-
вая, что Vt = ntVt, а V = nV, а также то, что, согласно закону
Авогадро, объем молей всех газов при одинаковых условиях
постоянен (Vi = V), получим
В ряде практических случаев требуется найти плотность и
температуру газовой смеси, для чего выполним следующие
преобразования:
Р = | S L pzVf = L = L xiPi, (1.55)
а поскольку p = pRT, то температура смеси определится из
аналогичного выражения:
Т=ЪхД\. (1.56)
i
Необходимо иметь в виду, что все параметры смеси лежат в
интервале от минимального до максимального значения ка-
кой-либо из составляющих, но ближе к параметрам той соста-
вляющей, доля которой больше.
1.13. Формы движения и виды энергии
Существуют два основных вида материи — вещество и
поле. Вещество обладает массой покоя. У поля масса покоя
равна нулю.
Материя постоянно находится в движении, под которым
понимается всякое изменение состояния. Выделяют три ха-
рактерные группы форм движения:
54
1.14. Внутренняя и внешняя энергии
• в неорганической природе;
• в живой природе (флора и фауна);
• в обществе (общественные организмы и социальные орга-
низмы).
Каждая из этих групп, в свою очередь, подразделяется на
формы движения, соответствующие классификации по бо-
лее частным признакам. При этом в зависимости от набора
признаков можно предложить различные классификации.
В классической термодинамике рассматриваются, глав-
ным образом, формы движения в неживой природе, а в нерав-
новесной термодинамике — полный набор известных форм
движения.
Примеры форм движения в неживой природе: поступатель-
ная, вращательная, колебательная, деформационная, тепло-
вая, химическая, ядерная, полевая.
Каждая из этих форм также может быть подразделена на
более частные, например колебательное движение может быть
продольным, поперечным, изгибным, кручения, сдвига и т. д.
Полевая форма движения может быть связана с полями:
электростатическим, магнитостатическим, электромагнит-
ным (излучение), гравитационным.
В дальнейшем по мере необходимости будут упоминаться и
другие формы движения.
В термодинамике каждой форме движения соответствует
определенный вид энергии. В качестве примеров назовем
следующие виды энергии: кинетическая поступательного дви-
жения, кинетическая вращательного движения, колебатель-
ная, упругой деформации, тепловая, химическая, ядерная,
полевая. Все виды энергии классическая термодинамика рас-
сматривает только на макроуровне, т. е. на уровне ТРТ.
1.14. Внутренняя и внешняя энергии
Представим энергию W термодинамической системы, на-
ходящейся во внешней среде, как сумму внутренней £7 и
внешней Е энергий:
W=U + E. (1.57)
Внутренняя энергия — это сумма энергозатрат на обра-
зование системы из исходных элементов. Энергиям, находя-
55
Глава 1. Основные понятия и определения
щимся в начальных состояниях исходных элементов, мо-
гут быть присвоены любые (даже нулевые) значения. В каче-
стве таких элементов могут выступать атомы, молекулы или
простые вещества, находящиеся в определенном состоянии.
Внешняя энергия — это сумма энергозатрат на то, чтобы
разместить систему в конкретных условиях окружающей сре-
ды. Если термодинамическая система массы т движется со
скоростью w как единое целое, то ее кинетическая энергия
„ _ тшг
-^КИН — 2 '
Потенциальная же энергия системы определяется гравита-
ционным полем (высотой zBbIC центра масс системы над уров-
нем моря, принимаемым за нуль отсчета), и ускорением силы
тяжести g:
Е = mgz
Внутренняя энергия U — это энергия, заключенная в тер-
модинамической системе и зависящая только от ее собствен-
ного состояния. Она равна сумме всех видов энергии движе-
ния и взаимодействия частиц, составляющих систему: внут-
ренней кинетической энергии теплового движения молекул,
внутренней потенциальной энергии взаимодействия молекул
и нулевой энергии (внутренняя энергия при температуре абсо-
лютного нуля):
^=^кин + ^поТ+^0- (1-58)
Полная внутренняя энергия термодинамической системы
слагается не только из энергии образующих ее молекул, но
включает также и внутримолекулярную и внутриатомную
энергии, которые обусловлены взаимодействием атомов и
электронов друг с другом и с ядрами атомов. При темпера-
туре абсолютного нуля все эти составляющие, в отличие от
тепловой энергии, не равны нулю, а следовательно, и внутрен-
няя энергия никогда не может быть равна нулю.
В термодинамике рассматривается не абсолютное значение
внутренней энергии, а только ее относительное изменение,
происходящее в различных процессах, а поэтому С70 может
считаться нулевым уровнем энергии Uo = 0, от которого удоб-
но отсчитывать все изменения энергии при анализе различ-
ных процессов ее превращения.
56
1.14. Внутренняя и внешняя энергии
Внутренняя потенциальная энергия взаимодействия моле-
кул С7П0Т зависит от расстояния между молекулами и от их
взаимного расположения. Она определяется суммированием
потенциалов взаимодействия (см. разд. 1.8) всех возможных
пар молекул.
Кинетическая энергия теплового движения молекул опре-
деляется в виде суммы таких составляющих, как поступа-
тельная, вращательная и колебательная энергии'.
^КиН = ^посТ+^вр + ^кол- (1.59)
Интенсивность каждого вида движения молекул зависит от
температуры газа. При повышении температуры, т. е. при на-
гревании системы, и скорость, и кинетическая энергия моле-
кул возрастают.
Внутренняя энергия U зависит и от объема, занимаемого
ТРТ, поскольку от него зависят расстояния между молекула-
ми: U = f(V, Т).
В идеальном газе силы дальнодействия между молекулами
отсутствуют (потенциальная энергия равна нулю), а объем,
который они занимают, тоже равен нулю (см. разд. 1.9), сле-
довательно, внутренняя энергия идеального газа состоит толь-
ко лишь из кинетической энергии движения молекул, т. е. оп-
ределяется одной только температурой U = f(T). Вид этой
функции позволяет установить молекулярно-кинетическая
теория идеального газа:
^ПОСТ=|^Г, (1.60)
где п — число частиц.
Представим теперь внутреннюю энергию всеми ее состав-
ляющими:
U = + ^пот + ^яд + ^хим. св + ^тепл +
^пов. нат + ^мак. дв ^упр. деф ^Лгол’
т. е. постоянной величиной, связанной с выбором нуля отсчета
внутренних энергий, кинетической энергии движения системы,
потенциальной энергией взаимодействия между частицами,
ядерной, химических связей между атомами, тепловой, энерги-
ей поверхностного натяжения, энергией макроскопического
движения внутри системы, упругих деформаций и полевой.
57
Глава 1. Основные понятия и определения
По поводу составляющих внутренней энергии можно отме-
тить следующее:
• внутренняя энергия в термодинамике определяется с
точностью до постоянной Uo, которая выбирается исходя
из удобства вычислений и часто просто равна нулю;
• в списке слагаемых внутренней энергии те компоненты,
которые в исследуемом процессе не изменяются, могут
не учитываться. Например, при отсутствии ядерных пре-
вращений или химических реакций соответствующие
компоненты просто отбрасываются;
• тепловую энергию ТРТ можно представить как сумму
кинетической энергии поступательного движения моле-
кул относительно центра масс ТРТ, кинетической энер-
гии вращательного движения молекул относительно соб-
ственных центров масс, энергии колебательного движе-
ния атомов в молекуле, энергии возбуждения электронов
в атомах и молекулах;
• энергия поверхностного натяжения имеется у всех кон-
денсированных (жидких и твердых) тел. Если тело не
слишком мало, то этой энергией можно пренебречь, но
для частиц эмульсии или тумана энергия поверхностного
натяжения существенна;
• примерами макроскопических движений являются вра-
щение маховика, течение потоков жидкости и газа, при-
чем эти движения происходят внутри системы в связан-
ной с ней системой координат;
• примерами упругих деформаций являются сжатие—рас-
тяжение пружины, изгиб и растяжение мембран внутри
системы или за счет приложения внешних сил, прикла-
дываемых на границе системы;
• полевая энергия складывается из энергий магнитного,
электростатического, электромагнитного и гравитацион-
ного полей, генерируемых внутри самой системы либо
проникающих туда извне;
• для идеального газа слагаемыми внутренней энергии ос-
таются только лишь энергии поступательного и враща-
тельного движений.
58
1.16. Способы энергомассообмена
1.15. Энтальпия
Как будет видно из дальнейшего, важную роль в самых раз-
нообразных термодинамических расчетах играет сумма внут-
ренней энергии системы и произведение давления в системе р
на ее объем V, которую ввел в практику тепловых расчетов
Дж. Гиббс и которая по предложению X. Камерлинг-Оннеса
была названа энтальпией:
Н = U + pV или для 1 кг h = и + pv, (1.62)
где U — внутренняя энергия для произвольного количества
газа; pV — работа, которую надо затратить, чтобы раздвинуть
среду и поместить в нее термодинамическую систему.
v
При р = const имеем f р dV = pV. Произведение pV можно
о
интерпретировать как потенциальную энергию сжатого газа.
Таким образом, энтальпия — это полная энергия не-
подвижного ТРТ, находящегося в поле сил давления ок-
ружающей среды.
1.16. Способы энергомассообмена
Существуют три способа энергомассообмена между тер-
модинамической системой и окружающей средой: теплооб-
мен, совершение работы и массообмен.
Теплота — это количество тепловой энергии, которой об-
менялись в конкретном термодинамическом процессе термо-
динамическая система и окружающая среда. Подчеркнем, что
теплота — это порция тепловой энергии, которая пе-
ресекла границу системы в том или ином направле-
нии. Теплота, поступающая в систему или выходящая из нее,
может содержать как энергию хаотического движения час-
тиц, так и энергию их упорядоченного движения. Примером
может служить истечение продуктов сгорания из реактивных
сопел двигателей.
Совершение работы — это обмен между системой и окру-
жающей средой упорядоченной энергией. Известно большое чис-
ло видов работы: работа объемной деформации (изменения объ-
ема и формы), проталкивания (преодоление гидродинамического
59
Глава 1. Основные понятия и определения
сопротивления движению), техническая (заданное перемещение
или полезная деформация ТС-машины или ТС-орудия), пре-
одоление сил трения, работа против сил поверхностного натяже-
ния, намагничивания, электростатической поляризации и т. д.
Любая элементарная работа есть произведение термо-
динамической силы на элемент термодинамической коор-
динаты (как правило, слово «термодинамический» опускают
и говорят просто о силе и координате). Например, для работы
объемной деформации (работы по преодолению внешних сил):
8L=pdV, (1.63)
где р — давление (сила), a dV — изменение объема (коорди-
ната).
Для уравнения (1.63) часто вводятся понятия работы
сжатия, когда ТРТ сжимается (объем уменьшается), и рабо-
ты расширения.
Работа проталкивания ЪЬр = V dp, работа техническая 8LTex =
= R dx, где R— сила реакции, работа трения 8LTp = F,rp dx
и т. д. имеют один и тот же математический вид
8A = Fdx (1.64)
и поэтому могут именоваться частными случаями обобщен-
ной термодинамической работы, равной произведению
обобщенной термодинамической силы на обобщенную
термодинамическую координату.
Аналогичный вид имеет формула и для теплоты:
8Q = TdS, (1.65)
где Т — температура на границе системы, a dS — координата,
представляющая собой еще одну широко применяемую термо-
динамическую функцию — энтропию, которую в виде
dS=^ (1.66)
предложил Р. Клаузиус. В этом выражении температура Т явля-
ется интегрирующим делителем, позволяющим энтропии иметь
полный дифференциал, обладать свойством аддитивности и по-
тенциальности, как и рассмотренным ранее внутренней энергии
и энтальпии. Энтропия — функция, определяющая меру хаоса,
поэтому кроме заложенного в нее теплового смысла она исполь-
60
1.17. Классификация термодинамических параметров
зуется и в вероятностных статистических расчетах. Базируясь на
предварительных расчетах и идеях Л. Больцмана, Дж. Гиббс
предложил такое статистическое выражение для энтропии:
S = к In W, (1.67)
где к — постоянная Больцмана, &W — вероятность состояния
системы.
Термин энтропия образован от греческого корня «тропэ»,
обозначающего «превращение», к которому Клаузиус добавил
приставку «эн». Этой приставкой Клаузиус подчеркнул родст-
во введенного им в науку понятия с уже общепризнанным в то
время понятием энергия. Корень «тропэ» Клаузиус употре-
бил потому, что с помощью энтропии удалось проанализиро-
вать процессы превращения тепловой энергии в полезную ме-
ханическую работу.
1.17. Классификация
термодинамических параметров
Детальной классификацией огромного числа параметров
состояния термодинамических систем никто еще пока не за-
нимался. Что касается наиболее часто употребляемых пара-
метров — особенно в таких сравнительно простых системах,
которые рассматриваются в настоящем учебном пособии, то
для них укажем лишь на три классификационных признака:
• параметры состояния и параметры процесса;
• параметры независимые и зависимые;
• параметры интенсивные и экстенсивные.
П араметрами состояния (из рассмотренных ранее) яв-
ляются: р, V, v, Т, т, U, и, Н, h, S, з. Эти параметры опреде-
ляются исключительно координатами фигуративных точек
на термодинамической поверхности или на ее проекциях.
Параметры процесса характеризуют процесс. Параметры
процесса, связанные с передачей энергии, при обращении
процесса в обратном направлении меняют свой знак (Q, L, АН,
AU, AS).
У параметров состояния знак может и не меняться (если не
осуществляется переход через нуль).
61
Глава 1. Основные понятия и определения
Зависимые параметры или функции термодинамиче-
ских состояний и процессов определяются через заданные
условиями задачи исходные параметры, называемые
независимыми.
Экстенсивными параметрами называются такие термо-
динамические величины, которые обладают свойством дели-
мости или аддитивности (сложения): т, п, V, U, Н, S, а также
время, длина, площадь, стоимость и т. д. Интенсивные пара-
метры'. р, Т, v, р, V, т, R, R и т. д. применимы для любых
Экстенсивные
параметры
порций ТРТ и свойством адди-
тивности не обладают. Экстен-
сивные параметры характери-
зуют систему лишь в целом, а
интенсивные могут характери-
зовать ее и в каждой точке, и в
целом (поле параметров в не-
равновесной термодинамике).
Если равновесную систему
Интенсивные
параметры
Рис. 1.13 разделить на несколько под- систем (рис. 1.13), то интен-
сивные свойства каждой из подсистем будут такими же, как и
у системы в целом, в то время как экстенсивные свойства сис-
темы в целом будут равны сумме соответствующих экстенсив-
ных свойств подсистем.
ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЕ
1. Перепад давления на СЛобразном ртутном манометре со-
ставляет 200 мм. Уровень ртути в трубке, сообщающейся с
атмосферой, выше другого уровня. Барометрическое дав-
ление в момент измерения 750 мм рт. ст., а температура
воздуха 25 °C.
Найти давление в сосуде и выразить его в атмосферах, пас-
калях и барах.
Решение.
Z Так как с изменением температуры изменяется плотность
ртути, то при измерении давления ртутными манометрами не-
обходимо учитывать не только их показания, но и температу-
ру ртути.
62
Задачи и их решение
В первую очередь показания прибора приводим к О °C по-
средством введения поправок на коэффициент объемного рас-
ширения ртути:
/г0 = /г(1 - 0,000172г) =
= 200(1 - 0,000172 • 25) = 199 мм рт. ст.
/ С учетом того, что уровень ртути в трубке, сообщающейся
с атмосферой, выше другого уровня, следует, что давление в
сосуде больше атмосферного. Приборы, предназначенные для
измерения давления, показывают избыточное давление.
При определении абсолютного давления учитываем вели-
чину барометрического давления:
Р = А>ар +/?ман = (750 + 199)y^-g = 1,29 ата =
= 1,29 • 9,81 • 104 Па = 1,26 • 105 Па = 1,26 бар.
2. Вычислить молярную массу и удельную газовую постоян-
ную воздуха, если известны молярные доли составляю-
щих воздух азота, кислорода и аргона:
xNa = 0,7811; хОг = 0,2096; хАг = 0,0093
и молярные массы составляющих:
28,01-103
тп = 32,00-10"3
U2
тАг = 39,95 • 10~3
Решение.
/ Молярную массу воздуха рассчитываем с учетом долей ее
составляющих:
т = S
/ Поскольку учитываются три составляющие, то имеем:
т = 0,7811 • 28,01 • 10"3 + 0,2096 • 32,00 • 10"3 +
+ 0,0093 • 39,95 • 10"3 = 28,96 • 10"3 .
’ ’ ' ПЛ-/ЛТТТ-
МОЛЬ ’
кг .
моль ’
кг
моль *
63
Глава 1. Основные понятия и определения
/ Удельная газовая постоянная
=, 8,314
R= R = моль • К = 287 i Дж
“ 28,96-10~3——— ’ КГ'К'
МОЛЬ
Комментарий. Согласно стандарту ГОСТ 4401—73 «Меж-
дународная атмосфера» удельная газовая постоянная для воз-
духа R = 287,05287 .
3. Газовая смесь в сосуде состоит из 5 кг диазота N2, 2 кг ДИ-
оксида углерода СО2 и 3 кг паров воды Н2О. Рассчитать
парциальные давления составляющих смеси pt, молярную
массу смеси т и молярные доли смеси xt, если объем сме-
си V = 2 м3 и температура Т = 500 К.
Решение.
/ Определяем молярные массы компонентов смеси —
= Afz‘10”3, количества веществ nt = mjm^ молярные доли
xi nJn и количество вещества смеси п = L nt.
7=1
Результаты расчета сводим в следующую таблицу.
i Вещество тп;, кг 7П;, кг/моль nt, моль xi
1 n2 5 28 0,028 178,57 0,457
2 СО2 2 44 0,044 45,46 0,116
3 Н2О 3 18 0,018 166,67 0,427
/ Определяем молярную массу смеси:
т Im, in
т = — = —— = „„„ „ = 0,0256 кг/моль.
п Ъп1 390,7 '
J Определяем парциальные давления составляющих смеси:
Pt = n.RT/V,
„8,31441 • 500
= 178,57-----g----- = 371 176 Па’
8,31441 -500 пл лппгг
рсо = 45,46-----5----- = 94 493 Па,
1Й_ „„8,31441 • 500 o4«QQQrT
рн о = 166,67----------- = 346 399 Па.
2
64
Задачи и их решение
/ Давление смеси находим по закону Дальтона
р = S pt = 812 068 Па.
4. Рассчитать кривую для потенциалов взаимодействия Лен-
нард а—Джонса для газообразного азота N2, если глубина
потенциальной ямы е = 126,3 • 10-23 Дж, а средний диа-
метр молекул о = 3,681 • 10 10 м.
Решение.
/ Потенциал взаимодействия Леннарда—Джонса описывает-
ся выражением
качественный вид потенциала приведен на рис. 1.5, при
г = О и U(r) = 0.
/ Минимальное значение потенциала соответствует случаю,
когда U(г) = епот. При этом г принимает минимальное значение
« - d!7(r) о о
rmin, которое может быть найдено из равенства = 0. Взяв
первую производную от выражения, которое стоит в квадрат-
ных скобках, имеем:
ф12 (-уб о6
12-V - 64- =0 или 2~ = 1,
у 1О у I уО
' min ' min min
откуда
rmin = 672 • о = 1,122 • о = 4,13 • 1О-10 м.
/ Задаваясь численным значением г в интервале от 0 до о, а в
дальнейшем от о до rmin и произвольным значением г > rmin,
имеем в области отталкивания при = | о = 1,8405 • 10-10 м:
U(r) = 4 • 126,3 • 10-23(212 - 26) =
= 4 • 126,3 • 10-23(4096 - 64) = 2,036 • 10’17 Дж,
в области притяжения при г2 = 4,090 • 10 10м (о = 0,9 • г2):
С7(г) = 4 • 126,3 • 10 23(0,912 - 0,96) = -1,258 • 10’21 Дж.
5. Найти и изобразить с помощью уравнения Ван-дер-Вааль-
са на рТ-диаграмме область, в пределах которой сжима-
емость метана СН4 находится в интервале значений 0,99 <
< z < 1,01. В расчетах принять а' = 0,229 Па*м6/моль2,
Ь' = 42,8 • 10“6 м3/моль.
5 - 5580
65
Глава 1. Основные понятия и определения
Решение.
/ Уравнение Ван-дер-Ваальса в записи для одного моля ве-
щества имеет вид
(Р + )(^ - Ъ') = RT,
где
R = 8,31441 Дж/(моль-К).
/ В данной задаче фактически требуется найти параметры р,
Т и V вдоль линий, на которых z = 0,99 и z = 1,01. Кроме урав-
нения Ван-дер-Ваальса, имеется еще уравнение z = pV/RT.
Всего имеем три переменных: р, Т и V.
Следовательно, одной переменной, например Т, следует за-
даться.
/ Исключив V в формуле определения z, получим уравне-
ние Ван-дер-Ваальса в следующем виде:
(р + -Л^2- Y - Ъ') = RT
I zzRzTz )\ Р /
или
2 а^ + fb, _ _а^_ \ + - Z) = 0.
z2RT2 V zRT )
Решение данного квадратного уравнения имеет вид
2аЬ \_zRT v zRTJ (zRT) J
Знак минус перед радикалом из решения исключается, так
как в противном случае получается отрицательное давление.
Задаваясь численными значениями температур, рассчиты-
ваем значения давлений для z = 0,99 и z = 1,01, заносим в
таблицу и строим график (рис. 1.14).
т, к р • 10 6, Па
z = 0,99 z = 1,01
100 16,94 17,29
150 23,69 24,19
200 29,28 29,93
66
Задачи и их решение
Окончание табл.
т, к р • 10’6, Па
z = 0,99 z = 1,01
250 33,71 34,52
300 36,98 37,96
310 37,49 38,51
320 37,96 39,02
330 38,38 39,48
340 38,75 39,99
Рис. 1.14
6. В баллоне вместимостью 40 л заключен азот под давлени-
1—1 ем 75 бар и температурой 20 °C. Пользуясь уравнениями
Ван-дер-Ваальса и идеального газа, определить удельный
объем азота и сравнить полученные результаты. При ре-
шении задачи считать известными молярную массу т--^ =
= 28,01 • 10-3 кг/моль и критические параметры Тк = 126 К,
рк = 32,8 бар.
Решение.
/ Определяем удельную газовую постоянную азота:
Д-^28.0131?0*-296-8Д^КГ-К)-
5- 67
Глава 1. Основные понятия и определения
/ Определяем удельный объем азота по уравнению состоя-
ния идеального газа:
RT 296,8-(273 4-20) ПП11С ,,
v = — =------ ----------- = 0,0116 м3/кг.
р 75 • 105
/ Находим константы в уравнении Ван-дер-Ваальса через
критические параметры:
27 R2T2 а= ал 64 рк = 27 (296,8)2 :(12б)2 = 64 32,8-10-5 1»0м/кг,
1 RTk 8 рк 1 296,8-126 ппп1.Ок з/ 8 32.8-10» - 0-001425 м’/кг.
/ Подставляя альса в записи значения констант в уравнение Ван-дер-Ва- = RT _ Д_ Р v-b v2 ’
получаем _к 1п5 296,8-293 180 v - 0,001425 v2
Решение данного уравнения относительно удельного объ-
ема дает v = 0,0111 м3/кг, т. е. отличия в удельных объемах
несущественны.
7. В сосуде вместимостью 12 м3 содержится воздух. Давле-
ние в нем по показанию манометра равно 8 ат при темпе-
ратуре 22 °C. Барометрическое давление в окружающей
среде соответствует 1 бар. После того как часть воздуха
из сосуда выпустили, манометр показал 4 ат при темпе-
ратуре 17 °C. Вычислить массу выпущенного воздуха,
если удельная постоянная R = 287,1 Дж/кг • К.
Решение.
/ Определяем массу воздуха в сосуде до и после выпуска воз-
духа, а затем разность масс.
/ Используем для расчетов уравнение состояния pV = т х
х R- Т, учитывая, что в формуле абсолютное давление подстав-
ляется в Паскалях, а температура в Кельвинах:
pi’v (8 • 9,81 • 104 + 105) • 12 1ОС
R-T1 287,1 • (22 + 273,15) 125 КГ’
Р2 ’ v _ (4 • 9,81 • 104 + 105) -12
Я-Т21 287,1 • (17 + 273,15) 1 КГ’
68
Задачи и их решение
Масса выпущенного воздуха
Dm = mt - m2 = 125 — 71 = 54 кг.
8. Смесь двух объемов водорода Н2 и одного объема кисло-
~ рода О2 называют гремучим газом. Определить удель-
ную газовую постоянную гремучего газа, считая, что
= 2 кг/кмоль, а тп. = 32 кг/кмоль.
Решение.
/ Зная объемы каждого компонента, определяем суммар-
ный объем и объемные (мольные) доли:
xr = Vx/V-, V=ZVz; хНг = 2/3; хОз= 1/3.
/ Находим удельную газовую постоянную:
R _ R _ R
т ~ £xt- mi ~ хН2 /пНг + хОг • т02
8314
|-2 + |-32
О о
= 692
Дж
кг • К ‘
9. Продукты сгорания нефти имеют следующий состав,
данный в киломолях, п0^ = 0,07; «со2 = 0,07; тг^ =
0,66; «н2о = 0,066. Зная молярные массы состава (то
32 кг/кмоль); т^ = 28 кг/кмоль; тСОз = 44 кг/кмоль:
тн2о = кг/кмоль, определить молярную массу смеси,
удельную газовую постоянную смеси, парциальные давле-
ния продуктов сгорания, если р = 3 • 105 Па.
Решение.
/ Находим молярную массу
х-1 * t V
тп = L х. • т;, где х, = — , а п = Z nt.
i 1 1 п 1
Следовательно,
по
_и2
п
т =
nN2 «СО, «Н20
mn Н----------• 772 к -I-----• тгп Н----------• 772 „ п =
°2 п N2 п ЬО2 п Н2°
0,07 оо , 0,66 , 0,07
0,866 0,866 0,866
лл д. О,66
44 + 0,866
• 18 = 28,85
КГ
моль *
69
Глава 1. Основные понятия и определения
/ По определению удельная газовая постоянная
Я = 8314 = Дж
Я т 28,85 288,3 кг- К'
/ По формуле р- = pxt находим парциальные давления:
пп о 07
ро = —р = 3 • 105 = 0,242 • 105 Па;
гог п г 0,866 ’
Z?N = — р = А^З- 105 = 2,286- 105 Па;
^^2 п 0,866
^со О 07
рсп =------ = тг^З- 105 = 0,242- 105 Па;
^со2 п 0,866
Рн о = — = AS з • 105 = 0,0230 • 105 Па.
^и2° п 0,866
/ По результатам расчета выполняем проверку правильнос-
ти нахождения парциальных давлений. Для этого записываем
закон Дальтона S pt = р. В нашем случае
^Pt = Ро2 + Pn2 + Рсо2 + Рн2о =
= (0,242 + 2,286 + 0,242 + 0,0230) • Ю5 = 3 • 105 Па.
Глава 2
Первый закон термодинамики
2.1. Краткая историческая справка
Первый закон термодинамики является частным случаем
всеобщего закона сохранения и превращения материи, сфор-
мулированного М. В. Ломоносовым в 1750 г. Частность его за-
ключается в том, что он записывается для макроскопических
неподвижных систем. Неподвижность следует понимать в том
смысле, что система координат, относительно которой пишут-
ся уравнения, скреплена с центром масс термодинамического
рабочего тела. В первом законе термодинамики фигурируют
величины, связанные с тепловым движением частиц — тепло-
вой энергией и теплотой.
Первый закон термодинамики (его называют также посту-
латом или первым началом) сформулирован на основе обобще-
ния результатов анализа большого числа физических явле-
ний. Справедливость этого закона обосновывается лишь тем,
что до сих пор в окружающей действительности не обнаруже-
но ни одного противоречащего рассматриваемому закону яв-
ления. Многочисленные попытки обойти этот закон (создать
вечный двигатель, генерирующий энергию из ничего) всегда
заканчивались неудачей.
Первый закон термодинамики был сформулирован в се-
редине XIX в. в результате работ немецкого ученого, врача
Ю. Р. Майера и английского физика Дж. П. Джоуля.
Знакомый ныне каждому школьнику закон сохранения
энергии рождался, как и большинство научных достижений,
весьма трагически. Судовой врач Юлиус Роберт Майер попы-
тался учитывать теплоту, выделяемую в теле человека при сго-
рании (окислении) пищи. Сложность объекта исследований
71
Глава 2. Первый закон термодинамики
(человек), неточные данные по горению водорода — одного из
основных компонентов пищи, примитивное, по нашим поняти-
ям, лабораторное оборудование долгое время не позволяли по-
лучить экспериментального подтверждения гениальной догад-
ки ученого о постоянном количественном соотношении при
переходе энергии в теплоту. Пришлось даже некоторое время
использовать гипотезу о выделении недостающей теплоты при
трении в кровеносных сосудах текущей по ним крови.
В 1840 г., работая на острове Ява, Р. Майер обобщил свои на-
блюдения, проанализировал данные других врачей-экспери-
ментаторов и убедился в универсальности закона сохранения
энергии на примере перехода в теплоту энергии, содержащей-
ся в пище человека. Рукопись, отосланная им в немецкий на-
учный журнал в 1840 г., к публикации принята не была, а его
печатные работы 1842 г. были публично осмеяны. В дальней-
шем были опубликованы более точные результаты Джеймса
Джоуля (схема его прибора вошла во все школьные учебники
физики), причем как раз в то время, когда у Р. Майера умерли
дети. После ряда неудачных попыток отстоять свой приоритет
он в отчаянии попытался покончить с собой, выбросившись из
окна с четвертого этажа, и сломал обе ноги. Ученого объявили
сумасшедшим. И только спустя почти 30 лет после первых его
публикаций, когда все новые и новые исследователи признали
его правоту в отношении всеобщего характера закона сохране-
ния энергии, Р. Майер стал появляться в научных кругах, по-
лучил заслуженное признание и почет. Считается, что оконча-
тельная формулировка закона сохранения и превращения
энергии была сделана в 1845—1847 гг.
В работах Джоуля в 1843—1850 гг. было установлено, что
между затраченной работой L и количеством полученной теп-
лоты Q существует прямая пропорциональность
Q =AL,
. 1 ккал „ О1 Дж , .
где А = ^2^ кг. м = 9,81 кг, м — коэффициент пропорцио-
нальности, названный тепловым эквивалентом работы.
Установленный принцип эквивалентности теплоты и меха-
нической работы в дальнейшем позволил утверждать, что все
виды энергии, несмотря на их качественное различие, находят-
ся в определенном эквивалентном отношении один к другому.
72
2.2. Математическая формулировка
2.2. Математическая формулировка
С учетом того что первый закон термодинамики является
математическим выражением количественной стороны зако-
на сохранения и превращения энергии в применении к тер-
модинамическим системам, рассмотрим процесс взаимодейст-
вия окружающей среды и ТРТ (рис. 2.1) сначала для закры-
той системы.
Очевидно, что увеличение внутренней энергии системы про-
исходит за счет подвода теплоты (5Q) и совершения различных
работ: объемной деформации или работы против внешних сил
(8L) и прочих работ (ЗА).
Баланс энергии запишем в виде
dU = 8Q + (-3L) + (-ЗА). (2.1)
В левой части уравнения (2.1) использован полный диффе-
ренциал d, который означает приращение стоящей за ним ве-
личины. Неполные дифференциалы 3 в правой части (2.1) оз-
начают малые порции стоящих за ними величин. Слагаемые
в правой части рассматриваемого баланса энергий существу-
ют только при наличии процесса и не имеют смысла для ста-
ционарного состояния.
Записывая уравнение (2.1) относительно подводимой теп-
лоты, будем иметь
8Q = dU + 8L + 8A, (2.2)
а раскрывая составляющую работы объемной деформации,
получим
3Q = dC7 +/J dH + ЗА. (2.3)
Это выражение является исходной формой уравнения пер-
вого закона, записанного для элементарного, т. е. бесконечно
малого процесса, и называется записью первого закона для
произвольного количества вещества
в дифференциальной форме.
Для 1 кг рабочего тела будем
иметь (в случае однородной ТС)
8q = du + р dp + За. (2.4)
Для конечного процесса 1—2 пос-
ле интегрирования (2.3) и учета, что
Рис. 2.1
73
Глава 2. Первый закон термодинамики
при интегрировании полного дифференциала получаем раз-
ность, а неполного — порцию величины
2 2
У dC7 = U2 - i/p f 8Q = Q,
1 1
первый закон термодинамики в интегральном виде принимает
вид
V?
Q = U2-Ui + J р dV + А — для произвольной массы (2.6)
У,
и
v2
q = и2~ ur + J р dp + а — для 1 кг рабочего тела. (2.6)
При отсутствии прочих работ (когда 8А = О или А = 0), т. е.
для так называемых простых систем, уравнения упроща-
ются и для произвольного количества рабочего тела имеют вид
8Q = dt7 + р dV, (2.7)
Q = t72-t71 + У pdV. (2.8)
И
Если применить исходное выражение первого закона термо-
динамики (2.3) к изолированной системе, т. е. считая, что все
превращения энергии происходят внутри такой системы, а са-
ма система не получает извне никакой энергии, то будем иметь
8<?-й?7-рйУ-8А = 0. (2.9)
Таким образом, применительно к изолированной системе
первый закон термодинамики можно сформулировать в виде
следующего положения:
какие бы изменения в изолированной системе ни происходили,
полный запас энергии такой системы не изменяется.
Из уравнения (2.9) видно, что появление работ 8L = р dV
или ЗА всегда сопровождается соответствующими затратами
других видов энергии. Отсюда следует, что невозможно по-
строить машину, единственным результатом действия кото-
рой являлось бы только производство или только уничтоже-
ние какого-либо вида энергии. Машина, которая производила
бы или уничтожала бы неограниченное количество работы, не
совершая других изменений, осуществила бы вечное движе-
74
2.3. Различные выражения первого закона термодинамики
ние и явилась бы вечным двигателем (perpetuum mobile) пер-
вого рода. Поэтому основное содержание первого закона тер-
модинамики можно резюмировать в виде тезиса: «Perpetuum
mobile первого рода невозможен».
Очень часто первый закон термодинамики записывается
через энтальпию. Для получения данного выражения приба-
вим, а затем вычтем в правой части уравнения (2.3) член V dp,
соответствующий работе проталкивания, а затем воспользу-
емся преобразованием Лежандра, которое позволяет обобщить
дифференциальные функции. В результате будем иметь сле-
дующее выражение:
6Q = dt7 + р dV + V dp - V dp + SA = d(U + pV) - V dp + SA.
Согласно ранее введенному определению (1.62)
U + pV = Н.
Следовательно, окончательно имеем выражение в диффе-
ренциальной форме
dQ = dH-Vdp + dA, (2.10)
которое является базовым для записи соответствующих выра-
жений в интегральном виде и для 1 кг рабочего тела, в том
числе и при отсутствии прочих работ.
2.3. Различные выражения
первого закона термодинамики
2.3.1. Запись первого закона термодинамики для от-
крытой и неподвижной термодинамической системы. На-
ряду с общепринятыми формами записи первого закона тер-
модинамики в дифференциальной форме [уравнения (2.3) и
(2.10)], справедливыми для неподвижных и закрытых систем,
часто приходится встречаться с задачами, когда к неподвиж-
ной системе, вместе с теплотой и работой, подводится масса
некоторого вещества. Как уже отмечалось ранее, при наличии
массообмена с окружающей средой система называется от-
крытой. В данном случае к ранее рассмотренному балансу
энергий (2.1) необходимо добавить энергетическую величину,
связанную с подводом энергии при подаче массы (8t7m).
75
Глава 2. Первый закон термодинамики
Рис.2.2
Для рассматриваемого случая взаи-
модействия среды и тела (рис. 2.2) бу-
дем иметь
dt7 = 8Q + (-8L) + (-84) + dUm. (2.11)
Рассмотрим более подробно послед-
нее слагаемое.
В термодинамическую систему вне-
дряется некоторая элементарная масса 8m, которая обладает
определенной удельной внутренней энергией и; при этом не-
обходимо раздвинуть среду на некоторый объем, присущий
подводимому веществу — dVm. Следовательно:
t>Um = udrn+pdVm.
Рассматриваемое соотношение можно переписать в виде
dUm = и 8m + pv 8m = (и + pv) dm = h dm.
Вместо массы иногда используется количество вещества
dUm = h dm = Н dn. (2.12)
Если подаются различные вещества, то следует записать
dUm = £ ht dmt = S dnt. (2.13)
i i
Подставляя (2.13) в (2.11), получаем окончательную мате-
матическую запись в дифференциальном виде уравнения пер-
вого закона для открытой неподвижной термодинамической
системы:
dU = dQ~pdV-dA + Z Hidni. (2.14)
i
Записывая данное выражение относительно элементарного
количества теплоты сначала через внутреннюю энергию, а за-
тем через энтальпию, получим
dQ = dU+pdV+dA-Z Htdnt, (2.15)
I
dQ = dH-Vdp + dA-^,Hidni. (2.16)
2.3.2. Запись первого закона термодинамики для про-
точной системы. До сих пор мы рассматривали первый закон
для систем, рабочее тело в которых не перемещалось в простран-
стве, однако следует подчеркнуть, что первый закон термодина-
76
2.3. Различные выражения первого закона термодинамики
мики имеет общий характер
и справедлив для любых сис-
тем — и неподвижных, и дви-
жущихся. В этом случае дви-
жение ТРТ рассматривается по
отношению к системе коорди-
нат, связанной с границей ТС.
При движении термодина-
мическая система характери-
зуется не только внутренней
энергией U, но и энергией системы относительно среды Е, со-
стоящей из внешней кинетической энергии — энергии движе-
mw2 \
ния тела как целого dl I и внешней потенциальной
энергии — энергии относительно уровня Земли d(mg,zBbIC).
В данном случае баланс энергетических величин будет со-
ответствовать схеме, представленной на рис. 2.3.
По аналогии с уравнением (2.11) запишем:
AU + Л<^~ ) + d(m£zBbIC) = 8Q + (-8L) + (-84) + 8Um.
Переписывая данное уравнение относительно элементарно-
го количества теплоты и раскрывая члены 8L и 8t7m, получим
8Q = dt7 + d(^ ) + d(mgzBbV)+pdV + 8A- £ Ht dnt. (2.17)
Для случая закрытой системы Н t &ni = о)ив предполо-
жении, что среди прочих работ присутствуют только работы
проталкивания (SLp = V dp), техническая работа (8Втех) и ра-
бота по преодолению сил трения (8LTp), последнее выражение
будет иметь вид
8Q = AU + л(^^ + d(m£zBbIC) + р dV + V Лр + 8Втех + 8Втр.
(2.18)
Переписывая его через тепловую функцию — энтальпию —
по аналогии с записью уравнения (2.10), получим
8Q = ЛИ + d(^-2) + d(m£zBbIC) + 8LTex + 8LTp. (2.19)
77
Глава 2. Первый закон термодинамики
Стоящие в правой части приведенного выражения состав-
ляющие, кроме изменения энтальпии, имеют механическую
природу и взаимосвязаны между собой. В пределах термоди-
намической системы они могут взаимно преобразовываться.
Так, например, техническая работа в турбине может совер-
шаться за счет уменьшения кинетической энергии потока или
уменьшения его потенциальной энергии. Если затратить тех-
ническую работу в колесе компрессора, то это приведет к уве-
личению кинетической энергии потока или потенциальной
энергии. Увеличение работы на преодоление сил трения вызы-
вает торможение потока и уменьшение соответствующей ки-
нетической энергии. Поэтому сумму технической работы, ра-
боты по преодолению сил трения, изменения внешних кине-
тической и потенциальной энергий называют располагаемой
работой и обозначают через 8£0:
8L0 = d(— J + d(m^BbIC) + 8LTex + 8LTp. (2.20)
Распределение располагаемой работы между составляющи-
ми зависит от назначения и конструкции технического уст-
ройства.
Во всех тепловых машинах изменение внешней потенци-
альной энергии, как правило, несущественно [d(mg’zBbIC) ~ 0].
В турбинах почти вся располагаемая работа расходуется на
техническую работу 8L0 = 8LTex. В соплах располагаемая рабо-
та почти полностью превращается в кинетическую энергию
потока 8L0 = d ) .
Окончательно уравнение первого закона термодинамики для
проточной закрытой системы запишется в виде
8Q = dH + 8L0. (2.21)
Сопоставив данное выражение с выражением (2.10) при от-
сутствии прочих работ
8Q = dH - V dp,
можно сделать вывод, что элементарная располагаемая работа
определяется выражением
8L0 = -ndp.
78
Задачи и их решение
Для конечного процесса располагаемая работа находится
интегрированием
Р2
L0 = -f Vdp,
Pi
что является функцией процесса.
ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЕ
1. На сжатие идеального газа затрачено 11,7 кДж работы, при
этом внутренняя энергия газа увеличилась на 8,7 кДж. Оп-
ределить количество теплоты и указать, подводится оно или
отводится. Считать, что, кроме сжатия, других работ нет.
Решение.
/ По первому закону термодинамики определяем Q с учетом
отрицательного значения работы
Q = А 77 + L = 8,7 + (-11,7) = -3 кДж.
/ Отрицательное значение Q свидетельствует о том, что теп-
лота отводится.
2. Будет ли правильным утверждение, что вся теплота, под-
водимая к идеальному газу, обусловливает изменение его
. температуры?
Решение.
/ Если сообщить газу бесконечно малое количество теплоты
8Q, то изменяются его температура и объем.
Из уравнения первого закона термодинамики
8Q = dt7 + 8L
следует, что теплота расходуется на изменение внутренней
энергии газа и на работу объемной деформации.
/ Если 8L = 0, то вся теплота идет на изменение внутренней
энергии, т. е. на повышение его температуры.
Во всех остальных случаях, когда 8L 0, это утверждение
будет неверным. В частности, температура газа может изме-
няться и без подвода теплоты извне, т. е. когда 8L = -dC7. Здесь
работа совершается за счет уменьшения внутренней энергии.
79
Глава 3
Приложения первого закона
термодинамики к процессам
в идеальных газах
3.1. Теплоемкость
3.1.1. Основные положения. Подвод теплоты к ТРТ или от-
вод ее от ТРТ, как правило, приводит к изменению температуры.
Отношение количества теплоты, сообщенного ТРТ в каком-либо
термодинамическом процессе, к соответствующему изменению
температуры тела в этом процессе называется теплоемкостью.
Теплоемкость численно равна количеству теплоты, которое
необходимо подвести к ТРТ, чтобы при заданных условиях из-
менить его температуру на 1 К. Единицей величины теплоем-
кости является Дж/К. При этом различают истинную теп-
лоемкость, получаемую как отношение бесконечно малого
количества теплоты, сообщенного в процессе, к бесконечно
малому изменению температуры
и среднюю теплоемкость, получаемую как отношение
конкретного количества теплоты на конечном участке процес-
са к соответствующему изменению температуры
С = Q
Т — Т *
1 2 1 1
(3.2)
Понятие истинной и средней теплоемкостей можно про-
иллюстрировать графически в координатах Q, Т (рис. 3.1).
Истинная теплоемкость соответствует тангенсу угла накло-
на касательной на бесконечно малом участке процесса
с = tg р.
80
3.1. Теплоемкость
Средняя теплоемкость соот-
ветствует тангенсу угла накло-
на секущей, проходящей через
конечные точки процесса 1 и 2
Ст = tg а.
В зависимости от внешних ус-
ловий, характера термодинами-
ческого процесса и физических
свойств ТРТ функции Q = f(T)
могут быть самые различные.
Каждому термодинамическому
процессу может соответствовать своя величина теплоемкости,
поэтому теплоемкость является функцией термодинамического
процесса, вид которого обозначается подстрочным индексом х:
(3.3)
Классическая термодинамика рассматривает квазистатиче-
ские процессы теплообмена, поэтому теплоемкость С является
величиной, относящейся к системе, находящейся в состоянии
термодинамического равновесия.
Теплоемкость — это функция нескольких параметров, на-
пример р, V и Т, но доминирующей является зависимость от Т.
Наиболее часто в термодинамике используются теплоем-
кость при постоянном объеме
(3-4)
или с учетом записи первого закона термодинамики (2.7)
„ _ tdU + pdV\ _
dT )v-{dT)v
и теплоемкость при постоянном давлении
'р
(3.5)
(3.6)
которую с учетом записи первого закона термодинамики через
энтальпию (2.10) можно представить в виде
(3-7)
6-5580
81
Глава 3. Приложения первого закона термодинамики
Количество теплоты, подведенное к ТРТ системы или отве-
денное от него, всегда пропорционально количеству рабочего
тела. Для возможности сопоставления величин теплоемкостей
количество теплоты относят к единице ТРТ. Различают удель-
ную, мольную и объемную теплоемкости.
Удельная теплоемкость — это теплоемкость, отнесен-
ная к единице массы т рабочего тела,
с = С/тп. (3.8)
Единицей величины удельной теплоемкости является
Дж/(кг-К).
Мольная теплоемкость — теплоемкость, отнесенная к ко-
личеству ТРТ в молях,
С = С/п.
Единицей величины мольной теплоемкости является
Дж/(моль • К).
Объемная теплоемкость — теплоемкость, отнесенная к
единице объема рабочего тела,
С = C/V.
Единицей величины объемной теплоемкости является
Дж/(м3 • К).
Указанные величины взаимосвязаны:
с = С/т или С = ст. (3.9)
Объемная теплоемкость газов выражается через мольную:
С' = C/V или С = C'V, (3.10)
где V — мольный объем газа. При нормальных условиях
(р = 101325 Па, t = 0 °C или Т = 273,15 К, V = 22,4 х
х 10~3 м3/моль).
Объемная и удельная теплоемкости связаны соотношением
C' = c/t> = c-p. (3.11)
В инженерных расчетах используются экспериментальные
значения теплоемкостей. Принято считать, что мольные теп-
лоемкости идеальных газов равны некоторым постоянным ве-
личинам, зависящим от их атомного числа.
Так, для одноатомного газа, молекула которого обладает тре-
мя степенями свободы поступательного движения,
Cv — 12,48 ДжДмоль • К). (3.12)
82
3.1. Теплоемкость
3.1.2. Зависимость теплоемкости от температуры. В прак-
тике тепловых расчетов широкое применение получила сле-
дующая приближенная зависимость истинной удельной теп-
лоемкости от температуры:
с = а + bt + dt2 + ег3, (3.13)
где а — экспериментальное значение истинной теплоемкости
при температуре О °C; Ь, d, е — постоянные коэффициенты,
зависящие от природы рабочего тела, определяемые на осно-
вании экспериментальных данных.
Для менее точных расчетов зависимости истинной удель-
ной теплоемкости от температуры применяется уравнение
второй степени:
с = а + Ы + dt2. (3.14)
Для двухатомных газов часто ограничиваются первыми
двумя членами уравнения (3.13):
с = а + bt. (3.15)
В табл. 3.1 приведены температурные зависимости истин-
ных мольных теплоемкостей при постоянном давлении для
некоторых газов.
Зная зависимость с = f(t), можно аналитически определить
теплоту или удельную теплоту, исходя из определений
С=^, С = Й’ Q = fCd*’ Q = \cdt.
Таблица 3.1
Газ __ А кДж Мольная теплоемкость Сл, —=7 Р кмоль•К
Азот 28,97 + 0,002566г
Водород 28,78 + 0,001117г
Кислород 29,56 + 0,003404г
Окись углерода 29,06 + 0,002818г
Воздух 29,09 + 0,002412г
Водяной пар 32,85 +0,00544г
Углекислота 36,05 + 0,0203г - 0,00000642г2
6*
83
Г лава 3. Приложения первого закона термодинамики
Однако в практических расчетах используется более прос-
той способ, при котором удельная теплота определяется через
среднюю удельную теплоемкость процесса ст".
Q = Ст(*2 - *1)-
В справочной литературе в основном приводятся коэффи-
циенты для истинной удельной или мольной теплоемкости.
Зная их, можно самостоятельно получить выражение для
средних теплоемкостей.
На примере линейной зависимости истинной удельной теп-
лоемкости в форме (3.15) для конечного участка процесса 1 —2
будем иметь
q = J с d£ = j (а + bt) df =
‘1
— a(t2- £i) + 2^2 — £?) — + 2 (t2 + ti)](t2 ~ fi)-
С учетом того что cm = q/(t2 - £t), средняя удельная тепло-
емкость в зависимости от коэффициентов а и & будет иметь
вид
Cm = a+^(t2 + tiy (3.16)
Обычно в справочной литературе приведены численные
значения средних удельных теплоемкостей с|^ от нулевой до
фиксированной температуры t.
В данном случае средняя удельная теплоемкость в интерва-
ле температур от tY до t2
Зависимость с = f(t) может быть дана как функция эмпири-
ческой температуры t, так и абсолютной температуры Т.
Зависимость истинной удельной теплоемкости от абсолют-
ной температуры с = f'(T) можно получить на примере фор-
мулы (3.15).
Так как t = Т - 273,15, то с = а + Ъ • (Т - 273,15). Обозначив
через а’ = а - Ъ 273,15, получим
с = а' + ЪТ. (3.18)
84
3.1. Теплоемкость
Тогда в процессе нагрева от до Т2 количество сообщенной
ТРТ удельной теплоты может быть подсчитано по уравнению
q= [а'+ |(Т2 + Т1)](Т2-Т1),
а средняя удельная теплоемкость запишется в виде
Ст = а'+ 1(Т2 + Тг).
Ряд экспериментальных исследований показал, что с пони-
жением температуры теплоемкость водорода быстро уменьша-
ется и уже при Т = 60 К его мольная теплоемкость становится
равной теплоемкости идеального одноатомного газа. Явление
падения теплоемкости с понижением температуры находится
в полном соответствии с положениями молекулярно-кинети-
ческой теории теплоемкости. При низких абсолютных темпе-
ратурах прекращаются и вращательные движения молекул, и
колебательные движения атомов внутри молекул, а остаются
лишь три степени свободы поступательного движения, свойст-
венные молекуле идеального одноатомного газа. Результатом
этого и является приближение теплоемкости всех газов при
низких температурах к значению теплоемкости идеального
одноатомного газа.
В 1906 г. Нернст высказал предположение о том, что при
последующем понижении температуры и приближении ее к
абсолютному нулю должно прекратиться и поступательное
движение молекул и тогда любой газ приобретает свойства
твердых тел.
Проводя опыты над рядом твердых тел вблизи абсолютного
нуля, Нернст показал, что теплоемкости твердых тел стремят-
ся к нулю при Т -* 0 К, а для всех твердых тел при температуре Т = 0 К теплоемкости равны нулю. Иными словами, при Т = 0 К частицы ве- щества (молекулы) превращаются в жесткую систему, лишенную теп- ловых движений. Из этого следует, что эмпириче- ская зависимость теплоемкости от температуры в виде уравнения (3.18) С м О' 71 - 7 ' jr 1 0 ~100 к т,к Рис. 3.2
85
Глава 3. Приложения первого закона термодинамики
является справедливой только в области высоких температур и
совершенно недействительна в области низких абсолютных
температур.
Истинный характер изменения теплоемкости от температу-
ры показан на рис. 3.2.
3.1.3. Соотношения между теплоемкостями при посто-
янных давлении и объеме. Рассмотрим первый закон термо-
динамики в дифференциальной форме для 1 кг термодинамиче-
ского рабочего тела
8q = du + р dy. (3.19)
Исходя из определения теплоемкостей (3.1), удельное ко-
личество теплоты можно представить в виде Oq = с dT.
Из определения теплоемкости при постоянном объеме (3.5)
следует, что du = cv dT. Если процесс будет протекать при по-
стоянном давлении, то удельная теплоемкость в формуле ко-
личества теплоты представляется в виде ср. Следовательно,
уравнение (3.19) для такого процесса (р = const) можно пере-
писать в виде
cpdT = cvdT+pdv. (3.20)
Исходя из уравнения состояния для 1 кг идеального газа
pv = RT, прир = const следует, чтор dv = R dT. Таким образом,
уравнение (3.20) запишется в виде cpdT = cvdT + RdT или
Cp-cF = T?. (3.21)
Это уравнение носит название уравнение Майера. Если
обе части этого уравнения умножить на молярную массу, то
оно примет вид
Cp-CV=R. (3.22)
Из уравнений (3.21) и (3.22) видно, что для идеального газа
разность между теплоемкостями при постоянных давлении и
объеме постоянна.
В термодинамике большое значение имеет отношение теп-
лоемкостей, которое получило название показателя ади-
абатного процесса-.
cpicv = k, (3.23)
где k ~ 1,67 — для одноатомных; k ~ 1,4 — для двухатомных;
k ~ 1,29 — для трехатомных газов.
86
3.1. Теплоемкость
Из соотношения (3.22) следует, что
й = 1 + Д. (3.24)
Cv
С учетом того что Cv зависит от температуры газа, величи-
на k будет являться функцией температуры.
Для двухатомных газов и воздуха зависимость k = f(t) при-
водится в виде эмпирического уравнения
k = 1,4- 0,00005Л (3.25)
3.1.4. Теплоемкость газовых смесей. При расчетах теп-
ловых установок приходится иметь дело со смесями газов, а в
справочной литературе приводятся теплоемкости только для
отдельных идеальных газов, в связи с чем необходимо уметь
определять теплоемкость газовой смеси. Теплоемкость газовой
смеси вычисляется по составу газовой смеси и теплоемкостям
отдельных газов, входящих в данную смесь. Газовая смесь мо-
жет быть задана массовым, объемным, мольным составом.
Пусть смесь газов задана массовым составом, тогда масса
смеси
т = X
I
где mi — масса д-го компонента, входящего в смесь.
Очевидно, что для повышения температуры газовой смеси
на Д£ необходимо повысить на такую же величину температу-
ру каждого газа смеси. При этом на нагревание каждого газа
смеси необходимо затратить количество теплоты
Qi = micmi д*>
где ст — средняя удельная теплоемкость i-го газа смеси. Теп-
лоемкость газовой смеси определяется из уравнения теплово-
го баланса
тс"д‘" ? т‘с".д<- <3-26>
Разделив левую и правую части уравнения на тД£, получим
Cm=^^iCm.’ (3-27)
I 1
где — массовая доля i-го газа, входящего в смесь.
87
Глава 3. Приложения первого закона термодинамики
Аналогичное соотношение справедливо и для истинных теп-
лоемкостей. Из выражения (3.27) видно, что теплоемкость сме-
си газов, заданной массовыми долями, равна сумме произведе-
ний массовых долей на удельную теплоемкость каждого газа.
Учитывая связь между массовыми и мольными долями (1.46),
запишем
со; = mpcjm,
а зависимость (3.27) представим в виде incm = £ ximicm или
i 1
Cm = ^xtCm,. (3.28)
i 1
Истинная мольная теплоемкость рассчитывается по такой
же формуле.
3.2. Политропные процессы
3.2.1. Общие положения. Политропный процесс получил
наименование от сочетания греческих слов тшРл — много и
тршле — превращение. Иными словами, политропный — это
многообразный, многовариантный процесс, связанный с пре-
вращением энергии и передачей ее в различных формах рабо-
ты и теплоты.
Согласно первому закону термодинамики внешняя теплота Q,
сообщаемая рабочему телу в произвольном термодинамическом
процессе, в общем случае идет на изменение внутренней энергии
Д[7 и на совершение внешней механической работы L:
Q = &U + L. (3.29)
Каждому термодинамическому процессу соответствует свой,
строго определенный закон превращения и распределения энер-
гии. Если в данном термодинамическом процессе на изменение
внутренней энергии идет некоторая постоянная доля внешней
теплоты \|/, а оставшаяся часть (1 — \|/) затрачивается на соверше-
ние внешней механической работы, то согласно (3.29)
AH = yQ, (3.30)
L = (l-y)Q, (3.31)
где \|/ — коэффициент распределения теплоты в термо-
динамическом процессе. При этом коэффициент распределе-
88
3.2. Политропные процессы
ния теплоты \|/ остается постоянным в ходе процесса и на лю-
бом его бесконечно малом элементарном участке. Иными сло-
вами, для обратимого термодинамического процесса
w= Ц; = const (3.32)
или
Y= VT = const. (3.33)
Соотношение (3.32) является более строгим, поскольку оно
справедливо для любого бесконечно малого участка процесса.
Любой термодинамический процесс, подчиняющийся опре-
деленной выше закономерности превращения энергии, назы-
вается политропным.
I Политропным называется такой процесс изменения состоя-
ния термодинамического рабочего тела, в котором во внутрен-
нюю энергию в ходе всего процесса превращается одна и та же
доля внешней теплоты.
Соотношения (3.30)—(3.33) являются основными уравне-
ниями политропных процессов.
Если учесть, что С = Ц;, a Cv = то выражение (3.32)
можно переписать в виде
V = CF/C (3.34)
или для 1 кг
y = cv/c, (3.35)
где с = ск/\|/ — удельная истинная теплоемкость поли-
тропного процесса.
Таким образом, можно дать еще одно определение поли-
тропного процесса:
Н политропный процесс — это процесс, протекающий при посто-
янной теплоемкости.
3.2.2. Уравнение политропного процесса относительно
ри-переменных. Рассмотрим уравнения первого закона тер-
модинамики для 1 кг ТРТ при отсутствии прочих работ в за-
89
Глава 3. Приложения первого закона термодинамики
писях через изменение внутренней энергии и изменение эн-
тальпии:
dq = du + р dp, 8q = dh - v dp. (3.36) (3.37)
Заменим энергетические величины в приведенных уравне-
ниях через теплоемкости и изменение температуры:
с dT = cv dT + р dp, (3.38)
с dT = ср dT - v dp. (3.39)
Отсюда
(с - cv) dT = р dp, (3.40)
(с - ср) dT = -v dp. (3.41)
Разделив (3.41) на (3.40), получим
с ~ ср _ у dp с - Су р do‘ (3.42)
Обозначим левую часть (3.42) через показатель поли-
тропного процесса
(3-43)
С Су
Разделив переменные в выражении (3.42) и учтя (3.43), по-
лучим уравнение политропного процесса в дифференциальной
форме
dp do
— = -у— .
р 1 V
После интегрирования и подстановки пределов имеем
, Р’> 1 U2 , U1
In — = -у In — = у In — .
Pl ' Oj ' v2
Потенцируя, получим
Отсюда
или
Р2 =
Pl
prv\ =p2v^ = const
pv1 = const.
(3.44)
(3.45)
Уравнение (3.45) и является уравнением политропного про-
цесса относительно рр-переменных.
90
3.2. Политропные процессы
3.2.3. Соотношения между параметрами в политропном
процессе. Перепишем (3.44) с учетом того, что р = 1/и:
Рг = ( P2V
Pi IpJ
Записав уравнения состояния 1 кг идеального газа для
двух точек процесса
p1v1 = RT1, (3.46)
p2v2 = HT2, (3.47)
получим соотношение между температурами и удельными
объемами, для чего поделим (3.47) на (3.46):
7\ = Рг ^2 Т1 Р1»1‘ (3.48)
Заменяя отношение давлений через отношение (3.44), получим объемов
= / ^1 V ^2
Ti yi
или т2 = (Ei?-1 7^1 1у27 (3.49)
Если выразить отношение объемов в (3.48) через отноше-
ние давлений, получим
1 1
тг =Рг(Р1у = Р2(Р2у
7\ рЛр2) PiIpiJ
или Т /п \ 1 2 (Р2 \ Y 7\“М • (3.50)
Последнее соотношение будет часто использоваться в раз-
личных термодинамических преобразованиях.
3.2.4. Расчет функций для политропного процесса. Ра-
нее было показано, что удельная теплоемкость в политропном
процессе может быть определена как с = cv/y. Кроме того,
91
Глава 3. Приложения первого закона термодинамики
с учетом определения показателя политропного процесса
с — с
у = ---- можно записать
1 с - cv
ус-ycv = с- ср
или
yc-c = ycv-cp.
Однако ср = cvk, поэтому последнее выражение можно пе-
реписать в следующем виде:
с = (3-51)
Данное соотношение подтверждает, что теплоемкость зави-
сит от показателя политропного процесса и является функци-
ей процесса.
Удельное количество теплоты
q = J с dT или q = ст АТ.
Поскольку политропный процесс протекает с постоянной
теплоемкостью, то с = ст.
Подставляя выражение (3.51) в формулы определения q,
получаем
т
(3.52)
у» / Х
или
Q = CV^{T2-Tr). (3.53)
С учетом выражений (3.35) и (3.51) можно получить связь
коэффициента распределения теплоты и показателя поли-
тропного процесса
у-1^1. (3.54)
Согласно выражению (3.33) для 1 кг ТРТ
Au = \yq,
а учтя (3.54) и (3.53), имеем
Ли = 9 Су^ (Т2 - 7\) = Су АТ. (3.55)
92
3.2. Политропные процессы
Вновь получено уже знакомое выражение для определения
изменения внутренней энергии идеального газа.
Выражение для удельной работы в политропном процессе
находится из определения
v2
1 = \ р Av (3.56)
vi
и уравнения политропного процесса относительно pv-nepe-
менных
pv' = const.
Подставив в (3.56) значение р, получаемое из последнего
выражения р = const/v\ получим
V2 ,
I = const J — .
v'l
Интегрируя и заменяя const на или р2р2’ имеем
= i^-y(P2V2 • уГ+1 • ^Р+1)= ]4^(Р2и2-Р1^1)
или
1= -Р2иг)- (3.57)
С учетом уравнения состояния для 1 кг идеального газа
(pv = RT) последнее выражение можно переписать
I = 7^1 (Л-т2)
(3.58)
или
(3.59)
Если воспользоваться соотношением между температурами
и давлениями в политропном процессе (3.50), то получим наи-
более часто применяемую зависимость
(3.60)
93
Глава 3. Приложения первого закона термодинамики
Необходимо иметь в виду, что полученные закономерности
не пригодны для процесса Т = const (изотермический про-
. 0 „
цесс), так как возникает неопределенность типа . Это на-
глядно подтверждается при рассмотрении формулы q = с ДТ.
Для изотермического процесса с = = °°, поскольку dT = 0.
Для изотермического процесса с идеальным газом уравне-
ние первого закона термодинамики bq = du + р du принимает
вид dq = dl = р du, так как du = 0.
Следовательно,
V2 V9 V2 ~
, г , г const , fPlVl,
q = I = J p du = J —— du = J —— du =
V1 u vl V
L>2 v9 p,
= p.v. In — = RT In — = RT In — . (3.61)
vi vi P2
3.2.5. Уравнение политропного процесса относительно
Ts-переменных. Удельное количество теплоты в любом обра-
тимом процессе может быть определено по формулам dq =
= с dT или dq = Т ds.
Приравняв правые части приведенных уравнений, получим
Т ds = с dT
или
dT
ds = c^. (3.62)
Последнее выражение является уравнением политроп-
ного процесса в дифференциальной форме.
Интегрируя уравнение для конечного участка процесса, по-
лучаем формулу, позволяющую определить изменение энтропии
Т2
As = s2 - Sj = с In — , (3.63)
где
Уравнение (3.63) представляет собой уравнение политроп-
ного процесса относительно Ts-переменных.
94
3.2. Политропные процессы
Политропный процесс является обобщающим, а из соотно-
шений для политропного процесса вытекают частные случаи
основных термодинамических процессов (изохорного, изобар-
ного, изотермического и адиабатного). Допускаются и такие
наименования этих процессов, как изохорический, изобари-
ческий, изотермный и адиабатический.
3.2.6. Частные случаи политропных процессов. Рассмот-
рим последовательно все четыре частных случая политропных
процессов.
Изохорный процесс реализуется при условии dt> = О
(и = const) или cv = const.
Такой процесс совершается рабочим телом (газом), находя-
щимся в цилиндре при неподвижном поршне (рис. 3.3), если
к рабочему телу подводится теплота от источника qr (процесс
1 —2), или отводится теплота к теплоприемнику q2 (про-
цесс 1 —3).
В координатной плоскости ри графиком изохорного про-
цесса будет вертикаль (1—2 при подводе теплоты, 1—3 при
отводе теплоты).
Уравнение изохорного процесса может быть получено из
термического уравнения состояния для 1 кг идеального газа
ри = ИТ, если принять v = const.
В этом случае
р R
% = — = const
Т v
или для двух точек изохорного процесса
Рг = ^2
Р1
т. е. в изохорном процессе давление газа пропорционально
температуре.
Показатель политропы в изохорном процессе определяется
из уравнения (3.43) с заменой с на cv
(3-66)
су
Работа объемной деформации изохорного процесса равна
нулю, следовательно,
Au = q = cvAT, . (3.67)
(3.64)
(3.65)
95
Глава 3. Приложения первого закона термодинамики
Рис. 3.3
а коэффициент распределения теплоты
V=y=l- (3.68)
Аналогичное значение для \|/ можно получить из выраже-
ния (3.54), подставляя у = ±°°:
Уравнение изохорного процесса в координатной плоскости
Ts получается из выражения (3.63) с фиксацией численного
значения удельной теплоемкости рассматриваемого изохорно-
го процесса cv:
Т2
AsK=cKln—\ (3.69)
Полученное соотношение показывает, что изохорный про-
цесс, изображенный в Ts-координатах, являясь логарифмиче-
ской кривой, протекает так, что при увеличении температуры
увеличивается и энтропия.
Изобарный процесс реализуется при условии Ар = О
(р = const) или ср = const.
Такой процесс может протекать в цилиндре, поршень кото-
рого перемещается без трения так, что давление в цилиндре
равно постоянному давлению окружающей среды, действую-
щему на поршень с внешней стороны (рис. 3.4).
В координатной плоскостири графиком изобарного процесса
будет горизонталь (1 —2 при расширении, 1 —3 при сжатии).
96
3.2. Политропные процессы
Уравнение изобарного процесса может быть получено из
термического уравнения состояния для 1 кг идеального газа
(pv = RT), если принятьр = const.
В этом случае
v R ,
— = — = const.
Т р
Или для двух точек изобарного процесса
v2 __ 772
1>1 “ Т1 ’
т. е. в изобарном процессе объем газа пропорционален абсо-
лютной температуре.
Показатель политропы в изобарном процессе определяется
из уравнения (3.43) с заменой с на ср
(3.70)
(3.71)
у = Ср =0.
ср “ cv
Численное значение у = 0 для изобарного процесса могло
бы быть получено и из уравнения политропного процесса от-
носительно /w-переменных:
pv'f = const.
Сомножитель vy должен быть равен единице, чтобы выпол-
нялось условие р = const. Из математики известно, что произ-
вольная величина в нулевой степени всегда равна 1.
Коэффициент распределения теплоты \|/ для изобарного
процесса находится из выражения (3.54)
= 7~ 1 = 0 ~ 1 = 1
у - k 0 ~ k k’
(3.72)
(3.73)
Если принять k = 1,4, что соответствует двухатомным га-
зам, то у = 0,715. Следовательно, в изобарном процессе двух-
атомного газа 71,5% подведенного к рабочему телу количест-
ва теплоты расходуется на изменение внутренней энергии,
а 28,5% — на совершение внешней работы.
Уравнение политропного процесса относительно Уз-пере-
менных по аналогии с выражением (3.69) запишется в виде
У 2
Asr = cPln 7V
(3.74)
7-5580
97
Глава 3. Приложения первого закона термодинамики
Таким образом, изобара в
Ts-координатах является ло-
гарифмической кривой.
Поскольку ранее было по-
казано, что и изохора пред-
ставляет собой логарифми-
ческую кривую (уравнение
3.69), то интересно сопоста-
вить их взаимное расположе-
ние в Та-координатах.
Рассмотрим изобарный
(О—р) и изохорный (О—v)
процессы, протекающие в од-
ном И том же температурном интервале от Тг до Т2. Это сдела-
ла
но для того, чтобы в уравнениях (3.69) и (3.74) 1п — был бы
11
неизменным.
Так как ср > cv на величину R согласно уравнению Майера
(3.21), а проекция на ось абсцисс пропорциональна теплоем-
кости, то Asp будет больше AsK. Значит, изобара в Ts-коорди-
натах будет более пологой логарифмической кривой по срав-
нению с изохорой (рис. 3.5).
Изотермический процесс реализуется при условии dT = О
или Т = const. Удельная теплоемкость этого процесса согласно
определению (с = ) равна 00. Изотермический процесс про-
текает, например, в цилиндре поршневой машины, когда по
мере подвода теплоты к рабочему телу поршень машины пере-
мещается, увеличивая объем настолько, что температура ос-
тается неизменной.
Уравнение изотермического процесса получается из тер-
мического уравнения состояния при Т = const. В этом слу-
чае
pv = RT = const.
Из приведенного уравнения следует, что
Pj. = ^1
Pi у2’
(3.75)
(3.76)
98
3.2. Политропные процессы
0 v
Рис. 3.6
т. е. при постоянной температуре давле-
ние и объем рабочего тела обратно про-
порциональны. Отношение (3.76) являет-
ся следствием закона Бойля—Мариотта.
В координатной плоскости pv изо-
терма является равнобокой гиперболой
(рис. 3.6). Поскольку для идеального га-
за du = cv dT, adh = ср dT, то изотерми-
ческий процесс с идеальным газом одно-
временно является процессом при посто-
янной внутренней энергии (du = 0) и
при постоянной энтальпии (dh = 0).
Применяя к изотермическому процессу уравнение первого
закона термодинамики (2.4), получим bq = 8Z.
Следовательно, все сообщенное газу количество теплоты в
изотермическом процессе затрачивается на совершение внеш-
ней работы (см. рис. 3.6), что справедливо и для О—1 — про-
цесса расширения (процесс подвода теплоты), и для О—2 —
процесса сжатия (отвод теплоты).
Показатель политропы в изотермическом процессе опреде-
ляется из уравнения (3.43) с подстановкой ст =
ОО — с
7= 3^ = 1- (3-77)
Аналогичное численное значение можно получить, сопос-
тавляя уравнение (3.75) с уравнением политропного процесса
относительно ро-переменных pv’ = const.
Эти два уравнения одновременно справедливы при у = 1.
Коэффициент распределения теплоты для изотермического
процесса \|/ = du/bq = 0.
В координатной плоскости Ts изотерма представляет собой
горизонтальную линию, а изменение энтропии между конеч-
ной точкой процесса (точка 2) и начальной (точка 1) опреде-
ляется из условий: ds = bq/T или As = q1_2/T и выражения
(3.61), справедливого только для рассматриваемого случая
Ко р,
AsT = R In — = R In — . (3.78)
T Pz
Полученное соотношение показывает, что расстояние меж-
ду изобарами р2 = const и pr = const, так же как и между изо-
7*
99
Глава 3. Приложения первого закона термодинамики
хорами v2 = const, vr = const по оси абсцисс в координатах Ts,
не зависит от температуры. Следовательно, как изобары, так
и изохоры в координатах Ts эквидистантны между собой.
Расстояние между изобарами и изохорами зависит лишь от
отношения давлений p-Jp2 или объемов и2/р1-
В адиабатном процессе изменение состояния рабо-
чего тела происходит без теплообмена с внешней сре-
дой, т. е. при условии 87 = 0 и q = 0.
Следует отметить, что условие q = 0 для адиабатного про-
цесса является необходимым, но недостаточным. Действитель-
но, в начале сжатия газа в цилиндре дизельного двигателя тем-
пература стенок цилиндра выше температуры рабочего тела,
в связи с чем теплота передается от стенок цилиндра рабочему
телу. По мере сжатия газа температура его повышается на-
столько, что в конце сжатия стенки цилиндра оказываются хо-
лоднее газа, и тепловой поток меняет свое направление: тепло-
та передается от рабочего тела стенкам цилиндра дизельного
двигателя. В частном случае количество теплоты, полученное
газом от стенок цилиндра в начале сжатия, может оказаться
равным количеству теплоты, отданному газом стенкам ци-
линдра в конце сжатия. Следовательно, суммарный теплооб-
мен рабочего тела с внешней средой окажется равным нулю
(q = 0), хотя процесс сжатия был явно не адиабатным.
Таким образом, необходимым и достаточным условием для
адиабатного процесса является условие 8q = 0.
Теплоемкость адиабатного процесса
а показатель политропы
y=|^Z|£ = =й. (3.79)
Cq CV CV
Коэффициент распределения теплоты в адиабатном процессе
V=^=±o°. (3.80)
Уравнение адиабатного процесса относительно ро-перемен-
ных имеет вид
pvk = const (3.81)
100
3.2. Политропные процессы
и показывает, что на координатной плоскости pv адиабата
расположена круче изотермы, так как k > 1, и является нерав-
нобокой гиперболой.
Необходимо отметить, что уравнение (3.81) справедливо
для условия, когда k можно считать постоянной величиной.
В действительности показатель k является функцией темпера-
туры и незначительно уменьшается с ее увеличением [см.
(3.25)]. При k = f(T) уравнение (3.81) имеет сложный вид да-
же при линейной зависимости k от температуры.
Из уравнения первого закона термодинамики (2.4) при
8</ = 0 следует, что 8Z = -du, т. е. работа в адиабатном процессе
совершается только за счет уменьшения внутренней энергии.
В координатной плоскости Ts адиабатный процесс изобра-
жается вертикальной линией, так как Да = 0, причем падение
температуры происходит при расширении рабочего тела,
а увеличение температуры — при его сжатии.
Для удобства дальнейшего анализа процессов с идеальным
газом сведем основные закономерности для частных случаев
политропных процессов в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Наиме- нование процесса Матема- тическая трак- товка С Y V Уравнение относи- тельно ри-пере- менных Уравнение относительно Ts-переменных
Изохорный dr = 0 и = const cv +oo 1 v = const л — i Tj + i — Су In
Изобарный dp = 0 р = const CP 0 1 k р = const Asp = cp In
Изотерми- ческий dT = 0 Т = const +oo 1 0 pv = const V, + 1 AsT = R In T AsT = R In T Pi + i
Адиабатный 8</ = 0 0 k +oo pvh = const s = const As = 0
101
Г лава 3. Приложения первого закона термодинамики
3.2.7. Политропные процессы в pv- и Ts-координатах.
Выберем некоторую произвольную точку О и проведем через
нее рассмотренные выше кривые частных случаев политроп-
ных процессов, как в сторону расширения, так и в сторону
сжатия вро-координатах (рис. 3.7).
Напомним, что все построения основывались на анализе
уравнения политропного процесса pif! = const с подстановкой
для каждого частного случая конкретного значения у. Не-
сложно догадаться, что чем больше численное значение у, тем
соответствующий политропный процесс будет описываться
более крутой неравнобокой гиперболой, которая при у = оо
(изохорный процесс) превращается в вертикальную линию в
уш-координатах.
Если проследить характер политропных процессов с произ-
вольным значением у, начав анализ с изобарного процесса, для
которого у = 0, то можно обнаружить закономерность увеличе-
ния у при движении по часовой стрелке (рис. 3.7). При подходе
к изохорному процессу показатель политропы у = +°°, но сразу
же после перехода через вертикальную линию проявляются
«свойства бесконечности» — знак изменяется на противопо-
ложный и в области сжатия сначала наблюдается область с от-
рицательными значениями у до тех пор, пока не будет достиг-
нут изобарный процесс (у = 0, горизонтальная линия).
В области отрицательных значений у можно отобразить
процесс с у = -1, равнозначный прямолинейному процессу,
О Сжатие i Расширение v
Рис.3.7
102
3.2. Политропные процессы
так как pv~l = p/v = const. Для этой области можно сделать
вывод о том, что политропные процессы, лежащие в интерва-
ле у от до -1, имеют выпуклость рассматриваемых функ-
ций вниз, а процессы, лежащие в интервале у от -1 до 0, —
вверх.
Таким образом, зная показатель политропного процесса,
можно оценить область, где он будет располагаться в ри-коор-
динатах.
Аналогичные построения выполним в Ts-координатах
(рис. 3.8).
Положение политропных процессов для конечного участка
процесса определяется из уравнения (3.63) с подстановкой
численного значения удельной теплоемкости политропного
процесса (3.51):
As = In . (3.82)
i -1- 1 i
Из приведенной формулы, которая не работает только для
изотермического процесса, следует, что политропный процесс
в координатной плоскости Ts изображается логарифмической
кривой, расположение которой зависит от показателя у.
Если проанализировать ход различных политропных про-
цессов, начиная с изобары (у= 0), по часовой стрелке, то мож-
но отметить монотонное возрастание у. Между двумя логариф-
мическими кривыми, характеризующими изохорный и изо-
барный процессы, располагается область термодинамических
процессов с отрицательными значениями у.
Рис. 3.8
103
Глава 3. Приложения первого закона термодинамики
Таким образом, по известному показателю политропно-
го процесса у, используя формулу (3.82), можно построить в
Ts-координатах соответствующий политропный процесс.
Несложно догадаться, что линии частных случаев поли-
тропных процессов разделяют все возможные процессы, про-
ходящие через одну и ту же начальную точку, по некоторым
характерным признакам:
• изохора (у = ±оо). Область, расположенная правее изо-
хоры, характеризуется процессами расширения газа, ле-
вее — сжатия;
• изобара (у = 0). Область всех политропных процессов,
расположенная ниже изобары, характеризуется процес-
сами уменьшения давления, а выше изобары — увеличе-
ния давления;
• изотерма (у= 1). Область политропных процессов, распо-
ложенная выше изотермы, характеризуется увеличени-
ем внутренней энергии, ниже ее — уменьшением внут-
ренней энергии;
• адиабата (у = /г). Область процессов, расположенная пра-
вее адиабаты, характеризует процессы, протекающие с
подводом теплоты, а левее ее — с отводом теплоты.
3.2.8. Исследование политропных процессов. При рас-
смотрении произвольного политропного процесса практиче-
ски всегда требуется найти соотношение между параметрами
рассматриваемого процесса, определить различные энергети-
ческие величины (q, I, Au, Ah, As) и проанализировать пере-
распределение внешней теплоты, работы и изменения внут-
ренней энергии.
Напомним, что соотношения между параметрами в поли-
тропном процессе подробно описывались в разд. 3.2.3. Если
приходится находить соотношения между параметрами част-
ных случаев, то все ранее приведенные закономерности бу-
дут справедливы, если вместо значения у, входящего в при-
веденные соотношения (3.44), (3.49), (3.50), подставить для
изохорного процесса у = °°, для изобарного процесса у = 0, для
изотермического процесса у = 1, для адиабатного процесса
у = k.
104
3.2. Политропные процессы
Аналогичные действия надо предпринять, если требуется
определить различные энергетические величины. Следует
лишь помнить, что только для изотермического процесса фор-
мулы имеют специфический вид.
Анализ перераспределения различных величин наиболее
удобно проводить на графике превращения энергий (на схеме
распределения энергетических составляющих первого закона
термодинамики), предложенной А. С. Ястржембским.
Для этого вводятся следующие обозначения энергетиче-
ских составляющих:
— внешняя теплота q, подводимая или отводимая от
термодинамической системы;
— изменение внутренней энергии системы Ли;
| [ — совершенная или затраченная системой работа I.
Все эти три условных обозначения размещаются в вершинах
некоторого треугольника и заштриховываются лишь в том слу-
чае, если соответствующая энергетическая величина претерпе-
вает изменение в процессе. Направление взаимного превраще-
ния всех энергетических величин обозначается стрелками.
Если стрелки отходят от кружочка то это свидетель-
ствует, что теплота подводится извне, а если подходят, то теп-
лота отводится.
Если стрелки подходят к треугольнику • то внутрен-
няя энергия увеличивается, если отходят от треугольника, то
внутренняя энергия уменьшается.
Если стрелки подходят к прямоугольнику Д, то ра-
бота совершается (процесс расширения); если стрелки отходят
от прямоугольника, то работа затрачивается
(процесс сжатия). q (Л
В качестве примера на рис. 3.9 показана
схема распределения энергии для изохорно-, far ,------.
го процесса. В данном процессе вся внешняя I--1
теплота целиком идет на изменение внутрен- г
ней энергии. Рис. 3.9
105
Глава 3. Приложения первого закона термодинамики
Для построения схемы распределения энергии для конк-
ретного политропного процесса необходимо воспользоваться
тремя правилами:
1. Чтобы определить, подводится или отводится теплота,
необходимо через начало исследуемого процесса провести ади-
абату, и если процесс лежит правее адиабаты, то теплота под-
водится, а если левее — отводится.
2. Чтобы определить, увеличивается или уменьшается внут-
ренняя энергия, необходимо через начало исследуемого процесса
провести изотерму, и если процесс лежит выше изотермы, то
внутренняя энергия увеличивается, а если ниже — уменьшается.
3. Чтобы определить, совершается или затрачивается газом
работа, необходимо через начало исследуемого процесса про-
вести изохору, и если процесс лежит правее изохоры, то рабо-
та совершается (процесс расширения), если левее, то работа
затрачивается (процесс сжатия).
На практике гораздо удобнее бывает отобразить соответст-
вующий политропный процесс таким образом, чтобы он начи-
нался в некоторой точке, через которую уже проведена сетка
частных случаев политропных процессов.
Разберем методику построения схем распределения энер-
гии на примере политропного процесса расширения с у = 0,5.
Отобразим данный процесс в pv- и Ts-координатах с уже
нанесенными частными политропами (рис. 3.10).
Поскольку определено, что задан процесс расширения, то
он будет лежать правее изохоры (у± °°) как в ри-координатах,
так и в Ts-координатах и находиться между изобарным про-
цессом (у= 0) и изотермическим процессом (у= 1).
а)
Рис. 3.10
106
3.2. Политропные процессы
Так как процесс расширения с у = 0,5 ле-
жит правее адиабаты, то теплота подводится
извне, следовательно, стрелки от кружоч-
ка будут отходить. Данный процесс лежит
выше изотермы, следовательно, внутренняя
энергия увеличивается, а стрелки к тре-
угольнику подходят.
Для процесса расширения стрелки к пря-
Ди I
Рис. 3.11
моугольнику подходят.
Таким образом, мы видим, что направление четырех стре-
лок совпадает, и их мы заменяем двумя едиными стрелками,
а две другие стрелки, расположенные по горизонтали, взаим-
но компенсируются, и при определенном навыке их можно не
отображать.
Окончательная схема распределения для рассматриваемого
процесса отображена на рис. 3.11.
При построении схем распределения энергии нужно четко
знать, что не может «острие» одной стрелки смотреть в «хвост»
другой.
Для примера на рис. 3.12 приведена ошибочная схема рас-
пределения энергии.
Такого распределения не бывает.
Очень часто при исследовании политроп-
ных процессов приходится сталкиваться с
процессами с отрицательной теплоемкостью.
Такая ситуация возникает в том случае, ког-
да знаки теплот и изменений внутренней
энергии (а следовательно, и температур) от-
личаются.
Из формулы (3.51), характеризующей удельную теплоем-
кость политропного процесса
видно, что этот факт присущ всем политропным процессам,
находящимся в диапазоне 1 < у < k.
Это свидетельствует о том, что в таких процессах значения
8 с/ и dT имеют разные знаки, т. е. при подводе теплоты к рабо-
чему телу температура последнего снижается, а при отводе
теплоты — повышается.
107
Глава 3. Приложения первого закона термодинамики
Это происходит потому, что в таких процессах уменьшение
внутренней энергии (которая зависит только от температуры)
за счет совершения работы больше, чем ее увеличение за счет
подвода теплоты, что четко прослеживается из записи первого
закона термодинамики
q = Ли + I.
ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЕ
1. Определить среднюю удельную изобарную теплоемкость
с„ кислорода при изменении температуры от 500 до
г т
1500 °C, если известны средние удельные изобарные
теплоемкости в интервале температур от 0 до 1500 °C и
от 0 до 500 °C: cp|J500 = 0,256 кДж/(кг • К); ср|500 =
= 0,234 кДж/(кг • К).
Решение.
/ Знание средней удельной теплоемкости и температурного
интервала позволяет определить удельное количество теплоты
7 = с,п \Т.
/ Определяем количество теплоты в интервалах от 0 до
1500 °C и от 0 до 500 °C:
7|15°° = Ср|15ОО.дт = о>25б-(1500-0) = 384 кДж/кг,
С° = ср|5°° • АТ = 0,234 • (500 - 0) = 117 кДж/кг.
/ Удельное количество теплоты для изобарного процесса,
заключенное в интервале температур от 500. до 1500 °C, нахо-
дим по свойству аддитивности:
q 11500 — q 11500 — q 1500
У,500 У1о ^1о
/ В итоге средняя удельная изобарная теплоемкость в иско-
мом температурном интервале
<711500 (j|1500 _ (ylSOO
С 11500 = l5°o = 'о =
^Isoo АТ АТ
□ ОД —117
= 1.,пп_ .,пп = 0,267 кДжДкг • К).
108
Задачи и их решение
2. Вывести формулу для расчета средней удельной изобар-
' ной теплоемкости с в диапазоне температур от до i2>
т
если истинная удельная теплоемкость газа задана уравне-
нием ср = а0 + att + a2t2.
Решение.
/ По определению истинная теплоемкость ср = Тогда
количество теплоты q в изобарном процессе, подведенное при
нагреве газа от температуры tr до i2,
t2 t2
q = J Cp di = J (a0 + art + a2t2) dt =
tl
/ ал a~ \
= ( aoi + T i2 + T i3 ]
^1) +
+ ^(i2-i2)+^(i3-i3)-
/ Согласно определению средняя удельная теплоемкость
находим в виде
а ал аг п
СР„, = t2 - ty = + М + у(*2 + *2*1 + )•
3. Газовая смесь состоит из 5 кг диоксида углерода СО2 и 8 кг
диазота N2. Изобарные молярные теплоемкости этих газов
при температуре Т = 298,15 К
Срсо2 = 37,135 Дж/(моль К),
Cpn2 = 29,124 ДжДмоль • К).
Рассчитать удельную изохорную теплоемкость смеси cv.
Решение. Определяем молярные массы и количества ве-
ществ компонентов смеси
10“3, nt = rrij/m^
массу и количество вещества смеси
m = £ n = Ynt
i I
и сводим в таблицу:
109
Глава 3. Приложения первого закона термодинамики
i Вещество Mi mL, кг/моль /Пр кг Пр моль
1 СО2 44 0,044 5 113,636
2 N2 28 0,028 8 285,714
Смесь 777 = 13 КГ п = 399,35 моль
/ Определяем общую изобарную теплоемкость смеси:
С = Е п,-С„ = 113,636-37,135 + 285,714-29,124 =
Р . I ri
= 12 541,016 Дж/К.
