ue
СЧЁТНАЯ
ЛОГАРИФМИЧЙ
УЧПЕДГИЗ
1957

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Настоящая брошюра представляет собой главу из
учебника „Алгебра*, часть II, написанного коллективом
авторов (В. М. Брадис, Н. С. Истомина, А. И. Маркушевич,
К. П. Сикорский) и выпускаемого Учпедгизом пробным
изданием под редакцией А. И. Маркушевича.
Все замечания и пожелания просим направлять по
адресу: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз, редакция
математики.

В. М. БРАД ИС
СЧЁТНАЯ
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ
ЛИНЕЙКА
ПОСОБИЕ
ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9-ГО КЛАССА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
Москва — 1957

СОДЕРЖАНИЕ
Введение 	 3
§	1.	Графическое сложение и вычитание	 —
§ 2.	Логарифмическая шкала. Логарифмическая линейка как пара
логарифмических шкал 	 5
§	3.	Нормальная счётная линейка	 7
§	4.	Цены делений, чтение и установка меток	 8
§	5.	Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня		9
§	6.	Возведение в куб и извлечение кубического	корня	 11
§	7.	Периодичность логарифмической шкалы	 12
§	8.	Вычисление произведения двух и более чисел 	 14
§	9.	Вычисление частного 	 15
§ 10.	Совместное умножение и деление	*	—
Владимир Модестович Брадас
Счетная логарифмическая линейка
Редактор Я. И. Лепешкина.Обложка художника А. М. Гельфера. Художественный редактор
Н, А. Володина. Технический редактор Я. Н. Махова. Корректор В. Ц Соловьева
л. 0,98. Тираж I 000 000 экз. А-06028.
Учпедгиз. Москва, Чистые пруды, 6.
Министерство культуры СССР.
правление полиграфической промыш.
ый Двор* им. А. М. Горького. Ленин!
Зак. № 432. Цена 16 кол.

Введение. Одной из отличительных черт современной жизни
является механизация человеческого труда: всё новые и новые
виды работы, выполнявшиеся ранее руками человека, передаются
машинам. Например, тяжёлый труд землекопа выполняется те¬
перь мощными экскаваторами, труд доярки — специальными доиль¬
ными аппаратами и т. д. Механизированы и многие виды работы
человеческого мозга. Например, подсчёт количества деталей, изго¬
товляемых машиной, производится машиной же, машина выпол¬
няет с огромной точностью измерения, необходимые для контроля
точности изготовления этих деталей. Построены разнообразные
машины, выполняющие вычисления.
Новая программа математики, постепенно вводимая в старших
классах средней школы, предусматривает знакомство учащихся
с некоторыми простейшими видами механизации вычислительной
работы: в постоянное употребление вводятся конторские счёты,
так хорошо механизирующие действия сложения и вычитания,
значительно расширяется применение различных математических
таблиц, вводится обязательное изучение счётной логарифмиче¬
ской линейки, этого нехитрого прибора, изобретённого ещё 300
лет назад, но получившего после ряда усовершенствований самое
широкое распространение лишь в XX в. Линейка механизирует
выполнение действий умножения, деления, возведения в степень,
извлечения корня и многих других, более сложных математических
операций. Линейка даёт результаты с ограниченной точностью:
она позволяет находить лишь первые три-четыре их цифры, но
для подавляющего большинства расчётов, которые приходится
выполнять в жизни, этой точности оказывается достаточно.
Настоящая брошюра содержит тот минимум сведений по устрой¬
ству и употреблению счётной логарифмической линейки, какой
необходим каждому.
§ 1. Графическое сложение и вычитание. Если на полоске
миллиметровой или клетчатой тетрадной бумаги размером
120 мм × 20 мм нанести по средней линии деления на миллиметры,
как показано на чертеже 1, а затем разрезать эту полоску так,
чтобы получились две тождественные миллиметровые шкалы, то
йозможно механически производить сложение и вычитание нату-
1∙
3

ральных чисел в пределах 100. Действительно, сдвинув нижнюю
шкалу относительно верхней так, чтобы начало нижней шкалы
оказалось против некоторой метки а верхней шкалы, мы можем
против произвольной метки b нижней шкалы прочитать метку
01	23456789	10
∏*H!H"!H∏n!!!!!i!i*!l"!!"u!"!!∣H*!!∏!H∏'!*∣l'n∏H!!i*!i}!i!l!ii!uui!i!IH!!!!!*'H
01	23456789	10
Черт. 1.
c≈a-∖-b верхней шкалы. На чертеже 2, где взято а = 17, полу¬
чаем 17 + 25 = 42, 17 + 49 = 66, 17 + 62 = 79 и т. д. При
том же расположении шкал получаются и разности 42 — 25=17,
66 — 49=17, 79 — 62 = 17 и т. д. Таким образом, эта пара
миллиметровых шкал представляет собой математический при¬
бор для выполнения сложения и вычитания. Разумеется, никакого
о
1	23456789 Ю
∣∣∏U∣m∣n∣HIIIIIIIIIII∣m∣Ulllllfllllllll∣ll∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣I∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∏∣∣∣I∣∣∣∣∣∣∣∣IUtfH∣∣MMHiiMB
■■■■■11ГГГ111111П11111П1111111111П11Г	πrrrτπιιιιιιrmιιιιιιιιιnιππιιι∣H∣∣ιnπ∣∣ι∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
о
23456789
Черт. 2.
практического значения этот прибор иметь не может: сложение
и вычитание натуральных чисел в пределах 100 легко выполняется
в уме, а для действий над большими числами шкалы надо делать
непомерно длинными. Однако идея этого прибора, как мы убедимся
в следующем параграфе, допускает дальнейшее развитие.
Для лучшего уяснения сути дела сформулируем два следующих
правила, относящихся к только что рассмотренному прибору:
1)	чтобы найти сумму a-∖-b=c, надо против метки а
одной шкалы поставить начало другой шкалы, взять на этой
другой шкале метку b и прочитать противостоящую ей метку
с первой шкалы;
2)	чтобы найти разность a-b≈dt надо против метки а
одной шкалы поставить метку b другой шкалы и прочитать
метку d первой шкалы, оказавшуюся против начала другой
шкалы.
Схематически эти два правила показаны на чертеже 3.
о а c=a+b
J	н—Н-
о ь
Черт. 3.
4

