/
Author: Совертков П.И.
Tags: математика учебные пособия и учебники по математике задачи по математике естественные науки элементарная математика
ISBN: 978-5-507-47671-8
Year: 2024
Text
П. И. СОВЕРТКОВ
СПРАВОЧНИК
ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
МАТЕМАТИКЕ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Издание второе, стереотипное
САНКТПЕТЕРБУРГ•МОСКВА•КРАСНОДАР
2024
УДК 51
ББК 22.1я723
С 56
Совертков П. И. Справочник по элементарной математике :
учебное пособие для СПО / П. И. Совертков. — 2е изд., стер. —
СанктПетербург : Лань, 2024. — 404 с. : ил. — Текст : непосред
ственный.
ISBN 978 5 507 47671 8
В пособии систематизированы формулы по элементарной математике и
рассмотрены методы решения нестандартных задач. Представлены также
различные разделы элементарной математики (кратчайшие линии на кубе,
математический паркет, математический бильярд, моделирование шарнирных
механизмов и др.), не изучаемые в школьном курсе математики, что позволяет
использовать справочник для профильных и элективных курсов, при выполнении
исследовательских работ интегративного содержания по математике и инфор
матике.
Соответствует современным требованиям Федерального государственного
образовательного стандарта среднего профессионального образования и про
фессиональным квалификационным требованиям.
Справочник предназначен для студентов ссузов, обучающихся по направ
лениям подготовки, входящих в УГС: «Математика и механика», «Компьютерные
и информационные науки», «Физика и астрономия», «Информатика и
вычислительная техника», «Физикотехнические науки и технологии», и других
направлений и специальностей в области естественных и математических наук,
техники и технологии. Пособие также будет полезно для старшеклассников,
готовящихся к сдаче ЕГЭ по математике, изучающих профильные и элективные
курсы, участвующих в олимпиадах или в разработке научноисследовательских
проектов по математике и информатике, а также для учителей математики.
УДК 51
ББК 22.1я723
Рецензенты:
Е. М. ВЕЧТОМОВ — доктор физикоматематических наук, профессор,
зав. кафедрой фундаментальной и компьютерной математики Вятского
государственного университета, заслуженный работник высшей школы РФ;
С. Ф. КОЖУХОВ — доктор физикоматематических наук, профессор,
зав. кафедрой высшей математики Сургутского государственного университета.
Обложка
П. И. ПОЛЯКОВА
© Издательство «Лань», 2024
© П. И. Совертков, 2024
© Издательство «Лань»,
художественное оформление, 2024
Оглавление
Прсдис;ювис ....... .
. ......... 5
Г.1ава 1. Э.1с:\fснтарная 111атс111атика к ЕГЭ и олимпиаде ............................... 7
1.1 Таб;нща квадратои чисе;1. Оснош1ые неравенсша .................................. 7
1.2. Делимость чисел и нростые числа ........................................................... 9
1.3. Формулы сокрашешюго умножения и комбинаторика ....................... 12
1.4. Множесша, нринцин Дирихле и ММИ ................................................. 13
1.5. llро1·рессии .............................................................................................. 14
1.6. Квадратный трехч:1ен ............................................................................. 15
1.7. Многочлены, уравнения и неравенства ................................................ 16
1.8. llокюательная и ;югарифмическая функuии ........................................ 18
1.9. Свойства и графики функuий ................................................................ 19
1.1О. уг;1ы и прямые на IUOCKOCTИ ............................................................... 27
1.11. Треуго;1ьник, паралле;югра:нм и трапеция ......................................... 28
1.12. :За\lеч,rгелы1ые ·�очки треупшышка .................................................... 32
1.13. Окружrюсп, ........................................................................................... 35
1.14. Мноп1у1·олышки и окружност1, ........................................................... 39
1.15. 1 lряыые и 11:юскости в 11рос-rра11стве ................................................... 42
1.16. 1 lлонщ;ш и 061,емы ............................................................................... 50
1.17. В1шса1111ые и 01шсшшые сферы ........................................................... 55
1.1R. Пск01орыс тсорс:.Iы и фор:.1у.. Iы 11.. ш11имстрии ................................... 56
1.19. Л1ш.1шти•1сская I сомстрия .................................................................... 64
1.20. Трш 0I10:.IсIрия ...................................................................................... 67
1.21. Пртгшод11ая и и1псIра:1 ....................................................................... 72
1.22. Тсорш11.1сроя1110с1сй ............................................................................. 74
1.23. Форму.111,1 1{ тексто111,1м ·3а;щчшv1 ............................................................ 75
1 ·,шва 2. Типовые 'Jада•ш д;1я 1юд10·1 овки к l•T:) и о. шмпш1;1с.................... 78
2.1. За,lачи с 11а1жме·11ю�1 ............................................................................... 7R
2.2. П.1юскосп, <шереме1111ю1 11араме 11щ .................................................... 93
2.3. С11м,1етрш1 11 -за;щчах с 11арю1етром....................................................... 97
2"1. Монотонность функпии ....................................................................... 102
2.5. Метол опенки в уравнении................................................................... 107
2.6. Сократи,юсть л:робей ........................................................................... 11О
2.7. Rыттисление ве:пrттин утлов .................................................................. 112
2.R. Номер го;�а в олшшиал:нmf ·ш,�щнии ................................................... 1 1 R
2.9. Миними1апия геометрических ве:тичин ............................................. 122
2.1О. Расстояние межл:у скрещивающимися прямы:--fи ............................. 133
2.11. Текстовые :iал:ачи ................................................................................ 137
3
Глава 3. Моделирование линий ....................................................................... 141
3.1. Векторы и замечательные точки.......................................................... 141
3.2. Полярная система координат ............................................................... 145
3.3. Линии второго порядка ........................................................................ 147
3.4. Моделирование замечательных линий ............................................... 159
3.5. Огибающие линии и эквидистанты ..................................................... 172
3.6. Геометрия шарнирных механизмов .................................................... 178
3.7. Пучки окружностей. Окружность Аполлония ................................... 187
3.8. Геометрические места точек ................................................................ 199
3.9. Золотое отношение ............................................................................... 203
Глава 4. Преобразования, паркеты и бильярд.............................................. 210
4.1. Простое и сложное отношения. Поляра .............................................. 210
4.2. Преобразования плоскости и пространства ........................................ 223
4.3. Математический паркет ....................................................................... 251
4.4. Математический бильярд ..................................................................... 264
4.5. Геометрические модели ....................................................................... 280
Глава 5. Многогранники и неевклидовы геометрии ................................... 291
5.1. Выпуклые фигуры ................................................................................. 291
5.2. Многогранный угол и многогранники ................................................ 294
5.3. Геометрия сферы ................................................................................... 314
5.4. Метрическое пространство .................................................................. 325
5.5. Аксиоматика геометрии. Геометрия Лобачевского ........................... 341
Глава 6. Геометрия чисел ................................................................................. 358
6.1. Пифагоровы и героновы треугольники............................................... 358
6.2. Числа Фибоначчи .................................................................................. 361
6.3. Многоугольные числа и касание окружностей .................................. 364
6.4. Комплексные числа .............................................................................. 370
6.5. Сравнения по модулю m ....................................................................... 375
6.6. Геометрия масс...................................................................................... 377
6.7. Математическая смесь .......................................................................... 380
Обозначения ....................................................................................................... 398
Литература .......................................................................................................... 400
4
Предисловие
В справочнике значительная часть информации пояснена графически с
помощью рисунков. Например, наглядно представленная графическая информация о свойствах ортоцентрического треугольника значительно сокращает
время поиска информации и позволяет сохранить ее соответствующим образом. В пособии около 800 рисунков. Некоторые из них построены с помощью
компьютерного моделирования, поэтому правильно отражают соотношение
различных элементов и благодаря этому они надолго сохраняются в памяти.
Например, рисунки математического бильярда и математического паркета
представлены в большом количестве и впервые в справочнике по элементарной математике.
В задачах школьного курса геометрии предлагается доказать некоторые
свойства и формулы. В зависимости от уровня преподавания математики в
конкретной школе эти задачи не всегда решаются, а поэтому на них не акцентировано внимание учащихся. Конечно, большинство задач на ЕГЭ можно
решить без оперирования этими формулами, но знание этих зависимостей значительно сокращает решение некоторых задач. Поэтому назрела необходимость в систематизации всех формул школьного курса математики с точными
ссылками на учебники.
В научно-популярной и методической литературе появилось много статей
и брошюр по элементарной математике, где используются понятия ортоцентра, окружности девяти точек, пучков окружностей, золотого сечения, математического паркета, математического бильярда и т.д. В справочнике приведены
сведения об этих понятиях. Учителя математики найдут в нем много материала по изготовлению геометрических моделей из листа бумаги.
В значительной части школ формируются классы естественноматематического направления. Углубленное изучение математики, физики и
информатики предполагает расширение объема знаний по элементарной математике и оперирование новыми, а иногда нестандартными методами решения
задач. В предлагаемом справочнике они представлены.
Ориентируясь на контрольно-измерительные материалы ЕГЭ, приведенные в пособиях [6, 11], в главе 2 рассмотрены методы решения некоторых типовых задач.
Элективные курсы по математике в ряде школ предполагают новые методы работы, ориентированные на самостоятельный поиск информации и ее
применение для решения известных ранее задач или задач нового раздела.
Например, возрос интерес к справочной литературе по математике со стороны
пользователей компьютеров. Востребованными являются не просто математические формулы, а формулы, ориентированные для компьютерного моделирования. В большинстве случаев это параметрические уравнения.
В каждом разделе глав 3-6 приведены примеры вывода формулы, чтобы
далее учащиеся могли провести аналогичное моделирование. Для решения
задачи достаточно уметь применять метод координат, метод векторов и метод
5
геометрических преобразований. Большое внимание уделяется процессу моделирования как методу научного познания.
Участие в молодежной научной программе «Шаг в будущее» предполагает разработку проекта по новой тематике. Практика показывает, что в большинстве проектов воспроизводятся давно известные факты. В предлагаемом
справочнике представлены базовые знания из различных тем, которые не рекомендуется «открывать» снова, а можно использовать в качестве отправной
точки для дальнейших исследований.
В справочнике рассматривается применение математики – математическое моделирование различных механизмов, использование системы координат в радиолокации на основе семейств софокусных эллипсов и гипербол, поиск кратчайшей линии на поверхности куба, картографические проекции сферы на плоскость.
При пользовании справочником следует иметь в виду, что он не может
полностью заменить учебники и научно-популярную литературу, поэтому в
большинстве случаев указаны ссылки на соответствующую литературу. Ссылка на журнал «Математика в школе» обозначена МШ.
В конце справочника приведен список математических символов.
Критические замечания или пожелания по улучшению некоторых разделов можно присылать по электронному адресу: рsovertkov@mail.ru.
6
Глава 1.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА К ЕГЭ И ОЛИМПИАДЕ
1.1.
Таблица квадратов чисел. Основные неравенства
Таблица квадратов чисел.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0
100
400
900
1600
2500
3600
4900
6400
8100
10000
12100
14400
16900
19600
22500
25600
28900
32400
36100
40000
44100
48400
52900
57600
62500
67600
72900
78400
84100
90000
1
121
441
961
1681
2601
3721
5041
6561
8281
10201
12321
14641
17161
19881
22801
25921
29241
32761
36481
40401
44521
48841
53361
58081
63001
68121
73441
78961
84681
90601
2
144
484
1024
1764
2704
3844
5184
6724
8464
10404
12544
14884
17424
20164
23104
26244
29584
33124
36864
40804
44944
49284
53824
58564
63504
68644
73924
79524
85264
91204
3
169
529
1089
1849
2809
3969
5329
6889
8649
10609
12769
15129
17689
20449
23409
26569
29929
33489
37249
41209
45369
49729
54289
59049
64009
69169
74529
80089
85849
91809
4
196
576
1156
1936
2916
4096
5476
7056
8836
10816
12996
15376
17956
20736
23716
26896
30276
33856
37636
41616
45796
50176
54756
59536
64516
69696
75076
80656
86436
92416
5
225
625
1225
2025
3025
4225
5625
7225
9025
11025
13225
15625
18225
21025
24025
27225
30625
34225
38025
42025
46225
50625
55225
60025
65025
70225
75625
81225
87025
93025
6
256
676
1296
2116
3136
4356
5776
7396
9216
11236
13456
15876
18496
21316
24336
27556
30976
34596
38416
42436
46656
51076
55696
60516
65536
70756
76176
81796
87616
93636
7
289
729
1369
2209
3249
4489
5929
7569
9409
11449
13689
16129
18769
21609
24649
27889
31329
34969
38809
42849
47089
51529
56169
61009
66049
71289
76729
82369
88209
94249
8
324
784
1444
2304
3364
4624
6084
7744
9604
11664
13924
16384
19044
21904
24964
28224
31684
35344
39204
43264
47524
51984
56644
61504
66564
71824
77284
82944
88804
94864
Извлечение квадратного корня по таблице.
Например, 8 8, 00 7,84 2,8, поэтому 8 2,8.
80 80, 00 79, 21 8,9, поэтому
80 8,9.
a c
a c pa
ad bc
.
b d
b d pb
Для положительных чисел a и b определены следующие величины:
ab
– среднее арифметическое; ab – среднее геометрическое;
2
Свойство пропорции:
7
9
361
841
1521
2401
3481
4761
6241
7921
9801
11881
14161
16641
19321
22201
25281
28561
32041
35721
39601
43681
47961
52441
57121
62001
67081
72361
77841
83521
89401
95481
для a1 , a2 ,..., an , b1 , b2 ,..., bn R;
a1 a2 ... an
для a1 , a2 ,..., an R {0};
n
a a ... an b1 b2 ... bn a1b1 a2 b2 ... an bn
1 2
– неравенство Чебыn
n
n
шева для двух неубывающих (невозрастающих) последовательностей
a1 , a2 ,..., an и b1 , b2 ,..., bn ;
n
a1a2 ...an
(a12 a22 ) (b12 b22 ) (a1b1 a2 b2 )2 (a1b2 a2 b1 ) 2 – тождество Лагранжа для
a1 , a2 , b1 , b2 ;
если a12 a22 ... an2 1, b12 b22 ... bn2 1 , то a1b1 a2 b2 ... an bn 1.
1.2. Делимость чисел и простые числа
Если число а делится без остатка на число b, то число а кратно b, а число
b является делителем a. Обозначение a b или b a .
Целое число, которое делит целые числа a1 , a2 ,..., an , называется их общим делителем. Положительный общий делитель чисел a1 , a2 ,..., an , делящийся на любой общий делитель, называется наибольшим общим делителем и
обозначается (a1 , a2 ,..., an ) или НОД (a1 , a2 ,..., an ).
Натуральное число р, большее 1, называется простым, если оно имеет
только два различных делителя: единицу и само р.
Натуральное число называется составным, если оно имеет больше двух
различных натуральных делителей.
Число 1 имеет только один натуральный делитель, поэтому оно не простое и не составное число.
Пусть при делении натуральных чисел N1 , N 2 на натуральное число m получены соответственно частные k1 , k 2 и остатки r1 , r2 , т.е.
N1 k1 m r1 , N 2 k2 m r2 , тогда N1 N 2 (k1 k2 )m (r1 r2 ),
N1 N 2 (...)m (r1 r2 ),
N1
k
k
(...) m r1 .
Таким образом:
– чтобы найти остаток от деления суммы двух чисел N1 N 2 на число m
достаточно найти сумму остатков при делении каждого числа N1 , N 2 на число
m и полученную сумму разделить на m;
– чтобы найти остаток от деления произведения двух чисел N1 N 2 на
число m достаточно найти произведение остатков при делении каждого числа
N1 , N 2 на число m и полученное произведение разделить на m;
9
– чтобы найти остаток от степени N1k на число m достаточно найти степень остатка при делении основания N1 на число m и полученное число разделить на m.
Обозначая r ( N ) m – остаток при делении числа N на число m, полученные
свойства можно записать в виде:
r ( N1 N 2 ) m r (r ( N1 ) m r ( N 2 ) m ) m ; r ( N1 N 2 ) m r (( N1 )m r ( N 2 )m )m ;
r ( N k )m r ((r ( N )m ) k ) m .
Простые числа до 2069:
2
41
97
157
227
283
367
439
509
599
661
751
829
919
1009
1087
1171
1259
1327
1447
1523
1607
1697
1787
1879
1993
3
43
101
163
229
293
373
443
521
601
673
757
839
929
1013
1091
1181
1277
1361
1451
1531
1609
1699
1789
1889
1997
5
47
103
167
233
307
379
449
523
607
677
761
853
937
1019
1093
1187
1279
1367
1453
1543
1613
1709
1801
1901
1999
7
53
107
173
239
311
383
457
541
613
683
769
857
941
1021
1097
1193
1283
1373
1459
1549
1619
1721
1811
1907
2003
11
59
109
179
241
313
389
461
547
617
691
773
859
947
1031
1103
1201
1289
1381
1471
1553
1621
1723
1823
1913
2011
13
61
113
181
251
317
397
463
557
619
701
787
863
953
1033
1109
1213
1291
1399
1481
1559
1627
1733
1831
1931
2017
17
67
127
191
257
331
401
467
563
631
709
797
877
967
1039
1117
1217
1297
1409
1483
1567
1637
1741
1847
1933
2027
19
71
131
193
263
337
409
479
569
641
719
809
881
971
1049
1123
1223
1301
1423
1487
1571
1657
1747
1861
1949
2029
23
73
137
197
269
347
419
487
571
643
727
811
883
977
1051
1129
1229
1303
1427
1489
1579
1663
1753
1867
1951
2039
29
79
139
199
271
349
421
491
577
647
733
821
887
983
1061
1151
1231
1307
1429
1493
1583
1667
1759
1871
1973
2053
31
83
149
211
277
353
431
499
587
653
739
823
907
991
1063
1153
1237
1319
1433
1499
1597
1669
1777
1873
1979
2063
37
89
151
223
281
359
433
503
593
659
743
827
911
997
1069
1163
1249
1321
1439
1511
1601
1693
1783
1877
1987
2069
Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух чисел
a и b, если a b :
– разделить большее из них на меньшее число;
– если получится остаток, то разделить меньшее на остаток;
– если получится остаток, то разделить первый остаток на второй остаток;
– продолжаем аналогично деление, пока в остатке не получим ноль;
– последний, не равный нулю остаток является НОД данных чисел.
a bq1 r1 , где 0 r1 b,
b r1q2 r2 , где 0 r2 r1 ,
r1 r2 q3 r3 , где 0 r3 r2 ,
………………………….
rn 1 rn qn 1 rn 1 , где 0 rn 1 rn ,
10
rn rn 1qn 2 rn 1 НОД (a, b).
Если d – наибольший общий делитель чисел a и b, то существуют такие
целые числа x и y, что ax by d .
Пример. Найти наибольший общий делитель чисел 403 и 143 и линейное
представление общего делителя через эти числа.
Решение. 403 143 2 117, 143 117 1 26, 117 26 4 13, 26 13 2.
Последний отличный от нуля остаток равен 13, поэтому
НОД (403,143) 13.
13 117 26 4 117 (143 117) 4 117 5 143 4
(403 143 2) 5 143 4 403 5 143 14, 13 403 5 143 (14).
Чтобы найти наибольший общий делитель трех чисел, сначала находят
НОД какой-нибудь пары из них, а затем НОД найденного делителя и третьего
числа.
Два числа называются взаимно простыми, если наибольший общий делитель этих чисел равен единице.
Два числа a и b являются взаимно простыми тогда и только тогда, когда
существуют такие целые числа x0 и y0 , что ax0 by0 1.
Таблица признаков делимости.
m
2
3
4
5
6
11
7,
11,
13
8
9
10
25
Признак делимости натурального числа п на число m
Последняя цифра числа п четная
Сумма цифр числа п делится на 3
Две последние цифры числа п образуют число, кратное 4
Последняя цифра числа п ноль или 5
Число п делится на 2 и 3
Разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой
цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 11
Разность между числом, образованным тремя последними цифрами
числа п, и числом, образованным остальными цифрами, делится на m
Три последние цифры образуют число, делящееся на 8
Сумма цифр числа п делится на 9
Число п оканчивается нулем
Последние две цифры числа п образуют число, делящееся на 25
Если a p k , где р – простое число, k – натуральное число, то число а
имеет k 1 делителей, включая 1 и число а.
Если a p1k1 p2 k2 , где p1 и p2 – простые различные числа, k1 и k2 – натуральные числа, то число а имеет (k1 1) (k2 1) делителей, включая 1 и а.
Для целых чисел a и b числа a b и a b имеют одинаковую четность.
11
Число m называется наименьшим общим кратным (НОК) целых чисел
a1 , a2 ,..., an , если выполняются условия:
1) m a1 , m a2 ,..., m an ;
2) если m a1 , m a2 ,..., m an , где m – любое целое число, то m m.
Представление числа n в виде n p11 p2 2 ... pk k , где p1 , p2 ,..., pk – простые
различные числа, называется каноническим разложением.
Если простое число p входит в канонические разложения чисел а и b с
показателями соответственно и , то p входит в каноническое разложение
числа НОД (a, b) с показателем min( , ), а в каноническое разложение числа НОК (a, b) с показателем max( , ).
целых
чисел
выполняется
равенство
Для
положительных
НОД (a, b) НОК (a, b) ab.
1.3. Формулы сокращенного умножения и комбинаторика
(a b) 2 a 2 2ab b 2 , (a b c)2 a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc.
(a b)3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b3 , (a b)3 a3 3a 2 b 3ab 2 b3.
a n b n (a b)( a n 1 a n 2 b a n 3b 2 ... ab n 2 b n 1 ).
a 2 n 1 b 2 n 1 (a b)(a 2 n a 2 n 1b a 2 n 2 b 2 ... ab 2 n 1 b 2 n ).
(a b) n a n na n 1b
n(n 1) n 2 2
a b ... Cnk a n k b k ... nab n 1 b n , n N –
2
бином Ньютона.
a 4 a 2 b 2 b 4 (a 2 b 2 ab) (a 2 b 2 ab).
a a2 b
a a2 b
, если a 2 b.
2
2
n ! 1 2 3 ... n – факториал числа n, 1! 1, 0! 1 .
В записи числа n ! при n 5 последняя цифра равна 0.
Pn n ! – число перестановок из n элементов.
a b
Ank n (n 1) (n 2)...(n k 1) – число размещений из n элементов по k
элементов. Число размещений с повторениями из n элементов по k элементов
равно Аnk n k .
Cnk
n!
– число сочетаний из n элементов по k элементов.
k !(n k )!
Сnk Cnn k , Cnk Cnk 1 Cnk1 , Cnk 1 Cnk
nk
, Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnn 2n.
k 1
12
Для малых значений п коэффициенты Сnk определяют из треугольника
Паскаля:
1…..……………………………... n 0
1
1 …………………….…....…. n 1
1
2 1…………………..………... n 2
1
3
3
1 ………..……………….. n 3
1 4
6
4
1 …………………... n 4
1
5 10
10
5
1 …………… ….. n 5
1
6 15
20
15
6
1………… ….. n 6
1
7 21 35
35
21
7
1 ……….…. n 7
1
8 28 56 70
56
28
8
1 ………. n 8
1
9 36 84 126 126 84 36
9
1…….. n 9
1 10 45 120 210 252 210 112 45 10
1….. n 10
k 0 k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6 k 7 k 8 k 9 k 10
1.4. Множества, принцип Дирихле и ММИ
Для конечных множеств A, B, C выполняются равенства:
– А В А В А В , где A – число элементов множества А;
– A B C A B C A B AC B C A B C
– формулы перекрытий, формулы включения и исключения.
Принцип Дирихле.
При любом распределении nk+1 или более предметов по n ящикам в каком-нибудь ящике окажется не менее k+1 предметов.
Метод математической индукции (ММИ):
Утверждение справедливо для всякого натурального n, если
1) оно справедливо для n 1;
2) из справедливости утверждения для некоторого n k следует его
справедливость для n k 1.
Доказательства утверждений с помощью принципа математической индукции называются методом математической индукции.
Пример. Найти сумму
1
1
1
Sn
...
.
1 2 2 3
n(n 1)
Решение.
1
1
1
1
1
1
2
1
3
, S3
.
S1
, S2
1 2 2 3 3
1 2 2
1 2 2 3 3 4 4
13
n
. Проверим ее методом математичеn 1
1
ской индукции. Для n 1 гипотеза верна, так как S1 .
2
Предположим, что гипотеза верна при n k , т.е.
1
1
1
k
Sk
.
...
1 2 2 3
k (k 1) k 1
Появляется гипотеза, что Sn
Докажем, что гипотеза верна и при n k 1, т.е. что S k 1
k 1
.
k 2
Действительно,
1
k
1
k 2 2k 1
k 1
.
Sk 1 Sk
(k 1) (k 2) k 1 (k 1)(k 2) (k 1) (k 2) k 2
На основании метода математической индукции можно утверждать, что
n
Sn
справедливо при любом натуральном n.
n 1
Некоторые равенства:
а) 1 3 5 ... (2n 1) n 2 ;
n (2n 1) (2n 1)
;
3
n (n 1) (2n 1)
;
в) 12 22 32 ... n 2
6
г) 13 23 32 ... n3 (1 2 3 ... n) 2 ;
б) 12 32 52 ... (2n 1) 2
n (n 1) (n 2)
;
3
n (n 1)(n 2)(n 3)
;
е) 1 2 3 2 3 4 3 4 5 ... n (n 1)(n 2)
4
ж) 1 1! 2 2! 3 3! ... n n ! (n 1)! 1.
д) 1 2 2 3 3 4 ... n (n 1)
1.5. Прогрессии
a1 , a2 , a3 ,..., an – арифметическая прогрессия, если ak 1 ak d для любого номера k 1, d – разность арифметической прогрессии, an a1 d (n 1) –
n-й член прогрессии.
a a
[2a1 (n 1)d ]
Sn 1 n n
n – сумма n первых членов прогрессии.
2
2
14
a1 , a2 , a3 ,..., an – геометрическая прогрессия, если ak 1 ak q для любого
номера k 1, q – знаменатель геометрической прогрессии, q 1. an a1q n 1 –
n-й член прогрессии. Sn a1
Sn
1 qn
– сумма n первых членов прогрессии.
1 q
a1
– сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
1 q
a1 , a2 , a3 ,..., an ,... при q 1 .
0, 4(35) 0, 43535353..., 0, 43(5) 043555... – бесконечные десятичные периодические дроби.
Примеры перевода бесконечной десятичной дроби в обыкновенную дробь:
374 37 337
37
374 3 371
; 0,37(4)
;
0, (37) ; 0,3(74)
990
900
900
99
990
319
354 35
.
2
2, 035(4) 2
9000
9000
Алгоритм перевода бесконечной десятичной дроби в обыкновенную дробь.
Бесконечная десятичная часть с нулевой целой частью равна обыкновенной
дроби. Числитель дроби равен разности между числом, записанным всеми
цифрами после запятой и непериодической частью. Знаменатель дроби содержит столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей, сколько цифр в
непериодической части.
Обоснование алгоритма перевода бесконечной десятичной дроби в обыкновенную дробь с использованием суммы геометрической прогрессии:
0,3(74) 0,3747474... 0,3 0, 074 0, 00074 0, 0000074 ...
3 74 3 99 74 3 (100 1) 74 374 4 371
3
0, 074
.
10 1 0, 01 10 990
990
990
990
990
Второй способ – удалением периодической части:
371
0,3(74) x, 10 x 3, (74), 1000 x 374,(74) , 1000 x 10 x 371 , x
.
990
1.6. Квадратный трехчлен
ax 2 bx c a ( x x1 ) ( x x2 ),
2
где x1 , x2 – корни уравнения ax 2 bx c 0,
b 4ac b 2
ax 2 bx c a x
.
2a
4a
b
– абсцисса вершины параболы y ax 2 bx c.
xв
2a
4ac b 2
yв
– ордината вершины параболы. D b 2 4ac – дискриминант.
4a
15
4ac b 2
b
, если a 0. Равенство достигается при x .
4a
2a
2
4ac b
b
ax 2 bx c
, если a 0. Равенство достигается при x .
4a
2a
Если a b c 0, то числа 1 и с a – корни уравнения ax 2 bx c 0.
ax 2 bx c
Если a b c 0, то числа (–1) и с a – корни уравнения ax 2 bx c 0.
Для того чтобы корни квадратного трехчлена f ( x) ax 2 bx c были расположены по разные стороны от заданного числа m, необходимо и достаточно
выполнения условия a f (m) 0 (рис. 1).
a0
a0
a0
m
x
a0
m
x
m
a0
Рис. 1
x
a0
n
Рис. 3
Рис. 2
Для того чтобы корни квадратного трехчлена f ( x) ax 2 bx c были
расположены по разные стороны от данного отрезка [m, n] (рис. 2), необходимо и достаточно выполнения условий a f (m) 0, a f (n) 0.
Для того чтобы различные корни квадратного трехчлена f ( x) ax 2 bx c
были больше заданного числа m (рис. 3), необходимо и достаточно выполнения условий D 0, a f (m) 0, xв m.
a0
Для того чтобы корни квадратного трехчлеm
на f ( x) ax 2 bx c были меньше заданного
x
a0
числа m (рис. 4), необходимо и достаточно выРис. 4
полнения условий D 0, a f (m) 0, xв m.
Для того чтобы корни квадратного трехчлена
a0
f ( x) ax 2 bx c были расположены на данном
интервале (m, n) , необходимо и достаточно выполнения условий
m
n x
D 0, m xв n, a f (m) 0,
Рис. 5
a f (n) 0 (рис. 5).
a0
1.7. Многочлены, уравнения и неравенства
Схема Горнера деления a0 x n a1 x n 1 a2 x n 2 ... an 1 x an на ( x c):
a0
a1
a2
an 1
an
…
c
b0 a0
b1 b0 c a1
b2 b1c a2
bn 1 bn 2c an 1
16
f (c) bn 1c an
Результат деления
a0 x n a1 x n 1 a2 x n 2 ... an 1 x an
f (c )
b0 x n 1 b1 x n 2 b2 x n 3 ... bn 1
.
xc
xc
Теорема Виета. Пусть x1 , x2 ,..., xn – корни многочлена
x n a1 x n 1 a2 x n 2 ... an 1 x an , тогда:
a1 ( x1 x2 ... xn ); a2 x1 x2 x1 x3 ... xn 1 xn ;
a3 ( x1 x2 x3 x1 x2 x4 ... xn 2 xn 1 xn ); …; an (1) n x1 x2 ...xn .
Теорема о рациональных корнях уравнения.
Пусть a0 x n a1 x n 1 ... an 1 x an 0 – уравнение с целыми коэффициентами. Если число x
p
является корнем уравнения, где р и q – целые числа и
q
дробь несократима, то р есть делитель коэффициента an , а q – делитель a0 .
Уравнение
( x a) ( x b) ( x c) ( x d ) k приводится
к
биквадратному
abcd
.
4
Симметрическое уравнение третьей степени:
ax 3 bx 2 bx a 0 ( x 1) (ax 2 (b a ) x a ) 0.
уравнению заменой y x
Симметрические уравнения четвертой степени делением на x 2 сводятся к
квадратным уравнениям:
2
1
1
ax 4 bx 3 cx 2 bx a 0 a x 2 b x c 0;
x
x
2
1
1
ax 4 bx 3 cx 2 bx a 0 a x 2 b x c 0.
x
x
Решение в целых числах уравнения ax by c с целыми коэффициентами
a, b, c : если ( x0 ; y0 ) – некоторое решение этого уравнения в целых числах,
то все решения имеют вид x x0 bt , y y0 at , где t .
Все решения можно записать также в виде x x0 bt , y y0 at , где t .
x a,
x a, где a 0
x a.
x a, где a 0 a x a.
g ( x ) 0,
f ( x) g ( x)
2
f ( x) g ( x).
f ( x) 0,
g ( x) определена,
f ( x) g ( x) 0
g ( x) 0,
f ( x) 0.
17
g ( x) 0,
2
f ( x) g ( x),
f ( x) g ( x)
g ( x) 0,
f ( x) 0.
f ( x) 0,
f ( x) g ( x) g ( x ) 0,
2
f ( x) g ( x).
3
f ( x) 3 g ( x) f ( x) g ( x) ,
f ( x) g ( x ),
f ( x ) g ( x)
f ( x) g ( x).
f ( x ) g ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ,
1.8. Показательная и логарифмическая функции
y
y
y ax,
y ax ,
0 a 1
a 1
x
O
1
Рис. 6
y log a x, a 1
1
x
O
y log a x, 0 a 1
Рис. 7
n
a m a n a m n , a m : a n a m n , a m a mn , a n
1
,
an
m
n
a m a n , a 0 1 для a 0, e 2, 71828... , y a x , a 0, a 1,
f ( x) g ( x ) f ( x) h ( x ) и ( f ( x) 1) ( g ( x) h( x)) имеют одинаковые знаки,
log a b x, a x b или a loga b b, a 0, a 1, b 0 – определение логарифма.
Для x 0, y 0, a 0, a 1, b 0, b 1, c 0, c 1 выполняются свойства:
log a
log b x
x
log a x log a y; log a x p p log a x; log a x
;
y
log b a
log a 1 0; log a a 1; log a xy log a x log a y;
s
log a x, где s 0; bloga c c loga b ;
k
f ( x) и ( g ( x) 1) ( f ( x) 1) имеют одинаковые знаки;
log a k x s
log g ( x )
lg x
ln x
0, 43429 ln x – переход от натурального логарифма к десятичln10
ному.
18
1.9. Свойства и графики функций
y
x, если x 0
– модуль (абсолютная
x
x, если x 0
величина) числа x (рис. 8).
x x ; x y x y ;
x
y
x2 x ;
x
y
y x
1
;
-1
yx
x x x ; x y x y ;
y x
у
3
2
1
x a – расстояние между точками
-1
0
1
-1
наибольшее целое число, не превосходящее число x (рис. 9).
2, 7 2, 0,5 0, 0,3 1.
x x x
x
Рис. 8
f 0,
f g f g
g 0;
f 0,
f g f g
g 0.
f g f g f g 0.
х и а числовой оси.
x – целая часть числа x, т.е.
1
2
3
4 х
Рис. 9
– дробная часть
числа x (рис. 10),
1
2, 7 0, 7,
у
y {x}
0,5 0,5, 0,3 0, 7.
функции
Из
графика
0
-1
2
3
4 х
1
y f ( x ) можно получить графиРис. 10
ки следующих функций с помощью преобразований:
1) y f ( x a) сдвигом графика y f ( x ) вдоль оси Ox на величину a;
2) y f ( x) b сдвигом графика y f ( x ) вдоль оси Oy на величину b;
3) y mf ( x) растяжением графика y f ( x ) вдоль оси Oy в m раз;
4) y f (kx) сжатием графика y f ( x ) вдоль оси Ox в k раз;
5) y f ( x) симметричным отображением y f ( x ) относительно оси Ox;
6) y f ( x) симметричным отображением y f ( x ) относительно оси Oy;
19
7) y f ( x) симметричным отображением всех ветвей графика y f ( x ) ,
расположенных в полуплоскости y 0 , относительно оси Ox (ветви графика в
полуплоскости y 0 остаются на месте);
8) y f x – часть графика y f ( x ), расположенная в полуплоскости
x 0, заменяется на симметричную часть графика, расположенную в полуплоскости x 0.
.
y 1
y sin x
x
3
3
2
-1
y
1
3
2
3
y sin
y
x
3
3
2
-1
x
3
2
y 2sin
3
2
x
3
x
3
3
2
-2
y
3
2
y 2sin
x
3
x
3
2
3
3
2
Рис. 11
1
3
y
x
y cos x
-
-
2
О
-1
2
Рис. 12
20
3
2
2
y
O
O
2
у
y arccos x
y arcsin x
-1
x
Рис. 14
у
2
2
x
Рис. 13
y сtgx
y
y tgx
1 х
О
2
О
-1
Рис. 15
у
y arctg x
О
x
х
Рис. 18
y x
y3 x
y
1
1
O
y arс ctg x
2
О
2
Рис. 17
y
1
у
2
Рис. 16
1
x
-1
Рис. 19
1
Рис. 20
21
x
y x3
y
y x2
y
yx
yx
1
1
x
1
-1
Рис. 22
Рис. 21
y
y
y
1
x
y
1
O
x
1
1
x2
1
1
x
-1 O
1
x
Рис. 24
Рис. 23
Графики функции y f ( x ) и обратной
y
к ней функции y g ( x) симметричны относительно прямой y x.
Функции y 4 x 3 и y ( x 3) / 4 взаимно обратные и их графики на рис. 25
симметричны относительно прямой y x.
Функция y f ( x ) называется четной,
если область определения D f
y 4x 3
yx
1
-1
y
x3
4
функции
симметрична относительно x 0 и для
любого значения x D f выполняется равенство f ( x) f ( x).
x
-1
Рис. 25
22
Функция y f ( x ) называется нечетной, если область определения D f
функции симметрична относительно x 0 и для любого значения x D f выполняется равенство f ( x) f ( x).
График четной функции симметричен относительно оси Oy, а график нечетной функции – относительно начала координат.
Функция y f ( x ) называется периодической, если существует такое число
T 0, что для любых значений x D f , ( x T ) D f , ( x T ) D f и выполняются равенства f ( x) f ( x T ) f ( x T ). Основным периодом функции
называется наименьшее положительное число, обладающее указанным свойством.
Для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции
y f ( x ) на отрезке [a; b] нужно:
1) найти точки экстремума, в которых f ( x ) 0;
2) вычислить значения функции в точках экстремума и на концах отрезка;
3) выбрать наибольшее или наименьшее значения функции.
Функция y f ( x ) (рис. 26) имеет экстремумы в точках x c и x d , так
как f (c) 0, f (d ) 0 и, проy
ходя через эти точки, производy f ( x)
ная меняет знак. В точке x c
функция достигает максимума,
a
а в точке x d минимума.
e
c
d
b x
Рис. 26
Функция y f ( x ) (рис. 27)
не имеет экстремума на отрезке [a, b]. В точке
x a функция достигает наибольшего значения, а в
точке x b наименьшего значения, так как она
убывает на интервалах (a; c) и (c; b). На отрезке
y
c
a
b
x
О
y f ( x)
Рис. 27
[a; b] функция не возрастает.
Функция y f ( x) (рис. 28) не имеет экстремума
y f ( x)
на отрезке [a; b]. В точке x a функция достигает
y
наименьшего значения, а в точке x b наибольшего значения, так как она возрастает на интервалах
c
b x
a
(a; c) и (c; b) . На отрезке [a; b] функция не убывает.
Рис. 28
Функция f ( x) называется возрастающей на множестве Х, если для любых
x1 , x2 X из условия x1 x2 следует f ( x1 ) f ( x2 ).
23
Исследование функции и построение графика.
x2 2 x 2
Пример. Исследовать функцию y
и построить ее график.
x2
Решение. 1. Область определения. D( f ) R \ {2}.
2. Пересечение с осями координат. Для точек пересечения графика с
осью Oy имеем x 0. Подставляя значение x 0 в функцию, получаем
y 1 , поэтому A(0; 1) – точка пересечения графика с осью Oy. Для точек
пересечения графика с осью Ox имеем y 0. Подставляя значение y 0, получаем x 2 2 x 2 0. Это уравнение не имеет корней, поэтому график не пересекает ось Ox.
( x) 2 2( x) 2
x2 2x 2
3. Четность функции. y ( x)
. Внешний
x2
( x) 2
вид функций y ( x) и y ( x) отличается. При x 1 получаем y (1) 1, при
5
x 1 получаем y (1) , поэтому нашлось значение аргумента x 1, при
3
котором не выполняются равенства y ( x) y ( x) , y ( x) y ( x). Функция не
является четной и не является нечетной, т.е. данная функция является функцией общего вида.
4. Асимптоты графика функции.
Прямая x a является вертикальной асимптотой, если lim f ( x) .
x a
Прямая y b является горизонтальной асимптотой, если lim f ( x) b.
x
Если прямая y kx b является наклонной асимптотой, то ее параметры
f ( x)
; b lim f ( x) kx .
x
x
2
2
x 2x 2
x 2x 2
, lim
.
а) lim
x2
x2
x2
x2
Прямая x 2 является вертикальной асимптотой.
x2 2 x 2
. График не имеет горизонтальной асимптоты.
б) lim
x
x2
определяются по формулам: k lim
x
x2 2 x 2
1,
x ( x 2) x
x2 2 x 2
2
x lim
0. Уравнеb lim
x
x
x2
x2
ние наклонной асимптоты принимает вид y 1 x 0 или y x .
Замечание. Асимптоты графика можно быстро определить, если выделить
2
x 2 2 x 2 x( x 2) 2
x
.
целую часть в функции y
x2
x2
x2
в) k lim
24
2
является бесконечно малой, поэтому данная
x2
функция эквивалентна функции y x. График данной функции при x
приближается к асимптоте y x. При x 2 поведение данной функции
При x функция
2
, поэтому прямая x 2 является вертикальной
x2
асимптотой графика данной
y+
–
+
–
функции.
x
5. Интервалы возраста2
2 2
2 2
у
ния и убывания функции,
Рис. 29
экстремумы функции.
x2 4 x 2
. y 0 x 2 4 x 2 0, ( x 2) 2 2 0, x 2 2.
y
( x 2) 2
Отмечаем на числовой прямой полученные стационарные точки (рис. 29),
определяем знак производной и отмечаем промежутки возрастания и убывания
функции.
x 2 2
При
достигает
локальный
минимум
функция
определяется слагаемым
ymin (2 2) 2 2 2. При x 2 2 функция достигает локальный минимум ymax (2 2) 2 2 2 .
6. Выпуклость, вогнутость.
4
y
, причем y 0,
( x 2)3
поэтому на графике нет точек
перегиба. Для x 2 получаем
y 0, поэтому на интервале
y
22 2
yx
(; 2) график функции является выпуклым вверх. Для
x 2 получаем y 0, поэто0
му на интервале (2; ) график
x
1
2 2
функции является выпуклым
вниз.
7. Построение графика
функции.
Используя
изученные
Рис. 30
x2
свойства, строим асимптоты
(рис. 30) и график функции.
Множество значений функции – E ( f ) (; 2 2 2] [2 2 2; ).
25
Симметрия в алгебраических задачах.
Если в уравнении F ( x, y ) 0 функция F ( x, y ) симметрична относительно
переменной y, т.е. F ( x, y ) F ( x, y ) и уравнение имеет решение ( x0 , y0 ), то
уравнение имеет также решение ( x0 , y0 ). Если в задаче требуется найти единственное решение, то для этого необходимо выполнение условия y0 0.
Свойства функции:
у
а) если уравнение f ( x) 0 имеет решение, а функция
f ( x) – непрерывна и убывающая (возрастающая), то
х
уравнение имеет единственное решение (рис. 31);
Рис. 31
б) если непрерывная функция f ( x) на концах отрезка
[a, b] принимает значения разных знаков, т.е. f (a) f (b) 0, то на интервале
(a, b) существует решение уравнения f ( x) 0.
Метод мини-максов. Если в уравнении f ( x) g ( x) функции f ( x), g ( x)
удовлетворяют оценкам f ( x) A, g ( x) A, то уравнение равносильно системе
f ( x) A, g ( x) A.
y
y f ( x)
Если функция f ( x) возрастает (убывает) на
промежутке Х, а функция g ( x) убывает (возрастает) на этом промежутке, то уравнение
y g ( x)
f ( x) g ( x) имеет не более одного корня на промежутке Х (рис. 32, 33).
Если функция f ( x) строго возрастает, то для
O a
b x
Рис. 32
любых двух значений x1 и x2 переменной из
области
определения
знаки
выражений
y
f ( x1 ) f ( x2 ) и x1 x2 – одинаковые.
Если функция f ( x) строго убывает, то для
y f ( x)
любых двух значений x1 и x2 переменной из
области
определения
знаки
выражений
y g ( x)
f ( x1 ) f ( x2 ) и x2 x1 – одинаковые.
f ( x) 0, g ( x0 0, h ( x) 0, h ( x) 1,
Пусть
O a
b x
p( x), q( x) – произвольные выражения, или конРис. 33
станты. При определении знака выражения можно использовать следующие
замены, учитывая области определения данных выражений:
26
№
I
Данное выражение
log h ( x ) f ( x)
Рекомендуемая замена
h ( x) 1 f ( x) 1
II
log h ( x ) f ( x) log h ( x ) g ( x)
(h ( x) 1) ( f ( x) g ( x))
III
log f ( x ) h( x) log g ( x ) h ( x)
( f ( x ) 1) ( g ( x) 1)
(h ( x) 1) ( g ( x ) f ( x))
IV
h ( x) p ( x ) h ( x) q ( x )
(h ( x) 1) ( p ( x ) q ( x))
V
f ( x)
VI
p ( x) q( x)
VII
p ( x)
g ( x)
( f ( x) g ( x)) p ( x)
p( x)
( p ( x) q ( x )) ( p( x) q( x))
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x),
где f ( x) 0, g ( x) 0
VIII
p 2 ( x) g ( x )
p ( x) g ( x),
где g ( x) 0
IX
p( x)q( x)
p( x)
q( x)
1.10. Углы и прямые на плоскости
a
A
c
1 2A
A
4 3A
A A
При пересечении двух прямых a и b
третьей прямой с углы расположены следующим образом (рис. 34):
5 6
b
4 и 6; 3 и 5 – внутренние накрест леA 8 A 7A
Рис. 34
жащие углы;
A A
1 и 7; 2 и 8 – внешние накрест лежащие углы;
4 и 5; 3 и 6 – внутренние односторонние углы;
1 и 8; 2 и 7 – внешние односторонние углы;
1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8 – соответственные углы.
Признаки параллельности прямых (рис. 35):
если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то
1 2
a
прямые параллельны;
A A
A
4
3
если при пересечении двух прямых сеA A
кущей соответственные углы равны, то
b
5 6
прямые параллельны;
A
8A 7 A
Рис. 35
если при пересечении двух прямых сеA A
кущей сумма односторонних углов
равна 180, то прямые параллельны.
27
A1
A2
A1
B1
A3
a
A2
B2
B2
B3 A3
Рис. 36
b
a
A1
B1
B3
Рис. 37
B1
A2
B2
A3
b
B3
a
b
Рис. 38
Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то они
отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. На рис. 36, 37: из равенства A1 A2 A2 A3 следует равенство B1 B2 B2 B3 .
Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отAA
BB
резки. На рис. 38: 1 2 1 2 .
A2 A3 B2 B3
1.11. Треугольник, параллелограмм и трапеция
Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Второй признак подобия треугольников. Если
две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы,
заключенные между этими сторонами, равны, то
такие треугольники подобны.
Рис. 39
Третий признак подобия треугольников. Если
три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого
треугольника, то такие треугольники подобны.
Сумма внутренних углов треугольника (рис. 39). Внешний
угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с внешним углом (рис. 39).
C
В треугольнике против
большей
стороны
лежит
больший угол, и наоборот,
a
против большего угла лежит
b
большая сторона.
M
hc
Каждая сторона треугольm
ника меньше суммы двух друlc
гих сторон, но больше их разA
B
ности:
L
M
H
b c a b c,
c
Рис. 40
28
a c b a c , a b c a b.
Из трех отрезков можно построить треугольник, если каждый из отрезков
меньше суммы двух других отрезков, но больше их разности (рис. 40).
abc
. Высота hc AB.
Полупериметр p
2
Медиана mc делит сторону АВ на два равных отрезка AM MB. Биссектриса lc делит угол на два равных угла ACL LCB.
В неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы лежит между
основаниями медианы и высоты, проведенными из этой же вершины (рис. 40).
c b cos a cos .
Площадь треугольника:
c2
1
1
abc
, где r – радиус вписанной
SABC chc bc sin pr
2
2
4 R 2(ctg A ctg B )
окружности; R – радиус описанной окружности.
SABC p ( p a) ( p b) ( p c) – формула Герона.
1
(ma mb mc ) (ma mb mc ) (ma mc mc ) (mb mc ma ) .
3
c 2 a 2 b 2 2ab cos – теорема косинусов.
SABC
a
b
c
2 R – теорема синусов.
sin sin sin
A B
tg
ab
2 – теорема тангенсов в треугольнике.
a b tg A B
2
A B
A B
cos
sin
ab
a b
2
2
,
A B
A B
c
c
cos
sin
2
2
– формулы Мольвейде.
В прямоугольном треугольнике (рис. 41):
a 2 b 2 c 2 , a c sin c cos ,
R
c
b c sin c cos ,
a
b
, cos ,
c
c
b
a
a
sin , cos , tg .
b
c
c
sin
A
R
r
r
a
r
b
Рис. 41
29
B
C
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой гипотенузы. Радиус описанной окружности: R c / 2 (рис. 39).
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:
ab
r (a b c) / 2, S
chc .
C
2
o
Угол ACB 90 , опирающийся на
b
h
диаметр, – прямой (рис. 42):
a
AH CH AC
O
,
AHC CHB,
B
A
CH HB CB
H
a
b1
1
AH CH AC
,
AHC ACB,
AC CB AB
CH HB CB
.
AHC ACB,
Рис. 42
AC CB AB
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого
угла, есть среднее геометрическое двух отрезков, на которые делится гипотенуза этой диагональю h a1b1 (рис. 42).
С
Катет прямоугольного треугольника равен
среднему геометрическому между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу: b cb1 , a ca1 .
b
а
В равностороннем треугольнике (рис.
43): a b c; A B C 600 ;
a 3
;
2
a 3
;
медианы: ma mb mc
2
a 3
;
биссектрисы: la lb lc
2
высоты: ha hb hc
А
В
c
Рис. 43
a 3
;
2
a2 3
3R 2 3
a 3
a 3
a R 3, R
,r
, R 2r , S
, S
, S 3r 2 3.
4
4
3
6
Признаки параллелограмма:
D
C
– если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм;
радиусы вневписанных окружностей: ra rb rc 3r
A
30
Рис. 44
B
– если в четырехугольнике две противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм;
– если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
В параллелограмме (рис. 44) сумма квадратов сторон равна сумме квадратов его диагоналей, т.е. 2 AB 2 2 BC 2 AC 2 BD 2 [2, № 953].
Площадь параллелограмма: S AB h AB AD sin A .
Средняя линия трапеции (рис. 45):
b
C
D
MN (a b) 2.
h
Площадь трапеции: S (a b)h 2.
N
M
В трапеции середины оснований M и N,
точка пересечения диагоналей О и точка пеa
ресечения боковых сторон K принадлежат
A
B
45
Рис.
одной прямой (рис. 46). Отрезок KО является
K
средним гармоническим отрезков KM и KN .
Диагонали трапеции разделяют ее на четыре треугольника. Треугольники, прилежащие
к основаниям, подобны. Треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики, т.е.:
N
AOB DOC , S OBD S AOC .
C
D
Средние величины в трапеции:
O
Отрезок с концами на боковых
сторонах, параллельный основаниям и
b
B
A
M
проходящий через точку пересечения
2ab Рис. 46
диагоналей, является средним гармоa
b
ническим оснований трапеции. Этот
отрезок делится пополам точкой переab
сечения диагоналей (рис. 47).
Отрезок с концами на боковых
ab
сторонах, параллельный основаниям и
2
делящий данную трапецию на две поa 2 b2
добные трапеции, является средним
2
геометрическим оснований трапеции.
Средняя линия трапеции является
средним арифметическим оснований
a
трапеции.
Рис. 47
Отрезок с концами на боковых
сторонах, параллельный основаниям и
делящий данную трапецию на две равновеликие трапеции, является средним
квадратичным оснований трапеции [16, с. 341].
31
1.12. Замечательные точки треугольника
Три медианы AA1 , BB1 , CC1 пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.
CM : MC1 2 :1 (рис. 48).
C
AC1 C1 B, BA1 A1C , CB1 B1 A. Точка M называется центром тяжести треугольника
АВС.
Медиана
2
ma AA1
2
2b 2c a
2
2
[2, № 1009].
A1
B1
M
A
Рис. 48
SAMC1 SC1MB SBMA1 SA1MC SCMB1 SB1MA . SABC
B
C1
2
ma mb sin m
a , mb .
3
3 2 2 2
a b c .
C
4
Треугольник с вершинами
A0
в серединах сторон данного
A1
B0
r
треугольника называется сереr
B
динным треугольником для
данного треугольника.
I
Три
биссектрисы
r
AA1 , BB1 , CC1 пересекаются в
C0 C1
B
A
одной точке I, являющейся
Рис. 49
центром вписанной окружности (рис. 49).
Центр I вписанной окружности равноудален от сторон треугольника,
IA
т.е. 0 IB0 IC0 r. AC0 AB0 , BA0 BC0 , CA0 CB0 .
Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, т.е. CA1 : A1 B AC : AB [2, № 535].
ma2 mb2 mc2
CI : IC1 AC : AC1 , так как AI – биссектриса в CAC1 .
CI : IC1 BC : BC1 , так как BI – биссектриса в CBC1 .
Точка пересечения биссектрис делит биссектрису в отношении (считая от
вершины треугольника), равном отношению суммы двух прилежащих сторон
к противолежащей стороне CI : IC1 (a b) : c.
A
2 [2, № 1272].
bc
2bc cos
Биссектриса AA1 треугольника равна la
la
bc [(b c) 2 a 2 ]
2 bcp ( p a )
.
bc
bc
32
Для биссектрисы AA1 треугольника AA12 AB AC BA1 CA1 [2, № 887].
r (a b c)
p r.
2
ab sin C
( p a ) ( p b) ( p c )
, r
Радиус вписанной окружности r
.
p
abc
Расстояния от центра вписанной окружности до вершин треугольника равны:
Площадь треугольника S
ac ( p b)
ab ( p c)
bc ( p a )
, BI
, CI
.
p
p
p
Центр O окружности, описанной окоC
ло треугольника АВС, является точкой
пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольниB1
R
ка (рис. 50), т.е. прямых OA1 , OB1 , OC1 , где
AI
AC1 C1 B, BA1 A1C , CB1 B1 A.
Центр O описанной окружности равноудален от вершин треугольника, т.е.
OA OB OC1 R.
R
A
O
C1
A1
R
B
abc
.
Рис. 50
4R
Прямые AA1 , BB1 , CC1 , содержащие высоты треугольника, пересекаются в
одной точке H, называемой ортоцентром треугольника (рис. 49).
Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри его, тупоугольного
треугольника – вне его и прямоугольного треугольника – совпадает с вершиной прямого угла.
Для высот треугольника:
1 1 1
ha : hb : hc : : .
a b c
Площадь треугольника S
2 p ( p a ) ( p b) ( p c )
c
.
ctg A ctg B
c
Треугольник HAHВHC, образованный основаниями высот треугольника
АВС, называется ортоцентрическим треугольником (или ортотреугольником)
для данного треугольника АВС (рис. 51).
Высота треугольника hc
33
C
HB
H
HА
А
HС
B
Рис. 51
Свойства.
1. Высоты АHA, BHB, CHC треугольника АВС являются биссектрисами
ортотреугольника.
2. Ортоцентр треугольника АВС является центром окружности, вписанной в ортоцентрический треугольник HAHВHC.
3. Треугольник АHВHC подобен треугольнику АВС с коэффициентом поAH C
добия k
cos .
AC
Треугольник ВHАHC подобен треугольнику ВАС с коэффициентом подоBH A
cos .
бия k
BA
Треугольник СHАHВ подобен треугольнику САВ с коэффициентом подоCH A
бия k
cos .
CA
4. H C H B a cos , H A H B c cos , H A H C b cos .
5. Отношение площади ортоцентрического треугольника HAHВHC к площади данного треугольника АВС равно 2 cos A cos B cos C.
6. AH 2 R cos 4 R 2 a 2 , BH 2 R cos 4 R 2 b 2 ,
CH 2 R cos 4 R 2 c 2 .
34
7. Радиус окружности R, описанной около треугольника АВС, вдвое
больше радиуса RH окружности, описанной около ортотреугольника, т.е.
R 2R H .
C
8. Около четырехугольника
AHCHHB можно описать окружHВС
ность, центром которой является
середина отрезка АВ.
HА
9. Точки, симметричные орHАС
тоцентру относительно сторон треHB
угольника, лежат на окружности,
H
описанной около треугольника
(рис. 52).
B
А
HС
H AB S AB ( H ), H AC S AC ( H ),
H BC S BC ( H ).
HАВ
10. Полупериметр ортоценS
Рис. 52
трического треугольника равен
,
R
где S – площадь треугольника АВС, R – радиус окружности, описанной около
треугольника АВС.
11. Из всех треугольников, вписанных в данный остроугольный треугольник, ортоцентрический треугольник имеет наименьший периметр (минимальное свойство ортоцентрического треугольника).
1.13. Окружность
Длина окружности C 2 R, R – радиус.
Площадь круга S R 2.
Градусная (радианная) мера дуги окружно
сти равна градусной (радианной) мере централь2
ного угла, опирающегося на эту дугу.
Вписанный угол измеряется половиной дуги,
на которую он опирается (рис. 53).
Рис. 53
Вписанный угол в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же самую
дугу.
Угол между хордой и касательной, вмещающий дугу, в два раза меньше
центрального угла, опирающегося на эту же дугу (рис. 53) [2, № 664].
35
Угол, образованный двумя секущими,
пересекающимися внутри окружности,
измеряется полусуммой дуг, заключенными между сторонами угла и продолжения1
)
AB CD
ми сторон. На рис. 54 AOB (
2
[2, № 718].
Угол, образованный двумя секущими,
с вершиной вне окружности измеряется
полуразностью дуг, заключенными между
его
сторонами.
На
рис.
55
1
) [2, № 719].
AOB (
AB CD
2
Угол, вершина которого лежит вне
окружности, и образованный касательной и
секущей, измеряется полуразностью дуг,
заключенных между его сторонами. На
1
).
AmB BnC
рис. 56 AOB (
2
Угол, образованный двумя касательными к окружности, измеряется полуразностью
дуг,
заключенных
между
1
AOB ( AmB AnB ).
2
m
B
D
O
C
A
Рис. 54
B
D
C O
A
Рис. 55
сторонами.
На
m
B
B
n
A
C
рис.
n
O
O
A
Рис. 56
Рис. 57
36
57
Если через точку вне окружности проведены две секущие, то произведения длин секущей на их внешнюю часть равны. На рис. 58
MA1 MB1 MA2 MB2 MT 2 const d 2 R 2 [2, № 670].
A3
T
A2
d
B1
M
d
R
A1
A1
О
R
B1
M
B2
Рис. 58
B3
A2
Рис. 59
B2
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
На рис. 59 MA1 MB1 MA2 MB2 MA3 MB3 const R 2 d 2 [2, с. 165].
ra
rb
Ib
C
ra
rb
N
Ia
K
rb
ra
r
A
B
L
rc
rc
rc
Ic
Рис. 60
Окружность называется вневписанной в треугольник, если она расположена вне треугольника, касается одной из его сторон и продолжений двух других сторон.
Центром вневписанной окружности является точка пересечения биссектрис двух внешних углов и одного внутреннего угла треугольника.
37
Для точек касания вневписанных окружностей (рис. 60) получаем:
AC CK p AB BK BC CN BA AN CA AL CB BL,
CK p b, BK p c, AL p b, BL p a, AN p c, CN p a.
Треугольник АВС является ортотреугольником для треугольника I a I b I c .
Радиусы вневписанных окружностей равны
S
S
S
1 1 1 1
, ra rb rc r 4 R.
ra ABC , rb ABC , rc ABC ,
pa
p b
p c ra rb rc r
Выражение элементов треугольника АВС через радиусы вневписанных
окружностей:
полупериметр: p 2 ra rb rb rc rc ra ;
сторона: a
ra (rb rc )
;
p
радиус писанной окружности: r
ra rb rc
;
p2
радиус описанной окружности: R
площадь: S
(ra rb ) (rb rc ) (rc ra )
;
4 p2
ra rb rc
2r r
; высота: ha b c ;
p
p
ra r
.
2R
Если две окружности касаются, то точка касания окружностей и центры
этих окружностей расположены на одной прямой (рис. 61, 62).
косинус угла: cos A 1
AB 2 r1r2 ,
r3
r1
r2
r3
A
Рис. 61
B
38
r1r2
r1 r2
.
r3
r1r2
r1 r2
.
r1
r3
r2
A
B
Рис. 62
1.14. Многоугольники и окружность
Во всяком четырехугольнике середины сторон являются вершинами параллелограмма.
D
D
BO SABC
(рис. 63).
OD S ADC
O
A
С
B
A
С
B
Рис. 63
Рис. 64
AC BD AB 2 DC 2 BC 2 AD 2 (рис. 64).
1
S d1d 2 sin – площадь выпуклого четырехугольника равна половине
2
произведения диагоналей на синус угла между ними.
Если в выпуклом четырехугольнике ABCD выполняется условие
A D 180o , то
AD 2 AB 2 BC 2 CD 2 2( AB BC cos B BC CD cos C AB CD cos( A D)).
Во всяком четырехугольнике отрезки, соединяющие середины двух противоположных сторон, и отрезок, соединяющий середины диагоналей, проходят через одну точку и делятся этой точкой пополам (на рис. 65 O1O OO2 ).
C
C
D
D
O1
O1
О
A
O2
O2
Рис. 65
B
A
39
Рис. 66
B
Теорема Эйлера. Сумма квадратов всех сторон четырехугольника равна
сумме квадратов его диагоналей и учетверенному квадрату отрезка, соединяющего середины диагоналей (рис. 66).
AO1 O1C , BO2 O2 D, AB 2 BC 2 CD 2 DA2 AC 2 BD 2 4O1O2 2.
Площадь выпуклого четырехугольника со сторонами a, b, c, d вычисляетBD
,
ся по формуле S 2 ( p a) ( p b) ( p c) ( p d ) abcd cos 2
2
abcd
p
.
C
2
D
Многоугольник называется вписанным в
окружность, если все его вершины лежат на окружM
ности. Данная окружность называется описанной
около многоугольника (рис. 67).
B
Около многоугольника можно описать окружA
ность тогда и только тогда, когда серединные перРис. 67
пендикуляры всех его сторон имеют общую точку,
которая является центром описанной окружности.
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов
равна (на рис. 67: A C B D).
Если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна , то
около четырехугольника можно описать окружность.
Теорема Брахмагупты. Площадь вписанного четырехугольника со сторонами a, b, c, d равна S ( p a ) ( p b) ( p c ) ( p d ), где 2 p a b c d
[2, № 1274].
Площадь четырехугольника, вписанного в окружность радиуса R:
(ab cd ) (ac bd ) (ad bc )
.
16 R 2
Если четырехугольник вписан в одну окружность и описан около другой
окружности, то S abcd .
Теорема Птолемея. В выпуклом четырехугольнике, вписанном в окружность (рис. 67), произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон AC BD AB DC AD BC [2, № 893].
Для вписанного четырехугольника (рис. 67)
C
D
AM AB AD
.
MC CB CD
Многоугольник называется описанным около
окружности, если все его стороны касаются окружности, а окружность называется вписанной в многоA
B
Рис. 68
угольник (рис. 68).
S
40
В многоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда
биссектрисы всех углов многоугольника пересекаются в одной точке. Эта точка является центром вписанной окружности.
В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон
равны (на рис. 68: AB DC AD BC ).
Если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон
равны, то в этот четырехугольник можно вписать окружность.
Если около окружности описана равнобедренная трапеция, то боковая
сторона равна средней линии, а высота трапеции равна среднему геометрическому значению ее оснований.
В квадрате со стороной а:
l
a 2
a
, r , a 2r , S a 2 2 R 2.
a R 2, R
2
2
Длина дуги окружности (рис. 69)
l R
Rn
Рис. 69
o
180o
.
R 2 R 2 no
.
2
360o
h R 1 cos .
2
h
Площадь сектора (рис. 69) S
Высота сегмента (рис. 70)
a
R 2
S ,
2
где – радианная мера угла,
Рис. 70
Площадь сегмента S
n o – градусная мера угла.
стороны
правильного
nвписанного в окружность,
Длина
угольника,
an 2 R sin
n
bn
an
(рис. 71).
Длина
стороны
правильного
nугольника, описанного около окружности,
bn 2 R tg
R
.
n
Выражение длин сторон an и апофем
ha
ha правильного n-угольника через радиус
Рис. 71
R описанной окружности даны в таблице 1:
41
n3
n4
n5
an
R 3
R 2
hn
R
2
R 2
2
R
10 2 5
2
R
( 5 1)
4
n6
R
R 3
2
Таблица 1
n 10
n8
R 2 2
R
2 2
2
R
( 5 1)
2
R
10 2 5
4
Выражение радиуса R описанной окружности, радиуса r вписанной окружности и площади Sn для правильного n-угольника через длину стороны a даны
в таблице 2:
Таблица 2
Sn
n
R
r
3
a 3
3
a 2
2
a2 3
4
a2
4
a 3
6
a
2
a 5 5
a 5 2 5
a 2 5(5 2 5)
4
5
6
8
10
а
a 2 2
2
10
a(1 5)
2
n
a
2sin
2 5
a 3
2
a(1 2)
2
a 5 2 5
2
a
ctg
2
n
3a 2 3
2
2a 2 (1 2)
5a 2 5 2 5
2
n 2 Pn r
a ctg
n
2
2
n
1.15. Прямые и плоскости в пространстве
Параллельность прямых и плоскостей.
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в
одной плоскости и не имеют общих точек.
Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не
лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и причем
только одна.
42
Две прямые называются скрещивающимися, если не лежат в одной плоскости.
b
Признак скрещивающихся прямых. Если одна из
двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая
прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей
на первой прямой, то эти прямые – скрещивающиеся
а
(рис. 72).