/ По уравнению Майера определяем изохорную теплоем-
кость смеси:
Cv = Ср - nR = 12 541,016 - 399,35 • 8,31441 = 9220,6 Дж/К.
' Находим удельную изохорную теплоемкость смеси:
Cv 9220,6 „„„ пп и
= — = 13 = 709,3 Дж/(кг • К).
4.
В политропном процессе расширения воздуха его объем
увеличился в 10 раз, а давление уменьшилось в 8 раз. Оп-
ределить показатель политропного процесса у, коэффици-
ент распределения теплоты ц/, работу L и изменение внут-
ренней энергии, если к рабочему телу подведено 10 кДж
теплоты. В расчетах принимать k = 1,4.
Решение.
Из уравнения политропного процесса pv< = const для двух
точек процесса можно записать
Р1П =р2П’
откуда
, T’l
In —
Р2 In 8 Л п
1 - —г - ЙЛо " °’9-
” vt
/ Коэффициент распределения теплоты связан с показате-
лем политропного процесса следующим уравнением:
у—1 0,9-1
V = J—й = тгъ—гц = 0,2.
т у - k 0,9 - 1,4
110
Задачи и их решение
/ По определению у = t\U/Q, следовательно,
Л.и = = 0,2 • 10 = 2 кДж.
/ Работу в данном процессе определяем из выражения пер-
вого закона термодинамики:
L = Q - AU = 10 - 2 = 8 кДж.
5. Определить показатель политропного процесса у, удель-
ии ную работу I, изменение внутренней энергии Ди и удель-
ную теплоту q политропного процесса, в котором температу-
ра кислорода (О2) меняется от температуры Т\ = 373 К до
температуры Т2 = 773 К при удельной теплоемкости процес-
са с = 2,1 кДж/(кг • К). В расчетах для двухатомного газа (О2)
принять ср = 909,3 Дж/(кг • К), cv = 649,5 Дж/(кг • К).
Решение.
/ Определяем показатель политропы
с-ср 2100 - 909,3 „ ОО1
2100-649,5 ~0'821-
/ Находим коэффициент распределения теплоты
у - 1 0,821 - 1 „ оппо
ш = '—Т. = А ОО1—П = 0,3092.
т у - k 0,821 - 1,4
/ Вычисляем энергетические составляющие уравнения пер-
вого закона термодинамики:
удельную теплоту
q = с АТ = 2,1(773 - 373) = 840 кДж/кг;
изменение удельной внутренней энергии
Ди = у<7 = 0,3092 • 840 = 259,7 кДж/кг;
удельную работу
I = (1 - v)Q = (1 - 0,3092) • 840 = 580,3 кДж/кг.
6. Воздух расширяется политропно с показателем у = 1,25,
иви имея начальные параметры рг = 4,3 МПа и = 500 К, до
температуры Т2 = 300 К. Определить давлениер2 и удельный
объем v2 воздуха в конце процесса расширения и состав-
ляющие уравнения первого закона термодинамики Ди, q
и Z. В расчетах принимаем (k = 1,4; R = 287,1 Дж/(кг-К);
ср = 1 кДж/(кг • К)).
111
Глава 3. Приложения первого закона термодинамики
Решение.
/ Определяем давление
у 1,25
/Г2\у-1 /300 V’25-1
=4,3[|^) = 0,3344 МПа.
/ По уравнению состояния идеального газа определяем
удельный объем
ВТ2
287,1 • 300
0,3344-106
= 0,2575 м2/кг.
/ По уравнению Майера определяем удельную теплоемкость
при v = const
cv = ср - R = 1000 - 287,1 =
= 713 Дж/(кг • К) = 0,713 кДж/(кг • К).
/ Определяем коэффициент распределения теплоты в про-
цессе
у - 1 1,25 - 1 - „„„
11/ = ---7 = ---Т-. =-1,667.
т у- k 1,25 - 1,4
/ Определяем изменение удельной внутренней энергии в про-
цессе
Ди = су(772 - Тг) = 0,713(300 - 500) = -142,6 кДж/кг.
/ Определяем удельную теплоту процесса
Ди -142,6 ок ту ,
<1 = у = Z1667 = 85,54 кДж/кг.
/ Определяем удельную работу процесса
I = (1 - \|/)<7 = [1 - (~1,667)]85,54 = 228,14 кДж/кг.
7. Воздух с начальными параметрами рг = 50 бар и tx = 200 °C
" " занимаем объем V\ = 1 м3. Определить температуру и дав-
ление в каждой последующей точке, если он сначала
расширяется адиабатно и при этом объем его увели-
чился в три раза, а затем изотермически сжимается
до первоначального объема. Определить работу расши-
рения и сжатия. В расчетах принять Rx = 287,1 Дж/кг • К
ий = 1,4.
112
Задачи и их решение
Решение.
/ Используя уравнение состояния для идеального газа pV =
= mRT, определяем массу воздуха, участвующую в процессах:
= = 50 • 105 • 1 = 1
. т RT\ 287,1 • (273 + 200) КГ‘
/ Определяем температуру воздуха Т2 в конце адиабатного
процесса расширения, учитывая соотношение параметров в
адиабатном процессе
L2 = rKif-1
т\ W •
/И, Л*-1 /щ1’4-1
Отсюда Т2 = 7\ j = 473^| J = 300 К.
/ Давление в точке 2 находим либо из уравнения состояния
p2V2 = mRT2, либо из уравнения политропного процесса pVr =
= const:
/Р, /1 \!>4
P2=Pi\y] = 50* 105 (Jj =Ю,6-105Па.
/ Определяем давление в конечной точке изотермического
процесса
р2 = р2 = 10,6 • 105 | = 31,8 • 105 Па.
/ Находим работу расширения для адиабатного процесса:
£расш = jrH =
= (50 • 105 • 1 - 10,6 • 105) Дж.
/ Рассчитываем работу сжатия для изотермического про-
цесса:
Z, = mRT, In- = 36,1 • 287,1 • 300 In = “35 *10'5 Дж.
сж 2 Рз 31,8
Комментарий. Абсолютное значение работы расширения
больше, чем работы сжатия, поскольку работа соответствует
площади под процессом в pV = q в координатах, а изотерма
в этих координатах идет более полого.
8 - 5580
113
Глава 3. Приложения первого закона термодинамики
8. Воздух массой 2 кг при температуре = 27 °C сжимается
при затрате работы 200 кДж. За время сжатия отводится
105 кДж теплоты. Определить показатель политропного
процесса g, коэффициент распределения теплоты \|/, темпе-
ратуру £2 в конце процесса, удельную теплоемкость про-
цесса с, если удельная изохорная теплоемкость постоян-
на и соответствует cv = 0,72 кДж/кг-К.
Решение.
/ По первому закону термодинамики Q = ЛС7 + L определя-
ем изменение внутренней энергии, при этом учитываем знаки
энергетических величин:
ДС7 = Q - L = -105 - (-200) = 95 кДж.
/ Определяем коэффициент распределения теплоты:
_\U _ 95 п _
V Q -105 °’9,
/ По формуле, дающей связь коэффициента распределения
у - k
теплоты с показателем политропного процесса \|/ = , нахо-
дим
\\jk - 1
V- 1
-0,9 -1,4-1
-0,9 - 1
= 1,19.
У =
/ Рассчитываем удельную теплоемкость процесса по од-
„ у - k Су
НОИ ИЗ формул С = Су^ _ ! или с = —
= 0,72 = кДж
V -0,9 и’ кг-К'
/ Температуру £2 в конечной точке определяем из формулы
AU = jny(t2 — 2J, откуда
ли
t9 = --- + t,
z тсу 1
2^72 + 27-93 °C.
Глава 4
Второй закон термодинамики
4.1. Сущность второго закона термодинамики
Второй закон термодинамики устанавливает направлен-
ность и условия протекания естественных процессов. Так же
как и первый закон термодинамики, он был выведен на осно-
вании экспериментальных данных. Напомним, что в первом
законе термодинамики характеризуются процессы превраще-
ния энергии с количественной стороны и устанавливается
связь между различными формами энергии, но не указывают-
ся направления процессов и не вводятся никакие ограничения.
В первом законе только утверждается, что теплота может
превращаться в работу, а работа — в теплоту, но не устанавли-
ваются условия, при которых возможны эти превращения, и
совершенно не затрагивается вопрос о возможном направле-
нии протекания термодинамического процесса. А не зная это-
го направления, невозможно предсказать его характер и ре-
зультаты. Например, если имеются два тела, температуры
которых различны, то первому закону термодинамики не про-
тиворечил бы переход теплоты от холодного тела к телу с бо-
лее высокой температурой. Основное ограничение, которое
налагает первый закон термодинамики на этот процесс, состо-
ит в том, чтобы количество теплоты, которое отдает первое те-
ло, было равно количеству теплоты, которое получает второе
тело (при условии отсутствия работы). В действительности
теплота сама собой (самопроизвольно) переходит только от тел,
имеющих более высокую температуру, к телам с более низкой
температурой, т. е. процесс теплообмена обладает свойством
определенной направленности — в сторону тел с более низкой
температурой. При этом процесс теплообмена прекращается
115
8*
Глава 4. Второй закон термодинамики
при достижении равенства температур. Необходимо отметить,
что изменить естественное направление на обратное движение
теплоты можно только за счет затраты работы (например, в хо-
лодильных машинах).
Если рассмотреть и другие естественные процессы, проис-
ходящие с макротелами в нашей окружающей действитель-
ности, то им присущ такой же односторонний характер проте-
кания: однажды расширившийся газ никогда самопроизволь-
но не сжимается; смешение, диффузия двух или нескольких
газов (или жидкостей) никогда не обращается вспять.
Таким образом, можно конкретизировать, что ряд естест-
венных явлений протекает необратимо и в обратном направле-
нии самопроизвольно протекать не может.
Наши наблюдения позволяют сделать вывод о том, что мно-
гие самопроизвольные превращения ведут системы, в которых
они протекают, к выравниванию главных различий: к исчезно-
вению разности потенциалов, к равновесию, что на уровне мо-
лекул соответствует максимальной неупорядоченности — ха-
осу. Таким образом успокаивается рябь на поверхности воды,
остывают угли костра, красивый кристалл льда при комнатной
температуре превращается в лужицу. При .этом такой ход явле-
ний никаких особых условий для реализации не требует.
Однако было бы ошибочным утверждать, что мы наблюда-
ем только односторонние процессы, ведущие к равновесию.
Известны и другие, противоположные виды явлений —
процессы усложнения и совершенствования систем и кон-
центрации энергии. В холодильной машине можно вновь пре-
вратить воду в кристалл льда при определенных условиях.
При вполне определенных условиях протекают биохимиче-
ские процессы, в результате которых из элементов неживой
природы — углерода, кислорода, водорода, азота и других —
возникают и совершенствуются формы жизни растений, жи-
вотных, человека. Примером самосовершенствования систе-
мы является превращение маленького зерна в растение, дере-
во. Подчеркнем, что эти превращения происходят лишь при
выполнении определенных условий, поэтому их относят к не-
самопроизвольным превращениям.
Возможность совершить несамопроизвольное превращение
связана с выполнением конкретного условия — его должно
116
4.2. Изменение энтропии в термодинамических процессах
компенсировать сопряженное самопроизвольное превращение.
Самопроизвольное превращение никакой компенсации не тре-
бует. Это заключение является основой одного из важнейших
законов природы — второго закона термодинамики.
Исторически сложилось так, что отправной точкой, базой
его открытия послужил анализ конкретного несамопроизволь-
ного явления, реализация которого стала необходимостью для
человека — превращения теплоты в механическую работу.
Честь этого открытия принадлежит С. Карно. Оно сделано им
в 1824 г. при анализе возможности создания наиболее совершен-
ного теплового двигателя — машины, превращающей с макси-
мальной эффективностью теплоту в механическую работу.
С. Карно впервые указал на возможность превращения теп-
лоты в полезную работу в двигателе при наличии двух источ-
ников теплоты: одного с более высокой температурой (нагре-
ватель с температурой Тг) и другого с меньшей температурой
(холодильник с температурой Т2).
Позднее Р. Клаузиус и В. Томсон (Кельвин) дали наиболее
общие формулировки второго закона термодинамики, из ко-
торых следует, что:
• невозможен процесс, при котором теплота самопроиз-
вольно переходила бы от холодных тел к телам нагре-
тым;
• не вся теплота, полученная от теплоотдатчика (нагрева-
теля), может перейти в работу, а только часть ее, другая
часть должна перейти в теплоприемник.
Для получения аналитического выражения второго закона
термодинамики рассмотрим его применительно к термодина-
мическим процессам.
4.2. Изменение энтропии
в термодинамических процессах
При рассмотрении основных положений термодинамики
были введены понятия процессов — обратимых и необра-
тимых. Напомним, что процесс называется обратимым, если
его можно провести в обратном направлении таким образом,
117
Глава 4. Второй закон термодинамики
что после возвращения системы в исходное состояние в окру-
жающей среде не обнаруживается никаких изменений. Если
изменения обнаружатся, то процесс необратим.
К обратимым процессам можно отнести:
• все чисто механические процессы, т. е. такие механиче-
ские движения, где практически отсутствует трение (не-
затухающие колебания маятника, движение идеальной
жидкости без трения, удары идеально упругих тел);
• незатухающие электромагнитные колебания;
• распространение электромагнитных волн в среде без по-
глощения.
Все действительные термодинамические процессы совер-
шаются при конечной разности давлений и температур рабо-
чего тела и окружающей среды и являются неравновесными
и необратимыми.
Характерным примером необратимого процесса является
движение с трением. Работа, затрачиваемая на преодоление
трения, необратимо превращается в теплоту, выделяющуюся
при трении. При этом в окружающей среде обнаруживается
следующее изменение: исчезает порция упорядоченной энер-
гии, а вместо нее появляется порция неупорядоченной энер-
гии — теплота, т. е. произошла диссипация (рассеивание)
энергии.
Аналогичные необратимые процессы проявляются при пе-
редаче теплоты от горячего тела к холодному, при образова-
нии любого раствора или газовой смеси. Необратимыми про-
цессами являются также горение и взрыв, явления радиоак-
тивного распада, течение электрического тока в проводнике с
сопротивлением, распространение электромагнитных волн в
поглощающей среде.
Во всех необратимых процессах вместо упорядоченной
энергии появляется порция неупорядоченной и вследствие
этого энтропия системы увеличивается на
cie =
a,5in р ’
где 8Q' — порция тепловой энергии, появившейся внутри сис-
темы за счет деградации энергии.
118
4.2. Изменение энтропии в термодинамических процессах
Поскольку в общем случае для закрытой системы
где 8Q — порция теплоты, вошедшая в систему через ее гра-
ницу; а так как 8Q' > 0, то dSin > 0. Следовательно:
dS > ~ , (4.
где знак неравенства справедлив для необратимых процессов,
а знак равенства для обратимых процессов, поскольку для
них 8Q' = 0.
Уравнение (4.1) является одним из математических выра-
жений второго закона термодинамики.
Из приведенного выражения можно выделить два частных
случая: для изолированной системы и циклов;
Для изолированной системы внешний теплообмен, как и
любой другой вид энергообмена, отсутствует и, следовательно,
8Q = 0.
Согласно (4.1) при 8Q = 0
dS > 0, (4.2)
при этом, как и в предыдущем случае, знак равенства соответ-
ствует процессам обратимым, а знак неравенства — процессам
необратимым.
Уравнение (4.2) является аналитическим выражением
принципа возрастания энтропии применительно к изолиро-
ванной системе, который можно сформулировать в виде сле-
дующего положения:
энтропия изолированной системы при наличии в ней неравно-
весных процессов всегда возрастает.
Применительно к циклам или замкнутым процессам необхо-
димо взять интеграл по замкнутому контуру от выражения (4.1)
(4.3)
но, поскольку энтропия является функцией состояния, то ле-
вая часть выражения (4.3) всегда равна нулю. Следовательно,
можно записать
< 0. (4.4)
119
Глава 4. Второй закон термодинамики
Знак равенства соответствует обратимому циклу, а знак
неравенства — необратимому циклу.
Неравенство (4.4) представляет собой математическое вы-
ражение второго закона термодинамики для циклов и называ-
ется интегралом Клаузиуса.
Изменение энтропии всей термодинамической системы
можно показать на следующем примере.
Пусть два тела 1 и 2 с разными темпе-
1 ратурами (Тг > Т2) приведены в тепловой
\ Т \ J у контакт (рис. 4.1). Для того чтобы тепло-
\ 2 / обмен между телами 1 и 2 осуществлял-
рис 4 1 ся равновесно, необходим посредник —
термодинамическое рабочее тело.
Следовательно, изменение энтропии всей системы будет
складываться из энтропии трех составляющих: источника
теплоты с температурой Тг, термодинамического рабочего те-
ла и теплоприемника (холодильника) с температурой Т2:
Атеист = A'S’hct + A<STpT + ASХОЛ* (4-5)
Для источника теплоты, отдающего теплоту рабочему телу
при температуре 771, имеет место уменьшение энтропии:
<»
1 -1 1
Для теплоприемника, получающего теплоту при темпера-
туре Т2, энтропия возрастает
При этом
А«хол= >0.
1 7 2
j 3Q ? 8Q
J гр J нп ,
а поскольку Т\ > Т2, то получаем
A'Shct < ^^ХОЛ-
Для рабочего тела изменение энтропии равно нулю ASTPT =
= 0, так как рабочее тело возвращается в свое первоначальное
состояние. Следовательно, если учитывать изменение энтро-
120
4.3. Формулировки второго закона термодинамики
пии каждой составляющей, то изменение энтропии всей сис-
темы в целом в необратимых процессах всегда положительно:
Лесист, необр > 0- (4.6)
Если будем увеличивать температуру Т2 и в пределе получим
ее равенство с температурой Т\, то ASHCT будет равно Л<8хол,
а изменение энтропии системы будет равно нулю.
Равенство Т\ и Т2 в процессе теплообмена указывает на об-
ратимость процесса, а следовательно:
Атеист. обр = 0- (4.7)
Объединяя выражения (4.6) и (4.7), получим
ЛЯсист>0, (4.8)
где знак равенства соответствует процессам обратимым, а знак
неравенства — необратимым.
4.3. Формулировки второго закона термодинамики
В основу формулировок второго закона термодинамики по-
ложены постулаты (положения), не требующие доказательств
и являющиеся результатом опыта.
Наибольшую известность получили постулаты С. Карно
(1824), Р. Клаузиуса (1850), В. Томсона (Кельвина) (1854), а так-
же постулаты М. Планка, В. Оствальда, Л. Больцмана.
Приведем наиболее распространенные формулировки:
• «Теплота не может сама собой переходить от холодного
тела к горячему» (Р. Клаузиус).
Согласно этому постулату теплота сама собой переходит
только от тел, имеющих более высокую температуру.
• «Теплоту какого-либо тела невозможно превратить в ра-
боту, не производя никакого другого действия, кроме ох-
лаждения этого тела» (В. Томсон).
• «Невозможно построить периодически действующую ма-
шину, которая производила бы только поднятие груза и
охлаждение источника теплоты» (М. Планк).
121
Глава 4. Второй закон термодинамики
В двух последних формулировках, наряду с категориче-
ским отрицанием возможности полного превращения теплоты
в работу, содержится неявное указание на возможность пол-
ного превращения работы в теплоту. В них, следовательно,
подчеркивается, что работа необратимо превращается в тепло-
ту весьма просто и для этого достаточно иметь в окружающей
среде единственное тело (приемник теплоты), которое воспри-
нимало бы эту теплоту. Для превращения же теплоты в работу
необходимы специальные искусственно созданные условия:
наличие по крайней мере двух тел с разными температурами,
между которыми посредник (термодинамическая система)
мог бы осуществить цикл и произвести работу.
Для достижения некоторой общности в последних двух
формулировках В. Оствальд сформулировал второй закон сле-
дующим образом:
«Невозможно создать вечный двигатель (perpetuum mobile)
второго рода».
Вечным двигателем второго рода называют двигатель, кото-
рый мог бы работать с одним источником теплоты, т. е. двига-
тель, превращающий теплоту в работу при отсутствии разнос-
ти температур в окружающей среде. Если бы такой двигатель
был возможен, то, используя в качестве источника теплоты ок-
ружающую нас атмосферу или воду океанов, обладающих гро-
мадными, практически неограниченными запасами энергии,
этот двигатель работал бы сколь угодно длительное время, т. е.
был бы практически вечным. Предложенная формулировка,
как и две предыдущие, отражает только характер необрати-
мых процессов.
Л. Больцман предложил такую формулировку:
«Природа стремится от состояний менее вероятных к со-
стояниям более вероятным». Все естественные процессы явля-
ются переходом от менее вероятных состояний к состояниям
более вероятным.
Как отмечалось ранее, С. Карно дал следующую формули-
ровку второго закона:
«Для перевода теплоты в работу необходимо наличие, кро-
ме источника теплоты, охладителя более низкой температу-
ры, т. е. необходим температурный перепад».
122
4.4. Гипотеза о «тепловой смерти» Вселенной
Из других известных формулировок второго закона термо-
динамики отметим следующие:
• самопроизвольные (естественные) процессы необратимы;
• энтропия изолированной системы стремится к максимуму;
• теплота наиболее холодного тела в данной системе не мо-
жет служить источником работы;
• в круговом процессе теплота источника не может быть
полностью превращена в работу, часть теплоты неизбеж-
но должна быть отдана холодным источникам;
• энергия изолированной системы деградирует.
Таким образом, наиболее распространенные формулировки
второго закона термодинамики отражают именно характер
необратимых процессов — принцип возрастания энтро-
пии.
Поэтому второй закон термодинамики, по существу, опре-
деляет одностороннюю направленность естественных, само-
произвольных, неравновесных процессов и одностороннее не-
обратимое превращение энергии, которое сопровождает эти
процессы.
4.4. Гипотеза о «тепловой смерти» Вселенной
Неизбежное возрастание энтропии изолированной системы
при самопроизвольных необратимых процессах в ней было
необоснованно возведено Р. Клаузиусом в универсальный фи-
зический закон, не знающий ограничений, и поставлено в ряд
с законом сохранения энергии. Оба этих закона по Клаузиусу
в равной мере определяют состояние Вселенной: «Энергия
Вселенной остается постоянной, энтропия Вселенной стремит-
ся к максимуму».
Таким образом, согласно Клаузиусу, все процессы, проте-
кающие во Вселенной, ввиду их односторонности, должны со
временем привести Вселенную в такое состояние, при котором
все градиенты исчезнут и все жизненные процессы замрут. Та-
кое состояние принято называть «тепловой смертью» Все-
ленной. Однако этот вывод Р. Клаузиуса является ошибоч-
ным. Второй закон термодинамики, на котором основывался
123
Глава 4. Второй закон термодинамики
Р. Клаузиус, дает достоверные результаты в земных условиях
для конечных изолированных систем. Он применим только к
макроскопическим системам, т. е. к системам, состоящим из
большого числа частиц.
Известно, что все виды энергии легко превращаются в теп-
лоту. Теплота, в свою очередь, постоянно переходит от тел с
более высокой температурой к телам с более низкой темпера-
турой, т. е. происходит выравнивание температуры системы.
Таким образом, определенная направленность, односторон-
ность теплоты при тепловом контакте двух тел с различной
температурой является объективным законом природы.
Принцип же возрастания энтропии справедлив только в от-
ношении изолированных, макроскопических систем, в кото-
рых происходят необратимые процессы. Согласно Л. Больц-
ману, необратимость процессов не универсальна, т. е. во Все-
ленной могут происходить не только процессы, в которых
энергия деградирует, но и процессы, в которых она возрожда-
ется и концентрируется.
Ф. Энгельс первым высказал мысль о том, что излучаемая
звездами в космическое пространство теплота должна иметь
возможность вновь сконцентрироваться и дать начало новому
круговороту материи. К. Э. Циолковский считал, что причи-
ной концентрации массы и энергии является гравитация.
Наши познания природы и процессов, происходящих в
ней, еще слишком ограниченны. Нет сомнения в том, что нау-
ка откроет процессы, сопровождающиеся уменьшением энт-
ропии, т. е. установит, каким образом теплота может превра-
титься в другую форму движения, в которой она может снова
сконцентрироваться и начать функционировать.
Исследования последних лет подтверждают гипотезу о воз-
можности самоконцентрации энергии и протекании процессов
с уменьшением энтропии, о неправомерности распространения
второго закона термодинамики на Вселенную. Пример тому —
образование новых звезд, а также звездных ассоциаций.
Нельзя распространять второй закон термодинамики и на
малое количество вещества, так как из-за увеличения ампли-
туды флуктуаций, например флуктуаций температуры, появ-
ляется возможность передачи кинетической энергии от менее
нагретых «частиц» более нагретым.
124
Задачи и их решение
ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЕ
1. Доказать, что в результате теплообмена при конечной раз-
ности температур энтропия увеличивается.
Решение.
/ Примем для упрощения, что оба тела имеют настолько
большие теплоемкости, что отдаваемое или получаемое ими
количество теплоты не вызывает заметного изменения темпе-
ратуры тел. Тогда изменение энтропии первого, более нагрето-
го тела в результате отдачи количества теплоты
ASX = -Qi/Л-
Отсюда следует, что энтропия более нагретого тела при теп-
лообмене убывает.
/ Количество теплоты Q2, полученного вторым телом, равно
количеству теплоты Qp отданного первым телом, поэтому из-
менение энтропии второго, менее нагретого тела
AS2 = Q1/T2,
т. е. энтропия менее нагретого тела увеличивается.
/ Изменение энтропии обоих тел, составляющих изолиро-
ванную систему, будет равно сумме изменений энтропии обо-
их тел:
AS = ASX +AS2 = Q1(l/T2-l/T1)>0,
т. е. энтропия системы при теплообмене с конечной разностью
температур возрастает.
2. Как изменяется величина энтропии при смешении двух
1*и идеальных газов, имеющих одинаковые начальные темпе-
ратуры и давления?
Решение.
/ Изменение энтропии при смешении двух различных газов
обусловлено различием молекул смешивающихся газов и
обусловлено тем, что для отделения молекул одного газа от
молекул другого после их смешения необходимо затратить не-
которую работу.
125
Глава 4. Второй закон термодинамики
При одинаковых молекулах отделение их некоторого коли-
чества не требует затраты работы, поэтому изменение энтро-
пии при смешении двух одинаковых газов равно нулю.
Z Обозначим энтропию до смешения S = Sx + S2, а энтропию
после смешения S' = S^ + S2.
При этом
V1 + V2
Sr = Sx + m1R1 In —у— ,
V-. + V2
^2 ~ + m2^2 ln •
Z Находим изменение энтропии в процессе смешения
AS = (S; + S2) - (S, + S2) = m1R1 In + m2R2 In ,
- - M пь £ Hb
2
где m = m1 + m2, следовательно, энтропия при смешении
газов возрастает.
Глава 5
Объединенные выражения
для первого и второго законов
термодинамики и соотношения,
получаемые из них
5.1. Различные формы записи
объединенных уравнений
Под объединенными уравнениями понимают соотношения,
получаемые из уравнений для первого и второго законов тер-
модинамики.
Ранее для закрытой системы были получены выражения
8Q = dl7 + р dV + 8А, (5.1)
AQ = dH-Vdp + AA, (5.2)
8S > 5Q/T, (5.3)
объединив которые, можно записать
TdS^dH+jjdy+SA, (5.4)
TdS>dH-ydp + 8A. (5.5)
Очень часто, особенно при протекании химических процес-
сов, первый закон термодинамики записывается относительно
внутренней энергии, изменение которой идет на свободно вы-
деленную теплоту (теплоту реакции) и различные работы.
В этом случае для закрытых систем будем иметь
dJI < TdS-pdV-dA, (5.6)
dH <TdS + Vdp-dA. (5.7)
Воспользуемся следующими величинами, которые понадо-
бятся в дальнейшем
F = U-TS, (5.8)
G = H~TS, (5.9)
где F — свободная энергия Гельмгольца, G — свободная
энергия Гиббса.
127
Глава 5. Объединенные выражения для первого и второго законов термодинамики
Введенные величины являются функциями состояния.
Дифференцируя (5.8) и (5.9), получим
dF = dl7 - Т dS - S dT, (5.10)
dG = dH-TdS-SdT, (5.11)
а подставляя сюда d[7 и dH из (5.6) и (5.7), имеем
dFC -SdT-pdV-dA, (5.12)
dG^-SdT + ydjj-SA. (5.13)
Выражения (5.6), (5.7), (5.12) и (5.13) являются различны-
ми формами записи объединенного выражения для первого и
второго законов термодинамики. При этом знак неравенства
соответствует необратимым процессам, а знак равенства — об-
ратимым.
Пусть среди прочих работ существует лишь одна, тогда по
аналогии с записями для работ объемной деформации 5L = р dF
или для технической работы 8iTex = R dx, для работы немеха-
нического характера можно записать
8A=Ad^, (5.14)
где А — работа системы на единице длины пути, получившая
название термодинамического сродства; — путь процес-
са, очень часто называемый пробегом.
Фактически величина А соответствует обобщенной силе
внутри системы, — обобщенной координате. Сродство явля-
ется интенсивным параметром состояния. Выбор единицы
пробега зависит от решаемой задачи. Примером процессов,
где используются А и являются химические реакции, при
этом величина А носит название химического сродства, —
пробега химической реакции.
Величина А вводится соотношением
А=^-', (5.15)
где 8Q' — некомпенсируемая теплота, т. е. количество рабо-
ты, которое диссипировало (рассеялось) в энергию теплового
движения частиц на длине процесса внутри ТС.
Если А = 0, то процесс обратимый, а если А > 0, то процесс
необратимый.
128
5.1. Различные формы записи объединенных уравнений
Рассмотрим уравнения (5.6), (5.7), (5.12) и (5.13) для обра-
тимых процессов и с заменой ЗА на А и по выражению
(5.14):
dG = TdS-^dH-Ad^, (5.16)
cLfiT = Т dS + У dp - A d£;, (5.17)
dF = -SdT-p>dK-Ad^, (5.18)
dG = -S dT + V dp - A d£. (5.19)
При фиксации двух параметров для термодинамического
сродства получаем
Как и ранее, нижние символы показывают постоянство па-
раметров.
Отсюда можно определить энергетические величины для
процессов с фиксацией двух параметров.
В частности, для процессов при S, V = const
(dG)sr=-Ad^. (5.21)
В аналитической механике функцию, дифференциал кото-
рой с обратным знаком равен элементарной работе, принято
называть потенциалом.
По аналогии в термодинамике вводят понятия энергетиче-
ских потенциалов:
• изохорно-изоэнтропного потенциала — U при S, V = const,
• изобарно-изоэнтропного потенциала — Н при S,p = const,
• изохорно-изотермического потенциала — F при Т,
V = const,
• изобарно-изотермического потенциала — G при Т,
р = const.
В других сочетаниях фиксации параметров перечисленные
функции потенциалами не являются, поскольку в таких случа-
ях невозможно получить соотношения в виде (5.16)—(5.19). На-
пример, U не является потенциалом в процессе при S,p = const.
Следует отметить, что в реальных условиях осуществлять
процессы при S, V = const или S, р = const сложно, поскольку
нет прибора, измеряющего энтропию. Более удобны в этом от-
ношении изохорно-изотермический F и изобарно-изотермиче-
ский G потенциалы. Эти потенциалы (F и G) в литературе на-
9 - 5580
129
Глава 5. Объединенные выражения для первого и второго законов термодинамики
зывают иногда более кратко: изохорный потенциал или энер-
гия Гельмгольца и изобарный потенциал или энергия Гиббса.
Для открытой системы первый закон термодинамики запи-
сывается в виде (2.15) и (2.16)
5Q = dl7+pdy+aA-EHz5nz, (5.22)
I
5Q = dH -Vdp + ^A-^Hi5ni. (5.23)
i
Изменение энтропии в данном случае будет связано с изме-
нением трех составляющих:
dS = dSe + dSin + dSm, (5.24)
где dSe = dQ/T — изменение энтропии, связанное с внешним
подводом теплоты; dSin — изменение энтропии внутри систе-
мы за счет необратимых процессов; dSm = s dm — изменение
энтропии, связанное с внешним подводом массы в случае по-
дачи различных веществ, записываемое в виде
dSm = S slbml = S S. dnt. (5.25)
i i
Учитывая, что 5Q = T dSe, заменим его в (5.24), а принимая
во внимание, что dSin > 0, перепишем (5.22) относительно dJ7:
dt/< TdS- TdSm-pdV-dA + £ Htbn(. (5.26)
i
Используя замену по формуле (5.25) и объединяя потенци-
алы, содержащие изменения количества вещества, получим
dt/С TdS-pdV-dA + TS.) dnt
i
или с учетом выражения (5.9) окончательно получим
dl/C TdS-pdV-dA + ^Gtdnt. (5.27)
i
Аналогичные выражения можно получить для изменения эн-
тальпии, свободной энергии Гельмгольца и свободной энергии
Гиббса
dH^TdS + Vdp-dA+^G^n^ (5.28)
i
dF<-SdT-pdV-6A+£ G^, (5.29)
i
dG<-SdT + Vdp-SA + 'EGlbni. (5.30)
130
• 5.2. Характеристические функции и дифференциальные соотношения
Напомним, что 2 G 8ni — это энергия, поступающая в сис-
тему из окружающей среды благодаря массообмену.
Формулы (5.27)—(5.30) являются объединенными уравне-
ниями для первого и второго законов термодинамики для не-
однородных систем.
Перераспределение количества вещества наблюдается также
в результате протекания химических реакций и в фазовых пе-
реходах, так как в конечном счете процессы химического и фа-
зового превращения состоят в перераспределении массы между
фазами и веществами, составляющими систему, а суммарная
масса веществ сохраняется неизменной. Системы с такими про-
цессами получили наименование неоднородных систем.
5.2. Характеристические функции
и дифференциальные соотношения
в термодинамике
Аналитический метод исследования состояний разнообраз-
ных термодинамических систем был разработан Гиббсом. В ос-
нове этого метода лежит рассмотрение особых, характеристи-
ческих функций, которые Гиббс назвал фундаментальными.
Через характеристические функции и их производные
можно выразить все термодинамические свойства сис-
темы. Число предложенных характеристических функций в
настоящее время составляет несколько десятков. Гиббс ввел
четыре такие функции: внутреннюю энергию U, энтальпию Н,
свободную энергию Гельмгольца F и свободную энергию Гиб-
бса G. Они считаются классическими.
Метод Гиббса базируется на применении объединенного
выражения для первого и второго законов термодинамики для
обратимых процессов.
Для простых и закрытых систем объединенные выражения
(5.16)—(5.19) в рассматриваемом случае запишутся в виде
ап = т as -р ап, (5.31)
АН = Т AS + VAp, (5.32)
AF = -S AT - p AV, (5.33)
ac? = -sar + yap. (5.34)
Каждое из этих уравнений связывает между собой пять пе-
ременных величин, которые зависят лишь от состояния систе-
9*
131
Глава 5. Объединенные выражения для первого и второго законов термодинамики
мы и не зависят от пути процесса. Из пяти параметров можно со-
ставить двадцать различных парных комбинаций типа U—Т;
U—S; U—р; U—V и т. д.
Из этих комбинаций для термодинамических исследова-
ний большое значение имеют следующие:
U = U(S, V), (5.35)
H = H(S,p), (5.36)
F = F(T, V), (5.37)
G = G(p,T), (5.38)
каждое из этих выражений является функцией двух перемен-
ных, полные дифференциалы которых
d?7= | (dU ' Us , ) dS + I 'V ' (dU ' <av, ) dV, 'S (5.39)
dH = (дН 1 as 1 dS + 'р (dH I dp 1 dp, Js (5.40)
dF = | rar > 1эт, | dT+ I 'dF A ,av) 1 dV, T (5.41)
dG = /ас?' 1эт, ) dT + | 'p (dGU <dp , I dp. ' T (5.42)
Сопоставляя полученные уравнения последовательно с урав-
нениями (5.31)—(5.34), получим выражения неизвестных па-
раметров с помощью частных производных
lasjy> р lacjs
= v=(— 1
lasj/ v Up Js>
_ / dF \ _ / dF \
“Дат J/ ^“ДасД
(5.43)
Каждое из приведенных выражений позволяет определить
недостающие термодинамические параметры через первые про-
изводные соответствующих энергетических величин и вскрыть
физический смысл каждого термодинамического параметра со-
132
5.2. Характеристические функции и дифференциальные соотношения
стояния. Так, например, из первого выражения системы урав-
нений (5.43) следует, что температура представляет собой меру
увеличения внутренней энергии термодинамической системы
с изменением энтропии в изохорном процессе; второе выраже-
ние приведенной системы показывает, что давление представ-
ляет собой меру убыли внутренней энергии системы при изме-
нении объема при S = const.
Согласно свойству полного дифференциала вторая смешан-
ная производная от функции не зависит от порядка дифферен-
цирования.
Применительно к внутренней энергии (уравнение 5.35)
можно записать
д2и
экэв
(5.44)
В математике подобного рода замена получила название
теоремы о приравнивании накрест взятых производных.
Заменив частные производные
нии (5.44) через термодинамические параметры из
уравнений (5.43), получим
выраже-
системы
dVjs
(5.45)
Выполнив аналогичные преобразования для выражений
(5.36)—(5.38), получим
Э2Н
dpdS
или
d2F
dTdV
(5.46)
(5.47)
(5.48)
133
Глава 5. Объединенные выражения для первого и второго законов термодинамики
или
или
d2G
дТдр
(5.49)
(5.50)
(5.51)
Уравнения (5.45), (5.47), (5.49) и (5.51) получили наимено-
вание дифференциальных соотношений взаимности или
соотношений Максвелла.
Приведенные соотношения широко используются в термоди-
намических преобразованиях, и в частности для нахождения
связи между теплоемкостями реальных газов и при определении
местной скорости звука. С их помощью можно выразить одни
макроскопические свойства системы через другие, а также ис-
пользовать экспериментальные исследования одних свойств для
выявления других, т. е. можно заменить исследование одного
процесса исследованием другого при соответствующих условиях
и обеспечить получение одного и того же результата.
Необходимо отметить, что известно много термодинамиче-
ских функций, однако среди них можно выделить основные,
через которые наиболее просто выражаются термодинамиче-
ские параметры.
Пусть известна функция U = U(S, V). Задаваясь S и V, рас-
считываем U по уравнению (5.31). С помощью дифференци-
альных соотношений (5.43) находим Т ир. Теперь нам извест-
но пять параметров (U, S, V, Т, р). С помощью известных вы-
ражений термодинамических потенциалов Н = U + pV‘,
F = U - TS; G = Н - TS находятся и другие термодинамиче-
ские параметры системы.
Как видим, функция U при определенных условиях сопря-
жения ТС с окружающей средой (заданных S и V) полностью
характеризует состояние системы, и поэтому она называется
характеристической.
Аналогичная ситуация возникает и при задании функций
Н, К, G (5.36)—(5.38).
134
5.3. Дифференциальные уравнения состояния
В соответствии с этим можно сформулировать следующее
определение:
характеристическими называются термодинамические функции,
| которые сами по себе, а также их частные производные, в явной
степени выражают термодинамические свойства системы.
Или более строго:
характеристическая функция — это функция состояния ТС, по-
| зволяющая при соответствующем выборе независимых пере-
| менных (при определенных условиях сопряжения с окружающей
средой) выражать через свои производные наиболее просто и в
явном виде термодинамические параметры, характеризующие
свойства системы.
Необходимо еще раз отметить, что функции или потенци-
алы (5.35)—(5.38) являются характеристическими только при
указанных для каждой из них аргументах. При других аргу-
ментах эти функции характеристическими не являются.
Как видно, одни и те же функции U, Н, F, G могут высту-
пать как в роли термодинамических потенциалов, так и в роли
характеристических функций. В первом случае они использу-
ются в процессах со сложными системами при воздействии од-
ной силы и фиксированных независимых параметрах, во вто-
ром — для простых систем при определенном выборе независи-
мых параметров.
5.3. Дифференциальные уравнения состояния
Для различных рабочих тел, будь то идеальный газ, реаль-
ный газ, жидкость или твердое тело, существует связь между
параметрами состояния видар = f(T, V).
Продифференцируем данное выражение
dT+(MdK <5-52)
Если принять условие р = const, что справедливо для непо-
движного рабочего тела и твердого тела, то соотношение (5.52)
приобретает вид
°-(Mdr+(MdK (5-53>
135
Глава 5. Объединенные выражения для первого и второго законов термодинамики
(5.54)
(5.55)
Откуда следует для р = const
или
ГЭУЛ ГЭр\ (дТ\ =
larj/avjjap )v
Уравнение (5.55) получило наименование дифференциаль-
ного уравнения состояния, а входящие в него частные
производные — термодинамические характеристики ра-
бочего тела.
Общий вид уравнения (5.55) легко запомнить, если обра-
тить внимание на то, как оно построено. Следует обращать
внимание на чередование термодинамических параметров
функция—аргумент—фиксированный параметр, т. е.
V — Т — р-, p-V- Т; T-+p-+V.
Связи частных производных термодинамических парамет-
ров справедливы при определенных условиях сопряжения ТС
с окружающей средой.
При этом в качестве проверки можно убедиться, что все три
переменные присутствуют и ни разу не повторяются в числителе,
в знаменателе и в подстрочном индексе каждого сомножителя.
Каждая термодинамическая характеристика, входящая в
уравнение (5.55), имеет свой физический смысл. При расче-
тах удобнее использовать величины, полученные делением
каждой характеристики на V или р, а именно:
• коэффициент термического (объемного) расширения
“ Дат)/ (5‘56)
• коэффициент термической упругости
• коэффициент изотермической сжимаемости
<5-58>
136
5.3. Дифференциальные уравнения состояния
Знак «минус» в выражении (5.58) вводится для того, что-
бы обеспечить положительное значение так как при сжа-
тии dV < 0.
Подстановка выражений (5.56)—(5.58) в уравнение (5.55)
показывает, что все коэффициенты связаны между собой соот-
ношением
a = vyprp. (5.59)
По аналогии с выражением (5.58) вводится понятие коэф-
фициента адиабатной сжимаемости
1 fdV\
<5-60>
Для практических расчетов удобнее использовать произ-
водные от логарифмических параметров.
Из математики известно, что для любой величины справед-
ливы соотношения
dx = d (In х), и dx = xd (In x). (5.61)
Переписав (5.61)—(5.63) в виде
а г( ' Э In FA Э In Т I ’ - ' р (5.62)
vy = Т 1 < д 1п р \ In T)v’ (5.63)
/ Э In У \ Э In р )т’ (5.64)
получаем также
аТ = 3rpvyT. (5.65)
Это соотношение удобно тем, что парные произведения аТ,
Ргр, vyT безразмерны.
С использованием соотношения (5.61) можно получить
дифференциальную форму записи уравнения состояния:
Э In И \ Г Э In р Л / Э In У Л
Э In Уу)7ДЭ1пУ,1г^Э1пр )v
(5.66)
Необходимо отметить, что в уравнениях (5.55) и (5.66) вместо
трех введенных параметров состояния р, V, Т можно включить
набор из трех любых термодинамических параметров состояния.
137
Глава 5. Объединенные выражения для первого и второго законов термодинамики
5.4. Соотношения между изобарной
и изохорной теплоемкостями
Ранее было показано, что основными параметрами простой
термодинамической системы являютсяр, V, Т, но из них только
два являются независимыми для однородных тел, какими счи-
таются газы и перегретые пары. Поэтому любая пара из них —
риТ, 7и Т, Тир — определяет все остальные параметры.
Если выбрать в качестве независимых параметров V и Т, то
для функции состояния энтропии можно записать
S = S(V,T). (5.67)
Полный дифференциал
+ (5'68)
Разделив приведенное выражение на АТ и положив
р = const, получим
Домножим каждую составляющую последнего уравнения
на Т\
Поскольку Т dS = 8Q, а истинная теплоемкость фиксиро-
ванного процесса Сх = I I , запишем выражение для изо-
барной теплоемкости
(5.71)
С учетом того что энтропия является энергетической вели-
чиной и неудобна для расчетов, так как измерить ее невоз-
можно, воспользуемся соотношением Максвелла (5.49) и вы-
полним замену
138
5.4. Соотношения между изобарной и изохорной теплоемкостями
Тогда получим
CP = CV+T
(5.72)
С помощью дифференциального уравнения состояния (5.55)
заменим произведение по экстенсивному параметру V
Эр Л / ЭУ л 7 Эр л
dT)v~ UHUyJr
(5.73)
и перепишем уравнение (5.72) в виде
CP = CV-T
g);
/эул
Up )т
(5.74)
Поскольку для практических расчетов удобнее использо-
вать производные от логарифмических параметров (5.61), вы-
полним замену
/ЭУЛ = У/Э In Ул
Urjp rUlnTJ/
/ЭУл У/Э In УЛ
I Эр JT р V Э In р )т ‘
Подставляя (5.75) и (5.76) в (5.74), будем иметь
/Э In Ул2
, =r _
'р v Т / э In УЛ
I э In р Jr
(5.77)
Пользуясь определением термических коэффициентов
(5.56)—(5.58), можно получить еще одно выражение для на-
хождения соотношений между Ср и Cv:
с = с + — = С + VT—
р Cv+ Т Ргр с^+ V1 р/
(5.78)
Для реального газа (см. разд. 1.10) с учетом уравнения со-
стояния
pV = znRT
139
Глава 5. Объединенные выражения для первого и второго законов термодинамики
будем иметь
Cp = Cv+znR{-^. (5.79)
Для идеального газа выполним замену частных производ-
ных в выражении (5.74). Для Т = const из уравнения состоя-
ть const
ния pV = nRT следует, чтор = ——, и тогда
/ Эр \ _ д /const \ pV _ _р
tavjт ~ эуt v )~~у2~ V'
Для р = const получаем V = const • Т и соответственно
. /эул э . . , v
tarj = дт (c°nst • Т) = const = у .
Теперь будем иметь
2
Cp = Cv+T^-2£ =Cv + ?f, (5.80)
ноpV = nRT = mRT. Следовательно
Cp = Cv + mR (5.81)
или, поделив на массу, получим уже знакомое уравнение
Майера
cp-cv = R. (5.82)
С учетом того что прямое измерение Ср оказывается более
простым и надежным, чем измерение Cv, соотношения (5.74),
(5.78), (5.82) очень часто используются в термодинамике.
5.5. Дифференциальные уравнения
внутренней энергии, энтальпии и энтропии
Дифференциальные уравнения термодинамики устанав-
ливают связь между различными физическими свойствами
веществ, вытекающими из первого и второго законов тер-
модинамики. В случае, когда часть параметров оказывает-
ся известной, остальные параметры могут быть определены
интегрированием соответствующих дифференциальных урав-
нений.
140
5.5, Дифференциальные уравнения внутренней энергии, энтальпии и энтропии
Особенно важным является нахождение частных производ-
ных от внутренней энергии ввиду того, что все дальнейшие
уравнения и формулы получаются как прямые следствия ча-
стных производных внутренней энергии. Учитывая, что зна-
чение внутренней энергии определяется движением частиц и
связями между ними, важнейшими параметрами, определяю-
щими внутреннюю энергию, будет любая пара параметров —
v, Т; р, Т; р, v.
При выборе в качестве независимых параметров ииТ мож-
но записать
и = u(v, Т),
а полный дифференциал удельной внутренней энергии опре-
делится как
(5-83)
Частные производные, входящие в это выражение, можно
найти через термодинамические параметры и их производные.
По определению (3.5) удельная изохорная теплоемкость
(5.84)
Объединенное выражение первого и второго законов термо-
динамики для простой системы и обратимых процессов (5.31)
при Т = const имеет вид
duT = Т dsT - р dvT, (5.85)
откуда
<5-86>
или с учетом соотношения Максвелла (5.49)
<5-87>
В данном выражении явно показана зависимость удельной
внутренней энергии от свойств вещества, при этом следует
(др Л
помнить, что характеризует термическую упругость ве-
щества (5.57).
141
Главаб. Объединенные выражения для первогои второго законов термодинамики
Окончательно выражение (5.83) запишется в виде
du = c^dT + ~р] dv. (5.88)
Данное уравнение является калорическим уравнением и
справедливо для любого вещества.
Если рассматривается идеальный газ, для которого спра-
ведливо pv = RT, то для процесса при v = const можно запи-
сать р = const • Т. При этом
. р R
const = у = - •
Следовательно, для идеального газа
(5.89)
Подставляя значение данной частной производной в формулу
(5.88), видим, что выражение в квадратных скобках равно ну-
лю, а
du = crdT. (5.90)
Ранее была получена точно такая же зависимость [см. (3.5)].
Из формулы (5.90) следует, что внутренняя энергия идеально-
го газа является только функцией температуры, и, следова-
тельно, если различные процессы происходят в одном и том
же температурном интервале, то внутренняя энергия для них
будет одинаковой.
Если раскрыть скобки в выражении (5.88), получим
du = cv dT + du-pdu. (5.91)
Приравнивая правую часть данного выражения правой части
объединенного выражения первого и второго законов термо-
динамики (5.31)
du = Т ds - р du, (5.92)
получим
ds = c^+^^dv. (5.93)
Это выражение представляет собой дифференциальное
уравнение энтропии.
АД2
5.5. Дифференциальные уравнения внутренней энергии, энтальпии и энтропии
Применительно к идеальному газу, для которого
= R [dT)v v’ (5.94)
будем иметь
. dT „dv (5.95)
ds = cv^ + R™,
а для конечного участка 1—2 процесса
7\ v2 As = s9 - s, = c„ In -=- + R In — . 2 1 v T\ 1?! (5.96)
Данная формула, наряду с выражением (3.82), может быть
использована для определения изменения энтропии в любом
термодинамическом процессе с идеальным газом.
Для вывода дифференциального уравнения энтальпии бу-
дем считать, что h = h(p, Т).
Полный дифференциал удельной энтальпии имеет следую-
щий вид:
(5-97>
По определению [см. формулу (3.7)]
dh Л
дТ)Р~Ср
(5.98)
Частная производная
представляет собой удельную изобарную теплоемкость.
определяется из объединенно-
т
го выражения первого и второго законов
(5.32) при Т = const:
dhT = Т dsT + v dpT,
термодинамики
(5.99)
dh A
др)т
(5.100)
которое с учетом соотношения Максвелла (5.51) может быть
переписано в виде
(5.101)
143
Глава 5. Объединенные выражения для первого и второго законов термодинамики
При этом в данном выражении j характеризует тер-
мическое (объемное) расширение [см. формулу (5.56)]. Окон-
чательно выражение (5.97) запишется в виде
d/г = cpdT- -и] dp. (5.102)
Применительно к идеальному газу
(5.103)
а изменение
/ dv А _ v _ R
)р ~ Т ~ р ’
так как для процесса р = const, v = const • Т,
удельной энтальпии будет определяться уже известной фор-
мулой
dh = cp dT. (5.104)
Сопоставляя дифференциальное уравнение для энтальпии
(5.102) с объединенным выражением первого и второго зако-
нов термодинамики в записи через удельную энтальпию (5.32),
можно получить еще один вид дифференциального уравнения
энтропии
ds = ср~ - dP- (5.105)
Применительно к идеальному газу с учетом выражения
(5.103) будем иметь уравнение
ds = cp^-R^, (5.106)
которое для конечного участка процесса 1—2 запишется
в виде
Т2 р2
As = s2 - Sj = ср In —-R In — . (5.107)
Полученные выше дифференциальные уравнения связы-
вают величины, которые характеризуют термические и кало-
рические свойства веществ. Кроме того, интегрированием
данных уравнений по параметрам, определяемым экспери-
ментально, можно получить неизвестные термодинамические
параметры.
144
Задачи и их решение
ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЕ
1. Определить величину удельной свободной энергии Гельм-
Е-а гольца реального газа, подчиняющегося уравнению Ван-
дер-Ваальса.
Решение.
/ Величину удельной свободной энергии Гельмгольца опре-
деляем по выражению
f = и - Ts.
/ Найдем сначала внутреннюю энергию и энтропию реаль-
ного газа.
/ Из уравнения Ван-дер-Ваальса для 1 кг ТРТ имеем
— _ Д.
& v - b v2'
/ Подставляя эту величину в объединенное выражение пер-
вого и второго законов термодинамики для простой системы и
обратимых процессов при Т = const (5.87)
Р'
получаем
(тЧ --2-
/ Интегрируя это выражение при постоянной температуре,
находим
а , х
и = — + const,
v
причем постоянная интегрирования находится из следующих
соображений. Газ Ван-дер-Ваальса при большом разрежении
ведет себя как идеальный газ, для которого du = CydT, а сле-
довательно, const = cvT. Таким образом,
гл а
и = с„Т---.
v V
/ Для определения энтропии газа, подчиняющегося уравне-
нию Ван-дер-Ваальса, воспользуемся формулой
, _ 8g _ du + pdv
Гр Гр 9
10-5580
145
Г лава 5. Объединенные выражения для первого и второго законов термодинамики
подставляя в нее значения р и и, получаем
cvdT 7?dn
as = —„— 4---7 ,
T v-b
откуда
s = cv In Т + R In (v - b).
/ Окончательно для свободной энергии Гельмгольца имеем
f = cvT - - -СуТХъТ- RT In (v - b).
• V у V V '
2. Доказать, что коэффициенты изотермической сжимаемос-
|ИИ ти для всех тел будут положительными.
Решение.
/ Коэффициент изотермической сжимаемости определяем
по уравнению
Рт
Мэр )т‘
/ Любое однородное тело в состоянии устойчивого равнове-
сия подчиняется соотношению < 0. Это вытекает из
следующего: если бы
Эр А
> 0, то состояние такого тела бы-
ло бы неустойчивым, так как малейшее уменьшение объема
тела, например из-за случайного увеличения внешнего давле-
ния, привело бы к его дальнейшему сжатию до V = 0, что не-
возможно. Следовательно, > 0.
Глава 6
Термодинамическое равновесие
и фазовые переходы
6.1. Краткие сведения о равновесии
Равновесное состояние — это такое состояние термодина-
мической системы, которое характеризуется равномерным
распределением физических величин.
Любая термодинамическая система может находиться как
в равновесном, так и неравновесном состоянии. Если устра-
нить причины, вызвавшие отклонение термодинамической
системы от состояния равновесия, то она самопроизвольно
вернется в состояние равновесия и будет сохранять его неоп-
ределенное время.
Общим условием равновесия в механике является требова-
ние равенства нулю суммы работ по так называемым малым
перемещениям, отвечающим связям системы:
8А=1АД, = 0, (6.1)
k = 1
где ЗА — элементарная работа механического характера (по-
тенциальная энергия), Аъ — обобщенная сила &-го рода воз-
действия, — изменение пути (пробег) при fe-м роде воздей-
ствия, п — число воздействий.
Условию (6.1) соответствует экстремум потенциальной энер-
гии, которая может быть либо минимальной, либо максималь-
ной. Если это минимум, то при смещении от состояния равнове-
сия расходуется положительная работа (ЗА2 > 0) и состояние
равновесия является устойчивым. Механическим аналогом
устойчивого равновесия может служить шарик, покоящийся в
нижней точке вогнутой поверхности. Если ЗА2 < 0, то состояние
равновесия неустойчиво. Механическим аналогом в данном
ю*
147
Глава 6. Термодинамическое равновесие и фазовые переходы
случае будет шарик, находящийся на вершине выпуклой по-
верхности. Если ЗА2 = 0, то состояние безразличное (шарик на
горизонтальной поверхности).
Условия равновесия механических систем являются част-
ным случаем равновесия термодинамических систем, при
этом теория термодинамического равновесия была разработа-
на Гиббсом по образцу механической статики Лагранжа, пу-
тем распространения принципа малых перемещений на тер-
модинамические системы.
В термодинамике роль потенциальной энергии выполняют
термодинамические потенциалы, дифференциалы которых
(5.27)—(5.30) в общем случае могут быть представлены в виде
dtZ < Т dS-р dV- ЗА + 2 Gt dnt, i (6.2)
dH < T dS + Vdp - 8A + 2 Gt dnt, i (6.3)
dF<-SdT-pdV~dA+'L Gt dnt, i (6.4)
dG <-SdT + V dp -dA+^Gt dnt. (6.5)
В приведенных соотношениях знак равенства относится
к обратимым процессам, а знак неравенства — к необрати-
мым.
Поскольку, как уже было отмечено, все самопроизвольные
процессы в системе направлены в сторону равновесного со-
стояния, то очень важной задачей является определение в
каждом отдельном случае признаков (условий) равновесного
состояния для определения направления возможного само-
произвольного процесса. Это особо важно при анализе фазо-
вых превращений и различных химических реакций.
6.2. Условия равновесия однородных систем
Этот случай соответствует постоянству количества вещест-
ва в рассматриваемой системе и поэтому в уравнениях (6.2)—
(6.5)£ Gz5nz = 0.
148
6.2. Условия равновесия однородных систем
Рассмотрим сначала простую систему, для которой ЗА = 0.
В этом случае система уравнений принимает вид
dZ7< Т dS-pdV, (6.6)
dH< TdS + Vdp, (6.7)
dF< -SdT-pdV, (6.8)
dG < -S dT + V dp. (6.9)
Приведенную систему уравнений можно конкретизировать
для определенных условий взаимодействия (условий сопря-
жения) термодинамической системы с окружающей средой.
Найдем условия устойчивого равновесия для наиболее важ-
ных случаев.
• Система не обменивается с окружающей средой ни энерги-
ей, ни механической работой (V = const), поэтому U =
= const. Этот случай соответствует полной изоляции систе-
мы от внешнего воздействия. Согласно неравенству (6.6):
TdS>0. (6.10)
Поскольку всегда Т > 0, то из этого уравнения следует,
что при протекании необратимых процессов в изолиро-
ванной системе ее энтропия увеличивается (dS > 0) до
тех пор, пока не будет достигнуто условие устойчивого
состояния равновесия, т. е. условия dS = 0 или S = Sraax.
Поскольку 3Q = 0, то температура будет уменьшаться.
• Система сопряжена с окружающей средой при V = const
и S = const. В данном случае согласно неравенству (6.6):
dZ7 < 0. (6.11)
При этих условиях сопряжения внутренняя энергия убы-
вает и при достижении состояния равновесия будет выпол-
няться условие dZ7 = 0 или U = (7rain. Иными словами,
можно отметить, что процессы в ТС идут за счет убывания
внутренней энергии. Факт уменьшения внутренней энер-
гии dZ7 < 0 является признаком протекания самопроиз-
вольного процесса. При этом необходимо отметить, что ус-
ловие S = const не означает адиабатной изоляции системы
от окружающей среды, так как вследствие протекания в
системе необратимых процессов для поддержания посто-
янства энтропии теплоту от системы необходимо отводить.
149
Глава 6. Термодинамическое равновесие и фазовые переходы
• Система сопряжена с окружающей средой при услови-
ях р = const и S = const. В этом случае согласно неравен-
ству (6.7):
d7I<0. (6.12)
При приведенных условиях сопряжения ТС с окружаю-
щей средой при протекании неравновесных процессов эн-
тальпия убывает и при достижении состояния равнове-
сия будет выполняться условие dH = 0 или Н = Hmin.
• Система сопряжена с окружающей средой при фиксации
двух параметров V = const и Т = const. В данном случае
согласно неравенству (6.8):
dF < 0. (6.13)
При отмеченных условиях сопряжения свободная энер-
гия Гельмгольца убывает, и при достижении состояния
равновесия dF = 0 или F = Frain.
• Система сопряжена с окружающей средой при фиксации
двух параметров р = const и Т = const. В этом случае со-
гласно неравенству(6.9)
dG < 0. (6.14)
При приведенных условиях сопряжения при приближе-
нии к состоянию равновесия свободная энергия Гиббса
стремится к своему минимальному значению, а при до-
стижении состояния равновесия
dG = 0 или G = C?min.
Таким образом, при достижении термодинамической сис-
темой состояния устойчивого равновесия в зависимости от ус-
ловия сопряжения системы с окружающей средой соответст-
вующая характеристическая функция принимает свое мини-
мальное значение, а энтропия — максимальное.
Подводя итог, можно отметить, что при фиксации двух па-
раметров процессы внутри ТС идут за счет убывания соответ-
ствующего потенциала и росте энтропии при стремлении к
равновесию.
Применительно к изолированной системе, наряду с услови-
ем неизменности энтропии системы dS = 0 и достижении мак-
симального значения энтропии в момент равновесия S = Smax,
150
6.2. Условия равновесия однородных систем
можно сформулировать и некоторые дру-
гие условия равновесия, являющиеся
следствиями отмеченного.
Рассмотрим изолированную термодина-
мическую систему (рис. 6.1). Мысленно
разделим эту систему на две подсистемы 1 Рис. 6.1
и 2 и установим, при каких условиях
между ними существует равновесие. Так как рассматриваемая
система изолирована, то V = const и U = const. Поскольку
объем V и внутренняя энергия U являются экстенсивными ве-
личинами, то в силу аддитивности указанных величин можно
записать
U = Ux + С72,
V = V1 + V2.
Так как U = const и V = const, то
аг?! = -аг?2,
dV1 = -dV2.
(6.15)
(6.16)
(6.17)
(6.18)
Из выражений (6.17) и (6.18) видно, что, насколько умень-
шатся объем и внутренняя энергия первой подсистемы, на-
столько увеличатся объем и внутренняя энергия второй под-
системы.
С учетом того что в состоянии термодинамического равно-
весия изолированной системы dS = 0 и того факта, что энтро-
пия является аддитивной величиной
S = S1 + S2, (6.19)
можно записать
dS = dSj + dS2 = 0. (6.20)
Запишем объединенное выражение для первого и второго
законов термодинамики через внутреннюю энергию при от-
сутствии прочих работ (5.4) для обратимых процессов
та8 = аг7+/?ап (6.21)
или
dS=id?7+^dy. (6.22)
Запишем аналогичное выражение для подсистемы 1
dSj = d^ + dv1 (6.23)
151
Глава 6. Термодинамическое равновесие и фазовые переходы
и подсистемы 2
1 Р?
dS2 = cU72 + dy2. (6.24)
Подставляя выражения (6.23) и (6.24) в уравнение (6.20),
имеем
1 Pi 1 Р?
dGx + dVx + AU2 + ау2 = 0. (6.25)
Выражение (6.25) с учетом соотношений (6.17) и (6.18)
можно записать в виде
/ 1 1 \ /Pi Р? л
JdGx + (^ - Y2 JdVx = O. (6.26)
Так как дифференциалы dV1 и d?7x являются независимы-
ми величинами, то равенство (6.26) выполняется при условии,
что Тх = Т2 ирх =р2.
Таким образом, в изолированной системе в состоянии
равновесия температура и давление во всех частях
системы одинаковы (градиенты отсутствуют).
При выводе соотношений (6.10)—(6.14) принималось, что
система являлась простой (ЗА = 0), а параметры под знаком
дифференциала фиксированы, т. е. система не обменивается с
окружающей средой ни теплотой, ни работой. При наличии
прочих работ (работа в магнитном поле, в электрическом по-
ле, в поле тяготения, техническая работа) необходимо анали-
зировать уравнения (6.2)—(6.5) при S Gt 8nt = 0.
Применительно к системе при V = const, S = const из урав-
нения (6.2) будем иметь
dC7< -ЗА
или
d£7 + SAsSO. (6.27)
В состоянии равновесия df7 = -ЗА.
По аналогии для системы прир, S = const имеем АН = -ЗА,
а для системы при V, Т = const имеем dF = -ЗА, для системы
прир,Т = const имеем dG = -ЗА, т. е. прочие работы, которые
могут быть совершены системой при соответствующих усло-
виях сопряжения, в состоянии равновесия равны убыли соот-
ветствующей характеристической функции.
Условия равновесия однородных систем являются частным
случаем равновесия неоднородных систем.
152
6.3. Условия равновесия неоднородных систем
6.3. Условия равновесия неоднородных систем
Характерным признаком неоднородности термодинами-
ческих систем является изменение массы веществ, входящих
в систему, в результате протекания химических реакций и
фазовых переходов, так как в конечном счете процессы хи-
мического или фазового превращения состоят в перераспреде-
лении массы между фазами и веществами, составляющими
систему.
В курсе физической химии вводится понятие химического
потенциала ср, неоднородность которого и приводит к про-
цессам перераспределения массы. Установлено, что химиче-
ский потенциал ср при перераспределении массы или чисел
молей компонентов (Ап) играет такую же роль, как сила в ме-
ханике. Эти положения доказываются в работе Гиббса.
Механическая работа может быть представлена в виде
Амех = ^Ах, (6.28)
где F — механическая сила; Ах — путь.
Работа химического превращения пишется по аналогии
Аим = Фд”> (6-29)
где ср — химический потенциал; Ап — изменение чисел молей
компонентов.
При этом необходимо помнить, что химический потенциал
не зависит от количества вещества, т. е. является интенсив-
ной величиной.
Условия равновесия неоднородных систем будем находить
из объединенных выражений для первого и второго законов
термодинамики (5.27)—(5.30) с использованием понятия хи-
мического потенциала:
dU < Т dS - р dV + Е ф; dn;, (6.30)
dH < Т dS + V dp + X ф, dzip (6.31)
dF < -S dT - p dV + X ф; dn;, (6.32)
dG < -S dT + V dp + X Ф, dn;. i (6.33)
Применительно к изолированной системе, т. е. когда U =
= const и V = const, уравнение (6.30) можно переписать так:
Т dS > X ф; dn;.
(6.34)
153
Глава 6. Термодинамическое равновесие и фазовые переходы
С учетом того что Т > 0 и dS > 0, уравнение (6.34) запишет-
ся в виде
£ Фг drez < 0, (6.35)
что фактически означает, что при химических или фазовых
превращениях в системе алгебраическая сумма различных
воздействий, которыми обмениваются между собой различ-
ные подсистемы, убывает и обращается в нуль при достиже-
нии равновесия.
Условие (6.35) можно связать с поведением характеристи-
ческих функций в неоднородных системах. Согласно уравне-
ниям (6.30)—(6.33) условия термодинамического равновесия
при соответствующем выборе условий сопряжения могут быть
представлены так:
при V, S = const dZ7 - 2 (pz dn; С 0; i (6.36)
при р, S = const dH - E Ф, dn;. < 0; I (6.37)
при V, Т = const dF - E q>j dnt < 0; i (6.38)
при р, Т = const dC? - E (p; dnt < 0. (6.39)
Приведенные выражения показывают, что химические ре-
акции и фазовые переходы при определенных условиях со-
пряжения с окружающей средой возможны только при умень-
шении соответствующих характеристических функций. При
этом в состоянии равновесия соответствующая харак-
теристическая функция достигает своего минималь-
ного значения.
Таким образом, исследуя поведение характеристических
функций, можно судить о направлении химических реакций,
фазовых превращениях и условиях их равновесия.
6.4. Фазовые переходы
6.4.1. Общие положения. Фазовым переходом называет-
ся переход вещества из одной фазы в другую. Говоря о фазах
чистого вещества, обычно имеют в виду агрегатные состояния
вещества и поэтому говорят о газовой, жидкой и твердых фа-
154
6.4. Фазовые переходы
зах. Однако, строго говоря, понятие фазы более узко, чем по-
нятие агрегатного состояния. Некоторые вещества (например,
лед) в твердом состоянии имеют несколько фаз. Тем не менее,
если специально не оговорено, в дальнейшем будем подразу-
мевать, что переход вещества из одного агрегатного состояния
в другое осуществляется фазовым переходом 1-го рода. От-
личительной особенностью фазовых переходов 1-го рода явля-
ется скачкообразное изменение плотности или удельного объ-
ема, а также выделение или поглощение теплоты.
Переход из одной фазы в другую, когда не проявляется теп-
лота фазового перехода, а изменяется состояние кристалличе-
ской решетки или электронной системы вещества, приводя-
щее к изменению его свойств, получил название фазового пе-
рехода 2-го рода.
6.4.2. Условия фазового равновесия. Правило фаз Гиб-
бса. Равновесное состояние термодинамической системы, со-
стоящей из двух или большего числа фаз, называется фазо-
вым равновесием.
Для равновесного состояния изолированных систем было
установлено, что давление и температура во всех частях сис-
тем одинаковы.
Следовательно, мы имеем случай, когда р = const и Т =
= const и для которого было установлено [выражение (6.39)],
что свободная энергия Гиббса в условиях равновесия должна
иметь минимум
dC? = £ фг dn; = 0. (6.40)
L
Кроме того, из выражения (6.40) следует, что и химические
потенциалы ф в момент равновесия равны.
Вместе с тем из условия (6.40) невозможно заключить,
сколько фаз одновременно могут находиться между собой в
равновесии. Ответ на этот вопрос дает правило фаз Гиббса, ко-
торое определяет связь между числом независимых парамет-
ров системы в состоянии равновесия с числом фаз и числом
компонентов системы.
Число переменных, которое может быть произвольно изме-
нено в системе без нарушения ее фазового равновесия, называ-
ют числом степеней свободы Z^. В таком понимании число
155
Глава 6. Термодинамическое равновесие и фазовые переходы
степеней свободы определится разностью между общим числом
независимых переменных, определяющих состояние сложной
системы Nnep, и числом уравнений, которые связывают эти пе-
ременные между собой при фазовом равновесии Л^связ:
^сТ = ^пер-^связ- (6-41)
Для нахождения Л^связ будем рассуждать следующим образом.
Пусть гетерогенная система состоит из Ф фаз и k компонентов
так, что в каждой фазе находятся все k компонентов. Поскольку
при равновесии во всех фазах системы температура и давление
одинаковы и химические потенциалы равны, то для каждого
компонента, обозначенного подстрочным индексом, можно за-
писать равенства химических потенциалов для всех фаз:
ср; = ф" = ... = ф®,
Фй = Ф* = ••• = Фй •
Очевидно, каждая строка системы равенств позволяет со-
ставить для каждого компонента (Ф - 1) независимых уравне-
ний вида ф^ = фр Поскольку имеется k строк, то общее число
уравнений равно й(Ф - 1). Следовательно:
^связ = ^(Ф-1)- (6.43)
Общее число переменных гетерогенной системы Л\к.р опре-
делится из следующих соображений. В состав каждой фазы
входят все k компонентов. Концентрации всех компонентов,
кроме последнего, можно выбирать произвольно, а концент-
рация последнего компонента определится однозначно. По-
этому число независимых концентраций в каждой фазе равно
(k - 1), а общее число независимых концентраций во всех Ф
фазах будет равно Ф(7г - 1). Кроме найденного числа концент-
раций, переменными для простой системы являются давление
и температура, а для сложной системы — N независимых
внешних параметров.
Следовательно, в общем случае
^пер = Ф(^ - 1) + N. (6.44)
156
6.4. Фазовые переходы
Подставляя (6.43) и (6.44) в выражение (6.41), будем иметь
£ст = Ф(/г-1) + 2У-/г(Ф-1) (6.45)
или
£ст = /г + 2У-Ф. (6.46)
Полученное выражение и представляет собой правило фаз
Гиббса:
I число степеней свободы гетерогенной системы, находящейся в
равновесии, равно сумме числа компонентов k и внешних неза-
висимых параметров N, уменьшенной на число фаз Ф.
Для простой системы с N = 2 правило фаз Гиббса пишется в
виде
ZCT = k + 2 - Ф. (6.47)
Из соотношений (6.46) и (6.47) следует, что в отличие от не-
равновесной системы, состоящей из k компонентов, где число
фаз может быть произвольным, в равновесной системе число
фаз связано вполне определенным соотношением с числом
компонентов. Действительно, поскольку число степеней сво-
боды ZCT термодинамической системы не может быть отрица-
тельным, то в условиях равновесия, согласно (6.46), должно
соблюдаться условие
Ф</г + ЛТ. (6.48)
Например, если простая система N = 2 состоит из трех ком-
понентов k = 3, то согласно приведенному уравнению Ф < 5,
т. е. число фаз в равновесии не должно превышать пяти. Если
в начальном состоянии в системе содержалось больше пяти
фаз, то при переходе ее к состоянию равновесия часть фаз
должна исчезнуть.
Правило фаз Гиббса универсально. Оно выполняется для
любых сложных термодинамических систем, в которых про-
исходят химические реакции и фазовые переходы и сохраня-
ется даже в том случае, когда часть компонентов отсутствует в
некоторых фазах.
6.4.3. Фазовые переходы 1-го рода. Известно, что любое
вещество, в зависимости от давления и температуры, может
находиться в различных агрегатных состояниях: газообраз-
ном, жидком или твердом. Вещества в различных агрегатных
157
Глава 6. Термодинамическое равновесие и фазовые переходы
состояниях имеют различные свойства, что объясняется ха-
рактером межмолекулярного взаимодействия. Переход веще-
ства из одного фазового состояния в другое, связанное с изме-
нением плотности, удельной энтропии и других свойств ве-
ществ, получило название фазового перехода 1-го рода.
Переход вещества из одной фазы в другую, происходящий
при р = const и Т = const до полного исчезновения этой фазы,
называется равновесным фазовым переходом. Фазовый пе-
реход вещества из жидкой в кристаллическую фазу называет-
ся кристаллизацией, а обратный переход из кристалличе-
ского состояния в жидкое — плавлением. Фазовый переход
вещества из кристаллического состояния непосредственно
в газообразное называется сублимацией, а обратный пере-
ход из газообразного состояния в кристаллическое — десуб-
лимацией. Фазовый переход вещества из жидкого состоя-
ния в состояние пара называется парообразованием, а обрат-
ный переход из парообразного состояния в жидкое — конден-
сацией.
Для каждого агрегатного состояния существует своя плот-
ность, а при фазовых переходах 1-го рода происходит скачко-
образное изменение плотности, следовательно, и удельного
объема. Индекс фазы будем проставлять в виде надстрочного
индекса.
Для скачкообразного изменения удельного объема можно
записать
Др = v" - v'. (6.49)
Из определения химического потенциала (6.29) следует,
что ср является интенсивной величиной, не зависящей от мас-
сы, и для удобства все дальнейшие рассуждения будем прово-
дить для 1 кг вещества.
Логично полагать, что если меняется удельный объем, то
меняется и удельная внутренняя энергия, а объединенное вы-
ражение первого и второго законов термодинамики для обра-
тимых процессов
diz = Т ds - р dp (6.50)
свидетельствует, что и удельная энтропия будет меняться скач-
кообразно
As = s" - s'. (6.51)
158
6.4. Фазовые переходы
Для равновесного фазового перехода наряду с условиями
р = const, Т = const и одного компонента (6.40) получит вид
ф'-ф" = О. (6.52)
Окончательно можно записать
ф'(р, Т) = ф"(р, Т). (6.53)
С учетом того что рассуждения ведутся для 1 кг вещества,
запишем уравнение (6.53) через удельные величины:
^=G=n (6>54)
Так как молярная масса m при фазовых переходах остает-
ся неизменной, уравнение (6.53) может быть записано через
удельные свободные энергии Гиббса:
g'ip, Т) = g"(p, Т). (6.55)
Выразим уравнения (6.49) и (6.51) через удельные свобод-
ные энергии Гиббса.
Объединенное выражение первого и второго законов термо-
динамики в записи через свободную энергию Гиббса для обра-
тимых процессов при отсутствии прочих работ имеет вид
dG = -SdT + ydp, (6.56)
а для 1 кг вещества
6^= -s dT + v dp,
откуда
_ (dg\ __ (dg\
v
(6.57)
(6.58)
Перепишем уравнения для скачкообразного изменения (6.49)
и (6.51) в виде
Др = v"
(6.59)
<6-60)
Так как значения Др и Дз конечны, то, следовательно, и
первые производные свободной энергии Гиббса меняются
скачкообразно.
159
Глава 6. Термодинамическое равновесие и фазовые переходы
Вторые производные от удельной свободной энергии Гиббса
по температуре и по давлению, согласно соотношению (6.58),
имеют вид
f = (
d2g \ _ ( ds \
(6.61)
( d2g ( dv \
\dpdT)Т р ~ \dT)р‘
Отсюда следует, что в условиях фазового перехода, когда
давление и температура остаются постоянными, производные
обращаются в бесконечность, а соотношения (6.61) получают
определенный физический смысл.
В соответствии с формулами (5.56), (5.58) и с учетом того,
что Tds = 8q, а ( = сп, имеем
\dT)p р
( dv\ _ „ (ds\ _ср С dv\
т” larjp (6,62)
Таким образом, при переходе в новую фазу затрачивается
или выделяется теплота фазового перехода, наблюдается ска-
чок удельного объема и энтропии веществ, а теплоемкость и
коэффициенты изотермической сжимаемости и термического
расширения в точке перехода обращаются в бесконечность.
Рассмотрим условия фазового равновесия при других тем-
пературных условиях и при новом давлении. Для этого изме-
ним температуру в каждой фазе на dT, а давление на dp.
Правило фаз Гиббса (6.47) свидетельствует о том, что одно-
компонентная равновесная простая система, образованная из
двух фаз чистого вещества, обладает всего одной степенью сво-
боды. В этом случае давление должно быть однозначной функ-
цией температуры. Если при изменении температуры изменить
давление таким образом, чтобы фазы при новой температуре
Т + dT продолжали оставаться в равновесии, то очевидно, что и
в этих новых условиях химические потенциалы или удельные
свободные энергии Гиббса рассматриваемых фаз будут равны
g'(p + dp, Т + dT) = g”(p + dp, T + dT). (6.63)
160
6.4. Фазовые переходы
Функция g(p + dp, Т + dT) может быть разложена в ряд
Маклорена следующим образом:
g(p + dp, Т + dT) = g(p, Т) + dp + dT. (6.64)
С учетом (6.58) и (6.64) уравнение (6.63) может быть пере-
писано в виде
g'(p, Т) + v' dp - s' dT = g"(p, T) + о" dp - s" dT. (6.65)
Но так как g'(p, T) = g"(p, T), уравнение (6.65) примет сле-
дующий вид:
Приведенное уравнение, определяющее зависимость давле-
ния от температуры при равновесном существовании двух
фаз, получило название уравнения Клапейрона—Клаузи-
уса. Оно однозначно связывает наклон линии фазового пере-
хода в рТ-координатах с величинами разности энтропий су-
ществующих фаз и разности удельных объемов этих фаз.
С учетом того что TAs = q, уравнение (6.66) можно перепи-
сать:
dp ___ (7ф. п
dT “ T(v" - и'У
(6.67)
где п — удельная теплота фазового перехода. В зависимос-
ти от характера перехода для п берется одна из следующих
величин: г — удельная теплота парообразования, Лпл — удель-
ная теплота плавления, А,с — удельная теплота сублимации.
6.4.4. Фазовая рТ-диаграмма. Число фаз, возможных в
состоянии равновесия однокомпонентной (k = 1) простой сис-
темы (N = 2), согласно следствию из правила фаз Гиббса (6.48)
должно удовлетворять неравенству Ф < 3. Это значит, что
однокомпонентная равновесная термодинамическая система,
в зависимости от физических условий, может существовать
как одно-, двух- или трехфазная.
Пусть, например, однокомпонентная система (k = 1) явля-
ется одновременно и однофазной (Ф = 1). Из уравнения (6.47)
следует, что такая система обладает двумя степенями свобо-
11 - 5580
161
Глава 6. Термодинамическое равновесие и фазовые переходы
ды, т. е. в пределах этой системы независимо один от другого
могут изменяться два термодинамических параметра: давле-
ние р и температура Т.
Если же в такой системе (k = 1) будут две фазы (Ф = 2), то .
согласно правилу фаз Гиббса (6.47) будет только одна степень
свободы и произвольно может меняться только один термо-
динамический параметр, т. е. должна существовать однознач-
ная зависимость между давлением и температурой, которая
устанавливается уравнением Клапейрона—Клаузиуса (6.66),
(6.67).
При наличии трех фаз (Ф = 3) согласно уравнению (6.47)
число степеней свободы однокомпонентной (k = 1) простой
системы равно нулю, т. е. равновесное существование трех
фаз данного вещества возможно лишь при определенных дав-
лении и температуре. Это состояние вещества принято назы-
вать тройной точкой.
В тройной точке одновременно находятся в равновесии три
фазы: жидкая, твердая и газообразная. Экспериментально ус-
тановлено, что трехфазная система лед—вода—пар находится
в равновесии при давлении 610,8 Па и температуре 273,16 К.
При других значениях р и Т равновесие между этими фазами
нарушается. Так, при нагревании этой системы растает лед,
при охлаждении жидкая фаза перейдет в твердую, а при сжа-
тии исчезнет пар. Следовательно, изменение одного из па-
раметров системы (р или Т) приводит к исчезновению
одной из фаз.
Фазовые превращения веществ могут быть представлены в
виде рТ-диаграммы (рис. 6.2). На этой диаграмме в тройной
точке О (равновесное существование трех фаз) пересекаются
три линии, соответствующие изменению состояния равновес-
ных двухфазных систем.
На линии р = р^Т) (кривой испарения) находятся в равно-
весии жидкая и паровая фазы. Линия р = р2(Т) соответствует
равновесному существованию твердой и паровой фаз и назы-
вается кривой сублимации. И наконец, на линии р = р3(Т)
равновесно существуют твердая и жидкая фазы, она называ-
ется кривой плавления. Эти кривые разграничивают плос-
кости диаграмм на области, соответствующие паровой, жид-
кой и твердой фазам.
162
6.4. Фазовые переходы
Рис. 6.2
Рис. 6.3
Кривые испарения для всех веществ оканчиваются при оп-
ределенных значениях давления и температуры. Это состоя-
ние, называемое критическим, обозначается нарТ-диаграм-
мах точкой К. В состоянии, соответствующем крити-
ческой точке, пропадает различие между физическими
свойствами паровой и жидкой фаз.
Внешние крайние точки кривых сублимации и плавления
для некоторых веществ, способных образовывать несколько
твердых или жидких фаз, могут представлять собой новые
тройные точки. Так, например, сера имеет три тройные точ-
ки, вода — семь.
Для примера на рис. 6.3 приведена рТ-диаграмма воды,
имеющая шесть твердых модификаций льда. Отсутствие на
рисунке модификации лед IV является фактом уникальности
этой модификации.
На практике обычно сталкиваются с одной модификацией
льда — льдом I, поскольку остальные модификации сущест-
вуют при давлениях, превышающих 200 МПа.
Конкретный вид кривых фазовых переходов не может быть
найден расчетным термодинамическим методом, поскольку
вид кривых зависит от особенностей молекулярной структуры
индивидуальных веществ и устанавливается эксперименталь-
но. Вместе с тем форма кривых, а также их взаимное располо-
жение на рТ-диаграмме могут быть установлены на основании
анализа уравнения Клапейрона—Клаузиуса (6.67).
и-
163
Глава 6. Термодинамическое равновесие и фазовые переходы
Запись этого уравнения можно конкретизировать для рас-
сматриваемых случаев равновесного существования двухфаз-
ной однокомпонентной системы (рис. 6.2):
для кривой испарения
dp Г (6.68)
dT TS(Vnap ~ Уж)’
для кривой плавления
dp ^"пл (6.69)
dT Тпн(ож - оти) ’ ИЛ 4 Лх La'
для кривой сублимации
dp К (6.70)
dT -^с^пар ^тв)
В приведенных уравнениях г, Хпл, Лс — удельные теплота па-
рообразования, плавления и испарения, опар, ож, атв — удель-
ные объемы паровой, жидкой и твердой фаз, Ts, Тпл, Тс — тем-
пературы испарения (насыщения), плавления и сублимации.
В соответствии с уравнением (6.67) производная в форму-
ле (6.68) положительна, так как для всех веществ г > О, Ts > 0 и
опар - > 0. Следовательно, кривая испарения от тройной точ-
ки О направлена вверх и вправо. Так как различие между удель-
ными объемами паровой и жидкой фаз уменьшается быстрее,
чем растет Т при приближении к критической точке, то кривая
испарения обращена выпуклостью вниз. Кривая плавления
(6.69) круче кривой испарения, так как изменение удельных
объемов фаз при плавлении существенно меньше, чем при испа-
рении, при незначительной разнице удельных теплот и темпера-
тур. Знак производной зависит от свойств самого вещества.
„ dp _ _
Если > 0, что наблюдается при условии, если ож > отв, то со-
dp А
стояние вещества называется нормальным, если < 0, что
справедливо при ож < отв, то состояние вещества называется ано-
мальным. Примером аномального состояния служит вода, удель-
164
6.4. Фазовые переходы
ный объем которой в жидком состоянии меньше, чем в твердом.
При О °C удельный объем льда отв = 1,091 • 10 3 м3/кг, а удель-
ный объем воды ож = 1,000 • 10“3 м3/кг.
Для воды кривая испарения в рТ-координатах имеет отри-
цательный наклон.
Кривая сублимации (6.70) при > 0 (Л.с > 0, Тс > 0,
опар _ Утв > 0) круче кривой испарения, так как Лс ~ Лпл + г,
a ~ о „ - V.
lldfj IB 11а.р zK
6.4.5. Фазовые переходы 2-го рода. Фазовые переходы
2-го рода совершаются при переходе некоторых веществ в
сверхпроводящее состояние, наблюдаемое при очень низких
температурах; переходе веществ (чаще всего — металлов) из
парамагнитного состояния в ферромагнитное, когда вдруг по-
является магнитный момент; переходе из параэлектрического
состояния в сегнетоэлектрическое, когда происходит самопро-
извольная поляризация; переходе жидкого гелия из нормаль-
ного в сверхтекучее состояние; фазовых переходах веществ в
критических точках.
Все эти переходы обусловлены изменением электронной
структуры вещества и в отличие от фазовых переходов 1-го рода
происходят, как правило, без изменения плотностей, удельных
объемов и удельной энтропии (или теплоты фазового перехода).
Характерным признаком фазового перехода 2-го рода явля-
ется скачок удельной теплоемкости, а также коэффициентов
термического расширения и изотермической сжимаемости.
