Text
                    ВСЕСОЮЗНЫЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ	„
ТЕПЛОТЕХНИЧЕСКИЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ Г I 
имени Ф. Э. ДЗЕРЖИНСКОГО
И. И. ГАЛЬПЕРИН
АВТОМАТИКА
КАК ОДНОСТОРОННЯЯ
МЕХАНИКА
Т Д И И С.» 8 Г.;; Пи 3 г S ям я л я.?
ИЗДАТЕЛЬСТВО „ЭНЕРГИЯ»
МОСКВА	1964	ЛЕНИНГРАД

ЭТ-5-4 УДК 62-50 Г-15 Задачей книги является систематическое перестроение предмета на базе общей концепции, указанной заглавием ее. Центральное место занимают ® ней поэтому во- просы логической структуры автоматики — аксиоматика ее, исследование динамических структур, анализ, синтез и классификация динамических систем, исследование их структурных и ‘метрических свойств и отношений. Из числа этих свойств—структурной устойчивости, структурной апериодичности, структурной монотонности и т. д.. выделе- но определяющее для автоматики свойство нормальной структурной устойчивости. Ему подчинены поиски алгоритма структурного синтеза. Перестроением этим обнаруживается общность структурных методов в самых раз- нородных по содержанию областях структурного исследования. Алгоритм структурно- го синтеза, развертывающий гомологические ряды нулевых систем—насыщенных соеди- нений химии, однократно подвижных соединений теории механизмов, жестких статиче- ски определимых соединений строительной механики и устойчивых соединений автома- тики, оказывается общим для всех этих разнородных систем. Выяснение этой общно- сти — структурного изоморфизма — явилось второй задачей книги. Третьей задачей книги явился конкретный синтез регулирующих и следящих си- стем с заданными структурными и метрическими свойствами. Известные регулирующие и следящие системы предстают при этом лишь как первые члены уходящих в беско- нечность гомологических рядов с бесконечно разнообразными свойствами. Синтез этот производится на материале регулирования турбогенераторов. Поскольку каждая из систем автоматики реализует некоторый управляющий алго- ритм, алгоритм структурного синтеза этих систем представляет собой алгоритм алго- ритмов. Этим определяется общность и интерес этой задачи. Общая задача книги — концепция, систематика, синтез, — адресована широкому кругу читателей, следящих за общими проблемами кибернетики. ГУ I библиотека I КИНЦВЕТМЕТ j инв- ' - -- -' Иосиф Иосифович Гальперин Автоматика как односторонняя механика 264 с. с. черт. Редактор В. Б. Рубин Техн, редактор В. И. Сологубов Сдано в пр-во 10/1 1964 г. Подписано к печати|23/ГУ 1964 г. Формат бумаги 84ХЮ81/1б 27,06 п. л. Уч.-изд. л. 32,5 Т-04290 Тираж 1 000 экз. Цена 1 р. 86 к. Зак. 1017 Московская типография № 10 Главполиграфпрома Государственного комитета Совета Министров СССР по печати. Шлюзовая наб., 10.
ОТ ТУРБИННОГО ОТДЕЛЕНИЯ ВТИ. Публикуемая работа «Автоматика как односторонняя механика» является даль- нейшим развитием идей, изложенных в ранее изданной книге И. И. Гальперина «Син- тез систем автоматики». Принятая за основу концепция односторонней механики позволила автору изло- жить теорию автоматического регулирования как механику особого рода, что связало предмет в единую, стройную теорию. Необычность подхода и в то же время широта охвата проблем автоматики тре- бует, по нашему мнению, широкого их обсуждения. Издавая настоящий труд, ВТИ надеется привлечь широкий круг читателей к об- суждению этой системы взглядов. ПРЕДИСЛОВИЕ «В создании физической теории существенную' роль играют фундаментальные идеи. Физические книги полны сложных математических формул. Но началом физиче- ской теории являются мысли и идеи, а не формулы». (А. Эйнштейн и Л. Инфельд «Эволюция физики») Предлагаемая вниманию читателей книга примыкает к предыдущей книге автора — «Синтез систем автоматики». За короткий срок, разделяющий обе книги, возникли но- вые структурные задачи, развились структур- ные методы, рассмотренные в первой книге, произошли такого рода события, как два Международных конгресса. Общее построение предмета мало, однако, изменилось и пред- ставляет столь же благодарный предмет кри- тики, определившей содержание обеих книг. Автоматика, эта наука об управлении, яв- ляет сейчас грозное зрелище неуправляемо- го роста. Бурный, ветвящийся и лавинообраз- ный рост привел ее на грань подлинного кризиса, уподобил конструкции, рушащейся под собственным весом. Нарастающей массе предмета противостоит слабость скелета — отсутствие объединяющей концепции. Проти- востоящее этому аморфному построению предмета встречное движение, объединяемое кибернетикой, само нуждается еще в объеди- няющей концепции. Автоматика все еще остается предметом неопределенной принад- лежности и столь же неопределенного содер- жания. Структурному исследованию предстоит ответить на им же поставленный исходный, вопрос: что такое автоматика? Этот явно за- поздалый для предмета с двухсотлетней исто- рией вопрос нуждается еще, тем не менее, в от- вете. Готовый ответ на него (так ответил нам с трибуны 2-го Всесоюзного совещания по теории регулирования известный советский ме- ханик)— автоматика — прикладная наука, ре- шающая методами механики и электротехники задачи автоматического регулирования — обладает лишь внешней убедительностью. Об- щие принципы и уравнения классической меха- ники и электротехники неприменимы прямо; к динамическим системам автоматики. Продол- жающиеся бесплодные попытки такого приме- нения лучше всего свидетельствуют о господ- ствующей здесь неясности. Структурное иссле- дование, обнажив вместе с динамической' структурой их систем логическую структуру' обоих предметов, разъяснило причину этих неудач: автоматика — теория динамических си- 3
стем наиболее общей структуры — порождает концепцию наиболее общей механики, меха- ники одностороннего действия. Ей не у кого поэтому заимствовать свои концепции и прин- ципы. Всего менее может она использовать го- товые концепции механики и электротехники, имеющих своим предметом системы наиболее специальной структуры. Напротив, возмож- ность сужения общих принципов ее до специ- альных принципов механики и электротехники явилась бы доказательством рационального по- строения предмета. Автоматика представляет собой механику одностороннего действия, сво- бодную от постулата противодействия. Вывод этот, относящийся к способу взаимодействия элементов динамической системы — к динами- ческой структуре ее, не зависит от того, ка- кими агентами, механическими, электрически- ми или иными, реализуется эта структура, и в равной мере относится к электрическим, ме- ханическим и любым иным системам. Пред- метом кибернетики является общее содержа- ние естественных наук—структура рассматри- ваемых ими динамических систем, изучаемым ею агентом—перерабатываемая этими систе- мами информация. Структурная теория не могла избегнуть неизбежных для сколько-нибудь радикальной теорий этапов — шумных опровержений и бес- шумного и энергичного усвоения. Поставлен- ный концепцией односторонней механики 20 лет назад и встреченный недоумением про- тивниками ее подчеркнутый выше исходный вопрос о природе автоматики заново обсуж- дается ими теперь и, в отрыве от этой кон- цепции, получает поистине беспомощные от- веты. Общий ответ на него дан кибернетикой: -автоматика — область антиэнтропийных си- стем. Ответ этот является, однако, произ- водным— автоматика в той лишь мере спо- собна синтезировать антиэнтропийные систе- мы, в какой она освобождается от постулата противодействия. Подчиняющаяся этому по- стулату механика еще способна поддерживать в консервативных своих системах энтропию на неизменном уровне, но не способна уменьшать ее. Концепция односторонней механики яв- ляется объединяющей концепцией и киберне- тики. Противники этой объединяющей концепции •охотно представляют ее неким идеологиче- ским излишеством. Речь, однако, идет о том, является ли автоматика единым предметом, дедуктивно развиваемым из нескольких физи- ческих начал и занимающим определенное * место в системе естественных наук, либо тео- рией неопределенной принадлежности — пи- тательной средой не связанных между собой 4 чисто математических построений? Концепция односторонней механики снимает этот вопрос. За отсутствие общей концепции автомати- ка расплачивается не только хаотическим по- строением предмета, но и чисто рецептурным пониманием важнейших своих результатов и прямыми ошибками, объединяющими ряд учебников и монографий. Ошибки начинаются с исходного пункта — аналитической записи систем в относительных координатах, пред- ставляющей собой, как это обнаруживается структурным исследованием, запись в крите- риях подобия, и распространяются, таким об- разом, до конечных результатов. Записью этой должны обнаруживаться независимые дина- мические параметры системы, в частности — неисключающиеся статические параметры си- стемы— степени статической неопределимости ее. Игнорируя теорию статической определи- мости сервосистем, как часть односторонней механики, авторы этих работ либо произволь- но оставляют в уравнениях статически опре- делимых систем все статические параметры, либо столь же произвольно исключают все статические параметры из уравнений стати- чески неопределимых систем — ошибка, ана- логичная попытке решить статически неопре- делимые системы классической механики с помощью одних уравнений статики. Эту столь очевидную в классической механике ошибку невозможно понять в автоматике — односторонней механике, игнорируя природу предмета. Игнорирование общей концепции выступает здесь в обычной своей функции—' защитной брони для плоского, рецептурного понимания предмета. Конкретным содержанием односторонней механики являются свойства и отношения, структурные и метрические, динамических си- стем ничем не ограниченной структуры. Струк- турное исследование необходимо предше- ствует метрическому: прежде чем изучать метрические свойства систем, необходимо от- ветить на вопрос — по каким структурным законам соединяются динамические элементы в динамические системы, обладающие этими метрическими свойствами. Такое перестроение предмета, впервые проведенное нами в зада- чах устойчивости, апериодичности, монотонно- сти, астатичности, изодромности и определив- шее понятия — структурная устойчивость, структурная апериодичность, структурная мо- нотонность и т. д., стало теперь эталонным для остальных задач автоматики. Возобла- давшее с таким запозданием новое построение предмета последовательно выдерживается в книге. При этом рассматривается главным образом предшествующая, структурная сторо-
на задачи. Метрическая привлекается лишь для пояснения общей связи между структу- рой и метрикой динамических систем. Центральной является задача струк- турной устойчивости динамических систем, формирующая общую концепцию теории регуг лирования. Здесь задача структурного синте- за устойчивых динамических систем получает столь же общее, опирающееся на концепцию валентности, решение, как и для жестких статических, однократно подвижных кинема- тических, насыщенных химических и иных ва- лентных систем: динамические элементы со- единяются в устойчивые динамические систе- мы по законам динамической валентности, столь же простым и общим, как законы хими- ческой валентности. Этот центральный итог структурной теории динамических систем оспаривался, как обычно, с помощью различ- ного рода вырожденных систем. Общей чер- той противопоставляемых этой общей теории и неявно питающихся ею частных теорий яв- ляется отрицание таких начал общей теорией, как принципы динамической валентности, локальной и общей связанности, структурных формул и замещений. Чтобы придать этому отрицанию полную законченность, теории эти кладут запрет на основные структурные поня- тия— связь, замещение, динамическая ва- лентность, структурные формулы, в деформи- рованном виде присутствующие во всех их построениях. Это сообщает мистифицирую- щую сложность излагаемым в этих частных теориях простейшим результатам. Игнориро- вание центрального содержания задачи есте- ственным образом смещает авторов этих тео- рий на периферию ее, где она окаймлена, как обычно, различного рода предельными и вы- рожденными системами. Каждая такая си- стема подвигает их на очередное полное опро- вержение общей теории. Само утверждение структурного изомор- физма, объединение нами структурного син- теза динамических систем со структурным синтезом систем иной физической природы, но того же структурного содержания, вызвало резкие возражения как метод неоправданных аналогий. С тех пор, однако, произошли и бо- лее смелые структурные объединения, и ки- бернетика достаточно выяснила смысл этого структурного изоморфизма и наибольшую общность понятия структуры и структурных методов. Методы эти, где бы они ни возника- ли, приносят на смену случайным поискам закономерный синтез, на смену отдельным си- стемам— системы систем, гомологические ря- ды их. Здесь проходит в каждом предмете грань, образованная в химии теорией валент- ности, бутлеровой теорией строения, менде- леевской периодической системой элементов, в математике — клейновой эрлангенской про- граммой, в механике—ассуровой теорией ме- ханизмов. То же перестроение вносится этими методами в теорию динамических систем. Эта систематизирующая функция структурного .исследования неизбежно сушит изложение и предполагает прежде всего ищущего системы читателя. Эта же систематизирующая функция при- водит неизбежно и к ряду новых понятий, тер- минов и структурных символов и к пересмотру старых. Значительная часть этих новых поня- тий прочно вошла в теорию регулирования. В оправдание большому их числу можно было- бы сказать лишь следующее: в книге нет по- нятий, которые не принадлежали бы единому предмету — односторонней механике, не явля- лись бы обобщением соответствующих поня- тий классической механики и не возникали бы поэтому принудительно, как единая система понятий., О существующих понятиях и новых их проектах можно сказать все, кроме того, что они образуют систему понятий, если толь- ко не трактовать понятие «система» так рас- ширительно, как это делает Полоний в «Гам- лете». Нигде неопределенная принадлежность предмета не сказалась с такой ясностью, как в произвольной, хаотической терминологии автоматики. То же относится и к -структурным симво- лам. Принятые в книге структурные схемы являются кинетостатическими силовыми схе- мами. (Они, таким образом, прямо служат це- лям исследования динамической, силовой структуры. Этой задаче хуже служит опера- торная форма записи, где стрелками с ука- занными на них передаточными функциями обозначены каналы системы. Эта вторая, так- же вполне^универсальная форма записи в рав- ной мере незаменима при приближенном, аппроксимирующем опытные, характеристики, описании систем с невыявленной структурой и беспредметна для систем с явной структу- рой. Взгляд этот с запозданием на 20 лет возобладал уже в зарубежной литературе. Введенные нами кинетостатические структур- ные схемы односторонней механика с харак- терньъм для нее символом самодействия — одночленным циклом, и их циклическое раз- ложение заново открыты, в менее полной и общей форме (сигнальных графов) и безотно- сительно к порождающей их односторонней механике, в новейшей зарубежной литерату- ре, и для систем с выявленной структурой за- кономерно вытесняют операторную запись. В современной автоматике, широко усвоив- 5
шей введенное нами понятие и символ (одно- членный цикл) самодействия, категорически отвергается односторонняя механика, которой только и может принадлежать это понятие. Это некритическое усвоение понятий, понуж- дающих к ревизии всего предмета, хорошо ха- рактеризует господствующую здесь логиче- скую беспечность. Авторы, усвоившие этот символ для одних лишь статических внутрен- них связей, статических самодействий, изо- бретают для внутренних связей иного поряд- ка, имеющих то же логическое содержание — представляющих те же самодействия, новые геометрические символы — конусы, шары, пря- моугольники. Поучительный пример теорети- ческой инфантильности, переживаемой вполне зрелым в своих практических приложениях, предметом. Задача книги — доказать не только воз- можность построения автоматики как односто- ронней механики, но и необходимость такого построения, его упорядочивающую и эвристи- ческую функцию. В этом построении* системы регулирования представляют собой упругие системы односторонней механики и основные понятия автоматики — передаточные функции, амплитудно-фазовые характеристики, изо- дромность, автономность, инвариантность, — простейшим образом возникают как обобще- ние в односторонней эластомеханике таких понятий классической эластомеханики, как коэффициенты влияния. Систематическое по- строение автоматики как односторонней ме- ханики не вместилось в ограниченный объем книги. Мы проявили бы непростительное незнание истории науки, предположив, что концепция, ревизующая саму природу пред- мета, может победить без ожесточенной борь- бы. В силах автора лишь возможно яснее из- ложить новую концепцию, предоставив осталь- ное борьбе идей. Ему остается также поже- лать, чтобы борьба вокруг нее оставалась только борьбой идей. В книге избран концентрический способ изложения нового предмета. В первой части излагаются основания автоматики как одно- сторонней механики, во второй части рассмат- ривается структурное содержание ее как осно- ва дальнейшего метрического исследования. Неоценимая помощь в издании книги ока- зана была М. С. Каминским. Многими мето-, дическими замечаниями я обязан моему учи- телю И. Н. Веселовскому и Б. М. Якубу. В. Б. Рубин взял на себя труд редактиро- вания. Автор,
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ДИНАМИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛАВА ПЕРВАЯ ДЕДУКТИВНЫЕ МЕХАНИКИ Кибернетика в предпринятом ею синтезе естественных наук, в одной, по меньшей мере, из них — теории строения вещества встретила равного себе противника. Область эта должна была, казалось, навсегда остаться запретной для науки управления — трудно было пред- положить, что в недрах вещества, в сфере эле- ментарных отношений элементарных частиц, может быть развернут сложный феномен управления. События последних лет, в наи- большей мере новые теории элементарных ча- стиц, основанные на понятии «самодействия», радикально меняют положение. В основе строения вещества лежит, в свете этих тео- рий, элементарный цикл управления — само- действие, самоуправление. Элементарные ча- стицы возникают как первые структурные образования, полученные элементарным актом управления. Понятие самодействия принадлежит одно- сторонней, свободной от постулата противо- действия, механике и возникло в автоматике вместе с этой механикой, задолго до описы- ваемых событий в физике. Автоматика пред- ставила простейшую модель этой односторон- ней механики. Здесь новая теория элементар- ных частиц должна была бы найти готовые модели некоторых своих понятий. До этого, однако, сама автоматика должна быть по- нята как односторонняя механика. Это иссле- дование логической структуры предмета авто- матики составляет задачу настоящей работы. Предстоит: 1) построить одностороннюю меха- нику как дедуктивную теорию, 2) доказать, что автоматика является материальной мо- делью этой дедуктивной теории. В таком по- рядке, не придерживаясь его слишком строго, рассмотрим эту задачу. Чтобы решить первую ее часть, необхо- димо исследовать все семейство дедуктивных механик, порождаемых односторонней мехат никой, и указать место в нем классической ме^ ханики. 1-1. ДЕДУКТИВНЫЕ МЕХАНИКИ Логическая структура дедуктивных меха- ник определяет динамическую структуру при- надлежащих им-динамических систем. В этой их связи рассмотрим обе структуры. 1-1-1. Логическая структура А. Феномен управления Автоматическое регулирование является частью общей науки об управлении — кибер- нетики. Задачей этой науки является получе- ние в управляемых объектах заданного взаи- модействия с внешней средой, заданных реак- ций на внешние воздействия —на беспоря- дочные случайные воздействия и на упорядо- ченные управляющие воздействия. Реакция неуправляемого объекта резко разнится, как правило, от желаемой. Задача автоматическо- го управления заключается в дополнении объекта управляющей системой, формирую- щей нужным образом его реакции. Резко ме- няющиеся условия среды или недостаточное знание этих условий могут принудить предо- ставить системе свободу выбора реакций, по- зволяющую ей реализовать накапливаемый ею опыт. Неизменная реакция системы развивает- ся при этом в приспосабливающееся к среде поведение. В чем, однако, заключается, в установив- шихся естественно научных понятиях, самый феномен управления и чем обеспечивается возможность его? Приведенное выше функциональное описа- ние, если не говорить об аналогии с управле- нием в живых организмах, ждущим, в свою 7
очередь, объяснения, нисколько не сближает этот новый феномен со сложившимися есте- ственнонаучными понятиями. Мы ощущаем в нем лишь некую магию управления, магию, ощущаемую не отвыкшим еще удивляться ре- бенком, когда послушная нажиму детской ру- ки кнопка возносит вместе с ним тяжелую клетку лифта. Магия эта заключается в пред- метном нарушении усвоенного уже детским опытом закона противодействия. В более сложных системах магия эта выражается в возможности нужным образом изменять ре- акцию системы. Та же магия управления про- является и в живых организмах, когда чисто нервный, т. е. практически лишенный энергии, импульс преобразуется в мускульное усилие. Любое число новых понятий неопределенной принадлежности, таких как «спусковая систе- ма», «активная система», «автомат» и т. д., неспособно разъяснить феномен управления, если не установить связь их с существующими понятиями. Наиболее радикальным способом перебросить такой мост между новыми и ста- рыми понятиями является взгляд на управле- ние как одностороннее действие — действие без противодействия. Это приводит к наиболее общей, односторонней механике, порождаю- щей, как специальные случаи, двустороннюю классическую механику и все остальные воз- можные двусторонние и многосторонние меха- ники. Рациональное объяснение того, как ре- шается в автоматике указанная выше общая задача ее, заключается в выяснении общей связи между механикой системы и ее реак- циями на внешние возмущения — ее взаимо- действием со средой. Этот кибернетический критерий будет положен в основу классифика- ции механик. Он должен указать место в се- мействе возможных механик не только кибер- нетики, но и классической механики. Управ- ляющие системы кибернетики должны быть поняты, с позиций механики, как системы обобщенной механики, освобожденной от не- которых своих постулатов, а натуральные си- стемы классической механики — с позиций ки- бернетики, как антиуправляющие системы с управляющим алгоритмом, подчиненным за- даче (нейтрализации внутренних сил систе- мы), противоположной задаче ((активации этих сил) автоматики. Б. Постулат одностороннего действия Феномен управления может быть отожде- ствлен с односторонним действием — опреде- ляющим свойством систем автоматики. Этому наиболее общему свойству придавались наи- более специальные и неопределенной принад- лежности наименования — детектирование, на- 8 правленность, — сообщавшие столь же неза- служенно специальный вид и столь же неопре- деленную принадлежность наиболее обще^му предмету— автоматике как односторонней механике. Свойство это, однако, не нуждается в новых понятиях. Достаточно, как сказано было, назвать его своим именем — действие.м без противодействия, чтобы включить его, а с ним и всю автоматику, в систему понятий односторонней механики, содержащей класси- ческую механику как специальный свой слу- чай. Этим выясняется рациональное содержа- ние и принадлежность и этого понятия, а с ним и всей автоматики. Составляющее основу автоматики простей- шее, неделимое далее одностороннее действие реализуется, однако, в ней с помощью доста- точно сложного механизма косвенного взаимо- действия и представляет собой лишь видимую картину этого скрытого механизма. В этом косвенном взаимодействии управляющий (дей- ствующий) элемент действует на управляемый (воздействуемый) элемент с помощью внеш- него источника энергии (сервоисточника). Прямое взаимодействие между управляющим элементом и сервоисточником, с одной сто- роны, и между сервоисточником и управляе- мым элементом, с другой, происходит в пол- ном соответствии с постулатом противодей- ствия. К сервоисточнику приложены силы про- тиводействия управляемого элемента, не до- стигающие по этой причине управляющего элемента. Противодействие отсекается от дей- ствующего (управляющего) элемента серво- источником, чьей энергией производится управление. Сервоисточник выступает здесь в роли фильтра противодействий. Это косвен- ное двустороннее взаимодействие создает ви- димую картину прямого одностороннего дей- ствия управляющего элемента на управляе- мый. Достаточно исключить сервоисточники из состава системы, чтобы оставить в грани- цах системы одно лишь это одностороннее действие и, таким образом, отказать постула- ту противодействия. Можно было бы сказать, что в автоматике управляющий элемент приписывает себе силы, действующие со стороны управляемого им источника энергии, но переадресовывает дей- ствительному источнику этих сил встречаемые ими противодействия. Если скрыть механизм одностороннего действия простейшей серво- системы— двух гидравлических сервомоторов, заключив оба сервомотора, их поршни, золот- ники и рычаги в «черный ящик», и, выведя -наружу только тяги поршней, изучать движе- ние этих тяг под воздействием приложенных внешних сил, то это наблюдаемое движение
Классическая механика критиковалась только с позиций чистого опыта, как физическая тео- рия. Здесь, по-видимому, никаких попыток дедуктивного синтеза всех возможных меха- ник не производилось. В общей теории относи- тельности, объединившей оба движения, эвклидова геометрия впервые подверглась критике как физическая теория пространства и использованы были заготовленные впрок неэвклидовы геометрии. Критика классиче- ской механики по-прежнему велась здесь лишь с позиции новых опытных фактов. Столкнове- ние с этими фактами разрушило надопытное содержание 1-го и 2-го законов классической механики, т. е. механику материальных точек, но не затронуло 3-го закона ((Л. 6, 9, 10, 17, 24, 43, 51]; наиболее полная библиография в [Л. 70, 86]). Этот последний закон стал не- явно рассматриваться как имеющий чисго логическое содержание, как динамическая ин- терпретация логического закона достаточного основания. В таком качестве он представлялся неуязвимым для любой критики. В действи- тельности, однако, 3-й закон представляет со- бой сложное, из двух разнородных частей, утверждение, лишь наполовину принадлежа- щее логике, на вторую же половину состав- ляющее специальное содержание классиче- ской механики. Неуязвима лишь первая, логи- ческая половина его; вторая, специальная, по- стулативна для механики как дедуктивной теории, и ей может быть отказано. Эта сложная природа 3-го постулата могла бы быть обнаружена дедуктивной критикой, но, по сложившейся традиции чисто опытной критики классической механики, этого не произошло; ревизия 3-го закона вызвана была также столкновением с новыми опытными фактами, внесенными на сей раз вновь воз- никшими сервосистемами — характерным про- дуктом человеческой деятельности. Закон про- тиводействия (в ньютоновской формулировке: «Действию всегда противостоит равное и про- тивоположное ему противодействие, иначе го- воря, действия тел друг на друга равнопро- тивоположны») может быть разложен, на что не обращалось внимания, на два независимых утверждения: 1) логический постулат действия — противодействие равно дей- ствию и 2) специальный постулат взаимодействия — противодействие приложено к действующему телу (мы пред- почли инверсную формулировку постулата действия: противодействие равно действию обычной прямой: действие равно противодей- ствию, поскольку именно противодействие пас- сивно следует за действием, всегда произволь- ным; это наиболее наглядно в случае инер- 9 будет подчиняться законам не двусторонней, а односторонней механики. Позицию такого наблюдателя, не посвященного во внутреннее устройство «черного ящика» и формулирую- щего лишь законы наблюдаемого движения, намеренно отвлекаясь от скрытого механизма г его — от избыточной информации, следует признать в данном случае отвечающей интере- сам целостного построения автоматики и уза- конить. В интересах такого построения пред- мета— остаться в данном случае на поверхно- сти явлений, игнорировать этот скрытый меха- низм косвенного взаимодействия, заменить его наблюдаемой картиной прямого взаимодей- ствия между управляющим и управляемым элементами. Это означает — принять марионе- точные силы, только управляемые управляю- щим элементом, действующие же со стороны внешнего источника энергии, за действие управляющего элемента. Оставаясь верным значению слов, эту видимую картину взаимо- действия управляющего и управляемого эле- ментов нельзя назвать иначе, чем действием без противодействия. Этим постулатом одностороннего действия: противо- действие равно нулю — должен быть заменен в односторонней механике постулат противо- действия. В развернутом виде постулат одно- стороннего действия должен был бы гласить: в односторонней механике противодействие, испытываемое действующим элементом, равно нулю. Поскольку, однако, нет нужды рассмат- ривать противодействия, приложенные к ис- ключаемым из системы источникам энергии, вовне системы, нет нужды в оговорке, содер- жащейся в этой развернутой формулировке,— достаточно ограничиться первой краткой фор- мулировкой. В. Третий постулат Классическая механика с ее надопытными постулатами абсолютных пространства и вре- мени представляет такую же чисто дедуктив- ную теорию, как эвклидова геометрия. Для обеих дедуктивных теорий реальная вселен- ная представляет лишь приближенную мо- дель. Критика их развивалась, однако, раз- лично. Опытные по существу своему исходные положения геометрий самим Эвклидом отне- сены были к постулатам и вплоть до Лобачев- ского и Гаусса рассматривались как надопыт- ные, априорные положения. Напротив, над- опытные постулаты классической механики рассматривались как чисто опытные законы. Соответственно и критика эвклидовой геомет- рии начата была с позиции чистой дедукции и привела к формальному, дедуктивному син- тезу всего множества возможных геометрий.
ционного противодействия). Оба различных утверждения объединены в ньютоновой фор- мулировке тождественной связкой «иначе го- воря», как тождественные утверждения. Одна- ко и в классической механике они не тожде- ственны. Первое, общее утверждение принад- лежит логике, представляет силовую интер- претацию логического закона достаточного основания и должно быть составной частью не только любой механики, но и любой физиче- ской теории. Действие и противодействие на- ходятся в отношении субъекта к объекту и невозможны одно без другого: противодей- ствие является объектом действия, действие — субъектом противодействия. Условно выра- жаясь,— действие приложено к противодей- ствию. Напротив, второе, специальное утверж- дение постулирует специальную структуру си- стем классической механики и может быть снято как любой постулат. Отказ ему приво- дит к логически безупречной дедуктивной тео- рии. В автоматике, в частности, как простей- шей модели этой дедуктивной теории, проти- водействие со стороны воздействуемого (управляемого) элемента сервопарь^приложе- но не к действующему (управляющему) эле- менту ее, а к питающему сервопару источнику внешней энергии (сервоисточнику). Здесь, если не включать в состав системы вспомога- тельные источники энергии и отождествить этим понятия — действующий и управляющий, материально отказано специальной части по- стулата. Исключение источников энергии из состава системы означает нарушение для си- стемы закона сохранения энергии. Это первое из разрушений, наносимых классической меха- нике отказом 3-му постулату. Логическая часть 3-го постулата реали- зуется уже в механике материальной точки — в принципе Даламбера. Перенося в уравне- нии 2-го закона Ньютона: mw = F левый член в правую часть уравнения, в виде противодей- ствующей силы инерции, мы утверждаем эту логическую часть постулата — равенство дей- ствия противодействию. Рассматриваемый специальной частью 3-го постулата вопрос о том, к какому элементу приложено это про- тиводействие, остается здесь открытым — он относится к механике системы. Логическая часть 3-го постулата реализуется уже в меха- нике материальной точки, специальная—толь- ко в механике системы. Расходясь с классиче- ской механикой только во второй части посту- лата противодействия, односторонняя механи- ка расходится с нею только в механике си- стемы и совпадает в механике материальных точек (элементов). 10 z Концепция односторонней механики встретила мно- гочисленных противников. Наиболее полное выражение эта оппозиция нашла в необычных действиях редакции Трудов {Л. 64], изъявившей «особое несогласие» с этой концепцией и самовольно изъявшей из трудов совеща- ния заслушанный им доклад. Из трудов совещания, впервые содержавших раздел структурной устойчивости, изъят был редакцией доклад о работах, поставивших эту задачу, давших само название этому разделу. Развернуто полемизирует с этой концепцией но- вейшая, наиболее распространенная монография (Л. 93]. Возражения ее заслуживают быть приведенными це- ликом: 1) «Не следует |(как это иногда бывает), говоря об особой механике следящих систем, противо- поставлять ее обычной механике, основанной на F—mW» (стр. 29), 2) «Теоретическое исследование производится с помощью классической механики (F—\mW) и электродинамики (законы Максвелла или их частные случаи, законы Ома и Кирхгофа)» (стр. 36). Испытывая все же некоторые за- труднения в выводе понятий автоматики из этих за- конов классической механики, авторы простейшим об- разом, на той же странице, из них выходят: 3) «Однако в процессе исследований систем автоматического управ- ления с помощью законов механики и электричества было выработано определенное число новых понятий, применяемых ко всем системам автоматического управ- ления и способствующих ясному пониманию предмета. Именно этот круг новых понятий и называют теорией автоматического регулирования или кибернетикой». Разъяснения эти лишены содержания: ,1) опреде- ляющим для классической 'механики (является не вто- рой закон, в общей своей форме принадлежащий ло- гике и, следовательно, всем дедуктивным теориям, 2) понятия автоматики принадлежат односторонней ме- ханике и не могут быть поэтому выведены из законов классической механики и электротехники. Приводимые авторами несложные обоснования принадлежности всех понятий односторонней механики ее наиболее специальному случаю — классической механике наилуч- шим образом представляют господствующую здесь не- ясность. Концепцию эту спасает только та же логи- ческая беспечность в дальнейшем анализе этих понятий: 4) «Это различие иногда представляют следующим об- разом. Полет снаряда определяется законами механики и начальными условиями вылета. Поведение же управ- ляемого снаряда, наоборот, не’определяется при вылете. Таким образом, управляющее устройство является как бы устройством, «освобожденным» от детерминизма фи- зических законов и обладающим собственной автоном- ностью. Наивность подобных рассуждений очевидна» (стр. 31). Подобные рассуждения были бы действительно наив- ны. Не менее наивна, однако, попытка определить по- лет управляемого снаряда одними лишь законами клас- сической механики. Взаимодействие снаряда со средой определяется классической механикой, взаимодействие его с управляющей системой—односторонней механикой. Поскольку последняя охватывает классическую, движе- ние смешанной, частично односторонней, частично клас- сической, системы: управляющая система—снаряд—среда подчиняется в целом односторонней механике. Полет управляемого снаряда определяется законами односто- ронней механики и начальными условиями вылета, и в этом конкретно заключается подчинение управляемого снаряда общему детерминизму физических законов. Отказываясь признать этот простой вывод из концеп- ции односторонней механики, «авторы оказываются не- способными объяснить, простейшие феномены авто- * матики. Этим определяется неясность общего построе- ния книги, как и общего построения современной авто- матики в целом.
Г. Логический постулат действия В механике, рассматриваемой как дедук- тивная теория, специальная часть 3-го посту- лата может быть заменена любьШ другим специальным утверждением, устанавливаю- щим способ взаимодействия двух элементов, например: «действующий элемент испытывает со стороны воздействуемого элемента обрат- ное воздействие, противоположное по знаку (для скалярной механики обобщенных коор- динат противоположность по знаку означает противоположность по направлению) прямому воздействию (такое обратное воздействие на- зовем противодействием) и равное некоторой части его» или: «действующий элемент испы- тывает со стороны воздействуемого обратное воздействие, совпадающее по знаку с прямым (такое обратное воздействие назовем содей- ствием} и равное ему по величине». Все эти специальные утверждения, назовем их специ- альными постулатами взаимодействия, рас- сматривают различные возможные отношения двух сил — прямого и обратного воздействий, приложенных к двум взаимодействующим элементам, и относятся поэтому только к дву- сторонней механике. Возможны многосторон- ние— трехсторонние, четырехсторонние ит. д. механики, где специальные постулаты взаимо- действия явятся уже не двусторонними, а трех- и четырехсторонними отношениями, — различными возможными отношениями не- скольких сил, приложенных к нескольких эле- ментам. Напротив, логическая часть 3-го по- стулата, назовем ее для симметрии логическим постулатом действия (в действительности это логический закон), распространяется на все возможные механики и рассматривает одина- ковое во всех этих механиках отношение толь- ко двух сил — действия и противодействия, имеющих соответственно объектом и субъек- том один элемент. Отношение это всегда яв- ляется одним и тем же — отношением равен- ства и противоположности. Не устанавливая источника, субъекта действия, приложенного к элементу [им является в случае самодей- ствия сам элемент, в остальных случаях — другие элементы системы или среды (серво- источники)], и объекта противодействия, ока- зываемого этим элементом [объектом этим может быть один из элементов системы, как в классической механике, или среды (серво- источники), как в односторонней механике], постулат действия устанавливает, что объек- том действия может быть только противодей- ствие элемента. Действие возможно лишь там, где налицо этот объект — внутренний меха- низм противодействия, и невозможно там, где он отсутствует, в статике — в известных уже астатических, в динамике — в рассматривае- мых ниже адинамических элементах и си- стемах. То, что постулат действия относит- ся и к случаю самодействия, где участвует один лишь элемент, достаточно поясняет неза- е висимость этого логического постулата от спе- циальных постулатов взаимодействия, пред- ставляющих для й-сторонней механики отно- шение k элементов. Эта логическая часть постулата окажется незыблемой во всех указанных выше и всех возможных механиках. Постулат действия по- стулирует логическое и, следовательно, одина- ковое для всех механик отношение действия на элемент к противодействию элемента; по- стулаты взаимодействия постулируют спе- циальные и, следовательно, различные для различных механик отношения действующих между элементами сил. к Только в одной из двусторонних механик— классической механике обе категории сил совпадают: прямое и обратное воздействия яв- ляются одновременно действием и противо- действием. Во всех остальных механиках ка- тегории эти не совпадают. Именно это совпа- дение позволяет, к сожалению, в классиче- ской механике слить два разнородных не толь- ко по содержанию, но и по логической при- роде, постулата в общий 3-й постулат. Во всех остальных механиках такое слияние не- возможно. Это легко возникающее слияние двух разнородных положений в одно кратное и с трудом расчленяемое положение делает классическую механику наименее ясным от- правным пунктом логического анализа. Иным мы, однако, не обладаем. Этому затруд- ненному отправному пункту односторонняя механика немало обязана встречаемым ею за- трудненным пониманием. С общей точки зре- ния дедуктивных механик полезно было бы и в классической механике расчленять ее 3-й по- стулат на его составляющие. 3-й постулат должен был бы формулиро- ваться как сложное, из двух частей, утверж- дение: 1) специальный постулат взаимодей- ствия— прямое и обратное воздействия двух элементов равны по величине и противопо- ложны по направлению (эту специальную часть 3-го постулата назовем постулатом про- тиводействия), 2) логический постулат дей- ствия — каждое из этих воздействий встречает в своем элементе равное противодействие. Второе утверждение, как принадлежащее ло- гике, могло бы быть опущено. В общеприня- той краткой формулировке: «действие равно противодействию» 3-м постулатом указывает- ся только постулат действия и не указывается постулат взаимодействия. Последний требует 11
более развернутой формулировки, которая обычно и дается, однако, все еще в не расчле- ненной на две свои части и потому все еще недостаточно ясной форме. В классической механике содержится слу- чай— механика материальной точки, где тре- тий постулат вынужденно расщепляется на две свои части. Для одной точки специальная часть его—постулат противодействия непри- меним и остается лишь постулат действия. Механика материальной точки может быть по- строена поэтому в общем виде для всех воз- можных механик. Постулат действия и постулаты взаимо- действия различны, как отношения, не только по числу своих членов: первое — всегда дву- стороннее, второе— в общем случае многосто- роннее, но и по характеру: первым определя- ется логическое отношение силы-субъекта к силе-объекту, вторым специальное отно- шение сил-субъектов. Первое отношение яв- ляется внутренним для каждого элемента, вто- рое— внешним. В специальном случае двусто- ронних механик эти различные отношения со-' впадают по числу членов. В специальном под- случае этого специального случая —классиче- ской механике могут совпасть и обе категории сил, члены внутреннего отношения — явиться одновременно членами внешнего отношения. Этот специальный подслучай и постулируется 3-м постулатом. Узкоспециальное место клас- сической механики в семействе возможных механик этим достаточно выясняется. В недвусторонних механиках — односто- ронней или многосторонних — не может быть ни «первого ни (второго совпадений. Допущение многосторонних механик так же разрушает 3-й постулат, как допущение односторонней ме- ханики. Возможной областью его действия являются только двусторонние механики. Классическая механика является двусто- ронней механикой — ее неделимой далее структурной единицей является двустороннее взаимодействие. Неделимой структурной еди- ницей односторонней механики является одно- стороннее взаимодействие, вырождающееся в этом случае в одностороннее действие. Ниже даны будут примеры многосторонних механик, где неделимыми явятся многосторонние взаи- модействия. Все эти многосторонние механи- ки охватываются односторонней механикой. Неизменным во всех этих механиках останет- ся постулат действия, логически предпослан- ный им, как предпослана вся логика каждой дедуктивной теории. Различным в каждой из них явится специальный постулат взаимодей* ствия, определяющий специальный характер каждой механики. 12 Логический постулат действия относится^ разумеется, не только к элементам, но и к си- стемам любой сложности, не только к сило- вым, но и любым иным воздействиям. Это яв- ствует из логической его природы. Нагляд- ным подтверждением этого постулата в меха- нике является феномен астатичности. В аста- тических системах отсутствует механизм про- тиводействия, и они, по постулату действия, не могут быть в статике объектами сил, к ним не могут быть приложены в статике силы. В динамике все натуральные системы, в том числе и астатические, обладают неограничен- ным источником- инерционного противодей- ствия в виде масс элементов. В классической механике невозможны поэтому адинамиче- ские, лишенные и в динамике механизма про- тиводействия, системы. Такие системы возни- кают в односторонней механике. Д. Специальные постулаты взаимодействия В двусторонних механиках, и только в них,, специальные постулаты взаимодействия могут быть построены на сопоставлении указанных выше внутреннего и внешнего отношений сил, поскольку оба отношения здесь двучленны. Наряду с постулатом равного и противопо- ложного по знаку обратного действия (посту- латом противодействия) классической меха- ники возникают при этом другие- специаль- ные постулаты взаимодействия: 1) неравного и противоположного по знаку обратного дей- ствия (противодействия), 2) равного или не- равного и совпадающего по знаку обратного действия (содействия). Первый определяет, как показано ниже, газодинамическую меха- нику, совпадающую с классической механи- кой по структуре систем, но отличающуюся по метрике. Вторые могут быть легко реали- зованы в сервосистемах. Эта частная форма постулатов взаимодей- ствия может оказаться непригодной в общем случае, где, как в сервосистемах, действую- щие между элементами внутренние силы си- стемы находятся в отношениях, не зависящих от приложенных вне системы противодей- ствий. Она всегда непригодна в недвусторон- них системах. Можно указать и другие частные формы специальных постулатов взаимодействия. Од- ной из них является энергетическая форма. Для гироскопического взаимодействия она вытекает из определяющего энергетического- свойства гироскопических сил — равенства нулю работы их на любом действительном бесконечно малом перемещении (определение Томсона и Тета) . В энергетической форме дается уравнениями Лагранжа и специальный
постулат натурального взаимодействия. Мож- но представить в энергетической форме и специальный постулат газодинамического вза- имодействия. Форма эта также не является общей. Она вместе с самим понятием энергии имеет значе- -е ние для тех лишь механик, где действуют за- коны сохранения энергии. Значение это те- ряется поэтому уже в одосторонней механике. Общей, не ограниченной какими-либо спе- циальными постулатами взаимодействия, ме- ханикой является односторонняя механика. Постулат одностороннего действия не являет- ся ее специальным постулатом взаимодей- ствия, более того — им постулируется разло- жение в этой механике всех специальных вза- имодействий на неделимые далее структур- ные единицы — одностронние действия. Общей формой задания специальных по- стулатов взаимодействия является либо зада- ние структуры внутренних сил системы — сил взаимодействия (метод прозрачного ящика), либо задание реакций системы на внешние воздействия (метод черного ящика). Общей задачей всех механик является установление связи между двумя этими способами зада- ния— между структурой системы и ее реак- циями. При сколько-нибудь сложном, много- стороннем взаимодействии форма эта являет- ся единственно общей. Любой неразложимый в своей специальной механике способ взаимодействия — двусторон- него, трехстороннего и т. д., может быть раз- ложен в односторонней механике на соответ- ствующее число определенным образом соот- носящихся односторонних действий. Односто- ронняя механика охватывает поэтому все воз- можные механики. Любая из возможных ме- ханик представляет специальный случай этой общей механики. Постулат одностороннего действия означа- ет отрицание взаимодействия, вырождение его в одностороннее действие. Это начальное от- рицание взаимодействия приводит затем к синтезу ничем не ограниченных способов взаимодействия. В делении механик по числу сторон взаи- модействия односторонняя механика противо- стоит всем остальным, неодносторонним меха- никам, двусторонним или многосторонним, как общая механика специальным механикам. Различие по числу сторон взаимодействия между двусторонней и другими многосторон- ними механиками является уже внутренним делением внутри класса неодносторонних ме- ханик. В каждом из этих подклассов класса неодносторонних механик — подклассе двусто- ронних, трехсторонних и т. д. механик, меха- ники будут делиться по взаимодействию их систем со средой, по типу реакции этих систем на внешние воздействия. Этот кибернетиче- ский принцип деления может объединить дву- сторонние, трехсторонние и т. д. системы в об- щий класс статических или астатических, динамических или адинамических и т. д. си- стем. На одностороннюю механику это кибер- нетическое деление распространяется в том смысле, что ей принадлежат все эти неодно- сторонние механики. Эта общая кибернетиче- ская классификация рассматривается ниже. Е. Парадоксы сервосистем К выяснению логической структуры авто- матики как дедуктивной теории и к новому по- строению ее как односторонней механики по- нуждают прежде всего парадоксы, возникаю- щие при включении сервосистем в классиче- скую механику. 1) Парадоксальна прежде всего сама фак- тическая возможность действия без противо- действия. Только в угоду привычке или универсальной осторожности можно отри- цать, что подъем многотонных щитов плоти- ны нажимом кнопки представляет собой фак- тическое действие без противодействия. Этот исходный парадокс влечет за собой ряд про- изводных парадоксов. 2) Аппель, впервые, по-видимому, введший в курс рациональной механики сервосвязи (liaisons comportant asservisement), отмечает в этих системах следующую парадоксальную, с точки зрения классической механики, воз- можность — внутренний момент системы из- меняет момент количества движения ее [Л. 9]. Этот парадокс следует назвать динамическим парадоксом автоматики. Легко указать для нее и ряд других динамических парадоксов, также заключающихся в нарушении законов сохранения классической механики. Пытаясь разрешить свой парадокс в пределах класси- ческой механики, Аппель относит сервосвязи к особого рода неидеальным кинематическим связям, производящим произвольно дозируе- мую работу. Включение в сервосистему произвольно до- зируемых источников энергии и всего скрыто- го механизма осуществления сервосвязей не может, однако, обещать сколько-нибудь обще- го построения механики как дедуктивной нау- ки. Ничто так не обнаруживает беспомощно- сти в общем построении современной теории регулирования, как неспособность расстаться с источниками энергии на чисто конструктив- ном этапе рассмотрения. Переносить эту ис- ходную методическую ошибку в механику значило бы низвести ее до уровня ясности 13
современной автоматики. Источники энергии должны быть рассматриваемы лишь как часть механизма детектирования, механизма одно- сторонних связей, могущая быть забытой пос- ле того, как механизм этот постулирован. Ап- пель исходит из противоположного взгляда. Вместо того чтобы отвлечься от способа осу- ществления сервосвязей и получить наиболее простые законы наблюдаемого движения, хо- тя бы отличные,от законов классической ме- ханики, он предлагает ввести в рассмотре- ние способы реализации этих связей, т. е. пи- тающие их источники энергии («Pour ces me- canismes on ne peut faire abstraction du mode realisation des liaisons [Л. 9]). Отвлечься от способа реализации сервосвязей действитель- но нельзя, оставаясь' в классической механи- ке. Здесь избегнуть противоречия можно, только включив в систему сервоисточники, т. е. наименее перспективным, с точки зрения простоты и целостности построения предмета, способом. Такое отвлечение становится воз- можным лишь при выходе за пределы класси- ческой механики. 3) Парадоксальна возможность равнове- сия сервосистемы под воздействием одной лишь внешней силы. Действительно, если счи- тать единственной внешней силой системы ре- гулирования изменение нагрузки объекта ре- гулирования при неизменном управляющем воздействии, силы же взаимодействия между элементами системы регулирования, осущест- вляемые динамическими связями ее, считать внутренними силами системы (иной взгляд был бы крайне искусствен и . сложен), то в статике эта единственная внешняя сила уравновешивается внутренними силами систе- мы, реакциями, динамических связей ее. Рав- новесие под воздействием одной только внеш- ней силы парадоксально в классической меха- нике. Этот парадокс следует назвать стати-~ ческам парадоксом автоматики. 4) Парадоксальна возможность масс любо- го порядка и знака, простейшим образом реа- лизуемая в автоматике [Л. 36]. 5) Парадоксальна возможность изодром- ных, т. е. с бесконечно большой жесткостью, систем, отвечающих нулевыми деформациями на нагрузку любой величины. Список этих парадоксов легко было бы продолжить, поскольку в автоматике, с точки зрения классической механики, парадоксаль- ны все положения, относящиеся к механике системы. Достаточно, однако, и перечислен- ных, чтобы потребовать общего их разреше- ния. Этим разрешением может явиться с на- шей точки зрения только отказ постулату про- тиводействия. 14 Не формулируемый в системе понятий физики фе- номен управления влечет за собой ряд новых понятий неопределенной принадлежности. В известной полемике- Эйнштейна -с Бором по основам квантовой механики сторонники последнего ставили в виду Эйнштейну от- рицание «несидовых воздействий». Приведем любопыт- ную аргументацию одного из них — -академика В. А. Фока: «Ошибка Эйнштейна заключается, по нашему мне- нию, в том, что Эйнштейн отрицает (объявляет телепа- тией, стр. 67) всякие взаимодействия, кроме силовых. Между тем можно привести из разных областей науки и жизни много разнообразных видов взаимодействия» которые все являются несиловыми. Ограничимся сле- дующими примерами. Человек, входящий в коллектив, испытывает взаимодействие ।(не силовое, конечно) с дру- гими членами коллектива, и их судьба, например бо- лезнь или смерть, неизбежно отражается и на нем («из- меняет его состояние»). В случае гибели подчиненных («первая подсистема») неизбежно меняется состояние, начальника («вторая подсистема») хотя бы потому, что он перестает быть начальником; при этом бывший на- чальник может оставаться целым и невредимым (отсут- ствие прямого силового воздействия) \ Пример из дру- гой области можно получить, рассмотрев взаимодействие посредством сигнала ((телеграммы); эффект телеграммы не стоит ни в какой связи с энергией, затраченной на ее передачу, и в этом смысле взаимодействие можно тоже назвать несиловым, в отличие -от чисто силового взаимодействия между электростанцией и ' предприяти- ем, потребляющим электроэнергию» (В. А. Ф о к, За- мечания к автобиографии А. Эйнштейна, -сборник па- мяти А. Эйнштейна, «Эйнштейн и современная физика», Физматгиз, 19*56). Из примеров В. А. Фока наиболее нагляден послед- ний. В нем выступает в явном виде феномен управ- ления. «Несиловым воздействием» этот феномен являет- ся лищь в том смысле, что управляющий элемент не испытывает силового противодействия. Развиваемое этим элементом воздействие является, разумеется, не силовым, а информационным, управляющим. Однако» преобразуясь во внешнем источнике управляющей энер- гии, этот управляющий импульс становится силовым, и именно в таком виде прилагается к управляемому элементу. В схеме непрямого, косвенного воздействия, характеризующей феномен управления, информацион- ное воздействие преобразуется в сервоисточнике в си- ловое, и называть это управляющее воздействие не- силовым, вводя этим новое, неопределенной принадлеж- ности понятие, нет нужды. Достаточно принять в кван- товой механике возможность силового воздействия, освобожденного от постулата противодействия, чтобы уложить все эти новые понятия в систему понятий расширенной механики. В. А. Фок называет взаимодействие между электро- станцией и предприятием силовым в одном лишь, излиш- не узком смысле—подчинения постулату противодей- ствия. (Подчинение это не является, однако, определяю- щим признаком силового воздействия. Последнее лежит и в о'снове односторонней механики, свободной от этого постулата. Спор между Эйнштейном и Бором велся, по суще- ству, с позиций двусторонней и односторонней меха- ник. Творец релятивистской механики отрицал в нем, называл телепатией одностороннюю механику. Оппо- ненты* его, допуская неявно возможность управления в квантовой механике, относят его к несиловым воз- действиям. 'Нельзя не признать, что аргументация В. А. Фока, апеллирующая к несиловым воздействиям, 1 Этот или близкий к этому пример принадлежит А. Д. Александрову.
