Библиотека учителя математики
Н. Я. ВИЛЕНКИН,
A. Г. МОРДКОВИЧ,
B. К. СМЫШЛЯЕВ
АЛГЕБРА
И НАЧАЛА
АНАЛИЗА
ПРОБНЫЙ УЧЕБНИК
ДЛЯ 9—10 КЛАССОВ
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Материалы для ознакомления
Москва «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1981

ББК 22. 14я72
В44
Рекомендовано
Главным управлением школ
Министерства просвещения СССР
Виленкин Наум Яковлевич
Мордкович Александр Григорьевич
Смышляев Виктор Константинович
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Пробный учебник для 9—10 классов
Редактор Л. М. Котова, обложка художника Б. Л. Николаева,
художественный редактор Е. Н. Караснк, технический редактор Н. А. Биркина,
корректор Т. В. Царикова.
ИБ № 6776
Подписано к печати с матриц 22. 04. 81. бОхЭО1/^- Бум. типограф. № 2. Гарнит.
лит. Печать высокая. Усл. печ. л. 24. Уч.-изд. л. 20,41 Тираж 250 000 зкз.
Заказ 87. Цена 70 коп. Ордена Трудового Красного Знамени издательство
«Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и
книжной торговли. .Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41, Саратовский ордена Трудового
Красного Знамени полиграфический комбинат Росглавполиграфпрома
Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Саратов
ул. Чернышевского, 59.
Виленкин Н. Я. и др.
В44 Алгебра и начала анализа. Пробный учебник для 9—10 кл.
сред, школы. Материалы для ознакомления/Н. Я. Виленкин,
А. Г. Мордкович, В. К.Смышляев. — М.:Просвещение, 1981.—
383 е. —(Б-ка учителя математики).
Предлагаемая вниманию учителя книга представляет собой пробный учебник по
алгебре и началам анализа в 9—10 классах.
С 1931/82 учебного года он проходит проверку в ряде школ страны.
л 60501—495 ,„л™,лллл ББК. 22. 14я72
В 103{03Ь81 П°^ИСКОе 430301040а 512(075)
© Издательство «Просвещение», 1981 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I
Числовые функции и их пределы
§ 1. Действительные числа и числовые функции
1. Рациональные и иррациональные числа. Бесконечные
десятичные дроби ' 7
2. Сравнение действительных чисел. Арифметические операции
над действительными числами 9
3. Координатная прямая и координатная плоскость 15
4. Функции и выражения 18
5. График функции 23
6. Параллельный перенос графиков 27
7. Основные результаты 29
§ 2. Предел функции на бесконечности
8. Бесконечно малые функции 37
9. Теоремы о бесконечно малых функциях 42
10. Предел функции на бесконечности 44
11. Вычисление пределов <8
12. Предел последовательности 51
13. Основные результаты 52
§ 3. Предел функции в точке. Непрерывные функции
14. Окрестность точки ' 58
15. Функции, бесконечно малые при х -> а 59
16. Предел функции в точке 61
17. Непрерывные и разрывные процессы. Непрерывные функции 65
18. Функции, непрерывные на отрезке 71
19. Решение неравенств методом промежутков ......... 74
20. Основные результаты 76
Исторические сведения к главе I 80
Глава II
Производная и ее приложения
§ 4. Производная
21. Приращение функции 83
22. Дифференцируемые функции 85
3

23. Производная 88
24. Касательная прямая и ее уравнение 91
25. Производная и скорость 95
26. Дифференцирование суммы 97
27. Дифференцирование произведения 100
28. Дифференцирование степени функции и дроби 102
29. Основные результаты 105
§ 5. Приложения производной
30. Максимумы и минимумы ПО
31. Отыскание наибольших и наименьших значении функций ... 114
32. Исследование функций на возрастание и убывание 118
33. Построение графиков функций ........ 122
34. Основные результаты 123
Исторические сведения к главе II 129
Глава III
Тригонометрические функции
§ 6. Определение тригонометрических функций
35. Длина дуги окружности. Радианпая мера дуги 131
36. Координатная окружность 132
37. Координатная окружность и координатная плоскость .... 136
38. Определение синуса и косинуса 139
39. Некоторые свойства синуса и косинуса 142
40. Определение тангенса и коташенса 146
41. Соотношения между тригонометрическими функциями одного
и того же аргумента 149
42. Таблицы значений тригонометрических функций 151
43. Решение уравнений вида sin t = т. Арксинус 153
44. Решение уравнений вида cos t = m. Арккосинус 158
45. Решение уравнений вида tg t = т. Арктангенс 161
46. Основные результаты 163
§ 7. Исследование тригонометрических функции и построение их графиков
47. Периодические функции. Периодичность тригонометрических
функций 171
48. Четные и нечетные функции. Четность косинуса, нечетность
синуса, тангенса и котангенса 175
49. Свойства и графики функций sin x и cos х 178
50. Свойства и график функции tg x 183
51. Решение тригонометрических неравенств 186
52. График гармонического колебания 188
53. Основные результаты . 192
§ 8. Формула косинуса разности и ее следствия
54. Формула косинуса разности 195
55. Формулы синуса и косинуса суммы 193
56. Формула тангенса суммы 200
57. Формулы приведения 202
4

C8. Формулы удвоения аргументов 201
59. Формулы понижения степени 207
60. Преобразование суммы тригонометрических функций в
произведение 209
61*. Преобразование произведения тригонометрических функций
в сумму 211
62. Решение тригонометрических урлзнонл i 213
63. Основные результаты 216
Задачи для повторения 222
§ 9. Дифференцирование тригонометрических функций
64. Вычисление некоторых пределоз, сзязлнтлх с
тригонометрическими функциями 227
65. Дифференцирование тригонометрических функций 230
66. Скорость и ускорение гармонического колебания 234
67. Понятие о дифференциальном уравнении 235
68. Основные результаты 237
Исторические сведения к главе III 240
Глава IV
Первообразная и интеграл
§ 10. Первообразная и интеграл
69. Определение первообразной 242
70. Множество первообразных 243
71. Правила отыскания первообразных . 246
72. Интеграл 249
73. Свойства интеграла 252
74. Площадь криволинейной трапеции 254
75*. Приближенное вычисление интегралов 259
76. Основные результаты 262
Исторические сведения к главе IV 267
Глава V
Показательная и логарифмическая функции
§11. Показательная и логарифмическая функции
77. Свойства показательной функции 239
78. Логарифмическая функция 275
79. Свойства логарифмов 277
80. Простейшие показательные уравнения и неравенства .... 280
81. Решение показательных уравнений и неравенств 283
82. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства . . . 285
83. Решение логарифмических уравнений и неравенств 287
84*. Сравнение роста степенной, показательной и логарифмической
функций 292
85. Основные результаты 293
§ 12. Дифференцирование показательной и логарифмической функций
86. Число «е». Производная показательной функции 297
5

87. Производная логарифмической функции 301
88. Дифференциальное уравнение показательного роста и убывания. 305
89. Основные результаты 303
Исторические сведения к главе V 310
Глава VI
Уравнения и неравенства.
Системы уравнений и неравенств
§ 13. Уравнения и неравенства с одной переменной
90. Равносильные уравнения. Следствия уравнений 311
91. Основные приемы решения уравнений 317
92. Иррациональные уравнения 320
93. Равносильные неравенства 323
94. Системы и совокупности неравенств с одной переменной . . . 326
95*. Иррациональные неравенства 329
96. Основные результаты 330
§ 14. Уравнения и неравенства с двумя переменными
97. Основные методы решения систем уравнений 336
98. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными . . . 344
99. Основные результаты 347
Задачи для повторения 350
Разные задачи 353

Глава I
ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ПРЕДЕЛЫ
§ 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
1. Рациональные и иррациональные числа. Бесконечные
десятичные дроби. Из курса математики вы знаете, что все целые и
дробные числа называют рациональными числами. Множество
рациональных чисел обозначают буквой Q. В курсе алгебры 7-го
класса было отмечено, что существуют числа, не являющиеся
рациональными, т. е. числа, которые нельзя записать в виде дроби
— , где т — целое число (т 6 Z), а п — натуральное число (я£ N).
п
Такие числа были названы иррациональными. Можно доказать,
что иррационально, например, любое число вида у/И или — у а,
где a £JV, a ^a^N. Так, иррациональны числа |/"2, угЬ, —1/6.
Иррациональность чисел ке всегда связана с извлечением корней.
Например, число п иррационально, однако оно не выражается
через корни из рациональных чисел.
Множество иррациональных чисел обозначают буквой /.
Объединение множества рациональных чисел с множеством
иррациональных чисел называют множеством действительных чисел и
обозначают буквой /?. Таким образом, каждое действительное число
является либо рациональным, либо иррациональным числом.
Любое действительное число можно записать в виде бесконечной
десятичной дроби, например:
0,21 = 0,21000...
18 = 18,000...
1 = 0,333...
3
1/2" = 1,4142...
—л = —3,14159...
Чтобы записать рациональное число в виде бесконечной
десятичной дроби, надо сначала записать это число в виде
обыкновенной дроби, а потом разделить «уголком» числитель на знаменатель.
Например, деля 7 на 74, убеждаемся, что
^ = 0,0945945945...
74
7

Получилась бесконечная десятичная дробь, у которой, начиная со
второго знака после запятой, все время повторяется одна и та же
совокупность цифр 945. Такие бесконечные десятичные дроби
называют периодическими у а повторяющуюся совокупность цифр —
периодом дроби. Для краткости период дроби принято писать один
раз, заключив его в круглые скобки, например:
1 = 0,333...-0,(3),
3 v J
~-0,0(945).
Можно доказать, что бесконечные десятичные дроби, выражающие
рациональные числа, всегда периодичны и что, обратно, любая
бесконечная периодическая десятичная дробь выражает некоторое
рациональное число. Поэтому иррациональные числа записываются
в Еиде бесконечных десятичных непериодических дробей.
Например, дробь 0,1010010001000010... является записью
иррационального числа. В этой дроби число нулей между
соседними единицами все время увеличивается, и поэтому никакая
совокупность цифр не повторяется периодически.
В дальнейшем множество положительных действительных чисел
будем обозначать /?+, а множество отрицательных действительных
чисел i?_, например:
4,92506... £Я+,
—2,31753... €/?_.
Длину любого отрезка, площадь любого многоугольника, объем
любой призмы можно выразить положительным действительным
числом, а любое изменение этих величин (как увеличение, так и
уменьшение) — положительным или отрицательным
действительным числом.
Введем понятие модуля действительного числа:
Определение 1. Модулем
действительного числа а называют число j a J такое, что
( а, если а 6 R+1
| а | = 0, если а = 0;
I —а, если а 6 /?_■
Например, |5| = 5; 1—3,45| = —(—3,45) = 3,45; |0,2734...| =
= 0,2734... .
Справедливо равенство |—а\ = \а\.
Упражнения
1. Запишите в виде бесконечной десятичной дроби
рациональное число:
а) 4; б) 3-; в) -; г) 2.
8

2. а) Назовите по два числа из множеств N, Z, Q, /, R+i R--
б) Верно ли, что 5 6 N, 5 £ Z, — 6 6 Q, | € Q, 3,(1) 6 /?
3. Какие из приведенных ниже утверждений истинны, а
какие ложны:
а) 2,(4) е/; г) ]/Те/; ж) lg 10 еб;
б) 2,(4) 6 С; Д) К2_6/?; з) lg 0,1 6 7;
в) 2,(4) 6 Л; е) тЛб 6 /; и) sin 30° 6 /?
Решите уравнение и укажите, рациональны или
иррациональны его корни:
4. a)^-4 = 9~2A=ii; 6)I±S?_i+i±f = 7x.
7 5 9 ' 4 9
5. а) ;к2 — х — 2 - 0; в) З.*а + * — 4 = 0
6.
б) а:2 — 2х — 1 - 0; г) 3;с2 + * — 5 = 0.
2,1 4
2 — jc 2 2л: — х2
7. Найдите числовое значение выражения при данных
значениях переменных и укажите, рационально оно или
иррационально:
а) (а2 — 2) (а4 + 2а2 + 4) при а - у"27
ЛЧ *2 + 2л;+ 1 9л:4 0 0
б) —— !— • при л: = 2,3;
в)(-^г):Ы при * = /4; G = /3-
8. Каким числом — рациональным или иррациональным -—
является значение выражения:
а) (3]/j8 + 2]/"8 + 4]/50 — 5J/72) : 3]/2; _
б) (|/2 + I)2 + (1 - V2)2 - (У 7 + 1) fl/7 - 1)?
2. Сравнение действительных чисел. Арифметические операции
над действительными числами. На практике часто приходится
сравнивать различные величины, например длины отрезков,
площади фигур и т. д. Поскольку эти величины могут выражаться как
рациональными, так и иррациональными числами, то надо уметь
сравнивать друг с другом любые действительные числа. Для
того чтобы сравнить действительные числа, их записываьот в виде
бесконечных десятичных дробей и сравнивают по тому же правилу,
что и конечные десятичные дроби.
Пример 1. Что больше: длина гипотенузы прямоугольного
треугольника с катетами 1 и 3 см или длина окружности радиуса
0,5 см?
Р е ш е н и ^_ По теореме Пифагора длина гипотенузы равна
У I2 + З2 = У10 см. Длина окружности равна 2п • 0,5 = п см.
9

Чтобы сравнить числа У10 и я, запишем их в виде бесконечных
десятичных дробей:
УТ0 = 3,1622...,
я -3,1415... .
Целые части обоих чисел (т. е. числа, стоящие до запятой)
одинаковы — они равны 3. Одинаковы и цифры десятых — в обоих
числах они равны 1. Но цифра сотых для У10 равна 6, а для я
она равна 4. Так как 6 > 4, то У10 >я.
Пример 2. Какое из чисел больше: —У10 или л?
Решение. Так как любое положительное число больше
любого отрицательного числа, то я > —У10.
При м е р 3. Какое из чисел больше: —У10 или —я?
Решение. Из двух отрицательных чисел то больше, у
которого меньше модуль. Так как |— ]/10| =]/"10, |—я|=я и ]/Л10>я,
то — У ТО <—я.
Для любого действительного числа х существует такое целое
число п, что верно неравенство п ^ х < п + 1. Это число п
называют целой частью числа х и обозначают [я]. Например, 3 ^ я < 4
и потому [я] = 3; —5 ^ —5,32... < —5 и потому [—5,32...] = —6.
В результате практических измерений получают приближенные
значения чисел, которые всегда можно записать в виде конечных
десятичных дробей (например, говорят, что рост человека равен
176,4 см, его масса равна 72,35 кг). Однако в результате
различных операций над числами (например, при извлечении
квадратного корня для отыскания длины гипотенузы) могут
возникнуть бесконечные десятичные дроби. На практике эти числа
округляют так же, как это делают с конечными десятичными дробями.
Пример 4. Найдем десятичные приближения числа ]/3 по
недостатку и по избытку с точностью до 0,001 и до 0,00001.
Решение. Запись числа ]/"3 в виде бесконечной десятичной
дроби имеет вид |/~3 = 1,73205... . Отбрасывая все цифры,
идущие после разряда тысячных, получаем десятичное приближение
для УЗ по недостатку: УЪ « 1,732. Прибавляя к числу 1,732
число 0,001, получим приближение для ]/~3 с той же точностью
по избытку: УЪ ж 1,733. Таким же образом получаем
приближения для УЗ с точностью до 0,00001: ]/3 « 1,73205 (по
недостатку), УЗ& 1,73206 (по избытку).
В различных задачах приходится выполнять над
действительными числами арифметические операции — сложение, вычитание,
умножение, деление. Например, чтобы найти периметр
прямоугольника со сторонами УЗ и У5 см, надо найти значение выражения
2(\/~3 + УЕ), а чтобы найти площадь того же прямоугольника,
надо найти значение выражения У 3 • У5.
ю

Для любых двух действительных чисел существует их сумма,
разность, произведение и частное (последнее при условии, что
делитель не равен нулю). При этом арифметические операции в
множестве R действительных чисел обладают теми же свойствами1,
что и соответствующие операции в множестве рациональных чисел.
Например, для любых двух действительных чисел а и b
выполняются равенства а + Ь = Ъ + a, ab = Ьа9 а + (Ь + с) = {а + Ь) + о
и т. д.
Для практических целей нужно уметь отыскивать
приближенные значения суммы, разности, произведения или частного двух
чисел, зная записи этих чисел в виде бесконечных десятичных
дробей. Для этого заменяют компоненты действий их десятичными
приближениями и пользуются известными из курса алгебры 6—8-го
классов свойствами неравенств, которые остаются верными для
любых действительных чисел2.
Пример 5. Найдем с точностью до 0,001 см периметр
прямоугольника со сторонами ]/3 и ]/~5 см и с точностью до 0,1 см2
площадь того же прямоугольника.
Решение. Для отыскания периметра прямоугольника
возьмем приближения для длин сторон с точностью до 0,0001. Так как
У3= 1,73205..., ]/5 = 2,23606..., то имеем:
1,7320 < 1/3" < 1,7321; 2,2360 < |/"5 < 2,2361.
Отсюда следует, что
2 (1,7320+2,2360)<2(|/"3 + 1/5) < 2 (1,7321 + 2,2361).
Выполнив вычисления, получим:
7,9360 < 2 (КЗ + 1/5) < 7,9364.
Поэтому с точностью до 0,001 см периметр прямоугольника равен
7,936 см.
Для отыскания площади прямоугольника возьмем десятичные
приближения для ]/3 и ]/5 с точностью до 0,01:
1,73 < ]/3 < 1,74; 2,23 <|/5 < 2,24.
Отсюда следует, что
1,73 • 2,23 < 1/3 - "J/5 < 1,74 • 2,24,
т. е.
3,8579 < 1/3". 1/5 < 3,8976.
Это значит, что с точностью до 0,1 площадь прямоугольника
равна 3,8 см2.
Чтобы получить более точные значения для периметра и для
площади прямоугольника, надо взять с большей точностью
приближения для 1/3 и 1/5.
Эти свойства перечислены ниже, в пункте 7 «Основные резулыаты».
2 Там же.
11

Пример 6. Найдем разность "|/"2 — — с точностью до 0,0001.
о
Решение. Так как >л2~= 1,41421 ..., — = 0,33333 ..., то
о
1,41421 < |/"2"< 1.41422; 0,33333 < — < 0,33334.
о
Отсюда следует, что
1,41421—0,33334 </2~—--< 1,41422 — 0,33333
о
и потому
1,08087 < У2 — — < 1,08089.
3
Значит, с точностью до 0,0001 имеем:
V2— \ «1,0808.
о
Выше мы говорили о сумме, разности, произведении и частном
двух действительных чисел, не дав точных определений этим
понятиям. Приведем эти определения:
Определение 2. Суммой положительных
действительных чисел а и Ь называют такое число с = а + &, которое не меньше
чем сумма любых десятичных приближений для а и 6 по
недостатку, ко меньше чем сумма любых десятичных приближений тех же
чисел по избытку.
Определен и еЗ. Произведением
положительных действительных чисел а и Ь называют такое число £=#&,
которое не меньше, чем произведение любых десятичных приближений
для а и & по недостатку, но меньше, чем произведение любых
десятичных приближений тех же чисел по избытку.
Определение 4. Если а и Ь — положительные
действительные числа, такие, что а >&, то разностью чисел а и О
называют такое число с = а — &, что а = Ь + с.
Определение 5. Частным от деления
положительных действительных чисел а и & называют такое число £=—,
ь
что a— be.
При выполнении арифметических операций над
действительными числами произвольных знаков используют правила, известные
из курса алгебры восьмилетней школы для рациональных чисел.
Например, выше мы видели, что ]/~3 • ]/~5 = 3,8... . Поэтому
Y3 • (-V5) = -3,8...; (-1/3) • (-К5) = 3,8... .
12 12
Рассмотрим сумму [ . Имеем: — + —-== 1 == 1,000... 0... . С другой
о о о о
1 2 12
стороны, имеем: — = 0,333...3...,--== 0,666.. 6... Значит,— + — = 0,999...9...,
3 3 о о
а потому считают, что бесконечные десятичные дроби 0,999...9... и 1,000...0..•
12

задзюг одно и то же действительное число (равно как и дроби 0,5000...0... и
0,49939...9... или дроби 7,29000...0 .. и 7,28999...9...). Поэюму условились не
применять бесконечных десятичных дробей, которые оканчиваются
последовательностью девяток (каждую такую дробь можно заменить дробью,
оканчивающейся последовательностью нулей).
Из определения модуля (п. 1) следует, что для любого
действительного числа а справедливы неравенства
\а\ >0; а< \а\.
Отметим также следующие свойства модулей действительных
чисел:
Ш - \а\ • 161;
1^(6^0);
~2.
\а\й = <г
\а — Ь\ = \Ь — а\.
Докажем следующее утверждение о модулях действительных
чисел:
Теорема. Модуль суммы двух действительных чисел не
больше, чем сумма модулей этих чисел:
|a + »|<|a|+|ft|. (1)
Доказательство. Возможны следующие три случая:
а) оба слагаемых имеют одинаковые знаки,
б) слагаемые имеют противоположные знаки,
в) хотя бы одно из слагаемых равно нулю.
Если знаки слагаемых совпадают, то модуль суммы равен сумме
модулей слагаемых, т. е. \а + Ь\ = |а| + \Ь\. В этом случае
неравенство (1) справедливо. Если слагаемые имеют противоположные
знаки, модуль суммы равен разности большего и меньшего из
модулей слагаемых и потому он меньше суммы этих модулей, т. е.
\а + Ь\ < \а\ -{- \Ь\. Значит, неравенство (1) справедливо и в
случае б). Наконец, если какое-нибудь из слагаемых равно нулю,
например Ъ = 0, то доказываемое неравенство снова справедливо,
поскольку
|а + 0| = \a\+ 101 = \а\.
Теорема доказана.
Например:
|-7 -4|= |-7|+ |-4| - 11,
1-7 +4|= |-7|- |4| < |-7|+ |4|.
Упражнения
5
9. а) Представьте рациональные числа —, — в виде бесконеч-
5 6
ных десятичных дробей.
13

б) Запишите двойные неравенства, связывающие каждое из
данных чисел с его приближениями по недостатку и по
избытку с точностью до 1, 0,1, 0,01, 0,001.
в) По правилу округления найдите приближенные значения
заданных в а) чисел с точностью до 0,01.
10. а) Верно ли, что числа 2,2 и 2,3 являются десятичными
приближениями по недостатку и по избытку числа ]/~5 с
точностью до Ю-1?
б) Не пользуясь таблицами квадратов и квадратных корней,
установите, какая из пар чисел: 4,7 и 4,8 или 4,8 и 4,9 —дает
десятичные приближения числа ]/ 23 соответственно по
недостатку и по избытку с точностью до Ю-1.
11. Укажите верные среди следующих неравенств:
а) 3,26 <3- <3,27; в) 3,141 <я < 3,142;
б) 3,140 < я < 3,141; г)" 1,71 < ]/3 < 1,72.
12. Найдите десятичные приближения числа ]/30 по недостатку
и по избытку с точностью до 10~2.
13. Сравните числа:
а) п = 3,14159... и а = 3,14149...;
б) а = —0,10101... и Ъ = —0,101001....
14. Исходя из определения модуля действительного числа,
решите уравнение:
а) \х — 2| - 3; б) |3 — 2х\ - 5.
15. а) Чему равен ]/*а2?
б) Упростите выражение У (а — I)2 при а < 1.
в) Упростите выражение ]/4 — 4х + х2 при х < 2.
16. Замените заданное выражение выражением без знака
модуля:
а) |2-1/2|; б) |]/2-КЗ|.
17. Исходя из определения модуля действительного числа,
решите неравенство:
а) |* —2| <3; б) |* + 3| > 5.
18. а) В каких границах заключено число 4,9 ± 0,2?
б) Пусть л: = 32,7 ±0,1. С какой относительной
погрешностью указано приближенное значение числа х?
в) Округлите число 9,4 до единиц и найдите абсолютную
и относительную погрешность округления.
19. Определите относительную погрешность взвешивания 1 л
воды, если получили результат 999,847 ± 0,001 г.
20. При определении молярной газовой постоянной получилось,
что R « 8,31 Дж/моль • К. Зная, что относительная погреш-
14

ность этого значения равна 0,1 °/0, найдите границы, между
которыми заключено число R.
21 Учитывая, что я & 3,14159265..., найдите относительную
22 355
погрешность приближенного равенства: а) я « -~-; б) я « —-.
22. Найдите с точностью до 0,01 сумму а + 6^ если:
а) а = л, 6 = |/"3; б) а - ]/~17, 6 = /30.
23. Найдите с точностью до 0,1 произведение ab, _если:
а) а = 0,352...; 6 = 0,824...; б) а = я, 6 = 1/5.
24. Вычислите с точностью до 0,01 площадь квадрата, если
длина стороны квадрата равна 2,1211... .
25. Вычислите с точностью до 0,01 площадь круга радиуса 10 см.
26. Зная, что я = 3,14159..., найдите значение я2 с двумя
знаками после запятой и оцените относительную погрешность
приближенного равенства я2 « 10.
3. Координатная прямая и координатная плоскость. В курсе
математики восьмилетней школы были введены координаты на
прямой и на плоскости. Каждому рациональному числу х
соответствовала точка М (х) на координатной прямой1, а каждой паре (х, у)
рациональных чисел — точка М (х, у) на координатной плоскости2.
После введения действительных чисел можно задавать
координатами любые точки на прямой и на плоскости. Иными словами,
Еерны следующие утверждения:
а) Каждому действительному числу х соответствует одна и
только одна точка М (х) на координатной прямой, имеющая
координату х\ каждой точке на координатной прямой соответствует
одно и только одно число — координата этой точки.
б) Каждой паре (л:, у) действительных чисел соответствует
одна и только одна точка М (х, у) на координатной плоскости,
для которой абсцисса равна х} а ордината равна у; каждой точке
на координатной плоскости соответствует одна и только одна
пара чисел — координаты этой точки.
Говоря о действительных числах, часто используют
геометрические термины. Например, вместо «точка координатной прямой
с координатой, равной числу х», говорят «точка х»9 а на
координатной прямой вместо М (х) пишут просто х. Геометрические термины
используют и для числовых промежутков (рис. 1).
Из курса геометрии известно, что расстояние между точками
А (а) и В (Ь) координатной прямой равно \Ь — а\\
\АВ\ = \Ь-а\. (2)
То есть на прямой, на которой выбраны начало отсчета О, направление и
единица измерения длин.
То есть на плоскости, на которой выбраны две взаимно перпендикулярные
координатные прямые (ось абсцисс и ось ординат), имеющие общее начало отсчета
(точку пересечения этих прямых) и одну и ту же единицу измерения длин.
15

<У
x b
a<x<b
J a, b [- интервал"
5)
a x ь
Г/2,61 —отрезок
Рис. 1
Рис.3
Пример 2.
Решение.
Пример 1. Найдем расстояние между точками Л(—4) и В (6).
Решение. По формуле (2) имеем:
\АВ\ = |6-(-4)|= |101 = 10.
Решим уравнение \х — 2| = 3.
Нам нужно найти на координатной прямой точки,
расстояние которых от точки 2 равно трем. Это точки х1 = —1
и Хо = 5 (рис. 2). Значит, множество решений уравнения таково:
{-1, 5}.
Пример 3. Решим неравенство \х + 21 ^ 4.
Решение. Множество решений заданного неравенства
изображается на координатной прямой совокупностью таких точек М,
что | АМ\ ^ 4, где А — А (—2). Эти точки лежат между точками
А'х = —6 и #2 = 2 и образуют отрезок [—6, 2] (рис. 3). Таким
образом, множество решений заданного неравенства есть [—6, 2].
Соотношение (2) позволяет дать геометрическое истолкование
доказанному в п. 2 неравенству | а + Ь\ ^ | а\ + \Ь\. Если
заменить в нем b на —b и принять во внимание, что |—b\ = |6|, оно
примет вид) а— b|<JI#| + \Ь\. Так как \а\ — расстояние от
начала координат до точки А (а), \Ь\ — расстояние от начала
координат до точки В (Ь) и \а — Ь\ — расстояние между точками А к В
(рис. 4), то это неравенство означает, что расстояние между
точками А и В не больше, чем сумма расстояний этих точек от начал?
координат.
Рис. 4
16

Теперь возьмем две точки
А (хг, у\) и В (х2, у2) на
координатной плоскости (рис. 5).
Выведем формулу расстояния
между этими точками. Имеем:
|Л5|2 = |ЛС|2 + |ВС|2.
Но \АС\ = \х2 — хг\, а |ЯС| =
= |у2 — ух\. Так как \х2—х1\2=
= (х2 — х1)\ \у2 — уг\2 =
= (У2 —Ух)2, то
MB|» = (^-^ + (y2-yi)a
и потому
|Л5|=]/(х2-лЧ)2 + (у2-У1)2.
Пример 4. Найдем расстояние между точками А (1, 3) и
В (4, -1).
Решение. Имеем:
\АВ\
]/(4 _ 1)2 + (—1 — З)2 - ]/"9 -J- 16 = 5.
Упражнения
27. Изобразите на координатной прямой точки Л (3), В f—2).
Найдите расстояние между ними.
28. Где на координатной прямой лежит точка х9 если:
а) |*| = 2; б) |х—1| = 2; в)|*|<5; г)|*|>2;
д) \х— 1| <3?
29. Используя геометрическое истолкование выражения \х — а\,
решите уравнение:
а) \х\ =1/3; б) \х — 3| = 2.
30. Используя геометрическое истолкование выражения \х — а\7
решите неравенство:
а) |* —2| < 3; б) \х—\\ > 3.
31. Запишите с помощью знака модуля неравенство:
а) —1 <*< 1; б) 2<х<6.
32. Переменная х принимает все значения из числового
промежутка, изображенного на рисунке 6. Задайте каждый
промежуток с помощью неравенства, содержащего модуль.
i^\\\4^^^
,£ШЩ>-
7
а)
6)
Рис. 6
17

33. Найдите наименьшее из натуральных чисел я,
удовлетворяющих неравенству:
37,
а)
<0,2; б) —^—< 0,01; в)
1 ' ' ' ' /г + 4
34. Решите неравенство:
п + 2
1 < 0,01.
а)
1
<
1
б)
х+1
< 0,01.
35. Изобразите на координатной плоскости точки А (1; 0),
В (2; —3), С (0; 2), D (—3; —2). Найдите расстояние между
точками В и D; А и С.
36. Изобразите множество точек, координаты которых
удовлетворяют уравнениям:
а) х = 2; б)у = 0; в) * =-1; г) у = —1,(3).
Если массы тъ тъ ..., тл помещены в точки Ах {хх\ у2),
А2 (х2\ у2), ..., Ап (хп\ уп) координатной плоскости, то
координаты центра масс выражаются формулами
^_ т1х1 + т2х2+ ... + тпхп . /П]Уг + ЩУ2 + - + тпуп
т1 + т2 + ...+тп ' т1+т2 +...+тп
Пусть массы 2, 4, 6, 8 помещены соответственно в точках
Аг (3; 5); А2 (4; —3); А3 (8; —1); Л4 (—3; 5). Найдите
координаты центра масс.
38. Найдите центры масс фигур, изображенных на рисунке 7.
39. Найдите центры масс ломаных, изображенных на рисунке 8.
40. Решите уравнение:
а) \2х — х2 — 3| = 1; б) U2 —Зх + 3| = 2.
Иррациональны или рациональны корни этих уравнений?
4. Функции и выражения. Понятие функции было введено в
курсе алгебры восьмилетней школы. С помощью функций описывают
функциональные зависимости между величинами, т. е. такие, что,
зная значение одной величины, можно найти значение другой вели-
У\
4
л
2-
1
0.ПП2 3 4 'Я
а)
ЕГ
У%
Ч
-2
6)
У\
в-
$■
3-
2
1-
0_
I
«—
2 s
3 4 .
5 X
Рис. 7
Рис. 8
18

чины. Например, зная длину х стороны квадрата, находим его
площадь по формуле S = х2.
Чтобы задать числовую функцию, нужно задать числовое
множество X (т. е. подмножество в R) и правило, по которому каждому
числу х из этого множества соответствует однозначно определенное
число (значение функции). Переменную, принимающую значения
из множества X, называют аргументом данной функции. Если
функция обозначена буквой / и а 6 X, то значение функции при
значении аргумента, равном а, обозначают / (а).
Множество X, на котором задана функция /, называют областью
определения этой функции и обозначают D (/). Множество всех
значений функции / обозначают Е (/).
Пример 1. Найдем область определения и множество
значений функции, описывающей зависимость площади квадрата от
длины его стороны.
Решение. Так как длина стороны квадрата всегда
положительна, то областью определения данной функции является
множество R+ положительных чисел: D (/) = /?+. Площадь квадрата
тоже всегда положительна. При этом любое положительное
число 5 является площадью некоторого квадрата (со стороной Y~S).
Значит, и множеством значений рассматриваемой функции /
является R+ : Е (/) = /?_]_. Эта функция ставит з соответствие
каждому числу х 6 R+ число х2.
Подробная запись функции, ставящей в соответствие каждому
положительному числу х его квадрат, такова: /: я-> г2, х £ R+-
Мы будем применять более короткую запись: я2, где х 6 /?+, или
х2у х 6 /?+.
В большинстве случаев функции задают с помощью выражений,
указывающих, как по данному значению аргумента найти
соответствующее значение функции (это выражение задает программу
вычисления значения функции). Одно и то же выражение задает
бесконечное множество функций. Эти функции отличаются друг от
друга множествами, на которых они заданы. Например, различны
функции / и g, где
/ (х) = Зх2 + 6, х б Л,
g (х) = Зх2 + 6, х е R+.
Значение / (—2) равно 3 • (—2)2 + 6 = 18, а значение g (—2) не
определено, так как функция g задана лишь при положительных
значениях х.
Иногда одна и та же функция задается различными
выражениями на разных участках значений х. На рисунке 9 изображена
фигура, состоящая из двух квадратов. Обозначим через S (х) площадь
части этой фигуры, отсекаемой от нее прямой, которая проходит
через точку М (х, 0) параллельно оси ординат. Если х < 0, то
такая прямая не отсекает никакой части фигуры и потому S (х) = 0.
Если 0 ^ х ^ а, то отсекаемая часть является прямоугольником
с длинами сторон а и х и ее площадь равна ах. *При а < х <; b
19

Рис. 9
отсекаемая часть состоит из квадрата со стороной а и
прямоугольника со сторонами Ь — а и х— а и потому имеет площадь а2 +
-f-ф — а)(х — а). Наконец, при х>Ь отсекаемая часть совпадает
со всей заданной фигурой и потому ее площадь равна а2~\-(Ь—а)*.
Рассматриваемую функцию S задают выражениями так:
S(x)
О, если х < О,
ах, если 0 ^ х <J a,
а2 + Ф — а) (х — а), если а < х ^ Ь,
а2 -\- (b — а)2, если х > Ь.
На практике встречаются функциональные зависимости,
которые нельзя задать каким-либо выражением. Например, каждому
моменту времени t соответствует определенная температура
воздуха. Поэтому температура воздуха в данной точке земной
поверхности функционально зависит от времени. Однако выражения,
задающего эту зависимость, не существует, иначе по нему можно
было бы предсказывать температуру в данном месте на много лет
вперед.
Если функция f задана некоторым выражением и
рассматривается при всех значениях х, для которых это выражение имеет
числовое значение, то будем опускать указание на область
определения функции. Например, через Ух — 1 будем обозначать
функцию /: х-+Ух—1, х ^ 1 (напомним, что Ух—1 имеет
числовое значение лишь при х ^ 1).
Пример 2. Найдем область определения функции —— .
Л- ~—* Ua | О
Решение. Выражение
имеет числовое значение
х2 — 6х + 8
для всех х, кроме тех, при которых знаменатель обращается в
нуль. Поэтому решим уравнение х2 — 6л; + 8 = 0. Его корни
равны 2 и 4. Исключив эти значения из множества действительных
чисел, получим три промежутка: ] — оо; 2[, ]2;4[,]4; +оо[.
Объединение этих промежутков и представляет собой область
определения выражения, а значит, и область определения функции.
20

При м е р 3. Найдем область определения функции ]/"9 — х2.
Решение. Выражение ) у — хг имеет значение лишь при
9 — х2 ^ 0. Решим это неравенство:
х2 < 9; У7* < К9; |* 1< 3, -3 < х < 3,
Итак, область определения функции ]/ 9 — х1 — отрезок [—3; 3].
Пример 4. Дана функция /\ где
(ох + 2, если — 2 < х < 0,
f(x) = J я3, если 0<* < 1,
| — , если 1 <J х <; 2.
Вычислим f (-1), / (0), / (±), / (i), / (1,5).
Решение. Область определения функции —отрезок [—2; 2].
Этот отрезок представляет собой объединение трех промежутков:
[—2; 0[, [0; 1[ и [1; 2], на каждом из которых функция задается
своим выражением.
Чтобы вычислить / (—1), нужно сначала выяснить, какому
промежутку области определения принадлежит значение х = —1.
Имеем —1 £ [—2; 0[. На этом промежутке функция задается
выражением Зх -]- 2. Значение этого выражения при х = —1
равно—1. Таким образом, / (—1) ==—1. Аналогично вычисляются
остальные требуемые значения функции:
0е[0; 1[, значит, /(0) = 02 = 0;
-t[0; 1[, значит, /l-) = (-j=T;
1€[1; 2]. значит, /(1) =-}-=1;
1,56[1; 2], значит, f(1,5) = ±- = \.
1,5 о
Упражнения
RT
41. Формула Р — — выражает давление Р газа через его объем
RT
V. При каких значениях Vопределено выражение —? Какие
значения V имеют физический смысл?
42. Приведите примеры из курса физики, иллюстрирующие
функциональную зависимость переменных. Выразите одну
переменную через другую и обратно. Выясните, при каких
значениях одной переменной определена другая.
43. Из дерева заданной плотности изготовлен брусок формы
прямоугольного параллелепипеда. Находится ли масса этого
бруска в функциональной зависимости: а) от объема бруска;
б) от полной поверхности бруска; в) от высоты бруска?
21

44. Из железа изготовлен кубик. Находится ли масса этого
кубика в функциональной зависимости: а) от длины ребра
кубика; б) от его объема; в) от его полной поверхности?
Запишите эти зависимости, считая, что 1 см3 железа имеет массу 7,8 г.
45. В геометрии доказывают, что объем V шара радиуса R равен
--я/?3, а площадь поверхности S шара равна 4я#2. Нахо-
о
дится ли объем шара в функциональной зависимости от
площади его поверхности? Находится ли поверхность шара в
функциональной зависимости от его объема? Запишите эти
зависимости.
46. Находится ли площадь прямоугольника в функциональной
зависимости от длины его диагонали? Находится ли радиус
окружности, описанной около прямоугольника, в
функциональной зависимости от длины его диагонали?
47. Площадь круга выражается через его радиус по формуле
S = nR2. Для каких значений R определено это выражение?
Какие значения R имеют геометрический смысл? Что означает
формула S = nR2 при R = 0? Как выражается R через S?
Для каких значений 5 определено это выражение? Какие
значения S имеют геометрический смысл?
48. Дана функция f: х->——. Найдите /(0), /(—1), / (— ,
х + 3 \2]
f (—2). Определено ли значение / (—3)?
49. Дана функция /: каждому положительному числу х ставится
в соответствие его куб х3. Найдите D (/) и Е (/).
50. Дана функция /: каждому действительному числу х ставится
в соответствие число х4. Найдите D (/) и Е (/).
51. а) Дана функция /: каждому х 6 R+ ставится в соответствие
число 4 — х2. Найдите D (/) и Е (f).
б) Дана функция /: каждому х из отрезка [—1, 1] ставится
в соответствие число 4 — х2. Найдите D (f) и Е (/).
в) Дана функция /: каждому действительному числу ставится
в соответствие число 4 — х2. Найдите D (f) и Е (/).
52. Дана функция /: каждому двузначному натуральному числу,
оканчивающемуся цифрой 5, ставится в соответствие его
квадрат. Найдите D (f) и Е (/).
53. Пусть / (х) -х2+ 1. а) Найдите / (1), / (-1), / (|), / (2),
/(3). * i
б) При каком значении х выражение х2 + — не имеет
значения?
в) Докажите, что при хфО // — )= f(x).
54. Для каких значений х определено выражение:
а) х*-8х + 4; б) -^; в) ух - 6;
22

55.
56.
57.
58.
г)
f8+x '
д) VJ?=U[ e) 1/"16-?? I
Рис. 10
В окружность радиуса R вписан
прямоугольник, длины сторон которого
равны х и у. Выразите у как функцию от х.
При каких значениях х определено это
выражение? Какие значения х имеют
геометрический смысл? Во что
превратится прямоугольник, если х = 2iR?
Выразите площадь прямоугольника как
функцию от х.
Выразите площадь равностороннего треугольника через
длину х его стороны. Выразите эту же площадь через радиус г
вписанной окружности.
Из квадрата, сторона которого имеет длину а, вырезаны по
углам квадратики, стороны которых имеют длину х (рис. 10).
Из оставшейся части можно получить открытую коробку.
Выразите объем коробки V как функцию от х. При каких
значениях х это выражение имеет значение? Какие значения
х имеют геометрический смысл?
Функция / задана так:
а) / (х) =
6 + х, если х < —2,
х2, если | х | <; 2,
6 — х, если х > 2.
Вычислите f (-5), / (-2), / (0), / (3).
f 1 + х, если х < — 1,
б) /(*)= И, если |х|<1,
I 0, если х > 1.
Вычислите /(-2), /(-1), /(0), /(1), / (]/37).
59. Укажите D (f) для функции:
а) /(*)=х2-1;
б) /(*)=—{—\
в) f(x) = ]Лса- l;
г)/(л')
У 1 — *2
5. График функции. Наглядное представление о зависимости,
описываемой функцией, дает график этой функции. В современной
математике графиком функции /, заданной на множестве X,
называют множество пар чисел (х, f (х)), где х £ X. Каждую пару
чисел можно изобразить точкой на координатной плоскости, поэтому
график функции изображается в виде множества точек на
координатной плоскости. Если X — числовой промежуток, то графиком
функции обычно является некоторая линия. Например, графиком
функции х является прямая линия, делящая пополам первый и
23

\
/».*
\ Я J
0\ 1
Рис. 11
Рис. 12
третий координатные углы. Из курса алгебры восьмилетней школы
известны графики еще некоторых функций, например: график
линейной функции kx + Ь — прямая, составляющая с осью абсцисс
острый угол при k >0 и тупой угол при k <0 (рис.11), график
функции х2 — парабола (рис. 12), график функции я3 —
кубическая парабола (рис. 13), график функции гипербола (рис. 14),
X
график Функции — (рис. 15), график показательной функции
х2
2х (рис. 16), график логарифмической функции lg х (рис. 17).
Поскольку при каждом значении аргумента из области
определения функции она имеет лишь одно значение, то любая прямая,
параллельная оси ординат, или совсем не пересекает график этой
функции, или пересекает его лишь в одной точке. Отсюда следует,
что не любая линия на координатной плоскости может быть
графиком какой-нибудь функции. Например, окружность не может быть
графиком функции, так как некоторые прямые, параллельные осп
ординат, пересекают ее в двух точках (рис. 18).
Рис. 13
Рис. 14
Рис. 15
24

Рис. 16 Рис. 17 Рис. 18
На практике встречаются функции, заданные своим графиком.
Так, барограф на метеорологическом зонде или автономной
метеорологической станции вычерчивает график, показывающий
давление воздуха в данный момент времени.
Зная график функции, легко найти ее значение при данном
значении а аргумента. Для этого надо взять на оси абсцисс точку
Л! (а„0), провести через нее прямую, параллельную оси ординат,
найти точку пересечения этой прямой с графиком функции, а
потом взять на оси ординат точку, лежащую на одном уровне
с найденной точкой графика (рис. 19). Координата полученной
на оси ординат точки и дает искомое значение / (а) функции.
Например, по рисунку 19 находим, что / (4) = 5.
Если задан график некоторой функции, то говорят, что функция
задана графически1.
По графику функции легко определить, на каких участках
функция возрастает, а на каких она убывает (определения
возрастания и убывания функции известны из курса алгебры 7-го
класса), в какой точке она принимает наибольшее значение, а в
какой — наименьшее. Например, функция, график которой
изображен на рисунке 20, возрастает на отрезках [а, Ь] и [с, d] и
убывает на отрезке [6, с]. Она принимает наибольшее значение в точке
d и наименьшее значение — в точке с.
Если функция / задана выражением, то для исследования
функции на монотонность используют свойства неравенств.
Пример 1. Докажем, что если п — натуральное число, то
функция хп возрастает на луче [0; +оо[.
Решение. Если 0 ^ х1 < х2, то 0 < хпх < х\. Это
значит, что на луче [0; +°о[ при увеличении значений аргумента
увеличиваются значения функции, т. е. функция возрастает на
этом луче.
1 Отметим, что график, начерченный на бумаге или на доске, имеет
некоторую толщину и поэтому значения функции определяются по нему лишь
приближенно. Мы будем в дальнейшем пренебрегать этим и считать график функции
«математической линией», т. е. не имеющим толщины.
25

/ 4 M(atG) x
Рис. 19
Пример 2. Докажем, что функция — (п £ N) убывает на
хп
открытом луче ]0; +оо[.
Решение. Если 0 < хг < х2, то 0 < xf < x% и потому
— >—. Значит, на луче ]0; +°°[ при увеличении значений
х\ х2
аргумента значения функции — уменьшаются и потому функция
хп
убывает.
Упражнения
60. Постройте график функции:
а) /(*) = *, *е[-1; 1];
б) f (х) = х, х £ Z;
в) f (х) = х9 х £ R.
61. Постройте график функции / (я) = х2 — 2х.
а) С помощью графика найдите промежутки, в которых
/ (х) > 0; / (х) < 0.
б) При каких значениях х функция возрастает, убывает,
принимает наименьшее значение? (Найдите это наименьшее
значение.)
в) Найдите по графику значение / (х) при х = 4.
г) Найдите по графику значение х, если / (х) = 3.
д) Сколько действительных корней имеют уравнения х2 — 2х =
4, х2
2х
—1; х% — 2х = —4?
62. Постройте график функции:
а)-1; б) 1/Z
63. Постройте график функции /:
(—1, если —2<х^0, г 0, если х>\,
а) /(*)== | *> если 0<х<1, б) /(.v)= J1—х, если U'|<1,
I 1, если 1^л^3; [х2—1, если х<— 1.
26

69
70,
64. Постройте график функции /:
[Ух, если 0<х^1,
4 ' —, если х > 1.
65. Сопротивление данного материала растяжению выражается
величиной, называемой модулем упругости и обозначаемой Е.
В результате опыта для кованого железа был найден ряд
значений Е при указанных в таблице значениях
температуры /:
t, °с
£,Н/см2
0
2107
20
2103
100
2081
200
2007
250
1950
Постройте график зависимости Е от /, выбрав масштаб по оси
ординат 1 см=50° и проведя горизонтальную ось через точку,
соответствующую значению Е = 1900 Н/см2. По графику
найдите значение Е при /, равном 50°, 150°, 225°.
66. Постройте график некоторой функции, убывающей при л:^—1,
постоянной при \х\ < 1 и возрастающей при х^ 1.
67. Используя определение убывающей функции, докажите, что
функция — х убывает на всей числовой прямой, т. е. на
множестве R.
68. Докажите, что функция Xs возрастает на всей числовой прямой.
Докажите, что функция — возрастает на открытом луче
]—оо; 0[ и убывает на открытом луче ]0; +<х>[.
Изготовьте шаблоны для построения графиков функций
v2 f, *
71. Постройте график функции х2 — Qx + 5.
6. Параллельный перенос графиков. Зная график функции х29
легко построить график функции х2 + 4: для этого достаточно
перенести график функции х2 вверх на 4 единицы (рис. 21). А
чтобы построить график функции х2 — 2, достаточно опустить
график функции х2 на 2 единицы вниз (рис. 22). В обоих случаях
перенос графика осуществляется параллельно оси у.
Точно так же, зная график функции Ух, легко построить
график функции Ух — 2. Заметим, что при х = 2 функция УГ^2
принимает значение 0, т. е. такое же значение, что и функция Ух
при х = 0. А в точке х = 6 функция__]/"~^2 принимает значение
2, т. е. такое же, что и функция Ух при х = 4. Вообще в точке
27

\
n
NU
u=x2-hU
I
Рис.21
Рис. 22
a -f 2 функция "J/"* — 2 принимает такое же значение, что и функ-
ция Ух в точке а. Отсюда видно, что график функции Ух — 2
получается из графика функции |/ я переносом вправо на 2 единицы
(рис. 23). Аналогично график функции Ух -|- 2 получается из
графика функции Ух переносом влево на 2 единицы (рис. 24). В обоих
случаях перенос графика осуществляется параллельно оси Ох.
Разобранные примеры являются частными случаями
следующего общего правила: если g(x) = f (x — а) + Ь> то график
функции g получается из графика функции f параллельным переносом,
который переводит начало координат в точку А (а\ Ь).
В самом деле, как было показано в курсе геометрии 8-го класса, при
параллельном переносе, отображающем начало координат в точку А (а\ Ь), точка
М (лу у о) переходит в точку N (л-0 + а\ у0 + Ь) (рис. 25). Если точка М (лу, у0)
принадлежит графику функции /, то ее координаты удовлетворяют уравнению
у ^= f (х), т. е, верно равенство у0 = / (х0). Но тогда координаты точки N
удовлетворяют уравнению у = / (х — а) + Ь, т. е. у = g (х). Действительно, у0 + Ь ■==■•
^ /Cvo) + Ь = /(л'0 + а — а) + 6 и потому точка /V лежит на графике функции g.
Итак, указанный параллельный перенос отображает график функции / в
график функции g. Верно и обратное: каждая точка графика функции g является
образом одной из точек графика функции / при указанном параллельном переносе.
На практике для построения графика функции g удобно
поступать следующим образом: сначала провести через точку А (а; Ь)
Рис. 24
28

прямые, параллельные осям
координат, а затем построить в полученной
вспомогательной системе координат
график функции /.
Пример. Построим график
функции (л: — З)4 — 2.
Решение. Проведем
вспомогательные оси через точку А (3; —2).
А затем к вспомогательной системе
координат «привязываем» график
степенной функции х4 (рис. 26).
Упражнения
72. С помощью шаблона постройте
график функции г% а потом
график функции:
а) х1 - 3; г) (х - I)2 + 2;
б) х2 + 2; д) (х + I)2 - 3;
в) (х— I)2; е) х* — 4х+ 1.
73. С помощью шаблона постройте
график функции —, а потом
X
график функции:
а)-
X
б)
2; в)
г) -
* + 1
•2.
-Г 7 jc — 1
74. Постройте график функции:
а) Ух— 1; б) УТ^\.
75. Решите графически уравнение У
Н(х0+а>Уо+Ь)
Рис. 25
У=(*-3)*-2
Рис. 26
1=2 — х.
7. Основные результаты1.
1. Множество R действительных чисел есть объединение дЕух
непересекающихся множеств: множества Q рациональных чисел
и множества / иррациональных чисел. Всякое действительнее
число можно записать бесконечной десятичной дробью, причем
рациональное число — периодической дробью, а иррациональное—
непериодической дробью.
2. Для любых действительных чисел а, &, с справедливы
равенства:
В этот пункт включены и некоторые результаты, которые известны из
курса алгебры 6—8-го классов и не были рассмотрены в § 1.
29

1) a -|- b = ft + a; 6) a (ftc) = (ab) c\
2) a + (b + c) = (a + 6) + c; 7) a • 1 = a;
3) a + 0 = a; 8) a • - = 1, a ф 0;
a
4) a + (—a) = 0; 9) a (ft + c) = aft + ac.
5) ab — ba\
3. Справедливы следующие свойства числовых неравенств:
1) (a < ft) ** (6 — а > 0);
2) (а < Ь) <=> (ft > a);
3) (a < b, b < с) => (a < с);
4) (a < b) «=* (a + с < 6 + с);
5) (a <b, с <d)=>(a + c <b + d);
6) (a < 6, с > d) =>- (a — с < 6 — d);
7) (a < ft, с > 0) => (ac < 6c);
8) (a < ft, с < 0) =ф> (ac > ftc);
9) (0 < a < b, 0 < с < d) => {ac < bd);
10) (0 < a < ft, n 6 JV) =* (a" < ft");
11) (0 <a <ft)^fl>i
\ а ft
12) (0 < a < ft, n € iV, я > 2) =ф- (^a < ^5).
4. Модулем действительного числа a называется само это число,
если оно неотрицательно, и противоположное число (—а), если
а < 0. Модули действительных чисел обладают следующими
свойствами:
1) Ia|>0; 5)
2) а< |а|;
3) !-а|= |а|;
4) |о6|= \а\ |ft|;
С/
ЬФЪ\
ь
6)'|а|
7) |а + &| < \а\ +
5. Прямую, на которой введена система координат (т. е.
выбраны начало координат, направление и масштаб), называют
координатной прямой. Каждому действительному числу х соответствует
единственная точка М прямой с координатой х\ каждая точка М
координатной прямой соответствует единственному числу.
Расстояние между точками А (а) и В (Ь) координатной прямой равно ] а-^Ь\.
6. Плоскость, на которой введена система координат (две
взаимно перпендикулярные координатные прямые с общим началом
О и одинаковым масштабом), называется координатной плоскостью,
Каждой паре действительных чисел (х\ у) соответствует
единственная точка М координатной плоскости с координатами х и у\ каждая
точка М координатной плоскости соответствует единственной паре
чисел.
7. Расстояние между точками А (хг\ уг) и В (х2\ у2)
координатной плоскости вычисляется по формуле
30

8. Чтобы задать числовую функцию /, нужно задать числовое
множество X и правило, по которому каждому числу х из X
соответствует однозначно определенное число у, Это число у
обозначают / (х) и называют значением функции / при данном значении
х аргумента. Числовое множество X, на котором задана функция
/, называют областью определения функции и обозначают D (/).
Множество значений функции / обозначают Е (/).
9. Чаще всего функцию задают выражением. Функция может
быть задана различными выражениями на разных участках.
10. Графиком функции /, заданной на множестве X, называют
множество пар чисел (я, / (х))9 где х £ X. Это множество обычно
можно изобразить геометрически в виде линии на координатной
плоскости.
11. Функция называется возрастающей на промежутке X,
если на нем при увеличении значений аргумента увеличиваются
значения функции, т. е. если для любых хг и х2 из промежутка
X из неравенства хг < х2 вытекает неравенство / (хг) < / (х2).
Функция называется убывающей на промежутке X, если на нем
при увеличении значений аргумента уменьшаются значения
функции, т. е. если для любых хг и х2 из промежутка X из неравенства
хг < х2 вытекает неравенство / (хх) > f (x2). Если функция /
возрастает на X или убывает на X, то говорят, что функция f
монотонна на X.
12. Линейная функция kx + Ь возрастает, если ее угловой
коэффициент положителен, т. е. k > 0; в этом случае ее график
образует острый угол с положительным лучом оси абсцисс. Если
k < 0, то функция kx + Ъ убывает; в этом случае ее график
образует тупой угол с положительным лучом оси абсцисс.
Дополнительные упражнения
К пункту 1
76. а) Всегда ли в множестве Q выполнимы вычитание, деление
и извлечение корня?
б) Приведите пример квадратного уравнения,
неразрешимого в множестве Q, но разрешимого в множестве R.
77. Покажите, что между двумя любыми рациональными числами
расположено хотя бы одно рациональное число.
78. Пусть даны два рациональных числа: — и —. Покажите, что
7 8
между ними существует бесчисленное множество
рациональных чисел.
79. Каким числом — рациональным или иррациональным -~
является значение выражения:
31

80. Установите, рациональным или иррациональным числом бу-
дет значение выражения — — при а = о = 2.
а — ау о а + ау b
81. Приведите примеры иррациональных и рациональных чисел, Щ
отличающихся от числа У 2 не больше чем на 0,1.
82*1. Докажите, что среди рациональных чисел нет такого,
квадрат которого равен 2.
83*. Докажите, что а)]/~3~, б) \л2 + У<5, в) lg 2 —
иррациональные числа.
84. Пусть an b — иррациональные числа. Могут ли числа а + &,
ab, — быть рациональными? Приведите примеры.
ь
К пункту 2
85. Даны два числа: я = 3,14159... и а = 3,14114... . Найдите
какое-нибудь рациональное число х, удовлетворяющее
неравенству а < х < п.
86. Известно, что
а) ^-0,27 < 0,1;
0,(27). Верны ли следующие неравенства:
в)
Ji —0,273
11
б) f— 0,272 < 0,0001; г)
П
•0, 728
< 0,001;
< 0,0001?
д) Чему равна длина отрезка [0,2727; 0,2728]? Содержит ли
з
этот отрезок числа —, 0,27273?
87. Уничтожьте иррациональность в знаменателе дроби:
ч 1 1
а) -=; в» ——т=\
V 4
Г)
Д)
е)
3 У 2 — 2/3 '
2
(У5-2)(3-УТУ
1 + V*
88. Сравните числа:
a) g и g; б) У'1 + УТд и УЗ+УЖ
67 о77
89*. Упростите выражение:
а)
б)
а) Уо2 — 2а + 1 +У9 — 6а + а<1 при 1<а<3;
2л:
' [ 1 4- а:2 )
1 Знаком * отмечены задачи повышенной трудности.
32

i) y<L±2?.-2Va + у°±£ + 2-\Га приа>0,*>0;
в,
4
г) i/T^x + x — 2+Y~x2-4x + 4.
90 Составьте квадоатное уравнение, которое имело бы корни
1 1 ^
l+j/з" И 1-/3" '
91. Вычислите с точностью до 0,1 выражение ар + уЬ при
а = 4,723..., р = 0,683..., у = 0,916..., б - 5,643... .
92*. Вычислите разность a—b с точностью до 0,01, если а=4,573...,
Ъ = 2,374... .
93*. Вычислите частное — с двумя верными цифрами, если а=}Н[ч
Ь = 1,1732... .
94. В прямоугольном треугольнике ABC длина гипотенузы АВ
равна 1,534... см, А -=> 60Q. Вычислите площадь треугольника
с точностью до 0,1.
95. Упростите выражение
6*3+2(к2 , * — 4__ Зх2 + 32
*з + 64 х + 4 а:2 — 4х + 16
и найдите его числовое значение при х= >/71. Верно ли, что
это значение — иррациональное число?
К пункту 3
96. Найдите середину промежутка, изображающего решение
неравенства:
а) UI <2; в) \х— 1,1] <0,1;
б) \х — 4| <2; г) \х — 2\ < 0,01.
97. Как (геометрически) построить на координатной прямой
точку, соответствующую числу: а) ]/"2; б) ]/~5?
98*. Решите уравнение:
а) \х — 2\ + \4 — х\ - 3; б) |* - 1| + \х - 3| - 2.
К пункту 4
99. Известно, что объем прямого кругового цилиндра с высотой
J? D2 радиУС0М основания R выражается формулой V =
— я/?*Я, а полная поверхность этого цилиндра —
формулой S = 2nR (R + Я).
а) Выразите полную поверхность цилиндра заданного объема
V как функцию его высоты Я.
2 Заказ 87 „3

б) Выразите объем цилиндра У, имеющего заданную полную
поверхность 5, как функцию от R.
100. Известно, что объем прямого кругового конуса с высотой
Я, радиусом основания R и образующей I выражается
формулой У=— nR2H, а полная поверхность —формулой
о
S = nR (R + I). Выразите объем конуса, имеющего
заданную поверхность S и заданный радиус /?, как функцию от R.
101. Покажите, что данное уравнение не имеет решений:
а) УТ^Пс + ]/¥^~5 = 1; б) lg (х — 3) + lg (1 — х) = 1.
102. Дана функция /, где / (х) = У2х — 1. При каких значениях
х выполняется равенство:
а) / (х) = 0; б) / (х) - х>
103. При каких значениях х справедливо тождество:
а) У(х — 1) (х — 2) = Ух^Л . Ух^2\ б) ig x2 = 21g x7
104. Укажите Е (/) для функции:
а) х2— 1; в) 1/*^=Т;
б) 2-*2; г) ]Л -*2;
105. Найдите область определения функции:
а)
У~9 — Зг, б) lg(x — 2)— 1/9^jc-
Ух— 5
106. Докажите, что функции /, g, & тождественны;
/(*) = |2-*|+ |* + 11,
г—2л: + 1, если х < —1,
g {х) = { 3, если —1 < а: < 2,
2* — 1, если х ^ 2,
Ус—4'
h (х) = У л2 — 4* + 4 + У*М-2*+ 1.
107. Дана функция
*2 + 2
2jc2+ 1
Определите, при каких значениях х справедливо равенство;
108. Решите неравенство /(—] <0, если / (х) =
х+1
34

!t
-2 -7
2\
EL
-7
\-2
1 Z 3 4 * 6 Л
Рис. 27
Рис. 28
Рис.29
К пункту 5
109. На рисунках 27 — 29 изображены графики функций Д g, A
соответственно. Найдите выражения, задающие эти функции.
110. Постройте график функции /, если:
w/, (* + 2, если*<-1, б) / (л:) = -J-;
а) / (х) = д если _! < х < 2, 1*1
I 2* — 1, если л; > 2; в) / (*) = | х| • *.
111. Решите графически систему уравнений и сравните ответ с
получаемым при решении системы обычным образом:
а) / 2* —Зу = 1 б) /*2+у2 = 2
( лг + 6у = 8; [у —х2 - 0.
112. Решите графически уравнение х3 = 2 — х.
113. Придумайте многочлен, график которого пересекал бы ось
абсцисс только в точках с абсциссами 1, 2, 3, 4 и 5.
114. Давление р насыщенного пара при температуре /
определяется по следующей таблице:
t. °с
Р, Па
105
1,2 . 106
НО
1,4 • 106
115
1,7.10е
120
2,0.10е
125 |
2,3-106
Постройте график функции р (t) и по нему найдите давление
пара при t = 108,4 °С. При какой температуре давление
будет равно 2,2 » 106 Па?
115. При испытании подъемного крана получились следующие
значения силы F, необходимые для подъема груза массы т:
2*
S5

lrn, кг
>F, H
10
9,8
20
16,0
30
20,9
40
25,8
50
31,9
60
36,8
70
41,7
80
49,1
90
54,0
100
58,9
Постройте график функции F (т). Найдите значения F,
соответствующие массам 45 кг и 87 кг.
116. Проиллюстрируйте геометрически утверждение: а) если
функция / (х) возрастает на отрезке [а, Ь], то функция —f{x)
убывает на нем;
б) если график функции f симметричен относительно оси
ординат и эта функция возрастает на луче ]—оо; 0], то она
убывает на луче [0; +оо[.
117. Докажите, что сумма двух функций, возрастающих на отрезке
[а, Ь], является возрастающей на том же отрезке.
118. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а) х4; б) 1 .
119. Изобразите множество точек, координаты которых
удовлетворяют соотношению:
а) у = | х |;
б) у<х3;
в) (х-2)(у-3)=0;
Д)
(у>х—\
* < У ^ — х
J ^ 2
Х>—1;
г)
у-1
О;
е)*
у<* + 1
у > 1 —х
х<2.
120.
На рисунке 30 изображен график функции ■/. Постройте
график функции g, где g (x) = \f (х)|. Укажите промежутки
возрастания и убывания функции g.
121. С помощью известных графиков функций х2 и \х\ постройте
график функции:
а) х2 + |х|; б) х2— |*|.
Постройте график функции:
122. а) х2 — 4х; б) х2 — Ах —5.
Указание. Представьте трехчлен
в виде (х — а)2 + т.
123. а) —х2; в) 2х — х2;
б) 2 — х2; г) 1 + 4х — х2.
Рис. 30
124. а) хл
36
б) (*-1)'; в) -(*-!)-

125. Решите графически уравнение:
a)_J_=*; б) х* - Ах = lg х; в) 2 - хл = V.
X — 1
§ 2. ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
8. Бесконечно малые функции. Масса куска радиоактивного
элемента уменьшается с течением времени. При этом, сколько
бы ни было вещества вначале, через определенный промежуток
времени 7\ называемый периодом полураспада этого элемента,
останется лишь половина первоначального количества (а вторая
половина превратится в другие элементы). График зависимости
массы т этого куска от времени / имеет вид, показанный на
рисунке 31. При неограниченном увеличении t масса куска
становится сколь угодно малой. Расчеты показывают, что если
вначале (т. е. при t = 0) масса куска была 2 • 1033 г (это примерно
равно массе Солнца), то через промежуток времени, равный 200 7\
останется около 2 • 10~27 г (что меньше массы одного атома1).
Существует много примеров величин, связанных друг с другом так,
что при неограниченном увеличении одной из них вторая
неограниченно приближается к нулю: сила Z7, с которой Земля
притягивает удаляющуюся от нее ракету, приближается к нулю по мере
увеличения расстояния г от ракеты до Земли; длина у стороны
прямоугольника, имеющего площадь S, неограниченно уменьшается,
когда длина х другой стороны неограниченно увеличивается и т. д.
Для описания величин, связанных друг с другом указанным
выше образом, введем понятие бесконечно малой функции.
Функция а бесконечно мала при стремлении аргумента к +°°, если
при больших положительных значениях аргумента ее график почти
сливается с осью абсцисс. На рисунке 32 показаны графики беско-
1 При практическом использовании результатов математического анализа
необходимо учитывать приближенный характер математических моделей
действительности. Например, функция т0( — )Т , выражающая массу радиоактивного
вещества в момент времени tt при достаточно больших значениях t может принять
значение, меньшее массы одного атома вещества. Это показывает, что
математическая модель, приводящая к равенству m= m0(—)T , являегся приближенной и
теряет свой смысл, когда количество вещества ис- mi
числяется несколькими атомами. Численность на- f
родонаселения, вычисляемая по формуле N =
= V^Too] ' может принимать дробные
значения, что тоже противоречит смыслу числа N Все
это показывает, что любая математическая модель
явлении связана с идеализацией истинного течения
ныхТа3' 3 П0Т0Му пРимешша лишь в определен-
Рис, 31
37

ч
ч
а)
Рис. 32
нечно малых функций. Из них видно, что бесконечно малая
функция может приближаться к нулю и возрастая, и убывая, и даже
колеблясь около нулевого значения.
Слова «график функции а почти сливается с осью абсцисс при
больших значениях аргумента» не имеют точного математического
смысла, они дают лишь наглядное представление о бесконечно
малой функции. Чтобы уточнить эти слова, возьмем узкую
полоску, окружающую ось абсцисс, например, полоску шириной 0,2,
ограниченную прямыми у = —0,1 и у = 0,1. График бесконечно
малой функции при всех достаточно больших значениях х лежит
в этой полосе. Например, для функции, график которой
изображен на рисунке 33, это имеет место для всех х% больших чем 5.
Если бы вместо полоски шириной 0,2 мы взяли более узкую
полоску, то график все равно рано или поздно попал бы в нее. Иными
словами, какое бы положительное число е1 мы ни выбрали,
найдется такое значение М, что для всех х, больших чем М, график
функции а целиком лежит в полоске, ограниченной прямыми у = —в
И у = 8
Сказать «для всех х, больших чем М» все равно что сказать «на
открытом луче ]М; +оо[», а сказать «график функции а лежит в
полоске, ограниченной прямыми у =— 8 и у = е» все равно что
е — эпсилон (греческая буква)»
\У|
ж
о-
i
W
у=а(х)
" "" -»■■«'■ . | Цшш»
$
X
Рис. 33
38

сказать «выполняется неравенство — е< а (х) < е». Но это
двойное неравенство можно записать и так: \а (х)\ < е.
Таким образом, мы приходим к следующему определению
бесконечно малой функции.
Определение 1. Функцию а называют бесконечно
малой при лг-^+со, если для любого положительного числа е
найдется открытый луч Ш; +оо[, на котором выполняется
неравенство |а (х)\ < е.
Чтобы в дальнейшем не упоминать каждый раз про число М
и про открытый луч ]Л1; +оо[, условимся говорить, что некоторое
свойство функции выполняется при всех достаточно больших
значениях ху если найдется открытый луч ]М; +оо[, на котором оно
имеет место. Например, функция х2 — 16 принимает как
положительные, так и отрицательные значения. Но при х > 4 (т. е. на
открытом луче ]4; +оо[) выполняется неравенство х2 > 16 и
потому х2 — 16 > 0. Значит, функция х2 —.16 положительна при
всех достаточно больших значениях х. Пользуясь введенным
оборотом речи, хможно переформулировать определение 1 следующим
образом:
Определение Г. Функцию а называют бесконечно
малой п р и л: ~> +оо, если для любого положительного числа в
при всех достаточно больших значениях х выполняется неравенство
\а(х)\ <е.
Замечание. Если функция а принимает только
положительные значения, то вместо \а (х)\ < е можно писать а (х) < е.
Пример 1. Докажем, что функция — бесконечно мала при
Х->- + оо.
Решение. Возьмем, например, в = 0,01. Если х > 100,
то— < 0,01. А если взять е = 0,000001, то неравенство — <
■^ х
< 0,000001 выполняется при *>1000 000. Вообще, какое бы
положительное число 8 мы ни выбрали, пои х > — выполняется не-
равенство — < s. Это и значит, что функция -1 бесконечно мала
при я-^+оо1. На рисунке 34 видно, что график функции -
неограниченно приближается к оси абсцисс при х-+ +°о.
П р и м е р 2. Докажем, что функция 10-* бесконечно мала
при #-> +сх>.
Решение. Возьмем е = 0,001. Тогда при х > 3 имеем:
1 При доказательстве мы воспользовались следующим свойством числовых
неравенств: если 0 < а < ь, то - > 1 (оно применено нами для *=-,* = *).
^неЬрНа1еТствМЫ П0СТ0ЯНН0 б^еы пользоваться различными свойствами число-
39

ц^Ю-х
Рис. 34
Рис. 35
_л < —3 и 10"* < 10~3 = в. А если, взять г = 0,000001, то при
х > 6 имеем: КГ* < 10~G = 0,000001 - г.
Вообще, возьмем любое е > 0. Всегда найдется такое п 6 N,
чго 10~Л < е. Поэтому при х > п имеем: 0 < 10"* < 10"Л < е.
Этим доказано, что функция 10"* бесконечно мала при х-> + оо.
На рисунке 35 видно, что график функции 10""* неограниченно
приближается к оси абсцисс при #-> + оо.
Постоянная функция, всюду равная нулю, бесконечно мала
при х-> +оо (так как нуль меньше любого положительного
числа). Других постоянных бесконечно малых функций не существует.
Иными словами, верна следующая теорема:
Теорема. Если функция а постоянна и бесконечно мала
при х—^4-со, то она всюду равна нулю.
Доказательство. Предположим противное. Пусть
функция а при всех значениях х равна Ь, причем Ь Ф 0. Тогда ни
при каком значении х не может выполняться неравенство | а (х)\ <\Ь\,
а поэтому функция а не может быть бесконечно малой при х ->■ + оо.
Упражнения
126. Дана функция /, где / (х) = —.
X
а) Укажите область определения функции.
б) Выясните, при каких значениях х функция принимает
положительные значения, отрицательные значения.
в) Укажите промежутки, на которых функция возрастает,
убывает.
г) При каких положительных значениях х выполняются
неравенства |/ (*)| < 0,01; |/ (*й <0,0001; |/ (х)\ <е, где е > 0?
д) Как ведет себя график функции при х -> +оо?
40

127. На рисунке 36 изображены графики нескольких функций.
Какие из этих функций бесконечно малы при х-+ + оо?
g
128. Составьте таблицу значений функции — при х9 равном 1, 2,
Л'2
3, 10, 30, 100, 300, 900. Начиная с какого значения х
выполняется неравенство - < 0,04; ^ < 0,0001; ~ < 9 . 10~12?
X" *2 X1
129. Дана функция -=.
а) Найдите ее значения при х, равном 100, 10 000, 1 000 000.
б) При каких значениях х выполняется неравенство —= < е,
если е = 0,1$ 0,01; 0,0005?
в) Постройте график этой функции. Как ведет себя график
при х->- +оо?
г) Можно ли сказать, что функция бесконечно мала при
Х-> + оо?
130. Будет ли бесконечно малой при х-> + оо функция:
1000000 ч 2х + Ь
; д) —!—?
2х } jc — 1
а) 2*\ б) 2-'; в) 2^+1; г)
131. Закон радиоактивного распада имеет вид т = т0 • (—
i
где т — масса, т0 — первоначальная масса, t — время,
Т — период полураспада. Определите количество вещества,
оставшегося к моменту времени / = 2071, если вначале
Рис. 36
41

вещества было 210 г. Через какой промежуток времени
останется менее чем 10~6 г вещества?
9. Теоремы о бесконечно малых функциях. Во многих случаях
бесконечная малость некоторой функции при х ->■ + оо выводится
из того, что некоторые другие функции бесконечно малы при х-^+оо.
В этом пункте мы докажем теоремы, на основе которых делают
такие выводы.
Теорема Х.Если при всех достаточно больших значениях х
выполняется неравенство \а(х)\ ^ |р(Х)|, причем функция р
бесконечно мала при х-++ оо, то и функция а бесконечно мала
при х ->+оо.
Доказательство. Из условия теоремы вытекает, что
существует открытый луч lAl^, +oo[, на котором выполняется
неравенство |а (х)\ ^ |р (х)\. Кроме того, по условию функция р
бесконечно мала при х~> + оо, и потому для любого е > 0
найдется луч ]М2; +°°[, на котором |р (х)\ < 8. Общей частью этих
лучей является луч, на котором выполняются оба неравенства
|ос (л;)| ^1Р {х)\ и |р (х)\< е. Поэтому на нем имеем: \а (х)\ < е.
Это и значит, что функция а бесконечно мала при х-> + оо.
Пример 1. Докажем, что функция —— бесконечно мала
л:2 + 1
При Х-> + оо.
X X2 1
Решение. Имеем: = • —. При всех х справедли-
х2 + 1 х2 + 1 х
во неравенство —-— < 1. Значит, при х > 0 выполняется нера-
X' + 1
х \ \ 1
венство < 1 — = —. Поскольку функция -— бесконечно ма-
X2 + 1 X X X
ла при х->-\-оо, то по теореме 1 и функция бесконечно
мала при х->+оо.
Если длины сторон л: и у прямоугольника неограниченно
уменьшаются, то и его площадь S = ху тоже неограниченно уменьшается
(например, если х< 0,001, у < 0,001, то S - ху < 0,000001).
Это частный случай следующей общей теоремы:
Теорема 2. Если функции а и § бесконечно малы при
jc~>-+ оо, то и произведение ар бесконечно мало при х ->+ оо.
Доказательство. Поскольку функция а бесконечно
мала, то при всех достаточно больших значениях х выполняется
неравенство |а(я)| < 1. А тогда при всех достаточно больших
значениях х имеем:
|а (х) • р (*)| = \а (х)\ . |Р (х)\ < 1 . |р (х)\ = |р (*)|,
|а(*). Р(х)| < IPWI.
Так как р — бесконечно малая функция при # -> +оо, то по
теореме 1 и ар —- бесконечно малая функция при х-+ + оо.
42

Пример 2. Докажем, что функция — бесконечно мала при
г х2
*-> + оо. 111
Решение. Имеем: —- = — • —. Оба множителя бесконечно
X2 X X
малы при #-> + оо; значит,— —бесконечно малая функция
г х2
при х-> + оо.
Точно так же доказывается, что любая функция ■—, где п — на-
хп
туральное число, бесконечно мала при х-+ + оо.
Не только при умножении, но и при сложении бесконечно
малых функций получаются бесконечно малые функции. Например,
объединяя два куска радиоактивного вещества, получаем больший
кусок этого вещества. Но с течением времени и его масса становится
сколь угодно малой. Вообще справедлива следующая теорема:
Теорема 3. Если функции а и (3 бесконечно малы при
х-*+оо, то их сумма а + р тоже бесконечно мала при х ->+ оо.
Доказательство. Зададим s > 0. Так как функция а бесконечно
8
мала, то найдется открытый луч ]Мг; +оо[, на котором | а (х)\ < — Так как
функция Р бесконечно мала, то найдется открытый луч ]М2; +оо[, на котором
8
|Р (х)\ <—. Общей частью этих двух лучей является открытый луч, на котором
О О
выполняются оба неравенства: | а (х)\ < — и |Р (*)| <~. На этом луче имеем:
|aW + PMI<|aW|+lP(x)|<j + j = e.
Зто и значит, что функция а + Р бесконечно мала при х -*■ + оо.
Например, функция \- — бесконечно мала при х-± +сэ
X X2
как сумма двух бесконечно малых функций — и —.
X X2
Теорема 3 справедлива не только для двух слагаемых, но и
для любого числа слагаемых. Значит, если функция а бесконечно
мала при х-* + сю, то бесконечно малы и функции 2а = а +
+ а, За = а + 2а, и, вообще, любая функция вида па, п € N.
Отсюда вытекает такое следствие:
Следствие 1. Если функция а бесконечно лгала при х->+ оо
и Л —число, то функция Л • а тоже бесконечно мала при х ->- + оо.
Доказательство. Найдется натуральное число п, такое, что \ А\ <п.
Югда справедливо неравенство | А • а (х)\ < |ла(д:)|. Но из бесконечной
малости а вытекает, что функция па бесконечно мала при х -*■ +оо, а тогда, в силу
теоремы I, бесконечно мала и функция А . а.
Пример 3. Докажем, что функция ~ — —-f i— бгсконеч-
но мала при х -> + оо.
43

Решение. Бесконечно малы функции —, —, — при л:->+ оо.
*3 х1 х
7 з 2 1000
Но тогда функции —, ——, тоже бесконечно малы при х -> + оо,
X* X2, X
7 3 2
а значит, бесконечно мала при #->- + 00 и их сумма - +
л:3 х-
, ]000
X
Следствие 2. Если функции а и (3 бесконечно малы при
х—> + оо, то и их разность а — р—бесконечно малая функция
при х ->- + °° •
Доказательство. Из следствия 1 вытекает, что —f> —
бесконечно малая функция при х-*- + оо. Тогда а — (3
бесконечно мала как сумма бесконечно малых функций а и —[1
Упражнения
Докажите, что следующие функции бесконечно малы при
х ->• + оо:
132. а) -4-; б) -4=- в) —Ц; г) 1
Xi 4- 8 )/> + 1 ' 2* • х2' *2 /х + 4
1зз. а) 4—4+-; г)'1 ' •
а: л;
б) 10- + 12; д) *±_4;
х л;3
N 108 , 10Ю ч 10v + l
В) — + —5 е)
х х* ' 102Л'
134*. Точка М находится на расстоянии х от центра О окружности,
радиус которой равен R(x>R). Из этой точки проводят к
окружности касательную МТ. Докажите, что разность | МО\ —\МТ\
бесконечно мала при х-+ + оо.
135. Постройте шэафик функции f, ще f (х) = + 2. Как
х + 1
ведет себя график при х -> + оо?
Од; 4- 3
138. Дана функция /, где / (х) ■= ——. Составьте таблицу
значений функции при ху равном 1, 2, 10, 100, 10 000. Язляется
ли данная функция бесконечно малой? Чему примерно равно
значение функции при х = 20 000?
10. Предел функции на бесконечности. Температура Т кипящего
чайника, снятого с огня, постепенно уменьшается и приближается
к температуре Т0 окружающего воздуха. Разность Т — Т0
неограниченно уменьшается, она бесконечно мала при /->■ + оо, где
t — время. При этом Т = Т0 + (7" — Т0), т. е. Т является суммой
44

То и бесконечно малой (Т — Т0). Говорят, что Го —предел Т при
неограниченном увеличении времени t (при /-►-{-оо), и пиш>т:
lim Т = 7V Здесь буквы lim — сокращенное латинское слово
limes (лимес), обозначающее «предел» (сравните со словом
«лимит»). В общем случае предел функции / при х-> + оо
определяется так:
Определение 1. Число Ь называют пределом
функции / при неограниченном увеличении
аргумента (при * ->• + оо), если / (л:) = Ь + а (X), где
функция а бесконечно мала при х -»■ + оо. В этом случае пишут:
lim / (x)=b (читается: «Предел эф от икс равен ft, когда х стремится
к плюс бесконечности»).
Если предел функции / при х -> + оо равен нулю, то / =- а,
т. е. функция / бесконечно мала. Функция бесконечно мала при
х->+ оо б том и только в том случае, когда ее предел при х ->- + оо
равен нулю.
Чтобы проверить, является ли число Ъ пределом функции f
при х-> + оо, надо доказать, что разность f (х) — Ь бесконечно
мала при х-> + °°-
Пример 1. Докажем, что lim-—-*—= 2.
*-»+эо X2 + 1
Решение. Имеем:
2*2 л- 3 2 2х2 + 3 — 2х2 — 2 1
х2 + 1 *2 + 1 л;2 + 1
Но < --, а функция — бесконечно мала при я -> + °°»
л:2 + 1 х2 х2
поэтому функция тоже бесконечно мала при х -> + оо. Зна-
х2 + 1
2х2 -4- 3
чит, 2~предел функции —— при х -> + °° •
х2 + 1
Докажем две теоремы о пределе функции при х-+ + оо:
Теорема 1. Предел постоянной функции при х -> + оо
равен значению этой постоянной:
lim £ =£.
*-*-f-00
Доказательство. Поскольку с — с = 0, а функция,
тождественно равная нулю, бесконечно мала при х-+ + оо, то
lim с = с.
Теорема 2. Функция f не может иметь двух различных
пределов при х -> + со.
Доказательство. Пусть lim / (х) = а и lim /(*)-&.
»р « , я-*-}-00 #-*-}-оо
югда / = a -t- а и / = Ь + р, где функции а и Р бесконечно малы
при х -> + оо. Так как / = а + а = fc + р, то а — i * р — а
45

и потому функция р — ее постоянна. В то же время она
бесконечно мала как разность бесконечно малых. Но если постоянная
функция бесконечно мала, то она равна нулю (по теореме из п. 8).
Значит, р — а = 0, а потому и а — b = 0, т. е. а = Ь.
Точка М (х) может удаляться по координатной прямой от
начала координат в двух направлениях. Поэтому наряду с понятием
предела функции при х ->• + оо введем понятие предела функции
при #->• — оо. Ясно, что, когда точка М (х) удаляется от начала
координат влево, симметричная с ней относительно О точка N (—х)
удаляется от О вправо. Поэтому введем следующее определение:
Определение 2. Число Ь называют пределом функции /
при х -> —оо и пишут: lim / (х) = ft, если lim / (—л:) = ft.
#-►—00
Например, lim — = 0, так как lim —
*-► —со X
еще один пример.
0.
Пример 2. Докажем, что lim
Решение
lim
2х* + 3
Рассмотрим
Имеем:
2х* 4- 3
im
2
2(-
-2.
__ х2+1
Полученный предел равен
равенство доказано.
Если lim / (х) = lim f (x)
л;->-[-оо я-> — со
(-*)» + 1
(см. пример
= lim
а;-».-}-00
1);
2*2 + 3
х2 + 1
значит, требуемое
то пишут lim f(x) = b. Так,
опираясь на примеры 1 и 2, мы можем записать, что lim
2*а+ 3
*->со X*
= 2.
х2 + 1
Заметим также, что доказанные выше теоремы 1 и 2 верны и для
случая, когда х-> оо, а также для случая, когда х~> оо.
В п, 8 было отмечено, что если функция а бесконечно мала
при #->■ + оо, то график этой функции при достаточно больших
значениях х почти сливается с осью абсцисс. Если lim/ (x) = Ь,
то / =з а + Ъ и потому график функции / получается из графика
функции а параллельным переносом в направлении, параллельном
оси ординат. При этом переносе ось абсцисс переходит в прямую
у = Ь (рис. 37). Отсюда получаем вывод:
Ук
y=oc(x)+b=f(x)
*)
46

Если lim / (х) = by то график функции f при достаточно боль-
ших значениях х почти сливается с прямой у = b (рис. 38). В этом
случае говорят, что прямая у = b является горизонтальной
асимптотой для графика функции / при х-*- + оо.
Если lim / (х) = 6, то прямая у = b является горизонтальной
Х-*.— оо
асимптотой для графика функции / при х-± — оо, — этот график
почти сливается с прямой у = b при достаточно больших по модулю
отрицательных значениях х. На рисунке 39 показаны различные
положения графика функции / относительно прямой у = b в
случае, когда lim / (х) = Ь, а на рисунке 40 — в случае, когда
Х-*>—оо
lim/ (х) = Ь.
Упражнения
137. Какие из следующих величин имеют пределы:
а) Угол отклонения маятника от положения равновесия при
возрастании времени, если колебания совершаются в среде
с сопротивлением; без сопротивления;
У1
0
1
Гь
X
а)

б) сила переменного тока при возрастании времени;
в) периметр, площадь и углы треугольника ABC с
постоянным основанием АВ и вершиной С, неограниченно
удаляющейся зправо по прямой, параллельной основанию?
138. Докажите, что:
а) lim =а —; в) hm —— = 2;
*-».-|-оо 2х 2 *-*+*> X2
~ v Ах + 5 , ч г Зх2 —7
б) lim —— =ч 4; г) lim —
>+00 х + 6 Ч-.+оо 2х2+ 1 2
139. Графики каких из нижеследующих функцнл при х—>-+ оэ
неограниченно приближаются к прямой у = 2:
а) -—; б) i°£=±; в) -!—; г) 2^ + 2?
; 2л:+ 1 5 +5л:2 ; 2л: + 1
140. Приведите примеры двух функций, горизонтальные
асимптоты графиков которых имеют уравнение у = 1.
141. Приведите примеры функций, не имеющих предела при
;<;-> + оо.
142. Чему равен предел при #-> + оо:
а) бесконечно малой функции;
б) суммы двух бесконечно малых функций?
И. Вычисление пределов. Если при х ->■ + оо значения функции
/ (х) неограниченно приближаются к числу а, а значения функции
g (х) — к числу Ь, то значения их суммы f (x) + g (x) приближаются
к а + 6, а значения произведения f (х) • g (x) — к числу ab. Если
при этом b Ф 0, то значения -^- приближаются к —. Иными
словами, справедливы следующие теоремы:
Теорема 1. Предел суммы функций fug при х -> + оо
равен сумме их пределов1:
\im(f(x)+g(x)) = lim/(*) + limg- (х).
ЛГ-v-f-00 #->-j-oo #->+oo
Доказательство. Пусть lim f (x) = а и lim g (x) =b .
Тогда f = a + a, g = b + p, где функции a и (5 бесконечно малы
при х-> + со. Но тогда / + g = (а + а) + ф + р) = (а + Ь) +
+ (а + Р). Функция а + р бесконечно мала как сумма бесконечно
малых, а потому функция f + g является суммой числа а + b
и бесконечно малой функции a + р. Это означает, что предел
f + g при х -> + оо равен a + &, т. е. lim (f (x) + g (x)) = a + b.
х-*--}-00
Теорема 2. Предел произведения функций fug при
дг-^ + оо равен произведению их пределов:
lim (/(•*) • g(x)) = Mmf(x) • \img(x).
1 В георемах 1, 2, 3 предполагается, что пределы слагаемых, множителей
и г. д. существуют.
48

Доказательство. Пусть lim / (х) = a, lira g (х) = Ь,
Х-*-\-со Х-+-\-оо
т# е. / = а + а, g = & + р. Тогда /g = (а + а) (ft + р) = аЬ +
_j_ (ар + аб + ар). Сумма ар + а& + ар бесконечно мала при
я _>._{_ оо, поэтому lim / (х) g (х) = aft.
Следствие. Постоянный множитель молено вынести за
знак предела:
lime/ (х) = с lim/ (я).
В самом деле, lim с f (х) = lim е • lim / (я) = е • lim / (*).
лг-*-{-оо *->+эо ^^4-°° я-»--}-00
Теорем аЗ. Если предел знаменателя g (х) при х -> + °°
отличен от нуля, то предел дроби ^-f при х-+ +оо равен отно-
шению пределов числителя и знаменателя:
lim f(x)
lim ^—; = ■ .
x->+™g(x) iim g(x)
X-+-\-OQ
Мы опускаем доказательство этой теоремы.
Аналогичные теоремы справедливы при х ->■—оо и при ,v->wo.
Пример. Вычислим предел
lim ^-а* + ' ,
л-^-f-oo 5д:34-6л:2 —7
Решение. При неограниченном возрастании х и числитель
4л:3 — Зх + 1 и знаменатель 5л:3 + 6#2 — 7 тоже неограниченно
возрастают. Поэтому предел дроби нельзя вычислить по теореме 3
как отношение пределов числителя и знаменателя. Но значение
дроби не изменится, если разделить числитель и знаменатель на
х3, а тогда получатся выражения, имеющие пределы при х-> + оо.
Итак,
4,г3 Зх: 1 / 3 1 \
lim 4*з-3* + 1 _lim "^~^+^ __ Д!!+Д4"?+^
х->+оо 5г* + 6х2 —7 д:->+оо 5л:3 6%2 7 / 6 7\"
X6 X3 X* *-*+оо\ X X* j
Ur, 3 . 1 6 7^
— ? ? И з"—бесконечно малые при х-+ + <х> и потому
"!? (4-4+i)-4; lim (5 + ^-4) = 5.
*->+оо\ *2 X3/ х-»+эо\ X ХЪ1
Значит,
4*-3r+l ^(4-|_^
а: .V3 /
дт-^+оо 5х3 -|- б*2 — 7 / 6 7\ 5*
lim 5 '
Х-+-\-эо
49