Таким образом, при фазовом переходе 2-го рода равны не
только химические потенциалы или удельные свободные
энергии Гиббса (6.53), (6.55), но и их первые производные,
связанные с удельным объемом и удельной энтропией (6.58).
Для фазового перехода 2-го рода можно записать:
g'lp, Т) = g"(p, Т) или Ag(p, Т) = 0, (6.71)
(6.72)
, = А( (6.73)
165
Глава 6. Термодинамическое равновесие и фазовые переходы
Кроме того, скачкообразное изменение ср, а и с учетом
(6.61) и (6.62) свидетельствует о том, что вторые частные про-
изводные удельной свободной энергии Гиббса будут изменять-
ся скачкообразно.
Продифференцируем уравнения (6.72) и (6.73) пор и Т:
/ dr+AfO') d^=o’ <6-74>
\ордТ)Тр \dp2JT
A(a/2L dT + dp °-
(6.75)
С учетом ранее полученных соотношений (6.61) и (6.62) за-
меним вторые производные в полученных уравнениях через
свойства:
v Да dT + (~v Дрт dp) = 0, (6.76)
dT + v Да dp = 0.
(6.77)
Объединяя последние два уравнения, получаем связь меж-
ду изменениями важнейших свойств в фазовом переходе 2-го
рода:
Дср Дрг - То(Да)2 = 0. (6.78)
Уравнения (6.76) и (6.77) позволяют в каждой точке найти
dp ,
производную и построить кривую фазового перехода.
На рис. 6.4 приведена рТ-диаграмма фазового перехода
гелия, при котором из одной жидкой фазы Не I он переходит
в другую фазу Не II, где ис-
чезает вязкость и гелий ста-
новится сверхтекучим. Трой-
ная точка в данном примере
соответствует Т = 29 К и р =
= 101325 Па.
Фазовый переход 2-го рода
не сопровождается изменением
агрегатного состояния и обус-
ловлен перегруппировкой ато-
мов и молекул.
166
Задачи и их решение
ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЕ
1. Пояснить, почему нельзя брать в качестве независимых
переменных р и Т для двухфазной термодинамической
системы.
Решение.
/ Условием равновесия двухфазной системы является ра-
венство температур и давлений (тепловое и механическое рав-
новесие), а также равенство их химических потенциалов, т. е.
Л = Т2 = T,pr =р2=р, (piG?, Т) = <р2(р, Т).
/ Решив последнее уравнение относительно р, получим одно-
значную зависимость давления от температуры, откуда следу-
ет, что при фазовом равновесии один из параметров (р или Т)
однозначно определяет другой, т. е. они не могут приниматься
независимыми.
2, Пользуясь правилом фаз Гиббса, определить число термо-
динамических степеней свободы простой системы, состоя-
щей из:
а) раствора КС1 и NaCl в воде в присутствии паров и крис-
таллов обоих этих веществ;
б) раствора, паров и кристаллов этих же солей, но в при-
сутствии льда.
Решение.
/ Число степеней свободы простой термодинамической сис-
темы определяется выражением
ZCT = k + 2 - Ф.
/ В случае а) имеем одну газообразную фазу (смесь паров),
одну жидкую (смесь растворов) и две твердых — кристаллы
КС1 и NaCl, т. е. Ф = 4. Число компонентов равно числу хими-
чески независимых составляющих системы, т. е. k = 3 (Н2О,
КС1, NaCl).
Следовательно, ZCT — 3 + 2 - 4 = 1.
/ В случае б) имеем Ф = 5 (смесь растворов, смесь паров и
три кристалла), a k = 3, как и в предыдущем случае, следова-
тельно, ZCT = 3 + 2- 5 = 0.
167
Глава 6. Термодинамическое равновесие и фазовые переходы
3. На какую величину следует изменить давление на лед
при изменении его температуры плавления с 273,16 до
272,16 К? В расчетах принять удельную теплоту плавле-
ния льда Хпл = 2520 кДж/кг и удельные объемы жидкости
и льда и = 0,001 м3/кг и и = 0,001091 м3/кг.
Решение.
/ Уравнение Клапейрона—Клаузиуса имеет вид
dp = ^-пл
dT TnAvx ~ утв) ’
/ Поскольку у воды удельный объем меньше, чем у льда,
имеем < 0, т. е. увеличение давления вызывает уменьше-
ние температуры плавления льда. Подставляя численные зна-
чения соответствующих величин в уравнение Клапейрона—
Клаузиуса, получаем
dp 2520•103
dT ~ 273,16(0,001 - 0,001091)
= -1,014 • 108 Па/К.
/ В результате имеем, что для уменьшения температуры
плавления всего на один градус надо увеличить давление при-
мерно на 1000 ати.
Комментарий. Это очень большая величина. Конькобеж-
цы, фигуристы, а также летчики и конструкторы полярной
авиации, шасси самолетов которой оснащаются специальны-
ми лыжами, должны хорошо знать эти цифры, поскольку,
зная температуру льда и массу опирающегося о лед объекта,
нетрудно определить оптимальную по скольжению, происхо-
дящему за счет местного плавления льда, площадь соприкос-
новения со льдом лезвия конька или металлических лезвий
самолетной лыжи. В частности, при весе конькобежца 70 кг и
температуре льда -5 °C площадь контакта лезвия конька со
льдом должна составлять примерно 0,1 см2. На практике эта
площадь больше в 1,5—2 раза, что не является оптимальным
для людей с небольшим весом.
Глава 7
Термодинамика реальных
газов и паров
7.1. Основные понятия
Принципиального различия между паром и реальным газом
нет. Под реальным газом подразумеваются пары жидкости, на-
ходящиеся в условиях исследования при температуре, значи-
тельно большей критической. Пар — это газ над поверхно-
стью жидкости. В термодинамических процессах реальный
газ является устойчивым рабочим телом, не меняющим своего
химического и агрегатного состояния. Пары при сравнительно
незначительных изменениях своих термодинамических пара-
метров могут переходить в жидкое состояние и обратно. Следо-
вательно, пар является неустойчивым рабочим телом.
Отличие в свойствах реальных и идеальных газов проявля-
ется не только в термических уравнениях состояния, о чем
подробно говорилось в разд. 1.10, но и при анализе других
свойств газов, например их теплоемкостей.
Удельные теплоемкости идеальных газов являются функ-
циями только температуры.
Удельные теплоемкости реальных газов зависят не только
от температуры, но и от давления (или удельного объема).
Из анализа теоретических и экспериментальных данных сле-
дует, что свойства реальных газов не только в количественном,
но и в качественном отношении существенно отличаются от
свойств идеальных газов. Поэтому все результаты теории идеаль-
ных газов нужно рассматривать как приближенные, справедли-
вые для реальных газов лишь при очень малых плотностях.
В теплотехнике в качестве рабочих тел используются раз-
личные жидкости и их пары: вода, ртуть, этиловый спирт, ам-
миак, фреон.
169
Глава 7. Термодинамика реальных газов и паров
Наиболее широкое распространение получили вода и водя-
ной пар из-за невысокой стоимости и доступности. Так, на-
пример, рабочим телом в ряде ракетных двигателей и в паро-
вых турбинах является водяной пар. Испарительное охлажде-
ние широко применяется в областях авиационной техники и
металлургии (в доменных печах).
Поэтому в основном будет рассматриваться водяной пар, но
выводы, полученные для этого рабочего тела, могут быть пе-
ренесены и на пар другой жидкости.
7.2. Получение водяного пара
Водяной пар может быть получен тремя способами: испа-
рением, сублимацией и кипением.
Испарение — переход из жидкой фазы в газообразную
(паровую) фазу, происходящий на поверхности раздела фаз
при любой температуре.
Сублимация — переход вещества из твердой фазы в газо-
образную при низкой температуре.
Кипение — превращение жидкости в пар по всему ее объему.
По мере нагревания жидкости понижается растворимость в
ней газов, в результате чего на дне и стенках сосуда, в котором
находится вода, могут образовываться пузырьки. В процессе
нагревания внутри пузырьков начинает испаряться жид-
кость, и при определенной температуре давление внутри пу-
зырька становится равным наружному, пузырьки отрываются
от стенок и жидкость начинает кипеть. Температура, при ко-
торой это происходит, называется температурой кипения
или температурой насыщения и обозначается ts.
Когда процесс кипения начался, несмотря на продолжаю-
щийся подвод теплоты, температура жидкости остается посто-
янной. Чем выше давление, при котором происходит кипение,
тем выше температура насыщения. Кроме того, процесс паро-
образования проявляется в объеме жидкости при резком сбро-
се давления (декомпрессия), причем при определенных усло-
виях этот процесс имеет взрывообразный характер.
С учетом того что в технике наиболее часто используется
процесс кипения для получения пара из жидкости при посто-
янном давлении, рассмотрим его более подробно.
170
7.3. Процесс парообразования при постоянном давлении
7.3. Процесс парообразования
при постоянном давлении
Принципиальная схема процесса парообразования состоит
из пяти последовательно осуществляемых стадий. При этом бу-
дем считать, что в цилиндре со свободно движущимся поршнем
находится 1кг воды при температуре £0 = О °C (рис. 7.1, а).
Поршень с положенным на него грузом оказывает на жид-
кость давление р. Объем жидкости при данных условиях обо-
значим и0. На /w-диаграмме (рис. 7.2) этому состоянию жид-
кости соответствует точка а.
При подводе к жидкости теплоты при р = const ее температу-
ра постепенно повышается до тех пор, пока не достигнет темпе-
ратуры насыщения ts, соответствующей данному давлению
(рис. 7.1, б). Удельный объем жидкости вследствие ее нагрева-
ния увеличивается от и0 до рж. Вода обладает некоторыми осо-
бенностями: она имеет наибольшую плотность и, следовательно,
наименьший удельный объем при 4 °C. При нагревании воды от
О °C удельный объем ее сначала уменьшается, а с 4 °C возраста-
ет, имея при 8 °C то же значение, что и при О °C. Состояние жид-
кости, доведенной до температуры насыщения, изображается на
рп-диаграмме (см. рис. 7.2) точкой б. Отрезок изобары аб соот-
ветствует процессу нагревания жидкости при постоянном давле-
нии от температуры О °C до температуры насыщения.
При дальнейшем подводе теплоты жидкость кипит и посте-
пенно переходит в пар. В цилиндре теперь находится двухфаз-
Рис. 7.1
а б г д
9 9 9 9
II I
II II
Unep °
Рис. 7.2
171
Глава 7. Термодинамика реальных газов и паров
ная среда — смесь воды и пара (рис. 7.1, в). При этом обе фазы
будут в устойчивом равновесии. Для всех жидкостей при р =
= const имеет место характерное явление, состоящее в том,
что температура смеси жидкости и пара остается постоянной
и равной температуре насыщения ts, пока вся жидкость не пе-
рейдет в пар с удельным объемом vs (рис. 7.1, г).
В некоторый момент времени последняя капля воды пре-
вращается в пар и цилиндр оказывается заполненным только
паром (см. рис. 7.1, г), который называется сухим насыщен-
ным паром. На jw-диаграмме состояние его изображается
точкой г. Это состояние является неустойчивым. Достаточно
понизить температуру, чтобы сейчас же произошло выделе-
ние капельной жидкости с образованием двух фаз.
Удельный объем пара vs больше удельного объема жидкости
рж. Отрезок б г представляет процесс кипения или парообразова-
ния жидкости при р = const и t = const и является одновременно
изобарой и изотермой. Между точками б и г система является
двухфазной (смесь жидкости и сухого насыщенного пара). Пар в
этой области получил название влажного насыщенного. При
этом жидкость может либо сосредоточиться в нижней части ци-
линдра, либо находиться во взвешенном состоянии равномерно
распределенной в виде мельчайших капель жидкости по всему
объему. Состояние влажного пара характеризуется двумя пара-
метрами: давлением (или температурой насыщения ts, опреде-
ляющей это давление) и степенью сухости х.
Степень сухости х — массовая доля сухого насыщенного
пара во влажном:
т п гп,
х = —— . (7.1)
тВЛ. п тс а + тж
Фактически х — это доля жидкости, превращенной в пар.
Если х = 0,5, то влажный пар состоит из равных долей жид-
кости и пара. Если х = 0,9, то влажный пар состоит из 90% су-
хого пара и 10% жидкости, т. е. чем больше степень сухости,
тем пар суше.
В точке б степень сухости х = 0, а в точке г — х = 1. Иногда
для описания состояния влажного пара вводится степень
влажности у = 1 — х, которая характеризует массовую долю
жидкости в 1 кг влажного пара.
Последующий подвод теплоты к сухому насыщенному пару
при том же давлении приводит к повышению его температу-
172
7.4. ри-Диаграмма водяного пара
ры, т. е. сухой насыщенный пар переходит в перегретый
(рис. 7.1, д). Изобара на участке гд не является изотермой.
Точка д изображает состояние перегретого пара и в зависимос-
ти от количества подведенной теплоты может лежать на раз-
ных расстояниях от точки г.
Из вышесказанного можно сформулировать следующие по-
ложения:
• влажный насыщенный пар — это равновесная смесь,
состоящая из паровой и жидкой фаз. При охлаждении на-
сыщенного пара при р = const он постепенно переходит в
жидкость. Необходимо отметить, что понижение темпера-
туры невозможно, пока весь пар не превратится в жид-
кость, т. е. температуру насыщенного пара при данном дав-
лении понизить нельзя. Невозможно также повысить тем-
пературу насыщенного пара при данном давлении, пока в
нем содержится влага, так как вся подводимая теплота
расходуется на превращение этой влаги в пар;
• сухой насыщенный пар — это пар, в котором отсутству-
ют взвешенные частицы жидкой фазы, а температура рав-
на температуре насыщения ts, соответствующей данному
давлению;
• перегретый пар можно охарактеризовать как пар, тем-
пература которого выше температуры насыщенного пара
того же давления, т. е. tnep > ts. Разность между темпера-
турой перегретого пара и температурой насыщенного на-
зывается степенью перегрева.
7.4. рс>-Диаграмма водяного пара
Рассмотрим особенности процесса парообразования при бо-
лее высоких давлениях (температурах).
Экспериментально установлено, что каждому давлению со-
ответствует определенная температура кипения данной жид-
кости, а следовательно, и ее насыщенного пара, т. е. давление
и температура насыщенного пара взаимно определяют друг
друга и связаны между собой зависимостью р =
Объем воды с увеличением давления практически не изме-
няется (табл. 7.1).
173
Глава 7. Термодинамика реальных газов и паров
Таблица 7.1
Давление р, МПа 0,1 5 10 20 40
Удельный объем воды, щ • 103, м3/кг 1,001 0,9976 0,9951 0,9904 0,9810
Например, повышение давления воды от 0,1 до 10 МПа вы-
зывает уменьшение ее удельного объема всего лишь на 0,5%.
Поэтому воду и другие жидкости практически можно считать
несжимаемыми. Точки а, а', а", соответствующие состоянию
воды при 0 °C и новом давлении, будут лежать на линии, кото-
рая практически параллельна оси ординат (рис. 7.3), имея к
ней незначительный наклон.
Удельный объем воды иж при температуре кипения больше
объема и0, но при невысоких давлениях мало отличается от
него. При повышенных давлениях, а следовательно, и при вы-
соких температурах объем иж значительно больше объема и0,
например для воды при р = 0,2 МПа иж = 0,001 м3/кг, при
р = 20 МПа иж = 0,002 м3/кг.
При повышении температуры объем жидкости вследствие
температурного расширения увеличивается. Повышение дав-
ления, наоборот, приводит к уменьшению объема. Однако
влияние температуры значительно сильнее. Поэтому при воз-
растании давления разность объемов vK — v0 увеличивается
(отрезки аб, а'б’, а”б" на рис. 7.3). Точки б, б’, б” лежат на ли-
нии, которая отклоняется вправо от оси ординат.
Значения объемов vK при различных давлениях и темпера-
турах приводятся в таблицах насыщенных паров. В этих
же таблицах приводятся и удельные объемы сухого насыщен-
ного пара vs. Величины l>s намного превышают и0, но с повы-
шением давления объем l>s быстро уменьшается, тогда как иж
возрастает. Уменьшение vs с увеличением давления является
следствием процесса сжатия.
Отмеченное приводит к тому, что разность объемов t>s - пж
уменьшается (отрезки бг, б'г', б"г" на рис. 7.3). При некото-
рых определенных для данной жидкости давлении и темпера-
туре разность объемов vs — иж становится равной нулю (точ-
174
7.4. рг-Диаграмма водяного пара
Рис.7.3
Рис. 7.4
ка К). Эта точка называется критической. Параметры веще-
ства в этой точке называются критическими (рк, пк, £к) и для
каждого вещества имеют определенные значения. Для воды
рк = 221,3 • 105 Па, t = 374,1 °C, о = 0,00326 м3/кг.
В 1860 г. Д. И. Менделеев впервые установил, что все веще-
ства имеют критическую температуру и давление, при которых
свойства жидкости и пара имеют неразличимые плотности, т. е.
исчезает поверхность раздела этих фаз вещества. Критическую
температуру при критическом давлении можно измерять по фак-
ту исчезновения границы раздела (мениска) между жидкой и га-
зообразной фазами. При сверхкритическом давлении свойства
жидкости и пара неразличимы и для температур Т < Тк. При
этом также отсутствует поверхность раздела фаз.
Критическая температура — это максимально возмож-
ная температура существования жидкости и ее насыщенного
пара. При температурах выше критических возможно сущест-
вование только перегретого пара. Все газы, например атмо-
сферные азот и кислород, являются сильно перегретыми пара-
ми. Чем выше температура перегрева (при данном давлении),
тем ближе пар по своим свойствам к идеальному газу.
Наименьшим давлением, при котором еще возможно рав-
новесие воды и насыщенного пара, является давление в так
называемой тройной точке. Параметры тройной точки для
воды: р = 611 Па, t = 0,01 °C, v = 0,00100 м3/кг. Процесс па-
рообразования при абсолютном давлении р = 611 Па показан
на рис. 7.4 изобарой аг, которая практически совпадает с осью
175
Глава 7. Термодинамика реальных газов и паров
абсцисс. При более низких давлениях пар может существо-
вать лишь в равновесии со льдом. Как видно на ри-диаграмме
(см. рис. 7.3 и 7.4), процесс паробразования изображается тре-
мя кривыми, получаемыми соединением точек одинаковых
состояний, каждая из которых имеет определенное значение.
Кривая I выражает зависимость удельного объема жидкос-
ти от давления при температуре О °C.
Кривая II (аК) является зависимостью удельного объема
жидкости от давления при температуре насыщения и опреде-
ляет состояние жидкости при температуре кипения.
Кривая III (Кг) выражает зависимость удельного объема
сухого насыщенного пара от давления и определяет состояние
сухого насыщенного пара.
Влево от кривой II до изохоры жидкости (кривая I) нахо-
дится область некипящей однофазной жидкости. Кривые II и
III ограничивают область влажного насыщенного пара, отде-
ляя его от области жидкости и перегретого пара, и называют-
ся пограничными кривыми (кривая II — нижняя погранич-
ная кривая, кривая III — верхняя пограничная кривая).
Для нижней пограничной кривой степень сухости х = О,
для верхней пограничной кривой х = 1.
7.5. Основные параметры воды и водяного пара
7.5.1. Параметры состояния воды. Так как вода практи-
чески несжимаема, то можно принять, что ее плотность при
i0 = О °C и любых давлениях постоянна, а удельный объем
и0 ~ 0,001 м3/кг.
Удельные энтальпия, энтропия и внутренняя энергия воды
в тройной точке (р = 611 Па, Т = 273,16 К) для удобства при-
нимаются равными нулю, т. е. /г0 = 0, s0 = 0, и0 = 0.
Количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг во-
ды от температуры t0 = 0 °C до температуры насыщения (ки-
пения) ts при постоянном давлении, называется удельной
теплотой жидкости и определяется по формуле
Ствод (*s “ *о) - Ствод (7-2)
176
7.5. Основные параметры воды и водяного пара
где с — средняя удельная изобарная теплоемкость воды в
ВОД
интервале температур от 0 до ts. Удельная теплота измеряется
в Дж/кг.
Удельная теплоемкость воды является функцией темпера-
туры
свод = 4,1939 - 0,00043409 • t + 0,0000086817 • t2 (7.3)
и незначительно изменяется с повышением давления.
р, МПа 1 10 20 30 40 50
Свод > кДж/(кг • К) 4,214 4,194 4,173 4,153 4,135 4,117
Установлено, что удельная теплота жидкости зависит от
давления, при котором идет процесс парообразования. Внача-
ле с ростом давления наблюдается ускоренный рост qK за счет
увеличения сил взаимодействия молекул, так как повышение
температуры при этом еще сравнительно невелико, а далее
после 40 • 105 Па роста qx с повышением давления практиче-
ски не происходит, так как начинает сказываться обратное
влияние температуры на силы взаимодействия молекул.
По мере приближения к критическому давлению продол-
жается рост qK. На рис. 7.5 представлена качественная зави-
симость qx = f(p).
Согласно первому закону термодинамики
qx = Au + I = (и - и0) + р(ь> - v0), (7.4)
где /ж — работа расширения в процессе нагревания жидкости
до температуры кипения. Так как и0 = 0, то
Чж = иж + Р(иж ~ уо)-
(7.5)
Работа расширения заметна при больших давлениях. Поэтому
в случае умеренных давлений можно принять
1ж=Р(иж ~ ро) ~ °-
Тогда уравнение (7.5) преоб-
разуется к виду
q ~ и . (7.6)
Отсюда видно, что внутрен-
няя энергия воды приближен-
221,3 р • 10“5, Па
Рис. 7.5
12 -5580
177
Глава 7. Термодинамика реальных газов и паров
но равна ее удельной теплоте. Неточность этого допущения
при давлении р = 3 МПа составляет 0,06%, а при давлении
10 МПа — 0,33%.
Энтальпия воды при температуре насыщения ts определя-
ется по формуле
+ </ж- (7.7)
Учитывая, что h() = 0, при невысоких давлениях для воды
можно записать
h «п « и '
Ж ж
В действительности
h > а > и .
Ж ^ж ж
Изменение энтропии жидкости определяется уравнением
* __ _ [ _ г d Т ,
Д'3 ~ 8ж so ~ J р ~ J Свод р ’ (7.8)
273
где зж — удельная энтропия жидкости при температуре кипе-
ния. Если принять свод = const, то с учетом s0 = 0 получим
8Ж = свод 1п 273 (7’9)
Для воды до температур 100—120 °C свод приближенно
равна 4,19 кДж/(кг-К), и уравнение (7.9) принимает вид
*ж = 4’191пйг (7-10)
7.5.2. Параметры состояния сухого насыщенного пара.
Сухой насыщенный пар характеризуется давлением р или тем-
пературой Тя. Процесс постепенного перехода жидкости в су-
хой насыщенный пар при постоянных давлениях и температуре
изображен на рис. 7.3 отрезком бг. Количество теплоты, затра-
ченное в этом процессе на превращение 1 кг воды при темпера-
туре кипения в сухой насыщенный пар, называется удельной
теплотой парообразования и обозначается буквой г.
Уравнение первого закона термодинамики для процесса на
отрезке кривой бг имеет вид
г = и - и + p(v - v ) (7.11)
ИЛИ
г=Л8-Лж. (7.12)
178
7.5. Основные параметры воды и водяного пара
Разность внутренних энергий Ли = us — иж, расходуемая на
работу против внутренних сил по преодолению сил межмолеку-
лярного взаимодействия между частицами, называется внут-
ренней теплотой парообразования и обозначается буквой р:
р = us - ик.
Количество теплоты, затрачиваемое на работу расширения
против внешних сил, называется внешней теплотой паро-
образования и обозначается через увн
¥вн = Р(^- (7-13)
Таким образом,
r= P + Vbh-
Изменение внутренней энергии р при испарении является
преобладающей, т. е. р Щвн -
Теплота парообразования г является функцией давления.
С увеличением давления величина г уменьшается и для кри-
тического давления воды г = 0. Это иллюстрируется сокраще-
нием горизонтального участка бг (см. рис. 7.3) процесса паро-
образования с ростом давления, при котором идет процесс па-
рообразования. При р = рк горизонтальный участок процесса
испарения отсутствует и г = 0.
Следовательно, качественная зависимость г = f(p) имеет
следующий вид (рис. 7.6).
Энтальпия сухого насыщенного пара определяется из урав-
нения (7.12)
hs = h}K + r. (7.14)
Приращение энтропии в процессе парообразования (участок
бг на рис. 7.3) определяется формулой
Ass = ss -
Отсюда удельная энтропия
сухого насыщенного пара оп-
ределяется следующим урав-
нением:
Ss ~ 8 Ж + Р~ ~
S
~ свод I*1 273 + T~s' (7-16)
12*
179
Глава 7. Термодинамика реальных газов и паров
Численные значения hs, йж, г, vs, vK, ss, зж приводятся
в таблицах насыщенного пара, откуда они и берутся при рас-
четах.
7.5.3. Параметры состояния влажного пара. Влажный
насыщенный пар — это двухфазная смесь, представляющая
собой пар со взвешенными в нем капельками жидкости. По-
этому значения удельного объема влажного пара vx находятся
между значениями иж и vs и зависят от давления и степени
сухости пара х. Согласно правилу аддитивности удельный
объем влажного насыщенного пара определяется через объ-
емы сухого пара и кипящей жидкости с учетом их долей, т. е.
v = XV + (1 - x)v (7.17)
или
Vx = + X(VS ~ (7-18)
Состояние влажного пара характеризуется двумя парамет-
рами: давлением (или температурой насыщения при этом дав-
лении) и степенью сухости х.
Разность ns - пж выражает приращение объема пара в про-
цессе парообразования при постоянном давлении. Каждому
давлению насыщения (или температуре кипения) отвечают
вполне определенные значения удельных объемов иж и vs.
При малых давлениях удельный объем сухого насыщенного
пара во много раз больше удельного объема воды.
Например, при р = 105 Па удельный объем сухого насыщен-
ного пара vs в 1630 раз больше удельного объема воды пж при
температуре кипения, а при р = 0,05 • 105 Па — в 28 000 раз.
Поэтому при невысоких давлениях (ниже 30 • 105 Па) и боль-
ших степенях сухости (х > 0,8) вторым слагаемым в правой час-
ти уравнения (7.17) можно пренебречь.
Таким образом
vx ~ xvs, (7.19)
т. е. удельный объем влажного насыщенного пара приближенно
равен произведению удельного объема сухого пара того же давле-
ния на степень сухости. Заметим, что определение величины vx
для водяного пара по уравнению (7.19) дает при р = 50 • 105 Па
погрешность 1%, а при р = 100*105Па— 3%. Удельные объ-
емы пж и l>s приводятся в таблицах насыщенного пара.
180
7.5. Основные параметры воды и водяного пара
Удельная энтальпия влажного пара определяется по прави-
лу аддитивности уравнением
hx = xhs + (1 - x)hx (7.20)
или с учетом выражения (7.14) по формуле
7г1 = 7гж + хг. (7.21)
Удельная внутренняя энергия влажного пара определяется
уравнением
и = хи + (1 - х)и . (7.22)
С учетом определения р можно получить
us = иж + р.
Преобразовав выражение (7.22), получим
их = х(“ж + Р) + (1“х)иж = “ж + хР- (7-23)
Однако для влажного пара, как и для любого газообразного
вещества, справедлива зависимость
hx = ux+P»x-
Отсюда
ux = hx~Pvx- (7.24)
Удельную энтропию влажного пара можно определить по
правилам аддитивности
s = xs + (1 - x)s = x(s - s ) + s . (7.25)
С учетом уравнений (7.10) и (7.15) окончательно будем
иметь
= = 4’191ПЙ +FSX- (7-26)
В выражении (7.26) первое слагаемое характеризует прираще-
ние энтропии при нагревании 1 кг жидкости до температуры
кипения, второе — приращение энтропии при испарении
жидкости.
Из выражений (7.18), (7.20) и (7.25) находим
- с> h- h™ sr - s„
Л. ZK Л ZK A- zK / Г7 Л rr\
X us~ иж ~ hs~ ~ Ss~ 8ж ‘ ( '
Уравнение (7.27) может быть основой для построения линий
постоянной степени сухости х в любых диаграммах.
181
Глава 7. Термодинамика реальных газов и паров
Теплота парообразования влажного пара определяется сле-
дующими соотношениями:
Гх = ХГ, Рх = ХР, Vbhx = *Vbh- (7-28)
Значения uQ, 11, hQ, h„, vQ, r, sQ, s.^ приводятся в табли-
о jTv о 7±ъ О' ' о 2К А г 1
цах насыщенного пара, а их, hx, vx, rx, px, sx легко определя-
ются по приведенным выше формулам.
7.5.4. Параметры состояния перегретого пара. Перегре-
тый пар характеризуется при заданном давлении более высо-
кой температурой, чем насыщенный пар. Получается он в спе-
циальном аппарате — перегревателе из влажного пара при
подводе к нему некоторого количества теплоты. Перегретый
пар по своим физическим свойствам приближается к идеаль-
ным газам и тем больше, чем выше степень его перегрева.
Состояние перегретого пара, так же как и газа, определяет-
ся двумя параметрами: р, Т-, v, Т или р, V. По мере перегрева
сухого насыщенного пара его температура, удельный объем,
энтальпия и энтропия увеличиваются, а плотность уменьша-
ется. Количество теплоты, необходимое для перегрева 1 кг су-
хого насыщенного пара при р = const до температуры Т , оп-
ределяется формулой
т
пер
9пеР=/ с (Taev-Ts), (7.29)
Ts п
где сп — истинная удельная изобарная теплоемкость пе-
регретого пара, сп — средняя удельная изобарная теп-
лоемкость перегретого пара в интервале температур от Ts
Д° Гпер-
Теплоемкость перегретого пара, как и всех реальных газов,
близких к состоянию насыщения, является величиной пере-
менной, зависящей от температуры и давления.
На рис. 7.7 приведена зависимость удельной теплоемкости
сп перегретого водяного пара от температуры и давления. Из
х'п
рисунка видно, что чем ближе состояние пара к насыщению и
чем выше давление, тем больше его теплоемкость. При доста-
точно высоких температурах все зависимости теплоемкостей
182
7.5. Основные параметры воды и водяного пара
Рис. 7.7
при разных давлениях сливаются в одну линию, подтверж-
дая, что в области больших перегревов с является только
функцией температуры.
Величину дпер, которую называют теплотой перегрева,
можно также определить из уравнения первого закона термо-
динамики:
'Упер = “пер - “s +Р(“пер " У8) ' (7-30)
ИЛИ
7пер = ^пер - hs- (7-31)
Удельная энтальпия перегретого пара в соответствии с
уравнениями (7.14), (7.29) и (7.31)
^пер = ^ + 9пер = ^ж + Г+ I Cpndr (7-32)
S
или
^пер = + Г + Срт (Гпер - Ts). (7.33)
Удельная энтальпия перегретого пара /гпер соответствует пол-
ной теплоте образования перегретого пара.
С учетом равенства qx = Нж выражение (7.33) можно пере-
писать так:
9пер = ^пер = 7ж + Г + ср,п (Тпер " Та>- (7-34)
лп
183
Глава 7. Термодинамика реальных газов и паров
С учетом зависимостей дж = f(p) (см. рис. 7.5) и г = f(p) (см.
рис. 7.6) можно сделать вывод, что первые две составляющие
в выражении (7.34) при больших давлениях имеют меньшие
значения, следовательно, пар высокого давления более эконо-
мичен, так как для своего образования требует меньших за-
трат теплоты.
Изменение удельной энтропии в процессе перегрева сухого
насыщенного пара (процесс гд на рис. 7.3) при р = const будет
определяться зависимостью:
. ТГЪд ТГ АТ . Тпер
As = «иер “ Ss = J Y = J cPnV=CPm 1п-у^- (7-35)
Т Т п х п х s
Отсюда удельная энтропия перегретого пара
7’"е» d Т г Т
Snep = SS + I Срп~т- =Sffi+ Y + Срт Ь (7.36)
Т их л. g m J. s
x 9
или с учетом приближения (7.10):
snep ~ 4>19 1п 273 + 7\ + СРП 1п^Г’ (7.37)
S ПО
Зависимость между параметрами р, v, Т перегретого пара при
невысоких давлениях определяется уравнением Молье:
„ = 462- 1>45 _ 0,59»10~4р
р (Тпер/100)3.2 (Т/Ю0)1з.5
(7.38)
или уравнением Вукаловича—Новикова
(р+^-Ь)-Ят( ) (7.39)
В уравнениях (7.38) и (7.39) давление р следует подста-
вить в Н/м2, удельный объем v — в м3/кг, значения констант:
R = 8314/znH2O = 462 Дж/(кг- К); а = 620Н,м4/кг2; Ь =
= 0,0009 м3/кг; с = 405 000 м3 • К/кг; пг = 1,968.
Приближенно оценить соотношения между параметрами
перегретого пара можно по эмпирическому уравнению состоя-
ния Вукаловича:
р(ипер +0,007) = ЯТпер. (7.40)
184
7.6. Таблицы водяного пара
7.6. Таблицы водяного пара
Для идеальных газов зависимость между параметрами р, v
и Т устанавливается уравнением состояния
pv = RT.
При этом два из этих параметров однозначно определяют
третий. Перегретый и насыщенный пары по своим свойствам
существенно отличаются от идеальных газов. Вследствие это-
го соотношения между параметрами состояния паров значи-
тельно сложнее, чем уравнение состояния идеального газа.
Для насыщенных паров давление является функцией темпе-
ратуры. Таким образом, для насыщенных паров две перемен-
ные не определяют состояние. Удельный объем vx может иметь
любое значение в пределах от пж до vs в зависимости от степени
сухости пара х. Удельный объем vx является функцией пара-
метров р и х (или Ts и х) и рассчитывается по формуле (7.17)
или (7.18). Объемы пж и vs являются функциями температуры
или давления. Следовательно, чтобы определить состояние на-
сыщенного пара, необходимо установить зависимости вида
р = f(Ts), vx = f'(p), vs = f"(p).
В настоящее время известны многочисленные уравнения
состояния перегретого водяного пара, связывающие между со-
бой р, v и Т.
Одним из наиболее точных уравнений состояния водяного па-
ра является уравнение Вукаловича—Новикова (7.39), но расче-
ты по нему достаточно трудоемки. Поэтому при практических
расчетах параметров насыщенных паров используются специ-
альные таблицы и диаграммы, составленные на основании экс-
периментальных и теоретических данных. В них приводятся со-
ответствующие значенияр, Ts, пж, vs, ps, Нж, hs, г, s.r, и ss.
Для проведения расчетов составлены подробные таблицы
для перегретых и насыщенных водяных паров до температу-
ры 1000 °C и давления 98 МПа.
В табл. 7.2 в качестве примера приведены параметры водя-
ного перегретого пара для трех давлений 2,0, 3,0 и 5,0 МПа,
в табл. 7.3 — значения параметров насыщенного водяного па-
ра в зависимости от давления, а в табл. 7.4 — от температуры.
185
Глава 7. Термодинамика реальных газов и паров
Таблица 7.2
t, °C р, МПа
2,0 3,0 5,0
ta = 212,37 °C; ha = 2799 кДж/кг; va = 0,09958 м3/кг; s8 = 6,340 кДжДкг • К) t, = 233,83 °C; ha = 2804 кДж/кг; va = 0,06665 м3/кг; s„ = 6,136 кДжДкг-К) t„ = 263,91 °C; ha = 2794 кДж/кг; va = 0,03944 м,!/кг; sa = 5,973 кДж/(кг- К)
ипер Лпер ®пер ипер ^"пер ®пер ипер ^пер ®пер
0 0,0009991 2,1 0,0 0,0009986 3,1 0,0 0,0009976 5,2 0,0004
50 0,0010112 210,9 0,702 0,0010107 211,8 0,7018 0,0010098 213,6 0,7005
100 0,0010424 420,1 1,3048 0,0010419 420,8 1,3038 0,0010408 422,5 1,3020
150 0,0010895 632,8 1,838 0,0010889 633,4 1,837 0,0010876 634,7 1,835
200 0,0011561 852,4 2,328 0,0011551 852,6 2,326 0,0011530 853,6 2,322
250 0,1114 2900 6,539 0,07067 2853 6,283 0,0012492 1085,7 2,789
300 0,1255 3019 6,757 0,08119 2988 6,530 0,04539 2920 6,200
350 0,1384 3134 6,949 0,09051 3111 6,735 0,05195 3063 6,440
400 0,1511 3246 7,122 0,09929 3229 6,916 0,05781 3193 6,640
450 0,1634 3357 7,282 0,1078 3343 7,080 0,06332 3315 6,815
500 0,1735 3468 7,429 0,1161 3456 7,231 0,06858 3433 6,974
550 0,1875 3578 7,569 0,1243 3569 7,373 0,07370 3550 7,120
600 0,1995 3690 7,701 0,1325 3682 7,506 0,07870 3666 7,257
650 0,2114 3802 7,827 0,1405 3796 7,633 0,08357 3782 7,787
700 0,2232 3917 7,947 0,1484 3911 7,755 0,08842 3899 7,510
186
7.6. Таблицы водяного пара
Таблица 7.3
р, МПа и о гж, м3/кг JM/gK ‘sa ps, кг/м3 Лж, кДж/кг Лв, кДж/кг г, кДж/кг кДж/(кг • К) S8» кДж/(кг-К)
0,001 6,92 0,00100011 29,9 0,00770 29,32 2513 2484 0,1054 8,975
0,002 17,514 0,0010014 66,97 0,01493 73,52 2533 2459 0,2609 8,722
0,005 32,88 0,0010053 28,19 0,03547 137,83 2561 2423 0,4761 8,393
0,010 45,84 0,0010103 14,68 0,05812 191,9 2584 2392 0,6492 8,149
0,020 60,08 0,0010171 7,647 0,1308 251,4 2609 2358 0,8321 7,907
0,050 81,35 0,0010299 3,239 0,3087 340,6 2645 2204 1,0910 7,593
0,100 99,64 0,0010432 1,694 0,5903 417,4 2675 2258 1,3026 7,360
0,200 120,23 0,0010605 0,8854 1,129 504,8 2707 2202 1,5302 7,127
0,500 151,84 0,0010927 0,3747 2,669 640,1 2749 2109 1,860 6,822
0,800 170,42 0,0011149 0,2403 4,161 720,9 2769 2048 2,046 6,663
1,0 179,88 0,0011273 0,1946 5,139 762,7 2778 2015 2,138 6,587
1,2 187,95 0,0011385 0,1633 6,124 798,3 2785 1987 2,216 6,523
1,5 198,28 0,0011539 0,1317 7,593 844,6 2792 1947 2,314 6,445
2,0 212,37 0,0011766 0,09958 10,041 908,5 2799 1891 2,447 6,340
2,5 223,93 0,0011972 0,07993 12,51 961,8 2802 1840 2,554 6,256
3,0 233,83 0,0012163 0,06665 15,00 1008,3 2804 1796 2,646 6,186
3,6 244,16 0,0012380 0,05543 18,04 1057,5 2802 1745 2,740 6,113
4,0 250,33 0,0012520 0,04977 20,09 1087,5 2800,6 1713,2 2,7965 6,0689
5,0 263,91 0,0012858 0,03943 25,36 1154,2 2794,3 1640,1 2,921 5,9734
10,0 310,96 0,0014522 0,01803 95,47 1407,9 2724,8 1316,9 3,3601 5,6147
20,0 365,72 0,00203 0,005861 70,5 1826,8 2410,3 583,4 4,0147 4,9280
187
Глава 7. Термодинамика реальных газов и паров
Таблица 7.4
Эо ‘“1 р, МПа гж, мЗ/кг а ч а ps, кг/м3 Лж, кДж/кг Л8, кДж/кг г, кДж/кг 8ж’ кДж/(кг • К) Ss’ кДжДкг • К)
0 0,006108 0,0010002 206,3 0,004847 0 2501 2501 0 9,1544
10 0,001228 0,0010004 106,42 0,009398 42,04 2519 2477 0,1510 8,8994
20 0,002337 0,0010018 57,84 0,01729 83,90 2537 2454 0,2964 8,6665
50 0,01233 0,0010121 12,04 0,08306 209,3 2592 2383 0,7038 8,0753
80 0,04736 0,0010290 3,408 0,2934 334,9 2543 2308 1,0753 7,6116
100 0,10132 0,0010435 1,673 0,5977 419,1 2676 2257 1,3071 7,3547
125 0,23208 0,0010649 0,7704 1,298 525,0 2713 2188 1,5814 7,0777
150 0,4760 0,10906 0,3926 2,547 632,2 2746 2114 1,8418 6,8383
175 0,8925 0,0011208 0,2166 4,617 741,1 2773 2032 2,0909 6,6256
200 1,5551 0,0011565 0,1272 7,862 852,4 2793 1941 2,3308 6,4318
225 2,55 0,11992 0,07837 12,76 966,9 2802 1835 2,5640 6,2488
250 3,98 0,0012512 0,05006 19,98 1085,7 2801 1715 2,7934 6,0721
275 5,95 0,0013169 0,03274 50,53 1210,7 2785 1574,2 3,0223 5,8938
300 8,59 0,0014036 0,02164 46,21 1344,9 2749 1404,2 3,2548 5,7049
350 16,54 0,001741 0,008803 113,6 1671,5 2565 893,5 3,7786 5,2117
374 22,09 0,00280 0,00347 288 485,3 512,7 • 27,4 4,3258 4,5418
7.7. Ts-диаграмма водяного пара
Как и в случае газов, для графического изображения и ис-
следования термодинамических процессов с паром, наряду с
рр-диаграммой, применяется Ts-диаграмма.
188
7.7. Zs-диаграмма водяного пара
Обычно Тз-диаграммы строятся для рассматриваемого ве-
щества в области насыщения и перегретого пара. На Тз-диа-
грамму наносится критическая точка К, верхняя и нижняя
пограничные кривые, а также линии, соединяющие точки
одинаковых давлений, температур и степеней сухости.
Поскольку каждая точка изображает определенное состоя-
ние системы, то каждой точке на рп-диаграмме соответствует
определенная точка на Тз-диаграмме.
Изобарный процесс получения пара в рп-координатах (см.
рис. 7.3) изображался горизонтальной прямой абгд и характе-
ризовался отрезками; аб — подогрев жидкости до температу-
ры насыщения ts, бг — парообразование, гд — перегрев пара.
Перенесем изобару парообразования абгд в координаты Ts.
Для определения характера данной изобары в Тз-координатах
воспользуемся формулами, приведенными в разд. 7.5.1—7.5.4.
Строится Тз-диаграмма следующим образом: сначала на
Тз-диаграмму наносится исходная точка. Удельная энтропия
водяного пара в тройной точке условно принята равной нулю.
Поэтому в Тз-диаграмме начальное состояние изобразится
точкой а, которая лежит на оси ординат при значении То =
= 273,16 К (рис. 7.8).
В процессе нагревания воды при повышении температуры
от тройной точки до температуры кипения (точка б) ее энтро-
пия будет непрерывно увеличиваться, изменяясь согласно
уравнению (7.10)
273,16
Рис. 7.8
189
Глава 7. Термодинамика реальных газов и паров
Таким образом, в Ts-координатах изобара жидкости изобра-
жается логарифмической кривой аб. В точке б диаграммы на-
чинается кипение воды. Процесс парообразования на отрезке бг
является одновременно изотермическим и изобарным. Энтро-
пия в процессе парообразования продолжает повышаться. Ее
приращение можно определить, используя формулу (7.26),
As = sx- 8Ж= £- х. (7.42)
1 S
Процесс парообразования заканчивается в точке г, где
As = r/Ts. (7.43)
Сухой насыщенный пар состояния г при дальнейшем подво-
де теплоты при постоянном давлении пара перегревается. Кри-
вая гд представляет собой процесс перегрева пара. Точка д оп-
ределяется заданной температурой перегрева пара Тпер и удель-
ной энтропией snep, вычисляемой по соотношению (7.36):
snep = ss+cPm 1п>. (7.44)
п s
Следовательно, в области перегретого пара изобара гд, как
и изобара жидкости ав, изображается логарифмической кри-
вой. Однако она является более крутой, так как ст для пере-
гретого пара меньше с* для воды,
вод
Линии процесса парообразования при других давлениях
р' = const и р" = const строятся аналогично (см. рис. 7.8). Чем
выше давление пара, тем выше проходят его изобары, т. е.
р" > р' > р. Точки б', б" характеризуют состояние кипящей
жидкости при давлениях р' и р". Они располагаются выше
точки б по мере повышения температуры насыщения. Точки
г' и г" характеризуют состояние сухого насыщенного пара,
а точки д' и д" — состояние перегретого пара. Соединяя точки
состояния кипящей жидкости б, б', б", получим нижнюю по-
граничную кривую (х = 0), а соединяя точки г, г', г", — верх-
нюю пограничную кривую (х = 1). Точка схождения погра-
ничных кривых является критической точкой К. Нижняя
пограничная кривая начинается в тройной точке и заканчива-
ется в критической точке.
190
7.8. hs-Диаграмма водяного пара
При невысоких давлениях теплоемкость воды практически
не зависит от давления. Поэтому изобары нагрева воды почти
совпадают с нижней пограничной кривой. Пограничные кри-
вые делят диаграмму на три области: вправо от нижней погра-
ничной кривой располагается область жидкости, между погра-
ничными кривыми — область влажного пара, вправо от погра-
ничной кривой и вверх от точки К — область перегретого пара.
На Ts-диаграмме может быть отображена сеть изобар, изо-
хор и изотерм. В области влажного насыщенного пара изоба-
ры и изотермы совпадают и представляют собой горизонталь-
ные прямые (отрезки бг и т. д.). В области перегретого пара
изобары идут вправо вверх, а изотермы остаются горизонталь-
ными прямыми. Изохоры проходят несколько круче изобар
как в области влажного пара, так и в области перегретого па-
ра. Как и изобары, изохоры претерпевают излом в точке пере-
сечения с верхней пограничной кривой.
Кроме того, на Ts-диаграмме дополнительно в области влаж-
ных паров наносятся кривые одинакового паросодержания
(одинаковой степени сухости). Степень сухости х определяется
отношением соответствующих отрезков, х = бв/бг, что являет-
ся следствием уравнения (7.27).
Месторасположение точек в, в' и в" заданной степени су-
хости можно определить и по уравнению (7.42). Линия одина-
ковой степени сухости начинается в критической точке и про-
ходит через точки в, в’ и в".
Особенно удобна Ts-диаграмма при исследовании циклов,
поскольку площадь, ограниченная кривой процесса, осью
абсцисс и двумя крайними ординатами, эквивалентна
количеству теплоты, подведенной к рабочему телу
или отведенной от него в рассматриваемом процессе.
7.8. /Is-Диаграмма водяного пара
Для практических тепловых расчетов паровых процессов
более удобной по сравнению с Ts-диаграммой является hs-
диаграмма. На этой диаграмме ординатами служат значения
удельной энтальпии h, а абсциссами — величины удельной
энтропии з. Данная диаграмма дает возможность получать
значения теплоты изобарного процесса не в виде площадей,
191
Глава 7. Термодинамика реальных газов и паров
как это имеет место в Ts-диаграмме, а в виде отрезков пря-
мых, потому что теплота, сообщенная в процессе при р =
= const, равна изменению энтальпии в этом процессе. Кроме
того, /is-диаграмма водяного пара позволяет без применения
формул и таблиц определять параметры пара — энтальпию,
энтропию, температуру, удельный объем, степень сухости,
т. е. параметры, вычисление которых требует применения
громоздких формул и сложных арифметических вычислений.
Строится /is-диаграмма в следующей последовательности
(рис. 7.9). Строятся верхняя и нижняя пограничные кривые
по табличным значениям h.. и h„, sc, взятым при различ-
ных давлениях.
За начало координат принимается состояние воды в трой-
ной точке, где h0 = 0 и з0 = 0. Поэтому нижняя пограничная
кривая (х = 0) выходит из начала координат. Обе погранич-
ные кривые сходятся в критической точке К, которая смеще-
на влево и вниз относительно максимума пограничных кри-
вых, что объясняется нижеприведенными доводами.
Из объединенного выражения первого и второго законов
термодинамики при отсутствии прочих работ в записи через
энтальпию (5.17) следует, что
dh = Т ds + v dp. (7.45)
Взяв производную по энтропии, получим
= Т + v^. (7.46)
ds ds ' ’
192
7.8. /к-Диаграмма водяного пара
В критической точке j =0, так как в pv- и Тз-коорди-
((lp\ п
натах критическая точка находилась вверху, т. е. J = 0 и
7dTA „ 7d/гЛ m-n
V ds" J = 0’ ^леДовательно’ ds J = щ. > 0» что подчеркивает
положительный наклон производной в критической точке.
Затем в области влажного пара строятся кривые р = const
по уравнениям (7.21) и (7.26).
Из математики известно, что если две величины зависят
линейно от одной и той же третьей (в данном случае от х), то
они линейно зависят одна от другой.
Следовательно:
hx=A + Bsx, (7.47)
где А и В — некоторые постоянные коэффициенты.
Из уравнения (7.47) следует, что изобары влажного насы-
щенного пара на /is-диаграмме представляют собой прямые,
проходящие под некоторым углом к оси з. Этими же линиями
будут определяться и изотермы влажного пара, поскольку в
области влажного пара изотермы и изобары совпадают.
Аналогичный результат может быть получен и из диффе-
ренциальных соотношений термодинамики, и, в частности, из
уравнения (7.46) для процесса при р = const:
g)p-r. (7.48)
Из выражения (7.48) видно, что изобара (изотерма) описы-
вается уравнением прямой линии с угловым коэффициентом
наклона к оси абсцисс, численно равным температуре, кото-
рая в данном случае соответствует температуре насыщения.
Чем выше давление, тем выше температура Ts и тем больше
тангенс угла наклона изобары. Все изобары в этой области на-
чинаются на нижней пограничной кривой (точки б, б', б") и
пересекаются с верхней пограничной кривой в точках г, г', г".
Кривые постоянной степени сухости влажного пара (х =
= const) строятся с использованием уравнения (7.27) и начи-
наются в точке К.
Для построения кривых р = const, Т = const, v = const в об-
ласти перегретого пара используются соответствующие значе-
13-5580
193
Глава 7. Термодинамика реальных газов и паров
ния h и s, приведенные в таблицах перегретого пара, и уравне-
ния (7.36) или (7.44).
Изобары в области перегретого пара представляют собой
логарифмическую кривую.
Изотермы в области перегретого пара являются выпуклы-
ми кривыми, которые поднимаются слева вверх направо, что
следует из уравнения (7.46) для Т = const
ID -Нг! •
у OS ) т у OS ) у
которое с учетом соотношения Максвелла (5.51) может быть
переписано в виде
ds)T \dvjp
(7.49)
С учетом соотношения (7.48), записанного для процесса при
р = const, и физического смысла члена v J > который пред-
ставляет собой обратную термическому расширению величину
(5.56), из уравнения (7.49) следует, что поведение изотермы в
области перегретого пара определяется поведением изобары,
из которой вычитается некоторая положительная величина.
Следовательно, при переходе через верхнюю пограничную
кривую изотерма и изобара расходятся, а по мере удаления от
пограничной кривой каждая изотерма асимптотически при-
ближается к горизонтали h = const.
Кроме того, с понижением давления перегретый пар по сво-
им свойствам приближается к идеальному газу, энтальпия ко-
торого зависит только от температуры. Действительно, для
т
идеального газа J что следует из уравнения состоя-
ния для 1 кг вещества pv = RT для случая р = const: Т =
= const • v и тангенс угла наклона изотермы согласно уравне-
нию (7.49) будет равен нулю.
Таким образом, соотношение (7.49) показывает, что по ме-
ре увеличения перегрева изотерма становится все более поло-
гой, приближаясь к горизонтали.
В /is-координатах могут быть нанесены и изохоры, пред-
ставляющие собой логарифмические кривые, которые не-
сколько круче близлежащих изобар.
194
7.8. Лэ-Диаграмма водяного пара
Обычно полностью /is-диаграмму не строят, а выполня-
ют лишь ту ее часть, на которой содержатся параметры па-
ра, необходимые для расчетов. Это дает возможность изоб-
ражать диаграмму в надлежащем масштабе. Наиболее часто
используемая рабочая часть hs-диаграммы приведена на
рис. 7.10.
4000
3800
3600
3400
3200
3000
2800
2600
2400
2200
2000
1800
5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5
Энтропия s, кДж/(кг • К)
Рис. 7.10
13-
195
Глава 7. Термодинамика реальных газов и паров
Диаграмма hs по сравнению с Ts-диаграммой имеет ряд су-
щественных достоинств:
• для любой точки на /is-диаграмме можно найти значения
р, v, t, h, s, х;
• адиабатные процессы на ней изображаются вертикаль-
ными прямыми;
• количество теплоты при р = const изображается отрезка-
ми, а не площадями, как в Уз-диаграмме.
Все это привело к более широкому использованию Лз-диа-
грамм при решении задач истечения, дросселирования, опре-
деления расхода пара в различных устройствах, расчета тур-
бин и пр.
7.9. Основные термодинамические процессы
с водяным паром
При исследовании термодинамических процессов измене-
ния состояния водяного пара могут встретиться три случая,
отличающихся областями, в которых происходит процесс.
Первый случай — область влажного насыщенного пара, вто-
рой — область перегретого пара, третий — частичная область
влажного насыщенного и частичная область перегретого пара.
Термодинамические расчеты можно проводить аналитиче-
ским или графическим методом с применением специальных
диаграмм, а также с помощью таблиц воды и водяного пара.
Аналитически термодинамические расчеты удобно произво-
дить только в том случае, если свойства рабочего тела описы-
ваются простыми математическими зависимостями. Послед-
нее имеет место, когда рабочее тело близко к идеальному газу.
С достаточным приближением можно пользоваться уравнени-
ем pv = RT только при состоянии реальных газов, сильно уда-
ленных от состояния сухого насыщенного пара, и при не
очень высоких давлениях. Использование уравнений состоя-
ний реальных газов делает расчеты трудоемкими. Графиче-
ский метод расчета отличается простотой, наглядностью и
универсальностью. Универсальность метода состоит в том, что
его можно использовать для всех процессов как в области на-
196
7.9. Основные термодинамические процессы с водяным паром
сыщенных, так и в области перегретых паров. Кроме того, он
позволяет следить за изменением агрегатного состояния пара
в любом процессе, не прибегая к формулам. Благодаря этим
преимуществам графический метод рекомендуется как основ-
ной метод расчетов процессов, происходящих в парах. Термо-
динамические расчеты с помощью таблиц воды и водяного па-
ра дают более высокую точность, чем расчеты по диаграммам.
Метод расчета по этим таблицам применяется исключительно
в случае особо точных расчетов.
Метод расчета по /is-диаграмме состоит в следующем. По
известным параметрам наносится начальное состояние пара.
Проводится линия процесса, и определяются параметры пара
в конечном состоянии. Затем вычисляется изменение внут-
ренней энергии, определяется количество теплоты и работы в
данном процессе.
Для анализа работы паросиловых установок большое зна-
чение имеют изохорный, изобарный, изотермический и адиа-
батный процессы, представленные графически на рис. 7.11—
7.14. Отрезки 1 — 1" и 1"—2 на этих рисунках относятся к
случаям протекания процессов без изменения агрегатного со-
стояния пара: на отрезке 1—1" пар остается влажным насы-
щенным, а на отрезке Г'—2 — перегретым. Отрезок 1—2 со-
ответствует случаю протекания процесса, в котором пар пере-
ходит из насыщенного состояния в перегретое.
Изохорный процесс
Изохоры водяного пара на pv-, Ts- и /is-диаграммах имеют
вид, показанный на рис. 7.11.
Рис. 7.11
197
Глава 7. Термодинамика реальных газов и паров
Изохорный процесс на /w-диаграмме (рис. 7.11, а) изобража-
ется отрезком вертикальной прямой 1—2, а на Тз-диаграмме
(рис. 7.11, б) — кривой линией, которая в области влажного па-
ра направлена выпуклостью вверх, а в области перегретого —
выпуклостью вниз. В Лз-координатах (рис. 7.11, в) изохора
представляет собой логарифмическую кривую, причем в области
влажного пара изохора весьма близка к наклонной прямой.
При изохорном охлаждении перегретого или сухого насыщен-
ного пара давление и температура его уменьшаются, а сам пар
может перейти во влажный с последующим увеличением степени
влажности. Однако полной конденсации пара в процессе при v =
= const получить нельзя, так как всегда при любом давлении над
жидкостью сохраняется некоторое количество насыщенного па-
ра. Следовательно, изохора, которая пересекла верхнюю
пограничную кривую, никогда не пересечет нижнюю пог-
раничную кривую, как бы близко она к ней ни подходила.
Из рис. 7.11, а видно, что для всех изохорных процессов в
области влажного пара возможны два случая: v < vK, v > vK,
где vK — удельный объем в критической точке.
При подводе теплоты к влажному пару в первом случае
(процесс аЬ на рис. 7.11, а) происходит уменьшение степени
сухости влажного пара и в точке Ь пересечения изохоры с пог-
раничной кривой жидкости влажный пар полностью превра-
щается в воду. При этом температура и давление повышаются.
Подвод теплоты к влажному пару во втором случае при v > vK
(процесс 1—2 на рис. 7.11, а) приводит к повышению степени
сухости влажного пара. В точке 1" пар становится сухим насы-
щенным. Дальнейший подвод теплоты вызывает его перегрев.
Так как в изохорном процессе dp = 0, то работа объемной
деформации в нем равна нулю. Таким образом, в изохорном
процессе количество теплоты qv, подводимое к 1 кг пара, рас-
ходуется на изменение его внутренней энергии, т. е.
qv = и2 - н1. (7.50)
Поскольку h = и + pv, то при использовании /is-диаграммы
воспользуемся формулой
Qv=(h2~P2v) - (hi ~Piv) v(p2-pj. (7.51)
В Ts-координатах количество теплоты qv изображается за-
штрихованной площадью (рис. 7.11, б).
198
7.9. Основные термодинамические процессы с водяным паром
Изобарный процесс
Изобарный процесс в pv-, Ts-, /is-координатах изображен
на рис. 7.12. Как видно, на/w-диаграмме (рис. 7.12, а) изоба-
ра изображается горизонтальной прямой 1—2.
В области влажного насыщенного пара изобара является
одновременно и изотермой. При подводе теплоты к влажному
насыщенному пару степень сухости его увеличивается и влаж-
ный пар при t = const переходит в сухой насыщенный пар,
а затем — в перегретый.
На Ts-диаграмме (рис. 7.12, б) в области влажного насы-
щенного пара изобара также представляется прямой горизон-
тальной линией, а в области перегретого пара — логарифми-
ческой кривой 1"—2.
На /is-диаграмме (рис. 7.12, в) изобара в области влажного
насыщенного пара представляет наклонную прямую. В облас-
ти перегретого пара изобара переходит в логарифмическую
кривую.
Количество теплоты, подводимое к пару в изобарном про-
цессе, рассчитывается по уравнению
QP = h2 - hv
(7.52)
В Тз-координатах это количество равно площади под про-
цессом, а в Лз-координатах — разности ординат точек 2 и 1.
Работа изобарного процесса определяется площадью под
процессом в /w-координатах
Рис. 7.12
199
Глава 7. Термодинамика реальных газов и паров
Изменение внутренней энергии определяется следующим
образом:
Ли = и2 - иг = (Л2 ~ pv2) - (hr - pvr) =
= h2-h1-p(v2~ v^. (7.54)
Таким образом, изобарный процесс просто рассматривается
с помощью Лз-диаграммы, для этого по диаграмме определяем
АЛ, р, v2, vr и рассчитываем q, Л.и, I.
Изотермический процесс
Изотермический процесс в различных диаграммах изобра-
жен на рис. 7.13 отрезками 1 — 2. Начальная точка процесса 1
лежит в области влажного, а конечная 2 — в области перегре-
того паров.
Вpu-координатах (рис. 7.13, а) изотерма в области влажно-
го пара изображается отрезком горизонтальной прямой, кото-
рая одновременно является изобарой. В области перегретого
пара она переходит в гиперболическую кривую, более поло-
гую, чем равнобокая гипербола (изотерма идеального газа).
Из /w-диаграммы видно также, что при изотермическом пере-
греве пара его давление уменьшается.
В Ts-координатах (рис. 7.13, б) изотермический процесс
изображается отрезком горизонтальной прямой.
В йз-координатах (рис. 7.13, в) изотермический процесс в об-
ласти влажного пара представляет собой наклонную прямую, ко-
торая одновременно является изобарой, а в области перегретого
пара— кривую, направленную выпуклостью вверх. Эта кривая
поднимается слева направо и по мере удаления от верхней погра-
ничной кривой асимптотически приближается к горизонтали.
О 1>1 l>2 V 0 Sj S2 s Sj S2 8
6)
Рис. 7.13
200
7.9. Основные термодинамические процессы с водяным паром
Количество теплоты, подведенное к 1 кг пара в изотермиче-
ском процессе расширения 1—2, определяется по формуле
q=T(s2-S1). (7.55)
В Ts-координатах это количество теплоты соответствует за-
штрихованной площади.
Необходимо отметить, что для водяного пара, как и для лю-
бого реального газа, внутренняя энергия в процессе при Т =
= const, в отличие от внутренней энергии идеального газа, из-
меняется вследствие изменения потенциальной энергии сил
взаимодействия между молекулами. Поэтому можно записать
Ан = н2 - щ = (й2 ~p2v2) - (hr -р^) =
= (h2~h1)-(p2v2-p1v1). (7.56)
Работа изотермического процесса определится из уравне-
ния первого закона термодинамики
I = q - Au = T(s2 - sj - (h2 - hx) + (p2v2-p^J (7.57)
и соответствует площади под процессом в ро-координатах.
Таким образом, для расчета изотермического процесса по
/zs-диаграмме необходимо определить А/г, р2, рг, v2, и рас-
считать q, Au, I.
Адиабатный процесс
Адиабатные процессы в pv-, Ts-, /zs-диаграммах изображе-
ны на рис. 7.14.
Равновесный адиабатный процесс протекает при постоян-
стве энтропии (s = const), поэтому на Ts- и /zs-диаграммах
(рис. 7.14, б, в) адиабаты изображаются вертикальной прямой.
201
Глава 7. Термодинамика реальных газов и паров
Из рис. 7.14 видно, что при адиабатном расширении влаж-
ный пар либо увлажняется, либо подсушивается в зависимос-
ти от того, ближе к какой пограничной кривой расположена
начальная точка.
На pv-диаграмме (рис. 7.14, а) адиабатный процесс пред-
ставляет собой кривую, напоминающую гиперболу. Эта кри-
вая описывается уравнением Цейнера
pvk = const. (7.58)
В этом уравнении показатель степени k не равен отношению
с /cv, что справедливо для идеального газа, а является чисто эм-
пирической величиной. Его значения различны для перегрето-
го и влажного насыщенного паров. В области влажного насы-
щенного пара показатель степени k определяется по формуле
/г = 1,035 + 0,1%. (7.59)
Причем значение степени сухости х влажного пара при его
расширении принимается в начальном, а при сжатии — в ко-
нечном состоянии процесса.
Для адиабаты, начинающейся или заканчивающейся на
верхней пограничной кривой (точка 1"), необходимо в форму-
лу (7.59) подставить х = 1. Следовательно, для адиабатного
процесса с сухим насыщенным паром k = 1,135. Для адиа-
баты, полностью расположенной в области перегретого пара,
k = 1,3, как и для многоатомных газов.
Поэтому на jw-диаграмме на верхней пограничной кривой
адиабата имеет перегиб (точка 1" на рис. 7.13, а). Расчет ади-
абатного процесса 1—2 необходимо проводить отдельно для
участка 1 — 1", а затем — для участка 1"—2, подставляя соот-
ветственно k = 1,3 и k = 1,135.
Поскольку значения показателя k являются средними и
приближенными, то при точных расчетах ими пользоваться
нельзя. Точный расчет адиабатных процессов производится с
помощью таблиц водяного пара (см. табл. 7.2—7.4).
Работа расширения, произведенная паром в адиабатном
процессе, определяется из следующих соображений.
Для адиабатного процесса q = 0 и на основании уравнений
первого закона термодинамики будем иметь
I = -&и = их~и2 = (hi-PiVi) - (h2-p2v2) =
= hr - h2 - (pjVj - p2v2). (7.60)
202
Задачи и их решение
Работа адиабатного процесса соответствует площади под про-
цессом в jw-координатах (рис. 7.14, а).
Определяя Л/г, р2, рг, v2, по /га-диаграмме, подсчитыва-
ют величины Лгг и Z по формуле (7.60).
ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЕ
1. Определить, пользуясь данными /га-диаграммы, массу
10 м2 3 влажного насыщенного пара при давлении р ~
= 9,2 бар и степени сухости х = 0,88.
Решение.
/ Объем и масса термодинамического рабочего тела связаны
между собой зависимостью
V = mv.
/ Следовательно, для нахождения массы необходимо опреде-
лить удельный объем, который находится по /га-диаграмме как
точка пересечения изобары 9,2 бар со степенью сухости 0,88
(их = 0,19 м3/кг):
//^ Л 1 ГХ Q / •
vx 0,19 м^/кг
2. Внутри трубы под давлением 10 МПа происходит парооб-
разование за счет теплового потока 75 кВт, подводимого от
внешних источников. Вода в трубу поступает при темпера-
туре насыщения с секундным расходом 0,5 кг/с. Опреде-
лить плотность пароводяной смеси на выходе из трубы.
Решение.
/ С учетом отсутствия каких-либо данных по свойствам па-
ра при заданном давлении необходимо пользоваться таблич-
ными значениями параметров насыщенного водяного пара в
зависимости от давления (см. табл. 7.3).
/ Количество образующегося пара в единицу времени
находим из соотношения тс п = Q/r, где г — удельная тепло-
та парообразования, которая берется из таблиц. При р =
= 10 МПа : г = 1316,9 кДж/кг:
те. п = 7 = 13^9 = 0,0569 кг/с.
/ Степень сухости пара находим по определению
= _ тс,п_ = _0,0569_ =
7П(.п + тпж 0,5 + 0,0569 ’
203
Глава 7. Термодинамика реальных газов и паров
/ Удельный объем смеси
при этом удельные объемы пара и жидкости при соответст-
вующем давлении берем из таблиц при р = 10 МПа:
иж = 0,0014522 м3/кг, vs = 0,01803 м3/кг.
/ Следовательно:
vx = 0,102 • 0,01803 + (1 - 0,102) • 0,001452 = 0,003143 кг/м3.
/ Плотность пароводяной смеси на выходе из трубы
Рх = = 0,003143 = 318,2 кг/м3-
3. Определить при давлении 1 бар водяного пара теплоту па-
*** рообразования г и ее внутреннюю р и внешнюю \|/вн состав-
ляющие с помощью /га-диаграммы.
Решение.
/ По /га-диаграмме определяем следующие параметры пара
при степени сухости х = 1 и давлении р = 1 бар = 0,1 МПа:
температуру насыщения ts = 100 °C (Ts = 373 К),
удельную энтальпию hs = 2676 кДж/кг,
удельную энтропию as = 7,355 кДж/(кг • К),
удельный объем vs = 1,7 м3/кг,
внутреннюю энергию us = hs - pvs = 2676 • 103 - 105 • 1,7 =
= 2506 кДж/кг.
/ Параметры пара рассчитываем при степени сухости х = 0:
удельная теплота q = = сипл t. = 4,2373 • 100 =
= 424 кДж/кг,
Ts 373
удельная энтропия аж = свод In = 4,2373 In =
= 1,313 кДж/(кг-К),
где теплоемкость воды определяем по формуле (7.3), т. е.
свод = 4,1939 - 0,00043409£ + 0,0000086817г2 =
= 4,2373 кДж/кг.
204
Задачи и их решение
/ Определяем:
удельную теплоту парообразования
г = Ts(ss - аж) = 373(7,355 - 1,313) = 2253 кДж/кг,
внутреннюю теплоту парообразования
р = us - иж = 2506 - 424 = 2082 кДж/кг,
внешнюю теплоту парообразования
\|/вн = г - р = 2253 - 2082 = 171 кДж/кг
или по формуле
Увн^^-^ж)-
При ож ~ 0,001 м3/кг
увн = 105(1,7 - 0,001) = 169 • 103 = 169 кДж/кг.
4. Определить с помощью /zs-диаграммы водяного пара из-
менение удельных значении энтальпии l\h, внутренней
энергии Дн и энтропии Де, а также теплоту q и работу I в
изотермическом процессе 1—2, если известны давление
рг = 3 бар и степень сухости х1 = 0,8 в начальной точке
процесса и давлениер2 = 0,1 бар в конечной точке.
Решение.
/ По /zs-диаграмме в точке 1 процесса при заданных рг =
= 3 бар = 0,3 МПа и = 0,8 (влажный пар) определяем сле-
дующие параметры:
температуру = 132 °C (Tj = 405 К),
удельный объем щ = 0,46 м3/кг,
удельную энтальпию hx = 2290 кДж/кг,
удельную энтропию в! = 5,93 кДж/(кг • К).
/ По /гв-диаграмме определяем параметры в точке 2 процес-
са при заданном давлении р2 = 0,1 бар = 0,01 МПа (перегре-
тый пар) и температуре t2 = tx = 132 °C (Т1 = 405 К):
удельный объем v2 = 18,85 м3/кг,
удельную энтальпию h2 = 2745 кДж/кг,
удельную энтропию s2 = 8,63 кДж/(кг* К).
205
Глава 7. Термодинамика реальных газов и паров
/ Рассчитываем величины Д/г, Дгг, Да, qal:
Д/г = /г2 - hr = 2745 - 2290 = 455 кДж/кг,
Дгг = (/г2 - hj - (p2v2 -p^vj = 455 • 103 - (0,1 • 105- 18,85 -
— 3 • 105 • 0,46) = 405 000 Дж/кг = 405 кДж/кг,
Да = s2 - Sj = (8,63 - 5,93) = 2,7 кДж/(кг • К),
q = T1(s2 - аД = 405 • 2,7 = 1094 кДж/кг,
1 = q - Дгг = 1094 - 405 = 689 кДж/кг.
5. Определить с помощью /га-диаграммы Д/f, Д77, Q, L для
Иаж процесса нагревания 4 кг водяного пара в закрытом сосуде
до температуры t2 = 375 °C. Начальные параметры пара:
рх = 5 бар, Xj = 0,75.
Решение.
/ Процесс нагревания пара происходит при постоянном объ-
еме V = const. На /га-диаграмме находим положение точек 1 и 2.
Точка 1 — пересечение изобары р = 5 бар и линии постоянной
степени сухости х = 0,75 (v = 0,28 м3/кг), далее по изохоре
процесс идет вверх по диаграмме до температуры t2 = 375 °C.
Находим точку 2. По диаграмме определяем значение энталь-
пии в точках 1 и 2: hx = 2220 кДж/кг, h2 = 3226 кДж/кг.
/ Изменение энтальпии в данном процессе
ДЛ = т(/г2 - /гД = 4(3226 - 2220) = 4024 кДж.
/ Поскольку процесс изохорный Lv = 0, то теплота равна из-
менению внутренней энергии в этом процессе:
Q = Д U = ДЛ - mv(p2 - Pi) =
= 4024 - 4 • 0,28(11 • 105 - 5 • 105) • 10"3 = 3352 кДж.
Значение р2 = 11 бар находим по диаграмме.
6. Пар массой 1 кг со степенью сухости х = 0,75и/ = 200 °C
Иаж нагревается при V = const и превращается в сухой насы-
щенный пар. Затем он адиабатно расширяется и превраща-
ется снова во влажный пар со степенью сухости х = 0,75.
206
Задачи и их решение
Определить параметры пара в конце адиабатного процесса и
количество теплоты, затраченное на нагревание пара в изо-
хорном процессе.
Решение.
/ По /zs-диаграмме находим параметры в точке 1: р1 =
= 15,5 бар, v1 = 0,097 м3/кг.
/ Проведя из точки 1 изохору до пересечения с линией су-
хости х = 1, определяем параметры в точке 2: р2 = 2 бар, t2 —
215 °C.
/ Опуская перпендикуляр из точки 2 до пересечения с ли-
нией х = 0,75, получаем точку 3 с параметрами: р3 = 0,08 бар,
t3 = 43 °C, v3 — 13,8 м3/кг.
/ Определяем количество теплоты изохорного процесса
qv = Atz = Ml - v(p2-pj =
= (2800 - 2320) • 108 - 0,097 • (21 • Ю5 - 15,5 • 105) =
= 426,7 • 103 кДж/кг.
7. Влажный пар давления рг = 3 бар и х = 0,5 поступает в
перегреватель, а затем в паровую турбину. Процесс пе-
ренагрева пара идет при постоянном давлении, процесс
расширения в турбине — по адиабате с давлением р3 =
= 1 бар. Определить параметры пара на входе в турбину
перед адиабатным расширением и количество теплоты,
полученное 1 кг пара в перегревателе.
Решение.
/ Точка 2 перед адиабатным расширением в турбине най-
дется как линия пересечения изобары, проходящей через
точку 1 и перпендикуляра, восстановленного из точки 2, опре-
деляемой по пересечению изобары 1 бар и линии сухости х = 1.
Параметры в этой точке находятся по диаграмме и будут соот-
ветствовать t2 = 210 °C, v2 = 0,74 м3/кг.
/ Количество теплоты изобарного процесса соответствует
изменению энтальпии, и для 1 кг пара
q = Д/г = h2 — hx = 2800 - 2630 = 260 кДж/кг.
207
Глава?. Термодинамика реальных газов и паров
8. Рассчитать с помощью /is-диаграммы работу адиабатного
" расширения 1 кг водяного пара, если = 14 бар, tr = 300 °C,
р2 = 0,06 бар.
Решение.
/ Для решения задачи воспользуемся формулой:
1 = ДМ = -[ДЙ -(p^-p^)].
/ Определяем по диаграмме параметры точки 1 и, опуская
перпендикуляр до пересечения с изобарой в точке 2, найдем
недостающие параметры в точке 2.
/ Подставляя параметры состояния в исходную формулу,
имеем
I = -(2125 - 3040) - (0,06 • 105 - 19 - 14 • 105 - 0,0183) =
= 773 кДж/кг.
Глава 8
Влажный воздух
8.1. Основные понятия
В окружающем воздухе всегда содержится то или иное ко-
личество водяного пара. Смесь сухого воздуха с водяным па-
ром называется влажным воздухом.
Учет характера изменения параметров влажного воздуха
очень важен при проектировании двигательных установок са-
молетов, их эксплуатации (полет в облаках), в системах жиз-
необеспечения и кондиционирования, в процессах конвектив-
ной сушки, эксплуатации различных устройств в районах с
субтропическим климатом, в процессах смешения воздуха с
водяным паром.
Влажный воздух представляет собой частный случай газо-
вой смеси, но его приходится рассматривать особо, так как
один из компонентов смеси — водяной пар — при снижении
температуры может переходить в другую фазу (жидкую или
твердую) и вследствие этого выпадать из смеси. Количество
водяного пара в рассматриваемой смеси не может быть произ-
вольным и в зависимости от температуры и полного давле-
ния смеси оно не должно превышать определенной величины.
В этом и состоит основное отличие влажного воздуха от обыч-
ных газовых смесей.
Поскольку наибольший интерес представляет влажный
воздух при сравнительно невысоких давлениях, мало отли-
чающихся от атмосферного, то с достаточной для технических
расчетов точностью можно рассматривать и сухой воздух, и
водяной пар как идеальные газы. Это позволит при анализе
термодинамических свойств влажного воздуха пользоваться
закономерностями, которые были получены для смесей
14-5580
209
Глава 8. Влажный воздух
(см. разд. 1.12), в том числе и законом Дальтона (1.53). При-
менительно к давлению влажного воздуха (р) можно записать
Р Рвозд^Рц -Рбар’
(8.1)
где рвозд — парциальное давление сухого воздуха; рп — парци-
альное давление водяного пара; рбар — давление окружающей
среды (барометрическое давление).
Чем больше водяного пара в смеси, тем больше его парци-
альное давление, но оно не может превысить величину ps —
давление насыщения. Величина ps водяного пара во влажном
воздухе определяется только температурой смеси и не зависит
от давления смеси р. Численные значения ps приведены в таб-
лицах водяного пара, примеры которых приводились в гл. 7.
Влажный воздух, в котором парциальное давление пара рп
меньше ps, называется ненасыщенным. При этом водяной
пар, содержащийся в нем, находится в перегретом состоянии.
Если ненасыщенный влажный воздух охлаждать при посто-
янном давлении, то можно достигнуть состояния, при кото-
ром рп станет равным ps. Влажный воздух в таком состоянии
(рп = ps) получил название насыщенного влажного воздуха и
представляет собой смесь, состоящую из сухого воздуха и на-
сыщенного пара. При дальнейшем охлаждении влажного воз-
духа пар станет влажным, начнет конденсироваться и выпа-
дать влага. Эти аспекты легко проследить на рп-диаграмме во-
дяного пара (рис. 8.1).
Рассмотрим перегретый пар с начальной температурой tr
(точка!). Если провести изобарное охлаждение сначала до
температуры t2, при которой ра = ps (точка 2), а в дальнейшем
до температуры !3 (точка 3), то про-
изойдет конденсация влаги.
Явление выпадения влаги в от-
дельной фазе из влажного воздуха
наблюдается и в повседневной жиз-
ни, когда при понижении темпера-
туры появляется туман, роса или
иней. Температура влажного возду-
ха, при которой рп = ps, называется
температурой точки росы.
210
8.2. Расчет основных характеристик влажного воздуха
8.2. Расчет основных характеристик
влажного воздуха
Основными характеристиками влажного воздуха являются
абсолютная и относительная влажность, массовое
влагосодержание и степень насыщения.
Абсолютной влажностью воздуха называется количе-
ство водяного пара в килограммах, содержащееся в 1 м3 влаж-
ного воздуха. Учитывая, что влажный воздух представляет
собой газовую смесь, а объем пара в смеси равен объему всей
смеси, абсолютная влажность может быть выражена в виде
плотности пара рп:
Относительной влажностью воздуха называется от-
ношение действительной абсолютной влажности воздуха к
максимально возможной абсолютной влажности (Z)s) при той
же температуре, выраженное в процентах или долях
ФВозД=К,100%=7,100%- (8-3)
Если считать, что газ идеальный, то
Рп 7?пТ’ Ps R^T'
где Ra — удельная газовая постоянная водяного пара. Выра-
жение (8.3) можно переписать
Фвозд = • 100% или <р=^п, (8.4)
где рП и ps — парциальные давления ненасыщенного и насы-
щенного влажного воздуха (для сухого воздуха рП = 0; <рвозд =
= 0% или (рвозд = 0, для насыщенного воздуха рП = ps; (рвозд =
= 100% или фвозд = 1).
Массовое влагосодержание d — это отношение массы
водяного пара /пп, содержащегося во влажном воздухе, к мас-
се сухого воздуха /пвозд:
d = тпп/тпВ03д. (8.5)
14*
211
Глава 8. Влажный воздух
Для конкретизации агрегатного состояния влаги, содержа-
щейся в воздухе, в обозначение массового влагосодержания
иногда добавляют подстрочный индекс «п» или «ж» (с/п или d.K)
подчеркивая, что влага содержится в газовой фазе в виде пара
или жидкости.
Массовое влагосодержание обычно выражается в кило-
граммах влаги на килограмм сухого воздуха (кг/кгсух возд) или
в граммах на килограмм сухого воздуха (г/кгсух возд).
Величина d определяет массу пара, содержащегося в 1 кг
сухого воздуха или в (1 + d) кг влажного воздуха,
т ВОЗД ^71 возд возд
где /пп = 18,016 — молярная масса водяного пара;
/пвозд = 28,96 — молярная масса сухого воздуха; а па и
иВозд — число молей водяного пара и сухого воздуха.
Запишем уравнение состояния для 1 моль сухого воздуха
/>ВОЗДУ = ВТ, (8.7)
для п молей водяного пара
paV=nJlT, (8.8)
которое с учетом (8.6) и численных значений молярных масс
компонентов влажного воздуха может быть переписано в сле-
дующем виде:
pnV=l,61d/iBO3A R Т. (8.9)
Величину d можно выразить через парциальное давление, для
чего необходимо разделить выражение (8.9) на (8.7):
d = 0,622
Рвозд
а с учетом (8.1) переписать в виде
d = 0,622-^-. (8.10)
Р~Рп
212
8.2. Расчет основных характеристик влажного воздуха
С учетом определения относительной влажности воздуха (8.4)
выражение (8.10) может быть переписано в виде
d = 0,622 ФвоздР- . (8.11)
Р ~ ФвоздРв
Из формулы (8.10) следует, что с увеличением парциально-
го давления парарп влагосодержание увеличивается.
Максимальное влагосодержание ds при заданной темпера-
туре влажного воздуха получится, если в формулу (8.10) вме-
сто рп подставить ps:
Ps
d = 0,622 (8.12)
S P~Ps
Из последней формулы видно, что чем выше температура, тем
больше максимальное влагосодержание, поскольку ps и Т
прямо пропорциональны.
Кроме того, из формулы (8.12) следует, что если давление
насыщенного пара становится равным давлению ps, что наблю-
дается при температуре насыщения (см. разд. 8.1), то d = °°,
т. е. d меняется от 0 до °°.
Экспериментально относительная влажность воздуха <рвоад
и влагосодержание d определяются с помощью психромет-
ра. Он состоит из двух одинаковых термометров: сухого и
мокрого, чувствительный элемент последнего обернут тонким
слоем ткани, которая непрерывно смачивается водой. При об-
дувании измерительных частей термометров влажным возду-
хом сухой термометр показывает температуру влажного воз-
духа tc, а мокрый — температуру испаряющейся с поверхно-
сти ткани воды tM. При этом вода будет испаряться тем
интенсивнее, чем суше воздух, которым обдувается ткань.
Разность tc - £м пропорциональна влажности воздуха — чем
суше воздух, тем больше разность. Зная разность температур
tc - £м, можно по психрометрическим таблицам опреде-
лить парциальное давление насыщенного пара ps. Зная баро-
метрическое давление, по формуле (8.2) определяется парци-
альное давление рвозд, а по формулам (8.4), (8.10), (8.11) — от-
носительная влажность и массовое влагосодержание.
213
Глава 8. Влажный воздух
Иногда оперируют понятием степень насыщения увозд
влажного воздуха
Х|/ВОЗД = d/ds. (8.13)
Из формул (8.4), (8.10), (8.11)—(8.13) получим
Увозд Увоздр — р^' (8.14)
С учетом того, что значения ps и рп намного меньше вели-
чины р, aps ири мало отличаются друг от друга, приближенно
можно считать, что увозд ~ <рВ03Д.
8.3. Удельная газовая постоянная
и плотность влажного воздуха
Использовав для газовых смесей формулы (1.43) и (1.44),
можно записать
где — мольные или объемные доли.
С учетом того что влажный воздух состоит из двух
компонентов — сухого воздуха и водяного пара, мольные доли
этих веществ будут представлены в виде
____ Рп в ____ -Рвозд _ Р Рп
Хп~ ~р , Хв°ЗД ~ р_____р ‘
Для численных значений th сухого воздуха и водяного пара
(см. формулу 8.6) и R = 8314 ДжДкмоль • К) выражение
(8.15) можно записать в виде
R -----------. (8.16)
Р - рп Рп Рп
2-28,96 + —-18,016-28,96 - 10,94 —
Р------------------------Р Р
Отсюда видно, что значение газовой постоянной влажного воз-
духа больше, чем у сухого.
Если известно массовое влагосодержание, то массовые доли
водяного пара и сухого воздуха
= d = 1
®п 1 + d' ®в03д 1 + d‘
214
8.4. Теплоемкость и энтальпия влажного воздуха
Пользуясь формулами по связям массовых долей с мольными
долями (см. гл. 1), можно записать, что
т(£>1
X- = —— = ——
1 mi R
Решая данное уравнение относительно R и проводя суммиро-
вание по всем веществам, получим
R = Z Rfl\.
(8.17)
(8.18)
Применительно к влажному воздуху будем иметь
8314 1 8314 d
Н 28,96 1 + d + 18,016 1 + d
или
(8.19)
„ 287 +462d
R 1 + d
Плотность влажного воздуха определится из уравнения со-
стояния идеального газа в записи для 1 м3
р = рЯТ, Р = ^ •
С подстановкой R по формулам (8.16) или (8.18) соответствен-
но будем иметь
28,96/? - 10,94/?,
8314Т
Р =
(8.20)
или
р(1 + d)
(8.21)
Р (287,1 + 462 d)T ’
Из формул (8.20) и (8.21) видно, что чем больше влажность
воздуха (d или парциальное давление водяного пара /?п), тем
меньше плотность воздуха. Следовательно, влажный воздух
всегда легче, чем сухой.
8.4. Теплоемкость и энтальпия влажного воздуха
Теплоемкость влажного воздуха относят к (1 + d) кг влаж-
ного воздуха или, что то же самое, к 1 кг сухого воздуха. Это
становится ясно из отношения суммарной массы влажного
воздуха к массе сухого воздуха
ГП ___ отвозд тп _ 1
^"возд ^воад
(8.22)
215
Глава 8. Влажный воздух
Изобарная теплоемкость влажного воздуха рассчитывается
как сумма теплоемкостей сухого воздуха и водяного пара с
учетом соответствующих масс:
Cp = ^B03Sc^ +тпс
(8.23)
При отнесении к 1 кг сухого воздуха удельная изобарная
теплоемкость влажного воздуха
Р ^возд
Г’п’
(8.24)
где с и с_ — удельная изобарная теплоемкость сухого
™возд ”п
воздуха и водяного пара.
В приближенных термодинамических расчетах с влажным
воздухом, принимая во внимание, что температурный интер-
вал при изменении состояния невелик, изобарные теплоем-
кости принимаются постоянными:
сп ~ 1,00 кДж/(кг • К) и с ~ 1,93 кДж/(кг • К).