подтверждает обвинение в телепатии. Только признание возможности односторонних силовых воздействий и концепция односторонней механики, способны, по-види- мому, парировать его. Во всех своих примерах В. А. Фок оперирует, в со- временной терминологии, с сигнальными, управляющи- ми системами. Число таких систем непрерывно умно- жается конкретным кибернетическим анализом, обнару-" живающим феномен управления под совершенно не- ожиданной оболочкой. Приведем полярно различные примеры вновь обнаруженных таких систем. 'Совсем новым таким примером является сигналь- ный механизм действия ядовитой железы некоторых змей, обнаруженный А. М. Захаровым. Выяснилось, что известные две составляющие змеиного яда являются не равноправными компонентами его, а управляемой и управляющей частями общей сигнальной системы. Здесь количественно ничтожный активатор — управляю- щий сигнал активирует количественно подавляющую ферментную составляющую — управляемую систему. Сама активируемая компонента, выбрасываемая же- лезой в момент укуса, разрушает легкую преграду — оболочку клетки, отделяющую ее от активатора. В этом практически мгновенном процессе активатор подобен запалу, взрывающему пассивную массу заряда. Примером более одухотворенной сигнальной систе- мы является загадочный феномен рифмы. Известно как третировалось многими великими прозаиками подчине- ние художественной речи такому, казалось бы, случай- ному и малосодержательному ограничению как рифма. Несравненная сила поэтической речи заключается, однако, в том сигнальном воздействии рифмы, которого лишена прозаическая речь. Подобно пассивной части змеиного яда поэтическая речь течет сквозь строй вос- пламеняющих ее активаторов — рифм. В поэзии вели- ких поэтов рифма приходится на наиболее значитель- ные, сигнальные слова, использующие скрытую энер- гию остальной, пассивной части строфы для много- кратно усиленного воздействия (достаточно указать на управляемый заключительной рифмой поворот смысла, диалектическое отрицание, в конце каждой почти стро- фы «Онегина»). Понятен качественный скачок воздей- ствия, сообщаемый поэтической речи этим кибернети- ческим принципом усиления. Мы далеки от того, чтобы объяснить только сиг- нальным воздействием рифмы всю силу поэтической речи. Искусство возникает там, где содержанию прихо- дится преодолевать ограниченность формы и само является скрытым напряжением этой борьбы. В поэзии, стесненной и размером и рифмой, напряжение это, и с ним сила поэтического воздействия, .достигают предела. Сигнальное воздействие рифмы является лишь одной из составляющих этого общего воздействия. Как ни полярно различны по действующим в них агентам — химическому ферменту и поэтическому сло- ву две этих системы, они едины в своем управляющем алгоритме и в какой-то мере могут быть охвачены об- щей теорией. Обе построены на кибернетическом прин- ципе усиления — незначительным по объему сигнальным воздействием активирующего агента многократно уси- ливается воздействие подавляющего по объему акти- вируемого агента. Все примеры iB. А. Фока относятся к этому типу управляемых систем и охватываются общей теорией управления. В полемике с Эйнштейном В. А. Фок вы- нужден, таким образом, апеллировать к управляющим системам — к односторонней механике. 1-1-2 Динамическая структура Односторонняя механика охватывает - все остальные — специальные механики. Соот- ветственно областью первой являются систе- мы совершенно общей структуры, областью вторых — системы специальной структуры. Установим точный смысл понятия — динами- ческая структура и связь между структурой и реактивностью систем. А. Динамическая структура а) Уравнения односторонней механики Спустившись в анализе до простейших, не- делимых далее структурных единиц — одно- сторонних действий, односторонняя механика восходит затем к ничем не ограниченному синтезу динамических систем. Ее моделью яв- ляются поэтому динамические системы произ- вольной, ничем не ограниченной структуры. Системы эти, если ограничиться только ли- нейными системами и вторым (положитель- ным и отрицательным) порядком элементов— обобщенных координат, имеют вид: тп (i = 1, 2,..., m). Здесь каждый член уравнений — обобщен- ная сила, одностороннее действие й-го элемен- та системы на Z-й. В частном случае, когда k=i, это самодействие — также односторон- нее действие. В левой части уравнений распо- лагаются силы, зависящие от координат си- стемы и в этом смысле внутренние для нее; в правой части — в общем случае не завися- щие от координат системы и в этом смысле внешние для нее (это деление принадлежит односторонней механике). Эти обобщенные силы удобно рассматривать как реакции ди- намических связей, внутренние силы — внут- ренних связей системы, внешние силы—внеш- них связей системы, рассекаемых при ее вы- делении. Для краткости будем сами члены уравнений (1), представляющие собой лишь реакции динамических связей, называть ди- намическими связями. Старший член Auqi каждого уравнения представляет собой взя- тую с обратным знаком противодействующую обобщенную силу инерции — объект воздейст- вия всех остальных, действующих обобщен- ных сил. Старшая внутренняя связь, чьей ре- акцией является сила инерции, представляет собой собственно элемент — объект связыва- ния для остальных связей. Параметры системы — Aih, Bik и т* д. суть положительные, отрицательные либо равные 15
нулю действительные числа. Этот их знак (включая условно в понятие знак и нуль — знак отсутствующей связи) присвоим самим связям и будем говорить соответственно о по- ложительных, отрицательных и отсутствую- щих связях. Знаки и абсолютные величины (модули) параметров системы представляют собой соответственно структурные и метриче- ские параметры ее. Структура системы опре- деляется матрицей структурных параметров ее — матрицей знаков: j| sign Ль sign B£fe, sign Cik, sign Dik, sign метрика системы определяется матрицей мет- рических параметров ее — матрицей модулей: ||то(1Лгй, modB2fe, rnodC^, modDift, mod£\&|[. Модули параметров системы назовем пара- метрами связей и будем обозначать соответ- ствующими малыми буквами. Структурой си- стемы определяются структурные свойства ее, метрикой — метрические. Внешние обобщенные силы Qf1) системы также могут входить в уравнения ее относи- тельными и абсолютными своими значениями. Чтобы не вводить здесь двух символов, будем считать, что входят в уравнения системы в том же значении, что и параметры ее: в уравнения, составленные в относительных параметрах (в параметрах системы — Дг7г, Bik, Cik), Q(1) входят относительными своими значе- ниями, и абсолютными — в уравнения, состав- ленные в абсолютных параметрах (параметрах связей — aik, bik, cik). Уравнения (1-1) запи- саны в неполной кинетостатической форме — противодействующие силы инерции, описы- ваемые членами Anqi, объединены в левых частях их не со всеми, а лишь с внутренними действующими силами, описываемыми , всеми остальными членами левых частей. Обозначив сумму этих остальных членов в каждом урав- нении через Q<2), можно представить уравне- ния (1-1) в виде: A^-Q^Q?’ (1-2) (t = 1, 2, ..tn). Здесь Q*'1 и Q<2) — внешняя и внутренняя со- ставляющие обобщенной силы Qi- Объединив их в правой части уравнений, получим кинети- ческую форму уравнений: A^Q^+Q'^^Qi (1-3) (/=1, 2, ..., т). Перенеся левый член в правую часть, получим полную кинетостатическую форму уравне- ний: Q'/’ + Q'2 —Аг9» = 0, (1-4) где —Aaqi — силы инерции. фиктивные, по- скольку этой операцией переноса субъект их условно принимается за объект. Формы (1-3) и (1-4) — общи для всех ме- ханик, поскольку кинетическое противопостав- ление в первой из них ’Противодействующих сил действующим принадлежит общему для всех механик логическому постулату действия, кинетостатическое же объединение тех и дру- гих сил во второй из них также представляет общий для всех механик логический прием. Однако в различных механиках силы инерции могут принадлежать либо внешним, либо внутренним силам системй. Так, в односто- ронней механике они, в соответствии с приня- тым выше определением, принадлежат внут- ренним силам системы. В классической меха- нике они, как показано будет ниже, принад- лежат внешним силам системы. По этому признаку полная кинетостатическая форма (1-4) может быть представлена в двух непол- ных кинетостатических формах: Q*1 —А<<7< =—О',2’; (1-5) Q*2>—A^i = —Q*”- (1-6) Первая принадлежит, в частности, класси- ческой механике, вторая — односторонней. Этим прямым формам кинетостатических уравнений, где знак сил инерции противопо- ложен знаку масс — параметров этих сил, можно сопоставить инверсные, с измененны- ми знаками, кинетостатические же формы: Atf-Q^-Q^O; (1-4') О’5') Auqi-^ = -^\ (1-6') где знаки эти совпадают. В прямой форме подчеркнуто то, что про- тивопоставляет противодействующую силу инерции остальным, действующим силам си- стемы, — противоположность знаков. Положи- тельной массе соответствует здесь отрицатель- ная сила инерции. В инверсной форме под- черкнуто то, что объединяет силу инерции с остальными силами, — совпадение знака си- лы со знаком динамической связи, чьей реак- цией эта сила является. Положительной " массе, соответствует здесь положительная си- ла инерции. 16
^ЯгЛЯг^Яз^Яи °) affki + c„qt - ct2q2 = О а22^2 + С22Яг~ C2l4l - с23Яз = # аззЯз + сззЯз ” сзгЯз~ сз4Я*— О G44&4.*** ^44 #4 ““ с4зЯз + ^4 = О Рис. 1-1. Упругое взаимодействие в натураль- ных системах. Каждая из форм адэкватна в своем аспек- те обеим механикам. Для односторонней ме- ханики с ее массами произвольного порядка и знака важнее второй аспект, где сила инер- ции (реакция старшей внутренней связи эле- мента), как и все остальные внутренние силы (реакции остальных динамических связей си- стемы), получает знак этой связи: положи- тельный — при положительной массе, отри- цательный— при отрицательной. Для класси- ческой механики, с ее всегда положительной массой, этот аспект несуществен, важнее — первый. И для кинетостатических уравнений вопрос адэкватности той или иной механике решается, таким образом, однозначно: прямая форма кинетостатических уравнений удобнее в классической механике, инверсная — в од- носторонней. Легко теперь указать место исходной фор- мы (1-1) уравнений односторонней механи- ки в этой системе понятий — уравнения эти являются инверсной формой (1-67) неполной кинетостатической формы (1-6). К особенно- стям этой формы нам придется неоднократно возвращаться. б) Структурные схемы Структурные схемы. Динамическая структура может быть наглядно представ- лена кинетостатическими структурными схе- мами, отвечающими инверсной полной кинето- статической форме (1-47). На рисунках 1-1 ч- 1-5 это сделано для . некоторых типовых структур — натуральных и ненатуральных. Элементы системы — обобщенные, координа- ты ее изображены здесь двойными кружками, обобщенные силы и представляемые ими ди- а22^2+ ^22^2^ ^2l4l ~ Ь2зЯз аззЯз^ ьззЯз~ ЬзгЯг'- ^з^Яч а^Я* + М ~ Мз + = О Рис. 1-2. Диссипативное взаимодействие в натуральных системах. намические связи — стрелками, идущими от элемента—субъекта силы к элементу—объек- ту ее. Самодействия, имеющие один и тот же элемент субъектом и объектом, замыкаются при этом в одночленные (одноэлементные) циклы. Каждый член уравнений изображает- ся при этом стрелкой — динамической связью. Члены с одинаковыми индексами — самодей^ ствия представляют собой внутренние связи элементарных (одноэлементных) систем (или, +снЯ} и22Яг +с2гЯг~ ~агзЧз-° аззЯз + сззЧз ~аз^Яг ~ азьЯь=О «Й + 0^ «в Рис. 1-3. Инерционное взаимодей- ствие в натуральных системах. 2 И. И. Гальперин. 17
S) O-n'i) ~ bjify - cftqt + Ъ12^г = 0 °2242 ~ с2зЧг ~ b2fii +• ^гзЯз ~ ° аЗзЬз ~ СЗЗЧз " ^?2#2“*’ %4^4 = ^ C44#4 + ^44^4 ~ 644^4 “* ^3^3 I Рис. 1-4. Гироскопическая система. кратко, внутренние 'связи), члены с разными индексами—внешние связи элементарных си- стем (или, кратко, внешние связи). Положи- тельные связи обозначим тонкими стрелками, отрицательные толстыми. Дифференциальный порядок связи указывается числом знаков дифференцирования (точек) или интегрирова- ния (интегралов). В кинетостатических структурных схемах каждый элемент является узлом кинетостати- ческого равновесия входящих в него динами- ческих связей и их реакций — обобщенных сил. Составить дифференциальные уравнения системы означает'составить уравнения кине- тостатического равновесия всех узлов струк- турной схемы. Кинетостатические структурные схемы однозначно отображают динамическую структуру. Типовые структуры. На рис. 1-1, 1-2, 1-3 представлена структура натуральных систем (систем, чья потенциальная и кинети- ческая энергии являются однородными квад- ратичными функциями, соответственно, обоб- щенных координат и обобщенных скоростей) классической механики. На рисунках этих да- ъпЪ + С/гЪ = о ^ггЯг + с22^2 ” c2i4i = О ^ззЯз + сззУз ~ сз2Яз = О + ^44^4”“ С43Ц3 = & Рис. 1-5. Сервосистема. ны последовательно упругое, диссипативное и инерционное натуральное взаимодействия (последнее представлено цепным физическим маятником). На рис. 1-4 дана ненатуральная система классической механики — система гироскопи- ческой стабилизации. На рис. 1-4,а дана двух- элементная система — гироскопический одно- рельсовый вагон, на рис. 1-4,6 — структурная схема многоэлементной системы этого вида — цепного гироскопического маятника. Обе си- стемы подчинены известной теореме Кельви- на— о четном числе неустойчивых степеней свободы в гироскопически стабилизируемых системах. Поскольку приведенные на всех этих ри- сунках кинетостатические уравнения даны в форме уравнений (1-47) односторонней ме- ханики, уравнения эти и соответствующие им структурные схемы на этих рисунках пред- ставляют собой описание специальных систем классической механики в общей односторон- ней механике. На рис. 1-5 дано, напротив, описание в односторонней механике односто- ронней же системы, не могущей быть описан- ной ни в одной из специальных механик. Си- стема на рис. 1-5 представляет собой простей- шую, открытую (без обратной связи) серво- систему. С помощью составляющих ее одно- сторонних связей — односторонних действий могут быть синтезированы системы пройз- вольной структуры. Ни одна из систем классической механики не может быть материально разложена на эти односторонние связи, хотя аналитически все эти системы составлены такими связями. Не- делимой далее структурной единицей каждой из этих специальных систем является более сложное образование — двучленный цикл взаимодействия, симметричный (по знакам} в натуральных системах и асимметричный — 18
в гироскопических. Симметричные, содержа- щие четное число, в частности^ нуль, положи- тельных связей, циклы назовем" отрицательны- ми*, асимметричные, содержащие нечетное число положительных связей, циклы — поло- жительными. Наиболее специальна структура натуральных систем, где отрицательным дву- членным циклам взаимодействия всегда про- тивостоят образованные связями того же по- рядка положительные одночленные циклы са- модействия. Структура элементарных (одно- элементных) систем (элементарная структу- ра) связана здесь, таким образом, со струк- турой сложных (многоэлементных) систем (сложной структурой). Такие взаимодей- ствия и структуры назовем связанными. От этого ограничения свободна структура гиро- скопических взаимодействий и, разумеется, — свободная ото всех вообще ограничений струк- тура сервосистем. В обеих структурах элемен- тарная структура независима от сложной. Та- кие взаимодействия и структуры назовем не- связанными. Специальные структуры могут быть связанными, как натуральная, или не- связанными, как гироскопическая. Общая структура сервосистем всегда не связана. В гироскопических системах происходит пер- вое расширение натуральной структуры, в сер- восистемах — полное освобождение ее. Каждая из специальных структур подчи- няется своей специальной механике, и все они подчиняются односторонней механике. Гиро- скопические системы представляют поэтому в классической механике чужеродное вклю- чение и должны были бы быть выделены в свою гйроскопическук) механику (что неяв- но и происходит в классической механике). Ниже классической механикой будет назы- ваться поэтому только механика натуральных систем. Назовем математическими моделями де- дуктивных механик подчиняющиеся им систе- мы уравнений и материальными моделями— описываемые этими уравнениями материаль- ные системы. Сервосистемы являются мате- риальной моделью односторонней механики, натуральные системы — классической двусто- ронней механики, гироскопические системы— гироскопической двусторонней механики. Обе двусторонние механики, как и множество иных возможных двусторонних и многосто- ронних механик, являются специальными слу- чаями односторонней механики. в) Динамическая структура Связевая структура. Структура системы полно отображается только записью уравненией ее в параметрах связей. Толька £ 2* 19
Qllfy * С//9/ * 9494*^72% ~ Q33 Чэ* сззЧз~ сзгЧг"с^^ ® anQi +cnQi ~съЧь +с1гЧг ~ О g32 Чг+G224i^c2! 4i ~ сгзЧз= & ^зЧз+СззЧз^згЧг-^Ч^О а^Ч^^Чч~с^зЧз±с^Ч1 ~~Qt Рис. 1-7. Динамические циклы. такой записью выделяются из характеристи- ческой матрицы матрица знаков и матрица модулей и обнажается структура системы. Запись в параметрах системы неполно отобра- жает структуру системы. Знак связей. Это пояснено на рис. 1-6, где дана изолированная смешанная (с упру- гим и диссипативным взаимодействием) си- стема и приведены ее уравнения в парамет- рах связей и характеристическая матрица., Из последней выделены матрица модулей и мат- рица знаков. Принятые нами структурные схе- мы тождественны матрицам знаков, что отме- чено на рис. 6 знаком тождества. Это отож- дествление структурных схем с матрицами знаков связей и вытекающий из него символ самодействия — одночленный цикл, введен- ные нами 20 лет назад, заново и неполно вво- дятся сейчас за рубежом [Л. 73, 90]. Связевая структура. Описанную этим способом, где центральным является по- нятие о знаке связи, структуру назовем свя- зевой структурой. Поскольку знак связей за- висит в общем случае от системы координат, связевая структура отображет относительные свойства системы — свойства ее по отноше- нию к некоторой системе координат. Чтобы отобразить абсолютные свойства системы — независимые от системы координат, следует описать . структуру систем в абсолютных — инвариантных к системе координат понятиях. Таким понятием является знак цикла. Циклическая структура. Струк- туру системы, определенную знаками циклов, назовем циклической. Циклическая структура системы вытекает из связевой структуры, но в отличие от последней, описывает абсолют- ные структурные свойства системы. Рассмотрим детальнее введенное выше центральное структурное понятие — динамиче- ский цикл. Назовем циклом замкнутую после- довательность связей. Этому определению от- вечают и одночленные циклы самодействий — внутренних связей, и двучленные циклы взаи- модействий. Знак циклов. Знак циклов является цен- тральным структурным свойством динамиче- ских систем, прямо позволяющим судить о их реакции на внешние воздействия. Знак этот определяется четностью числа перемен знаков сигнала, обегающего цикл,— положителен при нечетном числе, отрицателен при четном. В исходной, кинетической форме уравне- ний перемена знака импульса выражается от- рицательным знаком связи, и потому в про- изводной, кинетостатической — положитель- ным. В первой соответственно, знак цик/ла определяется четностью числа отрицательных связей, во второй — положительных связей. Поскольку для всего дальнейшего изложения принята кинетостатическая форма (1-1), поло- жительными явятся циклы с нечетным числом положительных связей, отрицательными — с четным. Уравнения на рис. 1-1—1-6 составлены в указанных на этих рисунках системах ко- ординат. Знаки внешних связей и сил зависят от системы координат и в этом смысле пред- ставляют относительные свойства связей и си- стемы; знаки циклов инвариантны к системе координат и в этом смысле представляют аб- солютные свойства циклов и системы: в отри- цательных циклах сигнал, обежав цикл, воз- вращается в исходную точку с тем же знаком и лавинообразно накапливается, в положи- тельных — с противоположным знаком и ла- винообразно вычитается. Вторые циклы пред- ставляют собой поэтому фактор противодей- ствия, в частности — положительной инерции (это явствует из того уже, что положительная масса изображается в этих структурных схе- мах положительным одночленным циклом), и устойчивости, первые — фактор содействия^ в частности — отрицательной инерции, и не- 20
устойчивости. Связь обоих свойств — инерции и устойчивости — выяснится ниже. Двучленные простые цикльи взаимодейст- вия могут в свою очередь послужить элемен- тами следующих по сложности составных циклов (рис. 1-7). На рис. 1-7 консервативная натуральная система, рассмотренная на рис. 1-1, замкнута в цикл двумя различными способами — симметричным (рис. а) и асим- метричным (рис. 6). В первом образуется от- рицательный четырехчленный составной цикл, содержащий в себе 6 простых отрицательных циклов — 4 двучленных и 2 четырехчленных (рис. д). Во втором образуется положитель- ный четырехчленный составной цикл, также содержащий 6 простых циклов — 4 отрица- тельных двучленных и 2 положительных че- тырехчленных (рис. е). Примененным в системе б искусственным способом, с помощью рычага ЛВ, изменяюще- го (нарушая изолированность системы) знак импульса, в натуральной системе получены положительные сложные циклы. Это удалось, однако, лишь в неизолированной системе б; в изолированной системе а не только дву- членные сложные циклы, но и четырехчленные сложные циклы отрицательны. Все сложные циклы изолированных натуралънъьх систем отрицательны. Положительными здесь могут быть лишь элементарные циклы. Положитель- ные сложные циклы означают поэтому выход за пределы классической механики. С таким выходом мы встретились уже в гироскопиче- ских системах. В натуральной системе б та- кой выход имеет место, если считать эту си- стему изолированной, т. е. игнорировать ме- ханизм перемены знака импульса. Выход за пределы классической механики здесь дости- гается тем же приемом игнорирования. Продольные колебания натуральных си- стем, открытой — на рис. 1-1 и циклической— на рис. 1-7, аналогичны колебаниям струны с дискретными массами. Если перейти от дис- кретных масс и пружин к распределенным, то колебания системы на рис. 1-7,а можно было бы представить колебаниями тяжелой кольце- вой упруго натянутой струны. Систему на рис. 1-7,6 представить круговой струной не удалось бы. Чтобы выразить в пространствен- ных образах обе распределенные системы, следовало бы представить первую систему тяжелой упругой кольцевой ориентируемой (двусторонней) поверхностью (рис. в), вто- рую же — неориентируемой (односторонней, лентой Мебиуса, рис. г). Натуральная система а изолирована и, следовательно, астатична. Все ее статические реакции уравновешиваются как внутренние в классической механике силы, и она не мо- жет явиться объектом приложения внешних сил. Натуральные изолированные системы ас- татичны. Система б неизолирована и статич- на, поскольку среди статических реакций ее' имеется одна внешняя в классической меха- нике сила —। реакция неподвижной опоры. Поскольку можно, игнорируя механизм пере- мены знака, считать систему б изолированной, ненатуральной системой, мы приходим к тому же выводу: ненатуральные изолированные си- стемы в общем случае статичны, астатич- ность — специальный феномен классической механики. К системе а не могут быть поэто- му приложены внешние силы, к системе б — могут (на рис. б приложена сила Q\). В системе б наглядно предстает сложный циклический механизм лишь кажущегося простым понятия противодействие. Приложе- ние силы к одному из элементов положитель- ного цикла вызывает, по возвращении им- пульса в исходную точку, противоположного знака противодействующую силу? способную уравновесить приложенную силу; приложение силы к одному из элементов отрицательного цикла вызывает, по возвращении импульса в исходную точку, того же знака содействую- щую силу, слагающуюся с приложенной силой и не способную, следовательно, уравновесить ее. В задаче движения положительные циклы представляют, таким образом, фактор проти- водействия, в частности — положительной инерции, отрицательные циклы — фактор со- действия, в частности— отрицательной инер- ции. В задаче устойчи- вости, в кибернетиче- ских понятиях физио- логий нервной деятель- ности, положительные циклы представляю? фактор торможения, отрицательные — фак- тор возбуждения. Поскольку торможение является фактором устой- чивости, возбуждение же— фактором неустойчивости, положительные циклы яв- ляются фактором устойчиво- сти, отрицательные — неус- тойчивости. Это объясняет- ся тем, что положительные циклы и реализующие их тормозящие связи являются фактором информации, от- рицательные циклы и реали- зующие их возбуждающие связи—фактором дезинфор- мации. Тормозящие связи, возвращающие сигнал в ис- 21
ходкую точку с противоположным знаком, означают правильный учет и исправление ошибок — ‘информацию, возбуждающие связи, возвращающие его с тем же знаком, означают ошибочный учет и усугубление оши- бок — дезинформацию. Об устойчивости как информа- ционной проблеме сказано будет ниже. Инвариантность знака цикла пояснена на рис. 1-8 на примере системы 1-7,а. По сравне- нию с рис. 1-7,а на рис. 1-8 изменено направ- ление координатной оси 4-го элемента. Это тождественное (связанное только с преобра- зованием координат) преобразование системы изменило знак всего пучка внешних связей, сходящихся в этом элементе, но оставило не- изменным знак всех циклов, составных и про- стых — многочленных, двучленных и одночлен- ных. Знак внутренних связей, поскольку они образуют одночленные циклы, инвариантен к системе координат. Циклическая структура. Подобно тому как совокуп- ность знаков связей (матрица знаков) образует связе- вую структуру системы, совокупность знаков циклов образует цик^ческую структуру. Так, циклическая структура изолированных натуральных систем образу- ется отрицательными двучленными и многочленными циклами и положительными одночленными. Циклическая структура гироскопических систем образуется положи- тельными двучленными циклами и произвольного знака одночленными. Циклическая структура сервосистем про- извольна. Связевой структурой определяются относительные, циклической—абсолютные структурные свойства систе- мы, локализация в ней факторов содействия и проти- водействия, ' преобладание или уравновешивание этих факторов. Она позволяет поэтому прямо судить о ха- рактере реакций системы на внешние воздействия. г) Структура нелинейных систем Для построения структурных схем приня- того выше вида существенна была не линей- ность уравнений (1-1), а их аддитивная фор- ма. Те же структурные схемы служат и для нелинейных, но аддитивных уравнений. Пояс- ним получение этих уравнений. Уравнения (1-1) являются результатом линеаризации об- щего вида уравнений движения: (1-7) (/, А = 1, 2,..., т), где г — старший дифференциальный^ порядок, s — старший интегральный. Если ограничить- ся аналитическими (описываемыми аналити- ческими функциями) непрерывными система- ми (качественные механики разрывных система рассмотрены будут в конце главы), то функ- ции (1-7) могут быть разложены в ряд. Если в этом разложении отсутствуют или могут быть опущены неаддитивные члены с произве- дениями переменных, уравнения (1-7) прини- мают вид: {+л'ЛЖ’г++•} + + +«"’г + • • }+ + {с&Г’+ с‘А' [<'-=’)=+с™ + • • -I + + KVj”+Cto'r’l’+Сй'г + - }=0 (i, m — 1, 2, ..., ш). (1-8) Линеаризация системы достигается отбра- сыванием в каждой фигурной скобке всех чле- нов, кроме первого. Однако и нелинеаризо- ванная система (1-8) описывается теми же структурными схемами, где каждая фигурная скобка представляет определенного порядка нелинейную динамическую связь. Первая скобка представляет собой нелинейную связь r-го порядка, вторая (г—1)-го порядка и т. д. В отличие от линейных связей нелинейная связь входит в матрицу знаков не одним эле- ментом ее, а субматрицей — строкой. Так не- линейная связь, описываемая первой фигур- ной скобкой, входит в матрицу знаков суб- матрицей — строкой знаков коэффициен- тов Aik. Субматрица знаков коэффициен- тов Aik представляет собой структурный пара- метр этой нелинейной связи, субматрица мет- рических значений этих коэффициентов — метрический параметр ее. Во всем остальном принятые выше структурные схемы относятся в равной мере к линейным и к нелинейным системам. Мы рассмотрели динамическую структуру систем, принадлежащих различным механи- кам. Рассмотрим определяемую его реактив- ность этих систем. Б. Реактивность систем а) Типы реактивности В соответствии с выдвинутой выше кибернетической программой исследования динамических систем, они должны быть классифицированы прежде всего по типу их реакций на внешние возмущения. Реактивность бо- лее высоко организованных систем, «живых» в частно- сти, принимает более сложные формы, являющиеся, од- нако, развитием простых форм, имеющих место в дина- мических системах. Внешней силе приложенной к i-той точке си- стемы, всегда отвечает, по постулату действия, внутрен- няя сила реакции — равнодействующая реакций всех сходящихся в этой точке динамических связей. На_ 22
зовем, „соответственно, реактивность системы положи- тельной, отрицательной, нулевой и бесконечно большой, если реакции эти возникают при положительных (сов^ падающих по направлению с силой отрицатель- ных, бесконечно больших и нулевых движениях х-той точки, т. е. при тождественных, относительно диффе- ренциального оператора р, соотношениях: у и тождест- венно больше 0; уц тождественно меньше 0; у а ^0 * Здесь у ц — передаточная функция канала i — i. Для статики она переходит в статический коэффициент влияния ац, а тождественные соотношения в простые соотношения: <Хгг>0; (Хгг<0; ан = оо; агг==(0, соответст- вующие^ положительной, отрицательной, бесконечно большой (астатические системы) и нулевой (изодром- ные системы) реактивностям. В статике эти понятия о типах реактивности при- обретают наиболее простое выражение: система обла- дает положительной статическойu реактивностью в х-той точке, если развиваемая ею в этой точке противодей- ствующая сила возникает при перемещениях, совпадаю- щих по направлению с действующей силой, и т. д. Ну- левая статическая реактивность, имеющая место в аста- тических системах, означает полную нейтрализацию, от- сутствие противодействующих сил и следовательно, по постулату действия, невозможность приложения дейст- вующих сил. Астатичность предстает здесь в наиболее общем свете — как статическая нейтральность, неспо- собность системы быть объектом приложения сил. Рассмотрим общую связь между структурой систем и их реактивностью. Заметим прежде всего, что поло- жительные и отрицательные циклы являются соответ- ственно факторами положительной и отрицательной реактивностей. Действительно, вызванный силой, прило- женной к некоторой точке цикла, импульс возвращает- ся в эту точку с обратным знаком, в виде противодей- ствующей силы: в положительном цикле—при поло- жительных движениях этой точки, в отрицательном цик- ле— при отрицательных движениях. Нулевая реактив- ность (нейтральность) может быть достигнута, очевид- но,' только взаимной нейтрализацией обоих факторов. Бесконечно большая реактивность связана с нулевой реактивностью рассматриваемым ниже принципом ста- тической двойственности. Рассмотрим детальнее эти ти- пы реактивностей и связь их со структурой системы. а) Нейтральность В системах с неоднородной циклической структу- рой, содержащих циклы обоих знаков . (циклическая не- однородность), представленные этими циклами факто- ры содействия и противодействия могут взаимно ней- трализоваться. Это приводит к нейтральным, с нейтра- лизованным, отсутствующим механизмом противодейст- вия, системам, не способным, по постулату действия, быть объектом внешних воздействий. Примером таких систем являются в статике астатические системы. Ней- тральность может быть достигнута и в однородных по циклической структуре системах, содержащих одни от- рицательные циклы (отрицательная циклическая одно- родность). Возможность эта определяется тем, что в четном числе отрицательные циклы являются таким же фактором противодействия, каким в любом, четном или нечетном числе являются .положительные циклы. В си- стемах с положительной циклической однородностью (составленных одними положительными циклами) ней- тральность невозможна. Отсюда вытекает теорема 1-1. -(теорема нейтральности): необходимым ус- ловием нейтральности является циклическая неоднород- ность либо отрицательная циклическая однородность. Условие это, указывая лишь общие структурные условия нейтральности, является только- необходимым. Его следует дополнить еще локальными структурными условиями и общими и локальными метрическими ус- ловиями. Необходимым и достаточным условием общей нейтральности, рассматриваемым ниже, является тож- дественное (относительно р) равенство нулю всех пе- Д г г редаточных функций уц = . Эти передаточные функ- ции и их каналы i—i назовем главными, поскольку в числителе их стоят главные миноры стоящего в знаме- нателе характеристического определителя. Все осталь- ные передаточные функции ytk и их каналы i—k назо- вем, по этому же признаку, неглавными. Кроме общей нейтральности, возможна локальная нейтральность си- стемы в отдельных главных каналах. Общей нейтраль- ностью системы является локальная нейтральность ее во всех главных каналах. Условием общей статической нейтральности (астатичности) явится соответственно локальная статическая нейтральность всех главных ка- налов — равенство нулю всех коэффициентов влияния: Ди * . , где Дс — статический определитель системы, -^с статический остаток характеристического определителя, возникающий после снятия в последнем всех членов выше нулевого порядка. Поскольку достаточным усло- вием астатичности системы является нейтральность од- ного хотя бы канала, главного или неглавного, стати- ческая нейтральность является специальным случаем астатичности. Аналогично, динамическая нейтральность является специальным случаем рассматриваемой ниже адинамичности,—динамического свойства, аналогичного астатичности. Астатичность достигается равенством ну- лю статического определителя системы, а динамичность— тождественным равенством нулю характеристического определителя. Астатичность. Теоремой нейтральности ука- зываются структурные условия астатичности. Условия эти реализованы на рис. 1-9, где получены простейшие, одноциклические (с одним только сложным циклом) астатические сервосистемы, полученные из открытой си- стемы на рис. 1-5 с помощью положительных (нижняя строка рисунка) или отрицательных (верхняя строка рисунка) обратных связей. Чтобы оперировать в даль- нейшем только абсолютными свойствами систем, назо- вем внешние обратные и внутренние связи тормозящими или возбуждающими, в зависимости от знака, положи- тельного или отрицательного, образуемых ими много- членных и одночленных циклов. В верхней строке ри-^ сунка возбуждающим являются только внешние обрат- ные связи, в нижней—только внутренние связи. Астатичность представляет собой смешанное свой- ство — зависящее и от структуры их и от метрики. Си- стемы могут быть поэтому астатичны в определенной области значений метрических параметров — структур- но астатичны, либо во всем пространстве метрических параметров — безусловно астатичны. Структурная и бе- зусловная астатичность являются структурными под* свойствами смешанного, зависящего от структуры и от метрики системы, свойства астатичности. То же относит- ся и к остальным смешанным свойствам — структурная и безусловная нейтральность, устойчивость, апериодич- ность и т. д. являются структурными подсвойствами смешанных свойств нейтральности, устойчивости, апе- риодичности и т. д. Метрическими подсвойствами этих свойств являются метрические соотношения между па- раметрами системы, реализующие эти свойства. Безус- ловная астатичность выражается тождественным ра- венством нулю статического определителя, структурная астатичность — нетождественным равенством (рис. 1-9). Та же связь между безусловностью и структурностью и тождественным и нетождественным выполнением кри- териев имеет место для всех смешанных свойств, ч 23
Положительный статизм Нулевой статизм (астатизм) Отрицательный статизм а3) а>) О - 77777^7777777777777777^777777 Рис. 1-9. Статические и астатические системы. В системах на рис. 1-9 наглядно дано столкновение двух начал — содействующего и противодействующего. В системах верхней строки носителем первого начала являются сложные циклы, второго — элементарные. В системах второй строки выполнена противоположная ло- кализация этих начал — носителем первого являются элементарные, носителем второго — сложные циклы. В системах левого столбца преобладает противодействую- щее начало и статический определитель положителен поэтому. В этих системах с положительной статично- 24
стью статические перемещения совпадают по знаку (знак этот указан внутри кружков — элементов на структурных схемах) с вызвавшими их силами. В си- стемах правого столбца побеждает* содействующее на- чало. В этих системах с отрицательным статизмом знак статических перемещений противоположен знаку сил. В обоих случаях, в соответствии с постулатом действия, вызванные этими перемещениями реакции системы рав- ны и противоположны действующим силам. В системах среднего столбца оба начала взаимно нейтрализуются и системы эти нейтральны, астатичны. Они не могут поэтому явиться объектом внешних сил, а могут быть лишь, в силу рассматриваемой ниже статической двой- ственности, объектом перемещений (рис. 1-9). Астатические системы первой строки назовем мину- састатическими, второй строки — плю састатическими, в соответствии со знакам их сложного цикла. В. Реактивность систем в) Положительная и отрицательная ' реактивности В положительно статических системах рав- нопротивоположная внешней силе реакция системы достигается при положительном (сов- падающем по направлению с силой) переме- щении. Это свойство назовем положительной статической реактивностью. Отрицательно статические системы обладают отрицательной статической реактивностью. Астатические си- стемы обладают нулевой статической реактив- ностью. Статическая реактивность системы тем вы- ше, чем меньшими статическими перемеще- ниями ее вызываются статические реакции, уравновешивающие внешние нагрузки. Для уп- ругих систем синонимом реактивности являет- ся жесткость — величина, обратная податли- вости. Астатические системы обладают нулевой статической реактивностью — они не способ- ны противопоставить какие-либо реакции внешним силам. Динамическая реактивность.Ана- логично понятию о статической реактивности возникает более общее понятие о динамиче- ской реактивности, определяемой динамиче- ской реакцией системы на внешние силы. Ди- намическая реактивность также может быть положительной, отрицательной и нулевой. Си- стемы с нулевой динамической реактивностью назовем динамически нейтральными. Подобно тому как статическая нейтральность является специальным случаем астатичности, динами- ческая нейтральность является частным слу- чаем адинамичности. Адинамичность не может быть реализова- на в классической механике, но легко реали- зуется в односторонней механике. Вопрос этот подробно рассматривается ниже. Динамическая реактивность явится опре- деляющим признаком классификации меха- ник. 1-1-3. Дедуктивные механики А. Логическая структура а) Элементы, взаимодействия, системы Определить некоторую механику означа- ет — задать структуру и метрику ее систем.. В классической механике задача эта распа- дается на две независимые части: L) задание структуры и метрики элементов, 2) задание структуры и метрики взаимодействия элемен- тов. Первая из этих задач образует механику элементов (механику материальной точки),, обе в совокупности — механику системы. Взаимодействие систем определяется здесь настолько простым законом, что нет нужды выделять его в особую механику взаимодей- ствий. Напротив, односторонняя механика может порождать механики с настолько сложным взаимодействием, что его следует выделить, в отдельную механику взаимодействия. Объ- ектом этой механики должны явиться обра- зуемые внутренними силами взаимодействия системы внутренние подсистемы ее. Механи- ка взаимодействия явится, таким образом,, механикой определенного вида систем. Поня- тие механика употребляется здесь в обычном своем значении — механики некоторых си- стем. Исследование динамических систем раз- бивается этим на три этапа: 1) механику эле- ментов, 2) механику взаимодействий, 3) ме- ханику систем. Первая определяется специ- альным постулатом элементов, вторая—спе- циальным постулатом взаимодействия, третья — совокупностью их. б) Связанные/ полу связанные и несвязанные- механики Такое деление возможно, однако, лишь в тех механиках, где структура и метрика элементов независимы от структуры и метри- ки взаимодействий. Такие системы, взаимо- действия и механики назовем несвязанными. В односторонней механике легко синтезируют- ся связанные системы — с элементами, зави- сящими от взаимодействий, а также полусвя- занные системы — несвязанные системы со связанными внутренними подсистемами. К числу последних систем принадлежат и на- туральные системы (рис. 1-10). Системами этйми образуются связанные и полусвязанные механики. На рис. 1-10,0! повторена изолированная натуральная система рис. 1-6. На рис. 1-10, яо, 2S
ApsO Aq — O Рис. ЫО. Структурные единицы натуральных систем. аз из этой кинетостатической системы выделе- ны последовательно кинетическая и статическая внутренние подсистемы. Для этого на рис. а2 сняты старшие внутренние связи —' элементы, а на рис. а3 — все нестатические связи. Сис- тема а^ полусвязана — ее положительные 2-го порядка элементы независимы от представ- ленного внутренней подсистемой а2 их взаи- модействия, само же взаимодействие (рис. а2) представляет собой связанную систему, по- скольку элементарная структура связана в ней со сложной структурой. Связь эта явст- вует из рис. б2: положительные 1-го порядка элементы внутренней подсистемы — старшие внутренние связи — совпадают по порядку и противоположны по знаку старшим внеш- ним связям ее. Связь метрик показана во второй строке рисунка. Для этого, каждая из внутренних связей некрайних элементов метрически рас- членена на две составляющие, пропорцио- нальные соответственно жесткостям и сопро- тивлениям левых и правых пружин и катарак- тов. В разветвленных системах, где в некото- рых элементах сходится не по две, как в ряд- ных системах на рис. 1-10, а по нескольку пружин и катарактов, пришлось бы расчле- нить внутренние связи этих элементов на не- сколько составляющих. В крайних элементах и рядных и разветвленных систем сходится по одной пружине и катаракту, и здесь нет нужды в метрическом членении. Легко усмот- реть, строго это доказывается ниже, что мет- рический параметр каждой из этих состав- ляющих внутренних связей равен одинаковым метрическим параметрам обеих сходящихся в элементе внешних связей того же порядка. Это выявляется расчленением внутренних под- систем на тождественные структурные группы (рис. в2, в3). Эти неделимые далее атомы структур назовем структурными единицами. Их наложением (на рис. в2 и в3 введен специ- альный символ наложения — квадратная скоб- ка) образуется все многообразие структур. Ниже доказывается теорема 1-II: в каждой структурной единице изолированных нату- ральных систем параметры всех связей одина- кового порядка равны (метрическая однород- ность). В наиболее простом виде все эти соот- ношения предстают в статических подсистемах (рис. а3, б3, в3). Структурные единицы описывают струк- турное содержание специальных постулатов взаимодействия и для сколько-нибудь сложно- го взаимодействия являются единственным возможным способом описания. Метрическое содержание должно быть дано дополнительно, как дано оно для натуральных систем метри- ческой однородностью. Повторяемость, тож- дественность этих единиц — следствие тожде- ственных для всех элементов данной механики законов взаимодействия. Все связи, нарушаю- щие эту тождественность, по одному этому не входят в состав внутренних подсистем, в со- став связей взаимодействия, а их реакции — в состав внутренних сил системы. Повторяе- мость эта представляет собой необходимое, но недостаточное условие принадлежности к •26