Лемма о пересечении плоскости параллельными
Рис. 72
прямыми. Если одна из двух параллельных прямых
пересекает данную плоскость, то и другая прямая
пересекает эту плоскость.
Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
а
Признак параллельности прямой и плоскости.
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскоb
сти, то она параллельна самой плоскости (рис. 73).
Через каждую из двух скрещивающихся прямых
Рис. 73
проходит плоскость, параллельная другой плоскости,
и притом только одна.
Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой
плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости,
а другая прямая имеет с плоскостью общую точку, то эта прямая лежит в данной плоскости.
1
Две плоскости называются параллельными, если
они не имеют общих точек.
a1
b1
Признак параллельности двух плоскостей. Если
две пересекающиеся прямые одной плоскости соот2
ветственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны (рис. 74).
a2
b2
Свойства параллельных плоскостей.
А). Если две параллельные плоскости пересечеРис. 74
ны третьей плоскостью, то линии их пересечения
параллельны.
Б). Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными
плоскостями, равны.
Перпендикулярность прямых и плоскостей.
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости,
то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
43
Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежаа
щим в плоскости, то она перпендикулярна к этой
плоскости (рис. 75).
Через любую точку пространства проходит
прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и
с
b
притом только одна.
Теорема о трех перпендикулярах. Прямая, проРис. 75
веденная в плоскости через основание наклонной
перпендикулярно к ее проекции, перпендикулярна и
а
к самой наклонной (рис. 76). Если b a1 , то b a.
Теорема, обратная к теореме о трех перпенди
кулярах. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпена1
b
дикулярна и к ее проекции (рис. 76). Если b a, то
b a1.
Рис. 76
Расстоянием между прямой и параллельной ей
плоскостью называется расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.
Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из плоскостей до другой плоскости.
Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проведенной через другую прямую параллельно первой прямой.
Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на эту
плоскость.
а
Две пересекающиеся плоскости называются
2
перпендикулярными, если угол между ними прямой.
Признак перпендикулярности двух плоско1
стей. Если одна из двух плоскостей проходит через
прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то
Рис. 77
такие плоскости перпендикулярны (рис. 77).
Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две
данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.
Существует и притом только одна прямая, пересекающая две данные
скрещивающиеся прямые и перпендикулярная к каждой из них. Отрезок прямой, заключенный между данными прямыми, называется общим перпендикуляром данных скрещивающихся прямых и его длина равна расстоянию между
скрещивающимися прямыми.
44
Изображения фигур в параллельной проекции.
Пусть заданы плоскость и прямая l, которая не лежит в этой плоскости
и не параллельна плоскости (рис. 78).
Для произвольной фигуры F рассмотрим проекцию каждой точки этой
фигуры на плоскость
вдоль направления пряF
мой l, т.е. через каждую
точку M фигуры F проl
ведем прямую, параллельную данной прямой l
M
и найдем точку пересече с плоскостью .
ния M
– проекция
F
Пусть F
F
фигуры F на плоскость
M
M
вдоль направления l и
Рис. 78
F – фигура, подобная
фигуре F , тогда плоская
фигура F называется изображением фигуры F на плоскость вдоль направления l при параллельном проектировании. Фигура F называется оригиналом
для изображения F .
Если прямая l перпендикулярна плоскости , то проектирование называется ортогональным.
Каждая фигура по
C
добна самой себе с коэффициентом, равным единице, поэтому в качестве
изображения фигуры F
Рис. 79
A
B
можно рассматривать фи , т.е. проекцию фигуру F
A
B
гуры.
Если заданы плоскость , прямая l и фигу C
C
ра F, то изображение всегда можно построить, но не однозначно, так как если построено одно изображение, то все фигуры, подобные этому изображению, также являются изображениями фигуры F.
В плоскости задан треугольник ABC, а в плоскости задан треугольник AB C (рис. 79). Можно ли указать направление проектирования треугольника ABC в некоторый треугольник, а затем преобразование подобия
этого вспомогательного треугольника в треугольник AB C ?
45
На отрезке AB построим треугольник ABC , подобный треугольнику
AB C . Проектирование плоскости на плоскость в направлении прямой
СС переводит треугольник ABC в треугольник ABC , а затем подобием переведем треугольник ABC в треугольник AB C .
Итак, доказано важное свойство: любой треугольник AB C можно считать изображением данного треугольника ABC.
Параллельное проектирование и подобие отображает точки, принадлежащие одной прямой, в точки, принадлежащие одной прямой; отображает параллельные прямые в параллельные прямые.
Параллельное проектирование и подобие сохраняют отношение длин отрезков на одной или на параллельных прямых. Сохраняется простое отношение трех точек на прямой, т.е. если три точки A, B, C оригинала лежали на
одной прямой, то соответствующие точки A, B , C изображения также лежат
на одной прямой и выполняется равенство
C
AB AB
.
BC B C
Построение
изображений многоугольниN0
M0
ков выполняется на основе этих свойств.
Пример 1. Пусть
треугольник AB C явN
M
изображением
ляется
правильного треугольника. Изобразить квадрат,
вписанный в правильный
K K0
L0
L
B
A
треугольник.
Решение.
Первый
M
N
шаг – восстановление
Рис. 80
оригинала.
C
На стороне AB
(рис. 80) построим равносторонний треугольник AB C , который можно считать оригиналом.
Второй шаг – построение искомой фигуры на оригинале.
Чтобы вписать квадрат в правильный треугольник, вначале построим
произвольный квадрат KLMN, одна сторона которого лежит на стороне AB и
одна вершина квадрата расположена на стороне AC. Пусть прямая A M пересекает сторону BC треугольника в точке M 0 . Из точки M 0 строим квадрат
46
K0 L0 M 0 N 0 , подобный квадрату KLMN , используя параллельность соответствующих сторон квадратов.
Третий шаг – построение изображение для фигуры оригинала.
Проводим прямую СС, которая указывает направление проектирования
оригинала на изображение. Проектируем вершины квадрата K0 L0 M 0 N0 на
вершины треугольника прямыми, параллельными прямой СС . Параллелограмм K 0 L0 MN – искомая фигура, т.е. изображение квадрата, вписанного в
правильный треугольник.
D
C
A
Рис. 81
B
D
C
A
D
B
C
A
B
Изображение пространственных фигур выполняется по тем же правилам,
что и для плоских фигур, но с использованием основного закона изображения
тетраэдра: вершины любого четырехугольника AB C D вместе с диагоналями
могут служить изображением данного тетраэдра ABCD (рис. 81).
Рассмотрим построение пространственных фигур и их сечений.
А) Метод следов. Пусть известны две точки M, N секущей плоскости в
одной плоскости (рис. 82) и одна точка K в другой плоскости . Требуется
определить линию пересечения плоскости MNK и плоскости .
Пусть плоскости и пересекаются. Определяем линию пересечения
этих плоскостей l (рис. 83), продолжаем прямую MN до линии пересечения этих плоскостей, т.е. определяем след секущей плоскости на плоскости
и переходим на другую плоскость .
47
M
l
M
K
K
N
N
Рис. 82
Рис. 83
Если плоскости и параллельны (рис. 84), то через точку K проводим
прямую l, параллельную прямой MN.
M
N
M
l
N
K
l
K
Рис. 85
Рис. 84
Если прямая MN параллельна плоскости (рис. 85), то плоскость MNK
пересекает плоскость по прямой l, параллельной прямой MN.
Пример 2. Построить сечение призмы ABCDAB C D плоскостью MNK
(рис. 86), где M , N ABBA, K CDD C .
Решение. Найдем линию пересечения передней плоскости ABB A и задней плоскости CDD C , AB CD E, AB C D E , EE – прямая, по
которой пересекаются эти плоскости.
Находим точки пересечения секущей плоскости с плоскостью ABB A :
MN AA P, MN BB Q, MN EE R.
Находим точки пересечения секущей плоскости с плоскостью CDD C :
RK CC S , RK DD T .
Четырехугольник PQST – искомое сечение.
48
D
C
A
E
B
T
K
S
R
P
D
Q
N
M
C
A
Рис. 86
E
B
Б) Метод параллельного проектирования.
Пусть известны три точки M , N , K секущей плоскости. Требуется определить точку пересечения плоскости MNK с прямой l. Обозначим неизвестную пока точку пересечения через P (рис. 87). Спроектируем все точки на
некоторую плоскость в направлении прямой l . Получим проекции
M 0 , N 0 , K 0 , P0 (рис. 88). Пусть M 0 K 0 N 0 P0 O0 . Через точку O0 проведем
прямую m, параллельную прямой l. Пусть MK m O, тогда
искомая точка.
O
P
M
l
N
P
m
M
K
N
l
K
P0
M0
Рис. 87
N0
O0
Рис. 88
49
K0
P NO l –
Пример 3. Построить сечение призмы ABCDAB C D плоскостью MNK
(рис. 89), где M ADD A, N ABB A, K BCC B .
C
D
P
A
B
S
Q
K
M
T
N
R
D
M0
K0
S0
A
Решение.
C
s
N0
B
Рис. 89
M 0 AD , MM 0 AA, N 0 AB , NN 0 AA , K 0 BC , KK 0 AA ,
M 0 K 0 N 0 C S0 . Через точку S0 проведем прямую s, параллельную CC .
MK s S ,
NS CC P,
PK BB T ,
TN AA R,
Пусть
RM DD Q. Четырехугольник PQRT – искомое сечение.
1.16. Площади и объемы
Объем прямоугольного параллелепипеда V abc, где a, b, c – ребра, выходящие из одной вершины.
Sh
Объем пирамиды V
, где S – площадь основания, h – высота.
3
1
Объем тетраэдра равен V abd sin , где a и b – противоположные ребра,
6
а d и – расстояние и угол между ними.
h
Объем усеченной пирамиды V ( S1 S1 S 2 S 2 ), где S1 , S2 – площади
3
оснований, h – высота.
50
Площадь боковой поверхности усеченной правильной пирамиды равен
1
Sбок ( P1 P2 )ha , где Р1, Р2 – периметры оснований, ha – апофема боковой
2
грани.
Pa
, где P –
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды Sбок
2
периметр основания, а – апофема.
S
Sбок
, где S – площадь основания, – величина двугранного угла
cos
при стороне основания.
Sh 1 2
r h, где S – площадь основания, h – высота.
Объем конуса V
3 3
Площадь боковой поверхности конуса Sбок rl , где l – образующая конуса, r – радиус основания.
Площадь полной поверхности кругового конуса Sпол r ( r l ).
1
Объем усеченного конуса V h ( R 2 Rr r 2 ), где R, r – радиусы ос3
нований.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса Sбок ( R r ) l.
Площадь
полной
поверхности
усеченного
конуса
2
2
Sпол ( R r ( R r )l ).
4 R 3
, где R – радиус шара.
3
Площадь поверхности сферы S 4 R 2 .
Объем шара V
Шаровой
сегмент
h
Шаровой сектор
R
Рис. 90
h
Объем шарового сегмента V h 2 R (рис. 90).
3
Площадь сегментной поверхности S 2 Rh , где h – высота шарового
сегмента.
2 2
R h.
Объем шарового сектора V
3
51
Площадь поверхности сектора
r2
S R(2h 2 Rh h 2 ), где h – высота шарового сектора (рис. 90).
Объем шарового пояса (слоя)
h 2
(3r1 3r22 h 2 ).
(рис. 91) V
6
Площадь шарового пояса S 2 Rh,
где h – высота шарового пояса.
B1
h
r1
R
Рис. 91
T
C
B
O
B1
A1
A1
Рис. 92
C
A
A
Рис. 93
SOAB
OA OB
(рис. 92),
SOA1B1 OA1 OB1
B
VABCT
TA TB TC
(рис. 93).
VA1B1C1T TA1 TB1 TC1
Отношение площадей подобных фигур
равно отношению квадратов соответствующих линейных элементов (рис. 94)
SOAB
OA2 OH 2 OM 2
.
SOA1 B1 OA12 OH12 OM 12
B1
O
H
M1
M
A1
A
T
C1
A1
H1
M1
B1
2 3
a;
12
2
a;
высота тетраэдра h
3
объем тетраэдра V
радиус вписанной сферы r
H1
Рис. 94
Отношение объемов подобных фигур
равно отношению кубов соответствующих
линейных элементов (рис. 95)
VABCT
TA3 TH 3 TM 3
.
VA1 B1C1T TA13 TH13 TM 13
Для правильного тетраэдра с ребром a
(рис. 96):
площадь поверхности Sпол. 3a 2;
B
C
H
A
Рис. 95
M
B
6
6
a; радиус описанной сферы
a.
12
4
52
51 ( 4 4 4 2 0L+
3( " ! 4 :
1"1 " gRQ 2 #
% ' ( ' "1
44 , ( 4 4, '
" 1, " 3
2 ""12, " "
4 1 1:"1 2 4
4 ,
0 2
" 3 0 " "#G- #
> " " ' ( #
C $ 14 , "
4$ 1 4,! 4 $
!( 4
!( < "#GH #
8
#
@!J X
@!" $ 0"4 , " 1
4 $ 1 4
2 ""12, 3 !
4 ( "
: "#GG #@!J!"
X
8#
+
8
L
I
;"#G
+
8
+
;"#G-
%6 ( ! 2" "# 3(4 ' 2 " ,
"4 " ,<( ' (: " :: (
3", ( " :' " ( 1 , ""
! ' :6'" ( ( "1"":,##
+! ( #
8
8
;"#GG
;"#GH
;"#
+
+
+
+
+
+
+
+
+
;"#
% "F$ ( , " 1 ( , ", " ", '
,<( ,0 ", ' ( "# ,4( !J4
8
X F + + .+ ,
4( + $ 6 ( 34 " 1A + $ 6 ( 24 " 1A + $
6 ( "1 "":,
" : 2(16 '
" ( " K: $ " #
.
##$C 1 ' 1 '1 '
' "1 " 44 , 44 $
" " ," " 0 44 3 " #
@ "14 ( 3 " " (" !
'#b " " 1 1"1 "10"" ( 2
( 1 2 "" ! ( #
K!2( (" " , (
3 " " ,"" ,! 3! " 3"
" 1#
K!2( (" " 1, 2 ' 3
" " ,"" ,! " 1 ' 3
" 3"! ' ! 1#
K!2( (" " 1, 2 "
( 3 " " , "" , ! (4'"
3(
3 " 3" ! ! ! !
"!#
' "1 " 44 ," "" "24
44 " :"1" 2, " 3 2 24
#% 44 ' "1 " " #
/ ' ( 3 " " ( #
b " " 1 1"1 "1 2 !"" 2
"", 2(162 ' ! ( #
/
: ( 3 " " ( #
/
: " : ( 3 " " 4(
4( ,4( " ( " 3", " 2
" 1#
/
: ' 3 " " 4( 4( ,4(
" ' ( 3", " " #
/" " ( :')(#% 1 1, ( 1 ' 0 :
"1( Y 4 ')(, " " ,
4( M,"#N
Y #
% " ( 6 ( 4 "
" +,+,+,+M$< " " ( ,4(
M,"#N
+ M + M + M + M #
##(3 ' ' '
I
pZ
I
H
H
I
Z
Z
H
I
;"#
/:! 4')( "# " ( " H , H , H , "
1 " 4 I , I , I " ( ' , "(1:62
< 4 I" 0 4 ,##',),( "
3 ( 3"# @ 3" ' "1 3": ( 1
, 3":9 M,jHGN#; ( " 3"( 1
( " " 3"#
@ 3" ( 1
3G " "1
" 3" 3M
"2 " 2
3" 3 , 3 ,
3
3 4 ')(
"# #
3
3k
3G
;"#
3
/ :! 4
')( "#. <
" 3",
"1 ( H,
< : 3"( 1
"1
I
" I " 3
' 1( ( H
H
1, ' 1
9 M, j GN,
H
H H I #
I I
-""NO/"#/:
! 4 "#
H
I
( " " 3
", ( " "
3" ""1
;"#.
3( < 2
3"
" 1'
"
M,jHG.N#
-"" ["# % " 4
')( " 2)(,('')
2
(312 '1 "
M
" ', ) (, " ( :
6 " 0 4 "#
,- #?4( " 1 '',))
(( " :"1 (
,
#
;"#
@! " 1"1 " , 1 '',))((!
" :"1 (,!
#
'
'
'
'
;"#
;"#-
-
'
'
'
'
;"#H
;"#G
-"" \""/3# % " 4 ')( " 2 )(, (' ')
2 (312 '1 " " ',)(," ( :
6 " 0 4 "# H, G # ?4( " ', ) (
3 ( 1,
#
@! " 1"1
" ,
:
:
',)(3 ( 1#
-"" ]0T# / "
:
3" "# 2 4 "
( ( 4 :, : < : "
3" " 3 ( 1#
% 1 , "(1:6 0
;"#
4 " " 1 "
3", " :"1 (
^, ' D 4 "#
#
@ ', "(1:6 0
4 " " 1
" " 2
" 2
3", " :"1 (
, ' K 41 "#
#
'
^
'
;"#
(
H
)
;"#
?B (1
'
4 ' "1
F, (1 "
""1 ( 0
4
1 1"1
#
?
? (1 4
' "1 , '
" "
4 ( (
F
4 # 7" 4
4
0
, B
? "
( : (1 ( 4
4 #
% " '(), ()'
;"#
"
)'( $
4,
"
4
')(, 4( B
1 1"1 "1 ' '',))(( "#
G
F F F Y[^ > > > , 0F 0F 0F #
>
% " 4 ')(,
" 3", $
' 1 3",
$ ( 1
, 6 '
" "
1 ')
)( '( 4( " 1
( 1 , ## ( '
) " 3 ( 1
, ' 1
" "#. #
% 1 1 " ,
;"#.
3 6 " 3
", ( ', "
(1:6 " < 4 #
/ 4 3( 1 "
( 2 , 3 62 3
", " 4 ')(,
4 ( 4#
7" " 2 ( 4 4
4 "
"
'
4, < " 2
4 1 1:"1 0
"
4 4 , ' 4 0
4 K #
@ 3", " " 2
;"#
4 , : !6 : "#
#
; '" 6 ( 04
4 4 K
J
(1 ' 4 4 ')(
W
6 ( 4 ')(#
&
-"" VVD2"# % " 2 (
LJ H 2(1 ' " ( (
2 ( ') 3"# ?4( 1
L HJ " : 1 :')
L
2,
( 2 (
&rW "# #
H
;"#
-"" Q2/3# 7"
0" 4 "
3"
3 2 "
" :"1,
"1 "
3 (
1
"#- #
-"" P$##
@ ',
"(1:6
3 0
" 4 0"
4 , " :"1
( "#H #
% " & $
'
1 (
&
4 4 ')(
" & , & , & $
( 1 , 6 " "
" , , 4
"# G # ? 4 ,
0 4 1 1:"1 " 1
( 1 , ' "1"@/0
"4B/0$2 (1 4 ')(
!# ? ! ' "1 (
(1( 4 4 ')(#
7" ! 1 1"1 <
3", " ( 4
4 ')(, ##
1 1"1 "
1 " ( 2
;"#G
( 1 "
4 ,
0
( 4
4 1 1:"1
)
" ( "
(
4
' "1 "
" ( 4
( 4
')(#
'
E
W
;"#-
E
F
;"#H
(
'
!
(
)
7" !1 1"1 < 4 ')(,##
"1 4 ", 0 ( 4 4 1 1:"1 "
1 " "2(4 4 4 ' "1
4#
7" ""11 ( ( 0 4 ')( "
" , , _,( " ( 4 4
h , h , _ h , 4($ ( " " 3"#
-"" ]"OV"B
(
MG, "# N# ?
( 4
(!
"2(
;"#
4
"#
'
#
-"" `"RB#
(
7" 0 ( 2
'
4 ')(
)
)
')(
" 3
)
(
,
1 '',
'
)), (( " :"1
(,
"1 "
(
'
)
" :62
"
, , 3 ( 1 "# #
;"#
:V3 "" `"RB# 7" " " :6 " ( 2
4 ')( ')( " :"1 2 2, 3 62
( 1, 1 ,"(1:6" " :6 0 ,
" :"1 (#
-"" a4# 7"
1 1 " 1
, "( 3 6 "
'), )(, (' 4
')( " "
2 (, ', ), " (
' '', )) ((
3 (
1
"# #
-""
U"OV$.#
;"#
; ""11 :!
"" ( 0 4
')((< 13"H 4
"# " 1' "
H H H H #
-""\/"3#% " 4
')( ( " " 4 $'',
'', )), )), ((, ((, ## ', (
H
16 4
" "#
. , 4( "1 "3 2
;"#
" " 4 ! ' :
"
4HL#
)
(
L
(
.
H
.
.
)
)
;"#.
(
? "1 "3 2
, (162
" 0
4 ' 4 4
')( ! ' :
"
4HL "# #
-"" (T# 7" , , $
" 4 ')( "#
( " )( ,
, ,
H
#
;"#
L
'
;"#
E
(
)
;"#-
-"".$/01"R21 "#- #
E
,
, E , 4(
% "
#
E
E
-"" );:V"/3# % " M N ,
'
M N , M N, H ,
4(
H
"#H #
H
##/4 1
H
(
;"#H
)
51( 2 A A _ , A A _
""13( _ _ A
! ` A A _ _aA
_ _
,
, _ A
4 ( H, (16 ' 0 4 , ## , (1
( " ( '
1"1
" H 4 H
.
1 KK
% "' (
K ,
K
43(
gRQ 2
,
#
K ,
K #
Ve2
K!2((" "
1 KK
#
"
1 2K K
b #
K!2((" " " (1 1 2K K
b b #
K!2((" " ( 1 " 1 2
b#
5 H , K
$
""1 H A (
1
K #
*:! 1 "" 1 4( ""3! ' (
_ , 4( , ! , "1
" (1 ""#
/ `A A a 1 1"1 ( 1 "" ' "1
""#
c"$"/2$" `A A a 2(16 1 '
H A A _ _ _ #
% "' ( ""
_ , 4( A
"
" "
"
_
, 4(
" ""
(1 ""
#
( 1 " ""
#
#
#
; " 3 "" _ " ""
(
66 d 7 _ A 66 d 7 _ A
66 d 7 _ A 66 d _ 7 A
66 d_ 7 A 66 d_ 7 A
7 _ #
5 H , K
_
""1 H A A _ ( "
$
" _ #
2(16 ' H A A _
c"$"3O",
` A A a
Z
" 1b* 5 b *5 _b_* 5A
_ _
#
! " 1
1 '( H A A _ , H A A _
_ _
#
_ _
$
3" " < H ,
( " #
_ _
$
"
"
<
H , , _ ( " #
Q[^ 2
$ " 4 2 3(
` A A a "": _
#%-&
(
Q[^
gRQ
Ve
gVe
,
(
.
#
(
(
(
(
.
(
,
-
(
(
(
,
,
,
, gRQTg
, Q[^ gRQ , Ve
,
gRQ
Q[^
gRQ
Ve
Q[^ gRQ
,
Ve
gVe
QTg
gRQ Q[^
Q[^
Ve
Q[^
Ve
gVe
gVe
,
gRQ
,
gRQ
gVe
Q[^
gRQ
,
Q[^
Ve
gRQ
Q[^ Q[^ gRQ gRQ Q[^ , gRQ gRQ gRQ
gVe
Ve
Q[^ Q[^ ,
Ve Ve
Ve
Ve Ve
, Ve
, Ve
,
Ve Ve
Ve
Ve
Q[^ Q[^ gRQ , gRQ gRQ Q[^ ,
Q[^ Q[^ . Q[^ , gRQ . gRQ gRQ ,
Q[^
Q[^
gRQ
gRQ
gRQ
,
, gRQ
, Ve
gRQ
Q[^
Ve
Ve
, Q[^ Q[^ gRQ gRQ ,
Ve
Ve
gRQ gRQ
Q[^ Q[^
gRQ gRQ
, Q[^ gRQ
,
Q[^ , 4( ZUgQ[^ ( , e , Q[^ ( ,
Q[^
, gRQ
Q[^
(
( , Q[^
Q[^ gRQ
b
Q[^ 2 ,4( gRQ 2
Q[^ gRQ
Q[^
,
H
(
( "# #
,Q[^ 2
gRQ b
,
(
Q[^
;"#
(
Q[^
(
Q[^
( (
( ,
, ZUgQ[^ ,
(
Q[^
( ( ( ,
, ZUgQ[^ ,
ZUggRQ ( , e "# ,
gRQ , 4(
gRQ ( , gRQ ( ( , gRQ
gRQ
(
gRQ
( ,
(
(
( ,
, ZUggRQ ,
gRQ
(
( ( ( ,
, ZUggRQ ,
;"#
G
Ve
( ( ( ,
, ZUgVe
Ve
(
(
(
Ve
(
(
( ( ( ,
, ZUgVe
;"#.
Ve ZUgVe ( , e , "#. #
(
(
gVe
( ,
, ZUggVe
(
( ( ( ,
, ZUggVe
gVe
gVe
;"#
gVe ZUg gVe ( , e "# #
-
(
"
'
1 9
ZUgQ[^ Q[^
ZUg Ve Ve
(
(
(
(
, ZUggRQ gRQ
(
(
, ZUg gVe gVe ( ,
( (
A N, ZUggRQ MA ( N,
( (
ZUgVe ZUggVe , E ZUg Ve A , ZUgg Ve A ( ,
ZUgQ[^ ZUgQ[^ , ZUggRQ ( ZUggRQ ,
ZUg Ve ZUg Ve , ZUgg Ve ( ZUg gVe ,
ZUgQ[^ MAN ZUggRQ , E ZUgQ[^ M
ZUgQ[^ ZUggRQ
(
," MAN, ZUg Ve ZUgg Ve
(
,
Q[^ZUgQ[^ , " MAN, gRQZUggRQ , " MAN,
( (8
ZUgQ[^Q[^ , 4( A 9 Q[^ Q[^ ,
:
( (8
ZUggRQgRQ , 4( A 9 gRQ gRQ ,
:
VeZUgVe , gVeZUggVe ,
( (
ZUgVe Ve , 4( A Ve Ve ,
ZUggVe gVe , 4( A ( gVe gVe ,
Q[^ZUggRQ , gRQZUgQ[^ ,
Q[^ZUg Ve
Q[^ZUg gVe
, gRQZUg Ve
, gRQZUg gVe
ZUgQ[^ ZUggRQ ZUg Ve
,
,
ZUg gVe
," ,
," ,
ZUg gVe
," #
ZUg Ve ZUgg Ve ZUg Q[^
ZUg gRQ
ZUggRQ ZUgQ[^ ZUg Ve
-
,
#%#
,
, 6 ,6
, , , 6 , 6 , , 6 , 6 ,6 ,
,
6
6
, 7 7 ,
, , , ,
\^ , \^ , \Re
, Q[^ gRQ , gRQ Q[^ ,
\^
Ve
, gVe , ZUgQ[^
, ZUggRQ
,
gRQ
Q[^
,
, ZUggVe
#
a""$D"2$O / $R@O , $ 4" 4 " ":
d " A , 4 < , , ## 562 , #
ZUgVe
, , $
" ,
A #
G$R$D"2$O / $R@O 9 5 $ " " , (
3 6"1
1,"
(1"1 ' 9 9 5 5$ 1#
; , , , ; , , ,
; , ; , , ; , 6 ; , ; 6 ,4(
; f g fg ; g f $4 "1,
; , ; , 2 5 2 5 5 $4 '
;
; Q[^
; gRQ
;
gR^QV,
,
\^ , ; gRQ Q[^ ,
, ;
\^
gRQ , ; Ve \^ gRQ , ; gVe \^ Q[^ ,
Ve , ;
ZUgQ[^
Q[^
,
gVe ,
, ;
ZUgVe , ,
; \^ , , ; \^ #
-
7" F $ ! ' 1(1 < , ,
' 1(1 < , #
%6 ( < "#
,4 " 2 4
< , , , " "
" " 1 ,
"' $ ' MA N " , "1
4
F $ !
,
1
:
"1 + ; , #
7" , , $
< MA N
1"1 " , , (1 :
!4 MA N "# - , 6 (
4 , ' :3( 1,
"1"1
+ ; , , #
;"#
,
4
,
1
:
;"#-
7" 1 ' (
, , ( K ( 4 3(
A , , "1"1
K;
2
5
#
%6 ( 4" "#
H , 4 4 , ' (
:
;"#H
1 2 ( 2 2
( 1 2 2 , , "1"1
2 2 #
;
@!J 61 "#G ,
4
< 4 4
1 ,
< , ,
4
" ,
":
4
+
;"#G
X ( ; , #
:
,
-
1
%6 ( 2", ! '
6 4 " :1 ( 4
, , 4( "1"1 & ( ; #
#%%&
1
/ 1": "! 1 ' ' "10" ! 4 1 2
(1'"2( " "2 '3 2"2( ,## & #
"! ') ' "1"! !' ,
"""1 1 21! (4'"! ')#
% ' ( "! ' ) ' "1 "! !' ') ,
"""1 ( " "! ')#
! 1 ' :"1""$, " 1 (4' 2 "
: 1 ( 42"! (3" #
! 1 ! ' : /4T B44, " ": : ( 4 ( 4 ##
" " , ' !1' '(('2#
5 " " 2"! 1,! ' :62 :4 "! , '
:"1 $/h$# ! , 3 "! : ', !
' : # ! $ (" "! , "! $ '
3"! , & , & , & & #
/ 1" 1 1 (4 ' ( 2 " " 2 "! !' '
4
"
1" 2 "! , ##
& & & #
/ 1" 1 121! (4'( 2" " 2"!
" 1"2"! !' 1"2" "4 1
1,## & & & & #
5 "! 1 ' :"1"R$$$," 1" 3(4'2
' " 1 1 1 1( 44"! 1#
/ 1" " "4 1 1 ( 2 ' " 2 "!
' (: 1"2"! ,## & & & #
/ 1" "! 1 ', 3 " 0 1
(4 ' " " 2 "! 4 ' ), ),F,), ! ' :62 :
4 ,
" ' ( 1" 3( ' 4 ' "
" :6 : " : 1""! 1',##
& & & & & ### & &
$ 1",4( & & ### & #
% " ("1" , 3('2 1"
1 1"! 1' ' ""2( ( 42" #/ 1
"4,"! ' " ' " 12,
&
$ O #
-.
#%): ' 1 '
5 ' ","( 3 6("1 (<,' " "1
( #
;' " ### ### #
5 + g 5 , 4(g$" ",5% 1#
(11" " g"
( "4
#
!6 1
X
X
X
X X
X X
;"#.
X
% "'( 3"1"" ": X , )"" ": X #
7"( 3 "1'(4 1 3" (
X X , " " ( 1 ' )
X X "#. #
7" ( 3 "1 " ," ""!31 X X #
; ! 5 ,4( $ ' (",## ! ' (<
,5$ 1#
;" " !4 , 4 !4 ! 0
i+ , 4(i%"3 " " '" ' (< ( ,+$( #
;" " 1" < i5 , 4(i%"3 " " '" '
(< ,5$ 1#
9 ', ' '
+#
7"< ! :< ! 0" 1' " , ,
s+
## , , ! :( 3 ! 0 s#
7" < ! : < (3 " 1' "
, . , ! :(0 (3 .s#
-
, , ##
7"
! :
( 3
! 0
s,
##
, ,
,H , , ## ! 0 (0 ! : s#
% "" + 3 ! (s4( 2,4( (
' 4( + + , , ## ( "1 ',
4( , + + #
7" " ( "1"1 34( s, '
( " ( ! (
+ + , + #
'4$"3 1" / 2"@$ $ " 3"14 3
434(4 3 "1 1 "" ( 1#
7" '1 ! " ( + (s4( 2, '4(
4 (4 "
+ + , , ## '1 1 "
"1 ',4( # + + #
% " < 3(4 4( ' ( = ! , 4(
" (4 < 44( " + + > #
/ 44( (4 "1 ' "
=" (4 "" + + > + > > + > #
%" < 44( " (4
+ + > +
>#
%" " (4
.
+. + . > + .
>#
7" " ": 4 "(4 =,
> #
+
/ ! "" "1
+
>
#
`$AA"".$3 1" / 2"@$ A 3"1 3 "
"' "1" 4 01" 4(4 ' (3
" < " 0 :"1 "(4 #
% " '1# ! " L ( ,
(4 (3 0 "134( (3" #2 "
"( :6 1# 1 3(4 4( ! "1 s 4( 2, "
1 ( ! (3 "(4 <
3#@ (!6 :" ! ' (#
!"#"$"54 (! 0 "1 34(
-
L,
L L
L L
,
,###,
, , #
K "1! <
L
L L L
L
,
,
,###,
,
#
/ ! ""1'( 2 "#@( "1 1"1 "1
L
4 0: " '
# / 1 ", < 3,
" < #/ ! 34(
L
L L
L L
L
L L L
L
,
,
,###,
,
#
@!6 1"
L
L
L
L
L L
L
r
###
>
L ###
L
r L
L
#
L
$!6 1 " ! '
> L
(L, '1 (s4( 2,"(4 0 "1 ( 3
#
1'
1 '!1 !
, .#
. F .
, . . .- F
>" .,.,.-,, ,F, $ " " , 3"1, (
(1 " 2", , . . $"" "c
8 ' ,' 1 < , . 1 1:"1
" " , ( ( "#
'!
% " ! "1 ( ' ( 4 ( (" 1# 7"
(" 3 " "! , " 4 (" $
" "! ,( (" 13 " "! #
--
Глава 2.
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ И
ОЛИМПИАДЕ
2.1. Задачи с параметрами
1. Линейные уравнения и неравенства
Пример 1. Решить уравнение ax b с параметрами a, b относительно неизвестной величины х.
Решение. Типичный ответ x = b/a. Иногда добавляют условие а 0.
На вопрос «Найдите решение уравнения ax b при a 0 » учащиеся
отвечают: «На ноль деление невозможно».
Ошибка заключается в том, что данное уравнение и уравнение
x b a не являются равносильными.
При a = 0, b = 0 любое число является решением уравнения ax = b, а
при а 0, b 0 уравнение не имеет решения.
Ответ: если a 0, то x b / a; если a 0, b 0, то x R; если
a 0, b 0, то .
Пример 2. Решить уравнение x 3 a.
Решение. Так как х 3 0, то при a 0 данное уравнение не имеет
решений. Если a 0, то уравнение x 3 0 имеет единственное решение x 3 0. Если a 0, то, используя определение модуля числа, получаем: x 3 a, если x 3 0, или x 3 a, если x 3 0.
Таким образом, х 3 а х 3 а при а 0 .
Пример 3. Решить неравенство 2ах 3 a 6x.
Решение. 2 ax 6 x a 3 2 x a 3 a 3. При a 3 0 получаем неравенство 2 х 0, которое не имеет решений. Если а 3 0, то
разделим неравенство на а 3 .
Если а 3 0, то получим 2х 1. Если а 3 0, то получим 2x 1.
Ответ: при a 3 x 1/ 2; при a 3 ; при a 3 x 1/ 2.
Пример 4. Определить количество корней уравнения x 1 a в зависимости от a.
78
Решение. Строим графики (рис. 1) функций y x 1 (сплошной линией) и y a (пунктирной линией) и определяем количество точек пересечения.
Ответ: при a 0 решений нет; при a 0 одно решение; при a 0
два решения.
y
1
x
Рис. 1
Решите эту задачу аналитическим методом, используя определение
модуля числа.
Пример 5. Сколько решений имеет уравнение x 1 ax в зависимости от параметра a?
y
1
Рис. 2
x
Решение. Строим графики (рис. 2) функции y x 1 (сплошной линией) и y aх (пунктирной линией) и определяем количество точек пересечения.
Ответ: при 0 a 1 два решения; при a 1 или a 0
или
1 a единственное решение; при 1 а 0 нет решений.
Пример 6. При каких значениях параметра а уравнение
a x 2 x 1 имеет единственное решение? Найти это решение.
79
Решение. Построим график функции y x 1 и семейство графиков
y a x 2 (рис. 3).
При фиксированном значении а график функции y a x 2 состоит из двух лучей, симметричных относительно вертикальной прямой x 2.
Если 1 a 1, то лишь
один луч ломаной линии
пересекает
прямую
y x 1, причем абсцисса
точки пересечения удовлетворяет условию x 2. Из
уравнения
a ( x 2) x 1
y
O
x
2
2a 1
.
находим x
a 1
Рис. 3
Ответ: при a (1,1] уравнение имеет решение x
2a 1
.
a 1
2. Применение метода интервалов в квадратных неравенстваx
Пример 7. Решить неравенство
x3
0.
xa
Решение изображено на рис. 4.
а
3
х
х
3
а
х
Рис. 4
При а 3 a x 3; при a 3 ;
при a 3 3 x a.
3. Задачи о расположении корней квадратного трехчлена
Пример 8. Найти все значения параметра а, при которых оба корня
функции y = x2 +2 (a+ 1) x + 9 a – 5 отрицательны.
80
Решение. Первый способ. Пусть x1 , x2 – корни функции. Из условия
x1 0, x2 0 следует x1 x2 0, x1 x2 0 . Это необходимые условия для
решения задачи.
Справедливо и обратное утверждение. Если для двух чисел выполняются условия x1 x2 0, x1 x2 0, то получаем x1 0, x2 0. Итак, достаточные условия для решения задачи:
D 0, x1 x2 0, x1 x2 0.
По теореме Виета x1 x2 9a 5, x1 x2 2(a 1)
a 2 7a 6 0,
9a 5 0,
2(a 1) 0.
5
Ответ: a ;1 6; .
9
у
хв
х
Рис. 5
Второй способ. Для существования
двух корней наложим условие D 0.
Изобразим график функции с отрих2 2 х
-2 х1
цательными корнями (рис. 5). Условие
b
Рис. 6
0 является необходимым для
xв
2a
того, чтобы корни были отрицательными, но не достаточным (график
параболы, изображенный пунктиром с точкой, подтверждает это). Условие f (0) 0 является необходимым, но не достаточным (график параболы, изображенный пунктирной линией, подтверждает это).
b
0, f (0) 0 являются необходимыми и
Условия D 0, xв
2a
достаточными, чтобы оба корня были отрицательными.
81
a 1
5
0 a ;1 6; .
2
9
Пример 9. Найти множество всех значений параметра а, при которых уравнение 4 x 2 2 x a 0 имеет два корня, заключенных между –2
и 2.
Решение. Если два корня заключены между –2 и 2, то парабола имеет вид, указанный на рис. 6. Поэтому потребуем условия
4(1 4a) 0,
D 0,
20 a 0,
f (2) 0,
1
12 a 0,
a 12; .
4
f (2) 0,
2 xв 2
2 1 2
4
a 2 7a 6 0, 9a 5 0,
4. Выражения с параметром, содержащие квадратные корни из
квадратного трехчлена
Пример
10.
Сколько
решений
имеет
уравнение
x 2 2 x 1 x 2 6 x 9 a в зависимости от параметра а?
Решение. Строим график y ( x 1) 2 ( x 3) 2 x 1 x 3 .
Находим значение аргумента, когда хотя бы один из модулей равен
нулю, т.е. приравняв значение под модулем нулю: x 1 0 x 1,
x 3 0 x 3.
1
–
3
–
Рис. 7
Отмечаем на числовой оси полученные точки (рис. 7). На каждом из трех
интервалов уточняем знаки выражений
под модулями. Снимаем модули с выражений, учитывая знаки выражения под
модулем:
( x 1) ( x 3), если x ( ;1);
y ( x 1) ( x 3), если x [1;3];
( x 1) ( x 3), если x (3; )
82
x
+
+
y
4
2
x
0
1
Рис. 8
3
4
2 x 4, x ( ;1);
или y
2, x [1;3];
2 x 4, x (3; ).
Второй способ построения графика. После раскрытия модулей эта
функция на всех промежутках будет линейной. Метод построения состоит в следующем: ищем значения функции в точках x 1, x 3, а затем вне
отрезка [1; 3], например,
f (1) 2, f (3) 2, f (0) 4, f (4) 4. Угловые
точки соединяем отрезком. Из угловых точек проводим лучи (рис. 8).
Прямая y a пересекает график построенной функции в двух точках при a 2 , не пересекает при a 2 и оба графика имеют бесконечно
много общих точек при a 2.
Пример 11. Сколько решений в зависимости от а имеет уравнение
х2 4 2 х2 7 х 5 а ?
х 2 4 0,
х 2,
Решение. ОДЗ: 2
х 5 / 2.
2 х 7 х 5 0
Функции x 2 4 , 2 x 2 7 x 5 являются убывающими на проме-
жутке ; 2 и являются возрастающими на промежутке 5 / 2; .
Аналогичными свойствами обладает и левая часть данного уравнения.
Итак, на множестве (; 2] функция
х 2 4 2 х 2 7 х 5 убывает от
бесконечности до значения y ( 2) 3 3, а на множестве 5 / 2 ;
возрастает от значения y(5/ 2) 3/ 2 до бесконечности. График функции
построен на рис. 9.
y
y=a
3/2
Рис. 9
-2
5/2
83
x
При a 3 2 уравнение не имеет решений; при 3/ 2 a 3 3 уравнение имеет единственное решение; при a 3 3 уравнение имеет два
решения.
Пример 12. Найти все значения параметра а, при которых система
x 2 y 2 x 40 2 y 9 2 41,
y x
1
a 80
имеет ровно одно решение.
у
М
а
l
18
А
18
– 40
– 80
9
m
О
х
–18
Рис. 10
Решение. Выражение
О
ординат
х 40
2
до
у 9
2
x 2 y 2 является расстоянием от начала ко-
произвольной
точки
M ( x; y),
выражение
является расстоянием от точки A(40;9) до точки
М (рис. 10). Кстати, расстояние ОА равно 41.
Первое уравнение системы является условием ОМ – АМ = ОА на
расстояния между тремя точками О, А, М. Запишем это условие в виде
ОА + АМ = ОМ. Если три точки образуют треугольник, т.е. точки не расположены на одной прямой, то выполняется неравенство треугольника
для сторон. Следовательно, эти точки расположены на одной прямой. Из
трех точек одна и только одна расположена между двумя другими, поэтому точка А расположена между точками О и М. Первое уравнение
системы задает точки луча l с вершиной А. Луч не содержит точку О.
Второе уравнение является уравнением первой степени и задает
прямую, проходящую через точки В(-80; 0) и С(0; а).
84
Если луч и прямая пересекаются, то эта точка пересечения является
единственной точкой.
Прямой АВ соответствует значение параметра a 18.
Прямой m , параллельной лучу l, соответствует значение a 18.
Для a ; 18 18; ) прямая ВС пересекает данный луч l в
единственной точке.
Пример 13. Найти все значения а, при которых уравнение
6 a ax 12 4 x x 2 4 имеет единственный корень.
12 4 x x 2 4 6 a ax. Рас-
Решение. Запишем уравнение в виде
смотрим две функции y 12 4 x x 2 и y 4 6a ax.
в
Возводя
2
y 12 4 x x
2
квадрат
y 12 4 x x 2 ,
уравнение
2
получаем
2
или ( x 2) y 16. Это уравнение определяет на
плоскости окружность радиуса 4 с центром в точке A(2;0). При возведении равенства в квадрат можно получить лишние корни. Учитывая условие
12 4 x x 2 0, получаем, что графиком функции y 12 4 x x 2
является верхняя полуокружность радиуса 4 с центром в точке A(2;0) и
концевыми точками B(6;0), C(2;0) (рис. 11).
Уравнение y 4 6a ax является уравнением первой степени и
определяет на плоскости семейство прямых, зависящее от параметра а.
Если прямые проходят через некоторую фиксированную точку, то координаты точки должны удовлетворять уравнению, и поэтому, при подстановке некоторых чисел должен «исчезнуть» параметр. Выбирая x 6,
получаем y 4 . Уравнение y 4 6a ax определяет семейство прямых с угловыми коэффициентами (–а), проходящих через точку D(6;4).
4
D
H
–6
Рис. 11
C
–2
y
O
F
А
2
85
B
6
x
Данное в условии уравнение имеет единственное решение, если
графики функций имеют единственную общую точку, т.е. либо прямая
касается полуокружности, либо прямая пересекает полуокружность в
единственной точке. Для решения задачи необходимо определить параметр а для касательной DF, прямой DC и прямых, пересекающих дугу
полуокружности внутри угла CDB.
Для определения параметра а прямой DF подставим координаты
точки F (2;4) в уравнение прямой и получим a 0.
Подставляя координаты точки B(6;0) в уравнение прямой, найдем
1
прямой DB.
3
Используя координаты точки C(2;0), найдем параметр a 1 прямой DC.
Замечание. Параметры для прямых DF, DB, DC можно найти, используя угловой коэффициент (–а). Действительно:
– для горизонтальной прямой DF получаем a 0 или a 0;
1
1
– для прямой DB из треугольника DHB получаем a , a ;
3
3
– для прямой DC из треугольника DHC получаем a 1, a 1 .
параметр a
1
Ответ: ;1 ;0.
3
Пример 14. При каких значениях параметра а неравенство
4а 2 4а 17
х2 2 х 17
выполняется для всех значений х?
а2 а 2
Решение. Функция y x 2 2 x 17 ( x 1) 2 16 принимает все значения в промежутке 16; ) , поэтому функция y
x 1
2
16 при-
нимает все значения из промежутка [4; ). Графики этих функций приведены на рис. 12.
Обозначим правую часть неравенства через
b, тогда
2
4a 4a 17
. Построим график функции у=b.
b
a2 a 2
Если b 4, то прямая пересекает график функции y
x 1
2
16,
поэтому найдется отрезок [c; d], для точек которого не выполняется неравенство.
86
у
Рис. 12
16
4
c
O
1
d
х
Итак, параметр b должен удовлетворять условию b 4 , т.е.
4a 2 4a 17
9
4,
0, (а 2) (а 1) 0.
2
(а 2) (а 1)
a a2
Ответ: а (; 2) (1; ).
5. Определение количества различных корней уравнения
Пример 15.
3x ( x 2)2 ax ?
Сколько
различных
корней
имеет
уравнение
Решение. Уравнение x[3( x 2) 2 a] 0 имеет решение x1 0 независимо от величины параметра а. Рассмотрим уравнение ( x 2) 2 a 3.
При a 0 последнее уравнение не имеет решений, при a 0 уравнение имеет единственное решение x 2, при a 0 уравнение имеет
два решения.
Найдем значение параметра а, при котором последнее уравнение
имеет корень, равный полученному ранее решению x1 0 .
(0 2) 2 a 3
а 12.
При a 12 данное уравнение имеет два корня x1 0, x2 2.
Ответ: при a 0 уравнение имеет один корень; при a 0, a 12
уравнение имеет два различных корня; при a 0, a 0 три корня.
87
Пример 16. Найти все значения параметра a, при которых существует ровно три целых значения x, удовлетворяющих неравенству
x2 3 3x a 0.
3 3
,
2
2,5 xв 3 (рис. 13). Точка хв расположена ближе к точке x 3, чем к
точке x 2, поэтому множество решений должно содержать корни
Решение.
Вершина
параболы
имеет
координату
xв
x 3, x 2, x 4.
Все параболы, расположенные выше параболы 1 , проходящей через x 4, содержат эти
корни. Для параболы 2 ,
y
проходящей через x 1,
имеем в качестве множества решений неравенства
х0
x2 3 3x a 0 интер1
x
4
2 хв 3
вал (1; x0 ), в котором попрежнему содержится три
целых корня. Для всех
Рис. 13
парабол, расположенных
выше 2 , получаем, по крайней мере, четыре корня. Итак, рассмотрим
параболы расположенные между 1 и 2 , включая 2 . Для таких парабол
f (1) 0,
1 3 3 a 0,
f (4) 0
16 12 3 a 0.
Ответ: 4(4 3 3) a 1 3 3 .
6. Несколько типовых задач с показательной функцией
Пример 17. Решить неравенство для всех значений параметра а
x 4x 5
0.
2
x 3 21 a
2
Решение. Чтобы применить метод интервалов для решения неравенства, найдем корни функций, расположенных в числителе и знаменателе
2
дроби: x1 1, x2 5, x3 3 21 a .
88
Для изображения числа x 3 3 21 a
2
на числовой оси, оценим его
2
2
2
a 2 0, a 2 0, 1 a 2 1, 0 21 a 2, 2 21 a 0, 1 3 21 a 3.
2
Отмечаем числа –1, 5 и 3 21 a на числовой оси и расставляем знаки для выражения в левой части данного неравенства (рис. 14).
+
–
-1
Рис. 14
+
–
х3
1
3
x
5
1 a 2
Ответ: x ( ; 1] (3 2 ;5].
Пример 18. Найдите все значения х, которые при любом значении
параметра а удовлетворяют неравенству
x 1 31 a
2
x 5x
2
0.
Решение. Корни выражений в числителе и знаменателе дроби:
1a2
2
x1 0, x2 5, x3 1 31 a . Оценим число 3
2
:
2
1 a 2 1, 0 31 a 3, 1 1 31 a 4 .
2
Отмечаем числа 0, 5 и 1 31 a на числовой оси и расставляем знаки
для выражения в левой части данного неравенства (рис. 15).
+
–
0
Рис. 15
+
–
х3
1
4
x
5
При фиксированном значении параметра а получаем решение дан2
1 a
ного неравенства: x ( ; 0] (1 3 ; 5) .
Для
параметра
значения
1 a12
x ( ; 0] (1 3
1 a22
x ( ; 0] (1 3
a a1
имеем
решение
; 5) , а для параметра a a2 имеем решение
2
1
; 5) . Пусть m min 1 31 a , 1 31 a
2
2
, тогда
значение х из множества x (;0] (m;5) удовлетворяет данному неравенству при a a1 и a a2 (рис. 16).
0
4
1
Рис. 16
89
5
x
2
1 a
; 5) при любом значении
Пересечением всех интервалов (1 3
параметра а является интервал (4;5).
Ответ: x (;0] (4;5).
Пример 19. Найти все значения х, каждое из которых хотя бы при
одном значении параметра а удовлетворяет неравенству
2 x 2 3x 14
x 1 22 a
0.
Решение. Корни выражений в числителе и знаменателе дроби:
7
2 a
x1 , x2 2, x3 1 2 .
2
Оценим число 1 2
2 a 2, 0 2
2 a
2 a
:
4, 4 2
2 a
0, 3 1 2
2 a
1.
2 a
Отмечаем числа –7/2, 2 и 1 2
на числовой оси и расставляем
знаки для выражения в левой части данного неравенства (рис. 17).
–
+
–
х3
–3
+
1
Рис. 17
x
2
При фиксированном значении параметра а получаем решение дан-
7
2
2a
; 2 . Для значения параметного неравенства: x ; 1 2
2
7
2
2 a
ра a a1 имеем решение x ; 1 2 1 ; 2 , а для параметра
2
7
2 a2
a a2 имеем решение x ; 1 2 2 ; 2 .
2
1 a12
Пусть m max 1 3
2
, 1 31 a2 , тогда значение х из множе-
ства x (;0] (m;5) удовлетворяет данному неравенству хотя бы при
одном значении параметра, т.е. при a a1 или a a2 (рис. 18).
1
–3
90
Рис. 18
2 x
2
2a
; 2] при любом знаОбъединением всех полуинтервалов (1 2
чении параметра а является полуинтервал ( 3; 2] .
7
2
Ответ: x ; 0 3; 2 .
7. Применение производной для задач с параметром
Пример 20. Найти все значения параметра а, для которых неравенство ax 2 1 4 x 3a выполняется для всех х из интервала (–1; 0).
Решение. Первый способ. Из неравенства a ( x 2 3) 4 x 1 получа-
4х 1
4x 1
.
. Рассмотрим функцию f ( x) 2
x 3
х2 3
2(2 x2 x 6)
Производная функции равна f ( x)
.
( x2 3)2
ем а
3
f ( x) 0 x1 2, x2 .
2
На отрезке [–1; 0] функция возрастает и достигает максимального
значения в точке x 0, т.е. f (0) 1 3.
Поэтому на интервале (–1; 0) значение параметра а следует выбрать
1
а .
3
Второй способ. При a 0 получаем неравенство 1 4 x , которое
справедливо для х (1; 0). При a 0 рассмотрим квадратное неравенство ax 2 4 x 1 3a 0.
Для a 0 условия f (1) 0, f (0) 0 обеспечивают неравенство
f ( x) 0 на интервале (–1; 0), где f(x)=ax2 – 4x+1+3a (рис. 19). Поэтому
a 0,
1
f (0) 1 3a 0, a ; 0 .
3
f ( 1) 4a 5 0
–1
Рис. 19
0
х
0
–1
91
Рис. 20
x
При a 0 абсцисса вершины параболы (рис. 20) равна хв = 2/a,
т.е. вершина расположена вне интервала (–1; 0). Достаточно наложить
условия
a 0,
a 0,
a 0.
f (0) 0
1 3a 0
1
Объединяя рассмотренные случаи, получаем а .
3
Пример 21. Найти множество всех значений а, при которых функция f ( x) x 2 (a 1) x 2 возрастает на интервале (1; 2).
Решение. Первый способ. f ( x) 2x (a 1), f 0 a 1 2 x.
Строим графики функций
вале (1; 2) график функции
y 2 x, y b a 1 (рис. 21). На интерy b расположен выше графика y 2 x
для b 4, т.е. для а 5.
y
у=2х
у
у=b=a
-1
4
2
х
1
2
x
2
Рис. 21
xв
Рис. 22
Второй способ. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз (рис. 22). Из условия возрастания функции следует,
что f (2) f (1). Но это условие не является достаточным (такая парабола
построена на графике пунктиром), так как оно относится только к двум
точкам x 1, x 2. Участки монотонного возрастания и монотонного
убывания на параболе разделены вершиной параболы. Потребуем, чтобы
абсцисса вершины параболы была расположена правее данного интервала или совпадала с его правым концом, тогда получаем достаточные
условия.
f (2) f (1),
а 4,
a 5.
2
x
a 5
в
92
8. Центральная роль параметра
В некоторых уравнениях высокой степени полезно переписать данное уравнение как уравнение относительно параметра.
Пример 22. Решить уравнение 2 x 3 (a 2) x 2 ax a 2 0 в зависимости от параметра а.
Решение. a 2 a ( x 2 x) 2 x3 2 x 2 0.
Дискриминант
a
D ( x 2 x) 2 8( x 3 x 2 ) x 2 ( x 3) 2 .
уравнения
x 2 x x( x 3)
a1 x 2 x, a2 2 x.
2
1 1 4a
a
.
или x
2
2
Наложив условие 1 4a 0, получаем:
Поэтому x
при a
1
1
1
x ; при a
4
2
4
1
1
1
x1 , x2 ; при a
4
8
2
a
1 1 4a
x1 , x2,3
.
2
2
Выясним условия на а при которых корни уравнения могут совпадать:
а 1 1 4а
а 2 6а 0 а1 0, а2 6.
2
2
При а 0 х1 0, х2 1; при а 6 х1 3, х2 2.
2.2. Плоскость «переменная–параметр»
Если система уравнений или неравенств содержит одну переменную
и параметр, то можно изобразить на плоскости «переменная-параметр»
множество точек, заданное системой. Наглядное изображение этого множества помогает указать диапазон изменения параметра.
Пример 1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
x 2 (4a 5) x 3a 2 5a 0,
система 2
имеет решение.
2
x a 25
Решение. Уравнение x 2 a 2 25 определяет на плоскости окружность радиуса 5 с центром в начале координат.
Для неравенства x 2 (4a 5) x 3a 2 5a 0 рассмотрим вспомогательное уравнение
93
x 2 (4a 5) x 3a 2 5a 0 или x 2 4ax 3a 2 5 x 5a 0.
Разложим квадратный трехчлен x 2 4ax 3a 2 0 на множители.
2
Если a 0 , то разделив уравнение на a , получим уравнение
2
x
x
x
x
3.
4 3 0, которое имеет корни 1,
a
a
a
a
Поэтому x a 0 или x 3a 0.
Получаем разложение квадратного трехчлена на множители
x 2 4ax 3a 2 ( x a) ( x 3a).
Чтобы найти разложение на множители первоначального выражения
x2 4ax 3a2 5x 5a 0, запишем выражение в виде произведения
x 2 4ax 3a 2 5 x 5a ( x a ?) ( x 3a ?) и подбором найдем окончательное разложение x 2 4ax 3a 2 5 x 5a ( x a) ( x 3a 5).
Замечание. Разложить многочлен второй степени на множители
можно с помощью метода неопределенных коэффициентов.
Уравнение (x a)( x 3a 5) 0 определяет на плоскости пару пересекающихся прямых: прямую x a 0 и прямую x 3 a 5 0. Прямые разбивают плоскость на четыре области (рис. 23).
5
a
D
O
C
1
5 x
B
-3
A
Рис. 23
94
каждой
из
областей
определяем
знак
выражения
В
x 2 4 ax 3a 2 5 x 5a. Для этого достаточно в каждой области выбрать
по одной точке и подставить в это выражение.
Например, для точки (–1; 0) получаем (1)2 0 0 5 0 0.
Неравенство системы задает область, отмеченную на рис. 23 штриховкой, причем сами прямые не принадлежат этой области.
Найдем значения параметра для точек пересечения каждой из прямых с окружностью
5
5
x a 0,
a1
, a2
.
2
2
2
2
x a 25
5
5
x 3a 5 0,
a3
, a4
.
2
2
2
2
x a 25
Система задает множество точек, расположенных на дугах АВ и CD
окружности. Для этих точек находим ограничения на параметр.
5
5
; 3 0;
Ответ: a
.
2
2
Пример 2. Найдите множество всех а, при которых неравенство
х 2а 1
0 выполняется при всех x [1;2] .
ха
Решение. Первый способ. Рассмотрим равносильную задачу о
нахождении
всех
значений
а,
при
которых
неравенство
( x a)( x 2a 1) 0 выполняется для всех x [1; 2] .
a
a=const
1
1/2
F
А
1
F
1
В
2
2
х
a=const
Рис. 24
х
Рис. 25
На плоскости Оха изобразим прямые x a 0, x 2a 1 0 и множество F (пара вертикальных углов вместе с точками плоскости внутри
них) точек ( x; a) плоскости, удовлетворяющих неравенству (рис. 24).
95
Рассмотрим прямую a const a0 . В пересечении с областью F
найдем интервал, для точек которого выполняется заданное неравенство
при данном а. Выберем параметр а таким образом, чтобы этот интервал
содержал отрезок [1; 2]. Для этого проведем прямые х = 1, х = 2 и рассмотрим полосу на плоскости Оха, для точек которой 1 х 2. В пересечении с прямыми а = х, а = x/2 – 1/2 получим соответственно точки
A(1;1), B(2; 1 2). Для всех а (1/ 2; 1) находим интервал, который содержит отрезок [1; 2].
Второй способ. Множество решений квадратного неравенства должно содержать отрезок [1; 2] (рис. 25), поэтому для функции
f ( x) x 2 (3a 1) x a(2a 1) получаем
f (1) 0,
a (0; 1),
2 a ( a 1) 0,
2
a (1 2; 1).
f
0
2
a
5
a
2
0
(2)
a (1 2; 1)
Пример 3. Найти все значения параметра а, при которых неравен-
ство
1 2ах х а имеет решения.
1 2ах 0,
2ах 1,
Решение.
х а 0,
х а,
2
2
2
2
1 2ах х 2ах а
х а 1.
Неравенство 2ах 1 задает область между двумя ветвями гиперболы, включая эти гиперболы (рис. 26).
а
А
х
Рис. 26
96
Неравенство a x задает полуплоскость, расположенную ниже
прямой a x , включая эту прямую.
Неравенство х2 + а2 1 задает область, расположенную вне окружности х2 + а2 =1, включая эту окружность. Пересечение этих плоскостей
представлено на рис. 26 заштрихованной областью.
Окружность, прямая и верхняя ветвь гиперболы пересекаются в
1
1
1
данное нераточке А
;
. Для любой прямой a const, a
2
2
2
1
венство имеет решение. Ответ: а
.
2
2.3. Симметрия в задачах с параметром
Пусть в уравнении f ( x, a) 0, где а – параметр, функция f ( x, a)
является четной относительно переменной х. Иногда функция может
быть функцией от нескольких переменных.
Если x x0 , где x0 0 – решение данного уравнения, то x x0
также решение данного уравнения.
Пусть в условии задачи требуется найти значение параметра а, при
котором уравнение имеет единственное решение, тогда для этого решения должно быть x 0 .
Подставляя значение x 0, найдем значение параметра а.
Кстати, для найденных значений параметра данное уравнение в некоторых случаях может иметь единственное решение, может не иметь
решений или иметь несколько решений. Для каждого значения параметра
нужно исследовать число решений.
Таким образом, подстановка x 0 сузила множество значений параметра, для которых легче исследовать уравнение.
Пример 1. При каком значении параметра а уравнение
(sin x) arcsin x a имеет единственное решение?
Решение. Функции y sin x и y arcsin x являются нечетными относительно переменной х, поэтому функция y (sin x) arcsin x является
четной.
Если x x0 – решение данного уравнения, то x x0 также решение данного уравнения. Если уравнение имеет единственное решение, то
оно должно быть равным нулю. Подставляя x 0 в данное уравнение,
получим значение параметра a 0 .
97
Исследуем уравнение (sin x) arcsin x 0. Уравнение sin x 0 имеет
бесконечно много решений x n , n Z , но D(arcsin x) [1;1].
Ответ: a 0 .
Пример 2. Найти все значения a, при каждом из которых уравнение
x 2 a 3 x x a 3 (a 3)2 имеет единственный корень.
Решение. Запишем уравнение в виде
x 2 x a 3 x ( a 3)
(a 3)2 0. Обозначим a 3 b, тогда x 2 x b x b b 2 0.
Функция f ( x, b) x 2 x b x b b 2 является четной относительно
переменной х, так как f ( x, b) ( x) 2 x b x b b 2 x 2 ( x b)
( x b) b 2 x 2 ( x b) ( x b) b 2 f ( x, b).
При упрощении выражения использовано свойство y y .
Если x0 является корнем уравнения f ( x, b) 0 , а значит и данного
уравнения, то x0 также является его корнем. Данное уравнение имеет
единственный корень, только если x0 x0 , т.е. x0 0 .
Подставим
в
данное
уравнение
значение
x 0:
2
b b b2 0 b2 2 b b 2 b b 0 или b 2, или b 2 .
Если данное уравнение имеет единственное решение, то это может
быть только при полученных значениях параметра. Но для полученных
значений нужно решить уравнение, так как в этих случаях уравнение может не иметь решений или иметь более одного решения.
При b 0 получаем уравнение x 2 2 x , которое имеет три корня
2;0; 2.
При b 2 получаем уравнение x2 x 2 x 2 4 0.
Находим корни уравнений x 2 0 и x 2 0, отмечаем их на
числовой оси (рис. 27). Числа –2 и 2 разбивают множество (; ) на
три промежутка. Отмечаем знаки выражений x 2 и x 2.
+
–
–
–2
–
2
Рис. 27
+
x
Снимаем знаки модулей в уравнении для каждого промежутка.
При x 2 получаем уравнение x 2 ( x 2) ( x 2) 4 0 или
x 2 2 x 4 0, которое не имеет корней.
98
При z 0 получаем противоречие в системе.
При z 1 система xy 1,5, xy 1,5, x 2 y 2 1 0, 25 не имеет
решений.
Значения параметров a b 0,5 удовлетворяют условию задачи.
Ответ: a b 0, 5, a b 0,5.
Пример 5. При каких значениях параметра а система уравнений
x a y2 ,
2
2
x y 25
имеет три решения?
Решение. Переменная у входит в уравнение в четной степени, поэтому, если ( x0 ; y0 ) – некоторое решение данной системы, то (x0 ; y0 )
также решение системы. Для существования нечетного числа решений
системы необходимо, чтобы ( x0 ;0) было решением системы.
Подставляя y 0, получим x a, x 2 25.
Следовательно, a 5 и a 5 – претенденты на ответ в нашей
задаче.
Исследуем систему при этих значениях параметров.
Рассмотрим случай a 5 . Система x 5 y 2, x 2 y 2 25 имеет
единственное решение (5;0). Следовательно, значение a 5 не удовлетворяет условию задачи.
При a 5 система x 5 y 2, x 2 y 2 25 имеет три решения
(5;0), (4;3), (4;3). Ответ: a 5.
Пример 6. При каких значениях параметра а система неравенств
2 x y 2 4a 4,
2
2
y 4 x a a
имеет единственное решение?
Решение. Система симметрична по каждой переменной, поэтому если (x0 ; y0 ) – решение системы неравенств, то (x0 ; y0 ), ( x0 ; y0 ),
( x0 ; y0 ) также решения системы.
Чтобы система имела единственное решение, необходимо, чтобы
(0;0) являлось решением.
4 a 4 0,
Подставляя x 0, y 0, получаем систему 2
a a 0.
Возможные значения параметра: a (;0) {1}.
101
Исследуем данную систему неравенств для этих значений параметра. При a 1 система
2
y
2 x y 0,
2
y 4x 0
имеет единственное решение x 0, y 0.
При a 0 система имеет единственное решение
x 0, y 0.
О
x
При a 0 изобразим
множества, заданные неравенствами на координатной
плоскости. Учитывая симметричность относительно
осей координат, достаточно
Рис. 28
рассмотреть
множества
только в первой четверти.
При a 0 получаем оценки: 4a 4 0, a 2 a 0.
Изобразим на плоскости параболы
y2
x
2a 2 и y 4 x 2 a 2 a.