”возд Рп
Так же как теплоемкость, рассчитывается и энтальпия
= ^возЛозд + (8-25)
или при отнесении к 1 кг сухого воздуха
h = h^ + dhn. (8.26)
При расчете энтальпии необходимо иметь единую точку от-
счета. Поскольку энтальпия воды отсчитывается от 273,16 К
(~ 0 °C), то и энтальпию сухого пара также будем отсчитывать
от 0 °C:
<8-27»
Удельная энтальпия перегретого пара при температуре t и
давлении р рассчитывается по формуле
fln = (Ip = r+ сРп(*“°)> (8.28)
где г — удельная теплота парообразования при t = 0 °C,
г= 2501 кДж/кг.
Энтальпия влажного воздуха не зависит от давления, по-
скольку его принимают за идеальный газ.
216
8.5. hd-Диаграмма влажного воздуха
После подстановки в уравнение (8.26) значений /гвозд и hn из
выражений (8.27) и (8.28) оно примет вид
Л = 1 кДж ,i + |<2501 кДж +1>93 кДж (8>29)
КГ * £и у КГ КГ • £v J
Иногда данное уравнение записывают без простановки еди-
ниц величин для теплоемкостей и удельной теплоты парооб-
разования.
Если конденсируется влага, то выражение (8.26) будет со-
держать еще одну составляющую для жидкости, и в этом слу-
чае агрегатное состояние характеризуется величинами массо-
вого влагосодержания:
h = Лво.ЗД + dnhn + ЙжЛж> (8-3°)
где
йж = свод(£ - 0) ~ 4,19 (8.31)
Окончательно без простановки единиц физических вели-
чин будем иметь
h = 1 • t + (2501 + 1,93 • i)dn + 4,19МЖ. (8.32)
8.5. ДсУ-Диаграмма влажного воздуха
На практике при различных расчетах и исследованиях тер-
модинамических процессов, связанных с влажным воздухом,
вместо уравнения (8.29) удобно пользоваться /id-диаграммой,
впервые предложенной в 1918 г. русским ученым Л. К. Рам-
зиным, именем которого она обычно и называется. Диаграмма
влажного воздуха показана на рис. 8.2. Диаграмма строится
для среднего атмосферного давления /?бар = 0,0991 МПа, но с
достаточной точностью может применяться и для небольших
отклонений от этого давления. По оси абсцисс в диаграмме от-
ложено массовое влагосодержание d, а по оси ординат — эн-
тальпия влажного воздуха h, отнесенная к 1 кг сухого воздуха.
Диаграмма строится в косоугольных координатах с углом
между изоэнтальпами и линиями d = const, равным 135°. За
начало координат принята точка, в которой £ = 0 °C, d = 0 и
h = 0. Наносимые значения h в зависимости от d рассчитыва-
ются по уравнению (8.29).
217
Глава 8. Влажный воздух
На /id-диаграмме, кроме линий, отражающих зависимость
h = f(d), представлены также изотермы t = const, линии по-
стоянной относительной влажности воздуха (рвозд = const и ли-
нии парциальных давлений водяного пара рп, содержащегося
в воздухе.
Строится диаграмма в следующей последовательности. Урав-
нение (8.29) дифференцируется по массовому влагосодержанию
при t = const
= 2501 + l,93t, (8.33)
в результате изотермы получаются в виде наклонных линий.
Чем больше численное значение t, тем круче идет изотерма.
218
8.5. hd-Диаграмма влажного воздуха
Изотерма t = О °C идет из начала координат, а изотерма t -
= 100 °C начинается при h = 100 кДж/кгсух возд, что следует из
уравнения (8.29) при d = 0.
В дальнейшем на диаграмму наносится линия насыщенно-
го водяным паром влажного воздуха (линия <рвозд = 100%).
Для этого для каждой температуры по таблицам водяного пара
(см. разд. 7.6) определяются ps, а по формуле (8.12)— макси-
мальное влагосодержание ds. Чем выше температура, тем боль-
ше ds, а следовательно, кривая <рвозд = 100% имеет положитель-
ный наклон и асимптотически приближается к изотерме 100 °C.
Кривая <рвозд = 100% характеризует состояние насыщенно-
го воздуха. Выше этой кривой воздух находится в насыщен-
ном состоянии, а ниже — в перенасыщенном состоянии, когда
дальнейшее увеличение количества влаги в воздухе не приво-
дит к росту влагосодержания, и влага будет конденсировать-
ся, образуя туман. Увеличение d в области тумана происходит
за счет d3K, поскольку dn = ds остается неизменной.
Изотермы в области тумана определяются дифференциро-
ванием уравнения (8.32) по dx при t = const:
(^)г4’19'- (8'34)
Следовательно, изотермы в этой области также представля-
ют собой прямые линии, угол наклона которых возрастает с
увеличением температуры, но значительно меньше, чем в об-
ласти ненасыщенного воздуха [см. уравнение (8.33)]. Изотер-
мы при переходе через линию насыщения претерпевают из-
лом и, как правило, на Ad-диаграмму не наносятся.
Любая точка Ad-диаграммы характеризует определенное
состояние влажного воздуха, а изменение этого состояния ха-
рактеризуется линией процесса.
Используя hd-диаграмму влажного воздуха, можно:
• по известным двум параметрам, например <рвозд и t или
<рв03д и рП, определить соответственно h или d, а по d —
величины ри и £;
• для каждого состояния влажного воздуха определить
точку росы. Для этого необходимо из точки, характери-
зующей рассматриваемое состояние воздуха, провести
вертикаль до пересечения с кривой <рвозд = 100% ;
219
Глава 8. Влажный воздух
• проследить основные процессы, которые происходят при
нагревании, охлаждении влажного воздуха, увлажнении
воздуха, смешении потоков, конвективной сушке, и оп-
ределить параметры в характерных точках процессов.
8.6. Основные процессы с влажным воздухом
Для получения более четких представлений о рассматри-
ваемых явлениях рассмотрим основные процессы на конкрет-
ных примерах.
8.6.1. Нагревание влажного воздуха. Пусть влажный воз-
дух в точке А с температурой t = 30 °C и относительной влаж-
ностью фвозд = 20% нагревается в калорифере до температуры
/кон = 55 °C. Нагревание воздуха в калорифере происходит при
d = const, и поэтому процесс изображается вертикальной ли-
нией АВ (см. рис. 8.2). В конечной точке процесса В — отно-
сительная влажность воздуха, найденная по диаграмме, бу-
дет равна фвозд = 5%. Расход теплоты на подогрев воздуха
составит
Д/г = hB - hA = 25 кДж/кг.
8.6.2. Охлаждение влажного воздуха. Пусть влажный
воздух в точке С с температурой t = 90 °C и относительной
влажностью фвозд = 10% охлаждается до температуры 10 °C.
Процесс охлаждения пойдет по линии d = const, но воздух
может охладиться только до t = 40 °C (точка D на рис. 8.2).
В этой точке влажный воздух становится насыщенным. При
его дальнейшем охлаждении происходит конденсация влаги,
которая приводит к уменьшению влагосодержания d (линия
DN). Условно процесс конденсации происходит при фвозд =
= 100% до точки N, где температура будет равна конечной
(10 °C). Количество сконденсировавшейся влаги при охлажде-
нии от начальной до конечной температуры определяется раз-
ностью влагосодержаний в точках С и N, т. е.
Дй = dc - dN = 42,2 г/(кг сух возд).
220
8.6. Основные процессы с влажным воздухом
8.6.3. Адиабатное увлажнение воздуха. С испарением
влаги встречаются при сушке материалов нагретым воздухом.
Если в сушильной камере нет потерь в окружающую среду и
внешнего подвода теплоты, а температура сушильного мате-
риала в начале и конце сушильной камеры одинакова (напри-
мер, t = О °C), то испарение влаги происходит за счет теплоты
влажного воздуха. При этом влагосодержание воздуха увели-
чивается, а температура понижается. Однако энтальпия
влажного воздуха остается постоянной, так как теплота, за-
траченная на испарение влаги, возвращается обратно во влаж-
ный воздух с испарившейся влагой. Таким образом, процесс
адиабатного увлажнения воздуха в сушильной камере будет
протекать при h = const (процесс МК на рис. 8.2). Пределом
охлаждения воздуха будет температура (точка К), соответст-
вующая его полному насыщению <рВ03Д = 100%. Температура,
при которой воздух охлаждается при h = const и становится
насыщенным, называется температурой адиабатного на-
сыщения или температурой мокрого термометра. Ко-
личество испаренной воды в процессе МК
Дс? = dK- = 30 - 12 = 18 г/(кг сух возд).
8.6.4. Смешение потоков. Процесс смешения двух пото-
ков влажного воздуха обычно происходит при р = const без
теплообмена с окружающей средой. Пусть в камеру смешения
поступают два потока влажного воздуха с количествами сухо-
го воздуха в них соответственно тх и т2. Первый поток имеет
параметры tx и hx, второй поток — d2, t2, h2. Из камеры
смешения выходит влажный воздух, содержащий т кг сухого
воздуха с параметрами d, t, h.
Очевидно, что
т = тг + т2. (8.35)
Общее количество влаги после смешения двух потоков
m1d1 + m2d2 = md.
Отсюда
mrdr + m2d2 m1d1 + m2d2
d = ----------- = ------;-----
m mr + m2
(8.36)
(8.37)
221
Глава 8. Влажный воздух
Полученное уравнение можно записать в виде
т2 d - d1 т1 d2 - d' (8.38)
Уравнение теплового баланса смешения в камере будет
иметь вид m1h1 + m2h2 = mb, (8.39)
откуда m1hl + m2h2 m-Ji^ + m2h2 (8.40)
m mr + m2
или m2 h - h1 (8.41)
пгг h2- h1'
Из выражений (8.38) и (8.41) следует, что
Л2 - 7г1 h -
d2- d1 d - dr‘
(8.42)
Следовательно, на /zd-диаграмме (см. рис. 8.2) точка Е, ха-
рактеризующая состояние влажного воздуха после смешения,
должна лежать на прямой, соединяющей точки исходных со-
стояний влажного воздуха 1 и 2. Положение точки Е на пря-
мой смешения 1—2 определяется через массовые доли сме-
шивающихся потоков газов. Поскольку
т1 т2
со, =----------; со, =-------:---
1 пг1 + т2 г пг1 + т2
то, используя (8.38) и (8.41), находим
d2 - d d - d^
C01 , CO , •
1 d2- d^ 2 d2- dY
(8.43)
Это означает, что точка Е делит прямую смешения в отноше-
нии C0j : со2. Если известны начальные значения и т2 и со-
стояние воздуха в точках 1 и 2, то состояние в момент смешения
(точка Е) определится согласно (8.43) при нанесении C0j и со2 на
прямую смешения. Точка Е на диаграмме соответствует случаю,
когда массы каждого потока, отнесенные к сухому воздуху, рав-
ны = т2 = 1 кг. Первый поток имеет следующие параметры:
h = 60 °C; dx = 30 г/кгсух в03д; hx = 138,5 кДж/кгсух возд; второй —
t2 = 80 °C; d2 = 40 г/кгсух возд; h2 = 186,3 кДж/кгсух возд. Точ-
ка Е имеет параметры т = 2 кг, t = 70 °C, d = 35 г/кгсух возд,
h = 162,4 кДж/кг.
222
Задачи и их решение
8.6.5. Конвективная сушка. В сушильных установках ра-
бочим телом является воздух из атмосферы — влажный воздух.
Процесс, проходящий в сушильных установках, распадается на
два этапа. Сначала атмосферный воздух с относительной влаж-
ностью <рв03д з и температурой t3 (точка 3) направляется в кало-
рифер. При этом температура воздуха увеличивается от t3 до t4,
а относительная влажность уменьшается от <рв03д 3 до Фв03д 4. Этот
процесс изображается вертикальной прямой d = const (про-
цесс 3—4 на рис. 8.2). Разность энтальпий Ah = h3 - hi соот-
ветствует затратам теплоты на подогрев влажного воздуха. На
втором этапе нагретый после калорифера воздух поступает в
сушильную камеру, где за счет теплоты, отдаваемой возду-
хом, происходит испарение влаги из высушиваемого материала
и в связи с этим — увлажнение воздуха. Процесс адиабатно-
го увлажнения воздуха в сушильной камере происходит при
h = const (процесс 4—5).
Разность влагосодержаний d5 - d3 определяет количество
влаги, испаренной на 1 кг сухого воздуха. В рассматриваемом
примере атмосферный воздух с параметрами t3 = 20 °C, d3 =
= 6 г/кг сух в03д, срВ03д 3 = 60% нагревается до температуры t4 =
= 100 °C и поступает в сушильную камеру, откуда выходит
с параметрами /5 = 10 °C и срв03д 5 = 100%. Конечное влагосо-
держание воздуха d5 = 32 г/кг сух возд.
Таким образом, на 1 кг сухого воздуха испаряется влаги
d = d5 - d3 = 32 - 6 = 26 г/кг сух возд.
ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЕ
1. При давлении р = 105 Па, температуре t = 10 °C и относи-
"" тельной влажности срВ03д = 0,8 объем сухого воздуха, прохо-
дящего через воздухоохладитель за 1 секунду, составляет
27,8 м3. По техническим условиям производства воздух
при прохождении через воздухоохладитель должен охлаж-
даться до 0 °C. Определить количество теплоты, которое
необходимо отнять для охлаждения воздуха, и массу вла-
ги, выпадающей на поверхности охладителя за 1 секунду.
Решение.
/ Парциальное давление водяного пара рп, находящегося в
воздухе по известной относительной влажности, находится по
223
Глава 8. Влажный воздух
формуле ра = Фвозд7у, где ps — парциальное давление насы-
щенного водяного пара при температуре смеси определяется
по таблицам водяного пара (см. табл. 7.4). Из таблицы нахо-
дим, что при t = 10 °C ps = 1228 Па, тогда
ра = 0,8 -1228 = 982,4 Па.
/ Массовое влагосодержание влажного воздуха на входе в
охладитель
d. = 0,622-^- = 0,622 982’^ л =
1 Р~Рп 105 - 982,4
= 614-10 5 --—---.
К^сух. возд
/ Энтальпия влажного воздуха на входе в охладитель
- 1 S Ч2601 + 1193 ’'‘X
= 10 + (2501 + 1,93•10) • 614•10° ~ 25,5
/ Парциальное давление насыщенного водяного пара во
влажном воздухе на выходе из охладителя при 0 °C также на-
ходим по таблице водяного пара (см. табл. 7.4) ра = 610,8 Па.
/ Массовое влагосодержание влажного воздуха на выходе из
охладителя при 0 °C
d9 = 0,622-^—
2 Р - Рп
0,622
610,8
105 610,8
= 383-10 5
кг
КГсуХф ВОЗД
/ Изменение влагосодержания 1 кг влажного воздуха при
охлаждении его в охладителе
Ad = dx - d2 = 614 • 10“5 - 383 • 10“5 =
= 231-Ю-5 ---—.
кгсух. возд
/ Массу сухого воздуха, проходящего через воздухоохлади-
тель за 1 секунду, находим из уравнения состояния
= Рвозд= (Р -PJV
m RT RT
(105 - 982,4)- 27,8
287,1 • (10 + 273,15) 64
224
Задачи и их решение
/ Энтальпия влажного воздуха на выходе из охладителя
при температуре t2 = О °C
= 1 S + (2501 + Х’93 К =
= 2501 • 383 • IO"5 = 9,57 .
кг
/ Изменение энтальпии 1 кг влажного воздуха при охлаж-
дении его в охладителе
Д/г = h9 - /г, = 9,57 - 25,5 = -15,93 23^.
л 1 кг
/ Количество теплоты, отводимое от воздуха, проходящего
через охладитель за 1 с,
Q = т Ah = 34,7(-15,93) = -551,6 кДж.
/ Масса влаги, выпавшей на поверхности охладителя за 1 с,
та = Ad • т = 231 • 10 5 • 34,7 = 79,2 • 10~3 кг.
2. Температура влажного воздуха t = 25 °C, а температура
'"я точки росы < = 20 °C. Определить с использованием
/г<7-диаграммы относительную влажность воздуха <рВ03д,
удельную энтальпию h, массовое влагосодержание d и
парциальное давление пара ра.
Решение.
/ На /г<7-диаграмме находим изотермы 20 и 25 °C. Точка ро-
сы лежит на пересечении изотермы 20 °C и относительной
влажности <рвозд = 100%. Из этой точки проводим вертикаль-
ную прямую до пересечения с изотермой / = 25 °C. Точка пере-
сечения определяет состояние влажного воздуха: срвозд = 75%,
d = 0,015 кг/кг сух В03д, h = 63 кДж/кгсух возд, ри = 2200 Па.
3. Определить массу силикагеля, служащего для поглощения
паров воды из воздуха, которую необходимо загрузить в ка-
меру сгорания ЖРД, находящегося на длительном хране-
нии, если объем камеры сгорания равен V= 3 м3. Двигатель
законсервирован при относительной влажности 60% и тем-
пературе окружающего воздуха 20 °C. Согласно техниче-
ским условиям двигатель должен храниться при относи-
15- 5580
225
Глава 8. Влажный воздух
тельной влажности 50% и температуре от 0 до +40 °C. По-
глощательная способность 1 кг силикагеля 0,2 кг воды.
Решение.
/ По таблице водяного пара (см. табл. 7.4) при t = 20 °C на-
ходим плотность насыщенного пара ps = 0,01729 кг/м3. Плот-
ность пара при <рвозд = 60% и t = 20 °C
рп= ФвоздР. = 0,6-0,1729 = 0,1036
I 11 I о
/ В момент консервации в камере сгорания находилась вла-
га массой
т1 = Урп = 3 • 0,1036 = 0,311 кг.
/ При t = 0 °C и <рВ03д = 0,5 в камере сгорания может содер-
жаться влага массой
тп2 = V-ps = 3 • 0,5 • 0,004847 = 0,00727 кг.
Следовательно, необходимо поглотить
Am = m-L - пг2 = 0,311 - 0,00727 = 0,3037 кг.
/ Необходимая масса силикагеля
Глава 9
Термодинамика потоков
жидкости и газа
9.1. Вводные замечания
Термодинамика изучает неподвижные макроскопические
системы. В данном разделе при рассмотрении движущихся
систем введем подвижную систему координат.
Важность этого раздела обусловлена тем, что процессы пере-
мещения газов и жидкостей в каналах различной формы встре-
чаются при проектировании реактивных двигателей, газовых
турбин, двигателей внутреннего сгорания, компрессоров, холо-
дильных машин и других технологических устройств. Расчет
таких процессов базируется на основных уравнениях газовой
динамики. Применение этих уравнений и основных законов
термодинамики позволяет определить значения скоростей и
других параметров в любом сечении канала.
Будем рассматривать процессы перемещения термодина-
мического рабочего тела в рамках установившейся и одно-
мерной модели потока.
Установившееся движение характеризуется неизменно-
стью параметров потока в каждой точке пространства во вре-
мени.
Одномерное движение характеризуется изменением па-
раметров только в одном направлении, т. е. в каждом попереч-
ном сечении все термодинамические пара-
метры, а также скорость являются посто-
янными. Однако известно, что вследствие
вязкости газа скорость его в пределах попе-
речного сечения несколько изменяется, что
можно проследить на эпюре распределения
скоростей в канале (рис. 9.1).
Рис. 9.1
15*
227
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
Максимальная скорость имеет место на оси канала, у стен-
ки скорость равна нулю (эффект прилипания). Нетрудно ви-
деть, что при допущении одномерности течения действитель-
ные параметры потока заменяются усредненными значениями.
Это допущение существенно упрощает вид основных уравнений
газовой динамики.
Одномерное перемещение жидкости или газа будем назы-
вать течением.
Если течение газа происходит без теплообмена с окружающей
средой и без трения, то его называют адиабатным течением.
При исследовании одномерного течения определяют изме-
нение давления, плотности (или удельного объема), темпера-
туры и скорости по длине канала. Для нахождения этих четы-
рех параметров необходимо иметь систему, включающую сле-
дующие уравнения: движения, неразрывности, энергии и
состояния. Причем первые три представляются в виде, при-
годном как для жидкостей, так и для газов. Уравнение состоя-
ния пишется для рабочего тела, движение которого изучает-
ся. Для несжимаемой жидкости р = const (и = const) и уравне-
ние состояния в систему обычно не включают.
9.2. Основные уравнения процессов течения
9.2.1. Уравнение движения. Рассмотрим движение потока
идеального газа через канал поперечного сечения (рис. 9.2).
Выделим в произвольный момент времени т объем газа
между любыми двумя близкими сечениями канала f и f + df,
находящимися на расстоянии dx. Если пренебречь силой вяз-
кости, то объем газа движется в направлении оси X со ско-
ростью w под воздействием градиента давления. Согласно
второму закону механики (сила равна массе, умноженной на
ускорение) для газа, находящегося в объеме /dx, можно запи-
сать
p/dx^ = p/+(p+|ff dx)d/-(p+f| dx)(/+d/) (9.1)
или
die = 1 Эр Эр Эр
н dr 2 Эх Эх Эх v ’
228
9.2. Основные уравнения процессов течения
С точностью до малых первого по-
рядка имеем
div др
<9-3)
где давление р = р(х, т), плотность
р = р(х, т) и скорость w = w(x, т) яв-
ляются функциями координаты х и
времени т.
г> zn die
В уравнении (9.3) является
полной производной, т. е.
dT от дх
(9.4)
поэтому его можно записать следующим образом:
dw
Эт
(9.5)
Для установившегося движения = О J уравнение (9.5) при-
нимает вид
die 1 d»
dx p dx
(9.6)
Умножив выражение (9.6) на dx, получим
а(т) + 17=0’ (9-7)
где р, р и w являются функциями только координаты х. Урав-
нение (9.7) называется уравнением Бернулли в дифференци-
альной форме.
Если р = const, то, интегрируя (9.7), получим уравнение
Бернулли для несжимаемой жидкости
ри>2 . _.
р + = const, (9.8)
pic2
где c-g— — скоростной напор.
Если плотность р зависит от давления р = р(р), то уравне-
ние Бернулли (9.7) для конечного участка процесса 1—2 мож-
но записать в интегральной форме
7Л2 7П2 Р2 j
, f dp =
2 2 + Jpi p(p)
(9.9)
229
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
Для вычисления интеграла давления
Pf2 dp _ г2 dp dp
P(P) “ JP1 dp p
необходимо знать зависимость p = p(p) или p = p(p). С учетом
соотношения p = 1/v уравнение (9.7) принимает вид
-vdp = d(^). (9.10)
Отсюда видно, что dp и dw имеют всегда противоположные зна-
ки, т. е. скорость одномерного потока газа возрастает только в на-
правлении уменьшения давления.
9.2.2. Уравнение энергии. Уравнение энергии представля-
ет собой частный случай первого закона термодинамики для
проточной и закрытой системы (2.19) при отсутствии теплооб-
мена с окружающей средой (3Q = 0):
0 = dH + d ) + d(m^BbIC) + 5£тех + 8£тр (9.11)
в предположении, что изменение внешней потенциальной энер-
гии невелико [3(тп£2ВЬ1С) ~ 0], отсутствия трения (ЗЬтр = 0), до-
пущения об одномерности течения и неподвижности (закреп-
ленности) канала (5LTex = 0).
Таким образом, для адиабатного течения уравнение (9.11)
перепишется в виде
dH + df^-2j = O, (9.12)
а для 1 кг термодинамического рабочего тела получим
dft + d(^)=O. (9.13)
Уравнение (9.13) носит название уравнения энергии и показы-
вает, что сумма удельной энтальпии и удельной кине-
тической энергии при адиабатном течении остается
неизменной.
Для конечного участка процесса/ — 2 после интегрирова-
ния уравнения (9.13) получим
W% - W?
2 1 = - /г2. (9.14)
230
9.2. Основные уравнения процессов течения
Из данного уравнения видно, что увеличение скорости движе-
ния потока определяется соответствующим уменьшением эн-
тальпии.
Необходимо отметить некоторые особенности уравнений
(9.13) и (9.14) для несжимаемых потоков.
По определению
d/z = d(u + pv) = du + p do + v dp, (9.15)
для несжимаемого потока p du = 0, поэтому уравнение перво-
го закона термодинамики для адиабатного течения в рассмат-
риваемом случае будет иметь вид
8q = du + р du, (9.16)
или с учетом, что bq — 0 и du = 0, получим, что du = 0.
Подставляя полученные значения в (9.15), имеем
dh = и dp = . (9.17)
Следовательно, в несжимаемом потоке изменить темпера-
туру можно только за счет теплообмена, а уравнение энергии
имеет вид
<918)
9.2.3. Уравнение неразрывности. Уравнение неразрыв-
ности основывается на законе сохранения массы.
Если течение газа установившееся, то через любое произ-
вольное поперечное сечение канала протекает в единицу вре-
мени одна и та же масса газа т, получившая название секунд-
ного расхода:
ш = (9.19)
Выражение (9.19) получило название формулы расхода, оно
учитывает связь между площадью проходного сечения канала
и скоростью потока.
Исходя из закона сохранения массы, можно утверждать, что
т = const. (9.20)
Выражение (9.20) называемся уравнением неразрывности
или сплошности потока.
231
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
Обычно уравнения (9.20) и (9.19) рассматриваются одно-
временно и используются для определения проходных сече-
ний каналов.
Для несжимаемого потока р = const и из уравнения (9.19)
следует, что
wf = const,
т. е. с увеличением поперечного сечения канала скорость по-
тока убывает, и наоборот.
Значительно сложнее для рассмотрения течение сжимаемого
газа. В этом случае профиль канала при заданном секундном
расходе газа пг = const будет зависеть не только от характера
изменения скорости w, но и от плотности р (или удельного объ-
ема), которые изменяются по закону для адиабатного процесса.
9.3. Закономерности течения
Рассмотрим уравнения Бернулли (9.10), (9.13) и уравнение
первого закона термодинамики (9.11) для 1 кг рабочего тела в
объединенной записи:
-V dp = + а(Я2выс) + 8ZTex + 8ZTP. (9.21)
Полученное соотношение позволяет проанализировать спо-
собы воздействия на поток рабочего тела. Предварительно
рассмотрим уравнение состояния в виде функциональной за-
висимости р = р(р, s), дифференцирование которой приводит
к выражению
МИМаЛ/8- (9'22)
Поскольку рассматриваются три параметра состояния -р,
р, s, по аналогии с уравнением (5.55) можно записать диффе-
ренциальное уравнение в виде
( Г Эр А Г ds Л =
Us
или
ЛЭрЛ = fdpA ГЗр
UUP Up Л Us
(9.23)
(9.24)
232
9.3. Закономерности течения
В последнем равенстве
Эр) = <ЭрА (— ) = (&) rf—} = (—
3SJP 13S)p {дт)р [dq)p [ат)рср-
Поэтому
Эр> =_fZy^p>i (^p}
ds)p [Cp){dT)p{dp)s
(9.26)
Сопоставляя (9.26) c (9.22), замечаем, что производная
Эр A
Эр Js
дважды входит в эти уравнения. Она иллюстрирует связь из-
менения давления и плотности в адиабатных условиях при
малых значениях этих изменений по сравнению со значения-
ми этих величин. Слабые возмущения в сплошной среде могут
возникнуть, например, при перемещении в ней твердого тела.
При этом перед телом создается небольшое избыточное давле-
ние, распространяющееся в среде в виде звуковой волны.
Скоростью звука называется скорость распростра-
нения малых возмущений в среде. Малыми называются
такие возмущения среды, в которых местное изменение дав-
ления среды в точке возмущения, т. е. амплитуды давления,
пренебрежимо мало по сравнению с общим давлением.
Выясним, как связана величина скорости звука в данной
среде с термодинамическими параметрами этой среды.
Рассмотрим процесс распространения слабого возмущения
в сжимаемой среде.
Пусть в трубу, в которой находится неподвижная сжимае-
мая среда, вводится поршень, движущийся со скоростью dir
(рис. 9.3). Поскольку рассматриваемый газ сжимаем, то он не
будет сразу же перемещаться по трубе со скоростью поршня,
как это было бы, если бы поршень проталкивал стержень. Газ,
непосредственно прилегающий к поршню, сжимается пер-
вым, потом второй его слой и так далее.
В газе распространяется слабая волна
сжатия, которую можно представить
себе в виде перемещающегося вдоль га-
за сечения АА, впереди которого нахо-
дится невозмущенная область с пара-
метрами р и р, а за ним возмущенная —
с параметрами р + dp и р + dp.
233
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
Скорость перемещения этого сечения (возмущения) обозна-
чим через а.
За время т сечение АА переместится на расстояние ах. Мас-
са невозмущенного газа ms, которая будет захвачена этим се-
чением за время х, будет найдена как произведение объема на
плотность. Объем, в свою очередь, находится как произведе-
ние пути (ат) на площадь /, т. е.
та = pfax. (9.27)
Масса возмущенного потока тв находится аналогично, но с
учетом видоизмененной плотности (р + dp) и скорости (а - dir)
тв = (р + dp)/(a - dw)T. (9.28)
В последнем выражении учтено, что фронт возмущения переме-
щается в среде со скоростью а. Но скорость перемещения фронта
возмущения относительно поршня, который движется со скоро-
стью dw, будет определяться разностью скоростей (а - dir).
Вследствие уравнения неразрывности (9.20) полученные
выражения для тя и тв равны, т. е.
pfax = (р + dp)/(a - dir)T. (9.29)
Пренебрегая членами второго порядка малости, имеем
a dp = р dir. (9.30)
В приведенном уравнении имеются две неизвестные вели-
чины а и dir, следовательно, для его решения нужно добавить
еще одно уравнение. В качестве него можно выбрать уравне-
ние импульсов, констатирующее, что изменение количества
движения тела равно импульсу, полученному этим телом под
воздействием силы. Изменение количества движения массы
т при изменении скорости от 0 до dir составит т dir. Импульс
силы, действующей на эту массу, равен f dpx, где f dp опреде-
ляет силу.
В рассматриваемом случае уравнение импульсов будет
иметь вид
mBdw = fdpx. (9.31)
Подставляя в данное выражение ms из уравнения (9.27),
получаем
dp = pa dir.
234
9.3. Закономерности течения
Полученное выражение совместно с уравнением (9.30) по-
зволяет получить формулу для скорости звука:
<932)
Так как звуковые колебания в среде распространяются
очень быстро, то сколько-нибудь заметного теплообмена меж-
ду зонами разрежения и сжатия звуковых волн и окружающей
среды не успевает произойти, поэтому этот процесс можно счи-
тать адиабатным или изоэнтропным, а соответствующая вели-
чина as получила название адиабатной скорости звука
-Ш- <933>
Данное выражение носит название уравнения Лапласа
1 т.
и иногда записывается через v = - . В данном случае а =
2(др\ (др\ . л •>
= ^-v > где — величина, обратная адиабатной
сжимаемости вещества. Поскольку величины и и явля-
ются функциями состояния, то скорость звука as, определяе-
мая уравнением Лапласа, также является термодинамической
функцией состояния.
Заметим, что уравнение Лапласа справедливо для любых
сжимаемых однородных сред, в том числе и для твердых тел,
имеющих малую по сравнению с газами и жидкостями, но тем
не менее конечную сжимаемость. Так, если для водяного пара
при температуре 100 °C и атмосферном давлении 1013 ГПа адиа-
батная сжимаемость = -0,1259 • 10-4 , для воды при
t = 20 °C и том же давлении = ~0,4434 • 10 12 , то
при t = 20 °C для железа = “6,14 • 10“16 , а скорость
звука в каждой из этих сред составляет соответственно 471,
1505 и 5130 м/с.
235
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
Для абсолютно несжимаемой среды J =0, скорость рас-
пространения звука в такой среде равна бесконечности.
' , , т
Дифференцируя выражение для плотности р = , имеем
dp = dF.
(9.34)
Тогда выражение (9.33) перепишется в виде
о2
S т Л17
(9.35)
откуда с учетом определения коэффициента адиабатной сжи-
маемости (5.60)
8
(9.36)
получим
2 V 1
aj = — й- .
s m ps
(9.37)
Иногда величина as выражается через коэффициент изо-
термической сжимаемости (5.58)
(9.38)
Из (9.36) и (9.38) получим
(9.39)
S
В данном выражении необходимо избавиться от производ-
ной при s = const, поскольку величину энтропии измерить не-
возможно.
Для набора из трех термодинамических параметров V, р, S
по аналогии с ранее введенным дифференциальным уравнени-
ем состояния (5.55) имеем
s'"’ /р
= -1.
(9.40)
236
9.3. Закономерности течения
Подставив из данного выражения в (9.39), имеем
S
v у /р
т ( SS Л
(9.41)
Перепишем последнее выражение в виде
S
т Т|
(9.42)
С учетом определения теплоемкости (3.5) и (3.7) имеем
р
р
р
(9.43)
(9.44)
а учитывая, что произведение трех производных при фикси-
рованных Т,р, v в соответствии с (5.55) равно —1, окончатель-
но получаем
т = = С_Р_
s Су Cv’
(9.45)
(9.46)
а в случае идеального газа постоянного состава
W = -=k-
Ps CV
Таким образом, выражение (9.37) окончательно перепи-
шется в виде
п -р V ±
= — — к- •
® Су m
По выражению (9.38) для идеального газа коэффициент
(9.47)
(9.48)
что получается из рассмотрения частной производной
\аР Jt
и заменой V из уравнения состояния для идеального газа
pV =nRT
(9.49)
237
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
при фиксации Т следующим выражением:
у_ const
р ’
а именно:
ЭУЛ _ д f const Л _ _pV _ _V
др )т ~ р ) р2 р'
(9.50)
Подставляя (9.50) в (9.38), будем иметь (9.48).
Для идеального газа постоянного состава адиабатная ско-
рость звука (9.47) с учетом выражений (9.48) и (9.49) име-
ет вид
as = а= JkRT . (9.51)
Отсюда следует, что для идеального газа адиабатная ско-
рость звука пропорциональна JT, причем коэффициент про-
порциональности различен для разных идеальных газов
(из-за различных k и R).
Следует также заметить, что поскольку R = R/m, где m —
молярная масса газа, то из (9.51) следует, что скорость звука в
газе тем больше, чем меньше молярная масса этого газа. Чис-
ленные значения скорости звука в различных газах, подсчи-
танные по (9.51) при температуре 20 °C, представлены в
табл. 9.1.
Таблица 9.1
Газ m, кг/кмоль R, Дж/(кг • К) к а, м/с
Водород 2,016 4124,3 1,41 1305
Гелий 4,003 2077,2 1,66 1005
Водяной пар 18,013 461,5 1,33 424
Азот 28,013 296,8 1,40 349
Воздух 28,960 287,1 1,40 343
Кислород 32,000 259,8 1,40 327
Двуокись углерода 44,010 188,9 1,31 269
Фреон-12 (CCI2F2) 120,920 68,76 1,14 152
238
9.3. Закономерности течения
Отметим еще раз, что уравнение (9.47) справедливо как для
идеальных, так и для реальных газов, для жидкостей и твер-
дых тел, тогда как уравнение (9.51) справедливо только для
идеальных газов. Как видно из уравнения (9.51), скорость
звука в идеальном газе зависит только от температуры, а для
реальных газов — от температуры и давления.
С учетом определения адиабатной скорости звука (9.33) и
выражения (9.26), уравнение (9.22) приобретает вид:
d^=4dp-|B)/4 (9-52)
Подстановка данного уравнения в выражение (9.21) с одно-
временной заменой v = 1/р позволяет получить следующее
уравнение:
-a2[dp- ds] =Pd(4 ) + р d(£2Bbic) + Р Чех + Р 8ZTP-
(9.53)
Для придания физического смысла выражению, стоящему
в квадратных скобках, продифференцируем уравнение расхо-
да (9.19)
wf dp + irp d/ + р/ dir = 0, (9.54)
при этом учтено, что в соответствии с уравнением (9.20) dm = 0.
Разделив (9.54) на (9.19), получим
5Е+41 + 52-0. (9.55)
р f w ' '
Полученное уравнение носит название уравнения нераз-
рывности в дифференциальной форме.
Последнее выражение можно переписать в виде:
, (d/ , dir А
dp = -p(y + — j. (9.56)
Дифференциал удельной энтропии в уравнении (9.53) мож-
но представить для закрытой системы в виде
ds =
8g + 5gTp
Т
(9.57)
где 8g — удельная теплота за счет внешнего теплообмена,
8дтр — удельная теплота трения.
239
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
С учетом выполненных преобразований и замены на
w dw уравнение (9.53) перепишется в виде
= pw dw + ря dzBbIC + р 8ZTex + р 8ZTp. (9.58)
После деления обеих частей равенства на ря2 и введения обо-
значения М = ^ , где М — число Маха, уравнение (9.58) может
быть представлено в форме
(М2 - 1)— = -
v ’ w f a2 а2
Уравнение (9.59) называется уравнением обращения воз-
действий. Левая часть уравнения определяет основные пока-
затели потока (число Маха, изменение скорости течения). В его
правой части представлены члены, связанные с изменением по-
перечного сечения потока, высотой, совершением технической
работы, работой трения, теплообменом с внешней средой.
Уравнение (9.59) показывает, например, что при дозвуко-
вом течении среды (М < 1) знак суммарного воздействия
противоположен знаку изменения скорости. При сверх-
звуковом течении (М > 1) знак суммарного воздействия
совпадает со знаком изменения скорости. Следовательно,
для случая дозвукового движения среды (М < 1) увеличение
скорости потока (dir > 0) может быть обеспечено либо за счет
уменьшения площади поперечного сечения потока (df < 0), ли-
бо за счет увеличения высоты (dzBbIC > 0), либо за счет соверше-
ния технической работы (8ZTex > 0). При сверхзвуковом течении
(М > 1) картина будет обратной: увеличение скорости потока
(dir > 0) может быть обеспечено при df > 0, dz„„„ < 0, 8Z„O„ < 0.
Воздействие на поток подводимой теплоты и трения опре-
деляется дополнительно физическими свойствами среды, ко-
торые выражаются конкретной формой уравнения состояния.
Если ограничиться рассмотрением сред, для которых выпол-
240
9.4. Частные случаи движения идеального газа
няется условие = то подвод теплоты (наличие тре-
ния) приводит к увеличению скорости дозвукового потока
и к уменьшению скорости сверхзвукового потока.
В большинстве технически важных задач движение рабочего
тела происходит практически без теплообмена с внешней сре-
дой, т. е. адиабатно (8д = 0). Если дополнительно пренебречь из-
менением удельной потенциальной энергии потока 6(£.гвыс) = 0,
допустить отсутствие удельной технической работы (8ZTex = 0),
то с учетом указанных условий уравнение (9.59) будет записа-
но в виде
У=(М2-1)^. (9.60)
9.4. Частные случаи движения идеального газа
9.4.1. Адиабатное течение газа в каналах переменного
сечения.
Каналы, в которых движущийся газ увеличивает скорость с
одновременным уменьшением давления, называются соплами.
Каналы, в которых скорость газа уменьшается, а давление
возрастает, называются диффузорами.
Для определения геометрии сопел и дйффузоров для раз-
личных скоростей запишем уравнение Бернулли (9.10), про-
дифференцировав его правую часть:
-v dp = w dw. (9.61)
Разделим на w2 левую и правую части последнего выраже-
ния, а полученное выражение
- -2^ (9.62)
W W2
подставим в уравнение (9.60).
Тогда будем иметь
V =-(М2- 1)^. (9.63)
/ IV г
16-5580
241
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
Раскрывая величину М = w/a и учитывая, что для идеаль-
ного газа а = JkRT и ри = RT, получим
df
f
dp
Р '
(9.64)
Уравнение (9.64) называется уравнением профиля кана-
ла и определяет соотношение между формой канала и пара-
метрами потока.
Так как величины f, р, k, w2 всегда положительные, то для
того, чтобы определить падает давление в канале или растет,
надо определить знак df и знак выражения (а2 - w2).
Для сопел dp < 0, следовательно, для дозвуковых скоростей
w < а или М < 1, из формулы (9.64) следует, что у- < 0, т. е.
канал должен быть сужающимся.
Геометрия дозвукового сопла представлена на рис. 9.4.
В ряде практических задач роль сужающихся сопел играют
отверстия в стенках различных резервуаров или емкостей —
канал при этом выполняется в виде плавно меняющегося по
длине сечения (рис. 9.5). Для уменьшения необратимых по-
терь, связанных с трением, внутренняя поверхность сопла тща-
тельно обрабатывается.
Сужающееся сопло можно рассматривать как трубу, вход-
ной участок которой выполнен сглаженным, без острых кро-
мок, для избежания различных завихрений потока, а участок
постоянного сечения сведен к минимуму (рис. 9.6), посколь-
ку, как видно из уравнения (9.64), при адиабатном течении
Рис. 9.6
242
9.4. Частные случаи движения идеального газа
газа без трения при постоянном сечении трубы скорость газа
остается неизменной.
Для сверхзвуковых скоростей w > а (М > 1) формула (9.64)
а/
показывает, что у
> 0. Следовательно, для разгона потока
канал должен быть расширяющимся. Необходимо иметь в ви-
ду, что ускорение потока до скорости звука w = а обеспечива-
ется в сужающейся части, а в минимальном сечении канала
(оно получило название критического) М = 1. Геометрия кана-
ла переменного сечения для получения сверхзвуковой скорости
представлена на рис. 9.7.
Сопло представленной геометрии получило название «сопло
Лаваля». Сопла, в которых скорость потока определяется про-
ходными сечениями, называются геометрическими соплами.
Для диффузоров dp > 0 и для дозвуковых скоростей w < а
(М < 1) из формулы (9.64) следует, что
df
f
> 0, следовательно,
канал должен расширяться.
Геометрия дозвукового диффузора представлена на рис. 9.8.
Сверхзвуковой диффузор (М > 1) по формуле (9.64) должен
сначала иметь сужающуюся часть, в которой поток должен
тормозиться и в горле диффузора достигать скорости звука
w = а (М = 1).
Реальные сверхзвуковые диффузоры не имеют сужающие-
ся части, поскольку их роль выполняет скачок уплотнения
(или система скачков). За скачками уплотнения скорость по-
тока становится равной скорости звука, а дальнейшее тормо-
жение потока происходит в расширяющейся части. Для умень-
шения потерь энергии потока воздухозаборное устройство имеет
иглу, чтобы прямой скачок разбивался на ряд косых скачков
уплотнения.
w = а
Рис.9.7
243
16*
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
Горло
Центральное
тело (игла)
Корпус
диффузора
Скачки
уплотнения
Рис. 9.9
и> = а
Критическое
сечение
Рис. 9.10
Геометрия реального сверхзвукового диффузора представ-
лена на рис. 9.9.
9.4.2. Движение при наличии теплообмена с внешней
средой. Выявление влияния подвода теплоты на характер
движения среды представляет определенный интерес для ка-
мер сгорания различных теплоэнергетических машин.
При установившемся движении в горизонтальном канале
(dzBbIC = 0) цилиндрической формы (d/ = 0), отсутствии трения
(8ZTp = 0, 8<;тр = 0) и без совершения технической работы (8£тех = 0)
уравнение (9.59) получит вид
(М2 — 1)— = —Ц .
» <?ср\ЪТ)р
(9.65)
Так как для газов
{дт)р
0, то подвод теплоты к дозвуковому
потоку (М < 1) приводит к увеличению скорости. Ускорение
газа имеет своим пределом достижение критической скорости
(М = 1). Дальнейшее ускорение возможно только при измене-
нии знака теплового воздействия, т. е. ускорение сверхзвуко-
вого потока можно обеспечить отводом теплоты.
Таким образом, подвод теплоты к потоку газа в горизон-
тальном цилиндрическом канале позволяет создать так назы-
ваемое тепловое сопло, в котором принципиально возможен
непрерывный переход от дозвукового движения газа к сверх-
звуковому за счет изменения знака теплового воздействия.
На рис. 9.10 представлена принципиальная схема теплового
сопла. Следует отметить, что теплота может подводиться и от-
244
9.4. Частные случаи движения идеального газа
водиться не только путем теплообмена с внешней средой (че-
рез стенки конструкции), но и за счет экзотермических и
эндотермических химических реакций, происходящих в са-
мом потоке газа.
Закономерность подвода внешней теплоты может быть при-
нята соответствующей политропному процессу с теплоемко-
стью с. В этом случае уравнение (9.65) для идеального газа бу-
дет иметь вид
(М2-1)— =с-^-. (9.66)
' ’ W рср ' ’
9.4.3. Движение газа при наличии трения. Движение газа
при наличии трения о стенки канала является частным случа-
ем движения с подводом теплоты, так как в процессе трения
выделяется теплота, поглощаемая потоком.
Пусть из всех возможных воздействий на поток имеется
лишь работа трения 8ZTp, что соответствует течению газа в гори-
зонтальном канале постоянного сечения (dzBbIC = 0, df = 0) при
отсутствии взаимодействия с внешней средой (8ZTex = 0, dq = 0).
В этом случае уравнение обращения воздействий (9.59)
примет вид
(М2- 1)— =-^ + — • (9.67)
v w а2 рср \дТ)р v ’
Так как 8г;тр ~ dZTp, уравнение (9.67) перепишем в виде
+ (9.68)
С учетом того что работа по преодолению сил трения может
быть только положительной (8ZTp > 0), из уравнения (9.68) сле-
дует, что дозвуковой поток (М < 1) при наличии трения уско-
ряется (dir > 0).
Очевидно, что при адиабатном течении с трением в гори-
зонтальном канале постоянного сечения поток может уско-
ряться только до звуковой скорости, но перейти через ско-
рость звука он не может, поскольку для этого нужно было бы
отводить теплоту от потока, а теплота трения всегда подводит-
ся к потоку (при дозвуковом и сверхзвуковом течении).
245
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
9.4.4. Воздействие технической работы на поток. Если
считать техническую работу единственным видом воздейст-
вия на поток, то уравнение (9.59) перепишется в виде
(М2-1)^ = -^. (9.69)
Отсюда можно сделать следующее утверждение: дозвуко-
вой поток (М < 1), совершающий техническую работу (напри-
мер, вращающий турбинное колесо), ускоряется (с1ш > 0). Со-
ответственно, подвод технической работы к потоку извне бу-
дет приводить к торможению последнего. Этот вывод кажется
несколько неожиданным. Он означает, что если, например,
в поток поместить крыльчатку, вращаемую от внешнего источ-
ника, то вращение этой крыльчатки будет приводить не к ус-
корению, а к замедлению потока. Подвод к сверхзвуковому
(М > 1) потоку технической работы будет приводить
к ускорению потока, а совершение потоком работы —
к его замедлению.
Это обстоятельство используется в схеме так называемого
механического сопла — теплоизолированной трубы посто-
янного сечения, в которой дозвуковой поток, движущийся без
трения, ускоряется за счет отдачи ра-
боты на лопатках турбинных колес,
размещенных в трубе. После того как
поток достигает скорости звука, он
поступает на лопатки нагнетателя,
вращаемого от внешнего источника.
Схема механического сопла представ-
лена на рис. 9.11.
Существует также расходное со-
тке дозвукового разгона потока осу-
ществляется вдув газа в теплоизолированную трубу постоян-
ного сечения, а сверхзвуковой разгон обеспечивается отсосом
газа.
9.5. Параметры торможения
Известно, что при встрече газового потока с каким-либо
твердым телом происходит его торможение. При этом кинети-
ческая энергия потока переходит в теплоту, что прослежива-
iv = а
Критическое
сечение
Рис. 9.11
пло, у которого на
246
9.5. Параметры торможения
ется из уравнений энергии (9.13) и (9.14) в записи для двух то-
чек адиабатного течения
ТП 2 7/J 2
^1+v =/г2 + ^’ (9.70)
или, что то же самое, для всего потока
Ki-
ll + = const. (9.71)
£
Из уравнения (9.71) следует, что при уменьшении скорости
до нуля энтальпия принимает максимальное значение, полу-
чившее название энтальпии адиабатного торможения или
просто энтальпии торможения, и обозначается через /г*:
/г* = 7г+^-. (9.72)
£
Поскольку удельная энтальпия идеального газа (отсчитывае-
мая от О К) определяется по формуле
h = ерТ,
то в предположении постоянства теплоемкости уравнение
(9.72) может быть переписано относительно температуры
Т*=Т+£-. (9.73)
Лср
Уравнение (9.73) можно переписать, заменяя в правой части
выражения скорость через число М = w/а и воспользовавшись
затем уравнением Майера (3.21) и определением k = cp/cv
(уравнение 3.23). Тогда будем иметь
2 2 итзчт CV>
Т* = Т + = Т + М2^ = Т 1 + М2-^---------
а22ср 2ср [ 2сР J
ИЛИ
Т = т(1 + Ц-^М2). (9.74)
Учет температуры торможения в потоке с большой скоро-
стью имеет важное практическое значение. Так, например, ес-
ли рассмотреть полет летательного аппарата на высоте 7,5 км,
где температура равна 240 К, со скоростью М = 2, то температура
247
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
торможения соответствует Т* = 432 К, а если рассмотреть полет с
гиперзвуковой скоростью М = 6, то температура торможения уже
составит 1968 К. Вход космических аппаратов в атмосферу Зем-
ли происходит при М = 28...30, а температура торможения до-
стигает 3000 К.
Понятие о температуре торможения широко используется в
различных аэрогазодинамических расчетах. Всякий измери-
тельный прибор, помещенный в поток, покажет температуру,
близкую к температуре адиабатного торможения.
Поскольку для адиабатного течения справедливо соотношение
то можно определить и давление торможения
(9.76)
Давление р* называется также полным давлением. Уравне-
ние (9.76) широко используется для определения скоростей по-
тока. Для этого в канале с движущимся газом устанавливаются
Рис. 9.12
два манометра — один, измеряющий статиче-
ское давление, подсоединяется к трубе отбора
давления таким образом, чтобы плоскость
среза совпала с плоскостью канала, а второй,
измеряющий давление торможения, подсо-
единяется к трубке, выведенной навстречу по-
току (рис. 9.12). Зная k и R газа, для извест-
ной температуры определяют а = JkRT и по высчитанной по
формуле (9.76) величине М находят скорость w = М/а.
Соотношения (9.74) и (9.76) позволяют определить пара-
метры заторможенного адиабатного потока, если известны
скорость его движения и параметры невозмущенного потока.
9.6. Уравнение скорости адиабатного потока
Рассмотрим уравнение энергии для конечного участка про-
цесса
(9.77)
248
9.6. Уравнение скорости адиабатного потока
Из данного уравнения следует, что скорость потока матери-
альной среды в произвольном сечении будет определяться за-
кономерностью
^2 = 72(fti “ h2> + wi ’ (9.78)
где — начальная скорость потока.
Если ш, = 0, то
w2= (9.79)
или с учетом введения энтальпии торможения (9.72)
w = - h), (9.80)
где w, h — скорость и удельная энтальпия в рассматриваемом
сечении.
Режим течения с начальной скоростью wv — 0 получил на-
звание истечения и очень часто встречается на практике, по-
скольку в ряде технических задач w2 2> wr.
Следует подчеркнуть, что уравнения (9.78) и (9.79) спра-
ведливы для задач без теплообмена с окружающей средой как
с трением, так и при отсутствии трения, как для идеальных,
так и для реальных газов и паров. В последнем случае измене-
ние энтальпии очень удобно определять по /zs-диаграммам.
Применительно к идеальному газу в предположении посто-
янства теплоемкости ср (9.80) перепишется в виде
w = ^2ср(Т* - Т). (9.81)
Величину удельной изобарной теплоемкости ср, входящую
в данное уравнение, можно выразить через показатель ади-
абатного процесса и удельную газовую постоянную. Для этого
необходимо записать уравнение Майера (3.21)
ср ~ cv ~ R
и разделить его на ср
1 7?
(9.82)
Решая данное уравнение относительно ср, получаем
249
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
Таким образом, уравнение (9.81) можно представить в виде
w (9.84)
С учетом того что рассматривается адиабатный процесс ис-
течения, по аналогии с соотношением для политропного про-
цесса имеем:
F = IPJ
а формула для скорости истечения газа примет вид:
] <985>
Из данного выражения видно, что скорость истечения тем
больше, чем меньше величина отношения давлений р/р*, т. е.
возможность создания дозвукового или сверхзвукового тече-
ния зависит от располагаемого перепада давления.
При истечении газа в вакуум (р = 0) скорость истечения бу-
дет максимальной:
(9.86)
9.7. Истечение газа из сосуда
неограниченной емкости
Если начальная кинетическая энергия равна нулю, т. е. в на-
чале процесса среда неподвижна (к»1 = 0), что происходит, на-
пример, при истечении газа через небольшое отверстие из сосу-
да большого объема, то можно считать, что параметры газа р*,
Т* остаются неизменными. Подобного рода емкость получила
название сосуда неограниченной емкости.
Как уже отмечалось ранее, ускорение потока происходит в
каналах, называемых соплами. Для дозвуковых скоростей со-
пло представляет канал, сужающийся в направлении движе-
ния потока. Рассмотрим процесс истечения через сужающееся
сопло в окружающую среду, давление в которой рвн может ме-
няться от значения р* до нуля.
250
9.7. Истечение газа из сосуда неограниченной емкости
Очевидно, что при равенстве дав-
лений /?ан = истечения не происхо-
дит и согласно формуле (9.85) w = 0.
При возникновении перепада давле-
ния возникает поток рабочего тела с
определенной скоростью на срезе со-
пла. Давление внутри сопла при этом
изменяется от р* на входе в сопло до
давления р на выходе из него.
Как показывают результаты измерений, давление на срезе
сопла р сохраняется равным внешнему давлению рт до тех
пор, пока скорость истечения не достигает значения, равного
местной скорости звука. Этот процесс аЪ можно продемонстри-
ровать в виде графической зависимости давления в выходном
сечении сужающегося сопла от внешнего давления (рис. 9.13).
Дальнейшее уменьшение внешнего давления не сказывает-
ся на распределении давления внутри сопла и в том числе на
значении р на срезе сопла (Ьс на рис. 9.13). Это явление свя-
зано с тем, что возмущения, происходящие во внешней среде
(в данном случае уменьшение давления), распространяются
только со скоростью звука. Следовательно, при достижении
на срезе сопла скорости течения, равной скорости звука, воз-
мущения внешней среды не могут проникнуть внутрь сопла и
тем самым вызвать изменение режима течения за счет пере-
распределения давления.
Отношение давлений р/р'1’ = [3, при котором устанавливает-
ся скорость истечения, равная местной скорости звука, назы-
вается критическим и обозначается через Ркр, а соответствую-
щие величины давления и скорости также называются крити-
ческими и обозначаются ркр и шкр.
Из выражения (9.85) следует, что уменьшение отношения
давления всегда должно приводить к росту скорости. Однако
на практике это не подтверждается и связано с тем, что, как
указывалось ранее, в сужающемся сопле скорость течения га-
за не может превышать местную скорость звука. В связи с
этим предельное значение скорости течения в выходном сече-
нии сужающегося сопла должно быть равно местной скорости
звука, определяемой по формуле (9.51).
251
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
Если в этой формуле температуру газа в емкости принять
равной температуре торможения, определяемой формулой
(9.74) при М = 1, то критическая скорость истечения опреде-
ляется выражением
шкр = а = JkRT = ^2-^^RT*. (9.87)
Сопоставляя формулы (9.85) и (9.87), можно получить зна-
чение критического отношения давления, т. е. отношения, при
котором устанавливается критическая скорость истечения.
Действительно, из равенства
1-Plftp-1)/A 1
k - 1 k + 1
следует, что
<9-88’
Из формулы видно, что критическое отношение давлений за-
висит только от показателя адиабатного процесса k, т. е. от
физических свойств газа.
Для одноатомного газа k = 1,67 и Ркр = 0,49, для двухатом-
ного газа k = 1,4, (Зкр = 0,528, для трехатомного газа k = 1,29
и перегретого пара Ркр = 0,546, для сухого насыщенного пара
й = 1,135 и ркр= 0,577.
Секундный расход газа через сопло определяется подста-
новкой формулы (9.55) для скорости истечения в уравнение
(9.19) секундного расхода:
™ - v s <9-89)
где f — площадь выходного сечения сопла, v — удельный
объем газа в этом сечении.
Если истечение принимается адиабатным, для которого
справедливо уравнение pvk = p*v*k, то v в формуле (9.89) мо-
жет быть заменено на
v = u*(p*/p)1/ft. (9.90)
Поскольку рассматривается идеальный газ, то для параметров
на входе в сопло можно записать
pv* = RT*. (9.91)
252
9.7. Истечение газа из сосуда неограниченной емкости
Если выражение (9.90) внести под знак радикала и выполнить
замену по формуле (9.91), то уравнение (9.89) перепишется
в виде
2^*4-(й ] <9-92>
или
<9-9з>
Отношение pi”/и'"' в приведенном выражении может быть заме-
нено с использованием уравнения (9.91) на pk2/(RT”). Таким
образом, окончательно формула для определения секундного
расхода примет вид
-ЧЧХСЧ-Г'А '9W>
Из формулы видно, что массовый секундный расход газа зави-
сит от площади выходного сечения сопла, параметров газа на
входе р*, Т*, рода газа (k и 7?) и от отношения давлений 0 = р/р”.
Для истечения из сосуда неограниченной емкости р* = const
можно констатировать, что m зависит от давления в окружаю-
щей среде р, в которую истекает газ.
Анализ формулы (9.94) показывает, что при р = р*, когда
0=1, расход газа m становится равным нулю. При р = 0, т. е.
при истечении в вакуум (0 = 0), секундный расход тоже равен
нулю, чего, естественно, быть не может. Поскольку m не мо-
жет быть отрицательной величиной, то в интервале 0 от 1 до 0
расход будет больше нуля, а при некотором определенном от-
ношении давлений 0 = р/р? расход газа будет максимальным.
В точке максимума производная расхода m по 0 превращается в
нуль. Давление р, при котором m = mmax называется критиче-
ским рКу. Для определения критического отношения давлений
0кр = pv Jp: возьмем первую производную от выражения (9.94)
и приравняем ее к нулю. Фактически от соотношения давлений
зависит выражение в квадратных скобках. Его производная
равна нулю в точке максимума, т. е.
, ( 2 к + 1 А о 2 к + 1
A gA _ g к = ? gfe _ k + \ Ой = 0
d0 I Р Р ) k Рк₽ k Рк₽
253
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
После разделения переменных получим
или окончательно
f 2 \ ——
что совпадает с формулой (9.88).
Фактически получено, что максимальные значения скорос-
ти и массового секундного расхода реализуются при одном и
том же отношении давлений Ркр = р /р*, которое зависит
только от показателя адиабатного процесса k.
Максимальный секундный расход находится подстановкой
Ркр (9.95) в формулу (9.92):
I ~ 2
= (9.96)
тах \ k+lv\k + lj
Из выражения (9.96) видно, что максимальный секундный
расход зависит от начальных параметров р”, у* и показателя
адиабатного процесса k.
На рис. 9.14 и 9.15 приведены графики зависимостей се-
кундного расхода газа т и скорости истечения от Р = р/р*,
приведенные для постоянных температуры Т* и давления р*.
Изменение Р на данных графиках обусловлено уменьшением
давления в окружающем пространстве р, куда истекает газ.
На рис. 9.14 видно, что при уменьшении отношения давле-
ний от Р = 1 до Р = Ркр расход газа возрастает от т = 0 при Р =
= 1 до т = тптах = тпкр при Р = Ркр (кривая аЪ), т. е. на срезе су-
жающегося сопла наступает такой режим истечения, при кото-
Рис. 9.15
254
9.7. Истечение газа из сосуда неограниченной емкости
ром расход газа т достигает своего предельного значения, оп-
ределяемого формулой (9.96). При дальнейшем понижении
давлений [3 < [Зкр, согласно формулам (9.93) и (9.94), секунд-
ный расход должен уменьшаться (участок &0), но на самом де-
ле в этой области секундный расход остается неизменным и оп-
ределяется горизонталью Ъс, соответствующей формуле (9.96).
Напомним, что в этом случае (при [3 < (Зкр) на срезе сужающего-
ся сопла устанавливается постоянное давление />кр = [Зкрр* и
процесс истечения происходит при постоянной разнице давле-
ний от р' до />кр. Это положение подтверждено многочислен-
ными опытами.
Аналогичный характер имеет и изменение скорости исте-
чения в зависимости от отношения давлений (см. рис. 9.15).
При равенстве давлений внутри сосуда р и в окружающей
средер ([3 = р/р = 1) истечения не происходит и скорость равна
нулю. При понижении давления р (уменьшении (3) скорость
возрастает до своего максимального значения при ркр ((Зкр),
а затем остается постоянной (участок Ъс) и равна значению в
точке Ъ, т. е. критической скорости шкр, определяемой по фор-
муле (9.87). В этой области давление на срезе сопла также по-
стоянно и равно критическому ркр = |Зкр/р*. Критическое давле-
ние — это наименьшее давление, которое устанавливается в вы-
ходном сечении сужающегося сопла.
В соответствии со сказанным можно выделить две области ис-
течения, определяемые соответствующим отношением давлений:
• I — дозвуковая или подкритическая область истечения, для
которой отношение давлений лежит в диапазоне [Зкр < (3 < 1;
• II — сверхзвуковая или надкритическая область истече-
ния, для которой отношение давлений лежит в диапазоне
о < Р < Ркр.
Напомним, что во второй области не происходит полного рас-
ширения газов в сужающемся сопле и давление на выходе из со-
пла ркр = [Зкрр*, т. е. процесс истечения происходит при постоян-
ном перепаде давлений от рк до ркр. Для этой области истечения
формулы (9.85), (9.93), (9.94) справедливы только при замене р
на/>кр, а лучше воспользоваться формулами (9.87) и (9.96).
255
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
Таким образом, при практических расчетах, связанных с
истечением идеального газа через сужающееся сопло из сосу-
да неограниченной емкости, в первую очередь необходимо оп-
ределить область истечения. Для этого необходимо вычислить
Р = Р/Р* и сопоставить с |3,,р для рассматриваемого газа (9.88),
и только после этого пользоваться соответствующими расчет-
ными формулами.
Для сравнительной оценки численных значений скорости
истечения и массового секундного расхода можно рекомендо-
вать пропорциональные зависимости, которые будут иметь
следующий вид:
I область (Ркр <р/р* < 1)
w~ (JET*, -М, т ~ (9.97)
V р/р ) \Jrt* р/р )
II область (0 < р/р* < Ркр)
w ~ (Ж‘), т ~ (9.98)
С учетом того что в области II истечения в кинетическую
энергию преобразуется не весь перепад давлений, а только
критический (от р* до ркр), следует предположить, что разни-
ца давлений отркр до р в сужающемся сопле не может быть по-
лезно использована, а соответствующая данному перепаду ки-
нетическая энергия является потерянной.
Это явление долгое время тормозило развитие паровых тур-
бин (тепловых машин, у которых рабочий процесс основан на
истечении пара). Вопрос о более полном использовании распо-
лагаемого перепада давлений был решен в 1889 г. шведским
инженером Лавалем, который присоединил к сужающемуся
соплу расширяющуюся насадку. Действительно, как было по-
казано ранее (9.64), для получения сверхзвуковой скорости ка-
нал должен иметь расширяющуюся часть (см. рис. 9.7). При
этом в самом узком сечении всегда устанавливается критиче-
ская скорость (9.87), а в расширяющейся части происходит
увеличение скорости в соответствии с выражением (9.60). Для
предотвращения отрыва потока от стенок сопла в сверхзву-
ковой его части конусность расширяющегося участка рекомен-
дуется выбирать в пределах от 8 до 12°. Площадь выходного се-
256
9.7. Истечение газа из сосуда неограниченной емкости
чения сопла Лаваля выбирается из условия достижения в этом
сечении давления газа, равного давлению окружающей среды.
При соблюдении этого условия сопло называется расчетным.
Скорость в выходном сечении определится формулой (9.85),
а площадь при сохранении постоянства максимального расхода
, _ тгпах;-!вых
' ВЫХ
^вых
(9.99)
С термодинамической точки зрения установка расширяю-
щейся части позволяет получить дополнительную работу, ко-
торая идет на дальнейшее увеличение скорости. Расход газа от
установки расширяющейся части не изменится, так как коли-
чество рабочего тела, прошедшее через самую узкую часть со-
пла (критическое сечение), исходя из уравнения неразрыв-
ности (9.20), остается неизменным и будет соответствовать
максимальному расходу, определяемому по формуле (9.96).
Характер изменения скорости и массового секундного рас-
хода в зависимости от отношения давлений для сопла Лаваля
показан на рис. 9.16.
Если говорить о пропорциональных зависимостях скорости
истечения и массового секундного расхода для сопла Лаваля
по аналогии с выражениями (9.97) и (9.98), то необходимо от-
метить, что изменения коснутся только скорости в области
истечения II, где
w- ВТ*,4~г,т~-^=. (9.100)
р/р ' Jrt*
Область истечения I для сопла Лаваля интереса не пред-
ставляет, так как сопло Лаваля предназначено для получения
сверхзвуковых скоростей, наблю-
даемых при большой разнице дав-
лений (р* - р) или их малом отно-
шении р = р/р\ что характерно
только для области II.
В ряде случаев истечение из со-
пла Лаваля может оказаться не-
расчетным. Так, например, сопло
реактивного двигателя летательно-
го аппарата, будучи расчетным на
одной высоте полета, может ока-
17 - 5580
257
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
заться нерасчетным на других высотах. При этом давление в
выходном сечении либо больше давления окружающей среды
(сопло недорасширенное), либо меньше (сопло перерасши-
ренное). В последнем случае возможен отрыв потока и воз-
никновение так называемого скачка уплотнения в сечении,
находящемся внутри сверхзвуковой части сопла Лаваля. При
этом скорость на выходе из сопла оказывается меньше расчет-
ной. Подробнее такие явления рассматриваются в курсах га-
зовой динамики.
9.8. Истечение реальных газов и паров
Для расчета скорости истечения и секундного расхода реаль-
ных газов и паров удобно пользоваться /is-диаграммами этих
веществ. В этом случае должны быть заданы: начальные давле-
ние pi”, температура Т"! и отношение давлений [3 = р/р:. Точка 1
на /is-диаграмме (рис. 9.17), характеризующая начальное состоя-
ние вещества, определяется пересечением изобары р = const и
изотермы Г* = const. При адиабатном истечении процесс изо-
бражается вертикальной линией 1—2, причем точка 2, харак-
теризующая давление окружающего пространства, куда исте-
кает рабочее тело, располагается на изобаре р = const при
небольших перепадах давления.
Для определения скорости истечения по формуле (9.80) не-
обходимо определить перепад удельных энтальпий. Массовый
расход вещества пг через сопло определяется по формуле (9.19)
при известной площади f. Удельный объем или плотность ве-
щества на срезе сопла также определяется по /is-диаграмме
при соответствующем давлении на срезе.
В зависимости от отношения давлений |3 = р/pi1' и формы со-
пла скорость истечения может быть дозвуковой, звуковой и
сверхзвуковой. Если истечение вещества (например, пара)
происходит в дозвуковой области ([3 > (Зкр) из сужающегося со-
пла (I область) (см. рис. 9.17), то давление пара на срезе сопла
равно давлению р окружающей среды, куда происходит исте-
чение. Скорость истечения при этом определяется по формуле
(9.80). Если в этих условиях вместо сужающегося сопла ис-
пользовать сопло Лаваля (случай, не имеющий практического
интереса), то получим диффузорный эффект.
258
9.8. Истечение реальных газов и паров
В сверхзвуковой области истечения (II область) примене-
ние сужающегося сопла обеспечит на срезе сопла критическое
давление, определяемое как р = Ркрр*. В данной области ско-
рость истечения соответствует критической скорости и опре-
деляется по формуле
^кР= 72(^*-М’
где Лкр — удельная энтальпия при критическом давлении
(рис. 9.18).
Поскольку в качестве примера рассматривается истечение
водяного пара, для которого численные значения удельной эн-
тальпии на Ла-диаграмме приведены в кДж/кг, необходимо
помнить, что в формуле (9.101) для получения скорости в м/с
удельная энтальпия подставляется в Дж/кг. Для возможнос-
ти непосредственного использования численных значений
удельных энтальпий, приведенных на диаграммах для опре-
деления скорости истечения, можно рекомендовать следую-
щую формулу:
щкр = 44,77ЛА-Лкр, (9.102)
где h приведена в кДж/кг.
Таким образом, в сужающемся сопле при больших перепа-
дах давления скорость истечения определяется только перепа-
дом энтальпий Л* — Лкр, составляющим лишь часть полного
располагаемого перепада энтальпий.
259
17*
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
Если при выбранном перепаде давлений в сверхзвуковой
области использовать сопло Лаваля, то скорость истечения оп-
ределяется по формуле (9.80) с учетом всего располагаемого
перепада давлений (рис. 9.19). Массовый секундный расход
(для рассматриваемого пара) ограничивается наименьшим се-
чением сопла и является критическим:
Лф^Кр
тп = —!-----
кр v
кр
где ккр определяется по /is-диаграмме.
Иногда при определении скорости истечения приходится
учитывать начальную скорость потока В данном случае
скорость потока определяется по формуле (9.78). Он отображен
на рис. 9.20. Естественно, в этом случае скорость потока будет
выше, что учитывается на /is-диаграмме возрастанием перепа-
да энтальпий на величину h[ - hr, обусловленную кинетиче-
wf
ской энергией 1 кг рабочего тела.
4U
9.9. Истечение с учетом трения
Формулы (9.80), (9.85), (9.101) справедливы только для обра-
тимого адиабатного процесса истечения, так как не учитывают
силы трения газа о стенки канала. На преодоление трения за-
260
9.9. Истечение с учетом трения
трачивается часть кинетической
энергии, которая преобразуется
в теплоту, в результате чего энт-
ропия движущегося рабочего те-
ла увеличивается за счет состав-
ляющей dsin и процесс не будет
изоэнтропным. Таким образом,
при наличии сил трения про-
цесс течения необратим.
Применительно к водяному
пару на /га-диаграмме (рис. 9.21)
обратимый адиабатный процесс
истечения пара в интервале зна-
чений от р до р изображается
вертикальной прямой 1 —2 с рас-
полагаемой работой 10 = /г* - h.
Адиабатный необратимый процесс в том же интервале дав-
лений может быть отображен только условно и будет соответ-
ствовать кривой 1—2'. В этом случае располагаемая работа
запишется в следующем виде:
Z' = h* - h'.
Поскольку h' > h, то располагаемая работа при истечении с
трением меньше, чем при истечении без трения. Следовательно,
скорость истечения газа из сопла с трением w' = - ti)
меньше скорости истечения из сопла без трения w = ^2{h" — h).
В реальных условиях
ш' = фс-ш, (9.104)
где срс — скоростной коэффициент сопла (срс < 1).
Значение коэффициента срс в зависимости от профиля сопла
и чистоты обработки его поверхности изменяется от 0,93 до
0,98. В соответствии с выражением (9.80) потеря энтальпии за
счет трения составит
ДЛтр = Л'-Л = = ^-(1- (рс2). (9.105)
Отложив от точки 2 (см. рис. 9.21) вверх значение Д/гтр на
конечной изобаре р = const, получим точку 2', соответствую-
щую состоянию пара на срезе сопла при наличии трения. Най-
261
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
денное значение энтальпии h' дает возможность определить
действительную скорость истечения по формуле
w' = J2(h* - h) (9.106)
или
w' = (pcw = (pc 72(/г* - h). (9.107)
Формулы (9.106) и (9.107) справедливы как для идеально-
го, так и для реальных газов.
9.10. Дросселирование газов и паров
9. 10.1. Основные закономерности дросселирования.
I Дросселированием называется процесс понижения давле-
ния в движущемся стационарном потоке газа или пара при про-
хождении его через препятствие в виде вентилей, задвижек,
шайб, кранов, клапанов, диафрагм.
Любое препятствие, встречающееся на пути движения по-
тока, приводит к необратимости протекающих в нем процес-
сов и потерям части работы.
Закономерности изменения параметров этого процесса широ-
ко используются в холодильной технике для получения низких
температур и в паротехнике для получения перегретого пара.
Рассмотрим основные закономерности процесса дроссели-
рования на примере течения через диафрагму в упрощенной
постановке, когда во время течения рабочего тела теплота не
подводится и не отводится (адиабатное течение), отсутствует
трение, скорости до и после диафрагмы небольшие и равны,
сечение канала до и после диафрагмы не изменяется и на рас-
сматриваемом участке газ не совершает никакой полезной
технической работы (рис. 9.22). В самой же диафрагме и в не-
посредственной от нее близости скорость заметно изменяется,
вначале увеличиваясь, а затем уменьшаясь.
Энергия потока тратится на его проталкивание в пределах
рассматриваемых сечений от I—I до II—II. Рассмотрим массу
газа, заключенную в данный момент между выделенными сече-
ниями. Поскольку рабочее тело движется, то естественно, что
зафиксированные сечения будут перемещаться вдоль канала.
262
9.10. Дросселирование газов и паров
За некоторый промежуток времени сечение I—I перемес-
тится на расстояние х1г а сечение II—II — на расстояние х2.
Так как давление и плотность газа за диафрагмой меньше,
чем перед диафрагмой, то х2 > хР
Чтобы переместить сечение I—I на расстояние хр нужно
совершить работу
Lj = fpxxx, (9.108)
где рА — давление газа до диафрагмы.
Обозначим через V\ = fxx объем газа в рассматриваемом се-
чении f за данный промежуток времени. Так как V\ = vpn,
где т — масса газа, прошедшая через дроссель, то
-^т = 7’1р1т- (9.109)
Аналогично
Ln = P2V2m-
При перемещении рассматриваемой фиксированной массы
газа за определенный промежуток времени совершается рабо-
та проталкивания
L = LII- LI = (P2V2~PlVl)m’ (9.110)
которая затрачивается на преодоление местного сопротивления,
превращаясь в теплоту вследствие необратимых процессов.
263
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
Для адиабатного процесса дросселирования в соответствии с
первым законом термодинамики работа может быть произве-
дена только за счет уменьшения внутренней энергии системы:
L = m{u1-u2), (9.111)
где и1 и и2 — удельные внутренние энергии потока до и после
диафрагмы.
Приравнивая правые части уравнений (9.110) и (9.111), по-
лучаем
P2V2 ~ Pivi = ui ~ и2
или
U1 + Plvl = U2 + P2V2- (9.112)
С учетом определения энтальпии уравнение (9.112) равно-
значно уравнению
hi = h2. (9.113)
Следовательно, можно отметить, что при адиабатном дрос-
селировании энтальпия рабочего тела до и после местного
препятствия одинакова. В области, где препятствие в виде су-
жения вызывает ускорение потока, а следовательно, и возрас-
тание его кинетической энергии, в соответствии с уравнением
энергии (9.13) энтальпия уменьшается. После препятствия,
когда поток тормозится, энтальпия увеличивается до исход-
ного значения.
Таким образом, при адиабатном дросселировании энталь-
пия не меняется на участках, где нет возмущения потока, свя-
занного с преодолением препятствия. Вблизи самого дросселя
энтальпия не остается постоянной величиной, поэтому про-
цесс дросселирования нельзя отождествлять с обратимым изо-
энтропическим процессом.
Условие (9.113) справедливо только для сечений, удален-
ных от препятствия, и применимо как для идеального, так и
для реального газа.
Рассмотрим, как изменяется энтропия в процессе дроссели-
рования. Изменение удельной энтропии от сечения I—I до се-
чения II—II описывается уравнением
Рг .
82(Л> Р2) “ si(h> Pi) = £ fj)^)hdP- (9.114)
264
9.10. Дросселирование газов и паров
С учетом дифференциального уравнения
Л 3s \ _ v
можно записать
Р-2. Р1
s2(h, р2) - s^h.pj = -J dp = J £ dp. (9.115)
Pi Рг
Из уравнения (9.115) следует, что, поскольку р2 < рг, то
s2 > 8Р Это еще раз подчеркивает, что дросселирование явля-
ется необратимым процессом, происходящим с возрастанием
энтропии за счет составляющей dsin.
Проследим теперь изменение температуры в процессе ади-
абатного дросселирования. Изменение энтальпии идеального
газа в любых процессах связано с изменением температуры
соотношением dh = ср dT, следовательно, процесс дросселиро-
вания идеального газа, для которого ср = const, происходит
без изменения температуры (dT = 0). Температура же реаль-
ных газов в процессе дросселирования по результатам опытов
может как уменьшаться, так и возрастать.
Действительно, при расширении реальных газов увеличи-
вается расстояние между молекулами и совершается работа
по преодолению сил межмолекулярного взаимодействия. Кро-
ме того, вследствие разной сжимаемости газов различна и
работа вытеснения, равная произведению pv. Этими работа-
ми практически и предопределяются изменения внутренней
энергии и температуры.
В зависимости от начальных параметров и физических
свойств реальных газов при дросселировании значение dT мо-
жет быть меньше и больше нуля.
9. 10.2. Дифференциальный дроссельный эффект. Для
определения характера изменения температуры при извест-
ном процессе при h = const необходимо проанализировать зна-
„ (дТ\
чение производной J .
Поскольку располагаем тремя термодинамическими пара-
метрами Т, р, h, дифференциальное уравнение состояния по
аналогии с уравнением (5.55) запишется в виде
эта )
др )h[dT)p{dh)T
(9.116)
265
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
С учетом того что I ) = ср, уравнение (9.116) можно пе-
(дТ\ к
реписать относительно 1^1 следующим образом:
-Г—)
= \др)т
IdpJb ср
(9.117)
Из объединенной формы записи первого и второго законов
термодинамики при отсутствии прочих работ
d/z = Т ds + v dp
следует, что
<9л18>
С учетом соотношения Максвелла (5.51) выражение (9.118)
переписывается в виде
.
ор ) т \дТ Jp
(9.119)
Окончательно имеем
- V
др )h
(9.120)
Левая часть выражения (9.120) обозначается через осй
МЭД (9Л21)
и называется дифференциальным дроссельным эффек-
том или эффектом Джоуля—Томсона по фамилиям уче-
ных, давших научное обоснование данному явлению.
Фактически величина ал характеризует изменение темпе-
ратуры дросселируемого вещества при бесконечно малом па-
дении давления при h = const.
Из уравнения (9.121) видно, что для определения значения
дифференциального дроссельного эффекта ал необходимо знать
удельную изобарную теплоемкость ср и уравнение состояния ве-
( ди \
щества, из которого можно наити частную производную J .
Уравнение (9.121) справедливо для любых веществ, и по-
скольку теплоемкость всегда положительна (ср > 0), а при
266
9.10. Дросселирование газов и паров
дросселировании давление уменьшается (dp < 0), то знак диф-
ференциального дроссельного эффекта, а значит, и dT будет
определяться знаком комплекса - и].
При этом возможны три случая:
(9.122)
НН-р-
В последнем случае ah = 0 и АТ = 0.
Нетрудно показать, что (9.122) имеет место для идеальных
газов, подчиняющихся уравнению состояния pv = RT.
Для идеального газа
( Л _ v
{дт)р ~ Т-
Подставляя (9.123) в (9.120), получим
(9.123)
= 0,
h
т. е. идеальный газ дросселируется без изменения тем-
пературы, что является одним из характерных признаков
идеального газа.
Для реальных газов дроссельный эффект отличен от нуля и
может быть либо положительным, либо отрицательным. Если
Эо Л
ЪТ)Р
< ^ , то согласно (9.120) и (9.121) ah < 0 и дроссельный
эффект является отрицательным. В этом случае с учетом того,
что всегда dp < 0, температура вещества возрастает dT > 0.
Если же то аЛ > 0 (дроссельный эффект поло-
жителен). При этом dT < 0, т. е. температура дросселируемого
вещества уменьшается.
Экспериментально установлено, что для одного и того же ве-
щества знак аЛ может быть различным в разных состояниях.
Состояние системы, в котором дифференциальный дрос-
сельный эффект меняет знак, называется точкой инверсии.
267
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
Из уравнения (9.121) следует, что существует множество
точек инверсии, определяемых уравнением
(9.124)
Геометрическое место точек инверсии, для которых диффе-
ренциальный дроссельный эффект равен нулю, называется кри-
вой инверсии.
9. 10.3. Кривая инверсии. Для нахождения уравнения
кривой инверсии в явном виде необходимо знать уравнение
состояния для данного вещества. В качестве примера на
рис. 9.23 представлена кривая инверсии азота. Из графика сле-
дует, что кривая инверсии делит рТ-диаграмму на две области.
Внутри области, ограниченной кривой инверсии, alt > 0. Поэто-
му в указанной области все процессы дросселирования сопро-
вождаются охлаждением вещества. Вне этой области ah < 0.
Здесь температура вещества при дросселировании повышает-
ся. Процессы, начинающиеся на кривой инверсии, соответст-
вуют случаю инверсии, тогда Ти = const. Аналогичный харак-
тер имеют кривые инверсии других веществ. Из рис. 9.23 вид-
но, что температура инверсии зависит от давления. При р = 0
инверсионная кривая пересе-
кает ось температур в двух
точках: А и В. Кривая инвер-
сии имеет точку максимума
(точка и). Изобары р <ри дваж-
ды пересекают кривую инвер-
сии в точках 1 и 2, т. е. при
одном и том же давлении ри =
= const имеются две точки ин-
версии с температурами
и Т", в которых температур-
ный дроссельный эффект ра-
вен нулю. Точка!, соответ-
ствующая меньшей темпера-
туре, называется нижней ин-
268
9.10. Дросселирование газов и паров
версионной точкой, а точка 2 — верхней инверсионной
точкой.
Нижняя инверсионная точка для большинства рабочих тел
находится в области жидкости, верхняя — в области пара.
С увеличением давления разность Т" - уменьшается,
а при р = рИ она становится равной нулю, т. е. нижняя и верх-
няя инверсионные точки сливаются в одну (ТИ).
Применительно к газу, подчиняющемуся уравнению Ван-
дер-Ваальса, запишем уравнение кривой инверсии
7’(М~1,=0
(9.125)
и уравнение Ван-дер-Ваальса (1.29)
(р+5)(р-&)=лт.
(9.126)
Дифференцируя (9.126) по температуре при постоянном р,
имеем
<9Л27>
Отсюда находим
(9.128)
или с учетом уравнения (9.126)
до \
дТ)Р
R(v - Ъ)
RT - - 6)2
о6
(9.129)
Подставляя выражение (9.129) в уравнение (9.125), полу-
чим
(9.130)
2а _ RTb _ _
и2 (и - Ь)2
Уравнение (9.130) является уравнением кривой инвер-
сии вандерваалъсова газа.
Определяя v из уравнения (9.130) и подставляя полу-
ченное выражение в уравнение Ван-дер-Ваальса (9.126), най-
269
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
дем выражение температуры инверсии как функции дав-
ления:
<9лз1)
Вводя вместо постоянных а и Ъ критическую температуру
Ук = 27Rb и кРитическое давление рк = [см. (1-37)], пре-
образуем уравнение (9.131) к виду
= 37к(1 ± | Jl-^- J*. (9.132)
Из уравнения (9.132) видно, что две точки инверсии Т'п и
Г" будут существовать при р < 9рк. Слияние их в одну точку
происходит при р = 9рк. В этой точке Та = Ти тах = 37к.
При р = 0 из уравнений (9.131) и (9.132) находим
= = 0’757^ (9.133)
= =6,75ГК. (9.134)
Таким образом, левая ветвь кривой инверсии в рТ-коорди-
натах пересекает ось температур в точке Т'а = 0,757к, а пра-
вая Г" = 6,75ТК.
Необходимо отметить, что соотношение (9.134) позволяет
приближенно вычислить температуру инверсии для различ-
ных газов по их критическим температурам. Из этого уравне-
ния также следует, что температура инверсии газов значи-
тельно выше критической температуры.
9. 10.4. Интегральный дроссельный эффект. Разность
температур при адиабатном дросселировании, сопровождаю-
щемся существенным перепадом давлений Др, получила на-
звание интегрального дроссельного эффекта. Он опреде-
ляется интегрированием уравнения (9.121)
Рг
Т2~ТХ = \ a^dp, (9.135)
Pi
где Тг — начальная температура рабочего тела; Т2 — темпера-
тура после дросселирования.
270
9.10. Дросселирование газов и паров
Поскольку при дросселировании dp < 0, то из уравнения
(9.135) следует, что при положительном дифференциальном
дроссельном эффекте (9.120) и (9.121) разность температур бу-
дет отрицательной (рабочее тело охлаждается). С учетом того,
что интегрирование выражения (9.135) с учетом (9.120) до-
вольно сложно, интегральный дроссельный эффект реальных
газов определяется по таблицам или Ts- и hT-диаграммам.
Пример расчета интегрального дроссельного эффекта по
тепловой Ts-диаграмме показан на рис. 9.24. На Тз-диаграм-
му, используя экспериментальные данные, наносятся изоба-
ры и линии постоянной удельной энтальпии. Затем по началь-
ным параметрам рабочего тела р1 и Т1 находят точку 1. Так
как при дросселировании энтальпия в начальной и конечной
точках процесса одинакова, то через точку 1 проводят условно
изоэнтпалъпу до пересечения с изобарой р2. Полученная
точка 2 и будет характеризовать состояние газа после дроссе-
лирования. Координаты точки 2 позволяют определить темпе-
ратуру Т2 и рассчитать интегральный дроссельный эффект
кТ=Т2~ Tv
На рис. 9.25 приведен пример определения интегрального
дроссельного эффекта с помощью /гТ-диаграммы. Определе-
ние величины ДУ ведут следующим образом. По начальным
параметрам рг и Тг перед дросселем на диаграмме находят
точку 1. Затем через эту точку проводят условную линию
h = const до пересечения с изобарой р2 в точке 2. По точке 2
находят температуру Т2 и рассчитывают ДТ = Т2 - Тг.
271
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
В наших рассуждениях дважды упомянуто об условной
изоэнтальпе. Процесс дросселирования необратим, поэтому он
не может быть изображен каким-либо графиком. Тогда при-
меняют условную линию дросселирования, которая совпадает
с начальной и конечной энтальпией.
Необходимо отметить, что интегральный дроссельный эф-
фект может достигать большой величины. Так, например, при
дросселировании водяного пара от давления 300 бар и темпе-
ратуры 450 °C до давления 1 бар температура пара уменьшает-
ся на 270 °C и становится равной 180 °C. Этот эффект широко
используется для получения низких температур.