§ 2. Логарифмическая шкала. Логарифмическая линейка
как пара логарифмических шкал. В обычной миллиметровой
шкале каждая метка а находится от начала шкалы на расстоянии
а миллиметров: метка 15 — на расстоянии 15 мм, метка 87— на
расстоянии 87 мм, метка 0 — на расстоянии 0 мм (начало шкалы).
Логарифмической называется такая шкала, в которой каж¬
дая метка а находится от начала шкалы на расстоянии, про¬
порциональном lgα.
Обозначив коэффициент пропорциональности,или модуль,шкалы
буквой т, имеем, что расстояние от начала логарифмической шкалы
до метки а в миллиметрах равно ∕wlgα.
Взяв т =100 и значения а от 1 до 10, получаем отрезок лога¬
рифмической шкалы, изображённый на чертеже 4. Здесь указаны
метки значений а от 1 до 2 через 0,1, от 2 до 5 через 0,2, от 5
1	1,5	2	3	4	5	6 7 8 9 10
—-∣~rπ~τfπ^πlτι111im∣ιιn∣ 11∣⅞⅞-
1	1,5	2	3	4	5	6 7 8 9 10
Черт, 4.
до 10 через 0,5. В начале шкалы находится метка 1, так как если
∕nlgα = 0, то а== 1. Нумерация меток — двойная (сверху и снизу),
так что, разрезая фигуру по средней линии, получаем две тож¬
дественные логарифмические шкалы одного и того же модуля
m=100 мм. Для построения используется таблица логарифмов:
1001g2^ 100 - 0,3010 = 30,1 (мм);
100 lg 3^ 100-0,4771 = 47,7 (мм)
и т. д. до 1001g 10= 100 • 1 = 100 (мм). Такую логарифмическую
шкалу легко построить: взяв одну из прямых линий на клетчатой
тетрадной (или лучше миллиметровой) бумаге, обозначают начало
шкалы штрихом с цифрой 1 („меткой 1“), метку 1,1 ставят на
расстоянии 100 lg 1,1	100 • 0,0414 = 4,14 (мм) от начала, метку
1,2 — на расстоянии 100 lg 1,2 100 • 0,0792 = 7,92 (мм) (тоже от
начала) и т. д.
Пара тождественных логарифмических шкал представляет Собой
математический прибор, называемый счётной, логарифмической
линейкой. Эта линейка позволяет выполнять умножение и деление
так же просто, как пара описанных выше миллиметровых шкал —
сложение и вычитание. Действительно, сдвинув нижнюю шкалу
относительно верхней так, чтобы начало нижней шкалы оказалось
против метки а верхней шкалы, мы можем против произвольной
метки b нижней шкалы прочитать метку c=a∙b верхней
шкалы. На чертеже 5, где взято а = 1,5, получаем: 1,5 • 2 = 3;
1,5-4 = 6; 1,5-6 = 9; 1,5-1,2 = 1,8; 1,5-1,6 = 2,4; 1,5-2,4 = 3,6:
1,5-2,8 = 4,2; 1,5-3,2 = 4,8. Умножение 1,5 на 3 требует оценки
5