2
Первое неравенство данной системы задает множество, отмеченное
на рис. 28 горизонтальной штриховкой, а второе неравенство – отмеченное вертикальной штриховкой. Система неравенств задает бесконечно
много точек, ограниченное двумя параболами и координатными осями,
т.е. изображенные двойной штриховкой. Таким образом, при a 0 система имеет более трех решений для каждого значения параметра.
Ответ: a 0 или a 1.
2.4. Монотонность функции
y
1. Использование монотонности для
решения уравнения
Рассмотрим вспомогательное утверждение.
Если функция f (x) возрастает на промежутке Х, а функция g(x) убывает на этом
102
O a
Рис. 29
b x
промежутке и уравнение f ( x) g ( x) имеет решение, то оно единственное (рис. 29).
Пример 1. Решить уравнение
5
x 34 x.
Решение. Функция y 5 x является возрастающей на множестве
(; ), , а функция y 34 x является убывающей на этом множестве
(проверьте по определению возрастающей или убывающей функции или
с помощью производной).
Пытаемся найти корень уравнения, рассматривая вначале числа, из
которых легко извлекается корень пятой степени. Таким оказывается
число 32.
Данное уравнение имеет решение x 32 и оно единственное.
Пример 2. Решить уравнение 3x 4 x 5 x .
x
Решение. 5 x 0
x
Функции
4
3
y , y
5
5
x
x
x
x
x
3x 4 x
3 4
x 1 1.
x
5
5
5 5
x
– убывающие, поэтому функция
3 4
f ( x ) также убывающая. Существует решение x 2 урав5 5
3 4
нения 1, тогда это единственное решение.
5 5
Пример 3. Решить уравнение 27 x (3x 1) 6.
x
Решение. 27 0, следовательно 3 x 1 0. Функции y 27 x и
y 3x 1 возрастающие, причем на множестве (1 3; ) значения этих
функций положительны, следовательно на этом множестве функция
y 27 x (3x 1) также является возрастающей. Существует решение дан-
ного уравнения x 1 3, тогда это уравнение имеет единственное решение.
Пример 4. Найти все значения а, при каждом из которых уравнение
x10 (3a 6 x)5 x 2 6 x 3a имеет более одного корня.
Решение. Равносильное уравнение x10 x 2 (6 x 3a )5 6 x 3a.
Рассмотрим функцию f (t ) t 5 t , тогда данное уравнение можно
переписать в виде f ( x 2 ) f (6 x a ).
103
Функция f (t ) является возрастающей, так как f (t ) 0, поэтому
x 2 6 x 3a.
Уравнение
получаем
равносильное
уравнение
2
x 6 x 3a 0 имеет более одного корня, если дискриминант больше
нуля, т.е. 36 12 a 0 или a 3. Ответ: a 3.
Любой корень уравнения f ( x) x является корнем уравнения
f
f ( x ) x.
Пусть функция f ( x) строго возрастает на множестве Х и пусть
f ( x) X для любого x X , тогда уравнения f f ( x ) x и f ( x) x
равносильны на множестве Х.
Пример 5. Решить уравнение ( x 3 x 5)3 ( x 3 x 5) 5 0.
Решение. Функция f ( x) x 3 x 5 является возрастающей на
множестве R, так как f 3 x 2 1, f 0. Данное уравнение можно
записать в виде f f ( x ) x , которое равносильно уравнению
f ( x) x, поэтому x3 x 5 x x 3 5.
2. Использование монотонности для решения неравенств
При решении некоторых примеров с неравенствами можно упростить неравенства, используя замену данного выражения более простым
выражением (п. 1.9).
x2
0.
Пример 6. Решить неравенство log x
x6
x 0,
2
Решение. ОДЗ: x 1, x (0;1) (1; 2) (6; ).
x2
0
x6
Рассмотрим упрощение: log h ( x ) f ( x) и h ( x ) 1 f ( x ) 1 имеют
одинаковые знаки.
Тогда получаем неравенство
4( x 1)
x2
1 0
0.
x 1
x6
x6
Решение последнего неравенства: x (;1] (6 ).
Учитывая ОДЗ, получаем решение данного неравенства
x (0;1) (6; ).
104
Замечание. Данное неравенство можно решать на основе свойств логарифмической функции. В этом случае нужно решить две системы неравенств.
x 1,
0 x 1,
x2
x 2
x 6 1, 0 x 6 1,
а затем объединить полученные множества решений систем. И конечно,
не следует забывать ОДЗ. Этот способ является более трудоемким.
Пример 7. Решить неравенство
log x 4 (3 x) log1 x ( x 3) 0.
Решение.
ОДЗ: x 4 0, x 4 1, 3 x 0, 1 x 0, 1 x 1, x 3 0.
Решая систему ограничений, получим x (3;0) (0;1).
Используя замену, упростим данное неравенство
( x 4 1)(3 x 1)(1 x 1)( x 3 1) 0
или
( x 3)(2 x) x ( x 2) 0 ( x 3)( x 2) x ( x 2) 0.
Решая методом интервалов, получаем x (3; 2) (0;2).
Учитывая ОДЗ, найдем решение данного неравенства
x (3; 2) (0;1). Ответ: x (3; 2) (0;1).
log x 2 8 x log x2 8 x
Пример 8. Решить
0.
( x 4) (1 8 x )
Решение.
ОДЗ: x 2 0, x 2 1,8 x 0, x 2 0, x 2 1, x 4 0,1 8 x 0 или
x (2;3) (3;4) (4; ).
Рассмотрим упрощение: log f ( x ) h( x) log g ( x ) h( x)
и
f ( x ) 1
g ( x ) 1 h ( x ) 1 g ( x ) f ( x ) имеют одинаковые знаки.
Используя упрощение выражений, получим
( x 2 1) ( x 2 1) (8 x 1) ( x 2 x 2)
0
( x 4) (1 8 x )
или
( x 3) ( x 1) ( x 1) ( x 2 x 2)
0.
( x 4)
2
Заметим, что x x 2 0, тогда неравенство примет вид
105
( x 3) ( x 1) ( x 1)
0.
( x 4)
Решение последнего неравенства x (; 1] [1;3] (4; ). .
Учитывая область определения, получаем
x (2;3) (4; ). Ответ: x (2;3) (4; ).
x 4 x2 8
Пример 9. Решить
log 2 ( x 4)
0.
Решение. ОДЗ: x 4 0, log2 ( x 4) 0, т.е. x (4 : 3) (3; ).
Рассмотрим упрощение:
2
p ( x ) f ( x ) и p ( x ) f ( x ) имеют одинаковые знаки.
Получаем следующее неравенство
( x 4)2 ( x2 8)
x 1
0 или
0,
x3
x3
имеющее решение x (; 3) [1; ).
Учитывая ОДЗ, находим решение данного неравенства
x (4; 3) [1; ).
Ответ: x (4; 3) [1; ).
4 x2 12 x 8 0,
x 2 6
Пример 10. Решить
2
64
0.
x 12
Решение. Для первого неравенства системы имеем:
ОДЗ: x 2 12 0, x 8 0, т.е. x 8; 2 3 2 3; .
1
x
2
12 4 x 8
1
2 4
0.
Рассмотрим упрощение:
f ( x ) p ( x ) g ( x) p ( x )
и
f ( x) g ( x) p ( x)
имеют одинаковые знаки.
2
2
Тогда получаем x 12 ( x 8)
14 0 или x 194 .
Учитывая ОДЗ, получаем решение первого неравенства
19
x ; 2 3 2 3; .
4
ОДЗ для второго неравенства: x 12.
106
Рассмотрим упрощение: h( x) p ( x ) h( x)q ( x ) и
h ( x) 1 p ( x) q ( x )
имеют одинаковые знаки.
Упрощая второе неравенство, получим
x2 6 6
x 12
Применим
0.
еще
раз
упрощение:
p ( x) q( x)
и
p ( x ) q ( x ) p ( x ) q ( x ) имеют одинаковые знаки.
Получаем
x2 3 x2 3
( x2 12) x 2
0 или
0.
x 12
x 12
Решение последнего неравенства x ; 2 3 2 3;12 .
Для всей системы неравенств получаем решение
19
x ; 2 3 2 3;12 .
4
2.5. Метод оценки в уравнении
Пусть левая и правая части уравнения f ( x) g ( x) содержат различные функции, например, логарифмическую функцию и многочлен
или показательную и тригонометрическую функции. Если для левой и
правой частей уравнения можно получить оценки f ( x) A и g( x) A ,
где A const, то уравнение равносильно системе
f ( x) A,
g ( x) A.
Каждое из вспомогательных уравнений системы содержит одну
функцию и иногда может быть решено.
Этот метод называется методом мини-максов или методом оценки
частей уравнения. Рассмотрим несколько различных типовых случаев.
1. Оценка значений тригонометрических функций
Пример 1. Решить уравнение sin 7 x cos 2 x 1.
1
Решение. sin 7 x cos 2 x (sin 9 x sin x) 1, sin9x sin x 2.
2
Так как sin 9 x 1, sin x 1, то последнее равенство возможно лишь
при условии
107
sin 9 x 1,
sin x 1.
2n , n Z . Подстанов2
кой в первое уравнение, убеждаемся, что х удовлетворяет первому уравнению:
9
sin 9 2n sin
18n sin 1.
2
2
2
Решая уравнение sin x 1, получаем x
Ответ: x
2
2n , n Z .
2. В одной из частей содержится квадратный трехчлен
2
b
b 4 ac b 2
ax 2 bx c a x 2 x c a x
.
a
2a
4a
4ac b2
, причем неравенство превра4a
b
щается в равенство тогда и только тогда, когда x .
2a
4ac b2
2
, причем неравенство превраЕсли a 0, то ax bx c
4a
b
щается в равенство тогда и только тогда, когда x .
2a
Вместо указанной оценки квадратного трехчлена часто применяют
выделение полного квадрата.
4 x 2 4 x cos y 1 0,
Пример 2. Решить систему
5
2
sin x x x .
2
Если a 0, то ax bx c
4
2
5
1
Решение. x 2 x x 1 sin x.
4
2
Для любого значения х справедливы оценки:
2
1
x 1 1,
2
причем неравенство превращается в равенство при
1
x . Также имеет место оценка sin x 1.
2
108
2
1
Уравнение x 1 sin x равносильно системе
2
2
1
1
x
1 1, или x ,
2
2
sin x 1
sin x 1.
Подставляя значение x 0,5 во второе уравнение системы, получаем
тождество. Ответ: x 0,5.
3. Классическое неравенство для суммы произвольного числа и
обратного к нему числа
1
2, причем неравенство превращается в равенa
ство тогда и только тогда, когда a 1
1
Если a 0, то a 2, причем неравенство превращается в раa
венство тогда и только тогда, когда a 1.
1
x
Пример 3. Решить уравнение 4 x 2cos x.
4
x
Решение. Для любого значения х выполняются неравенства 4 0,
Если a 0, то a
4x
1
2, 2cos x 2.
4x
Данное уравнение равносильно системе
x 1
4 x 1,
4 x 2,
или
4
cos x 1.
2 cos x 2
Система имеет единственное решение x 0.
1
x2 4 x 2.
2x
1
2
2
x
Решение. x 4 x 2 ( x 2) 2 2 x .
2
1
( x 2)2 2 2, 2 x x 2.
2
Уравнение равносильно системе
1
x
( x 2) 2 2 2, 2 x 2.
2
109
x
Пример 4. Решить уравнение 2
Решая последовательно уравнения, получим x 2, x 0.
Ответ: данное уравнение не имеет корней.
4. Оценка линейной комбинации функций sin x и cos x
a
b
a sin x b cos x a 2 b 2
sin x
cos x =
2
2
2
2
a b
a b
= a 2 b 2 sin( x ), где cos
a
2
a b
2
,sin
b
2
a b2
.
a 2 b 2 a sin x b cos x a 2 b 2 .
1
.
5x
Имеют место оценки: 13 5sin x 12 cos x 13,
1
5sin x 12 cos x 11 2, 5 x x 2.
5
Данное уравнение равносильно системе
5sin x 12 cos x 13,
5sin x 12 cos x 11 2,
или
1
1
x
5x x 2.
5 x 2
5
5
1
Уравнение 5 x x 2 имеет единственное решение x 0 , которое
5
не удовлетворяет первому уравнению системы.
Ответ: данное уравнение не имеет корней.
Пример 5. Решите 5sin x 12 cos x 11 5x
2.6. Сократимость дробей
Пример 1. Найти все натуральные п, при которых сократима дробь
5n 8
.
3n 7
Решение. Дробь сократима, если числитель и знаменатель имеют некоторый общий делитель, т.е. выполняются равенства
5n 8 dp ,
где d , p, q N .
3n 7 dq ,
Умножая второе уравнение на 2 и вычитая первое уравнение,
найдем n d (2q p) 6.
Подставляя п в первое уравнение, получим d (5q 3 p) 11.
Число 11 делится на натуральные числа 1 и 11.
110
Делитель d 1 не представляет интереса.
Пусть d 11, тогда 5q 3 p 1. Легко находится частное решение в
целых числах этого уравнения q 2, p 3.
Все решения в целых числах уравнения 5q 3 p 1 имеют вид
q 2 3t , p 3 5t , где t Z .
Подставляя p и q, найдем n 11t 5, t Z .
Учитывая условие о том, что п является натуральным числом, необходимо на параметр t наложить дополнительное условие.
Ответ: n 11t 5, где t 0,1, 2, 3,...
Ответ можно записать в виде n 11t 6, t N .
Замечание. После решения задачи можно выполнить проверку:
5n 8 5(11t 5) 8 55t 33 11(5t 3)
.
3n 7 3(11t 5) 7 33t 22 11(3t 2)
Пример 2. Найти все натуральные числа п, для которых сократима
6n3 5n 2 7 n 4
.
дробь
6n 2 5n
Решение. Рассмотрим следующее простое свойство.
ac b
Пусть дробь
– сократима и в которой a, b, c – натуральные
c
ac b
b
a , тогда
числа, причем из нее можно выделить целую часть
c
c
b
также сократима.
дробь
c
Справедливо и обратное утверждение. Из сократимости неправильной дроби следует существование натурального делителя d, такого, что
выполняются равенства ac b dp, c dq. Тогда b d ( p aq) и дробь
b/ c также сократима.
Выделим в данной дроби целую часть
6 n 3 5n 2 7 n 4
7n 4
n
.
2
n (6 n 5)
6 n 5n
Найдем натуральные п, для которых сократима дробь
значит сократима по крайней мере какая-то из дробей
111
7n 4
, а
n (6n 5)
7n 4
7n 4
.
или
n
6n 5
Вначале найдем натуральные п, для которых сократима дробь
7n 4
4
4
7 . Дробь
сократима при n 2k , k N , и при n 4k ,
n
n
n
k N. Множество чисел вида n 4k , k N , содержится в множестве
чисел n 2k , k N , поэтому в этом случае получаем множество чисел
вида n 2k , k N.
Найдем натуральные п, для которых сократима дробь
7n 4
.
6n 5
7 n 4 dp ,
d (7 q 6 p ) 11.
6 n 5 nq
Пусть d 11, тогда 7 q 6 p 1.
Все решения уравнения первой степени в целых числах
q 1 6t , p 1 7t , t Z , n 11t 1, t Z .
Для последней дроби получаем решение n 11t 10, t N .
Ответ: n 2k , k N , или n 11t 10, t N .
2.7. Вычисление величин углов
Перед применением векторов
для решения планиметрических и
стереометрических задач необходимо научиться находить разложение
данного вектора через два данных
неколлинеарных вектора.
Пример 1. В правильном шестиугольнике ABCDEF векторы
AC e1 , AD e2 выбраны в качестве базисных векторов (рис. 30).
Найти в этом базисе разложение следующих векторов BO, DO, CF , AE.
E
D
F
С
O
А
Рис. 30
В
Решение. BO CD AD AC , BO e 2 e1 e1 e 2 , .
1
1
DO AD e2 , СF 2СO 2 ( AO AC ),
2
2
1
3
CF 2 e 2 e1 2 e1 e 2 , AE AD DE e2 CO e1 e2 .
2
2
Пример 2. Найти величину угла между медианами, проведенными
из острых углов, прямоугольного треугольника с катетами 6 и 12.
112
Решение. Первый
способ с использованием векторов.
y B
OA 12,
Пусть
OB 6 (рис. 31).
N
M
Для введенной системы координат на
О
A x
K
Рис. 31
рис. 30 получаем координаты
векторов:
2
1
NA{12; 3}, MA NA, MA{8; 2}, BK {6; 6}, MK BK , MK {2; 2},
3
3
cos
MA MK
MA MK
8 2 (2) (2)
82 (2)2 22 (2)2
5
34
.
Второй способ с использованием элементарной геометрии.
Из прямоугольного треугольника OBK по теореме Пифагора полу1
чаем BK 6 2, MK BK 2 2. Из прямоугольного треугольника
3
2
OAN по теореме Пифагора следует NA 3 17, MA NA 2 17.
3
По теореме косинусов для треугольника MKA получаем
KA2 MK 2 MA2 2MK MA cos ,
MK 2 MA2 KA2
5
, соs
.
2MK MA
34
Пример 3. Доказать, что прямые,
содержащие высоты треугольника,
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть BB1 и AA1 высоС
ты треугольника. Обозначим точку
пересечения этих высот Н (рис. 32).
Пусть прямые АВ и HC пересекаются в точке С1 . Рассмотрим вектоcos
ры HA a, HB b, HC c, тогда
В
А1
В1
А
С1
Рис. 32
Н
AB b a , BC c b , CA a c,
HB CA b CA b ( a c ) 0, b a b c ,
113
HA BC a BC a ( c b ) 0, a c a b.
b c a c или (b a ) c 0, т.е. (b a ) c. Таким образом, доказано,
что прямая АВ перпендикулярна прямой НС. Поэтому прямая, содержащая высоту СС1 к стороне АВ проходит через точку Н.
Пример 4. Найти
угол между скрещиваюz
щимися прямыми, содержащими
диагонали
смежных боковых граней
прямоугольного параллелепипеда, для ребер коy
торого известны отношеD
ния АВ : AD : AA1 3: 2:1.
С
Решение.
Найдем
угол между прямыми
A1 B и СВ1 (рис. 33).
x
А
В
Рис. 33
Введем
попарно
ортональные
векторы
а АВ , b AD , c AA1 , тогда A1 B a c, CB1 c b.
cos A1 B, CB1
A1 B CB1
2
A1 B CB1
a c ab c cb
2
a c
2
2
c b
2
2
a c
2
2
c b
Пусть с m , тогда b 2 m , a 3m , cos A1 B, CB1
Угол между векторами
является тупым, но угол
между
прямыми
не
превосходит прямого угла,
поэтому выбираем
1
сos
.
5 2
Полезно рассмотреть
решение
этой
задачи
другим способом.
Чтобы
определить
угол
между
прямыми,
перенесем отрезок B1C
m
2
c
1
5 2
2
.
.
D
С
2m
3m
А
Рис. 34
(рис. 34) в положение A1D ,
114
В
тогда
из
теоремы
2
косинусов
в
2
2
2
треугольнике
2
DA1B
получаем:
2
A1 D A1 B DB
5m 10m 13m
1
.
2 A1 D A1 B
2 5m 10m
5 2
Памятка для решения других аналогичных примеров.
1. Метод векторов:
– ввести декартову систему координат;
– найти координаты двух векторов на скрещивающихся прямых;
– вычислить угол между векторами, используя скалярное произведение векторов, и найти угол между прямыми.
2. По определению угла между скрещивающимися прямыми:
– перенести одну из прямых l1 так, чтобы перенесенная прямая l1 и
cos DA1 B
другая скрещивающаяся прямая l2 пересекались;
– найти треугольник со сторонами на прямых l1 и l2 , вычислить
угол между этими прямыми.
Пример 5. Дан прямоугольный
параллелепипед
K
ABCDA1 B1C1 D1 , в котором
AB AD 4, AA1 7. На ребре
AA1 дана точка Р, причем
AP 2, на ребре BB1 дана
точка Q, причем BQ 5.
Найти угол между плоскостями DCC1 и PQD1.
Решение. Первый способ – используя определение
угла между плоскостями
(рис. 35).
При пересечении параллельных плоскостей АВВ1 и
DCC1 плоскостью PQD1 линии пересечения параллельны, поэтому проводим D1K
параллельно
PQ,
где
N
Q
D
Р
С
H
А
Рис. 35
В
K CC1.
Плоскости PQD1 и DCC1 пересекаются по прямой D1K.
Пусть PH BB1 , тогда PH 4 D1C1 , HQ 3 C1K .
115
Из точки Р опустим перпендикуляр РР0 на плоскость DCC1, т.е. проведем PP0 DD1 . Из точки Р0 опустим перпендикуляр P0N на прямую
D1K. По теореме о трех перпендикулярах прямая PN перпендикулярна
прямой D1K. Угол PNP0 является линейным углом двугранного угла
между плоскостями АВВ1 и DCC1.
Прямоугольные треугольники D1C1K
и P0ND1 равны, так как D1K 5 D1 P0 ,
l2
ND1 P0 KD1C1 90 0 , ND1 P0 C1 KD1 .
Следовательно NP0 4.
Треугольник PP0N – прямоугольный
PP
(
и равнобедренный,
0 N – прямой)
l1
Рис. 36
0
поэтому PNP0 45 .
Замечание. В этом способе вычислений мало, но требуется умение найти линейный угол двугранного угла,
удобный для его вычисления.
Второй способ – аналитический.
Угол между двумя прямыми и угол между перпендикулярными к
ним векторами равны или их сумма равна (рис. 36).
Аналогично, угол между двумя плоскостями и угол между перпендикулярными к ним векторами равны или их сумма равна .
Если плоскость задана уравнением ax by cz d 0, то вектор
n {a ; b ; c} называется нормальным вектором плоскости и он перпендику-
лярен этой плоскости.
Введем декартову систему координат с началом в точке D и направим оси: х вдоль луча [DA), у вдоль луча [ DC ), z вдоль луча [DD1).
Для плоскости DCC1 перпендикулярный вектор n1{1;0; 0}.
Пусть плоскость PQD1 имеет уравнение ax by cz d 0.
Подставляя координаты точки D1(0;0;7) в уравнение плоскости
d
PQD1, получим 7c d 0 c .
7
5d
.
28
3d
Для точки Q(4;4;5) получим 4a 4b 5c d 0 b .
28
Уравнение плоскости: 5 x 3 y 4 z 28 0.
Для точки P(4;0;2) получим 4a 2c d 0 a
Для плоскости найдем нормальный вектор n2 {5; 3; 4}.
116
Найдем угол между нормальными векторами
1
.
cos n1 , n2
2
Угол между векторами равен
450 и равен углу между плоскостями.
Третий способ – с использование формулы площади сечения и его
проекции.
A
Для треугольника АВС и его
ортогональной проекции ABC0 имеет
место равенство
Рис. 37
S ABC S ABC cos ,
0
где – двугранный угол
между плоскостями АВС и
ABC0 (рис. 37).
Спроектируем треугольник PQD1 на заднюю грань
параллелепипеда в треугольник PQ
0 0 D1 (рис. 38), тогда
D1P0 A1P 5,
CQ
1 2,
1 0 BQ
D1Q0
C0
B
D1
C1
B1
A1
Q0
Q
P0
PQ
0 0 PQ 5,
D
D1C12 C1Q0 2 2 5.
Полупериметр
C
Р
H
треугольника
P0Q0 D1 равен 5 5.
А
Рис. 38
В
По
формуле
Герона
найдем площадь треугольника
S P0 Q0 D1 (5 5) 5 5 (5 5) 10.
Для треугольника PQD1 имеем PD1 41, D1Q 6, PQ 5.
Полупериметр треугольника PQD1 равен
11 41 11 41 41 1 41 1
10 2.
2
2
2
2
1
S PQD1 cos cos
.
2
SPQD1
S P0 Q0 D1
11 41
.
2
117
С
2.8. Номер года в олимпиадном задании
При составлении условий олимпиадных заданий по математике часто предлагается задача, в которой есть число, являющееся номером года
проведения олимпиады. При подготовке к олимпиаде следует вначале
решить задачи прошлых лет, содержащие соответствующие числа. Затем
нужно трансформировать условие задачи, заменив это число на номер
текущего года, если это возможно для номера текущего года.
Трансформация условия олимпиадной задачи имеет цели:
– преобразование условия с целью удержания в памяти метода решения задачи;
– расширение набора задач для следующей олимпиады;
– определение границ применимости предложенного метода;
– изменение условия задачи, если для этого номера года нельзя решить аналогичную задачу;
– привлечение других методов решения задачи, если для задачи с
номером текущего года нельзя применить ранее предложенный метод.
Пример 1. Найти остаток от деления числа 32003 на 7.
Решение. Найдем остатки при делении первых степеней основания 3
на число 7 (табл. 1).
3n
3
9
27
81
243
Таблица 1
729 2187
Остатки при делении
3n на число 7
3
2
6
4
5
1
3
Вычисление степеней в некоторых случаях может оказаться трудоемким. Этот процесс можно упростить, если использовать следующее
n
n 1
r (a n 1 ) m r (ta )m ,
свойство. Пусть a km t, тогда a kma ta,
т.е. чтобы найти остаток при делении следующей степени на число m,
нужно остаток, полученный на предыдущем этапе, умножить на основание a и записать новый остаток при делении на число m (табл. 2).
Таблица 2
3
3
3
3
3
35
36
Вспомогательная
операция
Остатки при делении
на число 7
–
33
23
63
43
53
3
2
6
4
5
1
n
2
3
4
r 32003 r 36 335 3 r 36 335 33 r 36 335 r 33 6.
7
7
7
7
7
Пример 2. Докажите, что 20032004 2004 2003 делится на 5.
118
Пример 4. Найдите все пары натуральных чисел (m, n), удовлетворяющих уравнению 20m 17n 2017.
Решение. Первый способ. Из уравнения получаем m 100, n 1 и
пара (100;1) удовлетворяет уравнению. Рассмотрим замену m 100 p ,
n 1 q.
Для p и q получаем уравнение 17 q 20 p , причем p Z , p 0, q N .
Числа 17 и 20 взаимно простые, поэтому p17 и q 20 , причем p 100.
Поэтому для чисел p, q, m, n получаем значения в таблице 6.
Ответ.
(100;1),
(83;21),
Таблица 6
(76;41),
(49;61),
(32;81),
(15;
101).
p
0
17 34 51 68 85
Второй способ. Для уравнения
q
0
20 40 60 80 100
20
m
17n 2017 находим решение
m 100 83 76 49 32 15
в
целых
числах m 100 17t ,
n
1
21 41 61 81 101
n 1 20t , t Z . Для натуральных
чисел m и n выполняются условия m 0, n 0 или 100 17t 0,
1 20t 0, t Z . Для 0 t 5 получаем выше перечисленные решения.
Пример 5. На плоскости расположены 2016 точек. Существует ли
окружность, внутри которой расположено ровно 1008 точек?
Решение. Докажем вначале, что на плоскости существует точка,
удаленная на различные расстояния от данных 2016 точек. Проведем все
отрезки, соединяющие эти точки. Число таких отрезков конечно и равно
2
С2016
. К каждому из построенных отрезков проведем серединный перпендикуляр. Число серединных перпендикуляров будет конечным. Рассмотрим на плоскости произвольную точку О, не лежащую на построенных перпендикулярах. Такая точка существует, так как конечное число
прямых не покрывает всю плоскость. На любой окружности с центром О
лежит не более одной из данных точек. (В противном случае точка О будет удалена на одинаковые расстояния от некоторых двух данных точек.)
Построим 2016 окружностей с центрами в точке О и проходящие через данные точки. Окружности будут иметь различные радиусы. Занумеруем радиусы окружностей в порядке возрастания: r1 r2 r3 ... r2016 .
Построим окружность с центром О и радиусом r, удовлетворяющим
условию r1008 r r1009 . Внутри этой окружности находится ровно 1008
точек.
Пример 6. В круге, площадь которого равна 1, дана 1981 точка, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что из этих
точек можно выбрать такие три точки, что площадь треугольника с вершинами в выбранных точках будет меньше 0,0011.
120
0
Решение. Разделим круг на 990 равных секторов с углом 360 ,
990
тогда хотя бы в одном из секторов окажется не менее трех точек (точку,
лежащую на границе двух секторов, считаем принадлежащей одному из
секторов). (Если предположить, что каждый сектор содержит не более
двух точек, то общее количество точек окажется не более 2 990 1980.)
Рассмотрим сектор, содержащий не менее трех точек. Возьмем какие-либо три точки, попавшие в этот сектор. Треугольник с вершинами в
этих точках лежит в секторе, так как сектор – выпуклая фигура. Площадь
1
0,0011.
треугольника не больше площади сектора, которая равна
990
Пример 7. В каждой вершине правильного 2014-угольника записано
положительное число, причем каждое из этих чисел равно среднему
арифметическому двух чисел, записанных в соседних вершинах. Докажите, что все записанные в вершинах многоугольника числа равны между
собой.
Решение. Среди 2014 чисел, записанных в вершинах многоугольника, найдется наименьшее число и, возможно, не одно. Пусть число a является наименьшим. Пусть b и c числа, расположенные в соседних вершинах, тогда a (b c) / 2 или 2a b c, (b a) (c a) 0. Так как
b a, c a, то b a 0 и c a 0. Равенство (b a) (c a) 0 выполняется только при b a 0 и c a 0. Это означает, что оба соседние числа для наименьшего числа также являются наименьшими числами. Переходя далее последовательно по вершинам многоугольника, получим, что все данные числа равны наименьшему числу, и, следовательно, все числа равны.
232003 1
232004 1
.
или b 2004
Пример 8. Какое из чисел больше a 2004
23 1
23 1
2003
2014
23n,
Решение. Первый способ. Обозначим 23 n, тогда 23
232015 232 n,
a
n 1 232 n 1 (23n ) 2 (232 1) n 1
,
(23n ) 2 2 23n 1
b 23n 1 23n 1
a b.
23x 1
, тогда
23x 1 1
a f (2013), b f (2014). Докажем монотонность функции.
Второй
способ. Рассмотрим
f ( x)
22 23x ln 23
, f ( x) 0.
(23x 1 1) 2
функцию
121
f ( x)
Функция f (x) – монотонно убывающая, поэтому
a b.
a 20132015 20152013 ,
Пример
9.
Какое
из
чисел
2014
2014
b 2014 2014 больше?
a 20132015 20152013 (2014 1) 2015 (2014 1) 2013
Решение.
b
201422014
201422014
(2014 1)2013 (2014 1)2013 (2014 1)2 (20142 1)2013 (2014 1)2
=
20142013 20142013 20142
(2014)22013
20142
1
= 1
2
2014
2013
2
1
1
1 , ab.
2014
2.9. Минимизация геометрических величин
1. Минимизация длины ломаной
В
Пример 1. Внутри острого угла
АОВ, величина которого меньше 600,
даны точки М и N.
А) Постройте кратчайшую ломаную MXYN, где X [OA), Y [OB).
Зависит ли длина ломаной, если переставить точки М и N?
N
M
А
O
Рис. 39
б) Найдите длину ломаной
MXYN, если точки М и N находятся на
биссектрисе угла АОВ, равного 450, и
расположены так, что OM 6 см,
В
ON 8 см (рис. 39).
Решение. А) Анализ. Предположим, что задача решена, т.е. MXYN –
искомый путь (рис. 40). Пусть M
является симметричной точкой к точке M относительно прямой OA, т.е.
M SOA (M ),
N SOB ( N ).
Тогда
MX M X , NY N Y ,
N
Y
O
M
X
А
Рис. 40
M X X Y Y N M X X Y Y N .
с фиксиДлина ломаной MXYN
рованными концевыми точками M и N принимает наименьшую длину, когда ломаная распрямляется и превращается в отрезок M N .
122
При любом расположении
0
точек внутри угла M OA 60 ,
N OB 600 , M ON 1800.
Отрезок M N пересекает
лучи [OA) и [OB).
В
Построение (рис. 41).
Y
M SOA (M ), N SOB (N ),
X OA M N ,
Y OB M N ,
[MX ], [MY ]. Путь MXYN – искомый,
так
как
N
M
.
XY YN MN
MX XY YN MX
Длина ломаной линии не зависит от перестановки точек,
если точки расположены на биссектрисе угла. Для рис. 42 длина
ломаной линии зависит от перестановки точек.
А
O
X
Рис. 41
MX XY YN M N M 1 N 1 M 1 X 1 X 1Y1 Y1 N 1 .
0
Б) M ON 90 ,
OM 6, ON 8, M N 10.
B
Длина ломаной линии MXYN
равна 10.
Y
Пример 2. В начале прямоугольной декартовой системы координат сидит обезьяна (обозначим ее точкой О),
Y1
смотрит в зеркало, заданное
х у
1, a 0,
уравнением
а а
A
и видит удава U (как точку)
O
X1
X
на оси Ох. Обезьяна отправляет привет удаву по прямой
Рис. 42
линии в сторону зеркала, но
привет, ударившись о зеркало
(отразился по закону: угол
падения равен углу отражения), немного побитый, дойдя
до удава, пробежал путь 5а/4. Во сколько раз быстрее добежит привет до
123
удава по прямой, если особа женского рода не будет пользоваться зеркалом?
Решение. Из уравнения прямой
C
B
следует, что OA = a, OC = a (рис. 43).
Пусть K – точка отражения траектории привета. Пусть OABC – квадрат
со стороной, равной а, тогда вершины
О и В симметричны относительно
диагонали АС. Следовательно, OK =
K
=KB, OKC BKC. Точки B, K, U
расположены на одной прямой, причем
5a
О
A
U
Рис. 43
BU BK KU OK KU .
4
3a
a
UA BU 2 BA2 , OU OA UA . OK KU 5a : a 5.
4
4
OU
4 4
Пример 3. На пути геодезиста, проходящему по отрезку AB, образовалось непроходимое озеро в
форме круга радиусом r. Диаметр
круга расположен на отрезке AB.
Отрезок AB пересекает границу
A
D B
C
круга в точках C и D, причем C –
ближайшая точка к точке A. УкаРис. 44
жите кратчайший маршрут из точки
A в точку B (с пояснениями) и
найдите его длину, если AC r ,
D B r ( 2 1). Проход по границе
круга возможен, если это необходиA
C
D B
мо (рис. 44).
Решение. Из всех маршрутов,
соединяющих две точки, кратчайшим является отрезок с концами в
этих точках, если такой маршрут на
Рис. 45
отрезке можно реализовать. РасN
смотрим маршрут, реализованный
M
на ломаной линии. Если отрезки
ломаной не касаются круга, то
маршрут можно сократить, рассмотрев отрезок, касательный к кругу
(рис. 45), так как длина стороны треугольника меньше суммы длин двух
других его сторон. Рассмотрим маршрут AMB на рис. 46, содержащий две
124
касательные к кругу. Его также можно сократить, если провести касательную к окружности в точке на дуге PQ и отрезать треугольник.
Продолжая аналогично сокращать маршрут, срезая треугольники, которые можно обраB
A
зовать касательными, получаем,
что кратчайшим маршрутом будет
линия, состоящая из касательной
Q
AP, дуги PQ и касательной BQ
P
(рис. 47).
Рис. 46
A
C
300
M
D
O
B
450
600
75
0
Рис. 47
Q
P
В прямоугольном треугольнике AOP (рис. 46) гипотенуза вдвое
больше катета OP, следовательно OAP 300, AOP 600, AP 3r.
В прямоугольном треугольнике BQO гипотенуза BO равна
2r ,
следовательно BOQ 450, POQ 750.
Длина дуги, на которую опирается центральный угол величиной 1 0 ,
2 r
, а длина дуги, на которую опирается центральный угол вели360
2 r
5 r
чиной 750, равна
. Длина маршрута равна сумме длин
75
12
360
5 r
касательных и длины дуги, т.е. l (1 3)r
.
12
Пример 4. На пути геодезиста, проходящему по отрезку AB, весной
образовалось озеро в форме квадрата со стороной a. Диагональ CD квадрата расположена на отрезке AB, причем C – ближайшая точка к точке A.
К озеру невозможно подойти ближе, чем на расстояние r, ввиду заболо-
равна
125
ченности почвы. Укажите кратчайший маршрут из точки A в точку B
(с пояснениями) и найдите его длину, если AC
2 3
r , DB 2r.
3
ПреРешение.
K
J
пятствием для маршрута является квадr
ратная область и
множество
точек,
a
удаленных от квадраa
L
I
та на
расстояние
меньше r, т.е. препятD
C
A
B
ствием является область
EFGHIJKL,
r
r
изображенная на рис.
H
Е
a
a
48. Край области состоит из четырех отрезков длиной a и
r
Рис. 48
параллельных стороG
нам квадрата, а также
F
из
четырех
дуг
окружностей с центрами в вершинах квадрата. Центральные углы, опирающиеся на эти дуги, являются прямыми, т.е. каждая из дуг является
четвертью окружности.
C
D
r
r
B
A
N
Е
a
a
H
r
Рис. 49
G
F
Рассуждениями, аналогичными задаче 5, показывается, что для построения кратчайшего маршрута необходимо из точек A и B провести
126
касательные к краю препятствия и далее рассмотреть путь по краю препятствия между точками касания (рис. 49).
Пусть AN – касательная, проведенная из точки A к окружности и BH
также касательная, проведенная из точки B к окружности, тогда,
DBH 450.
Кратчайший маршрут состоит из касательной AN, дуги окружности
NE, отрезка EF, четверти окружности FG, отрезка GH и касательной HB.
Величина угла NCE равна 150 и составляет 1/24 полного угла, поэтому длина дуги NE равна 2 r / 24 r /12.
Длина маршрута равна
r r
r
(18 7 )r
.
a r 2a
a
2
12
2 12
Пример 5. Бильярдный шар при ударе о стенку отражается по закону – угол падения равен углу отражения (рис. 50). Бильярдный шар вышел из точки B под углом 600 к стороне OB (рис. 51), отразился последовательно от сторон в точках B1 , B2 ,..., B59 , B60 и вернулся из точки
B60 назад по только что прошедшей траектории. Определить величину
угла AOB и длину пройденного пути от точки B до точки B60 , если
OB60 2.
В
B2
Рис. 50
B60
O
B59
Рис. 51
B1
А
Решение. Пусть AOB , тогда AB1 B является внешним углом в
точке B1 для треугольника OB1B (рис. 52), поэтому он равен сумме двух
внутренних, не смежных с ним углов, т.е. AB1B . По закону отражения OB1B2 .
Применяя последовательно теорему о внешнем угле и закон отражения, получим BB2 B1 2 OB2 B3 , AB3 B2 3 OB3 B4 , …,
BB60 B59 60 OB60 B59 .
127
Возврат траектории назад произойдет в точке B60 , если угол падения в этой точке будет прямым, т.е. BB60 B59 900 (рис. 52), следователь0
но, 600 60 900 или 0,5 30.
В
B2
B60
O
Рис. 52
B59
B1
B3
А
Для нахождения длины пройденного пути распрямим траекторию,
заменяя ломаную линию BB1B2 ...B59 B60 одним отрезком.
В
B2
B60
O
B59
B3
B1
А
Рис. 53
K1
При симметрии относительно прямой OA (рис. 53) отрезок B1B
отобразится в отрезок B1K1, причем K1 B1 A B2 B1O. Отрезки K1B1, B1B2
расположены на одной прямой, т.е. они образуют один отрезок B2 K1 .
С помощью симметрии ломаная BB1B2 распрямлена в отрезок B2 K1
такой длины, как и длина ломаной BB1 B2 . Симметрия сохраняет величину углов, поэтому BOK1 2 .
128
Аналогично, применяя
симметрию относительно
прямой OB, вместо ломаной
K1 B2 B3 получим отрезок
B60
B59
O
B3 K2 , такой же длины как
длина
этой
ломаной,
а
AOK2 3 .
Применяя симметрию
в 59-й раз, распрямим ломаную BB1B2 ...B59 B60 в отрезок B60 K 59 (рис. 54) и получим прямоугольный треугольник OB60 K59 , в кото-
Рис. 54
K59
ром B60OK59 60 300,
tg B60OK 59
B60 K 59
,
OB60
B60 K59 2tg300.
2 3
.
3
Пример 6. Доказать, что для многоугольника существует единственная точка, сумма квадратов расстояний от которой до его вершин
минимальна.
Решение. Первый способ. Пусть вершины многоугольника имеют
координаты M1 (a1; b1 ), M2 (a2 ; b2 ),..., Mn (an ; bn ). Для произвольной точки
Ответ: AOB 30. Длина ломаной BB1 B2 ...B59 B60 равна
M ( x; y) получаем min (MM12 MM 22 ... MM n2 )
min (( x a1 )2 ( y b1 )2 ... ( x an )2 ( y bn )2 )
n
n
min ( nx 2 2 x( a1 ... an ) ny 2 2 y (b1 ... bn ) ai bi )
i 1
n
i 1
n
2 x(a1 ... an )
2 2 y (b1 ... bn )
ai bi min n x 2
n y
n
n
i 1
i 1
2
n
n
(a ... an ) 2
(b1 ... bn )
n
y
c1 c2
ai bi min n x 1
n
n
i 1
i 1
2
2
n
n
(b1 ... bn )
(a ... an )
ai bi c1 c2 n min x 1
,
y
n
n
i 1
i 1
129
где c1
(a1 ... an )2
(b ... bn ) 2
.
, c2 1
n
n
Минимальное значение выражения, содержащегося в квадратных
скобках, достигается только при x a1 ... an , y b1 ... bn .
n
n
Поэтому существует единственная точка M a1 ... an ; b1 ... bn
n
n
,
удовлетворяющая условию задачи.
Сумма квадратов расстояний от этой точки до вершин принимает
значение
n
n
a b
i
i
i 1
i 1
( a1 ... an ) 2 (b1 ... bn ) 2
.
n
n
Второй способ. Рассмотрим функцию
f ( x) ( x a1 )2 ( y b1 )2 ... ( x an )2 ( y bn )2 ), которая является
непрерывной на плоскости R2, имеющей непрерывные производные до
второго порядка включительно.
f x( x ) 2nx 2(a1 a2 ... an ), f y( x) 2ny 2(b1 b2 ... bn ).
Точкой возможного экстремума является точка
a ... an b1 ... bn
M 1
;
.
n
n
В этой точке выполняются все условия, достаточные для локального
минимума f xx n, f yy n, f xy 0, f xx 0, f xx f yy f xy2 0.
Других точек локального минимума нет, поэтому в этой точке
функция принимает минимальное значение.
2. Применение производной для определения наибольшего или
наименьшего значений.
Пример 7. Среди всех
прямоугольников с постоянным периметром P определить
у
прямоугольник,
имеющий
наибольшую площадь (рис.
55).
х
Рис. 55
Решение.
Обозначим
стороны прямоугольника через x, y, тогда периметр равен P 2x 2 y, а площадь равна S xy.
Уменьшим число переменных, учитывая условие 2x 2 y const P. Тогда y (P 2x) / 2, S x(P 2x) / 2 Px / 2 x2 . Переменная x является длиной, поэтому удовлетворяет условию x 0. С другой стороны, перемен130
ная удовлетворяет условию 2 x P , так как y 0. Следовательно, для
переменной х получаем область определения 0; P / 2 .
S ( x) P / 2 2x. S ( x) 0 x P / 4, y P / 4.
При переходе через точку x P / 4
производная меняет знак с плюса на минус,
поэтому функция в точке x P / 4 достигает
максимума.
На концах отрезка области определения
функция принимает значение 0, поэтому
функция достигает наибольшего значения в
точке x P / 2. Наибольшее значение площади достигается, когда x y, т.е. прямоугольник является квадратом.
Пример 8. Какие размеры должна
иметь консервная банка в форме прямого
кругового цилиндра с заданным объемом V,
Рис. 56
если для ее изготовления нужно затратить
минимальное количество жести?
Решение. Пусть r – радиус основания, h – высота банки, тогда площадь полной поверхности равна S 2 r 2 2 rh. Получили функцию от
двух переменных. Уменьшим число независимых переменных из условия
V const. Из равенства V r 2 h выразим h V 2 , и, подставляя в S,
r
получим функцию S(r) 2 r 2 2V / r от одной переменной. Переменная r
является длиной, поэтому удовлетворяет условию 0 r .
2V
2 r 3 V
V
– стационарная
S (r ) 4 r 2 . S (r ) 0
0r 3
r
2
r2
точка.
При переходе через стационарную точку производная меняет знак с
минуса на плюс, поэтому стационарная точка является точкой локального минимума и в ней функция достигает наименьшего значения.
V
V
V
, hmin
rmin 3
2 3
2rmin .
2
2
rmin
2
Плоскость, проходящая через ось цилиндра, пересекает цилиндр по
осевому сечению. Из условия hmin 2rmin получаем, что осевое сечение
для данной задачи является квадратом (рис. 56), так как высота цилиндра
равна диаметру основания.
131
D
E
M
30
K
L
F
C
B
20 G
30
N
H
Рис. 57
А
Пример 9. Многоугольник ABCDEFGH состоит из трех прямоугольников ABKG, CDEL и LFGK, имеет площадь 4300 м2, причем
FG 20, GH 30, BM 30, CB 50 (рис. 57). Найти наименьшее значение периметра этого многоугольника и какие-либо значения длин AM, AN
и СВ, при которых периметр является наименьшим.
Решение.
Периметр данного многоугольника равен периметру Р прямоугольника AMEN. Обозначим AM x, AN y, BC z, тогда P 2( x y),
z 50, xy 4300 NH HG CB BM 4300 600 30 50 6400,
y
6400
6400
, P 2 x
.
x
x
6400
.
x
Для положительных чисел а и b выполняется неравенство
Исследуем функцию f ( x ) x
a b 2 ab , причем неравенство превращается в равенство при a b .
6400
6400
2 x
160, причем равенство доx
x
стигается только при x 80. Следовательно, P 320.
Наименьшее значение периметра равно 320.
Замечание. Для нахождения наименьшего значения периметра можно использовать производную функции.
В нашем случае x
132
Рассмотрим при x 80 в качестве частного случая z 50, тогда
xy 6400, y 80.
Ответ: P 320 м, AM 80 м, AN 80 м, BC 50 м. .
2.10. Расстояние между скрещивающимися прямыми
Расстоянием между скрещивающимися
прямыми называется длина общего перпендикуляра
к
этим
прямым.
На
рис.
58
H1H2 l1 , H1H2 l2 , H1 H 2 – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых l1 и l2.
H 1 H 2 (l1 , l2 ) – расстояние между скрещива-
H1
l1
l2
H2
Рис. 58
ющимися прямыми.
Методы нахождения расстояния между скрещивающимися
прямыми.
1. По определению расстояния
H1 P1
Построить общий перпендикуляр (чтобы построить перпендикуляр к
l1
одной прямой, находим равнобедренный
треугольник с основанием на этой пряl2
мой и медиану к основанию треугольника).
P2
H2
Находим длину общего перпендикуляра.
Рис. 59
Замечание 1. Если при повороте
R H 1 H 2 вокруг прямой H1H2 на угол прямые l1 и l2 отображаются в эти
же прямые, то отрезок H1H2 является общим перпендикуляром. Поиск
общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым можно свести
к поиску поворотной оси второго порядка, переводящей данные прямые
в эти же прямые.
Замечание 2. Если H1H2 построить перпендикулярно к некоторой
плоскости, в которой расположена прямая l1, то прямая H1H2 перпендикулярна прямой l1.
2. Метод параллельных плоскостей
Через некоторую точку прямой l2 построим прямую l 1 , параллельную прямой l1 (рис. 59).
133
+ ) % 0 2% ) 2 ! M
)
) 2 0 % *
0!
+ ) % 2 0% ) .! +) .
2 ? ! ' )
' ) % % ! B :'
' ) )
) !
I :' ' ) % %
&
1 ) ) % %: :* 0*
* 2
) 2 -
1 ) ) ) ) F2 2
) 2 ! B 9 ) F2 5
) * ) ) 2 -
1 : ) F2F0!
./ 0 ! A ) F2F0 %
) : : ) % %: :! / '
% ) * )F2F0
2 ' *) ) 0) ' 0!
",
+ 3 ? ) *
) 2*
2 3 * 0% ? )8
0 ) 3
6 ! 1 7! '
) % %
2 0
) E* %
) 0 % * !!
. "
06 2 * 0 7 '!
!1
/ ) E
% )
: :) % %: :* )E
2 ' *) ) E) ' 0!
2.=
#*
+ ) )
) >2 2 * >0 0 )
'2
%: ) 2 * 0 ) %
%: : 6 ! 127! + '2'0 ?
% ) : 2 0*
' 2 ' 0 ' 2 > 2 >2 > 0 > 0 ' 0 !
A) ' 2 > 2
2
<
0
2
>0
? ) *
9 ' 2 >2 ; 2 * ) > 0 ' 0 0 ?
) *9 >0 '0 < 0 *
'2' 0 ; 2
>2
'0
0
!12
>2 > 0 ! 627
) ) '2 ' 0 + 2 * '2 ' 0 + 0 *
' 2 ' 0 ( 2 * ' 2 ' 0 (
0
! +
' 2 ' 0 * :
2
(
2
;
2
(
0
<
2
( > 0 >2 *
0
' )
(
2
;
0
(
0
<
0
( > 0 >2 ! 607
;<
'627 ) ' 2 ' 0 ) 2 0 * )
9 ) !
@ ' 8*
% ) !
$ / . + 0
' ) %
% * '
2
%
% ) !%
* '
$2
2
5
2
1T $%
0 6 2* 0 7
*
'2
$ ( % ( VOP *
'0
* ? '
0
! %* T $% ? S
"
$%!
!
* %
!10
!
" ' ) % %
: ': ) * ) !
2.>
Решение. Рассмотрим скрещивающиеся диагонали ВС1 и A1D в боковых гранях куба (рис. 62).
1. Решение по определению общего перпендикуляра.
Среди отрезков с концевыми точками на этих диагоналях претендентом на общий перпендикуляр является отрезок Н1Н2, где точки Н1 и
Н2 являются серединами диагоналей. Действительно, при повороте куба
вокруг прямой Н1Н2 на угол 180о диагонали ВС1 и A1D отображаются в
себя. Следовательно, (l1 , l2 ) а.
2. Метод параллельных плоскостей.
Через прямую l2 проходит плоскость ADD1A1, которая параллельна
прямой l1. Из точки В опустим перпендикуляр ВА на плоскость ADD1A1,
тогда длина отрезка ВА является расстоянием между скрещивающимися
прямыми.
3. Решение методом проектирования на перпендикулярную плоскость.
D1
В квадрате ВСС1В1 диаC1
гонали ВС1 и СВ1 перпендиz
кулярны. Плоскость DCB1A1
B1
перпендикулярна прямой l1.
A1
l1
Эта прямая пересекается с
плоскостью DCB1A1 в точке
H1
H2
Н1. Из точки Н1 опустим
перпендикуляр на прямую l2.
y
l2
В равнобедренном треугольD
С
нике DH1A1 точка Н2 является серединой основания треугольника. Следовательно,
x
А
В
длина отрезка Н1Н2 равна
Рис. 63
расстоянию между скрещивающимися прямыми.
4. Решим задачу координатным методом, предполагая, что мы не
знаем расположение точек Н1 и Н2. Введем систему координат с началом
в точке А (рис. 63), тогда l1 BC1 {0; a ; a}, l2 DA1 {0; a; a},
Система
N 2 N1 {a; a; 0}, N1 N 2 { a; a; 0}.
2a2 p 0q a2 , 0 p 2a2 a2 .
Решение
(2)
системы:
примет
1
1
p ,q .
2
2
1
1
H1 H 2 {0; a; a} {0; a; a} {a; a;0} {a;0;0}, H 1 H 2 a.
2
2
136
вид
Пример 2. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 точки N, K, P соответственно середины сторон A1 B1 , B1C1 , AD . Найти расстояние между прямыми NK и PD1,
если ребро куба равно а.
Решение. Применим меC1
D1
тод проектирования на перO
пендикулярную
плоскость
K
l1
A1
(рис. 64).
B1
Плоскость
DBB1 D1 перN
l2
пендикулярна прямой l1 NK
и пусть O l1 DBB1D1 , тогда
D
OB1 D1B1 4. Проектируя пряС
мую l2 на эту плоскость, поQ
P
лучим прямую D1Q, где
В
PQ NK, причем DQ DB 4.
А
В
Рис. 64
Из точки О нужно опустить перпендикуляр ОН на
проекцию D1Q. Точки О, D1, Q находятся в плоскости DBB1D1 (рис. 65).
Пусть BB1 a, тогда D1 B1 a 2,
3
1
3
D1О a 2, DQ a 2, D1Q a 2.
4
4
4
Треугольники DQD1 и HD1O подобны и равны, так как D1O D1Q.
Следовательно, OH D1 D a.
2.11. Текстовые задачи
D1
О
H
D
B1
a
Q
В
Рис. 65
Пример 1. Два автомобиля, двигаясь по кольцевой дороге с постоянными скоростями в одном направлении, оказываются рядом через 112 минут, а при движении с теми же скоростями в противоположных направлениях встречаются через 16 минут.
За какое время проезжает всю кольцевую трассу каждый автомобиль?
Решение. Если при движении в одном направлении автомобиль А
оказался рядом с автомобилем В, то автомобиль А проехал на один круг
больше. Преодолеть этот круг автомобилю А удалось за счет того, что он
удалялся в течение 112 минут со скоростью VA VB от автомобиля В.
Длина одного круга равна s V A VB 112.
Если при движении в противоположных направлении автомобиль А
оказался рядом с автомобилем В, то вместе они проехали один круг, дли137
на которого в этом случае равна
VA VB 112 VA VB 16,
получаем
s V A VB 16.
3VA 4VB ,
Из уравнения
4
т.е. VA VB
3
и
3
VB V A . Определим время, за которое проезжает кольцевую трассу
4
каждый автомобиль:
1
S 16(VA VB )
S 16(VA VB ) 56
28, tB
37 .
tA
3
3
VA
VB
VA
VB
1
Ответ: 28 мин, 31 мин.
3
Пример 2. От пристани А вниз по течению отправились катер и
плот. Катер доплыл до пункта В, повернул обратно и встретил плот через
6 ч после выхода из А. Сколько времени катер шел от А до В?
Решение. Первый способ. Пусть VK – скорость катера в стоячей воде, VT – скорость течения реки, которая равна скорости плота при движении по течению, t – время, затраченное катером при движении по течению от пункта А до пункта В, тогда катер движется по течению со скоростью VK VT и длина пути АВ равна AB (VK VT ) t .
Пусть при движении катера против течения катер и плот встретились в пункте С, тогда AC CB AB . Плот прошел расстояние
AC 6 VT ,
а
катер
прошел
против
течения
расстояние
CB (6 t ) VK VT .
Из равенства VK VT t VK VT (6 t ) VT t получаем t 3 .
Второй способ. Вначале катер удалялся от плота со скоростью, равной разности скоростей движения катера и плота, т.е. (VK VT ) VT VK .
Катер затратил на это удаление t ч, пока не достиг пункта В и удалился
на некоторое расстояние S от плота. После поворота катер и плот стали
двигаться навстречу и скорость их сближения стала равной сумме их
скоростей (VK VT ) VT VK . Скорость сближения и скорость удаления
оказались равны. Для преодоления того же расстояния S им потребуется
такое же время t, поэтому 2 t 6 . Ответ: 3 ч
Пример 3. Валенок на правой ноге почтальона Печкина изнашивается через 1200 км, а валенок на левой ноге через 1300 км. Какой максимальный путь пройдет почтальон Печкин, если будет менять валенки на
ногах?
138
Решение. Первый способ. Полный ресурс каждого валенка будем
считать равным единице, тогда ресурс (износоустойчивость) левого валенка на 1 км равен 1 1300 . Ресурс правого валенка на 1 км равен 1 1200
. Общий ресурс двух валенок равен 1 1300 1 1200 1 624.
1
1248.
624
Второй способ. НОК(1200;1300) 15600. Для 15600 км потребуется
12 13 25 валенок и они все будут изношены.
2 валенка –
х км,
25 валенок – 15600 км.
2
x
x 1248. Ответ: 1248 км.
25 15600
Пример 4. В двух шахтах есть по 100 шахтеров, которые трудятся
по 4 ч в сутки на добыче алюминия или никеля. На первой шахте один
рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,4 кг никеля. На второй
шахте для добычи х кг алюминия за смену требуется x2 человеко-часов и
для добычи у кг никеля за смену требуется y 2 человеко-часов. Обе шахты отправляют добытый металл на завод, который производит сплав этого сырья. Из 1 кг алюминия и 2 кг никеля получается 3 кг сплава. Шахты
договариваются вести добычу так, чтобы завод мог производить
наибольшее количество сплава. Сколько кг сплава сможет производить
завод при таких условиях?
Решение. Пусть на первой шахте х рабочих добывают алюминий,
тогда за смену на первой шахте добывают 0,3 4 x 1,2x кг алюминия и
0,4 4 (100 x) 160 1,6x кг никеля.
Пусть на второй шахте t рабочих добывают алюминий. За смену они
Максимальный путь для двух валенок равен 2 :
отработают 4 t человеко-часов и добыча алюминия составит 4t 2 t
кг. Остальные 1 0 0 t рабочих этой шахты добывают никель. Они за
смену отработают 4(100 t ) ч и добыча никеля составит 2 100 t кг.
На
завод
будет
поставлено
1,2x 2 t
кг
алюминия
и
160 1,6x 2 100 t кг никеля.
Рассмотрим функцию f ( x, t ) 1, 2 x 2 t 160 1, 6 x 2 100 t , равную объему выпуска сплава на заводе.
Переменные х и t связаны условием: никеля должно быть в два раза
больше, чем алюминия, т.е. 160 1,6x 2 100 t 2 1, 2x 2 t .
139
Выразим одну из переменных x 40
100 t
t.
2
Подставляя х, получим функцию от одной переменной
4
3
f (t) 144 0,6 3 100 t 4 t , f (t ) 0,3
t
100 t
Пусть f (t ) 0, тогда
3
100 t
4
t
.
, t 64, x 37.
Переменные х и t должны быть целыми числами и удовлетворять
условиям 0 x 100, 0 y 100. Эти требования выполняются.
Из неравенств f ( x) 0 при x (0;64) и f ( x) 0 при x (64;100)
следует, что функция f (t ) достигает в точке t 64 максимума.
f наибольшее (64) 168 . Ответ: 168 кг.
Приемы быстрого счета на заметку:
152 225, 252 625, 352 1225, ... ,952 9025,
1152 13225, 1252 15625, 1352 18225, ... ,1952 38025,
9052 819025, 9152 837225, ... ,9852 970225, 9952 990025.
Чтобы возвести в квадрат натуральное число, окачивающееся на 5,
нужно число, записанное цифрами до последней цифры 5, умножить на
следующее за ним натуральное число и приписать 25.
Например 9952 ?
9 9 1 0 0 и дописать к результату 25, т.е. 990025.
Обоснование: (10a 5)2 100a2 100a 25 a(a 1) 100 25 .
100 169
1
100 42 100 4200 25 4225,
4
4
4
2
100 154
154 25 154
100 38 100 3800 50 3850,
4
4
4
2043
3
2043 25
100 510 100 51075.
4
4
Чтобы умножить натуральное число на 25, нужно разделить это
число на 4. Целую часть полученного числа умножаем на 100 и прибавляем 25, 50 или 75, если остаток при делении соответственно равен 1, 2.
или 3.
169 25 169
140
Глава 3.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНИЙ
3.1. Векторы и замечательные точки треугольника
Вектор медианы (рис. 1): OM
ab
.
2
b a a b
Вектор биссектрисы (рис. 1): OL
.
a b
a
Направляющий вектор биссектрисы:
a
В
b
.
b
В
L
М
О
О
А
Рис. 1
Н
А
Рис. 2
Векторная проекция вектора b (рис. 2) на вектор a :
OH
ba
a
Вектор высоты (рис. 2): HB b
ba
a
2
2
a.
a.
АМ
, где точка М принадлежит прямой АВ,
МВ
отношение длин отрезков AM : MB, если
Отношением векторов
М В,
называется
АМ МВ, и отношение ( АМ : МВ), если АМ МВ.
1
a
a иногда будем использовать обозначение . Через
n
n
a, b, c далее обозначены стороны треугольника АВС, , , — углы
треугольника, О — произвольная точка плоскости.
Для вектора
141
Лемма об отношении векторов. Пусть точка М лежит на прямой АВ,
М В, АМ : МВ m : n (рис. 3), тоA
гда для произвольной точки О выполняется равенство
M
OM
nOA mOB
.
mn
Доказательство. Пусть OA a ,
O
Рис. 3
B
OB b, OM r , тогда AM r a,
AM m
, nAM mMB,
MB n
na mb
.
n (r a) m (b r ), (m n) r na mb, r
mn
MB b r, AB b a,
Некоторые приложения этой леммы для решения задач приведены в
[4]. Применим лемму для опреС
деления векторов, связанных с
замечательными точками треА1
M
угольника.
10. Пусть О — произвольная А
B
точка плоскости и ОА a,
С1
OB b, OC c, АА1, СС1 —
медианы АВС , М АА1 СС1
(рис. 4), тогда
OM
O
Рис. 4
abc
.
3
Доказательство.
АС1:С1В=1:1,
OC1
a b
, CM : MC1 2 :1,
2
c 2OC1
abc
, OM
.
3
3
20. Пусть АА1 и СС1 — биссектрисы треугольника, I AA1 CC1 ,
OM
ОА a, OB b, OC c (рис. 5), тогда
OI
142
aa bb cc
.
abc
C
A1
I
C1
А
B
Доказательство.
Рис. 5
AC1 b
aa bb
, OC1
,
ab
C1 B a
O
СI sin sin
.
IC1
sin
ab
CI
,
c
IC1
Доказательство второй формулы получается подстановкой
a 2 R sin , b 2R sin , c 2R sin ,
cc (a b)OC1
aa bb cc
, OI
.
abc
abc
30. Пусть АА1 , СС1 — прямые, содержащие высоты треугольника
OI
АВС, Н АА1 СС1 (рис. 6, 7), тогда
O H ctg ctg a ctg ctg b ctg ctg c .
Доказательство.
СА1
А1 В
b cos
c cos c b cos b
c cos c b cos b
, OA1
, OA1
,
c cos
b cos c cos
a
C
AH
cos
.
HA1 cos cos
A1
H
C1
A
B
Рис. 6
143
О
AH
HA1
AC1 CA1 b cos b cos cos
:
:
,
sin
sin
sin tg
cos cos a cos OA1
.
cos cos cos
OH
OH ctg ctg a
c cos cos
b cos cos
c
,
a sin sin
a sin sin
c sin b sin
,
, OH ctg ctg a ctg ctg b ctg ctg c.
a sin a sin
C
C
A1
A
A1
C1
О
H
h1
B
S
C2
A
B
C1
Рис. 7
h2
O
Рис. 8
АС1 b cos
2 R cos ,
sin
sin
CA b cos cos
HA1 1
2 R cos cos ,
tg
sin
АН
AH HA1 2 R 2 cos cos cos .
АН НА1 ВН НВ1 СН НС1 4 R2 cos cos cos .
Если треугольник АВС является остроугольным, то произведение
отрезков на высоте является постоянной величиной для данного треугольника и не зависит от выбора высоты.
40. Пусть S — центр описанной окружности (рис. 8), тогда выполняется равенство
OS
sin 2 a sin 2 b sin 2 c
.
sin 2 sin 2 sin 2
144
3.2. Полярная система координат
Полярная система координат на плоскости (рис. 9) определяется
точкой О (полюс) и лучом (полярная ось) с указанием единичного отрезка на оси.
у
М
О
1
М
у
О
Рис. 9
Рис. 10
1
х
х
Каждой точке M плоскости, отличной от полюса, сопоставляется
пара чисел ( , ), где ОМ , а
M
– ориентированный угол, образованный вектором ОМ с полярной
осью. Угол выбирается из множе-
О
R
R
ства [0, 2 ). Для полюса полагают
Рис. 11
0, а угол можно задавать пропроизвольно.
Связь между декартовыми и полярными координатами точки для
систем координат, указанных на рис. 10:
x2 y 2 ,
х cos ,
y sin .
y
.
x
При нахождении угла по заданным декартовым координатам х и
у предварительно уточняется расположение точки М относительно четвертей координатной плоскости, так как отношение у: х не определяет
однозначно угол.
Пример 1. Полярное уравнение окружности радиусом R с центром
на полярной оси и проходящей через полюс (рис. 11).
2 R cos .
tg
145
Пример 2. Построить линию, заданную полярным уравнением
4
r
. Записать уравнение этой линии в декартовых координаcos( 300 )
тах и определить тип линии.
Решение. Составим таблицу значений функции r ( ) в зависимости
от полярного угла .
Придавая последовательно значения углу
(рис. 12), найдем значения
функции по данной формуле.
Учитывая
условие
r 0, получаем ограничение:
1
900 300 900 ,
т.е.
O
600 1200.
Рис. 12
Таблица 1
-300
-150
00
300
600
750
900
r
8
8
5,7
2
8
4,6
3
4
8
4,6
3
8
5,7
2
8
Запишем уравнение в виде r cos( 300 ) 4 или
r (cos cos300 sin sin 300 ) 4,
3
1
r sin
4.
2
2
Учитывая r cos x, r sin y, по-
r cos
лучаем уравнение прямой
3 x y 8.
Эта прямая удалена от начала координат
на расстояние равное 4 (рис. 13).
Прямая пересекает ось Ox в точке
8
;0 , а ось Oy в точке B 0;8 .
A
3
Эти точки были получены и в полярной
системе координат. После определения
146
у
В
М
r
Н
300
О
Рис. 13
А
х
типа линии легко понять смысл данной формулы в полярных координа4
.