9. 10.5. Охлаждение газа при адиабатном дросселиро-
вании. Снижение температуры при адиабатном дросселирова-
нии широко используется на практике для сжижения различ-
ных газов: азота, кислорода, воздуха.
Впервые установку для получения сжиженного воздуха с
использованием эффекта Джоуля—Томсона создал в 1895 г.
Линде. В установке Линде производится сжижение газа путем
многократного сжатия с охлаждением и последующим дроссе-
лированием. Изменение температуры в зависимости от пони-
жения давления при дросселировании определяется по урав-
нению (9.120).
При рассмотрении кривой инверсии (см. рис. 9.23) было
показано, что в процессе адиабатного дросселирования газ бу-
дет охлаждаться только в том случае, если его начальные па-
раметры находятся в области состояния, в которой ай > 0, т. е.
в области под кривой инверсии. Это значит, что начальная
температура реального газа перед дросселированием
должна быть меньше температуры инверсии. Последняя
рассчитывается из уравнения (9.124):
<9-136>
В табл. 9.2 приведены температуры инверсии некоторых
газов при нормальном давлении. Отметим, что температуры
инверсии всех газов, за исключением водорода и гелия, доста-
точно велики.
272
9.10. Дросселирование газов и паров
Таблица 9.2
Газ Температура
тк, к ги,к *и>°С
Гелий 5 34 -239
Водород 32 216 -57
Азот 128 865 592
Кислород 154 1040 767
Углекислый газ 304 2050 1777
Водяной пар 647 4370 4097
При дросселировании газов (кроме водорода и гелия), взя-
тых при комнатной температуре t = 20 °C, происходит пониже-
ние температуры. Температура инверсии водорода и гелия зна-
чительно ниже нормальной температуры окружающей среды,
поэтому при их дросселировании происходит не понижение, а
повышение температуры. Этим фактом объясняется, почему в
машине Линде долго не могли получить жидкий водород и
жидкий гелий. Для понижения температуры при дросселиро-
вании водорода и гелия по методу Линде их нужно предвари-
тельно охладить до температуры, меньшей, чем температура
инверсии: водород до ta = -57 °C, гелий до tw = -239 °C.
9. 10.6. Дросселирование водяного пара. Процессы дрос-
селирования водяного пара описываются ранее полученными
уравнениями и протекают при неизменной энтальпии до дрос-
селя и за ним.
В современной пиротехнике дросселирование встречается
практически во всех паропроводах, поскольку в их конструк-
циях всегда имеются местные сопротивления в виде задвижек
или вентилей. Рассмотрим этот процесс более подробно.
Температура водяного пара при дросселировании всегда по-
нижается, так как его температура инверсии Ти = 4370 К.
Наиболее просто и наглядно процесс адиабатного дрос-
селирования водяного пара изображается на /гз-диаграмме
18-5580
273
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
(рис. 9.26). Согласно условию (9.113) конечная точка процес-
са 2 должна лежать на горизонтали, проходящей через точ-
ку 1. Напомним, что этот процесс необратимый и всегда ото-
бражается пунктирной линией. При дросселировании сухого
пара он переходит в перегретое состояние (процесс 3—4).
При дросселировании насыщенных паров в области низких
давлений влажный пар в зависимости от начального и конеч-
ного давлений, степени сухости может быть после дросселиро-
вания влажным (а—Ь), сухим насыщенным (а—с) и перегре-
тым (а—d) (см. гл. 7). Сухой насыщенный пар при дроссе-
лировании всегда переходит в перегретое состояние.
На рис. 9.27 показан процесс дросселирования сухого на-
сыщенного пара при высоких давлениях (свыше 40 бар). Из
рисунка видно, что для насыщенных паров высокого давле-
ния производится их увлажнение, а затем подсушка и пере-
грев (процесс С—Си).
При дросселировании жидкостей при температурах, близ-
ких к насыщению, жидкость при температуре ts (точка В) пе-
реходит во влажный пар (процесс В—Ви), причем чем больше
падает давление, тем больше снижается температура пара и
увеличивается степень ее сухости.
При дросселировании перегретых паров в области наиболь-
ших давлений давление и температура уменьшаются, энтропия
и степень перегрева увеличиваются. Однако эти закономерности
Рис. 9.26
Рис.9.27
274
Задачи и их решение
изменяются при дросселировании па-
ра высокого давления и небольшого
перегрева (см. рис. 9.27). Из диаг-
раммы видно, что пар высокого дав-
ления из состояния в точке А сначала
переходит в сухой насыщенный пар
(точка АД, затем во влажный (точка
А2), потом снова в сухой насыщен-
ный и только потом переходит в пе-
регретый пар.
Необходимо отметить, что, как и
Рис. 9.28
всякий необратимый процесс, дросселирование приводит к
потере части работы. Это удобно проследить по /гз-диаграмме.
Из рис. 9.28 видно, что водяному пару в начальном состоянии
(точка 1) с параметрами р4, Т4, h4, s4 при расширении по ади-
абате 1—3 до конечного давления ркон соответствует распола-
гаемая работа, равная разности энтальпий h1 - h3. Если же по
пути пара поставить дроссель, то в результате дросселирова-
ния его параметры изменятся (точка 2) и станут равными р2,
Т2, h2, s2. При этом, расширяясь по адиабате 2—4 тоже до ко-
нечного давленияркон, совершится удельная работа I = h2 — /г4,
но меньшая, чем в первом случае. Уменьшение удельной рабо-
ты пара в результате дросселирования составит
М = (h4 - h3) - (h2 - Л4), (9.137)
поскольку h4 = h2, то
M = h4-h3. (9.138)
Несмотря на это уменьшение, эффект дросселирования
приводит и к положительному результату — увеличению сте-
пени сухости в конце адиабатного расширения (х4 > х3), т. е.
к улучшению эксплуатационных свойств паровых турбин.
ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЕ
1. Температура и давление воздуха перед входом в диффузор
ae Т = 217 К и р = 0,01 МПа. Определить температуру и
давление адиабатно заторможенного потока Т* и р* при
скорости полета w = 100 м/с, считая, что k = 1,4, ср =
= 1000 Дж/(кг • К).
18*
275
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
Решение.
/ Поскольку температура торможения учитывает кинетиче-
скую энергию набегающего потока, то, естественно, ее значе-
ние будет больше статической температуры
Г_т+^.217+11^_222к.
/ Поскольку процесс считается адиабатным, для которого
справедливо соотношение
то
=0,01- = 0,0108 МПа.
2. Влажный пар с давлением р{ = 0,5 бар и степенью сухости
хг = 0,9 имеет скорость w = 1000 м/с. Рассчитать с по-
мощью паровой /гз-диаграммы температуру Т‘ и давление
р* торможения.
Решение.
/ В области влажного пара задание давления и степени сухос-
ти полностью определяет его состояние. Тогда пересечение изо-
бары рг с линией постоянной степени сухости пара хг (точка 1
на /гз-диаграмме) определяет значения энтальпии и энтропии:
hx = 2418 кДж/кг = 2 418 000 Дж/кг,
Sj = 6,95 кДж/(кг • К).
/ Процесс торможения потока пара адиабатный (изоэнтроп-
ный), т. е.
з* = з2 = зг = 6,95 кДж/(кг • К).
Z Тогда энтальпию торможения (точка 2) определяем по
формуле
, 10002
h= /г2 = h + = 2 418 000 + = 2918 кДж/кг.
<ы
/ Для точки 2 на /гз-диаграмме с координатами h* = h2 и
з* = з2 = зх определяем значения температуры торможения:
t9 = t* = 230 °C, Т* = 503 К и давления торможения: р9 = р* =
= 0,8 МПа = 8 бар.
276
Задачи и их решение
3. Воздух, имеющий температуру 15 °C, по трубке диаметром
8 мм перетекает из резервуара с постоянным давлением
р* = 12 бар в другой, расположенный рядом, с постоянным
давлением р = 8 бар. Определить скорость истечения возду-
ха, температуру его при переходе во второй резервуар и се-
кундный расход воздуха (2?ВОЗД = 287,1 Дж/(кг • К), k = 1,4).
Решение.
/ Определяем область истечения
А = ^ = 0,667.
р 1^
/ Поскольку данная величина больше критического перепа-
да давления для воздуха [Зкр = 0,528, то истечение газа проис-
ходит в дозвуковой области
1,4 - 1
21-14-1(287,! • (273 + 15))[1 - ] = 252 м/с-
/ Массовый секундный расход определяем по формуле
fw
т = —,
v
где v — удельный объем воздуха на входе в резервуар с мень-
шим давлением, f — площадь поперечного сечения трубки
ttJ2 = 3,14(8-10"3)2 = . 10_6 2
4 4
/ Поскольку течение является адиабатным, то v может быть
выражен через удельный объем в резервуаре с большим давле-
нием v'! и соответствующим давлением из соотношения p*(v*)k =
= pvk.
/ В свою очередь, р* находим из уравнения состояния для
идеального газа
* RT* 287,1(273 + 15) „ „„ ч,
v - ~р- ------127105----" °-07 “ /кг’
1 J_
v = р*(^) * = 0,07 • (у У’4 = 0,0936 м3/кг.
277
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
/ Температуру воздуха в момент перехода определяем по
уравнению состояния
pv = RT,
pv _ 8-105-0,0936
1 R 287,1
= 260 К.
/ Подстановкой найденных значений f и v в уравнение рас-
хода получаем
т =
wf
v
252 • 50,2 • 10~6
0,0936
= 0,135 кг/с.
4. Воздух (й = 1,4; R = 287,1 Дж/(кг • К)) истекает через
яии сужающееся сопло в среду с давлением р2 = 10 бар при
давлении в сосуде pt = 80 бар и температуре t1 = 1000 °C.
Рассчитать скорость истечения w и расход воздуха при
диаметре выходного сечения сопла d = 0,01 м (/2 =
= 0,785-10-4 м2).
Решение.
р2 ю
Определяем отношение давлений Р = — = gg =0,125.
Это отношение р < Ркр = 0,528, т. е. расширение газа в сопле
будет неполным и давление на срезе сопла
Ркр = РкрР1 = 0,528 • 80 = 42,24 бар.
/ В этом случае скорость истечения равна критической ско-
рости:
I 9k /9.14
w = ш = д zr-^-rRT, = Л , . ; ,287,1 • 1273 = 652,9 м/с,
КР \ 1,4 + 1 1 ^1,4+1
где T1 = t1 + 273 = 1273 К.
/ При этом расход воздуха будет равен максимальному рас-
ходу:
т = mrnax
, 2fe Л 2 Pl
+ + RT}
= 0,785-10-4
2-1,4/ 2 Л(80- 10)2
1,4 + 1^1,4 + 1) 287,1-1273
= 0,7114 —.
с
278
Задачи и их решение
5. Рассчитать с помощью паровой /гз-диаграммы скорость
истечения водяного пара через сопло Лаваля, если пара-
метры пара в сосуде:
р1 = 5 бар, = 450 °C,
а температура на выходе из сопла t2 = 30 °C.
Решение.
/ Определяем энтальпию h1 и энтропию 8Х на входе в сопло,
как точка пересечения изобары рг = 5 бар = 0,5 МПа и изотер-
мы /j = 450 °C в области перегретого пара (точка 1):
= 3380 кДж/кг = 3 380 000 Дж/кг,
Sj = 7,95 кДж/(кг • К).
/ Процесс истечения адиабатный (изоэнтропный), т. е. на
выходе из сопла энтропия
s2 = Sj = 7,95 кДж/(кг• К).
/ Пересечение линии процесса s = const с изотермой t2 =
= 30 °C (точка 2) определяет энтальпию на выходе из сопла:
h2 = 2395 кДж/кг = 2 395 000 Дж/кг.
/ Определяем скорость истечения
w = 72(/гх - /г2) = 72(3380- 103 - 2395 103) = 1404 м/с.
6. Определить время, имеющееся в распоряжении экипажа
"" космического корабля для проведения аварийных работ,
если корабль с объемом дыхательной смеси — воздуха с
k = 1,4 и R = 287,1 Дж/(кг- К) в жилом отсеке Унач = 10 м3
при рняч = 1 бар получил метеоритную пробоину диа-
метром d = 0,01 м. Жизнедеятельность человека возмож-
на до pmin = 0,75 бар. Температуру считать постоянной
t = 18 °C.
Решение.
/ Так как перепад давлений всегда сверхкритический, то
при решении задачи необходимо пользоваться формулами для
шкр и mmax. Однако из-за падения начального давления, кото-
279
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
рое будет соответствовать давлению торможения от р” = 1 бар
до p/lin = 0,75 бар, mmax будет переменным. Разбиение рас-
чета по шагам Др* было бы наиболее верным, но такой расчет
долог.
Предлагается выполнить оценочный расчет по нгтах, соот-
ветствующему р:: = 1 бар, и по mmin при р^ш = 0,75 бар, взяв
искомое время как среднеарифметическое.
/ Итак, определяем критическую скорость истечения
I k ' I 1~4
ш = */2т—, 21 ’ 1 • 287,1 • 291,15 =312,7 м/с.
к₽ N k + 1 N 1,4 + 1 ’ '
У Из уравнения состояния для идеального газа pV = mRT
определяем массу начального и конечного воздуха в корабле:
_ Рнач^ _ Ю5-Ю _ . , ЙП
тнач RT 287,1-291,15 11>69кг»
_ РпшЛ _ 0,75- 105- 10 _ Q __
ткон RT 287,1-291,15 8,76 КГ>
Z Определяем массу воздуха, которая утечет
Am = тп ~ тп = 11,69 - 8,76 = 2,93 кг.
Z Определяем максимальный расход воздуха, соответствую-
щий сверхкритическому режиму истечения при начальном
давлении р* = 1 бар:
2
k р*2 / 2 У"1 =
+ lRT\k + 1J
о 1,4 Ю10 ( 2 \ М-i
1,4 + 1 ’ 287,1 • 291,15Ц,4 + 1J
= 18,1 • 10'3 кг/с.
Z Время, имеющееся у экипажа при таком расходе,
А/п 2,93 nt п п гг
т. = ---- = -Т——-Т-5 = 161,9 с ~ 2,7 мин.
1 "Imax, 18,1-10-3
280
Задачи и их решение
/ Определяем секундный расход при минимальном давле-
нии
I 2
• __ л ? k Pmin ( 2 \ fe ~ 1 _
7/1 max 2 - I ^k+ iRT*{k + 1J ""
Q 1,4 (0,75-IO5)2/ 2 ул-i
^1,4 + 1'287,1 • 291,15Ц,4 + 1J
= 13,5 • 10-3 кг/с.
/ Время, имеющееся у экипажа при таком расходе,
_ Ат _ 2,93 _ 91 „ ~ q Й1
2 ^тах, 13,5-10-3 217 3,61 МИН.
/ За располагаемое экипажем время примем
+ т2 161,9 + 217 о _
Т = —g— = -----£------ = 189,4 с ~ 3,15 мин.
7. В газовой турбине параметры воздуха перед его адиабат -
™ ным истечением из расчетного сопла Лаваля рг = 20 бар,
Тг = 973 К, давление окружающей среды р = 0,5 бар. В се-
кунду через сопло протекает 20 кг воздуха. Определить
скорость истечения воздуха в наиболее узком сечении со-
пла и на выходе и диаметры этих сечений.
Решение.
/ При работе сопла Лаваля на расчетном режимер = р2, ско-
рость на выходе из сопла Лаваля
/ Скорость в наиболее узком сечении сопла равна критиче-
ской скорости, которую определяем по следующей формуле:
иг = J2’5,-287,1 • 973 = 572 м/с.
кр \ k + 1 1 А/ 1,4 + 1 1
281
Глава 9. Термодинамика потоков жидкости и газа
/ Диаметр выходного сечения сопла определяем из форму-
лы расхода
... ^2 /о k
т 4
Отсюда
4/п
J2 /г + 1
fe Pi |>P2V /РгЛ k
= 21 мм.
1,4 (20-105)2
ЯлН1,4 - 1287,1-973
/ Диаметр критического сечения сопла определяем из фор-
мулы
2
k ( 2 У"1 Pi2
+ l[k + 1) RTj '
Отсюда
j _ max
- —— — — — _ =
4 • 20
= 10-Ю-3 м.
w 9 !>4 ( 2 ^Й4^.(20-105)2
л/ 1,4 + Ц 1,4 + 1) 287,1-973
Глава 10
Процессы в машинах
для сжатия и расширения газа
10.1. Классификация машин
Машины для сжатия газа или пара называются компрес-
сорами. В зависимости от принципа сжатия газа компрессо-
ры делятся на две группы: поршневые и ротационные. Ко
второй относятся центробежные и осевые компрессоры.
В поршневом компрессоре засасываемый газ сжимается в ци-
линдре поршнем и по достижении заданного давления выталки-
вается в резервуар или сеть высокого давления. В ротационном
компрессоре, так же как и в поршневом, применяется объемное
квазистатическое сжатие. В центробежных и осевых компрессо-
рах, а также в компрессорах эжекционного действия сжатие газа
имеет динамический характер и осуществляется в два этапа. На
первом этапе газу сообщается некоторая скорость, а на втором —
кинетическая энергия потока преобразуется в энергию давления.
В зависимости от типа создаваемого давления компрессоры
подразделяются на:
• вакуум-насосы — машины, отсасывающие газ из про-
странства с давлением ниже атмосферного, сжимающие
его и нагнетающие в пространство с давлением не ниже
атмосферного;
• газодувки — машины, сжимающие газ до избыточного
давления 0,2 МПа;
• компрессоры низкого давления, сжимающие газ до
избыточных давлений 0,1—1,0 МПа;
• компрессоры среднего давления, служащие для сжа-
тия газа до давлений 1,0—10 МПа;
• компрессоры высокого давления, предназначенные
для сжатия газа до давлений 10—100 МПа и выше.
283
Глава 10. Процессы в машинах для сжатия и расширения газа
Вакуум-насосы широко применяются в вакуумной техни-
ке', газодувки используются в вентиляции и металлургическом
производстве для подачи воздуха или кислорода; компрессо-
ры низкого давления — в бытовой технике и пневматиче-
ских установках; компрессоры среднего давления — в нефте-
добывающей промышленности и на магистральных станциях
перекачки газа; компрессоры высокого давления применяют-
ся в азотно-туковом и других производствах синтеза газов под
давлением, в установках для разделения воздуха методом глу-
бокого охлаждения, на кислородных заводах ракетных поли-
гонов.
Компрессоры низкого и среднего давлений применяются
также в двигателях внутреннего сгорания, холодильных уста-
новках, в газотурбинных и реактивных двигателях.
В зависимости от объема всасываемого газа различают
компрессоры: малой подачи (до 0,003 м3/с); средней пода-
чи (от 0,003 до 0,03 м3/с); большой подачи (от 0,03 м3/с
и выше).
В зависимости от числа ступеней последовательного сжа-
тия газа компрессоры делятся на одноступенчатые и мно-
гоступенчатые.
Качественной характеристикой компрессора является сте-
пень повышения давления
n=p2/Pi,
где рх — начальное давление; р2 — давление в конце процесса
сжатия.
По степени повышения давления машины подразделяют-
ся на:
• вентиляторы (л = 1,0—1,1);
• газодувки(л= 1,1—1,2);
• компрессоры (л > 3).
Машины, в которых происходит расширение рабочих тел
для получения работы или охлаждения газов в холодильных
установках, получили название детандеров. К детандерам
относятся пневмодвигатели, поршневые машины, паровые
и газовые турбины [турбодетандеры).
284
10.2. Принципиальные схемы компрессоров
10.2. Принципиальные схемы компрессоров
Одноступенчатый компрессор (рис. 10.1) представляет
собой цилиндр 1 с охлаждающей рубашкой 3, внутри которого
движется поршень 2. К цилиндру компрессора подведены воз-
душные каналы с впускными 4 и нагнетательными 5 клапана-
ми, через которые сжатый воздух по каналу 6 подается потреби-
телю. Поршень 2 имеет два крайних положения, называемых
верхней и нижней мертвыми точками (ВМТ и НМТ). Рас-
стояние между этими положениями, умноженное на площадь
поршня, называется рабочим объемом Ураб цилиндра компрес-
сора. Объемы между поршнем и крышками цилиндра в крайних
положениях поршня (правом и левом) называются вредными
пространствами Уо. Обычно Vo = (0,04—0,10)F б.
Совокупность рабочих процессов, происходящих в поршне-
вом компрессоре в /эУ-координатах, получила название индика-
торной диаграммы, по наименованию прибора — «динамо-
метрического индикатора», фиксирующего изменение давления
в цилиндре в зависимости от объема сжатия, определяемого
расстоянием верхней кромки поршня от ВМТ.
Действительная индикаторная диаграмма компрессора для
рабочего объема слева от поршня показана на рис. 10.2.
При движении поршня 2 от НМТ влево впускной клапан 4
закрывается, и воздух, имеющийся в цилиндре, сжимается.
В точке 2 давление в цилиндре компрессора оказывается рав-
ным давлению воздуха в нагнетательном патрубке. Однако за-
тем давление в цилиндре повышается дополнительно, что обеспе-
Рис. 10.1
285
Глава 10. Процессы в машинах для сжатия и расширения газа
2 3 4 чивает открытие клапана 5 и
выталкивание воздуха в нагне-
тательный патрубок 6 (в воз-
I душный ресивер с давлени-
ем Р^' П° мере приближения
поршня к крайнему левому по-
I 5 ложению скорость его движе-
Рис 10 3 ния уменьшается, перепад дав-
лений между цилиндром и ре-
сивером также уменьшается и при достижении поршнем ВМТ
(точка 3) давления в цилиндре и ресивере выравниваются. При
движении поршня в обратном направлении давление в ци-
линдре падает, клапан 5 закрывается и воздух, сжатый в объ-
еме Vo вредного пространства, расширяется (процесс 3—4').
В точке 4' давление в цилиндре оказывается равным давле-
нию рг окружающей среды, после чего в цилиндре образуется
некоторое разрежение, обеспечивающее открытие впускного
клапана 4 и всасывание воздуха в цилиндр 1 из окружающей
среды. В точке 1 впускной клапан закрывается и при обрат-
ном движении поршня сжимается новая порция воздуха.
Охлаждение компрессора происходит проточной водой 3.
На рис. 10.3 приведена принципиальная схема ротационно-
го (пластинчатого) компрессора. Компрессор состоит из вход-
ного патрубка!, корпуса 2, ротора 3, пластин 4 и выходного
патрубка 5. Ротор 3 устанавливается эксцентрично относи-
тельно корпуса 2. В теле ротора имеются пазы, в которые сво-
бодно вставлены пластины 4. При вращении ротора пластины
под действием центробежной силы выдвигаются из пазов и
скользят по внутренней стенке корпуса 2. Газ из резервуара
низкого давления по входному патрубку 1 поступает в комп-
рессор. Попавшая между пластинами порция газа по ходу вра-
щения ротора постепенно уменьшается в объеме, в результате
чего его давление повышается. Сжатый газ поступает в выход-
ной патрубок 5. Как видно, принцип действия ротационного
компрессора аналогичен принципу действия поршневого комп-
рессора — ив том, и в другом случае сжатие газа происходит за
счет уменьшения объема, в котором заключен газ.
На рис. 10.4 приведена принципиальная схема одноступенча-
того центробежного компрессора, который состоит из входного
286
10.2. Принципиальные схемы компрессоров
патрубка 1, рабочего колеса 2 с рабочи-
ми лопатками, диффузора 3, выходных
патрубков 4 и корпуса 5. Газ поступает
через входной патрубок в каналы, обра-
зованные лопатками рабочего колеса.
При вращении рабочего колеса газ за-
хватывается этими лопатками и приоб-
ретает высокую скорость, так как враще-
ние диска сообщает газу большую кине-
тическую энергию. Далее газ поступает в
диффузор, лопатки которого установле-
ны в неподвижном корпусе компрессора.
В диффузоре скорость газа уменьшается,
а за счет его торможения кинетическая
энергия превращается в потенциальную
энергию давления. Затем газ отводится
Рис. 10.4
схема осевого комп-
через выходной патрубок.
На рис. 10.5 приведена конструктивная
рессора. Ряд лопаток 2, закрепленных на вращающемся ро-
торе 1 компрессора, образует рабочее колесо. Обычно на рото-
ре устанавливается несколько рабочих колес. Между ними
располагаются ряды неподвижных лопаток 3, которые обра-
зуют спрямляющие аппараты.
Рабочее колесо и установленный за ним спрямляющий ап-
парат составляют ступень осевого компрессора. Таким обра-
зом, в осевом компрессоре воздух перемещается вдоль оси и
сжимается в ряде ступеней, состоящих из рабочих колес и
спрямляющих аппаратов.
На рис. 10.6 приведена принципиальная схема многосту-
пенчатого осевого компрессора. Осевые компрессоры совре-
Рис. 10.5
Рис. 10.6
287
Глава 10. Процессы в машинах для сжатия и расширения газа
менных турбореактивных двигателей имеют от 4 до 30 и более
ступеней. Неподвижные лопатки, установленные перед пер-
вым рабочим колесом, называются направляющим аппара-
том. На рис. 10.7 показано изменение параметров воздуха в
осевом компрессоре. Видно, что давление и температура повы-
шаются как в рабочих колесах, так и спрямляющих аппара-
тах. Абсолютная же скорость движения воздуха возрастает в
каждом рабочем колесе и уменьшается в каждом спрямляю-
щем аппарате. Центробежные и осевые компрессоры отлича-
ются от поршневых непрерывностью действия и значительны-
ми скоростями перемещения рабочего тела.
На рис. 10.8 приведена принципиальная схема струйного
компрессора, или эжектора. Эжектор — устройство для сжа-
тия и перемещения газов, паров, а также жидкостей и пульпы.
Эжектор состоит из сопла 1, камеры смешения 2, всасывающей
камеры 3 и диффузора 4.
В эжекторе происходит передача энергии от одной среды,
движущейся с высокой скоростью (рабочая среда), к другой
среде (подсасываемая среда). Сжатие и перемещение подсасы-
ваемой среды достигаются за счет передачи ей части кинети-
ческой энергии рабочей среды в процессе смешения. Рабочая
среда расширяется в сопле и поступает в камеру смешения,
в которую из всасывающей камеры поступает подлежащая
сжатию подсасываемая среда (газ или пар низкого давления).
Смесь двух сред из камеры смешения поступает в диффузор,
в котором кинетическая энергия струй переходит в потенци-
альную энергию с повышением давления.
По виду рабочей и подсасываемой сред эжекторы подразде-
ляются на несколько типов: газо-газовые, парогазовые, жидко-
Рис. 10.7
288
10.3. Работа одноступенчатого поршневого компрессора
стно-газовые, жидкостно-жидкостные, парожидкостные и т. д.
Парожидкостный эжектор называют инжектором.
Основное различие процессов в эжекторе и компрессоре со-
стоит в том, что сжатие газа или пара в эжекторе осуществля-
ется не внешним источником механической работы, а рабочей
средой, которая смешивается с подсасываемой средой.
Несмотря на конструктивные отличия и различие в прин-
ципах работы компрессоров различных групп, процессы, про-
исходящие в них, с термодинамической точки зрения вполне
эквивалентны.
10.3. Работа одноступенчатого
поршневого компрессора
Обратимся вновь к рис. 10.2. На нем видно, что рабочий про-
цесс одноступенчатого компрессора состоит из всасывания в ра-
бочий цилиндр газа низкого давления, сжатия его до высокого
давления и выталкивания из цилиндра сжатого газа. В каждом
из этих процессов работа не равна нулю.
Для возможности учета затрат на сжатие газа обычно рас-
сматривается не действительная индикаторная диаграмма, а
идеальный рабочий процесс. При этом не учитывается влия-
ние клапанов и принимается, что процесс нагнетания 2—3
происходит при давлении р2, равном давлению в ресивере,
а всасывание — при давлении рг, равном давлению окружаю-
щей среды.
Кроме того, считается, что геометрический объем цилиндра
компрессора равен рабочему объему. Это допущение равно-
значно отсутствию вредного про-
странства. В расчетах также предпо-
лагается, что трение отсутствует и
всасывание газа в цилиндр происхо-
дит при постоянном давлении.
С учетом сделанных допущений
теоретическая индикаторная диаг-
рамма будет соответствовать совокуп-
ности процессов, отображенных на
рис. 10.9. Идеальный процесс 0—1,
19-5580
289
Глава 10. Процессы в машинах для сжатия и расширения газа
соответствующий наполнению цилиндра газом при постоян-
ном давлении рх, не является термодинамическим процессом
в строгом смысле, поскольку происходит изменение лишь
массы рабочего тела, всасываемого в цилиндр, а параметры
состояния ТРТ неизменны. Процесс 0—1 называется всасы-
ванием. Точка 1 соответствует положению поршня в НМТ,
когда весь цилиндр заполнен газом низкого давления.
Кривая 1 —2 соответствует процессу сжатия газа в комп-
рессоре от давления рх до р2 при закрытых всасывающем и на-
гнетательном клапанах и при условии постоянства теплоем-
кости в течение процесса сжатия — это политропный процесс.
В точке 2 происходит открытие нагнетательного клапана.
Горизонтальная линия 2—3 соответствует процессу вы-
талкивания газа из цилиндра в резервуар высокого давле-
ния и называется линией нагнетания. При этом количество
газа, находящегося в цилиндре, уменьшается. Этот процесс
тоже не является термодинамическим, так как параметры со-
стояния рабочего тела остаются постоянными. В расчетах же
процессы всасывания и выталкивания с переменной массой
ТРТ заменяются условными термодинамическими процес-
сами с постоянной массой ТРТ и переменными параметрами
политропного процесса у = const.
Из рис. 10.9 видно, что работа LK, затраченная на сжатие
газа в одноступенчатом компрессоре, графически изображает-
ся площадью 12301 и определяется по формуле
Дс = -^12 + -^23 — -^01 =
= пл. 211'2' + пл. Ио322' - пл. ИоО1Г (10.1)
или по формуле
Рг
LK=J Vdp. (10.2)
Pi
В общем случае в зависимости от условий теплообмена между
сжимаемым рабочим телом и стенками цилиндра процесс сжа-
тия может осуществляться по адиабате, изотерме и политропе.
Если указанный процесс осуществляется достаточно быст-
ро и так, что между окружающей средой и газом не происхо-
дит теплообмена или передача теплоты затруднена вследствие
высокой температуры окружающей среды, то его можно счи-
тать адиабатным. Если же цилиндр компрессора охлаждается
290
10.3. Работа одноступенчатого поршневого компрессора
водой с температурой 7\ и обеспечивается идеальный теплооб-
мен между газом в цилиндре и рубашкой охлаждения (т. е.
теплота, выделяющаяся при сжатии газа, полностью отводит-
ся охладителем), то процесс сжатия происходит при Т\ =
= const и сам процесс изотермический.
Изотермический и адиабатный процессы сжатия можно
рассматривать только теоретически. В действительности про-
цессы сжатия происходят с показателем степени политропно-
го процесса у, который зависит от интенсивности отвода теп-
лоты от сжимаемого газа в компрессоре. При сжатии газов в
охлаждаемых компрессорах 1 < у < k, а в неохлаждаемых
(центробежных и осевых) у > k. Среднее значение показателя
политропного процесса рассчитывается по параметрам газа в
начале и в конце сжатия.
На рис. 10.10 в pV- и Та-координатах показаны теоретиче-
ские процессы идеального компрессора. Из рисунка видно,
что при сжатии газа по изотерме 1—2 работа сжатия изобра-
жается площадью 12301, а при сжатии по адиабате 1 —2" —
площадью 12"301. Для сравнения на этом же рисунке пока-
зан процесс сжатия и по политропам с 1 < у < k (1 —2') и с у > k
(1—2"'). Поскольку площадь 12301 наименьшая, то можно
констатировать, что изотермический процесс сжатия являет-
ся наиболее выгодным — затрачивается минимум работы.
Из этого следует, что для уменьшения работы сжатия ре-
ального компрессора необходимо приблизить процесс сжатия
к изотермическому, т. е. обеспечить достаточно хороший от-
вод теплоты от сжимаемого газа в цилиндре компрессора, что
19*
291
Глава 10. Процессы в машинах для сжатия и расширения газа
и осуществляется охлаждением наружной поверхности ци-
линдра компрессора водой, которая протекает через охлаж-
дающую рубашку.
У компрессоров малой производительности при небольших
давлениях сжатого газа для обеспечения отвода теплоты на-
ружные стенки цилиндра делают ребристыми. При работе
компрессора ребра обдуваются воздухом.
Необходимо отметить, что охлаждение стенок цилиндра
повышает надежность работы компрессора и позволяет дости-
гать большей его быстроходности и более высоких давлений
сжатия газа.
Численное значение работы, затрачиваемой на сжатие газа
в одноступенчатом компрессоре, определяется по выражению
(10.2), которое в зависимости от характера сжатия преобразу-
ется к следующему виду.
При политропном сжатии, описываемом уравнением
1
Р2 Рг -1 n'V ( 1 - i 1 - 1 \
Lk= I Vdp = const £ p Tdp = 1/7(p2 y ' Pi y) =
= (pI v2p! ~y - Pi vipI ~y)
или
ЬК = Т^1(Р2^2-Р1^1)- (10-3)
Последняя формула с учетом соотношений между параметра-
ми в политропном процессе может быть записана так:
(Ю.4)
При адиабатном сжатии в приведенных выражениях
показатель политропного процесса у заменяется на показатель
адиабатного процесса /г:
fe -1
* -1]. (10.5)
292
10.4. Работа одноступенчатого центробежного компрессора
Работа компрессора при адиабатном сжатии может быть
подсчитана и иным путем. Действительно, при подстановке k
вместо у в уравнение (10.3) и дальнейшей замене по уравне-
нию состояния идеального газаpV = mRT будем иметь
Ьк = mR(T2 - 7\). (10.6)
С учетом того что k = cp/cv и с - cv = R, уравнение (10.6) пере-
пишется в виде
LK = тср(Т2 - 7\). (10.7)
Поскольку для идеального газа d/i = ср dT, то (10.7) оконча-
тельно перепишется в виде
ЬК = Н2~НГ (10.8)
_ TZ const ,
При изотермическом сжатии V = ---------- и формула для
LK будет иметь вид
/72 Р2 j р р
LK = J V dp = const J — = Pi^i In —- = mRT In — . (10.9)
Pi Pi P Pi Pi
При расчете и проектировании одноступенчатых поршне-
вых компрессоров необходимо учитывать, что при высоких
давлениях сжатия температура газа сильно увеличивается и
может даже превысить температуру самовоспламенения мас-
ла в цилиндре. Обычно одноступенчатые поршневые компрес-
соры применяются для сжатия газа до давления 6—10 бар.
Для получения сжатого газа более высокого давления надо ис-
пользовать многоступенчатые компрессоры.
10.4. Работа одноступенчатого
центробежного компрессора
На рис. 10.11 показана схема одноступенчатого центробеж-
ного компрессора. При вращении рабочего колеса 1, снабжен-
ного лопатками 2, воздух, находящийся между лопатками, от-
брасывается в улитку. Сжимаемому газу при этом сообщается
на выходе скорость w2, которая больше скорости а\ газа на вхо-
де в турбокомпрессор. Следовательно, часть работы, потребляе-
мая турбокомпрессором, расходуется на изменение кинетиче-
ской энергии газа.
293
Глава 10. Процессы в машинах для сжатия и расширения газа
Рис. 10.11
Если пренебречь разницей уровней (по высоте) сечений ка-
нала движения газа в турбокомпрессоре на входе и выходе и
принять ее равной нулю, то уравнение первого закона термо-
динамики (2.19) для рассматриваемого случая примет вид
5Q = dH + d(^-2) + 5LTex
(10.10)
или после интегрирования
mu; mivr
Q = H2-Hl + +LTex. (10.11)
Техническая работа LTex расходуется турбокомпрессором
на сжатие газа, поэтому LTex = -LK.
В соответствии с этим уравнение (10.11) перепишем отно-
сительно LK:
•^к ^2 +
9
mw^
2
9
miv(
2
-Q,
(10.12)
где Q — теплота, отведенная от рабочего тела в процессе
сжатия.
Если теплообменом с внешней средой пренебречь (адиабат-
ный процесс), то Q = 0. Тогда
Lk = H2-Hx+ f (w2 - wf). (10.13)
В случае малого различия скоростей w1 и w2 уравнение
(10.13) будет соответствовать ранее полученному уравнению
(10.8), т. е. получается уравнение, совпадающее с уравнением
адиабатного сжатия в одноступенчатом поршневом компрес-
соре.
294
10.5. Многоступенчатый компрессор
10.5. Многоступенчатый компрессор
Многоступенчатые компрессоры применяются для получе-
ния газа высокого давления. Они представляют собой сово-
купность нескольких последовательно работающих односту-
пенчатых поршневых компрессоров с промежуточным охлаж-
дением сжимаемого газа между ступенями. Использование
промежуточного охлаждения газа улучшает условия смазки
поршня в цилиндре и уменьшает расход энергии на привод
компрессора, приближая рабочий процесс в компрессоре к
изотермическому.
На рис. 10.12 приведена принципиальная схема трехсту-
пенчатого компрессора, а на рис. 10.13— его теоретическая
индикаторная диаграмма. Процесс сжатия в трехступенчатом
компрессоре на этой диаграмме изображен ломаной линией
1—2—3—4—5—6 (рис. 10.13, а).
Воздух всасывается в первый цилиндр при давлении pY и
сжимается в нем по политропе 1 —2 до давленияр2, с которым
поступает в первый холодильник, где по изобаре р2 = const ох-
лаждается до температуры в
точке 3 с уменьшением своего
объема на величину ДУ = V2 -
- V3. Этот процесс охлаждения
изображается отрезком гори-
зонтали 2—3, при этом точ-
PL 7 6 8 9
а) б)
Рис. 10.13
295
Глава 10. Процессы в машинах для сжатия и расширения газа
ка 3 лежит так же, как и точка 1, на изотерме 1 — 3—5 — 7.
Площадь 012а определяет работу, затрачиваемую на сжатие
газа в первой ступени компрессора.
Из первого холодильника воздух, состояние которого соответ-
ствует точке 3, всасывается во второй цилиндр меньшего разме-
ра при давлении р2 и сжимается в нем по политропе 3—4 до дав-
ления р4. Далее следует охлаждение по изобаре р3 = const во вто-
ром холодильнике до начальной температуры с уменьшением
объема на величину ДУ = У4 - V5. Процесс вторичного охлажде-
ния изображается отрезком горизонтали 4—5. Площадь а34Ъ
определяет работу сжатия газа во второй ступени компрессора.
Из второго холодильника воздух, состояние которого соот-
ветствует точке 5, всасывается в цилиндр третьей ступени, где
по политропе 5—6 сжимается до конечного давления р6. Пло-
щадь Ъ56с определяет работу сжатия газа в третьей ступени
компрессора.
Если бы процесс сжатия осуществлялся по политропе до
конечного давления, величина работы, затраченной на сжа-
тие, определялась бы площадью 019с0.
Работа трехступенчатого компрессора при политропном сжа-
тии газа в каждой ступени определяется площадью 0123456с0.
Заштрихованная площадь означает выигрыш в работе от
применения трехступенчатого сжатия. Чем больше число сту-
пеней сжатия с промежуточным охлаждением, тем ближе
процесс сжатия будет приближаться к изотермическому, для
которого работа в выбранном интервале значений давлений
будет минимальной (площадь 01357с0).
При проектировании многоступенчатого поршневого комп-
рессора важно выбрать оптимальное распределение общего пе-
репада давлений между ступенями для получения минималь-
ных затрат работы на весь процесс в целом. При решении этой
задачи исходят из следующих условий:
• сжимаемый газ после каждой ступени охлаждается до
первоначальной температуры Т\, при этом температуры
газа на входе в каждую ступень компрессора будут оди-
наковы и равны Т\;
• при сжатии газа на всех ступенях температура его дово-
дится до одного и того же значения, равного Т2.
296
10.5. Многоступенчатый компрессор
каждой ступени компрессора будет
Pi _Рв
л,,
Рз Pb 1
(10.14)
С учетом этих условий для трехступенчатого компрессора
имеем
Л = т3 = т5, т2 = т\ = т6,
Рз = Рз’ Pi = Рз> Рб = Рт
Если показатель политропного процесса сжатия на всех
ступенях один и тот же и равен у, а
L2 = Zj =
Ti т3 Т5’
отношение давлений на
одним и тем же
Р2
Pi
где лг — степень повышения давления в одной ступени
компрессора.
Таким образом, при принятых условиях давление газа во
всех цилиндрах многоступенчатого компрессора увеличивает-
ся в одно и то же число раз.
По формуле (10.4) можно подсчитать работу, затраченную
на сжатие газа в первой ступени:
-1]. (10.15)
С учетом уравнения состояния идеального газа pV = mRT и
определения (10.14) данную формулу можно переписать в виде
ЬК1 = 7^1 mRT^~ - 1]. (10.16)
Несложно догадаться, что при постоянной = const с уче-
том (10.14) по той же формуле можно определить работу и для
второй, и для третьей ступени. При условии охлаждения сжи-
маемого газа до первоначальной температуры расчет по фор-
муле (10.16) для каждой ступени дает одно и то же численное
значение.
Если обобщить результаты рассуждения на ZK ступеней, то
можно записать
EKmh=ZkLKi, (10.17)
где L — работа, затраченная на сжатие газа в одной ступени
компрессора, ZK — число ступеней сжатия компрессора.
297
Глава 10. Процессы в машинах для сжатия и расширения газа
Если ввести понятие суммарного повышения давления
в компрессоре
пк=Рков/рвач, (10.18)
то с учетом (10.14) применительно к трехступенчатому комп-
рессору можно записать
к Pi \Ps> ЛРз ЛР1 ) 1
откуда степень повышения давления в одной ступени
л1= •
Обобщая полученную формулу на число ступеней ZK, получаем
= 2клК = ^“л/Ркон/Рнач >
(10.19)
т. е. степень увеличения давления в каждой ступени компрес-
сора равна корню ZK-fi степени из отношения конечного дав-
ления к начальному
Необходимо иметь в виду, что диаметры цилиндров ступе-
ней компрессора постепенно уменьшаются при одном и том
же ходе поршня по мере увеличения давления сжимаемого
воздуха. Соотношения рабочих объемов цилиндров нетрудно
получить, так как точки 1,3,5, 7 (рис. 10.13, б) располагают-
ся на одной изотерме. В связи с этим prVr = р3У3 = p5V5 = р7У7,
. у = V3P3 = ^3
Х1 ’ 5 - р5 “ 7СХ
поэтому V3 =
ViPi
Рз
И Т. д.
К1
Следовательно, объемы цилиндров
многоступенчатого
компрессора уменьшаются по закону геометрической регрес-
1
сии со знаменателем — .
Л1
10.6. Детандеры
Детандеры — машины, в которых происходит расширение
рабочих тел для получения полезной работы.
Рабочие усилия в поршневой машине создаются давлением
неподвижной массы рабочего тела (газа или пара).
298
10.6. Детандеры
В турбине рабочие усилия
возникают в результате из-
менения кинетической энер-
гии. Преобразование кине-
тической энергии в турбине
происходит в каналах непо-
движного соплового аппара-
та и рабочих лопаток, уста-
новленных на вращающем-
ся диске турбины.
Рис. 10.14
На рис. 10.14 приведена
диаграмма работы детандера в pV- и Ts-координатах. При
этом процесс А—1 соответствует наполнению; 1—2 — расши-
рению рабочего тела; 2—В — выталкиванию газа или пара.
Из рисунка видно, что работа является следствием процесса
расширения газа. Процесс расширения рабочего тела в детан-
дере зависит от условий теплообмена между рабочим телом и
стенками расширительной машины и может осуществляться
по изотерме 1—2' и адиабате 1—2. При расширении по изо-
терме величина работы определяется площадью А12'ВА,
а при расширении по адиабате— площадью А12ВА, вторая
площадь меньше первой, т. е. расширение по изотерме явля-
ется предпочтительнее. Для увеличения работы расширения
необходимо процесс расширения рабочего тела приблизить к
изотермическому процессу. Однако процесс расширения по
изотерме трудно осуществить и процессы в детандерах близки
к адиабатным.
Работа детандера при адиабатном процессе расширения ра-
бочего тела
£д = -/ Vdp = H1-H2.
(10.20)
Принимая, что в адиабатном процессе p2V% = Pi^i , и учи-
тывая, что р2 < рг, получаем
р2 Р2 1 —7—
L.--J rdP--P1yf J ]' (10'21)
Pl Pl k L J
299
Глава 10. Процессы в машинах для сжатия и расширения газа
Работа детандера при изотермическом процессе расшире-
ния определяется по следующей формуле:
Р2 Рг , д
L =-J V Ар =-mRT f -mRTh (10.22)
Pt Pt Р Рг
Приблизить процесс расширения к изотермическому в де-
тандерах можно, если в процессе многоступенчатого расшире-
ния от давления рг до р2 подводить теплоту между ступенями
(подогрев пара в паронагревателе, работа промежуточной ка-
меры сгорания между ступенями газовой турбины).
Детандеры являются основными агрегатами паровых и га-
зовых тепловых установок, в том числе холодильников и кон-
диционеров.
ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЕ
1. Одноступенчатый компрессор адиабатно сжимает воздух
из окружающей среды с температурой = 30 °C от рг =
= 0,1 МПа до р2 = 0,65 МПа и при этом подает потребите-
лю 175 кг сжатого воздуха в час. Определить температуру
воздуха в конце процесса сжатия и мощность двигателя,
предназначенного для привода компрессора. В расчетах
принять k = 1,41, R = 287,1 Дж/(кг • К).
Решение.
/ Температуру в конце адиабатического сжатия определяем
из соотношений между параметрами для адиабатного процесса
= k =(30 + 273)(^у) 1Л1 =522 К.
/ Удельную работу, затрачиваемую в компрессоре, находим
из выражения
k
216 -103 Дж/кг.
-ыгЬ287’1'30*273^^)
/ Мощность двигателя, предназначенного для привода ком-
прессора,
mlk _ 175-216-103 , n к . n3 „
3600 3600 10,5-10 Вт.
300
Задачи и их решение
2. Для лабораторных целей необходимо получить воздух давле-
ниемркон = 400 бар. Сколько минимальных ступеней сжатия
с промежуточным охлаждением должен иметь компрессор,
чтобы при адиабатном сжатии с k = 1,4 максимальная темпе-
ратура воздуха в каждой ступени была не выше 200 °C. Воз-
дух в начале сжатия имеет параметрыру = 1 бар и = 27 °C.
Решение.
/ Из соотношений между параметрами в адиабатном процес-
се определяем максимальное давление в первой ступени комп-
рессора, соответствующее температуре 200 °C,
k 1,4
./200 + 273V.4”!
Pmax=P4-7^-J = \ 27 + 273 J =4,95 бар.
/ Определяем степень повышения давления в одной ступени
компрессора
Ртах 4,95 . пс
Л, = -- = —= 4,95.
1 Pi 1
/ Из соотношения для общего повышения давления в комп-
|Ркоп
рессоре лк = ZJ и учитывая, что лк = пг, поскольку по ус-
ловиям задачи работа между ступенями распределяется равно-
мерно, находим ZK, численное значение которого округляем в
сторону большего числа
. Ркон 400
lg 7Г lg ”
Z = ---— = ------— = 4
к lg Kj lg 4,95
3. Воздух с начальным давлением ряя„ = 105 Па сжимается по-
следовательно в трехступенчатом компрессоре до давления
pKOS = 125 • 105 Па с промежуточным охлаждением воздуха в
холодильниках каждой ступени до начальной температуры.
Сжатие в каждой ступени политропное с у = 1,3. Определить
мощность двигателя, затрачиваемую на привод компрессо-
ра, если компрессор подает в час сжатый холодный воздух в
количестве 8 м3 при первоначальной температуре. Показать
выигрыш в работе при трехступенчатом сжатии с промежу-
точным охлаждением по сравнению с двухступенчатым
компрессором, работающим при тех же условиях.
301
Глава 10. Процессы в машинах для сжатия и расширения газа
Решение.
/ Степень повышения давления в одной ступени компрессо-
ра при трехступенчатом сжатии
|Ркон 1125 -
л, = з---- = з —= 5.
1 А/Рнач Ч 1
/ Работу 3-й ступени компрессора находим из выражения
-1) =
0,3
= t t 125 • 105 • в( 51,3 - 1 ) = 1,95 • 108 Дж.
/ Работа трехступенчатого компрессора
LK = 3 • L3 = 3 • 1,95 • 108 = 5,85 • 108 Дж.
/ Мощность двигателя, затрачиваемую на привод компрес-
сора, определяем как работу в единицу времени:
аг- _ 5,85 • 108 _ к п
N 3600 3600 162,5 кВт.
/ При двухступенчатом сжатии степень повышения давления
в одной ступени
л = & = № = ц,2.
1 А/ Рнач А/ 1
/ Работа 2-й ступени компрессора
L2 = ^iPkoh^i7 -!] =
0,3
= i 1’3 t • 125 • 108-8(11,21’3 - 1) = 3,23 • 108 Дж.
/ Работа двухступенчатого компрессора
LK = 2 • Z2 = 2 • 3,23 • 108 = 6,46 • 108 Дж.
Видно, что работа, затрачиваемая на сжатие в трехступен-
чатом компрессоре, меньше, чем работа при сжатии воздуха в
двухступенчатом компрессоре.
302
Глава 11
Термодинамические циклы
11.1. Прямые и обратные циклы
Термодинамическим циклом или круговым процессом
называется непрерывная последовательность термодинамиче-
ских процессов, в результате которых рабочее тело возвраща-
ется в исходное состояние.
Все параметры и функции состояния, изменяясь в течение
процесса, в конце цикла принимают свое первоначальное зна-
чение. На pV- и TS-диаграммах (рис. 11.1) цикл изображается
замкнутой линией. Следовательно, в результате замкнутого
термодинамического процесса внутренняя энергия системы
не изменяется, т. е.
ДС7Ц = $ d£7 = U2 - Ux = 0, (11.1)
а вещество не подводится и не отводится.
Отсюда следует, что в соответствии с уравнением первого за-
кона термодинамики для закрытой термодинамической системы
(2.2) для цикла
= Qi - Q2> (ii-2)
т. е. работа, совершаемая термодинамической системой за цикл,
должна быть равна суммарному количеству теплоты, полу-
ченному Q1 и отданному системой Q2 в течение цикла.
Замкнутые термодинамические процессы имеют большое
практическое значение, так как, применяя их, можно непрерыв-
но использовать теплоту для совершения работы, а также переда-
вать теплоту с низшего температурного уровня на высший.
На рис. 11.1, а изображен произвольный цикл в />У-коор-
динатах, в котором последовательность процессов показана
стрелкой. Из рисунка видно, что на участке цикла ADB рабо-
303
Глава 11. Термодинамические циклы
та Lr положительна (объем системы увеличивается, т. е. газ
расширяется) и численно равна площади eADBf. На участке
ВСА работа L2 отрицательна и равна площади eACBf. Так как
площадь под линией ADB больше, чем площадь под линией
ВСА, то, следовательно, суммарная работа за цикл в рассмот-
ренном примере положительна. Она равна площади, замкну-
той линией ADBCA. За цикл термодинамическая система от-
дает окружающей среде некоторое количество работы:
£ц - Lr - |L2| = пл. eADBf - пл. eACBf =
= пл. ADBCA >0. (11.3)
Так как в рассмотренном цикле £ц > 0, то и суммарное ко-
личество теплоты должно быть положительным. Следователь-
но, на TS-диаграмме (рис. 11.1, б) этот цикл должен быть
представлен таким образом, чтобы подведенное к системе ко-
личество теплоты по абсолютной величине было больше, чем
отведенное. Для этого линия процесса CAD, в котором теплота
подводится (т. е. процесса, в котором происходит увеличение
энтропии от начального значения Sc до конечного SD), должна
располагаться выше, чем линия процесса DBC, в котором теп-
лота отводится (а энтропия от значения SD возвращается к
первоначальному значению Sc). Обозначая подведенное коли-
чество теплоты через = пл. mCADn, а отведенное количест-
во теплоты через Q2 = пл. mCBDn, можно записать
Qu = - |Q2| = пл. mCADn - пл. mCBDn =
= пл. CADBC > 0. (11.4)
304
11.1. Прямые и обратные циклы
В рассмотренном цикле израсходовано определенное коли-
чество теплоты для получения механической работы. Именно
в этом смысле иногда говорят, что в данном цикле про-
изошло превращение теплоты в работу.
Такие циклы совершает рабочее тело в тепловых двигате-
лях, а сами циклы называются циклами двигателей или
прямыми циклами.
Прямые циклы в pV- и TS-диаграммах протекают по часовой
стрелке. Из рис. 11.1, б видно, что подвод теплоты происходит
при более высоких температурах. Таким образом, можно конс-
татировать, что теплота источника может быть превращена в ра-
боту в прямом цикле только в том случае, если температура ис-
точника выше температуры окружающей среды. Это положение
реализуется в двигателях путем сжигания топлива и полностью
соответствует второму закону термодинамики в формулировках
В. Томсона, М. Планка, В. Оствальда, С. Карно (разд. 4.3).
Последовательность процессов в цикле может быть обрат-
ной, при которой расширение рабочего тела термодинами-
ческой системы происходит при более низком давлении,
чем сжатие (см. рис. 11.2, а). В этом случае работа LY на уча-
стке BDA (пл. eADBf) отрицательна, a L2 на участке АСВ
(пл. eACBf) положительна. Так как пл. eADBf > пл. eACBf,
то работа за цикл отрицательна:
L = L? - |ZJ = пл. ACBDA < 0.
Ц £1 I XI
В соответствии с уравнением (11.2) суммарное количест-
во теплоты в этом цикле также должно быть отрицательно:
Рис. 11.2
20 - 5580
305
Глава 11. Термодинамические циклы
Фц < 0. Для этого необходимо, чтобы теплота подводилась при
более низкой температуре (линия CBD на рис. 11.2, б), а отво-
дилась при более высокой температуре (линия DAC). В этом
случае Qn = Q2 - Q, = пл. СВВАС < 0. При осуществлении
такого цикла на участке CBD рабочее тело машины отбира-
ет теплоту Q2 от холодного тела, а на участке CAD отдает теп-
лоту Q1 окружающей среде с более высокой температурой.
Иначе говоря, теплота передается с низшего температур-
ного уровня на высший, т. е. происходит дополнительное
охлаждение. Это охлаждение обязательно сопровождается
превращением работы, подведенной к машине, в теплоту.
Одновременно с охлаждением одних участков обязательно
нагреваются другие, которые получают как теплоту, взятую
у холодного тела, так и теплоту, в которую превратилась рабо-
та цикла:
Qi = Q2 + 1Оц1 = Q2 + N- (И.5)
Циклы, в которых теплота переносится от холодного тела
к нагретому, называются холодильными или обратными
циклами.
Обратные циклы в pV- и ТЗ-диаграммах протекают против
часовой стрелки.
Обратный цикл используется и в тепловых насосах —
машинах, предназначенных для отбора теплоты от менее на-
гретого тела и передачи ее более нагретому телу за счет затра-
ты работы цикла £ц.
Циклы могут быть обратимыми и необратимыми.
I Обратимым термодинамическим циклом называется цикл,
все процессы в котором обратимы.
Необратимым термодинамическим циклом называется цикл, в
котором хотя бы один из составляющих его процессов необратим.
Для отвода и подвода теплоты используются источники
теплоты. Если источник отдает рабочему телу теплоту, то
его называют теплоотдатчиком или горячим источником
теплоты (нагревателем), если источник получает от рабочего
тела теплоту — то теплоприемником или холодным источ-
ником теплоты (холодильником).
306
11 .2. Эффективность обратимых циклов
11.2. Эффективность обратимых циклов
Из уравнений (11.2) и (11.4) видно, что количество работы,
полученное в прямом цикле L , меньше количества теплоты,
подведенного к системе Qv Часть энергии отводится от систе-
мы в виде теплоты Q2, а в работу оказывается превращенной
лишь разность между Q, и Q2.
Необходимо отметить, что эти рассуждения справедливы
для любого количества ТРТ, в том числе и для 1 кг рабочего
тела. Поэтому все дальнейшие рассуждения будем проводить
для удельных величин.
Эффективность превращения теплоты в работу в прямом
цикле характеризуется термическим коэффициентом
полезного действия (КПД) цикла т]р который представляет
собой отношение работы, совершенной в прямом обратимом
термодинамическом цикле, к подведенному к системе количе-
ству теплоты:
= = 91 ~ 92 = 1 _ 9г
91 91 91 ’
(И-6)
Термический КПД показывает, какое количество получае-
мой теплоты превращается в работу в конкретных условиях
протекания обратного цикла. Чем больше величина Т](, тем со-
вершеннее цикл и тем лучше тепловая машина. Значение тер-
мического КПД всегда меньше единицы, поскольку осуществ-
ление цикла связано с отводом определенного количества теп-
лоты q2 от системы, поэтому отношение q2/q± в уравнении
(11.6) всегда больше нуля. Если бы r]z = 1, то qr -+ оо или q2 =
= 0, что на практике невозможно реализовать.
Рассмотрим теперь обратный цикл, протекающий против
часовой стрелки (см. рис. 11.2).
Эффективность холодильного цикла характеризуется хо-
лодильным коэффициентом ех, который представляет со-
бой отношение количества теплоты q2, воспринятой системой
на низшем температурном уровне, к работе, затраченной в
этом цикле /ц:
92 92
£ = — = ----------
Х 91 - 92
(И.7)
20‘
307
Глава 11. Термодинамические циклы
Холодильный коэффициент может быть как меньше, так и
больше единицы. Это зависит от соотношения между количе-
ствами теплоты qx и q2 в цикле.
Эффективность теплового насоса характеризуется отопи-
тельным коэффициентом Хот, представляющим собой
отношение количества теплоты qv передаваемого отапливае-
мому помещению, к затраченной работе цикла /ц:
= = gi
от гц 41 ~ 42
(П.8)
Отопительный коэффициент всегда больше единицы, так
как IqJ > q2.
Значение характеристик Г|р £х или К0Т, определяющих эф-
фективность цикла, зависит от температур, при которых под-
водится и отводится теплота, а также от характера термодина-
мических процессов, составляющих конкретный цикл. При
прочих равных условиях наибольшее значение эффективнос-
ти имеют циклы, в которых все процессы являются обратимы-
ми. По отношению к процессам подвода и отвода теплоты это
означает, что температура рабочего тела системы в процессах
теплообмена должна быть практически равна температуре тел
окружающей среды, с которыми осуществляется теплообмен.
11.3. Цикл Карно
Анализируя формулу (11.6), можно заметить, что КПД воз-
растает при уменьшении q2 или увеличении qv Отсюда можно
заключить, что, выбирая соответствующим образом процессы
Та
А В
т1 - *?—:---т?
Чц
гр _ Л——' -О
2
О s А = SD SB = SC S
Рис. 11.3
расширения и сжатия, протекающие
с подводом и отводом теплоты qr и q2,
можно изменять величину Г|г В связи
с этим возникает вопрос: можно ли
найти такой цикл, который обладал
бы наибольшим КПД?
Такой цикл был предложен Сади
Карно в 1824 г. Он состоит из двух обра-
тимых изотермических и двух обрати-
мых адиабатных процессов (рис. 11.3).
308
11.3. Цикл Карно
Такие процессы были выбраны не случайно. Изотермиче-
ский и адиабатный процессы являются самыми выгодными
процессами в смысле получения работы, поскольку в изотер-
мическом процессе вся теплота, подводимая к рабоче-
му телу, превращается в работу, а в адиабатном про-
цессе все изменение внутренней, энергии превращается
в работу.
Цикл Карно осуществляется рабочим телом между двумя
источниками теплоты — горячим и холодным — следующим
образом (см. рис. 11.3). К рабочему телу, имеющему в началь-
ной точке А цикла температуру Т\, от горячего источника
подводится теплота qv Рабочее тело (газ) расширяется, совер-
шая при этом работу (например, перемещая поршень в ци-
линдре). При этом процесс подвода теплоты к рабочему телу
осуществляется таким образом, что температура рабочего тела
остает-ся неизменной (т. е. уменьшение внутренней энергии
при расширении компенсируется подводом теплоты извне).
После расширения газа до некоторого состояния (точка В)
подвод теплоты к нему прекращается, и дальнейший процесс
рас- ширения газа происходит без подвода теплоты, по адиаба-
те. В процессе адиабатного расширения температура газа
уменьшается, поскольку притока энергии к газу извне нет, и,
следовательно, работа производится только за счет внутрен-
ней энергии газа. После того как газ достигнет некоторого со-
стояния в точке С с температурой Т2, процесс расширения с
производством работы заканчивается, и рабочее тело начина-
ет возвращаться в исходное состояние. За счет работы, отби-
раемой от какого-либо внешнего источника, осуществляется
сжатие газа, в этом процессе от газа отводится теплота. Эта
теплота передается холодному источнику с температурой Т2.
Когда состояние газа достигнет точки D, лежащей на одной
адиабате с исходной точкой цикла А, отвод теплоты прекра-
щается. Дальнейшее сжатие газа продолжается по адиабате до
тех пор, пока газ не возвратится в точку А.
Суммарная работа цикла I графически изображается пло-
щадью ABCDA.
С учетом того что в общем случае термический КПД опре-
деляется по формуле (11.6), а удельные теплоты для изотер-
309
Глава 11. Термодинамические циклы
мических процессов определяются из условия ds = bq/T или
As = q/T-.
q-^ — Т ^/\s в—Af (11-9)
0-2 ~ r^2^sC—D‘ (11.10)
Поскольку Ass_a = Asc_£), to это уравнение (11.6) примени-
тельно к циклу Карно примет вид
Т. - Tz Т2
T\tK =
к 11 11
С учетом того что Тг — максимальная температура в рассмат-
риваемом цикле, а Т2 — минимальная, то в общем случае
можно записать
р =1-|>. (11.12)
к 1 max
Из уравнений (11.11) и (11.12) следует:
• термический КПД цикла Карно зависит только от абсо-
лютных температур теплоотдатчика Ттах и теплоприем-
ника Tmin. Он возрастает с увеличением температуры
Т’тах и уменьшением Тт.п, т. е. чем больше разность этих
температур, тем выше КПД цикла Карно;
• термический КПД цикла Карно всегда меньше единицы.
Равенство п, =1 возможно только при Т",п = 0 К или
* I * пип
Т’тах = °°’ что невыполнимо. Теплота qlt подводимая к
рабочему телу в цикле Карно, не может быть полностью
превращена в работу, значительное количество теплоты
отводится к теплоприемнику;
• термический КПД цикла Карно при Ггаах = Тт1П равен ну-
лю, что еще раз подчеркивает невозможность превраще-
ния теплоты в работу, если все тела системы имеют оди-
наковую температуру, т. е. находятся между собой в теп-
ловом равновесии;
• термический КПД цикла Карно не зависит от устройства
двигателя и физических свойств рабочего тела, а зависит
лишь от температур источника теплоты Ттах и теплопри-
емника Tmin. Это положение известно под названием
теоремы Карно.
310
11.3. Цикл Карно
Последнее утверждение следует из того, что формула (11.12)
не содержит величин, характеризующих свойства рабочего те-
ла. Во многих случаях температура теплоприемника Tmin опре-
деляется температурой окружающей среды и мало изменяется.
При этом термический КПД цикла Карно зависит главным об-
разом от температуры теплоотдатчика Ттах.
Термодинамический КПД цикла Карно в зависимости от тем-
пературы Ттах при Tmin = 293 К имеет следующие значения.
Таблица 11.1
Т’тах, К 373 673 1073 1273 2273
n tK 0,21 0,56 0,73 0,77 0,81
В настоящее время технически возможно получение очень
высоких температур (сотни тысяч градусов), однако в реаль-
ных двигателях использовать эти температуры невозможно,
так как материалы, из которых изготовлены детали конструк-
ций, не способны выдерживать такие температуры. Макси-
мальная практически реализуемая в большинстве двигателей
температура близка к 2000—3000 К. Имеются двигатели (на-
пример, ракетные), в которых используются более высокие
температуры (до 4000 К). Однако ресурс (срок службы) этих
двигателей составляет не более часа.
Температура теплоприемника может быть понижена по
сравнению с температурой окружающей среды, но это связано с
затратами работы, которая не оправдывает выигрыша КПД, по-
этому такой путь увеличения КПД считается неприемлемым.
Термический КПД цикла Карно всегда больше по срав-
нению с КПД любого другого цикла, осуществляемого в од-
ном и том же интервале температур
Т'тах—7\тп- ДЛЯ ДОКаЗЭТеЛЬСТВЭ ЭТОГО
утверждения сравним на Ts-диаграм-
ме (рис. 11.4) цикл Карно ABCD с
произвольным циклом abed, проходя-
щим в том же самом температурном
интервале. Для цикла Карно можно
записать
V = 1 - ?2к/91к-
Рис.11.4
311
Глава 11. Термодинамические циклы
Из диаграммы видно, что q2^ = пл. eDCf, a q} = пл. eABf.
Для произвольного цикла
T]f = 1 - 92/9р
где q2 = пл. eadcf, q} = пл. eabcf.
Сравнивая соответствующие площади, видим, что q2^ < q2,
а <hK > Qi- Отсюда Q2k/9ik < 92/9р а следовательно, и T]tjc > T|f.
В реальных двигателях цикл Карно не осуществляется из-за
очень малой величины работы такого цикла, которая расходу-
ется на различного рода необратимые потери. Однако теорети-
ческое и практическое значение цикла Карно очень велико. Он
является эталоном при оценке совершенства любых циклов
тепловых двигателей, так как цикл Карно устанавливает пре-
дел превращения теплоты в работу в тепловых двигателях при
заданном температурном перепаде. Поэтому сравнение терми-
ческих КПД любого цикла и цикла Карно позволяет делать за-
ключение о степени совершенства использования теплоты в
рассматриваемом двигателе.
1 1.4. Обратный цикл Карно
На рис. 11.5 приведен обратный цикл Карно. В отличие от
прямого цикла, в нем на участке AD рабочее тело не сжимает-
ся, а расширяется по адиабате. При этом его температура пони-
жается от Т\ до Т2. Далее на участке DC происходит изотерми-
ческое расширение, при котором к рабочему телу от холодного
источника теплоты подводится теплота q2^ . Затем осуществля-
ется адиабатное сжатие СВ с повышением температуры рабоче-
го тела от Т2 до Т}. Дальнейшее сжатие происходит по изотерме
Тг = const с отводом теплоты qx к горячему источнику. При
этом рабочее тело возвращается в исходное состояние (точка А).
Таким образом, как и в прямом цикле, изменение состояния
рабочего тела в обратном цикле Карно происходит в интервале
температур Т\—Т2. Из рис. 11.5 видно, что положительная ра-
бота рабочего тела при расширении (lAD(: = пл. под кривой ADC)
меньше работы, затраченной на сжатие (1СВА = пл. под кривой
312
11.4. Обратный цикл Карно
СВА), на площадь, ограниченную
замкнутой линией цикла. Следова-
тельно, разность работ расширения
и сжатия отрицательна, т. е. она
подводится извне и, превращаясь
в эквивалентное количество тепло-
ты, расходуется на совершение цик-
ла. В результате затраты работы на
осуществление обратного цикла от
холодного источника можно ото-
брать и передать горячему источни-
Рис.11.5
ку количества теплоты q2^ (в холодильных установках) или
qx (в тепловых насосах). Вместе с ним горячему источнику пе-
редается теплота, эквивалентная работе цикла /ц. Таким обра-
зом, суммарное количество теплоты, получаемое горячим ис-
точником, составит
<hK = q2K +
Обратный цикл Карно является идеальным циклом холо-
дильных установок или тепловых насосов.
Эффективность таких установок определяется холодиль-
ным коэффициентом £х(11.7) или отопительным коэффициен-
том Кот (11.8).
Для обратного цикла Карно имеем:
£ = ^-
Т\-Т2
т\
ТГ —. __1
ОТЯ7 7\ - Т2 *
(11.13)
(П-14)
Таким образом, холодильный коэффициент £х^ и отопи-
тельный коэффициент -К"от^ обратных циклов Карно зависят
только от абсолютных температур Т\ и Т2 источников тепло-
ты и не зависят от свойств рабочего тела.
Как для прямого цикла Карно, так и для обратного цикла
Карно наибольшие значения КПД определяются формулами
(11.13) И (11.14), в отличие от соответствующих коэффициен-
тов (П-6) и (11.7) других циклов, протекающих в одинаковом
интервале температур.
313
Г лава 11. Т ермодинамические циклы
11.5. Циклы поршневых двигателей
внутреннего сгорания
11.5.1. Краткие исторические сведения. На возможность
создания двигателей внутреннего сгорания первым указал Сади
Карно. Идеи, высказанные им в работе «Размышление о движу-
щей силе огня...», в дальнейшем были полностью реализованы.
В 1860 г. французский изобретатель Ленуар построил дви-
гатель внутреннего сгорания, работавший на светильном газе.
Однако он не получил широкого распространения ввиду того,
что имел низкий КПД. В 1862 г. французский инженер Бо-
де-Роше предложил двигатель, принципы создания которого
совпали с идеями Карно и были осуществлены немецким инже-
нером Отто в созданном им в 1877 г. бензиновом двигателе.
В 1897 г. немецким инженером Дизелем был разработан
двигатель высокого сжатия, который работал на керосине.
Распыление керосина осуществлялось воздухом высокого дав-
ления, получаемым от компрессора.
В 1904 г. русский инженер Тринклер построил бескомпрес-
сорный двигатель со смешанным сгоранием топлива — снача-
ла при постоянном объеме, а затем при постоянном давлении.
Именно такие двигатели получили в настоящее время самое
широкое распространение, поскольку и «дизели», и бензино-
вые двигатели, имеющие большие обороты (быстроходные дви-
гатели), работают исключительно по смешанному циклу.
11.5.2. Принцип действия и классификация поршневых
двигателей внутреннего сгорания. Поршневые двигатели
внутреннего сгорания (ДВС) представляют собой тепловые ма-
шины, в которых подвод теплоты к рабочему телу осуществля-
ется за счет сжигания топлива внутри самого двигателя. Ра-
бочим телом в таких двигателях сначала является воздух или
смесь воздуха с легковоспламеняющимся топливом, а за-
тем — продукты сгорания. В этих типах двигателей давление
рабочего тела не слишком велико, что позволяет с хорошим
приближением рассматривать рабочее тело как идеальный газ,
что существенно упрощает термодинамический анализ цикла.
Основной частью поршневого двигателя внутреннего сгора-
ния является один или несколько цилиндров. Внутри цилинд-
ра движется поршень. На крышке цилиндра устанавливаются
314
11.5. Циклы поршневых двигателей внутреннего сгорания
два клапана. Через один клапан происходит всасывание рабо-
чего тела (воздуха или горючей смеси), а через другой — вы-
брос рабочего тела по завершении цикла. В таком двигателе го-
рючая смесь сгорает в цилиндре с повышением температуры и
давления. Продукты сгорания, воздействуя на поршень, пере-
мещают его из одного крайнего положения в другое. Поступа-
тельное движение поршня преобразуется во вращательное дви-
жение вала с помощью кривошипно-шатунного механизма.
Одним из основных показателей работы поршневых двига-
телей внутреннего сгорания является среднее индикатор-
ное давление цикла, определяемое как
n
Рц у - V
max mln
где Ьц — работа цикла; Утах, nmin — максимальный и мини-
мальный объемы двигателя, соответствующие нижней и верх-
ней мертвым точкам.
Поскольку разница этих объемов равна объему цилиндра
двигателя
(11.15)
(11.16)
max min г цил’
то выражение (11.15) можно переписать в виде
п = А-= А_
"ц V V '
ЦИЛ цил
Данная характеристика вводится для описания техни-
ко-экономических показателей работы двигателя, поскольку
в значительной мере габариты и масса двигателя играют важ-
нейшую роль. Очевидно, что чем больше работа цикла и чем
меньше объем газа в конце процесса расширения, тем меньше
габаритные размеры двигателя и, следовательно, его масса.
У двигателей минимального веса при постоянной мощности,
снимаемой с одного литра рабочего объема цилиндра (литро-
вой мощности), диаметр цилиндра равен ходу поршня.
Представим выражение (11.16) в другом виде, подставляя
I из формулы (11.6); тогда
_ ТЪ?1
V
цил
где — удельная подводимая теплота определяется теплотой
сгорания и химическим составом топлива, способом смесеоб-
разования и степенью совершенства процесса сгорания.
(11.17)
315
Глава 11. Термодинамические циклы
Все современные двигатели внутреннего сгорания подраз-
деляются на три основные группы с использованием:
• цикла с подводом теплоты, при постоянном объеме v =
= const (цикл Отто);
• цикла с подводом теплоты, при постоянном давлениир =
= const (цикл Дизеля);
• смешанного цикла с непрерывным подводом теплоты вна-
чале при v = const, а затем при р = const (цикл Тринклера).
Во всех случаях отвод теплоты производится при постоян-
ном объеме.
При исследовании термодинамических циклов поршневых
двигателей внутреннего сгорания к числу определяемых вели-
чин относятся количество подведенной и отведенной теплоты,
основные параметры состояния в характерных точках цикла,
термический КПД цикла.
11.5.3. Цикл двигателя внутреннего сгорания с подво-
дом теплоты при постоянном объеме (цикл Отто). В качест-
ве топлива в таких двигателях применяется легкое и газооб-
разное топливо (бензин, керосин, генераторный или светиль-
ный газ, пропан, бутан и т. д.).
Рабочим телом в подобных двигателях является смесь воз-
духа и паров жидкого или газообразного топлива (до начала
сгорания) и газообразные продукты сгорания на остальных
участках цикла.
Исследование работы реального
поршневого двигателя проводят по
так называемой индикаторной ди-
аграмме (снятой с помощью спе-
циального прибора — индикато-
ра), представленной на рис. 11.6.
При работе двигателя поршень 2
совершает возвратно-поступатель-
ное движение в цилиндре 1 от точ-
ки О, получившей название верхней
мертвой точки (ВМТ), до нижней
мертвой точки (НМТ). В процессе
О—а поршень движется слева на-
316
11.5. Циклы поршневых двигателей внутреннего сгорания
право и через всасывающий клапан 5 в цилиндр 1 поступает
горючая смесь. В правом крайнем положении (НМТ) процесс
заполнения цилиндра горючей смесью прекращается. Про-
цесс О—а является условным термодинамическим процессом,
поскольку основные параметры при всасывании не изменя-
ются, а изменяется только масса и объем смеси в цилиндре.
В дальнейшем всасывающий клапан 5 закрывается и поршень
начинает двигаться справа налево.
В процессе а—с горючая смесь в цилиндре сжимается и дав-
ление возрастает от ра дорс. В левом крайнем положении (ВМТ)
горючая смесь воспламеняется от электрической свечи 4. Горю-
чая смесь сгорает практически мгновенно, и поршень переме-
щается вправо незначительно, поэтому считается, что весь про-
цесс сгорания (подвода теплоты на участке с—г) происходит
при постоянном объеме. В процессе с—z изменяются не только
давление и температура, но и химический состав рабочего тела.
Давление в цилиндре вследствие выделяющейся теплоты резко
поднимается от рс до рг. Поршень вновь перемещается вправо,
совершая при этом полезную работу, причем давление падает от
рг до рь. Процесс z—Ъ получил название расширения. В край-
нем правом положении (НМТ) с помощью специального устрой-
ства открывается выпускной клапан 3 и давление в цилиндре
снижается до давления рь, несколько превышающего атмосфер-
ное (процесс b—d), при этом большая часть продуктов сгорания
выходит из цилиндра. Поршень вновь движется влево, вытал-
кивая из цилиндра через открытый выпускной клапан 3 остав-
шиеся продукты сгорания (процесс d—О). В крайнем левом по-
ложении поршня выпускной клапан 3 закрывается и открыва-
ется всасывающий клапан 5, дающий доступ в цилиндр новой
порции горючей смеси. В дальнейшем все процессы повторяют-
ся, осуществляя непрерывную циклическую работу двигателя.
Нетрудно видеть, что поршень в цилиндре такого двигателя
в течение одного цикла совершает четыре хода (такта)', всасы-
вание горючей смеси (впуск), ее сжатие, расширение продук-
тов сгорания (рабочий, ход), выталкивание продуктов сгора-
ния в атмосферу (выпуск). На индикаторной диаграмме видно,
что давление в цилиндре в процессе всасывания (процесс О—а)
несколько ниже, а в процессе выталкивания (процесс d—О) не-
317
Глава 11. Термодинамические циклы
сколько выше атмосферного. Последнее вызывается аэро- и
гидродинамическим сопротивлением клапанов 5 и 3 и подводя-
щих патрубков.
Из анализа работы реального двигателя видно, что рабочий
процесс не является замкнутым и в нем присутствуют все при-
знаки необратимых процессов: трение, теплообмен при конеч-
ной разности температур, конечные скорости поршня.
Так как в термодинамике исследуются лишь идеальные об-
ратимые циклы, то при исследовании цикла поршневого ДВС
принимаются следующие допущения:
• рабочее тело — идеальный газ с постоянной теплоемкостью;
• количество рабочего тела постоянно;
• между рабочим телом и источником теплоты имеет место
бесконечно малая разность температур;
• подвод теплоты к рабочему телу производится не за счет
сжигания топлива, а от внешних источников теплоты.
Принятые допущения приводят к изучению идеальных
термодинамических циклов двигателей внутреннего сгорания
(ДВС), что позволяет производить сравнение различных дви-
гателей и определять факторы, влияющие на их эффектив-
ность. Диаграмма, построенная с учетом указанных выше до-
пущений, будет уже не индикаторной диаграммой двигателя,
а идеальной ри-диаграммой его цикла.
Рассмотрим идеальный термодинамический цикл ДВС с
изохорным подводом теплоты для 1 кг рабочего тела в pv-ко-
ординатах (рис. 11.7, а) и Тз-координатах (рис. 11.7, б).
318
11.5. Циклы поршневых двигателей внутреннего сгорания
Идеальный цикл состоит из следующих процессов:
• а—с — адиабатное сжатие рабочего тела в цилиндре;
• с—z — подвод теплоты при постоянном объеме;
• z—Ь — адиабатное расширение продуктов сгорания;
• Ь—а — отвод теплоты при постоянном объеме (условный
процесс отвода теплоты, эквивалентен выпуску отрабо-
танного газа).
В результате совокупности этих процессов совершается
прямой замкнутый цикл с положительной результирую-
щей работой, которая в pv- и Ts-координатах определяется
площадью асгЬа.
Основными характеристиками данного цикла являются:
• е = va/vc — степень сжатия, где va — удельный объем га-
за перед процессом сжатия; vc — удельный объем газа в конце
процесса сжатия;
Степень сжатия — это отношение объемов в цилиндре двига-
теля при положении поршня в начале и конце процесса сжатия.
• Л = рг/рс — степень повышения давления в процессе под-
вода теплоты, где рг — давление в конце процесса подвода
теплоты, рс — давление в конце адиабатного сжатия.
I Степень повышения давления — это отношение наибольшего
давления в цилиндре двигателя, образовавшегося в результате
подвода теплоты, к давлению в конце процесса сжатия.
Термический КПД цикла с подводом и отводом теплоты
при v = const (цикла Отто) определится путем подстановки ко-
личества теплот в данном цикле в формулу (11.6)
nf = 1 - q2/<h-
Количество теплоты, подводимое к рабочему телу в процессе
с—Z,
qi = Cv{Tz-Tc). (11.18)
Количество теплоты, отводимое в изохорном процессе Ъ—а,
q2 = Су(Ть—Та). (11.19)
Подставляя значения q} и q2 в выражение термического КПД,
получаем
CV(TZ-Tcy (11.20)
319
Глава 11. Термодинамические циклы
Выразим температуры в основных точках цикла через на-
чальную температуру Та.
Для адиабатного процесса сжатия а—с с учетом соотноше-
ния (3.49) будем иметь
Т /v \k- 1
(11.21)
Следовательно:
Tc = Tazk -1- (11.22)
Для изохорного процесса с—г, учитывая (3.48), запишем
У, р,
(П.23)
1 С Рс
Таким образом, с учетом (11.22) будем иметь
Тг = ТД= (11.24)
Для адиабатного процесса расширения z—Ь по аналогии с
формулой (11.21) запишем
Учитывая (11.24), последнее выражение можно записать
Ть = Тг^ -ТаХ. (11.26)
С учетом полученных значений (11.22), (11.24) и (11.26)
формула (11.20) будет записана в виде
ТаХ ~ Та
<п-27)
или окончательно
(11.28)
Из последнего выражения видно, что термический КПД
цикла с подводом теплоты при v = const зависит от степени
сжатия рабочего тела е (что зависит от конструкции двигате-
ля) и показателя адиабатного процесса k рабочего тела, совер-
шающего цикл. Однако от степени повышения давления X
термический КПД данного двигателя не зависит.
320
11.5. Циклы поршневых двигателей внутреннего сгорания
Увеличение КПД с ростом показателя адиабатного процес-
са объясняется влиянием изменения рода рабочего тела и его
теплоемкости. Так, одноатомный газ (/? = 1,67) имеет мини-
мальную теплоемкость и требует минимальной затраты теп-
лоты для заданного повышения температуры в процессе с—г,
что обеспечивает максимальный термический КПД цикла. На
рис. 11.8 представлена зависимость ц, = Де) для различных k.
В первых двигателях внутреннего сгорания при и = const
степень сжатия составляла всего 2—2,5, а в современных дви-
гателях она доходит до 7—12. При значениях е = 10—12 темп
возрастания щ уменьшается, что прослеживается на графике
Ht = Ле) ПРИ k = 1,35 (рис. 11.9).
Степень сжатия ограничивается температурой самовоспла-
менения горючей смеси. При высоких степенях сжатия значи-
тельно повышаются температура и давление в конце сжатия.
Так, при некоторых значениях е часто еще до прихода поршня
в левое крайнее положение (ВМТ) происходит самовоспламе-
нение горючей смеси. Как правило, процесс сгорания в этом
случае носит детонационный (взрывной) характер и раз-
рушает элементы двигателя. Чтобы этого не происходило,
каждому виду топлива соответствует своя степень сжатия. Ве-
личина степени сжатия зависит от качества топлива и повы-
шается с улучшением его антидетонационных свойств,
характеризуемых октановым числом. Это число является
условной характеристикой, означающей содержание в топли-
ве изооктана — углеводорода, вообще не подверженного де-
тонации.
Рис. 11.9
21 - 5580
321
Г лава 11.Термодинамические циклы
Из рис. 11.7, б видно, что тепло-
та, подводимая к рабочему телу в
цикле с подводом теплоты при v =
= const, изображается в Ts-диаграм-
ме площадью 1сг21, а работа цик-
ла — площадью aczba.
Термический КПД цикла с под-
водом теплоты при v = const с ис-
пользованием Ts-диаграммы опре-
деляется из соотношения площадей
Ц _пл. аегЬа
пл. Icz21 v
На рис. 11.10 приведены два цикла с различной степенью
сжатия е. Из рисунка видно, что при равенстве qr (пл. 67810 =
= пл. 6235), но при разных степенях сжатия е термический
КПД больше у цикла с большей степенью сжатия, так как в
окружающую среду отводится меньшее количество теплоты,
т. е. пл. 61910 < пл. 6145.
Удельная работа цикла определяется по выражению (11.6)
= = (1 - )crT^-i(X- 1). (11.30)
Из выражения (11.30) видно, что работа, получаемая за
цикл, зависит от начальной температуры Та и характеристик
цикла е и X.
Циклы с подводом теплоты при постоянном объеме начали
применяться в карбюраторных типах двигателей с использова-
нием принудительного воспламенения от электрической свечи
(искры) на легковых, многих грузовых автомобилях и на са-
молетах малой авиации.
Практически весь мировой парк малой авиации снабжен
поршневыми двигателями с искровым зажиганием и класси-
ческой схемой кривошипно-шатунного механизма. Между со-
бой они различаются схемой расположения цилиндров (рядное,
оппозитное, звездообразное) и способом подачи топлива (кар-
бюраторное питание или непосредственный впрыск).
В настоящее время в России широко эксплуатируется двига-
тель М-14, представляющий собой девятицилиндровую «звез-
ду» воздушного охлаждения. Этот двигатель и сейчас выпуска-
322
11.5. Циклы поршневых двигателей внутреннего сгорания
ется серийно в виде модификаций М-14П — для самолетов и
М-14В26 — для вертолетов.
В последнее время повышенное внимание уделяется ротор-
но-поршневому двигателю, который является более легким
вследствие устранения кривошипно-шатунного механизма. Ро-
торно-поршневой двигатель внутреннего сгорания с искровым
зажиганием имеет секции, каждая из которых работает по четы-
рехтактному циклу. Функцию поршня в нем выполняет трехвер-
шинный ротор, преобразующий силу давления газов во враща-
тельное движение эксцентрикового вала. Вал вращается на раз-
мещенных на корпусе подшипниках и имеет цилиндрической
эксцентрик, на котором размещается ротор. Сама шестерня непо-
движно закреплена на корпусе двигателя, а в зацеплении с ней
находится шестерня ротора. Их взаимодействие обеспечивает оп-
тимальное движение ротора относительно корпуса, в результате
чего образуются три разобщенные камеры переменного объема.
Передаточное отношение шестерен 2:3, поэтому за один оборот
эксцентрикового вала ротор поворачивается на 120 градусов, а
за полный оборот в каждой из камер совершается четырехтакт-
ный цикл, отображаемый в pv- и Ts-диаграммах точно так же,
как и ранее рассмотренный классический цикл Отто.
На рис. 11.11, а представлена последовательность работы
роторно-поршневого двигателя, а на рис. 11.11, б — традици-
онного поршневого двигателя.
21*
Рис.11.11
323
Глава 11. Термодинамические циклы
Степень сжатия е в цикле можно повысить, если сжимать
не горючую смесь, а чистый воздух, а затем в конце процесса
сжатия вводить в цилиндр жидкое горючее. На этом принци-
пе основан цикл Дизеля.