Вообще, справедлива следующая теорема:
Теорем a i. Если числитель и знаменатель алгебраической
дроби имеют одинаковые степени, то предел этой дроби при
д:->оо равен отношению коэффициентов при старших членах:
цт апхп + an-iXn~x + ... + агх + а0 = а_п
*-оо ЪпХп + Ь^Х^ + ... + ЪХХ + &0 Ьп'
где апФ 0, ЬпФ 0.
Если же степень числителя меньше степени знаменателя, то
дробь бесконечно мала при х -мх>.
Например:
lim 6-4-1^ + 1 а1а1; lim2^-fa-7=Q.
*-*оо 8*4 — Зх3+5 8 4 *-**> 3** + *а —1
Наконец, если степень числителя больше степени знаменателя,
то при неограниченном возрастании \х\ дробь будет неограниченно
увеличиваться. В этом случае предела нет, поговорят, что дробь
стремится к бесконечности при #->оо, и пишут: Нт^-^ = оо.
Например:
Я-юо X2— 16* + 3
*->оо q(x)
lim * + **-* ^co,
Упражнения
143. Вычислите предел функции:
a) lim ; г) lim •— ——; ж) lim
*->ooX— 1 Х-уоо X2 + 7х — 2 *_♦.«> X2 — X -\- \
Л. у х— 10000 ч 1; 2л:2 — х + 2 ч ,. Зх3 — 1
б) lim ; д) lim — ■ ; з) lim
#->оо
2л: ' *-оо V2 х2 + Зл; — 5 ' х-^ 6л:3 + х + 2 '
v ,. 2л: —3 ч 1. Зл:+ 1000
в) lim ——-; е) lim —±-—;
лг-юо X -\- 1 *-*оо Л:4
144. Вместо а поставьте такое число, чтобы выполнялось равенство:
v 1- ах + Ь о ЛЧ 1. Зл:Л + 7 А
a) lim —■— = 3; б) lim ■— = 0.
' л;->оо4х + 5 ' *-»co 2*6+7
145. Придумайте функцию, предел которой при х -> + оо равен:
а) 1; б) 2; в) |; г) --|; д) 1000.
146. Запишите уразнение горизонтальной асимптоты графика
функции при х-> оо:
ч 3 — Ах -ч 2л:2 ч 2 ч 3,г — 1
4 + х л:2— 1 х — 1 л;2 + 1
147. Приведите пример функции, горизонтальная асимптота
графика которой имеет уравнение: а) у = 2; б) у = ]Л2.
50

12. Предел последовательности. Предположим, что воздушный
насос при каждом движении поршня выкачивает из сосуда половину
находящегося в нем воздуха. Если в начале в сосуде был 1 г
воздуха, то после я-го движения поршня в нем останется — г воздуха.
Записывая массу воздуха, оставшегося после первого, второго,
... , п-го движения поршня, и т.д., получим числовую
последовательность1:
111 1
2' 2*' 2*' "' ' 2Л> "'
По мере увеличения п члены последовательности
приближаются к нулю. Говорят, что эта последовательность бесконечно
мала. Определение бесконечно малой последовательности почти
не отличается от определения функции, бесконечно малой при
#->■ + оо;
Определение 1. Последовательность (ап) называют
бесконечно малой, если для любого е > 0 при всех достаточко
больших натуральных значениях п выполняется неравенстьо
I «Л I < е.
Предложение «при всех достаточно больших натуральных
значениях я» означает «при всех натуральных значениях /г,
принадлежащих некоторому открытому лучу ]М; -|-оо[».
Определение 2. Число Ь называют пределом
последовательности (ап) и пишут: lim ап = &, если ап =
= Ь + ап, где (ап) — бесконечно малая последовательность.
В большинстве случаев вычисление предела
последовательности сводится к вычислению предела функции при х-> + сю.
Соответствующее утверждение формулируется следующим
образом:
Теорем а. Если an=f(n), n£N, причем lim f{x) = &, то и
Доказательство. Достаточно показать, что если
функция а (х) достаточно мала при х-+ +" °°> то и последовательность
(а/г)> где ал = а (я), бесконечно мала. Это следует из того, что
если \а (х)\ <е для всех достаточно больших значений х, то
\ап\ = \ы(п)\ < е для всех достаточно больших натуральных
значений я.
Пример. Найдем 1;т1£^6д + 3.
п-»оэ 5я3 + 8
, Числовая последовательность была определена в курсе алгебры 8-го класса
как функция натурального аргумента. Последовательности можно, как и любые
числовые функции, складывать друг с другом, умножать друг на друга и т. д. Чи-
с по Ю последовательность можно складывать с любым числом (точнее говоря,
тЛ^Т°ЯНН0И послеД°вателькостью), умножать на любое число и т. д.
Последовательность аь аъ а3, ..., ап, ... обозначься (ап).
51

то Hm
п-+оо
Решение. Так как lim
4пз — Cti + 3 _4_ *
= 5*
4х* — Gx + 3 4 . ...
+« 5л*+ 8 °Т ("«• пункт 11),
5л5* + 8
Упражнения
148. Среди перечисленных последовательностей укажите
бесконечно малые:
а)
б)
3/—
/г + 2 л + 1
149. Докажите, что:
4л+ 5
В)
а) пт
Л-+00 Л + 1
4; б) lim
л + 4
10/г — 5
1; г)
л + 1
о\
в) lim
2/t
1
1.
/г-*со 2 л л-юи £ii — i
150. Найдите предел последовательности (ап), заданной п-и
членом:
- ч л ч Зл2 + п + 1
б) ал =
л + 200*
л -hi
2/1-1'
л- — л + 1
ч Л — <Л2 -р 1
151. Докажите, что при п > 1000 разность
An + *
1 не пре-
4л + 1
восходит числа 0,0005.
152. В окружность радиуса R вписан правильный я-угольник и
Еокруг нее описан правильный я-уголышк. Обозначим
через ап и Ьп длины их сторон, через рп и Рп их периметры,
через sn и Sn — их площади, через hn — апофему вписанного
n-угольника, через ип — площадь сектора АОВ (рис. 41).
а) Какие из последовательностей (ап)9 (bn), (рп)> (Pn), (sn),
(Sn), (Ал), (ип) бесконечно малы?
б) Какие из этих
последовательностей имеют пределы и чему равны эти
пределы?
в) Являются ли бесконечно малыми
последовательности (Рп — pn)t (Sn —
-sn), (R-hn)?
13. Основные результаты.
1. Функция а называется бесконечно
малой при х-> + оо, если для любого
е > 0 найдется открытый луч ]/И; + оо[,
на котором выполняется неравенство
\а(х)\< г. Если функция постоянна и
бесконечно мала при х-> + °°> то она всюду
равна кулю.
52

2. Если функции аир бесконечно малы при х-> + со, то
их сумма а + р, разность а — р, произведение сер также
бесконечно малы при х-> + оо. Бесконечно малой будет и функция А • а,
где Л — число.
3. Число Ь называется пределом функции / прия-> + оо.если
f = Ъ + а, где функция а бесконечно мала при я-> + со.
Записывают: lim/(#) = &. Если а — бесконечно малая функция, то
lim а (х) = 0. Функция / не может иметь двух различных преде-
лов при х-+ + оо.
4. Если lim / (я) = 6, то при больших значениях аргумента
график функции почти сливается с прямой у = b (рис. 38). Эта
прямая называется горизонтальной асимптотой графика.
5. Предел суммы функций fug при д;-> -!- оо равен сумме их
пределов, предел произведения равен произведению пределов,
f (х)
предел дроби ,-^-L равен отношению пределов числителя и знаме-
нателя (при уеловии, что предел знаменателя отличен от нуля).
Постоянный множитель можно вынести за знак предела.
6. Если lim / (—х) = 6, то lim / (х) = Ь. Если limf(x) = limf(x)~
#-».-}-оо Х-* — оо ^-^..j-oo х-+—.х,
= 6, то пишут lim f(x) = b.
X-*OQ
7. Пусть дана алгебраическая дробь, т. е. выражение ^-^,
я(х)
где р (х) и q (x) — многочлены. Предел функции, заданной
выражением ^-^, при х -> оо равен отношению коэффициентов при стар-
Я \х)
ших членах числителя и знаменателя, если степени числителя и
знаменателя равны. Если степень числителя меньше степени
знаменателя, то предел функции ^-^ при х-+ оо равен нулю. Если
я(х)
степень числителя больше степени знаменателя, то при х-> оо
предел функции ^-^ равен бесконечности.
гт Я W
о. Последовательность (ап) называют бесконечно малой, если
для любого 8 > 0 при всех достаточно больших натуральных
значениях п выполняется неравенство \ап\ < е. Число Ъ называют
пределом последовательности (ап) и пишут lim an = Ь, если
ап ~~ b + ал, гДе (ал) — бесконечно малая последовательность.
Справедлива теорема: если ап = / (л), я g JV, причем lim f (x) = 6,
то и lim ап = Ъ.
53

Дополнительные упражнения
К пункту 8
153. Докажите, что функция бесконечно мала при х -*■ + оо.
2х— 1
Найдите значение х, начиная с которого выполняется
неравенство:
a) _!2L<o,l; б) -i2L<io-a.
; 2х - 1 } 2х - 1
Назовите несколько значений х, удовлетворяющих
неравенствам а), б). Удовлетворяет ли неравенству б) число х =500 000?
154. Докажите, что функция бесконечно мала при х ->- + оо.
(*—I)3-
Найдите значение х, начиная с которого выполняется
неравенство < 0,001.
(у —I)3
155. Начертите график функции, которая бесконечно мала при
х-> + со и
а) положительна при всех достаточно больших значениях х;
б) отрицательна при всех достаточно больших значениях х\
в) бесконечно много раз обращается в нуль.
156*. а) Докажите, что если f (x) <g(x) при всех достаточно
больших значениях х и g (x) <h (x) при всех достаточно
больших значениях х, то f (x) <h (x) при всех достаточно больших
значениях х.
157*. а) Докажите, что функция х2 — 4х + 3 положительна при
всех достаточно больших значениях х.
б) Докажите, что при всех достаточно больших значениях
2х — 1 . !
х выполняется неравенство < I.
К пункту 9
158. Найдите какое-нибудь значение х > 0, удовлетворяющее
неравенству:
а) -+4 <0>01; б) _L. + A=<oil;B) !£ + !£°<io-e.
*+l Vx
**
x x' x -f- I y x xx'
159. Постройте по точкам график функции Яв-
я + V д:2 + 4
ляется ли эта функция бесконечно малой при #-> + оо?
Докажите свое утверждение. С его помощью докажите, что
функция У~х2 + 4 — х бесконечно мала при х~-> + оо.
160. Докажите, что функция а, где а (х) = + -^-,
бесконечно мала при х-> + оо. Проверьте, что при я = 2
выполняется неравенство |а (л*)|< 0,0003. Следует ли отсюда,
что оно выполняется для всех х > 2? Найдите такое А1, что
при х > М выполняется неравенство |а (*)| < 0,0003.
54

К пункту 10
161. Имеют ли следующие функции предел при х-> + со:
а) 2х, б) lg х, в) 2"', г) 3 + 2-', д) *2, е)
I
UI
дг+1000
162. Чему равен предел функции / (х) = —: а) при х-+ + со,
б) при лс-> — со?
163. Докажите, что lim ——— = 3.
X-+ + QO X ~\r iO
164. Вычислите с помощью перехода к пределу значение функции
4* + 5 при х = 2-Ю8. Какая при этом получится точность?
* + 6
К пункту 11
165. Вычислите предел:
а) lim te + V7*_-t
*-*.«> 7л;2 — 5л -f 3
б) Пт У**-*_;
хт + 10е
г) lim -^-^ —; т 6 -V;
л:->оо 5 — Зх — Хп
ix-2f
д) lim
со X(2JC— I)3
в) lim
; m£N\
*-»оо хт + Ю-6
Сосчитайте приближенное значение дроби ~ — при
х (2х — 1 )2
х = 3 . 106.
166. Вместо букв а и Ъ поставьте натуральные числа, чтобы
выполнялось равенство:
v r 2х + 3 А
a) hm о „ ;\ = °;
*-*оо 3*а + 1
Зха + 7
В) lim^L±5= ЮО;
б) lim
0;
Л'~>со 0ЛТ -j-0
ах -J- 2
г) lim
5.
#-><x> 2л;~ -f- 7 л'-*со л:0' — 1
167. Вычислите пределы функции / при х -> + °° и при х -> —- со,
где
Зх
К пункту 12
168. Вычислите предел:
х — 2
4
, если х > 2,
х
, если х < 2, л' Ф 0.
a) lim (5 +
(-1)»
2п-
б) lim (з + 2 . Шя); г)1:т
\ 1 • /г2 — 1
в) 1:т ;
П->ге{2П-\)(П + \)
{Vn-V2){Yn-\-V2)
^ (у Л — 1) (JV+> /2+1)
53

169.
170.
171.
Вычислите предел: j
im
П-vco
l+2 + 3+...+n
5n2
Известно, что последовательность (ап) стремится к нулю.
а) Могут ли в этой последовательности быть члены, большие
1 000 000?
б) Могут ли все члены такой последовательности (ап) быть
отрицательными?
Имеет ли предел последовательность с заданным /г-м членом:
ч' (— I)'2 ч 2 + (—1)"
а) ап - -*—i—; в) аг =-
б) ап =
2 + 1-1)».
г) ап =
3
172.
173*
174*
п 2
Приведите пример последовательности рациональных чисел,
имеющей своим пределом ]/"2.
, Докажите, что:
2 + 4 + 6 + ... +2л
a) lim
■3/г-
п->оо1 +2 + ...+Л
Докажите, что:
ten
2; б) lim
,2->эс 1+3+5+... +(2/г—1)
= 1.
a) Km
oclgtt+ 10
175. а) Найдите lim
= 1;
2х2—1
ОЛ+1
б) limJf = 2.
о/го
/г->оо z — о
. б) Воспользуйтесь полученным ре-
зультатом для приближенного вычисления значения функции
О у% J
при х = 2457896. в) Найдите выражение для разности
Ах2 + 3
между функцией и ее пределом и прикиньте погрешность
полученного выше значения функции.
х3 + 1
176. Найдите приближенное значение функции —-J-— при х =
5а;3 + 6
= 4572 и прикиньте погрешность этого значения.
§ 3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
-f(x) / ^' Окрестность точки. Пе-
У~ ' * рейдем к изучению свойств
функции вблизи некоторой точки. На
рисунке 42 изображен график
функции f. На графике видно,
что вблизи от тоЧКи х =- 4 эта
функция принимает
положительные значения, причем эти
значения мало отличаются от числа
3, а также, что они меньше, чем
ее значения в точке х= 4. От-
56

<////////f/////////b
а-Л
a a+h
Рис. 43
a-,
штШ",
a+h
Рис. 44
метим, что вдалеке от точки х = 4 эти свойства функции уже
не имеют места: там найдутся и точки, где эта функция
отрицательна, и точки, в которых ее значение больше, чем в точке ,v=4.
Слова «вблизи от точки а» не имеют пока точного
математического смысла. Чтобы уточнить их, введем понятие окрестности точки.
Определение 1. Окрестностью точки а
называют интервал ]а— А; а + А[; число h называют радиусом этой
окрестности (рис. 43).
■"У каждой точки бесконечно много окрестностей. Пересечение
двух окрестностей точки а также является ее окрестностью,
например: 13 — 0,1; 3+0,1[П]3—0,01; 3 + 0,01[=]3 — 0,01; 3 + 0,01[.
Определение 2. Проколотой окрестностью
т о ч к и а называют ее окрестность, из которой удалена сама
точка а.
Таким образом, проколотая окрестность точки а состоит из
двух интервалов! ]а — h\ а[ и ]а; а + Л[ (рис. 44).
Определение 3. Говорят, что некоторое свойство
функции выполняется вблизи от точкиа, если оно
выполняется во всех точках какой-нибудь из проколотых окрестностей этой
точки.
Замечание. Если функция f задана на отрезке [я, &],
то считают, что некоторое ее свойство имеет место вблизи точки а
(соответственно точки Ь)% если есть промежуток ]a, a + А[
(соответственно ]6 — Л, Ь[)9 на котором это свойство выполняется.
Аналогичное замечание справедливо для случая, когда функция
задана на луче [а, + оо[ или на луче ]— оо, Ь].
Теперь можно придать точный смысл словам «функция
положительна вблизи от точки а». Это значит, что у точки а есть
проколотая окрестность, в которой эта функция положительна. В самой
точке а функция может принимать и отрицательные значения или
равняться нулю (рис. 45). Получили точный смысл и слова «вблизи
у^Х
*)
Рис. 45
57

от точки а значения функции / меньше, чем в этой точке». Они
означают, что у точки а есть проколотая окрестность, в которой
выполняется неравенство f (x) < f (а) (в самой точке а это неравенство
не выполняется, так как / (а) = f (a)).
Слова «вблизи от точки а значения функции / мало отличаются
от числа 3» не получили пока точного смысла, так как неизвестно,
какие отличия малы, а какие велики.
Упражнения
177.
178.
179.
180.
181.
182.
Дана функция Ух — 1.
а) Заполните таблицу:
X
V7- 1
99,5
99,7
99,9
100
100:2
100,4
б) На сколько отличается / (х) от 9, если х = 99,5; 99,9; 100,2?
в) Запишите какие-либо две окрестности числа 100 (двумя
способами: в виде интервалов и в виде неравенства).
г) Найдите пересечение записанных окрестностей,
д) Назовите радиусы этих окрестностей.
а) Найдите пересечение окрестности точки 2, имеющей
радиус 0,6, с окрестностью точки 3, имеющей радиус 0,8.
б) Найдите пересечение окрестности числа 2, имеющей
радиус 0,1, с окрестностью числа 3, имеющей тот же радиус.
в) Укажите непересекающиеся окрестности точек 2 и 2,1.
Задайте неравенствами:
а) окрестность точки 3,2, имеющую радиус 0,1;
б) проколотую окрестность числа 3,2, имеющую радиус 0,1;
в) проколотую окоестность числа — 4,5, имеющую радиус
0,01.
Запишите неравенствами две окрестности чисел 3 и 3,1,
имеющие: а) пустое пересечение; б) непустое пересечение.
а) Найдите пересечение всех окрестностей точки 4.
б) Найдите окрестность точки 4,1, целиком лежащую в
интервале ]3,8; 4,2[.
в) Найдите пересечение всех проколотых окрестностей
точки 4.
а) Что значат слова: «Функция / положительна (отрицательна)
вблизи точки а»?
б) Какой знак имеет функция / в проколотой окрестности
точки а = 1 радиуса 0,2, если:
1) / (х) = *3; 2) / (х) =
: —3
58

в) Сохраняют ли функции г* и -^— постоянный знак в про-
колотой окрестности точки 1, имеющей радиус 3?
г) Что значат слова: «Значение функции / вблизи точки а
больше, чем в этой точке»?
д) Верно ли, что значения функции / вблизи точки а больше,
чем ее значения в этой точке, если:
1) / (Х) = 4 + (х - З)2, а = 3;
2) / (х) = 4 + (х — 2)3, а = 2;
3 / \х = 1 +4(х-2)*-6(х-2)\ а = 2?
15. Функции, бесконечно малые при х-+а. Когда х
приближается к значению 3, значения функции (л: — З)2 приближаются
к нулю. Это видно из следующей таблицы:
X
х—3
! (*-3)«
4
1
1
3,1
0,1
0,01
3,01
0,01
0,0001
3,001
0,001
0,000001
2,9
-0,1
0,01
2,99
—0,01
0,0001
2,999
-0,001
0,000001
Говорят, что функция (х — З)2 бесконечно мала при х-> 3.
Бесконечно мала при х->3и функция — (х — З)2, отличающаяся от
функции (х — 3)а лишь знаком.
Смысл предложения «Функция а бесконечно мала при х -> а»
состоит в том, что вблизи точки а значения этой функции
становятся малыми по модулю. Однако такое определение неточно,
поскольку слова «малые по модулю» не имеют точного математического
смысла: число 0,1 мало по сравнению с числом 1000, но велико по
сравнению с числом 0,001. Чтобы уточнить это определение,
заметим, что по мере приближения х к числу 3 модули значений
функции (х — З)2 становятся сначала меньше чем 0,01, потом
меньше чем 0,0001, затем меньше чем 0,000001 и т. д. И вообще, какое
бы малое положительное число е мы ни выбрали, найдется
окрестность точки 3, в которой значение (х — З)2 меньше чем е. Зто
замечание и положим в основу определения бесконечно малой
функции.
Определение. Функция а называется бесконечно
малой при х->а, если для любого положительного числа 8
вблизи от точки а выполняется неравенство | а (х) \ < е (т. е. если
найдется проколотая окрестность1 точки а9 в которой выполняется
эта неравенство).
Поскольку может случиться, что функция не определена в самой точке а,
говорим не об окрестностях этой точки, а об ее проколотых окрестностях.
59

Пример 1. Докажем, что функция х — а бесконечно мала
при х-+ а.
Решение. Если задать число е > 0, то в проколотой
окрестности точки а, йШющей радиус е, выполняется неравенство
|а- -— а\< е. Это и означает, что функция х — а бесконечно мала
при х -> а.
Пример 2. Докажем, что функция (х — а)2 бесконечно мала
при *--> а.
Решение. Зададим любое положительное число е. Мы
хотим найти проколотую окрестность точки а, в которой выполняется
неравенство \(х — а)2\ < е. Для этого достаточно, чтобы
выполнялось неравенство \х~а\ <|/е. Иными словами, достаточно
взять окрестность точки а, имеющую радиус Уе.
В разобранных выше примерах функции, бесконечно малые
п)и х->а, разнялись нулю при х = а. Приведем теперь пример
Сееконечно малой при х->а функции, не обращающейся в нуль
в точке а.
л 4v 4-/t
Пример 3. Докажем, что функция - х бесконечно
мала при #-> 2 (хотя и не определена при х = 2).
Решение. Ьсли % Ф 2, то L— = v — = я — 2.
х — 2 х — 2
Значит, в проколотой окрестности точки 2 данная функция
совпадает с функцией х — 2, которая бесконечно мала при х-+ 2.
Поэтому и заданная функция бесконечно мала при х ->- 2.
Отметим одно свойство бесконечно малых функций при х-> а,
которое будет нам полезно в дальнейшем.
Теорема. Если функция а бесконечно лгала при х-> а и
ЬФО, то вблизи точки а знак функции &+а совпадает со знаком
числа Ъ.
Доказательство. Так как функция а бесконечно мала
при х-> а, то вблизи точки а выполняется неравенство |а|< |Ь|.
Но знак суммы двух слагаемых совпадает со знаком слагаемого,
имеющего больший модуль, т. е. в нашем случае — слагаемого Ь.
Значит, вблизи точки а знаки b + а и b совпадают.
Упражнения
183. Докажите, что функция / бесконечно мала при #-> я, если:
а) /(*)=* — 2, а = 2, в) / (х) - (2 - х)\ а - 2.
б) / (х) - (х - З)3, а = 3;
184. Приведите пример функции, бесконечно малой
а) ори х-+ 5; б) при х~-> —3.
185. а) Докажите, что функция (jc + З)6 бесконечно мала при
х~>—3.
б) В какой окрестности точки —3 выполняется неравенство
(jc + 3)6 < 0,000001?
60

в) Является ли функция (# + З)6 + 0,000001 бесконечно
малой при х -> —3?
г) Можно ли найти такое б > 0, что при \х + 3| < о
выполняется неравенство (х + З)6 + 0,000001 < 0,0000001?
д) Является ли функция 1 000 000 • (х + З)6 бесконечно
малой при х -* 3?
е) В какой окрестности точки —3 выполняется неравенство
1 000 000 (* + 3)6 < 0,01?
16. Предел функции в точке. Введем понятие предела
функции в точке.
Определение. Число Ь называется пределом функ-
ц и и /при х-+а (икс, стремящемся к а или, иначе, в точке а), если
разность/Ул^ — & бесконечно мала при х-> а. Пишут: \\mf(x)=b.
х-+а
Функция / может иметь предел при х ->- а и в случае, когда она
не определена в этой точке: ведь функция а, бесконечно малая при
х->- а, может быть не определена в точке а (см. пример 3 из пункта
15). Важно лишь, чтобы по мере приближения х к значению а
разность / (х) — Ь становилась сколь угодно малой по модулю.
Пример 1. Докажем, что если функция f постоянна, то ее
предел равен ее значению, т. е. что lim с = с.
х->а
Решение. Поскольку / (х) = с, то разность f (х) — с = с—-с>
т. е. равна нулю. Постоянная функция 0 бесконечно мала при
х-+ а. Значит, lim с = с.
х-*а
Пример 2. Докажем, что предел функции х при х -> а
равен а, т. е. что \\т х = а.
х-*а
Решение. Разность х — а бесконечно мала при х -> а;
значит, lim x = а.
х->а
В более сложных случаях для вычисления пределов
используют следующие теоремы, аналогичные теоремам из пункта 11 для
пределов при х-> +оо.
Т е о р е м а 1. Предел суммы функций f(x) и g(x)npu x-+a
равен сумме их пределов 1:
lim (f(x) + g (*))=lim f(x) + lim g(x).
x-+a x-*a x-+a
Теорема 2. Предел произведения функций f(x)ug(x) при
*-* а равен произведению их пределов:
,im/ (х) g {x) = Нт/(л:) limg (*).
*-*e х-*а х-ю
но uunSlL" в„пУНКТе П. мы предполагаем, что пределы слагаемых (соответствев-
и "««жителей и т. д.) существуют.
61

Следствие.
знак предела:
Постоянный мнооюитель можно еынести за
lime/ (х) = с lim / (л;).
ТеоремаЗ. Если предел знаменателя отличен от нуля, то
предел дроби £Ю- при х -> а равен отношению пределов
числителя и знаменателя:
х-+а g (x) lim g (x)
x->a
Доказательства этих теорем проводятся аналогично тому, как
это было сделано в случае, когда х-> + оо.
Пример 3. Вычислим lim (х2 — Зх + 8).
Х-+4
Решение. По теореме 1 имеем:
lim (х2 — Зх + 8) = lim х2 + lim (—3*) + lim 8.
х-*-А Я-*4 Х-+4 x-+i
Далее, по теореме 2 получаем:
lim a:2 = lim x • lim x\ lim (—Зх)
х-*\ х-*-А Л'->4 Х-+4
Но lim х = 4, lim 8 = 8 и потому
л;-*4 х-*4
lim (х2 — Зя + 8) = 42
Х-+А
Таким образом, чтобы найти предел многочлена х2 — Зх + 8
при х -> 4, оказалось достаточно подставить в этот многочлен
вместо х значение 4. В силу теорем о пределе суммы и
произведения, это имеет место для любого многочлена.
Т е о р е м а 4. Предел многочлена р(л) при #->а равен
значению этого многочлена при х^а, т. е. р(а).
Используя утверждение о пределе дроби, приходим к более
общей теореме:
Теорема5. Еслыр{х)иq{x)— многочлены, причемq{a)¥*Q9 то
предел дроби 2Л~?_ при х—>а равен ее значению при х—а:
н И q(x)
q(a)'
—3 lim x.
#-*4
3 * 4 + 8 - 12.
lim
х-+а q (jc)
Доказательство. По теореме 4 имеем: lim р (х) = р (а)
х->а
и lim q (x) = q (а). Так как q (а) Ф О, то по теореме 3 получаем:
х^а
lim^M
х-*а Я(Х)
Пример 4. Вычислим lim
lim p (х)
X~>J
lim q (x)
Х->а
х2 — Зх +
р(а)
Я (а)
1
X'3 + 1
62

л ■ т, ,. д:2 — Зл: + 1 З2-3.3+1 1
Решение. Имеем: hm —^j— = - 3з + 1 в28в
Сформулированные теоремы позволяют вычислять пределы
рациональных функций, т. е. функций, значения которых
получаются из значения аргумента и некоторых чисел с помощью
операций сложения, умножения и деления. Для этого, как в примере 4,
достаточно подставить в выражение функции вместо х значение
а, к которому стремится х. Единственным исключением является
случай, когда после такой подстановки получится выражение, не
имеющее числового значения из-за того, что знаменатель
обращается в нуль. Рассмотрим примеры.
Пример 5. Вычислим lim * ~~ х~1°.
Решение. В этом случае нельзя просто подставить вместо
х значение 5, так как при этом значении и числитель, и
знаменатель обращаются в нуль. Но, как известно, квадратный трехчлен,
имеющий корень а, раскладывается на множители, одним из
которых является х — а. В нашел случае получаем:
х2 — 6х + 5 _ (л:— 1) (л: —5)
х2 - 25 ~~ (х + 5) (* - 5) '
При х Ф 5 эту дробь можно сократить на х — 5, в результате по-
у J
лучится дробь -. Поскольку значение предела функции при
х -\~ 5
х -*- а не зависит от ее значения в самой точке а, то указанное
сокращение законно, и мы получаем:
1- х2 — 6х + 5 v х—\
lim !— = lim -
X
>5 X2 — 25 Л--5Я+5
х 1
А **ш —Г^ сосчитать просто — здесь уже можно заменить х на 5:
Х-*Ь X -J- О
х-*ьх-\-Ъ 5 + 5 5
Значит, искомый предел равен —.
Пример 6. Вычислим предел lim Л* + 1 .
Решение. При х = 4 числитель равен 65, а знаменатель
обращается в нуль. По мере приближения х к 4 значения дроби
*2__i6 неограниченно увеличиваются по модулю и поэтому не
приближаются ни к какому числу. Значит, функция 4^ не
имеет предела, когда *->4. Условились говорить, что эта~функ-
Дия при х-+ 4 стремится к бесконечности, и писать: lim *L+i =00.
*->4 X2—16
63

На рисунке 46 показан график функции
*3±J (при х >0).
л;2— 16
р(х)
Вообще, если числитель дроби IL^-1 при
я(х)
х = а отлшьен от нуля, а ее знаменатель
при х = а обращается в нуль, то функция
£^ стремится к бесконечности при
q (х)
х-*а: lim ^-l = со.
х->а q (х)
Замечание. Если функция f
задана на отрезке [а, ft], то запись Нт/(х)=ч
х-*а
=с означает, что разность / (я) — с
бесконечно мала, когда х стремится к а,
оставаясь справа от а. Запись \imf(x)~c означает,
х-*Ь
что разность f (х) — с бесконечно мала,
когда хстремится к Ь, оставаясь слева от Ь.
Упражнения
186, а) Заполните таблицу:
X
х2--9
*г-3
i
**-9
| х —3 6
2
2,5
2,9
2,95
3,5
3,1
3,01
б) К какому числу приближаются значения функции
X —т о
по мере приближения х к числу 3?
в) К какому числу приближаются значения разности
**-9 а „мж _3?
6 при х-
# — 3
187. Докажите, что lim 2x = 2а.
х-+а
188. Вычислите предел:
ч ,- , * , * in \ г 2л:2 + 5л: —6 ч ,. х-
а) lim Ос2 + 4х — 1); в) lim—^—-—; д) lim —
*-3 х-+4 х- + 7 *->! л:
л:2 — л: + 1
лг-*4 X2 + '
л:2— 1
1+х + 1
б) lim (2 — Зх + х*)\ г) lim -—-; е) lim £±Д
х-+0 х-+* х2 + 1 х-+2 X"— I

189. а) Вычислите предел lim —;———.
х-*—5 Х~ — ^J
б) Почему нельзя в выражение подставить непосредственно
значение х = —5?
в) Почему при вычислении предела возможно сокращение
дроби на х + 5?
190. Вычислите предел:
a) lim »
' х^0 х* + 4х
б) lim
Х-+2
(х — 2) (jc Ч 3) ,
х2 — 4
в) lim
#->з
г) lim
х-*\
X*
X2
— Ъх + 6 .
* — 3 '
— 4* + 3
191*. Найдите приближенное значение функции
при х = 2,00158.
х2 — 5д: 4- 6
х2 -4
17. Непрерывные и разрывные процессы. Непрерывные функции.
Многие физические процессы характеризуются тем, что
постепенное плавное изменение физических величин сменяется
скачкообразным — количественные изменения переходят в качественные.
Рассмотрим два примера.
1) Пусть груз висит на нити (рис. 47). По мере увеличения
нагрузки нить постепенно растягивается и расстояние / груза от точки
подвеса понемногу увеличивается. Но при некотором критическом
значении Р0 нагрузки нить разрывается, груз падает вниз и его
расстояние от точки подвеса скачкообразно увеличивается до
значения L. Тот же результат получится при любом значении Р > Р0.
График зависимости / от нагрузки Р имеет вид, изображенный на
рисунке 48. В точке Р0 возникает новое качественное состояние —
нить, бывшая до этого целой, разрывается.
2) Будем нагревать смесь водорода и кислорода (гремучий
газ) при постоянном давлении. Объем газа будет постепенно
увеличиваться. При некотором критическом значении Т0 температуры
происходит химическая реакция соединения водорода и кислорода,
Рис. 47
Рис. 48
3 Заказ 87
СЗ

m
й-
о.
/L
0
\
/}
1
•
15 7 x
Рис. 49
смесь взрывается и ее объем
скачкообразно увеличивается.
Возникает новое качество: смесь
водорода и кислорода
превращается в водяной пар.
Если при малом изменении
аргумента значение функции /
меняется мало, то говорят, что
при этом значении аргумента
функция / непрерывна. Видим,
например, что функция,
график которой изображен на
рисунке 49, непрерывна при Есех
значениях аргумента, кроме
значений х = 3, 5, 7,— в этих точках малое изменение аргумента
может привести к большому изменению значений функции
(например, f(3) = 4, М3,1)~2).
Предложение «Значение функции меняется мало при малом
изменении аргумента» не имеет точного математического смысла.
Точнее сказать, что разность f (х) — / (а) бесконечно мала при
х ->■ а. Но мы знаем, что если разность / (х) — / (а) бесконечно
мала при х -> ау то число / (а) является пределом функции / при
х-+а, т. е. lim / (х) = / (а). Значит, определение непрерывной
функции можно сформулировать так:
Определение. Функция / называется
непрерывной в точке а, если она определена в этой точке и ее предел
при х -> а равен ее значению в точке а:
Ит/(*)=/(а).
х-+а
Из утверждений о пределах суммы, произведения и частного
вытекают соответствующие утверждения о непрерывных функциях.
Т е о р е м а 1. Если функции fug непрерывны в точке а, то
их сумма f+g непрерывна в этой точке.
Доказательство. Так как / и g непрерывны в точке а,
то выполняются равенства lim f (x) = f (а) и lim g (x) = g (a).
Но тогда lim (/ (х) + g (х)) = lim / (*) + lim g (x) = f (a) + g (a),
х->а х-»а х-+а
а это и означает, что функция f + g непрерывна в точке а.
Смысл этой теоремы заключается в следующем: при малом
изменении аргумента непрерывные функции / и g мало изменяются,
а потому мало меняется их сумма f + g.
Аналогично доказываются следующие утверждения:
Теорем &2.Если функцииf и g непрерывны в точке а,
то и их произведение fg непрерывно в точке а.
Теорема 3. Если функции fug непрерывны в точке а,
f
причем g ка)Ф О, то и функция — непрерывна в точке а.
66

Так как lim x = а> то функция х непрерывна при всех значениях
аргумента/а°так как lime = с, то постоянная функция тоже ке-
прерывна при всех значениях аргумента. Но любая рациональная
функция получается из постоянных и функции х с помощью
операций сложения, умножения и деления. Поэтому она непрерывна
при всех значениях аргумента, для которых имеет числовое
значение. Таким образом, верна следующая теорема:
Теорема 4. Рациональная функция непрерывна при всех
значениях х, для которых она имеет числовое значение.
х24- 9
^— непрерывна при
Пример 1. Докажем, что функция
х2-9
всех значениях х, отличных от чисел —3 и 3.
х2 4- 9
Решение. Дробь —-1— имеет числовое
значение, если ее
9 = 0 имеет
х2— 9
знаменатель отличен от нуля. Но уравнение г
два корня: —3 и 3. Поэтому для всех значений х, отличных от
'+9
этих корней, функция
непрерывна.
Точки, в которых нарушается условие непрерывности функции,
называются ее точками разрыва. Для функции
х2+ 9
точками
х2- 9
разрыва являются —3 и 3.
Пример 2. Найдем точки разрыва функции /, где
( х + 3, если х < —2,
f(x) = \ х\ если — 2 < х < 2,
I —х + 6, если х > 2.
Решение. Функции х + 3, л:2, —х + 6 непрерывны при
всех значениях х. Поэтому разрывы могут возникнуть лишь в
точках, при переходе через которые одно выражение функции
сменяется другим, т. е. в точках —2 и 2. График функции / изображен
на рисунке 50. Из него видно, что в точке —2 график делает
«скачок» вверх на 3 единицы. В этой точке функция разрывна. А в
точке 2 разрыва нет, функция в
этой точке непрерывна.
В том, что функция / непрерывна
в точке 2, можно убедиться следующим
образом. Если х приближается к числу
г ^Til T0 пРедел Функции / равен
i!^2 * ~"~ 22 ^ 4* ^сли же х пРиблнжа*
ется к числу 2 справа, то предел
функции f равен lim (—* + 6) = — 2 +
+ 6=4. Пределы функции / при
приближении х к числу 2 слева и спра-
»а оказались одинаковы, причем они
равны значению этой функции в точ-
/n^nf?° И показывает, что функция
Г непрерывна в точке 2,
3*
67
Рис. 50

У к
\
«;
«,
——■
0
1
i
#
/
. а
/
/
Рис. 51
Пусть функция / задана выражением, знаменатель которого
в точке а обращается в нуль, в то время как числитель отличен от
нуля. В этом случае по мере приближения к точке а график
функции неограниченно удаляется от оси абсцисс. В зависимости от
знаков числителя и знаменателя слева и справа от точки а график
функции имеет один из видов, показанных на рисунке 51. В этом
случае прямая х = а называется вертикальной асилттотой
графика функции /.
Например, в точке х = 2 знаменатель выражения
*2+4
2-х
обращается в нуль, а его числитель отличен от нуля. Поэтому функ-
х* 4- 4
ция —-— разрывна при х = 2. Вблизи точки 2 числитель дроби
2-х
положителен, а знаменатель положителен слева от 2 и
отрицателен справа от 2. Поэтому слева от точки 2 значения функции
положительны, а справа от точки 2 — отрицательны. График
функции показан на рисунке 52, В подобных случаях пишут:
/ (х) ->■ + оо или / {х) -> — оо. Так, для функции, график которой
G3

изображен на рисунке 52, можно
записать, что / (л) -> + оо при
х-+ 2 слеЕа и / (х) -> — оо при
х->2 справа.
Упражнения
192. Приведите примеры
непрерывных и разрывных
физических или химических
процессов.
193. Будет ли непрерывной
функция f в точках а. Ъ, если:
a) f(x) = *2—1, о=1, 6-3;
б)/(*)в-т-т. *=4, б=-1;
</~/м
Рис. 52
* + г
в)/М-
х-Г
а = 1, 6 = 7?
194
Приведите примеры функций, непрерывных: а) в любой
точке числовой прямой; б) при всех значениях х, кроме х = 2;
в) при Есех значениях х, кроме х = 2, 3 и 7.
195. Изобразите график функции /:
а) не являющейся непрерывной в точке х = —2, но
определенной в этой точке;
б) не являющейся непрерывной в точке х = —2 и не
определенной в этой точке.
196. На рисунке 53 изображен график некоторой функции /:
а) Чему равно /(0), /(1), /(1,5)?
б) Пусть х = 0,999. Чему примерно равно / (*)?
в) Пусть х =: 1,001. Чему примерно равно /(л)?
1Э7. Среди •«".»". '- - 1
функций:
- укажите
а) х-1; б)
непрерыв-
в)
г)
198,
ные в точке *= 1; * = 0.
а) Изобразите график
функции /, непрерывной в точке
х = 2, причем /(2) = 1.
б) Чему равен предел этой
функции при х -*2?
■99. Найдите предел функции,
график которой изображен
на рисунке 54, при х -> 2.
Чему равно f (2)?
Пусть limf (х) -3, /(2) = 1.
а) Изобразите график этой
200,
Рис. 53
69

?l
lTJL
/f
JO
i
1
i
У=Нх)^
)
- *
201.
202.
функции f вблизи точки
x = 2.
б) Является ли функция /
непрерывной в точке х = 2?
Докажите непрерывность
функции в точке х — 2:
а) х\ б) х2 + 2х;
в)
Рис. 54
х2 — 2
В каких точках имеет
разрыв функция /, если:
а) /«- 1 -
б) /(*) =
в) /(*)=-
Зх— 12
-;г)/(*) =
х3 —1
^2 —6х + 9 ' f v ' л? —6* + 8
203. На рисунке 55 приведены графики функций. Какие из них
имеют точки разрыва? Укажите значения функций в точках
разрыва. К каким числам приближаются значения функций,
когда х приближается к точкам разрыва слева? справа?
204. Даны функции:
a) f (х) = -Ц; б) / (х) = 1
*-Г
* — 2
Найдите их точки разрыва. Постройте схематично графики
функций в окрестности точек разрыва и при л;-> оо.
У>
О.
с.
1-
* 5
1
^
s г
6)
f
^~
К
У\
ь
■■ ■ ■-•
0
1
>■ »■
'-*
*;
э^-
л

205. Даны функции f, g, К ф, где f(x)=* —-; g(x) =
х-3'
фМ =
*а+5
а) Определите их знаки вблизи точки 3 слева и справа.
б) Существуют ли пределы функций при #->3?
206. Постройте эскиз графика функции / (х) = ^—-, выполнив
следующие шаги:
а) Найдите точки разрыва.
б) Найдите точки пересечения графика о осями координат.
в) Вычислите предел lim
г) Вычислите lim
*+1
*^_ооЛ: — 4
д) Постройте асимптоты (горизонтальную и вертикальную).
е) Для контроля найдите несколько промежуточных точек,
например (1,/(1)), (0 J (0)) и т. п.
207. Используя план из упражнения 206, постройте эскиз графика
функции / (л:) = -.
208. На рисунке 56 изображен «ступенчатый конус», состоящий
из цилиндров одной и той же высоты 5 см, радиусы оснований
которых соответственно равны 25 см, 15 см, 5 см. Проведем
сечение этого тела плоскостью, отстоящей от основания на
х см, и обозначим через г (х) радиус этого сечения, а через
5 (х) его площадь.
а) Постройте графики функций г (х)
и S (а:), 0 < х < 15. В каких
точках эти функции разрывны?
б) Обозначим через V (х) объем
части тела, лежащей ниже проведенной
плоскости. Запишите выражение для
функции V (х), 0 < х < 15 и
постройте ее график. Имеет ли эта
функция точки разрыва?
Рис. 56
18. Функции, непрерывные на отрезке.
Функцию, не имеющую точек разрыва на
отрезке [а; 6], т. е. непрерывную во всех
точках отрезка, называют непрерывной на
этом отрезке. На рисунке 57 изображен
график такой функции. Видим, что
функция / возрастает на отрезке [а; Ь] и
принимает на нем все значения,
заключенные между / (а) и / (&).
У
№
№
Рис. 57
71

У:
J *
/i\
о.
L
0
(
IV
^-~"~
С 6
X
m
/ X(b,f(b)
~?ic,d)
Рис. 58
Рис. 59
Если бы монотонная на отрезке [a; fc] функцря / имела на нем
точку разрыва, то она принимала бы не все значения,
промежуточные между / (а) и / (Ь). Например, функция /, график которой
изображен на рисунке 58, не принимает промежуточного
значения 4.
Справедливо следующее утверждение:
Т е о р е м а 1. Пусть функция /монотонна на отрезке [а; Ь].
Для того чтобы она принимала на этом отрезке все значения,
заключенные между f (а) и /(&), необходимо и достаточно, чтобы
эта функция была непрерывна па отрезке [а;Ь] (т. е.
непрерывна во всех точках этого отрезка).
Мы опускаем доказательство этой теоремы.
Более общим, чем теорема 1, является следующее утверждение,
которое мы также приводим без доказательства:
Т е о р е м а 2. Если функция f непрерывна на отрезке [а; Ь\,
то среди ее значений на этом отрезке есть наименьшее значение
m и наибольшее значение М, причем она принимает все
значения, расположенные между m и М.
Геометрический смысл этой теоремы ясен из рисунка 59: какое
Сы значение d, лежащее между m и М мы ми взяли, горизонтальная
прямая у = d пересекает график функции / в точке, абсцисса
которой лежит на отрезке [а; 6].
Отметим два следствия из этой теоремы:
Следствие 1. Если функция f непрерывна на отрезке
[о; Ь] и принимает на его концах значения различных знаков, то она
обращается в нуль хотя бы в одной точке отрезка.
Доказательство. Пусть / (а) < О и f (b) > 0. Тогда
тем более т < 0 и М > 0 (рис. 60). Значит, число 0 заключено
между т и М, а потому есть такая точка с, лежащая между а и Ь,
что f (с) = 0.
Следствие 2. Если функция f непрерывна на интервале
]а; fc[ и не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала,
то она имеет один и тот же знак во всех точках интервала.
72

y\
м
no)
0
f(a)
/77
i
/
'~\
". /
Е7^
»_
Ь л*
6';
_ ZL_
с V[y »
b' Л
Рис. СО
Рис. G1
Доказательство. Если, бы функция имела различные
знаки в точках хг и х2 интервала ]а; &[, то по предыдущему
следствию она обратилась бы в нуль хоть в одной внутренней точке
отрезка [X; #2]> т- е- на интервале ]а; Ь[ (рис. 61). Это противоречит
условию. Значит, функция / не может иметь на ]а; Ь[ значений
различных знаков.
Пример. Докажем, что уравнение х3 — Зх +1 =0 имеет
корень па отрезке [0; 1] и найдем его с точностью до 0,1.
Решение. Функция f (х) = х3 — 3* + 1 непрерывна ка
всей числовой прямой, причем f (0) = 1, / (1) = —1. По следствию
1 она обращается в нуль хоть в одной точке отрезка [0; 11. При этсм
можно доказать, что функция / убывает на отрезке [0; 1] и потому
ее график пересекает его лишь в одной точке (т. е. уравнение
х3 — Зх + 1 =0 имеет лишь один корень на этом отрезке).
Чтобы найти корень с точностью до 0,1, разобьем отрезок на
10 частей точками 0,1; 0,2; 0,3; ...; 0,9 и сосчитаем значения
функции в этих точках:
X
f (х)
0 J 0,1
1
0,701
0,2
0,408
0,3
' 0,127
0,4
—0,133
0,5 ;
—0,375 |
Так как она меняет знак между точками 0,3 и 0,4, то с точностью
До 0,1 корень уравнения разен 0,35.
Упражнения
Найдите интервалы, в которых функция f непрерывна:
209. а) /(л):
б) /(л)
1
(*-1);,y-3)
х~2_2__а
х2 — 7х'\- 12'
В) /(*)=—
х2 — 12л
Ъх-
0 / (х) - х2 + 1 +
Л'4 + А2
73

( х2, если х с^ 1, ( х, если х ^ О,
210. а) / (х) = i + h если х>1. б) / (*) = ±f если х> 0
I I X
211. Дана функция 2х2 — х — 3. Заполните таблицу
X
I / (*)
—3 | —2
0
1
2
3
Можно ли утверждать, что на отрезках [—3; —2], [—2; 0],
[0; 1], [1, 2], [2; 3] найдется точка (хотя бы одна), в которой
функция обратится в нуль?
212. а) Найдите значения функции / (х) = х3 — Бх + 1 при
х = —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3.
б) В каких промежутках эта функция наверняка имеет нули?
в) Изобразите схематически график функции / на отрезке
С-3; 3].
г) Какой знак имеет функция в интервалах ]—2; 0[, ]1; 2[?
213. Покажите, что уравнение х3 — 6х + 2 = 0 имеет корень
на отрезке [0; 1]. Найдите его с точностью до 0,1-
о
214. Имеет ли уравнение х% — х -|— = 0 корень на отрезке
[0; 1]? Решите это уравнение.
19. Решение неравенств методом промежутков. Пусть дана
функция /, где / (х) = (*- i)(* + 2)t в точках 1 и —2 функция f
(х - 4) (х + 3)
обращается в нуль, а в точках 4 и —3 она не определена. Точки
—3, —2, 1, 4 разбивают координатную прямую на пять
промежутков (рис. 62). Внутри каждого промежутка функция непрерывна
и не обращается в нуль, а потому сохраняет постоянный знак.
Выбрав по одной «пробной точке» из каждого промежутка, можно
установить знак функции на всем промежутке.
На промежутке ]4; + оо[ возьмем пробную точку 100. При
х = 100 выражения я — 1, х + 2, х — 4, х + 3 принимают
положительные значения, потому и f (100) > 0. Таким образом, / (л:)>0
на луче ]4; + оо[. На промежутке ]1;4[ возьмем точку 2. При х=2
выражения х — 1, * + 2, х + 3 положительны, а выражение х—4
отрицательно. Значит, / (2) < 0, а потому f (х) <0 на промежутке
]1; 4[. На промежутке ]—2; 1[ возьмем точку 0. При х = 0 два
выражения (х + 2 и х + 3) положительны, а два выражения
(х — 1 и х — 4) отрицательны. Значит, / (0) > 0, а потому / (*)>Q
на интервале ]—2; 1[. Аналогично устанавливаем, что/(л;)<0на
интервале ]—3; —2[ и f(x)>0 на
4.-4- - ч- луче]—оо;—3[.
о о-!*»*. Итак, для функции f (х) =
; 4 (*-!)(*+ 2)
-J -2
Рис. 62
(*-4)(*+3)
мы получили
74

следующий результат: если нанести на координатную прямую все
точки, в которых функция / обращается в нуль или не определена,
то в самом правом промежутке выполняется неравенство / (х) > О,
а далее знаки чередуются по промежуткам справа налево так, как
показано на рисунке 62.
Аналогичные рассуждения и аналогичный вывод справедливы
для любых функций вида
. ^ (х — аг) (х — а2) (х — а3)
1 (х - Ьх) (х - Ь2) (х - Ь3) (х - Ь,)
(количество множителей в числителе и знаменателе может быть
любым, лишь бы все они были различными).
Пример 1. Решим неравенство ( ' Z_' >
Р е ш е н и е. Из рисунка 62 видно, что функция /(л:)=- м -
(х — 4) (* + 3)
принимает положительные значения на промежутках ]—оо; —3[,
]—2; 1[ и ]4; +оо[. Значит, множество X решений заданного
неравенства таково:
X = ]-оо; -3[ U ]-2; 1[ U ]4; +оо[.
Пример 2. Решим неравенство ~ — ^ 0.
ох — 1
Решение. Уравнение 2л:2 — Ъх + 2 = 0 имеет корни
*i = 2, х2 = 1. Значит, 2л? — 5л: + 2 = 2 (* — 2) (х — -]. Пре-
2(х — 2)(х-
v 9 /
образуем заданное неравенство к виду - '- ^ 0 и
3
К)
(х-2)
(*-}) (x-2)(x-j)
далее i- ^ 0. Функция / (*) =
обращается в нуль в точках 2, — и не определена в точке — .
Отметим эти точки на координатной прямой. Знаки функции / (х)
меняются так, как показано на рисунке 63. Поскольку заданное
неравенство нестрогое, то ему удовлетворяют и те значения х, при
которых / (л:) = 0, т. е. значения 2 и — (они изображены на
рисунке 63 закрашенными
кружками). Из рисунка 63 видно, что
множеством решений заданного — г+г — +
неравенства является ± ± % у
'-J-i-jCufr»].
Рис. 63
75

Решим нера-
~j о j " вепство 9х ^ л:3.
Решение. Преобразуем
1 "с г'' данное неравенство к виду 9х—
— г3 ^ 0. Умножим обе части
неравенства на (—1) (изменив при этом знак неравенства) и
разложим левую часть неравенства на множители. Получим:
х3 — 9х > 0,
х (х — 3) (х + 3) > 0.
Отметим на координатной прямой точки 0, 3, —3. В этих точках
функция f (х) — х (х — 3) (х + 3) обращается в куль. Знаки
функции меняются так, как показано на рисунке 64. Из рисунка С-1
видно, что множеством решений неравенства является
X = [-3; 0] U [3; + оо[.
Упражнения
Решите неравенство методом промежутков:
215. а) х2 — 4 > 0; в) х2 — 2х < 0;
б) 9 — х2 > 0; г) Зх — х2 < 0.
216. а) (х — 1) (х + 2) > 0;
б) (х + 3) (4 - х) > 0;
в) х2 — Зх + 2 < 0;
217. а) г3— 16* <0;
218. а)^Ц<0; в) ^^ > 0;
х — 3 х- — х — 12
6)2^=i>0; г)^=^<0.
; 3-4* ' л:*-81 ^
219. а) х2 + х < 0; б) х2 < 16; в) ^-1 < 1.
х + 3
220. Найдите область определения функции /, если
Г) X2 -
Д) (3* -
е) (Зх-
б) (х2 -
X* — X -
- 6х + 8 > 0;
- 9) {2х + 6) > 0;
-9) (2x4-6) (дг—41).
- 4) (х2 - 9)< 0.
-2 ^ п.
>о
а) f (х) = -; в) / (х) - у 16х - jc3 ;
б) f(Jc) = lg(x3-4x); г) /(*)=■
/ хл + 9х
20. Основные результаты
1. Окрестностью точки а называют интервал ]а — А; а + А[,
где /г > 0. Число А — радиус окрестности. Если из этой
окрестности удалить точку а, то получится проколотая окрестность
точки а. Говорят, что некоторое свойство функции выполняется
вблизи от точки а, если оно выполняется во всех точках какой-либо
проколотой окрестности точки а.
7G

2. Функция а называется бесконечно малой при х -> а, если
для любого е > 0 вблизи от течки а выполняется неравенство
\а (х)\ < е. Например, функция х — а бесконечно мала при х-* я.
Постоянная функция с бесконечно мала тогда и только тогда, когда
она всюду равна нулю.
3. Если а и [3 бесконечно малые при х-> а, то их сумма а + (?,
разность а — р, произведение сф бесконечно малы при х->а.
Также бесконечно малой является и функция А • а, где А —
число.
4. Число Ъ называется пределом функции / при х-+а, если
f _. ^ _}- а> Где функция а бесконечно мала при л: -> а. Пишут:
limf (х) = 6.
5. Предел суммы равен сумме пределов, предел произведения
равен произведению пределов, предел дроби равен отношению
пределов числителя и знаменателя (при условии, что предел
знаменателя отличен от нуля). Постоянный множитель можно вынести за
знак предела.
6. Функция /, определенная в точке а, называется непрерывной
в точке я, если lim / (х) = / (а). Точки, в которых нарушается
условие непрерывности функции, называются ее точками
разрыва.
7. Если функции f и g непрерывны в точке а, то их сумма и
произведение непрерывны в этой точке. Если, кроме того, g (а) Ф О,
/
функция — также непрерывна в точке а.
g
8. Многочлен р (х) непрерывен при любом значении
аргумента. Функция £^, где р (х) и q {х) — многочлены, непрерывна при
я(х)
всех значениях х, для которых знаменатель отличен от нуля.
9. Если функция / непрерывна во всех точках отрезка [а; 6], то
она называется непрерывной на этом отрезке. Если функция
непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных
знаков, то хотя бы в одной точке отрезка функция обращается в нуль.
Кроме того, эта функция принимает на отрезке свои наименьшее и
наибольшее значения, а также любое значение, промежуточное
между наименьшим и наибольшим.
Дополнительные упражнения
К пункту 14
221. Задайте неравенствами: а) окрестность точки Y^%
имеющую радиус 0,01; б) проколотую окрестность точки ]/ 2,
имеющую радиус 0,01.
Входят ли в эти окрестности числа: 1,41; 1,5; 1,42; 1,414;
1,415?
77

222. Установите знак разности f (х) — f (а) в проколотой
окрестности точки а = 1 радиуса 0,2, если
а)Ш = *2; б)/(*) = (*-1)«.
223. В окрестности точки а, имеющей радиус А = 0,1» взята точка
b на расстоянии 0,09 от точки а.
а) Запишите какую-нибудь окрестность точки й, целиком
расположенную в выбранной окрестности точки а.
б) Изобразите обе окрестности на координатной прямой.
224. В какой окрестности точки 5 выполняется неравенство
(х — 5)2 < 0,001?
К пункту 15
225. а) Используя таблицы квадратных корней, найдите какую-
нибудь окрестность точки 6, в которой выполняется
неравенство
|*2 — 36| < 0,01.
б) Докажите, что функция х2, — 36 бесконечно мала при
х-±5.
226. При каком значении а следующие функции будут бесконечно
малыми при х ->- а:
а) х — 2; в) х% — х — 2; д) я* + 2;
«> * » Ш «) ^
227. Применяя теоремы о бесконечно малых функциях при х-> а,
докажите, что функция
v 4jc — 12 ^ х2 — 6* + 9. v , i о\/о с\
jc3 — jc + 1 х2 + 4
бесконечно мала при х ->■ 3.
К пункту 16
228. Вычислите предел функции —-^ при
а) х -> 2; б) х ->- 3; в) х ->- оо.
Почему в случае б) возможно сокращение дроби на
общий множитель числителя и знаменателя?
229. Вычислите предел:
х1- х ч г х» + 27.
а) hm ; в) urn
б) lim —- —; г) ига -- .
; *-з х2 + х-12 ; ^4 ^-64
73

230. Вычислите предел:
a) lim
Villi; в) lim *VZ+Vl.9
*_»9 х — 9 x-+Q 3Vx
б) lim J^T\ r) lim
231*. Вычислите предел:
х-*4 *■
*->6
* — 2
а) lim LfJZ^li-; в) lim —==—-,
' - * —6 х->2\ х — 1 — 1
б) lim L^£*EL; r) lim
' - К _ V « .17
AT— 17
*_>5 ~5 — х' ' д:->17 4 — "|/"д; — 1 "
232. Вычислите предел, предварительно упростив выражение
3 2 1 \ 1
б) lim
* |_\ л л ~ L — Л / Л •
Г/ л: —2 . (л: + 4)2 — 12 1_ \ .
" *з __ 2jc2 + 2х — 4 J
„ _i '-3' + '2Г+3. ^-Ч;
*_>1 [Д х2 — х"1 \ — х3 ) х3 — х*1 \
в\ lim Г/ *-2 . (лг + 4)2 — 12 1_ \ . х* н- 2*2 + 2^+4
г) lim
*—1 хи»й+1 , 2
*->1 \ А_ ' у1,5 1 «-0,5 /
Х + Х* +1 * ""
К пунктам 17—18
233. В чем сходство и в чем различие определений непрерывности
функции и предела функции в точке?
234. Схематично изобразите графики функций Д g> Л,
обладающих свойствами:
а) функция / имеет предел, равный 4, при х ->- 3, но в этой
точке / не является непрерывной.
б) функция g не является непрерывной при х = 3 и не имеет
предела при х -> 3.
в) функция Л определена при х = 4, но в этой точке не имеет
предела.
235. Докажите, что функция
f (у> = f —* + 1» если * < 0,
7 w 1 *2 + 1, если *>0
непрерывна в точке х = 0. Начертите график этой функции.
236. Найдите интервалы непрерывности функции:
* + 1 . ч х + 1 v а: —4
а>^ б)-^^; в)-£±Ц_; г)
* + 2 х* — х + 2 ' х*-х — 2 ' х3-4х
79

237. а) Найдите точки разрыва функции:
—, если х < О,
X
х2, если О^а^ 1,
. 2х— 1, если х > 1.
б) Постройте график функции /.
238. Где имеет разрыв функция f, если
( х + 5, если х < — 1,
/ (х) = х2 + 3, если -1 < х < 2,
I Зх + 5, если х ^ 2?
239. При каком выборе числа а функция f будет непрерывной
на всей числовой прямой, если:
^ Uy\ — ( 2х2 + а, если л: < О,
} М ' [ *+ 1, если х >0;
К пункту 19
240. Найдите промежутки, в которых функция
а) х2 — Ах + 5; в) г* — 8х\
б) 5л: — х2 — 6; г) Зх2 — х3
положительна.
241. Найдите промежутки, в которых функция
а) 8 — Ьх + х2\ б) х2 — 6х + 10; в) х~3 ; г)
х2—х—20
отрицательна.
242. Найдите область определения функции:
a, /zra б, у'^5; * V
243. Решите неравенство:
ч 1 ^ з ч б ^ -
а) < ; г) > 1;
1Сл*
-16-
-х2
х + 5
А2 (Х3-
- 9х +
20)
х + 2 х — 3 ' 4 + Зх-^2
4-х > _1_. д)* (х + 2Нх + 1)2>(
х — 5 1-х' х -f 5
да_5* + 6 ^ }, сч^ (* + 4)(х-5)» >(
х2 + 5х -f 6 ^ ' Зх — 4 ""
ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ К ГПАП2 I
Несоизмеримость стороны квадрата и его диагонали была
открыта в V в. до н. э. в Древней Греции. Это открытие показало,
что для измерения геометрических величин недостаточно
рациональных чисел. Поэтому греческие математики отказались от выражения
so

геометрических величин числами и стали развивать
геометрическую алгебру (потому и сейчас говорят «квадрат числа», «куб
числа» и т. д.). Греческий математик Ездоке (IV в. до н. э.)
разработал теорию отношений геометрических величии, заменявшую
для древнегреческих математиков современную теорию
действительных чисел. В основе теории Евдокса лежала идея о
бесконечной делимости отрезков и других фигур.
Французский математик и философ Р. Декарт (1596—1650)
ввел произвольно выбранный единичный отрезок, что позволило
ему выразить все действия над числами через действия над
отрезками. По сути дела, он уже работал с положительными
действительными числами. Лишь во второй половине XIX в. теория
действительных чисел была арифметизирована, т. е. сведена
к теории натуральных чисел (Р. Дедекинд, К. Вейерштрасс,
Г. Кантор).
Идея зависимости величин тоже восходит к древнегреческой
науке. Но греки рассматривали лишь величины, имеющие
«геометрическую» природу, и не ставили вопроса об общем изучении
различных зависимостей. Графическое изображение зависимостей
между величинами широко использовали Г. Галилей (1564—1642),
П. Ферма (1601—1665) и Р. Декарт, который ввел понятие
переменной величины. Развитие механики и техники потреббвало
введения общего понятия функции, что было сделано немецким
философом и математиком Г. Лейбницем (1646—1716). Обширные
классы функций изучил в ходе своих исследований английский ученый
И. Ньютон (1647—1727).
У Лейбница понятие функции имело весьма узкий смысл и не
выходило за рамки зависимостей между отрезками, связанными с
графиками. Только ученик Лейбница И. Бернулли (1667—1748)
дал в 1718 г. определение функции, свободное от геометрических
образов: «Функцией переменной величины называется количество,
образованное каким угодно образом из этой переменной и
постоянных».
Следующий шаг в развитии понятия функции сделал ученик
И. Бернулли, член Петербургской Академии наук Леонард Эйлер
(1707—1783). Он писал: «Величины, зависящие от других так, что
с изменением вторых изменяются и первые, принято называть их
функциями».
Понятие функции у Эйлера и математиков его времени было
тесно связано с понятием выражения, причем считалось, что
функция не может задаваться различными выражениями на разных
участках. Однако потребности физики привели к расширению понятия
функции. После работ ряда математиков (Ж- Фурье (1768—1830),
«• И. Лобачевский (1792—1856), Л. Дирихле (1805—1859) и др.)
было дано такое определение: «Переменная величина у называется
Функцией переменной величины х> если каждому значению
величины х соответствует единственное значение величины у». В
настоящее время к словам «каждому значению величины х» добавляют
81

«принадлежащему некоторому множеству», а вместо переменных
величин говорят об элементах этих множеств. Этот подход позволяет
рассматривать с единой точки зрения числовые функции,
геометрические преобразования и т. д.
Одновременно с развитием понятия функции развивалось и
понятие предела функции. Первоначальные попытки использовать
это понятие, сделанные Ньютоном, были недостаточно строгими
и на протяжении более чем ста лет математики вместо понятия
предела использовали интуитивное понятие бесконечно малой
величины. Лишь в начале XIX в. французский математик О. Коши
(1789—1857) дал строгое определение понятия предела и построил
на основе этого понятия весь математический анализ.

Глава II
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 4. ПРОИЗВОДНАЯ
21. Приращение функции. Во многих математических задачах
приходится сравнивать значения функции / при двух значениях
аргумента а и л:, т. е. рассматривать разность f (x) — f (a).
Определение. Разность х — а называют
приращением аргумента при переходе от а к х, а разность / (л:) —
— у (#) — приращением функции / при этом переходе1.
В дальнейшем приращение аргумента будем обозначать
буквой А, т. е. положим х — а — ft, тогда х = а + ft.
Соответствующее приращение функции равно f (a + h) — f (a).
Итак, чтобы найти приращение функции f при переходе от а
к а + h, надо:
1) найти ев значение в точке а\
2) найти ее значение в точке а + Л;
3) из второго значения вычесть первое.
Пример 1. Найдем приращение функции д^, если
начальное значение аргумента равно 4, а приращение аргумента
равно 0,1.
Решение. Имеем: 43 = 64. Если аргумент 4 увеличится на
0,1, он станет равен 4,1. Соответствующее значение функции
4,13 = 68,921. Значит, приращение функции х3 при переходе от
4 к 4,1 равно 68,921 — 64 = 4,921.
Пример 2. Найдем приращение площади квадрата при
увеличении длины а каждой его стороны на ft.
Решение. Длина стороны квадрата равна а; значит,
площадь его равна а2. Если длину а увеличить на А, получится квадрат,
площадь которого равна (а + Л)2 (рис. 65). Приращение площади
квадрата произошло за счет присоединения к
нему фигуры, заштрихованной на рисунке.
Найдем площадь этой фигуры, т. е. приращение
площади квадрата:
Как приращение аргумента, так и приращение
функции могут быть не только положительными, но и
отрицательными числами, и потому, быть может, было бы лучше
Г0В0Рйть не ° приращении, а об изменении аргумента и функ- # "
Дии. Мы сохраняем здесь традиционное название «прираще-
ние»- Рнс. 65
83

(a + ft)2 — a1 = 2ah + A2. (1)
Пример З. Найдем приращение функции г* при переходе
от а к а + А.
Решение. Так как / (х) = х3, то / (а) = а3 и / ^а -t- /0 =
= (а + /г)3.
Значит,
f(a + h)-f (а) - (а 4- ft)3 - а3.
Но
(а + ft)3 = (а + ft)2 (а + А) = (а2 + 2aft + ft2) (а + ft) -
- а3 + За2Л + За/г2 + ft3.
Поэтому искомое приращение равно
(а + Л)3 — а3 = (а3 + 3a2ft + ЗаЛ2 + ft3) — a3 -
- 3a2ft + 3aft2 + ft3 - (За2 + 3aft + Л2) • ft. (2)
Очень простой вид имеет приращение линейной функции:
Т е о р е м а. Приращение линейной функции kx + Ь
пропорционально приращению ft аргумента, причем коэффициент
пропорциональности равен k.
Доказательство. Пусть f (х) = kx + b. Тогда / (а) =
= ka + Ъ и / (а + ft) = k (a + ft) + Ъ. Значит,
/ (а + А) — / (а) =* (k (а + Л) + Ь) — {ka + Ь) = kh.
Это равенство и показывает, что приращение линейной функции
kx + Ъ пропорционально приращению аргумента Л с
коэффициентом пропорциональности k.
Упражнения
244. Найдите приращение функции / (х) =** х2 при переходе от
а к а + Л, если: а) а = 2, Л = 0,1; б) а = 5, А = —0,1.
245. Вычислите приращение функции / (х) = х3 при переходе от
а к a + А, если: а) a = 1, А = 0,1; б) а «= —2, А = —1.
246. Выведите формулу для приращения при переходе от а к
а + h функции: а) / (х) = 2#2; б) / (х) = —л*.
247. Найдите приращение площади круга радиуса R = 4 см, если
этот радиус получил приращение А см. Изобразите это
приращение графически при а) А = 0,2 см; б) А = —0,2 см.
248. Точка движется по координатной прямой, причем ее
координата в момент времени / равна — t2 — 5/+ 1. На сколько
переместится точка: а) за промежуток времени [3, 7]; б) за
промежуток времени [а, а + /*]?
249. Пусть длина неоднородного стержня равна /. Обозначим
"через m (x) массу части этого стержня между его левым концом
и точкой А (х), отстоящей от левого конца на х см. Какой
физический смысл имеет приращение функции m (x) при
изменении х от а до а + А?
84

Рис
250. На балку длины /
действует неравномерно
распределенная нагрузка.
Обозначим через Q(x) часть
этой нагрузки,
приходящуюся на часть балки
между левым концом и точкой
х. Какой физический смысл
имеет приращение
функции Q (х) при изменении
х от а до а + Ю
251. Пусть S (х) — площадь «криволинейной трапеции»,
изображенной на рисунке 66. Какой геометрический смысл имеет
приращение функции S (х) при изменении х от х0.до х0
22. Дифференцируемые функции. В примерах 2 и 3
предыдущего пункта были получены выражения для приращений функций
х2 и г3 при переходе от точки а к точке а + h. Для функции лл
это приращение имело вид
f(a + h)—f (а) = 2ah + h2 = (2а + h) • h,
а для функции х3 оно имело вид
f(a+h)—f (а) = (За2 + За/г + h2) • /г.
В обоих случаях приращение функции выражалось произведением
приращения аргумента h на сумму числа и функции, бесконечно
малой при h ->■ 0. Для функции х2 число равнялось 2а, а бесконечно
малое слагаемое равнялось h. Для функции х3 число равнялось За2,
а бесконечно малое слагаемое было равно За/i + Л2.
Определение 1. Функция / называется
дифференцируемой в точке а, если ее приращение при переходе от
а к а -\- h можно записать в вице
f(a + h)-f(a) = (fc + a) • А, (3)
где k — число (зависящее от а), а а—функция, бесконечно малая
при h ~> 0.
Мы видим, что функции х2 и г3 дифференцируемы при любом
значении х = а. При этом для функции г2 при х = а имеем: k = 2а,
а для функции г* при х = а имеем: £ = За2.
££/ш функция f дифференцируема в точке а, то ояа непрерывна
в этой точке. В самом деле, из формулы (3) следует, что
ljm [/ (a + h)—f (a)] = lim (* + а) ■ А = (Л + 0) • 0 = 0.
Значит, разность f (a + h) — f (а) бесконечно мала при h -*• 0
и потому функция / непрерывна в точке а.
Определение 2. Функцию / называют
дифференцируемой на промежутке X, если она
дифференцируема в каждой точке этого промежутка.
85

(1;2) (2]2) №V) (W (V;V) (0J99;1,01) 0;W (1fl1;lfi1)
—r-77—i i -Н—П—i r. \-~T~~~\
I V \ l I / l !
! ' !/ ! !
I
W/;0
I
M(t;i)
U J L>5LJ I L_/_J i
(1;0) (2;0) (0,9:0,9) (1;Qfl) (f,l;0,9) (0,99,0,99) (1;0,99) (lt01;QJ99)
a) 6) 6)
Рис. 67
Таким образом, функции х2 и г* дифференцируемы на всей
числовой прямой.
На рисунке 67 изображены части графика функции л;2,
расположенные вблизи точки М (1,1) и сделанные в разных масштабах.
На рисунке 67, а, где изображена часть этого графика, лежащая
над отрезком [0, 2], хорошо видно, что график искривлен. На
рисунке 67, б, имеющем те же размеры, поместилась лишь часть
графика, лежащая над отрезком [0,9; 1,1], а на рисунке 67, в — часть
графика, лежащая над отрезком [0,99; 1,01]. Видим, что по мере
уменьшения радиуса окрестности искривленность попавшей на
рисунок части графика становится все менее заметной, график
как бы «выпрямляется». Таким образом, достаточно малая часть
графика функции я2, расположенная вблизи точки М (1, 1), почти
неотличима от части прямой линии. Эта прямая касается
параболы х2 в точке М, поэтому ее называют касательной к параболе в
точке М.
Одной из важных задач математики является замена данной
функции вблизи некоторой точки а почти совпадающей с ней
линейной функцией (при этом график функции / около точки а заменится
прямой линией — графиком линейной функции). Эту задачу можно
решить лишь в случае, когда функция / дифференцируема в точке
а. В этом случае, как мы знаем, приращение функции / имеет вид
/ {а + К) - f (a) = (k+a) • /г,
а потому
f(a + h) = f (a) + (k + a).h.
Если отбросить слагаемое ее, бесконечно малое при h -> 0, получим
приближенную формулу
/ (а + А) « / (а) + k • /г.
Если заменить в этой формуле а + h на х, то получим, что h — x — а
и потому
/ (х) ж f (a) + k • (х - а). (4)
Мы получили формулу, позволяющую вблизи точки а
приближенно заменить функцию / линейной функцией
86

f(a) + k(x — a).
Пример. Найдем
линейную функцию, график которой
почти сливается с параболой
у = х2 вблизи точки с
абсциссой 1.
Решение. В этом случае
имеем: / (х) = х2 и а = 1.
Значит, /(1) = I2 = 1. Далее, как
мы видели выше, k = 2а, т. е.
k = 2 • 1=2. Значит, по
формуле (4) вблизи точки 1 имеем:
х2^ 1 + 2(х — 1) = 2х— 1.
2х— 1 и являет-
изображенной на
Рис 68
Прямая у =
ся прямой,
рисунке 67.
На рисунке 68 изображены графики функций х2 и 2х
1.
Упражнения
252. Найдите линейную функцию, график которой почти
сливается с графиком функции —-Xs вблизи точки 1.
о
253. а) Для функции 2 х2 запишите приращение при
переходе от 1 к i + h в виде формулы (3). Чему равно k?
б) Постройте график функции 2 х2. Проведите
касательную через точку (1; 1,5). Определите приближенное
значение углового коэффициента этой касательной.
254. Покажите, что функция: а) Зх2\ б) —2х3 —дифференцируема
з любой точке х € R.
255. Найдите приращэние площади круга радиуса а при
увеличении этого радиуса на к. Напишите приближенную
формулу для этого приращения, пригодную при малых значениях
h9 и объясните ее геометрический смысл.
256. Найдите приращение объема куба при увеличении длины
х каждой его стороны на 1г. Напишите приближенную
формулу для этого приращения, пригодную при малых
значениях к. Объясните геометрический смысл этой формулы.
257. Для функции / (х) = — х2 найдите последовательно
f(2), /(2+Л), /(2+А)-/(2),
/(2 + /Q-/(2)
lim
/(2 + Л)-/(2)
87

23. Производная. Пусть функция f дифференцируема на
промежутке X. Тогда для каждой точки х k X приращение функции
/ при переходе от х к х + h можно записать в виде
f(x + h)-f (х) = (к -<г а) • Л, (5)
где /е — число, зависящее от х, а а — функция, бесконечно малая
при h -> 0 (мы заменили букву а в формуле (3) буквой х). Для
каждой точки х € X вычисляется свое значение k. Этим определяется
новая функция, заданная на промежутке X, которая каждому
х £ X ставит в соответствие значение коэффициента к в точке х.
Зту функцию называют производной функции f и обозначают /'.
Таким образом, k = /' (х) и потому формулу (3) можно
переписать так:
f(x + h)-f (х) = [/' (х) + а] • Л. (6)
Пример 1. Так как для функции х2 значение
коэффициента А в точке х равно 2х (см. формулу (1), где вместо а пишем х), то
получаем формулу:
(х2У = 2х.
Пример 2. Для функции хд значение коэффициента k в
точке х равно Зх2 (см. формулу (2), где вместо а пишем х)у поэтому
(Xs)' = Зх2.
Пример 3. Для линейной функции kx + Ь приращение
функции пропорционально приращению аргумента с
коэффициентом пропорциональности k (см. теорему из п. 21). Значит,
производная линейной функции kx + b равна k:
(kx + b)' = k.
Найдем формулу для вычисления производной (вычисление
производной функции / называют дифференцированием — от
латинского слова differentia — «разность»). Если А=^0, то из формулы
(6) получаем:
Г{х) + * = Пх + Н)-Пх). (7)
По определению предела функции в точке это равенство
означает, что
/'(*) = Нт'(х + Л)-'(дг). (8)
Верно и обратное: если существует предел (8), то выполняется
равенство (7), а потому и равенство (6).
Отсюда следует, что определение производной можно
сформулировать следующим образом:
Определение 1. Производной функции/
называют новую функцию /', значение которой в точке х определяется
формулой
88

л-* о h
Так как h приращение аргумента при переходе от х к х + Л,
a f (x + h) — f (х) — соответствующее приращение функции, то
данное определение можно сформулировать иначе.
Определение Г. Производной функции /
называют новую функцию/', значение которой в каждой точке
равно пределу отношения приращения функции к приращению
аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Или короче:
Производная равна пределу отношения приращения функции к
приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к
нулю.
Таким образом, для отыскания производной функции f в точке
х надо:
1) найти приращение функции f при переходе от х к х + ft,
2) разделить это приращение на h,
3) найти предел полученной функции от h при h -* 0.
Пример 4. Найдем производную функции -—.
X
Решение. Для данной функции имеем:
/(х + А)_/(*)вя _J ± = JL~<* + h) д л__
х + Н х (a f h) x (x-t h) x'
и потому
f(x + h)-f(x) 1
Значит,
(* + '*)*
Г(х) = 1:тГ<* + *-1<*1=ит_^ = _1ш
ь-*з h h^o {x -[- h)x x2
Итак, (1У=-±
\*) *2'
3 ^ м е ч а ни е. Из разобранных примеров может создаться впечатление,
что люоая непрерывная функция дифференцируема при ссех значениях х.
Следующий пример показывает, что эго не так.
то»гПР^оер5' Покажем' что Функция U| не имеет производной в
|..1о"Р е ш е " " е* На луче t°» +°°E Функция U| совпадает с линейной
функцией х%.производная которой равна 1. На луче же]—оо, 0] эта функция совпадает
<■ линеьнои функцией —*, производная которой равна —1. Точка 0 принадлежит
сооим лучам и потому, если бы в эгой точке функция \х\ имела производную,
wiw должна была бы равняться как 1, так и —1, что невозможно.
Выше мы получили приближенную формулу (4), позволяющего
волизи точки а заменить функцию f линейной функцией f (а)-г
Zr t ~*Р" Если заменить в этой формуле k на f\a) (учитывая,
что к = / (а))9 получим:
/ (х) ~f(a) + Г (а) • (х - а) (9)
60

или, полагая х — а = ft,
/ (а + ft) « / (а) + Г (а) • ft. (9')
Замена функции f мало отличающейся от нее линейной функцией
применяется для приближенного вычисления значений функции.
Если известны значения / (а) и /' (а), то значение f при х, мало
отличающемся от а, можно искать по приближенной формуле (9)
или (Э7).
Пример 6. Вычислим значение 2,0153.
Решение. Положим f (х) = х3, а = 2, Л = 0,015, f (2) =
= 23 = 8. Так как (х3)' = 3*а, то f (2) = 3 • 22 = 12. Значит,
приближенная формула (9х) принимает вид
2,0153^8 + 12 . 0,015 = 8,18.
Для сравнения приведем точное значение: 2,0153 = 8,181353375.
Замечание. Приближенная формула (9) особенно удобна,
если надо сосчитать значения / в нескольких точках,
расположенных вблизи данной точки а, — после отыскания f (а) и f (а) дело
сводится к умножению различных значений х — а на /( (а) и
суммированию этого произведения с f (а).
Упражнения
258. Исходя из определения, найдите производную функции:
а) ах + Ь\ б) ах\ в) ах3.
259. (Устно.) Найдите производные функций:
а) 1, 3, -3, У%
б) х, —х, 2х, х\
в) х + 1, — х + 2, 2х + 3, —Зл: + 2.
260. Найдите производную функции:
а) J*2; б) -З*2; в) -г>; г) ±А
261. Найдите значение производной функции: а) 2х2\ б) Xs в точке
*= 1.
262. а) Дана функция /, где / (х) = б*2. Найдите /' (1), /' (2),
/' (-1).
о
б) Дана функция f, где / (х) = —л:3. Найдите /' (0), /' (1),
Г (-2).
263. Производная какой функции равна:
а) 0; в) — 1;. д) 2х\ ж) —2х\ и) -1; л) 6л2?
б) 1; г) 2; е) х; з) — х\ к) 3,v2;
90

Рис. 69 Рис. 70 Рис. 71
264. Найдите хотя бы одну пару значений а и Ь так, чтобы
выполнялось равенство:
а) (ах + Ь)' = 2; г) (ахьУ = —х\
б) (ах + Ь)' = —3; д) (ахьУ - З*2;
В) (ахьУ = х\ е) (ах*)* = г5.
265. а) Пусть S(x) — площадь равностороннего треугольника со
стороной х. Найдите значение S'(4).
б) Пусть 5 (х) — площадь равнобочной трапеции, длины
оснований которой равны х и Зле, а длина боковых сторон
равна 2х. Найдите S'(l).
266. С помощью формулы (9) найдите приближенные значения:
а) 2,0032; б) 1,9972; в) 1,073; г) 0,983; д) —.
7 ' ' ' ' ' 2,006
24. Касательная прямая и ее уравнение. В п. 23 было сказано,
что если функция / дифференцируема в точке а, то ее график около
точки М (а, / (а)) почти сливается с прямой линией, задаваемой
уравнением
y = f(a) + f'(a)(x-a). (10)
Эту прямую называют касательной к графику функции f в точке
(<*. / (а)) (рис. 69).
Угловой коэффициент прямой (10) равен /' (а). Это значит, что
значение производной функции f в точке а равно угловому
коэффициенту касательной к графику функции f в точке (а, / (а)):
/' (а) = ftKac.
т- е. равш тангенсу угла наклона касательной к положительному
лУчу оси х (рис. 69) В этом состоит геометрический смысл
производной.
Проведем через точку М графика функции / касательную МТ
и секущую MN (рис. 70). Если приближать точку jV по графику
к точке М% то секущая будет поворачиваться вокруг точки Mt
91

/"
Рис. 72
Рис. 73
причем величина угля NMT будет стремиться к нулю. Говгрят,
что каса.пельпал является предельным положением секущей, когда
вторая точка пересечения приближается к точке касания.
Определение касательной как предельного положения секущей применило
г! для линий, не являющихся графиками функций, например для окружности, а
также в случае, когда касательная параллельна оси ординат (рис. 71). В точках,
где касательная к графику функции параллельна оси ординат, эта функция не
является дифференцируемой. Отметим, что в точке касания график функции,
изображенной на рисунке 72, переходит с одной стороны от
касательной па другую сторону. Из рисунка 73 видно, что прямая может касаться кртой
в нескольких точках, а также касаться ее в одних точках и пересекать в дру* их.
Кривую Г, к которой можно провести касательную в любой точке, пазьи а ют
гладкой. Касательную нельзя провести в точках, где кривая имеет излом (рис. 74),
заострение (рис. 75), там, где она сама себя пересекает (рис. 76), и т. д.
Пример 1. Напишем уравнение касательной к параболе
у = х2 в точке М с абсциссой 3.
е. / (а).
Производная функции х2 равна 2х (см.
2-3 = 6. Значит, уравнение касательной
Решение. Сначала найдем ординату этой точки, т,
Имеем: / (3) = З2 = 9. Пппиаплпиаа /bvLii/iruiT v2
с. 88). Поэтому /' (3) =
имеет вид
У = / (3) + Г (3) ■ (х - 3),
т. е. у = 9 + б (х — 3) или у = 6л; — 9.
Пример 2. Найдем точки графика функции лг\ в которых
касательная образует с осью абсцисс угол 45°.
Решение. Так как tg 45° = 1, то угловой коэффициент
касательной должен равняться 1. Но этот угловой коэффициент
равен значению производной в искомой точке. Поэтому, чтобы
решить задачу, надо найти производную функции г3 и решить
4
^о
Рис. 74
Рис. 75
92
Рис. 7G

о)
Рис. 77
уравнение /' (х) = J_. Имеем: (л8)' = Зл'2 Корни уравнения За:2 = 1
равны—^— и ^-о—• Этим значениям абсцисс соответствуют ка
графике точки Мх д-, g-l и М2 '
Упражнения
267. Ка рисунке 77 изображены линии. Для каждой из них
укажите точки, в которых к этим линиям нельзя провести
касательную.
268. а) Нарисуйте кривую I и прямую, которая касается этой
кривой в двух точках и пересекает ее в третьей точке.
б) Нарисуйте кривую / и прямую, имеющую с ней одну
общую точку, но не касающуюся этой кривой.
в) Может ли кривая в точке касания перейти с одной
стороны касательной на другую?
269. На рисунке 78 изображен график функции. Укажите: а)
точки, в которых эта функция имеет разрыв; б) точки, в
которых она не дифференцируема.
270. а) Чему равен угловой коэффициент касательной,
проведенной к параболе у = х2 в точке х = 1?
б) Какой угол с осью абсцисс образует касательная к
параболе у = х2 в точке М с абсциссой х = 0,5?
271. Вычислите угловой коэффициент касательной к графику
функции / в точке с абсциссой а, если:
а) f(x)*ljfl9a** 1;
б) f (х) » —2л:3, а - 2.
272. а) Напишите ураспение
касательной к i рафику
функции — х2- в точке с
абсциссой а, где а = 3; —4.
б) Напишите уравнение
касательной к графику
о
Функции х3 в точке с
з
абсциссой а, если а = 0; 1. Рис. 78
03

273. На рисунке 79 изображен I
график функции f. Пока- I
жите на этом графике точ- I
ки, в которых касатель- I
ная горизонтальна. Чему I
равно значение поризвод- 1
ной функции в этих точ- I
ках? ■
274. На рисунке 80 изображен щ
график функции f. Пока- Я
жите на этом графике точ- Я
ки, в которых произвол- щ
ная функции / Я
а) равна нулю; Я
б) не существует. Я
275. Перерисуйте график функ- Я
ции /, изображенный на Я
рисунке 81, и проведргге Я
к нему касательные в точ- Я
ках Ву С, D, Е. Найди- Я
те с помощью транспорта- Я
ра углы, образованные эти- Я
ми касательными с поло- Я
жительным направлением Я
оси абсцисс, по табли- щ
цам определите тангенсы щ
этих углов и постройте щ
эскиз графика производ- Щ
ной /'. Ш
276. По графику функции f> щ
изображенному на рисунке Щ
82, найдите значения/'(0,5) Я
и /' (1). В каких точках Я
производная обращается в Я
нуль? В какой точке произ- Я
водная не существует? Я
277. Известно, что тангенс ост- Я
рого угла положителен, а Я
тангенс тупого угла отри- Я
цателен. Пользуясь этим, ;Я
покажите, на каких про- Я
межутках производная Я
функции / (см. рис. 83) Я
положительна, а на каких Л
она отрицательна. В каких Я
точках производная обра- Я
щается в нуль? Где она Я
не существует? Я

25 Производная и скорость. Пусть точка движется по
координатной прямой. Каждому моменту времени / соответствует
определенное значение х координаты точки. Этим определяется функция
f где х = / (/), называемая законом движения этой точки. Закон
движения точки совсем прост, если скорость v точки постоянна.
Как доказывают в физике, в этом случае х = х0 + vt, где х0 —
начальная координата (т. е. координата точки в момент времени
t = 0) При равномерном движении перемещение точки за
промежуток* времени [/о, t0 + Л]1 равно vh, т. е. пропорционально
величине h этого промежутка. Коэффициентом пропорциональности
является скорость движения2 v.
Пусть теперь точка движется по координатной прямой
неравномерно и закон ее движения задается функцией / (нелинейной).
В момент /о координата движущейся точки равна / (/0), а в
момент времени t0 + h равна f (t0 + А)- Значит, перемещение за
промежуток времени (70, t0 + К] равно f (t0 + h) — f (/©).
Разделив его на величину h промежутка времени, получим число,
называемое средней скоростью движения точки за промежуток времени
[/о, t0 + Л]:
fcp ~ h
Предел средней скорости при h -> 0 называют мгновенной
скоростью движения в момент времени /0. Значит,
v =lim;<'»+ft)-/(4)
л-о h
Предел, написанный справа, является значением производной
функции / в точке /0, т. е. равен /' (/0). Мы доказали, что
И ('•) = Омгн = f Со).
Итак, мгновенная скорость прямолинейного движения,
совершаемого по закону х = / (/), в момент времени /0 равна значению
производной функции f при t = t0.
Таким же образом определяют мгновенную скорость других
физических процессов — углового вращения, радиоактивного
распада и т. д. С помощью понятия производной можно изучить самые
разнообразные неравномерные процессы.
Упражнения
278. На рисунке 84 изображен график движения поезда. На
каких участках пути он шел равномерно и на каких
неравномерно? Когда он сделал остановку? Найдите среднюю ско-
а Мы пишем /0 вместо а, потому что в физике буквой а обозначают ускорение,
котоп да слеД}гет, что если выбрать такой масштаб на осях координат, при
ckodocM еди,1ИЦЫ Длины и времени изображаются конгруэнтными отрезками, ю
рость равна угловому коэффициенту графика равномерного движения.
G5

280.
281
рость за первые 4 ч. С какой
средней скоростью поезд шел в течение
третьего и четвертого часов?
279, Точка движется по координатной
прямой, причем ее координата в
момент времени / равна 2/3.
а) Найдите ее среднюю скорость за
промежуток времени [2; 4].
б) Найдите ее среднюю скорость
за промежуток времени [2; 2,1].
в) Найдите ее среднюю скорость
за промежуток времени [2;2 + А].
Рис.84 г) Найдите ее мгновенную скорость
в момент времени / = 2.
д) Найдите ее мгновенную скорость в произвольный момент
времени L
Точка движется по координатной прямой по закону х = 2t2.
а) Найдите среднюю скорость движения точки за промежуток
S
ЛГЛ
£J'J~
2п-п~
1*П-
W3-
59-
0
i
!
/
/
/
к
) ;
/
?
t
3 4 5
времени [2;2 + К]
h
^ср
1
од
и результат занесите в таблицу:
0,01
0,0001
— 1
— 0,1
— 0,01 J
б) Найдите мгновенную скорость точки в момент времени
* = 2.
На рисунке 85 изображен график движения точки по
координатной прямой. Найдите по этому графику, чему равнялась
мгновенная скорость точки в моменты времени t = 0, 1, 2,
3. В какие моменты времени скорость резко менялась?
282. На рисунке 86 изображен график функции f. С помощью
этого графика определите, увеличивается при увеличении
аргумента производная функции / или уменьшается.
283. В момент времени t высота подброшенного вверх мяча равна
f (t). Чему равна производная функции f в момент, когда
мяч достигает наибольшей высоты?
284. Пользуясь задачами 249 и 250 из п. 21, дайте опре-
?
с
1
1
/
/
L
г
\
1
V
\
—^-
1 2 3 4 5 6 7 t
Рис. 85
98
Рис. 86

деления понятий плотности стержня в данной точке и
интенсивности нагрузки в данной точке.
285. а) Определите, что такое мгновенная угловая скорость
вращающегося тела.
б) Дайте определение теплопроводности металлического
стержня в данной точке.
286. Работа, произведенная за единицу времени, называется
мощностью. Дайте точное определение мощности в данный момент
времени и установите связь этого понятия с функцией A (t) —
работой, произведенной за промежуток времени [0; *].
26. Дифференцирование суммы. Поскольку понятие
производной имеет широкое применение, то нужно уметь находить
производные самых разнообразных функций. В этом пункте мы докажем
две теоремы — теорему о дифференцировании суммы и теорему о
дифференцировании функции с/, где с — число.
Теорема 1. Производная суммы двух дифференцируемых
функций равна сумме их производных:
1 (/ + g)' = Г + §'■ 1
Доказательство. Обозначим функцию / -+• g через F.
Тогда F(x) = f (х) + g (x), a F (х + h) = / (х + ft) + g (x + ft).
Значит, приращение функции F при переходе от х к х + h имеет
вид
F(x + h)-F (х) = (/ (х -|- A) -f g (x + ft)) -(/ (x) + g (*)) =
= (f (x + h)-f(x)) + (g(x + h)-g(x)).
Отсюда следует, что
F(x + h)-F(x) _f(x + h)-f(x) f g(x + h)-g(x)
h h ' h
Перейдем к пределу при ft-* 0. Так как предел суммы равен сумме
пределов, то получаем:
F(x) = nmFlx + h)-FJ* =
h-v$ h
ft-о h n^o h » \ / • s \ /
Итак, доказано, что для любого х F'(x) = f (x) + g' (x). Иными
словами, F9 = Г + g\ т. е. (/ + g)' = /' + g'.
Теорема 2. Постоянный множитель можно вынести за знак
производной, г. е.
Доказательство. Положим F — cf. Тогда
F {x)= cf (x), F(x + h) =cf(x + ft)
4 Заказ 87 07

и потому
F(x + h) — F (x) =cf(x + h) — cf (x) =»
= c(f(x + h)-f (x)).
Значит,
F(x + h) — F (x)
= С
f(x + h)-f(x)
h ' h
Перейдем к пределу при h -> О и примем во внимание, что
постоянный множитель можно вынести за знак предела:
/i-o h л->о h
f(x + h)-f(x)
с • lim1
/г
= *•/'(*)•
Итак, для любого jc имеем: F' (x) = с/'(я), т. е. F = с/'.
С помощью теорем 1 и 2 и доказанных ранее формул
дифференцирования линейной функции и функций х2 и Xs можно
продифференцировать любой многочлен третьей степени.
Пример 1. Найдем производную функции 2л:3 — 4х2 +
+ 5х + 8.
Решение. По теоремам 1 и 2 имеем:
(2х3 — 4х2 + 5х + 8)' = (2х3)' + (—4х2)' + (5х + 8)' =»
= 2 . (х3У —4 . (х2У + (5*+ 8)'.
Но (я8)' = Зх2, (х2У = 2х и (5л: + 8)' = 5, а потому
(2л:3 — 4л:2 + 5л: + 8)' = 2 • Зл:2 — 4 • 2л: + 5 =
= 6л:2 — 8л: + 5.
Пример 2. Проведем касательную к графику функции
5л: в точке с абсциссой 2.
Решение. Имеем: f (2) = 22 — 5 • 2 = —6.
(л;2 — 5а)' = 2л: — 5 и потому f (2) = 2 . 2 — 5 = — 1.
Уравнение касательной имеет вид
У = /'(2)(*-2) + /(2),
Далее,
т. е.
или
у = -(х-2)- 6,
y=x2-Sx
У=-х-4
Рис. 87
у = — л: — 4.
Эта касательная изображена на
рисунке 87.
Пример 3. Путь,
пройденный за время t при
свободном падении, выражается
формулой s = —. Найдем
мгновенную скорость падения.
Решение. Так как
мгновенная скорость — производная
координаты как функции от j
98

времени, то
■=(f)'
(ty = ±.2t = gt.
y=x3-3x+1
Полученный ответ согласуется с равно-
ускоренностью свободного падения.
Пример 4. Найдем точки, в которых
касательная к графику функции лг* — 3*+
+ 1 горизонтальна.
Решение. Производная этой
функции равна
(*з_3*+ \у = 3*2 — Э.
Если касательная горизонтальна, то ее угловой коэффициент
равен нулю. Поэтому для того чтобы найти точки, в которых
касательная к графику горизонтальна, надо решить уравнение
Зх2— 3 = 0. Из него находим абсциссы искомых точек: —1 и 1.
Соответствующие ординаты равны (—I)3 — 3 • (—1) + 1=3 и
I3 — 3 • 1 + 1 = —1 (рис. 88). Значит, касательная к графику
горизонтальна в точках М (—1, 3) и iV(l, —1).
Упражнения
287. Найдите производную функции:
а) / (х) = 10;
б) f(x) = 5x— 10;
Д) f(x)=±x*-±x*+x-l00;
е) / (х) = (*2+6) (3*-1);
ж) f (х)=(х-1) (х*+х+1);
з) / (х) = (х+2) (х2—2х+4).
в) / (х) = х2 + Ъх — 10;
г) f(x) = 2х*— х2 + 3х— 1;
288. Найдите значение производной функции в точке х = а:
а) / (х) = х2 — Зх + 8, а = 2;
б) f(x) ^х3 — 7х+ 1, а = —4;
В) / (д) = (х2 - X + 1) (X + 1), £1 = 3.
289. Угол поворота тела вокруг оси изменяется в зависимости от
времени t по закону ср (/) = 0,1/2 — 0,5/ + 0,2. Найдите
угловую скорость вращения тела в момент времени t = 20.
290. Напишите уравнение касательной к графику функции / (л:) =
= х3 — Юл:2 + 1 в точке с абсциссой: а) х = 1, б) х= —2.
291. Напишите уравнение касательной к параболе у = 2 — — —
— х2 в точке пересечения ее с осью ординат.
292. Закон движения точки по координатной прямой выражен
Уравнением х (/) = 4 + 12/ — 0,25/2. Найдите скорость
точки в момент времени / = 8. В какой момент времени t
скорость тела равна нулю?
4*
99

27. Дифференцирование произведения. Сформулируем правило
дифференцирования произведения двух функций.
Теорема. Производная от произведения двух
дифференцируемых функций равна сумме произведений каокдой из них на
производную другой функции:
(fgy-fg + fg'-
(и)
Доказательство. Положим F = }g. Тогда имеем:
F (х + А) - F (х) = / (х + К) ■ g (х + A) -/(x)e (л).
Еычтем и прибавим выражение / (х) g (x -f- A):
F (х 4- h) - F (x) = f(x + h)g(x+h)-f (x) g (x + А) +
+ / W g (x + h) - / (х) g (лг) =
- tf (x + Л) - / W) g Cx + A) + / M(g U + h) - g (x)).
Разделив обе части равенства на А, получаем:
F(x + h)-F(x) /(x + h)-f(x) ,,.,.,,» g{x + h)-8'S)
_ .«tx + A)+/W- .
Перейдем к пределу при h -+ О1:
г//х к F (jc + /i) - F U) г /(дг+'lt) —/(х)
i7' (,v) =з hm ; • = lim • hm g(x + h) +
Л-*о л л—о ^ -»>».
p (x 4~ h) — p U)
+ Hm/(.v) • lim- г—— =/' WgW+/We7 (*).
h - о // -* о Л
Итак, (!gY== f'g+tg'.
Пример i. Найдем производную функции (г* + 5,v) (.г + 8).
Решение. По формуле (11) получаем:
((х* + 5х)(х2 + 8))' = (л-3 + Ьх)' • (х2 + 8) + (г1 + 5jc) (х2 + 8)'~
= (Зл-2 + 5) (х2 + Б) + (г3 + 5х) . 2х = 5л4 + 39х2 + 40.
Пример 2. Найдем производные функций х4, х5, х6.
Решение. По формуле (11) получаем:
(*<)' = (л3 . х)' - (Xя)' . X + X* . (х)' -
=3jc2-jc + х3 . 1 = 4х3. (12)
Далее,
(х*у = (Л* . хУ = (х4)' . х + л-4 (л-)' -
= 4Х3 - х + *4 • 1 = 5л-4. (13)
Наконец,
1 Так как функция g по условию дифференцируема, то она непрерывна и
потому lim g (x + Л) = g (х). Кроме того, / (х) не зависит от h u потому
Hm / W = / W-
100

(Л6)' = (Г5 • х)' = (Л5)' • X + X5 • (А")' «
= 5х* ■ х + хь- 1 = 6х5. (14)
Сравнивая формулы (л4)' = 4х3, (хъ)' = Бх4, (хс)' = 6л5 и ранее
полученные формулы (х2)' = 2х, (х3)' = Зх2, приходим к выводу,
что производная степенной функции хп, п £ N имеет следующий
вид:
(15)
(хяУ
В более подробных курсах математического анализа
доказывается справедливость этой формулы. С помощью формулы (15)
и выведенных в пункте 26 правил дифференцирования суммы и
произведения функции на число можно найти производную
любого многочлена.
Пример 3. Найдем производную функции (х3 + 5х) (х2 + 8),
предварительно раскрыв скобки.
Решение. Так как (х3 + 5х) (х2 + 8) = хъ + 13.V3 + Ш-
то
((л:3 + Ъх) (х2 + 8))' = (хь + 13л:3 + 40*)' =
= (хъУ + 13 (х3У + 40 (*)' - б*4 + 13 • Зл-2 + 40 - 1 =
= 5х4 + 39л:2 + 40.
Этот ответ согласуется с ответом, полученным в примере 1.
Упражнения
293. Найдите производную функции:
а) (2х — 1) (7 — *); г) —хШ1\
б) (2х — 3) (х2 — 5х + 8); д) 2** - х";
в) *10; е) (Зх* — 2* + 1) (5л4 — 6).
294. Вычислите /' (я), если:
а) / (х) = (х2 + 8х - 1) (х* + 4), а - -2;
б) / (х) = (х* + * — 1) (Зх - 4), а = 1.
295. Решите неравенство /' (х) < g' (х), если / (.у) = л1 — л:3 +
+ 3* — 1, g (х) = 2 — 6л: + Зл-2 + *4.
296. а) Запишите уравнение касательной к графику функции
а4 — л: в точке х = 2.
б) ^Чему равен угловой коэффициент касательной,
проведенной через точку пересечения кривой у = х* — х с осью
ординат; с осью абсцисс?
297. Запишите корень в Епде степени с рациональными
показателями и упростите выражение: *
£) aVb\ В) 3-L-. Д) зУ(а — Щ-х\
т/х
10!

