Алгебра и начала анализа 10-11 классы - Мордкович А.Г.

Author: Мордкович А.Г.
Tags: общее школьное образование общеобразовательная школа алгебра анализ математический анализ функциональный анализ
ISBN: 5-346-00044-5
Year: 2001
Similar
Алгебра и начала математического анализа 10 класс
Алгебра и начала математического анализа 10 класс. Часть 2
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 частях. Часть 1.
Алгебра и начала математического анализа. Универсальный многоуровневый сборник задач 10-11 классы
Text
                    А.Г. МОРДКОВИЧ
И НАЧАЛА АНАЛИЗА
10-11
классы
УЧЕБНИК
для общеобразовательных учреждений
2-е
издание
Рекомендовано
Министерством образования
Российской Федерации
Москва 2001

УДК 373.167.1:512+517.1
ББК 22.141я721+22.161я721
М79
Мордкович А.Г.
М79 Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учеб. для общеобра-
зоват. учреждений. — 2-е изд. — М.: Мнемозина, 2001. —
335 с: ил.
ISBN 5-346-00044-5
Учебник дает цельное и полное представление о школьном курсе
алгебры и начал анализа, отвечает требованиям обязательного минимума
содержания образования. Отличительная особенность учебника — более
доступное для школьников изложение материала по сравнению с «традици-
«традиционными» учебными пособиями. Построение всего курса алгебры осущест-
осуществляется на основе приоритетной функциональной линии.
УДК 373.167.1:512+517.1
ББК 22.141я721+22.161я721
ISBN 5-346-00044-5
© «Мнемозина», 2000
© «Мнемозина», 2001
© Художественное оформление.
«Мнемозина», 2001
Все права защищены
ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Издательство «Мнемозина» в 2000 г. опубликовало комплект
из четырех книг для 10-11 классов общеобразовательной школы:
А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. Учебник.
А.Г. Мордкович и др. Алгебра и начала анализа. Задачник.
А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. Методическое посо-
пособие для учителя.
А.Г. Мордкович, Е.Е. Тульчинская. Алгебра и начала анализа.
Контрольные работы.
У вас в руках учебник - первая книга комплекта. Ею можно
пользоваться независимо от того, на какие учебные пособия по
алгебре вы делали ставку со своими учениками в 7-9-м классах,
она в определенном смысле самодостаточна. Но все же наиболее
комфортно, работая с этой книгой, будут чувствовать себя те
учителя, которые используют в основной школе наши учебные по-
пособия по алгебре. Речь идет о следующих комплектах учебных
пособий:
А.Г. Мордкович. Алгебра-7 (8, 9). Учебник. М., Мнемозина,
1997 A998-2000).
А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. Алгеб-
Алгебра-7 (8, 9). Задачник. М., Мнемозина, 1997 A998-2000).
А.Г. Мордкович. Алгебра-7 (8, 9). Методическое пособие для
учителя. М., Мнемозина, 1997A998-2000).
Ю.П. Дудницын. Алгебра-7 (8, 9). Контрольные работы (под
ред. А.Г. Мордковича). М., Мнемозина, 1997A998-2000).
Учителя, работавшие по названным книгам, привыкли к осо-
особенностям стиля изложения, приоритету функционально-графи-
функционально-графической линии Bjcypce алгебры, реализации в^ашёмГкурсе алгебры
развивающей ковдепции^математического моделирования и мате-
математического языка. Для нйхпрёдлагаемое учебное пособие - естест-
естественное продолжение курса алгебры 7-9-го классов.
Несколько слов о стиле изложения. Изложение теоретического
материала ведется очень подробно, обстоятельно и, смеем надеять-
надеяться, достаточно живым литературным языком (а не сугубо предмет-
предметным, выхолощенным, что, к сожалению, в последнее время стало
традицией школьных учебников по математике). Весь материал,
который изложен в том или ином параграфе, вы в классе на уроках

рассмотреть не успеете, но это и не нужно, поскольку данная кни-
книга — книга для неспешного домашнего чтения. Кстати, в условиях
острой нехватки часов для проведения занятий в классе возрас-
возрастает значение самостоятельной работы учеников с книгой, имен-
именно поэтому учебник и должен быть подробным и обстоятельным.
Ваши ученики, как правило, могут не носить эту книгу с собой на
уроки, они должны читать ее дома. Опираясь на учебник, учитель
прекрасно разберется в том, что надо рассказать учащимся на
уроке, что заставить их запомнить, а что предложить им просто
прочесть дома (и, возможно, обсудить в классе в жанре беседы на
следующем уроке).
Каждая глава заканчивается разделом «Основные результа-
результаты». Это своеобразный смотр достижений, «сухой остаток», под-
подведение итогов, что для успешности процесса обучения очень ва-
важно. В книге много примеров с подробными решениями. На
окончание решения примера указывает слово « ответ », либо сим-
символ <Я. На окончание доказательства утверждения указывает
символ #.
Из основных содержательно-методических линий школьного
курса алгебры в качестве приоритетной выбрана функционально-
графическая линия. Это выражается прежде всего в том, что какой
бы класс функций, уравнений, выражений ни изучался, построение
материала практически всегда осуществляется по жесткой схеме:
Глава
функция — уравнения — преобразования.
По этой схеме в нашем учебнике для 8-го класса изучалась тема
«Квадратные корни. Функция у=*fx»; по ней в этом учебнике стро-
строится весь раздел «Тригонометрия», изучение степенных, показа-
показательных и логарифмических функций, уравнений, выражений.
Материал, изложенный в этом учебнике, дает цельное и полное
представление о школьном курсе алгебры и начал анализа, обеспе-
обеспечивает, как это предусмотрено нормативными документами, вы-
выполнение требований обязательного минимума содержания обра-
образования. Однако, каждый автор имеет право выйти за пределы
указанных требований, на что при желании и возможности имеет
право и учитель. В чем мы вышли в данном учебнике за пределы
минимума содержания курса алгебры и начал анализа? Если гово-
говорить о главном, то это — использование таких понятий, как предел
последовательности, предел функции и неопределенный интеграл.
Эти понятия, на наш взгляд, были для школы persona non grata
только потому, что никак не удавалось изложить их в школьных
учебниках мягко и доступно. Надеемся, что нам это удалось.
Автор
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
§1. ВВЕДЕНИЕ
В курсе алгебры 7—9-го классов вы изучали алгебраи-
алгебраические функции, т.е. функции, заданные аналитическими выра-
выражениями, в записи которых использовались алгебраические опе-
операции над числами и переменной (сложение, вычитание, умноже-
умножение, деление, возведение в степень, извлечение квадратного кор-
корня). Но математические модели реальных ситуаций часто бывают
связаны с функциями других классов, не алгебраическими. В
школьном курсе математики это показательные, логарифмичес-
логарифмические и тригонометрические функции. Мы приступаем сейчас к изу-
изучению тригонометрических функций.
Для введения тригонометрических функций нам понадобится
новая математическая^шдель — числовая окружность, детальному
изучению которой посвящен § 27достаточно большой параграф. От-
Отнеситесь к нему очень внимательно, поскольку, как показывает
опыт, учащийся, хорошо овладевший понятием «числовая окруж-
окружность», свободно и непринужденно работающий с ней, достаточно
уверенно обращается и с тригонометрическими функциями. Для об-
облегчения восприятия материала о числовой окружности рассмот-
рассмотрим ряд вспомогательных геометрических примеров.
Пример 1. Дана окружность радиусом 1см. Чему равна длина окруж-
окружности, ее половины, ее четверти?
Решение. Длина L окружности радиусом R
вычисляется по формуле L = 2nR, где л=3,14.
Если Л = 1 см, то
L = 2п см я 6,28 см.
Длина половины окружности равна я см, а
длина четверти окружности (АВ, ВС, CD или DA)
равна —см.
2
Ответ: « 6,28 см; * 3,14 см; * 1,57 см.
1
/
/
о
1
1
\
II
<**
s
в
0
Г)
S
к*
V
Г 1
V
Рис.1

1
\
\\
\
>
r
>
в
0
r
¦)
p
M
Ц
f
I
<
Рис.2
В дальнейшем будем говорить об окруж-
окружности, радиус которой равен масштабному
отрезку, без указания конкретных единиц
измерения. Радиус такой окружности счи-
считается равным 1, а саму окружность назы-
называют единичной. Мы все время будем поль-
пользоваться единичной окружностью, в
которой проведены горизонтальный и вер-
вертикальный диаметры СА и DB. Условимся
называть дугу АВ (см. рис. 1) первой чет-
четвертью, дугу ВС — второй четвертью,
дугу CD — третьей четвертью, дугу DA —
четвертой четвертью. При этом, как правило, речь идет об отк-
открытых дугах, т.е. о дугах без их концов: например, первая чет-
четверть — это дуга АВ без точек А и В.
Пример 2. В единичной окружности проведены два взаимно перпендику-
перпендикулярных диаметра: горизонтальный СА и вертикальный DB. Дуга АВ разделе-
разделена точкой М на две равные части, а точками К и Р — на три равные части
(рис. 2). Чему равны длины дуг AM. MB, АК, КР, РВ.АРи КМ?
Решение. Так как длина дуги АВ равна — (будем писать кратко:
с.
АВ = —), то, разделив ее на две равные части точкой М, получим две дуги
длиной — каждая. Значит, AM ¦¦
4
МВ =
Если дуга АВ разбита на три равные части точками К и Р, то длина каж-
каждой полученной части равна , т.е. —. Значит, АК = КР = РВ = —.
3 2 6 6
Дуга АР состоит из двух дуг АК и КР длиной —.Значит, АР=2 — = —.
6 6 3
Осталось вычислить длину дуги КМ. Эта дуга получается из дуги AM
отбрасыванием дуги АК. Значит, длина дуги КМ равна разности длин дуг
AM и АК. Таким образом, КМ =АМ-АК =--* = —.
<ш
Замечание. Обратите внимание на некоторую вольность, которую
мы позволяем себе в использовании математического языка. Ясно, что
дуга КМ и длина дуги КМ — разные вещи (первое понятие — геомет-
геометрическая фигура, а второе понятие — число). А обозначается и то, и другое
одинаково: КМ. Более того, если точки КиМ соединить отрезком, то и по-
полученный отрезок, и его длина обозначаются так же: КМ. Обычно из кон-
контекста бывает ясно, какой смысл вкладывается в обозначение (дуга, длина
дуги, отрезок или длина отрезка).
6
А теперь еще раз взгляните на рис. 1. Сколько вы видите дуг
единичной окружности, соединяющих точки А и В? Две: помень-
поменьше, если идти от точки А к точке В по первой четверти, и побольше, \
если идти от точки В к точке А по второй, третьей и четвертой чет-
четвертям. Как же отличать эти дуги друг от друга в символах матема-
математического языка? Условимся в двухбуквенном обозначении дуги
на первом месте писать букву, соответствующую началу дуги, а на
втором — букву, соответствующую концу дуги, причем движение
по окружности от начала дуги к ее концу будем осуществлять в
направлении против часовой стрелки. Тогда меньшая из двух дуг,
соединяющих точки А и В, о которых мы говорили выше, — это
дуга АВ, а большая — это дуга ВА.
Пример 3. Вторая четверть единичной ок-
окружности разделена пополам точкой М (рис. 3),
а четвертая четверть разделена на три равные
части точками К и Р. Чему равны длины дуг AM,
АК, АР, РВ, МК, КМ?
Решение. Прежде чем переходить к требуе-
требуемым вычислениям, заметим, что
О — Г* Т\ — Т\ Л *"* * *" * ж^*
~2'
АВ
-мс
РА = —. Значит,
6
IM
/
/
с
V
>
/
>
1
0
_
р
1
1
А
<|
J
\
1а
I
/
1
Рис. 3
2 4 4
+ + +
О О О й О
6 2 3
+ ;
6 2 3
= - + - + - =—;
4 2 6 12
¦TW* Ж ГГГ* Г* Л А П П*Г ТС 71 Я Я 13Я
КМ =КР + РА + АВ + ВМ =- + - + - + - = .
6 6 2 4 12
<¦
Заметили ли вы, что во всех разобранных примерах длины дуг
выражались некоторыми долями числая? Это неудивительно: ведь
длина единичной окружности равна 2я, и если мы окружность или
ее четверть делим на равные части, то получаются дуги, длины ко-
которых выражаются долями числа я. А как вы думаете, можно ли
найти на единичной окружности такую точку Е, что. длина дуги АЕ
будет равна 1? Давайте прикинем:

я = 3,14; 1-^1-
6 6
Таким образом, — < 1 < - .
4 3
4
0,785.
=, у
сТ
К
Г
4е
1
*1
•л
В
0
Г
э-
-Е
ц
1 л
ж
V
1—
W
л
Обратимся снова к рис. 2. Если АЕ = 1, то точка Е находится
между точками М и Р, ближе к точке Р. Разумеется, точно (а не
приблизительно) указать положение точки
Е на окружности мы не сумеем, но это,
впрочем, не так уж важно.
Рассуждая аналогичным образом, дела-
делаем вывод, что на единичной окружности
можно найти и точку Elt для которой
AEt = 1, и точку Е2, для которой АЕ2= 2, и
точку Е3, для которой АЕ3 = 3, и точку Е4,
для которой АЕ4 = 4, и точку Еъ, для которой
Рис.4 АЕ5= 5, и точку ?6, для которой АЕ6 =6.На
рис. 4 отмечены (приблизительно) соответс-
соответствующие точки, причем для ориентировки каждая из четвертей
единичной окружности разделена черточками на три равные части.
§ 2. ЧИСЛОВАЯ ОКРУЖНОСТЬ
С числовой окружностью вы до сих пор не встречались, зато хо-
хорошо знакомы с числовой прямой. Что такое числовая прямая? Это
прямая, на которой заданы начальная точка О, масштаб (единич-
(единичный отрезок) и положительное направление. Любому действитель-
действительному числу мы можем сопоставить точку на прямой и наоборот.
Как по числу х найти на прямой соответствующую точку М?
Числу 0 соответствует начальная точка О. Если х > 0, то, двигаясь
по прямой из точки О в положительном направлении, нужно прой-
пройти путь длиной х. Конец этого пути и будет искомой точкой М(х).
Если х < 0, то, двигаясь по прямой из точки 0 в отрицательном
направлении, нужно пройти путь длиной | х\. Конец этого пути и
будет искомой точкой М(х). Число х — координата точки М.
А как решается обратная задача, как найти координату х задан-
заданной точки М на числовой прямой? Надо найти длину отрезка ОМ и
взять ее со знаком «+» или «-» в зависимости от того, с какой сторо-
стороны от точки О расположена на прямой точка М.
Но в реальной жизни двигаться приходится не только по пря-
прямой. Довольно часто рассматривается движение по окружности.
Вот конкретный пример. Будем считать беговую дорожку стадиона
8
N
1
V
>
>
>
ч
0
г
i
1
1
ч
>
J
л
окружностью (на самом деле это, конечно, не окружность, но
вспомните, как обычно говорят спортивные комментаторы: «бегун
пробежал круг», «до финиша осталось пробежать полкруга»
и т.д.), и пусть ее длина равна 400 м. Отмечаем старт — точку Л
(рис. 5). Бегун из точки Л движется по окружности против часовой
стрелки. Где он будет через 200 м? через 400 м? через 800 м? через
1500 м? А где провести финишную черту, если он бежит марафон-
марафонскую дистанцию 42 км 195 м?
Через 200 м он будет находиться в точке
С, диаметрально противоположной точке Л
B00 м — это длина половины беговой до-
дорожки, т.е. длина половины окружности).
Пробежав 400 м («один круг»), он вернется
в точку Л. Пробежав 800 м («два круга»), он
вновь окажется в точке А. А что такое
1500 м? Это «три круга» A200 м) плюс еще
о
300 м, т.е. - беговой дорожки — финиш
4 Рис. 5
этой дистанции будет в точке D.
Нам осталось разобраться с «марафоном». Пробежав 105 кру-
кругов, спортсмен преодолеет путь 105-400=42000 м, т.е. 42 км. До
финиша остается 195 м, это на 5 м меньше половины длины окруж-
окружности. Значит, финиш марафонской дистанции будет в точке М,
расположенной около точки С.
Замечание. Вы, разумеется, понимаете условность последнего при-
примера. Марафонскую дистанцию по кругу стадиона никто не бегает, макси-
максимальная дистанция для стайеров на стадионе составляет 10 000 м, т.е. 25
кругов.
По беговой дорожке стадиона можно пробежать или пройти
путь любой длины. Значит, любому положительному числу соот-
соответствует какая-то точка — «финиш дистанции». Более того, и лю-
любому отрицательному числу можно поставить в соответствие точку
беговой дорожки стадиона — просто спортсмен должен бежать в
противоположном направлении (т.е. стартовать из А не в направле-
направлении против, ав направлении по часовой стрелке). Тогда бе-
беговую дорожку стадиона можно рассматривать как числовую окруж-
окружность.
В принципе любую окружность можно рассматривать как чис-
числовую, но удобнее всего использовать для этой цели единичную ок-
окружность - окружность радиусом 1. Это будет наша «беговая до-
дорожка», ее длина равна 2л, что составляет примерно 6,28.
9

Определение. Дана единичная окружность, на ней отмечена на-
начальная точкаЛ — правый конец горизонтального диаметра. Поставим
в соответствие каждому действительному числу Сточку окружности по
следующему правилу:
1) Если t > 0, то, двигаясь из точки А в направлении против часовой
стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по
окружности путь AM длины t. Точка М и будет искомой точкой M(t).
2) Если t < 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке
(отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности
путь AM длины 11 |. Точка М и будет искомой точкой M(t).
3) Числу t = 0 поставим в соответствие точку Л; А = А@).
Единичную окружность с установленным соответствием (между
действительными числами и точками окружности) будем называть
числовой окружностью.
Пример 1. Найти на числовой окружности точку, которая соответст-
я Зя п 7я Л Зя
вует заданному числу: —, л, —, 2л, —, 9л, ——.
2 2 2 2
Решение. Так как первые шесть из заданных семи чисел положи-
положительны, то для отыскания соответствующих им точек окружности нужно
пройти по окружности путь заданной длины, двигаясь из точки А в поло-
положительном направлении. Учтем при этом, что длина каждой четверти еди-
единичной окружности равна —.
Имеем (рис. 1): АВ - —, значит, числу—соответствует точка В; В = ВI — I.
2 2 \2)
Далее, АС = л, значит, числу л соответствует точка С, т.е. С = С(л);
AD = —, значит, числу — соответствует точка D, т.е. D = D\ —
А с*
Числу 2 л соответствует точка А, так как, пройдя по окружности путь
длиной 2л, т.е. ровно одну окружность, мы попадем в начальную точку
А;итак,А=АBл).
7 tr О,—
Что такое — ? Это 2л + —. Значит, двигаясь из точки А в положитель-
2 2
ном направлении, нужно пройти целую окружность (путь длиной 2я) и до-
полнительно путь длиной —, который закончится в точке D. Итак,
7л
2
Что такое 9л? Это 4 ¦ 2 л + л. Значит, двигаясь из точки А в положитель-
положительном направлении, нужно четыре раза описать целую окружность (путь
длиной 4-2л) и дополнительно еще путь длиной я, который закончится в
точке С. Итак,С=С(9я).
10
Осталось найти на числовой окружности точку, соответствующую за-
заданному отрицательному числу . Для этого нужно, отправившись из
с*
точки А, пройти по окружности в отрицательном направлении (на-
(напомним, по часовой стрелке) путь длиной —. Этот путь завершится в точке
с*
<¦
в„,.в[-Ц
Замечание. При работе с числовой прямой
обычно уславливаются, ради краткости, не гово-
говорить «точка прямой, соответствующая числу х»,
а говорить «точка хь. Точно такой же договорен-
договоренности будем придерживаться и при работе с чис-
числовой окружностью: «точка t» — это значит, что
речь идет о точке окружности, которая соответс-
соответствует числу t.
Пример 2. Найти на числовой окружности
л л л
точки —, —, —.
6 4 3 Рис.6
Решение. Разделив первую четверть АВ на три равные части точками
К и Р (рис. 6), получим AT = A:-Lp = P-. Разделив дугу АВ пополам точ-
кой М, получим М = МI — I.
4)
N
\
1
1
0
Г
3
¦)
р
^ м
¦/
S-
к
Обратите внимание: этот пример фактически уже решен в § 1
(см. пример 2).
Пример 3. Найти на числовой окружности точки —^, —, —.
4 6 3
Решение. Построения будем делать, используя рис. 6. Отложив дугу
AM длиной — от точки А пять раз в отрицательном направлении, получим
точку L — середину дуги ВС. Итак, L = L\ —^
Отложив дугу АК длиной - от точки А семь раз в положительном
6
направлении, попадем в точку N, которая принадлежит третьей четвер-
четверти — дуге CD, причем CN = - (третья часть дуги CD). Итак, N = N\ —
6 I 6
Отложив дугу АК (ее длина равна -) от точки А десять раз в положи-
6
тельном направлении, попадем в точку S, которая принадлежит четвертой
11

четверти — дуге DA, причем DS=— (третья часть дуги DA). Итак,
6
Особенно часто приходится искать на числовой окружности точ-
л л л л 5л Зл 2л
ки, соответствующие числам —, -, -, - и кратным им, т.е. —, —, —,
6 4 3 2 6 4 3
— и т.д. Поэтому нам очень пригодятся два макета числовой ок-
ружности.
ПЕРВЫЙ МАКЕТ. Каждая из четырех
четвертей числовой окружности разделена
на две равные части и около каждой из име-
имеющихся восьми точек записаны их «имена»
(рис. 7).
ВТОРОЙ МАКЕТ. Каждая из четырех
четвертей числовой окружности разделена
на три равные части и около каждой из име-
имеющихся двенадцати точек записаны их
«имена» (рис. 8).
Учтите, что и на том, и на другом макете
мы могли бы заданным точкам присвоить
другие «имена». Так, числу — соответству-
4
ет середина четвертой четверти. Этой точке
7л
на первом макете присвоено имя —, но, как
4
-!
-Т
h
л
Ч
Л
2
у
г
Л
4
[-
4"
Рис. 7
Рис.8
~| I видите, мы могли присвоить ей и имя —.
Вообще, если двигаться по первому макету
из точки 0 по часовой стрелке, получим для
имеющихся на чертеже восьми точек соот-
_ л л Зл 5л Зл 7л .
ветственно 0, —, —, , -тс, , , . Аналогично, если дви-
4 2 4 4 2 4
гаться по второму макету из точки 0 по часовой стрелке, полу-
получим для имеющихся на чертеже двенадцати точек
соответственно 0, -?, -*, -?, -^, -&Е, .... -il?.
6 3 2 3 6 6
Пример 4. Найти на числовой окружности точки, соответствующие
числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, -7.
12
Решение. Точки, соответствующие числам 1,2,3,4,5,6, — это точки
?,, Е2, Ег, Et, Еъ, Ев на рис. 4 (см. конец предыдущего параграфа). А вот о
точке -7 поговорим подробнее.
Нам нужно, отправляясь из точки А и двигаясь в отрицательном
направлении (по часовой стрелке), пройти по окружности путь длиной 7.
Если пройти одну окружность, то получим (приближенно) 6,28, значит,
нужно еще пройти (в том же направлении) путь длиной 0,72. Что же это за
дуга? Она немного меньше половины четверти окружности, т.е. ее длина
меньше числа — , потому что л =3,14, — =0,785; ясно, что 0,72 < 0,785. Точ-
4 4
ка М = М(-7) отмечена на рис. 9 (мы немного не дошли до середины четвер-
четвертой четверти). <И]
Итак, на числовой окружности, как и на
числовой прямой, каждому действительно-
действительному числу соответствует одна точка (только,
разумеется, на прямой ее найти легче, чем
на окружности). Для прямой верно и обрат-
обратное: каждая точка соответствует единствен-
единственному числу. Для числовой окружности та-
такое утверждение неверно; выше мы
неоднократно убеждались в этом.
Для числовой окружности справедливо
следующее утверждение.
Если точка М числовой окружности
соответствует числу t, то она соответствует и любому чис-
числу вида t + 2яй, где k — любое целое число (k e Z).
В самом деле, 2л — длина числовой (единичной) окружности, а
целое число | k \ можно рассматривать как количество полных об-
обходов окружности в ту или другую сторону. Например, если ft =3,
то это значит, что мы делаем три обхода окружности в положитель-
положительном направлении; если k = -7, то это значит, что мы делаем семь
(|й| =|-7| = 7) обходов окружности в отрицательном направлении.
Но если мы находимся в точке M(t), то, выполнив еще k полных об-
обходов окружности, мы снова окажемся в точке М. Итак,
-
1
/
/
\
г
s
1
b
0
i
п
1
/
1
4
V
\
1
/
7)
Рис. 9
На двух макетах (рис. 7, 8) указаны лишь главные имена точек —
числа, принадлежащие отрезку [0,2я], т.е. числа, возникающие при
первом обходе окружности в положительном направлении. На са-
самом деле, у точки - бесконечно много имен: t = —+2nk, где k e Z; у
4 4
точки — тоже бесконечно много имен: t =
6 6
, где k e Z и т.д.
13

Число k иногда называют параметром. Впрочем, параметр мо-
можно обозначить и другой буквой, например, пит.
Замечание. Условимся в дальнейшем не писать каждый раз: keZ
или пбZ (но, естественно, мы все время будем это подразумевать).
Пример 5. Найти на числовой окружности точку: а) ; б) —.
4 о
Решение, а) Имеем:
21л 21 (. ЪЛ л 5л 5л „ „
=—л= 4 + - «л=4л + — = — + 2л«2.
4 4 [ 4J 4 4
Значит, числу соответствует на числовой окружности та же точка,
4
что и числу — — середина третьей четверти (см. первый макет — рис. 7).
4
б) Имеем:
37л 37 Г. 1) „ л л „ , оЧ
= л = - 6 + - •л = -6л-- = -- + 2л-(-3).
6 6 [ 6) 6 6 V '
37л
Значит, числу соответствует на числовой окружности та же точка,
6
что и числу , — это точка с именем на втором макете (рис. 8). <¦]
6 6
Пример 6. Какой четверти числовой окружности принадлежит точка 20?
Решение. Представим число 20 в виде t + 2%k и подберем значение k
так, чтобы число t попало в отрезок [0,2я] (или [-2л, 0]). Тогда мы сможем оп-
определить, какой четверти принадлежит точка t, а с ней и точка 20 (поскольку
на числовой окружности t я t + 2%k = 20 — одна и та же точка).
Сделаем прикидку: 2л = 6,28, значит, 2%k = 6,28ft; надо подобрать целое чи-
число k так, чтобы число 6,28Л оказалось как можно ближе к числу 20. Очевид-
Очевидно, что k=3. Имеем 6,28«3 = 18,84. Значит, 20 = 1,16 + 6,28-3 = 1,1б + 2л'3.
Точка 1,16 находится в первой четверти, значит, и точка 20 принадлежит
первой четверти. <Я
Вы знаете, что промежутки на числовой прямой можно записы-
записывать аналитически с помощью двойных неравенств. Так, аналити-
аналитической записью отрезка [3, 5] (рис. 10) служит двойное неравенство
3 < х < 5; аналитической записью интервала (-4,0) (рис. 10) служит
двойное неравенство -4<лг<0. На окружности роль отрезков или
интервалов играют дуги. Их тоже можно записывать аналитичес-
1
й
У
1
Й
9
1
X
3
1
L
с
О
1
X
Рис. 10
14
ки с помощью двойных неравенств, но при этом, естественно, сле-
следует учитывать, что, в отличие от числовой прямой, где каждая то-
точка имеет одно «числовое имя», на числовой окружности у точки
бесконечно много имен. В следующем примере мы покажем, как
составляется аналитическая запись дуги числовой окружности.
Пример 7. Найти все числа t, которым на чис-
числовой окружности соответствуют точки, при-
принадлежащие дугам:
а) АВ; б) ВА; в) BD; г) DB; д) КМ; е) МК (здесь
КиМ соответственно середина первой и третьей
четвертей числовой окружности).
Решение. а) Дуга АВ — это дуга с началом в
точке А и концом в точке В при движении по ок-
окружности против часовой стрелки (рис. 11).
Главные «имена» точек А и В соответственно
t = 0 и t = -. Значит, для точек t дуги АВ имеем:
2
С
/
/
\
\
'V,
в
0
Г)
1
\
1 Л
/
1
-
Рис. 11
Как мы видели ранее, точка А соответствует не только числу 0, но и
всем числам вида 0+ 2л?, т.е. 2nk; точка В соот-
соответствует не только числу —, но и всем числам
вида— + 2nk. Значит, если мы хотим охарактери-
зовать все числа t, которым на числовой окруж-
окружности соответствуют точки дугиАВ, то придется
использовать такую запись:
л ...
-
Для удобства будем пользоваться следу-
следующей (не общепринятой) терминологией:
неравенство A) — ядро аналитической за-
записи дугиАВ, неравенство B) — аналити-
аналитическая запись дугиАВ.
б) Дуга ВА — это дуга с началом в точке В
и концом в точке А при движении по окруж-
окружности против часовой стрелки (рис. 12).
Главные « имена» точек В и А в этом случае —
соответственно — и 2л. Значит, ядром ана-
2
литической записи дуги ВА является нера-
неравенство
С
>
1
0
i
п
1
ч
д
/
-
Рис. 12
С
г
\
\
J
0
"»
1
s
1
f
А
-
Рис. 13
15

-<t<2n,
2
а сама аналитическая запись дуги ВА имеет вид:
- + 2nk<t <2n+2nk.
2
в) Дуга BD — это дуга с началом в точке В и концом в точке D при
движении по окружности против часовой стрелки (рис. 13). Глав-
п _ п Зя п
ные «имена» точек BuD — соответственно — и —. Значит, ядром
2 2
аналитической записи дуги BD является неравенство
2 2
а сама аналитическая запись дуги BD имеет вид:
+2nk<t< —+2nk.
2
t
I
V
v
ч
ч^
0
r
i
ч
л
1
к
V
—1 Л
/
г
1
2
р
/
г
1
\
м
/
ч
"ч.
0
i
D
2
S
\
К
\
/
/
А
с
j
1
\
V
м
-г
N
>*
S
0
г
•
3
К_
N
)
Рис. 14
Рис. 15
Рис. 16
г) Дуга DB — это дуга с началом в точке D и концом в точке В при
движении по окружности против часовой стрелки (рис. 14). Глав-
Главные «имена» точек D и В в этом случае — соответственно - — и —
, Зл л
(а не — и -, как в предыдущем случае; при записи ядра нужно еле-
дить за тем, чтобы число в левой части неравенства было меньше
числа в правой части неравенства). Значит, ядром аналитической
записи дуги DB является неравенство
— —%{%—,
2 2
а сама аналитическая запись дуги DB имеет вид:
--+2nk<t<- + 2nk.
2 2
д) Дуга КМ — это дуга с началом в точке К и концом в точке М
при движении по окружности против часовой стрелки (рис. 15).
16
—+2nk.
4
Главные «имена» точекКиМ — соответственно — и —. Значит, яд-
4 4
ром аналитической записи дуги КМ является неравенство
4 4
а сама аналитическая запись дуги КМ имеет вид:
4
е) Дуга МК — это дуга с началом в точке М и концом в точке К при
движении по окружности против часовой стрелки (рис. 16). Главные
«имена» точек М и К в этом случае — соответственно и -. Зна-
4 4
чит, ядром аналитической записи дуги МК является неравенство
Зл. .л
4 4
а сама аналитическая запись дуги МК имеет вид:
- —+2nk<t <-+2nk. <M
4 4
§ 3. ЧИСЛОВАЯ ОКРУЖНОСТЬ НА КООРДИНАТНОЙ
ПЛОСКОСТИ
Расположим числовую окружность в декартовой прямоуголь-
прямоугольной системе координат хОу так, как показано на рис. 17: центр ок-
окружности совмещен с началом координат, а ее радиус принимается
за масштабный отрезок. Начальная точка Л числовой окружности
совмещена с точкой (I; О)наосилг. При этом В = В@; 1),С=С(-1;О),
D -Щ); -1). Каждая точка числовой окруж-
окружности имеет в системе хОу свои координа-
координаты, причем (см. рис. 17) для точек:
первой четверти х > 0, у > 0;
второй четверти х < 0, у > 0;
третьей четверти х < 0 , у < 0;
четвертой четверти х > 0, у < 0.
Для любой точки М(х; у) числовой ок-
окружности выполняются неравенства:
-1 < лг < 1; -1<у<1. Рис.17
Нетрудно составить уравнение числовой окружности. Для этого
заметим, во-первых, что центром окружности служит начало коор-
координат, а уравнение окружности радиусом R с центром в начале ко-
координат имеет вид х2 +у2 -R2; во-вторых, R = 1, значит, уравнение
числовой окружности имеет вид:
у
с
<
и
0
о
-1
-,
1
i
в
0
D
¦у
1
-
1
I
х > О', .
к
i
А,,
~
х> 0
1
1
17

с
/
V
\
s
i
в
0
n
1
/
/
45
и
\
\
p
1
A
X
Рис. 18
y/ Нам важно научиться отыскивать коор-
координаты точек числовой окружности, и
прежде всего тех, которые представлены на
двух макетах (см. рис. 7, 8). Начнем с точек
л Зл 5л 7л
первого макета: —, —, — и —.
4 4 4 4
Точка Мл — — середина первой четвер-
I 4 I
ти. Опустим из точки М1 перпендикуляр
М^т на прямую ОА и рассмотрим треугольник OMtP (рис. 18). Так
как дуга АМ1 составляет половину дуги АВ, то ZAOMl = 45°. Зна-
Значит, ОМХР — равнобедренный прямоугольный треугольник, где
ОР = М1Р, т.е. у точки М1 абсцисса и ордината равны: х-у. Кроме
того, координаты точки М1 (х; у) удовлетворяют уравнению числовой
окружности х2 + у2 -1. Таким образом, для отыскания координат
точки М! нужно решить систему уравнений:
= у,
Подставив х вместо у во второе уравнение системы, получим:
1 1 F?
х2 +х2 =1, т.е. 2х2 =1, х2 =-, * = -= =— (мы учли, что абсцисса
2 л/2 2
л/2
точки М j положительна). А так как у - х, то и у = —.
Итак,
Проанализируем полученное равенство. Что означает за-
запись МЛ — I? Она означает, что точка Мх числовой окружности
л . „, fV2 VJH
соответствует числу—. АзаписьМЛ —; — означает, что точка
Мj имеет соответствующие координаты в прямоугольной сис-
системе координат хОу. И в дальнейшем будем придерживаться
подобного способа записи: если написано M(t), то это значит,
что точка М числовой окружности соответствует числу t; если
написано М(х; у), то это значит, что числа х и у являются соот-
соответственно абсциссой и ординатой точки М. Таким образом,
18
(х; у) — декартовы координаты точки М, at — «криволиней-
«криволинейная» координата точки М на числовой окружности.
Рассмотрим точку MJ — — середину второй четверти. Рассуж-
Рассуждая, как и выше, получим для модуля абсциссы и для модуля орди-
л/2 л/2
наты этой точки те же значения — и —, что и для точки М.. Пом-
2 2 1
ня, что во второй четверти х < 0, а у > 0, делаем вывод:
Для точки МЛ — — середины третьей четверти — имеем:
V 4 )
Для точки МЛ — — середины четвертой четверти — имеем:
V 4 )
л/2 4
;
Сведем полученные результаты в таблицу.
Точка
окруж-
окружности
Абсцис-
Абсцисса X
Ордина-
Ордината у
0
1
0
л
4
л/2
2
л/2
2
л
2
0
1
Зл
4
(М2)
_л/2
2
Т
я
-1
0
5л
4
~Т
Зл
2
0
-1
7л
4
л/2
2
~~2
2я
1
0
Теперь найдем координаты точек, изображенных на втором ма-
макете (см. рис. 8). Возьмем точку Мл - допустим из нее перпендику-
ляр М1Р на прямую ОА и рассмотрим прямоугольный треугольник
ОМtP (рис. 19). Гипотенузой этого треугольника является отрезок
ОМХ, причем OMt =1. Угол MfiP равен 30°, поскольку дуга AMt
составляет треть дуги АВ, а дуга АВ содержит 90°. Из геометрии из-
известно, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против
19

с
1
J
\
V
ч
В
0
D
iV
*•»
1
\
ill
30* |
p
У
V
Рис. 19
утла 30°, равен половине гипотенузы. Зна-
Значит, М1Р=- — это ордината точки Мх, т.е.
По теореме Пифагора
ОРг =ОМ1г -МхРг.
Значит,
т.е.
(мы учли, что точка — принадлежит первой четверти, а потому обе
6
ее координаты — положительные числа).
Итак,
С точкой МЛ — |связан такой же прямо-
-
с
м,
/
"L
1
\
\
Ч
•^
i
в
к
0
D
/
i
f
_1
/
\
\
j
/
А
X
угольный треугольник, как и с точкой Мх,
только ориентированный по-другому
-М -• —
2^2 2
Рис. 20
(рис. 20). Получаем: М.
Те же самые значения (с точностью до
знака) будут координатами остальных то-
точек второго макета, исключая, разумеется,
точки А@), В\ * \С(п), D\— \ причем по
чертежу нетрудно определить, какая координата равна по модулю
числу -, а какая — числу —. Возьмем для примера точку МЛ —
2 " 2 " '*" " '* \6
(см. рис. 20). Будем рассуждать так. Опустим перпендикуляр M3L
на ось х. Во-первых, M3L<LO, т.е. | у\ <\ х\. Значит, из двух чисел
1 V3
- и — в качестве ординаты точки М3 нужно взять меньшее, т.е.
-, а в качестве абсциссы — большее, т.е. —. Во-вторых, — — точ-
2 2 6
ка третьей четверти, а потому х < 0 и у < 0.
20
Окончательно получаем:
А теперь возьмите точку МЛ — |и попробуйте, проведя анало-
гичные рассуждения, найти ее координаты. Мы же пока приведем
итоговую таблицу, с помощью которой вы сможете проверить пра-
правильность своего вывода.
Точка
окружности
Абсцисса х
Ордината у
п
6
V3
2
1
2
л
3
1
2
л/3
2
2л
3
1
2
4з
2
5л
6
_л/3
2
1
2
7я
6
4з
2
1
2
4я
~3~
1
2
_V3
2
5л
3
1
2
_л/3
2
11л
~6~
Vs
2
1
2
Теперь проверьте себя по таблице: МЛ — }=МЛ -;
К* J {* 2
Пример 1. Найти координаты точек числовой окружности: а) РЛ с
V 4 )
б)Рг(-^\ в)Р3D5п); г)Р4(-18я).
Решение. Во всех четырех случаях воспользуемся утверждением, по-
полученным в § 2: числам t и t + 2nk(keZ)соответствует одна и та же точка
числовой окружности.
а) Имеем:
45я_45> _Л0 5Д _10 5т1_5тс
Значит, числу соответствует та же точка числовой окружности, что
4
и числу — (см. первый макет — рис. 7 и таблицу на с. 19). Для точки —
4 4
,<2 /2
имеем х = - — -, у = . Значит,
2 2
б) Имеем:
37тс
(-6).
21

г, 37Л
Значит, числу соответствует та же точка числовой окружности,
3
что и числу —.А числу соответствует на числовой окружности та же
3 3
точка, что и числу — (см. второй макет — рис. 8 и таблицу на с. 21). Для
3
5л 1 л/3 m
точки — имеем х = —, у = . Таким образом,
yP,
3 J \2 2
в) 45л = 44л + л = л + 2л • 22. Значит, числу 45л соответствует та же точка
числовой окружности, что и числу я, — это точка С (-1; 0). Итак,
Р,D5я)=Р,(-1; 0).
г) -18л=0 + 2л ¦ (-9). Значит, числу -18л соответствует та же точка чис-
числовой окружности, что и числу 0, — это точка АA; 0). Итак,
Р4(-18л) = Р4A;0). <Я
Пример 2. Найти на числовой окружности точки с ординатой у = — и
записать, каким числам t они соответствуют.
Решение. Прямая у = — пересекает числовую окружность в двух точ-
ках М и Р (рис. 21). Точка М соответствует числу — (см. второй макет —
6
рис. 8), а значит, и любому числу вида — + 2лй. Точка Р соответствует числу
6
5л 5я „ . _
—, а значит, и любому числу вида \- 2nk. Получили, как часто говорят в
6 6
таких случаях, две серии значений: — + 2лй и н 2лй.
6 6
Ответ: t = — + 2rtk; t = — + 2nk.
6 6
Пример 3. Найти на числовой окружности
, „ л/2
точки с абсциссой х = и записать, каким
2
числам t они соответствуют.
л/2
Решение. Прямая х = пересекает чис-
числовую окружность в двух точках МиР(рис. 22).
Точка М соответствует числу — (см. первый ма-
4
кет — рис. 7), а значит, и любому числу вида
С
В
I
\
\
ч
-¦
i
В
1
2
0
D
iV
л
/
/
A»
>
Рис. 21
22
х=
4
С
К/
/
\
р
в
i
п
D
iV
1
f
А
>
Рис. 22
h 2лй; точка Р соответствует числу —, а зна-
4 4
чит, и любому числу вида н 2ttk.
4
Ответ: t = — + 2лй; * =— + 2rik.
4 4
Замечание. В примере 3 можно было рас-
рассуждать немного по-другому: точка Р соответст-
Зл ,
вует числу , а значит, и любому числу вида
4
1-2лй. Получим две серии значений:
4
t = (- 2лй (для точки М) и t = н 2лй (для точки Р ). Чем это решение
4 4
лучше по сравнению с приведенной записью ответа к примеру 3? Только
тем, что серии значений можно охватить одной записью: t = ± (- 2лй.
4
Пример 4. Найти на числовой окружности точки с ординатой у > — и за-
писать, каким числам t они соответствуют.
Решение. Прямая у = — пересекает числовую окружность в двух точ-
ках МиР (см. рис. 21). Неравенству у > - соответствуют точки открытой
дуги МР, т.е. дуги без концов МиР. Дуга МР — это дуга с началом в точке
М и концом в точке Р при движении по окружности против часовой стрел-
стрелки. Главные «имена» точек МиР — соответственно — и —. Значит, яд-
6 6
ром аналитической записи дуги МР является неравенство
л 5л
6< <~б'
а сама аналитическая запись дуги МР имеет вид:
- + 2nk<t< — + 2nk.
6 6
<¦
Пример 5. Найти на числовой окружности точки с ординатой у < — и за-
писать, каким числам t они соответствуют.
Решение. Прямая у = — пересекает числовую окружность в двух точ-
ках МиР (см. рис. 21). Неравенству у <- соответствуют точки открытой
дуги РМ. Дуга РМ — это дуга с началом в точке Р и концом в точке М при
движении по окружности против часовой стрелки. Главные «имена» точек
23

Р и М в этом случае — соответственно и —. Значит, ядром аналити-
6 6
ческой записи дуги РМ является неравенство
7л л
< t < -,
6 6
а сама аналитическая запись дуги РМ имеет вид:
- —
6
<t <-
6
<¦
V2
Пример 6. Найти на числовой окружности точки с абсциссой х > и
А
записать, каким числам t они соответствуют.
V2
Решение. Прямая х = пересекает числовую окружность в двух
А
V2
точках М тлР (см. рис. 22). Неравенству х > соответствуют точки отк-
рытой дуги РМ. Дуга РМ — это дуга с началом в точке Р и концом в точке
М при движении по окружности против часовой стрелки. Главные «име-
_ ,, Зл Зл о
на» точек РиМв этом случае — соответственно и —. Значит, ядром
4 4
Зл Зя
аналитической записи дуги РМ является неравенство <t<—,
4 4
а сама аналитическая запись дуги РМ имеет вид:
Зл о , Зл
\-2nk<t<
4 4
<¦]
V2
Пример 7. Найти на числовой окружности точки с абсциссой х < и
А
записать, каким числам t они соответствуют.
л/2
Решение. Прямая х = пересекает числовую окружность в двух
А
V2
точках М и Р (рис. 22). Неравенству х < соответствуют точки откры-
той дуги МР. Дуга МР — это дуга с началом в точке М и концом в точке Р
при движении по окружности против часовой стрелки. Главные «имена»
,, „ Зл 5л _
точек М и Р в этом случае — соответственно — и —. Значит, ядром анали-
4 4
тической записи дуги МР является неравенство — <t<—, а сама анали-
4 4
тическая запись дуги МР имеет вид:
h 2Я& < ? < h 2i7tk. \H
4 4
24
§ 4. СИНУС И КОСИНУС
Определение. Если точка М числовой единичной окружности со-
соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом чис-
числа f и обозначают cos f, а ординату точки М называют синусом чис-
числа t и обозначают sin f.
Итак (см. рис. 23),
если M(t)=M(x,y), то
X = COS t,
у = sin t.
Отсюда следует, что
-1 < sin t < 1,
-1 < cos t < 1.
Вооружившись определением, вернемся
к § 3 и как бы заново перечитаем его.
Мы отметили в § 3, что каждая точка
числовой окружности имеет в системе хОу
свои координаты, причем для точек:
первой четверти х >0, у >0;
второй четверти х <0, у >0;
третьей четверти х <0, у <0;
четвертой четверти х > 0, у < 0 (см. рис. 17).
Это позволяет нам составить таблицу зна-
знаков синуса и косинуса по четвертям окруж-
окружности (табл. 1).
Уравнение числовой
окружности имеет вид
х2 + у2 = 1. Тем самым фак-
фактически получено важное
равенство, связывающее
sin t и cos t,
-
w
с
(t
t
1
\
л
1
1
i
в
cosf
n
,v
. 1
1
sinf
0
у
\
7
Рис. 23
Таблица 1
Четверть
окружности
cos t
sin t
1-я
+
+
2-я
-
+
3-я
-
-
4-я
+
-
cos2 t + sin21 =1.
Мы говорили в § 3, что нам важно научиться отыскивать коор-
координаты точек числовой окружности, и прежде всего тех, которые
представлены на первом и втором макетах (рис. 7 и 8). Нёобходи-
25

мость этого стала предельно ясной: опираясь на таблицы из § 3, мы
без труда составим соответствующие таблицы для значений cos t и
sin t (табл. 2 и 3):
Таблица 2
cos /
sinf
0
1
0
л
4
Л
2
л/*
2
л
2
0
1
Зл
4
V2
2
л/Я
2
тс
_i
0
5л
4
V2
2
л/й
2
Зл
2
0
-1
7л
4
V2
2
л/й
2
2тс
1
0
Таблица 3
t
cost
sinf
л
6
~2~
1
2
л
3
tol »-•
2
2л
3
1
~2
T
5л
6
~~2~
1
2
7л
6
~~2
1
2
4л
3
1
2
~T
5л
3
1
2
~~2~
11л
6 ,
~2
«H I IN
1
Пример 1. Вычислить cos t и sin t, если:
а)* = —; 6)* = -—; в)*=45л;
* = -18л.
Решение, а) При решении примера 1а из § 3 мы установили, что числу
t= соответствует та же точка числовой окружности, что и числу —. Для
4 4
точки t = — имеем (см. табл. 2)cos t = , sin t = . Значит,
4 ^ ?
cos-
45л
V2 . 45л
; sin =
2 4
б) При решении примера 16 из § 3 мы установили, что числу t = -
5л
37л
соответствует та же точка числовой окружности, что и числу —. Для точ-
3
ки^ = — имеем (см. табл. 3) cos* = -, sin* = . Значит,
3 2 2
26
cos -
^ . (
=—; sin
3 J 2 {
)
V3
.
2
в) При решении примера 1 в из § 3 мы установили, что числу t=45л соот-
соответствует та же точка числовой окружности, что и числу л. Для точки t = л
имеем (см. табл. 2) cos t = -1, sin t=0. Значит,
cos 45л = -1; sin 45л=0.
г) В примере 1 г из § 3 мы установили, что числу t = -18л соответствует
та же точка числовой окружности, что и числу 0. Для точки *=0имеем(см.
табл. 2)cost = l, sin*=0. Значит,
соз(-18л)=1; sin(-18n)=0. <Я
Пример 2. Решить уравнение sin t = —.
Решение. Учтем, что sin* — это ордината точки M(t) числовой ок-
окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности точки с ор-
ординатой — и записать, каким числам t они соответствуют. Эта задача уже
решена в примере 2 из § 3.
Ответ:t = — + 2nk; t=— + 2лй.
6 6
-n/2
Пример 3. Решить уравнение cos t = .
Решение. Учтем, что cost — это абсцисса точки M(t) числовой ок-
окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности точки с абс-
абсциссой и записать, каким числам t они соответствуют. Эта задача уже
решена в примере 3 из § 3.
2й t = — + 2лй (или* = ±—
4 4
Omeem:t=
Пример 4. Решить неравенство sin t>~.
Решение. Учтем, что sin t — это ордината точки M(t) числовой ок-
окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности точки с ор-
ординатой у > — и записать, каким числам t они соответствуют. Эта задача
уже решена в примере 4 из § 3.
Ответ: - + 2nk<t <— + 2л*.
6 6
Пример 5. Решить неравенство cos t > .
2
Решение. Учтем, что cost — это абсцисса точки M(t) числовой ок-
окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности точки с абс-
27

V2
циссой х > и записать, каким числам t они соответствуют. Эта задача
2
уже решена в примере 6 из § 3.
Ответ: \-2nk<t< \-2nk.
4 4
Пример 6. Решить уравнения:
a)sin*=0; 6)sin* = l; в) sin* = -l.
Решение, а) Нам нужно найти на числовой окружности точки с ордина-
ординатой 0 и записать, каким числам t они соответствуют. Ординату 0 имеют точки
А и С (см. рис. 23), они соответствуют числам 0 (точка А), я (точка С), 2я (точ-
(точка А), Зя (точка С), -п (точка С), -2л (точка А) и т.д. Обобщая, это можно запи-
записать так: точки А и С соответствуют числам вида nk.
Итак, решение уравнения sin (=0 имеет вид:
t = nk.
б) Ординату 1 имеет точка В числовой окружности (см. рис. 23), она со-
ответствует числу —, а значит, и всем числам вида — + 2nft.
2 2
Итак, решение уравнения sin* = 1 имеет вид:
t=- + 2nk.
2
в) Ординату -1 имеет точка D числовой окружности (см. рис. 23), она
п п „ ,
соответствует числу —, а значит, и всем числам вида \- 2nk.
с* с*
Итак, решение уравнения sin* = -l имеет вид:
t = -- + 2nk.
2
Ответ:
t = - + 2nk;
Пример 7. Решить уравнения:
a)cos*=0; 6)cos* = l; в)cos t = —l.
Решение, а) Нам нужно найти на числовой окружности точки с абс-
абсциссой 0 и записать, каким числам t они соответствуют. Абсциссу 0 имеют
точки В и D (см. рис. 23), они соответствуют числам — (точка В), — (точ-
2 2
ка D), — (точка В), — (точка D), — (точка D), (точка В) и т.д. Обоб-
с* с* с* 2
щая, это можно записать так: точки В и D соответствуют числам вида
- + nk.
2
Итак, решение уравнения cos t=0 имеет вид: t = — + nk.
2
б) Абсциссу 1 имеет точка А числовой окружности (см. рис. 23), она со-
соответствует числу 0, а значит, и всем числам вида 0 + 2nk, т.е. 2nk.
Итак, решение уравнения cos t = 1 имеет вид: t = 2nk.
28
в) Абсциссу -1 имеет точка С числовой окружности (см. рис. 23), она со-
соответствует числу я, а значит, и всем числам вида л + 2nft.
Итак, решение уравнения cos t = -1 имеет вид: t = л + 2
Ответ:&)t = -+ nk; 6)t = 2nk; B)t = n + 2nk.
Замечание. Напомним еще раз о нашей до-
договоренности: параметр k (или п) принимает лю-
любые целочисленные значения (keZ\ мы это
постоянно подразумеваем, но ради краткости не
записываем.
Пример 8. Решить уравнения:
a) cos t = -; б) sin t = -0,4.
3
Решение, а) Нам нужно найти на числовой
окружности точки с абсциссой - и записать, ка-
3
ким числам t они соответствуют. Абсциссу -
3
имеют точкиМиР (рис. 24), а вот каким числам t
они соответствуют, мы сказать пока не можем. К
этой проблеме вернемся в гл. 2.
б) Нам нужно найти на числовой окружности
точки с ординатой -0,4 и записать, каким числам
t они соответствуют. Ординату -0,4 имеют точки
LnN (рис. 25), а вот каким числам t они соответ-
соответствуют, мы сказать пока не можем. К этой проб-
проблеме также вернемся в гл. 2. <Я
с
1
\
V
/
ч
1
в
0
D
kv
|
М
<
\
У
/
Р1
А
X
Рис. 24
/
С
у^-О.'^
ч
у*
в
D
1у
0
1
\
А
х
Рис. 25
Пример 9. Какое из двух чисел больше, sinl или sin 2 ?
Решение. Вопрос можно переформулировать так: на числовой ок-
окружности отмечены точки 1 и 2. У какой из них ордината больше? В такой
геометрической интерпретации задача имеет довольно симпатичное реше-
решение. Отметим на числовой окружности точки 1 и 2 (рис. 26). Точка 1 удале-
удалена от точки В — I (по окружности) примерно на
V2/
0,57 (вы помните, что — = 1,57); точка 2 удалена
с*
от точки — (по окружности) примерно на 0,43
2 — «2-1,57= 0,43 .Значит,точка2находится
ближе к точке —, чем точка 1, а потому ее ордина-
та больше.
Ответ: sinl < sm2.
С
/
V
|
2
f
|
1
1
s.
i
В
D
^У
0
т
т
\
\
-)
г
А
>
с
Рис. 26
29

Завершая в этом параграфе разговор о синусе и косинусе, получим не-
некоторые важные формулы.
1. Для любого значения t справедливы равенства
sin (-t)=-sint,
cos (-t) = cost.
Например, sin [ — |=-i
6
COS I I — COS
С
/
\
i
в
D
IV
0
M(t)
r*
1
T
T~
T~
Pf
-t
\
1
A
X
Рис. 27
4 2
Доказательство. Если числу t соот-
соответствует точка М числовой окружности,
то числу -1 соответствует точка Р, симмет-
симметричная точке М относительно горизонталь-
горизонтального диаметра окружности (рис. 27), т.е.
симметричная точке М относительно оси
абсцисс. У таких точек одна и та же абсцис-
абсцисса, а это значит, что cos (-?) =cos t. У таких
точек равные по модулю, но противополож-
противоположные по знаку ординаты. А это значит, что
sin (-t)=-smt. •
2. Для любого значения t справедливы равенства
sin (t
cos (t +2nfe) = cost.
Это очевидно, поскольку числам t и t +2nk соответствует одна и та
же точка числовой окружности (чем мы не раз уже пользовались).
3. Для любого значения t справедливы равенства
sin (t +jc)
cos (t + n)
sint,
cos t.
Например,
sin — = sin —
6 ^6
. л
: - Sin — :
6
30
• 5л
cos — = cos
4
n } n
- + JC =-COS-=
4 4
Доказательство. Если числу t соот-
соответствует точкаМ числовой окружности, то
числу t+тс соответствует точка Р, симмет-
симметричная точке М относительно центра ок-
окружности — начала координат (рис. 28). У
таких точек и абсциссы, и ординаты равны
по модулю, но противоположны по знаку.
Это значит, что
cos (t+n)--cost,
sin (? + 7t)=
Пример 10. Доказать тождества:
-
С
/
/
\
\
P(lf7tJ
1
1
ч
/
I
в
/
n
1У
/
0
4.
A
¦
1
M
\
\
/
/
t)
A
Рис. 28
B)sinB7t-*)=-sin*; r)cosB7t-*)=cos*.
Решение. а) Запишем sin(n-t)в виде sin(-t+n). Применив к выра-
выражению sin (~t + n)свойство 3, получим: sin (-t + n) = - sin (-*).
По свойству 1 sin (-*)=-sin*. Значит, - sin(-*) = sin t, а потому
sin(-* + 7t)=sin t.
Итак, sin (л -t)=sin t, что и требовалось доказать.
б) Запишем cos (я-*) в виде cos(-*+7t). Применив к выражению
cos (-*+ л)свойство3, получим:cos (-t+rt)=-cos (-*).
По свойству 1 cos (-*)=cos t. Значит, cos (-t + n)=- cos t, что и требова-
требовалось доказать.
в) sin Bл -1) = sin (-t + 2л) = sin (-t)=- sin t.
Итак, sin Bл -1) = - sin t, что и требовалось доказать.
r)cos Bл-*)=со8 (-* + 2л)=соз (-*)=cos t.
Итак, cos Bл-*)=соз *> что и требовалось доказать. <Л
4. Для любого значения t справедливы равенства
sin \t+- =cost,
I 2 J
cos 11 +- |=-sint.
2
Доказательство. ПустьчислуtсоответствуетточкаМчисло-
ПустьчислуtсоответствуетточкаМчисловой окружности, а числу t + — — точка Р (рис. 29). Сразу обратим
внимание на важное обстоятельство: если точка М находится в пер-
первой четверти, то точка Р — во второй; если точка М находится во
второй четверти, то точка Р — в третьей и т.д. Дуги AM и ВР равны,
соответственно равны и прямоугольные треугольники ОКМ и OLP.
Значит, OK=OL, МК = PL. Из этих равенств и учитывая указанное
31

с
р
/
L
1
\
М
(
в
\
D
у
и
к.
\
)
t
А
>
Рис. 29
выше обстоятельство о расположении точек
М и Р в четвертях числовой окружности, де-
делаем два вывода:
1) ордината точки Р и по модулю, и по
знаку совпадает с абсциссой точки М. Это
значит, что
sin [ t + — ]=cosf;
2) абсцисса точки Р по модулю равна ор-
ординате точки М, но отличается от нее зна-
знаком. Это значит, что
Пример 11. Доказать тождества:
cos tн— =-sinf.
2
-~t =cos*; 6)cos —t = sin*.
) V2 J
Решение. Доказательства тождеств аналогичны доказательствам
тождеств из примера 10: используются свойства 1 и 4. Мы приводим оба
доказательства без комментариев, но советуем вам «озвучить» рассужде-
рассуждения.
a) sin —t =sin -* + — =cos (-*)=cos*;
\2 ) V 2)
6)cos [--* |=cos |-t + ^] = -
12 J I 2 1
<¦
§ 5. ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС
Определение. Отношение синуса числа t к косинусу этого же чис-
числа называют тангенсом числа t и обозначают tg t. Отношение косину-
косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t и
обозначают^ t:
. sinf . cosf
tf; tf
cost
sinf
Говоря о tg t, подразумевают, что cos t * 0, т.е. что t*- + nk (см.
пример 7а из § 4), а говоря о ctg t, подразумевают, что sin t * 0, т.е.
что t*nk (см. пример 6а из § 4). Поэтому обычно определения tg t и
ctg t записывают так:
32
sin t %
tgt= , vji&t ± —
cost 2
cost
ctg t , где t * nk.
sin*
Впредь, говоря о tg t или ctg t, мы будем подразумевать (а иног-
иногда и записывать), что аргумент t принимает только допустимые
значения: t* — + nk для tg t и t * nk для ctg t.
Опираясь на таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям
числовой окружности, приведенную в § 4, нетрудно составить ана-
аналогичную таблицу для тангенса и котангенса:
Четверть j 1-я
2-я
tg t, ctg f +
3-я
+
4-я
-
Пример 1. Вычислить: a) tg—; 6)tg—; в) ctg—; г) ctg—.
4 3 2 6
„ .„ . л V2 n л/2 о
Решение, а)Имеем: sin—= —, cos—= —. Значит,
; 4 2 4 2
n л/2 л/2
tg—= —:— = 1.
64 2 2
б) Имеем: sin— = , cos— = - (см. второй макет — рис. 8). Значит,
О А О А
в) Имеем: sin — = 1, cos—=0. Значит, ctg—=0:1=0.
2 2 2
г) Имеем: sin— = -, cos— = (см. второй макет — рис. 8). Значит,
6 2 6 2
Как видите, зная значения синуса и косинуса числа t, нетрудно
вычислить соответствующие значения тангенса и котангенса. Тем
не менее есть смысл составить таблицу основных значений танген-
тангенса и котангенса:
2 Мордкович «Алгебра. 10 кл..
33

t
tg*
ctgf
0
0
-
71
6
V3
3
л/3
Л
4
1
1
Л
3
7з
3
Л
2
0
Завершая разговор о тангенсе и котангенсе, получим две важ-
важные формулы.
Х.Длялюбого допустимого значения t справедливы равенства:
Доказательство. Воспользуемся свойством1для косинуса и
синуса (§ 4):cos(-t)=cosf, a sin (-?) = -sin t. Имеем:
sin (-t) - sin t sin t
*(-*) =
cos (-t) cos t
cost
. , .4 COS (-t) COSt COSt
ctg(-o= . ; /=——=—r—=-ctgf. ф
sin (-t) - sint sint
2. Для любого допустимого значения t справедливы равенства:
Доказательство. Воспользуемся свойством 3 для косинуса и
синуса (§ 4): cos (t + n) = -cost, sin (t + тс) = - sin t.
Имеем:
... . sin(H-n) -sin* sin* . .
tg(f+ jc)= -= = =tg t;
cos(t+n) -cost cost
. .. ч cos(t+n) -cost cost . .
Ctg(t + JC) = ) '-= = =Ctgf. ф
sm(t+n) -smt smt
Выполняются и такие равенства: tg(t + 2n) = tg t, tg(t-jc)=tg t,
ctg (t+2n) =ctg t и вообще:
6) ctg—.
4
Пример 2. Вычислить: a) tg I - — t
V 3 J
Решение, а) По свойству 1 tg =-tg—.
{ 3 ) 3
Так как — = 2л + —, то
3 3
3 "{ 3) 
Мы воспользовались свойством 2, а точнее, его обобщением. Итак,
б) ctg-— = ctg л+— =ctg—= 1. Здесь мы также воспользовались свойст-
4 { 4) 4
вом2.
<¦
§ 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА
Какое бы действительное число t ни взять, ему можно поставить в
соответствие однозначно определенное число sin t. Правда, правило
соответствия довольно сложное и заключается в следующем.
Чтобы по числу t найти значение sin t, нужно:
1) расположить числовую окружность на координатной плос-
плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а
начальная точка А окружности попала в точку A; 0);
2) на окружности найти точку, соответствующую числу t;
3) найти ординату этой точки.
Эта ордината и есть sin t.
Фактически речь идет о функции в = sin t, где t — любое действи-
действительное число. Мы умеем вычислять некоторые значения этой функ-
функции (например, sin 0 = 0, sin - = - и т.д.), знаем некоторые ее свойства.
о а
Точно так же мы можем считать, что уже получили некоторые
представления еще о трех функциях: в=cost, e = tg t, e=ctg t. Все
эти функции называют тригонометрическими функциями числово-
числового аргумента t.
Есть целый ряд соотношений, связывающих значения различ-
различных тригонометрических функций, некоторые из этих соотноше-
соотношений вы уже знаете:
sin t +cos t =1;
34
35

sin t л
tg t = при t * — + jcr;
t 2
cos t
ctg t = при t * nk.
sin t
Из двух последних формул легко получить соотноше-
соотношение, связывающее tg t и ctg t:
Пример 1. Упростить выражение: а) 1 + tg2 *; б) 1 + ctg2 *.
r> WI , «. , sin2* cos2*+sin2*
Решение, а) Имеем 1 + tgf * = 1Н j- = - =
cos2*
cos2 *'
cos2* sin2 * +cos2*
sin2* sin2* sin2*
Мы получили еще две важные формулы:
<¦
1 , к .
¦¦ при* * —+nk;
cos2t 2
l + ctg2t =
sin2*
при * Ф nk.
Все полученные формулы используются в тех случаях, когда
при заданном значении какой-либо тригонометрической функции
требуется вычислить значения остальных тригонометрических
функций.
Пример 2. Известно, что sin* = — и 0<*<—. Найти соответствующие
5 2
значения cos *, tg *, ctg *.
Решение. Из соотношения cos2 * + sin2 * = 1 находим: cos2 * = 1 - sin2 *.
По условию sin * = -, значит, cos2 * = 1 -1 —I = —.
5 [5) 25
•if* A A
Из уравнения cos2 * = — находим, что cos * = — или cos * = —.
По условию аргумент * принадлежит первой четверти числовой окруж-
окружности, а в ней cos * > 0. Значит, из двух найденных возможных решений вы-
_, 4
бираем первое: cos * = — .
5
Зная значения sin* исоз*, нетрудно вычислить соответствующие значе-
значения tg * и ctg *:
sin* 3 4 3 14
tg* = = —:- =—; ctg* = =—.
ё cos* 5 5 4 Ъ tg* 3
4 3 4
Ответ: cos * = -; tg* = -; ctg* = -.
5 4 о
Пример З. Известно, что tg* = и -<*<я. Найти значения
sin *, cos *, ctg *.
Решение. Воспользуемся соотношением 1 + tg2* =
5 1
tg* = , значит, —— =
12 cos2*
cos *
По условию
Отсюда находим, что cos * =
12J 144
144
12
Из последнего уравнения находим, что cos * = — или cos
13
12
—.
13
По условию аргумент * принадлежит второй четверти числовой окруж-
окружности, а в ней cos * <0. Значит, из двух указанных выше возможностей вы-
выбираем вторую: cos * = .
13
Зная значения tg*ncos*, нетрудно вычислить соответствующие значе-
sin*
ния sin * и ctg *: tg * = :, значит,
* = tg * ¦ cos * = —
cos*
Ь
12
\г\ 5 t i 12
—— =—; ctg*=—=—.
13 I 13 tg* 5
12 5 12
Ответ: cost = ; sin* =—; ctg* = .
13 13 5
§ 7. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
УГЛОВОГО АРГУМЕНТА
Термины «синус», «косинус», «тангенс» и «котангенс», кото-
которые мы ввели выше, на самом деле уже были вам знакомы, правда,
использовали вы их до сих пор в другом смысле: в геометрии и фи-
физике вы рассматривали синус, косинус, тангенс и котангенс угла,
(а не числа, как это было в предыдущих параграфах).
Из геометрии известно, что синус (косинус) острого угла — это
отношение катета прямоугольного треугольника к его гипотенузе,
а тангенс (котангенс) утла — это отношение катетов прямоугольно-
36
37

го треугольника. Совсем другой подход к понятиям синуса, коси-
косинуса, тангенса и котангенса развивали мы в предыдущих парагра-
параграфах. На самом деле все тесно взаимосвязано, в чем мы сейчас
убедимся.
Возьмем угол с градусной мерой а0 и рас-
расположим его в модели «числовая окруж-
окружность в прямоугольной системе координат»
так, как показано на рис. 30: вершину угла
совместим с центром окружности (с нача-
началом системы координат), а одну сторону
угла совместим с положительным лучом
оси абсцисс. Точку пересечения второй сто-
стороны угла с окружностью обозначим буквой
М. Ординату точки М естественно считаем
синусом угла а0, а абсциссу этой точки —
косинусом угла а0.
Для отыскания синуса или косинуса угла а0 совсем необяза-
необязательно каждый раз проводить подобные построения. Достаточно
заметить, что дуга AM составляет такую же часть длины единич-
единичной окружности, какую угол а0 составляет от угла 360°. Если дли-
t
2л'
дим:
2тох° тих
-
с
/
\
V
V
»¦"
В
D
У
0
/
/
'
а
)
Ai>
X
Рис. 30
= —, откуда нахо-
t ='
360° 180
Таким образом,
sin cc°= sin t = sin
тих _
180'
cos сс°= cost =cos
тих
180'
Например,
sin 30°= sin — = sin -=-;
180 6 2
cos9l3°=cos~=cos-=0.
180 2
Говорят, что 30° — это градусная мера угла, а — — радианная
6
мера того же угла: 30° = —рад. Аналогично 90° = -рад. Вообще,
6' 2
а =-
тих
180
рад.
В частности,
1°=
180
рад.
Отсюда, в свою очередь, получаем
1рад =
180°
Например, 35°=:
2л _ 180е
—рад =
3 И л
2л
= 120°.
" " * " 180 " 36' ' 3 * л 3
Ради краткости условимся обозначение рад опускать, т.е. впол-
вполне допустимой является, например, следующая запись:
tg45°=tg( * -^ п *
Так что же такое 1 радиан? Вы знаете, что есть различные меры
длины: сантиметры, метры, ярды и т.д. Есть и различные меры ве-
величины угла. Мы рассматриваем центральные углы единичной ок-
окружности. Угол в 1° — это центральный угол, опирающийся на
дугу, составляющую часть окружности. Угол в 1 радиан — это
360
центральный угол, опирающийся на дугу длиной 1, т.е. на дугу,
длина которой равна радиусу окружности. Из формулы 1 рад =
180° '
- получаем, что \1 рад =57,3
38
л
Говоря о функции s = sin t (или о любой другой тригонометричес-
тригонометрической функции), мы можем считать независимую переменную t чис-
числовым аргументом, как это было в предыдущих параграфах, но мо-
можем считать ее и мерой угла, т.е. угловым аргументом.
Рассматривая ту или иную тригонометрическую функцию, в опре-
определенном смысле безразлично считать ее функцией числового или
углового аргумента. Мы будем в основном говорить о функциях
числового аргумента.
\, Завершая параграф, убедимся в том, что определения синуса,
косинуса, тангенса и котангенса, которые вы изучали в геометрии,
представляют собой частные случаи тех определений, что были
предложены в этой главе.
Теорема.ЕслиаиЪ — катеты,с — гипотенуза прямоуголь-
прямоугольного треугольника ABC (рис. 31), то выполняются следующие
равенства:
sinA=~, cosA = —, tgA = —, ctgA = —.
с с b a
Доказательство. Совместим прямо-
прямоугольный треугольник ABC с числовой ок-
окружностью так, как показано на рис. 32:
вершину А поместим в центр О окружнос-
окружности, катет АС «пустим» по положительно-
положительному направлению оси абсцисс. Точку пере-
пересечения гипотенузы АВ с окружностью
39
А
V
*
ГС
ь
<
в
а
Г
Рис. 31

I
V
\
,y
0
г»
С
|
P
/
h
1p
a
r'
>
Рис. 32
МР
He
обозначим буквой М. Опустим из
точки М перпендикуляр МР на
прямую АС. Заметим, что АР и
МР — абсцисса и ордината точки
М, т.е. АР = cosА, МР -sinA. Уч-
Учтем также, что AM = 1 (радиус
числовой окружности равен 1) и
что Ае =-, АС =Ь, ВС =а.
Так как треугольники AMP и
ABC подобны, то
AM АР
— ГТ1 Л
АВ ~ АС'
sin A
а
cos A
¦,г sin А 1 . . а
Из пропорции =- находим: sinA =—.
ас с
тг cosA 1 . Ь
Из пропорции =— находим: cos A — —.
be с
Далее, tg A -
sin A
cos A
aba b
— :- = —; аналогично ctg A =—
с с b a
Обратимся еще раз к рис. 31 и 32. Как мы только что доказали,
Точно так же можно доказать, что
=—, cos-A =—.
с с
Ъ „а
= -, cosB=—.
с с
Значит, sinB=cosA,cosB = sinA. Но В = 90° -А. Таким образом,
получаем известные вам из геометрии соотношения:
sin (90°-А) = cos A, cos (90°-A) = sin A
Переведя эти соотношения на «язык радианов», получим:
sinf—t =cos?, cosf—t \=sint.
Эти формулы были доказаны выше, в примере 11 из § 4.
Справедливы и аналогичные формулы для тангенса и котанген-
котангенса (попробуйте выполнить соответствующие обоснования самосто-
самостоятельно):
tg (90°-А) = ctg A; ctg (90°-А) = tg A;
40
§ 8. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
Если под знаком тригонометрической функции содержится вы-
71 П Зп Зп _
ражение — + t, —t, n+t, n-t, — + t, 1 и вообще любое выражение
вида — ± t, где n — произвольное целое число, то, оказывается, та-
кое выражение всегда можно привести к более простому виду, ког-
когда под знаком тригонометрической функции будет содержаться
только аргумент t. Соответствующие формулы обычно называют
формулами приведения. Некоторые из этих формул мы вывели,
например, в § 4, говоря о свойствах синуса и косинуса, а именно:
sin Gt+?) = -sinf;
cos (n+t) = -cost;
sin — + t =cosf;
I2 J
cos
=-sinf.
В том же параграфе в примере 10 получили:
cos Bn-t)= cost.
Как видите, в этих случаях удалось привести заданное триго-
тригонометрическое выражение к виду sin t или cos t (с точностью до
знака).
В § 5 мы вывели две формулы приведения для тангенса и котан-
котангенса:
g
CtgGt+*)=Ctg*.
Итак, мы имеем 10 формул приведения. Попробуем их проана-
проанализировать.
Во-первых, замечаем, что наименование преобразуемой функ-
функции после приведения к функции аргумента t может сохраниться,
а может и измениться: синус — на косинус, косинус — на синус,
тангенс — на котангенс, котангенс — на тангенс. Приведем при-
примеры:
sin (ти-1) = - sin t;
cos (n+t) = -cost;
c\g(n+t)=ctgt;
cos Bn-t)= cost.
Здесь название тригонометрической функции сохранилось.
41

sin\— + t =cosf; cos —+t \--sint.
I2 J I2 J
Здесь название тригонометрической функции изменилось.
Во-вторых, замечаем, что перед полученным выражением иног-
иногда появляется знак минус.
Формул приведения очень много. Выводить их каждый раз до-
довольно утомительно. Составить таблицу формул приведения и пос-
постоянно ею пользоваться можно, но неудобно, так как она громозд-
громоздка. На наше счастье, был придуман простой и удобный способ их
запоминания. Он заключается в том, что:
1) если под знаком преобразуемой тригонометрической
функции содержится сумма аргументов вида n+t,n—t,2n+t
или2п-г, то наименование тригонометрической функции сле-
следует сохранить;
2) если под знаком преобразуемой тригонометрической
функции содержится сумма аргументов вида -~+t,—t, — +t
Ci Ci Ct
или — -t, то наименование тригонометрической функции еле-
Ct
дует изменить (на родственное);
3) перед полученной функцией от аргумента t надо поста-
поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при
условии, что 0 < t < —.
Ct
Это правило используется и в тех случаях, когда аргумент задан
в градусах, т.е. когда под знаком тригонометрической функции со-
содержится сумма вида 90°+а, 90°-а, 180°+а и т.д.
Попробуем применить сформулированное правило сначала к
уже перечисленным в этом параграфе формулам приведения.
Преобразуем sin (я+f). Наименование функции сохраняется,
т.е. получаем sin t. Далее, если считать, чтоО<* <-, топ+t — аргу-
Li
мент из третьей четверти, а в ней преобразуемая функция синус
имеет знак минус. Этот знак надо поставить перед полученной функ-
функцией. Таким образом, sin (n+t) =-sinf.
Преобразуем cos I— + t . Наименование функции изменяется,
т.е. получаем sin t. Далее, из того, что 0 <t <—, следует, что — + t —
аргумент из второй четверти, а в ней преобразуемая функция коси-
42
нус имеет знак минус. Этот знак надо поставить перед полученной
функцией. Таким образом, cos —+t =-sinf.
I2 )
А теперь воспользуемся сформулированным правилом для по-
получения пары новых формул приведения.
Преобразуем ctg 1 . Наименование функции следует изме-
изменить; получим tg t. Далее, если считать, что 0 < t < —, получим, что
Ct
§5 -t — аргумент из третьей четверти, а в ней преобразуемая функ-
2
ция котангенс имеет знак плюс. Этот знак надо поставить перед по-
полученной функцией. Таким образом, ctg 1 =tg t.
\ 2 J
Преобразуем sin C60°-a). Наименование функции следует сох-
сохранить (не забывайте, что 360° = 2я); получим sin a. Далее, если
считать, что 0 < a < 90°, получим, что 360° - a — аргумент из чет-
четвертой четверти, а в ней преобразуемая функция синус имеет знак
минус. Этот знак надо поставить перед полученной функцией. Та-
Таким образом, sin C60°-a) =- sin a.
Разумеется, формулы приведения можно применять и в тех слу-
случаях, когда место аргумента t занимает более сложное выражение.
Например, мы видели выше, что ctg 1 =tgf; значит, и
§9. ФУНКЦИЯ y=sinx, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
В § 6 мы уже познакомились с функцией s = sin t, где t e R. Отме-
Отметим свойства этой функции.
Свойства функции 8 = sin t
i Свойство 1. Область определения —* множество R действи-
действительных чисел: D(f) =(-<», + «>).
Свойство 2. s = sin t — нечетная функция.
Напомним (см. наш учебник "Алгебра-9"), что функцию
У = f(x), х е X, называют нечетной, если для любого значения х из
множества X выполняется равенство
43