11.5.4. Цикл двигателя внутреннего сгорания с подво-
дом теплоты при постоянном давлении (цикл Дизеля).
В двигателях с подводом теплоты при р = const (дизелях) про-
изводится раздельное сжатие воздуха и жидкого горючего.
Раздельное сжатие воздуха и горючего исключает самовоспла-
менение и позволяет получать высокие степени сжатия. Дав-
ление в конце сжатия достигает значений порядка 3—4 МПа,
а температура 600—800 °C. Степень сжатия в таких двигате-
лях е = 14—18.
Принципиальную схему работы данного двигателя можно
представить в виде следующих процессов. Жидкое топливо в
цилиндр 1 (рис. 11.12, б) подается через форсунку 4 в мелко
распыленном виде в конце процесса сжатия воздуха. Распыле-
ние топлива производится сжатым во вспомогательном комп-
рессоре воздухом.
Сжатый в цилиндре воздух имеет настолько высокую тем-
пературу, что подаваемое горючее самовоспламеняется без
всяких специальных запальных приспособлений. Постоянное
давление при горении топлива обеспечивается соответствую-
щей регулировкой топливной форсунки. Таким образом, в дан-
ном двигателе процесс сгорания происходит постепенно, а раз-
дельное сжатие воздуха и горючего
позволяет использовать любое жид-
кое дешевое топливо — дизельное
топливо, нефть, мазут, смолы.
Индикаторная диаграмма цикла
«дизеля» приведена на рис. 11.12, а.
В процессе О—а в цилиндр двига-
теля засасывается атмосферный
воздух; затем происходит его ади-
абатное сжатие (а—с) до давления
рс; после этого на участке с—z ре-
ализуется процесс сгорания, кото-
рый отображается в виде подвода
Рис. 11.12
324
11.5. Циклы поршневых двигателей внутреннего сгорания
теплоты qx от источника; на участке z—b происходит процесс
расширения продуктов сгорания; после чего открывается вы-
пускной клапан цилиндра и давление снижается (процесс b—d),
а в дальнейшем продукты сгорания выталкиваются из ци-
линдра двигателя в атмосферу (процесс d—О). Таким обра-
зом, цикл Дизеля — это четырехтактный цикл.
Для удобства термодинамического анализа заменим рас-
смотренный цикл термодинамически эквивалентным ему
идеализированным замкнутым циклом для 1 кг рабочего те-
ла, pv- и Ts-диаграммы которого представлены на рис. 11.13,
а и б.
Как видно из этих диаграмм, идеализированный цикл Ди-
зеля состоит из двух адиабат (адиабата сжатия а—с и адиаба-
та расширения z—b), изобары с—z, по которой осуществляет-
ся подвод теплоты qx от горячего источника, и изохоры b—а,
по которой осуществляется отвод теплоты д2 к холодному ис-
точнику (окружающей среде).
Основными характеристиками данного цикла являются:
• е = — — степень сжатия
• р = — — степень предварительного расширения.
v г
I Степень предварительного расширения — это отношение
объемов в конце и начале подвода теплоты к рабочему телу при
постоянном давлении.
325
Глава 11. Термодинамические циклы
Термический КПД рассматриваемого изобарного цикла
неполного расширения определится путем подстановки коли-
честв теплот в формулу (11.6):
= 1 - Wtfi-
Теплота qr, подводимая по изобаре с—z, определяется по
уравнению
q^cp{Tz~Tc), (11.31)
а теплота q2, отводимая по изохоре Ъ—а, определяется по
уравнению
q2 = Cv(Tb - Та). (11.32)
Выразим температуры в основных точках цикла через на-
чальную температуру Та.
Для адиабатного процесса сжатия а—с с учетом соотно-
шения (3.49) будем иметь
X) (11.33)
следовательно:
Тс = Тае*-1- (11.34)
Для изобарного процесса с—z, учитывая (3.48), запишем
Тг _
Т v Р'
Следовательно, Тг = Тср, ас учетом (11.34):
Tz = Tapek~1.
Для адиабатного процесса расширения z—Ь
ть = /"Х '
Тг IvJ
или
(11.35)
(11.36)
(11.37)
(11.38)
С учетом (11.36) и определения е, а также принимая во вни-
мание, что vb = va, выражение (11.38) перепишем в виде
/ vn\k - 1 ( V.\k ~ 1 /'У,?'1
<п-39>
326
11.5. Циклы поршневых двигателей внутреннего сгорания
Заменяя соотношение объемов через р по выражению (11.35),
получаем
Ть = Таррк~^ = Тарк. (11.40)
Подставляя выражения (11.34), (11.36), (11.40) в формулы
(11.31) и (11.32), получаем
qr = cpTazk 1(р-1), (П-41)
q2 = cvTa{pk - 1). (11.42)
Подставляя полученные выражения в формулу для термиче-
ского КПД, имеем
СуТа(рк-1)
срТаек-Цр - 1)
или с учетом замены соотношений теплоемкостей
kek т(р - 1) ‘
(11.43)
(11.44)
Это соотношение показывает, что термический КПД цикла
Дизеля тем выше, чем больше степень сжатия е (как и в цикле
Отто) и чем меньше величина р.
Зависимость цикла Дизеля от е для различных значений
р при k = 1,4 представлена на рис. 11.14.
Из графика видно, что с уменьшением р термический КПД
стремится к максимальному значению, а интенсивность роста
термического КПД с возрастанием степени сжатия е постепен-
но уменьшается.
При выборе верхнего предела степени сжатия е необходимо
учитывать, что при увеличении
термического КПД возрастает
масса, инерционность и габа-
риты двигателя.
Нижний предел степени
сжатия определяется темпе-
ратурой самовоспламенения.
Величина е в двигателе с под-
водом теплоты при р = const
выбирается таким образом,
чтобы обеспечить самовосп-
е одновременно с возрастанием
10 11 12 13 14 15 16 17 е
Рис. 11.14
ламенение топлива и создать
327
Глава 11. Термодинамические циклы
температурные условия для оптимального протекания процесса
сгорания.
Влияние степени сжатия е на т|( цикла двигателя внутрен-
него сгорания с подводом теплоты при р = const и q2 = const
отображено на рис. 11.15.
Из рисунка видно, что при равенстве площадей отведенной
теплоты q2 = пл. 6145 термический КПД будет больше у цик-
ла с большей степенью сжатия, так как площадь его полезной
работы будет больше, чем у двигателя с меньшей степенью
сжатия (пл. 1 784 > пл. 1234).
Удельная работа цикла с подводом теплоты при р = const
определяется по формуле
- в1Ч, - с,V - >(р - 1)[1 - ~)е\ - ! ] (11.45)
Влияние количества подводимой теплоты на величину ра-
боты цикла показано на рис. 11.16. Из рисунка видно, что при
е = const и при увеличении теплоты qx увеличивается объем
иг, т. е. возрастает степень предварительного расшире-
ния р и увеличивается работа цикла. Но увеличение затрат на
подвод теплоты qx превышает рост полезной работы /ц и КПД
уменьшается.
Сопоставим значения термических КПД циклов Отто и Ди-
зеля, принимая в обоих циклах одинаковой (idem) либо сте-
пень сжатия е, либо наивысшую температуру рабочего тела в
цикле Тг. Разумеется, исходные параметры рабочего тела в на-
чальной точке цикла (ра, va, Та) считаются одинаковыми для
обоих циклов.
Рис. 11.15
Рис. 11.16
328
11.5. Циклы поршневых двигателей внутреннего сгорания
Если принять, что степень сжатия в обоих циклах одна и та
же, то из (11.28) и (11.44) видно, что термический КПД цикла
Отто выше термического КПД цикла Дизеля. Однако сравнение
КПД этих циклов при условии одинаковых значений е вряд ли
правомерно, так как преимуществом цикла Дизеля по сравне-
нию с циклом Отто является, как отмечалось выше, именно
возможность достижения более высоких степеней сжатия.
Сравнение значений T|f циклов Отто и Дизеля при одинако-
вой наивысшей температуре цикла Тг и различных степенях
сжатия е показывает, что в этом случае термический КПД
цикла Дизеля будет выше, чем термический КПД цикла Отто.
В частности, это видно из Ts-диаграммы на рис. 11.17, а; по-
скольку ср > cv, т. е. > то на Ге-диаграмме
изохора идет более круто, чем изобара. При q2 = idem
(пл. 1аЪ2) количество подведенной теплоты в цикле aczb
(qlp = пл. Icz2) больше, чем количество подведенной теплоты в
цикле ас'zb (glv = пл. lc'z2). Поэтому цикл aczb с подводом теп-
лоты при р = const имеет более высокий термический КПД, чем
цикл ас'zb с подводом теплоты при v = const (r|f > r|^).
На рис. 11.17, б представлены оба цикла при одинаковых
количествах подведенной теплоты qr (qlp = пл. 0568; a qlv =
= пл. 0239) и при различных степенях сжатия е. Как вид-
но, количество теплоты, отведенной в цикле 1—2—3—4
(пл. 0149), больше, чем количество теплоты, отведенной в цик-
ле 1—5—6—7 (пл. 0178). Следовательно, цикл 1—5—6—7
Рис. 11.17
329
Глава 11. Термодинамические циклы
с подводом теплоты при р = const имеет больший термический
КПД (nfp >
Основными недостатками двигателя Дизеля по сравнению с
двигателем Отто являются:
• затраты работы на привод устройства насоса для распы-
ления жидкого топлива, на работу которого расходуется
6—10% общей мощности двигателя;
• сложные устройства насоса и форсунок;
• относительная тихоходность, обусловленная медленным
сгоранием топлива.
11.5.5. Цикл со смешанным подводом теплоты (цикл
Тринклера). Своего рода «гибридом» циклов Отто и Дизеля
является цикл со смешанным подводом теплоты частично при
v = const, а частично при р = const. Этот цикл назван именем
русского инженера Г. В. Тринклера, а иногда его называют
также циклом Сабатэ.
Двигатели, работающие по данному типу (рис. 11.18), мо-
гут иметь так называемую форкамеру 1, соединенную с рабо-
чим цилиндром 2 узким каналом. На рис. 11.19 показан цикл
такого двигателя в pv- и Ts-координатах. В рабочем цилиндре
воздух адиабатно сжимается, как и в остальных поршневых
двигателях, за счет инерции маховика, сидящего на валу дви-
гателя, нагреваясь при этом до температуры, обеспечивающей
воспламенение жидкого топлива, подаваемого в форкамеру
(процесс а—с). Форма и расположение последней способству-
ет наилучшему смешению топлива с воздухом, в результате
чего происходит быстрое сгорание части топлива в небольшом
объеме форкамеры (процесс с—у).
Благодаря возрастанию давления в форкамере образовав-
шаяся в ней смесь несгоревшего топлива, воздуха и продуктов
сгорания проталкивается в рабочий цилиндр, где происходит
догорание оставшегося топлива, сопровождающееся переме-
щением поршня слева направо
при приблизительно постоян-
ном давлении (процесс у—z).
По окончании сгорания топ-
лива дальнейшее расшире-
ние продуктов сгорания (ра-
330
11.5. Циклы поршневых двигателей внутреннего сгорания
Рис. 11.19
бочий ход) происходит адиабатно (процесс z—Ъ), после чего от-
работавшие газы удаляются из цилиндра (процесс Ь—а).
Таким образом, в цикле со смешанным сгоранием подвод теп-
лоты q} осуществляется по изохоре qlv, а затем по изобаре qlp.
Особенность двигателя со смешанным подводом теплоты
состоит в том, что, в отличие от двигателя Дизеля, он не нуж-
дается в компрессоре высокого давления для распыления
жидкого топлива. Жидкое топливо, введенное в форкамеру
при сравнительно невысоком давлении, распыляется струей
сжатого воздуха, поступающего из основного цилиндра. Это
обусловлено тем, что в процессе сжатия давление в цилиндре
растет быстрее, чем в форкамере. За счет разницы давлений и
возникает поток воздуха из цилиндра в форкамеру.
В рассмотренном цикле со смешанным сгоранием частично
сохраняются преимущества цикла Дизеля перед циклом Отто —
на начальном участке осуществляется сжатие только воздуха.
Следовательно, степень сжатия е достигает больших значений.
Основными характеристиками данного цикла являются:
• е = — — степень сжатия;
Vc
ж 1 ри рг
9 Р = ~ — степень повышения давления в процессе
подвода теплоты;
»г Vz
• р = — = — — степень предварительного расширения.
331
Глава 11. Термодинамические циклы
Определим термический КПД цикла со смешанным подво-
дом теплоты.
В общем соотношении
П, = 1 - Q2/9i
величина q2 — теплота, отводимая по изохоре Ъ—а, по-преж-
нему определяется соотношением (11.19) или (11.32):
q2 = с^Ть - Та), (11.46)
тогда как величина q} складывается из теплоты qiv, подводи-
мой в изохорном процессе с—у, и теплоты qlp, подводимой в
изобарном процессе у—z
<11 = Qiv+<ПР- (11.47)
Очевидно, что
qlv=cv(Tl/- Тс), (11.48)
<hP = cp(T2~Ty). (11.49)
Отсюда для термического КПД цикла со смешанным подводом
теплоты получаем
1 cv{Ty-Tc) + ср(Т2-ТуУ (П-50)
Выразим температуры в основных точках цикла через на-
чальную температуру.
Для адиабатного процесса сжатия а—с
Й = 1 =е"-1;71с = Та&~\ (11.51)
Для изохорного процесса с—у
Т=ТсХи T=TaEk-^. (11.52)
1 С Рс
Для адиабатного процесса расширения
Откуда
Ть=Тг^ = таЕ*-ар^ = TaW. (11.54)
332
11.5. Циклы поршневых двигателей внутреннего сгорания
Подставляя выражения (11.51)—(11.54) в формулы (11.48),
(11.49) и (11.47), а затем в (11.46), получаем
qr = cvTazk ~ Ч(Х - 1) + /?Х(р - 1)] (11.55)
ИЛИ
q2 = cvTa(№> - 1). (11.56)
Подставляя (11.55) и (11.56) в выражение для термическо-
го КПД (11.6), получаем
= 1 “ eft-1 * X- 1 + fe-Z(p - 1) • (11.57)
Из выражения (11.57) следует, что термический КПД т|(
циклов со смешанным подводом теплоты возрастает с увели-
чением е, k и X, а с увеличением р уменьшается. При Л = 1 сме-
шанный цикл обращается в цикл с подводом теплоты при
р = const, а при р = 1 — в цикл с подводом теплоты при
v = const. При этом уравнение (11.57) переходит соответствен-
но в уравнение (11.28) или (11.44).
Характер возрастания т|( с увеличением е объясняется сле-
дующим. Чем больше степень сжатия е, тем больше полезная
результирующая работа цикла. Чем больше степень повыше-
ния давления при подводе теплоты X при данном е, тем больше
цикл будет приближаться к циклу Отто, так как будет увели-
чиваться доля теплоты, подводимой при v = const, и сокра-
щаться подвод теплоты при р = const, что хорошо прослежи-
вается на Ts-диаграмме (рис. 11.20).
Для рассмотренного двигателя обычно применяют е =
= 10—14, 1,2—1,7ир = 1,1—1,
Цикл со смешанным подводом
теплоты можно рассматривать как
наиболее общий случай из всех
трех рассмотренных циклов не-
полного расширения и лежит в
основе работы всех современных
высокооборотных двигателей, как
бензиновых, так и дизелей, по-
скольку у них индикаторная диаг-
рамма в зоне максимальных давле-
ний делает характерную петлю.
Рис. 11.20
333
Глава 11. Термодинамические циклы
11.5.6. Обобщенные сведения. Необходимо отметить, что
в рассмотренных четырехтактных двигателях в течение про-
цессов всасывания и выталкивания продуктов сгорания, про-
текающих при давлении, близком к атмосферному, двигатель
выполняет не свойственную ему работу, поэтому современные
быстроходные поршневые двигатели, например,мотоциклет-
ные, работают в два такта, а процессы всасывания и выталки-
вания заменяются поступлением рабочего тела и удалением
его из цилиндра через специальные окна, заменяющие вса-
сывающий и выхлопной клапаны и перекрываемые движу-
щимся поршнем. Двухтактные двигатели имеют такие же
циклы сжатия и расширения (рабочий ход), как и четырех-
тактные.
Результаты проведенного в этом разделе анализа эффектив-
ности циклов двигателей внутреннего сгорания справедливы
лишь для идеализированных циклов без учета термодинами-
ческой необратимости, механического трения и конечной ско-
рости сгорания.
В реальных циклах рабочее тело имеет переменный сос-
тав и по своим свойствам отличается от идеального газа с по-
стоянной теплоемкостью. Вследствие неизбежного трения
процессы сжатия и расширения происходят не по изоэнтро-
пе, а с ростом энтропии, а принудительное охлаждение стенок
цилиндра еще больше увеличивает отклонение от изоэнтро-
пы; сгорание происходит за малые, но все же конечные проме-
жутки времени, в течение которых поршень успевает несколь-
ко переместиться, так что условия изохорности процесса сго-
рания выполняются не совсем строго. Имеют место и чис-
то механические потери в кривошипно-шатунном механизме,
в механизме газораспределения, управляющем клапана-
ми, и т. д.
Поэтому для перехода от идеальных термодинамических
циклов, исследованных выше, к реальным циклам необходи-
мо вводить внутренний относительный КПД двигателя,
который определяется экспериментально, а в расчетном плане
является прерогативой другой научной дисциплины — те-
ории двигателей.
334
11.6. Циклы газотурбинных установок
11.6. Циклы газотурбинных установок
11.6.1. Основные положения. Одним из основных недос-
татков, присущих поршневым двигателям внутреннего сгора-
ния, является неравномерность работы двигателя во времени.
В течение цид<ла температуры и давления в цилиндре резко
меняются. Для преобразования возвратно-поступательного
движения поршня во вращательное неизбежно применение
специальных механизмов, например кривошипно-шатунного
механизма. Кроме того, в поршневых двигателях внутреннего
сгорания невозможно получить полное адиабатное расшире-
ние продуктов сгорания в цилиндре двигателя до значения ат-
мосферного давления, вследствие чего работа цикла получает-
ся меньше теоретически возможной.
От этих недостатков свободен газотурбинный двигатель
внутреннего сгорания, главным элементом которого являет-
ся газотурбинная установка. Цикл газотурбинной установ-
ки состоит из тех же процессов, что и цикл поршневого двига-
теля внутреннего сгорания, но существенное различие заклю-
чается в следующем: если в поршневом двигателе эти процессы
происходят последовательно, один за другим, в одном и том же
элементе двигателя — в цилиндре, то в газотурбинной установ-
ке эти процессы происходят в различных элементах конструк-
ции и, таким образом, в ней нет такой неравномерности усло-
вий работы элементов двигателя, как в поршневом двигателе.
В газотурбинных установках средняя скорость рабочего тела в
50—100 раз выше, чем в поршневых двигателях. Все это по-
зволяет сосредоточить в малогабаритных газотурбинных уста-
новках большие мощности. Кроме того, в газотурбинных уста-
новках реализуется адиабатное расширение рабочего тела до
давления, равного давлению окружающей среды, т. е. реали-
зуются так называемые циклы полного расширения.
Эти важные преимущества делают газотурбинную установ-
ку весьма перспективной. Пока еще ограниченное применение
газовых турбин в высокоэкономичных крупных энергетиче-
ских объектах объясняется в основном тем, что из-за недоста-
точной жаропрочности современных конструкционных мате-
335
Глава 11. Термодинамические циклы
риалов турбины могут надежно работать в области температур,
значительно меньших, чем в двигателях внутреннего сгорания
поршневого типа. В поршневых двигателях температура рабо-
чего тела меняется во времени и, следовательно, тепловой ре-
жим работы поршня, стенок цилиндра и других узлов являет-
ся не таким напряженным, как в газотурбинной установке, в
которой многие конструкционные элементы работают в усло-
виях постоянного воздействия высоких температур, что приво-
дит к снижению термического КПД турбин.
Прогресс в создании новых жаропрочных материалов дает
возможность применения газовых турбин в области более вы-
соких температур.
В настоящее время газотурбинные установки, благодаря своей
простоте, отсутствию движущихся возвратно-поступательно час-
тей, возможности получения больших мощностей и применению
более дешевого топлива, получили широкое применение в ави-
ации, в судостроении, на железнодорожном транспорте и в энер-
гетике, в частности на газоперекачивающих станциях.
Циклы газотурбинных установок разделяются на две ос-
новные группы: со сгоранием при р = const и со сгоранием при
v = const. При этом цикл газотурбинной установки с подводом
теплоты при постоянном давлении называется циклом Брайтона,
а с подводом теплоты при постоянном объеме — циклом Гемфри.
Таким образом, газотурбинные установки классифициру-
ются по тому же признаку, что и поршневые двигатели внут-
реннего сгорания — по способу сжигания топлива.
11.6.2. Цикл Брайтона. Принципиальная схема газотур-
бинной установки со сгоранием при р = const представлена на
рис. 11.21. Компрессор 1, турбина 8, топливный насос 2 и по-
требитель энергии 7 (на рис. 11.21 он изображен как электро-
генератор, но это может быть и любой другой потребитель
энергии — гребной винт, ведущее колесо и т. п.) имеют общий
вал. Компрессор 1 сжимает атмосферный воздух до требуемо-
го давления и направляет его в камеру сгорания 3. Топливо
в камеру сгорания подается топливным насосом 2. В случае
использования газообразного топлива вместо насоса применя-
ется газовый компрессор. Сгорание топлива происходит в ка-
мере сгорания при р = const. Продукты сгорания расширяются
336
11.6. Циклы газотурбинных установок
в сопловом аппарате 4 и на ло-
патках 5 газовой турбины, про-
изводят там работу и через вы-
пускной патрубок 6 поступают в
атмосферу.
Идеальный термодинамиче-
ский цикл данной газотурбинной
установки (рис. 11.22) состоит из
следующих процессов:
• а—с — адиабатное сжатие
воздуха в компрессоре;
• с—z — изобарный подвод теплоты в камере сгорания
(процесс сгорания топлива);
• z—Ъ — адиабатное расширение продуктов сгорания на
турбине и в выпускном патрубке до давления окружаю-
щей среды;
• Ъ—а — изобарный процесс отдачи рабочим телом тепло-
ты в окружающую среду.
В результате совокупности этих процессов совершается ус-
ловно-замкнутый прямой цикл с положительной результи-
рующей работой Z > 0, которая на pv- и Ts-диаграммах ото-
бразится площадью асгЪа.
Основными характеристиками данного цикла являются:
• п = рс/ра — степень повышения давления. Степень по-
вышения давления — это отношение давлений в конце
и начале процесса сжатия;
• р = vz/vc — степень предварительного расширения.
Рис. 11.22
22 - 5580
337
Глава 11. Термодинамические циклы
Количество подводимой и отводимой теплоты определяется
по формулам
<71 = ср(Тг - Тс), (11.58)
q2 = ср(Ть - Та). (11.59)
С учетом последних соотношений формула для термическо-
го КПД (11.16) будет иметь следующий вид:
„ ^2 1 ть ~ Та 1
nt=l--=l~T _т • (11.60)
1 2 1 С
Найдем выражения температур в каждой последующей
точке через начальную температуру рабочего тела Та.
Для адиабатного процесса сжатия справедливо следующее
соотношение:
41 4 о |п II 4 | 4 о Н ^1’ II а IB- а- I
Отсюда k - 1 Тс = Та11 * . (11.61)
В изобарном процессе с—г
отсюда Т г vz Т~ ~ v" ~ Р’ L С С Тг = Тср = ТартГ^. (11.62)
В адиабатном процессе г—Ъ
, 1 К JJ «1 <31 и ^1 II 1 Ме 1 «О I м II -01 м Е-Ч IE4
тогда Ть~Тг ?-! ~Тар. (11.63) п k
Подставляя найденные значения температур (11.61)—(11.63)
в формулу (11.60), получаем
.. -^аР а р~1 1 z-.jz.j4
~ 1 k - i k - i — 1 fe - i “ 1 • (11-64)
Tapn k -Tan k (p - 1)7C k к k
Из формулы следует, что КПД газотурбинной установки
с подводом теплоты при р = const определяется степенью повы-
338
11.6. Циклы газотурбинных установок
шения давления п и показателем адиабатного процесса. Чем
выше показатель k и чем больше значение л, тем выше Т|г
В табл. 11.2 приведены значения Г], цикла газотурбинной ус-
тановки при различных л и k = 1,35. Из таблицы видно, что с
ростом л интенсивность увеличения Г], постепенно уменьшается.
Таблица 11.2
п 2 4 6 8 10 12 14 16
0,162 0,292 0,371 0,416 0,448 0,482 0,500 0,512
На рис. 11.22, б видно, что на Ts-диаграмме подводимая
теплота q1 изображается площадью lcz2, теплота </2, отводи-
мая от рабочего тела, — площадью 1аЬ2, а работа цикла —
площадью ас zb.
Следовательно, термический КПД цикла с подводом тепло-
ты при р = const можно определить отношением площадей
_ _ пл. aczb
пл. 1 cz2 ’
При увеличении степени повышения давления л в услови-
ях одинаковой работы цикла (рис. 11.23) уменьшается ко-
личество отводимой теплоты q2, что приводит к увеличению
КПД. Однако с ростом л увеличивается и температура газов
перед лопатками турбины.
Вследствие этого в современных газотурбинных установках
величина л выбирается таким образом, чтобы максимально
допустимая температура газов перед лопатками турбины не
превышала 900—1200 °C.
На рис. 11.24 приведены циклы поршневого двигателя
внутреннего сгорания 1—2—3—4 и газотурбинной установки
Рис.11.23
339
22*
Глава 11. Термодинамические циклы
1—2—3—5, работающих с подводом теплоты при р = const.
Из рисунка видно, что при одинаковых затратах при подводе
теплоты работа цикла газотурбинной установки больше. Это
объясняется тем, что в цикле газотурбинной установки имеет
место более полное расширение газов, по сравнению с циклом
поршневого двигателя. В результате в газотурбинной установ-
ке отводится меньшее количество теплоты от продуктов сгора-
ния в окружающую среду.
Кроме того, необходимо отметить, что продукты сгорания,
выбрасываемые в окружающую среду, имеют более высокую
температуру, чем сжатый воздух, поступающий в камеру сгора-
ния после компрессора. Теплоту уходящих газов можно исполь-
зовать для предварительного подогрева воздуха перед подачей в
камеру сгорания. Такой процесс называется регенерацией. За
счет применения регенерации теплоты термический КПД газо-
турбинной установки может быть существенно увеличен.
11.6.3. Цикл газотурбинной установки с подводом теп-
лоты прир = const и регенерацией. Регенерация теплоты со-
стоит в использовании теплоты отработавших газов турбины
для подогревания воздуха, поступающего в камеру сгорания.
Из сравнения рис. 11.21 и 11.25 видно, что основное отличие га-
зотурбинной установки с регенерацией теплоты (см. рис. 11.25)
от установки без регенерации состоит в том, что сжатый воз-
дух из компрессора 1 поступает в воздушный регенератор-
теплообменник 6, в котором он подогревается за счет тепло-
ты отработанных в турбине продуктов сгорания. Из регенера-
тора-теплообменника воздух поступает в камеру сгорания 3.
Термодинамический цикл газотурбинной установки со сго-
ранием топлива при р = const и с регенерацией теплоты
(рис. 11.26) состоит из следующих процессов:
• 1 — 2 — процесса сжатия воздуха в компрессоре;
• 2—3 — изобарного подогрева воздуха в регенераторе;
• 3—4 — изобарного процесса подвода теплоты в камере
сгорания за счет сгорания топлива;
• 4—5 — адиабатного расширения газов в турбине;
• 5—6 — изобарного охлаждения рабочего тела в регене-
раторе;
• 6—1 — изобарной отдачи рабочим телом теплоты окру-
жающему воздуху.
340
11.6. Циклы газотурбинных установок
При полной регенерации теплоты охлаждение продуктов
сгорания в регенераторе-теплообменнике происходит до тем-
пературы воздуха, поступающего в него, т. е. от Т3 = Т5 до
Т6 = Т2. На рис. 11.26 изотермы показаны пунктирными ли-
ниями. При этом количество теплоты, воспринятое воздухом
в регенераторе, равно количеству теплоты, отдаваемому в нем
продуктами сгорания:
ЯР = ср(Т3-Т2) = ср(Т5-Т6). (11.65)
При ср = const имеем
т3-т2 = т5-т6.
Термический КПД цикла при полной регенерации опреде-
ляется выражением (11.6)
Количество подведенной теплоты в цикле с полной регене-
рацией
<71 = ср(Т4 - Т3) = ср(Т4 - Т5), (11.66)
а количество отводимой теплоты
q2 = cp(T6-T1) = cp(T2-T1). (11.67)
Тогда
Т, ~ Тл
= (Ц.68)
1 4 1 5
Согласно уравнениям (11.61)—(11.63)
Т4 = ; Т5 = 7\р; Т2 ,
341
Глава 11. Термодинамические циклы
а подстановка соответствующих температур в выражение
(11.68) позволяет получить окончательную формулу для КПД
газотурбинной установки со сжиганием при р = const и пол-
ной регенерацией
П4 = 1-^. (И.69)
1 5
Из выражения (11.69) видно, что термический КПД для
рассматриваемого случая зависит от температуры газа в конце
адиабатного расширения Т- и начальной температуры газа
Tv Чем выше Т5 и чем ниже Т1, тем выше Т|г
Необходимо иметь в виду, что температура Т5 не является
максимальной температурой в рассматриваемом цикле, поэто-
му формула (11.69) отличается от формулы (11.12) для КПД
цикла Карно.
Однако полная регенерация теплоты практически невоз-
можна вследствие ограниченных размеров регенераторов и
наличия конечной разности температур между нагреваемым и
охлаждаемым потоками газа. Обычно нагреваемый в регене-
раторе воздух имеет температуру Т3. несколько меньшую, чем
Т3, и охлаждаемые газы — температуру Т& более высокую,
чем Т6, что хорошо прослеживается на Ts-диаграмме соответ-
ствующего цикла (рис. 11.27).
Полнота регенерации теплоты определяется степенью ре-
генерации
Tv - Т2
°₽=7^’ (И-7°)
т. е. отношением теплоты, которое фактически используется в
процессе регенерации (процесс 2—3'), к теплоте, соответст-
вующей возможному перепаду температур от Т3 до Т2.
Величина степени регенерации зависит от конструкции
теплообменника или от размеров рабочих поверхностей тепло-
обменника (регенератора). Чем больше ор, тем полнее в цикле
осуществляется регенерация и тем в большей степени исполь-
зуется теплота отработанных газов. При ор = О регенерации
нет, при полной регенерации Т3, = Т3 и ор = 1. Значение коэф-
фициента ор реально изменяется в пределах от 0,5 до 0,7.
342
11.6. Циклы газотурбинных установок
Рис.11.27
Определим термический КПД цикла с неполной регенера-
цией. Количество подведенной теплоты q} в цикле с неполной
регенерацией определяется выражением
<71 = ср(Т\ - Т3.) = ср[Т\ -Т2- (Т3, - Т2)] (11.71)
или с учетом определения (11.70):
<71 = ср[Т4 - Т2 - ир(Т3 - Т2)]. (11.72)
Количество отведенной теплоты д2 в цикле с регенерацией
меньше, чем в случае отсутствия регенерации, т. е.
q2 = ср[Т5 -Т\- ир(Т3 - Т2)]. (11.73)
Выразив температуры в каждой последующей точке через
начальную температуру Т\ и воспользовавшись уравнениями
(11.61)—(11.63), получим
Т* fe-1 .гр 2А-1.
-ор
nt = 1 - \т-----• (и-74)
При ор = 0 выражение (11.74) переходит в уравнение (11.64)
для цикла без регенерации, а при ор = 1 принимает вид (11.69).
На рис. 11.28 приведена зависимость термического КПД от
степени регенерации ор для различных степеней повышения
давления.
Необходимо отметить, что при понижении температу-
ры Т2 (в конце адиабатного сжатия) эффективность
применения регенерации увеличивается.
343
Глава 11. Термодинамические циклы
Рис.11.29
Об этом свидетельствует и сам цикл, изображенный на
Ts-диаграмме (см. рис. 11.27). Действительно, чем ниже Т2,
тем больше участок изобары 2—3, на котором может осуществ-
ляться процесс регенерации.
Одним из способов повышения КПД газотурбинных устано-
вок является ступенчатый подогрев рабочего тела и ступенча-
тое сжатие воздуха в компрессоре с охлаждением его между
ступенями.
Схема такой установки, также имеющей регенерацию, по-
казана на рис. 11.29. Как видно из схемы, установка имеет
один промежуточный подогрев рабочего тела и одно промежу-
точное охлаждение сжимаемого воздуха.
Термодинамический цикл подобной установки показан на
рис. 11.30.
Воздух, всасываемый из атмосферы, сжимается адиабатно
(1 — 1') в первой ступени компрессора 8 (см. рис. 11.29). Затем
Рис. 11.30
344
11.6. Циклы газотурбинных установок
он направляется в теплообменник-холодильник 9, где охлажда-
ется при постоянном давлении (1'—1") до первоначальной тем-
пературы. После теплообменника 9 сжатие воздуха продол-
жается по адиабате 1"—2 во второй ступени компрессора 7.
Сжатый таким образом воздух по воздухопроводу 6 поступает
в теплообменник-регенератор 5, где подогревается по изобаре
2—3. Подогретый в регенераторе воздух через воздухопровод 4
попадает в камеру сгорания 3, в которой подогревается дополни-
тельно за счет подвода теплоты q\ по изобаре 3—4 от горячего
источника теплоты за счет сгорания топлива, поданного насо-
сом 14 по трубопроводу 2. Рабочее тело с параметрами точки 4
(см. рис. 11.30) подается в первую ступень газовой турбины 13,
где происходит адиабатный процесс расширения 4—4'. Отрабо-
тавшее в первой ступени рабочее тело вновь подается в камеру
сгорания 12 и по изобаре 4—4" подогревается до температуры в
точке 4 за счет подвода теплоты q". Подогретое таким образом
рабочее тело поступает во вторую ступень газовой турбины 11,
где расширяется по адиабате 4”—5. Отработавшее в турбине ра-
бочее тело по выхлопному трубопроводу 10 поступает в теп-
лообменник-регенератор 5, где оно отдает теплоту проходяще-
му по змеевику воздуху по изобаре 5—6. После этого рабочее
тело выпускается в атмосферу и охлаждается по изобаре 6—1,
отдавая теплоту в количестве q'2. Выработанная установкой
энергия используется потребителем 1 (см. рис. 11.29).
Чем больше промежуточных ступеней подогрева и охлаж-
дения, тем выше термический КПД цикла. Действительно, ес-
ли представить, что в цикле (рис. 11.31) в процессе 2—4 теп-
лота подводится к рабочему телу только за счет охлаждения
рабочего тела в процессе 5—1, то в силу эквидистантности
изобарных процессов эти коли-
чества теплоты не должны учи- тываться при определении тер- мического КПД цикла. Если приближенно оценить теплоту, подведенную к рабочему телу в совокупном процессе 3—4' в виде qx — Т4 Лз34,, а теплоту, отдан- ную холодному источнику в про- цессе 6—1' в виде q2 = Т1 Аз6Г, Т‘‘ Я ..... Я, 2/ / V\AAAAA/{5 г 1 0 s Рис.11.31
345
Глава 11. Термодинамические циклы
то в силу равенства Дз3_4, = As6_r термический КПД будет
определяться формулой
nf = 1 - (11.75)
совпадающей с формулой КПД цикла Карно (11.12).
Однако сказанное справедливо лишь применительно к цик-
лу с большим количеством промежуточных ступеней подогре-
ва и охлаждения. Очевидно, что с увеличением числа сту-
пеней усложняется конструкция установки и ее стоимость.
В связи с этим количество промежуточных ступеней подоб-
ных газотурбинных установок (ГТУ) выбирается на основе
экономического анализа, учитывающего как термодинамиче-
ские, так и конструктивные и экономические факторы. В на-
стоящее время широко применяется схема с трехступенчатым
сжатием и двухступенчатым сгоранием с регенерацией.
11.6.4. Цикл Гемфри. Принципиальная схема газотурбин-
ной установки со сгоранием топлива при постоянном объеме
показана на рис. 11.32. Газовая турбина!, компрессор 2 и
электрогенератор 12 имеют общий вал.
Компрессор 2 подает сжатый воздух через ресивер и управ-
ляющий клапан 4 в камеру сгорания 8. Топливо подается в
камеру сгорания насосом 3 через форсунку (клапан) 5. Элект-
рическая свеча 6 используется для воспламенения топлива.
Для осуществления сгорания при v = const в камере сгорания
устанавливаются три клапана: топливный 5, воздушный 4 и
сопловой 7. При сгорании топлива все клапаны закрыты, т. е.
сгорание происходит при посто-
янном объеме. После сгорания
топлива давление повышается,
клапан 7 открывается, и продук-
ты сгорания направляются в со-
пловой канал 9 и на лопатки
турбины 10, где расширяются до
конечного давления и через вы-
пускной патрубок 11 выбрасыва-
ются в окружающую среду.
Цикл газотурбинной установ-
ки с подводом теплоты при v =
346
11.6. Циклы газотурбинных установок
= const, часто называемом циклом газотурбинной установки пе-
риодического сгорания, или циклом Гемфри, изображен на
рис. 11.33 и состоит из следующих процессов:
• а—с — адиабатного сжатия воздуха в компрессоре;
• с—z — подвода теплоты при постоянном объеме;
• z—Ъ — адиабатного расширения продуктов сгорания
в турбине до давления окружающей среды;
• Ъ—а — изобарного отвода теплоты в окружающую
среду.
Для данного цикла основными являются следующие ха-
рактеристики:
• степень повышения давления л = PjPd'
• степень повышения давления в процессе подвода тепло-
ты 'к=рг/рс.
Термический КПД цикла определяется традиционной фор-
мулой T]t = 1 — q<Jqx. Количество подведенной теплоты qx в
процессе с—z определяется по формуле
91 = Cv(Tz - Тс). (11.76)
Количество отведенной теплоты в процессе Ъ—а — по фор-
муле
<?2 = ср(Ть - Та). (11.77)
Подставляя выражения (11.76) и (11.77) в выражение КПД,
получаем
ср(Ть-Та) Ть-Та
1 cv(T2-Tc) 1 kT2-Tc- (11.78)
347
Глава 11. Термодинамические циклы
Выражая каждую последующую температуру через началь-
ную температуру Та, получаем
для адиабатного процесса:
k -1
для изохорного процесса с—z:
Т р fe ~1
F =Г =^Т2=ТсХ = Таки к ;
А с “с
для адиабатного процесса z— b с учетом рь = ра\
Отсюда
"к к п к к к К к
Подставляя полученные значения температур Тс, Тг и Ть
в формулу (11.78), получаем
1
* - 1
T\t = l~k—------(11.79)
(Z. - 1)л к
Термический КПД цикла газотурбинной установки со сго-
ранием при постоянном объеме зависит от степени повыше-
ния давления л, показателя адиабатного процесса k исполь-
зуемого рабочего тела и степени повышения давления в про-
цессе подвода теплоты X.
В табл. 11.3 приведены значения r|z цикла газотурбинной
установки с подводом теплоты при v = const и разных значе-
ниях лил при k = 1,35.
Из таблицы видно, что термический КПД цикла возрастает
с увеличением степени повышения давления л и степени по-
вышения давления при подводе теплоты.
348
11.7. Циклы реактивных двигателей
Таблица 11.3
я 2 3 4 5 6 7
2 0,246 0,292 0,334 0,352 0,373 0,389
3 0,321 0,362 0,401 0,416 0,434 0,451
4 0,372 0,410 0,446 0,460 0,477 0,492
5 0,409 0,441 0,478 0,492 0,508 0,522
Рассмотренная установка из-за сложности конструкции ка-
меры сгорания, напряженных условий работы турбины в пуль-
сирующем потоке газа (в данном случае топливо подается в ка-
меру сгорания определенными порциями, как в поршневом
двигателе внутреннего сгорания, в отличие от газотурбинной
установки со сгоранием при р = const, где процесс горения топ-
лива непрерывен) не получила широкого распространения.
Заканчивая рассмотрение циклов газотурбинных устано-
вок, следует акцентировать внимание на том, что анализ эф-
фективности этих установок проводился в предположении об-
ратимости циклов при условии, что рабочее тело — идеаль-
ный газ, теплоемкость которого не зависит от температуры.
При рассмотрении реальных газотурбинных установок, так-
же как и при рассмотрении поршневых двигателей внутренне-
го сгорания, анализ циклов следует вести с учетом потерь
из-за необратимости процессов.
11.7. Циклы реактивных двигателей
11.7.1. Классификация реактивных двигателей. Реак-
тивными двигателями называются такие двигатели, в ко-
торых химическая энергия топлива преобразуется в кинети-
ческую энергию газовой струи, вытекающей из двигателя,
а получающаяся при этом сила реакции непосредственно ис-
пользуется как движущая сила летательного аппарата и назы-
вается силой тяги. Направление силы тяги всегда обратно
направлению ускорения, сообщаемого отбрасываемой массе.
349
Глава 11. Термодинамические циклы
Все реактивные двигатели можно разделить на три основ-
ных класса:
• воздушно-реактивные двигатели, в которых в качестве
окислителя используется кислород атмосферного воздуха;
• ракетные двигатели, в которых горючее и окислитель на-
ходятся на борту летательного аппарата;
• комбинированные двигатели, представляющие комбина-
цию ракетных и воздушно-реактивных двигателей.
Работа воздушно-реактивного двигателя зависит от окру-
жающей среды, поэтому полеты аппарата с таким двигателем
в безвоздушном (межпланетном) пространстве невозможны.
Ракетные двигатели могут применяться на любых высотах
и для полета в межпланетном пространстве. Если запуск этих
двигателей происходит в наземных условиях,то на начальном
этапе работы ракетного двигателя в составе ракеты можно ис-
пользовать воздушно-реактивные двигатели.
Классификация реактивных двигателей приведена на
рис. 11.34.
Рис.11.34
350
11.7. Циклы реактивных двигателей
Ракетные двигатели по роду применяемого топлива подраз-
деляются на ракетные двигатели твердого топлива (РДТТ) и
жидкого (ЖРД), ядерные ракетные двигатели (ЯРД), гидрореа-
гирующие двигатели (ГРД) и электрические ракетные двига-
тели (ЭРД).
Воздушно-реактивные двигатели подразделяются на бес-
компрессорные двигатели, к которым относятся прямоточные
воздушно-реактивные двигатели (ПВРД), сверхзвуковые пря-
моточные (СПВРД), гиперзвуковые прямоточные (ГПВРД),
пульсирующие воздушно-реактивные двигатели (ПуВРД) и
газотурбинные. Газотурбинные двигатели (ГТД), в свою оче-
редь, подразделяются на турбореактивные (ТРД), турбореак-
тивные двигатели с форсажной камерой (ТРДФ), двухконтур-
ные (ТРДД), двухконтурные с форсажной камерой (ТРДДФ),
турбовинтовые (ТВД) и турбовальные (ТВалД).
К комбинированным двигателям относятся турбопрямоточ-
ные двигатели (ТПД), ракетно-прямоточные (РПД), ракетно-тур-
бинные (РТД). Предложены десятки схем комбинированных
двигателей, в том числе с использованием криогенного топлива.
11.7.2. Принцип работы и циклы газотурбинных двига-
телей. Газотурбинные двигатели широко применяются в ави-
ации и являются основными двигателями для различных типов
современных самолетов. Основной агрегат данного двигателя —
турбокомпрессор, состоящий из компрессора, камеры сгорания
и турбины.
Наиболее простым типом газотурбинного двигателя явля-
ется турбореактивный двигатель (ТРД) (рис. 11.35). Двигатель
состоит из входного устройства 1 (воздухозаборника), компрес-
сора 2, камеры сгорания 3, турбины 4 и реактивного сопла 5.
Рис. 11.35
351
Глава 11. Термодинамические циклы
Характерными для двигателя являются сечения: н — не-
возмущенный поток перед двигателем; в — за входным уст-
ройством; к — за компрессором; г — за камерой сгорания; т —
за турбиной; с — на срезе реактивного сопла.
Входное устройство 1 предназначено для подвода воздуха к
компрессору с возможно меньшими потерями и определенной
скоростью, а также для сжатия воздуха в полете за счет скоро-
стного напора. В компрессоре 2 воздух сжимается и подается
в камеру сгорания 3. Основной характеристикой компрессора
является степень повышения давления в компрессоре:
(П.80)
н в
где рк — давление на выходе из компрессора; рв — давление
на входе в компрессор.
На турбореактивных двигателях устанавливаются осевые и
центробежные компрессоры.
При работе двигателя на старте воздух сжимается лишь
компрессором. В полете воздух сжимается за счет скоростного
напора в воздухозаборнике и компрессором.
В дальнейшем сжатый воздух поступает в камеру сгора-
ния 3, где в него форсунками подается топливо (как правило,
авиационный керосин), затем происходит сгорание топливно-
воздушной смеси, в процессе которого температура продуктов
сгорания повышается до величины, определяемой жаропроч-
ностью материалов турбины и эффективностью ее охлажде-
ния. В момент запуска топливно-воздушная смесь воспламе-
няется электрической искрой, а в дальнейшем горение под-
держивается благодаря непрерывному поступлению в зону
горения жидкого топлива и воздуха. Продукты сгорания име-
ют температуру порядка 850—950 °C.
В турбине 4 происходит расширение газа, часть потенци-
альной энергии газа преобразуется в механическую работу на
валу, которая расходуется на вращение компрессора и привод
вспомогательных агрегатов, обслуживающих двигатель и са-
молет, таких как насосы подачи горючего и масла, электроге-
нератор, регуляторы и т. п. Окончательное расширение про-
дуктов сгорания до атмосферного давления, преобразование
потенциальной энергии в кинетическую и увеличение скорос-
ти потока происходит в реактивном сопле 5.
352
11.7. Циклы реактивных двигателей
Скорость истечения газов из реактивного сопла получается
больше скорости полета, что и обусловливает получение реак-
тивной тяги двигателя.
В начальный период развития реактивной авиации ТРД
широко применялись на военных и гражданских самолетах.
Наиболее известны двигатели, построенные под руководством
А. М. Люльки (ТР-1, 1947 г., устанавливался на самолете Су-11
конструкции П. О. Сухого); В. Я. Климова (РД-45Ф и ВК-ЗМ,
1947—1949 гг., устанавливались на самолетах МиГ-15 и МиГ-17
конструкции А. И. Микояна и М. И. Гуревича); А. А. Мику-
лина (АМ-3 и РД-ЗМ, 1949—1950 гг.) первый устанавливался
на бомбардировщике Ту-16, второй — на первом в мире пасса-
жирском реактивном самолете Ту-104 конструкции А. Н. Ту-
полева).
Турбореактивный двигатель с форсажной камерой сгора-
ния (ТРДФ) (рис. 11.36) отличается от рассмотренного выше
ТРД наличием между турбиной 4 и реактивным соплом 6 фор-
сажной камеры сгорания 5, обеспечивающий повышение тем-
пературы газа перед соплом и увеличение скорости истечения,
что соответственно приводит к возрастанию реактивной тяги.
Эти двигатели используются на самолетах с большой тягово-
оруженностью и большими максимальными числами М поле-
та (М = 2,0—3,5), поэтому они оборудуются сверхзвуковым
входным устройством 1 и реактивным соплом Лаваля 6. Ми-
ровую известность получил отечественный ТРДФ РИФ-300,
разработанный под руководством С. К. Туманского (устанав-
ливался на сверхзвуковом истребителе МиГ-21).
С шестидесятых годов прошлого столетия ТРД и ТРДФ ста-
ли уступать место турбореактивным двухконтурным двигате-
23-5580
353
Глава 11. Термодинамические циклы
лям (ТРДД). Они отличаются тем, что у них воздух, поступаю-
щий через входное устройство 1, разделяется на два потока:
внутренний, проходящий через турбокомпрессор 3, 4, и внеш-
ний 5, проходящий через вентилятор 2, приводимый во враще-
ние турбиной внутреннего контура 6. Истечение происходит
либо через два независимых сопла 7, 8, либо газовые потоки со-
единяются за турбиной и вытекают через одно общее сопло.
Схема ТРДД с раздельным истечением потоков из наружного и
внутреннего контуров показана на рис. 11.37. За счет обмена
механической энергией между контурами внесенная с топли-
вом энергия подводится к массе воздуха, проходящей через оба
контура, поэтому уменьшается скорость истечения. Уменьше-
ние потерь кинетической энергии, выходящей из двигателя га-
зовой струи, приводит к улучшению экономичности ТРДД на
дозвуковых скоростях полета. Уменьшение скорости истечения
газа из двигателя способствует также снижению уровня шума.
Указанные преимущества ТРДД обусловили их широкое при-
менение на дозвуковых пассажирских самолетах.
По схеме трехвального ТРДД с раздельными контурами
выполнены двигатели Д-18 и Д-36 конструкции П. А. Со-
ловьева. Двигатель Д-36 установлен на самолетах Як-40 и Як-42,
конструкции А. С. Яковлева, а двигатель Д-18 — на Ан-124
(«Руслан») конструкции О. К. Антонова и Ан-225 («Мр1я»)
конструкции П. В. Балабуева.
Схема ТРДД со смешением потоков наружного и внутреннего
контуров показана на рис. 11.38. В данном случае разделение
354
11.7. Циклы реактивных двигателей
потока воздуха происходит после прохождения вентилятора и
компрессора низкого давления 1. В дальнейшем во внутреннем
контуре воздух дополнительно сжимается компрессором высо-
кого давления 2, приводимым в действие турбиной 3. Привод
вентилятора и компрессора низкого давления реализуется тур-
биной низкого давления 4. Смешение потока сжатого воздуха и
продуктов сгорания происходит в общем реактивном сопле 5.
По такой схеме созданы мощные двухконтурные двигатели
Д-30 и ПС-90 конструкции А. П. Соловьева для самолетов
Ту-134, Ту-204 и Ил-96-300 и двигатели НК-8 и НК-87 конструк-
ции Н. Д. Кузнецова для самолетов Ту-154, Ил-62 и Ил-86 (по-
следние — конструкции С. В. Ильюшина и Г. В. Новожилова).
Турбореактивные двухконтурные двигатели с форсажной
камерой сгорания (ТРДДФ) применяются на летательных ап-
паратах со сверхзвуковыми скоростями полета. Они характе-
ризуются по сравнению с ТРДФ лучшей экономичностью. На
рис. 11.39 показана схема двухконтурного двигателя с общей
355
23*
Глава 11. Термодинамические циклы
форсажной камерой сгорания. После сжатия воздуха во вход-
ном диффузоре (воздухозаборнике) 1 и вентиляторе 2 про-
исходит разделение потоков. Во внутреннем контуре пос-
ле протекания процессов в компрессоре 3, камере сгорания 4,
турбине 5 и внешнем контуре задействуется форсажная каме-
ра сгорания 6, обеспечивающая повышение температуры газа
перед соплом для увеличения скорости истечения.
По такой схеме выполнены двигатели АЛ-31Ф и РД-33,
которыми оснащены самолеты-истребители Су-27 и МиГ-29,
а также двигатель НК-144, который устанавливался на первом
сверхзвуковом пассажирском самолете Ту-144 вплоть до появ-
ления двигателя НК-12.
Большое распространение в авиации получили турбовинто-
вые двигатели (ТВД) и их разновидность — турбовальные дви-
гатели для вертолетов (ТВалД).
Турбовинтовые двигатели на малых и средних дозвуко-
вых скоростях полета являются наиболее экономичными. На
рис. 11.40 приведена схема одновального двигателя. Как вид-
но, принципиальная схема и рабочий процесс ТВД практически
такие же, как и у ТРДД без форсажной камеры (см. рис. 11.37).
Различие состоит в том, что в ТРДД избыточная мощность
турбины затрачивается на привод вентилятора, сжимающего
воздух во внешнем контуре, а в ТВД — на привод винта 1.
И винт, и внешний контур выполняют, по существу, одну и
ту же функцию — ускорение дополнительной массы воздуха и
получение в результате этого дополнительной силы тяги. Тяга,
Рис. 11.40
356
11.7. Циклы реактивных двигателей
создаваемая винтом ТВД, оказывается во много раз больше тяги
самого двигателя. Для согласования частот вращения вала дви-
гателя и воздушного винта применяется редуктор 2, что утяже-
ляет конструкцию. Компрессор 3, камера сгорания 4, турбина 5
в рассматриваемом двигателе выполняются по классической
схеме. Выходное реактивное сопло 6 делается более коротким.
По одновальной схеме выполнены самый мощный в мире од-
новальный ТВД НК-12 конструкции Н. Д. Кузнецова, устанав-
ливаемый на самолетах Ан-22 и Ту-114, и АИ-20 конструкции
А. Г. Ивченко, устанавливаемый на пассажирском самолете
Ил-18 и транспортном самолете Ан-12. На практике получили
применение и двухвальные двигатели со свободной турбиной, у
которой компрессор и винт приводятся во вращение разными
турбинами. В гражданской авиации эксплуатируются самоле-
ты местных линий Ан-28 с ТВД-106 и Ил-114 с ТВД-117.
Турбовальные двигатели для вертолетов (ТВалД) (рис. 11.41),
наряду с компрессором 1, камерой сгорания 2 и турбиной
компрессора 3, имеют свободную турбину 4 с соответствую-
щим валом 6. Продукты сгорания в этом двигателе отводятся
с помощью выходного патрубка 5. На крупнейшем в мире
транспортном вертолете Ми-26 установлен трехвальный тур-
бовальный двигатель Д-136 конструкции В. А. Лотарева.
Ухудшение параметров ТВД на больших скоростях полета
происходит из-за уменьшения КПД винта. В настоящее время
ведется работа по созданию улучшенного ТВД, получившего
название турбовентиляторного двигателя (ТВВД). В нем
вместо винта используется винтовентилятор, представляющий
собой малогабаритный многолопастный воздушный винт изме-
Рис.11.41
357
Глава 11. Термодинамические циклы
няемого шага. Турбовинтовентиляторный двигатель Д-27 пред-
назначен для самолетов Ан-70, Ан-180, Бе-42 и других высоко-
экономичных пассажирских и транспортных самолетов. По та-
кой же схеме выполнен двигатель нового поколения НК-93.
Таким образом, потенциальные возможности турбовинто-
вых двигателей не исчерпаны, не говоря о том, что это единст-
венный двигатель для тяжелых вертолетов.
Из приведенных примеров видно, что при рассмотрении
всех газотурбинных двигателей без форсажа (ТРД, ТРДД,
ТВД, ТВалД) рабочие процессы в основных элементах двига-
теля являются общими, что позволяет отобразить идеальный
рабочий цикл газотурбинного двигателя в /w-координатах,
т. е. цикл, который мог бы быть осуществлен 1 кг идеального
газа в предположении неизменности удельной газовой посто-
янной R и показателя адиабатного процесса k без потерь в
процессах сжатия, подвода тепла и расширения (рис. 11.42).
Состояние рабочего тела в характерных сечениях перед дви-
гателем и за каждым агрегатом двигателя, в котором происхо-
дит изменение энергии, будем обозначать индексами, соответ-
ствующими агрегатам, за которыми располагаются данные се-
чения (см. рис. 11.35).
Адиабатный процесс н—в соответствует сжатию воздуха
в воздухозаборнике, в—к — в компрессоре. Процесс подвода
теплоты в камере сгорания характеризуется изобарой к—г.
Адиабатный процесс расширения в турбине обозначен отрез-
ком г—т, при этом в зависимости от типа двигателя точка т
смещается. Расширение в реактивном сопле изображается от-
резком т—с. Изобарный отвод теплоты от струи горячих га-
зов, вытекающих из двигателя во внешнюю среду, обозначен
отрезком с—н.
Термодинамический цикл н—к—г—с—н, образованный
этими процессами, носит название изобарного цикла полного
расширения или цикла Брайтона и ничем не отличается от
цикла газотурбинной установки с подводом теплоты при по-
стоянном давлении (см. разд. 11.6.2).
Теоретическая удельная работа идеального цикла /ц характе-
ризуется площадью (нкгсн), полученной как разность работы
расширения и работы сжатия. Кроме того, необходимо отметить,
358
11.7. Циклы реактивных двигателей
Рис. 11.43
что в ТРД работа турбины равна работе компрессора, т. е. равны
заштрихованные площади на диаграмме: пл. 34гт3 = пл. 24кв2.
Термический КПД идеального газотурбинного двигателя
определяется в той же последовательности и по той же форму-
ле (11.64), как в газотурбинных установках при сгорании при
р = const, с учетом того что повышение давления происходит
сначала в диффузоре, а затем в компрессоре
i)t=l-n“^, (11.81)
Рв Рк Рк
где TTj- = лдлк =-= — — суммарная степень повышения
давления. н ®
Из уравнения (11.81) видно, что термический КПД газотур-
бинного двигателя зависит от степени повышения давления в
диффузоре и компрессоре и от показателя адиабатного процес-
са k рабочего тела, совершающего цикл. При увеличении сум-
марной степени повышения давления лх термический КПД
растет вначале быстро (рис. 11.43), а затем медленнее. Так,
например, при увеличении степени повышения давления от 2
до 5 термический КПД возрастает на 100%, а при увеличении
от 8 до 10 — примерно на 5% .
Необходимо отметить, что термический КПД зависит от
скорости и высоты полета. С увеличением скорости полета на
заданной высоте термический КПД возрастает за счет повы-
шения давления в диффузоре л .
Вместе с тем необходимо иметь в виду, что при больших
значениях лх работа цикла уменьшается. Существует некото-
359
Глава 11. Термодинамические циклы
рое значение лХопт, при котором
работа цикла оптимальна. В этом
можно убедиться из рассмотрения
рис. 11.44, где в /w-координатах
изображены идеальные циклы с
разными значениями но огра-
ниченные одинаковым значением
Tv, лимитируемым на практике
жаропрочностью выбранных кон-
структивных материалов для горя-
чей части двигателя. Площадь
цикла н—к"—г"—с"—н с малой
величиной лх, как и цикла н—к'—г"—с'—н с большой вели-
чиной степени повышения давления, явно меньше площади
н—к—г—с—н, характеризующей работу цикла с промежуточ-
ным значением лх. При = 1 работа 1и равна нулю, так как цик-
ла при этом нет. При некотором значении лХтах, при котором
Тк, = Тг,, Z также равна нулю, поскольку в таком цикле при за-
данной величине Т'г нельзя подвести теплоту к рабочему телу.
Расчеты показывают, что оптимальные значения лХопт для
степеней повышения температур 0 = Тт/Тп, лежащих в
пределах 5—7, достигают больших величин (лХопт = 15—40).
По рассмотренному циклу (см. рис. 11.42) работают турбо-
реактивный, двухконтурный, турбовинтовой и турбовальный
двигатели. Процессы сжатия в воздухозаборнике и компрес-
соре, подвода теплоты в камере сгорания и отвода теплоты в
атмосферу для этих двигателей одинаковы. Процессы расши-
рения газа в ГТД этих схем отличаются различным соотношени-
ем между работами расширения в турбине и реактивном сопле.
Работа турбины ТРД примерно равна работе компрессора, а сте-
пень понижения давления в турбине лт меньше степени повыше-
ния давления в компрессоре лк. Поэтому давление за турбиной
значительно выше атмосферного (см. точку т на рис. 11.42).
В турбовинтовом двигателе большая часть работы турбины пе-
редается на винт, поэтому работа турбины больше работы
компрессора, давление за турбиной ближе к атмосферному,
соответственно точка т лежит близко к точке с. В турбоваль-
360
11.7. Циклы реактивных двигателей
ном двигателе сопло не используется, выходное устройство
выполняется обычно диффузорным, в нем происходит не рас-
ширение, а сжатие (рт < рн), и точка т может лежать ниже точ-
ки с. Удельная работа турбины двухконтурного турбореактив-
ного двигателя при прочих равных условиях больше ZT ТРД
(часть работы турбины передается вентилятору наружного
контура), но меньше ZT ТВД. Поэтому точка т для ТРДД зани-
мает промежуточное положение, оно тем ближе к точке т, ха-
рактеризующей ТВД, чем выше степень двухконтурности.
В реальном цикле ГТД все процессы, протекающие в его
элементах, сопровождаются потерями. Кроме того, физиче-
ские свойства рабочего тела не остаются неизменными как в
связи с изменением температуры в процессах сжатия и рас-
ширения, так и за счет различия химического состава продук-
тов сгорания и воздуха.
На рис. 11.45, а показано изменение состояния газа по
тракту ТРД для случая работы двигателя в полете. Процесс
сжатия во входном устройстве н—в при работе двигателя на
месте и в полете осуществляется различно. При работе двига-
теля на месте (М = 0) во входном устройстве происходит не
сжатие, а расширение воздуха. Изображение действительного
цикла ТРД для этого случая показано на рис. 11.45, б. Общий
процесс сжатия воздуха изображается политропой в—к. Про-
цесс подвода теплоты к—г в камере сгорания сопровождается
снижением давления. Процесс расширения газа в турбине и
реактивном сопле показан политропой г—с. В реальном цикле
не вся площадь цикла эквивалентна его полезной работе.
Работу, эквивалентную площади цикла, будем называть рабо-
той цикла и обозначим Z , а работу, эквивалентную площади
Рис.11.45
361
Глава 11. Термодинамические циклы
цикла за вычетом потерь /пот, условимся называть эффектив-
ной работой цикла Z3(Jj:
= U + (11.82)
Получение полезной работы в реальном цикле ГТД возмож-
но тогда, когда работа, эквивалентная площади цикла, боль-
ше суммарных потерь в двигателе. Снижение потерь в элемен-
тах двигателя при прочих равных условиях приводит к увели-
чению полезной работы цикла.
Эффективность действительного цикла оценивается эффек-
тивным КПД:
Т1эф=^. (11.83)
определяемым как отношение эффективной работы к подве-
денной в цикле теплоте.
В отличие от идеального цикла, КПД действительного цик-
ла зависит не только от но и от степени повышения темпе-
ратуры 0 = TJT^, при этом зависимость т|эф = Дтгх) имеет мак-
симум, тогда как идеального цикла непрерывно растет.
Установлено, что эффективная работа цикла может быть по-
вышена за счет увеличения работы расширения при том же
значении Тг, если после частичного расширения газа в турбине
до промежуточного значения рт к нему вновь подвести теплоту
в форсажной камере сгорания, а затем осуществить расшире-
ние в реактивном сопле до конечного давления рс = рн, что ре-
ализуется во всех двигателях с форсажем (ТРДФ и ТРДДФ).
На рис. 11.46 дано изображение действительного цикла
ТРДФ в ру-координатах. Линией н—к изображается общий
процесс сжатия воздуха, к—г —
р . процесс подвода теплоты в основ-
V г ной камере сгорания, г—т — про-
\ \ цесс расширения на турбине. Про-
\ \ |оф цесс подвода теплоты в форсажной
\ камере протекает при незначитель-
> —ном снижении давления аналогич-
н с с. ф м
।шно процессу в основной камере сго-
рания и изображается линией т—ф.
Рис. 11.46 Линией ф— с. ф изображается про-
362
11.7. Циклы реактивных двигателей
цесс расширения газа в выходном реактивном сопле. При отсут-
ствии форсажной камеры процесс расширения в выходном сопле
соответствовал бы пунктирной линии т—с. Заштрихованная пло-
щадь показывает увеличение площади цикла, а следовательно, и
работы цикла при включении форсажа в рассматриваемых ус-
ловиях. Увеличение работы цикла ТРДФ в стартовых условиях
(М = 0) пропорционально степени подогрева газа в форсажной ка-
мере 0 = Т^/Т,,,. При возрастании скорости полета относительный
рост работы цикла ТРДФ увеличивается. При реальных значени-
ях температур Тф и Тт увеличение работы цикла ТРДФ может со-
ставлять у2- = 2—3 и более. Сжигание топлива в форсажной ка-
^эф
мере осуществляется после расширения газа в турбине, т. е. при
более низком давлении. При этих условиях ухудшается исполь-
зование теплоты в двигателе, т. е. падает КПД цикла.
11.7.3. Циклы прямоточных воздушно-реактивных дви-
гателей. Прямоточные воздушно-реактивные двигатели —
это двигатели, в которых сжатие воздуха осуществляется
только за счет скоростного напора. Они могут применяться
как для дозвуковых, так и для сверхзвуковых полетов. Основ-
ными элементами двигателя являются входное устройство,
в котором происходит сжатие воздуха, поступающего в двига-
тель, камера сгорания, форсунки для впрыскивания топлива,
реактивное сопло. Встречный поток перед входом в двигатель
тормозится во входном устройстве, в результате чего давление
воздуха, поступающего в камеру сгорания, повышается.
Основным параметром двигателя является степень повы-
шения давления от скоростного напора
где ps — давление в конце входного устройства, рн — давление
невозмущенного потока перед двигателем.
Степень повышения давления л:ск показывает, во сколько
раз давление перед камерой сгорания больше давления окру-
жающей среды и зависит от скорости полета. Так, например,
л:ск = 1,1—1,3 при скорости полета 600—800 км/ч, и л:ск = 5
при скорости полета 2000 км/ч.
363
Глава 11. Термодинамические циклы
Схема дозвукового пря-
моточного воздушно-реактив-
ного двигателя показана на
рис. 11.47. Воздух поступает в
диффузор 1, где скорость его
Рис 11 47 уменьшается, а давление воз-
растает. Для улучшения усло-
вий образования смеси на входе в камеру сгорания устанавли-
ваются турбулизирующие решетки 2. Сжатый в диффузоре воз-
дух через турбулизирующие решетки поступает в камеру
сгорания 3, в которую через форсунки 4 впрыскивается топли-
во. Для исключения явления срыва пламени в камере сгорания
устанавливаются стабилизирующие решетки 6, за которыми об-
разуются зоны завихрений, обратных токов и малых скоростей.
Из этих зон пламя не сносится и постоянно поджигает текущую
газовую смесь. Начальное воспламенение газовой смеси произ-
водится зажигающим устройством 5. Процесс горения в данном
типе двигателей происходит практически при постоянном дав-
лении, а ускорение потока происходит в реактивном сопле 7.
Прямоточные воздушно-реактивные двигатели для дозву-
ковых и сверхзвуковых скоростей потока отличаются формой
входного устройства и сопла.
На рис. 11.48, а, б приведен термодинамический цикл пря-
моточного воздушно-реактивного двигателя в pv- и Ts-коорди-
натах: н—в — процесс адиабатного сжатия во входном устрой-
стве; в—г — процесс подвода теплоты при р = const; г—с —
процесс адиабатного расширения продуктов сгорания в сопле;
с—н — отвод теплоты прир = const в окружающую среду.
Рис.11.48
364
11.7. Циклы реактивных двигателей
Сравнивая термодинамические циклы, приведенные на
рис. 11.22 и 11.48, видно, что цикл прямоточного воздуш-
но-реактивного двигателя аналогичен циклу газотурбинной
установки с подводом теплоты при р = const. Поэтому терми-
ческий КПД согласно формуле (11.64) определяется в виде
k -1
Tlt = 1 - 1/7гс/ , (11.84)
где л:ск = pB/ps — степень повышения давления от скоростного
напора. С учетом того что для адиабатного процесса сжатия
формула (11.84) может быть представлена через отношение
температур
(П-85)
1 в
где Тп — температура воздуха до сжатия; Тв — температура
воздуха в конце адиабатного процесса сжатия.
Термический КПД и яск возрастают с увеличением скорости
полета. При малых скоростях полета экономичность и тяга
резко падают, поскольку степень повышения давления мала.
При скоростях полета до 1000 км/ч степень сжатия в диф-
фузоре невысока и термический КПД прямоточного двигате-
ля равен 2—4%, т. е. работа двигателя неэффективна. При
сверхзвуковых скоростях КПД и экономичность двигателя
возрастает, а при скоростях полета, превышающих скорость
звука в два раза и более (М > 2), прямоточный воздушно-ре-
активный двигатель является наиболее экономичным. Пря-
моточные двигатели, ориентированные на сверхзвуковые ско
рости полета, получили обозначение СПВРД.
Схема СПВРД показана
на рис. 11.49. Сжатие возду-
ха осуществляется в возду-
хозаборнике 1, потом воздух
с дозвуковой скоростью по-
ступает в камеру сгорания 2,
процесс сгорания реализует-
ся, как и в дозвуковом ПВРД,
Рис.11.49
365
Глава 11. Термодинамические циклы
1 в 2 кс з с
Рис. 11.50
и заканчивается перед сверх-
звуковым реактивным соп-
лом 3.
Для скоростей полета, пре-
вышающих М > 6—7, исполь-
зуются гиперзвуковые прямо-
точно-реактивные двигатели (ГПВРД). Принципиальная схе-
ма ГПВРД приведена на рис. 11.50. Воздух сжимается в
воздухозаборнике 1 и со сверхзвуковой скоростью поступает
в камеру сгорания 2, на начальном участке которой осущест-
вляется впрыск топлива (как правило, водорода). Сжигание
топлива в данном случае происходит при умеренных сверх-
звуковых скоростях. Для увеличения скорости сверхзвуко-
вого потока сопло 3 имеет расширяющуюся форму. Эти дви-
гатели рассматриваются в качестве перспективных средств
для систем запуска на орбиту космических летательных ап-
паратов.
Необходимо отметить, что основными преимуществами пря-
моточных воздушно-реактивных двигателей являются простота
конструкции, малые габариты и масса. Они являются перс-
пективными при скоростях полета, превышающих скорость
звука.
Основными недостатками данного типа двигателей являют-
ся: невозможность работы на старте, необходимость примене-
ния специальных устройств для взлета, малая тяга при дозву-
ковых скоростях полета, уменьшение тяги с подъемом на вы-
соту и большой удельный расход топлива.
11.7.4. Цикл пульсирующего воздушно-реактивного
двигателя. В пульсирующих воздушно-реактивных двигате-
лях (ПуВРД) со сгоранием топлива при v = const применяются
обратные клапаны, которые устанавливаются на клапанной
Рис. 11.51
решетке 2 (рис. 11.51) при
входе в камеру сгорания 5.
Клапаны клапанной решет-
ки отделяют камеру сгора-
ния от диффузора 1. Воздух
из диффузора 1 через обрат-
ные клапаны поступает в ка-
366
11.7. Циклы реактивных двигателей
меру сгорания 5, вытесняя в выхлопную резонансную трубу
продукты сгорания предыдущего цикла. После заполнения
воздухом камеры сгорания в нее через форсунки 3 подается
легкоиспаряющееся топливо — бензин. Смесь паров бензина и
воздуха воспламеняется от электросвечи 4 или от продуктов
сгорания еще заполняющих суживающееся сопло (конфузор)
6 и выхлопную трубу двигателя 7. Давление в камере сгора-
ния повышается, обратные клапаны клапанной решетки за-
крываются, изолируя объем камеры сгорания от диффузора.
Конфузор и выхлопная труба подобраны так, чтобы при сгора-
нии рабочей смеси в камере сгорания объемы их были запол-
нены газами, образовавшимися при сгорании предыдущей
порции топлива. Следовательно, сгорание рабочей смеси осу-
ществляется в изолированном объеме.
Расширение продуктов сгорания происходит при движе-
нии их в конфузоре и выхлопной трубе. Причем продукты сго-
рания выбрасываются через выхлопную трубу вначале с боль-
шой скоростью, а затем со все уменьшающимися скоростя-
ми. Продукты сгорания, движущиеся в выхлопной трубе,
обладают определенной инерцией (они продолжают двигать-
ся в прежнем направлении даже после того, как давление в
камере станет равным атмосферному). Благодаря инерци-
онному движению продуктов сгорания в камере сгорания
образуется некоторое разрежение в конце процесса расши-
рения.
Под действием встречного скоростного потока и возникаю-
щего в камере сгорания разрежения обратные клапаны кла-
панной решетки 2 открываются и воздух через диффузор по-
ступает в камеру сгорания 5. Цикл работы двигателя повторя-
ется.
Пульсирующий воздушно-реактивный двигатель работает
циклично, чем и отличается от других типов реактивных дви-
гателей. Частота циклов определяется геометрическими разме-
рами, длиной выхлопной трубы и составляет 300—400 циклов
в минуту. Необходимо отметить, что пульсирующий воздушно-
реактивный двигатель, в отличие от ПВРД, вследствие наличия
длинной выхлопной трубы может работать и создавать тягу на
старте.
367
Глава 11. Термодинамические циклы
На рис. 11.52 приведен термодинамический цикл ПуВРД,
так называемого цикла Гемфри: н—к — процесс адиабатного
сжатия воздуха в диффузоре; к—г — процесс подвода теплоты
при v = const в камере сгорания; г—с — процесс расширения
продуктов сгорания в конфузоре и выхлопной трубе; с—н —
процесс отвода теплоты при р = const в атмосферу. Разреже-
ние, создаваемое инерционным движением продуктов сгора-
ния в выхлопной трубе, достаточно для открытия клапанов и
всасывания воздуха для повторного цикла.
Из рис. 11.33 и 11.52 видно, что цикл пульсирующего воз-
душно-реактивного двигателя с подводом теплоты при v =
= const в полете аналогичен циклу газотурбинной установки с
подводом теплоты при v = const.
Следовательно, термический КПД ПуВРД будет опреде-
ляться формулой (11.79)
1
nt=i-fe <n-86)
(X - 1)лд k
Рк
где л = — — степень повышения давления в диффузоре;
Д РН
л Рг
Л = — — степень повышения давления в процессе подвода
Рк
теплоты.
В пульсирующих воздушно-реактивных двигателях дав-
ление в конце сгорания выше, чем в прямоточных воздушно-
реактивных двигателях, поэтому КПД у них имеет большее
значение, чем в прямоточных воздушно-реактивных двига-
телях.
368
11.7. Циклы реактивных двигателей
Основными преимуществами пульсирующего воздушно-ре-
активного двигателя являются простота конструкции по срав-
нению с турбовинтовыми двигателями, большая тяга и эконо-
мичность на умеренных скоростях полета по сравнению с пря-
моточным воздушно-реактивным двигателем.
11.7.5. Цикл жидкостного ракетного двигателя. Ракет-
ные двигатели, использующие различные жидкости в качестве
источников химической энергии и газообразные продукты как
рабочее тело для создания реактивной силы тяги, называются
жидкостными ракетными двигателями (ЖРД). Впервые в мире
схему ЖРД предложил в 1903 г. К. Э. Циолковский. Принци-
пиальная схема жидкостного ракетного двигателя показана на
рис. 11.53. Такой двигатель состоит из системы подачи компо-
нентов топлива, камеры сгорания с соплом, системы запуска,
регулирования и отключения. Подача топлива в камеру сгора-
ния может осуществляться при помощи вытеснительной систе-
мы питания или с помощью насосов.
Система запуска, регулирования и отключения двигателя
состоит из ряда агрегатов (кранов, регуляторов, редукторов,
клапанов), которые срабатывают в заданной последовательнос-
ти. Если открыт клапан 5, то сжатый газ из баллона 6 через га-
зовый редуктор 4 поступает в топливные баки окислителя 3
и горючего 7. Давление в баках поддерживается постоянным
при помощи газового редукто-
ра. Жидкие компоненты топли-
ва из баков через отсекающие
клапаны 2 и 8 поступают в ка-
меру сгорания 1. Рассмотрен-
ная вытеснительная система по-
дачи применяется в двигателях
малой тяги с низким давлением
в камере сгорания, при этом
масса системы получается срав-
нительно небольшой.
Для двигателей большой
тяги более эффективна тур-
бонасосная система, при кото-
рой топливо из бака попадает
Рис. 11.53
24 - 5580
369
Глава 11. Термодинамические циклы
за счет небольшого наддува к центробежным насосам, приво-
димым во вращение турбиной.
В современных ЖРД для наддува топливных баков исполь-
зуют сжатый гелий, азот и жидкостные газогенераторы, про-
дукты сгорания которых вытесняют компоненты топлива из
баков.
На рис. 11.54 приведена схема камеры сгорания ЖРД 6 с
соплом 7. Данная камера сгорания работает на двухкомпо-
нентном топливе: жидком кислороде, азотном тетроксиде
(АТ) или его смеси с азотной кислотой — в качестве окислите-
ля и жидком водороде, керосине или несимметричном диме-
тилгидразине (НДМГ) — в качестве горючих. Камера сгора-
ния имеет смесительную головку 4, на которой устанавлива-
ются форсунки окислителя 3 и горючего 5. Оболочка камеры
сгорания имеет внутреннюю стенку 2 и наружную силовую
рубашку 1. Горючее протекает по образовавшемуся зазору и
охлаждает камеру сгорания. Горючее и окислитель впрыски-
ваются под давлением в камеру сгорания через форсунки 3 и
5, распыляются на мелкие капли, перемешиваются, испаря-
ются и воспламеняются. Воспламенение топлива осуществля-
ется химическими, пиротехническими, акустическими или
электрическими средствами. Такие компоненты топлива, как
АТ + НДМГ, являются самовоспламеняющимися. При уста-
новившемся режиме работы двигателя новая часть смеси
воспламеняется при соприкосновении с горячими продуктами
сгорания предыдущей порции смеси. В камере сгорания топ-
ливо сгорает при постоянном давлении. Продукты сгорания
истекают из камеры сгорания через сопло Лаваля. Скорость
истечения на выходе из сопла в современных жидкостных ра-
кетных двигателях составляет 2200—4500 м/с.
При изучении идеального цикла ЖРД принимаются сле-
дующие предположения:
• объем жидкого топлива пренебрежимо мал по сравнению
с объемом продуктов сгорания;
• работа сжатия жидких компонентов топлива отсутст-
вует;
• циклы считаются обратимыми — процесс горения отож-
дествляется с подводом к рабочему телу эквивалентно-
370
11.7. Циклы реактивных двигателей
го количества теплоты qx при р = const, а процесс выброса
газов в окружающую среду — с отводом от него эквива-
лентного количества теплоты <г/2 также при р = const;
• рабочее тело — идеальный газ с постоянной теплоемко-
стью.
Так как жидкие компоненты топлива практически несжи-
маемы, то их сжатие можно считать изохорным. Причем изохора
1 —2 будет практически совпадать с осью ординат (рис. 11.55).
Идеальный цикл ЖРД состоит из следующих процессов:
1—2 — процесса сжатия и нагнетания жидких компонентов
топлива в камеру сгорания; 2—3 — изобарного подвода тепло-
ты в камере сгорания; 3—4 — адиабатного расширения про-
дуктов сгорания; 4—1 — отвода теплоты в окружающую среду.
При этом считается, что давление газа на срезе сопла рав-
но давлению окружающей среды (рвыс = р4). Такой случай
получил название расчетного режима и в основном относится
к полету в атмосфере. В ряде практических задач проявля-
ются нерасчетные режимы (с перерасширением на старте или
недорасширением в космосе), но сопло Лаваля в этих случаях
работает как и в расчетном режиме, т. е. располагаемая работа
равна пл. 1234 (см. рис. 11.55) при условии, что нет отрыва
потока от стенки сопла.
Предполагается также, что для компонентов топлива и1 = и2
И = Т2.
Основной характеристикой рабочего цикла является 8 =
= р4/р3 — степень расширения продуктов сгорания в сопле.
Термический КПД цикла определяется по формуле
Пг = 1 - 72/7i-
371
24*
Глава 11. Термодинамические циклы
При работе двигателя теплота q2 от рабочего тела отводит-
ся в изобарном процессе и поэтому будет определяться по фор-
муле
<Z2 = ср(Т4 - 7\). (11.87)
Теплота д1, подводимая к рабочему телу в процессе 2—3,
определится по формуле
71 = ср(Т3 - Т2). (11.88)
Теперь имеем
с„(Т4 - 7\)
но так как Т4 » Т\ и Т3 » Т2, а также принимая, что Т4 = Т2,
формулу (11.89) можно переписать в виде
п, = 1 - TJT3.
С учетом уравнения (3.50)и полученных соотношений фор-
мула для КПД перепишется в виде
nt расч = 1 - • (П-90)
С учетом того, что 8 обратно пропорциональна степени повы-
шения давления л, характерной для цикла Брайтона, форму-
ла (3.50) примет следующий вид
^ = 1-^. (11.91)
k
it
Из последних двух формул видно, что значение термическо-
го КПД жидкостного ракетного двигателя при данном значе-
нии k определяется степенью расширения продуктов сгорания
в сопле. С целью повышения КПД в камере сгорания современ-
ных ЖРД стремятся увеличивать давление до 15 МПа и выше.
Формулу для КПД рассматриваемого двигателя можно по-
лучить в несколько ином виде, рассчитывая теплоты, опреде-
ляемые формулами (11.87) и (11.88) через разность удельных
энтальпий:
*71 = ^3 ~ ^2’ 72 = Л4 ” ^1-
372
11.7. Циклы реактивных двигателей
• Подставляя эти величины в формулу КПД, будем иметь
= _ ^4 ~ hl _ (fe3 ~ ~ (fe2 ~ fel)
й3 — h2 й3 — h2 ’
где h2~ hr — изменение энтальпии топлива, определяемое ра-
ботой топливных насовов, представляет очень малую величи-
ну, т. е. h2 ~ hv
По первому закону термодинамики для движущегося по-
тока в адиабатном процессе расширения разность энтальпий
соответствует располагаемой работе, следовательно, можно
записать
W 2
lf)~ hs~ hi~
и выразить КПД через скорость продуктов сгорания:
W
(П-92>
Таким образом, r|t повышается пропорционально квадрату
скорости истечения продуктов сгорания из сопла.
Жидкостные ракетные двигатели имеют следующие досто-
инства:
• малая удельная масса (масса двигательной установки на
1 кг тяги);
• независимость тяги от скорости полета;
• возможность полета в безвоздушном пространстве.
Основные недостатки:
• низкая экономичность;
• ограниченное время работы.
11.7.6. Цикл ракетного двигателя твердого топлива. Бо-
лее простым по устройству по сравнению с ЖРД является ра-
кетный двигатель твердого топлива (РДТТ), в котором выде-
ление химической энергии происходит за счет реакции твер-
дых окислителя и горючего, составляющих заряд твердого
373
Глава 11. Термодинамические циклы
Рис.11.56
Рис. 11.57
топлива. Наиболее простая конструкция данного
двигателя представлена на рис. 11.56. Заряд
твердого топлива 2 находится непосредственно в
камере сгорания. Горючее и окислитель, содер-
жащиеся в твердом топливе, до воспламенения,
не вступают в реакцию между собой. При запу-
ске двигателя, благодаря воспламенителю 1, об-
разуются газы — продукты сгорания, которые
через реактивное сопло 3 покидают двигатель и
создают тягу.
В качестве идеального цикла такого дви-
гателя может быть принят цикл ЖРД (см.
рис. 11.55).
Ракетные двигатели твердого топлива при-
меняются как двигательные установки доволь-
но широкого класса ракет и космических аппа-
ратов. Простота делает их конкурентами ЖРД.
Наибольшие трудности при создании РДТТ за-
ключаются в обеспечении регулирования тяги
и охлаждения камеры — трудности, которые в
ЖРД решаются сравнительно просто.
Общность рабочих процессов в ЖРД и РДТТ
и поиски путей совершенствования указанных
двигателей привели к рассмотрению топлив
смешанного агрегатного состояния, в частнос-
ти твердо-жидких. Повышенный интерес к тако-
го рода топливам объясняется возможностью
расширения круга исходных веществ для топ-
ливных композиций и разработки топлив, имею-
щих более высокие энергетические характерис-
тики. Примером двигателя, использующего твердо-жидкое
топливо, является гибридный ракетный двигатель (ГРД), схе-
ма которого представлена на рис. 11.57. Из схемы видно, что
один из компонентов, в данном случае твердое горючее 6, раз-
мещается в камере сгорания, а другой — окислитель — пода-
ется в жидком состоянии из бака 3 с помощью баллонов со
сжатым газом 1 через регулирующие клапаны 2, 4 и распы-
ливающее устройство 5. Процесс горения в данном случае
происходит при р = const, а продукты сгорания ускоряются
374
11.7. Циклы реактивных двигателей
в реактивном сопле 7. Впервые в мире
ГРД был предложен и реализован на
ракете ГИРД-09 (1933) С. П. Короле-
вым и М. К. Тихонравовым.
11.7.7. Циклы ядерных ракетных
двигателей. Рабочее тело ракетных
двигателей можно нагревать с помощью
ядерного реактора, где теплота выделя-
ется за счет радиоактивного распада
(деления) тяжелых или синтеза легких
ядер. Сами продукты ядерных реакций
также можно использовать в качестве
рабочего тела.
На рис. 11.58 приведена принци-
пиальная схема двигательной установ-
ки с ядерным ракетным двигателем
(ЯРД). Двигательная установка состоит
из камеры 1 с реактором, турбонасос-
ного агрегата 2, отсекающего клапана
Рис.11.58
3, бака 4 с рабочим
телом, как правило, аммиаком, спиртом или водородом, дре-
нажно-предохранительного клапана 5, газового редуктора 6,
электропневмоклапанов 7 м 12, баллона со сжатым газом 8,
твердотопливного газогенератора 9 и выхлопного патрубка 10.
Рабочее тело для привода турбины отбирается из сопла каме-
ры сгорания по трубопроводу 11. Рабочее тело из бака 4 пода-
ется насосом 2 в ядерный реактор. Реактор имеет систему ре-
гулирования, которая при запуске ядерного ракетного двига-
теля приводит его в режим цепной реакции деления ядер
урана в активной зоне. Протекая через реактор, рабочее тело
испаряется и нагревается до высокой температуры теплотой,
выделяемой в активной зоне при делении ядер делящегося ве-
щества. Процесс подвода теплоты происходит при постоянном
давлении рабочего тела. Из реактора газообразное рабочее те-
ло поступает в сопло, где расширяется и истекает в окружаю-
щую среду.
Нетрудно видеть, что рабочий процесс ЯРД подобен рабоче-
му процессу ЖРД.