28. Дифференцирование степени функции и дроби. Чтобы
продифференцировать произведение трех или большего числа функций,
надо несколько раз применить формулу для производной
произведения двух функций. Найдем производную от произведения fgs
трех функций. Для этого запишем fgs следующим образом:
fgs = (fg) • s.
Тогда
(fgs)' = (fgY • s + (fg) . s' =1
= (T«r + fe/)-s + (fe).s''^ (16)
= fgs + fg's + fgs?<.
Получилась сумма трех слагаемых, в каждом из которых один
множитель продифференцирован, а два других остались без изменения.
Таким же образом дифференцируют произведение четырех
множителей:
(fgst)' = f'gst + fg'st + fgs't + fgst': (17)
Формулы (16) и (17) принимают особенно простой вид, если все
множители равны. Например, если / = g = s, то из (16) получаем:
(/3)' =Г -f-f + f-Г -f + f-f-F = ЗР • /'. (18)
Точно так же из (17) при / = g = s = t получаем:
(Z4)' = 4/3 • /'. (19)
Вообще для любого натурального значения п верна формула
(20)
(/")' = пГ1 •/'.
Она означает, что производная степени дифференцируемой функции f
равна показателю степени, умноженному на степень той же
функции с уменьшенным на единицу показателем и на производную этой
функции.
Пример 1. Найдем производную функции (х2 + Ъх— I)4.
Решение. В этом случае f (х) = х2 + Ъх — 1 и п = 4.
Так как /' (х) = (х2 + Ъх — 1)' = 2х + 5, то получаем:
((х2 + Ъх — I)4)' = 4 • (х2 + Ъх — I)3 . (2х + 5).
В более подробных курсах математического анализа
доказывается, что формула (20) верна не только для натуральных
показателей, но и для любых рациональных показателей:
(ру = г?-*. г, г е q. (2i)
Если, в частности, f (x) = х, то получаем:
(Хг)> = rxr-ly r £Q (22)
При этом, если г — отрицательное целое число, то формула (21)
(соответственно (22)) верна при условии, что / (х) Ф 0
(соответственно х Ф 0). Если же г — дробное число, то формула (21)
(союз

ответственно (22)) верна при условии, что f (х) > О (соотвстствен-
Н° П Ги м е р 2. Найдем производную функции /, если;
a)fW-^ 6)f(x)=V*-
Решение, а) Так как \ = х-*, то по формуле (22)
получаем:
IV ,..-™ = _п.х-"-г—.
1_
б) Пусть х > 0. Так как ^Т= хп, то по формуле (22) получаем:
/"у^—v' I « 1 /I * У *
«ДС ЛДГ
Эта формула верна и при х < О, если м — нечетное число.
Пример 3. Найдем производную функции f, если:
a)/w = ?Ti: б)/(*) = У* + 51
Решение, а) По формуле (21) имеем:
(,7Ti)'= «x2+8)_1)' = -1 ' ^ + 8)~1_1 • ^ + 8)'=
= — (х2 + 8)~2 • 2* = 2х
(х2 + 8)2
б) По той же формуле имеем:
(Ух* + 5)'= {(х* + 5)2)= \(х* + 5)2' '• (*4 + 5)' =
(л;4 + 5)" 2 • 4х3
- ' Чтобы не заменять каждый раз дроби выражениями,
содержащими отрицательные показатели, выведем общее правило
дифференцирования дроби. По формуле (21) имеем:
Отсюда следует, что
103

Итак,
"7Y Гё-fg'
J.li^L, *(,)*<>.
(23)
Пример 4. Найдем производную функции -.
х* -f 5
Решение. По формуле (23) имеем:
/Л-2 __ ху (Х2 __ ху . (х* + 5) — (х3 — х) • (*4 + 5)'
\д:* + 5/ (*4+5)2
__ (2л: — 1) (х4 + ^) — (*2 — *) • 4jc3 __ —2** + Злс* + Юл: —5
~~ (х4 + 5)2 ~~ (х4 + 5)2
С помощью полученных формул дифференцирования и формулы
из пункта 23 можно находить приближенные значения корней,
дробей и т. д.
Пример 5. Найдем приближенное значение |/8~6.
Решение. Нам надо найти / (а + К) для функции у/1Г9
где о = 8, А - 0,6. Так как /' (х) = ofa)' = \/) - ~х~3 ,
о
2
то / (а) = |/"8 = 2, У (а) «= — • 8 " = — и потому
5/*Гб « 2 + - • 0,6 = 2 ~i- 0,05 = 2,05.
П D и м е р 6. Найдем приближенное значение .
1,952 + I
Решение. Нам надо найти Ца + h) для функции —~,
где а = 2, Л = —0,05. Так как
u2 + i/ <дг* + I)2'
то
/(fl>=2rh=0,2! ^^^^t^tV^^16 и потому
1 0,2 —0,16 • (—0,05) = 0,2 + 0,008 = 0,208.
1,952 + 1
В более подробных курсах математического анализа
приводятся формулы, позволяющие оценить погрешность таких
приближенных значений.
Упражнения
а) (Устно.) Чему равна производная функции: — 2х, —3#2,
1, -. А 2/?
X X
104

б) Производная какой функции /равна:—3, —6л:, -~х 2f
j_ *
299. Найдите производную функции /:
а) f {х) = 2х'/2; г) / (х) - Зх-7/8; ж) / (*) = 3 >/Т2;
б) / (jc) = -Ъхи\ Д) / (х) - У *; з) / (х) = 2 V^2;
300. В какой точу2 графика функции Ух касательная наклонена
к оси абсцисс под углом 45е?
301. Найдите уравнение касательной к гиперболе у = в
х -f 1
точке х = 0. Начертите гиперболу и касательную.
302. Найдите точку пересечения линий у «= х2 и у = j/"* и
запишите уравнения касательных к этим линиям, проведенных в
точке пересечения.
303. Найдите производную функции:
а) (х-З)4; в) (х*-х + 3)*; д) -^-Цр
б) (а — Зх}3; г) (2 + Зх — х2)3; е) 1
/(х* — Х+1)2
1
304. Напишите уравнение касательной к графику функции
(х—2)а
в точке с абсциссой: а) х = 0; б) х — 1.
305. Найдите производную функции /:
„) / М = -ly .); W _ -у^ д) / W _ *=$
0) / (,) - ^ г) / М - «-=1 е) / W - £=£±i.
306. С помощью формулы (9') пункта 23 найдите приближенное
значение:
1 ч 1
а) /25,2; б) /63,4; в) -±=\ г)
У 17,1 ' 1,983
29. Основные результаты.
1. Разность х — а называют приращением аргумента при
переходе от а к я, разность / (х) — / (а) — приращением функции.
Приращение линейной функции kx + b на отрезке [а, а + А]
пропорционально приращению h аргумента, причем коэффициент
пропорциональности равен к.
1СЗ

2. Производной функции / называют новую функцию/', значение
которой в точке х выражается формулой
Л-4 h
3. Функция называется дифференцируемой в точке х, если она
в этой точке имеет производную. Функция дифференцируема на
промежутке X, если она дифференцируема в каждой его точке.
4. Если функция / дифференцируема в точке а, то к ее графику
можно провести касательную в точке М (a, f (а)), уравнением
которой будет у = /(«) + /' (а) • (х — а).
5. Геометрический смысл производной: значение производной
функции f в точке а равно угловому коэффициенту касательной к
графику этой функции, проведенной в точке с абсциссой а.
6. Физический смысл цроидаодшй: мгновешш» скорость
прямолинейного движения, совершаемого по закону х = /(/), в момент
времени to равна значению производной функции f при t = t0.
7. Формулы дифференциршдашг.
(с)' = 0; (kx + b)f = k\ (х")' = пхп~\ п £ ЛГ.
8. Правила дифференцировавши
М - F* + f§'> (fry = r/r-i . pt reQt f > o.
(c/)' - «fl
Дополнительные упражнения
К пункту 21
307. Найдите приращение функции при переходе от х = 0,6
к х « 0,8.
308. Аргумент д: функции |/# — 1 получил приращение Л = 0,37
и принял значение 4,61. Найдите приращение функции.
309. Найдите ft, если известно, что при переходе от 1 к 1 + h
пртращетие функции равно 0,3.
х + 3
К пунктам 22—23
310. Дифференцируема ли функция в точке х = 1:
а) 1(*-1); г) -(*-1)2; ж) f**~J- *<J
7 2 v ' 2 v ' ' \ х— 1, л?> 1;
б) ±|*-1|; д) — |л: — II2; a) K-j' *<*
; 21 ' ' 2 ' ^ \;г —1, #> 1?
2(х—1)
106

311. а) Какая функция называется непрерывной?
б) Всякая ли дифференцируемая функция непрерывна?
в) Всякая ли непрерывная функция дифференцируема?
г) Нарисуйте график непрерывной функции, но не
дифференцируемой в какой-либо точке.
312. Вычислите приближенное значение функции —а-3 — х при:
а) * = 2,0057; 6) х = 1,974.
313. Дана функция f (х) = г5.
а) Покажите, что для этой функции справедливо равенство
Г (а + Ь) = Г (а) + Г (Ь).
б) Определите значения х, при которых выполняется
равенство /' (х) = f(x).
в) Решите неравенство / (х) > /' (х).
314. По прямой линии движутся две точки, причем закон
движения первой точки задан функцией jF, а закон движения второй
точки — функцией g. Определите, в какие моменты времени
скорость первой точки была меньше скорости второй точки,
если:
a)/(0 = 5*-3f g(t)=±t*;
б) /(0 = |Л g(t) = 8t-3;
в) /(*) = 18*+1, £(0 = *3
(скорости сравниваются не ло модулю, а с учетом знака).
315. а) Длина стороны металлической квадратной пластинки
равна 3 см. При нагревании длина стороны увеличилась на 0,024 см.
Воспользовавшись формулой (9'), найдите приблизительно, на
сколько увеличилась площадь пластинки.
б) Длина стороны металлического кубика равна 4 см. При
охлаждении кубика длина его стороны уменьшилась на 0,012 см.
Определите приблизительно, на сколько уменьшился при
этом объем кубика.
в) Сравните приближенные ответы, полученные в задачах
а) и б), с точными.
К пункту 24
316. В каких точках нельзя провести касательную к графику
функции:
а) |* —3|; б) U—1|+|* + 2|; в) Y~¥\ т) \х2 — х\?
317. В какой точке касательная к кубической параболе у = х3
параллельна прямой у = Зх — 5?
313. Проведите касательную к параболе у = х2 параллельно
прямой у = — х — 4 и запишите ее уравнение.
319. В какой точке кривой у = х2 касательная наклонена к
оси х под углом: а) 45°; б) 135°?
107

К пункту 25
320. Пусть количество электричества, протекшее за промежуток
времени [0, f] через поперечное сечение проводника,
выражается формулой q = f (t). Дайте определение средней силы
переменного тока за промежуток времени [a, a -f- K\ и силы
тока в момент времени а.
321. Медный стержень имеет при температуре / длину / (f). Что
следует понимать под средним температурным
коэффициентом линейного расширения на промежутке [a, a -J- /г]? Что
следует понимать под температурным коэффициентом
линейного расширения меди при температуре / = а?
322. Пусть угол ср поворота тела вокруг оси изменяется в
зависимости от времени / по закону ср (/) = 2t2. Выведите формулу
для вычисления угловой скорости со тела в любой момент
времени t и вычислите ее при t = 5.
К пункту 28
323. Найдите тройку значений a, ft, с так, чтобы выполнялось
равенство:
а) (ахь + сх)' = 2*+ 1;
б) (ахь + сх)' =6х — 2;
в) (ахь + сх)' = 6*а — 3.
324. Производная какой функции равна:
а)0;-|;
б) — 2х; 2х — 1; — Зх + 1;
в) Зх2; —Зх2 — 5?
325. Решите неравенство /' (х) ^ g' (x), если:
а) / (х) = — х3 + Зх — 1; g (х) = 2 — 6х + Зх2;
б) f (х) = -х3 + 2х2 — 4х — 1; g (х) = ~х2 — 2х + 5.
о 2
328. а) Прямая у = —Зл: + 1 параллельна некоторой
касательной к параболе у = х2 — х. Найдите координаты точки
касания.
б) Запишите уравнения касательных к кривой у = — х3 —
о
— --х2 + 1, параллельных прямой у = 2х — 1.
327, а) Найдите уравнения касательных к параболе у = 2х — х2
в точках пересечения с параболой у = х2 — 4. Постройте эти
параболы и проведите ^сательные.
б) Запишите уравнения касательных, проведенных через те
же точки к параболе у = х2 — 4.
328. Некоторая прямая пересекает параболу у = х2 — 4х в двух
точках: Л (0, 0) и В (5, 5).
108

а) Напишите уравнение этой секущей.
б) Напишите уравнение касательной к параболе,
параллельной этой секущей.
329. Количество теплоты Q, необходимое для нагревания 1 г
воды от 0 до Т °С, определяется по формуле
Q = Т + 2 • 10-5Г2 + 3 • Ю-7 • Г3.
а) Найдите среднюю теплоемкость воды на промежутке
[50°, 100°].
б) Узнайте удельную теплоемкость воды при Т = 10°.
К пункту 27
330. Решите уравнение /' (х) = 0, если:
а) / (х) - 2Х4 — х8;
б) f(x) = х4 — 2х-3+ 1;
в) f(x) = jX*-ljx* + 9x-\.
331. Найдите производную функции /, если:
а) f(x) = (2x*-l){±* + Xy
б) / (х) = (2х — 1) (3* + 2) (х2 — 5).
332. Производная какой функции равна: а) Ьх* — 4г\ б) л:6 — д^?
333. Найдите хотя бы одну пару значений а, Ь так, чтобы
получилось верное равенство:
а) (2хаУ = 0; г) (2ха)' ** Ь>?\
б) (2х*)' - Ь; д) (2ха + Ь)' = 0;
в) (2х°У = Ьх\ е) (2ха + Ьх)' = б*2 — 2.
334. Решите неравенство /' (х) ^ g' (х), если:
а) /(*) = i*4+{*3~f*2+3> gW=^3-^4+2x2+7'
б) f(x)=±x3 — 2x% — 4х—1, g(^)=Ax2 — 2х + 5.
о 2
335. Найдите промежутки, в которых положительна
производная функции
а) 1** —2*2 + 1; б)~х5 — -х2 + 2.
4 ' 5 2
336. Запишите уравнения касательных, проведенных к графику
функции —л;4 + 10я2 — 9 через точки пересечения графика с
положительным лучом оси х.
1CJ

К пункту 28
337. Найдите производную функции:
**-3*4-200 , , 04у- 1 5
а) - ; г) 2ух + __ .
б) i-- + 4-> д)
3/.- д;3
худ;
в) 3yrx — 0\2yrx*',
338. В каких точках графика функции —-— касательная
х2 +1
а) параллельна оси абещисг, б) составляет с осыо абсцвсс
угол 45°; в) параллельна прямой у = — х + 1?
339. Найдите производную функции:
/2* —1 У7* ^ -i/"~2F"
<>№ чу^
340. Из пункта О по двум прямым, образующим между собой
угол 60°, движутся два тела. Первое движется равномерно
со скоростью 5 км/ч, закон движения второго тела s (t) =
*= 2t2 + /. С какой скоростью онрг удаляются друг от друга
в момент времени / = 2ч?
341. Лестницд длины / в момент времени t = 0 стоит вертикально,
прислоненная к стене. В этот момент нижний конец начинает
равномерно отодвигаться от стены со скоростью v.
а) Найдите высоту верхнего конца лестницы в момент
времени t.
б) Найдите скорость, с которой этот конец опускается в
момент времени t
§ 5. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
30. Максимумы и минимумы. С помощью производной можно
исследовать, где функции возрастают, где они убывают, где
достигают наибольших и наименьших значений и т. д. Вывод некоторых
из относящихся сюда утверждений основан на теореме о знаке
приращение фуьшщи.
Теорема 1. Если в точке а производная функции f
положительна, /' (а) > 0, то вблизи этой точки знаки приращения
аргумента и приращения функции совпадают. Если owe f'(a)<0,
то вблизи точки а знаки приращения аргумента и приращения
функции противоположны.
Доказательство. По условию функция / имеет
производную в точке а. Поэтому ее приращение при переходе от
аргумента а к аргументу а + h можно записать в виде
но

Рис. 89
f(a + h)-f(a) = (f'(a)+a).h,
где функция а бесконечно мала
при h-+0 (см. п. 23). Если f'(a)>
> 0, то по теореме из пункта 15
функция /' (а) + а
положительна вблизи точки а. Поэтому
/ (а + h) — f (а) и h отличаются
вблизи а лишь положительным
множителем и, следовательно,
имеют одинаковые знаки. Этим
доказано, что вблизи точки а (т. е. при достаточно малых |А|)
знаки приращения аргумента и приращения функции одинаковы.
Если f (а) < О, то функция f'(a) + а отрицательна вблизи
точки а, а потому знаки f (a + h) — f (а) и h вблизи этой тощи
противоположны (при умножении числа на отрицательное тасло его
знак меняется).
На рисунке 89 изображен график функции /. Ее значение в
точке а больше значений той же функции в точках, находящихся
вблизи от а. Говорят, что а — точка максимума функции /.
Значение функции / в точке Ь меньше, чем в точках, расположенных
вблизи от Ь. Говорят, что Ъ — точка минимума функции f.
Определение 1. Точка а наштается течкой
максимума функции /, если функция / непрерывна в этой
точке и f(a) больше, чем значения функций «блкзи от &*.
Определение 2. Точка а называется точкой
минимума функции /, если функция / непрерывна в этой
точке и / (а) меньше, чем значения функция вблизи от а2.
Точки максимума и минимума называют точками
экстремума (от латинского слова extremum — крайний).
Понятия максимума и минимума основаны на сравнении
значения функции в данной точке с ее значениями вблизи от этой
точки. Значения же функции в точках, находящихся вдали от
данной, не принимаются во внимание. Так, на рисунке 89 есть
точки, в которых функция принимает значения, большие, чем
/ (а), и меньшие, чем / (Ь). Тем не менее а п b — точки
экстремума функции /.
На рисунке 89 видно, что в точке а касательная к графику
функции горизонтальна, а потому производная функции /
обращается в этой точке в нуль: f'(a) = 0. В точке же Ъ график
функции / заострен и потому функция f не имеет в этой точке
производной (она недифференцируема в точке Ь). Других точек
экстремума не бывает. Иными словами, справедлива следующая
теорема:
Напомним, что это означает следующее: у точки а есть проколотая
окрестность, в которой выполняется неравенство / (х) < / (а).
2 Это значит, что у точки а есть проколотая окрестность, в которой
выполняется неравенство / (х) > f (a).
111

Теорема2. В точке экстремума а производная функции
f либо равна нулю, либо не существует.
Доказательство. Возможны четыре случая:
1) Г (а) > 0; 2) /' (а) < 0; 3) /' (а) = 0; 4) /' (а) не существует.
Покажем, что в точках экстремума не могут иметь места ни
первый, ни второй случаи. Если, например, f'(a) > 0, то по
теореме 1 вблизи точки а знаки f (a + h) — / (а) и h совпадают,
а потому слева от а (т. е. при h < 0) имеем: / (а + К) — f (a) <
< 0, а справа от а (т. е. при h > 0) имеем: / (а + К) — f (а) >
> 0. Но тогда слева от а выполняется неравенство f (х) < /(а),
а справа от а — неравенство f (x) > f (а). Эти неравенства
показывают, что значение функции / в точке а не является ни
наименьшим, ни наибольшим по сравнению со значениями этой
функции вблизи от а. Значит, а не является точкой экстремума.
Точно так же доказывается, что не может быть точкой
экстремума и точка, в которой f'{a) < 0. Поэтому точками экстремума
могут быть либо точки, в которых f'(a) = 0, либо точки, в
которых f'(a) не существует.
Найденное условие является лишь необходимым для
того, чтобы а была точкой экстремума для /. Оно позволяет
отобрать точки, «подозрительные» на экстремум, но не дает
оснований утверждать, что в этих точках функция действительно
имеет экстремум. Например, производная функции (х — 4)3 равна
3 (л: — 4)2. Она обращается в нуль при х = 4. Однако точка 4
не является точкой экстремума для (х — 4)3, так как функция
(х — 4)3 при х = 4 равна нулю, слева от точки 4 отрицательна,
а справа от этой точки положительна (рис. 90).
Пример 1. Найдем точки, в которых функция xz — Зх + 1
может иметь экстремумы.
Решение. Производная данной функции имеет вид:
(х3 — Зх+ 1)' = Зх2 — 3.
Так как она существует при всех значениях аргумента, то
точками экстремума могут быть лишь корни многочлена Зх2 — 3.
Рис. 90
Рис. 91
Рис 92
П2

Ук
ъ*
a xf
Рис. 93
Решая уравнение Зх2 — 3 = О,
находим эти корни: —1 и 1.
Можно доказать (см. пункт 32),
что в точке —1 функция
имеет максимум, а в точке 1
—минимум (рис. 91).
Пример 2. Найдем
точки, в которых функция |*|
может иметь экстремум.
Решение. Если х>0,
то \х\=х и потому (|*|)' =
= (*)' = 1. Если *<0,то \х\ =
= — х и потому (1*1)' = (—х)' = —1. В точке х = 0
производная не существует; значит, только точка х = 0 может быть
точкой экстремума функции \х\.
На рисунке 92 изображен график функции |дг|. Из него видно,
что х = 0 — точка минимума функции \х\.
**
Упражнения
342. Заполните таблицу для функции Зх — х2
VK*
1 Зх — х2
Зх — х2
Зх — х*
Зх — х%
2
«+-*
у
2
2
— 1
1
^
«+■*.
>sz
0,1
—0,1
0,1
-0,1
+
1
?!
^ 1
Знак
выражения
4(a)
343. На параболе у = х2 — 4х найдите точку, в которой
касательная к параболе параллельна оси абсцисс.
344. а) На рисунке 93 покажите точки максимума и минимума;
найдите наибольшее и наименьшее значения функции на
отрезке [а, 6].
б) Может ли на отрезке [а, 6] какой-нибудь минимум
функции f быть больше одного из ее максимумов? В случае
утвердительного ответа нарисуйте соответствующую «картинку».
345. Найдите точку, в которой производная функции Xs
обращается в нуль. Имеет ли функция в этой точке экстремум?
Найдите точки, в которых функция / может иметь
экстремумы, если:
348. a) f (х) - х2 — Ах + 7; б) / (х) = 10 + 2х - х2.
347. а) /(х) = - — 4*; б) f (х) = х*-\х + 8;
из

B)/W = -rfrr; r)f(x) = x + ±.
X -p 1 X
348. Найдите точку экстремума функции ах2 + bx + с (аф§).
Какое значение принимает эта функция в точке экстремума?
При каком знаке числа а эта точка дает максимум, а при
каком — минимум функции?
349. а) Нарисуйте график функции /, где / (х) = —х2 + 4х.
б) Вычислите / (0), / (1), / (2), / (3), / (4), f (2). в) Найдите
наибольшее значение функции / на отрезке: [0; 1]; [1; 2];
[i;3].
31. Отыскание наибольших и наименьших значений функций.
Всякая функция f, непрерывная на отрезке [а, 6], принимает на
этом отрезке как наименьшее, так и наибольшее значение (см.
теоремы 2 и 3 пункта 18). Для наибольшего значения возможны
два случая:
1) оно достигается на одном из концов отрезка [а, 6] (рис. 94)
или на обоих концах (рис. 95);
2) оно достигается во внутренней точке с этого отрезка
(рис. 96).
Во втором случае значение функции в точке с больше
значений этой функции вблизи точки с и потому с — точка максимума
этой функции. Но тогда в этой точке либо функция / недифферен-
цируема, либо ее производная равна нулю. Аналогично обстоит
дело с наименьшим значением функции на отрезке [а, 6].
Отсюда вытекает следующее правило отыскания наименьшего
и наибольшего значений непрерывной функции на отрезке:
Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения непрерывной
функции f на отрезке [а, &], надо:
1) найти ее значения на концах этого отрезка {т. е. числа
f(a) и f (6));
2) найти ее значения в точках, где производная равна нулю;
3) найти ее значения в точках, где функция f не имеет
производной;
4) из всех найденных значений выбрать наибольшее и
наименьшее.
Пример 1. Найдем наибольшее и наименьшее значения
функции
•х + 1
X2 + X + 1
на отрезке [—2, 2].
у*
Рис. 94
У*
КЛ
й ь
Рис. 95
114
У1
'а С д х
Рис. 96

Решение. Производная этой функции равна
/^-х+1 уд ™-* (яроверьте!).
Приравнивая ее нулю, получаем уравнение 2л:2 — 2 = 0,
имеющее корни —I и 1. Так как знаменатель (х2 + х + I)2 =
^((x+—)2+—Y нигде не обращается в нуль, то производная
определена при всех значениях х. Теперь нужно найти значения
функции на концах отрезка и в точках, где производная равна
нулю, т. е. в точках —2, —1, 1, 2, и выбрать из полученных
значений наименьшее и наибольшее:
/(-2) = j. /(-1) = 3, /(1)={. /(2) = у.
Значит, наименьшее значение функции на данном отрезке
равно —, а наибольшее 3.
К отысканию наименьших и наибольших значений функций
приводит решение многих практических задач.
Пример 2. Какова наибольшая площадь прямоугольного
участка земли, который можно огородить забором, имеющим
длину 2р?
Решение. Обозначим длины сторон прямоугольника
через л; и у. Так как периметр этого прямоугольника равен 2/7,
то х + У = Р и потому у = р — х. Значит, площадь S
прямоугольника равна х (р — х). При этом, поскольку jc и у должны
быть неотрицательны, х принадлежит отрезку [0; /?].
Итак, для решения задачи надо найти наибольшее значение
функции х (р — х) на отрезка [0; р]. Производная этой функции
имеет вид S' (х) = (хр — х2)' — р — 2х. Она обращается в нуль
при х = ~. Осталось найти наибольшее из значений S (х) в
точках 0, р и ~. При х =■ 0 и при х = /? функция обращается в
нуль, а при л; = -£■ имеем: s (4) = "f f/7 ~ ~) = ~- Это и
будет наибольшим значением площади прямоугольника. Если
х = ~, то у = р — — ■» —, потешу искомый прямоугольник
2 2^ 2
является квадратом.
Таким образом, из вс£л; прямоугольников заданного периметра
наибольшую площадь имеет квадрат.
Пример 3. Прочность балки прямоугольного сечения
пропорциональна ее ширине и квадрату ее высоты, т. е. р =
== kxy2 (рис. 97). Какое сечение должна иметь балка, вытесанная
115

из цилиндрического бревна радиуса /?, чтобы ее
прочность была наибольшей?
Решение. Из рисунка 97 видим, что х и
у связаны соотношением у = ]/ iR2 — х2 .
Поэтому р (х) = kxy2= kx (4R2 — x2). Значит, надо
найти наибольшее значение функции р (х) на
отрезке [0; 2/?]. Производная этой функции име-
Рис. 97 ет вид
(kx (4R2 — х2))' - (4kR2x - kx*)' = 4kR2 — 3kx2.
Приравнивая ее нулю, получаем уравнение k (4R2 — Зл:2) == 0,
2R 2R
корнями которого являются числа —j==z и -j=. На отрезке [0; 2R~]
2/? о ^
лежит лишь корень -=. Значит, надо сравнить значения функции
on
kx (4/?2 — л:2) при х, равном 0, -^rr, 2R. В точках 0 и 27? эта
функция обращается в пуль. Наибольшее значение она имеет при
х —~~г=. При этом значении х имеем: y=Y"4R2—х2= 1/4/?2 — =
~ 1 - . Отсюда находим, что — = ]/2. Так как ]/2~ss
уз х
7
« 1,4 » —, то на практике принимают, что должно выпол-
5
У 7
няться условие — « —.
Подводя итоги сказанному в этом пункте, замечаем, что задачи
на наибольшие и наименьшие значения решаются последующему
плану:
1) Выбирают одну из переменных (аргумент) и выражают через
нее ту переменную, для которой ищется наибольшее или
наименьшее значение.
2) Находят промежуток изменения аргумента.
3) Находят производную полученной в 1) функции.
4) Приравнивают производную нулю и находят корни
получившегося уравнения.
5) Находят точки, в которых функция не имеет производной.
6) Вычисляют значения функции на концах промежутка
изменения аргумента и в точках, найденных в 4) и 5), а потом
выбирают из них наибольшее (соответственно наименьшее).
При этом для облегчения вычислений полезно иметь в виду
следующие замечания:
1. Точка, в которой функция принимает наибольшее или
наименьшее значение на отрезке [а, 6], не изменяется при следующих
преобразованиях выражения, задающего функцию:
а) прибавлении постоянного слагаемого;
б) умножении на положительное число;
Пб

в) возведении в степень с натуральным показателем, если
функция неотрицательна.
Например, функция — х ]/49 — х2 + 8 имеет на отрезке [0, 7]
о
наибольшее значение в той же точке, что и функция х2 (49 —х2)
(отброшено постоянное слагаемое 8, функция умножена на
положительное число 3, после чего возведена в квадрат).
2. Если положительная функция f принимает в точке а
наибольшее (соответственно наименьшее) значение, то функции —/
и — принимают в той же точке наименьшее (соответственно
наибольшее) значение. Например, функция (х — 2)2 + 5 принимает
наименьшее значение при х = 2, а потому функция
имеет при х = 2 наибольшее значение.
Пример 4. Найдем прямоугольник наибольшей
площади, вписанный в окружность радиуса R.
Решение. Обозначим длины сторон прямоугольника
через хну. Тогда у = У 4R2 — х2 и потому площадь S = ху
выражается через х формулой S = х ]/4/?2 — х2. Поскольку
значения этой функции неотрицательны, она принимает
наибольшее значение в той же точке, что и функция S2 = х2 (4R2 —
_ х2) = 4Д8*2 — х\
Производная функции 4R*x2 — x* равна 8R2x — 4r\
Приравнивая ее нулю, получаем уравнение 4х (2R2 — х2)= 0, корнями
которого являются числа О, R У 2 и —R У 2. Из них отрезку
[О, 2/?] принадлежат 0 и R У2. Поэтому надо сравнить
значения функции х2 (4R2 — х2) в точках О, R ]/2~и 2R. При х = 0 и
х = 2R функция обращается в нуль. Значит, она принимает
наибольшее значение при х = R У2. В этом случае у ==
=,V±R2 — (R У%2 = Я УТ и потому * = у.
Итак, прямоугольником наибольшей площади, вписанным в
окружность радиуса R, является квадрат.
Упражнения
350. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f
на отрезке [я, Ь]:
а) / (л:) - 2х2 — 8х + 3, а = 0, 6=1;
б) / (.v) - х2 + \х — 2, а - —3, & - 1;
в) f (х) = г* + За:, а = 0, 6 = 2;
г) / (д) = л3 — Зх, а = —1, Ь = 3;
Д) / (*) - -- + л: — 3, а = 1, 6 = 4;
е) /(*) = *2 _!*, а = 0, b = 4.
о
117

351. а) Число 60 представьте в виде суммы таких двух
слагаемых, произведение которых будет наибольшим.
б) Число 16 представьте в виде суммы двух слагаемых так,
чтобы сумма квадратов их была наименьшей.
352. Кусок проволоки длиной 20 см требуется согнуть в
прямоугольник наибольшей площади. Найдите длины сторон
этого прямоугольника.
353. Требуется огородить проволочной сеткой длиной 200 м
прямоугольный загон, примыкающий с одной стороны к
реке. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы
его площадь была наибольшей?
354. Дан кусок жести размером 32x20 см. По углам из него
вырезают равные квадраты и из оставшейся части делают
открытую коробку. Какова должна быть длина сторон вы-
- резанных квадратов, чтобы получившаяся коробка была
набольшего объема?
355. Коробка без верхней крышки имеет форму
прямоугольного параллелелипеда, в основании которого лежит квадрат.
При каких размерах коробки ее объем будет наибольшим,
если площадь поверхности коробки равна 300 см2?
356. Бак с квадратным дном должен вмещать V литров
жидкости. При каких размерах бака его поверхность без крышки
будет наименьшей (толщиной стенок пренебречь)?
357. Из круглого бревна диаметра 30 см необходимо
вырубить брус с прямоугольным сечением. Каковы должны быть
размеры бруса, чтобы при его изготовлении было как
можно меньше отходов?
358. а) Дайте определение возрастающей функции на отрезке.
б) Применяя это определение, покажите, что функция
х2 — 4х + 1 возрастает на луче [2, +оо[ и убывает на луче
3-00,2].
в) Постройте график этой функции и установите знак
производной /' (х) в указанных промежутках монотонности.
359. Методом промежутков решите неравенство
(1 — х2) (х2 — х— 12) > 0.
360. Разложите на множители многочлен:
а) х2 — х— 12;
б) .v3 — 4л;2 + 4х;
в) Зх3 -
г) 2х3 -
-6л:2;
-8х.
32. Исследование функций на возрастание и убывание.
Наглядное представление о связи между возрастанием или убыванием
функции на отрезке [я, Ь~] и знаком ее производной на этом
отрезке дает разбор следующего примера.
Пусть точка движется по координатной прямой по закону
х = f (t). Если в течение промежутка времени [а, й] скорость
точки положительна, то она движется слева направо, и потому ее
118

координата увеличивается. В этом слу-
чае f _ возрастающая функция на
отрезке [a, &]. Точно так же, если скорость
тачки в течение промежутка времени
отрицательна, то точка движется справа
налево, ее координата уменьшается и
потому функция / убывает на отрезке [а, Ь']. J aJh lQ J+h
Поскольку скорость точки равна про- ■
изводкой функции /, то приходим к еле- Рис 98
дующему выводу:
Теорема Х.Если производная функции на промежутке X
положительна, то функция возрастает па этом промежутке, а
если производная отрицательна, то функция убывает на X.
Мы опускаем строгое доказательство этого утверждения и
ограничимся изложенным выше «физическим истолкованием».
Следствие 1 (достаточное условие точки максимума).
Если функция f непрерывна в точке а, причем вблизи этой точки
слева от а производная функции f положительна, а справа от а
она отрицательна, то а — точка максимума функции /\
Доказательство. Из условия следует, что у точки а
есть окрестность ]а — A, a + А£ такая, что на ]а —А, а[
производная положительна, а на ]д, а + А[ она отрицательна. Тогда
функция / возрастает на ]а — А, а] и убывает на [а, а + А[ (рис. 98).
Значит, в самой точке а она принимает значение, большее, чем ее
значения слева или справа от а (вблизи а). Иными словами, а —
точка максимума функции.
Аналогично доказывается следующее следствие:
Следствие 2 (достаточное условие точки минимума).
Если функция f непрерывна в точке а, причем вблизи этой точки
слева от а производная функции f отрицательна, а справа от а
положительна, то а — точка минимума функции f.
Теорема 2. Если производная функции f равна нулю на
промежутке X, то функция f постоянна на этом промежутке.
Мы ограничимся следующим физическим истолкованием
теоремы: если скорость точки равнялась нулю в течение заданного
промежутка времени X, то точка была неподвижна и потому ее
координата не изменялась.
Пример 1. Найдем промежутки возрастания и убывания
функции
х* — 12х + 2.
Решение. Производная данной функции равна Зх2 —
— J2. Чтобы найти промежутки возрастания функции, надо
найти промежутки, где ее производная положительна,
т' е. решить неравенство Зл:2 — 12 > 0. Имеем: 3 (х — 2) {х +
+ 2)>0. С помощью метода промежутков (пункт 19) находим
множество решений этого неравенства (рис. 99): ]—<*, —2[U]2,-j-oo[.
Отсюда делаем вывод: функция / возрастает на промежут-
119

-4-
2
Flic. 99
362.
364.
Рис. 100
ц^-12х+2
\:2 *
Рис. 101
ках ]—оо, —2[ и ]2, +ос[ и
убывает на промежутке]—2, 2[
(рис. 100). Это значит, что в
точке х=—2 функция / имеет
максимум, а в точке х = 2 —
минимум. При этом / (—2) = 18%
/(2) = —16. На рисунке 101
схематически изображен
график функции х'3 — \2х + 2.
Пример 2. Докажем,
что 2 является точкой
минимума функции (х — 2)4.
Решение. Производная
функции (х — 2)4 равна
4 (х — 2)3. При х < 2 имеем:
х — 2 < 0 и потому
4 (х—2)3 <0.
При х > 2 имеем: я — 2 > О
и потому 4 (л: — 2)3 > 0.
Значит, при переходе через точку
2 производная меняет знак с
«минуса» на «плюс». Так как в
точке 2 функция (х — 2)4
непрерывна, то по следствию 2
эта функция при х = 2 имеет
минимум и / (2) = 0.
Упражнения
361. Докажите, что функция
х3 + 4л: возрастает на всей
числовой прямой:
а) с помощью неравенств;
б) с помощью производной.
Известно, что производная функции / равна нулю на
промежутке [а, Ь\_. Следует ли отсюда, что эта функция
постоянна на отрезке [а, 6]? Следует ли отсюда, что
функция / постоянна на [а, 6], если она, кроме того,
непрерывна на [a, bj? Ответ поясните рисунками.
363. Производная функции / положительна на промежутке [a,fc[.
Следует ли отсюда, что эта функция возрастает на
отрезке [а, 6]? Какое нужно дополнительное условие, чтобы
гарантировать возрастание / на [а, 6]?
Постройте график функции, производная которой равна
нулю на интервалах ]0, 2[, ]2, 6[ и ]:, 10[, и такой, что
/(l)=0f/l5)=3,/(8)--2.
120

365.
366,
367.
Какой знак имеют на отрезке [а, Ь] угловые коэффициенты
касательных к графику функции /, если:
а) функция / возрастает на [а, 6];
б) функция f убывает на [а, ft]?
Могут ли эти угловые коэффициенты обращаться в нуль в
отдельных точках отрезка [я, &]? Приведите пример.
Покажите, что:
а) функция хь + 6х3 возрастает на всей числовой прямой;
б) функция — убывает на лучах ]—оо, 0[ и ]0, 4"0СС-
X
Найдите промежутки возрастания и убывания функций:
а) —х4;
б) 6х5;
в) — х2 + 4х + 1; д)
г) 5 + х2 — 4х; е)
1
х2 — 2х + 3;
3
-i-x3 + -x2—12х + 2.
3 2
1
368.
369.
Найдите промежутки монотонности, точки экстремума и
начертите эскиз графика функции:
а) 2*3 + Зх2 — 1; в) Сбх4 — 4л:2;
б) х3 + Зх — 2; г) х4 — 8х2 + 9.
Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию:
а) 4-Ьх — Зх3;
б) Зх3 — х + 3;
в)
2)2
3
д)
е)
X— 1 .
2* -Ь 1'
2 — х
Зя —1*
370.
371.
На рисунке 102 изображен график производной
непрерывной функции /. Определите по этому графику:
а) промежутки возрастания и убывания функции /;
б) точки максимума и минимума функции /. В каких из
этих точек производная функции / не существует?
На рисунке 103 изображен график функции /. Определите
по этому графику:
а) промежутки, где производная функции / положительна,
и промежутки, где она отрицательна;
б) точки, где производная равна нулю;
в) точки, где производная не существует.
Ч
\
^У[
л
о ь
х
Рис. 102
Рис. 103
121

372. С помощью производной найдите координаты вершины
параболы:
а) у = х2 — 8х + I; б) у = 2х2 — Ъх — 1.
373. Решите уравнение:
a) *4 — Юх2 + 9 = 0; б) я4 — 5*2 + 4 - 0.
33. Построение графиков функций* График функции часто
строят «по точкам». Для этого вычисляют значения функции / в
нескольких точках: хи х2>
хПУ строят соответствующие точки
графика: Mt (х1у / (л^))* М2 (*2, f (#2)), ..., Мп (хп, f (xn)) и
соединяют их плавной кривой. Однако при таком способе
построения можно пропустить важные особенности графика
функции. Пусть, например, дана функция — . Составим таб-
4Л'*1 — 14.Х -f"" У
лицу некоторых ее
X
/(*)
значении:
0 | 1
1
9
1
2
1
з
1
9
4
1
25
5
1
49
— 1
1
25
-2
1
49
1
(2%-3)2
разрыв в точке х
Пвггаяеь построить график по значе-
Если отметить точки М (xf f (x)) на координатной плоскости и
соединить их плавной кривой, то получится линия, изюбражен-
ная на рисунке 104. На самом же деле график функции =
4*2—12*+9
выглядит так, как показано на рисунке 105. Он имеет
з_
2'
ниям функции, указанным в таблице, мы
пропустили этот разрыв.
Чтобы избежать подобных ошибок,
нужно, прежде чем строить график
функции по точкам, исследовать функцию,
выявить особенности ее графика. Примерный
план исследования таков:
1) находят D (f) — область
определения функции /;
2) находят точки пересечения
графика функции с осью абсцисс (для этого
решают уравнение / (х) = 0);
3) находят точки разрыва функции /;
4) точки, найденные в п. 2) и 3),
разбивают ось абсцисс на несколько
промежутков — это промежутки знакопостоян-
ства функции /; находят знак функции на
Рис. 105 каждом из этих промежутков;
Рис. 104
122

- +
о-
+
J
Ркс. 106
5) изучают поведение
функции около точек разрыва и на 0 1
бесконечности;
6) находят точки максимума
и минимума функции;
7) составляют таблицу
значений функции (в нее включают
точки,найденные на предыдущих
этапах исследования, и
некоторые дополнительные контрольные
точки, в частности, точку
пересечения графика с осью
ординат).
8) учитывая проведенное
исследование, строят график Рис. 107
функции.
Пример 1. Построим график функции / (х) = х3 — Ах2 +
+ Зх.
Решение. 1) Функция определена при всех значениях xf
т. е. D (/) = ]— оо, +°°[.
2) Из уравнения Xs — 4х2 + Зх = О находим: х(х2 — 4х +
+ 3) = 0, хх = 0, х2 = 1, х3 = 3. Значит, точками пересечения
графика с осью абсцисс будут: Mt (0, 0), М2 (1, 0), М3 (3, 0).
3) / — всюду непрерывная функция. Найденные в пункте 2)
точки 0, 1, 3 разбивают ось абсцисс на четыре промежутка зна-
копостоянства функции, причем знаки функции на этих
промежутках меняются так, как показано на рисунке 106.
На рисунке 107 схематически изображены те сведения,
которыми мы располагаем к настоящему моменту. Отмечены три
найденные точки графика и заштрихованы те части координатной
плоскости, где графика заведомо не может быть. Из этого рисунка
ясно, что на промежутке ]0, 1[ должна быть точка максимума, а
на промежутке ]1, 3[ — точка минимума.
4) Если л:-> + °°»то значения функции / неограниченно
увеличиваются,— это хорошо видно, если представить / (х) в виде х3 (1 —
4 3 \
1 . При этом lim f (x) = + оо и lim f (x) = —оо.
5) Найдем точки экстремума. Имеем:
/' (х) = (хг — Ах2 + Зх)' = Зх2 — 8х + 3.
Приравняем производную нулю: Зх2 — 8л: + 3 = 0. Из этого
Уравнения находим два корня: хх « 0,46; х2 « 2,2. Значит, х «
^ 0,46 — точка максимума, а х « 2,2 — точка минимума.
Найдем значения функции в этих точках:
/ (0,46) = 0,463 — 4 . 0,462 + 3 • 0,46 & 0,6,
/ (2, 2) = 2, 23 — 4 • 2,22 + 3 . 2,2 « —2,1.
123

y=rxJ-4x2y-Jx
Рис. ЮЗ
;
Рис. 109
6) Мы нашли пять
контрольных точек: М^О, 0), М2 (1,0),
М3 (3,0), Л14(0,46; 0,6),
Л*в(2,2;-2,1).
Можно дополнительно взять
еще две точки графика: при
х = 4 f(x) = 12; а при х = — 1
f (а;) = —8. Значит, получаем
еще две контрольные точки:
Afe(4, 12), /Vl7 (—1, —8).
7) Отметив найденные
точки на координатной
плоскости и учитывая проведенное
выше исследование, строим
график функции (рис. 108).
Пример 2. Построим гра-
фик функции / (х) = .
X2
Решение. 1) Функция
определена всюду, кроме
значения х = 0. Значит, D (/) =
=]-«>, 0[U]0, +<Ч-
2) Решая уравнение =
X2
= 0, находим два его корня:
*г ~ 1» х2 — —1- Значит,
график пересекает ось абсцисс в
двух точках: (1,0) и (—1,0).
3) х = 0 — точка разрыва
функции.
4) Точки —1, 0, 1 разбивают ось абсцисс на четыре промежутка
знакопостоянства функции. Знак функции на каждом промежутке
можно установить, выбрав по одной «пробной» точке из данного
промежутка. Знаки будут меняться так, как показано на
рисунке 109.
На рисунке ПО отмечены уже известные точки графика и
заштрихованы те части координатной плоскости, где графика не
может быть.
5) l:m £=^U lim(l-l) = l;
lim = 1.
Х-*—со X2
Значит, прямая у = 1 является горизонтальной асимптотой
графика функции и при х->+оо, и при #->—-оо (см. пункт 10). При
приближении аргумента к значению х = 0 функция принимает
сколь угодно большие по модулю отрицательные значения, т. е.
Рис. ПО
124

f до _>. _oo. В подобных
случаях говорят, что ось ординат
является вертикальной
асимптотой графика функции (вообще
если / (х) -* оо при х-> а, то
прямая х = а — вертикальная
асимптота графика функции ).
/Y2 ГУ
-(!-£)'-(1-0' = 2*"»-
2
Рис III
Замечаем, что при # >0 /'(я) >
>0, т. е. на промежутке ]0, +°°[ функция возрастает. При
х < 0 /' (х) < 0, т. е. на промежутке ]—оо, 0[ функция убывает.
7) Составим таблицу значений функции, включив в нее как
ранее найденные контрольные точки (1, 0) и (—1, 0), так и
несколько дополнительных:
X
\ /(*)
1
0
— 1
0
1
2
— 3
1
2
— 3
2
3
4
-2
3
4
8) Отметив на координатной плоскости точки (1,0), (—1,0),
-. — 31 (—у» —З), fa, -Д (—2, -А и учитывая проведенное
выше исследование, строим график функции (рис. 111).
Упражнения
374. Исследуйте функцию на экстремум, найдите промежутки
возрастания и убывания, точки пересечения с осями координат,
постройте график:
а) —х2;
г)ю;
ж) х2 — Ах + 4;
б) —х4; л) xi — 2x-\b\ з)х2 — 4х + 5;
с) --дс»; е) 4а' —Л'2;
О
и) Зл
125

875. Исследуйте функцию и постройте график:
а) Xs — 4л:; д) х4 — Зх2 + 2;
б) Зх — х3; е) — х* + 4х2 — 3;
в) х3 — х2\ ж)* £ni.
г) Зх2 — х3 — 2;
876. а) Исследуйте функцию у? — Зх2 и постройте ее график.
б) Найдите уравнения касательных, проведенных к графику
функции через точки пересечения кривой с осью х.
в) По графику определите число корней уравнений •
Л;3 _ ЗХ2 = 2 И X3 — ЗХ2 = —2.
34. Основные результаты.
1. Точка а называется точкой максимума функции /, если f
непрерывна в точке аи f (а) больше, чем значения функции f
вблизи точки а. Точка а называется точкой минимума функции /, если
/ непрерывна в точке а и / (а) меньше, чем значения функции /
вблизи точки а. Точки максимума и минимума объединяются
общим названием «точки экстремума».
2. В точке экстремума производная либо равна нулю, либо
не существует. Это — необходимое (но не достаточное) условие
экстремума. Геометрически оно означает, что в точке экстремума
касательная к графику функции горизонтальна или график
функции имеет в этой точке налом, заострение.
3. Достаточное условие экстремума: пусть функция /
непрерывна в точке а, а производная в этой точке либо равна нулю,
либо не существует. Если вблизи этой точки производная /'
положительна слева от а и страдательна справа от а, то а — тючка
максимума функции /. Если производная вблизи точки а
отрицательна слева от ее и положительна справа от #, то а — точка
минимума. Если слева и справа от а знак производной один и тот же,
то а не является точкой- экстремума.
4. Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения
непрерывной функции / на отрезке [а, й], надо:
а) найти ее значения на концах отрезка;
б) найти ее значения в точках, где производная равна нулю;
в) найти ее значения в точках., где производаая не существует;
г) из всех найденных значений выбрать наибольшее и
наименьшее.
5. Если производная функции / на промежутке X
положительна, то функция возрастает на этом промежутке; если производная
отрицательна, то функция убывает. Если производная функции /
равна нулю на промежутке Х% то функция постоянна на этом
промежутке.
6. Примерный план исследования свойств функции и
построения ее графика:
1) находят D (f) — область определения функции;
126

2) находят точки пересечения графика с осью абсцисс;
3) находят точки разрыва функции;
4) находят промежутки знакопостоянства функции и
определяют знак функции на каждом из таких промежутков;
5) изучают поведение функций около точек разрыва и на
бесконечности;
6) находят точки максимума и минимума;
7) составляют таблицу значений функции;
8) строят график функции.
Дополнительные упражнения
К пункту 30
377. Какие из нижеследующих функций не имеют точек
экстремума:
378. Верно ли, что функция не имеет точек экстремума;
а) у'*5; б) }^??
К пункту 31
379. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции /
на отрезке [а, 6]:
а) л4 — Юх2 + 9, а = —4, Ь = 4;
б) (Зх* — 6х + 4)2, а = 0, 6-3;
в) (х4— I)3, а = — 1, 6 = 2;
г) -£-, а = 0, 6 = 2.
*+ 1
380. Число 10 представьте в виде произведения двух
положительных чисел так, чтобы сумма этих чисел была наименьшей.
331. Число 8 представьте в виде суммы двух положительных
слагаемых так, чтобы сумма куба одного слагаемого и квадрата
другого была наименьшей. Чему равна эта сумма?
382. При движении корабля расходы N (в р.) на 1 км пути
определяются по формуле
N = £ + Ы\ (*)
V
где v — скорость корабля (в км/ч), а и Ь — определяемые из
опыта коэффициенты.
а) Начертите график функции (*) при а = 40, b = 0,01.
б) Найдите наивыгоднейшую скорость корабля при этих
значениях а и Ь.
127

В прямоугольный треугольник с
гипотенузой 10 см и углом 30°
вписали прямоугольник, основание
которого лежит на . гипотенузе.
Каковы должны быть размеры
прямоугольника, чтобы его площадь
была наибольшей?
Определите стороны прямоугольника
наибольшей площади, который
можно вписать в треугольник с
основанием а и высотой h.
385. Из всех прямоугольников, имеющих периметр 20 см, найдите
тот, у которого диагональ наименьшая.
386. Длина боковых сторон и меньшего основания трапеции
равны 2 см. При какой длине большего основания площадь
трапеции будет наибольшей? Вычислите площадь такой трапеции.
387. а) Докажите, что произведение двух положительных чисел,
сумма которых постоянна и равна а, имеет наибольшее
значение при равенстве множителей.
б) Докажите, что сумма двух положительных чисел,
произведение которых постоянно и равно /?, принимает наименьшее
значение при равенстве этих слагаемых.
388*. Населенные пункты А и В расположены относительно
железной дороги так, как показано на рисунке 112. На железной
дороге предполагается построить станцию С и соединить ее
шоссейными дорогами с А и В. Выразите суммарную длину
шоссейных дорог через расстояние х от D до С и докажите с
помощью производной, что эта длина будет наименьшей,
если а = J3 («угол падения равен углу отражения»).
Докажите это же утверждение геометрически.
К пункту 32
389. Найдите промежутки монотонности функции:
а) х + -; г) -—;
б) у + -> Д) -£-:•
Ах х2 — 4
*)Чг + —г-1- е) 2х-]/7.
2 х — I
Определите точки экстремума этих функций.
390. Покажите, что: а) функция #+4л;3 возрастает на всей
числовой прямой;
б) функция убывает на промежутках ]—оо, —2[ и
х ~\~ £
]-2, +оо[.
123
383.
В х С
Рис. 112
384.

391. а) Докажите, что функция х — J-x3 + j возрастает на
всей числовой прямой. Выведите отсюда, что при х > О вы-
полняется неравенство -- + х > —я3.
о о
б) Докажите, что при х > 0 выполняется неравенство
х3 . хъ -.. л:4
Т + Т^Т*
К пункту 33
392. Исследуйте функцию f и постройте.ее график:
а) /(*)=(* + 4)я(*-5); е)/(*) =
4-а-2
б)/(х) =
в) f{x)
г) /(*)
Д) /W
х2+ 4
X
~~ 1 + *2'
X
~ *2 - 9'
х
ж) /(*)=--Ц-+ '
з) /(*) =
и)/(*) =
*-1 X+l
X2+ 6,
*2- Г
__2дг___.
x2 — 2x + Г'
х2 — 6* +*8 "
ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ К ГЛАВЕ II
Для задач, решаемых в настоящее время с помощью
дифференциального исчисления, в древности не существовало единого
метода. Задачи о проведении касательной для каждой кривой решались
своим методом. В XVII в. были найдены методы решения таких
задач, основанные на кинематических соображениях и на теории
алгебраических уравнений, а также разработан общий метод
решения задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений
функции, основанный па том, что в точках экстремума касательная
к графику функции (если она существует) горизонтальна.
Во второй половине XVII в. был определен круг задач,
решаемых сейчас методами дифференциального исчисления, выявлена
связь между понятиями мгновенной скорости и касательной к
графику движения, разработаны отдельные методы решения этих
задач. Поэтому в это время назрела необходимость в создании
общего аппарата, позволяющего решать любые задачи указанного вида.
Этот аппарат был разработан независимо друг от друга И.
Ньютоном и Г. Лейбницем. Ньютон в основном опирался на физическое
представление о мгновенной скорости движения, считая его
очевидным и сводя к нему другие случаи производных, а Лейбниц
использовал понятие бесконечно малой.
5 Заказ 87
129

Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, полупило
название анализа бесконечно малых или, иначе,
дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач
теоретической механики, физики и астрономии. В частности,
используя методы анализа бесконечно малых, ученые
предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом
науки XVIII в. С помощью тех же методов математики изучали
в XVII и XVIII вв. различные кривые, нашли кривую, по
которой быстрее всего падает материальная точка, научились
находить кривизну линий и т. п. Большую роль в развитии
дифференциального исчисления сыграл Л. Эйлер, написавший учебник
«Дифференциальное исчисление».
Основные понятия дифференциального исчисления долгое
время не были должным образом обоснованы, и видный
французский математик Ж. Даламбер говорил своим ученикам:
«работайте и вера к вам придет». Однако уже в начале XIX в.
французский математик О. Коши дал строгое построение
дифференциального исчисления на основе понятия предела.
Применяемая сейчас система обозначений для производной
восходит к Лейбницу и Лагранжу, поскольку обозначения
Ньютона были менее удобны для использования.
В настоящее время понятие производной является одним из
центральных понятий математического анализа, находящим
обширные приложения в различных областях науки и техники.
Современные учебники выдвигают на первый план не
понятие производной, а понятие дифференцируемое™ функций,
которое допускает обобщение на широкий класс математических
объектов. В частности, в современной математике говорят о диф-
ференцируемости функций, зависящих не от числа, а от линии,
другой функции п т. д. Эти вопросы составляют предмет так
называемого вариационного исчисления.

Глава III
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
35. Длина дуги окружности. Радианная мера дуги. Формула
для длины дуги окружности была выведена в курсе геометрии
восьмилетней школы. Там было показано, что если длина дуги
окружности содержит а градусов (а°), а ее радиус равен R, то
длина этой дуги равна —-. Площадь соответствующего сектора
nR*a m
равна .
г 360
Эти выражения упрощаются, если измерять дуги не в градусах-
а в радианах. Напомним, что радианом называется величина дуги,
длина которой равна ее радиусу. Как было показано в курсе гео-
ясх
метрии восьмилетней школы, дуга в а градусов содержит — ра-
180
, 180/ * о яа
диан, а дуга в t радиан содержит градусов: а = — рад,
IOAO J. JX loj
А>ад = — • Из этих формул вытекает, что 1 радиан равен
п
. Выполнив деление, получим:
1 рад « 57°17'44,8".
Так как длина дуги в 1 рад равна радиусу R этой дуги, то
длина дуги в t радиан в / раз больше, т. е. /дугп = Rt. Формула
площади сектора, дуга которого содержит t радиан, имеет вид
сект 9
Пример 1. Найдем длину дуги Л В, радиус которой равен
4, а соответствующий центральный угол содержит а) 75°; б) 2 рад.
Решение. Если центральный угол, стягиваемый дугой,
равен 75 , то дуга тоже содержит 75° и потому ее длина равна —'-—,
т е —- = — 18°
180 3 "
Если дуга содержит 2 рад, то ее длина равна 2/?, т. е. в нашем
случае она равна 8.
Пример 2. Выразим в градусах, минутах и секундах угол
в 2,3 рад.
5* 131

Решение. 2,3 рад = 180°' 2'3 » 2,3 - 57°17,44,8'' =
= !31°46'49,С4".
Пример 3. Выразим в радианах угол в 8° 12'.
Решение. Так как 8С12' = 8,2°, то получаем:
8°12' = ^iM. рад « 0,0175 • 8,2 = 0,1435 рад.
180
Для облегчения вычислительной работы при переходе от
градусной меры угла к радианной и обратно пользуются
специальными таблицами. Такая таблица («Радианная мера») помещена,
например, в книге В. М. Брадиса «Четырехзначные
математические таблицы».
Упражнения
393. Вычислите длину дуги окружности радиуса 10 см, на
которую опирается данный центральный угол: а) 30°, б) 120°,
в) 330°, г) 18°.
394. Зная длину / дуги окружности и величину а центрального
угла, опирающегося на эту дугу, найдите длину радиуса,
если: а) / = 10 см, а = 54°; б) I = 62,8 см, а = 150°.
395. Вычислите величину центрального угла (в градусах и
радианах), зная радиус R окружности и длину /дуги, на которую
опирается центральный угол: a) R = 10 см, I = 20 см;
б) R = 5 см, / = — см.
396. Сколько радиан содержится в развернутом угле? в прямом
угле?
397. Выразите в радианах углы: а) прямоугольного
равнобедренного треугольника; б) прямоугольного треугольника, длины
сторон которого 3, 3 |/~3 и 6.
398. Выразите в радианах центральный угол правильного я-уголь-
ника, если: а) п = 3; б) п == 4; в) п = 5; г) п = 6; д) п =
= 18.
399. Определите в градусах и радианах величину угла,
описываемого минутной стрелкой за: а) 5 мин; б) 20 мин; в) 0,75 ч.
400. Пользуясь формулой перехода от радианной меры угла к
градусной, найдите градусную меру угла, радианная мера
которого равна: а) 0,25л; б) 0,6д; в) 1,5я; г) 1,57; д) 0,785.
401. Пользуясь таблицей для перевода градусной меры в радиан-
ную, определите: а) радианную меру угла (дуги) в 2°; 20°;
10°6'; 10°36'; 50°50';
б) градусную меру угла в 0,2618; 0,2650; 0,2653; 0,2656;
0,9480.
36. Координатная окружность. Напомним, что координатной
прямой называют прямую линию, на которой выбраны начало
отсчета, единица измерения длин и положительное направление.
!32

Подобно этому вводится понятие
координатной окружности.
Определение.
Координатной окружностью называют
окружность единичного радиуса1, на которой
заданы точка А (начало отсчета) и
положительное направление (как правило, против
часовой стрелки). В качестве начальной
точки А обычно выбирают правый конец
горизонтального диаметра.
Вертикальный и горизонтальный диа- Рис. 113
метры делят координатную окружность
на 4 дуги—их называют четвертями: ^~>АВ— I четверть, ^ВС— II
четверть, ^CD — III четверть и — DA — IV четверть (рис. 113).
Установим соответствие между множеством JR действительных
чисел и множеством точек координатной окружности:
1) числу t = 0 поставим в соответствие точку А: А = А (0);
2) если t > 0, то, отправляясь из точки А (0), пройдем по
окружности в положительном направлении путь длиной /; конец
этого пути и будет искомой точкой М: М = М (t) (если 0 < t < 2я,
то длина этого пути равна длине дуги ЛУИ; если же t !> 2я, то этот
путь состоит из нескольких полных обходов окружности и из
дуги АМ)\
3) если / < 0, то, отправляясь из точки А (0), пройдем по
окружности в отрицательном направлении путь длиной | /1; конец
этого пути и будет искомой точкой М: М = М (t).
Это правило каждому действительному числу t ставит в
соответствие единственную точку окружности М (/). Обратное неверно:
если точка М окружности соответствует числу /, то она
соответствует и числу / + 2д (добавив к пути длиной t путь длиной 2я,
т. е. длину окружности, снова попадем в точку /И), и числу / + 4я,
и числу / — 2я, и вообще любому числу вида / + 2я&, k £Z.
Мы получили отображение координатной прямой на
координатную окружность. Наглядно оно сводится к «наматыванию» всей
прямой на окружность, при котором начало координат О на прямой
переходит в начало отсчета А на окружности, положительная полуось
«наматывается» в положительном направлении, а отрицательная —
в отрицательном направлении.
Пример 1. Найдем на координатной окружности точки,
соответствующие числам —, я, —.
2 2
Решение. Так как 0 ^— < 2я, то достаточно отложить от
точки А в положительном направлении дугу длины — = —. Эта
Дуга составляет четверть окружности. Значит, ее конец совпадает
Выбор радиуса окружности заменяет выбор единицы измерения длин.
133

с точкой В (рис. 113) — верхним концом вертикального диаметра.
Итак, В = В/"Л
Аналогично, отложив от точки А в положительном направлении
дугу длины я (т. е. полуокружность), получим точку С, а отложив
от Л в том же направлении дугу длины —, попадем в точку D.
Итак, С = С (л), D = D 1—\
Пример 2. Найдем на координатной окружности точки, со-
я Зя 5 л 7 л
ответствующие числам —, —, —, _.
4 4 4 4
Решение. Поскольку все заданные числа принадлежат
промежутку [0, 2я[, то, как и в предыдущем примере, нам нужно от
Й^тала отсчета А отложить по окружности в положительном на-
^ правлении дуги, длины которых равны
Л -" '• lv ~ соответственно JL, 3±, 5ii, Z*.
4 4 4 4
Замечаем, что — = —. Значит, нуж-
4 8 J
но разделить единичную окружность на 8
конгруэнтных частей, считая начало
отсчета А одной из точек деления.
Точки, соответствующие заданным чис-
««,,. я Зя 5я 7я
лам: —, —, — —, делят пополам чет-
4 4 4 4
верти окружности (рис. 114).
Пример 3. Найдем на
координатной окружности точки, соответствующие
числам: а) 12?; б) - 5А
4 6
Решение. На этот раз даны такие
числа, которые не принадлежат
промежутку [0, 2я[.
а) Пройдем по окружности от точки
А в положительном направлении путь
длиной —. Имеем — = 4я + — • Чтобы
4 4 4
построить путь такой длины, нужно из
точки А в положительном направлении
сделать два полных обхода окружности (это
будет путь длиной 4я), а потом в том же
<, Зя
направлении пройти еще дугу длиной —.
Попадаем в точку, которая делит пополам
вторую четверть. Она и будет искомой
точкой М (—) (рис. 115).
Рис. 116 \ 4/
Рис. 114
Рис. 115
N(~H
134

б) Чтобы найти точку N (—- —), нужно от точки А отложить в
отрицательном направлении дугу AN длиной ~- (рис. 116).
Пример 4. Найдем множество чисел, которым
соответствует точка С, диаметрально противоположная началу отсчета А
(рис. 113).
Решение. Мы видели в примере 1, что точка С
соответствует числу я. Поэтому множеством всех чисел, которым
соответствует эта точка, является {я + 2nk\k £ Z}-
Упражнения
402. На координатной окружности с начальной точкой А найдите
такую точку Му чтобы дуга AM была отложена в
положительном направлении и имела длину, равную:
а) \Ы б) 4-Ь в) 2.
Сделайте то же самое для случая, когда дуга AM отложена в
отрицательном направлении.
403. На координатной окружности найдите точки,
соответствующие числам:
а) — и в) л; и Зя;
8 8
б) — и ; г) 2я и 4я.
4 4
404. Совпадают ли концы путей по окружности, начинающихся
в точке А и идущих в одинаковом направлении, если их длины
равны:
a) 12-Ut и -я; б) 12-я и -я?
3 з
405. а) Найдите конец дуги MN, начинающейся в точке м(—],
имеющей длину 1-я и идущей в положительном направлении;
о
в отрицательном направлении.
б) Решите ту же задачу, если M = М (——j и MN = —.
406. Запишите множество чисел, которым соответствует на
координатной окружности точка М9 если величина угла А ОМ
равна:
а) 45°; б) 90°; в) 225°; г) 300°.
407. Как расположены на координатной прямой и на
координатной окружности точки, соответствующие числам:
а) а и —а; в) а и а + я;
б) а и а + 2nk, k £ Z; г) а + я и а — п?
408. а) Сколько точек на координатной окружности
соответствует числу 4? Укажите их на окружности.
135

б) Скольким числам соответствует
точка М (4) координатной
окружности? Какой вид имеют все эти
числа?
4С9. Найдите наименьшие
неотрицательные числа, которым соответствуют
точки пересечения координатной
окружности с осями координат.
Запишите множества чисел, которым
соответствуют эти точки.
37. Координатная окружность и
координатная плоскость. Пусть дана прямоугольная декартова система
координат хОу. Построим единичную окружность с центром в
начале координат (рис. 117) и выберем на ней положительное
• направление (против часовой стрелки). Получим координатную
окружность. Условимся всюду в дальнейшем располагать
координатную окружность на координатной плоскости так, как это
мы сделали сейчас.
Так как радиус координатной окружности равен 1, то абсциссы
и ординаты ее точек принадлежат отрезку [—1, 1] (рис. 117).
Иными словами, если М (х, у) — точка координатной окружности,
то — 1 < х < 1, —1 < у < 1.
Пример 1. Найдем множество чисел, которым на
координатной окружности соответствует точка с абсциссой х = 1.
Решение. Абсциссу, равную 1, имеет только точка А —
начало отсчета на координатной окружности (рис. 117). Сна
соответствует числам вида t = 2л&, k £ Z.
Итак, х = 1 ф=> / = 2л&, к 6 Z.
Пример 2. Найдем множество чисел, которым на
координатной окружности соответствует точка с ординатой у = —1.
Решение. Ординату, равную —1, имеет только точка D—
нижний конец вертикального диаметра (рис. 117). Она
соответствует числам вида t
/ = —— + 2nk, к ez
2
Зл
+ 2я&,
к £ Z (или
по-другому:
Итак, у
Пример 3
Зл
— I «=>/ = ±.1 + 2я£, k£Z.
2
Найдем множество чисел, которым на
окружности соответствуют точки с ординатой у = —.
Р е ш е н и е. Ординату, равную —, имеют две точки
координатной окружности М и N (рис. 118).
Рассмотрим треугольник ОМ К. Так как \ОК\ = —, а \ОМ\
1,-
136

то | О/С | = ~\ 0УИ' и потому ОМ/С=30°=
= -J-. Но тогда и ЛОЛ1 = 20° = -^ , а
потому /Ш=—. Значит, точка
УИсоответствует числам вида / = -1- + 2лй, & 6 Z.
Так как дуги ЛМ и Л/С конгруэнтны, то
ЛМ = WC = —, а потому AN*=AC— 7VC =
б
-п-
-. Значит, точка Л/ соответству-
5л
или
ет числам вида / =— + 2jift, k £ Z.
6
1 л
Итак, у = — <=>/= — + 2я&
* = — + 2nk, kez.
Пример 4. Найдем множество
чисел, которым на координатной
окружности соответствуют точки с абсциссой
х =-0
Решение. Абсциссу, равную
— —-, имеют две точки окружности М и N (рис. 119). Рассмот-
V~2
рим треугольник ОМ/С. Так как { О/С I = -^-g— • то по теореме
Пифагора находим:
Рис. 119
\мк\
•У\ом\*-\ок\* = ^\2-C£lJ==yi _! = ££.
VIE
Значит, \МК\ == IО/С| = ^-, т. е. АОМК — равнобедренный
прямоугольный треугольник, а потому Л4(Ж = 45°=—. Поэтому
длина дуги МС равна —. Тогда АМ = АС — МС = я —— = —
4 4 4'
Значит, точка М соответствует числам вида / = — + 2л£, ££Z.
4
Далее, дуга МС конгруэнтна дуге CN, поэтому CN = МС =
= ~ и, следовательно, AN = ЛС + CW = л + — = —. Значит,
4 4 4*
точка N соответствует числам вида / = — + 2nky k£Z.
4
137

Итак, х = — ~ &t = -f + 2nk или / = -j + 2nk, k^Z.
Замечание. Множество чисел, которым соответствует точка
N, можно еще записать в Биде t = [- 2я&, k£Z. Тогда по-
4
лучаем, что х = — — <=>* = у + 2nk или t = — — + 2я&, ££Z.
Короче это иногда записывают так: t = ± — + 2я,%, &6Z.
4
Упражнения
410. а) В координатную окружность впишите квадрат так, чтобы
вершина А имела координаты (1, 0). Определите координаты
остальных вершин квадрата. Каким значениям t
соответствуют эти вершины?
б) В координатную окружность впишите правильный
восьмиугольник так, чтобы вершина А имела координаты (1, 0).
Определите координаты остальных вершин. Каким значениям
t соответствуют эти вершины?
в) В координатную окружность впишите правильный
шестиугольник так, чтобы вершина А имела координаты (1,0).
Определите координаты остальных вершин. Каким
значениям t соответствуют эти вершины?
411. Какие точки координатной окружности имеют абсциссу:
а) 1; б) -1; в) 0; г) ]-^; д) 1,5?
Запишите множества чисел, которым соответствуют эти точки.
412. Найдите множества чисел, которым на координатной
окружности соответствуют точки с ординатой, равной
а) 0; б) 1; в) -1; г) ^; д) -^.
413. Имеется ли на координатной окружности точка, абсцисса
(ордината) которой равна
а) 0,7; б) 1,2; в) f?
414. На координатной окружности постройте точку М,
координаты которой удовлетворяют данным условиям, и запишите
множество чисел, которым соответствует точка М:
а) у = 0,5, х > 0; г) х = ^", у > 0;
б) у = -£*, х>0; Д) x = —j, y>0;
в) У = — ^, х<0; е) х = — -j, у < 0.
138

M(t)*Mlcost,slnt)
A(0).
Рис. 120
38. Определение синуса и косинуса.
Определение. Пусть числу t
соответствует точка М (t) координатной
окружности. Тогда ордината у точки М
называется синусом числа t и
обозначается sin t, абсцисса х точки Ж называется
косинусом числами обозначается
cos t (рис. 120).
Тем самым на множестве R
действительных чисел определены функции sin t
и cos t.
Так как для точек координатной
окружности справедливы неравенства
—1< х < 1, —1 < У<1. то получаем, что
значения функций sin t и cos t
принадлежат отрезку [—1, 1]: —1 < cos t < 1,
—1 < sin /< 1.
Названия «синус», «косинус» вам
знакомы из курса геометрии 8-го класса,
только там sin а и cos а рассматривались
как функции угла а°. Если числу t
соответствует точка M(t) координатной
окружности, то / есть радианная мера угла
поворота (t показывает, на какой угол надо
повернуть луч [ОЛ), чтобы он
совместился с лучом [ОМ) (рис. 121)), а потому тригонометрическую
функцию числа / можно отождествить с той же функцией от угла
поворота в / радиан. Поскольку радианная мера угла связана с
градусной, то можно говорить и о тригонометрических функциях
угла, выраженного в градусах.
Например, обозначение sin a° надо понимать так: найдем ра-
Рис. 121
дианную меру угла а° по формуле t
180
рад и положим sin a
= sin t. Такой же смысл имеет обозначение cos a°. Это согласуется
с определениями тригонометрических функций угла поворота,
которые были введены в курсе геометрии 8-го класса.
Пример 1. Вычислим sin t и cost, если t = О, —, я, —.
2 2
Решение. Заданным числам соответствуют точки А (0),
В (—]» С (я), DI — | координатной
Точка А имеет координаты х = 1, у = 0. По определению, эти
координаты являются соответственно косинусом и синусом числа
t = 0. Значит, cos 0 = 1, sin 0 = 0.
соответствуют
окружности (см.
рис. 117).
Координаты точки В
sin — = 1.
2
х = 0, у = 1. Значит,
COS-
0,
139

м&)
Рис. 122
У1
/ к
( *
' 1 0
1
~^Vff)
^о°
\A(0L
V3 р] 7к
Т
Рис, 123
Рис. 124
Координаты точки С (л): # = —1, у = 0
Значит, cos я = — 1, sin л ■= 0.
Координаты точки D I —): х = 0, у =
t о Зл ~ . Зл ,
= —1. Значит, cos — = 0, sin — = —1.
2 ' 2
Пример 2. Определим знаки
чисел sin 4, cos 4.
Решение. Так как л « 3,14, то
Зл
л < 4 < —. Значит, числу t = 4
соответствует точка М, лежащая в третьей
четверти координатной окружности (рис. 122).
Но тогда и абсцисса, и ордината точки М
отрицательны, т. е. sin 4 < 0, cos 4<0.
Пример 3.
Вычислим sin — и
6
я
COS —.
6
Решение. Отметим на
координатной окружности точку М (—} (рис. 123).
\ '6 J
Тогда по определению
cos—= 10/4 s\n— = \MP\.
В примере 3 пункта 37 мы видели, что
ордината точки М равна —. Значит,
л
sin
МР\
2
Далее, из треугольника ОМР по
теореме Пифагора находим:
cos ^- = | ОР | = V\OAi\*—]¥Mj=
= />-!='-?•
тл .л 1 л V3
Итак, sin -g- = у, cos -g- = Чр.
По им ер 4. Вычислим sin— и cos—.
О 4
«-'Л
Решение. Числу / = -т— соответствует точка М, делящая
пополам вторую четверть координатной окружности (рис. 124).
Зл Зл
Тогда по определению sin-j—= |/WP|f cos -^—=—|ОР| (здесь
поставлен знак «минус», поскольку абсцисса точки М отрицательна).
140

Так как М — середина дуги ВС, то
МОР=45° и потому треугольник МРО —
равнобедренный: \МР\ = \ОР\. В
предыдущем пункте в примере 4 мы
видели, что абсцисса точки М равна
У2 Значит,
2 *
2 •
COS^ = _|0P|:
Рис. 125
Замечание. Если на координатной плоскости даны две
окружности с центром в начале координат — одна единичная, а
другая радиуса г — и точка М единичной окружности имеет
координаты М (cos /, sin t), то луч \ОМ) пересекает окружность
радиуса г в точке N (rcos t, rsin /) (рис. 125).
Упражнения
415. Заполните таблицу:
/
sin t
\ cos t
0
! л
6 i
1
л
4
л
3
я
~2
1 1
2л
Зл
4
5л
6
л
в) sin (—300°) и cos (—300°);
416. Определите знаки:
а) sin 5 и cos 5;
б) 51п9|я и cos9J я; г) sin(-^) и cos(-^).
417. Возможно ли равенство:
a) slut = j;
B)sin/ = -^-5;
/ 4
Д)^у=0,83;
б) cos t = 1,2; г) sin3 /+cos3 / = 3; e) 3 sin t + 4 cos t=8?
418. Синус какого числа на отрезке [0, я] равен
а) 0; б) 1; в) 1; г) &
419. Косинус какого угла отрезка [0°, 180°] равен
а) 0; б) 1; в) -±; г) -?£?
141

420. Существует ли такое число, для которого синус и косинус
одновременно принимают: а) равные значения; б) значения,
равные нулю?
421. При каких значениях / £ [0, 2л]: a) sin / обращается в нуль,
в единицу; б) cos / обращается в нуль, в единицу?
422. Найдите значение следующего выражения:
а) sin/ + cos t\ б) sin/ — 2cos 2t\ в) sin21 -|- cos2/
при / = 0, —, —, —.
6 4 3
423. а) Найдите области определения и множества значений
функций sin / и cos /.
б) Какое наибольшее значение принимают функции sin /
и cos / на отрезке: 1) [0, 2я]; 2) 0, —1?
в) Какое наименьшее значение принимают функции sin /
и cos / на отрезке: 1) [0, 2я]; 2) Г—, —1?
L б з J
424. Найдите наибольшее и наименьшее значения каждой из
следующих функций:
а) 2 sin t\ г) 3 — 4 sin /; ж) 3 — sin2 /;
б) —3 cos /; д) 2 cos t — 3; з) 4 + 2 cos2 /;
в) 3 + 4 sin /; е) 3 cos / + 2; и) *
2 + sin /
425. Вычислите:
a) 2sin0 + 3cos ——4sin—;
2 2
б)
в)
3cos0
5 cos я
-3
— 3
r)K2-cos —
4
д)
е)
я
cos —
6
. Jt
sin— •
6
cos
sin
cos
sin
—.
я
4
4
я
T
Jt
T
sin2
i 9 Я
+ cos2—;
2
3л
я
. cos —
3
sin
л
Jt
.cosT;
. Л
sin —.
2
39. Некоторые свойства синуса и косинуса. 1) Поскольку числам
t и t + 2nk, k £ Z соответствует одна и та же точка координатной
окружности, то
sin (/ + 2я£) = sin /,
cos (/ + 2nk) = cos /.
142

В частности,
sin (/ — 2я) = sin / = sin (t + 2л),
cos (/ — 2я) = cos / = cos (/ + 2я).
2) Дуги AM и AN координатной
окружности, изображенные на рисунке 126,
имеют одинаковую длину /, но
противоположные направления. Эти дуги
симметричны относительно оси абсцисс. Их
концы М и N имеют одинаковые абсциссы, но
противоположные ординаты. Так как
абсциссы точек М и N равны
соответственно cos / и cos (—/), то получаем:
cos(— /) = cos/.
(о
Так как ординаты точек М и N равны соответственно sin / и sin (—/),
то получаем:
sin(—0 = —sin/.
(2)
В курсе геометрии 8-го класса аналогичные равенства были
получены для тригонометрических функций углов:
cos (—а°) = cos а°,
sin (—а°) = —sin а0.
3) Уравнение координатной окружности имеет вид х2 + у2 =
= 1. Но если М (х, у)—точка координатной скружности, то
х = cos /, у = sin t, где t — число, которому на окружности
соответствует точка М. Значит,
cos2 / + sin21 = 1.
В курсе геометрии 8-го класса было получено аналогичное
равенство для тригонометрических функций угла:
cos2 a0 + sin2 а° = 1.
4) Знак функции sin / в каждой четверти координатной
окружности совпадает со знаком ординаты в той же четверти
координатной плоскости.
Отсюда следует, что синус положителен в первой и второй
четвертях и отрицателен в третьей и четвертой четвертях.
Знак функции cos / в каждой четверти координатной окружности
совпадает со знаком абсциссы в той же четверти координатной
плоскости.
Отсюда следует, что косинус положителен в первой и четвертой
четвертях и отрицателен во второй и третьей четвертях.
143

Midi)
M,(i,)
MM.
W
/«У
t,<i2<t3
t,<tt<tj
X
<M3(t3)
'M2(tz)
5) Исследуем на монотонность
функции sin / и cos /. При движении точки M(t)
по координатной окружности в
положительном направлении от течки А (0) до
точки В(—) она все время поднимается
вверх и перемещается влево (рис. 127). Зто
значит, что ордината точки возрастает, а
абсцисса уменьшается. Но ордината
точки М (0 равна sin /, а ее абсцисса равна
cos L Таким образом, справедливо
следующее утверждение:
На отрезке
o.f
(т. е в первой
четверти) функция sin / возрастает от 0 до
1, a cos t убывает от 1 до 0.
Аналогично показывается, что на
отрезке —, я функция sin t убывает от 1 до 0,
L ** ■ J
a cos / убывает от 0 до —1 (рис. 128), на
Г ЗлТ
отрезке | я, — | функция sin / убывает от 0
я, —
2
до —1, a cos t возрастает от —1 до 0 (рис.
129), на отрезке
*?,2я
2
функция sin /
возрастает от —1 до 0, a cos t возрастает
от 0 до 1 (рис. 130).
Упражнения
426. Вычисли!е:
а) sin (— -£-) + cos (— -~j +
+ cos(~t);
б) sin^—yj —cos(~n) +
+si„(-i).
Упростите:
427. a)
428. a)
— sin2 t\
sin2 /
1 + cos t
6). 1 - cos2 /.
6) cos4 .
' 1 - sin t
Рис. 130
429. a) sin4 / + 2 sin2 / cos2 / + cos4 i\
6) sin3 / cos t + cos3 / sin t.
144