Но в § 4 мы уже доказали, что для любого t выполняется равен-
равенство sin (-?) = - sin t. Значит, s = sin t — нечетная функция.
График функции s = sin t, как график любой нечетной функции,
симметричен относительно начала координат в прямоугольной
системе координат tOs.
Свойство 3. Функция s = sin t возрастает на отрезке] 0,— \и убы-
L 2 J
вает на отрезке I —,
L2
Это следует из того, что при движении точки по первой четверти
числовой окружности (от 0 до —) ордината постепенно увеличива-
ется (от 0 до 1 — см. рис. 33а), а при движении точки по второй чет-
четверти числовой окружности (от - до л) ордината постепенно умень-
С*
шается (от 1 до 0 — см. рис. 336).
Рассуждая аналогично, можно сделать общий вывод: функция
s = sinf возрастает на любом отрезке вида —+2nk, — + 2nk и
убывает на любом отрезке euda\ —+2nk, —+2nk\,Tji,ekbZ.
|_2 2 J
С
/
1
\
\
ч
В
Г)
(
I
1
L
Р
1
г
1
г
А
С
А
\
V
Г
1
S
3
D
0
**»
\
А
\
\
1
/
А
а б
Рис. 33
Свойство 4. Функция s = sin f ограничена и снизу, и сверху.
Напомним (см. наш учебник "Алгебра-9"), что функцию y = f(x)
называют ограниченной снизу, если все значения функции не мень-
меньше некоторого числа; иными словами, если существует число
т такое, что длялюбого значения х из области определения функ-
функции выполняется неравенство f(x)>m. Функцию y = f(x) называют
ограниченной сверху, если все значения функции не больше неко-
некоторого числа; иными словами, если существует число М такое,
44
что для любого значения х из области определения функции вы-
выполняется неравенство f(x)<M.
Если функция ограничена и снизу, и сверху, то ее называют
ограниченной.
Ограниченность функции s = sint следует из того, что, как мы
видели выше, для любого t справедливо неравенство -К sinf < 1.
Свойство 5. sH1KM =-l (этого значения функция достигает в лю-
любой точке вида t =-~+2nk); sHaH(S = 1 (этого значения функция дос-
С*
тигает в любой точке вида t = —+2nk).
Под зшям и sHllie понимаются соответственно наименьшее и наи-
наибольшее значения функции s = sin t.
Воспользовавшись полученными свойствами, построим график
интересующей нас функции. Но (внимание!) вместо s = sinf будем
писать у = sin х — ведь нам привычнее запись у = f(x), а не s = f{t).
Значит, и строить график будем в привычной системе координат
хОу.
Сначала построим график функции у = sin х на отрезке [0, тс].
При этом договоримся о следующем масштабе на осях координат:
на оси ординат 1 см = 1, т.е. в ваших тетрадях в клеточку роль еди-
единичного отрезка на оси у составит отрезок в две клеточки; на оси х
1 см (две клеточки) равен —. Фактически мы будем считать, что
3
п = 3, что не совсем соответствует действительности (на самом деле
л >3), но на это при построении графика особого внимания обра-
обращать не будем.
Составим таблицу значений функции у = sin xr.
X
У
0
0
71
6
1
2
71
3
?
2
к
2
1
2л
3
?
2
5л
6
1
2
п 1
0
Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их
плавной кривой, идущей «в гору» на отрезке 0, — и «под гору» на
L 2J
-,я. Это — график функции y = sinx на отрезке
45
отрезке

[О, я](рис. 34). Обратите внимание на плав-
плавность графика в точке —; 1 и на то, что из
V2 )
начала координат кривая выходит как бы
под углом 45°) Почему это так, пока объяс-
объяснить мы не можем, соответствующий разго-
Рис. 34 к}> вор пойдет в главе 4.
Добавив к построенному графику сим-
симметричную линию относительно начала координат, получим гра-
график функции у = sinx на отрезке [-тс, я] (рис. 35).
1
1,
2
0
У
/
г
t
t
н-
\
2
Ч
я
х'
ч
ч
я
- 1 -*
1
/
л
У
/
0
5
4.
s
\
X
Рис. 35
А теперь построим график функции y = sinx на отрезке [тс, Зя].
Обратите внимание: если х е [-тс, тс], то (л:+2тс) е [тс, Зтс]. Но
sin (x+2n) = sinx. Это означает, что в точке х+2п функция y = sinx
принимает то же значение, что и в точке х. Иными словами, на от-
отрезке [тс, Зтс] график функции у = sinx выглядит точно так же, как
и на отрезке[-тс, тс](рис. 36). И на отрезках [Зтс, 5тс], [5л, 7я], [-Зтс, -я]
и т.д. график этой функции выглядит так же, как на отрезке
[-тс, тс]. Окончательный вид графика функции у = втхпредставлен
на рис. 37.
/1
/
S
X
Рис. 36
Линию, служащую графиком функции у = sinx, называют сину-
синусоидой. Ту часть синусоиды, которая изображена на рис. 35 или 36,
называют волной синусоиды, а ту часть синусоиды, которая изоб-
изображена на рис. 34, называют полуволной или аркой синусоиды.
46
—*
s
ч
1
/
¦1'
/
0
\
Ч
I
>
s
л
I
г =
ч
sii
ч
I
t
Ч
f
2л
г—
Рис. 37
Опираясь на построенный график, отметим еще несколько
свойств функции у = sinx
Свойство 6.i/ = sinx — непрерывная функция.
Непрерывность функции на промежутке X означает, что гра-
график функции на промежутке X — сплошной, т.е. не имеет проко-
проколов и скачков. Это, конечно, весьма поверхностное представление о
свойстве непрерывности функции,|более точное истолкование неп-
/рерывности функции мы рассмотрим в главе 4.
Свойство 7. Область значений функции — отрезок [-1,1]; коро-
короче ?(Я=[-1Л].
Пример 1. Решить уравнение sin х = х - л.
у=х—п
y=sinx_M
Рис. 38
Решение.
' 1) Рассмотрим две функции :y = sinxny = x-n.
2) Построим график функции у = sin x (рис. 38).
3) Построим график линейной функции у = х - я. Это — прямая линия,
проходящая через точки@; -л)и(л; 0)(рис. 38).
4) Построенные графики пересекаются в точкеА(л;0). Значит, заданное
уравнение имеет корень я — это абсцисса точки А.
Ответ: х = л.
47

Пример 2. Построить график функции у = sin I х - — | + 2.
Решение. Построим вспомогательную систему координат (соответст-
(соответствующие оси х =—, у =2 проведены на рис. 39 пунктиром) с началом в точке
3
S
s
0
У
2
у
/Г
1
\
/
.х-*.
%
S
V
=
2
X
Рис. 39
I —; 2 . «Привяжем» функцию у =sin x к новой системе координат — это и
будет требуемый график (рис. 39). \И
Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
Г*™ о 1
у = sin х на отрезке —, 2л I.
L 6 J
Решение. Построив график функции j/ = sin x и выбрав часть его на
отрезке —, 2л , убеждаемся (рис. 40), что j/h,h6 =- ( этого значения функ-
|_ о J 2
ция достигает в точке х = — ), а уваим = -1 ( этого значения функция дости-
6
Зл\
гает в точке х = — ).
о /
i
i
2'
0
1.
У
/
¦2-
\
s
-k
У
/
-y = sinx
i i i
X
Рис. 40
Ответ: уя
=-l.
48
§ 10. ФУНКЦИЯ /=COSX, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
Разговор о функции у=cos x можно было бы построить по той же
схеме, которая была использована для функции у = sin x (§ 9). Но
мы выберем путь, быстрее приводящий к цели: воспользуемся фор-
формулой приведения cos х = sin \ х+— I Что дает нам эта формула? Она
v 2)
позволяет утверждать, что функции y=cosxay = sin x + — тождес-
I 2)
твенны, значит, их графики совпадают.
Построим график функции i/ = sin jch— I Для этого построим
вспомогательную систему координат с началом в точке —;0 —
пунктирная прямая х = — проведена на рис. 41.
Li
«Привяжем» функцию у = sin x к новой системе координат —
это и будет график функции i/ = sin х-\— I т.е. график функции
V 2)
у-cos х (рис. 41).
J
А
-?-
s
л
x=-f-S-
0
\/
-J2
I
i
У
Л1
1
У
0
s
ч
яч
2-
К
ч
л
у
\
\
= сс
5*
•{
\
Рис.41
График функции у=cos x, как и график функции у = sin x, назы-
называют синусоидой (что вполне естественно).
Свойства функции у = cos x
СВОЙСТВО 1. Щ) =(-», + оо).
Свойство 2. y=cos х— четная функция.
Напомним, что функцию y = f(x), xeX, называют четной, если
для любого значения х из множества X выполняется равенство
f{-x) = f(x).
Четность функции у=cos «следует из выведенной в § 4 формулы
cos (-4)=cost; четность функции иллюстрирует график на
рис. 42 — он симметричен относительно оси у.
49

л
\
i
У
к
<
0
J
>@:1
1
л
F
ч
1
1
X
Рис. 42
Свойство 3. Функция убывает на отрезке [О, тс], возрастает на
отрез/се [тс, 2я] и т.д.
Свойство 4. Функция ограничена и снизу, и сверху.
Свойство 5. j/H1BM =-l (этого значения функция достигает в лю-
любой точке вида х = n+2nk); ушя6 = 1 (этого значения функция дости-
достигает в любой точке вида х = 2nk).
Свойство 6. y=cosx— непрерывная функция.
Свойство 7. E(f) =[-1, 1].
Пример 1. Решить уравнение cos х ~ х2 +1.
Решение.
1) Рассмотрим две функции: у =cosx и у = хг + 1.
2) Построим график функции у =cos x (рис. 42).
3) Построим график функции у = х2 +1. Это — парабола (рис. 42).
4) Построенные графики имеют одну общую точку А @; 1). Значит, за-
заданное уравнение имеет один корень 0 — это абсцисса точки А.
Ответ: х = 0.
Пример 2. Построить и прочитать график функции у = f{x), где
J sin х, если х < 0;
\cosх,если х>0.
Решение. Построение графика осуществим «по кусочкам». Сначала
построим график функции у = sin x и выделим его часть (рис. 43а) на луче
(-оо,0]. Затем построим график функции у=со&х и выделим его часть
(рис. 436) на открытом луче @,+ °°). Наконец, оба «кусочка» изобразим в
одной системе координат — это и будет график функции у = Дх)(рис. 44).
Перечислим свойства функции у = f(x\ т.е. прочитаем график:
1) #(/)=(—>,+ «¦);
2) функция ни четна, ни нечетна;
3) функция ограничена и снизу, и сверху;
50
4) j/aMM. = -1 (таких точек бесконечно много), уяшя6, = 1 (таких точек тоже
бесконечно много);
5) функция претерпевает разрыв в точке х - 0;
6) ?(/)=[-!, 1].
2t
t
4
ч
¦г
фА
J
/
у
0
sin;
с .
х
\\
0
У
S,
\
N
2
>
ч
—
А
'с
п
\
Г
X
Рис. 43
/
_
А.
г)
''I Г*
-г
\
1
г
1,
/
У
к
0
\
S
;
2
>
s
я
%
I
- «
%
г
1
X
Рис.44
Вы, наверное, обратили внимание на то, что мы пропустили один пункт
чтения графика: ничего не сказали о монотонности функции. Дело в том,
что функция бесконечно много раз меняет характер монотонности (то воз-
возрастает, то убывает) — это хорошо видно из графика. <Д
§ 11. ПЕРИОДИЧНОСТЬ ФУНКЦИЙ / =sin х, у = COS х
В предыдущих параграфах мы использовали семь свойств функ-
функций: область определения, четность или нечетность, монотон-
монотонность, ограниченность, наибольшее и наименьшее значения, неп-
непрерывность, область значений функции. Использовали мы эти
свойства либо для того, чтобы построить график функции (так
было, например, в § 9), либо для того, чтобы прочитать построен-
построенный график (так было, например, в § 10). Теперь настал благопри-
благоприятный момент для введения еще одного (восьмого) свойства функ-
51

ций, которое прекрасно просматривается на построенных выше
графиках функций у = sin х(см. рис. 37), j/=cos *(см. рис. 41).
Определение. Функцию у =Цх), хеХ, называют периодической,
если существует такое отличное от нуля число 7", что для любого х из
множествах выполняется двойное равенство:
f{x-T)=f(x)=f{x + T).
Число Г, удовлетворяющее указанному условию, называют пе-
периодом функции у = f(x).
Отсюда следует, что, поскольку для любого х справедливы ра-
лвенства:
sin (*-2n) = sinx = sin (х+2л),
cos (*-2n)=cos:c=cos (*+2л),
то функции у = sin х, у=cos хявляются периодическими и число 2л
служит периодом и той, и другой функции.
Периодичность функции — это и есть обещанное восьмое свой-
свойство функций.
А теперь посмотрите на график функции у = sin x (рис. 37). Что-
Чтобы построить синусоиду, достаточно построить одну ее волну (на
отрезке [0,2л] или на отрезке [-л, л]), а затем сдвинуть эту волну по
оси х на 2л вправо, на 2л влево, на 4л вправо, на 4л влево и т.д. В
итоге с помощью одной волны мы построим весь график.
Посмотрим с этой же точки зрения на график функции у =cos x
(рис. 41). Видим, что и здесь для построения графика достаточно
сначала построить одну волну (например, на отрезке - -, — , а за-
L 2 2 J
тем сдвинуть ее по оси х на 2л вправо, на 2л влево, на 4л вправо, на
4лвлевоит.д.
Обобщая, делаем следующий вывсци.
'* Если функция у = f(x) имеет период Т, то для построения гра-
графика функции нужно сначала построить ветвь (волну, часть)
графика на любом промежутке длины Т (чаще всего берут проме-
Т Т
жуток с концами в точках 0 и Г или и —), а затем сдвинуть
эту ветвь по оси х вправо и влево на Т, 2Т, ЗТ и т.д.
У периодической функции бесконечно много периодов: если Г —
период, то и 2Г — период, и ЗТ — период, и -Т — период; вообще пе-
периодом является любое число вида kT, zdek=±l, ±2, ± 3... Обычно
стараются, если это возможно, выделить наименьший положитель-
положительный период, его называют основным периодом.
52
Итак, любое число вида 2 л/г, где /г = ±1, ± 2, ± 3,.... является перио-
периодом функций у = sin х, j/=cos х; 2л— основной период и той, и дру-
другой функции.
Пример. Найти основной период функции:
a)i/ = sin3x; 6)j/=cos—.
Решение, а) Пусть Т — основной период функции у = sin Зх. Положим
Дх)= sin Зх. Тогда f(x + T) = sin3(x + Т) = sin (Зх + ЗТ).
Чтобы число Т было периодом функции, должно выполняться тождест-
тождество sin (Зх + ЗТ)= sin Зх. Значит, ЗТ =2лп. Но, поскольку речь идет об отыс-
ой-
ойкании основного периода, получаем ЗТ = 2л, Т =—.
о
б) Пусть Т — основной период функции j/=cosO,5x. Положим
ftx)=cos 0,5х. Тогда Дх + T)=cosO,5(x + T)=cos @,5x + 0,5Т).
Чтобы число Т было периодом функции, должно выполняться тождест-
тождество cos @,5x + 0,5T)=cosO,5x.
Значит, 0,5Т = 2пп. Но, поскольку речь идет об отыскании основного пе-
периода, получаем О^Т = 2л, Т =4л.
2л
Omeem:a)T=—; б)Т=4л.
3
¦'; Обобщением результатов, полученных в примере, является сле-
следующее утверждение: основной период функции у = sin kx (j/ =cos kx)
2л
равен —.
К
§12. КАК ПОСТРОИТЬ ГРАФИК ФУНКЦИИ y=mf[x),
ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ГРАФИК ФУНКЦИИ y=f(x)
В курсе алгебры 8—9-го классов вы научились, зная график
функции y = f(x), строить графики функций y = f(x+a),
y = f(x)+b,y = f(x+a)+b. Все эти графики получаются из графика
функции y = f(x) с помощью преобразования параллельного пере-
переноса: на \а | единиц масштаба вправо или влево вдоль оси х и на |Ь |
единиц масштаба вверх или вниз вдоль оси у (мы использовали этот
прием в § 9 и 10). Теперь мы познакомимся еще с одним преобразо-
преобразованием, позволяющим, зная график функции y = f(x), довольно
быстро строить график функции y = mf(x), где m — любое действи-
действительное число (кроме нуля)*.
* Если вы учились по нашему учебнику «Алгебра-9», то уже знакомы с этим пре-
преобразованием, но теперь вы увидите, как ово применяется для построения графиков
тригонометрических функций.
53

Задача 1. Зная график функции у = f(x), построить график фун-
функции y = mf(x), где т — положительное число.
Ординаты точек графика функции y = mf(x) получаются умно-
умножением на т ординат соответствующих точек графика функции
у = f(x). Такое преобразование графика называют обычно растяже-
растяжением от оси х с коэффициентом т. Отметим, что при этом преобра-
преобразовании остаются на месте точки пересечения графика функции
у = f(x) с осью х, т.е. точки, удовлетворяющие уравнению f(x) -Q.
Если т < 1, то предпочитают говорить не о растяжении с коэффи-
коэффициентом т, а о сжатии к оси х с коэффициентом —. Например,
т
если т = -, то говорят не о растяжении с коэффициентом -, а о ежа-
О и
тии с коэффициентом 3.
На рис. 45 показаны графики функций у = sin x и у = 3 sin x, а на
рис.46 — графики функций j/=cos х и j/=0,5cosx.
Л
ч|
N
\
N
-1-
А
/
-;
i
У
/
/
и 1
I 1
0
1
Ала—
f\ i
И
2
\
У
I
= 3sin x
i
И I
\
Л
V
\
p
ч
V
i
/
71
/
r
1 y=sin
1
zL
i \
A
f\
X
Рис. 45
4
ь
-Г-
Ч
¦
s
ф
-Л
i
1
•
0
1
У
k
I-
P
У-Ц.Ьс
r=cosx
osx
X
Рис. 46
54
На практике обычно, выполняя сжатие или растяжение графи-
графика функции у = sin х или у=cos х, сначала работают с одной полу-
полуволной синусоиды, а потом достраивают весь график.
Задача 2. Зная график функции y = f(x), построить график
функции y=mf(x), гцет =-1. Иными словами, речь идет о построе-
построении графика функции у = -f(x).
Ординаты точек графика функции
y = -f(x) отличаются от соответствую-
соответствующих ординат точек графика функции
у = f(x)только знаком. Точки(х; f(x))n
(х; -f(x)) симметричны относительно
оси х (рис. 47). Значит, график функ-
функции y=-f(x) можно получить из гра-
графика функции у = f(x) с помощью пре- р ._
образования симметрии относительно
оси х. На рис. 48 изображены графики функций y=cosxny-~cosx.
1
0
У
(
(
1
х, /(*))
x,-f[x)) ¦
X
h
у —u)s x
a
2
_|
л
r
4
s
4
Si
A
W
-I
*
4
i
1
0
1
У
Ф*
2
4
П
4
У
=
со
SJ
г ¦
X
Рис. 48
Задача 3. Зная график функции у = f(x), построить график фун-
функции у = mf(x), где т — отрицательное число.
Так как в этом случае справедливо равенство mf(x) =-\m\ f(x), то
речь идет о построении графика функции y=-\m\f(x). Это можно
сделать в три шага:
1) построить график функции у = f(x);
2) осуществить его растяжение от оси х с коэффициентом \т |;
3) растянутый (или сжатый) график подвергнуть преобразова-
преобразованию симметрии относительно оси х.
Пример. Построить график функции у = -1,5 sin x.
Решение. 1) Построим график функции у = sinx, точнее, одну полу-
полуволну графика (пунктирная линия на рис. 49а).
2) Осуществим растяжение построенного графика от оси х с коэффициен-
коэффициентом 1,5; получим одну полуволну графика функции у = 1,5sinx (тонкая ли-
линия на рис. 49а).
55

1,
,'
0
У
\
/
/,
<
U
2
S
ч
/
\
i
/
\
н
X
-71
/
ч
2
1,
к
Ч
1.J
\
0
У
к
ч.
V
JL
2
/
/
t
/
/
ч
те
\
X
Рис. 49
3) Подвергнем построенную полуволну графика функции i/ = 1,5 sin x
преобразованию симметрии относительно оси х; получим полуволну гра-
графика функции у = -1,5 sin х (оьа выделена на рис. 49а).
4) С помощью построенной полуволны получаем весь график функции
у = -1,5 sin х (рис. 496). /и
§13. КАК ПОСТРОИТЬ ГРАФИК ФУНКЦИИ y=f(kx),
ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ГРАФИК ФУНКЦИИ y=f{x)
В этом параграфе мы познакомимся еще с одним преобразовани-
преобразованием, позволяющим, зная график функции y-f(x), довольно быстро
строить график функции у = f(kx), где ft — любое действительное
число (кроме нуля). Рассмотрим несколько случаев.
Задача 1. Зная график функции у = /(х), построить график фун-
функции у - f(kx), где ft — положительное число.
Чтобы вам было проще понять суть дела, рассмотрим конкрет-
конкретный пример, когда ft =2. Как построить график функции y = fBx),
если известен график функции у = f(x)?
Пусть на графике функции у = f(x) имеются точки D; 7) и (-2; 3).
Это значит, что /D) = 7 и /(-2) = 3. Куда переместятся точки, когда
мы строим график функции y = fBxO
Смотрите (рис. 50): если х=2, то
j/=7Bjc) = /B-2) = /D)=7. Значит, на
графике функции y = fBx) есть точка
B; 7). Далее, если х = -1, то
y = fBx) = f(-l-2) = f(-2)=3. Значит, на
графике функции y = fBx) есть точка
(-1; 3). Итак, на графике функции
у = /(х)естьточкиD; 7) и (-2; 3), а на гра-
графике функции у = fBx) есть точки B; 7) и
(- 1; 3), т.е. точки с той же ординатой,
-
i
-2-1.
1
У
<
Q
7
4
X
Рис. 50
56
~1
г
- 7
У
/I
7
1
-2-1.
У
/t
О
Q
у
?
••
' у = Пх).
4
X
Рис. 51
но в два раза меньшей (по модулю) абс-
абсциссой. Так же обстоит дело и с другими
точками графика функции y = f(x), ког-
когда мы переходим к графику функции
у = fBx) (рис. 51). Такое преобразование
называют обычно сжатием к оси у с
- коэффициентом 2.
Вообще, график функции у = f(kx) по-
получается из графика функции y-f(x) с
помощью сжатия к оси у с коэффициен-
коэффициентом k. Отметим, что при этом преобра-
преобразовании остается на месте точка пересе-
пересечения графика функции у = f(x) с осью у (если х =0, то и kx -0).
Впрочем, если k < 1, то предпочитают говорить не о сжатии с ко-
1
эффициентом ft, а о растяжении от оси у с коэффициентом - (если
k
k =-, то говорят не о сжатии с коэффициентом -, а о растяжении с
3 3
коэффициентом 3).
Пример 1. Построить графики функций:
а)у = sin-; 6)y=cos2x.
Решение, а) Построим полуволну
графика функции j/ = sinjc и осущест-
осуществим ее растяжение от оси у с коэффи-
коэффициентом 2; получим одну полуволну
искомого графика функции у = sin —
Li
(рис. 52). Затем построим весь график
(рис. 53).
б) Построим полуволну графика
функции у =cos х и осуществим ее сжатие к оси у с коэффициентом 2; полу-
получим одну полуволну искомого графика функции j/=cos2jc (рис. 54). Затем
построим весь график (рис. 55). ^Щ]
i
у
/
0
ТС
к
тс-
X
Рис. 52
-TI
-т
1
1
У
0
п
"*•
I I
у = sir
I
J
I—
•ч
4
X
Рис. 53
57

t*
л
/
i
i
1
f
0
У
i
ч
\
s
4
4
X
4
i
/
' Г
1
^"
6
У
^
V
4
у = cos 2
x.
ч-
X
Рис. 54 Рис. 55
Задача 2. Зная график функции у = f(x), построить график фун-
функции y = f(kx), где k = -1. Иными словами, речь идет о построении
графика функции у = f(-x).
Предположим, что на графике функции у = f(x) есть точки C; 5) и
(-6; 1). Это значит, что ДЗ) = 5, а /(-6) = 1. Соответственно на графике
функции у = f(-x) имеется точка (-3; 5), так как при подстановке в фор-
формулу у = f(-x) значения х = -3 получим у = /C) = 5. Аналогично убеж-
убеждаемся, что графику функции у = f(-x) принадлежит точка F; 1).
Итак, точке C; 5), принадлежащей графику функции у = f(x), со-
соответствует точка (-3; 5), принадлежащая графику функции у = f{-x);
точке (-6; 1), принадлежащей графику функции у = f( x), соответству-
соответствует точка F; 1), принадлежащая графику функции y = f(-x). Указан-
Указанные пары точек симметричны относительно оси у (рис. 56).
-R
1
1
S
i
5
Li
1
о
у
С
у-цх)
S
Ч
к,
р
X
Рис. 56
Обобщая эти рассуждения, приходим к следующему выводу:
график функции y = f(-x) можно получить из графика функции
у = f(x)c помощью преобразования симметрии относительно оси у.
Замечание. Если речь идет о построении графика функции у = f(-x\
то обычно сначала проверяют, является ли функция у = f(х)четной или не-
нечетной. Если у = f(x) — четная функция, т.е. Д-х)= f(x\ то график функ-
функции y = f(-x) совпадает с графиком функции y = f(x). Если y = f{x) —
нечетная функция, т.е. Д-х) = -Дх), то вместо графика функции y = f(-x)
можно построить график функции у =-f(x\.
58
Задача 3. Зная график функции у = f{x), построить график фун-
функции у = f(kx), где k — отрицательное число.
Так как в этом случае справедливо равенство f(kx) = f{- \ k \ x), то
речь идет о построении графика функции y = f(-\k\x). Это можно
сделать в три шага:
1) построить график функции у = f(x);
2) осуществить его сжатие (или растяжение) к оси у с коэффици-
коэффициентом^!;
3) сжатый (или растянутый) график подвергнуть преобразова-
преобразованию симметрии относительно оси у.
Пример 2. Построить график функции у = -3 cos (-2x>
Решение. Заметим прежде всего, чтосоз (-2x)=cos2x.
1) Построим график функции y=cosx, точнее, одну полуволну графика
(рис. 57а. Все предварительные построения обозначены пунктирными лини-
линиями).
2) Осуществим растяжение построенного графика от оси х с коэффици-
коэффициентом 3; получим одну полуволну графика функции у =3cos x.
3) Подвергнем построенную полуволну графика функции у = 3 cos x пре-
преобразованию симметрии относительно оси х; получим полуволну графика
функции у = -3cos х.
4) Осуществим для полуволны графика функции у =-3cos x сжатие к
оси у с коэффициентом 2; получим полуволну графика функции
у - -3cos 2x (на рис. 57а сплошная линия).
5) С помощью полученной полуволны построим весь график
(рис. 576). <¦
.-
si
/
t
t
1
3
f
1
\
A
\\
-3
_y_
>
i
r
i/
/^
I
*
5-
1 1
у = -acos x
x_
л
i
i
3
1 0
11
\|
1
\
|у
-3
Y
/
/
I
I
л
/1
1
j
1
/
/
1
\
у— -OWJS>\-?Jf.)
1
\
\
\
\
I.
я
\
1
V
\\
¦
1
/
/
/
/
/
X
Рис. 57
59

§14. ГРАФИК ГАРМОНИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ
Тригонометрические функции используются для описания ко-
колебательных процессов. Один из наиболее важных процессов тако-
такого рода описывается формулой s = A sin (art + а). Эту формулу назы-
называют законом (или уравнением) гармонических колебаний. Если,
например, материальную точку, висящую на пружине, вывести из
положения равновесия, то она начнет совершать вертикальные ко-
колебания, причем закон движения выражается указанной выше
формулой, где t — время, as — отклонение материальной точки от
положения равновесия.
Пример. Построить график функции s=3 sin \2t + — в системе коорди-
V. 3)
нат sOt.
Решение. Имеем s = 3 sin 2 \t + — . Чтобы построить график такой функ-
ции, нужно над синусоидой s = sin t (или, как мы условились выше, над полу-
полуволной синусоиды) осуществить следующие преобразования: 1) сжать ее к оси
ординат с коэффициентом 2; 2) растянуть от оси абсцисс с коэффициентом 3;
3) сжатую и растянутую полуволну сдвинуть вдоль оси абсцисс на — влево. В
6
результате получится главная полуволна искомого графика, с помощью
которой без труда можно построить весь график.
На практике главную полуволну предпочитают строить по-другому.
Решим уравнение 3 sin \2t + — =0 (это даст нам точки пересечения гра-
V. 3)
фика с осью абсцисс). Имеем (см. пример 6 в § 4):
- = nk,
3
Дадим параметру в два соседних значения 0 и 1. При в=0 получаем
.71., Л 1С Л _ t
? = ; при в = 1 получаем ? = у — = —. Точки А
6 ^623
И'•Hi10)
служат
концами одной полуволны искомого графика. Серединой отрезка —, —
L 6 3
является точка среднее арифметическое (полусумма) чисел — и —.
12 6 3
Найдем значение заданной функции в точке —:
|+f)=3,tof-3..3.
Точка С —; 3 — верхняя точка искомой полуволны. По трем точкам
I12 )
А, В и С строим сначала полуволну искомого графика (рис. 58), а затем и
весь график (рис. 59). <Я
В уравнении гармонических колебаний s = A sin(art + а) все вели-
величины А, со, а имеют определенный физический смысл: А (или -А,
\
T
з|
/
/1
1
/
1
л
о
г
\\
\
\
\
1
\
л
2 3
t
IS
I
т
з
r\
/ \
п \\
/
V
1
0
-3
Л
JT
х
JL
il
1
i'X
/ \
/1 А
f
I
/
1
/1
/
1/1
IV
т
i i
I
1
\
l
s = 3sin 2f + -
. . Л. .
t
>
Рис. 58
Рис. 59
у если А <0) — амплитуда колебаний (максимальное отклонение от
положения равновесия); со — частота колебаний; а — начальная
фаза колебаний. Так, в рассмотренном примере s=3sin 2<+—
v 3
амплитуда равна трем (А = 3), частота колебаний равна двум (со=2),
начальная фаза колебаний равна — а=—
Зу 3
§15. ФУНКЦИИ y=tg x, y=ctg x, ИХ СВОЙСТВА
И ГРАФИКИ
* Отметим свойства функции у = tg x, причем в первую очередь те, ко-
которые помогут составить представление о графике функции (большин-
(большинство из этих свойств фактически известно нам из § б). Когда такое пред-
представление сложится, начнем строить график, как обычно, по точкам.
Свойство 1. Область определения функции у = Щх — мно-
множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида
х = - + nk.
2
60
61

Зч
2
?
0
у
\
у
t
]
?
Рис. 60
Это свойство означает, что на графике функции нет точки, при-
принадлежащей прямой х = -, нет точки, принадлежащей прямой
dt
х=—, нет точки, принадлежащей прямой х=—, нет точки, при-
dt dt
надлежащей прямой х = - —, и т.д. Эти прямые проведены пункти-
dt
ром на рис. 60.
Первое представление о графике получено: он состоит из беско-
бесконечного множества ветвей (в полосе между х = -- и х=—, в полосе
dt d»
между х = -их=—и т.д.).
Свойство 2. у = tg х— периодическая функция с основным перио-
периодами.
Это следует из двойного равенства
tg (x-7i) = tgx = tg(x+rc),
полученного в § 5.
Значит, если мы построим ветвь графика в полосе от х = — до
dt
х = —, то затем нужно будет сдвинуть построенную ветвь по оси х
вправо и влево на л, 2я, Зл и т.д. Тем самым получено второе предс-
представление о графике. |
Свойство 3. у = tg х— нечетная функция. ]
Это следует из доказанного в § 5 соотношения tg (-х) = -tg x.
График нечетной функции симметричен относительно начала
координат. Значит, нам можно действовать так: построить по точ-
точкам часть графика на промежутке от 0 до —, а затем воспользовать-
воспользоваться указанной симметрией.
62
Приступим к построению графика на полуинтервале 0, —
L 2)
берем контрольные точки:
.Вы-
X
tg*
0
0
л
6
V3
3
л
4
1
л
3
V3
Отметим эти точки на координатной
плоскости и проведем через них плав-
плавную кривую (рис. 61). Добавим линию,
симметричную построенной кривой от-
относительно начала координат (рис. 62).
Воспользовавшись периодичностью,
достроим график до конца (рис. 63).
График функции y = tgx называют
тангенсоидой. Ту ее часть, которая
изображена на рис. 62, обычно называ-
, ют главной ветвью тангенсоиды.
Обратите внимание на то, что из нача-
ла координат главная ветвь тангенсоиды
выходит как бы под углом 45°. Почему это так, вы узнаете из главы 4.
0
,У
/
1
t
1
1
1
/
/
/
/\
1
\ъ-
-!
X
/
/
л
1
1
1
1
у
/
о
1
1
1
/
/
/
Л
\
X
/
/
1
1
|
?
1
L
I
1
/
у
/
/
f\
1
$
i
r
I
/
f
I
I
/
У
/
0
I
1
1
f
I
/
f\
\
1
y = \ax
~
J
/
/
/
\
I
|
/
/
1
1
j
/
/
f\
1
2
|
X
Рис. 62 Рис. 63
Отметим еще несколько свойств функции у = tg x.
63

Свойство 4. Функция возрастает на интервале - -, — . В бо-
V г г J
лее общем виде — функция возрастает на любом интервале вида
(-!¦¦* )
Свойство 5. Функция у = tg х не ограничена ни сверху, ни снизу.
Свойство 6. У функции j/=tg х нет ни наибольшего, ни наимень-
наименьшего значения.
Свойство 7. Функция у = tg x непрерывна на интервале\ --,
вида -
В более общем виде — функция непрерывна на любом интервале
2 2
При значениях x = - + nk функция претерпевает разрыв. Каж-
2i
дая прямая вида x=
фика функции.
Свойство 8. ?(/) =(
служит вертикальной асимптотой гра-
Замечание. Свойства 4—8, прочитанные по графику, можно дока-
доказать, опираясь на соответствующие математические утверждения, кото-
которые нам с вами пока не известны (поэтому мы и ограничиваемся
наглядно-интуитивными представлениями). Впрочем, доказательство од-
одного из свойств мы можем осуществить и сейчас.
Докажем, что функция j/ = tgx возрастает на полуинтервале
0,-1. Возьмем два значения аргумента X! и х2 из этого промежут-
2 J
ка: хг < х2. Тогда в силу возрастания функции j/ = sin x на выбран-
выбранном полуинтервале, будем иметь sin x: < sin x2. В силу убывания
функции j/=cosx на выбранном полуинтервале будем иметь
cos Xj > cos x2. Значит,
sin x. sin x, sin x,
tg^ = 1-< 2-< ~=tgx2.
COS Xj COS Xj COS X2
Итак, из X! < x2 следует tg x: < tg x2, а это и означает возрастание
функции у - tg х на выбранном промежутке.
Пример 1. Решить уравнение tg x = V3.
Решение. Построим в одной системе координат графики функций
у = tg х — тангенсоиду и у = -Уз — прямую, параллельную оси х. Они имеют
бесконечно много точек пересечения (рис. 64), причем абсциссы этих то-
точек отличаются друг от друга на nk. На главной ветви абсцисса соответст-
64
I
/
/
1
1
1
f
/
1
1
г
' J i
/
/
l
\\
\\
1
1
i
у
J
0
1
1
1
1
If
f
к
/I
t
ri-
)
n
2 7
1/
1
1
1
1
1
1
r=tn
I
I
\l
JL
A
f\
\
3+n
—
у
i
f
/?
X.
Рис. 64
вующей точки равна — (мы воспользовались известным числовым
3
равенством tg — = V3), это один корень уравнения, а все решения описыва-
3
. я ,
ются формулой х = — + тся.
3
Ответ: x = — + nk.
Пример 2. Построить график функции
+ 2
Решение. Для начала разберемся с главной
ветвью тангенсоиды.
1) Перейдем к вспомогательной системе коорди-
f л „V л
нат с началом в точке —; 0 (прямая х = — прове-
{ 2 ) 2
дена на рис. 65 пунктиром).
2) ¦ Привяжем » функцию у = tg x к новой системе
координат — это будет график функции
у = tg \ х + — , а точнее, главная ветвь искомого гра-
V 2)
фика (рис. 65 — сплошная кривая).
3) Нтобы получить график функции
( *}
у =—tg | х + — , достаточно построенную ветвь отоб-
2 J
-л
[7
/
/
/
/
1
/
I
|
1
II
/
/
/
/\
У
0
X
Рис. 65
разить симметрично относительно оси х (рис. 66).
4) Зная одну ветвь, можно построить весь график (рис. 67). <Я
3 Мордкович «Алгебра, 10 кл.»
65

+
I
1
1
\
\
\
\
-л
1
s,
-S
s
\
A
1
1
1
У
и
л
I
1
1
II
\|
\
\
\
1
-s
V
t
у
\
\
l\
11
1
1
1
y|
I 1
1
II
1
ll
\
\
\
с
*
\
г~ л
\
\
l\
1
1
ll _ cttJ x
1
1
1
1
\
I
u
1
1 1
s
2л
\
A
\\
\\
\\
1
X
Рис. 66
Рис. 67
На самом деле, на рис. 67 построен график функции у=ctg x. По-
Почему? Потому, что имеет место тождество (формула приведения)
2
График функции y=ctg х, как и график функции у = tg x, назы-
называют тангенсоидой. Главной ветвью графика функции j/=ctg x
обычно называют ветвь, заключенную в полосе от х = 0 до х = п.
Пример 3. Решить уравнение ctg х ~ -1.
1
I
1
л
!
1
1
\
V
V
\
1
1
2
\
\
\
\\
1
1
У
1
1
\
\
\
-К
Q
i
¦| л
Si
\
[\
1
1
1
|
1
1
V = O.ta у
1
1
\
Г
¦У
ч
=-1
л
?л
\
\
А
\
1
I
X
Рис. 68
66
Решение. Построим в одной системе координат графики функций
y = ctgx — тангенсоиду и у = -1 — прямую, параллельную оси х. Они имеют
бесконечно много точек пересечения (рис. 68), причем абсциссы этих то-
точек отличаются друг от друга на ял. На главной ветви абсцисса соответст-
Зл .
вующей точки равна — (мы воспользовались известным соотношением:
4
ctg — = -1), а все решения заданного уравнения можно охватить формулой
4
Зя
4
Зя
Ответ: х=— + ял.
4
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Мы пополнили наш словарный запас математического языка
следующими терминами:
числовая окружность;
косинус, синус, тангенс и котангенс числового аргумента;
радиан, радианная мера угла;
тригонометрические функции;
синусоида, тангенсоида;
периодическая функция, период функции, основной период;
формулы приведения.
Мы получили соотношения между градусной и радианной ме-
мерами угла:
Мы исследовали свойства функций и научились строить графи-
графики функций:
y = ainx, y=coax,
y = tgx, j/=ctgx.
Мы получили ряд формул:
sin (-х) = - sin x; cos (-х) = cos x\
tg (-x) = -tgar, ctg (-x)=-ctg xr,
sin (x+2tc) = sinar, cos (x+2я) = cos x\
tg (X + Tt) = tg X\ Ctg (X + Tt) =Ctg X%
67

l+tg2x =
sin
COS
sin2
1
cos2
X
X
ctg x =
x+cos2 x =
t
X
1+ctg
COS
sin
1;
2x =
X
X
1
sin2 x.
Мы сформулировали правило для запоминания формул приве-
приведения.
Мы пополнили список свойств функции, которые обычно вклю-
включают в процедуру чтения графика, новым свойством — периодич-
периодичностью функции и выявили геометрическую особенность графика
периодической функции. >
Мы научились строить графики:
функций y = mf(x),y = f(kx) (в частности,
известному графику функции у = f(x);
гармонических колебаний.
= -f(x),y = f(-x)) по
Глава
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ
§16. ПЕРВЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О РЕШЕНИИ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
В главе 1 мы научились решать некоторые тригономет-
тригонометрические уравнения вида sinf=a, cosf=a, tg t=a, ctg t=a, где
a — действительное число. Например, мы знаем, что уравнения
sint = а и cost =а не имеют решений, если а < -1 или а > 1, поскольку
область значений функции s = sint, равно как и функции s=cost,
есть отрезок [-1,1].
Напомним, как мы решали тригонометрические уравнения.
1 V2
Пример 1. Решить уравнения: a)cos ?=-; 6)sint = .
Решение, а) Используем геометрическую
модель — числовую окружность на координат-
координатной плоскости (рис. 69). Отметим на окружности
точки МиРс абсциссой - (они лежат на прямой
х = -). Точка М соответствует числу —, а значит,
" 3
всем числам вида — + 2лЛ. Точка Р соответствует
3
числу - —, следовательно, и всем числам вида
3
-~ + 2nk. Рис.69
о
В итоге получаем две серии решений уравнения:
л _ , л
--+ я , ---
Обобщая, зто можно записать так:
t=±- + 2nk.
3
б) Используем геометрическую модель — числовую окружность на ко-
координатной плоскости (рис. 70). Отметим на окружности точки МиРс ор-
fn Гп
динатой (они лежат на прямой у = ——). Точка М соответствует
с
J
V
\
/
V
i
В
6
D
>
г.
п
\
\
)
г
р
X
А
X
1
69

с
/
\
\
у
1
В
0
D
\
л
/
г
А|>
X
Рис. 70
значению —, т.е. всем числам вида —+ 2яЛ.
4 4
7л
Точка Р соответствует значению —, т.е. всем
4
числам вида н 2яЛ.
4
В итоге получаем две серии решений уравне-
уравнения:^— + 2nk; t = —+ 2я*. <M
4 4
Решали мы и некоторые уравнения вида
tg хщщ, ctg x=а, используя для этого графи-
графики функций у = tgx, i/=ctg1*. Так, в Д 15 мы, решив уравнение
tg х = л/3, получили х = - + lift; а решив уравнение ctg ж = -1, получи-
3
Зя ,
ЛИ X = + ЯК.
4
Впрочем, и уравнения вида sinx=a, cosx=a тоже можно ре-
решать графическим методом.
\JА как вы считаете, любое ли уравнение вида sint=a,
cos t=a, \%t=a, ctg t =a можно решить графически или с помощью
числовой окружности? Для ответа на этот вопрос рассмотрим при-
пример.
Пример 2. Решить уравнения: а) cos t = 0,4; б) sin t = - 0,3; в) tg х = 2.
Решение, а) Нам нужно найти на числовой окружности точки с абс-
абсциссой 0,4 и записать, каким числам t они соответствуют. Абсциссу 0,4
имеют точки М и Р (рис. 71), но каким числам t они соответствуют, мы не
знаем. Решить это тригонометрическое уравнений мы пока не можемП
б) Нам нужно найти на числовой окружности точки с ординатой - и,3 и
записать, каким числам t они соответствуют. Ор-
Ординату - 0,3 имеют точки L и N (рис. 71), но ка-
каким числам t они соответствуют, мы не знаем.
Решить это тригонометрическое уравнение мы
тоже пока не можем.
в) Графики функций y = tgJCHj/=2 имеют бес-
бесконечно много общих точек, абсциссы всех этих
точек имеют вид х = х0 + nk, где х0 — абсцисса
точки пересечения прямой у =2с главной ветвью
тангенсоиды (рис. 72). Но что это за число х0, мы
не знаем. Так что и тригонометрическое уравне-
уравнение tg х = 2 мы пока решить не можем. <Д
-
с
L
>
/
X
ч
<*-
-С
*^
t
в
.3
Г)
0
к
р
/
0,
А
>
N
-
Рис. 71
К уравнениям из примера 2 мы вернемся после того, как зало-
жим необходимую теоретическую базу.
70
1
у
1/
/
л
1
1
1
1
jjf
1
1
J
1
/
Хп-Я
у
у
/
11
1
¦
1
1
У
0
1 1
1
It
II
II
II
J
г У
|!
_
1
|
y-taz
1
у
/
I
1
1
1
|
\\
1
мл
f '
х,
1
)+»
J
I—
Г"
2
х.
Рис. 72
Итак, пока мы в состоянии решить тригонометрическое уравне-
уравнение вида sin t=a, cost=a только для конкретных значений а:
О, ±1, +-, ±—, ±—; знаем мы также, что при|а|>1эти уравнения
dt dt dt
не имеют решений. Уравнения вида tg x=a, ctg x -а мы тоже в сос-
состоянии решить пока только для конкретных значений а:
л/3
О, ± 1, ± -у/3, ± —. Но даже с помощью этого небольшого запаса знаний
3
мы уже теперь можем решать некоторые более сложные уравнения.
Пример 3. Решить уравнение 2 sin21 - 5 sin t + 2=0.
Решение. Введем новую переменную
z = sint. Тогда уравнение примет вид
2г2 -Ьг + 2 = 0, откуда находим: г, =2,гг =—. Зна-
Значит, либо sint=2, либо sint = —. Первое из этих
уравнений не имеет решений (вспомните поче-
почему), а для второго с помощью числовой окруж-
окружности (рис. 73) находим две серии решений:
я 5я
6 6 Ш
Пример 4. Решить уравнение cos21 - sin21 - cos t=0.
Решение. Воспользуемся тем, что sin2t = l-cos2t. Тогда заданное
Уравнение можно переписать в виде-.
cos2t-(l -cos2t)-cos t=0.
После понятных преобразований получим:
г
'd
Г
\
0
1У
"Ч
2
/
i
/
г
X
Рис. 73
71

/
\
_J
1
2
iV
0
у
\
1
f
X
Рис. 74
2cos2t-cost-l=0.
Введем новую переменную г = cost. Тогда
уравнение примет вид 2г2 - г -1 =0, откуда нахо-
находим zt=l, z2 =—. Значит, либо cost = l, либо
cost = —. Первое из этих уравнений было решено
в § 4 (см. пример 7): t = 2nk. Для второго уравне-
уравнения с помощью числовой окружности (рис. 74)
находим две серии решений:
t = — + 2nk; t = -—
3 3
2я
Ответ: t=2nk; t = ± — + 2nk.
3
§ 17. АРККОСИНУС. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ cos/=a
В предыдущем параграфе мы отметили, что уравнение вида
cos t =a для одних значений а мы решать умеем, а для других —
нет. Так, для уравнения cost = -- имеем (см. пример 4 в § 16)
2%
t = ±— + 2nk; а для уравнения cos t = 1, как нам известно еще из при-
3
мера 7 §4, t = 2nk.
2
f Теперь рассмотрим уравнение cos t = - (мы не смогли его решить
i ¦ 5
! в примере 2 § 16). С помощью числовой окружности получаем
(рис. 75):
*=^+2яй; t=t2+2nk,
где*! — длина дуги AM, a t2 =-^.
Встретившись впервые с подобной ситуацией, математики поня-
поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом языке.
2
Они ввели в рассмотрение новый символ arccos - (читается «аркко-
5
синус двух пятых»; «arcus» — дуга по-латы-
по-латыни, сравните со словом «арка») и с помощью
этого символа таинственные корни tt и t2
2
уравнения cos t = - записали так:
э
2 , 2
ij = arccos—, t2 =-arccos—.
5 5
2
Теперь все корни уравнения cos t = -
э
можно описать двумя формулами:
с
1
\
\
1
в
0
D
?
С
р
(f,
\
7
'г
\
А
X
Рис. 75
72
2 2
t = arccos - + 2nk, t = —arccos — + 2%k
5 5
или, обобщая, одной формулой:
2
t = ±arccos - + 2nk.
5
2
Что же такое arccos - ? Это — число (длина дуги AM), косинус
которого равен - и которое принадлежит первой четверти числовой
э
окружности — отрезку О, —
L 2
Замечание. Символ arccos -, введенный математиками, содержит
э
новый математический знак (arc), напоминание об исходной функциисоз t
(arccos) и, наконец, напоминание о правой части уравнения, в приведен-
приведенном нами случае о числе -. Вот так в итоге и появился символ arccos —
5 5
(состоящий как бы из трех частей).
2
Теперь рассмотрим уравнение cos t = —. С помощью числовой
э
окружности (рис. 76) получаем:
t =*! +2nk; t=t2 +2nk,
^ — длина дуги AM, &t2 =-t1. Математики обозначают число tt
( 2^1
символом arccos | — I и записывают все ре-
5 )
шения уравнения cos t = — следующим об- _ -M(tt)
разом:
t =arccos — I
I ч
или короче:
( 2\
, t= -arccos -- \+2nk
( 2\
t =±arccos I --
5 )
( 2\
Что же такое arccos | — ? Это — число
о
PftJ
х_
Рис. 76
(длина дуги AM), косинус которого равен --и которое принадле-
принадлежит второй четверти числовой окружности — отрезку —, п \.
Сформулируем определение арккосинуса в общем виде.
73

Определение. Если |а | < 1, то arccos а (арккосинус а) — это такое
число из отрезка [0, я], косинус которого равен а (рис. 77).
Итак,
если|с| < 1, то |
Г cost -a; \
arccos a =t <=> < \
|0<« <7L I
/
\
V
у
ч
0
kg
!
.
а
rccos а
\
1
1
f
arccos ал
/
(
\
\
1
а
S
0
1
J
\
1
]
п
Рис. 77
Теперь мы в состоянии сделать общий вывод о решении уравне-
уравнения cost -а:
Если | а | < 1, то уравнение cos t = а имеет решения:
t =± arccos a + 2nk.
Правда, в трех случаях предпочитают пользоваться не получен-
полученной общей формулой, а более простыми соотношениями:
если cost =0, " t=— + nk;
2
если cost=l, " t =2nk;
если cost=-l, '" t=n+2nk.
Замечание. Во всех этих формулах, если не оговорено противное,
предполагается, что fee Z. Об этом мы уже договорились выше.
, Пример 1. Вычислить:
<^а) arccos -; б) arccos с в) arccos 0; г) arccos 1.
2 { 2 )
Решение, а) Положим arccos -=t. Тогда cos t = — и t e [0, л]. Значит,
.. л я1лг„-__ 1л
* = —, поскольку cos— = - и -е [0,л]. Итак, arccos - = —.
3 3 2 3 2 3
74
б) Положим arccos - — = t. Тогдасоз t = - — и t e [0, л]. Значит, t=—,
посколькусо8^ = -^ и ^ €[0,л]. Итак, arccos f—^j=^.
в) Положим arccos 0=t. Тогда cos t=0 и t e [0, л]. Значит, t = ^, поскольку
cos-=0 и - е [0,л]. Итак, arccosO = -.
2 2 ^
г)Положим arccosl=t. Тогда cost = l и te [0, л]. Значит, t=0, поскольку
cosO = l и Ое [0,л]. Итак, arccosl=0. <Ц
Теорема. Для любого а е [-1,1}, выполняется равенство
arccos а + arccos (-<i) =тс
Доказательство. Будем считать для определенности, что
а >0. Отметим arccos а на числовой окружности — это длина дуги
AM и arccos (- а) — длина дуги АР (рис. 78). Дуги AM и PC симмет-
симметричны относительно вертикального диаметра окружности, значит,
длины этих дуг равны. Получаем:
arccosa+arccos(-a)=AM+AP=PC+AP=AC = n. •
На практике полученное соотношение удобнее использовать в
следующем виде^
arccos(-o) = n-arccos а, где0<а<1.
При этом учитывают, что в случае, когда а>0, значения
arccos а принадлежат первой четверти числовой окружности.
( ДЛ 4г лзл
Например, arccos —
I
Л 4г л_зл
=7i-arccos-— =я--——
2) 2 4 4
Такой же результат был получен выше при решении примера 10.
Пример 2. Решить уравнения:
a)cost = —; 6)cost = ——; b)cos* = -;
2 2 7
г) cost = -1,2.
Решение, а) Составим формулу решений:
t = ±arccos — + 2nk.
2
Вычислим значение арккосинуса:
л/3 л
с
1
\
р
_-
1
В
—
Г)
Y
—
Q
_
м
а-
\
/
А
->
Рис.78
75

Подставим найденное значение в формулу решений:
t±
б) Составим формулу решений:
( VJH
t=±arccos +2itfe.
Вычислим значение арккосинуса:
( VJH V3 п 5л
arccos = л - arccos — = п = —.
[ 2 J 2 6 6
Подставим найденное значение в формулу решений:
в) Составим формулу решений:
2
t=± arccos - + 2nk.
7
Вычислить значение арккосинуса в данном случае мы не можем, поэто-
поэтому запись решений уравнения оставим в полученном виде.
г) Так как -1,2 <—1, то уравнение cos t=-l,2 не имеет решений (перехо-
(переходить здесь к арккосинусу не имеет смысла). <Д
Пример 3. Решить неравенства: a) cos t > -; б) cos t > 0,3; в) cos t<— 0,3.
Решение, а) Учтем, что cos t — абсцисса точки M(t) числовой окруж-
окружности. Значит, нам надо найти такие точки M(t), лежащие на окружности,
1 л 1
которые удовлетворяют неравенству х> —. Прямая х =—пересекает число-
вую окружность в двух точках К и Р (рис. 79). Неравенству х> - соответст-
вуют точки открытой дуги КР. Дуга КР — это дуга с началом в точке К и
концом в точке Р при движении по окружности против часовой стрелки.
Главные «имена» точек К и Р в этом случае— соответственно и —. Зна-
3 3
чит, ядром аналитической записи дуги КР является неравенство:
— < t < —, а сама аналитическая запись дуги КР
3 3
имеет вид: - — + 2nk<t< — + 2nk.
3 3
б) Прямая х = 0,3 пересекает числовую окруж-
окружность в двух точках К и Р (рис. 80). Неравенству
х>0,3 соответствуют точки открытой дуги КР.
Главные «имена» точек Кт&Ръ этом случае — со-
соответственно -arccos 03 и arccos 0,3. Значит, яд-
ядром аналитической записи дуги КР является
неравенство:
Рис. 79 - arccos 0,3 < t < arccos 0,3,
1
\
ч
i
'У
Q
X
s^
А
-1
'
v
\
1
1 у
/
п
4-
76
а сама аналитическая запись дуги КР имеет вид
- arccos 03 + 2nk <t< arccos 0,3 + 2nk.
в) Прямая х = - 03 пересекает числовую окружность в двух точках К и
Р (рис. 81). Неравенству х <- 0,3 соответствуют точки открытой дуги РК.
Дуга РК — это дуга с началом в точке Р и концом в точке К при движении
по окружности против часовой стрелки. Главные «имена» точек Р viK —
соответственно arccos (-0,3) и 2it-arccos(-03). Значит, ядром аналитичес-
аналитической записи дуги РК является неравенство:
arccos(-0,3) <t<2n- arccos(-0,3),
а сама аналитическая запись дуги РК имеет вид
(-0,3) + 27tfe<t<27t-arccos(-0,3) + 27tfe. <Я
/
\
V
/
ч
iy'i.x=6.3
0
¦
V
11
р
\
\
\
\ >
/
п
V
х=-0,31
и-
iy
:/
jr
±
V
х
+
f
} 1
и
1
1
1
1
1
Ч|
К?
i
,y
0
">
/
>
Рис. 80
Рис. 81
§18. АРКСИНУС. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ sin/=a
2
Рассмотрим уравнение sin t = —. С помощью числовой окружнос-
5
; t=t2+2nk,
ти(рис. 82)получаем:
где *j — длина дуги AM, a t2 — длина дуги АР. Поскольку
АР = AC -PC, АС = я, a PC = AM, то получаем, что t2 =n-t1.
2
Математики ввели для числа tt новый символ: arcsin - (читается
5
«арксинус двух пятых»). С его помощью все корни уравнения
sin t = - можно описать двумя формулами:
5
2 2
t= arcsin - + 2nk, t = n -arcsin - + 2nk.
5 5
77

Рис.84
р
С
/
s
/
ч
i
в
$
о
D
iy
\
*
r
Al»
x*
Рис. 82
С
V
1
/
л*
Ч
В
D
Ly
0
,
>
\
V
A
X
¦-
Рис. 83
/
/
V
ч
и**
i
kv

-j
l/
\
re
]
sing
arcsinj-
?1
5J
Что же такое arcsin - ? Это — число (дли-
5
2
на дуги AM), синус которого равен - и кото-
5
рое принадлежит первой четверти числовой
окружности — отрезку 10, -^ |.
^ 2
Теперь рассмотрим уравнение sin t = - -.
5
С помощью числовой окружности (рис. 83)
получаем:
t =<! +2яй; t=t2+2nk,
где fj — длина дуги LA, взятая со знаком
минус, t2 — длина дуги КА, взятая тоже со
знаком минус. Математики обозначили
( 2\
число <j символом arcsin — и сразу обра-
V ь)
тили внимание на два обстоятельства.
Первое: дуги AM и AL (см. рис. 82 и 83)
равны по длине и противоположны по нап-
направлению. Значит,
( 2\ B\
arcsin — =-arcsin - (см. рис. 84).
I ъ) V5;
Второе: АК = АС+СК =AC+LA =
( 2\
=AC -AL = я -arcsin — L Значит, и в этом
V 5/
случае получается, что t2 =n-t1. Это дает
возможность записать все решения уравне-
2
ния sin t = — следующим образом:
5
f 2Л ( 2\
=arcsin — +2яй, t =ji-arcsin — +
V Ъ) \ Ъ)
( 2\
Что же такое arcsin — ? Это — число, синус которого равен -
V ъ)
и которое принадлежит четвертой четверти числовой окружнос-
окружности — отрезку —, О .
L 2 J
Сформулируем определение арксинуса в общем виде.
78
Определение. Если | а\ < 1, то arcsin а (арксинус а) — это такое
число, из отрезка —, — , синус которого равен а (см. рис. 85).
Итак,
Теперь мы в состоянии сделать общий вывод о решении уравне-
уравнения sin t -a:
Если | a | < 1, то уравнение sin t = а имеет две серии решений:
t = arcsin a + 2nk; t = л-arcsin a + 2nk.
Правда, в трех случаях предпочитают пользоваться не получен-
полученной общей формулой, а более простыми соотношениями:
если sin* =0, то t =nk;
ТС
если sin* = 1, то t = —+2nk;
если sinf = -l, то t= —+2nk.
Выше мы отметили, что
( 2\ 2
arcsin | -- |=-arcsin -. Вообще, для любого
Рис. 85
ое [-1, 1]справедливаформула(см.рис. 86)
arcsin (-a) = -arcsin а.
/
\
V
к.
0
а
V
i
* arcsin а
Пример 1. Вычислить:
б) si
a) arcsin—; б) arcsin I—— к в) arcsin 0; г) arcsin 1.
2 { 2 )
Решение, а) Положим arcsin- =t. Тогда
sint = - и te\ —, — . Значит, t=—, поскольку
2 L 2 2j 6
. 1 Л
,arcsm- = -.
i
V
^
у
ч.
а
0
•а
-
-
-
\
Ч
ч
arcsin а
'arcsin(
<
Рис.86
79

б) Положим arcsin \ = t. Тогда sinf = и t e\ , — . Значит,
[ 2 ) 2 L 2 2J
л . ( п\ V2 л Г л л!
t = , поскольку sin = и е . — .
4 { 4) 2 4 L 2 2J
Итак, arcsin -
л
4"
Значит, t = —, пос-
2
в) Положим arcsinO = f. Тогда sinf = 0 и (е --,- . Значит, t = 0
L 2 2j
кольку sin 0=0 и 0 е —, — .
L 2 2J
Итак, arcsin 0=0.
г) Положим arcsin I =t. Тогда sinf = 1 и t e - —, — .
L 2 2J
. л , л Г л л"| . л
кольку sin—= 1 и - e —, - . Итак, arcsml=—.
^ 2 [ 2 2J 2
Пример 2. Решить уравнения:
a)sinf = —; 6)sinf = ; B)sinf = -; r)sinf = -l,2.
Z 2 7
Решение, а)Составим формулы решений:
t = arcsin н 2лЛ; f = л - arcsin н 2лЛ.
2 2
Вычислим значение арксинуса: arcsin— = —.
2 3
Подставим найденное значение в формулы решений:
t = - + 2nk; t = — + 2nk.
3 3
б) Составим формулы решений:
t = arcsin + 2itft; t = Jt - arcsin + 2itft.
= 0, пос-
Вычислим значение арксинуса:
arcsm =-arcsm
2 2
3'
Подставим найденное значение в формулы решений:
-] + 2nk,T.e.t = —
3) 3
в) Составим формулы решений:
2 2
t = arcsin - + 2jtft; f = л - arcsin -
<я
80
Вычислить значение арксинуса в данном случае мы не можем, поэтому
запись решений уравнения оставим в полученном виде.
г) Так как -12 < -1, то уравнение sinf = -1,2 не имеет решений (перехо-
(переходить здесь к арксинусу не имеет смысла). <Д
Пример 3. Решить неравенства:
a)sinf>-; 6)sin?>0,3; B)sinf<0,3.
Решение, а) Учтем, что sin t — ордината точки М (t) числовой окруж-
окружности. Значит, нам надо найти такие точки М(t), лежащие на окружности,
1 _ 1
которые удовлетворяют неравенству у > -. Прямая у = — пересекает число-
числовую окружность в двух точках К и Р (рис. 87).
Неравенству у > — соответствуют точки откры-
тойдуги.8ГР. Главные «имена» точекКиР и
6
5п _
—. Значит, ядром аналитической записи дуги
6
КР является неравенство — < t < —, а сама анали-
6 о
тическая запись дуги КР имеет вид:
- + 2nk<t< —
6 6
б) Прямая у = 0,3 пересекает числовую ок-
окружность в двух точках КиР (рис. 88). Неравен-
Неравенству у > 03 соответствуют точки открытой дуги
КР. Главные «имена» точек КиР — соответст-
соответственно arcsin 0,3 и п-arcsin03- Значит, решение
неравенства имеет вид:
arcsin 03 + 2лЛ < t < п - arcsin 0,3 + 2nk.
в) Неравенству у < 03 соответствуют точки от-
открытой дуги РК (рис. 89). Главные «имена» то-
точек Р и К в этом случае — соответственно
-л-arcsin03 и arcsin 0,3. Значит, решение
неравенства имеет вид:
-л - arcsin 03 + 2лЛ < t < arcsin 0,3 + 2лЛ. <¦!
Полученные выше две формулы для ре-
решения уравнения sint =a:
t = arcsin a+2nk; t = я -arcsin a+2nk
можно объединить одной формулой. Пере-
Перепишем эти формулы следующим образом:
t = arcsin a+n- 2k,
t = -arcsin а+лBй + 1). рис
v-
/
ч
2
Ly
0
Si
д
у
X
Рис. 87
\
Р
\Г
\
ч
'У
0
ч
Л
/
/
К
>
Рис. 88
П
у =0,3/!
Р1
{¦
ч
1У
0
—,
\
\
к
*
К
>
81

Замечаем, что если перед arcsin а стоит знак «+», то у числа л мно-
множителем является четное число 2k (см. первую строку); если же
перед arcsin а стоит знак «—», то у числа л множителем является
н е ч е т н о е число B ft +1) (см. вторую строку). Это наблюдение позво-
позволяет записать общую формулу для решения уравнения sin t=a:
t =(-l)" arcsina+лге.
Почему эта формула общая? Да потому, что при четном п (п- 2ft)
из нее получается первая из написанных выше формул, а при не-
нечетном п (n = 2k +1) — вторая из написанных выше формул.
С помощью полученной общей формулы можно по-другому за-
записать решения уравнений примера 2. Так, для уравнения
sin t - — получаем t =(-l)" — + пп. Для уравнения sin t = полу-
чаем t =(-1)" -— + лп. Это выражение можно записать иначе, вы-
полнив следующие преобразования:
В итоге получаем t =(-1)лч1 - + nn.
3
2
Для рассмотренного в примере 2 в) уравнения sint = - ответ
2
можно записать так: t =(-l)" arcsin —+лп.
Теперь мы можем найти решения уравнения, которое не смогли
решить в примере 2 § 16: sin t =-0,3. Имеем
t =(-l)"arcsin(-0,3) + rcn или t =(-1)n+1 arcsin 03+nn.
Замечание. Вы, наверное, обратили внимание на то, что мы здесь и в
§ 17, говоря о решении уравнений и неравенств, все время обозначали пе-
переменную буквой t, а не х, к чему вы, естественно, больше привыкли. Это
дало нам возможность более комфортно использовать для решения урав-
уравнений и неравенств числовую окружность. Теперь мы имеем готовые фор-
формулы для решения уравнений sint = a, cost = а. Значит, мы можем
обойтись без числовой окружности. А коли так, то в дальнейшем, говоря о
тригонометрических уравнениях и неравенствах, вернемся к более тради-
традиционному обозначению переменной — обозначению х.
82
( з\ ( з\ ( з
Пример 4. Вычислить: a)sin arcsin- k 6)cos arcsin- k в) tg arcsin-
Решение, а) Воспользовавшись определением арксинуса, получим:
( • 31 3
sin | arcsin- =-.
a I o
б) Положим arcsin -=t. Тогда sin t = —, причем te 0,— .
5 5 L 2J
Требуется вы-
числить cost.
Имеем:
= l-sin2t;
4 ' '¦ 4
cost = — или cost = —.
5 5
Поскольку t принадлежит первой четверти, из двух указанных выше
возможностей выбираем первую: cos t = -.
( . 3~) 4
Итак, cos arcsin- =—.
I 5M
B)tg* =
sint_34_3
cos t 5 5 4
( 3\ 3
Итак, tg arcsin — =—.
I 5j 4
3 4 3
Ответ: а) -; б) -; в) -.
5 5 4
§ 19. АРКТАНГЕНС И АРККОТАНГЕНС.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ tg x =a, ctg x =а
В примере 2 §16 мы не смогли решить три уравнения:
2
a) cost = -; 6)sin? =-0Д B)tg x = 2.
5
Два из них мы уже решили — первое в § 17 и второе в § 18, для
этого нам пришлось ввести понятия арккосинуса и арксинуса. Рас-
Рассмотрим третье уравнение tg x = 2.
Графики функций y = tgxn у = 2 имеют бесконечно много об-
общих точек, абсциссы всех этих точек имеют вид х = х1 +nk, где
х1 — абсцисса точки пересечения прямой у = 2 с главной ветвью
тангенсоиды (рис. 90). Для числа хг математики придумали
обозначение arctg 2 (читается «арктангенс двух»). Тогда все кор-
корни уравнения tg х -2 можно описать формулой х=arctg 2 + лй.
83

Что же такое arctg 2? Это — число, тангенс которого равен 2 и
которое принадлежит интервалу [ -—» -
Рассмотрим теперь уравнение tg x = -2.
Графики функций у = tg x и у = -2 имеют бесконечно много об-
общих точек, абсциссы всех этих точек имеют вид х = х2 + nk, где х2 —
абсцисса точки пересечения прямой у = — 2 с главной ветвью танген-
тангенсоиды. Для числа х2 математики придумали обозначение arctg (-2).
Тогда все корни уравнения tg x = -2 можно описать формулой
x=aictg(-2)+nk.
/
f
I
\
I
1
/
/
-ТС
1
II
1
ш
1
I
Л
г
\
У
7
У
J- э
1
1
У
/
0
1
I
/
1
/
А
*!
•
у =
>
7
I
I
1
1
1
tg
/
71
X 1
1/
7
/
i
1 1
у-г.
у-
-2
Рис. 90
Что же такое arctg(-2)? Это—число, тангенс которого равен -2 и
( п пЛ Л_ .
которое принадлежит интервалу —, - . Обратите внимание (см.
I 2 2)
рис. 90): х2 = -Xj. Это значит, что arctg(-2) = - arctg 2.
Сформулируем определение арктангенса в общем виде.
Определение 1. arctg а (арктангенс а) — это такое число из ин-
интервала --, - , тангенс которого равен а.
V 2 2/
Итак,
84
Теперь мы в состоянии сделать общий вывод о решении уравне-
уравнения tg х=а: уравнение tg x = а имеет решения
х - arctg a + nk.
Выше мы отметили, что arctg(-2) = - arctg 2. Вообще, для любого
значения а справедлива формула
arctg (-а) = - arctg а.
Пример 1. Вычислить: a) arctg 1; б) arctg ь в) arctgO.
Решение, а)ПолoHCHMarctgl = z. Tory№tgz = lH xe [--, -1 Значит,
= -, поскольку tg- = lH-ef- -, - 1 Итак, arctgl = -.
4 4 4 ^ 2 2) 4
б) Положим arctg \ = х. Тогда tgz = -— и лс 6 [--, - 1 Значит,
V 3 ) 3 \ 2 2)
V
n ( n~) т/з n f n n
x = —,no««wibKytg — = и — e , -
6 *{ 6) 3 6^22
Итак, arctg = —.
Можно было рассуждать и по-другому:
п
arctg^__J = _arctg_ б.
в) Положим arctg 0 = я;. Тогда tga;
кoлькytgO=OиOe ,-
. Z' л л^
=0ИХХ2>2}
Значит, х = 0, пос-
<а
Итак, arctg0=0.
Пример 2. Решить уравнения: a) tg x = V3; 6)tgz = -V3; B)tgz = -1,2.
Решение, а) Составим формулу решений: х - arctgV3 + nk.
Находим, что arctg-Уз =—; подставив найденное значение в формулу ре-
3
шений, получим:
б) Составим формулу решений: х = arctg (~УЗ)+ nk.
= - + **.
85

Находим, что arctg(—y3) = -arctgV3 =—; подставив найденное значение
3
в формулу решений, получаем:
я
лс= — + nk.
3
в) Составим формулу решений: х = arctg(-l,2) + nk.
Вычислить значение арктангенса в данном случае мы не можем, поэто-
поэтому запись решений уравнения оставим в полученном виде.
Ответ: a) x = — + nk; б)х = vnk;
3 3
= arctg(-l,2)+7ift.
, |' Пример 3. Решить неравенства: a) tg х < 1; б) tg x > -2.
I О- Неравенство вида tg х < ф(или<. tg х > а) можно решать графичес-
графически, придерживаясь следующего аданя^; ;
1) построить тангенсоиду "у = tg x и прямую у = а;
2) выделить для главной ветви тангенсоиды промежуток оси х,
на котором выполняется заданное неравенство;
3) учитывая периодичность функции y = tg х, записать ответ в
общем виде.
Применим этот план к решению заданных неравенств.
Решение, а) Построим графики функций y = tgx и у = 1. На главной
ветви тангенсоиды они пересекаются в точке х = — (рис. 91).
4
371 | | .
! | |/
/
1 /
I/
/
1
у
г
1
/
А
/
1
If
If
II
I '
I !
/
- i
Зж
4
1 /
1 /
I
/
1
V
г
1
У
7
1
Л
I
/
I
/
/
y=tgx 1
i 1
j/
i
i
ii
i
1
i
I
/
I
/
/
/
/
5ж.
4
f-
L37t
2
1
Рис. 91
Выделим промежуток оси х, на котором главная ветвь тангенсоиды
расположена ниже прямой у = 1, — это интервал —, —
Учитывая периодичность функции j/ = tg д;, делаем вывод, что заданное
неравенство выполняется на любом интервале вида:
86
Я Я
+ ЯП, — + ЯП
2 4
Объединение всех таких интервалов и представляет собой общее реше-
решение заданного неравенства.
Ответ можно записать и по-другому:
к я
— + пп<х<~ + пп.
2 4
б) Построим графики функций у = tg x и у = -2. На главной ветви танген-
тангенсоиды (рис. 92) они пересекаются в точке х = arctg(-2).
!1/
/
1
|
V
1
/
1
1
II
¦
V
1
/
г
| j
2
!/
1 If
/
II -2
'1
Ptt
У
/
0
1
I
1
1
ш
F
/
1
71
2
y = tax
1 у
1/
F
¦
1
II
II
|
/
1
/
/
f\
3
r
ц
>
y-
X.
—*
Рис. 92
Выделим промежуток оси х, на котором главная ветвь тангенсоиды
расположена выше прямой у = -2, — это интервал arctg(-2), — .
V 2)
Учитывая периодичность функции y = tgx, делаем вывод, что заданное
неравенство выполняется на любом интервале вида:
arctg(-2) + пп, — + пп
Ответ можно записать в виде двойного неравенства:
arctg(-2)+ пп < х < — + пп.
<ш
Рассмотрим уравнение ctgx=a, где а>0. Графики функций
у=ctg х и у =а имеют бесконечно много общих точек, абсциссы всех
этих точек имеют вид: х = х1 + nk, где х^ =arcctg a — абсцисса точки
пересечения прямой у=а с главной ветвью тангенсоиды (рис. 93).
Значит, arcctg a — это число, котангенс которого равен а и которое
принадлежит интервалу @, я); на этом интервале строится главная
ветвь графика функции у =ctg x.
87

1
1
1
II
11
\
\
\
1
-It
ч
i
и
0
к 1
\
л
1
1
1
11
1
vl
1
1
II
11
1
j
-
a
s
x2
lit
у I
\
\
1
1
1
1
1
1
1 у
1
II
1
1
\
1
= cta:s
s
_
~]27t
V
1,
\
A
\\
I
1
y-
X
y=-a_
Рис. 93
На рис. 93 представлена и графическая иллюстрация решения
уравнения ctg x = -a. Графики функций у =ctg xny = -а имеют бес-
бесконечно много общих точек, абсциссы всех этих точек имеют вид
х = х2 + nk, где х2 = arcctg (- а) — абсцисса точки пересечения прямой
у=-ас главной ветвью тангенсоиды. Значит, arcctg (-a) — это число,
котангенс которого равен -а и которое принадлежит интервалу
(О, я); на этом интервале строится главная ветвь графика функции
j/=ctgx.
Определение 2. arcctg а (арккотангенс а) — это такое число из
интервала @, л), котангенс которого равен а.
Итак,
arcctg a = x <=>
ctg x = a;
0<де<тс.
Теперь мы в состоянии сделать общий вывод о решении уравне-
уравнения ctg х=a: уравнение ctg x = а имеет решения:
х = arcctg a + nk.
Обратите внимание (см. рис. 93): х2 =п-х1. Это значит, что
arcctg (-а) = л-arcctg a.
88
Пример 4. Вычислить:
a)arcctgl; 6) arcctg(-l); B)arcctgO.
Решение, а) Положим, arcctgl = x. Тогда ctgx = l и лсе(О,л). Значит,
x = -, поскольку ctg- = 1 и - e @, n). Итак, arcctg 1 = -.
4 4 4 4
it Зл„ , .. Зл
б) arcctg (-1)= л - arcctg 1 = л - - =—. Итак, arcctg (-1)= —.
в) Положим, arcctg 0 = х. Тогда ctg х - 0 и х е @, л). Значит, х = -, посколь-
ку ctg-=O и -е(О,я). Итак, arcctgO = -.
Уравнение ctg x=a практически всегда можно преобразовать к
виду tg х - i. Исключение составляет уравнение ctg x =0. Но в этом
а
cos х
случае, воспользовавшись тем, что ctg х = , можно перейти к
' ' sin х
уравнению cosx=0. Таким образом, уравнение вида ctg x=a самос-
самостоятельного интереса не представляет.
§ 20. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
1. Простейшие тригонометрические уравнения
Тригонометрическими уравнениями обычно называют уравне-
уравнения, в которых переменная содержится под знаками тригономет-
тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простей-
простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида sin#=a,
cosx=a,tg х=а, где а — действительное число. К настоящему
моменту мы знаем, что:
1) если |о | < 1, то решения уравнения cosx=а имеют вид: ,~
x = ±arccosa+2rcn; '
2) если \а \ <1, то решения уравнения sinx=a имеют вид:
х=(-1)" arcsin а+пп;
или, что то же самое,
х=arcsin a+2nk, x=n-arcsina + 2nfc;
3) если|а |> 1, то уравнения cos x=a, sinx=a не имеют решений;
4) решения уравнения tg x =а для любого значения а имеют вид:
j:=arctg а + пп;
5) особо важны частные случаи:
0, х = пп;
х = -+2пп;
2
89