на глаз тех частей промежутка между метками 4,4 и 4,6 верхней
шкалы, на какие его делит метка 3 нижней шкалы („интерполяция
1	1,5	2	3	4	5	6 7 8 9 10
1	1,5	2	3	4	5 б 7 8 9 10
Черт. 5.
на глаз"). При том же расположении шкал получаются и частные:
3:2= 1,5; 6:4>=1,5 и т. д.
Нетрудно понять, почему это так. Обращаясь к схематическому
изображению двух логарифмических шкал на чертеже 6, замечаем,
1
JL
о оо.Ь
Н	!—
1 Ь
что отрезок верхней шкалы между метками
1 и с, равный т lg с мм, есть сумма отрезка
той же верхней шкалы от метки 1 до
метки а, равного т lgα мм, и отрезка
нижней шкалы от метки 1 до метки Ь,
Черт. 6.	равного т lg b мм. Получается равенство
т lg а 4~ т lg b=т lg с, которое легко пре¬
образуется к виду lg (а ∙ Z>)=lgc, откуда a∙b==c, Отсюда пра¬
вило, очень похожее на правило сложения в § 1.
Чтобы найти произведение a∙b=c, надо против метки а
одной шкалы поставить начало другой шкалы, взять на этой
другой шкале метку b и прочитать противостоящую ей метку
с первой шкалы.
На чертеже 7 объяснено правило деления; здесь отрезок
между метками 1 и d верхней шкалы равен разности отрезков
от 1 до а на верхней шкале и от 1 до b
на нижней, а потому ∕wlgα — ΛilgZ>=	~
= m∖gd, откуда lg{а: b) = lgd, a∙.b = d. 1t q'=i°∙,^ а
Получается правило: чтобы найти	р	+
частное а: b ≈ d, надо против метки а 1	°
одной шкалы поставить метку b другой
шкалы и против начала этой другой шка- Черт. 7.
лы прочесть на первой шкале метку d.
К этим правилам необходимо сделать одно добавление: может
случиться, что при умножении по схеме чертежа 6 метка множи¬
теля b окажется в той части нижней шкалы, которая выдвинулась
направо, как, например, при умножении 3 на 4. В этом случае
против метки а множимого надо поставить не начало, а ко¬
нец нижней шкалы (метку 10), метку с прочитать, как и раньше,
на верхней шкале против метки b множителя на нижней шкале.
Но теперь, как видно из чертежа 8, т lg а—т lg с=т lg 10 — т lg Ь,
откуда выводим, что c = a∙bιlQ.
Для получения произведения a∙b метку с приходится в этом
случае увеличить в 10 раз.
6

Подобное же добавление нужно и для правила деления: если
при делении по схеме чертежа 7 начало нижней шкалы окажется
не правее, а левее начала верхней, как это будет, например, при
а = 2, b=8, то надо читать метку верхней шкалы, противостоя-
1 c=abdθ а ю
ι ' ll-H---I ∣--l
ι Ь ю
ι а d=iθa-∙b ю
ι b '0
Черт. 8.	Черт. 9.
щую не началу, а концу нижней шкалы. Теперь, как пока¬
зывает чертёж 9, wzlgd— m∖ga=m lg 10 — тlgЬ, откуда <2 =
≈∖Qa∙.b.
Для получения частного a∙.b метку d приходится в этом
случае уменьшить в 10 раз.
Теперь мы можем перейти к работе со счётной линейкой фаб¬
ричного изготовления, которая оказалась практически весьма по¬
лезным прибором и широко применяется во всех расчётах, когда
достаточно получить результат с тремя-четырьмя значащими
цифрами. Она неприменима, когда искомые выражаются много¬
значными числами и их надо получать с большей или даже
с полной точностью, как это бывает, например, при денежных
расчётах.
§ 3.	Нормальная счётная линейка. Нормальная счётная ло¬
гарифмическая линейка, изготовляемая на советских заводах, изо¬
бражена на чертеже 10 (см. вклейку) в натуральную величину.
Она состоит из трёх частей: корпуса с продольным пазом, по
которому перемещается движок, и бегунка (или ползунка),
представляющего собой прямоугольную металлическую рамку
со стеклом, на котором имеются одна или три тонких линии —
индексы.
На лицевой стороне корпуса имеются 4 шкалы: сверху — лога¬
рифмическая шкала К, именуемая кубической и построенная с мо¬
дулем 250.∙3 = 83-g- (мм) для значений k от 1 до 1000 (нули в
цифровых метках, выражающих десятки и сотни, обычно пропу¬
скаются); ниже, пр верхнему краю паза, помещена логарифмиче¬
ская шкала А, именуемая квадратичной и построенная с модулем
250:2 = 125 (мм) для значений а от 1 до 100 (нули в цифровых
метках, выражающих десятки, обычно пропускаются); еще ниже,
по нижнему краю паза, находится шкала D, называемая основной
и построенная с модулем 250 мм (значения d идут от 1 до 10).
По нижнему краю корпуса линейки располагается равномерная
шкала L, разделённая на полумиллиметры. Эта четвёртая шкала
служит для получения логарифмов (трёхзначных) и антилогариф¬
мов и называется в сйлу этого шкалой мантисс логарифмов.
На оборотной стороне корпуса линейки помещают некоторые спра¬
7