-внутренним силам системы. Так, в гироскопической системе на | | рис. 1-4 для внутренних связей § 1-го порядка отсутствует повто- g ряемость, и реакции их представ- В ляют поэтому внешние силы си- стемы. Внешними силами яв- § ляются здесь, однако, и реакции | правильно повторяющихся вну- J § тренних связей нулевого поряд- 5 $ ка. Необходимые и достаточные § .признаки деления в данной меха- нике сил на внешние и внутрен- <ь ние силы системы даются спе- § -циальными постулатами взаимо- з действия этой механики. § g Односторонняя механика не ограничена какими-либо специ- * .альными постулатами взаимодей- ствия, и здесь поэтому структур- ные единицы отсутствуют. Одно- сторонняя связь — неделимая да- лее единица этой общей ме- ханики и всех структурных единиц специ- альных механик — не повторяется правильно в общего вида односторонних системах и не представляет поэтому структурной единицы. в) Связанные механики Связанные механики могут быть построе- ны пока только синтетически, средствами сер- восистем, — существующие механики все яв- ляются несвязанными или полусвязанными. Из односторонней механики может быть эти- ми средствами выделено множество связан- ных механик. Одна из них дана на рис. 1-11. Структура элементов связана здесь со струк- турой взаимодействий одинаковым знаком од- ночленного и двучленного циклов и одинако- вым дифференциальным порядком этих цик- лов (порядок цикла — сумма порядков его связей). Механика этих систем является'свя- занной механикой. Связанность структуры означает, что элементы здесь расчленяются в отличие от несвязанной структуры натураль- ных систем. Здесь внутренняя подсистема сов- падает с самой системой и сама система рас- падается на структурные единицы. Системы первой строки рис. 1-10 находят- ся в отношении тождества к системам 2-й строки, последние же — в отношении нало- жения к системам 3-й строки. На рисунке си- стемы соединены символами этих отношений: •обычным символом тождества и вновь вво- димым символом наложения — квадратной скобкой. Изолированная связанная внутренняя статическая сервосистема подсистема III при р>0 Рис. 1-11. Структурные единицы сервосистем. г) Полу связанные механики Натуральные системы представляют собой полусвязанные системы. Связанность внутрен- них подсистем здесь прямо подчинена задаче взаимной нейтрализации противодействующе- го и содействующего начал. Носителями пер- вого являются здесь положительные одно- членные циклы самодействий, носителями вто- рого — отрицательные двучленные циклы взаимодействий. Структурная и метрическая связь тех и других такова в натуральных си- стемах, что оба начала нейтрализуются, ха- рактеристические определители внутренних подсистем натуральных систем и их структур- ных единиц тождественно равны нулю. Тео- рема 1-Ш. Внутренние подсистемы натураль- ных систем нейтральны. Следствие I. Изо- лированные натуральные системы астатичны. Системы с нейтральными внутренними подси- стемами и их механики назовем полунейтраль- ными. Натуральные системы и классическая их механика являются полунейтральными. Нейтральность внутренних подсистем в на- туральных системах — определяющее свойст- во этих систем — является прямым следстви- ем постулата противодействия, обращающего в нуль сумму внутренних сил системы. Посту- лат противодействия — специальный посту- лат взаимодействия классической механики— мог бы быть задан в более общей, кибернети- ческой форме как постулат полунейтрально- сти. Выражаясь парадоксально, можно ска- зать, что классическая механика в силу имен- но своего постулата противодействия являет- 27
ся механикой систем, наименее противодей- ствующих внешним силам, — противодейст- вующих им лишь силами инерции своих эле- ментов и не противодействующих — внутрен- ними силами системы. Действие постулата противодействия внутри системы полностью парализует способность внутренних сил систе- мы противодействовать внешним силам. Это, таким образом, механика систем с наиболее пассивной, слабой структурой. Специфиче- ским ее феноменом является полунейтраль- ность, в статике переходящая в нейтраль- ность— в астатичность .изолированных систем. Астатичность— специфический феномен клас- сической механики. д) Несвязанные механики Примером несвязанных систем с несвязан- ными внутренними подсистемами являются гироскопические системы. Механика их яв- ляется несвязанной механикой. Это показано на рис. 1-12 на примере системы рис. 1-4. На рис. 1-4 система эта не изолирована — внеш- ними силами являются здесь, как пояснено было выше, реакции всех нестарших внутрен- них связей. На рис. 1-12 связи эти сняты, и этим получена изолированная система. Ни структура, ни метрика элементов ее не связа- ны со структурой и метрикой взаимодействия. Элементы внутренних подсистем лишены ка- ких-либо внутренних связей (абстрактные элементы) и также, следовательно, не связа- ны с взаимодействием. Структурная единица кинетической внутренней подсистемы (стати- ческая внутренняя * подсистема отсутствует здесь, за отсутствием статических связей) об- разована одними внешними связями. Это яв- ляется общим свойством несвязанных сис- тем — поскольку структура элемента незави- сима в них от структуры взаимодействия, эле- менты не могут входить в структуру взаимо- действия — в структурные единицы. Гироскопические системы (как и натураль- ные) и их внутренние подсистемы (в отличие от натуральных) структурно, т. е. при всех Изолированная гироскопическая Внутренняя кинетическая система подсистема Рис. 1-12. Структурные единицы гироскопических систем. значениях метрических параметров, не ней- тральны. Это в данном случае результат не- связанности этих систем. Нейтральность в не- связанных внутренних подсистемах может быть достигнута взаимной нейтрализацией многочленных циклов. Это, однако, возможно лишь в более сложных структурах. При всей внешней сложности связанные структуры внутренних подсистем натуральных систем простейшим образом решают задачу ней- трализации. е) Внутренние и внешние силы систем Внутренние подсистемы образуются внут- ренними силами системы. Рассмотрим деталь- нее деление сил на внутренние и внешние. Де- ление это является специальным для каждой механики и могло бы послужить специальным постулатом взаимодействия ее. Существует, однако, предшествующее этим специальным делениям общее логическое деление: внутрен- ними силами динамических систем являются силы взаимодействия элементов ее — силы, имеющие субъектом и объектом элементы си- стемы. Это общее определение принимает раз- личное конкретное содержание в различных механиках вместе с различным конкретным содержанием, получаемым в них понятиями— субъект и объект силы. Наиболее общий смысл понятия эти получают в односторонней механике, где воздействующим элементом, субъектом силы, является элемент, чьим дви- жением сила определяется — от чьей коорди- наты она функционально зависит, воздейст- вуемым элементом, объектом силы, — эле- мент, чье движение силой определяется, — в чье уравнение она входит. Внутренние силы следует рассматривать как реакции внутрен- них связей системы, связей между элемента- ми ее, внешние силы — как реакции внешних связей системы, связей между системой и сре- дой. Понятие — сила является здесь вторич- ным и необязательным, однако весьма полез- ным, — внешние силы заменяют воздействие рассекаемых при выделении системы внешних связей, сохраняя этим в соответствии с логическим законом тождества тож- дество рассматриваемых объектов. Понятия «внутренние и внешние связи системы» видоизменяются в раз- личных механиках вместе с понятия- ми «внутренние и внешние силы». Так, самодействия, представляющие в од- носторонней механике, в качестве вну- тренних связей элементарных под- систем, внутренние связи систем, в классической и гироскопической меха- щжах представляют собой внешние 28
связи системы, хотя и зависящие от ее координат. Это вытекает из того, что в первой механике реакции этих связей яв- ляются внутренними силами системы, в двух последних — внешними. Специальное деление на внутренние и внешние силы определяется" в каждой механике ее специальным постула- том взаимодействия. Так, в классической ме- ханике деление. сил на внутренние и внешние силы системы определяется постулатом про- тиводействия. Структурные единицы, посколь- ку они, по определению, принадлежат внут- ренним подсистемам, не могут содержать внешних сил. Делением сил на внутренние и внешние си- лы системы определяется деление самих си- стем на изолированные и неизолированные. Первые не подвержены действию внешних в данной механике сил, вторые — подвержены. Общим для всех механик является вводимое в классической механике деление систем на автономные и неавтономные. В первых все действующие на систему силы, внутренние и внешние, зависят от координат системы, во вторых — не все. В односторонней механике, и только в ней, понятия «автономные и неав- тономные системы» совпадают соответственно с понятиями «изолированные и неизолирован- ные системы». Так, натуральные системы на рис. 1-1, 1-2, 1-3 являются неизолированными в классической механике. Первые две являют- ся при этом и не автономными, третья — авто- номной. В односторонней механике первые две сохраняют поэтому неизолированность, третья же становится изолированной. Внутренние подсистемы могут не разла- гаться на более простые единицы. В этом слу- чае система сама является своей несобствен- ной структурной единицей. Рассмотрим последовательно механику элементов, взаимодействий и систем. Б. Механика элементов Механика элементов возникает для несвя- занных и полусвязанных систем, где только и могут элементы существовать изолированно. В классической механике механикой элемен- тов является механика материальной точки — положительного элемента 2-го порядка. Структура и метрика элементов могут быть ничем не ограничены—это приводит к наибо- лее общей механике элементов — или ограни- чены какими-либо специальными постулатами элементов — это приводит к специальным ме- Пол о ж и те л ь н ы е Отрицательные j 000889988000 ? а/) б,) в,) г) д,) ег) Е,) Д,) Г,) в,) Б,) А,) Рис. 1-13. Элементы и элементарные системы. 29
ханикам элементов. Так, структура элементов классической механики ограничена постула- том положительности и второпорядковости их элементов — масс. Каждая специальная меха- ника определяется, таким образом, специаль- ным постулатом элементов и специальным по- стулатом взаимодействия. Оба постулата в со- вокупности определяют механику системы. Для несвязанных и полусвязанных механик они независимы. В односторонней механике структура и метрика элементов так же неогра- ниченна, как и систем, — здесь отсутствуют оба специальных постулата. Элементы могут обладать здесь произвольным знаком и по- рядком и произвольной метрикой. Это приво- дит к рассматриваемой ниже наиболее общей механике элементов. Рассмотрим кратко, опе- режая дальнейшее детальное изложение, эту наиболее общую механику элементов. а) Механика элементов Элементами системы названы были ранее обобщенные координаты. Определение это, однако, неполно. В нем отсутствуют какие- либо определяющие свойства элемента. Таким определяющим свойством элемента является в механике реакция его на внешние воздей- ствия— способ развиваемого им противодей- действия действующим силам: элементом яв- ляется обобщенная координата с присущим ей способом противодействия. В классической механике способ этот единообразен — проти- водействие пропорционально ускорению и противоположно ему по знаку. Это соответст- вует положительным элементам (массам) вто- рого порядка и ускорениям, совпадающим по знаку с действующей силой. В односторонней механике могут быть синтезируемы различные способы противодействия, различные, произ- вольного порядка и знака элементы. Элементы односторонней механики (рис. 1-13) могут обладать произвольным по- рядком и знаком потому уже, что они пред- ставляют собой обращенные внутрь элемента односторонние действия и так же свободны по структуре, как эти последние. Порядок их определяется порядком этих односторонних действий, знак — способом обращения внутрь элемента этих односторонних действий, зна- ком замыкания их в одночленные циклы — в положительные или в отрицательные. Располагая простейшей, неделимой далее структурной составляющей — односторонним действием, односторонняя механика синтези- рует произвольной структуры самодействия— элементы и взаимодействия — сложные си-' стемы. 30 Движение элемента р-го порядка, с поло- жительным или отрицательным параметром (гипермассой) р-го порядка описывается уравнением Д(р)9(р) = (2. (1-9) Гиперускорение р-го порядка этого эле- мента равно: <’-ю> Оно положительно—совпадает по направле- нию с силой при положительной гипермас- се и отрицательно — противоположно на- правлению силы при отрицательной гипермас- се. Соответственно элемент обладает положи- тельной или отрицательной реактивностью. Нулевой реактивностью обладают только аб- страктные элементы. Такие нейтральные эле- менты могут быть получены наложением от- рицательного элемента на положительный — тем же общим способом взаимной нейтрализа- ции противодействующего и содействующего начал, которым получены были выше (рис. 1-9) сложные статически нейтральные системы. Все эти необычные для классической механики понятия будут материализованы в следующей главе. Уравнение (1-10) представляет обобщен- ный 2-й закон классической механики. В фор- ме (1-9) оно представляет динамическую ин- терпретацию логического постулата действия. Кинетический член левой части уравнения (1-9) представляет собой объект действия — противодействующую силу инерции, сила Q в правой части — субъект действия—дей- ствующую силу. Перенося кинетический член направо: Q_Л^р = 0, (1-11) мы условно, кинетостатически, переносим си- лу инерции с элемента-объекта ее на элемент- субъект, условно переводим ее в категорию самодействий. В отличие от всех остальных самодействий сила инерции является самодей- ствием лишь в этом условном, кинетостатиче- ском, смысле. б) Механика элементарных систем Связывание элементов — старших внутрен- них связей внутренними связями более низко- го порядка — собственно связями образует уже одноэлементные сйстемы — элементарные системы (рис. 1-13). Реакция элемента — стар- шей внутренней связи представляет собой противодействующую силу инерции, реакции всех остальных внутренних связей элементар- ной системы — действующие силы. Внутренни-
ми силами элементарных систем являются са- модействия — односторонние действия. По< скольку такие действия возможны только в односторонней механике, только в* ней эле- ментарные системы могут быть изолированны- ми системами (средняя строка рисунка). В тех специальных механиках, где односторон- ние действия невозможны, самодействия явля- ются внешними силами, зависящими от коор- динат системы—зависимыми внешними сила- ми (нижняя строка рисунка), сами же элемен- тарные силы вырождаются в элементы. По этой только причине механика элементарных систем, принадлежащая механике систем, включена здесь в механику элементов. Не следует, разумеется, смешивать элемен- тарные подсистемы со структурными едини- цами. Элементарные подсистемы являются одноэлементными подсистемами как самих многоэлементных (сложных) систем, так и их внутренних подсистем и структурных единиц, также многоэлементных. Структурные едини- цы образованы только внутренними силами системы, элементарные системы только в од- носторонней механике образованы внутренни- ми силами системы, в классической же—внеш- ними. Отрицательные элементы и элементарные системы правой части рисунка получены из положительных — левой части инверсией, из- менением знаков всех связей. Это структурное преобразование является эквивалентным (на рисунке введен знак эквивалентности — двой- ная стрелка) в том смысле, что не изменяет характеристического уравнения системы, а с ним—и общих свойств ее — устойчивости, апериодичности и т. д. Оно, однако, не являет- ся формальным тождественным преобразова- нием — преобразованием координат, посколь- ку знак одночленных циклов инвариантен к системе координат. Это содержательное пре- образование элементов, при неизменных об- щих свойствах системы изменяющее локаль- ные их свойства. Таким локальным свойством является, в частности, гиперускорение, знак которого изменяется инверсией. Эта связь эквивалентных преобразований с общими и ло- кальными свойствами системы подробно рас- сматривается ниже. Тем же общим способом, что и для слож- ных систем (рис. 1-10, 1-11, 1-12), выделяют- ся из элементарных систем кинетическая и статическая внутренние подсистемы (рис. 1-14). Структурные единицы совпадают здесь с самими системами. В элементарных системах невозможна вза- имная нейтрализация связей — элементарные системы структурно не нейтральны. Рис. 1-14. Реактивность элементарных систем. В. Механика взаимодействий Механикой взаимодействий является меха- ника внутренних подсистем — кинетической (динамика взаимодействий) и статической (статика взаимодействий). Общая реактив- ность сложной системы в некотором ее эле- менте определяется кинетостатической реак- цией этого элемента (силой инерции его) и кинетической и статической реакциями слож- ных внутренних, подсистем в этом элементе. Если эти последние реакции равны нулю, — если внутренние подсистемы нейтральны в этом элементе (нейтральность в данном эле- менте — локальная нейтральность, представ- ляет собой локальное свойство системы в этом элементе; необходимым, но не достаточным условием его является рассмотренная выше общая нейтральность — общее свойство систе- мы), как это имеет место в статике у астати- ческих внутренних подсистем, общая реакция равна реакции отдельно взятого элемента. Ло- кальная реактивность внутренней подсистемы в данном элементе, совпадающая по знаку с реактивностью элемента (знак последней совпадает со знаком элемента), слагается с ней, несовпадающая — вычитается. Прибе- гая к грубой аналогии, можно было бы сравнить внутреннюю подсистему со скелетом системы. Системы с нейтральными внутренни- ми подсистемами, кинетической или статиче- ской, лишены соответственно кинетического или статического скелетов, и реактивность их базируется только на собственной реактивно- сти элементов. Соединение элементов в такую систему ничего не добавляет к реактивно- сти их. Реактивность в каждом элементе системы слагается таким образом из реактивности это- го отдельно взятого элемента и локальной ре- активности в нем внутренних, кинетической и статической, подсистем. Это и позволяет рас- членить механику системы на механику эле- ментов и механику взаимодействий. Статика же изолированных систем прямо сводится, 31
как показано было выше, к механике стати- ческих взаимодействий, механике статических внутренних подсистем. Механикой взаимодей- ствий полностью определяется статическая ре- активность систем, и в определенной мере — динамическая реактивность. а) Связанные взаимодействия Классическое взаимодействие. .На рис. 1-15 рассмотрена механика взаимодей- ствия натуральных систем классической меха- ники — их реактивность. Общая и кинетиче- ская реактивности системы в /-том элементе определяются передаточными функциями*. ун = статическая реактивность — коэф- фициентами влияния: ац= т11, где Др и Ая—соответственно характеристический и ста- тический определители, Ан — их главные ми- норы. Выражения эти даны на рисунке в ци- клической форме:' структурная схема может быть рассматриваема как циклическая форма характеристического определителя системы; циклическая форма главного минора i-го эле- мента получается отбрасыванием всех сходя- щихся в элементе связей (Л. 30, 36, 87]. Опре- делителем определяются общие свойства си- стемы, минором — локальные, отнесенные к отдельным элементам, подсвойства этих об- щих свойств. Передаточные функции пред- ставляют собой локальные свойства системы в данном элементе, — величины, обратные ло- кальным реактивностям систем в этих эле- ментах. Из этой циклической формы легко усмат- тривается безусловно положительная локаль- ная реактивность в элементе ! системы и без- условная локальная нейтральность в этом эле- менте кинетической и статической внутренних ее подсистем. В натуральных системах локаль- ная нейтральность имеет место во всех эле- ментах внутренней подсистемы (равномерная нейтральность). Локальная нейтральность обу- словлена здесь тем, что числитель уш и aik больше нуля при равном нулю знаменателе (общая нейтральность). Превышение это и равенство нетождественны относительно пара- метров системы. Это означает, что свойства эти не безусловны, а лишь структурны. Одна- ко благодаря метрической однородности на- туральных' систем они всегда в них выполня- ются, т. е. для них — безусловны. В случае равенства нулю и числителя и знаменателя возникает неопределенная ло- кальная нейтральность Оба локальных свой- ства — определенная и неопределенная ло- кальные нейтральности являются локальными подсвойствами общего свойства нейтрально- сти (эю отношение свойств подробно рассмот- рено ниже). Внутренние подсистемы нату- ральных систем во всех элементах обладают именно определенной локальной нейтрально- стью и в этом смысле равномерно нейтральны (слово определенно здесь и в дальнейшем опускается). Теорема 1 - IV. Внутренние подсистемы натуральных систем равномерно безусловно нейтральны. Следствие I. Изолированные натуральные системы равномерно безусловно астатичны. Неклассические в заимодей- ствия. Рассмотрим неклассические связан- ные механики, положив в основу их класси- фикаций тот же кибернетический критерий реактивности. Механики систем с положи- Изрлиробанная натуральная Внутренние подсистемы, система кинетическая статическая Рис. 1-15. Реактивность натуральных систем. 32
тельной, нулевой и отрица- тельной реактивностями и их динамические структуры ” | назовем соответственно по- ложительными, нейтральными g и отрицательными механиками -| и структурами. На рис. 1-16^ проведена по этому признаку^/ классификация двусторонних внутренних подсистем и дву- сторонних механик взаимо- действия. Здесь возможны одна положительная, одна от- рицательная и три нейтраль- ные механики — одна плюс- нейтральная и две минусней- тралъные (названия эти даны нулевым механикам, как вы- ше — астатическим системам, по знаку сложных циклов их Динамическух структур). В ле- вом столбце рис. 1-16 даны динамические структуры этих0^ f- механик, в правом столбце — структурные единицы. Цикли- ческим развертыванием (Л. 36, 87] этих структурных единиц на рис. 1-16 доказано, что характеристический опреде- литель структурных единиц положитель- ных структур тождественно больше нуля, отрицательных тождественно меньше нуля, нейтральных — нетождественно равен нулю. Это означает, что положительные и от- рицательные структуры на рис. 1-16 безуслов- но положительны и безусловно отрицательны, нейтральные же только структурно нейтраль- ны. В иных положительных, отрицательных и нейтральных структурах эти структурные со- отношения могут быть и иными. В принципе положительность, отрицательность и нейтраль- ность могут быть как структурными, так и без- условными. На рис. 1-17 даны трехсторонние системы и трехсторонние механики взаимодействия. Ввиду большого числа возможных трехсто- ронних механик на рисунке приведены лишь две нейтральные механики: плюснейтральная и минуснейтральная. В левом столбце даны нулевые нейтральные структуры и механики— с наименьшим числом связей, при котором еще возможна нейтральность. Это наименьшее число связей Мг равно здесь 2m, где m — число элементов структуры. В правом столбце даны ненулевые, с избытком связей, структу- ры и механики. Разность Vr=-Mr—Nr, где Nr—наличное число связей, назовем числом степеней реактивности. Достаточным, но не необходимым метри- Рис. 1-16. Связанные двусторонние механики. ческим условием нейтральности нулевых структурно нейтральных систем рис. 1-15 и 1-16 является метрическая однородность, для ненулевых систем -необходимым, но недоста- точным условием нейтральности является мет- рическая нейтральность. Структуры и механики на рис. 1-16 и 1-17 различаются только локализацией противо- действующего и содействующего начал — в одних механиках, в классической—в частно- сти, первое локализовано в элементарных циклах, второе — в сложных, в других имеет место противоположная локализация. Каждая из механик однозначно определя- ется своей структурной единицей. Сложные структуры этой механики могут получаться одним лишь способом — наложением струк- турных единиц, подчиняющимся теореме наложения: наложение только положи- тельных, только отрицательных и только нейт- ральных структурных единиц образует соот- ветственно положительные, отрицательные и нейтральные структуры. Теорема эта позволи- ла ограничить доказательства для систем на рис. 1-16 доказательствами для их структур- ных единиц. По теореме наложения доказа- тельства эти распространяются на все слож- ные структуры данной механики. Ниже показано будет, что все изолирован- ные натуральные системы могут быть пред- ставлены в виде структур средней строки рис. 1-16. Механика этих систем—классиче- 3 И. И. Гальперин. 33
Рис. 1-17. 'Связанные трехсторонние механики. ская механика — является минуснейтральной двусторонней механикой. Этим достаточно очерчивается узкоспециальное место этой ме- ханики в семействе дедуктивных механик. Ме- сто это еще сужается тем, что классифика- ция на рис. 1-16 охватывает только двусторон- ние системы со связанной внутренней струк- турой и не охватывает поэтому гироскопиче- ских и иных систем с несвязанной структурой. На рис. 1-16 дана классификация одних лишь статических подсистем. Она же относит- ся, однако, и к кинетическим внутренним под- системам, где лишь знаки превышения и ра- венства заменяются знаками тождественного (относительно р) превышения и тождественно- го равенства (рис. 1-10, 1-11, 1-14). Тождест- венность относительно р следует здесь пони- мать как тождественность относительно поло- жительных значений р. Легко проверить, что из двусторонних ме- ханик на рис. 1-16 локально однородны поло- жительная и все нейтральные, и неоднород- на — отрицательная. Нейтральные трехсторон- ние механики на рис. 1-17 все локально одно- родны. б) Несвязанные взаимодействия Связанные структуры являются наиболее специальными структурами. С первым же освобождением структуры в гироскопических системах возникает несвязанное взаимодей- ствие, получающее дальнейшее развитие в сервосистемах. Гироскопическое взаимодей- ствие. На рис. 1-18 рассмотрена механика гироскопических взаимодействий. Кинетиче- ская внутренняя подсистема здесь, как выяс- нено было выше, не обладает общей ней- тральностью и не обладает, следовательно, локальной нейтральностью. Статическая внут- ренняя подсистема отсутствует, что равно- сильно равномерной локальной астатичности. Теорема 1-V. Кинетическая внутренняя подсистема гироскопических систем равномер- но безусловно положительна, статическая — равномерно безусловно нейтральна. След- ствие I. Изолированные гироскопические си- стемы равномерно безусловно положительно реактивны и равномерно безусловно аста- тичны. Гироскопические системы кинетически ак- тивнее натуральных, наиболее пассивных си- стем. Они не лишены, как последние, кинети- ческого скелета, и кинетическая реакция их в каждой точке слагается из реакции самого элемента и «подпирающей» его реакции внут- ренней подсистемы. Этим, в частности, объяс- няется их стабилизирующая способность. Псевдостатика. Кинетическая сопротивляе- мость внутренней подсистемы гироскопиче- ских систем наиболее наглядно выражается их 1-го порядка изодромностью. Поясним это псевдостатическое понятие. Назовем порядко- во однородными системы, составленные связя- ми одинакового порядка. Порядково однород- ные подсистемы наиболее низкого для данной системы порядка назовем псевдостатическими этого же порядка подсистемами, и лишь в слу- чае нулевого порядка — статическими. Меха- ники этих подсистем назовем соответственно псевдостатикой и статикой. Статика является частным случаем псевдостатики. Так, системы на рис. 1-1 и 1-6 обладают статикой, системы на рис. 1-2 и 1-3 лишь псевдостатикой соот- ветственно 1-го и 2-го порядков. Изолиро- ванные гироскопические системы (рис. 1-12, 1-18) обладают псевдостатикой 1-го поряд- ка. Псевдо-статика является механикой уста- новившегося движения и лишь в частном слу- чае статики — механикой покоя. Для гироско- пических систем установившимся явится дви- жение с постоянными скоростями, подчиняю- щееся псевдостатике 1-го порядка. Все поня- тия*статики распространяются на псевдоста- тику с соответствующим повышением (при дифференциальной псевдостатике) или пони- жением (при интегральной псевдостатике) по- рядка. Это пояснено на рис. 1-19 сопоставле- нием статики и лсевдостатики соответственно двусторонней сервосистемы на рис. 1-11 с ги- роскопической двусторонней системой на рис. 1-18. Статическая структура первой и псевдо- статическая второй различаются только диф- ференциальным порядком связей. Соответ- 34
система Изолированная гироскопическая t Внутренняя кинетическая подсистема Рис. 1-18. Реактивность гироскопических систем. ской системе—гироскопе с дву- мя степенями свободы свой- ство это выражается прецес- сией — нулевой угловой ско- ростью нагруженного кольца гироскопа и постоянной ско- ростью ненагруженного. В не- четных псевдостатических дву- сторонних системах, гироско- пических в частности, устано- вившееся движение под воз- действием внешней силы так же невозможно, как покой в статических. Выяснение того, что пре- цессия представляет собой псевдостатический, а не кине- тостатический феномен, существенно облег- чает понимание ее, подчиняя ее простым ста- тическим соотношениям. Возможность эта возникает, однако, лишь при игнорировании циклических'координат и выходе, таким обра- зом, за пределы классической механики. В классической механике без такого игнори- рования прецессия представляет собой кине- тостатический феномен. Достигаемое этим вы- ходом упрощение очевидно. ственно только дифференциальным порядком параметров движения должны отличаться и статические свойства первой системы от псев- достат,ических второй; в первой этим пара- метром являются перемещения, во второй — скорости. Свойства эти различны в четных (с четным числом элементов) и нечетных си- стемах и пояснены на рисунке качественными линиями влияния — вместо простановки зна- ков статических перемещений, как на рис. 1-9; здесь зачернены все смещающиеся в ста- тике элементы и не зачернены щиеся. Теорема 1-VI. Четные статические двусторонние си- стемы обладают главной изо- дромностью (ан = 0) во всех элементах, нечетные — главной астатичностью (ан = оо) во всех элементах . Это явствует из того, что в четных системах равен нулю числитель передаточной функ- ции и отличен от нуля знаме- натель, в четных же наоборот. Для псевдостатических цепных систем следует подразумевать в этой теореме изодромность соответствующего порядка, для гироскопических систем, в частности, — 1-го порядка. Это означает, что устано- вившееся под воздействием .силы, приложенной к какому- либо элементу, движение чет- ной гироскопической системы будет происходить при нуле- вой скорости этого элемента и ненулевых скоростях всех остальных элементов. В про- стейшей четной гироскопиче- несмещаю- Псевдостатика, как и статика, является частным видом нейтральности. Нейтральность не исчерпывается, однако, этими двумя слу- Связанная сервосистема Гироскопическая система Рис. 1-19. Статика и псевдостатика. 3* 35
чаями, относящимися только к порядково од- нородным системам. Она может иметь место и в порядково неоднородных системах. Как указывалось выше, изодромность яв- ляется специфическим феноменом некласси- ческих, более активных, механик. В гироско- пических системах она является опознова- тельным признаком выхода за пределы клас- сической механики. В еще более активных механиках сервосистем возникает еще более активный феномен — движения навстречу дей- ствующей силе. Сервовз аимодействия. Системы ав- томатики призваны защищать объект от воз- мущающих внешних воздействий. К ним предъявляются поэтому требования наиболь- шей реактивности. Натуральные системы яв- ляются антиподом этих требований. Только радикальным разрушением их структуры можно было получить более реактивные гиро- скопические системы и неограниченно реак- тивные сервосистемы. Полностью освобож- денная структура сервосистем позволила син- тезировать изодромные системы — с беско- нечно большой статической реактивностью. Неизодромные системы. В первой строке рис. 1-20 даны родоначальные для всей авто- матики сервосистемы —* неизодромные систе- мы регулирования числа оборотов двигателей (в данном случае турбины), с положительным (рис. Я1), нулевым (рис. б\) и отрицательным (рис. 81) саморегулированием. Системы раз- личаются только знаком связи саморегулиро- вания. Системы, различающиеся лишь знаком отдельных связей (переменных связей), отно- сятся к одному семейству. Переменная связь входит в матрицу знаков переменным знаком, могущим принять одно из трех значений: плюс, минус и нуль. Так, системы на рис. 1-20 относятся к однопараметрическому семейству одноциклических систем. Семейство систем описывается общей системой уравнений. Пе- ременные связи входят в это уравнение пара- метрами системы, все же остальные связи — параметрами связей. Для каждой системы се- мейства остается лишь указать интервалы из- менения параметров переменной связи (рис. 1-20). Системы регулирования не обладают, строго гово- ря, однородной односторонней структурой. Односторон- ность структуры нарушена в паре объект-регулятор— здесь имеет место двусторонняя связь. Однако силы противодействия |(кориолиссовы силы инерции) центро- бежного регулятора ротору турбины исчезающе малы в масштабе действующих на объект сил. Двусторонняя связь (обратная связь ее, -показан- ная на рис. 1-20,а пунктиром), включена здесь в том месте системы, где масштаб действующих сил скачком изменяется на всю накопленную в усилительной цепи 36 величину, и лишь'потому может быть сочтена односто- ронней. Здесь обнаруживается еще один механизм пре- образования двусторонних связей в односторонние— каскад масштабов. Механизм этот имеет место в клас- сической механике в обычном отношении измерительно- го прибора к объекту, позволяющем пренебрегать об- ратным воздействием прибора на объект. В квантовой механике он принципиально исключен принципом не- определенности. В сервосистемах механизм этот, как выяснено выше, может иметь лишь локальное приме- нение. Неделимыми единицами сервосистем яв- ляются действительно простейшие, неделимые ни в одной механике единицы — односторон- ние связи. С их помощью могут быть синте- зированы системы вполне произвольной струк- туры. Элементы в этих системах вполне неза- висимы от взаимодействий. В этой освобож- денной структуре не составляет труда конст- руировать циклы любого знака. Так, единст- венный сложный цикл в сервосистемах рис. 1-20 сделан положительным с помощью одной перемены знака, реализуемой, как и в системе на рис. 1-7,6, символическим рычаж- ком АБ, подчеркивающим асимметрию поло- жительных циклов Системы на рис. 1-20, а\ и б\ содержат од- ни лишь положительные циклы. Соответствен- но и их характеристические определители со- держат одни лишь положительные члены (эта связь между знаками циклов и членов опре- делителя доказывается ниже). Здесь налицо одни лишь факторы противодействия. В сис- теме 8ь совпадающей по структуре с систе- мой нижней строки рис. 1-9, содержится один отрицательный элементарный цикл, порож- дающий отрицательные члены. Этот содейст- вующий фактор повышает статическую и ди- намическую податливость системы и при некоторых метрических соотношениях мог бы привести к астатичности. Однако противодей- ствующий сложный положительный цикл вы- полняется здесь с преобладанием, радикаль- но ослабляющим это влияние. Назначение по- ложительного цикла, образуемого здесь сис- темой управления, и заключается в том, чтобы повысить существующую положительную ста- тическую реактивность объекта в системе заместить отсутствующую реактивность его в системе 61 и ослабить отрицательную ста- тическую его реактивность в системе 8Ь Во всех трех случаях управляющая система ра- дикально усиливает реактивность объекта, и в этом ее назначение. Как и системы на рис. 1-9, система на рис. 1-20, 61 структурно статична, системы а\ и 61 безусловно статичны (имеется в виду по- ложительная статичность), и все три системы безусловно положительно динамичны. В той
azz4z ^ггЧг + СггЧг " czi4i = ° ЪззЧз + сззЧз “ сззЧг = О &44Ч4 + £44^4^— с^зЧз = О ^SS4S +с55%5 ~ Зг4?4 = О Уравнения семейства элементов: Ъ& +£п?1 + cf5gs = &Р ротора регулятора Ьго каскада 2-го каскада 3-го каскада + QtQi + cts4s = &r ) ^zzkz + ^ггЧг + czz4z — czi4t = О ЪззЧз + сззЧз ~ сзгЧг = У &44Ч4 +> ^44#4 “ сьзЧз'= У ^S54s + С5бЧб “ c5$44 = ° ЪббЧб + сббЧз + £55 4s = о ротора регулятора l-го каскада 2-го каскада З-го каскада изодрома l+fe Рис. 1-20. Реактивность сервосистем. же мере, в какой специфическим феноменом натуральных систем является астатичность и адинамичность внутренних подсистем, спе- цифическим феноменом сервосистем являются статичность и динамичность. Это наиболее ре- активные системы. Положительные циклы являются фактора- ми не только противодействия, но и устойчи- вости. Если для системы аь структурно устой- чивой и в разомкнутом виде, замыкание в по- ложительный цикл имеет значение лишь в пер- вом смысле — повышения реактивности сис- темы, уменьшения ее податливости, то для систем 61 и в! оно имеет двойное значение — ужесточения и стабилизации системы. На рис. 1-20 указаны числа Vs—степеней неустой- чивости системы. Избыточная отрицатель- ная внутренняя связь объекта в системе не изменяет числа Vs, поскольку образуемый ею одночленный отрицательный цикл является дестабилизирующим фактором. Это же отно- сится к любому нечетному числу отрицатель- ных циклов. В четном, числе отрицательные циклы приобретают и противодействующую (рис. 1-12,в) и стабилизирующую (рис. Ь4) способности. Положительные циклы в любом числе, отрицательные же — только в четных сочетаниях представляют фактор устойчиво- сти; в нечетных сочетаниях отрицательные циклы представляют фактор неустойчивости. Изодромные системы. В структурно устой- чивой одноциклической системе может содер- жаться не более одного астатического элемен- та [Л. 25]. В случае статического объекта это вакантное место может быть занято другим элементом — астатическим регулятором или 37
астатическим сервомотором. В обоих случаях возникают изодромные в точке «объект» сис- темы с бесконечно большой статической реак- тивностью в этой точке. В изодромных систе- мах задача автоматического регулирования решается наиболее полно — с нулевой стати- ческой ошибкой. Эти простейшие изодромные системы воз- можны лишь для положительно статических объектов. В общем случае задача устойчиво- го и изодромного регулирования решается с помощью специальных изодромных струк- тур, одна из которых показана в нижней стро- ке рис. 1-20. Простая внутренняя статическая связь одного из сервомоторов заменена здесь сложной («гибкой» — по установившемуся неудачному выражению) связью, статически незамкнутой для нулевой остаточной нерав- номерности регулирования (рис. б2), статиче- ски замкнутой в положительный цикл — для положительной остаточной неравномерности (рис. а2), и — в отрицательный цикл — для отрицательной неравномерности (рис. в2). Первая схема применена к астатическому объекту, вторая — к положительно стати- ческому объекту, третья — к отрицательно статическому объекту (любая из этих схем может быть применена к любому объекту). Все вместе они образуют, таким образом, двухпараметрическое семейство систем. Пе- ременными связями являются здесь внутрен- няя статическая связь саморегулирования и внешняя статическая связь изодрома. Сервосистемы на рис. 1-20 не разлагаются на более простые структурные единицы. Каж- дая из них является своей же внутренней ки- нетической подсистемой и своей же структур- ной единицей. Механика взаимодействий каж- дой из этих систем охватывает всю систему в целому и не сводится к механике взаимодей- ствий более простых структурных единиц. Это является общей чертой сервосистем об- щего вида. Системы левого столбца рисунка обладают конечной положительной статиче- ской реактивностью, правого столбца — ко- нечной отрицательной и среднего столбца — бесконечно большой положительной. Все си- стемы рисунка -обладают конечной положи- тельной динамической реактивностью. В си- стемах 1-го столбца все эти свойства яв- ляются структурными, в системах двух ос- тальных столбцов — безусловными. Эти не- обычные для классической механики свойства подтверждают сказанное выше: сервосистемы^ являются системами произвольной структуры с произвольно синтезируемыми свойствами. 38 Г. Механика систем Механика систем возникает как наложение на механику элементов механики взаимодей- ствий. Последняя, в свою очередь, сводите^ к механике единичных взаимодействий — структурных единиц. Такое деление механик позволяет свести общую задачу реактивности систем к более простым задачам реактивно- сти их элементов и внутренних подсистем. Простейшим случаем такого сведения яв- ляется статика изолированных систем: стати- ка и псевдостатика изолированных систем представляют собой механику статических внутренних подсистем — механику статиче- ских взаимодействий. Такое же сведение име- ет место и в некоторых специальных случаях динамики. Рассмотрим эти случаи. Реакция системы в данном элементе сла- гается из реакции самого элемента и реакции всей остальной системы, назовем ее допол- няющей подсистемой. Теорема 1-VIL Реак- ция системы в каждом ее элементе равна сум- ме реакций элемента и дополняющей подси- стемы. Этому достаточно очевидному положе- нию придана здесь форма теоремы, чтобы из- влечь из него некоторые менее очевидные следствия. Следствие I. Если из всех эле- ментов системы один лишь является неабст- рактным, реакция системы в этом элементе слагается из реакции самого элемента и реак- ции внутренней подсистемы в этом элементе. Это явствует из того, что внутренняя подси- стема является в этом случае дополняющей подсистемой. Следствие II. Если в случае, рассматриваемом следствием Z, внутренняя подсистема локально нейтральна в неабст- рактном элементе, реакция системы в этом элементе равна реакции самого элемента. Это явствует из того, что реакция внутренней под- системы равна нулю в этом элементе. След- ствие III. Реакция натуральных систем, об- ладающих одним лишь неабстрактным эле- ментом, равна в этом элементе реакции само- го элемента. Это вытекает из полунейтраль- ности натуральных систем. Следствием I задача реактивности дина- мической системы сводится к задаче реактив- ности более простой динамической системы— внутренней подсистемы. Задача еще более упрощается и сводится к статике, когда эта внутренняя подсистема является статической или псевдостатической. Это имеет место, в частности, в гироскопических системах. Для нечетных систем, где внутренние подсистемы локально нейтральны во всех элементах (рис. 1-19), приложенная к единственному инерционному кольцу системы сила будет
