,1°
60 50 40 зо
\6>*L&**™*0&4
so
VF
Ъ~°
-^,
s
fe

СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ПУНКТАМИ УЧЕБНИКА
И ЗАДАЧАМИ ТЕТРАДИ
Номера
пунктов
учебника
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
101
102
103, 104
105
106
107
108
110
111
112
113, 114
116
117
Тема
Разложение вектора по двум неколлинеарным
векторам
Координаты вектора
Связь между координатами вектора и
координатами его начала и конца
Простейшие задачи в координатах
Уравнение линии на плоскости
Уравнение окружности
Уравнение прямой
Синус, косинус, тангенс
Основное тригонометрическое тождество.
Формулы приведения
Формулы для вычисления координат точки
Теорема о площади треугольника
Теорема синусов
Теорема косинусов
Решение треугольников
Угол между векторами
Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение в координатах. Свойства
скалярного произведения векторов
Правильный многоугольник
Окружность, описанная около правильного
многоугольника
Окружность, вписанная в правильный
многоугольник
Формулы для вычисления площади правильного
многоугольника, его стороны и радиуса
вписанной окружности
Длина окружности
Площадь круга
Площадь кругового сектора
Отображение плоскости на себя. Понятие
движения
Параллельный перенос
Поворот
Номера
задач
тетради
1—3
4—8
9—12
13—19
20
21—24
25—29
30—32
33—35
36, 37
38—40
41—43
44, 45
46—48
49
50—54
55—60
61—64
65—68
69
70, 71
72—77
78—82
83—85
86—88
89
90—93

ГЕОМЕТРИЯ
РАБОЧАЯ
ТЕТРАДЬ
КЛАСС
Пособие
для учащихся
общеобразовател ьн ых
учреждений
10-е издание
Москва
«Просвещение»
2010

УДК 373.167.1:514
ББК 22.151я72
ГЗб
Авторы:
Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, Ю. А. Глазков, И. И. Юдина
Рабочая тетрадь является дополнением к учебнику «Геометрия,
7—9» авторов Л. С. Атанасяна и др. и предназначена для организации
решения задач учащимися на уроке после их ознакомления с новым
учебным материалом. На этом этапе учащиеся делают первые шаги по
осознанию нового материала, освоению основных действий с изучаемым
материалом. Поэтому в тетрадь включены только базовые задачи,
обеспечивающие необходимую репродуктивную деятельность в форме
внешней речи. Наличие текстовых заготовок облегчает ученику выполнение
действий в развернутой письменной форме, а учителю позволяет
осуществить во время урока оперативный контроль и коррекцию
деятельности учащихся. Использование данной тетради для организации других
видов деятельности (самостоятельных работ, повторения, контроля
и т. д.) малоэффективно.
Учебное издание
Атанасян Левон Сергеевич
Бутузов Валентин Федорович
Глазков Юрий Александрович
Юдина Ирина Игоревна
ГЕОМЕТРИЯ
Рабочая тетрадь
9 класс
Пособие для учащихся
общеобразовательных
учреждений
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова. Редактор Л. В. Кузнецова. Младший редактор
Н. В. Ноговицына. Художники В. А. Андрианов, О. П. Богомолова, Г. В. Соловьев.
Художественный редактор О. П. Богомолова. Компьютерная верстка Е. А. Стрижевской.
Корректор А. В. Рудакова
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000.
Изд. лиц. Серия ИД №05824 от 12.09.01. Подписано в печать 18.05.10. Формат 70xl007i6.
Бумага писчая. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 2,15.
Доп. тираж 40 000 экз. Заказ № 30183.
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение».
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано в ОАО «Саратовский полиграфкомбинат».
410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.ru
ISBN 978-5-09-024156-4 © Издательство «Просвещение», 2000
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2004
Все права защищены

Глава X
Метод координат
Координаты вектора
1
Найдите такое число q9 чтобы выполнялось равенство m = qn9
если: а) т ]] п9 \т\ = 5 см, |л| = 2см; б)т]1п9 |иг|=0,7м, |л|=2м.
Решение.
а) По условию т ]1 > т.е. q 0, \q\ = 1 Г:
-» -> . . '—'
б) По условию т п , т. е. q 0, \q\ =
Ответ, а).
; б).
Диагонали параллелограмма ABCD
пересекаются в точке М, точка Н —
середина отрезка AM. Найдите, если
это возможно, такое число ft, чтобы
выполнялось равенство: a)AM = kAC;
б) МН = kAC; в) DM= kAC.
Решение.
в)AM]]АС9 поэтому искомое число ft существует, |ft| ="
и k 0. Так как диагонали параллелограмма точкой М делятся
, то |ft| = Итак, ft =
б) МН АС, поэтому искомое число ft ,
\АМ\
\k\= и ft 0. По условию задачи точка Н —
отрезка АМ9 следовательно, МН = —
2
. = J( АС) = АС,
поэтому \k\=.
. Итак, ft =
в) Векторы DM и
значения ft не
не коллинеарны, поэтому искомого
Ответ.а)й = ; б) ft =.
; в).

в
В параллелограмме ABCD, изоб-
раженном на рисунке, МК || DC и
РТ || DA.
1) Разложите по векторам a =DT и
S = DA векторы: a) DO; б) DB.
2) Разложите вектор ОВ по
векторам: а) тп = МО и с = ОР; б) m = МО и
га = AD.
Решение.
1)По условию задачи МК\\ , поэтому Z. ВОК
В треугольниках ВОК и BDC угол общий, Z. ВОК =
= Z. , следовательно, Л Б(Ж Л BDC. Так как БО = BD,
D
то Б1Г= - , следовательно, точка К — середина стороны
параллелограмма. Аналогично точки М, Р и Т —
сторон данного параллелограмма.
а) По правилу параллелограмма получаем: DO= DT DM, но
DT a, DM = DA = fe. Итак, -DO = а + ft.
б)^Б = DC + = DT + = + b.
2) a) По правилу параллелограмма OB = OiiT + = MO +
6) OB =
Ответ.
2) a) QB =
. + OP =
-; б)
; б)
Векторы а и fe не коллинеарны. Найдите числа х и у такие, что:
а) 2а + xfe= ya -t; б)ха +t -За + 4у~Ь = 0 ; в) 4ха -a+yb = O.
Решение.
а) В левой и частях данного равенства
записаны разложения некоторого вектора по двум неколлинеарным
а и Поскольку такое разложение
единственно, то коэффициенты перед вектором а равны, следовательно,
у = Аналогично х =

б) Запишем данное равенство в виде (х - 3) + (1+ )Ъ =
= Оа+ОЬ. Так как разложение вектора по двум
векторам а и Ъ единственно, то х- = 0 и
+ Ау = . Отсюда получаем: х = , у =
в) В силу единственности разложения по
двум векторам получаем: 4х - = 0 и
у = Следовательно, х = , у
Ответ.
а) х = , у = ; б) ; в)
а) Какой из данных на рисунке
векторов равен вектору 47—2/?
б) Напишите разложение вектора
ОЕ по координатным векторам /и/.
в) Найдите координаты вектора ОА.
г) Напишите, какой вектор имеет
координаты {-4; 2}.
д) Отложите от точки О вектор с
координатами {2; -4}.
Ответ.
а) ; б) ОЕ = ;
в)ОА{ ; };
—1
F
4
Е
/
/
D
У'
4
А/
/
-4-
А
/
/
У*
в
: X
С
Выпишите координаты вектора: а) а = 3 j - 5у ; б) 6= £ + 2у ;
в) ~с =-/.
Решение.
Координатами вектора называются
его разложения по координатным
-> ~> ->
а) По условию задачи а = 3i - j . Следовательно, коэффици-
-» -^>
енты разложения вектора а по координатным i
и равны 3 и , т. е. а { ; }.
б) Ь = i + 2; = li +
в) с =-/= Г+(
у , следовательно, Ъ { ; }.
_)/, т. е. ~с { ; }.