вочные сведения, полезные для инженера, а по узким боковым
граням — деления на сантиметры и миллиметры.
На лицевой стороне движка расположены шкалы В и С, тож¬
дественные соответственно шкалам А и D. В этом легко убе¬
диться, вставив движок в паз до совпадения начальных единиц
шкал А нВ, а также шкал С и Р; в исправной линейке при этом
совпадут все штрихи шкал А и В, а также все штрихи шкал
С и D. Между шкалами В и С расположена шкала /?, называе¬
мая „шкалой обратных значений" и представляющая собой ту же
шкалу С, но перевёрнутую: метка 10 на левом конце, метка 1 на
правом; отрезок от левого конца шкалы до метки г равен
250 — 2501gr==2501g(l :г). На оборотной стороне движка нахо¬
дятся тригонометрические шкалы, которых в данном пособии
касаться не будем.
Бегунок с индексом служат для того, чтобы находить метку
шкалы, противостоящую какой-нибудь определённой метке дру¬
гой шкалы.
§ 4.	Цены делений, чтение и установка меток. Приступая
к работе со счётной линейкой, надо прежде всего уяснить цени
делений разных её шкал, то есть разности чисел, выражающих
метки соседних штрихов шкал. Эти цены в разных шкалах раз¬
личны. Внимательно рассматривая основную шкалу С на движке
или точно такую же шкалу D на корпусе линейки (см. черт. 10),
замечаем, что каждое деление от 1 до 2 означает сотые доли, но
от 2 до 4 каждое деление означает уже 0,02, от 4 до 10 уже
0,05. Необходимо научиться правильно и быстро читать каждую
метку этой шкалы, а также устанавливать индекс на тот штрих
шкалы, который соответствует заданному числу (от 1,00 до 2,00
через 0,01, от 2,00 до 4,00 через 0,02, от 4,00 до 10,00 через
0,05). Затем таким же порядком надо изучить шкалу KBaΛpaτoβi
то есть шкалу Л на корпусе или одинаковую с ней шкалу В на
движке. Как видно по тому же чертежу 10, цена деления на этой
шкале от 1 до 2 равна 0,02, от 2 до 5 — 0,05, от 5 до 10 (до
„средней единицы") — 0,1, от 10 до 20 — 0,2, от 20 до 50 — 0,5,
от 50 до 100 (до „конечной единицы")—1. Шкала кубов имеет
деления от 1 до 2 ценой 0,02, от 2 до 5 ценой 0,05, от 5 до
10 ценой 0,1, от 10 до 20 ценой 0,2, от 20 до 50 ценой 0,5,
от 50 до 100 ценой 1, от 100 до 200 ценой 2, от 200 до
500 ценой 5, от 500 до 1000 ценой 10.
Шкала L (равномерная) имеет везде деления по 0,002 (метки,
обозначенные цифрами; читаются на этой шкале как десятые,
например метки 2, 3, 4, ... читаются как 0,2; 0,3; 0,4 и т. д.).
Научившись правильно и быстро читать метки, обозначенные
на шкалах линейки цифрами или штрихами без цифр („цифровые
метки" и „немые метки"), мы должны научиться читать и уста¬
навливать метки, ничем на шкалах не обозначенные, то есть вы¬
полнять „интерполяцию на глаз". На первых порах рекомендуется
точно придерживаться указанного ниже порядка, обеспечивающего
8

безошибочность результата, но требующего много времени. В даль¬
нейшем выработается навык в выполнении этой интерполяции на
глаз с одного взгляда, почти моментально.
Пусть требуется прочитать метку, установленную индексом,
как на чертеже 11 *. Индекс здесь находится между метками 1,12
и 1,13 на шкале С; цена деления — 0,01. Между меткой 1,12 и
индексом чуть больший промежуток, чем между индексом и мет¬
кой 1,13. Оценивая эти промежутки как 0,6 и 0,4 всего деления,
видим, что к ближайшей левой метке надо прибавить ещё
0,6 • 0,01 = 0,006. Таким образом, метка индекса здесь 1,12-∣-
+ 0,006=1,126.
Черт. 11.
Черт. 12.
Черт. 13.
На чертеже 12 индекс находится между метками 2,08 и 2,10
той же шкалы С, причём промежуток между меткой 2,08 и ин¬
дексом оцениваем как 0,3 деления, а от индекса до метки 2,10 —
остальные 0,7 деления. Здесь цена деления 0,02, а потому метку
индекса следует принять равной 2,08 + 0,3 • 0,02 = 2,08 + 0,006 =
= 2,086**.
На чертеже 13 индекс между метками 6,55 и 6,60. Принимая про¬
межуток между меткой 6,55 и индексом, равным 0,8 всего деления,
цена которого 0,05, получаем метку индекса равной 6,55 +
+ 0,8 • 0,05 = 6,55 + 0,04 = 6,59.
Усвоив описанный способ интерполяции на глаз, надо приоб¬
рести в нём прочный навык, причём важно обеспечить контроль
правильности получаемых результатов. Особенно удобно приоб¬
рести этот навык, выполняя действия возведения в квадрат и куб
и извлечения квадратного и кубического корня, проверяя посред¬
ством таблиц получаемые на линейке результаты. Поэтому, от¬
кладывая изучение важнейших операций — умножения и деления,
переходим пока к возведению в степень и извлечению корня.
§ 5.	Возведение в квадрат и извлечение квадратного
корня. Сопоставляя шкалы А и D, то есть находя при помощи
индекса метку одной из этих шкал, противостоящую метке другой,
убеждаемся, что переход от основной шкалы к шкале квадратов
равносилен возведению в квадрат, а обратный переход—извле-
* На чертеже 11 изображена часть шкалы D линейки,, выпускаемой Ленин¬
градской фабрикой счётных приборов Министерства местной промышленности
РСФСР. На многих других линейках вместо цифровых меток 1,1; 1,2; 1,3;..
поставлены только цифры 1, 2, 3 .., которые надо читать как десятые доли.
** В случае, когда первая цифра числа 2 или 3, отсчёт по шкале С даёт на¬
дёжную четвёртую цифру только при наличии хорошего опыта и первокласс¬
ного качества линейки.
9