= -l, x- — +2nn;
2
со8ж=0, х = —+пп;
2
= l, х-2пп;
Во всех перечисленных формулах подразумевается, что
параметр (п, k и т.д.) принимает любые целочисленные значе-
значения (neZ, keZ).
К простейшим относят обычно и уравнения вида T(kx + m)=at
где Т — знак какой-либо тригонометрической функции.
Пример 1. Решить уравнения:
a)sin2*=±;
2
= -^; в)tdix--! =
2 ^ 6j 3
Решение, а) Введем новую переменную t = 2x, тогда sinf = -, откуда
2
получаем: t =(-l)" arcsin- + тел.
Имеем arcsin— = —. Значит, f=(-l)" — + тел.
2 6 6
Возвращаясь к переменной х, получаем: 2х = (-1)" — + тел. Осталось обе
6
части этого равенства разделить почленно на 2; получим:
. ,.„ тс тел
1 12 2
Заметим, что при наличии некоторого опыта можно не вводить проме-
промежуточную переменную t = 2x, а сразу переходить от уравнения sin2z = - к
уравнению 2лс = (-1)" arcsin-+ тел. Именно так мы и будем действовать в
дальнейшем.
б) Мы знаем, что решения уравнения cos t = a имеют вид:
t = + arccos a + 2тсл. Для нашего примера это означает, что
Зх = ± arccos + 2тсл. Вычислим arccos L воспользовавшись соот-
соответствующей формулой для арккосинуса (см. § 17):
I ^П V2 тс Зтс _ „ Зтс „
arccos | = тс-arccos— = тс — = —. Значит, Зх = ± н2тсл, откуда на-
2 1 2 4 4 4
ходим,что
, тс 2тсл
—А .
4 3
90
в) Мы знаем, что решения уравнения tgt = a имеют вид t = arctga + тел.
Для нашего примера это означает, что 4лс — = arctg н тел. Вычислив
6 3
л/3 ТС
arctg—, получим —. Таким образом,
3 6
тс тс
с — = —+тсл;
6 6
тс тс
: = - + - + тел;
6 6
тс
тс
:=- + тсл;
тел
<ш
Пример 2. Найти те корни уравнения sin 2л: =-, которые принадлежат
отрезку[0, тс].
Решение. Сначала решим уравнение в общем виде: х=(-1)" —+ —
(см. пример 1а). Далее придадим параметру л последовательно значения
0,1, 2,.... -1, -2,... и подставим эти значения в общую формулу корней.
Если л =0, то х =(-1)° У 0 = —. Это число принадлежит заданному от-
12
12
Если л = 1, то x=(-lf н —= н —= —. Это число принадлежит за-
резку [0, тс].
Если л =
данному отрезку [0, тс].
Если л = 2, то лс=(-If — + тс = — + тс = —:-. Это число не принадлежит за-
12 12 12
данному отрезку [0, тс]. Тем более не будут принадлежать заданному отрез-
отрезку те значения х, которые получаются из общей формулы при л = 3, 4, ...
тт л ш , ,._i ТС ТС ТС ТС 7ТС
Пустьтеперьл = -1. Тогдалс=(-1I —--=- —  =-"{2'
Это число не принадлежит заданному отрезку [0, тс]. Тем более не будут
принадлежать заданному отрезку те значения х, которые получаются из
общей формулы при л = -2, -3,...
На рис. 94 представлена геометрическая интерпретация проведенных
рассуждений.
-<*
q
1
а.
"Г"
X
Рис. 94
Итак, заданному отрезку [0, тс] принадлежат те корни уравнения, ко-
которые получаются из общей формулы при следующих значениях пара-
параметра л: л = 0, л = 1. Эти корни таковы: —, —.
\. dL \. dL
Ответ: \ ^
12 12
91

л/2
Пример 3. Найти те корни уравнения cos Зх = , которые принадле-
[-И
жат отрезку
Решение. Сначала решим уравнение в общем виде:
. л 2лл
х=±-+
4 3
(см. пример 16). Далее придадим параметру л последовательно значения 0,1,
2,..., -1, -2,... и подставим эти значения в общую формулу корней.
Если л = 0, толс = + — + 0 = ±—. Оба эти числа: — и — принадлежат задан-
4 4 4 4
•я 1
-и-
ному отрезку
_ ч ,л 2л „ е л 2л 11л л
Если л = 1, то лс = ±—I . Это значит, что либо х=—I = , либо
4 3 4 3 12
л 2л 5л .._, 11л 5л
х = — + — = —. Оба числа: и принадлежат заданному отрезку
4 3 12 12 12
[-И
_, „ , л 4л _ - л 4л 19л .,
Если л = 2, то х = ± — + —. Это значит, что либо х=— + — = , либо
4 3 4 3 12
л 4л 13л „ 19л 13л
х - — + — = . оба числа: и — не принадлежат заданному от-
4 3 12 12 12
л 1
"И'
поскольку оба они больше числа я. Тем более не будут при-
прирезку
надлежать заданному отрезку те значения х, которые получаются из
общей формулы при л = 3,4,...
_ ч „, , л 2л _ , л 2л 5л
Пусть л =-1. Тогда х = ± . Это значит, что либо х = = ,
4 3 4 3 12
либо х = -
л
2л 11л „
— = . Из этих двух значении заданному отрезку
4 3 12
Г л 1 5л
—, л принадлежит только первое: х = , поскольку второе число, т.е.
L 2 J 12
11л л
число - —, меньше числа .
12 2
Не будут принадлежать заданному отрезку те значения х, которые по-
получаются из общей формулы при л = -2, - 3,...
На рис. 95 представлена геометрическая интерпретация проведенных
рассуждений.
i i
-й-
i . 1 .
0
I
1
1
|
J
t
Is"
ill
- 7t -
1
X
Рис. 95
92
Итак, заданному отрезку - -, л принадлежат следующие корни урав-
V2 л _л 5л Ил _5л
~г' 4* ~4~' 12' Тг"' 12'
5л л л 5л Ил
Omeem:--, --, -, -, —.
2. Два основных метода решения тригонометрических уравнений
Для решения тригонометрических уравнений чаще всего ис-
используются два метода: введения новой переменной ^разложения
на множители.
Вернемся к материалу § 16. Там в примере 3 мы решили триго-
тригонометрическое уравнение 2sin2f-5sin?+2=0. Как мы это сдела-
сделали? Ввели новую переменную г = sin t, переписали уравнение в виде
2г2 -52 + 2=0, откуда 2j =2, z2 =-. В результате мы получили два
простых уравнения: sint =2; sint =-. Первое уравнение не имеет
решений, а для второго нашли две серии решений:
t=- + 2nk; t= — + 2лй и установили (см. § 18), что эти две серии
6 6
можно объединить одной формулой t =(-l) — + пп.
6
В том же § 16 в примере 4 мы решили тригонометрическое урав-
уравнение cos21-sin21 -cos t =0. Как мы это сделали? Воспользовались
тем, что sin2t =l-cos2f и заданное уравнение переписали в виде
cos2f-(l-cos2f)-cosf =0 и далее 2cos2f-cosf-l=0. Введя новую
переменную z-cost, получили 2z2 -2-1=0, откуда z1 =1, z2 =-—.
Значит, либо cost =1, либо cost =—. В итоге получили две серии
о_
решений: t=2nk; t=±—+2nk.
3
Рассмотрим еще один пример на использование метода введения
новой переменной при решении тригонометрических уравнений.
X X
Пример 4. Решить уравнение tg—н 3ctg— =4.
с* 2*
Решение. Поскольку ctg— = , есть смысл ввести новую переменную
2 <•!
о
г = tg—. Это позволит переписать уравнение в более простом виде: г + — =4.
2 ^
93

Имеем:
z2+3=4z,
z2-4z + 3=0,
Z!=l, z2=3.
Возвращаясь к переменной х, получаем два уравнения: tg— = 1 или
tg—=3. Из первого уравнения находим: — = arctg 1 + ял, т.е. —= -+лл,
' 2 2 4
х =~ + Znn. Из второго уравнения находим: — = arctg3 + ял, х =2arctg3+ 2ял.
^ 2
ких
Ответ: х = - + 2пп, a;=2arctg3 + 2nra.
| Теперь поговорим о втором методе решения тригонометричес-
тригонометрически ких уравнений — методе разложения на множители. Смысл этого
«.'• метода вам знаком: если уравнение f(x) =0 возможно преобразовать
к виду /j(x)- f2(x) =0, то задача сводится к решению двух уравнений
(обычно говорят — к решению совокупности уравнений):
/,(*)=0;/2(х)=0.
Пример 5. Решить уравнение sin х - - | cos х + - |=0.
Решение. Задача сводится к решению совокупности уравнений*
1 2
sinx = -; cosz = —.
3 5
Из этих уравнений находим соответственно:
1 2
ar=(-l)narcsin-+ ял; z = +arccos(—)+2ял. <¦]
3 5
Пример 6. Решить уравнение 2sin x cos 5a; -cos 5л; =0.
Решение. Имеем cos5xBsina;-l)=0. Значит, приходим к совокуп-
совокупности уравнений:
cos Ъх = 0; sin х = —.
2
Из первого уравнения находим :5х = — + пп, х = — + —
2 10 5
Из второго уравнения находим: х = (-1)" — + ял.
6
Ответ: *=iL + H. x=(-ifJL + nn.
10 5 6
Замечание. Учтите, что переход от уравнения ?(х) ?(х)=0 к сово-
совокупности уравнений: ?(z)=0;?(z)=0 не всегда безопасен. Рассмотрим,
например, уравнение tg z(sinz-l)=0. Из уравнения tgz=O находим
х = ял; из уравнения sin* = l находим х = — + 2пп. Но включить обе серии
решений в ответ нельзя. Дело в том, что при значениях х = — + 2ял,входя-
щий в заданное уравнение множитель tg x не имеет смысла, т.е. значения
х = — + 2ял не принадлежат области определения уравнения (области до-
2*
пустимых значений уравнения — ОДЗ), это — посторонние корни.
3. Однородные тригонометрические уравнения
Здесь мы познакомимся с довольно часто встречающимися на
практике тригонометрическими уравнениями специального вида.
Определение. Уравнение вида: asinx + tocos x =0 называют одно-
однородным тригонометрическим уравнением первой степени; уравне-
н ие вида: asin2 x + tosin x cos x + с cos2 x = 0 называют однородным
тригонометрическим уравнением второй степени.
Сначала поговорим о решении однородных тригонометрических
уравнений первой степени, причем рассмотрим только самый об-
общий случай, когда оба коэффициента а и b отличны от нуля, так как,
если а =0, уравнение принимает вид bcos x=0, т.е. cos x=0 — такое
уравнение отдельного обсуждения не заслуживает; аналогично при
Ъ=0 получаем sin x = 0, что тоже не требует отдельного обсуждения.
Итак, дано уравнение asinx+bcosx=0, где a*0,b*0. Разделив
обе части уравнения почленно насовзс, получим:
asinx bcosx 0 , п
1 = , т.е. atgx+b=O.
cosx cosjc cos*
В итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравне-
уравнению
Внимание! Вообще-то делить обе части уравнения на одно и то
же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что
это выражение нигде не обращается в нуль (на 0 делить нельзя).
Уверены ли мы, что в нашем уравнении cos x отличен от нуля? Да-
Давайте проанализируем. Предположим, что cos x=0. Тогда однород-
однородное уравнение a sin x+b cos x=0 примет вид a sinx=0, т.е. sin*=0
(вы ведь не забыли, что коэффициент а отличен от нуля). Получает-
Получается, что и cos х=0, и sin х =0, а это невозможно, так как sinx и cosx
обращаются в нуль в различных точках. Итак, в однородном триго-
тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей
уравнения насовд:— вполне благополучная операция.
Уравнения вида a sin mx+b cos mx=0 тоже называют однород-
однородными тригонометрическими уравнениями первой степени. Для их
решения обе части уравнения делят почленно на cos mx.
Пример 7. Решить уравнение 2 sin х - 3 cos лг=О.
Решение. Разделив обе части уравнения почленно на cos x, получим:
94
95

3
2 tg л: - 3 = О, tg я: = -, x = arctg - + nn.
Ответ: x = aictg-
2
Пример 8. Решить уравнение sin2x + cos2x =0.
Решение. Разделив обе части уравнения почленно Hacos2x, получим:
tg2z + l=0, tg2z=-l, 2x = arctg(-l)+Jin,
л n nn
2x =— + nn, x = — + —.
4 8 2
_ n nn
Ответ: x = 1 .
8 2^
Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение
второй степени:
asin2x+ftsinx cos x+c cos2 x=0.
Если коэффициент а отличен от нуля, т.е. в уравнении содер-
содержится член sin2 х с каким-то коэффициентом, отличным от нуля,
то, рассуждая как и выше, нетрудно убедиться в том, что при инте-
интересующих нас значениях переменной cos* не обращается в нуль, а
потому можно обе части уравнения разделить почленно на cos2 x.
Что это даст? Смотрите:
а sin2 х ft sin x cos x с cos2 x 0
++
cos2 x
cos2 х
cos2 x cos2 x
т.е. а tg x+b tg x+c =0.
Это — квадратное уравнение относительно новой переменной
2 = tg х.
Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении
а sin2 x+b sin x cos x+c cos2 x=0
коэффициент а равен 0, т.е. отсутствует член a sin2 x. Тогда уравне-
уравнение принимает вид:
b sinx cos x+c cos2 x=0.
Это уравнение можно решить методом разложения на множители:
cos х (ft sin x+с cos x) = 0,
cosx=0 или ft sin x+c cos x=0.
Получились два уравнения, которые мы с вами решать умеем.
Аналогично обстоит дело и в случае, когдас =0, т.е. когда одно-
однородное уравнение имеет вид а sin2 x+b sin x cos x=0 (здесь можно
вынести за скобки sinx).
Фактически мы выработали
96
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
asin2x+ft sin х cos x+c cos2 x=0:
1. Посмотреть, есть ли в уравнении член asin2 x.
2. Если член asin2 хв уравнении содержится (т.е. а * 0), то урав-
уравнение решается делением обеих его частей на cos2 x и последую-
последующим введением новой переменной z = tg x.
3. Если член asin2 х в уравнении не содержится (т.е. а = 0), то
уравнение решается методом разложения на множители: за скоб-
скобки выносят cosx.
Так же обстоит дело и в однородных уравнениях вида:
a sin2 тх+Ъ sin mx cos mx+с cos2 mx=0.
Пример 9. Решить уравнение
sin2 х - 3 sin arcos x + 2 cos2 x = 0.
Решение. Разделив обе части* уравнения почленно на cos2 x, получим
t^x-3tg х + 2=0. Введя новую переменную z=tgx, получим г2 -Зг + 2=0,
откуда находим г^ =1, г2 =2. Значит, либо tgx = l, либо tgx=2. Из первого
уравнения находим:
х = arctg 1 + nn, т.е. х= — + пп.
4
Из второго уравнения находим: х = arctg 2 + nn.
Ответ: х = — +nn; x = arctg 2 + nn.
4
Пример 10. Решить уравнение
•v/3sinzcosa; + cos2 x =0.
Решение. Здесь отсутствует член вида a sin2 x, значит, делить обе час-
части уравнения на cos2 x нельзя. Решим уравнение методом разложения на
множители. Имеем:
cosx(-J% sinx + cosa;)=0, т.е.
= 0 или >/3i 0
„ п
Из первого уравнения находим х = — + пп.
Второе уравнение — однородное тригонометрическое уравнение пер-
первой степени. Решим его с помощью почленного деления обеих частей урав-
уравнения на cosx:
-УЗ si
tg x=-j=, откудаx = arctgf -?= |
V3
+ nn, x = \-nn.
) ^
Ответ: x = - + nn; x = — + nn.
2 6
В заключение рассмотрим более сложный пример.
4 Мордкович «Алгебра, 10 кл.»
97

Пример 11. Решить уравнение
3 sin2 Зх - 2V§ sin Зх cos Зх + 5 cos2 Зх = 2
и выделить те его корни, которые принадлежат интервалу (—л, л).
Решение. Чем это уравнение сложнее предыдущих? Во-первых, оно
не является однородным, так как в правой его части содержится не 0, а 2.
Во-вторых, в левой части уравнения под знаками синуса и косинуса нахо-
находится не х, а Зле. В-третьих, нужно не только решить уравнение в общем
виде, но и выбрать корни, принадлежащие заданному промежутку. Эти
три дополнительные трудности мы сейчас и начнем преодолевать.
С числом 2, содержащимся в правой части уравнения, мы поступим
следующим образом. Известно, что sin21 + cos21 = 1 — это тождество верно
для любого t. В частности, sin2 Зле + cos2 Зле = 1. Но тогда
3лс + 2со823лс=2. Заменив в правой части уравнения 2 на
2 sin2 Зле + 2cos2 Зле, получим:
3 sin2 Зх - 2>/3 sin Зле cos Зле + 5 cos2 Зле = 2 sin2 Зле + 2 cos2 Зле.
Далее имеем:
3 sin2 Зх - 2 V3 sin Зх cos Зх + 5 cos2 Зх'- 2 sin2 Зх - 2 cos2 Зх = О,
sin2 Зх -2-Jb sin Зх cos Зх + 3cos2 Зх =0.
Как видите, нам удалось преобразовать заданное уравнение в однород-
однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Оно содержит в своем
составе член sin2 Зле, значит, применив способ почленного деления на
cos2 Зле, получим:
tg23z-2V3tg3x + 3=0.
Положив г = tg Зле, получим квадратное уравнение:
z2-2V3z+3=0.
Для решения этого уравнения можно использовать формулу корней
квадратного уравнения, но изящнее сделать так: заметив, что
z2-2V3z+3=(z-V3J,
преобразовать квадратное уравнение к виду:
(z-V3J=0,
и далее z--УЗ =0.
Значит, z =-Уз, т.е.
tg3z = V3,
Зле = arctg -Уз + ял,
я
Злс = — + ял,
О
к ял
Осталось из найденной серии решений выбрать те корни уравнения, ко-
которые принадлежат заданному интервалу (—л, я). Можно осуществить «пе-
«перебор по параметру», т.е. последовательно придать параметру л значения
0,1, 2,..., -1, -2,..., как мы это делали в п. 1 (примеры 2 и 3). Но мы хотим
показать вам еще один прием (быть может, он покажется вам более инте-
интересным).
98
Нам нужно найти такие значения х, которые содержатся в интервале
(-л,л), т.е. удовлетворяют двойному неравенству -я<лс<тс. Поскольку
л лл
х =— н , получаем неравенство:
Я ЛЛ
-я<—н <л.
9 3
Умножив все части этого неравенства на 9 и разделив на я, получим:
-9<1 + Зл<9,
-10<Зп<8,
10 8
<л<—.
3 3
Осталось выяснить, какие целочисленные значения параметра л
удовлетворяют последнему неравенству. Это значения: -3, -2, -1, 0,1, 2.
Значит, если перечисленные шесть значений подставить вместо л в фор-
я ял
мулу решении лс = — н , то мы тем самым и выделим интересующие нас
У о
корни уравнения, принадлежащие заданному интервалу (-я, я). Итак:
1) если л = -3, то из формулы лс =— + — получаем
9 3
я
-
8я
-;
Г»ч Г» * Я ЯЛ
2) если л = -2, то из формулы лс = — н получаем
9 3
я 2я 5я
х = = ;
9 3 9
3) если л = -1, то из формулы лс =— н получаем
9 3
_ я я _ 2я
*"9"i""Ts
4) если л = 0, то из формулы лс =—н получаем
9 3
я
-
9
я
-;
9
5) если л = 1, то из формулы х=—л получаем
9 о
я я 4я
х=— + — =—;
9 3 9
о) если п = 2, то из формулы х =— + — получаем
У о
я 2я 7я
Ответ:-*!; -5*; -**• *; i*; I*.
9 9 9 9 9 9
99

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Мы пополнили наш Словарный запас математического языка
следующими терминами:
арксинус;
арккосинус;
арктангенс;
арккотангенс;
тригонометрическое уравнение, простейшее тригонометричес-
тригонометрическое уравнение;
однородное тригонометрическое уравнение первой степени, вто-
второй степени.
Мы вывели формулы для решения простейших тригонометри-
тригонометрических уравнений:
cosx=a, х = ± arccos a+2n/i (при |a| <1);
ainx=a, х =(-1)" arcsin a+n/i (при |a| <1);
tgx=a, x = a.TCtga+nn;
ctgx=a, x = arcctg a+n/i.
Мы получили соотношения для арккосинуса, арксинуса, арк-
арктангенса и арккотангенса:
Если|а| <1, то
Г cost -a;
arccos a =f означает, что <
arccos (-a) = л-arccos a.
Если|а| <1, то
[sinf =а;
arcsin a = t означает, что \ п п
— <t <-;
I 2 2
arcsin (-a) = -arcsin a.
Для любого числа а
[tg*=a;
arctg a-t означает, что i я . я
Глава
--<*<-;
2 2
Для любого числа а
arctg (- а)=- arctg a.
ctgt-a-,
arcctg a-t означает, что •
[0<t
arcctg (-a)=n-arcctga.
Мы обсудили два основных метода решения тригонометричес-
тригонометрических уравнений: разложение на множители и введение новой пере-
переменной.
Мы изучили метод решения однородных тригонометрических
уравнений.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ
§21. СИНУС И КОСИНУС СУММЫ АРГУМЕНТОВ
В этой главе речь пойдет о преобразовании тригонометричес-
тригонометрических выражений. Для этого используются различные тригонометричес-
тригонометрические формулы, основные из которых мы внимательно рассмотрим.
Пожалуй, самыми важными в тригонометрии являются следу-
следующие две формулы (доказательства их технически довольно слож-
сложны, и мы их здесь* не приводим):
sin (x+ y)=sin х cos y+ cos x sin у,
cos (x+y)=cos x cos y-sin x sin у.
Эти формулы обычно называют синус суммы и косинус суммы.
А считаются они самыми важными потому, что, как мы увидим да-
далее, из этих формул без особого труда выводятся практически все
формулы тригонометрии. Поэтому есть смысл уделить указанным
формулам особое внимание. Рассмотрим примеры, в которых ис-
используются формулы синуса суммы и косинуса суммы. Учтем при
этом, что каждая из указанных формул применяется на практике
как «слева направо», так и «справа налево».
Пример 1. Вычислить sin75° и cos75°.
Решение. Воспользуемся тем, что 75° — 45° + 30° , и тем, что значе-
значения синуса и косинуса от углов 45° и 30° мы знаем:
sin45o=cos45°=—; sin30°=-; cos30°=—.
2 2 2
Имеем:
sin75o=sinD5°+30o)=sin45° cos30o+cos45° sin30°=
л/2 V| & 1>/б л/2 _>/б + л/2.
* Доказательство приведено в пособии для учителя (Алгебра и начала анализа,
10-11, Мнемозина, 2000).
101

cos75o=cosD5°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=
= л/| л/3_л/2 1 л/б л/2_Уб-л/2
2 2 2 2~ 4 4 4 '
Ответ: 8
4 4
Пример 2. Доказать, что sin (я + х)= -sin*,
Решение. Имеем:
sinGC+дс)= sin7ccosa:+ cos7csina: =Ocosa:+ (-1)8тдс = -sina;;
cosGc+a;)=cos7ccosa: —sin7csina;=(—l)cosa:-Osina;=—создс. (Ш
Замечание. Вернемся к доказанному в § 4 свойству 3. Это те самые
тождества (формулы приведения), которые только что доказаны в приме-
примере 2, но ранее мы получили их с помощью числовой окружности, а сей-
сейчас — с помощью формул синуса и косинуса суммы.
Пример 3. Вычислить sin* и cos*, если х =255°.
Решение. Имеем: sin255o=sinA80°+75o)=-sin75°;
cos255o=cosA80°+75o)=-cos75°.
В примере 1 мы установили, что
Значит,
sin255°=-sin75°=-
4
л/б + л/2
cos255°=-cos75°=-:
<¦
¦ (л
sin \-
^4
Л . Л 71
-smz+cos-cosz-sin-sin;»^
4 4 4
Пример 4. Упростить выражение
• (*¦
sin — + x
и
Решение. Имеем:
с +cos —+дс =sm—
J И J 4
V2 л/2 . л/2 л/2 . „л/2
= — соэдс +— sin*+ —cos* sinx=2
2 2 2 2 2
Ответ: sinI — + х |+cosI — +дс |=%/2cosa:.
ч4 / V4 /
Пример 5. Вычислить sin (л; + у), если известно, что
3 л 3 Зл
simc=-, 0<дс<—; cosi/ =—, л<у< —.
5 2 5 2
Решение. Воспользуемся формулой синуса суммы:
Значения sin* и cosy заданы, нужно вычислить значения cos дс и sinj/.
О 1R
Имеем: cos2 дс = 1 - sin2 дс = 1 =—.
25 25
102
По условию аргумент дс принадлежит первой четверти, а в ней косинус
, 16 4
положителен. Поэтому из равенства cos дс = — находим, что cos дс - -.
25
, , , 9 16
Имеем: sin2 j/ = l-cos У = 1~^1=^'
По условию аргумент у принадлежит третьей четверти, а в ней синус от-
,16 .4
рицателен. Поэтому из равенства: sin 1/ = —находим, что sinj/ = --.
Подставим заданные и найденные значения в правую часть формулы A):
Ответ: -1.
Пример 6. Вычислить дс + у, если известно, что
3 „ л 3 Зл
втдс=-, 0<дс<—; cosj/=--, л<у<—-.
5 2 о*
Решение.В предыдущем примере мы установили, что при заданных
условиях sin(*+ j/)=-l.
По условию данного примера, как и в примере 5,
Зтс
Сложив эти два двойных неравенства, получим: л < х + у < 2л.
Зл
Итак, зЩх + у)=-1 и 7С<дс + 1/<27С. Значит, х+у = —.
Z
_ Зтс
Ответ: —.
Пример 7. Вычислить:
a) sin48ocosl2o+cos48osinl2°;
6)cos37ocos8°-sin37osin8°.
Решение, а) Заданное выражение можно «свернуть» в синус суммы
аргументов 48° и 12°, получим:
>/з
sin48ocosl2o+cos48osinl2o=sinD8o+12o)=sin60°=—.
б) Заданное выражение можно «свернуть» в косинус суммы аргументов
37° и 8°, получим:
л/2
cos37ocos8o-sin37osin8o=cosC7o+8o)=cos45o=—-.
Ответ: л)^-; б)—.
103

Пример 8. Упростить выражение Уз cos* - sin*.
Решение. Если переписать заданное выражение в виде
„ГУЗ 1.1 Уз тс 1 . тс
2 —cos* — sin* и вспомнить, что — =cos—, a —= sin—, то заметим, что
B 2 J 2 626
выражение в скобках представляет собой правую часть формулы «косинус
суммы» для аргументов — и х. Таким образом,
6
2\ -^-совдс-— sin* [ = 21 cos—cosдс-sin—sin* | = 2cos| — +
Ответ: У§cos* - sin* = 2cos — + x
Пример 9. Решить уравнение: Уз cos x - sin x = 1.
Решение.В предыдущем примере мы получили, что
УЗ cos я-sin *=2cos I — + x I
Значит, заданное уравнение можно переписать в виде 2cos I — + х ] = 1.
Решая это уравнение, последовательно находим:
Я 1 о
— + х = ±arccos - + 2тсл;
6 2
тс , тс „
х = — ±- + 2тсл.
6 3
Учтем, что + — = —, а = . Это позволяет записать решение
6 3 6 6 3 2
уравнения не в виде одной, а в виде двух серий, но зато они выглядят по-
поте „ тс „
нятнее: х=— + 2тсл, х = — + 2тсл.
6 2
Ответ: х = — ± — + 2тсл или х = - + 2тсл, х = — + 2тсл.
6 3 6 2
Итак, мы познакомились с двумя тригонометрическими форму-
формулами: «синус суммы» и «косинус суммы», увидели, как эти форму-
формулы используются для доказательства тригонометрических тож-
тождеств и упрощения тригонометрических выражений, для
отыскания значений тригонометрических выражений и решения
тригонометрических уравнений. В § 22 мы проделаем аналогич-
аналогичную работу с формулами «синус разности» и «косинус разности».
104
§ 22. СИНУС И КОСИНУС РАЗНОСТИ АРГУМЕНТОВ
Рассмотрим выражение sin(x-y). Если переписать его в виде
sin(*+(-{/)) > то появляется возможность применить формулу сину-
синуса суммы для аргументов х и - у:
sin(*+(-j/)) = sin;x:cos(-i/)+cos x sin(-j/). A)
А теперь воспользуемся тем, что
cos(-j/)=cos у, sin(-{/)=- sin у.
Это позволяет правую часть равенства A) переписать в виде
sin х cos j/-cos x sin у.
Таким образом, мы вывели следующую формулу, называемую
на практике синус разности:
sin (х± у) = sin х cos у± cos x sin у.
Аналогичные рассуждения позволяют вывести формулу коси-
косинуса разности (мы сделаем это «молча», а вы «озвучьте» написан-
написанное):
cos (*-{/) =cos (*+(-[/)) =coszcos(-j/)-sin;»:sin(-i/) =
= cos x cos y+ sin x sin y.
Итак, перед вами формула косинуса разности:
cos (x±y)= cos х cos y+sinx sin у.
Естественно, что формулы синуса разности и косинуса разности
применяются на практике в написании как слева направо, так и
справа налево.
Пример 1. Вычислить sin 15° и cos 15°.
Решение. Воспользуемся тем, что 15о = 45°-30°,и тем, что значения
синуса и косинуса углов 45° и 30° мы знаем:
sin45o=cos45°=—;
Имеем:
sin 15o=sinD5°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45° sin 30°=
^У2 УЗ У2 1^Уб У2_Уб-У2.
2 2 2 2 4 4 4 ?
cos 15°=cos D5°-30°)=cos 45° cos 30°+ sin 45° sin 30°=
= Уг Уз У|.1 = Уб У2_Уб+У2
2 2 + 22 4 + 4 4
Ответ: sinl5°=^^; Cosl5°=^i^.
105

Пример 2. Доказать, что sin — х =cosдс, cos — х = sin x.
V2 J I2 J
Решение. Имеем:
sin —дс =sm—cosz-cos-sina^lcosz-O sma:=cosa:;
{2J 2
\
(к \ п . п .
cos —дс =cos—соэдс + sin—si
= sin x.
Замечание. В §21 мы вывели две формулы приведения с помощью
формул синуса и косинуса суммы аргументов. В только что решенном при-
примере 2 мы вывели еще две формулы приведения с помощью формул синуса
и косинуса разности аргументов. Вообще все формулы приведения для си-
синуса и косинуса, о которых мы говорили в § 8, без труда выводятся с по-
помощью формул синуса и косинуса суммы или разности аргументов.
Пример 3. Решить уравнениесовB7С-2дс)=со8 2дс —
V 2
Решение. Мы знаем, что cos (-t)=cos t, значит,
cos(^c-|j=cos(j-2*
По формулам приведения имеем:
cosB7c-2a:)=cos2a:;
cos —2дс =вт2дс.
Это позволяет переписать заданное уравнение в более простом виде:
cos2x = sin2x, т.е. sin2a;-cos2;jc=0.
Мы получили однородное уравнение первой степени, о решении ко-
которого шла речь в § 20, более того, там же в примере 2 было решено уравне-
уравнение, очень похожее на полученное. Разделив обе части уравнения
почленно на cos2*, получим:
tg2*-l=0,
* = arctgl+7cn,
2ДС = - + 7СЛ,
П 7СП
<ш
Пример 4. Вычислить cos у L если известно, что
3 л
COSJ/ = --, -<J/<7t.
5 2
Решение. Воспользуемся формулой косинуса разности:
(п \ П . 71 . /пч
COS у =COS— COSJ/+ Sin— Sin у. B)
13 J 3 3
106
7С . 7С
Значение cosy задано в условии, значения cos—, sin— известны, они
3 3
1 -Уз _.
равны соответственно — и —. Осталось вычислить значение sin у.
Имеем:
•а, 2 , 9 16
sin „-l-oo. if-1-jg-jg.
По условию аргумент у принадлежит второй четверти, а в ней синус по-
положителен . Поэтому из равенства: sin2 у = — находим, что sin у = —.
Z5 5
Подставим заданные и найденные значения в правую часть формулы B):
( Л 1 ( г\ -УЗ 4 4-УЗ-З
Т'б—10-
Ответ: 0,1Dл/3-3).
Пример 5. Решить уравнение:
sin I—х +cos
(Н-
V3.
Решение. Имеем:
Г. 71 7С . ^ Z' Ю . К . Л
= \ sin—cos дс-cos—sin дс + cos—соэдс+ sin—sin jc =
I 3 3 J I 6 6 J
& i
= COS* SinX +С08ДС +
?t ?t ?t ?t
Теперь заданное уравнение мы можем переписать в виде
•Узcos дс = -Уз, т.е. cos дс=1, откуда получаем: х=2пп.
Ответ: х=2пп.
Пример 6. Вычислить sin44ocosl4°-sin46ocos76°.
Решение. По формулам приведения находим:
sin 46° = sin (90°-44° )=cos 44°;
cos76°=cos (90°-14°)= sinl4°.
Это значит, что мы имеем право в заданном выражении заменить sin46°
Hacos44°, acos76° на sinl4°. Тогда заданное выражение можно переписать
в виде: sin44ocosl4°-cos44osinl4°H «свернуть» его в синус разности аргу-
аргументов 44° и 14°. Получим:
sin 44° cos 14°-cos 44osinl4°=sinD4o-14°) = sin 30°=-.
Ответ: -.
2
107

§ 23. ТАНГЕНС СУММЫ И РАЗНОСТИ АРГУМЕНТОВ
В § 21 и 22 мы получили формулы, выражающие синус и коси-
косинус суммы и разности аргументов через синусы и косинусы аргу-
аргументов. В этом параграфе речь пойдет о том, как тангенс суммы или
разности аргументов выражается через тангенсы аргументов. Со-
Соответствующие формулы выглядят следующим образом:
tg(x+y) =
tgx+tgy
1-tgxtgy'
tg(x-y) =
tgx-tgy
1 + tgxtgy'
При этом, разумеется, предполагается, что все тангенсы имеют
смысл, т.е. что х * — + пп, у * — + пп, х+у*—+пп (для первой фор-
2 2 2
мулы), х-у * — + пп (для второй формулы).
Доказательства этих формул достаточно сложны, мы приведем
одно из них в конце параграфа. Но сначала рассмотрим ряд приме-
примеров, показывающих, как используются эти формулы на практике.
Пример 1. Вычислить: a) tg 75°; б) tg 15°; в)
tg27°+tg!8°
l-tg27otgl8°
Решение, а) Воспользуемся тем, что 75° = 45° + 30°. Получим:
1 + ^3
l-tg45°tg30° Л 3-л/з'
3
Есть смысл избавиться от иррациональности в знаменателе, домножив
и числитель, и знаменатель полученной дроби на 3 + -УЗ:
= 2 + V3.
C-V3)C+V3)
9-3
б) Воспользуемся тем, что 15° - 45° - 30°. Получим:
tgl5°=tgD5°-30°)=
tg45otg30°
3
108
Есть смысл избавиться от иррациональности в знаменателе, домножив
и числитель, и знаменатель полученной дроби на 3 - -Уз:
= 2 д
C+л/ЗХЗ-л/З) З2-^J 9-3 6 6
HTaK,tgl5°=2-V3.
в) Заметим, что заданное выражение представляет собой правую часть
формулы «тангенс суммы» для аргументов 27° и 18°. Значит,
tg27°+tgl8° +18 0=1
l-tg27otgl8°
Ответ: а) 2 + V§; б) 2 - V3; в) 1.
~ « ~ 1-tg* (n Л
Пример 2. Доказать тождество: s— = tg — х I.
l + tga: \^4 J
Решение. Применим к правой части проверяемого тождества форму-
формулу «тангенс разности». Имеем:
ш
Замечание. Когда речь идет о доказательстве тригонометрического
тождества или о преобразовании тригонометрического выражения, всегда
предполагается, что аргументы принимают только допустимые значения.
Так, в рассмотренном примере доказанное тождество справедливо при ус-
7С 7С 7С
ловии, чтохф— + пп, хф— + пп.
2 4 2
(тг Л *Х тг
Пример 3. Вычислить tg — х L если известно, чтосов х =—, — < дс < п.
V4 / 5 2
Решение. Воспользуемся тождеством, полученным в предыдущем
примере:
1 . A)
Если мы вычислим tg х, то вычислим и tg — х .
V4 У
Значение cos* задано, значение tgx найдем с помощью соотношения
Имеем: tgx =
, 25 , 16
1=-—-1 = —.
cos2 л: 9 9
По условию аргумент х принадлежит второй четверти, а в ней тангенс
1 (\ А
отрицателен. Поэтому из равенства tg^jc = — находим, что tg х = —.
9 3
Подставим найденное значение в правую часть формулы A):
109

Ответ: tg —х =-7.
В заключение докажем, как было обещано, формулу тангенса
суммы. Кроме того, приведем довольно любопытный пример, по-
показывающий неожиданное применение формулы тангенса суммы.
Имеем:
ч sin (х+у) _ sin х cos y+cos x sin у
cos(x+y) cosx cos у-sin x sin у
Разделим в полученной дроби и числитель, и знаменатель
почленно на cosx cos у. Получим:
sinxcosy cosx sin у sinx sin у
cosxcosy cosxcosy_ cosx cosy _ tgx+tgy
cosxcosy sinx sin у sinx sin у 1-tgxtgy
cosxcosy cosxcosy cosx cosy
Итак, нам удалось преобразовать tg(x+y)K виду———i-^-. •
1—tg xtgy
Пример 4. Доказать, что tg 1° — иррациональное число.
Решение. Предположим противное, что tg 1°— рациональное
число: tg 1°=г, где г — рациональное число. Имеем:
1Оч_ tgl°+tgl° _
' l-tgl°tgl°
tg 2°=
1-rr l-г2
Получилось рациональное число, обозначим его q; итак tg 2°=-q.
Рассуждая аналогично, устанавливаем, что:
tg 3°=tg(l°+2°)= - = ; снова получили рациональ-
рациональное число. Продолжая процесс, получим, что tg 4°, tg 5°, ...,tg 60° —
рациональные числа. Но tg 60°=л/з, а это — иррациональное число.
Получили противоречие, значит, сделанное предположение невер-
неверно, т.е. tg 1° — иррациональное число. <Д
§ 24. ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО АРГУМЕНТА
Здесь речь пойдет о формулах тригонометрии, позволяющих
выразить sin2x, cos2x, tg 2х через sin x, cos x, tg x. Эти формулы
обычно называют формулами двойного аргумента. Название, может
быть, не очень удачно, как, впрочем, и такие названия, как «фор-
110
мулы приведения», «синус суммы», «косинус разности» и т.д., но
это не суть важно: главное, что есть некий словесный символ, поз-
позволяющий посвященным понять, о чем идет речь.
Рассмотрим выражение sin2x, представив при этом 2х в виде
х+х. Это позволит применитьквыражениюзт(х+х)формулу «си-
«синус суммы» (см. § 21). Имеем:
sin2x = sin(x+x) = sinxcos x+cos xsin x = 2sin xcos x.
Итак,
sin 2x = 2 sin x cos x.
Рассмотрим выражение cos2x, представив при этом 2х в виде
х+х. Это позволит применить к выражению cos (х+х) формулу «ко-
«косинус суммы» (см. § 21). Имеем:
cos2x=cos(x+x)=cosxcosx-sinxsinx=cos2 x-sin2 x.
Итак,
Рассмотрим выражение tg 2x, представив при этом 2х в виде
х+х. Это позволит применить к выражению tg (х+х) формулу «тан-
«тангенс суммы» (см. § 23). Имеем:
tg2x = tg(x+x) =
_tgx+tgx_ 2tgx
1-tgxtgx l-tg2x
Итак,
Формулы «синус двойного аргумента» и «косинус двойного ар-
аргумента» справедливы для любых значений аргумента (никаких
ограничений нет), тогда как формула «тангенс двойного аргумен-
аргумента» справедлива лишь для тех значений аргумента х, для которых
определены tg x и tg 2x, а также отличен от нуля знаменатель дро-
дроби, т.е. l-tg2x*O.
Разумеется, формулы двойного аргумента можно применять и в
тех случаях, когда место аргумента х занимает более сложное вы-
выражение. Так, справедливы следующие соотношения:
sin4x=2sin2xcos2x;
111

n . X X
sinx =2 sin— cos—;
2 2
cos 48°=cos2 24°-sin2 24°;
cosBx+6j/)=cos2(x + 3j/)-si
и т.д.
И, как всегда, любую из трех полученных в этом параграфе фор-
формул двойного аргумента можно использовать в написании как
справа налево, так и слева направо. Например,
вместо 2sinЗх cos Зх можно написать sine*,
вместо cos2 2,51 -sin2 2,51 можно написать cos 51.
Пример 1. Доказать тождества:
а) 1 + sin2x=(cosx + sin xf;
б) l-sh^x^cosx-sinxJ.
Решение, а) Воспользуемся тем, что 1 = sin2 x + cos2 x, и формулой си-
синуса двойного аргумента. Получим:
1 + sin 2 х = sin2 x + cos2 x + 2 sin x cos x =(cos x + sin xf.
б) Рассуждая аналогично, получим:
1 - sin 2х = sin2 х + cos2 x -2sinxcos x=(cos x - sinxf. <Д
тт « ^ ^ l + sin2x
Пример 2. Сократить дробь .
cos2x
Решение. В числителе дроби воспользуемся доказанным в примере
1 а тождеством, а в знаменателе — формулой косинуса двойного аргумен-
аргумента. Получим:
1 + sin2x_ (cos x+sinxJ _ (cosx + sinxf cos x+sinx
cos2x cos х-sin2* (cosx + sin x) (cos x-sinx) cosx-sinx
<¦
Пример3.Вычислить:a)cos2 — sin2—; 6)sin—cos—; B)sinl8°cos36°.
8 8 12 12
Решение, а) Заданное выражение представляет собой правую часть
формулы косинуса двойного аргумента. Заметив это, получим
2 л . 2 л 27С л -у/2
cos — sin — =cos— =cos— =—.
8 8 8 4 2
б) Заданное выражение представляет собой правую часть формулы си-
синуса двойного аргумента, но только не хватает множителя 2. Введя его, по-
получим:
=0,5sin B ^]=0>5 sin? =
s^ =0,5-
=0,5 0,5=0,25.
в) Этот пример значительно сложнее, но зато он красивее предыдущих:
здесь нужно догадаться умножить и разделить заданное выражение на
4cosl8°. Что это даст? Смотрите:
112
sinl8° cos36°=
4cosl8° sinl8cos36°
4cosl8°
_ 2Bsinl8°cosl8°) cos36° _ 2sin36° cos36° _ sin72°
4cosl8° ~ 4cosl8° ~4cosl8°'
Как видите, мы дважды воспользовались формулой синуса двойного
аргумента. Чтобы довести вычисления до конца, заметим, что
72°=90°-18°. Значит, sin72°=sin(90°-18°)=cosl8°. Таким образом,
. sin72° cos 18° 1
sinl8°cos36°= — = - — = т-
4cosl8° 4cosl8° 4
л/2
Ответ: а)—; 6H,25; в) 0,25.
2
Пример 4. Доказать тождество tg х + ctg х = .
sin2x
Решение. Преобразуем левую часть доказываемого тождества:
tgx+ctgx = -
sin x cos x sin2 x + cos2 x
cosx sinx cos x sin x cos x sin x
Умножив и числитель, и знаменатель последней дроби на 2 («подгоня-
(«подгоняем» знаменатель под формулу синуса двойного аргумента), получим:
2 2
2cosxsinx sin2x
2
Итак, tg x + ctg x = , что и требовалось доказать.
sin2x
<ш
Замечание. Еще раз обращаем ваше внимание на то, что тождество
7СП
доказано лишь для допустимых значении х, конкретнее для хф—, т.е.
it
для значений х, при которых имеющиеся знаменатели отличны от нуля.
Пример 5. Зная, что cos х = - и что х е —, 2тс L вычислить:
5 (п \
a) cos2x; 6)sin2x; B)tg2x; г) sin I-+ 4x1.
V2 )
Решение, а) Воспользуемся формулой sin2 x + cos2 x = 1.
Имеем:
•ii I I (8Y 16
sin x = l-cos х = 1- - =-.
Теперь нетрудно вычислйтьсов2х:
16
б) Для вычисления sin2x воспользуемся формулой
sin2x = 2sinxcosx.
Значение cos x дано в условии, а значение sin x найдем следующим об-
16 4
разом. Во-первых, мы уже знаем, что sin2 х = —. Это значит, что sinx = -
25 5
4
или sin х = —.
5
113

Во-вторых, по условию аргумент х принадлежит четвертой четверти, а
4
в ней синус отрицателен. Это значит, что из двух значений sin* = -,
о
sin х = — надо выбрать второе: sin х = —.
5 5
Теперь нетрудно вычислить sin2x:
sin2x = 2sinxcosx=2— — = .
Ъ\ Ъ) 25
в) tg2* вычислим, воспользовавшись определением тангенса:
24
tg2*
sin 2x _ 25 _24
cos2x
J7_
25
=c
г) Для вычисления sin — + 4л: сначала воспользуемся формулой при-
V2 J
ведения: sin — + 4х =cos 4дс.
v2 ;
Применим к выражению cos4* формулу косинуса двойного аргумента:
cos4*=cos2 2x - sin2 2x. Воспользуемся тем, что значения cos 2x и вт2я:уже
найдены нами:
7 Y ( 24 Y 49 576 527
cos4*=cos22*-sin22* = \~\ - -— =
25
25
626 625 625
7 . „ 24 „ 24 . fn . Л 527
Ответ: соа2х = ; sin2x = ; tg2x = —-; sin - + 4x =-—-.
25 25 7 ^2 J оло
Пример 6. Решить уравнение sin4* -cos2*=0.
Решение. Если в левой части уравнения применить к выражению
sin4* формулу синуса двойного аргумента, то удастся разложить левую
часть на множители. Имеем последовательно:
sin4x-cos2a:=0;
2sin 2x cos 2x -cos 2x =0;
cos2zBsin2;x:-l)=0;
cos 2x =0 или 2sin 2x -1=0.
Из уравнения cos 2х = 0 находим:
п п пп
2х = — + пп; х=— + —.
2 4 2
Из уравнения2 sin 2х -1 = 0находим:
sin2;t=-; 2x=(-l)"arcsin- + 7cn;
ПП
_ n пп , _„ n пп
Ответ: х = —-\ ; x-(-l) —н .
4 2 l'l2 2
114
§ 25. ФОРМУЛЫ ПОНИЖЕНИЯ СТЕПЕНИ
Если в формуле cos2x=cos2 x-sin2 х заменить sin2 x на 1-cos2 x,
то получим:
cos2x=cos2 x-sin2 x=cos2 x-(l-cos2 x)=2cos2 x-1.
Таким образом, cos2x =2cos2 x-1, откуда:
cos2 x-
Если в формуле cos2x=cos2 х-sin2 x заменить cos2 x на 1-sin2 x,
то получим:
cos2x=cos2 x-sin2 x=(l-sin2 x)-sin2 x = l-2sin2 x.
Таким образом, cos2x = 1-2 sin2 x, откуда:
sin x=-
l-cos2x
Полученные две формулы обычно называют формулами пониже-
понижения степени, что опять-таки не слишком удачно — об условности
названия формул в тригонометрии мы уже говорили в начале § 24.
Замечание. Откуда появилось такое название? Причина, видимо, в
том, что в левой части обоих тождеств содержится вторая степень косинуса
или синуса, а в правой части — первая степень косинуса (степень понизи-
понизилась). Но при применении этих формул будьте внимательны: степень по-
понижается, зато аргумент удваивается.
Пример 1. Зная, чтосо8дс = и что яе — ,п L вычислить:
13 {2 )
X XX
a)cos—; б) sin—; s)tg—.
?t ?t 2*
Решение, а) Воспользуемся формулой понижения степени:
, х 1 + cos*
cos — = .
1-А
_ 2 * 1Я 4 _ 71 71 X П т
Получим: cos — = ***¦=—. По условию — < х < п, значит, — < — <—. Та-
2 2 13 2 4 2 2
ким образом, аргумент — принадлежит первой четверти, а в ней косинус
ГГ 2Х 4 X 2
положителен. Поэтому из уравнения cos — = — получаем: cos— = —j=.
2* 13 2 V13
х 2
Второе возможное решение cos— = —j= нас не устраивает.
2 V13
115

т* х 2
Итак, cos — = -р=.
2 Vl3
¦ 2х l-cos* _.
б) Воспользуемся формулой понижения степени: sin — = . llo-
лучим: sin — =
* 1 + Гз_*
13
Выше мы уже установили, что аргумент — принадлежит первой чет-
_ . 2 х 9
верти, где синус положителен. Поэтому из уравнения sin — = — получаем:
2 13
sin — = —f=. Второе возможное решение sin — = —т== нас не устраивает.
2 Vl3 2 Vl3
т* . х 3
Итак, sin — = —р=.
2 Vl3
х
в) Осталось вычислить значение tg—:
'2 x
cos—
_ . х 2
Ответ: a) cos—=
2 2
2 Vl3
3
Пример 2. Доказать тождество: sin — + х =
V4 J
= 3
l+sin2z
Решение. Применим к левой части доказываемого тождества форму-
формулу понижения степени:
1-cos
Hi
Замечаем, воспользовавшись формулой приведения, что
|=cos — + 2х ) = -sin2a:.
V2
СО8|2-||-
Таким образом, 1-cos 2- — + х\ =l + sin2;K,
I V4
а это значит, что
,i'7t
sin2x
<ш
о
Пример 3. Решить уравнение: cos23a: -—.
4
Решение. Можно, конечно, идти по проторенной дорожке — извлечь
из обеих частей уравнения квадратный корень, получить два уравнения:
116
л/3 л/З
созЗдс =— или совЗдс = , а затем каждое из этих уравнений решить по
соответствующей формуле. Но значительно приятнее воспользоваться
сначала формулой понижения степени:
2 _ 1 + СОвбДС
cos Здс = .
l + cos6z 3 . 1
Тогда заданное уравнение примет вид: = -, и далее cosox = -.
2 4 2
Получилось не два уравнения, а одно. Находим:
6х = ± arccos- + 2пп;
, 71
х=±з
18 3 '
<ш
§ 26. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ В ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Продолжим изучение формул тригонометрии, но сначала обсу-
обсудим один вопрос, который наверняка вы уже задавали своему учите-
учителю: формул тригонометрии очень много, неужели все эти формулы
мы должны помнить, как таблицу умножения? Отвечаем: запоми-
запоминать все формулы вы не должны! Но для чего, спросите вы, в преды-
предыдущих параграфах эти формулы выводились и как-то выделялись в
тексте? Отвечаем и на этот вопрос: вы должны, во-первых, иметь
представление о том, что такие-то и такие-то тригонометрические
формулы существуют, и, во-вторых, научиться применять их на
практике. Главное — выписать нужные формулы, удачно их распо-
расположить и держать перед глазами, когда решаете тригонометричес-
тригонометрический пример. В конце главы 3 мы составим такую «шпаргалку».
В этом параграфе речь пойдет о формулах, особенно полезных
при решении тригонометрических уравнений, поскольку они поз-
позволяют сумму или разность синусов или косинусов разложить на
множители.
1. Сумма синусов
Рассмотрим выражение sin(s-H) + shi(s-f)> Применив формулы
синуса суммы и синуса разности, получим:
(sins cos Л-cos s sin t)+(sins cost -cos s sinf)=2sins cost.
Итак, sin (s+O+sin (s -0=2 sins cost. (a)
Положим в этой формуле x = s+t, y = s-t. Если эти равенства
сложить, получим х+у = 2s, т. е. s = -. Если же из первого равен-
117

ства вычесть второе, получим x-y=2t, т.е. t = -. А теперь заме-
Y" _1_ ту y* — 1J
ним в формуле (a) s+1 на х, s -t на у, s на -, t на -. Тогда форму-
2* &
л а (а) примет вид:
A)
Например,
. _ . . n . 6x+4x 6x-4x .
sin6x+ sin4x =2sin cos =2sin5xcos x;
2 2
43°+17° 43°-17°
sin 43°+sin 17°=2 sin cos =2sin30°cosl3°=
=2-cosl3°=cosl3°.
2
2. Разность синусов
Воспользовавшись тем, что -sin у = sin (-у) и полученной в п. 1
формулой суммы синусов, находим, что
sin х - sin у = sin x+sin (~y) =
2sin
cos
Х~(~У)
х-у х+у
cos -.
2
Итак,
sin ж-sin у = 2sin cos -
B)
Например,
• о с о • Зх-5х Зх+5х .
sin Зх-sin ох=2 sin cos =2sin(-x) cos4x =
2 2
= -2sinx cos4x.
При этом мы учли, что sin (-x) = - sinx.
3. Сумма косинусов
Рассмотрим выражение cos (s+1)+cos (s -t). Применив формулы
косинуса суммы и косинуса разности, получим:
(coss cos t -sins sinf)+(coss cos t + sins sin t) =2cos t coss.
Итак, cos (s +1)+cos (s -t) - 2cos s cos f.
Положив x = s + f, y = s-t,получим:
118
C)
Например,
7t 37t
+
тс Зтс
ТС dTC „ Q о
cos — + cos — = 2cos ——— ¦ cos
8 8 2 2
n л/2 ТС а: ТС
=2 cos — = л/2 • cos —
2 8 8
тс л/2
(попутно мы учли, что cos—= — и что cos (-i)=cosf).
4. Разность косинусов
Рассмотрим выражение cos (s+f)-cos (s -t). Применив формулы
косинуса суммы и косинуса разности, получим:
(coss cost-sins sint)-(coss cost + sins sinf)=-2sins sinf.
Итак, cos (s+f)-cos (s-t) =-2sins sinf.
Положив x = s +1, y = s-t, получим:
cosx-cos u=-2sin ^sin —.
2 2
D)
Например,
cos Bx+y) -cos Dx- y) =
s
2 2
= -2sin3x sin (-x+j/)=2sin3xsin(x-j/).
Пример 1. Решить уравнения: a) sin5x + sinx = 0;
Решение, а) Преобразовав сумму синусов в произведение по формуле
A), получим:
sin5x + sinx=2sin3x cos 2*.
Теперь заданное уравнение можно переписать в виде:
2sin3xcos2x=0.
Значит, либо sin3x=0, откуда находим: Зх = пп, х = —; либосов2х=0,
3
„7t 7C 7СЛ
откуда находим: 2х = —+ пп, х=— н .
б) Имеем последовательно:
sinl7x-sin7x=0;
2sin5xcosl2x=0;
sin5x=0; cosl2x=0.
119

Из первого уравнения находим: 5х = пп, х = —.
5
«„ л л пп
Из второго уравнения находим: 12дг = —h пп, х = 1 .
Ct Ci^x X Ct
в) Здесь придется воспользоваться формулой приведения:
sin*=cos I — -х
чтобы вместо разности синуса и косинуса получить разность косинусов,
для которой у нас имеется формула D). Тогда получим последовательно:
cos3*-sin*=0;
cos3*-cos —х |=0;
I 2
-2 sin ¦
f
sin
8*-E-«
=Q.
Из первого уравнения находим: х н— = пп, х = у пп.
4 4
„ п п п пп
Из второго уравнения находим: 2х — = пп, х = —I .
4 о с\
- ПП П ПП
Ответ:а.)х =—, х = — + —;
п пп пп
б)х= 1 , х = —;
24 12 5
л пп
Пример 2. Решить уравнение: sinх + sin2* + sin3* =0.
Решение. Сгруппируем первое и третье слагаемые левой части урав-
уравнения:
(sin х + sin3*) + sin 2* =0.
Далее имеем:
2sin2*cos * + sin 2* = 0;
sin2*Bcos* + l)=0;
8И12*=ОИЛИС08*= .
2
Из первого уравнения находим: 2х = пп, х = —.
2
Из второго уравнения находим: х = ± arccos — I + 2лп,
V ^J
х = ± л- arccos - +2лп, х = ± л--|+2лп, х = ±— + 2лп.
I о Q Q
п пп 2Я „
Ответ: х =—; х = ± н2лп.
2 3
120
Пример 3. Решить уравнение: cos2 x+sin2 Зх = 1.
Решение. Это — достаточно сложный пример, требующий умения
свободно оперировать формулами тригонометрии. Поэтому мы сделаем его
не спеша, обстоятельно и «по действиям».
1) Дважды применим к левой части уравнения формулы понижения
степени:
cos2 х =
l+cos2*
sin2 3* =
l-cos6*
2) Теперь заданное уравнение можно переписать в виде:
l + cos2* l-cos6* .
+ 1
откуда получаем: cos2* -cos6* =0.
3) Преобразуем разность косинусов в произведение:
„ . о . 2*+ 6* . 2*-6* „ . . . . о ч
cos2* -cosо* = -2sin sin = -2sin4* sin(-2x) =
= 2 sin 4* sin 2*.
Значит, задача сводится к решению уравнения 2sin4х sin2* =0.
4) Полученное уравнение сводится к совокупности двух уравнений:
sin4*=0; sin2*=0.
пп
Из первого уравнения находим: Ах = пп, х =—.
4
Из второго уравнения находим: 2х = лл, х =
пп
\ Jf-L, пп пп
« Ответ: х=—-; х = —.
1 Замечание. Полученный ответ можно записать компактнее. Посту-
пп
пим так: отметим все значения х, содержащиеся в серии х = —, точками на
4
числовой окружности — восемь точек на рис. 96а (они получаются, если
параметру п придать последовательно значения 0,1, 2, 3,...). Отметим все
значения х, содержащиеся в серии х = —, точками на числовой окружнос-
Ct
ти — четыре точки на рис. 966. Но они уже отмечены на рис. 96а. Что это
значит? Это значит, что вторая серия не содержит новой информации о ре-
решениях заданного тригонометрического уравнения, т.е. все его решения
пп
исчерпываются первой серией: х =—.
4
1
1
V
N
%
i
1
\
у
f
Г
\
\
S
s
t
/
\
1
}
а б
Рис. 96
121

§ 27. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СУММЫ
Сравните название этого параграфа с названием § 26, в котором
речь шла о преобразовании суммы (или разности) синусов или ко-
косинусов в произведение. Известно, что любая математическая фор-
формула на практике применяется как справа налево, так и слева нап-
направо. Поэтому неудивительно, что в тригонометрии приходится
осуществлять и «движение в обратном направлении»: преобразовы-
преобразовывать произведение тригонометрических функций в сумму. Об этом и
пойдет речь в настоящем параграфе.
В § 26 мы видели, что sin(s-H) + sin(s-*)=2sinscos*.
Отсюда получаем:
sins cost =
sin (8+*)+sin (s-*)
B§ 26 мы видели, 4Tocos(s-H)+cos(s-*) = 2cosscos*.
Отсюда получаем:
COS 8 COSt =
COS (8 +1) + COS (8 -t)
B§ 26 мы видели, 4Tocos(s+*)-cos(s-*) = -2sins sin*.
Отсюда получаем:
sins sint =
COs(8-*)-COS(8 + f)
Таковы три формулы, позволяющие преобразовать произведе-
произведение тригонометрических функций в сумму.
Пример 1. Преобразовать произведения в суммы:
a)sin5xcos3x; 6)sin3xcos5x;
b)cosC*+ у)соа(х-ЗуУ; r)sin27°sin57°.
Решение.
_ sin8* + sin(-2*) sin&c - sin2*
2 2
122
b)cosC*+ y)cos(x-3y) =
cos(C* + y) + (x -3y)) + cos(C* + y)-(x -3y)) _
_
cos Dx - 2y) + cos B x + 4y)
2
• »„ • =„о cosB7°-57°)-cosB7°+57°) cos(-30°)-cos84°_
r) sin27°sin57°= * '— i ' = г =
2 ^
2^2
3 %
Пример 2. Найти значение выражения cos— cos—, если известно, что
2
Решение. Имеем:
3* х
cos— cos—=-
2 2
Зх х
+
Зх х
Значение coe^ дано в условии, значение cos2х легко найти, воспользо-
2 l + cos2*
вавшись формулой понижения степени: cos х = .
/о Л* 8 1
Получаем:соз2^=2со82^-1=2- - -1=--1=--.
13] У У
Таким образом,
<¦
§ 28. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Asinx + Bcosx К ВИДУ Csin(x-H)
На практике, например при изучении колебаний, довольно час-
часто встречаются выражения вида A sinrc+Bcosx, причем возникает
необходимость свести эту алгебраическую сумму тригонометри-
тригонометрических функций к одной тригонометрической функции. Рассмот-
Рассмотрим для примера выражение л/
Если переписать это выражение в виде 2 — sinjc+-cosx и
вспомнить, что —- = cos—, а - = sin—, то можно заметить, что выра-
2 6 2 6
жение в скобках представляет собой правую часть формулы «синус
суммы» для аргументов х и —. Таким образом,
6
123

. 1 1 J n . . n Л
sinrcH—cos* =2 cos— sin*+sin— cos* =
2 J I 6 6 J
= 2sinf*+*\
Итак, -s/3sin*+cos*=2sin*н— .
I 6J
I 6
Выражение вида Азт*+Всоз*(для случая, когда А =л/3, В = 1)
мы преобразовали к видуСзт(*-Н). Конкретнее, у нас получилось,
что С = 2, t = —. Обратите внимание на то, что С = л/А2 + В2.
6
В самом деле, А2 + В2 =(л/§J +12 =4=22 =С2. Оказывается, это
не случайно — на подобной идее основано преобразование любого
выражения вида Asin*+Bcos*.
Рассмотрим выражение Asin*+Bcos*; пусть, для определен-
определенности, А и В — положительные числа.
Введем обозначение: С = \А2 +В2. Заметим, что
В самом деле,
ал2 (bIa^ в2 _а2+в2 ^с2
с)\с) сг+с2 с2 с2 '
Это значит, что пара чисел —, — удовлетворяет уравнению
С» С»
*2 л-у2 =1, т.е. точка с координатами —; — лежит на числовой
ус с)
(единичной) окружности. Но тогда — есть косинус, а — — синус
С» С»
некоторого аргумента t, т.е. — =cost, — = sint. Более конкретно:
. В А
t = arcsin— или t = arccos—.
С С
Учитывая все это, поработаем с выражением Asin* + Bcos*:
Asin*+Bcos*=C —sin*H—cos* =
[С С j
=C(cost sin*+sin* cos*) = С sin(x+t).
124
Итак,
A sin *+В cos* = С sin (x+t),
i R
где С = л/А2 + В2 , t = arcsin—.
С
Обычно аргумент t называют вспомогательным (дополнитель-
(дополнительным) аргументом.
Аналогично можно выражениеAsinjc-Bcosjc, гдеА>0, В>0, пре-
преобразовать к виду С sin (x-t).
Пример 1. Преобразовать в произведение выражение
5sin*-12cos*.
Решение. Здесь А = 5, В = -12, С =-у/б2 +(-12)? =13.
Имеем: 5sin*-12cos* = 13 —sin* cos* .
Введем вспомогательный аргумент t, удовлетворяющий соотношени-
5 . 12 . 12 m
ям: cost = —, suit = —; например, t = arcsin—. Тогда
13 13 13
5 12
— sin * cos * = sin *cost-cos * sint = sin(* -1).
13 13
Окончательно получаем:
5sin*-12cos* = 13sin(*-t), гдеt = arcsin
11
13"
<¦
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
j/ = 5sin*-12cos*.
Решение. Имеем (см. пример 1): y = l3sin(x-t).
Теперь ясно, что унаим. = -13, унаи6 =13 (поскольку синус принимает зна-
значения от-1 до 1).
Ответ: у^. =-13, ути6, =13.
Пример 3. Решить уравнение 5 sin x-12cos * = 13.
Решение. В этом примере, как и в примере 2, есть смысл преобразо-
преобразовать выражение 5sin*-12cos* к виду 13sin(*-t). Получим:
x—t = — + 2лп;
где t = arcsin—(см. пример 1).
13
Ответ: х = arcsin— + — + 2лп.
13 2
125

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Здесь мы выполним данное в начале § 26 обещание: соберем все
основные формулы тригонометрии и расположим их так, чтобы
ими было удобно пользоваться. Разумеется, все эти формулы при-
применяются только при допустимых значениях аргументов.
1. Формулы, связывающие тригонометрические функции одно-
одного и того же аргумента:
l)tg* =
sinx
COS*
ctgx =
создс
sinx
2)sin2x+cos x = l;
3)l+tg2x = -
COS X
l+ctg2x = -
sin2 x
2. Формулы, связывающие функции аргументов, из которых
один вдвое больше другого:
2)cos2x=cos rc-sin x.
тё2х = ^Щ-;
.. . 2 1-cos2jc
4) sin x = ;
степени).
cos x = -
1+cos2jc
(формулы понижения
3. Формулы сложения аргументов:
1) sin(x+y) = sinxcosi/+cosjcsini/;
2) sin (x-y) = sinxcosy-cosjc siny,
3)cos(x+i/)=cosxcosi/-sinjcsini/;
4) cos (x-y) =cosxcosi/+ sinx siny;
-tgxtgy
xtgy
4. Преобразование сумм тригонометрических функций в произ-
произведения:
^cos -;
2 2
^cos -;
2 2
l)sinjc+sinu =
2)sinjc-siny =
3) cosrc+cosu=2cos cos -;
2 2
126
_ . x+y . x-y
4)cosx-cosу = -2sin sin——.
2 2
5. Преобразование произведений тригонометрических функ-
функций в суммы:
. si
1) sin x cosy =
2) cos* cos у =
3)sinJccosi/ =
cosCx+^+cosCjc-y),
2
cos(x-y)-cos(ji:+y)
6. Asinx+JBcos;c=Csin(:c+*),rfle
—,
c=Va2+b2.

Глава
ПРОИЗВОДНАЯ
Мы приступаем к изучению раздела математики, кото-
который обычно называют «Математический анализ». Естественно, что
в школе мы ограничимся изучением лишь отдельных элементов ма-
математического анализа. Это будет первое знакомство с серьезным
разделом высшей математики. Сразу попытаемся объяснить, что
здесь «анализируют». «Анализируют» довольно тонкие моменты:
как ведет себя функция не только в целом, в своей области определе-
определения (глобальный подход), но и около конкретной точки (локальный
подход). Такой анализ практически всегда связан с понятием преде-
предела (предела функции, предела последовательности). С этим поняти-
понятием мы познакомимся в § 30 и 31, а далее изучим производную —
важную математическую модель, давшую название всей главе. Пос-
Построение этой модели также основано на понятии предела.
§ 29. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1. Определение числовой последовательности
и способы ее задания
Что такое числовая последовательность и как она задается, вам
известно из курса алгебры 9-го класса. Напомним соответствую-
соответствующее определение.
Определение 1. Функцию вида у = f(x), xeN называют функцией
натурального аргумента или числовой последовательностью и
обозначают у=f{n) или у,, у2,у3 уп,...
Иногда для обозначения последовательности используется за-
запись (у„).
Последовательности можно задавать различными способами,
например словесно, когда правило задания последовательности
описано словами, без указания каких-то формул. Так, словесно за-
задается последовательность простых чисел:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
Особенно важны аналитический и рекуррентный способы зада-
задания последовательности.
128
Говорят, что последовательность задана аналитически, если
указана формула ее n-го члена.
Приведем три примера.
1) уп =п2. Это — аналитическое задание последовательности
1,4, 9,16, ...,п2, ...
Указав конкретное значение п, нетрудно найти член последова-
последовательности с соответствующим номером. Если, например, п =9, то
уд =92,т.е. уд =81;еслип = 27,тоу27 =272, т.е. у„ =729. Напротив,
если взят определенный член последовательности, можно указать
его номер. Например, если уп =625, то из уравнения п2 =625нахо-
дим, что п =25. Это значит, что 25-й член заданной последователь-
последовательности равен 625.
2) уп =С. Здесь речь идет о последовательности
С, С, С,.... С,...
Такую последовательность называют постоянной (или стационар-
стационарной).
3)уп - 2 ". Это — аналитическое задание последовательности
,?t,?t,?t,,,,,?j ,**.
Рекуррентный способ задания последовательности состоит в
том, что указывают правило, позволяющее вычислить п-й член
последовательности, если известны ее предыдущие члены. На-
Например, арифметическая прогрессия — это числовая последова-
последовательность (а„), заданная рекуррентно соотношениями:
ai =а> а„+1 =ап +d
(avid — заданные числа, d — разность арифметической прогрессии).
Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность
(Ьп), заданная рекуррентно соотношениями:
*>1 = b> bn+i =ъп -Я
(bviq — заданные числа, Ъ Ф О, q Ф 0; q — знаменатель геометрической
прогрессии). Прогрессии вы изучали в курсе алгебры 9-го класса.
2. Свойства числовых последовательностей
Числовая последовательность — частный случай числовой функ-
функции, а потому некоторые свойства функций (ограниченность, мо-
монотонность) рассматривают и для последовательностей.
Определение 2. Последовательность (уп) называют ограничен-
ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.
Иными словами, последовательность (уп) ограничена сверху, если
существует числоМ такое, что для любого л выполняется неравенство
у„<М. Число М называют верхней границей последовательности.
Например, последовательность-1, -4, -9, -16,..., —п , ... ограни-
ограничена сверху. В качестве верхней границы можно взяткчисло -1 или
любое число, которое больше, чем -1, например 0.
5 Мордкович «Алгебра, 10 кл.»
129

Определение 3. Последовательность (у„) называют ограничен-
ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа.
Иными словами, последовательность (уп) ограничена снизу, если
существует число т такое, что для любого л выполняется неравенство
уп>т.Нисло т называют нижней границей последовательности.
Например, последовательность 1, 4, 9, 16, ..., п2, ... ограничена
снизу. В качестве нижней границы можно взять число 1 или любое
число меньше 1.
Если последовательность ограничена и сверху, и снизу, то ее на-
называют ограниченной. Например, 1,—,-,-,..., —, ... Эта последо-
2 3 4 п
вательность ограничена и сверху, и снизу. В качестве верхней гра-
границы можно взять число 1, в качестве нижней границы — число 0.
Если построить график последовательности
уп =—, т.е. график функции y =—,xeN в
п х
прямоугольной системе координат, то ока-
окажется, что весь он расположен в полосе
между некоторыми горизонтальными пря-
прямыми, например, у-0, и у = 1 (рис. 97), а в
этом и состоит, как известно, геометричес-
геометрический признак ограниченности функции.
Рис. 97 Особенно наглядным становится свойст-
свойство ограниченности последовательности, если члены последова-
последовательности отметить точками на числовой прямой. Ограниченность
последовательности означает, что все члены последовательности
(точнее, соответствующие им точки прямой) принадлежат некото-
некоторому отрезку. Так, изобразив члены последовательности уп = —
п
точками на числовой прямой, замечаем, что все они принадлежат
отрезку [0, 1] (рис. 98).
i
Q
х
у 1
У п
\
И :
н
234
|
н
!
J
н
it
/-¦
L
*\
0
X
0
1
Л <
1
Л1
11
54
1 1
2
1
1
X
Рис. 98
Определение 4. Последовательность (у„) называют возрастаю-
возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего:
Л < Уг < Уъ < У4 < •¦¦< У. < Ум <•••
Например, 1, 3, 5, 7 2л -1,... — возрастающая последователь-
последовательность.
130
Определение 5. Последовательность (уп) называют убывающей,
если каждый ее член меньше предыдущего:
Ух > Уг > Уъ > У* >->У„>Уп*>-
Например, 1, —, -, -, ..., —, ... — убывающая последователь-
2 3 4 п
ность.
Возрастающие и убывающие последовательности объединяют
общим термином — монотонные последовательности.
Приведем еще несколько примеров.
1) 1, , -,—,..., (-1)" —,... Эта последовательность не яв-
2 3 4 п
ляется ни возрастающей, ни убывающей (немонотонная последо-
последовательность).
2) уп =2". Речь идет о последовательности 2, 4, 8, 16, 32, ...
Это — возрастающая последовательность.
Вообще, если о > 1, то последовательность уп =ап возрастает.
flY 1111
3) ы. = — . Речь идет о последовательности -,—,—,—,...
" {3J 3 9 27 81
Это — убывающая последовательность.
Вообще, если0 <о < 1, то последовательность уп =ап убывает.
§ 30. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1. Определение предела последовательности
Рассмотрим две числовые последовательности (уп) и (хп).
(у„):1,3, 5,7,9, ...,2п-1,...;
1111 1
"' 2 3 4 5 V
Изобразим члены этих последовательностей точками на координат-
координатной прямой (рис. 99 для (уп) и рис. 98 для (хп)). Замечаем, что члены
второй последовательности (хп) как бы « сгущаются» около точки 0, а у
первой последовательности (уп) такой «точки сгущения» нет. В подоб-
подобных случаях математики говорят так: последовательность (хп) схо-
сходится, а последовательность (уп) расходится.
(
)
1
1
I
з
1
1
с;
7
а
¦|1
X
Рис. 99
Возникает естественный вопрос: как узнать, является ли конк-
конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов за-
131

данной последовательности. Чтобы ответить на этот вопрос, введем
новый математический термин.
Определение 1. Пусть а — точка прямой, а г— положительное чис-
число. Интервал (а-г,а + г) называют окрестностью точки а (рис. 100), а
число г— радиусом окрестности.
Например, E,98, 6,02) — окрестность точки 6, причем радиус
этой окрестности равен 0,02.
Теперь мы можем ответить на постав-
поставленный выше вопрос. Но сразу уточним:
математики не любят термин «точка сгу-
сгущения для членов заданной последователь-
последовательности», они предпочитают использовать
термин «предел последовательности».
I
/ / / / s / /л
a-r
г
1
X
Рис. 100
Определение 2. Число Ъ называют пределом последователь-
последовательности (уп), если в любой заранее выбранной окрестности точки b со-
содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого
номера.
Пишут либо так: уп -> b (читают: уп стремится к Ъ или уп сходит-
сходится к Ъ), либо так: limyn =Ъ (читают: предел последовательности уп
при стремлении п к бесконечности равен Ь; но обычно слова «при
стремлении п к бесконечности» опускают).
Дадим несколько пояснений к определению 2. Пусть lim yn = Ъ.
Возьмем интервал ф -г,, Ъ + /\), т.е. окрестность точки Ъ; г, — ра-
радиус этой окрестности(т\ >0). Существует номер п,, начиная с кото-
которого вся последовательность содержится в указанной окрестности:
Уп е Ф ~г\ > Ь+г1), уп +1 е ф —г,, & + Tj), j/n ^ е ф—гх, Ъ + г,) и т.д.
А что будет, если взять интервал ф-г2, Ъ + г2), где 0 <г2 <г,, т.е.
если уменьшить радиус окрестности? Опять найдется номер пг, на-
начиная с которого вся последовательность содержится в указанной
окрестности, но этот номер будет больше, т.е. п2 >пх.
Замечание. Если число Ь — предел последовательности (yj, то, об-
образно выражаясь, окрестность точки Ь — это «ловушка» для последова-
последовательности: начиная с некоторого номера п0 эта ловушка «заглатывает» уПо
и все последующие члены последовательности. Чем «тоньше» ловушка,
т.е. чем меньшая выбирается окрестность, тем дольше «сопротивляется»
последовательность, но потом все равно «подписывает акт о капитуля-
капитуляции» — попадает в выбранную окрестность.
Пример 1. Дана последовательность (уп):
х 1 1 1 1 1.
'2' 3' 4' 5 п""
132
Доказать,что limy =0.
Решение. Возьмем любую окрестность точ-
точки 0, пусть ее радиус равен г (рис. 101). Ясно, что
всегда можно подобрать натуральное число п0
так, чтобы выполнялось неравенство — < г. Если,
1
///
-г
1 1 1 1
6 Ул' Г
III"
1 1 И
X
Рис. 101
например, г = 0,001, то в качестве и0 можно взять 1001, поскольку
1 3
<0,001; если г= , то в качестве и0 можно взять 5774, поскольку
5774
-, и т.д. Но это значит, что член последовательности уп с номером
1001
1
5774 5774'
и0, т.е. у„о, попадает в выбранную окрестность точки 0. Тем более в этой ок-
окрестности будут находиться все последующие члены заданной убывающей
последовательности —. В соответствии с определением 2 это и означает, что
п
lim~=0.
»-¦- п
<ш
Пример 2. Найтн предел последовательности:
1 1 1. J_ (V~
2' 4' 8' 16
Решение. Здесь, как и в предыдущем примере, последовательность
fiY fiY
сходится к 0: - —?0 или lim - =0.
Ы 42J
(Ш
Результат, полученный в примере 2, является частным случаем
более общего утверждения:
если \q\<l,то limq" =0.
А что будет с последовательностьюqn, если|д|>1? Пусть, напри-
например, q =2, т.е. речь идет о последовательности 2, 2\ 23, 2\ ..., 2", ...
Эта последовательность явно не имеет предела (нет «точки сгуще-
сгущения»). Вообще, справедливо утверждение:
если |д|>1, то последовательность q" расходится.
2п
Пример 3. Найти предел последовательности:
2 4 6 8 10 2и
9 _» .» _» Л» ¦•¦»
2' 3 4' 5 6
Решение. Выполним некоторые преобразования выражения
Имеем:
п+1
2п 2п + 2-2 2(п+1)-2
- — — -
П+1 П+1
п + 1
п+1 п+1
2 „ 2
¦=?—-
п + 1
133