Запишите разложение по координатным векторам i и j вектора:
а)т{-2;3}; б) п {0; -3}; в)Л{-1;0}.
Решение.
Координаты вектора — это коэффициенты его
-> -> ->
по координатным векторам. Поэтому: а) т = -2i + у ;
Ответ.
a) m =
б)
в)
8
Даны векторы а {2; -3} и Ь {-1; 5}.
Найдите координаты векторов: a) m = а + fc; б)п = 4а; в)ft = -ft;
г)р =4a -З^.
Решение.
Используя утверждения о координатах суммы векторов и
произведения вектора на число, получаем:
а) т {2+(-1); -3 + }, т. е. т { ; }.
б) п {4 • 2; 4 • ( )}, т. е. п { ; }.
в) ft {-(-1); - }, т. е. k { }.
г) Обозначим через хх и ух абсциссу и ординату вектора а, через
х2 и у2 — абсциссу и вектора Ь, буквами х и у —
и ординату вектора р .
Тогда х = 4jCj-3 = 4- - 3 • (-1) = , у = 4 -3 =
Следовательно, р { }.
Ответ.
а)т{ }
б)
в)
г)

Простейшие задачи в координатах
Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка В — на
положительной полуоси Оу; ОА = 5, ОВ = 12. Найдите координаты:
а) вершин прямоугольника ОАМВ; б) радиус-векторов точек А, В
и М; в) вектора АВ; г) векторов ОС и ВС, если С — точка
пересечения диагоналей прямоугольника ОАМВ.
Решение.
а) О ( ; ), А (5; ), М ( ; ),
б) Радиус-вектором точки А называется вектор, начало
которого совпадает с координат, а его конец — точка
. Координаты радиус-вектора точки А равны соответствующим
точки . Поэтому ОА { ; },
ОВ { ; }, ОМ
в) Каждая координата вектора АВ равна
соответствующих координат его конца (точки ) и
(точки А). Так как А ( ; ), В ( ; ), то АВ { ; }.
г) Точка пересечения диагоналей прямоугольника является
диагонали ОМ, следовательно, ОС = ОМ. Так
соответ-
как ОМ { ; }, то ОС { ; }.
Каждая координата вектора ВС равна
ствующих его конца (точки ) и
(точки ). Координаты точки С равны соответствующим
координатам ее радиус-вектора ОС, т. е. С ( ; ), координаты точки В
равны ( ), поэтому ВС { ; }.
ю
Заполните таблицу:
к
м
км
2КМ
-0,5 КМ
(5;
(3;
{ ;
-2)
0)
}
( ;
(-2;
{8;
)
1)
0}
(-3;
{6;
0)
4}

11
Найдите координаты вершины В параллелограмма ABCD, если
А (0; 0), С (5; 7), D (3; 0).
Решение.
1) Четырехугольник ABCD — ,
следовательно, АВ DC. Так как С (5; ), D ( ; ), то
DC { ; }, поэтому АВ { ; }.
2) Так как А (0; ), АВ { ; }, то В ( ; ).
Ответ.
12
Даны точки: А (2; -1), В (5; -3), С (-2; 11), D (-5; 13). Докажите,
что они являются вершинами параллелограмма.
Доказательство.
Воспользуемся признаком параллелограмма: если в
четырехугольнике две стороны равны и , то этот
является
В силу этого признака достаточно показать, что: а)АВ DC;
б) точки А, В и В не лежат на одной прямой.
а) Так как А (2; -1), В ( ), то АВ { ; }; так как
С (-2; 11), D ( ), то DC { ; }. Итак, АВ DC.
б) Точки А, В и D лежат на одной
если
координаты векторов АВ и AD пропорциональны. Так как АВ { ; } и
AD { ; }, то координаты векторов АВ и AD
, поэтому эти векторы не коллинеарны и,
следовательно, точки А, В и D на одной прямой.
Итак, четырехугольник ABCD — ,
что и требовалось доказать.
13
8
Заполните таблицу, если точка К— середина отрезка ВС.
в
с
к
(3;
(7;
-1)
3)
(0;
(-2;
5)
1)
(4;
(6;
0)
-2)

14
Найдите координаты середины медианы AM треугольника ABC,
если А (-2; 4), В (2; -1), С (6; 1).
Решение.
1) Отрезок AM — медиана треугольника , поэтому точка
М — стороны ВС. По условию задачи В (2; -1),
С ( ; ), следовательно, М ( ; ).
2) Пусть точка К — середина отрезка AM. Так как А (-2; ),
М ( ; ), то К ( ; ).
Ответ.
15
Найдите длины векторов: а {-3; 4}, Ь {5; 0}, с {0;-2}.
Решение.
а = i/l—
\с\ =
Ответ.
а = ;
16
Найдите длины векторов АВ и AM, если А (5; -3), В (2; 1),
М(5; 3).
Решение.
Ответ.
\ав\ = —;
2 Рабочая тетрадь по геометрии, 9 кл

17
Найдите длины сторон АВ и ВС и длину медианы ВК
треугольника ABC, если А (-2; 4), В (10; -1), С (6; -4).
Решение.
а)АБ= л/(10+2)2 +
б) ВС =
в) Так как отрезок BjRT — треугольника ABC,
то точка К является стороны АС, следовательно,
( ; ). Поэтому
Ответ. АВ = ; ВС = ; ВК =
18
Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом, и
найдите его площадь, если А (-3; 4), В (7; 9), С (5; -2), D (-5; -7).
Решение.
Четырехугольник является ромбом, если все его стороны
. Действительно, если в четырехугольнике
противоположные стороны попарно , то этот
четырехугольник является . А
параллелограмм, у которого стороны ,
называется ромбом.
Сравним длины данного четырехугольника:
АВ2 = (7 4- З)2 + ( )2 = + =
ВС2 =
CD2 =
DA2 =
Следовательно, АВ2 ВС2 CD2 DA2, откуда АВ = ВС =
Итак, четырехугольник ABCD является , поэтому
его площадь равна половине его диагоналей.
АС2 = (-3-5)2 + = , следовательно, АС = ;
BD2= , следовательно, BD =
SABCD = 0,5АС- = =
Ответ.
ю

19
Даны точки А (-2; -3), В (-3; 4), С (4; 5).
1) Докажите, что в треугольнике ABC углы А и С равны.
2) Найдите площадь треугольника ABC.
Решение.
1)В треугольнике ABC углы А и С равны, если ВС ВА. Так
как ВС2 = (-3-4)2+ = , ВА2 = ,
то ВС ВА. Следовательно, Z.A £. С.
2) В данном равнобедренном треугольнике ABC основанием
служит сторона , следовательно, медиана, проведенная из
вершины , является треугольника. Найдем
АС и медиану ВМ. АС = у (- 2 - 4)2 + =
Так как точка М — середина стороны АС, то М ( ; ) и поэтому
ВМ = V = =
Итак, SABC = 0,5АС • = 0,5
Ответ.
Уравнение окружности и прямой
20
Даны точки А (-1; 2), В (0; 7з ), С (1; -2), D (2; -1). Какие из
этих точек лежат на линии L, заданной уравнением х2-2х+у2-3=0?
Решение. Точка лежит на линии, заданной уравнением с
двумя переменными х и у, если ее
удовлетворяют этому уравнению, и не лежит на линии, если ее координаты
уравнению линии. Подставим
данных точек в уравнение х2 - 2х 4- :
(-1)2 - 2 (-1) + = 1 + -3 = 0. Координаты
точки А не удовлетворяют данному ,
следовательно, точка А на линии L: А £
О2 - 2 • 0 + = = 0. Следовательно, В L.
. Следовательно, С L.
Ответ.
11