встречать только инерционное сопротивление самого кольца. К рассматриваемому следствием I «пре- дельному случаю —< абстрактности всех, кро- ме одного, элементов системы, близки ре- альные случаи — малости параметров всех, кроме одного, элементов: случай, например, цепной гироскопической системы, когда масса одного из колец многократно превышает мас- сы всех остальных колец. В этом последнем случае реакция системы в инерционном ее элементе (кольце) на внешний момент распа- дается на реакцию отдельно взятого кольца (силу инерции его) и псевдостатическую ре- акцию отдельно взятой псевдостатической внутренней кинетической подсистемы. Выделение механики взаимодействий при- водит к наиболее наглядным результатам в полунейтральных, в частности в классиче- ской, механиках. Однако и в ненейтральных механиках оно оказывается полезным. Некото- рые качественные результаты можно извлечь и из разделения системы на элемент и допол- няющую подсистему. Теорема 1-VIII. При одинаковых по знаку реактивностях элемента и дополняющей этот элемент подсистемы знак локальной реактивности системы в этом эле- менте совпадает с этим знаком. Локальная нейтральность системы в данном элементе мо- жет быть достигнута лишь при различных зна- ках реактивности элемента и дополняющей подсистемы в результате взаимной нейтраль- ности этих реактивностей. Можно указать и ряд иных теорем, свя- занных с разделением механик и расчленени- ем реакций. Вопросы эти рассмотрены будут ниже при рассмотрении конкретных специаль- ных механик. Только для общей, односторон- ней механики деление на механику элементов и механику взаимодействий теряет смысл, по- скольку взаимодействия — (внутренние кине- тические подсистемы) сливаются здесь с са- мими системами. Рассмотрим в этой общей схеме — меха- ника элементов, механика взаимодействий, механика систем — основные дедуктивные ме- ханики. Дальнейшее систематическое построение односторонней механики, охватывающей все эти механики, может быть достигнуто либо новым, дедуктивным построением ее, либо ин- дуктивным построением — расширением клас- сической механики, отчленением и снятием ее специального содержания. Имея перед собой законченное в основных чертах здание клас- сической механики, естественно было бы из- брать второй способ построения, использован- ный уже выше в исходном пункте ответвле- ния двусторонней механики от односторон- ней — постулате противодействия. Отчленени- ем в этом постулате специального содержания от общего получен был постулат односторон- него действия, определяющий одностороннюю механику. Способ этот, однако неполон. Индукция требует только отделения спе- циального, вытекающего из постулата проти- водействия, содержания классической механи- ки от общего и снятия этого специального содержания. Она, однако, недостаточна. Оста- ток после такого снятия составит принадлежа- щее односторонней механике общее содер- жание двусторонней механики, но не всю од- ностороннюю механику. Чтобы получить всю одностороннюю механику, необходимым ока- жется дополнить индукцию дедукцией. Более простым оказалось поэтому избрать единый, дедуктивный метод. Специальные, неодносто- ронние, механики получаются при этом соот- ветствующим ограничением общей односторон- ней механики специальными постулатами эле- ментов и взаимодействия. Критерием правильности такого построе- ния должно явиться объемлющее положение всех понятий и предложений односторонней механики по отношению к соответственным понятиям и предложениям классической — обычное отношение дедуктивной системы к своей подсистеме. Поясним этот переход от понятий односто- ронней механики к понятиям классической ближайшими примерами. Понятие «динамиче- ская система» сохраняет в классической ме- ханике то же содержание — системы взаимо- действующих элементов, что’и в односторон- ней, однако объем его сужается. В односто- ронней механике возможно самовоздействие, возможны, следовательно, одноэлементные системы. Их внутренними силами явятся са- модействия. В классической механике наи- меньшими системами являются двухэлемент- ные системы. Их внутренними силами явля- ются взаимодействия. Объем понятия «дина- мические системы» сужается в двусторонней механике, из него исключается подпонятие— «элементарные системы», одно из централь- ных понятий односторонней механики. Это сужение понятий и предложений односторон- ней механики в двусторонней будет последо- вательно прослеживаться. Понятие — элементарная система разру- шается при переходе от односторонней меха- ники к двусторонней. Оно не может быть по- этому получено при обратном переходе сняти- ем специального содержания двусторонней ме- ханики, индукцией. Это поясняет указанную выше невозможность получения всей односто- 39
ронней механики таким снятием. Понятие это может быть получено только дедукцией. Представление классической механики специальным случаем односторонней позволя- ет с наиболее общих позиций переосмыслить все понятия последней. Это потребует кропот- ливого и порой утомительного логического анализа. 1-2. ОДНОСТОРОННЯЯ МЕХАНИКА 1-2-1. Механика элементов Выделение элементов из элементарных си- стем односторонней механики показано на рис. 1-13. На рис. 1-21 даны основные элемен- тарные системы автоматики — дифферен- циальные, положительные. Структура дина- мических элементов односторонней механики ничем не связана — здесь возможны элемен- ты любого порядка и знака. Возможность эта лишь косвенно вытекает из отказа посту- лату противодействия — в результате этого отказа возникают односторонние связи, про- извольное обращение которых внутрь элемен- та и приводит к синтезу элементов произволь- ной структуры. Можно сконстрировать и подчиняющиеся постулату противодействия ненатуральные системы с элементами произ- вольной структуры. Это, однако, возможно лишь с помощью того же одностороннего дей- ствия. Элементы односторонней механики подчи- няются более общим законам, чем 1-й и 2-й законы классической механики. Если третье- му постулату классической механики, опреде- ляющему движения системы в целом, одно- сторонняя механика отказывает, то остальные два постулата классической механики, опре- деляющие движение элементов (материаль- ных точек) системы, обобщаются в односто- ронней механике, применительно к тем совер- шенно общего вида элементам, которыми она оперирует. Следует поэтому прежде всего определить понятие динамический элемент в задаче движения. Динамические элементы. Поня- тию динамический элемент дано было выше предварительное определение, требующее дальнейшего развития. Понятие это приобре- тает различное значение в различных меха- нических задачах — равновесия, движения, устойчивости и др. В каждой из этих задач можно выделить воздействия и их объект. Последний и является элементом в каждой из этих задач. В наиболее общей из них, задаче движе- ния, воздействиями являются силы, объек- том — фактор инерции. В классической меха- нике, оперирующей только положительными элементами 2-го порядка, фактором инерции является обычная масса — параметр старшей 40
внутренней связи 2-го порядка. Эта связь и образует динамический элемент в классиче- ской механике. То же определение сохраняет- ся и в односторонней механике, оперирующей элементами любого порядка и знака И здесь элементами в задаче движения являются старшие внутренние связи. Реакции этих свя- зей — противодействующие силы инерции — противостоят действующим силам—реакциям всех остальных динамических связей, как про- тиводействие — действию, объект — субъек- ту, реакция — силе. Поскольку в изолирован- ной элементарной системе действующие силы, причины движения, определяются значениями всех нестарших параметров движения элемен- та— пути, его производных ^(кроме старшей) и интегралов, параметры эти должны быть заданы в каждый момент движения как на- чальные условия его. Старшая же производ- ная — следствие действия этих сил, опреде- ляющая противодействующую силу, не может быть задаваема и должна быть определена из уравнений движения. Это служит разделитель- ным признаком для отделения старших свя- зей, образующих элемент — объект приложе- ния сил, от нестарших связей, являющихся субъектом — источником сил. Вопрос о том, какие из внутренних связей образуют в задаче движения собственно элемент, объект сводит- ся,.иначе говоря, к тому, какие из параметров движения наследуются элементом от предше- ствующего движения и какие определяются действующими силами. Наследуются в виде начальных условий интегралы и производные, соответствующие всем дифференциальным и интегральным внутренним связям, кроме стар- шей дифференциальной связи. Определяется действующими силами производная, соответст- вующая старшей дифференциальной связи. Она, следовательно, и является элементом. Интеграл пути, соответствующий старшей ин- тегральной связи, входит в состав наследуемо- го и должен быть задан в начальных услови- ях. Старшая интегральная связь не входит поэтому в состав элемента. Старшая дифференциальная внутренняя связь противостоит, таким образом, всем ос- тальным связям, внутренним и внешним, как элемент, объект действия — действию. Если все эти остальные связи осуществляют актив- ный механизм действия, то она осуществляет пассивный механизм противодействия. Этот пассивный 'механизм противодействия выра- жается в способности противопоставить любо- му по величине действию равное ему проти- водействие. Наличие такого механизма явля- ется не чем-то само собой разумеющимся и присущим всем динамическим элементам и системам, а следствием определенной дина- мической структуры. Ниже рассмотрены бу- дут системы, лишенные этой способности. Простейшим примером, понимаемым обычно в более узком смысле, являются, как указы- валось выше, астатические системы. Рассмат- риваемая с этой общей точки зрения астатич- ность представляет собой неспособность сис- темы развить в статике противодействие внешним силам. В астатических системах от- сутствует механизм статического противодей- ствия. На рис. 1-13 даны положительные и отри- цательные динамические элементы односто- ронней механики, дифференциальные, инте- гральные и граничные между ними элементы нулевого порядка. Там же даны образуемые этими элементами элементарные системы — дифференциальные, интегральные, интегро- дифференциальные, и—нулевого порядка. Эле- менты этих элементарных систем образуются старшей их внутренней связью. В дифферен- циальных и интегродифференциальных эле- ментарных системах элементом явится стар- шая дифференциальная связь, в интегральных элементарных системах — младшая инте- гральная связь, в системах нулевого поряд- ка — статическая связь (рис. 1-13). Ниже до- казана будет физическая неосуществимость интегральных элементов и, следовательно, ин- тегральных систем. Напротив, интегродиффе- ренциальные системы и системы нулевого по- рядка с интегральными связями физически выполнимы.. Элементарные системы образуются из эле- ментов связыванием последних внутренними связями порядка, уступающего порядку эле- мента. Наложение на элемент внутренних связей порядка, превышающего порядок эле- мента, представляет собой уже не связыва- ние, а совершенно иную по смыслу опера- цию — преобразование исходного элемента в другой элемент, более высокого порядка. Элемент, связанный одной по меньшей мере положительной или отрицательной внутрен- ней связью уступающего порядка, образует уже элементарную систему (рис. 1-13). Сово- купность связывающих элементарную систе- му внутренних связей уступающего порядка образует структуру элементарной системы. Элементарным системам можно присвоить знак образующих их элементов и в этом смысле говорить о положительных и отрица- тельных элементарных системах. Масса, положительная и отрицательная,— элемент 2-го порядка, синтезируется элемен- тарным актом управления, самоуправлением, образующим одночленный положительный 41
или отрицательный элементарный динамиче- ский цикл. Эта элементарная схема управле- ния нуждается уже в источнике внешней энергии. Масса возникает в результате упоря- дочения этой внешней энергии простейшим управляющим алгоритмом — элементарным циклом. Ниже рассмотрена будет конструк- тивная схема этого синтеза. Второй закон. Определив понятие элемент, можно указать теперь обобщенные 1-й и 2-й законы, определяющие в односто- ронней механике движение соответственно изолированных и неизолированных элементов. Обобщенный 2-й закон. Движе- ние неизолированного элемента происходит так, что динамическая реакция его равна и противоположна действующей силе. Это означает, что гиперускорение соответ- ствующего порядка (порядка-элемента) рав- но частному от деления действующей силы на соответствующего порядка (порядка элемен- та) «массу» (параметр элемента) и направ- лено по направлению действующей силы для положительного элемента (для положитель- ной «массы»), и — против действующей силы, для отрицательного элемента (для отрица- тельной «массы»). Уравнения (1-1) принимают для элемен- тов вид (1-9) и (1-10). Уравнение (1-Ю) представляет собой обобщенный 2-й закон: элемент i-го порядка получает под воздействием силы ги- перускорение собственного (т. е. того же i-го) порядка, равное силе, деленной на параметр элемента, и совпадающее с направлением си- лы или противоположное ей в зависимости от положительности или отрицательности этого параметра. Закон этот является следствием логическо- го постулата действия и не содержит в себе ничего специального, кроме указания на ли- нейную форму зависимости ускорения от си- лы. Линейность эта может быть нарушена при переходе к нелинейным элементам так же, как нарушена линейная форма 2-го закона классической механики в релятивистской ме- ханике. Если отвлечься от этой специальной функциональной зависимости, закон этот име- ет чисто логическое содержание, указываю- щее на количественное соответствие следст- вия причине: поскольку элемент в задаче дви- жения составлен одной лишь старшей связью, приложенная к нему сила может быть урав- новешена реакцией одной лишь этой связи. Линейной формой 2-го постулата опреде- ляется суперпозиция сил, формулируема^ в классической механике как принцип неза- висимости действия сил. Принцип этот сохра- 42 нится для любой механики при условии ли- нейности ее обобщенного 2-го постулата. Многообразные следствия, вытекающие из такого расширенного понимания элемен- тов в односторонней механике, не могут быть систематически рассмотрены в этом кратком изложении. Укажем на одно из них. Из от- рицательности масс в отрицательных элемен- тах вытекает отрицательность кинетической’ энергии таких элементов. Кинетическая энер- гия, существенно положительная в двусто- ронней механике, в односторонней механике может быть и отрицательной величиной. Если в первом случае уменьшение скорости эле- мента связано с отдачей им энергии, с совер- шением им работы, то во втором уменьшение скорости элемента требует затраты дополни- тельной работы. В односторонней механике возникает, таким образом, отрицательная ки- нетическая энергия. Отрицательная масса яв- ляется аккумулятором этой отрицательной энергии. Принцип Даламбера. Обобщенный 2-й постулат можно представить уравнением (1-11) в виде обобщенного принципа Далам- бера: действующая сила кинето статически уравновешивается динамической реакцией эле- мента. Динамическая реакция элемента (про- тиводействующая сила инерции) равна произ- ведению параметра элемента на гиперускоре- ние и, по логическому постулату действия, всегда, независимо от знака элемента, опреде- ляющего знак гиперускорения, направлена навстречу действующей силе. Знак гиперуско- рения таким именно образом определяется знаком элемента, чтобы динамаческая реакция была направлена навстречу действующей си- ле. Слово «уравновешивается» не должно вы- зывать недоразумений в этой формулировке. Речь идет здесь не о статическом равновесии, приводящем к покою, а о возникающем в дви- жении , динамическом равновесии системы и среды, силы и динамической реакции, действия и противодействия, т. е. не о равновесии эле- мента, а о равенстве действующих и реактив- ных сил, приложенных, как это всегда имеет место для силы и реакции, действия и проти- водействия, к различным элементам. В дву- сторонней механике противодействие прило- жено к действующему элементу, в односто- ронней—вовне системы. Равенство таких сил не имеет, естественно, ничего общего с равно- весием . элемента и представляет собой обоб- щенную формулировку принципа Даламбера. Обобщенный принцип Даламбера прини- мает в односторонней механике чисто логиче- ское содержание. Первый закон. Обобщенный первый
закон односторонней механики (закон инер- циального движения) не независим и являет- ся, как и в двусторонней механике, лишь от- рицательной формулировкой обобщенного 2-го закона. Обобщенный первый закон: изо- лированный элемент движется так, что дина- мическая реакция его равна нулю, т. е. с ну- левым гиперускорением собственного порядка. Инерциальное движение дифференциаль- ного элемента 3-го порядка, например, проис- ходит так, что его ускорение 3-го порядка равно нулю. Остальные, младшие производ- ные шути и интегралы его принимают соот- ветствующие интегральные значения. Инер- циальное движение положительного элемента 2-го порядка будет происходить по закону инерции классической механики — с нулевым ускорением. Инерциальное движение элемен- та первого порядка будет происходить при ну- левой скорости. Инерциальное движение эле- мента нулевого порядка будет происходить так, что путь его примет постоянное значение, пропорциональное силе. Инерциальное движе- ние положительных и отрицательных элемен- тов одинакового порядка совпадает. Знак элемента не оказывает влияния на инерциаль- ное движение его. 1-2-2. Механика взаимодействий Как выяснено было выше, механика взаи- модействий в односторонней механике в отли- чие от специальных механик лишена собст- венного содержания и сливается с механикой системы. В односторонней механике можно, как и в специальных механиках, выделить внутренние кинетическую и статическую под- системы, однако механика их в общем случае ничем не будет отличаться от механики, ки- нетики и статики самих систем. Необходи- мость выделения механики взаимодействий выяснится лишь ниже —„в специальных ме- ханиках. 1-2-3. Механика систем В отклонение от дедуктивного метода, где статику следовало бы получить как специаль- ный случай динамики, предварим динамику статикой. Это оправдано тем, что принципом Даламбера динамика сводится к кинетостати- ке, дальнейшими же преобразованиями Лап- ласа дифференциальные уравнения кинетоста- тики сводятся к алгебраическим уравнениям между изображениями координат и сил. Два этих последовательных методических упроще- ния дают здесь решительный перевес индук- тивному изложению. А. Статика а) Уравнения статики Уравнения статики получаются отбрасы- ванием в уравнениях (1-1) всех нестатических членов. В развернутой форме уравнения эти при- нимают вид: + C12q2 + .. • + C1Tn^w=Q(1I) ; ^2i9i + ^22^2 + • • • -{-C2rnqm = Q^ ; (1-12) '-=«• Назовем эти уравнения уравнениями стати- ческие сил. Определитель A (q) системы (1-12) назовем статическим определителем. Если определитель этот отличен от нуля, т. е. мат- рица системы является неособенной, система может быть разрешена относительно обоб- щенных координат: <7. = «nQi0 + ^2 + • • • + <h = + «2 Д” + • • •+ .................................(ЫЗ) п ____ п ЛлС1) !_ „ п(Ц | I „ qm----&т1У1 “I "I • • • "Т“ • Назовем эти уравнения уравнениями стати- стических перемещений. Величины aih здесь коэффициенты влияния _ Чию (1-14) сохраняющие в односторонней механике тот же смысл, что и в двусторонней механике — статического перемещения q^k) в i-н точке, от- несенного к вызвавшей его силе Q(^. Стоящий в числителе минор назовем статическим мино- ром. Коэффициент аи назовем главным коэф- фициентом влияния г-го элемента, коэффици- енты aik(i=^k) — его неглавными коэффициента- ми влияния. Матрицы взаимно обратных ли- нейных преобразований (1-12) и (1-13) взаим- но обратны: Il ||--------------II 1|* (Ы5) б) Статические свойства Статические свойства системы определяют- ся характером выражения (1-14). Система статична или астатична в зависимости от то- 43
го, отличен от нуля или равен нулю стоящий в знаменателе этого выражения статический определитель ее. Каждое из этих общих свойств системы имеет два локальных под- свойства, определяющихся значениями стоя- щего в числителе статического минора. Нера- венство и равенство нулю этого минора в ста- тической системе приводит соответственно к конечно статическим и бесконечно статиче- ским (изодромным) системам с конечной и нулевой податливостью или, что то же, с ко- нечной и бесконечной статичностью, обладаю- щим соответственно конечными и нулевыми коэффициентами влияния. Неравенство и ра- венство его нулю в астатической системе при- водит соответственно к определению астати- ческим и неопределенно астатическим систе- мам с определенной и неопределенной аста- тичностью, обладающим соответственно бес- конечно большими и неопределенными коэф- фициентами влияния. Общие статические свойства будут, таким образом, обозначаться одним термином, локальные двумя. Это ис- ключает возможность смешения. Конечная статичность, возникающая в слу- чае неособенных матриц статического опреде- лителя и статического минора, является не- особенным локальным свойством. Три осталь- ных локальных свойства, возникающие в слу- чае, когда одна из этих матриц является осо- бенной, назовем особенными локальными свойствами. Каналы — носители этих свойств, и системы, содержащие такие каналы, назо- вем соответственно неособенными и особен- ными. Статические свойства могут быть пред- ставлены следующей матрицей статических свойств: Неособенные: Особенные: общие свойства статичность Д(<7)=^0 астатичность Д «7) = О локальные подсвойства конечная бесконеч- ная опреде- неопреде- ленная ленная Д»Л (9)^=0 Л<л (9)=0 Общие свойства относятся к системе в це- лом и описываются ее определителем. Локаль- ные свойства относятся к опрёделенному ка- налу i—k (где k—индекс входного элемента канала, к которому приложена сила Q&, i — индекс выходного элемента канала, чье стати- ческое перемещение qt под воздействием этой силы отыскивается) и описываются как ста- тическим определителем, так и статическим? минором &ih(q) этого канала. Конечная ста- тичность означает конечную статическую про- 44 водимостъ (и, следовательно, конечное статиче- ское сопротивление) этого канала. Бесконеч- ная статичность означает нулевую проводи- мость (бесконечно большое сопротивление) ка- нала. Определенная астатичность означает бесконечно большую проводимость (нулевое сопротивление) канала. Неопределенная аста- тичность означает неопределенную проводи- мость (неопределенное сопротивление) кана- ла. При определенной астатичности всех кана- лов, выходящих из &-го элемента, система не- способна по логическому постулату действия быть в этом элементе в статике объектом внешних сил. При неопределенной астатично- сти всех этих каналов силы могут быть прило- жены к А-му элементу системы, однако рас- пределение уравновешивающих их реакций между статическими связями системы стано- вится неопределенным. Общее свойство статичности, как и локаль- ное свойство конечной статичности, может быть положительным и отрицательным. В пер- вом случае это определяется знаком определи- теля, во втором — совпадением знаков минора и определителя. Классификация механик производилась вы- ше, применительно к статике, по знаку статиче- ских перемещений — по локальным статиче- ским свойствам. В локально однородных меха- никах — нулевых, положительных и отрица- тельных — локальные свойства совпадают с общими. Только в локально неоднородных ме- ханиках возможны, кроме положительной, от- рицательной и нулевой конечных статичностей (нулевой конечной статичностью является определенная астатичность), локальных свойств локально однородных — положитель- ной, отрицательной и нейтральной — меха- ник, такие смешанные статические свойства, как бесконечная статичность и неопределенная астатичность. Это объясняет невозможность этих свойств в классической механике — ло- кально однородной двусторонней механике. Односторонняя механика является наиболее общей локально неоднородной в общем случае механикой, включающей в себя в качестве спе- циальных все остальные однородные и неодно- родные механики. В ней возможен поэтому весь спектр свойств, однородных и смешанных. в) Статическая двойственность Из уравнений (1-12) и (1-13) явствует, что статическая конфигурация неособенных систем однозначно определяется как статическими пе- ремещениями ее элементов, так и статически- ми силами. И те и другие могут быть с рав- ным основанием приняты за обобщенные ста-
тические координаты системы. Это предопре- деляет статическую двойственность всех поло- жений статики. Двойственными понятиями яв- ляются в этих положениях понятия — статиче- ская сила и статическое перемещение. Это по- зволяет принять за обобщенные координаты системы как первую, так и вторую системы ве- личин. Уравнения (1-12) и (1-13) могут быть рассматриваемы как уравнения преобразова- ний этих координат, а рассмотренные выше особые случаи — как особые случаи этого пре- образования. Приняв, одну из двух систем ко- ординат за обобщенные координаты системы, следует вторую отнести к обобщенным силам. Написав уравнения статики в обезличенных символах, можно придать всем выводам двой- ственную интерпретацию, приняв в одном слу- чае в качестве обобщенных координат статиче- ские перемещения, в качестве же обобщенных сил — статические силы, в другом же случае сменив эти две системы величин местами. Условность деления обобщенных статиче- ских координат системы на силы и перемеще- ния предстает в односторонней механике Наи- более явно. Можно приложить к системе извне статические силы и результат назвать стати- ческими перемещениями. Можно, однако, при- ложить ,к системе извне и статические переме- щения, выступающие в этом случае в роли внешних воздействий (сил), и результат—ста- тические силы реакции — также назвать ста- тическими перемещениями. В этих общих по- нятиях следует назвать обобщенными статиче- скими силами внешние статические воздейст- вия, обобщенными статическими перемещения- ми — статические реакции системы, независи- мо от физической природы этих воздействий и реакций. По физической природе как воздей- ствия, так и реакции могут быть как силами, так и перемещениями. Для турбогенератора, работающего изолированно, внешним воздейст- вием, силой может быть только сила в собст- венном смысле, т. е. изменение вращающего момента. Статической реакцией, перемещени- ем в этом случае явится статическое изменение числа оборотов турбины. Для турбогенерато- ра, работающего параллельно в сеть большой мощности, обе величины меняются местами. Приложенным к турбине внешним воздействи- ем, силой может быть здесь только частота сети, т. -е. изменение числа оборотов — преж- нее перемещение. Статической реакцией, пере- мещением явится при этом прежняя сила— изменение вращающего момента. Эти два слу- чая—изолированной и параллельной рабо- ты— могут быть рассматриваемы как матери- альная модель принципа статической двойст- венности. Рассмотрим применение этого принципа к указанным выше особым случаям. Принцип двойственности сливает здесь воедино два внешне противоположных статических свой- ства — изодромность и астатичность. Изодромность (бесконечная статичность) и астатичность (определенная) представляют со- бой двойственную интерпретацию одного и того же особого случая — равенства нулю определителя уравнений обобщенных статиче- ских перемещений и неравенства нулю соот- ветственного минора. В случае астатичности равен нулю определитель системы (1-12) и от- личен от нуля соответствующий минор его, в случае изодромности равен нулю определитель системы (1-13), двойственной системе (1-12), и отличен от нуля соответствующий минор его. Изодромная по отношению к силе* система явится астатической по отношению к переме- щению, изодромная по отношению к переме- щению — астатической по отношению к силе. Обе системы могут быть сочтены в соответст- вующей интерпретации как изодромными, так и астатическими. Сила, приложенная к изодром- ной системе, вызывает нулевые статические пе- ремещения; статическое перемещение, прило- женное к астатической системе, вызывает нуле- вые силы статических реакций, и в этом смыс- ле обе системы изодромны. Сила, приложенная к астатической системе, вызывает бесконечно большие статические перемещения; статиче- ское перемещение, приложенное к изодромной системе, вызывает бесконечно большие силы упругой реакции, и в этом смысле обе системы астатичны. Астатические и изодромные системы пред- стают в этом последнем случае, в соответствии с принципом двойственности, как астатические системы, к которым, по постулату противодей- ствия, внешнее воздействие не »может быть приложено за отсутствием объекта —^ противо- действия. Новое понятие односторонней меха- ники— изодромность, отсутствующее в дву- сторонней механике, сливается .при этом со старым понятием — астатичность. Принцип двойственности объединяет изодромность и астатичность (определенную), как двойствен- ные интерпретации одного и того же понятия. Та же двойственность имеет место, как пока- зано ниже, и для объединяющего их свойст- ва — неопределенной астатичности. Неопреде- ленно астатические по отношению к деформа- ции (т. е. неопределенно изодромные) систе- мы изодромны по отношению к силам (парал- лельная работа нескольких изодромных си- стем); неопределенно астатические по отноше- нию к силам (т. е. неопределенно астатиче- ские) астатичны по отношению к деформа- 45
циям. Оба положения представляют двойст- венную интерпретацию одного и того же по- ложения. Из статической двойственности вытекает основная зависимость в построении изодром- ных и астатических систем: изодромные систе- мы строятся на астатических подсистемах, астатические системы строятся на изодромных подсистемах. Гомологические ряды изодром- ных и астатических систем рассмотрены в [Л. 87]. Принцип статической двойственности вводит яс- ность в необычное смешение понятий, имеющее место в современной теории регулирования. Понятия—аста- тический элемент и астатическая система употребляются в механике в общем для них и общенаучном смысле— элементарной и сложной систем, неспособных в ста- тике противостоять внешним силам. Те же два одно- типных понятия употребляются в современной теории регулирования в противоположных смыслах: первое— в указанном выше общенаучном, вторым обозначаются изодромные, т. е. бесконечно статические, отвечающие нулевой деформацией на любой величины внешние силы. Астатической именуется здесь бесконечно статическая система. Столь грубое смешение понятий могло возник- нуть лишь в результате неопределенной принадлежно- сти предмета, открывающей полную свободу термино- логии. Термин астатические по отношению к изодром- ным системам объясняется в современной теории регу- лирования тем, что системы эти содержат астатические элементы |(хотя изодромные системы могут быть по- строены и без астатических элементов), или еще менее ясно. Легко, однако, с позиций односторонней механи- ки и ее принципа статической двойственности, игнори- руемых современной теорией регулирования, объяснить подлинное происхождение этого ошибочного термина: системы, изодромные по отношению к обобщенным си- лам, астатичны по отношению к обобщенным коорди- натам, принятым за обобщенные силы. Изодромные системы действительно астатичны, но лишь в указанном выше двойственном смысле —по отношению не к си- лам, а к координатам (астатичность эт^ скажется по- этому лишь в параллельной работе). Обозначая аста- тические элементы и изодромные системы одним тер- мином—астатические, современная теория регулирования, не отдавая себе в этом отчета, пользуется одновремен- но понятиями двух противоположных, связанных двой- ственностью, смысловых рядов, внося этим наибольшую возможную в этой ситуации неясность. Все сказанное составляет содержание прин- ципа статической двойственности. Двойствен- ными понятиями здесь являются: статическая сила деформация, вызванная статической силой статические коэффициен- ты жесткости изодромность относи- тельно сил астатичность относи- тельно сил статическая неопреде- леннось относительно сил (неопределенная астатичность) статическое перемещение (деформация) сила (статическая реакция), вызванная деформацией статические коэффициенты влияния астатичность относительно деформаций изодромность относительно деформаций статическая неопределен-\? ность относительно де- формаций (неопределен- ная изодромность) Принцип статической двойствен- ности: замена в любом истинном предложе- нии статики всех входящих в него понятий на двойственные им приводит к истинным же, двойственным первым, предложениям [Л. 36]. Принцип двойственности обнаруживается уже в двойственной форме уравнений статических перемещений (1-12), (1-13). Для локально статических, т. е. неособенных, систем прин- цип этот приводит к симметричным двойствен- ным положениям: статическая сила вызывает статическое перемещение, статическое переме- щение вызывает статическую силу (упругой реакции). Для особенных систем принцип при- водит к указанным здесь несимметричным двойственным положениям. Статика, построенная на принципе двойст- венности, приобретает наиболее простой и об- щий вид. То, что принцип этот обнаружен был в односторонней, а не двусторонней ме- ханике, можно объяснить лишь специальной структурой последней, скрывающей некоторые наиболее общие зависимости. В односторон- ней механике, вследствие произвольной струк- туры ее систем и наиболее общего понимания понятий — сила и перемещение, принцип этот предстает в наиболее явном виде. Его, однако, можно проследить и в двусторонней механике. Двойственной интерпретацией одного и того же положения являются в классической меха- нике соотношения Cik = Cki, (1-16) а^=Шг. (1-17) Первое из этих положений вытекает из на- личия у системы потенциальной функции, вто- рое представляет собой теорему взаимности Максвелла. Соотношения эти определяются специальной структурой двусторонних систем и для односторонних систем не имеют места. Ими определяется та специальная связь пара- метров, при которой односторонними уравне- ниями (1-12) и (1-13) описываются двусто- ронние системы. Для односторонних систем Cik и Cki, кш и dki—независимые положитель- ные, отрицательные и равные нулю величины. Б. Динамика а) Динамические свойства Уравнения (1-1) динамики односторонних систем даны были выше. Динамические свой- ства односторонних систем являют такой же, как и в статике, полный спектр ненатуральных в большинстве своем, возможных только в од- носторонней механике, свойств. Свойства эти 46
проще всего обнаруживаются в операторной форме уравнений (1-1). Уравнения приводятся преобразованиями Фурье и Лапласа, при ну- левых начальных условиях, к таким же ли- нейным алгебраическим уравнениям, как уравнения статики (1-12): т *=1 (1-18) (Z= 1, 2,..т); £ (Дikp* + Bihp + Eik -1^) A = 1 4 (1-19) (j — 1, 2,..., zn), где F — изображение по Фурье, L — изображе- ние по Лапласу, Q(r) и Q — гармоническая и общего вида сила. Если определители систем линейных уравнений (1-18) и» (1-19) (характери- стические определители) не равны тождест- венно нулю, т. е. матрицы обеих систем яв- ляются неособенными, системы эти могут быть разрешены относительно изображений обоб- щенных координат: Г (<л)=№ (Qr)+₽12f (Q2)+• • • + № (Qm); p to) - M (Q.)+W (Q2)+• • • +(UF (Qm); (1-20) F (qm>= $miF (QJ+ pm2F (Qs) + • • • “F (Qm); L (<7i) = YUF (QJ + Y12L (Q2) + • • • + 4imL (Qm); L (<72) = Y21L (Qi) + Y22L (Q2) + • • • + Y2m£ (Qm)i L (?m) — YmjF (Ql) Ym2F (Qa) Ч- • • • YmmF (Qm)- (1-21) Динамические коэффициенты, влияния Pis и представляют собой соответственно амплитудно-фазовые характеристики и переда- точные функции каналов k—i: r ^(<?h д о®) v ’ v ИЧИъ)) &ik (Р) /1 nq\ Уравнения (1-18) — (1-23) полностью ана- логичны уравнениям (1-12) — (1-14) статики. Преобразования Фурье и Лапласа устанавли- вают между изображениями динамических сил и динамических перемещений в линейных си- стемах те же алгебраические отношения, кото- рые существуют в этих системах между ста- тическими силами и статическими перемеще- ниями: 9i(k) z== aikQ(C)f F(gi(ft)) = JhhF(Q<r>); L(to) = Yihb(Q). (1-24) В этом очевидный смысл этих преобразо- ваний. Выражения (1-14), (1-22), (1-23) измеряют динамические влияния: первое — в статике, по отношению к статическим, второе — к гармо- ническим, третье — к произвольным силам. Величины Q<c), Q<r>, Q представляют соответст- венно статические, гармонические и произ- вольные обобщенные силы. Наиболее общие понятия автоматики — амплитудно-фазовые характеристики и передаточные функции — яв- ляются последовательными обобщениями при- надлежащего односторонней механике поня- тия — статические коэффициенты влияния. Эта связь между статическими коэффициентами влияния и передаточными функциями остает- ся невыясненной в современной теории регу- лирования, поскольку невыясненной остается природа автоматики как односторонней ме- ханики [Л. 36]. Выражения (1-14), (1-22), (1-23) могут быть названы соответственно статическими, гармони- ческими и общими функциями влияния, либо статическими, гармоническими и общими пе- редаточными функциями. Понятие «динамиче- ские влияния» требует некоторых пояснений. В той же мере, в какой определенными явля- ются понятия «статическая сила» и «статиче- ское влияние» [Л. 36], неопределенным оста- ется в односторонней механике понятие «ди- намическая сила», а с ним и понятие «динами- ческое влияние», пока не указан закон изме- нения ее во времени. Принятие простейшего гармонического закона изменения для дина- мической силы (гармоническая сила) сообща- ет уже понятию динамическое влияние пол- ную определенность. Приложенная к линей- ной системе гармоническая сила вызывает во всех точках системы установившиеся гармони- ческие колебания. Амплитудой и фазой этих колебаний однозначно определяется динами- 47
ческое влияние гармонической -силы. Динами- ческими влияниями по отношению- к гармони- ческой силе являются амплитудно-фазовые ха- рактеристики. Они представляют, однако, лишь наиболее простой из многих возможных частных способов определения динамических влияний. Общим способом определения дина- мических влияний по отношению к изменяю- щейся по произвольному закону динамической силе являются передаточные функции. Общие и локальные свойства. Де- ление свойств на общие свойства «и их локаль- ные подсвойства, рассмотренное выше на при- мере статических свойств, распространяется и на динамические свойства системы. Общие свойства представляют -собой свойства систе- мы в целом, их локальные подсвойства — вза-< имные статические и динамические влияния элементов. Общие свойства выражаются ха- рактеристическим определителем системы, ло- кальные подсвойства — минорами его. К об- щим динамическим свойствам относятся, в ча- стности, устойчивость, апериодичность, моно- тонность, целиком определяемые характери- стическим определителем. Локальными дина- мическими свойствами системы являются ди- намические влияния во всех каналах ее. Матрица динамических свойств обобщает рассмотренную выше матрицу статических свойств: Неособенные: Особенные: общие свойства динамичность А (р№ адинамичность Д локальные подсвойства конечная бесконеч- ная опреде- неопреде- ленная ленная Конечная динамичность означает конечную динамическую проводимость (конечное дина- мическое сопротивление) канала i—k (речь идет о проводимости динамического импульса, сигнала). Бесконечная динамичность означает нулевую, проводимость (бесконечно большое сопротивление) канала. Определенная адина- мичность означает бесконечно большую про- водимость (нулевое сопротивление) канала. Неопределенная адинамичность означает не- определенную проводимость (неопределенное сопротивление) канала. Тот же -смысл, как выяснено было выше, имеют статические ло- кальные свойства по отношению к статической проводимости каналов. Матрица статических свойств является частным (статическим) слу- чаем матрицы динамических свойств. Оба возможные общие статические свой- ства оказались возможными для двусторонних систем. Из двух возможных общих динамиче- ских свойств для двусторонних систем воз- можным является лишь одно — динамичность. Из четырех возможных статических локаль- ных подсвойств для двусторонних систем воз- можными были два — конечная статичность и определенная астатичность, два остальных явились новыми феноменами односторонней механики. Из динамических локальных под- свойств возможно для двусторонних систем только одно — конечная динамичность, три остальных являются новыми феноменами од- носторонней механики. Ниже рассмотрены бу- дут способы их реализации. Локальная ади- намичность подобна своему частному слу- чаю — локальной астатичности: система, и в статике и в динамике, неспособна быть в данном канале объектом силы, к &-му ее элементу не может быть приложена сила. Любопытно, что из всех этих ненатуральных свойств в автоматике обнаружено было лишь одно—бесконеч- ная динамичность (инвариантность). Беспорядочная дискуссия, развернувшаяся вокруг этого вопроса, утверждения о физической бессмысленности понятия инвариантности '(полной компенсации — в первоначаль- ной терминологии основоположных здесь работ Г. В. Щи панов а 1[Л. 19]), хорошо отображают реакцию классической механики на чужеродные для нее фено- мены односторонней механики. Дискуссия эта вполне исчерпывается концепцией односторонней механики — все три ненатуральных свойства матрицы динамических свойств, как и матрицы статических свойств, невозмож- ны в двусторонней механике и возможны в механике односторонней, а следовательно, и ib автоматике. В по- следней они не -менее физически осмысленны, чем нату- ральные свойства. Любопытно, что и сейчас, после реа- билитации принципа полной компенсации и широкого развития теории инвариантности, принадлежность этого принципа односторонней механике все еще остается не- ясной его сторонникам. -В проводимых ими делениях си- стем на системы, реализующие и 'не реализующие прин- цип инвариантности, среди всякого рода частных прин- ципов (двухканальность и т. д.) отсутствует основной— натуральность: в натуральных системах двусторонней механики принцип этот, принадлежащий односторонней механике, не реализуется. «Загадочность» принципа ин- вариантности, как и ряда иных положений современной автоматики, обусловлена тем, что они вводятся в виде разрозненных положений неопределенной природы и при- надлежности. Загадочность эта снимается концепцией односторонней механики. Динамическая двойственность. Операторный метод, сводя динамические от- ношения (1-1) сил и движений к статическим отношениям (1-19) и (1-20) их изображений, распространяет на динамику принцип стати- ческой двойственности. б) Основные понятия Основные понятия. Односторонние системы обладают произвольной структурой и соответственно описываются наиболее общи- ми уравнениями. Этими общими уравнениями (1-1) описываются в односторонней механике и натуральные системы. Для этих специаль- 48
ных систем общим уравнениям односторонней механики может быть придана специальная, энергетическая форма уравнений Лагранжа 2-го рода. Для односторонних систем такое энергетическое описание в общем сЛучае не- возможно. Предложения описывать системы автоматики энергетическими уравнениями Лагранжа (например, в сводной монографии [Л. 62], Б. Н. Петров) принадлежат к числу многих иных ошибок, вызванных неопределен- ной принадлежностью предмета. Специальные уравнения Лагранжа описывают специальные натуральные системы в общей односторонней механике, но не могут описать в ней общие односторонние системы. Здесь в общем случае отсутствуют кинетическая, потенциальная и диссипативная функции. С отказом закону со- хранения энергии теряет свое значение поня- тие—энергия, как и остальные понятия—ко- личество движения, момент количества дви- жения, центр инерции, связанные с законами сохранения. В односторонней механике не су- ществует общих для нее энергетических урав- нений. Центральным здесь является понятие— сила, или, вернее сказать, — динамическая связь, реакцией которой является сила. Веко- вая борьба между энергетической—гюйгенсо- вой и силовой — ньютоновой механиками од- нозначно решается в односторонней механике в пользу последней. Более общий смысл приобретает поэтому в односторонней механике и понятие — обоб- щенная сила. Произведение обобщенной силы на обобщенную координату не должно уже здесь иметь размерность энергии. Обобщенны- ми силами являются здесь произвольной раз- мерности воздействия. Элементарные системы. В двусто- ронней механике противостоят друг другу элементы и сложные системы и понятие — эле- ментарная система является лишь вспомога- тельным. Изолированные элементарные систе- мы не содержат здесь внутренних сил и вы- рождаются в элементы. В односторонней ме- ханике понятие это столь же важно, как два остальных. Элементарные системы являются здесь посредствующим понятием между слож- ными системами и элементами, позволяющим выделить элементы,—системами в полном объеме этого понятия, содержащими внутрен- ние силы. Чтобы выяснить значение этого по- нятия, следует рассмотреть классификацию систем по признаку подчинения или включе- ния (иерархическая классификация). Иерархическая классификации. Примем, что класс общей системы на единицу превышает класс наиболее сложной из входя- щих в нее составляющих подсистем. Состав- ляющие системы будем обозначать римскимй цифрами. Исходным, нулевым классом будем считать класс элементарных систем. Класс со- ставляющей системы будет обозначаться араб- ской цифрой в квадратных скобках в верхней части римской цифры, обозначающей эту си- стему. Общая система будет, таким образом, всегда обозначена римской единицей, по- скольку она содержится в единственном числе (рис. 1-22,а). Одноциклические системы регулирования в верхней строке рис. 1-20, элементами кото- рых являются системы нулевого класса, пред- ставляют в этой классификации системы 1-го класса. Соединение их в параллель (в энерге- тических системах) или в многомерные систе- мы связанного регулирования образует уже системы 2-го класса. Следующая ступень под- чинения — соединение отдельных энергетиче- ских систем в единую энергетическую систе- му—образует систему следующего, 3-го клас- са и т. д. Системы 1-го класса (простейшие из неэлементарных систем) назовем простыми системами. Системы всех следующих классов назовем составными. Составными системами 2-го класса являются все двусторонние систе- мы, поскольку они составлены из двучленных простых систем как из элементов. Эта общая систематика построена по одно- му лишь наиболее общему признаку — подчи- нения. В дальнейшем системы будут класси- фицироваться внутри нее по ряду более част- ных признаков. Динамическая освобождае- мо с т ь. В классической механике формули- руется принцип освобождаемости (который мы назовем теперь принципом кинематической освобождаемости), утверждающий возмож- ность отбрасывания в движущейся или покоя- щейся системе кинематических связей с одно- временным приложением к системе реакций этих связей. Это почти тривиальное положение имеет тем не менее важное методическое зна- чение в построениях классической механики. Еще более полезным оно оказывается приме- нительно к вводимым в односторонней меха- нике нового вида связям — динамическим свя- зям. Здесь оно может быть сформулировано как принцип динамической осво- бождаемости: отбрасывание динамиче- ских связей системы с одновременным прило- жением к ней реакций отбрасываемых связей представляет собой тождественное преобразо- вание системы. Принцип этот верен, разумеет- ся, и в классической механике и не формули- руется в ней потому лишь, что в ней несформу- лированным остается само понятие — динами- ческая связь. -4 И. И. Гальперин. 49