Это значит, в частности, что
2=2__2_. 1
2 1 + 1' 3
2+Г
6 2 .
4 3+1'
4+Т
Ю_о 2
6 5+1
и т.д., а потому заданную последовательность можно переписать так:
2-2 2-2 2-2 2-2 2-2 2—2-
2' 3' 4' б* 6 п + 1' "¦
Теперь ясно, что «точкой сгущения» является 2; иными словами, пос-
последовательность сходится к числу 2:
lim = 2. /в
1 чя
А теперь обсудим результаты, полученные в примерах 1—3, с
геометрической точки зрения. Для этого построим графики после-
уп = , т. е. графики функ-
довательностей уа =—, уа — —
п 12
ции:г/ = -, xeW; у=\ - | , хеЛГ; у =
xeN.
/1
N
)
s
о.
Ч
н
1 23
м
45
-»
Рис. 102
ш
1
1
1
/
-1
1
о
/
/
У
/
0
Mi
1
>-
)
У=-3^1^
X
2J ' ' * х+1'
График первой из этих трех функций
изображен на рис. 97. Он состоит из точек с
абсциссой 1, 2, 3, 4, ..., лежащих на ветви
гиперболы у =—.
х
У второй функции аргумент х содержится
в показателе степени, поэтому такую функ-
функцию называют показательной. На рис. 102
изображен график функции
у=\ — I ,xeN. Он состоит из точек с
\2)
абсциссами 1, 2, 3, ..., лежащих на
некоторой кривой, — ее называют зкс-
понентой. Подробнее о показательной
функции и ее графике речь пойдет в
главе 7.
Осталось рассмотреть третью
функцию. Сначала надо построить
. 2х
график функции у = или, что то
х + 1
Рис. 103
же самое, у =
-2
х+1
+ 2.
134
Графиком этой функции является гипербола, которая получа-
2
ется из гиперболы у=—сдвигом на 1 влево по оси х и на 2 вверх по
X
оси у (рис. 103).
Теперь мы имеем представление о гра-
2п
фике последовательности уп =¦
-. Он сое-
1
?
у
И
м
i
1 2 3 4 5 6
|
|
X
Рис. 104
п + 1
тоит из точек с абсциссами 1, 2, 3, 4, ...,
лежащих на правой ветви гиперболы
(рис. 104).
Замечаете ли вы кое-что общее в характере
трех построенных графиков последователь-
последовательностей (см. рис. 97,102 и 104)? Смотрите: на всех трех рисунках точки
графика, по мере их ухода вправо, все ближе и ближе подходят к неко-
некоторой горизонтальной прямой: на рис. 97 — к прямой у = 0, на
рис. 102 — к прямой у = 0, на рис. 104 — к прямой у = 2. Каждую из
этих прямых называют горизонтальной асимптотой графика.
Подведем итоги. Имеем:
1) lim— =0 и прямая у = 0 является горизонтальной асимптотой
графика функции у=—;
п
2) lim — =0 и прямая у = 0 является горизонтальной асимпто-
»-Ч 2 J
той графика функции у =1 —
V2
3) lim = 2 и прямая у = 2 является горизонтальной асимпто-
:п + 1
той графика функции у =
2п_
п + 1
Вообще, равенство lim f(n) = Ъ означает, что прямая у=Ъ явля-
ется горизонтальной асимптотой графика функции y = f{n)
(рис. 105).
На практике используется еще
одно истолкование равенства
lim/(n)=&,
связанное с приближенными вычис-
вычислениями: если последовательность
уп = f(n) сходится к числу Ь, то выпол-
1
У
t
/
1
г
г-1
и
и
м
Рис. 105
135

няется приближенное равенство f(n) ~ Ъ, причем это приближен-
приближенное равенство тем точнее, чем больше п.
2. Свойства сходящихся последовательностей
Сходящиеся последовательности обладают рядом интересных
свойств. Формальные доказательства этих свойств — прерогатива
вузовского курса высшей математики. Основаны доказательства
на формализованном варианте данного выше определения 2 (этот
вариант определения — опять-таки прерогатива курса высшей ма-
математики). Мы дадим лишь формулировки свойств.
Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к
одному пределу.
Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограниченна.
Заметим, что обратное утверждение неверно: например, 1, 2, 3,
1, 2, 3,..., 1, 2, 3,... — ограниченная последовательность, но она не
сходится.
Оказывается, если последовательность не только ограниченна, но
и монотонна (убывает или возрастает), то она обязательно сходится;
это доказал в XIX в. немецкий математик Карл Вейерштрасс.
Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограничен-
ограниченна, то она сходится (теорема Вейерштрасса).
Приведем классический пример из геометрии, в котором исполь-
используется теорема Вейерштрасса. Возьмем окружность и будем после-
последовательно вписывать в нее правильные многоугольники:
4-угольник, 8-угольник, 16-угольник и т.д. Последовательность
площадей этих правильных многоугольников возрастает и ограни-
ограниченна (снизу числом 0, а сверху, например, числом, выражающим
площадь описанного около окружности квадрата). Значит, постро-
построенная последовательность сходится, ее предел принимается за пло-
площадь круга. Именно с помощью таких рассуждений и получена в
математике формула площади круга S = пг2 (установлено, что пг2 —
предел последовательности площадей вписанных в окружность ра-
радиуса г правильных многоугольников).
3. Вычисление пределов последовательностей
К установленным ранее двум важным результатам:
lim—=0; limq" =0, если|д|<1,
добавим еще один: lim С =С
Иными словами, предел стационарной последовательности
равен значению любого члена последовательности.
136
Для вычисления пределов последовательностей в более слож-
сложных случаях используются указанные соотношения и следующая
теорема.
Теорема. Если limx, =b, limyn =c,mo:
1) предел суммы равен сумме пределов:
Ит(хп+уп)=Ь + с;
1-»°° -
2) предел произведения равен произведению пределов:
3) предел частного равен частному от деления пределов:
(х Л Ъ
lim _jl =_ (но, разумеется, при дополнительных условиях:
п-*\У„ ) с
с Ф0иуп фО для любого п);
4) постоянный множитель можно вынести за знак предела:
п) = kb.
Пример 4. Найти пределы последовательностей:
Решение.а) Имеем: —у = . Применив правило « предел произведе-
п п п
ния», получим:
imD1=lim—1тД=00=0.
Лп
б) Рассуждая, как в п. а), получим: lim -у =0.
в)Имеем: limf-V)=limffc--V)=ft" Ит
Вообще, для любого натурального показателя т и любого коэф-
коэффициента k справедливо соотношение:
г) Применив правило «предел суммы», получим:
2_ б +3l=lim--lim4- + ИтЗ=0-0 + 3 = 3.
П П ) "-*-П п->°°П п->°°
Пример 5. Даны числа \ и q, такие, что Ъх фО, \q\< 1. Вычислить lim Sn,
<ш
q-l
Решение. Прежде всего воспользуемся тем, что постоянный множи-
множитель —— можно вынести за знак предела. Получим:
q-l
137

limSn = limb^l^ = lim-^(g--l) = -^
Далее воспользуемся тем, что limg"=0 и, следовательно,
lim(g" -1)=0-1 = -1. Тогда:
g-1 »->-
g-1
1-g
Ответ: lim S. =-
Пример 6. Вычислить lim
—; .
л' -4
Решение.В подобных случаях применяют искусственный прием: де-
делят и числитель, и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имею-
имеющихся степень переменной п. В данном примере разделим числитель и
знаменатель дроби почленно на п. Получим:
2п2 3 „3
Далее воспользуемся правилом «предел частного». Поскольку предел
числителя равен 2 + 0=2, а предел знаменателя равен 1-0 = 1, то предел
2 „
дроби равен - = 2.
Ответ: lim—^-—-=2.
»-»- п2-4
4. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию:
Ъх,Ъ2,Ъ3,...,Ъп,...
Будем последовательно вычислять суммы двух, трех, четырех и
т.д. членов прогрессии:
2 А г
S3 =bt+b2+b3;
St =b1+b2+b3+bi;
Sn =b1+b2+b3+...+bn.
Получилась последовательность S1, S2, S3,..., Sn,... Как всякая
числовая последовательность, она может сходиться или расхо-
расходиться. Бели последовательность Sn сходится к пределу S, то число
S называют суммой геометрической прогрессии (обратите внима-
внимание: не суммой п членов геометрической прогрессии, а суммой гео-
138
метрической прогрессии). Если же эта последовательность
расходится, то о сумме геометрической прогрессии не говорят,
хотя о сумме п членов геометрической прогрессии можно, разуме-
разумеется, говорить и в этом случае.
Предположим, что знаменатель q геометрической прогрессии
удовлетворяет неравенству \q\< 1.
Напомним формулу суммы первых п членов геометрической
ЪАа" -1)
прогрессии: если5п =fej +b2 +b3+...+bn,ToSn = .
q-l
В примере 5 мы установили, что lim S = ——. Но liiaS мы иаз-
вали выше суммой геометрической прогрессии. Таким образом, мы
доказали следующее утверждение:
Если знаменатель q геометрической прогрессии (Ь„) удовлет-
удовлетворяет неравенству \q\<l, то сумма S прогрессии вычисляется
по формуле S =——.
1-g
Пример 7. Найти сумму геометрической прогрессии:
1 1
Решение. Имеем: ft, =4,g = -. Поскольку знаменатель прогрессии
удовлетворяет неравенству |д|< 1, мы имеем право воспользоваться только
Ь, 4
что полученной формулой S = . Значит, S = т- = 8.
1-9 1_1
2
Ответ: S = 8.
Пример 8. Сумма геометрической прогрессии равна 9, а сумма квадра-
квадратов ее членов 40,5. Найти пятый член прогрессии.
Решение. Первый этап. Составление математической модели. Дана
геометрическая прогрессия: ft,, ft2, ft3 Ь„, ... со знаменателем g(|g|<l),
ft,
ее сумма вычисляется по формуле . По условию эта сумма равна 9. Та-
1-9
bi
ким образом, получаем уравнение =9.
1-g
Последовательность ft2, ft2, ft2, ..., ft2, ... также является геометричес-
геометрической прогрессией: ее первый член равен Ь\, знаменатель равен q2, а сумма
ft2
вычисляется по формуле j. По условию эта сумма равна 40,5. Таким
1-9
образом, получаем уравнение j = 40,5
139

В итоге задача сводится к решению системы уравнений относительно
переменных Ы и q:
I h
=9,
Ь\
=40,5.
Второй этап. Работа с составленной моделью.
\ Для решения системы используем метод подстановки: выразим из пер-
первого уравнения переменную ft,. Получим Ь, = 9 A - q). Подставим это выра-
выражение вместо ft, во второе уравнение системы. Получим:
«4
Далее последовательно находим:
Итак, \
^-^ = 1; 2-20 = 1 + ?;
1 + 9
ft1=9(l-0)=9fl-ij=6.
«¦?¦
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
flY 2
По условию требуется найти ft5. Имеем:&5 =ft,g4 =6 • - = —.
К3) 2"
2
Ответ: ft, =—.
5 27
§31. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
1. Предел функции на бесконечности
В § 30 мы получили следующий результат: равенство lim f(n) -b A)
означает, что прямая у = b является горизонтальной асимптотой
графика функции у =f (п) (рис. 105). Напомним, что аргумент п
принимает только натуральные значения.
Пусть теперь дана функция у =f (x), в области определения которой
содержится луч [а,+ °°), и пусть пря-
прямая у = b является горизонтальной
асимптотой графика (рис. 106) функ-
функции у =f(x). Естественно, что матема-
математики в этом случае по аналогии с
приведенным выше равенством A) ре-
решили использовать запись:
¦У
1
ь
i
/
/
/°
г
У
t
у
г
1
1
1
Та
Tj
У
= ад
¦я
Я
X
Рис. 106
(читают: предел функции у = f(x) при стремлении х к плюс беско-
бесконечности равен Ь).
Если же дана функция у - f (x), в области определения которой
содержится луч (—«>, а], и прямая у = b является горизонтальной
асимптотой графика функции у = f(x) (рис. 107), то в этом случае
используют запись:
lim f{x) = b
(читают: предел функции у = f(x) при
стремлении х к минус бесконечности
равен Ь).
Если одновременно выполняются
два соотношения:
Ит/(х)=Ь и lim f(x)=b,
Рис. 107
то можно объединить их одним соотно-
соотношением: lim f(x) - b. Но условились использовать более экономную
х-»±~
запись:
lim f(x)=b
(читают: предел функции у = /(х) при стремлении х к бесконечности
равен Ь).
аа
¦Si
J
•s
0
У
к
\
\
у-
\
л)
X
*
i
0
кУ
\
V
ь
\
>У = Ах)
X
140
Рис. 108
В этом случае прямая у = b является горизонтальной асимптотой
графика функции у - f(x) как бы с двух сторон (рис. 108).
Вычисление предела функции на бесконечности осуществляет-
осуществляется по тем же правилам, что и вычисление предела последователь-
последовательности. Приведем их (с соответствующими изменениями).
1) Для любого натурального показателя т и любого коэффици-
коэффициента k справедливо соотношение:
141

2)Если lim f(x) -b,
=c, mo
а) предел суммы равен сумме пределов:
lim(f(x)+g(x))=b+c;
б) предел произведения равен произведению пределов:
]imf(x)gix)=bc,
в) Предел частного равТн частному от деления пределов (разу-
(разумеется, при условии, что с * 0):
z-*~ g{x) с
г) постоянный множитель можно вынести за знак предела:
limkf(x) = kb.
Пример 1. Вычислить lim—= .
*-*• дг-4
Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби почленно на х2:
Ч
lim-^ — = lim *_.
*-»- xr 4 i-^. 1 _ 4
~* ~x7 x*
Осталось воспользоваться правилом «предел частного». Поскольку
предел числителя равен 2 + 0 = 2, а предел знаменателя равен 1 -0 = 1, то
2
предел дроби равен — = 2.
_ ,. 2**+3 „
Ответ: lim—; = 2.
*-*• хг -4
Замечание. Сравните только что решенный пример с примером 6 из
§ 30: все то же самое — та же идея, те же рассуждения. Отличие только
одно: там переменная п принимала лишь натуральные значения, а здесь
переменная х принимает любые действительные значения (кроме, разуме-
разумеется, значений -2 и 2, которые обращают в нуль знаменатель дроби, содер-
содержащейся под знаком предела).
2. Предел функции в точке
Рассмотрим функции, графики которых изображены на
рис. 109—111. Во всех трех случаях изображена одна и та же кри-
кривая, тем не менее это три разные функции, они отличаются друг
i
0
У
h
/
i
к
1
-f
x)
X
i
1D)
0
У
г/
С
/
I
/
/
/
v — ff'v\
X
Q
У
••
V
I
/
/ г
/
х)
X
Рис. 109
Рис. 110
Рис. 111
142
от друга своим поведением в точке х =а. Для функции у = f(x), гра-
график которой изображен на рис. 109, значение f(a) не существует,
функция в указанной точке не определена. Для функции у = f(x),
график которой изображен на рис. 110, значение f(a) существует,
но оно «неудачное», оно отлично, от, казалось бы, естественного
значения Ъ. Наконец, для функции у = f(x), график которой изоб-
изображен на рис. 111, значение f(a) существует, и оно «удачное». Если
же точку х =а исключить из рассмотрения, то все три функции бу-
будут тождественными.
Для всех трех случаев используется одна и та же запись:
lim f(x)=b
х-»а
(читаем: «предел функции у =f(x) при стремлении х к а равен Ь» ).
Содержательный смысл приведенной выше записи заключается
в следующем: если значения аргумента выбираются все ближе и
ближе к значению х =а, то значения функции все меньше и меньше
отличаются от предельного значения Ъ. Можно сказать и так: в дос-
достаточно малой окрестности точки а справедливо приближенное
равенство'.
(причем это приближенное равенство тем точнее, чем меньшая ок-
окрестность выбирается). При этом, подчеркнем еще раз, сама точка
х =а исключается из рассмотрения.
jA. теперь ответьте на вопрос: какую из рассмотренных трех фун-
кций естественно считать непрерывной в точке х=а1 Ответ очеви-
очевиден: непрерывной естественно считать третькГфункцию, которая
удовлетворяет условию
В каких случаях мы с вами до сих пор использовали понятие
«непрерывная функция» ? Мы говорили, что функция непрерывна,
если видели, что ее график представляет собой сплошную линию,
т.е. не имеет «проколов» и «скачков». На самом деле график функ-
функции изображают в виде сплошной линии (без «проколов» и «скач-
«скачков») только тогда, когда установлена непрерывность функции.
При этом функцию y = f{x) называют непрерывной в точке х = а,
если выполняется соотношение:
limf(x) = f(a).
Иными словами, функцию у = /(х) называют непрерывной в точ-
точке х=а, если предел функции y = f(x) при стремлении х к а равен
значению функции в точке х=а.
143

Функцию y = f(x) называют непрерывной на промежутке X,
если она непрерывна в каждой точке промежутка.
В курсе алгебры 7—9-го классов мы отмечали, что функции:
y-C,y = kx + m,y-ax2 + bx+c,y=\x\,y-xn, где п — натуральное чис-
число, — непрерывны на всей числовой прямой. Отмечали также, что
функция у = ых непрерывна на луче[О, + °°), а функция у = х'п (п — на-
натуральное число) непрерывна на промежутках (-°о, 0) и @, + °°), но пре-
претерпевает разрыв в точке х = 0. В главе 1, говоря о тригонометрических
функциях, мы отмечали непрерывность функций у = sinx и у=cosx на
всей числовой прямой, а также непрерывность функций
у = tg х, y=ctgxb каждом промежутке из области их определения. До
сих пор мы опирались на наглядные представления и интуицию. Мате-
Математики доказали, опираясь на определение непрерывности, что все
упомянутые утверждения верны. Так что теперь мы будем ими пользо-
пользоваться на законных основаниях.
Между прочим, математики доказали более сильное утверждение:
Если выражение f(x) составлено из рациональных, иррацио-
иррациональных, тригонометрических выражений, то функция y-f(x)
непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f (x).
Рассмотрим несколько примеров на вычисление пределов функ-
функций.
Пример 2. Вычислить: lim(x3 -2л;2 + 5х + 3).
Решение. Выражение х3 - 2х2 + 5х + 3 определено в любой точке х, в
частности, в точкех = 1. Следовательно, функцияу = х3 -2х? +5х + Знепре-
рывна в точке х = 1, а потому предел функции при стремлении хк1 равен
значению функции в точке х = 1.
Имеем: lim(x3 -2х2 + 5х + 3) = 13 -212 +5-1 + 3 = 7.
х-*\
Ответ: 7.
Пример 3. Вычислить: lim
Sinn*
Решение. Выражение /(*) = -= определено в любой точке х>0, в
V+4
о
частности, в точке х = 2. Следовательно, функция у = /(х) непрерывна в точ-
точке х = 2, а потому предел функции при стремлении х к 2 равен значению
функции в точке х =2. Имеем: И:
= 0.
^ + 4 V2+4' V2+4
Ответ: 0.
Вы заметили, наверное, что в рассмотренных примерах вычисле-
вычисление пределов не составило значительных сложностей: достаточно
было найти значение функции в точке, к которой стремится аргумент
х. Но часты случаи, когда этот прием не срабатывает.
144
Пример 4. Вычислить lim
Решение. Если подставить значение х = -3 в заданное выражение, то
и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на 0 делить нельзя. Но задан-
заданную алгебраическую дробь можно сократить:
х2-9 (х
Значит, функции у =
12
*2-9
4(х + 3)
и у =
тождественны при условии
и у
4х + 12 4
х * -3. Но (внимание!) при вычислении предела функции при х -> -3 саму
точку я; = -3 можно исключить из рассмотрения, мы об этом говорили
,. *2-9 .. х-3 -3-3 ,_
выше. Значит, hm = lim = = -1,5.
34 12 з 4 4
4 4
Ответ: -1,5.
Вернемся снова к названию раздела математики, который мы нача-
начали изучать, — математический анализ. В начале главы 4 мы отметили:
анализируют в этом разделе математики то, как ведет себя функция
около, конкретной точки. Теперь мы можем сказать точнее: в окрестнос-
окрестности конкретной точки. Именно этим мы и занимались, делая выводы о
функциях, графики которых изображены на рис. 109—111. Проведен-
Проведенный краткий анализ привел нас к понятию предела функции в точке и к
понятию непрерывности функции в точке.
Важное замечание. Теория пределов — достаточно сложный раз-
раздел математического анализа, который изучается в вузах. Наше знакомст-
знакомство с понятием предела, как вы, наверное, заметили, поверхностное,
основанное на интуиции и наглядных представлениях. Продолжая это
«шапочное» знакомство, получим один очень существенный для высшей
математики результат. При этом опять будем использовать не строгие рас-
рассуждения (нам пока это не по силам), а рассуждения, основанные на инту-
интуиции, наглядности, правдоподобии. Такие рассуждения математики
часто называют рассуждениями «на пальцах».
Возьмем числовую окружность, выберем достаточно малое
положительное значение t, отметим на окружности точку M(t) и
ее ординату, т.е. sint; t — это длина дуги AM, sint — это длина
перпендикуляра МР (рис. 112). Для доста-
достаточно малых значений t выполняется
приближенное равенство AM ~МР, т.е.
1
\
\
ч
4
0
'У
1
/
м
\
7
А
_х
sint~t, и, следовательно,
1. Напри-
мер,
sin 0,01
Рис. 112
0,01
жить, что
^11=0,84147; ^1=0,99833;
1 0,1
=0,99998. Естественно предполо-
145

,. sint
hm =1.
J-»0 J
В курсе математического анализа доказано, что это утвержде-
утверждение верно.
3. Приращение аргумента. Приращение функции
Изучая поведение функции у = f(x) около конкретной точки х0,
важно знать, как меняется значение функции при изменении зна-
значения аргумента. Для этого используются понятия приращений
аргумента и функции.
Определение 1. Пусть функция у =f(x) определена в точках х0 и х,.
Разность х, -х0 называют приращением аргумента (при переходе от
точки х0 кх,), а разность f(x,) -f(x0) называют приращением функции.
Приращение аргумента обозначают Ах (читают: «дельта икс»;
А — прописная буква греческого алфавита «дельта», а соответству-
соответствующая строчная буква пишется так: 8). Приращение функции обоз-
обозначают Ау или А/.
Итак, х, -х0 =Ах, значит, х1 =х0 +Ах
f(x1)-f(x0) = Ay(nnnAf), значит,
Ay=f(xo+Ax)-f(xn).
Пример 5. Найти приращение функции у = хг при переходе от точки
х0 = 1 к точкам: а) х = 1,1; б) х = 0,98.
Решение, а)/A)=1"=1; /A,1)=1,12 =1,21;
(),
б)/A)=1; /@,98) = 0,982 =0,9604;
Д{/ = /@,98)-/A) = 0,9604-1 = -0,0396. <Ц
Обратите внимание на полученный в примере 5 ответ: прираще-
приращение функции (как, впрочем, и приращение аргумента) может быть
и положительным, и отрицательным числом, так что не истолко-
истолковывайте термин «приращение» как «прирост».
А теперь посмотрим на определение непрерывной функции с точ-
точки зрения приращений аргумента и функции. Определение непре-
непрерывности функции в точке х =а выглядит так: lim f(x) = f(a). Здесь
х—>а
х ->а, значит, (х-а) ->0, т.е. Дж->0. При этом f(x) -> f(a), значит,
(/(*)-/(а))->0, т.е. Ai/->0.
Получаем новое истолкование понятия непрерывности функ-
функции в точке.
146
Функция у = f(x) непрерывна в точке х -а, если в точке х=а вы-
выполняется следующее условие:
если Ах -> 0, то Ау -» 0.
Пример 6. Для функции y = kx + m найти:
а) приращение функции при переходе от фиксированной точки х к точ-
точке х + Ах;
б) предел отношения приращения функции к приращению аргумента
при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
Решение, а)Имеем:
f(x)=kx + m;
f(x + Ax)=k(x + Ax)
A f( A)f()
Итак, для заданной линейной функции y=kx + m получили: Ay=k- Ax.
б) Нужно вычислить lim ——. Имеем:
Дх->0 Дх
,. Ау .. k-Ax .. , .
hm —= hm = hmft=ft.
Д0Д Дх-»о Дд; Дх-»0
Итак, для заданной линейной функции y=kx + m получили:
На рис. 113 изображен график линейной функции у - kx+m, вы-
выделена фиксированная точка графика М(х, f(x)), отмечены прираще-
приращения аргумента и функции при переходе от точки х к точке х+Ах. Чер-
теж подсказывает, что —z- — тангенс
Ах
угла между прямой у = kx + m и положи-
положительным направлением оси х, а это — уг-
угловой коэффициент прямой. Значит,
Аи
—Z- = k, что фактически и получено при
Ах
решении примера 6, но с помощью фор-
формальных преобразований.
Пример 7. Для функции у = х2 найти:
а) приращение функции при переходе от
фиксированной точки х к точке х + Ах;
б) предел отношения приращения функции к приращению аргумента
при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
Решение. а) Имеем:
/у
Si
1
о
>
у
/
п
л
/
д
р
/
X
с+
L
п
Лд
X
Рис. 113
=(х2 +2xAx+(Axf)-x2 =2xAx+(Axf.
Итак, для функции у = х* получили: Ау = 2х- Ax+(Axf.
147

б) Нужно вычислить lim
д*>0
—
Имеем: lim —= lim —— = limBx + Ах)=2х.
40Д Дх-»О Д# Д*-»0
Итак, для заданной функции у = хг получили: lim — = 2х.
При вычислении последнего предела мы учли, что х — фиксированная
точка, т.е. постоянное число, а Ах — переменная: если Дх—»0, то
<¦
' § 32. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
1. Задачи, приводящие к понятию производной
Часто бывает так, что, решая задачи, очень далекие друг от друга
по содержанию, мы приходим к одной и той же математической мо-
модели. Сила математики состоит в том, что она разрабатывает спосо-
способы оперирования с той или иной математической моделью,
которыми потом пользуются в других областях знаний. Вы умеете
работать со многими математическими моделями — уравнениями,
неравенствами, системами уравнений, системами неравенств и др. В
этом параграфе речь пойдет о принципиально новой для вас матема-
математической модели. Сначала рассмотрим две различные задачи, физи-
физическую и геометрическую, процесс решения которых как раз и
приводит к возникновению новой математической модели.
Задача 1 (о скорости движения). По прямой, на которой заданы
начало отсчета, единица измерения (метр) и направление, движется
некоторое тело (материальная точка). Закон движения задан форму-
формулой s=s (t), где t — время (в секундах), s (t) — положение тела на пря-
прямой (координата движущейся материальной точки) в момент
времени t по отношению к началу отсчета (в метрах). Найти скорость
движения тела в момент времени t (в м/с).
Решение. Предположим, что в мо-
момент времени t тело находилось в точке
М(рис. 114), пройдя путь от начала дви-
движения ОМ = s(t). Дадим аргументу t
приращение At и рассмотрим момент
времени t + At. Координата материаль-
материальной точки стала другой, тело в этот момент будет находиться в точ-
точке Р: OP = s(t + At).
Значит, за At секунд тело переместилось из точки М в точку Р,
т.е. прошло путь МР. Имеем: МР=ОР-ОМ = s(t + At)-s(t).
Полученную разность мы назвали в § 31 приращением функ-
функции: s(t+At)-s(t) = As. Итак, MP = As(u).
с
).
м
6S
f
*
Рис. 114
148
Путь As (ж) тело прошло за At секунд. Нетрудно найти среднюю
скорость иср движения тела за промежуток времени [t, t + At]:
ср. =— (М/С).
At
А что такое скорость v(t) в момент времени t (ее называют иногда
мгновенной скоростью)? Можно сказать так: это средняя скорость
движения за промежуток времени [t, t + At] при условии, что At вы-
выбирается все меньше и меньше; иными словами, при условии, что
At -» 0. Это значит, что и@ = lim и
Д(-»0
Подводя итог решению задачи 1, получаем:
Ав
1
1
\
\
I
1
\
0
V
/
7
1
/
г
н
2
X
Рис. 115
Прежде чем сформулировать вторую задачу и приступить к ее ре-
решению, обсудим вопрос, что следует понимать под касательной к
плоской кривой. Термином «касательная» мы уже пользовались (на
интуитивном уровне) в курсе алгебры
7—9-го классов. Например, мы говорили, что
парабола у = х2 касается оси х в точке х=0 или,
что то же самое, ось х является касательной к
параболе у = хг в точке х=0 (рис. 115). Иделоне
в том, что ось х и парабола имеют одну общую
точку. Ведь ось у тоже имеет с параболой у = х2
одну общую точку, однако у вас не возникнет
желания назвать ось у касательной к параболе.
Обычно касательную определяют следующим
образом.
Дана кривая L (рис. 116), на ней выбрана точка М. Возьмем еще
одну точку на кривой, причем достаточно близкую к М, — точку Р.
Проведем секущую МР. Далее будем
приближать точку Р по кривой L к
точке М. Секущая МР будет изменять
свое положение, она как бы поворачи-
поворачивается вокруг точки М. Часто бывает
так, что можно обнаружить в этом
процессе прямую, представляющую
собой некое предельное положение се-
секущей; эту прямую — предельное по-
положение секущей — называют
касательной к кривой L в точке М. Рис. 116
1
0
*
у
i
L
/,
Г/
М
Р
Л
J
'г',\ 1
, \ 1
1 1
ft/
t
/
у
<^
*-*
X
149

Поставьте эксперимент: возьмите параболу у = х2, проведите секу-
секущую ОР, где О—вершина параболы, Р — текущая точка. Возьмите точ-
точку Р поближе к О, проведите вторую секущую. Возьмите точку Р еще
ближе к О, проведите третью секущую и т.д. Вы обнаружите, что пре-
предельным положением этих секущих будет ось х — это и есть касатель-
касательная к параболе в ее вершине (что соответствует нашим интуитивным
представлениям).
Задача 2 (о касательной к графику
функции). Дан график функции
У - f(x). На нем выбрана точка
М(а; f(a)), в этой точке к графику
функции проведена касательная (мы
предполагаем, что она существует).
Найти угловой коэффициент каса-
касательной.
Решение. Дадим аргументу при-
приращение Ах и рассмотрим на графике
(рис. 117) точку Р с абсциссой а + Ах.
Ордината точки Р равна f(a + Ax) . Угловой коэффициент секу-
секущей МР, т.е. тангенс угла между секущей и осью х, вычисляется по
_Ау
Ах'
Если мы теперь устремим Ах к нулю, то точка Р начнет прибли-
приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали
как предельное положение секущей при этом приближении. Зна-
Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной
kKac будет вычисляться по формуле /екас = lim /есек
Ддг—»0
Используя приведенную выше формулу для k , получаем:
(a-
fA
i
x)
-f(a)
0
/*
У
/
/
i
(t)
1
PJf
/
a
Ax,
a+Ax
X
Рис. 117
формуле/г сек. =-Л
¦
0
у
к
«.
S
г
\
1
1
\
Г
а
X
Рис. 118
Замечание. В приведенном решении задачи 2
упущен случай, когда касательная перпендикуляр-
перпендикулярна оси абсцисс (см., например, рис. 118). Уравнение
такой прямой имеет вид х = а, об угловом коэффици-
коэффициенте говорить в этом случае некорректно, поскольку
он не существует.
Подведем итоги. Две различные задачи привели в процессе ре-
решения к одной и той же математической модели — пределу отно-
отношения приращения функции к приращению аргумента при
150
условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Многие за-
задачи физики, химии, экономики и т.д. приводят в процессе реше-
решения к такой же модели. Значит, эту математическую модель надо
специально изучить, т.е.:
а) присвоить ей новый термин;
б) ввести для нее обозначение;
в) исследовать свойства новой модели.
Этим мы и займемся в следующем пункте.
2. Определение производной
Определение 1. Пусть функция у =f(x) определена в конкретной
точкехи в некоторой ее окрестности. Дадим аргументухприращение
Дх, такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соот-
Ау
ветствующее приращение функции Дуй составим отношение —. Если
существует предел этого отношения при условии Дх -»0, то указанный
предел называют производной функции у = f(х) в точке х и обозна-
обозначают f'(x).
Итак,
Для обозначения производной часто используют символ у'.
Отметим, что j/=f'(x) — это новая функция, но, естественно,
связанная с функцией y = f(x), определенная во всех таких точках
х, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию на-
называют так: производная функции у =f(x).
В примере 6 § 31 мы доказали, что для линейной функции y~kx + m
Ay
справедливо равенство: lim—=k.
Дх->0 Дх
Это означает, что y'=k или, подробнее,
(kx + m)' =k.
В частности,
(*)'=!.
В примере 7 § 31 мы доказали, что для функции у = хг справедливо ра-
ра— =
венство lim— =2x.
Д*- Д
151

Это означает, что у'=2хили, подробнее,
(x2)' = 2x.
Рассмотренные в п. 1 задачи 1 и 2 позволяют истолковать произ-
производную с физической и геометрической точек зрения.
Физический (механический) смысл производной состоит в сле-
следующем. Если s (t) — закон прямолинейного движения тела, то
производная выражает мгновенную скорость в момент времени t:
i
0
/
Y
/
V
/
а
а
y—fl-r\
II
//
/к
1
/
/
X
Ha практике во многих отраслях
науки используется обобщение полу-
полученного равенства: если некоторый
процесс протекает по закону s =s(t),
то производная s'(t) выражает ско-
скорость протекания процесса в момент
времени t.
Геометрический смысл производ-
производной состоит в следующем. Если к гра-
графику функции y — f(x) в точке с абсциссой х=а можно провести
касательную, непараллельную оси у, то f'(a) выражает угловой ко-
коэффициент касательной (рис. 119):
Рис. 119
k=f'(a).
Поскольку k = tgoc, то верно равенство f'(a) =tg а. (рис. 119).
А теперь истолкуем определение производной с точки зрения
приближенных равенств. Пусть функция у — f(x) имеет производ-
производную в конкретной точке х:
lim^ = /'(*)•
Это означает, что в достаточно малой окрестности точки х выпол-
выполняется приближенное равенство: — = f'(x) или Ay ~ f'(x) ¦ Ах.
Ах
Содержательный смысл полученного приближенного равенства
заключается в следующем: приращение функции «почти пропор-
пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом про-
пропорциональности является значение производной (в заданной
точке х). Например, для функции у = х2 справедливо приближен-
приближенное равенство Ay
152
Если внимательно прочитать определение производной, то мы
обнаружим, что в нем заложен алгоритм отыскания производной.
Сформулируем его.
АЛГОРИТМ ОТЫСКАНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
(для функции у = f(x))
1. Зафиксировать значение х, найти f(x).
2. Дать аргументу х приращение Ах, перейти в новую точку
х + Ах, найти f(x + Ax).
3. Найти приращение функции: Ay - f(x + Ax)-f(x).
4. Составить отношение —?-.
Ах
Ау
5. Вычислить предел lim —-.
Этот предел и есть f'(x).
Пример 1. Найти производную постоянной функции у=С.
Решение. Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.
1) Для фиксированного значения х имеем: / (х) = С.
2) В точке х + Ах имеем: f(x + Ах)=С.
3)Ау=С-С=0.
Дх Дх
5) lim ^-= lim 0=0.
Дх»0 Да; Дх-»0
Ответ: (С)'=0.
Пример 2. Найти производную функции у = —.
х
Решение. Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.
1) Для фиксированного значения х (разумеется, мы полагаем, что х \
имеем: {(х) = —.
х
2) В точке х + Ах имеем: f(x + Ах)= .
х + Ах
1 1 _х-(х + Ах)_ -Ах
х + Ах х х(х + Ах) х(х + Ах)
-1
-Ах
Дл; х(х + Ах)Ах х(х + Ах)
5) lim — = lim
х2'
Ответ: I — =—^.
153

ч
ч
i
ч
0
Y
{
/
/
/
f
X
Рис. 120
-г
i
2
1
/
Y
0
2
«•>
1
X)
4
X
Если функция y = f(x) имеет производ-
производную в точке х, то ее называют дифференци-
дифференцируемой в точке х. Процедуру отыскания
производной функции y = f(x) называют
дифференцированием функции y = f(x\ Эти
термины имеют глубокий математический
смысл, но мы говорить о них не будем (нам
не хватает теоретических знаний).
Обсудим такой вопрос: как связаны
между собой те два достаточно тонких свой-
свойства функций, которые мы обсудили в этом
и в предыдущем параграфах, — непрерыв-
непрерывность и дифференцируемость функции в
точке.
Пусть функция у = f(x) дифференцируе-
дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в
точке М(х, f(x)) можно провести касатель-
касательную, причем, напомним, угловой коэффи-
Рис. 121 циент касательной равен f'(x). Но тогда
график не может «разрываться» в точке М, т.е. функция обязана
быть непрерывной в точке х.
Это были рассуждения «на пальцах». Приведем несколько более
строгие рассуждения. Если функция y = f(x) дифференцируема в точ-
точке х, то выполняется приближенное равенство Ay = f'(x)Ax. Если в
этом равенстве Ах устремить к нулю, то и Ау будет стремиться к нулю,
а это и есть условие непрерывности функции в точке (см. п. 3 в § 31).
Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и неп-
непрерывна в этой точке.
Обратное утверждение неверно. Смотрите: функция У=\х\ неп-
непрерывна везде, в частности, в точке х =0 (рис. 120), но касательной
к графику функции в «точке стыка» @; 0) не существует. Если в не-
некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную,
то в этой точке не существует производной.
А вот еще один пример. На рис. 121 изображен график кусочной
функции y-f(x), где
\--J-x, если х<0;
[¦Jx, если х>0.
Функция непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в
точке х=0. И касательная к графику функции существует в любой
точке, в том числе в точке х=0. Но в точке х=0 касательная совпа-
154
/(*) = <
0
И J
1 и
I
1
II
If
ш
|
1
s
а
/
ft
/
/
1
1
/
/
С
X
Рис. 122
дает с осью у, т.е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение име-
имеет вид х=0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не
существует и /'(О)-
Итак, мы познакомились с новым
свойством функции — дифференцируе-
мостью. Формальные определения тех
или иных свойств функции — дело, ко-
конечно, хорошее, но у нас всегда были при-
приемы «считывания информации» о
наличии того или иного свойства функ-
функции по ее графику. Например, если гра-
график был сплошным, мы говорили, что
функция непрерывна. А как по графику
сделать вывод о дифференцируемости функции?
Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к
графику функции можно провести касательную, не перпендику-
перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема.
Если в некоторой точке касательная к графику функции не су-
существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке
функция недифференцируема. Так, по графику функции, изобра-
изображенному на рис. 122, можно сделать вывод: функция непрерывна
всюду, кроме точки х =а; функция дифференцируема всюду, кро-
кроме точек х=а, х=Ъ — здесь касательная не существует, х=с —
здесь касательная параллельна оси у.
§ 33. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
1. Формулы дифференцирования
Формулами дифференцирования обычно называют формулы
для отыскания производных конкретных функций, например:
С'=0;
*'=1;
(kx+m)' =й;
(х2)'=2х-,
Вы, конечно, узнали эти формулы — они были получены нами в
§32.
Список формул дифференцирования будет постепенно попол-
пополняться. Здесь мы добавим три формулы, которые выводятся по ал-
алгоритму, приведенному в § 32. Определенные технические
трудности при этом, естественно, возникают. Поступим так: снача-
155

ла'укажем новые формулы дифференцирования, потом разберем
н^ес^олькалримеров, а в конце п. Йцокажем новые формулы.
Итак, сообщаем три формулы дифференцирования:
(sin*)' =cosjc;
(cos*)' = -sin*.
Пример 1. Найти значение производной данной функции в данной точке:
х=4; б)у = х2, х=-1; в)у =—,х=-; r)j/=Vx, х=4;
X
fl){/ = sinx, x=0; e)j/=cosx, x=^.
6
Решение, а) Имеем: (Зх + 5)'= 3, значит, производная равна 3 в любой
точке х, в частности, в заданной точке х =4.
Итак, производная функции у = 3х + 5в точке х =4 равна 3; на матема-
математическом языке это удобнее записывать так: f'D)=3.
б) Имеем: (я*)'=2х, значит, f(-l) = 2(-l) = -2.
в) Имеем: | — ) = —j, значит, f'\ — |=- г г =-4.
г- ' 1 11
г) Имеем: (Vx) = —у=, значит, ГD) = —т= = -.
д) Имеем: (sin x)'=cosx, значит, /;'@)=cos0 = l.
е) Имеем: (cos x)' =-sin x, значит, f'\ — =-sin—= —.
\ 6) 6 2
<¦
к,
f
/
у
к
/
Q
|
>
>
/
v=sinx
ч
к
X
Рис. 123
Важное замечание. Когда в
главе 1 мы строили график функции
у = sin х, то обратили ваше внимание
на следующее обстоятельство: из на-
начала координат синусоида выходит
как бы под углом 45° (рис. 123). И
там же сознались: почему это так,
мы пока объяснить вам не можем,
соответствующий разговор будет
позднее. «Момент истины» насту-
наступил.
Мы только что видели, что для функции j/ = sin;c выполняется
равенство: /'@) -1. /'@) в данном случае — это угловой коэффици-
коэффициент касательной к графику функции у = sin* в точке х =0. Если уг-
угловой коэффициент прямой равен 1, то прямая образует с
положительным направлением оси х угол 45°. Это обстоятельство и
учитывается при построении графика функции у - sin х.
156
Пример 2. Составить уравнение касательной к графику функции у = х2
в точке х = 1.
Решение. Уравнение касательной, как уравнение всякой прямой,
имеет вид y=kx + m. Найдем сначала k — это угловой коэффициент каса-
касательной, который, как мы знаем, равен /'(!)•
Имеем: (х2)'=2х, значит, f(l) = 21=2.
Итак, ft = 2, т.е. уравнение касательной надо искать в виде у = 2х + т.
Осталось найти значение коэффициента т. Для
этого воспользуемся тем, что касательная проходит
через точку на параболе у = х2 с абсциссой х = 1, т.е.
через точку A; 1). Имеем:
П 1
Итак, уравнение касательной имеет вид у = 2х -1.
На рис. 124 изображена парабола у = х? и построена
прямая у = 2х-1; чертеж наглядно демонстрирует,
что эта прямая касается параболы в точке A; 1).
Ответ: у = 2х-1.
1
1
\
\
\
1
1
i
\
0
i
_,„
V
2
1/
Мм
У"
ж
г\
Т\ 1
•1,4
7
V
{
1
f
ч
X
Рис. 124
А теперь выполним данное выше обещание: выведем новые фор-
формулы дифференцирования.
Найдем производную функции у = -/х.
Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.
1) Для фиксированного значения х (разумеется, мы полагаем,
что х > 0) имеем: f{x) = V*.
2) В точке х+ Ах имеем: f(x+ Ах)=л1х + Ах.
3) Ау - f(x+Ax) - f(x) = Jx + Ax - 4х.
.. Ay \lx+Ax-y[x „
4) —- = . Здесь полезно применить искусственный
Ах Ах
прием: домножить и числитель, и знаменатель дроби на выраже-
выражение \1х + Ах + у/х. Что это даст? В числителе мы получим «разность
квадратов»: (\lx + AxJ -(VxJ, т.е. (х + Ах)-х или Ах, а сама дробь
Дх 1
примет вид:
Итак, — =
А
, т.е.
5) lim — = lim
дод ао
Таким образом, (Vx)'=
2Vx
В процессе рассуждений мы воспользовались тем, что если
Ах -» 0, то х + Ах -» х и л/х + Ах -» Vx •
157

Найдем производную функции у = sinx.
Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.
1) Для фиксированного значения х имеем: f(x) = sinx.
2) В точке х+Ах имеем: f(x+Ах) = sin(x+Ax).
3) &y = f(x+Ax)-f(x) = sin(x+Ax)-smx. Преобразуем получен-
полученное выражение, воспользовавшись формулой «разность синусов»
о / q I f
cos ):
2
(sins-sin* =2sin
sm(x+Ax)-Smx=2Sin{X+Ax)-XcoS{x+Ax)+x
2 2
_ Ах 2лг + Дх . Ax { Ax
=2 sin—cos =2 sin—cos x+ —
2 2 2^2
„ . Ax ( Ax
2sin—cos x+—
2 2
¦. В правой части полученного равенс-
три раза содержится выражение —.
2
Есть смысл обозначить его буквой t. Получим: — -sin* cos(*+0
Ад; t
Ах Ах
тва — обратите внимание
А далее рассуждаем так: Ах -»0, a t - —, значит, t -» О и под зна-
знаком предела вместо условия Ах -»0 можно записать условие t -»0.
Таким образом,
.. Ay sin?cos(;c + ?) sint
ilm~r~ =lim =lim limcos(x+t).
Получили произведение пределов. Первый предел равен 1 (см.
п. 2 § 31). А второй предел равен cos*. В итоге получаем cosx.
Итак,
(sin х)' - cos х. ф
Аналогично выводится формула
2. Правила дифференцирования
Здесь речь пойдет о правилах нахождения производных суммы,
произведения, частного функций. Приведем эти правила.
Правило 1. Если функции y = f(x)uy = g(x) имеют производную в
точке х, то и их сумма имеет производную в точке х, причем про-
производная суммы равна сумме производных:
158
На практике это правило формулируют короче: производная
суммы равна сумме производных. При этом речь может идти о диф-
дифференцировании суммы любого числа функций.
Например, (х2 +sinx)' =(x2)'+(sinx)' =2x+cos;c.
Правило 2. Если функция у - f(x) имеет производную в точке х,
то и функция y = k f(x) имеет производную в точке х, причем:
(k/(x))'=kf'(x).
На практике это правило формулируют короче: постоянный
множитель можно вынести за знак производной.
Например,
совдЛ 1. ., 1. . . 1 .
=—(cosx) =—(-sinx)=-
3 J 3 3 3
Правило 3. Если функции y=f(x) и у =g(x) имеют производную
в точке х, то и их произведение имеет производную в точке х, при-
причем:
(/(*) ?(*))' = /'(*) g(x)+f(x) g\x).
На практике это правило формулируют так: производная произ-
произведения двух функций равна сумме двух слагаемых. Первое слагае-
слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую
функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции
на производную второй функции.
Например: (Bx+3)sin;c)' =Bx+3)'sin;c-i-B;c+3) (sinx)' =
=2 sin x+B x+3)cos x.
Правило 4. Если функции у = f(x) uy=g(x) имеют производную в
f(x)
точке х, причем в этой точке g(x)*Q, то и частное ^-^- имеет про-
g(x)
g(x)
изводную в точке х, причем:
Г fix) } _f'(x)g(x)-f(x)g'(x)
Например,
E-4*)
E-4*)
159

Дальнейший план изложения материала в этом пункте будет та-
таким. Сначала мы выведем первые два правила дифференцирова-
дифференцирования — это сравнительно нетрудно. Затем рассмотрим ряд примеров
на использование правил и формул дифференцирования, чтобы вы
к ним привыкли. В самом конце пункта мы приведем доказа-
доказательство третьего правила дифференцирования — для тех, кому
это интересно.
Выведем правило дифференцирования функции у = f(x) + g(x).
Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.
1) Положим, ради удобства, f(x) + g(x) = h{x). Для фиксированно-
фиксированного значения х имеем: h(x) = f(x) + g(x).
2) В точке х + Ах имеем: h(x+Ax) = f(x+Ax) + g(x+Ax).
=(f(x+Ax)-f(x))+(g(x+Ax)-g(x))=Af + Ag.
Итак, Ay = Af + Ag.
Ay _Af + Ag ^
Ay _
Ax
Ax
Af | Ag
Ax Ax
(/(ж)+ в(х))'= /'(*) + *'(*)• •
Выведем правило дифференцирования функции у = k f(x).
Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.
1) Положим, ради удобства, kf(x) = h(x). Для фиксированного
значения х имеем: Л(х) = kf(x).
2) В точке х+Ах имеем: h(x+Ax) = kf(x+Ax).
= k(f(x+Ax)-f(x)) =
Итак,
Ay = kAf.
Ах Ах
Ах
Дх-»0
Получим (kf(x))' = k f'(x).
Пример 3. Найти производную функции у=3х2 -4х + 2.
Решение. Имеем:
Мы воспользовались первым и вторым правилами, а также формулами
дифференцирования линейной функции у = -4х + 2 и функции у = хг.
Ответ: j/'=6x-4.
160
Пример 4. Найти производные функций: а) у = х3; б)у = х4; в)у = х5.
Решение, а) Представим х3 в виде х2 ¦ х и применим правило диффе-
дифференцирования произведения. Получим:
(х3)'=(хг х)'=(х2)'-х+х2 (х)'=2х x + x2l=3x2.
Итак,
(х3)'=3х\
б) Представим х* в виде х3 ¦ х и применим правило дифференцирования
произведения. Получим:
(х*)'=(х3 х)' =(х3)' х+ х3 (х)' = 3хг х+ х3 Л=±х3.
Итак, (х4)'=4х3.
в) Представим х5 в виде х* ¦ х и применим правило дифференцирования
произведения. Получим:
(х5)'=(х4-х)'=(х4)' х+х4(х)'=4х3 х + х*Л = Ъх*.
Итак, (хъ)' = Ъх*.
Ответ: а)(х3)'=3х2; б)(х4)'=4х3; в)(х5)' = 5х4.
А теперь сравним пять формул: две формулы, которые мы знали
раньше, и те три формулы, которые мы вывели в примере 4. Смот-
Смотрите:
х' = 1;
(х2)'=2х;
(х3)'=3х2;
(х5)'=5х4.
Возникает естественная гипотеза: для любого натурального по-
показателя п справедлива формула дифференцирования:
(*")'= пх"
A)
Важное замечание. «Естественная гипотеза» — это стилис-
стилистический оборот из области интуиции. Интуиция хороша для отк-
открытия новых фактов, но не для их обоснования. Формулу A) мы
«прочувствовали», но строго не обосновали. Приведем (для интере-
интересующихся) строгое доказательство.
Мы знаем, что х'= 1. Эту формулу можно переписать в виде
(х1)' = 1х°. Значит, формула A) верна для п =1.
Предположим, что формула A) верна для натурального числа
n = k, т.е. предположим, что верно равенство: (хк)' = kхк~1. Дока-
Докажем, что тогда формула A) верна и для следующего натурального
числап = й + 1, т.е. докажем, что(х**1)' =(fe + l)x*.
В самом деле имеем:
(xw)'=(** хУ=(хкУ-х+х" \x)' = kx"-x х+х" l=(fe + l)x*.
Итак, для п = 1 формула A) верна — это мы проверили. Далее,
мы доказали, что если формула A) верна для п = k, то она верна и
для п = к + L Воспользуемся этим: формула A) верна для п = 1, зна-
6 Мордкович «Алгебра, 10 кл.»
161

чит, она верна и для следующего числа п = 2; так как она верна для
п =2, то она верна и для следующего числа п =3и т.д. Значит, фор-
формула A) верна для любого натурального числа п. •
Использованный здесь метод рассуждения носит в математике
название метод математической индукции.
Пользуясь формулой A) и соответствующими правилами диф-
дифференцирования, можно найти производную любого многочлена.
Пример 5. Найти точки, в которых касательная к графику функции
у = х3 -Зх + 2 параллельна оси х.
Решение. Имеем: у'=(х3 -3* + 2)'=3х2 -3.
Если касательная параллельна оси х, то ее уг-
угловой коэффициент равен нулю. Но, с другой
стороны, угловой коэффициент касательной ра-
равен значению производной в абсциссе точки ка-
касания. Значит, нам нужно найти точки, в
которых производная обращается в нуль. Име-
Имеем: Зх2 -3=0; находим: х1 =1,х2 =-1.
) = 13-3 1 + 2 = 0;
1
/
/
I
I
2I-1
I
|У
4
\
1
V
\
Ы
1
|
1
1
/
у
\
X
Рис. 125
Далее,
Итак, касательная, проведенная к графику
функции у = х3 -Зх + 2в точке A; 0)или в точке
(-1; 4), будет параллельна оси х. На рис. 125
дана геометрическая иллюстрация полученного результата — построен
график функции у=х3-Зх+2. При этом мы учли, что /(-2)=0, т.е. график
пересекает ось абсцисс в точке х = -2. (Ш
Пример 6. Найти производные функций: а) у = tg х; б) у = ctg x.
sinx
Решение, а) Воспользуемся тем, что tgx = -
cos л;
ренцирования частного. Получим:
,fsin:e^ _(sinx)'cosx-sinx(cosx)'_
(tgx) —I ~г
^cos:cj cos x
cosxcosx-sinx(-sinx)_cos2x + sin2 x _
, и правилом диффе-
диффеcos2 x cos2 x cos2 x
Таким образом, мы вывели еще одну формулу дифференцирования:
Понятно, что эта формула справедлива лишь при допустимых значени-
л
ях.х, т.е. при хф — + яп.
2
б) Рассуждая аналогично (советуем вам выполнить соответствующие
рассуждения), получим:
162
<¦
В математике наряду с прямой задачей часто решают обратную.
До сих пор мы говорили о том, как по функции найти ее производ-
производную. Но часто бывает так, что известна производная, а найти нуж-
нужно саму функцию. Если, например, известно, что f'(x) =cosac, то
f(x) = sinx; в самом деле, производная от sin x равна cos x. Если
х3
известно, что f'(x) = x2, то нетрудно догадаться, что f(x)=—; в са-
3
мом деле, |
Далее в § 37 мы подробнее поговорим о решении обратных задач,
т.е. о том, как, зная производную функции, найти саму функцию.
Завершая этот пункт, выполним данное выше обещание, выве-
выведем правило дифференцирования произведения, т.е. функции
y = f(x)g(x).
Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.
1) Положим, ради удобства, f(x)g(x) = h(x). Для фиксированного
значения х имеем: h(x) = f(x)g(x).
2) В точке х+Ах имеем: h(x+Ax) = f(x+Ax)g(x+ Ax) =
=(ftx) + Af) (g(x)+Ag) = f(x)g(x) + Afg(x) + f(x)Ag+AfAg.
3) Ay = h(x+ Ax)-h(x) =(f(x)g(x) + Afg(x) + f(x)Ag+ AfAg) -
-nx)g(x) = Afg(x) + f(x)Ag+AfAg.
Ax Ax
д*-»0 Ах д*-»0! Ах Ах ДхДх
= f'(x)g(x)+g'(x)f(x) + f'(x)g'(xH = f'(x)g(x)+f(xyg'(x).
Итак,
(f(x)g(x)) = f(x) g(x)+f(x)g'(x). •
3. Дифференцирование функции у = f(kx+m)
Мы знаем, чему равны производные функций: у = хп, y = sinx,
y=cosx, y = tgx, у = -Jx. Нередко на практике приходится находить
производные функций у = sin2x, i/=cos| 3-— |ит.д. Возникает воп-
(;¦¦¦¦¦
163

рос: если мы знаем, чему равна производная функции y = f(x), то
как вычислить производную функции у = fikx+mfl
С функцией i/ = sin2* можно поступить так. Известно, что
sin2* = 2sin* cos*. Тогда:
(sin2*)' =B sin* cos*)' =2((sin*)'cos*+sin*(cos*)') =
= 2(cos*cos*+sin*(-sin*))=2(cos2 *-sin2 *)=2cos2*.
Воспользовавшись правилом дифференцирования произведе-
произведения и правилом вынесения постоянного множителя за знак произ-
производной, а также формулами синуса и косинуса двойного
аргумента, мы доказали, что
(sin2*)'=2cos2*.
Хорошо, скажете вы, а как быть с производной функций
i/ = sin3*, i/=cos4*? Неужели каждый раз придется применять со-
соответствующие формулы тригонометрии? Отвечаем: не придется.
Обратите внимание на выведенную формулу. Чем она отличается
от формулы дифференцирования функции i/ = sin*? Только тем,
что появился дополнительный множитель 2, да в роли аргумента
выступает не *, а 2*. Точно так же будет обстоять дело и в других
аналогичных случаях: используется известная формула дифферен-
дифференцирования и появляется дополнительный множитель, равный ко-
коэффициенту при *. Например, справедливы следующие формулы:
(cos4*)' = -4- sin4x;
(sin3*)'=3cos3*;
1
хЛ 1
t82 ПГ
2 X
COS —
(B*+1M) =2 5B*+1L =10B*+1L.
Вообще, справедливо следующее утверждение.
Теорема. Производная функции у= f(kx+m) вычисляется по
формуле
(f(kx+m))'=kf'(kx+m).
Доказательство теоремы приведем после решения примера.
Пример 7. Найти значение производной функции y = f(x), где
=j7-2,16л: , вточкех = 1.
Решение. Сначала найдем производную в произвольной точке х. Из-
Известно, 4to(Vx)'=—т=-По этой формуле найдем интересующую нас произ-
2-Jx
164
водную, но при этом учтем два обстоятельства: 1) под знаком корня
напишем не х, а 7 - 2,16х; 2) укажем дополнительный множитель, равный
-2,16, — это коэффициент при х. Таким образом,
1
(V7-2,16л: )'=-2,16 ,
2V7-2.16X
Чтобы вычислить /'A), в полученное выражение подставим х = 1:
1 „.„ 1 2,16 27
55"
, =-2,16- ,
2 ./7-2,16 2Д84
4,4
27
Ответ: /'A)=-—.
55
Завершая этот параграф, докажем сформулированную выше тео-
теорему.
Введем обозначение t =kx+m и заметим,,что если аргументу *
придать приращение Д*, то переменная t получит приращение
k ¦ Ах. В самом деле,
At =(k(x+Ax)+m)-(kx+m) = k- Ax.
А теперь применим известный алгоритм из пяти шагов для
отыскания производной.
1) Положим, ради удобства, f(kx+m) = h(x). Для фиксированно-
фиксированного значения * имеем: Л(*) = f(kx+m) = f(t).
2) В точке *+ Д* имеем: Л(*+Д*) = f(k(x+Ax) + т) =
(k kA) f( A)
= h(x+Ax)-h(x) =
Ay _ fl* + АО - АО = *(/(* +Afl-/@) _*(/(* +А*)-/(О)
Д* Д* к-Ах At
Итак, (f(kx+m))' = kf(kx+m). •
§ 34. УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ
В § 32 говорилось о том, что если точка М (а; /(а)) принадлежит
графику функции у - /(*) и если в этой точке к графику функции
можно провести касательную, не перпендикулярную к оси абс-
абсцисс, то угловой коэффициент касательной равен f'(q). Мы этим
уже несколько раз пользовались. Например, в § 33 было установле-
установлено, что график функции у = вт*(синусоида) в начале координат об-
образует с осью абсцисс угол 45° (точнее, касательная к графику в
начале координат составляет с положительным направлением оси
* угол 45°), а в примере 5 § 33 были найдены точки на графике за-
165

данной функции, в которых касательная параллельна оси абсцисс.
В примере 2 § 33 было составлено уравнение касательной к графи-
графику функции у = хг в точке х-1 (точнее, в точке A; 1), но чаще ука-
указывают только значение абсциссы, полагая, что если значение
абсциссы известно, то значение ординаты можно найти из уравне-
уравнения у = f(x)). В этом^параграфе мы выработаем алгоритм составле^
ния^уравнения касательной-к графику любой функции.
Пусть даны функция у = f(x) и точка М (a; f(a)), a также извест-
известно, что существует f\a). Составим уравнение касательной к графи-
графику заданной функции в заданной точке. Это уравнение, как
уравнение любой прямой, не параллельной оси ординат, имеет вид
y = kx+m, поэтому задача состоит в отыскании значений коэффи-
коэффициентов km. т.
С угловым коэффициентом k проблем нет: мы знаем, что
k - f'(a). Для вычисления значения т воспользуемся тем, что иско-
искомая прямая проходит через точку М(а; f (а)). Это значит, что, если
подставить координаты точки М в уравнение прямой, получим
верное равенство: /(a) = ka+m, откуда находим, что т = f(a) - ka.
Осталось подставить найденные значения коэффициентов кит
в уравнение прямой:
y = kx+m;
y = kx+(№-ka);
y = f(a)+k(x-a);
y=f(a)+f'(a) (x±a).
A)
Нами получено уравнение касательной к графику функции
y = f(x)e точке х=а.
Если, скажем, у = х2 и х= 1 (т.е. а = 1), то/(а) = /A) = 12 =1;
f\x) = 2х, значит, f'(d) = f A) = 2 • 1 = 2.
Подставив в уравнение A) найденные значения о = 1, f(a) = 1
f'(a) = 2, получим: у = 1+2(х-1), т.е. у = 2х-1.
Сравните этот результат с тем, что был получен в примере 2 из
§ 33. Естественно, получилось то же самое.
Составим уравнение касательной к графику функции у = tg x в
начале координат. Имеем: а = 0, /(O) = tgO=O; f'(x)= -—.значит,
cos х
f'(O) = l. Подставив в уравнение A) найденные значения
а=0, f(a)=O, f\a) = 1, получим: у=х.
166
Именно поэтому мы и провели тангенсоиду в § 15 (см. рис. 62)
через начало координат под углом 45° к оси абсцисс.
Решая эти достаточно простые примеры, мы фактически поль-
пользовались определенным алгоритмом, который заложен в формуле
A). Сделаем этот алгоритм явным.
АЛГОРИТМ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ
/ Of- Ц К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ у = f(x)
1) Обозначить абсциссу точки касания буквой а.
2) Вычислить f (а).
3) Найти f(x) и вычислить f{a).
А) Подставить найденные числа a, f(a), f (а) в формулу A).
Пример 1. Составить уравнение касательной к графику функции у = — в
точке х = 1.
Решение. Воспользуемся алгоритмом,
учитывая, что в данном примере f(x) =—.
х
1
2s
1-
0
\
У
\
1
V
1
S
у
Ч
X
г=2-х
1 / 1
—-j5 f(a) = f (l) = --7 = -l.
XT 1
4) Подставим найденные три числа: а = 1,
/(а) = 1, /'(а) = -1 в формулу A). Получим: Рис 12q
у = 1-(х-1), у = 2-х.
На рис. 126 изображена гипербола у = — , построена прямая у=2-х.
х
Чертеж подтверждает приведенные выкладки: действительно, прямая
у = 2 - х касается гиперболы в точке A; 1).
Ответ: у =2-х.
х3
Пример 2. К графику функции у = — провести касательную так, чтобы
о
она была параллельна прямой у =4х - 5.
Решение. Уточним формулировку задачи. Требование «провести ка-
касательную» обычно означает «составить уравнение касательной». Это ло-
логично, ибо если человек смог составить уравнение касательной, то вряд ли
он будет испытывать затруднения с построением на координатной плос-
плоскости прямой по ее уравнению.
Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной, учи-
учитывая, что в данном примере f(x) = —. Но в отличие от предыдущего при-
о
мера здесь имеется неясность: не указана явно абсцисса точки касания.
Начнем рассуждать так. Искомая касательная должна быть парал-
параллельна прямой у = 4х-5. Две прямые параллельны тогда и только тогда,
когда равны их угловые коэффициенты. Значит, угловой коэффициент ка-
касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой:
167

fcKM = 4. Ho fe«Jt= /'(a). Таким образом, значение а мы можем найти из урав-
уравнения f (а) = 4.
Имеем:/'(*)= — = --Зх2=х2; /'(а)=а2.
Из уравнения/'(а) =4, т.е. a2 =4 находима! =2, Oj =-2. Значит, имеют-
имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абс-
абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.
Теперь можно действовать по алгоритму.
l)Oi=2, a2=-2.
,_23_8. Л„,_(K__8
'"I!1 f(Ch)—3 з"
= /'(о2)=4.
Q
4) Подставив значения a, = 2, /(at) = -, /'(a!) = 4 в формулу A), полу-
8 л, оч а 16
- + 4(х-2), и=4х .
3 3
о
Подставив значения 02=2, f(a2) =—, /'(О2)=4 в формулу A), полу-
3
8 16
л:у = — + 4(х + 2), у=4хн .
3 3
_ . 16 . 16
Ответ: у=4х , у=Ахл .
3 3
Пример 3. Из точки @; 1) провести касательную к графику функции
Решение. Воспользуемся алгоритмом составления уравнения каса-
касательной, учитывая, что в данном примере f(x) = 4x. Заметим, что и здесь,
как в примере 2, не указана явно абсцисса точки касания. Тем не менее
действуем по алгоритму.
1) Пусть х = а — абсцисса точки касания; ясно, что а >0.
V
~2Va"
4) Подставив значения a, f(a) = 4a, /'(a) = ^-7= в формулу A), получим:
1
у = .
24а
х 4а
(x-a);
B)
По условию касательная проходит через точку @; 1). Подставив в урав-
\ а I—
нение B) значения х = 0, у = 1, получим: 1 = , и далее Va =2, a =4.
Как видите, в этом примере только на четвертом шаге алгоритма нам
удалось найти абсциссу точки касания. Подставив значение a =4 в уравне-
уравнение B), получим:
х *
168
На рис. 127 представлена геометрическая ил-
иллюстрация рассмотренного примера: построен
график функции у = 4х, проведена прямая
у = —1-1, выделена точка касания D; 2).
4
Ответ: у = — +1.
4
В § 32 мы отметили, что для функции
y = f(x), имеющей производную в фиксиро- Рис.127
ванной точке х, справедливо приближенное равенство:
Ду = /'(*) Л*>
или, подробнее,
1
2
1
0
У
«¦•
f
«¦<
А
У =
X
- + 1
4
S3
w = V
Ь
X
X
Для удобства дальнейших рассуждений изменим обозначения:
вместо х будем писать а, вместо х+Добудем писать х и соответст-
соответственно вместо Ах будем писать х-а. Тогда написанное выше прибли-
приближенное равенство примет вид:
или
f'(a)(x-a).
C)
А теперь взгляните на рис. 128. К графику функции у = f(x) про-
проведена касательная в точке M(a;f (a)). Отмечена точка х на оси абс-
абсцисс близко от а. Ясно, что f(x) — ордината графика функции в ука-
указанной точке х. А что такое
/(а) + /'(а)(ж-а)? Это ордината каса-
касательной, соответствующая той же
точке х — см. формулу A). В чем же
смысл приближенного равенства C)? В
том, что для вычисления приближен-
приближенного значения функции берут значение
ординаты касательной.
Пример 4. Найти приближенное значе- рис. 128
ние числового выражения 1,027.
Решение. Речь идет об отыскании значения функции у = х7 в точке
х = 1,02. Воспользуемся формулой C), учтя, что в данном примере
f(x)=x\ o = l, /(a) = /(l) = l; x = l,02, f'(x) = 7xe и, следовательно,
/'(а) = /'A) = 716=7.
В итоге получаем:
1.027 =1 + 7 0,02, т.е. 1,027=1,14.
Если мы воспользуемся калькулятором, то получим:
1,027= 1,148685667...
Как видите, точность приближения вполне приемлема.
Ответ: 1,027 = 1,14.
4
ад
0
Y
i
.
0
If
y = f
X)
-р"ХА
- -Г -V 1
fln\ л. fie
X
t){x-a)
169

§ 35. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ
НА МОНОТОННОСТЬ И ЭКСТРЕМУМЫ
1. Исследование функций на монотонность
На рис. 129 представлен график некоторой возрастающей диф-
дифференцируемой функции у = f(x). Проведем касательные к графику
в точках х = х, и х = х,
t
<(
0
У
s
/
_
к
Л
?
X,
'т
1
1
1
/
г
/
i
у-
?
¦С
п-
/
_
*)
X
Общее то, что
эе они составляют с осью х острый
угол, а значит, у обеих прямых поло-
положительный угловой коэффициент. Но
угловой коэффициент касательной ра-
равен значению производной в абсциссе
точки касания. Таким образом,
f'(xl) >0 и f\x2) >0. А в точке х =х3 ка-
касательная параллельна оси х, в этой
точке выполняется равенство
f'(x3)=O. Вообще в любой точке х из
области определения возрастающей
дифференцируемой функции выполняется неравенство
П*)>о.
На рис. 130 представлен график некоторой убывающей диффе-
дифференцируемой функции y = f(x\ Прове-
Проведем касательные к графику в точках
обг
Рис. 129
s
0
У
1
\
IV
1 V
—1—
1
1
1
г.
V
^-
Ч
X.
V
т
х^
С
y=rtx
X
Х= X,
и
Х= X,
1то
построенных прямых? Общее то, что
обе они составляют с осью х тупой
угол, а значит, у обеих прямых отри-
отрицательный угловой коэффициент. Но
угловой коэффициент касательной ра-
равен значению производной в абсциссе
точки касания. Таким образом,
1\хх) < 0 и f\x2) < 0. А в точке х=х3 ка-
Рис. 130
сательная параллельна оси х, в этой
точке выполняется равенство f\x3) =0. Вообще в любой точке х из
области определения убывающей дифференцируемой функции вы-
выполняется неравенство
Эти рассуждения показывают, что между характером монотон-
монотонности функции и знаком ее производной есть определенная связь:
170
если функция возрастает на промежутке и имеет на нем произ-
производную, то производная неотрицательна; если функция убывает
на промежутке и имеет на нем производную, то производная не-
неположительна.
Для практики гораздо важнее то, что верны и обратные теоре-
теоремы, показывающие, как по знаку производной можно установить
характер монотонности функции на промежутке. При этом, во из-
избежание недоразумений, берут только открытые промежутки, т.е.
интервалы или открытые лучи. Дело в том, что для функции, опре-
определенной на отрезке [а, Щ, не очень корректно ставить вопрос о су-
существовании и о значении производной в концевой точке (в точке
х- а или в точке х= Ъ), поскольку в точке х= а приращение
аргумента может быть только положительным, а в точке х = Ъ —
только отрицательным. В определении производной такие ограни-
ограничения не предусмотрены.
Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка X
выполняется неравенство f'(x)>0 (причем уравнение f(x) = O
имеет лишь конечное множество корней), то функция y=f(x)
возрастает на промежутке X.
Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка X
выполняется неравенство f'(x)<0 (причем уравнение f'(x)=O
имеет лишь конечное множество корней), то функция y=f(x)
убывает на промежутке X.
Доказательства этих теорем проводят обычно в курсе высшей
математики. Мы ограничимся проведенными выше рассуждения-
рассуждениями «на пальцах» и для вящей убедительности дадим еще физичес-
физическое истолкование сформулированных теорем.
Пусть по прямой движется материальная точка, s = s(t) — закон
движения. Если скорость все время положительна, то точка посто-
постоянно удаляется от начала отсчета, т.е. функция s = s(t) возрастает.
Если же скорость все время отрицательна, то точка постоянно
приближается к началу отсчета, т.е. функция s = s(t)убывает. Если
скорость движения была положительна, затем в какой-то отдель-
отдельный момент времени обратилась в нуль, а потом снова стала поло-
положительной, то движущееся тело в указанный момент времени как
бы притормаживает, но все равно продолжает удаляться от началь-
начальной точки. Так что и в этом случае функция s = s(t) возрастает. А что
такое скорость? Это производная пути по времени. Значит, от зна-
знака производной (скорости) зависит характер монотонности функ-
функции — в данном случае функции s = s(t). Об этом как раз и говорят
обе сформулированные теоремы.
171

Пример 1. Доказать, что функция у = хь + 2х3 -4 возрастает на всей чис-
числовой прямой.
Решение. Найдем производную заданной функции:
/' 4\
/(х) 5х+6*\
Очевидно, что при всех х выполняется неравенство 5х4 +6х2>0. Зна-
Значит, по теореме 1, функция возрастает на всей числовой прямой. (Ш
Пример 2. а) Доказать, что функция у = 5cos х + sin4x - 10х убывает на
всей числовой прямой;
б) решить уравнение 5cos х + sin4x - 10х = х3 + 5.
Решение, а) Найдем производную заданной функции:
/'
/(x) 5sinx + 4cos4x10.
Полученное выражение всегда отрицательно. В самом деле, для всех
значений х выполняются неравенства:
-5sinx <5
4cos4x <4
-5sinx+4cos4x <9.
Значит, -5 sin x + 4cos 4х -10 < -1.
Тем более -5sinx + 4cos4x-10<0. Это неравенство выполняется при
всех значениях х. Значит, по теореме 2, функция убывает на всей числовой
прямой.
б) Рассмотрим уравнение 5cos х + sin4ж -10х = х3 +5.
Как было установлено только что, j/ = 5cosx + sin4x-10x — убываю-
убывающая функция. В то же время у = х3 + 5 — возрас-
возрастающая функция. Имеет место следующее
утверждение: если одна из функций y = f(x)unu
y = g(x) возрастает, а другая убывает и если
уравнение f(x) = g(x) имеет корень, то только
один (рис. 131 наглядно иллюстрирует это ут-
утверждение). Корень заданного уравнения подоб-
подобрать нетрудно — это число х= 0 (при этом
значении уравнение обращается в верное число-
числовое равенство 5 = 5).
Итак, х = 0 — единственный корень заданно-
заданного уравнения. (Щ
Пример 3. а) Исследовать на монотонность функцию у = 2х3 + Зхг -1;
б) построить график этой функции.
Решение, а) Исследовать функцию на монотонность — это значит вы-
выяснить, на каких промежутках области определения функция возрастает,
а на каких убывает. Согласно теоремам 1 и 2 это связано со знаком произ-
производной.
Найдем производную данной функции: /'(х)=6х2+6х и далее
4
««
0
к"
У
ч
/
/
J
i
х1
воэр
I
/
f
|
V1 *.
\
1»
/быв
X
Рис. 131
•-
-1
-
Рис. 132
На рис. 132 схематически указаны знаки
производной по промежуткам области определе-
определения: на луче (-00,-1) производная положитель-
положительна, на интервале (-1,0) — отрицательна, на луче
@>+ °°) — положительна. Значит, на первом из
172
указанных промежутков функция возрастает, на втором убывает, на
третьем возрастает.
Обычно, если функция непрерывна не только на открытом промежут-
промежутке, но и в его концевых точках, эти концевые точки включают в промежу-
промежуток монотонности функции.
Таким образом, заданная функция возрастает на луче (-°°, -1], возрас-
возрастает на луче [0, + °°), убывает на отрезке [-1, 0].
б) Графики функций строят «по точкам». Для этого надо составить таб-
таблицу значений функции у=2х3 +3х2 -1, куда обязательно следует вклю-
включить значения функции в концевых точках промежутков монотонности
х = -1их = 0и еще пару-тройку значений:
X
У
0
0
-1
1
4
-2
-5
i
4
-
/-1
|
У
i
У
= ?x
i
if
1
f
1
'с
\
+ Зхг -1
X
Отметим эти точки на координатной плоскости. Учтем найденные в
п. а) промежутки возрастания и убывания функции, а также то, что в точ-
точках х = -1 и х = 0 производная функции равна
нулю, т.е. касательная к графику функции в
указанных точках параллельна оси абсцисс, бо-
более того, в точке (-1; 0) она даже совпадает с
осью абсцисс. Учтем, наконец, то, что функция
непрерывна, т.е. ее графиком является сплош-
сплошная линия. График заданной в условии функции
изображен на рис. 133. <Д
Завершая рассуждения по исследова-
исследованию функций на монотонность, обратим
внимание на одно обстоятельство. Мы виде-
видели, что если на промежутке X выполняется
неравенство f'(x)>0, то функция y = f(x)
возрастает на промежутке X', если же на Рис. 133
промежутке X выполняется неравенство f(x) < 0, то функция убы-
убывает на этом промежутке. А что будет, если на всем промежутке вы-
выполняется тождество f'(x) =0 ? Видимо, функция не должна ни
возрастать, ни убывать. Что же это за функция? Ответ очевиден —
это постоянная функция у = С (буква С — первая буква слова
constanta, что означает «постоянная»). Справедлива следующая
теорема, формальное доказательство которой мы не приводим,
ограничиваясь приведенными выше правдоподобными рассуж-
рассуждениями.
Теорема 3. Если во всех точках открытого промежутка X
выполняется равенство f (х) = 0, то функция у = f(x) постоянна
на промежутке X.
173