1 9 П
1 — cos2 -g-;
430. a) sin2 / — cos2 / + cos41\
6) cos21 - sin2 t + sin41.
(sin/ + cos 0» . g) l-2s8n/cos/
# j 1+2 sin/cos/' ' (cos/-sin/)4
432. a) cos4 t + cos2 / sin2 / — cos2 / + 1;
б) sin4 / + 1 + cos2 / sin2 / — sin2 t.
433. Вычислите:
•>(l —sin-§.)(l + ein-|-):
6)/
в) sin2 — + sin2 — + sin2 ^- + cos2 — + cos2 — + cos2 —.
7 6 ' 4 3 6 4 3
He выполняя вычислений, установите знак разности:
434. a) sin — — sin —; б) cos 3,13 — sin 3,13.
; 9 9
435. a) sin 1 .— sin 1,1; в) sin 131° — sin 130°;
6) sin 2 — sin 2,1; rj sin 200° — sin 201°.
436. a) cos 71° - cos 72°; в) cos 100° — cos 99°;
6) cos 1 — cos 0,9; r) cos 3,4 — cos 3,5.
437. Вычислите:
а) sin 120°; в) sin у; %) Cos(-j\
б) cos 120°; r) cos (— ^\ e) sin (- ~).
438. Положительно или отрицательно значение выражения:
а) sin—; г) sin cos
б) cos-у; д) sin I -cos 2;
в) sin (— — \ • cosf— —\ e) cos 10 • sin 16?
439. Докажите, что следующие равенства выполняются при любых
значениях к
а) 2 cos2 /—1 = 1—2 sin2 / - cos2 / — sin- /;
б) sin4 t — cos4 t — sin2 t + cos2 / = 0;
в) (sin / + cos tf + (sin / — cos tf = 2;
r) (sin t + cos tf — (sin / — cos tf = 4 sin t cos /.
145

40. Определение тангенса и котангенса.
Определение. Отношение синуса числа t к косинусу
этого числа называют тангенсом числа/ и обозначают tg t.
Отношение косинуса числа t к синусу этого числа называют к о-
тангенсом числа/ и обозначают ctg /.
Итак, по определению
, , sin/ , . cost
tg* = :, ctg/ = —.
cos / sin /
Выражение^- имеет смысл при всех значениях /, кроме тех,
cos t
при которых cos / = 0, т. е. кроме значений t = — + nk, k € Z.
Таким образом, функция tg t определена на множестве всех
действительных чисел, за исключением чисел вида \-nk, k€Z.
Выражение -^— имеет смысл при всех значениях /, кроме
sin t
тех, при которых sin t = 0, т. е. кроме значений / = nk, k £ Z.
Таким образом, функция ctg / определена на множестве всех
действительных чисел, за исключением чисел вида t = nk, k £ Z.
Пользуясь определением, легко найти значения tg / и ctg t>
если известны значения sin t и cos t Например, из того, что sin 0 =
= sin я = 0, следует, что tg 0 = tg n = 0. А из того, что ссз — ==
Зя ^ j я 1 Зя Л
= cos — = 0, следует, что ctg — = ctg — =0.
тл • П 1 Л /"3"
Известно, что sin — = -^, cos -у = ^-.
Поэтому
. я 1
tg
sin — — , -—
_я_ 6_ __J2_ _ __|_ __УЗ
б ~ я ~ уТ ~ У3 "" " 3 '
cos—- I—
б 2
cos
_я_ |^з
ctg — = = —- - уз.
б Я 1
sin-— —
б 2
Таким же образом устанавливаем, что
sin— L-z.
cos— i—l
4 2
.146

. я Уз
sin — i
, я 3 2
tg— = — = —7-
cos—- ■—-
Vs
АуО)
и т. д.
Функции sin /, cos /, tg t и ctg /
называются тригонометрическими.
Из определения тангенса и котангенса
следует, что эти функции положительны в
тех четвертях, где синус и косинус имеют рнс
одинаковые знаки, и отрицательны в тех
четвертях, где синус и косинус имеют
различные знаки. Значит, эти функции положительны в первой
и третьей четвертях и отрицательны во второй и четвертой
четвертях.
Пример 1. Определим знак числа tg 10.
Решение. Так как Зя:
9,42, Зя+ —«10,99, то число 10
лежит между числами Зя и Зя
Зя < 10 < Зя ~\ . Значит,
числу 10 соответствует точка М(10), лежащая в третьей
четверти координатной окружности (рис. 131). Так как в третьей
четверти тангенс положителен, то получаем, что tgl0>0.
Зная tg ty легко найти ctg t, а зная ctg /, легко найти tg /.
Действительно, если tg t Ф 0, то ctg t = —; если ctg t Ф 0, то tg t =
ctg/'
С помощью соотношений, связывающих функции sin t, cos t,
tg t, ctg ty можно доказывать разнообразные тригонометрические
тождества. При этом, как всегда, мы будем считать, что эти
тождества справедливы лишь для тех значений аргумента, при которых
определены обе их части.
Пример 2. Докажем тождество sin2 t (1 + ctg2 t) = 1.
Решение. Так как ctg t =
cos t
sin /'
то
sin4(l+ctg«0 = sin»/fl+^) =
V sin21 j
= s;n2/ + cos2/= 1.
Доказанное тождество справедливо лишь для значений t, при
которых определена его левая часть (поскольку правая часть
определена при любых 0» т- е- Для Ьфяк, k£Z.
147

Упражнения
440. Заполните таблицу:
/
sin 1
cos /
4t
ctg /
0
я
б
л
4
л
3
я
2
2л
3
Зл
4
5л
6
я
441. Вычислите значение следующего выражения при
в) tg2 / -
i Я Я Я
~" Т' Т' Т#
а) tg t + ctg /;
б) 2 tg t — sin / + 3 cos t — 4 ctg /;
442. Найдите все значения /, при которых:
a) tg * = 0; б) ctg / = 0.,
443. Вычислите значение следующего выражения:
1
cos2/
а)
Л Я
sin — — ccs я + tg —
я Зя
2 sin -т- — sin -
б 2
б) a sin я + Ь cos я + с tg я;
ч j Л • Я j Л
г) tg — sin — ctg—;
4 3 6
ч о • Я Л 1 , 9 Я
д) 2 sin — cos tg2 —
' 3 б 2 S 3
в) 2tg0 + 8cos
Зя
6 sin —;
2
в) fa 1 — cos 2.
444. Определите знак разности:
v 5л , 25л -ч . 7я х Зя
a) cos tg —; б) sin ctg —;
; 9 б 18 10 6 5
445. Положительно или отрицательно значение выражения:
ч * 6я ч . 15я / Зя\ . 2л
a) tg—; в) sin— -cos • ctg —;
б) Ctg
8я
г)* sin 1 • cos 2 • tg 3 • ctg 4?
148

443. Упростите выражение, считая t Ф nk и t Ф ^- + л/г, k €Z:
а) sin2 Ml + ctg2/);
б) cos2 tig- t + sin2 / ctg" /;
в) 1 — cos2 / + tg2 / cos2 *;
r) sin / cos / (tg / + ctg 0;
д) sin2 / + ctg2/ + cos2 t\
е) — — cos t.
sin / ctg I
447. Докажите тождество и укажите, для каких / оно справедливо:
a) sin / ctg / = cos /; б) tg2 t — sin2 / = tg2 t • sin2 /;
6)l+tg2/ = -J_; T)°*!^ = l+sinL
cos2 / ctg t
41. Соотношения между тригонометрическими функциями
одного и гого же аргумента. Мы уже отмечали, что справедливо
тождество
cos2/ + sin2/= 1. (3)
Разделим обе его части почленно на cos2 / (при условии, что
cos t ф 0), получим:
1
cos2 / sin21
т. е.
COS2/
1 + tg2 t =
cos2 / cos21
1
Это тождество справедливо при /
ccs2^
(4)
+ nk, k € Z. Пользуясь
им, можно вычислить tg /, если известны значение cos / и знак tg tt
и вычислить cos t, если известны значение tg / и знак cos t.
о
Пример 1. Вычислим cos t, если известно, что tg / = —
4
ЗяГ
и / €
я,
Решение. Из формулы (4) находим:
о, 1
cos- / = .
i -f tg2 t
Подставив вместо tg / его значение, получим:
J 16
~25*
cos-t =
14-
9_
16
4
Значит, | cos t\ = — и потому либо cos / = —, либо cos t = .
5 5 5
Зл Г
я, ~ I, т. е. аргумент t принадлежит третьей
По условию / S
149

четверти координатной окружности. В третьей четверти cos/ отри-
4
цателен; значит, cos / = .
5
Снова обратимся к равенству (3) и разделим обе его части
почленно на sin2 t (при условии, что sin \ф 0). Получим:
cos21 sin2 / I
sin2 / sin2 / sin2t
т. e.
l+ctg2/=-4-. (5)
sin21
Это тождество справедливо при / Ф я/г, k € Z. Пользуясь им,
можно вычислить ctg /, если известно значение sin t и знак ctg /, и
вычислить sin /, если известно значение ctg / и знак sin /.
Равенства (3), (4), (5) связывают между собой различные
тригонометрические функции от одного и того же аргумента. Мы
знаем еще два равенства, связывающие между собой различные
тригонометрические функции от одного и того же аргумента:
tg/ — 9 ctg/ = —. Перемножая эти равенства, получаем:
cos t sin /
tg/. ctg/ = 1. (6)
Это равенство является тождеством на множестве всех
действительных чисел, кроме чисел вида — + nk (для них не определен tg /)
и чисел вида я&, k € Z (для них не определен ctg /), т. е. кроме
чисел вида —, k €Z.
Пример 2. Известно, что ctg / = , причем / € —, 5л .
Найдем sin /, cos /, tg /.
Решение. По формуле (5) находим: sin2 / —
1 -j- ctg2 ^
Подставив вместо ctg / его значение, получим:
1 1 144
sin2 /
HJ
i.i 5\2 1 25 169
1 + —— 1 -|- —
"Л 1ft/ -г U4
и . о , 144 . ... 12 g, . . 12
Итак, sin2 / = —, откуда sin / == —, и потому либо sin / = —,
169 13 J 13
12
либо sin / = . По условию / 6
13
f, 5л]. Но 9f = -f- + 4я,
5л = я + 4л. Числу Ь4я соответствует точка В координатной
окружности, а числу я + 4я — точка С (рис. 117). Значит, числу
/ соответствует точка второй четверти, а во второй четверти синус
положителен. Поэтому sin / = —.
150

Для нахождения значения cos t воспользуемся определением
котангенса: ctg t = ^J. Из этого равенства находим:
sin t
сое * =-ctg / • sin * -^.-Ц ^.
Осталось вычислить значение tg t. Из равенства (6) находим:
. \_ 12
g "~ ctg / _ 5*
Итак sint = —, cost = , tgt = — 7-.
13 13 о
Упражнения
448. Упростите выражение:
а) sin2 2/ (1 + ctg2 20; в) (sin2 t + tg2 / + cos2 t) . cos2 /;
*.\ 1 1 i \ 1 —sin2 * , . , , 4
6) H ; r) Mg/ctg/.
; i + tg2/ l+ctg2/ y 1-cos2* ь ь
По данному значению функции найдите значения остальных
тригонометрических функций:
449. a) sin/ =-i — < / < я;
о 2
б) Sin* = —-, я</<-;
; 13 2
в) sin^ = —0,6, — — </<0.
450. a) cos t = -, 0 < t < —;
25 z
б) cos/ = , я</< —;
' 25 2
v . 15 Зя . . . Л
в) cos/ = —, — < / < 2я.
7 17 2
451. a) tg/-4' °<*<Ь б) tg^-T» V<'<n-
4 2 4 2
452. a) ctg< = £ я< f <^; б) ctg/ = -A, ^ < t < 2я.
о 2 12 2
42. Таблицы значений тригонометрических функций. Мы знаем
значения тригонометрических функций для значений аргумента
—t —» —, —, но не знаем, например, чему равен sin 1 или cos 0,2.
Для таких значений аргумента тригонометрические функции
вычисляются методами высшей математики. Результаты этих
вычислений сведены в таблицы тригонометрических функций.
151

В «Четырехзначных математических таблицах» В. М. Браднса
даны таблицы VIII—X для вычисления значений
тригонометрических функций углового аргумента для углов а0, таких, что
О^а^ 90, и таблица XII для вычисления значений
тригонометрических функций от числового аргумента (аргумента в радианах)
для чисел /, таких, что 0 ^ / ^ л. Если использовать равенства,
приведенные в пункте 39, то с помощью указанных таблиц можно
найти значения тригонометрических функций от любого числового
или углового аргумента.
Пример 1. Найдем приближенное значение sin 6.
Решение. Таблица XII, как мы уже отметили, дает
возможность найти sin /, если 0 ^ / ^ я. Значит, нам нужно свести
вычисление sin 6 к синусу (или косинусу) числа, заключенного в
указанных пределах.
Имеем:1 sin 6 = sin (6 — 2л) ^ sin (6 — 6,2832) =
- sin (—0,2332) = —sin 0,2832.
По таблице XI находим, что 0,2832 рад ^ 16°14', а по таблице
VIII — что sin 16°14' = 0,2796. Значит, sin 0,2832 ж 0,2796.
Итак, sin 6 ^ —0,2796.
Пример 2. Найдем приближенное значение cos 1316е,
Решение, cos 1316° - cos (1440° — 124°) = cos (—124° +
+ 360° • 4) = cos (—124°) = cos 124°. Воспользуемся известными
из курса геометрии 8-го класса формулами: cos (180° — а°) =
= —cos а° и cos (90° — а°) = sin а0. Полечим:
cos 124° = cos (180° — 55°) = —cos 56е = —cos (90° — 34°) =
= —sin 34°.
По таблице VIII находим: sin 34° zz 0,5592. Значит, cos 1316° ж
х —0,5592.
Упражнения
453. С помощью таблиц тригонометрических функций найдите
значение sin a, cos а, tg а, ctg а, если:
а) а = 13°15'; в) а - 50°32'; д) а = 384°;
б) а = 40°54'; г) а = 71°9'; е) а = 1000°.
454. С помощью таблицы XII найдите значение синуса, косинуса,
тангенса и котангенса числа:
а) 0,37; в) 0,5437; д) 1,64; ж) 3,54;
б) 0,543; г) 1,05; е) 2,84; з) 7.
455. С помощью таблиц найдите значение / 6
0, JL
2

удовлетворяющее равенству:
а) sin / = 0,8417; в) tg / = 1,375;
б) cos / - 0,6103; г) ctg / = 2,345.
1
Поскольку мы пользуемся четырехзначными таблицами, значение я берем
с четырьмя знаками после запятой: п zz 3,1416.
152

456. Высота холма, имеющего
форму конуса, равна 20 м, а
длина его склона равна 100 м.
Какой угол образует склон с
горизонтальным
направлением? Чему равно заложение
холма (длина проекции линии
склона на горизонтальную
плоскость)?
457. Если прямоугольный треугольник ABC, вырезанный из
бумаги, навернуть на цилиндр, длина окружности основания
которого равна длине катета АВ (рис. 132), то гипотенуза
треугольника образует на цилиндре винтовую линию.
Величина угла CAB называется углом подъема винта, длина
катета ВС — шагом винта. Повторяя этот процесс, получаем
на цилиндре винтовую линию, делающую несколько оборотов
(в токарном деле число полных оборотов винтовой линии
называют «числом ниток»).
а) Найдите шаг винта, если его угол подъема равен 2°15\
а диаметр равен 44 мм. Какова длина этого винта, если в нем
80 ниток?
б) Шаг винта равен 4,5 мм, а его диаметр равен 45 мм.
Найдите угол подъема винта.
в) На цилиндре длиной 15 см сделано 200 ниток резьбы.
Найдите угол подъема винта, если диаметр цилиндра равен 3 см.
458. При нарезке винтовой резьбы резец поворачивают на угол,
раБный углу подъема винта.
а) Какой шаг винта получится, если повернуть резец на 10°
при диаметре винта 2,5 см?
б) На какой угол надо повернуть резец, чтобы получилась
винтовая нарезка в 8 ниток на дюйм (2,54 см) при диаметре
винта 3 см?
459. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
a) sin2 / — 5; б) cos2 / — 3 sin2 t.
43. Решение уравнений вида sin t = т. Арксинус. При решении
уравнения sin / = т сначала на координатной окружности
находят точки, ординаты которых равны т, т. е. точки пересечения этой
окружности с прямой у = т. Если \т\ < 1, то таких точек две,
если \т\ = 1, то одна, если \т\ > 1, то таких точек не существует
(рис. 133). После этого находят множества чисел, которым
соответствуют полученные точки, и объединяют эти множества.
Полученное объединение и будет решением уравнения sin / = m.
Пример 1. Решим уравнение sin t = —.
Решение. Прямая у = — пересекает координатную окруж-
133

Рнс. 134
t
' У=гп,ЬЦ>1
в)
ность в двух точках: М (—) и N | —)
(рис. 134). Точка М соответствует всем
числам вида —+ 2я&, k£Z, а точка N—
б
всем числам вида [- 2nk, k£Z. Сбье-
6
диняя множества чисел указанных двух
видов, получим решение уравнения:
i± + 2nk\kez\u{j + 2nk\kezl
Ответ можно записать также в виде
5л
— + 2я&, t
б
+ 2я/г, k£Z.
Пример 2. Решим уравнение sin / = 1.
Решение. Ординату, равную 1, имеет только одна точка
координатной окружности — точка 5, верхний конец
вертикального диаметра (рис. 133, б). Она соответствует всем числам вида
—(- 2я/г, k £ Z. Значит, множество корней уравнений таково:
iJL + 2nk\kezl
Аналогично получается решение уравнения sin ^ = —1:
t = —~ + 2я&, kdZ, или I — — -\-2nk\k£Z\.
Пример 3. Решим уравнение sin / = 0.
Решение. Ординату, равную нулю, имеют две точки
координатной окружности — концы горизонтального диаметра А и С
(рис. 113). Точка А соответствует числам вида 2я£, точка С —
числам вида я + 2я& = я (2k + 1).
154

Итак,
f = я • 2£, k£Z9
(7)
или
н(*М
N(arcsin(-m})
Рис. 136
t = n(2k + 1), keZ. (8)
Заметим, что вместо формул (7) и (8)
можно написать одну формулу: / = я/г. В
самом деле, если п — четное число, т. е.
п = 2k, то получим формулу (7); если же
п — нечетное число, т. е. п = 2k + 1, то
получим формулу (8).
Итак, множество корней уравнения
sin / = 0 имеет вид
{пп\п 6 Z}.
Если \т\ ^ 1, то одна из точек
пересечения координатной окружности с
прямой у = т принадлежит полуокружности
DAB (рис. 135). Поэтому существует
такое число /0, что sin t0 = /ft, причем
— — <^о^~- Это число называют арксину-
сом числа /ft.
Определение. Если | т |<]1, то арксинусом
числа т называют такое число t0, что sin t0= tn и — — ^t0 ^ —.
Это число обозначают arcsin /ft.
Из этого определения следует, что для любого т £[—1, 1]
sin (arcsin m) = /г?,
< arcsin т < —.
2 ^ ^2
Пример 4. Вычислим: a) arcsin—; б) arcsin (—Кг
то
то
arcsin(-^-) = -~£.
На рисунке 136 показано, как, зная значение /я, можно найти
arcsin m. Видим, что
Решение.
1 я
arcsin— = —.
2 б
б) Так как
а) Так как
-И)-
• л I л . л . л
sin— = — и < —< —
6 2 2 ^ G ^ 2
У 2 п ^ л ^ л
2~ и — Т^~~Т^Т
arcsin (—/ft) = — arcsin m.
155

Зная arcsin m, можно записать решение уравнения sin t = т.
Одним из корней этого уравнения является число t0 = arcsin m,
а значит, и все числа вида t0 + 2я£, А 6 Z будут корнями этого
уравнения. Из рисунка 135 видно, что число я — t0 тоже является
корнем уравнения. Значит, и все числа вида я — t0 + 2я&, & 6 Z
удовлетворяют уравнению sin / = m.
Итак, мы доказали, что решение уравнения sin / = т является
объединением множеств {arcsin т + 2nk\k 6 Z} и (я — arcsin m +
+ 2яЛ|* ^Z}.
Пишут также следующим образом:
/ = arcsin т + 2я&, k 6 Z;
/ = я — arcsin m + 2л&, А 6 Z.
(9)
(10)
Заметим, что эти формулы можно объединить в одну:
t = (—-1)я arcsin т + лп, п £ Z. (И)
Действительно, при четном п (п = 2/е) из формулы (11) получается формула (9),
а при нечетном п (п — 2/г + 1) — формула (10).
Пример 5. Решим уравнение: a) sin t = —; б) sin * = —LJL.
о ^
Решение, а) Согласно сказанному выше, решение уравне-
ния sin / = — имеет вид
5
arcsin—Ь 2я& \k£Z\ [} |я —arcsin —\- 2nk\k£Z\.
б) В примере 4 было показано, что arcsin (—¥JL) =——.
Значит, решение уравнения можно записать так:
t — —— + 2я&, &6Z или / == я — (—~ ) + 2nk, k£Z, т. е.
4 \ 4 /
* = ~ + 2я£, kez.
4
Итак, множество решений уравнения имеет вид
- — + 2nk \k 6 Z] U f- + 2я£ | k 6 Z].
Пример 6. Решим уравнение 2 sin2 ^ + 5 sin / -\- 2 = 0.
Решение. Положив sin t = у, придем к квадратному
уравнению 2у2 + 5у + 2 = 0. Это уравнение имеет два корня: —2 и
. Теперь задача свелась к решению двух уравнений: sin / =
= —2 и sin t = . Первое из них не имеет решений (синус не
156

может быть меньше —1). Из уравнения sin / = — — находим:
/ == arcsin ( ] + 2nk\ / = я — arcsin (— —) + 2яй, k 6 Z.
Но arcsin [ )=—arcsin—- =——. Значит, решение
заданного уравнения можно записать следующим образом:
[—— + 2nk\k£Z\ U l- + 2nk\kezl
Упражнения
удовлетворяющие уравне-
я я
460. Найдите значения t£
нию:
a)sin/ = 4p; б) sin/ = -L^-; в) smt=— у.
461. Найдите наименьшее по модулю значение /, удовлетворяющее
уравнению:
a) sin/ = — J~s б) sin* = —*у^.
462. Вычислите:
а) arcsin 1; в) arcsin 0; д) arcsin f — ^-j;
б) arcsin(—1); г) arcsin—; e) arcsin(—"^j
463. С помощью таблиц тригонометрических функций вычислите:
а) arcsin 0,8354; б) arcsin (—0,4754).
Решите уравнение:
464. a) sin/ = ££■; в) l/"2sin* = -l;
б) 2sin* + 1 =0; г) 3sin/ = 2.
465. a) sin4/= 1; в) 2sin3/ —Кз = 0;
б) sin — = 0; г) 4 sin Ы + 3 = 0.
о
466. а) 3 — 4 sin2 / = 0; б) 4 sin2 2/ — 1=0.
467. a) sin2 / — sin / = 0; б) 2 sin2 t + sin / = 0.
468. a) 2sin2 / + 3sin t — 2 = 0; 6) 3 sin2 /+ 10 sin / + 3 = 0.
469. Найдите корни уравнения sin / = —, принадлежащие
отрезку [0, 4я].
157

t=mt\m\>1
y^ 44. Решение уравнений вида cos i = т.
\в\х=т.Щ<1 Арккосинус. При решении уравнения
cos t = т сначала на координатной
окружности находят точки, абсциссы
которых равны т, т. е. точки пересечения этой
"У окружности с прямой х = т. Таких точек
две, если \т\ <1, одна, если \т\ = 1, и
не существует, если \т\ > 1 (рис. 137).
После этого находят множества чисел,
которым соответствуют полученные точки,
и объединяют эти множества. Полученное
объединение и будет решением уравнения
cos t = т.
Пример 1. Решим уравнение cos t=
= L
2*
Решение. Прямая х = —
пересекает координатную окружность в двух
точках: М и N (рис. 138). Так как cos — =
о
= — , то М = М (— ], а потому N =
= ЛП — —). Точка М соответствует
числам вида— + 2я&, k 6 Z, а точка iV—чис-
лам вида \-2nk, k £ Z. Объединяя
., о
множества чисел указанного вида,
получим решение уравнения:
{-| + 2n*|*€Z}u{-|+2jift|ft6Z}.
Это решение можно также записать в
виде
$1
\ °
1
V э
V
/
4-2nfc, fc£Z.
Рис. 138
Пример 2. Решим уравнение
cos t = 1.
Решение. Абсциссу, равную 1,
имеет только одна точка координатной
окружности— точка А (рис. 137). Она
соответствует числам вида 2л&, k 6 Z.
Значит, множество решений уравнения
cos t = 1 таково:
(2л&|£ 6Z}.
158

Аналогично получается решение
уравнения cos / = —1.
/ = я + 2яА, k 6 Zy или
{n + 2nk\k£Z}.
Пример 3. Решим уравнение cos f=0.
Решение. Абсциссу, равную
нулю, имеют две точки координатной
окружности: В и D — концы вертикального
диаметра (рис. 137). Точка В соответст-
вида / = — + 2л/?, k 6 Z, а
,??+2л£, ££Z.
вует числам
точка D — числам вида U
Вместо полученных двух формул можно
записать одну: / = —+яя, п £ Z.
Если | т |< 1, то одна из точек
пересечения координатной окружности с
прямой х = т принадлежит полуокружности
ABC (рис. 139). Поэтому существует
такое число to, что cos t0 = m, причем
О ^ t0 < я. Это число называют
арккосинусом числа т.
Определение. Если |/я|<1, то арккосинусом
числа т называют такое число t, что cos t=m и 0 ^ i ^ л.
Это число обозначают arccos т.
Из этого определения следует, что для любого т 6[—1, 1]
cos (arccos m) = m,
О < arccos m < я.
^(arccos(-mjfiM(crccosm)
cl
\ -т 0
'%,
Ш
т I 'х
\ "
I-Z7--
Рис. 140
Пример 4
Решение
Вычислим arccos
Так как cos -г- =
У±
2 ' _
и 0 ^ -j- ^ я, то arccos ■——
На рисунке 140 показано, как, зная значение т, можно найти
arccos m. Видим, что
arccos (—m) = я — arccos m.
(12)
Зная arccos m, можно записать решение уравнения cos / = m.
Одним из корней этого уравнения является число tQ = arccos m,
а значит, и все числа вида t0 + 2я&, k £ Z будут корнями этого
уравнения. Из рисунка 139 видно, что число —10 тоже является
корнем уравнения. Значит, и все числа вида —/0 + 2л/е, k£Z
удовлетворяют уравнению cos t = m.
159

Итак, мы доказали, что решение уравнения cos / = т является
объединением множеств {arccos т + 2nk\k 6 Z} и {—arccos m +
+ 2nk\k 6 Z). Коротко это записывают так:
/ = ± irccosm + 2nky k£Z.\ (13)
Пример 5. Решим уравнение cos 3/ = ——^-.
Решение. Воспользовавшись формулой (13), получим:
3/ = ± arccos(— ^-J + 2nk, k£Z.
( Y~2\ VT
По формуле (12) имеем: arccos I — ^—-J = я — arccos -у-. Но
V~2 л , ,ч о / >T\ Зл
arccos ^~y~ = -г- (см. пример 4). Значит, arccos I ^-I =
—^потому
откуда получаем:
3/. = ± - + 2я/е,
4
4 3
Пример 6. Решим уравнение 3 cos2 / — cos / = 0.
Решение. Имеем: 3 cos / (cos t ) = 0. Значит, либо
cos t = 0, либо cos / = —. Из уравнения cos t = 0 находим, что
о
я 1
/ = h nkt k 6 Z. Из уравнения cos / = — находим, что t =
2 3
= ± arccos—h 2л&, ft £ Z.
Итак, множество решений уравнения имеет вид
£L + jx&|/eez] U (± arccos- + 2nk\k£Z^.
Упражнения
470. Вычислите:
a) arccos 0; в) arccos (—1); д) arccos LjL;
б) arccos 1; г) arccos—; e) arccos(——
160

471. С помощью таблиц тригонометрических функций вычислите:
a) arccos 0,5734; б) arccos (—0,4754).
472. Могут ли значения arcsin m и arccos m равняться:
а) У2; б) V3;
Решите уравнения:
473. a) cos/ = — -;
474. a) cos3/ = 1;
B)f; г)-1,1?
б) 2cos^-l/"3 = 0;
в) V2cost = 2.
в) cos■
0;
б) cos 5/ + 1 = 0; г) 2 cos 2t — V2 = 0.
475. а) 3 — 4 cos2 t = 0; б) 4 cos2 3* — 1 = 0.
476. a) cos2 / + cos / = 0; в) 5 cos2 / = 2 cos /;
6) 2 cos2 t — cos / = 0; r) 3 cos2 t = 5 cos /.
477. a) 2 cos2 t — 5 cos t + 2 = 0; 6) 6 cos2 / + cos / — 1 =0.
478. Найдите корни уравнения cos t= , принадлежащие
отрезку: a) [0; 4л]; б) [—2л; 6л].
479. Найдите область определения функции /, если:
а)/(*) =
б)/(А-) =
sin*
cos х
2
+ 1.
-1'
COS X
B)/W =
sin x -f cos x
sin 3,v cos 2x
2 sin x — 1
45. Решение уравнений вида tg t = т. Арктангенс. Рассмотрим
уравнение tgt = m. Мы знаем, что если числу, /соответствует
точка М координатной окружности и (.г; у) — координаты точки М,
то
tgf =
sin t
COS t X
Значит, уравнение tg t = m можно
переписать в виде — = m, или у = /их. Полу-
X
чаем, что если / — решение уравнения
tg t = /w, то точка М = /W (/) лежит и на
окружности, и на прямой у=тх. Но
прямая у = А72л: пересекает координатную
окружность в двух точках: М и N (рис. 141).
Точка /И лежит на полуокружности DAB.
Поэтому она соответствует числу /0, тако-
у1
cl
V
XV
ПМо+Я)^
1
3
а
I?
у=тх
W
/ X
Рнс. 141
б Заказ 37
161

му, что — — <70 < —, 2 значит, и всем числам вида /0 + 2я&,
к 6 Z. Точка N лежит на полуокружности BCD, она
соответствует числу t0 + л (рис. 141), а значит, и всем числам вида t0 +
+ я + 2nk, k ez.
Итак, все корни уравнения tg / = т имеют вид t0 + 2nk или
вид t0 + я + 2л&, где & 6 <£, а /0-— корень этого уравнения,
лежащий на интервале
■—; — I. Короче все корни уравнения
tg / = т можно записать в виде t = t0 + nk, k £ Z.
Определение. Арктангенсом числа т называют
число t> лежащее в интервале ; — , и такое, что tg t = т.
Это число обозначают arctg m.
Решение уравнения tg / = т можно записать следующим
образом:
t = arctgm + я/г, k£Z.
Из определения arctg m следует, что для любого т
tg (arctg m) = m,
< arctg т < —.
2 2
(14)
Отметим, что справедлива формула
arctg (—m) = — arctg m.
(15)
Пример 1. Решим уравнение tg / = j/"3.
Решение. Воспользовавшись формулой (14), получим:
/ = arctg УЗ + nk, k £Z.
Вычислим arctg Уз. Это такое число /0, что tg/0=y"3 и
'°€]—Т; !"[' Значит> '<>=■
Так как arctg ]/^3 = —, то получаем:
/ = Н nk, k£Z.
3
Пример 2. Решим уравнение ctg / = —1.
Решение. Так как ctg t = —, то получаем:
tg t tg t
откуда tg / = — 1.
1
162

Воспользовавшись формулой (14), получим:
t = arctg (—1) + nk.
Но arctg (—1) = —arctg 1 = — -j- Значит, / = —j + nkyk £Z.
Упражнения
480. Решите уравнение:
а) tg* = 0; в) tg2/=/3; д) tg(^— -=-) —1 = 0;
б) igt = 1; r) tg2^ = -КЗ; e) V3 tg(/ + ±) = 1.
Вычислите:
481. a) arctg^; в) arctg(—yl);
6
3
6) arctg 0; r) arctg ( — ^
482. a) arcsin 0 + arccos 0 + arctg 0;
б) arcsin у -f arccos ^—Ь arctg -—-;
в) arcsin-1^- + arccos I —i-g-l — arctg! —^-y)•
483. На координатной окружности и координатной прямой
отметьте множества точек, на которых выполняются
неравенства:
a) 0<sin*<-; б) -<cos/< 1; в) 0<tg/<l.
46. Основные результаты.
1. Основные соотношения между градусной и радианной
мерами:
180° = л рад,
1 О ГС
1 = — рад,
180 * '
1 рад = Ш°« 57,3°.
2. Длина дуги MN окружности радиуса R, на которую
опирается центральный угол а°, вычисляется по формуле
180
Если t — радианная мера дуги, то MN = Rt, а площадь сектора
MON равна ^.
3. Координатная окружность — это единичная окружность, на
6* 163

которой выбраны начало отсчета — точка А (обычно — правый
коней горизонтального диаметра) и положительное направление
(обычно — направление обхода окружности против часовой
стрелки). Длина координатной окружности равна 2л, длина каждой ее
четверти равна —, длина дуги, стягивающей центральный угол а°у
равна —. Длина дуги в а° окружности равна радианной мере дуги
180
или соответствующего центрального угла.
4. Каждому действительному числу по следующему правилу
соответствует единственная точка координатной окружности:
числу t = 0 ставится в соответствие точка А — правый конец
горизонтального диаметра, числу / > 0 соответствует точка М = М (/),
в которой кончается путь длины t с началом в точке Л, проходимый
по окружности в положительном направлении; числу / < 0
соответствует точка М (/), в которой кончается путь длины |/|с
началом в точке Л, проходимый по окружности в отрицательном
направлении.
5. Каждая точка координатной окружности соответствует
бесконечному множеству чисел: если точка М окружности
соответствует числу /, то она соответствует и всем числам вида t + 2nky k 6 Z.
6. Синусом числа t называется ордината точки М (t)9 а
косинусом числа t — абсцисса этой точки. Тангенс числа t и
котангенс / определяются формулами
cos / 2
ctg/ = —, t=£nk, kez.
sin I
Функции sin t, cos /, tg /, ctg t называются
тригонометрическими.
7. Таблица основных значений тригонометрических функций:
Функция
sin /
cos /
tg/
ctg /
Аргумент
0
я I
т
0° | 30°
0
1
0
не опр.
1
2
2
3
уз
я
т
45°
У*
2
2
1
1
я
т
| 60°
уз
2
1
2
У*
J/3"
3
я
Т
90°
1
0
не опр.
0
я
180J
0
— 1
0
не опр.
Зл :
~2~
270°
~1
0
не опр.
0
104

8. Знаки тригонометрических функций
в различных четвертях координатной
окружности указаны на рисунках 142—-144.
9. Некоторые тождества для
тригонометрических функций числового
аргумента:
sin (/ + 2nk) = sin /, k 6 Z,
sin (—i) = —sin /,
cos (* + 2nk) = cos U k 6 Z,
cos (—/) = cos t.
10. Соотношения между
тригонометрическими функциями одного и того же
аргумента:
sin2 / + cos2 / = 1;
• 4- tg2/ = —Vt. t¥=2- + nk, keZ;
cos21
1 f ctg2/
1
sin21
, t Ф nk, k£Z\
Рис. 143
tgtctgt
tg/. ctg/= i, *#y*. kez.
11. Если |m|^l, то arcsin m — это
число, лежащее на отрезке ; —, и
такое, что его синус равен т. Для любого
m 6 [—1; 1] имеем:
sin (arcsin m) = m,
<arcsmm< —.
2 ^ ^2
12. Если |m|<;i, то arccos m — это Рис.144
число, лежащее на отрезке [0; я], и такое,
что его косинус равен т. Для любого т 6 [—1; 1] имеем:
cos (arccos-т) = т,
0 ^arccos m ^ я.
13. arctg т — это число, лежащее в интервале
такое, что его тангенс равен га. Для любого т имеем:"
tg (arctg tri) = m,
—-^- < arctg m <—.
^ 2
14. Справедливы равенства:
arcsin (—m) = —arcsin m, m £ [—1, 1];
arccos (—ш) = я — arccos m, /w £ [—1, 1];
arctg (—m) = —arctg m.
я
2
Я !
~2~
165

15. Формулы для решений простейших тригонометрических
уравнений:
1) решение уравнения sin / = m, где т £[—1, 1], имеет вид
/ = arcsin т + 2я&, или t = я — arcsin т + 2я&, £ £ Z;
2) решение уравнения cos / = m, где m 6 [— 1, 1], имеет вид
/ = dzarccos т + 2яА, k £ Z;
3) решение уравнения tg £ = m имеет вид / = arctg т + я&,
A 6Z.
16. Частные случаи решения простейших тригонометрических
уравнений:
sin t = 0 фф t = я&, А £ Z,
sin / = 1 фф / = — + 2я/г, k £ Z>
sin t = —I <=$ t = —— + 2nk, k 6 Z,
cos * - 0 «=> * = — + я/г, k б Z,
cos / = 1 фф t = 2nk, k 6 Z,
cos / = —1 <=* / = я + 2яй, k £ Z.
Дополнительные упражнения
К пункту 35
484. Вычислите величины углов (в градусах и радианах) в
«египетском» прямоугольном треугольнике, длины сторон
которого 3, 4 и 5.
485. Радиус окружности равен 10 см.
а) Найдите площадь сектора, центральный угол которого
содержит 5°; 120°.
б) Вычислите площадь сектора, если его дуга содержит 2;
5л
— радиан.
486*. Вычислите площадь сегмента ABC, если:
а) длина хорды АВ равна 4 ]/~2 см, а дуга АВ содержит 90°;
б) длина радиуса равна R, а дуга содержит — радиан.
487. Определите линейную скорость точки на окружности
шлифовального камня, диаметр которого равен 10 см, а угловая
скорость составляет 100 рад/с. Определите число оборотов в
минуту.
488. При повороте рукоятки ворота на 5 полных оборотов по
часовой стрелке ведро опускается в колодец на 2 м. На какой угол
надо повернуть рукоятку ворота, чтобы ведро: а) поднялось
на 1,6 м; 4,8 м; б) опустилось на 1— м; 5,6 м?
4
166

К пункту 36
489. а) Сколько точек на координатной окружности
соответствует одной точке координатной прямой?
б) Скольким точкам координатной прямой соответствует одна
точка координатной окружности?
490. На координатной окружности постройте точки,
соответствующие числам: 0, 1, 2, 3, ..., п. Могут ли какие-либо из этих
точек совпасть?
491. На окружности взяты точки М = м(—\ и N = N(—^Л
Найдите все числа, которым соответствуют данные точки.
492. На координатной окружности найдите точки,
соответствующие числам вида:
а) /=— + 2л6, keZ\ в) t = ±— + 2nky k£Z\
4 3
б) t = — — + 2nk, k£Z; r) t = (_l)»i + nn, n£Z.
6 3
493. Запишите множество чисел, которым соответствуют точки:
а) 1-й четверти координатной окружности; б) 2-й четверти;
в) 3-й четверти; г) 4-й четверти.
К пункту 37
494. На координатной окружности постройте точку М, ордината
которой равна 0,8, а абсцисса отрицательна. Измерьте
транспортиром (с точностью до Г) угол АОМ. Запишите множество
всех чисел, которым соответствует точка М.
495. Определите координаты точек координатной окружности,
соответствующих числам:
a)-,ft€Z; б) ±- + 2я&, Ь&\ в) (—1)я — + ту n£Z.
3 6 4
496. Прямая у = пересекает координатную окружность в
двух точках М и N.
а) Найдите координаты этих точек.
б) Вычислите длину дуги MN.
в) Задайте неравенствами множество чисел, которым
соответствуют точки этой дуги.
•■Аз"
497. Прямая х=-— пересекает координатную окружность в
двух точках М и N. Задайте неравенствами множество чисел,
которым соответствуют точки дуги MN.
498. Найдите на координатной окружности множество точек
М (0 = М (х, у), для которых — <; х <; 1.
499. Найдите на координатной окружности множество точек
М (t) = М (х, у), для которых 0 < у <IjL.
1G7

К пунктам 38—39
500. а) На координатной окружности взято такое чиело
501.
502.
503.
504=
te
л л
, что cos / = LJL. Чему равно /?
б) На координатной окружности взято такое число / £ [0, я],
что sin / =—. Чему равно О
Дано: sin / + cos / = а. Найдите:
a) sin t cos /; б) sin / — cos /.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
a) sin2 / -f 2 cos2 /; б) 3 cos2 / — 2 sin2 /.
Докажите тождество:
v sin/ 1 -f cos / v . fi . . fi . .
a) -——л = ;г_ j ; в) sin6 / + cos6 / = 1
6)
cos t
2 sin2 / — 1
1 __ 2 cos2 /
sin /
cos2/ -
3 sin2 / cos2 /.
1
1
1 — sin2/
cos2/
. а) Центр окружности находится в точке М (я, &), а ее
радиус равен R. Радиус MN окружности образует с
положительным направлением оси абсцисс угол / (отсчитываемый
против часовой стрелки). Найдите координаты точки N
(рис. 145, а).
б) Центр окружности находится в начале координат О, а
ее радиус равен R. На окружности взята точка М, такая,
что радиус ОМ образует с положительным направлением
оси абсцисс угол t, и построена новая окружность с центром
М и радиусом г. Найдите координаты точки N второй
окружности, если известно, что радиус MN образует угол q
с положительным направлением оси абсцисс1 (рис. 145, б).
У\
^<л
0
/ jfby
\^М(а,Ь) J
X
о)
Рис. 145
1 Задачи такого рода встречаются при изучении движения зубчатых колес и
других деталей машин.
168

К пункту 40
505. Вычислите:
a) 3tg-=--2sini + 2cos^-;
- б) 2ctgy-4cos2—+ 3tg2y;
я
B)sin»i + tW-i
4\ 4 / \ 3
506. Упростите выражение:
sin/ , sin/ -v cos/ cos/
a\ _f- - ; 0) .
1 + cos / 1 — cos / 1 -f- sin / 1 — sin /
507. Выразите cts* через tg/.
1 — cttj2 /
508. Выразите : через: a) tg/; 6) ctg/.
cos / sin/
509. Определите знак произведения:
а) sin 100° sin 160°; в) cos 123° . tg 320° . sin 312°;
б) cos 5° • cos 5; r) sin 3 cos 4 tg 5 ctg 6.
510. Найдите область определения функции:
a) 5tg/ + 2ctg/; б) 3cos/ + tg/ + —.
К пункту 41
511. По данному значению тригонометрической функции найдите
значения остальных трех тригонометрических функций при
том же значении аргумента:
а) sirU = T? у</< я;
б) cos/ = —0,6, д</<-;
в) tg/ = — —, — + 2nk<t<n + 2nk< k£Z\
4 2
r)ctg/ = -^, ~^ + 2д/г</<2лй, k£Z.
о 2
512. Докажите тождество:
а) (~- + gy) : (tg/ + ctg/- 1) = sin/ + cos/;
gx 1 + 2cos/sin/ _ tgi + 1 .
sin2/ —cos2/ tg/— 1
109

в) JsinH1cos^-J_ = 2ctg2/;
tg / — sin / cos /
l+tg/ + tg»f = t ,
; 1 + ctg/+ctg*/ & '
v cos2 / — sin2 / + sin4 / ^ . 41 = j
sin2 / — cos2 / + cos4 t
513. Докажите тождество и укажите множество тех значений /,
при которых оно справедливо:
а) tg / # cos t = sin /; в) ^— = sin/.
ctg/
б) sin / + cos / = cos t • (tg / + 1);
514. Найдите значение выражения:
ч 3sin^ — cos/ . . А -
а) - , , о Г' если tg/ = 0,5;
sin / + 2 cos /
-.ч 4 cos/ — 3 sin / * . 1
б) если ctg / = .
7 2 cos * + 3 sin / 3
515. Дано: tg / + ctg / = b. Найдите:
a) tg2 / + ctg2 /; 6) tg / - ctg /.
К пунктам 43—45
516. Найдите одно из чисел /, таких, что:
a) sin / = 0,8; б) cos / = 0,6667; в) tg / = —0,73.
517. Решите уравнение:
а) cos \- cos / = 1; д) cos2 / + 7 = 8 cos /;
б) sin —+ cos2/== 1; е) 2cos2/ = 3sin/;
б
в) 2sin3/ + K2 = 0; ж) 2sin2/ = 5cos/ + 2;
г) 4 cos2 2^ — 3 = 0; з) cos2 / — 1 = sin/.
518. На отрезке [—2; 2,5] найдите все действительные числа,
удовлетворяющие уравнению:
а) cos пх = 1; в) tg пх = 1;
б) sin пх = 0; г) sin пх2 = 0.
519. Найдите область определения функции:
ч 2 sin/ ^ч 2 cost
а) ; б) .
; 2 cos/— 1 ' 2 sin/ + l
520*. Решите уравнение:
а) ]/~1 —cos2/ = sin/; в) ]/ 1 —cos2/ = — sin/;
б) Vl — s:n2 / == cos/; г) У 1 — sin2/ = — соь /.
170

521. Докажите, что уравнение не имеет корней:
а) sin / = 10е, а>0; в) sin t = ^-^, а>0, Ь > 0,а*6;
' 2ab
б) соз/^^Л a>0,fl#l; г) cos/ = Vl+a2, а^О.
522. Вычислите: _
а) arcsin (—-) Jr arccos^; в) arctg(—1) + arctg 1;
б) arccos (— ~J + arcsin ^-; r) arctg (— ]/~3) + arctg О-.
523. Вычислите:
a) sin [arcsin-^-j; 6) cos [arccos —J; в) tg (arctg (—5)).
524. Найдите х из уравнения
a) arcsin л: = —; в) arctg x =
3' 6
'-; r) arcsin (x— 1) =
3 4
6) arccosx = y; r) arcsin (* — 1) =
§ 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
И ПОСТРОЕНИЕ ИХ ГРАФИКОВ
47. Периодические функции. Периодичность
тригонометрических функций. В природе и технике часто встречаются явления,
повторяющиеся по истечении некоторого промежутка времени.
Например, при вращении Земли вокруг Солнца ее расстояние от
Солнца все время меняется, но после полного оборота Земля
оказывается на том же расстоянии от Солнца, что и год тому назад.
Возвращается на свое место после полного оборота и лопасть турбины.
Такие периодически повторяющиеся процессы описываются
периодическими функциями.
Определение 1. Говорят, что функция / имеет период
Ту если для любого значения л:, при котором она определена,
выполняются равенства
f(x-T) = f(x) = f(x + T). (1)
Из этого определения следует, что если функция / с периодом Т
определена в точке х, то она определена и в точках х + 7\ х — Т.
Любая функция имеет период, равный нулю (при Т = 0
равенство (1) превращается в тождество f (х — 0) = f(x) = f(x + 0)).
Определение 2. Функция /, имеющая отличный от нуля
период Т, называется периодической.
171

Например, если измерять время годами, то расстояние Земли
от Солнца задается периодической функцией, период которой
равен 1.
Теорема 1. Если функция f имеет период Т, то любое
число, кратное Т (т. е. число вида kT, k^Z), также
является ее периодом.
Доказательство. Докажем, что 27 — период
функции /, Имеем:
/ (х) = f(x + T) = f((x+T) + T)=f(x + 27)
/ (х) = f(x-T) = f((x-T)-T) = f{x- 27).
Аналогично доказывается, что / (х) = f (х + 37) = / (х — 37).
Переходя от одного натурального числа п к следующему,
убеждаемся, что для любого k верно равенство
f{x_kT) = f (x) =f(x + kT). (2)
Значит, все числа вида kT, k € Z — периоды функции /.
Таким образом, периодическая функция имеет бесконечно
много различных периодов. В большинстве случаев среди
положительных периодов периодической функции есть наименьший. Его
называют основным периодом этой функции; все остальные ее периоды
кратны основному периоду.
Из равенства (2) следует, что если функция / имеет период 7, то
ее значения в точках вида х + kT, k^Z одинаковы. Поэтому при
сдвиге графика такой функции вдоль оси абсцисс на ±7, ±27, ...
он переходит сам в себя. Благодаря этому можно построить Еесь
график периодической функции, если он известен на любом
отрезке [а, а + 7] длины 7 (в точках а и а + 7 значения функции
одинаковы). Именно надо изобразить график на этом отрезке, потом
параллельно перенести его вдоль оси абсцисс вправо на 7 —
получится график функции / на отрезке [а + 7, а + 27], потом еще
перенести на 7 вправо и т. д. После этого график, заданный на
отрезке [а, а + 7], перенести по горизонтали влево на 7, 27 и т. д.
т
Чаще всего выбирают значение а равным нулю или ——, т. е.
сначала строят график периодической функции на отрезке [0, 7]
или на отрезке
— — U
2'TJ
Пример. Построим график функции / с периодом 7 = 4,
если известно, что f (х) ='— на отрезке [—2, 2].
Решение. Построим ча^ть графика на отрезке [—2, 2]
(рис. 146, а). Так как 7 = 4 и ДЛина отрезка [—2, 2] равна 4, то,
чтобы построить весь график, нужно перенести полученную линию
вдоль оси х на ±4, ±8, ±12, ... (рис. 146, б).
Теорема 2. Функции sin t и cos t являются
периодическими, их основной период равен 2 л.
172

У1
2
" I 1 л!L U ^7 _С _Л О Л! "> А £ О «Л
-2 -1 0\ 1 2 х '6 -4 -2 0 2 4 б б /О X
а) 6)
Рис. 146
Д о к а з а
соответствует
для любого /
и
Это
так
тельство. Так как числам /, / — 2я, t + 2л
одна и та же точка координатной окружноети, то
sin (/ — 2л) = sin / = sin (t + 2л)
cos (/ — 2л) = cos t = cos (/ + 2л).
означает, что число 2л является периодом как для синуса,
и для косинуса.
Легко доказать, что 2л — наименьший период этих функций.
В самом деле, возьмем точку В координатной окружности (рис. 113). Ордината
этой точки равна 1. Если теперь двигаться из точки В по окружности в
положительном направлении, то, чтобы снова прийти в точку с ординатой, равной 1,
нужно пройти всю окружность, т. е. пройти путь длиной 2л. Значит,
положительный период функции sin t не может быть меньше 2я. Такой же вывод
справедлив и для функции cos t.
Теперь изучим вопрос о периодичности двух других
тригонометрических функций.
Теорема 3. Функции tg t и ctg t являются периодически-
ми, причем основной период обеих функций равен л.
Доказательство. Докажем сначала, что л — период
тангенса, т. е. что для любого t из области определения этой
функции выполняется равенство
tg (* - л) = tg t - tg (t + л). (3)
Пусть числу t соответствует точка М координатной окружности
и пусть (х, у) — координаты точки М. Тогда tg / «=* Lm Числам
t + л и / — л соответствует точка N,
симметричная точке М относительно
начала координат (рис. 147). Эта точка
имеет абсциссу —х и ординату —у; значит,
tg (/ _ л) = tg (/ + я) = =±=2-= tg/.
х х
Итак, tg (/ — л) = tg / = tg (/ + л).
Легко доказать, что л — наименьший
положительный период тангенса.
В самом деле, мы знаем, что tg / = О тогда и
только тогда, когда sin / = 0, а это справедливо
N(t+Ji)=N(t-.
г«з

при t = я/г, k 6 Z. Поэтому при 0 < t < я равенство tg tf = 0 не может
выполняться, т. е. тангенс не имеет положительных периодов, меньших чем я. Итак,
я — основной период tg t. Для котангенса доказательство проводится точно
так же,
525.
529.
Упражнения
а) Можно ли из того, что sin — = sin — = —.
; 6 6 2
сделать
вывод, что период функции sin t равен — = — ?
6 6 3
0. Будет ли пе-
б) Известно, что sin 0 = sin я = sin 2я
риодом фувгации sin t число я?
526. а) Какое число является общим периодом всех
тригонометрических функций?
б) Является ли число —я периодом функций tg t и ctg t?
в) Является ли число 32я периодом функций sin t, cos t,
tg /, ctg fi А основным периодом?
527. Используя периодичность тригонометрических функций,
исключите период функции так, чтобы угол (дуга) был выражен
наименьшим положительным числом:
а) sin 390°; д) sin 50,5я; и) tg 945°;
б) cos 750°; е) cos 51,5я; к) ctg 960°;
в) sin 540°; ж) tg 210°; л) tg 5 - я;
н) sin (—750°);
о) cos (—570°);
п) tg (-225°).
г) cos 930°; з) ctg 250°;
м) ctg- я;
б
528. На рисунке 148 изображена часть графика непрерывной
функции / на отрезке , — , длина которого равна
периоду функции /. Постройте график функции на отрезке
[—я, Зя].
Найдите:
а) sin(4,5tt + а), если sina = —-
б) tg(540°-~ а), если cosa = —,
и я<^ а^ — я;
<а<0;
в) cos(25tt— а), если ctga = —, a 6
я,
Зя
Ч
Рис. Г48
г) sfe(a—16я), если tga= —.
о
530. Упростите выражение:
а) sin 395° . sin 755° +
+ cos 325°cos 1115° + tg541°ctg 809°;
б) sin (—400°) sin (—1120°) +
+ cos (—760°) cos (—680°) +
+ tg (-380°) ctg (-740°).
174

531. Докажите тождество:
а) cos (2л — t) tg (Зя + t) — cos (4,5я + /) ctg (5л + t) =
= sin t + cos /;
б) sin (7,5л + t) cos (Зя + t) — sin (4я + t) sin (8я — /) = 1.
532. Решите уравнение:
а) sin (* + 2л) + sin (x — 4л) = 1;
б) 3 cos (32ji + x) — cos (x — Юя) +2 = 0;
в) tg (x — ЗЗя) = УЪ.
48. Четные и нечетные функции. Четность косинуса,
нечетность синуса, тангенса и котангенса. Для исследования симметрии
графиков введены понятая четности и нечетности функции.
Определение 1. Фунщня / называется четной, если
для любого л: из ее области определения справедливо равенство
Примером четной функции может служить функция л:4, так как
(—я)4 = х*. Вообще любая степенная функция вида х2п (показатель
степени — четное число) четна.
Определение 2. Функция / называется нечетной,
если для любого х из ее области определения справедливо равенство
Примером нечетной функции может служить функция л?, так
как (—xf = —г*. Вообще любая степенная функция вида х2п~1
(показатель степени — нечетное число) нечетна. Из определений 1 и 2
следует, что если функция / четна или нечетна и х € D (f), то и
(-*) 6 D (f).
Мы знаем (см. пункт 39), что для любого t справедливы
равенства
sin (—/) = —sin /,
cos (—t) = cos t.
Это значит, что sin t — нечетная функция, a cos / — четная
функция.
Далее, имеем:
tg(-o = *£i4 = =^ = -tg;,
cos (—t) cos t
sin(—/) —«in t
Это значит, что tg / и ctg t — нечетные функции.
Из рисунка 149 видим, что график четной функции — симмет-
4
175

у
\
\
, V.
0\
.
i /
/
/ х*
J _
Рис. 149
Рис. 150
ричен относительно оси ординат.
Аналогичным свойством обладает график любой
четной функции.
Теорема 1 .График четной функции/
симметричен относительно оси ординат.
Доказательство. 11усть точка
M(xf f (х)) принадлежит графику функции/.
Так как функция / четна, то (—а*) 6 D (/)
и / (—х) = / (л), т. е. точка N (-—л\ f(x))
также лежит на графике. Но точки М
и N симметричны относительно оси
ординат (рис. 150). Итак, для любой точки М
графика симметричная ей относительно оси
ординат точка также лежит на графике.
Это и означает, что график симметричен
относительно оси ординат.
Из рисунка 151 видно, что график
нечетной функции х3 симметричен
относительно начала координат. Аналогичным
свойством обладает график любой
нечетной функции.
Теорема 2. График нечетной
функции симметричен относительно шчала
координат.
Доказывается аналогично теореме 1
(рис. 152).
Упражнения
533. Покажите, что функция / является
четной:
а) / (л) = х2 - 2; в) / (х) = V 1 - х2;
б)/(х) = 2 —|х|; r)t(x)=2—^.
534. Покажите, что функция / является
нечетной:
a) f(x) =л-3 — х\ в) f(x) == л + —;
б) /(*)=■
г)/(*) =
2*-2-
Рис. 152
535. Определите, какие из следующих
функций являются четными, какие —
нечетными, а какие не являются ни
четными, ни нечетными:
176

а) x4-2x + 2;
б) x4 — 2л-2 + 2;
в)
+ 1
г) Igx2;
Д) 21gr,
2х -t 1
е)
2х — 1
536. На рисунке 153 изображены графики нескольких функций.
Какие из них являются четными, какие — нечетными?
537. На рисунке 154 изображена часть графика функции / на
множестве /?+. Известно, что функция / четна и непрерывна в
точке х = 0. Постройте полностью график функции /. Как
будет расположен график функции в случае, если / —
нечетная функция? Чему в этом случае равно / (0)?
538. Вычислите:
a) sin (— — j;
в) tg(-i);
Д)с1й (—=-)'•
б) cos (-135°); г) tg( —120°), е) ctg(—150°).
539. Определите, какие из следующих функций являются четными,
какие — нечетными и какие не являются ни четными, ни
нечетными.
а) sin /2;
б) sin2 ft
в) / + s;n/;
г) cos3 /;
д) cos/3;
l + cos *.
e)
- cos/
Ж) tg / + COS t\
3)I±tei.
И)
1-tg/
sili t
540. Упростите выражение:
а) 3 sin(—/)+5sin/—2cos/+2cos(—0;
б) tg 108° + tg (-108°) — ctg 162° -f
+ ctg(-162°);
в) sin (л — t) + sin (t — я) -f
Рис. 154
177

541. Вычислите:
а) 4sin2 --=- + ctg2 -± -4cos -i ;
б) tg3 (Зл - у) - cos (бя —j) + cos2 (4jl — —)
„_si„(-i) +
542. Упростите:
i_ctg2(_a)
•«i-t
+ cos (—я) ■
•sin'
-f)+
a)
6)
cos (—a) + sin (—a)
sin (—a) + cos (—a)
1—2 sin2 (—a)
sin(—a) + ctg(—a);
49. Свойства и графики функций sin х и cos х. При малом
перемещении точки по координатной окружности ее абсцисса и
ордината тоже мало изменяются. Это значит, что функции sin / и cos t
непрерывны.
Теорема. Функции sin t и cost непрерывны на всей числовой
прямой.
Доказательство. Возьмем на координатной окружности точки
М (/) и N if + И). Эти точки имеют координаты М (cos t, sin t) и N (cos (/ + h)t
sin (t + h)). Из рисунка 155 видно, что
\КМ\= | х2 — *il = I cos С + h) — cos ' I-
Но \КМ\ < \MN\, а \MN\ < MN. Так как MN = |/i|, то получаем, что
|cos (/+ h) — cos / | < \h\. Отсюда следует, что если |Л|< е, то и
| cos (/ + h) — cos t\< е. Иными словами, разность cos (t + h) — cos /
бесконечно мала при h -> 0. В силу определения непрерывности (см. п. 17) это
означает, что функция cos / непрерывна. Непрерывность функции sin t доказывается
аналогично.
Пример 1. Вычислим lim sin t
-f
N(t+h)
M(t)
непрерывна в точке
Решение. Так как функция sin /
—, то lim sin / =
6 л я
. я 1 ^Т
sin — = —.
6 2
Пример 2. Вычислим lim cos Зх.
Рис. 155
Решение. Положим Зх
л , л
как при х ->■ — / -> —, то
^62
t. Так
im cos Зл:
б
178

= lim cos /. В силу непрерывности косинуса последний предел
равен cos—, т. е. равен нулю.
Короче решение примера можно записать так:
lim cos Зх = cos 3 • — = cos —■ = 0.
я 6 2
Используем полученные выше свойства тригонометрических
функций для построения их графиков. При этом перейдем к
более привычному обозначению аргумента буквой х, а не буквой t,
как было до сих пор.
Функция sin х обладает следующими свойствами:
1) Область определения — множество всех действительных
чисел:
D (/) = /?.
2) sin х — периодическая функция, 2я — основной период.
Значит, при построении графика можно сначала ограничиться
построением его части на отрезке [—я, я] — длиной 2я, а затем выполнить
параллельные переносы на 2nk, k 6 Z.
3) sin x — нечетная функция, поэтому график функции
симметричен относительно начала координат. Следовательно,
сначала можно построить график на отрезке [0, я], а затем, выполнив
центральную симметрию, получить график на отрезке [—я, 0].
Дальнейшие свойства функции sin x будем отмечать для
выбранного отрезка [0, я].
4) sin х непрерывен на отрезке [0, я].
5) Из уравнения sin х = 0 находим: xL = 0 и х2 = я; т. е.
на отрезке [0, я] график имеет с осью абсцисс две общие точки:
(0, 0) и (я, 0).
6) Функция sin x возрастает на отрезке 0,— и убывает на
отрезке —, я . Отсюда следует, что [ —, и—точка максимума
функции sin х.
Приступим к построению графика. Как было отмечено, сначала
достаточно построить часть графика на отрезке [0, я]. Возьмем
несколько точек и составим таблицу:
X
sin х
0
0
я
6
1
2
я
4
V2
2
я
3
V*
2
я
2 i
1
2я
3
у"з"
2
| Зя
1 4
\У1
1 2
5л
6
1
*
я
0
17Э

Рие. 166
Отметим эти точки на координатной плоскости. Соединив
построенные точки непрерывной линией, получим часть графика
(рис. 156, а). Для более точного построения можно было бы взять
побольше точек.
Теперь построим линию, симметричную найденной
относительно начала координат (рис. 156, б), и продолжим построенный
график периодически на всю ось х (рис. 156, в). Получившаяся
волнообразная линия является графиком функции sin x — ее
называют синусоидой. Из графика видно, что функция имеет бесконечное
множество точек экстремума. При этом все точки максимума лежат
на прямой у = 1, а все точки минимума —- на прямой у = —1.
Судя по графику, прямые у =1 и у = — 1 являются
касательными к графику. Позднее, когда будет изучен вопрос о
дифференцировании функции sin xt мы убедимся, что это действительно так.
Ниже (см. пункт 57) будет доказано, что для всех х выполняет-
Из него следует, что график
функции cos x получается из графика функции sin х
параллельным переносом последнего вдоль оси абсцисс влево на —. График
функции cos х изображен на рисунке 157. С его помощью легко
ся равенство cos х = sin (л: + —
y^cosx
Ряс 157
Ш

получить свойства функции cos x в том порядке, как они были
отмечены выше для функции sin x (эти свойства приведены ниже в
п. «Основные результаты»). Разумеется, можно было график
функции cos х получить так же, как график функции sin x, т. е.
предварительно исследовав свойства функции.
Упражнения
543. Докажите, что функция непрерывна при всех значениях х:
a) s:n4 х + 3 sin x — 5 cos х\ б) ,—.
544. Найдите точки разрыва функции:
sin*
1 . ч COS2*
а) -^-; б) -V; в) -^-; г)
1—cos** cosfo' sin 4** 2 sin* — Уъ '
545. Вычислите предел:
а) lim(sinx+l); в) lim cos(3a: -f —);
л я V 4 /
б) lim (sin2 x — cos2 x — 2cosa:); г) lim sin [4a:——
Л 2Я \ 6
*"*Т Х~*Т
548. Начертите график функции sin x на отрезке [—Зл, Зл].
Проведите прямые у = —, у = 1, у = — 1. В каких точках
взятого отрезка прямые пересекают синусоиду?
547. Пользуясь графиком функции sin x, ответьте устно на
следующие вопросы:
а) Как изменяется функция sin x при изменении аргумента
от 0 до 2л; от 270° до 450°; от —450° до —270°?
б) В каких промежутках функция sin x возрастает (убывает)?
в) Чему равно значение sin х при х = —, , 270°, 450°,
—450°, —540°?
г) В скольких точках пересекают синусоиду прямые: у = х,
у = —х и у = — х? ,
д) Что больше: sin 0,5 или sin 1; sin (—0,2) или sin [•—- — Y
sin 2 или sin 3; sin (л — 1) или sin 1?
е) Назовите несколько значений аргумента х, для которых
синус равен 0,5; —0,5.
ж) Укажите промежутки, в которых sin л: >—, sin л: <— .
з) В каких точках функция sin x принимает наименьшее
значение? В каких точках функция принимает наибольшее
значение?
181

и) В каких промежутках функция sin х положительна, в
каких — отрицательна?
к) В каких промежутках функция sin x возрастает, в каких —
убывает?
548. Найдите с помощью синусоиды значение:
a) sin—; б) sin 1; в) sin—; г) sinj/X
8 12
Полученные результаты сравните с табличными.
549. Используя синусоиду, решите уравнение на отрезке
[—л; л]: __
а) sin х = 1; в) sin х = —<г\. д) sin* = —
б) sin х = —1; г) sin х = — YJl\ e) sin x = 0,4.
550. Используя синусоиду, найдите решение неравенства на
отрезке [0, 2л]:
а) sin х > —; в) sin х < —IjL;
б) sin л: > IX; г)* | sin х | > —.
551. Из плотного картона изготовьте шаблон для вычерчивания
графика функции sin x. Пользуясь изготовленным шаблоном,
начертите график функции:
а) sinx — l\ в) sin/jc+ —); д) 1— sin*;
б) sin(*—1); г) —sinл:; е) —sinfx——).
552. Пользуясь графиком функции cos x, перечислите свойства
этой функции по тому же плану, как для свойств функции
sin х в пункте 49.
553. Решите графически уравнение:
a) cos х = х\ б) cos х = — х\ в) cos x = sin лс, где
х 6 [—2л, 2л].
554. Пользуясь шаблоном синусоиды, начертите график функции:
a) cos л: — 1; б) —cos x\ в) cos/* + —J; г) cos (x——).
555. Пользуясь графиком функции cos х, решите неравенство на
отрезке [—л, л]:
a) cos х ^ 0,5; б) cos х < —-^^ в)* lcos x\ ^ "i"'
182

50. Свойства и график функции tq x.
Теорема. Функция tg* непрерывна в любой точке своей
области определения.
Доказательство. По определению tg х = -—-. По
cos л:
теореме из пункта 49 функции sin х и cos х непрерывны на всей
числовой прямой. Но частное двух непрерывных функций
непрерывно в любой точке, в которой знаменатель отличен от нуля
(см. пункт 17). Значит, функция tg x непрерывна в любой
точке, в которой cos х ф 0, т. е. х Ф — + nkt k 6 Z.
Аналогично доказывается непрерывность функции ctg x в
любой точке xt такой, что х Ф nk, k 6 Z.
Построим график функции tg x. Для этого используем
следующие свойства функции (все они, кроме последнего, получены
выше):
sin х
1) Функция tg х = определена во всех точках, кроме
cos*
точек вида 1- я/г, k 6 Z.
z
2) tg x — периодическая функция, я — основной период.
Значит, при построении графика можно сначала ограничиться
построением его ветви на интервале
я л я
3) tg х — нечетная функция; значит, ее график симметричен
относительно начала координат и можно сначала ограничиться
я
т
я
построением ветви графика на промежутке
0;
4) tg я — непрерывная функция на
0;
5) На промежутке
0;
tg х обращается в 0 только в точке О.
Значит, график имеет с осью абсцисс одну общую точку (0,0).
51П Jt
6) Имеем: tg x = ±i±. В
COS X
от 0 до 1, a cos х убывает от 1 до 0. Значит, дробь
первой четверти sin x возрастает
sin л:
cos л;
возрастает
от 0 до +оо. Таким образом, tg x — возрастающая на 0; —

функция.
Для построения графика выбираем несколько контрольных
точек:
1 х
tg*
0
0
я
б"
¥JL w 0,58
3
я
4
1
я
з"
УЗ- 1.73 |
183

Рис. 158
Отметим соответствующие точки на координатной плоскости
и лроведем через эти точки непрерывную линию, неограниченно
поднимающуюся вверх по мере приближения х к значению —
(рис. 158, а). Эта линия приближенно изображает ветвь графика
на промежутке 0; *2_ . Чтобы получить более точное приближение
для графика, надо найти значения тангенса еще для нескольких
значений аргумента.
Построим далее линию, симметричную найденной относительно
начала координат (рис. 158, б), и выполним перенос всей
построенной линии вдоль оси абсциср на nk, где k £ Z. Получим график,
изображенный на рисунке 158, в (тангенсоиду). Из этого графика
видно, что функция tg х возрастает на каждом промежутке вида
2 2
k 6 Z. В частности, на промежутке
л л
Т' ~2
она возрастает от — оо до +оо.
Таким же образом строится график функции ctg x. Он
изображен на рисунке 159.
Упражнения
Зл Зл
"2'7
556. Постройте ветви тангенсоиды в промежутке
557. Пользуясь графиком функции tg дг, ответьте на следующие
вопросы:
а) Как изменяется функция tg х на промежутке я; —I ?
Зл
2
\Ы

у*
-2л
2П
Рис, 159
б) В каких промежутках значения функции положительны,
в каких — отрицательны?
в) В каких точках функция не определена?
г) В каких точках тангенс обращается в нуль?
д) В каких точках тангенс принимает наибольшее значение,
в каких — наименьшее?
е) Имеет ли функция tg х точки экстремума?
ж) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
tg х на отрезке —; — .
[3 б J
з) Покажите на оси х центры симметрии тангенсоиды.
558. Пользуясь графиком функции tg x, решите уравнение:
a) tg х = —1; б) tg х = "КЗ; в) tg х = 1; г) tg *=0.
559. Определите знак разности:
a) tg 200° - tg 201°; б) tg 1 — tg 1,01;
2л
в) tg^-tgl/Гя.
560. Что больше: tg х или sin x при а) х £
561.
интервале
0;
; б) х €
■;«?
Пользуясь графиком функции tg x, решите неравенство на
я л [
~Т'Т1:
a)tg*>J; 6)tgx<V3; B)*|tgjc|<l.
562. Решите графически уравнение tg x = 2, если
*€
1 з з г
я, —я .
J 2 2 L
185

563. Изготовьте шаблон графика функции tg x. Постройте с его
помощью график функции:
a) tg х - 1; б) tg U - -|); в) —ctg x.
564. Найдите с помощью тангенсоиды значение:
a)tg^f б) tgg, B)tgl, г) tgK2T
51. Решение тригонометрических неравенств. Мы рассмотрим
здесь примеры графического решения простейших
тригонометрических неравенств, т. е. неравенств вида f (х) > а (или / (х) < а),
где / — одна из тригонометрических функций.
Пример 1. Решим неравенство sin x > 0.
Решение. Построим график функции sin x и выберем на
оси х те промежутки, на которых график лежит выше оси х. Одним
из таких промежутков является интервал ]0, я[ (он выделен на
рис. 160). В силу периодичности функции sin x таких промежутков
будет бесконечное множество. Каждый из них получается из ]0, я[
сдвигом по оси х на 2я&, где k 6 Z, Таким образом, решением
заданного неравенства служит объединение бесконечного множества
интервалов вида ]0 + 2я&, я + 2я/е[, т. е. ]2я&, я + 2я&[, k 6 Z.
Это можно записать так: 2nk < х < я + 2я£, k 6 Z.
Пример 2. Решим неравенство cos х < — .
Решение. Построим график функции cos x и проведем
прямую у = —. Нам надо найти те промежутки оси х, на которых
график лежит ниже прямой у = —. Одним из таких промежутков
Рис. 160
у=со$х
Рис. 161
186

УЖЩ
Рис. 162
является интервал —, — (он выделен на рис. 161). Воспользо-
Jo О |_
вавшись периодичностью функции cos x, запишем ответ в виде
— + 2nk < х <5-+ 2nk, kZZ.
О О
Пример 3. Решим неравенство tg х ^ —1.
Решение. Построим график функции tg x и проведем
прямую у = —1. Надо найти те промежутки оси х, на которых график
лежит не ниже прямой у = —1. Одним из таких промежутков
является промежуток ——, — (он выделен на рис. 162). В силу
ное множество. Каждый из них получается из
—, — переносом
периодичности функции tg x таких промежутков будет бесконеч-
Т'Т_
по оси х на я&, где k 6 Z. Это позволяет записать решение
следующим образом:
— + nk <; х < — + nk, k 6 Z.
Упражнения
Решите неравенство:
565. a) sinjolCl;
б) sinA:< ;
^ 2
566. a) tg* > 1;_
б) tg х + ]/3 < 0;
в) cos л: > ;
г) cosx<l_L.
в) ctgx < 1;_
г) ctg х + УЗ < 0.
187

567. Найдите область определения функции:
а) _г Х -; в) Уз tg х + УЗ]
V2 sin х - V'3
б) lg(2cosjc —K2);
г)
/ct^-l'
568. Решите систему неравенств:
а) Г cos х < 0,5,
| cos л; > —0,5;
б) ( sin л: > 0,
sin jc <~т-
52. График гармонического колебания. В курсе физики изучают
гармонические колебания, т. е. прямолинейные движения точки,
совершаемые по закону s = A sin (со/ + а), где А > 0, со > 0.
В этом пункте речь пойдет о построении графиков таких колебаний.
Пример 1. Построим график функции sin Зх,
Решение. Сначала изобразим график функции sin x
(рис. 163). Если точка М (а, Ь) лежит на этом графике, то ее
ордината равна числу sin а, т. е. Ь = sin а. Но тогда выполняется
равенство Ъ = sin [3 • —J, показывающее, что точка N (—, b\
лежит на графике функции sin Зх. Таким образом, если взять на
графике функции sin х какую-нибудь точку^ то точка, имеющая ту же
ординату и втрое меньшую абсциссу, будет лежать на графике
функции sin Зх. Указанным способом мбжно получить все точки
графика функции sin Зх. Следовательно, график функции sin Зх
получается из графика функции sin x сжатием последнего в три
раза к оси ординат.
Чтобы построить график функции sin Зх, достаточно отметить
точки пересечения этого графика с осью абсцисс и точки
экстремума. Из уравнения sin Зл; = 0 находим, что х = —, & 6Z. Значит,
о
график функции sin Зл: пересекает ось абсцисс в точках вида —,
о
k 6 Z, т. е. в
2я
точках 0, ± —;
3
Рис. 163
-тс -2п
3
Ш
з
Я 47Г
J
± - и т. д. (рис. 164). Эти точки
делят ось абсцисс на отрезки,
середины которых являются
абсциссами точек экстремума. При
этом в точке—(середине
отрезка
0,
функция sin3A: имеет.
Рис. 164
максимум, равный 1, а в точке
183

— середине отрезка
она имеет минимум, равный — 1.
Отметим найденные точки и
проведем через них линию, по
хожую на синусоиду (рис. 165)
Получим график функции sin3x
Точно так же можно постро
ить график любой функции ви
да sin сох, где со > 0. Для этого
надо нарисовать график функции sin х и сжать его в со раз к оси
ординат, т. е. заменить каждую точку М (а, Ь) этого графика
точкой N(—, Ь\ . Обычно берут лишь точки пересечения графика
функции sin сох с осью абсцисс и точки максимума и минимума,
а потом по найденным точкам строят график функции sin сох.
Теперь уже нетрудно построить график любой функции вида
Л sin (сох + а) (Л>0). Заметим, что справедливо равенство.
A sin (сох + а) = A sin со (х +
Сначала построим график функции sin сох, как было описано выше.
График функции sin co|x + —) получается из графика функции
sin сох параллельным переносом последнего вдоль оси абсцисс,
при котором начало координат переходит в точку р(——, 0)
(см. п. 6). Чтобы получить из графика функции sin со(х + —)
график функции A sin со (х + —), осталось умножить ординату
каждой точки графика функции sin со (х + —) на Л, т. е. осуществить
растяжение этого графика в А раз от оси абсцисс2.
На практике обычно ограничиваются тем, что находят точки
пересечения графика функции A sin (сох + а) с осью абсцисс,
для чего решают уравнение sin (сох + а) = 0. Потом из уравнений
sin (сох + а) = 1 и sin (сох + а) = —1 находят точки экстремума
функции A sin (сох + а) (в точках максимума она принимает
значение Л, а в точках минимума — значение —А). По полученным
точкам строят график функции A sin (сох + а).
Пример 2. Построим график функции 4 sin [Зх —— ].
1 Разумеется, если 0 < ю < 1, то вместо сжатия получается растяжение:
точки будут удаляться от оси ординат.
2 Если 0 < А < }, то вместо растяжения получится сжатие: точки будут
приближаться к оси абсцисс.
189

Решение. Сначала находим точки пересечения этого графи
ка с осью абсцисс. Для этого решаем уравнение sin (Зх — —) = О
Из него находим, что Зх = nk и потому
Зх = — 4- я/»
2 ^
откуда #= — + —, k£Z. Далее решаем уравнение
6 3
(JT \ 71 ЗХ
Зх ]== 1. Из него находим, что Зя =—|- 2л/гп потому
k 6 Z. В этих точках функция 4 sin /Зя — —)
х =
2л/г
Т"
значение,
динатной
4 sin [ Зх
_ л , 2зт/г
* ~ Т ~з~
принимает значение, разное 4. Наконец, из уравнения
sin [Зх —— )=—1 находим абсциссы точек минимума. Они имеют вид
€ Z. В этих точках функция 4 sin (Зх——) принимает
равное —4. Отметим полученные точки на коор-
плоскости и проведем через них график функции
.-=-) (рис. 166).
Замечание. Рассуждения, подобные проведенным выше,
показывают, что если F (х) = / (сод:), то график функции F
получается из графика функции / сжатием к оси ординат в ш раз (т. е.
заменой каждой точки М (а, Ъ) графика функции / точкой Лм—, о\
графика функции F). Если же F (х) = Af (x), то график функции F
получается из графика функции f растяжением от оси абсцисс
в А раз (т. е. заменой каждой точки М (а, Ь) графика функции /
точкой N (а, АЬ) графика функции F).
Если F (х) = f (—x)t то график функции F получается из
графика функции / с помощью симметрии относительно оси ординат.
Наконец, график функции —/
получается из графика функции /
с помощью симметрии
относительно оси абсцисс.
Пример 3. Построим
график функции —2 cos—.
Решение. Построим
график функции cos х (достаточно
взять одну полуволну—рис. 167, а).
Осуществим сжатие этого графика
к оси ординат в— раза (т. е. рас-
О
тяжение от сси ординат в 3 раза—
рис. 167, а), затем растяжение от
оси абсцисс в 2 раза (рис. 167, б) и,
наконец, симметрию относительно
190

7Г -JT
?
\1
/
-я 0
2
\
7Г
2
к Л
^^^f
Зк
2
_______Зс^_
X
6)
ч
б)
2 \,
^-^
1
-"~~J
0
-2
У^ 2
X
Рис. 167
оси абсцисс (рис. 167, в). В итоге получаем график функции
—2 cos -.
з
Заметим, что этот график можно было построить по тому же
плану, что и график из примера 2, т. е. с помощью точек его
пересечения с осью абсцисс и точек экстремума.
Упражнения
Постройте график функции:
б) sin—;
' 2
569. a) sin 2л:;
570. a) 3sin2r,
571. a) sin [х + ±\ б) 2 sin (х - f\
б) —2 sin-;
' 2
в) —sin а:.
' 2
в) -sin-.
; 2 3
в)
тН'-Ъ
572. a) sin^-i);
<9*>| + ^
в) 3sin(2x + |);
r)2sln(|-f).
191

573. a) 3cosx; r) cos 2x\ ж) —2sin^-;
б) —4sin*; д) tg(-™); 3) 2cos(f + 7
в) — tg r, e) —5 cos 3r,
53. Основные результаты.
1. Функция / с областью определения X называется
периодической, если существует такое отличнее от нуля число Т, что для
любого х € X выполняются равенства:
f(x-T) = f (х) = f(x+ П
Число Т называется периодом функции. У периодичегкой функции
бесконечное множество периодов. Если среди положительных
периодов периодической функции существует наименьший, то он
называется основным периодом.
2. Функция /, определенная на множестве X, называется четной,
если для любого х £ X выполняется равенство / (—х) = / (х),
и нечетной, если для любого х € X выполняется равенство f (—x) =
— —/ (*)• Существуют функции, не являющиеся ни четными, ни
нечетными.
График четной функции симметричен относительно оси у,
график нечетной функции симметричен относительно начала
координат О.
3. Свойства функции sin x:
1) D (/) = *; £(/) = [-1; 1].
2) sin х — периодическая функция. Любое число вида 2л&,
k € Z является периодом функции; 2л — основной период.
3) sin х — нечетная функция.
4) sin х возрастает от —1 до 1 на любом отрезке вида
и убывает от 1 до —1 на любом отрезке вида
IL+ 2 л 6, — + 2 л*
2 2
— + 2л&, - + 2лк
где k 6 Z.
5) sin х принимает минимальное значение —1 при х = -f
+ 2nk и максимальное значение 1 при х = (- 2л£, k £ Z.
6) sin x всюду непрерывная функция.
7) sin х = 0 при х = nk'y sin x > 0 при 2л/г < х < л +
+ 2л/г, sin х < 0 при л + 2л& < х < 2л + 2л&, k 6 Z.
График функции (синусоида) изображен на рисунке 15G, в.
4. Свойства функции cos x:
1) D (/) = /?, £(/) = [-1; 1].
192

2) cos x — периодическая функция. Любое число вида 2nkf
k € Z является периодом функции; 2я — основной период.
3) cos х — четная функция.
4) cos х убывает от 1 до —1 на любом отрезке вида [2я&, я + 2яй]
и возрастает от —1 до 1 на любом отрезке вида [—я + 2я£, 2я£],
где k ё Z.
5) cos а: принимает минимальное значение —1 при х = я +
+ 2nk и максимальное значение 1 при х = 2я£, k £ Z.
6) cos л: всюду непрерывная функция.
7) cos х = 0 при л; = — + яй; cosх > 0 при — -^- + 2я& < л: <
< JL + 2я6; cos* < 0 при — + 2nk < х < ^ + 2nk, kZZ.
График функции изображен на рисунке 157.
5. Свойства функции tg x:
1) Область определения — множество действительных чисел, за
исключением чисел вида — + я£, k € Z, Е (/) = ]—оо; +оо[.
2) tg д; — периодическая функция. Любое число вида nkf
k € Z является периодом функции; я — основной период.
3) tg л: — нечетная функция.
4) tg л: на любом интервале вида —— + я&, — + nk , k £Z
возрастает от —оо до +оо.
5) Функция tg х непрерывна в своей области определения.
6) tg х = 0 при х = nk\ tg x > 0 при nk < х < — + nk\
tg x < 0 при — — + nk <x <nk, k £ Z.
График функции (тангенсоида) изображен на рисунке 158.
Дополнительные упражнения
К пункту 47
574. Дана функция /, где / (х) = х — [*] ([*] — целая часть
числа х). а) Вычислите /(1,2); /(10,3); /(—3,4); /(—10,1).
б) Постройте график функции /.
в) Является ли функция / периодической? Чему равен ее
основной период?
575. Постройте график функции: a) [cos х~\\ б) [sin я]. Является
ли функция периодической?
576*. Докажите, что функция cosx2 не является периодической.
577*. Будет ли периодической функция /, где
f (х) = / х — 2п, х € [2/z; 2п + 1],
1 v ; { — х + 2/1, х <Е ]2/i + 1, 2я + 2[, п € Z?
7 Заказ 87 193

К пункту 48
578. Четной или нечетной функцией является сумма: а) двух
нечетных функций; б) двух четных функций?
579. Исследуйте на четность и нечетность произведение: а) двух
четных функций; 6) двух нечетных функций; в) четной и
нечетной функции.
580. Покажите, что если четная функция определена для всех
х € R и возрастает (убывает) на луче [0, +<*>[» то на луче
]—оо, 0] она убывает (возрастает).
581. Исследуйте на четность и нечетность функцию:
а) х sin г, в) х Н—-—; д) — 1- sin x\
smx cos*
б) х2 — cos х\ г) cos (х + 1); е) tg x (sin х — ctg x).
582. а) Известно, что t0 — корень уравнения sin 2x = tg x.
Следует ли отсюда, что и —t0 — корень этого уравнения?
б) Верно ли то же самое для уравнения ctg х = cos x?
К пунктам 4$—52
583. Какие из нижеследующих функций непрерывны на
множестве R:
a) sin#-|-3; б) ; в) ; г) cosjm?
cos x + 3 sin пх
584. Используя свойства непрерывных функций, докажите, что
уравнение sin4 / + 3 sin / — 5 cos / = 0 имеет хотя бы один
корень на отрезке 0; — .
585. Сколько действительных корней имеет уравнение:
а) sin х = 0,1л: на отрезке [—2я; 2я];
б) sin х = 0,1л: на множестве /?;
в) sin х = 0,01 л: на отрезке [—Зя; Зя];
г) sin х = 0,01л: на множестве /??
С помощью графиков тригонометрических функций решите
следующие уравнения и неравенства:
586. a) sinx = —^-j-\ б) cosa;=— У-^-\ B) tg*s=K&
587. a) sin х = г, б) cos х = I — х2.
588. a) tgx = г,
589. a) sinx^—^f
б) tgx = cos г,
б) cos*< —1-^\
194
в) tgA: = х2 — х — 2.
в) 3tg* + }/3>0.