Рис. 1-22. Иерархическая классификация. Оба принципа — кинематйческой и динами- ческой освобождаемое™ имеют, разумеется, чисто логическое содержание и могут быть рассматриваемы как соответствующие интер- претации принципа логической освобождаемо- сти, который легко было бы сейчас сформули- ровать. 1 Внутренние и внешние силы и связи. Принцип динамической освобождае- мости проясняет прежде всего понятия о внут- ренних и внешних силах и связях, вокруг ко- торых группируются все остальные понятия механики. На рис. 1-22 принцип этот показан в дей- ствии. Здесь симметричная, для простоты, си- стема 2-го класса (рис. а) последовательно освобождается от связей системы 2-го класса, (рис. 6), затем 1-го (рис. в), затем нулевогр (рис. г). Рассекаемые динамические связи за- меняются их реакциями — обобщенными сила- ми. Тождественность систем, получаемых этим приемом освобождения, указана на рис. 22 знаками тождества. Во всех этих трех опера- циях происходит освобождение составляющих систем все более низкого класса от внешних по отношению к ним связей системы. Само вы- деление общей системы из внешней среды (по- казанное пунктиром на рис. а) следует рас- сматривать как освобождение общей системы от внешних ее связей. Реакция этих внешних связей, прилагаемых к системе в соответствии с принципом динамической освобождаемое™, и суть внешние силы системы (рис. а). Принцип динамической освобождаемое™ разъясняет введенные выше понятия об эле- менте, элементарной системе и ее внешних и внутренних связях. Неосвобождаемым далее конечным продуктом динамического освобож- дения являются динамические элементы (рис. в). При этом выясняется, что собствен- 50
но элементом является старшая внутренняя связь. Принцип динамической освобождаемо- сти позволяет, таким образом, выделить из элементарных динамических -систем собствен- но элементы, противостоящие всем остальным внутренним связям элементарной системы, как объект связывания. Если придать связям и их реакциям индекс’ (в квадратных скобках) класса той подсисте- мы, к которой они принадлежат, то уравнения (1-1) могут быть записаны в -следующем виде: SQ*01 + SQ}1’+ ...== О (1-25) (i— 1, 2, .m). Индексом Q!001 обозначена здесь внешняя си- ла системы, поскольку класс ее должен пре- вышать любой возможный класс системы (рис. 1-22). Все силы, стоящие слева от какой- либо из этих сумм, вместе с силами, заклю- ченными в этой сумме, являются, в соответст-1 вии с данным выше определением внутренних и внешних сил, внутренними силами подсисте- мы, обозначенной индексами этой суммы; все силы, стоящие справа от этой -суммы, являют- ся внешними для этой подсистемы. Силы Q-001 являются внешними для системы и, -следова- тельно, для всех ее подсистем; силы Q-01 яв- ляются внутренними для всех подсистем. Си- лы эти, принадлежащие элементарной системе нулевого класса, образуемой i-м элементом, являются внутренними силами и этой, неде- лимой далее, подсистемы. Имея i-й элемент и источником и объектом, выходя из этого эле- мента и возвращаясь в него, они образуют од- ночленные циклы. Тогда как все остальные силы представляют собой взаимные воздейст- вия элементов, эти последние силы представ- ляют собой самовоздействия. В их числе на- ходится сила инерции, представляющая соб- ственно элемент. Эта формализованная схема рассуждений, пояснен- ная рис. 22, показывает, что деление сил на внешние и внутренние по признакам, принятым выше для одно- сторонней механики, имеет для нее силу логической не- обходимости. С этим необходимо возникающим делени- ем сил на внутренние и внешние силы системы связано такое же деление динамических связей, реакциями ко- торых эти силы являются. (Понятия внутренние и внеш- ние -связи употребляются здесь, таким образом, в наи- более общем, логическом их значении: внешние связи элементарных систем являются внутренними связями следующих по сложности простых систем, внешние свя- зи этих простых систем явятся внутренними связями составных систем, содержащих эти простые системы в качестве элементов, и т. д. Только внутренние связи неделимых далее элементарных систем ((кратко называе- мые в дальнейшем просто внутренними связями) сво- бодны от этой двойной функции—для всех составляю- щих систем нарастающей сложности, на которые может быть разбита сложная система, связи эти являются внутренними. Эту принадлежность логике центральных структур- ных понятий и терминов приходится подчеркивать, так к:ак первый из них — внутренние связи, уже после вве- дения его нами, использован -был рядом авторов в -ином, чисто изобразительном смысле—для обозначения диа- гональных связей. Это привело к существенной порче структурной терминологии. Внутренние связи элементарных систем представляют собой самовоздействия элемен- тов, т. е. свойства элементарных систем — их массы, катаракты, статичности и т. д. Внеш- ние связи элементарных систем представляют взаимные воздействия элементов, а именно воздействия элемента, обозначенного вторым индексом -связи, на элемент, обозначенный первым ее индексом. Естественно поэтому рас- сматривать внутренние связи, обозначаемые одинаковыми индексами, как самовоздействия элементов (это всего лучше выражается не- зависимо от этих представлений сложившими- ся наименованиями этих свойств — с пристав- кой само*, самоиндукция, саморегулирование, самовыравнивание, самовыключение). Это не- обычное представление свойств элементов как их внутренних связей или самовоздействий явится основой дальнейшего рассмотрения. Возможность представить и взаимодействия элементов и их самовоздействия — свойства в виде внешних и внутренних связей, .различ- ных форм одного и того же понятия—связь, сообщает многообразному материалу динами- ческих систем неожиданное единство. Взаимодействия. На рис. 1-23 дана сводка основных понятий односторонней ме- ханики. Первичной, неделимой далее состав- ляющей является одностороннее действие в открытой (действие) ййи замкнутой (само- действие) формах. Этими простейшими со- ставляющими образуются показанные на ри- сунке упорядоченные многосторонние дей- ствия (взаимодействия, структурные единицы) и многосторонние механики. Взаимодействия верхней половины рисунка образованы толь- ко отрицательными циклами. Взаимодействия нижней половины могут быть образованы од- ними положительными циклами только при частичной связанности. При максимальной связанности (последняя строка рисунка), т. е. наличии всех возможных связей, система, со- держащая более двух элементов, нё может состоять из одних положительных циклов. Для нечетных систем это выясняется уже при ‘частичном связывании, вводящем все возмож- ные двучленные циклы (предпоследняя строка 51
X лэ сь Б о Рис. 1-23. Основные понятия односторонней механики. рисунка). Поскольку нечетные системы явят- ся подсистемами всех четных систем, содер- жащих более двух элементов, вывод этот рас- пространяется и на эти нечетные системы. Теорема 1 -IX. Максимально связанные си- стемы могут содержать одни отрицательные циклы и не могут содержать одни положитель- ные циклы. Максимальное число связей не следует смешивать с полным числом связей, равным в задаче реактивности удвоенному числу эле- ментов (§ 1-1-3). Помимо этих порождаемых ею упорядоченных взаимодействий специаль- ных механик, лишь частично приведенных на рисунке, односторонняя механика порождает и принадлежащие только ей произвольного вида взаимодействия. В состав взаимодействий вхо- дят здесь и самодействия и взаимные воздей- ствия элементов, образующие в общем случае сложный узел связей, не поддающийся словесной формулировке и требующий структурной формулы — в 'виде структурных единиц. Элементы односторонней ме- ханики также представляют собой самодействия, стар- шего порядка, и входят в круг тех же понятий. Воз- можность представить все понятия односторонней ме- ханики с помощью одного Лишь понятия — односторон- ней связи — сообщает всему предмету полное единство. 1-3. ДВУСТОРОННИЕ МЕХАНИКИ К двусторонним механи- кам относятся классическая, газодинамическая, гироско- пическая и ряд других. Рас- смотрим их в этой последо- вательности, сосредоточив основное внимание на клас- сической механике, рас- сматривая ее в новом аспек- те — как специальный слу- чай односторонней меха- ники. 1-3-1. Классическая механика А. Механика элементов Классическая механика элементов ограничена поло- жительностью и 2-м поряд- ком этих элементов. Для классической меха- ники, как дедуктивной теории, ограничение это является ее специальным постулатом эле- ментов. Классическая механика элементов являет- ся специальным случаем рассмотренной выше общей, односторонней механики элементов. Ее положительные, 2-го порядка специальные элементы отвечают по законам этой общей механики на внешние силы ускорениями того же знака и 2-го порядка. Инерциальным дви- жением этих элементов явится по тем же за- конам движение с постоянной, в частности — нулевой, скоростью. Элементарные системы возможны в клас- сической механике лишь, как подсистемы сложных систем (рис. 1-24). Изолированные элементарные системы вырождаются в клас- сической механике в элементы, поскольку реак- 52
Элемент чеснаяидис- ческая cu.namu.B~ ная пативная ческая и адисси- пативная Элемент стати- отрица- отрица- чеснаяи тельно- тельно- диссипа- ^сталш- t-диссипа- тивная ческая главная изолированных автономных систему неизолированных автономных систем i Элементарные подсистемы: Рис. 1-24. Элементарные подсистемы классической механики. ции их внутренних связей являются здесь внеш- ними силами (рис. 1-13). Это пояснено рис. 1-25. В первой строке рисунка даны элементарные системы, во второй — их динамическая струк- тура, в третьей—статические подсистемы. Изо- лированная элементарная система (рис. 61) в классической механике может быть только астатична. Неизолированные системы (рис. а\, ej могут обладать положительным или отри- цательным статизмом. Статическими подсисте- мами их являются положительный (рис. а3) или отрицательный (рис. б3) идеальные эле- менты. Реакции этих подсистем являются од- нако, внешними силами элементарных систем (рис. 1-13), и системы эти вырождаются здесь в элементы. Статической подсистемой астати- ческой элементарной системы б2 является аб- страктный элемент б3, лишенный каких бы то ни было связей — каких бы то ни было внут- ренних механизмов противодействия. По логи- ческому постулату действия такой элемент не может быть объектом каких бы то ни было сил и представляет собой лишь абстрактный узел связей и сил. Б. Механика взаимодействия а) Уравнения динамики Для классических двусторонних систем возникает специальная, им одним присущая возможность описания систем энергетическими уравнениями Лагранжа (2-го рода). Уравне- ния эти, как показано ниже, описывают нату- ральные двусторонние -системы в односторон- ней механике и могут быть названы поэтому односторонними энергетическими уравнениями двусторонних систем. В них содержится и ме- ханика элементов и механика взаимодействий. Односторонние энергетические уравнения. В уравнениях Лагранжа со- держится вся двусторонняя механика системы. Уравнения эти имеют вид: д f дТ \ & \ dqi J dqi dqi i °4i й 1 (1-26) (i = 1,2,.. .,/n). Здесь q и Q — обобщенные коорди- наты и силы, /7, Т и R — энергетические функ- ции — потенциальная и кинетическая энер- гии системы и дис- сипативная функция её. Рассмотрим структуру этих уравнений применительно к нату- ральным системам — системам, для которых энергетические функции могут быть представлены однород- ными квадратичными формами (в дальнейшем к классической меха- нике будут относиться только на- туральные системы; ненатуральные 53
системы принадлежат в принятой здесь кон- цепции к неклассическим механикам): т т j—1 k=\ т tn (b27) i=l m m T = ~2 /=1 *=1 Лагранжевы уравнения (1-26) принимают для них вид: X + Cibflkl — Qfi} (1-28) Л=1 (Z = 1, 2, ..т). Здесь Aih, Bik, Cik — зависящие от координат и от времени квазиинер- ционные, квазидиссипатив- ные и квазистатические параметры системы: , _ д2П _ д2П ih dqidqk dqkdqt d2R _ d2R dqidqk dqkdqt (1-29) d2T _ d2T dqidqk dqkdqi Лагранжевы уравнения (1-28) представля- ют собой специальный случай уравнений (1-1) односторонней механики, определяемый соот- ношениями (1-29). Последние вытекают из на- личия у систем энергетических функций. Пред- ставленная лагранжевыми уравнениями дву- сторонняя механика являет, таким образом, специальный случай односторонней механики. В лагранжевых уравнениях, однако, постулат противодействия явно не дан, и в этом смысле форма их неадэкватна специальному содержа- нию, неспециализирована. Это исходное несоответствие вызывает и ряд производных. Одно из них обнаруживает- ся в делении сил на внутренние и внешние. В правой части лагранжевых уравнений рас- полагаются обобщенные силы, не зависящие от координат системы и, следовательно, внеш-* ние для нее в определениях односторонней механики, в левой части — зависящие и, в тех 54 же определениях, внутренние. Группировка сил в лагранжевых уравнениях принадлежит односторонней механике. Уравнения эти пред- ставляют собой по этому признаку уравнения двусторонних систем в односторонней механи- ке, описание этих специальных систем в по- рождающей их общей механике неспециализи- рованными уравнениями этой механики. Рас- смотрим определяющее классическую механи- ку специальное ее деление сил на внешние и внутренние силы, вытекающее из постулата противодействия. Выделение, всегда условное, динамической системы из внешней среды служит исследова- нию движений ее относительно этой среды. Среда при этом фиксируется, и относительные движения выделяемой системы становятся аб- солютными. Во всех механиках со связанным взаимодействием, в классической — в частно- сти, каждая из связей зависит от относитель- ного движения всех элементов структурной единицы: в двусторонних механиках — двух элементов, трехсторонних — трех и т. д. Толь- ко в односторонней механике и в механиках с несвязанным взаимодействием, в гироскопи- ческой — в частности, каждая из связей зави- сит от абсолютного движения ведущего эле- мента. Реакциями натуральных связей — свя- зей классической механики являются одновре- менно две силы — действующая и противодей- ствующая, зависящие от координат взаимо- действующих элементов. Фиксация среды и выделение из нее системы ничега не изменяет для внутренних связей системы—связи эти и их реакции (внутренние силы) по-прежнему функционально зависят только от относитель- ного движения связываемых ими элементов; для рассекаемых, внешних связей системы по- ложение меняется, один из их элементов — элемент среды фиксируется, и связи эти и их реакции (внешние силы) функционально зави- сят теперь только от абсолютного движения элементов системы — движения относительно неподвижной уже среды. В натуральных си- стемах каждая из внутренних сил функцио- нально зависит от разностей координат (и их производных) двух элементов системы, каж- дая из внешних сил — от координаты (и ее производных) одного из элементов системы. В натуральных системах не только внутрен- ние, но и внешние силы системы являются функциями координат ее. Это относится ко всем механикам со связанным взаимодейст- вием. В классической механике не может быть, таким образом, внешних сил, не зависящих от координат системы. Не зависящие от коорди- нат системы внешние силы в правых частях
уравнений Лагранжа (1-25) суть слабо зави- сящие и лишь приближенно принятые постоян- ными силы. Так, вес крановой тележки мосто- вого крана лишь в той мере является посто- янной силой, в какой деформация крановой фермы несравнима с расстоянием до центра земли. Это количественно ничтожное уточне- ние принципиально важно для понимания под- черкнутых выше положений. В односторонней механике все физические связи являются односторонними — зависящи- ми только от абсолютного движения ведущего элемента связи. Реакцией каждой из этих свя- зей является только одна сила, действующая со стороны ведущего элемента связи на ведо- мый элемент ее. При фиксации среды и выде- лении из нее системы, реакции рассекаемых связей (внешних связей системы) приложены к среде и зависят от координат системы, если ведущим элементом в этих связях является элемент системы, и приложены к системе (в качестве внешних ее сил) и зависят от ко- ординат среды и не зависят от координат си- стемы, если ведущим элементом является эле- мент среды. Внешние силы односторонних си- стем не зависят от координат этих систем. Для внутренних сил односторонних систем, как и для двусторонних, выделение системы из среды не вносит никаких изменений и они по-прежнему зависят от абсолютных движений элементов системы, от координат этих эле- ментов. В обоих случаях, в классической и односто- ронней механиках, внешние силы системы яв- ляются, до выделения ее из среды, внутренни- ми силами системы плюс среда. В классиче- ской механике силы эти определяются, до вы- деления системы, относительным движением ее и зависят от координат системы и среды. По- сле выделения системы и фиксации среды эти относительные движения становятся абсолют- ными, а внешние силы системы — зависящими только от координат системы. В односторон- ней механике силы эти определяются, до вы- деления системы, абсолютным движением сре- ды и зависят только от координат среды. Пос- ле фиксации среды и выделения системы силы эти становятся постоянными. Определения внешних и внутренних сил расходятся, таким образом, в общей — одно- сторонней и специальной—классической меха- никах. Признаки деления первой необходи- мы, но недостаточны во второй. Здесь эти оп- ределения должны отвечать дополнительно по- стулату противодействия. Функциональная за- висимость силы от элемента необходима, но недостаточна для того, чтобы элемент явился субъектом этой силы. Так, реакции всех само- действий являются в классической механике внешними силами системы, хотя они и зависят от координат ее. Это явствует из того, что са- модействия не могут быть :в классической ме- ханике внутренними силами системы, всегда ' выступающими в ней попарно и симметрично, по постулату противодействия. В классической механике элемент является субъектом силы в том лишь случае, когда он одновременно является объектом равнопротивоположной си- лы, имеющей субъектом объект первой силы. Это дополнительное условие исключает реак- ции самодействий из числа внутренних сил си- стемы и переводит их в категорию внешних сил. В обеих механиках внутренними для систе- мы являются силы взаимодействия ее элемен- тов, внешними — силы воздействия среды на систему. Постулат противодействия сообщает внутренним силам системы дополнительное свойство—сумма обеих реакций каждой внут- ренней связи и, как следствие, сумма всех внутренних сил системы равны нулю. Этим дополнительным свойством, определяющим за- коны сохранения двусторонней механики, не обладают в общем случае односторонние си- стемы. В односторонней механике несправед- ливы поэтому в общем случае законы сохра- нения. Это дополнительное свойство внутрен- них сил принимается иногда в двусторонней механике как определение внутренних сил. Оно, однако, является лишь специальным вы- ражением подчеркнутого выше общего для обеих механик определения и не должно слу- жить определением. То, что внешние в классической механике силы одних и тех же натуральных систем в од- носторонней механике все становятся внутрен- ними, а системы — изолированными, может показаться парадоксальным. Следует, однако, помнить, что одновременно изменяются и за- коны, которым подчиняются эти силы, движе- ние же системы остается неизменным. Единст- венное требование, которое должно быть предъявлено к различным механикам, заклю- чается в том, чтобы 'различные представления в них одних и тех же систем давали одинако- вые физические результаты. Парадоксальным было бы различное движение одной и той же системы в различных охватывающих ее меха- никах. Элементы представлены в уравнениях (1-28) членами Aaqi. Все остальные члены левой части, сумму их обозначим Q(.2), суть составляющие обобщенной силы Qi, зависящие от координат системы. Сила Q(.l), стоящая в правой части, представляет собой составляющую обобщенной 55
силы Qi, не зависящую в указанном выше при- ближенном смысле от координат системы. Обобщенная сила Qi равна сумме: • Лагранжевы уравнения не позволяют раз- делить эти составляющие обобщенной силы на внутренние и внешние, в описываемой ими клас- сической механике, силы системы. Они позво- ляют отнести к внешним силам силу Q{^, не зависящую от координат системы. Однако и среди составляющих силы Q(2), зависящих от координат системы, могут находиться внешние силы. Определяемое этими уравнениями деле- ние обобщенных сил на силы Q(.2) и Q(.°, зави- сящие и не зависящие от координат системы, принадлежит, как указано было выше, одно- сторонней механике. В ней эти силы являются соответственно внутренними и внешними си- лами системы. В этом смысле лагранжевы уравнения представляют собой уравнения натуральных систем в односторонней меха- нике, В лагранжевых уравнениях все составляю- щие обобщенных сил представлены функция- ми не относительных, а абсолютных движений. И в этом смысле форма их также не отобра- жает специального содержания классической механики и представляет описание натураль- ных систем в односторонней механике. Преобразуем лагранжевы уравнения к фор- ме, отображающей их специальное содержа- ние: 1) постулат противодействия, 2) вытека- ющее из него деление на внутренние и внеш- ние силы, 3) зависимость первых только от относительного движения элементов системы, вторых—только от абсолютного. Двусторонние энергетические уравнения. В векторных силовых уравне- ниях динамики и в их скалярных проекциях на оси декартовых координат постулат проти- водействия предстает в явном виде—внутрен- ние силы натуральных систем выступают в этих уравнениях только попарно, в виде рав- ных и противоположно направленных векто- ров. Это позволяет непосредственно разбить силы, входящие в эти уравнения, на внутрен- ние и внешние силы системы. Такие уравнения натуральных систем назовем двусторонними, все же остальные формы их уравнений — од- носторонними. Оба понятия относятся только к двусторонним системам — уравнения одно- сторонних систем всегда односторонни в этом смысле. В лагранжевых энергетических урав- нениях натуральных систем явное в этом смы- сле выражение постулата противодействия те- ряется. Члены этих уравнений также являют- ся силами составляющими обобщенной силы. 56 Силы эти, однако, сгруппированы по совер- шенно иному, принадлежащему односторонней механике, признаку—зависимости от абсолют- ного движения элементов. Это не позволяет непосредственно разбить эти силы на внешние и внутренние. Доказательства законов сохра- нения, вытекающих из равенства нулю суммы внутренних сил в натуральных системах, мо- гут поэтому проводиться лишь с помощью дву- сторонних силовых уравнений этих систем и не могут с помощью лагранжевых энергетиче- ских уравнений — односторонних уравнений натуральных двусторонних систем. Лагранжевы энергетические уравнения на- туральных систем могут быть, однако, пред- ставлены и в адэкватной их содержанию дву- сторонней форме, в явном виде отображаю- щей постулат противодействия и вытекающее из него специальное разбиение сил на внеш- ние и внутренние силы системы. Такие двусто- ронние энергетические уравнения могут быть использованы, в частности, для доказательства законов сохранения. Для натуральных двусто- ронних систем уравнения эти получаются лег- ко прослеживаемым тождественным преобра- зованием лагранжевых уравнений (1-28): ( дЧ , р д*Т \ .. I й2 Zj dqidqk j4i — / d*R - Vl d2R \ . / д2П - \ dqi L dqtdqk )qi ( dqj \ k / X । VI д’П \ VI d*T 4 + S d<hdqk dqidqk k J k k k (l-30> (& = 1,. 2, ..i — 1, Z—1, ..m) (i = 1, 2, ..m). ( В этой записи постулат противодействия явно выражен противоположным знаком ско- бок (flk—qi) и (qi—qk) соответственных чле- нов в уравнениях взаимодействующих i-ro и й-то элементов. Левая часть уравнения представляет собой взятую с обратным знаком противодействую- щую обобщенную силу инерции Z-го элемента. Правая часть содержит действующие обоб- щенные силы. В первой строке правой части находятся внешние, в классической механике,.
силы системы, во второй — внутренние: инер- ционного (первый член), диссипативного (вто- рой член) и упругого (третий член) "взаимо- действия. В натуральных системах все эти силы явля- ются, как выяснено было выше, сложными, зависящими от нескольких координат, внут- ренние силы — от двух, внешние — от многих. Одночленные слагаемые этих сложных сил, зависящие каждая от координаты одного эле- мента, назовем элементарными силами. Чле- d2n п \ \ д*Т нами ч—s- (qk — 7г), (7ft —7г), иЦгОЯъ. dqtdqb dqidqk Х(7а — 7г) описываются внутренние силы си- стемы, упругие, диссипативные, инерционные. ю д2П d2R • д2Т •• к В членах же ——ту 7г, —^7г объединены <fy2 dqf dq- ные знаки) из этих членов суммы Vj внешние силы с элементарными составляющими внутренних сил. Вычитая (члены в скобках первой строки уравнений имеют всегда различ- ат? dq<dqkgi' k Ld2R VI д2Т •• -—~7г, у ~——Qi ЭТИХ элементарных со- dqidqk Li dqidqk k k ставляющих, отъединяем внешние силы от внутренних. Переход от односторонних энерге- тических уравнений (1-26), (1-28) к двусторон- ним (1-30) позволил представить в явном виде постулат противодействия и разделить внешние и внутренние силы системы. Специальная форма этих последних уравнений полностью отобра- жает их специальное содержание. В соответствий с постулатом противодейст- вия внутренние силы зависят от относитель- ного движения элементов и выступают только д2П , ч попарно — каждой из сил — qi), — г'го Уравнения dqidqk dqidqk соответствует равная ей и противоположно на- правленная сила й-го уравнения: (qi—7ft), y-y-(^ — q^, -т—r-{pi — qk). Равенство этих dqkdqi dqkdqi сил вытекает из соотношений (1-29), противопо- ложность— из противоположного знака скобок {qh — q^ и (qi — qh). Эти внутренние в классической механике силы представляют собой в каждом из уравне- ний (1-30) в сумме внутреннюю составляю- щую обобщенной силы Qi. Силы, стоящие в первой строке правой части уравнений (1-30), зависящие и приближенно не зависящие от координат системы, представляют собой в сум- ме внешнюю в классической механике состав- ляющую Q(p обобщенной силы Q2*. Внешняя в этой механике составляющая обобщенной силы может быть, как выяснено было выше,, зависима от координат системы. ** Эта группировка сил в правой и левой ча- стях двусторонних уравнений (1-30) по их (сил) зависимости от соответственно абсолютного и относительного движений элементов отлична от группировки их в лагранжевых односторон- них уравнениях (1-26), где в правой и левой частях уравнений группировались силы, соот- ветственно зависящие и не зависящие от абсо- лютного движения элементов. Последняя груп- пировка отвечает делению сил на внутренние и внешние в односторонней механике. С учетом соотношений (27) уравнения (30) принимают вид: (Аи + Aih) q{ = Q(.”— (Ви + £ Bik) qi - k k (Cii 4“ ^ik) 7i , Aik (7ft 7г) k . k - VBift(7ft-7\)- £С^(^-.^) = 0 (1-31) ft k (& = 1, 2,..., i—1, /-{-1,..., m), (i— 1, 2,..., m). На рис. 1-26, 1-27, 1-28 даны в верхней ча- сти рассматривавшиеся выше (рис. 1-1, 1-2, 1-3) натуральные системы с соответственно упругим, диссипативным и инерционным взаи- модействиями. В левой части рисунка даны в инверсной кинетостатической форме лагран- жевы односторонние энергетические уравнения (1-28) этих натуральных систем, описывающие их в односторонней механике, и соответствую- щие этим уравнениям односторонние структур- ные схемы. В правой части рисунков даны в прямой кинетостатической форме двусторон- ние энергетические уравнения (1-31) этих же систем,.описывающие их в классической меха- нике, и соответствующие этим уравнениям двусторонние структурные схемы. В обеих, структурных схемах каждая стрелка обознача- ет один из членов уравнения, одну составляю- щую обобщенной силы. В двусторонних схе- мах силы эти являются сложными, в односто- ронних—элементарными. На рис. 1-26, 1-27, 1-28 дано, таким обра- зом, описание натуральных систем в класси- ческой и односторонней механиках. Возмож- ность двойного описания специальных си- стем—и в их специальной и в общей механи- ках, а также различный вид этих описаний,— понятны. Невозможно описание общих систем 57
|ЛЛЛ/ ]ллл/( т2 ]ллллИллл? <>777777^77777x777^7777777777777777777777^77777777777777777777777 d? с) +0.+«2.+&,+г«. -ЯнЪ '>rCi2(Cl2~Cll}~~ an 'ii + £7/<27 с12Уг = О а22Яг+ С22 Q2 — c2ffy ~ с2зЧз = О азз93 + сззЯз “ сзгЧ2~^ = *0 4- ^«4^ - fy3q3 + = О -a22qz + (-022-^21 + C23YI2- с2/(9г-^)+с2з(Яз-Яг) = 0 ~ аззЧз + (~сзз+с32 + сзь)Чз~ сзг(Яз^сЩ'¥Сз^Г’ЧзУ==' О -а^-8^+(-см+см )^-с^(^-113) Рис. 1-26. Односторонние и двусторонние уравнения натуральных систем. в -специальной механике, и это является ис- точником указанных выше парадоксов. В обеих -структурных схемах связи и их ре- акции— силы направлены от субъекта силы и связи к объекту их. Для самодействий субъ- ект и объект силы сливаются, и связи само- действия образуют одноэлементные, одночлен- ные циклы. Связи взаимодействия образуют двучленные циклы, а в более сложных систе- мах—и многочленные циклы. В двусторонних схемах и представляемой ими классической механике остается один лишь вид самодейст- вия—силы инерции. Все остальные самодейст- вия односторонних структурных схем пред- ставляют собой в двусторонних схемах внеш- ние силы. Оба типа структурных схем представляют собой кинетостатические силовые схемы. Урав- а) 9+Яз 9+fy Glikt + bnqf ~ ^12^2 = О + + biz)it +Ь12(У2 -Ц1)—О аггЯг + b22qz - b2fqf - = О а— ~а22Уг ^(-‘ь22^ ьг) * ^2з)Яг— bZJ(q2 - Ъ) + Ь2з(Чз~^2}—0 иззЧз + ьззУэ “ b32q2 ~ b3Jik = О ^u33q3 ^(-Ь33^ b32^ Ьз4)^з-b32(q3-q2)Yb3^(q4-q3) = о G^q^ + b^q4 - b43q3 + = 0 -a^q4 - Q$J+(-b^+ b^ )q4 - bk3(q^q3) = 0 Рис. 1-27. Односторонние и двусторонние уравнения натуральных систем.
a1lkl + CffV/ - а12^2 ® ° аггЯ2 + c22ff2 - a2Jqt - a23q3 = 0 *3343 + С33^3 ~ а32^2 — a34$4 = О <W* + - а4эд3 + {$> = о —faf/ - 0/2c1ffy **“ а12(Яз a2J а23)$2~Сг2Фз~ a2lf&Z '~il} + а2з(^3~ Hz) 9 & -~(азз~a32— а34)Чз~сззУз ~ азг(Чз —9z)+ ~ 4з)<.~ & -(a^-a^ у&-*сыЧ4- S’. = 0 Рис. 1-28. Односторонние и двусторонние уравнения натуральных систем. нения динамики -системы могут быть получены из этих схем как уравнения кинетостатическо- го равновесия их элементов. Эти строгие опре- деления должны быть противопоставлены раз- личным не вполне четким и не совпадающим определениям, приданным впоследствии вве- денному нами понятию 6 динамической струк- туре. В двусторонних структурных схемах явно представлен специальный постулат противо- действия двусторонней механики и определяе- мая им специальная структура двусторонних систем. Чтобы явно представить противопо- ложность знаков сил взаимодействия, на рис. 1-26, 1-27, 1-28 изменен, против уравнений (1-31), порядок членов в первой из двух ско- бок, описывающих эти силы. Двусторонние структурные схемы состоящие из попарно рав- ных и противоположных по знаку сложных сил, явно отображают постулат противодейст- вия. В односторонних структурных схемах, об- разуемых попарно равными и совпадающими по знаку элементарными силами, отображаю- щими соотношения (1-29), постулат этот дан так же неявно, как и в представленных ими лагранжевых уравнениях. Более того, здесь возникает новое, центральное для всей одно- сторонней механики понятие — самодействие (и новый, стоЛь же важный символ его — стрелка, образующая одночленный цикл), са- мим наименованием своим противоречащее этому постулату. Этим вновь подтверждается, что лагранжевыми уравнениями натуральные системы описываются в односторонней механи- ке, в понятиях, выходящих за пределы класси- ческой механики. Уравнения эти можно рас- сматривать как специальный аппарат односто- ронней механики для описания в ней специ- альных для нее натуральных систем. В двусторонних структурных схемах нату- ральных систем возникает один лишь вид са- модействия— силы инерции (рис. 1-26, 1-27, 1-28). Самодействие это, однако, — результат образующего кинетостатику условного перено- са сил инерции с их объекта, где они реальны, на субъект, где они фиктивны. В действитель- ности противодействующие силы инерции приложены не к воздействуемым, а к воздей- ствующим элементам и не образуют самодей- ствия. Для действующих сил классической ме- ханики самодействие исключено постулатом противодействия. В кинетических, а не кинето- статических, двусторонних структурных схе- мах натуральных систем самодействие отсут- ствовало бы полностью. В этом же условном смысле являются самодействиями силы инер- ции и в односторонней механике. В классиче- ской механике их объединяет с остальными 59
самодействиями принадлежность к внешним силам системы, в односторонней—принадлеж- ность к внутренним силам системы. В одно- сторонней механике, благодаря присущей ей инверсной форме уравнений, силы инерции объединяются с остальными силами системы, как реакций динамических связей, одинако- вым образом совпадающие по знаку, при по- ложительных параметрах связей, или не со- впадающие, при отрицательных параметрах связей, со знаком соответствующего этой свя- зи параметра движения. В классической меха- нике благодаря присущей ей прямой форме кинетостатических уравнений силы инерции противостоят в этом смысле остальным силам. Логический постулат действия одинаково представлен в односторонних и двусторонних схемах кинетостатическим равновесием каж- дого из элементов системы. Превосходство инверсной кинетостатиче- ской формы над прямой наглядно подтверж- дается сопоставлением односторонних и дву- сторонних структурных схем — в первых поло- жительные статичности, диссипации, массы изображаются положительными связями, во второй из этого общего правила выпадают массы, положительные .массы изображаются отрицательными связями (рис. 1-26, 1-27, 1-28). В односторонней схеме на рис. 1-26,6 си- стема а по окончании переходного процесса будет находиться в равновесии (поскольку она статична) под воздействием одной лишь внеш- ней силы. В односторонней механике это не парадоксально. Система эта обладает статич- ностью нулевого порядка. Система на рис. 1-27,а астатична, не обладает статично- стью нулевого порядка, неспособна противо- поставить действующим на нее силам равно- весие нулевого порядка (т. е. при постоянных значениях всех координат и нулевых значе- ниях скоростей и ускорений). Она, однако, об- ладает псевдостатичностью 1-го порядка—спо- собна .противопоставить действующим силам псевдоравновесие 1-го порядка (т. е. при по- стоянных значениях всех скоростей и нулевых значениях ускорений). В этом же смысле си- стема на рис. 1-28,а обладает псевдостатич- ностью 2-го порядка. В односторонней меха- нике обе последние системы, поскольку они обладают соответственно псевдостатичностью 1-го и 2-го порядков, также могут находиться соответственно в псевдоравновесии 1-го и 2-го порядков под воздействием одной только силы (рис. 1-27,6) или, в общем случае, ненулевой (с неравными нулю главным вектором и глав- ным моментом) системы сил. В системе на рис. 28,а обобщенными силами являются мо- менты QW сил тяжести G. В односторонней механике силы эти, как функции координат системы, являются внутренними ее силами (рис. 1-28,6), в классической — внешними (рис. 1-28,в). Порядок псевдостатики каждой системы определяется наинизшим порядком ее связей. В интегральных системах он будет отрица- тельным, в дифференциальных'—со статиче- скими связями— нулевым (рис. 1-26), без ста- тических связей — положительным (рис. 1-27, 1-28). Псевдостатика этих систем сводится к статике соответствующими дифференциаль- ными подстановками (например, для системы на рис. 1-27 принятием скоростей за обобщен- ные координаты). Псевдоастатичности различных порядков не следует смешивать с адинамичностью. Пер- вые означают, что система неспособна проти- востоять внешним силам при постоянных зна- чениях параметров движения (путей, скоро- стей, ускорений и т. д.) 6-го порядка, где k — порядок псевдостатики. Вторая означает, что система ни при каких значениях параметров движения не способна противостоять внешним силам. Псевдоастатичность относится к по- рядковооднородной подсистеме младшего по- рядка, адинамичность — к системе в целом. Псевдоастатичность определяется тождествен- ным равенством нулю характеристического определителя этой подсистемы, адинамич- ность — системы в целом. Понятие «подсисте- ма» имеет двоякий смысл: 1) подсистемы по элементному составу, охватывающей лишь часть элементов -системы, однако со всеми принадлежащими им связями, и 2) подсисте- мы по связевому составу, охватывающей все элементы системы, однако лишь с частью при- надлежащих им связей. Псевдоастатичность &-го порядка относится к подсистемам по связевому составу, охватывающим только свя- зи &-го порядка. Для порядково однородных систем оба понятия — астатичность и адина- мичность — сливаются. Системы на рис. 1-26 и 1-27 обладают астатичностью и псевдоастатичностью, нулево- го и первого порядков соответственно, лишь вследствие своей неизолированное™ (внешни- ми являются здесь силы крайних левых пру- жины и демпфера). Изолированные натураль- ные системы псевдоастатичны. Это вытекает из равенства нулю суммы внутренних сил си- стемы. Специальные односторонние v уравнения. Уравнения (1-31) принадле- жат классической механике. Чтобы получить специальное описание натуральных систем в односторонней механике (специальная 60
структура всех специальных си- стем, натуральных в частности, может быть, очевидно, исследо- вана лишь в объемлющей их од- носторонней механике), следует перегруппировать силы в этом уравнении в соответствии с их !&( circtz)qf % -сг1(дг^с^Яз-^о “° делением на внешние и внутрен- ние силы системы в односторон- ней механике: (Аг + У Ай) Qi 4“ (Аг 4“ k ' а»ч,-(в„-Щ -в,Jiri)-о °' Mi 0»% “° 4~ у Вц,) qi -|- (Сц У Cih) q{ -|- Т *1 + У Aik (<7а — Яд + У Bik (Як — k k ») — яд + У Cik (Як — яд — k (ап -Оп)Ч+СпЧг -^to-ty’0 (азГазгаз^Яз+сЛ~азг(Чг~^'^(!к~Ч})=0 (a^-av ‘° Рис. 1-29. Натуральные структуры. (1-32) ;(& = 1, 2,..., i — 1, Z4- 1,../п), (z = 1, 2,..., тп). От лагранжева общего описания (1-28) двусторонних систем в односторонней механи- ке специальное описание (1-32) отличается тем, что постулат противодействия, опреде- ляющий эти специальные с точки зрения од- носторонней механики системы, дан здесь явно. Это позволяет выяснить специальные свойства двусторонних систем в односторон- ней механике. Для полной адэкватности односторонней механике сложные силы (скобки) этих урав- нений должны быть расчленены на элементар- ные составляющие (одночленные слагаемые). На рис. 1-29 представлено такое описание и отвечающие ему структурные схемы для систем на рис. 1-26, 1-27, 1-28. Уравнениями на рис. 1-29 повторяются в односторонней ин- версной кинетостатической форме уравнения 1-26,в, 1-27,в, 1-28,в, с учетом того лишь, что выражения в скобках, описывающие на рис. 1-26,в, 1-27,в, 1-28,в внешние силы изо- лированных от внешних сил элементов и, сле- довательно, равные нулю, опущены уже на рис. 1-29. Чтобы сохранить связь уравнений на рис. 1-29 с уравнениями на рис. 1-26, 1-27, 1-28, в первых уравнениях сохранены еще сложные силы вторых. В структурных схемах на рис. 1-29 они разложены уже на элемен- тарные силы односторонней механики. Это приводит к рассмотренной уже выше (рис. 1-10) расчлененной структуре натураль- ных систем, обнажающей внутренние подси- стемы и структурные единицы их (рис. 1-29). На рис. 1-30 эти структурные единицы упру- гого (рис. а), диссипативного (рис. б) и инер- ционного (рис. в) взаимодействий даны от- дельно, причем в двух первых элементы осво- бождены от их масс (массы приняты исчезаю- ще малыми), в третьей же это невозможно, поскольку массами этими образуется здесь не только самодействие, но и взаимодействие. Соответственно системы а и б, образованные только внутренними силами, не способны раз- вить противодействия и не могут поэтому быть объектом сил (система а астатична, си- стема б псевдоастатична), система же в обла- дает одним лишь инерционным противодей- ствием (астатична, но не адинамична). Ади- намичность систем а и б и неадинамичность систем в явствуют из тождественного равен- ства нулю характеристического определи- теля Др для первых двух и неравенства — для последней. Здесь легко проследить взаим- ную нейтрализацию противодействующего и содействующего начал. Первое воплощено в двух положительных одночленных циклах и образуемом ими положительном члене опре- делителя, второе — в двучленном отрицатель- ном цикле и в образуемом им отрицательном члене определителя. Каждая из двух слож- ных сил взаимодействия распадается в этих структурных группах на две равные элемен- тарные силы — действия и самодействия. Ес- 61