Черт. 14.
чению квадратного корня. Легко понять, почему это так. Как
видно по схеме чертежа 14, отрезок шкалы D от начальной еди¬
ницы до метки d имеет ту же длину, что и отрезок шкалы А
от начальной единицы до про¬
тивостоящей метки а. Вспо¬
миная, что отрезок шкалы А
от начала до метки а имеет
длину 125 lg а мм и что от¬
резок шкалы D от начала
до метки d имеет длину
250 lg d мм, приходим к уравнению 125 lg α = 2501g d, которое
даёт равенство a = di. Отсюда правило: чтобы возвести в квад¬
рат число d, заключённое между 1 и 10, надо найти его
метку на шкале D и прочитать противостоящую метку а
на шкале Aι a = d1.
Для извлечения квадратного корня из числа а, заключён¬
ного между 1 и 100, надо найти его метку на шкале А и
прочитать противостоящую метку d шкалы Zλ* ∕α =d.
Учащимся рекомендуется самим проделать действия возведе¬
ния в квадрат и извлечения квадратного корня, пользуясь линей¬
кой фабричного изготовления. Если такой линейки под руками
нет, это упражнение можно провести при помощи чертежа 15
(см. вклейку), на котором шкалы А и D изображены непосред¬
ственно прилегающими одна к другой, так что сопоставление их
меток возможно без применения бегунка. Такого рода упражне¬
ния надо выполнять до тех пор, пока в указанных действиях
не будет приобретён прочный навык, причём проверка при помощи
таблиц квадратов и квадратных корней (четырёхзначных) обяза¬
тельна.
Примеры расчётов посредством линейки, сопровождаемые необ¬
ходимой на первых порах проверкой по четырёхзначным таблицам
квадратов и квадратных корней, даны в следующей таблице.
В графе „Разница" даны разности между значениями, получен¬
ными по таблице и по линейке, выраженные в единицах разряда
четвёртой значащей цифры.
d
α = rf3
по линейке
а = d*
по таблице
Раз¬
ница
а
d≈Va
по линейке
d≈∖ra
по таблице
Раз¬
ница
2,50
6,25
6,250
0
5,50
2,34
2,345
-5
6.90
34,8
34,81
— 1
44,0
6,63
6,633
-3
7.50
56,2
56,25
— 5
2,65
1,627
1,628
— 1
1.85
3,42
3.423
- 3
6,90
2,62
2,627
— 7
2.90
8,40
8,410
— 10
10,80
3,29
3,286
+ 4
6.35
40,3
40.32
- 2
39,5
6,28
6,285
-5
1,26
1.590
1,588
+ 2
76,2
8,73
8,729
+ 1
2.44
5,98
5,954
I 6
1,48
1,216
1,217
— 1
4.75
22,6
22,56
+ <
1,486
1,220
1,219
+ 1
8.95
80,1
80,10
0
14,8
3,84
3,847
-7
1,742
3.04
3,035
+ 5
14,86
3,86
3,855
Ч" 5
3.213
10,35
10,32
Ч- 3
29,25
5,41
5,409
+ 1
10

Если возводимое в квадрат число больше 10 или меньше 1
или если при извлечении квадратного корня подкоренное число
больше 100 или меньше 1, то применяется преобразование через
введение множителя в виде степени числа 10 с соответствующим
показателем.
Примеры.
1)	0,346» = (3,46:10)» ^11,98:100 = 0,1198 (точнее 0,1197);
2)	52,7» = (5,27- 10)» ^27,8- 100 = 2780* (точнее 2777);
3)	/0,0567 = /5,67:100 a⅛ 2,38:10 = 0,238 (точнее 0,2381);
4)	/567 = /5,67 • 100^2,38 • 10 = 23,8 (точнее 23,81).
Вместо шкал А и D можно пользоваться тождественными им
шкалами В и С.
§ 6. Возведение в куб и извлечение кубического корня.
Сопоставление при помощи индекса шкалы D со шкалой К
приводит к зависимости di=k, вытекающей из того, что отрезок
шкалы D от начала до метки d
имеет длину 2501g d мм, а рав¬
ный ему отрезок шкалы К—
от начала до метки k — длину
250
-j-lgkMM (черт. 16). Таким
образом, lg k = 250 lg d,
K1,
к
1*0
ι6θ
1000
1
1
Ь|
й
1*0
Черт. 16.
откуда 31gτ∕=lg¼ lgrf3 = lg⅛, di≈k. Получаем правило:
чтобы возвести в куб число d, заключённое между 1 и 10,
надо найти метку d на шкале D и прочесть противостоящую
метку k на шкале К: di = k.
Чтобы извлечь кубический корень из числа k, заключён¬
ного между 1 и 1000, надо найти метку k на шкале К и про¬
читать противостоящую метку d на шкале D.' Vk =d.
Необходимо помнить, что на шкале К слева идут метки от 1
до 10, причём в обозначении метки 10 нуль пропущен; дальше
идут метки от 10 до 100 и от 100 до 1000, причём в обозначе¬
нии всех этих меток нули часто пропускаются.
Рекомендуется проделать упражнения на возведение в куб
и извлечение кубического корня с обязательной проверкой ре¬
зультатов (посредством четырёхзначных таблиц кубов).
Если линейки фабричного изготовления под руками нет, эти
упражнения на возведение в куб и извлечение кубического корнй
можно выполнить при помощи чертежа 17 (см. вклейку), на ко¬
тором изображены в натуральную величину шкалы К и D. Эти
шкалы, находящиеся на линейке на некотором расстоянии друг
от друга, изображены на чертеже 17 имеющими общую ось, так
что отсчёты по чертежу возможны без применения бегунка.
* Подчёркнутые нули означают, что они поставлены взамен неизвестных
цифр;
11