590*. Решите систему неравенств:
f*2<9, (х*—6х + 5<0,
а)
sin х < —;
б)
tgx > 1.
591. Постройте график функции:
a) 2sin(2x-y); б)-sin(их+ f) в)
Постройте график функции:
I cos Jk? 1
592. a) cos | х |; в) |cos*|; д) |tgx|; ж) J 4
•cos(|-2x) + l.
COS*
б) sin|jc|; г) | sin x |; e)
I sin л: I
sin*
з) -LlUinx.
x
593. Постройте график функции /, где
f /r\ _ f COS X, O^^i
/ W - \x* — 4nx + 3:
594. Пусть зс = 4 cos3 /, у = 4 sin3 /. Заполните таблицу:
f (Y\ = f COS X, 0 ^ X < Л,
*
X
У
0
л
6
л
4
л
3
л
2
2л
3
Зл
4
5л
6
—
я
7л
6
5л
4
4л
3
Зл
2
5л
т
7л
Т
11л
6
2л
Отметьте на плоскости точки с заданными значениями
координат л: и у и соедините их линией в порядке возрастания t.
§ 8. ФОРМУЛА КОСИНУСА РАЗНОСТИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
54. Формула косинуса разности. Одной из важнейших формул
тригонометрии является формула, выражающая косинус разнести
двух чисел через синусы и косинусы уменьшаемого и вычитаемого.
В этом пункте мы докажем ее, а в следующих — выведем ряд
следствий из нее.
Для доказательства этой формулы нам понадобится такое
замечание. При «наматывании» координатной прямой на
координатную окружность отрезки равной длины переходят в дуги равной
величины. Точнее, это означает следующее. Пусть на координатной
прямой взяты четыре точки: tl9 t2i t3l t±, такие, что расстояние от tx
до t2 равно расстоянию от t3 до /4 (т. е. такие, что \t1—t2\ =
= I ^з—^l), и пусть Мх (/j), М2 (/2), М3 (*3) и М4
(/^—соответствующие им точки'на координатной окружности. Тогда дуги МгМ2 и М3М4
конгруэнтны (рис. 168). Отсюда следует, что и хорды МгМ2 и
Af3M4 конгруэнтны: |AMla| = |Af3Af4|.
7*
195

—t—f—t fe—+— Итак, если /ь /2, /3, /4 — такие
0 tj t2 r* г* числа, что К — /2| = I /3 — W и
ГМ(п мх («, м2 (/2), м3 (/3), м4 (/4) -
^*U2' точки координатной окружности,
ЛВД . то |ЛМ12| = |Af8M4|.
Л Теорема. Для любых t
<fA(0) $ и t справедливо равенство
cos (s — t) = cos s cos t -f-
-J- sin 5 sin t. (1)
U Теорема. Для любых чисел
Рис. 168 Доказательство.
Рассмотрим на координатной
окружности четыре точки: S (s), Т (/), А (0), М (s — /). Их декартовы
координаты таковы:
5 (cos s, sin s), T (cos /, sin 0, A (1, 0), Л1 (cos (s — 0, sin (s — 0).
Согласно сказанному выше, справедливо равенство \ST\ = |ЛМ|.
Применив к \ST\ и |ЛМ| формулу расстояния между двумя точка-.
ми координатной плоскости (см. пункт 3), получим:
| ST\2 = (cos / — cos s)2 + (sin t — sin s)2,
| ЛЛ412 = (cos (s—t) — l)2 + (sin (s — f) — 0)2.
Далее имеем:
| ST\2 = (cos t — cos s)2 + (sin / — sin s)2 =
s= cos2/ — 2 cos scos/ -f cos2s + sin2/ —2 sins sin/ + sin2s =
= (cos2 / + sin2 /) — 2 (cos s cos / + sin s sin /) + (cos2 s +sin2s).
Ho cos2 / + sin2 / = 1, cos2 s + sin2 s = 1 (см. п. 41), значит,
| ST|2 = 2 — 2 (cos s cos / + sin s sin /). (2)
П я пр*р
| AM\2 = (cos (s—t)— l)2 + (sin (s — t) — 0)2 =
= cos2 (s — t) — 2 cos (s — t) + 1 + sin2 (s — /) =»
= (cos2 (s — /) + sin2 (s — /)) + 1 — 2 cos (s — /) =»
= 2 — 2 cos (s — /). (3)
Итак,
\AM\2 = 2 — 2cos(s —/).
Так как |ST| = |ЛМ|, то |S7T= |ЛМ|2, а потому из равенств
(2) и (3) получаем:
2 — 2 (cos s cos / + sin s sin /) = 2 — 2 cos (s — /),
откуда
cos (s — /) = cos s cos / + sin s sin /.
Пример 1. Вычислим cos 15°.
Решение. Так как 15° = 45° — 30°, то,"воспользовавшись
формулой (1) при s = 45°, t = 30°, получим:
cos 15° = cos (45° — 30°) « cos 45Q cos 30° + sin 45° sin 30° ^
196

_V2 VT VT l^J^+Vl
— T" " 2 "*" 2 ' 2 4
Пример 2. Докажем, что cos (у — *J == sin / и
(f-0-
sin I- n = cos£.
Решение.
cos l!L — f) = cos— cos t + sin — sin t = 0 • cos f + 1 • sin t = sin Л
Далее,
«»^«»(T-(f-'))eSta(f-')-
Пример 3. Вычислим cos (a — P), если известно, что sina =
= --, cosp = — -|, причем a€[0; 2Lj, P^[y; я].
Решение. Зная sin a, находим cos a:
2 1 • 2 , /5\2 144
cos2 a = 1—sin2*» = 1 — — = ■
13/ 169
12 12
Значит, | cos a | = — и потому либо cos a = —, либо cos a =s
= . По условию a£ 0; — ; значит, cos a > 0, а потому
1312 L 2J
cos a = —.
13
Далее имеем:
sin2p = 1 -cos2p = 1 -(--? = 1 -- - -.
K V 5/ 25 25
r\ • 4 4 4
Значит, | sin a | = — и потому либо sin P = —, либо sin p== .
5 5 5
По условию р€—; я ; значит sinp>0, а потому sinp=—. Тогда
cosCa-pJ-cosacosp + sinasinP-^.^-lj+A.I^-lE.
Упражнения
595. He пользуясь таблицами, найдите числовое значение
выражения:
а) cos 42Q cos 12° + sin 42° sin 12°;
б) cos 61° cos 1° +sin 61° sin 1°;
в) cos 9° cos 54° + sin 9° sin 54°;
r) cos^-cos —+ sin —sin—.
3 12 r 3 12
197

596. Воспользовавшись формулой (1), докажите, что:
а) cos (я — а) = —cos а; в) cos (2я — а) == cos а;
б) cos/^--aj = —sina; г) cos|— — a)=!^(cosa+sina).
597. Вычислите cos (a — (3), если:
a) cos a = — —, — < a < я; sin p = ——, п < р < -;
о 2 1о 2
6)sina = l, 0<a<-J-; sinp = -£, |?<р<2я.
о 2 17 2
598. Вычислите cos (/ — —), если sin i = 0,6 и — < / < я.
599. Как из формулы косинуса разности получить формулу
cos2 t + sin21 = 1?
600. Упростите:
а)
cos (я — a)
б)
cos (2я — a)
cos (— + a
601. Докажите, что:
a) sin 54° = cos 36°;
6) cos 20° = sin 70°
55. Формулы синуса и косинуса суммы. Формула (1) дает
выражение для косинуса разности двух аргументов через синус и
косинус этих аргументов. Сейчас мы получим аналогичные формулы
для косинуса суммы двух аргументов и для синуса суммы и
разности двух аргументов.
Рассмотрим выражение cos (s + t). Представим его в виде
cos (s — (—/)) и применим формулу (1). Получим:
cos (s — (—t)) = cos s « cos (—/) + sin s ♦ sin (—/).
Ho cos (—/) = cos ty sin (—t) = —sin L Значит,
cos s » cos (—t) + sin s * sin (—/) = cos s * cos / — sin s sin t.
Таким образом:
cos (s + 0 = c°s s cos t — sin s sin t.
Рассмотрим выражение sin (s + /). Имеем:
sin (s + t) = cosj — (s + ty\ = cos( (—
(4)
•и-
cosj — s) cos t + sinf — s) sin t = sin s cos / + cos s sin t.
198

Таким образом,
sin (s + /) = sin s cos / + cos s sin /.
(5)
Если в этом равенстве заменить /на —t и воспользоваться тем, что
cos (—О = cos ty a sin (—/) = —sin t, то получим:
sin (s — /) = sin s cos t — cos s sin /.
(6)
Пример. Вычислим sin 102° cos 42° — cos 102° sin 42°.
Решение. Заданное выражение представляет собой правую
часть равенства (6) при s = 102°, t = 42°. Значит,
sin 102° cos 42° — cos 102° sin 42° = sin (102° — 42°) =■
= Sin 60° - Ц- •
Упражнения
602. Упростите выражение:
а) cosU + -—\ — cosAy —1\ в) sinAy + a) + sin Ay-a\
б) sin (60° — a). cos (60° + a); r) sin (— + *)• sin (- 1\
603. Вычислите:
a) sin 15°; 6) sin 75°; в) cos 105°; ' r) cos 75°.
604. Вычислите:
а) cos 23° sin 7°+cos 7° sin 23°; в) cos 13° cos 17°—sin 13°sin 17°;
б) sin 53° cos 8°—sin 8° cos 53°; r) sin 33°sin 3°+cos 33°cos 3°.
605. Проверьте истинность равенства:
а) cos Ay + i\ = — sin t\ в) sin (— + t) = cos t\
б) cosfy + t\ = sin/; r) sin (я + *) = — sin/.
606, Вычислите cos (a + P), cos (a — P), sin (a + P), sin (a-
если известно, что
5 3
а) sin a = —, cos p = —, a, p — острые углы;
б) sinp = p cosa = -|, я<а<|, у-< P < я.
607. Решите уравнение:
а) sin х sin 2х + cos x cos 2x = 0;
б) cos х sin 3* — cos Зл: sin x = 1.
Р),
199

608. a)
б)
Упростите выражение:
sin 20° cos 5° — cos 20° sin 5°
cos 10° cos 5° +sin 10° sin 5°
cos 18° cos 28° + cos 72° cos 62°
sin 34° cos 56° + sin 56° cos 34°
609 я) sin (a + ft) — sin ft cos a , -^ cos (a + ft) + sin a sin ft
sin (a — ft) + sin ft cos a ' sin a sin ft — cos (a — ft)
610. Докажите тождество:
а) sin (a + P) — sin (a — (3) = 2 cos a sin P;
б) cos (a — P) — cos (a + P) = 2 sin a sin p;
в) cos (a + P) cos (a — p) = cos2 a — sin2 (3;
r) sin (a 4- p) sin (a — P) = sin2 a — sin2 p.
611. Учитывая, что 2a = a + a, докажите тождество:
a) sin 2a = 2 sin a cos a; 6) cos 2a = cos2 a — sin2 a.
56. Формула тангенса суммы. В этом пункте мы выразим
tg (5 + t) через tg s и tg t. Для этого воспользуемся определением
тангенса как отношения синуса к косинусу и полученными выше
формулами синуса и косинуса суммы. Имеем:
t ( _L- Л — sin (s + 0 __ sin s cos i -(-cosssin*
cos (s + t) cos s cos t — sin s sin t
Разделим числитель и знаменатель дроби почленно на
cos s cos t (при условии, что eos s cos t ф 0). Получим:
sins cos t cos s sin t
+ ■
cos s cos t cos s cos t tg s + tg /
Итак,
cos5cos t sins sin / 1 — tg5 tg/
cos s cost cess cos t
tg(s-H)= igs + tgt , (7)
где s, t, s + t ¥=— + nk, k e Z.
Выведем из полученной формулы выражение для tg (s — t).
Воспользуемся тем, что tg (—t) = —tg t. Имеем:
SV ' SV ^V " 1 —tgstg(—0 1+tgstg*
Итак,
tg(s-0° iRS~igt , (8)
где s, t, s — i^=—+ nk, k £ Z.
200

Пример. Найдем tgf— + а), если tga = —.
Решение. Воспользуемся формулой (7) тангенса суммы и
учтем, что tg— = 1. Имеем:
я 3
tg — + tga 1+T
tgiL + a „ 1 = -1±*°.в 1=7.
1-tg —tga 1——
4 4
Упражнения
612. Вычислите: а) tg 15°; 6) tg 75°; в) tg 105°
613. Вычислите: tg (-—a), если tg a = —.
9
614. Дано: tg a =—, ctg p = 3. Вычислите:
5
a) tg (a + p); 6) tg (a - p).
615. Дано: sin a = , я < a < —. Вычислите:
13 2
a)tg(iL + a); 6)tg(a_|).
616. Найдите tga, если tg{a — —} = 3.
617. Вычислите:
а) tg9- + tg36° ; 6) 1 + tg 54° tg 9°
l-tg9°tg36° ' tg54°-tg9°
2 3
618. Дано: tga=—, tg p = —, a, p — острые положительные
5 7
углы. Докажите, что a + р = 45°.
Докажите тождество:
619. а) tg(^- + a)- tga = 1 + tg^ + a) tga;
6) tg a + tg P 4- tg a "~lg P = 2
tg(a + P) tg(a-P)
620. a) ctg(s + 0 = CtgSCtg/"^1; в) tg2/ = -2*1-.
' SV ^ ' ctgs+ctg/ У 5 1 — tga/
6) ctg(s-0= 1+ctgsctg';
&V ' ctg/ —ctg s
201

57. Формулы приведения. Формулы, получаемые из формул
я Зя л
сложения, когда один из аргументов равен —, я, —, 2я, называют-
ся формулами приведения тригонометрических функций. Они
позволяют свести вычисление значений тригонометрических функций
в любой точке к вычислению значений функций в точке,
принадлежащей отрезку 0, — L
Пусть, например, нужно вычислить sinf—+ Л. Имеем:
sin
1+')
sin — cos t + cos —sin /= 1 • cos t + 0 • sin /==cos t.
2 2
Итак, sin/ — + t\ = cos t (этой формулой мы воспользовались
выше, в п. 49).
Аналогично
cos/ (- /) = cos — cost— sin— sin/ = 0- cost— 1 • sin/= —sint.
\2 J 2 2
*(i+')-
cosfy+/
COS/
— sin/
= — Ctg^
sin (2ji — 0 = sin 2я cos / — cos 2n sin t = 0 * cost — 1 » sin i =
=— sin /.
Подобным же образом выводятся и остальные формулы
приведения; эти формулы сведены в следующую таблицу:
Функция
1 sin
cos
tg
ctg
Аргумент
я
1~*
cos/
sin/
ctg/
tg'
7+<
cos/
—sin/
~ctg/
-tg/
n —- /
sin/
—cos/
-tg/
-ctg/
я + /
—sin/
—cos/
tg/
ctg/
Зя
2
—cos/
—sin/
ctg/
tg'
Зя . 1
—cos/
sin/
--ctg/
1 ~tg/
2я — t\
—sin /
cos/
-tg'
-ctg/|
Для облегчения запоминания указанных в таблице формул
приведения можно рекомендовать следующее правило:
1) Считая, что 0 < t <—, находят, в какой четверти располо-
— ± '), определяют, какой знак имеет заданное
выражение в этой четверти, и ставят этот знак перед получаемым
результатом.
202

2) При замене я ± / или 2я — t на / название функции
сохраняют.
3) При замене — ± / или — ± ^ на / название синус меняют на
косинус, косинус — на синус, тангенс — на котангенс, котангенс —
на тангенс.
Пример 1. Упростим cos (— — Л.
Решение. 1) Считая, что 0 < / < —, находим, что числу
Ял*
— — / соответствует точка третьей четверти; косинус принимает
в третьей четверти отрицательные значения, поэтому перед
результатом ставим знак минус.
2) Так как упрощаем выражение от /, то заменяем
косинус на синус. Итак,
cos( —— t\ = —sin t.
Пример 2. Приведем к функции острого угла tg 302°.
Решение. Угол 302° лежит в четвертой четверти, а тангенс
в этой четверти принимает отрицательные значения. Далее имеем:
302° = 360° — 58°. Значит, при переходе к функции от 58°
название функции сохраняется. Поэтому
tg 302° = —tg 58°.
Упражнения
621. Используя формулы приведения, приведите синус, косинус и
тангенс угла а к функции острого угла и вычислите результат,
если угол а равен: а) 120°; б) 150°; в) 210°; г) 240°, д) 300%
е) 315°, ж) 330°.
622. Упростите выражение:
а) tg(2n-0 + ctg(|-^+tg(3t-0 + ctg(|— <);
б) sin (у + i\ + соз(я + t) + tg(j-*) + ctg(2n-0;
в) sin t — sin (t——) — sin (/ — n) — sin [t J — sin (t — 2я);
r) sin (90° + a) sin (180° — a) (tg (180° + a) + tg (270° — a)).
623. Докажите, что:
a) cos (45° + a) = sin (45° — a);
6)tg(f-<) = o,g(i + <).,
203

в) sln(* — n)-tg(/-f я) +
cos (2я — a) •— sin (л + a)
!
cos (2Я — /)
cos i\
ч Ш5 l^Jl OU bill 1 Jl -t- СЛ1 , / Л , \
r) i i i—!—f- = tg/ 1-a).
. / л \ /Зл \ V 4 7
slnU + a/+C0SU "" 7
624. Упростите:
v sin (90° + a) tg 132° cos 312° sin 270°
cos (180° + a) sin 222° ctg 42° cos 180° '
gv tg (270° — a) sin 130° cos 320° sin 270°
' ctg (180° — a) cos 50° sin 220° cos 360° '
625. Вычислите:
а) cos (я -f arccos — J; в) sin (я — arcsin 0,7);
б) cos(— +arcsin0,3J; r) sin(—— arccos 0,5J.
626. Решите уравнение:
а) cos (— x J — sin (я + x) = 1;
б) sin (n + x) + cos (— + x) = VW.
58. Формулы удвоения аргументов. Рассмотрим частные случаи
формул сложения при s = t.
Полагая s = t в равенстве
sin (s + /) = sin s cos t + cos s sin /,
получим:
sin 2/ = 2 sin t cost.
(9)
Полагая s = i в равенстве
cos (s + t) = cos s cos / — sin s sin /,
получим:
cos 2t == cos2 £ — sin2 f.
(10)
Полагая s = t в равенстве
tg(s + /)=-
получим:
\tg2t =
is + tgt
l-tgs tg/
2tg<
1 - tg2 <
(И)
204

Формула (11) справедлива при условии, что cost ФО и tg/Ф ±lf
Tt e# 1Ф^- + пк, (ф± — + пк, k€Z.
С помощью формул (9), (10), (И) можно выразить синус,
косинус и тангенс любого аргумента через тригонометрические функции
вдвое меньшего аргумента. Так, справедливы следующие
равенства:
sin х = 2 sin — cos —,
2 2
sin 5л: =3 2 sin — cos —,
2 2
cos (2a + Зр) =* cos2 (а + Ы - sin2 (а + Ы,
tg8* = 2tg4'
S 1 — tg2 4x
и т. д.
В ряде случаев полученные формулы применяют «справа
налево». Например, выражение 2 sin t cos t заменяют выражением sin 2t
(или выражение sin t cos t — выражением — sin 2t), выражение
cos2 t—sin2/ — выражением cos 2t и, наконец, выражение —n
1 — tg2 ^
выражением tg 2t.
Пример 1. Упростим выражение tg / — ctg t.
Решение.
a.^ i l^ i sin t cos t sin21 — cos2 t
Igt — ctg t = = =
cos t sin / sin t cos /
e cos» f-sin» < x_2.<2llL==^2c\u2t.
— • 2 sin/cos г
Мы воспользовались формулами (9) и (10) «справа налево».
Пример 2. Найдем sin 2t, cos 2t, tg 2t, если известно, что
tg/ = -4, -^-<*<я.
4 2
Решение. Воспользуемся формулой (11):
-И)
tg2/= 2tg^ = V 4/ ==_24
i-tg»< , / AV 7
-К)"
Чтобы вычислить sin 2/ и cos 2/, надо знать, чему равны sin t и
cos ty и воспользоваться формулами (9) и (10).
Имеем:
l+tg2*= 1
cos2/
205

Значит, cos21 =s =* = —. Поэтому I cos t | = —
i + tga/ n/ 3\2 25 ' 5'
1 +
HI
sin 2t
откуда находим, что либо cosf = --, либо cos /=*—-—. Но по ус-
5 5
я 4
ловию — < t < я, тогда cos t < 0. Таким образом, cos /==——.
Далее,
Sin; = cos*tg; = (-±). (-{)-£
-28ln<cos/-2. !.(-}) —|,
<W 2* ' 2У / 4\2 /3\2 16 9 7
cos 2/ = cos21 — sin2 ^ = — (— = = -j.
V 5/ V5/ 25 25 25
Упражнения
627. Вычислите:
а) 2 sin 15° cos 15°; в) 2 sin 75° cos 75°; д) sin2 -— cos2 —;
8 8
б) sin — cos —; r) cos215° — sin215°; e) 2 cos2 — — 1.
8 8 12
628. Вычислите sin 2a, cos 2a, если:
а) sina = --, 0< a <—; 6) cosa = , — <а<я.
о 2 о 2i
ft j2
629. а) Вычислите sin |3 и cos |3, если sin — = —, я < |3 < 2я.
2 lo
б) Вычислите sin \t и cos 4£, если cos 2t = —-, — </<—.
630. Пусть 0 < а <—. a) Докажите, что sin 2a < 2 sin a.
б) Может ли иметь место равенство sin 2a = 2 sin a?
в) Могут ли быть равными выражения tg 2a и 2 tg a?
Упростите выражение:
631. а) 1 — 2 sin2 a; в) 1 — 2 sin2 —;
8
б) 2cos2a— I; r) cos4— — sin4—.
8 8 _
632. a) (sina —cosa)2+sin2a; 6) 1+sin2a ; в) cos4/+2sin22/.
' v ' ' (sina + cosa)3 '
Докажите тождество:
633. а) 4 sin4 a + sin2 2a = 4 sin2 a; 6) cos 2^ + 2 sin2 t = 1;
206

в) 2cos2/ — cos2/ = 1;
cte2 / — 1
г) ctg 2/
2ctg/
ч 1 — cos 2/ + sin 21 . .
д) [ = tg t\
' 1 + cos 2/ + sin 2/
ч 1 — cos a-f cos 2a л.
e) = ctg a.
sin 2a —sin a
634. Вычислите tg 4a, если tg a = —.
5
Решите уравнение:
635. a) sin x cos x = —; 6) sin2 x — cos2 x = —.
636. a) cos 2л: = cos я; 6) cos 2л: = 2 sin2 x.
637. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции /,
если
а) f (х) = 3 — 2 sin х cos х\ б) / (*) = (sin х + cos x)\
59. Формулы понижения степени. Так как cos 2t *= cos2 / —
— sin2 /, a 1 = cos2 t + sin2 t, то
1 + cos 2t = (cos2 < + sin2 0 + (cos2 t — sin2 t) = 2 cos2 f
и
1 _ cos 2t = (cos2 * + sin2 t) — (cos2 t — sin2 0 = 2 sin2 t.
Итак,
1 + cos 2t = 2 cos2 f,
1 — cos 2t = 2 sin2 f,
отсюда находим, что
cos2 f
1 + cos 2/.
sin2 f =
1 — cos 2/
(12)
(13)
Формулы (12) и (13) называются формулами понижения степени.
Они позволяют преобразовать sin2 t и cos2 t в выражения,
содержащие первую степень косинуса двойного аргумента.
Например, используя формулы (12) и (13), можем получить
следующие равенства:
sin»-* = l-«**t
COSJ
—л =
l+cos(j-2/
3 J 2
Формулы (12) и (13) применяют и «справа налево» для
преобразования сумм 1 +cos2/,' 1—cos 2t в произведения. Например,
207

верны следующие равенства:
1 + cos 5л: = 2 cos2 —,
1 -cos(a + p) = 2sin2^±^.
Пример 1. Докажем тождество tg — = —^ .
2 1 + cos t
Решение. Знаменатель правой части преобразуем по
формуле (12), а числитель — по формуле синуса двойного аргумента.
Получим:
. t t t
2 sin — cos ■— sin —
sin/ 2 2 2^ _ , J_
1 + cos / ~~ t """ t ^ g 2"
2 cos2 — cos —
2 2
Пример 2. Вычислим sin4 x + cos4 я, если известно, что
cos 2x = — .
13
Решение. Воспользовавшись тем, что sin4 x = (sin2 х)2
и cos4 х = (cos2 х)2, применим формулы понижения степени.
Получим:
sin4 х + cos4 jc = (sin2 я)2 + (cos2 xf =
_5\a / _5\2
1—cos2jc\2 . /l+cos2.v\2 ( 13 J .1 + 13 )
-Ш+Ш-
'4\2 , /9\2 97
169*
Упражнения
638. Используя формулы понижения степени, вычислите синус,
косинус и тангенс углов: а) 22°30'; б) 15°; в) 7°30'.
639. Дано: cos t - -, 0 < * < —.
4 2
Вычислите: sin —f cos —, tg —.
2 2 2
640. Дано: sin 2a = — ~, 90° < a < 135°.
5
Вычислите: cos a, sin a, tg a.
641. Докажите тождество:
а) l+sina^2cos2(45°—у);
б) 1—sin a = 2 sin2 (45°-- —);
208

в) cos' / - cos2 (~ <) - yT Sin (t - 2'}
Упростите выражение:
642. a) l/"2(l+cos2a), у < a < я;
6) l/ - — - cos 4a, 45° < a < 90°.
643. a) i±£^; в) sina •
1 — cos 2t' 1 + cos a '
w4 l-r.sin2^ ч 1—cos 2a
6) —3£ ; r) e
1 + sin 2t sin 2a
644. Докажите тождество:
а) 2 sin2— + cos a = 1; 6) 2 cos2 a — cos 2a = 1.
645. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции /,
если: а) / (х) = 2 cos 2л; + sin2 х\ б) / (я) = 2 sin2 л: — cos 2x.
646. Решите уравнение:
а) 1 — cos х = 2 sin —; б) 1 + cos л; =* 2 cos —.
2 2
60. Преобразование суммы тригонометрических функций в
произведение. Рассмотрим сумму sin (л: + у) + sin (x — у) и
преобразуем ее, воспользовавшись формулами синуса суммы и синуса
разности. Получим:
sin (л: + у) + sin (х — у) = (sin x cos у + cos x sin у) +
+ (sin х cos у — cos x sin у) = 2 sin л: cos у.
Обозначим х + у через s и х — у через t.
Тогда s + £ = (х + у) + (х — у) = 2# и потому х = ^—.
s f
Далее, s — t = (л; + у) — (х — у) = 2у и потому у = ——.
Значит,
sins + sin/ ^sin^-iiCosi=l. (14)
2 2
Аналогично из равенств
sin (я + у) — sin (х — у) = 2 sin у cos л:,
cos (л; + у) + cos (л; — у) = 2 cos x cos у,
cos (х + у) — cos (л; — у) = —2 sin x sin у
209

выводятся формулы
sin s — sin t = 2 sin ^— coss-^—, (15)
cos s + cos t = 2 cos^t- cos^^-, (16)
2 2 V '
cos s — cos t = — 2 sin ^t- sin ^=—. (17)
2 2 v '
Пример 1. Преобразуем в произведение разность sin 42° —
— cos 62°.
Решение, cos 62° = cos (90° — 28°) = sin 28°; значит,
sin 42° — cos 62° = sin 42° — sin 28°.
Применив к разности синусов формулу (15), получим:
sin 42°— sin 28°= 2 sin42°-28°cos42°+28°= 2 sJn ?ocos ^
2 2
Пример 2. Докажем тождество
sin x + sin 2x + sin 3x
cos x + cos 2x + cos 3x
:tg2*.
Решение. Прообразовав в произведения сумму sin x +
+ sin Зх в числителе и сумму cos х + cos Зл: в знаменателе,
получим соответственно:
sin х + sin Зл: = 2 sin *+ cos x~~ = 2 sin 2x cos я.
2 2
cos x + cos Зл: = 2 cos cos *"~" = 2 cos 2л: cos x.
2 2
Значит,
sin x + sin 2л: + sin Зл: (sin x + sin Зл:) + sin 2л:
cos x + cos 2л: + cos Зл: (cos x + cos 3x) + cos 2л:
2 sin 2x cos x + sin 2л: sin 2x (2 cos л: + 1) sin2x
= tg2x.
2 cos 2л- cos л: + cos 2x cos 2л: (2 cos x + i) cos 2л:
Итак,
sin x + sin 2л: + sin Зл: __ , r>
cos л: + cos 2л: + cos 3x
Это тождество справедливо при следующих условиях:
cos 2л; Ф 0, 2 cos х + 1=^=0.
Упражнения
Преобразуйте в произведение.
647. a) cos 52° + cos 18°; б) cos a + cos 5a.
648. a) cos 78° — cos 18°; 6) cos (а — 20) — cos (а + 20).
649. a) sin 32° + sin 28°; 6) sin а + sin 7a.
210

650. a) sin -2- — sin -£-; 6) sin 3t — sin t.
5 10
651. a) tg 25°+• tg 35°; 6) tgs-tgf.
652. a) ——cos a; 6) 1 + 2 cos a.
653. a) YA- + sin /; в) cos t + sin t\
2
6) 2 sin t — V^\ r) cos t — sin /.
654*. Докажите, что если а + P + у = я, то выполняется
равенство:
а) tg a + tg Р + tg y = tg а tg P tg у;
б) sin а + sin Р + sin у = 4 cos— cos-^- cos—.
' г i 2 2 2
Докажите тождество:
655 a) sin(a + P) + sin(q-P) = t б) cos(a""P)""cos(a + P>=tga,
* ' cos(a + P)+cos(a-p) sin (a + Р) - sin (a - fo
656. a) sin2 (a + P) — sin2 (a — P) = sin 2a sin 2P;
6) cos2 (a — P) — cos2 (a + P) = sin 2a sin 2p.
Преобразуйте в произведение:
657. a) sin a + sin p + sin (a — P); 6) cos a + cos p + sin (a+P).
658. a) 1 + sin t + cos t\ 6) 1 — sin t — cos t.
659. Решите уравнение:
а) cos x + cos Зл; = 0; 6) cos x = cos 5л:.
660. Исходя из определения монотонности функции, докажите,
что функция: a) sin х на отрезке ——, — возрастает и на
отрезке —, — убывает;
б) cos х на отрезке [0, я] убывает и на отрезке [я, 2я]
возрастает;
в) tg#B промежутке ——, — возрастает.
61*. Преобразование произведения тригонометрических
функций в сумму. Здесь мы получим формулы, позволяющие
преобразовать произведения sin s cos t, sin s sin t9 cos s cos t в суммы
тригонометрических функций.
Складывая почленно равенства
sin (s — t) = sin s cos t — cos s sin t
и
sin (s + f) = sin s cos t + cos s sin /,
получаем:
sin (s— t) + sin (s + t) = 2 sin s cos t.
211

Значит,
sin scos / = — (sin (s— t) + sin (s + /)). (18)
Аналогично доказываются следующие две формулы:
cos scos / = -~(cos (s— t) + cos (s + 0), (19)
sin s sin t = — (cos (s — 0 — cos (s + t)). (20)
Для этого достаточно почленно сложить и вычесть равенства
cos (s — t) = cos s cos £ + sin s sin /,
cos (s + t) = cos s cos / — sin s sin /.
Пример. Преобразуем в сумму произведение sin 43° cos 19°.
Решение. Воспользовавшись формулой (18) при s = 43°,
/ = 19°, получим:
sin 43° cos 19° = 1 (sin (43° — 19°) + sin (43° -J- 19°)) «
= -(sin 24° +sin 62°).
Упражнения
661. Преобразуйте в сумму произведение:
а) cos 35° cos 5°; е) cos (a — (3) sin (а + Р);
б) 2 cos 35° sin 5°; ж) sin (60° + а) sin (60° — а);
в) 2 sin 35° cos 5°; з) sin а sin р cos (а + р);
г) sin 35° sin 5°; и) cos (ос + Р) cos (а — Р).
д) cos 2а cos ЗР;
662. Пользуясь формулами преобразования произведения в сумму,
докажите следующее тождество:
а) 2 sin t sin 2t + cos 3/ = cos /;
б) sina — 2sinf— — 15°)cos(— + 15°)«-.
663. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
а) sin (х + —) cos (х — --Л б) sin (x — 60°) sin (x + 60°).
Решите уравнение:
664. а) cos (х + —) cos (х — —) + 0,75 = 0;
б) sin/* + -j)cos(x — у) = *•
665*. а) sin 2x cos х = sinxcos2x; б) cos 2x cosa;=cos 2,5л: cos 0,5*.
212

62. Решение тригонометрических уравнений. Имеются два
основных метода решения тригонометрических уравнений: метод
введения новой переменной и метод разложения на множители.
Оба этих метода применяются для сведения данного
тригонометрического уравнения к более простому уравнению или к
совокупности более простых уравнений.
Пример 1. Решим уравнение
2 cos2 х + 14 cos x = 3 sin2 x.
Решение. Так как sin2 х = 1 — cos2 x, то данное уравнение
можно переписать следующим образом:
2 cos2 х + 14 cos x = 3 (1 — cos2 #),
или
5 cos2 x + 14 cos x — 3 = 0.
Положив cos x = z, получим квадратное уравнение 5z2 + 14z —-
— 3=0. Решая это уравнение, находим: гх == —, z2 = —3. Значит,
5
либо cos х = --, либо cos х = —3. В первом случае получаем:
5
х = ± arccos—Ь 2я£; второе уравнение не имеет решений, так
5
как | cos х\ ^ 1. Итак,
х = ± arccos■— + 2nky k€Z.
5
Метод введения новой переменной удобен при решении так
называемых однородных уравнений, т. е. уравнений вида a sin x +
+ Ь cos х = 0 (однородное уравнение 1-й степени), a sin2 я +
+ Ь sin х cos я + с cos2 я = 0 (однородное уравнение 2-й степени).
Пример 2. Решим уравнение 8 sin х — 7cos x = 0.
Решение. Значения х, при которых cos x равен нулю, не
удовлетворяют данному уравнению, так как тогда получили бы,
что и sin х = 0, a cos x и sin я не могут одновременно обращаться
в нуль. Поэтому можно разделить обе части уравнения почленно
на cos х. Получим: 8tg х — 7 = 0, откуда tg х = —; следователь-
8
7
но, х = arctg—Ь nk, k € Z.
8
Пример 3. Решим уравнение
sin2 х + 2 sin x cos я — 3 cos2 # = 0.
Решение. Здесь также те х, при которых cos2 x = 0, не
являются корнями заданного уравнения, поэтому можно разделить
обе части уравнения на cos2 x. Получим:
tg2 х + 2tg x — 3 = 0.
213

Полагая tg x = z, приходим к квадратному уравнению
г2 + 2г — 3 = О,
откуда находим: гх = —3, г2 = 1. Решая, наконец, уравнения
tg л; = —3 и tg х = 1, получаем:
л: = arctg(—3) + я& или х = — + nk, k£Z.
4
Пример 4. Решим уравнение
5 sin2 х + УЗ sin x cos x + 6 cos2 я = 5.
Решение.
5 sin2 x + J/3 sin л: cos x + 6 cos2 x = 5 (sin2 * + cos2 #),
откуда
УЗ sin x cos x + cos2 * = 0.
В полученном уравнении отсутствует член вида a sin2 x. Здесь уже
делить обе части уравнения на cos2 x нельзя, так как те значения х>
при которых cos2 х = 0, удовлетворяют данному уравнению, а
потому деление на cos? x приведет к потере корней. Мы поступим по-
другому: разложим левую часть уравнения на множители.
Получим: cos х ("УЗ sin х + cos x) = 0.
Теперь задача сводится к решению двух уравнений:
cos х = 0 и УЗ sin х + cos x = 0.
Из первого уравнения находим: х =— + я£, k € Z.
Второе уравнение — однородное. Разделив обе его части на cos x,
получим: tg х ** —J-g-5 откуда х = — — + яЛ, k € Z.
Итак, л: = 1- я&, л: = \- nk, & € Z.
Пример 5. Решим уравнение
sin 5л: + sin x + 2sin2 x = 1.
Решение. Применим к sin Ъх + sin л: формулу для суммы
синусов и воспользуемся тем, что 2 sin2 х = 1 — cos 2х. Тогда
уравнение примет вид
2 sin Зх cos 2л: + 1 — cos 2л: = 1
и далее
cos 2л: (2 sin Зл: — 1) = 0. -
Значит, либо cos 2х = 0, либо 2sin Зх — 1 =0.
Из уравнения cos 2х = 0 находим:
2х = — + nk, т. е. х = — + —, k£ Z.
214

Из уравнения 2 sin Зх — 1 =0 находим: sin Зх = —, откуда
3x = f + 2nk, т. е. x = ^ + 2-f, kiZ
или
— + 2лй, т. е. *= - + —, k£Z.
Зх = п*
Таким образом, решение данного уравнения таково:
Упражнения
Введя новую переменную, решите уравнение:
666. a) 2sin2A; —3sinx +1=0; б) tg22x + tg2x = 2.
2 cos2 *
si; б) 4cos2л: + sinx == 1.
7 cos я — 3
668. a) 2 cos2 Зл; = 3 sin 3x\ t> в) cos \x + 2 cos2 2л; = 0;
I*+5 1
667. a)
a)
6)
r) 2 sin2 л: + cos \x = 0.
2 cos2 x
669. В прямоугольном треугольнике ABC синусы углов образуют
геометрическую прогрессию. Вычислите Л, Б, С.
670. В прямоугольном треугольнике длина проекции одного из
катетов на гипотенузу вдвое больше длины второго катета.
Найдите величины углов треугольника.
671. Решите однородное уравнение:
а) ]/~3 sin х + 3 cos x = 0;
б) 3sin2 х = cos2 x\
в) sin2 х + 5 sin x cos x + 4 cos2 л; = 0;
г) cos2 5л: + 7 sin2 Ъх — 4 sinlOx= 0.
672. Решите уравнение, сведя его к однородному:
а) 3 sin2 х — 7 sin x cos x + 6 cos2 я = 1;
б) 4 sin2 л: — 2,5 sin 2л: + 7 cos2 х = 3.
Решите уравнение методом разложения на множители:
673. a) cos2 л: —cos л: = 0; б) 2sinx — sin2*; = 0.
674. a) sin 2л: + sin 4л: = 0; б) cos Зл: == cos 5x.
(Зх Зх\%
sin cos— =1—sin 5л;.
676. Решите уравнение:
а) sin х + ]/~3 cos х = 1; в) cos x — ]/~3 sin x = У2;
б) sin 2л; + cos 2л: = 1; г) yl$~cos 2л: = 2 sin x cos х — УЗ.
215

677*, Дано уравнение (относительно z)
(2 cos2 x)z2 — (4 cos x)z + 4 cos2 x — 1 =0.
При каких значениях х уравнение имеет действительные
равные корни?
63. Основные результаты.
1. Формулы, связывающие тригонометрические функции одного
и того же аргумента:
sin2 / + cos2 / = 1,
l+tg2^ = —L-, /^iL + яб, kZZ,
cos21 2
1+ctg2* =——, t^nk, kZZ,
sin2/
tgtdgt=i t^-jk* KZ*
2. Формулы, связывающие функции аргументов, из которых
один вдвое больше другого:
sin 2t = 2 sin / cos /,
cos 2/ = cos2 t — sin2 t,
tg2/ = T^7' ^т + я*' ^±т + я*' KZ'
sin»/—1-"*2'
COS2 / =
2 '
1 + cos 2t
2
3. Формулы сложения:
sin (s ± t) = sin s cos / ± cos s sin /,
cos (s ± 0 = cos s cos ^ T sin s sin t,
l=Ftgstg< 2
4. Формулы преобразований сумм в произведение!
sin s + sin f =s 2 sin —— cos ,
sin s — sin t = 2 sin cos ——,
2 2
cos s + cos / = 2 cos —!— cos -
2 '
cos s — cos t = — 2 sin —5— sin ——
216

5*. Формулы преобразований произведений в сумму:
sin s cos / = — (sin (s — t) + sin (s + 0)»
cos s cos t = — (cos (s — t) + cos (s + 0)>
sin s sin t = — (cos (s — 0 — cos (s + /))•
6. Формулы приведения.
jtfe
Если тригонометрическая функция от аргумента — ± if
заменяется функцией от аргумента ft то:
а) перед получаемым результатом ставится тот знак, который
имело бы заданное выражение при условии, что 0 </<—;
б) при замене я ± t или 2я — t на t название функции
сохраняют;
л Згт
в) при замене —± t или — ± £ на £ название синус меняют
на косинус, косинус — на синус, тангенс— на котангенс,
котангенс — на тангенс.
Дополнительные упражнения
К пункту 54
а з") = — lyq- и я < а < у.
Найдите cos а и sin а.
б) Дано: sin (45° — а) =; —-, — < а < —. Найдите sin а.
К пункту 55
679. Дано: cos (40° + а) = а, 0 < а < 45°. Вычислите sin(70°+ а).
680. Упростите выражение:
в!п(4бо-а)+51п(4У + а) в) cosa + tg/sin2ft
' cos (45° — а) + cos (45° + а) ' * &
б) sin 2t ctg / — cos 2ft г) cos2 / — sin I— + i\ sin (— — t\
681. Докажите тождество:
sin/ + 2sin(-~-— t)
a) V3 J = КЗ ctg ft
2 cos f у — Л — }/" 3 cos /
217

б) — sin 15° + cos 15° = sin 45°;
в) cos2^-^) + cos2(a + ^) + sinea = |.
682. Докажите неравенство:
а) sin (a + Р) < sin a + sin p, где a и р — острые
положительные углы;
б) sin 75° + sin 15Q > 1;
в) sin 25° + sin 85° > if cos 25Q.
683. Постройте треугольник ABC и проведите в нем высоту CD.
Пусть Л = а, В = р. Исходя из геометрических соображений,
докажите формулу для острых углов а и Р:
sin a cos P + sin P cos a =* sin (a + P)«
684. Постройте график функции / (x) = cos x + sin x двумя
способами:
а) сложением ординат соответствующих точек графиков у =
= cos х, у =5 sin х\
б) сведением данной суммы функций к одной функции
(используйте тождество cos ж+sin х= V^(^— cos x + L-L sin x)\
Найдите наибольшее и наименьшее значения данной функции.
Чему равен период функции?
685. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
а) cos х — sin х\ б) cos х — У~Ъ sin x.
686. Решите уравнение:
а) cos х cos 2x — sin x sin 2х = 1; в)* cos х — УН sin х = 1;
б) sin 2x ctg х — cos 2x =* cos х\ г) cos 2х — cos2 х = .
4
К пункту 56
687. Дано: tg а =* —0,5, tg р = 3, -J- < a < я, 0 < р <-. Вы-
числите a + р.
688. Дано: tg a =* 1,(6), tg P = 0,25, a, P — острые
положительные углы. Вычислите a — р.
689. Докажите тождество:
\ i^ 1^/лсо \ 1—tga. ч cos a + sin a х^/я . \
а) tgatg(45° — a) = ——f— в) ^—m— = tg — + a ;
1 + ctg a cos a — sin a \ 4 /
*\ f^ \rr*(n 1 \ tga+1. v cos a —sin a xrt/Jt \
б) tgatg — +a =-2—i—; r) ——— tg - a.
\ 4 у ctg a — 1 cos a + sin a \ 4 /
218

К пункту 57
690. Считая а острым положительным утлом, дайте
геометрическое доказательство тождеству:
а) cos (— + а) = — sin а, sin (— + а) = cos а;
б) cos (л — а) = —cos а, sin (я — а) = sin а.
691. Дайте геометрическое истолкование тождеству:
a) cos ( х) = sin г, б) tg ( х J = ctg х.
692*. Докажите формулу:
а) sin (х + nk) = (—1)* sin x9 k 6 Z;
б) cos (x + nk) = (— \)k cos x, k € Z.
693*. Упростите сумму:
sin x + sin (x + n) + sin (x + 2л) + ... + sin (x + kn).
К пункту 58
694. Считая а острым положительным углом, выразите sin a и
cos a:
а) через sin— и cos—; б) через sin—; в) через cos—.
695. Упростите выражение:
а) (tg/ + ctg0sin2/; в) ^2М§* ;
v s ^ s ' ; tg 2/ - tg t
; l + tg* ^ I — tg/ ' ' ctg3/ctg< #
Докажите тождество:
696. a) ctg a + tg a = -Д-; B) sin 2/ — tg/ = cos 2t tgft
sin 2a
б) — — = ; r) ctgt — sin 2t = cos 2/ctg/.
' l_tg2a 1—ctg2a cos2a ' & s
697. a) sin2/ = 2igt ; 6) cos2/ = LzilL'.
i + tg2/' ' 1+tg2*
698. Постройте равнобедренный треугольник ABC, где | Л5| =«
= \BC\, В= 2а. Применяя формулу площади треугольника и
определения синуса и косинуса острого угла, докажите
формулу
sin 2a = 2 sin а cos а.
219

699. В равнобедренном треугольнике синус угла при основании
равен —. Определите синус и косинус угла при вершине.
700. Решите уравнение:
a) sin 2х + |/"2 sin х = 0; б) ctg х — tg х = tg 2x.
701. Найдите основной период функции:
а) sin — cos—; в) cos42а: — sin42г,
б) cos2 л; — sin2 r, г) sin4 — -f cos4 А
7 7 2 2
702*. Дано уравнение относительно х
(sin 2t)x2 — 2 (sin / + cos /) x + 2 = 0.
He решая его, составьте другое квадратное уравнение, корни
которого были бы квадратами корней данного уравнения.
К пункту 59
Упростите выражение:
703. a) ctg а (1 — cos 2а); б) tg а (1 +"cos 2а).
704. а) 2 sin2 (45° — а) + sin 2а; б) 2 cos2 (45° — а) — sin 2а.
Докажите тождество:
705. a) _*!£2L.r£2iLetgl;
' l+cos2/ 1+cos/ s 2
t
cos—■
6^ sin2^ ^ cos/ ^ 2 _ , J_
' l+cos2/ ' 1+cos/ ' , t ~ч § 4#
1+cos-j
-Ал v 1 — cos 2a + sin 2a . ,
706. a) — *= tg a;
1 + sin 2a + cos 2a
^4 1 + cos 2a — sin 2a . / я \
0) —■ =5 tg a .
' 1 + sin 2a + cos 2a \4 J
707. В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине
7
равен —. Вычислите синус и косинус угла при основании.
708. Решите уравнение:
а) 1 — cosх s= sin x sin —; 6) sin.x; = tg2~ (1 + cosx).
709*. Вычислите:
а) sin2 [— arccos~-j; в) sin( — arccos 0,4);
б) cos2 (— arccos ■— J; r) tg (— arccos 0,4 j.
220

710. Упростите выражение:
у\ — cos 2t + V\ + cos 2/, / € |y; nj.
К пункту 60
Преобразуйте в произведение:
711 *\ sina-sinp, б) tga~tgP
; sina+sinp' ' tga + tgp*
712. а) 1 + sin / + cos / + tg /; б) 1 + sin i — cos t — lgt.
713. a) cos / + sin 2/ + cos 3/ + sin it;
6) sin / + sin 2/ + sin 3/ + sin At.
714. Полагая, что Л, В, С — острые углы треугольника,
докажите:
**Ч *«"Ч ,-4
** *'4 ^ ABC
а) sin Л + sin fi + sin С = 4 cos— cos — cos —;
' 2 2 2
^ ^ ""4 ABC
б) sin Л -fsinfi — sin С = 4 sin — sin — cos—.
' 2 2 2
715. Решите уравнение:
а) sin Зле + sin x = 2sin 2x\ 6) tg x + tg 3a: = 0.
716. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
sin х — cos x + 3.
717. а) Найдите наибольшее значение суммы катетов
прямоугольного треугольника, если длина гипотенузы равна с.
б) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см.
Может ли сумма катетов равняться 30 см?
К пункту 62
718. Решите уравнение:
1 — COS2 X tg X
6) sin* =0; г) sin3xctgx = 0.
1 — cos Ax
719. а) Тангенсы половинных углов прямоугольного треугольника
составляют арифметическую прогрессию. Найдите величины
углов.
б) В равнобедренном треугольнике проекция одной боковой
7
стороны на другую боковую сторону составляет — основания.
6
Вычислите углы треугольника.
в) Вычислите углы ромба, если отношение его периметра к
сумме длин диагоналей равно т. В каких границах может
заключаться величина т>
221

Решите уравнение:
720. а) 2 cos2 х + sin х = 2; в) 4 sin2 x + sin2 2x = 0;
б) j/2"sin2 л: + cos л: = 0; г) 4cos2 2* + 8cos2 * = 7.
721. a) sin Зл; = cos 2л;; б) cos Ъх = sin 15л:.
722. a) cos4 х — sin4 х = sin 4л:; в) 2 sin л; — 3 cos х = 3;
б) 3 sin 2л: + cos 2л: = 2; г) 2 cos2 х — 1,5 &in 2л; +
+ 5 sin2 х = 3.
723. a) sin2 x + sin2 2л: + sin2 Зл: = 1,5;
б) cos2 x + cos2 2л: + cos2 Зх + cos2 4л: = 2.
ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
К § 1
724. Дана функция /, где
( 1, если х £ Q,
f (х) =
(—1, если х ё /.
Вычислите: /(|), /(0,(4)), / (j/З), /(]/Тб), /(lgKlO),
f (sin 30°), / (cos 30°).
725. Решите неравенство:
а) |Зл: — 71 < 5; б) |3 — 2х\ > 5.
Множество решений изобразите на координатной прямой.
726. Рационально или иррационально значение выражения:
\ 7 4,2
а) -\ = —5
2 —1/"2 3-/5 /5 4-/2
б) /2~+1 j /2"-! /2"+3?
/2"—1 /2"+1 /2"
727. Найдите область определения функции Д если:
а)/(*) = 21/7=1 Д=^; б)/(jc) = Vrj?=T+——.
7 ' v ' /4 - а; ' 'v ' 4g (*—а)
728. Дана функциям
а) —2л: — л;2; б) л:2 — Зл;.
1) Выделив полный квадрат, постройте график функции.
2) Найдите корни функции и координаты вершины параболы.
3) С помощью графика оцределите^Е (/).
4) Запишите промежутки возрастания и убывания функции.
5) При каком значении х функция принимает наибольшее
(наименьшее) значение?
222

6) При каких зна*яениях х функция положительна и при
каких — отрицательна?
729. Постройте график функции:
а) |* + 2|; б) -1*1 + 2.
730. Решите графически уравнение == х2 — 2х —- 2.
х— 1
К§ 2
8
731. Дана функция f(x)
х + 2
а) Докажите, что она является бесконечно малой при
ЛС-> +оо.
б) Найдите какое-нибудь значение х, при котором
выполняется неравенство \f {х)\ < 0,004.
в) При каких значениях х выполняется неравенство \f {х)\ <
<е?
г) Постройте график функции /.
732. Применяя определение предела функции при дс-> +оо, дока-
жите, что li m — °
^-►-J-ao X -f- 2.
733. Вычислите предел:
"> Ьт f Г" ; б) lim
\з
я-осЛ-гдс + уТ*2' ^оо (х + 4)(л:+1)3
734. а) Найдите формулу n-го члена последовательности:
JL JL A Z. А
2* 41 6' 8* 10' •", а"' '" '
JL A A Z А л
2f 4' 8' Ю' 32' '"' Л* ""•
б) Найдите lim an и lim 6Л.
«->оо Я-*оо
735. Вычислите lim - 1пУ2~1)%
П-»оо (П - УЗ) (П + V3)
К §3
736. Покажите, что функция /, где f (х) = 3 (4 — х) (2а:2 — 4),
бесконечно мала при # ->- —У2.
737. Применяя определение предела, докажите, что
а) liml±i = l; б) lim — = 2.
дг-^1 л: -J- 3 2 дг_>_2л; + 4
738. а) Вычислите предел lim
х2 — х — 6
г__2 X2 — 4
б) Почему нельзя было непосредственно подставить в
выражение значение х = —2?
223

в) Почему при вычислении предела возможно сокращение на
х + 2?
739. Дана функция /, где
\—х + 2, если х ^ 1,
f(x) = 2л:2, если |*| < 1,
I х + 3, если jc < — 1.
а) Начертите график этой функции.
б) Укажите промежутки монотонности функции.
в) Укажите точки разрыва и значения функции в этих точках.
г) Найдите промежутки непрерывности функции /.
740. Методом промежутков решите неравенство:
а> / + 2 ,9<°' б) *2-'-20>о.
х2 — х — 12 х + 1
741. Применяя определение непрерывности, докажите, что
функция я3 — х непрерывна на всей числовой прямой.
К § 4
742. Используя определение производной, найдите производную
функции:
а)—*8—*; б)
1-х
2 * , 1 v2
743. Решите неравенство /' (х) > g' (х), где f(x) = — х3 + -г*2 +
+ Зх + 5; g(x) = х2 + -х3 + 5а: — 5.
744. Найдите производную функции:
а) ^Ц б) (ж2 - 1) VT+~2.
3 + дс
5,—
745. а) В какой точке линии у —у х касательная наклонена к оси
х под углом 45°, 30°?
б) Найдите уравнение касательной к кривой у = 2х3 — хь
в точке (—1; —1); (1; 1).
746. Материальная точка движется прямолинейно по закону
sm = — -;3 + -*2 — 1 (вм).
w 6 2 v
Найдите момент времени /, когда скорость равна: а) 0;
б) 12 м/с.
747. Исследуйте функцию / и постройте ее график:
а) / (х) = 2х2 - 4х + 1; б) / (х) = -~х2 + 2* — 1.
224

К § 5
1 Я
748. а) Постройте график функции—л:3—л:.
о
б) Найдите уравнения касательных,
1 ч 6
проведенных к кривой у= -- лг* — х
о
через точки пересечения этой
кривой с осью абсцисс.
749. Среди прямоугольников, вписанных
в данную прямоугольную трапецию
(рис. 169), найдите прямоугольник, имеющий наибольшую
площадь.
750. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции / на
отрезке [а, Ь], если:
—2, Ь = 2;
б) / (*) = /г* — 1, а = 1, b = 3.
К § 6
Вычислите длину дуги окружности (с точностью до 0,01) pa-
751.
диуса R = У"2 см, если она содержит 1,378 радиан.
752. Упростите выражение:
tgf.
ctg ^ .
- sin t)
ч sin2 t , cos2 /
a) ТЗГТ +
6)
tg2/ ctg2/
cos8f —2sin/(l
(1 — sin /) cos / + (1 + sin t) cos t
2(1 4-sinQ
1 — sin*
Результат проверьте при t = —.
6
753. а) Дано: cos t
V3
т-'<Ь![-
Найдите sin t> tg t, ctg t.
б) Дано: sin* = ~, / б|-|, J.
Найдите cos t, tg /, ctg t.
754. При каких значениях t выполняется равенство:
а) У 1 — sin2 / = —cos t; б) tg * • ctg * = 1?
755. Решите уравнение:
a) s\n(5t—-)=l
п
т
756. Вычислите:
a) arcsin (-YA.
\ 2
8 Заказ 87
б) 3 tg 2^— ]/~3=0.
б) cos(arccos0,3);
225

в)* arcsin (sin—); г)* sin ( 2 arcsin--).
757. Найдите область определения функции:
ч 3 ^ч sin / — 1
а) о ^ , ,лН б)
2 cos t — Уз ' 2 sin / + 1
К § 7
758. Докажите, что:
а) функция 1 Н—— является четной;
sin х
б) функция х cos х является нечетной.
759. Определите знак:
а) cos 1000° tg 820°; б) sin 19,3 cos 9,1я tg 9,9я.
760. а) Постройте график функции2 sin (х——) + 1.
б) Сколько действительных корней имеет уравнение
2sin^ —|)+1=х2?
в) В каких точках график функции пересекает ось координат?
761. а) Постройте график функции tg (—х).
б) С помощью графика найдите решения неравенства
tg(-*)<l.
К §8
762. Вычислите sin (— —а) и cos (— + а), если sin а = и
з
Ж а<—я.
2
763. Упростите выражение:
a) cos 140° cos 220° — sin 220° sin 320°; 6) 2tg75° .
; ' i-tg275°
764. Докажите тождество:
a) cos;+s!n;=tg(^+;);
cos / — sin t \ 4 /
л\ * cos а о Л /л . a
б) = 2 cos
'я a\ V4 2
sin — -f л
1 4 2
765. Упростите:
cos* sin? n . .
r- < / < л.
У1 — cos 2t У 1 + cos 2t ' 2
226

6)* cos2 a
766. Преобразуйте в произведение
а) 1 — 2 cos t + cos 2/;
767. Решите уравнение:
а) 1 — cos 2х = sin х на отрезке [—я, я];
б) sin2 х — cos 2x = 2 — sin 2x.
sin2 p.
§ 9. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
64. Вычисление некоторых пределов, связанных с
тригонометрическими функциями. Из семизначных таблиц тригонометрических
функций находим, что sin 1 = 0,8414709, sin 0,1 = 0,0998334,
sin 0,01 = 0,0099998. Если разделить sin x на х и округлить ответ
до пяти знаков после запятой, то получим следующую таблицу:
X
sin*
X
i
0,84147
0,1
0,99833
0,01 j
0,99998
Из таблицы видно, что по мере приближения х к нулю значения
функции ^2J: приближаются к единице. Так как sln *""*' =
х. . —х
•^sin х sin x sin x
= = , то приближается к единице и в случае,
когда х приближается к нулю, пробегая отрицательные значения.
Сделанные наблюдения позволяют предположить, что справедливо
следующее утверждение:
Теорема. Предел функции1 ^-^~
при х-+0 равен 1;
lim
*->о
sinjc
1.
(1)
Доказательство этой теоремы мы опускаем. Отметим лишь
ее геометрический смысл. Если центральный угол,
опирающийся на дугу АВ окружности радиуса
R, содержит 2х радиан, то длина этой
дуги равна 2Rx, а длина стягивающей ее
хорды равна 2R sin x (рис. 170). Поэтому
2R slnx \АВ\
sinjt
X
2Rx
АВ
Заметим, что при х = 0 функция не
х
определена, поскольку и числитель, и знаменатель
обращаются в нуль.
Рис. 170
227

Тогда равенство (1) можно переписать следующим образом:
lim ^
АВ-+0 АВ
1.
Из этого равенства видно, что если длина дуги окружности
стремится к нулю, то отношение длины стягивающей ее хорды к длине
дуги стремится к единице.
Формула (1) позволяет вычислить некоторые пределы,
содержащие тригонометрические функции.
Пример 1. Докажем, что lim —— = 1.
t-*o 3/
Решение. Положив 3/ = х и заметив, что если t -> 0, то и
#-> 0, получаем:
limsm3/=limsin,;
1.
t+o 3t *-о х
Аналогично устанавливается, что вообще
lim
'-о
slnkt
kt
1.
Пример 2. Вычислим предел lim
к
sin-— h
2
h
Решение. Заметим, что
sin — h
2
sin—Л
2
Так как
lim
ft-0
k
sin— h
2
lim
fa->0
= 1, TO
sin --h
2
sin—Л , sin— h
«limA.-J-.iHm—?-
fc-*0 2 k t 2 h-+Q k .
7"
Jh
К , К
Пример 3. Вычислим предел lim-—.
F v * t^o sin It
Решение. Преобразуем выражение
sin At
так, чтобы в
sin 7/
него входили частные от деления синусов некоторых аргументов
на эти аргументы или от деления аргументов на их синусы:
sin 4/ sin At It At
sin it
At
sin It It
228

Но тогда
limsJ!l£elims,n4/
It At
t-+o sin 7t
4 ,. sin At
= — lim
lim 7t
sin It It
__4
~Шъ sin 7* 7
7 /->o 4/
Пример 4. Вычислим предел lim —
r r *->o *
Решение.
,. tg* 1: sin* ,. sin* i.
hm -s— = lim = lim lim -
1 • 1 =
1
*-*0
*_>o*cos*
*-o
x->0 COS*
cosO
= 1.
tx ,. sin* , t. tg* «
Из равенств lim == 1 и lim -^- = 1 следует,
*»0 * x-*0 *
что при
малых значениях \х\ верны приближенные равенства sin x ж х и
tg х « х, например: sin 0,12 « 0,12, tg Г = tg— « —« 0,0175.
& г 180 180
Вычислите предел:
768. a) Hm ^;
AT-0 3*
sin 2*
769. a) lim
770. a) lim
х-+о 3*
sin 2*
Упражнения
^ч ,. sin 2*
б) lim .
х-»0 X
б) lim -
*_osin4*
771.
772.
а)
а)
6)
lim
lim
х-+о
lim
sin2*
2*2
1 — cos 2*
1 — cos *
X-*Q
2*
sin*
773. a) lim
ЛГ-*00 *
*_*0sin3*
^4 .. sinm*
6) lim .
x-+o sin nx
sX r sin2 2*
6) lim .
*->o *2
в) nm^;
*-*0 O*
r) Hm(A:ctg3A:).
6) lim s-^.
Я *
*—4
774. Найдите приближенное значение для
a) sin 0,035; б) sin Г; в) sin 2°30'; r) tg 3°; д) tg 0,025;
е) sin 2° + tg 2°; ж) cos 2°; з) ctg 0,06.
Сравните полученный ответ со значением, приведенным в
таблицах В. М. Брадиса.
229

65. Дифференцирование тригонометрических функций.
Вычислим производную функции sin kx:
f (х) = sin kx\ f (x + h) = sin k (x + ft) = sin (kx + kh).
Найдем приращение функции:
f(x + h) — f(x) = sin (kx + kh) — sin kx =
= 2smkx + kh-kx.coskx + kh + kx = 2s\n±hcos(kx + ±h\
2 2 2 \ 2 J
По определению производной имеем:
Hm/(* + »>-/(»> вц:
fc / ft \
2 sin — ft cos (/гя -f — ft 1
(sin kxY = lim ' v' ' -/—^-^ = nm
= 2 lim
sin — ft
2
. lim cos (kx -\— ft].
sin у ft
В примере 2 пункта 64 мы видели, что lim
л-о ft
В силу непрерывности косинуса
lim cos f kx -4— ft) = cos kx<
В итоге получаем:
• k и
sm^h f k \
(slnkxY ^=2 lim lim cos [kx H—ft =2>
Итак, справедливо равенство
(sin kx)' = k cos kx.
— £oskx=kco$>kx.
2
(2)
Точно так же доказывается, что
(cos kx)' = —k sin kx.
(3)
Из этих равенств, в частности, получаем, что
(sin х)' = cos х9 (4)
(cos x)' = —sin x. (5)
Пример 1. Найдем угол, который образует с осью абсцисс
касательная к графику функции sin x в начале координат.
Решение. Так как (sin x)' = cos x, a cos 0 = 1, то
производная функции sin х при х = 0 принимает значение 1. Это
значение и равно угловому коэффициенту касательной к графику функ-
230

y=5tnx
Рис. 171
ции sin x в начале координат:
k = 1. Значит, касательная
образует с осью абсцисс угол 45°
(рис. 171).
Пример 2. Найдем
точки экстремума функции sin*.
Решение. Найдем
производную функции sin x:
(sin х)' = cos x.
Решая уравнение cos х = О,
получаем: х =— + nk, k € Z. В этих точках sin я принимает
значения 1 или —1, —это точки экстремума. Касательные к
графику функции в точках экстремума параллельны оси х — это
прямые у = 1 и у = —1 (рис. 172).
Пример 3. Найдем производную функции cos3 x.
Решение. Воспользовавшись формулой (/3)' = З/2 • /',
получим:
(cos3 х)' == 3 cos2 х (cos x)' = —3 cos2 x sin x.
Пример 4. Найдем производную функции tg kx.
Решение. Воспользовавшись формулой
дифференцирования дроби, получим:
/sin kx\f (sin kx)r cos kx — sin kx (cos kx)'
(tgkxy.
\cos kx)
k cos kx cos kx — k sin kx (-
- sin /г*)
cos2 kx
k (cos2 /гх + sin2 kx)
Итак,
cos2 kx
cos2 kx
(tg **)' = ■
/г
cos2 /г*
Так же выводится, что
(ctgb)' =
В частности, (tgx)' =
sin2 kx
(ctg*)'=-.
1
cosa * ' ' sin2 x
Пример 5. Найдем производную функции sin (kx + b).
rW
-ял
n
Z2\
)ZL
t/=SL/7X
Гщ^ГГ
}Zn x
Рис. 172
231

Решение. Имеем:
sin (kx + b) = sin kx cos b + cos kx sin b.
Значит,
(sin (kx + b))f = (sin ftx cos b + cos ft* sin b)' = cos fo (sin kx)' +
+ sin 6 (cos kx)' = cos Ь • ft cos ft* + sin 6 (—ft sin be) =
= ft (cos ft* cos b — sin kx sin b).
Ho cos ft* cos b — sin ft# sin b = cos (ft* + Ь). Значит,
(sin (ft* + b))' = ft cos (kx + 6). (6)
Аналогично можно показать, что
(cos (kx + b)Y = —k sin (kx + &). (7)
Упражнения
775. Исходя из определения производной, докажите, что:
a) (sin х)' = cos х\ б) (cos х)' = —sin x.
776. Найдите производную функции:
а) х + sin x\ в) 2 sin x\ д) лс cos x\
б) 2л: — sin х\ г) 2х2 — Зл; + 1 + cos x\ е) -^.
777. Вычислите угловой коэффициент касательной к синусоиде
у = sin л: в точке л; = а, если:
\ я л>\ ч Зя ч я
а) а = —; б) а = я; в) а = —; г) а = —.
) 2 ' ; 2 ' 4
778. Вычислите величину угла, который образует с осью х
касательная к графику функции sin х в точке х = а, если:
ч Я .-ч Я
а) а =—; б) а = -.
6 4
779. Вычислите угол наклона касательной к оси х в точках
пересечения графика функции cos x с осью х и с осью у.
780. Найдите на [—я, я] точки экстремума функции:
а) х — sin jc; б) — х — cos х\ в) х ]/3 + sin 2x.
781. Найдите производную функции:
а) 2 sin3 *; б) —cos2 х\ в) ]Ain * + 1; г)
cos2 х
782. Вычислите значение производной функции / в точке х s= a,
если:
a) /0)=*-4sin2x, <* = ■£; 6)/(x)-2-cos2x, а = £.
232

cos 2x
cos 5*.
X
sin 2x —
»
cos
2x
783. Найдите производную функции:
ч . о , о ч 1 + sin 2л:
а) sin 2л: + cos3x; г) —!—-—:
б) х cos —; д)
в) sin4x + cos4r, e)
sin Зх
784. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции
/ в точке а, если:
а) f(x) = cos*, a = —;
4
б) / (х) = cos2 х, а = — —;
в) f(x) = tgx, a = j.
785. а) С помощью дифференцирования покажите, что функция
sin л: на отрезке ——, — возрастает, а функция cos x на
отрезке [0; я] убывает.
я_ я Г
2'Tl
б) Покажите, что функция tg x в промежутке
возрастает, а функция ctg x в промежутке ]0; я[ убывает.
786. На кривой у = cos2 x найдите точку, в которой касательная:
а) параллельна оси абсцисс;
б) параллельна прямой у =—я+З.
787*. а) Докажите геометрически, что при х ^ 0 выполняется
неравенство sin х ^ х.
б) Докажите, что функция cos х — 1 -\ возрастает на
луче [0, + оо[, и выведите отсюда, что на этом луче выпол-
няется неравенство 1 ^ cos х ^ 1.
в) Докажите, что функция sin х — х -\ возрастает на лу-
6
че [0, + оо[, и выведите отсюда, что на этом луче выполняет-
*3
ся неравенство х ^ sin х ^ х.
788. Докажите, что следующие функции возрастают на числовой
прямой:
а) cos х + У~2х\ в) 2х + cos x\
б) —sin2 х + YJLx] г) 2х + sin х — cos x.
233

789. Найдите промежутки возрастания и убывания функции /,
если:
a) f(x) = 2sinx —- г, б) /(х) = cosx + ХУ^%
790. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции / на
заданных промежутках, если:
а) / (*) = cos2 х + sin x, #6 0, — ;
6)/W-l±£«£f хе\±М
sin л; [6 о J
66. Скорость и ускорение гармонического колебания. Закон
гармонического колебания имеет вид
у = A sin (со/ + ф).
Чтобы найти скорость гармонического колебания, надо найти
производную от функции A sin (со/ + ср). По формуле (6) из пункта
65 получаем:
(A sin (со/ + ф))' = Лео cos (со/ + ф).
Итак, мгновенная скорость v гармонического колебания
изменяется по закону:
v = Лео cos (со/ + ф).
Теперь найдем ускорение а гармонического колебания. Для
этого надо найти производную от мгновенной скорости, т. е.
производную от функции Ad) cos (со/ + ф). Получаем: а = v' =
= (Лео cos (со/ + ф))' = —Лео • со sin (со/ + ф), т. е.
а == —Лео2 sin (со/ + ф). (8)
Заметим, что Л sin (со/ + ф) == у. Поэтому равенство (8) означает
следующее: ускорение гармонического колебания в каждый момент
времени пропорционально координате колеблющейся точки, причем
коэффициент пропорциональности равен —со2: а == —со2у.
По второму закону Ньютона сила, вызывающая колебания,
пропорциональна ускорению: F = та. Так как а——со2у, то,
F = —тсо2 у. Мы доказали, что гармоническое колебание вида
у = A sin (со/ + ф) совершается под действием силы F,
пропорциональной координате у, причем коэффициент
пропорциональности равен —тсо2, где т — масса колеблющейся точки.
При отыскании ускорения гармонического колебания нам
пришлось найти производную от производной функции Л sin (со/+ф).
Производную от производной некоторой функции называют второй
производной этой функции и обозначают /" или у": /" (л:) = (/'(*))' •
Так как ускорение — производная скорости, а скорость —
производная координаты, то получаем, что ускорение прямолинейно
движущейся точки равно второй производной от координаты этой
234

точки как функции времени: если у = s (t), то а = s" (/) или,
короче, а = у\
Пример. Найдем вторую производную функции х4.
Решение. / = (л;4)' = 4г*. Значит,
/ = (у')' = (4*з)' = 4 • Зх2 = 12^2.
Упражнения
791. Найдите вторую производную функции:
а) х2\ г) хь\ ж) (х2 + З)3;
б) —л;3; д) хп\ з) sin л:;
в) 5л:2 + 4х — 3; е) а;""2; и) cos 2x.
792. Точка движется по закону s = 2 sin(3f + — )• Вычислите
ускорение точки в момент времени: а) / = I с; б) t = 2 с.
793. Точка движется по закону
a) s = cos —; б) s = — sin\Ы + —).
Найдите ускорение в момент времени /.
794. Точка движется прямолинейно по закону s = t3 + 2/—1.
а) Найдите скорость движения точки в момент времени t =2,
4, п с.
б) Найдите ускорение движения в те же самые моменты
времени.
795. Одна точка движется по закону sx = t3 — t2 + 3t — 1,
другая — по закону s2 ■= — t3 + т-t2 + St — 10, где t — время
о 2
в секундах, sx и s2 — пути в метрах. Определите ускорения
движущихся точек в момент, когда скорости их равны.
796. Лестница длиной I м прислонена вертикально к стене. В
начальный момент времени t — 0 ее нижний конец начинает
равномерно отодвигаться от стены со скоростью v м/с, а
верхний конец скользит по стене. С каким ускорением движется
верхний конец лестницы в момент времени t (см. упр. № 341)?
67. Понятие о дифференциальном уравнении. Одним из
основных законов физики является второй закон Ньютона, согласно
которому при прямолинейном движении материальной точки,
имеющей постоянную массу т, сила F, вызывающая движение, равна
произведению массы т и ускорения a, F = та. Сила F может, в
свою очередь, зависеть от координаты х точки, ее скорости v и
момента времени t. Поэтому равенство F = та можно переписать так:
та = f (x, v, t). (9)
Вспомним теперь, что скорость точки равна производной ее
координаты по времени v = x', а ускорение — второй производной
235

координаты по времени а = х"\ Поэтому уравнение (9) означает,
что
тх" = f(x,x\ t). (Щ
Мы получили уравнение, в которое входят неизвестная
функция х от аргумента t (закон движения), ее
производные первого и второго порядков и сам аргумент t. Решив это
уравнение, мы сможем по силам, действующим на точку, узнать
закон движения этой точки. К таким и более сложным
уравнениям сводятся задачи о движении частей машин, ракет, планет
и т. д. Подобные уравнения называют дифференциальными
уравнениями.
Определение 1. Дифференциальным
уравнением называют уравнение, содержащее производные искомой
функции до некоторого порядка включительно, а также, быть может,
саму эту функцию и ее аргумент.
Примерами дифференциальных уравнений могут служить
у* = х2у3 +1, / = х~~ , у" = sin у и т. д.
У ~г 4
Пример 1. Напишем дифференциальное уравнение
движения материальной точки, падающей из космоса на Землю.
Решение. По закону всемирного тяготения на точку
действует сила F = —у • —, где М — масса Земли, т — масса точки,
X2
у — коэффициент пропорциональности их — расстояние от точки
до поверхности Земли (знак «минус» поставлен потому, что
направление силы противоположно направлению оси координат). Так
тт n Mm
как по второму закону Ньютона F = та, то та = —у • —,
откуда а = -. Но а = х" и потому искомое дифференциальное
X2
и My
уравнение имеет вид х = р
Определение 2. Решением дифференциального
уравнения называют функцию, при подстановке которой в
уравнение оно обращается в тождество.
Например, с помощью результатов предыдущего пункта легко
найти решение дифференциального уравнения у" + со2у = 0. А
именно, мы докажем, что при любых значениях А и ср функция
у = A sin (со/ + ф) является решением этого уравнения. В
самом деле, мы видели, что при у = A sin (со/ + ср) выполняется
равенство а — —со2у, т. е. у" = —со2у или у" + со2у = 0.
Отсюда видно, что дифференциальное уравнение у'' + со2у = 0 имеет
бесконечное множество решений, получаемых при различных
выборах значений А и ср. Например, для уравнения у" + 4у = 0
решениями являются и sin 2/ (здесь А = 1, ср = 0), и cos 2/ =
236

= sin[2^+уj (здесь А = 1, ф=у), и 3 sin Ы+~\ (здесь
л = з)Ф = ^).
Так как Л sin (со/ + ф) = Л sin со/ cos ф + Л cos со/ sin ф,
то, положив Л cos ф = Clf Л sin ф = С2, получим, что решение
уравнения у" + со2у = 0 можно писать и в виде
у = Сг sin со/ + С2 cos со/.
Пример 2. Найдем решение у (/) дифференциального
уравнения гармонических колебаний у" + у = 0, такое, что
Решение. Здесь со = 1. Будем искать решение в виде у =
= Cls'mt + C2cos/. По условию у( —1=1; значит, 1 = Сх sin — -f
+ С2 cos —, т. е. Сх = 1. Далее, у' = (Сх sin / + С2 cos /)' = Ct cos / —
— С2 sin /. По условию у' (—) = 2; значит, 2 =СХ cos— — С2 sin — =
= —С2, т. е. С2 = z.
Итак, мы нашли значения коэффициентов: Сх = 1, С2 = -—2.
Подставляя их в общее решение уравнения, получим искомое
решение: у = sin / — 2 cos /.
Упражнения
797. Докажите, что функция у (х) = х3 удовлетворяет
дифференциальному уравнению ху' = Зу. Докажите то же самое для
любой функции вида у (х) = Ос3.
798. Докажите, что функция у (х) = sin \x удовлетворяет
дифференциальному уравнению у" + 16у = 0.
799. Докажихе, что функция у (х) = Зх — 8 -]— удовлетворяет
6
дифференциальному уравнению у" = х. Докажите то же
X3
• самое для любой функции вида у (х) = Схх + С2 + --,
6
809. Решите дифференциальное уравнение:
801.
а) у' = 0; в) у" = 0;
б) у' = х*; г) у" = х\
Найдите такое решение
у" + 9у = 0, что:
а) у (0) = 5, у' (0) = 0;
б)у(0)=0, /(0) = 5;
Д) у" + 9у = 0;
е) у" + 25у = 0.
дифференциального уравнения
в) у (0) = у' (0) = 6.
237

68. Основные результаты.
1. Справедливо равенство lim = 1.
2. Имеют место следующие формулы дифференцирования
тригонометрических функций:
(sin kx)' = k cos kx\ (tg kxY = ——;
cos2 kx
у
(cos kx)f = — k sin kx\ (ctg kx)' = ——.
Ы11 KX
В частности,
(slnxY = cosr, (tgx)' = ;
cos2 л;
1
(cos*)' = —sin л:; (ctg x)f = :
sin2*
3. Вторая производная функции / — это производная от ее
производной. Вторая производная функции / обозначается /\
Физический смысл второй производной: ускорение прямолинейно
движущейся точки равно второй производной координаты.
4. Дифференциальным уравнением называют уравнение,
содержащее производные искомой функции до некоторого порядка
включительно, а также, быть может, саму эту функцию и ее аргумент.
Решением дифференциального уравнения называют функцию, при
подстановке которой в уравнение получается тождество.
5. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
имеет вид у" + со2у = 0. Его решением является любая функция
вида A sin (at + ф) (при произвольных А и ср) или, чтб то же
самое, вида Сг sin со/ + С2 cos cot (при произвольных Сг и С2).
Дополнительные упражнения
К пункту 64
Вычислите lim / (x)} если:
х-+а
802. a) f(x) = sin 2л:, а = ^-; б) f(x) = cosx + sin a:, а=-~.
оло \ г/ ч sin x +sin 5* п. *\ с/ \ cos 2* я
803. а) /(*)=. j г»а==Т; 6)^W= Г^~'а==~Т-
cos х + cos Ъх 4 cos x + sin x 4
Вычислите предел:
«л л \ 1: sin 5л; cos За; — sin Зх cos Ъх ^ v sin 2x cos 4x +sin Ax cos 2x
804. a) lim ; б) lim ! .
X-+Q X x-yQ X
ЛЛ- ч ,, 5л; + sin л; ^ч i. бшЗл;— sin л;
805. a) lim—±- ; 6) lim .
X-+Q X x-+Q X
238

806. a) lim cos4*-cos6'; 6) iim 2sin2*-/3
6 6
807*. Докажите, что приближенное равенство sin * ж х дает
точность до 0,01, если |*|<0,39 (т. е. |*| < 22°), точность до
0,001, если |*| < 0,18 (т. е. |*|< 10°), и точность до 0,0001,
если |*| < 0,084 (т. е. \х\ < 5°).
К пункту 65
808. Найдите производную функции:
ч 1 , о \ / 2 i i\ r \ cos22л: — sin22*
а) — . tg3 *; в) (*2 + l) cos 5*; д) —— ;
3 1 + cos 8х
^ч , . ч l — cos х v sin Зл: cos Зх
б) * + cos * sin *; г) : ; е)
sin я I — cos 6л:
809. Докажите, что:
a) (sin2 *)' «=. sin 2*; б) (sin4 *)' = sin 2х sin 4*.
810. При каких значениях х производная функции / равна нулю,
если:
а) / (*) = sin * + cos *; в) / (*) =-cos2 * — cos *?
б) / (х) = sin2 * + cos x\
811. При каком значении * € 0; —I функция принимает
экстремальное значение:
a) sin*-! cos2*; б) cos* «sin2*; в)* sin —cos2—?
) "г 2 / '22
812. Найдите промежутки возрастания (убывания) функции:
а) 2 sin * + *; б) tg * — *; в) ctg * + *.
813. На множестве 0; — с помощью производной найдите
наибольшее и наименьшее значения функции:
a) cos2 * + УЪ sin *; б) sin2 * + ]/2"cos *.
814. Найдите производную /' функции /, если:
а) /(*)=- cos4 2* + - sin4 2*; б) / (*) = sin3 - — cos3 -.
815. Нижний край плаката находится на расстоянии 2,3 м от
пола, а его верхний край — на расстоянии 3,2 м от пола. Под
каким углом зрения видит плакат человек, рост которого
равен 1,7 м и который находится на расстоянии 2,5 м от стены,
на которой висит плакат?
239

816*. Нижний край картины находится на расстоянии а м от пола,
а ее верхний край — на расстоянии Ь м от пола.
а) Под каким углом зрения видит картину человек, рост
которого равен сми который находится на расстоянии хм от
стены, где висит картина (рассмотрите отдельно случаи
а < с и а > с)?
б) При а > с найдите расстояние ху для которого угол зрения
будет наибольшим.
817. Боковые стороны и меньшее основание трапеции имеют
одинаковые длины — по 10 см. При какой величине х острого
угла трапеции площадь ее будет наибольшей?
818*. При каком значении величины угла при основании
равнобедренного треугольника отношение длины радиуса
вписанной в данный треугольник окружности к длине радиуса
описанной окружности будет наибольшим? Чему равно
наибольшее значение этого отношения?
819. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
б) cos х + cos 2x на отрезке
v 1
а) на отрезке
sin*
[О; -"
L 2 .
•
* я
У
Зя
т
К пункту 66
820. Найдите производную второго порядка функции:
a) sin2 х\ б) sin х — cos x\ в) tg x,
821. Тело, имеющее массу 5 г, движется прямолинейно по
закону s = t2 — 2/ — 1 (s — путь в сантиметрах, t — время
в секундах). Определите: а) действующую силу; б)
кинетическую энергию тела ( —) через 2 с после начала движения.
822. Точка движется прямолинейно по закону: s = — sin \- 1,5.
а) Найдите ускорение в конце 3-й, 5-й, 7-й секунды.
б) Может ли ускорение быть отрицательным? В какой момент
времени / ускорение равно ? Может ли ускорение
равняться — 2?
в) В какие моменты времени ускорение равно нулю?
ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ К ГЛАВЕ III
Тригонометрия возникла во II в. до н. э. в Александрии.
Задачи астрономии привели к необходимости вычислять элементы
плоских и сферических треугольников по заданным другим
элементам. Для решения таких задач древнегреческий астроном Гиппарх
составил в 150 г. до н. э. таблицы длин хорд, стягивающих дуги
240

с данным числом градусов. Наиболее древние дошедшие до нас
таблицы хорд принадлежат древнегреческому астроному
Птолемею (II в. н. э.) и вошли в книгу «Syntaxis Mathematica», в которой
он развивал свою систему мира. При составлении таблиц
Птолемей использовал теорему о том, что произведение длин
диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме
произведений длин противоположных сторон. Гиппарх, Менелай
и Птолемей развили теорию решения плоских и сферических
треугольников.
Понятие о синусе и косинусе угла ввели индийские математики
в V в. н. э. Вслед за индийцами эти функции изучали арабские
ученые. Арабские математики (Аль-Баттани, Абу-л-Вафа, X в. н. э.)
ввели новые тригонометрические функции — тангенс и котангенс.
Абу-л-Вафа установил формулы для синуса и косинуса двойного
угла. Арабские ученые Джабир ибн Афлах (XI в.) и Насир Эддин
(XIII в.) впервые начали изучать тригонометрию как отдельную
ветвь математики, независимую от астрономии.
т Дальнейшее развитие тригонометрии связано с именами
европейских ученых Региомонтана (1436—1476), Ф. Виета (1540—1603),
А. Муавра (1667—1754) и др.
График функции sin x впервые начертил Ж. Роберваль (1602—
1675) в связи с изучением циклоиды — кривой, описываемой
точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой линии.
Знаки и периодичность тригонометрических функций
исследовали в XVI 1-Х VIII вв. английские математики Д. Валлис (1616—1703)
и Р. Коутс (1689—1716).
В течение долгого времени рассматривали не сами
тригонометрические функции, а длины соответствующих отрезков, связанных
с окружностью. Современный подход к тригонометрическим
функциям впервые появляется в 1748 г. в книге Л. Эйлера «Введение в
анализ бесконечно малых». Ему принадлежит много новых
результатов в тригонометрии. Название «тригонометрические
функции» ввел в 1770 г. немецкий математик Г. С. Клюгель.