тах: OH OM cos HOM , 4 r cos( 300 ), r
cos( 300 )
3.3. Линии второго порядка
1. Эллипс
y
Эллипсом
называется
B1 b М
геометрическое место точек
плоскости, сумма расстояний
c
a
от которых до двух данных
О
F1
точек F1 , F2 , называемых
A2
F2
A1 x
фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расB2
d2
d1
Рис. 14
стояние между фокусами
(рис. 14).
Пусть F1 F2 2c, MF1 MF2 2a, a c и система координат выбрана как на рис. 14, тогда каноническое уравнение эллипса:
x2 y 2
1, где b2 a2 c2 , где х, у – координаты точки М.
a 2 b2
Параметрические уравнения эллипса x a cos t , y b sin t , t [0, 2 ].
Большая ось А1 А2 , большая полуось ОА1 или а, малая ось В1 В2 ,
малая полуось ОВ1 или b.
c
, e 1.
a
Фокальные радиус-векторы точки M эллипса
r1 F1M a ex, r2 F2 M a ex.
Эксцентриситет эллипса e
Сумма фокальных радиус-векторов для точки эллипса равна 2a.
a
a
Директрисы эллипса d1 : x ; d 2 : x .
e
e
касательной к эллипсу, проходящей через точку
Уравнение
xx0 yy0
M 0 ( x0 ; y0 ) эллипса:
1.
a 2 b2
Точки эллипса с рациональными координатами можно построить,
если в прямоугольнике со сторонами 2a и 2b разделить эти стороны на n
равных частей и провести прямые согласно рис. 15. Для системы коорди147
нат на рис. 15 точки эллипса с полуосями a и b имеют координаты
a(k 2 n 2 )
2bkn
M 2
; 2
, где n N , n 1, k 0,1, ... , n.
2
k n2
k n
y
2b
x
–а
a
O
Рис. 15
2. Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек F1 , F2 , называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние
между фокусами (рис. 16).
Пусть F1 F2 2c, MF1 MF2 2a, a c и система координат выбрана как на рис. 16, тогда каноническое уравнение гиперболы
x2 y 2
y
2 1 (1),
2
a b
B1 b
М
где b2 c 2 a 2.
a c
Параметрические уравA
A
F2
2
1
F1 x
нения гиперболы: x a cht ,
О
y b sht , t R для правой
ветви, x a cht , y b sht ,
d2
B2
Рис. 16
d1
t R для левой ветви.
Действительная ось А1 А2 , действительная полуось ОА1 или a,
мнимая ось В 1 В 2, мнимая полуось ОВ1 или b.
Эксцентриситет гиперболы e
c
, e 1.
a
148
Фокальные радиус-векторы точки M гиперболы:
а) для правой ветви
r1 F1 M ex a, r2 F2 M ex a, r2 r1 2a;
б) для левой ветви
r1 F1 M ex a, r2 F2 M ex a, r1 r2 2a.
a
a
; d 2: x .
e
e
b
b
Асимптоты гиперболы: y x, y x.
a
a
Уравнение касательной к гиперболе, проходящей через точку
xx yy
M 0 ( x0 , y0 ) гиперболы: 20 20 1.
a
b
x2 y 2
Уравнение гиперболы, сопряженной к гиперболе (1): 2 2 1.
a b
Гипербола называется равносторонней, если ее полуоси равны.
Уравнение равносторонней гиперболы:
y
а) в канонической системе коор2
2
a
x y
2 1;
динат Oxy :
2
a a
a
c
б) в системе координат Ox y
x
F
F2
1
О
(рис. 17), полученной вращением
a2
, где
Oxy на угол : y
2 x
4
Директрисы гиперболы d1: x
Рис. 17
2
2
x
x y , y x y .
2
2
В радиолокации имеет
большое значение использование системы координат, связанной с семейством эллипсов
и семейством гипербол с общими фокусами (рис. 18, 19).
у
О
Рис. 18
149
х
M
F2
F1
Радиолокационная станция № 1
Радиолокационная станция № 2
Рис. 19
Пусть радиолокационные станции расположены в фокусах, тогда
посылая сигнал из одного фокуса до воздушной цели и принимая отраженный сигнал во втором фокусе, можно определить сумму расстояний
до воздушной цели и разность расстояний.
Покажем, что по этим двум параметрам координаты точки определяются однозначно.
Эллипсы, имеющие общие фокусы, называются софокусными. Семейство софокусных эллипсов с фокусами F1 (c,0), F2 (c,0) можно задать аналитически одним уравнением
x2
y2
(2)
1,
a12 a12 c 2
где a1 c и параметр a1 меняется.
Гиперболы, имеющие общие фокусы (рис. 19), называются софокусными. Семейство софокусных гипербол с фокусами F1 (c,0), F2 (c,0)
можно задать аналитически одним уравнением
x2
y2
(3)
2
1,
2
a2
c a2 2
где 0 a2 c и параметр a2 меняется.
Умножая уравнение (2) на
1
1
, а уравнение (3) на 2 2 и
c2 a22
a1 c
2
складывая полученные уравнения, найдем x
150
a12 a22
.
c2
Умножая уравнение (2) на
1
1
, а уравнение (3) на 2 и складывая
2
a2
a1
(a12 c2 )(c2 a22 )
.
c2
Для двух параметров a1, a2 при фиксированном значении расстояния
между фокусами F1 F2 2c получим четыре точки на плоскости при пересечении эллипса и гиперболы. Например, в первой четверти получаем
aa
( a12 c 2 ) (c 2 a22 )
.
точку пересечения M 1 1 2 ;
c
c
Семейство софокусных эллипсов и гипербол можно задать одним
x2
y2
1, где с – расстояние от начала координат до
уравнением
c2
фокуса, – параметр. При c 2 уравнение определяет эллипс, при
0 c2 – гиперболу. Каждый эллипс ортогонален софокусной с ним
гиперболе.
2
полученные уравнения, найдем y
y
3. Парабола
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной прямой, называемой директрисой, и данной точки, называемой фокусом, т.е. (M , l ) MF .
М
F
О
x
p
Пусть ( F , l ) p и система коордиl
нат выбрана как на рис. 20, тогда канониРис.20
ческое уравнение параболы y 2 2 px.
Параметр р называется фокальным параметром параболы.
Уравнение директрисы x
p
.
2
Уравнение касательной к параболе в ее точке M 0 ( x0 , y0 ):
yy0 p( x x0 ) 0.
4. Конические сечения
Коническим сечением называется кривая, по которой пересекает
круговой конус произвольная плоскость, не проходящая через его вершину и не перпендикулярная оси конуса.
151
Коническое сечение является либо эллипсом, либо гиперболой, либо
параболой.
y
Директориальное свойство
конического сечения: отношеМ
ние расстояния от любой точки
Н2
Н1
конического сечения до фокуса
к расстоянию от этой точки до
соответствующей директрисы
О
F1
F2
x
(рис. 21) равно эксцентриситету
сечения
MF1
MF2
e
, M .
(M , d1 )
(M , d2 )
d2
Рис. 21
d1
Диаметром эллипса (гиперболы)
d1
называется любая прямая, проходящая через центр эллипса (гиперболы).
Диаметром параболы называется любая прямая, параллельная ее оси, а
также сама ось.
d2
Геометрическое место середин
Рис. 22
параллельных хорд конического сечения принадлежит диметру конического сечения. Этот диаметр называется сопряженным к хордам данного
семейства конического сечения.
Диаметр эллипса (гиперболы), сопряженный к хордам, параллельным данному диаметру, называется сопряженным к этому диаметру.
На рис. 22 d1 и d 2 – сопряженные диаметры
Уравнения диаметра, сопряженного к хордам с угловым коэффициb2
b2
ентом k: а) для эллипса y 2 x; б) для гиперболы y 2 x; в) для
ak
ak
p
параболы y .
k
Касательные к эллипсу (гиперболе) в концах его диаметра параллельны.
Оптические свойства конического сечения:
а) cветовой луч, исходящий из одного фокуса эллипса, после зеркального отражения от эллипса проходит через второй фокус.
Касательная к эллипсу есть биссектриса внешнего угла в точке касания между фокальными радиусами (рис. 23);
б) cветовой луч, исходящий из одного фокуса гиперболы, после зеркального отражения от гиперболы кажется исходящим из второго фокуса.
152
Касательная к гиперболе есть биссектриса внутреннего угла в точке
касания между фокальными радиусами (рис. 24);
в) cветовой луч, исходящий из фокуса параболы, после зеркального
отражения от параболы направлен параллельно оси параболы (рис. 25).
М
F1
F2
F1
F2
Рис. 23
Рис. 24
r
p
F
F
Рис. 26
Рис. 25
Первая теорема Аполлония. Площадь параллелограмма, построенного на любой паре сопряженных диаметров эллипса (гиперболы), равна
площади прямоугольника, построенного на осях, т.е. 4ab.
Вторая теорема Аполлония. Сумма (разность) квадратов длин любой пары сопряженных диаметров эллипса (гиперболы) равна сумме
(разности) квадратов длин его осей.
Уравнение конического сечения в полярных координатах
p
, где p – фокальный параметр конического сечения.
r
1 e cos
Фокальный параметр p конического сечения равен половине длины
хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной фокальной оси
b2
(рис. 26). Для эллипса и гиперболы p . Полюс полярной системы
a
координат расположен в фокусе конического сечения, полярная ось
направлена от соответствующей директрисы, перпендикулярно директрисе.
153
5. Линии второго порядка
Общее уравнение линии второго порядка:
a11 x 2 2a12 xy a22 y 2 2a1 x 2a2 y a 0.
(4)
Точка M 0 называется центром линии второго порядка, если она является центром симметрии этой линии. Линия называется центральной,
если она имеет единственный центр.
Координаты центра M 0 ( x0 , y0 ) линии (4) определяются из системы
a11 x0 a12 y0 a1 0,
a12 x0 a22 y0 a2 0.
Главными осями линии второго порядка называются диаметры, которые перпендикулярны к сопряженным хордам. Направления главных
осей называются главными направлениями.
Главные направления линии (4) определяются из уравнений
2a12
a
a12
,
tg 2
или tg 1 1 11
a11 a22
a12
1 a22
tg 2
2 a11
a12
a12
2 a22
,
a11
a12
0.
a12
a22
Угловые коэффициенты k асимптот линии (4) удовлетворяют уравнению a11 2a12 k a22 k 2 0.
где 1, 2 – корни уравнения
Условие распадения линии (4) на прямые:
a11
a12
a12
a22
a1
a2 0.
a1
a2
a
Инварианты уравнения (4) относительно преобразований одной
прямоугольной декартовой системы координат в другую:
a11 a12 a1
a11 a12
I1 a11 a22 , I 2
, I 3 a12 a22 a2 .
a12 a22
a1 a2 a
a
a2
a11 a1
. Он является инвариантом
22
a2 a
a1 a
относительно поворота системы координат, но не является инвариантом
вообще говоря относительно параллельного переноса системы. Для линий с условием I 2 0, I3 0 величина K1 является инвариантом.
Классификация линий второго порядка по инвариантам:
154
Полуинвариант K1
I2 0
центральная
линия
I2 0
I1I 3 0
I1I 3 0
I3 0
I2 0
I3 0
I3 0
I2 0
линия не имеет
центра симметрии
или имеет бесконечно
много центров симметрии
I3 0
I 3 0,
K1 0
эллипс
x2 y 2
1
a 2 b2
мнимый эллипс
точка
x2 y2
1
a 2 b2
x2 y 2
0
a 2 b2
x2 y 2
1
a 2 b2
пара пересекающихся прямых
x2 y 2
0
a2 b2
парабола y 2 2 px
пара параллельных прямых
y2 a2 0
гипербола
K1 0
пара мнимых параллельных прямых
y2 a2 0
I 3 0,
пара совпавших прямых
I 3 0,
K1 0
y2 0
Пример. С помощью поворота прямоугольной декартовой системы
координат и параллельного переноса привести к каноническому виду
уравнение линии второго порядка
37x2 32xy 13y2 32 5x 26 5y 115 0 .
Написать формулы преобразований координат и построить линию в
соответствующих системах координат.
Решение. Первый способ.
2a12
32
4
2 tg
tg 2
, tg 2
, tg 2
,
a11 a22
37 13
3
1 tg 2
1
2 tg
4
, 2tg 2 3tg 2 0, tg 2, tg .
2
2
3
1 tg
Эти формулы определяют два взаимно перпендикулярных направления, так как произведение полученных значений удовлетворяет условию
перпендикулярности k1k2 1. Выберем любое значение из них, например tg 2.
155
1
1
1
5, cos
,
.
2
2
cos cos
5
Рассмотрим поворот системы координат на острый угол, следова1
2
.
, тогда sin 1 cos 2 , sin
тельно, выберем cos
5
5
x cos x sin y ,
Формулы
поворота
вид
примут
y sin x cos y
1 tg 2
x
x
2 y
, y
2 x
y
.
5
5
5
5
Подставляя переменные х, у в данное уравнение линии второго порядка, получим
5 x2 45 y 2 20 x 90 y 115 0.
Выделяя полные квадраты для каждой переменной, получим
5( x2 4 x 4) 20 45( y 2 2 y 1) 45 115 0,
5( x 2) 2 45( y 1)2 180.
Обозначим x 2 x, y 1 y.
Эти формулы можно рассматривать как преобразование координат
одной и той же точки при пеу
реходе от системы координат
x , y к системе координат x, y
Рис. 27
с помощью параллельного переноса на вектор а{2;1}.
Получаем
уравнение
5 x 2 45 y 2 180.
Разделив обе части уравнения на 180, получаем каноническое уравнение эллипса
О
х
x 2 y 2
1.
36 4
Рассмотрим построение линии в каждой вспомогательной системе
координат.
156
Чтобы построить систему координат Оху, полученную из первоначальной системы координат Оху поворотом на угол , достаточно построить
два
р1 (1; tg ),
вектора
p2 (tg ;1), которые образуют соот
ветственно углы , с положи2
тельным направлением оси ох. В
нашем случае строим векторы
р1{1;2}, p2{2;1}, которые указыва-
у
ют направление осей повернутой
системы координат (рис. 28).
Затем строим систему коорди , полученную из системы
нат Oxy
координат
Ох у
параллельным
переносом на вектор а{2;1} в си-
О
х
стеме координат Оху . В последней
системе координат строим эллипс с
Рис. 28
полуосями 6 и 2 (рис. 28).
Формулы преобразования примут вид
( x 2) 2( y 1)
x 2 y
,
,
x
x
5
5
5
5
или
y 2( x 2) ( y 1)
y 2 x y 5.
5
5
5
5
Рекомендуем осуществить проверку, т.е. подставить полученные
формулы преобразования в исходное уравнение и получить каноническое
уравнение.
Второй способ. Составим характеристическое уравнение для опредеa
a12
ления собственных чисел 11
0.
a22
a12
В нашем случае
37 16
2
0, 50 225 0, 1 5, 2 45.
16 13
Для каждого из собственных чисел найдем собственные векторы из
системы
157
( a11 )u a12 v 0,
a12 u ( a22 )v 0.
В нашем случае для 1 5 получаем
2u v 0,
(37 5)u 16v 0,
или
(13
5)
v
0
16
u
2u v 0.
Это линейно зависимая система. Она имеет бесконечно много реше-
ний (u; 2u). Найдем длину полученного p{u;2u} вектора решений системы
p u 2 4u 2 5u. Разделив координаты полученного векто-
ра на длину вектора, получим первый собственный вектор единичной
1 2
длины p1
;
.
5 5
2 1
Аналогично для собственного числа 2 45 , p 2
;
.
5 5
Записываем формулы преобразования координат по следующему
правилу: первоначальные координаты точки выражаем через новые координаты точки, записывая координаты первого собственного вектора в
первый столбец коэффициентов, а координаты второго собственного вектора во второй столбец коэффициентов перед неизвестными.
В нашем случае
1
2
2
1
x
x
y , y
x
y .
5
5
5
5
После подстановки этих формул в данное уравнение получим новое
уравнение, в котором все слагаемые, содержащие вторую степень, преобразуются к стандартному виду. Поэтому нужно пересчитать только коэффициенты в слагаемых первой степени и свободный член уравнения.
x 2 y
2 x y
1 x 2 2 y 2 32 5
26 5
115 0 или
5
5
5
5
5 x2 45 y 2 20 x 90 y 115 0.
Далее осуществляется выделение полных квадратов. Кстати, эту операцию можно представить как определение центра линии второго порядка из системы
a11 x a12 y a1 0,
a12 x a22 y a2 0.
5 x 10 0,
В нашем случае получаем
x 2, y 1.
45 x 45 0
158
Далее построение проводится, как и в первом способе.
Замечание. Для данного уравнения можно вначале определить центр
линии второго порядка в исходной системе координат Оху из системы
a11 x a12 y a1 0,
a12 x a 22 y a2 0,
а затем осуществлять поворот системы координат.
Третий способ. Вместо нахождения координат собственного вектора
можно определить sin , cos из равенств
tg
1 a11
a12
, cos
1
2
, sin
1 tg
tg
1 tg 2
.
Кстати, коэффициенты перед переменными в первой степени можно
вычислять по формулам
a1 a1 cos a2 sin , a2 a1 sin a2 cos.
3.4. Моделирование замечательных линий
Вначале рассмотрим математическое моделирование некоторых линий, а затем приведем справочную информацию, которую можно использовать для математического и компьютерного моделирования других
линий.
1.
Розы
Пример. Четырехлепестковая роза является множеством оснований
перпендикуляров, опущенных из вершины О прямого угла на отрезок
постоянной длины 2а, концы которого скользят по двум взаимно перпендикулярным прямым, пересекающимся в точке О.
Решение. Рассмотрим полярную систему координат, полюс которой
совпадает с точкой O, а полярная ось направлена по одной из данных
прямых (рис. 29, 30). Пусть M ( r ; ) – произвольная точка искомого
множества, т.е. основание перпендикуляра.
Из треугольника OAM получаем r OM OA cos .
Из треугольника OAB найдем
OA AB sin или r AB sin cos 2a sin cos .
r a sin 2 – полярное уравнение четырехлепестковой розы.
Уравнение в прямоугольных декартовых координатах
( x 2 y 2 )3 4a 2 x 2 y 2 0.
159
А
M
r
О
Рис. 29
В
Рис. 30
Розами называется семейство кривых, заданное в полярных координатах уравнением a sin k (или a cos k ) , где а и k – положительные числа.
Если k – целое число, то роза состоит из k лепестков при k нечетном
и из 2k лепестков при k четном. Лепестки имеют единственную общую
a2
.
точку – полюс О. Площадь одного лепестка розы равна
4k
Рис. 32
Рис. 31
На рис. 31 построена трехлепестковая роза по формуле r a sin 3 ,
а на рис. 32 – восьмилепестковая роза по формуле r a sin 4. Если k –
рациональное число вида m n ( n 1), то роза состоит из m лепестков в
случае, когда m и n – нечетные числа, и из 2m лепестков, когда одно из
чисел – четное. Каждый следующий лепесток частично накрывает
предыдущий (рис. 33-35).
160
Рис. 33
2.
Рис. 35
Рис. 34
Строфоида
Даны две перпендикулярные прямые m и l, пересекающиеся в точке
А, и точка О, лежащая на прямой l и отстоящая от А на расстоянии а, где
a 0 (рис. 36).
Через точку О проводятся всевозможные прямые, на каждой из которой от точки Р пересечения с прямой m откладываются в разные стороны отрезки PM1 и PM2 , равные отрезку РА.
Геометрическое место точек М1 и М2
y
называется строфоидой, точка О – полюсом, луч [OA) – осью, а длина отрезка ОА –
параметром а.
M2
Вывод
полярного
уравнения
строфоиды.
a
P
PA a tg PM1 PM2 , OP
,
cos
1 sin
,
cos
1 sin
Полярное
.
OM 2 OP PM 2 a
cos
1 sin
.
уравнение строфоиды a
cos
Уравнение строфоиды в прямоугольных декартовых координатах
M1
OM1 OP PM1 a
О
а
m
Рис. 36
161
l
A
x
x
.
2a x
В точке А касательные к строфоиде пересекаются под прямым угy x a
лом.
3. Конхоида Никомеда
Из данной точки О, называемой полюсом конхоиды и отстоящей от
данной прямой на расстоянии а, проводятся лучи, на которых откладываются отрезки длиной d от точки пересечения лучей с прямой .
Геометрическое место полученных точек называется конхоидой Никомеда (рис. 37, 38).
y
M1
d
d
М
M2
a
Рис. 37
x
О
Рис. 38
a
d.
sin
Уравнение
в
прямоугольных
2 2
2
2
2
( x y )( y a) d y 0.
Параметрические уравнения
Полярное уравнение
x a ctg d sin , y a d cos .
162
декартовых
координатах
4.
Циссоида Диоклеса
Рассмотрим окружность с диаметром OA 2a и касательную к ней
в точке А (рис. 39). Через точку О проведем всевозможные лучи и на
каждом из них отложим отрезок OM PQ, где Р – точка пересечения
луча с окружностью, а Q – точка пересечения луча с касательной АВ. Построенное множество точек называется циссоидой Диоклеса, точка О –
полюсом, а луч [OA) – осью.
Q
А
P
M
Рис. 39
О
Общее уравнение циссоиды y 2 (2a x) x3 .
Параметрические уравнения x
a
a
,y 2
.
t 1
t (t 1)
2
2a sin 2
.
cos
Площадь, ограниченная циссоидой и ее асимптотой, равна утроенной площади круга, т.е. S 3 a 2.
Полярное уравнение
F
Рис. 40
163
Циссоида является геометрическим местом точек, симметричных
вершине О параболы относительно касательных к параболе (рис. 40).
5.
Верзиера Аньези
y
B
C
l
K
Рис. 41
D
M
x
O
Даны две противоположные точки О и В окружности диаметра d и
касательная l в точке В. Пусть D – произвольная точка окружности, С –
точка пересечения прямых OD и l, а М – точка пересечения прямых, проведенных через D и C. Геометрическое место точек М называется верзиерой Аньези (рис. 41).
Для произвольной точки M ( x; y ) получаем
OK OB
y
d
, KD OK KB y (d y),
или
KD BC
KD x
y
y (d y )
3
Уравнение в прямоугольных координатах y
Параметрические уравнения x t , y
6.
d
.
x d2
2
d3
.
t2 d 2
Улитка Паскаля
Дана окружность радиуса r и фиксированная точка О на окружности. Для произвольной точки М окружности рассмотрим луч ОМ, на
котором от точки М отложим
отрезки ММ1 и ММ2 длиной d.
Геометрическое место точек
М1 и М2 называется улиткой
Паскаля, точка О – полюсом,
M1
M
M2
O
Рис. 42
164
d
.
x
а – базовой окружностью (рис. 42).
Полярное уравнение 2r cos d .
Уравнение в декартовых координатах
( x 2 y 2 2rx) 2 d 2 ( x 2 y 2 ) 0.
На рис. 43 построено семейство улиток Паскаля для
r 600 и d 900 600 i, где
i 0,1,2,3.
7.
Астроида
Астроидой называется траектория точки, лежащей на
окружности радиуса R, которая
катится по внутренней стороне
другой окружности радиуса 4 R
(рис. 44).
Рис. 43
Параметрические
уравне-
ния: x 4R cos t , y 4R sin t.
Общее уравнение астроиды: ( x 2 y 2 R 2 )3 27 R 2 x 2 y 2 0.
Площадь, ограниченная астроидой, равна 3 8 R 2.
Длина всей астроиды равна 6R .
Астроида является огибающей отрезков постоянной длины, концы
которых скользят по двум взаимно перпендикулярным прямым (рис. 45).
y
у
M
O
4R
О
x
Рис. 45
Рис. 44
165
х
8. Кардиоида
Кардиоидой называется траектория точки, лежащей на окружности радиуса r, которая катится по
внешней стороне окружности такого же радиуса (рис. 46).
Общее уравнение кардиоиды
( x 2 y 2 2rx)2 4r 2 ( x 2 y 2 ).
Полярное уравнение кардиоиды 2r (1 cos ).
Параметрические уравнения
x 2r cos t r cos 2t,
O
t
r
M
Рис. 46
y 2r sin t r sin 2t.
Длина всей кардиоиды равна 16 r.
9.
Спирали
Спиралью Архимеда называется траектория точки, участвующей в
равномерном вращении вокруг точки O с постоянной угловой скоростью
и в равномерном движении вдоль прямой из точки O с постоянной линейной скоростью (рис. 47).
Полярное уравнение спирали Архимеда a , где a – коэффициент
пропорциональности, а – полярный
угол.
O
Уравнение в прямоугольных декартовых координатах
y
x 2 y 2 a arctg .
x
Рис. 47
Логарифмическую спираль (рис.
48) – кривая, заданная полярным уравнением a , a const 0, a 1.
Логарифмическая спираль пересекает полярные радиусы под постоянным
углом.
На рис. 49 вначале построено семейство логарифмических спиралей,
каждая из которых получается поворотом на один и тот же угол вокруг
полюса системы координат. Затем аналогично построено семейство логарифмических спиралей, закрученных в другую сторону.
166
Рис. 48
Рис. 49
10. Циклоиды, эпициклоиды и гипоциклоиды
Циклоидой называется траектории точки, лежащей на окружности
радиуса r, которая катится без скольжения по прямой (рис. 50). Прямая
называется базой циклоиды.
ry
2ry y2 .
Общее уравнение циклоиды x r arccos
r
Параметрические уравнения циклоиды
x rt r sin t , y r r cos t.
y
2r
C
M
t
N
x
y
OxР
H
Рис. 50
Если точка находится на радиусе окружности на расстоянии d от
центра окружности, то траектория точки называется укороченной циклоидой (рис. 51).
Параметрические уравнения укороченной циклоиды
x rt d sin t , y r d cos t.
167
y
d
M
O
х
Рис. 51
На рис. 52 построено несколько укороченных циклоид для одной и
той же окружности радиуса r, но для различных значений d.
у
О
х
Рис. 52
Если точка M находится на продолжении радиуса окружности, т.е.
при d r , то параметрические уравнения (1) снова задают циклоиду,
которая называется удлиненной циклоидой. На рис. 53 построено семейство удлиненных циклоид для различных значений d.
y
х
Рис. 53
Пусть дана окружность радиуса R, по которой перекатывается другая окружность радиуса r с отмеченной точкой на ней.
Если окружности касаются внешним образом, то траектория точки,
т.е. кривая, называется эпициклоидой, а если внутренним образом, то
кривая называется гипоциклоидой.
168
В обоих случаях выделяем основное условие при перекатывании,
повторяя процесс перекатывания несколько раз, которое поможет составить равенства для координат. Конечно, это равенство двух дуг на одной
и на другой окружности.
Пусть R и r –
радиусы неподвижy
ной и катящейся
окружностей, N –
точка
касания
O
окружностей (рис.
54), тогда длины
k
t
дуг AN и MN равны,
так как окружности
E
N
соприкасались по
R
M
этим дугам при перекатывании. Длина
kt
дуги
AN равна
A H P
O
x
R AON ,
длина
дуги MN равна
r MO1 N, следоРис. 54
вательно,
AON
r
MO1 N.
R
r
k , тогда AON kt , r kR.
R
Если x OP OH HP ( R r)cos kt r sin MO1 E,
y MP O1H O1E (R r)sin kt r cos MO1E,
Обозначим MO1 N t ,
sin MO1 E sin(t OO1 H ) sin t kt cos(t kt ),
2
cos MO1 E cos t kt sin(t kt ).
2
Получаем параметрические уравнения эпициклоиды
x ( R kR)cos kt kR cos(t kt ), y (R kR)sin kt kR sin(t kt ).
Если k
m
, где m , n N , то получаем периодическую траекторию.
n
169
На рис. 55 изображены некоторые эпициклоиды. Неподвижная
окружность изображена пунктирной линией. Эпициклоида для k 1, т.е.
если неподвижная и перекатываемая окружности имеют одинаковые радиусы, называется кардиоидой.
Рис. 55
На рис. 56 построены эпициклоиды в зависимости от чисел n (по горизонтальной оси) и m (по вертикальной оси) для случая, когда m / n 1.
m = 1, 2, 3
Рис. 56
170
n = 5, 6, 7, 8
Можно составить аналогичную таблицу для эпициклоид с отношением m / n 1.
Для гипоциклоиды, т.е. для траектории, полученной при перекатывании окружности радиуса r внутри неподвижной окружности радиуса R
параметрические уравнения:
x ( R kR) cos kt kR cos(t kt ), y ( R kR)sin kt kR sin(t kt ).
Проведите анализ таблицы гипоциклоид на рис. 57. Определите отношение m / n. Гипоциклоида при m / n 1/ 4 называется астроидой.
Найдите ее в таблице. Формулы для эпициклоид и гипоциклоид можно
представить в следующем виде
x ( R kR) cos kt kR cos(t kt ), y ( R kR)sin kt kR sin(t kt ),
где коэффициент k можно принимать как положительным (для эпициклоид), так и отрицательным (для гипоциклоид) числом.
Можно аналогично рассмотреть удлиненные и укороченные эпициклоиды и гипоциклоиды:
x ( R kR) cos kt dR cos(t kt ), y ( R kR)sin kt dR sin(t kt ).
m = 1, 2,
n = 5, 6, 7, 8
Рис. 57
171
11. Овалы Кассини
y
O
F1
F2
x
Рис. 58
Множество точек плоскости, для каждой из которых произведение
расстояний до двух данных точек F1 и F2 плоскости есть постоянная величина а2, называется овалом Кассини, т.е. MF1 MF2 a 2.
На рис. 58 построено семейство овалов Кассини при различных значениях параметра а.
Если F1F2 2c, то для системы координат на рис. 58 уравнение овала Кассини в прямоугольных декартовых координатах имеет вид
( x c)2 y 2
( x c)2 y 2 a 2
x
2
2
y 2 2 x 2 x 2 y 2 a 4 c 4.
Полярное уравнение овала Кассини
a2
1.
c2
При a c линия называется лемнискатой Бернулли. Уравнения
лемнискаты
c cos 2 cos2 2
x
2
2
y 2 2 x 2 x 2 y 2 0,
2 2 a 2 cos 2 .
При a c овал Кассини является замкнутой линией.
При a c овал Кассини распадается на две замкнутые линии.
3.5. Огибающие линии и эквидистанты
Пусть плоская линия задана векторной функцией r r(t) и в
каждой точке линии существует касательная. Прямая, проходящая через
точку линии, перпендикулярно касательной, называется нормалью к ли172
нии. На нормали, проходящей через точку N, можно рассмотреть два
противоположно направленных единичных вектора n1 (t) и n2 (t). Для
произвольного положительного числа h рассмотрим векторы
NM hn1 (t) и NM hn2 (t ) (рис. 59). При изменении параметра t точка
1 , заданную векторной функцией
M
пробегает
линию
R1 (t) r(t) hn1 (t), а точка M пробегает линию 2 , заданную векторной функцией R2 (t) r(t ) hn2 (t ).
M
h
N
O
Рис. 59
Обе линии можно задать одной формулой R(t) r(t) hn1(t) .
Расстояние между точками линий 1 и по нормали равно h. Расстояние между точками линий 2 и по нормали также равно h. Линия
называется базой для эквидистант, линия 1 – эквидистантой с высотой h, а линия 2 – эквидистантой с высотой ( h ) при фиксированном
векторе на нормали.
В произвольной точке N ( x(t ); y (t )) найдем вектор r(t) с координатами x(t ), y(t ) и отложим его от точки N. Он будет направлен по касательной. Вектор ( y(t), x(t )) является перпендикулярным к вектору r(t),
так как их скалярное произведение равно нулю.
Если разделить вектор ( y(t); x(t)) на его длину, то получим еди( y (t ); x (t ))
ничный вектор n1 (t )
.
x 2 (t ) y 2 (t )
173
Параметрические уравнения эквидистант:
hy (t )
hx (t )
X (t ) x (t )
, Y (t ) y (t )
.
2
2
2
x (t ) y (t )
x (t ) y 2 (t )
Пример. В качестве линии рассмотрим эллипс с параметрическими уравнениями x a cos t , y b sin t , тогда x a sin t, y b cos t,
x2 (t ) y 2 (t ) a 2 sin 2 (t ) b 2 cos 2 (t ).
Параметрические уравнения эквидистант
hb cos t
ha sin t
X (t ) a cos t
, Y (t ) b sin t
.
2
2
2
2
2
a sin t b cos t
a sin 2 t b2 cos2 t
Для данного эллипса (на рис. 60 эллипс изображен жирной линией)
в зависимости от величин полуосей a , b эллипса и диапазона изменения
высот эквидистант получаем различные по форме эквидистанты, которые
уже не являются эллипсами.
Рис. 60
Огибающей однопараметрического семейства линий на плоскости
называется линия, которая в каждой своей точке касается одной из линий
этого семейства.
Если семейство окружностей задано уравнением f ( x, y, ) 0, где
– параметр семейства, то координаты точек огибающей удовлетворяют системе уравнений
(1)
f ( x , y , ) 0, f ( x , y , ) 0,
где f ( x , y , ) – производная функции f ( x, y, ) по параметру .
Пример 1. На рис. 61 построено несколько линий из семейства
окружностей ( x )2 ( y ) 2 2, .
Центры окружностей находятся на биссектрисе первого и третьего
координатных углов, а радиус каждой окружности равен расстоянию от
центра окружности до оси абсцисс.
174
Для данного семейства линий получаем
f ( x, y, ) ( x )2 ( y )2 2 x 2 2 x y 2 2 y 2,
f ( x , y , ) 2 x 2 y 2 .
Из равенства f ( x , y , ) 0 следует x y.
Подставляя значение в уравнение ( x )2 ( y ) 2 2, получаем, что точки огибаy
ющей
удовлетворяют
уравнению xy 0, которое задает пару прямых,
т.е. оси координат.
Если считать, что
семейство линий при
0 задает окружность нулевого радиуса,
О
x
то пара прямых в каждой точке касается одной из данных линий
этого семейства.
Рис. 61
Пример 2. Пусть
тело брошено с начальной скоростью v 0 под
углом к горизонту
(рис. 62), тогда дальность полета x и высота y выражаются по формулам
x v0 cos t , y v0 sin t gt 2 / 2.
(2)
Будем считать начальную скорость постоянной величиной для данной задачи и изучим семейство траекторий в зависимости от параметра
. При фиксированном значении параметра уравнения (2) являются
параметрическими уравнениями от параметра t.
y
Рис. 62
O
175
x
v02 gx 2
(3)
.
2 g 2v02
Уравнение (3) определяет параболу, симметричную относительно
оси ординат.
Определим наибольшую высоту подъема на каждой параболе, используя производную y t v 0 sin g t .
y
Производная обращается в ноль при t
v0 sin
. Высота достигает
g
v02 sin 2
.
2g
Изменяя параметр , получаем, что абсолютный максимум достигается при / 2, т.е. при вертикальном бросании вверх и
набольшего значения, если угол зафиксирован, т.е. ymax ( )
ymax ( / 2)
v02
(рис. 63).
2g
y
x
Рис. 63
Определим дальность полета.
Момент времени, когда тело упадет на ось Ox, характеризуется
условием y 0. Полагая v0 sin t gt 2 / 2 0, получим два значения.
Значению t 0 соответствует вылет тела, поэтому выбираем второе
v 2 sin 2
значение t 2v0 sin / g, xmax ( ) 0
.
g
Абсолютный максимум дальности достигается при / 4 (рис.
v2
63) и равен xmax / 4 0 .
g
176
Рис. 64
Парабола (3) проходит через точку (0; v02 /(2 g )), т.е. наивысшую
точку при стрельбе вертикально вверх и через точку (v02 / g ;0), т.е.
наиболее удаленную точку при стрельбе под углом 450 к горизонту.
Парабола (3) является огибающей семейства (2) и называется параболой безопасности, так как она ограничивает зону обстрела. Выше этой
линии полет самолета является безопасным
y
(рис. 64).
B
Пример 3. Отрезок постоянной длины
l скользит своими концами по двум взаимно перпендикулярным прямым. Найти
l
огибающую семейства отрезков.
Рассмотрим систему координат, указанную на рис. 65, а в качестве параметра
x
для семейства отрезков выберем угол ,
A
O
образованный отрезком AB с отрицательРис. 65
ным направлением оси абсцисс, тогда
OB l sin . Для прямой AB получаем
уравнение
y tg x l sin .
(4)
Дифференцируя по параметру , получим
x
0
l cos или x l cos 3 .
cos 2 x
Подставляя значение x в уравнение (4), получим y l sin 3 .
Уравнения x l cos3 , y l sin 3 являются параметрическими
уравнениями огибающей, которая называется астроидой.
Для получения общего уравнения огибающей найдем
2
2
2
2
x 3
x 3 y 3
y 3
cos , sin 2 , cos 2 sin 2 1.
l
l l
l
2
177
2
3
2
3
2
3
или x y l .
На рис. 66 построена астроида, если параметр [0; 2 ].
у
О
х
Рис. 66
3.6. Геометрия шарнирных механизмов
В двигателях автомобилей, самолетов и кораблей энергия, полученная при сгорании топлива, передается на вращающийся вал и затем передается на средства, приводящие этот объект в движение. В этом случае
прямолинейное движение поршня преобразуется во вращательное движение коленчатого вала. В швейной машинке с электрическим приводом
вращательное движение ротора электромотора преобразуется через систему механизмов в прямолинейное движение иглы.
Механизмы, в которых при движении одной точки по окружности
или дуге окружности некоторая другая точка механизма движется по
прямой линии, называются направляющими механизмами.
Задача об отыскании направляющего механизма была решена Уаттом (Ваттом), который, совершенствуя паровую машину, встретился с
необходимостью передачи прямолинейного движения головки поршневого штока к концу коромысла, двигающегося по дуге окружности.
В механике механизм называют механизмом Ватта, а в математике
линию, начертанную одной из точек этого механизма, близкой к отрезку,
называют кривой Уатта.
Преобразование движения одной точки механизма по окружности в
прямолинейное движение некоторой другой точки этого механизма и
наоборот является важной конструкторской задачей. Наряду с математической формулировкой задачи при решении практических задач приходится учитывать много факторов из механики: возникающие силы и мо178
менты, зависящие от скорости и ускорения при движении точки по
окружности.
В большинстве случаев для решения конкретной практической задачи ограничиваются приближенным решением этой задачи, т.е. преобразованием точек окружности в точки линии, достаточно близко воспроизводящим прямолинейный отрезок.
Направляющие механизмы подразделяются на точные, в которых
движение теоретически должно происходить точно по прямой линии и по
дуге окружности, и на приближенные.
Большой вклад в конструирование шарнирных механизмов, превращающих вращательное движение в прямолинейное, внес русский ученый
Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894), известный математик и механик.
Шарнирные направляющие механизмы находят широкое применение в двигателях, системах подвески ходовой части автомобилей, робототехнике.
1. Механизм Ватта и инверсор Липкина – Посселье
Механизм Ватта предназначен для предотвращения смещения моста
автомобиля вбок относительно кузова автомобиля, позволяя мосту в то
же время двигаться в вертикальной плоскости. Механизм состоит из
двух горизонтальных звеньев одинаковой длины, прикрепленных с каждой из сторон шасси автомобиля (рис. 67, 68). Звенья соединены коротким звеном, центр которого присоединен к центру оси. Центр вертикального звена вынужден двигаться вертикально и не позволяет смещаться по
сторонам мосту автомобиля при качке на неровностях дороги.
Рис. 67
Рис. 68
В 1864 г. французский ученый Посселье изобрел инверсор, преобразующий движение точки по окружности в движение другой точки механизма по отрезку, но это открытие осталось незамеченным для техники.
Независимо от Посселье, петербургский студент Липкин под влиянием
П.Л. Чебышева изобрел инверсор спустя семь лет.
179
Инверсор Липкина – Посселье состоит из шести стержней, соединенных шарнирно. Четыре стержня образуют ромб MPNQ (рис. 69).
Остальные два стержня OP и OQ равны между собой, причем каждый из
них длиннее стороны ромба.
P
B
M
O
H
N
Рис. 69
Q
Обозначим OP = l, MP = a, MN PQ H , l 2 a 2 R2 , тогда точки
O, M и N расположены на одной прямой в силу симметричности механизма относительно прямой ON.
OM ON (OH MH ) (OH HM ) OH 2 MH 2 =
= (OP 2 PH 2 ) ( MP 2 PH 2 ) l 2 a 2 R 2.
Таким образом, точки M и N являются инверсными относительно
окружности с центром О и радиусом R.
Если точка M будет двигаться по окружности, проходящей через
центр О, то ее образ должен двигаться по прямой (рис. 70). Для задания
движения точки M механизма по окружности и движения точки N механизма по прямой на механизм накладывают дополнительное условие.
В точке О механизм закрепляют так, чтобы стержни OP и OQ могли
вращаться вокруг точки О. К инверсору в точке M шарнирно присоединяют стержень, второй конец которого закрепляют в некоторой точке В,
чтобы OB BM .
180
Механизм Ватта (рис. 71)
состоит из двух звеньев AM и
BN одинаковой длины и звена
MN, длина которого меньше
длины звена AM. Звенья AM и
BN закреплены соответственно в
точках А и В, но могут вращаться вокруг этих точек. В точках
M и N звенья могут вращаться
вокруг осей, тогда точка U, являющаяся серединой звена MN,
движется по кривой Уатта,
близкой к отрезку в окрестности
точки U.
Пусть О – середина отрезка
АВ, R AB BN , MN 2с,
k AO OB
A
Рис. 70
R 2 c2 .
R
M
с
U
с
Рис. 71
B
R
N
Общее уравнение кривой Уатта
( x 2 y 2 ) ( x 2 y 2 2R 2 ) 2 4k 2 y 2 ( x 2 y 2 R 2 ) 0.
Кривая Уатта проходит через начало координат.
Переходя к полярным координатам x cos u, y sin u, найдем
полярное уравнение кривой Уатта
2
2 R2 k sin u c 2 k 2 cos2 u .
На рис. 72 изображено несколько положений механизма и построена
линия Уатта.
181
Рис. 72
Используя производную функции, проверяется, что функция
(u) достигает экстремальных значений при условии cos u 0, т.е.
при u / 2 и u 3 / 2. На рис. 72 изображены соответствующие положения механизма: AM1 N1 B и AM2 N2 B. Обозначим OU1 h и найдем
величину h из прямоугольного треугольника AHM1 : h R 2 (k c) 2 .
Найдем полярный угол u 0 , соответствующий точке с координатами
x 0, y 0. Полагая 0, получим tg u0 R c . Угол u0 имеет простой геометрический смысл. Если точка U кривой Уатта совпадает с серединой отрезка АВ (рис. 73), то tg u0 tg AOM AM / MO R / c.
При моделировании кривой Уатта полярный угол должен изменяться в пределах u [u0 ; u0 ] [ u0 ;2 u0 ].
182
M1
U1
c
N1
c
h
R
R
k-c
H
c
B
O
A
A
k
h
Рис. 73
M2
N2
U2
2. Прямило Чебышева
Механизм «прямило Чебышева» состоит из трех звеньев ОА, DB и
АС (рис. 74). Стержень ОА закреплен в точке О на оси и может вращаться
вокруг точки О. Стержень DB закреплен в точке D на оси и может вращаться вокруг этой точки. Стержни DB и АС соединены в точке В шарнирно. Движение точки А по окружности вызывает движение точки В
по окружности 1 и движение точки С по линии 2 .
При определенных значениях
C
длин
этих
стержней
r OA, a DB AB BC ,
(2a r ) / 3
2
участок
b DO
траектории
a
может оказаться достаточно
близким к отрезку. Например, для
рис. 74 использованы данные
r 650, a 2000, b 1550
и угол
B
поворота u / 2; / 2. Для дру-
a
a
гих значений линия 2 может
иметь более сложную форму (рис.
75), но содержать участки, близкие
к прямой линии.
A
b
D
183
Рис. 74
r
O
B
a
a
y
A
r
v
u
b
Рис. 75
D
Рис. 76
O
x
Для системы координат (рис. 76) введем угол u, образованной вектором OA с осью х, тогда A r cos u ; r sin u , DA
cos
b 2 r 2 2 br cos u ,
b r cos u
r sin u
DA
4a 2 DA2
, sin
, cos v
, sin v
,
DA
DA
2a
2a
xB b a cos( v)
b r cos u r sin u 4a 2 DA2
,
2
2 DA
r sin u (b r cos u ) 4a 2 DA2
.
2
2 DA
Точка С симметрична точке А относительно В, поэтому xC 2 xB xA ,
yB a sin( v)
yC 2 yB yA .
3. Непрерывный трансформатор Чебышева
Непрерывный трансформатор Чебышева состоит из прямоугольного
равнобедренного треугольника АСВ с прямым углом С и стержней ОА и
DC (рис. 77).
Стержень ОА закреплен в точке О на оси и может вращаться вокруг
точки О. Стержень DС закреплен в точке D на оси и может вращаться
вокруг этой точки. Стержень DС соединен шарнирно с вершиной С прямого угла. Движение точки А по окружности вызывает движение точки С по окружности 1 и движение точки В по линии 2 . При определенных значениях длин этих стержней r OA, a DC CA CB, d DO
184
участок траектории 2 может оказаться достаточно близким к отрезку.
Например, r 200, a 4000, d 5640.
Для системы координат (рис. 78) введем угол u, образованной вектором OA с осью х, тогда A r cos u ; r sin u, DA d 2 r 2 2 br cos u s ,
cos
b r cos u
r sin u
s
4a 2 s 2
,
, sin
, cos v
, sin v
s
s
2a
2a
xB d a cos ( v)
yB a sin( v)
(d r cos u ) s r sin u 4a 2 s 2
d,
2s
rs sin u (d r cos u ) 4a 2 s 2
.
2s
В
В
С
С
D
О
Рис. 77
А
А
a
a
Из условия перпендикулярности
y
векторов CA xA xC ; yA yC , CB и
v
равенства длин этих векторов следует
CB yA yC ; xA xC .
u
d
D
Для точки В координаты вычисляются по формулам
A
r
Рис. 78
O
x
xB xC yA yC , yB yC xA xC .
4. Механизм Хойкена
Механизм Хойкена (рис. 79) состоит из трех подвижных звеньев ОС,
АВ и СМ. Стержень ОС шарнирно закреплен в точке О и может вращаться вокруг этой точки. Стержень АВ шарнирно закреплен в точке А и мо185
жет вращаться вокруг этой точки. Точка В является серединой звена СМ.
В точках С и В стержни соединены шарнирно. Длины стержней равны
ОС 2r, AB 5r, CM 10r. Расстояние между неподвижными точками О и А равно 4r, т.е. длина неподвижного звена OA 4r.
Обозначим AOC t. Для системы координат на рис. 80 получаем:
O 0; 0, C 2 r cos t ; 2 r sin t, AC 2 4r 2 (5 4cos t ).
М
М
5r
В
В
5r
С
С
5r
y H
2r
О
О
А
4r
А
x
Рис. 80
Рис. 79
В равнобедренном треугольнике АВС обозначим через Н середину
отрезка АС, тогда H r cos t 2r ; r sin t , CA4r 2r cos t; 2r sin t .
Единичный вектор, сонаправленный с вектором СA, равен
e
CA 2 cos t
sin t
;
.
CA 5 4 cos t 5 4 cos t
При повороте на 900 произвольный вектор p x; y отображается в
вектор p y; x, а единичный e отображается в вектор
sin t
2 cos t
;
e
, AH r 5 4 cos t , BH 2 r 5 cos t ,
5 4 cos t 5 4 cos t
2 cos t
sin t
HB HB e 2r 5 cos t
;
, OB OH HB,
5 4 cos t 5 4 cos t
2r (2 cos t ) 5 cos t
2r sin t 5 cos t
; r sin t
B 2r r cos t
.
5 4 cos t
5 4 cos t
Точка М симметрична точке С относительно точки В, поэтому
186
xM 2 x B xC , y M 2 y B yC .
Подставляя координаты точек, получим
4 r sin t 5 cos t 4r (2 cos t ) 5 cos t
M 4r
;
.
5 4 cos t
5 4 cos t
Точка максимума M (t 0) кривой Хойкена удалена от неподвижно-
го звена ОА на расстояние 4 6r. Точка минимума M (t ) кривой Хойкена удалена от неподвижного
звена ОА на расстояние 8 r .
М
В некоторой окрестности
этой точки кривая Хойкена приРис. 81
ближенно является прямой, заданной уравнением y 8r. На
данном рисунке она видна как
В
отрезок, но изменяя значения
величины r, можно заметить,
что есть отклонение от отрезка.
y
Кривая Хойкена симметрична относительно вертикальС
О H
А
x
ной прямой x 4 r , проходящей через точку А (рис. 81).
3.7. Пучки окружностей. Окружность Аполлония
1. Степень точки относительно окружности
Степенью точки М относительно окружности с центром О и радиусом R называется число MO2 R2 . Обозначение Ст M .
Степень точки М, внешней относительно окружности, равна квадрату касательной к окружности (рис. 82), проведенной из этой точки
Ст M MT 2.
Т
A
R
М
О
М
A
Рис. 82
В
С
Рис. 83
187
В
D
Степень точки М, внешней относительно окружности, равна МАМВ,
где А и В – точки пересечения окружности с произвольной прямой, проходящей через точку: Ст M MA MB.
Пусть через точку М, расположенную внутри окружности, проведены хорды АВ и CD (рис. 83), тогда
Ст M MA MB MC MD.
Используя скалярное произведение векторов, степень точки можно
записать в виде: Ст M MA MB.
Если окружность задана уравнением ( x a) 2 ( y b)2 R 2 0, то
степень точки M 0 ( x0 ; y0 ) относительно окружности равна числу, которое получается при подстановке координат точки в левую часть уравнения окружности, т.е. Ст M 0 ( x0 a) 2 ( y0 b) 2 R 2.
2. Радикальная ось двух неконцентрических окружностей
Радикальной осью двух неконцентрических окружностей ω1 и ω2
называется множество точек М плоскости, степени которых относительно
этих окружностей равны, т.е. CT ω1 M CT ω2 M .
Если окружности заданы уравнениями:
ω1: x 2 y 2 2a1 x 2b1 y 2c1 0, ω2 : x 2 y 2 2a2 x 2b2 y 2c2 0,
то радикальная ось имеет уравнение
a2 a1 x b2 b1 y c2 c1 0.
Радикальная ось перпендикулярна линии центров окружностей.
Если окружности ω1 и ω2 пеl12
ресекаются, тогда степени каждой из
точек пересечения относительно
этих окружностей равны 0.
Радикальная ось двух пересекающихся окружностей проходит
1
через точки пересечения этих
окружностей и перпендикулярна
линии центров (рис. 84).
2
Рис. 84
Для каждой точки радикальной
оси, являющейся внешней относительно окружностей, длины касательных, проведенных из этой точки к
окружностям, равны между собой.
Если окружности лежат одна вне другой, то для построения радикальной оси достаточно провести две их общие касательные, тогда ради188
кальная ось будет прямой, проходящей через середины этих касательных
(рис. 85): T1K = KT2, U1N = NU2, V1M = MV2, W1L = LW2.
Если две окружности касаются, то радикальная ось этих окружностей проходит через точку касания окружностей и перпендикулярна линии центров. Если две окружности касаются друг друга извне, то их общая внутренняя касательная делит пополам общие внешние касательные
T1K = KT2, W1L = LW2 (рис. 86).
T
1
K
U1
N
T2
W1
K
W1
L
T2
V2
U2
M
V1
T1
W2
L
W2
Рис. 86
Рис. 85
3. Радикальный центр трех окружностей
Рассмотрим три окружности ω1 , ω 2 и ω3 , соответствующие центры
которых О1, О2, О3 не расположены на одной прямой (рис. 87). Пусть l12, l13,
l23 – радикальные оси соответствующих пар окружностей ω1 и ω 2 , ω1 и
ω3 , ω 2 и ω3 . Отрезки О1О2 и О1О3 не расположены на одной прямой,
радикальные оси l12 и l13 не параллельны, т.е. они пересекаются в некоторой точке О. Точка О принадлежит радикальной оси l12, поэтому она имеет одинаковые степени относительно окружностей ω1 и ω2 . Точка О
принадлежит радикальной оси l13, следовательно, она имеет одинаковые
степени относительно окружностей ω1 и ω2 .
l12
l12
О2
О1
О1
О
О2
l23
l13
l13
О3
l23
3
Рис. 87
Рис. 88
Следовательно, точка О имеет одинаковые степени и относительно
окружностей ω2 и ω3 , т.е. точка О принадлежит радикальной оси l23.
189
Радикальные оси трех окружностей ω1 , ω2 и ω3 , центры которых
не лежат на одной прямой, пересекаются в одной точке, называемой радикальным центром трех окружностей (рис. 87).
Этот факт используется при построении радикальной оси двух непересекающихся окружностей ω1 и ω2
l12
(рис. 88, 89).
Проведем
произвольную
окружность ω3 , пересекающую
окружности ω1 и ω2 . Построим
l13
прямые l13 и l23 через точки пересе1
чения пар окружностей ω1 и ω3 ,
l23
ω2 и ω3. Через точку пересечения
Рис. 89
прямых l13, l23 проводим прямую,
перпендикулярную прямой О1О2. Это будет радикальная ось окружностей
ω1 и ω2 .
4. Пучки окружностей
Используя понятие радикальной оси, можно упростить аналитические задания двух неконцентрических окружностей.
Выберем систему координат на плоскости так, чтобы ось Ох была
линией центров окружностей, тогда уравнения окружностей примут вид:
х 2 у 2 2а1 х с 0, х 2 у 2 2а2 х с 0.
Постоянная с имеет следующий геометрический смысл. Это степень
начала координат относительно окружностей, так как при подстановке
x 0,
y0
в левые части уравнений получаем
значений
CT ω1 O 0; 0 C T ω2 O 0; 0 c.
Найдем множество точек М плоскости, степень которых относительно одной данной окружности ω1 в k раз, k 1, больше степени точек М относительно другой данной окружности ω2 ( ω1 и ω2 — неконцентрические окружности), т.е. CT ω1 M k CT ω2 M .
Множество точек М в этом случае является радикальной осью. Получаем уравнение: x 2 y 2 2 a1 x c k x 2 y 2 2 a 2 x c или
2
2
a1 ka2
a1 ka2
2
x 1 k y 1 k c.
190
(1)
8
(%) $ 8
J4
8
E &
8
(
8
- & $3 8 ($ & $ (% " ()
8
3 & A/G >/b3 M & $ $ (
8
$ &"# (
, + , 4
E & $3 & ($ (%/
-($ (% & $ &
(3 $ )3 (% " & #"
& $
D ( ")!(
)!(
-() (% ] ] "# $ 40 -($ &
A>V 4G 4 (
8
,
+
.
8
& ! ) 8 3
8
& c ,) - - & c ,) - (% " & ( ."
) B4
+
*
, B4
, B
@ (% ] ] "($ (% & /
d 4A4G 4 $ )( ) /
) (% " b] BF )"
E
D e 4"0 ( f 4
I $ ($&
,
(
+ "
B
причем параметр а может принимать любые значения.
Точки пересечения окружностей ω1 и ω2 удовлетворяют равенству
(4) для определения пучка, а поэтому все окружности из эллиптического
пучка проходят через эти точки пересечения (рис. 92).
Рис. 93
Рис. 92
Если окружности ω1 и ω2 не пересекаются, то пучок называется гиперболическим. Начало координат в этом случае расположено вне
окружностей. Тогда степень начала координат положительна, а поэтому –
с > 0 или с < 0. Из уравнения пучка
x a
2
y2 a2 c
(5)
2
получаем a c 0.
Неравенства с < 0 и a 2 c 0 показывают, что выбор параметра а
для окружности гиперболического пучка не является произвольным, а
должен удовлетворять условию a 2 c или a ; c c ; .
y
T1
T2
F2
O
F1
Рис. 94
192
Оa
x
Точки F1
c ; 0 , F2 c ; 0
называются предельными точками
гиперболического пучка. Центры окружностей гиперболического пучка
расположены вне отрезка F1F2. Если a c , то радиус окружности
стремится к нулю, т.е. окружности «стягиваются» к предельным точкам
пучка (рис. 93, 94): ОТ12 ОТ 22 с, OF1 OF2 c .
Пусть Оа — центр окружности в точке (а; 0) и R a a 2 c – радиус
этой окружности, тогда OOa2 a 2 c ( c ) или OOa2 Ra2 OF12.
5. Окружность Аполлония
Окружностью Аполлония на плоскости называется множество точек
М плоскости, отношение расстояний от которых до двух данных точек А
и В равно постоянной, положительной величине k, отличной от единицы,
т.е. МА : МВ = k.
Выберем систему координат таким образом, чтобы точки А и В были
расположены на оси Ох, а начало координат совпадало с серединой отрезка АВ. Пусть AB = 2a, тогда A(–a; 0), B(a; 0).
Для окружности Аполлония получаем уравнение
2
4a 2 k 2
a ( k 2 1)
2
.
x 2
y 2
k 1
( k 1) 2
Уравнение (6) определяет окружность
a ( k 2 1)
2ak
; 0 и радиусом rk
.
Ok 2
k 2 1
k 1
(6)
Аполлония
с
центром
a(k 1)
;0 делит отрезок АВ внутренним образом в отТочка М 2
k 1
ношении k.
a(k 1)
;0 делит отрезок АВ внешним образом в отноТочка М1
k 1
шении k.
Пусть k 1, тогда точки М1 и М2 расположены на положительной
полуоси Ох, центр окружности также расположен на этой полуоси. Если
k 1, то точка М2 стремится к началу координат, а точка М1 удаляется в
бесконечность. Центр окружности также удаляется в бесконечность, и
радиус неограниченно возрастает. Если k , то точки М1 и М2 и центр
193
окружности приближаются к точке В, радиус окружности стремится к
нулю, т.е. окружности «стягиваются» к точке В.
Для k 1 получаем МВ : МА = 1/k, 1 k 1, т.е. аналогичные
окружности с центрами на отрицательной полуоси.
При различных значениях параметра k получаем гиперболический
пучок окружностей (рис. 95), для которого выполняется равенство:
a 2 ( k 2 1)
O O k2
rk2 O B 2 .
( k 2 1) 2
Степень начала координат, т.е. середины О отрезка АВ относительно
окружности
Аполлония
равна а2, т.е. не зависит от
выбора окружности Аполлония. Рассматривая точки А и В как окружности
Рис. 95
Аполлония нулевого радиуса, получаем, что серединМ
ный перпендикуляр к отрезку
АВ является радикальной осью
С
для всех окружностей Аполлония.
А
Оk
О
В
Рассмотрим
какую-нибудь
окружность Аполлония с центром
Оk. Через произвольную точку М
Рис. 96
окружности, не лежащей на прямой АВ, проведем касательную (рис. 96). Пусть С – точка пересечения
касательной с серединным перпендикуляром к отрезку АВ. Точка С принадлежит радикальной оси данной окружности Аполлония и точек А и В.
Следовательно, степени точки С относительно этих окружностей равны,
т.е. АС = ВС = МС. Окружность, проходящая через точки А, В и М, имеет
центр в точке С. По построению MC MOk . Таким образом, произвольная окружность Аполлония пересекается с любой окружностью, проходящей через точки А и В, под прямым углом.
6. Ортогональные окружности
Рассмотрим гиперболический пучок Рг: x a 2 y 2 a 2 c с предельными точками F2
c ;0 и F1 c ; 0 , где с < 0.
194
2
Уравнение x 2 y b b 2 c определяет при различных b и том
же самом фиксированном значении с эллиптический пучок Pэ.
Окружности эллиптического пучка проходят через точки F1 и F2
(рис. 97).
Две окружности из разных
ω2 :
x a0
2
2
пучков ω1: x 2 y b0 b02 c,
y 2 a02 c – ортогональны.
O1O22 a02 b02 a02 с b02 с r12 r22 .
Рис. 97
2
Любая окружность параболического пучка Р1: x a y 2 a 2 ортогональна произвольной окружности другого параболического пучка Р2:
2
x 2 y b b 2 (рис. 98).
Укажем способ построения окружности, ортогональной данной
окружности и проходящей через данную точку А.
S
А
А
О
Рис. 98
В
Рис. 99
195
Теорема 1. Все окружности, проходящие через данную точку А и
перпендикулярные к данной окружности (не проходящей через точку
А), проходят также через фиксированную точку А, инверсную точке А
относительно окружности (рис. 99).
Теорема 2. Пусть А и А – инверсные точки относительно окружности , тогда любая окружность S, проходящая через точки А, А , ортогональна данной окружности .
Используя теоремы 1 и 2, можно решить задачу о построении окружности, проходящей через данную точку А и ортогональной данной окружности . Строим точку А, инверсную точке А относительно окружности
. Через точки А, А проводим произвольную окружность, которая будет
ортогональна окружности .
7. Степени двух окружностей
T2
A2
T1
A1
S
M1 O1
B2
B1
C1
N1
C2
O2
N2
M2
Рис. 100
Внешняя степень двух данных неравных окружностей 1 и 2
(рис. 100): Cт. e (1 , 2 )
Ст 1 S Ст 2 S ST1 ST2
SA1 SB1 SB2 SA2 SA1 SA2 SB1 SB2 SB1 SB2 Ст.3 S ,
где TT
1 2 – общая внешняя касательная;
А1 и А2, В1 и В2 – пары антигомотетичных точек;
3 – произвольная окружность, касающаяся окружностей 1 и 2 в
антигомотетичных точках В1 и В2;
– окружность инверсии, переводящая 1 в 2 .
196
Внутренняя степень двух данных неравных окружностей 1 и 2
(рис. 101):
Cт. i (1 , 2 ) Ст 1 S Ст 2 S ST1 ST2
SA1 SB1 SB2 SA2 SB1 SB2 Ст.3 S ,
где TT
1 2 – общая внешняя касательная;
А1 и А2, В1 и В2 – пары антигомотетичных точек;
3 – произвольная окружность, касающаяся окружностей 1 и 2 в
антигомотетичных точках В1 и В2;
– окружность инверсии, переводящая 1 в 2 .
T2
B1
A1
O1
S
O2
B2
T1
A2
Рис. 101
Степень двух окружностей Cт. (1 , 2 ) SB 1 SB 2 и равна квадрату радиуса той окружности (с точностью до знака), относительно которой
эти окружности являются инверсными.
8.
Касательное расстояние
Касательным расстоянием
двух окружностей
называется
расстояние
между двумя точками касания с окружностями их
общей внешней касательной.
r2
r1
O1
O2
d
Рис. 102
197
d (1 , 2 ) d 2 ( r2 r1 ) 2 – касательное расстояние (рис. 102) для окруж-
ностей 1 и 2 . Если окружности касаются, то d (1 , 2 ) 2 r1r2 .
Если окружности 1 (O1 , r1 ) и 2 (O2 , r2 ) касаются между собой (рис.
103) и касаются внутренним образом окружности (O, R) в точках А и
В, то касательное расстояние выражается по формуле
d (1 , 2 )
AB ( R r1 ) ( R r2 )
,
R
а если внешним образом, то
d (1 , 2 )
B
A
AB ( R r1 ) ( R r2 )
.
r1
r2
O
O
R
Теорема Кези. Если окружности A , B , C , D касаются окружности внутренним (внешним)
образом (рис. 104) соответственно в
вершинах А, В, С, D вписанного в
выпуклого четырехугольника Рис. 103
АВСD, то попарные касательные
расстояния окружностей связаны равенством
O
R
2
d (A , B ) d (C , D ) d (B , C ) d (D , A ) d (A , C ) d (B , D ).
B
A
D
Рис. 104
198
С
3.8. Геометрические места точек
1. Геометрические места точек на плоскости
1. Множество точек плоскости, удаленных от данной точки О на
расстояние R, есть окружность (O, R) (рис. 105).
2. Множество точек плоскости, равноудаленных от двух данных
точек А и В, есть перпендикуляр, проведенный к отрезку АВ через его
середину (серединный перпендикуляр l) (рис. 106).
3. Множество точек плоскости, находящихся на данном расстоянии
d от данной прямой l, есть пара прямых l1 и l2, параллельных прямой l,
таких, что (l , l1 ) d , (l , l2 ) d (рис. 107).
l1
d
О R
А
l
В
d
l
l2
Рис. 106
Рис. 105
Рис. 107
4. Множество точек плоскости, равноудаленных от двух данных
пересекающихся прямых, есть биссектрисы двух пар вертикальных углов, образованных этими прямыми (рис. 108).
5. Множество точек плоскости, равноудаленных от двух данных
параллельных прямых, есть прямая, параллельная данным прямым и делящая любой отрезок с концами на данных прямых пополам (серединная
линия) (рис. 109).
6. Множество точек плоскости, из которых данный отрезок «виден»
под данным углом, есть пара дуг с концами в данных точках без этих
концевых точек (рис. 110).
b
l1
l1
l
A
B
а
l2
l2
Рис. 108
Рис. 109
Рис. 110
199
7. Множество точек плоскости, из которых данный отрезок «виден»
под прямым углом, есть окружность, имеющая этот отрезок своим диаметром, исключая концевые точки отрезка (рис. 111).
8. Множество точек плоскости, из которых проведены отрезки длины а, касательные к данной окружности (O, R), есть окружность радиуса
R 2 a 2 (рис. 112).
a
R
B
A
Рис. 112
Рис. 111
9. Множество середин хорд одинаковой длины, проведенных в
данной окружности , есть концентрическая окружность, касающаяся
любой из этих хорд (рис. 113).