сиЪ ~С12Ч2"~ О —Ь12д2—0 (&H—Qt^hi + ai29i~ai2*i2-0 с22$2 ~czi%/ s О b22q2- bziQt =0 \а22~а21)Чг + агЛг “ aziii cM~cJ2~c2i — сгг Ьп=Ь12=Ь21 =b22 ап> a/2=a2f< а2г &q=Cuc22-Ci2c21=0 ^p-bljb2zp2‘-bj2b2lp2=0 Ьр^аца^р^-af2aZip*^> О Рис. 1-30. Структурные единицы натуральных систем. ли сложные силы натуральных систем связа- ны законом действие равно противодействию, то элементарные их силы связаны столь же простым законом действие равно самодейст- вию. Оба закона в совокупности приводят к равенству всех четырех элементарных сил структурной единицы. Нас не должна удивлять неожиданная сложность структуры двустороннего взаимо- действия. Оно наиболее простым из возмож- ных способов решает задачу нейтрализации внутренних сил системы. Не существует иного способа решить эту задачу, чем столкновени- ем двух противоположных начал, и более про- стого способа столкнуть их, чем это сделано в натуральных структурах. Системы на рис. 1-29 образованы струк- турными единицами взаимодействия, на кото- рые наслоены внешние и инерционные силы. Только вторые силы позволяют этим системам быть объектами первых сил. Все остальные силы системы, равные в сумме нулю, как вну- тренние силы, не способны противостоять внешним силам. Структурным анализом обна- руживается механизм этой нейтрализации внутренних сил — нейтрализация положи- тельных одночленных циклов отрицательны- ми двучленными. Этим объясняются особен- ности натуральной структуры: 1) структур- ная антисимметрия — положительность всех одночленных циклов и отрицательность всех многочленных, 2) метрическая симметрия — равенство соответственных метрических пара- метров тех и других циклов. Этими особенно- стями определяется зависимость внутренней структуры и метрики элементарных подсистем (элементарной структуры) ют внешней для них структуры взаимодействий (сложной структуры). Особенности эти не могли быть обнаружены общим, в форме (1-28), односторонним описанием двусторон- них систем, для этого необходимым оказалось специальное их односторон- нее описание (1-32). Натуральные двусторонние структу- ры обладают также специальными, вы- текающими из их натуральности, а не двусторонности, особенностями струк- туры и метрики: 1) структурной сим- метрией сложных циклов (signDifc= = signZ>fei, = где sign означает знак связи Dik, dif — диффе- ренциальный порядок ее), 2) метриче- ской симметрией сложных циклов (dik = dki, где d — параметр связи D). Эти особенности вызваны наличием энергетических функций и могли бы отсутствовать у двусторонних систем,, не имеющих этих функций. Натуральные структуры подчинены, таким образом, задаче нейтрализации внутренних сил системы и решают эту задачу взаимной нейтрализацией противодействующих и со- действующих начал, положительных и отрица- тельных циклов. Внутренние силы этих систем не образуют противодействующей структуры и не способны противостоять .внешним силам. Противодействующим началом натуральных систем является только инерционное противо- действие. Оно, однако, не связано со специ- альным постулатом взаимодействия. Легка представить, а в односторонней механике — и синтезировать основанную на постулате про- тиводействия безмассовую двустороннюю ме- ханику, представленную на рис. 1-30 система- ми а и б. В такой механике постулат проти- водействия, нейтрализуя внутренние силы си- стем, приводит к тому, что в целом изолиро- ванная система не может быть противодейст- вующим субъектом и, следовательно,—по по- стулату действия, — объектом действия. Бла- годаря инерционности натуральных элемен- тов это определяющее свойство натуральных систем реализуется в чистом виде только в статике — в астатичности изолированных систем. Последняя может быть понята теперь в самом общем своем смысле — как специ- фическая нейтральная реакция натуральных систем на внешние возмущения. Двусторонняя механика, эта, по наимено- ванию определяющего ее постулата, механика противодействия, является в действительности таковой лишь в меру общего для всех дина- мических систем логического постулата дей- ствия. В меру своего специального постулата ‘ взаимодействия механика эта, напротив, яв- ляется механикой содействия внешним силам, 62
механикой наиболее пассивных систем с наи- более слабой, податливой структурой, в чи- стом своем виде вообще не способной противо- стоять внешним воздействиям: Это объясняет энтропийность ее систем, непригодность их в качестве управляющих систем, где задачей является -наибольшая помехоустойчивость — независимость от возмущающих воздейст- вий. Активизация систем, способность противо- стоять внутренними силами внешним воздей- ствиям, возникает с освобождением от дву- сторонней структуры. Полное освобождение динамической структуры достигается в одно- сторонних структурах. Между этими двумя полюсами, наиболее специальной двусторон- ней структурой и наиболее общей — односто- ронней, располагается ряд промежуточных форм. ’ В уравнениях (1-32) односторонней меха- ники силы инерции (первый член) занимают место среди внутренних сил, в уравнениях (1-31) двусторонней механики (второй член) — среди внешних (первая строка). В обеих ме- ханиках силы инерции противостоят, в соот- ветствии с общей частью постулата противо- действия, всем остальным силам как противо- действие действию, объект субъекту, и в кине- тостатических уравнениях объединяются с действующими силами лишь условно — в качестве фиктивных сил. Это не исключает возможности и необходимости общей со все- ми остальными силами классификации сил инерции, в частности—отнесения их к вну- тренним или внешним силам системы. Кинето- статические уравнения образуют статическую модель динамической системы. В этой модели силы инерции уже не фиктивны, а столь же реальны, как и все остальные силы модели (реальность этих сил в самой системе, как сил, приложенных к связям, не требует разъясне- ний), и являются в односторонней механике внутренними силами этой модели, а в клас- сической — внешними. Опуская в дальнейшем подразумевающееся понятие — статической модели, мы будем относить их прямо к вну- тренним или внешним силам системы. • Обозначим стоящую с обратным знаком в левой части£цвусторонних уравнений (1-31) силу инерции — диссипативную внешнюю силу (второй член правой части) — Q^), гквазиупру- гую внешнюю силу (третий член правой части) — Q(.^r Описываемые тремя последними членами правой части внутренние сильГобозначим соот- ветственно Q(2\, Q<*> Q(2\. Уравнения (1-31) примут в этих обозначениях вид: нчС+C+Ci 0-33) (/ = 1, 2, ..., тп),’ а даламберовы уравнения (1-32) — вид: Ш<’.>+С+С1=° (,-34> (/ = 1, 2, ..., /п), т. е. сумма действующих на элемент сил, включая в их число и силу инерции, равна, нулю (принцип Даламбера). Следует еще устранить неопределенность в обозначениях (верхних 'индексах сил), вы- званную тем, что одни и те же силы двусто- ронних систем являются внутренними в одно- сторонней механике -и внешними — в двусто- ронней. Чтобы не вводить дополнительных обозначений, условимся, что и в конструктив- ных схемах систем, в их структурных схе- мах, и в их уравнениях силы будут делиться на внешние и внутренние и обозначаются со- ответствующими индексами по определениям той механики, которой принадлежат эти си- стемы, схемы и уравнения. Заключенные в первую квадратную скобку члены уравнений (1-34) представляют собой внешнюю, в классической механике, состав- ляющую Q(I) обобщенной силы Qi. Первое сла- гаемое этой скобки — внешняя сила, не зави- сящая от координат системы, второе, в круглой скобке, слагаемое — внешние силы, зависящие от координат системы. Заключенные во вторую квадратную скобку члены представляют собой внутреннюю составляющую Q^2) обобщенной силы Qi. Уравнения (1-34) могут быть поэтому представлены в виде: (1-35) б) Статические взаимодействия Двусторонние уравнения стати- к и. Принятие в двусторонних уравнениях ди- намики (1-31) динамических членов равными 63
нулю приводит к двусторонним уравнениям статики: Q? - (Cfi+ 2 Cik) qi-^ Cih (qi-qk) = 0 k k (6 = 1, 2, ..., i — 1, /+1, zTz);. (/ = 1, 2, m). (1-36) Два первых члена в этих уравнениях пред- ставляют собой внешние статические силы системы; независимые от 'координат ее «(первый член) и зависимые (второй член). При отсутствии первых сил система изолиро- вана от независимых внешних сил (автоном- на), при отсутствии вторых — изолирована от зависимых внешних сил. Третий член уравне- ний представляет собой внутренние статиче- ские силы системы. Статические внутренние подсистемы нату- ральных систем, как все их внутренние подси- стемы, нейтральны, и это приводит к астатич- ности этих систем. В статике натуральных систем обнажена определяющая их черта — нейтральность внутренних подсистем. Двусторонними уравнениями обнаружива- ются специальные статические свойства нату- ральных систем. Полученный выше вывод об астатичности изолированных натуральных си- стем может быть сейчас уточнен. Поскольку сумма внутренних статических сил системы равна нулю, равна нулю и -сумма внешних статических сил системы. Из равенства нулю суммы зависимых составляющих внешних статических сил следует равенство нулю и суммы их независимых составляющих. Систе- ма не может быть в этом случае объектом не- зависимых внешних сил, астатична по отноше- нию к ним: изолированные от зависимых внешних статических сил натуральные систе- мы астатичны по отношению к независимым внешним силам. Натуральные системы могут быть статичны лишь будучи не изолирован- ными от зависимых внешних сил. В односто- ронней механике не существует зависимых внешних сил — все зависимые силы являются в ней внутренними. Здесь статическими могут быть и изолированные системы, точнее гово- ря — статичность системы не зависит от ее изолированности. В. Механика систем Механика систем образуется в классиче- ской механике наложением положительной 2-го порядка механики элементов на ней- тральную 1-го и нулевого порядков механику взаимодействий. Центральным содержанием <64 этой полунейтральной механики систем явля- ются законы сохранения. а) Законы сохранения Законы сохранения доказываются обычно с помощью силовых уравнений. Разбив ука- занным выше способом обобщенные силы в двусторонних энергетических уравнениях на внутренние и внешние составляющие, можно доказать теперь эти законы с помощью этих энергетических уравнений, не прибегая к си- ловым уравнениям. Проследим ход этих дока- зательств, чтобы установить разрушения, на- носимые классической механике отказом по- стулату противодействия. Сложив уравнение (1-35) для всех элемен- тов системы, учтя при этом, что сумма вну- тренних сил системы равна нулю, получаем: пг пг (1-37) Z=1 Z=1 т. е. сумма взятых с обратным знаком сил инерции системы равна сумме внешних сил ее. В статике левая часть уравнения (1-37) равна нулю, и уравнение это принимает вид: пг Sq',‘^0, (1-38) Z=1 в статике сумма внешних сил системы равна нулю. Относя силу инерции к внешним силам системы, можно распространить этот закон и на динамику: сумма внешних сил системы, включая силы инерции, равна нулю. В клас- сической механике порознь равны нулю сум- мы внутренних и внешних сил системы. Развернув левую часть уравнения (1-37), получаем: пг пг (Ь39) 1 = 1 k Z=1 (k = \, 2,..., i—1, i + 1,..., ni). Для изолированной (не подверженной дейст- вию внешних сил) системы уравнение (1-39) принимает вид: пг (1-40) Z = 1 k (& = 1, 2,..., i— 1, z’4-1, ... ,АП) Уравнением этим описывается инерциаль- ное движение системы. Из него вытекают за- коны сохранения классической механики — закон сохранения количества движения и за-
кон сохранения скорости центра инерции си- стемы. Рассматривая уравнения (1-40) для адиссипативных -систем, можно получить за- кон сохранения энергии. В односторонней механике все эти законы сохранения разру- шаются, и этим снимается динамический па- радокс. Статический и псевдостатический па- радоксы — статическое и псевдостатическое равновесие под воздействием одной лишь си- лы снимается тем, что в односторонней ме- ханике не имеет места равенство нулю отдель- но взятых сумм внутренних и внешних сил. Парадокс этот возникает и для натуральных систем, рассматриваемых в односторонней ме- ханике, и для сервосистем, рассматриваемых <в классической механике. Для первых он воз- никает в результате того, что зависимые внешние силы попадают в односторонней ме- ханике в разряд внутренних сил системы (рис. 1-1, 1-2), для вторых (рис. 1-5)—в ре- зультате исключения сервоисточников с при- ложенными к ним внешними силами из соста- ва системы. В обоих случаях единственная внешняя, в смысле односторонней механики, сила уравновешивается внутренними, в смыс- ле этой же механики, силами. В односторон- ней механике положение это не парадоксаль- но, в двусторонней — парадоксально. Оба общих статических свойства — статич- ность и астатичность — реализуются в класси- ческой механике, первое только в неизолиро- ванных, второе — во всех изолированных от зависимых сил и некоторых неизолированных ее системах. Астатичность является не только возможным в классической механике свойст- вом, но и определяющим ее свойством, типи- ческим для ее структур и присущим поэтому всем изолированным ее системам. Напротив, статичность не типична для этой нейтральной механики и возможна в ней лишь в неизоли- рованных системах как функция их внешних сил. Понятно, что в основу классификации ме- ханик могло быть положено только отношение внутренних сил к внешним — способность си- стемы противостоять внутренними своими силами внешним силам, взаимодействие си- стемы со средой. Специфическая для класси- ческой механики способность противопостав- лять независимым внешним силам зависимые, определяющая возможность в ней неизолиро- ванных статических систем, не могла бы по- служить основой сколько-нибудь общей клас- сификации. б) Статические свойства Общие статические свойства натуральных систем рассмотрены были выше. Рассмотрим локальные статические свойства натуральных систем. Неизолированные натуральные систе- мы могут быть конечно статичны, но не могут быть, при конечных значениях статических па- раметров, бесконечно статичны. Они могут быть определенно астатичны, но не могут быть неопределенно астатичными. Таким обра- зом, при общей статичности они конечно ста- тичны во всех своих точках, при общей аста- тичности — определенно астатичны во всех своих точках. Из четырех возможных в одно- сторонней механике локальных свойств в на- туральных системах классической механики реализуются только два натуральных свойст- ва — конечная статичность и определенная астатичность. Два остальных, ненатуральных свойства—бесконечная статичность и неопре- деленная астатичность — представляют собой новые феномены односторонней механики. Бесконечно статические изодромные системы, отвечающие нулевой деформацией на сколь угодно большие нагрузки, соответствуют аб- страктному понятию—абсолютно твердое тело классической механики. В сервосистемах это абстрактное представление легко реализуется. в) Динамические свойства Динамические свойства натуральных си- стем принимают такой же специальный вид, как и статические. Определяющей чертой классической механики является принадлеж- ность ее к полунейтральным механикам. Этой чертой определилась астатичность статически изолированных от зависимых статических сил систем классической механики и определилась бы их адинамичность при условии динамиче- ской изоляции от зависимых динамических сил. Последняя означает, однако, невозмож- ную в двусторонней механике изоляцию от сил инерции, т. е. от самих элементов. Подоб- но тому как статичность в классической ме- ханике представляет собой лишь статическое уравновешивание независимых внешних сил зависимыми статическими внешними силами, динамичность в этой механике представляет собой кинетостатическое уравновешивание не- зависимых внешних сил зависимыми 2-го по- рядка силами инерции. Последние выступают здесь в роли зависимых внешних сил. Разли- чие между обеими ситуациями—статической и динамической заключается в том лишь, что изоляция от статических зависимых внешних сил и вытекающая из нее астатичность воз- можны в классической механике, изоляция же от зависимых сил инерции и вытекающая из нее адинамичность невозможны в ней. Ади- намические по внутренней своей структуре системы классической механиКи; динамичны И. И. Гальперин. 65
нулю приводит к двусторонним уравнениям статики: Q?’ - (С,ч+ 2 Cih) <н - Cik (qi-qh) = О k k (£ = 1, 2, ..i—1, • • •, w); (/ = 1, 2, ..., zn). (1-36) Два первых члена в этих уравнениях пред- ставляют собой внешние статические силы системы; независимые от 'координат ее ►(первый член) и зависимые (второй член). При отсутствии первых сил система изолиро- вана от независимых внешних сил (автоном- на), при отсутствии вторых — изолирована от зависимых внешних сил. Третий член уравне- ний представляет собой внутренние статиче- ские силы системы. Статические внутренние подсистемы нату- ральных систем, как все их внутренние подси- стемы, нейтральны, и это приводит к астатич- ности этих систем. В статике натуральных систем обнажена определяющая их черта — нейтральность внутренних подсистем. Двусторонними уравнениями обнаружива- ются специальные статические свойства нату- ральных систем. Полученный выше вывод об астатичности изолированных натуральных си- стем может быть сейчас уточнен. Поскольку сумма внутренних статических сил системы равна нулю, равна нулю и сумма внешних статических сил системы. Из равенства нулю суммы зависимых составляющих внешних статических сил следует равенство нулю и суммы их независимых составляющих. Систе- ма не может быть в этом случае объектом не- зависимых внешних сил, астатична по отноше- нию к ним: изолированные от зависимых внешних статических сил натуральные систе- мы астатичны по отношению к независимым внешним силам. Натуральные системы могут быть статичны лишь будучи не изолирован- ными от зависимых внешних сил. В односто- ронней механике не существует зависимых внешних сил — все зависимые силы являются в ней внутренними. Здесь статическими могут быть и изолированные системы, точнее гово- ря— статичность системы не зависит от ее изолированности. В. Механика систем Механика систем образуется в классиче- ской механике наложением положительной 2-го порядка механики элементов на ней- тральную 1-го и нулевого порядков механику взаимодействий. Центральным содержанием 64 этой полунейтральной механики систем явля- ются законы сохранения. а) Законы сохранения Законы сохранения доказываются обычно с помощью силовых уравнений. Разбив ука- занным выше способом обобщенные силы в двусторонних энергетических уравнениях на внутренние и внешние составляющие, можно доказать теперь эти законы с помощью этих энергетических уравнений, не прибегая к си- ловым уравнениям. Проследим ход этих дока- зательств, чтобы установить разрушения, на- носимые классической механике отказом по- стулату противодействия. Сложив уравнение (1-35) для всех элемен- тов системы, учтя при этом, что сумма вну- тренних сил системы равна нулю, получаем: m m (i-37) i=l т. e. сумма взятых с обратным знаком сил инерции системы равна сумме внешних сил ее. В статике левая часть уравнения (1-37) равна нулю, и уравнение это принимает вид: m и-38) в статике сумма внешних сил системы равна нулю. Относя силу инерции к внешним силам системы, можно распространить этот закон и на динамику: сумма внешних сил системы, включая силы инерции, равна нулю. В клас- сической механике порознь равны нулю сум- мы внутренних и внешних сил системы. Развернув левую часть уравнения (1-37), получаем: m m £ — П-39) t = l k i = l (k — \, 2,..., i— 1, «4-1,..., ni). Для изолированной (не подверженной дейст- вию внешних сил) системы уравнение (1-39) принимает вид: m 2(а<-£ай)^=0 (1-40) i=l k (6 = 1, 2,..., i— 1, z'+l, ...,m) Уравнением этим описывается инерциалъ- нбе движение системы. Из него вытекают за- коны сохранения классической механики — закон сохранения количества движения и за-
Сц-^Ci^Q k (1-48) (k — \. 2,..., i—1, i4- 1,..., m) (4=1, 2, ..m). Условия (1-47) и (1-48) парализуют в классической механике механизм диссипа- тивного и статического противодействия, при- водят к* астатичности первого и нулевого по- рядков соответственно. В ней невозможно, однако, парализовать механизм инерционного противодействия, т. е. невозможно условие = 0 (1-49) к (& = 1, 2, ..., i—1, 4*+1, ..., т) и вытекающее из него условие = = O (1-50) (Л=1, 2, i—1, i + l, zn), в ней невозможны безынерционные системы— с астатичностью 2-го порядка. Этб опреде- ляется полусвязанностью этой механики. Инерционное противодействие ее независи- мых элементов является неограниченным ис- точником противодействия натуральных си- стем, позволяющим приложить к пушинке многотонное усилие. В системах, в которых парализованы были бы все три механизма противодействия, парализована была способ- ность противостоять каким бы то ни было внешним силам, способность быть объектом внешних сил. Такие адинамические системы невозможны в классической механике, по- скольку в ней всегда налицо механизм инер- ционного противодействия независимых ее элементов: С)=л«-2лй>о (1-51) к (fe = l, 2, ..i—1, i-1- 1, ..m) (7 = 1, 2, ..m) Ац>^А{к (1-52) k (£ = 1, 2,..., 4—1, 4-f-l,..., m) (4 = 1, 2, ..., m). Адинамическими системы эти могут быть лишь в псевдостатике, где инерционное про- 5* тиводействие отсутствует и адинамичность совпадает с псевдоастатичностью. С этой об- 1цей точки зрения псевдоастатичность пред- ставляет собой статическую адинамичность, неспособность системы противостоять в ста- тике и псевдостатике внешним силам. Это придает феномену астатичности и псевдоаста- тичности, как единственному возможному в классической механике проявлению адина- мичности, высокий теоретический интерес. В односторонней механике адинамичность возможна и в динамике и включает в себя, как подсвойство, псевдоастатичность и аста- тичность. Последняя содержит в себе общую логическую схему адинамических систем — си- стем, лишенных механизма противодействия, и, согласно логическому постулату действия, не способных быть объектом приложения сил. Схема эта будет использована при синтезе адинамических систем односторонней механи- ки, систем, не способных противостоять внеш- ним силам. Равенство нулю одной из сил или или обеих вместе, означает для автоном- ной системы соответственно диссипативную, статическую и общую изолированность в 4'-м элементе. Равенство одновременно и силы (что возможно лишь в односторонних систе- мах) означает адинамичность системы в этом элементе. Все эти градации изолированности представляют, таким образом, локальные свойства системы, свойства ее в отдельных элементах. Лишь будучи распространены на все элементы системы, они становятся общи- ми свойствами ее. Это соотношение общих и локальных свойств будет ниже подробно рас- смотрено. Сама автономность также представ- ляет собой локальное свойство. Для элементов, в которых система адина- мична, должна была бы быть равной нулю и сумма внутренних сил системы, приложенных к этому элементу, поскольку адинамичность означает неспособность к противодействию не только внешним, но и внутренним силам. Для двусторонней системы, адинамичной во всех своих элементах, нулю должна была бы рав- няться, следовательно, не только сумма всех внутренних сил системы, как у всех натураль- ных систем, но и сумма внутренних сил, приложенных к каждому элементу. Как по- яснялось уже, в натуральных системах адинамичность невозможна, и здесь может иметь место лишь первая зависимость. Напротив, в односторонних системах адина- мичность возможна, и здесь в этом случае имеет место вторая зависимость, первая же в общем случае не имеет места. 67
1-3-2. Газодинамическая механика Первое освобождение натуральная струк- тура претерпевает в простейшей газодинами- ческой системе — потока газа в канале пере- менного сечения (рис. 1-31,а). Канал этот мо- жет быть представлен дискретной моделью — цепочкой дискретных объемов и дискретных гидравлических сопротивлений (рис. б). Структурная схема этой дискретной модели двусторонней системы дана в общем односто- роннем описании на рис. в, в специальном — на рис. г. Связь между обоими описаниями здесь такая же, как и в двусторонних систе- мах (рис. 1-26, 1-27, 1-28, 1-29). Обобщенной координатой каждого z-го объема является, при заданной политропе расширения, давле- ние р в нем. Соответствующей ему обобщен- ной силой является аккумулируемое в этом объеме количество газа —Gi(i+1). Каждый из двух членов правой части — функция давлений в двух соседних объемах, функция «относительного движения» их— га- зодинамическая механика является полусвя- занной механикой. При колебаниях газового столба в канале, на которые не наложено переносное движение всего столба, система представляет собой на- туральную систему с метрически симметрич- ным (Cik = Cki), подчиняющимся постулату противодействия, взаимодействием. Как по- казано было В. Б. Рубиным [Л. 96, 97], при наложении на газовый столб переносного дви- жения метрическая симметрия нарушается (Cik>Cki), С ростом скорости этого движения обратные связи ослабевают, по сравнению с прямыми, и натуральная структура посте- пенно разрушается. Полное разрушение на- ступает при критическом перепаде в одном из сопротивлений (среднем на рис. 1-31). Двустороннее действие переходит здесь в од- ностороннее — количество газа, протекающее через дроссель, зависит только от давления до него и не зависит от давления за ним. Вто- рое давление находится при этом под воздей- ствием первого, первое же независимо от вто- рого. В этой системе, в зависимости от ско- рости переносного движения, возникают все градации видимого разрушения постулата про- тиводействия —от полностью симметричного двустороннего действия до чисто односторон- него. Г азодинамическая структура отличается от натуральной лишь метрической асимметри- ей. Различие между газодинамической и на- туральной механиками является не структур- ным, а лишь метрическим. Чтобы придать ме- трической асимметрии внешнее выражение, 68 Рис. U-3il. Газодинамическая структура. ослабленные обратные связи будут обозна- чаться пунктиром или полностью сниматься при критических перепадах (рис. 1-31). Это позволит и внешне различать двусторонние и газодинамические структуры. Специальное одностороннее описание га- зодинамических структур (рис. г) позволяет установить некоторые их особенности, неяв- ные в общем одностороннем их описании (рис. в). Выясняется, в частности, что с ослаб- лением обратных связей ослабляются в той же мере и соответствующие им составляКшхие внутренних связей (также показанные пунк- тиром) элементарных систем. При полном разрушении обратной связи в критическом се- чении канала разрушается и соответствующая составляющая внутренней связи. Канал на рис. а может быть рассматри- ваем как грубая схема парового тракта бло- ков котел — турбина. В них также раздели- тельным между котлом и турбиной сечением является промежуточное сечение регулирую- щей ступени, в котором на частичных режи- мах возникают критические скорости. При критической скорости разрушается, разумеется, лишь специальная часть 3-го по- стулата и разрушается, как в сервосистемах, лишь видимым образом. Вытекающая из соп- ла струя находится под воздействием давле- ний по обе стороны ее. Оба действия уравно- вешиваются в соответствии со специальным постулатом противодействия. Однако давле- ние в левом объеме, воздействуя на струю (изменяя ее плотность при неизменной скоро- сти), воздействует этим на давление в пра-
вом объеме, последнее же, воздействуя на струю (втекающую во второй объем при дав- лении, большем господствующего в нем), только разрушает ее, не влияя на "давление в левом объеме. Это действительное косвен- ное взаимодействие, подчиняющееся постула- ту противодействия, можно, игнорируя, как и в сервосистемах, скрытый механизм его, заменить видимым прямым односторонним воздействием левого объема на правый. Од- ностороннее воздействие возникает и здесь в результате того же приема игнорирования. Достаточно специальный феномен критиче- ской скорости приобщается этим приемом к односторонней механике. Этой принадлеж- ностью к односторонней механике объясняет- ся парадоксальность этого феномена в двусто- ронней. Специальный постулат взаимодействия га- зодинамической механики может быть легко сформулирован с помощью коэффициента асимметрии S, указывающего отношение об- ратного воздействия к прямому. Для двусто- ронней механики коэффициент этот равен 1, для односторонней — нулю, для газодинамиче- ской механики принимает промежуточные, ^между единицей и нулем, значения. х Метрическая асимметрия газодинамиче- ской структуры является кососимметрич- ностью: обе составляющие каждого обратного воздействия — действие и само действие — изменяются в одном и том же отношении S. Это приводит к сохранению нейтральности внутренней подсистемы — газодинамическая механика является полунейтральной механи- кой. Поскольку внутренняя подсистема обла- дает нулевым порядком, полу нейтральность означает здесь астатичность. Если изолиро- вать газодинамическую систему от зависимых внешних сил (для входных из внешней среды ее сечений это достигается при критических перепадах, для выходных — такая изоляция не достигается и критическими перепадами и, следовательно, невозможна), то любое неза- висимое внешнее воздействие (увеличение од- ного из входных сечений) повлекло бы неог- раниченный рост всех давлений. Газодинамическая механика представляет собой, исключая предельный случай критиче- ских скоростей, двустороннюю полусвязанную механику с положительной, 1-го порядка, ме- ханикой элементов и нейтральной, нулевого порядка, механикой взаимодействий. В пре- дельном случае критических скоростей меха- ника эта переходит в одностороннюю меха- нику. В газодинамической структуре разрушается метрическая симметрия натуральной структу- ры, но сохраняется полусвязанность. Более глубокие разрушения Натуральной структуры содержат гироскопические структуры. 1-3-3. Гироскопическая механика В еще более явном виде предстает прием игнорирования при рассмотрении ненатураль- ных, гироскопических — в частности, струк- тур классической механики. Здесь игнориру- ются циклические координаты скрытых, вра- щающихся масс, и игнорирование это возме- щается введением видимого действия гироско- пических и обобщенных центробежных сил. Это игнорирование циклических координат, замена скрытого косвенного, через вращаю- щиеся массы, взаимодействия двух элементов видимым прямым, также разрушает натураль- ную структуру и наносит такие же разрушен ния классической механике, как те же приемы в сервосистемах и в газодинамике. Гироскопическая структура сохраняет тем не менее достаточно специальный вид — неде- лимой ее единицей является также двучлен- ный цикл, всегда положительный и образо- ванный связями 1-го порядка. Здесь сохране- на метрическая симметрия сложных циклов (6ife = &M),. структурная же лишь частично (difBift = difBfei, signBife^signBfei). Эта струк- турная несимметрия является, однако, наибо- лее важным из всех возможных различий — в основе гироскопических систем лежат не от- рицательные, а положительные двучленные циклы. Поскольку внутренние подсистемы этих систем не связаны и образуются, следо- вательно, только этими положительными дву- членными циклами, они положительны. Ги- роскопическая механика является несвязан- ной двусторонней механикой с положитель- ной, 2-го порядка, механикой элементов и по- ложительной же, 1-го порядка, механикой взаимодействий. Более детальные свойства этой механики рассмотрены были выше. 1-4. МНОГОСТОРОННИЕ МЕХАНИКИ 1-4-1. Многосторонние механики Между многосторонними и двусторонними механиками различие скорее количественное, чем качественное. И те и другие противостоят порождающей их односторонней механике. В несвязанных и полусвязанных многосторон- них механиках механика элементов незави- сима от механики взаимодействий и в общем виде изложена выше. Механика же взаимо- действий приобретает в й-сторонних механи- ках, с увеличением k, все более сложные фор- мы и в общем случае может быть задана только указанием структуры и метрики струк- турных единиц. Единицы эти для трех- и че- 69
тырехсторрнних механик рассмотрены были ’на рис. 1-23. Теперь может быть рассмотрена в общем виде классификация механик. 1-4-2. Общая классификация механик Механика определяется специальной структурой принадлежащих ей систем, и это открывает неограниченные -возможности дроб- ления механик. Первым шагом в классифика- ции механик должно явиться поэтому деление механик по их общности и подчинению. Вну- три этой иерархической классификации ме- ханики должны классифицироваться по всем остальным признакам. Поясним эту классификационную схему рассмотренными примерами. Гироскопическая механика — механика гироскопических систем представляется в существующем построении механики как часть классической механики. Это верно, однако, лишь до тех пор, пока не игнорируются, заменяясь эквивалентными си- лами, циклические координаты—скрытые вра- щающиеся массы. Полученные таким игнори- рованием системы не подчиняются уже спе- циальным постулатам класси- ческой механики, и гироскопи- ческая механика из ранга под- механик классической механики переходит в ранг механик. Та же логическая операция игно- рирования сервоисточников пе- реводит сервомеханику — меха- нику сервосистем — из ранга подмеханик классической ме- ханики в ранг надмеханйки, более того — наиболее общей, односторонней механики. Ранг общности механики опреде- ляется, таким образом, вполне однозначно. Исходным рангом общности может здесь слу- жить классическая механика. Подмеханиками ее являются механики консервативных, диссипативных и т. д. систем, надмеханиками — односторон- няя механика и все порождае- мые ею механики, превосходя- щие по общности классиче- скую механику. Равными ей по рангу механиками явля- ются газодинамическая, ги- роскопическая и иные энерге- тические механики, порождае- мые односторонней механикой. Механики, принадлежащие одному рангу общности или различным рангам, могут за- тем классифицироваться по иным призна- кам — кибернетическим (реактивность, ней- тральность, астатичность), структурным (мно- госторонность, связанность, дифференциаль- ный порядок, структурная симметрия и т. д.) или метрическим (метрическая симметрия). В этой логической схеме механи- ки одинакового ранга — классическая, гиро- скопическая и газодинамическая — являются: первая — двусторонней полусвязанной полу- нейтральной механикой 2-го порядка, вто- рая— двусторонней не связанной положи- тельно реактивной механикой 2-го порядка, третья — двусторонней полусвязанной полу- нейтральной механикой 1-го порядка. Механи- ка сервосистем является в этой схеме одно- сторонней несвязанной механикой произволь- ного порядка и произвольной реактивности — наиболее общей механикой. 1-5. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕХАНИКИ В рассмотренных выше механиках старшие параметры движения — гиперускорения свя- заны были с силами не только качественны- 70
ми (знаковыми), но и количественными отно- шениями— гиперускорение не. только совпа- дало по знаку с силой, но и было пропорцио- нально ее модулю. Не нарушая логического постулата действия, можно построить чисто качественную механику, сохраняющую только качественные, знаковые отношения. Качест- венная механика может обладать теми же структурами, что и количественная, быть од- носторонней и многосторонней, \ связанной, лолусвязанной и несвязанной, положительной, отрицательной и нейтральной и т. д. При этом лишь все смешанные, качественные и количе- ственные отношения заменяются полностью или частично чисто качественными отношения- ми. Качественной механикой является, как показано ниже, релейная автоматика. 1-5-1. Механика элементов На рис. 1-32 показано движение линейных и релейных элементов и элементарных систем (релейные элементы обозначены знаком ре- лейной зависимости, пересекающим старшую связь). При одинаковом модуле силы, движе- ния эти для линейных и релейных элементов одинаковы и объединены в верхней строке ри- сунка, для элементарных систем — различны и разделены на-^рисунке, для линейных — да- ны во второй строке, для релейных — в третьей. Кинетическое уравнение (1-10) линейных элементов принимает для релейных элемен- тов вид: ^-^-signQp (1-53) Гиперускорение р-го порядка переменно здесь только по знаку, определяемому знаком ги- пермассы Ai и знаком силы Qi, по модулю же 1 ПОСТОЯННО И равно “pF’ ГДе ai— модуль гипермассы 4г-. При положительной гипер- массе уравнение это принимает вид, указан- ный в верхней строке рисунка. Для линейных систем изменение силы вы- зывает непрерывные, для релейных — разрыв- ные изменения гиперускорений. Разрывы про- исходят при изменении знака Q. Это приво- дит, при некоторых значениях параметров связей, к новому феномену качественной ме- ханики— пульсирующему режиму ((рис. 1-33), здесь уравнения системы и переходные про- цессы даны, в отличие от уравнения (1-32), по отношению к новому равновесному поло- жению). Режим этот сводится к непрерывной скачкообразной пульсации гиперускорения. Скорость, как интеграл гиперускорения, при- нимает при этом постоянное значение, и по- Рис. 1-33. Пульсирующие режимы в качествен- ной механике. рядок элементарной системы, начиная с это- го момента, снижается на единицу (это вы- рождение элементарных систем показано справа на рис. 1-33). Пульсирующий режим возникает в каждом (отвлекшись от некото- рых специальных случаев) переходном про- цессе, начиная с момента, когда неизменный угол а—излома графика скорости превысит угол р—наклона графика обобщенной силы к оси нового равновесного положения. На рис. а дан более простой, однако специальный, случай пульсирующего режима, когда начало его совпадает с нулевой скоростью. На рис. б дан общий случай. 1-5-2. Механика взаимодействий и систем Односторонняя качественная механика взаимодействий и систем рассмотрена будет во второй части, при исследовании релейных си- стем автоматики. Многосторонние, двусторон- ние — в частности, качественные механики представляют пока лишь теоретический ин- терес. Для каждой из качественных механик должен быть указан специальный постулат взаимодействия, логический же постулат дей- ствия так же неизменен, как и в количествен- ных механиках, однако действиями являются здесь только знаки сил, а не их модули. 71
ГЛАВА ВТОРАЯ МАТЕРИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ 2-1. МАТЕРИАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ 2-1-1. Материальные модели Механика одностороннего действия яв- ляется механикой динамических систем про- извольной структуры. Чтобы доказать, что та- кая механика является не только логически безупречной дедуктивной теорией, но и мате- риально интерпретируется, находит подчи- няющиеся ей материальные модели, следует выяснить приемы материального синтеза ди- намических систем общей структуры. Для этого достаточно указать приемы материаль- ного синтеза динамических связей, поскольку все содержание динамических систем, вклю- чая и элементы их, сведено было выше к кон- фигурации связей. Выход за пределы двусторонней механики в другие специальные механики может быть достигнут многими рассмотренными выше спо- собами — в гироскопических, газодинамиче- ских и даже натуральных (рис. 1-7) системах. Синтез односторонних связей и выход в наи- более общую, одностороннюю механику до- стигается прежде всего в сервосистемах. По- следние являются первой материальной мо- делью односторонней механики. 2-1-2. СЕРВОМОДЕЛИ Рассмотрим детальнее прием игнорирова- ния, сводящий действительное двусторон- нее действие к видимому од- ностороннему. На рис. 2-1,а дана простейшая сервоси- стема — открытая цепочка элементов одностороннего действия (сервоэлемёнтов). Роль одностороннего филь- тра, сортирующего импуль- сы и пропускающего их в одном лишь направлении, играет здесь золотник. Каж- дый из сервоэлементов снаб- жен здесь своим сервоис- точником, в данном слу- чае—насосом Е. Рассмотрим структуру этой системы в двусторон- ней и односторонней меха- никах. Первая из этих за- дач обречена, на первый взгляд, на неудачу. Действи- тельно, в наиболее. общей . односторонней механике можно представить любые системы, в том числе системы охваты- ваемой ею двусторонней механики. Это проде- монстрировано было на рис. 1-1,6, 1-2,6 и 1-3,6. В двусторонней механике представить не подчиняющиеся ей (постулату противодей- ствия) сервосистемы невозможно. Это затруд- нение может быть обойдено только включени- ем в состав системы серво'источников. В этом предположении система подчиняется двусто- ронней механике. Структурная схема ее в упрощенном виде представлена на рис. 2-1,в. Здесь имеет место двустороннее взаимодей- ствие между сервоэлементами и их сервоис- точниками. В понятиях односторонней механики струк- тура сервосистемы представлена на рис. 5. Действующими элементами здесь являются только сервомоторы, поскольку только их пе- ремещениям пропорциональны действующие силы. Понятие — действие совпадает здесь с понятием — управление. Сервоисточники вы- падают из рассмотрения. Это представляет решающий довод в пользу представления ав- томатики односторонней механикой. Только таким путем могут быть игнорируемы серво- источники. Включение в состав сервосистемы сервоисточников ее не сулит, очевидно, сколь- ко-нибудь простого и целостного построения автоматики. Последнее невозможно поэтому в пределах двусторонней механики. + = & вггЧг + ^ггЧг + СггЧг ~ сггЦ> = О аззЧз + ^зз^з + сззЧз ~ сзгЧг = & ” с4зЧз = О Рис. 2-1. Сервосистема. а — открытая сервосистема; б — структурная схема ее в односторонней механике; в — структурная схема ее в двусторонней механике. 72,
Одностороннее действие в автоматике (рис. б), если не игнорировать скрытый меха- низм его («рис. в), происходит’в полдом соот- ветствии с .постулатом противодействия. Силы, действующие на воздействуемый элемент сервопары, исходят не от действующего эле- мента, а от управляемого этим действующим элементом сервоисточника, представляющего необходимую скрытую часть этой пары. Меж- ду сервоисточником и воздействуемым элемен- том существует такой же двучленный цикл натурального взаимодействия, как и между действующим элементом и сервоисточником (рис. в). Каждый из этих циклов образован в -соответствии с постулатом противодействия двумя равными и противоположно направлен- ными силами, первый — управляемыми сила- ми, второй — существенно меньшими управ- ляющими силами. Этот каскад сил и энергий достигается питанием системы энергией из промежуточного сервоисточника (закон сохра- нения энергии для сервосистемы, рассматри- ваемой без -своих сервоисточников, как изоли- рованная система, нарушен здесь самым пред- метным способом). В этом различии масшта- ба, уровня управляющих и управляемых сил и энергий, создающем каскад сил и энергий, и заключается эффект управления. Каскад этот в указанной на рис. в развернутой схеме осуществим в классической механике, в пол- ном согласии с третьим ее постулатом. Сле- дующий, однако, шаг, игнорирующий эту пол- ную схему взаимодействия и заменяющий ее односторонним действием (рис. б), в котором исходящая от сервоисточника высокого уров- ня сила приписывается непосредственно управляющему элементу, выводит за пределы классической механики. Игнорирование испы- тываемого управляющим элементом противо- действия, происходящего на низком уровне управляющих сил, и присвоение этому элемен- ту' действия, исходящего от сервоисточника, приводит к ‘ видимой схеме односторон- него действия, действия без противодейст- вия. В правильно спроектированной сервопаре сервоисточник способен развить под воздей- ствием ничтожных управляющих усилий, под воздействием, условно выражаясь, не мускуль- ной, а чисто нервной команды, любой величи- ны усилия, приложенные к управляемому элементу. Равное и противоположное этим си- лам противодействие будет, в полном соответ- ствии с постулатом противодействия, прило- жено со стороны управляемого элемента к этому источнику энергии (источники энер- гии на рис. 2-1 могли бы быть представлены поршневыми насосами, к поршням которых приложены силы, противодействующие силам,, приложенным к поршням сервомоторов). Так- же расшифровывается волевая схема управле- ния, имеющая место в живых организмах. В интересах целостного построения автоматики ^выгодно, однако, игнорировать эту трехчлен- ную схему и скрытый в ней механизм противо- действия и счесть марионеточную силу, исхо- дящую, в видимой схеме, от управляющего элемента сервопары, за истинную, т. е. при- нять видимую двучленную схему, приписать самому управляющему элементу силу, исходя- щую от внешнего источника энергии и только управляемую этим управляющим элементом. Это и делается принятым выше для односто- > ровней механики определением действующего^ элемента. Возникающую при этом видимую силовую схему нельзя, следуя точному значе- нию слов, назвать иначе, чем действием без противодействия. Сам логический прием игнорирования из- быточной информации, прием «черного ящи- ка» — намеренной замены сложного скрытого механизма явления, хотя бы этот механизм был детально известен, видимой его стороной, замены, производимой в интересах целостно- го построения предмета, получил в науке важ- ные применения. Так же игнорируются в классической ме- ханике циклические координаты скрытых вра- щающихся масс. В уравнениях на рис. 2-1 учтены массы поршней сервомоторов, мало влияющие на процесс и обычно опускаемые. С учетом масс сервомотор представляет собой элементарную систему 2-го порядка, обладающую всеми вну- тренними связями — статической в виде вы- ключателя и связью 1-го порядка в виде ка- таракта, образуемого окнами золотника. Эле- ментом в этой одноэлементной системе яв- ляется масса поршня, описываемая старшей внутренней связью. Она является объектом для всех внутренних сил элементарной систе- мы, представляющих собой реакции всех остальных, нестарших внутренних связей ее. Под элементами динамических систем следует, как говорилось выше, понимать не бескачест- венную обобщенную координату, а обобщен- ную координату с обозначенными динамиче- скими свойствами. Свойства эти во всех слу- чаях указываются старшей внутренней связью, представляющей в этом смысле собственно^ элемент, противостоящий, как источник про- тиводействия, объект приложения сил, всем остальным сходящимся в нем связям, внеш- ним и нестаршим внутренним. Двусторонние уравнения не приведены под: структурной схемой на рис. в, поскольку они: 13.