21
Какие из следующих уравнений задают окружность:
а) х2 + (у -I)2 = 25;
б) Ах2 + 4у2 = 9;
в) 2х2 4- 2у2 = 0;
г) х2 4- у2 4- 1 = 0;
д)(х + 2)2+*/2- 0,01=0;
е) х2 - 2х 4- у2 = 3?
Решение.
а) Уравнение х2 4- (у -I)2 = 25 имеет вид (х - а)2 4- ( - Ь)2 = г2,
где а = 0, Ь = , г = ^ 0, следовательно, это уравнение
окружность.
б) Разделив обе части уравнения 4х2 4- = 9 на 4, полу-
g
чим уравнение х2 4- =—, которое имеет вид (х-а)2 +
4
4- = г2, где а = , Ь = , г = ^0. Следовательно,
это уравнение окружность.
в) Равенство 2х2 + = 0 выполняется только при х = ,
у = , т. е. данному уравнению удовлетворяют координаты
только одной (0; 0). Следовательно, это уравнение
окружность.
г) Левая часть уравнения х2 + у2 4- = 0 при любых значениях
х и у нуля, а правая часть равна . Поэтому
точек, которых удовлетворяют данному
, не существует. Следовательно, уравнение
х2 + у2 +1 = 0 окружность.
д) Перенеся слагаемое -0,01 в часть уравнения
(х + 2)2+ у2 ^ 0, получим уравнение ,
которое имеет вид (х-а)2 + , где а = ,
Ь = , г = ^ 0. Следовательно, уравнение (х + 2)2 + -
- 0,01 = 0 окружность.
е) Прибавив к обеим частям уравнения х2 - 2х +
число 1, получим уравнение х2-2х+ +f/2= , которое
можно записать в виде (х-1)2 + ( )2 = , т.е. в
виде (х - а)2 + = г2, где а = , Ъ = , г = ^ 0.
Следовательно, данное уравнение окружность.
Ответ.
Окружность задают уравнения а),
12

22
Постройте окружность, заданную уравнением:
а)*2 + у2 = 16; б)(х-1)2 + у2 = 4; в) х2 + 2х + у2- Ау = 4.
Решение.
Для построения окружности надо знать ее радиус и
координаты . Если уравнение окружности имеет вид
(х - а)2+ (у - Ь)2 = г2, то ее радиус равен , а центром является
точка с координатами ( ; ).
а) Уравнение х2 + у2 = 16 запишем
в виде (х - О)2 + ( )2 =
Отсюда следует, что центр
окружности — точка ( ; ), а радиус равен
Построим искомую окружность,
заданную уравнением х2+у2= 16.
б) Уравнение (х -I)2 +
представим в виде (х - )2 + (у - О)2 =
= Следовательно, центр
окружности — точка ( ; ), а радиус равен
Построим искомую окружность,
заданную уравнением (л:-1)2 + у2 = 4.
в) Чтобы выделить квадрат
двучлена с переменной х и квадрат
с переменной у,
прибавим к обеим частям уравнения
х2 + 2х + слагаемые 1 и
4. Получим уравнение (х2+2х+1) +
+ (*/2- + 4) = 4 + + ,
которое запишем в виде (jc+1)2 +
+ {у — )2 = . Значит, центр
окружности — точка ( ), а радиус
равен
Построим искомую окружность,
заданную уравнением х2 + 2х + у2 - 4у = 4.
У f
4
2 +
-4 -2
О
о
-4 -
-1
1
-4
У '
1 -
0
-1
1 1
-3 -2
i
У '
4 -
3
2 -
1
1
-1 "
-2 -
2
]
3
1
L 2
X
X
13

23
Окружность задана уравнением (x+l)2+(i/-2)2=25. He пользуясь
чертежом, установите, какие из точек А (3; -2), В (-4; 6) и С (3; -1)
лежат на окружности.
Решение.
Первый способ. Выясним, координаты каких точек
удовлетворяют окружности.
(3+1)2+( )2=42+ = ^25. Итак, координаты
точки А данному уравнению,
следовательно, точка А на окружности.
(-4 + )2 + = = Итак,
точки В данному уравнению,
следовательно, точка
(3 + 1)2 + Итак, точка С
на окружности.
Второй способ. Центр данной окружности — точка с
координатами ( ; ), а радиус окружности равен . Найдем
расстояния от центра данной до каждой из
данных точек и сравним их с окружности.
Обозначим центр окружности буквой М, тогда:
AM =у(-1-)2 + = ^ * 5, следовательно, точка А
на окружности.
ВМ= , следовательно,
СМ =
Ответ. На данной окружности лежат точки
24
Напишите уравнение окружности радиуса г с центром в точке С,
если: а)г=2 и С (3; 0); б) г = 3 и С (0; -2); в) r = V5 и С (-2; 3).
Ответ.
а)(х-3)2 + =4;
б)
в)
и

25
Напишите уравнение серединного перпендикуляра к отрезку
АВ, если А (-3; 4), В (1; -2).
Решение. Если точка М (х; у) лежит на серединном
к отрезку АВ, то AM ВМ, и поэтому
AM2 ВМ2. Запишем это равенство в координатах: (л: + 3)2 +
+ = + (у + 2)2. Раскрыв скобки, получим:
х2 + 6х + = х2-2х +
Перенесем все слагаемые из правой части в левую
равенства: х2 + 6х + - 4у - 4 = 0.
Приведем подобные члены: 8л: - = 0. Разделив
обе части уравнения на 4, получим 2х - = 0.
Если точка М (х; у) лежит на серединном
к отрезку АВ, то ее координаты удовлетворяют уравнению
2х - = 0. Если же точка М (х; у) не лежит на
к отрезку АВ, то
AM2 Ф , и поэтому ее не удовлетворяют
полученному уравнению.
Итак, уравнение 2х - = 0 является уравнением
серединного к отрезку АВ.
Ответ.
26
Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А (—1; 2) и
В (2; -3).
Решение. Уравнение прямой имеет вид ах + + с = 0.
Точки А и лежат на прямой, т. е. их координаты
этому уравнению. Подставив координаты точек А и в уравнение,
получим: а • (-1) + + с = 0; + Ъ • (-3) + с = 0.
Выразим отсюда а и Ъ через с: а = с и Ъ = с. Подставив
полученные значения а и в уравнение ах + by + = ,
приходим к уравнению: -5сх + ( ) у + = 0. При любом с ^ 0 это
уравнение является прямой АВ. Сократив на -с,
получим искомое прямой в виде:
+ Зу-1 = 0.
Ответ.
15