10. Множество точек плоскости, отношение расстояний от которых
до двух данных точек А и В равно данному числу k, k 0, k 1, есть
окружность (окружность Аполлония). Если точка C делит отрезок АВ
внутренним образом, а точка D внешним образом в одном и том же отношении k, то окружность Аполлония построена на отрезке CD как на
диаметре.
На рис. 114 для произвольной точки М окружности выполняется
AM
AC AD
2
.
равенство
MB
CB DB
M
A
C
Рис. 114
Рис. 113
200
B
D
11. Множество точек плоскости, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек А и В, где AB 2a, равна k 2 , где k 2 2a 2,
есть: окружность с центром в середине О отрезка АВ и радиусом
R
k2
2
2
2
2
a 2 , если k 2a ; точка О, если k 2a .
2
На рис. 115 k 2 AB 2 , на рис. 116 k 2 AB 2.
R=a
R
А
Рис. 115
O a B
A
O
a
B
Рис. 116
12. Множество точек плоскости, сумма квадратов расстояний от
которых до трех данных точек А, В и С постоянна, есть окружность с
центром в центре тяжести треугольника АВС или одна точка, являющаяся
центром тяжести треугольника, или пустое множество.
13. Множество точек плоскости, разность квадратов расстояний от
которых до двух данных точек А и В, есть прямая, перпендикулярная
прямой АВ.
2. Геометрические места точек в пространстве
14. Множество точек пространства, удаленных от данной точки О
на расстояние R, есть сфера S (O, R ).
15. Множество точек пространства, равноудаленных от двух данных
точек А и В, есть плоскость, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая
через его середину (серединная плоскость).
16. Множество точек пространства, равноудаленных от двух данных
параллельных плоскостей, есть плоскость, параллельная данным плоскостям и делящая любой отрезок с концами на данных плоскостях пополам.
17. Множество точек пространства, равноудаленных от двух данных
пересекающихся плоскостей, есть пара взаимно перпендикулярных плоскостей, проходящих через линию пересечения данных плоскостей
(биcсекторные плоскости двугранных углов, образованных данными
плоскостями).
18. Множество точек пространства, равноудаленных от двух данных
параллельных прямых, есть плоскость, перпендикулярная плоскости,
проходящей через данные прямые, и пересекающая эту плоскость по
прямой, равноудаленной от данных прямых.
201
19. Множество точек пространства, равноудаленных от двух данных
пересекающихся прямых, состоит из двух взаимно перпендикулярных
плоскостей, перпендикулярных к плоскости, в которой лежат данные
прямые, и делящих пополам угол между ними.
20. Множество точек пространства, из которых данный отрезок
«виден» под прямым углом, есть сфера, имеющая этот отрезок своим
диаметром, без концевых точек отрезка.
21. Множество точек пространства, отношение расстояний от которых до двух данных точек А и В равно данному числу k, k 0, k 1, есть
сфера (сфера Аполлония). Если точка C делит отрезок АВ внутренним
образом, а точка D внешним образом в одном и том же отношении k, то
окружность Аполлония построена на отрезке CD как на диаметре.
22. Множество точек пространства, равноудаленных от трех вершин
треугольника, есть прямая, перпендикулярная плоскости треугольника и
проходящая через центр описанной около треугольника окружности.
23. Множество точек пространства, равноудаленных от трех данных
плоскостей, пересекающихся в одной точке, состоит из четырех прямых,
проходящих через эту точку.
l
24. Множество точек пространства, равноудаленных от трех данных
прямых, проходящих через одну точку
М
и не лежащих в одной плоскости, состоит из четырех прямых.
25. Множество прямых пространства, которые проходят через данную
точку О, лежащую на данной прямой
а, и образуют с этой прямой углы, равные данному углу, есть коническая
поверхность вращения с осью а.
26. Множество прямых пространРис. 117
ства, параллельных данной прямой а и
отстоящих от нее на расстоянии, равном данному отрезку, является цилиндрической поверхностью вращения с осью а.
27. Множество точек пространства, для каждой из которых расстояние до данной плоскости в k ( k 0) раз больше расстояния до данной прямой l, где l , есть круговой конус (рис. 117) с вершиной в
(M , )
k const.
точке пересечения l и осью l .
(M , l )
202
3.9. Золотое отношение
1. Свойства золотого отношения
Данный отрезок называется разb
a
деленным на два отрезка в золотом
отношении, если большая часть являРис. 118
ется средней пропорциональной величиной между всем отрезком и меньшей частью (рис. 118).
ab a
a a b b a2 a b b
.
a
b
Эквивалентное определение золотого отношения.
Отрезок называется разделенным в золотом отношении на две части,
если он весь так относится к большей части, как большая часть к меньшей.
Обозначим золотое отношение через , тогда
1
1 5
, 1, 6180339...
2
Обратная величина к золотому отношению равна
2
5 1 1
1
1 5
1:
, 0,6180339...
2
2
1 5
1
имеют одинаковые дробные части, а их целые части
Числа и
1 , 2 1 0,
отличаются на единицу.
Для числа существуют интересные представления:
1
1
1
1
1
1
1
1
1 ...
Золотое отношение можно представить в форме
D
E
O
a
С
a
а
a
a
А
1 1 1 1 ... .
а
a
Рис. 119
В
Сторона правильного пятиугольника равна большему отрезку диагонали, разделенной в золотом отношении. Точка пересечения двух диагоналей делит диагонали в золотом отношении (рис. 119).
203
В правильном звездчатом десятиугольнике (правильной звезде) отношение любого отрезка на диагонали наименьшему соседнему отрезку
равно золотому отношению, т.е. EK : KO (рис. 120).
В правильном звездчатом пятиугольнике точка О делит отрезок ЕС в
золотом отношении на два отрезка EO и OC. Больший отрезок ЕО в свою
очередь делится точкой K в золотом отношении.
Если разделить радиус окружности, описанной около правильного десятиугольника, в золотом отношении на два отрезка, то больший отрезок
равен стороне десятиугольника (рис. 121).
D
B
A
Е
1
2 3
K 45
О
С
Рис. 120
C
Рис. 121
O
2. Использование золотого отношения в построениях
Пример 1. Дан отрезок АВ = а.
Требуется разделить АВ в золотом отношении, используя циркуль и линейС
А
ку.
Построение (рис. 122):
1
a
BK
,
;
AB
BK
1)
2
a
2) 1 K , ;
2
3) M [ AK ] 1 ; 4) 2 ( А, AM );
5) C [ AB ] 2 , где С — искомая точка.
Доказательство.
MK
5
a
a2
a , AM
, AK a 2
2
4
2
В
М
К
Рис. 122
5 1
a AC ,
2
AB
2
5 1
5 1
a:
a
.
AC
2
2
5 1
Пример 2. Дан отрезок AC a. Построить отрезок АВ так, чтобы
точка С делила его в золотом отношении и отрезок АС был большей ча204
стью, т.е. требуется продолжить отрезок АС таким образом, чтобы данный отрезок был большей частью золотого отношения.
Построение (рис. 123):
1) АK KС , K [ AC ];
B
C
A
K
2) CM AC , CM a;
3) KМ; 4) ( K , KM );
5) B AB , В – искомая
точка.
Доказательство.
Рис. 123
М
2
KM
5
a
a2
a KB ,
4
2
1 5
В
С
А
a,
2
K
Рис. 124
М
1 5
AB 1 5
a:a
.
AC
2
2
Пример 3. Дан отрезок ВС = b. Построить отрезок ВА так, чтобы
точка С делила его в золотом отношении и ВС был меньшей частью, т.е.
требуется продолжить отрезок ВС таким образом, чтобы данный отрезок
был меньшей частью золотого отноD
шения.
M
Построение (рис. 124):
C
b
1) BK BC, BK , [ KC];
2
K
A
B
2) МK = KВ;
O
3) СА = СМ.
Доказательство.
AB AK KB
5
5 1
b, CM
b,
Рис. 125
2
2
CA
5 1
b : b .
2
CB
Пример 4.
A. В данную окружность впишите правильный десятиугольник.
Б. В данную окружность впишите правильный пятиугольник и правильный звездчатый пятиугольник [2, № 1211, 1212].
Построение (рис. 125).
1) AB OD; 2) OC CD, [АС];
3) CK CO; 4) AM AK .
KC
205
Отрезок АМ является стороной правильного десятиугольника. Он последовательно откладывается
по окружности. Для построеА
ния правильного пятиугольника вершины соединяются через
одну.
Пример 5. В данную окружF
ность радиуса R впишите
L
правильный пятиугольник (рис.
126).
C
B
M
D
O
Построение (метод Птолемея):
1) диаметр ВС;
2) ВО=ОС, ОА ВС;
3) ОD=DC; 4) 1 ( D , DA);
K
E
5) M 1 BC.
Отрезок АМ равен стороне
правильного
пятиугольника.
Рис. 126
Докажем,
что
R=
а
10(5 5).
10
2
R
R2
АМ 2 ОА2 МО 2 R 2 AD
5 5 .
2
2
AM
R 5 5
, R
a 10(5 5)
.
10
2
Построение правильного пятиугольника по данной стороне (рис. 127):
1) АВ = а ;
F
2) ВС АВ, ВС=а;
Рис. 127
3) AD = DB;
4) 1 ( D , DC );
5) E 1 AB ;
G
M
ω5
ω4
6) 2 ( A, AE );
3 ( B , AE );
ω2
ω1
7) F 2 3 ,
ω3
F – вершина;
8) 4 ( А, а );
9) 5 ( В , a );
A
E
B
D
10) M 4 3 ,
M – вершина;
11) G 5 2 , ABGFM — правильный пятиугольник.
206
Доказательство.
DC
a
a 5
DE , AE
2
a AF BF,
5 1
2
AF
.
AB
3. Золотой прямоугольник
Прямоугольник называется золотым, если отношение неравных сторон равно золотому отношению. Отрезав от золотого прямоугольника
ОАВС (рис. 128) квадрат ОА1О1С, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, снова получим золотой прямоугольник АВО1А1.
y
O1
C
A2
B
A3
O2
A4
O
Рис. 128
A1
O3
A x
Отрезав снова сверху квадрат А2О2ВО1, получим золотой прямоугольник
А2О2АА1. Продолжая бесконечно этот процесс, получим покрытие золотого
прямоугольника бесконечной совокупностью квадратов за исключением
одной точки в прямоугольнике.
Все полученные золотые прямоугольники подобны
ОАС АВА1 , ОА АВ , СА А1 В.
0
90
и гомотетии
Пусть СА А1 В S1 , тогда композиция поворота RS
b
H a переводит прямоугольник ОСВА в прямоугольник О1ВАА1. Компоb
900
зиция H a RS
отображает золотой прямоугольник О1ВАА1 в прямоугольник О2АА1А2.
207
Рассмотрим декартову систему координат, оси которой совпадают со
сторонами прямоугольника (рис. 128), а начало системы совпадает с
вершиной О прямоугольника, тогда А(а; 0), В(а; b), С(0; b), A1(b; 0).
a 2 b (a b)
S
;
.
2a b 2a b
b
0
90
Задание композиции f = H a RS : x
b
b
y b, y x b.
a
a
a2
b (a b)
, y0
.
2a b
2a b
Выберем полярную систему координат с полюсом в точке S, а полярную ось направим по лучу SA, тогда
Обозначим x0
2
b2
SA
t
r0 , где r r0 – полярное уравнение логарифмиче-
a2 b2
ской спирали, на которой расположены точки С, В, А, А1, …
3 2
t
4
r r1
2t 3
2
r1
– полярное уравнение логарифмической спирали, на которой расположены точки О, О1, О2, …
Параметрические уравнения спиралей:
2
2
(u u0 )
u u0
b
sin u, u0 arctg ,
x x0 r0
cos u, y y0 r0
a
2
x x0 r1
( u u0
3
)
4
2
cos u, y y0 r1
( u u0
4. Золотой треугольник
Равнобедренный треугольник
называется золотым, если отношение боковой стороны к основанию равно золотому отношению.
Если разрезать правильный десятиугольник на десять частей отрезками, проведенными из центра
десятиугольника в его вершины,
то получим десять золотых прямоугольников.
Пример 6. Дан квадрат. Построить перегибаниями золотой
треугольник.
3
)
4
sin u.
D
E
X
F
G
C
K
A
208
Рис. 129
B
Построение. Пусть точка Х делит сторону CD в золотом отношении
(рис. 129). Построим прямоугольник DXGA
и разделим его пополам линией сгиба EF.
Рассмотрим сгибание угла квадрата таким
образом, чтобы точка С оказалась на прямой EF, т.е. XK XC. Сделаем сгибы CK,
KD, тогда СDK – золотой треугольник.
В золотом треугольнике углы равны
72 0 , 72 0 , 36 0.
Если от золотого треугольника отрезать равнобедренный треугольник, основание которого равно боковой стороне данного треугольника (или равносильное утверждение – провести биссектрису угла при
основании данного треугольника), то получим снова золотой треугольник (рис. 130).
Рис. 130
Винтовые линии на цилиндре и замкнутые кратчайшие пояса на конусе, проведенные из данных точек.
209
Глава 4.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ПАРКЕТЫ И БИЛЬЯРД
4.1. Простое и сложное отношения. Поляра
1. Простое отношение точек на прямой
Определение. Точка М делит отрезок АВ в отношении , если
AM MB. Обозначение ( A, B; M ) .
Если точка М принадлежит отрезку
АВ, то 0 и говорят, что точка М делит
отрезок внутренним образом. Если точка
М лежит вне отрезка, то 0 и она делит
отрезок внешним образом в отношении
С
L
А
В
Рис. 1
AM : MB.
угла
треБиссектриса
L
угольника делит противоположную сторону (внутренним образом) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам
треугольника:
BL : LC AB : AC (рис. 1).
Биссектриса внешнего угРис. 2
ла треугольника делит противоположную сторону внешним
образом на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам
треугольника:
BL : LC AB : AC (рис. 2).
Свойства простого отношения.
1. Если
( A, B; M ) ,
то
( B, A; M )
С
А
1
K
,
В
( A, M ; B) (1 ),
1
1
, ( B, M ; A)
, ( M , B; A)
.
1
1
2. Координаты точки M ( x; y), делящей отрезок АВ в отношении ,
( M , A; B)
где A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ), выражаются по формулам
x1 x2
y y2
, y 1
.
1
1
3. Построение (рис. 3) точки М, делящей данный отрезок АВ в отношении p : q (отрезки p, q – заданы)
x
210
p
q
p\\ q
p
p
p\\ q
q
B
A
A
M
B
M
q
Деление внутренним
образом для
Рис. 3
Деление внешним
образом для
а
Пучку параллельных прямых на плоскости поставим в
соответствие элемент, называемый несобственной точкой. Будем говорить, что эта несобb
ственная точка принадлежит
каждой прямой пучка, а также,
Рис. 4
что все прямые этого пучка пересекаются в несобственной
точке (рис. 4). Каждую прямую вмеB l
Рис. 5
сте с несобственной точкой будем
называть расширенной прямой.
M
Множество несобственных точек
для каждого пучка параллельных
А
прямых на плоскости называется несобственной
прямой.
Евклидова
l1
плоскость, пополненная несобственM1
B1
А1
ной прямой, называется расширенной
плоскостью. На расширенной плоскости любые две прямые пересекаются.
Через любые две точки проходит и единственная прямая. Если точка А
или прямая а являются несобственными, то их обозначают A или a .
Доопределим простое отношение для несобственных точек
( A, B; M ) lim ( A, B; M ), тогда
M M
( A, B; M ) 1, (M , A; B) , ( A, M , B) 0.
При параллельном проектировании отношение точек на прямой сохраняется (рис. 5).
211
Пусть a, b, c – прямые, проходящие через точку О, и l – биссектриса
для пары вертикальных не тупых углов, образованных прямыми a и b
(рис. 6, 7). Через произвольную точку С прямой с, отличную от точки О,
проведем прямую, перпендикулярную биссектрисе l, и пусть эта прямая
пересекает прямые a, b соответственно в точках А, В. Прямая АВ образует
равные внутренние односторонние углы с парой прямых a, b.
Прямая называется прямой равного наклона для прямых a, b, если
она образует при пересечении с ними равные внутренние односторонние
углы.
С
b
B
h2
c
Hb
l
h2
b
h1
С
B
Hb
c
l
a
О
Рис. 6.
h1
a
Ha
A
О
Рис. 7
Ha
A
Прямая с делит прямые a и b в простом отношении , если при пересечении прямых a и b прямой равного наклона для соответствующих
точек пересечения ( A, B; С ) .
На рис. 6, 7 ( a, b; c) ( A, B; C )
АС
по определению.
СВ
Эквивалентное определение. Простым отношением трех прямых a,
b, c называется отношение расстояний от произвольной точки прямой с
до прямых a и b, взятое со знаком «+», если прямая расположена внутри
пары вертикальных не тупых углов между прямыми a и b, и взятое со
знаком «–», если прямая с расположены вне этой пары.
На рис. 6 (a, b; c)
СH a
СH a
. На рис. 7 ( a, b; c)
.
СH b
СH b
2. Сложное отношение
Точки C, D на прямой АВ делят точки А и В в сложном отношении
, если ( A, B; C ) . Обозначение ( A, B; C, D).
( A, B; D)
212
Для точек на прямой (рис. 8) сложное отношение может быть вычислено по формуле
AC AD AC DB
:
=
CB DB CB AD
( x x A ) ( xB xD ) ( yC y A ) ( yB yD )
.
= C
( xB xC ) ( xD xA ) ( yB yC ) ( yD y A )
( A, B; C , D )
О
C
А
D
B
Рис. 8
Если ( A, B; C, D) , то (С, D; A, B) ,
1
( B , A; C , D ), ( A, C; B, D) 1 ,
1
1
, ( A, C; D, B)
, ( A, D; C, B)
.
( A, D; B, C )
1
1
центральном
При
S
проектировании одной
прямой на другую прямую сложное отношение
Рис. 9
четырех точек прямой
сохраняется (рис. 9).
l
Сложным отноше;
c
,
d
)
(
a
,
b
нием прямых
,
D
C
проходящих через одну
B
A
точку, называется сложное отношение четырех
B1
точек, высекаемых этими
A1
D1
C1
l
прямыми на любой секущей прямой, не проходящей через центр пучка прямых (рис. 10).
sin( a, c) sin( a, d )
(a, b; c, d ) = ( A, B; C, D), (a, b; c, d ) =
:
.
sin(c, b) sin( d , b)
Углы от одной прямой к
S
другой рассматриваются ориентированные.
d
( A, B; D , C )
a
A
c
b
B
C
Рис. 10
213
D
Для пучка прямых li: y y0 ki ( x x0 ), где i 1, 2,3, 4, сложное отношение: (l1, l2 ; l3 , l4 )
k3 k1 k4 k1 (l1 , l2 ; l3 )
:
.
k2 k3 k2 k4 (l1 , l2 ; l4 )
Пусть на окружности заданы точки A, B, C, D и выбрана произвольная точка O, отличная от точек A, B, C, D (рис. 11). Сложным отношением ( A, B; C, D) четырех точек на окружности называется сложное
отношение (ОA, ОB; ОC, ОD) четырех прямых.
Точка O может совпадать с одной из точек A, B, C, D . В этом случае
одна из прямых превращается в касательную к окружности.
Значение сложного отношения
В
четырех точек на окружности не зависит от выбора точки O на окружности.
Пример 1 (о перенесении сложноD
го отношения с одной прямой на друС
гую прямую). Даны A, B, C , D на прямой s и точки A, B, C на прямой s.
Требуется построить точку D на прямой s такую, чтобы ( A, B; C , D)
А
Рис. 11
О
( A, B; C , D).
Построение. Пусть S и S произвольные точки на прямой AA
B0 SB SB,
C0 SC S C,
A0 B0C0 SS ,
12),
(рис.
D0 B0C0 SD,
( A, B; C, D) ( A0 , B0 ; C0 , D0 ) ( A, B; C, D).
D S D s ,
S
D
B
А
А
s
C
B0
C0
D0
Рис. 12
214
3. Гармоническая четверка точек
Пусть А, В, С, D – точки на прямой. Точки C, D гармонически разделяют точки A, B, если ( A, B; C, D) 1. Точки C, D также называются
гармонически сопряженными относительно точек A, B.
Середина отрезка гармонически сопряжена несобственной точке относительно этого отрезка (рис. 13).
А
О
В
В каждой вершине
треугольника имеется
гармоническая четверка
прямых: две прямые,
проходящие через стоа
роны
треугольника,
прямая,
содержащая
медиану, и прямая, паА
раллельная основанию
(рис. 14).
Две пересекающиеся прямые и две их биссектрисы
образуют гармоническую четверку прямых.
Если – окружность
Аполлония для точек A и B, т.е.
AM : MB const , то точки
пересечения окружности с прямой AB гармонически разделяют
точки A и B (рис. 15).
Рис. 13
С
b
m
В
Рис. 14
M
M1
А
M2
B
Рис. 15
Действительно, A, B; M 1 , M 2
Если M – инверсная точка к произвольной точке M относительно окружности (см.
§ 4.2), то точки пересечения
окружности с прямой MM
t
A, B; M1
=
A, B; M 2
t
R
А
215
1.
О
M
В
Рис. 16
гармонически разделяют точки M и M (рис. 16).
Действительно,
R2
A, B; M AM AM
Rt
t 1.
:
:
A, B; M , M
A, B; M MB M B R t R2 R
t
Пример 2. Даны точки A, B и
S
C на прямой. Построить точку D,
гармонически сопряженную точке
C относительно точек A и B.
B1
Построение. Первый способ.
t
На отрезке AB как на диаметре
А C
построим окружность и инверсную точку к точке C относительD
В
но этой окружности.
A1
Второй способ. Отметим
произвольную точку S, не принадРис. 17
лежащую прямой AB (рис. 17).
C1
Проведем прямые SA, SB, SC.
R
На
продолжении
отрезка
SC
строим точку C1 такую, что CC1 SC. Строим C1 A1
C1 B1
SB, A1 SA ,
SA, B1 SB SB1C1 A1 – параллелограмм. Через точку S прово-
дим прямую t, параллельную A1 B1 . Пусть D t AB, тогда точки D, C
гармонически разделяют пару точек A, B.
Третий способ. Через точки A и B (рис. 18) проводим произвольную окружность . Пусть а – серединный перпендикуляр к отрезку AB,
K a , L KC . Пусть
t – биссектриса угла BLM, тогда
D t AB .
a
M
L
t
С
А
В
K
Рис. 18
216
D
4. Полный четырехвершинник
Полным четырехВ
вершинником
ABCD
называется фигура, соРис. 19
стоящая из четырех тоZ
чек A, B, C и D, из которых никакие три не леА
жат на одной прямой, и
шести прямых, соедиR U
няющих эти точки попарно.
V
С
Точки A, B, C и D
называются вершинами,
D
а прямые, соединяющие
вершины, сторонами.
Две стороны называются противоположQ
ными, если точка их
X
Y
P
пересечения не является
вершиной. Точка пересечения противоположных сторон называется диагональной. Прямая,
соединяющая две диагональные точки, называется диагональю.
Теорема 1. На каждой диагонали полного четырехвершинника имеется гармоническая четверка точек. Она состоит из двух диагональных
точек и двух точек пересечения этой диагонали с парой противоположных сторон, пересекающихся в третьей диагональной точке [3]. На рис.
19: ( P, Q; X , Y ) 1 .
Теорема 2. На каждой стороне полного четырехвершинника имеется
гармоническая четверка точек. Она состоит из двух вершин, диагональной точки и точки пересечения этой стороны с диагональю, проходящей
через две другие диагональные точки. На рис. 19: ( B, A; Z , P) 1.
Теорема 3. Через каждую диагональную точку полного четырехвершинника проходит гармоническая четверка прямых. Она состоит из двух
противоположных сторон и двух диагоналей. На рис. 19:
(QA, QB; QZ , QP) 1.
Докажем теорему 1. При центральном проектировании точек
P, Q, X , Y из точки A на прямую BD получаем
P B, Q D, X X , Y R, ( P, Q; X , Y ) ( B, D; X , R).
217
При центральном проектировании точек B, D, X , R из точки C на
прямую PQ получаем
B Q, D P, X X , R Y , ( B, D; X , R) (Q, P; X , R).
Следовательно, ( P, Q; X , Y ) (Q, P; X , Y ). Пусть ( P, Q; X , Y ) , то1
1
, 1. Но не может равняться единице,
так как точки X и Y разS
личные. Значит 1
и ( P, Q; X , Y ) 1.
Рис. 20
поРассмотрим
строение
гармоничеP
ской четверки точек,
используя
свойства
Q
полного
четырехвершинника. Приведенный
ниже способ использует
R
меньший набор инструментов для построения,
а именно только одну
D
C
В
А
линейку.
Пример 3. Даны
точки A, B и C на прямой. Построить точку D, гармонически сопряженную с точкой C относительно A и B.
Решение. Рассмотрим случай C AB (рис. 20). Пусть S – произвольная точка плоскости, причем S AB, P – произвольная точка прямой AS, отличная от точек A,
S
PC SB Q,
S.
Пусть
гда (Q, P; X , Y )
,
AQ PB R, SR AB D
( A, B; C , D) 1.
Для случая C AB (рис.
21) рассмотрим следующие
построения:
S – произвольная точка
плоскости, R – произвольная
точка
прямой
SC,
AR SB Q, BR AS P,
PQ AB D.
Рис. 21
Q
P
R
D
218
А
C
В
Пример 4. Даны три прямые a, b, c пучка с центром в точке S.
Пользуясь одной линейкой, построить прямую d пучка, для которой
(a, b; c, d ) 1.
Решение. Будем считать a и b противоположными сторонами полного четырехвершинника, а c –
S
его диагональю, тогда S диагональная точка четырехвершинника (рис. 22), а d – вторая диаb
Рис. 22
гональ, проходящая через S.
Пусть R – произвольная точка
a
c
прямой c. Через точку R провеQ
дем две секущие l1 и l2. Пусть
d
P
l1
A l1 a, Q l1 b,
P l2 a, B l2 b,
D PQ AB, d SD.
R
D
l2
А
В
5. Полюс и поляра
Пусть P – произвольная точка плоскости, отличная от центра A данной окружности и P – инверсная точка к P относительно окружности
с радиусом R.
Полярой точки P относительно окружности называется прямая p,
перпендикулярная прямой OP и проходящая через точку P. Точка P
называется полюсом для прямой p.
Если P – внешняя точка по отношению к окружности (рис. 23), то
для построения поляры проводим из точки P касательные PT1 , PT2 к
окружности, тогда прямая T1T2 является полярой точки P.
а
p
Т1
Т1
O
P
O
Т2
P
Т2
Рис. 23
219
р
Рис. 24
Если P – внутренняя точка по отношению к окружности (рис. 24), то
через точку P проводим прямую a, перпендикулярную OP. Через точки
пересечения прямой a и окружности проводим касательные до пересечения в точке P. Прямая, проходящая через точку P и перпендикулярная
OP, является полярой точки P.
Если P принадлежит окружности, то касательная к окружности в
точке P является полярой точки P.
Рассмотрим первый способ получения уравнения поляры. Пусть на
плоскости введена прямоугольная декартова система координат с началом в центре окружности и данная точка P имеет координаты ( a; b), а
произвольная точки M плоскости – координаты ( x; y ).
Точка M принадлежит поляре тогда и только тогда, когда она ортогонально проектируется на прямую OP в точку P , поэтому
OM OP OM OP cos OM , OP OP OP R2 или
2
ax by R .
(1)
Уравнение (1) является уравнением поляры для точки P(a; b). При
фиксированном радиусе R окружности уравнение (1) устанавливает
отображение – каждой точке P, отличной от центра A, сопоставляется
уравнение поляры, и наоборот, по уравнению (1) определяется полюс P.
Соответствие, по которому каждой точке сопоставляется поляра этой
точки и наоборот, называется полярным.
Коэффициенты a и
p
Рис. 25
b в уравнении называются тангенциальными
неоднородными коорP
динатами прямой.
Второй способ получения уравнения поляры.
q
Рассмотрим полярQ
ную систему координат
(r , ) с полюсом в центре окружности и пусть ось O x совпадает с полярной осью, тогда
a r cos , b r sin . Инверсная точка имеет координаты
R2
R2
P
;
.
r cos r sin
220
Составим уравнение поляры
R2
R2
2
r cos x
r
sin
y
0 или ax by R .
cos
r
r
sin
Если точка Q принадлеp
жит поляре p точки P, то и точка P принадлежит поляре q
M2
точки Q относительно той же
X
M
M1
окружности (рис. 25).
Пусть M – произвольная
P
O
точка поляры для точки P относительно окружности и
прямая PM пересекает окружРис. 26
ность, тогда точки P и M гармонически разделены точками переA
сечения окружности и прямой PM
C
(рис. 26), т.е. выполняется равенство
( M , P; M1 , M 2 ) 1.
O D
Пример 5. Если прямая CD
P
проходит через полюс прямой AB
A
,
B
,
C
,
D
(рис. 27), то для точек
окружности выполняется равенство
B
( A, B; C, D) 1, т.е. они образуют
Рис. 27
гармоническую четверку точек на
окружности.
Решение. Спроектируем из точки A данные точки окружности на
A P, B O, C C , D D,
прямую
CD,
тогда
поэтому
( A, B; C, D) ( P, O; C, D). Точки P, O, C, D являются гармонической чет-
( P, O; C, D) 1. Точки A, B, C, D на
веркой точек на прямой, т.е.
окружности также образуют гармоническую четверку точек.
Если диагонали чеA
тырехугольника AA1 B1 B,
вписанного в окружность,
P1
A1
пересекаются в точке Q, а
продолжения его противоположных сторон в
Q
точке P, то точки P и Q
P
гармонически сопряжены
B1
P2
относительно точек переB
221
Рис. 28
сечения прямой PQ с окружностью (рис. 28).
Если через точку Q,
не лежащую на окружности, провести всевозможные пары секущих,
пересекающих окружA1
ность в точках A и A1 , B
B
Q
A
и B1 , то геометрическое
место точек пересечения
прямых AB и A1 B1 и
B1
место
геометрическое
точек пересечения прямых AB1 и A1 B являетРис. 29
ся одной прямой (рис.
29).
Построение поляры одной линейкой.
Пример 6. Дана окружность и точка P. Требуется построить поляру для точки P.
P
B
A
R
D
Рис. 30
R
C
A
C
P
B
p
p
D
Q
Рис. 31
Q
На рис. 30, 31 приведено решение для двух случаев, когда точка P
лежит внутри окружности и когда точка расположена вне окружности.
Через точку P проведем две секущие
AB и CD. Пусть
R AC BD, Q BC AD, тогда прямая QR является полярой точки P,
так как она проходит через две диагональные точки четырехвершинника,
вписанного в окружность.
222
Если в треугольнике каждая
вершина является полюсом противолежащей стороны, то треугольник называется автополярным. Каждый автополярный
треугольник
является
тупоугольным и для любого тупоугольного треугольника существует единственная окружность, называемая полярной,
относительно которой этот треугольник является автополярным. Центром окружности является точка пересечения высот
треугольника.
Для окружности с центром О и
радиусом R для выбранных параметров
n и m на рис. 32 автополярный треугольник имеет координаты вершин:
R2
R 2 R 2 (n 2 R 2 )
A(n;0), B ; m , C ;
.
n2 m
n
n
B
R
О
m
n
A
Рис. 32
C
m
M
O
Сопоставляя каждой точке М данРис. 33
ной кривой поляру m относительно
полярной окружности при полярном отображении (рис. 33), получаем
однопараметрическое семейство прямых, которое при определенных
условиях определяет огибающую семейства.
4.2. Преобразования плоскости и пространства
1. Преобразования
Пусть X и Y – произвольные множества. Если каждому элементу
x X сопоставлен некоторый элемент y Y по правилу (закону) f, то
говорят, что задано отображение f множества X в множество Y и пишут
f
f : X Y или f : X
Y.
Элемент y обозначается через f(x) и называется образом элемента
x при отображении f, а элемент x – прообразом элемента y. Если множество A X , то через f(A) обозначается множество образов всех элементов множества A и называется образом множества A при отображении f.
223
Множество всех элементов в X, образы которых при отображении f
содержатся в данном множестве B Y , называется прообразом (полным
прообразом) множества B при отображении f и обозначается f 1 ( B).
Отображение f : X Y называется отображением множества X на
множество Y (сюръективным), если f ( X ) Y.
Отображение f : X Y называется взаимно однозначным (инъективным), если любые два различных элемента x1 и x2 из X имеют различные образы f ( x1 ) и f ( x2 ).
Тождественное отображение 1X : X X определяется равенством
1X ( x) x для x X .
Отображение f : X Y называется биективным (биекцией), если
оно инъективно и сюръективно.
f
g
y
z
x
X
Рис. 34
Z
На рис. 34 отображение f – сюръективно, но не инъективно. Отображение g инъективно, но не сюръективно.
Отображение f : X Y называется обратимым, если существует
такое отображение g : Y X , что g f 1X и f g 1Y . Отображение g
называется обратным к отображению f и обозначается f 1.
Отображение f : X Y обратимо тогда и только тогда, когда оно
биективное.
Пусть даны отображения f : X Y и g : Y Z . Отображение
h : X Y , определяемое формулой h( x) g[ f ( x)] называется композицией отображений f и g и обозначается g f . Отображение f иногда
224
называют внутренней операцией или первым множителем, а отображение
g – внешней операцией или вторым множителем. Название определяется близостью к элементу x , на который необходимо действовать отображениями.
Для отображений, заданных на рис. 34, ( g f ) ( x) z.
Для любых двух отображений композиция отображений вообще говоря не удовлетворяет условию коммутативности, т.е. g f f g.
Сравним композиции двух отображений на примерах двух функций, выполненных в различном порядке.
Примеры.
1. Для f (x) = x + 2, g(x) = x2 получаем
( f g ) ( x) f ( g ( x)) f ( x 2 ) x 2 2,
( g f ) ( x ) g ( f ( x )) g ( x 2) ( x 2) 2.
2. Рассмотрим постоянные, но различные отображения:
f ( x) x1 , x; g ( x) x2, x : x1 x2, тогда (g f )( x) x2 , ( f g)( x) x1.
Существуют функции, для которых выполняется коммутативность
композиции g f f g.
3. Например, для f(x) = x + 2, g(x) = x - 3, получаем
( f g ) ( x) f ( g ( x)) f ( x 3) ( x 3) 2 х 1,
( g f ) ( x) g ( f ( x)) g ( x 2) ( x 2) 3 х 1.
Теорема 1. Композиция отображений подчиняется ассоциативному
закону, т.е. если f: X Y, g: Y Z, h: Z W, то выполняется равенство
h ( g f ) (h g ) f (рис. 35).
(h ( g f ))( x) h(( g f )( x)) h( g ( f ( x))) (h g )( f ( x)) ((h g ) f )( x).
W
X
h
f
g
Рис. 35
Z
Y
Для
тождественного
отображения
выполняются
свойства:
f 1X f , 1Y f f .
Пусть Х – произвольное множество. Биективное отображение этого
множества на себя называется преобразованием множества.
225
Теорема 2. Пусть Х – произвольное множество, GX – совокупность
всех преобразований этого множества на себя, тогда GX образует группу
относительно композиции преобразований.
2. Группа преобразований
Если в результате применения некоторой операции любым двум
элементам a, b из множества G сопоставляется элемент a b из множества G, то будем говорить, что задана бинарная операция на множестве
G или операция замкнута и обозначать G , .
Если для обозначения бинарной операции в произвольном множестве G используется символ , то употребляют следующий язык сложения в определении группы G, .
Аддитивной группой называется множество G с бинарной операцией
, обладающей следующими свойствами:
1) (a b) c a (b c) для любых a, b G ;
2) в G существует такой элемент 0 (ноль), что a 0 0 a a для
любого a G;
3) для любого элемента a G существует такой элемент a G
(противоположный элемент к элементу a), что a (a) (a) a 0.
Из аксиом группы следуют простейшие свойства:
1) нулевой элемент единственный;
2) противоположный элемент для данного элемента а единственный.
Аддитивная группа называется абелевой или коммутативной, если
выполняется свойство a b b a для любых a, b G.
Пример 1. Числовые множества , Q, R являются абелевыми группами относительно обычной операции сложения чисел, но множество N
не является группой (почему?).
Если для операции в множестве G используется символ умножения
или (который, кстати, в большинстве случаев подразумевается, но не
пишется между элементами множества), то употребляют следующую
символику в определении группы G, или G, .
Мультипликативной группой называется множество G с операцией
умножения, обладающей следующими свойствами:
1) (ab)c a(bc) для любых a, b G ;
226
2) в G существует такой элемент е (единичный), что ae ea a для
любого a G;
3) для любого элемента a G существует такой элемент a 1 G
(обратный элемент к a), что aa 1 a 1a e.
Свойства и определения:
1) единичный элемент единственный;
2) обратный элемент для данного элемента а единственный;
3) мультипликативная группа называется абелевой или коммутативной, если выполняется свойство ab ba для любых a, b G.
Пример 2. Числовые множества Q \{0}, R \{0} являются абелевыми
группами относительно обычной операции умножения чисел, но множества , Q, R не являются группами.
Замечание. При определении группы можно использовать любой
символ для операции (за исключением символов для обозначения элементов самого множества), поэтому названия аддитивная или мультипликативная часто опускается. Элемент е, такой, что выполняется равенство a e e a a для любого a G, в этом случае называется
нейтральным. Элемент a 1 , для которого выполняется равенство
a a 1 a 1 a e, называется симметричным к элементу a.
3. Движения плоскости
Параллельный перенос Ta на вектор a – это отображение плоскости,
при котором для любой точки М плоскости и ее образа M выполняется равенство MM a (рис. 36).
Если точка M ( x; y) отображается
y
M
O
x
Рис. 36
в точку M ( x; y) при параллельном
переносе на вектор a ( a1 ; a2 ), то
x x a1 , y y a2 или Ta : x x a1 , y y a2 .
Композиция параллельного переноса Ta на вектор a и параллельного переноса Tb на вектор b является параллельным переносом Tab .
Для параллельных переносов выполняются свойства:
1
Tb Ta Ta b , T0 1, Ta T a , Tb Ta Ta Tb .
227
Поворотом
RM 0 вокруг
y
точки M 0 на ориентированный угол называется
отображение плоскости, при
котором точка M 0 отображается в себя, а для любой
точки М плоскости, отличной
от точки M 0 , и ее образа M
выполняются
условия:
Рис. 37
r
M
y
r
M0 M M0 M , MOM .
x
Пусть точка M ( x; y)
отображается
в
точку
M ( x; y) при повороте от-
O
x
носительно начала координат, т.е. относительно точки O(0;0) (рис. 37).
x r cos( ) r cos cos r sin sin ,
y r sin( ) r cos sin r sin cos,
x x cos y sin , y x sin y cos .
При повороте RM 0 вокруг точки M0 (x0 , y0 ) на угол координаты
преобразуются по формулам
x x0 ( x x0 )cos ( y y0 )sin ,
y y0 ( x x0 )sin ( y y0 )cos .
Свойства поворотов с одним и тем же центром:
1
RO RO RO , RO0 1, RO RO , RO RO RO RO .
Центральной симметрией SM 0 относительно точки M 0 называется
отображение плоскости, при котором для любой точки М плоскости и ее
образа M выполняется равенство M 0 M M 0 M (рис. 38).
Если точка M ( x; y) отображается в точку M (x; y) при
симметрии относительно точки
M0 (x0 ; y0 ), то вначале запишем
M
координаты середины отрезка MM , т.е.
228
Рис. 38
x0
y y
x x
, y0
.
2
2
Для симметрии относительно точки получаем
SM0 : x 2x0 x, y 2 y0 y.
Для центральной симметрии относительно одной точки выполняются свойства
SMO SMO 1,
S
1
MO
SMO .
Симметрией Sl относительно прямой l называется отображение,
при котором все точки прямой l являются неподвижными, а для любой
точки M, не принадлежащей прямой l, и ее образа M прямая MM перпендикулярна l, причем если MM l H , то HM HM .
Пусть произвольная точка M(x; y) плоскости отображается в точку
M ( x; y) при осевой симметрии Sox относительно оси Ox, тогда
x x, y y.
Для осевой симметрии относительно одной прямой выполняются
свойства
Sl Sl 1,
Sl
1
Sl .
Симметрия Sl относительно прямой l, поворот RO вокруг точки О
на угол , параллельный перенос Ta на вектор a на плоскости являются примерами преобразований плоскости.
Движением плоскости f : E 2 E 2 называется отображение плоскости, сохраняющее расстояние между точками, т.е. для любых точек М и N
плоскости выполняется равенство
MN f (M ) f ( N ) .
Для упрощения композиции движений будем в дальнейшем использовать теорему о задании движения [1, с. 315, 316].
Теорема 3. Пусть на плоскости заданы два равных треугольника
ABC и AB C , причем AB AB, BC BC , CA C A, тогда существует и единственное движение плоскости, которое отображает
A A, B B, C C .
Для правильного треугольника (рис. 39) существуют следующие
движения, переводящие эту фигуру в себя: симметрии Sa , Sb , Sc относительно прямых, проходящих через высоты треугольника; повороты тре229
00
1200
2400
угольника R0 1, R0 , RO вокруг его центра О соответственно на 00,
1200, 2400.
С
Движения, переводящие фигуру в себя,
называются симметриями фигуры. Поэтому
правильный треугольник имеет 6 элементов
а
b
симметрий.
Теорема 4. Пусть F – произвольная фиO
гура и GF совокупность всех ее симметрий,
с
В
А
тогда GF – группа относительно композиРис. 39
ции симметрий фигуры.
Доказательство. Композиция двух симметрий этой фигуры является преобразованием фигуры в себя, сохраняющим расстояние между
любыми двумя точками, т.е. симметрией фигуры. Операция – композиция симметрий – замкнута на множестве GF .
Ассоциативный закон выполняется для любых преобразований, а,
следовательно, и для частного случая преобразований - симметрий фигуры.
Тождественное преобразование является симметрией фигуры, поэтому существование нейтрального элемента в множестве симметрий
GF обеспечено.
Симметрия как биективное преобразование имеет обратное преобразование, причем оно снова сохраняет расстояние между любыми двумя
точками, а значит, является симметрией фигуры.
Теорема доказана.
Используя композицию преобразований для правильного треугольника (рис. 42), можно составлять из них новые преобразования, но композиция таких преобразований окажется одним из рассмотренных преобразований. Например, Sb Sb 1.
Для упрощения композиции Sa Sc рассмотрим последовательное
применение симметрий SC и Sa к вершинам треугольника. Для осевой
симметрии SC получаем: A B, B A, C C. Применяя к полученным вершинам осевую симметрию Sa , получаем: B C, A A, C B.
Таким образом, для композиции Sa Sc: A C, B A, C B, но на вер0
240
шины треугольника по такому же правилу действует поворот RO , сле2400
довательно Sa Sc RO . Эту запись преобразований можно компактнее
записать следующим образом:
230
Sc
Sa
A
B
C,
B A A,
C C B.
Анализируя вершины в первом и последнем столбцах этой схемы,
находим необходимое выражение для композиции отображений.
0
0
240
240
Аналогично упростим композицию RO RO :
2400
2400
Ro
Ro
A
C
B,
A
C,
B
B
A.
C
1200
Для композиции A B, B C, C A, но это поворот RO .
Это задание можно решить более простым способом. Композиция
двух поворотов с общим центром является поворотом с этим же центром
и углом поворота 2400 2400 4800. Выделим величину полного угла в
этой сумме 4800 3600 1200. Исключая величину полного угла, получаем величину угла 1200 искомого поворота.
Рассматривая различные композиции, получим таблицу 1 для симметрий правильного треугольника. В композиции преобразований вначале применяется то преобразование, которое находится ближе к элементу.
Оно расположено правее того преобразования, которое применяется вторым.
Таблица 1
1й множитель
2й множитель
1
RO120
0
RO240
0
Sa
Sb
Sc
1
1
RO120
0
RO240
0
Sa
Sb
Sc
RO240
0
1
Sc
Sa
Sb
120 0
O
Sb
Sc
RO120
0
240 0
O
R
RO120
0
240 0
O
R
1
R
Sa
Sa
Sb
Sc
1
Sb
Sb
Sc
Sa
RO240
0
1
Sc
Sc
Sa
Sb
RO120
0
RO240
231
RO120
Sa
0
0
RO240
0
RO120
0
1
Композиция центральных симметрий приведена в таблице 2.
Композиция
симметрий
SB S A
Таблица 2
Изображение
условия
При условии
C SB ( A)
A
SC SB T2 AB
B
C
Отрезки АС и BD
имеют общую
середину
SC S B S A S D
D
A
С
B
SAn ... S A2 SA1 SA0
n – нечетное
SAn ... SA2 SA1 Ta
n – четное
Композиция осевых симметрий приведена в таблица 3.
Композиция
симметрий
Sb Sa RO2
a b O,
Sb Sa T2h
– ориентированный угол от прямой
а к прямой b
a b, (a, b) h,
Sb S a SO
h a, вектор h
от а к b
a b, a b O
При условии
b
О
a
b
h
a
b
О
Sb Sa Sc Sb
Таблица 3
условия
Изображение
Sb ( a ) c
232
a
c
c
b
b
a
a
Композиция центральных и осевых симметрий приведена в таблице 4.
Таблица 4
Композиция
При условии Изображение
условия-симметрий
S a S A S A S a Sl
A a,
l
l a, A l
SM S a Sb S M
A
a
S M ( a) b
b
M
a
Sm ( A) B
Sm S A S B S M
B
TAB S AB
A
m
Для любой точки А и любого движения f имеет место равенство
f S A f 1 S f ( A) (теорема о переносе центра симметрии).
Для любой прямой а и любого движения f имеет место равенство
f Sa f 1 S f ( a ) (теорема о переносе оси симметрии).
С
С
e2
e1
А
А
В
Рис. 40
Базисы
e , e и
1
2
В
Рис. 41
e1 , e 2 называются одинаково ориентированны
ми, если углы поворота от вектора e1 к вектору e2 и от вектора e1 к вектору e 2 имеют одинаковые направления (рис. 40) и называются противоположно ориентированными, если углы поворота имеют противоположное направление (рис. 41).
Движение первого рода – это движение, сохраняющее ориентацию
базиса, а движение второго рода – изменяющее ориентацию базиса.
Движение первого рода можно представить в виде композиции четного числа осевых симметрий.
Движение второго рода можно представить в виде композиции нечетного числа осевых симметрий.
Методы упрощения композиции движений.
233
А. Метод координат
Для точек A( xA ; yA ) и B( xB ; yB ) упростим композицию SB S A .
Пусть при симметрии S Ai произвольная точка M ( x; y) отображается в точку M(x; y), тогда x 2xA x,
При симметрии
SB
точка
y 2 yA y.
M ( x; y)
отображается в точку
M ( x ; y ), тогда x 2xB x,
y 2 yB y или
x 2xB 2xA x, y 2 yB 2 yA y.
Произвольная точка M ( x; y) отображается в точку M ( x; y) по
формулам x x a1 , y y a2 , где a1 2( xB xA ), a2 2( yB yA ).
Следовательно, композиция двух центральных симметрий является параллельным переносом на вектор 2 AB, т.е. SAm SAi TAB .
Б. Использование теоремы о существовании единственного движения.
D
l
Рис. 42
C
Для произвольного центра симметрии A рассмотрим произвольный
прямоугольный треугольник ACD, один катет которого расположен на
прямой АВ, а другой катет перпендикулярен этой прямой (рис. 42). При
симметрии относительно точки A этот треугольник отобразится в треугольник ACD. При симметрии относительно точки B треугольник
ACD отобразится в треугольник AC D , где BA BA или AA 2AB.
По теореме о задании движения существует единственное движение
плоскости, отображающее A A, C C , D D, которое является
параллельным переносом TAA , т.е. T2 AB .
В. Метод флагов
Флагом F (O, l , ) на плоскости называется множество, состоящее
из точки О, луча l с началом в точке О и полуплоскости , на границе
которой расположен луч.
При центральной симметрии S A флаг F ( A, l , ) отображается в
флаг F1 ( A, l1 ,1 ) (рис. 43).
234
F2
F
В
А
С
Рис. 43
l
F1
При центральной симметрии S B флаг F1 ( A, l1 ,1 ) отображается в
флаг F2 (C, l2 ,2 ), где C SB ( A).
Композиция
SB S A
отображает
флаг
F ( A, l , )
в
флаг
F2 (C, l2 ,2 ).
По тереме о задании движения плоскости существует единственное
движение плоскости, переводящее флаг F ( A, l , ) в флаг F2 (C, l2 ,2 ).
Таким движением является параллельный перенос на вектор AC . Следовательно, SB S A T2 AB .
Точка А называется неподвижной точкой движения f , если f(A) = A.
Прямая а называется инвариантной прямой движения f , если
f(a) = a.
Прямая а называется неподвижной прямой движения f , если каждая ее точка неподвижна при этом движении.
Неподвижная прямая является инвариантной, но обратное утверждение не всегда справедливо.
Движение плоскости является поворотом тогда и только тогда, когда
оно имеет единственную неподвижную точку.
Движение плоскости является центральной симметрией тогда и
только тогда, когда оно имеет единственную неподвижную точку и хотя
бы одну инвариантную прямую, содержащую эту точку.
Движение плоскости является параллельным переносом тогда и
только тогда, когда оно отображает каждый луч на сонаправленный ему
луч.
Движение плоскости является осевой симметрией тогда и только тогда, когда оно отлично от тождественного и имеет по крайней мере две
неподвижные точки.
Всякое движение плоскости является либо параллельным переносом, либо поворотом, либо скользящей симметрией, т.е. композицией
осевой симметрии и переноса в направлении оси симметрии. Если вектор
переноса вдоль оси симметрии является нулевым вектором, то скользящая симметрия является осевой симметрией (теорема о классификации
движений плоскости).
235
4. Аффинные преобразования и матрицы
Аффинным преобразованием плоскости называется взаимно однозначное отображение плоскости на себя, при котором любые три точки,
лежащие на одной прямой, переходят в точки, лежащие на одной прямой,
и при этом отношение расстояний между ними сохраняется.
Аффинное преобразование плоскости можно задать аналитически
формулами
x a11 x a12 y a1 ,
где a11a22 a2 a12 0, x, y – координаты про
y a21 x a22 y a2 ,
извольной точки плоскости, x, y – координаты образа этой точки.
k
Гомотетией H M 0 с центром M0 ( x0 ; y0 ) и коэффициентом k, где
k 0, называется отображение плоскости (рис. 44), при котором произвольная точка M ( x; y) отображается в точку M(x; y), причем выполняется равенство M0 M kM0 M . Аналитическое задание гомотетии
x x0 k(x x0 ), y y0 k( y y0 ) .
Сжатием плоскости к оси l (рис. 45) называется отображение
плоскости, при котором каждая точка прямой l является неподвижной, а
для любой точки М, не принадлежащей прямой l, и ее образа M выполняется равенство HM kHM , где MM l и H MM l . Если ось
Ox совпадает с прямой l, то формулы преобразования координат при
сжатии имеют вид x x, y ky.
Гомотетия, сжатие к оси и движения – частные случаи аффинных
преобразований.
l
M0
Рис. 44
a11
a12
a21
a22
Рис. 45
a11a22 a21a12 – определитель второго порядка.
236
a
a
b b
c
A 11 12 , B 11 12 , C 11 – матрицы.
b21 b22
c21
a21 a22
a11 a12 b11 b12 a11 b11 a12 b12
– сложение матриц.
a21 a22 b21 b22 a21 b21 a22 b22
ka12
a ka
a
k 11 12 11
– произведение матрицы на число.
a21 a22 ka21 ka22
a11 a12 b11 b12 a11b11 a12 b21 a11b12 a12b22
– произведение
a21 a22 b21 b22 a21b11 a22b21 a21b12 a22b22
двух матриц.
a11 a12 b11 a11b11 a12b21
– произведение двух матриц.
a21 a22 b21 a21b11 a22b21
x a11 a12 x a1
– запись аффинного преобразования в
y a21 a22 y a2
матричном виде.
Сжатием H lk плоскости к прямой l с коэффициентом k, где k 0,
называется такое отображение плоскости в себя, при котором:
а) любая точка прямой l отображается в себя;
б) любая точка M, не принадлежащая прямой l, отображается в такую точку M , что HM k HM , где H l и HM l. Прямая l называется осью сжатия.
При k 1 получаем тождественное отображение, которое каждую
точку плоскости оставляет на месте.
При k 1 получаем осевую симметрию относительно прямой l .
На рис. 46 построена фигура и ее образ при сжатии с коэффициентом k 0,5.
Сжатие к оси не является движением, если k 1.
Образом прямой при сжатии к оси является прямая линия.
Сжатие к оси сохраняет простое отношение трех точек.
Всякое сжатие к оси обратимо, при этом
1
1
H lk H l1/ k , так как HM HM .
k
237
Рис. 46
Композиция двух сжатий с общей осью есть сжатие с той же осью,
при этом H lk2 H lk1 H kk2 k1 , так как если HM k1 HM , HM k2 HM , то
HM k2 k1 HM.
Множество всех сжатий с одной и той же осью образует группу относительно композиции отображений.
Если ось Ox расположена на прямой l, то формулы преобразования
координат сжатия к оси имеют вид
x x, y ky.
(1)
Пусть заданы две пересекающиеся прямые l и m и число k, где
k
k 0. Косым сжатием Hl ,m плоскости к прямой l в направлении m с
коэффициентом k называется такое отображение плоскости в себя, при
котором (рис. 47):
y
а) любая точка прямой l отображается
M
в себя;
б) любая точка M, не принадлежащая
прямой l, отображается в такую точку M ,
что HM k HM , где H l и HM m.
Прямая l называется осью косого сжатия.
O
l
m
H
Рис. 47
x
1
Косое сжатие Hl ,m с коэффициентом
k 1 называется косой симметрией относительно прямой l в направлении прямой m.
Формулы преобразования координат при косом сжатии в косоугольной системе координат: x x, y kx (рис. 47).
Гомотетией плоскости H Ok с центром О и ко(k 0)
эффициентом k
называется
отображение
плоскости в себя, при котором для любой точки M и ее
образа M выполняется
М
О
Рис. 48
OM kOM
равенство
(рис. 48).
При построении фигур в текстовом редакторе мы часто пользуемся
сжатием или растяжением рисунка в диагональном направлении к одной
из вершин, потянув за противолежащую вершину рисунка.
238
Гомотетия с коэффициентом k 1 является тождественным отображением, т.е. HO1 1. Гомотетия с коэффициентом k 1 является
симметрией относительно точки О, т.е. H O1 SO .
Для любых двух точек M, N плоскости и их образов M , N при гомотетии H Ok выполняется равенство M N k MN .
Всякая гомотетия обратима, при этом
k 1
O
H
H O1/ k , так как
1
OM .
k
Композиция двух гомотетий с общим центром есть гомотетия с тем
H Ok2 H Ok1 H Ok2 k1 ,
т.к.
если
же
центром,
при
этом
OM
OM k1OM , OM k2 OM , то OM k2k1OM.
Множество всех гомотетий с одним и тем же центром образует
группу относительно композиции отображений.
k
Аналитическое задание гомотетии H M 0 с центром M0 (x0 ; y0 ) и ко-
эффициентом k: x x0 k ( x x0 ), y y0 k ( y y0 ), где M ( x; y) – произвольная точка плоскости, а M(x; y) ее образ.
Формулы преобразования координат при гомотетии относительно
начала координат принимают вид: x kx, y ky.
Эти формулы показывают, что гомотетию относительно центра О с
коэффициентом k можно представить в виде композиции двух сжатий с
одним и тем коэффициентом k к двум перпендикулярным осям, проходящим через точку О.
Рис. 49
O
239
Рис. 49 наглядно это подтверждает и подсказывает, что результат
композиции не зависит от порядка выполнения сжатий к осям.
O1
O2
R
O3
Рис. 50
G
B
Теорема 1. Центры гомотетии трех попарно гомотетичных фигур
лежат на одной прямой (рис. 50).
Эта теорема является частным случаем следующей теоремы.
Теорема 2. Произведение двух гомотетий с коэффициентами k1 и k2
является гомотетией с коэффициентом k1k2, если k1k2 1, параллельным
переносом, если k1k2 1, и центральной симметрией, если k1k2 1 .
Преобразованием подобия плоскости с коэффициентом k ( k 0)
называется отображение плоскости в себя, при котором для любых двух
точек M, N плоскости и их образов M , N выполняется равенство
M N k MN .
Всякое движение плоскости является подобием плоскости с коэффициентом равным 1. Гомотетия H Ok является преобразованием подобия
с коэффициентом k .
k
Всякое подобие P
с коэффициентом k обратимо, при этом
( P ) P , так как MN M N / k.
k 1
1/ k
240
двух
Композиция
k2
k1
P P P
k2 k1
,,
т.к.
подобий
если
является
подобием,
при
этом
M N k1 MN , M N k2 M N ,
то
M N k2k1 MN .
Множество всех подобий плоскости образует группу преобразований относительно композиции отображений.
k
Всякое подобие P с коэффициентом k можно представить в виде
композиции гомотетии с тем же коэффициентом и любым центром и некоторого движения, поэтому формулы преобразования координат принимают вид
x k(cos x sin y) x0 ,
y k (sin x cos y) y0 ,
y
где 2 1 .
Используя сжатия к прямой и движения плоскости
можно получить интересные
преобразования.
l2
Композиция двух сжатий с
M(x;y)
коэффициентами k и 1/ k
l1
(k 0) относительно двух взаx
Рис. 51
имно перпендикулярных прямых l1 и l2 называется гиперболическим поворотом (рис. 51).
Если оси координат направлены вдоль прямых l1 , l2 , то формулы
преобразования координат при гиперболическом повороте принимают
x
вид: x , y ky. При гиперболическом повороте семейство гипербол
k
xy c const отображается в себя, так как xy (kx) ( y / k ) xy.
На рис. 52 построены образы прямоугольного треугольника и
окружности при гиперболическом повороте.
Рис. 52
241
Композиция сжатия плоскости к оси Ox с коэффициентом
a / b , поворота вокруг начала
координат на угол u и сжатия к
оси Ox с коэффициентом b / a
называется эллиптическим поворотом вокруг точки O на угол
u (рис. 53).
Аналитическое задание эллиптического поворота:
a
x x cos u y sin u,
b
b
y x sin u y cos u.
a
у
M(x;y)
О
х
Рис. 53
Рис. 54
На рис. 54 представлены образы треугольника при эллиптическом
повороте. При эллиптическом повороте семейство эллипсов
x2 y 2
const отображается в себя.
a 2 b2
Рассмотрим сжатие к оси Ох с коэффициентом k. Пусть произвольная точка M ( x, y) (рис. 55) отображается в точку M(x, y), тогда
x x, y ky.
Применим к точке M(x; y) сжатие к началу координат, тогда точка
M ( x; y) отобразится в точку M ( x; y) , причем x kx, y ky.
Композиция этих отображений определяется формулами
x kx, y k 2 y.
Рассматривая это отображение как одно отображение, принято записывать его в виде
x kx, y k 2 y.
(2)
242
у
Рис. 55
х
О
P
H
Из формул (2) получаем
2
y
y
y
x
или 2 2 const q, т.е. y qx 2 , y q( x) 2.
y
x
x
x
Следовательно, отображение (2) преобразует точки по параболе.
Поясним это другим способом.
Пусть фиксированная точка M0 (x0 ; y0 ), не расположенная на осях
координат, отображается в точку M ( x; y) с помощью отображения (2),
тогда x kx0 , y k 2 y0 .
Изменяя коэффициент k, получим образы
точки M0 (x0 ; y0 ), которые
образуют некоторое множество.
Исключая коэффициРис. 56
y
ент k, получим y 02 x 2.
x0
Это уравнение определяет на плоскости параболу, проходящую через
начало координат и через данную точку M0 ( x0 ; y0 ).
Следовательно, траекториями точки, не расположенной на осях координат, являются параболы.
243
Точки, расположенные на осях координат, преобразованием (2) переводятся в точки, расположенные на осях координат. Траекториями точек являются прямая или луч. Этот случай можно рассматривать как случай вырождения параболы. На рис. 56 представлены параболические траектории точек.
Преобразование (2) называется параболическим поворотом.
у
Рис. 57
х
О
На рис. 57 представлены образы окружности и треугольника при параболическом повороте.
Проанализируем рис. 55. Пусть задана точка M параболы и коэффициент k, тогда определена точка M , а значит и прямая OM .
Точка P получается при сжатии к началу координат точки H, поэтому положение точки P определено, а значит, определена и вертикальная
прямая PM .
Чтобы построить точку M параболы, нужно сжать отрезок MH и
провести прямую OM , затем сжать отрезок OH и провести вертикальную
прямую через точку P.
Пусть заданы прямая l, вектор a ,
параллельный прямой l, и положительное число k. Сдвигом Tl ,ka плоскости
y
M
вдоль прямой l с коэффициентом k на
вектор a называется отображение плоскости в себя, при котором:
а) всякая точка прямой l отображается в себя;
б) всякая точка M, не принадлежащая прямой l, отображается в точку M ,
244
l
H
Рис. 58
x
для которой MM k MH , где H – основание перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую l. Причем для точек одной полуплоскости
MM a, а для точек другой полуплоскости MM a (рис. 58).
Если ось Ox направлена вдоль прямой l , то формулы преобразования координат имеют вид x x ky, y y.
Все предыдущие преобразования координат этого параграфа можно
объединить и записать в виде
x a11x a12 y x0 , y a21 x a22 y y0 ,
(3)
a11
a12
a11a22 a12 a21 0.
a21 a22
Эти преобразования называются аффинными преобразованиями
плоскости.
Все предыдущие преобразования координат этого параграфа были
рассмотрены в прямоугольной декартовой системе координат. Они в основном не сохраняли длину отрезка, величины углов, поэтому саму прямоугольную декартову систему координат могли преобразовать в косоугольную систему координат.
На плоскости рассмотрим две косоугольные системы координат, которые иногда называются аффинными (рис. 59).
где
y
E2
O
E1
x
Рис. 59
Систему координат Oxy будем называть первоначальной, а систему
координат Oxy – новой системой координат.
Рассмотрим отображение плоскости в себя, при котором любой точке M ( x; y)Oxy в первоначальной системе координат соответствует точка
M ( x; y)Oxy с теми же координатами в новой системе координат.
При таком отображении точка O(0;0)Oxy отображается в точку
O(0;0)Oxy, точка E1 (1;0)Oxy отображается в точку E1 (1; 0) O x y , точка
E2 (0;1)Oxy в точку E2 (0;1)O x y .
245
Разложим векторы e1 , e2 базиса новой системы координат через
векторы e1 , e2 первоначальной системы координат
e1 a11 e1 a21 e2 , e2 a12 e1 a22 e2 .
Пусть начало O новой системы координат имеет координаты x0 , y0
в первоначальной системе координат.
Пусть x, y координаты точки M в первоначальной системе координат, тогда
(4)
OM xe1 ye2 ,
OO x0 e1 y0 e2 , OM xe1 ye2 , OM OO OM ,
OM x0 e1 y0 e2 x a11 e1 a21 e2 y a12 e1 a22 e2 ,
OM a11 x a12 y x0 e1 a21 x a22 y y0 e2 .
(5)
Сравнивая равенства (4) и (5), получаем снова формулы аффинного
преобразования:
x a11 x a12 y x0 , y a21 x a22 y y0 .
Эти формулы задают отображение произвольной точки M ( x; y)Oxy в
первоначальной системе координат в точку M ( x; y)Oxy в той же системе
координат.
Формулы преобразования координат x x h, y 2ahx y ah 2
определяют параболический поворот. На рис. 60 построен треугольник и
одна из его средних линий, а также пять образов этой фигуры при параболическом повороте.
y
x
Рис. 60
246
5. Инверсия
Инверсией I MR с центром в данной точке M 0 и радиусом R называ0
ется отображение плоскости в себя, при котором произвольная точка M,
отличная от точки M 0 , отображается в точку M на луче M 0 M такую,
что M 0 M M 0 M R 2.
Если М – точка, расположенная внутри окружности (рис. 61), то через точку М проведем прямую a, перпендикулярную OM. Через точки
пересечения прямой a и окружности проведем касательные до пересечения в точке M I OR (M ).
Если точка M расположена вне окружности (рис. 62), то проведем
из точки М касательные MT1 , MT2 к окружности. Пусть TT
1 2 OM M ,
тогда M I OR (M ).
а
m
Т1
O
m
M
Т1
М
O
Т2
Т2
Рис. 61
Рис. 62
Полярой точки М относительно окружности называется прямая
m, перпендикулярная прямой OM, и проходящая через точку
M IOR (M ). Точка М называется полюсом для прямой m.
Если центр инверсии находится в начале декартовой системы координат и точка M ( x; y) отображается в точку M(x; y) , то
x
R2 x
R2 y
, y 2
.
2
x y
x y2
2
R
Преобразование координат при инверсии I M 0 с центром M0 (x0 ; y0 ):
x x0
R 2 ( x x0 )
R 2 ( y y0 )
,
.
y
y
0
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2
247
Раскрашенная шахматная доска (рис. 63), расположенная вне
окружности инверсии, при инверсии отобразится в раскрашенную область внутри окружности инверсии.
Рис. 63
При инверсии (рис. 64) относительно окружности :
– прямая a , проходящая через центр инверсии, отображается в себя;
– прямая b , не проходящая через центр инверсии, отображается в
окружность b, проходящую через центр инверсии;
– окружность b, проходящая через центр инверсии, отображается в
прямую b, не проходящую через центр инверсии;
– окружность , не проходящая через центр инверсии, отображается в окружность , не проходящую через центр инверсии;
R
При инверсии IM0 для расстояний AB и АВ, где A I MR ( A ),
0
B I MR 0
AB R 2
.