Приводим примеры, выражая разности между результатами,
которые доставляют линейка и таблица, в единицах разряда четвёр¬
той значащей цифры.
d
k = rf*
по линейке
k = сН
по таблице
Раз¬
ница
k
d = k
по линейке
rf=(∕7
по таблице
Раз¬
ница
1,43
2,93
2,924
÷ б'
3
1,441
1,442
- 1
2,06
8,75
8,742
÷ 8i
30
3,11
3,107
+ з
4,62
98,5
98,61
— п 1
300
6,70
6,694
+ 6
8,15
540
541,3
— 131
1,72
1,197
1,198
- 1
1,274
2,06
2,068
- 81
17,2
2,58
2,582
-2
2,67
19,05
19,03
÷ 2
172
5,56
5,561
— 1
5,22
143
142,2
+ 8
2,33
1,325
1,326
— 1
7,86
486
485,6
÷ 4
4,25
1,620
1,620
0
8,39
591
590,6
+ 4
56,2
3,83
3,830
0
9,41
834
833,2
— 8!
876
9,57
9,568
+ 2
Если возводимое в куб число меньше 1 или больше 10 или
если при извлечении кубического корня подкоренное чисЛо меньше
1 или больше 1000, то применяется преобразование через введение
множителя в виде степени числа 10 с соответствующим показа¬
телем.
Примеры.
1)	0,0423 = (4,2.∙ 100)’ ≈ 74,1 : 10е = 0,0000741.
2)	5 8,23 = (5,82 • 10)3	197 • 103 = 197000.
3)	pz0,0045 = yz4,5 : 1000	1,65 : 10 = 0,165.
4)	∣∕27160= pz27Γ16∙ 1000	3,01-10=30,1.
§ 7.	Периодичность логарифмической шкалы. Научившись
свободно читать метки логарифмических шкал, надо ознакомиться
со свойством их периодичности. На шкале А мы имеем две
внешне тождественные (благодаря отбрасыванию нулей в цифро¬
вых метках) подшкалы: одну для меток от 1 до 10, другую для
меток от 10 до 100. Представим себе, что шкала А продолжена
направо для меток, больших 100, и налево для меток, меньших 1
(но больших нуля). Эта бесконечная логарифмическая шкала
будет состоять из бесконечного ряда последовательных подшкал
с метками от 100 до 1000, от 1000 до 10000 и т. д., если идти
направо, и с метками от 0,1 до 1; от 0,01 до 0,1; от 0,001 до 0,01;
от 0,0001 до 0,001 и т. д., если идти налево. Каждая подшкала
имеет длину 125 мм и получается из ближайшей слева, если все
её штрихи сдвинуть направо на 125 мм, увеличив в 10 раз их
метки. Мы считали, что из показанных на линейке двух подшкал
этой бесконечной периодической шкалы одна имеет метки от 1 до
10, другая от 10 до 100. Но ничто не препятствует считать на¬
чальную метку шкалы за 10 или 0,1, или 100, или 0,01 и т. д.
Если, например, считать начальную метку за 100, то первая под¬
шкала содержит метки от 100 до 1000, вторая от 1000 до 10000;
12

если же считать её за 0,1, то первая подшкала выражает числа
от 0,1 до 1, вторая — от 1 до 10.
Таким образом, каждая метка шкалы А имеет не одно опре¬
делённое значение, а бесконечное множество: её можно читать и
как а, и как 10а, и как 0,1 а, и как 100а, и как 0,01 а и т. д.
Цифровой состав всех этих чисел одинаков, но положение знака
дробности различно. Если, например, а = 5,46, то эту же метку
можно читать и как 54,6, и как 0,546, и как 546, и как 0,0546,
и т. д. Поэтому, читая метки шкалы А, как и любой другой ло¬
гарифмической шкалы, лучше не обращать внимания на положение
знака дробности, а называть по очереди все цифры числа, начиная
с первой слева значащей его цифры. Так, говоря „пять-четыре-
шесть", мы называем любое из чисел 5,46; 54,6; 546; 5460; ...;
0,546; 0,0546; .., не предрешая, где в этом числе будет постав¬
лена запятая. Желая отметить, что речь идёт только о цифровом
составе метки, но не о положении запятой в ней, мы будем раз¬
делять цифры чёрточками. Так, запись 5—4—6 означает цифровой
состав любого из этих чисел, запись 4—0—0 — любого из чисел 4;
400; 4000; ..; 0,4; 0,04; 0,004; 0,0004 и т. д.
Шкала К имеет три подшкалы, внешне тождественные (из-за
отбрасывания нулей в цифровых метках). Если считать, как мы
это и делали, что метки первой слева подшкалы идут от 1 до 10,
то метки второй надо считать идущими от 10 до 100 и третьей
от 100 до 1000. Но можно считать, что начальная метка шкалы К
означает, например, 10 или 0,1, или 100, или 0,01, соответственно
меняя значение меток следующих подшкал. Эту кубическую шкалу
надо представлять состоящей из бесконечного множества после-
250
довательных подшкал, каждая длиной -у- мм, причём на линейке
показаны три из нйх.
Основную шкалу (D и С) тоже надо представлять периоди¬
ческой бесконечной, состоящей из ряда подшкал, каждая длиной
250 мм, причём начальную метку можно читать как любую сте¬
пень 10 с целым показателем: 10; 0,1; 100; 0,01 и т. д. Если
шкала D сопоставляется со шкалой А, как это делалось в § 5,
или со шкалой К, как в § 6, то значения начальных меток надо
согласовывать. Например, считая, что метки шкалы D идут
от 1 до 10, мы должны считать метки шкалы А идущими от 1 до
100, а шкалы К — от 1 до 1000. Но если метки шкалы D считать
от 10 до 100, то метки шкалы Λ надо считать как идущие от 100
до 10000, а шкалы К—от 103 до 10s и т. д.
Итак, мы будем пользоваться двумя способами чтения меток
логарифмических шкал. Если сделан определённый выбор значе¬
ния начальной метки (начальной единицы) шкалы, то каждая метка
имеет значение, вполне определённое и по цифровому составу,
и по положению знака дробности. Если же такой выбор не сделан,
то определённым является только цифровой состав каждой метки,
но не положение знака дробности.
13