Глава IV
ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
§ 10. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
69. Определение первообразной. С помощью дифференцирования
можно найти мгновенную скорость точки, движущейся по
координатной прямой, если известен закон ее движения. Но часто
приходится решать обратную задачу: зная мгновенную скорость в каждый
момент времени /, определить закон движения точки. Эта
задача решается с помощью операции интегрирования, обратной опер^
ции дифференцирования.
Определение. Функция F называется
первообразно й на заданном промежутке X для функции /, если производная
функции/7 в каждой точке х этого промежутка принимает значение
/ (*), т. е. если F' {х) = / (л:), при х 6 X.
Пример 1. Известно, что (г*)' = За:2, т. е. что функция
Зх2 — производная функции х3. Значит, функция х3 —
первообразная для функции Зх2 на всей числовой прямой.
Функция х3 + 4 тоже является первообразной для Зл:2, так
как (х3 + 4)' = Зл:2. Вообще для любого числа С функция х3~\-С —
первообразная для Зх2.
Пример 2. Известно, что (sin x)' = cos x> т. е., что
функция cos х — производная функции sin x. Значит, sin x —
первообразная для cos х. Любая функция вида sin х + С, где С—
какое-либо число, тоже является первообразной для cos х.
Упражнения
823. Чему равна производная функции:
а) х2\ в) х2 + 5; д) sin x\ ж) sin 2x\
б) l*2; г) —х2 + 10; е) sin х + 1; з) cos 2л:?
824. Назовите какую-нибудь функцию F, производная которой
равна заданной функции /: а) 0; б) 2; в) 2х\ г) —2х\ д) cos x\
е) 2 cos 2х\ ж) —sin x.
825. а) Назовите три различные функции F, производные которых
равны одной и той же функции 2х. Чем отличаются они друг
от друга?
242

б) Будут ли функции я + х2\ х2 — ^\Ъ\ g x
ответом на вопрос а)?
826. Является ли функция F (х) = первообразной для
функции f (х) = - ?
827. Докажите, что функция F есть первообразная для функции
/, если:
а) F (х) = я* + 2х + 3; / (х) = Зх2 + 2;
б) F(x) = ~xs — 2х2 + 7; f(x)=x2 — 4х;
о
в) F (*)=-; /W = —7;
X X2
r)F(*) = l + 3; /W = -l;
д) F(*) = -iL; /(*)=! ' -
(*-02
э) fW = (^;/W = (2^3f.
70. Множество первообразных. Из примеров пункта 69 видно, что
если функция F — первообразная для функции /, то все функции
вида F + С, где С — какое-либо число, тоже являются
первообразными для /. Докажем это утверждение в общем виде.
Так как F — первообразная для /, то F' = /. Но тогда
(F + С)' = F' + С = / + 0 - /.
Значит, и F + С — первообразная для f.
Покажем теперь, что любая первообразная Ф функции f имеет
вид Ф =5 F + С, где F — одна из первообразных этой функции, а
С — число. В самом деле, так как Фи? — первообразные для Д
то Ф' = / и F' = f. Но тогда
(ф _ ру = ф' _ р' «= / _ / = о.
По теореме 2 пункта 32 функция, производная которой на
некотором промежутке равна нулю, постоянна на этом промежутке.
Значит, функция Ф — F постоянна, т. е. Ф — F = С и потому
Ф = F + С.
Таким образом, мы доказали следующую теорему о виде всех
первообразных для данной функции:
Теорема. Если F — первообразная для функции /на
промежутке X, то у функции f бесконечно много первообразных и
все они имеют вид F -\-С, где С — число\
243

Из доказанной теоремы вытекает, что для отыскания всех
первообразных функции / достаточно найти одну из них, например F.
Тогда все первообразные имеют вид F + С.
Чтобы выделить из совокупности всех первообразных одну,
надо задать ее значение при каком-нибудь значении аргумента.
Пример 1. Найдем первообразную F функции З*2, такую,
что F (2) = 5.
Решение. Так как Зх2 = (х8)', то любая первообразная
функции Зх2 имеет вид х3 + С. Нам надо найти первообразную,
принимающую значение 5 при х = 2, т. е. такую, что 23 + С = 5.
Из этого равенства находим, что С = —3. Значит, искомая
первообразная имеет вид г* — 3.
При отыскании первообразных будем пользоваться следующей
таблицей (постоянную С опускаем):
Функция

Первообразная
1
X
д<х (а ^ —1)
сс+1
sin kx
cos kx
k
cos kx
sin kx
k
I
cos2 kx
tg kx
k 1
1
sin2 kx
ctg kx
k
Для проверки этой таблицы достаточно найти производные
функций, записанных во второй строке, и убедиться, что они
равны функциям, записанным над ними в первой строке, например:
06 + 1
(а + \)ха
а+ 1
иа •
cos kxV
(cos kx)f = • (— k sin kx) = sin kx.
l
Заметим, что для функции х при а = —1, т. е. для функции—,
X
мы пока не знаем первообразной. Она будет найдена в следующей
главе.
Пример 2. Найдем все первообразные для каждой из сле-
1
1
дующих функций: а) х*\ б) —; в) я5; г) Ух\ д) "Т7=; е) sin x.
хг ху х
Решение. В случаях а) — д) воспользуемся тем, что одной
из первообразных для ха (а Ф —1) является
а + Г
а) Здесь а = 7. Значит, первообразной для х1 будет = —,
7+1 8
а любая первообразная имеет вид —у С.
8
б) i=*"2;
будет
лт*
значит,
1 1
X
а — —2. Одной из
= — = , а любая первообразная имеет вид —-- + С
первообразных
х
244

1 -f+1 6
-r- x 5 £~
в) Для jc первообразные имеют вид — + С, т. е. — х + С.
г) У~х = х2; значит, первообразные имеют вид
X
! 3
—+ 1
_ i_
д) —3-3: = г ^ ~Г ==х 3" ОДной из первообразных для
я I/ л: -«- т"
л: . х J ;Г
—ч~ л: л; 3
х будет = = , а любая первообразная име-
з ^ з
ет вид — -§—- + С.
е) Для sin kx первообразной будет cos kx. При k=l
k
получаем, что первообразной для sin х будет — cos x} а все
первообразные имеют вид — cos x + С.
Упражнения
828. Дана функция /, где / (х) = 2.
а) Докажите, что функция F (х) — 2х является для нее
первообразной.
б) Существуют ли еще какие-нибудь первообразные для этой
функции? Назовите несколько из них.
в) Начертите графики названных первообразных функций.
Определите, чем отличаются полученные графики друг от
друга.
г) Сколько первообразных имеет данная функция /?
Найдите все первообразные следующих функций:
829. а) 1; б) 2; в) -; г) —3; д) я; е) а.
830. а) х\ в) 2х\ д) ах\ ж) —Зя + уТ; и) 2х + "*;
б) —х\ г) —Зх\ е) Зх + 2; з) х -\- т\ к) ах + /п.
831. а) х2\ б) —х\ в) 2х2\ г) х2 + 3.
832. a) sin x\ б) —2 sin 2*.
833. a) cos x\ б) 2 cos 2x.
245

834. Найдите первообразную F функции /, если:
а) / (х) = Зх\ F (2) = 0; б) / (х) = 2х, F (0) = 3.
Для каких х выполняется неравенство F (х) ^ 1?
835. Для функции / найдите первообразную F, график которой
проходит через точку (a, ft), если:
a)/(*) = 2-2*f (а, 6) = (1; 5);
б) / (Х) = 3 — 2х% (а, Ъ) = (—1; 1).
836. Убедитесь, что функции F и Ф, где F (х) = — с-^, Ф (х) =
= sin2 х, являются первообразными для функции sin 2x
и что Ф (х) = F (х) + С, где С = ~.
837. Найдите все первообразные для функции:
и) *-'/<;
1
а) х3;
б)*4;
в) л;100;
г) хп\
д) ?;
е) х-4;
ж) х-101
з) л'/.;
к)
х^л;
838. а) Скорость v (t) тела изменяется по закону: v (t) = 2t — 3.
За время / = Зс тело прошло путь 10 м. Найдите закон
движения тела.
б) Скорость движущейся точки задана уравнением v (t) =
= З/2 — 2. Найдите уравнение движения s, если известно,
что s = 54 м в момент / = 2с.
в) Докажите, что функция <р (/), выражающая угол
поворота вращающегося тела в момент времени t, является
первообразной для функции со (/), выражающей угловую скорость
вращения в тот же момент времени.
г) Угловая скорость вращения в момент времени t равна
2 sin 2/. Найдите угол поворота в момент времени /=—,
если при t = 0 он равнялся нулю.
71. Правила отыскания первообразных. При отыскании
первообразных пользуются следующими правилами, вытекающими из
правил отыскания производных:
Теорема!. Если F—первообразная для f, a G —
первообразная для g, то первообразной для /+ g является F + G.
Иными словами, первообразная суммы равна сумме
первообразных.
Доказательство. По условию F' = / и G = g.
Значит, по правилу вычисления производной от суммы получаем:
(F + GY = F' + С = / + g.
Так как (F + G)' ~ / + g, то F + G — первообразная для / + g.
246

Теорема2. Если F— первообразная для/и а — постоянная,
то первообразной для af является aF.
Иными словами, при умножении функции на постоянный
множитель ее первообразная умножается на тот же множитель.
Доказательство. Так как F' = /, то
(aF)' = aF' = af.
Итак, (aF)' = af, а это и означает, что aF — первообразная
для а/.
С помощью теорем 1 и 2 и формулы отыскания первообразной
для степенной функции можно искать первообразные от любых
многочленов.
Пример 1. Найдем все первообразные многочлена 5л:3 —
— 4х + 3.
Решение. Так как первообразная для л? равна —, то для
4
5л:4
5л? по теореме 2 первообразная равна —. Из того, что для х
4
X2
первообразная равна—, выводим, что для —4л: она равна
L ~ —2л:2. А из того, что для 1 первообразная равна л:, выводим,
что для 3 она равна Зл:. Мы нашли первообразные для всех
слагаемых. Сложив их, получим одну из первообразных для функции
5лг* — 4л: + 3. Она равна 2л:2 + Зл:, а любая первообразная
5*4 nv2
4
имеет вид 2л:2 + Зл: + С, где С — любая постоянная.
4
Пример 2. Найдем все первообразные для функции 4л:2 +
+ ЗУх.
Решение. Так как первообразной для л:2 является — ,
а для У~х = х2 первообразная равна—л:2, то для функции
3 _з_
4л:2 + З^л: первообразные имеют вид — л:3 + 3 • — х2 + С, т. е.
о о
4л:3 + 6х Ух i q
3
Пример 3. Скорость точки, совершающей гармоническое
колебание, выражается формулой v = 5 cos 2/. Найдем закон
движения этой точки, если в момент времени / = — ее координата
равнялась числу 3.
Решение. Так как скорость — производная координаты
как функции от времени, то надо найти первообразную для функции
5 cos 2/, принимающую значение 3 при t = —. Так как для функции
247

cos 2/ первообразная равна —sin 2t, то по теореме 2 для функции
5 cos 2t первообразные имеют вид — sin 2/ + С. По условию в
момент времени / = — координата точки равнялась числу 3, и,
4
j / ТГ \ й Т
значит, 3 = — sin/2 • —)+ С. Отсюда найдем С: 3 = — sin— +
1 5 1
+ С, С = — и потому х {t) = — sin 2t -j—.
Упражнения
839. Пусть F, G, H — первообразные для функций /, g, h
соответственно. Докажите, что сумма F + G + Н является
первообразной для функции f + g + /г.
Найдите все первообразные для следующих функций:
840. а) 2х\ б) — Зх2\ в) Зх6; г) —101л:100.
841. а) -Зх2/з; б) Зх-5/в; в) ^-\ г) i
х2 У я
3 I
842. а) 2 cos г, б) cos 2х\ в) —3sinr, г) — sin2x.
843. a) -i—; б) 4~; в) ~ ~h г) "Т^-
cos2 х cos2 х sin2 х sin2 x
844. a) a-4 — 3x2 + 2x — 1; 6) 2 — x2 — 4л;3 + 15л:4.
845. a) (x - 2) (x2 + 2x + 4); 6) (3 + x) (9 - Зл: + ж2).
846.
847.
848.
a) Vx + 2^x\
6) Z*-^;
a) sin л; + 2 cos x\
6) cos л: —3 sin r,
a) cos 2x\ в)
ч 3 2
в) зт= —;
у х ху х
г) ху х .
X*
в) 4sinx;
cos2 л;
г) 3cosa: -\ —
sin2 я
cos Зх — 3 sin 2x\
б) sin Зл:; г) cos — — sin —.
; 2 2
849. a) cos2 x + sin2 x\ г) cos 2x cos х + sin 2x sin *;
б) cos2 х — sin2 я; д) (sin x — cos х)2;
в) 1 + 2 sin х cos я; е) sin 2x cos x + sin x cos 2л;.
850. а) 2 sin2 л;; б) 2 cos2 х\ в) sin2 Зл:; г) cos2 2x.
248

851*. Решите дифференциальное уравнение:
а) / = 2х2 — 4х + 5; б) у' = cos 2х.
72. Интеграл. Решим следующую задачу.
Пример 1. Известна скорость прямолинейно движущейся
точки в каждый момент времени t промежутка [а; 6], v = / (О-
Найдем перемещение точки за этот промежуток времени.
Решение. Обозначим координату точки в момент времени
t через F (t). Так как скорость — производная координаты как
функции от времени, то Ff = f и потому F — первообразная для
функции f. В момент времени а координата точки равнялась F (а),
а в момент времени Ь ее координата равнялась F (Ь). Поэтому
точка переместилась за промежуток времени [а; 61 на расстояние
F(b)-F (a).
В этой задаче мы нашли разность значений первообразной
для функции / в точках Ь и а. Эта разность не зависит от того,
какую первообразную функции / мы выбираем. В самом деле,
любая первообразная функции / имеет вид Ф = F + С, где F —
одна из них. Но
Ф (Ь) - Ф (а) = (F (b) + Q-(F (а) + С) = F (Ь) + С- F(a)-
— C=F(b) — F (a).
Значит, разность значений в точках b и а не зависит от С— она
одна и та же для всех первообразных функции /.
Определение. Разность значений первообразной функции
/ в точках Ь и а называется интегралом этой функции от а
до Ъ.
Интеграл функции / от а до b обозначают так:
]f(x)dx (или J f(t)dt)
а а
и читают: «Интеграл от а до b эф от икс дэ икс». Числа а и b
называют пределами интегрирования, а — нижним, Ь — верхним.
Знак J называют знаком интеграла. Функция / называется
подынтегральной функцией, а аргумента — переменной интегрирования.
ь
Таким образом, J7 (х) dx = F (b) — F (а), где F — одна из
а
первообразных функции /. Как было показано выше, значение
F (b) — F (а) не зависит от того, какую из первообразных функции
/ выбирают. Не зависит оно и от обозначения переменной
интегрирования.
В примере 1 мы показали, что если v = / (/) — скорость
прямолинейно движущейся точки в момент времени / из промежутка
[а; й], то перемещение s точки за этот промежуток времени равно
ь
F (Ь) — F (а), где F — первообразная для /. Значит, s = J/ (/) dt
249

(т. е. перемещение есть интеграл от скорости). В этом состоит
физический смысл понятия интеграла.
ь
Чтобы вычислить J7 (х) dx, надо:
а
а) найти какую-нибудь первообразную F функции f\
б) вычислить значения первообразной в точках Ъ и а\
в) найти ровность F (b) — F (а).
Разность F (Ь) — F (а) для краткости обозначают так: F (х)
Значит,
ь
U{x)dx = F(x)
а
п
Пример 2. Вычислим интеграл j* sin x dx.
о
Решение. Первообразной для функции sin x является
—cos х. Потому
' |Я —(cos л — cos 0) =; —(—1 ~ 1) = 2.
о
Г sin х dx = (—cos x)
о
Пример 3. Вычислим Г я8 dx.
—2
Реше ни е. I л:3йл: = — = v—L = = 0.
J 4 _2 4 4 4 4
—2
4
Пример 4. Вычислим f (я3 + 6л:2 + 5) dx.
-2
Решение.
4
—2
s=(^- + 2.43 +5- 4J — (t=^ + 2-(—2)3 +5- (—2)) = 214.
Упражнения
852. Автомобиль, движущийся со скоростью 72 км/ч, начинает
тормозить. Найдите тормозной путь (т. е. путь, пройденный
автомобилем за время от начала торможения до полной
остановки), если известно, что в процессе торможения скорость
автомобиля меняется по закону: v = (20 — 4t) м/с.
853. Скорость v (0 тела при свободном падении равна gt м/с.
Вычислите путь, пройденный телом: а) за первые 5 секунд
падения; б) за промежуток времени от 2 до 10 секунд.
250

854. Запишите интеграл функции х2 от а до Ь. Как называются
числа а и Ь? Вычислите этот интеграл. Переставьте местами
пределы интегрирования и снова вычислите интеграл. Чем
отличаются результаты? Можно ли полученный вывод
распространить на другие функции?
Вычислите интеграл:
855. а) Г йх\ б) Г Ых\ в) Г (—1) dx.
\ 1 is
856. a) J x2dx\ б) Г xsdx\ в) $2x*dx.
-1 О О
857. a) f а*Лс; б) \ х~Т dx\ в) ^/Ч dx.
i 1 i j
858. а) Г (2х — 3) dx\ б) Г (3* — 2) dx\ в) Г (ал: + Ъ) dx.
_i ~i о
859. а) Г (Зх2 — 2х—\) dx\ б) Г (6х2 — 4х + 1) dx.
i\ i
860. Снаряд выпущен вертикально вверх со скоростью 800 м/с.
Какой путь пройдет снаряд за промежуток времени [3, 8]
(сопротивление воздуха не учитывать)?
861. Автобус, стоявший на остановке, начинает двигаться с
ускорением 1 м/с2. Какой путь он пройдет за промежуток
времени [5, 10]?
862. Скорость движения тела в момент времени t задается
формулой v (0 = 50 — 2t. Какой путь пройдет тело от начала
отсчета времени до остановки?
863. Вычислите интеграл:
Л 4 2
а) Г smxdx\ д) Г cos2xdx\ и) (* sin2 xdx\
0 агс_ 0
4
2 3 4
б) Г(2sinx + 2>cosx)dx\ e) fsin£dr, к) {cos2xdx.
о J 2 6
о
я jrt л
~2 2 Т
в) f cos *dr, ж) Г cos — dx. л) Г 1 dx\
J я J 3 J <
cos2*
о
2
£t JT £1
2 3 3
г) J sin 2*d*; з) Г /cos §* + sin ~) dx\ м) f __L_ ^
6 6
251

73. Свойства интеграла. Из определения интеграла вытекают
его свойства (во всех случаях мы предполагаем, что интегралы
существуют, т. е. подынтегральная функция / имеет
первообразную).
1) Имеет место равенство
) f(x)dx = -]f(x)dx9
а Ъ
т. е., поменяв местами пределы интегрирования, нужно изменить
знак перед интегралом.
В самом деле,
b a
§f(x)dx = F(b) — F(a)9 ^f{x)dx = F(a)-F(b),
а Ь
aF(b)-F (а) - -(F (а) - F (&)).
2) Если а < с < 6, то
$f(x)dx = $f(x)dx + $f(x)dx9
а а с
т. е. интеграл по отрезку [а; Ь~] равен сумме интегралов по частям
этого отрезка: [а; с] и [с\ Ь~\.
ь с
Действительно, [f{x)dx = F (6) — F (а), Г / (х) dx—F(c)— F(a),
а а
p(x)dx = F(b)-F(c),aF(b)-F(a) = (F(c)-F(a))+(F{b)-F(c)).
С
Ь
3) Если а < b и f (х) > 0 на отрезке [а; 6], то М (х) dx^ О,
т. е. при а < b интеграл от неотрицательной функции
неотрицателен.
Пусть F — первообразная для /, т. е. F'= f. Из условия
следует, что на отрезке [а; Ь] F' (х) = f (х) !> О, поэтому функция F
возрастает (или постоянна) на этом отрезке. Значит, из а<Ь
следует, что F (a) <F (b) или F (а) = F (6), т. е. F (Ь) — F (а) > 0.
ь
Это и означает, что Г / (х) dx ^ 0.
а
4) Интеграл суммы равен сумме интегралов:
ь ъ ь
\ (/(*) + 8(х)) dx = ^f(x)dx+ ^g(x)dx.
2G2

Воспользовавшись тем, что первообразная суммы равна сумме
первообразных, получим:
$V(x) + g(x))dx~{F(x) + G(x))^ (F(b) + C(b))-
а
- (F (а) + G (а)) = (F (Ь) - F (а)) + (G (Ь) - G (а)) =
ь ь
= ^f(x)dx + §g(x)dx.
а а
5) Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
J kf(x)dx = Л J f(x)dx.
В самом деле, J kf {х) dx = kF (x)
а
=k(F {b)— F(a)) = k] f (x) dx.
= kF (b) — kF (a) =
Упражнения
864. Проверьте истинность свойства 1) для случая, когда а = 2,
Ъ = 4, f(x) = x2— l.
865. Проверьте истинность свойства 2) для случая, когда а = 2,
с = 3, b = 4, f (х) = х2 — I.
866. Проверьте истинность свойства 3) для случая, когда а) а= 1,
b = 2, / (д) = (2* + I)2; б) a = -£, b = 4-, / (*) - cos x.
867. He производя вычислений, определите знак результата:
5я
a) j>2+ \)dx\ в) J(l—**)&; д) jcosjote;
зя
4
Зя я
1 л t
б) Г (1—#2)dr, г) {s'mxdx; e) [tg*d*.
2 4
{s'mxdx; e) f
—1 я 6
868*. Вычислите интеграл:
зя
а) Г | cosх | dx\ б) Г | sin д: | dx.
о я_
253

Рис. 173 Рис. 174 Рис. 175
74. Площадь криволинейной трапеции. Фигура, ограниченная
снизу осью абсцисс, сверху графиком непрерывной
неотрицательной функции /, а с боков отрезками прямых х = а и х = Ь,
параллельных оси ординат (рис. 173), называется криволинейной
трапецией. В этом пункте мы покажем, что площадь такой фигуры
можно вычислить с помощью интеграла.
Возьмем на отрезке [а; &] точку с абсциссой х и проведем через
нее прямую, параллельную оси ординат (рис. 174). Эта прямая
рассекает криволинейную трапецию на две части. Через Ф (х)
обозначим площадь левой части (т. е. фигуры AEFC). Замечаем,
что Ф (а) = 0 (вся криволинейная трапеция расположена справа
от прямой х = а), а Ф (b) = S, где S — площадь всей фигуры
(вся криволинейная трапеция расположена слева от прямой х = Ь).
Рассмотрим Ф как функцию от х и докажем, что ее
производная в каждой точке х интервала ]а, Ь[_ равна / (я). Для простоты
будем считать, что заданная функция / неотрицательна и монотонна
на отрезке [а, 6].
Дадим аргументу х приращение h и рассмотрим приращение
Ф: Ф (х + h) — Ф (х). Эта разность является разностью
площадей криволинейных трапеций АЕМН и AEFC, т. е. площадью
криволинейной трапеции CFMH (рис. 175):
ф (Х + h) - Ф (х) = SCFMH.
Но площадь криволинейной трапеции CFMH заключена между
площадями прямоугольников CFTH и СКМН:
Так как | СН\ = Л, | CF\ = / (я), | НМ| = / (х + К), то получаем:
/ {х) « h < Ф (х + h) — Ф (*) < / (х + К) • Л.
Поэтому
/(*)< ф(я+ц-ф(х) </(*+*)
и, значит,
254

Поскольку функция / непрерывна в точке х, разность f (x + h) —
— / (х) бесконечно мала при h -> 0. Но тогда при h -> 0 бесконечно
ф (х 4- h) — Ф (х) с / ч
мала и разность —v ^ ; —— / (*)» а это означает, что
lim—v ^ ; K-L-=f(x),
т. е. что
Ф' (х) - / (*).
Таким образом, при сделанных предположениях производная
от функции Ф равна /. Иначе это можно сформулировать так:
Если функция f монотонна, непрерывна и неотрицательна на
отрезке [а, 6], то Ф является первообразной для /.
Т е о рем а. Площадь криволинейной трапеции (рис. 173)
выражается формулой
S=]f(x)dx. (1)
а
Здесь / — монотонная непрерывная неотрицательная функция,
график которой ограничивает эту трапецию сверху, а к b — абсциссы
точек, через которые проведены отрезки, ограничивающие
криволинейную трапецию с боков.
ь
Доказательство. По определению J / (x) dx равен
а
разности значений любой первообразной для функции /,
вычисленных в точках b и а. Так как Ф — первообразная для /, то
ь
J / (х) dx = Ф (х)
Ф (Ь) — Ф (а).
Но Ф (а) = 0, Ф (b) == S, и потому J f (x) dx = S—0 = S.
а
Формула (1) выражает геометрический смысл интеграла.
Замечание. Проведенное доказательство пригодно лишь
в случае, когда функция / монотонна на отрезке [а; Ь]. Можно
доказать, что формула (1) верна для любой непрерывной
неотрицательной на отрезке [а; &] функции /.
Пример 1.. Вычислим площадь криволинейной трапеции,
ограниченной сверху графиком функции х2 + 1, снизу осью
абсцисс, а с боков прямыми х = 1 и х = 4 (рис. 176).
Решение. По теореме получаем:
S =](х2 + l)dx.
1
Первообразная функции х2 + 1 равна —f- х, и потому
о
х3 ~
з+'
;_£+4)-(1-+ ,)_*.
255

n>
1/
y=x2+1
\z
г
0
\y
f^VVOO
1 *
'+ X
У\
0
t
АгА
A
IP
УК*)
a
%-
8,
b x
Рис. 176
Рис. 177
Рис. 178
Пример 2. Найдем площадь фигуры, ограниченной сверху
параболой у = 9 — х2> а снизу осью абсцисс (рис. 177).
Решение. Сначала найдем точки, в которых парабола
пересекается с осью абсцисс. Решая уравнение 9 — х2 = 0,
получаем: хг = —3 и х2 = 3. Поэтому искомая площадь выражается
так:
S=C (9 — x2)dx= (i
-з
9* — ^
27-|)-(-27 + |) = 36.
С помощью интеграла можно вычислять площади не только
криволинейных трапеций, но и фигур, ограниченных снизу и сверху
графиками непрерывных неотрицательных функций, а с боков —
отрезками прямых, параллельных оси ординат (рис. 178).
Площадь S такой фигуры равна разности площадей S2 и 5lf
где S2— площадь трапеции аА2Вф, a Sx — площадь трапеции
аАфф. Но
ь ь
Si = J h (х) dx, S2 = [f2 (x)dx.
Значит,
>2 о i —
b
S = S,
= ] /, (x) dx-lh {x) dx =
a a
= ) (h (x) - h (*)) dx.
(2)
Рис. 179
Пример З. Найдем площадь
фигуры, ограниченной линиями у = х2 и у =
= ]/л;(рис. 179).
258

Решение. Заданные линии пересекаются в двух точках:
О (0; 0) и Л (1; 1). Применив для отыскания площади заданной
фигуры формулу (2), получим:
1 1 j_ 1
5= f (]/7— x2)dx= ^x2dx — §x2dx =
о
3
2 Т\[ хъ
— х -
3 о 3
;=(т-»)-(1-°)ч-
Можно доказать, что формула (2) справедлива не только для
случая, когда функции /х и f2 неотрицательны на отрезке [a, ft],
но и для любых непрерывных на отрезке [а, Ь] функций, таких,
что f{ (x) < f% (x) для всех х £ [а, 6].
I ъ
Число \f(x) dx равно высоте прямоугольника, имеющего то же основа-
** а
ние и ту же площадь, что и криволинейная трапеция на рисунке 173. Это число
называют средним значением функции / на отрезке [а\ b].
Пример 4. Найдем среднее значение функции х2 + 2х на отрезке £1; 3].
Решение.
(3 27 1 .50
f(*2-f 2x)dx=(j +хЛ
= 7+9-7-, = ?'
1 50 25
Так как b — а = 3 — 1=2, то среднее значение функции равно -— • -т- = -г*.
2 3 о
Упражнения
Расскажите, как вы будете вычислять площади фигур,
заштрихованных на рисунке 180.
870. Вычислите площадь треугольника, ограниченного прямой
у = Зх, осью х и прямой х = 2. Вычисление проведите двумя
способами: геометрически и g помощью интеграла.
2
871. Вычислите f / (x) dx, если функция / задана графиком,
ii
изображенным на рисунке 181, а, б.
872. Вычислите площадь фигуры, ограниченной:
а) одной верхней ветвью синусоиды у = sin x и осью абсцисс;
б) параболой у = л:2, осью я и прямыми лг = 1, х = 2;
в) кривой у = х3, осью х и прямыми х = 0, х = 2;
г) параболой у = 4 — г* и осью абсцисс;
д) снизу параболой у = х2 — х — 2, сверху осью х;
е) кривой у = cos #, осью х и прямыми х = ——, jc = —;
з.
ж) кривыми у = х2 и у = ух.
9 Заказ 87
257

Рис. 180
Zh
y-fM
71
-7
7 2
о)
3
Г
У-Щ
-7 01 12
В)
Рис 181

.Ж Щ Я X
2 Ч) г
-Д
г)'
ч
'/
-7
^
Jy=*2-1'
/; »
Л х
\у=7-х2
Рис. 182
873. По данным, указанным на рисунке 182, найдите площадь
заштрихованной фигуры.
874*. Найдите площадь фигуры, ограниченной одной аркой
кривой у = sin2 х и осью абсцисс. Вычислите высоту
прямоугольника, имеющего ту же площадь и то же основание.
875*. Найдите среднее значение функции / на отрезке [a, Ь\ если:
a) f (х) = х3, а = 2, Ь = 4; б) / (х) = sin 3*, а = 0, b= -2-.
о
75*. Приближенное вычисление интегралов. Формулу
]f(x)dx = F(b)-F(a)
(3)
можно применять на практике лишь в случае, когда известна пер*
вообразная F для подынтегральной функции /. Поскольку мы,
например, еще не знаем первообразной
для функции —, то не можем вычислить
X
3
С dx
по формуле (3) интеграл 1 — , имеющий
i
простой геометрический смысл — площадь
криволинейной трапеции на рисунке 183.
Его значение можно приближенно найти,
использовав следующее свойство
интегралов:
9*
259

Теорема. Пусть функция f непрерывна на [а; &],
причем а<Ь. Тогда
m(b — а)< f/(х)dх< М(b-a), (4)
а
где m и М соответственно наименьшее и наибольшее значения
функции на отрезке [а; &].
Доказательство. Проведем доказательство для
случая, когда m ^ 0 — в этом случае функция / неотрицательна на
ъ
[а; &]. Мы знаем, что Г / (х) dx — площадь криволинейной тра-
а
пеции, изображенной на рисунке 184. Из неравенства m <J / (х)
следует, что прямоугольник с основанием [а; Ь~\ и высотой m
целиком содержится в этой криволинейной трапеции и потому его
площадь m (b — а) не больше площади трапеции, т. е. m (b — a) <J
ь
^j* f (x) dx. Прямоугольник с тем же основанием и высотой М
а
целиком содержит криволинейную трапецию (рис. 184), и потому
ь
его площадь не меньше площади трапеции, т. е. Г / (х) dx ^ М (Ь—а).
а
Неравенства (4) доказаны.
з
С dx
Применим эту теорему к интегралу \ —. В этом случае а = 1,
то но теореме
fr = 3, f(x) =-. Так как на [1;3] —<— < 1,
х 3 х
справедливы неравенства
з
1(3-1)<J^< 1(3-1),
1
т. е.
I
Эта оценка значения интеграла очень неточна. Чтобы получить
более точную оценку, разобьем отрезок [1; 3] на четыре равных
отрезка: [1; 1,5], [1,5; 2], [2; 2,5],
[2,5; 3] — и применим теорему к
каждому отрезку разбиения.
На отрезке [1; 1,5] выполняются
неравенства — ^ — <[ 1. Значит, по теореме
y=f(x)
Рис. 184
1,5
получаем: —(1,5
т. е.
»<!!
< 1(1,5-1),
260

1.5
1,5
Таким же образом устанавливаем, что
°'5<Г^<0,5. (5)
1
0,5^ р dx .0,5 /а.
1.5
2,5
2
3
0,5^ р dx ^0,5 /Q.
T<J 7<¥Г5- (8)
2,5
Сложив почленно неравенства (5), (6), (7), (8) и приняв во
внимание, что по свойству интегралов выполняется равенство
1,5 2 2,5 3 3
1 dx
Cdx + Cdx + Cd_x + Cdx_ Ci
J x J x J x J x J
I 1.5 2 2,5 I
получаем:
з
0,5 0,5 , 0,5 0,5^ frf^nc . °»5 t 0.5 , 0,5
ri + T + ^ + T<J7<0>5 + T^ + T + 2^
i
т. e.
wGW + i5 + T)<j?<w('+7!i + 7 + i!s}
Так как -4^0,667; - = 0,500, — = 0,400, -«0,333,
l,o 2 2,5 3
з
С dx
то, выполняя вычисления, получаем для 1 — более точные оценки
i
снизу и сверху:
з
0,950 < Г-< 1,283.
i
Беря среднее арифметическое этих оценок, находим, что
^0,950 + 1,283 gl>122> (9)
J X 1
1
3
Можно доказать, что на самом деле \ — = 1,099. Следовательно,
J х
I
261

равенство (9) дает погрешность в 0,03, что составляет примерно
3% от значения интеграла. Чтобы получить более точное значение
интеграла, надо разбить отрезок [1; 3] на большее число частей и
применить теорему к каждой части. Так, разбивая отрезок на
20 равных частей и беря среднее арифметическое значение оценок
снизу и сверху, получим значение интеграла с точностью до 0,001.
При разбиении отрезка на очень большое число частей
возникают вычислительные трудности. Их преодолевают путем
применения вспомогательных вычислительных средств, в частности
быстродействующих электронных вычислительных машин.
Упражнения
876*. а) Найдите приближенное значение площади фигуры,
ограниченной гиперболой у = —, осью х и прямыми х = 1, х = 6
X
(промежуток интегрирования разбейте на 10 частей).
б) Вычислите приближенное значение площади фигуры,
ограниченной гиперболой у = hU осями координат и прямой
X
х = 1 (промежуток интегрирования разбейте на 5 частей).
2
в) Вычислите интеграл f л? dx двумя способами: с помощью
о
приближенного метода, разбивая промежуток интегрирования
на 4 части, и с помощью первообразной. Результаты сравните
и найдите относительную погрешность. Сделайте то же самое,
разбивая промежуток интегрирования на 8 частей.
76. Основные результаты.
1. Функция F называется первообразной для функции / на
промежутке X, если для всех х£ X выполняется равенство F' (#)=
= / <*).
2. Если F— первообразная для функции / на промежутке X,
то функция / имеет бесконечное множество первообразных и все
они имеют вид F + С, где С — число.
3. Таблица первообразных:
Функция

Первообразная
1
X
хъ(аф—\)
х«+1
сИ-1
sin kx
cos kx
k
cos kx
— sin kx
k
1
cos2 kx
tg kx
k
1 1
sin2 kx
ctg kx
k
4. Правила отыскания первообразных:
1) первообразная суммы равна сумме первообразных;
2) при умножении функции на постоянный множитель ее
первообразная умножается на тот же множитель.
262

5. Разность значений первообразной F функции f в точках
ft и а не зависит от выбора первообразной и называется интегралом
этой функции от а до Ъ\
) f (х) dx = F(b)-F (a).
а
6. Свойства интеграла:
1) J/(x)d* = -j/(x)dr,
а Ь
Ь с Ь
2) если а<с<Ь, то [f{x)dx = \f{x)dx + j f{x)dx\
а а с
b
3) если a<b и /(х)>0 на [a; b\ то (7(*)d#^0;
b b b
4) j (/(x) + g(x))dx - j/ (x) dx + J g(x) dx;
л a a
5) {kf(x)dx = k [f(x)dx.
a a
7. Физический смысл интеграла: если v = f (t) — скорость
ь
прямолинейно движущейся точки, то j* / (t) dt — перемещение за
а
промежуток времени [а\ 6].
8. Геометрический смысл интеграла: если функция / непрерыв-
ь
на и неотрицательна на отрезке [а; 6], то J / (x) dx есть площадь
а
криволинейной трапеции, ограниченной прямыми у = О, х = а,
х = Ь и графиком функции /.
9. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху
графиком непрерывной функции /2, снизу графиком непрерывной
функции flf а с боков прямыми х = а и х =? Ь (a < ft), вычисляется
по формуле
S=J(/2M-M*))d*.
а
Дополнительные упражнения
К пункту 69
877. Докажите, что функция F есть первообразная для функции
/, если:
.^.jij./M-*^,-^)
263

б) F (х) = cos2 x, f (x) = —sin 2x\
в) F(x) = 2sin(2x — j)-l, /(x) = 4cos(2x—jV,
r)f(x) = tg2x, /W=^-
COS3 *
878. Будет ли функция F первообразной для функции f, если:
а) F (х) = sin4 х — cos4 x% / (*) = 2 sin 2я;
б) F(х) = sin3х — cos3x, /(х) = у= sin2xsin/— + х);
в) F (х) = / x2' * ^ ^,
Г) f /дд в Г л:2, л; < О,
1> г W j_^ ^> 0f f {x) e _2 |Х|?
К пункту 70
879. Для функции / найдите первообразную F, график которой
проходит через точку {а\ 6), если:
а) f(x) = sin л:, (а; Ь)=*(^\ 2\;
б) f(x) = — cosx, (а; 6) = (л; 1);
B)/(x) = 2cos2x, (а; *)-(у;Кз);
г)/(х)«-4-, (а; 6) ==(_£; l).
cos2* \ 4 /
880. Убедитесь, что функции F и Ф, где F(jic)=tg2 я, Ф(х) = ,—
cos2 х
первообразные для функции -iillf.. Определите такое С,
cos3*
что Ф (*) = F (х) + С.
К пункту 71
881. Найдите первообразные для функции:
а) (Vx-l)(Vx + x+ 1); в) (у/1-^)( 2у^+ V^);
б) (^х + 2)(^-2^+4); г) (/Е^ЕУ.
j/3*
882. а) На рисунке 185 изображен график скорости движения
точки. Найдите закон движения, если в момент времени / = 3
координата точки равнялась 10.
264

Рис. 186
883.
б) На рисунке 186 изображен график скорости движения
точки. Найдите закон движения, если в момент времени
t = 4 координата точки равнялась 100.
Скорость движения точки выражена формулой v = 4 sin 2/
(в м/с). Найдите закон движения, если в начальный момент
времени точка находилась от начала координат на расстоянии
о М.
884. Ускорение движения точки выражено формулой а = 2 cos.3/
(в м/с2). Запишите скорость движения, если известно,
что в начальный момент времени скорость была равна
885.
886
888
1Т We
Длина стержня равна 10 см, а его линейная плотность в
точке, находящейся на расстоянии х см от левого конца,
равна "J*3 + х (в г/см). Определите массу стержня.
Угловая скорость точки, вращающейся по окружности, в
момент времени / равна /4 рад/с. Определите положение
точки в момент времени /, если при / = 1 она находилась в точ-
кев(т>
887. а) Для функции 2 sin2 3* найдите первообразную, график
которой проходит через точку М (~\ -IV
б) Для функции 4 cos2 2х найдите первообразную, график
которой проходит через точку м1—\ ]/"3~V
а) График одной первообразной для функции З*2 — 2х + 3
проходит через точку М (—1; 2), график другой - через
точку N (0; 2). Какой из графиков расположен выше? Какова
разность этих первообразных?
б) График одной из первообразных для функции — 3*2+2л;— 1
проходит через точку М (0; 2), график другой — через точку
N (1; 3). Какой из графиков полученных первообразных
расположен выше? Какова разность первообразных?
265

К пунктам 72—73
889. Докажите, что если функция f четна, то
а а
[f{x)dx = 2U(x)dx.
—а О
Вычислите интеграл:
2 2
890. a) J(х — 2)(х2 + 2х + 4)dx\ б) J(У'х— 1) (У7+ 1)d*.
о о
2 I
891. a) f (x— \fdx\ б) f (* — 2fdx.
Я £1
892.а) fsin.i.<k. б) J cos«-|d*.
ь 3 -f
3 3
. а) \ (cos2 х — sin2я) dr, б) I 2 sin — cos ~ djc.
893
EL ?L
"3 6
ь
894. Вычислите интеграл j* / (*) dx, если:
a
\ с / \ 1 + sin 2* + cos 2* я , я
sinx + cos* 6 2
/-\ i / \ 1 — sin 2x Л Л , я #
б) /(*) = :—, а = О, Ъ = —;
cos * — sin л: 6
в) f (#) = cos3 х sin я — sin3 x cos я, a = 0, Ъ = —.
о
895*. Докажите, что
10я 9,5я
а) J |^!л«2хЛв20; б) \ 1А±р^в20.
о я_
2
896. Одновременно из одной точки по одной прямой в одном
направлении начинают двигаться два тела со скоростями vx =
= t2 — 2t и v2 = 4 (£ + 3). Через сколько секунд и на
каком расстоянии тела снова встретятся (скорости выражены
в м/с)?
897. Докажите, что:
2я
i з
а) fsin2/d*>0; б) J (cost— \)dt <0;
266

я я я з
в) J sin tdt>§ sin21 dt\ r) f sin / di > J sin tdt.
К пункту 74
898. Вычислите площадь фигуры, ограниченной:
а) параболами у = —х2 + 4 и у = х2 — 2х\
б) линиями у = —, # = 1, у = # — 1;
в) параболой у = 4 + Зх — х2 и прямой у = х + 1;
г) одной аркой синусоиды у = 2 sin я и прямой линией у = 1;
д) кривыми у = 2 + sin лс, у = 1 + cos2 x на промежутке
[0; я].
ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
Вычислением площадей поверхностей и объемов тел
занимались еще математики Древней Греции (Демокрит, Архимед и др.).
Они вывели формулы для объемов пирамиды, конуса, шара,
площади параболического сегмента и т. д. Первоначальные формулы
устанавливались с помощью нестрогих рассуждений, например с
помощью разложений фигур на «бесконечно тонкие слои»,
изложение результатов велось формально, на основе так называемого
метода исчерпывания, который позволял лишь проверять уже
полученные ответы, но не отыскивать их.
Первым европейским математиком, получившим новые формулы
для площадей фигур и объемов тел, был знаменитый астроном
И. Кеплер (1571—1630). Он нашел площадь эллиптического сектора
(эта площадь входит в формулировку второго закона Кеплера),
объемы различных тел вращения и т. д. Методы Кеплера были
далеки от строгости. Идеи Кеплера разделял ученик Галилея Б. Ка-
вальери (1591—1647). Представления о бесконечно малых были у
Кавальери точнее, чем у Кеплера. Он систематически пользовался
понятием «неделимых» (бесконечно тонких слоев) для отыскания
площадей и объемов.
После исследований ряда ученых (П. Ферма, Д. Валлиса и др.)
И. Барроу (1630—1677) открыл связь между задачами отыскания
площадей и проведением касательной (т. е., говоря современным
языком, между интегрированием и дифференцированием).
Исследование связи между этими операциями, свободное от
геометрического языка, было дано И. Ньютоном и Г. Лейбницем и явилось
краеугольным камнем при возведении здания математического
анализа.
ь
Современное обозначение интеграла J / (x) dx восходит к
а
Лейбницу, у которого оно выражало мысль, что площадь криво-
267

линейной трапеции есть сумма площадей бесконечно тонких полосок
ширины dx и высоты / (х). Сам знак интеграла является
стилизованной латинской буквой S (первой буквой слова «summa».) Название
«интеграл» принадлежит ученику Лейбница И. Бернулли.
Систематическое исследование интегрирования элементарных
функций было проведено Л. Эйлером в его книге «Интегральное
исчисление». Для некоторых элементарных функций Эйлеру не
удалось найти первообразной, выраженной через элементарные
функции. Этот вопрос был изучен русским математиком П. Л. Че-
бышевым (1821—1894), нашедшим все случаи, когда отыскивается
- первообразная для функций вида (а + bxp)q хг, где р, q, r —
рациональные числа.
В течение длительного периода интеграл рассматривался так,
как это изложено в учебном пособии, т. е. как разность
первообразных. Однако вопрос о существовании первообразной оставался
открытым. В начале XIX в. французский математик О. Коши доказал
существование первообразных у всех непрерывных функций. Для
этого он определил интеграл не как разность первообразных, а как
предел интегральных сумм (этот подход близок к описанному в
п. 89). В течение столетия математики изучали вопрос об
интегрировании разрывных функций (Б. Риман, Г. Дарбу и др.). Наиболее
завершенную форму придал понятию интеграла от разрывной
функции французский математик А. Лебег (1875—1941). Большой
вклад в изучение различных обобщений понятия интеграла внесли
советские математики Н. Н. Лузин (1883—1950), А. Я. Хинчин
(1894—1959), А. Н. Колмогоров (род. 1903 г.) и др.

Глава V
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
§ 11. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
77. Свойства показательной функции. Понятие показательной
функции, т. е. функции вида а*, где а > О и а Ф 1, было введено
в 8-м классе. Перечислим основные свойства1 этой функции:
а) Показательная функция определена для всех значений х.
б) Показательная функция монотонна: если а > 1, то она
возрастает, а если 0 < а < 1, то убывает,
в) Для любых хг и х2 верно равенство а*1^** = aXi • aXt.
г) а1 = а.
В более полных курсах математического анализа доказывают,
что эти четыре свойства показательной функции являются
основными: если функция f определена для всех х € R, монотонна, такова,
что f (хх + х2) = / (хх) • / (х2) для любых хг и х2, причем f (1) = а,
то f (х) = ах.
Покажем, как из свойств а) — г) показательной функции
выводятся равенства
я°=1, (1)
(дУ = d*. (3)
В силу свойств в) и г) имеем: а0 • а = а0 • а1 = а0*1 = й1==а.
Так как а Ф О, то отсюда вытекает, что а0 = 1.
Далее, полагая в свойстве в) хг = х, х2 — —х, получаем:
ах. а~* = а*""* = а0 = 1. Значит, а~х = —. Итак, равенства
а*
(1) и (2) доказаны.
Докажем теперь равенство (3). Заметим, что при X = 0 обе
части равенства (3) равны 1 и потому оно справедливо. Пусть
теперь К Ф 0. Тогда функция ср, где ср (х) = а1х, определена для
всех значений х. Далее, эта функция монотонна. В самом деле,
если а > 1 и К > 0, то при хг < х2 ^ < К х2 и потому a%Xi < au? .
Аналогично разбираются остальные случаи (а > 1 и X < 0, 0<а<1
1 Отметим, что эти свойства были доказаны в 8-м классе лишь для
рациональных значений аргумента.
269

и^>0, 0<а<1 и \ < 0). Наконец, для любых хл и х2 имеем:
Ф (*д ' Ф (*2) = fl^1 • fl^f = fl^1+VXi = ам*1+*я) = <р (*х + х2).
Таким образом, функция ф обладает свойствами а) — в)
показательной функции. Значит, она является показательной
функцией с основанием ф (1) = а\ Иными словами, а^ — (а^)х .
Равенство (3) доказано.
Отметим еще, что при натуральных значениях п > 1 ап =
= а • а • ... • а (п множителей). В самом деле, по свойствам в) и г)
а2 = а1*1 = а1 • а1 = а • а,
А? _. а2-|л = о2 . а1 = (о • а) • а = а • а • о и т. д.
Найдем теперь значение а" при натуральных т и п. Из ра-
венства (3) следует, что (ап )п = ап = ат и потому а'1 = -/"а"*.
Далее, из равенства (2) вытекает, что а п
т
aF
_1_
и
1
и, в частности, сгт =
а"
Итак, мы показали, что обозначение ах для функции,
удовлетворяющей условиям а) — г), не противоречит этому обозначению
в восьмилетней школе.
Для получения приближенных значения ах при
иррациональных значениях х надо заменить х его рациональными
приближениями по недостатку и по избытку. Например, так как — <Y2 <
_ 4
< —, то у^З5 <3*2 < ]/"33. Вычисляя значения корней,
получаем, что 3,95 < 3V2 < 5,20. Выбирая более точные приближения
для 1^2, получаем более точные границы для 3 .
Замечание. Свойства показательной функции (кроме
свойства б)) сохраняются и при а = 1, если положить Iх = 1 для всех
значений х.
Изучим поведение функции ах при ^->- + оо и при х-> — оо.
Пусть а = 10. Какое бы число М мы ни выбрали, найдется такое
натуральное число п, что 10* > М. Но тогда на луче ]я, +сх>[
выполняется неравенство 10 *> М. Таким образом, функция
10* стремится к +оо, когда х-+ + оо:
lim 10* = + °°.
£-►-{-00
Известно, что 10~л = —. Если х < —я, то 10* < 10~я = — .
10я Юл
Поскольку значения — могут стать сколь угодно малыми при
270

a*\
У\
\
0
1o<a<i
X
Рис. 187
Рис. 188
Рис. 189
достаточно больших значениях я, то функция 10* бесконечно
мала при х-> — оо, т. е.
lim 10* = 0.
Х->—оо
Вообще справедлива следующая теорема:
Теорема 1. Если а>1, то lima* = + oc> и lima* = 0.
#-►-{-00 Х-*-—оо
Иными словами, если а > 1, то график функции ах
неограниченно поднимается вверх при jc-> + oo и неограниченно
приближается к оси абсцисс при х-* оо.
На рисунке 187 изображены графики показательных функций
с основаниями 2, 3, 10.
На рисунке 188 изображен график показательной функции
1 -—] = 2~Л'. Он симметричен графику функции 2х относительно
оси ординат.
Вообще график функции а* получается из графика функции
= сгх с помощью осевой симметрии относительно оси
ординат (рис. 189). Поэтому при 0<а<1 имеем: lim а* = 0 и
*-».-|-00
lim ax = + оо.
#«►—00
Таким образом, справедлива следующая теорема:
Теорема 2. Если 0<а</, то lim а* = 0 и lim a*= + oo.
Я-*.-}*00 лг-*—Оо
Без доказательства отметим следующее утверждение:
Теорема 3. Показательная функцияах, где а>0 и аф1,
непрерывна на всей числовой прямой.
Из теорем 1, 2, 3 данного пункта и теоремы 2 пункта 23
вытекает следующая теорема:
Теорема 4. Если д>0 и аФ1, то функция ах принимает
все положительные значения (т. е. 2?(/)=]0, +оо[).
ОСИ |
Е
271

Докажем теперь, что для любых положительных чисел а и 6
справедливо равенство
а* . Ъх = (аЬ)* . (4)
Если а = 1, то обе части равенства (4) равны Ьх и потому оно
выполняется. Если а Ф 1, то найдется такое А,, что ft == а\ Но тогда
ft* = {£)* = ак\ и потому
ах ■ 6* = *" . ct* = а'г+и = а(1+м* - (а1+х)* = (а . ах)х = (aft)*.
В заключение докажем, что для любых положительных чисел
а и ft выполняется равенство ~ = f — X
В самом деле, из равенства (4) следует, что &*•(—) =
= (6. f)*_ a-, t.e. •■-»•■(#. откуда £ = (А)'.
Упражнения
899. Какие из следующих функций являются показательными:
а) х3; б) 3*; в) (у^5)*; г) (—2)*; д) 2^; е) х* \ ж) ах?
900. а) Заполните таблицу
X
2х
—3
—2
-1
0
1
2
3
3
2
3
~ 2
и постройте график функции 2х.
б) Проиллюстрируйте на графике все свойства
показательной функции ах при а > 1.
в) С помощью графика найдите значения функции 2х при
х = —2,5; —0,5; 0,7; 2,6.
г) При каком значении х значение функции равно 1; 2; 3;
6; -1,6?
д) При каких значениях х выполняется неравенство 2х > 2;
2х < 1; 2х <4?
901. а) Заполните таблицу
i x
1(1)"
— 3
— 2
— 1
0
1
2
3 !
и постройте график функции/—J .
272

б) Проиллюстрируйте на графике все свойства
показательной функции ах при 0 < а < 1.
/1 \х
в) С помощью графика найдите значения функции / —
при х = —2,6; —0,7; 0,5; 2,5.
г) При каком значении х значение функции равно 1; 2;
2,3; 1?
д) При каких значениях х выполняется неравенство
(тГ>"(тГ>МтГ<«
902. В одной и той же системе координат постройте графики трех
функций: 2*, 3-v, 5х.
а) Через какую точку проходят все три графика? Какая
функция «быстрее» возрастает?
б) Постройте приблизительно графики функций (2,5)* и 4х.
903. а) В одной и той же системе координат постройте графики
функций (J/2)* и {VW-_
б) Решите уравнение (]/г2)х = (У3)х.
в) Решите неравенство (Т/у) > [тгТ) •
904. Какие из показательных функций: а) 3*; б) {—■) ;
в) | —J ; г) (0,05)*; д) (У3)х возрастают, какие — убывают?
Как ведут себя эти функции при х-> + оо и при *-> — оо?
905. С помощью двойного неравенства — < УЪ < — найдите
приближения по недостатку и по избытку для 2 .
906. С помощью двойного неравенства — < У2 < — найдите
3 2
приближения по недостатку и по избытку для 4 и для (—) .
907. Исходя из свойства монотонности показательной функции,
сравните значения выражений:
a, ViP и (КГ-, в) (^' . (£р;
б) 2.1-1.5 и 2Д-2; г) (0,3)-3.14 и (0,3)-*.
908. Какое из чисел: а или (5 — больше, если:
a) W2f < (V2f; в) 0,За > 0,3Р;
б)3,1а<3,1е; г)(/?)а>(/!)Р?
273

909. Какому из промежутков: ]— оо, 0[, ]0, 1[, ]1, + оо[ —
принадлежит х, если:
а) 2-= 1,7; б)(КТ)*-0,Б; в) ({)*-2; г) (})*-{?
910. Сравните с единицей значение выражения:
з)<К5)°; в,(|)-^ д,(|)^ ж,(|)-;
"(тГ' г>(1Г> «>(гГ *№fr-
911. а) Имеет ли показательная функция экстремумы?
б) Какой знак имеет производная функции: 2*, (—) ?
в) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 2х
на отрезке [1; 4].
912. Найдите область определения функции:
а) (1/2-1/2)*; в) 2^; д) (/2Р;
j_
б) З*-1; г) 2х \ е) 2>Ух~х\
913. Закон радиоактивного распада имеет вид (см. с. 37)
т — т0(-Ат9 где m — масса вещества в момент времени
/, т0 — его масса при / = 0 и Г- период полураспада.
В сосуде находятся два куска радиоактивных веществ,
имеющих соответственно массы 50 г и 20 г. Период полураспада
первого вещества — 1 ч, а второго — 2 ч.
а) Начертите графики изменения массы каждого вещества.
б) Начертите график изменения суммарной массы этих
веществ.
914. По закону, выведенному основателем космонавтики К. Э.
Циолковским, количество топлива, необходимое для того,
чтобы ракета, имеющая массу m (без топлива), получила скорость
v, выражается формулой
0,43^
М = m (10 *■ — 1),
где vx — скорость истечения продуктов горения из сопел
ракетного двигателя (сопротивлением воздуха и притяжением
Земли пренебрегаем). Вычислите, сколько понадобится
топлива, чтобы придать ракете, имеющей массу 1,2 т, вторую
космическую скорость 11,2 км/с, если скорость истечения
продуктов горения из сопел равна 4,5 км/с.
274

т
f(h) l
[f(a)-
0
I
'
f
Z X i
I J
Рис.
X
190
iPlx)
& t
\
0
^- 1 U J^__
X
Рис. 191
915. Для функции Д где f (x) =
= 2* — 1, найдите обратную
функцию ф. Постройте
графики функций / и ф.
78. Логарифмическая функция.
В курсе алгебры 8-го класса было
введено понятие обратной функции.
Например, функция, график
которой изображен на рисунке 190,
имеет обратную функцию,
поскольку каждому у € Y соответствует
одно значение х £ X, причем
такое, что / (х) = у. А функция,
график которой изображен на
рисунке 191, не имеет обратной:
значению у = 1 соответствуют три
значения X.
Пусть функция / непрерывна
и монотонна на отрезке [а, &],
например, возрастает на этом
отрезке. Тогда для любого значения
у из отрезка [/ (а), / (&)] можно найти одно и только одно
значение х, которое ему соответствует (т. е. такое, что f (х) = у). На
рисунке 190 показано, как это сделать. Значит, в этом случае не
только для любого х € [а, Ь] однозначно определяется
соответствующее значение у, но и для любого у € [/ (а), / (&)] однозначно
находится соответствующее значение х. Таким образом, на
Lf (a)» / (&)] определена функция, обратная функции/. Можно
показать, что она также непрерывна и монотонна (в данном случае
возрастает). Итак, справедлива следующая теорема:
Теорема. Пусть функция / задана на отрезке [а, Ь],
монотонна и непрерывна на этом отрезке. Тогда существует
функция ф, обратная функции /. Она определена на отрезке
[f(a)>f(b)]> если f возрастает, и на отрезке [f(b),f (а)], если/
убывает. Эта функция ф также монотонна и непрерывна.
С соответствующими изменениями теорема верна и для
функций, монотонных и непрерывных на любом промежутке числовой
прямой.
Функция а* при а > 1 непрерывна, возрастает на всей
числовой прямой и принимает значения, принадлежащие открытому лу-
ЧУ ]0> + °°[- Отсюда следует, что она имеет обратную функцию,
заданную на луче ]0, + оо[, возрастающую и непрерывную. Ее
называют логарифмической функцией с основанием а и обозначают
loga х. Аналогично определяется логарифмическая функция logfl x
при 0 < а < 1; в этом случае она убывает.
Перечислим основные свойства логарифмической функции
log**, где а > 0, а Ф 1:
275

Рис. 192
1. D (f) = ]0, + oo[.
2. £(/) =]-<*>, +oo[.
3. log^ x — монотонная функция, а именно: возрастающая при
а > 1 и убывающая при 0 < а < 1.
4. loga х непрерывна на множестве ]0, + оо[.
Как было показано в курсе алгебры 8-го класса, графики
взаимно обратных функций симметричны относительно прямой
у = х. Значит, график логарифмической функции logfl x
симметричен графику показательной функции ах относительно прямой
у = х (рис. 192).
Из определения логарифмической функции следует, что ра-
Еенства у = ах и х = loga у, у > О равносильны. Заменяя в
первом из них х на loga у, получаем тождество
М*у
у = аЮё«\у>0.
(4)
Точно так же, заменяя у в равенстве x=loga у на ах, получаем:
х = loge a"
(5)
Значение логарифмической функции loga x при заданном
значении х называют логарифмом числа х по основанию а. Равенство
(4) показывает, что логарифм числа у по основанию а равен
показателю степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить
значение у. Например, log^ 1 = 0, так как а0 = 1; log^ а = 1,
так как а1 = a; log3 9 = 2, так как З2 = 9; log2^= = , так
как 2 = -у=. и т. д.
Напомним, что логарифм по основанию 10 называется
десятичным и обозначается lg x\ запись lg x означает: log10 x.
276

Упражнения
916. а) Для функции f, где / (х) = 2*, найдите обратную
функцию ф.
б) Постройте графики функций f и ср.
в) С помощью графика исследуйте свойства обратной функции.
917. а) Постройте график функции log2 х на миллиметровой
бумаге.
б) С помощью построенного графика заполните таблицу:
X
log2 х
1
V*
п
5
— 2
— 1
0
05
JX
4~
2,6
в) С помощью графика определите знак числа: log2 —, log2 —,
3 8
bg2n, logasin-J-, log, cos 4-• log2tg-^-, !og2l.
обо
918. В одной и той же системе координат постройте
графики функций: log2 x, log3 x, logt х, logt x. Какие из
Т з~
этих функций возрастающие, а какие — убывающие?
919. Постройте графики функций х и 3]°33*. Чем отличаются они
друг от друга?
920. Найдите область определения функции:
а) lg х\ в) log3 (х — 1); д) log5 х2;
б) log2 {-х)\ г) logi (2 - х); е) lg (9 - х*).
2
921. Имея шаблон графика функции 2Х% постройте график
функции:
а) 2-
в) 1о^ х\ д) log2 х + 5; ж) log2 (x — 1);
б) log2 х\ г) —log2 x\ e) log2(—x)\
з) 1о^ (х + 2).
922. Решите графически уравнение:
a) lg х = х — 3; б) log2 х = х2 + 1; в) logt х = 5 — х.
923. а) Имеет ли функция loga х (а > 0, а Ф 1) экстремумы?
б) Какой знак имеет производная функции log6 #, log0>3 х?
в) Найдите наибольшее и наименьшее значения функций log2 x
If 41
и l°go.5 x на отрезке
79. Свойства логарифмов. Из равенства а*х • а*
следует основное свойство логарифмической функции:
277
~*1 + *3

log* (У1У2) - 1о&У! + loga у2, у! > 0, у2 > 0.
(6)
В самом деле, пусть loga ух = xlt loga y2 = х2. Тогда а*1 = ух и
а** = у2. Значит,
bga (Ух У2) == loga (а*' • ах*) = Ioge а*' м* = *х + *2 = loga yx + log, y2.
Равенство (6) означает, что логарифм произведения двух
положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.
Таким образом, показательная функция преобразует операцию
сложения действительных чисел в операцию умножения
положительных чисел, а логарифмическая функция, наоборот, преобразует
операцию умножения положительных чисел в операцию сложения
действительных чисел.
Точно так же из равенства (аХхУ* = a*iX* следует, что
^ogayx = xhgay9 у>0.
(7)
Значит,
■og,
.
У1
= log*
>'l-
-loga
У*>
У1>0,
у2>0.
Действительно, пусть log, у = хъ тогда а1 = у.
log* У* - bge (aXi)* - loga aXXi = xxx~x loga y.
Равенство (7) означает, что логарифм степени положительного
числа равен произведению показателя степени на логарифм
основания.
Из равенств (6) и (7) получается следующее свойство
логарифмической функции:
(8)
В самом деле,
bga ^ = loga уг • yf = logfl уг + loga у-1 = loga yx — log,, у2.
/2
Равенство (8) означает, что логарифм частного двух
положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел.
Пример 1. Зная, что lg 2 = 0,301, вычислим lg 25.
Решение, lg 25 - lg 52 - 2 lg 5 = 2 lg ^ = 2 (lg 10 —
— lg 2) = 2 (1 — 0,301) = 1,398.
Пример 2. Зная, что log2 3 == 1,5850, вычислим log2 8)^3.
Решение.
log2 8 V3 = log2 8 + log2 V3 = log2 23 + log2 32 =
= 3 + - log2 3 = 3 + - • 1,5850 = 3,7925.
278

Иногда приходится рассматривать логарифмы числа у при
различных основаниях а и Ь. Докажем, что они связаны друг с
другом формулой
(9)
Действительно, по определению логарифма
у = b]ogoy .
Возьмем от обеих частей этого равенства логарифм по
основанию а. Получим: loga у = logfl 6log*y, откуда logfl у = log^y x
X logfl 6, logj, у = -^isJ! f что и требовалось доказать.
ПримерЗ. Найдем log81 243.
Решение. Так как 81 = З4, 243 = Зб, то
loggl243=^^- = !2i^=A.
SB1 log381 log33* 4
Из свойств (7) и (9) вытекает следующее свойство логарифмов:
loga у = \о^л у\ (10)
т. е. значение логарифма не изменится, если его основание и логарифмируемое
число возвести в одну и ту же степень.
В самом деле,
l(Xky*=bSs£-~ kl0gaV „log у
Пример 4. Вычислим log ,— 10000.
Решение. Воспользуемся равенством (10). Возведем основание лога риф-
2
ма и логарифмируемое число в одну и ту же степень —-«
3
Так как (10 |/То) 3 = (10 2 )3 = 10, то
2 2 8
log10/f010 000 = lg (10 000)Т= lg (10*)Т= lg 10т= -J.
Упражнения
924. Вычислите:
а) 2log'7; в) 4,og»7; д) log5510;
log 7
б) З4-10**7; г) 4 т ; е) log3^3;
925. Применяя определение логарифма, проверьте истинность
равенства:
а) log39^2; б) log327 = 3; в) logj_125=;—3; г) log5~=-2.
5 ™
279

926. Вычислите: a) Ioge 36; б) !ogi —; в) log2 —; г) log i 2.
т 4 4 т
927. Найдите число ху если:
a) log2 х = 4; б) log3 х = — 1; в) log0)b* = —3.
928. Найдите основание логарифма а, если:
a) logfl 8 = 3; б) log. 1 = 2.
929. Проверьте равенство:
а) 1о& * = п!-; в> ,0& N = 'og/rV^;
log*, a r a
б) loga ЛГ = logfl*W2; r) loganX = llofo x.
n
930. Что больше:
1
a) lg 2 или
log*100
6) log3 2, log/r "|/2 или *
log23
931. Применяя формулу (9), вычислите:
a) log27 81; 6) log^ 32; в) log±]/2.
16 8
932. Дано: lg 2 = 0,30103. Вычислите:
а) lg5; 6) lg 125; в) lg 0,125.
933. а) Вычислите с помощью таблиц логарифмов: lg 2,13; lg 21,34;
lg 0,754; lg 0,053.
б) Используя формулу (9) и таблицы логарифмов, вычислите
logs 7t' log2732,7, loggia
XZV\* if У A r—
в) Выполните действия: lg——; log„ V а у ay a.
г) Найдите х, если:
bg2 х = — log2 a + 3 log2 Ь\ log3 x = i log3 a — T log3 b.
о о
80. Простейшие показательные уравнения и неравенства.
Простейшим показательным уравнением назовем уравнение вида
ах = by где а > 0 и а ф 1. Если b <; 0, то это уравнение не имеет
решений, поскольку значения ах положительны. Если же b > 0,
то существует единственное значение х, удовлетворяющее этому
уравнению. Это значение logfl b (напомним, что ft==alog^). Итак,
доказано следующее утверждение:
280

Если а > О, аФ 1, то при 6^0 уравнение ах — b не имеет
решений; если же Ь > 0, то оно имеет единственное решение,
равное loga b.
Значение loga b равно -£- и потому может быть вычислено с
lga
помощью таблиц десятичных логарифмов. Иногда значение х можно
угадать, зная степени числа а с натуральными показателями.
Пример 1. Решим уравнение 5х = 8.
Решение. Единственным корнем данного уравнения явля-
—. По таблицам десятичных логарифмов
lg5
ется число log6 8, т.
находим:
ige
lg5
0,903
0,699'
1,29.
Итак, 1,29 — приближенное значение единственного корня данного
уравнения.
Пример 2. Решим уравнение 16* = 512.
Решение. Известно, что 16 = 24, 512 = 29. Поэтому
log2 512 = log2 2» = _9^
4"
x = log18512 =
log2 16 log2 24
Заметим, что при решении данного уравнения можно было
рассуждать по-другому: 16* = 512, т. е. (24)*= 29 или 24* = 29.
Положим 4х = /. Из равенства 2' = 29 следует, что / = 9, т. е. Ах = 9,
откуда х = —.
4
К решению уравнений вида ах = b сводится решение
неравенств ах < Ъ (а также неравенств ах > ft, ах ^ Ь, ах ^ Ь). Если
а > 1 и найдено число с, такое, что ас = b (т. е. с = logfl Ь), то
в силу возрастания показательной функции ах при х <с имеем:
а* < а* = 6, а при я > с имеем: а* > а? = 6. Поэтому л/ш а > 1
решением неравенства ах<Ь является открытый луч] — оо, с[,
а решением неравенства ах > b — открытый луч ]с, + оо[ (рис.
193).
ь
1
0
{
1 б)
f y=a*
(ах>Ь)
|,\\\\\\\\\\\\\у
; *
Рис. 193
281

y=a*\
x\\\\\\\^
(
1
V
? 0
\
b
(ax>b)
a)
X
y=ax
Рис. 194
Рис. 195
Если же 0 < а < 1, то решением
неравенства ах < Ь является открытый луч
]с, + оо[, а решением неравенства ах>Ь—
открытый луч ]—оо, с[ (рис. 194), где
с = hga &. Здесь используется убывание
показательной функции а* при 0 < а < 1.
Пример 3. Решим неравенство
(i)'<Te-
Решение. Сначала решим уравнение
( — )=—. Так как ( — | =—, то х = 2.
Поскольку в нашем случае а = — < 1,
то решением неравенства (—)*< — является ]2, + °о[ (рис. 195).
Решите уравнение:
934. а) 3* = 81; б) 2~* = 8;
Упражнения
в) 5"*
25"
935. а) 3* ±* 10; в) 104* = 3,75;
б) 6* = 23; г) 3* • 2*-1 = 100.
936. Используя шаблон графика функции 2х, решите графически
уравнение:
а) 2х = 0,8; б) 0,5х « 2 — х\ в) 2*+1 « * + б.
937. Решите показательное уравнение методом вынесения
общего множителя за скобку:
а) 3*+l + 3х = 108; в) 3*+* — 2 . 3^ — 4 . 3х"2 = 17;
б) 2*- 2*~2 = 12; г) 10*— б'-* • 2*-* =* 950.
282

938. Применяя свойства показательной функции, решите
неравенство:
а) 9~* > 271/1; в)2*-3<32К2; д) 2*< 16;
6)(})2*<f; t)VP<V*. *)£>Q.
81. Решение показательных уравнений и неравенств.
Рассмотрим показательные уравнения вида с№ = ag{x\ где а >0иаф 1.
Так как для любого у > О есть лишь одно х, такое, что ах = у,
равенство аь = ас возможно тогда и только тогда, когда
Ь = с: (аь = ас) <=> (ft = с). Поэтому уравнение afc,° = agU)
равносильно уравнению f (x) = g (x). Итак, справедлива следующая
теорема:
Теорема 1. Еслиа>0, аф1, то уравнение af(x) = ag{x)
равносильно уравнению f (х} = g (x).
Для решения показательных уравнений применяют два
основных метода: 1) метод преобразования уравнения к виду af{x) = cfi{x)9
а затем к виду f (x) = g (x)\ 2) метод введения новой переменной.
Пример 1. Решим уравнение 33*8+2 = Зх*+5х.
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению Зх2 +
+ 2 = х2 + 5л:. Решая последнее уравнение, получаем:
2л:2 — 5* + 2 = О,
Х\ = -—-, Х2 = 2.
Найденные значения являются и корнями данного уравнения.
Пример 2. Решим уравнение 3>2Х~Ь = 5* .
Решение. Так как 5 = 3log*5 (см. пункт 78), то данное
уравнение можно переписать в виде 32Х~Ь = (3log8 5)х, т. е.
З2*-6 = з*1о8э5- Эт° уравнение равносильно уравнению 2х — 5 =
с
= х logo 5, откуда находим: х (2 — log3 5) = 5. Итак, х = .
2 —log8 5
Пример 3. Решим уравнение \х — 2Х+Х — 24 = 0.
Решение. Так как 4х = (2*)2, 2Х+Х = 2 • 2х, то данное
уравнение можно переписать в виде
(2*)* _ 2 • 2*—24 = 0.
Введем новую переменную, положив 2х = г. Получим
квадратное уравнение г2 — 2г — 24 = 0, имеющее два корня: zx = 6,
г2 = —4. Теперь задача сводится к решению двух уравнений:
2* = 6, 2х =— 4.
Из первого уравнения находим, что х = log2 6. Второе
уравнение не имеет решений, так как 2х > 0 при любых значениях х.
Итак, х = log2 6.
283

Решим показательное неравенство
aiiX) >ag{x\ (11)
где а > О и а Ф 1. Так как функция ах возрастает при а > 1 и
убывает при 0 < а < 1, то при а > 1 из (11) следует, что / (х) >
> g (х), а при 0 < а < 1 из (11) следует, что / (х) <g (x).
Таким образом, справедлива следующая теорема:
Теорема 2.Если а>1, то неравенство af{x)> ag{x)
равносильно неравенству f (x)>g (x). Если 0<а< /, то неравенство
af{x)>ag{x) равносильно неравенству f(x)<g(x).
Пример 4. Решим неравенство 0,5**+2*+1 > 0,5**~~3.
Решение. Поскольку 0 < 0,5 < 1, то данное неравенство
равносильно неравенству
хг + 2х + 1 < х2 — 3,
решая которое получаем: х < —2. Итак, решением неравенства
является луч ]— оо; —2[.
Основной вывод, относящийся к показательным неравенствам,
представим в виде следующей схемы:
а
*
/м>
№
а>1
g(x)
>
ё(х)
а
•0- 0<а<1
f(x)<g(x) 1
Упражнения
Решите уравнение:
939. а) 9* = 27*-1; в) 5Х'+Х~*= 1;
б) У¥ = У&*&\ г) 3й = 81.
2х+20 лг+5
940. а) 0,5* • 4*+] = 64"1; в) 4 *~10 = 0,125 • 8t_l5;
б) 16$Л),25г°-* = 2ГЩГ\ г) 2Х~1 • 5*"1 = 0,001 • 102*+5.
941. а) 5*-' + 5Х~2 + 5х~а = 155; в) 9Х~1 + 3*+2 — 90 = 0;
б) 52*"1 — 2 • 5х + 5 = 0; г) V — 7 • 2Х+1 = 32.
Решите неравенство:
942. а) (!)**> 9-ь, б)3*'-*-5>3.
943. а) Г-*> 2*4* б) ^j—«*+»< (±р.
944. а) 2* + г*"1 + 2*~а > 56; б) З**1 — 2 • З-*"1 — 4 • 3*~г < 17.
945. а) 9* — 8 • 3* < 9; б) 2ix+a + 2Г+7> 17;
284

в) 3* +3Х +3>84; г) 5*-4-5"* > 525.
946. а) 3!*+21>27; б) 4U~3|<32.
947. Решите графически неравенство:
а) 2х < 1 — х\ б) 0,5* <х+ 1.
948. Масса колонии бактерий, имеющей достаточное количество
питательных веществ, возрастает по закону:
М = М0 • 10*',
где М0 — масса этой колонии в момент времени / = 0.
Начальная масса одной колонии равна 0,03 г, а другой — 0,09 г.
Известно, что для второй колонии коэффициент k на 0,1
больше, чем для первой. Найдите значение этого коэффициента для
обеих колоний, если известно, что через 10 единиц времени
суммарная масса этих колоний составляла 930 г.
949. Начальная масса одной колонии бактерий равна 0,004 г,
а второй — 0,008 г. Коэффициент k для второй колонии вдвое
меньше, чем для первой. Найдите значение этого
коэффициента, если через b единиц времени массы обеих колоний
оказались равными.
950. Какой скорости истечения продуктов горения из сопел
ракеты надо достичь, чтобы с помощью 250 т топлива придать
ракете, имеющей массу 2,5 т, скорость 8 км/с (см. упр. 914)?
82. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства.
Функция loga х при а > 0, а Ф 1 принимает любые действительные
значения. Поэтому уравнение loga x = Ь имеет решение при любом
Ь. Поскольку loga аь = Ь, искомым решением является число аь.
Другого решения данное уравнение не имеет в силу монотонности
логарифмической функции.
Итак, если а > 0, а Ф 1, то корень уравнения logfl х = Ь
равен аь.
Пример. 1. Решим уравнение log3 x = 2.
Решение. Корнем уравнения является число х = З2 = 9.
з
Пример 2. Решим уравнение log, х = .
Т 4
Решение. В данном случае корень имеет вид
В силу монотонности логарифмической функции, решение
неравенств вида loga х < Ь (а также вида loga x > fe, loga x < bt
logc x ^ b) сводится к решению уравнения log^ х == b. Пусть
с = аь — корень этого уравнения и а > 1. Тогда функция log^x
возрастает и потому при х < с имеем: loga х < loga с = Ъ% а при
285

У=1одах
yk
Рис. 196
b
0
1 (logax<b)
\\ X
o)
(logax>b) y=Logax
Рис. 197
x > с имеем: logfl x > loga с = b. Значит, при а > 1 решением
неравенства loga л; < b является интервал ]0, с[, где с = ab, a
решением неравенства loga# > Ь — открытый лун ]с, + °°[ (рис.
196).
Если 0 < а < 1 и с = аь — корень уравнения log^ х = Ь,
то (в силу убывания логарифмической функции) решением
неравенства loga х <b является открытый луч ]с, + оо[, а неравенства
logfl х > b — интервал ]0, с[
(рис. 197).
Пример 3. Решим
неравенство log! х < 3.
Т
Решение. Корнем
уравнения log i х=*3 является число
т
с = |_ J а: _-. Так как в данном
случае а = — < 1, то решением
4
.yUogix неравенства является открытый
Рис. 198 ЛУЧ ]б? + °°[ (РИС- Ш8)-
286

Упражнения
951. Решите уравнение:
а) log2 х = 3; в) log3 x = —2;
б) log^* = 4; г) logyy х =» —4.
952. Решите графически уравнение:
а) х log2 х = 1; б) log0,5 * = 4 — х2.
Решите неравенство:
953. a) log2 х > 3; б) log, x < 1.
Т
954. a) log3 (2л: — 1) < 2; б) log0,3 (х — 3) > 0.
955. a) log0>2 (jc - I)2 < 0; б) log^ (х + 2)2 > 0.
2
956. a) ^±i < 0; б) ^-! > 0.
957. Сколько действительных корней имеет уравнение:
a) log2 х = cos х\ б) lg х = sin лс?
83. Решение логарифмических уравнений и неравенств.
Рассмотрим логарифмические уравнения вида
loga / (х) = loga g (х),
где а > 0 и аФ 1. Для каждого значения у есть лишь одно
значение л: > 0, такое, что loga х = у. Поэтому равенство logfl ft =
= logfl с возможно тогда и только тогда, когда Ъ =с, причем
Ь > 0, с > 0. Значит, уравнение loga / (х) = loga g (*) равносильно
уравнению / (х) = g (х) при условии, что f (x) >0 n g (х) > 0.
Итак, справедлива следующая теорема:
Теорема 1. Уравнение \oga f(x) = \ogag(x) равносильно
системе
/(*)>0
g(x)>0
Заметим, что в этой системе можно опустить одно из неравенств (любое).
Например, можно опустить неравенство g (х) > 0, так как оно вытекает из
равенства / (*) = g (х) и неравенства / (*) > 0.
Таким образом, для решения уравнения loga / (х) = logfl g (x)
нужно:
1) решить уравнение f (х) = g (x)\
2) из найденных решений отобрать те, которые удовлетворяют
неравенству f (х) > 0 (или неравенству g (x) > 0; обычно
используют более простое из этих двух неравенств), а остальные решения
отбросить: они являются посторонними корнями для данного
уравнения.
287

Применяют два основных метода решения логарифмических
уравнений:
1) метод потенцирования, т. е. преобразования уравнения к виду
log,* / (*) = loga g (х), а затем к виду / (х) = g (х)\
2) метод введения новой переменной.
Пример 1. Решим уравнение
Iog3 (х2 — Зх — 5) = log3 (7 — 2х).
Решение. По теореме 1 это уравнение равносильно системе
(Х2 _ Зх _ 5 > о
| 7 _ 2х > О
I х2 — Зх — 5 = 7 — 2х.
Корнями уравнения х2 — 3* — 5 = 7 — 2х являются числа —3
и 4. Осталось отобрать из этих чисел те, которые удовлетворяют
системе неравенств
/ х2 — Зх — 5 > О
[ 7 — 2х > 0.
Проверку найденных значений выполним с помощью неравенства
7 — 2х > 0. Число —3 этому неравенству удовлетворяет, а число
4 нет. Значит, 4 — посторонний корень. Итак, х = —3.
Пример 2. Решим уравнение
lg (х + 4) + lg (2x + 3) = lg (1 - 2х).
Решение. Воспользовавшись тем, что сумма логарифмов
равна логарифму произведения, преобразуем уравнение к виду
lg (х + 4) (2х + 3) = lg (1 - 2х)
и далее (х + 4) (2х + 3) = 1 — 2х.
Из последнего уравнения находим: хг = —1; х2 = —5,5.
Осталось отобрать из найденных значений те, при которых
определены все логарифмы, содержащиеся в исходном уравнении.
Это значит, что нам нужно выяснить, какие из найденных значений
удовлетворяют системе неравенств
\х + 4 >0
2х + 3 > 0
— 2х > 0.
Подстановка показывает, что —1 этой системе удовлетворяет, а
—5,5 нет. Значит, —5,5 — посторонний корень. Итак, х = — 1.
Пример 3. Решим уравнение
Решение. Так как log2 0,5* = log2-^- = log2 x — 1og2 2 =
= log2 x— 1, то данное уравнение можно переписать следующим
образом:
288

log^+ !og2x+ 1 =
g2^— !
Введем новую переменную, положив logo x = у. Получим: >
и далее (у — 1) (у2 + у + 1) = 7, у3 — 1 = 7, откуда находим,
чт0 у* = 8, т. е. у = 2. Из уравнения log2 х = 2 получаем: л* =
= 22 = 4. Итак, я = 4.
Рассмотрим неравенства вида
1о&/(*) >log^W, (12)
где, как обычно, а >0 и аФ 1. Переходя от неравенства (12) к
неравенству, связывающему / (л:) и g (л;), нужно помнить, что
логарифмическая функция возрастает при а > 1 и убывает при
О <а < 1. Значит, если а > 1, то из неравенства (12) следует,
что f (х) > g (х), а если 0 < а < 1, то из неравенства (12) следует,
что / (л:) < g (х). Разумеется, и в том, и в другом случае надо учесть,
что должны также выполняться неравенства f (х) > 0 и g (х) > 0.
Таким образом, справедлива следующая теорема:
Теорема 2. Если а>/, то неравенство loga / (х)>
>logfl g (x) равносильно системе неравенств
(/(*)> 0
g*(*)>°
I/(■*)>§•(■*).
Если 0<а<1, то неравенство \oga f(x)>\ogag (x)равносильно
системе неравенств
<f(x) >0
\g(x) >0
[/(*)< g(x).
Пример 4. Решим неравенство logt (4л: — 14) ^ —1.
Решение. Так как —1 == logt 2, то данное неравенство
Т
можно переписать так:
log! (4х — 14) < log! 2. (13)
Т Т
Здесь основание логарифмов а = —, т. е. 0 < а < 1, и,
следовательно, неравенство (13) равносильно следующей системе неравенств:
г 4л; — 14 >0
[4*— 14 >2.
Так как неравенство 4л;— 14 >0 вытекает из неравенства 4л; —
— 14 > 2, то первое неравенство системы можно опустить. Значит,
10 Заказ 87 289

J 4,5
Рис. 199
W///WM
a
полученная система
равносильна неравенству Ах — 14^2,
решая которое находим: Ах ^
> 16, х > 4.
Итак, решение заданного
неравенства имеет вид [4, + оо[ (или, иначе, 4 < х < + оо).
Пример 5. Решим неравенство
lg (х + 27) — lg (16 - 2х) > lg x. (14)
Решение.
lg (x + 27) > lg x + lg (16 - 2x)
и далее
lg(x + 27) >lg*(16 —2*). (15)
Поскольку основание 10 десятичного логарифма больше
единицы, то, опуская знаки логарифмов в неравенстве (15), следует
сохранить знак неравенства. Но при этом нужно учесть, что
должны выполняться неравенства х + 27 > 0, 16 — 2х > 0 и х > 0,
вытекающие из неравенства (14).
Таким образом, мы приходим к следующей системе неравенств:
х + 27 > 0
16 — 2л: > 0
х >0
* + 2Г>*(16 —2*).
Решая эту систему,
получаем:
х >—27
х <8
х > 0
2х2 — 15* + 27 > 0,
т. е.
ГО <х <8
[ 2 (х — 3) (х — 4,5) > 0.
С помощью рисунка 199 находим:
0 < х < 3; 4,5 < х < 8.
Итак, решение заданного неравенства имеет вид]0;3[и]4,5; 8[.
Основной вывод, относящийся к логарифмическим
неравенствам, представим в виде следующей схемы:
958.
Равное
a) \gx
logj(x) > logag(x)
ty а>\ § 0<<z< 1 i
f/W>sW U(x)<g(x) !
1 g(*)>0 1 f(x)>0 \
Упражнения
:ильны ли уравнения:
2 = 0 и 2 lg x = 0;
290

• 6) lg x3 = 0 и 3 lg x = 0;
в) 5 lg (—х) = lg х* и (—*)5 = х4?
959. Какой системе равносильно уравнение:
а) lg (За: - 6) = lg (4* — 10);
б) lg (х2 — х — 12) = lg (x* — Зх— 10)?
960. Не решая уравнений:
а) log2 (Зх - 6) = log2 (2-х); б) log3(l -я2) = log3(л*-4),
покажите, что они не имеют корней.
Потенцируя, решите следующие уравнения:
961. a) lg х = 21g 3; б) lg (x — 1) = —21g 3.
962. a) log5 x = 2 -+- log52; б) log3 x = 2 — log3 V~5.
963. a) lg(x—9) + lg(2x—1)=2; 6) lg(x2+2.*:—3)—\g(x—1)=0.
964. a) log5 (3x - 11) + log5 (x - 27) = 3 + log5 8;
б) log0,2 (2x + 5) = log0i2 (16 - x*) + tg 5A
4
965. Решите уравнение:
a) lg<2*-5) =1; 6) lg<35-^ =3.
' lg(*2-8) 2 ' lg(5-x)
966. Решите уравнение методом введения новой переменной:
а) log** - loga x = 6; в) 1 - —^— = —!—;
2 + lg д; 4 — lg л;
б) 3 log| х + 71og3x = 6; г) 4 - lg x = 3 lg 1/7.
967. Решите уравнение, логарифмируя обе его части:
a)x'sx=lA в)х1+18д;=0Д)Г^
б) xlg/* = 100; r)xloga3*=9.
Решите неравенство:
968. a) log2 (2x — 1) > 0; в) log0,5 (Зх — 2) > 0;
б) log2 (2х — 1) < 2; г) logo,5 (За: - 2) < —4.
969. a) lg (2х - 3) > lg (х + 1); б) lg (3* - 7)< lg (x + 1).
970. a) logM (2х - 4) > log0>3 (x + 1);
б) log0,5(4* — 7)<log0,5 (х + 2).
971. a) lg (х + 27) - lg (16 - 2х) < lg r,
б) logo.i (х + 1) + log0>i (а: — 1) < logo.i 3.
972- а) logo,5 Т^Т > 0; б) log8 8-^-7 < 0.
10* 291

973. a) log3 |4* — 9 | < 1; 6) log2 \5x — 8 | > 1.
♦974. Решите неравенство, введя вспомогательную переменную:
\g2x + 2\gx — 6
а)
1
1
lg* lgx— l
<l;
б)
\gx
>1.
84*. Сравнение роста степенной, показательной и
логарифмической функций. При возрастании х на луче[1,+оо[ значения
функций л:10 и 10* неограниченно увеличиваются. При этом
сначала быстрее растет функция х10, что видно из следующей таблицы:
X
*1°
10*
1
1
10
2
1024
100
3
59 049
1000
4
1 048 576
10 000
5
9 765 625
100 000
Однако при х = 10 значения этих функций одинаковы и равны
1010, а потом уже 10* растет гораздо быстрее, чем я10. Например,
при х = 100 имеем: 10*- 10100 и л:10 = 10010 = (Ю2)10 = 1020,
а при х = 1000 уже 10*= 101000, а х10 = 100010 = (Ю3)10 = Ю30.
То же самое случится, если сравнить функции 10* и х100 — при
х = 1000 имеем: 10* = 101000, а х100 = 1000100 - Ю300.
Будем говорить, что функция / растет при х-*- + оо быстрее,
чем функция gy если lim^-^ = 0. Из сказанного выше следует,
X-+ocf(x)
что функция 10* растет при х-> + оо быстрее, чем х10 и чем х100.
Вообще верно следующее утверждение, доказательство
которого мы опускаем.
Теорема. Если а>/, то при х-> + оо функция ахрастет
быстрее любой степенной функции хп, п£ N.
хп
Это значит, что функция — бесконечно мала при х-> + оо.
ах
Графически утверждение этой теоремы означает следующее:
при достаточно больших значениях х график функции а*, где
а > 1, расположен выше графика функции хп.
Логарифмическая функция обратна показательной, а функция
хп обратна функции хп. Но графики обратных функций
симметричны относительно прямой у = х. Отсюда следует, что функция
loge х% где а > 1, растет медленнее степенной функции хп .
Например, при х = 101вв имеем: lg 10100 = 100 = 102, а (1010в)Го =
= Ю10. Значит, при х = 101в0 выполняется неравенство lg х < х10.
292

Вообще если а>\ и а > О, то логарифмическая функция
log х растет при х -> + оо медленнее степенной функции ха, т. е.
Х-*--\-<х> X
85. Основные результаты.
1. Показательной функцией ах, где а > 0, а Ф 1, называется
функция, однозначно определяемая следующими четырьмя
свойствами:
1) D (f) = /?;
2) если а > 1, то функция ах возрастает; если 0 < а < 1, то
функция ах убывает;
3) для любых х± и х2 верно равенство аХ{+ Хг = а*' • ах%\
4) а1 = а.
2. Свойства показательной функции:
1) а°= 1; 3) <г* «I;
2) а = у ат\ / v /
5) показательная функция непрерывна на всей числовой
прямой;
6) Е (/) = ]0; + оо[.
3. График показательной функции ах при а > 1 выглядит
так, как показано на рисунке 193, а при 0 < а < 1 — так, как
показано на рисунке 194.
4. Если функция / непрерывна и монотонна на отрезке [а, Ь\
то для любого у 6 Е (/) существует единственное соответствующее
ему значение х (такое, что / (х) = у). В этом случае на Е (/)
определена функция ф, обратная функции /. Функция ф, обратная
монотонной и непрерывной функции Д непрерывна и монотонна.
Графики обратных друг другу функций симметричны
относительно прямой у = х.
5. Функция, обратная показательной функции ах> называется
логарифмической функцией с основанием а и обозначается loga x.
Это значит, что равенства у — ах и х = logfl у равносильны. Из
них следует, что у = alogay, если у>0, и что х = logfl ах.
6. Логарифм числа х по основанию а равен показателю
степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить значение х.
7. Свойства логарифмической функции:
1) D (f) - ]0, + оо[; £(/)=]-оо, + оо[;
2) логарифмическая функция возрастает при а > 1 и убывает
при 0 < а < 1;
3) логарифмическая функция непрерывна в своей области
определения;
4) loga 1 - 0, loga a = 1.
293

8. График логарифмической функции logfl х при а > 1
выглядит так, как показано на рисунке 196, а при 0 < а < 1 — так,
как показано на рисунке 197.
9. Свойства логарифмов:
1) если уг >0, у2 > 0, то logfl (у^) = logfl yi + \ogay2)
2) если ух > 0, у2 > 0, то logfl у-± = loga уг — loga y2;
3) если у > 0, то loga ух = х logfl у;
4) log, х = |2&f;
5) log kxk= loga*, x >0.
10. Показательное уравнение af{x) = ae{x\ гдеа>0, а=И=1,
равносильно уравнению f (x) = g (x). Имеются два основных
метода решения показательных уравнений: приведение к виду а!{х) =
= agix\ а потом к виду / (х) = g (x), и введение новой переменной.
11. Логарифмическое уравнение logfl / (х) = loga g (x)} где
а > 0, а Ф 1, равносильно системе
f М > 0
£ М > 0
/ (*) = g (х).
Имеются два основных метода решения логарифмических
уравнений: метод потенцирования и метод введения новой переменной.
12. Если а > 1, то показательное неравенство af{x) > ag(x)
равносильно неравенству того же смысла: f (x) > g (x). Если
0 < а < 1, то неравенство af{x) > ag{x) равносильно неравенству
противоположного смысла f (х) < g (лг).
13. Если а > 1, то логарифмическое неравенство loga / (а:) >
> toga g (х) равносильно системе неравенств
(fix) >0
(здесь знак последнего неравенства совпадает со знаком
логарифмического неравенства). Если 0 < а < 1, то неравенство
'°ga / (х) > loga g (x) равносильно системе неравенств
f/W>0
\g(x) >0
(здесь знак последнего неравенства противоположен знаку
исходного логарифмического неравенства).
234

Дополнительные упражнения
К пункту 77
975. Пользуясь шаблонами графиков функций, решите
графически уравнение:
а) 2*= х\ б) 2Х= х2\ в) 0,5*=cos х на отрезке [— -; -].
976. Постройте график функции /, где / (л:) = 0,25*.
а) Пользуясь им, ответьте, что больше: 4~°>6 или О^б1»2?
б) Найдите с точностью до 1 значение / при х = —2 и
значение х при / (л:) = 2,5.
977. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
a) 2C0S *; б) (|)Sin *; в) 5 + 3lsin *»; г) 3 - 5!cos *1.
К пункту 78
978. Найдите обратную функцию для функции:
а) 2а: — 1; б) -£-; в) *2, где *£] — со, 0].
979. Дана функция г*, 0 ^ х < + <х>.
а) Найдите обратную функцию.
б) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками
обеих функций.
(ГС JT
980. а) Для функции sin я, ^ х ^ — , запишите обратную.
б) Для функции cos х, 0 <; х ^ я запишите обратную.
в) Запишите D (/) и Е (f) для функций arcsin x, arccos x.
г) Вычислите: arcsin —, arccos L.L, arcsin f _OY
2 2 V 2 /
arccos ( J.
981. Постройте график функции logons*-
а) Пользуясь им, ответьте, что больше: logo ъьУЗ или
logo,25 0,3?
б) Найдите приближенное значение log0|25* ПРИ х = 5 и
значение х, если logons х = 3.
982. Постройте график функции:
а) log2 |*|; б) |log2x|; в)* —- lg л:2.
983. а) Монотонны ли функции lg sin х и lg cos x на интервале
]о. f [»
б) Найдите область определения каждой из этих функций.
984. Определите, при каких значениях х функция log2 (х2 — 3)
принимает положительные значения; принимает
отрицательные значения; не определена.
295

К пункту 79
985. Докажите, что
а) lg (a + VcF=T) = -1g (a - Vtf^T), где а > 1;
б) bga Ь + log6 а > 2, где а > 1, & > 1.
986. Найдите ошибку в рассуждении. Возьмем равенство
lg sin a=lg sin a (0 <a < — ]. Умножив левую его часть на 2, а
правую оставив без изменения, получим: 2 lgsina> lgsina
и далее lg sin2 a > lg sin a, sin2 a > sin a, sin a > 1.
987. а) Дано: lg 2 = a, lg 3 = b. Найдите logb 6.
б) Дано: log12 3 = a, log12 5 = b. Найдите log12 45.
988. Определите количество цифр в числе З100, если известно, что
lg 3 = 0,4771.
К пунктам 80—81
Решите уравнение:
m а) Ш'+(IP-1; в'4•9'""'-'' -2"*-
б) 3*-в + 3 • 92 *~ = 28; г) Ах + 6* = 2 . 9*.
990. а) Ь2х — 7*+* = 7* — 52-**1; б) З*-1 • 23*~7 = 129"*
991. Решите неравенство:
х*+2х—8
а) 2,5 *~7 > 1; в) 2^ц> Ах\
х*—х—\2
6)0,3 *-* > 1; г) 3,x~2|<27^.
992. В электрической цепи, имеющей сопротивление R и
коэффициент самоиндукции L, течет ток, имеющий силу /0. Если
выключить источник питания, сила тока начнет уменьшаться
по закону:
1 ж /о • 2,7 L .
а) Определите, через какое время сила тока уменьшится в 10
раз, если R = 0,32 Ом, L = 0,004 Г.
б) Для одной цепи имеем: /0 = 50 A, R = 0,35 Ом, L =
= 0,005 Г, а для другой — /0 = 25 A, R = 0,8 Ом, L =
= 0,032 Г. В них одновременно выключен ток. В какой
момент времени сила тока в обеих цепях будет
одинаковой?
296

993.
994,
К пунктам 82—83
Решите уравнение:
. а) х lg 5 — х = lg (2* + 1) - ig 6;
б) 1 + lg (2*~2 + 1) - lg 2 + lg (4*"» + 9).
a) logw+3 x» = 1; б) log,, (x + 2) = 1.
Решите систему уравнений:
б)
'2*-у= 128
995. а) | q ,. jr_2y+1 _ J_.
О
9*+* = 729
3^^= 1.
996. а) Г lg х — lg у = 7 б) г lg * + lg у = 4
1 lg х + lg у = 5; { х>« у = 1000.
997. Решите уравнение, используя формулу перехода от одной
системы логарифмов к другой:
а) loga х + log8 x = 8; в) log, 4+log^ 64 = 5;
б) log3 x + log9 x + log27 x = 5,5; r) log^, 16 +log2^ 64=3.
998. Сколько действительных корней имеет уравнение cos 3* =•
999. Решите уравнение:
a)2,0*s,n*==l; б) 5,+log6COS*=2,5.
§ 12. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ
И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЙ
86. Число «£». Производная
показательной функции. Графики всех
показательных функций ах проходят через
точку А (0;1). Касательные к этим
графикам1, проведенные в точке Л, образуют
различные углы с осью абсцисс.
Например, угол между осью абсцисс и
касательной к графику функции 2х примерно
равен 35° (рис. 200, я), а угол между той
же осью и касательной к графику функции
10* примерно равен 66,5° (рис. 200, б).
Значит, когда а увеличивается от 2 до 10,
селичина угла между осью абсцисс и
касательной к графику функции ах в точке
А (0;1) непрерывно увеличивается от 35е до
66,5°. Поэтому есть такое значение основа-
1 В подробных курсах математического анализа
до называют, что эти касательные существуют, т. е.
что у кривых у = ах нет изломов.
297

ния а, при котором этот угол имеет величину 45°, заключенную
между 35° и 66,5°. Это значение обозначают буквой е. В
математике установлено, что е — иррациональное число, его первые
десятичные знаки таковы:
е = 2,7182818284590...
Итак, буквой е обозначают такое число, что величина угла
между осью абсцисс и касательной к графику показательной функции
ех в точке А (0; 1) равна 45°, т. е. — радиан.
4
Отсюда следует, что угловой коэффициент касательной к
графику функции ех в точке А (0; 1) равен 1. Но угловой коэффициент
касательной к графику функции равен значению производной
этой функции в данной точке. Отсюда делаем такой вывод:
Значение производной функции ех при х = 0 равно 1, (ех)' х=0= Ь
Сейчас мы выведем формулу дифференцирования функции ех.
Для этого нам понадобится следующая лемма:
Лемма. Имеет место равенство
eh i
lim = 1.
h-*Q h
Доказательство. Мы знаем, что по определению
производной
Воспользуемся этим равенством для функции ех при х = 0. Тогда
f (,v _|_ h) = e°+h = eh, f (x) = e° = 1 и потому
eh J
Но мы видели, что (ех)' = 1. Значит, lim—-— = 1, что
и требовалось доказать.
Из доказанного равенства следует, что при k Ф 0
lim e ~! = limft- = ft lim - L = k.
/i-o h h-+Q kh h-+o kh
Теорема. Производная функции ekx при любом
значении х равна kekx:
(е**у = kekx. (1)
Доказательство. По определению производной имеем:
(ekxY = lim _£ £
v ' h-,o h
Воспользуемся тем, что ek (x+h) = ^kh = d* ♦ e*\ и вынесем не
и * kX
зависящий от п множитель е за знак предела:
1- pkx.pbh Лх t ,. pkh i
(ekxV = "m e == ekx lim - - = kekx
4 ' ft-0 h A-0 h
293

Итак,
При k = 1 получаем:
(ekxY = kekx.
(ехУ = ех.
(2)
Логарифм числа а по основанию е называют натуральным
логарифмом этого числа и обозначают In а. Итак, In a = log,, а.
Имеет место равенство а = е1п а.
Для того чтобы продифференцировать функцию ах, где а > О,
аФ\% запишем число а в виде е1па Тогда ах = (ena)* = £*lDfl
и потому по формуле (2) (при £ = In а) имеем:
(а*)' = (е* lnay = lna-exlna = ax - In а.
Значит,
(а*)' =ах1па.
(3)
Из формул (1), (2), (3) получаем следующую таблицу
первообразных:
Функция
Первообразная
ех
е*
ekx
±ekx
k
ах |
1 X
—ах
In a
Пример 1. Найдем производную функции 2х.
Решение. По формуле (3) получим: (2*)' = 2х • In 2.
Пример 2. Найдем производную функции e~zx (х2 — 5#+1).
Решение. Применяя правило дифференцирования
произведения, получим:
(е~*х (х2 — 5х+ \)У = (е~зхУ • (х2 — 5* + 1) +
+ е~™ (*2 _5* + 1)' = —Ъе~ъх (х2 - Ъх + 1) + ег** (2х — 5) =
= *-"(—3*» + 17* —8).
Пример 3. Найдем
площадь криволинейной трапеции,
ограниченной осью абсцисс,
графиком функции е~2х и
прямыми х = 0 и х = 3 (рис. 201).
Решение. Искомая
площадь выражается интегралом
з
S-J,
d*.
Поскольку первообразной для
функции е~2х является ,
Рис. 201
299

то получаем:
2 L 2 2 Ue /
Упражнения
1000. Определите знак:
a) In 2; б) In уТ; в) In —; г) In 0,3.
4
1001. Вычислите:
a) In 1; б) \пе\ в) In-; г) е1п1°.
е
1002. Что больше: In 0,37 или In -1-?
е
1003. Решите неравенство:
а) ех > 1; б) ех < ]/еУ
1004. Известно, что lg e tz, 0,4343. Вычислите:
a) In 10; б) In 100; в) In 0,1.
1005. Найдите производную функции:
а) <г*\ в) Ъ*\ д) 7?<г*\
е2Х
б) е2х\ г) хех\ е) —.
X
1006. Определите знак /'(а), если:
а) / (х) = е*9 а = 2; в) / (х) = <г2Л а = 2.
б) fM=^, а= 1;
1007. Дана функция / (х) = £±1 Найдите: a) f (1); б) /' (—1);
ех — 1
в) f (0).
1008. Напишите уравнение касательной к графику функции /
в точке а, если:
а) / (х) = e-v, а = 1; б) / (я) = #е~*, а = — 1.
1009. С помощью производной исследуйте на возрастание
(убывание) функцию: а) егх\ б) хех\ в) х2е~х.
1010. Исследуйте на экстремум функцию /, если:
а) / (х) = е* — л:; б) / (х) = хе*.
1011. Найдите первообразную функции:
а) ех\ б) 2х\ в) 2е**; г) — Зе~3х.
300