В дальнейшем эта теорема будет нами востребована, т.е. в ее
пользе для математики мы сумеем убедиться. А сейчас приведем
(для наиболее любознательных) пример использования теоремы 3
(из разряда математических развлечений). Мы приведем новый
способ доказательства хорошо вам известного тождества
sin2 x+cos2 x = l.
Рассмотрим функцию у = f(x), где f(x) = sin2 зс+cos2 х. Найдем ее
производную:
f(x) =(sin2 зс+cos2 х)' =(sinx sina:)'+(cos3ccosa:)' =
Итак, для всех х выполняется равенство f'(x)=0, значит,
f(x)=C. Чтобы найти значение С, достаточно вычислить значение
функции в любой точке х, например, х = 0. Имеем:
/@) = sin2 0+cos2 0=0 + 1 = 1.
Таким образом, С = 1, т. е. sin2 x+cos2 x = L
2. Точки экстремума функции и их отыскание
Вернемсяк графику функции у =2х3 +3х2 -1(рис. 133). На гра-
графике есть две уникальные точки, определяющие его структуру, —
это точки (-1; 0) и @; -1). В этих точках:
1) происходит изменение характера монотонности функции
(слева от точки х = -1 функция возрастает, справа от нее, но только
до точки х =0, функция убывает; слева от точки х=0 функция убы-
убывает, справа от нее возрастает);
2) касательная к графику функции параллельна оси х, т.е. про-
производная функции в каждой из указанных точек равна нулю;
3) /(-1) — наибольшее значение функции, но не во всей области
определения, а в локальном смысле, т.е. по сравнению со значения-
значениями функции из некоторой окрестности точ-
точки х = -1. Точно так же /@) — наименьшее
значение функции, но не во всей области
определения, а в локальном смысле, т.е. по
сравнению со значениями функции из не-
некоторой окрестности точки х = 0.
А теперь взгляните на рис. 134, где изоб-
изображен график другой функции. Не правда
ли, он похож на предыдущий график? На
нем те же две уникальные точки, но одна из
Рис. 134 указанных выше трех особенностей этих то-
174
А
f
у|
' -1
>
г
-1
1
y = Rx
1/
/
/
/
W
f
¦1
X
чек изменилась: теперь касательные к графику в этих точках не па-
параллельны оси х. В точке х = —1 касательная вообще не существует,
а в точке х = 0 она перпендикулярна оси х (точнее, она совпадает с
осью у).
Дальнейший ход рассуждений вам уже известен: если появляет-
появляется новая математическая модель или новая особенность математи-
математической модели, ее надо специально изучить, т.е. ввести новый
термин, новые обозначения, сформулировать новые свойства.
Определение 1. Точку х =х0 называют точкой минимума функ-
функции у = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек
которой (кроме самой точки х =х0) выполняется неравенство:
f(x)>f(x0).
Так, функции, графики которых изображены на рис. 133 и 134,
имеют точку минимума х=0. Почему? Потому что у этой точки су-
существует окрестность, например, | --, - |или (-0,2, 0,2), для всех
точек которой, кроме точки х= 0, выполняется неравенство
fix) > f@). Это верно для обеих функций.
Значение функции в точке минимума обычно обозначают i/min.
Не путайте это значение (наименьшее, но в локальном смысле) с
Ун*,*.' т'е- с наименьшим значением функции во всей рассматривае-
рассматриваемой области определения (в глобальном смысле). Посмотрите еще
раз на рис. 133 и 134. Вы видите, что наименьшего значения нет ни
у той, ни у другой функции, a j/^ существует.
Определение 2. Точку х = х0 называют точкой максимума функ-
функции у -f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек ко-
которой, кроме самой точки х = х0, выполняется неравенство:
f(x)<f(x0).
Так, функции, графики которых изображены на рис. 133 и 134,
имеют точку максимума х=-1. Почему? Потому что у этой точки
существует окрестность, например, —, — L для всех точек кото-
I 2 2)
рой, кроме х=-1, выполняется неравенство f{x) < f{-l). Это верно
для обеих функций.
Значение функции в точке максимума обычно обозначают
Утх. Не путайте это значение (наибольшее, но в локальном
смысле) с 1/мвв, т.е. с наибольшим значением функции во всей
рассматриваемой области определения (в глобальном смысле).
Посмотрите еще раз на рис. 133 и 134. Вы видите, что наиболь-
наибольшего значения нет ни у той, ни у другой функции, a j/m.x сущест-
существует.
175

Точки минимума и максимума функции объединяют общим
термином — точки экстремума (от латинского слова extremum —
«крайний»).
Как искать точки экстремума функции? Ответ на этот вопрос
мы сможем найти, еще раз проанализировав графические модели,
представленные на рис. 133 и 134.
Обратите внимание: для функции, график которой изображен
на рис. 133, в обеих точках экстремума производная обращается в
нуль (касательные параллельны оси х). А для функции, график ко-
которой изображен на рис. 134, в обеих точках экстремума производ-
производная не существует. Это не случайно, поскольку, как доказано в
курсе математического анализа, справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Если функция у = f(x) имеет экстремум в точке
х = х0, то в этой точке производная функции либо равна нулю,
либо не существует.
Для удобства условимся внутренние точки области определения
функции, в которых производная функции равна нулю, называть
стационарными, а внутренние точки области определения функ-
функции, в которых функция непрерывна, но производная функции не
существует, — критическими.
Пример 4. Построить график функции у = 1хг - 6х + 3.
Решение. Вам известно, что графиком заданной квадратичной функ-
функции является парабола, причем ветви параболы направ-
направлены вверх, поскольку коэффициент при х2
положителен. Но в таком случае вершина параболы яв-
является точкой минимума функции, касательная к пара-
параболе в ее вершине параллельна оси х, значит, в вершине
параболы должно выполняться условие у'=0.
Имеем: у'=Bхг -6х + 3)'=4х-6.
Приравняв производную нулю, получим: 4х-6=0;
-1
0
,5
У
i
х =
= 1
,5
-
X
Рис. 135
Подставив найденное значение х в уравнение парабо-
параболы, получим:
у = г 1,52-6 -1,5 + 3 = -1,6.
Итак, вершиной параболы служитточкаA,5; -1,5), аосью парабо-
параболы — прямая х= 1,5 (рис. 135). В качестве конт-
контрольных точек удобно взять точку @; 3) и
симметричную ей относительно оси параболы точ-
точку C; 3). На рис. 136 по найденным трем точкам
построена парабола — график заданной квадра-
квадратичной функции. (Ш
Помните ли вы, как мы строили график
квадратичной функции у-ах2 +Ъх+с в 8—9-м
классах? Практически так же, лишь ось пара-
Рис. 136 болы находили не с помощью производной, а по
ГУ' , I I
-jf-y=2x-6x+3
in
It
vl
olV
i
i
i
¦
-1,5ПФ
1 1
i
\l
i
I
/
/1
M
X
176
формуле х- , которую приходилось запоминать. Решение, по-
2а
казанное в примере 4, освобождает вас от необходимости помнить
эту формулу. Чтобы найти абсциссу вершины параболы
у=ах2 +Ьх+с или уравнение ее оси симметрии, достаточно прирав-
приравнять нулю производную квадратичной функции.
А теперь вернемся к теореме 4, которая говорит, что если в точке
х - х0 функция у = f(x) имеет экстремум, то х = х0 — стационарная
или критическая точка функции. Возникает естественный вопрос:
верна ли обратная теорема, т.е. верно ли, что если х = х0 — стацио-
стационарная или критическая точка, то в этой точке функция имеет экс-
экстремум? Отвечаем: нет, неверно. Посмотрите на рис. 137, где
изображен график возрастающей функции, не имеющей точек экс-
экстремума. У этой функции есть стационарная точка х = х1, в которой
производная обращается в нуль (в этой точке график функции име-
имеет касательную, параллельную осих), но
это не точка экстремума, а точка переги-
перегиба, и есть критическая точка х =х2, в кото-
которой производная не существует, но это
также не точка экстремума, а точка изло-
излома графика. Поэтому скажем так: теоре-
теорема 4 дает только необходимое условие
экстремума (справедлива прямая теоре-
теорема), но оно не является достаточным ус-
условием (обратная теорема не
выполняется). Рис. 137 ,
А как же быть с достаточным условием? Как узнать, есть ли в
стационарной или в критической точке экстремум? Для ответа на
этот вопрос снова рассмотрим графики функций, представленные
на рис. 133, 134, 136 и 137.
Замечаем, что при переходе через точку максимума (речь идет о
точке х = —1 на рис. 133 и 134) изменяется характер монотонности
функции: слева от точки максимума функция возрастает, справа
убывает. Соответственно изменяются знаки производной: слева от
точки максимума производная положительна, справа отрицательна.
Замечаем, что при переходе через точку минимума (речь идет о
точке х=0 на рис. 133 и 134 и о точке х = 1,5 на рис. 136) также из-
изменяется характер монотонности функции: слева от точки мини-
минимума функция убывает, справа возрастает. Соответственно
изменяются знаки производной: слева от точки минимума произ-
производной отрицательна, справа положительна.
177
0
у
/
/
/
/
i_ X.
/1
-1
X
/
ш
Г
X

Если же и слева, и справа от стационарной или критической точ-
точки производная имеет один и тот же знак, то в этой точке экстрему-
экстремума нет, именно так обстоит дело с функцией, график которой
изображен на рис. 137.
Наши рассуждения могут служить подтверждением (но, конеч-
конечно, не доказательством — строгие доказательства проводятся в
курсе математического анализа) справедливости следующей теоре-
теоремы.
Теорема 5 (достаточные условия экстремума). Пусть функция
y=f(x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри проме-
промежутка стационарную или критическую точку х = х0. Тогда:
а) если у этой точки существует такая окрестность, что в
ней при х<х0 выполняется неравенство f (х) < О, а при х>х —
неравенство /"(*)>О, то х = х0 — точка минимума функции
У=Нх);
б) если у этой точки существует такая окрестность, что в
ней при х<х0 выполняется неравенство f (х) >0,а при х>х —
неравенство f(x)<0, то х = хо — точка максимума функции
У=Пх);
в) если у этой точки существует такая окрестность, что в
ней и слева, и справа от точки х0 знаки производной одинаковы,
то в точке х = х0 экстремума нет.
Пример 5. а) Найти точки экстремума функции
у = Зх*-16х3+24х2-11;
б) построить график этой функции.
Решение, а) Найдем производную данной функции:
и далее
-4х +4);
t'(x) = \2x(x-2f.
Производная обращается в нуль в точках х = О
и х = 2 — это две стационарные точки заданной
функции. На рис. 138 схематически указаны
знаки производной по промежуткам области оп-
определения: на промежутке (-<», 0) производная
отрицательна, на промежутке @, 2) — положи-
Рис. 138 тельна, на промежутке B, + оо) — положительна.
Значит, х = 0 — точка минимума функции, а х = 2 точкой экстремума не яв-
является. На первом из указанных выше промежутков функция убывает, на
втором и третьем возрастает.
В точке минимума х = 0 имеем /@) = -11 (подставили значение х = 0 в
аналитическое задание функции), значит, ушЫ = -11.
178
б) Чтобы построить график функции, нужно знать особо важные точки
графика. К таковым относятся:
— найденная точка минимума @; -11);
— стационарная точка х = 2; в этой точке
) = 3 2* -16 23 +24-22 -11=5;
— точки пересечения с осями коорди-
координат; в данном примере это уже найденная
точка @; -11) — точка пересечения графика
с осью у. И еще: можно догадаться, что
/A)=0, значит, найдена точка пересечения
графика с осью х — это точка A; 0).
Итак, мы имеем точку минимума
@; -11), точку пересечения графика с осью
х — точку A; 0) и стационарную точку B;
5). В этой точке касательная к графику
функции горизонтальна, но это не точка
экстремума, а точка перегиба.
График функции схематически изобра-
изображен на рис. 139. Заметим, что есть еще
одна точка пересечения графика с осью аб-
абсцисс, но найти ее нам не удалось. (Щ
Завершая этот пункт, заметим, что
мы фактически выработали
|5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
у
L
/
1
J
о| <
1
1
1
1
1
1
и
1/
V
- ¦ ¦ т
¦
1
г
>
-1fiv3 + 24rS
-11
X
Рис. 139
АЛГОРИТМ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ
y = f(x)HA МОНОТОННОСТЬ И ЭКСТРЕМУМЫ
1. Найти производную f'(x).
2. Найти стационарные и критические точки.
3. Отметить стационарные и критические точки на числовой
прямой и определить знаки производной на получившихся проме-
промежутках.
4. Опираясь на теоремы из § 35, сделать выводы о монотоннос-
монотонности функции и о ее точках экстремума.
Заметим, что если заданная функция имеет вид у = ——, то по-
q(x)
люсы функции, т.е. точки, в которых знаменательq(x) обращается в
нуль, тоже отмечают на числовой прямой, причем делают это до оп-
определения знаков производной. Но, разумеется, полюсы не могут
быть точками экстремума.
ТТ С ТТ _и X4 +16
Пример 6. Исследовать функцию у = ^— на монотонность и экстре-
X
мумы.
Решение. Заметим, что функция всюду непрерывна, кроме точки
х = 0. Воспользуемся указанным выше алгоритмом.
1) Найдем производную заданной функции:
179

ПХ)~
4 +16)'x2 -(x?)'jx4 +16)_4x* ¦ x? -2x(x4 + 16)_2x* -32x _
2x(x4 -16)
+4)
-?
+
-г
1
1
?
f
x' x'
2) Производная обращается в нуль в точках х = 2их = -2 — это стацио-
стационарные точки. Производная не существует в точке х = 0, но это не крити-
критическая точка, это точка разрыва функции (полюс).
3) Отметим точки -2, 0 и 2 на число-
числовой прямой и расставим знаки произ-
производной на получившихся промежутках
(рис. 140).
4) Делаем выводы: на луче(-°°, -2]
функция убывает, на полуинтервале
Рис.140 [-2, 0) функция возрастает, на полу-
полуинтервале @, 2] функция убывает, на луче[2, + оо)функция возрастает.
Далее, х = - 2 — точка минимума, причем j/mil>=8 (подставили значение
о .г. Х4+16ч
X = - 2 В формулу у = j ).
Аналогично устанавливаем, что и х = 2 — точка минимума, причем
3. Построение графиков функций
За годы изучения курса алгебры в школе вы накопили достаточ-
достаточно большой опыт построения графиков функций. В основном вы
строили графики «по точкам», т.е. для заданной функции y = f(x)
находили контрольные точки (xt; /(ж^)), (*2; f(x2)), (х3; }(х3)),
(х4; f(x4)) и т.д., отмечали их на координатной плоскости и, пола-
полагаясь на интуицию, соединяли найденные точки плавной кривой.
Как выбирали эти контрольные точки? Иногда обдуманно, напри-
например, строили вершину параболы у-ах2 +Ъх+с или специально ис-
искали точки пересечения графика с осями координат. Но чаще
выбор контрольных точек был случайным, «по наитию».
Графики любых функций строят по точкам. Но в тех случаях,
когда вид графика заранее неизвестен, эти точки надо выбирать со
смыслом — уметь выделять особо важные точки графика, которые
определяют его структуру. Об этом мы уже говорили выше, когда
строили графики функций у = 2х3 +3х2 -1 (см. рис. 133) и
у=3х* -16л;3 +24х2 -11(см. рис. 139). К особо важным точкам гра-
графика функции у = f(x) относят:
— стационарные и критические точки;
— точки экстремума;
— точки пересечения графика с осями координат;
— точки разрыва функции.
180
В тех случаях, когда речь идет о построении графика незнако-
незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика,
полезно применять определенную схему исследования свойств
функции, которая помогает составить представление о ее графике.
Когда такое представление составится, можно приступить к пост-
построению графика по точкам.
В курсе математического анализа разработана универсальная
схема исследования свойств функции и построения графика фун-
функции, позволяющая строить весьма сложные графики. Для на-
наших нужд будут достаточны упрощенные варианты указанной
схемы.
1) Если функция y = f(x) непрерывна на всей числовой пря-
прямой, то достаточно найти стационарные и критические точки,
точки экстремума, промежутки монотонности, точки пересече-
пересечения графика с осями координат и при необходимости выбрать
еще несколько контрольных точек. Именно так мы действовали
в этом параграфе, когда строили графики следующих функций:
у = 2х2 -6*+3 (рис.136);
у = 2х3+Зх2-1 (рис.133);
у=3х4 -16х3 +24х2-11 (рис.139).
2) Если функция у = f(x) определена не на всей числовой пря-
прямой, то начинать следует с отыскания области определения функ-
функции (если, конечно, она не задана) и с указания ее точек разрыва.
3) Полезно исследовать функцию на четность, поскольку графи-
графики четной или нечетной функции обладают симметрией (соответст-
(соответственно относительно оси у или относительно начала координат), и,
следовательно, можно сначала построить только ветвь графика
при х>0, а затем достроить симметричную ветвь.
4) Если lim/(z) =b, то, как известно (см. § 31), прямая у = Ъ явля-
ется горизонтальной асимптотой графика функции у = f(x). Асимп-
Асимптоту следует строить на координатной плоскости, она дает
своеобразный ориентир для графика.
5) Горизонтальная асимптота характеризуется условием: если
х -> °о, то у -> Ь. При условии: если х -»а, то у -> °°, — прямая х = а
является вертикальной асимптотой графика функции у = f (x).
Например, для функции у = — ее график (гипербола) изобра-
х-1
жен на рис. 141 — вертикальной асимптотой является прямая х = 1.
Если х -> 1, то знаменатель данной дроби становится (по модулю)
181

все меньше и меньше, точнее:
(х-1) -»0; соответственно сама дробь
становится ( по модулю) все больше
и больше, точнее: »<».
х-1
Самый распространенный приз-
признак существования вертикальной
асимптоты заключается в следую-
следующем:
,. . р(х)
если f(x) = ^—- и при х = а знаме-
натель обращается в нуль, а числи- рис. 141
тель отличен от нуля, то х = а —
вертикальная асимптота графика функции у = f(x).
В следующих примерах учтем все вышеуказанные обстоятельства
и построим графики функций, придерживаясь определенной схемы.
х
1 + х2
Пример 7. Построить график функции у =
Решение. 1. Найдем область определения функции: D(f)=(-°»,+ <»).
2. Исследуем функцию на четность: f(-x) = = j = -f(x\
l + (-xf 1 + х
Значит, заданная функция нечетна, ее график симметричен относительно
начала координат, а потому можно изначально ограничиться построением
ветви графика при х>0.
3. Найдем асимптоты. Вертикальной асимптоты нет. Для отыскания
горизонтальной асимптоты надо вычислить limf(x). Имеем:
х .. ,,* О
lim
0+1
=0.
„а а .у*
XX Л
Значит, у = 0 — горизонтальная асимптота графика функции.
4. Найдем стационарные и критические точки, точки экстремума и
промежутки монотонности функции. Имеем:
У'=\
J A+х2J A+х2J A + х2J"
Производная всюду существует, значит, критических точек у функции нет.
Стационарные точки найдем из соотношения j/'=0. Получаем 1 - х2 =0,
откуда находим, что х = 1 или х = -1. Поскольку мы договорились рассмат-
рассматривать лишь случай, когда х>0, выберем значение х = 1. При х < 1 имеем
у' > 0, а при х > 1 имеем у' < 0. Значит, х = 1 — точка максимума функции,
причем j,nax=/(l) = _L_ = I.
На промежутке [0,1] функция возрастает, на промежутке [1, + °°) фун-
функция убывает.
182
5. Составим таблицу значений функции у =
1 + х2
при*>0:
X
У
0
0
1
1
2
2
2
5
3
3
10
6. Отметив найденные точки на координатной плоскости, соединив их
плавной кривой и учтя при этом, что 1; — точка максимума и что у=0 —
горизонтальная асимптота, построим ветвь искомого графика при х>0
(рис. 142). Добавив ветвь, симметричную построенной относительно нача-
начала координат, получим весь график (рис. 143). <j(
1
Нем
0
У
1
—
т
X
S
Si
-1
1
Нем
i
У
Q.
1
У—л
+-*
¦
Ч
X
Рис. 142
Пример 8. Построить график функции у =
Рис. 143
х2+1
х2-!
Решение. 1. Найдем область определения функции. Она задается ус-
условиями: х * 1,х *-1 (при значениях х = 1, х = -1 знаменатель дроби обе-
обещается в нуль). Итак,
D(f)= (-oo.-l)U(-l,
2. Исследуем функцию на четность:
f(-x)=-
= f(x). Значит, заданная функция четна, еегра-
-—,=;
(-x)-l х-1
фик симметричен относительно оси ординат, а потому можно для начала
ограничиться построением ветвей графика при х > 0.
3. Найдем асимптоты. Вертикальной асимптотой является прямая
х = 1, поскольку при этом значении х знаменатель дроби обращается в
нуль, а числитель отличен от нуля. Для отыскания горизонтальной асимп-
асимптоты надо вычислить hmf(x). Имеем:
Значит, у = 1 — горизонтальная асимптота графика функции.
4. Найдем стационарные и критические точки, точки экстремума и
промежутки монотонности функции. Имеем:
183

V =
<*¦•
(х? -!)'
(хг-1)г
2х(хг-1)-(хг+1)-2х_ -4а:
Производная существует всюду в области определения функции, зна-
значит, критических точек у функции нет.
Стационарные точки найдем из соот-
соотношения у'=0. Получаем -4л: =0, откуда
находим, что х = 0. При х <0имеем у'>0,
а при х>0 имеем у'<0. Значит, х= 0 —
функции,
У
= 1
1
и
У
L
0
1
1
1
1
1
1
\
s
1
х
точка максимума
причем
Утвх
Рис. 144
При х > 0 имеем у' < 0, но следует учесть
наличие точки разрыва х = 1. Значит, вы-
вывод о промежутках монотонности будет
выглядеть так: на промежутке [0, 1) фун-
функция убывает, на промежутке A, +°°)
функция также убывает.
5. Составим таблицу значений функ-
ции у = —« при х > 0:
х -1
а
¦
1
1
/
-1
1
-¦
/
1
1
у|
Ч
¦
1
1
V
1
\|
1
1
ч
1
V
S
7
_ X +1
"хг-1
Ml
*
у
х j 0
„ 1 ,
V | "I
1
2
5
3
2
5
3
3
5
4
4
17
15
Рис. 145
6. Отметив найденные точки на коорди-
координатной плоскости, соединив их плавными
кривыми, учтя при этом, что @; -1) — точ-
точка максимума, что у = 1 — горизонтальная
асимптота, что х = 1 — вертикальная асим-
асимптота, построим ветви искомого графика
при х > 0 (рис. 144). Добавив ветви, симмет-
симметричные построенным относительно оси ор-
ординат, получим весь график (рис. 145). <Д
§ 36. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ ОТЫСКАНИЯ
НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ВЕЛИЧИН
1. Отыскание наибольшего и наименьшего значений
непрерывной функции на промежутке
Вы уже накопили некоторый опыт отыскания наибольшего и
наименьшего значений функции. Чаще всего мы использовали для
этого график функции. Пусть, например, дана функция у =
1+х2
184
Построив ее график (см. рис. 143), легко сделать вывод о том, что
_ 1 1.
У шин. ~~~п' а Уяаиб. ~Х-
В некоторых случаях мы могли найти наибольшее и наимень-
наименьшее значения функции и без помощи графика. Например, для фун-
функции у = ^9-х2 можно рассуждать так: ясно, что 9 - х2 < 9, значит,
УаШб.= 3 (это значение достигается функцией в точке х=0). С другой
стороны, ясно, что л/9-j:2 > 0, значит, умим =0 (это значение дости-
достигается функцией при х = 3 или при х = - 3).
В более сложных случаях для отыскания наибольшего и наи-
наименьшего значений функции используется производная.
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь] — несколько
графиков таких функций представлено на рис. 146—148. Анали-
Анализируя указанные геометрические модели, можно прийти к следую-
следующим выводам.
1. Если функция непрерывна на
отрезке, то она достигает на нем и
своего наибольшего, и своего наи-
наименьшего значений.
Это — весьма солидная теорема
курса математического анализа, до-
доказательство ее требует достаточной
продвинутости в изучении курса.
2. Наибольшего и наименьшего
значений непрерывная функция мо-
может достигать как на концах от-
отрезка, так и внутри него
Унак
t
0
Унаим.
у
f
I
Г
Q
У**Ц*
)
\ 1
\
\
\ /
1 /
l/ h
У
.111
X
Рис. 146
Здесь возможны варианты — некоторые из них представлены на
рис. 146—148. Смотрите: на рис. 146 и наибольшее, и наименьшее
значения достигаются внутри отрезка. На рис. 147 наименьшее
i
Унаиб:
...
Унаим
п
у
\
\
- а -
ч
-у-цх)
/
/
Г
к
(
-ь
X
1
Унаиб:
Унаим
0
у
1 |
т
А
У
\\
\\
- а .
\
—
(
I
Л
)
N
\
\
\
т
Ь
X
Рис. 147
Рис. 148
185

значение достигается внутри отрезка, а наибольшее — в концевой
точке. На рис. 148 и наибольшее, и наименьшее значения достига-
достигаются в концевых точках.
3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается
внутри отрезка, то только в стационарной или критической
точке.
В этом нет ничего удивительного, поскольку в этом случае наи-
наибольшее (или наименьшее) значение функции одновременно явля-
является экстремумом, а экстремум достигается только в стационарной
или критической точке.
Подводя итог сказанному, нетрудно составить
АЛГОРИТМ ОТЫСКАНИЯ НАИМЕНЬШЕГО
И НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ НЕПРЕРЫВНОЙ
; ФУНКЦИИ у = f(x)НА ОТРЕЗКЕ [а, Ъ]
1. Найти производную f'(x).
2. Найти стационарные и критические точки функции, лежащие
внутри отрезка [а, Ь].
3. Вычислить значения функции y = f(x) в точках, отобранных на
втором шаге (п. 2), и в точках а и Ь; выбрать среди этих значений наи-
наименьшее (это и будет уЛшш) и наибольшее (это и будет уяш6).
Алгоритм, как видите, сравнительно простой, для его иллюст-
иллюстрации достаточно одного примера. Мы приводим два примера, из
которых второй — для тех, кому интересны математические «изю-
«изюминки».
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
3З245 1
а) на отрезке [-4, 6]; б)наотрезке [0, 6]; в) на отрезке [-2, 2].
Решение. Воспользуемся алгоритмом.
1) Имеем у'=3хг -&х -45.
2) Производная существует при всех х, значит, критических точек у
функции нет, а стационарные найдем из условия у'=0. Имеем:
Зл:2 -6л:-45=0;
л:2-2л:-15 = 0;
хх = -3, хг = 5.
Дальнейшие рассуждения зависят от условий задачи,
а) Обе стационарные точки (и х = - 3, и х = 5) принадлежат заданному
отрезку [-4, 6]. Значит, на третьем шаге алгоритма мы составим такую
таблицу значений функции у = х3 - Зх2 - 4 5л: + 1:
X
У
-4
69
-3
82
5
-174
6
-161
Таким образом, у1ат = -174 (достигается в точке х = 5);
У.»«. =82 (достигается в точке х = - 3).
186
б) Отрезку [0, 6] принадлежит лишь одна из двух найденных стацио-
стационарных точек, а именно точка х = 5. Значит, на третьем шаге мы составим
такую таблицу значений функции у - х% - Зх2 - 45л: +1:
X
У
0
1
5
-174
6
-161
Таким образом, уты =-174 (достигается в точке х = 5);
Утл.= 1 (достигается в точке х = 0).
в) Отрезку [-2,2] не принадлежит ни одна из найденных стационарных
точек, значит, достаточно вычислить значения функции в концевых точ-
точках:/(-2)= 71, /B) =-93.
Таким образом, в этом случае утм = -93, у,„в = 71. <д
Пример 2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
у = Ъх3 - х \х-1\ на отрезке [0, 2].
Решение. Если ж>1, то |x-l|=x-l, и функция принимает вид:
у = 5х3 -х2 +х; если х < 1, то |x-l|=l-x, и функция принимает вид
у = 5л:3 + х2 - х. Таким образом, речь идет о кусочной функцииy = f(x\ где
\Ьх3 -х2+х, где*>1;
[5л;3 + х2 - х, где х < 1.
1) Вычисляя f'(x), мы должны учесть, что при х > 1 следует пользовать-
пользоваться формулой f(x) = Ьх3 -х2 +х. Получим:/'(л;)=15л^ -2л;+ 1.
При х < 1 следует пользоваться формулой /(л;)=5л;3 + х2 -х. Получим
/'(л;) = 15л;2+2л;-1.
В «точке стыка» х = 1 производная не существует, это — критическая
точка функции.
A5л:2 -2л; + 1, если х >1; |
Итак,f\x)=
15л;3 + 2л;-1, если х<1.
2) Критическую точку мы уже нашли — это точка х = 1. Найдем стацио-
стационарные точки, решив уравнение f'(x)=O.
Если х > 1, то f'(x)=15x2 -2л;+ 1; уравнение 15л;2 -2л;+ 1=0 не имеет
корней.
Если х < 1, то /'(л;) = 15л;2 +2л;-1; из уравнения 15л;2 +2л;-1=0 нахо-
находим: хх =—, хг -—. Из этих двух значений заданному отрезку [0, 2] при-
5 3
1
надлежит только точка х = -.
5
3) Составим таблицу значений функции у = 5л:3 - х \х -11, включив в нее
точки л;=0,л;=2,л; = 1,л; = концы заданного отрезка и лежащие внутри
5
отрезка критическую и стационарную точки.
187

X
У
0
0
1
5
3
~25
1
5
2
38
о
Из имеющихся в таблице значений наименьшим является , наи-
25
большим 38.
Ответ: ушт =-—;
= 38.
А как быть, если речь идет об отыскании наибольшего или наи-
наименьшего значения функции, непрерывной на незамкнутом про-
промежутке, например, на интервале? Можно построить график
функции и снять информацию с полученной графической модели.
Но чаще оказывается более удобным использовать следующую
теорему.
Теорема. Пусть функция y = f(x) непрерывна на промежут-
промежутке X и имеет внутри него единственную стационарную или
критическую точку х = х0. Тогда:
а) если х = х0 — точка максимума, то у^^ = f(x0 );
б) если х = х0 — точка минимума, то уявжы_ = f(x0).
I
~y ^
1
о
у
I
1
L
/
У
s
\
¦)
\
\
\
\
\
u
X
V
J
о
у
a
t
\
у-
\
\
\
\
К
= /
w
1
f\
1
I
1
f
b
X
Рис. 149
Рис. 150
На рис. 149 и 150 приведены соответствующие геометрические
иллюстрации.
Пример 3. Найти наибольшее значение функции j/ = j- на луче
[0, + оо).
1-х2
Решение.!/1»- ^-(см. пример 7 из §35).
*2J
нет.
188
Производная всюду существует, значит, критических точек у функции
Стационарные точки найдем из соотношения у'-О. Получаем:
1 - хг =0, откуда находим, что х = 1 или х = -1. Заданному лучу [0, + °°)
принадлежит лишь точка х= 1. При х < 1 имеем у'>0, а при х > 1 имеем
у'<0. Значит, х= 1 — точка максимума функции, причем
4
Поскольку х = 1 — единственная точка экстремума функции на задан-
заданном промежутке, причем точка максимума, то, по теореме 1,
Ранее (см. рис. 143) был построен график функции на заданном луче —
он хорошо иллюстрирует полученный результат.
Ответ: 1/НЫ1б. =-.
2. Задачи иа отыскание наибольших и наименьших значений величин
Российский математик XIX в. П.Л. Чебышев говорил, что «осо-
«особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют ре-
решать задачу, общую для всей практической деятельности
человека: как располагать своими средствами для достижения на-
наибольшей выгоды». С такими задачами в наше время приходится
иметь дело представителям самых разных специальностей: инже-
инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы
выпускалось как можно больше продукции; конструкторы пыта-
пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы
масса прибора была наименьшей; экономисты стараются сплани-
спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные
расходы оказались минимальными, и т.д.
Задачи подобного рода носят общее название — задачи на опти-
оптимизацию (от латинского слова optimum — «наилучший»). В самых
простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с двумя величи-
величинами, одна из которых зависитют другой, причем надо найти такое
значение второй величины, при котором первая принимает свое
наименьшее или наибольшее (наилучшее в данных условиях) зна-
значение. , . ;
Задачи на оптимизацию решают по обычной схеме из трех этапов
математического моделирования: 1) составление математической мо""г
дели; 2) работа с моделью; 3) ответ на вопрос задачи. Прежде чем пе-
переходить к конкретным примерам решения задач на оптимизацию,
предлагаем некоторые рекомендации методического плана.
Первый этап. Составление математической модели.
1) Проанализировав условия задачи, выделите оптимизируе-
оптимизируемую величину (сокращенно: О.В.), т.е. величину, о наибольшем
189

или наименьшем значении которой идет речь. Обозначьте ее бук-
буквой у (или S, V, R, t — в зависимости от фабулы).
2) Одну из участвующих в задаче неизвестных величин, через
которую сравнительно нетрудно выразить О.В., примите за незави-
независимую переменную (сокращенно: Н.П.) и обозначьте ее буквой х
(или какой-либо иной буквой). Установите реальные границы из-
изменения Н.П. (в соответствии с условиями задачи).
3) Исходя из условий задачи, выразите у через х. Математичес-
Математическая модель задачи представляет собой функцию у = f(x) с областью
определения X, которую нашли на втором шаге.
Второй этап. Работа с составленной моделью.
На этом этапе для функции у = f(x), xeX найдите у^ или уНЫ1б в
зависимости от того, что требуется в условии задачи. При этом ис-
используются теоретические установки, которые мы получили в п. 1
данного параграфа.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Здесь следует получить конкретный ответ на вопрос задачи,
опираясь на результаты, полученные на этапе работы с моделью.
Пример 4. Прочность балки прямоугольного сечения пропорциональна
произведению ее ширины на квадрат высоты .Какое сечение должна иметь
балка, вытесанная из цилиндрического бревна радиуса R, чтобы ее проч-
прочность была наибольшей?
Решение. Первый этап. Составление математической модели.
1) Оптимизируемая величина (О.В.) — проч-
прочность балки, поскольку в задаче требуется выяс-
выяснить, когда прочность балки будет наибольшей.
Обозначим О.В. буквой у.
2) Прочность зависит от ширины и высоты
прямоугольника, служащего осевым сечением
балки. Объявим независимой переменной (Н.П.)
ширину балки, обозначим ее буквой х. Посколь-
Поскольку осевое сечение представляет собой прямоу-
прямоугольник, вписанный в окружность радиуса R
(рис. 151), то 0<*<2Д (при х= 0 и при x=2R
Рис. 151 прямоугольник «вырождается» в отрезок, рав-
равный диаметру окружности) — таковы реальные
границы изменения независимой переменной.
3) Высота h прямоугольника связана с его шириной соотношением
х2 + h2 =4R2 (по теореме Пифагора). Значит, Л2 =4R2 - х2.
А прочность балки у пропорциональна произведению xh', т.е. у = kxh'
(где коэффициент k — некоторое положительное число). Значит,
у=kxDR2 - х2), где хе [О, 2Д].
Математическая модель задачи составлена.
Второй этап. Работа с составленной моделью.
На этом этапе для функции y=kxDR2 -х2), *е [О, 2Д] надо найти ушхЛ_.
Воспользуемся алгоритмом из п.1.
190
1
1
(
2
R
У
1
\
Л
/
\
\
1
1
Имеем:
y=4kR2x-kx3;
y'=4kR2-3kx2.
Приравняв производную нулю, получим:
4kR2 -Зкх2 =0;
2Д
2Д
^"ТГ Хг~ X
Заданному отрезку [О, 2Д] принадлежит лишь точка x = xv
Осталось вычислить значения функции y=kR2x-kx3 в точке xt и на
концах отрезка, т.е. в точках 0 и 2Д.
Имеем:/@) = 0, /BД) = 0, /№|>0. Значит, г,В11И(, =,
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
В задаче спрашивается, какое сечение должна иметь балка наибольшей
прочности. Мы выяснили, что ширина х прямоугольника, служащего осе-
осевым сечением наиболее прочной балки, равна -j=. Найдем высоту:
Л2=4Д2-*2, т.е.
Значит, Л =
2EV2
а потому — = ы&.
х
Ответ: Сечением балки должен служить прямоугольник, у которого от-
отношение высоты к ширине равно 42.
3 а м.е ч а н и е. Квалифицированные мастера приходят к такому же ре-
результату, опираясь на свой опыт, но, разумеется, они принимают указан-
указанное отношение равным 1,4 (приближенное значение иррационального
числа 42 как раз равно 1,4).
Пример 5. Бак, имеющий вид прямоугольного параллелепипеда с квад-
квадратным основанием, должен вмещать V литров жидкости. При какой сто-
стороне основания площадь поверхности бака (без крышки) будет
наименьшей?
Решение. Первый этап. Составление математической модели.
1) Оптимизируемая величина
(О.В.) — площадь поверхности бака,
поскольку в задаче требуется выяснить,
когда эта площадь $удет наименьшей.
Обозначим О.В. буквой S.
2) Площадь поверхности зависит от
измерений прямоугольного параллеле-
параллелепипеда. Объявим независимой перемен-
переменной (Н.П.) сторону квадрата, служащего
основанием бака; обозначим ее буквой х.
Ясно, что х > 0. Других ограничений
нет, значит, 0 < х < -н». Таковы реальные
границы изменения независимой
переменной. Рис. 152
/
/
*
/
/
S
[
/
/
/
/
/
/
/
/
X
У.
191

3) Если h — высота бака, то V = x?h, откуда находим Л = —=-.
х
На рис. 152 изображен прямоугольный параллелепипед, указаны его
измерения. Поверхность бака состоит из квадрата со стороной х и четырех
V
прямоугольников со сторонами х и —. Значит,
Итак, S = x? +4 —, где л; е @, + оо).
х
Математическая модель задачи составлена.
Второй этап. Работа с составленной моделью.
у
На этом этапе для функции S = я2 + 4 —, л: е @, + °°) надо найти ужа11.
Для этого нужна производная функции.
Имеем:
S'=2*-4~.
XT
_, 2(x3-2V)
На промежутке @, + °°) критических точек нет, а стационарная точка
только одна: S'=0 при х = yl2V.
Заметим, что при х <H2V выполняется неравенство S'<0, а при х > V2V
выполняется неравенство S'>0. Значит, x = $l2V—единственная точка эк-
экстремума функции на заданном промежутке, а потому согласно теореме из
п. 1, в этой точке функция достигает своего наименьшего значения.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
В задаче спрашивается, какой должна быть сторона основания, чтобы
бак имел наименьшую поверхность. Мы выяснили, что сторона квадрата,
служащего основанием такого бака, равна II2V.
Ответ: \[2У.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
В этой главе вы познакомились с новыми терминами математи-
математического языка:
числовая последовательность;
монотонная (возрастающая или убывающая) последователь-
последовательность;
ограниченная (сверху, снизу) последовательность;
предел последовательности;
сходящаяся последовательность, расходящаяся последователь-
последовательность;
окрестность точки, радиус окрестности;
сумма бесконечной геометрической прогрессии;
предел функции на бесконечности;
192
предел функции в точке;
приращение аргумента, приращение функции;
производная;
дифференцируемая функция;
касательная к графику функции;
точка экстремума (максимума, минимума) функции;
стационарная точка, критическая точка функции.
Вы познакомились с новыми обозначениями — новы-
новыми символами математического языка:
limy,, —предел последовательности;
Л—>°*
lim f(x) — предел функции на бесконечности (при х -> °°);
дг-»~
lira f(x) — предел функции в точке (при х -* а);
Ад: — приращение аргумента;
Ау — приращение функции;
f'(x) — производная.
Мы вывели формулы и правила:
для вычисления пределов последовательностей и функций;
для отыскания производных.
Мы сформулировали алгоритмы:
отыскания производной;
составления уравнения касательной к графику функции;
исследования функций на монотонность и экстремумы;
отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной
функции на промежутке.
( Мордкович «Алгебра, 10 кл.»

Глава
ПЕРВООБРАЗНАЯ
И ИНТЕГРАЛ
§ 37. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛ
1. Первообразная
В предыдущих параграфах мы по заданной функции, ру-
руководствуясь различными формулами и правилами, находили ее
производную. Мы убедились в том, что производная имеет многочис-
многочисленные применения: производная — это скорость движения (или,
обобщая, скорость протекания любого процесса); производная — это
угловой коэффициент касательной к графику функции; с помощью
производной можно исследовать функцию на монотонность и экстре-
экстремумы; производная помогает решать задачи на оптимизацию.
Но в реальной жизни приходится решать и обратные задачи:
например, наряду с задачей об отыскании скорости по известному
закону движения встречается и задача о восстановлении закона
движения по известной скорости. Рассмотрим одну из таких задач.
Пример 1. По прямой движется материальная точка, скорость ее движе-
движения в момент времени t задается формулой v = gt. Найти закон движения.
Решение. Пусть s = s(t) — искомый закон движения. Известно, что
s'(t)=v(t). Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию s = s(t),
производная которой равна gt. Нетрудно догадаться, что s(t) = —-. В самом
gt
Ответ: s = -—.
2
Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы получи-
gt2
ли, что s = . На самом деле, задача имеет бесконечно много реше-
2
gt2
ний: любая функция вида s = -—+С, где С — произвольная
константа, может служить законом движения, поскольку
194
^r+c Ы^ +c=gt+o=gt.
Чтобы задача стала более определенной, нам надо было зафик-
зафиксировать исходную ситуацию: указать координату движущейся
точки в какой-либо момент времени, например, при ?=0. Если, ска-
gt2
жем, s@) = s0, то из равенства s(t) = -— +С получаем s@) = 0+С, т.е.
gt2
s0 = С. Теперь закон движения определен однозначно: s = -— + s0.
2
В математике взаимно обратным операциям присваивают раз-
разные названия, придумывают специальные обозначения: напри-
например, возведение в квадрат (хг) и извлечение квадратного корня
(Vjc); CHHyc(sin#)H арксинус (arcsin*) и т.д. Процесс отыскания про-
производной по заданной функции называют дифференцированием, а
обратную операцию, т.е. процесс отыскания функции по задан-
заданной производной — интегрированием.
Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»:
функция y = f(x) «производит на свет» новую функцию y'=f'(x).
Функция y = f(x) выступает как бы в качестве «родителя», но мате-
математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производи-
«производителем», они говорят, что это, по отношению к функции y'=f'(x),
первичный образ, или, короче, первообразная.
Определение 1. Функцию у = F(x) называют первообразной для
функции у = f(x) на заданном промежутке X, если для всех х из X вы-
выполняется равенство F"[x)=f[x).
На практике промежуток X обычно не указывают, но подразу-
подразумевают ( в качестве естественной области определения функции).
Приведем примеры:
1) Функция у = х2 является первообразной для функции у = 2х,
поскольку для всех х справедливо равенство (л:2)' =2х.
2)*Функция у - х3 является первообразной для функции у-Зх2,
поскольку для всех х справедливо равенство (х3)' = Зх2.
3) Функция y-sinx является первообразной для функции
y=cosx, поскольку для всех х справедливо равенство (sin*)' =cos#.
4) Функция у = 4х является первообразной для функции у =
на промежутке @, +<*>), поскольку для всех х > 0 справедливо ра-
равенство (V^)'=—j=.
2л/х
195

Вообще, зная формулы для отыскания производных, нетрудно
составить таблицу формул для отыскания первообразных.
Функция y = f(x)
0
1
X
xn(neN)
1
X*
1
sin л:
cos л:
1
sin2*
1
cos2*
Первообразная у = F(x)
С
X
X*
2
ж*1
71+1
1
*
2Vx (при х>0)
-cos*
sin*
-ctg*
tg*
Надеемся, вы поняли, как составлена эта таблица: производная
функции, которая записана во втором столбце, равна той функции,
которая записана в соответствующей строке первого столбца (про-
(проверьте, не поленитесь, это очень полезно). Например, для функции
*6
у = хъ первообразной, как вы установите, служит функция у =—'
6
(см. четвертую строку таблицы).
Замечания: 1. Ниже мы докажем теорему о том, что если y = F(x) —
первообразная для функции у = f(x), то у функции у = f(x)бесконечно много
первообразных и все они имеют вид у = F(x) + С. Поэтому правильней было
бы во втором столбце таблицы всюду добавить слагаемое С, где С — произ-
произвольное действительное число.
2. Ради краткости иногда вместо фразы «функция у = F(x) является пер-
первообразной для функции !/ = /(*)», говорят *F(x) — первообразная для /(*)».
196
2. Правила отыскания первообразных
При отыскании первообразных, как и при отыскании производ-
производных, используются не только формулы (они указаны в таблице на
с. 196), но и некоторые правила. Они непосредственно связаны с со-
соответствующими правилами вычисления производных.
Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных.
Это правило порождает соответствующее правило отыскания пер-
первообразных.
Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.
Обращаем ваше внимание на некоторую «легковесность» этой
формулировки. На самом деле следовало бы сформулировать тео-
теорему: если функции у = f(x) и y-g(x) имеют на промежутке X пер-
первообразные, соответственно y = F(x) и y=G(x), то и сумма
функций y = f(x) + g(x) имеет на промежутке X первообразную,
причем этой первообразной является функция y = F(x)+G(x). Но
обычно, формулируя правила (а не теоремы), оставляют только клю-
ключевые слова — так удобнее для применения правила на практика
Пример 2. Найти первообразную для функции у = 2х + cos *.
Решение. Первообразной для 2* служит *а; первообразной для cos*
служит sin *. Значит, первообразной для функции у = 2* + cos * будет слу-
служить функция у = *2 + sin * (и вообще любая функция вида
y = x*+sinx + C). <Ц
Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак
производной. Это правило порождает соответствующее правило
отыскания первообразных.
Правило 2. Постоянный множитель можно вынести за знак
первообразной.
Пример 3. Найти первообразные для заданных функций:
= 5sin*; б)у = —
cos*
= 12*3+8*-1.
Ре ш е н и е. а) Первообразной для sin * служит -cos *; значит, для фун-
функции у = 5 sin * первообразной будет функция у = -5cos *.
б) Первообразной для cos* служит sin*; значит, для функции
у = — cos * первообразной будет функция у = — sin *.
3 3
*4 *2
в) Первообразной для * служит —; первообразной для * служит —;
первообразной для функции у = 1 служит функция у = х. Используя первое
и второе правила отыскания первообразных, получим, что первообразной
х* *2
для функции у = 12х3 +8х-1 служит функция у = 12 + 8 *, т.е.
у=3х*+4х2-х. <Я
197

Замечание. Как известно, производная произведения не равна про-
произведению производных (правило дифференцирования произведения бо-
более сложное) и производная частного не равна частному от производных.
Поэтому нет и правил для отыскания первообразной от произведения или
первообразной от частного двух функций. Будьте внимательны!
Получим еще одно правило отыскания первообразных. Мы зна-
знаем, что производная функции y = f(kx+т) вычисляется по формуле
(f(kx+m))' = kf'(kx+m).
Это правило порождает соответствующее правило отыскания
первообразных.
Правило 3. Если y-F(x) — первообразная для функции y = f(x),
то первообразной для функции y = f(kx+m) служит функция
y=\F(kx+m\
к
В самом деле,
-F(kx+m) =
f J
kF\kx+m)
Это и означает, что y =—F(kx+m) является первообразной для
k
функции y = f(kx+m). •
Смысл третьего правила заключается в следующем. Если вы
знаете, что первообразной для функции y = f(x) является функция
у - F(x), а вам нужно найти первообразную функции у = f(kx+m), то
действуйте так: берите ту же самую функцию F, но вместо аргумен-
аргумента х подставьте выражение kx+m; кроме того, не забудьте перед
знаком функции записать «поправочный множитель» —.
k
Пример 4. Найти первообразные для заданных функций:
у
a)y = s\n2x; 6)y=cos—; в)у=D-5хO.
3
Решение, а) Первообразной для sin x служит -cos x; значит, для фун-
функции j/ = sin2x первообразной будет функция y=—(-cos2x), т.е. функция
cos 2л:
б) Первообразной для cos х служит sinx; значит, для функции j/=cos—
3
л; 1 1
первообразной будет функция u=3sin—; здесь k = -, значит, -=3.
3 3 Аг
198
в) Первообразной для х7 служит —; значит, для функции у=D-5хO
8
первообразной будет функция у = , т.е. функция
о 8
= _J_.D-5z)8.
40 1
<¦
3. Неопределенный интеграл
Выше мы уже отмечали, что задача отыскания первообразной
для заданной функции у = /(дс)имеет не одно решение. Обсудим этот
вопрос более детально.
Теорема. Если y=F(x) — первообразная для функции у = /(*)
на промежутке X, то у функции у = f(x) бесконечно много перво-
первообразных и все они имеют вид у = F(x)+C.
Доказательство. 1. Пусть y = F(x)— первообразная для фун-
функции y = f(x) на промежутке X. Это значит, что для всех х из X вы-
выполняется равенство F\x) = f(x). Найдем производную любой
функции вида у = F( x)+С:
(F(x) +C) = F\x) +C = f{x) +0 = /(*).
Итак, (F(x)+C) = f(x). Это значит, что y = F(x) +C является пер-
первообразной для функции у = f(x).
Таким образом, мы доказали, что если у функции y = f(x) есть
первообразная у=F(x), то у функции y = f(x) бесконечно много пер-
первообразных, например, любая функция вида y = F(x)+C является
первообразной.
2. Докажем теперь, что указанным видом функций исчерпыва-
исчерпывается все множество первообразных.
Пусть y = F1(x) и y = F(x) — две первообразные для функции
y = f(x) на промежутке X. Это значит, что для всех х из промежутка
X выполняются соотношения: F{ (х) = f(x); F'(x) = f(x).
Рассмотрим функцию у = Fj (ж) -F(x) и найдем ее производную:
(F, (х) -F(x))' = *i'(x) -F\x) = №- f(x) = 0.
Известно, что если производная функции на промежутке X тож-
тождественно равна нулю, то функция постоянна на промежутке X
(см. теорему 3 из § 35). Значит, F1(x)-F(x) =C, т.е. F^x) = F(x)+C.
Теорема доказана. #
Пример 5. Задан закон изменения скорости от времени v = -5 sin 2t. Най-
Найти закон движения s = s(t), если известно, что в момент времени t=0 коор-
координата точки равнялась числу 1,5 (т.е. s@) = l,5).
Решение. Так как скорость — производная координаты как функции
от времени, то нам прежде всего нужно найти первообразную от скорости,
199

т.е. первообразную для функции u = -5sin2i. Одной из таких первообраз-
первообразных является функция s = -5 - (-cos2t), т.е. s = 2,5cos2<, а множество всех
2t
первообразных имеет вид:
s = 2,5cos2< + C. A)
Чтобы найти конкретное значение постоянной С, воспользуемся на-
начальными условиями, согласно которым, s@) = l,5. Подставив в формулу
A) значения< = 0, s = l,5, получим:
1,5 = 2,5 cosO + С,
1,5 = 2,5 +С,
С = -1.
Подставив найденное значение С в формулу A), получим интересую-
интересующий нас закон движения:
s = 2,5cos2<-l. <Я
Определение 2. Если функция у = f(x) имеет на промежутке Xпер-
Xпервообразную у = F(x), то множество всех первообразных, т.е. множест-
множество функций вида y = F(x) + C, называют неопределенным
интегралом от функции у = f(x) и обозначают:
\f(x)dx
(читают: «неопределенный интеграл эф от икс дэ икс»).
В следующем параграфе мы выясним, в чем состоит скрытый
смысл указанного обозначения.
Опираясь на имеющуюся в этом параграфе таблицу первообраз-
первообразных, составим таблицу основных неопределенных интегралов:
\xndx = -—+C,(neN).
J n -4-1
j sin xdx = -cos x + C.
(cos xdx = sin x+C.
dx „
—— = -ctg* + C.
1 sin" x
r dx „
\—— = tgx+C.
J COS X
200
Опираясь на приведенные выше три правила отыскания перво-
первообразных, мы можем сформулировать соответствующие правила
интегрирования.
Правило 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегра-
интегралов этих функций:
J (/(*) + g(x))dx = J f(x)dx+j g(x)dx.
Правило 2. Постоянный множитель можно вынести за знак
интеграла:
[ kf(x)dx - k\ f(x)dx.
Правило 3. Если \f(x)dx = F(x)+C, то
С*, и ,. F(kx+m)
\f(kx+m)dx = ——
'-+С.
Пример 6. Найти неопределенные интегралы:
-. г dx
3
I
) \sin2xdx.
Решение, а) Воспользовавшись первым и вторым правилами интег-
:( 3 5 Л, n{dx .[dx
рирования, получим: -?=—г \dx = 3 -p=-5 —=-.
J^V* X J J six J X
Теперь воспользуемся 3-й и 4-й формулами интегрирования:
-5.J-J + C.
В итоге получаем:
б) Воспользовавшись третьим правилом интегрирования и формулой
8, получим:
г dx 1
cos2f3*-^
в) Для непосредственного нахождения заданного интеграла у нас нет
ни соответствующей формулы, ни соответствующего правила. В подобных
случаях иногда помогают предварительно выполненные тождественные
преобразования выражения, содержащегося под знаком интеграла.
Воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени:
. , l-cos2*
sin х = .
2
Тогда последовательно находим:
с = - f(l-cos2*)d* = -- [dx fcos2*d* =
2 J 2 J 2 J
= -x--\-sin2x) + C=---si
2 2 2 2 4
<¦
201

§ 38. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции).
В декартовой прямоугольной системе координат хОу дана фигу-
фигура (рис. 153), ограниченная осью х, прямыми х =а, х =Ъ (а <Ъ) и гра-
графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а, 6] функции
y = f(x); назовем эту фигуру криволинейной трапецией. Требуется
вычислить площадь криволинейной трапеции.
Решение. Геометрия дает нам рецепты
для вычисления площадей многоугольни-
многоугольников и некоторых частей круга (сектор, сег-
сегмент). Используя геометрические
соображения, мы сумеем найти лишь приб-
приближенное значение искомой площади, рас-
рассуждая следующим образом.
Разобьем отрезок [а, Ь] (основание кри-
криволинейной трапеции) на п равных частей;
это разбиение осуществим с помощью точек
xl ,x2 ,x3 ,...,xk ,хм ,...*„_!. Проведем соответ-
соответствующие ординаты. Тогда заданная криволинейная трапеция ра-
разобьется на п частей — на л узеньких столбиков. Площадь всей
трапеции равна сумме площадей столбиков.
Рассмотрим отдельно ft-тый столбик, т.е. криволинейную трапе-
трапецию, основанием которой служит отрезок^ .х^, ]. Заменим его пря-
прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(xk)
(рис. 154). Площадь прямоугольника равна f(xk)Axk, где Ахк —
длина отрезка [хк ,л:^, ]; естественно считать составленное произведе-
произведение приближенным значением площади А-го столбика.
Если теперь сделать то же самое со всеми остальными столбика-
столбиками, то придем к следующему результату: площадь S заданной кри-
i
0
У
у
с
z
У
2
[-1
о
А.
Рис. 153
i
0
У
>
У
ч.
/
1
/
/
/
/
к *ы-|_
X.
Рис. 154
Рис. 155
202
волинейной трапеции приближенно равна площади S. ступенчатой
фигуры, составленной из п прямоугольников (рис. 155). Имеем:
Sn =/(хо)Дхо +/(х1)Дх1 +f(x2)bx2+...+f(xt)bxk+...+f(xn_1)bxn_l.
Здесь ради единообразия обозначений мы считаем, что a=xo,b = xii;
Ах0 —длина отрезка[jCo.jCjJ.A^j —длина отрезка^ ,х2] и т.д.
Итак, S*=Sn, причем это приближенное равенство тем точнее,
чем больше п.
Принято считать, что искомая площадь есть предел последова-
последовательности (SJ:
-U-JJ.
мм
I I I
I I I
Рис. 156
Задача 2 (о вычислении массы стержня).
Дан прямолинейный неоднородный стержень (рис. 156), плот-
плотность в точке х вычисляется по формуле р=р{х). Найти массу стер-
стержня.
Решение. Масса тела, как известно
из курса физики, равна произведению
плотности на объем (вместо объема бе-
берут площадь — если речь идет о плоской
пластине; вместо объема берут длину —
если речь идет о прямолинейном стержне без учета его толщины).
Но этот закон действует только для однородных тел, т.е. в тех слу-
случаях, когда плотность постоянна. Для неоднородного стержня ис-
используется тот же метод, что был применен при решении задачи 1.
1) Разобьем отрезок [а, Ь] на п равных частей.
2) Рассмотрим А-тый участок[хк ,хм ] и будем считать, что плот-
плотность во всех точках этого участка постоянна, а именно такая, как,
например, в точке хк. Итак, мы считаем, что p = p(xt).
3) Найдем приближенное значение массы mh k-vo участка:
ч та, »р(ж4)Аж4,
где Ахк, как и в предыдущей задаче, — длина отрезка [хк,х^ ].
4) Найдем приближенное значение массы т стержня:
1 + Р(Х2 )АХ2 +-
5) Точное значение массы стержня вычисляется по формуле
т=
203

Задача 3 (о перемещении точки).
По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости
от времени выражается формулой и = v(t); пусть для определенности
v(t) >0. Найти перемещение точки за промежуток времени [а, Ь].
Решение. Ее ли бы движение было равномерным, то задача ре-
решалась бы очень просто: s =vt, т.е. s=v(b-a). Для неравномерного
движения приходится использовать те же идеи, на которых было
основано решение двух предыдущих задач.
1) Разделим промежуток времени [а, Ь] на п равных частей.
2) Рассмотрим промежуток времени [f k ,tм ]и будем считать, что
в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой, как
в момент времени tk. Итак, мы считаем, что и = v (tk).
3) Найдем приближенное значение перемещения точки sk за
промежуток времени [th, tM ]:
s* «w(*,)A*,.
4) Найдем приближенное значение перемещения s:
=so+s1 + s2+...+sk+...+sn_l =
= 1#0)Д*0 +v(t1)At1 +v{t2)At2+...+v(ta-l№a_1.
45) Точное значение перемещения вычисляется по формуле
\У
\
s =limS,.
Подъедем итоги. Три различные задачи привели при их реше-
решении к одной и той же математическоймодели. Многие задачи из
различных областей науки и техники приводят в процессе реше-
решения к такой же модели. Значит, данную математическую модель
надо специально изучить, т.е.:
а) присвоить ей новый термин,
б) ввести для нее обозначение,
в) научиться с ней работать.
Этим и займемся.
2. Понятие определенного интеграла
Дадим математическое описание той модели, которая была пост-
построена в трех рассмотренных задачах для функции у = f(x), непрерыв-
непрерывной (но необязательно неотрицательной, как это предполагалось в
рассмотренных задачах) на отрезке [а, Ь]:
1) разбивают отрезок [а, Ь] на п равных частей;
2) составляют сумму:
Sn =f(xo)Axo +/(ж,)Аж1 +f(x2)Ax2 +
)Axk +
204
3) вычисляют lim S .
В курсе математического анализа доказано, что при указанных
условиях этот предел существует. Его называют определенным ин-
интегралом от функции y=f(x) по отрезку [о, Ь] и обозначают так:
]f(x)dx
(читают: «интеграл от а до Ъ эф от икс дз икс»). Числа а и Ь называют
пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним).
Замечание. Приведем правдоподобную версию происхождения ука-
указанного обозначения и термина: J — стилизованная буква S (summa);
f(x)dx — напоминание о слагаемых вида f(xk )Axk, из которых состоит сум-
сумма Sn. Само слово интеграл происходит от латинского слова integer —
«целый». Употребление этого термина вполне оправданно: вспомните, ка-
какой смысл вкладывается в русском языке в слово интеграция — восста-
восстановление, восполнение, воссоединение; подробнее — это процесс, ведущий
к состоянию связанности отдельных частей в целое. В построенной мате-
математической модели речь фактически идет о воссоединении целого по от-
отдельным частям (например, о нахождении всей площади — по площадям
столбиков, как было в задаче 1).
Вернемся к трем рассмотренным выше задачам. Результат, полу-
полученный в задаче 1, теперь можно переписать следующим образом:
S=]f(x)dx;
здесь S — площадь криволинейной трапеции, изображенной на
рис. 153. В этом состоит геометрический смысл определенного ин-
интеграла.
Из решения задачи 2 следует, что масса т неоднородного стерж-
стержня с плотностью р(х) вычисляется по формуле
V
т = \p(x)dx.
В этом состоит физический смысл определенного интеграла.
Из решения задачи 3 следует, что перемещение s точки, движу-
движущейся по прямой со скоростью v = y(f), за промежуток времени от t =a
до t = Ъ, вычисляется по формуле
о
t = jv(t)dt.
Это — еще одно физическое истолкование определенного интег-
интеграла.
205

3. Формула Ньютона—Лейбница
После внимательного изучения предыдущего параграфа у вас,
наверное, возник вопрос: почему в названии построенной матема-
математической модели содержится слово «интеграл», ведь в § 37 это сло-
слово ассоциировалось у нас с термином «первообразная». Есть ли
какая-либо связь между определенным интегралом и первообраз-
первообразной?
Ключ к разгадке дает задача 3. С одной стороны, перемещение s
точки, движущейся по прямой со скоростью v=v(t), за промежуток
времени от*=адо*=Ь вычисляется по формуле
¦ =jv(t)dt.
С другой стороны, координата движущейся точки есть первооб-
первообразная для скорости — обозначим ее s (t); значит, перемещение s
выражается формулой s = a(b)-a(a). В итоге получаем:
]v(t)dt = s(b)-s(a),
где s (t) — первообразная для v(t).
Вернемся к задаче 1 — о вычислении площади криволинейной
трапеции (см. рис. 153). Мы установили, что
• = ]f(x)dx.
A)
Сейчас мы покажем другое решение этой задачи, которое приве-
приведет нас к формуле
S = F(b)-F(a),
где F (х) — первообразная для f(x). Будем считать для упрощения,
что у - f(x) — возрастающая функция на отрезке [а,Ь].
Выберем между а и Ъ на оси абсцисс фиксированную точку х и
рассмотрим криволинейную трапецию аАМх (рис. 157), обозначим
ее площадь через S (х). Каждому х из отрезка [а, Ь] соответствует
вполне определенное значение S(x), т.е. можно говорить о функции
и = S(x). Эта функция определена на отрезке
[а,Ь], она неотрицательна и возрастает (чем
больше х, тем большую площадь имеет кри-
криволинейная трапеция аЛМх).
Особо отметим значения функции на
концах отрезка [а,Ь]:
если х =а, то трапеция аАМх «вырожда-
«вырождается» в отрезок аА, его площадь равна
Рис. 157 нулю, т.е. S(a) =0;
206
0
У
к
А
i
<
/
а
1
Л"
i
1
At
''¦
X
«о
>
если а =Ь, то трапеция аАМх совпадает с трапецией аАВЪ, пло-
площадь S которой нам как раз и надо вычислить, т.е. S(b) =S.
Вся подготовительная работа закончена, приступим к решению
задачи о вычислении площади криволинейной трапеции аАВЪ.
Осуществим это решение в два этапа.
Первыйэтап. Найдем производную функции и =S(x), приме-
применив выработанный в § 32 алгоритм.
1) Для фиксированного значения х имеем: S(x) = SaAMx.
2) Дадим аргументу приращение Ах (пусть для определенности
выполняется неравенство Ад:>0). Для значения р = х+Ах имеем
(рис. 158)
S(x+Ax)=SaAPp.
3) Au = S(x+Ax)-S(x) = SxMPp — площадь узенького столбика
хМРр на рис. 158.
4) Функция y=f(x) возрастает на отрезке
[х, х+Ах], значит, f(x) — наименьшее значе-
значение функции на указанном отрезке, а
f(x+Ax) — наибольшее значение функции
Но
на
тогда
i
0
У
к
А
4
/'
\
/
а
>
м
1
f
/
/
/
/
/
/
/
с
»
ь'
указанном отрезке.
f(x)Ax < SxMPp < f(x+Ax)Ax, а потому
f(x)< — <f(x+Ax). B)
Ах
5) Если А* -> 0, то f(x+Ax) -> f(x). Анали-
Анализируя неравенство B), логично предполо-
Аи ,. .
жить, что тогда и »f(x), — в курсе
Ах
математического анализа доказано, что это верно. Но, как извест-
известно, lim — =и'=&(х). Таким образом,
ДОД
Рис. 158
#(*)=/(*)•
Иными словами, S (х) — первообразная для f(x).
Второй зтап. Имеем: S(b) = S; S(a) = 0, значит,
S = S(b)-S(a).
Приступая к решению задачи, мы для функции f(x) выбрали
первообразную F(x). Значит, теперь у нас есть две первообразные
для f(x): F(x) и S (х). Они, как известно, отличаются друг от друга
на постоянную величину, т.е.
S(x)=F(x)+C.
Далее имеем:
207

_S(b) = F(b)+C,
S(a) = F(a)+C.
SQb)S(a) = F(b)-F(a)
или S = F(b)-F(a).
Сопоставив этот результат с формулой A), получим:
ь
jf(x)dx=F(b)-F(a).
а
Вообще, в курсе математического анализа доказана следующая
теорема.
Теорема. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь],
то справедлива формула
]f(x)dx = F(b)-F(a),
где F (х) — первообразная для f(x).
Приведенную формулу обычно называют формулой Ньюто-
Ньютона—Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона
A643—1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница
A646—1716), получивших ее независимо друг от друга и практи-
практически одновременно.
Замечание. То, что математическую формулу вывели философ и фи-
физик, никого не удивляет, ведь математика — язык, на котором говорит
сама природа.
На практике вместо записи F(b)-F(a) используют запись F(x)\b
(ее называют иногда двойной подстановкой) и соответственно пе-
переписывают формулу Ньютона—Лейбница в виде:
]f(x)dx =
а
Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первооб-
первообразную, а затем осуществляют двойную подстановку.
3
Пример 1. Вычислить J х3 dx.
Решение. Первообразной для х3 служит —. Значит,
4
Пример 2. Вычислить J-
з=3^_(-1
-i~ 4 4
+ x3 + 2x2 +1
- = - = 20.
4 4
dx.
<¦
Решение. Здесь для отыскания первообразной удобнее воспользо-
воспользоваться знаком неопределенного интеграла, при этом полезно числитель
дроби, содержащейся под знаком интеграла, разделить почленно на ее зна-
знаменатель:
208
f3x4+x3+2x2+l ,
J j dx =
? I—
J X2 - 3 2
+ y + 2x-- + C.
Теперь вычислим определенный интеграл:
-
= 18 + 2 + 4—| I-
- + 2-1 1 = 13,5-2,5 = 11.
Пример 3. Вычислить площадь фигу-
фигуры, ограниченной одной полуволной сину-
синусоиды у = sin х и осью абсцисс.
Решение. Можно взять полуволну
синусоиды от точки х = 0 до точки х = п
(рис. 159) и воспользоваться формулой A)
при следующих условиях: а = 0, Ь = п,
f(x) = sinx. Получим:
1
|о
/
. v = sinx
//
V
/,
\
ж
\
X
Рис. 159
S = j sin х dx = -cos x
= -(cos7i-cosO) = -(-l-l) =
(в процессе вычислений мы учли, что первообразной для sinx является
-cosx).
Ответ: S = 2.
Опираясь на формулу Ньютона—Лейбница, нетрудно обосно-
обосновать некоторые свойства определенного интеграла.
Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегра-
интегралов:
}(/(*)+g(x))dx = J f(x)dx+j g(x)dx.
a a a
Доказательство. Если F(x) — первообразная для f(x), a
G(x) — первообразная для g(x), то F(x)+G{x) — первообразная для
f(x)+g(x).Toma:
](f(x)+g(x))dx=(F(x)+G(x))
= (F(b)
)+G(a)) =
209

Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак
интеграла:
ь ь
jkf(x)dx = kjf(x)dx.
а а
Свойство 3. Если а < с < Ъ, то
]f(x)dx+ff(x)dx = jf(x)dx
аса
(аддитивное свойство интеграла).
Доказательство.
]f(x)dx+jf(x)dx =
а -с
=(F(c)-F(a))+(F(b)-F(.c)) =
= F(b)-F(.a) = jf(x)dx. •
i
0
У
1
>
1
a
|
ф
С
I*
с
9
Я.
1
Б
ь
= f(x
X
Геометрический смысл аддитив-
аддитивного свойства интеграла заключается
в том, что (см. рис. 160) площадь кри-
криволинейной трапеции равна сумме
Рис. 160
площадей криволинейных трапеций, из которых она составлена:
СВЬ '
4. Вычисление площадей плоских фигур с помощью
определенного интеграла
С помощью интеграла можно вычислить площади не только криво-
криволинейных трапеций того вида, который представлен на рис. 160, но и
плоских фигур более сложного вида, например, такого, который предс-
представлен на рис. 161. Фигура Р (рис. 161а) ограничена прямыми х=а, х=Ь
и графиками непрерывных функций y = f(x),y = g(x), причем на отрез-
i
Q
У
/
/
а
/
/
/
/
\
г
р
'i
у
-
1 1
¦ t
X
b
X
1
й
у
У
/
А
Г
а
/
\
>
г
р
>
К/
1
с
а
1 1
Н
'П,
+т
у = g(i)+m
b
X
Рис. 161
210
ке [а, Ь] выполняется неравенство g(x)<f(x). Для вычисления площади
такой фигуры будем рассуждать следующим образом.
Выполним параллельный перенос фигуры Р на т единиц вверх
(т > 0) так, чтобы фигура Р оказалась расположенной в координат-
координатной плоскости выше оси абсцисс (рис. 161 б). Теперь она ограниче-
ограничена сверху и снизу графиками функций y = f(x)+m, y = g(x)+m,
причем обе функции непрерывны и неотрицательны на отрезке [а, Ь].
Имеем:
P =S
ABCD
aDCb
m)dx-j(g(x) + m)dx =
Ь
= J ((/(*) + m) ~ (?(*) +
a "
Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, x = b и
графиками функций y = f(x),y = g(x), непрерывных на отрезке [а, Ь]
итаких, что g(x)<f(x) для всех х из отрезка[а, Ь], вычисляется по
формуле
S=)(f(x)-g(x))dx.
C)
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ог-
ограниченной линиями у = х,у = 5- х,х = 1,х = 2.
Решение. Фигура, площадь которой надо
найти, изображена на рис. 162. Воспользовав-
Воспользовавшись формулой C), получим:
S = J(E-ж)-*)<** =
г
=jE-2x)dx=Ex-x2)
=E 2-22)-E 1-12) = 2.
Ответ: S = 2.
t
ч
0
/
У
ч
s
/Г
'/
X
2
/
ч
ч
ч
1
J
/
\

—л
X
: ¦
Рис.162
Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой у = х -2
и параболой у = х2 -4х + 2.
Решение. Прямую у = х-2 можно построить по точкам B; 0) и@; -2)
(рис. 163). Абсциссу вершины параболы найдем из условия у'=0. Имеем:
2 '24
2х-4=0;
х = 2.
Если х = 2, то у = 22 -4 2 +2 = -2. Значит, вершиной параболы служит
точка B; -2), а осью параболы — прямая х = 2. Возьмем две пары точек,
211

i
t
J
\
|0M
2И
1
x=2
A
y=
'E
/71
Щ
f A
x2-4x+2
f--r 0
X
симметричных относительно оси параболы:
A; -1) и C; -1), @; 2) и D; 2) и построим па-
параболу по пяти точкам (рис. 163). Парабола
и прямая пересекаются в двух точках Л и Б,
для отыскания абсцисс этих точек надо ре-
решить уравнение
дс2-4дс + 2 = дс-2.
Находим последовательно:
дс2-5дс + 4=0;
Рис.163 xl =l;Xj=4.
Фигура, площадь которой надо найти, ог-
ограничена линиями у = хг -4дс + 2 (снизу) и у = дс-2 (сверху). Можно счи-
считать, что с боков эта фигура ограничена прямыми х = 1 и х = 4. Значит, для
вычисления площади фигуры можно применить формулу C).
S=j((x-2)-(xz -
(*ч? х
-x2 -4)dx= ——-—4*
I 2 ' 3
i 42 43 W I2 I3
= 5.1.-^-4.4 _ 5.i__i__4.x
2 3 2 3
=4,5.
Ответ: S = 4,5.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
В этой главе вы познакомились с новыми терминами математи-
математического языка:
первообразная;
неопределенный интеграл;
определенный интеграл.
Вы познакомились с новыми обозначениями — новыми симво-
символами математического языка:
[ f(x)dx — неопределенный интеграл;
ь
[ f(x)dx— определенный интеграл.
Мы вывели формулы и правила:
для отыскания первообразной и неопределенного интеграла;
для вычисления определенного интеграла (формула Ньюто-
Ньютона—Лейбница);
для вычисления площади криволинейной трапеции.
Глава
СТЕПЕНИ И КОРНИ.
СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ
§ 39. ПОНЯТИЕ КОРНЯ n-й СТЕПЕНИ
ИЗ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА
Рассмотрим уравнение х* =1 и решим его графически.
Для этого в одной системе координат построим график функции
у = х4и прямую у = 1 (рис. 164 а). Они пересекаются в Двух точках:
А(-1; 1)и?A; 1). Абсциссы точекА и В, т.е. ас, =-1,дс2 =1, являют-
являются корнями уравнения хА = 1.
Рассуждая точно так же, находим корни уравнения х4 =16:
х1 = -2, х2 =2.
А теперь попробуем решить уравнение х4 =5; геометрическая
иллюстрация представлена на рис. 164 б. Ясно, что уравнение
имеет два корня х1 и дс2, причем эти числа, как и в двух предыду-
предыдущих случаях, взаимно противоположны. Но для первых двух
уравнений корни были найде-
найдены без труда (их можно было
найти и не пользуясь графика-
графиками), а с уравнением х4 =5 име-
имеются проблемы: по чертежу мы
не можем указать значения
корней, а можем только устано-
установись, что один корень распола-
располагается левее точки —1, а
второй — правее точки 1.
Можно доказать (примерно
так же, как это сделано в нашем
учебнике «Алгебра-8» для чис-
числа V5), что х1 и х2 — иррацио-
иррациональные числа (т.е. бесконеч-
бесконечные непериодические десятич- °
ные дроби). Рис. 164
1
к
А
II
1
1
I
1
1
1
1
1
.=2-10
У
_г
±
~r
it
±
1
J
¦у
1г
1г
тг
1
1
7
I
и
|/
1в
J
1 2
X*
у-л
i
11
II
л
¦
ji
¦ V
х\ 0
1
У|
11
||
II
1г
|'
1\
\хг
\
у
= х*
у=5 .
X
б
|
1
i
а
I
1
0
1
1
i
1
v=a
X
213

Встретившись впервые с подобной ситуацией, математики по-
поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом
языке. Они ввели в рассмотрение новый символ if, который назва-
назвали корнем четвертой степени, и с помощью этого символа корни
уравнениях4 = 5 записали так: хх = -ifb,x2 =л/б (читается: «корень
четвертой степени из пяти»).
Замечание 1. Сравните эти рассуждения с аналогичными рассужде-
рассуждениями, проведенными в § 17, 32 и 38. Новыетермины и новые обозначения
в математике появляются тогда, когда они необходимы для описания но-
новой математической модели. Это — отражение особенности матёматичёс-
кбго" языка: его основная функция не коммуникативная — для общения, а
организующая — для организации успешной работы с математическими
моделями в разных областях знаний.
Мы говорили об уравнении х* =а, где а >0. С равным успехом мы
могли говорить и об уравнении хп =а, гдеа > 0, a л — любое натураль-
натуральное число. Например, решая графически уравнение хъ = 1, находим
х = 1 (рис. 165); решая уравнение х^ = 7, устанавливаем, что уравне-
уравнение имеет один корень х1, который располагается на оси х чуть правее
точки 1 (см. рис. 165). Для числа х1 введем обозначение л/7.
Вообще, решая уравнение хп =а, гдеа >0,
л е N, л > 1, получаем в случае четного л два
корня: -л/а,л/а (рис. 164, в); в случае нечет-
нечетного л — один корень л/а (читается: «корень
л-й степени из числа а»). Решая уравнение
хп =0, получаем единственный корень х=0.
Замечание 2. В математическом языке,
как и в обыденном языке, бывает так, что один
и тот же термин применяется к разным поняти-
понятиям; так, в предыдущем предложении слово « ко-
корень» употреблено в двух смыслах: как корень
уравнения (к такому толкованию вы давно при-
привыкли) и как корень n-й степени из числа (новое
толкование). Обычно из контекста бывает ясно,
какое толкование термина имеется в виду.
Теперь мы готовы дать точное определение.
Определение 1. Корнем л-й степени из неотрицательного
числа а (л = 2, 3,4, 5,...) называют такое неотрицательное число,
которое при возведении в степень л дает в результате число а.
Это число обозначают л/а, число а при этом называют подкорен-
подкоренным числом, а число л — показателем корня.
I Если л=2, то обычно не говорят «корень второй степени», а гово-
говорят"* корень квадратный». В этом случае не пишут Va, а пишут 4а.
Это тот частный случай, который вы специально изучали в курсе
алгебры 8-го класса.
\ I
7
1
'г
'
1
г
1
vl
¦
1
1
1
Г
1
1
11
1
у=7
у-1
X
Рис. 165
214
Если л = 3, то вместо «корень третьей степени» часто говорят
«корень кубический». Первое знакомство с кубическим корнем у
вас также состоялось в курсе алгебры 8-го класса. Мы использова-
использовали кубический корень в § 36 при решении примера 6.
Итак,
,п = 2,3,4,5,...,то:1)^о>0; 2)(Vo)n =a.
Вообще, л/а=ЬиЬп =а — одна и та же математическая модель
(одна и та же зависимость между неотрицательными числами а и
Ь), но только вторая описана более простым языком (использует бо-
более простые символы), чем первая.
Операцию нахождения корня из неотрицательного числа назы-
называют обычно извлечением корня. Эта операция является обратной
по отношению к возведению в соответствующую степень. Сравните:
Возведение в степень
52=25
103=1000
0.34 =0,0081
Извлечение корня
л/25=5
^1000 = 10
^/0,0081=0,3
Еще раз обратите внимание: в таблице фигурируют только по-
положительные числа, поскольку это оговорено в определении 1. И
хотя, например, (-бJ =36 — верное равенство, перейти от него к за-
записи с использованием квадратного корня, т.е. написать, что
л/36=-6, нельзя. По определению л/3E — положительное число,
значит, л/3E =6(а не -6). Точно так же, хотя и 24 =16, и(-2L =16,
переходя к знакам корней, мы должны написать Vl6 = 2 (и в то же
время Vl6 Ф -2).
Иногда выражение л/а называют радикалом (от латинского слова
radix — «корень»). В русском языке термин радикальный использу-
используется довольно часто, например, «радикальные изменения» — это
значит «коренные изменения». Между прочим, и само обозначение
корня напоминает о слове radix: символ ^/ — это стилизованная
буква г.
Пример 1. Вычислить: а) -JI§; б) ^/0,125; в)л/0;
Решение, а)-749 =7, так как 7 >0и 7s = 49.
6)^0,125=0,5, так как 0,5 >0и 0,5'= 0,125.
b)V0=0.
215