§ 8.	Вычисление произведения двух и более чисел. Умно¬
жение по правилу, данному в § 2 и схематически представленному
на чертеже 6, можно выполнять как на нижних (основных) шка¬
лах С и D, так и на верхних (квадратных) шкалах А и В. Ниж¬
ние шкалы дают несколько большую точность, но на верхних ра¬
бота идёт проще, поэтому рассмотрим только умножение на верх¬
них шкалах*. Желая получить произведение, например а = 1,84 на.
⅛ = 8,6, берём метку 1,84 на шкале А, ставим против неё метку
1 шкалы В, против метки 8,6 шкалы В читаем метку 15,82 на
шкале А (точное значение ab= 15,824).
Для приобретения навыка в выполнении умножения (как и де¬
ления) на линейке необходимо проделать много упражнений. Если
под руками линейки фабричного изготовления нет, можно восполь¬
зоваться шкалами А и В, изображёнными на чертеже 18 (см. вклейку),
предварительно вырезав их и разрезав по оси (концы линии раз¬
реза указаны пунктиром). Желательно наклеить эти шкалы (до
разрезания по оси) на более толстую бумагу или картон, а затем
аккуратно разрезать. Точность результатов (как умножения, так
и деления) будет лишь незначительно меньше, чем при работе с
линейкой фабричного изготовления.
Периодичность логарифмических шкал позволяет вовсе не об¬
ращать внимания на положение знака дробности в данных: сначала
находят только цифровой состав произведения, затем грубопри¬
ближённым расчётом, проводимым в уме („прикидкой"), устанав¬
ливают место запятой. Чтобы умножить 1,84 на 8,6, берём метку
1—8—4 на любой подшкале шкалы А, ставим против неё любую
единицу шкалы В (начальную или среднюю, или конечную),
на любой подшкале шкалы В берём метку 8—6—0, читаем
противостоящую метку 1—5—8—2 шкалы Д. Прикидка даёт
1,84 • 8,6 «а 2-8 =16. Отсюда заключаем, что искомое произведе¬
ние есть 15,82.
Ещё примеры. 1) Чтобы найти х = 3 260 • 0,0128, берём на
шкале А метку 3—2—6, ставим против неё одну из единиц шкалы
В, на шкале В находим метку 1—2—8, против неё на шкале А
читаем метку 4—1—7. Прикидка даёт х«а3000 • 0,01 =30, а
потому xa⅛=s 41,7 (точное значение х = 41,728).
2) При вычислении тем же порядком произведения
у = 32,6 • 0,0078 получаем цифровой состав 2—5—4. Прикидка даёт
у я» 30 • 0,008 = 0,24, а потому у № 0,254 (точное значение
у=0,25428).
Если надо перемножить 3,4, 5 и т. д. чисел, сначала находят
произведение первых двух, затем, не читая это произведение,
умножают его на третье данное число, далее, не читая его, ум¬
* Многие работающие с линейкой предпочитают выполнять умножение
и деление на нижних (основных) шкалах, дающих несколько повышенную
точность, но часто требующих „перекидки* движка, то есть смещения движка
на всю его длину.
14