1012. Вычислите интеграл:
а) \ех dx\ в) \ е2х dx\
о о
б) f e~x dx\ г) \ ё~ гх dx.
-\ -1
1013. Вычислите площадь фигуры,
заштрихованной на рисунке 202, а, б.
1014. Вычислите площадь фигуры,
ограниченной линиями:
а) у = 22х, осями х и у, прямой
х - 2;
б) у = е~\ у = 0, * = — 1, х =» 1;
в) у = е*, у = 2, # = —2.
1015. Вычислите предел:
и
4-
2-
JL
—^Щ
-1 0
\
к
^$Sj
1
X
а)
a) lim
1
Л-*0 h
б) lim
л-»оеЛ — 1
87. Производная логарифмической
функции. Для того чтобы вывести формулу
для производной функции In Ху нам пона- ~* ~/ 0j
добится следующая лемма:
Лемма. Имеет место равенство
lim1п (1+0 = ,
м t
Доказательство. Положим In (1 + 0 = К тогда
1 + / = eh, т. е. t = eh — 1. Заметим, что если /-* 0, то
In (1 + t)-+ 0, т. е. ft->- 0. Воспользовавшись сделанной заменой,
получим:
1imln(i+0 _lim h
t-+o t л-о eh — \ '
eh j
По лемме из пункта 86 имеем: lim = 1. Тогда
л-»о h
lim h „ lim * = 2- = 1
h^o eh _ i л->о eh— 1 1 '
а потому и
lim'n (l+Q
/-0 /
1.
■■Ю
Пример 1. Вычислим lim— -
Л-0 h
301

Решение. Положим — = L Тогда h = xt, причем если
х
h -> 0, то и t -> 0. Получаем:
'Xlll = lim !»il±0. = 1 Hm '£ii±iL = 1. ! = 1.
lim-
t->0 Xt
x t.+o t
Теорема. Производная логарифмической функции In x в
любой точке х>0 равна—.
Доказательство. Имеем:
In
x + h
0W «. ln(#+/i)— \nx *. л, ,.
n a:)' = hm v ^ ' = hm = hm -
In 1 +
~)
Но в примере 1 мы видели, что lim —*———
l
-; значит,
(ln*)' = l.
(4)
1
Следствие. Первообразной для функции —, л; > 0 является
In дс.
Выведем теперь формулу для производной логарифмической
функции с произвольным основанием. Мы знаем, что loga х = —
In a
(см. стр. 279). Поэтому
(ioga*y=(^Y • М'= '
\ In a J In а х In a
1
Итак,
(bga*)' =
я In a
(5)
Пример 2. Найдем производную функции
In*
Решение. По формуле дифференцирования частного
получаем:
— » #2 •—~* In х • 2/С
/]n£\'= (In*)' -л:2 — lnx-(*2)' _ _х _
V *2 / ~~* (%2)2 х4
л: (1 — 2 In jc) __ 1 — 2 In x
Пример 3. Найдем площадь фигуры, ограниченной осью
абсцисс, графиком функции — и прямыми х=1 и #=3 (рис. 203).
х
302

У1
0
\
2
\Hl
:
l^r-
* 5
л
Рис. 204
Решение. Искомая площадь выражается интегралом
1
Так как первообразной для функции — является In x, то
S = In*
= in 3 — In 1 = In 3 — 0 ~ 1,0986.
5
Пример 4. Вычислим интеграл \ ~ -.
з
5 5 5
С dx С dx 1 С dx
Решение. \ = \ = — \ .
J 2* —4 J 2(*-2) 2 Jx-2
Интеграл
I с геометрической точки зрения выражает площадь криволиней-
J х — 2
ной трапеции, ограниченной линиями у = -, я = 3, * = 5, у = 0 (рис. 204).
X ~~~ £
1 1
Но гипербола у = получается из гиперболы у = — переносом последней
х — 2 х
вправо на 2 единицы. Значит, площадь трапеции, изображенной на рисунке 204,
равна площади трапеции, изображенной на рисунке 203, т. е.
5 з
J.-VJ!-"
Значит,
= т In 3.
2х — 4 2
303

Упражнения
1016. Найдите производную:
а) In х\ в) к In х\ д) х2 In x\
б) log2 х\ г) In х • cos я; е) е2х In л:.
1017. Найдите производную второго порядка для функции:
а) е2*\ б) е~2х + *2.
1018. Напишите уравнение касательной к графику функции / в
точке с абсциссой а, если:
а) / (х) == In х, а = 1; б) / (х) = In x, a = j/*e.
1019. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а) х In х\ б) х + In х.
1020. Исследуйте на экстремум функцию:
а) х In х\ б) —; в) х — In x.
х
1021. Найдите первообразную для заданной функции (л;>0):
а) -; б) —; в) е* .
XX X
1022. Вычислите интеграл:
е 3
а)
Т Т
9)Jt; 6)j —d*
1023. Вычислите площадь фигуры, ограниченной:
а) гиперболой у = —, осью х и прямыми х = 1, л; == е;
б)* гиперболой у = , осью х и прямыми х = 0, л; = 2.
* + 1
1024*.а) Докажите, что функция х — 1 — In x возрастает на луче
[1; + °°[» и получите отсюда неравенство In х ^ х — 1
(при х ^ 1).
б) Докажите, что функция (х— 1) — v In x убывает
на луче [1; + °°С» и получите отсюда неравенство \пх^
>(* — \)—1(х— I)2 (при *> 1).
в) С помощью полученных неравенств докажите, что при
Л2
ft ^ 0 выполняются неравенства ft ^ In (1 + ft) ^ ft.
г) Примените полученное неравенство для приближенного
вычисления значений In 1,015, In 1,003 и оцените
погрешность полученных приближений.
304

88. Дифференциальное уравнение показательного роста и
убывания. Часто бывает, что мгновенная скорость изменения
некоторой величины пропорциональна значению этой величины в данный
момент времени. Например, скорость радиоактивного распада
пропорциональна наличной массе этого вещества (чем больше атомов
вещества, тем больше их распадается). Прирост числа особей
данного вида пропорционален наличному числу этих особей (при
условии достаточного количества пищи и отсутствия хищников,
истребляющих существа этого вида). Прирост денег по вкладу в
сберкассе пропорционален этому вкладу и т. д.
Если мгновенная скорость изменения величины у
пропорциональна у, то выполняется равенство
у' = ky. (6)
Коэффициент k положителен, если величина у увеличивается
(число особей данного вида, вклад в сберкассе), и отрицателен,
если у уменьшается (например, масса радиоактивного вещества).
Во втором случае уравнение (6) обычно пишут в виде у' = —ky,
где k > 0. Уравнение у' = ky называется дифференциальным
уравнением показательного роста, а уравнение у' = —ky —
дифференциальным уравнением показательного убывания.
Любая функция вида Cekx является решением уравнения (6).
В самом деле,
у' = (Cekx)f = Cke*x = k {Cekx) = ky.
Можно показать, что иных решений это уравнение не имеет.
Число С имеет простой физический смысл: оно равно значению
у при х = 0, т. е. начальному значению у. В самом деле, при х — 0
получаем: у = Cek-° = С • е° = С.
Пример 1. Уразнение радиоактивного распада имеет вид
пл = —km, k > 0.
Его решением является т = Ce~kt (поскольку здесь аргументом
является время, то обозначаем его t). Как отмечено выше, С —
начальное количество вещества, С = т0. Поэтому закон
радиоактивного распада пишется так:
т = m0e~kt. (7)
В физике формулу (7) обычно записывают иначе. Обозначим через Т такое
1 1 —
число, что e~kT = — (иными словами, Т — — In 2). Тогда erkt = (е—ьт) т =»
= -— j и потому m = m0 • IT"I •
Число Т равно величине промежутка времени, в течение которого количество
вещества уменьшается вдвое. Его называют периодом полураспада этого вещества.
305

Иногда встречается дифференциальное уравнение, несколько
более сложное, чем (6):
/ = Ь (У — а)-
Его решение имеет вид у = а + Cekx. В самом деле,
у' = {а + Cekx)' = Ckekx = k (a + Cekx — а) = k (у — а).
Пример 2. Скорость остывания тела при лучеиспускании
пропорциональна разности температуры Г этого тела и
температуры Г0 окружающей среды. Это значит, что
Г = — k (Г - Г0).
Решение этого уравнения имеет вид Т = Т0 -}- Ce~Kt. Если
в начале (при / = 0) температура тела равнялась Ти то Тг = Г0 + С
и потому С = Тг — Г0, т. е. Г = Г0 + (Гх — Г0) «г». С
течением времени e~kt стремится к нулю и в пределе температура
тела сравняется с температурой Г0 окружающей его среды.
Упражнения
1025. Докажите, что функция хе"гх является одним из решений
дифференциального уравнения у' + Зу = е~3х. Докажите,
что при любом значении С функция (х + С) е"Ъх является
решением того же уравнения.
1026. Решите дифференциальное уравнение:
а) у' = 2у; в) / - ~у; д) у1 = — 10у;
б) у'' = 10у; г) у' - -2у; е) / = -1у.
1027. Найдите решение уравнения у' = 5у, принимающее при
л: = 1 значение, равное 7.
1028*. Найдите уравнение движения тела, если его скорость
пропорциональна пройденному пути и тело проходит 75 м за
5 с, а 225 м за 10 с.
1029*. Найдите дифференциальное уравнение, решением которого
является функция: а) З2*; б) ( — j .
89. Основные результаты.
1. Показательная функция ех обладает тем свойством, что
касательная к графику функции в точке А (0; 1) составляет с
осью абсцисс угол 45°. Приближенное значение е равно 2,72
(точнее, е = 2,7182818...).
2. Логарифм числа х по основанию е обозначается In x и
называется натуральным логарифмом.
306

3. Таблица производных и первообразных показательной и
логарифмической функций:
Функция
Производная
Первообразная
^
е*
6х
ekx
kekx
l-ekx
k
ax
a* In a
a*
In a
\nx
1
X
—
\ogax
1
л; In a
—
1 1
X
1
~~ x* 1
In x, x > 0
4. Дифференциальное уравнение показательного роста
(убывания) имеет вид у' = ky (/ = — &у), где k > 0. Его решением
является любая функция вида Cekx (соответственно Ce'hx)f
причем С = у (0).
Дополнительные упражнения
К пункту 86
1030. Исследуйте функцию и постройте ее график: а) —;
X
1031. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = е2 , у = е, х = 0;
б)
1032.
1033.
б) у = g—*, осью ординат и прямыми у
Найдите производную функции:
а) г2
б) sin4x • е*; в)
cos3x
,0,5*
г)
г и у
1
sin3*
МОНОТОННОСТЬ
функцию
Исследуйте на экстремум
ег* (х3 — 2х2).
1034. а)" В какой точке касательная к графику функции е* + е*~х
параллельна оси абсцисс? Напишите уравнение этой
касательной.
б) Решите ту же задачу для функции е~х + ех+2.
1035. Постройте график функции / и напишите уравнение
касательной к нему в данной точке а, если:
а) / (х) = (0,6)*, а = 0; в)/М = 3',а= 1.
б)/(*) = (3,5)*, a = 0;
1036. Электрический конденсатор имеет емкость С. Если
соединить его обкладки проводом, имеющим сопротивление R,
то заряд конденсатора будет изменяться по закону:
Ц = ЦФ CR,
где q0 — начальный заряд (при t = 0).
307

а) Через сколько времени заряд конденсатора уменьшится
вдвое, если С = 2пФ, R = 1,5 Ом?
б) Учитывая, что I — q' (t), найдите силу тока при
разряде конденсатора в момент времени t и с помощью закона
Ома найдите разность потенциалов на обкладках
конденсатора в тот же момент времени.
К пункту 87
1037. Найдите производную функции:
а) хп\пх\ г) log^e; ж) lg ax\
б) —; д) In ex\ з) sin2 x • In х\
хп
в) 1п4х + 31п2л;; е) In аде; и) еЪх • In x.
1038. Докажите, что функция у = х* In x удовлетворяет
дифференциальному уравнению у' = — + *3-
1039. Вычислите интеграл:
8 9 ае*
а)Г _*_. б) f_*L; B)f^,a>0.
' J х In 2' ' .) * In 3* '.) х'
2 1 a*
1040. Постройте график функции:
а) In г, в) —In г, д) 1п~; ж) 1пх3;
б) \пх — 1; г) lner, e) \п(х — 2); з) |1п*|.
1041. Решите уравнение:
а) In * + In (x — 2) = In 3; в) In (—x — 1) - 0,5 In (1
б) ln«*-51n* + 6 = 0; г) ]"(10—*2~7> = 2.
— 1,5х);
Юл-
Тп(* + 1)
1042. Решите неравенство:
а) In (2 — Зх) < 1; б) In (х2 — 6* + 8) < 2 In x.
1043. Напишите уравнение касательной к графику функции
log2 х в точке с абсциссой 2.
1044. Исследуйте на экстремум функцию:
а) !Е£±1; б) ln2x —lnr, в) -\п2х-\п*х.
х ^
1045. На графике функции х — In x найдите точку, в которой
касательная к графику параллельна: а) прямой у = — — 1;
б) прямой, проходящей через точки А (0; 1). и В (6; 2).
308

Рис. 205
Рис. 206
1046. а) Для функции — найдите первообразную, график кото-
X
рой проходит через точку М (е2; 5).
б) Для функции — найдите первообразную, график кото-
2х
рой проходит через точку М (1; 1).
1047. Докажите, что площади криволинейных трапеций,
изображенных на рисунке 205, равны. Докажите то же самое для
рисунка 206.
1048. Вычислите интеграл:
а)}~~;
+ У>
dx\
«.f
- yV —x
dx.
1049. Найдите площадь фигуры, ограниченной заданными
линиями:
а) У = —. х + у = 3; в) у
1
'х+1
, у = 0, а: = 0, х = 1;
б) у = —, х + у = 5; г) у = ——, у = 0, х = 2, х=е+1.
К пункту 88
1050. Кипящий чайник вынесен на воздух, имеющий
температуру 20 °С. Через 5 мин его температура понизилась до 60 °С.
Какой будет температура чайника через 15 мин? В какой
момент времени температура чайника окажется равной 40 °С?
1051. Кипящий чайник вынесен на воздух. Найдите температуру
воздуха, если известно, что через 10 мин температура
чайника оказалась равна 80 °С, а через 20 мин — 65 °С.
309

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ К ГЛАВЕ V
Степени с дробными показателями и простейшие правила
действий над ними впервые встречаются у французского математика
Н. Оресма (1328—1382). Живший в XV в. французский ученый
Шюке рассматривал степени с отрицательными и нулевыми
показателями.
Название «показатель» ввел немецкий математик М. Штифель
(1486—1567), установивший связь между арифметической и
геометрической прогрессиями (если показатели степеней данного числа
образуют арифметическую прогрессию, то сами степени образуют
геометрическую прогрессию). Голландский ученый С. Стевин
(1548—1620) составил таблицы сложных процентов, являвшиеся,
по сути дела, таблицами показательной функции. Степени с
произвольным действительным показателем ввел И. Ньютон, после
чего И. Бернулли ввел общее понятие о показательной функции.
Логарифмы были введены независимо друг от друга двумя
учеными — английским математиком Д. Непером (1550—1617) и
швейцарцем И. Бюрги (1552—1632). Непер развил теорию
логарифмов, указал способы их вычисления и составил первые таблицы
логарифмов. Основание неперовых логарифмов почти совпадало с
числом е. Десятичные логарифмы были введены английским
математиком Г. Бригсом (1561—1631). В течение более трех
столетий десятичные логарифмы были мощным орудием вычислительной
математики. В настоящее время внедрение микрокалькуляторов
вытесняет логарифмы и логарифмические линейки из
вычислительной практики.
Свойства логарифмов были сформулированы английским
математиком В. Оутредом в 1648 г. Лишь в 1748 г. Эйлер определил
логарифмирование как действие, обратное возведению в степень,
и тем самым логарифм как некоторый показатель степени. Связь
логарифмов с интегрированием функции знал, по сути дела,
немецкий математик Г. Меркатор (1620—1687), использовавший эту
связь для вычисления логарифмов и представления
логарифмической функции в виде бесконечной суммы степенных функций
(так называемого степенного ряда):
ta(1+,,„,_£ + £_!£ + ... +Ы2р.й+ ....

Глава VI
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
§ 13. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Уравнения, системы уравнений и неравенства не раз
встречались при изучении курса математики 4—10-го классов. В этой
главе, завершающей школьный курс алгебры и начал анализа, мы
снова обращаемся к уравнениям, системам уравнений и
неравенствам, чтобы рассмотреть их с общих позиций.
90. Равносильные уравнения. Следствия уравнений. Равенство
с переменной f (x) = g (х) называется уравнением с одной
переменной. Значение переменной, при котором равенство с переменной
обращается в верное числовое равенство, называется корнем
уравнения. Решить уравнение — это значит найти множество всех его
корней.
Аналогично определяют уравнение с двумя, тремя
переменными.
Уравнения, имеющие одно и то же множество корней,
называются равносильными.
Например, уравнения х + 2 = 5, 2х — 1 =5 и х = 3
равносильны, так как все три уравнения имеют единственный корень 3.
Равносильны и уравнения х2 + 3 = 0 и 2л:2 + 4 = 0 — ни одно из
них не имеет корней, т. е. множество корней как первого, так и
второго уравнения пусто.
В процессе решения уравнения обычно его заменяют более
простым уравнением, равносильным данному. Поэтому важно знать,
при каких преобразованиях данное уравнение переходит в
равносильное ему уравнение.
Теорема 1. Если какое-нибудь слагаемое перенести из
одной части уравнения в другую с переменой знака, то
получится новое уравнение, равносильное данному.
Доказательство. Надо доказать, что уравнение
/ (х) = р (х) + h (x) (1)
равносильно уравнению
f(x)-p(x)=h(x). (2)
Пусть а — корень уравнения (1). Это значит, что выполняется
числовое равенство / (а) = р (а) + h (а). Но тогда и / (а) — р (а) =
311

= h (a) — верное числовое равенство, а это и означает, что а —
корень уравнения (2).
Точно так же доказывается, что каждый корень уравнения (2)
является и корнем уравнения (1).
Итак, множество корней уравнения (1) совпадает с множеством
корней уравнения (2), т. е. уравнения (1) и (2) равносильны.
Теорема 2. Если обе части уравнения умножить или
разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится
уравнение, равносильное данному.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству
теоремы 1.
Пусть даны два уравнения:
h (*) = ft (*), (3)
/2 (х) = g2 (x). (4)
Если каждый корень уравнения (3) является корнем уравнения
(4), то уравнение (4) называют следствием уравнения (3).
Два уравнения равносильны в том и только в том случае, когда
каждое из них является следствием другого.
Корни уравнения (4), не удовлетворяющие уравнению (3),
называются посторонними для уравнения (3).
В процессе решения уравнения часто приходится применять
преобразования, которые приводят к уравнению, являющемуся
лишь следствием исходного. В этих случаях надо найти и отбросить
посторонние корни. Для этого обычно поступают так: все
найденные корни уравнения-следствия проверяют подстановкой в
исходное уравнение.
Если при решении уравнения мы заменили его следствием, то
указанная выше проверка является неотъемлемой частью решения
уравнения. Поэтому надо знать, какие преобразования могут
привести к появлению посторонних корней. В этом пункте мы
остановимся на трех таких преобразованиях.
1. О с в о б о ж д е н и е от знаменателей.
Рассмотрим уравнение вида ^- = 0. Для любого значения х
q(x)
из того, что ^-^ = 0, следует равенство р (х) = 0. Значит, урав-
Я(х)
нение р (х) = 0 — следствие уравнения ^-^ = 0. Обратное ут-
я (х)
верждение, вообще говоря, неверно: если при х = а не только
р (а) = 0, но и q (а) — 0, то равенство ^-^ = 0 не имеет места.
Поэтому при замене уравнения ^-^ = 0 уравнением р (х) = 0
я (х)
(т. е. при освобождении от знаменателя) могут появиться
посторонние корни (при которых и (/ (х) = 0). Значит, решив уравнение
312

£JJ = 0 путем освобождения от знаменателя, надо исключить
Я (х)
корни, при которых q (х) обращается в нуль.
Пример 1. Решим уравнение *""" = 0.
Решение. Освободившись от знаменателя, получим:
Зд; — 6 = 0. Из уравнения Зх — 6 = 0 находим: х = 2. При х = 2
имеем: 22 — 2 — 2 = 0, т. е. знаменатель обращается в нуль, а
потому х = 2 — посторонний корень. Значит, заданное уравнение
не имеет решений.
Пример 2. Решим уравнение 1— = .
F r Jr 2 — л: 2 х(2 — х)
Решение. Наименьшим общим знаменателем является
2х (2 — х). Найдя дополнительные множители для каждой дроби,
освободимся от знаменателей:
4х + х (2 — х) = 8,
х2 — 6х + 8 = 0,
#2 = Z, Х% = 4.
Так как при х = 2 знаменатели 2 — х и х (2 — х) обращаются
в нуль, то число 2 не является корнем данного уравнения. Значит,
4 — единственный корень уравнения (а 2 — посторонний ко
рень).
К появлению посторонних корней может привести и
сокращение алгебраических дробей, входящих в это уравнение.
Пример 3. Решим уравнение
х(х — 3) 1,1
х2 — 9 х ' 6
% /д. з)
Решение. Если сократить дробь -^ L на х — 3, получим
х2 — 9
уравнение —— = —f- —. Освобождаясь от знаменателей,
получим уравнение 6х2 = х2 + 9х + 18, из которого находим, что хг =
= 3, х2 = . Но корень 3 является посторонним для данного
5
уравнения, так как при х = 3 выражение *^~ не имеет число-
х2 — 9
вого значения. Значит, данное уравнение имеет лишь корень
6
* = --?•
2. Возведение обеих частей уравнения в
степень.
Каждый корень уравнения
/<*) = *(*) (5)
313

удовлетворяет и уравнению Ф
(f (х))2 = (g (х))\ (6)
В самом деле, если f (a) = g (а), то и (/ (а))2 = (g (а))2. Обратное
утверждение неверно: например, З2 = (—З)2, но 3 Ф —3. Значит,
уравнение (6) может иметь корни, не являющиеся корнями
уравнения (5).
Например, уравнение х— 1=3 имеет корень 4. Если обе
части уравнения возвести в квадрат, то получим уравнение (х — I)2 =
= З2, имеющее два корня: 4 и —2. При переходе от уравнения
х — 1=3 к уравнению (л: — I)2 = З2 появился посторонний
корень —2.
Итак, при возведении обеих частей уравнения в квадрат (и
вообще в любую четную степень) получается уравнение, являющееся
следствием исходного, причем возможно появление посторонних
корней.
Пример 4. Решим уравнение }/г2х — 5 = х — 4.
Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим:
(V2x — 5)2 = {х — 4)2,
2х — 5 = х2 — 8х + 16,
х2 — Юх + 21=0,
X} = 7, #2 == &•
Проверим полученные корни с помощью подстановки
найденных значений в исходное уравнение.
Подставив в уравнение |/"2я — 5 = х — 4 значение х = 7,
получим: |Л? • 7 — 5 = 7 — 4, т. е. 3 = 3 — верное равенство.
Подставив в уравнение V~2x — 5 = х — 4 значение х = 3,
получим: ]/"2 • 3 — 5 = 3 — 4, т. е. 1 = —1 — неверное равенство.
Значит, заданное уравнение имеет единственный корень 7.
3. Замена уравнения loga / (х) = loga g (x)
уравнением / (х) = g (х).
Каждый корень уравнения
bga / (х) = loga g (x) (!)
удовлетворяет и уравнению
f(x) = g (x). (8)
Обратное утверждение неверно: например, —3 = —3, но равенство
loga (—3) = loga (—3) неверно, так как loga (—3) не имеет
числового значения.
Значит, уравнение (8) является лишь следствием уравнения (7),
а не равносильно ему. В пункте 83 мы рассматривали уравнения
вида (7) и отмечали, что для их решения надо найти корни
уравнения (8), а затем проверить их либо подстановкой в исходное лога-
314

на
рифмическое уравнение (7), либо с помощью системы неравенств
//<*)> О
\g(x) >0.
При решении уравнений нельзя делать преобразования,
ведущие к потере корней. Например, возможна потеря корней при
делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее
переменную.
Пример 5. Решим уравнение sin x cos х = — sin x.
Решение. Если разделить обе части уравнения на sin *,
получим уравнение cos х = —, решением которого является х =
= ±— + 2я&, k £ Z. Но заданное уравнение имеет еще корни,
о
при которых обращается в нуль sin х, т. е. корни вида х = лл,
п (: Z. Чтобы не потерять эти корни, надо было записать данное
уравнение в виде sin x cos х sin х = 0, разложить левую часть
множители: sin л; (cos х ) = О, после чего задача сведется
к решению двух уравнений: sin х = 0; cos х = —.
Упражнения
1052. Какие из чисел 0,-1, 1, Y2 являются корнями уравнения:
а) х + - = К*ТЗ; б) х — 1 = }Л — 2* + *2?
X
1053. Проверьте, являются ли числа а) 1,6) 2, в) я, г) У~Ю9 д) е,
е) lg 5, ж) In 2 корнями уравнения lg (х2 — 2х + 1) =
= 21g(*-l).
1054. Убедитесь, что указанные справа числа являются корнями
соответствующего уравнения:
а) cos5x + cos a: =s 1, -^-, ——;
о о
б) sin2x = cos3x, —, —, ;
' 2 10 10
5 1
в) tg nx = 2 cos2 ях, —, —.
7 4 4
1055. а) Укажите какие-нибудь преобразования, приводящие к
появлению посторонних корней.
б) Укажите какие-нибудь преобразования, приводящие к
потере корней.
Проиллюстрируйте на простейших примерах.
315

1056. Ученик, решая уравнение 2 cos2 х — cos x = 0, рассуждал
так: «Разделив левую и правую часть уравнения на cds x%
1 я
получим: 2 cos л: — 1 = 0. Отсюда cos х = — и х = ± —+
2 3
+ 2я&». Прав ли ученик?
1057. а) Может ли привести к появлению посторонних корней
приведение подобных членов? Поясните свой ответ на примере
3 3
уравнения 8л: (- — = 2х.
X X
б) Может ли привести к потере корней прибавление к обеим
частям уравнения одного и того же выражения? Поясните
5
свой ответ на примере уравнений 4л: = 8 и 4л: + =
х — 2
= 8 +
х-2
1058. Равносильны ли уравнения:
а) 4л:2 — 2л: = 1—2л: и 4х2 = 1;
б) 4л: — 1 + -^— = Зл: + — и 4л: — 1 = 3*;
X — 1 Я— 1
в) 4х — 1 + -£- = Зл: + —?- и 4х — 1 = Зх?
} х + 1 * + 1
1059. Может ли возведение в степень обеих частей уравнения
привести к приобретению посторонних корней? Вывод поясните
примерами.
1060. а) Решите уравнение У^х + 3 = 2, возведя обе его части в
кзадрат. Появились ли посторонние корни?
б) Аналогично решите уравнение Ух + 3 = х + 1.
Появились ли посторонние корни?
1061. а) Дано некоторое уравнение f (x) = g (x). Умножим обе его
части на 2л: — 3. Мог ли при этом преобразовании появиться
посторонний корень? Какой посторонний корень при этом
мог появиться?
5*
б) Обе части уравнения = 1 умножили на х2 + 4.
х2 + 4
Почему при этом не могут появиться посторонние корни?
х 25 1 13
1082. Решите уравнение 1 = .
J 2х — 1 4л2 — 1 27 1 — 2х
Объясните, какие преобразования привели к появлению
постороннего корня.
1083. Решите уравнение и сделайте проверку:
х + 2 х — 2 _ 4 .Зх—\ 2х — 5 4 .
3 * + I х - 1 ~~ 1 - х В к - 1 х + 3 ■ х2 + 2х - 3 —
6)74—4 = 2 + 7^.
X1 — 1 X — I 1 — JC
316

91. Основные приемы решения уравнений. Рассмотрим
уравнение
(х2 — 5* + 6) (х2 — 9) = 0. (9)
Произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда
хотя бы одно из них равно нулю. Поэтому надо сначала решить
уравнения х2 — 5л: + 6 = 0 и х2 — 9 = 0, а потом объединить
множество корней первого уравнения с множеством корней второго
уравнения. Корнями первого уравнения являются числа 2 и 3, а
корнями второго — числа 3 и —3. Объединив множества {2; 3} и
{3; —3}, получим множество корней уравнения (9): {2; 3; —3}.
В случае, когда ищут значения переменной, удовлетворяющие
хотя бы одному из данных уравнений, говорят, что задана
совокупность уравнений. Для обозначения совокупности уравнений иногда
используется квадратная скобка:
& — Ъх + 6 = 0
х2 — 9 = 0.
Решить совокупность двух уравнений с одной переменной — это
значит найти объединение множества корней первого уравнения
с множеством корней второго уравнения.
В процессе решения уравнения его часто заменяют
совокупностью более простых уравнений. В настоящем пункте мы
остановимся на трех основных методах решения уравнений.
1. Метод разложения на множители.
Рассмотрим уравнение / (х) = 0, где f (х) = р (х) • g (x) • Л (х)
(число множителей может быть любым). Если а — корень
уравнения / (х) = 0, то / (а) = 0. Но тогда р (а) • g (а) • Л (а) = 0, а
потому хотя бы одно из чисел р (а), g (а), h (а) равно нулю. Это
значит, что а — решение хотя бы одного из уравнений р (х) = 0,
g (х) = 0, h (х) = 0, т. е. решение совокупности этих уравнений.
Итак, всякий корень уравнения f (х) = 0, где f (х) =
=/? (*) • g (х) • h (x), является решением совокупности уравнений
Р (х) = 0; g (х) = 0; h (x) - 0.
Обратное верно не всегда: не всякое решение совокупности
уравнений р (х) = 0; g (х) = 0; h (х) == 0 является в то же время
корнем уравнения р (х) • g (х) • h (х) = 0.
Например, уравнение
VT^-j=l.(x + 3) = 0 (10)
не равносильно совокупности уравнений
УТ=7 = 0; ^ = 0; х + 3 = 0.
х2— 1
В самом деле, из первого уравнения совокупности находим: х = 1,
из второго: х = 2, из третьего: х =? —3. Но из найденных трех
317

значений лишь число 2 является корнем исходного уравнения.
Числа же 1 и —3 не могут быть корнями уравнения (10), так как при
х = 1 знаменатель х2 — 1 обращается в нуль, а при х = —3
подкоренное выражение х — 1 отрицательно.
Таким образом, совокупность уравнений р (х) = 0; g (х) = 0;
А (х) = 0 является лишь следствием уравнения р (х) • g (х) • h (x) =
= 0. Если же выражение р (х) g (x) h (x) определено при всех х%
то совокупность уравнений р (х) = 0; g (х) = 0; h (х) = 0
равносильна уравнению р%х) g (x) h {х) = 0.
Пример 1. Решим уравнение 6* — 4 • 3* — 27- 2х + 108 = 0.
Решение. Так как 6* = 2х • 3*, то данное уравнение
можно записать так: 2х • 3* — 4 • 3* — 27 • 2х + 108 = 0. Разлагая
левую часть уравнения на множители, получаем:
3* (2х — 4) — 27 (2* — 4) = 0,
(2* — 4) (3* — 27) = 0.
Поскольку выражение (2х — 4) (3х — 27) определено при всех х,
то данное уравнение равносильно совокупности уравнений: 2х — 4 =
= 0; 3* — 27 = 0, т. е. совокупности 2х = 4; 3* = 27. Из первого
уравнения находим: х = 2, из второго: х = 3. Итак, хг = 2;
х2 = 3.
Метод разложения на множители использовался нами выше при
решении тригонометрических уравнений (см. пункты 43, 62).
2. Метод введения новой переменной.
Пусть уравнение / (х) = 0 можно представить в виде ф (я|) (х)) =
= 0. Тогда подстановка ty (х) = и преобразует уравнение к виду
Ф (и) = 0. Во многих случаях полученное уравнение оказывается
проще исходного.
Пусть ии и2, и3 — корни уравнения ф (и) = 0. Тогда задача
сводится к решению совокупности уравнений:
<ф (х) = ut; t|) (x) = и2\ ф (х) = и3.
Пример 2. Решим уравнение (х2 + 2х)2 — (х + I)2 = 55.
Решение. Так как (х + I)2 = х2 + 2х + 1, то данное
уравнение можно переписать так:
(х2 + 2*)а — (х2 + 2х + 1) = 55.
Положив х2 + 2х = щ получим уравнение и2 — (и + 1) = 55,
т. е. и2 — и — 56 = 0, откуда находим: их = 8, и2 = —7.
Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений:
х2 + 2х = 8; х2 + 2х = —7.
Первое уравнение приведем к виду х2 + 2х — 8 = 0, откуда
находим: хх = —4, лг2 = 2.
Второе уравнение приведем к виду х2 + 2х + 7 = 0. Это
уравнение не имеет корней (его дискриминант отрицателен).
318

,,Итак, корнями данного уравнения являются хг = —4, х2 = 2.
Методом введения новой переменной мы пользовались при
решении тригонометрических уравнений (см. пункты 43,62),
показательных (см. пункт 81) и логарифмических уравнений (см. пункт 83).
3. Замена уравнения f (и) = f (v) уравнением
и = v.
Если функция / монотонна, то из / (и) = f(v) следует, что и = v.
Обратное не всегда верно, так как выражения / (и) и / (v) могут не
иметь значения. Поэтому, если f —монотонная функция, то
уравнение и = и является следствием уравнения f (и) = f (v). Если же
функция /, кроме того, определена при всех х, то уравнения f (и) —
= / (v) и и = v равносильны.
Пример 3. Решим уравнение (2х + I)7 = (Зл: — 2)7.
Решение. Положим и = 2х + 1, v = Зх — 2, тогда имеем:
и1 = v7. Так как функция / (t) = F монотонна и всюду определена,
то уравнение и1 = v1 равносильно уравнению и = v, т. е.
уравнению 2х + 1 = Зл: — 2. Из этого уравнения находим, что х = 3.
Указанным методом мы пользовались при решении
показательных уравнений (см. п. 81), когда переходили от уравнения аи{х) =
= av{x) к равносильному ему уравнению и (х) = v (х), и при
решении логарифмических уравнений (см. п. 83), когда заменяли
уравнение loga и (х) = logfl v (х) его следствием и (х) = v (x).
Заметим в заключение, что если / — немонотонная функция,
то переход от уравнения f (и) = f (v) к уравнению и = v может
привести к потере корня, а потому недопустим. Например, нельзя
перейти от уравнения sin х = sin Ъх к уравнению х = 5а:.
Упражнения
Решите следующие уравнения с помощью введения новой
переменной:
1064. a) jc4 — 5х2 + 4 = 0; б) 4;с* — 109*2 + 225 = 0.
L L
1065. а) хъ — 2хъ — 3 = 0; б) (х2 — З)2 + х2 — 3 = 2.
„вв.а)(^)«_з(^)_4 = 0; Ч^-.-^-б.
1067. а) Ух — 1 + х — 1 = 2; б) 3* + 6 — ЮУх +1=0.
1068. а) 2 sin2 х — 3 sin х — 1; в) 4 cos2 х -f- sin х = 1;
б) tg* 2х = 2- tg 2х; г) ^±* e _L_.
2 cos2 x
1069. a) sin2* + 5 sin x cos x + 4 cos2* = 0;
б) 3 sin2* — 7 sin x cos x + 6 cos2 x = 1.
1070. a) 52x+1 — 26 . 5' + 5 = 0; б) 9х"1 + 3X+2 — 90 = 0.
1071. a) lg2 x + lg x — 2 = 0; 6) log* Кб—log^5]/5 + 1,25 = 0.
319

1072*. a) xlos'x+] = 9хг; б)/'8'* 3'" * = 100^10.
Решите следующие уравнения методом разложения на
множители:
1073. а) хг — Зх = 0; б) х? — 2х = 0.
1074. а) х2 — 5х + 6 = 0; б) 2х2 — 5х + 2 = 0.
1075. а) х3 — 2.v2 — х + 2 = 0; б) 2г> — л:2 + 2х — 1 = 0.
1076. a) cos2 х — cos x = 0; б) sin л: — 2 sin2 л = 0.
1077. a) sin 2* -f sin 4л = 0; б) cos Зх = sin 6л;.
1078. a) cos2 2х = cos2 х — sin2 х; б) 1 + cos x = 2 cos—.
1079. а) 1 + cos х = sin х; б) У2 cos 2л; = cos х + sin x.
1080. а) (х — 2)2 = 9; б) (х — З)2 = (х + I)2.
Решите уравнения вида f (и) = f (v):
1081. а) уТ+"2 = У 2л; + 3; б) ^2л; + 1 = Ух2— 2х + 4.
1082. а) 2**-3 • 5*2~3 = 0,01 • (Ю*-')3;
6)„,6..(!Г^(|)=
1083. a) \g(x — 1) = 2 lg2; б) lg(x2 + 2v -3) - lg(* — 1).
1084. a) \g(x*-6x+9)=2\g(x — 3); 6) - ln(x2-~4x+4) = ln | jc—2|.
1085. a) log6(x-l)+log6(5x+3)=2;
б) lg(152 + x») = 3lg(x + 2);
в) log3(4^ + 15 . 2X + 27) = 2 log3(4 . 2*-3).
92. Иррациональные уравнения. Рассмотрим такую задачу:
найти длины катетов прямоугольного треугольника, если известно,
что длина гипотенузы равна 25 см, а периметр треугольника равен
60 см.
Обозначим длину одного катета треугольника буквой х, тогда
длина другого катета по теореме Пифагора равна 1^625 — х2. Так
как по условию периметр треугольника равен 60 см, то мы
приходим к уравнению
х + ]/"625 — х2 + 25 = 60.
Это уравнение содержит переменную под знаком радикала.
Такие уравнения называются иррациональными.
Основными методами решения иррациональных уравнений
являются: 1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту
320

же степень, т. е. замена уравнения У и = y/~v уравнением и = v\
2) метод введения новой переменной.
Выше (см. п. 90) говорилось о том, что при возведении обеих
частей уравнения в одну и ту же степень возможно появление
посторонних корней. Значит, при решении иррациональных
уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же
степень обязательна проверка всех найденных корней.
Пример 1. Решим уравнение х + У&25 — х2 + 25 = 60.
Решение. Уединим радикал У 625— х2 и возведем обе
части уравнения в квадрат. Получим:
У625 — Х2 = 35 — х,
625 — х2 = (35 — х)2,
625 — х2 = 1225 — 70* + х2,
х2 — 35* + 300 - 0,
хг = 15, Хо = 20.
И число 15, и число 20 удовлетворяют исходному уравнению.
Возвращаясь к задаче, сформулированной в начале пункта,
приходим к выводу, что катеты треугольника равны 15 и 20 см.
Пример 2. Решим уравнение У"х — 1 + У2х + 6 = 6.
Решение. Уединим радикал ]/~2х + 6 и возведем обе части
уравнения в квадрат. Получим:
У2Г+6 = 6 — уТ^П,
2х + 6 - (6 — ]/7^172,
2Х + 6 = 36— \2Ух~^Л +х—1,
\2У'х— 1 =29 — л:, 144 (* — 1) = (29 — х)2,
х2 — 202х + 985 = 0; хх = 5, х2 = 197.
Проверка. 1) Подставив значение х = 5 в исходное
уравнение, получим: У5 — 1 + У 2 -5 + 6 = 6, т. е. 6 = 6. Таким
образом, 5 является корнем данного уравнения.
2) Подставив значение х = 197 в исходное уравнение, получим:
У197 — 1 + У2 • 197 + 6 = 6, или 14 + 20 = 6, т. е. 34 = 6.
Это неверное равенство; значит, 197 — посторонний корень. Итак,
решением данного уравнения является х = 5.
з з
Пример 3. Решим уравнение У (х — I)2 — ух — 1 = 12.
Решение. Применим метод введения новой переменной.
Положив Ух— 1 = у, получим уравнение у2—у = 12, откуда
находим }>!=4, у2——3. Теперь задача свелась к решению сово-
з з
купности уравнений: ух — 1 =4; ух — 1 = —3. Возведя обе
11 Заказ 87 321

части уравнения Ух — 1 = 4 в куб, получим: х —- 1 = 43, т. е.
з —————
х = 65. Аналогично из уравнения ух—\ = —3 получим: х =
= —26. Итак, данное уравнение имеет два корня: хх = 65,
х2 = —26.
Упражнения
1086. Укажите, какие из данных уравнений иррациональные:
а) У~х + 3 = х\ в) Ух + 3 = 3;
б) х + ]/~3~=2; г) (х— I)3 = 3.
1087. Почему, решив иррациональное уравнение, необходимо
проверять, удовлетворяют ли найденные корни данному
уравнению?
1088. Почему уравнения Ух + 1 = 3 и (Ух + I)2 = 9 заведомо
равносильны, а уравнения Ух + 1 = х — 5 и (Ух + I)2 =
= (х — 5)2 не равносильны?
1089. Не решая уравнения, докажите, что оно не имеет
действительных корней:
а) К^4 + 1/Т=* = 1; в)]/Г+Т2+]/"ТТ2^2=1;
б) Ух2 — 81 = V х—8+У8=х\ г)УТ=^3 + 1/"^Т9==2.
Можно ли эти уравнения назвать равносильными?
Решите уравнение:
1090. а) Ух~+~6 = 3; в) УЪх—\ = УЗх + 7;
б) УА^х - х + 2; г) (3* + 8)~= (х2 — 2)Т.
1091. а) У(2х—1)(3х+ 1) = х + 1;
б) У£=1.у\0х — 5 = х — 3.
1092. Решите уравнение несколькими способами:
а) У2х — 4 — Ух + Ь=1\ б) УЗх+1 — 1 = У2х=Т.
1093. Решите уравнение с помощью введения вспомогательной
переменной:
а) х +1 +ут+т==12;
б) Зх —3 —2"К7=П" = 5;
в) х2 + 4 — 5]/~F~=~2 = 0.
г) х2 — 4л: + 10 = 3\х* — \х + 20;
д)|/Ш + 2.|/ф.
322

93. Равносильные неравенства. Рассмотрим неравенства с одной
переменной, т. е. неравенства вида / (л:) > g (х) (соответственно
f (х) <8 W» f (х) ^ ё (*)» / М < 8 (*))• Решить неравенство с
переменной — значит найти множество всех значений переменной, при
которых данное неравенство с переменной обращается в верное
числовое неравенство. Это множество называется решением
неравенства. Два неравенства с одной переменной называются
равносильными, если их решения совпадают.
При решении неравенства данное неравенство заменяют другим,
более простым, но равносильным ему. Такая замена
осуществляется на основе следующих утверждений:
Теорема 1. Если какой-либо член неравенства с одной
переменной перенести из одной части неравенства в другую с
противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак
неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема2. Если обе части неравенства с одной
переменной умножить или разделить на одно и то же положительное
число, оставив при этом без изменения знак неравенства, то
получится неравенство, равносильное данному.
ТеоремаЗ. Если обе части неравенства с одной
переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное
число, заменив при этом знак неравенства на
противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.
Докажем для примера последнее утверждение. Пусть дано неравенство
/М >g(x) (11)
и/и — отрицательное число. Докажем, что неравенство
mf (x) < mg (x) (12)
равносильно неравенству (11).
Пусть а удовлетворяет неравенству (11), тогда f (a) > g (a) — верное
числовое неравенство. Если обе его части умножить на одно и то же отрицательное
число /я, изменив при этом знак неравенства, то получим верное числовое
неравенство mf (a) < mg (а). Это означает, что а удовлетворяет неравенству (12). Таким
же образом доказывается, что верно и обратное утверждение, а потому решения
неравенств (11) и (12) совпадают. Значит, неравенства (11) и (12) равносильны.
Пример 1. Решим неравенство 2 (х — 3) + 5 (1 — х) >
> 3 (2* - 5).
Решение. Раскрыв скобки, получим:
2х — 6 + 5 — 5х> 6х— 15,
—Зх— 1 > 6л: — 15,
—Зл: — 6*>—15 + 1,
—9* > —14. (13)
По теореме 1 неравенство (13) равносильно данному неравенству.
Разделим теперь обе части неравенства на отрицательное число —9
и изменим знак неравенства. Получим, согласно теореме 3,
неравенство, равносильное неравенству (13): х <— •
И*
323

— -t- Множество решений последнего нера-
J^/////////////////^ *»_ венства, а вместе с ним и исходного
неравенства есть числовой промежуток
9
При решении рациональных неравенств
полезен метод промежутков, о котором
шла речь выше, в п. 19.
r у=ах2+Ьх+с Пример 2. Решим неравенство
(П<0;а>0) (*-!)»(*+ 2)» ^ Q
Решение. Выражение (х — 1)4(#+
эв^ + 2)2 обращается в нуль при х = 1 и при
х х = —2, а при остальных значениях х оно
положительно. Значения х = 1, х = —2
Рис. 208 удовлетворяют данному нестрогому
неравенству, т. е. являются его решениями.
Пусть теперь хф\, хф—2. Тогда (х — I)4 (л:+2)2>0, а потому
деление обеих частей данного неравенства на (х — I)4 (х + 2)2 с
сохранением знака неравенства приводит к равносильному
неравенству: ^ 0. Полученное неравенство имеет следующее
решение: 0 < х ^ 1 (рис. 207). Добавив к нему отмеченное ранее
решение х = —2, получаем ответ: {—2} (J ] 0, 1].
При решении рациональных неравенств иногда полезно
следующее утверждение: если дискриминант D = Ъ2 — \ас квадратного
трехчлена ах2 + Ьх + с отрицателен, а старший коэффициент а
положителен, то при всех значениях х выполняется неравенство
ах2 + Ьх + с > 0.
В самом деле, графиком функции ах2 + Ьх + с является
парабола. Поскольку а > 0, то ветви параболы направлены вверх.
Поскольку D < 0, то трехчлен ах2 + Ьх + с не имеет действительных
корней, т. е. парабола не пересекает ось абсцисс. Поэтому вся
парабола лежит выше оси абсцисс (рис. 208), т. е. значения функции
ах2 + Ьх + с положительны при всех х.
Пример 3. Решим неравенство
х2 — Зх + 5
Зх+4
<о.
Решение. Дискриминант квадратного трехчлена в
числителе D = 9 — 20 < 0, а старший коэффициент 1 > 0. Значит,
числитель левой части данного неравенства положителен при
любых значениях х. Разделив обе части исходного неравенства на
х2 — Зл: + 5 и сохранив знак неравенства, получим равносильное
1 4
неравенство < 0, откуда находим: 3* + 4 < 0, х < .
Зх -f- 4 3
324

Итак, множество решении данного неравенства есть промежуток
-оо; -?[.
Упражнения
1094. Какие из чисел: 5, —2, 1, 25, 0, е, —я — являются
решениями неравенства:
a) _?fL- ^ 1; б) х2 + х > 2; в) х +-> 2?
2х — 9 х
1095. Равносильны ли неравенства:
а) — Зх + 4 < 0 и 3* — 4 > 0;
б)^+^<1 иЗ(х-1) + 2(*+1)<6;
2. о
в) 2а- > 4 и 2л: Н — > 4 +
ж —4 х — 4
г) 2а- — >4 — и 2х > 4?
' хг + 4 х2 + 4
1093. Равносильны ли неравенства:
а) — > 0 и (х — 2) (а — 5) > 0;
х— 5
б) -а <7 и -а2 <49;
в) 2х — 3 < 5 и (2* — 3) (х — 1) < 5 (х — 1)?
1097. Постройте график функции /, если:
а) / (х) = 2х — 4; б) / (х) = х2 — 2х — 8.
При каких значениях х значение функции / будет
положительным, отрицательным, равным нулю, больше 4?
Решите следующие неравенства:
Ю98. а)3-^-1<*—2 + а; б) ®=*L + 4 < *^-3-2а.
4 3 2 4
1099. а) — > 0; б) — > 0.
х — 5 л; —8
1100. а) (а — 1) (4 — а) < 0; б) (а — 3) (4 — а) > 0.
1101. а)^Ц>1; б)5х—3<2.
2* — 3 4 — л:
1102. а) А2 — 2а — 8 > 0; г) а2 — 6а + 9 < 0;
б) а2 — 2а — 3 < 0; д) а2 — За + 5 > 0;
в) а2 — 4а + 4 > 0; е) а2 — 4а + 5 < 0.
U03-a>-?f7br>0; в>гг5>0-
325

П04. a) *2~3* + 1 > 1; 6) *2 + 7*~3 <l.
1105. Найдите область определения функции:
а) 1§ ,2-£ + 3-' В) ]/"(*-{)V-3* + 2)(x» + 4).
б)]/-
х2 — 3* + 2
л-2 + 1 '
1106. Числитель положительной дроби меньше ее знаменателя на
2 и является натуральным числом. Если к числителю и
знаменателю этой дроби прибавить по 1, то полученная дробь
з
будет больше —. Если же от числителя и знаменателя дроби
5
3
отнять по 1, то полученная дробь будет меньше —. Най-
4
дите заданную дробь.
1107. Определите, при каких значениях т корни уравнения:
а) тх2 — (Зт + 1)х + т = 0;
б) (щ — 4)*2 + (т + \)х + 2т — 1 = 0
действительны и различны.
Решите следующие неравенства:
JL -L+8
1108. а) 22jr+e + 2Л+7 > 17; б) 2х + 2х > 18.
1109. а) 2и+2|>8; 6)9|Л+3|<729.
1110. a) sin х ~^ 0; б) cos х ^ 0.
1111. a) sinx<!jt; б) 2 cos x > УЗ.
1112. а) 4 cos2 х > U б) 4 sin2 х — 3 < 0.
94. Системы и совокупности неравенств с одной переменной.
Некоторые задачи приводят к решению системы неравенств. Чтобы
найти решение системы неравенств
(f(x) >0
/*(*) >о
\h{x) >0,
надо решить каждое неравенство этой системы и отыскать
пересечение всех полученных множеств.
В других случаях требуется решить каждое из неравенств
/ (х) > 0, g (х) > 0, h (х) > 0, после чего найти объединение
полученных множеств. В этом случае говорят о совокупности
заданных неравенств. Ее иногда обозначают так;
Г/ (х) > 0
\g(x)>0
\_h (x) > 0.
326

Пример 1. Решим
систему неравенств/5л: + 2 >3х— 1
\3*+1 >7х —4.
Решение. Первое
неравенство системы преобразуется
в равносильное ему неравенство
з
х > , второе — в неравен-
5
ство х <— . Таким образом,
4
задача сводится к решению сис-
темы \х>
2
Множество решений неравенст-
ва х > — промежуток
\VVVSN\VVVV\
J
2
шхш^
-Z
+ ЖА
у/ШШШ^//////////////у >
5
4Г
Рис. 209
о z
Рис. 210
у//////7/////////////^ + ^
-3
Рис.211
]-fH
множество решении
неравенства х < промежуток
4
-°°;т[
помощью
координатной прямой (рис. 209) находим, что решением системы служит
1 3 5Г
интервал
Пример 2. Решим систему неравенств
х
х* < 64.
Решение. Рассмотрим сначала первое неравенство. Имеем
Х2 + х __ 4
<1
X2 + Х-
КО;
х2—4
<0;
(*-2)(* + 2)
<0.
X XX
С помощью рисунка 210 находим решение этого неравенства:
х < — 2; 0 < х < 2.
Решим теперь второе неравенство. Имеем:
х2 — 64 < 0 или (* — 8) (jc + 8) < 0.
С помощью рисунка 211 находим решение неравенства:
—8 < х < 8.
Отметив найденные множества решений первого и второго
неравенств на координатной прямой, найдем их пересечение (рис. 212).
В результате получим: —8 < х < —2; 0 < х < 2. Итак, решением
данной системы будет: ]—8; —2 [U]0; 2[.
Пример 3. Решим совокупность неравенств
2х-
•3 Зл —2
?+'>?■
Решение. Преобразовав каждое из неравенств, получим
S27

^Ш^КЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ^
4
11
—оо; —
11
61
-со;-
' 6_
7
совокупность более простых ке-
^4 ^ б
равенств: х < —; х < —.
к ' И 7
Рис. 213
Множество решений нера-
венства х < — — промежуток
множество решении неравенства х < промежуток
С помощью координатной прямой находим, что
объединением этих множеств служит промежуток
6
-оо: —
7
(рис. 213).
Заметим, что если в системе из нескольких неравенств одно является
следствием другого (или других), то это неравенство-следствие можно опустить.
Пример 4. Решим систему неравенств
/ х2 — Ъх + 6 > О
1 х2 — Ъх + 6 > 2.
Решение. Если х2 — Ъх + б ^ 2, то тем более х2 — Ъх + 6 > 0, т. е.
неравенство х2 — Ъх + 6 > 0 можно опустить. Значит, заданная система
равносильна неравенству х2 — Ъх + 6 ^ 2. Решая это неравенство, получаем:
х2 — 5х + 4 > О,
(*-1)(*-4)>0,
* < 1;*> 4.
Итак, решением системы будет ]—оо, 1] U [4, -f-°°[.
Упражнения
1113. а) Чем отличается система двух неравенств от совокупности
двух неравенств?
б) Что является решением системы неравенств?
в) Что является решением совокупности неравенств?
1114. Решите неравенство:
а) |3*— 1| <5; б) |3* — 5|> 1.
1115. Решите совокупность неравенств:
2х — з
а)
Зх + 2 > О
2х> 1;
б)
<2х-
в)
1116.
4х — 6 < х
Решите систему неравенств:
2х + 1 > Зх + 4
Зх —2
х — 3
4л: — 1
5* —2
>0
<0.
а)
5* + 3>8л: + 21;
б)
Зх -
х — 3
4х— 1
Ъх-
>0
<0.
1117. Решите неравенство:
a) log2 (2х — 7) > 0;
б) log02 {2х - 7) > 0.
328

1118. a) lg (2x — 3) > lg (x + 4); в) log2 (3*—7) <log2 (x + 1);
6) log0,,(2x—4)>logM(*+l); r) log0,2(4*—7)<log0,2(x+2).
1119. a) In (x + 27) — In (16 — 2x) < In x;
6) log0il (x + 1) + log.,,! (x — 1) < log0>1 3.
1120. a) log0,5 3-^ > 0; 6) In *Z=1 < 0.
x— 1 x —5
1121*. a) 2 cos2 я — <;os я > 0; 6) 2 sin2 x — sin x < 0.
1122. a) |cos 2*| < 0,5; 6) |tg*|<l.
95*. Иррациональные неравенства. При решении
иррациональных неравенств используется следующее утверждение: если обе
части неравенства принимают только неотрицательные значения,
то, возведя обе части неравенства в квадрат (или в любую четную
степень) и сохранив знак исходного неравенства, получим
неравенство, равносильное данному.
Пример 1. Решим неравенство
Ух2 — х—\2 <х. (14)
Решение. Всякое решение этого неравенства является в то
же время решением неравенства х2 — х — 12^0 и решением
неравенства х >0(из неравенства (14) следует, что х>У~х2—х —12>
^ 0). При этих условиях обе части неравенства (14)
определены и принимают только неотрицательные значения, поэтому
возведение их в квадрат есть равносильное преобразование
неравенства. В итоге мы приходим к следующей системе неравенств:
(х2 — х— 12 > 0
\х >0
l*2 — *— 12 <х2.
Решив эту систему, находим: х ^ 4. Итак, решением данного
неравенства является промежуток [4; +оо[.
Пример 2. Решим неравенство
V*2 — Зх + 2 > х + 3. (15)
Решение. Если х + 3 < 0, то неравенство (15)
выполняется для всех значений х, при которых х2 — Зх + 2 ^ 0. Если же
х + 3 ^ 0, то неравенство (15) выполняется при всех значениях х,
при которых х2 — Зл: + 2 > (х + З)2. Значит, надо решить две
системы неравенств:
* + 3 < 0 / х + 3 > 0
х2 — Зх + 2 > 0; Л х2 — Зх + 2 > (х + З)2,
после чего объединить найденные множества решений (т. е. решить
совокупность из двух систем неравенств). Решением неравенства
х + 3 < 0 служит луч ]—оо; —3[, а решением неравенства х2 —
— Зх + 2 > 0 — объединение лучей ]—оо; 1] и [2; +оо[.
Следовательно, решением первой системы неравенств является луч
329

]-—oo; —3[. Таким же образом находим, что решением второй системы
неравенств является промежуток
о. L
. Объединяя найденные
множества, получаем решение неравенства (15):
Упражнения
Решите иррациональные неравенства:
1123. а) )/^3<5; в) /4^> 1;
б),У2х + 3>3; г) У~9^х<2.
-со;--
1124. a)Vx*— x>V~2; в) V$x — х2 < 2;
б) /ж2 — 10* < 3; г) Убх~^~х2 > 3.
1125. a) Y^Tb >l> B) J7*1^1"> Vx=T:
1126. a) 1/2jc-
3>*;
б) УЧх + 5 < х\
г) У1-х<У* + 1.
в) VY+2 > х;
г) У12^
х< х.
1127*. а) ]Лг2 — 55л: + 250 < х — 14;
б) УЗ
■Зх + 2>2 — х.
96. Основные результаты.
1. Равенство с переменной называется уравнением. Значение
переменной, при котором равенство с переменной обращается в
верное числовое равенство, называется корнем уравнения. Решить
уравнение — значит найти множество его корней. Это множество
называется решением уравнения.
2. Уравнения, имеющие одно и то же множество корней,
называются равносильными. Если какое-нибудь слагаемое перенести
из одной части уравнения в другую с переменой знака, то
получится уравнение, равносильное данному. Если обе части
уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля
число, то получится уравнение, равносильное данному.
3. Если каждый корень одного уравнения является корнем
второго уравнения, то второе уравнение называется следствием
первого. Равносильность уравнений означает, что каждое из
уравнений является следствием другого.
4. В процессе решения уравнения обычно заменяют его более
простым уравнением, равносильным данному или являющимся
следствием данного. Если при решении уравнения мы заменили
ззо

его следствием, то могут появиться посторонние корни. Поэтому
в таких случаях обязательна проверка всех найденных решений.
5. Три основных метода решения уравнений: метод разложения
на множители, метод введения новой переменной, переход от
уравнения / (и) = / (v) к уравнению и = v, где / — монотонная функция.
6. Иррациональным называется уравнение, содержащее
переменную под знаком радикала или под знаком возведения в дробную
степень. Два основных метода решения иррациональных
уравнений: возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень и
введение новой переменной. Поскольку при решении первым
методом уравнение заменяется его следствием, обязательна проверка
всех найденных корней.
7. Решить неравенство — значит найти множество всех
значений переменной, при которых данное неравенство с переменной
обращается в верное числовое неравенство. Это множество
называется решением неравенства. Два неравенства с одной переменной
называются равносильными, если их решения совпадают.
8. Если какой-либо член неравенства перенести из одной части
неравенства в другую с противоположным знаком, оставив при этом
без изменения знак неравенства, то получится неравенство,
равносильное данному.
9. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно
и то же положительное число, оставив при этом без изменения знак
неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.
Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то
же отрицательное число, заменив при этом знак неравенства на
противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.
10. Несколько неравенств с одной переменной образуют
систему, если надо найти пересечение множеств их решений. Несколько
неравенств с одной переменной образуют совокупность, если надо
найти объединение множеств их решений.
11. Если дискриминант D = Ь2— Аас квадратного трехчлена
ах2 + Ъх + с отрицателен, а старший коэффициент а положителен,
то ах2 + Ъх + с > 0 при всех х. На такой трехчлен можно
умножать или делить обе части неравенства, сохраняя при этом знак
неравенства,— в результате получится неравенство, равносильное
данному.
Дополнительные упражнения
К пункту 90
Равносильны ли уравнения на множестве /??
1128. а) г-~* =0 и 2* —6 = 0;
б) -7М^-= =0 и 2*-6 = 0.
331

1129. a) |/T"=~1 + 1=0и(1/"х-1)2 = (—l)2;
б) Ух — 1 + 1 = 0 и х2 + 4 - О.
1^~2*
ИЗО. a) sin х = г-у- и tg я = 1; б) sin х • (cos я + 2) = О и
sin х = О.
1131. a) lg л:2 - О и 21g ^ = 0; б) lg г* = О и 31g л: = О.
1132. а) Iх — Iх'1 - 42 и 7х'1 = 7; б) (* — 2) . 2х = О и
х —2 = 0.
1133. а) Покажите, что все корни уравнения sin х = 0
удовлетворяют уравнению sin Ъх = 0. Можно ли считать, что
уравнения sin х = 0 и sin 5x = 0 равносильны?
б) Покажите, что все корни уравнения tg x = 1 являются
корнями уравнения cos 2л: = 0. Можно ли считать, что эти
уравнения равносильны?
1134. Какой системе уравнений и неравенств равносильно
уравнение:
а) lg (3* — 6) - lg (4* — 10);
б) In (х1 — х — 12) = In (х2 — Зх — 10);
в) Ух — 1 = 4 — х?
1135. а) Является ли число я корнем уравнения—^HL5__ — о?
1 -{- cos .v
б) Являются ли числа —, — корнями уравнения
о 1^
sin Зх • tg 6я • cos 6% = О?
в) Решите уравнения L_Si~— = О; cos 2х • tg [ х + — ] = 0.
cos л: + sin х \ 4 /
1136. Равносильны'ли уравнения:
а) sin22x—-sin2л; = — и sin3xsiax = —;
; 2 2
б) tgx(l,2 + cos*) = 0 и tgx = 0;
В) Jl^^O и tgx = 0;
sin Зх
г) -^-=0 и tg3x = 0?
sin x
1137. Не решая уравнения, покажите, что оно не имеет решений:
a) lg (Зх — 6) = lg (2 — х); б) lg (1 - я2) = lg (x* - 4).
1138. Равносильны ли уравнения:
а) / (х) = g (х) и Р (х) = g2 (*);
б) lg^=0 и lg / (х) — lg «r (-v) = О?
8(х)
332

К пункту 91
1139. Расстояние между двумя станциями железной дороги —
96 км. Первый поезд проходит это расстояние на 40 мин
скорее, чем второй. Скорость первого поезда больше скорости
второго на 12 км/ч. Определите скорости обоих поездов.
1140. Теплоход проплыл вниз по течению реки 150 км и после
часовой стоянки вернулся обратно. Определите скорость
течения реки, если известно, что на весь путь было затрачено 17 ч
и скорость теплохода в стоячей воде равна 20 км/ч.
1141. Население города за 2 года увеличилось с 200 000 человек до
220 500 человек. Найдите средний ежегодный процент роста
населения этого города.
1142. Два раствора, из которых первый содержал 600 г, а
второй 300 г безводной серной кислоты, слили вместе и
получили 10 кг нового раствора серной кислоты. Определите
массу первого и второго раствора, если известно, что процент
содержания безводной серной кислоты в первом растворе
на 10 больше, чем процент содержания безводной серной
кислоты во втором.
1143. Решите уравнение:
ч 2 5 2 5
а) = ;
' х — 14 х—13 * —9 х—1
\3 — х. 6 3 2
о) = ;
' 3 + х х2 — 9 х + 3 3-х
у 30 13 _ 7 + 18*
В' *2 __ i Х2 + х + 1 ~ хг_1 '
1144. Найдите натуральные корни уравнения:
а) 2х2 — Зх + 1 = 0; в) х2 — Ах + 3 = 0;
б) 2л:2 + х — 1 = 0; г) х2 — \х + 5 - 0.
1145. Найдите рациональные корни уравнений из упражнения
№ 1144.
Решите следующие уравнения:
1146. a)^pi- + __^__=3;
в)_±_+ 6 = 1.
' х* — 2х х* — 2х + 4
Г)^_+1£±А==2.
уТ+2 4
333

1147. a) 8\Vx — 4 • 9Vx + 3 = 0; в)* 4* + 6* = 2 • 9*;
б) 2ЪУТ=Г2 + 5 * 5Vx^2 = 50; г) 2 « 81* = 36* + 3 • 16*.
1148. a) 2sin2x + 3tg x = 5;
б) 2sin3 x + 2 sin2 л; cos л: — sin x cos2 x — cos3 x = 0;
в) \r\ — cos x = sin x\
r) pin2 x + sin2 2x = sin2 Зл;
icos jc < —.
I 2
1149*. Докажите, что уравнение не имеет действительных корней:
а) VT^l + х2 + х = 0;
б) х* + 4х3 + Бх2 + 2х + 2 = 0.
1150*. а) При каких значениях а>0 уравнение
ровно один корень?
б) При каких значениях а уравнение
имеет хотя бы один корень?
К пункту 92
Решите уравнение:
1о
lg(*
lg(*
+ 1)
lg*
+ а +
2
а2)
имеет
1
2
1151. а) х — Ух— 12 = 0; б) 2"|/х — 1 — 5 = ■
Vx — l
^7_4 V^-з
1152. a) V'^-b + VT~=~x = 2; в) уТ+2 — ]/"Г=6 = 2;
б) 1/"2дГ=Т— V"jc^=l = 1; r)l/3~+« + K3u— 2 = 7.
1153. а)К41— Зх — ^9 — Зж = 2 ]/"5 + х;
б) УТ^ + ]/2x + 3 = |/"Зл; + 31.
3 _ з
1154. а) ]/ ^ + У 5^+4 = 2,5; б) -
,158-a)l3^Wf=Pe4'5;.
б) У"5 + х Ч- >^5 - л: _ 5_
]/"5~+^ - У'5~=^ х '
1 1 4
1157*.a) ]Л-Мпх + ]Л — sin* = 2; б) /tg* + |/"ctg* = 2.
334

1158. a) 4^-J+2-3 • 2^->;
6) lgl/T^T^- 3 lg)/"T^ ^ lgl/T+1 + 2;
в) lgl3r *~3 + lj = l;
r) log5(lg]/x2+19) = 0.
К пунктам 93—94
1159*. а) Если бы велосипедист проезжал в день на 5 км больше
того, что он действительно проезжает, то за 6 дней он
проехал бы меньше 330 км. Если бы он проезжал на 10 км в день
меньше, чем на самом деле, то за 12 дней он проехал бы
больше 400 км. Сколько километров проезжает в день
велосипедист?
б) Самоходная баржа должна доставить груз от речной
пристани Л к пристани S, расположенной на 24 км выше Л, и
после разгрузки немедленно вернуться в Л. Скорость
течения реки — 6 км/ч. Какова должна быть собственная
скорость баржи, чтобы рейс из Л в В и обратно занял не более
4 ч, в предположении, что разгрузка займет один час?
1160. Найдите область определения функции:
a) lg {х2 — х — 12) — ]/"36 — х2\
t>Vk
..+ ,
-2х ^ lg(* —2)"
Решите неравенство:
П61. а) ——+ _1_< 3
х+\ х + 3 х + 2'
б) - > *
х2 + 3* + 2 х* + 7х+ 12
1162. а)1 +!_<!; б)1^ + 2^-6<1.
lg* 1 — \gx \gx
1163*. a) log1 x > log,3 — 2,5; 6) loga x + 6 > 161og^ a.
T
1164*. a) sin ix + cos4#ctg2.x; > 1; 6) 4 sin2 x — 3sin x + 1 >0.
1165*. Решите неравенство \х2 — 3x + 2| < 2x — x2.
1166*. С помощью производной докажите истинность неравенства^
а) 2л;3 + 6х2 + 6х + 2 > 0 при х > —1;
б) бх3 — 6л:2 + 1 > 0 при х > -;
о
в) ех > 1 + х при х > 0;
г) ех > 1 + х + — при х > 0.
335

1167. Найдите целые решения системы неравенств:
а) (2 (Зх — 4) <3(4х — 3) + 16
\4(х+ 1) <Зх + 5;
(X— 1 х — 2 ^ х — 3
б) 2 , 3 4
1 х> х — 4.
1 2
1188. Решите совокупность неравенств:
гх2 — 2х + 3 < О
*» _ 4Х + 16 > О
L х3 < 1.
1169. Решите совокупность систем неравенств:
f 2х — 1 < х + 65 Г 5* — 6 < 26
J2*-8>2+'l*; 13X + 4 > 13.
1170. Найдите натуральные значения х, удовлетворяющие системе
неравенств:
a)(log^r(x-l)<4 6)f*±8>2
\ х , х — 5 2х 1 х -\- 2
i7=^"r"7~<3^^; ilg(x-l)< 1.
§ 14. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
97. Основные методы решения систем уравнений. Пусть даны
два уравнения с двумя переменными: / (х9 у) = 0 и g (х, у) = 0.
Если ставится задача найти все пары чисел (а, Ь), такие, что/ (а, Ь) =
= 0 и g (а, Ь) = 0, то говорят, что задана система уравнений.
Решить систему — значит найти множество всех пар значений
переменных, при подстановке которых сба уравнения системы
обращаются в верные равенства. Это множество называется решением
системы. Если решение системы пусто, ее называют несовместной.
Две системы уравнений называются равносильными, если их
решения совпадают. Если, в частности, обе системы несовместны,
они также считаются равносильными.
При решении систем уравнений их заменяют более простыми,
равносильными им системами. Основные преобразования систем
при атом таковы:
а) Одно или оба уравнения системы заменяют равносильными
им уравнениями (з частности, выполняют перенос членов
уравнения из одной части в другую с изменением знака и умножение обеих
частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число).
б) К обеим частям одного из уравнений прибавляют
соответствующие части второго уравнения, умноженные на одно и то же
число.
336

в) Из одного уравнения системы выражают одну переменную
через другую и подставляют полученное выражение во второе
уравнение. После этого решают получившееся уравнение с одной
переменной и подставляют найденные корни в выражение для второй
переменной.
Кроме того, применяется метод введения новых переменных.
Рассмотрим примеры решения систем уравнений описанными
методами.
Пример 1. Решим систему уравнений
у — Зх = 10
у2 — 24* = 100.
Решение. Воспользуемся методом подстановки. Из первого
уравнения выразим у: у = Зх + 10. Подставив Зх + Ю вместо у
во второе уравнение системы, получим: (3* + Ю)2 — 24* = 100.
Далее
9*2 + 60* + 100 — 24* = 100,
9*2 + 36* - 0,
* (* + 4) = 0,
*! = 0, *2 = —4.
Соответствующие значения у найдем из уравнения у = 3* + Ю.
Если * = 0, то у = 10; если * = —4, то у = —2.
Итак, система имеет два решения: (0; 10) и (—4;—2). Пишут
также *х = 0, уг = 10; *2 = —4, у2 = —2.
Пример 2. Решим систему уравнений
х2 + у2 — 2* -f У = 0
2х2 + 2у2 + * — Зу — 5 = 0.
Решение. Если обе части первого уравнения системы
умножить на 2 и вычесть полученное уравнение из второго уравнения
системы, то члены, содержащие переменные во второй степени,
взаимно уничтожаются:
(2*2 + 2у2 + * — Зу — 5) — (2*2 + 2у2 — 4* + 2у) = 0,
5* — 5у — 5 = 0,
* —у — 1 =0.
Мы приходим к более простой системе, равносильной заданной:
* —у —1=0
*2 + у2 — 2* + у = 0.
Эту систему нетрудно решить методом подстановки. Из первого
уравнения получаем: у = * — 1 и, значит,
х* + (Х _ 1)2 _ 2* + (* — 1) - 0,
2*2 — 3* = 0, х1 = 0, *2 = i,3.
337

Если х = О, то у = л: — 1 = —1; если я = 1,5, то у = х — 1 =
= 1,5—1 =0,5.
Итак, решения заданной системы таковы: (0; —1); (1,5; 0,5).
Пример 3. Решим систему
— +1. = Н
у х 6
х + у -5.
Решение. Воспользуемся методом введения новой
переменной. Положим — = г, тогда — = — и первое уравнение системы
у х z
примет вид z -\ = —. Решим полученное уравнение относитель-
Z б
но новой переменной г:
6г2 + 6 - 13^,
6г2 — 13г + 6 = 0,
__ 2 __ з
Zi-~> *2- 2-
у 2 3 я 3
Таким образом, либо -— = —, т. е. у=— х> либо — =—, т. е.
h у 3 ^2 у 2
2
у = — л:.
' 3
Итак, первое уравнение заданной системы равносильно сово-
3 2
купности двух уравнений: у = —я, у = —л:. В соответствии с этим
Z о
нам предстоит теперь решить две системы:
3 ( 2
л: + у = 5, 1л; + у = 5.
Из первой системы находим: х = 2, у = 3, из второй: х = 3,
у = 2. Следовательно, решения данной системы таковы:
(2; 3); (3; 2).
Пример 4. Решим систему уравнений
У* + У + УХ~У = 4
. Ух + у — Ух —у = 8.
4 4
Решение. Положим ух + у = и, ух — у = v. Тогда
Y'x + у = (у^л: + у)2 = а2, Ух —у = (-/* — у)2 = у2 и система
примет вид
'и + v = 4
„2 _ ^ = 8.
338

Так как и2 — и2 = (и — v) (и + v), то эта система равносильна
системе
Г и + v = 4
{ 4 (и — v) = 8,
откуда находим пару значений и = 3, v — 1. Возвращаясь к
переменным х и у, приходим к системе уравнений
у ^ — у = 1.
Возведя обе части каждого уравнения в четвертую степень,
получим:
Гх + у = 81
\х — у = 1,
откуда находим: х = 41 и у = 40.
Проверка показывает, что пара (41, 40) удовлетворяет данной
системе.
Пример 5. Решим систему уравнений
Г log2 х + log4 у = 4
13*2 = 9 • 315*+?.
Решение. Так как log2 х = log22 х2 == log4 л:2, то первое
уравнение системы можно записать в виде
log4 х2 + log4 у = 4
и далее log4 х2у = 4, #2у = 44, х2у = 256.
Из второго уравнения системы имеем: 3** = З2 • 315У+2, З*2 =*
= 315УЬ4, х2 = 15у + 4.
Задача свелась к решению системы уравнений
(х2у = 256
\х2 = 15у + 4.
Подставив выражение 15у + 4 вместо х2 в первое уравнение,
получим:
(15у + 4) у = 256,
15у2 + 4у — 256 = О,
Уг = 4, У.--^.
Если у = 4, то х2 = 15у + 4 = 15 • 4 + 4 = 64, т. е. л;2 = 64,
откуда хг = 8, л:2 = —8.
Если у =—^, то *2 = 15у +4 = 15 • /"——) + 4 =—60, х2=>
i не имеет решений,
пары значений перемен
f xi =" 8 (х2 = —1
Ьг = 4, \у2 = 4.
=—60 — это уравнение не имеет решений,
Итак, мы нашли две пары значений переменных:
-8
339

Так как данная система содержит выражения log2 х, log2 у, то
должны выполняться условия: х > 0, у > 0. Поэтому пара (—8; 4)
исходной системе не удовлетворяет. Следовательно, решением
данной системы является пара (8; 4).
Пример 6. Решим систему уравнений
Г sin х + cos у = 1,5
[sin2 x + cos2 у = 1,25.
Решение. Положим sin х = и, cos у = v. Тогда получим
систему
(и + v = 1,5
(и« + у2 = 1,25.
Из первого уравнения этой системы выразима: v= 1,5 — и.
Подставив найденное выражение во второе уравнение системы,
получим:
4
и2 + — — Зи + w
9 о.. , .,2^'!.
2а2 — 3w + 1 = 0,
л 1
% = 1, и2 =—.
3 3 1 1
Если а = 1, то а = и = 1 = —. Если и = —, то
2 2 2 2
з 3 1,
и = и= = 1.
2 2 2
Итак, мы получили две пары решений:
"i^1 (и --
1 и«-2
^=2, Ь2 = 1.
Так как а = sin #, v = cos у, то нам остается решить две системы
уравнений:
j cos у = —, , ,
( J 2 I cos у = 1.
Из уравнения sin x = 1 находим: х = — + 2я£, А 6 Z. Из
уравнения cos у = — находим: у = ± Ь 2дд, /г 6 Z. Значит,
2 3
{sin я = 1
cos у _ JL имеют вид
340

'x= - + 2nk, keZ
у = ± — + 2nn, n£Z.
О
(1)
Из уравнения sin x = — находим: х = — + 2nk или х = — 4.
2 6 6
-f- 2я/г, k (i Z. Из уравнения cosy = 1 находим: у
Значит, решения системы [ sin х = 1 имеют
2
5л
6 "
2 л/г, п £ Z.
cos у = 1
л: = (- 2я&, А 6 Z
6
[у = 2кп, п£ Z,
\ х = h 2я&, & 6 Z
| 6
(2)
(3)
Множество решений данной системы уравнений представляет
собой объединение пар вида (1), (2) и (3).
Заметим, что при решении систем тригонометрических
уравнений существенно использование различных обозначений для
параметра (я, к, т...) в записи решений первого и второго уравнений
системы. Иными словами, если в первом уравнении системы при
записи решения в качестве параметра использована буква fe, то
для второго уравнения эту букву уже использовать нельзя — в
рассмотренном примере для этой цели использовалась буква я.
Для приближенного решения систем уравнений применяется
графический метод.
Пример 7. Решим графически систему уравнений
(х2 + у2 = 25
I ХУ = 12. ,
Решение. Графиком
уравнения х2, + у2 = 25
является окружность радиуса 5 с
центром в начале координат, а
графиком уравнения ху = 12, или
12
у = гипербола. Эти кривые
х
пересекаются в четырех точках:
<4х(4, 3),Л2(3,4), Л3(-4, -3),
Л4 (-3, —4) (рис. 214).
Координаты этих точек и
служат решениями нашей системы.
Итак, решением данной системы
является множество {(4; 3);
(3; 4); (-3; -4); (-4; -3)}. • Рис. 214
341

Для систем трех уравнений с тремя переменными справедливы
результаты и применяются методы решения, аналогичные тем, что
были рассмотрены для систем двух уравнений с двумя переменными.
Пример 8. Решим систему уравнений
ix + y + z = 2
\2х + Зу + г = 1
[*• + (у + 2)2 + (z - I)2 = 9.
Решение. Вычтем первое уравнение системы из второго,
получим: х + 2у = —1, откуда находим, что х = —2у — 1.
Подставив выражение —2у — 1 вместо х в первое уравнение системы,
получим: —2у — 1 + у + z = 2, откуда находим, что z = 3 + у.
В итоге мы приходим к системе
| х = —2у — 1
\z = 3 + y
U2 + (y + 2)2 + (z-l)2 = 9,
равносильной данной. Решим ее методом подстановки: подставим
в третье уравнение системы вместо х и z их выражения через у.
Получим: (—2у — I)2 + (У + 2)2 + (3 + у — I)2 = 9 и далее
4у2 + 4у + 1 + у2 + 4у + 4 + У2 + 4у + 4 = 9,
6у2 + 12у = О,
у (у + 2) = О,
Уг = 0, у2 = —2.
Так как х = —2у — 1, то находим соответственно, что при
Ух = 0 *! = —1, а при у2 = —2 х2 = 3.
Так как z = 3 + у, то находим соответственно, что при ух «■ О
22 == 3, а при у2 = —2 z2 == 1.
Таким образом, получили решение:
[*1 = — 1 f а:2 = 3
bi = 0 y2 = -2
(2! = 3, [г2 = 1,
которое можно записать также в виде (—1; 0; 3); (3; —2; 1).
Упражнения
1171. а) Удовлетворяет ли пара чисел (1, 2) системе уравнений
\х + У = 3?
б) Не решая данной системы, укажите еще одну пару чисел,
удовлетворяющую ей.
1172. Системе уравнений (ху = 3 удовлетворяет пара чисел
|*2 + у2 = Ю
(1; 3). Не решая системы, найдите еще три пары чисел,
удовлетворяющих ей.
342

1173.
1174.
1175.
1173.
1177.
1178.
1179.
а) Покажите, что уравнение Зх + 2у = 7 является
следствием уравнений системы ( х + Зу = 5
\2х — у = 2.
б) Равносильна ли данная в а) система уравнений
следующей системе:
(Х + Зу = 5
{Зх + 2у = 7?
Равносильны ли системы уравнений:
ху
{(X
\ху
т
ху = т им
а) (х — Ь) — х2 + ах -J- их \2х (а + 6)
Решите систему уравнений:
а) \2х — Зу = — 5 б) /7х — Зу
(4х + у=11;
аЬ7
а)
б)
а)
а)
а)
л: + у = 5 в)
ху = 4;
2х + Зу = 7
ху = 2;
* — у = 1
х2 + у2 = 41;
х + ху + у = —1 б)
х — ху -j- у = 3;
5
5* + 2у = 3.
х + 5у = — 2
5ху = —8;
г) Г* — у =8
1 ху = 20.
б) (х — у = 2
х3 —у3 = 8_
ху + * + у = — 1
х2у + ху2 = —2.
( £4-- = -
\ У х 3
[^-у2 = 8;
б)[1 + 1 = |
1 х у 2
! + - = -.
1 я2 у2 4
1180. Решите аналитически и графически систему уравнений:
а) (ху = 2
\х + у =
б) /у = х2 -
х —у =
3;
-2х — 3
1;
в) /х2 + у2
г)
25
4у = Зх;
х* 4- у2 = 25
х + у2.= 13.
1181.
1182.
1183.
1184.
Постройте графики функций, заданных уравнениями:
а) 2х — у = 3 и у = х2 — 5; б) у = 3 — х2 и ху 4- 2 = 0.
Найдите координаты точек их пересечения.
Найдите двузначное число, которое в 7 раз больше суммы
его цифр и в 10,5 раза больше произведения его цифр.
Среднее арифметическое двух положительных чисел равно 15,
а среднее геометрическое 12. Найдите эти числа.
При каком значении параметра а система уравнений имеет
положительные решения (х > 0, у > 0):
а)
4х 4-Зу
2х 4- ау
12
5;
б)
Зх 4- 2ау = 1
(За — 1)х — ау = 1?
343

1185. Решите систему уравнений:
а) | 82-*+] = 8 • 2^+г б) (3х — 22у = 65
1 Ь*-у+1 = |/2рЯТ j 34-_ 2У = 5
1186. a) (\gx + 2\gy + 3 = 0 б) /lg(x2 + y2) = 1 + lg 13
llg^-lgy2 = 7; tig (JC + У) — 3 lg 2 =
= lg (x — y).
1187*. a)
sinx— sin у = —
J 2
*-y=t>
6) I sinx + siny = —
2
в)
r)
Х + У
sin л: sin у =
cos л: cos у =
sin л: sin у =
tg*tgy = 3.
1188. a) [x — у + 2z = — 7
[2x + 3y — z = 1;
1189. a) [xy = —6
j yz = -2
\xz = 3;
б) ( 2л: + у — 2z = — 2
| * — 2y + 2z = 3
[2л: — 2y + z = 1.
6) (* + у = 1 в) f л: — у = 2
у+ z = 2 y + z = 7
xz = 6; (jc2 + z2 = 41.
98. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.
Подобно тому как решение неравенств с одной переменной
сводится к решению уравнений, решение неравенств, содержащих две
переменные, сводится к нахождению графиков уравнений с двумя пе-
ременными. Ограничимся рассмотрением неравенств вида v ' *'^0
(или **' у* < 0 и т. д.), где Р (ху у) и Q (х, у) — многочлены.
\ Q(x, У) I
Чтобы решить такое неравенство, нужно построить графики
уравнений Р (х, у) = 0 и Q (х, у) = 0. Эти графики делят плоскость
на несколько частей, причем можно доказать, что внутри каждой
из этих частей выражение **' у' имеет один и тот же знак. Поэто-
Q(x, у)
му, чтобы определить знак выражения во всей части, достаточно
определить знак этого выражения в какой-нибудь одной точке
части. После этого надо выбрать те части, в которых выполняется
требуемое неравенство,— их объединение и будет искомым решением.
Пример 1. Решим неравенство:
а) х2 + у2 < 16; в) х2 + у2 > 16;
б) х2 + у2 < 16; г) х2 + у2 > 16.
344

Графиком
16 являет-
Решение,
уравнения х2 + У2 =
ся окружность с центром в
начале координат и радиусом 4.
Эта окружность делит плоскость
на две части — внутреннюю и
внешнюю. Выберем во
внутренней части точку О (0; 0) и
подставим ее координаты в
заданное неравенство а). Получим
верное неравенство О2 + 02<
<16. Значит, решением
неравенства х2 + у2 < 16 является
внутренняя область окружности
*2 + У2 = 16. Решением
неравенства х2 + У2 ^ 16 является
объединение внутренней
области окружности х2 + у2 = 16 и
самой окружности. Решением
неравенства х2 ~\- у2 > 16
является внешняя область
окружности х2 + у2 = 16, а неравенства
х2 + У2 % 16 — объединение
внешней области указанной
окружности и самой окружности.
Пример 2. Решим
неравенство
(х2 + у2 - 4) (х2 + у2- 25) > 0. (4)
Решение. Сначала найдем график уравнения
(х2 + у2 - 4) (х2 + у2- 25) = 0.
Он состоит из двух окружностей: х2 + у2 — 4 = 0 и х2 + у2 — 25 =*
= 0 (рис. 215, а). Эти окружности делят плоскость на три части.
Внутри окружности х2 + у2 = 4 возьмем точку О (0; 0).
Подставляя ее координаты в (4), получим верное числовое неравенство
(—4) (—25) > 0. Значит, все точки части, лежащей внутри
указанной окружности, принадлежат решению неравенства (4). В
кольце между двумя окружностями возьмем точку А (3; 0). Ее
координаты не удовлетворяют неравенству (4), так как (З2 — 4) • (З2—25) <
< 0. Значит, все точки указанного кольца (включая его границы),
не принадлежат решению неравенства (4). Наконец, выбирая точку
В (6; 0), убеждаемся, что все точки, лежащие вне окружности
х2 + у2 = 25, принадлежат искомому решению. Таким образом,
это решение состоит из точек, принадлежащих множеству,
заштрихованному на рисунке 215, б.
Пример 3. Решим неравенство х + у2~~9- >0.
Рис. 215
345

Рис. 216
Рис. 217
Решение. Линии х2 + у2 — 9 = 0иу — л;2 = О делят
плоскость на 4 части (рис. 216). Указанным выше способом
устанавливаем, что заданное неравенство выполняется в частях,
заштрихованных на рисунке 216. Кроме того, оно выполняется во всех
точках окружности х2 + у2 = 9 за исключением точек пересечения
этой окружности с параболой у = х2 (поскольку в этих точках
выражение
' + У2 - 9
у — х2
не имеет числового значения).
Пример 4, Решим систему неравенств
х2 + у2
х + у -
-25 > О
7 <0.
Решение. Неравенству х2 + у2 — 25 > 0, т. е. яа + У2>25,
удовлетворяют точки, лежащие вне окружности х2 + У2 = 25, а
неравенству х + у — 7<0, т. е. у < 7 — дс, — точки, лежащие
ниже прямой у = 7 — х. Пересечение указанных областей (оно
заштриховано на рис. 217) и представляет собой множество
решений заданной системы неравенств.
Описанный метод применим и к неравенствам более общего вида.
Например, решением неравенства у > sin x является часть
плоскости, расположенная над синусоидой у = sin x (рис. 218).
Рис. 218
346

И 90.
1191.
1192.
1193.
Рис. 219
Упражнения
На координатной плоскости изобразите решение
неравенства:
а) 2х — у < 5; б) Ах + 2у > 5.
а) ху < 4; б) х2 + у2 < 9.
а) (л:2 + у2-3)(х2 + у2-6)<0;
б)
ху
<0.
х-у+1
На рисунке 219 изображены множества точек координатной
плоскости. Запишите соответствующие неравенства.
У\
2.
У^ИЯт
\
б) ^
X
N. /
-1/4
/ 0
'
Ш1
6) \
X
Рис 220
347

На координатной плоскости изобразите решение системы
неравенств:
1194. а) Г х — у > 1 б)/2х — у<1
\x + y>U [х + 2у >—2.
1195. а) (у > л:2 — 1 б) f г2 + у2 < 4
Ь + *<0; [ у>*2.
1198. На рисунке 220 изображены (заштрихованы) множества,
соответствующие решению систем неравенств. Запишите эти
системы.
1197. На координатной плоскости изобразите решение системы
неравенств:
а)
б)
х + У > 0
2х — у > 0
*< 1;
ix + у — 2 <0
х — у + 2 >0
а- — у — 1 < 0
U + y + 2>0;
в)
г)
[ у < cos л:
1дг>0;
(у<2*
у < х2 +
1у >0.
4х — 12
99. Основные результаты.
1. Если нужно найти пересечение решений двух уравнений
с двумя переменными, то говорят, что задана система уравнений.
Это пересечение называют решением системы,
2. Две системы называются равносильными, если их решения
совпадают. Если одно уравнение системы оставить без изменения,
а другое уравнение заменить ему равносильным, то полученная
система будет равносильна данной. Если одно из уравнений системы
оставить без изменения, а другое заменить суммой или разностью
обоих уравнений, то полученная система будет равносильна данной.
3. Среди методов решения систем уравнений основными
являются метод подстановки, метод сложения и метод введения новой
(или новых) переменной (переменных).
Дополнительные упражнения
К пунктам 97—98
1198. Равносильны ли системы уравнений
Г ху = а (ху = а
{ х1 + У2 = Ь2 и [ (х + у)2 = Ъ2 + 2а?
1199*. Докажите равносильность систем уравнений:
7(*.у) = о г/(*,у) = о
,8 (*. У) = 0, 1/ (х, y)—g (xt у) = 0,
(г(*,у) = о
l/(*i У) +В(х,У) = 0.
348

1200*
. Докажите, что система уравнений (f2 (х, у) = g2 (х, у)
\h(x,y) -0
является следствием системы уравнений (f (х, у) = g (x, у)
\h(x,y) = 0.
Решите систему уравнений:
1201. а) / х2 + ху + у2 = 13 в)
I х + у = 4;
б) fx + y + xy = — 1
х — ху + у — 1
х2у + ху2 = 30.
1202. а)
1203. а)
х* + у* -
1 + х + хг
1 - У + У2
' = 1;
22;
7
б)
У+1
I Iх! - KI
х — у = 5;
*+5
+ ■
б)
= 2
Ух+Уу = 1.
1204. а) Г log, х + log^ у = 2 в)
{$
+ У
б)
12;
576
3'
ЗУ
ЪУ =
5* =
75
45.
log/r (* — У) = 4;
1205*. Решите систему уравнений
множестве
sin х = sin 2у на
cos х = sin у
{(*> У) | 0 < л: < я, 0 < у < л}.
1206. а) Найдите двузначное число, которое при делении на сумму
цифр дает в частном 5 и в остатке 9, а при делении на
произведение цифр — в частном 1 и в остатке 18.
б) Если некоторое двузначное число разделить на сумму его
цифр, то получится в частном 4 и в остатке 3. Если же
переставить цифры этого числа и полученное число разделить на
произведение его цифр, то в частном получится 2 и в
остатке 18. Найдите это число.
1207. а) Расстояние между двумя станциями равно 400 км. Если
два поезда выйдут одновременно навстречу друг другу, то
через 4 часа расстояние между ними будет равно 40 км. Если
первый поезд выйдет на час раньше другого, то они
встретятся на середине пути. Определите скорости поездов.
б) Из городов А и В, расстояние между которыми равно
180 км, отправлены в одно и то же время два поезда
навстречу друг другу. После встречи поезд, вышедший из А,
прибывает в В через 2 часа, а другой поезд приходит в А через
4,5 часа. Найдите скорости каждого поезда.
1208. а) Равнодействующая двух сил, направленных под прямым
углом, равна 50 Н. Если большую силу уменьшить на 8 Н,
349