( B ), выполняется равенство AB
M0 A M0B
О
Рис. 64
248
a
b
При инверсии величины углов между двумя линиями (в частности,
между двумя прямыми, между прямой и окружностью, между двумя
окружностями) сохраняются.
Если при инверсии точка А отображается в точку A, то окружность, проходящая через эти точки, отображается на себя.
Если при инверсии точки А и В отображаются соответственно в точAB R2
.
ки A и B, то AB
OA OB
6. Движения пространства
Скользящая симметрия – это композиция симметрии относительно
плоскости и параллельного переноса на вектор, параллельный плоскости
симметрии.
Зеркальный поворот – это композиция поворота пространства Rl
на угол вокруг оси l и симметрии S относительно плоскости ,
перпендикулярной оси l.
Винтовое движение – это композиция поворота Rl на угол вокруг оси l и параллельного переноса Ta на вектор a , параллельный этой
оси.
Композиция двух симметрий относительно параллельных плоскостей есть параллельный перенос на вектор, который перпендикулярен
этим плоскостям и имеет длину, равную удвоенному расстоянию между
ними: S S Ta , где , a 2 ( , ).
Композиция двух симметрий относительно пересекающихся плоскостей есть поворот вокруг прямой пересечения этих плоскостей на
удвоенный угол между ними: S S Rl , где l , 2 ( , ).
Любое движение пространства, сохраняющее ориентацию тетраэдра
(движение первого рода), есть либо параллельный перенос, либо поворот
вокруг оси (в частности, осевая симметрия), либо винтовое движение.
Любое движение пространства, изменяющее ориентацию тетраэдра
(движение второго рода), есть либо скользящая симметрия (в частности,
симметрия относительно плоскости), либо зеркальный поворот (в частности, центральная симметрия).
Всякое движение пространства есть композиция не более четырех
симметрий относительно плоскости.
Движение, при котором все точки некоторой плоскости неподвижны, является симметрией относительно этой плоскости или тождественным отображением.
249
Если движение пространства имеет множеством неподвижных точек
прямую, то оно является поворотом вокруг этой прямой.
Пусть в пространстве даны два равных треугольника АВС и ABC.
Тогда существует единственное движение пространства первого рода и
единственное движение пространства второго рода, которые переводят А
в A, В в B, С в C . Каждое из этих движений получается из другого с
помощью композиции его с симметрией относительно плоскости ABC.
Пусть задана система координат Oi yk и движение переводит точку
M ( x; y; z) в точку M (x; y; z).
Пусть точка O(0;0;0) отображается в точку O( x0 ; y0 ; z0 ), а базисные
векторы
i(1;0;0), j (0;1;0), k (0;0;1)
переводятся движением в векторы
i(a1; b1; c1 ), j(a2 ; b2 ; c2 ), k(a3 ; b3 ; c3 ).
Система линейных уравнений
x a1 x a2 y a3 z x0 ,
y b1 x b2 y b3 z y0 ,
z c1 x c2 y c3 z z0
тогда и только тогда задает формулы преобразования координат, когда ее
коэффициенты при переменных удовлетворяют условиям:
a12 b12 c12 1, a22 b22 c22 1, a32 b32 c32 1,
a1a2 b1b2 c1c2 0, a1a3 b1b3 c1c3 0, a2 a3 b2b3 c2c3 0.
Девять коэффициентов при переменных,
определяющих положение
нового
базиса
i, j, k в старом базисе
i, j, k , связаны шестью
уравнениями.
Естественно допустить, что
коэффициенты при неизвестных
являются
функциями трех независимых параметров.
Это можно осуществить
различными способами
в зависимости от задачи. Наиболее распро-
Рис. 65
250
страненный способ в механике и в астрономии был введен Эйлером.
Пусть плоскости i, j и i , j пересекаются по прямой (рис. 65), на
которой рассмотрим вектор m . Угол между векторами i и m обозначим
через , угол между векторами m и i обозначим через , угол между
векторами k и k обозначим через , тогда
i (cos cos sin sin cos ) i
(sin cos cos sin cos ) j sin sin k ,
j (sin cos sin cos cos ) i
( sin sin cos cos cos ) j cos sin k ,
k sin sin i cos sin j cos k.
k
Гомотетией H M 0 пространства с центром M0 и коэффициентом
k 0 называется преобразование пространства, при котором любая точка М отображается в такую точку M , что M0 M kM0 M.
x x0 k(x x0 ), y y0 k( y y0 ), z z0 k(z z0 ) – преобразование
координат при гомотетии с центром M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) и коэффициентом k.
Свойства гомотетии:
1
H Mk10 H Mk1 0 H Mk1k0 2 , H Mk 0 H Mk 0 H M1 0 E , H Mk 0
1
1
H Mk 0 .
k
Подобием P пространства с коэффициентом k 0 называется преобразование пространства, при котором для любых двух точек А и В и их
образов A и B выполняется равенство AB k AB .
Подобие с коэффициентом k можно разложить в композицию движения и гомотетии с некоторым центром и тем же коэффициентом.
Свойства подобия: P k P k P k k ,
1
2
1 2
P
k
1
1
Pk.
4.3. Математический паркет
1. Общие определения
Математический паркет (мозаика) –
семейство плоских фигур T {T1 , T2 , T3 , ...}
покрывающее плоскость без пробелов и
перекрытий, где Ti – элемент мозаики, являющийся односвязным множеством, гомеоморфным кругу.
251
Рис. 66
Пусть P {P1 , P2 , ..., Pk } – конечное семейство замкнутых попарно
неравных фигур таких, что каждый элемент Ti мозаики Т равен одному
из множеств Рj и все фигуры множества Р используются в мозаике Т, тогда мозаика Т называется k-эдрической. Фигуры Рj называются прототипами мозаики Т. При k 1 мозаика называется моноэдрической (рис.
66).
Т8
Т6
Т4
Т2
Т1
Т3
Т5
Рис. 67
При k = 2 мозаика называется
диэдрической
(рис.
67).
T1 T3 T5 ... , T2 T4 T6 ...
Для построения мозаики использовано два прототипа, поэтому мозаика диэдрическая.
Рис. 68
Моноэдрическая
мозаика
называется правильной, если все элементы
мозаики равны. Существуют три правильных
моноэдрических мозаики (рис. 66, 68, 69).
Любой треугольник (рис. 70) и любой
выпуклый четырехугольник (рис. 71) порождают моноэдрические мозаики плоскости.
Рис. 69
Рис. 70
Рис. 71
252
Т7
Т9
Покажем, что произвольным четырехугольником можно замостить
всю плоскость (рис. 72).
Сумма внутренних углов произвольного четырехугольника АВСD
равна 3600, поэтому этими углами можно замостить окрестность точки.
Для этого достаточно рассмотреть еще три четырехугольника.
D
B1
u
c
v
C1
C
v
d
v
u
A
u
b
B
u
C3
C2
Рис. 72
v
D1
Четырехугольник DB1C1A симметричен четырехугольнику ABCD
относительно середины стороны AD (рис. 72).
Четырехугольник BAC2D1 симметричен ABCD относительно середины стороны АВ.
Четырехугольник С3С2АС1 получается параллельным переносом из
четырехугольника АВСD на вектор СА . Поэтому окрестность точки А
замощена углами данного четырехугольника.
Рассмотрим математическую модель этого паркета.
b AB, d AD,
Введем для четырехугольника параметры:
c DC, u BAD, v ADC. Указанные пять параметров полностью
определяют четырехугольник с точностью до движения на плоскости.
Пусть вершина A расположена в начале координат, а сторона AB на
оси Ox, тогда получаем координаты точек и векторов:
A(0;0), B(b;0), D(d cos u; d sin u), DC(c cos(u v ); c sin(u v )),
DC (c cos(u v); csin(u v)), AC AD DC,
253
AC(d cos u c cos(u v); d sin u c sin(u v)),
C (d cos u c cos(u v); d sin u c sin(u v)).
Если при симметрии относительно точки M0 (x0 ; y0 ) точка M ( x; y)
отображается в точку M(x; y), то x 2x0 x, y 2y0 y. Используя симметрию, найдем координаты всех симметричных вершин и построим фундаментальную область, состоящую из четырех четырехугольников. Далее
область BCDB1C1C3C2 D1 перенесем параллельными переносами на векторы i C2 D j C1 B, где i, j – целые числа.
Элемент мозаики называется мономорфным, если он порождает
единственную мозаику. Правильный шестиугольник является мономорфным элементом, а квадрат
порождает бесконечное множество
различных мозаик (полосы, составленные из квадратов, можно произвольно сдвигать относительно
Рис. 73
друг друга) (рис. 73).
Диэдрические мозаики из
правильных
многоугольников
(рис. 74–78). На рис. 74 и 75
изображена одна и та же мозаика.
Рис. 74
Рис. 76
Рис. 75
Рис. 78
Рис. 77
254
Если плоскость можно заполнить правильными многоугольниками
так, чтобы в каждой точке сходились многоугольники с n1 , n2 , n3 сторонами, где n1 n2 n3 , то выполняется равенство
1 1 1 1
.
n1 n2 n3 2
Триэдрические мозаики из правильных треугольников, шестиугольников и квадратов показаны на рис. 79–81.
Рис. 79
Рис. 80
Рис. 81
Триэдрические мозаики представлены на рис. 82, 83.
Рис. 82
Рис. 83
255
2. Некоторые периодические паркеты
Паркеты, полученные вырезанием треугольника или другого многоугольника из параллелограмма и переносом его к противоположной стороне (рис. 84–87). После замощения полосы можно применять параллельный перенос вдоль стороны полосы, симметрию относительно стороны полосы, центральную симметрию относительно точки на стороне
полосы (рис. 88–98).
Рис. 84
Рис. 85
Рис. 87
Рис. 86
Рис. 89
Рис. 88
Рис. 90
256
Рис. 92
Рис. 91
Рис. 94
Рис. 93
Рис. 95
Рис. 96
257
Рис. 97
Рис. 98
3. Паркеты из пятиугольников и шестиугольников
Далее для каждого типа многоугольников представлены характеристические свойства этого типа, построен паркет, а также несколько паркетов для частных случаев, когда заданные параметры удовлетворяют
дополнительным ограничениям.
1. Паркет из пятиугольников первого типа (рис. 99–101):
B C D 3600.
e
Е
D
d
C
a
c
b
A
Рис. 99
B
Рис. 100
Рис. 101
258
2. Паркет из пятиугольника второго типа (рис. 102–105):
d a, E C 1800 , A B D 3600.
C
d
=
c
D
e
B
b
a
E
A
Рис. 102
Рис. 103
Рис. 104
Рис. 105
3. Паркет из пятиугольника третьего типа (рис. 106–108):
a b, d c e,
A
A C D 1200.
a
b
E
e
B
c
d
С
259
Рис. 106
D
Рис. 107
Рис. 108
4. Паркет из пятиугольников четвертого типа (рис. 109–112):
A С 900 , a b, c d.
e
E
D
d
a
C
c
b
A
Рис. 109
B
Рис. 110
Рис. 111
Рис. 112
260
5. Паркет из пятиугольников пятого типа (рис. 113–116):
A 600, С 1200, a b, c d.
E
D
Рис. 113
d
a
C
c
A
b
B
Рис. 114
Рис. 115
Рис. 116
6. Паркет из пятиугольников шестого типа (рис. 117– 120):
A B D 3600, A 2 C , c d , a b e.
E
e
D
a
d
А
c
b
B
Рис. 117
С
Рис. 118
261
Рис. 119
Рис. 120
7. Паркет из пятиугольников М. Райс (рис. 121–123).
B E 900, 2A D 3600 ,
2 C D 3600, a e , a e d.
Рис. 122
B
b
A
a
c
C
d
E
e
Рис. 121
D
Рис. 123
8. Паркет из пятиугольников Джемса (рис. 124–126):
A 900, C D 2700,
E
2 D E 3600, 2C B 3600,
a b, a c e.
e
D
d
C
c
a
B
b
A
262
Рис. 124
Рис. 125
Рис. 126
9. Паркет из шестиугольника первого типа (рис. 127–129):
OA DC , OA DC.
D
C
E
A
О
Рис. 128
B
Рис. 127
Рис. 129
10. Паркет из шестиугольника третьего типа (рис. 130–133):
В D F 1200 , a b, c d , e f .
E
f
e
F
D
a
d
A
C
c
b
Рис. 130
B
Рис. 131
263
Рис. 133
Рис. 132
Математическое и компьютерное моделирование для рассмотренных выше математических паркетов рассмотрено в пособиях [19, 20].
Другие типы паркетов рассмотрены в пособии [5].
4.4. Математический бильярд
1. Математический бильярд в прямоугольнике
Задачи о моделировании движения бильярдного шара рассматриваются в математике, физике и информатике. Пусть бильярдный стол представляет некоторую область . В качестве может быть прямоугольник,
тогда имеем прямоугольный бильярд, может быть треугольник, круг, эллипс, выпуклая или произвольная фигура. Будем пренебрегать трением при
движении шара, и пусть направление шара меняется только при ударе о
борт бильярда по закону абсолютно упругого отображения после удара шара в точке Р, т.е. шар движется так, что его угол падения равен углу отражения (рис. 134). Если борт бильярда, т.е. граница Г области в окрестности
точки Р, является криволинейным, то углы, образованные и отраженные
отрезками траектории, определяются с касательной в точке к линии Г (рис.
135). Граница может иметь угловые точки. Касательная в такой точке не
определена, поэтому можно считать, что траектория бильярда, попавшего в
такую точку, заканчивается в ней (рис. 136).
Рис. 134
Рис. 135
Рис. 136
Другая точка зрения для прямоугольного бильярда в угловой точке
представлена на рис. 137.
264
Если луч проходит через вершину прямоугольника, то двукратное применение осевых симметрий отноМ2
М1
сительно перпендикулярных сторон является симметрией относительно точки пересечения прямых,
т.е. относительно вершины угла
М3
В
М1 М2 М3 . Луч в этом случае отразится от вершины и верК
нется назад.
М
На рис. 138 изображены биА
льярдные траектории с начальной
точкой в центре прямоугольника.
Рис. 137
В первых двух прямоугольниках
траектории оказались периодическими.
Рис. 138
Траектория математического бильярда в прямоугольнике с препятствиями (препятствия – прямоугольник, окружность, отрезок) (рис. 139–
142).
Рис. 140
Рис. 139
265
Рис. 142
Рис. 141
Принцип работы уголкового отражателя состоит в том, что он «возвращает назад» падающий луч света [2, c. 74, 75], т.е. отраженный луч и
падающий луч расположены на параллельных прямых и являются противоположно направленными лучами (рис. 143).
Бильярдная траектория после отражений внутри угла иногда может:
а) выйти из угла в направлении, параллельном стороне угла (рис.
144);
б) пройти через начальную точку (рис. 145):
М0
М1
М2
Рис. 144
Рис. 143
266
М3
N
М0
М2
М1
Рис. 145
К
2. Математический бильярд в круге и эллипсе
10. Если луч света прошел через один из фокусов и отразился от эллипса, то он обязательно пройдет через другой фокус.
20. Луч света, прошедший через фокус эллипса, асимптотически
стремится к большой оси эллипса, т.е. после некоторого числа отражений
будет проходить в сколь угодно малой полосе (рис. 146), содержащей
большую ось эллипса. Траектория луча асимптотически приближается к
большой оси.
M1
M3
M2
M0
Рис. 146
267
Траектория бильярдного луча внутри окружности показана на рис.
147.
Отрезок с концевыми
точками в фокусах данного эллипса будем называть
отрезком фокусов. Два
эллипса или эллипс и гипербола, имеющие одни и
те же фокусы, называются
софокусными.
Если бильярдная траектория не пересекает отрезка фокусов (рис. 148,
149) и не проходит через
фокусы, то бильярдная
траектория касается софокусного эллипса.
Рис. 147
Рис. 148
Рис. 149
Если бильярдная траектория пересекает отрезок фокусов во внутренней точке (рис. 150, 151), то траектория касается софокусной гиперболы.
Рис. 151
Рис. 150
268
3. Периодические траектории в треугольнике
В некоторых треугольниках существуют периодические траектории.
Например, на рис. 152 представлен равнобедренный треугольник с
начальной точкой траектории на оси симметрии треугольника.
Рис. 152
В остроугольном треугольнике всегда существуют периодические
траектории (рис. 153–155).
Рис. 153
Рис. 154
Рис. 155
Треугольник, образованный основаниями высот H, M,
B
N данного остроугольного
треугольника АВС называется ортоцентрическим треN
угольником (рис. 156).
Стороны ортоцентричеM
ского треугольника образуют
равные углы в каждой точке,
являющейся основанием высоты, поэтому бильярдная
траектория, прошедшая по
H
C
A
Рис. 156
одной стороне ортоцентрического треугольника, будет
двигаться дальше по сторонам этого треугольника, т.е. траектория в этом
случае является периодической.
Рассмотрим определение координат направляющего вектора бильярдного луча, когда сторона АС треугольника параллельна оси Oх. Для
269
вычисления координат вектора можно считать, что вершина А находится
в начале координат. Пусть АС = b, AH = d, BH = h, тогда
bd
AM AH
сos A
.
AM
AC
AB
d 2 h2
Координаты точки М равны
BH
bdh
AH
bd 2
.
, yM AM sin A AM
xM AM cos A AM
2
AB d 2 h 2
AB d h 2
Используя координаты точки H (d ;0), найдем координаты вектора
bd 2
bdh
d; 2
для периодической траектории: HM 2
.
2
d h2
d h
На рис. 157–159 построены периодические траектории для одного и
того же треугольника с одним и тем же направляющим вектором, но с
различными начальными точками. В зависимости от положения начальной точки меняется структура периодической траектории.
Рис. 157
Рис. 159
Рис. 158
Для остроугольного треугольника с углом меньше / 2k , где k –
натуральное число, существует периодическая траектория, состоящая из
2k 1 звеньев. Для k 2 рассмотрим остроугольный треугольник АВС, с
элементами AB c, AC b, CAB u, где u / 4 (рис. 160).
Пусть ACB1 – треугольник, симметричный к треугольнику АСВ относительно прямой АС. Обозначим через C0 точку пересечения прямых
AB1 . Треугольник ABС0
BAС0 2u / 2, ABC / 2.
ВС
и
–
остроугольный,
так
как
В остроугольном треугольнике существует трехзвенная периодическая траектория HC 0 H A HB0 , проходящая через основания высот треугольника ABС0 . Высота AHA в треугольнике ABС0 является высотой
данного треугольника ABC, поэтому H A [BC]. Точки H A и H B0 лежат
по разные стороны относительно прямой AC, поэтому отрезок H A HB0 пересекает сторону AC в точке K. Аналогично HC 0 HB0 AC N. Отразив
270
часть трехзвенной траектории KHB0 N относительно прямой AC, получим пятизвенную траекторию HС 0 H A KHB 0 NHС 0 .
С0
B1
R
С
b
HA
K
HB0
y
N
с
A=О
HC0
Рис. 160
х
B
Пусть в некоторой прямоугольной декартовой системе координат
заданы координаты вершин треугольника: A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ), C( x3 ; y3 ).
Движение точки по прямой на экране компьютера можно осуществлять, используя параметрические уравнения прямой x x0 mt ;
y y0 nt, где p{m; n} – направляющий вектор прямой, M0 (x0 ; y0 ) –
начальная точка траектории.
271
Найдем правило изменения координат направляющего вектора
p{m; n} при отражении бильярдной траектории от сторон данного треугольника.
Обозначим
e1 x2 x1 , e2 x3 x2 , e3 x1 x3 ,
f1 y2 y1 , f2 y3 y2 , f3 y1 y3.
Уравнения сторон li треугольника АВС примут вид
li: fi ( x xi ) ei ( y yi ) 0, i 1,2,3.
Рассмотрим отражение направляющего вектора от прямой li (рис.
161).
Пусть ki – угловой коэффици-
li
ki
ент прямой li , k – угловой коэффи-
k
Рис. 161
циент падающего луча, k – угловой
коэффициент отраженного луча.
Из равенства величин ориентированных углов в точке падения получаем
k ki
k k
2 k k kki2
i
или k i
.
1 kki 1 ki k
1 2 ki k ki2
fi
n
n
f 2 n ei2 n 2 f i ei m
, k , k , тогда k 2i
.
ei
m
m
ei m f i 2 m 2 f i ei n
В качестве направляющего вектора отраженного луча рассмотрим
вектор
p (ei2 fi 2 )m 2ei fi n; ( fi 2 ei2 )n 2ei fi m .
(1)
Пусть ki
Найдем точку пересечения бильярдной траектории со стороной треугольника.
Параметрические уравнения бильярдной траектории:
X x mt , Y y nt , где x , y – координаты последней вычисленной точки траектории.
Параметрические уравнения стороны треугольника:
X xi ei v, Y yi fi v.
Для координат точки пересечения получаем систему
mt ei v xi x,
x mt xi ei v,
или
y nt yi fi v
nt fi v yi y.
272
ei ( yi y ) f i ( xi x )
.
(2)
ei n f i m
Подставляя значение параметра u , вычисленное по формуле (2),
получим точку на границе треугольника. Используя эту точку как
начальную и направление траектории (1), получим точку отраженного
луча.
Пусть текущая точка M (x; y) траектории и начальная точка
t
M0 (x0; y0 ) траектории оказались по разные стороны относительно стороны li: fi (x xi ) ei ( y yi ) 0 треугольника, тогда выполняется неравенство
[ fi ( x xi ) ei ( y yi )][ fi ( x0 xi ) ei ( y0 yi )] 0.
Обозначим
si fi ( x xi ) ei ( y yi ) , si0 fi (x0 xi ) ei ( y0 yi ).
Для проверки того, не вышла ли траектория за пределы данного треугольника, необходимо проверить условия s1s10 0, s2 s20 0, s3 s30 0.
Для упрощения вычислений рассмотрим систему координат, начало
которой совпадает с вершиной А, а ось абсцисс направлена по лучу AB
данного треугольника (рис. 160).
Обозначим длину отрезка AС0 через R, тогда в выбранной системе
координат получаем AС0 (R cos2u; R sin 2u), AB(c;0), BС0 AC0 AB,
BС0 (R cos2u c; R sin 2u),
AC(b cos u; b sin u), BC AC AB, BC(b cos u c; b sin u).
Из коллинеарности векторов BС0 и BC следует пропорциональность их координат
R cos 2u c R sin 2u
.
b cos u c
b sin u
cb
.
Следовательно, R
2c cos u b
Для вершин треугольников получаем координаты
A(0;0), B(c;0), C(b cos u; b sin u), С0 (R cos 2u; R sin 2u).
Найдем координаты направляющего вектора периодической траектории.
Из прямоугольного треугольника ABHB0 следует
AH B0 c cos 2u, поэтому AHB0 c cos2 2u; c cos2u sin2u .
273
Из прямоугольного треугольника AC0 HC0 следует
AHC0 R cos 2u, поэтому AHC 0 R cos 2u;0.
HC0 HB0 AHB0 AHC0 ,
HC 0 H B0 c cos2 2u R cos 2u; c cos 2u sin 2u.
В качестве направляющего вектора траектории можно взять вектор
pc cos2u R; c sin2u, коллинеарный вектору HC0 HB0. В качестве начальной точки траектории можно выбрать точку HC 0 ( R cos 2u;0).
На рис. 162–165 изображены траектории из 2k 1звеньев в одном и
том же треугольнике при различных значениях k.
Рис. 162
k=3
Рис. 163
k=4
Рис. 164
k=5
4. Периодические траектории математического бильярда в параллелограмме
Четырехзвенная периодическая траектория M0 M1M2 M3 (рис. 165).
Пусть OM0 l. Чтобы определить направление вектора M0 M1, распрямим
траекторию M0 M1M2 M3 , для этого рассмотрим параллелограммы OA1B1C,
AOC
1 1 1B1 , C1O2 A2 B1 , полученные применением осевых симметрий.
274
A2
O2
B1
C1
M3
B
C
A1
O1
M2
M1
Рис. 165
y
А
O
M0
A
x
А
Для системы координат, введенной согласно рис. 165, получаем:
M 0O(l;0), OC b cos ; b sin , CB1 a cos 2 ; a sin 2 ,
B1 A2 b cos ; b sin , A2 M 0 (a l ); 0,
M 0 M 0 M 0 O OC CB1 B1 A2 A2 M 0 ,
M 0 M 0 a cos 2 a ; 2 b sin a sin 2 .
Итак, доказано, что если структура периодической линии представлена на рис. 165, то вектор M 0 M 0 указывает направление периодической
траектории. Вектор периодической траектории зависит только от параметров a, b, параллелограмма.
В качестве направляющего вектора периодической траектории можно выбрать коллинеарный вектор с более простыми координатами
(3)
p { a sin ; b a cos }.
275
На рис. 166 для острого угла параллелограмма 300 траектория с
направляющим вектором, вычисленным по формуле (3), осуществляет
отражение от сторон OC, OA, AB, BC и т.д. Получена периодическая траектория, которая оказалась симметричной относительно центра параллелограмма. Траектория отражается от каждой стороны по 3 раза.
B
C
M1
Рис. 166
O
M2
M0
A
C
M3
M2
B
M3
M1
O
Рис. 167
276
M0
A
На рис. 167 для тупого угла параллелограмма 1050 траектория с
направляющим вектором, вычисленным по формуле (3), осуществляет
отражение от сторон OC, СB, OA, AB и т.д. Получена также периодическая траектория, которая оказалась симметричной относительно диагонали. Траектория отражается от каждой стороны по 2 раза.
Изменение порядка отражения происходит, когда спрямленная траектория, т.е. отрезок M 0 M 0 проходит через одну из вершин параллелограммов, построенных с помощью осевых симметрий.
Условия на координаты направляющего вектора и начальной точки
траектории представлены в пособии [19, с. 142–156].
5. Периодические траектории математического бильярда в кубе
На рис. 168 представлена шестизвенная периодическая траектория в
a a
кубе с начальной точкой M 0 a; ; и вектором p{1;1; 1}.
2 4
О1
z
С1
M4
M3
L
M5
A1
y
O
M2
K
M0
M1
x
A
B
Рис. 168
277
C
Траектория проходит через точки:
a
3a 3a
a a
a
a 3a
a 3a
M1 ; ;0 , M 2 ; a; , M 3 0; ; , M 4 ; ; a , M 5 ;0; .
4
2 4
2 4
2
4 4
4 4
На рис. 169 изображена шестизвенная периодическая траектория
KLMNPR в кубе, звенья которой не расположены в одной плоскости.
Для вершин ломаной имеем координаты:
a 2a 2a a
2a 2a
K ; ;0 , L ; a; , M a; ; ,
3
3 3
3 3 3
a 2a
a a
2a a
N ; ; a , P ; 0; , R 0; ; .
3
3 3
3 3
3
O1
N
A1
C1
B1
P
M
R
L
O
C
K
A
B
Рис. 169
Проекциями траектории бильярда на каждую грань куба являются
равные прямоугольники, у которых одна сторона вдвое больше другой.
На рис. 170 представлена восьмизвенная периодическая траектория,
проходящая через точки
3a 3a
a a
a 3a
a a
M 0 a; ; , M1 ; ;0 , M 2 ; a; , M 3 ; ; a ,
2
2
4
4
2
2
4 4
a a
a a
3a a
a a
M 4 0; ; , M 5 ; ;0 , M 6 ;0; , M 7 ; ; a .
4 4
2 2
4 4
2 2
278
z
M3
M7
M4
M6
M2
M0
y
O
C
M5
M1
x
B
A
На рис. 171 периодическая траектория из 16 звеньев
дважды
проходит
через точки M2, M4,
M6 но под разными
углами и период
заканчивается
в
начальной точке M0.
Траектория
начинается из точки
a
M 0 a; ;0 с векто 2
ром p{4; 4;1}.
Рис. 170
M6=M10
M7
M9
M8
M11
M2=M14
M5
M3
M13
C
M4=M12
M15
M1
A
Рис. 171
279
M0
B
Другие периодические траектории в кубе представлены в пособии
[19, с. 122–141].
4.5. Геометрические модели
1. Деление квадратного листа бумаги на 3 части
Отметим сереM
M
D
D
дину M отрезка DС.
C
Перегнем
квадрат
таким образом по
прямой (рис. 172),
чтобы точка В переN
шла в точку М. ОтA1
резок АВ примет положение А1М. Пусть
A
A
B
Рис. 173
Рис. 172
N AD A1M , тогда
точка N делит отрезок AD в отношении
M
D
1:2 (рис. 173). Далее строим прямую через точку N параллельно стороне АВ методом сгибания квадратного листа.
Доказательство (рис. 174).
F
1
CBM BKQ QKM , tg ,
N
2
4
2tg
R
tg 2
, BKN NMD 2,
1 tg 2 3
K
A
Рис. 174
2
ND DM tg 2 , ND , AN : ND 1 : 2.
3
2. Деление квадратного листа бумаги на 5 частей
Отметим середину M отрезка ВС (рис. 175).
D
C
C
D
B1
B
M
A
Рис. 175
M
A
B
280
Рис. 176
B
C
B
C
Q
B
При перегибании квадрата по прямой AM точка В перейдет в точку
В1, проекция которой на отрезок DC разделит этот отрезок в отношении
3:2, а проекция на отрезок ВС разделит этот отрезок в отношении 4:1
(рис. 176).
Доказательство. Из треугольника ABM (рис. 177) получаем
5
2
1
AM
, cos
,
, sin
D
C
2
5
5
1 2
1
B1
BH BM cos
,
2 5
5
2
1 2
M
H
,
NH BH cos
5 5 5
1
1 1
.
NB BH sin
5 5 5
Точка H является серединой отрезA
R
N
B
Рис. 177
3 4
ка ВВ1, поэтому B1 ; .
5 5
3. Деление квадратного листа бумаги на 7 частей
Пусть точка M делит отрезок DС в отношении 3:2 (рис. 178). Перегнем квадрат так,
чтобы точка В перешла в точку М, тогда RQ –
линия сгиба, а точка А перейдет в точку А1
(рис. 179). Если AD A1M N , то точка N
делит отрезок AD в отношении 3:4.
Доказательство (рис. 180).
M
R
A
D
B
Рис. 178
M
C
C
Q
Q
N
N
A
A1
R
A
C
Q
CBM QKM, tg 2 5, tg 2 20 21,
BKN 2 , ND DM tg2,
ND 4 7, AN : ND 3: 4.
D
M
D
R
Рис. 179
K
B
281
A
Рис. 180
B
4. Деление отрезка на 3 равные части
Первый способ. Идея способа деления отрезка АВ на 3 равные части
основана на использовании подобных треугольников (рис. 181).
Пусть АВС и АОВ – равнобедренные прямоугольные треугольники,
BK BC
2, BK 2 KH , A K 2 K B .
KH HO
тогда BC 2 HO,
Конструктивные построения на листе бумаги.
Перегибая лист бумаги, проводим прямые, перпендикулярные отрезку АВ (рис. 182).
С
C
Рис. 181
B
A
B
A
H
A
K
O
B
Рис. 182
Рис. 183
Перегибая верхнюю часть полосы, получаем точку С (рис. 183).
Аналогично дважды перегибая нижнюю часть полосы, получим точку О.
Затем необходимо выполнить изгибание по отрезку ОС.
Второй способ. Идея способа деления отM
A
B
резка АВ на 3 равные части основана на использовании подобных треугольников и слеK
дует из рис. 184.
На отрезке АВ перегибанием листа строO
им квадрат ABCD .
Находим середину диагонали АС, т.е.
точку О.
Строим середину K отрезка АО.
C
D
Рис. 184
Перегибаем квадрат по прямой DK, тогда
точка пересечения прямых DK и АВ, т.е. точка
M, делит отрезок АВ в отношении 1:2.
Действительно,
AM AK 1 AM 1
,
.
DC KC 3 MB 2
282
5. Деление отрезка на 5 равных частей
Перегибанием листа строим
квадрат ACBD, для которого отрезок
АВ является диагональю (рис. 185).
Разделив сторону AD на четыре части, отмечаем точку K.
Перегибаем квадрат по прямой
CK, тогда точка пересечения прямых
CK и АВ, т.е. точка M делит отрезок
АВ в отношении 1:5.
Действительно,
AM AK 1
1
, AM AB.
MB CB 4
5
D
K
M
A
B
Рис. 185
C
6. Деление отрезка в золотом отношении
Пример. Разделить сторону квадрата в золотом отношении.
D
L
C
D
L Х
C
ПостроK
K
ения.
После
E
F
F
E
каждого перегибания листа
будем
лист
B
A
возвращать в
B
A
Рис. 186
Рис. 187
исходное положение.
1. Складывая квадрат ABCD пополам, отметим среднюю линию
квадрата EF (рис. 186).
2. Перегнем лист бумаги по линии ЕС.
3. Перегнем лист бумаги так, чтобы точка D оказалась на отрезке
ЕС и отметим точку K , удовлетворяющую условию EK ED .
4. Наложим отрезок СD на прямую СЕ и отметим точку Х, удовлетворяющую условию C X CK (рис. 187).
Точка Х делит отрезок CD в золотом отношении.
a
5
Доказательство. Пусть CD a , тогда DE EK, EC
a,
2
2
CD
5 1 CD
CX
5 1
,
.
a CX ,
CK CE EK
CX
2
CX
XD
2
283
7. Построение правильного треугольника
Из прямоугольника построить правильный треугольник можно следующим образом.
Строим ось симметрии s прямоугольника (рис. 188), совмещая параллельные края полосы и разворачивая половины полосы (рис. 189).
s
s
А
M
В
Рис. 188
А
M
Рис. 189
В
А Рис. 190
В
Согнем прямоугольник так, чтобы точка В оказалась в точке М на
оси s (рис. 189). Согнем прямоугольник по прямой АМ, чтобы зафиксировать эту линию (рис. 190).
В завершении прямоугольник согнем по линии ВМ, чтобы получить
равносторонний треугольник АВМ.
8. Построение правильного шестиугольника
Повторяем этапы построения правильного треугольника АВМ и
пусть ABCD – прямоугольник, описанный около треугольника АВМ (рис.
191). Строим перегибанием оси симметрии s, l прямоугольника.
M
D
M
D
C
C
l
s
A
Рис. 191
m
B
A
n
Рис. 192
B
Строим перегибанием прямые m и n, которые пройдут через середины сторон АМ и ВМ (рис. 192).
По пунктирным линиям перегнем треугольники (рис. 193).
Получим правильный шестиугольник (рис. 194).
В [16, c. 305] приведен другой способ построения шестиугольника:
совмещением вершин правильного треугольника с центром этого треугольника.
284
M
D
C
M
K
F
L
A
E
B
Рис. 193
A
Рис. 194
B
9. Шестиугольник из полоски бумаги
B
A1
C
A3
C2
B2
b
D
A
t
B1
C1
B3
A2
a C3
Рис. 195
Пусть полоса имеет параллельные края а и b и ровный торец АВ,
перпендикулярный прямой а (рис. 195). Проведем серединный перпендикуляр к отрезку АВ, сгибая и разгибая полосу пополам. Перегнем полосу
по линии АС так, чтобы точка В оказалась на серединном перпендикуляре
t. Треугольник ABD – равносторонний и BAC 30 0.
Перегибая полосу по перпендикуляру к краю а, проходящему через
точку С, получим равносторонC
A1
C3
ний треугольник ACB1 . Действуя аналогично далее, получим
точки
на
краях
полосы:
A1 , C1 , B2 , A2 , C2 , B3 , A3 , C3 .
Отрежем полоску по линиям AC, A3C3 и получим трапецию
AC3 A3C . Сложим трапецию согласно рис. 196 и получим правильный шестиугольник.
B1
A
A3
C2
285
C1
B3
Рис. 196
A2
10. Куб из 3 полос
Подготовим
три
полосы разных цветов
1
2
3
4
5
(белую, черную и синюю), на которых отмеРис. 197
чены по 5 равных квадратов. Укажем на каждой полосе нумерацию
квадратов в порядке их расположения (рис. 197).
Сложим из белой полосы цилиндрическую
поверхность так, чтобы первый и пятый квадраты
1
наложились (рис. 198), получились сверху и снизу
5
две дырки в поверхности.
4
Первый и пятый квадрат белой полосы нужРис. 198
но прижать следующей полосой. Обернем полученную поверхность черной полосой так, чтобы
дыры белой полосы были закрыты (рис. 199).
Первый и пятый квадрат черной полосы
нужно тоже прижать следующей полосой. Си5
нюю полосу пропустим в щель между белой и
1
черной полосами так, чтобы третий квадрат
синей полосы оказался закрытым. Концевые
2
квадраты синей полосы также направим в ще4
ли.
Проверьте, все ли цвета на поверхности
4
образовавшегося куба представлены поровну?
Рис. 199
11. Тетраэдр из 2 полос
Согните и разогните две
полосы бумаги разной окраски по линиям так, чтобы обраРис. 200
зовались правильные треугольники (рис. 200).
Наложим одну полосу на другую, чтобы совместились два треугольника (рис.
201). Из светлой полосы сложим тетраэдр, а
закрашенной полосой обернем две грани
получившегося тетраэдра и последний треугольник вставим в образовавшуюся щель
Рис. 201
между светлыми треугольниками. Все цвета
на поверхности тетраэдра представлены
поровну.
286
12. Октаэдр из 4 полос
Подготовим 4 полосы разных цветов с разбиениями на треугольники. Согните и разогните полосы бумаги по линиям так, чтобы образовались правильные треугольники (рис. 202).
Начнем плетение двух полос.
6
2
4
Работа с другой парой потом будет проводиться аналогично.
7
5
3
1
Наложим одну полосу на
другую, чтобы совместились два
6
2
4
треугольника 1 и 10, скрепим их с
помощью обычной канцелярской
3
7
5
1
скрепки (рис. 203).
Рис. 202
70
7
60
6
5
50
4
40
30
3
2 20
Рис. 203
1
Рис. 204
1, 10
1
Совмещая треугольники 4 и 40, 7 и 70, получим фигуру, похожую на разрезанный октаэдр, когда его половинки откинуты в стороны
как крышки (рис. 204).
Вставляя одну заготовку во вторую (рис.
205) и поворачивая крышки, получим модель
октаэдра.
Как следует накладывать одну полосу на
другую, чтобы получить различные сочетания
цветов на гранях?
1
Рис. 205
13. Быстрая модель правильного додекаэдра
Построим на картоне модель правильного пятиугольника A B C D E.
Проведем диагонали пятиугольника AC, BD, CE, DA, EB (рис. 206).
287
При пересечении диагоналей получим правильный пятиугольник
Построим
прямые,
содержащие
D
диагонали пятиугольника FKLMN со сторонами первоначального
пятиугольника.
Вырежем вначале
L
E
C
пятиугольник A B C D E ,
M
а затем пять маленьких
K
треугольников
(рис.
207).
N
Получим правильF
ный
пятиугольник
F K L M N , на сторонах
которого
построены
пять равных пятиугольA
B
Рис. 206
ников. По сторонам пятиугольника
FK LM N
сделаем небольшие надрезы на картоне, чтобы развертка легко сгибалась
по этим отрезкам.
FKLM N.
D
E
M
C
L
N
K
F
A
Рис. 207
Рис. 208
B
Изготовим вторую такую же развертку. Наложим вторую развертку
на первую так, чтобы их центры совпали, а выступы одной развертки
оказались напротив вырезов другой развертки (рис. 208).
Придерживая обе развертки, скрепим их круговой резинкой, пропуская ее попеременно то над выступающим концом одной развертки, то
288
под выступающим концом другой. Отпустив руку, мы увидим, как резинка стягивает обе развертки и возникает модель додекаэдра.
14. Октаэдр из кругов с прорезью
Используя циркуль, построим окружность, разделим ее на 6 равных
частей. Соединяя точки через одну, получим правильный треугольник
АВС. Разделим стороны треугольника
В
пополам точками А1, В1, С1 (рис. 209).
Вырежем окружность. Ножницами сделаем прорези по отрезкам АВ1, СА1, ВС1.
На не прорезанных отрезках СВ1, АС1,
А
С
ВА1 сделаем по лицевой стороне неглубокие надрезы, чтобы по этим отрезкам
модель легко сгибалась.
Изготовим семь копий этой загоС
В
А
товки. Для быстрого изготовления таких
заготовок можно с помощью иголки пеРис. 209
реколоть центр окружности, вершины
треугольника и середины его сторон на
стопку чистых листов, а затем провести
окружность и соединить вершины по
линейке.
Вставим одну заготовку в прорезь
другой заготовки, чтобы лишние части
окружности оказались внутри модели
(рис. 210). Самое сложное действие –
закрепить последнюю грань. Октаэдр
готов.
По аналогичному принципу можно
Рис. 210
построить правильный додекаэдр, изготовив двенадцать заготовок, состоящих
из окружности, правильного вписанного
пятиугольника и прорезей вдоль каждой
из сторон на величину, равную половине
стороны.
15. Модель тетраэдра без клея
Перегните модель (рис. 211) вдоль
всех ребер в одну сторону и сложите
тетраэдр. Последний треугольник введите в щель, образованную другими треугольниками.
289
Рис. 211
16. Вращающее кольцо тетраэдров
На листе плотного картона разметим фигуру,
состоящую из 40 правильных треугольников и
клапанов для соединения (рис. 212).
Вырежем фигуру и сделаем сгибы по внутренним линиям – по штриховым линиям вниз, а по
пунктир-точка линиям вверх. Приклеим клапаны в
соответствии с обозначениями. Получим кольцо из
десяти тетраэдров, причем внутри можно наблюдать отверстие в виде звезды. Это кольцо тетраэдров может выворачиваться как кольцо дыма, когда
оно поднимается вверх.
Изготовьте аналогично кольца из n тетраэдров, где n 6,8, 22. Обращаем внимание на то, что
вращающееся кольцо тетраэдров не является многогранником, так как любые две внутренние точки
из различных тетраэдров нельзя соединить ломаной, целиком состоящей из внутренних точек.
k
n
j
m
a
a
b
c
b
c
d
e
d
e
f
g
f
g
h
i
h
k
i
n
m
j
Рис. 212
Оклейка куба полосой.
290
Глава 5.
МНОГОГРАННИКИ И НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ
5.1. Выпуклые фигуры
1. Определения и свойства
Фигура называется выпуклой, если вместе с каждыми двумя точками А и
В она содержит весь отрезок АВ.
Точка называется нульмерной выпуклой фигурой.
Пересечение выпуклых фигур является выпуклой фигурой.
Всякая ограниченная выпуклая фигура, отличная от точки и расположенная на прямой, является отрезком, а неограниченная – лучом или всей прямой.
Прямая, луч, отрезок – одномерные выпуклые фигуры.
Если выпуклая фигура расположена в некоторой плоскости, но не содержится ни в одной прямой, то она называется двумерной или плоской.
Выпуклая фигура в пространстве, не содержащаяся ни в какой плоскости,
называется трехмерной или телом.
Теорема Хелли. Если на плоскости существует конечное число выпуклых
фигур, каждые три из которых имеют общую точку, то существует точка, принадлежащая всем этим фигурам.
Линейная функция f (M ) ax by, рассматриваемая на выпуклом многоугольнике Q (рис. 1), достигает своего наибольшего (наименьшего) значения
либо в одной вершине многоугольника, либо на некоторой его стороне. В любом случае существует хотя бы одна вершина, в которой достигается это
наибольшее (наименьшее) значение.
f ( M ) ax by cz,
Функция
рассматриваемая на выпуклом многоy
граннике
Q,
достигает
своего
наибольшего (наименьшего) значения
либо в одной вершине многогранника,
либо на некоторой его стороне, либо на
некоторой его грани. В любом случае
существует хотя бы одна вершина, в
F
которой достигается это наибольшее
O
(наименьшее) значение.
Рис. 1
x
2. Геометрические характеристики выпуклой фигуры
Точка А называется внутренней для плоской фигуры F, если существует
открытый круг с центром в точке А, принадлежащий фигуре F (рис. 2).
291
Точка В называется внешней для плоской фигуры F, если существует открытый круг с центром в точке В, принадлежащий дополнению F.
Точка С называется граничной
для плоской фигуры F, если любой
открытый круг с центром в точке С
содержит как точки фигуры F, так и
С
А
В
точки, не принадлежащие фигуре F.
Если А – внутренняя точка, а В –
Рис. 2
граничная точка плоской фигуры F,
F
то все точки отрезка АВ, кроме точки
В, являются внутренними точками фигуры F.
F
Выпуклой оболочкой фигуры F называется
пересечение всех выпуклых фигур, содержащих F.
Выпуклая оболочка фигуры F обозначается CoF .
Для фигуры F на рис. 3 выпуклой оболочкой являРис. 3
ется треугольник.
Выпуклым конусом с вершиной О называется выпуклая фигура, которая
вместе с каждой своей точкой М, отличной от О, содержит луч ОМ.
X
Предельным конусом выпуклой фигуры F с вершиной в точке Х ( X F )
называется множество всех точек на лучах, которые исходят из точки Х и целиком лежат в F (рис. 4). Обозначение предельного конуса А(F, X).
Предельный конус А(F, X) является
F
A(F, X)
выпуклым множеством.
Если Х и Y – две точки замкнутой
Рис. 4
выпуклой фигуры F, то предельный конус А(F, Y) может быть получен из предельного конуса А(F, Х) параллельным переносом на вектор
F
XY .
Прямая (плоскость) называется опорной к
плоской (пространственной) фигуре F, если она содержит хотя бы одну граничную точку фигуры F, но
Рис. 5
не содержит ни одну ее внутреннюю точку (рис. 5).
Каждая точка, не принадлежащая замкнутой выпуклой фигуре F на плоскости (в пространстве), отделяется от нее некоторой опорной прямой (плоскостью) к F.
Через каждую точку границы замкнутой выпуклой плоской (пространственной) фигуры проходит, по крайней мере, одна опорная прямая (плоскость).
292
Всякая замкнутая выпуклая плоская (пространственная) фигура F есть
пересечение всех полуплоскостей (полупространств), ограниченных опорными
прямыми (плоскостями) к фигуре F и содержащих F.
Граничная точка плоской фигуры F называется обыкновенной, если через
нее проходит единственная опорная прямая фигуры F. В противном случае
точка называется особой.
l
Диаметром выпуклой фигуры называетl1
ся наибольшее из расстояний между любыми
ее точками.
h
Если F – произвольная плоская фигура и
l – некоторая прямая, то существуют ровно
l2
две опорные прямые фигуры F, параллельные
Рис. 6
прямой l (рис. 6). Расстояние между опорными прямыми выпуклой фигуры, параллельными некоторой прямой l, называется шириной фигуры F в направлении, перпендикулярном прямой l (рис. 6).
Описанной окружностью выпуклой фигуры называется наименьшая из всех окружностей, содержащая фигуру внутри себя
(рис. 7). Описанная окружность выпуклой
F
фигуры существует и единственная.
Наибольшая окружность, содержащаяся
в выпуклой фигуре, называется вписанной
окружностью этой фигуры. Для любой выпуклой фигуры существует вписанная
окружность (но она может быть не единРис. 7
ственная) (рис. 8).
Фигура, для которой ширина в любом направлении имеет одно и то же
значение, называется фигурой постоянной ширины.
F
F
Рис. 8
Окружность и треугольник Релло (рис. 9)
являются плоскими фигурами постоянной ширины.
Для любой плоской выпуклой фигуры F
p2
имеет место неравенство S
, где р – пери4
метр фигуры, а S – ее площадь. Равенство достигается только лишь в случае круга (изопериметрическое неравенство для плоской фигуры).
293
Рис. 9
Следствие. Из всех плоских фигур с данным периметром круг имеет
наибольшую площадь.
Для любой плоской фигуры F справедливы неравенства
d
(теорема Юнга), 3r (неравенства Бляшке),
R
3
где R и r – соответственно радиусы описанной и вписанной окружностей, d и
– соответственно диаметр и ширина фигуры F.
3. Многоугольник
Плоским многоугольником называется плоская замкнутая ломаная линия
A1 A2 A3 ... An A1 , где A1 , A2 , A3 ,..., An – различные точки и любые два смежных
отрезка не лежат на одной прямой (на рис. 10, 11 ломаные не являются многоугольниками). Точки A1 , A2 , A3 ,..., An называются вершинами, а отрезки
A1 A2 , A2 A3 ,..., An 1 An , An A1 – сторонами многоугольника.
A4
A6
A3
A5
A2
A1
A2 Рис. 10
A3
A1
A4
Рис. 11
Многоугольник называется простым, если любые две его несмежные стороны не имеют общих точек (рис. 12), в противном случае многоугольник
называется самопересекающимся (рис. 13).
A4
A1
A3
Рис. 12
A3
A2
A1
A2
Рис. 13
A4
Замечание. В школьных учебниках под многоугольником понимается
простой многоугольник.
Многоугольник является выпуклым, если он лежит по одну сторону от
каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
5.2. Многогранный угол и многогранники
1.
Многогранный угол
Многогранным углом называется фигура, образованная плоскими углами
так, что выполняются условия:
1) любые два угла не имеют общих точек, кроме их общей вершины или
целой стороны;
294
2) у каждого из этих углов каждая его сторона является общей с одним и
только с одним другим таким же углом;
3) любые два угла с общей стороной не лежат в одной плоскости.
При этих условиях плоские углы, образующие многогранный угол, называются гранями, их общие стороны – его ребрами, а общая вершина всех плоских углов называется вершиной многогранного угла.
Многогранный угол называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости любой его грани. Трехгранный угол является выпуклым.
Пусть (V ) – сумма всех
плоских углов выпуклого многогранного угла V, тогда величина 2 (V ) называется криРис. 14
визной многогранного угла V.
Сумма кривизн всех мноb
гогранных углов при вершинах замкнутого
выпуклого многогранника равна 4 .
Теорема о трех синусах. В двугранном
угле (рис. 14) величиной в одной из граней проведена прямая, составляющая с
ребром этого двугранного угла угол ,
O
c
тогда эта прямая образует с другой гранью
угол , причем sin sin sin .
Теорема. Пусть , , – плоские углы
Рис. 15
трехгранного угла (рис. 15) и А, В, С соотa
ветственно – противолежащие им двугранные углы, тогда имеют место равенства:
cos cos cos sin sin cosC – теорема косинусов для трехгранного угла;
cos C cos A cos B sin A sin B cos – двойственная теорема косинусов;
sin sin sin
– теорема синусов для трехгранного угла.
sin A sin B sin C
Если двугранный угол при ребре с – прямой, то получаем частный случай
теоремы косинусов, т.е. cos cos cos .
Эта формула является аналогом теоремы Пифагора для «прямоугольного» трехгранного угла, т.е. его «гипотенуза» выражается через «катеты»
и .
295
Биссекторной плоскостью двугранного угла называется плоскость, которая делит его на два равных двугранных угла. Биссекторные плоскости двугранных углов трехгранного угла имеют общую прямую.
Во всяком трехгранном угле любой плоский угол меньше суммы двух его
плоских углов:
, , .
Для выпуклого многогранного угла
сумма плоских углов меньше 2 .
Пусть Oabc – трехгранный угол (рис.
16) и лучи a, b, c, выходящие из точки О
O
и перпендикулярные соответственно граc
ням bc, ac и ab. Пусть лучи а и a распоa
ложены в разных полупространствах отноb
сительно плоскости Obc, лучи b и b, с и c
расположены аналогично, тогда угол
Oabc называется полярным углом к данРис. 16
ному трехгранному углу.
Плоские и двугранные углы данного трехгранного и полярного трехгранного углов связаны условиями:
A , B , C , A , B , C .
Если трехгранный угол Oabc полярен трехгранному углу Oabc, то угол
Oabc полярен трехгранному углу Oabc.
2.
Признаки равенства трехгранных углов
Первый признак равенства трехгранных углов. Два трехгранного угла
равны, если они имеют по равному двугранному углу, заключенному между
двумя соответственно равными плоскими углами.
Второй признак равенства трехгранных углов. Два трехгранного угла
равны, если они имеют по равному плоскому углу, прилежащему к двум соответственно равным двугранным углам.
Третий признак равенства трехгранных углов. Два трехгранного угла
равны, если они имеют по три соответственно равных плоских угла.
Четвертый признак равенства трехгранных углов. Если два двугранных
угла одного трехгранного угла соответственно равны двум двугранным углам
второго трехгранного угла, плоский угол первого трехгранного угла, противолежащий одному из этих двугранных углов, равен соответственно плоскому
углу другого и плоские углы обоих трехгранных углов, противолежащие другим равным по условию двугранным углам, оба острые или оба тупые, то трехтрехгранные углы равны.
296
Замечание. Требование в четвертом признаке о том, что во второй паре
плоские углы являются оба острыми или оба туВ
пыми, является существенным. Это подтверждает следующий пример (рис. 17), в котором плоскости ОАС и ВВ1С перпендикулярны, поэтому
О
равны двугранные углы
А
B1 OC A и B O C A ,
A O B C и A OB1 C.
С
Плоский угол АОС является общим для
трехгранных углов ОАСВ и ОАСВ1. Пусть
В1
Рис. 17
B1OA BOA, тогда эти трехгранные углы не
равны.
В
Пятый признак равенства трехгранных углов. Если два плоских угла одного трехгранного
О
угла соответственно равны двум плоским углам
А
другого трехгранного угла, двугранный угол первого трехгранного угла, противолежащий одному
из этих плоских углов, равен соответствующему
двугранному углу второго и и двугранные углы
С
обоих трехгранных углов, противолежащие друВ1
Рис. 18
гим равным по условию плоским углам, оба – острые или оба тупые, то трехгранные углы равны.
Замечание. Требование в пятом признаке о том, чтобы во второй паре
двугранные углы были одновременно острыми или тупыми является существенным. Это подтверждает пример на рис. 18.
Пусть OA BB1 , BOC B1OC , тогда в трехгранных углах ОАВС и
ОАСВ1
с вершинами О:
S
BOA B1OA, AOC –
общий,
l
A OB C A OB1 C, но
трехгранные углы не равны.
Шестой признак равенH
m
ства трехгранных углов. Два
трехгранных угла равны,
если они имеют по три соотO
A1
ветственно равных двугранr
ных угла.
R
В
трехгранном угле
против равных плоских угРис. 19
a
лов лежат равные двугранA2
A3
ные углы, а против большего
297
плоского угла лежит больший двугранный угол. В трехгранном угле против
равных двугранных углов лежат равные плоские углы, а против большего двугранного угла лежит больший плоский угол. Трехгранный угол называется
равнобедренным, если два его плоских угла равны.
3. Правильная n-угольная пирамида
– угол наклона ребра к плоскости основания (рис. 19);
– двугранный угол при основании;
– плоский угол при вершине пирамиды;
– двугранный угол при боковом ребре между двумя смежными гранями;
а – сторона основания; Н – высота пирамиды;
l – боковое ребро пирамиды; m – апофема;
R – радиус окружности, описанной около основания;
r – радиус окружности, вписанной в основание;
R * – радиус сферы, описанной около пирамиды;
r * – радиус сферы, вписанной в пирамиду;
Sб – площадь боковой поверхности;
Sп – площадь полной поверхности; V – объем пирамиды.
H R tg , H r tg , a 2R sin
sin
tg tg cos , cos
n
tg
cos
, cos tg
n
a
R
, r R cos , l
,
cos
n
2sin
2
2 , sin ctg ctg ,
2
n
sin
n
tg
2
ctg
cos
n
, sin
sin
n
cos
2 [4, с. 89],
n
n , tg tg cos ,
n
n
2
2
2
sin
2
cos sin sin , ctg tg sin [МШ, № 2, 1989, с. 118],
sin
sin
cos , cos
n
2
2
nR * ctg
Sб
2
2
2
cos
tg
n
n [15, № 12.361],
298
2 arcsin cos tg – угол между апофемами двух смежных боковых граней
n 2
[15, № 12.083],
a 4l 2 a 2 cosec2
r*
n
[13, с. 376].
2
2
2 a 4l a tg
n
4.
Правильная треугольная пирамида
1
2
1
tg , cos
sin , sin
ctg ,
2
2
2
3
3
1
2
tg , sin
cos [4, с. 89],
tg 2 tg , cos
2
3 2
3
tg
a 3 tg 2
V
, Sп
24
a 2 3 cos 2
2 cos
3
2 , V 3 l sin 2 cos [15, № 12.065],
8
3
R *3 sin 2 sin 2 2 [13, с. 381],
2
H
r* Hctg tg ctg 2 1 4 tg 2 1 [МШ, № 2 1989, с. 115],
2 4
V
r*
a 3sin 3 2
2H
[15, № 12.348], tg
.
2
6 sin 3 2
l H2
5.
tg
Правильная четырехугольная пирамида
1
2
tg , cos 2 sin , sin ctg ,
2
2
tg 2 tg , cos tg , sin 2 cos
[4, с. 89],
2
2
V
a3
l 3 sin 2 cos
[15, № 12.129, № 12.120],
tg , V
6
3
2 3
4
cos [13, с. 373], V l
V l 3 sin 2
3
3
2
299
cos cos
2
[13, с. 374],
3
sin
2
V
2
R *3 sin 3 2 tg [13, с. 380],
3
R*
H
a (3 cos 2 )
[15, № 12.234], R* tg 2 [15, № 16.090].
2
2
4 sin 2
6.
Тетраэдр
D
Точка пересечения медиан грани тетраэдра называется центроидом грани. Точка
MCD
пересечения четырех
отрезков,
соединяюMAD
щих вершины тетраэдMB
ра с центроидами противоположных граней,
M
называется центроидом
тетраэдра, а указанные
C
отрезки – медианами
MAC
тетраэдра.
Бимедианой тетA
раэдра называется отрезок,
соединяющий
середины противоположных ребер тетраэдра.
На рис. 20:
AM BD , DM AB , BM AD – медианы грани ABD;
СM AD , AMCD – медианы грани ACD;
МС – центр грани ABD; MB – центр грани AСD;
MACMBD – бимедиана тетраэдра;
М – центроид тетраэдра.
Если через противопоА1
ложные ребра АВ и DC, ВC и
D
AD, BD и АС данного тетраэдра ABCD провести параллельные плоскости, то они
определяют параллелепипед
D1 BC1 ADB1CA1,
который
А
называется описанным около
тетраэдра (рис. 21).
Во всяком тетраэдре:
D1
а) шесть плоскостей,
300
MBD
MC
B
MАВ
Рис. 20
C
B1
C1
Рис. 21
B
каждая из которых проходит через одно из ребер и через середину ребра, ему
противоположного, проходит через одну точку;
б) четыре отрезка, каждый из которых соединяет одну из вершин тетраэдра с центроидом противоположной грани, проходят через ту же точку и делятся в ней в отношении 3:1, считая от вершины;
в) три отрезка, каждый из которых соединяет середины двух противоположных ребер тетраэдра, также проходят через ту же точку и делятся в ней
пополам.
Если высоты AK и BL тетраэдра ABCD, выходящие из вершин А и В, пересекаются, то ребро АВ перпендикулярно ребру СD, и обратно, если АВ и СD
перпендикулярны, то и высоты AK и BL пересекаются.
Если высоты, выходящие из двух вершин тетраэдра, пересекаются, то и
высоты, выходящие из двух других его вершин, пересекаются.
Если тетраэдр имеет две пары взаимно перпендикулярных противоположных ребер, то и противоположные ребра третьей пары взаимно перпендикулярны. Тогда все четыре высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
Если высоты тетраэдра ОАВС, опущенные из вершин А и В, пересекаются, то OA2 BC 2 OB 2 AC 2 .
.
A4
G2
A1
H3
B4
G3
O1
G1
B1
H2
H
B3
G4
Рис. 22
A2
301
B2
H4
H1
A3
Пусть В1, В2, В3, В4 – точки на соответствующих отрезках НА1, НА2, НА3,
НА4 в ортоцентрическом тетраэдре А1А2А3А4 (рис. 22) и делят их в отношении
1:2, считая от ортоцентра Н, тогда точки В1, В2, В3, В4, центроиды граней G1,
G2, G3, G4 и основания Н1, Н2, Н3, Н4 высот тетраэдра расположены на одной
сфере, называемой первой сферой Эйлера, или сферой 12 точек. Все отрезки
В1G1, B2G2, B3G3, B4G4 пересекаются в одной точке О1 и делятся ею пополам.
Она является центром первой сферы Эйлера.
Ортотетраэдр – тетраэдр с вершинами в основаниях высот исходного тетраэдра.
C
Серединный тетраэдр – тетраэдр с
вершинами в точках пересечения медиан граней исходного тетраэдра.
c
Серединный тетраэдр и ортотетраэдр вписаны в сферу Эйлера 12
точек исходного тетраэдра.
b
sin sin sin
O
– теорема сиB
sin A sin B sin C
a
нусов (рис. 23),
Рис. 23
А
cos cos cos sin sin cosC –
теорема косинусов;
cos C cos A cos B sin A sin B cos – двойственная теорема косинусов.
Объем тетраэдра:
abc
V
1 2 cos cos cos cos 2 cos 2 cos 2 ,
6
abc
,
V
sin sin( ) sin( )sin( ), где
2
6
1
V
( a 2 b 2 c 2 ) (b 2 c 2 a 2 ) ( a 2 c 2 b 2 ) для тетраэдра, противо6 2
положные ребра которого попарно равны а, b, c.
M
где
2
M a 2 sin 2 b 2 sin 2 c 2 sin 2 2ab(cos cos cos )
Радиус сферы, описанной около тетраэдра, R
2bc(cos cos cos ) 2ac(cos cos cos ),
1 2cos cos cos cos 2 cos 2 cos 2 .
Пусть Х – произвольная точка внутри треугольника АВС,
SXAB , SXBC , SXCA – площади соответствующих треугольников ХАВ, ХВС, ХСА,
тогда для тетраэдра ABCD выполняется формула
302
SXBC DA SXCA DB SXAB DC
[10, с. 154],
SXBC SXCA SXAB
В частности, если:
а) М – точка пересечения медиан треугольника АВС, то
DX
DM
1
DA DB DC
3
[10, с. 156];
б) в тетраэдре SABC длина медианы SM равна
1
1
SM 2 SA2 SB 2 SC 2 AB 2 BC 2 CA2 ;
3
9
в) если М – центроид грани АВС тетраэдра, то имеет место равенство
SA2 SB 2 SC 2 3 SM 2 AM 2 BM 2 CM 2 [МШ, 1986, № 6, с. 49];
г) I – центр окружности, вписанной в треугольник АВС, то
a
b
c
DA
DB
DC [10, с. 157];
DI
2p
2p
2p
д) О – центр окружности, описанной около треугольника АВС, то
DO
7.
cos A
cos B
cos C
DB
DC [10, с. 157].
DA
2 sin B sin C
2 sin A sin C
2 sin A sin B
Равногранный тетраэдр
Тетраэдр, у которого все грани равные треугольники, называется равногранным.
c
DВ
C
b
c
DА
а
а
b
М
c
А
B
а
b
Рис. 24
DС
Разверткой равногранного тетраэдра ABCD является фигура, состоящая
из четырех равных треугольников с правилом склейки, указанным на рис. 24.
Треугольник DA DB DC получается из треугольника ABC гомотетией H M2 ,
где M – точка пересечения медиан треугольника ABC.
В равногранном тетраэдре:
1) скрещивающиеся ребра равны друг другу;
2) центры вписанной и описанной сфер совпадают;
303
3) проекции на каждую плоскость, параллельную двум скрещивающим
ребрам, – прямоугольники;
4) сумма плоских углов при каждой вершине равна 1800;
5) каждый отрезок, соединяющий середины противоположных ребер,
перпендикулярен этим ребрам. При повороте вокруг каждого такого отрезка
на 1800 равногранный тетраэдр совмещается с самим собой;
6) три отрезка, соединяющие середины противоположных ребер, взаимно перпендикулярны;
7) трехгранные углы равны;
8) противолежащие двугранные углы равны;
9) два плоских угла, опирающихся на одно ребро равны;
10) описанный параллелепипед является прямоугольным;
11) высоты тетраэдра равны;
12) центр тяжести тетраэдра совпадает с центром вписанной сферы и
совпадает с центром описанной сферы;
13) сумма внешних единичных нормалей к граням равна нулю;
14) равногранный тетраэдр обладает тремя осями симметрии, которые
перпендикулярны противоположным ребрам и проходят через середины этих
ребер.
Если ребра равногранного тетраэдра равны a, b, c, то медиана тетраэдра
1
2 a 2 b 2 c 2 [МШ, 1986, № 6, с. 49].
равна
3
Тетраэдр называется зеркально-поворотным, если существует зеркальноповоротная ось второго порядка.
C
Для зеркально-поворотного тетраэдра ABCD, D
N
изображенного на рис. 25,
AB CD, AB CD, AM MB a,
CN ND b, MN AB, MN CD,
ab
R a2 b2 , r
.
2
B
a 4b 2
Зеркально-поворотный тетраэдр является
M
частным случаем равногранного тетраэдра.
А
8.
Рис. 25
Ортогональный тетраэдр
Если плоские углы при вершине тетраэдра прямые, то тетраэдр называется ортогональным. Грань, противолежащая этой вершине, называется основанием.
В ортогональном тетраэдре с взаимно перпендикулярными ребрами а, b, c
и высотой h к основанию
1
1
1
1
.
a 2 b2 c2 h2
304
В ортогональном тетраэдре с взаимно перпендикулярными ребрами а, b, c
длина медианы к основанию равна
a2 b2 c2
[МШ, 1986, № 6, с. 49].