27
Даны координаты вершин треугольника: А (-3; 0), В (1; 4),
С (3; 0). Напишите уравнение прямой, содержащей среднюю
линию треугольника, параллельную стороне АВ.
Решение.
Обозначим середины сторон ВС и АС буквами К и М
соответственно. Тогда К (2; ), М ( ; ), а прямая КМ— искомая.
Запишем ее уравнение в виде ах + = 0. Подставив
координаты точек К и в это уравнение, получим систему:
2а + + с = 0
= 0.
Отсюда следует: с = и Ъ - а, и поэтому искомое
уравнение принимает вид: - ау = 0 или х - = 0.
Ответ.
28
Прямые заданы уравнениями х+ у = 0 и 2л;-у+ 3 = 0.
а) Найдите координаты точки пересечения данных прямых.
б) Напишите уравнение прямой, проходящей через найденную
точку и параллельной оси ординат.
Решение.
а) Искомая точка лежит на данных прямых, следовательно, ее
координаты удовлетворяют уравнениям этих , т. е.
являются решением уравнений:
2х- = 0.
Отсюда находим: х = и у =
б) Уравнение прямой, проходящей через Мо (х0; у0)
параллельно ординат, имеет вид: х = .
Учитывая, что Мо(—1; ), получаем искомое уравнение: х =
Ответ.
а)( ;—);
б)
16

29
Окружность и прямая заданы уравнениями х2+ (у - 4)2= 25 и
х - 1у + 3 = 0. Найдите длину хорды, отсекаемой окружностью на
прямой.
Решение.
Чтобы найти координаты пересечения
окружности и , решим систему уравнений:
*2 + ( )2=25
х- + 3 = 0.
Последовательно получаем:
х=1у- ; (7у-3)2+(у- )2=25;
49у2 - 42у + = 25;
50у2- = 0; у= , у2 =
Соответственно находим хх = и х2 =
Итак, данные окружность и прямая пересекаются в точках
( ; ) и ( ; ).
Искомая длина хорды равна:
Ответ.
17

Глава XI
Соотношения между сторонами
и углами треугольника.
Скалярное произведение векторов
Синус, косинус, тангенс угла
30
Найдите по рисунку синус, косинус
и тангенс угла:
а) АОМ; б) АОК; в)АОС; г)АОВ.
Решение.
а) Угол АОМ образован лучом ОМ и
положительной
абсцисс, точка М лежит на единичной
. Значит,
синус угла АОМ равен
точки М, т.е. sinZ_АОМ = ;
косинус угла АОМ равен
С(-1;0) О
точки
т. е.
cos^ АОМ =.
; тангенс угла АОМ равен отношению
sin Z АОМ
ТОЧКИ
т.е. tgZ_ АОМ = : =
б) синус угла АОК равен
т.е. sinZ-AOK = ; косинус угла равен
точки , т.е. coszlАОК = ; тангенс угла АОК равен
в) si
г)
АОБ =
; тангенс угла АОВ не
Ответ.
a) sin Z. АОМ =
б)
, так как cos Z. АОВ = .
в)
г)
18

31
Принадлежит ли единичной полуокружности точка:
а) Р (-0,6; 0,8); б) Г \; \ ; в) Я %-jz ?
Решение.
Точка с координатами (х; у) принадлежит
полуокружности, если выполнены два условия: 1) < х < ,
< у < и 2) х2 + у2 = Рассмотрим данные точки.
а) Точка Р: х = , у = удовлетворяют первому условию:
< х < , ; х2 + у2 = (0,6)2 + =
= 1, следовательно,
второе условие.
Поэтому точка Р .
б) Точка Т: х =
У
единичной полуокружности.
, следовательно, < х < ,
. Итак, первое условие
1. Следовательно, второе условие
Поэтому точка Т
единичной полуокружности,
в) Точка Н: х = , у =
_, следовательно,
. Поэтому точка Н
Ответ.
а) Принадлежит.
б)
в)
32
Выпишите значения синуса,
косинуса и тангенса углов АОМ, АОВ
и АОК, если
_л/2. л/2
К 2 ' 2 "
В (0; 1),
Решение. Синус угла АОМ —
это точки М, т. е.
sin Z АОМ =
К

Косинус угла АОМ — это точки М,
т. е.
tgZ АОМ =
sin А АОВ = , cos А АОВ =
АОК = ,
Ответ.
sin А АОМ = .
33
л/3
Найдите sina и tga, если cosa = -~-.
Решение.
1) Используя основное тригонометрическое тождество sin2a +
+ cos2a = , получаем: sin2a+ - — = , откуда sin2a =
= - = Так как < sina < , то sina =
sina
2) По определению tga = ~ , поэтому tga =
Ответ, sina = ;
34
Найдите cosa и tga, если sina =—.
Решение.
1) Используя основное тригонометрическое
V2 2
sina2+ = 1, получаем: — + = 1, откуда cos2a =
= - = . Так как < cosa < , то находим два
значения косинуса: и
2) По tga = =.
cosa
Если cosa = , то tga = : =
Если cosa = , то tga = : =
Ответ.
cosa = , tga = или cosa = , tga =.
20

35
Вычислите cosl20°, sinl50°, tgl35°.
P e ш е н и е. Используя формулу приведения cos(180°-a) =
, получаем: cosl20°= cos(180°- ) = 60°=
sin(180°-a) =
30°=
Используя формулу
получаем: sinl50°=sin( - ) =
Используя формулы приведения sin (180°-а) =
cos(180°- ) = , получаем:
sinl35° sin45°
tgl35° = = ,1Qry ч= = "tg
180°-
Ответ.
и
36
Найдите координаты точки А, если: а) а = 60°, ОА = 4; б) а =150°,
ОА = 6 (а — угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох).
Решение. Координаты х и у точки А можно вычислить по
формулам: = QAcosoc, у = , где О А — отрезка
ОА, а — между лучом и положительной Ох.
а) х = 4cos60°= = ; у = 4 = =
б) ж- ; у =
Ответ, а) А (_
б)А(.
37
Луч ОВ пересекает единичную полуокружность в точке К.
л/2 л/2
Найдите координаты точки В, если ОВ = 2, К -—; — .
Решение.
лежит на
Так как точка К

полуокружности, то абсцисса точки К является
косинусом угла , ордината —
угла АОК, т.е. cosAAOK =
= , sin /_AOK =
Координаты х и у точки В найдем по
формулам х = cos /- АОК, у = ОВ х
х , т.е. х = 2 ,
У =
Ответ. В (_
21

Соотношения между сторонами
и углами треугольника
38
Вычислите площадь треугольника ABC, если АВ = 3 м, ВС = 8 м и
/- В = 30°.
Решение.
Пусть S — площадь данного ABC, тогда
S =| sinB = -3- • = (м2).
Ответ.
39
Площадь треугольника ВСЕ равна 18л/2см2, СЕ = 2ВЕ,
АЕ = 45°. Найдите сторону СЕ.
Решение.
Так как SBCE = | BE • и СЕ = 2 , то
SBCE=\ ВЕ-2ВЕ-
Отсюда получаем BE2 = SBCE: = 18 л/2 : = (см2),
BE = см, СЕ = см.
Ответ.
СЕ = см.
40
Стороны параллелограмма равны 4жи6м,а один из его углов в
два раза меньше другого. Найдите площадь параллелограмма.
Решение.
Пусть дан параллелограмм ABCD, в котором АВ = 4 м, AD = 6м,
Z.B = 2^A. Тогда ZC = /.A, AD = A =2^ , откуда
А А + Z.B + Z.C + Z_D = 6Z = 360°, откуда АА =
Следовательно, S = АВ • • sinA = 4 • = (м2).
Ответ.
22