г) В отличие от предыдущих примеров мы не можем указать точное зна-
значение числа VT7. Ясно лишь, что оно больше, чем 2, но меньше, чем 3, пос-
поскольку 24=16 (это меньше, чем 17), а З4 = 81 (это больше, чем 17).
Замечаем, что 24 намного ближе к 17, чем З4, так что есть основания ис-
использовать знак приближенного равенства: VIT = 2.
Впрочем, более точное приближенное значение числа VlT можно найти
с помощью калькулятора, который содержит операцию извлечения кор-
корня, оно равно приближенно 2,03, т.е. Vl7 = 2,03(с точностью до 0,01). <я|
Операцию извлечения корня определяют и для отрицательного
подкоренного числа, но только в случае нечетного показателя
корня. Иными словами, равенство (-2M =-32 можно переписать в
эквивалентной форме как V-32 = -2. При этом используется следу-
следующее определение.
Определение 2. Корнем нечетной степени л из отрицательного
числа а (л = 3,5,...) называют такое отрицательное число, которое, будучи
возведено в степень л, дает в результате число а.
Это число, как и в определении 1, обозначают Va, число а — подко-
подкоренное число, число л — показатель корня.
Итак,
еслио<0,п=3,5,7,...,то:
=o.
Таким образом, корень четной степени имеет смысл (т.е. опре-
определен) только для неотрицательного подкоренного выражения;
корень нечетной степени имеет смысл для любого подкоренного
выражения.
Пример 2. Решить уравнения:
a)V3x + 4=-2; 6)V3x-2=l; b)V2-5x=-4; г) V*2 -5х + 68=2.
Решение, а) Если\[у = -2, то у = -%. Фактически обе части заданного
уравнения мы должны возвести в куб. Получим:
б) Рассуждая, как в примере а), возведем обе части уравнения в четвер-
четвертую степень. Получим:
Зх-2 = 1;
Зх=3;
х = 1.
в) Здесь не надо возводить в четвертую степень, это уравнение не имеет
решений. Почему? Потому, что согласно определению 1 корень четной сте-
степени — неотрицательное число.
г) Возведя обе части уравнения в шестую степень, получим:
хг- Ьх + 68=64;
<¦
х1 =1, хг =4.
216
§40. ФУНКЦИИ у=я/х, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ
В предыдущем параграфе мы ввели понятие корня л-й степени
из действительного числа, отметили, что из любого неотрицатель-
неотрицательного числа можно извлечь корень любой степени (второй, третьей,
четвертой и т.д.), а из отрицательного числа можно извлечь корень
любой нечетной степени. Но тогда следует подумать и о функции
вида у = yfx, о ее графике, о ее свойствах. Этим мы и займемся в нас-
настоящем параграфе. Сначала поговорим о функции у = л[хв случае
неотрицательных значений аргумента.
Начнем с известного вам случая, когда л =2, т.е. с функции
у = у[х. На рис. 166 изображен график функции у = 4х и график
функции у = х2, х>0. Оба графика предс-
представляют собой одну и ту же кривую —
ветвь параболы, только по-разному распо-
расположенную на координатной плоскости.
Уточним: эти графики симметричны от-
относительно прямой у = х, поскольку сос-
состоят из точек, симметричных друг другу
относительно указанной прямой. Смотри-
Смотрите: на рассматриваемой ветви параболы
у = х2 есть точки @; 0), A; 1), B; 4), C; 9),
D; 16), а на графике функции у = 4х —
точки @; 0), A; 1), D; 2), (9; 3), A6; 4).
Точки B; 4) и D; 2), C; 9) и (9; 3), D; 16) и A6; 4) симметричны отно-
относительно прямой у = х, (а точки @; 0) и A; 1) лежат на этой прямой).
И вообще, для любой точки (а; аг) на графике функции у = х2 есть
симметричная ей относительно прямой у = хточка (а2; а) на графи-
графике функции у = 4х и обратно. Справедлива следующая теорема.
Теорема. ТочкиМ (а; Ь) иР (Ь; а) симметричны относитель-
относительно прямой у = х.
Доказательство. Будем считать для
определенности, чтоаиЬ — положительные ~
числа. Рассмотрим треугольники ОАМ и
ОВР (рис. 167). Они равны, значит, ОР = ОМ
и ZM0A = ZBOP. Но тогда и ZPOH =
ZH0M, поскольку прямая у = х — биссект-
биссектриса угла АОВ. Итак, треугольник РОМ —
равнобедренный, ОН — его биссектриса, а
-
i
9
Л
3
2
1
Y
4
а
I V-'-*
1 У
1
1
/
/
Т
г*
\
/
el
V
*
у=х
Тх
q
X
Рис. 166
1
в-
V
1
/
a\L
\[\/
W
/101
1 1
р
/
а
X
н
\
Л
и
\
У
/
1
)
X
Рис. 167
217

значит, и ось симметрии. Точки М и Р симметричны относительно
прямой ОН, что и требовалось доказать. •
Итак, график функции у = 4х можно получить из графика функ-
функции у = х2, х>0 с помощью преобразования симметрии относительно
прямой у = х. Аналогично график функции у=Чх, х>0 можно полу-
получить из графика функции у = х3, х> 0 с помощью преобразования
симметрии относительно прямой у=х; график функции у = tfx мож-
можно получить из графика функции у = х*,
х>0 с помощью преобразования
симметрии относительно прямой у = х и
т.д. Напомним, что график функции
у = хп ,гдех>0, п = 3, 4, 5, ..., напоминает
по виду ветвь параболы у = х2, х>0. Чем
больше п, тем круче эта ветвь устремляет-
устремляется вверх на промежутке @, + «>) и тем бли-
ближе подходит к оси х в окрестности точки
х=О (рис. 168).
Сформулируем общий вывод: график
функции у = rfx, x> О симметричен гра-
графику функции у = х", х>0,
относительно прямой у = х(рис. 169).
Свойства функции у = rfx, x> О:
i
у
к
к
1
"У
1
/
I
У
/
н
-
_
1
X
Рис. 168
J
1
у
к
ll
I
I
I
/
I
/I
I
y-X
«5
/
m
y-x
Г
т.
X
2) функция не является ни четной, ни
нечетной;
3) возрастает на [О, + «>);
4) не ограничена сверху, ограничена
снизу;
5) не имеет наибольшего значения;
Унанм. =0'
6) непрерывна;
Рис. 169
Обратите внимание на одно любопытное обстоятельство. Рас-
Рассмотрим две функции, графики которых изображены на рис. 169:
у = \[х, х>0 и у = хп, х>0. Только что мы перечислили семь
свойств для первой функции, но абсолютно теми же свойствами об-
обладает и вторая функция. Словесные «портреты» двух различных
функций одинаковы. Но, уточним, пока одинаковы. Математики
218
i
0
Y
/
/.
/
J
у
f
X
Рис. 170
о
у
/
f
/
A
w
r
X
Рис. 171
проведенного отрезка
не смогли вынести такой несправед-
несправедливости, когда разные функции, име-
имеющие разные графики, словесно
описываются одинаково, и ввели по-
понятия выпуклости вверх и выпуклос-
выпуклости вниз. График функции y = Vx
обращен выпуклостью вверх, тогда
как график функции у = хп обращен
выпуклостью вниз.
Обычно говорят, что непрерывная
функция выпукла вниз, если, соеди-
соединив любые две точки ее графика отрез-
отрезком прямой, обнаруживают, что
соответствующая часть графика ле-
лежит ниже проведенного отрезка
(рис. 170); непрерывная функция вы-
выпукла вверх, если, соединив любые
две точки ее графика отрезком пря-
прямой, обнаруживают, что соответству-
соответствующая часть графика лежит выше
(рис. 171).
Свойство выпуклости мы будем в дальнейшем включать в про-
процедуру чтения графика. Отметим его'(продолжив нумерацию опи-
описанных ранее свойств) для рассматриваемой функции:
8) функция у = 4х выпукла вверх на луче [0, +<»).
В предыдущей главе мы познакомились еще с одним свойством
функции — дифференцируемостью, видели, что функция у = хп
дифференцируема в любой точке, ее производная равна пх"'1. Гео-
Геометрически это означает, что в любой точке графика функции
у = хп к нему можно провести касательную. Этим же свойством об-
обладает и график функции у = Vx: в любой
его точке к графику можно провести каса-
касательную. Таким образом, мы можем отме-
отметить еще одно свойство функции у = Ух:
9) функция y=Vx дифференцируема в
любой точке х>0.
Обратите внимание: о дифференцируе-
мости функции в точке х = 0 речь не
идет — в этой точке касательная к графи-
графику функции совпадает с осью у, т.е. пер-
перпендикулярна оси абсцисс. Рис. 172
х=-Г
-1
t
0
f
У
-Д
м
v=-4
X
219

ч
s
i
s
¦
0
у
ii
A
к
1 2\
s
У-
¦¦
s
_ v=2-x
X
Пример 1. Построить график функции
V
Решение.1)Перейдем к вспомогательной
системе координат с началом в точке (-1; -4) —
пунктирные прямые х = -1 и у = -4 на
рис. 172.
2) «Привяжем» функцию у = */х к новой
системе координат. Это и будет требуемый гра-
график. ^
Пример 2. Решить уравнение $[х=2-х.
Решение. Первый, способ.
1) Введем в рассмотрение две функции
Рис.173 у = Цх~ъу = 2-х.
2) Построим график функции у = у[х (рис. 173).
3) Построим график линейной функции у=2 - х (см. рис. 173).
4) Построенные графики пересекаются в одной точке А, причем по графи-
графику можно сделать предположение, что координаты точки А таковы: A; 1).
Проверка показывает, что на самом деле точка A; 1) принадлежит и графи-
графику функции у = Vx, и графику функции у=2- х. Значит, наше уравнение
имеет один корень: х = 1 — абсцисса точки А.
Второй способ.
Геометрическая модель, представленная на рис. 173, наглядно иллюст-
иллюстрирует следующее утверждение, которое иногда позволяет очень изящно
решить уравнение (и которым мы уже воспользовались в § 35 при решении
примера 2):
Если функция y=f(x) возрастает, а функция у = g(x) убывает и если
уравнение f(x) =g(x) имеет корень, то он только один.
Вот как, опираясь на это утверждение, мы можем решить заданное
уравнение:
1) заметим, что при х = 1 выполняется равенство VI = 2-1, значит,
х = 1 — корень уравнения (этот корень мы угадали);
2) функция у = 2 -х убывает, а функция у = \[х возрастает; значит, ко-
корень у заданного уравнения только один, и этим корнем является найден-
найденное выше значение х = 1.
Ответ: х = 1.
До сих пор мы говорили о функции у=У~х только для неотрица-
неотрицательных значений аргумента. Но ведь если п — нечетное число, вы-
выражение л/х имеет смысл и для х < 0. Значит, есть смысл поговорить
о функции у=rfx в случае нечетного п для любых значений х.
Собственно говоря, к перечисленным добавится только одно
свойство:
если п — нечетное число (п = 3, 5, 7,...), moy=rfx — нечетная
функция.
В самом деле, пусть f(x) = 4х. Тогда f(-x)=V^* = -V* = -f(x) — для
нечетного показателя п такие преобразования верны. Итак,
f(-x) =-f(x), а это и означает нечетность функции. •
220
Как же выглядит график функции у = 4хъ случае нечетного по-
показателя п? При х>0 так, как показано на рис. 169, — это ветвь ис-
искомого графика. Добавив к ней ветвь, симметричную ей
относительно начала координат (что, напомним, характерно для
любой нечетной функции), получим график функции y=i[x
(рис. 174). Обратите внимание: ось у является касательной к гра-
графику в точке х = 0.
Итак, повторим еще раз:
если п — четное число, то график функции y = tfx имеет вид,
представленный на рис. 169;
если п — нечетное число, то график функции y = i[x имеет вид,
представленный на рис. 174.
И
¦
Г
V
У
/
\
и 5
У-у
Гх
X
т
1
0
У
1
—
и ^
У
X
Рис. 174
Рис. 175
Пример 3. Построить и прочитать график функции
2/ = /(х),где
[>/*, еслих<1;
; -5-,еслид:>1.
1хг
Решение. Сначала построим график функции
у = \[х и выделим его часть на луче (-<», 1] (рис. 175).
Затем построим график функции у = -j и выделим его
>
0
У
\
1
1
1
V
Ik
1
¦2
X
Рис. 176
часть на открытом луче A, +°°) (рис. 176). Наконец,
оба «кусочка» изобразим в одной системе координат — это и будет график
функции у = f(x)(рис. 177).
Перечислим (опираясь на построенный гра-
график) свойства функции у = f(x):
2) ни четна, ни нечетна;
3) убывает на луче [1, +°°), возрастает на луче
(-<». 1];
¦
0
/
,У
t
1
X
Рис. 177
221

4) не ограничена снизу, ограничена сверху;
5) нет наименьшего значения, а у,^ = 1 (достигается в точке х = 1);
6) непрерывна;
7)Д/)=(-~, 1];
8) выпукла вниз при х<0, выпукла вверх на отрезке [0, 1], выпукла
вниз при х>1;
9) функция дифференцируема всюду, кроме точек х = 0 и х = 1.
10) график функции имеет горизонтальную асимптоту у=0 при х-* -н»;
это означает, напомним, что lim /(*)=0. <¦
Пример 4. Найти область определения функции:
Решение, а) Под знаком корня четной степени должно находиться
неотрицательное число, значит, задача сводится к решению неравенства
4* -8>0. Получаем х>2. Значит, ?>(/) = [2, +°°).
б) Под знаком корня нечетной степени может находиться любое число,
значит, здесь на х не накладывается никаких ограничений, т.е. D{f) = R.
в) Выражение 42х + 2 имеет смысл при условии 2х + 2>0, а выражение
л/16-д:2 — при условии 16-*2>0. Значит, должны одновременно выпол-
выполняться два неравенства: 2х + 2>0 и 16- х2 >0, т.е. задача сводится к реше-
решению системы неравенств:
Г
[16-*2>0.
Решая неравенство 2х + 2>0, находим *> -1.
Решим неравенство 16 - хг > 0. Разложим левую часть неравенства на мно-
множители: D - х) D + х)>0. Левая часть неравенства обращается в 0 в точках -4
и 4. Отметим эти точки на числовой прямой (рис. 178). Числовая прямая раз-
разбивается указанными точками на три промежутка, причем на каждом проме-
промежутке выражение р(х)={4- х){4 + х) сохраняет постоянный знак (знаки
указаны на рис. 178). Промежуток, на котором выполняется неравенство
р(*)>0, заштрихован на рис. 178. По усло-
условию задачи нас интересуют и те точки х, в
которых выполняется равенство р(х) = 0.
Таких точек две: х = -4, х = 4 — они отмече-
отмечены на рис. 178 темными кружочками. Та-
Таким образом, на рис. 178 представлена
геометрическая модель решения второго не-
неравенства системы.
Отметим найденные решения первого
и второго неравенств системы на одной ко-
координатной прямой, использовав для пер-
первого — верхнюю, а для второго — нижнюю
штриховку (рис. 179). Решением системы
неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежу-
промежуток, на котором обе штриховки совпали. Таким промежутком является от-
отрезок [-1, 4].
Ответ. D(f)=[-1,4].
i
1 1
4-
4-
-i-
I
I
I 1
1 1
2L
Рис. 178
|
х
1 1 1
Л),.
X
Рис. 179
222
§41. СВОЙСТВА КОРНЯ n-й СТЕПЕНИ
Чтобы успешно использовать на практике операцию извлече-
извлечения корня, нужно познакомиться со свойствами этой операции,
что мы и сделаем в настоящем параграфе.
Все свойства формулируются и доказываются только для неот-
неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками
корней.
Теорема 1. Корень п-й степени (п -2,3,4,...) из произведения
двух неотрицательных чисел равен произведению корней п-й
степени из этих чисел:
Доказательство. Введем следующие обозначения:л/аЬ = х,
л/а = J/, у/ь = г. Нам надо доказать, что для неотрицательных чисел
х, у, z выполняется равенство х -yz.
Так как tfab=x, то хп =аЪ. Так как Va = y, то у" =а. Так как
Ф)=г, to г" =Ъ.
Итак, ж" =аЪ, у" =о, гп =Ь, атогдаж" =ynzn,r.e. xn =(yz)".Ho
если степени двух неотрицательных чисел равны и показатели сте-
степеней равны, то равны и основания степеней; значит, из равенства
х" =(yz)n следует, что х=уг, а это и требовалось доказать. ф
Приведем краткую запись доказательства теоремы.
Подготовка к доказательству
(введение новых перемен-
переменных)
t[ab = x
*Jli=y
ifc = z
Доказать: х = yz
Перевод на более
простой язык
x"=ab
1Г-а
г"=Ь
Доказательство
хп=упгп
*"=(«/*)"
x = yz
Замечания:1. Теорема 1 остается справедливой и для случая, когда
подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух
неотрицательных чисел.
2. Теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию
«если...то» (как это принято для теорем в математике). Приведем соответ-
соответствующую формулировку: если аиЬ — неотрицательные числа, то спра-
справедливо равенство Vab =>/ал/Ь. Следующую теорему мы именно так и
оформим.
223

Теорема 2. Если о > О, Ъ>Оип — натуральное число, большее
1, то справедливо равенство
Краткая (хотя и неточная) формулировка, которую удобнее ис-
использовать на практике: корень из дроби равен дроби от корней.
Доказательство. Приведем краткую запись доказательства
теоремы 2, а вы попробуйте сделать соответствующие коммента-
комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве те-
теоремы 1.
Подготовка к доказательству
(введение новых перемен-
переменных)
&'
ч/а=у
ч!ъ=г
Доказать: х = —
z
Перевод на более
простой язык
ж"--
Ъ
у"=а
гп=Ь
Доказательство
*¦$
х=У-
г
•
v Вы, конечно, обратили внимание на то, что доказанные два
свойства корней гс-й степени представляют собой обобщение извес-
известных вам из курса алгебры 8-го класса свойств квадратных корней.
И если бы других свойств корней га-й степени не было, то как бы все
было просто (и не очень интересно). На самом деле есть еще нес-
несколько интересных и важных свойств, которые мы обсудим в этом
параграфе. Но сначала рассмотрим несколько примеров на исполь-
использование теорем 1 и 2.
Пример 1. Вычислить 3/125 64-27.
Решение. Воспользовавшись первым свойством корней (теорема 1),
получим:
3/125-64 27=3/125-3/64 3/27=5-4-3 = 60. <¦
Замечание 3. Можно, конечно, этот пример решить по-другому, осо-
особенно если у вас под рукой есть микрокалькулятор: перемножить числа
125, 64и27,а затем извлечь кубический корень из полученного произве-
произведения. Но, согласитесь, предложенное решение «интеллигентнее».
224
Пример 2. Вычислить 4/5—.
V 16
Решение. Обратим смешанное число 5— в неправильную дробь.
1 1 81 16
Имеем 5— = 5 + — = —. Воспользовавшись вторым свойством корней (тео-
(теорема 2), получим:
ММ з
Пример 3. Вычислить: а) 3/24 • 3/9; б) V96: Vl3.
Решение. Любая формула в алгебре, как вам хорошо известно, ис-
используется не только «слева направо», но и «справа налево». Так, пер-
первое свойство корней означает, что 3/аЬ можно представить в виде %/а • 3/Ь
и, наоборот, 3/а 3/b можно заменить выражением 3/аЬ . То же относится и
ко второму свойству корней. Учитывая это, выполним вычисления:
а) 3/24-3/9 =3/24-9 =3/8-27 =3/8-3/27 =2-3 = 6;
б) V96:5V3 =V96:3=V32=2. <j|
Пример 4. Выполнить действия: а) tfa ¦ ilb • V&; б) 4а ¦ 3/a.
Решение, а) Имеем: $[а ¦ V& -V& =4abb =Vab^.
б) Теорема 1 позволяет нам перемножать только корни одинаковой степе-
степени, т.е. только корни с одинаковым показателем. Здесь же предлагается ум-
умножить корень 2-й степени из числа а на корень 3-й степени из того же числа.
Как это делать, мы пока не знаем. Вернемся к этой проблеме позднее. <в|
Продолжим изучение свойств радикалов.
Теорема 3. Если а > О, k — натуральное число ип — натураль-
натуральное число, большее 1, то справедливо равенство
Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную сте-
степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выраже-
выражение.
Это — следствие теоремы 1. В самом деле, например, для k = 3
получаем: (VoK =4a-rfa-S[a=lla-aa=4a*. Точно так же можно
рассуждать в случае любого другого натурального значения пока-
показателя k.
Теорема4. Еслиа>0un,k — натуральные числа, большие 1,
то справедливо равенство
Иными словами, чтобы извлечь корень из корня, достаточно
перемножить показатели корней.
Например, %fifa =l$a; \[ja =1$а~;
Доказательство. Как и в теореме 2, приведем краткую за-
запись доказательства, а вы попробуйте самостоятельно сделать со-
8 Мордкович «Алгебра, 10 кл.»
225

ответствующие комментарии, аналогичные тем, что были
приведены при доказательстве теоремы 1.
Подготовка к доказа-
доказательству (введение
новых переменных)
да = *;
"& = у
Доказать: х = у
Перевод на более
простой язык
xn=*fc;
((*)")*= а;
у">=а
Доказательство
((*)")* =у"*
х = у
•
Замечание 4. Давайте переведем дух. Чему мы научились благода-
благодаря доказанным теоремам? Мы узнали, что над корнями можно осуществ-
осуществлять четыре операции: умножение, деление, возведение в степень и
извлечение корня (из корня). А как же обстоит дело со сложением и вычи-
вычитанием корней? Никак. Об этом мы говорили еще в 8-м классе по поводу
операции извлечения квадратного корня.
Например, вместо л/8+27 нельзя написать V8 + V2T. В самом деле,
л/8+27 =V35, а 3/8 + ^27 = 2 + 3=5. Но ведь очевидно, что V35*5. Будьте
внимательны!
Самое, пожалуй, интересное свойство корней — это то, о кото-
котором пойдет речь в следующей теореме. Учитывая особую значи-
значимость этого свойства, мы позволим себе нарушить определенный
стиль формулировок и доказательств, выработанный в этом параг-
параграфе, с тем чтобы формулировка теоремы 5 была немного «мягче»,
а ее доказательство — понятнее.
Теорема 5. Если показатели корня и подкоренного выраже-
выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное чис-
число, то значение корня не изменится, т.е.
Например:
x-va8 =Ma2 (показатели корня и подкоренного выражения разде-
разделили на 4);
л/а3 = Va (показатели корня и подкоренного выражения разде-
разделили на 3);
Ma2 =1va4 (показатели корня и подкоренного выражения умно-
умножили на 2).
Доказательст во. Обозначим левую часть доказываемого ра-
равенства буквой х: \акр =х. Тогда по определению корня должно
выполняться равенство
х141 =акр. A)
226
Обозначим правую часть доказываемого тождества буквой у:
Va* =y.
Тогда по определению корня должно выполняться равенство
Возведем обе части последнего равенства в одну и ту же степень
р; получим:
у1* =акр. B)
Итак {см. равенства A) и B)),
х -а , у =а .
Сопоставляя эти два равенства, приходим к выводу, что
х*р _ уЧ> ^ а значит, х =у, что и требовалось доказать. •
Доказанная теорема позволит нам решить ту проблему, с кото-
которой мы столкнулись выше при решении примера 5, где требовалось
выполнить умножение корней с разными показателями:
-v/c-Vc.
Вот как обычно рассуждают в подобных случаях.
1) По теореме 5 в выражении -То можно и показатель корня (т.е.
число 2) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умно-
умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим,
умножим оба показателя на 3; получим:
2) По теореме 5 в выражении Va можно и показатель корня (т.е.
число 3) и показатель подкоренного выражения (т.е. число 1) умно-
умножить на одно и то же натуральное число. Воспользовавшись этим,
умножим оба показателя на 2; получим:
3) Поскольку получили корни одной и той же 6-й степени, то
можно их перемножить:
Замечание 5. Вы не забыли, что все свойства корней, которые мы об-
обсуждали в этом параграфе, рассмотрены нами только для случая, когда пе-
переменные принимают лишь неотрицательные значения? Почему
пришлось сделать такое Ограничение? Потому, что корень я-й степени из
отрицательного числа не всегда имеет смысл — он определен только для
нечетных значений п. Для таких значений показателя корня рассмотрен-
рассмотренные свойства корней верны и в случае отрицательных подкоренных выра-
выражений.
8*
227

§ 42. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ,
СОДЕРЖАЩИХ РАДИКАЛЫ
В 7-м и 8-м классах вы выполняли преобразования рациональ-
рациональных выражений, используя для этого правила действий над мно-
многочленами и алгебраическими дробями, формулы сокращенного
умножения и т.д. В 8-м классе вы изучили новую операцию — опера-
операцию извлечения квадратного корня из неотрицательного числа и,
используя свойства квадратных корней, выполняли преобразова-
преобразования выражений, содержащих квадратные корни. В предыдущих
параграфах мы познакомились с операцией извлечения корня гс-й
степени из действительного числа, изучили свойства этой опера-
операции, а именно (для неотрицательных значений а и Ь):
a; A)
=о;
B)
C)
D)
E)
F)
Используя эти формулы, можно осуществлять преобразования
выражений, содержащих операцию извлечения корня (выраже-
(выражений с радикалами), — такие выражения называют иррациональ-
иррациональными. Рассмотрим несколько примеров на преобразования
иррациональных выражений.
Пример 1. Упростить выражения: a) V32a5; б) (Уа?)ь.
Решение, а) Представим подкоренное выражение 32а5 в виде
16 а* 2а и воспользуемся формулой B); получим:
V32a5 =Vr^VarV2a^=2aV2a.
Полученное выражение считается более простым, чем заданное, пос-
поскольку под знаком корня содержится более простое выражение. Подоб-
Подобное преобразование называют вынесением множителя за знак радикала.
б) Воспользовавшись формулой D), получим:
Представим подкоренное выражение а10 в виде а9 • а и воспользуемся
формулой B); получим:
la.
Как видите, и здесь удалось вынести множитель за знак радикала.
228
Вспомните формулу Va2 =)al» которую вы изучали в курсе алгеб-
алгебры 8-го класса. Она обобщается на случай любого четного показате-
показателя корня
2Va2" H4
Эту формулу следует иметь в виду в тех случаях, когда нет
уверенности в том, что переменные принимают только неотрица-
неотрицательные значения. Например, вынося множитель за знак корня
в выражении i]x4y, следует (если о знаке числа х ничего не извес-
известно) рассуждать так:
Наряду с вынесением множителя за знак радикала в необходимых
случаях используется и преобразование, так сказать, противополож-
противоположной направленности: внесение множителя под знак радикала. Это
преобразование мы используем в следующих двух примерах.
Пример 2. Сравнить числа 2 V3 и3 V2.
Решение. Имеем: 2 = л/8; 3 = ^27. Значит,
Теперь ясно, что V24 < V54, т.е. 2^3 <3^2.
<Щ
Пример 3. Упростить выражение V*2 • V*.
Решение. Сначала внесем множитель х1 под знак корня 3-й степени:
Теперь заданное выражение можно записать так:
Воспользовавшись формулой E), мы можем последнее выражение за-
записать в виде1^х7.
,Итак,^Г17^=1^7.
Пример 4. Выполнить действия:
<ш
Решение, а) Здесь можно применить формулу сокращенного умно-
умножения «разность квадратов»:
(Va" + *S)(ifc-4S)=(.ifcf -CSf =№-№.
Воспользовавшись формулой F), разделим в каждом из полученных
радикалов показатели корня и подкоренного выражения на 2; это сущест-
существенно упростит запись: 4а - -jb.
Итак, (Va + V&)(Va - ilb) = Va -S.
б) Здесь можно применить формулу сокращенного умножения «раз-
«разность кубов»:
229

Пример 5. Выполнить действия:
Решение, а) Поскольку перемножать можно корни только одной и
той же степени, начнем с уравнивания показателей у имеющихся радика-
радикалов. Для этого дважды воспользуемся формулой F):
А теперь воспользуемся формулой B):
Осталось вынести множитель за знак радикала:
б) Первый способ. Преобразуем первый множитель в корень 4-й степени:
А теперь уже нетрудно выполнить умножение радикалов:
л/9-475>/9 + 4-у/5 =^/(9-4V5X9 + 4V5)=^92 -D-Jbf =V81-80=l.
Второй способ. Сначала поработаем с подкоренным выражением во
втором множителе. Имеем:
Значит, V9 + 4-\/5 = y(V5 + 2f. Разделив показатели корня и подкоренно-
подкоренного выражения на 2, получим: VV5 + 2 (формулой F) мы здесь имеем право
пользоваться, поскольку подкоренное выражение -Уб + 2 — положительное
число). Осталось выполнить умножение квадратных корней:
Пример 6. Разложить на множители: \Гх* -Щ]х?у + 4^/j/2".
Решение. Заданное выражение можно переписать следующим обра-
образом:
¦ 2
Теперь видно, что это — полный квадрат, квадрат разности выражений
*и2ф.
Окончательно получаем:
Пример 7. Сократить дробь
=±^
Решение. Первый способ. Знаменатель дроби можно преобразовать
следующим образом:
Значит, есть резон представить числитель как «разность квадратов»:
Далее, имеем:
230
Второй способ. Введем новые переменные: t[x=a,tfy=b и учтем, что
2 _tl
при этом 4х=аг, jy=b*. Тогда заданная дробь примет вид: 2 —-j-.
Что дала нам замена переменных? Она позволила заменить иррацио-
иррациональное выражение (с переменными х и у) рациональным выражением
(с переменными а и Ь). А оперировать с рациональными выражениями
намного проще, чем с иррациональными. Имеем:
аг-Ьг (a-b)(a + b) _ a + b _vx +i[y
аг-2аЪ + Ъг= (a-bf ~a^b~ t[x-i[y" ^
§ 43. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПОКАЗАТЕЛЕ СТЕПЕНИ
Вы умеете вычислять значение степени с любым целочислен-
целочисленным показателем, руководствуясь при этом следующими опреде-
определениями:
1) если/i = l, too =о;
2) если п = 0 и о Ф 0, то о0 = 1;
3) если/i = 2, 3,4, 5, ...,тоа" =аа о. ..и (п множителей);
4)если/i = l, 2, 3, 4,... иа*0, тоо"л =—.
о"
Но математики на этом не остановились, они научились рабо-
работать не только с целочисленными показателями. В этом параграфе
мы обсудим, какой смысл придается в математике понятию степе-
степени с дробным показателем, т.е. выясним, что означают такие сим-
символы математического языка, как 2*, 3~°>3 и т.д.
Зададимся вопросом: если вводить символ 25, то каким матема-
математическим содержанием его наполнить? Хорошо бы, рассуждали
математики, чтобы сохранялись привычные свойства степеней,
например, чтобы при возведении степени в степень показатели пе-
перемножались, в частности, чтобы выполнялось следующее равен-
равенство:
( -t 3
25 =23 (поскольку- 5 = 3).
Положим а = 25. Тогда интересующее нас равенство можно пере-
переписать в виде о5=2', откуда получаем о = v23. Значит, появились ос-
з —
нования определить 25 как л/23. Подобные соображения и
позволили математикам принять следующее определение.
231

Определение 1. Если — — обыкновенная дробь(д *1)и а> 0, то под
Я
а" понимают л/ар, т. е.
а" =ЧаУ, а>0.
Например, З2 =л/3; 74 =л/75 ит.д.
Самое любопытное, что введенное определение оказалось
настолько удачным, что при нем сохранились все привычные свойс-
свойства степеней, которые были доказаны для натуральных показате-
показателей: при умножении степеней с одинаковыми основаниями
показатели складываются, при делении — вычитаются и т.д. Пусть,
i^ 1
например, нам нужно выполнить умножение а2 а3. Поскольку
1 1
а2 -л/а, а3 =\[а, то задача сводится к умножению радикалов:
а2 а3 =
=a•
115 - - -*l
Итак,о2 о3 =o6. Но, между прочим, — + -=—, т.е. о2 о3 =о2 3.
2 о о
Поскольку складывать дроби легче, чем применять свойства ра-
радикалов, на практике предпочитают заменять радикалы степеня-
степенями с дробными показателями. Для иллюстрации этого положения
вернемся к примеру 5аиз § 42: дух3 -\хп . Если перейти к дробным
показателям, то получим:
12 =
Видите, насколько быстрее и проще мы получили здесь тот же
результат, что и в § 42.
I i 51 I
Пример 1. Вычислить: аN46; бJ73; вH4; г)(-8K.
t_
Решение. аN4?=^64=2.
бJ73 =
=32 =9.
г) Это задание некорректно, поскольку нет определения степени с дроб-
дробным показателем для случая отрицательного основания. Математики до-
договорились возводить в дробные степени только неотрицательные числа
i^
(и это оговорено в определении). Так что запись вида (-8K считается в ма-
математике лишенной смысла. (Ш
232
(
Замечание. Иногда приходится слышать возражения: неверно, что
запись(-8K лишена смысла, ведь можно вычислить корень 3-й степени из
числа -8; получится ^(—8) = —2. Так почему бы не считать, что(-8K =-2 ?
Если бы математики не запретили себе возводить в дробные степени отри-
отрицательные числа, то вот с какими неприятностями пришлось бы столк-
столкнуться:
I i
-2=(-8K =(-8N =e/(-8)B=V64=2.
Получилось «равенство» -2 = 2. Выбирая определения, математики как
раз и заботятся о том, чтобы все было точно, определенно, недвусмыслен-
недвусмысленно. Поэтому в определении степени с нулевым показателем а0 появилось
ограничение а *0, а в определении степени с положительным дробным по-
показателем а4 появилось ограничение а>0.
Разумеется, математики не ограничились понятием степени с
положительным дробным показателем, они ввели и определение
степени с отрицательным дробным показателем, используя извест-
известную идею:
Но наличие дробного показателя заставляет сделать ограниче-
ограничение о>0, а наличие знаменателя заставляет сделать ограничение
о ф 0; в итоге приходится накладывать ограничение о > 0.
Определение 2. Если — — обыкновенная дробь (q * 1) и а >0, то
Я
-р- 1
пода ' понимают—:
Например, З2 =4"=^' 7'«=4"=-1
л/3 - 4
ит.д.
З2 74
Итак, теперь мы знаем, что такое степень с любым рациональ-
рациональным показателем. Справедливы следующие свойства (мы считаем,
что а> 0,b>0, suit — произвольные рациональные числа):
2)а':а' =а-'';
233

3)(а'У =а";
Частичные обоснования указанных свойств были сделаны
выше; этим мы и ограничимся.
{ - М* 1
Пример 2. Упростить выражение: \ х3 +у3 ~2$[ху гт-
{ ) WT
Решение.
l)|*3+y3 I = |*3 +2x3y3+\y3 =x3+2x3y3 +y3.
2)<фсу=(хуK=х3у3.
2 I I ?Л I I i ?
4I х3 +2х3у3 +у3 \-2х3у3 -у3 =х3.
Ответ: х3.
Пример 3. Решить уравнения: a) si? = 1; б) х3 = 1.
Решение, а) Возведя обе части уравнения в куб, получаем:
x = ±l.
б) Это практически то же самое уравнение, что и в п. а), но с одной су-
существенной оговоркой: поскольку переменная х возводится в дробную сте-
степень, она, по определению, должна принимать только неотрицательные
значения. Значит, из найденных выше двух значений х в качестве корня
уравнения мы имеем право взять лишь значение х = 1.
Ответ: а) ±1; б) 1.
?. -I
Пример 4. Решить уравнение: х 3 -2х 3-8 = 0.
Решение. Введем новую переменную у = х 3. Тогда
Л { Л\г
х 3 =\х 3 =у*. Значит, получаем квадратное уравнение относительно
новой переменной у:
lf-2y-S = O.
Решив это уравнение, получим: ух =-2, уг =4.
Теперь задача сводится к решению двух уравнений:
-I _1
*~3=-2; *~3=4.
Первое уравнение не имеет корней, поскольку (напомним еще раз) об-
область допустимых значений для переменной х в подобных случаях опреде-
234
ляется условием
находим: —j-=4;
X3
Ответ: —.
64
X
г
X3
>0.
= 4!
Решая
Чх- = \,
второе
уравнение
последовательно
Уравнения, в которых переменная содержится под знаком кор-
корня или возводится в дробную степень, называют иррациональны-
иррациональными. Первое знакомство с иррациональными уравнениями состоя-
состоялось у вас в курсе алгебры 8-го класса, где встречались уравнения,
содержащие переменную под знаком квадратного корня. В этой
главе мы рассмотрели еще несколько примеров решения иррацио-
иррациональных уравнений — пример 2 из § 39, пример 2 из § 40 и примеры
Зи4из§43.
Основные методы решения иррациональных уравнений:
— метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же
степень;
— метод введения новых переменных;
— функционально-графический метод.
Если используется метод возведения обеих частей уравнения в
одну и ту же четную степень, то возможно появление посторон-
посторонних корней, значит, обязательна проверка всех найденных реше-
решений — об этом мы говорили и раньше, в курсе алгебры 8-го класса.
§ 44. СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ
Обычно степенными функциями называют функции вида
у = хг, где г — любое действительное число. В этом параграфе мы
ограничимся случаями рационального показателя г.
Целый ряд таких функций мы с вами уже изучили. Так, если г—
натуральное число (г = п), то получаем функцию у = хп; графики и
свойства таких функций вам известны из курса алгебры 7—9-го
классов. На рис. 180 изображен график функции у =х1 (прямая), на
рис. 181 изображен график функции у =хг (парабола), на рис. 182
изображен график функции у =х3 (кубическая парабола). График
/
/
/
У
/
0
¦к
X
I
Рис. 180
Рис. 181
Рис. 182
235

степенной функции у = хп в случае четного п (п =4, 6, 8, ...) похож
на параболу, а график степенной функции у - хп в случае нечетного
п (п = 5, 7, 9,...) похож на кубическую параболу.
Если г = -п, то получаем функцию у = х~", т.е. у=—; о таких
функциях мы говорили в курсе алгебры 9-го класса. В случае чет-
четного п график имеет вид, изображенный на рис. 183; в случае не-
нечетного п график имеет вид, изображенный на рис. 184.
Наконец, если г=0, т.е. речь идет о функции у=х°, то о ней и го-
говорить неинтересно, поскольку это — функция у = 1, где х * 0; гра-
график этой функции изображен на рис. 185.
1у
11
л
/1
* V
ft
S
а
X
11
II
|\
1
о|
у 1
\|
||
X
0
,У
1
X
Рис. 183
Рис. 184
Рис. 185
Теперь познакомимся с функциями у = хг, где г — положитель-
положительное или отрицательное дробное число.
Рассмотрим в качестве примера функцию
у = х2*. Область ее определения — луч [0, + ¦»).
Построим на этом луче графики функций у = хг
(ветвь параболы) и у=х" (ветвь кубической пара-
параболы) — эти графики изображены на рис. 186.
Обратите внимание: на интервале @, 1) кубичес-
кубическая парабола располагается ниже, а на открытом
луче A, -и») выше параболы.
Нетрудно убедиться в том, что график функ-
Рис. 186 ции у=х2'5 проходит через точки @;0) и A; 1), как
и графики функций у = хг,у = х\ При остальных значениях аргу-
аргумента х график функции у=хгъ находится между графиками функ-
функций у =хг и у =х3 (рис. 186). Почему? Смотрите:
1)Если0<х< 1,то:
1
л
у
I
/J
У
1
г
f
У"
/г
Ч
I
=х
s_
,Х
хг<х2* <х\
236
2)Еслих> 1, то:
<х5 <х
Is
6;
<Vx
х2<х2*<х\
Примерно так же обстоит дело для любой степенной функции
вида у=х\ где г = — — неправильная дробь (числитель больше зна-
п
менателя). Ее графиком является кривая, похожая на ветвь пара-
параболы. Чем больше показатель г, тем «круче» устремлена эта
кривая вверх.
Свойства функции у = х" , где — > 1:
л.
1)D(/)=[O, +oo);
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает на [0, + °°);
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) не имеет наибольшего значения; уИШМ =0;
6) непрерывна;
7)?(/)=[0, + оо);
8) выпукла вниз.
т
Рассмотрим степенную функцию у = х" для случая, когда — —
п
правильная дробь 0 < — < 1 | Все рассмотренное в § 40 в отношении
функции у = Vx или, что то же самое, у = хп
(ее график изображен на рис. 169) имеет
место и по отношению к любой степенной
функции вида у = х , где г =— — правиль-
п
ная дробь (числитель меньше знаменате-
знаменателя). График функции у = хг изображен на
рис. 187.
i
й
,У
/
1
У
«и
'11
¦¦
X
Рис. 187
m
Свойства функции у = хп, где 0 < — < 1:
n
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает на [0, + °°);
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
237

5) не имеет наибольшего значения; утю1 =0;
6) непрерывна;
7)?(/)=[0, + оо);
8) выпукла вверх.
_т
Нам осталось рассмотреть степенную функцию вида у = х " . Об-
Область ее определения — открытый луч@, + °°). Выше мы построили
график степенной функции у = х'п, где п —
натуральное число. При х > 0 график функ-
функции у -х~" пцхож на ветвь гиперболы
(рис. 184). Точно так же обстоит дело для
т
любой степенной функции вида у = х " ,
график которой изображен на рис. 188. От-
Отметим, что график данной функции имеет
горизонтальную асимптоту у = 0 и верти-
вертикальную асимптоту х =0.
_
о
у
1
\
\
Л
ч
к*
>
Г=Х-«
ж
\
1 1 '
1 1 1
X
Рис. 188
Свойства функции у = х " :
1)Ж/)=@,+оо);
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) убывает на (О, + <»);
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;
6) непрерывна;
7)?(/)=@,+оо);
8) выпукла вниз.
Вы заметили, наверное, что мы пока ничего не сказали о свойст-
свойстве дифференцируемости степенной функции. Начнем издалека.
Мы знаем, чему равна производная функции у =х°, где п — нату-
натуральное число:
(хп)'=пхя-\ A)
Нетрудно найти производную степенной функции у = х~я, где
п — натуральное число. Для этого надо переписать выражение х'я
в виде—и воспользоваться правилом дифференцирования дроби:
, -пч»_ _j_ _W* 1 (X ) _U-X —ПХ _ ПХ _ -„-1
(x } "U" J ona 5s ?=~ ¦
Итак, для любого х * 0 справедлива формула
(х~я)' =-пх-"-\ B)
238
Формулы A) и B) можно объединить в одну:
(хп)'=тхп-1,
C)
где т — любое целое число.
Идем дальше. Мы знаем, что(-Ух)' =——. Эту формулу можно за-
2V
писать следующим образом:
D)
И формула C), и формула D) являются частными случаями об-
общего утверждения (которое мы приводим без доказательства).
Теорема. Если х > 0 и г — любое рациональное число, то про-
производная степенной функции у =хг вычисляется по формуле
(*')' = г*'.
Например,
)' = 1000х999;
=-х
1 , 2.
(мы учли, что — 1 = —).
о о
Нетрудно получить и соответствующую формулу для интегри-
интегрирования степенной функции: если г * -1, то
E)
В самом деле,
Значит, функция у =
г+1
= х .
г+1
является первообразной для функ-
функции у = хг, а потому справедлива формула E).
Например,
239

3
X
\x"bdx=-
3
5
5
3
Рассмотрим ряд примеров.
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = хг:
а) на отрезке [1, 9]; б) на интервале @, 4); в) на луче [25, + °°).
Решение. Нам нет необходимости строить график функции, можно
воспользоваться тем, что она возрастает и, следовательно, свое наимень-
наименьшее и наибольшее значения достигает соответственно в левом и правом
концах заданного промежутка, если, разумеется, концы промежутка при-
принадлежат самому промежутку.
a)j/HaHM.=/(l)=VlF = l; 1/наи6=л/9т=33=27.
б) Здесь нет ни наименьшего, ни наибольшего значения функции, пос-
поскольку концы промежутка — точки 0 и 4 — интервалу @, 4) не принадле-
принадлежат.
в) J/нанм. =V253 =53 =125; 1/наи6 не существует.
<¦
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
16 - 1
у =— хг -~х3 на отрезке [1, 9].
3 3
Решение. Воспользуемся алгоритмом отыскания наибольшего и наи-
наименьшего значений непрерывной функции на отрезке (см. § 36).
* _ I. зх2
3
2) Производная существует при всех х, значит, критических точек у
функции нет, а стационарные найдем из условия i/'=0. Имеем:
8л/л--*2=0;
1) Имеем у'=— •-•
3 2
64* = *4;
х(х3 -64)=0;
х1=0, д^=4.
Отрезку [1,9] принадлежит лишь точка х = 4.
1 fi — 1
3) Составим таблицу значений функции у- — х2 —х3, включив в
3 3
нее концы отрезка — точки лс = 1 и лс = 9 — и найденную стационарную
точку лс = 4:
i
X
У
1
5
4
64
3
9
-91
Таким образом, унаим =-91 (достигается в точке х = 9);
64. ..
J/наиб. = — (достигается в точке х = 4).
о
<¦
Пример 3. Решить уравнение х3 = 12 - х.
Решение. Нетрудно подобрать один корень этого уравнения: х = 8. В
самом деле,
2^
=4и 12-8=4,
значит, при х=4 уравнение обращается в верное числовое равенство 4=4.
Так как степенная функция у = х3 возрастает, а линейная функция
у = \2-х убывает, то других корней у уравнения нет.
Ответ: х = 8.
Пример 4. Построить график функции
у=(х-1)~3-2.
Решение. 1) Перейдем к вспомогательной систе-
системе координат с началом в точке A; -2) — пунктирные
прямые лс = 1и!/ = -2на рис. 189.
2) «Привяжем» функцию у = х 3 к новой системе
координат. Для этого выберем контрольные точки для
функции!/ = лс 3:A;1), 8; - 1 -; 4 , но строить их бу-
^ 4J[о j
дем не в старой, а в новой системе координат. Затем по
этим точкам построим кривую того вида, какой предс-
представлен на рис. 188. Это и будет требуемый график
(рис. 190). <й]
Пример 5. Составить уравнение касательной к
1 --
графику функции: а) у = ~ в точке х = 1; б) у = х 3 в
х Рис. 190
точке х = 1.
Решение. Напомним общий вид уравнения каса-
касательной:
y = f(a)+f(a){x-a). F)
Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной
(см. § 34).
1
0
-2
У
1
X
=1
=-?
X
Рис. 189
J
0
2
У
1
¦
I
V
V
S
««
1
X
240
241

(() l;
4) Подставим найденные три числа: а = 1, /(а) = 1, /'(а)=-1 в формулу
F). Получим:
= 2-х.
2)/(а)=Д1)=| = 1;
9-1-1 9-1
— -ж 3 = -|-х3
So
2
4) Подставим найденные три числа: а = 1, /(а)=1, /'(а) = —вформулу
3
F). Получим:
§
Ответ:
2 5
У =— х + —.
У 3 3
2 5
-х; б)у = — х + -.
О О
л 1
Замечание. График функции у = х 3 похож на ветвь гиперболы у = —'
х
оба графика имеют своими асимптотами оси координат, оба графика про-
проходят через точку A; 1). Но их поведение в точке A; 1) различное, у них,
как мы увидели при решении примера 5, разные касательные в этой точке
(см. рис. 191,192).
Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
ч
5
г
0
¦
1
V
\
V
ч
1
ч
¦
-X Vi
¦
X
\
к
0
У
х
\
ч
\
S
1
1
ч
1
л
¦а
С "
¦¦
-ч
X
1
«г
f
о
LJ
i
У
J
X
Рис. 191 Рис. 192 Рис. 193
Решение. Фигура, площадь которой требуется вычислить, изображе-
изображена на рис. 193. Имеем (см. § 38):
+ 1
з 4
= -• 83-03 =-A6-0)=12.
о 4 4
Ответ: S = 12.
242
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
В этой главе вы познакомились с новыми терминами математи-
математического языка:
радикал;
иррациональное выражение;
степень с рациональным показателем;
степенная функция.
Мы ввели новые определения, относящиеся к операции возведе-
возведения в степень:
а" =Цар, а>0
а>0.
Вы изучили новые тождества, справедливые для любых неот-
неотрицательных значений переменных оиЬ:
а)" =
а' а' =а
а':а'=а-' (
(а'I =а";
(ah)' =a'b';
(tns — рациональные числа).
Вы изучили новую математическую модель — функцию у = хг
(свойства и график), узнали формулы для ее дифференцирования:
(хг)' =гх1 (г — рациональное число)
и интегрирования:
—+C(r*-l).
г + 1
[xrdx=
J

Глава
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ
И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
Показательные функции нам уже встречались, прав-
правда, их областью определения до сих пор служило лишь множест-
множество натуральных чисел. Так, в § 30 мы построили график последо-
(lX fiY
вательности уп = — I , т.е. график функции у = — I , хе N — он
\2) У2)
состоит из точек с абсциссами 1, 2, 3, ..., лежащих на некоторой
кривой, ее называют экспонентной (см. рис. 102). Мы отметили,
что, поскольку у этой функции аргумент х содержится в показате-
показателе степени, ее называют показательной функцией.
А встречаются ли показательные функции как математические
модели реальных ситуаций, заданные на всей числовой прямой
или на каком-либо числовом промежутке? Безусловно, и очень час-
часто. Например, из физики известен закон радиоактивного распада
вещества: т =т0 \ - \ ; здесь т0 — первоначальная масса вещест-
Li
ва, т — масса вещества в рассматриваемый момент времени, t —
момент времени, Т — некоторое положительное число (константа),
свое для каждого вида радиоактивного вещества (зто число обычно
называют периодом полураспада). Как видите, указанный закон
связан с показательной функцией, причем областью определе-
определения этой функции является множество всех неотрицательных
чисел (аргумент t может принимать любые неотрицательные
значения). С показательными функциями связаны многие эко-
экономические и биологические законы, физические законы, отно-
относящиеся, например, к изменению температуры тела, и т.д.
Изучению показательных и в какой-то степени родственных им
логарифмических функций, выражений, уравнений и неравенств
посвящена глава 7.
244
§ 45. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ,
ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
Рассмотрим выражение 2х и найдем его значения при различ-
различных рациональных значениях переменной х, например, при х=2;
5; 0; -4; \, -3,5:
3
если х=2, то 2х =22 =4;
если х=5, то 2х =25 =32;
еслих=0, то 2* =2° =1;
еслих = -4, то2* =2 =—т=—'
2 16
4
если х=-,
3
если х =-ЗА то 2х =2~3>5 =—?г=-^ =
У2
16'
Вообще, какое бы рациональное значение мы ни придали пере-
переменной х, всегда можно вычислить соответствующее числовое зна-
значение выражения 2х. Таким образом, можно говорить о
показательной функции у=2" определенной на множестве Qра-
Qрациональных чисел:
y=2x,xeQ.
Рассмотрим некоторые свойства этой функции.
Свойство 1. у = 2х ,xeQ — возрастающая функция.
Доказательство осуществим в два этапа.
Первый этап. Докажем, что если г — положительное рацио-
рациональное число, то 2Г > 1.
Возможны два случая: 1) г — натуральное число, г = п; 2) г
обыкновенная несократимая дробь, г = —.
п
Еслиг = п, то очевидно, что 2" >1.
Если г = —, то рассуждаем так:
п
В левой части последнего неравенства имеем 2 п , а в правой 1.
Значит, последнее неравенство можно переписать в виде
т
2~» >1.
Итак, в любом случае выполняется неравенство 2г > 1, что и тре-
требовалось доказать.
245

Второй этап. Пусть хг и х2 — рациональные числа, причем
х1 <хг. Составим разность 2х' -2*1 и выполним некоторые ее пре-
преобразования:
2Хг -2*1 = 2x'BXz~Xl -l)=2x'Br -1)
(мы обозначили разность хг -х1 буквой г).
Так как г — положительное рациональное число, то по доказан-
доказанному на первом этапе 2г >1, т.е. 2Г -1>0. Число2Х1 также положи-
положительно, значит, положительным является и произведение
2*1BГ -1). Тем самым мы доказали, что справедливо неравенство
2х* -2х' >0.
Итак, из неравенства х1 < х2 следует, что 2х' <2Х2, а это и озна-
означает, что функция у=2" — возрастающая. •
Свойство 2. Функция у=2" ,х е Q ограничена снизу и не ограниче-
ограничена сверху.
Ограниченность функции снизу следует из неравенства 2 х >0,
справедливого для любых значений х из области определения фун-
функции. В то же время какое бы положительное число М ни взять,
всегда можно подобрать такой показатель х, что будет выполнять-
выполняться неравенство 2 х >М — что и характеризует неограниченность
функции сверху. Приведем ряд примеров.
1)ПустьМ=1000. Положимх=10; имеем: 210=1024,т.е.210 >М.
2) ПустьМ=1 000 000. Положим х=20; имеем 220=1 048 576, т.е.
220>М.
3) Пусть М = 1030. Мы видели выше, что 210 >103, значит,
B10I0 >AО3Iо,т.е.2100 > 1030. Таким образом, если взять х = 100, то
для заданного числа М = 1030 будет выполняться неравенство
2х >М.
Свойство 3. Функция у=2" ,xeQ не имеет ни наименьшего, ни
наибольшего значений.
То, что данная функция не имеет наибольшего значения, оче-
очевидно, поскольку она, как мы только что видели, не ограничена
сверху. Но снизу она ограничена, почему же у нее нет наименьшего
значения?
Предположим, что 2г — наименьшее значение функции (г — не-
некоторый рациональный показатель). Возьмем рациональное число
q < г. Тогда в силу возрастания функции у=2х будем иметь 2" <2г.
А это значит, что 2Г не может служить наименьшим значением
функции. •
Все это хорошо, скажете вы, но почему мы рассматриваем функ-
функцию у -2х только на множестве рациональных чисел, почему мы
246
не рассматриваем ее, как другие известные функции на всей число-
числовой прямой или на каком-либо сплошном промежутке числовой
прямой? Что нам мешает? Обдумаем ситуанию.
Числовая прямая содержит не только рациональные, но и ирра-
иррациональные числа. Для изученных ранее функций это нас не сму-
смущало. Например, значения функции у = х2 мы одинаково легко
находили как при рациональных, так и при иррациональных зна-
значениях х: достаточно было заданное значение х возвести в квадрат.
А вот с функцией у=2" дело обстоит сложнее. Если аргументу х
придать рациональное значение, то в принципе 2 * вычислить мож-
можно (вернитесь еще раз к началу параграфа, где мы именно это и де-
делали). А если аргументу х придать иррациональное значение? Как,
например, вычислить 2 ? Этого мы пока не знаем.
Математики нашли выход из положения; вот как они рассуждали.
Известно, что -\/3 = 1,7320508... Рассмотрим последовательность
рациональных чисел — десятичных приближений числа -J3 по не-
недостатку:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .
Ясно, что 1,732 = 1,7320, а 1,732050 = 1,73205. Во избежание
подобных повторов отбросим те члены последовательности, кото-
которые заканчиваются цифрой 0. Тогда получим возрастающую пос-
последовательность :
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .
Соответственно возрастает и последовательность
21 о1'7 О1'78 О1'782 ol.'8205 «1,7820608
,6,6 ,6 ,6 ,6 ,....
Все члены этой последовательности — положительные числа,
меньшие, чем 22, т.е. эта последовательность — ограниченная. Апо
теореме Вейерштрасса (см. § 30), если последовательность возрас-
возрастает и ограничена, то она сходится. Кроме того, из § 30 нам извест-
известно, что если последовательность сходится, то только к одному
пределу. Этот единственный предел договорились считать значе-
значением числового выражения 2 . И неважно, что найти даже приб-
приближенное значение числового выражения 2 3 очень трудно; важно,
что это — конкретное число (в конце концов, мы же не боялись
говорить, что, например, x = Jl7 -^fl3 — корень рационального
уравнения, а х = arccos
f-V
корень тригонометрического уравне-
уравнения, не особенно задумываясь над тем, а что же это конкретно за
числа: -Jl7 - Vl3 или arccos — ).
247

Итак, мы выяснили, какой смысл вкладывают математики в
символ 2 . Аналогично можно определить, что такое 2^, 3~*^, 2,5"
и вообще, что такова", где а — иррациональное число иа > 1.
А как быть в случае, когда 0 <а <1? Как вычислить, например,
- ? Самым естественным способом: считать, что | т | =| - | , т.е.
3>
свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Теперь мы можем говорить не только о степенях с произвольны-
произвольными рациональными показателями, но и о степенях с произвольны-
произвольными действительными показателями. Доказано, что степени с
любыми действительными показателями обладают всеми привыч-
привычными свойствами степеней: при умножении степеней с одинаковы-
одинаковыми основаниями показатели складываются, при делении —
вычитаются, при возведении степени в степень — перемножаются
и т.д. Но самое главное, что теперь мы можем говорить о функции
у=ах, определенной на множестве всех действительных чисел.
Вернемся к функции у = 2х, построим ее график. Для этого сос-
составим таблицу значений функции у=2х:
X
У
0
1
1
143
-1
1
2
143
4
143
1
4
3
8
-3
1
8
Отметим точки @; 1), A; 2), {-!;-), B; 4) (-2; -), C; 8), (-3; -)на
2 4 8
координатной плоскости (рис. 194), они намечают некоторую ли-
линию, проведем ее (рис. 195).
1
Q.
А*
о
1
Л
i-2-iO
У
¦
? :
X
л.
о,
1 ,
г-
J-2-
|0
У
/
/
/
/1
У
/
(\
1 1
i
X
Рис 194 Рис. 195
Свойства функции у - 2х :
2) не является ни четной, ни нечетной;
248
3) возрастает;
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7)Я(/)=@,+ ~);
8) выпукла вниз.
Строгие доказательства перечисленных свойств функции у—2х
приводят в курсе высшей математики. Часть этих свойств мы в той
или иной мере обсудили ранее, часть из них наглядно демонстриру-
демонстрирует построенный график (см. рис. 195). Например, отсутствие чет-
четности или нечетности функции геометрически связано с
отсутствием симметрии графика соответственно относительно
оси у или относительно начала координат.
Аналогичными свойствами обладает любая функция вида
у-ах, где а >1. На рис. 196 в одной системе координат построены,
графики функций!/=2 х, у=Зх, у = 5х.
Рассмотрим теперь функцию у= - , составим для нее таблицу
К2)
значений:
X
У
0
1
-1
2
1
1
2
-2
4
2
1
4
-3
8
3
1
8
Отметим точки @; 1), (-1;2), A-Д), (-2; 4), B;^), (-3;8), (зфна
2t 4 о
координатной плоскости (рис. 197), они намечают некоторую ли-
линию, проведем ее (рис. 198).
е
Л
\
lyllv-
1 /Г
\Цу
5х
=3
и / у*
///
Л/
ff/
ё/\
1
11
X
—<
—4
О'
t_ л.
1^
У
<
2
X
h
2
1
1
I
о
V
V
\ л
Л
i 1
1 -2-
10
У
S
N
2
1
1
-»
х"
Рис. 196
Рис. 197
Рис. 198
249

Свойства функции у-\ —
1) W) =(—,+ -);
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) убывает;
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
8) выпукла вниз.
Аналогичными свойствами обладает любая функция вида
у=ах, где 0 <а < 1. На рис. 200 в одной системе координат построе-
построены графики функций у = - и у = -
2 J 3
Обратите внимание: графики функций у-2х к у=\-
Li
т.е.
у=2 ', симметричны относительно оси у (рис. 201). Это — следст-
следствие общего утверждения (см. § 13): графики функций y = f(x) и
У =
A
1а
-И
\\
|\\
i MS
1 i
-i-i-io
i i i
^y
,Q
1
В
¦
г
x"
У
=2
I I
\ I
ТГ
8'
1 Д.
v
\
f
s
r
у
>
1
1Г
f
/
/
A
"\
x"
Рис. 199
Рис. 200
y = f(-x) симметричны относительно оси у. Аналогично будут
симметричны относительно оси у графики функций у = Зх и
= 5х и ц= -
Подводя итог сказанному, дадим определение показательной
функции и выделим наиболее важные ее свойства.
Определение. Функцию вида у = а", где а > 0 и а ф 1, называют по-
показательной функцией.
250
Основные свойства показательной функции у=ах
№п/п
1
2
3
4
а>1
D(/)=(-~,+ ~)
ЖЯ=@,+ ~)
Возрастает
Непрерывна
0<а<1
D(f)=(-~,+ со)
?(Л=@,+ ~)
Убывает
Непрерывна
График функции у=ах для а >1 изображен на рис. 201, а для
0 <а < 1 — на рис. 202.
Кривую, изображенную на рис. 201 или 202,
называют экспонентой. На самом деле матема-
математики экспонентой обычно .называют саму пока-
показательную функцию у=ах. Так что термин
¦экспонента» используется в двух смыслах: и
для наименования показательной функции, и
для названия графика показательной функции.
Обычно по смыслу бывает ясно, идет речь о пока-
показательной функции или о ее графике.
Обратите внимание на геометрическую осо-
особенность графика показательной функции у=ах:
ось х является горизонтальной асимптотой
графика. Правда, обычно это утверждение уточ-
уточняют следующим образом.
Ось х является горизонтальной асимптотой
графика функции у=ах при х ->-«>, еслиа>1
(см. рис. 201), и при х->+<=°, если 0<а<1 (см.
рис. 202).
Иными словами (см. § 31),
еслиа>1,то lima* =0;
если0<а<1,то lima" =0.
Первое важное замечание. Школьники часто путают термины:
степенная функция, показательная функция. Сравните:
G
iyj J |
I
1/
ш
I
/\
1
1
y=a]
(a>l
X
Рис. 201
\
Т
y=ar@<a<l):
\
К
\
1
a
s
0
X
Рис. 202
— это примеры степенных функций;
у = 2*. у=3', » = [|]. </=
— это примеры показательных функций.
Вообще, у = хг, где г — конкретное число, — степенная функция (аргу-
(аргумент х содержится в основании степени);
251

у = а", где а — конкретное число (положительное и отличное от 1), — по-
показательная функция (аргумент х содержится в показателе степени).
Атакую «экзотическую» функцию, как у = х", не считают ни показа-
показательной, ни степенной (ее иногда называют показательно-степенной).
Второе важное замечание. Обычно не рассматривают показа-
показательную функцию с основанием а = 1 или с основанием а, удовлетворяю-
удовлетворяющим неравенству а <0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении
показательной функции, оговорены условия: а >0и а *1). Дело в том, что
если а = 1, то для любого значения х выполняется равенство 1* = 1. Таким
образом, показательная функция у = а" при а = 1 «вырождается» в посто-
постоянную функцию у = 1 — это неинтересно. Если а = 0, то 0х = 0 для любого по-
положительного значения х, т.е. мы получаем функцию у = 0, определенную
при х >0, — это тоже неинтересно. Если, наконец, а <0, то выражение а"
имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем
рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.
Прежде чем переходить к решению примеров, заметим, что по-
показательная функция существенно отличается от всех функций,
которые вы изучали до сих пор. Чтобы основательно изучить но-
новый объект, надо рассмотреть его с разных сторон, в разных ситуа-
ситуациях, поэтому примеров будет много.
Пример 1. Решить уравнения и неравенства:
аJх=1; 6J'=4; вJх=8; гJх=—; дJх>1;
16
еJх<4.
Решение, а) Построив в одной системе координат графики функций
у = 2х и у = 1, замечаем (рис. 203), что они имеют одну общую точку @; 1).
Значит, уравнение 2х = 1 имеет единственный корень х =0.
Итак, из уравнения 2х = 2° мы получили х=0.
б) Построив в одной системе координат гра-
графики функций у = 2" и у=4, замечаем (рис. 203),
что они имеют одну общую точку B; 4). Значит,
уравнение 2х =4 имеет единственный корень
*=2.
Итак, из уравнения 2х =22 мы получили х=2.
в) и г) Исходя из тех же соображений, делаем
вывод, что уравнение 2х =8 имеет единственный
Рис. 203 корень, причем для его отыскания графики соот-
соответствующих функций можно и не строить;
ясно, что *=3, поскольку 2* =8. Аналогично находим единственный ко-
корень уравнения 2х =—; здесь х = -4, поскольку 2~* = —.
16 16
-Л
у= .
¦1
4
1
0
У
/
I
/
/
J
I
2
I
У л-
г
X
Итак, из уравнения 2х =28 мы получили х = 3, а из уравнения 2х =2 4 мы
получили х = -4.
д) График функции у = 2х расположен выше графика функции у = 1 при
лс >0 — это хорошо читается по рис. 203-. Значит, решением неравенства
2х > 1 служит промежуток @, + °о).
252
е) График функции у = 2" расположен ниже графика функции у = 4 при
х<2 — это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства
2х <4служит промежуток (-~, 2). <Д|
Вы заметили, наверное, что в основе всех выводов, сделанных
при решении примера 1, лежало свойство монотонности (возраста-
(возрастания) функции у=2*. Аналогичные рассуждения позволяют убе-
убедиться в справедливости следующих двух теорем.
Теорема 1. Если а >1, то равенство а* =а' справедливо тогда
и только тогда, когда t =s.
Теорема 2. Если а>1, то неравенство а * > 1 справедливо тог-
тогда и только тогда, когда дс>О(рис. 204), неравенство а х <1 спра-
справедливо тогда и только тогда, когда х<0.
Пример 2. Решить уравнения и неравенства:
Решение, а) Построив в одной системе координат графики функций
= \- иу=1,замечаем(рис.205),чтоониимеютоднуобщуюточку@; 1).
Значит, уравнение — | = 1 имеет единственный корень х = 0.
I3,
m
1
/
6
у
f
I
/
l\
H
v
a:
>1
y-1
//,
-i
X
Ik
х
\
V
1
у
„>¦"
3
1
0
Ы
в
1
-
X
Рис. 204
Итак, из уравнения I — I = I — | мы получили х = 0.
13 1 13
Рис. 205
б) Построив в одной системе координат графики функций у = - и
13 1
у = 3, замечаем (см. рис. 205), что они имеют одну общую точку (-1; 3). Зна-
Значит, уравнение - =3 имеет единственный корень х = -1.
У3)
Итак, из уравнения — =[-] мы получили лс =-1.
13 1 13 1
253

в) и г) Исходя из тех же соображений, делаем вывод, что уравнение
1-1=9 имеет единственный корень, причем для его отыскания графики
\3)
соответствующих функций можно и не строить; ясно, что х = -2, посколь-
пу2
ку — =9. Аналогично находим единственный корень уравнения
У3)
AХ 1 о fiY !
- = -; здесь х = 2, поскольку - = -.
(\Х A\г
Итак, из уравнения - = - мы получили х = - 2, а из уравнения
" ' \3) У3) ¦;
- = - мы получили х = 2.
3 113 1
д) График функции у= — расположен выше графика функции у = \
при ле <0 — это хорошо читается по рис. 205. Значит, решением неравенст-
неравенства — > 1 служит промежуток (-°°, О).
\3)
ах
е) График функции у = — расположен ниже графика функции у = 3
У3)
при х > -1 — это хорошо читается по рис. 205. Значит, решением неравенс-
неравенства — <3 служит промежуток (-1,+ «>). <Д
\3)
В основе всех выводов, сделанных при решении примера 2, ле-
гичные рассуждения позволяют убедиться в справедливости
следующих двух теорем.
Теорема 3. Если 0<а <1, то равенство а* = а* справедливо
тогда и только тогда, когда t =s.
Теорема 4. Если 0<а <1, то неравенство а" >1 справедливо
тогда и только тогда, когда ж О (см. рис. 206); неравенство
а" < 1 справедливо тогда и только тогда, когда х>0.
Пример 3. Построить график функции
у = 3-3* +2 и найти наибольшее и наименьшее
значения этой функции на отрезке [-2, 2].
Решение. Можно действовать так: постро-
построить график функции у=3*, затем осуществить
его растяжение от оси х с коэффициентом 3, а за-
затем полученный график поднять вверх на 2 еди-
единицы масштаба. Но удобнее воспользоваться
тем, что 3-Зд:=Здг+1, и, следовательно, строить
Рис. 206 график функции у =3xtl + 2.
1
у=а~
г0<а<1
V
у
/
х
>
' (
0
У
1
ч
у-1
»»
X
254
Перейдем, как неоднократно уже делали в таких случаях, к вспомога-
вспомогательной системе координат с началом в точке (-1; 2) — пунктирные пря-
прямые х =- 1 и 1/ = 2 на рис. 207. «Привяжем»
функцию у=3" к новой системе координат. Для
этого выберем контрольные точки для функции
у=3*:@; 1), A;3), -1;- L но строить их будем не
V 3)
в старой, а в новой системе координат (эти точки
отмечены на рис. 207). Затем по точкам построим
экспоненту — это и будет требуемый график (см.
рис. 207).
Чтобы найти наибольшее и наименьшее зна-
значения заданной функции на отрезке [-2, 2], вос-
воспользуемся тем, что заданная функция
возрастает, а потому свои наименьшее и наи-
наибольшее значения она принимает соответственно в левом и правом концах
отрезка.
Итак:
"*™ 3' <В
1
1
h
/5
/
-1
2
0
1
У=
¦1
у-
2
X
Рис. 207
Пример 4. Решить уравнение и неравенства:
aM*=6-z; 6M*>6-z; вM*<6-л:.
Решение, а) Построим в одной системе координат графики функций
у=5' иу=6-х (рис. 208). Они пересекаются в одной точке; судя по черте-
чертежу, это — точка A; 5). Проверка показывает, что
на самом деле точка A; 5) удовлетворяет и урав-
уравнению у = 5*, и уравнению у=6 - х. Абсцисса этой
точки служит единственным корнем заданного
уравнения.
Итак, уравнение 5* =6- х имеет единствен-
единственный корень х = 1.
б) и в) Экспонента у=5х лежит выше прямой
у=6-х, если х>1, — это хорошо видно на
рис. 208. Значит, решение неравенства5*>6- х
можно записать так: х>1. А решение нера-
неравенства 5* <6- х можно записать так: х<1.
Ответ: а) х = 1;
ч
ч
1
/
0
kyl
I
| 3
б|
41
1
*|
]
1
I
ч
ч
ч
ч
ь
к
X
= Ь-х
Рис. 208
Пример 5. Дана функция у = f(x), где f(x)=lOx. Доказать, что
/(sin2z)-/(cos2*)=10.
Решение. По условию /(д;) = 10*. Значит, /(sin2 x) = 10*in'x, а
/(cos2 х)=10ая'х. Имеем:
255
Hosin2x+cos2x = l. Значит, w<*»'*+«»'* =10» =10.
Итак, /(sin2 x) ¦ /(cos2 x) = 10, что и требовалось доказать.