3
Центр тяжести основания ортогонального тетраэдра, противолежащая
вершина и центр описанной сферы принадлежат одной прямой [10, с. 112].
Отрезок, соединяющий точку пересечения высот основания ортогонального тетраэдра с противолежащей вершиной, является высотой тетраэдра [10,
с. 152].
Пусть OH – высота ортогонального тетраэдра к основанию АВС,
OA a, OB b, OC c, тогда
D
b 2 c 2 OA a 2 c 2 OB a 2 b 2 OC
[10, с. 123].
b 2 c 2 a 2 c 2 a 2b 2
Тетраэдр называется пифагоровым, если его
плоские углы при одной из вершин прямые, а отношение любых двух ребер является рациональным
числом (из него с помощью подобия можно получить тетраэдр с прямыми плоскими углами при одной из вершин и целыми длинами ребер).
OH
9.
C
А
Рис. 26
B
Ортоцентрический тетраэдр
Тетраэдр называется ортоцентрическим, если все его высоты пересекаются в одной точке.
На рис. 26 изображен прямоугольный треугольник ABC и отрезок AD,
перпендикулярный плоскости ABC. В тетраэдре ABCD высота DA к плоскости основания и высота BC к боковой грани ACD расположены на скрещивающихся прямых, которые не пересекаются.
Для того чтобы тетраэдр был ортоцентрическим, необходимы и достаточны следующие условия:
1) противоположные ребра тетраэдра перпендикулярны;
2) одна из высот тетраэдра проходит через точку пересечения высот основания;
3) суммы квадратов противоположных ребер тетраэдра равны;
4)отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра,
равны;
5) произведения косинусов противоположных двугранных углов равны;
6) сумма квадратов площадей граней вчетверо меньше суммы квадратов
произведений противоположных ребер;
7) сумма квадратов площадей граней вчетверо меньше суммы квадратов
произведений противоположных ребер.
Ортогональный тетраэдр является ортоцентрическим.
305
Построение развертки ортоцентрического тетраэдра (рис. 27).
В произвольном треугольниDA
ке ABC проводим высоты треугольника AA1 , BB1 , CC1 , отмечаDB
l
l
ем ортоцентр H. На продолжении
lA
C
одной из высот, например AA1 ,
A
lB
1
s
B1
отмечаем произвольную точку
H
r
DA , удовлетворяющую условию
A1 DA A1 H .
На продолжении высоты
BB1 , отмечаем точку DB , для
которой CDB CDA . На продолжении высоты CC1 , отмечаем
A
B
C1
lC
r
s
DC , удовлетворяющую
условию ADC ADB . Построенная точка DC , удовлетворяет условию BDC BDA .
Объем ортоцентрического
тетраэдра
равен
точку
V
Рис. 27
DC
D
abd
, где а и b – длины
6
скрещивающихся ребер, d –
длина общего перпендикуляра к этим ребрам.
h
h
A1
B
r
C
h
r
I r
C1
Рис. 28
B1
А
10. Тетраэдр с равным наклоном граней к основанию
Пусть тетраэдр ABCD имеет равные наклоны боковых граней к основанию (рис. 28), тогда основание перпендикуляра, опущенного из вершины D на
основание ABC, т.е. I – центр окружности, вписанной в ABC, IC1 AB,
IA2 BC , IB3 AC , IA1 IB1 IC1 r.
306
Обозначим длину апофем боковых граней через h,
D2
т.е. C1 D1 A1 D2 B1 D3 h.
D3
C
h
Рассмотрим развертку
(рис. 29), для которой выh
B1
A1
бран произвольный треr
r
угольник ABC. Через центр
окружности, вписанной в
I
треугольник ABC , проведеА
ны перпендикулярные пряC1
B
мые с сторонам треугольниh
ка и на них отложены от
Рис. 29
точек касания окружности и
D1
сторон треугольника отрезки длиной h, причем h r.
Если треугольник ABC правильный, то получаем развертку правильной
пирамиды.
11. Тетраэдр с равным наклоном ребер к основанию
Пусть тетраэдр ABCD имеет
D
равные наклоны боковых ребер к
основанию
(рис.
30),
т.е.
d
тогда
DAO DBO DCO,
d
OA OB OC и DA DB DC.
d
Боковые ребра тетраэдра равны и их проекции на плоскость осR О
А
C
нования также равны. Вершина D
тетраэдра проектируется на плосR
кость основания в центр описанной
Рис. 30
окружности. Пусть тетраэдр ABCD
B
с равными наклонами боковых граней к основанию имеет следующую развертку (рис. 31), где ABC – произвольный треугольник в основании
тетраэдра, О – центр окружности, описанной около ABC, OD1 AB,
OD2 BC , OD3 AC , AD1 BD1 BD2 CD2 CD3 AC3 d .
Если треугольник ABC правильный, то получаем развертку правильной
пирамиды.
307
d
D3
D2
C
d
R
B1
d
d
A1
R
O
А
у
B
C1
х
Рис. 31
d
d
D1
12. Каркасный тетраэдр
Тетраэдр называется каркасным, если выполняется любое из следующих
свойств:
1. существует сфера, касающаяся всех ребер тетраэдра;
2. суммы длин скрещивающихся ребер равны;
3. суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны;
4. окружности, вписанные в грани, попарно касаются;
5. все четырехугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, – описанные;
6. перпендикуляры, восстановленные к граням из центров вписанных в
них окружностей, пересекаются в одной точке.
Построение развертки искомого тетраэдра начинаем с произвольного
АВС. Пусть точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника разбивают стороны на отрезки длиной m, n, k (рис. 32).
Рассмотрим произвольный отрезок d. На сторонах АВ, ВС, СА построим
треугольники вне данного треугольника по трем соответствующим сторонам:
ABSC: m n, n d , m d ; BCS A: k n, n d , k d ; CAS B: k m, m d ; k d .
Для развертки выполняется основное свойство каркасного тетраэдра
AB + SC = BC + SA = CA + SB = m + n + k + d.
308
SA
k+ d
С
k+d
SB
k
k
n+d
m+d
OS
m
А
m
m+d
Рис. 32
n
n
В
n+d
SC
13. Выпуклые многогранники
Многогранником называется фигура, состоящая из конечного числа плоских многоугольников, называемых гранями и расположенных в пространстве
так, что:
1) любая сторона каждой из этих граней является стороной одной и
только одной грани (называемой смежной с первой гранью);
2) для любых двух граней и можно указать такую цепочку граней
1 , 2 ,... , n , что грань смежна с гранью 1 , грань 1 смежна с 2 ,...,
грань n смежна с гранью , причем если грани и имеют общую
вершину А, то выбор граней 1 , 2 ,..., n можно осуществить так, чтобы все
они имели ту же вершину.
Стороны и вершины граней многогранника называются соответственно
ребрами и вершинами этого многогранника.
Многогранник называется простым, если:
1) все его грани являются простыми многоугольниками;
2) никакие две его несмежные грани не имеют общих точек (внутренних
или граничных), за исключением, может быть, одной общей вершины;
3) две смежные грани имеют только одно общее ребро и не имеют других общих точек.
Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.
309
Теорема Эйлера. Для любого выпуклого замкнутого многогранника имеет
место формула B P Г 2, где В – число вершин, Р – число ребер, Г – число
граней.
Эйлеровой характеристикой поверхности с краем F называется число
e f k , где е – число вершин, k – число ребер и f – число областей.
Для
многогранника,
имеющего сквозное отверстие вдоль прямой l (рис.
33), эйлерова характеристика равна 16 32 16 0.
Два многогранника M1
и М2, имеющие соответственно В1 и В2 вершин, Р1 и
Р2 ребер, Г1 и Г2 граней,
называются изоморфными,
если существует биективное
f : M1 M 2 ,
отображение
Рис. 33
удовлетворяющее условиям:
1) f ( B1 ) B2 , f ( P1 ) P2 , f ( Г1 ) Г 2 ;
2) соответствующие грани имеют одно и то же число вершин;
3) отображение сохраняет взаимную принадлежность вершин, ребер и
граней.
Теорема Коши. Если два выпуклых многогранника изоморфны и каждые
две соответствующие грани их равны, то многогранники равны.
Замечание. Требование выпуклости существенно (рис. 34, 35).
Рис. 34
Рис. 35
Кривизной многогранного угла называется разность между величиной
2 и суммой всех плоских углов при вершине многогранного угла.
Сумма кривизн всех многогранных углов при вершинах замкнутого выпуклого многогранника равна 4 .
Простой многогранник называется топологически правильным, если все
его грани имеют одно и то же число вершин, а все многогранные углы – одно
310
и то же число граней. Наклонный параллелепипед – пример топологически
правильного многогранника.
Существует пять типов топологически правильных многогранников.
Название
многогранника
Тетраэдр
Гексаэдр
Додекаэдр
Октаэдр
Икосаэдр
Число вершин
грани
3
4
5
3
3
Число ребер
в вершине
3
3
3
4
5
В
Р
Г
4
8
20
6
12
6
12
30
12
30
4
6
12
8
20
Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани – равные правильные многоугольники, а многогранные углы при его вершинах
имеют одно и то же число граней.
Существует пять типов правильных многогранников.
I.
Правильный тетраэдр и его развертка (рис. 36).
II. Куб и его развертка (рис. 37).
III. Правильный октаэдр и его развертка (рис. 38, 39).
IV. Правильный додекаэдр и его развертка (рис. 40, 41).
V. Правильный икосаэдр и его развертка (рис. 42, 43).
Рис. 36
Рис. 37
Рис. 38
Рис. 39
Рис. 40
Рис. 41
311
Рис. 43
Рис. 42
Рис. 44
Рис. 45
Таблица 1
Элемент
Название
Тетраэдр
Площадь S
3a 2
Объем V
Радиус
описанной
сферы R
2a 3
12
6a
4
Куб
6a2
Октаэдр
2 3a 2
Додекаэдр
3
3a 2 25 10 5 (15 7 5) a
a3
2a 3
3
4
Икосаэдр
5 3a 2
5(3 5) a 3
12
312
Радиус
вписанной
сферы r
cos
1
3
3a
2
6a
12
a
2
2a
2
6a
6
3(1 5) a
4
250 110 5 1
5
20
10 2 5 a
4
3(3 5) a
12
0
1
3
5
3
Центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра и наоборот (рис. 44).
Центры граней правильного тетраэдра образуют правильный тетраэдр.
Центры граней правильного икосаэдра образуют вершины правильного
додекаэдра (рис. 45).
Пусть – двугранный угол между смежными гранями многогранника.
Соотношения в правильных многогранниках со стороной а даны в таблице 1.
14. Взаимное расположение многогранников
Выражение длины ребра an правильного п-гранника, вписанного в kгранник с ребром a k [7]:
2
a4;
6
1
– октаэдр, вписанный в тетраэдр: a8 a4;
2
– куб, вписанный в тетраэдр: a6
2 ( 5 1)
a4 ;
12
2 (3 5)
– икосаэдр, вписанный в тетраэдр: a20
a4 ;
2
– тетраэдр, вписанный в куб (ребра тетраэдра являются диагоналями граней
– додекаэдр, вписанный в тетраэдр: a12
куба): a4 2 a6;
– октаэдр, вписанный в куб (вершины октаэдра являются центрами граней куба): a8
2
a6 ;
2
3 5
a6 ;
2
5 1
– икосаэдр, вписанный в куб: a 20
a6 ;
2
2 (3 5)
– икосаэдр, вписанный в октаэдр: a20
a8;
2
2 ( 5 1)
a8;
– додекаэдр, вписанный в октаэдр: a12
6
2
– тетраэдр, вписанный в октаэдр: a4 a8;
3
– додекаэдр, вписанный в куб: a12
– куб, вписанный в октаэдр: a6
2
a8 ;
3
313
2 (3 5)
a12 ;
4
– октаэдр, вписанный в додекаэдр: a8
– икосаэдр, вписанный в додекаэдр: a20
73 5
a12;
10
1 5
a12 ;
2
2 (1 5)
– тетраэдр, вписанный в додекаэдр: a4
a12 ;
2
1 5
a20;
– додекаэдр, вписанный в икосаэдр: a12
6
– куб, вписанный в додекаэдр: a6
– октаэдр, вписанный в икосаэдр: a8
– куб, вписанный в икосаэдр: a6
2 (1 5)
a20;
4
3 5
a20 ;
6
2 (3 5)
a20 .
6
Антипризма (рис. 46) имеет два равных параллельных основания, одно из
которых повернуто вокруг их общей перпендикулярной оси на угол 1800 / n ,
где п – число сторон основания. На рис. 47 представлена развертка этой антипризмы
– тетраэдр, вписанный в икосаэдр: a4
Рис. 47
Рис. 46
5.3. Геометрия сферы
1. Элементы сферы
Если плоскость пересекает сферу, то линией пересечения является
окружность. Пусть сфера имеет радиус R (рис. 48) и плоскость удалена от центра сферы на расстояние h, тогда радиус окружности равен r R 2 h 2 .
314
Плоскость, проходящая через
центр сферы, пересекает сферу по
окружности,
которая
называется
большой окружностью.
r
Если две точки сферы не являютh
ся диаметрально противоположными,
R
то через них и центр сферы проходит
единственная плоскость, а значит,
через эти две точки сферы проходит
единственная большая окружность.
Рис. 48
Кратчайшей линией между двумя
точками сферы, не являющимися диадиаметрально
противоположными,
является наименьшая из дуг большой
окружности, проходящей через них
(рис. 49).
R
Если две точки сферы являются
A
B
диаметрально противоположными, то
через них и центр сферы проходит
Рис. 49
бесконечно много плоскостей, а значит, через эти две точки сферы проходит бесконечно много больших окружностей. Кратчайшей линией, соединяющей две диаметрально противоположные точки сферы, является любая большая полуокружность с концами в этих точках.
Пусть на сфере дана пара
диаметрально противоположных
N
точек N и S. Полуокружности на
сфере с концевыми точками N и S
называются меридианами сферы.
M
Семейство плоскостей, перz
пендикулярных прямой NS, пересекает сферу по окружностям,
y
которые называются параллелями.
O
Н
Большая окружность, плоскость которой перпендикулярна
прямой NS, называется экватором.
x
Пусть начало декартовой системы координат совпадает с центром сферы (рис. 50). Через произвольную точку M сферы провеРис. 50
S
дем меридиан и пусть плоскость
этого меридиана образует угол u
315
с плоскостью начального меридиана, находящегося в плоскости Oxz, где
0 u 2.
Пусть вектор OM образует с горизонтальной плоскостью Oxy угол v, где
/ 2 v / 2.
Из точки M опустим перпендикуляр MH на плоскость Oxy, тогда
MH R sin v, OH R cos v.
Координаты точки Н равны x OH cos u, y OH sin u, z 0.
Пространственные координаты x, y, z произвольной точки М сферы выражаются через внутренние координаты u , v следующим образом:
x R cos v cos u, y R cos v sin u, z R sin v.
Пусть параметр v зафиксирован, а параметр u меняется, тогда получаем
параметрические уравнения параллели
x R cos v0 cos u, y R cos v0 sin u, z R sin v0 .
Если параметр u зафиксирован, а параметр v меняется, то получаем параметрические уравнения меридиана
x R cos v cos u0 , y R cos v sin u0 , z R sin v.
Длина дуги меридиана в 1′ в среднем равна одной миле – 1852 м; длина
дуги меридиана в 1° у экватора равна 110,56 км, у полюсов – до 111,68 км.
Длина дуги параллели в 1° на какой-либо широте v равна длине дуги на экваторе, умноженной на косинус широты, т.е. l пар = 111,18 cos v.
Рис. 51
316
На рис. 51 представлено изображение дуг между двумя фиксированными
меридианами и коэффициента уменьшения длины дуг при удалении от экватора. Меридиан разделен на 36 равных частей.
Область сферы, ограниченная
N
двумя меридианами, называется двуугольником.
Углом двуугольника называется
угол между касательными к двум полуокружностям в общей точке.
На рис. 52 изображен двуугольник,
О
ограниченный полуокружностями NAS
и NBS. Касательные к полуокружностям
В
А
в точке N расположены в плоскости,
перпендикулярной прямой NS.
Угол между касательными равен
углу АОВ. Угол двуугольника равен
углу между плоскостями, в которых
Рис. 52
S
находятся полуокружности.
Площадь сферичеh
ского двуугольника прямо
пропорциональна велиh
чине угла двуугольни2
ка и равна S 2 R . ЕсR
R
ли угол двуугольника
увеличивается и достигает значения 2 то двууРис. 53
Рис. 54
гольник накрывает всю
сферу, площадь которой равна 4 R 2.
треугольником
Сферическим
называется любые три точки, не расC
a
B
C
положенные на одной большой
b
окружности, вместе с отрезками,
c
соединяющими эти точки.
Площадь сферического треугольника АВС на сфере радиусом R
А
выражается через углы , , этого
O
треугольника
по
формуле
SABC R 2 ( ).
Часть шара, заключенная между
двумя параллельными плоскостями,
называется шаровым поясом.
Рис. 55
317
Если радиус шара равен R, а расстояние между этими плоскостями равно
h, то площадь шарового пояса равна 2 Rh [1]. На рис. 53 изображена проекция сферы и шарового пояса на плоскость Oyz.
Часть шара, отсеченная от него плоскостью, называется шаровым сегментом. Круг, полученный в сечении шара этой плоскостью, называется основанием шарового сегмента, а расстояние от плоскости сечения до параллельной ей опорной плоскости шарового сегмента называется высотой этого сегмента. Если радиус шара равен R, а высота шарового сегмента равна h, то
площадь шарового сегмента равна 2 Rh. На рис. 54 изображена проекция
сферы и шарового сегмента на плоскость Oyz.
Из теорем для трехгранного угла получаем теоремы для сферического
треугольника (рис. 55):
c
a
b
sin
sin
sin
R – теорема синусов;
R
R
sin A sin B sin C
c
a
b
a
b
cos cos cos sin sin cos C – теорема косинусов.
R
R
R
R
R
Для прямоугольного треугольника с прямым углом А выполняются равенства:
1) cos a cos b cos c – косинус гипотенузы прямоугольного сферического
треугольника равен произведению косинусов его катетов;
2) sin b sin a sin B, sin c sin a sin C – синус катета равен произведению синуса гипотенузы на синус противолежащего угла;
3) tg c tg a cos B, tg b tg a cos C – тангенс катета равен произведению
тангенса гипотенузы на косинус угла, прилежащего к катету;
4) tg b sin c tg B, tg c sin b tg C – тангенс катета равен произведению синуса другого катета на тангенс противолежащего угла;
5) cos a ctg B ctg C – косинус гипотенузы равен произведению котангенсов углов, прилежащих к гипотенузе;
6) cos B sin C cos b, cos C sin B cos c – косинус одного из углов, прилежащих к гипотенузе, равен произведению косинуса противолежащей стороны на синус другого угла, прилежащего к гипотенузе.
Ортодромией называется дуга большого круга сферы, являющаяся кратчайшей линией между этими точками по поверхности сферы. Кратчайшие линии на экваторе или меридиане являются примерами ортодромии. Путь самолета по ортодромии называть ортодромическим,
Ортодромия, не расположенная на меридиане или на экваторе, пересекает
меридианы под разными углами, поэтому полет по ортодромии с помощью
магнитного компаса трудно осуществить, так как в этом случае придется часто
изменять направление полета от меридиана к меридиану.
318
Локсодромой называется линия, пресекающая меридианы под одним и
тем же углом. На рис. 56 построена локсодрома по формулам
R cos t
R sin t
x
,y
, z R th [ m (t t0 )],
ch [ m (t t0 )]
ch [ m (t t0 )]
где t 0 характеризует сдвиг локсодромы вдоль меридиана; m – наклон локсодромы к параллели.
Рис. 57
Рис. 56
Рис. 59
Рис. 58
Разбиение сферы на правильные многоугольники, т.е. математический
паркет на сфере: рис. 57 – на сфере 4 правильных сферических треугольника;
рис. 58 – 8 треугольников, рис. 59 – 20 треугольников.
2. Виды проекций сферы
Область на сфере можно непосредственно проектировать на плоскость,
касающуюся сферы. Проекция называется азимутальной.
Иногда сферу проектируют предварительно на цилиндр, затем цилиндр
разрезают по образующей и разворачивают на плоскость. В результате тоже
получается отображение сферы на плоскость. В этом случае к названию проекции добавляется название цилиндрическая.
319
Иногда сферу проектируют предварительно на конус, затем конус разрезают по образующей и разворачивают на плоскость. В результате тоже получается отображение сферы на плоскость. В этом случае к названию проекции
добавляется название коническая.
Проектировать сферу на плоскость, цилиндр или конус можно различными способами, в зависимости от которых к названию добавляется уточнение.
Важное значение для получения проекции имеет точка, из которой ведется проектирование и которая называется центром проектирования. В зависимости от ее положения относительно сферы азимутальные проекции называются:
1) центральными (гномоническими) – центр проектирования расположен
в центре сферы (рис. 60);
2) стереографическими – центр проектирования расположен в точке,
диаметрально противоположной к точке касания сферы и плоскости (рис. 61);
3) внешними – центр проектирования находится вне сферы и расположен
на некотором конечном расстоянии (рис. 62);
4) ортографическими – центр проектирования удален в бесконечность от
сферы (рис. 63).
Для центральных, стереографических и внешних проекций применяется
центральное проектирование из одной точки. В ортографических проекциях
применяется параллельное проектирование пучком параллельных прямых на
касательную плоскость.
Рис. 60
Рис. 61
Рис. 62
Рис. 63
3. Азимутальная гномоническая проекция
Рассмотрим проекцию точек нижней полусферы из центра сферы О на
плоскость , касающуюся сферы в точке S (рис. 64).
Центр проектирования расположен в плоскости каждого меридиана. Меридианы проектируются в лучи, выходящие из точки S. Параллели проектируются в концентрические окружности с общим центром S. Координатная сеть
меридианов и параллелей на сфере проектируется в полярную сеть на плоскости. Параллели изображаются концентрическими окружностями с общим центром S, а меридианы изображены радиусами этих окружностей.
320
O
Рис. 64
C
D
B
A
S
Построенная проекция сферы называется азимутальной гномонической
проекцией или плоской гномонической проекцией и применяется для изображения областей, расположенных внутри сферического сегмента, меньшего
полусферы.
Для произвольной точки M (u; v) сферы и ее образа M ( x; y; z ) на плоскости z R выполняются равенства
x R ctg v cos u, y R ctg v sin u, z R.
4. Азимутальная стереографическая проекция
Пусть плоскость касается сферы в южном полюсе S (рис. 65).
Рассмотрим проекцию точек сферы из северного полюса N на плоскость
, касающуюся сферы в точке S.
При центральном проектировании из точки N, меридианы проектируются
в лучи, выходящие из точки S, а параллели проектируются в концентрические
окружности с общим центром S. Координатная сеть меридианов и параллелей
на сфере проектируется в полярную сеть на плоскости. Построенная проекция
сферы называется азимутальной стереографической проекцией или плоской
стереографической проекцией.
На ней можно изображать любую область сферы, не содержащую северный полюс N.
Если точка M (u; v) сферы отображается в точку M ( x; y ; R) касательной
плоскости, то
x 2R tg( / 4 v / 2) cos u, y 2R tg( / 4 v / 2) sin u, z R.
Если точка M ( x; y; z) сферы отображается в точку M ( x ; y ; R ) касательной плоскости, то x
R x 2 y 2 4 R 2
4 R 2 x
4R 2 y
y
z
,
,
.
x 2 y 2 4 R 2
x 2 y 2 4 R 2
x 2 y 2 4 R 2
321
N
Рис. 65
С
D
В
А
S
Связь между стереографической проекцией и инверсией.
При инверсии относительно сферы с центром N и радиусом NS сфера с
диаметром NS перейдет в плоскость, касающуюся сферы в точке S, и получающееся при этом отображение сферы на плоскость является стереографической проекцией сферы на плоскость.
Окружности, расположенные на сфере, проектируются на плоскость в
окружности или, если окружности на сфере проходят через центр проекции N,
в прямые (рис. 66).
Рис. 66
322
При стереографической проекции углы между кривыми, лежащими на
сфере, изображаются равными им углами между кривыми, спроектированными на плоскость.
Стереографическая проекция сферы из северного полюса на экваториальную плоскость , заданную уравнением z 0 , определяется следующим образом. Произвольная точка М сферы отображается в точку M MN . Для
точки M ( x; y; z ) сферы и ее образа M ( x; y ;0) выполняются равенства
x
R x 2 y 2 R 2
2R 2 x
2 R 2 y
.
,
,
y
z
x 2 y 2 4 R 2
x 2 y 2 4 R 2
x 2 y 2 R 2
5. Азимутальная ортографическая проекция
Рассмотрим проектирование точек
нижней полусферы на касательную плоскость в точке S пучком параллельных прямых, перпендикулярных этой плоскости
(рис. 67).
Координатная сеть меридианов и параллелей на сфере проектируется в полярную сеть на плоскости. На ней можно
изображать области, расположенные в одной полусфере.
Рис. 67
M (R cos v cos u; R cos v sin u; R).
6. Азимутальная меридианная развертка
N
М
v
Рис. 68
O
S
Пусть плоскость касается сферы в южном полюсе S (рис. 68).
323
Рассмотрим произвольную точку сферы М, отличную от северного и
южного полюсов. Проведем меридиан через точку М. Развернем дугу SM
окружности на луч, полученный при пересечении полуплоскости меридиана и
касательной плоскости, т.е. точку М отобразим в точку M так, чтобы длина
отрезка SM была равна длине дуги SM.
Координатная сеть меридианов и параллелей на сфере проектируется в
полярную сеть на плоскости.
x R ( / 2 v)cos u, y R ( / 2 v)sin u, z R .
7. Цилиндрическая гномоническая проекция
Для изображения области, прилегающей к
большой окружности на сфере, применяют проектирование на цилиндр, касающийся сферы
(рис. 69).
Координатная сеть меридианов и параллелей на сфере проектируется в сеть на цилиндре,
состоящую из окружностей (параллелей на цилиндре) и перпендикулярных им прямых (образующих на цилиндре).
M
R
v
O
u
R
x R cos u, y R sin u, z R tg v.
Рис. 69
8. Коническая гномоническая проекция
При проектировании областей,
прилегающих
к
параллели, применяют проектирование сферы из центра на конус, касающийся
сферы
вдоль этой параллели (рис. 70).
Пусть
конус
касается
сферы
вдоль параллели ,
заданной уравнением v v0 , тогда
M0
z
O
v0
u
x
Рис. 70
x R cos v0 cos u R tg(v0 v)sin v0 cos u,
y R cos v0 sin u R tg(v0 v)sin v0 sin u,
z R sin v0 R tg(v0 v)cos v0 .
324
vM
y
H
9. Цилиндрическая меридианная развертка
На рис. 71 представлена цилиндрическая меридианная развертка сферы
на цилиндр, касающийся сферы по экваториальной окружности. Каждый меридиан разворачивается в отрезок на цилиндре. Например, меридиан NBS разворачивается в отрезок N S .
M (R cos v cos u; R cos v sin u; R sin v), M ( R cos u; R sin u; Rv).
N
M
v
B
S
Рис. 71
5.4. Метрическое пространство
1. Задачи, приводящие к понятию метрики
В городе с очень правильной
планировкой улиц при поездке на
автомобиле за расстояние между
двумя перекрестками А и В естественно принять длину кратчайшего маршрута по улицам города от
пункта А до пункта В. На рис. 72
изображено два кратчайших маршрута, соединяющих точки А и В.
В
y
O
325
А
x
Рис. 72
Кратчайший маршрут в этом случае будет ломаной, звенья которой параллельны двум перпендикулярным прямым. Выберем на этих двух прямых
направления и рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Oxy.
Расстояние между точками A( x1 ; y1 ) и B( x2 ; y2 ) вычисляется по формуле
d2 ( A, B) x2 x1 y2 y1 .
Если в городе только два крупных автомобильных супермаркета, то все
автомобилисты оказываются разделенными на две сферы влияния супермаркетов, учитывая критерий удаленности от супермаркета. Критерием для построения линии раздела областей является равенство M A M B . Какой окажется
линия раздела двух областей в этом случае?
Пусть ( X , ) – метрическое пространство, т.е. в множестве X определено
отображение ( x, y) ( x, y) , которое любым двум элементам х , у множества
Х сопоставляет действительное число ( x, y) удовлетворяющее аксиомам:
1) ( x, y) 0, x, y X ; ( x, y) 0 x y;
2) ( x, y) ( y, x);
3) ( x, y) ( y, z ) ( x, z ).
Множество C [a, b] всех непрерывных действительных функций, определенных на отрезке [a, b] с расстоянием ( f , g ) max g (t ) f (t ) образует метa t b
рическое пространство.
Проверим выполнение аксиом метрического пространства.
1. ( x, y) 0 для любых функций x x(t ), y y(t ) , причем равенство
max y (t ) x (t ) 0 имеет место тогда и только тогда, когда y(t ) x(t ) для
t [a; b] , т.е. y(t ) x(t ).
2. ( x, y) max y(t ) x(t ) max x(t ) y (t ) ( y, x).
a t b
a t b
3. Функции y(t ) x(t ), z(t ) y(t ), z(t ) x(t ) на отрезке [a, b] являются непрерывными, поэтому для них найдутся соответственно точки, где они достигают максимальных значений. Следовательно,
( x, y ) ( y, z ) max y(t ) x(t ) max z(t ) y(t )
a t b
a t b
y(t1 ) x(t1 ) z(t2 ) y(t2 ) y(t3 ) x(t3 ) z(t3 ) y(t3 )
y (t3 ) x (t3 ) z (t3 ) y (t3 ) z (t3 ) x (t3 ) max z (t ) x (t ) ( x , z ).
at b
Метрическое пространство
C[a, b],
обозначается тем же символом
C [a, b], что и само множество функций и называется пространством непрерывных функций на отрезке [a; b] . Оно играет важную роль в математическом
анализе и геометрии.
326
Назовем шаром U ( x, r ) с центром в точке х и радиусом r 0 в метрическом пространстве множество всех точек y X , таких, что ( x, y) r. Открытым множеством в ( X , ) назовем такое множество G, для любой точки которого существует некоторый шар положительного радиуса с центром в этой
точке, содержащийся в множестве G.
На плоскости можно ввести следующие метрики.
I. d1 ( A, B ) ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 – евклидово расстояние между точками
A( x1 ; y1 ) и B( x2 ; y2 ). Если на плоскости введена такая метрика, то будем
изображать на рисунке Е2 .
II. d2 ( A, B) x2 x1 y2 y1 – сумма модулей разностей координат. Если на плоскости введена такая метрика, то будем изображать на рисунке SM.
III. d3 ( A, B) max
x
2
x1 , y2 y1 – максимум из модулей разностей
координат. Если на плоскости введена такая метрика, то будем изображать на
рисунке MМ.
IV. Рассмотрим множество всех упорядоченных наборов ( x1 , x2 ,..., xn ) из n
чисел, причем, каждое xi равно 0 или 1. Упорядоченные наборы в дальнейшем будем называть точками.
Метрика Хемминга между двумя последовательностями u (u1 , u2 ,..., un )
и v (v1 , v2 ,..., vn ) равна числу разрядов, в которых последовательности различаются.
Например, d ((10111), (10001)) = 2, d ((11110), (00001)) = 5.
Введенная функция на последовательностях является метрикой, так как
выполняются все свойства метрики.
Проверим выполнение аксиомы 3) метрики.
х = (001111)
Пусть точки x ( x1 x2 ...xn ) и y ( y1 y2 ... yn ) отличаy = (111111)
ются в r разрядах, т.е.
d ( x, y ) r .
Пусть точки
z = (100011)
y ( y1 y2 ... yn ) и z ( z1 z2 ...zn ) отличаются в s разрядах,
Рис. 73
т.е. d ( y, z ) s, тогда точки x ( x1 x2 ...xn ) и z ( z1 z2 ...zn )
отличаются не более чем в r s разрядах (рис. 73), поэтому d ( x, z ) r s d ( x, y) d ( y, z ).
V. Пример метрического пространства на шахматной доске.
Клетки на шахматной доске занумеруем по строкам в таком же порядке,
как мы читаем книгу. Пусть на доске находится одна шахматная фигура. Расстоянием от клетки Ki до клетки Kj назовем минимальное количество шагов
шахматной фигуры, необходимое для перехода из клетки Ki в клетки Kj. Если
из клетки Ki невозможно пройти в клетку Kj, то расстояние будем считать бес327
) ) /
) * ! ,/ " $
2 # 2 6, "
"
&E\E] ( ) $
( D' " ( /
] / 1 *
) /(
$
/ * !
/ " #
) ( / $
# / ) /
(
# ) , "
- E\ E ] . E\ E ]
1
E\ E ] @ () " E\ E ] ($
(
E\ E ] E ] E\ ) / / " (
/
E\ E! # )O / E\
2 E\ E ] E ] E!
E] / E] E! / $
E\ E! & /
' & / $
4 (, E\ +* $
"
"
+ 4
" @ @
, $
/ "
= ( ( %/ "
* d3
0 :3 * d
*d
*d2
; :3 * / " $
5 # 5 , U2
2<
На рис. 75, 76 представлена нумерация клеток большими цифрами на
доске размером 5 5. Нижние индексы указывают расстояние от клетки, выделенной овалом до соответствующей клетки.
12
21
32
43
54
12
23
32
43
50
63
72
83
90
103
63
72
81
94
103
112
121
132
143
152
112
123
134
141
152
163
174
181
192
201
163
172
183
192
203
212
223
232
243
252
214
223
232
243
252
Рис. 76
Рис. 75
Множество всех клеток с одним и тем же нижним индексом является
окружностью с радиусом, равным нижнему индексу.
2. Окружности в метрическом пространстве
Окружностью с центром М0 и радиусом r называется множество точек
М плоскости, удаленных от точки М0 на расстояние r, т.е. удовлетворяющих
условию М0 М r. Обозначение окружности (M 0 , r ).
Пусть центр М0 имеет координаты ( х0 ; у0 ), а произвольная точка М имеет
координаты ( x; y), тогда уравнение окружности ( M 0 , r ) в пространствах
E 2 , SM , MM примет соответственно следующий вид.
2
I. Е : ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 r или ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 r 2. Это множество изображается обычной окружностью (рис. 77) на евклидовой плоскости.
y
Е2
y
M2
S
M
M3
M0
M0
M4
x
O
Рис. 77
M
O
329
Рис. 78
x
II. SM : x x0 y y0 r. Если x x0 , y y0 , то уравнение окружности примет вид x x0 y y0 r. Это уравнение определяет прямую, проходящую через точки M1 ( x0 r; y0 ), M 2 ( x0 ; y0 r ) . Учитывая наложенные условия на переменные, получаем отрезок M1M 2 (рис. 78). В данный момент употребляется термин «отрезок» с точки зрения евклидовой плоскости. Если
x x0 , y y0 ,
то
уравнение
y
x x0 y y0 r.
окружности
Уравнение определяет прямую,
проходящую
через
точки
M 2 ( x0 ; y0 r ), M 3 ( x0 r; y0 ). Учитывая наложенные условия на переменные,
получаем
отрезок
M 2 M3.
при
Аналогично,
x x0 , y y0 получаем отрезок
M3 M 4 , а при x x0 , y y0 полу-
MМ
M3
M2
M0
M4
M1x
Рис. 79
чаем отрезок M 4 M1 . Объединяя
четыре рассмотренных случая, получаем окружность, изображенную на рис. 78, т.е. ромб M1M 2 M3 M 4 с точки
зрения евклидовой плоскости.
III. MМ: max x x0 , y y0 r. Окружность изображена на рис. 79 и
является обычным квадратом M1 M 2 M 3 M 4 на евклидовой плоскости.
SM
SM
y
y
G
D
G
F
C
E
H
H
E
F
C
A
B
Рис. 80
A
x
B
x
Рис. 81
Точка M называется лежащей между точками A и B, если она отлична от
этих точек и выполняется равенство AM M B AB .
Отрезком с концевыми точками A и B называется множество, состоящее
из точек A и B и всех точек, лежащих между ними. Для плоскости суммы мо330
дулей на рис. 80 точка С расположена между точками А, В, точки F и G расположены между точками E и H.
На рис. 81 изображены отрезки AB, CD, EF, HG на плоскости суммы модулей. Для плоскости максимума из модулей на рис. 82 точка С расположена
между точками А и В. Точка F расположены между точками E и H.
На рис. 83 изображены отрезки AB, CD, EF, HG на плоскости максимума
из модулей.
МM
y
F
H
Н0
E
МM
D
F
C
y
G
B
E0
H
C
A
A
B
E
x
Рис. 82
x
Рис. 83
Примеры I-III являются частными случаями следующей метрики
d p ( A, B ) p ( x2 x1 ) p ( y2 y1 ) p .
На рис. 84 изображены окружности для различных значений параметра p.
При p овальные линии приближаются к сторонам квадрата, поэтому
метрику максимума модулей считают предельным случаем, соответствующим
случаю p .
y
O
Рис. 84
331
x
3. Серединный перпендикуляр и окружности Аполлония
Пусть даны две точки A, B и положительное число k. Найти множество
точек M на плоскости, удовлетворяющих условию
AM
k.
BM
Для k 1 множество точек называется серединным перпендикуляром, Это
множество будет обозначено на следующих рисунках буквой s. При k 1
множество называется окружностью Аполлония.
На рис. 85, 86 построены серединный перпендикуляр и окружности
Аполлония для плоскости суммы модулей с метрикой.
s
a
a
SM
SM
В
D
b
В
А
s
b
C
E
s
А
Рис. 85
s
F
Рис. 86
При k окружность
Аполлония «стягивается» к
s
SM
точке B. Аналогично, при
a
k 0 окружность Аполлония
«стягивается» к точке A. Точки
D
A и B называются фокусами
пучка окружности Аполлония.
b
E
C
CDEF
Четырехугольник
A
B
изображает окружность радиуF
са AB / 2 с центром в середине
отрезка AB. Если отрезок АВ
Рис. 87
расположен на прямой y x ,
то серединный перпендикуляр
состоит из двух четвертей плоскости и отрезка, их соединяющего (рис. 86).
Для горизонтального отрезка АВ окружности Аполлония превращаются в
четырехугольники (рис. 87).
332
Рис. 88–90 изображают серединный перпендикуляр и окружности Аполлония для плоскости максимума модулей.
ММ
ММ
s
s
B
B
A
A
s
s
Рис. 89
Рис. 88
На рис. 90 серединный перпендикуляр состоит из двух четвертей плоскости (на ограниченном куске плоскости четверти полуплоскостей изображаются треугольниками) и соединяющим их отрезком.
s
ММ
X
X0
A
B
F
А
Рис. 91
Рис. 90
s
Рис. 92
0
1
2
3
4. Расстояния на евклидовой плоскости
Расстоянием от точки А до фигуры F (рис. 91) называется число
d ( A, F ) inf AX.
X F
Если существует точка, где этот inf достигается, то можно использовать
символ min. На рис. 92 точки О(0) и А(3) на числовой прямой находятся на
расстоянии 1 до множества F {x :1 x 2}).
333
Расстояние между множествами A и B
на E 2 (обозначение ( A, B)) определяется
следующим образом: ( A, B ) inf ( x, y ),
X
x A , yB
где ( x, y) – расстояние между точками x и y
(рис. 93). На рис. 94 расстояние между множеством A {( x; y ) : ( x 2)2 y 2 1} и мно-
X0
Y
Y0
A
жеством B {( x; y) : ( x 5) 2 y 2 1} равно 1.
B
Рис. 93
А
1
0
В
3
6
4
х
Рис. 94
Введенное геометрическое понятие расстояния между множествами часто
используется в фрактальной геометрии, но не удовлетворяет требованиям для
расстояний (иногда их называют свойствами метрики):
1) d ( F , G) 0, F , G, причем расстояние равно нулю тогда и только тогда, когда фигуры совпадают;
2) d ( F, G) d (G, F );
3) d ( F, G) d (G, H ) d ( F, H ).
G
F
F
G
H
1 2
Рис. 95
3 4
Рис. 96
Свойство 1 нарушается для различных множеств, имеющих общие точки
(рис. 95). Свойство транзитивности 3 нарушается для множеств, указанных на
рис. 96.
Существует другое определение расстояния между множествами, называемое метрикой Хаусдорфа.
334
Обозначим через Br(x)
круг радиусом r с центром в
точке х (иногда рассматривают
открытый круг, т.е. без
граничной окружности).
r-окрестностью
множества G называется множество
G r Br ( x ) (рис. 97).
xG
4
3
F
2
1
0
G+r
G
-1
-2
Br
G
Рис. 97
5
-3
-4
-4
-3
-2
-1 0
1
Рис. 98
2
3
4
Пусть F и G – непустые
множества на плоскости. Расстоянием Хаусдорфа (метрикой Хаусдорфа)
между F и G называется число
H ( F , G) min{r 0 : G F r F G r}.
На рис. 101 множество F 2, т.е. минимальная окрестность множества
F накрывает множество G, а для накрытия множества F требуется рассмот-
5 – окрестность множества G, следовательно, расстояние между множествами равно 5.
реть
Замечание. Расстояние Хаусдорфа – это наименьшая зона влияния из
каждого множества, которая полностью накрывает другое множество, а геометрическое расстояние между множествами – это расстояние на плоскости
между ближайшими точками множеств.
5. Метрика на поверхности и кратчайшие линии на кубе
Задачи о поиске кратчайшей линии на поверхности часто появляются
среди олимпиадных задач и являются предметом изучения в физикоматематических школах. Алгоритм нахождения кратчайшей линии на многогранниках сводится к поиску кратчайшей линии на развертке многогранника,
причем приходится рассматривать несколько разверток некоторых граней
многогранника. На каждой развертке нужно определить кратчайшие линии,
т.е. отрезки, а затем выбрать наименьший отрезок из найденных отрезков и
построить соответствующую кратчайшую линию на многограннике.
На рис. 99 построено семейство кратчайших линий MN на кубе. Точка М
движется в передней грани по параболе, а точка N движется в верхней грани
куба по прямой. При движении точек М и N в правую сторону наступает мо335
мент, когда кратчайшие линии перескакивают через правый верхний угол куба. Аналогично при движении точек М и N в левую сторону наступает момент,
когда кратчайшие линии перескакивают через левый верхний угол куба.
Вокруг вершин А1 и В1 обраN
зуются области, не покрытые кратчайшими линиями. Если число
В1
А1
кратчайших линий значительно
увеличить, то указанные области
окажутся незакрашенными, т.е. белыми пятнами на кубе (рис. 100).
Для экономных перевозок, т.е. удоM
влетворяющих условию минимальности длины маршрута, эти области
окажутся закрытыми.
Среди всех линий, соединяюВ
А
Рис. 99
щих две фиксированные точки А и
В, выберем линию наименьшей
длины, если такая линия существует, и назовем длину этой кратчайшей линии расстоянием между точками А и В на поверхности или метрикой на поверхности.
На плоскости расстояние между двумя данными точками реализуется на отрезке АВ. На сфере расстояние между точками реализуется
Рис. 100
на кратчайшей линии, соединяющей
эти точки, т.е. на меньшей дуге большой окружности,
проходящей через эти точки. На цилиндре кратчайшей
В
линией является винтовая линия или меньшая дуга
окружности, перпендикулярная оси цилиндра, или обА
разующая цилиндра, т.е. прямая, параллельная оси
цилиндра.
Существуют поверхности, на которых линия
наименьшей длины не существует для двух данных
точек поверхности. Например, если из сферы удалить
Рис. 101
дугу АВ большой окружности, оставив концевые точки
А и В (рис. 101), то кратчайшей линией является дуга АВ, но она не принадлежит поверхности.
Расстоянием между точками А и В на поверхности F называется число
d ( A, В) inf s ( ( A, B), где ( A, B) – произвольная линия с концевыми точ F
ками А и В на поверхности, а символ s( ( A, B) означает длину линии.
336
Если существует линия, где этот inf достигается, то можно использовать
min.
В дальнейшем будем предполагать, что среди всех линий, соединяющих
две точки поверхности, существует линия наименьшей длины с концами в
этих точках, поэтому будем использовать определение
d ( A, В) min s( ( A, B).
(1)
F
Понятие расстояния между точками на поверхности удовлетворяет аксиомам метрического пространства, поэтому это понятие по праву называется
также метрикой.
Проверка двух первых аксиом метрического пространства очевидна
1) ( x, y) 0, x, y X ; ( x, y) 0 x y;
2) ( x, y) ( y, x);
3) ( x, y) ( y, z ) ( x, z ).
Проверим выполнение третьей аксиомы.
Рассмотрим произвольные
х
точки x , y , z на поверхности.
х
Пусть для точек х и у существует кратчайшая линия 1 , соедиу
няющая их, а для точек у и z суу
ществует кратчайшая линия 2 ,
z
z
соединяющая эти точки.
Среди всех линий, соедиРис. 102
Рис. 103
няющих точки х и z, существует
линия xyz, состоящая из объединения линий 1 и 2 . Если она является кратчайшей линией, то ( x, y) ( y, z) ( x, z ) (рис. 102).
Если линия xyz, состоящая из объединения линий 1 и 2 , не является
кратчайшей (рис. 103), то ( x, y) ( y, z ) ( x, z). Аксиома выполняется для
введенного расстояния.
Изучим кратчайшие линии на поверхности куба.
Пусть точки M и N расположены на смежных гранях, имеющих общее
ребро. Например, точка М расположена на передней грани куба, точка N расположена на верхней грани куба, а ребро куба равно 2a (рис. 104).
337
D1
N
C1
N2
N1
z
A
T2
B
A
A1
B
B1
H B1
T1
K
y
K
D
M
А
D1
T2
C1
N
z
A1
C
B
T1
B1
H
K2
O
y
x
K
D
Рис. 104
C
M
А
В
Достаточно рассмотреть ломаные линии с концевыми точками M и N,
расположенные в передней, верхней, левой боковой и правой боковой гранях
куба.
Повернем верхнюю грань A1B1C1D1 вокруг прямой A1B1 так, чтобы она
оказалась в плоскости передней грани и эти два квадрата образовывали прямоугольник со сторонами 2а и 4а. На развертке получим прямоугольник ABC1D1
(рис. 104).
Длина пространственной линии с концевыми точками M и N по поверхности куба равна длине линии на развертке. Кратчайшей линией на развертке,
соединяющей точки M и N, является отрезок MN. Пусть отрезок MN пересекает отрезок А1В1 на развертке в точке Н, тогда ломаная MHN на поверхности
куба будет первым претендентом на кратчайшую линию, соединяющую точки
M и N по поверхности куба.
Повернем верхнюю грань куба B1C1D1A1 вокруг прямой B1C1 так, чтобы
она оказалась в плоскости правой боковой грани и эти два квадрата образовы338
вали прямоугольник со сторонами 2а и 4а. Затем полученный прямоугольник
повернем вокруг прямой ВВ1 так, чтобы он оказался в плоскости передней
грани. Получим развертку верхней, правой боковой и передней граней, т.е.
ступенчатую фигуру ABCC1 D1 A1 B1 A1 A . Если от развертки вернуться к поверхности куба, то склеиваются следующие точки: A1 и A1, D1 и D1, C1 и
C1. Точка N на верхней грани куба при таком развороте окажется в положении N1. Кратчайшей линией на развертке в этом случае является отрезок MN1.
Возвращаясь от развертки к поверхности куба, получаем ломаную линию
MK1T1N, которая является вторым претендентом на кратчайшую линию, соединяющую точки M и N по поверхности куба.
Повернем верхнюю грань куба А1B1C1D1 вокруг прямой A1D1 так, чтобы
она оказалась в плоскости левой боковой грани и эти два квадрата образовывали прямоугольник со сторонами 2а и 4а. Затем полученный прямоугольник
повернем вокруг прямой AA1 так, чтобы он оказался в плоскости передней
грани. Получим развертку верхней, левой боковой и передней граней, т.е. ступенчатую фигуру BADD1C1 B1 A1 B1 B . Если от развертки вернутся к поверхности куба, то склеиваются следующие точки: B1 и B1, C1 и C1, , D1 и D1.
Точка N на верхней грани куба при таком развороте окажется в положении N2.
Кратчайшей линией на развертке в этом случае является отрезок MN2.
Возвращаясь от развертки к поверхности куба, получаем ломаную линию
MK2T2N, которая является третьим претендентом на кратчайшую линию, соединяющую точки M и N по поверхности куба.
Из трех отрезков MN, MN1, MN2 выберем кратчайший отрезок и потом построим соответствующую кратчайшую ломаную линию на поверхности куба
(рис. 105).
Кратчайшие линии на поверхности куба с концевыми точками на параллельных гранях показаны на рис.106.
Моделирование кратчайших линий на поверхности куба рассмотрено в
[19].
339
Рис. 105
H
G
E
F
N
D
C
M
A
Рис. 106
B
340
5.5. Аксиоматика геометрии. Геометрия Лобачевского
1. Векторная аксиоматика евклидова пространства
Данная аксиоматика базируется на аксиоматике векторного пространства
и в дальнейшем называется аксиоматикой Вейля.
Основные понятия: векторы a, b,..., точки А, В, …
Основные отношения: сумма векторов a b, умножение вектора на число
a , скалярное произведение векторов a b, отображение, ставящее в соответствие каждой упорядоченной паре точек (А, В) вектор AB.
I–III. Аксиомы векторного пространства V.
I. Аксиомы сложения.
Любым двум векторам a и b из V поставим в соответствие вектор из
множества V, называемый их суммой, и обозначаемый через a b, причем выполняются аксиомы:
I1. a b b a для a , b V .
I2. a b c a b c для a , b , c V .
I3. Существует нулевой вектор
удовлетворяющий условию
0 V,
a 0 a для a V.
I4. Для a V существует противоположный к нему вектор a V , удо-
влетворяющий условию a a 0.
II. Аксиомы умножения вектора на число.
Любому вектору a V и любому действительному числу поставим в
соответствие вектор из V, называемый произведением вектора a на число ,
обозначаемый a , причем выполняются аксиомы:
II1. a b a b для R, a, b V .
II2. a a a для , R, a V .
II3. a a для , R, a V .
II4. 1a a для a V.
Система векторов a1 , a 2 ,..., a k называется линейно зависимой, если существуют
такие
числа
1 , 2 ,..., k ,
не
все
равные
нулю,
что
1 a1 2 a 2 ... k a k 0; ; если же это равенство возможно лишь при
341
1 2 ... k 0, то данная система векторов называется линейно независимой, а векторы a1 , a 2 , ... , a k – линейно независимыми.
III. Аксиомы размерности.
III1. Существует линейно независимая система векторов, состоящая из п
векторов.
III2. Любая система векторов из n 1 векторов линейно зависима.
Множество векторов, удовлетворяющих аксиомам I-III групп называется
n-мерным векторным пространством и обозначается V n.
IV. Аксиомы аффинного пространства.
Пусть дано некоторое множество, элементы которого будем называть
точками и обозначать А, В, С, … Пусть дано n-мерное векторное пространство
V n и любым двум точкам А и В, взятым в указанном порядке, поставлен в
соответствие единственный вектор u пространства V n. Обозначение AB u.
IV1. Для любой точки А и любого вектора u существует одна и только
одна точка В такая, что AB u.
IV2. Для любых трех точек А, В, С выполняется равенство AB BC AC.
Множество точек, удовлетворяющее аксиомам IV1 и IV2, вместе с векторным пространством V n называется n-мерным аффинным пространством и
обозначается An.
V. Аксиомы скалярного произведения.
Пусть в векторном пространстве V n любым двум векторам a и b поставлено в соответствие определенное действительное число, которое называется скалярным произведением этих векторов и обозначается a b. Пространство V n называется n-мерным евклидовым векторным пространством, если
скалярное произведение удовлетворяет следующим аксиомам.
V1. a b b a для a, b V n.
V . a b a b
V2. a b c a c b c для a , b , c V n .
3
для R, a, b V n.
n
V4. a a 0 для a V , причем a a 0 a 0.
Арифметическая модель аксиоматики Вейля для трехмерного евклидова
пространства.
Вектором назовем упорядоченную тройку чисел {x; y; z} , точкой – упорядоченную
тройку
( x; y; z) действительных чисел. Каждой паре точек
A( x1 ; y1 ; z1 ) и B( x2 ; y2 ; z2 ) сопоставим вектор AB{ x2 x1 ; y 2 y1 ; z2 z1 }.
342
Сумму векторов, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определим соответственно формулами
{x1 ; y1 ; z1} {x2 ; y2 ; z2 } {x1 x2 ; y1 y2 ; z1 z2 },
{x1 ; y1 ; z1} { x1; y1 ; z1},
{x1 ; y1 ; z1}{x2 ; y2 ; z2 } x1 x2 y1 y2 z1 z2, тогда выполняются все аксиомы
трехмерного евклидова пространства.
2. Основные понятия плоскости Лобачевского
Абсолютная геометрия (аксиоматика Л.С. Атанасяна)
I. Аксиомы принадлежности.
I1. На каждой прямой лежит по крайней мере две точки.
I2. Существует по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.
I3. Через любые две точки проходит прямая и притом только одна.
II. Аксиомы порядка.
II1. Если точка B лежит между точкой A и точкой C, то A, B, C – три различные точки некоторой прямой и точка B лежит также между точками C и A.
II2. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Фигура, состоящая из двух точек A и B и всех точек, лежащих между ними, называется отрезком AB, а точки A и B – его концами.
II3. Каждая точка O, лежащая на прямой, разделяет множество остальных
точек этой прямой на два непустых подмножества так, что точка O лежит
между любыми двумя точками различных подмножеств и не лежит между любыми двумя точками одного и того же подмножества.
Фигура, состоящая из каждого подмножества точек, на которые точка O
делит остальные точки данной прямой, называется лучом, а точка O – началом
этих лучей.
Углом называется фигура, состоящая из двух различных лучей с общей
начальной точкой. Эта точка называется вершиной угла, а лучи – сторонами
угла. Если лучи образуют прямую, то угол называется развернутым.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две
другие стороны этих углов являются дополнительными лучами.
Биссектрисой угла называется луч, который исходит из его вершины,
проходит между сторонами и делит угол пополам.
Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих
на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков. Точки называются вершинами треугольника, а соединяющие их отрезки – сторонами треугольника.
II4. Каждая прямая a разделяет множество точек плоскости, не лежащих
на этой прямой, на два подмножества так, любые две точки разных подмно343
жеств лежат по разные стороны от прямой a, а любые две точки одного и того
же подмножества лежат по одну сторону от прямой a.
Фигура, состоящая из каждого подмножества точек, на которые прямая a
делит остальные точки данной плоскости, называется полуплоскостью, а прямая a – границей.
III. Аксиомы наложения.
Наложения – это отображения плоскости в себя, удовлетворяющие аксиомам III1–III7. Фигура Ф называется равной фигуре Ф, если существует
наложение, при котором фигура Ф переходит в фигуру Ф, т.е. каждая точка
фигуры Ф отображается в некоторую точку фигуры Ф и каждая точка фигуры Ф имеет прообраз, принадлежащий фигуре Ф .
III1. Каждая фигура равна самой себе.
III2. Если фигура Ф равна фигуре Ф , то фигура Ф равна фигуре Ф .
III3. Если фигура Ф1 равна фигуре Ф2 , а фигура Ф2 равна фигуре Ф3 , то
фигура Ф1 равна Ф3 .
III4. Если при наложении концы отрезка AB отображаются в концы отрезка АВ, то отрезок AB отображается на отрезок АВ.
III5. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.
III6. Если hk – неразвернутый угол и hk hk , то существует наложение, при котором луч h переходит в луч h, а луч k – в луч k .
III7. От любого луча в любую полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.
IV. Аксиомы длины отрезка.
Говорят, что введено измерение отрезков, если установлено соответствие
между отрезками и положительными числами так, что выполняются следующие условия:
Д1. Равным отрезкам соответствует одно и то же число.
Д2. Если точка C лежит на отрезке AB и отрезкам AC и CB соответствуют
числа a и b, то отрезку AB соответствует число a b.
Д3. Некоторому произвольно выбранному отрезку PQ соответствует число 1.
Положительное число, соответствующее указанным образом отрезку,
называется длиной этого отрезка. Отрезок PQ называется единицей измерения
или единичным отрезком.
IV1. При произвольно выбранном единичном отрезке PQ существует соответствие, удовлетворяющее условиям Д1, Д2 и Д3.
IV2. Для любого положительного числа существует отрезок, длина которого при выбранном единичном отрезке равна данному числу.
344
15. Внутренний луч угла пересекает любой отрезок с концами на сторонах угла.
16. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, лежащей
внутри треугольника.
17. В треугольник можно вписать единственную окружность.
Евклидова геометрия
Аксиома параллельности. Каковы бы ни были прямая a и не лежащая на
ней точка A, через точку A проходит не более одной прямой, не пересекающей
прямую a.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Утверждения, эквивалентные аксиоме параллельности.
1. V постулат Евклида. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то прямые пересекаются, причем с той стороны от секущей, с которой находятся эти углы.
2. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная
прямая, параллельная данной.
3. Две параллельные прямые при пересечении их секущей образуют равные накрест лежащие углы.
4. Сумма внутренних углов любого треугольника равна двум прямым углам.
5. Существует треугольник, сумма внутренних углов которого равна двум
прямым углам.
6. Существуют подобные треугольники.
7. Существуют треугольники с произвольно большой площадью.
8. Точки, расположенные по одну сторону от данной прямой на одном и
том же расстоянии, образуют прямую.
9. Расстояние от любой точки одной из двух параллельных прямых до
второй прямой ограничено.
10. Существует острый угол такой, что перпендикуляр, восстановленный
в любой точке одной его стороны, пересекает другую сторону.
Геометрия Лобачевского
Аксиома Лобачевского. Существуют такая прямая a и такая не лежащая
на ней точка A, что через точку A проходит не менее двух прямых, не пересекающих прямую a.
Теорема 1. Каковы бы ни были прямая a и не лежащая на ней точка A, через точку A проходит не менее двух прямых, не пересекающих прямую a.
Теорема 2. Сумма углов всякого треугольника на плоскости Лобачевского
меньше .
Теорема 3. Пусть на плоскости даны прямая a и не лежащая на ней точка
A. Тогда в пучке прямых, проходящих через точку A, существует две гранич346
ные прямые a и a , разделяющие все прямые пучка на два класса: один
класс прямых пересекает прямую a, а другой класс прямых не пересекает прямую a. Эти граничные прямые не пересекают прямую a.
Пусть AH – перпендикуляр к прямой (рис. 107) a, – угол между AH и
произвольной прямой, проходящей через точку A и не пересекающей a, пусть
0 inf , где inf рассматриваРис. 107
b
ется по всем прямым, не пересекающим прямую a, тогда граничA
c
ные прямые a и a образуют с
прямой AH угол 0 .
Прямая a называется параллельной прямой a вправо, а
a
прямая a параллельной прямой
H
a влево.
Угол 0 называется углом параллельности в точке A по отношению к
прямой a.
Угол параллельности зависит только от расстояния от точки A до прямой
a, поэтому этот угол называют углом параллельности, соответствующим отрезку AH.
Теорема 4. Две параллельные прямые асимптотически сближаются в сторону параллельности и неограниченно удаляются друг от друга в противоположном направлении.
Две прямые называются расходящимися, если они не пересекаются и не
параллельны.
Теорема 5. Всякие две расходящиеся прямые имеют общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они неограниченно удаляются одна от другой.
Окружностью с центром M 0 и радиусом R на плоскости Лобачевского
называется геометрическое место точек, удаленных от точки M 0 на расстоянии, равном R.
Окружность ортогональна в каждой своей точке пучку прямых, проходящих через центр окружности.
Эквидистантой для прямой a называется множество точек, расположенных по одну сторону от прямой a и удаленных от нее на одно расстояние.
Прямая a называется базой эквидистанты. Перпендикуляр, опущенный из точки эквидистанты на базу (и его длина), называется высотой эквидистанты.
Теорема 6. Для того чтобы две эквидистанты были равны, необходимо и
достаточно, чтобы они имели равные высоты.
Эквидистанта ортогональна в каждой своей точке пучку прямых, построенных перпендикулярно базе.
347
Прямая AM (рис. 108), где A a и M m , называется секущей равного
наклона к прямым a и m, если отрезок AM образует с этими прямыми равные
внутренние односторонние углы.
Пусть дан пучок прямых, параллельных прямой a в одном направлении.
Орициклом, проходящим через точку A, и осью a, A a, называется множество точек M, принадлежащих пучку прямых, таких, что AM является секущей
равного наклона.
M
Орицикл в каждой своей точке ортогоH
нален пучку прямых, параллельных его оси.
m
Движением плоскости Лобачевского
называется отображение плоскости на себя,
A
a
сохраняющее расстояние между любыми ее
точками.
Свойства движений, относящиеся к абсолютной геометрии:
Рис. 108
– движение сохраняет отношение «лежать между»;
– образом прямой (луча, отрезка, полуплоскости, угла) является прямая
(луч, отрезок, полуплоскость, угол);
– движение является биекцией;
– движение сохраняет величину угла;
– движения образуют группу относительно композиции;
– если две различные точки A и B неподвижны при движении, то и все
точки прямой AB неподвижны;
– если при движении три точки, не расположенные на одной прямой, неподвижны, то это движение является тождественным отображением;
– для любых двух флагов F и F плоскости существует и единственное
движение плоскости, отображающее флаг F на флаг F .
Поворотом плоскости вокруг точки O называется композиция двух осевых
симметрий оси которых пересекаются в точке O.
Если поворот вокруг точки O является произведением двух осевых симметрий относительно перпендикулярных прямых, то поворот называется симметрией относительно точки O.
При повороте вокруг точки O либо точка O является единственной неподвижной точкой, либо все точки плоскости неподвижны.
Пусть даны две параллельные прямые a и b, тогда Sb Sa Sc Sb , где c – прямая, симметричная прямой a относительно прямой b.
Поворотом вокруг бесконечно удаленной точки называется композиция
осевых симметрий относительно параллельных прямых.
Направленным отрезком AB прямой p называется упорядоченная пара точек (А, В) принадлежащих прямой p. Первая точка A называется началом, а
вторая точка B – концом. Расстояние между этими точками называется длиной
348
упорядоченного отрезка. Два направленных отрезка AB и CD на прямой p
называются сонаправленными, если один из лучей [ AB), [CD) содержится во
втором, и противоположно направленными в противном случае. Два сонаправленных отрезка на прямой называются равными, если они имеют одинаковые длины (обозначение AB = CD ).
Сдвигом вдоль прямой p на направленный отрезок AB (рис. 109) называется отображение плоскости на себя, при котором всякой точке M плоскости
ставится в соответствие точка M , такая, что перпендикуляры, опущенные из
них на прямую p, равны; они леРис. 109
жат в одной полуплоскости с граM
ницей p и направленный отрезок,
соединяющий основание перпендикуляра, опущенного из точки M,
с основанием перпендикуляра,
опущенного из точки M , равен
AB.
H
A
B
Сдвиг вдоль прямой p переводит прямую p в себя. Аналогично,
прямую p в себя переводит композиция этого сдвига и симметрия относительно прямой p, поэтому эти два движения плоскости называются скольжениями вдоль прямой p.
Теорема 7. Композиция двух симметрий относительно расходящихся прямых
Рис. 110
l
есть сдвиг вдоль их общего перпендикуM
ляра.
Введем на плоскости Лобачевского
y
систему координат следующим образом.
Пусть Ox и Oy – два перпендикулярH
ных луча и пусть MH – перпендикуляр,
опущенный из произвольной точки M на
x
a
прямую Ox. Каждой точке M плоскости
сопоставим пару чисел ( x; y), где x – координата точки H на оси Ox, а y – расстояние от точки M до оси Ox, взятое со
знаком «+» или «–» в зависимости от того, в какой полуплоскости относительно ox расположена точка M.
Сдвиг вдоль оси ox на расстояние а можно аналитически задать формулами x x a, y y.
349
При симметрии относительно прямой l (рис. 110), перпендикулярной оси
ox и удаленной на расстояние a от начала, координаты преобразуются по
формулам x 2a x, y y.
3. Модели плоскости Лобачевского
Модель Бельтрами
в круге
Модель Пуанкаре
в круге
Модель Пуанкаре
на полуплоскости
Изображения точек и прямых.
– горизонтальная прямая, назыa
b
ваемая абсолютом.
Точки плоскости Лобачевского –
точки верхней открытой полуплоскости с границей .
Прямые плоскости Лобачевского:
– открытые лучи а с вершиной на
в верхней полуплоскости и перпендикулярные ;
– полуокружности b в верхней полуплоскости без концевых
точек с центром на абсолюте (они ортогональны абсолюту).
– окружность, называемая абсолютом.
Точки плоскости Лобачевского – точки
открытого круга с границей .
Прямые плоскости Лобачевского:
– диаметры а окружности без концевых точек;
– дуги b окружностей, ортогональные
абсолюту без концевых точек.
– окружность, называемая абсолютом.
Точки плоскости Лобачевского –
точки открытого круга с границей .
Прямые плоскости Лобачевского –
хорды а, b окружности без концеa
вых точек.
350
a
b
b
Расстояние между точками.
Модель Пуанкаре
на полуплоскости
AB L k ln
tg
, k const,
tg
AB L k ln(U , V ; A, B ) ,
C
А
HC
CD L k ln
,
HD
В
D
CD L k ln(C , D; H , ) .
U
H
V
AB L k ln(U , V ; A, B ) ,
Модель Пуанкаре
в круге
CD L k ln( M , N; C , D ) .
M
C
D
N
B
V
А
U
Модель Бельтрами
в круге
AB L k ln(U , V ; A, B ) .