41
Дано: A ABC, где АС = л/2 см,
Найти: ВС.
Решение.
По теореме синусов
откуда получаем: ВС =
= (л/2: )• =
Ответ.
sinB
(см).
АС
sin A =
В
42
Дано: Л МРТ, где Z.T=150°, TM=2 м, МР = 6 м.
Найти: sinP.
Решение.
МР
По теореме
тм
sinP =
МР
Ответ.
sinT
. Отсюда получаем:
43
Точки А, В иС лежат на окружности
диаметра 12, хорда ВС равна 6.
Найдите градусную меру угла ВАС.
Решение.
Из равенства -т—г = 2
ем: sin A =
, т.е. sinA =
получа-
6
. Так как угол А тупой, то
/.А =
Ответ.
23

44
В параллелограмме ABCD диагонали
АС =12 м, В£> = 6 м, ААОВ = 60°.
Найдите периметр параллелограмма.
Решение.В треугольнике АОВ
по теореме косинусов получаем: АВ2 =
= АО2 + -2
Так как диагонали параллелограмма
точкой пересечения
пополам, то АО = м, ВО = м.
Поэтому АВ2=62 + =
= , АВ = м.
D
Аналогично в треугольнике ВОС получаем: ВС2= ОВ2 + _
•cos./ ВОС. Так как ^BOC = 180°-Z.
ВОС = cos(180°- Z_ ) = -cos,/ AOB= Следова-
то
тельно, ВС2 = б2 +
_, ВС =.
м.
Итак, периметр параллелограмма равен:
( + 3л/7) = 6 ( + ) (м).
(АВ
Ответ.
45
Определите вид треугольника (остроугольный, прямоугольный
или тупоугольный), стороны которого равны 5 м, 7 м и 9 м.
Решение. Обозначим стороны треугольника так: а = 5 м,
fe = 7 м и с = м, а противолежащие им вершины буквами
А, В и С. Так как в треугольнике против большей стороны лежит
угол, то /- — больший угол треугольника, а
следовательно, вид треугольника определяется углом _
По теореме с2 = а2 +
о
откуда cosC= , т.е. cosC = (52 + ):
2ab
= Так как cosC _
_ 0, то угол С —
Следовательно, данный треугольник — _
Ответ.
24

46
Дано: A ABC, где а = 2л/з, ft = l, Z. С = 30°. Найти: с,
Z.A, ^В.
Решение.
1) По теореме косинусов с2 = а2 + , т. е. с2 =
= (2л/3)2+ = , откуда с = ^ ~
2) По теореме а2 = Ь2+ ,
Ь2+с2-
откуда cosA = = , т. е. cosA = (I2 + ): ~
. Следовательно, /LA
Ответ. с~ , /_А~ , /-В
47
Дано: А АВС, где а = 5, АВ = 70° АС = 80°. Н а й т и: Ь, с, /LA.
Решение.
a b sin
2) По теореме синусов ——j = , откуда Ь = а—=, т.е.
S1H-А
3) По теореме —— = , откуда
sin^4 sinC
а- , т.е. с~ • =
Ответ. Z. А = , Ъ ~ , с
48
Дано: Л ABC, где а = 4, & = 2, с = 3. Найти: ZLA,
Решение.
1) По теореме косинусов а2 = fe2 + , откуда
Ь2+ 22 +
cosA = — = ===== f значит, АА~ 104 аО'.
а2 +
2) Аналогично получаем cosB = ■, т. е. cosB= ,
откуда /-В ~ " ~
3)АС = 180°- (АА + Z ), т.е. ^С~
Ответ. Z. А ~ , ,
25

Скалярное произведение векторов
49
В трапеции ABCD углы А и D равны
50°. Найдите углы между векторами:
а) АВ и AD; б) AD и DC; в) АВ и CD;
г)ВАиСО; д)ВСиЫ; е) AD и ВС.
Решение.
а) Векторы АВ и AD отложены от
одной точки (точки ), поэтому угол
между АВ и AD равен
градусной угла
Следовательно, АВ AD = 50°.
б) Отложим от начала вектора DC
(точки ) вектор DK, равный
вектору (выполните построение на
рисунке). Угол между векторами AD
и DC равен градусной угла
. Следовательно, AD DC =
= 180°- =
в) Отложим от начала
АВ вектор АН,
вектору
CD (выполните построение на
рисунке). Угол между АВ
и CD равен мере угла
Так как AH1I —
лежащие углы HAD и
, то накрест
равны.
Следовательно, AHAD =
Отсюда получаем: /.ВАН = 50°+ =
= , т. е. АВ CD =
г) Отложим от начала вектора ВА
вектор ВО, равный вектору
(постройте на рисунке). Угол
векторами ВА и CD равен
угла
т. е
. BACD =
D
В С
D
В С
D
В С
D
26

д) Отложим от
ВС вектор ВЫ, _
вектора
вектору
DA (выполните построение на
рисунке). Угол между векторами и
DA равен угла
D
—^ —^
. Следовательно, ВС DA =
е) Так как векторы AD и
ними считается равным , т. е. AD ВС =
Ответ.
а) 50°; б) ;
сонаправлены, то угол между
50
Точка О — середина диагонали BD
ромба ABCD. Какие векторы с началом
и концом в точках А, В, С, В и О
перпендикулярны вектору ВО?
Решение. Диагонали ромба
пересекаются и
пересечения делятся ,
следовательно, точка О
на диагонали АС. Диагонали ромба
взаимно ,
поэтому ВО J , ВО J ,
вб± , BOL , ВО± ,
BOA
Ответ. АС,
D
51
Точка О — центр окружности.
Центральные углы АО В, ВОС, COD, DOE,
EOF и FOA равны.
Найдите углы между вектором ОВ и
вектором:
а)АВ; б) CD; в) ЁО; r)FE.
Ответ.
27

52
Найдите скалярное произведение векторов а и Ь, если:
а)|а| = 1, |fe| = 2, а 6 = 30°; б) \а| = 3, |fe|=V2, "а ^ =
в) \а\ = 2, |Ь| = 3, а£ = 90°; г) |а| = 1, |Ь| = 0;
д) \а\ = 3, \Ъ\ = 1, а Ь = 180°; е) |а| = 6, а = Ь .
Решение.
а) По определению скалярного векторов
"*? i^i "*"£ -I ^
а 6 = |а I • • cos , следовательно, а о = 1 • • — =
6)ab = 3 • _^- =
в) Так как cos( а Ь ) = cos90°= , то а Ь
г) a fe = 1 • • cos =
е) а Ь = |а | • | | cos = | |2 =
Ответ.
а) ; б) ;
в) ; г) ;
Д) ; е)
53
Определите вид угла (острый, прямой или тупой) между ненуле-
-> -> -=••->■ ->-> ->->
выми векторами Ъ и с, если: а) Ъ с<0; б) Ъ с>0; в) & с = 0.
Решение.
a)fec=|fe|- _• Так как Тс 0, |&| 0,
|с| 0, то cos( be) 0. Следовательно, be — угол.
б) Так как Ъ с 0, | Ъ \ , | с \ , то cos( be) 0.
Следовательно, be — угол. ^
в) Так как | Ъ \ Ф , \с\ 0, Ъ с 0, то cos( b с )=
Следовательно, Ъ с =
Ответ.
а)
б)
в)
28