1209.
а меньшую увеличить на 16 Н, то равнодействующая
останется без изменения. Найдите составляющие силы,
б) Равнодействующая двух сил, направленных под прямым
углом, равна 89 Н. Если каждую из этих сил уменьшить на
ЗН, то равнодействующая уменьшится на4Н. Найдите
составляющие сил.
Решите систему уравнений:
а) (У — х = 3 б) (ху + хг = 20
2 = 4
+ г2 = 30;
yz + ух = 32
zx + zy = 36.
I х2 -f- У2
1210. а) Трое рабочих выполняют некоторую работу за а дней.
Определите, за сколько времени выполнит эту работу
каждый из рабочих, работая отдельно, если первый и второй,
работая вместе, выполняют эгу работу за b дней, а второй и
третий — за с дней.
б) Сумма трех чисел равна 13, а сумма квадратов их равна 61.
Сумма удвоенного первого числа и утроенного второго равна
18. Найдите эти числа.
1211*. Найдите решение системы (х + у + z = 1
\2xy — z2 = l.
1212*. На координатной плоскости найдите множество точек,
удовлетворяющих уравнению:
а) |*| +1у1 = 1; б) cos (х — у) = 1; в) sin (х + у) = 0.
1213. На координатной плоскости изобразите множество точек,
удовлетворяющих системе неравенств:
а)
2х + Зу < 6
—х + у < 2
—х — Зу < 3
2х < 3
l —За; — 2у < 12;
б)
[ 2х + Зу < 6 в)
у —л:<2 1
* + Зу > — 3 1
х < 1,5;
(У2<*
х<4
у < log3 *
■ У<0.
ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
К§ 9.
1214. Вычислите предел:
cos 3* — cos 7х
а) lira
б) lim-
х-+0
sin x -f- sin 3x
в)* lim
x-+Q
г)* lim
sin 4x
1 — cos 3*
X-+0 *2 '
1215. Найдите производную функции:
cos3x
a) x sin 2x\ 6)
a:2—1
350

1216. Вычислите f l—), если:
r(f
a) / (x) = cos2 x\ 6) / (x) = sin2 4л:.
1217. Вычислите величину угла, который образует с осью х
касательная к графику функции 2sin/* —J в точке
пересечения графика с осью ординат. Запишите уравнение этой
касательной.
1218. Найдите какое-нибудь отличное от нуля решение
дифференциального уравнения у" = —Збу.
1219. Докажите, что производная функции
/5л \ /5я
равна нулю.
tg[j-4x l.sin4- + 4x
1 — 2 cos2 4x
К § 10.
1220. а) Дайте определение первообразной. Является ли функция
0,5 cos 2х + 5 первообразной для функции — sin 2х?
б) Является ли функция sin4 x + cos4 x первообразной для
функции — 2 sin 4л;?
1221. Найдите первообразную F функции —Зх2 + Ъх — 3, если
известно, что график функции F проходит через точку (1; 5).
1222. Найдите первообразную для функции:
j_
а) х2 + З*3; б) cos 2х + —L-.
sin2*
1223. Вычислите интеграл:
2 2
a) Ux2—x-2 + 2x+l)dx; б) f cos fax — -\dx.
1 я_
3
1224. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) У = cos"~' У = °> х в Т» * = Т; б) У32 х3» У=/*~2-
1225. Чему равен путь, пройденный точкой, движущейся
прямолинейно, за промежуток времени [1; 4] (время измеряется
секундами), если скорость точки выражается формулой
v (/) = 2/2 — 3/ (в м/с)? Чему равно ускорение этой точки в
момент времени / = 2 с?
К § 11.
1226. Найдите функцию ф, обратную для функции Д и постройте
графики функций / и ф, если:
а) / (х) = -i-; б) / (х) = 2*-К
X — 1
351

1227. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
а) 2—; 6)log2i±^i.
1228. Дана функция log2 (х2 — 2). Найдите ее область определения
и выясните, принадлежит ли ей число log 84.
1229. Решите уравнение:
а) 3-Н-1 _ 3' = 9; в) lg (х2 +75) = 2 + lg (x — 4);
б) 2х • 5* = 0,1 (10*-1)6; г)* lg (ах) + lg x = lg (x - 1).
1230. Решите неравенство:
а) 0,5**-8д:+15 > 1; в)* 4^^<64-2>^;
б) lg(*-l) + lg(*-2)<lg(* + 2); r)* ]/bg^E|<l.
К § 12.
1231. Найдите производную функции:
а) (х2+х-2)(е2*—е-2*)\ б) ^.
\пх
1232. С помощью производной исследуйте на монотонность
функцию: а) хех^\ б) (л: — 1)гх.
1233. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = е~гх, у = 0, х = , х = —;
б) у = —, у = 0, х = —, х = г2.
1234*. а) Напишите дифференциальное уравнение, решением
которого является функция 3\
б) Найдите решение уравнения у' = Зу, принимающее при
х = 0 значение, равное "J/2.
К § 13.
1235. Решите уравнение:
б) s in х -f cos л = —; Ь
sin х cos х
В) 51^_31^-1=3,g-v+1-5l3Jr-1;
г) К20— х— У2х+1 = 1.
1236. Решите неравенство:
а) 2^~+ 2,/Г-! + 2^-2 >56;
б) 2iog3 {х - 1) - logs (2-t - 5)< 1.
352

1237. а) Докажите, что для любого х £ R справедливо неравенство
1 ^ х2 + х + 1 ^ 3
2 ^ х2 + 2х 4-2^2'
б)* При каком k £ R неравенство
•kx+l
х*+х + \
няется при любом действительном х?
1238. Найдите область определения функции:
a) j/^ + _i_; б) lg X-X
< 3 выпол-
■2х
Х2 -2х-\
lg(x-I)
1239. а) Расстояние между городами А и В равно 150 км. Из
города Л в город В отправляются одновременно два автомобиля.
Первый проезжает в час на 10 км больше второго и
прибывает в В на полчаса раньше второго. Какова скорость
каждого автомобиля?
б) Мастерская изготовляет некоторое количество одинаковых
деталей на сумму S руб. Если себестоимость одной детали
снизить на 4 коп., то на ту же сумму мастерская изготовит
на п деталей больше прежнего. Сколько деталей изготовит
мастерская?
К § 14.
1240. Решите систему уравнений:
а) (х — у = 2 в) (Ц
{ Зх2 + 2ху + 5у2 = 6; [х
б) / х2 + ху + у2 = 75 г) /
[х*-ху+у2 = 25; {
g х — lg у = I
+ у2 - 200;
2Х+У = 32
Зм-у ^ 27.
1241. На координатной плоскости изобразите решение системы
неравенств:
х2 + у — 2х + 3 > 0
1242. Задайте выпуклый многоугольник,,
изображенный на рисунке 221,
системой линейных неравенств.
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
1243. Вычислите:
а) 16,75+ -(70,84 : 23) —
77 01 7 2
_ (2,025-1 А) :4^; '
1 6/24 Рис.221
*i
Z-
ч
J-
2-
;-
I
У^
/^
шШ
31
ъ~-
12 Заказ 87
353

1:(±-1) + 0,5:,,25_ о^
б) ^—11 ill ; В)
1 5 2 / 2\~3 / 1 \-1
18-^ =5,5 — — 2- ' * ■ ' M
r)+(-
з б з \з; v з
1244. Упростите выражение:
a —2 2a+ 2 a
a)
6)
1 —a2 3a — 3 а И- Г
a a \ 2a
a —2 a + 2/ 1
7 — a4 __ аз + 4a _ 8
1245. Решите уравнение:
* + 0,5 x + 5,8 4,3
a)
2лг — 1 1 — 3x 6*2 — 5* + l
6)i±i + - 2
-64 x2 — 8л;+16 *2+4x + 16
1246. Поезд был задержан на станции на 6 мин и ликвидировал
опоздание на перегоне в 30 км, увеличив скорость на 15 км/ч.
Какова скорость поезда по расписанию?
1247. Теплоход прошел 80 км по течению и столько же против
течения реки, затратив на весь путь 8 ч 20 мин. Найдите
скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения 4 км/ч.
1248. Две бригады, работая совместно, закончили устройство
водоема за 12 дней. Сколько дней потребовалось бы на устройство
водоема каждой бригаде отдельно, если одна бригада могла
бы выполнить работу на 10 дней скорее другой?
1249. Два самолета вылетают одновременно из пункта А в пункт
В, расстояние между которыми равно s (в км). Скорость
первого самолета на /л(в км/ч) меньше скорости второго, поэтому
первый самолет прилетает в В на п (в ч) позже другого.
Найдите скорость первого самолета и время, затраченное им на
перелет из А в В.
1250. а) Один из корней уравнения х2 — 6л: + q = 0 равен
3 — ]/Т0. Найдите второй корень и значение q.
б) Не решая уравнения х2 — х — 1 =0, вычислите сумму
квадратов его корней.
в) Составьте квадратное уравнение относительно t, корнями
которого являлись бы числа — tg a sin 2а и 0,5 ctg а sin 2а.
1251. Вычислите емкость прямоугольного параллелепипеда, зная
его размеры: « 52,0 см, « 11,6 см, « 6,3 см. Какова
относительная погрешность ответа?
1252. Руда содержит около 67% железа. Сколько
железнодорожных вагонов потребуется для перевозки руды, если из нее
354

нужно выплавить 1000 т железа? Грузоподъемность вагона
^40 т.
1253. Вычислите приближенно: 1,0025, 2,0083, 2.9Э24.
7
1254. Вычислите сумму и произведение чисел — и 3,5418... с
точностью до 0,01.
1255. Найдите первые два десятичных знака суммы и
произведения чисел: a) J/2" и 0,3574...; б) V~3 и -.
4
1256. Найдите погрешность и относительную погрешность
приближенного значения а.величины х, если:
а) х = ]/2", а = 1,41; б) х = я, а = 3,1416.
1257. Вычислите:
а) 0,027" *"- (- {)"2+ 256V* _ 3-i + (3,1 (7))';
б) (4 4+ЬУ 3) (4~D'25 "(2FT) 3}'
1258. Упростите:
. а — Ъ а2 -Ь2 . 1-а 2 iT+fl 2
aj /^-"рТ a —6 ' ' l+Y~a a-1 '
1259. Упростите:
■>?П>М*
+ I Г ' I 2а
б) [(об)"*"-ft*"]"
при а > b > 0.
I\ 1 аб
а&/ а + У аб
A JL
. а4 +(Д*6)4
1260*. Вычислите значение дроби J^±iJ±l^£^ При х= Ш
причем а > 0, 6 > 0.
1261*. Упростите выражение —' * ~" при * = — f-i/iLj-
__ г j-^iszrj к 2 ^ у ь х
+ 1/ — )• причем а > 0, 6 > 0, а > 6.
1262. Упростите выражение
JL _L JL * 2
а4+в2&4 аТ + Й~
и найдите его числовое значение при а = —; Ъ = 3~4.
16
12* 355

1263. Найдите значение выражения 4л:3 — 8х2 + 2х + 3 при
* = 0,5 (1^3 + 1).
1264. С помощью таблиц логарифмов найдите значение выражения:
v 154,8-5,436 ^ Y(T
а)—^—; б)уч
12,72
15322
2,74
1265. С помощью логарифмической линейки найдите неизвестный
член пропорции:
а)
х _ 0,184.
16,3 ~ 0,0326'
б)
0,0316 __ 0,154
х 186
1266.
1268.
Амфитеатр состоит из 10 рядов, причем в каждом
следующем ряду на 20 мест больше, чем в предыдущем, а в
последнем ряду 280 мест. Сколько человек вмещает амфитеатр?
1267. Два тела, находившиеся на расстоянии 153 м, начали
двигаться навстречу друг другу. Первое тело проходит 10 м в
секунду, а второе в первую секунду прошло 3 м и в каждую
следующую — на 5 м больше, чем в предыдущую. Через
сколько секунд они встретятся?
Найдите геометрическую прогрессию, зная, что сумма трех
первых ее членов равна 168, а сумма четвертого, пятого и
шестого ее членов равна 21.
1269. Найдите арифметическую и геометрическую прогрессию,
если известно, что первый член каждой прогрессии равен 1,
третьи члены обеих прогрессий тоже равны между собой, а
21-й член арифметической прогрессии равен 5-му члену
геометрической прогрессии.
1270*. Докажите,что: а) ]/~7 £ /; б) lg 7 б /; в) |/2 + ]/~3 б /.
1271. Докажите неравенство (а > 0, Ь > 0, с > 0):
а) а + Ъ > 2V"ab\ г) а3 + Ь3 > а2Ъ + ab2\
б) - + ->2; д)* (a + b)(b + c)(c + a)^8abc;
в) (а+6 )(-» + -!)> 4;
е)*
a + b . b -\- с , а -f с ^ а
1 1 -— ^ о.
1272. Решите систему уравнений:
а)
5*.
х + у
lx — Zy
5 3 2
3(*-1) = 5(у + 1);
б)
+ ■
2х + у х — у
5 2
1273.
[х — у 2а- -|- У
а) При каком значении т система уравнений
(7х + Зу = т
\5х + 2у = 20
имеет положительные решения, т. е. х > 0 и у > 0?
= 1,9
= 1,15.
356

б) При каких значениях т система уравнений
6* — Зу = 1
тх — 5>' = 2
имеет отрицательные решения, т. е. х < 0 и у < О?
1274. Решите систему уравнений:
у — 2 \х\ + 3 = О
|у| +*-3 = 0.
1275. Найдите все значения а € /?, аф 0, при которых решение
системы
х — 2у = а
Зх + у = 8
удовлетворяет условию: х > —, у ^ 0.
а
1276. Вычислите предел последовательности:
я-юо \ Зп2 — 1 Зп + 1,
я + 1 2я — 1 л2 — п — 2
б) lim
Л^оо\я + 2 Зя + 1 2я2—1
в)* lim (Vn2+ 2п -\-2-Y~n2-2п +2);
П->оо
П-+оо
г)* Итг1
1277. Пользуясь определением предела, докажите, что:
a) lim £±2=1; в)11т^±^=3;
1278.
1279
' 1280*.
1281.
1282.
б) Нт—= 1;
*^оо* + 2
Вычислите предел:
a) lim ;
*->оо X2 + * + 1
a) lim ;
*-1 X* — Х2-\-Х— 1
о\ ]im *""~3
х-+з ]Лс - 2 - 1
ч i. sin ax
a) lim ;
д-^о xcosbx
\ i;w cos ax — cosbx
a) hm ;
x-*Q хл
Г) lim ^=^ =—5.
х+ъ x — 2
б) lim * 5 .
*-оо 2л8 —Зх8
б) lim х~~2
Х-+2 X2 — Ъх -f-6
б) lim /^^5-2
*-*9 X — 9
б)* lim sin(X-3)
х-,з *a - 9
б) lim sin^ + sinto
357

1283. На рисунке 222
изображен график функции /\
Найдите:
а) область определения
функции D (/) и
множество значений функции^/);
б) множества, на которых
значения функции равны
нулю; положительны;
отрицательны;
в) промежутки
монотонности функции;
Рис.222 г) промежутки
непрерывности и точки разрыва;
д) точки экстремума и значения функции в этих точках;
е) множество значений функции на отрезке [—1; 6];
наибольшее и наименьшее значения функции на этом отрезке;
ж) множество значений аргумента, при которых значения
функции / равны 1;
з) знак производной функции /' в промежутках ]—4, —1[ и
]2, 5[;
и) в каких точках функция / не дифференцируема.
1284. а) Как построить график функции gf rjxeg (*) = af(x — т) +
-Ь я, если известен график функции /?
б) Постройте график функции \- 1.
х — 3
в) Постройте график функции 2*2 — 6* + 3.
Постройте график функции:
а) х2 + Ъх + 6; б) —х2 + Ъх — 6.
1285
1286
1287*. а)
1288. а)
1289.
1290
1291
а) х2 + 3 |*| — 10;
х—1 \+ |* + 2|;
а)
а)
а)
|ig*l;
1
x~i;
2W;
. 3
sin — *;
6) lg |*|;
1
б) |*2 + 3*— 10|-
б) |* + 1|- \х-2\.
в) lg (-*).
б) -
х-
6)2"
+ 1.
б) cos — *.
} з
1292. a) 3sin[2* — -); б) _2cos(-x—l).
1293*. a) sin 2* + cos 2*;
б) 5 sin-— 12cos-.
7 2 2
1294. а)/(*) =
*2, если —2<* < 0
0, если 0 <;* ^ 3
—2* + 6, если * > 3;
б)/(*) =
(*—I)2, если *< 1
log2*, если * > 1.
358

1295. На рисунке 223 построен
график функции f (x).
Постройте график
функции:
а) -f (х); в) / (2х);
б) 2f(x); г) ff1
1
~п
-М.-)
0
О 1
-7
Найдите область
определения функции:
1296. a) lg(3*+l) + Vr2=x
1297. а) У>-3* + 4 . б)
Рис. 223
б)
/20+;
*2 — 16
1
logg (х2 — 2* — 8), — 4
1298. a) K(cos# + sin я)2— f; в) l/"log2 sinAr;
б) 1 + yig cos x\ г) In (cos 2* — 1).
Найдите множество значений функции:
1299. а) х2 — \х + 3; б) 8х — х2 — 10.
1300*. а) 4 cos л: — 3sin x; б) 12 cos x + 5 sin x.
1 ^ч 1
1301. а)
б)
2 — cos 2л; ' 3 + sin 2x
1302. Найдите значение выражения:
чо , cos 4л: — 1
а) (sin х + cos x)2
б) ctg*ctg^+x)
2 sin 2*
7я
cos х при л: = ;
+
tgx{\ + cos 2л:)
2 cos л;
при * = —•
Установите четность (нечетность) функции:
1303. а) -2—; б) Kl — х2.
1304. а) л-2— |х|—2;
1305. a) -'
б)
х — 21.
' + а~Л
2
2 +л;.
б)
б) In
• сг
2
1-х
1306. a) lg
1307*. Найдите основной период функции:
a) 2cos-
в) sin 2x + cos 4a:;
б) 3sin 2х + 1; г) 3sin 2х + 4cos 3,v.
1308*. Докажите, что функция: а) —; б) х2; в) У~г, г) sin x2;
\х\
д) cos х2 не является периодической.
359

/ 2
Рис. 224
Л
1310.
1309. На рисунке 224 изображена часть
графика периодической функции
F (х) на отрезке [0; 2]. .
а) Достройте график этой функции,
если известно, что длина отрезка
[0; 2] равна периоду функции F.
б) Достройте график этой функции
F, если известно, что длина
отрезка [0; 2] равна половине периода
этой функции и функция 1) четная,
2) нечетная.
Изобразите на координатной плоскости заданные множества
точек:
а) {(х,у) |у> |*|} U {(*,У)1*2+У2<2};
б) {(*,У)1У >*"-* —2} U {(*,у)1у<-
\х\).
Найдите функцию, обратную заданной:
1311.
1312.
1313.
1314.
а) (х-\у
3,-
а) у2х — 5;
a) sin х, х 6
б) log5(*+l)-3.
■3)2+ 1, х>3.
б) cosx, х 6[0, л].
1315.
б) (х-
я л 1
Т9 2?
Докажите, что функция:
а) 6х2 — 3* + 2 непрерывна на всей числовой прямой;
б) sin х + 1000 непрерывна в точке х = —;
о
X — 1
в) непрерывна в любой точке на R.
х2 + 1
Исследуйте на непрерывность функцию:
1*1. - 1
а) х\х\;
в)
г)
*—1
*2 + 4.
д)
е)
sin л: -
1
1
1316.
4' ' 2cosx— 1
При каком значении а функция:
Зх2
а)
б)
а + 2х2
sin л;
имеет разрыв в точке х = 1;
имеет разрыв в точке х =— 1?
1317.
1318.
ахъ + 1
Данную функцию представьте в виде суммы четной и
нечетной функции:
а) 2х3 + х2 — х + 3; б) х (sin х + cos x).
На рисунке 225 изображена часть графика функции Д
360

1319.
а) Достройте график этой функции
для х < О, если известно, что / —
четная функция.
б) Достройте график функции /,
если известно, что / — нечетная
функция.
Укажите функции, графики
которых симметричны относительно
начала координат или относительно
оси ординат:
a) 2sin х — 3tg х\ в) Зх4 — 4х2 + 2;
Рис. 225
б)
sin л;
+ cos х\
г) Зх* — 4х + 2.
1320.
Найдите промежутки монотонности функции и постройте ее
график:
л)-* + 20-* б)_1_; В)£±*
-1321*. Докажите, что функция /, где
f(x)=f x* при х ^ °
1322.
х3 при х < 0,
дифференцируема в точке л; = 0.
Вычислите приближенно значение функции хъ — 4*2 + 60
при х = 4,1.
Найдите производную функции:
i
з
+ 7-*
б) (^2
1323. а) 3/х2 —8х~3 + л:
1324. а) (л; — 2) уТ+~3;
cos (2* + 1) . gv
4л: Ч- 1 ' х + 3' "' (3х + 2)~2
а) (* — l)2 In х\ б) (* + I)2 е2Х; в) 2*"1
1325. а)
tg*
в)
б) /(Зх — I)2.
х + 1) sin (2* — 1).
tg-1*
1326
1327
sin (2*+l).
а) В какой точке надо провести касательную к кривой
у = 2х3 — З*2 + 2, чтобы она была параллельна прямой
у = 12* + Ю?
б) Найдите уравнения касательных к кривой у = я3 •+•
+ (х — I)2, образующих с осью абсцисс угол —я.
4
1328. Постройте графики изменения скорости и ускорения тела по
заданному уравнению движения:
'3 +/2-3/, /6[0, 4[,
a) S (0 =
24
/3
1, /€[4, 10[,
-- + 3'5'2
о
-}*', '€[10, + «,[;
361

1329*
1330.
1331.
1332.
1333.
1334.
1335.
1336.
1337.
1338.
1339.
1340.
Рис. 225
б) S(t) = -L/» + ^. + o,K— 1 в промежутке ]0; 10[.
. По графику функции Д изображенному на рисунке 226,
постройте график функции /'.
Исследуйте функцию и постройте ее график:
1 +3*.
1 —2л:'
1
б)
2х + 1
*—1 '
;х3 — 2х2 + 1;
б) х3— 12*+1.
Г2— 1
1
sin #;
*2— х — 2
б) jc + cos 2x.
а) л: —In л:; б) хех
в)*
1
* + 1
Закон движения тела имеет вид 5 (t) = 2 + 32/2 — 0,2^.
В какой момент времени тело имеет наибольшую скорость?
Каковы скорость и ускорение тела в этот момент времени?
Какой путь пройдет тело до этого момента времени?
Найдите на оси абсцисс точку, сумма квадратов расстояний
от которой до точек (2, 4) и (8, 2) имеет наименьшее значение.
Какого диаметра надо взять круг, чтобы в него можно было
вписать прямоугольник с периметром, равным 80 см, и
наибольшей площади? Чему равна площадь такого
прямоугольника?
Из равнобедренного треугольника ABC, где \АС\ =\ВС\ =
= 20 см и | АВ\ = 24 см, требуется вырезать параллелограмм
наибольшей площади так, чтобы один из его углов совпал с
углом треугольника при основании. Найдите длины сторон
искомого параллелограмма и его площадь.
Сечение туннеля имеет форму прямоугольника,
завершенного полукругом (рис. 227).
362

1341.
1342.
1343.
1344.
1345.
1346.
1347.
1348s
1349.
1350.
а) Зная периметр сечения 2/7,
определите, при какой величине радиуса
полукруга площадь сечения будет наибольшей.
б) Зная площадь сечения S, определите,
при каком условии периметр сечения
будет наименьшим.
Движение тела, брошенного под углом а к
горизонту с начальной скоростью vQ,
имеет траекторию
gx2
y=xtga
2-dQCos2a
Рис. 227
При каком значении х тело достигает
наибольшей высоты? Вычислите
наибольшую высоту подъема тела, если а = 45°,
v0 = 500 м/с, g « 10 м/с2.
Из прямоугольного листа жести
шириной 60 см требуется изготовить открытый
сверху желоб, имеющий в поперечном Рис.228
сечении трапецию с боковой стороной
20 см (рис. 228). Под каким углом х к дну желоба надо
наклонить его стенки, чтобы вместимость желоба была наибольшей?
Какие размеры имеет прямоугольный параллелепипед
наибольшего объема, вписанный в шар радиуса R — 1?
Найдите наибольший объем правильной треугольной
пирамиды, апофема которой равна 2]/^3 дм.
Найдите цилиндр данного объема V, имеющий наименьшую
площадь полной поверхности.
Найдите высоту конуса наибольшего объема, который можно
вписать в шар радиуса R.
Какие размеры имеет конус наименьшего объема,
описанный около шара радиуса R = 1?
. Найдите кратчайшее расстояние от точки М (2; 0) до
кривой у = Ух.
Буровая вышка расположена в поле в 9 км от ближайшей
точки шоссе. С буровой надо направить курьера в населенный
пункт, расположенный по шоссе в 15 км от упомянутой на
шоссе точки (шоссе считается прямой линией). Курьер едет
на велосипеде по полю со скоростью 8 км/ч, а по шоссе —
10 км/ч. В какой точке ему надо выехать на шоссе, чтобы в
кратчайшее время достичь населенный пункт?
По двум улицам движутся к перекрестку две машины с
постоянными скоростями 40 км/ч и 50 км/ч. Улицы
пересекаются под углом 60°. В начальный момент времени машины
находятся на расстоянии соответственно 5 км и 4 км от
перекрестка. Через какое время расстояние между ними станет
наименьшим?
363

1351.
1352.
1353.
1354.
1355.
1356.
Освещенность в данной точке пропорциональна силе света
осветительного прибора и обратно пропорциональна
квадрату расстояния до этого прибора. На концах отрезка АВ
помещены источники света, имеющие силу света 1Х и /2
соответственно. Найдите на этом отрезке наименее
освещенную точку. Укажите положение этой точки, если /х = 4 кд,
/2 = 8кд, \АВ\ = 6 м.
По закону Кулона сила взаимного притяжения двух
разноименных зарядов пропорциональна произведению модулей
этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату
расстояния между ними: F= A3iiml. На концах отрезка А В длины
I находятся разноименные заряды qx и q2. Найдите на этом
отрезке точку, в которой суммарная сила действия этих
зарядов на единичный заряд минимальна.
Электродвижущая сила генератора постоянного тока равна £,
а его внутреннее сопротивление равно г. При каком
сопротивлении внешней цепи мощность тока, потребляемая
внешней цепью, достигает наибольшего значения?
Указание. Мощность тока N во внешней цепи вычисля-
E2R
ется по формуле N = —, где R —сопротивление
внешней цепи.
Между экраном и расположенной на расстоянии / от него
светящейся точкой требуется поместить собирающую линзу
так, чтобы получить на экране изображение этой точки.
Определите наибольшее допустимое для этой цели фокусное
расстояние линзы и соответствующее расстояние линзы от
светящейся точки.
В химических лабораториях для изготовления фильтров из
кружков пропускной бумаги вырезают сектор ОАСВ, а
оставшийся сектор ОАМВ свертывают в боковую поверхность
конуса (рис. 229). При какой величине угла АОВ такой
фильтр имеет наибольший объем?
Найдите первообразную F функции /:
a) f(x) = 2х + За-2 — 1;
1357. a) f(x)
135а
б) / (х)
ех + е~х\
б) f{x)=e2* + e-2x.
а) / (х) = 2 cos х — 3 sin x\
б) f(x) = 2 cos 2x + 3sin3*.
2
х'1 + 2х~2 + 0,5.
1359. а) /(*) =
б) f{x)
sin2 2x
1360. Для функции cos 4л: найдите
первообразную F, если известно, что F (~-| = —1.
364

Вычислите интеграл:
4 4 8 _ *
1361. a) [V#dx, б) J/хЫ*; в) J(jc» —2jc+ 1)Лс.
1 i
12 12 1
dx ^. [ dx
1362. а) -*£-; б) I т^-; в) I (3 cos 2*-2 sin 4x)dx.
J cos2 2л: J sin2 Зл: J '
о эх
6
<?3 H-i
1363. а) f-; б)* j
<to
jc— 1
2
1364. Найдите наибольшее и наименьшее значения интеграла:
a) cos — dx, a£R; б) cos —dx, ag/f.
о о
1365. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = }/"#, л; = 4, л: = 9, у = 0;
б) у = х3, у = ]Лс;
в) у = cos 2л:, у = 0, л'=— J-, х = у;
6 о
ч 1 л 1 3
1366. Точка движется по прямой так, что ее скорость в момент
времени t выражается формулой v (t) = 5 —-/ + З/2 (в м/с).
5
Найдите путь, пройденный точкой за промежуток времени
от 3 до 10 с,' и ускорение в конце этого пути.
1367. Упростите выражение:
v sin3 (a — 270°) cos (360° — a) m
а) tg3 (a — 90°) cos3 (270° — a) '
2 cos (— — a J sin I у + aj tg (я — a)
ctg/— + a j sin (я—a)
1368. а) Вычислите sin 2a, cos 2a, tg 2a, если sin a = —--,
25
a € ]*, f [.
б) Вычислите sin —, cos—, tg—, если ctga = —■ и а6]я, —I.
' 2 22 3 2L
365

Упростите:
* а I 4. а
СШ — -h Ха —
8 2 ° 2 -ч tg22a-tg«a
1369. а) = —; б)
a , a l — tg22atg2a
ctg--tg7
1370. а) [2cos2a-1 ; 6) 4c0s2a
£ f _/\ ctg2a —tg2a
4
sin 4a cos 2a
2tg^-a)sm2(j + a)
1371. a)
1 + cos 4a 1 + cos 2a
6) -l/l-cosa _ I/I +cosa при а£]Я|2я[.
г 1 + cos a r 1 — cos a -»
-079 \ sin a + sin 5a + sin 9a # ^ |/^3cos2a — sin 2a
cos a + cos 5a -f cos 9a ' 2 — cos 2a — ]/Tsin 2a
1373*.a) cos2 а + cos2 (a + P) — 2 cos а • cos p - cos (a + P);
6) sin2a + sin2 p + 2sin a sin p cos (a + P).
Докажите тождество:
10,i ч 1—2 cos2 a . .
1374. a) = tga — ctg a;
sin a cos a
^ч , о a 2 sin a —sin 2a
6) tg- ~ =
2 2 sin a + sin 2a
I375 a) (sin2a + tg2a + U(cos2a-ctg2a + l) ^
(cos2 a + ctg2 a + 1) (sin2 a + tg2 a — 1) ' •
б tga + tgp tga-tgp +2tg2a = 2cos-2a.
; tg(a + P) ^ tg(a-P)
sin a-h sin p sin (a + (3) sin (a — ft)
x a + p x a— p ~* 2cosp
tg-~1 + ctg-—P
1376*.
1377. УI +sina— УI — sina = 2sin-, 0<a<90°.
Решите уравнение:
1378. а) 1 —sin 15* = (cos — — sin— Y*;
7 I 2 2 Г
б) cos л: — sin Зл: = cos 2x\
в) cos 4x + 2 cos2 x = 0 (двумя способами).
1379. a) sin я + "j/3 cos л: = 1 (двумя способами);
б) sin х + cos x = 1 + sin 2л:;
\ j. 1 sin* 0
в ctg x + — = 2.
i + cos л:
368

1380. Уравнение sin х + cos x = 1 решите несколькими способами.
1381*. Решите систему уравнений:
а) Г sin х + cos у = 0 б) / 9f* x + cos y =3
1 sin2 х + cos2 у = 0,5; \ 9:osy —81^^= 2.
Вычислите
2
2
1382. a) arcsin
1383. a) arccos
б) arcsin [-
б) arccos] ).
1
1384. a) sin (arcsin
6) cos (arccos 0,8);
1385. Решите неравенство:
(*_3)(* + 2)
a)
6)
*2-l
x2 — 3x— 18
>0;
в)* sin (2 arcsin 0,6);
r) cos (2 arccos 0,8).
в) 2'!+'8'~4 >2:
13x — x2 — 42
1386. Решите систему неравенств
a) f 2*2 + 2 < 5* 6)
«v ^ x\
r)
x2 + 9x + 8
1 . 2
+
>
*—1 * —3 x — 2
x+3
x—2
2x + 3
3x — 2
<1
<2.
1387*. Решите неравенство:
а) |2*-1|< \ix+ 1|;
б) |4 — 3x| >2 — x;
1388. Решите уравнение:
a)Vx~+2 — Vx~=6
в) U2 + x + 10| <3x2+7x+2;
r) \2x2-\-x + U\>x2 — 5x + 6.
2; r)
2+^4^72
б) j/"3* —2 = 2]/T+2—2; Д) |/* + 3
в) У~2х+1 + K^=r3= 2j/7; *~~2
1389. Решите систему уравнений:
2— }/"4— л;2
Г х + 3 12
a) f ]/'|-2 ]/i = l б) [5у^^2у+3^+у=13
УЪх + у +V5x — у = 4;
Решите неравенство:
б) ]/3* — 7> 1
367
3 »/*—2у — 4f*+ у=2.
1390. a) V2x — 3<7;

1391*.а)У2х + 10<3х — 5; в) Ухг — 2х — 3 > Зх + 3;
б) J/V —2*—15 < х; О /27+T>2x-5.
1392\а)УТ+~1 — Кх^2< I; б) J/7+3 — У7^2> 1.
Решите уравнение:
1393. a) log2 (х + 14) + loga (x + 2) = 6; б) '"^"^ = 3.
In (5 — х)
1394. а) хвХ+'=Ю1*х+%; б) log3(9 — 2^) = 3-х.
1395. а) 4*+2- 0,5*"= 16"*; б) 4*-2— 10 • 2*~4— б = 0.
1396. Решите систему уравнений:
а) / log,y (х — у) = 1 б) (82г+х = 32 • 24'"1
log.ry (* + У) = 0; ,
3
Решите неравенство:
1397. а) /|)*—». 12.25^> 1; б) (±)-"+21> 16.
1398. а) 4*+' — 42*~1> 15; б) V 9* — Зх+2 > 3х — 9.
1399. a) log2 -i-> log, (5-х); б) log, 5(2-x) > log0-5—?—.
X — 1 ' Я -f- 1
1400. Решите систему уравнений:
a)f^ + y + z = 3 б) х + уг — у + zx = г + xy= 2.
* + 2y—z = 2
i xy + yz + zx = 3;

ОТВЕТЫ
4
6. 4. 7. а) —4; в) — 14. а) —1; 5; б) —1; 4. 15. б) 1 — а\ в) 2 - к.
16. б) УТ— |/"21 17. а) ]—1; 5[; б) ]—оо; —8[U]2; +oo[. 18. б) 0,31%; в) 0,4
и 4,3%. 19. 0,0001%. 20. 8,31 ± 0,01.21. а) 0,04%; б) 0,00001%. 22. а) 4,87;
б) 9,60. 23. а) 0,3; б) 7,0. 24. 4,50. 26. 9,87 и 1,3%. 30. а) ]— 1; 5[;
б) ]_оо; —2[[J]4; +оо[. 31. б) | х — 4|< 2. 32. б) | х — 3| < 1. 33. а) 12; б) 296;
в) 100. 34. а) ]-оо; -2[1)]4; +оо[. 37. (2,3; 1,6). 40. а) 0/49. D (/) = Е (/) =
= [0; +оо[. 51. а) #+ и ]—оо; 4[; б) [—1; 1] . и [3; 4]; в) R и ]—оо; 4].
54. д) ]—оо; —8] (J [8; +оо[; е) — 4 < х < 4. 56. 5 = ^12^1 = Зг2 |/"аГ
4
57. (а — 2х)2 • *, * £ [0; "|[. 58'. а) 1, 4, 0, 3. 59. в) ]—оо; —1] [) [1; +оо[;
г) ]—1; 1[. 77. Например, а< < Ь. 82. Указание. Положите
г-* т
противное. Пусть существует рациональное число —f где (т, п) = 1,
/ т\г
такое, что I — I = 2. Отсюда т2 = 2п2 и, следовательно, т — четное. Пусть
т = 2k. Тогда получится, что п — четное. Противоречие. 83. в) Пусть lg 2 =
т
= — =И0" = 2=> 10*»= 2"- противоречие. 87. в) 2 + 1^3; д) ЗУТ+ 2 ]/"%
е) (]/~5~+ 2) (3 + /7). 89. а)_2; б) 1 + х2, если х > 0; —(1 + *2), если * < 0;
в) 2У7, если л: > У*а\ 2 l/iL, если 0< х <]/^ 90. 2*2+ 2х — 1 = 0. 91. 8,4.
92
92. 2,20. 93. 1,2. 95. — . 97. б) Построить прямоугольный треугольник по
катетам 2 и 1. 98. а) 1,5; 4,5; б) [1; 3]. 102. б) 1. 103. а) [2; +оо[; б) ]0; + ооГ«
104. в) [0; +оо[,г) [0; 1]; е) #+. 105. а) 0;б)]4;9]. 108. ]—1; 0[. 111. а) (2; 1),
113. Например, / (х) = (х—\)т (х — 2)п (х - 'S)P (x—4)4(x—5)s, m, я, р, q, s£W,
118. б) Возрастает на.промежутке ]—оо; 1[, убывает на ]1;+оо[. 126. г) х >—.
8
X2 X2 1
130. Бесконечно малые: б) и г). 132. а) — < — = ——. бесконечно малая
х* + 8 х4 х2
функция при х -*• + оо; г) как произведение двух бесконечно малых функций.
139. а), б), г). 143. б) --; в) 2; д) >А2~ ж) 0; з) ~. 144. а) 12; б) а < 6, а 6 N.
389

146. б)у=2; г) у= 0. 147. б) Например,
2х
-. 148. а) и б). 150.6) 1/2; г)-2.
xV2— 1
154. х >11. 158. в) Например, *=2-10". 161. Имеют в), г) и е). 162. а) 1; б) —1.
165. а) -=\ б) 0; в) 1; г) —1; д) — 166. а) а > 1; б) а < Ь\ в) а = 1006. 167. 3
и 0. 168. б) 3; г) 1. 169. 0,1. 171. Имеют а) и б). 172. Например, I; 1,4; 1,41;
1,414 ... 175. б) s 0,5. 176. ^ - 178. а) ]2,2; 2,б[; б) 0. 180. а) Например,
2,99 <3 < 3,01 и 3,09 < 3,1 < 3,11. 181. б) Например, ]4,09; 4,11[.
185. б) ]—3,1; —2,9[; д) как произведение постоянного числа на бесконечно ма-
3
лую функцию; е) ]—3,05; —2,95[. 188. а) 20; в) 2. 189. а) 0,9. 190. а) —;
4
5 1
б) -; в) 1; г) —1. 191. ——. 202. б) 3 и —3; г) 2 и 4. 209. а) ]—оо; 1[ [)
U]1;3[U]3; +<»[; в) ]-оо; -3[U]-3; 0[U]0; 4[U]4; + оо[. 210. б) ]-оо; 0[U
UJ0; +оо[. 213. 2,3. 214. -; -. 215. б) [-3; 3]; г) ]-оо; 0[U]3; +oo[.
216. е)] —3; 3[11]41; +«>[. 217. а) ]—оо; —4[U]0; 4[; б) [—3; —2][J[2; 3].
218. а) ]-1; 3[; в) ]-оо; —3[UC—I; 2]U]4; +«>[; г) ]-3;-2] U [2; 3[.
219. а) ]-1; 0[; б) [-4; 4]; в) ]—3; +оо[. 220. а) ]-оо; —4[U]5; +oo[;
б) ]-2; 0[ U]2; +оо[; в) ]-оо; -4] U [0; 4]; г) ]0; +оо[. 224. ]5 - ^ * ;
5 + flA,/-777 [• 225- а) ^5'"2; 6,008[ или ]—6,008; —5,992[. 226. а) 2; б) 0; в) —1
юую
или 2; г) — 1 или 1; д) нет. 228. а)
»-2-г>
;. 230. а)
1
J; б) ^ в) 1. 229. а) -0,2; б) ~;
5 6 7
^; б) 2; в) -±; г) 3. 231. а) -; б) у; в) 2; г) -8.
6 3 4 4
232. а) 6; б) 3; в) -; г) 2. 236. в) ]—со; — l[(j]—l; 2[(J]2; +oo[. 237. 0.
4
238. х =2. 239. а) 1; б) —1; 1. 240. б) ]2; 3[; в) ]—2; 0[U]2; + oo[.
241. а) ]2; 4[; в) ]—оо; —4[U]3; 5[. 242. а) ]—оо; —1[ [} ]1; 4] U [5; + ооГ
" ----- - - . - • - -и]3. г
б) [-2; 1[U]3; +оо[. 243. а) ]-4,5; —2[U]3; +оо[; б) ]1; 3
в) ]-oo;;-3[U]-2;0];r)]-l; 1[U]2; 4[; д) ]-5; -2[; е) ]-оо; -4]U
244. а) 0,41; б) —0,99. 245. а) 0,331; б) —19
б) —Л (За2 + За/г + h2). 248.
1
246. a) 4ah + 2h2\
a) 0; 6) [a -5 + — h) h. 252. x—-.
253. a) f — 1 — — h)h\ /г == —1. 261. 6) 3. 262. 6) 0; 2; 8. 263. д) х2 + С, где
С — любое действительное число. 264. а) а— 2, b — любое; г) а = —-
_ 2*
Ь = 2; д) а = 1, Ь = 3. 265. а) 2^3; б) 4/3. 266. а) 4,012; б) 3,988; в) 1,21.
270. а) 2; б) у. 271. а) 1; б) —24. 272. б) у = 0; у = — 2* + —. 279. а) 56;
б) 25,22; г) 24; д) &2. 287. д) *2 — х + 1; е) 9х2 — 2* + 18; ж) З*2. 288. а) 1;
в) 27. 289. 3,5. 290. а) у = —17* + 9. 291. у = — — х + 2. 292. 8; 24.
293. б) б*2— 26* + 31. 294.а)496; б) —3. 295.
296. а) у = 31* — 48; б) —1; 3. 299. в) — 5а*-6; е) —
]-оо;
1_
2xf"x
-3] и [1; +<*>[.
зоо. (|, j).
370

301. у = 1 — x. 302.
в) 2 (л:2— x + 3) (2* — 1); e)
2x
305. 6) -— —; в)
у = 2x — 1
2(1-
и у :
-2x)
x + \
— ]--. 303.
2
б) _9(я-3*)2;
31 V:
1-х2
■* + I)5
(л;2 —4)2
(*a+ * + !)'
?r)
12
(x f 3)2
304. а) у = ^-; б) у = 2л: —i.
-. 306. a) ^ 5,02; 6) ^3,99;
в) ^0,24. 307. —3-^-. 308. 0,1. 309. — —. 310. а) Да; б) нет. 312. a) 0,838;
6) 0,589. 313. в) ]—oo; 0]U[2; +oo[. 314. 6) / < 2; в) />/§".
315. a) 0,144. 316. a) (3; 0); 6) (--2; 3) и (1; 3); в) (0; 0). 317. (1; 1) и (—1; -1).
318. у = ±*_± 319. a) U-jU (1;"~?)' 323' ^ а = 1, 6 - 2,
с = 1; б) а = 3, Ь = 2, с = — 2. 325. б) [—2; 1]. 326. а) (—1; 2); б) у = 2х —
7 1
— —, у = 2х + 2—. 327. а) у = — 2л: + 4, у = 4* + 1; б) у = 4* — 8; у =
= —2л: — 5. 329. б) 1 + 49 . 10~б. 330. а) 0; —1; 1; в) —3; —1; 1; 3.
331. б) 2 (3* + 2) (х2 — 5) + 3 (2х — 1) (л:2 — 5) + 2х (2х — 1) (Зл: + 2).
332. а) х5 — л^ + С, где С — любое число; б) г^7-Т **+ £• 333- б) а == 1,
7 4
.335.6) ]—oo;0[U]>^3;+«>[.
7-/57. 7+ T/"57l
6= 2;е)а=3, &=— 2. 334. б)
336. у = 16л: —16, у =—48х+ 144. 337. в) 3~
338. a
1
"57=; д)"
/* 25^ З^2" (?/Т+1)2'
339. б)
б)
(2-
v4
~хУ V'
340.
8/з_9;2 + 2П
,, , 0 км/ч. 341. а)УР—М2;
2х У № — 6/3 + 21/2 г
//г=гда- 343' (2;-4)* 345- (°»°)- 346- б> <1; и); 347- а> (~2; 51) и
(2; -5-Ц г) (-2; -4) и (2; 4). 348. л:=--^;у=-^-+с;при а > 0 -
\ 3 / 2а 4я
минимум, при a < 0 — максимум. 350. а) 3 и —3; б) 3 и —6; в) 14 и 0; г) 18 и
3
—2; д) 2 и 1; е) — и 0. 351. а) 30 и 30; б) 8 и 8. 352. 5 см. 353. 100 X 50 м.
354. 4 см. 355. 10Х 10X5. 356. \^2v X ^2v X — ]/~2о. 357. 15 УТх 1$У~2см.
367. а) Возрастает в промежутке ]—с»; 0], убывает на [0; +оо[; б) возрастает
всюду; в) возрастает на ]-— оо; 2], убывает на [2; +оо[; д) возрастает на ]—оо; — 1];
[2; +°°[, убывает на [—1; 2]; е) возрастает на ]—оо; —4]; [3; +оо[,
убывает на [—4; 3]. 368. а) Возрастает в ]—оо; —1]; [0; +оо[, убывает на [—1; 0].
х = — 1 — точка максимума, х = 0 — точка минимума; умакс = 0, ушш = — 1;
в) возрастает в [—2; 0]; [2; +оо[, убывает на ]—оо; —2]; [0; 2]; 2 и —2 — ючки
минимума, 0 — точка максимума. 369. а) Убывает на —оо;—— ; — ;+оо|,
1 , J 3J [3
возрастает на
3; 3
--——точка минимума, — — точка максимума; в) воз-
о о
растает на ]—оо; 2[, убывает на]2; +оо[, х—2 — точка разрыва; д) возрастает на
;;+оо
;х = — -—— точка разрыва. 372. а) (4; —15); б) (2; —9).
373. б) —1; 1; —2; 2. 374. г) Всюду возрастает; е) х— 2— точка максимума; з) х~2—
371

точка минимума. 375. б) Убывает на
]_оо; —1]; [1; 4-оо[, возрастает на
[—1;1], х =— 1—точка минимума,
*= 1—точка максимума; в)
возрастает на ]—оо; 0];
2
ЬН
убывает на
, 0—точка максимума, — — точ-
Рис. 230
У*
ка минимума; е) —2 и 2—точки
максимума, 0 —точка минимума. умакс =
= *• Умин = ~~£' Ж) j-1 И 1 —ТОЧКИ
разрыва, — Уз и Уз — корни
функции; х = 0 — точка минимума.
Возрастает на [0; 1[; ]1; +оо[, убывает на
]—°о; —1[; ]— 1; 0]. Если х -»- оо, го
у -> 1;у= 1 —горизонтальная
асимптота. График изображен на
рисунке 230. 376. а) х=0 — точка
максимума, х = 2 — точка минимума; б) у=0,
у = 9* — 27. 377. а). 379. а) 105 и
— 16; б) 169 и 1; в) 153 и —1; г)- и 0.
о
280. VГ0-/ТО. 381. 44. 383. 5Х5^.
4
385. 5X5. 386. 4; 3 /3. 389. а)
Возрастает на ]—оо; —1J; [1; +оо[,
убывает на [—1;0[;]0; 1]; г) возрастает
на [—1; 1], убывает на ]—оо; —1];
[1; +оо[; д) возрастает на ]—оо, —2[;
]—2; 0], убывает на [0; 2[; ]2; +оо[.
392. а) Возрастает на ]—оо; —4];
[2; +оо[, убывает — [—4; 2], х —
= —4 —точка максимума, л: =2—
точка минимума; б) функция
непрерывна на всей числовой прямой; х =
= 0 — точка максимума; если х -*- оо,
то у -»- 0, возрастает на ]—оо; 0],
убывает на [0; 4-°о[; д) —2 и 2 — точки
разрыва. Так как у' >0 всюду, то в
промежутках непрерывности функция
возрастает; если х -> +оо, то у -> 0;
функция нечетная; е) функция четная,
—2 и 2 — точки разрыва, 0 — точка
минимума, у = — 1— горизонтальная
. 2х
асимптота; ж) у =-
7 — нечетная,
х2 — 1
—1 и 1 — точки разрыва, точек
экстремума нет, в промежутках
непрерывности функция убывает (рис. 231);
з) функция четная; —1 и 1—точки
разрыва, возрастает в промежутках
]_оо; —1[; ]—1; 0], убывает на [0; 1[; ]1; + ос[; ^=0—точка максимума; у->1 при
#-*-оо; и)х=1 — точка-разрыва; если *-*оо, то у->0\ х— — 1—точка минимума;
убывает на]—оо; —-1]; ]1; +оо[, возрастает—[—1; 1[; х= 0—корень функции
5 . 2п
(рис. 232). 393. а)—л см; г) л см. 394. а)= 10,6 см, б)~24 см. 395. а) 2 рад; б)— рад.
Рис. 231
0
X
Рис. 232
372

397. б) -—,—-, — . 398. в) — я. 399. а) 30°; б) 120°. 400. а) 45°; б) 108°.
6 3 2 5
410. а) 2я/г; — + 2nft; л + 2л/г; ~я + 2л/г, ft £ Z. 411. а) -^-+ 2яА»;
--^ + 2л/г, ft 6 Z; б) — я + 2л*; — - я + 2л/г, /г £ Z 412. б) -^- +
я 3 я 2я ,
+2л/г, ft£Z; г) Ь2л/г; —я+2л/г, ft6Z.414. а) —+ 2я/г, ft£Z; в)——+2л/г,
4 4 Ь о
2 л
ft 6 Z; д) - + 2л/г, /г g Z. 424. в) 7 и -1; е) 5 и -I; ж) 3 и 2; з) 6 и 4.
425. в) —8; г) 0; д) 0. 426. б) —1. 429. а) 1; б) sin / cos t. 430. б) cos4 t.
431. б) 1, 432. б) 1. 433. в) 3. 442. б) -у + л/г> * 6 Z 443. б) —6; г) 1,5;
1 12 5 12
д) 0. 446. а) 1; б) 1; г) 1; е) 0. 448. г) ——. 449. б) - — — -.
8 8 15 3 4 4 12 5 12
450. в)--; - -: -- 451. б)-; -- --. 452. б) --; - --.
455. б) 52^23' =з 0,9143 рад. 456. =s 11°32\ 457. а) ^ 434 мм; б) 1°50'; в) 25'.
458. а) 1,38 см; б) Г5Г. 459. а) —4; —5; б) 1; —3. 480. б) -^-; в) —-^-.
3 Ь
461. б) —-^-. 462. г) ^-;д) —4-- 463. б) ss — 28°23\ 464. б) —-7"+ 2л/г>
4 6 3 о
5 я 2
— — я + 2nk, к 6 Z или (— l)^1— + я/г, л 6 Z; r) arcsin — + 2л/г,
6 6 3
—arcsin^H- я (2ft + 1), ft 6 Z. 465. б) —, ft 6 Z; г) —9°43' + 72°ft, - 26° 17' +
о 2
я 2л я
+ 72°ft, ft £ Z. 466. а) чь — + 2я/г, ± — + 2я/г, ft 6 Z или ± —+я/г, л 6 Z.
о 3 о
467. б) я/г, — — + 2я/г, — — я + 2я/г, ft £ Z. 468. а) -7-+ 2я/г, — я + 2я*.
6 6 6 6
1 1 я 5 1 5
ft £ Z; б) —-arcsin —+2я/г, Я+arcsin —+2л/г, k£ Z. 469. —, — я, 2— я, 2-я.
3 3 6 6 6 6
470. д)-т-;е)—я. 471. б) ss 118°23'. 473. б) ± ~ + 2nk, ft£Z; в) 0.
6 3 6
я 2л/г 2я 2л/г я ял я
475. б) ±— + —, ± 7+Т' fe6Z или±у +j,«€Z.47e.6)y + яЛ,
я 2 1
±— + 2л/г, ft£Z. 477. б) ± — я + 2лЛ, ± arccos — + 2л/г, ft 6 Z.
3 3 3
1 2 2 12 12 1
478. б) — 1 — я, — —я,—-я, 1-я, 2-я, 3—-я, 4 —я, 5 — я.
33333333
я 5 я
479. б) Все числа, кроме чисел вида \- 2л/г или —я + 2л/г, ft£ Z. 480. в) — -+•
6 6 6
я/j я
+ —-, ft С Z; д) — + я/г, ft 6 Z; е) я/г, ft £ Z. 484. 36°52' =s 0,6434 рад.
485. б) 100 см2; » 131 см2. 486. б)^0,1#2. 493. а) 12л/г; — + 2л/г |
или
2я/г<Ку+2я/г, ft 6 Z. 495. а) (1; 0); (j; Ц-^> (-1; ^J;
373

497. — у +2л& < / <--- + 2я&, /г б Z. 498. —Y+ 2я* < ' < ~ + 2л£, k б Z.
500. а) - -™ -^-; б)-^-; —я. 501. а) ^- ; б) ±уТ^~7Г2. 502. а) 2 и 1; б) 3
4 4 b и 2
и —2. 505. а) }/2; б) 2"|/3~+ 6; в) 1—. 507. —^~
4 tg2 / — 1
я/г . . _ _ . я/г 12
508. б) ctg^ — .
ctg t
А 12. * 4
510. а) * * - /г £ Z; б) / ф -, k б Z. 511. а) ^ 12>
43344 8 15 8 я
7: Г П: ~ Т' " r)-ir "IT -i5-518-»)^T+"*-^B)^
Ф ~ ; *€Z. 514. а)-; б)-у. 515. а) 62-2; б) ±Vb^=4. 517. б) ±у + я/г, * б Z;
д)2я/г,/г6 Z; е)-^-+2я/г,--я + 2я*, /гб Z; ж) -£-+ я/г, keZ;3)nk, —-^+2я/г,
b b 2 2
/г б Z. 518. а) -2; 0; 2; в) -1-; - — у; 1— 2-; г) -2; -/£" —У%
4 4 4 4 4
__ jr 7jr
—1;0; 1;/2; ^3; 2;/б; /б. 519. б) /=^ — — + 2nk, t ф — + 2л*, k б Z.
6 6
520.
а) 2л/г < / < я (2k + 1),
k eZ; б)
+ 2nk < / <
я 1
< — + 2я/г, /г б 2. 521. б) Надо доказать, что а Н > 2. 522. а) 0:
2 а
б) я; г) -~. 523. б) IJ-; в) -5. 524. a) ijl; б) -|; в) -1^1; г) 1 -)C*L
529. б) УзГв) -. 530. а) ——; б) 2. 532. б) я (2k + 1), & б Z\ в) -£- + я*
о cos"51 3
/г б % 540. а) 2 sin /; в) 0. 541. а) 0; в) —. 542. а) 1; б)
2 cos a + sin а
я я/г я 2
544. а) 2я/г, ft б Z\ б) — + —, /г б Z; г) — + 2я/г, — я + 2я/г, k б Z
о 3 3 3
1 я 2 Г я Зя
545. а) 2; б) — —, в) -1. 549. в) —; -я. 550. б) —; -
2 о 3 [44
Г 7 11 ] Г я я
и — '
б)
я 5
~6~
— я; —я . 555. а)
6 6 !
я я
5 1
Г 2я я 1 [я 2я] Г я я Г
:вГ?:-т]и1т;?[56,-а)1т:т1:
3' 3
5
565. б) — — я + 2я/г < х <
6
+ 2лЛ <* < --^ -\-2nk, ft б 2:. 566. б) — — + я/г < л: < — ^r+nkf k£Z;
?T + 2nk, ktZ;r) -J +
6 О
2
'2 I 2 2 2ii 2
-7
Рис. 233
r) + я/г < x < nk, k б Z.
6
567. б)—— + 2я/г < x < -5- + 2я/г,
4 4
X, AeZ;r)jift<^<T+^, &б^-
4
я 2я
568. a) — + я/г < л: < — + nk, k 6 Z;
о и
374

6) 2nk; ~- + 2л/г U Т я + 2л/г; я + 2я/г [, /г 6 г. 574. в) Г = I.
575. а) График (рис. 233). 581. Четные: а), б), е); нечетные: в), д). 585. а) 3;
3 5 тт
6)7; в) 7; г) 63. 589. б) — я + 2л/е < х < —л + 2л/г, к £ Z; в) — — +
4 4 "
и
+ я6<*<у+яй, A gZ. 590. а) 1-3; ~\\jl Ji 3 [5 б) ] 1;-|
"Ля; {я [.595. б) 0,5; в) ^507..)^ б) J. 598. i=^L.
602. a)-sin/; B)VTcosa. 603.6) ]£i±l^_; в) У2~У^, 604.6) IjL;
4 4 2
VT 171 21 140 220 л
г)2-±-. 606. б) —; — —:; —; — 607. б) — + я/г, k £Z. 608. а) tg 15°;
2 221 221 221 221 4
б) cos 10°. 609. а) I; б) —1.612. а) 2 — УН в) — 2 — J/T. 613. —614. б) —.
5 17
17
615. а) — —. 616. —2. 617. а) 1; б) 1. 622. б) 0; в) sin Л 624. а) -1;
б) —ctgMO0. 625. б) —0,3; г) —0,5. 626. б) — ~+ 2я6, — — я+2я/г, fee Z.
24 7
628. б) — —; —. 630. б) При a = я/г, & 6 Z; в) при a = я/г, /г 6 Z.
25 25
т/"о л л
631. а) cos 2a; b)L±. 632. а) L 635. а) h я/г, * 6 Z; б> ± —+ я/г, k ^Z.
2 4 3
636. б) + — + я/г, k £ Z. 637. а) 4 и 2. 640. —125; 3^1Q; — 3. 642. а)—2сояа;
'~ 6 10 * 10
б) sin 2а. 643. a) ctg2 *; б) t^fy —Д r) tg a. 645. б) 3 и —1. 646. б) 4л&,
л (2k +1), /г 6 Z. 652. б) 4 cos (j — 30°) cos \A + 30°). 653., б) 4 sin (— —
\ / / \ а— В а В г— ( (t
— 30° Icos — +30° . 657. а) 4 cos —^ sin — cos —. 658. а) 2/2 cos --sin —+
/ \ Z ) £ £ z. L \ £
+ 45°];6)2)/'2"sin~-sin(--- — 45°Y 659. 6) ^, —, fegZ. 663. 6) — и— j.
л 2лл I
664. 6) (- л/г, /г 6 Z. 665. а) л/г, /г 6 Z; б) —, /г 6 Z. 666. б)—— arctg 2+
и • о Z
л/г л л/г л 3 3
+ ■—,— +"Г» ^ 6Z.667. б) —+2лл, — arcsin Ь2ял, arcsin-- +л(2л+1),
А о Z л 4 т1
л , л я/г
п g Z. 668. б) — — + л&, arctg 1,5 + л/г, fe 6 Z; в) ± — Ч , fc g Z.
4 6 2
669. 38°10'; 5Г50'. 670. 24°28'; 65°32'. 671. а) — — + я/г, fe 6 Z;
о
б) ± — + л/г, /г 6 Z; в)—-—|- лл, arctg 4 + ял, л £ Z. 672. а) -—Ьял,
о 4 4
л
arctg 2,5 + ял, л £ Z; б) -—Ь ял, arctg 4 + ял, л 6 Z. 673. б) я/г, fe £ Z,
4
яЛ л я/г я
674. б) — fegZ. 675w 6) л/г, —+-Г» *^z* 676« a) V + 27l/5'
4 8 4 2
375

— — + 2я/г, k£Z; б) я/г, — + nkt k£Z. 677. — +ш, ± — +
о 4 2 6
+ яя, пе Z. 678. б) Т^ + У^ « 0,998. 679. К3(1-а2)+а 680# а) 1;
6 2
б) 1; в) 1; г) j. 685. б) 2 и -2. 686. б) 0; в) 2ял, - — + 2ял,
л 6 Z. 687. -7 . 688. —. 693. 0, если к = 2я — 1; sin x, если k=2n, n £ Z.
4 4
695. а) 2; б) tg 2/; в) sin 2L 699. ^ и -^. 700. б) ± -^ arctg yT+ ^, k 6 Z
289 ^о9 2 2
1 / 1 \ пп я
или dz jarccosl — — ) + Т» Л ^Z- 70Ь а) 2л» б) я' в) Y' 702-z2sin22/-
— 4г + 4 = 0. 703. б) sin 2а. 704. а) 1; б) 1. 707.
21^2 1
^-±- и — 708. a) 2я/г, k£Z\
о о
б) 2я/г, y + 2л/г, /г £ Z. 709. а) 0,2; б) 0,9. 710. 2 sin/'/ ~ -j-Y 711. a) tg ^—^ X
2/2
cos*
sin / +
я
л . 2V2 sin2 — sin ( — — t
4 I. * _ 2 V 4
; б)
cost
ы t
6) 4 cos t sin — cos —
2 2
Xctg ^t£. 712. a) =
2 cos/
713. a) 4 cos / • cos (45° — —] cos [45° — —
jj£
715. 6) — k Ф An + 2, k, n e Z. 716. 3 + /2 и 3 — У2. 717. а) с ]/2j
я л 21;
б) нет. 718. a) 0; 6)0; в) 0; r) — + я/г, —- +nk, ~ + я/г, /г 6 Z.
— Зя
719. а) 26°36' и 63°24'; б) 70°32', 70°32'и 38°56'; в) /2 < т < 2. 720. б) ± — +
+ 2nk,kiz;r)±^ + nk,kez.m.6) (4* + 1)JI , *-^±i>. *gz.
6 40 20
я я/г я 5я о . т^Д"
722. а) —+ -. U +Jlfe'ii + nfe. fe 6 Z; 6) arctg d± ^ b + я», k 6 Z.
723>a) <2*±!>*+ *+lrt,ft€Zs б) е*±о», (» + ')«, <2fe + 1)",
' 83^ 10' 4 2
1 2 2 lm
fe£Z. 768. a) --; 6) 2. 769. a) -; 6) - 770. a) —; 6) — .
3 3 3 2 n
771. a) -; 6) 4. 772. a) 2; 6) -; r) - 773. a) 0; 6) ?j£l. 776. 6) 2 -
2 2 3 л
— cos л:; в) 2 cos x\ д) cos a; — x sin #. 777. 6) — 1; в) 0. 778. a) arctg
VT
2
л v я 5я 5я 7п cos л;
780. a) 0; б)-— и-—; в) ±- ы± —. 781. б) sin 2л:; в) ^
6 Ь 12 J2 2 у sirur+l
^ , -™ ^ * * . х 2(1 + sin 2л:)
782. б) 1. 783. б) cos — — — sin —; в) —sin 4л:; r) v 0^ -.
2 2 2 cos2 2л;
784. б) IJL; в) 4. 786. a)—, A» £ Z; б) Ь яЛ, k 6 Z. 789. а) Возрастает
в промежутках
я я "1 Г я
— —- + 2я/г; -— + 2я& , k 6 Z; убывает—в промежутках — +2яЛ;
3 3 J l 3
376

5я , л ,
Ь2л/г
о
, к eZ. 790. аН и 1; б) 4 + ^3 и УЪ. 791. а) 2; г) 20л8;
ж) 30^+ 108х2+ 54; и) -4 cos 2х. 792. а) —18 sin (3 + ^Л 793' а) ~ Т cos ~;
3 / я\ 1
б) — — sin 13/ + — 1. 800. а) С; б) у х*+ С; в) Схх + С2; д) Сх sin 3*+
5
+ С2 cos 3/. 801. а) 5 cos 3/; б) —sin 3/; в) 2 sin 3/ + 6 cos 3t. 803. а) — 1;
о
б) УТГ 805. а) 6. 806. а) 10; б) 2. 808. а) ^-^-; б) 2 cos2 л;; в) 2х cos 5x —
cos4 я
—• 5 (л:2 + 1) sin 5х; г) —. 810. б) я/г, ± — + 2л^, ft £ Z. 811. а)
2 cos2 —
2
6'
2я
-™ + 2я/г;
2я
+ 2л/г
б) arcctg У2. 812. а) Возрастает в промежутках
к £ Z; б) возрастает в области определения. 813. а) умин = у (0) = 1, уШКС =
Умин = У (у) = *' Уыакс = У (т-) ^ 1Д
При
-H'f) - 7; б)
814. а) —— sin 8л:; б) ?JpL sin * sin [~ + — J. 815. ^ 17°28\ 816. a)
(a-сПЬ-сУ б) * = Vla ~ C) {b ~ C)- Ш- J" ^ i
a > с ф = arctg
x+
X
1 n
= ~- при x = —. 839. a) 2 и 1; 6) 2 и —1. 820. a) 2 cos 2x\ 6) cos a: —sin x.
2, о
821. a) 10; 6) 10. 822. в) 2/г, ft 6 Z. 832. 6) cos 2x + C. 833. 6) sin 2x + C.
3
834. a) — x2 - 6; 6) x2 + 3. 835. a) 2x - jc8 + 4; 6) 3* - x2 + 5.
7 1
1 4 Г Г '
837. д) — —: + С; з) — х + С; и) 4х + С. 838. a) f - Ы + 10; б) г3— 2/ +
2л:2 7
5
+ 50. 840. а) х2 + С; в) - *7 + С. 841. а) --| / + С; г) 4^Т+ С.
7 о
3
842. б) — — sin 2х+С', в) 3 cos х+С. 843. б) —10 tg х + С; г) — 5ctg*+C.
844. б) С + 2х — — jc3 — jc4 + Зхб. 845. а) — х* — 8ж + С. 846. а) — х +
О 4 О
4
3 з" 9 з 4
+ 2~ * + С; В) 2~ ^ + ХГ^ + С' 84?' б) Sin Х + 3 C0S * + С; Г) 3 Sin X ~~
— ctg х + С. 848. б) — — cos За: + С; г) 2 sin — + 2 cos -£■ + С.
849. б) — sin 2л: + С; е) — —- cos Зх + С. 850. б) х + — sin 2л; + С.
2 о 2
377

2 1
851. а) —г* — 2л;2 + Ъх + С. 853. б) 48 g м. 855. б) 4. 856. в) —. 857. б) 2;
3 «3
45
в) —. 858. б) —1,5. 859. а) 3; б) 38. 86J. 37,5 м. 862. 625. 863. б) 5; в) 2; г) 1;
4 __
д) 1; ж) 1,5; з) |; и) ~; к) ^р л) 1; м) Ц^-. 868. а) 2; б) 2.
871. а) 3,5; б) 5,5. 872. а) 2; б) ~ в> 4; г) у; е) У% ж) -. 874. у.
2 1/Т
875. б) —. 879. а) — cos х + 2; б) —sin л: + 1; в) sin 2* + IJL;
л 2
5 А^ 3
2 Т 4V я ш /"~9~ 2 г"
г) tg*+2. 881. а)~х -х + С, х > 0; г) ^=- 2* |/ |- + ^* +С.
882. a) s (0 = — t2 + 2t + 2,5; б) — — t2 + 4t + 88. 883. а) —2 cos 2/ + 5.
6 4
2
884. —sin :
u
;3f + —. 887. 6) 2(x+ — sin4x)+i¥^ — ^.888.a)F2--Fr=b.
3 \ 4 / 4 6 __ __
890. a) —12; 6) 0. 891. a) 3; 6) —20. 892. а) 2я "^n3^3 ; 6) n + 2V2
893.a)i^;6)l^±.894.a)I;6)l^li;B)i
2 2 2 16
8 2
>. 12 c, 432 м. 898. a) 9;
6) 1,5; в) 10^-; г)6|/'3-2я, д) £±J m a) a < p; б) а < p. 9I2. e)[-l; 1].
и «3 2.
914. 12,9 т. 915. ~~. 920. 6) ]—oo; 0[; r) ]—oo; 2[. 924. 6) 21; в) УТ\ r) —.
4 1
926. в) —2; г) —1. 931. а) —; в) — —. 932. а) 0,699. 935. в) ж 0,1435;
3 6
7 Г
г) ^ 2,96. 937. а) 3; б) 4; в) 2; г) 3. 958. а) ]—oo; — j
; б) ]-1; +оо[;
в) ]—оо; 8,5]; д) [—2; 2]. 939. б) —1; в) 1; —2; г) —4; 4. 940. а) —8; б) 24;
в) 0; 20; г) —3. 941. а) 4; б) 1; в) 2; г) 4. 942. б) ]—оо; —2] U [3; +оо[.
943. а) ]—оо; — 1[(J]3; +оо[; б) х Ф 1,5. 944. а) [5; +оо[; б) ]—оо; 2[.
945. а) ]-оо; 2]; б) ]—3; +оо[; в) ]0; Г[. 946. а) ]—оо; —5] U [1;+о°Г;
.1
948. 0,3. 949. 0,1. 953. а) ]8; +оо[; б) "
Г г- 1
б) —; 5—
;[2' 2
б) ]3; 4]. 955. а) ]-оо; 0] U [2; +оо[; б) [-3; -2[Q
б) 1о;
—;+оо
2'
. 954. а)
-;5
]-2; -1]. 956. а) ]0; 1
11]1; + «>[. 957. б) Три. 958. а) Нет; б) да; в) нет. 961. б) 1 —.
9
9 2
962. а) 50; б) -7=. 963. а) 13; б) 0. 964. а) 37; б) —1. 965. а) 3—; б) 2; 3.
у Ь о
1 1 з —
966. а) 8; -; б) —; /9; в) 10; 100; г) 10. 967. а) 0,01; 10; б) 100; 0,01;
в) 10; 0,01; г) 3; -. 968. а) ]1; +оо[; б) ]0,5; 2,5[; в)
■; 1
; г) ]6; +оо[.
969. а) ]4; +оо[; б)
б) [2;
2-; 4
970. а) ]2; 5[; б) ]3; +оо[. 971. а) ]3; 4,5[;
+ со£. 972. а) ]4; 6[; б) ]|; ~[. 973. ]|; |j U ]|; з[.
378

974. a) ]0; 1[U]10; +oo[; 6) ]0,001; 1[U]100; +oo[. 977. a) 2 и -; б) 2 и -;
x 4-1 x —
в) 8 и 6; г) 2 и —2. 978. а)-~-; б) -; в) — Ух, х > 0. 979. б) 0,5.
2 х— 1
п п п 2л а+ 6
980. г) —; —;; — —; —. 987. а) ; б) 2а+Ь. 988. 48. 989. а) 1; б) 6; в) 1.
3 ' 3
1-я
990. а) «0,226; б) 5. 991. а) ]-4; 2[ U]7; +*>[; б) ]—3; 4[ U]5; +оо[; в) ]—со; -[.
J 3 ['
г) I—; +оо|. 992. а) 0,029 с; б) 0,016 с. 993. а) 1; б) 2; 4. 994. а) 3; б) 2.
995. а) (12; 5); б) (2; 1). 996. а) (106; 0,1); б) (10; 1000); (1000; 10). 997. а) 64;
б) 27; в) 2; г) 4; -3-3-. 999. а) ^- + 2л/г, /г £ Z; б) ± ^- + 2л/г, /г £ Z.
-/2 2 3
1004. б) 4,6052. 1005. а) —е~*\ в) 3* In 3; г) ех (1 + *); е) * L.
х2
1008. а) у = ег, б) у ~ 2ех + е. Ю09. б) Убывает при х ^ —1; в) возрастает в
промежутке £0; 2], убывает на ]—оо; 0]; [2; +оо[. 1010. а) х — 0 — точка
минимума; б) х = — 1 —точка минимума. 1011. в) е2-*" + С; г) е~зх + С
1012. а)*—1; б) g — —; в) ^—-*; г) 2 (^_Г '). 1014. а) —;б)^—~;
е2 2 j/e In I е
в) 2in2 + --+2- I015- a)2;6) *• 1016- 6) "t~t; b) In^; r) — cos * ~
£ x In 2 x
— In * sin x\ jx)x\nex2. 1017. 6) 2 (2<?-2л' + 1). 1018. а) у - * - 1; б) у =
= ~7=^ — -—. 1019. а) Возрастает в промежутке 4-j +00 ; убывает в 0; —
ye 2 \4 \ \ е
1
б) возрастает на ]0; +оо[. 1020. а) х —— — точка минимума; б) е—точка мак-
е
спм>ма; в) х = 1 — точка минимума. 1021. a) In * + С; в) ех — 3 In л: + С.
1022. а) 1; б) 4 + In 3. 1023. а) 1; б) In 3. 1026. б) Се10х; т) Се~2х.
1027. 7^-°. 1028. S-25-35 . 1029. б) у' = (—2 In 3) у. 1031. а) 2; б)е2+ 4—
Т*.
•в (sin 3# 9 cos x)
— In 4. 1032. б) ел(4 cos 4л: + sin 4л); г) — '-. 1033. 0 и 4 — точ-
3 sin2 Зх
ки максимума, 1 — точка минимума. Возрастает в промежутках ]—оо; 0]; [1; 4],
3_
убывает на [0; J]; [4; +оо[. 1034. а) у = 2е2 ; б) у= 2е. 1035. б) у =
= х In 3,5 + 1 ж 1,25* + 1. 1036. a) =s 2,1 с. 1037. в)
1
21пх(21п2х + 3)
г) -
х \п2х '
1039. а) 2; в) 1. 1041. а) 3; б) е2; е*\ в) —3,5; г) 2.
1043. у = -—+ 1
In 4
1
In 2
1044. а) е-1 — точка минимума; б) Уе —
точка минимума; в) 1—точка минимума, е—точка максимума. 1045. а) (2; 2—In 2).
1 14
1046. б) — 1п*+ 1. 1048. а) 1п4+"г; б) «95,00. 1049. а) 1,5 — 1п 4 в
z о
«0,11; в) In 2; г) 1. 1065. а) 27; б) —1; 1; -2; 2. 1066. а) — ~; ~;
о 2
379

б) --; ~- ,067- а) 2; б)
2 5
8 я 3
—; 8. 1088. в) J- 2л/г, — arcsin — + 2л/г,
9 2 4
л + arcsin —+ 2л/г, k 6 Z; r) — |- л/г, arctg 1,5 + л/г, /г £ Z. 1069. 6) —+
4 4 4
5 5 -_
+ nk, arctg —+ nk, k e Z. 1070. a) —1; 1; 6) 2. 1071. a) 10; 0,01; 6) 5; /5.
1 1 31 3Tfe ТГ
1072. a) -; 9; 6) 10; 0,1. 1075. a) —1; 1; 2; 6) -. 1077. 6) — + — — +
3'''' ' 2 6^3' 18
, 2nk 5 2л/г я
+ —, — л + —-, k 6 Z. 1078. б) 4ля, л (2л + 1), n £ Z. 1079. 6) — —+
3 18 3 4
+ nk,y-+ 2nk, - ~ + 2л/г, /г 6 Z. 1081. 6) 1; 3. 1082. a) 1; 2; 6) 3; —2,5.
1083. 6) 0. 1084. 6) ]—oo; 2[(J]2; +oo[. 1085. 6) 4; в) log2 3. 1091. a) 1-
7 — _
—0,4; 6) 0. 1092. a) 20; 6) 1; 5. 1093. б) 3-; в) —Кб; /б; —/ПТ/ТП
г) —1;5. 1095. в) Нет; г) да. 1096. б) Нет; в) нет. 1099. б)
ИГ 1
1100. б) ]3; 4[. 1101. а) ]1,5; 5[; б)
U 4; +оо
-°°;5[U]8;+oo[.
. 1102. б) ]-1;3[;
в) ]-оо; 2[U]2; +оо[; г) 3; е) 0. 1103. а) ]-3; 1 [U]4; +оо[; б) ]-3; -2] U
U [2; 3[. 1104. а) |-оо; -1 [y]j; if; б)] -оо; |1 П05. б) ]-оо; 1] U
3 4 5 6 1
U [2; +оо[. 1108. —, —, у: —. 1107. а) т<—1;—j<m<0; m > 0.
б)
7
1112. а)
; 4LU34; 5
. 1108. б) ]0; 1]. 1109. а) ]-оо; -5 ]U[1; +oo[; б) [-6; 0].
— Ь л/г; Ь л/г
3 3
U32.5; +оо[; в)
1118. б) ]2;5[; в)
3
k£Z. 1115. а)
. 1116. б)
— —; -4-оо
3
I -
4' 5
б) -°°;
и
117. б) ]3,5; 4[,
1
1119. б) ]2; +оо[. 1120. а) ]2; 2,5[; б) ]—2;
1121. а)
л л/г
Т + *2~
Г , л , п , л , 1 Гл Зя
- — + 2л/г; — +ш j U I —+2л/г; ^-г-2Я/г
3 3
,/e6Z;6)
, fc£Z. 1122. а) — +
л л
— — + л/г; — + л/г
4 4
[т
,/г 6Z. 1123. а) [3; 28[; б) ]3; +оо[;
в) -]-оо; 3];_ г) [5; 9]. 1124. а) ]-оо; -1 [U]2; +оо[; б) ]5 - /34; 0]U
и[10;5+|/*34[;в)[0;4];г)3. 1125. а) ]-4; —2[; б)]—оо; -8[U]1; + «>[; в) ]2;
+оо[;г) [0; 1]. 1126. а) 0; б) ]5; +оо[; в) [—2; 2[; г) [3; 12].
1127. а) [50; +оо[; б) ]2; +оо[. 1129. б) Да. ИЗО. а) Нет; б) да. 1131. а) Нет;
б) да. 1132. а) Да; б) да. 1136. а) Да; б) да; в) нет; г) нет. 1139. 48 км/ч и 36 км/ч.
1140. 5 км/ч. 1141. 5%. 1142. 4 кг и 6 кг. 1113. а)
62-/129. 62 +/129
; б) 5; 6;
5 J 5 _
в) —4; 9. 1144. б) 0; в) 1; 3. 1148. а) —1; 4; 1 + У о; 1 — /5; б) —2; 2;
1 1 л
—4; 4; в) —2; 4; г) 8. 1147. а) 0; -; б) 3; в) 0; г) -. 1148. а) — + л/г,
4 2 4
л 1
k б Z; б) ——+ ilk, ± arctg-7= + л/г, k £ Z. 1150. а) 4; б) при а= 0 и
4 у 2
а = —1 нет решений, при всех остальных значениях а есть решения. 1151. б) 10.
380

1152. a) 6; б) 1; 5. 1153. a) -3; 3; б) 11. 1154. a) ~~;4; 6) 8. 1155. б) -5;5.
lo
1156. a) 2. 1157. а) л/г, k £ Z; 6) ^- + я/г, k £ Z. 1158. a) 2; 6) 0,99.
4
1159. a)
43|; 50
. 1160. a) [-6; -3[UJ4; 6]; 6) ]2; 3[U]3; Б].
еслиО < a < 1. 1164. a)
1161. a) ]-oo; —3[U]—2; —1 С U 31; + «>[; 6) ]-oo; —4[U]—3; —2,5[U
U3-2; —1 CU30; +oo[. 1162. a) ]0; 1 [U]10; +oo[; 6) ]0; 10-3[U]U 100[.
1163. a) ]0; l[U]/3;9[; б) ]a~8; 1 [U]a2; +oo[, если а > 1; ]1; а"8 СU30; а2[
1л/г я л/гГ Г 1
J7;"8~ + l[' heZ; б) *' П65' [V 2
П67.а)0; -1; —2;б)—1;0; 1;2;3. 1169.]з; б— [ U ]6—; 66 Г- 1170. а) 2; б) 2; 3.
1176. а) (1; 4), (4; 1); б) (2; 1), (|; |j; в) (-4; |); ^2; - |); г) (10; 2);
(-2; -10). 1177. а) (-4; -5), (5; 4); б) (6; -2); (2; 0). 1178. а) (-1; 2),
(2; -1); б) (-1; 2), (-1; -1), (2; -1). 1179. а) (-3; -1), (3; 1); б) (2; 1), (1; 2).
1182. 21. 1184. а)
5Г
-оо; —
4
|;б)
— —; О
6
U
4
—; + оо
3
•П85- а> Ъ г4)
б) (4; 2). 11S6. а) (10; 0,01); б) (9; 7). 1187. а) хх =-£-+2яЛ, У1 = 4" +
2 6
+ 2я/г, *2 = — — + 2д/е, у2 = — -£- + 2д/е, k£Z\ в) ^=я (n+/f) + Т", Уг =
о 2 о
= п (k — n) + —, *а = я (л + fc) _ —, у2 == я (fe -- л) —■—, fc, я £ Z.
1188. а) (—3; 2; -1); б) (1; 2; 3). 1189. а) (—3; 2; —1), (3;—2; 1);
б) (2; -1; 3), (-3; 4; -2); в) (4; 2; 5), (5; 3; 4). 1196. в) у + х2 < 1, у + х >
> 0; г) л2 + У2 < 4, у + г* > 1. 1201. а) (1; 3), (3; 1); 6) (—1; -4),_(-4; —1),
(5; —1),_(—1; 5). 1202. а) (4; 2), (2; 0); б) (-2 - |/"5; 8 + /б),
(—2+ ]/"5; 8 — /5). 1203. а) (9; 4); б) (4; 4). 1204. а) (3; 3); б) (6; 2); в) (1; 2).
1205. (0; у), (у« ^)- 1206« а) "• 1207. а) 40 км/ч и 50_км/ч; б) 36 км/ч и 24 км/ч.
1208. а) 14 Н и 48 Н; б) 80 Н и 39 Н. 1209. а) (2; 5; 1), (—3—; —-; -4— \
\ о 3 3 /
CLC
б) (2; 4; 6), (-2; -4; -6). 1210. а) дн., —•
с — а ао —
/36 18 37\
б) (3; 4; 6), (у; у; у). 1211. (1; 1; -1). 1212. а)Множес
ab
дн., т дн.;
Ь — а
гво точек, лежащих
234
115'
на сторонах квадрата с вершинами (0; 1), (0; —1), (1; 0), (—1; 0). 1243. б)
а2__ Юд-4-4
1244. а) ~— —; б) а2 — 2а + 4. 1245. а) 10; 0,1; б) 1. 1246. 60 км/ч.
* (я — 1)
1247. 20 км/ч. 1248. 30 дн., 20 дн. 1249. ~~ тп + V4smn + А"2"2
2п
км/ч и
"w + VAs"m + "'^ ч. 1250. а) 3 + /ТО; -1; 6) 3; в) 4r>-4*+sin*2a=0.
2т
1251. ^3800 см2. 1252. 38 вагонов. 1254. 4,18 и 2,25. 1255. б) 1,98...; 0,43....
1256. а) |А| < 0,0043, со < 0,0031; б) |Д|<1@-6, со<3.10~и. 1257. а) 32; б) ^.
16
381

1258.
a) -7J^_; б)
1
. 125ft. a> -,
1 — a 2
l 4
если а > 0; , если а < 0; б) f b. 1260. b, если
1
b > 1, и — если 0<b<\. 1261. a — b.
1262. 2/27. 1263. 1. 1264. a) 66,155; 6) ^0,2046.
1265. a) 92; 6) 38,166. 1266. 1900. 1267. 6 с 1268. 96,
48, 24 1269. 1, 3, 9, 27, ... и 1, —3, 9,
-27, ... . 1272. a) (1; -1); б) (8; 4). 1273. б)]-оо; Ю[. 1274. (0; -3), (2; 1), (-6; 9).
1
1275.
-8-/71; 0[U]-8+K7l;
1
1276. а) 0; б) у, в) 2; г) 1.
1
1
;б)]-4; 4 [UK; 5]. 1297. а)]5; 6[U
1278. а) 1; б) --. 1279. а) 1; б) —1. 1280. а) 2; б) —. 1281. а) а\ б) —.
£ 4 6
b2 — a2 111
1282. а) ——; б)а+Ь. 1206. а) —; 2
U К; +*>[; 6} ]—оо; -4 [у]—4; -2[U]4; 6[U]6;+oo[. 1298. а)я/г<*<
<— +л/г, HZ; б) 2я/г, к 6 Z. 1299. а) [—1; +оо[; б) ]—оо; 6].
1300. а) [—5; 5]; б) [—13; 13]. 1301. a) U-; l]. 1302. а) 1,5; б) —1,5.
1305. а) Четная; б) нечетная. 1306. а) Нечетная. 1307. а) 6я; в) я; г) 2я.
i I
1311. а) х2 + 1; б) 5*+3— 1. 1312. а) — х3 + 2,5; б) 3 +Т/*— 1. 1316. а) —2;
б) 1. 1320. б) Убывает в промежутках ]—оо; —2[; ] —2; +°°[i B) убывает на
]_«,; —1[; ]—1; -+-оо[. 1322.61,6. 1327. а) (—1; —3) и (2; 6); б) у = —*+2,
22
у = —х + —. 1330. б) Убывает в промежутках ]—оо; 1 [; ]1; +оо[, у — 2 —
горизонтальная асимптота; х = 1 — точка разрыва. 1331. а) х = 0 — точка
максимума, х = 4 — точка минимума; б) л: = 2 — точка минимума, х —
= —2 — точка максимума. 1332. а) 1 и —1—точки разрыва; функция нечетная,
убывает в области определения, точек экстремума нет; б) функция четная, т. е.
график симметричен относительно оси Оу, у= 1—горизонтальная асимптота, дс=0—
точка максимума, —2 и 2—точки разрыва; возрастает в промежутках ]—оо; —2[;
]—2; 0], убывает на [0; 2[; ]2; +оо[, 1333. б) —1 и 2—точки разрыва, х=— — точка
максимума. 1334.а) Функция возрастающая на всей числовой прямой. 1335.а) х= 1 —
точка минимума; убывает в промежутке ]0; 1] и возрастает в [1; +оо[;в) х = 0 —
точка минимума; х = —1 — точка разрыва; убывает в промежутках ]—оо; —1[;
]—1; 0]. возрастает на[0; +оо[; у= 0 — горизонтальная асимптота при л; ->—оо.
1337. (о; 0). 1338. 20 /Гсм. 1339. 10 см и 12 см. 1340. а) -=Ц; б) г= "l/.., 2s л
я-h 4 г я+ 4
1341
Уаакс == ^J Sln"a ПРИ * ;
+ 4
°0 2
- sin 2a. 1342. 120°. 1343. Куб с ребром гт=.
2g УЗ
-/?. 1347. Я=4. 1348.LJL.
О Z
1349. Указание. Пусть ADB — путь курьера (рис. 234). Обозначьте \CD\ =
= х. Выразите | BD\ и | AD\ через а: и найдите время курьера, затраченное им на
13
весь путь ADB. 1350. -— ч. 1351. Указание. Если х — расстояние от точ-
140
1344. 16/3 дм3. 1345. Н = 2R = 2 l/|-. К
382

Исследуйте эту функцию.
4k 8/г
ки А до точки X, то 1Х = — + _ .
4я 1 1
1353. Я = г. 1355. -7= рад. 1360.— sin 4* — 1—. 1363. а) 2; б) 1. 1364. а) 2 и
У 6 4 8
—2; б) 2 и —2. 1365. а) 12—; б) 5/12; в) lOL; г) I—. 1366. 998,9; 59,8.
336 527 336 3 1
1367. a) cos а; б) 2 cos а. 1368. а) —. —, -; б) yj? -yw ~*'
1369. б) tg3a- tga. 1370. а) 1; б) sin2 2a. 1371. а) tga; б) 2 ctg a.
1372. а) tg 5a; 6) tg fa + у Y 1373. a) sin2 0; 6) sin2 (a + 0). 1378. а) яА»,
я я я 2тсп я я
— (2ft + 1), k £Z; в) у (4а-I),—(4п+ 1), —, n6Z; в)ял±у, пп ± —,
п £Z. 1379. а)у(4я + 1), у (12/г—I), ngZ; б) ~(4п - 1), — (4л+1), 2лл,
Я тг 9тт
д е Z; в) яп + (-1)"-Г' п е Z Ш1' а> * = (~1)Лт-+ яй, Л = ± -+
0 6 3
+ 2лл, х2= (—1)*+1—+ я/г, у8 = ± —+ 2лл, п, к 6 Z; б) * = я/г, fee Z;
я 24 7
у = ± — + 2яп, п е Z. 1384. в)~ г) -. 1385. б) [-3; 6[U]6; 7[;
в) ]-8; —1[; г) ]-оо; —1 СUЛ; 2[U]3; + oo[. 1386. а) [1; 2].
1387. а) ]—оо; —1 [(J]0; +оо[; б) ]~оо; 1] (J [1,5; +оо[; в) ]—оо; —4] U
59
U [1; +°°[; г) ]~оо; —5 [UD—1; +оо[. 1388. а) 7; б) 34; 2; в) 4; д) у.
40 7s
1389. а) (1; 4); б) I— - -1. 1391. а) ]3; +оо[. б) [5; +оо[; в) 0.
1392. а) [3; +оо[; б) [2; 6]. 1393. а]_ 2; б) 2;__3. 1394. а) 10; 10"2; б) 0; 3.
1395. а) 4; -2; б) 4. 1396. а) (~ ' + ^1; 3_Z^); б) (1; 1). 1397. a)]--oo;4f
б) ]—оо; —6] U [2; +оо[. 1398. а) ]1о?4 6; log4 10[; б) ]2; +оо[.
1399. а) ]1; 2[UJ4;5[; б) ]-1; 0 [U]I; 2[. 1400. а) (1; 1; 1); б) (I; 1; 1),
( *'t 2; «4).

ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
cos2/
, . sin / , . cos t
tg/ = —,, ctg* = —-,
cos / sin t
sin2/ + cos2/ = 1, 1+tg2/
sin 2/ = 2 sin / cos /,
cos 2/ = cos2/ — sin2/,
tg2/ = -^_,
1-tg*/'
1 +cos 2^ = 2 cos2/, 1 — cos 2t = 2 sin21,
sin (s ± 0 = sin s cos £ ± cos s sin /,
cos (s ± 0 = cos s cos t =F sin s sin /,
tg(s±0= tgsttg/
6V 1 T tgstg/f
sins -4- sin / = 2 sin s~^— cos ^-,
sin s — sin / = 2 sin - cos ^—.
cos s + cos / = 2 cos ^-i— cos- ,
d n . s 4- / . s— /
cos s — cos / = — 2 sin —— sin
sin s cos t = — (sin (s — /) + sin (s + /)),
cos s cos / = — (cos (s — 0 + cos (s + /)),
sin s sin / = — (cos (s — /) — cos (s + /)).
384