[2Л* 12
Пример 6. Решить уравнение: — + — = 2'.
Решение. Положим
g(x) = 2х. Заметим, что функция у = f(x) убывает,
а функция y = g(x) возрастает. Воспользуемся
известным фактом: если функция у = /( лс)убыва-
ет, а функция у = g(x)возрастает, и если уравне-
уравнение f(x)=g(x) имеет корень, то только один.
Нетрудно догадаться, что заданное уравнение
имеет корень х = 1: подставив значение х = 1 в за-
BЛ1 12
V-
1
\\\
\\
\\
\
1 |\
Л' 12'
> '7;
S
0
^У
ч.
?
L
i
\
/
У
1
_
¦ ¦
12
X
Рис. 209
данное уравнение, получим — + — =2^ — вер-
верное числовое равенство.
BЛ" 12
Так как функция у = — + — убывает, а функция у = 2х возрастает, то
корень у заданного уравнения только один, и этим корнем является най-
найденное выше значение х = 1 (рис. 209).
Ответ: х = 1.
§ 46. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Показательными уравнениями называют уравнения вида
afix) =a'ix\
A)
где а — положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводя-
сводящиеся к этому виду.
Опираясь на полученные в предыдущем параграфе теоремы 1 и
3, согласно которым равенство а' -а', где а >0, а Ф 1, справедливо
тогда и только тогда, когда t =s, мы можем сформулировать следу-
следующее утверждение.
Теорема. Показательное уравнение a
а > О, а Ф1) равносильно уравнению f(x) = g (ж).
Пример 1. Решить уравнения:
tix) =aglx)
=a
(где
аJ2-=64; б) \±\ =^;
!х-3,5
Решение, а) Представив 64 как26, перепишем заданное уравнение в
виде 2?"~* =26. Это уравнение равносильно уравнению 2х -4=6, откуда на-
находим: х = 5.
1 fiV
б) Представив -т= как - Г, перепишем заданное уравнение в виде
3 I 3 I
л/3
i ,^0,5 ^ '
= - . Это уравнение равносильно уравнению 2лс - 3,5 = 0,5, отку-
I 3 I
да находим: х = 2.
256
в) Заданное уравнение равносильно уравнению х2 -Зле = Зле-8. Далее
имеем:
х2-6х + 8=0;
xl=2, х2=4. <Ш
@ 2I'5
Пример 2. Решить уравнение: ' ' — =5 0,04*.
V5
Решение. Здесь есть возможность и левую, и правую части уравнения
представить в виде степени с основанием 5. В самом деле:
(Л Y°5
-
2)V5=52~ =50'5;
йЬ-':Ъйь =50'5-*-05 =5"х;
,25,
Таким образом, заданное уравнение мы преобразовали к виду:
52
4M0,04х-2 =5-| -^ | =5EГ2 =5-5~2*+4 =51лг+4 =551.
Далее получаем: -х = 5-2лс и, следовательно, х = 5.
Пример 3. Решить уравнение: А" + 2'*1 - 24 = 0.
<¦]
Решение. Заметив, что 4х =B2)дг =2^ =B'/, a 2*+1 =2-2', перепишем
заданное уравнение в виде:
B1J+2-2*-24 = 0.
Есть смысл ввести новую переменную у = 2"; тогда уравнение примет
вид: у2 + 2у -24 = 0. Решив квадратное уравнение относительно у, нахо-
находим ух =4, у2 =-6. Но у = 2", значит, нам остается решить два уравнения:
2' =4; 2х =-6.
Из первого уравнения находим лс = 2, а второе уравнение не имеет кор-
корней, поскольку при любых значениях х выполняется неравенство 2х >0.
Ответ: х=2.
Подведем некоторые итоги. Можно выделить три основных ме-
метода решения показательных уравнений:
1) Функционально-графический метод. Он основан на
использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств
функций. Мы применяли этот метод в § 45.
2) Метод уравнивания показателей. Он основан на тео-
теореме о том, что уравнение аПх) =a'ix) равносильно уравнению
f(x) = g(x), где а — положительное число, отличное от 1. Мы приме-
применили этот метод в примерах 1 и 2.
3) Метод введения новой переменной. Мы применили
этот метод в примере 3.
Рассмотрим более сложный пример, в котором для решения по-
показательного уравнения используется метод введения новой пере-
переменной, и пример решения системы показательных уравнений.
9 Мордкович «Алгебра, 10 кл.
257

Пример 4. Решить уравнение:
52х+1-13 15*+ 54 9*1=0.
Решение. Воспользуемся тем, что
15*=5Х З1,'
54 91 =54—=6 91=6-32*.
9
Это позволяет переписать заданное уравнение в более удобном виде:
5 52*-13 5* 3*+6 З2*^.
Разделив обе части уравнения почленно наЗ2*, получим равносильное
ему уравнение:
B)
•¦(§)'-»{!Jt"ft
52* E^х 5* -3:
Мы воспользовались тем, что -^- = — , и тем, что —г-^-
о 13 I 3
Теперь, как видите, «проявилась» новая переменная: у = — , относи-
У3)
тельно которой уравнение B) имеет вид квадратного уравнения:
5^-131/ + 6 = 0.
о
Корнями этого уравнения служат числа ух =-, у2 =2. Значит, нам оста-
5
ется решить два уравнения:
С первым из этих уравнений проблем нет:
EГ 1
2
0
,У
1
1
/
/
1
у
У
'-Z
X
х=-1.
Со вторым уравнением у нас возникает проб-
проблема: как представить число 2 в виде некоторой
5
степени числа -, мы пока не знаем. Между тем
3
второе уравнение тоже имеет единственный ко-
корень — это хорошо видно из графической ил-
иллюстрации, представленной на рис. 210.
Придется нам в дальнейшем еще раз вернуться
к этому уравнению.
Ответ: х, =-1, хг — корень уравнения
Рис. 210
Пример 5. Решить систему уравнений:
» -3~»=72.
Решение.1) Преобразуем первое уравнение системы к более просто-
простому виду:
258
2) Преобразуем второе уравнение системы к более простому виду. Вве-
Введем новую переменную г=3**". Тогда второе уравнение системы примет
вид: г2 - г = 72, откуда находим: zt =9, z2 = -8.
Из уравнения 3**" = 9 находим х + у = 2; уравнение 3**" = -8 не имеет ре-
решений.
Итак, второе уравнение системы нам удалось преобразовать к виду:
у
3) Решим полученную систему уравнений:
\х + у=2.
Умножим обе части второго уравнения на 9 и сложим полученное урав-
уравнение с первым уравнением системы:
5
32лс=20, х = -.
8
5 „ 11
Из уравнения лс + I/= 2 находим: - + у = 2, У = ~-
8 8
Ответ: -; —
§ 47. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Показательными неравенствами называют неравенства вида
где а — положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводя-
сводящиеся к этому виду.
Для решения неравенства A) проведем следующие рассужде-
рассуждения. Разделив обе части неравенства A) на выражение а'(х), полу-
аПх)
чим неравенство > 1, равносильное неравенству A) (поскольку
обе части неравенства A) мы разделили на выражение, положи-
положительное при любых значениях х). Далее имеем:
af(')-t(') >1)Т.е.а' >1, где* = f(x)-g(x).
Теперь следует рассмотреть два случая: а>1иО<а<1.
Ее ли а > 1, то неравенство а' > 1 имеет место тогда и только тогда,
когда t >0 (см. теорему 2 из § 45). Значит, f(x)-g(x)>0, т.е.
f(x)>g(x).
9 259

Если 0 <а < 1, то неравенство а' > 1 имеет место тогда и только
тогда, когда t <0 (см. теорему 4 из § 45). Значит, f(x)-g(x) <0, т.е.
Тем самым доказано следующее утверждение.
Теорема. Показательное неравенство а11х) >agix) равно-
равносильно неравенству того же смысла f(x) > g(x), если а > 1;
показательное неравенство af(x) >ag(x) равносильно нера-
неравенству противоположного смысла f(x) < g(x), если О < а < 1.
Пример 1. Решить неравенства:
ч2*-3,5
аJ"-«>64; б)± <-4; в) 0,5*°-3х
24 6
Решение, а) Имеем 221 > 26. Это неравенство равносильно неравен-
неравенству того же смысла 2х - 4 > 6, откуда находим х > 5.
б) Воспользовавшись тем, что —j= = \ - Г, пере-
т/3 ^3J
пишем заданное неравенство в виде:
. Здесь основанием служит
/
/
\
Л
\
/Л
/
i
/
/
у/
4
X
число - < 1. Значит, рассматриваемое неравен-
Рис. 211 3
ство равносильно неравенству противополож-
противоположного смысла: 2х -3,5 >0,5, откуда находим: х>2.
в) Заданное неравенство равносильно неравенству противополож-
противоположного смысла: X2 -Зх>Зх-8, т.е. х2 -6х + 8>0.
Найдем корни квадратного трехчлена х2 - 6х + 8: х1 = 2, х2=4.
Построив (схематически) параболу у = х2 -6х + 8 (рис. 211), находим:
х<2, х>4. <И|
Пример 2. Решить неравенство: —— < 1.
3 — 1
Решение. Заметим, что 3I+1 = 3 ¦ 3', и введем новую переменную у = 3х.
Получим: — < 1.
Зу-1
Далее последовательно получаем:
+
ч
У
У-
i
/
- ¦
• ¦
V
¦ ¦
у
¦ *
'<
j-
+
Зу-1
Зу-1
Рис. 212
Применив метод интервалов
(рис. 212), находим: -<у<9.
3
Возвращаясь к переменной х, получаем двойное неравенство
- < 3х < 9, т.е. З < 3х < З2, откуда находим -1 < х < 2.
3
Ответ: -1<х<2.
260
8
6
4
1
0
У
z
I I v
ш
1
/
/
/
г !
1:1
1 2 3
i i
н
у-
4
у-о
у-
= 4
_
X
Рис. 213
§ 48. ПОНЯТИЕ ЛОГАРИФМА
Рассмотрим уравнение 2х =4, решим его графически. Для этого
в одной системе координат построим график функции у = 2 х и пря-
прямую у = 4(рис. 213). Они пересекаются в точкеАB; 4), значит, х=2
— единственный корень уравнения.
Рассуждая точно так же, находим корень уравнения 2х =8 (см.
рис. 213): х = 3.
А теперь попробуем решить уравнение
2х =6; геометрическая иллюстрация предс-
представлена на рис. 213. Ясно, что уравнение име-
имеет один корень, но в отличие от предыдущих
случаев, где корни уравнений были найдены
без труда (причем их очень легко было найти
и не пользуясь графиками), с уравнением
2х = 6 у нас возникают трудности: по чертежу
мы не можем определить значение корня, мо-
можем только установить, что этот корень зак-
заключен в промежутке от 2 до 3.
С подобной ситуацией мы уже встреча-
встречались в § 39, когда, решая уравнение #4 = 5,
поняли, что надо вводить новый символ ма-
математического языка V5. Обдумывая ситуа-
ситуацию с показательным уравнением 2х =6,
математики ввели в рассмотрение новый
символ log2, который назвали логарифмом
по основанию 2 и с помощью этого символа
корень уравнения 2х =6 записали так:
х =log2 6 (читается: «логарифм числа 6 по ос-
основанию 2»). Теперь для любого уравнения
вида2* =Ь, гдеЬ >0, можно найти корень — * Рис. 214
им будет число log2 Ъ (рис. 214).
Мы говорили об уравнении 2х =6. С равным успехом мы могли
говорить и об уравнении 3* =5, и об уравнении 10 х =03, и об урав-
уравнении - =4, и вообще о любом уравнении вида о1 =Ь, где а и Ъ —
I3)
положительные числа, причем а * 1. Единственный корень уравне-
уравнения ах =Ь математики договорились записывать так:
x=logab
(читается: «логарифм числа Ъ по основанию о»).
Кстати, вернемся к уравнению - =2, которое встретилось
\3)
нам в примере 4 § 46 и которое мы не смогли решить. Теперь ответ
ясен:х =log5 2.
b
1
й
1У
/
и У
"Л"
/1
/И
f\ il
1 '1
_1 «
U
оц-,Ь
1
у-1
X
261

Определение. Логарифмом положительного числа to по поло-
положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель
степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число Ь.
Например,
к^28=3,таккак23 =8;
;
log, 25 = -2, так как
-2
= 25;
log42=-,TaKKaK42 =2.
Особо выделим три формулы (попробуйте их обосновать, это
очень просто):
logaa=l,
log, 1=0,
loga ac = с.
Например,
Iog22 = l, Iog334=4 Iog55 3 =--, log8l=0.
3
Для числа log2 6, которое встретилось нам в начале параграфа,
точного рационального значения мы указать не можем, поскольку
log2 6 — иррациональное число. Доказывается это довольно красиво.
Предположим, что Iog26 — рациональное число, т.е. что
т
log2 о = —, где тип — натуральные числа. Тогда 2 " = 6,
=6",
2п -6". Последнее равенство невозможно, поскольку его правая
часть есть целое число, которое делится без остатка на 3, а левая
часть делиться без остатка на 3 никак не может.
Полученное противоречие означает, что наше предположение
неверно и, следовательно, log2 6 — иррациональное число. •
Мы дали определение логарифма на обычном языке, а теперь
приведем то же определение на языке символов:
а
log . Ь _
= Ь.
В самом деле, что надо подставить вместо * в равенство а* =Ь?
Какое число должно находиться в показателе степени, в которую
надо возвести число а, чтобы получить число Ь? Ответ следует из
данного выше определения: этим показателем является log a b. Зна-
Значит, вместо * надо подставить число loga b, что мы и сделали.
Например, 2 log'3=3, 5logsl° =10, 10log">0'4 =0,4
262
Подчеркнем, что loga b =с и ас =Ь — одна и та же математичес-
математическая модель (одна и та же зависимость между числами а, Ъ и с), но
только вторая описана на более простом языке (использует более
простые символы), чем первая.
Операцию нахождения логарифма числа обычно называют лога-
логарифмированием. Эта операция является обратной по отношению к
возведению в степень с соответствующим основанием. Сравните:
Возведение в степень
52=25
103 =1000
0,34 =0,0081
Логарифмирование
Iog525 = 2
log101000 = 3
log03 0,0081=4
Вычисление значения логарифма сводится, как правило, к ре-
решению некоторого показательного уравнения.
Пример. Вычислить:
а) log4128; б) log^^9; в) log, 4л/2.
г
Решение, а) Положим: Iog4128 = x. Тогда по Определению логарифма
4* =128. Решая это показательное уравнение, последовательно находим:
Ч'=2\ 2х = 7, х=3,5.
б) Положим: log^j л/9 = х. Тогда по определению Логарифма-f-Уз J = >/9.
Решая это показательное уравнение, последовательно находим:
Д
2 3
в) Положим: log, 4-У2 = х. Тогда по определению логарифма — =4-*/2.
г \2)
Решая это показательное уравнение, последовательно находим:
о-*_о2 О2 _v_0.± ...ОС
<Ш
Логарифм по основанию 10 обычно называют десятичным лога-
логарифмом. Так, log,05, log,03,4 — десятичные логарифмы. Вместо
символа log10 принято использовать символ lg; так, вместо log10 5
пишут lg 5, а вместо log 10 3,4 пишут lg 3,4. В недалеком прошлом де-
десятичным логарифмам отдавали предпочтение; опираясь на осо-
особенности принятой десятичной системы счисления, составляли
весьма подробные таблицы десятичных логарифмов, наносили на
шкалы специальных логарифмических линеек. В эпоху всеобщей
компьютеризации десятичные логарифмы утратили свою веду-
ведущую роль, более важны стали логарифмы по основанию 2, но осо-
263

бенно широко используются в математике и технике логарифмы,
основанием которых служит особое число е (такое же знаменитое,
как число я); с этим числом мы познакомимся позднее (в § 54).
§49. ФУНКЦИЯ y=logax, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
В § 48 мы ввели понятие логарифма положительного числа по
положительному и отличному от 1 основанию а. Для любого поло-
положительного числа можно найти логарифм по заданному основа-
основанию. Но тогда следует подумать и о функции вида y-\ogax,
х е @, + оо), о ее графике и свойствах. Этим и займемся в настоящем
параграфе.
Рассмотрим одновременно две функции: показательную у - а * и
логарифмическую у =log a х. Пусть точка (Ь; с) принадлежит графи-
графику функции у=ах; это значит, что справедливо равенство с=аь.
Перепишем это равенство «на языке логарифмов»: b=logac. Пос-
Последнее равенство означает, что точка (с; Ь) при-
принадлежит графику функции у = log a х.
Итак, если точка (Ь; с) принадлежит гра-
графику функцииу=ах ,то точка (с; Ь) принадле-
принадлежит графику функции у =loga x.
В § 40 мы доказали теорему о том, что точки
координатной плоскости хОу с координатами
{Ъ; с) и (с; Ъ) симметричны относительно прямой
Рис 215 У = х (рис. 215). Таким образом, справедливо
следующее утверждение:
График функции у = loga x симметричен графику функции
у =ах относительно прямой у=х.
На рис. 216 схематически изображены графики функций у = ах
ny=\oga хвслучае, когдаа >1; на рис. 217 схематически изображе-
изображены графики функций у=а х иу=log а х в случае, когда 0 < а <1.
ь
У
f
о
/
с
/
4
(И
""*
•
ь
1
X
•
i
|_
1
у
{
*
'а/
Р
г
I
/
i
i
1
*
1
-
с
/
¦с
]
г
t
<
±
/
(а>1)
X
\
\
/
\
\
f
1
1
1
>L
<i]
f
4
if
•
^.
1
V
¦ у=юд„х
@<а<1)
X
Рис. 216
Рис. 217
264
График функции y=\ogax называют логарифмической кривой,
хотя на самом деле нового названия можно было не придумывать.
Ведь это та же экспонента, что служит графиком показательной фун-
функции, только по-другому расположенная в координатной плоскости.
Если значение основания а указано, то график логарифмичес-
логарифмической функции можно построить по точкам. Пусть, например, нужно
построить график функции у=log2 x. Составляя таблицу контроль-
контрольных точек, будем руководствоваться соотношением log2 2r =r (см.
§ 48). Поэтому в таблицу в качестве значений аргумента х мы вклю-
включим числа, являющиеся степенями числа 2.
logJ - |=log2 2'2 =-2,
Имеем:
log2l=log22°=0,
log, 2 = log, 21 =1,
Iog24=log222=2,
Iog28=log223 =3.
Сведем полученные результаты в таблицу:
X
y = \og2x
1
4
-2
1
2
-1
1
0
2
1
4
2
8
3
Построив на координатной плоскости точки [ —; —2 L I —; —1
A; 0), B; 1), D; 2), (8; 3), проводим через них логарифмическую
кривую (рис. 218).
Свойства функции у = loga х, а > 1
Необходимую информацию извлекаем из геометрической моде-
модели, представленной на рис. 216.
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает на @, -н»);
4) не ограничена сверху, не ограничена
снизу;
5) не имеет ни наибольшего, ни наимень-
наименьшего значений;
6) непрерывна;
3
2
1
-1
-2
i
У
0,
f
/
t
•
¦^
4
У
1
1
X
Рис. 218
265

7)Д(/)=(-оо,+оо);
8) выпукла вверх.
Сравните график функции у = logax, изображенный на рис. 216,
играфикфункцииу = хг@<г<1), изображенный на рис. 187 (в §44).
Не правда ли, они похожи (при х > о)? На самом деле между ними
есть принципиальная разница: график функции у = х' «набирает
обороты» быстрее. Иными словами, для достаточно больших зна-
значений х ордината графика степенной функции у = хг (при 0 < г < 1 и
уж тем более при г > 1) значительно больше соответствующей ор-
ординаты графика логарифмической функции с любым основанием,
большим, чем 1. В курсе математического анализа доказано, что
при о>1 иг>0 выполняется равенство
Свойства функции у = loga х, О < а < 1
Необходимую информацию извлекаем из геометрической моде-
модели, представленной на рис. 217.
1Щ/)=@,+оо);
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) убывает на @, +°°);
4) не ограничена сверху, не ограничена снизу;
5) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7)Я(/)=(-оо,+оо);
8) выпукла вниз.
Отметим, что ось у является вертикальной асимптотой графика
логарифмической функции и в случае, когда о > 1, и в случае, когда
0<о<1.
Прежде чем переходить к решению примеров, заметим, что лога-
логарифмическая функция, как и показательная, существенно отлича-
отличается от всех функций, которые вы изучали в курсе алгебры 7—9-го
классов. Поэтому есть смысл повторить сказанное в § 45: чтобы осно-
основательно изучить новый объект, надо рассмотреть его с разных сто-
сторон, в разных ситуациях, поэтому примеров будет много.
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функций на за-
заданном промежутке:
&)y = lgx, хе[1,1000]; 6)y = \ogLx, xe[i,27].
9
3
Решение, а) Функция j/ = lgx — непрерывная и возрастающая, пос-
поскольку основание этой логарифмической функции больше 1 (вы, конечно,
266
помните, что lgx = log10 x). Следовательно, своих наименьшего и наиболь-
наибольшего значений функция достигает на концах заданного отрезка [1,1000].
Имеем: i/^,, =lgl=0;
2/Haiie=lglOOO=log10103=3.
б) Функция у = log, х — непрерывная и убывающая, поскольку основа-
I 1
ние этой логарифмической функции, т.е. число—, меньше 1. Следователь -
3
но, своих наибольшего и наименьшего значений функция достигает на
И
концах заданного отрезка
Имеем: УиЛ =log, - = logJ - =2;
= log^j =_з.
Пример 2. Решить уравнение и неравенства:
a) log6 х - 0; б) log5 x > 0; в) log6 x < 0.
Решение. График функции y = \ogsx схематически изображен на
рис. 216. Заданные уравнение и неравенства нетрудно решить, используя
эту геометрическую модель.
а) Уравнение log6 x= 0 имеет один корень х = 1, поскольку график функ-
функции у = log6 х пересекает ось х в единственной точке A; 0).
б) График функции у = log6 х расположен выше оси х при х > 1. Значит,
решение неравенства log6 х > 0 имеет вид х >1. .
в) График функции у = log6 х расположен ниже оси х при 0 < х < 1. Зна-
Значит, решение неравенства log5 х < 0 имеет вид 0 < х < 1.
Ответ: а)х = 1; б)х>1; вH<х<1.
Пример 3. Решить уравнение и неравенства:
a) log2 х = 0; б) log2 х > 0; в) log2 x <0.
5 6 5
Решение. График функции y = \og2x схематически изображен на
5
рис. 217. Заданные уравнение и неравенства нетрудно решить, используя
эту геометрическую модель.
а) Уравнение log2 х = 0 имеет один корень х = 1, поскольку график фун-
5
кции у = log2 х пересекает ось х в единственной точке A; 0).
5
б) График функции у = log2 х расположен выше оси у при 0 < х < 1. Зна-
5
чит, решение неравенства log2 х > 0 имеет вид 0 < х < 1.
5
267

x=-2
-
2
-
>
0
/
У
У
-3
/¦=
¦и
-3
= -log,(x+2)-3
б4
>-
X
Рис. 219
в) График функции у = log2 х расположен ниже оси х при х > 1. Значит,
5
решение неравенства log2 х < 0 имеет вид х > 1.
5
Ответ: а)х = 1; б)О<х<1; в)х>1.
Пример 4. Построить графики функций:
/ = log2(x + 2)-3; б) j/ = log2(-x);
B)j/ = -31og2|.
Решение. В этом примере нужно выпол-
выполнить различные преобразования графика функ-
функции у = log2 х (см. рис. 218).
а) Перейдем к вспомогательной системе коор-
координат с началом в точке (-2; -3) (пунктирные
прямые х = -2 и у = -3 на рис. 219). «Привяжем»
график функции у = log2 x к новой системе коор-
координат — это и будет требуемый график
(рис. 219).
б) Напомним, что график функции
y = f(-x) симметричен графику функции
у = f(x)относительно оси у. Учтя это, строим
график функции у = log2 x, а затем, подверг-
подвергнув его преобразованию симметрии относи-
относительно оси у, получаем график функции
j/ = log2(-x)(pHc. 220).
в) Построение графика функции
у = -31og2 — осуществим в несколько шагов:
1) Построим график функции j/ = log2x
(пунктирная линия на рис. 221).
2) Осуществим растяжение построенно-
построенного графика от оси х с коэффициентом 3 и
симметрию «растянутого» графика отно-
относительно оси х. Получим график функции
j/ = -31og2x (тонкая линия на рис. 221).
3) Осуществим сжатие построенного
графика к оси у с коэффициентом — (т.е.
с*
растяжение графика от оси у с коэффици-
коэффициентом 2). Получим график функции
Рис 221 j/ = -31og2—(жирная линия на рис. 221). <И|
с*
Пример 5. Построить и прочитать график функции
12*, если х<1;
log, х, если х > 1.
у=1од2(-х]
ч
-1
У
0
1
V
Ч'
I
/
1
y=logjx
*
гх
vl
, 1
11
\\
\\
\л
1А2
'|\
•
_.
Рис
N
S
у=-31о
i i
s
\
9*
221
)
y=log
>
к.
jX
31од2у
X
Решение. Построим график функции у = 2" и выделим его часть на
луче (-«о, 1] (выделенная часть пунктирной линии на рис. 222). Построим
268
л
S
1у
т
L
К
11
о
¦в
к
1
ч
у
1
1.
ч
~~1
у =2'
**.
= loa.j
1_
1
г
г
X
Рис. 222
график функции у- log, x и выделим его часть
2
на открытом луче A, +°°) (выделенная часть тон-
тонкой линии на рис. 222). Объединение двух выде-
выделенных на рис. 222 линий и представляет собой
график заданной функции.
Прочтем график, т.е. укажем иллюстрируемые
графиком свойства заданной функции.
1) ?»(/)= (-оо, + во).
2) Не является ни четной, ни нечетной.
3) Возрастает на луче (-¦», 1], убывает на откры-
открытом луче A,+оо).
4) Не ограничена снизу, ограничена сверху.
5) j/.^ = 2 (достигается в точке х = 1), наименьшего значения у функции
нет.
6) Функция претерпевает разрыв в точке х = 1; в остальных точках она
непрерывна.
7)E(/) = (-co,0)U@,2].
8) Выпукла вниз на промежутках (-«°, 1] иA,+ ¦»).
Заметим, что прямая у = 0 (ось х) является горизонтальной асимптотой
графика функции при х-) -<*>. Это значит, что lim f(x)=O. <Щ
Пример 6. Решить уравнение lgx = 11 - х. х~>"
Решение. Достаточно очевидно, что х = 10 — корень уравнения. В са-
самом деле lgl0 = lHll-10 = l,T.e. при х = 10 заданное уравнение обращает-
обращается в верное числовое равенство 1 = 1.
Так как функция у =lg х возрастает, а функция у = 11 - х убывает, то за-
заданное уравнение имеет только один корень, который уже найден путем
подбора: х = 10. <И|
Завершая разговор о логарифмических функциях и их графиках,
рассмотрим более сложный пример, где речь идет о построении гра-
графиков нескольких так называемых «экзотических» функций.
Пример 7. Построить графики функций:
a)y=logxx; б)у = 21о"х; в)# = *'<*'*.
Решение, а) Мы знаем, что log^. x = 1, но при этом следует учесть, что
х — основание логарифма, а потому х >0 и х Ф1. Значит, речь идет о пост-
построении графика функции у = 1, область определения которой задается ус-
условиями: х > 0, хф1. График функции изображен на рис. 223.
б) Мы знаем, что 2log'' = х, но при этом следует учесть, что х — логариф-
логарифмируемое число, а потому х>0. Значит, речь идет о построении графика
функции у — х, область определения которой задается условием х >0. Гра-
График функции изображен на рис. 224.
1
0
у/
1
X
|
С
у
/
/
/
/
/
f
X
2<
6
кУ
1
X
Рис. 223
Рис. 224
Рис. 225
269

в) Мы знаем, что х10**2 =2, но при этом следует учесть, что х — основание
логарифма, а потому х >0 и х ф\. Значит, речь идет о построении графика
функции у = 2, область определения которой задается условиями:
х >0, хф\. График функции изображен на рис. 225. <И|
§ 50. СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
В предыдущих параграфах мы ввели понятие логарифма поло-
положительного числа по положительному и отличному от 1 основа-
основанию, изучили свойства функции y=\ogax, построили ее график.
Но, чтобы успешно использовать на практике операцию логариф-
логарифмирования, нужно познакомиться со свойствами этой операции,
что мы и сделаем в настоящем параграфе. Все свойства формулиру-
формулируются и доказываются только для положительных значений пере-
переменных, содержащихся под знаками логарифмов. Впрочем, два
свойства доказательства не требуют, они представляют собой за-
запись на математическом языке определения логарифма как пока-
показателя степени, мы ими уже пользовались:
logBar =г
Теорема 1. Логарифм произведения двух положительных чи-
чисел равен сумме логарифмов этих чисел:
log а Ъс = log ab+loga с.
Например, log215=log2 C 5) = log2 3+log2 5;
log318 =log3(9 2) =log3 9+log3 2 = 2+log3 2;
lg5+lg2 = lgE-2) = lgl0 = l.
Доказательство. Введем следующие обозначения:log„be — x,
loga b = y, loga с = z. Нам надо доказать, что выполняется равенство
х = у+г.
Так KaKlogabc = ;c, то a* -be.
TaKKaKlogab = i/, то а" =Ь.
Так как log „с = г, то а2 =с.
Итак,а" -Ъс, а"-Ь, а1-с.
Значит,а" аг =а*,т.е.а**г =ах.
Но если степени двух положительных чисел равны и основания
степеней равны и отличны от 1, то равны и показатели степеней:
у+г = х, что и требовалось доказать. •
Приведем краткую запись доказательства теоремы.
270
Подготовка к доказательству
(введение новых переменных)
log. be = x
logab = i/
log. с = г
Доказать: х = у+г
Перевод на более
простой язык
а'=Ьс
а"=Ь
а'=с
Доказательство
а'=а'а'
а'=а"*'
х = у+г
Замечания: 1. Математики считают, что теорему 1 можно не доказы-
доказывать. Ведь что такое логарифм, спрашивают они. И отвечают: логарифм —
это показатель степени. А что делается с показателями степеней при умноже-
умножении? Они складываются. Значит, логарифм произведения равен сумме лога-
логарифмов. Вот в чем состоит содержательный смысл теоремы 1.
2. Теорема остается справедливой и для случая, когда логарифмируе-
логарифмируемое выражение представляет собой произведение более двух положитель-
положительных чисел.
Например, log6 2 + log63 + log6 7 = log6B-3-7)=log642.
3. Теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию «если...то»
(как принято для теорем в математике). Приведем соответствующую фор-
формулировку: если а.Ъис — положительные числа, причем а * 1, то справед-
справедливо равенство log, be = log. b + log, с. Следующую теорему мы именно так
и оформим.
Теорема 2. Еслиа,Ь,с — положительные числа,причем а *¦ 1,
то справедливо равенство:
log.-=log. b-log. с.
с
Краткая формулировка, которую удобнее использовать на прак-
практике: логарифм частного равен разности логарифмов делимого и
делителя или логарифм дроби равен разности логарифмов числи-
числителя и знаменателя.
Например,
Iogi2,5=logi(- WogjS-log^log! 5+1;
2 2\* ) 2 2 2
15
Igl5-lg3 = lg— = lg5.
3
Доказательство. Мы приведем краткую запись доказатель-
доказательства, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, ана-
аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1,
а также дать содержательное истолкование теоремы 2 подобно
тому, как это сделано в замечании 1.
271

Подготовка к доказательству |
(введение новых переменных) j
ь
°с !
log,b = y |
log, с = г i
Доказать: х = у - г j
Перевод на более
простой язык
а'--
с
ау=Ь
а'=с
Доказательство
ах=ау:аг
а*=а>-
х = у-г
Теорема 3. Если а,Ь — положительные числа, причем аФ1,
то для любого числа г справедливо равенство:
log, br =rloga Ъ.\
Краткая формулировка, которую удобнее использовать на прак-
практике: логарифм степени равен произведению показателя степени
на логарифм основания степени.
Например,
Iogi25=logi52 =21og,5;
lgi = lg5-*=-Ig5;
5
3log2 5 =log2 53 =log2125.
Доказательство. Приведем краткую запись доказательства, а
вы, как и при доказательстве теоремы 2, попробуйте сделать соответст-
соответствующие комментарии по аналогии с теоремой 1 и замечанием 1.
Подготовка к доказательству
(введение новых переменных)
\ogabr=x
logab = y
Доказать: х-гу
Перевод на более
простой язык
а'=Ъг
а*=Ь
Доказательство
а*=(а')г
х = гу
Пример 1. Известно, что положительные числа х, у, г, t связаны соотно-
соотношением х=-^-. Выразить loga х через логарифмы по основанию а чисел
у, г, t. «,
Решение. 1) Логарифм дроби равен разности логарифмов числителя
и знаменателя. Значит, log, ~j=- = log,(уг3)- loga ift.
272
2) Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей. Зна-
Значит, Iog,(i/z3)=log, y+ log, г3.
3) Логарифм степени равен произведению показателя степени на
логарифм основания степени. Значит,
logoz3=31og.z; logJ^ = logJti=-logat.
4) В итоге получаем:
loga х = loga(yz3)- log, Vt = log. у + log, z3 - - log, t =
= log, i/ + 31og,z--log,t.
о
При наличии определенного опыта решение примера можно не разби-
разбивать на последовательные этапы, а оформить его так:
I
= log,i/ + 31og, z--log,t. <И|
о
Еще раз подчеркнем, что все свойства логарифмов мы получили
при условии, что переменные принимают положительные значе-
значения. А как быть, если про знак переменной ничего не известно?
Можно ли, например, написать, что lgx2 =21gx, если о знаке числа
х ничего не известно? Отвечаем: нельзя, поскольку при х < 0 левая
часть равенства определена, а правая не определена. Как же быть в
таком случае? Нас выручит знак модуля. Поскольку х2 = \я\ и \я\ >О
при х ±0, то верное равенство выглядит так: lgx2 =21g|x|. Это част-
частный случай общей формулы
loga*2n = 2гаlog, |*| (neZ).
Помните и о том, что заменять выражение log „Ьс выражением
loga fc+loga с мы имеем право лишь в случае, когда Ь >0 и с >0. Если
мы"в этом не уверены, но знаем, что be >0, то, поскольку в этом слу-
случае выполняется равенство be = \ Ъ \ ¦ \ с \, следует использовать формулу
logafcc=logjfc|+logjc|.
Если некоторое выражение А составлено из положительных чи-
чисел х, у, г с помощью операций умножения, деления и возведения в
степень, то, используя свойства логарифмов, можно выразить
loga А через логарифмы чисел х, у, г. Такое преобразование называ-
называют логарифмированием (см. пример 1). Ценность операции лога-
логарифмирования состоит в том, что она позволяет сводить
вычисления к* операциям более низкого порядка: произведение,
частное, степень заменяются соответственно на сумму, разность,
произведение.
10 Мордкович «Алгебра, 10 кл.»
273

Иногда приходится решать обратную задачу: находить выраже-
выражение, логарифм которого представлен через логарифмы некоторых
чисел. Такое преобразование называют потенцированием. При
этом используется следующее утверждение:
Теорема 4. Равенство loga t - loga s, где a > 0, a * 1, t > 0, s > 0,
справедливо тогда и только тогда, когда t=s.
Это достаточно очевидное следствие монотонности логарифми-
логарифмической функции.
Пример 2. Известно, что ]g х = 21g у - lg г + 0,5 lgt Выразить х через у, г, t.
Решение. Имеем последовательно:
Итак, lg* = ]g— и, следовательно, x = lg — .
г г
<¦
Пример 3. Известно, 4Tolog32 = a. Вычислить log36,75.
Решение. Выразим число 6,75 через числа 3 и 2 C — основание лога-
логарифма, 2 — заданное в условии логарифмируемое число) с помощью опера-
операций умножения, деления и возведения в степень:
Далее находим:
Ответ: log36,75=3-2a.
Пример 4. Вычислить 491>251(ЧГ7 25.
Решение. Поработаем с показателем степени:
l-0,251og,25 = log,7-log,257=log,7-log,V25 =
= log, 7 - log, 4b = log, j=.
Теперь заданное числовое выражение мы можем записать в виде
1«
49
Далее находим
49
=7
=7
-^l log "
1'5' =7 5
49
Остается вспомнить, что alog"b =b. Значит, 7 5 =—=9,8.
5
Ответ: 93.
Пример 5. Положительное число а записано в стандартном виде:
а=а0-10", где 1 <а0 < 10 и п — целое число. Найти десятичный логарифм
числа а.
274
<¦
PemeHHe.]ga=]g(a0-10")=]ga0
Таким образом, lg а = п + lg a0.
Проанализируем полученный результат. По условию 1<о0 < 10,
значит, в силу возрастания функции у = lgx имеем: lgl<lgo0 < lg 10,
т.е. 0<lga0 <!•
Таким образом, нам удалось представить lg a в виде суммы целого
числа п и числа lgo0, заключенного в промежутке [0, 1). Это значит,
что га — целая часть числа lg a, algo0 — дробная часть числа lg a.
Обычно целую часть числа lg а называют характеристикой де-
десятичного логарифма числа а, а дробную часть числа lg а называют
мантиссой десятичного логарифма числа а.
Математики, как вы знаете, ничего просто так не делают; если
уж они выделили десятичные логарифмы, ввели термины «харак-
«характеристика» и «мантисса», значит, с определенной целью. С какой?
Для ответа на этот вопрос рассмотрим пример: вычислить lg 70,
lg 700, lg 700 000, lg 0,007, если известно, что Ig7 =0,8451.
Имеем:
lg70 = lgG-10) = lg7+lglO =0^451+1 = 1^451;
lg700 = lgG102) = lg7+lgl02 =03451+2=23451;
lg700000 = lgG105) = lg7+lgl05 =03451+5=53451;
lg0XH7 = lgG10-3) = lg7+lgl0-3=03451-3=-2,1549.
Таким образом, возвращаясь к решению примера 5, достаточно
составить таблицу десятичных логарифмов чисел, заключенных в
промежутке [1,10), чтобы с ее помощью и с помощью стандартного
вида положительного числа вычислять десят^ичные логарифмы
любых положительных чисел.
Завершая этот параграф, рассмотрим занимательный пример,
где используются десятичные логарифмы.
Пример 6. Сколько цифр содержит число 7100 ?
Решение. Часто начинают решать эту задачу « в лоб»: возводят число
7 постепенно в 1, 2,3-ю и т.д. степень и пытаются увидеть закономерность.
Имеем:
71 = 7 (одна цифра), 7* - 49 (две цифры), 7' = 343 (три цифры), 74 =2401
(четыре цифры), Т = 16 807 (пять цифр), Т = 117 649 (шесть цифр). Возни-
Возникает естественная гипотеза: каков показатель степени, столько цифр в ре-
результате. Но эта гипотеза рушится уже на следующем шаге: 77 = 823 543 —
в этом числе не 7, а 6 цифр. Так что метод перебора и угадывания здесь не
срабатывает.
Поступим по-другому: вычислим десятичный логарифм числа 7100.
Имеем: Ig7100 =100 lg7 = 10003451=84,51.
Видим, что характеристика логарифма равна 84. Значит, порядок чис-
числа 7'00 равен 84, а потому в числе 7100 85 цифр.
Ответ: 85 цифр.
275

§ 51. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида
logaf(x)=logag(x), A)
где а — положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводя-
сводящиеся к этому виду.
Опираясь на теорему 4 из § 50, согласно которой равенство
log а t= 1°? а 8> гДея > 0, о * 1, f > 0, s > 0, справедливо тогда и только тог-
тогда, когда t=8, мы можем сформулировать следующее утверждение.
Теорема. Если f(x) >О и g(x)>0,mo логарифмическое уравне-
уравнение loga f(x) = loge g (x) (где a >0, a * 1) равносильно уравнению
f(x) = g(x).
На практике эту теорему применяют так: переходят от уравне-
уравнения A) к уравнению f(x) = g(x) (такой переход называют потенци-
потенцированием), решают уравнение f(x)=g(x), а затем проверяют его
корни по условиям f(x) >0, g(x)>0, определяющим область допус-
допустимых значений переменной (ОДЗ). Те корни уравнения f(x) = g(x),
которые удовлетворяют этим условиям, являются корнями урав-
уравнения A). Те корни уравнения f(x) =g(x), которые не удовлетворя-
удовлетворяют хотя бы одному из этих условий, объявляются посторонними
корнями для уравнения A).
Пример 1. Решить уравнение: logs(^ -Зх -5)= logsG -2х).
Решение.1) Потенцируя (т.е. освободившись от знаков логарифмов),
получаем: х2 -Зх-5 = 7 -2х;
2
=4,
2) Проверим наиденные корни по условиям:
x2-3x-b>Q,
7-2х>0.
Значение х = 4 не удовлетворяет этой системе неравенств (достаточно
заметить, что х = 4 не удовлетворяет второму неравенству системы), т.е.
х = 4 — посторонний корень для заданного уравнения. Значение х =-3
удовлетворяет обоим неравенствам системы, а потому х = —3 — корень
заданного уравнения.
Ответ: х = — 3.
Пример 2. Решить уравнение:
Iog2(z + 4) + Iog2Bx + 3)=Iog2(l - 2х).
Решение. 1) Сначала надо преобразовать уравнение к виду A). Для
этого воспользуемся правилом: «сумма логарифмов равна логарифму про-
произведения». Оно позволяет заменить выражение log2(x + 4)+ log2Bx + 3)
выражением log2(x + 4)Bx + 3). Тогда заданное уравнение можно перепи-
переписать в виде:
Iog2(x + 4)Bх + 3) = Iog2(l -2x).
2) Потенцируя, получаем:
)
= 1-2*;
276
[
3) Проверим найденные корни по условиям: <2х + 3 >0,
[l-2*>0
(обратите внимание: условия для проверки всегда определяют по заданно-
заданному уравнению). Значение х = -1 удовлетворяет этой системе неравенств, а
значение х = -5,5 не удовлетворяет (это посторонний корень).
Ответ: х = -1.
Замечание. Иногда удобнее использовать другой порядок ходов: сна-
сначала решить систему неравенств — в примере 2 решением системы нера-
неравенств будет интервал (-1,5, 0,5); это — область допустимых значений
переменной (ОДЗ) или область определения уравнения. Затем найти корни
я, = -1, х2 = -5,5. И, наконец, сделать проверку найденных значений х, но
уже не с помощью системы неравенств, а по найденной заранее области до-
допустимых значений. В примере 2 значение х = -1 принадлежит интервалу
(-1,5, 0,5), а значение х = -5,5 этому интервалу не принадлежит. Следова-
Следовательно, х = -5,5 — посторонний корень, т.е. х = -1 — единственный корень
заданного логарифмического уравнения.
Пример 3, Решить уравнение: lg2x+lgx + l=-
lg
10
Решение. Так как lg — = lgx-lglO = lgx-l, то заданное уравнение
можно переписать в виде lg2x + lg x +1 =
lgx-1
Есть смысл ввести новую переменную у = lg x; тогда уравнение примет
2 1
Далее находим:
У3 =8;
У = 2.
Это значение удовлетворяет условию у Ф1 (посмотрите: у записанного
выше рационального относительно у уравнения переменная содержится в
знаменателе, а потому следует проверить, не обращается ли знаменатель в
0 при найденном значении переменной у).
Итак, у = 2. Но у = lg x, значит, нам осталось решить простейшее лога-
логарифмическое уравнение lg х = 2, откуда находим х = 100.
Ответ: х = 100.
Подведем некоторые итоги. Можно выделить три основных ме-
метода решения логарифмических уравнений.
1) Функционально-графический метод. Он основан на
использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств
функций. Мы применяли этот метод в § 49.
277

2)Метод потенцирования. Он основав на теореме, получен-
полученной в начале параграфа. Мы применили этот метод в примерах 1 и 2.
3) Метод введения новой переменной. Мы применили
этот метод в примере 3.
Завершая параграф, рассмотрим пример, в котором для ре-
решения уравнения используется еще один метод — метод лога-
логарифмирования, и пример решения системы логарифмических
уравнений.
Пример 4. Решить уравнение х1'1' * =0,04.
Решение. Возьмем от обеих частей уравнения логарифмы по основа-
основанию 5; зто — равносильное преобразование уравнения, поскольку обе его
части принимают только положительные значения. Получим:
logs*1"'0*51 =log50,04.
Учтем, что log6 xr=rlog6x и что log6 0,04 = logJ— = log65~2=-2. Это
позволит переписать заданное уравнение в виде: A - log6 x) ¦ log6 x = -2. Заме-
Замечаем, что «проявилась» новая переменная у = log6 x, относительно которой
уравнение принимает весьма простой вид: A - у )у = -2.
Далее получаем:
уг-у-2=0,
й=2, у2=-1.
Но у = log5 х, значит, нам осталось решить два уравнения:
log6x=2, Iog6*=-1.
Из первого уравнения находим х = 52, т.е. х = 25; из второго уравнения
находим х = 5, т. е. х = —.
5
Ответ: х1 =25; Xj=-.
о
Пример 5. Решить систему уравнений
{21og3(x-y)=log3(j/ + 2).
Решение. 1) Преобразуем первое уравнение системы к более просто-
простовид:
му виду:
Щ2х-у)=6(у + 2х),
х=2у.
2) Преобразуем второе уравнение системы к более простому виду:
b2
(х-уJ=у + 2.
3) Решим полученную систему уравнений:
\2
у ур
\х=2у,
\{x-yf=y + 2.
Подставив 2у вместо х во второе уравнение, получим Bу-уJ=у + 2 и
далее у2 =у+ 2, у2 -у-2 = 0, у, =2, у2=-1.
278
Соответственно из соотношения х — 2у находим я, = 4, х, = -2.
4) Осталось сделать проверку найденных пар D; 2) и (-2; -1) с помощью
условий, которые мы определяем, анализируя исходную систему уравне-
уравнений:
у + 2*>0,
х-у>0,
у + 2>0.
Пара D; 2) удовлетворяет этим условиям, а пара (-2; -1) не удовлетво-
удовлетворяет (например, она «не проходит» уже через первое условие 2х -у>0).
Ответ: D; 2).
§ 52. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Логарифмическими неравенствами называют неравенства
вида
logaf(x)>logag(x), A)
где а — положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводя-
сводящиеся к этому виду.
Для решения неравенства A) проведем следующие рассуждения:
преобразуем неравенство к виду logaf(,x)-logag(x)>0 и далее
log, — >0,т.в.1о*.*>0,где*=М.
g(x) g(x)
Теперь следует рассмотреть два случая: а>1и0<а<1.
Если а > 1, то неравенство loge t >0 имеет место тогда и только
f(x)
тогда, когда t>l (см. § 49, рис. 216). Значит, >1, т.е
g(x)
f(x)>g(x), — мы учли, что g(x) >0.
Если 0 < а < 1, то неравенство log a t > 1 имеет место тогда и только
f(x)
тогда, когда 0 <t <1 (см. § 49, рис. 217). Значит, 0 < <1, т.е.
g(x)
f(x) < g(x), — мы учли, что ?(х) >0 и f(x) >0.
Проведенные рассуждения позволяют сформулировать следую-
следующее утверждение.
Теорема. Если f(x) > О и g(x)>0,mo:
логарифмическое неравенство log, /(*)>loge g(x)равносиль-
g(x)равносильно неравенству того же смысла f(x) > g(x) при а >1;
логарифмическое неравенство log„ /(*)>loge g (x)равносиль-
(x)равносильно неравенству противоположного смысла f(x)<g(x) при
279

На практике эту теорему применяют так: переходят от неравен-
неравенства logo f(x) >logo g(x) при а > 1 к равносильной ему системе нера-
неравенств:
|7(*)>0,
[f(x)>g(x),
а при0 <а < 1 к равносильной системе неравенств:
|7(*)>о,
Шх)>0,
[f(x)<g(x).
Первые два неравенства каждой из этих систем определяют об-
область допустимых значений переменной для неравенства A), а
знак последнего неравенства каждой из систем (обратите внима-
внимание!) либо совпадает со знаком неравенства A) — в случае, когда
а >1, — либо противоположен знаку неравенства A) — в случае,
когда0 <а <1.
Пример 1. Решить неравенства:
a)log3Bx-4)>log3A4-x); 6)log1Bx-4)>log1A4-x).
3 3
Решение, а) Область допустимых значений переменной для заданно-
заданного неравенства определяется условиями: 2х-4>0и 14-х>0. Поскольку
основанием логарифмов служит число 3, а оно больше 1, то, «освобожда-
«освобождаясь» от знаков логарифмов, мы получим неравенство того же смысла:
'2*4>14х
В итоге получаем систему неравенств:
|2х-4>0,
[2х-4>14-х.
Из первого неравенства системы находим х >2, из второго — х <14, из
третьего — х >6. Геометрическая модель (рис. 226) помогает найти реше-
решение системы неравенств: 6 < х < 14.
б) Здесь основание логарифма, т.е. число -, меньше 1. Значит, соответс-
3
твующая система неравенств имеет вид:
f2x-4>0,
il4-x>0,
|2х-4<14-х
f
(
?
1
•
6
J_
/ / ) /
/
/
t
Л А
|
X
Рис. 226
-ff=f
JJ///I
.2
4
f-
l
•w
_x
Рис. 227
280
(обратите внимание: знак последнего неравенства системы противополо-
противоположен знаку исходного логарифмического неравенства).
Из первого неравенства системы находим х > 2, из второго — х < 14, из
третьего — х <6. Геометрическая модель (рис. 227) помогает найти реше-
решение системы неравенств: 2 < х < 6.
Ответ: аN<х<14; бJ<х<6.
Замечание. Еще раз рассмотрим систему неравенств, которая полу-
получилась в примере 1а. Третье неравенство системы имеет вид 2х -4>14-х, а
второе —14 - х >0. Но из этих двух неравенств автоматически (по свойству
транзитивности неравенств) следует, что 2х - 4 > 0. Что это значит? Это зна-
значит, что первое неравенство системы с самого начала можно было отбро-
отбросить без всякого ущерба для решения системы.
Рассуждая аналогично, в системе неравенств, которую мы получили в
примере 16, можно было с самого начала отбросить второе неравенство.
Получив систему неравенств, математики обычно смотрят, нет ли в ней
неравенства, которое логически следует из других. Если такое неравенство
есть, его можно отбросить. Советуем и вам так поступать, но, разумеется,
только в том случае, если вы уверены в правильности своих выводов.
Пример 2. Решить неравенство: log, A6 + 4х - х2 )< - 4.
2 1
Решение. Представим —4 в виде логарифма по основанию —:
-4 = log, I — | =log, 16. Это позволит переписать заданное неравенство в
J
A2
-x2)<log116.
2 2
Учитывая, что здесь основанием логарифмов служит число, меньше 1,
составляем равносильную заданному неравенству систему неравенств:
Tl6 + 4x-x2>0,
Обратите внимание: если выполняется второе неравенство системы, то
автоматически выполняется и первое неравенство (если А> 16, то тем более
А>0). Значит, первое неравенство системы можно отбросить. Решая вто-
второе неравенство, находим: х2 -4х<0;
С помощью метода интервалов
(рис. 228)получаемО<х<4.
Ответ: 0<х<4.
ч
П
1
\
С™
/\
/
4
_-:
+
X
Рис. 228
Пример 3. Решить неравенство
Igx+lgD5-x)<2 + lg2.
Решение. Имеем последовательно:
lgx+lgD5-x)=lgxD5-x) = lgD5x-:
2+lg2 = lgl00+lg2 = lgl00-2 = lg200.
Значит, заданное неравенство можно преобразовать к виду
lgD5x-x2)<lg200.
«Освобождаясь» от знаков десятичных логарифмов, получим неравен-
неравенство того же смысла: 45х - х2 < 200. А условия, задающие область допусти-
допустимых значений переменной, всегда определяют по исходному неравенству;
в данном примере они таковы: х>0и45-х>0. В итоге получаем систему
неравенств:
281

x>0,
45-x>0,
45x-x2<200.
Первые два неравенства можно записать в виде двойного неравенства
О < х < 45. Решая третье неравенство системы, находим:
х2-45х + 200>0;
(х-40Нх-5)>0;
х<5; х>40 (рис. 229).
Отметив на числовой прямой эти решения совместно с полученным ра-
ранее интервалом 0 < х <45, находим их пересечение (рис. 230), т.е. решение
составленной выше системы неравенств: 0 < х < 5; 40 < х < 45.
Ответ:0<х<5; 40<х<45.
n
о
4S
_x
Рис. 229
Рис. 230
Пример 4. Решить неравенство log2 х2 - 5 log2 х +1 <0.
Решение. Здесь «напрашивается» введение новой переменной
у = log2 х, но сначала надо разобраться с выражением log2 x2.
Имеем: log2 х2 =(log2 x2J =B1og2 xf =4 log2 x. Итак, если j/ = log2 х, то
log2 х2 =4j^. Поняв это, перепишем заданное неравенство в виде
4^-51/+КО.
Найдем корни квадратного трехчлена Ьу2 - Ьу +1: у1 = 1, у2 = —. Значит,
4
4 у2 -5j/+l=4(j/-l)j/ — La потому последнее неравенство можно перепи-
сатьв виде 4(у-1) у— <0.
I 4J
Находим решение неравенства: - < у <1.
4
Подставив вместо у выражение log2 х, получим: — < log2 x <1 или, что то
4
же самое, log2 24 <log2 x <log2 2. Остается «освободиться» от знаков лога-
рифмов, сохранив имеющиеся знаки неравенств: 24 < х <2.
Ответ: 24 <х<2.
§ 53. ПЕРЕХОД К НОВОМУ ОСНОВАНИЮ ЛОГАРИФМА
Логарифмических функций бесконечно много: i/=log2 xr,
y=logoa x; y = lgxr, y=logs x и т.д. Возникает вопрос,
y=log3x;
282
как они связаны между собой?
Есть ли, например, какая-то
связь между функциями
y=log2x и j/=log3x? На
рис. 231 изображены графики
функций у=log2 х и у=log3 х.
Не кажется ли вам, что гра-
график первой функции получа-
получается из графика второй
функции растяжением от оси
х с некоторым коэффициен- р с 231
том k > 1? Если наше геомет-
геометрическое наблюдение верно, то должно выполняться равенство:
-С
i
5-
»-
V
П /
I
f
1
Г
/
*
1 О О /
«г
•"
г"
¦и
¦¦
э п
—
¦Mil
X-
X
Так ли это? На все поставленные вопросы мы ответим в этом па-
параграфе. Теоретической основой для ответа является следующая
теорема.
Теорема. Если а,Ъ, с — положительные числа, причем аи с
отличны от 1, то имеет место равенство:
A)
Например, log2 3=
(формула перехода к новому основанию логарифма).
logs3 , Л Ig4
-^-; log74=-H-HT.fl.
Iog52 Ig7
Доказательство теоремы.
Подготовка к доказательству
(введение новых переменных)
logeb = x
logcb = j/
logca = z
u
Доказать: х = —
г
Перевод на более
простой язык
ах=Ъ
с"=Ь
с'=а
Доказательство
\а"=с'
J U
=>(с')х=с*
гх=у
х=У-
г
Теперь нетрудно ответить на поставленный выше вопрос: как
связаны между собой различные логарифмические функции? Рас-
283

смотрим две логарифмические функции y=log2 хи y=log3 x, гра-
графики которых изображены на рис. 231. Имеем:
1 1°??2 Х 1 1 о 1
log3 х = —, откуда находим, что log2 х=log2 3-log3 x.
Iog23
Таким образом, наша догадка подтвердилась: действительно,
справедливо соотношение log2 x = klog3 x, где k =log23; подтверди-
подтвердилась и наша догадка о том, что в данном случае k > 1, поскольку
Iog23>l.
Аналогичные формулы связывают и другие логарифмические
функции. Например, справедливы соотношения:
log5 х = klog7 x, где k =log5 7;
lgx = &log05 x, где k =lg 0,5 и т.д.
Рассмотрим два важных частных случая формулы перехода к но-
новому основанию логарифма, два следствия из доказанной теоремы.
Следствие 1. Если aub положительные и отличные от 1 числа,
то справедливо равенство:
Например, log2 3=-
Ig5=:
Iog32' '°~ Iog510'
Доказательство. Положив в формуле A) с =b, получим:
Ъ 1
log6a \ogba'
Следствие 2. Если aub — положительные числа, причем аФ1,
то для любого числа гфО справедливо равенство:
Например, Iog23=log22 З2 =logr, 3 * =log^ л/Зит.д.
Доказательство. Перейдем в выражении \oga,br к лога-
рифмам по основанию a: log r b = —= =— =log b. %
\ogaar r
Пример 1. Дано: lg 3 = a, lg 5 =Ъ. Вычислить log215.
Решение.
log 15_lglS=lgC-5)=lg3+lg5=a+ft
2 Ig2 lgA0:5) lglO-lg5 1-b'
<m
284
Пример 2. Решить уравнение: log2 x + log4 x = log^j 3.
Решение. Перейдем во всех логарифмах к одному основанию 4. Для
этого дважды воспользуемся формулой, доказанной в следствии 2:
log2x = log2,x2=log4x2;
1о8!Д3 = 1о8(.Л).33=1о8427.
Теперь заданное уравнение можно переписать в более простой форме:
l2 l l27
Далее получаем:
Ответ: х = 3.
ogos'-x) = log4 27,
log4x3=log427,
х2=27,
х = 3.
§ 54. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ
И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЙ
1. Число е. Функция у = е", ее свойства, график,
дифференцирование
Рассмотрим показательную функ-
функцию у=ах, где а > 1. Для различных ос-
оснований а получаем различные
графики (рис. 232—234), но можно за-
заметить, что все они проходят через точ-
точку @; 1), все они имеют горизонтальную
асимптоту у =0 при х —* — °°, все они обра-
обращены выпуклостью вниз и, наконец, все
они имеют касательные во всех своих точках. Проведем для приме-
примера касательную к графику функции у=2* в точке х =0 (рис. 232).
Если сделать точные построения и измерения, то можно убедиться
в том, что эта касательная образует с осью х угол 35° (примерно).
Теперь проведем касательную к графику функции у=3* тоже в точ-
/
2
1
0
/
f
/
(У
35'Т
-1
*
)
/
X
Рис. 232
*
/
I
У
3-
1
о
У
I
\
У
I
/I
If J
p
48'
/
I
/
r
3
X
0
1
V
I I
-у=1С
У
М
/
[
6,
/
/
*
X
Рис. 233
Рис. 234
285

ке х = 0 (рис. 233). Здесь угол между касательной и осью х будет
больше — 48°. А для показательной функции у -10 * в аналогичной
ситуации получаем угол 66,5° (рис. 234).
Итак, если основание а показательной функции у=ах постепен-
постепенно увеличивается от 2 до 10, то угол между касательной к графику
функции в точке х=0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от
35° до 66,5°. Логично считать, что существует основание а, для ко-
которого соответствующий угол равен 45°. Это основание должно
быть заключено между числами 2 и 3, поскольку для функции
у = 2х интересующий нас угол равен 35°, что меньше, чем 45°, а для
функции у=3* он равен 48°, что уже немного больше, чем 45°. Ин-
Интересующее нас основание принято
обозначать буквой е. Установлено, что
число е — иррациональное, т.е. предс-
представляет собой бесконечную десятичную
непериодическую дробь:
6 = 2,7182818284590...;
на практике обычно полагают, что
е=2,7.
Замечание (не очень серьезное). Ясно,
что Л.Н. Толстой никакого отношения к
Рис. ioa числу е не имеет, тем не менее в записи числа
е, обратите внимание, два раза подряд повторяется число 1828 — год рож-
рождения Л.Н. Толстого.
График функции у=ех изображен на рис. 235. Это — экспонен-
экспонента, отличающаяся от других экспонент (графиков показательных
функций с другими основаниями) тем, что угол между касательной
к графику в точке х=0 и осью абсцисс равен 45°.
Свойства функции у = ех:
l)?Kf) =(-*>, + «>);
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает;
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
/
1
%
0
У
/
1
/\
4
У
/
—
/
/
X
8) выпукла вниз;
9) дифференцируема.
Вернитесь к § 45, взгляните на имеющийся там перечень свойств
показательной функции у=ах при а > 1. Вы обнаружите те же свойс-
-тва 1—8 (что вполне естественно), а девятое свойство, связанное с
286
дифференцируемостью функции, мы тогда не упомянули. Обсудим
его теперь.
Выведем формулу для отыскания производной у -ех . При этом
мы не будем пользоваться обычным алгоритмом, который вырабо-
выработали в § 32 и который не раз с успехом применяли. В этом алгорит-
алгоритме на заключительном этапе надо вычислить предел, а знания по
теории пределов у нас с вами пока весьма и весьма ограниченные.
Поэтому будем опираться на геометрические предпосылки, счи-
считая, в частности, сам факт существования касательной к графику
показательной функции не подлежащим сомнению (поэтому мы
так уверенно записали в приведенном выше перечне свойств девя-
девятое свойство — дифференцируемость функции у=ех)
1. Отметим, что для функции
y = f(x), где f(x)=ex , значение про-
производной в точке х =0 нам уже из-
известно: f@)=tg45°=l.
2. Введем в рассмотрение функ-
функцию y=g(x), где g(x) = f(x-a), т.е.
g(x)=ex~". На рис. 236 изображен
график функции y-g(x): он полу-
получен из графика функции y = f(x)
сдвигом по оси х на \а\ единиц мас-
Рис. 236
штаба. Касательная к графику
функции у=g(x) в точке х =а параллельна касательной к графику
функции y = f(x)n точке х = 0 (см. рис. 236), значит, она образует с
осью х угол 45°. Используя геометрический смысл производной,
можем записать, что g'{a) =tg45°;=l.
3. Вернемся к функции у = f(x). Имеем:
00
/
1
0
1 ' I
у
I
1
У с
1
1
1
I /
А/
4.
5*
/
/
/
а
\
+
\
/
/
/,
V
/г
4
Ь1
1
1
у=е*-°-
z
/
1
X
f(x)=ex =e" е
f(x)=e e е -е" •#(*).Значит, f(x)-e" g"(,x), в частности,
f(a)=e° -^'(a)-Ho/(a) = l, значит, f'(a)=ea.
4. Мы установили, что для любого значения а справедливо соот-
соотношение /'(а)=е°. Вместо буквы а можно, естественно, использо-
использовать и букву х; тогда получим f\x) =ex, т.е.
Из этой формулы получается соответствующая формула интег-
интегрирования:
: = е
287

.Пример 1. Провести касательную к графику функции у = е" в точке х ~ 1.
Решение. Напомним, что уравнение касательной к графику функции
у = f(x) в точке х = а имеет вид
y = f(a)+f'(a)(x-a). A)
Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной к гра-
графику функции (см. § 34), учитывая, что в данном примере f(x)=e'.
1) 1
)Д)Д)
3)/'(*)=«'; Г(а)=П1)=е.
4) Подставим найденные три числа: а = 1, f(a)=e, f'(a )= ев формулу
A). Получим:
Ответ: у = ex.
1
г2
к'
и
У
А
//
/
1
7
I
/
у
'/
—
-
X
Рис. 237
2
j/ = ex.
Пример 2. Вычислить значение производной функ-
функции у = е4*2 в точке х = 3.
Решение. Воспользуемся правилом дифферен-
дифференцирования функции y = f(kx + m), согласно которому
y'=k¦ f'(kx + т), и тем, что \е' )'= е*. Получим:
Далее имеем:
у'C)=4 е12-12=4-е°=4.
Ответ: 4.
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограни-
ограниченной линиями у = 0, х = 0, х = 2, у = е".
Решение. Речь идет о вычислении площади кри-
криволинейной трапеции, изображенной на рис. 237.
Имеем: S=Jexdx = e*
1
• •
1
+
-С
)-
1
1
X
Ответ: S = e2 -1.
Пример 4. Исследовать на экстремум и схематически изобразить гра-
фик функции у = хге".
Решение. Имеем:
у'=(х2е')'=(х*)'ех + х\е'У=
= 2хех + х2е'=хе'(х + 2).
Эта производная существует при всех зна-
значениях х, значит, критических точек у функ-
функции нет. Производная обращается в нуль в
точках х = 0их = -2 — это две стационарные
точки. Отметим их на числовой прямой. Знаки
производной на полученных промежутках ме-
меняются так, как показано на рис. 238. Значит,
х = -2 — точка максимума функции, причем
Рис. 238
г
t
>
i
е
*¦
-1
й
У
1
1
/
/
-
1
^ = х2ех
X
х =0 —точка минимума, причем
Рис. 239
288
Используя полученные точки экстремума, схематически изобразим
график функции (рис. 239). Ось абсцисс — горизонтальная асимптота гра-
графика (при х—> -ее). ч <н|
2. Натуральные логарифмы.
Функция у = In ж, ее свойства, график, дифференцирование
Мы рассматривали логарифмы с различными основаниями:
log2 3 — логарифм по основанию 2, log5 7 — логарифм по основанию
5, lg 2 — логарифм по основанию 10 (десятичный логарифм) и т.д.
Если основанием логарифма служит число е, то говорят, что задан
натуральный логарифм.
Примеры натуральных логарифмов: loge 2, loge 5, log, 0,2 и т.д.
Подобно тому как для десятичных логарифмов введено специ-
специальное обозначение lg, введено специальное обозначение для нату-
натуральных логарифмов In (/ — логарифм, п — натуральный). Вместо
loge 2 пишут In 2, вместоloge 5 пишут In 5 и т.д.
Используя известные соотношения для логарифмов (см. § 48,
50, 53), запишем ряд соотношений для натуральных логарифмов:
lnl=0;lne = l;
1 г In х 1 1Г1ДГ
lne =г; е =х; logox= .
lna
Мы знаем, что график логарифмичес-
логарифмической функции y=loga х симметричен гра-
графику показательной функции у=ах отно-
относительно прямой у =х. Значит, и график
функции у = In х симметричен графику
функции у=ех относительно прямой у=х
(рис. 240). Это — экспонента, отличаю-
отличающаяся от других экспонент (графиков ло-
логарифмических функций с другими осно-
ваниями) тем, что угол между касатель-
касательной к графику в точке х = 1 и осью абсцисс равен 45°.
Свойства функции у=1пх:
1)Д/)=@,+оо);
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает на @, + »),-
4) не ограничена ни сверху, ни снизу;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7) ?(/) =(-<*,,+со);
8) выпукла вверх;
9) дифференцируема.
ш
t
i
р
1
/
/
/
f
У
i
/
0
/
1
/
/
/
\f
Ф
(
t
/
->
(a
/
/
/
y = x
f
s
X
289

1
"TT

>
i
У
/
/
Г
1
/
'Л
&
/
r= In
1
У
IX
Id
X
U
/
М
¦¦
-И
у-
X
а
'х
Рис. 241
Вернемся к § 49: взгляните на имеющийся там перечень свойств
логарифмической функции у=logo х, при а > 1. Вы обнаружите те
же свойства, кроме девятого, — его мы тогда не упомянули.
Выведем формулу для отыскания
производной функции у - In х. При
этом, как и в случае показательной
функции, не будем пользоваться обыч-
обычным алгоритмом отыскания производ-
производной (по тем же причинам — наши
недостаточные знания в теории преде-
пределов), а будем использовать геометри-
геометрические соображения.
Возьмем на графике функции
у=-\т\х точку М{а, In а), проведем ка-
касательную к графику функции в этой
точке. Касательная составляет с осью
абсцисс угол а (рис. 241). Найдем на графике функции у=е* точку
Р, симметричную точке М относительно прямой у =х; это будет точ-
точка Р([па; а). Проведем касательную к графику показательной фун-
функции в этой точке, которая составит с осью абсцисс угол В. Точно
такой же угол В составляет первая из двух проведенных касатель-
касательных с осью ординат, но тогда получаем, чтоос + В = 90°(рис. 241).
Для функции у = f(x), где f(x) =ln х, имеем:
f\a) = tga = tg(90°-B) = ctgB = ^-.
tgp
С другой стороны, для функции у=g (x), где g(x) =e*, имеем:
/(lna)=tgB.
Но g'(x) =(ех)' =е*; в частности, g'(lna)=elno =a.
Итак, tgB=a, значит, f'(d) = —=—. Проведя аналогичные рас-
tgB a
суждения для любой точки х, а не только для точки х =а, как было
сделано выше, получим, что
/'(*)=-• •
X
Таким образом, мы установили, что для любого значения х >0
справедлива формула дифференцирования
290
Из этой формулы получается соответствующая формула интег-
интегрирования, справедливая при условии х >0:
Заметим, что если условие х > 0 не выполняется, то используют
более общую формулу
Пример 5. Вычислить значение производной функции у = 1пCх + 5) в
точке х = -1.
Решение. Воспользуемся правилом дифференцирования функции
у = f(kx + тп), согласно которому у'= k ¦ f(kx + т), и тем, что (In x)'= —. Полу-
Получим:
i/'=(lnCx
Далее имеем: у'(-1)=———— = 1,5.
3- (—1)+ 5
Зх + 5 Зх + 5
i
1-
"п
У
У
/
[
'/
\
I I
*
1
е
X
/-р
•т.
X
Ответ: 1,5.
Пример 6. Провести касательную к графи-
графику функции у = In х в точке х = е.
Решение. Напомним еще раз, как и в
примере 1, что уравнение касательной к гра-
графику функции y = f(x)B точке х = а имеет вид:
y = f(a)+f\a)(x-a). A)
Воспользуемся алгоритмом составления
уравнения касательной к графику функции
(см. § 34), учитывая, что в данном примере
f(x)=\nx.
l)a=e;
2)/(a)=/(e)=lne = l;
3)/'(*)=-; /»=/'(*)=-;
х е
4) Подставим найденные три числа:
а=е, /(а) = 1, /'(а)=- в формулу A). Полу-
е
1 х
чим: у = 1 + -(х-е), у = —. п „._
е е Рис. *243
На рис. 242 изображен график функции у =
In х, построена прямая у = —, проходящая через начало координат. Чертеж
е
подтверждает полученный результат: построенная прямая касается гра-
графика функции у = In х в точке (е ; 1).
_, х
Ответ: i/=—.
о
Рис
У|
\
У
У=х
V
\
1
}
242
V?
1
~t
¦
1
X
291

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми у = О,
х = 1, х = е и гиперболой у = —.
Решение. Речь идет о вычислении площади криволинейной трапе-
трапеции, изображенной на рис. 243. Имеем:
'tdx
(ах
= — =
* V
= lne-lnl=l-O=l.
Ответ: S = l.
Пример 8. Исследовать на экстремум функцию у = .
х
Решение. Имеем:
У
I
1-lnx
Эта производная существует при всех значениях х > 0, т.е. при всех зна-
значениях х из области определения функции. Значит, критических точек у
функции нет. Приравняв производную нулю, получим: 1-1пх=0,
lnx = l, x = e.
Это единственная стационарная точка. Если х < е, то у'>0; если х > е, то
у'<0. Значит, х = е — точка максимума функции, причем
Ые 1
= -•
е е
ут„ =
Ответ: х = е — точка максимума; ут„ = -.
е
Завершая параграф, получим формулы дифференцирования
любой показательной и любой логарифмической функций.
Пусть дана показательная функция у=ах. Воспользуемся тем,
чтоа =е1п0 и, следовательно,а1 =ехЫа. Тогда:
(a*)'=(eIlno)'=lnaellno =lnaa\
Итак,
(o*)'=o*lno.
Например, Bх)' =2* In2; E1)' =5* 1п5и т.д.
Пусть теперь дана логарифмическая функция у =logo x. Имеем:
, .. ., Ппдм 1 , 1 1 1
у =(logo*) = -— =- (In*) =- =——.
{lna I ma lna x xlna
Итак,
(log.*)'=
xlna
292
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Мы пополнили наш словарный запас математического языка
новыми терминами:
степень с иррациональным показателем;
показательная функция, показательное уравнение, показатель-
показательное неравенство;
логарифм числа, основание логарифма;
десятичный логарифм, характеристика и мантисса десятичного
логарифма;
натуральный логарифм;
логарифмическая функция, логарифмическое уравнение, лога-
логарифмическое неравенство;
экспонента, логарифмическая кривая.
Мы ввели новые обозначения:
logo Ъ — для логарифма положительного числа Ь по положитель-
положительному и отличному от 1 основанию а;
Iga — для десятичного логарифма;
In a — для натурального логарифма;
число е. »
Мы изучили новые функции (определения, свойства, графики):
показательная функция у =а* (а >0, а Ф 1), в частности, у -е*;
логарифмическая функция y=-\ogax(a>0, a * 1), в частности,
y=\gx, j/=ln*.
Мы изучили новые формулы, связанные с понятием логарифма:
aiot-b =Ъ; logoar=r;
logobc=logofc+logoc, loga-=logofc-logoc,
с
здесь(&>0 и с >0);
logofcr =
log,a
, logo*2" =2nlog.|*|,
logba
, logofc=log br.
Мы получили формулы, связанные с дифференцированием и
интегрированием показательной и логарифмической функций:
(а*)' =а* lna, в частности, (е*)'=е* ;
частности, (In ж)'
; J—=ln|x|+C.
(logo x)' = , в частности, (lnx)' = —;
xlna х

Глава
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
И НЕРАВЕНСТВ
Изучая курс алгебры, мы постоянно решали уравнения
и неравенства с одной переменной, системы уравнений с двумя пе-
переменными, системы неравенств с одной переменной. В этой главе,
завершающей изучение школьного курса алгебры и начал матема-
математического анализа, мы снова обращаемся к уравнениям и неравенс-
неравенствам, чтобы рассмотреть их с самых общих позиций. Это будет, с
одной стороны, своеобразное подведение итогов и, с другой сторо-
стороны, некоторое расширение и углубление наших знаний.
§ 55. РАВНОСИЛЬНОСТЬ УРАВНЕНИЙ
В этом параграфе речь пойдет о принципиальных вопросах, свя-
связанных с решением уравнений с одной переменной: что такое равно-
равносильные уравнения; какие преобразования уравнений являются
равносильными, а какие — нет; когда надо делать проверку найден-
найденных корней и как ее делать. Эти вопросы вы обсуждали в курсе ал-
алгебры, начиная с 8-го класса, да и в настоящем учебнике о них уже
шла речь, например, при решении показательных и логарифмичес-
логарифмических уравнений. Почему мы снова к ним возвращаемся? Потому что,
завершая изучение школьного курса алгебры, целесообразно как бы
заново переосмыслить общие идеи и методы.
Определение 1. Два уравнения с одной переменной f{x) = д(х) и
р (х) =h (x) называют равносильными, если множества их корней
совпадают.
Иными словами, два уравнения называют равносильными, если
они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют
корней.
Например, уравнения х2 - 4=0 и (ж+2)B* -4) =0 равносильны,
оба они имеют по два корня: 2 и -2. Равносильны и уравнения
х2 +1=0 и ых =-3, поскольку оба они не имеют корней.
Определение 2. Если каждый корень уравнения
Цх) = д(х) A)
является в то же время корнем уравнения
Р(х) =/»(*). B)
то уравнение B) называют следствием уравнения A).
294
Например, уравнение ж-2 =3 имеет корень х = 5, а уравнение
(х-2J =9 имеет два корня: хх = 5, х2 = -1. Корень уравнения ж-2 =3
является одним из корней уравнения (ж -2J =9. Значит, уравнение
(х-2J =9 — следствие уравнения х-2 =3.
Достаточно очевидным является следующее утверждение:
Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каж-
каждое из них является следствием другого.
Схему решения любого уравнения можно описать так: заданное
уравнение A) преобразуют в уравнение B), более простое, чем урав-
уравнение A); уравнение B) преобразуют в уравнение C), более прос-
простое, чем уравнение B), и т.д.:
A)-К2)-КЗ)->D)->...
В конце концов получают достаточно простое уравнение и находят
его корни. В этот момент и возникает главный вопрос: совпадает ли
множество найденных корней последнего уравнения с множеством
корней исходного уравнения A)? Если все преобразования были
равносильными, т.е. если были равносильны уравнения A) и B),
B) и C), C) и D) и т.д., то ответ на поставленный вопрос положите-
положителен: да, совпадает. Это значит, что, решив последнее уравнение це-
цепочки, мы тем самым решим и первое (исходное) уравнение
цепочки. Если же некоторые преобразования были равносильны-
равносильными, а в некоторых мы не.уверены, но точно знаем, что переходили с
их помощью к уравнениям-следствиям, то однозначного ответа на
поставленный вопрос мы не получим.
Чтобы ответ на вопрос был более определенным, нужно все най-
найденные корни последнего уравнения цепочки проверить, подставив
их поочередно в исходное уравнение A). Если проверка показывает,
что найденный корень последнего уравнения цепочки не удовлетво-
удовлетворяет исходному уравнению, его называют посторонним корнем; ес-
естественно, что посторонние корни в ответ не включают.
Вы, конечно, понимаете, что термин «более простое уравнение»
вообще говоря, не поддается, точному описанию. Обычно считают
одно уравнение более простым, чем другое, по чисто внешним
признакам. Например, решая уравнение 2~^^ =2Х~3, получаем
сначала л/2ж+7 = х-3; это иррациональное уравнение проще задан-
заданного «показательно-иррационального» уравнения. Далее, возведя
обе части иррационального уравнения в квадрат, получим
2х+7=(х-3J; это рациональное уравнение проще, чем предыду-
предыдущее иррациональное уравнение.
В итоге можно сказать, что решение уравнения, как правило,
осуществляется в три этапа:
295

Первый этап — технический. На этом этапе осуществляют пре-
преобразования по схеме A) -»B) -»C) -»D) -»... и находят корни пос-
последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.
Второй этап— анализ решения. На этом этапе, анализируя про-
проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были
равносильными.
Третий этап — проверка. Если анализ, проведенный на втором
этапе, показывает, что некоторые преобразования могли привести
к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных
корней их подстановкой в исходное уравнение.
Реализация этого плана связана с поисками ответов на четыре
вопроса.
1. Как узнать, является ли переход от одного уравнения к дру-
другому равносильным преобразованием?
2. Какие преобразования могут перевести данное уравнение в
уравнение-следствие?
3. Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то
как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значитель-
значительными вычислительными трудностями?
4. В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому
может произойти потеря корней и как этого не допустить?
Ответу на каждый из вопросов отведен отдельный пункт данно-
данного параграфа.
1. Теоремы о равносильности уравнений. Решение уравнений,
встречающихся в школьном курсе алгебры, основано на шести те-
теоремах о равносильности (все они в той или иной мере вам извест-
известны). Первые три теоремы — «спокойные», они гарантируют
равносильность преобразований без каких-либо дополнительных
условий, их использование не причиняет решающему никаких
неприятностей.
Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из од-
одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то
получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же
нечетную степень, то получится уравнение,равносильное дан-
данному.
Теорема 3. Показательное уравнение at(x) =ag(x) (где
а > 0, а Ф1) равносильно уравнению f(x) = g{x).
Следующие три теоремы — «беспокойные», они работают лишь
при определенных условиях, а значит, могут доставить некоторые
неприятности при решении уравнений. Прежде чем формулиро-
296
вать теоремы 4—6, напомним еще об одном понятии, связанном с
уравнениями.
Определение 3. Областью определения уравнения f(x) = g(x)
или областью допустимых значений (ОДЗ) переменной называют
множество тех значений переменной х, при которых одновременно
имеют смысл выражения f(x) и д(х).
Теорема 4. Если обе части уравнения f(x) «= g (ж) умножить на
одно и то же выражение h (x), которое:
а) имеет смысл всюду в области определения (в области до-
допустимых значений) уравнения f(x) = g (x);
б) нигде в этой области не обращается в 0 —
то получится уравнение f(x)h(x) = g(x)h(x),равносильное дан-
данному.
Замечание 1. Следствием теоремы 4 является еще одно «спокойное»
утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно
и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное
данному.
Теорема 5. Если обе части уравнения flx)-g(x) неотрица-
неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения
обеих его частей в одну и ту же четную степень п получится
уравнение, равносильное данному: f(x)n = g (x)n .
Теорема 6. Если f{x) > 0 и g {х) > 0, то логарифмическое урав-
уравнение log a f(x) = loga g(x),zde,a >0, а * 1,равносильно уравнению
f(x) = g(x).
2. Преобразование данного уравнения в уравнение-следст-
уравнение-следствие. В этом пункте мы ответим на второй вопрос: какие преобразо-
преобразования переводят данное уравнение в уравнение-следствие?
Частично ответ на этот вопрос связан с тремя последними теорема-
теоремами. Можно сказать так: если в процессе решения уравнения мы при-
применили заключение одной из теорем 4, 5, 6, не проверив выполнения
ограничительных условий, заложенных в формулировках теорем, то
получится уравнение-следствие. Приведем примеры.
1) Уравнение х-1=3 имеет один корень х = 4. Умножив обе части
уравнения на х-2, получим уравнение^-1)(х-2) =3(х-2), имеющее
два корня: Xj =4 и х2 =2. Второй корень является посторонним для
заданного уравнения. Причина его появления состоит в том, что
мы умножили обе части уравнения на одно и то же выражение, на-
нарушив при этом условия теоремы 4. В этой теореме содержится тре-
требование: выражение, на которое мы умножаем обе части
уравнения, нигде не должно обращаться в 0. Мы же умножили обе
297