375
Г лава 11.Термодинамические циклы
11.7.8. Процессы в электроракетных двигателях. Эф-
фективность ракетных двигателей определяется не только
термическим КПД, но и удельным импульсом (отноше-
нием тяги к расходу бортовой массы). До сих пор рассмат-
ривалось газодинамическое ускорение полученных высо-
котемпературных рабочих тел, причем большей частью в пре-
дыдущих схемах реактивных двигателей источники энергии
и массы рабочего вещества были сведены воедино. Оказа-
лось, что дальнейшее существенное увеличение скорости
истечения можно получить, если разделить источники энер-
гии и массы, а ускорять рабочее тело при помощи электри-
ческих (и магнитных) полей. Двигатели, в которых кине-
тическая энергия рабочего тела обеспечивается электри-
ческими воздействиями, называются электроракетными
(ЭРД).
Высокая эффективность ЭРД и новые возможности, откры-
вающиеся при их использовании на космических аппаратах,
привели в настоящее время к созданию надежных и эконо-
мичных электрических ракетных двигательных установок,
доведенных до натурных испытаний на различных летатель-
ных аппаратах.
Чтобы ускорить рабочее тело в электромагнитных полях,
необходимо предварительно перевести его в состояние, на ко-
торое эти поля могут воздействовать. При таком подходе наи-
более целесообразно источник электрической энергии и меха-
низм ее передачи к рабочему телу разъединить. Все это позво-
ляет получить большие скорости истечения: w = 104—106 м/с
для любых рабочих тел. Для получения таких скоростей тре-
буются очень большие мощности энергоустановок, поэтому
наиболее эффективно использование данных двигателей для
невысоких значений тяг. Вследствие этого ЭРД иногда и на-
зывают двигателями малой тяги.
Необходимо отметить, что в рассмотренных ранее систе-
мах с большими тяговыми усилиями сами двигатели обыч-
но составляют небольшую часть общей массы летательного
аппарата, а наибольшая доля массы приходится на топли-
во. Такие тяговые системы создают большие ускорения, но
376
11.7. Циклы реактивных двигателей
в течение малого времени. Рассматриваемые же системы
с ЭРД — системы с малой тягой, но с высокой экономично-
стью — имеют массу одного порядка с массой рабочего те-
ла. Они обеспечивают малое ускорение, но могут работать в
течение длительных отрезков времени, соизмеримых со вре-
менем всего полета космического аппарата (это время измеря-
ется не минутами, как в предыдущих системах, а тысячами
и десятками тысяч часов). Все это приводит к тому, что ес-
ли, например, у ракеты с ЖРД, летящей к Марсу или Вене-
ре, масса всей системы, в которую входят двигатель, рабочее
тело, баки, система управления, составит около 95% массы
всего космического аппарата, то у аппарата с ЭРД эта мас-
са (вместе с энергоустановкой) немногим более половины об-
щей массы.
Сейчас известно довольно много схем ЭРД, все их мож-
но разделить по типу механизмов ускорения рабочего те-
ла на:
• электротермические (ЭТРД);
• электростатические (ЭСРД);
• электромагнитные или плазменные (ЭМРД).
Электротермические реактивные двигатели в опре-
деленной мере являются комбинацией двигателей с газодина-
мическим ускорением и ЭРД. С одной стороны, у этого типа
двигателей рабочее тело и источник энергии разделены, а с
другой — в качестве их механизма ускорения используется
известное уже газодинамическое сопло. Идея электротермиче-
ских двигателей заключается в нагреве рабочего тела при по-
мощи электрической энергии с последующим газодинамиче-
ским ускорением. В зависимости от способа нагрева рабочих
тел электричеством электротермические двигатели разделя-
ются на электронагревные, электродуговые и электроабляци-
онные.
В электронагревных ракетных двигателях использу-
ется простейший метод повышения температуры рабочего те-
ла за счет конвекции и излучения от электрических элемен-
тов сопротивления, поэтому этот тип называют еще резис-
377
Глава 11. Термодинамические циклы
торным. Простейшая схема такого двигателя представлена
на рис. 11.59.
Электрическая энергия от источника 5 поступает на метал-
лическую трубу, которая служит одновременно стенкой каме-
ры и нагревателем 2. Здесь за счет ее сопротивления под воз-
действием разницы потенциалов между анодом 1 и катодом 6
электрическая энергия превращается в тепловую, которая от-
бирается омывающим ее рабочим телом, поступающим из
бака 3 через клапан 4. Ускорение рабочего тела происходит в
сопле Лаваля 7.
Данный тип двигателя будет использоваться на космичес-
ких солнечных электростанциях (КСЭС), где достаточно элек-
троэнергии для утилизации отходов жизнедеятельности пер-
сонала станции.
Ограничение в теплостойкости материала нагревателя при
получении очень высоких температур привело к созданию
схемы с непосредственным подводом энергии в рабочее тело.
Этот процесс реализуется в электродуговых ракетных
двигателях (рис. 11.60). Рабочее тело из бака 3 после про-
хождения клапана 4 нагревается до очень высокой температу-
ры в камере электрической дугой 1, возникающей между
катодом 2 и анодом 6 от источника питания 5. Ускорение ра-
бочего тела происходит в сопле 7.
Рис.11.59 Рис.11.60
378
11.7. Циклы реактивных двигателей
Двигатели такого типа имеют
недостатки, связанные с необхо-
димостью охлаждения элементов
и с эрозией электродов.
В электроабляционных ра-
кетных двигателях (рис. 11.61)
в качестве рабочего тела использу-
ется твердое вещество. При помо-
щи электрической энергии (за счет
сопротивления или за счет дуги 3,
возникающей между электрода-
Рис. 11.61
ми 2) вещество 1 нагревается, переходя сразу в газообразное
состояние, и ускоряется в сопле 4. Подобные вещества широко
известны в природе — нафталин, сернистый аммоний. Пре-
дельная простота и компактность рассмотренного двигателя де-
лают их особенно перспективными.
В рассмотренных электротермических двигателях предпола-
гается превращение электрической энергии в тепловую, что
имеет и свои недостатки. Несомненный интерес представляет
использование в двигателях заряженных частиц, полученных
другими методами. Выделение из этих частиц положительно за-
ряженных дает возможность ускорять их в электрическом поле
за счет кулоновских сил. На этом принципе основано действие
электростатических ракетных двигателей (ЭСРД). Они
состоят из следующих основных элементов:
• источника ионов или других заряженных частиц;
• ускоряющей системы, обеспечивающей электрическое
поле для ускорения частиц;
• нейтрализатора, добавляющего в выходную положитель-
но заряженную струю электроны и тем самым превра-
щающего ее в нейтральную.
Естественно, в состав ЭСРД должны входить система пода-
чи рабочего тела из бака, система регулирования и управле-
ния работой двигателя. Обычно электростатические двигате-
ли классифицируются по типу используемых заряженных
частиц и по методу их получения.
В зависимости от типа используемых заряженных частиц
различают ионные ракетные двигатели (ИРД), работаю-
379
Глава 11. Термодинамические циклы
щие на атомарных ионах, и коллоидные электроракетные
двигатели (КЭРД), в которых ускоряются не ионы, а относи-
тельно более крупные объединения многих атомов и молекул,
микроскопические капельки, пылинки или коллоидные час-
тицы.
В свою очередь, ИРД можно разделить по методу получе-
ния ионов на двигатели с поверхностной и объемной иониза-
цией. В двигателях с поверхностной (или контактной) иониза-
цией атомы рабочего тела теряют внешние электроны, превра-
щаясь в ионы при столкновении с поверхностью ионизатора;
в двигателях с объемной ионизацией (или ионизацией элек-
тронным ударом) этот процесс осуществляется при помощи
электронов катода, бомбардирующих нейтральные атомы га-
зообразного рабочего тела в специальной камере.
Рассмотрим принципиальную схему ионного двигателя с
поверхностной ионизацией.
В этом типе двигателей атом рабочего вещества превращает-
ся в ион в результате соударения с некоторой поверхностью.
Такой процесс можно успешно совершенствовать при опре-
деленном сочетании свойств рабочего вещества и материала
ионизатора. Для этого, прежде всего, работа отрыва внешнего
электрона атома рабочего тела должна быть меньше работы
выхода электрона материала поверхности ионизатора. Это ус-
ловие, очевидно, обеспечивает преобладающее протекание про-
цесса ионизации рабочего вещества. Известно довольно много
сочетаний веществ с энергией ионизации меньшей, чем работа
выхода. Это такие рабочие вещества, как щелочные металлы
цезий, рубидий, калий, в которых внешние электроны слабо
связаны с ядром, и такие ионизирующие поверхности, как
платина, вольфрам, рений, тантал, иридий, углерод, имеющие
работу выхода большую, чем энергия ионизации щелочных
металлов.
Но поскольку образовавшийся ион покидает поверхность
ионного источника только при определенной температуре, то
вещество ионизатора должно обладать достаточно высокой
температурой плавления.
В настоящее время в качестве рабочих тел получила распро-
странение пара цезий—вольфрам. Схема подобного двигате-
ля представлена на рис. 11.62. Превращение жидкого цезия
380
11.7. Циклы реактивных двигателей
в парообразный и нагрев пористого вольфрамового ионизатора
до Т ~ 1400 К осуществляется с помощью электрического
нагревателя 1. Поток ионов 6 в дальнейшем попадает в нейт-
рализатор (электронную пушку). Наличие нейтрализатора по-
тока вытекающих ионов 3 усложняет двигатель, но без этого
устройства за двигателем возникает положительный про-
странственный заряд, препятствующий истечению реактив-
ной струи. С помощью нейтрализатора решается эта пробле-
ма. Ускорение потока электронов 5 осуществляется ускоряю-
щим электродом 4.
Принцип получения ионов методами газового разряда лежит
в основе двигателей с объемной ионизацией. В таких двигате-
лях ионы получаются в результате соударений атомов с элект-
ронами, движущимися по довольно сложным траекториям —
колеблясь и вращаясь между катодом и анодом.
Схема коллоидного двигателя представлена на рис. 11.63.
Источником разгоняемых частиц может служить набор ка-
пиллярных металлических трубок 2, по которым рабочая
жидкость из бака 1 поступает в камеру ионизации. Наличие
электрического поля у выходного сечения капиллярной труб-
ки приводит к неустойчивости жидкой струи и в результате к
распаду ее на отдельные заряженные капельки. В свою оче-
редь, электростатическое поле, создаваемое ускоряющими
электродами 3, ускоряет такие частицы, а наличие нейтрали-
затора 4 создает нейтральную реактивную струю. Рабочим ве-
ществом коллоидных двигателей могут быть жидкие метал-
лы, органические жидкости, раствор йодистого калия в гли-
церине.
381
Глава 11. Термодинамические циклы
Если ионный двигатель должен иметь отдельный источник
ионов, то так называемый электромагнитный (плазменный)
двигатель (ЭМРД) представляет собой устройство, в котором ра-
бочее тело находится в состоянии квазинейтральной плазмы,
т. е. электроны и ионы ускоряются одновременно за счет взаи-
модействия магнитных и электрических полей.
ЭМРД можно разделить на две группы:
• сильноточные плазменные двигатели (СТД);
• магнитогидродинамические (МГДРД).
Сильноточные плазменные двигатели представляют
собой комбинацию рассмотренных ранее электротермических
двигателей и электромагнитных. Как уже отмечалось, в ЭТРД
рабочее вещество сначала нагревается в электрическом разря-
де, а затем газодинамически ускоряется в сопле Лаваля. Та-
кой механизм реализуется при низких значениях разрядного
тока. При существенном увеличении этого тока электромаг-
нитные силы, возникающие вследствие взаимодействия его
различных составляющих, становятся доминирующими в ус-
корении плазмы рабочего тела.
Режим электромагнитного ускорения начинается при то-
ках порядка 103 А.
Основные элементы СТД (рис. 11.64) — центральный катод,
кольцевой анод и изолятор между ними. Магнитное поле со-
здается разрядным током между катодом и анодом. Взаимо-
действие между азимутальной составляющей магнитного поля
В(р и составляющими разрядного тока j является тем механиз-
мом, который ускоряет ионы и электроны. СТД имеет то пре-
имущество, что в нем используется электрический ток низкого
напряжения, что удешевляет первичный источник энергии.
В магнитогидродинамических реактивных двигате-
лях плазма ускоряется силами, возникающими при взаимо-
действии магнитных и электрических полей. В настоящее
время существует довольно много типов МГДРД, среди ко-
торых наибольшее распространение получили холловские
ускорители, основанные на получении ускоряющей силы
вследствие взаимодействия с внешним магнитным полем по-
являющихся в плазме так называемых токов Холла (ученого,
обнаружившего эти токи). Сущность токов Холла в следую-
382
11.7. Циклы реактивных двигателей
Рис. 11.64
Рис. 11.65
щем. При ускорении плазмы в скрещенных магнитных и
электрических полях, очевидно, отдельно ускоряются элект-
роны и отдельно — ионы. Вследствие их разной массы эти час-
тицы начинают двигаться с различной скоростью, т. е. элект-
роны обгоняют ионы. В результате нейтральная плазма начи-
нает как бы делиться на две заряженные части. Но в это время
начинает действовать кулоновская сила электростатического
притяжения зарядов противоположного знака (закон Куло-
на), которая и вызывает «уравнивающие» токи в плазме, на-
зываемые токами Холла. Именно токи Холла в результате
взаимодействия с магнитным полем и ускоряют плазму.
Рассмотрим работу наиболее распространенного торцевого
холловского двигателя. Принцип его устройства (рис. 11.65)
аналогичен принципу сильноточного двигателя (СТД), в котором
ускорительный канал дополнительно окружен катушкой 2, со-
здающей в зоне ускорения осесимметричное расходящееся маг-
нитное поле. Катод 1 и анод 4 в данном случае также разделены
прокладкой 3. Плазма в данном двигателе ускоряется под дейст-
вием сил тока. В отличие от ранее рассмотренных двигателей, в
этой схеме электроны дрейфуют вокруг магнитных силовых ли-
ний, причем часть из них попадает на анод, а часть уходит вмес-
те с ионами. Последнее является преимуществом торцевого хол-
ловского двигателя, так как отпадает необходимость в ней-
трализаторе. Конструктивно эти двигатели могут выглядеть
по-разному в зависимости от реализуемого механизма ускоре-
ния или, точнее, в зависимости от преобладающего проявления
того или иного механизма. Поэтому, не говоря об известном га-
зодинамическом ускорении, возможно электростатическое уско-
383
Глава 11. Термодинамические циклы
рение ионов за счет силы Ампера или тепловое расширение в
магнитном поле.
При электростатическом ускорении и использовании в ка-
честве рабочего тела щелочного металла лития КПД двигате-
ля доходит до 67%.
11.7.9. Процессы в комбинированных реактивных дви-
гателях. Комбинированные двигатели представляют собой
комбинации различных типов ВРД или ракетных и воздуш-
но-реактивных двигателей.
Рассмотрим турбопрямоточный двигатель (ТПД),
представляющий собой гибрид ТРД и ПВРД (рис. 11.66). Ос-
новными элементами данного двигателя являются входной
диффузор ПВРД 1, входной диффузор ТРД 2, компрессор 3,
камера сгорания ТРД 4, турбина 5, механизм перекрытия
прямоточного контура 6, камера сгорания ПВРД 7, выходное
сопло Лаваля 8.
Комбинация турбореактивного и прямоточного двигателей
призвана расширить работу двигателя в большем диапазоне
режимов полета: от М = 0 до М = 2—3 (оптимальном диапа-
зоне ТРД) иотМ = ЗдоМ = 4 (оптимальном диапазоне ПВРД).
Очевидно, что в каждом диапазоне скоростей должен работать
только определенный двигатель. Поэтому на малых скоростях
полета, когда турбопрямоточный двигатель работает как ТРД,
кольцевой тракт прямоточной части закрывается специаль-
ной заслонкой 6. С увеличением скорости работают обе части,
а на больших скоростях, наоборот, турбореактивный двига-
тель отключается, а работает только ПВРД.
Комбинация ПВРД и ракетного двигателя получила назва-
ние ракетно-прямоточного двигателя (РПД). В ракетно-пря-
моточном двигателе один из типов ракетных двигателей —
ЖРД или РДТТ располагает-
ся внутри ПВРД, заполняя
центральное тело диффузора.
Схема РПД с ЖРД представ-
лена на рис. 11.67, а, а в
сочетании с РДТТ — на
рис. 11.67, б. Входной диф-
фузор 1, центральное тело с
Рис. 11.66 ракетным двигателем 2, ка-
384
11.7. Циклы реактивных двигателей
мера смешения 3, камера сгорания 4, реактивное сопло 5 вы-
полняются по единому принципу. Камера РД 6 и компоненты
топлива 7 учитывают разновидность применяемого двигателя.
В конструкцию РПД с ЖРД дополнительно включается баллон
со сжатым газом 8.
Промежуточное положение между ТРД и ЖРД занимает
ракетно-турбинный двигатель — РТД (рис. 11.68).
Сгорание жидких компонентов топлив в камере ЖРД в этой
схеме организовано таким образом, что образуется большое коли-
чество продуктов неполного сгорания, т. е. фактически ЖРД
превращен в жидкостной газогенератор. Температура в камере
газогенератора 4 получается невысокой, и лопатки турбины 5 не
сгорают. Конструкция двигателя включает входной диффузор 1,
компрессор 2, систему подачи топлива в жидкостной газогенера-
тор 3. Турбина, работающая на продуктах неполного сгорания
ракетных топлив, получается компактной, небольшой по массе,
с высокими энергетическими характеристиками. Образующиеся
продукты сгорания догорают в основной камере сгорания бив
дальнейшем ускоряются в реактивном сопле 7.
Необходимо отметить, что в последнее время все больше вни-
мания уделяется комбинированным двигателям. Ряд зарубеж-
ных фирм разрабатывают различные варианты ракетно-прямо-
точных двигателей, более эф-
фективных при использова-
нии на ракетах-перехватчи-
ках, чем РДТТ. У всех совре-
менных двигателей объем
камеры сгорания ПВРД ис-
пользуется для размещения
заряда стартового РДТТ.
Рис. 11.68
25 - 5580
385
Глава 11. Термодинамические циклы
11.7.10. Процессы в гидрореактивных двигателях. В по-
следнее время резко возрос интерес к двигателям, аналогич-
ным ВРД, но использующим в качестве частичного источника
массы и энергии не воздух, а воду. Такие двигатели применя-
ются при наличии водной внешней среды, что характерно для
ракет, стартующих с подводных лодок. Двигатели, использую-
щие в качестве окислителя воду, реагирующую с находящимся
на аппарате другим компонентом топлива, называют гидроре-
активными (ГРД).
Схема такого двигателя зависит от назначения. Отличие
ГРД совместного истечения (рис. 11.69) от ГРД раздельного
истечения (рис. 11.70) заключается в том, что в двигателях
первого типа тепловая энергия топлива преобразуется в кине-
тическую энергию смеси нагретых продуктов и избыточной
воды, вытекающих из сопла двигателя 7 с большой скоро-
стью. Избыточная вода непосредственно поступает в сопло че-
рез специальный вход 8.
Рабочий процесс двигателя начинается с подачи воды через
водозаборник 1, расположенный в носовой части, затем по во-
доводу подается к форсункам 4 камеры сгорания 5 под дейст-
вием скоростного напора. На этапе разгона срабатывает вос-
пламенительное вещество (баллистический порох 3) без досту-
па воды, а затем гидрореагирующее топливо 2 вступает в ре-
акцию с забортным окислителем — водой. Дополнительное
повышение давления после камеры сгорания 5 происходит в
диффузоре.
В ГРД раздельного истечения (см. рис. 11.70) тепловая
энергия топлива преобразуется в кинетическую энергию толь-
ко избыточной воды. Это обеспечивается тем, что продукты
Рис. 11.70
386
11.8. Двигатели с внешними источниками энергии
реакции твердого горючего 1 с забортной водой приводят во
вращение турбину 4, на валу которой находится винт 5. Хими-
ческая реакция при р = const происходит в камере сгорания 2
после подачи туда воды через форсунки 3.
В качестве гидрореагирующего горючего используются ще-
лочные и легкие металлы К, Na, Li, Mg, Al, а также сложные
гидрореагирующие вещества. Горючее можно использовать
как в виде шашек, так и порошка.
11.8. Двигатели с внешними источниками энергии
11.8.1. Двигатель Стирлинга. Ранее рассматриваемые дви-
гатели внутреннего сгорания построены так, что рабочий про-
цесс в них происходит вследствие выделения теплоты непосред-
ственно в самом ТРТ за счет химической реакции окислителя
топлива, ядерной реакции, электромагнитных процессов.
В рассматриваемом двигателе, предложенном в 1816 г. Ро-
бертом Стирлингом, осуществляется подвод теплоты к ТРТ изв-
не, в простейшем случае через теплопроводящую стенку ци-
линдра с поршнем. Если представить замкнутый объем с под-
вижным цилиндром (рис. 11.71), то при подводе теплоты извне
рабочее тело будет нагреваться и поршень совершит рабочий
ход. При отводе теплоты рабочее тело сжимается и поршень при
отсутствии потерь возвратится в исходное состояние, завершая
рабочий ход. Практическая невозможность частой смены темпе-
ратуры теплопроводящей стенки при подводе и отводе теплоты
привела к необходимости для создания двигателя усложнить
конструкцию и создать постоянные горячую Г и холодную X по-
лости (рис. 11.72). В связи с этим рабочее тело во время цикла
последовательно перемещается из горячей полости в холодную
и наоборот. Перемещение рабочего тела, циркулирующего по
замкнутому контуру в двигателе, обеспечи-
вается вытеснителем и рабочим поршнем, w
У 42
движущимся по определенному закону. ff ______
Так же как и в рассмотренных ранее - -Ц
двигателях, здесь сохраняется принцип --------------Г
сжатия ТРТ при более низкой температуре r/1
и расширения при более высокой, обеспечи-
вающей прямой цикл теплового двигателя. Рис. 11.71
25*
387
Глава 11. Термодинамические циклы
Рис.11.72
шеек валов, два боковых
Схема двигателя Стирлинга
представлена на рис. 11.72.
В цилиндре двигателя нахо-
дится определенное количест-
во газа, которое поочередно
перепускается из пространст-
ва над поршнем под поршень
и обратно, поочередно нагре-
ваясь и охлаждаясь. Возврат-
но-поступательное движение
поршня преобразуется во вра-
щательное с помощью так на-
зываемого ромбического ме-
ханизма, состоящего из двух
коленчатых валов, вращаю-
щихся в противоположных на-
правлениях. Из трех шатунов,
установленных на каждой из
яют вал с рабочим поршнем 2,
в то время как средний соединяет его с перепускным
поршнем 1. Положениям коленчатого вала а, Ъ, с, d отвечают
положения поршней, показанные на рис. 11.72.
В исходном положении а рабочее тело нагревается в труб-
ках 6 от внешнего источника энергии 5. Рабочее тело, заклю-
ченное в цилиндре, расширяется и передвигает поршни 1 и 2
в нижнее положение Ь. Этот процесс а—b — рабочий ход дви-
гателя. При вращательном движении коленчатого вала из
точки а в точку Ь оба поршня движутся вниз и сближаются.
Все рабочее тело будет находиться в верхней части цилиндра
над поршнем. При дальнейшем вращении вала, т. е. при пере-
ходе из положения & в с, пространство между поршнями начи-
нает увеличиваться, горячее рабочее тело перетекает из верх-
ней части цилиндра по трубкам 6 в регенератор 4, где отдает
тепло, а оттуда в радиатор 3 и обратно в цилиндр, в простран-
ство между поршнями 1 и 2. Когда коленчатый вал перейдет
из положения с в d, перепуск рабочего тела закончится и по-
чти все охлажденное рабочее тело будет находиться внизу,
между поршнями 1 и 2. Теперь поршень 2 начинает подни-
маться вверх и сжимать холодное рабочее тело, которое вы-
тесняется через радиатор 3, нагревается в регенераторе 4 и
388
11.8. Двигатели с внешними источниками энергии
в трубках нагревателя 6. Горячее рабочее тело поступает в ци-
линдр над поршнем 1. Цикл закончен, а описанные процес-
сы повторяются. Благодаря применению регенератора уве-
личивается разница между максимальной и минимальной
температурами цикла, что ведет к повышению эффективности
двигателя. .
Если отвлечься от различного рода потерь, которые имеют-
ся в данном двигателе, то описанные процессы можно отобра-
зить в pv- и Ts-координатах (рис. 11.73). При этом считается,
что в изохорных процессах Ъ—с и d—а происходит полная
регенерация (восполнение) теплоты, т. е. теплота, отданная в
регенераторе рабочему телу в процессе Ъ—с, вновь полностью
воспринимается регенератором от рабочего тела в процессе
d—а. Внешнего же притока теплоты к регенератору и потерь
ее в нем нет.
Следовательно:
~ ~q^erbc ’
и, значит, в ходе замкнутого цикла к ТРТ подводится теплота
извне только на изотермическом участке а—Ъ, а отводится на
участке с—d.
Таким образом, можно записать
<h = Ta&sab = TaRh^, (11.93)
u а
Vc
Q2 = Tc^sdc^TcRln-f. (11.94)
Ld
Поскольку vb = vc и va = vd, to Asa6 = Asdc.
Рис.11.73
389
Глава 11. Термодинамические циклы
Согласно определению термического КПД цикла получаем
q.2
^-1-^=1-^. (И.95)
Ч1 х а
С учетом того что Тс — минимальная, Та — максимальная
температуры в цикле, полученное выражение аналогично за-
висимости для КПД цикла Карно при тех же значениях пре-
дельных температур.
Необходимо отметить, что идеальный цикл двигателя Стир-
линга неосуществим, однако с той или иной степенью прибли-
жения его можно реализовать в теплотехнике, причем не толь-
ко для двигателей, но и для холодильных агрегатов.
В идеальном случае предполагалось, что все процессы термо-
динамически обратимы, соблюдается изотермичность процес-
сов расширения и сжатия, что предполагает бесконечно высо-
кий уровень теплообмена между ТРТ и конструктивными эле-
ментами двигателя. Кроме того, принималось, что происходит
прерывистое движение поршней, а гидравлическое и механиче-
ское сопротивления отсутствуют. Предположение об идеальной
регенерации теплоты означает, что процесс теплообмена между
рабочим телом и регенератором, а также теплоемкость регене-
ратора бесконечно велики.
В любом реальном двигателе все перечисленные выше
факторы снижают КПД реального двигателя приблизительно
на 20%.
Двигатели Стирлинга имеют ряд важных особенностей:
• нулевую токсичность, так как продуктов сгорания в дви-
гателе нет;
• возможность работы в космосе и использования любого
источника теплоты: химических реакций, реакций ядер-
ного деления, солнечной энергии и т. д.;
• наличие регенератора — подзаряжаемой теплоаккуму-
лирующей системы, позволяющей в идеальном случае
получить КПД, равный эффективности цикла Карно;
• эффективность не зависит от рода рабочего тела, что по-
зволяет использовать любое ТРТ;
• низкий уровень шума, малый вес, динамическая сбалан-
сированность и большой ресурс работы.
390
11.8. Двигатели с внешними источниками энергии
Среди недостатков следует отметить сложность регулиров-
ки режимов работы, поскольку регенератор и теплоподводя-
щие системы имеют значительную инерцию.
Названные особенности определяют основные области воз-
можного применения двигателей Стирлинга: это бортовые
энергетические установки космических и подводных кораб-
лей, системы искусственного кровообращения, вентиляторы,
кондиционеры и т. д.
11.8.2. Двигатели, использующие энергию Солнца. Рас-
смотренный в предыдущем разделе двигатель Стирлинга в ка-
честве источника теплоты может использовать энергию Солн-
ца. Необходимо отметить, что энергию Солнца можно исполь-
зовать и для создания реактивной тяги. В качестве примера
можно рассмотреть схему, когда рабочее тело, находящееся на
борту летательного аппарата, нагревается за счет солнечной
энергии и, превращаясь в пар, истекающий из сопла, может
создавать тягу. Кроме того, солнечное излучение, создающее
определенное давление на поверхность облучения, может за
счет этого явления также создавать некоторую тягу. Подобная
схема, получившая название «солнечного паруса» или фо-
тореактивной двигательной установки, является наибо-
лее простой двигательной установкой из всех типов двигателей
летательных аппаратов. Название «солнечный парус», схема ко-
торого представлена на рис. 11.74, получено по сходству с прин-
ципом действия паруса. Поток фотонов 1, движущийся от Солн-
ца со скоростью 300 000 км/с, должен улавливаться огромным
«полотнищем» 2, изготовленным из тончайшей пластмассовой
пленки, покрытой с одной стороны, например, алюминием для
образования отражающего зеркала. Отражаясь от поверхности
паруса, солнечное излучение и создает тягу в направлении 3,
перпендикулярном к его поверхности. Ка-
бина летательного аппарата 5 скреплена
с парусом 2 с помощью тросов 4.
Преимущество такого устройства в
том, что нет необходимости в источниках
как энергии, так и массы, а сила тяги дей-
ствует в течение всего полета летательного
аппарата при его постоянной массе.
Рис. 11.74
391
Глава 11. Термодинамические циклы
Рис.11.75
Давление солнечного излучения чрезвы-
чайно мало: на поверхности Земли оно со-
ставляет около 0,9 • 10-5 Па, а его суммар-
ная сила на земной шар — 6 • 108 Н.
При использовании достаточно большо-
го паруса технически можно осуществить
устойчивое ускорение летательного аппара-
та в пространстве, где нет аэродинамическо-
го сопротивления. Вектор тяги в этом слу-
чае изменяется поворотом на нужный угол «солнечного пару-
са» . Но на значительных расстояниях от Солнца для получения
достаточных тяг нужна очень большая площадь паруса. Напри-
мер, на расстоянии .150 млн км тяга 1 Н получается на пло-
щади паруса 3 • 104 м2. Главная трудность такой системы за-
ключается в создании очень легкого паруса. По оценкам
специалистов, тяговая система в виде «солнечного паруса» для
полета к комете Галлея нуждается в пленке толщиной 2,5 мкм
удельной массы 3 г/м3. Кроме того, для действенности фоторе-
активной установки необходимо вначале освободить корабль
от тяготения планеты отправления с помощью какой-либо бо-
лее или менее обычной двигательной установки и сориентиро-
вать парус по отношению к направлению солнечных лучей.
Одной из наиболее перспективных конструкций «солнечно-
го паруса» считается конструкция, называющаяся «солнеч-
ным гироскопом» (рис. 11.75).
Размеры такого «солнечного гироскопа» для полета косми-
ческого аппарата к комете Галлея составляют: длина каждой
из 12 лопастей — 7,4 км, ширина — 8 м и масса — 200 кг. Та-
кой «солнечный парус» на удалении 150 млн км от Солнца по
расчетам создаст тягу 5 Н.
Считается также, что аналогичные системы могут быть при-
годными при полетах к кометам, для транспортировки косми-
ческих объектов с низких орбит на геостационарные.
11.9. Оценка эффективности
различных тепловых двигателей
При анализе и сопоставлении между собой различных тер-
модинамических циклов наибольший интерес представляют
их экономичность и значения термического КПД. Чем выше
392
11.9. Оценка эффективности различных тепловых двигателей
значение Т|4, тем более благоприятны исходные условия для
обеспечения высокой эффективности реального двигателя.
Эталонным циклом для всех тепловых машин является цикл
Карно, имеющий тот же температурный перепад, что и сравни-
ваемый с ним цикл. Так как термический КПД цикла Карно,
определяемый выражением (11.12), является наибольшим при
выбранных значениях Tm)n и Ттах, любой другой цикл, проте-
кающий в этом же интервале температур, будет тем эффектив-
нее, чем ближе его термический КПД к КПД цикла Карно.
Кроме того, во многих случаях возникает необходимость
сравнивать различные циклы между собой, а не с циклом Кар-
но. Для того чтобы провести это сравнение, необходимо вы-
брать условия, при которых проводится это сравнение. Таки-
ми условиями могут быть равенство подведенных количеств
теплоты и основных характеристик (степеней сжатия, степе-
ней повышения давления и т. п.).
В данном случае проще всего воспользоваться методом,
предложенным в 1939 г. В. С. Мартыновским. Этот метод ос-
новывается на нахождении для исследуемых циклов эквива-
лентных циклов Карно и последующем сравнении между со-
бой этих эквивалентных циклов.
Как известно, термический КПД любого цикла теплового
двигателя определяется выражением (11.6)
1 <12
TL = 1---,
где д2 = \Т2 ds, дг = ds, Т2 и Т\ — текущая температура
процессов, в которых отводится и подводится теплота.
Каждый цикл тепловой машины протекает в определенном
интервале изменения удельной энтропии As, поэтому всегда
можно построить некоторые изотермические процессы подво-
да и отвода теплоты, протекающие в интервале As так, что ко-
личество подведенной и отведенной в них теплоты равно вели-
чинам дг и д2 анализируемого цикла. В этом случае
g2 = Т2ср As и = Tlcp As, (11.96)
отсюда средние или среднепланиметрические температуры
определятся по выражениям
Jr„ds J Г ds
Т2= —7— и Т, = —-Г—. (11.97)
2 Ср Дд 1 Ср Дд ' >
393
Глава 11. Термодинамические циклы
Подставив выражение (11.96) в формулу КПД, получим
n^l-^cp/Ticp. (11.98)
Сравнение формул (11.98) и (11.12) показывает, что они
идентичны. Следовательно, формула (11.98) определяет тер-
мический КПД некоторого эквивалентного цикла Карно, рав-
ного термическому КПД исследуемого цикла.
Таким образом, любой цикл теплового двигателя может
быть заменен эквивалентным циклом Карно с температурами
Т2 ср и Т1ср. При наличии Ts-диаграммы среднепланимет-
рическая температура может быть определена планимет-
рированием (геометрическим равенством) площадей соответст-
вующих фигур (рис. 11.76, а). Средняя температура процесса
должна быть выбрана так, чтобы площади геометрических
фигур над и под изотермой для соответствующего процесса
были одинаковы.
Любой термодинамический политропный процесс с тепло-
емкостями с2, с3, с4, с5, протекающий в заданном интервале
температур Т2 и 1\, имеет одну и ту же среднюю температуру
(рис. 11.76, а). Если сравниваемые процессы протекают в од-
ном и том же интервале изменения энтропии (рис. 11.76, б),
то наибольшую среднюю температуру имеет процесс с на-
именьшей теплоемкостью.
Действительно, чем ниже теплоемкость рабочего тела вы-
бранного процесса, тем меньше длина касательной к кривой
процесса в Ts-диаграмме и интенсивнее изменяется темпера-
тура рабочего тела. Поэтому Тср 12 Лр 13 > 14*
394
11.9. Оценка эффективности различных тепловых двигателей
Чтобы воспользоваться методом замены термодинамиче-
ских процессов отвода и подвода теплоты изотермическими
процессами со средними планиметрическими температурами,
анализируемые циклы необходимо представить в Ts-коорди-
натах в одинаковых границах температур Tmax, Tmin.
Однако для определенности сравнения циклов это единст-
венное условие является недостаточным, так как, напри-
мер, степень сжатия может в широких пределах ее измене-
ния влиять на термический КПД цикла при постоянных тем-
пературных границах. Следовательно, чтобы при рассмат-
риваемом методе сравнения анализ циклов был определен-
ным, необходимо одновременно с выбором температурных
границ принять дополнительные условия, например, равен-
ство количества теплоты, подведенной за цикл к рабочим
телам (равенство нагрузок); равенство отдельных характе-
ристик.
Так, при анализе циклов двигателей внутреннего сгорания
наибольший интерес представляет собой сравнение циклов с
изохорным и изобарным подводом теплоты. Пусть в выбран-
ных циклах верхняя Ттях и нижняя ТП11П температуры равны
и процессы реализуются в одном и том же диапазоне давлений
pmin, Pmax (рис. 11.77). При выбранных условиях отвод тепло-
ты в обоих циклах происходит по одной и той же изохоре, по-
этому температура Т\ ср обоих циклов одна и та же. Теплота в
обоих циклах подводится после адиабатного сжатия, но сте-
пень сжатия в цикле с изохорным подводом теплоты меньше,
чем в цикле с изобарным подводом. Этим и обусловливается
395
Глава 11. Термодинамические циклы
большая средняя температура изобарного процесса 3—4,
по сравнению с температурой ср изохорного процесса 2—4.
Поэтому цикл с изобарным подводом теплоты при выбранных
условиях сравнения совершает большую работу /п и более эко-
номичен.
Аналогично можно сравнить, например, циклы газотурбин-
ных установок с подводом теплоты при v = const и при р = const
с одинаковыми степенями сжатия в компрессоре (процесс 1—2,
рис. 11.78).
Подвод теплоты в обоих циклах осуществляется при по-
стоянных теплоемкостях, в одинаковых пределах темпера-
тур Ттах—Tmin. Поэтому средние планиметрические темпе-
ратуры процессов подвода теплоты в обоих циклах одинако-
вы. Средняя планиметрическая температура процесса 5—1
отвода теплоты в цикле с изобарным подводом теплоты Т^ср
выше средней планиметрической температуры Т^ср процес-
са 6—1. В связи с этим при выбранных условиях сравнения
термический КПД цикла с изохорным подводом теплоты вы-
ше термического КПД цикла с изобарным процессом подвода
теплоты.
Изложенный метод сравнения циклов может быть исполь-
зован при сопоставлении циклов, например, двигателей внут-
реннего сгорания и газотурбинных установок. На рис. 11.79
показаны в Ts- и рп-координатах циклы двигателя внутренне-
396
11.9. Оценка эффективности различных тепловых двигателей
Рис.11.79
го сгорания с подводом теплоты прир = const и газотурбинной
установки с аналогичным процессом подвода теплоты, имею-
щие одинаковые температуры Ттах и Tmin. Кроме равенства
интервала температур принимаются одинаковыми ртах и pmin.
Средняя планиметрическая температура 7\ ср процессов под-
вода теплоты в обоих циклах одна и та же. В этих циклах к ра-
бочему телу подводится одно и то же количество теплоты
(пл. 8247, рис. 11.79, а). Средняя планиметрическая темпе-
ратура Т2 ср изохорного процесса отвода теплоты выше Т2 ср
изобарного процесса отвода теплоты и, следовательно, при вы-
бранных условиях сравнения термический КПД газотурбинной
установки выше термического КПД дизельного двигателя. Этот
же вывод следует из Ts-диаграммы циклов, где четко видно,
что подведенная теплота в обоих циклах одинакова, а пло-
щадь, ограниченная процессами для двигателя внутреннего
сгорания, меньше аналогичной площади для газотурбинной
установки на пл. 156.
Приведенные примеры сравнительного анализа циклов по-
казывают, что введение понятия среднепланиметрических
температур термодинамических процессов подвода и отвода
теплоты в циклах, т. е. замена исследуемых циклов эквива-
лентными циклами Карно, в значительной степени облегчает
анализ, делает его наглядным. Однако следует отметить, что
при использовании этого метода необходимо правильно выби-
рать дополнительные условия сравнения.
397
Глава 11. Термодинамические циклы
ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЕ
1 Подсчитать предельно возможный КПД двигателя, рабо-
тающего на водороде при t = 20 °C окружающей среды, ес-
ли рабочий объем камеры сгорания V = 0,3 м3, давление в
ней р = 50 бар, а масса водорода, потребляемая за один
цикл, равна 0,3 кг.
Решение.
/ Из уравнения состояния для идеального газа pV = mRT
определяется температура, которая будет наблюдаться в каме-
ре сгорания рассматриваемого двигателя на водороде с моляр-
ной массой 2 кг/кмоль:
г=^_р^_51Г10!_0^2_12озк
mR mR 0,3 • 8314
/ Максимальной эффективностью обладает цикл Карно, ко-
торый в данном случае осуществляется в температурном интер-
вале от температуры в камере сгорания до температуры в окру-
жающей среде:
-. -^min 1 20 4" 273 п „
Определить параметры во всех точках цикла газотурбинной
установки с подводом теплоты при р = const, количество
подведенной и отведенной теплоты, работу цикла и его тер-
мический КПД, если предельная температура воздуха перед
входом в турбину равна 950 °C, начальное состояние воздуха
определяется давлением 1 бар, степень повышения давле-
ния л = 7, а степень предварительного расширения р = 2,2.
В расчетах принять R = 287,1 Дж/(кг-К); ср = 1,004 кДж/
(кг • К); m = 1 кг.
Решение.
Для 1 кг из уравнения состояния pv = RT определяем
параметры в характерных точках цикла, при этом недостаю-
щие параметры находим из заданных характеристик цикла
Р.
л = —
Р,
2.
Рг иг Vb
= — ир = — = —,
Рь Н Vc »а
р= 1 бар, Т = 318 К, vn = 0,913 м3/кг;
рс = 1 бар, Тс = 555 К, vc = 0,2275 м3/кг;
рг = 7 бар, Тг = 1223 К, vz = 0,5 м3/кг;
pb = 1 бар, Ть = 701 К, vb = 2,05 м3/кг.
398
Задачи и их решение
/ Определяем удельное количество теплоты, участвующее в
цикле:
qr = ср(Тг - Тс) = 1,004(1273 - 555) = 670,7 кДж/кг,
q2 = ср(Ть - Та) = 1,004(701 - 318) = 384,5 кДж/кг.
/ Удельную работу цикла определяем как разницу подве-
денной и отведенной удельных теплот
/ц = - q2 = 670,7 - 384,5 = 286,2 кДж/кг.
/ Термический КПД находим из соотношения
3. Произвести анализ термодинамического цикла полного
расширения с изобарным подводом теплоты (газотурбин-
ного двигателя) при изменении степени повышения давле-
ния л^ и постоянном отношении максимальной темпера-
туры Т3 = 1500 К к минимальной = 300 К0=713/711 =
= 1500/300 = 5.
Комментарий. В случае, если для повышения максималь-
ной температуры Т3 никаких ограничений не имеется, сте-
пень повышения давления л^ может изменяться также неог-
раниченно и термический КПД
= 1 k - 1
будет возрастать, приближаясь к единице. Работа цикла Z =
= ПРИ постоянном количестве подведенного тепла qr будет
увеличиваться пропорционально Т|г
На практике температура перед турбиной Т3 ограничивает-
ся условиями жаростойкости материала лопаток турбины.
Поэтому представляет интерес исследование цикла при Т3
или, что то же, при 0 = Т3/Т\.
В этом случае, как видно из рис. 11.80, величина л^ не м°-
жет беспредельно возрастать. Она ограничивается некоторым
А - 1
значением лХтах = 0 * . При значении лх тах уже в конце про-
цесса сжатия достигается максимально допустимая темпера-
399
Глава 11. Термодинамические циклы
тура Т2 — Ts и тем самым исключается возможность подвода
тепла — линия расширения сливается с линией сжатия и
цикл вырождается.
Цикл вырождается также и при л^ = 1. В этом случае из-за
отсутствия разности давлений исключается процесс расшире-
ния. Линии подвода и отвода тепла сливаются — все подве-
денное тепло отводится (q2 = q}w I = 0).
При некотором значении л^ = л^ опт работа цикла достигает
максимума при некотором (не максимальном) значении тер-
мического КПД
nt = i-
опт
Возникает вопрос об определении максимальной величины
работы при фиксированном значении 0 = Т3/Т\.
По первому закону термодинамики работа цикла
91 9г ср(^з ^2) cp^i ^1)
1
где
ZK0 = Zj=Z^Zj
Л ’ т\ UJ ’ л т3тг
-^9-
7Ц*
После подстановки в выражение работы
7ц = срТ1^0-л**'- л^А0+1^.
400
Задачи и их решение
Для нахождения оптимума работы ZonT необходимо произ-
водную по приравнять нулю
НI / ь _ 1 h - I 1 _ t, к - 1 ч
откуда
k
0 = 0,
или
_1
тг
л ЯХ опт
k л
опт
2Ь
опт
к
Однако nZmax = 0й “ 1, следовательно, л1опт = 7"Zmax-
Решение.
/ Определяем степени повышения давления
к 1,4
, Яутах = 9й"1 = б1’4”1 =279,5,
> XllCtJk '
П£опт = л/К£ max = 7279,5 = 16,72.
/ Находим термический КПД
ОПТ = 1 - = 1 - ---ТЦЗ = °’553-
*2 опт 16,72 М
/ Определяем работу цикла
/ 5—1 \
/опт = П491 = П4ср(7,з-7,2) = 'П4Ц7,з-7,17Г к ) =
= nt о„т^Т1(е - л оТ ) = 0,553.1,005 • 300^5 - 16,72^ ) =
= 460,5 ^.
26 - 5580
401
Глава 11. Термодинамические циклы
/ Сводим значения Т2, qr, T|t и I для различных значений л^
при Т’з = 1500 К и 711 = 300 К в таблицу.
1 10 16,72 35 70 140 210 279,5
1,4-1 1,4 Ъ 1 1,932 2,238 2,16 3,3 4,110 4,615 5
Т2 300 579,6 671,4 828 1011 1233 1384,5 1500
<11 1206 933 833 675,4 481 268,8 116,1 0
nt 0 0,482 0,553 0,638 0,703 0,757 0,783 0,8
0 408 461 431 345 203 91 0
/ По данным таблицы строим графики д1, ц4, /ц = /(л^-) при
0 = 5 (рис. 11.81).
Рис.11.81
Глава 12
Циклы паросиловых установок
12.1. Принцип действия
и устройство паросиловой установки
Энергетическое хозяйство развитых стран в основном бази-
руется на преобразовании теплоты в механическую работу,
а затем в электрическую энергию. Процессы преобразования
теплоты, полученной при сгорании топлива, в механическую
работу наиболее часто осуществляются в паросиловой уста-
новке, компоновочная схема которой показана на рис. 12.1.
Основными элементами установки являются паровой котел 2,
паронагреватель 3, паровая турбина 4, генератор электриче-
ского тока 5, конденсатор 6, питательный насос 1.
Рабочим телом в паросиловой установке является, как пра-
вило, вода, превращаемая в котле в насыщенный, а затем в
паронагревателе — в перегретый пар. Из паронагревателя водя-
ной пар поступает в турбину, где, расширяясь, производит по-
лезную работу. Отработавший пар конденсируется, а конденсат
при помощи питательного насоса снова возвращается в котел.
Фазовое превращение рабочего тела является характерной
особенностью цикла паросиловых установок.
В отличие от газотурбин-
ных установок и двигателей
внутреннего сгорания, в па-
росиловых установках про-
дукты сгорания топлива не-
посредственно не участвуют
в рабочем цикле. Продукты
сгорания являются лишь ис-
точником теплоты.
26*
403
Глава 12. Циклы паросиловых установок
12.2. Паровой цикл Карно
Наиболее совершенным идеальным циклом, как известно,
является цикл Карно. Принципиальная схема паросиловой
установки на насыщенном паре, работающей по циклу Карно,
приведена на рис. 12.2. Подвод теплоты в данном случае про-
исходит при р} = const и fj = const. Из парового котла 1 сухой
насыщенный пар поступает в паровую турбину 2, где, расши-
ряясь от давления р} до р2, совершает работу. Из турбины 2
пар поступает в конденсатор 4, где частично конденсируется,
подается в котел 1
отдавая часть теплоты охлаждающей во-
де, которая проходит по трубкам конден-
сатора. Отвод теплоты от пара в конден-
саторе происходит при постоянном дав-
лении р2 и постоянной температуре Т2.
Из конденсатора влажный пар поступает
в компрессор 5, в котором адиабатно
сжимается до давления рг, равного дав-
лению в паровом котле. Затем конденсат
и цикл завершается. На общем валу с
турбиной 2 устанавливается генератор электрического тока 3.
Цикл Карно насыщенного пара (рис. 12.3) состоит из сле-
дующих процессов: 4—1 — изобарно-изотермический подвод
теплоты q} к пару в котле; 1 — 2 — процесс адиабатного рас-
ширения пара до давления р2 в турбине; 2—3 — изобар-
но-изотермический отвод теплоты q2 в конденсаторе; 3—4 —
адиабатное сжатие конденсата в компрессоре.
Рис. 12.3
404
12.2. Паровой цикл Карно
Отвод теплоты в конденсаторе происходит до тех пор, пока
влажный пар не достигнет такого состояния, в результате ко-
торого при сжатии по адиабате 3—4 смесь воды и пара из со-
стояния в точке 3 переводится полностью в воду в точке 4.
Термический КПД обратимого цикла Карно не зависит от
рода рабочего тела и будет определяться по ранее полученной
формуле (11.11):
р^ = 1-712/Т1. (12.1)
Критическая температура воды равна 374,15 °C, поэтому
сравнительно мал температурный интервал между нижней (t2 ~
~ 20 °C) и верхней (t ~ 340...350 °C) температурами цикла.
Для обратимого цикла Карно, осуществляемого во влаж-
ном паре, термический КПД, как правило, не превышает сле-
дующего значения:
, 20 + 273,15 „
1 350 + 273,15 °’53'
Вместе с тем необходимо иметь в виду, что в паровом цикле
Карно конденсация пара в изотермическом процессе 2—3
осуществляется не полностью, поэтому в адиабатном про-
цессе 3—4 сжимается не вода, а влажный пар, который имеет
относительно большой объем. Компрессор для сжатия влажно-
го пара с малыми давлениями и большими удельными объе-
мами является громоздким. На сжатие влажного пара зат-
рачивается большая работа, численно равная площади п43т
(рис. 12.3, а).
Кроме того, затрата работы на сжатие увеличивается при
повышении начальных параметров пара р} и Тг или уменьше-
нии конечных параметровр2 и Т2. Так, например, при увели-
чении начальных параметров до точки 1' работа, затрачивае-
мая на сжатие влажного пара, существенно возрастает, и, как
видно из рисунка, пл. п43ш < пл. п'4'З'т.
Следовательно, несмотря на увеличение термического КПД
цикла Карно при увеличении начальных и уменьшении конеч-
ных параметров рабочего тела, эффективность использования
теплоты в установке уменьшается. Последнее связано с относи-
тельно большим объемом компрессора, наличием «вредных»
пространств и повышением потерь. Таким образом, практиче-
ски обесцениваются преимущества паровой установки, рабо-
405
Глава 12. Циклы паросиловых установок
тающей по циклу Карно с максимальным термическим КПД,
вследствие повышения затрат работы, необходимой для сжа-
тия отработавшего конденсата.
При работе на влажном паре происходит механический из-
нос лопаток последних ступеней турбины и компрессора кап-
лями воды.
По этим причинам цикл Карно практически не применяет-
ся в паросиловых установках и сохраняет лишь теоретическое
значение как эталонный цикл, имеющий в заданном темпера-
турном интервале максимальный термический КПД.
12.3. Цикл Ренкина
12.3.1. Принципиальная схема и эффективность цикла.
Принципиальная схема паросиловой установки, работающей
по циклу Ренкина, практически ничем не отличается от схе-
мы установки, работающей по циклу Карно (см. рис. 12.2).
В рассматриваемом цикле сухой насыщенный пар с пара-
метрами рг, Ту поступает из парового котла 1 в турбину 2, где
адиабатно расширяется от давления Ру до давления р2. После
турбины влажный пар с параметрами р2, Т2 поступает в
конденсатор 4, где полностью конденсируется при постоян-
ном давлении и соответствующей температуре. В дальнейшем
вода с помощью насоса 5 под давлением Ру, равным давлению
в паровом котле, подается в котел.
Параметры воды на входе в котел — р2, Т2. В паровом котле
питательная вода смешивается с кипящей водой, нагревается
до температуры кипения и испаряется.
Необходимо отметить, что вследствие резкого уменьшения
удельного объема пара, поступающего в конденсатор при пре-
вращении его в капельно-жидкое состояние, в конденсаторе
образуется вакуум. Абсолютное давление в конденсаторах на-
ходится в пределах 0,0035—0,0040 МПа. Использование ва-
куума позволяет производить в паровых турбинах более глу-
бокое расширение рабочего тела.
Теоретический цикл Ренкина с насыщенным паром для
1 кг ТРТ на pv- и Ts-диаграммах представлен на рис. 12.4.
Цикл состоит из следующих процессов:
406
12.3. Цикл Ренкина
• 4—1 — процесса парообразования в котле при давлении
рг = const;
• 1 —2 — процесса адиабатного расширения пара в турбине;
• 2—2' — процесса конденсации влажного пара при давле-
нии р2 в конденсаторе с отводом теплоты с помощью ох-
лаждающей воды;
• 2'—3 — процесса адиабатного нагнетания воды насосом
от давленияр2 до давлениярг;
• 3—4 — процесса подвода теплоты к воде при давлении рг
в паровом котле до соответствующей температуры кипения.
Линия 3—4 изображает изменение температуры воды при
нагревании в котле от температуры в конденсаторе до темпера-
туры кипения. Удельная энтальпия пара на выходе из котла в
точке 1 равна hv а удельная энтальпия пара на входе в конден-
сатор в точке 2 равна h2. Энтальпия воды на выходе из конден-
сатора в точке 2' равна h2. Работа насоса ZHac = пл. аЬ32'. Полез-
ная работа пара в цикле Ренкина равна пл. 2'3412.
Термический КПД цикла определяется по уравнению (11.6):
Теплота в цикле подводится при р = const в процес-
сах: 3—4 — подогрева воды до температуры кипения в котле,
4—1 — парообразования в котле. Для 1кг пара теплота qr
407
Глава 12. Циклы паросиловых установок
равна разности удельных энтальпий конечной (точка 1) и на-
чальной (точка 3) точек процесса:
Qi = ^1 — ^з- (12.3)
Отвод теплоты qz происходит в конденсаторе по изоба-
ре 2—2', следовательно:
qz = hz-hz. (12.4)
Подставляя выражения (12.3) и (12.4) в выражение (12.2), по-
лучаем
(йх - й3) - (й2 - h'z) (h1 - hz) - (h3 - h'2)
tl=--------z---г------=--------г----г------• (12.5)
hr - h3 hr - h3
Термический КПД можно определить также из выражения
T]t = /ц/д1? где — полезная работа цикла для 1 кг ТРТ.
Полезная работа цикла равна разности работы паровой тур-
бины и работы, затраченной на привод насоса,
^тур ^нас*
Работа паровой турбины равна уменьшению удельной эн-
тальпии в процессе 1 — 2
^тур = ^1 “ ^2’
При адиабатном сжатии воды в насосе и подаче ее в котел
затрачивается работа
^нас = ^3 _ ^2 •
Тогда
= ^тур “ ^нас = (^1 “ “ (*3 “ ^2 )•
С другой стороны, работа, затраченная на привод насоса при
адиабатном сжатии и v = const, определяется как нж:
Pi
Lie = ^3 “ h2 = J AP = ^ж(Р1 -P2)’
Рг
где v' — удельный объем воды на линии насыщения при дав-
лении р2. Тогда
_1и _ 1туу. - _ (hi ~ h2~) - Уж(Р\~Рг)
а ,, h - h. '
У1 Wi ni пз
Разность удельных энтальпий /г, - hz составляет порядка
3 • 106 Дж/кг, а член v^(pr -р2) — порядка (10—20) • 103 Дж/кг
408
12.3. Цикл Ренкина
даже для установок высокого
давления. Поэтому величиной
работы насоса, вследствие ее
малости по сравнению с рабо-
той турбины, можно пренеб-
речь. Тогда h3 ~ h3 и выраже-
ние (12.6) примет вид
- h2
йх - h2 '
(12.7)
Полученные формулы (12.5)—(12.7) говорят о том, что для
расчетов эффективности цикла Ренкина целесообразно ис-
пользовать /is-диаграмму, на которой цикл Ренкина для сухо-
го насыщенного пара изображен на рис. 12.5, а КПД цикла,
согласно формуле (12.7), определится соотношением отрезков
1 — 2 и 1—2'.
Так как теплоемкость воды 4,1868 кДж/(кг*К), a t2 = t2 =
= £вод, где £вод — температура конденсата, то
й' =4,1868-гвод,
и формула (12.7) примет вид
hi - й,
= 4,1868-евод • (12>8)
Отсюда следует, что для нахождения КПД и работы цикла
Ренкина на диаграмме достаточно рассмотреть лишь один про-
цесс расширения пара в турбине (процесс 1 —2 на рис. 12.5).
Термический КПД цикла Ренкина меньше КПД цикла Кар-
но при одинаковых начальных и конечных параметрах пара.
В цикле Карно теплота б/, расходуется только на процесс паро-
образования, т. е. qy = г, а в цикле Ренкина она затрачивается
как на парообразование, так и на подогрев питательной воды в
процессе 3—4, т. е.
71 = Г + Свод (Т4 - Тз)-
По рис. 12.3 и 12.4 видно, что работа насоса значительно
меньше работы компрессора в паровом цикле Карно ZK0M 2>
2> ZHac. Замена цикла Карно циклом Ренкина значительно уве-
личивает работу цикла за счет уменьшения работы на привод
409
Глава 12. Циклы паросиловых установок
компрессора. Так, в паросиловых установках, работающих по
циклу Ренкина и циклу Карно при одних и тех же начальных
параметрах пара, цикл Ренкина дает в 1,5 раза больше рабо-
ты, чем паросиловая установка с циклом Карно.
С повышением начальной температуры насыщенного пара
термический КПД цикла возрастает. Однако при температу-
рах свыше 190 °C (при 1,0—1,2 МПа) дальнейшее повышение
начальной температуры вызывает резкое увеличение давле-
ния пара и его конечной влажности (точка 2), что ухудшает
эксплуатацию турбин. Второй путь повышения термического
КПД цикла Ренкина, позволяющий без увеличения начально-
го давления пара поднять среднюю температуру подвода теп-
лоты в цикле, состоит в применении перегретого пара.
В настоящее время температура перегрева пара достигает
600—650 °C. Кроме того, перегрев пара приводит к уменьше-
нию конечной влажности.
12.3.2 . Цикл Ренкина с перегретым паром. Паросиловая
установка, работающая по циклу Ренкина с перегретым па-
ром (рис. 12.6), отличается от паросиловой установки с насы-
щенным паром наличием пароперегревателя 2, в котором пар
нагревается до температуры, превышающей температуру на-
сыщения при постоянном давлениирг.
Цикл Ренкина с перегретым паром отличается от цикла
Карно (см. рис. 12.7, б и 12.3, б), так как изобары в области
перегретого пара, в отличие от изобар в области насыщенного
пара, не совпадают с изотермами.
В цикле Ренкина с перегретым паром средняя температура
подвода теплоты увеличивается по сравнению с температурой
подвода теплоты в цикле без перегрева, поэтому термический
КПД цикла возрастает.
Цикл Ренкина с перегретым паром
состоит из следующих процессов:
• 3—4 — нагрева воды в котле до
температуры кипения при давле-
нии р1;
• 4—5 — парообразования в котле
при давлении рр,
410
12.3. Цикл Ренкина
• 5—1 — перегрева пара;
• 1 —2 — адиабатного расширения пара в турбине;
• 2—2' — конденсации пара в конденсаторе при давлении
р2 = const;
• 2'—3 — адиабатного нагнетания воды насосом, происхо-
дящего без изменения объема.
Теплота в цикле Ренкина с перегретым паром подводится
при постоянном давлении р1 = const на участках: 3—4 — по-
догрева воды до температуры кипения; 4—5 — испарения во-
ды; 5—1 — перегрева пара.
Количество теплоты qr, подведенной в цикле, численно
равно пл. а34512Ьа.
Количество теплоты д2, отводимой в цикле Ренкина в про-
цессе 2—2' при pz = const, численно равно пл. а2'2Ьа.
Работа цикла определяется пл. 2'345122'.
Согласно уравнению (2.10) количество теплоты, подведен-
ной (отведенной) в изобарном процессе, равно разности эн-
тальпий рабочего тела в начале и в конце процесса:
Q1 ~ ^1 ~ ^3’ ?2 ^2 — ^2 ’
а термический КПД цикла будет представлен в виде
= <11 ~ <12 = hl~ h3~ lfl2 - h2~)
q1 hx - h3
(12.9)
411
Глава 12. Циклы паросиловых установок
Рис. 12.8
При давлениях меньше рк/3 все изобары в области жидкости
проходят весьма близко одна к другой и к левой пограничной
кривой, поэтому пл. 2'342' очень мала. Следовательно, цикл па-
росиловой установки при небольших давлениях пара наpv-, Ts-
и Tis-диаграммах изображается так, как показано на рис. 12.8.
В настоящее время цикл Ренкина с перегретым паром явля-
ется основным циклом теплосиловых установок, применяемых
в теплоэнергетике. Термический КПД цикла Ренкина примерно
составляет 30—40%.
12.3.3 . Влияние параметров пара на величину термиче-
ского КПД. Анализ термического КПД цикла Ренкина показы-
вает, что термический КПД паросиловой установки возрастает
при увеличении начального давления и начальной температу-
ры пара и понижении конечного давления пара в конденсаторе.
Рассмотрим подробнее влияние параметров Т\, р± и р2 на
величину термического КПД цикла Ренкина.
При постоянных значениях начальных параметров пара Тг =
= const и р1 = const уменьшение конечного давления в кон-
денсаторе приводит к повышению КПД цикла, так как в этом
случае возрастает располагаемый температурный интервал
цикла. Для уменьшения конечного давленияр2 на выходе пара
из турбины создают вакуум с помощью конденсатора.
Обычно в теплосиловых установках давление в конденса-
торе определяется температурой охлаждающей воды и равно
3,5—4,0 кПа (0,035—0,040 кг/см2). Давление 4 кПа соответст-
412
12.3. Цикл Ренкина
0 s
Рис. 12.9
вует температуре t2 = 28,6 °C.
Дальнейшее понижение давле-
ния р2 в конденсаторе нецеле-
сообразно. Так, при давлении
3 кПа температура насыщения
воды t2 = 23,8 °C, а при давле-
нии 2 кПа t2 = 17,2 °C, поэтому
разность температур конденси-
рующегося пара и охлаждаю-
щей воды становится слишком
малой, что приводит к увели-
чению размеров конденсатора.
При малых значениях давления р2 возрастает удельный объем
пара, поступающего в конденсатор, а следовательно, увели-
чиваются размеры конденсатора и последних ступеней тур-
бины. Обычно для интенсивного теплообмена разность тем-
ператур пара и охлаждающей воды должна быть не менее
10—15 °C.
Увеличение начальной температуры пара, при одном
и том же начальном давлении, приводит к возрастанию КПД,
поскольку возрастает средняя температура подвода теплоты
в цикле, что прослеживается по Ts-диаграмме (рис. 12.9).
Кроме того, улучшаются эксплуатационные свойства паро-
вых турбин, поскольку в конце адиабатного расширения уве-
личивается степень сухости (х2 > х2). Так, например, при
начальном давлении рг = 3,06 МПа повышение температу-
ры от 350 до 550 °C приводит к увеличению степени сухости
от 0,78 до 0,86 и небольшому увеличению КПД (примерно
на 1,6%).
Однако необходимо иметь в виду, что повышение началь-
ной температуры пара ограничивается свойствами металла,
из которого изготовлена установка, поэтому в настоящее вре-
мя используется пар с температурой до 565 °C.
Анализируя влияние начального давления пара рг на
эффективность цикла Ренкина при 1\ = const и р1 = const,
можно отметить, что увеличивается площадь, ограниченная
кривыми процесса, которая соответствует работе цикла.
413
Глава 12. Циклы паросиловых установок
Рис. 12.10
Кроме того, повышается сред-
няя температура при подводе
теплоты (Т'1ср > Т1ср), умень-
шается теплота парообразова-
ния (см. разд. 7.5 и рис. 12.10).
С повышением давления р1
при той же температуре пере-
грева влажность пара на выхо-
де из турбины возрастет (х'2 <
< х2), т. е. негативно сказывает-
ся на эксплуатационных свойст-
вах турбины, поэтому при уве-
личении начального давления пара необходимо увеличивать
и температуру пара перед турбиной.
Кроме того, повышению термического КПД способствуют
также промежуточный перегрев пара, регенерация теплоты в
цикле и применение бинарных циклов.
12.4. Цикл с промежуточным перегревом пара
Степень сухости влажного пара на выходе из турбины ниже
0,86 не допускается в теплосиловых установках с паровыми
турбинами по эксплуатационным показателям. В разд. 12.3.3
было показано, что простым способом уменьшения конечной
влажности пара является его перегрев. Однако при давлениях
свыше 10 МПа (100 бар) перегрев пара даже до 500—550 °C не
обеспечивает допустимого значения конечной сухости. Поэто-
му при высоких давлениях применяют вторичный или проме-
жуточный перегрев пара после расширения его в турбине вы-
сокого давления.
На рис. 12.11 приведена принци-
пиальная схема паросиловой установ-
ки со вторичным перегревом. В таких
установках турбина выполняется в
виде двух отдельных турбин: высоко-
го 3 и низкого 5 давлений. Обычно
обе турбины и электрогенератор 6
располагаются на одном валу. Вто-
414
12.4. Цикл с промежуточным перегревом пара
ричный перегрев пара можно проводить газами или паром.
Полное расширение пара от давления ру до давления р2 разби-
вают на два или несколько интервалов, каждый из которых
осуществляется в отдельных секциях турбины. Перегретый
пар из пароперегревателя 2 поступает в турбину высокого
давления 3, где расширяется по адиабате до давления р2. Пос-
ле турбины пар поступает в перегреватель 4 для повторного
перегрева при рс = const. Затем пар направляется в турбину 5,
где расширяется до давления в конденсаторе. Паровой котел 1
и водяной насос 8 выполняют традиционные функции.
На рис. 12.12 приведен цикл паросиловой установки с од-
ним промежуточным перегревом наpv-, Ts- и Tis-диаграммах.
Точка 1 соответствует начальному состоянию перегретого
пара, точка 2 — конечному состоянию пара за турбиной после
вторичного перегрева. Точка 2' соответствовала бы конечно-
му состоянию пара при отсутствии вторичного перегрева.
Процесс 1 —2' соответствовал бы полному расширению пара,
если бы оно осуществлялось в одной секции турбины,
а процесс 1—с и d—2 — последовательному расширению па-
ра в отдельных секциях турбины с промежуточным перегре-
вом, процессу которого соответствует линия cd.
В результате вторичного перегрева степень сухости увели-
чивается от х2 до х2 (см. рис. 12.12). При применении одного по-
вторного перегрева термический КПД цикла повышается на
2—3% . С увеличением числа промежуточных перегревов тер-
Рис. 12.12
415
Глава 12. Циклы паросиловых установок
Рис. 12.13
му перегреву количество
мический КПД возрастает еще
больше. /is-Диаграмма цикла па-
росиловой установки с двукрат-
ным перегревом пара отображена
на рис. 12.13. При давлениях,
близких к критическому и сверх-
критическому, иногда применяют
два и более промежуточных пе-
регрева и эффективность данных
циклов становится максимальной.
Применительно к однократно-
тепл оты q±, подводимой к 1 кг па-
ра в цикле, равно сумме теплот q[ и q”, которые сообщают-
ся пару в паровом котле и во вторичном перегревателе,
т. е. теплот, подводимых в процессах 5—4—6—1 и с—d
(см. рис. 12.12).
При этом
91 = ~ Л5’ 91 = hd ~
Qi = Qi +Qi h5) + (hd-hc). (12.10)
Теплота, отводимая от пара в конденсаторе 2—3:
q2 = h2~ h3.
Разность теплот qt - q2 превращается в работу цикла
= 91 ~ 92 = (hi - + <hd ~ hc) - (h2 - лз)>
а с учетом того, что h3 ~ h5, будем иметь
9i - 92 = <hi “ M + (hd ~ ^2)’ (12.11)
где — hc) и {hd — /i2) — адиабатный перепад удельных эн-
тальпий в первой и во второй турбинах.
Термический КПД цикла с промежуточным перегревом па-
ра (см. рис. 12.12) определяется из выражения
= 91 ~ 92 = (^1 - hc) + (hd ~ h2>
П/ 9i (^i - h5) + (hd - hc) •
(12.12)
Промежуточный перегрев пара широко применяется в энер-
гетике. Он позволяет значительно уменьшить конечную сте-
пень сухости влажного пара, что приводит к уменьшению из-
носа лопаток последней ступени турбины, работающей в об-
ласти низких давлений, и повысить термический КПД цикла.
416
12.5. Регенеративный цикл паротурбинной установки
12.5. Регенеративный цикл
паротурбинной установки
Для обращения цикла Ренкина 2'—3—4—1—2 (см.
рис. 12.4, б) в регенеративный цикл 3'—4—1 —2' (рис. 12.14)
следует заменить процесс 1 —2 адиабат-
ного расширения на политропный про-
цесс 1—2' так, чтобы политропа 1—2'
была эквидистантна линии 3'—4. Тогда
удельная теплота, отведенная в процес-
се 1—2', численно равная пл. а2'1Ь,
может быть использована для нагрева
воды в процессе 3'—4 (пл. c3'4d). Прак-
тически создать такие условия возмож-
но только приближенно.
Принципиальная схема паросило-
вой установки, цикл которой в некоторой мере приближается
к регенеративному, приведена на рис. 12.15. Из котла 1 пар
поступает в пароперегреватель 2, а потом в турбину 3, где ади-
абатно расширяется до давления рс. Затем пар поступает в
подогреватель 9, где от него отбирается часть теплоты на на-
грев питательной воды. После подогревателя 9 пар поступает в
турбину 4, затем в аналогичный подогреватель 8 и турбину 5,
где расширяется до давления ра. Отработанный пар после тур-
бины 5 направляется через конденсатор 6 и водяной насос 7 в
подогреватель питательной воды 8. Процессы расширения па-
ра в турбинах 3, 4 и 5 изображаются отрезками сп, mh и fg
(рис. 12.16), а процессы отвода теплоты в подогревателях —
Рис. 12.15
Рис. 12.16
27 - 5580
417
Глава 12. Циклы паросиловых установок
отрезками тп и fh. При этом вся теплота, отдаваемая па-
ром на подогрев воды, изобразится заштрихованной пло-
щадью 2nmhfl. Увеличение числа отводов пара, а следова-
тельно, и числа ступеней турбины приводит к тому, что линия
cnmhfg будет приближаться к линии се, эквидистантной ли-
нии аЪ. Термический КПД цикла при увеличении числа отво-
дов пара, возрастая, стал бы приближаться к термическому
КПД цикла Карно. Однако подобный принцип работы пароси-
ловой установки из-за технических трудностей не осуществ-
ляется.
В реальных паросиловых установках регенеративный подо-
грев питательной воды осуществляется посредством отбора на
турбины некоторого количества пара. Пар отбирается после-
довательно из нескольких ступеней после того, как он про-
извел работу в предшествующих ступенях турбины. Пар кон-
денсируется в специальных подогревателях (регенеративных
теплообменниках) и нагревает питательную воду, поступаю-
щую в паровой котел. Конденсат греющегося пара поступает
в котел или смешивается с потоком питательной воды. При
таком способе отбора теплоты состояние основного потока па-
ра в турбине остается таким же, как и в цикле без регене-
рации, а изменяется лишь масса протекающего через ступе-
ни турбины пара. Количество пара, отбираемого в регенера-
тивные подогреватели, определяется из уравнений теплового
баланса.
Термический КПД цикла с регенерацией увеличивается на
10—12%, и тем в большей степени, чем выше начальные па-
раметры пара. Однако его значение все же меньше, чем КПД
цикла Карно с максимальной температурой, равной темпера-
туре перегретого пара. При регенерации уменьшается количе-
ство пара, проходящего через последующие ступени турбины,
т. е. уменьшаются их проходные сечения, а следовательно, и
габариты и вместе с тем — габариты тех элементов, в которых
происходит подогрев воды, а также разгружается котел (в час-
ти подогрева воды).
Регенеративный подогрев питательной воды уменьшает не-
обратимость процесса передачи теплоты в котле от горячих га-
зов, так как снижается разность температур между газами и
предварительно подогретой водой.
418
12.6. Бинарные циклы
1 2.6. Бинарные циклы
Известно, что термический КПД цикла Ренкина увеличивает-
ся с возрастанием начальной температуры пара (см. разд. 12.3.3).
Если в качестве рабочего тела используется водяной пар, то
повышение начальной температуры ограничено сравнительно
малой критической температурой tK = 374,15 °C и высоким
давлениемрк = 221,3 бар. Для увеличения термического КПД
цикла Ренкина необходимо использовать рабочее тело, к кото-
рому предъявляются следующие требования:
• высокий коэффициент заполнения цикла, т. е. рабочее
тело должно иметь возможно меньшую теплоемкость в
жидком состоянии. В этом случае изобары в Та-диаграм-
ме идут более круто, приближаясь к вертикали;
• высокие критические параметры. В этом случае при одной
и той же температуре насыщенного пара больший коэффи-
циент заполнения имеет цикл, осуществляемый вещест-
вом, имеющим более высокие критические параметры;
• высокий термический КПД при сравнительно невысоких
давлениях пара;
• давление насыщенного пара при низшей температуре
цикла, т. е. при температуре, близкой к температуре ок-
ружающей среды, не должно быть, слишком малым. Ни-
зкое давление насыщенного пара потребует применения
глубокого вакуума;
• рабочее тело должно быть недорогим, нетоксичным, неаг-
рессивным в отношении конструкционных материалов.
В настоящее время нет рабочих тел, которые бы удовлетво-
ряли перечисленным требованиям во всем температурном ин-
тервале цикла. Самое распространенное рабочее тело — вода,
имеющая высокую теплоемкость в жидкой фазе. Она удовлет-
воряет требованию не слишком низкого давления в конденса-
те и поэтому является хорошим рабочим телом для низкотем-
пературной части цикла.
Ртуть, наоборот, имеет невысокое давление насыщения и
высокие критические параметры (рк = 151 МПа, tK = 1490 °C).
При температурах, близких к температуре окружающей среды,
27*
419
Глава 12. Циклы паросиловых установок
давление насыщения ртути р2 =
= 0,36 Па, тогда как давление в
конденсаторе паровых турбин р2 —
= 4 кПа. Поэтому ртуть является
хорошим рабочим телом для верх-
1 4 8 ней (высокотемпературной) части
l _ -IJ I——1 цикла.
Можно применить комбинацию
Рис. 12.17 двух рабочих тел, используя луч-
шие их качества для осуществле-
ния цикла. Цикл с двумя рабочими телами называется бинар-
ным — в области высоких температур рабочим телом являет-
ся ртуть, а в области низких — вода.
На рис. 12.17 приведена принципиальная схема бинарной
ртутно-водяной паросиловой установки. Пунктирной линией
показан ртутный цикл. Ртутный пар из ртутного котла 1 посту-
пает в ртутную турбину 2 и после расширения в турбине направ-
ляется в конденсатор-испаритель 3, где конденсируется. Тепло-
та, выделяющаяся при конденсации ртути, используется для об-
разования водяного пара. Поэтому конденсатор-испаритель 3
одновременно является и пароводяным котлом. Жидкая ртуть
из конденсатора-испарителя 3 подается насосом 4 в ртутный ко-
тел, а водяной пар направляется в перегреватель 5, после чего
поступает в паровую турбину 6, где и производит полезную ра-
боту. Отработавший водяной пар отдает теплоту охлаждающей
воде в конденсаторе 7, а затем водяным насосом 8 перекачивает-
ся в конденсатор-испаритель 3.
В бинарных установках применяется насыщенный ртутный
пар при давлениях 1—1,5 МПа с температурами 517—577 °C.
Пар в ртутной турбине адиабатно расширяется до давлений
0,01—0,004 МПа, т. е. до температур 247—227 °C. Начальная
температура водяного пара на 10—15 °C ниже температуры
ртутного пара в конденсаторе-испарителе, что составляет при-
мерно 217—237 °C и соответствует давлению 3,3...2,5 МПа.
Перегрев водяного пара используется для уменьшения ко-
нечной влажности водяного пара при его расширении.
На рис. 12.18 приведены Тз-диаграммы, построенные для
1 кг водяного и т килограмм ртутного паров. Вследствие ма-
лой теплоемкости ртути ее пограничная кривая х = О круто
поднимается вправо так, что ртутный цикл весьма близок к
420
12.6. Бинарные циклы
Рис. 12.18
прямоугольнику, т. е. к циклу Карно, чего нельзя сказать о
цикле Ренкина для водяного пара.
Пароводяная часть цикла (рис. 12.18, а} представляет цикл
Ренкина с насыщенным паром, ртутная часть — цикл Рен-
кина с насыщенным ртутным паром. Ртутный цикл состоит
из следующих этапов:
• адиабатного процесса расширения в ртутной турбине 8—7;
• отвода теплоты от конденсирующего ртутного пара в кон-
денсаторе-испарителе 7—6;
• процесса сжатия в ртутном насосе 6—10;
• изобарного процесса подвода теплоты к ртути в ртутном
котле 10—9—8.
Пароводяной цикл состоит из:
• адиабатного процесса в паровой турбине 1—2;
• изобарного отвода теплоты в конденсаторе 2—3;
• процесса сжатия в водяном насосе 3—4;
• изобарного подвода теплоты в конденсаторе-испарителе
(теплота, отдаваемая конденсирующимся ртутным паром)
4—5—1.
На рис. 12.18, б пароводяная часть цикла представляет собой
цикл Ренкина с перегретым паром. Из рис. 12.18, а и 12.18, б
видно, что они отличаются процессом 6—1 — изобарным пе-
регревом пара.
Важным вопросом при расчете бинарных циклов является
определение массового соотношения в них ртути и воды.
421
Глава 12. Циклы паросиловых установок
Отношение массы ртути к массе воды бинарной установки
называют кратностью
(12.13)
"V
т = ——
товод
В среднем в ртутно-водяных циклах на 1 кг воды приходится
9... 12 кг ртути. Величина т определяется из теплового баланса
конденсатора-испарителя 3. Можно записать (см. рис. 12.18, а):
h.
т = й----г*,
h6
где hY — энтальпия насыщенного водяного пара на выходе из
конденсатора-испарителя; /г4 — энтальпия конденсата водя-
ного пара при входе в конденсатор-испаритель; й7 — энталь-
пия отработавшего ртутного пара при входе в конденсатор;
he — энтальпия конденсата ртутного пара на выходе из кон-
денсатора-испарителя.
Термический КПД бинарного цикла с насыщенным водя-
ным паром
где рт
Z = + U
l( qr ^h(h8-hw),
где = mpT (h& - hl0) — теплота, подводимая в котле к ртут-
ному пару; Z = h&- h7 — работа 1 кг ртутного пара; ZBOfl = ht -
- h2 — работа 1 кг водяного пара.
Величины работ определяются из /is-диаграмм ртутного и
водяного паров. Тогда
_ m(h8 - h7) + (h1 - h2)
m{h8 - hw)
Выражение (12.14) можно преобразовать к виду
— рт "l” ВОД ^1?рт^1(вод’
- h„
т—у-г— — термический КПД ртутного цикла, ат^
/г8 /г10
(12.14)
— термический КПД водяного цикла.
_ ^1 ^2
“ Й1 - Й4
Из последнего выражения видно, что термический КПД би-
нарного цикла с насыщенным водяным паром зависит от тер-
мических КПД ртутного и водяного циклов.
422
12.6. Бинарные циклы
Термический КПД бинарного цикла с перегревом водяного
пара определяется выражением
= Q-r l-n - = i~?~ -• (12.15)
f Зрт + Звод "W1PT + ™91вод
Из рис. 12.18, б следует, что
h6 ~ h4
т = т----т— .
/Zg *^7
Теплота вод затрачена на перегрев 1 кг водяного пара (на-
грев воды до кипения и испарение осуществляются за счет
теплоты, отдаваемой конденсирующимся ртутным паром):
91 вод = Л1-Л6-
Тогда выражение (12.14) перепишется в виде (см.
рис. 12.18, б)
in(hg - hs) + (ftj - h2)
fn(h9 - ftu) + (ftj - h6)'
Для повышения термического КПД бинарного цикла можно
применить регенеративный подогрев питательной воды. Регене-
ративный подогрев ртути не дает эффекта ввиду того, что тепло-
емкость жидкой ртути очень мала, и поэтому не применяется.
Из рис. 12.18 видно, что бинарный цикл по сравнению с па-
роводяным обладает лучшей заполняемостью цикла Карно,
т. е. более высокой степенью термодинамического совершен-
ства. Применение перегретого пара несколько снижает КПД
бинарного цикла. Термический КПД бинарного цикла дости-
гает 0,8—0,85 от величины термического КПД цикла Карно в
том же температурном интервале. При начальной температу-
ре ртутного пара 500 °C и конечной температуре в водяном
конденсаторе 30 °C термический КПД бинарного цикла с реге-
неративным подогревом питательной воды r|z = 0,57.
Основными недостатками бинарного ртутно-водяного цик-
ла являются:
• большая масса ртути, необходимая для осуществления
цикла (около 9—12 кг ртути на 1 кг водяного пара из-за
малого значения теплоты испарения ртути);
• ядовитость ртутного пара;
• большая стоимость ртути.
423
Глава 12. Циклы паросиловых установок
Первая бинарная ртутно-водяная паротурбинная установ-
ка была построена в 1923 г. Ее мощность составляла 1800 кВт.
В настоящее время имеются паросиловые установки мощно-
стью одной турбины до 20 000 кВт. Эксплуатация ртутно-
водяных установок показала их высокую надежность и без-
опасность в работе.
Кроме ртути, в качестве рабочих тел для верхних ступеней
бинарного цикла можно использовать также дифенилоксид
(С6Н5)2О, дифенильную смесь (75% дифенилоксида и 25% ди-
фенила), бромиды сурьмы ShBr3, кремния SiBr4, алюминия
А12Вг3 и другие вещества.
1 2.7. Циклы парогазовых установок
В газотурбинных установках значительная часть полезной
работы затрачивается на привод компрессора для сжатия воз-
духа и насоса для подачи топлива. Она зависит от величины
энтальпии рабочего тела на входе в турбину и уменьшается с
ростом последней. Начальную энтальпию рабочего тела мож-
но повысить двумя способами:
• увеличением температуры рабочего тела на входе в тур-
бину;
• использованием рабочего тела с большой удельной эн-
тальпией.
Повышение энтальпии при первом способе ограничивается
жаропрочностью металла. Так, температура рабочего тела
свыше 970—1070 К невозможна из-за отсутствия термически
прочных и стойких металлов. Второй способ состоит в добав-
лении воды к продуктам сгорания, поскольку она обладает
значительной удельной энтальпией. Газотурбинные установ-
ки, в которых рабочим телом являются газообразные продук-
ты сгорания и водяные пары, называются парогазовыми ус-
тановками, а их циклы — парогазовыми.
Известны парогазовые установки, в которых используется
рабочее тело, представляющее собой смесь газообразных про-
дуктов сгорания и водяных паров, поступающую в турбину,
или два рабочих тела — парогазовая установка с раздельными
424
12.7. Циклы парогазовых установок
потоками продуктов сгора-
ния и водяного пара. В та-
ких установках использует-
ся две турбины — газовая и
паровая.
Парогазовые установки с
раздельными потоками ра-
бочего тела являются ти-
пичными бинарными уста-
новками. В области высоких
температур рабочим телом
являются продукты сгора-
ния, а в области низких температур — водяной пар.
Наиболее эффективной тепловой схемой парогазовой уста-
новки является схема, в которой паровой цикл по отношению
к газовому циклу является полностью утилизационным, т. е.
паровая часть установки работает без дополнительной затра-
ты топлива (рис. 12.19).
Воздух из компрессора 1 поступает в камеру сгорания вы-
соконапорного парогазогенератора (ВП), работающего на
газовом или жидком топливе. В камере сгорания в результате
сгорания топлива образуется рабочее тело (продукты сгорания)
с недопустимо высокой средней температурой 1350—1600 К,
что вынуждает охлаждать продукты сгорания перед поступле-
нием их на турбину. Охлаждающее устройство (высоконапор-
ный парогазогенератор) в этой схеме является парогенерато-
ром паровой части схемы. Образовавшийся в ВП водяной пар
поступает в пароперегреватель 3, а затем в паровую турбину 4.
После турбины водяной пар поступает в конденсатор 6, где
полностью конденсируется. Из конденсатора насосом 7 пита-
тельная вода подается в газоводяной перегреватель 8, а затем
поступает в высоконапорный парогазогенератор. Продукты
сгорания из высоконапорного парогазогенератора, температу-
ра которого снижена до 700—790 °C за счет отдачи теплоты на
парообразование воды, поступают в газовую турбину 9, а из
нее в газоводяной перегреватель 8, предназначенный для подо-
грева питательной воды. Из рис. 12.19 видно, что рабочее
тело — водяной пар и продукты сгорания топлива — движутся
по самостоятельным контурам и взаимодействие между ними
425
Глава 12. Циклы паросиловых установок
происходит лишь через теплооб-
мен, как в аппаратах поверхност-
ного типа (парогенератор и газово-
дяной перегреватель). Парогазовый
цикл установки с двумя турбинами
(рис. 12.20) состоит из двух конту-
ров: 1—2—3—4—5—1 (газовый
цикл) и Г—2'—3'—4'—5'—6'—
7'—1' (пароводяной цикл). Газо-
вый цикл состоит из следующих
процессов: 4—5 — адиабатного сжа-
тия воздуха в компрессоре; 5—1 — подвода теплоты к рабоче-
му телу в камере сгорания при р = const; 1—2 — адиабатного
расширения рабочего тела в турбине; 2—3 — изобарного отво-
да теплоты в газоводяном перегревателе 5; 3—4 — изобарного
отвода теплоты в окружающую среду.
Паровой цикл состоит из следующих процессов: 1'—2' —
адиабатного расширения пара в турбине; 2'—3' — конденса-
ции пара в конденсаторе (отдача теплоты); 3'—4’ — адиабат-
ного сжатия воды в насосе; 4'—5'—6' — подвода теплоты к во-
де в газоводяном перегревателе и высокотемпературном паро-
газогенераторе; 6'—7' — парообразования в высоконапорном
парогазогенераторе; 7'—Г — перегрева пара в пароперегрева-
теле. Как и в ртутно-паровом бинарном цикле, здесь циклы
1—2—3—4—5—1 и 1'—2'—3'—4'—5'—6'—7’—1' построе-
ны для различных рабочих тел. Цикл строится для 1 кг водяно-
го пара и соответствующего количества газа, приходящегося на
1 кг воды. В цикле газотурбинной установки подводится тепло-
та, численно равная пл. 1бд5, а в цикле паротурбинной уста-
новки подводится теплота, численно равная пл. вЗ'4'5'6'7'Ге.