54
Дано: параллелограмм ABCD, в
котором /_ BAD = 60°, АВ = 3, AD = 5.
Найти: АС.
Решение.
= АС-
2) По правилу параллелограмма
АС = АВ + Поэтому АС - АС =
= (АВ + ) (___+AD) = АВ2+ 2 АВ
+ 2 |АВ| • | |cos (АБ AD) + = З2 + 2
Итак, АС2 =.
Ответ.
, поэтому АС =
52=.
55
Найдите скалярное произведение векторов ти/i, если:
а) т {1; 2}, п {-2; 4}; б) m {0; 0,5}, п {3; -2}.
Решение.
а) Скалярное произведение двух равно
сумме их соответствующих координат,
т. е. тп = 1 * ( ) + =
б) тп = 0 • =
Ответ, а) тп =
.; б).
56
Даны векторы а {0,5; 0}, Ъ {2; -0,5}, с {-1; -4}. Какие из них
взаимно перпендикулярны?
Решение.
Данные векторы а, Ъ и — ненулевые. Ненулевые векторы
перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное
равно
afe = 0,5* + = ^ 0, следовательно, векторы
а и Ъ
а с =
(-4)
0. Поэтому векторы а и с
be =
Ответ.
, значит,
и
29

57
—> —>
Векторы т {6; 3} и п {-0,5; у} перпендикулярны. Найдите у.
Решение.
По условию задачи ml , следовательно, тп = Но
тп = 6 • Поэтому -3 + Зу = 0, откуда у =
Ответ.
58
Вычислите угол между векторами р {2; 1} и q {1; 3}.
Решение.
Используя для ненулевых векторов р {хх; ух} и q {x2; у2} формулу
получаем:
-Л 2 1 +
следовательно, Р q =
Ответ.
59
Верно ли, что для любых векторов а, Ь и с выполняется равен-
ство (а Ъ) с = а (Ь с)?
Решение.
Скалярное двух векторов является числом.
Пусть а Ь = х, Ь с = у. Согласно определению, произведение
данного вектора на число является , коллинеарным
данному вектору, поэтому хс \\ с и у а \\ . Если векторы
—> —> —> —>
а и с не коллинеарны и х ^ 0, у ^ 0, то векторы хс и уа
, а следовательно, не могут быть
Итак, равенство (а Ъ) с = а (Ь с) для произвольных трех
векторов а, Ъ и с
Ответ.
30

60
Упростите выражение (a + fc) c + c(b-a) и найдите его значение,
если |&|=2, |с|=3, Ъс = 120°. Укажите, какие свойства скалярного
произведения при этом использовались.
Решение.
Так как с(Ъ - а) = (Ь-а)
то (а + Ъ)с + с(Ь - а) =
= (а + b )с + ( )с =
Обоснование.
закон скалярного умножения
векторов
закон
Используя переместительный и
законы сложения , получаем: (а + Ь) + (Ь-а) = 2_
Следовательно,
((а + Ь) + (
= (2_)с = 2(
I-
закон скалярного
векторов
Но Ьс=\_
Итак, (а + 6)с + с(6 - а)
Ответ.
= be =
31

Глава XII
Длина окружности и площадь круга
IL
Правильные многоугольники
61
Верно ли утверждение:
а) выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны,
является правильным;
б) любой четырехугольник с равными углами правильный?
Ответ обоснуйте.
Ответ.
а) Неверно. Например,
б).
62
Найдите углы правильного гс-угольника, если:
а) п = 9; б) п = 12; в) п = 36.
Решение.
Сумма углов выпуклого n-угольника равна (п-2) • 180°, а так
как по условию n-угольник правильный, то каждый его угол
равен ((п - ) • ): п. Пусть ап — угол правильного п-
угольника, тогда:
а) сс9 = (9-2)- 180°: 9 = =
б) <х12 = • = • =
в> «зб = ' =
Ответ, а) ; б) ;
32

63
Чему равна сумма внешних углов правильного гс-угольника,
если при каждой вершине взято по одному внешнему углу?
(Задача 1082 учебника.)
Решение.
Так как каждый угол правильного я-угольника вычисляется
(п -2)180°
по формуле осл= > то внешний угол при каждой вершине
равен 180°- ап= 180° - = =
. Поэтому искомая сумма равна
• п
Ответ.
64
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый
его угол равен: а) 120°, б) 175°?
Решение.
Пусть п — число сторон правильного многоугольника. Так как
каждый его угол вычисляется по формуле ап =
а) 120°= А '- , откуда 120°п =
-у то:
п =
6)175°=
= , п =
Ответ, а) ; б)
65
На рисунке изображен правильный
шестиугольник, вписанный в
окружность радиуса R.
Пусть а6 — сторона правильного
шестиугольника, г — радиус
вписанной окружности, Р — периметр
правильного шестиугольника, S — его
площадь.
Найдите значения а6, R, Р и S, если
г =
; см.
33

Решение. По условию г = 4л/з см, поэтому
R = г : cos = = (см);
а6 = = (см); Р = 6 • = (см);
S= |р- = = (см2).
Ответ. а6 = см; R = см; Р = см; S =
Периметр квадрата, вписанного в окружность, равен 28л/2 см.
Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в данную
окружность.
Решение. Так как периметр Р квадрата равен 28<\/2 см,
то его сторона а4 = см и радиус описанной окружности
R = а4 : = = (см). Следовательно, сторона
правильного вписанного треугольника а = 2R • = см.
Ответ. см.
67
Хорда окружности, равная 12 V2 см, стягивает дугу в 90°.
Найдите радиус окружности.
Решение.
Пусть а — хорда окружности, стягивающая дугу в 90°, тогда
а — сторона , вписанного в эту окружность, и
поэтому а = R • . Отсюда R = а : = : = (см).
Ответ. см.
68
В окружность вписаны квадрат и правильный треугольник.
Площадь квадрата равна Q. Найдите сторону и площадь треугольника.
Решение.
По условию площадь квадрата равна Q, поэтому сторона
квадрата а4 = и радиус описанной окружности R =VQ : =
Сторона вписанного треугольника а3 = R = , а площадь
треугольника S =0%- = =
Ответ. ач = ; S =
34

69
Около окружности описаны квадрат и правильный
шестиугольник. Найдите периметр квадрата, если периметр шестиугольника
равен 48 см. (Задача 1092 учебника.)
Решение.
Пусть г — радиус вписанной
окружности. Тогда периметр Р квадрата
равен
Из условия задачи следует, что
сторона шестиугольника равна см,
поэтому в прямоугольном
треугольнике АОВ, изображенном на рисунке,
ОВ = г, АВ = см, ОА = см,
значит, г =
Р = см.
Ответ.
(см) и
см.
70
Найдите площадь S правильного n-угольника, если:
а) п = 4, R = Зл/2 см; б) п = 3, Р = 24 см;
в) п = 6, г =9 см; г) п = 8, г = 5V3 см.
(Задача 1094 учебника.)
Решение.
По формулам п. 108 учебника находим:
а) п = 4, а4 = R- = • = (см), r = R- cos
• = (см), S=\P- = =
= R- cos
см, R = ao: 2 sin
о
-(см), S=^P-_
в) п = 6, г = R • cos
аб=.
г) л = 8, г =
cm, S =-
• cos
, ПОЭТОМУ i? =
(см2);
- (см),
(см2);
см,
(см2);
, а = 2i? • sin
= 2r
(см), S = --8
Ответ.
a) см2; б).
см2; в).
см2; г)
(см2).
35

71
В окружность вписан правильный треугольник и около
окружности описан правильный треугольник. Найдите отношение
площадей этих треугольников.
Решение.
Пусть а3 — сторона вписанного в
окружность треугольника, R — радиус
этой окружности, fc3 — сторона
описанного треугольника, S — площадь
вписанного треугольника, Q — площадь
описанного треугольника. Тогда а3 =
= Д- , a S=a23- = -Д2;
_ Д.
0,5 Ъ = R : tg , откуда Ья = .
Поэтому Q =
= 1.2-
R2. Отсюда получаем S : Q =
Ответ.
Длина окружности и площадь
круга
72
Найдите длину окружности, описанной около:
а) правильного треугольника со стороной 12 V3 см;
б) прямоугольника, меньшая сторона которого равна 8 см, а угол
между диагоналями равен а;
в) правильного треугольника, площадь которого равна 48 V3 см2.
Решение.
Пусть R — радиус окружности, описанной около данного
многоугольника, С — длина этой окружности, а — сторона данного
правильного треугольника.
а) Так как R = а : , а С = 2л • , то С = 2л • =
= ' = (СМ).
36