требуют знания характеристик сервоисточни- ка. Существенно, что такие уравнения суще- ствуют для каждой сервосистемы. 2-1-3. Материальный синтез В рассмотренных выше структурных схе- мах автоматики совершенно неограниченно употреблялись символы дифференциальных и интегральных элементов и связей произволь- ного порядка и знака. Элементы и связи эти •столь же произвольно соединялись в системе. Следует теперь доказать, что все эти весьма необычные пока операции материально осу- ществимы, доказать, что материальный синтез в автоматике так же свободен, как и логиче- ский. Синтез самодействий способен, в част- ности, дать конструктивную схему того синте- за вещества, массы, о котором говорилось вы- ше. Принципиальное значение такой схемы очевидно. Весьма важно также получить материаль- ные модели таких трудно воспринимаемых но- вых понятий односторонней механики, как от- рицательные массы, отрицательная кинетиче- ская энергия, адинамические системы, и таких старых, но предстающих в новом свете поня- тий двусторонней механики, как противодей- ствие, масса, астатичность. Чтобы осуществить материальный синтез динамических систем, следует указать: 1) об- щие приемы материального синтеза элемен- тов и динамических связей; 2) приемы соеди- нения их в систему. Поскольку сами элемен- ты представляют собой лишь старшие вну- тренние связи, следует начать с синтеза связей. 2-2. СИНТЕЗ ДИНАМИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ Конструктивным приемом, разрешающим задачу синтеза систем произвольной структу- ры, является одностороннее действие. С по- мощью этого приема можно осуществить ди- намические элементы и связи произвольного порядка и знака. Выше осуществлены были конструктивно, с помощью рычажной передачи от сервомо- торов к золотникам, только статические внеш- ние и внутренние связи. Внутренние связи 1-го и 2-го порядков были заданы принудительно, в виде натуральных свойств элемента — его положительной массы и положительного ка- таракта. Следует преодолеть эти ограничения и найти материальное воплощение таких умо- зрительных пока понятий односторонней ме- ханики, как положительные и отрицательньре, дифференциальные и интегральные элементы ((«массы») и связи [Л. 36]. 2-2-1. Синтез внешних связей Для того чтобы осуществить дифферен- циальные и интегральные связи, связи неста- тические, необходимо иметь дифференцирую- щий либо интегрирующий прибор, измеряю- щий соответственного порядка производные либо интегралы по времени от пути ведущего элемента и передающий с помощью односто- ронней динамической связи пропорциональ- ный результату этих измерений импульс ве- домому элементу. Ниже излагается общий ме-. тод материального синтеза динамических свя- зей на примере гидравлических сервомоторов, принятых выше в качестве единообразных изображающих элементов сервосистем. Он легко может быть распространен и на любой другой вид немеханических сервоэлементов. А. Статические связи На рис. 2—2,а дан способ, которым осу- ществлялись выше статические связи. Пере- дача от поршня управляющего сервомотора к золотнику управляемого сервомотора осу- ществлена здесь кинематически. Ее, однако, можно осуществить динамически, как силовое соотношение, способом, показанным на рис. б, где передаточное отношение между поршнем управляющего сервомотора и золот- ником управляемого зависит от жесткостей Ci и С2 измерительной пружины 1 и эталонной пружины 2. Найдем это передаточное отноше- ние. Обозначим перемещения точек В и D через Xi и х2 и изберем направления положи- тельного отсчета их так, как это показано на рис. б. Из уравнения моментов относительно точки А с^а—c2x2\(a+'d) =0 (2-1) находим это передаточное отношение: (2-2) 2 а + d с2 1 v 7 Кинематически перемещения точек А, В и D связаны уравнением Х* a + d Xs' Рис. 2-2. Кинематический и динамический способ синте- _ за статических связей. 74
Подставляя (3) в (2), получаем: <4* *]" L4 14 "р* (4 02 \ 14 €4 J ^2* Выбирая отношение достаточно малым, можно пренебречь членами, содержащими квад- рат этого отношения, и тогда __ ad Ci Xi (a + d)2 ~с7^' (2-5) Перемещение х2 точки D и подвешенного к ней золотника управляемого -сервомотора пропорционально перемещению управляю- щего сервомотора, измеряет это перемещение. Рассматривая автоматику как одностороннюю механику, следует представить все соотноше- ния в сервосистемах как силовые соотноше- ния. Будем считать поэтому, что усилие, воз- никающее на поршне сервомотора, пропорцио- нально перемещению золотника. В сервомото- рах с проточным золотником это может быть достигнуто профилировкой окон золотника. В этом случае на поршне управляемого сервомотора возникает усилие, пропорцио- нальное перемещению управляющего серво- мотора, т. е. осуществляется статическая связь. Динамическая связь любого порядка будет осуществляться такими сервомоторами как чисто -силовое соотношение, как пропор- циональность силы, действующей на поршень управляемого сервомотора, соответствующего порядка производной по времени от движе- ния управляющего сервомотора. Поскольку такой сервомотор явится основ'ным эле- ментом дальнейших построений, следует -подробнее по- яснить его конструкцию. Необходимо прежде всего, Рис. 2-3. Сервомотор с линейной силовой харак- теристикой. чтобы сервомотор этот лишен был собственных нату- ральных свойств — статичности катаракта массы,—т. е. представлял бы собой в чистом виде механизм одно- стороннего действия, позволяющий синтезировать искусственные, синтетические свойства. Необходимо так- же осуществить линейную силовую характеристику. Это достигается способом, указанным на рис. 2-3. Зо- г лотник сервомотора состоит здесь из двух проточных зо- лотников, объединенных общим штоком и изменяющих давления в полостях сервомотора (рис. а). Давление в каждой из полостей зависит от сечения, открытого золотником, и от постоянного сечения дроссельной шай- бы на сливе. Окна в буксе золотника могут быть так очерчены, что давления в обеих полостях будут линей- ными -функциями хода золотника (JL 26]. Золотник выполнен так, что с ростом давления в одной полости падает давление в другой. Гидравлическая схема серво- мотора дана на рис. б, характеристика — на рис. в. Усилие, действующее на поршень, является линейной функцией хода золотника. Тот же результат мог бы быть достигнут заменой одной из двух гидравлических пружин, образуемых этими гидравлическими устрой- ствами, натуральной пружиной, как это делается в обычных проточных сервомоторах. На рис. 2-3 взята для наглядности первая, симметричная схема. Если сер- вомотор этот не обладает ни натуральной массой, ни на- туральным демпфированием, то он представляет собой в чистом виде ту идеальную схему одностороннего дей- ствия, о которой говорилось выше. Такой идеальный сервомотор будет условно изображаться так, как это показано на рис. '2-3—со схематическими поршнями. Обобщенные силы могут быть приложены к такому элементу одним из трех указанных на рис. а способов: 1) в виде натуральной силы, приложенной непосред- ственно к штоку сервомотора; 2) сдвигом золотника; 3) сдвигом буксы золотника. -Все три способа дают один и тот же результат—неуравновешенную силу Q(I), приложенную к поршню сервомотора. На рис. 2-3 по- казаны все три способа. Выполняя пружины 1 и 2 достаточно жест- кими, можно получить достаточно энергичное и безынерционное устройство, не увеличиваю- щее практически числа степеней свободы сервомотора. Таким энергичным устройством, с пружинами большой жесткости, можно, естественно, нагружать лишь достаточно энергичный элемент. Все устройство представ- ляет собой как бы пружинные весы, на кото- рых «взвешиваются» перемещения управляю- щего элемента и сообщается затем управляе- мому элементу импульс, пропорциональный этим перемещениям. Б. Дифференциальные связи Разумеется, нет нужды выполнять стати- ческую связь, легко осуществимую обычным кинематическим способом (рис. 2-2,а), более сложным силовым способом (рис. б). Послед- ний описан лишь затем, чтобы .пояснить вы- полнение нестатических связей (рис. 2-4, 2-5), где силовой способ является единствен- но возможным и где он менее нагляден. На тех же «весах», на которых «взвешивались» на рис. 2-26 перемещения управляющего эле- мента, можно «взвесить» и скорости и уско- 75
Рис. 2-4. Синтез внешних Рис. 2-5. Синтез внешних связей 2-го порядка. связей 1-го порядка. рения его и осуществить таким -образом свя- зи более высокого порядка. Для этого необхо- димо в первом случае опереть рычаг «весов» не на измерительную пружину, а на измери- тельный катаракт (рис. 2-4), во втором же случае—на измерительную массу (рис. 2-5). Во всех трех случаях рычаг представляет со- бой коромысло этих весов. Опорой этого ко- ромысла являются соответственно измеритель- ная пружина, измерительный катаракт и из- мерительная масса. Один конец коромысла, одна «чаша весов», нагружается, фигурально выражаясь, измеряемыми перемещением, ско- ростью и ускорением, и уравновешивается на втором конце коромысла — второй «чаше ве- сов» усилием эталонной пружины, выполняю- щей в этих весах функцию эталонов, разнове- сов в обычных весах. Для того чтобы измерить скорость и осу- ществить связь первого порядка, заменим из- мерительную пружину измерительным ката- рактом (рис. 2-4) с силой жидкостного сопро- тивления F = bx. Уравнение моментов относи- тельно точки А (рис. а): — с2х2 (а + d) = 0. (2-6) Передаточное отношение (2-2) принимает здесь вид: Связь первого порядка осуществлена — пере- мещение точки D измеряет скорость qx управ- ляющего сервомотора и передает через под- вешенный к точке D золотник пропорциональ- ное этой скорости усилие на поршень управ- ляемого сервомотора. На рис. а осуществлена отрицательная внешняя связь 1-го порядка, на рис. б — положительная. Осталось измерить тем же приспособлением ускорение q. Подвесим для этого в точке В (рис. 2-5), вместо катаракта и пружины изме- рительную массу тп0- В точке В приложена теперь сила инерции F = тох1. У равнение моментов относительно точки А т^а — с2х2 (a-{-d) = 0. (2-10) Передаточное отношение (2-2) принимает здесь вид: Дифференцируя дважды (2-3) и подставляя его затем в (2-11), получаем: __ a d т0 •• । / а \2т0 •• Х*~+ ~ъХ*' (2-12) Вновь выбирая достаточно малым отноше- а ние jTpy, получаем: Дифференцируя получаем: (2-3) и подставляя в (2-7), _ ad т9 •• 2 (a + d)2 с2 ч*' (2-13) ____ a d Ьх 2 a -j- d л -j- d c2 • . / a V • + ( „ j — X2. ' \a-\-a c2 2 (2-8) И здесь, выбрав отношение плеч a^_d до- статочно малым, можно принять: Х» = (а + ау ~с^1- (2’9) Связь 2-го порядка осуществлена — пере- мещением точки D измеряется ускорение qx ведущего сервомотора и вызывается пропор- циональное этому ускорению усилие на порш- не ведомого сервомотора. В этом и предыдущем случаях, отбрасы- вая члены с 1-й и 2-й производными, содер- жащие множителем а мы пренебрегали 76
несущественной степенью свободы, вносимой в систему катарактом и массой, т. е. считали все приспособление безынерционным диффе- ренцирующим прибором. Это допущение со- вершенно законно при условии достаточно а малых д при которых измеряющий при-'' бор не оказывает существенного влияния на измеряемую величину. Наложение этого условия не является, конечно, особенностью описанных дифференцирующих приборов. Ана- логичное ограничительное условие существу- ет для каждого прибора, которому ставится требование не оказывать существенного об- ратного воздействия на измеряемую величи- ну. Для выполнения этого требования необхо- димо также, чтобы усилие измерительной пружины 2 было более высокого порядка ма- лости величиной по сравнению с «энергией» (масштабом сил) сервомотора. Прямое урав- новешивание усилий сервомотора усилием пружины должно быть при этом несуществен- ным по сравнению с косвенным уравновеши- ванием усилий сервомотора циклическим ме- ханизмом синтетической внутренней связи. Дифференцирующие приборы указанного вида измеряют, таким образом, с тем же прибли- жением, что и всякий иной прибор. Содержа- щаяся в них идея измерения производных лю- бого порядка совершенно обща и пригодна для измерения производных не только геоме- трических координат, но и любых иных. В рассматриваемом случае для того, что- бы измерить производные геометрической, ко- ординаты, ’понадобились две натуральные внутренние связи — 0-го (в виде пружины) и 1-го (в виде катаракта) порядков. Натураль- ная внутренняя связь 2-го порядка (масса) была здесь использована лишь затем, чтобы ускорить измерение производных высокого порядка и сама эта натуральная связь 2-го порядка могла бы быть получена уже синте- тически, при помощи первых двух связей. Сле- довательно, если для Рис. 2-6. Совместный синтез связей (различно- го порядка. какой-нибудь негеоме- трической координаты, чьи производные нуж- но измерить, можно найти две натуральные внутренние связи нуле- вого и первого поряд- ков, то отталкиваясь от них, можно по той же схеме построить связи любого порядка. Пусть например, такой коор- динатой является элек- трический заряд. Две натуральные внутренние связи нулевого и пер- вого порядков этой координаты суть емкость и омическое сопротивление. Первая играет роль пружины прибора, вторая — роль ката- ракта. Рычаг механического прибора следует для данного случая заменить соответствующим электрическим контуром и, следуя указанной механической схеме, измерять производные любого порядка. Чтобы ускорить наращива- ние производных, можно воспользоваться су- ществующей для координаты «электрический заряд» натуральной внутренней связью 2-го порядка — самоиндукцией. В схемах на рис. 2-2, 2-4, 2-5 точкой опоры коромыслу «весов» служили неподвижная точ- ка в схеме 2-2,а и, условно выражаясь, упру- гое, катарактное и инерционное противодей- ствие в схемах 2-2,6, 2-4, 2-5. Этим осущест- влены были, при указанном на схемах на- правлении координатных осей, отрицательные связи. Помещая точку В вне рычага AD, как это показано в правой части рисунков 2-4, 2-5, получим отрицательные связи. В первом случае перемещения, скорости и ускорения поршня управляющего сервомотора вызывают того же знака усилие на поршне управляе- мого сервомотора, во втором случае — обрат*4 ного знака. С помощью приема одностороннего дейст- вия, отталкиваясь от натуральных механиче- ских свойств, получены были выше положи- тельные и отрицательные связи 0-го, 1-го и 2-го порядков. Метод этот позволяет весьма простое, с помощью одного лишь рычага, од- новременное выполнение нескольких связей различного порядка и знака (рис. 6). Муль- типлицируя указанный прибор, можно полу- чить связи не только 2-го, но и любого более высокого порядка (рис. 2-7). Пусть (рис. а) перемещение х2 точки измеряет ускорение qx сервомотора /. Присоединяя точку Pi к точке А2 следующего такого же рычага с измерительным катарактом, получаем в точ- ке Р2, на выходе его, перемещение х3, изме- 77
Рис. 2-8. Синтез интегральных связей 1-го порядка. 0-fF* *© <9 Рис. 2-9. Синтез интегральных связей 2-го порядка. ряющее уже q\. Повторяя этот прием еще од- нажды, получаем в точке D3 следующего ры- чага перемещение измеряющее ускорение еще более высокого нечетного порядка, «и т. д. Еще быстрее наращивается порядок связей, если мультиплицировать дифференцирующий прибор 2-го порядка (рис. б). Этим способом можно получить все связи четного порядка. Комбинируя оба прибора, можно получить связи всех порядков. Для устранения обрат- ного влияния каждого следующего прибора при такой мультипликации необходимо, что- бы «энергия» каждого следующего прибора, т. е. масштаб действующих в нем усилий — жесткости измерительных пружин и соответ- ственно коэффициенты b и 1/и0, резко убывали. Удобство такого силового моделирования динамических связей заключается в том еще, что оно оставляет выбор между синтетиче- ским и натуральным выполнением свойств элемента. Масса элемента, например, может быть выполнена синтетической, как на рис. 2-5, или натуральной, в виде тяжелого поршня моделирующего сервомотора.. Натуральная масса—натуральная внутренняя связь 2-го порядка — может быть при этом выполнена одновременно с синтетическими внутренними связями иного порядка. Этой возможностью мы будем все время пользоваться. В. Интегральные связи Простым обращением синтеза дифферен- циальных связей является синтез связей ин- тегральных (рис. 2-8, 2-9). Эталонная пружи- на 2 меняется здесь местами с измерительной пружиной 1 (рис. 2-2), катарактом (рис. 2-4) и массой (рис. 2-5), помещается вблизи што- ка сервомотора, и деформацией своей изме- ряет, «взвешивает» путь ведущего сервомото- ра (рис. 2-8, 2-9). Усилие пружины передает- ся на катаракт (рис. 2-8) или массу (рис. 2-9), подвешенные к рычагу в месте подвески зо- лотника ведомого сервомотора. Скорость ка- 78 таракта и ускорение массы пропорциональны усилию пружины, т. е. пути поршня .ведущего сервомотора. Соответственно пути точек под- вески катаракта и массы измеряют величины J qidt и J q\d№ и передают через золотник поршню ведомого сервомотора силы, пропор- циональные этим величинам. Рассмотрим интегральную связь первого порядка (рис. 2-8). Уравнение моментов от- носительно точки А с^а — b2x2 (а + d) = 0. (2-14) Передаточное отношение Кинематически перемещения точек Д, В и £> связаны соотношением (2-3). Подставляя (2-3) в (2-15), получаем: + (2-16> При малом можно принять: • __ ad Ci Х*~ (а + 0}г ~b7<!1 или (2-17> (2-18> Схема на рис. 2-8,а осуществляет, таким образом, отрицательную внешнюю связь по- первому интегралу. Переместив пружину во- вне рычага AD (рис. б), получим положитель- ную связь по первому интегралу. На рис. 2-9 показано выполнение инте- гральной связи по второму интегралу. Урав- нение моментов относительно точки А: CiXia — d)—0„ (2-19),
|+£/ l+?2 Рис. 2-10. Совместный синтез инте- гральных связей различного порядка. Рис. 2-11. Синтез дифференциальной внутрен- ней связи 1-го порядка. Передаточное отношение __ а 2 a + d т* (2-20) Подставляя (2-3) в (2-20), получаем: a d с2 2 а + d а + d т0 или, приближенно, с учетом малости С помощью интегральных связей образу- ются рассматриваемые ниже простые изо- дромные системы. 2-2-2. Синтез внутренних связей Используя полученный выше общий метод синтеза внешних связей любого порядка и зна- ка, можно получить общий метод синтеза внутренних связей. Принципиальное значение- этой задачи заключается в том, что синтезом произвольного вида внутренних связей дости- гается синтез элементов произвольной струк- туры. ’• __ ad с2 Х2~~ (a + d)2 (2-22) «Дтнн (2123) Постоянные интегрирования здесь и выше приняты равными нулю. Схема на рис. 2-9 осуществляет интеграль- ную связь 2-го порядка. Тем же способом, что и для дифференциальных связей (рис. 2-6), наращивается и порядок связей интеграль- ных. На рис. 2-10 показано совместное выпол- нение нескольких интегральных связей раз- личного порядка. В отличие от дифферен- циальных связей (рис. 2-6), интегральные связи, выполняемые на одном рычаге, могут иметь только один знак (рис. 2-10). Значение внешних интегральных связей определяется тем, что с помощью их можно радикально устранить остаточную неравно- мерность, вызванную как статичностью регу- лирования, так и нечувствительностью его. Действительно, самое небольшое отклонение управляющего элемента от равновесного по- ложения вызывает на поршне управляемого элемента усилие, нарастающее с течением времени до любой величины и преодолеваю- щее любую нечувствительность. Рис. 2-12. Синтез дифференциальной внутрен- ней связи 2-го порядка. Рис. 2-<13. Синтез внутренних связей высо- кого порядка. 79
Рис. 2-14. Синтез интегральной внутренней связи 1-го порядка. Рис. 2-15. Синтез интегральной внутренней связи 2-го порядка. Для синтеза внутренних связей достаточно подвесить к точке D рис. 2-2, 2-4, 2-5 вместо золотника управляемого сервомотора золот- ник самого управляющего сервомотора, чьи внутреннее связи синтезируются. Управляю- щему сервомотору переданы будут эти им- пульсы, пропорциональные его собственным перемещению, скорости и ускорению, т. е. осу- ществлены внутренние связи соответствующе- го порядка. Этим способом синтезированы на рис. 2-11—2-15 дифференциальные и инте- гральные, положительные и отрицательные внутренние связи. 2-3. СИНТЕЗ ДИНАМИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ 2-3-1. Синтез динамических элементов Синтезом внутренних связей решается так- же задача синтеза динамических элементов, представляющих, как выяснено было выше, старшие внутренние связи элементарных си- стем. На рис. 2-11—2-15 синтезированы, сле- довательно, положительные и отрицательные, дифференциальные и интегральные элементы, в том числе и единственный элемент класси- ческой механики — натуральная масса (рис. 2-12). Вместе с нею синтезирован и Элементарная система Элемент Рис. 2-16. Элемент и элементарная система. столь необычный для классической механики элемент, как отрицательная масса. Отрицательная масса, тяготеющая и инертная, рас- сматривалась также Г. Бонди [Л. 95] как одно из поня- тий общей теории относительности. Нами отрицательная масса рассматривается только как инертная масса. Во- прос об отношении инертной и гравитационной масс выходит за пределы механики. 'Положительность масс классической механики выте- кает не из постулата противодействия, а из принципа наименьшего действия (Л. 79]. Отрицательная масса не противостоит постулату противодействия и в равной мере принадлежит односторонней и двусторонней меха- никам. Последняя, однако, вынуждена считаться ?с по- ложительностью натуральных масс как с опытным фак- том, преодолеть который не в ее средствах: «В ньюто- новской физике закон действия и противодействия подразумевает равенство активной и пассивной грави- тационных масс, равенство же инертной массы с этими двумя представляет собой отдельный эмпирический факт. Знак этих обеих масс может принимать любое значение, и тот факт, что он всегда положителен, яв- ляется дополнительным эмпирическим результатом» (Г. Бонди, цитированная работа). Напротив, односто- ронняя механика, располагая односторонним действием, образует с его помощью синтетические элементы любо- го порядка! и знака. Не составляет труда с помощью рассмотренной выше односторонней модели этих синте- тических масс синтезировать в ней и такие нелинейные элементы, как эйнштейнова меняющаяся со скоростью масса. То, что для получения синтетической м^ассы при- менена здесь, в качестве измерительного, дифференци- рующего прибора, натуральная масса т0, не является, разумеется, порочным кругом. В качестве прибора, из- меряющего ускорения, мог бы быть применен любой другой дифференцирующий прибор. Натуральная масса взята здесь в качестве такого прибора лишь для на- глядности. Система на рис. 2-12 наглядно поясняет воз- можную схему выделения первых структурных образо- ваний—элементарных масс элементарным актом управ- ления. На рис. 2-16,а синтезирована интегродиф- ференциальная элементарная система; на рис. б выделен образующий ее отрицательный элемент — отрицательная старшая дифферен- циальная связь. Элементарная система на рис. а поясняет способ совместного выполне- 80
ния дифференциальных и интегральных, по- ложительных и отрицательных связей. Легко заметить, что схемы интегральных элементов на рис. 2-14 и 2-15 содержат внут- реннее противоречие. Как выяснено было вы- ше, динамический элемент р-го порядка под воздействием постоянной силы движется так, что ускорения выше р-го порядка принимают нулевые значения, ускорение р-го порядка — постоянное значение, все же ускорения более низкого порядка — соответствующие инте- гральные значения. Для интегральных элемен- тов это означает, что движение их под воздей- ствием постоянной силы должно происходить при постоянном значении интеграла по време- ни, соответствующего интегральному порядку элемента, и нулевом значении пути. Оба эти требования несовместимы. Постоянство инте- грала требует бесконечно большого пути в на- чальный момент. Таким именно и будет дейст- вие интегральных элементов на рис. 2-14 й 2-15. Поскольку, как объяснялось выше, же- сткость измерительной пружины исчезающе мала по сравнению с действующими на эле- мент силами, силы эти будут вызывать в пер- вый момент бесконечно большие перемещения. Противодействующие силы, вызываемые пере- мещениями буксы, возникнут здесь с запозда- нием. Бесконечно большие перемещения свя- заны с бесконечно большими расходами рабо- чего агента. Интегральные элементы пред- ставляют, таким образом, лишь логическую схему, не реализуемую физически. В дальней- шем это получит и иное, более общее объяс- нение. Интегральные связи не могут быть по- этому применены в качестве старших внутрен- них связей. Применение их в качестве внеш- них или нестарших внутренних связей ничем, разумеется, не ограничено. Мультиплицируя внутренние связи низших порядков, можно, как и в случае внешних свя- зей, получить элементы более высокого поряд- ка (рис. 2-13). 2-3-2. Нейтрализация натуральных свойств В автоматике могут быть указанным выше способом синтезированы любые, дифференци- альные и интегральные, возбуждающие и тор- мозящие внутренние связи, т. е. любые свой- ства элементов. Назовем эти синтезированные внутренние связи или свойства синтетически- ми в отличие от натуральных свойств, нату- ральных внутренних связей, заданных прину- дительно в виде натуральных статичностей, катарактов и масс элементов. С помощью этих синтетических связей может быть теперь ре- шена многократно ставившаяся задача ней- трализации нежелательных внутренних связей. Для этого достаточно наложить на натураль- ную внутреннюю связь синтетическую связь обратного знака. В схемах на рис. 2-2—2-16 предполагалось, что сервомотор не обладает никакими натуральными свойствами ни ката- рактом, ни массой. Он представлял лишь иде- альную схему одностороннего действия, спо- собную синтезировать эти свойства. С по- мощью этой же схемы можно нейтрализовать любую из таких нежелательных натуральных внутренних связей сервомотора, если она в нем 6 И. И. Гальперин. 81
имеются, наложив на нее искусственную, син- тетическую связь обратного знака. На рис. 2-17,а показан такой сервомотор, облада- ющий натуральными массой, катарактом и ста- тичностью. Массу сервомотора можно умень- шить или совсем нейтрализовать, свести к ну- лю, наложив на сер!вомотор искусственную от- рицательную связь 2-го порядка (рис. б). Точно так же нейтрализуется натуральный ка- таракт, образуемый окнами золотника серво- мотора (рис. в). Можно было бы таким обра- зом нейтрализовать все натуральные динами- ческие свойства элемента и получить упомяну- тую выше идеальную схему, обладающую од- ной лишь статической внутренней связью (так называемый идеальный элемент, рис. а).Прак- тическое осуществление такого элемента по- требовало бы неограниченных расходов рабо- чего агента и энергии. Таким способом могут быть поэтому лишь ослаблены, но не сняты все динамические внутренние связи элемента. Нейтрализация же отдельных динамических внутренних связей практически осуществима и демонстрирует необычные возможности авто- матики [Л. 18]. На рис. бив употреблен знак эквивалент- ности (дойная стрелка), устанавливающий эквивалентность элементарных систем с нало- женной на них отрицательной нейтрализую- щей связью (рис. б2, в2, г2, д2) системам с ней- трализованной уЖе, т. е. отсутствующей внут- ренней связью (рис. б3, в3, а3, д3). Эквивалент- ность, подробно рассматриваемая ниже, озна- чает совпадение характеристических полино- мов систем при определенных метрических со- отношениях параметров. В данном случае со- отношения эти сводятся к равенству парамет- ров нейтрализующей и нейтрализуемой свя- зей. 2-3-3. Идеальный и абстрактный элементы Можно было бы попытаться нейтрализо- вать в идеальном элементе (рис. г) и послед- нюю остающуюся в нем связь — статическую связь в идеальном элементе (выполняемую на рис. 2-17 пружиной, нагружающей поршень сервомотора) и получить свободный от всех внутренних связей абстрактный элемент (рис. б), т. е. рассмотренную выше абстракт- ную схему одностороннего действия. Абстракт- ный элемент физически невыполним по тем же причинам, что и идеальный элемент. Он, одна- ко, представляет собой столь же полезную абстракцию. Абстрактный элемент принципи- ально не мог бы быть объектом приложения внешних сил, не обладая внутренними связя- ми, способными реакцией своей уравновесить эти силы. 82 Абстрактный элемент является элементар- ной адинамической, т. е. неспособной развить противодействие и не могущей поэтому быть объектом приложения сил системой. Ниже рас- смотрены будут сложные адинамические си- стемы. Отрицательные массы и связанные с ними отри- цательные энергии возникают в релятивистской кван- товой мехайике и лишены в ней сколько-нибудь на- глядного представления («До сих пор, правда, столь фантастическая ситуация не наблюдалась на практике, как и вообще не наблюдалось, чтобы частица обладала отрицательной массой» [Л. 95]). В автоматике ситуация! эта вполне реальна, и ее конструкции в автоматике* могли бы послужить наглядными моделями таких «фан- тастических» ситуаций релятивистской квантовой меха- ники, как отрицательные массы, аннигиляция вещества (абстрактные элементы). 2-4. СИНТЕЗ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Решение задачи синтеза элементов и свя- зей произвольного порядка и знака решает задачу синтеза систем произвольной структу- ры. Средствами автоматики можно как вновь синтезировать системы натуральной структу- ры, из разложения которой возникли эти средства, так и двигаться в новых направле- ниях. Рассмотрим синтез динамических систем в порядке нарастающей сложности — одно- элементные (элементарные) системы и эле- менты (самодействия), двухэлементные си- стемы (взаимодействия), многоэлементные системы (сложные взаимодействия) — и по- строим сервомодели движения этих систем. 2-4-1. Элементарные системы (самодействий)^ Выше показано было уже, что элементы обладают механизмом пассивного самодейст- вия, противостоящего в качестве противодей- ствия приложенным к элементу активным си- лам — внутренним силам элементарной си- стемы (активным самодействиям) и внешним: ее силам. Это пассивное самодействие пред- ставляет собой реакцию старшей внутренней связи элемента, тогда как активные самодей- ствия представляют реакции нестарших вну- тренних связей. Рассмотрим с помощью серво- моделей этот внутренний механизм пассив- ного самодействия, позволяющий элементу противостоять любой величины активным внешним силам. Попытаемся прежде всего уяснить себе с помощью этих моделей такие трудновоспри- нимаемые положения, как отрицательные массы и их ускорение навстречу действующей силе. Такая модель позволяет наглядно пред- ставить достаточно сложный внутренний ме- ханизм положительного и отрицательного» инерционного^ сопротивления.
А. Движение положительных масс Начнем с рассмотрения на сервомодели движения элемента с положительной синте- тической массой (рис. 2-18). В соответствии со вторым законом односторонней механики движение элемента должно происходить так, чтобы динамическая реакция его была равна и противоположна действующей силе. В инер- циальном движении динамическая реакция элемента должна быть поэтому равна нулю и, следовательно, золотник его сервомодели должен оставаться в среднем положении при любом направлении скорости (рис. а). В ус- коренном движений, вызванном силой Q, сила эта должна уравновеситься динамической ре- акцией элемента и золотник его сервомодели должен отклониться из среднего положения и развить соответствующее оротиводействую- щее усилие (силу инерции) (рис. б). Элемент получает именно такое ускорение, при кото- ром эта противодействующая сила равна дей- ствующей. Для положительной массы ускоре- ние это совпадает по направлению с дейст- вующей силой (рис. б). Циклический харак- тер инерционного противодействия, образуе- мый им одночленный цикл пассивного само- воздействия получают в сервомодели полную прозрачность. Конструкция сервомодели обеспечивает это автоматическое уравновешивание действую- щих сил динамическими реакциями элемента. Инерциальное с постоянной скоростью дви- жение такого элемента не вызовет смещения буксы и не встретит, следовательно, никакого сопротивления (рис. а). Ускоренное движение (рис. б), вызванное силой Q, вызовет смеще- ние буксы на величину, определяющую рав- ное и противоположно направленное противо- действие сил давления, имитирующих здесь пассивную силу инерции. Противодействие Инерциальное движение Рис. 2-1В. Сервомодель движения положительной массы. это, однако, в односторонней механике прило- жено не к действующему, в ее понятиях, т. е. управляющему элементу, управляющему зо- лотником воздействуемого сервомотора, т. е. не к этому золотнику, а к внешнему источни- ку энергии — маслонасосу системы. Сервомо- дели динамических элементов односторонней механики наглядно поясняют механизм одно- стороннего действия. Определим численную величину инерцион- ного противодействия сервомодели. Разделив уравнение (2-13) на величину $0 (рис. 2-3) и учтя, что -^-=з, ПРИ ма- лых -j- равно приближенно получим: а=-Г-3-7Г^ <2-24) «ои с2 Величина а и усилие Q(a) (сила инерции), раз- виваемое золотником на поршне сервомотора и равное и противоположное силе Q, связаны соотношениями (рис. 2-3): Q(a) = -Q = -2aP (2-25) о = (2--26) Подставляя (2-26) в (2-24), получаем: <?=2^ттг«.=тл- <2'27> Здесь сложная величина, обозначенная —синтетическая масса. Ускорение, получае- мое поршнем сервомотора под воздействием силы Q (рис. 2-18,6), будет равно: ’=£ (2-28) т. е. для синтетического элемента 2-го поряд- ка с положительной массой, описываемой формулой (2-27), действителен, естественно, 2-й закон классической механики, описываю- щий движение материальной точки с нату- ральной массой. Инерционное противодействие Q синтетического сервомотора, сила инерции его получается за счет открытий золотника, воз- никающих при ускоренном движении элемен- та (рис. 2-18,6), и определяется величиной о этого открытия по формуле (2-25). Механизм инерционного противодействия предстает здесь в анатомированном виде. 83
Б. Движение отрицательных масс В отрицательном синтетическом элементе противодействующее усилие может быть соз- дано только при ускорении, направленном на- встречу силе (рис. 2-19,6). Этим объясняется, в свете 2-го закона односторонней механики, противоположное направлению силы ускоре- ние, получаемое отрицательной массой. Инер- циальное движение отрицательного синтети- ческого элемента происходит, так же как и положительного, при среднем положении зо- лотника (рис. 2-18,а, 2-19,а). Если имеется некий «черный ящик» с не- известным внутренним устройством и выведен- ными вовне лишь внешними точками прило- жения внешних сил, то, каково бы ни было это внутреннее устройство, если только оно подчиняется классической механике, прило- жение внешних сил к внешним точкам может вызвать ускорение этих точек только в на- правлении сил. Это является одним из крите- риев «классического» содержания представ- ленной этим черным ящиком системы. Пер- вым отклонением от этого «классического» поведения является отрицательная реактив- ность— поведение сервосистем с отрицатель- ными массами, ускоряющимися в направле- нии, противоположном действующей силе. От- клонение это является критерием «некласси- ческого» содержания системы. Приведенные выше рассуждения устанав- ливают для элемента с отрицательной массой лишь возможность предусматриваемого обоб- щенным 2-м законом движения с отрицатель- ным ускорением, направленным навстречу силе. Возможность эта заключается в том, что элемент с отрицательной массой при отрица- тельном ускорении, и только при отрицатель- ном ускорении, способен, в соответствии с по- стулатом действия, противопоставить дейст- вующей силе равно противоположное проти- водействие, ответить равной и противополож- но направленной динамической реакцией. Только эта кинетостатическая возможность и констатируется силовой схемой на рисунке 2-19,6. Такая возможность устанавливается и сервомоделью на рис. 2-18,6 и для положи- тельной массы. Может показаться, что реали- зация этих возможностей различна, что дви- жение отрицательной массы, в отличие от движения положительной, структурно неус- тойчиво. Это означало бы, что первая из этих возможностей реализуется, вторая же нет. Чтобы убедиться в том, что это не тай, рас- смотрим в общих чертах, опережая дальней- шее полное изложение, задачу структурной устойчивости элементов. Инерииальное движение Рис. 2-19. Сервомодель движения отрицательной массы. В. Структурная устойчивость Условия структурной устойчивости элемен- тов (рис. 2-20) удобнее всего получить, выяс- нив эти условия для элементарных систем (рис. 2-21, 2-22) и рассматривая затем эле- мент как простейшую элементарную систему. Под устойчивостью здесь и везде в дальней- шем понимается асимптотическая устойчи- вость. Устойчивость элемента^, может рассматри- ваться по отношению к различным парамет- рам движения его — координате (пути) и раз- личного порядка производным и интегралам ее по времени. Параметр движения элемента, по отношению к которому определяется ус- тойчивость (и, в частности, указывается число степеней неустойчивости Vs), назовем пара- метром устойчивости. Порядок его и назовем порядком параметра устойчивости или крат- ко — порядком устойчивости и будем обозна- чать равным ему числом знаков дифференци- рования (при положительном порядке пара- метра устойчивости) или интегрирования (при отрицательном порядке параметра устойчиво- сти), проставляемых внутри кружка, изобра- жающего элемент (рис. 2-20). Для устойчиво- сти по координате (нулевой порядок парамет- ра устойчивости) отпадает в такой системе обозначений надобность в каком-либо обозна- чении порядка параметра устойчивости, и кру- жок, обозначающий элемент, будет пуст (рис. 21). Параметр устойчивости, порядок которого равен порядку элементарной систе- мы, назовем собственным ее параметром ус- тойчивости. Отрицательные элементы правой половины рис. 2-20 эквивалентны соответственным (того ?ке порядка) положительным элементам ле- вой половины, связаны с ними эквивалентным
Положительные зеементы Отрицательные элементы VS=Z7 е>) г') Ft) ?) Bt) А,) vs=o 6 г) гг) Гг) Вг) Бг) Аз) Рис. 2-20. Положительные и отрицательные элементы в задаче устойчивости. структурным преобразованием инверсии — пе- ремены знаков всех членов уравнения. Пре- образование это не является, конечно, тож- дественным преобразованием — локальные Рис. 2-21. Элементарные системы с непрерывными очередностями внутрен- них связей. структурные свойства (реактивности) тех и других элементов противоположны. Общие их структурные свойства, определяемые харак- теристическим уравнением, тождественны. Ин- версия является общеэквива- лентным, локально же неэкви- валентным преобразованием. Здесь важно отметить, что даже для элементов и элемен- тарных систем не, сливаются общие и локальные свойства и соответственно общая и ло- кальная эквивалентности. Назовем кратко элементар- ные системы, образованные положительным и отрицатель- ным элементами, положитель- ными и отрицательными эле- ментарными системами. Поло- жительные элементарные си- стемы могут обладать непре- рывными очередностями вну- тренних связей (рис. 2-21) или прерывными (рис. 2-22). В первом случае они содер- жат непрерывную очередность положительных внутренних 85
Положительные элементарные Отрицательные элементарные системы системы Рис. 2-22. Элементарные системы с прерывной очередностью внутренних связей. связей всех порядков, от старшего порядка р до младшего порядка г включительно (полный состав связей). Во втором случае очередность эта терпит разрывы в виде отсутствующих (пропущенных, рис. а, в) или отрицательных ,(рис. б, г) связей. Порядок старшей из отсут- ствующих или отрицательных связей, обра- зующих этот разрыв, назовем порядком раз- рыва. Порядок разрыва равен на рис. а иб— нулю, на рис. в — минус единице, на рис. г — минус двум. Первого вида элементарные си- стемы назовем непрерывными, второго вида— прерывными. На рис. 2-21 расположены непрерывные элементарные системы, на рис. 2-22 — пре- рывные, в левой части — положительные, в правой — отрицательные. Соответственные системы левой и правой частей связаны экви- валентным преобразованием инверсии и по- тому эквивалентны — обладают одинаковыми общими структурными свойствами. Они обла- дают, в частности, одинаковым числом степе- ней неустойчивости по отношению к парамет- рам устойчивости одинакового порядка. Теорема 2-1. Непрерывные элементар- ные системы структурно устойчивы по отно- шению ко всем параметрам устойчивости, по- рядок которых равен порядку младшей связи элементарной системы или превышает его, и структурно неустойчивы по отношению к па- раметрам устойчивости, порядок которых ус- тупает порядку младшей связи системы. В первом случае (первая строка рис. 2-£1) системы эти являются нулевыми (Vs=0), во 86 втором (вторая^ строка)—со- держат избыточные связи (Vs<0). Избыточными явля- ются в этом случае все связи, порядок которых уступает по- рядку устойчивости. В третьем случае (третья -строка) в си- стемах этих имеется недоста- ток связей. Непрерывные си- стемы структурно устойчивы и в не показанном на рис. 2-21 частном случае теоремы, когда порядок устойчивости превы- шает порядок системы. Теорема 2-II. Прерыв- ные элементарные системы структурно неустойчивы по от- ношению ко всем парамет- рам устойчивости (рис. 2-22). Они структурно неустойчивы, в частности, и в не показанном на рис. 2-22 случае, когда по- рядок устойчивости превышает порядок системы. Системы эти, таким образом, структурно неустойчивы во всех возможных случаях — по отношению ко всем возможным параметрам устойчи- вости. Элементы могут быть рассматриваемы как предельный случай непрерывных элементар- ных систем (рис. 2-23), и к ним применимо указанное выше для этих систем правило. Элементы структурно устойчивы по отно- шению к параметрам устойчивости, порядок которых равен порядку элемента (собствен- ным параметрам устойчивости) или превы- шает его, и структурно неустойчивы по отно- шению к параметрам устойчивости, порядок которых уступает порядку элемента. Для эле- мента, рассматриваемого как элементарная система, наибольший интерес представляет устойчивость по отношению к собственному параметру устойчивости, поскольку ею опре- деляется возможность реализации 2-го зако- на. Положительные элементы структурно устойчивы по отношению к собственному пара- метру устойчивости (обычная масса — по от- ношению к ускорению) (рис. 2-23). Отрица- тельные элементы, показанные в правой ча- сти рисунка 2-20, эквивалентны в силу инвер- сии соответственным положительным элемен- там левой части рисунка и, следовательно, также структурно устойчивы по отношению к собственному параметру устойчивости. Эле- менты любой природы, любого дифференци- ального порядка и знака структурно устойчи- вы по отношению к собственным параметрам устойчивости и к параметрам превышающего
предельный случай непрерыв- Нулевые элементарные системы ( Vs~0) 'М *г) -М Ь) 6г) Б3) Рис. 2-23. Элементы как ных элементарных систем. {порядок собственных параметров) порядка и •структурно неустойчивы по отношению к па- раметрам уступающего (порядку собственных параметров) порядка. Правило это является частным выражением указанного выше пра- вила для непрерывных элементарных систем. Им дается ответ на поставленный выше во- прос— положительные и отрицательные мае- сы в равной мере структурно устойчивы по отношению к собственным параметрам дви- жения; подчиненное обобщенному 2-му закону механики движение их в равной мере устой- чиво. .В силу этой же эквивалентности структур- но устойчивы элементарные системы, образо- ванные отрицательным элементом и полным составом отрицательных связей (рис. 2-21). Структурно неустойчивы только элементар- ные системы, в которых непрерывная очеред- ность нарушена либо отсутствием некоторых связей, либо несовпадением знака связи со знаком элемента. В последнем случае возникает, на первый взгляд, двузначность в определении Vs, поскольку стабилизировать элементарную систему можно в этом случае либо изменив знак не совпадающих по знаку с элементом связей, либо изменив знак само- го элемента. В действительности Vs опреде- ляется только первой операцией — связыва- нием элементарной системы положительными связями, нейтрализующими отрицательные внутренние связи. Эти числа V8 и показаны на рис. 2-21, 2-22. Вторая операция — замена отрицательного элемента положительным — имеет смысл, совершенно отличный от связы- вания, и не может поэтому определять собой числа Vs. Элементы в задаче устойчивости (рис. 2-20) отличаются от элементов в задаче движения (рис. 1-13). В задаче движения элемент обра- зуется только старшей дифференциальной .связью, т. е. только указанием порядка эле- мента, в задаче устойчивости — указанием порядка элемента и порядка параметра ус- тойчивости. В обоих случаях элементом яв- ляется объект: приложения сил — в задаче движения, связывания — в задаче устойчиво- сти. Г. Стабилизация отрицательных масс Положительные и отрицательные элемен- ты, в частности — массы, в равной мере устойчивы относительно собственных парамет- ров устойчивости. Стабилизация относитель- но несобственных параметров устойчивости (р—1)-го, (р—2)-го и т. д. порядков до- стигается связыванием элемента связями (р—1)-го, (р—2)-го и т. д. порядка, соответ- ственно положительными или отрицательны- ми, налагаемыми в непрерывной очередности. Помимо этой стабилизации элементов внутри элементарных систем, возможна стабилиза- ция их внутри сложных систем. Элементы стабилизируются внутри сложных систем за- мещением недостающих внутренних связей внешними обратными того же порядка и зна- ка связями. На рис. 2-24 показана стабили- зация этим способом положительных элемен- тов и элементарных систем. В первой строке даны изолированные нулевые элементарные системы, во второй строке — их соединение в открытую нулевую систему, в третьей стро- ке — получение из этой открытой нулевой си- стемы замкнутых нулевых систем способом входного замещения внутренних связей внеш- ними. Способ этот прямо отвечает принципу равномерной локальной связанности и зани- мает поэтому, как показано ниже, централь- ное место в задаче синтеза структурно устой- чивых систем. Этим же способом могли бы быть стабилизированы и отрицательные эле- менты, что привело бы к системам, инвер- сным системе на рис. в. 87
тельных элементов. Этим способом стабилизируются элемен- тарные системы с однородной знаковой струк- турой. Для стабилизации систем с разнород- ной знаковой структурой может быть исполь- зована гироскопическая стабилизация. Для положительных элементарных систем она да- на на рис. 1-4; для отрицательных—получает- ся инверсией этого решения (рис. 2-25). Си- стема гироскопической стабилизации отрица- тельных масс (рис. б) получается из системы гироскопической стабилизации элементов с по- ложительным статизмом (рис. а) эквивалент- ным преобразованием—инверсией, переменой знака всех связей системы. На рис. в систе- ма б приведена к канонической форме тож- дественным преобразованием — инверсией (переменой знака) координатной оси одного из элементов, безразлично какого. Все три системы структурно устойчивы относительно всех параметров устойчивости, не ниже нуле- вого порядка. На рис. 2-25 использованы от- У равнения систем г -ufrr&tt&o -и&т£+^т,£г-о Xа ра к теристическое уравнение : (^Ta+T„^)p4TeTa-T„Ta)p2+(T„-l^)p +1-0 Рис. 2-25. Стабилизация отрицательных элементов. а — гироскопическая стабилизация элементов с отрицательным статизмом; б, р — гироскопическая стабилизация элементов с отрицательными массами. цосительные координаты. В этих координатах все динамические параметры получают раз- мерность времени, а статические исключают- ся. Эквивалентность всех тре^ систем выра- жается в общности характеристического урав- нения. Стабилизация отрицательных масс отно- сительно любых параметров устойчивости внутри элементарных и сложных систем не составляет затруднений, и массы эти, следо- вательно, так же реальны, как и положитель- ные массы. Д. Инерциальное движение Инерциальное движение элементов с по- ложительной и отрицательной массами 2-го порядка одинаково и следует первому зако- ну — происходит с постоянной скоростью (рис. 2-18,а, 2-19,а). Разница в знаке массы де находит отражения в инерциальном дви- жении, поскольку закон инерции представляет лишь отрицательную формулировку 2-го пос- тулата. Легко представить с помощью той же сер- вомодели движение элементов любого поряд- ка и знака. 2-4-2. Двухэлементные системы (простые взаимодействия ) Следующими по простоте, за образован- ными самодействием одноэлементными систе- мами, являются образуемые взаимодействием двухэлементные системы. Именно способ взаимодействия разделяет различные меха- ники. А. Натуральное взаимодействие Для натуральных систем двусторонней ме- ханики определяющим является натуральное взаимодействие, подчиненное постулату про- тиводействия. На рис. 2-26, 2-27, 2-28 синте- зированы структурные единицы (рис. б) рас- смотренных выше упругого, катарактного и инерционного натуральных взаимодействий (рис. а). Первая — астатична, вторая и третья — псевдоастатичны. Астатичность • и псевдоастатичность достигнуты в сервомоде- лях одинаковыми передаточными числами внешних и внутренних связей (рычагов). Са- модействие и взаимодействие, слитые в полу- связанной механике натуральных систем, в несвязанной механике сервомоделей пред- стают в расчлененном виде. В синтетическом взаимодействии может быть получен также положительный цикл внешних связей, что еще радикальнее разрушает структуру натураль- ного взаимодействия. В сервосистемах может 88
'lywwl* a) --->- +4'м+?г“ Рис. 2-26. Упругое натуральное взаимодей- ствие и его сервомодель. б) Рис. 2-28. Инв|р|циальное натуральное взаимодействие и его сервомодель. Рис. 2-27. Катарактное натуральное взаимодействие и его сервомодель. быть, таким образом, синтезирован произ- вольный способ взаимодействия. Сервомодели (рис. б) натурального взаимо- действия (рис. а) подчиняются тем же за- конам движения классической механики, об- ладают той же кинетической и потенциальной энергией и той же диссипативной функцией, что и их натуральные прообразы. Для наблю- дателя, не посвященного во внутреннее устройство тех и других систем и наблюдаю- щего лишь видимое движение их, системы эти были бы неразличимы. Те же, однако, средства позволяют радикально выйти за пределы натуральной структуры и классиче- ской механики. Это имеет место в самом уже приеме одностороннего действия и во всех тех ненатуральных взаимодействиях, которые могут быть с помощью этого приема синтези- рованы. Б. Гироскопическое взаимодействие На рис. 2-29 представлены сервомодель и структурная схема простейшей гироскопиче- ской системы — астатического гироскопа. На- туральная структура здесь дважды наруше- 89'
Рис. 2-29. Сервомодель гироскопического взаимодействия. ма: 1) взаимодействие образует положитель- ный цикл, т. е. обладает кососимметрической структурой, 2) порядок самодействия не со- впадает с порядком взаимодействия. Этим разрушением натуральной структуры объяс- няются «ненатуральные» свойства гироскопи- ческих систем. В. Общего вида взаимодействия С помощью одностороннего действия мо- жет быть, очевидно, синтезировано взаимо- действие общего вида с положительным или отрицательным двучленным циклом, с лю- бым метрическим отношением между пара- метрами обеих связей этого цикла и любым отношением порядков внешних и внутренних связей. Синтезом определенного способа взаимодействия синтезируется определенная механика системы, так же как синтезом опре- деленного способа самодействия синтезирует- ся определенная механика элемента (мате- риальной точки). Г. Астатические и адинамические системы Выше рассмотрены были способы получе- ния астатических и адинамических одноэле- ментных (элементарных) систем. Способы эти заключались в нейтрализации существующих внутренних связей элементарной системы внутренними связями противоположного зна- ка. Для двухэлементных систем, образуемых взаимодействием, возникают новые, более об- щие способы синтеза астатических и адинами- ческих систем. Адинамические системы строятся по тем же принципам, что и системы астатические. Структура астатических систем тем и инте- ресна, что позволяет выяснить внутренний механизм нулевого противодействия, статиче- ского и динамического, различные принципы его, которые могут быть затем использованы для конструирования адинамических систем. Астатические системы представляют собой в этом смысле статические модели адинами- ческих систем. Простейший из этих принци- пов содержится в натуральных астатических системах (рис. 2-26, 2-27). Положительные одночленные циклы самодействия нейтрали- зуются здесь отрицательным двучленным цик- лом натурального взаимодействия. Это пара- лизует внутренний механизм противодействия, система не способна противостоять в статике внешним силам. На рис. 2-30,а показан на сервомодели ме- ханизм нулевого статического противодейст- вия в натуральной астатической системе, образуемой упругим взаимодействием (рис. 2-26). В любом положении сервомодели отклонения золотников от среднего положе- ния равны нулю. Поршни сервомоторов урав- новешены поэтому равными давлениями в обе- их полостях сервомоторов и не могут проти- востоять внешним силам. На рис. б дана сер- вомодель статической системы. Статичность введена здесь положительным двучленным циклом. В соответствии с принципом двойст- венности к астатической системе может быть приложено только перемещение, к статиче- ской— только сила (рис. 2-30). На рис. 2-31 дана построенная по тому же принципу адинамическая сервосистема. Здесь также положительные одночленные циклы нейтрализуются отрицательным двучленным циклом и отсутствует поэтому механизм про- тиводействия. Это явствует из того, что система находится в ускоренном движении при отсут- ствии каких-либо внешних сил. Поршни ее сервомоторов уравновешены в этом ускорен- ном движении равными давлениями в обеих полостях сервомоторов и не могут служить объектом приложения внешних сил. Сервосистема на рис. 2-31 адинамична лишь в определенной области значений пара- метров (т. е. не безусловно, а лишь структур- но адинамична), отвечающей метрическому условию: А р =ах ia22p*—ai2a2\P4=0, (2-29) *90