ножают на четвёртое данное число и т. д. Эти операции продол¬
жают, пока не исчерпают все сомножители. Обращать внимание
на знаки дробности не надо, положение запятой в окончательном
результате даёт прикидка. Например, чтобы получить
z = 23,4 • 0,765 • 388, находят сначала цифровой состав этого произ¬
ведения 6—9—5, затем делают прикидку .г № 20 • 0,8 • 400 = 6400 и
пишут окончательно г №6950 (точное произведение 6945,588).
На практике нередко встречаются случаи, когда одно и то
же число приходится умножать на ряд других чисел. Такое се¬
рийное умножение совершается на линейке особенно быстро, так
как оно требует лишь одной установки движка, всё же остальное
сводится лишь к чтению результатов (перемещается лишь индекс).
Например, желая найти значение j∕=l,27x при х, равном 6; 6,5;
7; 7,5; 8; 8,5; 9; 9,5, противопоставляем начальную единицу шкалы
В метке 1,27 шкалы А и наводим индекс последовательно на метки
6; 6,5 и т. д. шкалы В. Противостоящие метки шкалы А дадут
искомые значения для .у, а именно: 7,62; 8,25; 8,89; 9,52; 10,16;
10,80; 11,43; 12,06.
§ 9.	Вычисление частного. Деление, как и умножение, можно
делать либо на нижних, либо на верхних шкалах. Рассмотрим
деление на верхних шкалах. Оно выполняется по правилу, данному
в § 2 и схематически представленному на чертеже 7. Периодич¬
ность логарифмических шкал даёт возможность находить цифро¬
вой состав частного, не обращая внимания на положение знака
дробности в данных, устанавливая его положение в частном по¬
средством прикидки.
Пусть, например, надо найти х = 64,5:0,0248. Против метки
6—4—5 шкалы А ставим метку 2—4—8 шкалы В, против метки
1 шкалы В читаем метку 2—6—0 шкалы Д. Прикидка даёт
х № 60:0,02 = 3000, а потому получаем окончательно χs=⅛⅛2600∙
Выбор подшкал и выбор единицы (начальной или средней) здесь
безразличен.
Чтобы разделить 0,0248 на 64,5, берём метку 2—4—8 на шкале
А, ставим против неё метку 6—4—5 шкалы В, против единицы
шкалы В читаем метку 3—8—4 шкалы А. Прикидка даёт 0,02:60 j⅛=∙
№0,0003, следовательно, искомое частное есть 0,000384 (точнее
0,000384 496).
§ 10.	Совместное умножение и деление. Если прйходится
вычислять значение выражения вида х = ай:с, то выгоднее сна¬
чала делить а на с, потом умножать (а: с) • Ь. Действительно,
установив движок так, чтобы против метки а шкалы А оказалась
метка с шкалы В, против метки b шкалы В получаем сразу
метку х на шкале А (метку частного а: с читать не надо). Таким
образом, требуется только одна установка движка, в то время
как при умножении а на b и последующем делении ab на с нужны
две его установки.
Пример. Если х=84 • 5,3:6,45, то, поставив против метки
8—4—0 шкалы А метку 6—4—5 шкалы В, наводим индекс на
15

метку 5—3—0 шкалы В и читаем метку 6—9—0 шкалы А.
Прикидка х«й80-5:6я»70 показывает, что надо взять x^⅛≈69,0
(точнее х = 69,02...). Соответственно этому и вычисление более
сложных выражений вида:
	 abcd...
x^~ efg...
выгоднее вести так, чтобы сначала шло действие деления, после
него умножение, далее опять деление и т. д., пока такое чередо¬
вание будет возможно.
Вычислим для примера значение выражения:
4,8-12,50,64
2,5∙0,128-15-
Установив индекс на метку 48 на шкале А, противопостав¬
ляем ей метку 25 на шкале В. Переводим индекс так, чтобы он
совпал с меткой 125 шкалы В. Не трогая индекса, передвигаем
движок так, чтобы под индексом оказалась метка 128 шкалы В.
Далее опять йереводим индекс, совмещая его с меткой 64 шкалы В.
Остаётся подвести под индекс метку 15 шкалы В и прочитать
на шкале Д против любой из единиц шкалы В метку 800, даю¬
щую цифровой состав окончательного результата. Грубоприбли-
5∙ 10∙0,6	7 г-
именная оценка результата f.⅛ =7,5 показывает, что искомое
выражение равно 8,00.
Как видим, выполнить комбинированное умножение и деление
на линейке легче, чем „чистое" умножение при том же числе дан¬
ных. Так, вычисление выражения ^^требуеттрёх установок движка,
выражения же abcdef—шести. При выводе формул, вычисление
по которым предполагается вести на линейке, не надо стремиться
к получению целых выражений; наоборот, если имеется к тому.,
возможность, надо превращать целые одночлены в одночленные
дроби, заменяя множители обратными значениями в знаменателе.
Так, при вычислении боковой поверхности цилиндра с диаметром
основания d и высотой h по формуле S=πdh выгодно заменить
π = 3,1415... числом q31183ij и вычислять 5 по формуле: S≈ 0 31^3 .
Значение 0,3183 =	часто отмечают на линейке особым штри¬
хом и буквой М.
* *
*
Рассмотренными выше операциями возможности использова¬
ния счётной линейки далеко не исчерпаны.
С другими операциями, выполняемыми при помощи счётной
линейки, можно ознакомиться по специальным пособиям, указан¬
ным ниже.
16

ЛИТЕР АТУ РА
Большая советская энциклопедия, изд. 2, т. 25, стр. 330. Статья „Логариф¬
мическая линейка* (счётная линейка).
С. И. Березин, Счётная логарифмическая линейка. Практическое руко¬
водство, изд. 3, Машгиз, 1952.
В. М. Бра ди с, Средства и способы элементарных вычислений, изд. 3,
Учпедгиз, 1954.
Ф. Д. Лившиц, Счётная линейка для экономистов. Пособие для работ¬
ников статистики, учёта и планирования, Госстатиздат, 1954.
Д. Ю. Панов, Счётная линейка, изд. 10, Гостехиздат, 1955.
К. А. Семендяев, Счётная линейка. Краткое руководство, изд. 7, Гос¬
техиздат, 1955.
Н. П. Юрьев, Счётная техника, изд. 2, Госстатиздат, 1952.

Цена 15 коп.