б) На рисунке ABCD — данный
прямоугольник, у которого АВ = 8 см,
a Z_AOB = a. В прямоугольном
треугольнике ABD /_А = 90°, Z. ADB =
= (угол ADB — вписанный и
опирается на дугу АВ, центральный
угол которой равен а), гипотенуза BD =
= , поэтому 2R = см
и С = = (см).
в) Так как площадь правильного
треугольника со стороной а можно
выD
числить по формуле S =-
находим а = =
то из уравнения
(см) иС = .
(см).
(см). Следовательно,
= a
Ответ.
а) см; б).
см; в).
см.
73
Найдите длину окружности, вписанной:
а) в равносторонний треугольник со стороной а;
б) в равнобедренный треугольник с углом 2а при вершине и
боковой стороной а;
в) в прямоугольный треугольник с острым углом а и
противолежащим катетом а.
Решение.
а) На рисунке окружность с
центром О и радиусом г вписана в
равносторонний треугольник ABC со
стороной АВ = а.
В прямоугольном треугольнике
ADO катет OD = г, катет AD = - ,
a Z OAD =
и следовательно,
= и
С=
37

б) На рисунке окружность с
центром О и радиусом г вписана в
равнобедренный треугольник ABC, в
котором АВ = ВС = а и Z. В = 2а.
1) В
треугольнике ABD с ZD = 90° АВ = а, a
Z_ ABD = а, поэтому AD =
2) В
треугольнике AOD с прямым углом D A OAD =
= -(90°- ), поэтому г =
= AD
Отсюда С =
в) На рисунке окружность с
центром О и радиусом г вписана в
треугольник ABC, в котором ZC = 90°,
Z. А = а, ВС = а. Поэтому АС = а : ,
• АС =
С другой стороны, SABC= -P-r =
• г =
-•С
2 since
Таким образом,
1.,
g2cosa
2sina
Ответ, а).
; б).
• г, откуда
; в).
74
Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если ее градусная
мера равна: а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90°. ( Задача 1109 учебника.)
Решение. Воспользуемся формулой п. 110 учебника для
nR
вычисления дуги окружности: / = -^- • а.
loU
7Е-6-30
180
' б) l =
(см);
Ответ, а) я см; б).
(см); г) / =
см; в)
(см).
см; г).
см.
38

75
Длина окружности, описанной около правильного
треугольника, равна 18л см. Найдите периметр этого треугольника.
Решение. Воспользуемся формулой для вычисления длины
окружности С = и найдем радиус R этой окружности. Так как
по условию С = 18л см, то R = 18л : = (см), а = R =
(см), и Р =
(см).
Ответ.
см.
76
Найдите периметр закрашенной на рисунке лунки, если радиус
окружности с центром в точке О равен R, радиус окружности с
центром в точке Ог равен ^АВ9 а ^АМВ = 120°.
Решение. Так как ^АМВ =120°,
nR
то длина дуги I =
Хорда АВ стягивает дугу АМВ
окружности с центром О в 120°, поэтому
АВ = а3 = , а радиус г окруж-
ности с центром Ох равен - • =
= , и длина т дуги ANB равна
половине длины этой окружности,
т. е.
т=\
Теперь найдем периметр С лунки:
_nR
6
= 1 + 771 = .
Ответ.
77
Длина окружности радиуса 15 см равна длине дуги,
центральный угол которой равен 150°. Найдите радиус дуги.
Ре ш е н и е. Длина данной окружности равна • 15 =
= (см). По условию длина этой окружности равна длине
I дуги искомого радиуса R, центральный угол а которой равен
150°. Используя формулу I = т^г » получаем R = I • =
(см).
Ответ.
см.
39

78
Найдите площадь круга, описанного около:
а) правильного треугольника со стороной а;
б) равнобедренного треугольника с боковой стороной, равной
10 см, и высотой, проведенной к основанию, равной 8 см;
в) равнобедренного треугольника с боковой стороной а и углом
при вершине а.
Решение.
а) Так как сторона а правильного треугольника, вписанного в
окружность радиуса R, равна R • , то R = и S = п =
б) На рисунке равнобедренный
треугольник ABC с основанием АС вписан
в окружность, BD — его высота,
проведенная к основанию. По теореме
Пифагора AD = = =
= (см), и поэтому АС = 2 =
= (см), SABC =l-AC- =
= = (см2).
С другой стороны,
следовательно, R =
о _
^АВС
abc
(см), значит, SKpyra =
= (см2).
в) На рисунке окружность с
центром О и радиусом R описана около
равнобедренного треугольника ABC с
боковой стороной АВ = а и углом В = а,
ОЕ±АВ. Так как ОА = ОВ = Д, то
высота ОЕ треугольника АОВ является
его медианой, поэтому BE = - • =
В прямоугольном треугольнике ОБЕ
Z-OBE -§,
. S
круга
Ответ,
а) ; б).
см2; в).
40

79
Найдите площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию с
большим основанием а и острым углом а. (Задача 1117 (г) учебника.)
Решение. На рисунке круг с
центром О и радиусом г вписан в
равнобедренную ABCD.
Так как О — точка пересечения
биссектрис углов и , то A OAD =
= А = , поэтому
треугольник AOD — ,
следовательно, его высота ОН является
, и АН = Из
прямоугольного треугольника ОАН
находим: ОН = г= - •
щадь круга S = =
и пло-
Ответ.
80
На рисунке из точки А к
окружности с центром О проведены
касательные АВ и АС (В и С — точки касания),
А ВОС = 120°, а длина дуги ВМС
равна 12 см. Найдите длину окружности,
вписанной в фигуру АВМС, т. е.
касающейся сторон угла ВАС и дуги
ВМС.
Решение. Пусть Ох — центр
окружности, вписанной в фигуру АВМС,
D — точка касания этой окружности
со стороной АС. Обозначим радиус
окружности с центром О через R, а
радиус окружности с центром Ох через г.
nR
180
1) По условию А ВОС = 120°, поэтому длина дуги ВМС равна
. С другой стороны, по условию длина этой дуги
2nR
равна 12 см, следовательно,
, откуда R =
см.
41

2) Прямоугольные треугольники АВО и АСО равны по
гипотенузе и катету (АО — общая , ОВ = = R),
поэтому Z. BOA = Z. = \ = , Z ВАО = А. =
Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине ,
значит, АО = 2 • = , и аналогично, АОХ = 2 • =
3) АО = АОХ+ОХМ + , т. е. 2R = + + , г = ,
г = = (см), а длина окружности равна 2л • = (см).
Ответ.
см.
81
Площадь правильного треугольника больше площади
вписанного в него круга на 15д/з-5я. Найдите радиус круга.
Решение. Пусть окружность
радиуса г вписана в треугольник ABC.
Тогда АС = 2AD = 2г : = ,
полупериметр треугольника р = г,
SABC=P ' = > SKpyra = 7C"
По условию SABC - SKpyra = 15V3-5тг,
поэтому = 15 V3 - 5л, т. е.
г2- = 5 (Зл/з-я), откуда
г2 = , а г =
Ответ.
82
Найдите площадь кольца,
ограниченного двумя окружностями с общим
центром и радиусами Rx и R2, Rx < R2.
Вычислите площадь, если Rx = 1,5 см,
R2 = 2,5 см. (Задача 1120 учебника.)
Решение. Искомая площадь
кольца S = - =
= п Если Rx= 1,5 см,
R = 2,5 см, то S = см2 =
см*
Ответ.
см2
42