U
351
А
B
V
Модель Пуанкаре
в круге
Модель Пуанкаре
на полуплоскости
Величина угла между прямыми.
Величина угла между прямыми на плоскости Лобачевского равна величине
угла между изображающими их линиями на евклидовой плоскости.
l1
Величина угла между прямыми на
плоскости Лобачевского равна
величине угла между изображающими их линиями на евклидовой
плоскости.
l1
l1: cos 1 x sin 1 y p1 0,
l2: cos 2 x sin 2 y p2 0,
l2
Модель Бельтрами
в круге
где p1 1, p2 1,
cos L
cos( 2 1 ) p1 p2
1 p12
1 p22
.
l1
352
Прямые, проходящие через данную точку А и параллельные данной прямой
AH a , a параллельна а вправо, a параллельна а влево.
A
a
A
b
Модель Пуанкаре
на полуплоскости
a
b
A
a
A
A
b
Модель Пуанкаре
в круге
a
Модель Бельтрами
в круге
а,
H
A
a
A
b
H
b
353
a
a
Пучок параллельных прямых (ai) и орицикл (or).
or
or
Модеель Пуанкаре
на полуплоскости
a3
a1
a2
a2
a3
a1
Модель Пуанкаре
в круге
a3
a2
or
a1
Модель Бельтрами
в круге
a3
or
a2
a1
354
Пучок пересекающихся прямых (ai) с центром А и окружность S.
S
Модель Пуанкаре
на полуплоскости
a3
А
a2
a1
S
Модель Пуанкаре
в круге
a1
a2
А
a3
S
Модель Бельтрами
в круге
А
a1
a3
a2
355
Модель Бельтрами
в круге
Модель Пуанкаре
в круге
Модель Пуанкаре
на полуплоскости
Пучок расходящихся прямых и эквидистанта е с базой а.
a
a
a
е
е
е
e
a
a
е
a
е
356
Примеры движений в моделях
1. Инверсия относительно окружности S (a, r ), где a ;
z a
r2
Модель Пуанкаре
на полуплоскости
.
za
2. Симметрия относительно
прямой l , l :
x x 2b, y y
l
у
S
или z z 2b.
Преобразования 1 и 2 допускают единую запись z
z
x
a
r
O
b
z
.
z
1. Инверсия относительно окружности S ( z 0 , z 0 z 0 1), где
Модель Пуанкаре
в круге
z0 1, z z0
z
z0 z0 1
или
z z0
y
l
z0 z 1
.
z z0
2. Симметрия относительно прямой
l , O l: z (cos 2 i sin 2 ) z.
S
z0
1. Поворот RO вокруг начала координат:
Модель Бельтрами
в круге
RO : x cos x sin y ,
y sin x cos y.
2. Симметрия относительно оси Oх: x x, y y.
3. «Сдвиг» плоскости вдоль прямой Oх:
y 1 2
x
, y
, где 1.
x 1
x 1
4. Симметрия относительно прямой x p:
x
x
(1 p 2 ) y
(1 p 2 ) x 2 p
y
.
,
2 px (1 p 2 )
2 px (1 p 2 )
357
Глава 6.
ГЕОМЕТРИЯ ЧИСЕЛ
6.1. Пифагоровы и героновы треугольники
1. Определение пифагоровых треугольников
Пифагоровым треугольником называется прямоугольный треугольник, стороны которого выражаются натуральными числами.
Обозначение пифагорова треугольника с катетами a, b и гипотенузой c: (a, b, c).
Пифагоров треугольник (a, b, c) называется основным, если a и b являются взаимно простыми числами (табл. 1).
Таблица 1
2
m
n
a = 2mn
bm n
2
3
5
7
9
4
4
5
7
9
6
6
7
8
8
8
8
9
1
2
2
2
2
1
3
4
4
4
1
5
6
1
3
5
7
8
4
12
20
28
36
8
24
40
56
72
12
60
84
16
48
80
112
144
3
5
21
45
77
15
7
9
33
65
35
11
13
63
55
39
15
17
2
c m2 n2
5
13
29
53
85
17
25
41
65
97
37
61
85
65
73
89
113
145
Для отыскания всех пифагоровых треугольников достаточно найти
все основные пифагоровы треугольники, а остальные получаются умножением сторон основных треугольников на число k (kN).
Теорема 1. Все основные пифагоровы треугольники (a, b, c), у которых катет a является четным числом, получаются из формул
а = 2mn, b = m2 – n2, c = m2 + n2 ( m n),
где m и n — все пары взаимно простых чисел, из которых одно число
(безразлично, какое) является четным, а другое нечетным. Каждая основная тройка (a, b, c), где а является четным, определяется этим способом
однозначно.
358
Стороны всех основных пифагоровых треугольников (a, b, c), у которых b нечетно, вычисляются по формулам:
a
k2 l2
k2 l2
(k l ),
, b kl, c
2
2
где k и l — все пары нечетных взаимно простых чисел. Каждая основная
тройка (a, b, c), где b нечетно, определяется этим способом однозначно.
Некоторые основные пифагоровы треугольники для чисел k и l
представлены в табл. 2.
Таблица 2
k
3
5
5
7
7
7
9
9
9
11
11
11
11
l
1
1
3
1
3
5
1
5
7
1
3
5
7
k2 l2
a
2
b kl
4
12
8
24
20
12
40
28
16
60
56
48
36
3
5
15
7
21
35
9
45
63
11
33
55
77
c
k2 l2
2
5
13
17
25
29
37
41
53
65
61
65
73
85
2. Пифагоровы треугольники с некоторыми свойствами
1о. Радиус окружности r, вписанной в пифагоров треугольник
( a , b , c ), вычисляется по формуле 2 r a b c, r n ( m n).
2о. Существует пифагоров треугольник с катетом, равным наперед
заданному натуральному числу n (n 3) :
n2 1 n2 1
,
n,
– для n нечетного,
2
2
n2
n2
n, 1, 1 – для n четного.
4
4
3о. Существуют пифагоровы треугольники с равными гипотенузами.
Например: (13, 84, 85), (36, 77, 85).
4о. (3k, 4k, 5k), k N — все пифагоровы треугольники, стороны которых образуют арифметическую прогрессию.
359
k 2 1 k 2 1
,
5о. (2n+1, 2n2+2n, 2n2+2n+1), ( n 1), k ,
, k нечетное
2
2
– основные пифагоровы треугольники, катет и гипотенуза которых являются
последовательными натуральными числами. Существует пифагоров треугольник, катет которого равен заданному нечетному числу.
6о. (k 4 4, 4k 2 , k 4 4), k – нечетное. Основной пифагоров треугольник,
описанный
около
окружности
с
четным
радиусом
r = 2(k2 – 2).
7о. (4t 2 1, 4t ,4t 2 1) – пифагоров треугольник, описанный около
окружности с нечетным радиусом r = 2t – 1. Катет и гипотенуза являются
двумя последовательными нечетными числами.
8о. (15 39k , 20 52k , 25 65k ), (10 25k , 24 60k , 26 65k ) – два пифагорова треугольника, гипотенузы которых — последовательные числа.
9о. Произведение длин сторон пифагорова треугольника делится на
60.
3. Героновы треугольники
Треугольник называется героновым, если
его стороны – натуральные числа и площадь
является целым числом.
Тройка натуральных чисел (a, b, c) называется
героновой триадой.
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a
5
13
25
41
61
85
113
145
181
221
b
5
20
51
104
185
300
455
656
909
1220
c
6
21
52
105
186
301
456
657
910
1221
Рис. 1
Таблица 3
h
S
4
12
12
126
24
624
40
2100
60
5580
84
12642
112 25536
144 47304
180 81900
220 134310
360
Любая пифагорова тройка
целых чисел (a, b, c), для которой
a 2 b 2 c 2, является героновой.
Примеры героновых триад, не
являющихся пифагоровыми –
(7,15, 20),
(51,52,53).
(9,10,17),
(13,14,15),
Для геронова треугольника
на рис. 1 и в таблице 3 приведены некоторые частные случаи.
Для героновых треугольников со сторонами
a ( 2 2 2 ), b ( 2 2 2 ), c (1 2 )( 2 2 ), где
, , , N , p 2 (1 2 ), S 2 ( 2 2 )(1 2 ).
Для героновых треугольников со сторонами
a kmn ( p2 q2 ), b kpq (m2 n2 ), c k(mq np)(mp nq), где
m, n, p, q N , mp nq S kmnpqc. (МШ 1983, № 3, 1984, №4).
Пусть m, n, t N , m2 n2 t 2, a n (4m2 t 2 ), b m (4n2 t 2 ), c 4mnt
прямоугольный параллелепипед, длины ребер которого a, b, c и длины
диагоналей всех боковых граней – целые числа (МШ 1993, № 1).
6.2. Числа Фибоначчи
Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в 1202 г. рассматривал задачу о
кроликах.
Предположим, что кролики живут вечно и каждый месяц каждая пара производит новую пару, которая может давать потомство после того,
как достигнет возраста двух месяцев. Составим таблицу закономерности.
Месяц
1-я пара
1
1
2
1
3
1
1
4
1
1
1
5
1
1
1
1
1
6
7
8
9
10
Таблица 4
11
12
Всего
кроликов
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
Числа Фибоначчи задаются рекуррентной формулой
Fn Fn 2 Fn 1 , n 3, F1 1 F2 .
n
n
1 1 5
5 1
– формула Бине – Бернулли устанав
2
5 2
Fn
ливает связь чисел Фибоначчи и золотого отношения.
Fn 2 Fn Fn2 (1)n 1 – формула Кассини.
Любое положительное целое число имеет единственное представление
(1)
n Fk Fk ... Fk .
1
2
r
k1 k2 2, k2 k3 2, ..., kr 1 kr 2,
361
где представление осуществляется с помощью «жадного» подхода. В качестве Fk1 выбирается наибольшее число Фибоначчи, которое меньше либо
равно данному числу n, затем в качестве Fk2 выбирается наибольшее число,
которое меньше либо равно n – Fk2 и т.д. Равенство (1) представим в виде
m
n bk Fk ,
(2)
k 2
где bk = 1, если число Fk имеется в разложении, и bk = 0, если соответственное число Фибоначчи отсутствует в разложении.
Сопоставим числу (2) машинное слово (bm ,..., b3 , b2 ). Получим код
числа n в фибоначчиевой системе счисления, причем для записи используются только символы 0 или 1.
Числа F2, F3, F4,… образуют базис системы счисления, а равенство
(2) является разложением числа n по базису.
Примеры кодов некоторых чисел:
110=1=
1010=8+2=
00010010,
00000001,
210=2=
00000010,
1910=13+5+1=
00101001,
310=3=
00000100,
4510=34+8+3=
10010100,
910=8+1=
00010001,
5410=34+13+5+2= 10101010.
В этой форме представления чисел две единицы не могут быть расположены рядом.
Связь
чисел
Фибоначчи
и
золотого
отношения
F3
Fn 1
F2
F4 3 F5 5 F6 8
,
, ,..., lim
.
1,
2,
n F
F1
F1
F3 2 F4 3 F5 5
n
Площадь параллелограмма, построенного на векторах a( x1 , y1 ),
b ( x2 , y2 ),
S
вычисляется
x1
x2
y1
y2
по
формуле
у
.
Рассмотрим на плоскости целочисленную решетку с шагом равным 1 и
отложим векторы от начала координат
(рис. 2). На векторах построим параллелограмм. Если векторы имеют целочисО
Рис. 2
ленные координаты и параллелограмм
не содержит внутри и на сторонах точек
решетки, то выполняется равенство x1 y2 x2 y1 1.
х
Определение чисел Фибоначчи дополним следующим образом:
362
F0 0, F n (1) n 1 Fn , n N .
Пример некоторых значений функции Fn приведен в табл. 5.
n
Fn
–5
5
–4
–3
–3
2
–2
–1
–1
1
0
0
1
1
2
1
3
2
4
3
5
5
6
8
Таблица 5
7
8
13 21
Расширенное множество чисел Фибоначчи обозначим через F. Для
чисел из множества F справедливы следующие равенства
Fn Fn 2 Fn21 (1) n 1 , Fn k Fn Fk 1 Fk Fn 1.
(3)
Переставляя индексы n и k, получим аналогичное равенство
(4)
Fk n Fk Fn1 Fn Fk 1
Из равенства (3) следует, что два вектора с координатами
a (Fn ; Fn1), b (Fn1; Fn2 ) образуют параллелограмм с единичной площадью.
un k F (n, un , un 1 ,..., un k 1 ) – рекуррентное отношение, которое позволяет вычислять любой член последовательности, если известны ее k
предшествующих членов.
Пример 1. un 1 un q, где q const 0. Рекуррентное отношение
определяет геометрическую прогрессию.
Пример 2. un 1 un d , где d const. Рекуррентное отношение
определяет арифметическую прогрессию.
Пример 3. un un 1 un 2 , n 2, u1 1, u2 1 – последовательность
чисел Фибоначчи, т.е. последовательность чисел
1,1, 2,3,5,8,13, 21,34,55,89,144,...
Если un k линейно выражается через un , un 1 ,..., un k 1 , , т.е. un k
cn un cn 1un 1 ... cn k 1un k 1 , где ci const, то рекуррентная последовательность называется возвратной последовательностью.
Пусть для возвратной последовательности un aun1 bun2 , где
n 2, a, b const, b 0 известны первые два члена последовательности
u0 , u1 .
Характеристическое уравнение для равенства: k 2 ak b 0.
Если корни k1 , k2 характеристического уравнения различные, то получаем формулу для общего члена u n C1 k1n C 2 k 2 n .
u C1 C2 ,
Постоянные С1, С2 определяются из системы 0
u1 C1k1 C2 k2 .
363
Если корни характеристического уравнения равны k1 k2 k , то
формула общего члена возвратной последовательности принимает вид
u n C1 k n C 2 nk n , где постоянные С1, С2 определяются из системы
u0 C1 , u1 C1k C2 k .
Пусть {an } a0 , a1 ,... произвольная числовая последовательность,
тогда формальный числовой ряд f ( x ) a0 a1 x a 2 x 2 ... an x n ...
называется производящей функцией этой последовательности.
При определении общего члена рекуррентного отношения используются разложение функций в формальные степенные ряды:
1
1 ax a 2 x 2 ... a n x n ...,
1 ax
1
1 2ax 3a 2 x 2 ... (n 1)a n x n ...
(1 ax) 2
6.3. Многоугольные числа и касание окружностей
Треугольные числа вычисляются по формуле S3 (n)
n (n 1)
.
2
Рис. 3
На рис. 3 представлены
некоторые треугольные числа.
Название связано с тем, что
треугольные числа S 3 ( n ) , т.е.
Рис. 4
1, 3, 6,10,15, 21, 28,...
числа
можно рассматривать как
число шаров, уложенных в
виде правильного треугольника, в основании которого
находится n шаров.
Треугольные числа можно использовать для подсчета числа труб, уложенных в ярусы (рис. 4).
364
Для треугольных чисел выполняется рекуррентное равенство S3 (n 1) S3 (n) n 1, , где
Рис. 5
S3 (1) 1. Действительно (рис. 5),
чтобы получить следующее треугольное число S3 (n 1) из
предыдущего треугольного числа
S3 (n) нужно продолжить две
стороны треугольника, выходящие из одной вершины, и на новой стороне дополнительно построить ( n 1) точку.
Для доказательства этой
формулы приложим к построенной фигуре равную ей фигуру (рис. 6).
Получим n горизонтальных рядов точек, причем в каждом горизонтальном ряду находится ( n 1) точка, поэтому 2S3 (n) n (n 1) .
n( n 1)
Cn2 .
2
На рис. 7 представлена последовательность квадратов. Для
квадратных чисел выполняется
рекуррентное равенство
S 4 (n 1) S 4 (n) 2n 1,
S3 ( n )
n
где S4 (1) 1.
Рис. 6
Квадратные числа опреде2
ляются формулой S 4 ( n ) n .
На рис. 8 представлена последовательность правильных пятиугольников.
Подсчитывая число точек в них, получим
пятиугольные числа 1, 5, 12, 22, 35, …
Для пятиугольных чисел выполняется рекуррентное равенство
S5 (n 1) S5 (n) 3n 1,
n+1
где S5 (1) 1.
Рис. 7
365
Найдем формулу для определения пятиугольных чисел S 5 ( n ) .
F1
F3
F2
Рис. 8
Рис. 9
Первый способ. Выделим на фигуре, состоящей из S5 ( n) точек (рис.
9), фигуры, содержащие треугольное число точек, т.е. две равных фигуры F1 и F2, содержащих по S 3 ( n ) точек, и фигуру F3, содержащую
S3 (n 2) точек.
Если сложить из фигур F1, F2 и F3 исходную фигуру, то одна вершина пятиугольника окажется накрытой дважды, поэтому
S3 (n) S3 (n) S3 (n 2) S5 (n) 1, S5 (n) S3 (n) S3 (n) S3 (n 2) 1.
n (n 1)
число n на число n 2, получим
2
n(n 1) (n 2)(n 1)
n(3n 1)
1, S5 (n)
S5 (n) 2
.
2
2
2
Второй способ, который потом можно распространить на любой тип
многоугольных чисел.
Проведем из вершины
F1
внешнего пятиугольника две
диагонали (рис. 10), тогда
можно заметить три треугольные области F1, F2 и F3, кажF3
дая из которых содержит
S 3 ( n ) точек.
Если сложить из фигур
F1, F2 и F3 исходную фигуру,
то точки на этих двух диагоF2
налях окажутся накрытыми
Рис. 10
дважды. Каждая диагональ
содержит n точек, поэтому
Заменяя в формуле S3 (n)
366
3S 3 ( n ) S 5 ( n ) 2 n,
S 5 ( n ) 3S 3 ( n ) 2 n,
n (3n 1)
.
2
На рис. 11 представлена последовательность правильных шестиугольников. Подсчитывая число точек в них, получим шестиугольные
числа 1, 6, 15, 28, 45, …
Для шестиугольных чисел выРис. 11
полняется рекуррентное равенство
S6 (n 1) S6 (n) 4n 1, где S6 (1) 1 и
шестиугольные числа определяются формулой S6 (n) n(2n 1).
Определите аналогично m-угольные числа, используя последовательность правильных m-угольников.
Для m-угольных чисел (на рис. 12 m 6) выполняются равенства
Sm (n 1) Sm (n) (m 2)n 1,
где Sm (1) 1.
S5 (n)
n[(m 2)n m 4]
.
2
Пирамидальные числа:
Sm (n)
n (n 2)(n 2)
.
6
Окружности S1 , S 2 ,..., Sn образуют венок вокруг окружности S, есРис. 12
ли каждая окружность Si касается
окружностей S , S i 1 и S i 1 (будем считать, что S n 1 S1 ) (рис. 13).
Вокруг любой окружности всегда можно образовать венок из шести
равных ей окружностей (рис. 14).
Вокруг любой окружности всегда можно построить венок (рис. 15)
из произвольного числа n равных окружностей, где n 3. Для радиуса
R базовой окружности и радиуса R1 окружностей венка из прямоугольного треугольника получаем
R sin ( / n)
R1
.
sin или R1
1 sin ( / n)
n
R R1
367
S3
S4
S2
S1
A3
A2
A4
S
A1
A5
S5
A7
A6
S6
S7
Рис. 13
R
R
R
R
O
R
R
S
Рис. 14
Рис. 15
Пусть A1 , A2 ,..., An – произвольные n точек на окружности S радиуса
R. Если n – нечетное число, то всегда можно построить окружности
S1 , S2 ,..., Sn , касающиеся окружности S соответственно в точках
A1 , A2 ,..., An , и такие, что S2 касается S1 и S3, S3 касается S2 и S4, … , Sn касается Sn-1 и S1, S1 касается Sn и S2. Радиус окружности S1 равен
1
(1)
R1
A2 A3 A4 A5 ... An 1 An
1
2
R
A1 A2 A3 A4 ... An 2 An 1 An A1
368
(знак плюс соответствует внутреннему касанию S1 , S 2 ,..., Sn с S, а знак
минус – внешнему касанию).
Венок из окружностей, расположенных внутри базовой окружности показан на рис. 16 и вне базовой
окружности на рис. 17.
Рис. 16
Рис. 17
Некоторые окружности
венка касаются не только
двух соседних окружностей,
но и других окружностей
венка (рис. 18).
Если расстояния между точками касания окружностей венка с базовой
Рис. 18
окружностью существенно
различаются, то при одном
знаке в формуле (1) могут появиться окружности, касающиеся базовой
окружности внутренним и внешним образом (рис. 18, 19).
369
Рис. 19
6.4. Комплексные числа
1. Операции с комплексными числами
z a bi – алгебраическая форма комплексного числа, где a, b – действительные числа, i – мнимая единица, для которой выполняется равенство i2 1 . Число а называется действительной частью комплексного
числа z и обозначается Re z. Число b называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается Im z.
z Re z Im z.
Операции для комплексных чисел z1 x1 y1i, z2 x2 y2i :
z1 z2 ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) i, z1 z2 ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) i,
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) ( x1 y2 x2 y1 ) i,
z1 x1 y1i ( x1 y1i) ( x2 y2i) x1 x2 y1 y2 ( x2 y1 x1 y2 ) i
,
z2 x2 y2 i ( x2 y2i ) ( x2 y2i )
x22 y22
z a bi – сопряженное число к данному числу z a bi.
Операция сопряжения удовлетворяет равенствам:
z z,
Модуль
z
z1 z 2 z1 z 2 , z1 z2 z1 z2 , 1
z2
z1 z 2 z1 z 2 ,
комплексного
2
z1
.
z2
числа
y
2
z a bi равен z x y .
z a bi
Комплексное число
изображается на плоскости точкой
M ( x; y ) (рис. 20).
O
370
Рис. 20
x
x
Аргументом комплексного числа z a bi называется угол, образованный вектором OM с положительным направлением оси абсцисс, т.е.
arg z .
z z (cos i sin ) – тригонометрическая форма числа z.
z z ei – показательная форма комплексного числа z.
Действия с числами z1 r1 (cos 1 i sin 1 ), z2 r2 (cos2 i sin 2 ) в тригонометрической форме:
z1 z2 r1r2 cos(1 2 ) i sin(1 2 ) ,
z1 r1
cos(1 2 ) i sin(1 2 ) ,
z2 r2
r (cos i sin )
n
r n (cos n i sin n ) – формула Муавра.
2k
2k
i sin
n
n
степени из комплексного числа, где k 0,1,2,..., n 1.
k n r (cos i sin ) n r cos
2.
– корни n-й
Запись преобразований с помощью комплексных чисел
Параллельный перенос Ta (рис. 21)
y
на вектор a :
Ta: z z z0 .
z
Поворот RO (рис. 22) вокруг начала
координат на угол :
RO: z ei z.
z0
O
x
Рис. 21
Поворот R z0 вокруг точки z0 на угол :
y
Rz0 : z z0 ei ( z z0 ).
Симметрия S Ox (рис. 23) относительно
оси Ох:
z
O
SOx: z z.
x
Рис. 22
Симметрия SOy относительно оси Оу:
SOy: z z.
y
Симметрия Sl относительно оси прямой l,
проходящей через начало координат и образующей угол с осью Ох:
371
z
O
Рис. 23
x
S l : z e 2 i z .
Симметрия S z0 относительно точки z0:
S z0 : z 2 z 0 z .
Гомотетия с коэффициентом k относительно начала координат
HOk : z kz.
R
Инверсия I O относительно начала координат с радиусом R:
IOR: z
R2
.
z
R
Инверсия I z0 относительно точки z0 с радиусом R:
I zR0 : z z0
3.
R2
z z0
.
Использование комплексных чисел в аналитической геометрии
Точки с комплексными координатами z и z симметричны относительно оси х.
Точки с комплексными координатами z и – z симметричны относительно оси у.
Точки с комплексными координатами z и –z симметричны относительно начала координат.
Пусть A(a), B (b), C (c), D (d ) – точки на комплексной плоскости с комплексными координатами, тогда:
K
y
AB b a – расстояние между
B
точками А и В (рис. 24),
a b – координата точки K такой,
что OK OA OB ,
a b – координата точки L такой,
что OL OA OB ,
ab
– координата середины отрез2
ка АВ,
zM
b
a
O
Рис. 24
A
x
L
a b
– координата точки М, делящей отрезок АВ в отноше1
нии ,
372
a c b d – необходимое и достаточное условие того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом,
ab ab – условие коллинеарности точек О, А, В,
a(b c) b(c a) c(a b) 0 – условие коллинеарности точек А, В, С,
(b a)(d c) (b a)(d c) – условие коллинеарности векторов AB и
CD ,
ab ab 0 – условие перпендикулярности векторов OA и OB ,
(b a)(d c) (b a)(d c) 0 – условие перпендикулярности
векторов
AB и CD ,
a b z b a z ab ab 0
– уравнение прямой АВ.
az az b 0, где b b – уравнение прямой, проходящей через точку
b
M 0
с нормалью OA a.
2a
a z0 a z0 b
2a
–
расстояние
от
az az b 0, где b b.
точки
M 0 ( z0 )
до
прямой
y
z z0 tei – параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку
M 0 ( z0 ) и образующей угол с осью х,
где t R – параметр, равный расстоянию
(с точностью до знака) от точки M(z) до
точки M 0 ( z0 ), const.
z z1
z 2 z1
z 2 z1
M 1 ( z1 ), M 2 ( z 2 ).
z 2 z1
z z
1
x
O
Рис. 25
– уравнение прямой, проходящей через точки
– комплексный угловой коэффициент прямой M1M2, где
z 2 z1
1, cos i sin , 2 (рис. 25).
Для прямых
l1: z z1 1 z z1 , где 1 1 и l 2 : z z 2 2 z z 2 , где
373
2 1,
1 2 – условие коллинеарности прямых l1 и l2,
1 2 0 – условие перпендикулярности прямых l1 и l2.
z z R2 – уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R.
z z0 z z0 R 2 –- уравнение окружности с центром
M 0 ( z0 ) и ра-
диусом R.
z z0 Rei – параметрическое уравнение окружности с центром
M0 (z0 ) и радиусом R, где – параметр точки окружности, равный углу
между вектором
z0 z и осью х, [0;2 ] .
a b ti a b ti
e
e – параметрическое уравнение эл2
2
липса с полуосями а и b, причем большая ось совпадает с осью х, а центр
эллипса – с началом координат.
a b ti a b ti
y
z z0 ei
e
e
2
В
2
M
– параметрическое уравнение эллипА
са с полуосями а и b, центром z0,
причем большая ось образует угол
1
с осью х.
x
O
Пусть – окружность единичноP
го радиуса с центром в начале коорРис. 26
динат, задана уравнением z z 1 и
заданы точки на окружности A(a), B(b), C (c), D(d ), P( p), Q(q), тогда:
z a cos t b sin t i
z abz a b – уравнение прямой АВ, где A, B,
pz pz 2 – уравнение касательной к в точке P
(рис. 26).
Координата точки M(z) пересечения секущих АВ и CD (рис.
27):
(a b) (c d )
z
.
ab cd
Координата точки N пересечения касательных в точках P(p)
и Q(q):
y
В
А
M
D
Q
O
1
C
N
374
Рис. 27
P
x
z
2( p q ) 2 pq
.
pq pq p q
z z 2 p Re z a 2 0
, где a R , p R – уравнение эллиптического
Re z 0
пучка окружностей, проходящих через точки A(ia) и B(–ia). К этому пучку относится прямая x 0.
z z 2 p Im z a 2 0
, где a R , p R – уравнение гиперболического
Im z 0
пучка окружностей с фокусами F1(ia) и F2(-ia). К этому пучку относится
прямая y 0.
z z 2 p Re z 0
, где p R – уравнение параболического пучка
Re z 0
окружностей, проходящих через начало координат. К этому пучку относится прямая x = 0.
Две окружности 1: z z z z 0 0 и 2: z z z z 0 0 – ортогональны тогда и только тогда, когда 0 0 .
Окружности
1: z z c1 z z 0 c1 z z 0 z z0 0
и
2: z z
c2 z z 0 c2 z z0 z z0 0, проходящие через точку z0, ортогональ-
ны тогда и только тогда, когда Re
z0 c1
0.
z0 c2
6.5. Сравнения по модулю m
Рассмотрим множество целых чисел и натуральное число m. Число
а называется сравнимым с числом b по модулю m, если (a b)m , т.е. если
разность a – b делится без остатка на число m. Обозначение этого отношения а b (mod m). Название этого отношения для целых чисел – вычеты по модулю m, сравнения по модулю m.
Например: числа 6, 11, –4 сравнимы с 1 по модулю 5, так как разность между каждым из этих чисел и числом 1 целится на 5, поэтому
6 1 (mod 5), 11 1 (mod5), 4 1 (mod5).
Отношение сравнения удовлетворяет следующим свойствам:
а) рефлексивно, так как а а (mod m), а;
б) симметрично, так как из а b (mod m) b a (mod m);
375
с) транзитивно,
а c (mod m).
так
как
из
а b (mod m)
b c (mod m)
и
Классом эквивалентности, порожденным элементом х в множестве ,
называется множество целых чисел, которые сравнимы с х по модулю n.
Класс эквивалентности, порожденный элементом х, обозначается х.
Для отношения «сравнение по модулю 5» на множестве целых чисел
получаем классы
2 = {…, –8, –3, 2, 7, 12, …},
1 = {…, –9, –4, 1, 6, 11, …},
3 = {…, –7, –2, 3, 8, 13,…},
4 = {…, –6, –1, 4, 9, 13, …},
5 = {…, –5, 0, 5, 10, …},
0 = {…, –10, –5, 0, 5, 10, …} = 5.
Получили множество 0,1,2,3,4 из пяти различных элементов, которое обозначим через 5.
Для сравнения по модулю m множество { 0,1,2,...m 1 } обозначается
через Zm. Z2 {0,1}, где 0 – класс четных чисел, 1 – класс нечетных чисел,
Z 3 {0, 1, 2}.
Для классов вычетов по данному модулю n определены операции:
a, b a b a b со свойствами (a b) c a (b c),
– сложения
a 0 a, a b b a, a (a) m a : a m a 0.
– умножения a, b a b a b со свойствами a b b a, a 1 a, a 0 0.
Таблицы сложения и умножения для вычетов по модулю 6.
+
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
1
1
2
3
4
5
0
1
0
1
2
3
4
5
2
2
3
4
5
0
1
2
0
2
4
0
2
4
3
3
4
5
0
1
2
3
0
3
0
3
0
3
4
4
5
0
2
3
4
0
4
2
0
4
2
5
5
0
1
1
2
3
4
5
0
5
4
3
2
1
Таблица умножения показывает, что уравнение 2 х 1 в классе вычетов по модулю 6 не имеет решения, так как при умножении получаем
числа, кратные 2.
376
Классы вычетов используются в криптографии при кодировании и
декодировании информации.
Если а b (mod m) и c d (mod m), то
а c b d (mod m), а c b d (mod m), аc bd (mod m),
аn bn (mod m) для любого натурального числа п.
Пример. Доказать, что число 389 5 делится на 7.
Решение. 33 1(mod7), 36 1(mod7), 384 (36 )14 1(mod7),
389 384 33 32 1 (1) 2(mod7), 389 2(mod7),389 5(mod7),
5 5(mod7), 389 5 0(mod7), (389 5)7.
Малая теорема Ферма. Для любого целого числа а и любого проp
стого числа р выполняется равенство a a (mod p).
Следствие из теоремы Ферма. Если а – целое число и не делится на
число р, то a p 1(mod p).
6.6. Геометрия масс
Пусть в точках А1, А2, …, Аn находятся соответственно массы m1, m2,
…, mn, тогда центром масс системы материальных точек m1А1, m2А2, …,
mnАn называется точка М, для которой выполняется равенство
m1 MA1 m2 MA2 ... mn MAn 0.
Если точка М является центром масс системы материальных точек
m1А1, m2А2, …, mnАn, то для любой точки О пространства справедливо
равенство
OM
m1 OA1 m2 OA2 ... mn OAn
.
m1 m2 ... mn
(1)
Если хотя бы при одном выборе в пространстве точки О верно равенство (1), то точка М – центр масс системы материальных точек m1А1,
m2А2, …, mnАn.
Центр масс двух материальных
A1
A2
M
точек m1А1 и m2А2 расположен на
m1
m2
отрезке А1А2 и делит этот отрезок в
Рис.
28
отношении A1M : MA2 m2 : m1 , т.е.
правило
рычага
выполняется
m1 MA1 m2 MA2 (рис. 28).
Пусть в системе материальных точек m1А1, m2А2, …, mnАn выделено
подмножество m1А1, m2А2, …, mkАk ( k n ) , имеющее центр масс в точке
С, тогда центр всей системы материальных точек m1А1, m2А2, …, mnАn
377
с
центром
масс
системы
материальных
точек
совпадает
(m1 m2 ... mk )C, mk 1 Ak 1 , mk 2 Ak 2 , ..., mn An.
Определение центра тяжести треугольника (рис. 29).
Рассмотрим систему материальных точек mА, mB, mC (рис. 29 а).
Для двух материальных точек mА, mB найдем по правилу рычага
центр тяжести, т.е. середину С1 отрезка АВ и заменим подмножество материальных точек mА, mB одной материальной точкой 2mC1 (рис. 29 б).
Для двух материальных точек mС, 2mС1 найдем по правилу рычага
центр тяжести, т.е. точку М отрезка СС1, для которой СM : MC1 2 :1 и
заменим материальные точки mС, 2mС1 одной материальной точкой 3mМ
(рис. 29 в).
Рассмотрим снова систему материальных точек mА, mB, mC. Для
двух материальных точек mВ, mС найдем по правилу рычага центр тяжести, т.е. середину А1 отрезка ВС и заменим подмножество материальных
точек mВ, mС одной материальной точкой 2mА1 (рис. 29 в).
Для двух материальных точек mА, 2mА1 найдем по правилу рычага
центр тяжести, т.е. точку N отрезка АА1, для которой AN : NA1 2 :1 и заменим материальные точки mА, 2mА1 одной материальной точкой 3mN
(рис. 29 г).
mC
C
mC
A
2mC1
б)
B
A1
M
C
mA
3m
A
mB
а)
2mA1
в)
Рис. 29
C1
B
г)
B
mA
Система материальных точек имеет единственный центр, поэтому
точки М и N, найденные различными способами, должны совпасть. Аналогично доказывается, что центр тяжести находится на медиане ВВ1 и
делит ее в отношении BM : MB1 2 :1.
При используя метода геометрии масс доказано, что медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 :1 , считая от верши378
ны треугольника. Центр масс треугольника расположен в точке пересечения медиан треугольника.
Пусть М – произвольная точка (рис. 30), лежащая внутри треугольника АВС и AM BC D, BD b, CD c, AM a, MD d , тогда точка М
является центром масс материальных точек: (bd cd ) A, acB , abC .
Следствие. При любом выборе точки М внутри данного треугольника можно и притом единственным образом так расположить по его вершинам единичную массу, что
B
центр масс трех материальных
точек окажется в точке М.
b
Пусть А1А2А3 – данный треd
D
угольник и М – произвольная
M
a
точка плоскости А1А2А3. Числа
c
1 , 2 , 3 , удовлетворяющие услоA
C
виям
Рис. 30
OM 1 OA1 2 OA2 3 OA3 ,
1 2 3 1, называются барицентрическими координатами точки М.
Геометрический смысл барицентрических координат:
1 и 2 – коэффициенты разложения вектора A3 M по базису
A3 A1 и A3 A2 ;
1 и 3 – коэффициенты разложения вектора A2 M по базису
A 2 A1 и A2 A3 ;
2 и 3 – коэффициенты разложения вектора A1 M по базису
A1 A 2 и A1 A3 .
Пусть точка М лежит внутри базисного треугольника А1А2А3 и пусть
S, S1, S2, S3 – площади соответственно треугольников А1А2А3, MА2А3,
MА1А3, MА1А2, тогда барицентрические координаты точки равны
S
S
S
1 1 , 2 2 , 3 3 .
S
S
S
Для произвольной точки М плоскости следует рассматривать ориентированные площади треугольников.
Для треугольника с вершинами A1 ( x1 ; y1 ), A2 ( x2 ; y2 ), A3 ( x3 ; y3 ) пло(x2 x1 )( y3 y1 ) (x3 x1 )( y2 y1 )
.
2
Пусть дан базисный треугольник А1А2А3. Любая прямая плоскости,
лежащая в плоскости этого треугольника, задается в барицентрических
щадь равна S
379
координатах
однородным
уравнением
первой
степени
2
2
2
a 1 b 2 c 3 0, где 1 2 3 0. Справедливо обратное утвер-
ждение – любое уравнение такого типа определяет на плоскости некоторую прямую.
Моментом инерции системы материальных точек m1А1, m2А2, …,
n
mnАn относительно точки S называется величина I S mi SAi2 .
i 1
Пусть Z – центр масс системы материальных точек m1А1, m2А2, …,
mnАn, тогда для произвольной точки S справедливо равенство
2
I S I Z ( m1 m2 ... mn ) SZ .
Пусть Z – центр масс системы материальных точек m1А1, m2А2, …,
mnАn с ненулевой суммарной массой m m1 m2 ... mn , тогда
IZ
2
1
mi m j Ai Aj .
m 1i j n
6.7. Математическая смесь
Просто, удивительно, но проверь!
1. Луночки Гиппократа
Фигура, ограниченная окружностью, описанной около квадрата,
и полуокружностью, построенной
на стороне квадрата как на диаметре
вне этого квадрата, называется луночкой Гиппократа (рис. 31).
Площадь квадрата равна площади четырех луночек Гиппократа,
построенных на сторонах квадрата.
Рис. 31
2.
Сумма площадей кругов, расположенных в квадрате
В квадрате со стороной a расположено n2 равных кругов (рис. 32),
причем каждый круг касается других кругов и (или) сторон квадрата.
Какое число n нужно выбрать, чтобы сумма площадей всех кругов составляла наибольшую часть от площади квадрата?
Ответ покажется странным, но он не зависит от выбранного числа,
т.е. для любого числа n отношение суммы площадей всех кругов к площади квадрата является постоянной величиной.
380
Действительно, радиус круга равен R a /(2 n ).
2
2
2
Сумма площадей кругов равна S n R n
a 2 a2
. Отноше4n2
4
ние площади, занятой кругами, к площади квадрата равно
или
4
0,785398
1 1 1 1 1
1 ...
4
3 5 7 9 11
Рис. 32
3.
Свойства равностороннего треугольника
Сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего
треугольника до его сторон равна высоте треугольника (рис. 33).
На дуге АС описанной окружности равностороннего треугольника
АВС взята произвольно точка М, тогда AM MC BM (рис. 34).
B
C
M
A
A
Рис. 33
C
B
Рис. 34
381
M
4.
Удивительная связь радикалов с тригонометрической функцией
2 2 ... 2 2 2cos n1 .
2
n знаков корня
5.
Элементарный способ построения параболы
Существует простой и удобный способ, позволяющий строить лю2
бое число точек параболы y x без вычислений, если известна вершина О параболы, ось параболы и точка M параболы, отличная от вершины параболы (рис. 35).
Отрезок MH делим на n равных частей, отрезок OH делим на n равных частей, нумеруем точки деления согласно рис. 35. Точки параболы
лежат на пересечении лучей, проходящих через вершину параболы, и
перпендикуляров с одинаковыми номерами.
О
с
ь
М
8
п
а
р
а
б
о
л
ы
6
7
5
4
3
2
1
О
1
2
3
4
5
6
7
8
Н
Рис. 35
6. Комбинаторная геометрия
Максимальное число, на которое n точек разбивают прямую, равно
n 1.
Максимальное число, на которое n прямых разбивают плоскость,
1
2
равно 1 Cn Cn .
382
Максимальное число, на которое n плоскостей разбивают трехмер1
2
3
ное пространство, равно 1 Cn Cn Cn .
Максимальное число, на которое n прямых на плоскости разбивают
выпуклую фигуру (рис. 36), равно
n (n 1)
k
1 {1, 2, 4,7,11,16, 22, 29,37, 46,...}.
2
Рис. 36
7.
Плоские конфигурации
Плоской конфигурацией называется система из p точек и q прямых,
расположенных на плоскости таким образом, что через всякую точку системы проходит одно и то же число прямых этой системы, и точно
также на всякой прямой системы расположено одно и то же число точек. Обозначение этой конфигурации – ( p q ). Для нее выполняется равенство p q.
Одна точка и
прямых, через нее проходящих, образуют конфигу-
рацию (1 1 ) (рис. 37).
Рис. 38
Рис. 37
Рис. 39
р точек на одной прямой образуют конфигурацию ( p11p ).
Трехвершинник (рис. 38) образует конфигурацию (3232 ).
Полный четырехвершинник с
четырьмя вершинами и шестью сторонами (рис. 39) образует конфигурацию (4362 ).
Четыре прямые, расположенные на плоскости таким образом, что
Рис. 40
никакие три прямые не проходят
через одну точку, вместе с точками пересечения этих прямых (рис. 40)
образуют конфигурацию (62 43 ) .
383
8.
Задача о посадке деревьев
Рис. 41
Рис. 42
Требуется посадить n деревьев в r рядов по k деревьев в каждом ряду. Систему точек и прямых, удовлетворяющую этому условию, обозначим (n, rk ). Задача состоит в определении наибольшего числа прямых
при заданных значениях n и k.
На рис. 41 построена система точек (цветок Дьюдени) из 16 точек,
расположенных в 15 рядов по 4 точки в ряд.
На рис. 42 построена система из 20 точек, расположенных в 18 рядов по 4 точки в ряд. Другие примеры приведены в [5, с. 313–326].
9.
Целочисленная решетка на плоскости
Множество точек, имеющих целочисленные координаты относительно декартовой системы координат,
называется целочисленной решеткой.
Эти точки также называются узлами
решетки.
Если М – простой многоугольник,
все вершины которого находятся в
узлах решетки, то его площадь вычисляется по формуле
S (M ) i
Рис. 43
b
1,
2
где i – число узлов решетки, находящихся внутри многоугольника;
b – число узлов, лежащих на границе (формула Пика).
На рис. 43 i 4, b 10, S(M) 4 5 1 8.
Квадрат – единственный правильный многоугольник, который можно расположить так, что все его вершины принадлежат целочисленной
решетке.
384
Теорема Минковского. Пусть на плоскости с целочисленной решеткой имеется центрально симметричная фигура F, центр О которой совпадает с узлом решетки. Если внутри
фигуры F нет отличных от О узлов
решетки, то ее площадь не превосходит 4 (рис. 44). (За единицу площади
принимается площадь наименьшего
квадрата решетки.)
Теорема Бликфельда. Если площадь фигуры больше целого числа n,
то ее можно так параллельно перенеРис. 44
сти, что она покроет не менее n 1
узлов решетки.
Если площадь фигуры меньше 1, то ее можно параллельно перенести так, что она не покроет ни одного узла решетки.
Если бесконечное множество точек обладает тем свойством, что
расстояние между каждыми двумя точками целочисленно, то все точки
принадлежат одной прямой.
Замечание.
Для
любого
k, k 3, k N можно указать множество из k точек, что никакие три
его точки не лежат на одной прямой, а все расстояния между точками целочисленны.
A
С
В
Рис. 45
10. Арбелос Архимеда
Пусть точка С расположена между точками А и В. Фигура, ограниченная дугами трех полуокружностей с диаметрами АВ, АС и СВ, расположенными по одну сторону от прямой АВ, называется арбелосом Архимеда (рис. 45).
Пусть CD AB (рис. 46),
D
тогда площадь арбелоса Архимеда равна площади круга с
диаметром
CD.
Пусть
AC 2a, CB 2b, тогда радиусы
двух окружностей, каждая из
В
С
которых касается двух полуA
Рис. 46
окружностей и отрезка CD, равны между собой и равны ab .
ab
385
Радиус окружности (рис. 47), вписанной в арбелос Архимеда, равен
ab(a b)
.
a2 ab b2
Пусть в арбелос вписана последовательность
окружностей
1,2 ,...,n ,... , причем 1 касается
границы арбелоса, т.е. полуокружностей S1, S2, S3, а n для n 1
A
С
Рис. 47
В
касается S1, S2 ,n1 (рис. 48). Обозначим радиус окружности n через
расстояние от центра окружности до прямой АВ через dn, тогда:
ab(a b)
а) dn 2nrn ; б) rn 2
.
a ab n2b2
S1
S2
rn
dn
S3
A
С
Рис. 48
В
S1
rn
S2
dn
A
Рис. 49
386
С
В
rn , а
Пусть
в
арбелос
вписана
последовательность
окружностей
1,2 ,...,n ,... , касающаяся полуокружностей S1, S2, причем 1 касается
отрезка СВ (рис. 49), тогда радиус rn окружности n и расстояние dn, от
центра окружности до прямой АВ равны:
4ab(a b)
.
а) dn (2n 1) rn ; б) rn 2
4a 4ab (2n 1)2 b 2
11. Теорема Мансиона
Отрезки, соединяющие центр вписанной в треугольник окружности
с центрами его вневписанных окружностей, делятся описанной окружностью этого треугольника пополам [МШ, 1991, № 3, с. 47]. На рис. 50:
IA1 A1I A, IB1 B1IB , IC1 C1IC .
IB
C
IA
B1
A1
I
A
C1
B
IC
Рис. 50
12. Магические квадраты
Определение магического квадрата
2
Пусть квадрат разделен на n равных маленьких квадратов, называемых клетками, тогда к
каждой стороне прилегает n клеток. Пусть в клетки
квадрата вписаны числа 1,2,3,...,n2 таким образом,
что суммы чисел в любом горизонтальном ряду,
суммы чисел в любом вертикальном ряду и суммы
чисел вдоль любой диагонали равны между собой,
387
7
12
1
14
2
13
8
11
16
3
10
5
9
6
15
4
Рис. 51
тогда квадрат называется магическим квадратом n порядка (на рис. 51
магический квадрат четвертого порядка).
Числа, вписанные в клетки квадрата, образуют арифметическую
прогрессию, сумма которой равна
Sn 1 2 3 ... n2
(1 n2 ) n2
.
2
Нижний индекс суммы указывает порядок магического квадрата.
Сумма чисел, расположенных в любом ряду, равна
Snl
(1 n2 ) n n3 n
.
2
2
Для магического квадрата третьего порядка сумма чисел в ряду равна 15.
Алгебраический способ построения магического квадрата
Обозначим три числа в клетках магического квадрата третьего порядка через а, b, с (рис. 52).
a
b
15-a-b
Найдем числа в других клетках
вдоль различных рядов:
c
– в первом горизонтальном
2c+a+b-15
15-b-c
15-a-c
ряду 15-a-b;
Рис. 52
– во втором вертикальном
ряду 15-b-c (рис. 53);
– на главной диагонали (из левого верхнего угла в правый нижний
угол) 15-a-c;
a
b
15-a-b
– в третьем горизонтальном ряду
20-2a-b
5
2a+b-10
2c+a+b-15.
a+b-5
10-b
10-a
Суммируя числа, расположенные на
второй диагонали (из правого верхнего
Рис. 53
угла в левый нижний угол), получим
c 5. Перепишем значения в таблице с учетом найденного числа с.
Магический квадрат третьего порядка обладает следующим свойством (рис. 54).
Сумма чисел, расположенных на концах отрезка, проходящего через
центр квадрата, равна удвоенному числу в центре квадрата, т.е. равна 10.
Если любые три числа x1, 5, x2 , расположенные на отрезке, проходящем через центр квадрата, изобразить на числовой оси, то числа х1 и х2
расположены симметрично относительно числа 5 (рис. 54). Для них выx1
x2
x
5
полняется равенство x2 10 x1.
Рис. 54
Чтобы завершить перечисление
магических квадратов, нужно на числа а и b наложить следующие усло388
вия: все числа в клетках – натуральные различные числа от 1 до 9. Получаем магические квадраты, часть из них изображена на рис. 55.
Все они получаются один из другого с помощью геометрических
преобразований: симметрии относительно диагонали, симметрии относительно средней горизонтальной линии квадрата, симметрии относительно
средней вертикальной линии квадрата, поворотов вокруг центра квадрата
на углы, кратные углу 900.
2
9
4
7
5
3
6
1
8
2
7
6
9
5
1
4
3
8
6
1
8
7
5
3
2
9
4
4
9
2
3
5
7
8
1
6
8
3
2
1
5
9
6
7
2
Рис. 55
Такие преобразования являются естественными для магического
квадрата, так как они переводят числа, расположенные в некотором ряду,
снова в числа, расположенные в ряду, и сумма этих чисел не меняется.
С точностью до указанных пребразований или их композиций
получаем единственный магический квадрат третьего порядка.
Существует 8 движений, переводящих квадрат в себя: повороты
0
0
0
0
RO0 E, RO90 , RO180 , RO270 , симметрии относительно диагоналей квадрата и
симметрии относительно прямых, проходящих через середины
противоположных сторон квадрата. Поэтому для любого магического
квадрата можно указать еще семь магических квадратов, полученных из
него движениями квадрата. При увеличении порядка магического
квадрата алгебраический метод становится сложным.
Некоторые методы быстрого построения магических квадратов
Рис. 57
1. Метод террас для
магических
квадратов
нечетного порядка.
Для
магического
квадрата пятого порядка
(рис.
56)
строим
Рис. 56
389
«зубчатый» квадрат пятого порядка и вписываем числа от 1 до 25 косыми
рядами, например, снизу вверх. Число, не попавшее в магический квадрат, выделенный жирной линией, перемещаем внутрь квадрата в пустую
клетку, ближайшую к противоположной стороне квадрата.
Получаем магический квадрат (рис. 57).
2.
Магические
4 5
квадраты
четно-четного
3
6
порядка.
7
2
21 20
Магическим
квадратом четно-четного по1
22
19
8
рядка называется квадрат,
16 23
36 37
18 9
порядок которого делится
24 15 35
38 10 17
на 4, т.е. n 4m, m N. .
25 34 14 53 52 11 39 32
Рассмотрим
метод
33 26 54 13 12 51 31 40
прямоугольных рамок для
48 55 27
30 50 41
магического
квадрата
56 47
28 29
42 49
восьмого порядка.
57
46
43
64
А. Метод квадратных
рамок.
58
45 44
63
Над
магическим
62
59
квадратом
и
под
60 61
магическим квадратом n
Рис. 58
порядка, который на рис.
58
выделен
жирной
1 58 22 45 44 19 63 8
линией,
достраиваем
16 23 59 36 37 62 18 9
прямоугольную сетку высотой
24 15 35 60 61 38 10 17
(n 2 1) клеток.
25 34 14 53 52 11 39 32
Строим ромбы (рамки,
33 26 54 13 12 51 31 40
которые
на
рисунке
48 55 27 4
5 30 50 41
изображены
пунктирными
56 47 3 28 29 6 42 49
57 2 46 21 20 43 7 64
линиями), сдвинутые вдоль
вертикали на две клетки.
Рис. 59
Диагонали ромба равны
стороне магического квадрата. Вдоль сторон ромбов расставляем числа
от 1 до n2 , начиная с левого верхнего угла магического квадрата. Первый
ромб обходится в направлении вращения часовой стрелки. Обход второго
ромба начинается с правой стороны и происходит в противоположном
направлении. Числа, находящиеся вне магического квадрата, переносятся
внутрь квадрата в свободную клетку на вектор, равный стороне
магического квадрата (рис. 56). Получим магический квадрат (рис. 59).
390
Б. Метод Рауз – Болла.
В магический квадрат четно-четного порядка записываются все
числа обычным способом записи, начиная с левого верхнего угла.
В квадрате проводятся диагонали. Числа, расположенные на
диагоналях во взаимно симметричных клетках относительно центра
квадрата, меняются местами.
1
5
9
13
2
3
6
7
10 11
14 15
Рис. 60
4
8
12
16
16
5
9
4
2
3
11 10
7
6
14 15
Рис. 61
13
8
12
1
1
12
8
13
15 14
6
7
10 11
3
2
Рис. 62
4
9
5
16
На рис. 60 проведены диагонали. После перестановки чисел получен
магический квадрат (рис. 61) четвертого порядка.
Если числа на диагоналях
1
2
3
4
5
6
7
8
оставить
на
месте,
а
11
12
13
14
15
16
9
10
переставить
числа,
17 18 19 20 21 22 23 24
симметрично распо-ложенные
25 26 27 28 29 30 31 32
относительно центра квадрата
33 34 35 36 37 38 39 40
и не расположенные на
41 42 43 44 45 46 47 48
диагоналях, то получим также
49 50 51 52 53 54 55 56
магический квадрат (рис. 60).
57 58 59 60 61 62 63 64
Магический квадрат на рис. 62
Рис. 63
получается из квадрата на рис.
61 центральной симметрией
64 2
3 61 60 6
7 57
относительно центра квадрата.
9 55 54 12 13 51 50 16
При построении маги17 47 46 20 21 43 42 24
ческого
квадрата
восьмого
40 26 27 37 36 30 31 33
32 34 35 29 28 38 39 25
порядка (рис. 63) проводятся
41 23 22 44 45 19 18 48
диагонали и строится ромб с
49 15 14 52 53 11 10 56
вершинами в серединах сторон
8 58 59 5
4 62 63 1
магического квадрата. Числа,
Рис.
64
расположенные на этих линиях
и симметричные относительно
центра квадрата, меняются местами: 1-64, 10-55, 19-46, 28-37, 29-36, 2243, 15-50, 8-57, 4-61, 11-54, 18-47, 25-40, 33-32, 42-23, 51-14, 60-5.
На рис. 64 изображен магический квадрат восьмого порядка.
13. Диаграмма Вороного
Пусть на плоскости задана система точек S {P1, P2 ,..., Pn}.
391
Многоугольником (ячейкой) Вороного точки Pi (многоугольником
близости, ячейкой Дирихле, многоугольником Тиссена) называется геометрическое множество точек плоскости, которые находятся к точке Pi
ближе, чем к любой другой точке Pj, где j i. Многоугольник Вороного
для точки Pi обозначим V (i).
Для двух фиксированных точек Pi и Pj множество точек, более близких к точке Pi, чем к точке
Pj, есть полуплоскость H(i, j), границей которой
является серединный перпендикуляр к отрезку PP
i j
H(i;j)
H(j;i)
Pj
Pi
Рис. 65
(рис. 65).
P4
H43
H34
H41
H32
H23
P3
H14
P1
H13
P2
H31
H12
H21
Рис. 67
Рис. 66
Для системы точек S {P1, P2 ,..., Pn} многоугольник Вороного V(i) является пересечением (п-1) полуплоскостей, т.е.
V (i) H (i, j ) . Многоj i
угольник Вороного является выпуклым многоугольником, имеющим не
более (п - 1) сторон (рис. 66). Если система S {P1, P2} состоит из двух точек, то многоугольниками Вороного являются полуплоскости H(1,2) и
H(2,1), т.е. V(1) = H(1,2), V(2) = H(2,1).
Объединяя границы многоугольников, получим сеть, которая называется диаграммой Вороного (рис. 67). Диаграмма названа в честь российского учёного Георгия Феодосиевича Вороного (1868–1908).
Диаграмма для четырех точек зависит от расположения точек на
плоскости (рис. 68–75).
392
Рис. 70
Рис. 68
Рис. 69
Рис. 72
Рис. 71
Рис. 73
Рис. 74
Рис. 75
14. Интерполяционный многочлен Лагранжа
Для функции, заданной табл. 6, зависимость можно найти с помощью
интерполяционного
Таблица 6
многочлена
Лагранжа по
переменная х х0 х1 х2 х3 … хn
формуле
у0 y1 y2 y3 … y n
функция у
n
Ln ( x) yk
k 0
( x x0 )( x x1 )...( x xk 1 ) ( x xk 1 )...( x xn )
.
( xk x0 )( xk x1 )...( xk xk 1 ) ( xk xk 1 )...( xk xn )
393
Для n = 2 получаем формулу
( x x0 )( x x2 )
( x x0 )( x x1 )
( x x1 )( x x2 )
L2 ( x) y0
y1
y2
.
( x1 x0 )( x1 x2 )
( x2 x0 )( x2 x1 )
( x0 x1 )( x0 x2 )
На рис. 76 для шести
точек A0 , A1, A2 , A3 , A4 , A5 построен график многочлена
пятой степени, для пяти точек A0 , A1, A2 , A3 , A4 – график
у
многочлена четвертой степени, для четырех точек
А1
А3
А5
A0 , A1, A2 , A3 – график многочлена третьей степени и для
трех точек A0 , A1, A2 – график
А0
О
А2
А4
многочлена второй степени.
х
Два графика построены
пунктирными
линиями.
Длины пунктиров изменяются и показывают скорость
изменения функции.
Рис. 76
15. Равновеликие и равносоставленные фигуры
Многоугольники называются равновеликими, если
их площади равны.
Многоугольники называются равносоставленными,
если их можно представить в
виде одного и того же числа
соответственно равных многоугольников, не имеющих
общих внутренних точек.
Если два многоугольника
равносоставлены, то они равновелики.
M
B
E
N
K
F
394
Рис. 77
D
A
C
Теорема Больяи–Гервина. Любые два равновеликие многоугольника
являются равносоставленными.
M
T
4
5
E
B
R
11
3
S
1
2
51
D
K
H
Рис. 78
N
41
С
L
A
21
31
G
F
Теорема. Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равносоставлен с двумя квадратами, построенными на катетах
треугольника.
Рис. 77 и 78 иллюстрируют доказательство этой теоремы для треугольника АВС. Равные, но различные фигуры, из которых равносоставлены квадраты, имеют одинаковую заливку или соответствующую нумерацию.
Для треугольника АВС (рис. 77) имеем
SABMN SBCDE SDKNF .
Для треугольника АВС (рис. 78) имеем S ABMN S BCDE SCAGF .
Разрезание квадрата (рис. 79) на части и составление из этих частей
различных фигур (рис. 80) является занимательной игрой-головоломкой,
называемой танграм. С математической точки зрения эта игра является
задачей получения равносоставленной фигуры. Игра развивает пространственное воображение, если известен только контур будущей фигуры
(рис. 81).
395
Рис. 80
Рис. 79
Рис. 81
Существуют различные способы выкладывания одного и того же
прямоугольника 112 75 из одного семейства 13 неравных квадратов
(рис. 82, 83).
31
39
42
11
20
3
9
14
5
36
24
19
Рис. 82
396
33
31
39
42
11
3
20
9
14
5
36
33
24
19
Рис. 83
Разрезание прямоугольника на 9 неравных квадратов показано на
рис. 84.
8
9
15
1
7
10
4
18
14
Рис. 84
397
ОБОЗНАЧЕНИЯ
– любой;
– существует;
– принадлежит;
– не принадлежит;
– следует;
– пустое множество;
A B – объединение множеств A и B;
A \ B – разность множеств A и B;
A B – пересечение множеств A и B;
CX A – дополнение множества A до X;
Q – множество рациональных чисел; R – множество действительных чисел;
D( f ) – область определения функции; E( f ) – множество значений функции;
N – множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
n m – целое число n делится на целое число m без остатка;
[ x] – целая часть числа x, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее x;
{x} – дробная часть числа x, т.е. {x} x [x] ;
A B – декартово произведение множеств, т.е. множество упорядоченных пар
(x; y) таких, что xA, yB;
R n – n-мерное арифметическое пространство, т.е. множество всевозможных
упорядоченных наборов ( x1 ; x2 ;...; xn ), состоящих из n действительных чисел;
E n – n-мерное евклидово пространство, т.е. R n , в котором определено расстояние
d (x, y) ( y1 x1)2 ( y2 x2 )2 ... ( yn xn )2
между
точками
x ( x1; x2 ;...; xn ) и y ( y1, y2 ,..., yn ) ;
Е2 – евклидова плоскость;
Е3 – евклидово пространство;
C [a; b] – множество всех непрерывных функций на отрезке [a; b] ;
f : X Y – отображение f множества X в множество Y;
f ( A) – образ множества A при отображении f;
f 1 – отображение, обратное к отображению f;
f 2 f1 , f 2 f1 – композиция отображения f1 и отображения f2;
S A – симметрия относительно точки A;
Sl – симметрия относительно прямой l;
Ta – параллельный перенос на вектор a ; Sl ,a Sl Ta – скользящая симметрия;
RA – поворот плоскости вокруг точки A на угол ;
HAk – гомотетия с центром A и коэффициентом k;
H lk – сжатие к оси l с коэффициентом k;
Hlk, m – косое сжатие к оси l в направлении прямой m с коэффициентом k;
Tl k – сдвиг вдоль прямой l и коэффициентом k;
398
I MR – инверсия относительно окружности с радиусом R;
a,b
a – модуль (длина) вектора a;
– угол между векторами;
a b или a , b – скалярное произведение векторов a и b;
a b или a , b – векторное произведение векторов a и b;
a b – сонаправленные векторы;
a b – коллинеарные векторы;
a b – противоположно направленные векторы;
ma – медиана треугольника к стороне а;
ha – высота треугольника к стороне а;
la – биссектриса угла А в треугольнике;
R – радиус окружности, описанной около треугольника;
r – радиус окружности, вписанной в треугольник;
( A, r ) – окружность с центром А и радиусом r;
[ A, B ) – луч с началом А и проходящий через точку В;
[ AB] – отрезок АВ;
АВ или (АВ) – прямая АВ;
(АВС) – плоскость, проходящая через точки А, В, С;
AB – длина отрезка АВ, расстояние между точками А и В;
( A, B;C) – простое отношение, в котором точка С делит отрезок АВ;
( A, B; C, D) – сложное отношение, в котором точки С и D делят отрезок АВ;
AB – дуга АВ;
Ст M – степень точки М относительно окружности
;
F ( A, l, ) – флаг с началом А, лучом l и полуплоскостью ;
R(O, e1, e2 ) – репер с началом О и базисными векторами e1 , e2 ;
A BC D – двугранный угол, образованный плоскостями BCA и BCD;
– окончание решения примера или доказательства.
Греческий алфавит
– альфа
– бэта
– дзета
– эта
– лямбда – мю
– пи
– фи
– ро
– хи
– гамма
– дэльта – эпсилон
– тета
– ню
– сигма
– пси
399
– йота
– каппа
– омикрон
– кси
– тау
– ипсилон
– омега
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия для 10, 11 классов. –
М.: Просвещение, 1992.
Атанасян Л.С. [и др.]. Геометрия. Учебник для 7-9 классов. – М.: Просвещение, 2010.
Бескин Л.Н. Деление отрезка в данном отношении. М.: Наука, 1971.
Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач.
М.: Просвещение, 1996.
Гарднер М. Путешествие во времени. – М.: Мир, 1990.
ЕГЭ 2017. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов / И.В. Ященко
[и др.] ; под ред. И.В. Ященко.– М.: Экзамен, 2017.
Каченовский М.И. Математический практикум по моделированию. – М.:
ГУПИ, 1959.
Кожухов И.Б., Прокофьев А.А. Справочник по математике. – М.: Лист,
1999.
Коксетер Г.С.М., Грейцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука,
1978.
Кушнир И. Векторные методы решения задач. – Киев: Обериг, 1994.
Математика: 50 типовых вариантов экзаменационных работ /А.П. Власова,
Н.В. Евсеева, Н.И. Латанова [и др.]. – М.: АСТ, 2011.
Моденов П.С. Задачи по геометрии. – М.: Наука, 1987.
Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. – М.: Советская наука, 1957.
Савелов А.А. Плоские кривые. – М.: ГИФМЛ, 1960.
Сборник задач по математике для поступающих во втузы: учебное пособие /
под ред. М.И. Сканави. – М.: Высш. шк., 1993.
Совертков П.И. Занимательное компьютерное моделирование в элементарной математике: учебное пособие. – М.: Гелиос АРВ, 2004.
Совертков П.И. Исследовательские проекты по математике и информатике:
методическое пособие. – Нижневартовск: Изд-во НвГУ, 2013.
Совертков П.И. Исследовательские проекты по математике и информатике:
учебное пособие. – Нижневартовск: Изд-во НвГУ, 2013.
Совертков П.И., Назин А.Г. Моделирование в интегративном проекте по
математике и информатике: учебное пособие. – М.: БИНОМ. Лаборатория
знаний, 2012.
Совертков П.И., Назин А.Г. Моделирование в интегративном проекте по
математике и информатике: практикум. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний,
2012.
Шарыгин И.Ф. Математика для школьников старших классов. – М.: Дрофа,
1995.
Энциклопедия элементарной математики. Геометрия. Кн. 5. – М.: ГИФМЛ,
1966.
Яглом И.М. Геометрические преобразования. Т. 2. – М.: ГИТТЛ, 1956.
400
Петр Игнатьевич СОВЕРТКОВ
СПРАВОЧНИК
ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Издание второе, стереотипное
Зав. редакцией литературы по информационным
технологиям и системам связи О. Е. Гайнутдинова
ЛР № 065466 от 21.10.97
Гигиенический сертификат 78.01.10.953.П.1028
от 14.04.2016 г., выдан ЦГСЭН в СПб
Издательство «ЛАНЬ»
lan@lanbook.ru; www.lanbook.com;
196105, СанктПетербург, пр. Юрия Гагарина, д. 1, лит. А
Тел.: (812) 4129272, 3362509.
Бесплатный звонок по России: 88007004071
Подписано в печать 10.04.24.
Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Формат 60×90 1/16.
Печать офсетная/цифровая. Усл. п. л. 25,25. Тираж 30 экз.
Заказ № 179241.
Отпечатано в полном соответствии
с качеством предоставленного оригиналмакета
в АО «Т8 Издательские Технологии».
109316, г. Москва, Волгоградский пр., д. 42, к. 5.