Полезная работа всей установки определяется суммой полез-
ной работы газового цикла /ц = пл. 123451 и работы парового
цикла Г = пл. 3'4'5'6'7' 1'2'3'. Теплота отработавших в турби-
не газов, численно равная пл. 2бд4, при раздельном осуществ-
лении обоих циклов выбрасывается в атмосферу. В парогазовом
цикле теплота, выделяющаяся при охлаждении газов по линии
2—3 и определяемая пл. 2баЗ, не выбрасывается в атмосферу,
а используется для подогрева питательной воды по линии 4'—5'
в газоводяном перегревателе 8. Количество теплоты, затрачи-
426
12.8. Циклы ядерных энергетических установок
ваемое на образование пара в ВП, уменьшается на величину
пл. 5'гв4'5', а эффективность комбинированного цикла увели-
чивается.
Для нагревания 1 кг воды необходимо затратить теплоту
т кг газа. Количество газа т определяется из уравнения теп-
лового баланса газоводяного перегревателя:
m(h2 - hs) = А5, - h4.. (12.16)
Работа пароводяного цикла:
= - л'). (12.17)
Работа газового цикла:
Ьц = m[(Ax - h2) - (h5 - h4)]. (12.18)
Теоретическое количество теплоты, подведенное к рабочим
телам,
Qi = m(h4 - А5) + (hv - А50. (12.19)
Подставляя выражения (12.17)—(12.19) в формулу КПД, по-
лучаем
_ 1 • гц + L4 _ (hl - Л2> + m(hl ~ М - (^5 ~ h4)
m(h4 — h5) + (hv-h5,)
Применение парогазовых установок улучшает тепловую
схему электростанции; обеспечивает большую экономию топ-
лива по сравнению с чисто паровыми и газотурбинными уста-
новками (парогазовая установка может дать экономию топли-
ва до 15% по сравнению с паротурбинной той же мощности)
и повышает КПД.
12.8. Циклы ядерных энергетических установок
В настоящее время созданы и работают наземные и судовые
атомные электростанции, которые используют энергию, выде-
ляющуюся в результате деления ядер тяжелых элементов, ча-
ще всего смеси изотопов урана 235 и 238, либо их окислов,
а также плутоний. В качестве теплоносителей используются
вода, газы (гелий, азот, углекислый газ), жидкие металлы
(калий и натрий), органические жидкости (углеводороды, ди-
фенил, дифенильный эфир, трифенил, изопропил).
427
Г лава 12. Циклы паросиловых установок
При обеспечении соответствующего уровня надежности и
безопасности работы, а также приемлемых весовых характе-
ристик ядерная энергетическая установка (ЯЭУ) является
перспективным источником энергии на борту космического ап-
парата. Ядерная энергетическая установка включает в себя сле-
дующие основные агрегаты: ядерный реактор, парогенера-
тор-теплообменник, паровую турбину, конденсатор, насосы,
радиационную защиту. Кроме этого, необходимы система уп-
равления реактором, электрогенератор, циркуляционные кон-
туры, вспомогательные агрегаты.
Ядерные энергетические установки могут быть одно-, двух-
и трехконтурными. В одноконтурных ЯЭУ рабочее тело из ос-
новной зоны реактора направляется в турбину. В таких уста-
новках ТРТ становится очень радиоактивным. В двух- и трех-
контурных установках уровень радиоактивности рабочего те-
ла значительно снижается.
Рассмотрим более подробно принципиальную схему одно-
контурной ядерной энергетической установки, пред-
ставленную на рис. 12.21.
В ядерном реакторе 1 в результате
Биологическая деления ядер атомного горючего вы-
/ защита
Рис. 12.21
деляется теплота в активной зоне ре-
актора, которая нагревает рабочее те-
ло и превращает его в пар.
Из реактора пар поступает в паро-
вую турбину 2, где, расширяясь, про-
изводит работу. Отработанный пар
после турбины поступает в конден-
сатор 3. Конденсат с помощью насо-
са 4 снова подается в реактор. В ка-
4 3
честве рабочего тела для одноконтурных атомных установок
обычно используются газовые и органические теплоносители,
а также вода. Основным недостатком органических теплоноси-
телей является высокая температура конденсации. Так, напри-
мер, у дифенилоксида при давлении 0,015 МПа температура
конденсации Т2 = 470 К. Поэтому их используют в одноконтур-
ной схеме только с турбинами высокого давления, в которых
отработавший пар применяется для теплофиксации.
Цикл одноконтурной атомной энергетической установки с
паром представлен на рис. 12.22. Цикл состоит из следующих
428
12.8. Циклы ядерных энергетических установок
Рис. 12.22
Рис. 12.23
процессов: 4—1 — подогрева рабочего тела; 1 —2 — парообра-
зования в ядерном реакторе; 2—3 — адиабатного расширения
рабочего тела в турбине; 3—4 — отвода теплоты в конденсато-
ре при постоянном давлении.
При определенных упрощениях цикл атомной энергетиче-
ской установки можно свести к циклу Ренкина. Поэтому тер-
мический цикл атомной энергетической установки можно оп-
ределить по формулам (12.5) и (12.7).
В двухконтурной ядерной энергетической установке
(рис. 12.23) используются два теплоносителя. В первом контуре
циркулирует промежуточный теплоноситель, а во втором — вода
и водяной пар. Нагретый в ядерном реакторе 1 промежуточный
теплоноситель поступает в парогенератор-теплообменник 2, где
отдает теплоту рабочему телу второго контура. Затем с помощью
насоса 3 теплоноситель подается в реактор. Водяной пар из па-
рогенератора-теплообменника 2 поступает в паровую турбину 4,
откуда влажный пар поступает в конденсатор 5, где полностью
конденсируется и насосом 6 подается в парогенератор-теплооб-
менник. В двухконтурных атомных энергетических установках
обычно второй контур установки отделен от первого специальной
биологической защитой. В качестве теплоносителя в первичном
контуре используются вода, органические вещества и газы.
При использовании жидких металлических теплоносите-
лей (калий, натрий) появляется возможность увеличить на-
чальную температуру поступающего в турбину рабочего тела,
т. е. повысить термический КПД цикла и установки в целом.
429
Глава 12. Циклы паросиловых установок
Однако при контакте с тепловыделяющими элементами реак-
тора они становятся радиоактивными, а при контакте с водой
и кислородом становятся взрывоопасными. Во избежание это-
го при применении жидких металлических теплоносителей
используется трехконтурная тепловая схема.
В первом контуре циркулирует металлический теплоноси-
тель (натрий или калий), во втором — натрий или натри-
ево-калиевый сплав, в третьем — вода и водяной пар. Второй и
третий контуры установки не радиоактивны и в них нет необ-
ходимости применения биологической защиты.
Термический КПД атомных энергетических установок, как
и парового цикла Карно, зависит от начальных и конечных
параметров пара. Начальные параметры лимитируются до-
пускаемой температурой покрытия тепловыделяющих эле-
ментов реактора, которая составляет 400—600 °C, а также
критической температурой ядерного топлива, при которой на-
ступают фазовые превращения. На величину термического
КПД наибольшее влияние оказывает термический КПД паро-
силового цикла. Действительный КПД современных атомных
станций составляет 17—36%.
ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЕ
1. Определить термический КПД следующего парового цик-
ла (рис. 12.24), если заданы степени сухости в точках 1 и
6 (хх = 0,95; х6 = 0,9) и давление в точке 1 pr = 1 бар.
Решение.
/ Поскольку в области влажного насыщенного пара изо-
бары и изотермы совпадают, то процессы 1 —2—3 и 4—5—6
будут являться изотермическими,
а цикл, состоящий из двух изо-
терм и двух адиабат, является цик-
лом Карно, эффективность кото-
рого
т| = 1 — Т /Т
'tK min/ max*
/ Применительно к заданно-
му циклу Tmin будет в точках 4,
5 или 6, а Ттах — в точках 1, 2
или 3.
Рис. 12.24
430
Задачи и их решение
/ Температуры в указанных точках определяются по /is-ди-
аграмме водяного пара по следующему алгоритму: tr находит-
ся как точка пересечения изобары рх = 1 бар со степенью су-
хости х = 1 и будет равна 100 °C; температура в точке 6 будет
определяться как линия пересечения изобары, начинающейся
в точке 1, полученной на пересечениирх и хг = 0,95 с линией
сухости х = 0,9; i6 будет равна 70 °C. Следовательно,
t6 + 273,15 343,15 _nnQn.
1 + 273,15 1 373,15 °’0804,
2. Совершается цикл паровой установки полного расшире-
в>,и ния — цикл Ренкина, в котором пар адиабатно расширя-
ется от рх = 20 бар и = 500 °C до р2 = 1 бар. Определить,
пользуясь /is-диаграммой, термический КПД, работу и ко-
нечные параметры расширения, если температура воды
перед подачей ее в котел 7ВОД = 60 °C.
Решение.
/ В данном случае КПД определяем по формуле (12.8):
= h-i ~ h2
^-4,1868tBO/
/ Работа цикла будет равна разности энтальпий:
гц = - h2.
/ По /is-диаграмме определяем hr в точке пересечения рг и
hY = 3468 кДж/кг.
/ В дальнейшем из этой точки опускаем перпендикуляр до
пересечения с изобарой р2 = 1 бар и по диаграмме определяем
v2 = 1,8 м3/кг; t2 = 115 °C; h2 = 2708 кДж/кг,
hi - h2 _ 3468 - 2708 _ 760 „
hv - 4,1868- tBoa 3468 - 4,1868-60 3216,8
/ц = hr - h2 = 3468 - 2708 = 760 кДж/кг.
3, Насколько улучшится теоретическое использование теп-
в>,и лоты в цикле Ренкина для сухого насыщенного пара, ра-
ботающего в пределахрх = 10 бар,/>2 = 0,3 бар, если:
431
Глава 12. Циклы паросиловых установок
а) понизить давление в конденсаторе до р2 =0,1 бар;
б) повысить давление в котле до р" = 15 бар?
Ответ дать в процентах. Температуру воды принять рав-
ной £вод = 50 °C.
Решение.
/ Во всех случаях КПД будем определять по общей форму-
ле (12.8).
/ Для начального цикла определяем КПД с использованием
hs-д иаграммы:
n = = 2776 - 2216 =
hr - 4,1868 • 7ВОД 2776 - 4,1868-50 и’ 1
/ При понижении давления точка 1 остается на месте,
а точка 2' будет ниже и определится как пересечение перпен-
дикуляра, проведенного из точки 1, с изобарой р2 =0,1 бар.
В данном случае
, = ~ = 2776 - 2088 =
114 7гх - 4,1868 • 7ВОД 2776 - 4,1868-50
/ При повышении давления в котле до р" = 15 бар и при за-
данном условии, что пар сухой насыщенный (х = 1), линия
адиабатного расширения сместится влево, и точка конечного
расширения будет лежать ниже, чем в исходном цикле:
= ~ = 2788 - 1994 =
7^' - 4,1868 • 7ВОД 2788 - 4,1868-50 ’
/ Следовательно, понижение давления в конденсаторе дает
прирост КПД на 5% , а повышение давления в котле, приводя-
щее в данном случае к повышению начальной энтальпии и по-
нижению энтальпии в конце расширения, дает прирост КПД
на 9%.
Глава 13
Безмашинное
преобразование энергии
13.1. Классификация и эффективность
процессов преобразования
В полезную внешнюю работу может быть преобразована не
только теплота, но и другие виды энергии, например электро-
магнитная (лучистая), внутренняя энергия химически реаги-
рующих веществ и т. д. При этом полезная внешняя работа
может получаться в виде энергии электрического тока.
Устройства, которые превращают энергию различных ви-
дов, но не тепловую, непосредственно в электричество, назы-
ваются установками прямого преобразования энергии.
К этим устройствам относятся:
• электрохимический генератор (топливный элемент);
• термоэлектрический генератор;
• фотоэлектрический преобразователь (солнечная батарея);
• термоэлектронный генератор (термоэмиссионный преоб-
разователь);
• магнитогидродинамический (МГД) генератор (условно).
Процесс преобразования энергии в перечисленных выше уст-
ройствах не обязательно должен быть циклическим, как это име-
ет место в любых проточных двигателях (ЖРД, ВРД). Непрерыв-
ность действия преобразователей обеспечивается своевременным
пополнением запасов рабочих веществ или потоками энергии.
Незамкнутость процесса прямого преобразования энергии
уменьшает ограничения, налагаемые вторым законом термо-
динамики на КПД теплового двигателя, из-за необходимости
передачи части теплоты Q2 от ТРТ к теплоприемнику, напри-
мер к окружающей среде.
28 - 5580
433
Г лава 13. Безмашинное преобразование энергии
Несмотря на различие тепловых двигателей (в которых
теплота, выделившаяся при сгорании топлива, частично пре-
вращается в полезную внешнюю работу, а частично передает-
ся телам-теплоприемникам в качестве компенсации) и пря-
мых преобразователей энергии, выражения для их КПД могут
быть представлены в одинаковом виде, если под КПД пони-
мать отношение полученного полезного эффекта (как прави-
ло, внешней полезной работы) к первичным затратам тепло-
вой или других видов энергии.
Для удобства дальнейших преобразований введем понятие
потока энергии JE — величины, соответствующей энергии в
единицу времени.
Если число циклов теплового двигателя в единицу времени со-
ставляет N, то поток энергии в виде теплоты, подведенной от ис-
точника теплоты к ТРТ за единицу времени, будет JE = NQX,
а поток энергии, отводимой в единицу времени в виде теплоты
от ТРТ к теплоприемнику (окружающей среде) — Jq = NQ2.
С учетом знаков теплот КПД теплового двигателя запишет-
ся в виде
Qi Q2 Q2 Jq
ТЬ = --71- = 1 - = 1 “ = 1 - ~7~
Qi Qi NQy Je
(13.1)
В случае прямого преобразования энергии КПД имеет вид
П = JL/JE, (13.2)
где JL — полезная внешняя работа за единицу времени, т. е.
мощность; JE — поток энергии, поступаемый в преобразова-
тель.
Согласно первому закону термодинамики полезная внеш-
няя работа преобразователя равна разности между вводимой в
преобразователь энергии JE и теплотой, которую преобразова-
тель отдает внешней среде JQ, т. е.
J =j F-Jo. (13.3)
Li JL (с^ ' '
Подставив это выражение в (13.2), получим для рассматри-
ваемого случая
p = l-JQ/J£, (13.4)
что совпадает с выражением (13.1) для теплового двигателя.
434
13.2. Топливные элементы
Общее выражение для КПД теплового двигателя и прямого
преобразователя энергии в случае протекания в них обрати-
мых процессов может быть получено с использованием поня-
тия потока энтропии — ее изменения в элементе в единицу
времени т:
Если отвод теплоты от двигателя или преобразователя про-
изводится к окружающей среде с температурой То, тогда
JQ = NT0(S1 - S2) = TOJS, (13.5)
где N — число циклов в двигателе за единицу времени; JQ =
= NQ2.
В рассматриваемом случае выражение КПД для обратимых
процессов в двигателе и прямом преобразователе энергии бу-
дет иметь вид
У nJ а
ц = (13.6)
Е
В случае протекания в двигателе или преобразователе необ-
ратимых процессов отводимая к окружающей среде теплота
Q2 возрастает на величину То ASHeo6p, т. е.
необр = ^2 + -^0 А^необр* (13.7)
Подставляя это выражение в общую запись КПД, получим
выражение для эффективного КПД:
= 1 _ ^2необр = ^0^*^ необр zi о о\
Пэф 1 JE П JE (13.8)
или
To J S -^О^^нробв
цэф = 1 - -p - 0 необр. (13.9)
4 U Е U Е
13.2. Топливные элементы
Топливный элемент представляет собой электрохимическое
устройство, в котором химическая энергия топлива превраща-
ется непосредственно в электрическую энергию. В качестве
28*
435
Глава 13. Безмашинное преобразование энергии
топлива здесь используются жидкие и газообразные активные
вещества, например кислород и водород. За счет подвода энер-
гии извне эти вещества в топливных элементах окисляются и
дают электрический ток, т. е. протекает процесс, обратный
электролизу воды. В схеме с жидким электролитом (рис. 13.1),
например с раствором КОН, происходят следующие реакции:
на водородном электроде 4:
Н2 + 2ОН = 2Н2О + 2е~,
на кислородном электроде 3:
| О2 + Н2О + 2е~ = 2ОН .
Суммарная реакция имеет вид
2Н2 + О2 = 2Н2О.
Как видно, в результате этих реакций электрод 4, пропус-
кающий восстановитель 1 — газообразный водород, заряжается
отрицательно, а электрод 3, контактирующий с окислителем 2
(газообразным кислородом), заряжается положительно. При
замыкании внешней цепи 6 образовавшаяся разность потен-
циалов обеспечивает появление электрического тока, а пере-
мещение ионов в жидком электролите 5 замыкает цепь элект-
рического тока.
В настоящее время более распространен топливный эле-
мент с твердым электролитом, представленный на рис. 13.2.
Наличие ионообменной мембраны 7, разделяющей электроды 4
Рис. 13.1
4 7 3
Рис. 13.2
436
13.2. Топливные элементы
и 3, которая пропускает только ионы водорода Н+, приводит
к протеканию следующих реакций:
на водородном электроде 4:
Н, = 2Н+ + 2е~
и на кислородном электроде 3:
2Н+ + 2е~ + | О2 = Н2О.
Суммарная реакция имеет вид
Н2 + i О2 = Н2О,
т. е. практически ничем не отличается от суммарной реакции
в топливном элементе с жидким электролитом. При этом в хо-
де химической реакции получается электрическая энергия и
тепловая энергия, но затрачивается механическая энергия,
связанная с вводом в элемент рабочих тел Н2 и О2. Расчет теп-
ловой энергии реализуется методами химической термодина-
мики, излагаемой в гл. 15, ч. 2.
Эффективность топливного элемента будет оцениваться вы-
ражением (13.2), где поток подведенной к элементу энергии
JE будет определяться убылью энтальпий химических реаген-
тов, отнесенной к единице времени
JE = - (Н, - К2).
Л v 1 А'
(13.10)
Поток полезной внешней работы JL будет определяться про-
изведением силы тока I на разность потенциалов ЛЕ1:
= (13.11)
Анализируя работу топливного элемента, можно сделать вы-
вод, что по механизму преобразования энергии он подобен галь-
ваническому элементу. Разница состоит в двух аспектах: во-пер-
вых, в гальваническом элементе запас активных материалов
расходуется по мере работы без восполнения, а в топливном эле-
менте расходуемые активные материалы непрерывно восполня-
ются в результате подвода извне. Во-вторых, отличие состоит в
природе активных материалов — в гальванических элементах
применяются только твердые вещества, а в топливных элемен-
тах используются жидкие и газообразные активные вещества.
437
Г лава 13. Безмашинное преобразование энергии
13.3. Термоэлектрические генераторы
Действие термоэлектрических генераторов основано на фи-
зическом эффекте Зеебека, состоящем в том, что в разомкнутой
электрической цепи, составленной из двух разнородных про-
водников, возникает электродвижущая сила (ЭДС), если спаи
проводников помещены в среды с разными температурами.
Схема данного явления отображена на рис. 13.3. При этом
явлении разность потенциалов Д.Е оказалась пропорциональ-
ной разности температур спаев термоэлектрической цепи
/\Е = а/\Т, (13.12)
где а — коэффициент пропорциональности Зеебека. Он имеет
наибольшее значение при использовании в качестве соединяе-
мых элементов р—п-полупроводников и зависит от темпера-
туры, но не очень сильно.
Если замкнуть концы термоэлектрического элемента через
внешнюю нагрузку (рис. 13.4), то в замкнутой цепи начинает
течь ток I и начинает сказываться эффект Пельтье, заклю-
чающийся в том, что если через цепь, составленную из двух
разнородных проводников, пропускать ток от внешнего источ-
ника, то один из спаев цепи будет поглощать, а другой — вы-
делять теплоту Q. При этом количество теплоты пропорци-
онально силе тока I:
Q = П1, (13.13)
где П — коэффициент пропорциональности Пельтье.
Установлено, что коэффициент Пельтье связан с коэффи-
циентом Зеебека следующим соотношением:
П = аТ.
Т2'
_ _ _ J
Рис. 13.3
Рис. 13.4
438
13.3. Термоэлектрические генераторы
С учетом этого соотношения выражение (13.13) может быть
записано в виде
Q = aTI. (13.14)
Таким образом, как только в соответствии с эффектом Зее-
бека в замкнутой термоэлектрической цепи начинает цирку-
лировать ток, так тотчас же вступает в действие закон
Пельтье, в соответствии с которым горячий спай начинает по-
глощать теплоту QP из окружающей среды, а холодный —
выделять QP в окружающую среду.
Приступим к анализу процессов, происходящих в термо-
электрогенераторе. Как и всякая тепловая машина, термо-
электрогенератор может превращать теплоту в работу, если
имеются источники теплоты с разными температурами. В рас-
сматриваемом случае такие источники есть:
• горячий спай или горячий источник (Т^;
• холодный спай или холодный источник (Т2). *
При этом в соответствии с уравнением (13.14) горячий спай
поглощает из горячего источника теплоту
Q^ = aT1I, (13.15)
а холодный спай выделяет и передает холодному источнику
теплоту
QK = aT2I. (13.16)
Известно, что если в цепи, в которой имеется разность по-
тенциалов, циркулирует электрический ток, то работа L, со-
вершаемая этим током, равна произведению силы тока на раз-
ность потенциалов, т. е.
L = а(Т1-Т2)1. (13.17)
Работа электрического тока будет расходоваться на преодо-
ление внутреннего сопротивления (джоулевы потери внутри
термоэлектрогенератора £?Дж) и на преодоление внешнего со-
противления 7?эл (совершение полезной внешней работы £ц).
Следовательно, можно записать
a(T1-T2)/ = QfljK + L4, (13.18)
откуда величина, отдаваемая внешнему потребителю, будет
определяться выражением
L4 = a(T1-T2)l--QflHC. (13.19)
439
Глава 13. Безмашинное преобразование энергии
Теплота <?Дж, выделяющаяся в электродах термоэлектроге-
рератора, условно может быть поделена на две части — поло-
вина поступает горячему спаю, а вторая половина — холодно-
му спаю. Так как > Т2, то некоторое количество теплоты Q-
будет переходить от горячего к холодному спаю за счет тепло-
проводности по термоэлектродам.
Итак, в процессе работы термоэлектрогенератора от горяче-
го источника отбирается теплота Пельтье Qp и теплота Q-, от-
водимая вследствие теплопроводности, но возвращается поло-
вина джоулевых потерь, следовательно:
Qi = Q? + Qx - «дж- (13.20)
А к холодному спаю теплоты подводится
.Q2 = Q2n+Qx+ |3д«- (13-21)
По первому закону термодинамики для циклов имеем
= Qi _ Qa>
следовательно:
(13-22)
Подставляя в данное выражение Qp и Qp, по уравнениям
(13.15) и (13.16) получаем формулу (13.19).
Очевидно, что работа Z , отданная внешнему потребителю,
может быть записана также в виде
Ьц = /21?эл, (13.23)
где 7?эл — электрическое сопротивление внешнего потребите-
ля электроэнергии.
В соответствии с общим определением термического КПД
П* = Ьц/Qi
и с учетом (13.23) и (13.20) эффективность термоэлектрогене-
ратора будет определяться следующим соотношением:
I2R
т] =--------л1—. (13.24)
+ Q,_ - 2®ДЖ
440
13.4. Солнечные батареи
Если бы в термоэлектрогенераторе от-
сутствовали необратимые потери (джо-
улевы и за счет теплопроводности), то £ц
по формуле (13.19) была бы представле-
на в виде
£ц = а(Т\ - Т2)1,
а
Qi = Q? = оЛ\1
и значение термического КПД полно-
стью совпало бы с формулой КПД цикла
Карно (11.11). Следовательно, для уве-
личения эффективности термоэлектро-
Рис. 13.5
генератора необходимо снизить необратимые потери QflJK и Q-,
что достигается выбором соответствующих электрогенерирую-
щих материалов.
В реальном исполнении цепь разрывают не в середине тер-
моэлектрогенератора, а в холодном спае, что значительно бо-
лее удобно в конструктивном отношении (рис. 13.5). Соедине-
ния термоэлектродов в горячем и холодном спаях обычно вы-
полняются с помощью электро- и теплопроводных пластин.
В термоэлектрогенераторах отдельные термоэлементы могут
соединяться в единую цепь как последовательно, так и парал-
лельно — в зависимости от характера потребителя энергии.
Несмотря на сравнительно невысокий КПД ~ 12—18% , тер-
моэлектрогенераторы представляются весьма удобными благода-
ря простоте устройства, отсутствию движущихся частей и ком-
пактности.
13.4. Солнечные батареи
Принцип действия солнечной батареи основан на использо-
вании полупроводниковых кристаллов, обладающих свой-
ствами р—тг-перехода (вентильный слой). При освещении
кристалла полупроводника />-типа происходит возбуждение
электронов валентной зоны, которые диффундируют в
глубь кристалла, где находится полупроводник тг-типа. Обра-
зовавшиеся «дырки» в полупроводнике/>-типа диффундируют
в противоположном направлении. Если толщина полупровод-
441
Глава 13. Безмашинное преобразование энергии
Падающий солнечный свет
Кремний р-типа
Рис. 13.6
никовых кристаллов р- и птица до-
статочно малая — меньше длины
диффузии электронов, то во внешней
цепи возникает электрический ток,
который тем больше, чем больше
площадь освещаемой поверхности.
В качестве материалов для солнеч-
ных батарей используется крем-
ний, легированный бором и фос-
фором, арсенид галлия и т. д. Схе-
ма солнечной батареи приведена
на рис. 13.6.
Максимальный КПД солнечной
батареи при обратимом протекании процесса будет определяться
выражением (13.6)
Л = 1 “
Если принять для соблюдения условия обратимости процес-
са, что температура солнечной батареи практически равна тем-
пературе окружающей среды То, и считать плотность потока
лучистой энергии равной JE = <5Т4, где о = 5,7 • 10 я Вт/(м2 • К4)
при плотности потока энтропии Js = (4/3)оТ3, получим
Тп(4/3)оТ3
Л = 1 - ---- = 1 - 4Т0/(ЗТ). (13.25)
Температура равновесного солнечного излучения Т ~
~ 6000 К. Из формулы (13.25) следует высокое значение тер-
мического КПД — до 94%, однако в реальных условиях из-за
необратимости процессов передачи лучистой энергии КПД
солнечных батарей значительно меньше.
13.5. Термоэлектронный генератор
Действие термоэлектронного генератора (термоэмиссион-
ного преобразователя) основано на способности металлов в на-
гретом состоянии испускать электроны со своей поверхности.
Для эмиссии электронов необходима затрата работы так назы-
ваемой работы выхода.
Термоэлектронный преобразователь простейшей формы со-
стоит из двух металлических поверхностей, разделенных ва-
442
13.5. Термоэлектронный генератор
куумным зазором (рис. 13.7). На поверхности катода / под-
держивается температура Т\, поверхность анода 2 имеет тем-
пературу Т2, причем Тг > Т2.
Обозначим работу выхода для катода фр а для анода ф2.
Вследствие разности температур от катода к аноду будет ухо-
дить больше электронов, чем в обратном направлении. Процесс
на катоде можно условно рассматривать как испарение, а на
аноде — как конденсацию электронов. Если замкнуть пласти-
ны на внешнее сопротивление, то в цепи возникает электриче-
ский ток, плотность которого при эмиссии определяется форму-
лой Ричардсона
у = ВТ2 ехр (13.26)
^4
где ф — работа выхода электронов; В = 120 —5—- — постоян-
см2 • К
ный множитель; к — постоянная Больцмана.
Работа выхода для различных материалов меняется в пре-
делах от 1 до 5 эВ и зависит от состояния поверхности элект-
родов. В том случае, если электроны, испускаемые катодом,
накапливаются на аноде, работа выхода ф уже не будет обеспе-
чивать попадание электронов с катода на анод, так как потре-
буется преодолеть дополнительную разность потенциалов Va,
появившуюся между пластинами. Из схемы распределения
потенциалов между пластинами (рис. 13.8) следует, что по-
тенциальный барьер для электронов катода равен ф2 + Va. По-
этому плотность тока между катодом и анодом будет опреде-
ляться выражением
Д = ВТ2ехр(-^^ ). (13.27)
Рис. 13.7 Рис. 13.8
443
Глава 13. Безмашинное преобразование энергии
Одновременно с током эмиссии от катода к аноду протекает
противоположный ток, плотность которого определяется вы-
ражением
ja = BTiexp(-^J. (13.28)
В соответствии с законом электрической цепи постоянного
тока (законом Кирхгофа) сила результирующего тока j равна
разности сил противоположно направленных токов, т. е.
i-h-ia- (13.29)
Если — площадь поверхности анода и катода, то сила то-
ка I в цепи термоэлектронного преобразователя
i-ih,
а полезная внешняя работа, равная электроэнергии, потреб-
ляемой внешним сопротивлением, будет определяться выра-
жением
Ч = /2яЭл = ^а- (13.30)
Термический КПД термоэлектронного преобразователя
подсчитывается обычным способом
Л* = LJQ1,
где — количество теплоты, подведенное от горячего источ-
ника к катоду.
Величина Q1 складывается из следующих составляющих:
теплоты, затрачиваемой на обеспечение эмиссии электронов с
поверхности катода, и теплоты, передаваемой излучением от
катода к аноду.
Рассмотренный термоэлектронный генератор, выполненный
по принципу преобразования теплоты в энергию электрического
поля, не отличается от теплового двигателя. Поэтому термиче-
ский КПД рассмотренного преобразователя всегда меньше, чем
КПД цикла Карно. Даже при температурах катода порядка
1100—1200 °C КПД термоэмиссионных преобразователей со-
ставляет 6—18% . Однако простота их конструкции, компакт-
ность и малая масса делают их перспективными для приме-
нения.
444
13.6. Энергетические установки с МГД-генераторами
13.6. Энергетические установки
с МГД-генераторами
Основным элементом данных установок является магнито-
гидродинамический генератор, принципиальная схема кото-
рого показана на рис. 13.9. Газ, служащий рабочим телом,
совместно с небольшим количеством легко ионизирующейся
добавки (например, калия или натрия) нагретый до очень вы-
сокой температуры, частично ионизируется, т. е. переходит в
плазменное состояние. Затем этот газ расширяется в сопле 1,
где приобретает весьма высокую скорость (порядка 1000 м/с)
и поступает в канал 2 МГД-генератора, который находится во
внешнем магнитном поле, силовые линии В которого перпен-
дикулярны оси канала.
При пересечении проводником (которым является ионизи-
рованный поток газа) магнитных силовых линий в этом про-
воднике возникает ЭДС и электрический ток. Ток течет в на-
правлении, перпендикулярном плоскости, проходящей через
векторы скорости газа и индукции магнитного поля. Таким
образом, в рабочем объеме МГД-генератора вырабатывается
электроэнергия, отводимая с электродов 3, подключаемых к
потребителю электроэнергии.
Иначе говоря, в МГД-генераторе в электроэнергию преобра-
зуется энергия потока плазмы, движущейся в канале генера-
тора. Теплота в нем преобразуется в энергию электрического
тока, минуя промежуточную стадию превращения теплоты в
механическую работу. Вместе с тем, как уже отмечалось в
разд. 13.1, отнесение МГД-генераторов к устройствам прямого
преобразования теплоты в электроэнергию является в извест-
ной степени условным, поскольку в этих генераторах теплота,
выделяющаяся при сгорании топлива, расходуется на нагрев
рабочего тела, рабочее тело расширяется в сопле, приобретая
значительную кинетическую энергию,
и только затем эта кинетическая энер-
гия преобразуется в канале МГД-гене-
ратора в электроэнергию, в то время
как в других установках, рассмотрен-
ных в разд. 13.2—13.5, промежуточ-
ные стадии нагрева и ускорения отсут-
ствуют. В этой связи МГД-генератор
1 3 2
Рис. 13.9
445
Глава 13. Безмашинное преобразование энергии
правильнее называть устройством безмашинного преобразо-
вания теплоты в электроэнергию, подчеркивая этим то об-
стоятельство, что, в отличие от обычных турбогенераторов, в
МГД-каналах отсутствуют движущиеся элементы. Последнее
позволяет работать при более высокой начальной температуре,
которая, как правило, составляет 2500—3000 °C, тогда как в
паровых турбинах она не превышает 650 °C, а в газовых —
700—800 °C.
Теплосиловые энергетические установки с МГД-генерато-
ром работают по открытому или закрытому циклу.
Схема энергетической установки с МГД-генератором, рабо-
тающей по открытому циклу, приведена на рис. 13.10.
Воздух из компрессора 1 при давлении р} поступает в воз-
духоподогреватель 4, где нагревается при р2 = const до темпе-
ратуры 1500—2000 °C продуктами сгорания, выходящими из
МГД-генератора. Из воздухоподогревателя воздух подается в
камеру сгорания 2, в которую одновременно поступает жид-
кое топливо. Образовавшиеся в камере продукты сгорания при
температуре 2550—3050 °C поступают в МГД-генератор 3. Пе-
ред МГД-генератором в поток продуктов сгорания вводятся
ионизирующие добавки. В рабочем канале МГД-генератора
ионизирующие продукты сгорания адиабатно расширяются
до давления pv Температура продуктов сгорания на выходе из
МГД-генератора достигает 2300—2400 °C. Из МГД-генератора
продукты сгорания поступают в регенеративный теплообменник-
воздухоподогреватель 4, где охлаждаются, подогревая воз-
дух, подаваемый в камеру сгорания. Из воздухоподогревателя
продукты сгорания поступают в парогенератор 5, где при р =
= const отдают теплоту воде, циркулирующей в паровом кон-
туре. Пар, полученный в парогенераторе, поступает в паровую
турбину 6, где, расширяясь, производит работу. Из турбины
влажный пар поступает в конденсатор 7, где полностью кон-
денсируется. Затем насосом 8 вода подается снова в парогене-
ратор 5. Нетрудно видеть, что установка бинарная, в которой
в качестве верхнего цикла используется МГД-цикл с частич-
ным использованием теплоты на регенерацию.
На рис. 13.11 в Ts-диаграмме приведен цикл МГД-уста-
новки, работающей по открытой схеме. Замкнутый контур
1—2—3—4—5—6—7—1 представляет собой магнитогидро-
446
13.6. Энергетические установки с МГД-генераторами
Рис. 13.10
динамическую, а 8—9—10—11 —12—8 — пароводяную сту-
пени цикла.
При этом МГД-ступень цикла состоит из следующих про-
цессов: 1—2 — адиабатного сжатия воздуха в компрессоре от
давления рг до давления р2; 2—3 — подвода теплоты к возду-
ху в воздухонагревателе 4 при давлении р2 = const; 3—4 —
подвода теплоты в камере сгорания прир = const; 4—5 — ади-
абатного расширения продуктов сгорания в МГД-генераторе с
производством работы (электроэнергии); 5—6—7—1 — отво-
да теплоты в цикле при pr = const, где 5—6 — отдача теплоты
в воздухонагревателе воздуху, поступающему в камеру сгора-
ния из компрессора; 6— 7 — отдачи теплоты воде в паро-
генераторе 5; 7—1 — отдачи теплоты при рг = const в окру-
жающую среду.
Пароводяная ступень цикла включает следующие процес-
сы: 8—9 — нагрев воды в регенеративном теплообменнике до
температуры кипения; 9—10 и 10—11 — парообразование и
перегрев образовавшегося пара в парогенераторе; 11 —12 —
адиабатное расширение пара в турбине; 12—8— конденса-
ция пара с отводом теплоты в конденсаторе при р = const.
Пароводяной цикл построен для 1 кг воды, а МГД-цикл —
для т кг рабочего тела. Кратность т определяется из уравне-
ния теплового баланса парогенератора 5 (см. рис. 13.10)
m(h6 - h7) = - h8,
447
Глава 13. Безмашинное преобразование энергии
откуда
~ ^11 ^8
m = — .
Л-g Л y
С учетом тепловых потерь в парогенераторе
~ Лц - hs 1
m = -т----т--,
fie - Т|п
где Т|п — КПД паронагревателя, учитывающего тепловые по-
тери в теплообменнике.
Термический КПД МГД-установки определяется по форму-
ле, аналогичной уравнению для T|t бинарного цикла,
= тгмгд + 1вод
где /мгд и /вод — удельная работа магнитогидродинамического
и пароводяного циклов; qv — теплота, подводимая к 1 кг рабо-
чего тела МГД-цикла.
Применительно к рассматриваемой схеме выражение (13.31)
записывается следующим образом:
/П(Л4 - h5 - h2 + + (Лп - Л12)
nt =
(13.31)
(13.32)
/й(Л4 - Л3)
Необходимо иметь в виду, что рабочее тело в МГД-генерато-
рах нельзя считать идеальным газом с постоянной теплоемко-
стью, так как при рабочих температурах в камере сгорания
наблюдается интенсивная диссоциация продуктов сгорания.
Расчеты по формуле (13.32) показывают, что термический
КПД МГД-установок порядка 70%, что на 10—15% выше,
чем эффективность паротурбинных
и газотурбинных установок.
Если в качестве источника нагрева
использовать ядерный реактор, то для
исключения загрязнения окружаю-
щей среды может рассматриваться
МГД-установка, работающая по зам-
кнутому контуру, принципиальная
схема которой показана на рис. 13.12.
Рабочее тело сжимается в компрессо-
ре 1 от давления ру до р2 и подается
Рис. 13.12
448
13.6. Энергетические установки с МГД-генераторами
в ядерный реактор 2, где нагревается от температуры Т2 до
Т3. Из реактора рабочее тело поступает в рабочий канал
МГД-генератора 3, в котором адиабатно расширяется от давле-
ния р2 до рг и совершает работу. После МГД-генератора рабочее
тело поступает в парогенератор 4, где передает теплоту воде —
рабочему телу пароводяного контура. Далее рабочее тело ох-
лаждается в водяном теплообменнике 5 и поступает в компрес-
сор. Образующийся в парогенераторе 4 водяной пар поступает в
паровую турбину 6 и, расширяясь в ней, производит полезную
работу. Отработанный пар поступает в конденсатор 7, где кон-
денсируется, а конденсат при помощи насоса 8 снова подается в
парогенератор 4.
На рис. 13.13 приведен термодинамический цикл МГД-ус-
тановки: 1—2— адиабатное сжатие газа в компрессоре; 2—
3 — подвод теплоты при р2 = const в реакторе; 3—4 — ади-
абатное расширение с отдачей работы в МГД-генераторе; 4—
5 — отвод теплоты при рх = const в парогенераторе; 5—1 —
отвод теплоты при рг = const в водяном теплообменнике. По-
лезная удельная работа всей установки численно равна сумме
пл. 12341 газового и пл. 6789106 парового циклов. Эти цик-
лы построены для 1 кг водяного пара и тп кг продуктов сгора-
ния. Кратность продуктов сгорания m определяется из урав-
нения теплового баланса парогенератора:
rh(hi - Л5) = Л9 - h6, (13.33)
откуда
Термический КПД МГД-уста-
новки замкнутого цикла опреде-
ляется по формуле
= "ЧмГД + гвод
fnqT
или
_ frl(h3 -hi~h2 + h1) + (hg- h10)
m.(h3-h2) ‘ 0
(13.35)
Рис. 13.13
29-5580
449
Глава 13. Безмашинное преобразование энергии
В МГД-установках, работающих по замкнутому циклу, в
качестве рабочего тела используются аргон и гелий. Эти газы
при температурах 1800—2200 °C при добавках цезия или ка-
лия имеют большую электропроводность. Так, гелий с добав-
ками паров калия при температуре 2000 °C имеет электропро-
водность такую же, как и продукты сгорания при температуре
2500 °C. Термический КПД рассмотренной МГД-установки
примерно такой же, как и у установки, работающей по откры-
тому циклу.
ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЕ
1. Определить максимальную эффективность солнечной ба-
тареи при обратимом протекании рабочих процессов при
температуре на ее поверхности То = 300 К, считая, что
температура равновесного солнечного излучения равна
Т = 6000 К.
Решение.
Z Максимальная эффективность солнечной батареи
Ц 1 зт 1 3.6000 1 0,063 0,937.
Комментарий. Это значение несколько меньше КПД, рас-
считанного по формуле для цикла Карно, вследствие учета в
установке прямого преобразования энергии, а не теплоты.
2. Определить ЭДС кислородно-водородного топливного эле-
мента эффективностью 7,2%, если потребляемая сила то-
ка равна 5 А, а изменение энтальпии химических реаген-
тов на час работы составило 300 кДж.
Решение.
Z Эффективность топливного элемента определяем по фор-
муле
1
Г] = где JL = I АЕ, aJE= - кН.
/ Следовательно, величину Д.Е находим из соотношения
. „ _ т]Д77 0,072 • 300 • 103
~ ~ 3600^5 “ М В-
450
Глава 14
Циклы холодильных машин
и теплового насоса
14.1. Классификация холодильных машин
Холодильные машины непрерывно или периодически
поддерживают температуру рабочего пространства ниже тем-
пературы окружающей среды.
По виду применяемых ТРТ — хладагентов холодильные
машины делятся на две основные группы: газовые и паро-
вые. В газовых, в частности воздушных, машинах воздух на-
ходится в состоянии, далеком от насыщения. Холодильные ма-
шины, в качестве ТРТ которых используются пары различных
веществ, например аммиака NH3, диоксида углерода СО2,
фреонов (С1- и F-производных метана СН4, этана С2Н6, пропана
С3Н8), более просты по конструкции, имеют высокие значения
холодильных коэффициентов (см. формулу 11.7), надежны в
работе и поэтому получили весьма широкое распространение.
Паровые холодильные машины подразделяются на паро-
компрессионные, пароэжекторные и абсорбционные.
В парокомпрессионных машинах ТРТ сжимается компрес-
сором, совершающим механическую работу. В пароэжектор-
ных и абсорбционных машинах для получения низких темпе-
ратур затрачивается не механическая работа, а теплота како-
го-либо ТРТ. Пароэжекторные машины, в частности, нашли
широкое применение в космической технике для получения
переохлажденного жидкого кислорода. Абсорбционные
машины просты, дешевы, надежны и поэтому широко приме-
няются в технике.
В отдельную группу выделяются термоэлектрические
холодильники, работа которых основана на эффекте Пельтье
29*
451
Глава 14. Циклы холодильных машин и теплового насоса
(см. разд. 13.3), и вихревые трубы. Эти устройства просты,
не имеют движущихся частей, но значения холодильных ко-
эффициентов у них пока еще не очень высоки.
14.2. Цикл воздушной холодильной машины
Воздушная холодильная машина — одна из первых приме-
ненных на практике. Принципиальная схема такой машины
приведена на рис. 14.1. Воздух из змеевика, размещенного в ох-
лаждаемом объеме 1, засасывается компрессором 2 и адиабатно
сжимается. В результате температура и давление воздуха повы-
шаются, он выталкивается в теплообменник 3, где охлаждается
водой до температуры окружающей среды. Затем воздух рас-
ширяется до первоначального давления в детандере 4 и про-
изводит при этом полезную работу. Температура воздуха после
детандера находится в диапазоне от -60 до -70 °C. Холодный
воздух в теплообменнике 1 отбирает теплоту у охлаждаемых
тел, а сам при этом нагревается. Затем цикл повторяется.
Цикл холодильной машины для 1 кг рабочего тела в pv- и
Тз-координатах отображен на рис. 14.2. Он состоит из следую-
щих процессов: 1—2— сжатия воздуха в компрессоре; 2—
3 — отвода теплоты от воздуха в теплообменнике при постоян-
ном давлении; 3—4 — расширения воздуха в детандере; 4 —
1 — подвода теплоты к воздуху при постоянном давлении в
холодильной камере. Процессы сжатия 1—2 и расширения
3—4 считаются адиабатными. Таким образом, цикл идеаль-
ной холодильной машины состоит из двух изобар {2—3
и 4 — 1) и двух адиабат (1 —2 и 3—4).
Рис. 14.2
452
14.2. Цикл воздушной холодильной машины
Эффективность холодильных машин определяется холо-
дильным коэффициентом-.
= 9г = ?2
Х 91 ~ 92 ’
(14.1)
Удельное количество теплоты, отбираемой воздухом от ох-
лаждаемого объекта в изобарном процессе 4—1:
q2-=h1-h4 (14.2)
и соответствует пл. 41Ъа4.
Теплота, отдаваемая воздухом в окружающую среду (ох-
лаждающей воде) в изобарном процессе 2—3:
91 = Л2-/г3. (14.3)
Полагая воздух идеальным газом с постоянной теплоемко-
стью, переписываем уравнения (14.2) и (14.3) в виде
92 = —
91 = Ср('^2 — ^з)-
Удельная работа, затрачиваемая в цикле:
= 91 — 9г = ср[(^2 ~ ^з) — (^1 ~
Подставляя (14.4)—(14.6) в выражение (14.1), находим
_ ______~ ^4________ _ _________1__________
ех - (Т2 _ тз) _ (Т1 _ Ti) - (Г2 _ Т3)/(Т1 - т4) - 1 •
Для адиабатных процессов 1—2 и 3—4:
Г1 IpJ ’ Г4 \Р4/
Посколькур2 = р3 и р4 = рг, то
(14.4)
(14.5)
(14.6)
(14.7)
(14-8)
Отсюда
тг-т3
Т2
х 3 х 4
т.
и формула (14.8) примет следующий вид:
Т2 = т2-т3
453
Глава 14. Циклы холодильных машин и теплового насоса
С учетом последнего выражения можно переписать (14.7)
следующим образом:
1 т,
£- Т2/Т\ - 1 т2 - т\
или
Ех=-------ТЦ—- (14-9)
(Р2/Р1) к -1
Последнее означает, что холодильный коэффициент
воздушного цикла при k = const зависит только от от-
ношения давлений р^/Ру
Цикл воздушной холодильной машины при постоянных
температурах окружающей среды и холодильной камеры не-
обратим. Поскольку изобарные процессы 2—3 и 4—1 проте-
кают при конечной разности температур, теоретический
холодильный коэффициент цикла всегда будет меньше хо-
лодильного коэффициента обратного цикла Карно, в котором
теплоты отбирается больше (рис. 14.3), чем в рассматривае-
мом цикле воздушной холодильной машины:
пл. а61Ьа> пл. а41Ьа,
а работа, затрачиваемая в этом цикле, больше, чем в обрати-
мом цикле Карно:
пл. 1234 > пл. 1536.
Следовательно, и холодильный коэффициент ех воздушной хо-
лодильной установки меньше, чем £ в обратном цикле Карно,
причем в несколько раз. Например, при tr = 20 °C и t2 = -5 °C
при начальном давлении в 1 бар ех = 2,29, а
£ = 10,7. Это объясняется тем, что подвод
и отвод теплоты в воздушной холодильной
машине осуществляется не по изотерме,
а по изобаре. Отсюда средняя температура
отвода теплоты существенно больше темпе-
ратуры окружающей среды Т\, а средняя
температура подвода теплоты меньше Т2.
Этого недостатка лишен цикл парокомп-
рессионной холодильной установки.
0 a b s
Рис. 14.3
454
14.3. Цикл парокомпрессионной холодильной установки
14.3. Цикл парокомпрессионной
холодильной установки
В парокомпрессионных холодильных установках в качест-
ве рабочего тела используются низкокипящие жидкости, ра-
бочий цикл которых располагается в двухфазной области
состояния ТРТ, где изобарные процессы подвода и отвода теп-
лоты эквивалентны изотермическим, что приводит к умень-
шению потерь, связанных с необратимостью процессов.
В парокомпрессионных холодильных установках, в отличие
от воздушных, вместо детандера применяется дроссельный
(редукционный) вентиль, изменением степени открытия ко-
торого регулируется температура в охлаждаемом объеме.
Принципиальная схема парокомпрессионной холодильной
установки представлена на рис. 14.4, а диаграмма цикла в
Ts-координатах — на рис. 14.5.
Установка работает следующим образом. В компрессоре 3
происходит адиабатное сжатие пара (процесс!—2). В кон-
денсаторе 2 хладагент вначале охлаждается (процесс 2—2')
при постоянном давлении, а затем конденсируется (про-
цесс 2’—3) с отдачей в окружающую среду теплоты qr. В дрос-
сельном вентиле 1 происходит процесс дросселирования (3—4)
с превращением жидкости во влажный пар. Конечное давле-
ние в процессе дросселирования выбирается таким, чтобы со-
ответствующая этому давлению температура насыщения была
немного ниже температуры охлаждаемого объема. Процесс
дросселирования в вентиле 1 является необратимым, поэтому
линия 3—4 на Ts-диаграмме изображается условно. После дрос-
Рис. 14.4
455
Глава 14, Циклы холодильных машин и теплового насоса
сельного вентиля влажный пар направляется в испаритель 4,
где за счет теплоты, отбираемой от охлаждающих тел, содер-
жащаяся в этом паре жидкость испаряется, увеличивая при
этом степень сухости влажного пара. Изобарно-изотерми-
ческий процесс подвода теплоты к хладагенту в испарителе
изображается линией 4—1. Затем цикл повторяется.
В зависимости от состояния пара в точке 2 на выходе из комп-
рессора возможны циклы на перегретом паре (см. рис. 14.5), на
насыщенном паре (точка 2 лежит на линии сухости х = 1) и на
влажном паре (точка 2 располагается в области влажного пара).
Формула (11.7) для холодильного коэффициента этой уста-
новки может быть записана в виде
q2
(14.Ю)
где q2 = hL - — удельное количество теплоты, воспринимае-
мое паром в испарителе (удельная холодопроизводительность);
( = h2 - — удельная работа, затраченная при адиабатном
сжатии пара в компрессоре. Следовательно, можно записать
h1~hi T1(s1-s4)
х h2 - Zij h2 - hx v 7
Численные значения удельных энтальпий берутся из таб-
лиц термодинамических свойств хладагентов. Свойст-
ва хладагента существенно влияют на эффективность холо-
дильной установки. Из формулы (14.11) видно, что чем боль-
ше разность удельных энтропий, т. е. чем выше удельная
теплота парообразования г, тем выше холодопроизводитель-
ность установки. Таким образом, г является одним из крите-
риев для оценки ТРТ-х лад агента.
Парокомпрессионные холодильные установки применяют-
ся для поддержания в охлаждаемом объеме температур от 0 до
-120 °C. При этом нижняя температура цикла задается про-
ектным заданием в зависимости от назначения установки,
а верхняя определяется температурой охлаждающей воды,
поступающей в конденсатор, которая, как правило, лежит в
пределах от 0 до 30 °C.
Сопоставление эффективности рассмотренной холодильной
установки с эффективностью обратного цикла Карно показы-
456
14.4. Цикл пароэжекторной холодильной системы
вает, что разница холодильных коэффициентов не такая су-
щественная, как в цикле воздушной холодильной машины.
Например, при максимальной температуре 30 °C и минималь-
ной 15 °C холодильный коэффициент парокомпрессионной хо-
лодильной установки, работающей на фреоне-12 (CC12F2), ра-
вен 4,72, а в обратном цикле Карно Е = 5,74.
Другими преимуществами парокомпрессионных холодиль-
ных установок перед воздушными машинами являются их ком-
пактность и более низкая стоимость, но есть и очень серьезный
недостаток — наличие фреона, попадание которого в атмосферу
ведет к разрушению озонового слоя. Последнее обстоятельство
вынуждает изыскивать новые и более экологически чистые
ТРТ-хладагенты, например бутано-пропановые смеси и т. п.
14.4. Цикл пароэжекторной холодильной системы
Как и у парокомпрессионной холодильной установки,
в этой системе используется влажный пар. Основное отличие
заключается в том, что сжатие пара на выходе из охлаждаемо-
го объема производится не компрессором, а паровым эжекто-
ром. При этом для получения температур от 3 до 10 °C в каче-
стве хладагента может быть использован обычный водяной
пар. Заметим, что вблизи О °C, например при -5 °C, удельный
объем водяного пара так велик (147,2 м3/кг), что поршневой
компрессор был бы весьма громоздким.
Принципиальная схема пароэжекторной холодильной сис-
темы изображена на рис. 14.6. Из испарителя 1 хладагент в
виде пара поступает в камеру смешения эжектора 2, куда од-
новременно подается и пар из котла 6.
Полученная в камере смесь сжимается
в диффузоре эжектора и поступает в
конденсатор 3, где, конденсируясь, от-
дает теплоту парообразования. За кон-
денсатором часть жидкости дроссели-
руется в редукционном вентиле 4, где
происходит падение давления и тем-
пературы, а другая часть с помощью
питательного насоса 5 направляется в
Рис. 14.6
457
Глава 14. Циклы холодильных машин и теплового насоса
котел 6, где она вновь с по-
мощью подведенной извне теп-
лоты qx превращается в пар.
Существенным отличием па-
роэжекторной холодильной сис-
темы от парокомпрессионной
является то, что для привода
компрессора необходима меха-
ническая энергия от электриче-
ского или иного двигателя, а для
сжатия пара в эжекторе — толь-
ко лишь кинетическая энергия пара, образовавшегося в котле.
Цикл пароэжекторной холодильной системы в Ts-коорди-
натах отображен на рис. 14.7. Пунктиром 1—2 изображен ус-
ловный процесс адиабатного дросселирования насыщенной
воды в редукционном вентиле, а линия 2—3 соответствует
изобарно-изотермическому процессу в испарителе. Здесь же
изображен цикл, совершаемый той частью пара, которая цир-
кулирует в системе котел—эжектор—конденсатор—котел. Этот
цикл имеет условный характер, поскольку расход пара в каж-
дом из двух контуров различен. На Ts-диаграмме оба цикла
изображены в расчете на 1 кг пара. Здесь I—II — процесс по-
вышения давления воды в насосе, II—III—IV — изобарный
процесс подвода тепла в котле, IV—V — процесс расширения
пара в сопле эжектора до параметров в точке V. Этот пар затем
смешивается с поступившим в эжектор из испарителя паром
того же давления (точка 3). В результате смешения влажного
пара в состоянии V с сухим насыщенным паром в состоянии 3
получается пар промежуточной степени сухости (точка А).
Процесс А—4 соответствует повышению давления обоих пото-
ков пара в диффузоре эжектора, а процесс 4—1 — процессу
конденсации пара в конденсаторе.
Пренебрегая работой насоса, подающего воду в котел (hn—
hj), и учитывая, что работа извне не подводится (вместо нее
подводится в котел теплота), эффективность системы для рас-
смотренного случая будет оцениваться холодильным коэффи-
циентом:
(14.12)
458
14.5. Цикл абсорбционной холодильной установки
где q2 — удельная теплота, отводимая из охлаждаемого объ-
ема; qr — удельная теплота, подводимая к рабочему телу в
котле.
Пароэжекторные холодильные системы отличаются про-
стотой конструкции, надежностью в работе и малыми габа-
ритами. Но термодинамическая их эффективность не очень
высока, поскольку процесс смешения потоков в эжекторе
сопровождается большими потерями (диссипацией) энер-
гии.
14.5. Цикл абсорбционной
холодильной установки
Еще одной разновидностью холодильных циклов, в кото-
рых хладагент является влажным паром, является цикл аб-
сорбционной холодильной установки. От систем, рассмотрен-
ных выше, он отличается способом сжатия пара, выходящего
из испарителя.
Используется явление абсорбции пара жидкостью. Аб-
сорбция — это поглощение вещества всем объемом поглощаю-
щего тела. При этом надо учитывать, что пар чистого вещест-
ва может быть поглощен и сконденсирован этим же веществом в
жидком состоянии лишь в том случае, если жидкость имеет
меньшую температуру, чем температура пара. Для абсорбцион-
ной холодильной установки подбираются, как правило, две
жидкости, имеющие разные температуры кипения и полностью
взаиморастворимые. При этом легкокипящая жидкость исполь-
зуется как хладагент, а другая — как абсорбент.
Принципиальная схема абсорб-
ционной установки представлена на
рис. 14.8. В парогенераторе 1 в ре-
зультате подвода теплоты qr хлада-
гент выпаривается из абсорбента в ви-
де почти сухого насыщенного пара.
В конденсаторе 2 он полностью кон-
денсируется, отдавая теплоту парооб-
разования охлаждающей воде. В дрос-
сельном вентиле 3 хладагент дроссели-
Рис. 14.8
459
Глава 14. Циклы холодильных машин и теплового насоса
руется с уменьшением давления и температуры и увеличением
объема. В теплообменнике 4 происходит передача хладагенту
теплоты q2 от охлаждаемых тел. В абсорбере 5 происходит со-
единение хладагента с абсорбентом, поступающим через дрос-
сельный вентиль 7. Полученная смесь насосом 6 направляется
в парогенератор 1. Абсорбционный узел установки, состоящий
из абсорбера 5, парогенератора/, насоса б и дроссельного
вентиля 7, служит для сжатия пара от давления на выходе из
испарителя до давления на входе в конденсатор. Преимущест-
во этого способа сжатия заключается в том, что если в обычной
парокомпрессионной установке на сжатие пара затрачивается
значительная работа, то в случае абсорбционной установки на-
сос повышает давление жидкости, затрачивая на это сущест-
венно меньше работы, да и сам насос более компактен и прост
по конструкции.
Выражение для холодильного коэффициента абсорбцион-
ной установки такое же, как и для пароэжекторной установки
(см. формулу 14.12).
14.6. Термоэлектрическая
холодильная установка
В разд. 13.3 был рассмотрен эффект Пельтье, лежащий в
основе термоэлектрических систем нагрева и охлаждения.
Напомним, что эффект состоит в том, что на спаях разнород-
ных проводников тока, соединенных в цепь, при пропускании
электрического тока от внешнего источника возникает раз-
ность температур по отношению к температуре окружающей
среды: на одном спае температура ниже окружающей, а на
другом — выше. Соответственно один из спаев будет погло-
щать теплоту из окружающей среды, а другой — отдавать теп-
лоту окружающей среде. Как было показано в разд. 13.3, ко-
личество теплоты Q, поглощаемой или выделяющейся в спае,
пропорционально силе тока в цепи Q = аТ1.
Если температуру среды, в которую помещен спай, выде-
ляющий теплоту, обозначить через 1\, а температуру среды,
в которой находится спай, поглощающий теплоту, — через
460
14.6. Термоэлектрическая холодильная установка
Т2, то выражения для выделяемой и поглощаемой в спаях
теплоты Q2 будут иметь вид
Q1 = aT1I, (14.13)
Q2 = aT2I, (14.14)
откуда следует, что при 7\ > Т2 и, соответственно, при >
> Q2 в горячем спае будет выделяться больше теплоты, чем
поглощаться в холодном. При этом разность
Qi Q2 otZ(T1 Т2)
(14.15)
равна затрате электроэнергии от внешнего источника.
Если поместить спай, поглощающий теплоту, в охлаждае-
мый объем (температура спая Т2), а спай, выделяющий тепло-
ту, в область более высокой температуры (7\), то получится
термоэлектрическая холодильная установка (рис. 14.9).
Цикл такой установки представляет собой обратный цикл
термоэлектрического генератора, рассмотренного в разд. 13.3.
Если бы циркуляция электрического тока по термоэлектриче-
ской цепи не сопровождалась необратимыми потерями, то хо-
лодильный коэффициент в соответствии с (11.7) был бы равен
_ Qz _ aT'gZ _ Т2
£х “ Q2-Qi “ аЦ Т2-Т1) ~ Т2-Т\ •
(14.16)
Полученная величина совпадает с холодильным коэффици-
ентом обратимого холодильного цикла Карно (11.13), посколь-
ку и отвод теплоты из охлаждаемого объема, и отдача теплоты
в нагретую среду происходят при посто-
янных температурах Т2 и 7\ при пред-
полагаемом отсутствии необратимых
потерь. Реальная эффективность рас-
смотренных холодильных установок су-
щественно меньше из-за необратимых
потерь, связанных с выделением джо-
улева тепла и теплопроводностью, но
простота и надежность в работе из-за от-
сутствия движущихся частей в ряде
случаев могут оказаться решающими
при выборе схемы охлаждения.
461
Глава 14. Циклы холодильных машин и теплового насоса
14.7. Вихревая труба
В основе работы вихревой трубы лежит эффект вихревого
температурного разделения газов, обнаруженный в 1931 г.
Ж. Ранком. Принципиальная схема устройства представлена
на рис. 14.10. При поступлении газа через тангенциальное
сопло 1 в трубе образуется интенсивный вихревой поток, у ко-
торого слои газа вблизи оси потока охлаждаются и отводятся
через отверстие в диафрагме 2, а периферийные слои газа, на-
оборот, нагреваются и отводятся через вентиль 3. Изменяя по-
ложение вентиля, можно регулировать расходы и температуры
холодного и горячего потоков. Для понижения температуры Тх
необходимо уменьшить расход холодного потока (вентиль 3
открывается), и наоборот, для повышения температуры горя-
чего потока следует вентиль 3 прикрыть, так как при этом по-
ток горячего газа уменьшается.
Суммарное количество энергии холодного и горячего пото-
ков, выводимых из адиабатной (т. е. идеально теплоизолиро-
ванной) вихревой трубы, по закону сохранения энергии будет
равно количеству энергии поступающего сжатого газа. В ре-
зультате происходящих внутри вихревой трубы сложных
газодинамических процессов происходит перераспределение
энергии. По разности температур поступающего сжатого газа
Тсж и получаемого холодного потока Тх можно найти пониже-
ние температуры ДТХ:
М\ = ТСХ-ТХ. (14.17)
Повышение температуры в горячем потоке
ДУ = Т - Т
Г г сж
(14.18)
где Тг — температура горячего потока.
Рис. 14.10
Энергетический баланс вих-
ревой трубы при отсутствии
теплообмена с окружающей
средой можно представить в
виде
тс.Л = mrhr + mxhx- (14.19)
Поскольку масса сжатого
газа /псж = пг,. + пгх, а для иде-
462
14.8. Тепловой насос
ального газа Д/г = ср ДТ, то уравнение (14.19) можно предста-
вить в виде
тгс (Т - Т ) = me (Т - Тх), (14.20)
1 х ' А C-rtv-' X ' C-rtv л.' ' '
а в предположении постоянства теплоемкости, а также учиты-
вая (14.17) и (14.18), записываем уравнение (14.19) в виде
тпг ДТГ = тх ДТХ. (14.21)
Разделив обе части уравнения на тсж после ряда преобразо-
ваний, получим
1 - т.л тг..л.
ДТ = -------—- ДТ. (14.22)
х тх/тсж
Полученное уравнение позволяет найти любую из величин
ДТХ или ДТГ, если одна из них известна, а также если извест-
но отношение
Главное преимущество рассмотренной установки состоит в
предельной простоте ее конструкции (отсутствуют движущие-
ся части). Недостатком вихревой трубы является ее низкий
КПД, поскольку на получение сжатого газа затрачивается
большая энергия.
14.8 . Тепловой насос
В процессе работы любой холодильной установки теплота
отбирается из охлаждаемого объема и сообщается среде с более
высокой температурой. Следовательно, результатом холодиль-
ного цикла является не только охлаждение теплоотдатчика, но
и нагрев теплоприемника. Это обстоятельство позволило Кель-
вину выдвинуть в 1852 г. предложение об использовании холо-
дильного цикла для нагревания теплоносителя, используемого
в системе отопления помещений. Холодильная установка, ко-
торая одновременно используется для подвода теплоты к на-
греваемому объекту, называется тепловым насосом. В та-
ких установках теплота как бы перекачивается от холодного
источника к горячему. Работа теплового насоса мало отличает-
ся от работы паровой компрессионной холодильной установки.
Источником теплоты низкой температуры для теплового насо-
са является окружающая среда, например вода в водоемах. Из
водоема вода с помощью насоса (на рис. 14.11 не показан) по-
463
Глава 14. Циклы холодильных машин и теплового насоса
Таким образом, в данном случае тепловой насос передает в
отопительную систему теплоту в 6,46 раза большую, чем вели-
чина работы, затраченная в цикле.
Но эффективность теплового насоса можно увеличить еще
больше, подавая в испаритель воду с более высокой темпера-
турой, например охлаждающую воду от промышленных пред-
приятий, имеющую температуру 293 К. Отопительный коэф-
фициент в этом случае будет равен 10,77, т. е. увеличится бо-
лее чем в полтора раза.
Тепловые насосы, в которых используются циклы паровых
холодильных установок, менее совершенны по сравнению с те-
ми, в которых применяется обратный цикл Карно, а их отопи-
тельные коэффициенты меньше. В реальных тепловых насосах
значения отопительных коэффициентов лежат в пределах 3—5,
они широко используются для отопления помещений.
ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЕ
1. В воздушной холодильной машине воздух, охлаждающий
холодильную камеру, имеет давление р = 0,2 МПа и тем-
пературу Т\ = 253 К. После адиабатного сжатия в комп-
рессоре до давления рг = 0,5 МПа воздух направляется в
теплообменник, где его температура становится равной
288 К. В дальнейшем воздух адиабатно расширяется в де-
тандере до начального давления рг, а затем нагревается в
холодильной камере до температуры Т\ и вновь поступает
в компрессор.
Требуется определить температуру воздуха, поступающе-
го в холодильную камеру, холодильный коэффициент и
теоретическую работу, затрачиваемую в цикле и сопоста-
вить значение холодильного коэффициента с аналогичной
величиной для обратного цикла Карно, работающего в том
же интервале температур. В расчетах принять k = 1,4 и
ср = 1,012 кДж/(кг • К).
Решение.
/ Цикл рассматриваемой воздушной холодильной установ-
ки в Ts-координатах соответствует циклу 1—2—3—4, ото-
браженному на рис. 14.2, б.
466
Задачи и их решение
/ Находим температуру воздуха, поступающего в холодиль-
ную камеру, из соотношений для адиабатного процесса 3—4:
Т4 = Т.Л^~ = 288^“^“ =221,7 К.
/ Определяем температуру воздуха, выходящего из комп-
рессора по соотношению для адиабатного процесса 1—2\
k - 1 1,4 - 1
= — \ h =25зГ£4П м = 328,7 К.
2 4PiJ 10,2J
/ Удельная работа, затраченная в компрессоре,
ZK = h2 - h4 = ср(Т2 - 7\) = 1,012(328,7 - 253) =
= 76,6 кДж/кг.
/ Удельная работа в турбодетандере
^тд = ^з — ^4 = ср('^'з ~ -^4) =
= 1,012(288 - 221,7) = 67,1 кДж/кг.
/ Удельную работу цикла найдем из соотношения
/ц = /к - /тд = 76,6 - 67,1 = 9,5 кДж/кг.
/ Холодильный коэффициент определим из соотношения
_ 92
£х I '
Лц
где q2 = h4 - Л4 = ср(Т1 - Т4) = 1,012(253 - 221,7) = 31,3 кДж/кг,
= 31,3 = g 29
£Х 9,5 <5’zy-
/ Холодильный коэффициент установки, работающей по цик-
лу Карно,
г = Т1 = 253 = 7 23
*к Т3-т1 288 - 253 ’
2. В идеальной холодильной машине осуществляется равно-
' весный обратный цикл Карно. Сравнить значение холо-
дильного коэффициента такого цикла и затрачиваемую
работу при отводе 200 Вт теплоты в окружающую сре-
ду, имеющую температуру То = 298 К:
30*
467
Глава 14. Циклы холодильных машин и теплового насоса
а) от морозильной камеры бытового холодильника, в кото-
рой поддерживается температура txoji = -15 °C;
б) от криостата с жидким азотом, в котором при проведе-
нии физического эксперимента должна поддерживаться
температура Ткр = 75 К.
Решение.
Вариант а
/ Холодильный коэффициент
= Тхол = (273 - 15) =
*к Т0-Тхол 298 -(273 - 15)
/ Затрачиваемую работу данного цикла найдем из определе-
ния холодильного коэффициента:
-29’9Вт-
“ ех 6,7
хк
Вариант б
/ Холодильный коэффициент в случае использования кри-
остата
£ =_______ =____75__ = о 335
хк То - Ткр 298 - 75
/ Затрачиваемая работа
r _ Q2 _ 200 _
е 0,336 595 Вт-
3. Определить отопительный коэффициент теплового насоса,
1 работающего по обратному циклу Карно, если для отопле-
ния здания в зимний период используется речная вода с
температурой Т2 = 280 К, а температура рабочего тела в
отопительной системе должна быть = 360 К.
Решение.
К- = Т1 = 360 = 4 к
А°тк Т1~Т2 360 - 280 4,Э‘
468
Основные условные обозначения
А — работа, Дж; термодинамическое или химическое сродст- Дж во, — моль
А. ~ Ап — символ у-го атома анергия, Дж
а — удельная работа, ; скорость звука, м/с
В — - С — Сп - индукция магнитного поля, В • с/м2 символ i-ro вещества химической реакции теплоемкость, Дж/К средняя теплоемкость, Дж/К
С — С — с — ст С* — D — d — d — div — W — Ex — ex — F — мольная теплоемкость, ДжДмоль • К) объемная теплоемкость, Дж/(м3 • К) удельная теплоемкость, Дж/(кг • К); скорость света, м/с средняя удельная теплоемкость, Дж/(кг • К) концентрация, моль/м3 абсолютная влажность воздуха, кг/м3 символ полного дифференциала массовое влагосодержание, кг/кг сух возд символ дивергенции собственная энергия термодинамической системы, Дж эксергия, Дж удельная эксергия, Дж/кг внешняя сила, Н; свободная энергия Гельмгольца (изо- хорно-изотермический потенциал), Дж
F — f - G — мольная свободная энергия Гельмгольца, Дж/моль площадь поверхности, м2 свободная энергия Гиббса (изобарно-изотермический по- тенциал), Дж
G — g — мольная свободная энергия Гиббса, Дж/моль удельная свободная энергия Гиббса, Дж/кг; ускорение силы тяжести, м/с2
grad — H — символ градиента энтальпия, Дж
H — H* — h — мольная энтальпия, Дж/моль энтальпия торможения, Дж удельная энтальпия, Дж/кг; постоянная Планка h = = 6,63 • 10 34 Дж • с
h — постоянная Планка круговая, А = = 1,054 • 10 31 Дж • с
469
Основные условные обозначения
J — поток тепловой величины, Дж/(с • м2)
I — сила тока, А
К — константа равновесия
Кх — константа равновесия, выраженная через молярные доли
Кр — константа равновесия, выраженная через парциальные
давления
Кс — константа равновесия, выраженная через концентрации
к — постоянная Больцмана: к = 1,38 • 10-23 Дж/К
k — показатель адиабатного процесса
Кат — отопительный коэффициент
L — работа по преодолению внешних сил (объемной дефор-
мации), Дж
Бц — работа цикла, Дж
Д, — кинетические коэффициенты переноса
*7
I — удельная работа по преодолению внешних сил, Дж/кг
/ц — удельная работа цикла, Дж/кг
М — относительная молекулярная масса
М — число Маха
т — масса, кг
т1 — молекулярная масса, кг
т — молярная масса, кг/моль
т — кратность масс
т — секундный расход, кг/с
N — число действующих внешних сил
Ад — число Авогадро, Ад = 6,022 - 1023 моль1
п — количество вещества, моль; число частиц
П — символ произведения
р — давление, Па
/>бар — барометрическое давление, Па
р° — нормальное давление, р° = 101325 Па
р' — давление торможения, Па
р — безразмерное (нормированное) давление, р = р/р°
Q — теплота, Дж
Qp — тепловой эффект химической реакции при постоянном
давлении, Дж/моль
Qv — тепловой эффект химических реакций при постоянном
объеме, Дж/моль
Qp — максимальная отводимая теплота в процессе при р =
= const
q — удельная теплота, Дж/кг
470
Основные условные обозначения
R — удельная газовая постоянная, Дж/(кг • К)
R — молярная (универсальная) газовая постоянная: R =
= 8,31441Дж/(моль • К)
г — расстояние, м; удельная теплота парообразования, Дж/кг
S — энтропия, Дж/К
S — мольная энтропия, ДжДмоль • К)
з — удельная энтропия, ДжДкг • К)
Т — абсолютная температура, К
Т* — температура торможения, К
t — температура, °C
ts — температура насыщения, °C
U — внутренняя энергия, Дж
и — удельная внутренняя энергия, Дж/кг
U(г) — потенциал взаимодействия двух частиц
Ф — число фаз
V — объем, м3
V — мольный (молярный) объем, м3/моль
и — удельный объем, м3/кг
w — скорость, м/с
W — вектор скорости, м/с
х — степень сухости пара
%; — мольная (объемная) доля г-го компонента
у — степень влажности пара
Z — статистическая сумма
ZK — число ступеней компрессора
z — сжимаемость
2выс — высота, м
ZCT — число степеней свободы
а — коэффициент термического (объемного) расширения, 1/К
ah — дифференциальный дроссельный эффект (эффект Джоу-
ля—Томсона)
— число атомов у-го вида в г-м веществе (стехиометриче-
ский коэффициент реакции разложения вещества на га-
зообразные атомы)
Р — перепад давлений
Ркр — критический перепад давлений
Рг — коэффициент изотермической сжимаемости, 1/Па
Ps — коэффициент адиабатной сжимаемости, 1/Па
Р/7 — число частиц вида j, содержащихся в г-м веществе
у — показатель политропного процесса
471
Основные условные обозначения
Л — символ изменения; оператор Лапласа
8 — символ неполного дифференциала (порции)
е — степень сжатия
епот — глубина потенциальной ямы при взаимодействии моле-
кул, Дж
ех — холодильный коэффициент
T|f — термический коэффициент полезного действия цикла
Е, — пробег (степень превращения, полнота реакции), моль
X — теплопроводность, Вт/(м • К); степень повышения давле-
ния при подводе теплоты
Хпл — удельная теплота плавления, Дж/кг
Л<; — удельная теплота сублимации, Дж/кг
А- — мольная свободная энергия Гиббса атомов /го химиче-
ского элемента
р. — коэффициент расхода
v — кинематическая вязкость, м2/с; частота колебаний
V; — стехиометрический коэффициент г-го вещества, всту-
пающего в химическую реакцию
, , „1
vv — коэффициент термической упругости, ~
у к
л — степень повышения давления
л — приведенное давление
лк — степень повышения давления в компрессоре
л1 — степень повышения давления в одной ступени компрессора
V — коэффициент распределения теплоты; волновая функция
— материальная постоянная, моль
р — плотность, кг/м3
о — диаметр молекулы, м
os — локальная скорость возрастания энтропии, Дж/(м3 • К • с)
т — время,с
X — приведенная температура
<р — химический потенциал, Дж/моль
Фвозд — относительная влажность воздуха
<рс — скоростной коэффициент сопла
СД — массовая доля i-ro компонента
Приложение
Приложение
Таблица П1
Международная система единиц (СИ)
Сокращенное
Наименование Единица обозначение
величины измерения русскими латинскими
буквами буквами
Основные единицы
Длина метр м m
Масса килограмм кг kg
Время секунда с s
Сила электрического тока ампер a А
Термодинамическая температура градус Кельвина к К
Площадь квадратный метр м2 m2
Объем кубический метр м3 m3
Плотность (объемная масса) килограмм на кубический метр кг/м3 kg/m3
Линейная скорость метр в секунду м/с m/s
Угловая скорость радиан в секунду рад/с rad/s
Линейное ускорение метр на секунду в квадрате м/с2 m/s2
Угловое ускорение радиан на секунду в квадрате рад/с2 rad/s2
Сила ньютон Н N
Давление (механическое напряжение) ньютон на квадратный метр или паскаль Н/м2; Па N/m2; Pa
473
Приложение
Окончание табл. П1
Наименов ание величины Бдиница измерения Сокращенное обозначение
русскими буквами латинскими буквами
Динамическая вязкость ньютон-секунда на квадратный метр Н • с/м2 N • s/m2
Кинематическая вязкость квадратный метр на секунду м2/с m2/s
Работа, энергия, количество теплоты джоуль Дж J
Мощность ватт Вт W
Таблица П2
Приставки для образования кратных
и дольных единиц измерения
Приставка Числовое значение Сокращенное обозначение Приставка Числовое значение Сокращенное обозначение
русскими буквами латинскими или греческими буквами русскими буквами латинскими или греческими буквами
Пико нт12 п р Дека 10 да da
Нано ю9 н п Гекто ю2 Г h
Микро 106 мк Р Кило 103 к k
Милли 10’3 м m Мега 106 м М
Санти 1(Г2 с с Гига ю9 г G
Деци 10 1 д d Тера 1012 т Т
474
Таблица ПЗ
Тепловые единицы
475
Наименование величины Тепловые единицы системы (СИ) метр-кил ограмм-секунда-К Тепловые единицы, основанные на калории
Обозначение единиц измерения Единица величины Обозначение единиц измерения Множи- тель пере- вода в еди- ницы СИ
русскими буквами латинскими буквами русскими бук- вами латинскими буквами
Количество теплоты, термодинамический потенциал Дж J м2•кг• с2 кал cal 4,1868
Теплоемкость системы, энтропия системы Дж/К J/K м2 • кг • с’2 • К-1 кал/К cal/К 4,1868
Удельная теплоемкость, удельная энтропия Дж/(кг • К) J/(kg-K) м2 • с2 • К 1 кал/(г • К) cal/(g • К) 4,1868
Удельный термодинамический потенциал, удельная теплота фазового превращения, удельная теплота химической реакции Дж/кг J/kg м2 • С"2 кал/г cal/g 4,1868
Приложение
Приложение
Окончание табл. П1
Наименование Единица Сокращенное обозначение
величины измерения русскими буквами латинскими буквами
Динамическая вязкость ньютон-секунда на квадратный метр Н • с/м2 N • s/m2
Кинематическая вязкость квадратный метр на секунду м2/с m2/s
Работа, энергия, количество теплоты джоуль Дж J
Мощность ватт Вт W
Таблица П2
Приставки для образования кратных
и дольных единиц измерения
Приставка Числовое значение Сокращенное обозначение Приставка Числовое значение Сокращенное обозначение
русскими буквами 1 латинскими или греческими буквами русскими буквами латинскими или греческими буквами
Пико ю12 п р Дека 10 да da
Нано 10-9 н п Гекто ю2 Г h
Микро 10“6 мк Р Кило 103 к k
Милли 10’3 м m Мега 106 м М
Санти 10-2 с с Гига ю9 г G
Деци 10 1 д d Тера ю12 т Т
474
Таблица ПЗ
Тепловые единицы
475
Наименование величины Тепловые единицы системы (СИ) метр-килограмм-секунда -К Тепловые единицы, основанные на калории
Обозначение единиц измерения Единица величины Обозначение единиц измерения Множи- тель пере- вода в еди- ницы СИ
русскими буквами латинскими буквами русскими бук- вами латинскими буквами
Количество теплоты, термодинамический потенциал Дж J м2•кг• с2 кал cal 4,1868
Теплоемкость системы, энтропия системы Дж/К J/K м2•кг• с-2 • К-1 кал/К cal/K 4,1868
Удельная теплоемкость, удельная энтропия Дж/(кг • К) J/(kg-K) м2 • с2 • К 1 кал/(г*К) cal/(g • К) 4,1868
Удельный термодинамический потенциал, удельная теплота фазового превращения, удельная теплота химической реакции Дж/кг J/kg м2 • с-2 кал/г cal/g 4,1868
Приложение
476
Окончание табл. ПЗ
Наименование величины Тепловые единицы системы (СИ) метр-килограмм-секунда -К Тепловые единицы, основанные на калории
Обозначение единиц измерения Единица величины Обозначение единиц измерения Множи- тель пере- вода в еди- ницы СИ
русскими буквами латинскими буквами русскими буквами латинскими буквами
Температурный градиент К/м К/т м-1 • К — — —
Тепловой поток Вт W м2 • кг • с-3 кал/с cal/s 4,1868
Поверхностная плотность теплового потока Вт/м2 W/m2 кг • с 3 кал/(см2 • с) cal/(cm2 • s) 4,1868-104
Коэффициент теплопередачи Вт/(м2 • К) W/(m2 • К) кг • с 3 • К-1 кал/(см2 • с • К) cal/(cm2 • s • К) 4,1868-104
Коэффициент теплопроводности Вт/(м • К) W/(m • К) м • кг • с 3 • К-1 кал/(см • с • К) cal/(cm • s • К) 4,1868-102
Приложение
Таблица П4
Соотношение между единицами работы и энергии
477
Единица измерения Сокращенное обозначение Эрг Джоуль Килограм- мометр Ватт-час Калория Литр- атмосфера Электрон- вольт
Эрг эрг 1 ю-7 1,0197 -10 " 2,7778-10 11 2,3884-10 s 9,8689 • 1010 6,2419-1011
Джоуль (Ватт-секунда) Дж (Вт • с) ю7 1 0,10197 '2,7778-10"4 0,23889 9,8689 • 10“3 6,2410-1018
Килограммометр кГм 9,8066-107 9,8066 1 2,724-10 3 2,3427 9,6781 • 102 6,1205-1019
Ватт-час Вт-ч 3,60-1010 3,60-103 3,6709-102 1 8,6001-102 35,527 2,25-1022
Калория кал 4,1868-107 4,1868 0,42685 1,1628-Ю"3 1 4,1311-102 2,6126-1019
Литр-атмосфера л • атм 1,0133-109 1,0133-10"2 1,0333-10 2,815 -10 2 24,206 1 6,325-1020
Электрон-вольт ЭВ 1,6021-Ю"12 1,6021-10 19 1,634 -1О~20 4,450 • 10~23 3,827-10-20 1,5813-Ю"21 1
Приложение
Таблица П5
Соотношение между единицами мощности
478
Единица измерения Сокращенное обозначение Эрг в секунду Ватт Килограммометр в секунду Лошадиная сила Лошадиная сила (английская) Калория в секунду
Эрг в секунду эрг/с 1 10~7 1,0197 -IO"8 1,3596-Ю10 1,3410-1010 2,3884 • 10 s
Ватт (джоуль в секунд) Вт (Дж/с) 107 1 0,10197 1,3596 -IO"3 1,3410 -IO"3 2,3884 • 101
Килограммометр в секунду кГм/с 9,8066-107 9,8066 1 1,3333-10 2 1,3151- IO"2 2,3427
Лошадиная сила Л. с. 7,355 -109 7,355-102 75 1 0,9863 175,67
Лошадиная сила (английская) Л. с. 7,457-109 7,457-102 76 1,0139 1 178,11
Калория в секунду кал/с 4,1868-107 4,1868 0,42693 5,6924 -IO 3 5,6145 -IO"3 1
Приложение
Приложение
Таблица П6
Земная атмосфера
Высота от уровня океана, км Темпера- тура, К Давление, Па Плот- ность, кг/м3 Скорость звука, м/с
0 288,1 1,03-105 1,225 340
1 281,6 8,9-104 1,112 336
2 275,1 7,95-104 1,006 332
3 268,6 7,01 • 104 0,909 328
4 262,2 6,17-104 0,819 325
5 255,4 5,4-104 0,736 320
6 249,2 4,72-104 0,66 316
7 242,7 4,11 • 104 0,39 312
8 236,2 3,56-104 0,525 308
9 229,7 3,08-104 0,467 304
10 223,2 2,65-104 0,413 299
11 216,8 2,27-104 0,364 295
12 216,6 1,94-104 0,312 295
13 216,6 1,66-104 0,267 295
14 216,6 1,42-104 0,227 295
15 216,6 1,21 • 104 0,195 295
20 216,6 5,53-103 0,089 295
25 221,5 2,55-103 0,040 300
30 226,5 1,20-103 0,018 304
35 236,5 575 8,5-10-3 313
40 259,3 287 4-10-3 321
45 264,2 149 2•10-3 330
50 279,6 79,7 ю-3 331
60 247,0 22,0 3•10-4 332
70 219,6 5,2 3 • 10-5 285
80 198,6 1,1 10-5 272
90 186,6 0,2 IO-6 272
100 196,6 0,03 6•10-7 273
150 627,6 4,5-10~4 2•10-9 —
200 854,4 8,5 • 10“5 2,5-10-10 —
300 970,4 8,7-10-6 2-10-11 -
400 995,9 1,4-10-6 3 • 10-12 -
500 997,9 3-Ю7 5-10-13 —
1000 1000,0 7,5-10-9 4-10-15 —
1200 1000,0 4,4-10 9 2 • 10-15 —
479
Учебное издание
Бурдаков Валерий Павлович
Дзюбенко Борис Владимирович
Меснянкин Сергей Юрьевич
Михайлова Татьяна Васильевна
, ТЕРМОДИНАМИКА
В двух частях
Часть 1
Основной курс
Учебное пособие для вузов
Зав. редакцией Т.Д. Гамбурцева
Ответственный редактор Г. С. Лонь
Художественный редактор А. В. Пряхин
Технический редактор М. В. Биденко
Компьютерная верстка А. В. Маркин
Корректор Г. И. Мосякина
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.02.953.Д.006315.08.03 от 28.08.2003.
Подписано к печати 18.08.08. Формат 60x90 1/1е-
Бумага типографская. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная.
Усл. печ. л. 30,0. Тираж 3000 экз. Заказ № 5580.
ООО «Дрофа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49.
По вопросам приобретения продукции
издательства «Дрофа» обращаться по адресу:
127018, Москва, Сущевский вал, 49.
Тел.: (495) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (495) 795-05-52.
Торговый дом «Школьник».
109172, Москва, ул. Малые Каменщики, д. 6, стр. 1А.
Тел.: (495) 911-70-24, 912-15-16, 912-45-76.
Магазины «Переплетныептицы»:
127018, Москва, ул. Октябрьская, д. 89, стр. 1.
Тел.: (495) 912-45-76;
140408, Московская обл., г. Коломна, Голутвин,
ул. Октябрьской революции, 366/2.
Тел.: (495) 741-59-76.
Интернет-магазин: http://www.drofa.ru
_я пт-и а Отпечатано в полном соответствии
1O-U0U3 -9 с качеством предоставленных диапозитивов
в ОАО «Можайский полиграфический комбинат».
143200, г. Можайск, ул. Мира, 93.
9
785358
060319