83
На рисунке дуга АтВ равна 150°, а
радиус R равен 2 см. Найдите площадь
закрашенного сегмента.
Решение. Пусть S — площадь
сегмента АтВ, Sx — площадь сектора
ОАтВ, S2 — площадь треугольника
АОВ, тогда S = -
= • Д2= (см2).
2)S2=-OA-OB-
(см2).
3)S = -
Ответ.
см''
84
Площадь сектора с центральным углом 72° равна S.
Найдите радиус сектора. (Задача 1127 учебника.)
Решение. Пусть R— радиус окружности. Тогда S =
• , откуда R2 = = и R =
Ответ.
85
В треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см вписана
окружность. Найдите площадь закрашенной фигуры.
Решение. Площадь S
треугольника можно найти по формуле Геро-
на S =,
= (см2).
С другой стороны, S = р - .
где
см, поэтому г
полупериметр р = _
= см, а площадь круга Sx= =
= (см2). Теперь можно найти
площадь закрашенной фигуры вф=
= S - S = - (см2).
Ответ.
см*
43

Глава XIII
Движения
Понятие движения
86
На рисунке даны прямая а и
треугольник ABC. Постройте фигуру F,
на которую отображается данный
треугольник при осевой симметрии с осью
а. Что представляет собой фигура F?
Решение. Построим точки Av
Bv Cv симметричные точкам А, В, С
относительно а, и
проведем отрезки AXBV BlCl и
Так как при движении, в частности
при осевой симметрии, треугольник
отображается на равный ему
, то искомой
фигурой является треугольник ,
равный треугольнику
а
87
На рисунке даны точка О и две
пересекающиеся прямые а и Ь.
Постройте прямые, на которые отображаются
прямые а и Ъ при центральной
симметрии с центром О.
Решение. Отметим на прямой а
какую-нибудь точку М, а на прямой
Ъ — точку Р так, чтобы эти точки не
совпадали с точкой С.
О
44

Затем построим точки Mv Cx и Рх, симметричные
М, С и относительно точки О. Так как при движении, в
частности при центральной , прямая отображается на
, то при данной симметрии прямая МС
отображается на прямую , прямая PC — на прямую
Итак, пересекающиеся в точке Сх прямые и — искомые.
88
На рисунке даны точка О и треугольник ABC. Постройте
фигуру F, на которую отображается треугольник ABC при центральной
симметрии с центром О. Что представляет собой фигура F?
Решение. Построим точки Ах,
Bj и Cj, симметричные точкам А, Б и
относительно О, и проведем
отрезки AXBV B1C1 и
Так как при движении, в частности
при центральной ,
треугольник отображается на равный
ему , то
искомой фигурой F является треугольник
, равный треугольнику
Параллельный перенос и поворот
89
Постройте фигуру, на которую отображается данная трапеция
ABCD при параллельном переносе на данный вектор а.
Решение. Построим точки Ах, _^
Вх, С1 и Dv которые получаются из
точек А, В, С и В параллельным
переносом на вектор а, и проведем
отрезки AXBV BXCV ClD1 и DjAx. Так как при
движении любая фигура отображается
на , то
искомой фигурой является трапеция
D
45

90
Даны отрезок MN и точка О.
Постройте отрезок MXNV который
получается из данного отрезка MN
поворотом вокруг данного центра О:
а) на угол 150° по часовой стрелке;
б) на угол 135°против часовой стрелки.
Решение.
а) Построим сначала угол hk,
равный 150°. Таким углом является,
например, угол, смежный с
Затем от луча ОМ отложим угол МОК,
равный построенному hk, так,
чтобы поворот от луча ОМ к лучу ОК
на 150° осуществлялся по часовой
, и отметим на луче ОК
Мх так, что ОМХ = ОМ.
Аналогично построим угол NONV причем
ON% = Так как поворот является
движением, то отрезок отображается
на
Следовательно, отрезок —
искомый.
б) Построим сначала угол hk, равный
135°. Таким углом является, например,
угол, смежный с
Затем от луча ОМ отложим
МОМХ, равный построенному углу
, так, чтобы от
луча ОМ к лучу ОМХ на 135°
осуществлялся
стрелки, причем ОМХ = ОМ.
Аналогично построим угол , где
= Так как при движении,
в частности при повороте, отрезок
отображается на
то отрезок
искомый.
46
30
h
а)
45
т
м

91
На рисунке точка D является точкой пересечения биссектрис
равностороннего треугольника ABC. Докажите, что при повороте
вокруг точки D на угол 120° треугольник ABC отображается на
себя. (Задача 1168 учебника.)
Решение.
Рассмотрим, например, поворот по
часовой стрелке. Каждый из углов А и
и
В треугольника ABD равен — •
. Следовательно, DA =
A ADB = . Поэтому при повороте
вокруг точки D на угол 120° по
часовой стрелке вершина А отображается
в вершину По аналогичной
причине вершина В отображается в
вершину , а вершина С — в вершину
Следовательно, треугольник ABC
отображается на
АВС9 т. е. на себя.
92
Докажите, что при повороте
квадрата вокруг точки пересечения его
диагоналей на угол 90° квадрат
отображается на себя. (Задача 1169
учебника.)
Решение.
Диагонали квадрата равны, взаимно
и делятся
точкой пересечения
Следовательно, при повороте вокруг
точки О пересечения диагоналей на
каждая из вершин квад-
90°
рата ABCD отображается в соседнюю
этого квадрата, а значит,
квадрат отображается на
В
47

а
b
4h-
-ю-
D
93
Используя параллельный перенос,
постройте трапецию по ее
основаниям и диагоналям. (Задача 1182
учебника.)
Решение.
Пусть требуется построить
трапецию ABCD с основаниями AD и ВС,
равными данным отрезкам а и Ь, и
диагоналями АС и , равными
данным dx и dr
1) Построим сначала отрезок AD,
равный отрезку а.
2) На луче AD от точки D отложим
отрезок DDV равный Ъ.
3) Построим треугольник ACDV
стороны АС и CDX которого равны данным
отрезкам dx и d2.
4) Построим точку В, в которую
отображается точка С при
параллельном на вектор DJ).
Выполните указанные построения
самостоятельно.
Четырехугольник ABCD — искомая трапеция.
В самом деле, стороны AD и ВС этого четырехугольника
параллельны и данным отрезкам и , диагональ АС
равна отрезку
параллельным
а диагональ BD получается из отрезка X
на вектор Поэтому
BD
, т. е. диагональ BD равна данному отрезку

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава X. Метод координат
§1. Координаты вектора 3
§2. Простейшие задачи в координатах 7
§3. Уравнение окружности и прямой 11
Глава XI. Соотношения между сторонами и углами
треугольника. Скалярное произведение
векторов
§1. Синус, косинус, тангенс угла 18
§2. Соотношения между сторонами и углами треугольника 22
§3. Скалярное произведение векторов 26
Глава XII. Длина окружности и площадь круга
§1. Правильные многоугольники 32
§2. Длина окружности и площадь круга 36
Глава XIII. Движения
§1. Понятие движения 44
§2. Параллельный перенос и поворот 45