части уравнения на выражение х-2, которое обращается в 0 при
х=2; именно это значение оказалось посторонним корнем.
2) Возьмем то же самое уравнение х-1=3 и возведем обе его час-
части в квадрат. Получим уравнение (х-1J = 9, имеющее два корня:
Xj =4, хг =-2. Второй корень является посторонним для уравнения
х-1 = 3. Причина его появления состоит в том, что мы возвели обе
части уравнения в одну и ту же четную степень, нарушив при этом
условие теоремы 5. В этой теореме содержится требование: обе час-
части уравнения должны быть неотрицательны. Про выражение х-1
этого утверждать мы не можем.
3) Рассмотрим уравнение 1пBх-4) =1п(Зх-5). Потенцируя, полу-
получим уравнение 2х-4=Зх-5 с единственным корнем х = 1. Но этот
корень является посторонним для заданного логарифмического
уравнения, поскольку оба выражения под знаками логарифмов
при х = 1 принимают отрицательные значения. Причина появле-
появления постороннего корня состоит в том, что мы, потенцируя (т.е.
«освобождаясь» от знаков логарифмов), нарушили условия теоре-
теоремы 6. В этой теореме содержится требование: выражения под зна-
знаками логарифмов должны быть положительными; о выражениях
2х-4и Зх-5этого утверждать мы не можем, так как они при одних
значениях х положительны, при других — отрицательны.
В последнем примере переход от логарифмического уравнения к
уравнению 2х-4=Зх-5 привел к расширению области определе-
определения уравнения. Область определения логарифмического уравне-
уравнения задается системой неравенств:
[2х-4>0,
[Зх-5>0,
решив которую находим: х > 2. Область же определения уравнения
2х-4=Зх-5 есть множество всех действительных чисел. По срав-
сравнению с логарифмическим уравнением она расширилась: добавил-
добавился луч (-оо,2]. Именно в эту добавленную часть и «проник»
посторонний корень х = 1.
Перечислим возможные причины расширения области опреде-
определения уравнения:
1. Освобождение в процессе решения уравнения от знаменате-
знаменателей, содержащих переменную величину.
2. Освобождение в процессе решения уравнения от знаков кор-
корней четной степени.
3. Освобождение в процессе решения уравнения от знаков лога-
логарифмов.
298
Подведем итоги. Исходное уравнение преобразуется в процессе
решения в уравнение-следствие, а значит, обязательна проверка
всех найденных корней, если:
1) произошло расширение области определения уравнения;
2) осуществлялось возведение обеих частей уравнения в одну и
ту же четную степень;
3) выполнялось умножение обеих частей уравнения на одно и
то же выражение с переменной (разумеется, имеющее смысл во
всей области определения уравнения).
Пример 1. Решить уравнение ы2х + Ъ + л/5лс-6 = 5.
Решение. Первый этап — технический. На этом этапе, как мы отме-
отмечали выше, осуществляют преобразования заданного уравнения по схеме
A)—> B)—> C)—> D)—>... и находят корни последнего (самого простого) урав-
уравнения указанной цепочки.
Последовательно имеем:
i=36-3x;
A0V2x + 5J=C6-3xJ;
100B*+ 5)=1296-216* +Эх2;
' 9x2-416*+ 796=0;
„ 398
Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведен-
проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.
Замечаем, что в процессе решения уравнения дважды применялось нерав-
неравносильное преобразование — возведение в квадрат, кроме того, расшири-
расширилась область определения уравнения (были квадратные корни — были
ограничения на переменную, не стало квадратных корней — не стало огра-
ограничений). Значит, решенное на последнем шаге первого этапа квадратное
уравнение является уравнением-следствием для заданного уравнения.
Проверка обязательна.
Третий этап — проверка. Подставим поочередно каждое из найденных
значений переменной в исходное уравнение.
Еслих = 2, то получаем: л/2-2 + 5 + л/5 • 2 - 6 =5; 3 + 2 = 5 — верное равен-
равенство.
398 L 398 с L 398 с с п
Если х = , то получаем: J2 + 5 + J5 6=5. Это неверное ра-
У КУКУ
венство, поскольку уже первое подкоренное выражение явно больше, чем
25, и потому корень из него больше, чем 5, т.е. уже больше правой части
398
равенства. Таким образом, х = посторонний корень.
У
Ответ: 2.
299

3. О проверке корней. В этом пункте мы ответим на третий воп-
вопрос: как сделать проверку, если проверка корней с помощью их
подстановки в исходное уравнение сопряжена со значительными
вычислительными трудностями? Видимо, в таких случаях надо ис-
искать обходные пути проверки.
Вернемся к примеру 1. Подстановка значения х1 = 2 в заданное
уравнение трудностей не представляла. Подстановку же второго
398 . „ ..
значения х2 = мы фактически заменили прикидкой. Мы при-
У
кинули, что х2 =44, значит, л]2х2 +5 >5, и сразу стало ясно, что
х2 = — посторонний корень. Такая прикидка — один из обход-
У
ных путей проверки.
398
Еще раз вернемся к примеру 1. Значение хг = можно было
У
проверить не по исходному уравнению, а по полученному в процес-
процессе преобразований уравнению: 10л/2х+5 =36-3х. По смыслу этого
уравнения должно выполняться неравенство 36 -Зх>0, т.е. х<12.
тт 398
Поскольку значение х2 = этому условию не удовлетворяет,
У
то хг — посторонний корень.
Как правило, самый легкий обходной путь проверки — по об-
области определения (ОДЗ) заданного уравнения.
Пример 2. Решить уравнение: ln(x + 4)+ lnBx + 3)=ln(l-2x).
Решение. Первый этап. Воспользуемся правилом «сумма логариф-
логарифмов равна логарифму произведения». Оно позволяет заменить выражение
1п(х + 4)+ 1пBх + 3) выражением 1п(х + 4)Bх + 3). Тогда заданное уравне-
уравнение можно переписать в виде: 1п(х + 4)Bх + 3)=1пA -2х).
Потенцируя, получаем: (х + 4)Bх + 3)=A - 2х) и далее:
2хг +8z + 3z + 12 = l-2z,
2х2+13* +11=0,
xl=-l, х,=-5,5.
Второй этап. В процессе решения произошло расширение области опре-
определения уравнения, значит, обязательна проверка.
Третий этап. Поскольку кроме расширения области определения урав-
уравнения никаких других неравносильных преобразований в процессе реше-
решения уравнения не было, проверку можно выполнить по области
определения исходного уравнения. Она задается системой неравенств:
* + 4>0,
2* + 3>0,
1-2*>0.
Значение х=-1 удовлетворяет этой системе неравенств, а значение
х = -5,5 не удовлетворяет уже первому неравенству; это — посторонний ко-
корень.
Ответ: -1.
300
Замечание 2. Каждый раз выделять при решении уравнения три
этапа — технический, анализ, проверку — конечно, необязательно. Но все
это нужно «держать в голове» и уж во всяком случае понимать следующее:
если анализ показал, что проверка обязательна, а вы ее не сделали, то
уравнение не может считаться решенным верно; тем более оно не может
считаться решенным верно, если вы не сделали сам анализ.
Пример 3. Решить уравнение \ogxti(x? -1) = 1об„4E - х).
Решение. Потенцируя, получаем х2 -1 = 5-хи далее
х* + х-6=0,
хх =2, хг=-Ъ.
Для проверки корней выпишем условия, задающие ОДЗ:
* + 4>0,
5-*>0.
Значение х = 2 удовлетворяет всем условиям этой системы, а значение
х = - 3 не удовлетворяет второму условию; следовательно, х = - 3 — посто-
посторонний корень.
Ответ: 2.
Замечание 3. Не переоценивайте способ проверки по ОДЗ: он явля-
является полноценным только в том случае, когда при решении уравнения
других причин нарушения равносильности, кроме расширения области
определения, не было (это чаще всего бывает в логарифмических уравне-
уравнениях). При решении же иррациональных уравнений, где используется
метод возведения в квадрат, способ проверки найденных корней по ОДЗ
не выручит; лучше, если это возможно, делать проверку подстановкой.
4.0 потере корней. В этом пункте мы ответим на четвертый воп-
вопрос: в каких случаях при переходе от одного уравнения к другому
может произойти потеря корней и как этого не допустить?
Укажем две причины потери корней при решении уравнений:
1) деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение
h(x) (кроме тех случаев, когда точно известно, что всюду в области
определения уравнения выполняется условие Л(зс) * 0);
2) сужение ОДЗ в процессе решения уравнения.
С первой причиной бороться нетрудно: приучайте себя перехо-
переходить от уравнения f(x)h(x) = g(x)h(x) к уравнению
Hx)(f(x)-g(x)) =0 (а не к уравнению f(x) = g(x)). Может быть, даже
есть смысл вообще запретить себе деление обеих частей уравнения
на одно и то же выражение. В связи с этим советуем вам вернуться к
п. 3§20.
Со второй причиной бороться сложнее. Рассмотрим, например,
уравнение lgx2 =4и решим его двумя способами.
Первый способ. Воспользовавшись определением логарифма,
находим: хг = 104; хх = 100, хг=-100.
Второй способ. Имеем: 2lgx= 4; lgz=2; л; = 100.
301

Обратите внимание: при втором способе произошла потеря кор-
корня— «потерялся» корень х = —100. Причина в том, что вместо пра-
правильной формулы lg х2 = 2 lg | х | мы воспользовались неправильной
формулой lgх2 =2 lgx, сужающей область определения выражения:
область определения выражения lg х2 задается условием х Ф 0 (т.е.
х < 0 и х > 0), тогда как область определения выражения 21g x зада-
задается условием х > 0. Область определения сузилась, из нее «выпал»
открытый луч (-оо, 0), где как раз и находится «потерявшийся»
при втором способе решения корень уравнения.
Вывод: применяя при решении уравнения какую-либо форму-
формулу, следите за тем, чтобы области определения правой и левой час-
частей формулы были одинаковыми.
Есть еще одна причина, по которой может произойти потеря
корней, ее мы упомянем в начале § 56.
§ 56. ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
В зтом параграфе мы поговорим об общих идеях, на которых ос-
основано решение уравнений, о наиболее общих методах, используе-
используемых при решении уравнений любых видов.
1. Замена уравненияh(f(x)) =h(g(x)) уравнением f(x) = g(x)
Этот метод мы применяли:
при решении показательных уравнений, когда переходили от
уравнения аПх) =а'(х\а>0, а *1) к уравнению f(x) = g(x);
при решении логарифмических уравнений, когда переходили
от уравнения logo f(x) =loga g(x) к уравнению f (x) = g(x);
при решении иррациональных уравнений, когда переходили от
уравнения tff(x) =4Jg(x) к уравнению f(x) = g(x).
Этот метод можно применять только в том случае, когда
y = h(x) — монотонная функция, которая каждое свое значение
принимает по одному разу. Например, у = х — возрастающая
функция, поэтому от уравнения Bх+2O =Eх-9O можно перейти к
уравнению 2х+2 =5х-9, откуда находим х = —. Расширения ОДЗ
3
здесь не произошло, значит, это — равносильное преобразование
уравнения.
Если у =Л(х) — немонотонная функция, то указанный метод при-
применять нельзя, поскольку возможна потеря корней. Нельзя, напри-
например, заменить уравнение Bдг+2L =E*-9L уравнением
302
2х+2 =5*-9, корнем которого, как мы видели выше, является —.
3
При этом переходе «потерялся» корень х = 1; проверьте: значение
х = 1 удовлетворяет уравнению Bх+2L =Eх-9L. Причина в том,
что у =х* — немонотонная функция. По той же причине нельзя пере-
переходить от уравнения sinl7x=sin7x к уравнению Пх = 7х с
единственным корнем х = 0. На самом деле, указанное тригономет-
тригонометрическое уравнение имеет бесконечное множество корней:
х-—I ; х-— (см. пример 1 в § 26).
2. Метод разложения на множители
Суть этого метода заключается в следующем: уравнение
f(x)g(x)h(x) =0 можно заменить совокупностью уравнений:
f(*)=0; g(x)=0; Л(*)=0.
Решив уравнения этой совокупности, нужнЪ взять те их корни,
которые принадлежат области определения исходного уравнения,
а остальные отбросить как посторонние. Многочисленные приме-
примеры применения метода разложения на множители при решении
тригонометрических уравнений были даны в главах 2 и 3. Приве-
Приведем еще два примера.
Пример 1. Решить уравнение
2*2+ejMe
-l)ln(*-8)=0.
Пример X. гешить ураппспис^ v л , ,_, „/v.. _, v_. _,
Решение. Задача Вводится к решению совокупности трех уравнений:
V7+2=3; 2*1+вя5=1; 1п(*-8)=0.
Из первого уравнения находим: х + 2=9; xi = 7.
Из второго уравнения находим: x2+6x + 5=0; хг=-1, хг= -5.
Из третьего уравнения находим: х - 8=1; xt = 9.
Сделаем проверку. ОДЗ исходного уравнения задается системой нера-
неравенств:
[х-8>0.
Из найденных четырех корней системе неравенств удовлетворяет лишь
xt = 9; остальные корни являются посторонними для данного уравнения.
Ответ: 9.
Пример 2. Решить уравнение х3 -7х + 6=0.
Решение. Представив слагаемое 7х в виде х + бх, получим последова-
последовательно:
3
()( )
Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений:
*-1=0; х2 + х-6=0.
Из первого уравнения находим х, = 1, из второго — хг = 2, х,=~3.
303

Поскольку все преобразования были равносильными, найденные три
значения являются корнями заданного уравнения.
Ответ: 1, 2, -3.
3. Метод введения новой переменной
Этим методом мы с вами часто пользовались при решении урав-
уравнений. Суть метода проста: если уравнение f(x) = 0 удалось преобра-
преобразовать к виду p(g(x))=0, то нужно ввести новую переменную
u = g(x), решить уравнение р(и)=0, а затем решить совокупность
уравнений:
g(x)=u1; g(x)=u2; ...; g(x)=un,
где Uj, u2, ..., un — корни уравнения p(u) =0.
Умение удачно ввести новую переменную приходит с опытом.
Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения бо-
более прозрачной. Новая переменная иногда очевидна, иногда нес-
несколько завуалирована, но «ощущается», а иногда «проявляется»
лишь в процессе преобразований. Примите совет: решая уравне-
уравнение, не торопитесь начинать преобразования, сначала подумайте,
нельзя ли записать уравнение проще, введя новую переменную. И
еще: если вы ввели новую переменную, то решите полученное урав-
уравнение относительно новой переменной до конца, т.е. до проверки
корней (если это необходимо), и только потом возвращайтесь к ис-
исходной переменной.
Пример 3. Решить уравнение yjx2 -х + 2 + V х2 - х + 7 = s2x2 -2х + 21.
Решение. Положив и = х? - х, получим существенно более простое ир-
иррациональное уравнение у/и + 2 + у/и + 7 = л/2и + 21.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
(у/и + 2
Далее последовательно получаем:
+ u + 7=2u + 21;
u2+9u + 14=36;
u2+9u-22=0;
щ=2, щ=-П.
Проверка найденных значений их подстановкой в уравнение
y/u + 2+ylu + l = у/2и + 21 показывает, что ц, = 2 — корень уравнения, а
1*2 =—11 — посторонний корень.
Возвращаясь к исходной переменной х, получаем уравнение х2 - х = 2,
т.е. квадратное уравнение х2 - х -2 =0, решив которое находим два корня:
хх = 2,хг =-1.
Ответ: 2, -1.
304
„ ^ т, 3*+1+1 4
Пример 4. Решить уравнение = ——^.
7 3
Решение. Так как 3*+1 =33*, а 3*~2 =3*:32, то заданное уравнение
3 3* + 1 49 _ „
: =-гг- Введем новую переменную и =3 ;
можно переписать в виде
Зы + 1 36
получим: = — и далее:
7 и
Зы2+ц=252;
3u2+u -252=0;
. 28
1^=9, =-у-
Возвращаясь к исходной переменной, получаем совокупность уравнений:
3*=9; 3*=-—.
3
Из первого уравнения находим х = 2, второе уравнение не имеет корней.
Ответ: 2.
Пример 5. Решить уравнениеcos2x-5sinx-3=0.
Решение. Есть смысл ввести новую переменную и = sin x, понимая,
что otcos2x «добраться» до sin x сравнительно несложно:
cos2x = cos2 a: -sin2 x =A - sin2 x)- sin2 x = 1 -2w2.
Подставив в заданное тригонометрическое уравнение и вместо sin x и
1 -2и2 вместо cos2x, получим рациональное уравнение A -2u2)-5u -3=0 и
далее: 2и2+5и +2=0; щ -—, щ=-2.
с*
Возвращаясь к исходной переменной, получаем совокупность урав-
уравнений:
• . 1
Из первого уравнения находим х=(-1)"+1 — + пп, второе уравнение не
6
имеет корней.
Пример 6. Решить уравнение lg2x3 + log0110x -7 =0.
Решение. Здесь новая переменная как бы « ощущается»: и - lg x. Под-
Подготовимся к ее введению, для чего используем свойства логарифмов:
lgV=(lg*3)? =C1g*)?=91g2*;
g0,1 (oir10
Перепишем заданное уравнение в виде: 91g2x-(l + lgx)-7=0H введем
новую переменную и = lgx; получим:
9u2-(l + u)-7=0;
9u2-u-8=0;
Возвращаясь к исходной переменной, получаем совокупность уравне-
уравнений:
11 Мордкович «Алгебра, 10 кл.»
305

lgz = l; lg* = --.
у
Из первого уравнения находим xt = 10, из второго х2 = 10 9.
8
Ответ: 10. 10"9.
Мы рассмотрели различные уравнения: иррациональное, пока-
показательное, тригонометрическое и логарифмическое. Как видите,
тип уравнения не так уж важен, идея решения по сути одна и та же.
В заключение рассмотрим более сложный пример, где новая пе-
переменная «проявляется» только в процессе преобразований.
Пример 7. Решить уравнение х2 +
81*2
(9+*J
=40.
Решение. Заметив, что левая часть уравнения имеет структуру
Аг+В?, гцеА = х, В = , дополним ее до полного квадрата, прибавив и
9+*
=40;
9х
отняв 2АВ, т.е. 2х . Получим:
9+х
(9+xf 9+xj 9+x
9х Y
I
х
9+х) ^ 9+х
=40;
9+х) 9+х
у?-
Новая переменная «проявилась»: ц= . Относительно этой новой
9+х
переменной мы получили квадратное уравнение и2 + 18и -40=0. Находим
его корни: ц, = 2, щ =-20.
Возвращаясь к исходной переменной, получаем совокупность уравнений:
= 2;
9+х ' 9+х
Из первого уравнения находим: xi2 = 1 ± Vl9; второе уравнение не имеет
корней.
Ответ: 1 + Vl9.
4. Функционально-графический метод
Идея графического метода решения уравнения f(x) = g(x) проста
и понятна: нужно построить графики функций y = f(x), y = g(x) и
найти точки их пересечения — корнями уравнения служат абсцис-
абсциссы этих точек. Графическим методом вы не раз пользовались, на-
начиная с курса алгебры 7-го класса. Этот метод позволяет
определить число корней уравнения, угадать значение корня, най-
найти приближенные, а иногда и точные значения корней.
306
В некоторых случаях построение графиков функций можно заме-
заменить опорой на какие-либо свойства функций (потому-то мы говорим не
о графическом, а о функционально-графическом методе решения урав-
уравнений). Если, например, одна из функций у = f(x), y=g(x) возрастает,
а другая убывает, то уравнение f(x)=g(x) либо не имеет корней, либо
имеет один корень (который иногда можно угадать). Этим приемом мы
уже пользовались в главах 6 и 7 при решении иррациональных, показа-
показательных и логарифмических уравнений.
Упомянем еще одну довольно красивую разновидность функци-
функционально-графического метода: если на промежутке X наибольшее
значение одной из функций y = f(x)< y = g(x)paenoA и наименьшее
значение другой функции тоже равно А, то уравнение f(x) = g(x)
. [Дх)=А,
равносильно системе уравнении^
[g(x)=A.
Пример 8. Решить уравнение 4х =\х - 2|.
Решение. Графики функций у = 4х и
у=\х-2\ изображены на рис. 244. Они пере-
пересекаются в двух точках АA; 1) и ВD; 2). Зна-
Значит, уравнение имеет два корня: х, = 1, х2=4.
Ответ: 1,4.
Пример 9. Решить уравнение
х5+5*-42=0.
Решение. Достаточно очевидно, что
х = 2 — корень уравнения. Докажем, что это
единственный корень.'
Преобразуем уравнение к виду:
хь =42-5х. Замечаем, что функция у=хь
возрастает, а функция у=42- Ъх убывает. Значит, уравнение имеет только
один корень.
Ответ: 2.
Пример 10. Решить уравнение 3х +4* =5*.
Решение. Достаточно очевидно, что х = 2 — корень уравнения. Дока-
Докажем, что это единственный корень.
Разделив обе части уравнения на 4х, преобразуем уравнение к виду:
ГзУ
Замечаем, что функция у= - +1 убывает, а функция
К4)
у = I — I возрастает. Значит, уравнение имеет только один корень.
s
s
s
1
к
0
У
СА-
п\
«•
/
В7
т
1234.
/
|х-2
у
s
1
Г"
X
Рис. 244
Ответ: 2.
Пример 11. Решить уравнение cos 2жх = х2 - 2х + 2.
Решение. Рассмотрим функцию у = х2 -2х + 2. Ее графиком служит
парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, в вершине параболы
функция достигает своего наименьшего значения. Абсциссу вершины па-
параболы найдем из уравнения у'=0. Имеем:
11 •••
307

)
2*-2=0;
x = l, уA)=18-2-1 + 2 = 1.
Итак, для функции у = х2 - 2х + 2 получили уяши, = 1. В то же время фун-
функция у=соя2пх обладает свойством: yHmS =1. Значит, задача сводится к ре-
решению системы уравнений:
[cos2jt* = l,
[х2- 2х + 2 = 1.
Из второго уравнения системы получаем: х = 1. Поскольку это значение
удовлетворяет и первому уравнению системы, то оно является единствен-
единственным решением системы и, следовательно, единственным корнем заданно-
заданного уравнения.
Ответ: 1.
§ 57. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
В этом параграфе речь пойдет о принципиальных вопросах,
связанных с решением неравенств с одной переменной: что такое
равносильные неравенства; какие преобразования неравенств яв-
являются равносильными, а какие — нет. Эти вопросы мы обсужда-
обсуждали в курсе алгебры, начиная с 8-го класса, да и в настоящем
учебнике о них уже шла речь, например, при решении показа-
показательных и логарифмических неравенств. Мы снова возвращаемся
к этим вопросам потому, что завершая изучение школьного курса
алгебры, целесообразно как бы заново переосмыслить общие идеи
и методы.
1. Равносильность неравенств
Напомним, что решением неравенства f(x) > g(x) называют вся-
всякое значение переменной х, которое обращает заданное неравенст-
неравенство с переменной в верное числовое неравенство. Иногда используют
термин частное решение. Множество всех частных решений нера-
неравенства называют общим решением, но чаще употребляют термин
решение. Таким образом, термин решение используют в трех смыс-
смыслах: и как общее решение, и как частное решение, и как процесс,
но обычно по смыслу бывает ясно, о чем идет речь.
Определение 1. Два неравенства с одной переменной
/(*)>,§¦(*)и Р (*)> Л (*) называют равносильными, если их реше-
решения (т.е. множества частных решений) совпадают.
Вы, конечно, понимаете, что использование в определении зна-
знака > непринципиально. Можно и в этом определении, и во всех ут-
утверждениях, имеющихся в данном параграфе, использовать
любой другой знак неравенства, как строгого, так и нестрогого.
308
(D
B)
V
¦f
_
+
-3-
X
I
Определение 2. Если решение неравенства
содержится в решении неравенства
P(x)>h(x\
то неравенство B) называют следствием неравенства A)
Например, неравенство х2 >9 является
следствием неравенства 2х>6. В самом деле,
преобразовав первое неравенство к виду
х2 -9 >0 и далее к виду (х-3)(х+3)>0 и приме-
применив метод интервалов (рис. 245), получаем, что рис. 245
решением неравенства служит объединение
двух открытых лучей: (—°°, —3) и C, +«>). Решение второго неравенс-
неравенства 2х>6 имеет вид х>3, т.е. представляет собой открытый луч
C, +°°). Решение второго неравенства является частью решения перво-
первого неравенства, а потому первое неравенство — следствие второго.
Любопытно, что ситуация изменится радикальным образом,
если в обоих неравенствах изменить знак неравенства. Неравенст-
Неравенство 2х < 6 будет следствием неравенства ж2 < 9. В самом деле, реше-
решением первого неравенства служит открытый луч (-«>, 3).
Преобразовав второе неравенство к виду х2 - 9 <0 и далее к виду
(х-3)(х+3) <0й применив метод интервалов (см. рис. 245), получа-
получаем, что решением неравенства служит интервал (-3, 3). Решение
второго неравенства является частью решения первого неравенст-
неравенства, а потому первое неравенство — следствие второго.
При решении уравнений мы не очень опасались того, что в ре-
результате некоторых преобразований можем получить уравнение-
следствие, поскольку посторонние корни мы всегда могли отсеять с
помощью проверки. В неравенствах, где решение чаще всего предс-
представляет собой бесконечное множество чисел, доводить дело до про-
проверки нецелесообразно. Поэтому в неравенствах стараются
выполнять только равносильные преобразования.
Решение неравенств, встречающихся в школьном курсе алгеб-
алгебры, основано на шести теоремах о равносильности, в определенном
смысле аналогичных соответствующим теоремам о равносильнос-
равносильности уравнений (см. § 55).
Теорема 1. Если какой-либо член неравенства перенести из
одной части неравенства в другую с противоположным зна-
знаком, оставив знак неравенства без изменения, то получится
неравенство, равносильное данному.
Теорема 2. Если обе части неравенства возвести в одну и ту
же нечетную степень, оставив знак неравенства без измене-
изменения, то получится неравенство, равносильное данному.
309

Теорема 3. Показательное неравенство аПх) >ag(x) равно-
равносильно:
а) неравенству f(x) > g(x) того же смысла, если а>1;
б) неравенству f(x) < g(x) противоположного смысла, если
О < а < 1.
Теорема 4. а) Если обе части неравенства f(x) > g(x) умно-
умножить на одно и то же выражение h(x), положительное при
всех х из области определения (области допустимых значе-
значений) неравенства f(x) > g(x), оставив при этом знак неравенс-
неравенства без изменения, то получится неравенство
f(x)h(x)>g(x)h(x),равносильное данному.
б) Если обе части неравенства f(x)>g(x) умножить на
одно и то же выражение h(x), отрицательное при всех х из
области определения неравенства f(x)>g(x), изменив при
этом знак неравенства на противоположный, то получит-
получится неравенство f(x)h(x) < g(x)h(x), равносильное данному.
Теорема 5. Если обе части неравенства f(x) > g(x) неотрица-
неотрицательны в области его определения, то после возведения обеих
частей неравенства в одну и ту же четную степень п получит-
получится неравенство того же смысла: f(x)n >g(x)a, равносильное
данному.
Теорема 6. Если f(x) > О и g(x) > О, то логарифмическое нера-
неравенство \oga f(x)>loga g(x)равносильно:
а) неравенству f(x) >g(x) того же смысла, если а>1;
б) неравенству f(x)<g(x) противоположного смысла, если
О < а < 1.
Теоремами 1 и 4 вы активно пользовались в курсе алгебры
9-го класса, когда решали рациональные неравенства и их систе-
системы. Теорему 3 мы использовали выше, в § 47, для решения показа-
показательных неравенств. Теорему 6 мы использовали в § 52 для
решения логарифмических неравенств.
2. Системы и совокупности неравенств
Определение 3. Говорят, что несколько неравенств с одной пере-
переменной образуют систему неравенств, если ставится задача найти
все общие решения заданных неравенств. Значение переменной, при
котором каждое из неравенств системы обращается в верное число-
числовое неравенство, называют частным решением системы нера-
неравенств. Множество всех частных решений системы неравенств
310
представляет собой общее решение системы неравенств (чаще го-
говорят просто решение системы неравенств).
Решить систему неравенств — значит найти все ее частные ре-
решения. Решение системы неравенств представляет собой пересече-
пересечение решений неравенств, образующих систему.
Определение 4. Говорят, что несколько неравенств с одной пере-
переменной образуют совокупность неравенств, если ставится задача
найти все такие значения переменной, каждое из которых является ре-
решением хотя бы одного из заданных неравенств. Каждое такое значе-
значение переменной называют частным решением совокупности
неравенств. Множество всех частных решений совокупности нера-
неравенств представляет собой решение совокупности неравенств.
Решение совокупности неравенств представляет собой объеди-
объединение решений неравенств, образующих совокупность.
Неравенства, образующие систему, объединяются фигурной
скобкой, а неравенства, образующие совокупность, — квадратной
скобкой. Впрочем, для неравенств, образующих совокупность,
вполне допустима запись в строчку через точку с запятой. Напри-
Например, решение неравенства sin2 х > — сводится к решению совокуп-
1 . 1
ности неравенств: sinx >—; smx <—.
2 2
Пример 1. Ранить систему и совокупность неравенств:
Г2*-1>3, [2*-1>3,
a)\3*-2>ll; }[
т
1
-1
-з-
х.
Рис. 246
I
Решение, а) Решая первое неравенство системы, находим 2х > 4, х > 2.
Решай второе неравенство системы, находим Зх > 13, х > —. Отметим эти
3
промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого
промежутка верхнюю штриховку, а для второго —
нижнюю штриховку (рис. 246). Решением систе-
системы неравенств будет пересечение решений нера-
неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе
штриховки совпали. В рассматриваемом примере
Г13
получаем луч — ,+ <*>
L 3
б) Решением совокупности неравенств будет объединение решений нера-
неравенств совокупности. В рассматриваемом примере получаем (см. рис. 246)
открытый луч B, + о») — промежуток, на котором имеется хотя бы одна
штриховка.
13
Ответ: а)х>—; б)х>2.
3
Если в системе из нескольких неравенств одно является следст-
следствием другого (или других), то неравенство-следствие можно отбро-
отбросить. Мы этим уже фактически пользовались. Рассмотрим еще раз
пример решения логарифмического неравенства из § 52.
311

Пример 2. Решить неравенство log,A6 + 4х - х?) < -4.
Решение. Представим число -4 в виде логарифма по основанию -:
с*
(IX
-4 = log, - =log, 16. Это позволит переписать заданное неравенство в
виде:
2 2
Учитывая, что здесь основанием логарифмов служит число меньше 1,
составляем, пользуясь теоремой 6, систему неравенств, равносильную за-
заданному логарифмическому неравенству:
Jl6 + 4*-*2>0,
A6 + 4*-*2>16.
Если выполняется второе неравенство системы, то автоматически вы-
выполняется и первое неравенство (если А> 16, то тем более А >0). Значит,
первое неравенство — следствие второго и его можно отбросить. Решая
второе неравенство, находим:
х*-4х<0;
х(х-4)<0;
0<х<4.
Ответ: 0<х<4.
Снова вернемся к § 52. Мы говорили, что при решении логариф-
логарифмических неравенств переходят от неравенства
logaf(x)>logag(x) A)
при а > 1 к равносильной системе неравенств:
[Я*)>0,
!(*)> О, B)
f(x)>g(x),
а при 0 < а < 1 к равносильной системе неравенств:
\f(x)>0,
\g(x)>0, C)
f(x)<g(x).
Первые два неравенства каждой из этих систем определяют ОДЗ
переменной для неравенства A), а знак последнего неравенства
каждой из систем либо совпадает со знаком неравенства A) — в слу-
случае, когда а > 1, — либо противоположен знаку неравенства A) — в
случае, когда 0 < а < 1.
А теперь обратим внимание на одно обстоятельство, которое мы в
общем виде не обсуждали в § 52. В каждой из составленных систем есть
по одному «лишнему» неравенству. В системе B) имеем
f(x)>g(x), g(x)>0; отсюда, по свойству транзитивности нера-
неравенств, можно сделать вывод, что f(x) >0. Это значит, что первое нера-
312
венство системы B) является следствием второго и третьего
неравенств, а неравенство-следствие можно отбросить. Таким образом,
систему B) можно заменить более простой системой:
\g(x)>0,
[f(x)>g(x).
Аналогично можно установить, что систему C) можно заменить
более простой системой неравенств:
\f(x)>0,
[f(x)<g(x).
В примере 2 нам встретился типичный случай, когда решение
заданного неравенства сводится к решению системы неравенств.
Бывают и более сложные неравенства, сводящиеся к модели «сово-
«совокупность систем неравенств». Это значит, что надо найти решения
всех составленных систем неравенств, а затем эти решения объеди-
объединить.
Пример 3. Решить неравенство logx_2Bx -3)> logje.2B4-6x).
Решение. Рассмотрим два случая: 1)х-2>1; 2H<х-2<1.
В первом случае, записав условия, определяющие ОДЗ: 2лг-3>0 и
24 -6х >0, — мы можем «освободиться» от знаков логарифмов, сохранив,
согласно теореме 6 знак исходного неравенства: 2х -3 >24-6х.
Во втором случае, записав условия, определяющие ОДЗ: 2х-3>0 и
24-6х>0, — мы можем «освободиться» от знаков логарифмов, изменив,
согласно теореме 6 знак исходного неравенства: 2х -3<24-6х.
Это значит, что заданное логарифмическое неравенство равносильно
совокупности двух систем неравенств:
fO<x-2<l,
2х-3>0,
24-6х>0,
2х-3>24-6х;
2*-3>0,
24-6* >0,
2*-3<24-6*.
27
Из первой системы неравенств находим — < * < 4, из второй — 2 < * < 3.
8
27
Ответ: 2 < х <3; —<*<4.
8
Замечание. В первой из составленных систем при решении при-
примера 3 можно отбросить второе неравенство, а во второй — третье. По-
Подумайте, почему это так.
3. Иррациональные неравенства
Обсудим решение неравенства вида:
D)
Во-первых, запишем условие, определяющее ОДЗ: f(x) > 0.
313

Во-вторых, замечаем, что при g(x) < О неравенство D) не имеет
решений, значит, можно сразу потребовать выполнения условия
g(x)>0.
В-третьих, замечаем, что при указанных условиях (f(x) > О и
g(x)>0) обе части неравенства D) неотрицательны, значит, по тео-
теореме 5, возведя их в квадрат, получим неравенство f(x) <(g(x)J,
равносильное данному.
Таким образом, иррациональное неравенство D) равносильно
системе неравенств:
f(x)>0,
g(x)>0,
f(x)<(g(x)J.
Обсудим решение неравенства вида
4Kx)>g(x). E)
Во-первых, запишем условие, определяющее ОДЗ: f(x) > 0.
Во-вторых, замечаем, что при g(x) <0 справедливость неравен-
неравенства E) не вызывает сомнений (поскольку f(x) > 0). Это значит, что
решения системы неравенств f(x) > 0 и g(x) <0 являются одновре-
одновременно и решениями неравенства E).
В-третьих, замечаем, что, если g(x) > 0, то обе части неравенства
E) неотрицательны (мы, естественно, учитываем, что f(x) > 0). Зна-
Значит, по теореме 5, возведя их в квадрат, получим неравенство
f(x) >(g(x)J, равносильное данному.
Таким образом, иррациональное неравенство E) равносильно
совокупности систем неравенств:
, f(x) > 0,
Первое неравенство второй системы можно опустить (подумайте,
почему).
Пример 4. Решить неравенства:
)
Решение, а) Данное неравенство равносильно системе неравенств:
*2-*-12>0,
х>0,
х2 -х-\2<хг.
Для решения квадратного неравенства х2 - х -12 > 0 найдем корни
квадратного трехчлена х2 -х-12; получим х1 =А,хг =-3. Геометрическая
модель, представленная на рис .247, помогает найти решение неравенства:
х<-3; >
314
—1
д
о
ч
/
/
4
X
-12
|
0
I
4
X
Рис. 247 Рис. 248
Второе неравенство системы уже решено: х > 0. Из третьего неравенства
находим: х>-12.
Геометрическая модель, представленная на рис. 248, помогает найти
решение системы неравенств: х > 4.
б) Данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств:
г , (У-*-12>0,
U
Г,
1
|
0
4
X
U
Геометрическая модель, представленная на рис. 249, помогает найти
решение первой системы: х <-3.
Во второй системе можно опустить
первое неравенство, поскольку оно явля-
является следствием третьего неравенства сис-
системы. Это позволяет переписать вторую
систему в более простом виде:
\х>0' ' Рис.249
\*<-12.
Эта система не имеет решений. Значит, решение совокупности систем
неравенств совпадает с решением первой системы и имеет вид х < -3.
Ответ: а) х> 4; б)х<-3.
4. Неравенства с модулями
Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, ре-
решаются различными способами; мы покажем их на достаточно
простом примере.
Пример 5. Решить неравенство \2х - 5|>4.
Решение проведем тремя способами.
Первый способ. Имеем:
|2(*-2,5)|>4,
2|*-2,5|>4,
|х-2,5|>2.
Геометрически выражение \х — 2,5j означает расстояние р(х, 2,5) на ко-
координатной прямой между точками х и 2,5. Значит, нам нужно найти все
такие точки х, которые удалены от точки 2,5 более, чем на 2, — это точки
из промежутков (-«>, 0,5) и D,5, + °°) (рис. 250).
Итак, получили следующие решения неравенства:
л:<0,5; *>4,5.
Второй способ. Поскольку обе час-
части заданного неравенства неотрицатель-
неотрицательны, то по теореме 5 возведение их в
квадрат есть равносильное преобразова-
преобразование неравенства. Получим: |2х - 5 f > 42. рис ? 50
315
/
¦ .
0,5
i
2 ч
К /
L4 ч
1
) ,

1 1
¦J
>1
7SJ
0
—
-
1
L
i
I
Гх
Рис. 251
Воспользовавшись тем, что \а |2= а2, получим:
B*-5J>42,
B*-5J-42>0,
B*-5-4)B*-5 + 4)>0,
B*-9)B*-1)>0,
2(*-4,5) 2(*-0,5)>0,
(*-4,5)(*-0,5)>0.
Применив метод интервалов (рис. 251), получим: х <0,5; х >4,5.
Третий способ. Выражение 2х-Ъ
может быть неотрицательным или отри-
отрицательным. Если 2х-5>0, то
|2дс —5|=2л: — 5 и заданное неравенство
принимает вид 2х-5>4.
Если 2*-5<0, то |2*-5|=-Bх-5) и
заданное неравенство принимает вид:
-B*-5)>4.
Таким образом, получаем совокупность двух систем неравенств:
Г2*-5>0, Г2*-5<0,
[2*-5>4; \-{2*-5)>4.
Решая первую систему, получаем:
f*>2,5,
1*>4,5,
т.е. х>4,5.
Решая вторую систему, получаем:
(*<2,5,
[*<0,5,
т.е. х<0,5.
Объединяя найденные решения двух систем, получаем: х < 0,5; х> 4,5.
Ответ: х <0,5; х>4,5.
Из указанных трех способов наиболее универсальным является
третий. Но поскольку он представляется достаточно сложным с
технической точки зрения, то, где возможно, стараются использо-
использовать второй и первый способы.
Пример 6. Решить неравенство\х? -Зх + 2\<2х-х*.
Решение. Здесь можно применить два из указанных в предыдущем
примере способов решения: 1) рассмотрение двух случаев знака выраже-
выражения, содержащегося под знаком модуля, и сведение заданного неравенства
к совокупности систем неравенств; 2) возведение обеих частей неравенства
в квадрат.
/
L
\
- >\
1
J
/
/Л
2
'х
1\v V
2\\J/
2
X
Рис. 252
Рис. 253
316
Первый способ. Если я2 -3* + 2>0,то|*2 -3z + 2|=z2 -3* + 2,и заданное
неравенство принимает вид: х2 -Зх + 2<2х-х2.
Если я2 -Зх + 2 <0, то I*2 -3* + 2|=-(*2 -Зх + 2), и заданное неравенство
принимает вид: - (х2 -3* + 2)<2*-х2.
Таким образом, задача сводится к решению совокупности двух систем
неравенств:
1) Решим первое неравенство первой системы. Найдем корни уравнения
хг-За: + 2=0; получим xl=l, хг=2. Схематически изобразив параболу
у = х2 - Зх + 2 (ее ветви направлены вверх), получаем с помощью геометри-
геометрической модели, представленной на рис. 252, решение неравенства:
*<1, х>2.
2) Решим второе неравенство первой системы, но сначала преобра-
преобразуем его к более простому виду: 2х2 - Ъх + 2 <0. Найдем корни уравнения
2х2-5х + 2=0; хх--, хг=2. Схематически изобразив параболу
с*
у = 2х2 -Зх + 2 (ее ветви направлены вверх), получаем с помощью геомет-
геометрической модели, представленной на рис. 253, решение неравенства:
1
V'
?
|_
-р
3) Отметив найденные решения первого и второго
неравенств на координатной прямой, находим пере-
пересечение решений (рис. 254): — <х <1; х = 2. Это — ре-
шение первой системы неравенств.
Рис. 254 4) Решим первое неравенство второй системы. С
помощью геометрической модели, представленной
на рис. 252, получаем решение неравенства: 1 < х < 2.
5) Решим второе неравенство второй системы, но сначала преобразуем
его к более простому виду:
1
/
V '
| 1 1
>-
X
Рис. 255
( ),
-х2+Зх-2-2х+х2<0,
х<2.
6) Отметив найденные решения первого и второ-
второго неравенств на координатной прямой, находим пе-
пересечение решений (рис. 255): 1<х<2. Это —
решение второй системы неравенств.
7) Объединяя найденные решения систем нера-
неравенств
i x = 2;
получаем: - < х < 2.
с*
Второй способ. Перепишем данное неравенство в виде:
2JC-JC2 >|л:2 -Злг + 2|>0.
Отсюда следует, что2х - х2 > 0. Значит, обе части заданного неравенства
неотрицательны, и мы имеем право возвести их в квадрат. Получим систе-
систему неравенств:
317

¦ н
4-
-f-
_
/
1
+
Рис. 256
|2*-*2>0,
{|*2-3* + 2f<B*-*2J.
Решим первое неравенство этой системы:
2*-*2>0,
*2-2*<0,
*(*-2)<0,
откуда находим (рис. 256): 0<х<2.
Решим второе неравенство системы:
^-зя+гГ^г*-*2J,
(*2-3* + 2J<B*-*2J,
(х2-Зл: + 2J-Bл:-х2J<0,
((х2-Зл: + 2)-Bл:-л:2))((х2-Зл: + 2) + Bл:-л:2))<0,
'-Ьх + 2)(х-2)>0.
Корни квадратного трехчлена2х2 -Ъх + 2 найдены выше: х1 =—,
с*
С их помощью составим разложение трехчлена на множители:
_ , _ - _ ( \\
=2.
Это позволяет переписать последнее неравенство в виде
2(ж-2/ж-|\ж-2)>0
идалее:(*-2J|*-^ ]>0.
V 2)
Отметим точки # = -
с*
: = 2 на координатной прямой
I I I I I I I ^
— + -J— + — и расставим знаки функции у=(х - 2J \х — на по-
—|—\- 2 | I || лученных промежутках (рис. 257). Эта геометричес-
геометрическая модель позволяет сделать вывод о решении
г 1 л *
Рис. 257
кая модель позволяет сделать вывод о ре
неравенства (х- 2 J х-- рО; получаем: х>-.
\ 2) 2
о нерае 0 < <2
\ 2) 2
Итак, для первого неравенства системы получили: 0 < х <2, для второ-
второго— х> —. Значит, решение системы таково: - <х<2.
с* с*
Ответ:-<х<2.
§ 58. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
В курсе алгебры 7—9-го классов мы неоднократно встречались с
системами двух рациональных уравнений с двумя переменными.
Для их решения мы использовали метод подстановки, метод алгеб-
алгебраического сложения, метод введения новых переменных, графи-
графический метод. В главе 7 нам встречались системы показательных и
318
логарифмических уравнений, и мы убедились, что используются
те же методы. В этом параграфе мы на ряде примеров несколько
расширим представления о решении систем уравнений: познако-
познакомимся с новыми методами, рассмотрим ранее не встречавшиеся
классы систем уравнений, например, иррациональных и тригоно-
тригонометрических, рассмотрим системы уравнений не только с двумя
переменными.
Определение 1. Если поставлена задача — найти такие пары
значений (х; у), которые одновременно удовлетворяют уравнению
р (х, у) = 0 и уравнению q (х, у) = 0, то говорят, что данные уравнения
образуют систему уравнений:
Гр(х,у)=О,
[q(x,y)=O.
Пару значений (х; у), которая одновременно является решением
и первого, и второго уравнения системы, называют решением сис-
системы уравнений. Решить систему уравнений — это значит найти
все ее решения или установить, что решений нет.
Можно говорить и о системе из трех*уравнений с тремя перемен-
переменными:
\q(x,y,z)=O,
В этом случае речь идет об отыскании троек чисел (х, у, г), удов-
удовлетворяющих одновременно всем уравнениям системы. Вообще
можно говорить о системе, содержащей любое число уравнений с
любым числом переменных.
Вы знаете, что основная идея решения уравнения состоит в пос-
постепенном переходе от одного уравнения к другому, более простому,
но равносильному заданному. Если же осуществляется переход к
уравнению-следствию, то обязательна проверка найденных кор-
корней, поскольку среди них могут оказаться посторонние для задан-
заданного уравнения. Так же обстоит дело и при решении систем
уравнений.
Определение 2. Две системы уравнений называют равносиль-
равносильными, если они имеют одни и те же решения или если обе системы не
имеют решений.
Метод подстановки, метод алгебраического сложения и метод
введения новых переменных, которые вы изучили ранее, абсолют-
абсолютно корректны с точки зрения равносильности. Иными словами, ис-
используя эти методы, мы заменяем одну систему уравнений другой,
более простой, но равносильной первоначальной системе. Если же
в процессе решения системы мы применяли неравносильные пре-
преобразования (возведение в квадрат обеих частей уравнения, умно-
319

жение уравнений системы или преобразования, которые привели к
расширению области определения какого-либо уравнения систе-
системы), то все найденные решения следует проверить подстановкой в
исходную систему.
Пример 1. Решить систему уравнений
ху-6 =
У
У
Решение. Перемножив уравнения системы, получим:
и3 Xs
? ,
х У
Положим, ради удобства, z = ху. Получим: (z-6)(z + 24)=z2 и далее:
z2-6z + 24z-144 = z2, 18z = 144, z=8.
Итак, перемножив оба уравнения системы, мы получили довольно
простую зависимость между переменными: ху = 8. Это уравнение рас-
рассмотрим совместно с одним из уравнений исходной системы, например, с
первым:
' У3
X
ху=8.
Теперь можно воспользоваться методом подстановки. Выразим из вто-
второго уравнения х через у и подставим полученное выражение вместо х в
первое уравнение системы. Имеем:
8
X — —
у'
После упрощений второе уравнение принимает вид у* =16, откуда по-
Q
лучаем: уг =2, у2=-2. Используя соотношение *= —, находим соответст-
У
венно хг =4, хг =-4.
Итак, получили два решения: D; 2), (-4; -2). Но, поскольку в процессе
решения системы использовался «ненадежный» (с точки зрения равно-
равносильности) метод умножения уравнений системы, найденные пары значе-
значений надо проверить подстановкой в заданную систему.
Подставив х = 4,у = 2в уравнения заданной системы, получим:
23
это — два верных числовых равенства.
Подставив х = -4; у = -2 в уравнения заданной системы, получим:
320
8-6 = ^,
(-4)
8+24 = <=?;
это тоже два верных числовых равенства.
Значит, обе найденные пары удовлетворяют заданной системе уравне-
уравнений.
Ответ: D; 2), (-4; -2).
Пример 2. Решить систему уравнений
Решение. Воспользуемся методом введения новой переменной: поло-
положим z =, I . Тогда первое уравнение системы примет вид: z + — = 2.
V 2х z
Имеем: z2 + l = 2z, z2-2z + l=0, (z-lJ=u z=l.
\3x-2y л
Возвращаясь к переменным х, у, получаем уравнение: J— =1.
V tiX
Далее находим: — = I2, 3* -2у = 2х, х=2у.
\ 2х
Итак, первое ypaBHeHH« системы нам удалось заменить более простым
уравнением х = 2у. Рассмотрев его совместно со вторым уравнением задан-
заданной системы, получим более простую систему уравнений:
для решения которой «напрашивается» метод подстановки, поскольку
уже имеется готовое выражение переменной х через переменную у. Полу-
Получаем:
4y2-l=3i/Bi/-l)>
4^-1=6^-31/,
2^-31/ +1=0,
l
Поскольку х = 2у, то получаем соответственно х1=2,хг=1.
Итак, получили два решения: B; 1), 1;- . Но, поскольку в процессе ре-
шения системы использовался «ненадежный» (с точки зрения равносиль-
равносильности) метод — возведение в квадрат обеих частей одного из уравнений, —
найденные пары значений надо проверить подстановкой в заданную систе-
систему. Эта проверка показывает, что посторонних решений нет.
( V
Ответ: B; 1), 11; -
321

Пример 3. Решить систему уравнений
fsin* sin у=0,75,
[tg*tgi/=3.
Решение. Перепишем систему в виде:
fsin * sin y=0,75,
jsin*sini/
—о.
[cos* cos у
Применим метод деления: разделим левую часть первого уравнения
системы на левую часть второго уравнения, а правую — на правую. Полу-
Получим: cos * cos у = —. Сразу заметим, что при этом делении потери решений
4
не произойдет, поскольку обе части второго уравнения системы, которое
мы использовали как бы в качестве делителя, не могут одновременно обра-
обратиться в нуль. Мы получаем более простую (хотя бы по внешнему виду)
систему тригонометрических уравнений:
fsin* sin у =0,75,
[cos * cos y=0,25.
Теперь воспользуемся методом алгебраического сложения. Сложив оба
уравнения системы, получим:
sin * sin у + cos * cos у = 1,
т.е. cos(* - у) = 1. Вычитая первое уравнение системы из второго, получаем:
cos* cos у - sin * sin у =0,25 -0,75,
т.е. cos(* + y) = —.
2*
Получили более простую систему уравнений:
|cos(*-i/)=l,
cos(*+i/) = —.
Из первого уравнения находим: *-у = 2лй, из второго —
2л
* + У = ± — + 2лл (где, напомним, как обычно это бывает в тригонометри-
о
ческих уравнениях, параметры Аил принимают любые целые значения:
AeZ, neZ).
Удобнее записать полученный результат в виде двух систем уравнений
относительно переменных * и у:
\х-у = 2лк, ix-y = 2nk,
= — + 2лп; ]х + у = -~ + 2пп.
3 L 3
Сложив уравнения первой системы, получим: 2* = 2лЛ + и 2лл, отку-
3
да находим : * = - + л(л + ft).
Вычтя в первой системе первое уравнение из второго, получим:
2у = ~2кк + — + 2лл,
3
л
откуда находим: у = — + п(п-к).
3
322
Сделав то же самое со второй системой уравнений, получим:
__л
X—-
__л
3
Ответ;
х~ —
3
где к е Z, ne Z.
Пример 4. Составить уравнение параболы у = ах2 +Ьх+с, если извест-
известно, что она проходит через точки A; 1), B; 2) и (-1; 11).
Решение. Речь идет об отыскании коэффициентов а, Ь, с.
По условию парабола проходит через точку A; 1). Подставив в уравне-
уравнение у = ахг +Ьх + с значения х = 1,у = 1, получим: 1 = а12+61 + с, т.е.
По условию парабола проходит через точку B; 2). Подставив в уравне-
уравнение у = ах2 +6* +с значения* = 2, у = 2, получим: 2 = а -22+Ъ -2+ с, т.е.
4а+2Ь + с = 2."
По условию парабола проходит через точку (-1; 11). Подставив в урав-
уравнение у = ах2 +Ьх + с значения х = -1,у = 11, получим:
\ а -Ь + с =11.
В итоге получаем систему из трех уравнений с тремя переменными а,Ъ,с:
( + Ь + 1
а-Ъ + с = 11.
Выразим с из первого уравнения: с = 1-а-Ь. Подставим полученное
выражение вместо с во второе и третье уравнения системы:
4а+2&+A-а-6) = 2,
За+6=1,
и соответственно
а-6+A-а-6) = 11,
-26 = 10,
Ь = -5.
Фактически мы получили более простую систему уравнений:
\Ь = -5,
|за+й=1,
[с = 1-а-Ъ.
Подставив значение Ь =- 5 во второе уравнение, найдем: а = 2. Подста-
Подставив найденные значения а = 2, 6=-5в третье уравнение, получим с = 4.
Ответ: у = 2х? -Ьх + 4.
Пример 5. Три трактора вспахивают поле. Чтобы вспахать все поле,
первому трактору требуется времени на 1 ч больше, чем второму, и на 2 ч
меньше, чем третьему. Первый и третий тракторы при совместной работе
323

вспашут все поле за 2 ч 24 мин. Сколько времени уйдет на вспашку поля
при совместной работе трех тракторов?
Решение. Первый этап. Составление математической модели.
Напомним, что если речь идет о выполнении некоторой работы, не оха-
охарактеризованной в количественном плане, т.е. не сказано, сколько дета-
деталей надо сделать, сколько гектаров земли вспахать и т.д., то объем работы
считают равным 1, а части работы выражают в долях единицы.
Пусть х ч — время, необходимое первому трактору, чтобы вспахать
поле в одиночку;
у ч — время, необходимое второму трактору, чтобы вспахать поле в
одиночку;
г ч — время, необходимое третьему трактору, чтобы вспахать поле в
одиночку.
Тогда согласно условиям задачи: х-у — 1, г-х=2.
Если все поле (т.е. 1) первый трактор может вспахать за х ч, то за 1 ч он
вспашет часть поля, выражаемую дробью —:
х
часть поля, которую вспашет 1-й трактор за 1 ч.
Аналогично
часть поля, которую вспашет 2-й трактор за 1 ч;
У
— — часть поля, которую вспашет 3-й трактор за 1 ч.
По условию, работая вместе, первый и третий тракторы вспахали все
12 12 (\ \\
поле за 2 ч 24 мин, т.е. за — ч. Это значит, что — • — + — =1, т.е.
5 5 1 х г)
- + - = —
х +г 12'
В итоге получаем систему из трех уравнений с тремя переменными:
х-у = 1,
г-х=2,
A I-JL
х + г~12
Математическая модель рассматриваемой ситуации составлена.
Второй этап. Работа с составленной моделью.
Воспользуемся методом подстановки. Выразим г через х из второго
уравнения системы: г = х + 2. Подставим выражение х + 2 вместо г в третье
уравнение системы: — +
х х + 2
последовательно получаем:
1 5 D
=—z- Решая это рациональное уравнение,
\
х х + 2 12
+ 24 + 12д:=5л:2 +
Ьхг -14* -24=0;
324
=4- =--
5
Оба найденных значения удовлетворяют условиям: х + 2 *0, х *0, т.е.
являются корнями рационального уравнения.
Осталось найти соответствующие значения у и г. Для этого воспользу-
воспользуемся уравнениямих~у = 1 и г-х-2.
Если х = 4, то из этих уравнений находим: у = 3, z = 6; если д: = --, то из
О
11 4
тех же уравнении находим: у = , z =-.
О О
Итак, составленная система уравнений имеет два решения: D; 3; 6) и
6. 11. 4"|
5' 5*5/
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Во-первых, по смыслу задачи отрицательные значения переменных
нас не устраивают, следовательно, оставляем только одну тройку значе-
значений D; 3; 6).
Во-вторых, нас спрашивают, сколько времени уйдет на вспашку поля
при совместной работе трех тракторов? Будем рассуждать так:
1 „ 1 „ 1
За 1 ч первый трактор вспашет - часть поля, второй — —, третий — —.
4 3 6
Значит, при совместной работе они вспашут за 1 ч часть поля, выражае-
выражаемую суммой трех дробей, т.е. - + - + -, а за * ч соответственно t - + - + -
4 3 6 ^4 6 о
3* „ 3* , . 4
т.е.—. Если они вспашут все поле, то —= 1, т.е. * = -•
4 4 3
4
Осталось лишь уточнить, что - ч = 1 ч 20 мин.
3
Ответ: 1 ч 20 мин.
Пример 6. Найти четыре числа, удовлетворяющие следующим услови-
условиям: первые три из них образуют конечную геометрическую прогрессию,
последние три образуют конечную арифметическую прогрессию, сумма
всех чисел равна 28, четвертое число больше первого на 14.
Решение. Первый этап. Составление математической модели.
Обозначим искомые числа буквами х, у, г, t.
По условию, числа х, у, г образуют конечную геометрическую прогрес-
прогрессию. Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии
это означает, что
уг=хг.
По условию, числа у, г, t образуют конечную арифметическую прогрес-
прогрессию. Согласно характеристическому свойству арифметической прогрес-
прогрессии это означает, что
Кроме того, из условия следует, что
x+y+z + t =
t-x = U.
325

Таким образом, мы составили систему из четырех уравнений с четырь-
четырьмя переменными:
z + t=28,
t-x = U.
Второй этап. Работа с составленной моделью.
Воспользуемся методом подстановки. Выразим t через х из четвертого
уравнения системы: t= х +14. Подставим выражение х + 14 вместо t во вто-
второе и третье уравнения системы. Получим:
Уг=хг,
х + у + г +{х +14)=28, т.е.
¦=хг,
[2х + у + г=Ы.
Снова воспользуемся методом подстановки. Выразим г через х и у из
третьего уравнения системы: z = 14-2x-i/. Подставим выражение
14 - 2х - у вместо г в первое и второе уравнения системы. Получим:
U=x(U-2x-y),
[
т.е.
В третий раз воспользуемся методом подстановки. Выразим у через х из
14-5х
второго уравнения системы: у = и подставим это выражение вместо
3
у в первое уравнение системы.
„ A4-5xY ( 14-5х
Получим: |—г—I =х|14-2х-
. з ) -\ з
Далее последовательно имеем:
14-5*Y=14x-2x2-x.14-5*
з J " з
A4-5хJ=9A4х-2х2)-3A4х-5х2)>
196-140х + 25х2=126х-18х2-42х + 15х2,
28х2-224х +196=0,
х2-8х + 7=0,
х, =1, х2=7.
Если х = 1, то последовательно находим значения остальных перемен-
переменных:
14-5х 14-5
У = -
з з =3;
z=14-2x-i/ = 14-2-3 = 9;
326
Еслих = 7, то:
14-5х 14-35
= -7;
" 3 3
г=14-2х-1/ = 14-14 + 7 = 7;
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Мы нашли две четверки чисел: 1,3,9,15 и 7, -7, 7, 21. Обе удовлетворя-
удовлетворяют всем четырем условиям задачи.
Ответ: 1, 3, 9,15 или 7, -7, 7, 21.
§ 59. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ
Если дано уравнение f(x, a) =0, которое надо решить относитель-
относительно переменной х и в котором буквой а обозначено произвольное
действительное число, то его называют уравнением с параметром
а. Основная трудность, связанная с решением уравнений (и тем бо-
более неравенств) с параметром, состоит в следующем. При одних
значениях параметра уравнение не имеет решений, при других
имеет бесконечно много решений, при третьих оно решается по од-
одним формулам, при четвертых — по другим. Как все это учесть?
Сразу скажем, что решению уравнений и неравенств с параметра-
параметрами посвящена масса учебно-методической литературы. Наша зада-
задача весьма скромна: завершая изучение курса алгебры в школе, дать
вам некоторое представление о том, как рассуждают при решении
уравнений и неравенств с параметрами. Для этого мы рассмотрим
ряд примеров.
Пример 1. Решить относительно х:
а) уравнение 2а( а - 2)х = а - 2;
б) неравенство 2а(а -2)х>а-2.
Решение, а) Обычно корень уравнения вида Ьх = с мы находим без
труда: х = —, поскольку в конкретном уравнении коэффициент Ь отличен от
Ъ
нуля. В заданном уравнении коэффициент при х равен 2а(а - 2\ и посколь-
поскольку значение параметра а нам неизвестно и в принципе оно может быть лю-
любым, следует подстраховаться, т.е. сначала предусмотреть возможность
обращения указанного коэффициента в нуль.
Рассмотрим следующие случаи:
1)а = 0; 2)а = 2; 3)а*0, а *2.
В первом случае (при а = 0) заданное уравнение принимает вид 0 • х = -2;
это уравнение не имеет корней.
Во втором случае (при а = 2) заданное уравнение принимает вид 0 • х = 0;
этому уравнению удовлетворяют любые значения переменной х.
327

В третьем случае (при а *0, а Ф2) коэффициент при х отличен от нуля
и, следовательно, на этот коэффициент можно разделить обе части уравне-
тт а-2 1
ния. Получим: х = , т.е. х = —.
2а(а-2) 2а
б) Решая неравенство, нужно учитывать знак коэффициента при х. По-
Поэтому для решения заданного неравенства нужно рассмотреть не три слу-
случая, как это было в п. а), а пять:
1)а = 0; 2)а = 2; 3)а<0; 4H<а<2; 5)а>2.
В первом случае (при а = 0) заданное неравенство принимает вид 0 • х > -2;
этому неравенству удовлетворяют любые значения переменной х.
Во втором случае (при а = 2) заданное неравенство принимает вид
0- х > 0; это неравенство не имеет решений.
В третьем случае (при а <0) коэффициент 2а(а -2) положителен, зна-
значит, деля на него обе части заданного неравенства, знак неравенства следу-
следует оставить таким, каким он был:
а-2 1
х> , т.е. х>—.
2а(а-2) 2а
Сразу заметим, что так же будет обстоять дело и в пятом случае (при
а > 2). В этом случае, как и в третьем, коэффициент 2а(а -2) положителен
1
и, решая заданное неравенство, получаем: х > —.
2а
Осталось рассмотреть четвертый случай, когда 0 < а < 2. В этом случае
коэффициент 2а(а -2) отрицателен, значит, деля на него обе части задан-
заданного неравенства, знак неравенства следует изменить на противополож-
противоположный:
а-2 1
х < , т.е. х < —.
2а(а-2) 2а
Ответ: а) Если а - 0, то корней нет; если а = 2, то х — любое действи-
действительное число; если а *0 и а * 2, то д: = —.
2а
б) Если а = 2, то решений нет; если а = 0, то х — любое действительное
число; если а < 0 или а > 2, то х > —; если 0 < а < 2, то х < —.
2а 2а
Пример 2. Решить уравнение
(а -I)*2 + 2Bа + 1)х + Dа +3)=0.
Решение. По виду это уравнение представляется квадратным. Но
(внимание!) значение параметра а нам неизвестно, и оно вполне может ока-
оказаться равным 1; в этом случае коэффициент при х2 обращается в нуль и
уравнение квадратным не является, оно будет линейным. Квадратные и
линейные уравнения решаются по различным алгоритмам.
Итак, нам следует рассмотреть два случая: а = 1 и аФ1.
В первом случае (при а = 1) уравнение принимает следующий вид:
0- х2 + 2- 3* + 7 =0, т.е. 6* + 7 =0. Решив это линейное уравнение, получаем
7
х=—.
6
Во втором случае (при а Ф1) мы имеем квадратное уравнение
(а-1)*2+2Bа + 1)* + Dа+3)=0.
Найдем его дискриминант:
328
Z)=BBa + l)f -4(a -l)Da +3)=4Da2 +4a + l)-4Da2 -a -3) =
= 20a + 16=4Ea+4).
Итак, Z)=4Ea+4).
Дальнейшие рассуждения зависят от знака дискриминанта. Если D < 0,
то квадратное уравнение не имеет корней; если D = 0, то уравнение имеет
один корень; если D > 0, то уравнение имеет два корня. Дискриминант об-
4 4
ращается в нуль при а=—, положителен при а>—, отрицателен при
5 5
a < —. Именно эти три случая нам и предстоит теперь рассмотреть.
5
4
Начнем со случая, когда a < —. В этом случае D <0 и, следовательно,
о
квадратное уравнение не имеет корней.
4
Пусть теперь a > — (но, напомним, а Ф1). В этом случае D > 0 и, следова-
5
тельно, квадратное уравнение имеет два корня, которые мы найдем по из-
известной формуле:
2B
Полученное выражение можно упростить, если вынести из-под знака
квадратного корня множитель 2 и сократить дробь на 2. Получим:
_-Bа + 1)±л/5а+4
х, а-1 4
Осталось рассмотреть случай, когда а=—. Используя написанную
5
формулу для корней квадратного уравнения, получаем:
Ответ: если а = 1, то х = ~—;
6
4 1
если а = —, то х = —;
5 3
если а < —, то корней нет;
о
4
если а > — (но а *1), то уравнение имеет два корня:
5
_-Bа + 1)±л/5а+4
а-1
Пример 3. Решить уравнение *Jx-a =2a-x.
Решение. Сначала будем действовать по стандартной схеме — возве-
возведем обе части заданного иррационального уравнения в квадрат и решим
полученное квадратное уравнение:
х-а=4а2 -
329

Найдем дискриминант: D=Dа +1/ -4Dа2 + а)=4а +1. Далее:
4а +1 ± -у/4а + 1
*,,= ~2 •
Теперь надо выполнить проверку, подставляя поочередно каждый из
найденных корней в исходное уравнение. Эта проверка, как нетрудно до-
догадаться, будет весьма и весьма сложной. Мы выберем другой путь — гра-
графический: построим графики функций: y = *Jx-a и у -2а - х и найдем
точки их пересечения. При этом целесообразно рассмотреть три случая:
а=0, а<0, а>0.
В первом случае (при а =0) заданное уравнение принимает вид 4х = -х.
Построив графики функций у = 4х, у = -х (рис. 258), убеждаемся, что они
имеют одну общую точку @; 0), а потому уравнение имеет только один ко-
корень * = 0.
п
Y--x-
ч
ч
ч
ч
0
У
У*
ч
ч
«•
ч
—
-
у=4х
я
X
у=2
?п\
а-х
1 .
/
а
ч
ч
i
о
ч
У
я
2а
1/=
\lx-a
и
X
Рис. 258 Рис. 259
Во втором случае (при а <0) графики функций у = 2а -х и у= -Jx-a не
пересекаются (рис. 259); значит, заданное уравнение не имеет корней.
В третьем случае (при а > 0) графики функций у = 2а-д:и1/ = ~]х-а пе-
пересекаются в одной точке (рис. 260); значит, заданное уравнение имеет
один корень. Следовательно, из двух полученных выше корней один ока-
окажется посторонним. Какой? Ответ можно почерпнуть из графической ил-
иллюстрации, представленной на рис. 260. Абсцисса точки пересечения
графиков меньше, чем 2а (это — абсцисса точки пересечения прямой
„ ч г» - „ 4а + 1 - V4a +1
у = 2а-х с осью я). Из двух наиденных корней: хх=—¦ и
4а +1 + -
t
i
2а
0
У
ч
ч
\
/
а
&
\
?<
\
ч
У
ч
у=2а
i i
а
X
- второй явно больше, чем
2а; чтобы в этом убедиться, достаточно пе-
переписать второй корень в виде:
х, =2а
г
Итак, если а >0, то заданное уравнение
имеет один корень
4а
Рис. 260
х=
330
Ответ: если а <0, то корней нет;
если а = 0, то х = 0;
- 4a + l-V4a + l
еслиа>0, тод:= .
Замечание. В только что решенном примере ответ можно записать
компактнее. Дело в том, что записанная для случая a > 0 формула для кор-
корня уравнения пригодна и для случая a = 0: если a = 0, то по указанной фор-
формуле получаем х = 0. Поэтому ответ можно было записать так: если а <0, то
корней нет; если a > 0, то:
4а +1 - >/4а +1
х= _ .
Пример 4. При каких значениях параметра а корни уравнения
2а*2 -2х -За -2=0 меньше 1.
Решение. Если а = 0, то уравнение прини-
принимает вид -2л;-2=0; корень этого уравнения
х = -1 удовлетворяет заданному условию,
он меньше 1.
Если a *0, то заданное уравнение являет-
является квадратным. Графиком функции у = f(x),M
где f (х) = 2ад:2 - 2х - За - 2, является парабо-
парабола с ветвями вверх, если 2о>0, и ветвями
вниз, если 2а <0. Поскольку корни уравне-
уравнения по условию должны быть меньше 1, упо-
упомянутая выше ' парабола должна
располагаться в координатной плоскости
так, как изображено на рис. 261 (для случая
2а >0) и на рис. 262 (для случая 2а <0).
Дадим аналитическое описание геометри-
геометрической модели, представленной на рис. 261.
Во-первых, напомним, при 2а > 0 ветви пара-
параболы направлены вверх. Во-вторых, парабо-
парабола обязательно пересекается с осью абсцисс
(в крайнем случае касается ее), иначе у квад-
квадратного уравнения не будет корней. Корни
есть, значит, дискриминант D неотрицате-
неотрицателен, т.е. D > 0. В-третьих, в точке х = 1 имеем
/A)>0. В-четвертых, /'A)>0, поскольку в ок-
окрестности точки д: = 1 функция возрастает.
Итак, получаем систему неравенств — аналитическую модель, даю-
дающую описание геометрической модели, представленной на рис. 261:
'2а > 0,
D>0,
Рис. 261
0
у
i
/
/
/
У
/
\
\
хг
V
1
f
-I
\
\х
A)
у- "
X
Рис. 262
Аналогичные рассуждения позволяют составить вторую систему нера-
неравенств — аналитическую модель, дающую описание геометрической моде-
модели, представленной на рис. 262:
331

2a < О,
D>0,
№)<o,
Решим первую систему неравенств. Составим выражение для дискри-
дискриминанта D квадратного трехчлена2ахг -2х-За-2:
?=4-4-2a(-3a-2) = 24a2 + 16a + 4.
Составим выражение для /A):
/¦A) = 2а 12-2 1-За-2 = -а-4.
Составим выражение для /'A):
/"(*) = 2a-2*-2=4a*-2;
ГA)=4а-2.
Таким образом, первая система неравенств принимает вид:
2а > О,
-a-4>0,
4a-2>0.
Эта система не имеет решений, поскольку из первого ее неравенства по-
получаем a > 0, а из третьего получаем a < -4, что одновременно выполняться
не может ни при каких значениях а.
Вторая система неравенств принимает вид:
2а < О,
24a2
-a-4<0,
4a-2<0.
+ 4>0,
Сразу обратим внимание на то, что квадратный трехчлен 24а2 + 16а + 4
имеет отрицательный дискриминант (D = 162 -4-4-24<0) и положитель-
положительный старший коэффициент. Значит, при всех значениях а выполняется
неравенство 24а2 + 16а + 4>0, а потому квадратное неравенство в данной
системе неравенств можно отбросить. Далее имеем
а<0,
а>-4,
1
а <—.
2
Решение этой системы достаточно очевидно: -4 < a <0.
Итак, мы нашли все интересующие нас значения параметра а:
а=0; -4<а<0.
Ответ: -4 < а <0.
332
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
В этой главе мы подвели итоги изучения в школе уравнений, не-
неравенств, систем уравнений. Мы достаточно аккуратно ввели сле-
следующие термины:
равносильность уравнений, равносильность неравенств, равно-
равносильность систем уравнений;
следствие уравнения, следствие неравенства;
равносильное преобразование уравнения, неравенства;
посторонние корни (для уравнений);
проверка корней (для уравнений), проверка решений (для сис-
систем уравнений);
система уравнений, система неравенств, совокупность неравенств;
решение системы неравенств, решение совокупности нера-
неравенств.
Мы сформулировали теоремы:
о равносильности уравнений;
о равносильности неравенств.
Мы ответили на четыре главных вопроса, связанных с решени-
решением уравнений: >^
как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому
равносильным преобразованием?
какие преобразования переводят данное уравнение в уравнение-
следствие?
как сделать проверку, если она сопряжена со значительными
трудностями в вычислениях?
в каких случаях при переходе от одного уравнения к другому
может произойти потеря корней и как этого не допустить?
Мы выделили четыре общих метода решения уравнений:
замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x);
метод разложения на множители;
метод введения новых переменных;
функционально-графический метод.
Мы расширили представления о методах решения систем урав-
уравнений (метод подстановки, метод алгебраического сложения, ме-
метод введения новых переменных, графический метод, метод
умножения, метод деления), познакомились с новыми классами
систем уравнений (иррациональных, тригонометрических), рас-
рассмотрели системы уравнений с различным числом переменных.
Мы познакомились с тем, как решаются уравнения и неравенст-
неравенства с параметрами.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие для учителя 3
ГЛАВА 1. Тригонометрические функции
§ 1. Введение 5
§ 2. Числовая окружность 8
'§ 3. Числовая окружность на координатной плоскости 17
§ 4. Синус и косинус 25
§ 5. Тангенс и котангенс 32
§ 6. Тригонометрические функции числового аргумента 35
§ 7. Тригонометрические функции углового аргумента . 37
§ 8. Формулы приведения .....,.,., 41
§ 9. Функция (/ = sinx.ee свойства и график 43
§10. Функция у = cos х, ее свойства и график 49
§ 11. Периодичность функций у = sin х, у = cos х . 51
§ 12. Как построить график функции у=mf(x),
если известен график функции y = f(x) 53
§ 13. Как построить график функции у = f(kx),
если известен график функции y = f{x) 56
§ 14. График гармонического колебания 60
§ 15. Функции j/ = tgx, j/ = ctgx, их свойства и графики 61
Основные результаты 67
ГЛАВА 2. Тригонометрические уравнения
§ 16. Первые представления о решении тригонометрических
уравнений 69
§ 17. Арккосинус. Решение уравнения cost = а 72
§ 18. Арксинус. Решение уравнения sin? = a 77
§ 19. Арктангенс и арккотангенс.
Решение уравненийtgx = а, ctgx = a 83
§ 20. Тригонометрические уравнения 89
Основные результаты 100
ГЛАВА 3. Преобразование тригонометрических выражений
§ 21. Синус и косинус суммы аргументов . : 101
§ 22. Синус и косинус разности аргументов 105
§ 23. Тангенс суммы и разности аргументов 108
§ 24. Формулы двойного аргумента 110
§ 25. Формулы понижения степени 115
§ 26. Преобразование сумм тригонометрических функций
в произведения 117
§ 27. Преобразование произведений тригонометрических
функций в суммы 122
§ 28. Преобразование выражения A sin x + В cos x
квидуСвт(х + <) 123
Основные результаты 126
334
ГЛАВА 4. Производная
§ 29. Числовые последовательности 128
§ 30. Предел числовой последовательности 131
§31. Предел функции 140
§ 32. Определение производной 148
§ 33. Вычисление производных 155
§ 34. Уравнение касательной к графику функции 165
§ 35. Применение производной для исследования функций
на монотонность и экстремумы 170
§ 36. Применение производной для отыскания наибольших
и наименьших значений величин 184
Основные результаты 192
ГЛАВА 5. Первообразная и интеграл
§ 37. Первообразная и неопределенный интеграл 194
§ 38. Определенный интеграл 202
Основные результаты 212
ГЛАВА в. Степени и корни. Степенные функции
§ 39. Понятие корня n-й степени из действительного числа 213
§ 40. Функции вида y = rfx, их свойства и графики 217
§41. Свойства корня и-й степени 22
§ 42. Преобразование выражений, содержащих радикалы 228
§ 43. Обобщение понятия о показателе степени 231
§ 44. Степенные функции, их свойства и графики 235
Основные результаты 243
ГЛАВА 7. Показательная и логарифмическая функции
§ 45. Показательная функция, ее свойства и график 245
§ 46. Показательные уравнения 256
§ 47. Показательные неравенства 259
§48. Понятие логарифма 261
§ 49. Функция у = loga х, ее свойства и график 264
§ 50. Свойства логарифмов 270
§ 51. Логарифмические уравнения 276
§ 52. Логарифмические неравенства 279
§ 53. Переход к новому основанию логарифма 282
§ 54. Дифференцирование показательной и логарифмической
функций 285
Основные результаты 293
ГЛАВА 8. Уравнения и неравенства.
Системы уравнений и неравенств
§ 55. Равносильность уравнений 294
§ 56. Общие методы решения уравнений 302
§ 57. Решение неравенств с одной переменной 308
§ 58. Системы уравнений 318
§ 59. Уравнения и неравенства с параметрами 327
Основные результаты 333