так же, как астатическая система на рис. 2-28 ^статична при метрическом условии: Ад = СИС22—С12С21 =0, (2-30) где Ар — характеристический определитель уравнений динамики, Ад — уравнений статики. Метрическому условию (2-29) не отвечает облада- ющее той же структурой натураль- ное инерционное взаимодействие (рис. 2-28). Оно образует поэтому динамическую систему. Метрическое условие (2-29), а с ним и адинамич- ность, невыполнимы в натуральных системах. В качестве простейшего примера, поясня- ющего противоположный феномен — динамич- ность, рассмотрим систему, образуемую объ- единением двух масс (рис. 2-32,а). Рассмо- трим с помощью сервомодели (рис. б) свой- ство аддитивности масс: масса тела равна сумме масс частей его. Инерционное взаимодействие кинематиче- ски связанных масс двойного маятника обра- зует, как все натуральные системы, отрица- тельный двучленный цикл (рис. 1-3). Это оз- начает, что инерционное противодействие не полностью (не до состояния жесткости) свя- занной системы меньше инерционного проти- водействия ее как жесткого целого. Приве- денная к любой точке двойного маятника его масса (в данном случае момент инерции) меньше массы его как жесткого целого. В про- стейшем, однако, случае жесткого объедине- 91
Рис. 2-32. Слияние масс. ния масс (рис. 2-32) массы эти просто сум- мируются. Взаимодействие таких сливающих- ся масс, поскольку силы инерции их сумми- руются, должно образовывать не отрицатель- ный, а положительный двучленный цикл. Это подтверждается уравнениями системы на рис. а: £-4 = 0. (2-31) Сервомодель такого слияния масс (рис. б) наглядно поясняет аддитивность масс и сил инерции. Ведущая масса испытывает при этом противодействие ведомой массы, внеш- няя же сила Q — противодействие обеих масс, измеряемое перепадом давлений на поршне сервомотора 1. Ведомая масса, являясь по- следней в рассматриваемой двучленной це- почке, ничьего противодействия не испыты- вает. Приложенное к ней воздействие веду- щей массы уравновешивается реакцией ведо- мой массы. В сервомодели ведомой массы уравновешивание это выражается в противо- положных по открытию окон золотника, rt оставляющих поэтому неизменным это откры- тие и перепад давлений на поршне, движениях золотника и буксы. Легко таким же способом построить сервомодель цепочки сливающих- ся масс и наглядно пояснить механизм инер- ционного противодействия. Как выяснено было выше, фактором такого противодействия яв- ляются положительные циклы. В системе сли- вающихся масс и сложные и элементарные циклы положительны и представляют этот фактор. Положительный цикл, образуемый слива- ющимися массами, не противоречит нулевой структуре классической механики. Слияние масс представляет собой, очевидно, вырожден- ный случай взаимодействия во всех возмож- ных механиках, образующий положительный цикл. Во всех возможных механиках массы аддитивны. Невырожденное инерционное взаимодействие, имеющее место в кинемати- чески связанных массах (рис. 1-3), имеет нормальную натуральную структуру — с от- рицательными двучленными циклами. Системы обоих классов, астатические и адинамические, не могут развить реакций противодействия и не могут служить поэто- му объектом приложения сил, первая — толь- ко в статике, вторая — ив статике и в дина- мике. Подобно тому как астатической системе могут быть приданы произвольно большие перемещения без приложения сил, адинами- ческой системе могут быть сообщены произ- вольно большие ускорения без приложения силы. Адинамическую систему на рис. 2-31 мож- но рассматривать как способ нейтрализации положительной массы элемента с помощью сложной отрицательной связи, включающей в себя положительный элемент (рис. 2-33,а). Этот способ нейтрализации может быть рас- сматриваем как развитие (рассматриваемая подробно ниже замена простой связи сложной связью) указанного выше способа нейтрали- зации положительных масс с помощью про- стой отрицательной внутренней связи (рис. 2-17) либо как способ взаимной нейтра- лизации двух положительных масс. Возможна нейтрализация массы элемента в адинамиче- ской системе с помощью сложной положи- тельной связи, содержащей отрицательный элемент (рис. 2-33,6). Все способы образова- ния астатических систем пригодны для обра- зования адинамических систем. Адинамические системы безынерционны, несмотря на инерционность составляющих их элементов. Системы эти наглядно иллюстри- руют те необычные возможности, которыми располагает односторонняя механика. Пра- ктически к таким системам и в односторонней 92
Рис. 2-33. Адинамические системы. механике можно лишь приблизиться, посколь- ку выполнение их связано, как для рассмот- ренной выше простейшей адинамической си- стемы— абстрактного элемента, с неограни- ченным расходом энергии. В классической механике они и теоретически невозможны, по- скольку в ней силы инерции, iHe являясь внут- ренними силами системы, не могут быть ней- трализованы — уравновешены другими внут- ренними силами системы. Легко было бы с помощью сервомоделей сконструировать и ряд иных, столь же пара- доксальных с точки зрения классической ме- ханики, зависимостей. Особая природа авто- матики, как механики одностороннего дейст- вия, достаточно выясняется рассмотренными моделями. 2-4-3. Многоэлементные системы (сложные взаимодействия ) Синтезом самовоздействий и взаимодейст- вий произвольной структуры, т. е. одноэле- ментных элементарных и двухэлементных сложных систем, решается и задача синтеза многоэлементных сложных систем, подчиняю- щихся определенной этими способами само- воздействия и взаимодействия механике. Рас- смотрим простейшие из этих сложных систем. А. Односторонние системы Односторонние сложные системы характе- ризуются произвольной структурой самовоз- действий и взаимодействий. Простейшими из них являются рассмотренные уже выше (рис. 1-20) одноциклические системы, могу- щие, подобно рассмотренным выше одноэле- ментным (самовоздействия) и двухэлементным (взаимодейст- вия) системам, образовывать положительные и отрицатель- ные циклы. На рис. 2-34 открытая (не образующая циклов) система на рис. а замкнута -в сим- метричный отрицательный (рис. 6) и асимметричный по- ложительный (рис. в) циклы. Асимметрия цикла достигается во втором случае изменением знака замыкающей связи с помощью такого же допол- нительного рычага АВ, как на рис. 1-7, 1-20. Система на рис. 2-34,6 аста- тична по той же причине, чтр и двухэлементная система упругого взаимодействия на рис. 2-26 — положительные одночленные цик- лы самодействия нейтрализуются отрицатель- ным многочленным циклам. Напротив, система на рис. 2-34,в статична — одночленные и мно- гочленный циклы ее обладают одинаковым знаком. В сервосистемах на рис. 2-34 принято, что сервомоторы являются элементами 1-го по- рядка, т. е. опущено несущественное влияние масс. Система в может быть рассматриваема как составленная из однотипных элементов динамическая модель систем регулирования на рис. 1-20. Обе системы одноцикличны, и обе образуют положительный цикл. Б. Двусторонние системы В составные положительные и отрицатель- ные циклы могут быть замкнуты и натураль- ные двусторонние системы (рис. 1-7). Не со- ставляет труда сконструировать сервомодели этих двусторонних систем. На рис. 2-35, 2-36 сконструированы, однако, лишь односторон- ние модели этих исходных систем, т. е. при неизменном элементном составе все двусто- ронние связи заменены односторонними. Од- носторонние модели представляют собой од- носторонние подсистемы по связевому соста- ву исходных систем. В. Односторонние модели С односторонними моделями связан ряд рассматриваемых ниже важных теорем. Ука- жем, без доказательства пока на одну из них — теорему 1-1: условия структурной ус- тойчивости односторонней модели являются достаточными (но не необходимыми) усло- виями структурной устойчивости исходной си- стемы. Так, односторонняя модель на рис. 2-35 :93
приобретает структурную устойчивость (вы- рожденную, структурно-неапериодическую, как доказывается ниже) при всех статических и не более чем одном адиссипативном элемен- те. Это же является достаточным условием вырожденной структурной устойчивости дву- сторонней исходной системы, но не необходи- мым— чтобы сообщить этой консервативной системе вырожденную структурную устойчи- вость, достаточно ввести диссипацию в один лишь элемент. Эти зависимости указаны на .рисунке числом — степеней структурной устойчивости, отсчитываемым от вырожден- ной структурной устойчивости. Число степе- ней структурной неустойчивости V(sn), отсчиты- ваемое от нормальной структурной устойчи- вости, равно для обеих систем четырем — чи- слу отсутствующих во всех элементах катарактов. Для систем на рис. 2-36, замк- нутых в положительный цикл, возникает после это- го еще одна возможность: не нарушая структурной устойчивости, лишить один из элементов статизма. Обе системы на рис. 2-35, исходная двусторонняя си- стема и ее односторонняя модель, астатичны, а на рис. 2-36 — статичны. Для двусторонних систем это объясняется изолированно* стью системы в первом слу- Уравнения системь» + сиЯ»+ Qi — О ЪггУз + СггЧг — c2ify = О ЬззУз + сззЯз — сзгЧз = в + £44^4 ~ = У чае и неизолированностью во втором, для од- носторонних— борьбой двух начал, положи- тельных и отрицательных циклов, в первом случае и объединением в элементарных и сложных циклах только первого начала — во* втором случае. Легко объяснить теперь, почему централь- ное для динамических систем понятие о ди- намических связях возникло не в классиче- ской, а в односторонней механике — автома- тике. В классической механике понятие это могло быть только абстракцией, впервые ма- териализованной в автоматике. Простейшие^ ^неделимые далее, составляющие двусторон- них систем — двусторонние связи представ- ляют собой уже следующее по сложности об- разование— двучленный цикл. Простая одно-, рторонняя связь, представляющая неделимую далее простейшую состав- ляющую односторонних си- стем, могла быть выделена, в материальном виде только средствами автоматики, раз- делившими двучленный цикл натурального. взаимодейст- вия на две его действитель- но неделимые далее простые составляющие. Между тем понятие -о ди- намической связи занимает неявно и в классической ме- ханике не меньшее место,, чем в односторонней. В не- свободных системах двусто- ронней механики присутст- Уравнения системе» + cttqt — = О ^ггЯг + сггЯг ~ сггЧ1 = УззЯз + сззЯз — сззЯз ~ У 4* GfyifQk С$зЯ ~ У Уравнения системы W/ + С11Я1 + <?/4#4 = У ьггЯз + сгзЯ2 - c2i4i = У ьззЯз + сЗзЯз ~ сзгЯг = У + сььЯь — сЬзЧз = & Рис. 2-34. Однбциклические сервосистемы.^ 94
Уравнения системы T-п Qi. + сп Qi ” ^4 Q** “ Qz s 'г?Лг + с22$2 “ сг№ ~ с'гз$з = ’ззЧэ + сззЯз * ь32^2 ~ сз4& = ?44$4 + £4404 - С43%3 “ С*№ ~ Уравнения системы O-tiQi + G11Q1 ~ £/4 #4 а22$2 + ^22^2 ~ C21Qt О-ззЧз + сззЦэ — сзгЧг аььУь + — с^дэ Уравнена я системм fyjfy + ^nQi "* £/4^4 *“ CizQz = ^92^2 + С22Чг “ Cztfy ” С2зЧэ ~ ^ЗзЯз + сззЧэ “ сзгЯ2 “ Г‘зьЧ* в О .. л #44^4 ^44^4 ” СЬЗ°Л + c<t.lQi ~ V Уравнения системы anQt ** GuQ.1 + CiuQk а2гЧ» * сгг0,2 ” c2lQi Q33Q3 + c33Qa ~ c3zQ2 + £44^4 сьзЯз Рис, 2-35. Односторонняя модель консервативной системы, замкнутой в отрицательный цикл. Рис. 2-36. Односторонняя модель консервативной системы, замкнутой в положительный цикл. о сл
вуют и кинематические и динамические свя- зи — системы эти несвободны, связаны и кине- матически и динамически. В лагранжевых уравнениях несвободных систем кинематиче- ские связи исключены и присутствуют только динамические связи. Самый переход к описа- нию несвободной системы лагранжевымиурав- нениями 2-го рода может 'быть рассматриваем как приведение кинематически и динамически несвободных, связанных систем к одной лишь динамической связанности. Описание нату- ральных систем лагранжевыми уравнениями оставляет одни лишь динамические связи, как это имеет место в односторонних системах, где кинематические связи, всегда двусторонние, невозможны. Однако в первом случае все эти динамические связи двусторонни, во вторам — односторонни. Опыт построения односторонней механи- ки, где динамическая связанность, динамиче- ское принуждение является единственным и всепроникающим видом принуждения, дол- жен оказать обратное влияние на двусторон- нюю механику и импортировать в нее поня- тие о динамическом принуждении, динамиче- ской связанности. В свете этого опыта назы- вать свободными атомные и планетные систе- мы классической механики, движение кото- рых сковано динамическими связями, дина- мическим принуждением, до точности (обес- печиваемой устойчивостью движения), мало уступающей точности кинематически принуж- денного движения, не так уж естественно, как ранее. И здесь, в классической механике, должны, по-видимому, возникнуть параллель- ные понятия — о кинематическом и динами- ческом принуждении, кинематической и дина- мической связанности, кинематической и ди- намической свободе. Система постулатов односторонней меха- ники отвечает требованиям независимости, со- рместности и, по отношению к теории регули- рования, полноты. Она содержит наименьшее число первичных (неопределяемых) понятий— .время, координата, динамическая связь, и в этом отношении также отвечает требова- ниям, предъявляемым к дедуктивным теори- ям. Массы и силы являются здесь уже про- изводными понятиями — первые представляют .собой реакции старших дифференциальных связей, вторые — реакции всех остальных связей. Новое построение автоматики, как ме- ханики одностороннего действия, диктуется прежде всего логической противоречивостью остальных, в том числе и существующе- го, построений ее. Сколь бы абстрактным преимуществом для прикладной дисциплины ,ни казалась, на первый взгляд, логическая «безупречность, она упорядочивает весь пред- мет и оказывается в конечном счете решаю- щим практическим преимуществом. Обнару- жить это должно дальнейшее конкретное по- строение предмета. Из общей односторонней .механики для этого дальнейшего построения необходима теория упругих систем — эласто- механика, поскольку системы регулирования представляют собой упругие системы односто- ронней механики. ГЛАВА ТРЕТЬЯ ЭЛАСТОМЕХАНИКА К упругим системам во всех механиках следует отнести статические системы. Всегда статические, конечно или бесконечно, систе- мы регулирования представляют собой упру- гие системы односторонней механики, теория регулирования — одностороннюю эластоме- $анику. Для односторонних упругих систем розникают те же задачи, что и для двусторон- них: исследование структурных, определяемых только структурой, метрических, определяемых только метрикой, и смешанных, определяемых и структурой и метрикой, статических и дина- /Мических свойств. В этой главе рассмотрены будут главным образом структурные свойст- ва упругих систем. Смешанные и метрические их свойства: рассматриваются во второй части. В общей механике возможны два построе- ния предмета. Первое, индуктивное, предва- 96 ряет статикой как частной теорией — динами- ку как общую теорию. Динамика может быть при этом построена как кинетостатика. Вто- рое построение, дедуктивное, выводит стати- ку как частный случай динамики. Выше, для общей односторонней механики, использова- но было второе построение. Для эластомеха- ники выбор предрешен тем уже, что здесь уравнения динамики получают с помощью уравнений статики решающие упрощения, без которых рассмотрение динамики затрудни- тельно. Упрощения эти заключаются в пере- ходе к связанным со статикой систем кано- ническим относительным координатам и ис- ключении сих помощью всех, — в статически определимых системах, или наибольшего чи- сла,—в статически неопределимых системах, статических параметров. Последующее исклю-
чение наибольшего числа динамических пара- метров приводит к описанию системы наи- меньшим числом остающихся параметров — критериев подобия. В односторонней эластомеханике возника- ет, таким образом, в более общем, чем в клас- сической, виде задача статической определи- мости — возможности определения статиче- ских реакций системы с помощью одних лишь .уравнений общей статики, без уравнений эла- стостатики. Задача эта связана с задачей ста- тических влияний. В этой последовательности рассмотрим эти задачи. 3-1. ЭЛАСТОСТАТИКА Эластостатика — статика реальных упру- гих систем противостоит статике твердых тел — статике абстрактных бесконечно твер- дых тел. Последняя является в то же время предельным частным случаем первой. Урав- нениями односторонней эластостатики явля- ются уравнения (1-12) (1-13) с принятым вы- ше специальным требованием статичности: А=#0. Рассмотрим статические свойства серво- систем—односторонних упругих систем. 3-1-1. Статические влияния , Статические влияния в общем виде рас- смотрены были выше (§ 1-2-2). Рассмотрим их в сервосистемах. А. Линии влияния* На рис. 3-1 построены с помощью серво- моделей линии влияния (инфлюентные линии) для рассмотренной выше (рис. 1-9,а, б, 2-32,в) простейшей сервосистемы — обычной одноци- клической системы регулирования. Во второй ртроке рисунка даны сами сервомодели, в третьей — их структурные схемы. В первой строке рисунка даны для сравнения двусто- ронние упругие системы. На рис. 02, #2, Яз, б3 построена линия влия- ния нагрузки (обобщенной силы), приложен- ной к объекту регулирования, статическому— на рис. 02, 0з и астатическому — на рис. б2, <б3. На рис. вг, вз, для второй системы построе- на линия влияния нагрузки, приложенной jc одному из сервомоторов. Нагрузками, при- via)=0 Ф Z7 А? р2 Р-1 Р« <7 Р1 Р2 Р.З Pt Ф У • Р1 &г J*3 Р* t Ч Р, к л. н. т ! м w аз) Бз) вя) Рис. 3-1. Статические влияния. 7 И. И. Гальперин. 97
доженными не к объекту, а к регулятору или одному из сервомоторов, являются воздейст- вия задатчиков. С этой общей теперь уже установившейся точки зрения [Л. 25, 36] мно- готысячекиловаттная нагрузка генератора тур- бины и осуществляемые ручными задатчиками натяжения пружины регулятора или переста- новки опор рычагов сервомоторов суть равно- правные обобщенные силы системы. На пер- вую из них система регулирования, чтобы от- вечать своей задаче, должна отвечать нуле- выми или достаточно малыми деформациями, на вторые, чтобы допускать ручную переста- новку,—достаточно большими. Нагрузка объекта осуществлена в сервомо- дели на рис. а2 сдвигом буксы золотника. Что- бы осуществить такой сдвиг в элементе с вы- ключателем (моделирующим саморегулирова- ние объекта), необходимо сместить опору ры- чага выключателя (рис. а2). В системах б2 и б3, где у сервомотора, моделирующего астати- ческий объект, отсутствует выключатель, на- грузка объекта осуществляется непосредствен- ным сдвигом буксы. Во всех случаях новое равновесное положение достигается системой только в положении отсечки всех золотников. Этим условием определяется построение ли- ний влияния. В системе а2 и а3 положительная нагруз- ка вызывает положительную деформацию во всех точках системы (новое равновесное поло- жение системы дано пунктиром на рис. а2). Знак деформации указан внутри кружков, изо- бражающих элементы на структурных схемах. Совокупность этих знаков образует качествен- ную линию влияния данной нагрузки. Линии нового равновесного положения на рис. а2, б2; в2 дают количественные линии влияния. Из всех возможных видов сервомоделей, электри- ческих, гидравлических и т. д., только приня- тые здесь сервомодели с рычажными связями позволяют изобразить количественные линии влияния. На рис. в2 положительная нагрузка вызы- вает отрицательную деформацию перед собой, -и нулевую — после себя. Нагрузка Q4 вызы- вает здесь деформацию объекта — изменяет заданное значение регулируемой координаты и способна поэтому служить заданием. Эта способность имеет место не во всех случаях. Чтобы пояснить это, введем понятие о функ- циональной структуре. На рис. а3, б3, в3 наряду с динамической структурой указана греческим алфавитом функциональная структура системы. Одна и та же динамическая структура может §ыть использована для различных функциональных структур. Это показано на рис. в3, где прямой 98 функциональной структуре (греческие буквы без скобок), в которой единственным возмож- ным в такой системе астатическим элементом является объект, сопоставлена обращенная функциональная структура (греческие буквы в скобках), где этим элементом является один из сервомоторов. Этот прием обращения, по- зволяющий получить -из одной и той же дина- мической структуры ряд функционально раз- личных систем регулирования, подробно рас- смотрен ниже. Для обращенной функциональ- ной структуры на рис.- в3 нагрузка Q4 не мо- жет служить заданием, поскольку она (на- грузка) не вызывает деформации системы в точке «объект»; система в этой точке изо- дромна по отношению к этой нагрузке (не- главная изодромность объекта). Здесь мы впервые встречаемся с рассмот- ренным выше феноменом изодромности. Одно- циклическая система' с одним астатическим элементом (в структурно устойчивой одноци- клической системе может быть только один такой элемент [Л. 25, 30]): 1) по отношению к нагрузке, приложенной к астатическому эле- менту, неизодромна во всех точках (рис. б3), 2) по отношению к нагрузке, приложенной к одному из статических элементов, изодромна во всех точках между нагруженным и астати- ческим элементами, включая нагруженный элемент и исключая астатический (рис. в3)- Это означает, что в обращенной системе aSi = 0 (3-1} (s = z, (Z-Hl), k(Z+2), ..., (г—1)), где i — индекс нагруженного элемента, г — ин- декс астатического элемента. В обращенной системе аОо = 0, она изодромна в точке объект по отношению к нагрузке, приложенной в этой же точке (главная изодромность объекта). Это, таким образом, простейшая изодромнця система. Задание в ней может быть осущест- влено только нагрузками элементов, располо- женных между астатическим и нагруженным элементами, включая астатический элемент, так как только по отношению к этим нагруз- кам объект не обладает здесь внешней изо- дромностью. Одноциклическая система, не со- держащая астатических элементов, неизодром- на во всех элементах по отношению ко всем нагрузкам (рис. а3). Рассмотрим в понятиях односторонней ме- ханики такие специальные понятия автомати- 'ки, как степень неравномерности и степень за- дания (ручной перестановки). Они представ- ляют собой метрические подсвойства локаль- ного смешанного свойства — конечной статич- ности.
Б. Степень неравномерности Статичность в различных точках статиче- ских систем по отношению к различным си- лам может быть измерена коэффициентами влияния: А(<7) ’ (3-2) измеряющими обратную статичности величи- ну— податливость системы в соответственном ее канале, или обратными им величинами, из- меряющими жесткость системы в этом канале: c'22z — с’21® =°; с',,/»! — c'S2z =0; c'44/n2 —c'4J»ii=0; — cr64m2 = 0. (3-5) Пользуясь формулой (3-2), определим значе- ние степени неравномерности регулирования статического объекта 8С в этой системе. По- скольку приложенная к объекту нагрузка при- няла в уравнениях (3-5) единичное значение, неравномерность совпадает со значением an: 1 = А (?) bik(q)' (3-3) 8c = a А.» to) ч— A to) Коэффициенты aik назовем неглавными ко- эффициентами влияний i-го элемента, коэффи- циент ан—главным коэффициентом влияния i-го элемента. Наибольший практический ин- терес представляют главный коэффициент влияния объекта — ап (объект обозначен здесь индексом 1) и неглавные коэффициенты влияний его—aOfe. Первый представляет собой степень неравномерности регулирования и должен быть достаточно мал для уменьшения статической ошибки, в изодромных системах он равен нулю; вторые представляют собой степень задания (ручной перестановки), и по меньшей мере один из них должен быть до- статочно велик для эффективной ручной пере- становки. Этим требованиям должна удовле- творять любая регулирующая система. Оба коэффициента влияния могут быть, разумеет- ся, найдены лишь из абсолютных уравнений системы. Для трехкаскадной одноциклической системы регулирования статического объекта уравнения эти суть (за начало отсчета всех координат приняты их старые равновесные значения): ^11® ^22^ 4“ ^22^ “4” ^22^" ^21® ^2> ЙЗЗ^! + 6?33^1 — Сз2? = Р 3; С3'4) bjn2 + c^m2 — c^mx = F4; + <?65/n3 — c^ni2 = F5. Здесь Fr — нагрузка объекта, все осталь- ные F могут быть рассматриваемы как задания. Деля левые части всех уравнений на правые, оставляя одну лишь нагрузку объекта и отбра- сывая нестатические члены, получаем уравне- ния статики: При астатическом объекте (сп = 0) выражение это еще упрощается: 8 'С ггС 33С 44С 55 ГЗ-71 ° ^Л15^'Л21^Л32^/4а^/54 Таким образом, степень неравномерности представляет собой главный коэффициент влияния объекта по отношению к номинально- му значению внешней нагрузки, принятому за единицу. Из сравнения формул (3-6) и (3-7) выте- кает формула, определяющая елияние саморе- гулирования на неравномерность: Б. П. Мурганов, недостаточно точно ойерируя вве- денными нами каноническими относительными коорди- натами, приходит к ошибочному выражению для фор- мулы i(3-8) <((Л. 80], формула {4]). Правильные резуль- таты получены в [Л. 94]. Влияние саморегулирования на неравномерность на- глядно поясняется рисунками б и в. На втором поло- винная нагрузка вызывает ту же деформацию, что пол- ная на первом.- Ослабление статической структуры си- стемы астатическим элементом здесь вполне наглядно. В. Степень задания Чтобы получить формулу для степени зада- ния, осуществляемого одним из элементов, например регулятором, приложим к этому эле- менту единичную нагрузку. Уравнения статики для этого случая: <i® +<5/«» = 0; & зз^ £*21® — 1, с'зз'П1 — c'32z =0; «’„in, —c*4»»i1 = 0; —сг64/п2=0. (3-9) 7* 99
Степень задания совпадает с неглавным коэффициентом влияния aik и для рассматри- ваемого случая равна: 5 ____„ __ ^12 G?) — «12 = Д(<7) Г. Статические передаточные функции Формулой (3-6) определяется достаточно сложная зависимость степени неравномерно- сти от статических параметров системы. Сте- пень неравномерности—податливость системы в той точке ее, куда помещен объект, — тем меньше, чем больше параметр внутренней ста- тической связи объекта, чем меньше парамет- ры всех остальных внутренних статических связей и чем больше параметры всех внешних статических связей. Еще более сложна зави- симость, выражаемая формулой (3-10). Столь сложная форма (простых зависимостей не мо- жет быть признана удовлетворительной. Она может быть упрощена, если ввести статиче- ские передаточные функции элементарных ка- налов {коэффициенты усиления): „ ___ С' i(i-l) 1 C'ii (3-11) Элементарный канал образуется элемен- том и входящей в него связью. Статический параметр с'ц назовем внутренним статическим оператором элемента, параметр с'щ_\) — внеш- ним статическим оператором элемента. Стати- ческая передаточная функция элементарного канала равна частному от деления внешнего статического оператора на внутренний. , Формула (3-6) примет в этих понятиях вид: Sc = au 1 с'ц 1 + a,a2a3a4a5 (3-12) Формулой (3-12) определяется значитель- но более простая и наглядная, чем формулой (3-6), зависимость степени неравномерности от статических параметров системы: степень неравномерности тем меньше, чем больше коэффициент саморегулирования и статиче- ские передаточные функции всех элементар- ных каналов. Заметив, что числитель форму- лы представляет собой неравномерность 8с0) отдельно, без системы регулирования, взятого объекта, можно еще упростить формулу: 8С = &(0) ——. (3-13) 1 J- ajdaOjC^aj ’ Дробным множителем указывается статиче- ский эффект регулирования статических объ- ектов — уменьшение деформации статического объекта в замкнутой системе регулирования. Еще большие упрощения достигаются вве- дением передаточных функций в формулы (3-10) для внешних передаточных функций: 5 =а =5(0) , , **-------. (3-14) 12 12 ° 1 + ai«2a3a4a5 V Мы останавливаемся столь детально на этих элементарных понятиях статики, посколь- ку рассмотренные выше (гл. 1) сложные опе- раторные понятия динамики, составляющие содержание операторного метода, являются •прямым обобщением этих понятий статики и таким путем могут быть проще всего введены. 3-1-2. Статическая определимость Понятие статической определимости имеет для односторонних упругих систем тот же об- щий смысл, что и для натуральных—незави- симость в статике реакций статических связей от метрических параметров этих связей. Вопросы статической определимости схема- тичнее всего предстают в дискретных упругих системах — фермах. Сервосистемы с дискрет- ными параметрами представляют собой в ста- тике фермы одностороннего действия. Каждая внутренняя и внешняя статическая связь мо- жет быть рассматриваема как односторонняя связь, односторонний «стержень» такой фер- мы, обладающий жесткостью Cik. Величина cikqh представляет собой упругую реакцию этой статической связи. Аналогия статики сер- восистем со статикой ферм распространяется, как будет показано ниже, на все понятия по- следней. Каждый элемент сервосистемы пред- ставляет собой в статике узел односторонних статических связей (односторонних «стерж- ней») и в этом смысле аналогичен шарниру фермы. Поскольку реакции связей в каждом узле сервосистемы суммируются не векторно. а алгебраически, ферма эта аналогична не двумерной (плоской) натуральной ферме, а одномерной (линейной). Статическая определимость натуральные ферм характеризуется определенностью реше- ний векторных уравнений фермы, составлен- ных для каждого ее узла. (В эти векторные уравнения входят известные по направлении: (совпадающему с направлением стержней) v неизвестные по величине реакции стержней Решения этих уравнений определены, еслр в каждое из них входят для трехмерньц си- стем— три неизвестные реакции, для двумер- ных — две, для одномерных — одна. Этом) 100
Рис. 3-2. Абсолютная статическая определимость двусторонних и одно- сторонних систем. условию отвечают статически определимые си- стемы. Для (простейших из них, образованных наслоением диад (рис. 3-2,а), векторные урав- нения решаются последовательно — так, что в каждом следующем уравнении содержится только две неизвестных реакции. Для одно- мерных двусторонних ферм (такие фермы из соединенных шарнирами и вытянутых в одну линию стержней легко сконструировать) в каж- дое следующее уравнение должна входить одна лишь неизвестная реакция. Все это в равной :мере относится и к сер- восистемам, рассматриваемым как одномер- ные односторонние фермы. И здесь в каждое следующее уравнение должна входить одна лишь неизвестная реакция (рис. 3-2Л). Для односторонних систем вопрос еще упрощается тем, что система уравнений статики распада- ется здесь на отдельные уравнения. А. Абсолютная статическая определимость Распределение статических перемещений (деформаций) однозначно определяет стати- ческие реакции системы. Статическая реак- ция Rm статической связи Cikqk равна: Rik = Cikqk» (3-15) Подставляя эти выражения в уравнения статических сил (1-12), получаем уравнения, не содержащие в явном виде деформаций: m ^Rik=Q(P (3-16) (i — 1, 2,..., m). Назовем эти уравнения статики твердых тел кратко — уравнениями статики в отличие от уравнений эластостатики — (1-12), (1-13). Распределением деформаций (1-13) опре- деляется и распределение сил (1-12). Сущест- вуют, однако, в односторонней механике, как и в классической, бистемц, для которых рёакции статиче- ских связей определяются не- посредственно из уравнений статики 3-16, без привлече- ния уравнений эластостати- ки (уравнений деформаций). В этом случае “Эти реакции не зависят от метрических пара- метров системы и определя- ются только ее структурой. Это , структурное свойство си- стем — возможность определе- ния из уравнений статики аб- солютных величин реакций — назовем абсолютной статической определи- мостью цх. Рассмотрим условия^ однозначной разрешимости уравнений статики (3-16) отно- сительно входящих в них .реакцйй связей, усло- вия статической определимости. Б. Двусторонние и односторонние уравнения статики Выше говорилось уже, что сервосистемы с дискретными параметрами аналогичны фер- мам классической механики. В натуральных упругих системах классической механики па- раметрами статических связей являются жест- кости Cik=iCki двусторонних упругих связей (стержней в фермах); в сервосистемах, упру- гих системах односторонней механики, пара- метрами односторонних статических связей также являются их «жесткости» ' Сгь=/=С&г (в общем случае). Уравнения статики натуральной фермы могут быть записаны в виде векторных урав- нений узлов фермы: Л+2^=0 (3-17) 1,2, ..., i/n), где F — приложенная к узлу внешняя сила, Rik — реакции стержней фермы. Отличие уравнений (3-16) —статики одно- сторонних систем от (3-17)—двусторонних систем заключается: 1) вскалярности величин Rik и Qi и 2) в одностороннем характере реак- ций Rik. Это второе отличие приводит к рас- паду систем (3-16) на уравнения отдельных элементов. Для натуральной фермы Rik = ——Rki, т. е. одна и та же реакция входите раз- личным знаком в уравнения двух узлов. Это связывает уравнения (3-17) в систему. Для сервосистем это равенство реакций не имеет силы из-за односторонности связей, и система (3-16) распадается на независимые уравнения. «Поясним это на примере, сервосистем на р-ис. 3,а, А. Уравнения статики для первой 101
входной (образованной входным замещением (Л. 87]) системы, при силе, приложенной .к первому элементу ее, имеют следующий вид: +#а«=0 +*«.=<) ' (3-18) +^. = 0 ^es + ^oe=O> для второй системы: «..+«. ^,.=0 ^92 “1“ ^3 /?Зв == 0 Я4з + *44 Я4в=о (3-19) ^S4~F^55 ^5в:=0 Обе системы распадаются на независимые уравнения^ поскольку каждое из неизвест- ных Rik входит только в одно из уравнений. Система уравнений статики сервосистем рас- падается на отдельные независимые уравне- ния. Нераспадающимися для сер- восистем являются лишь уравнения эластостатики. В. Относительная статическая определимость Из уравнений (3-18) вытекает, что для системы а абсолютное зна- чение реакции может быть опреде- лено для одного лишь первого эле- мента, в который входит одна лишь статическая связь: /?i6 = Q(11). Для всех остальных элементов, в кото- рые входит по две статические свя- зи, могут быть определены лишь относительные значения реакций: реакции здесь попарно равны и противоположны по знаку: «#21 — —/?26 (3-20) /?32 =-#36 Абсолютные значения реакций статических связей элементов, в ко- торых сходится по одной лишь ста- тической связи (реакция #16 систе- мы а), определяются непосредствен- но из уравнений статики; относительные зна- чения реакций остальных статических свя- зей—лишь из уравнений эластостатики (1-12). Эту возможность определения относитель- ных величин реакций назовем относительной статической определимостью. Входные систе- мы относительно статически определимы по отношению к силе, приложенной к первому их элементу. Векторные системы уравнений статики на- туральных ферм допускают последовательное решение уравнений в том случае, когда в каж- дое следующее по порядку решения уравне- ние входит не более двух неизвестных реак- ций. К такой распадающейся системе уравне- ний приводят простейшие фермы, образован- ные наслоением диад (рис. 3-2а). Скалярные системы уравнений статики сервосистем, все- гда распадающиеся, допускают последователь- ное решение уравнений (определение абсо- лютных значений реакций) в том случае, когда в каждое следующее уравнение входит одна лишь неизвестная реакция (рис. 3-2Л). В обоих случаях разрешимость этих систем не зависит ор системы внешних сил (рис. аь аг, Ль Л2). Абсолютная статическая определи- мость односторонних и двусторонних систем безотносительна к системе внешних сил (рис. 3-2). Возможность определения относи- Рис. 3-3. Относительная статическая определимость сервосистем. 102
тельных значений реакций зависит от системы внешних сил. Относительная статическая определимость относится к определенной си- стеме внешних сил (рис. 3-3). Из каждого неоднородного скалярного уравнения можно определить не более одной неизвестной реакции, а из однородного — только одно отношение реакций. Таким обра- зом, из уравнений статики /п-элементных сер- восистем может быть определено не более пг абсолютных статических реакций или )(Мс = 2/п—k) абсолютных и относительных реакций, где k — число внешних сил. Это чис- ко Мс является полным числом связей отно- сительно статически определимых систем. Вследствие распада уравнений статики на отдельные уравнения вопрос о статической определимости сервосистем решается в отдель- ности для каждого узла, причем здесь при рассмотрении только уравнений статики, воз- никают указанные выше две градации стати- ческой определимости. Для элементов, в ко- торых сходится по одной лишь статической связи (первый элемент системы рис. З-За и все элементы системы 3-2А), имеет место абсо- лютная статическая определимость—абсолют- ное значение реакций сходящейся здесь един- ственной статической связи непосредственно определяется из уравнения статики такого элемента: /?ix=Qi. (3-21) Для элементов, в которых сходится по две статические связи и ни одной внешней силы, имеет место относительная статическая опре- делимость — здесь не могут быть определены из уравнений статики абсолютные значения реакций, но могут быть определены их отно- сительные значения. Уравнение статики тако- го элемента = (3-22) откуда 'Rix~ = —1. (3-23) Агу Таковы >все, кроме первого^ элементы си- стемы на рис. З-За. Абсолютные значения ста- тических реакций не могут быть определены для таких элементов потому уже, что уравне- ния статики этих элементов независимы от уравнений статики остальных элементов, на- груженных внешними силами, определяющи- ми эти реакций. Связь абсолютных реакций с внешними силами определяется лишь урав- нениями эластостатики. Реакции эти могут быть поэтому найдены только из уравнений эластостатики. Это и приводит для сервоси- стем к двум градациям статической определи- мости. Относительные реакции относительно статически определимых систем так же неза- висимы от параметров связей, как и абсолют- ные реакции абсолютно статически определи- мых систем. Это только и придает значение "понятию «относительная статическая опреде- лимость». • * Элементы, в которых: а) сходится более чем две статические связи, либо б) внешняя сила и более чем одна статическая связь, ста- тически неопределимы. Здесь из уравнений статики не могут быть определены ни абсолют- ные, ни относительные реакции. Уравнение ста- тики такого элемента для случая а): • • .==0. (3-24) и для случая б): - Q'/Ч- Rix + Riy +... = 0, (3-25) В обоих случаях из уравнений статики не могут быть определены ни абсолютная, ни от- носительная реакции. В первом случае неопре- деленным является соотношение между реак- циями, во втором случае неопределенным яв- ляется распределение внешней силы между ре- акциями. Статическая определимость в отдельных элементах системы представляет собой локаль- ное свойство систем. Статическая определи- мость во всех элементах системы становится уже общим свойством ее. Это общее свойство названо было выше статической определи- мостью системы. Статическая определимость системы, как общее свойство ее, сохраняется общими эквивалентными преобразованиями, статическая определимость лишь в отдельных элементах, как локальное свойство системы, не сохраняется ими. В число статических связей во введенных выше и вводимых в дальнейшем определениях, относящихся к статической определимости, не должны включаться статические связи, иду- щие от элементов, изодромных по отношению к рассматриваемой в этих определениях си- стеме. сил. Статические реакции таких связей равны нулю, независимо от параметров этих связей, и выпадают поэтому из уравнений ста- тики. Квазистатические параметры таких ква- зистатических связей (статических — по при- знаку нулевого порядка их, и квазистатиче- ских — по признаку нулевых статических ре- акций) не связаны уравнениями- статики. Ква- зистатические параметры (например, парамет- ры «гибких» связей изодромов) не определяют статических характеристик системы (статиче- скую неравномерность изодромных систем), а определяют лишь динамические ее характе- 103
ристики (динамическую неравномерность изр^ дромных систем) и в этом смысле являются не статическими, а динамическими параметрами. Для сервосистем именно относительная статическая определимость имеет основное значение, ею, как показано ниже, определяют- ся критерии «подобия этих систем. Назовем по- этому кратко статически определимыми по от- ношению к данной системе сил сервосистемы, все узлы которых обладают по отношению к этой системе сил то меньшей мере относи- тельной статической определимостью. Условия статической определимости сервосистемы по от- ношению к некоторой системе внешних сил сводятся к тому, чтобы в нагруженных эле- ментах сходилось не более одной статической связно в ненагруженных же — не более двух. Для того, чтобы сервосистема была статически определима относительно произвольной систе- мы сил, небходамо и достаточно, .чтобы в -каж- дом элементе сходилось по одной лишь ста- тической связи. Этому условию удовлетворяют сервосистемы на рис. 3-1. В этом случае, одна- ко, она абсолютно статически определима. Для того чтобы система была статически определи- ма относительно системы сил, состоящей из одной силы, достаточно, чтобы в нагруженном этой силой элементе сходилась одна лишь ста- тическая связь, а в остальных элементах — не более двух. Общие условия статической определимости даются следующей теоре- мой 3-1: для статической определимости серво- системы по отношению к данной системе сил необходимо и достаточно, чтобы общее число статических связей, сходящихся в каждом эле- менте системы, включая в это число и внеш- нюю статическую силу, приложенную к эле- менту, не превышало двух. Ввиду особой важ- ности для дальнейшего случая «приложения од- ной силы выделим его из этой теоремы в ви- де отдельного * следствия. Следствие I. Для статической определимости сервосистемы по отношению к одной силе необходимо и до- статочно, чтобы в нагруженном элементе схо- дилась одна лишь статическая связь, во всех же остальных — не более двух. Следствие II. Входные системы стати- чески определимы относительно системы сил, состоящей из внешней силы, приложенной к первому их элементу, и статически неопредели- мы относительно всех остальных систем сил. Это явствует из соблюдения в этих системах локальной статической структуры, указывае- мой следствием I, в одном лишь первом эле- менте. Статическая определимость сервосистем, как и натуральных систем, определяется, -та- ким образом, общей и локальной статической связанностью их. Общее число Nc статических связей в статически определимых по отноше- нию к одной внешней силе (в дальнейшем бу- дет рассматриваться только такая статическая определимость и подразумевающиеся сло- ва «по отношению к одной внешней си- ле» — опускаться) системах не может пре- вышать полного общего числа статиче- ских связей — Мс=2пг—1. Наличие полного общего числа статических связей определяет полную общую статическую связанность си- стемы. Как и во всех структурных задачах, условие, требующее, чтобы общая статическая связанность системы не превышала предела Л4С, является необходимым, но недостаточным. Для равномерной связанности системы необ- ходимо еще, чтобы и локальная статическая связанность системы не превышала предела, вытекающего из следствия I: не более одной статической связи в нагруженных элементах, не более двух статических связей — во всех остальных элементах. . Этот предел назовем полной локальной статической связанностью. Находящиеся на этом пределе системы явля- ются нулевыми в задаче статической опреде- лимости. Полная локальная статическая свя- занность обеспечивает равномерное распреде- ление статических связей в системе, отсутствие в ней узлов (элементов) с избыточной стати- ческой связанностью, -при недостаточной стати- ческой связанности остальных узлов. -Превы- шение над полной локальной статической свя- занностью приводит к образованию статиче- ски неопределимых узлов с избыточным числом статических связей. При этом общее число связей может и не превышать Мс. Формулу М{'} — 2т — 1 (3-26) назовем структурной формулой относитель- ной статической определимости. Избыток наличного числа статических связей над пол- ным их числом Мс назовем числом степеней относительной статической неопределимо- сти У(сг): V(rc} = Nc— (3-27) Введем также аналогичные понятия Л1(а), У(а> для абсолютной статической определимости: Ж(са)==т; (3-28) У(са>=#с — Ж(са). (3-29) Эти числа указаны на рис. 3-2 и 3-3. Числа У(сг), У<°> и все вводимые в дальнейшем числа У назовем валентностями системы в данной 1Q4
задаче. Системы с нулевой валентностью назо- вем нулевыми системами. Все системы на рис. 3-2 являются нулевыми в- задаче абсолют- ной и, следовательно, относительной- статиче- ской определимости. Система на рис. 3-3,а является нулевой только в задаче относитель- ной статической определимости. Все остальные системы этого рисунка не являются нулевыми ни в одной из этих двух задач. :Для сопоставления двусторонних и одно- сторонних статически определимых и неопре- делимых систем могут служить рассмотренные выше одноциклические системы. Здесь нагляд- но видны независимость относительных ста- тических реакций сервосистем от метрических параметров в статически определимых узлах системы и зависимость — в статически неопре- делимых (рис. 3-1). В качестве двусторонней системы на рис. 3-1 взята двухопорная балка, статически определимая на рис. б\ и в\ и од- нократно статически неопределимая на рис. «ь В качестве односторонней системы взята обыч- ная система регулирования, на рис. б3 и в3 — астатического объекта и потому статически определимая, и на рис. а3 — статического объ- екта и потому однократно статически неопре- делимая. По указанным выше причинам речь идет для двусторонних систем об абсолютной статической определимости, для односторон- них — об относительной. Можно указать теперь принцип, решающий во всех структурных областях задачу синтеза нулевых систехМ — задачу равномерной свя- занности. Принцип локальной свя- занности. Достаточным условием получе- ния нулевых систем является полная локаль- ная связанность системы во всех элементах ее. Локальная связанность находит, естественно, различное выражение для различных задач. Для задачи статической определимости она определяется следствием I теоремы 3-1. Для задачи структурной устойчивости она прини- мает рассматриваемое ниже более сложное выражение. В любой из этих областей задача синтеза нулевых систем решается принципом локальной связанности. Структурные формулы являются лишь следствием этого принципа. В дальнейшем будет рассматриваться толь- ко относительная статическая определимость сервосистем, и слово «относительная» и ин- декс «г» будут поэтому опускаться. 3-1-3. Канонические уравнения эластостатики Возможность определить часть статических реакций из уравнений статики означает в ана- литическом плане возможность исключения- той же части статических параметров из уравнении эластостатики и эластодицамики и приведения этих уравнений к наиболее просто- му, каноническому виду. Возможность эта ре- ализуется методом канонических относитель- ных координат. Исключение с помощью урав- нений статики наибольшего числа статических -параметров из уравнений эластостатики со- ставляет основное содержание этого метода. Число неисключающихся статических пара- метров в канонических уравнениях равно чи- слу степеней относительной статической не- определимости. В относительно статически определимых системах исключаются все ста- тические параметры. Канонические уравнения содержат наименьшее число независимых па- раметров и в этом смысле представляют собой описание задачи в критериях подобия. В абсолютных уравнениях (уравнениях в абсолютных координатах) эластостатики чи- сло статических параметров системы равно числу статических связей и все эти параметры независимы. При переходе к относительным координатам и относительным уравнениям эластостатики независимость эта . теряется. Статические параметры оказываются связан- ными дополнительными зависимостями, позво- ляющими исключить часть этих параметров из уравнений эластостатики. В том случае, когда исключено максимально возможное для дан- ной системы число статических параметров,, остающиеся в наименьшем возможном для данной системы числе статические параметры представляют собой по этому подчеркнутому признаку критерии статического подобия си- стем. Только для абсолютно статически опре- делимых систем критерии эти независимы от системы внешних сил, для относительно ста- тически определимых — зависимы. Рассмот- рим эту зависимость -и общий вид относитель- ных уравнений статики. Разделим каждое из уравнений (1-12) на некоторое номинальное значение Q(.1} силы Q^, стоящей в правой части его. Относительные силы --р- обозначим через 2^. Новые значения статических парамет- ров С, возникшие в результате этого деления,, обозначим — С'. Согласно теореме 3-1, наибольшее число статических параметров исключается при на- гружении одной только силой.’ Возникающая для этого Случая система относительных коор- динат приводит, следовательно, к наиболее простому виду уравнений. Уравнения эти мо- ' гут быть в качестве канонических использова- * ны и для всех остальных- случаев- нагружения. Рассмотрим, какой вид принимают относитель- 105
иые уравнения эластостатики для этой про- стейшей базовой системы сил; = 1; = Л2 =... = = = ... = 2m^=:Xm = 0. (3-30) Предполагая, что все aib отличны от нуля, произведем по отношению к этой системе сил следующее линейное. преобразование коорди- нат q системы (1-1): ; е2=—;...; *,»=—, (3-31) 1 «16 2 «26 “mb т. е. отнесем все координаты к полным стати- ческим их изменениям, возникающим под воз- действием единичной силы, приложенной к 6-му элементу. Координаты 5 в отличие от иных относительных координат назовем кано- ническими относительными координатами. Уравнения эластостатики (1-12) системы (1-1) в результате перехода к относительным силам и относительным координатам примут вид: 'С'4“ С'гзагЬ^2 4“ • • • 4~ C'imamb'm — Я, (3-32) (/ = 1, 2,..., т). Обозначив здесь статические параметры Cikaib через S’ik, получим уравнения (3-32) в виде: (/ = 1, 2,..., т). Здесь S — относительные статические пара- метры системы. Соответствующие абсолют- ным параметрам системы А, В, С, D, Е относительные параметры системы U, Т, S, R, Q будут подчеркиваться, а модули их обо- значаться теми же неподчеркнутыми буквами U, Т, S, R, Q. Это означает, что U — modU, U — U sign U. Дополнительный символ (подчер- кивание) введен здесь не для модуля, а для его относительной величины, поскольку урав- нения в относительных координатах в дальней- шем будут писаться в параметрах связей (мо* дулях), параметры же систем — вводиться лишь в уравнения семейств (рис. 1-20). Согласно условию (30) в уравнениях (33) все Лг-, за исключением Ль, равны нулю, а 1Ь равно единице. Поскольку для этой системы сил все относительные перемещения равны в статике Afsignaib: ~ sign alb; =-^-=sign a2b;...; 5m=^=^signaTOb, t (3-34) подставляя (3-34) в (3-33) и сокращая эти по- следние уравнения на Яь, получаем, обозначив Sih (sign Sik• sign через Sik, уравнения, свя- зывающие^ одни лишь эти новые статические параметры: 4~•З'(ь-1)г4~ • • • 4“ S'(b-i)m — 0; Sji 4-£b2 4----+£^ =1;(3—I) S'tb+ih + ^'(6+1)2 4- • • • 4- s'lb+pm—0; 4~ • • • 4~ S'mm -0. Пользуясь этими уравнениями, можно ис- ключить из уравнений эластостатики статиче- ские параметры всех неизбыточных статиче- ских связей. Система (!) состоит из пг неза- висимых (поскольку входящие в какое-нибудь одно из уравнений неизвестные не входят ни в одно из остальных) уравнений, из которых (т—1) однородны, а одно, b—е, неоднородно. Деля каждое i—е из (т—1) однородных урав- нений системы (!) и соответствующее ему уравнение системы (33) на входящий в него параметр несобственной статической связи исключаем из каждой системы (т—1) этих параметров. Система (!) примет после деления следующий вид: 1 S., •$а>-1)4~- • • 4~5(ь-1)(ь-з)4~ • 4~^(ь-1)(ь-1)4~ • • • 4~*^(b-i)T»=0(3!!) sbl 4~-«- 4~ 4~^&(ь-2)4~^ь(ь-1) 4~ ^ьь 4~ • • • 4~^&т =1 S(b+i)i4~S(b+i)2 4~ • • • 4” ^(ь+1 >(б-о 4~ 1 4~ £(ь+1)(ь+1)4~ • • • 4- Зд>4-1)т=о *^«4 4~*3>n2 4~ • • • 4~ 1 4- $тт = 0- 106
Определив затем из т уравнений системы (!!) еще т -статических параметров через остальные и подставляя эти выражения в уравнения (3-33), исключаем из эти** исходных уравнений еще т Параметров. Удобно исклю- чить таким способом -параметры т внутренних г статических связей или замещающих их внеш- ’ них статических связей. В этом не раскрывае- мом здесь окончательном виде, который бу- дем называть каноническим и обозначать ин- дексом (!!!), в уравнениях (3-33) останутся параметры одних лишь избыточных статиче- ских связей — критерии статического подобия. Систему силЛ по отношению к которой про- изводится переход к относительным координа- там, назовем базовой системой сил. В рассмот- ренном случае она состояла из одной лишь силы, приложенной к 6-му базовому элемен- ту. Выбор базовой системы сил служит толь- ко выбору системы относительных координат, т. е. базовая система сил не находится в об- щем случае ни в какой связи с действующей системой сил. Определяемая базовой системой сил система относительных координат пригод- на для любой действующей системы силы, при- чем всегда будут соблюдаться уравнения (3-33) эластостатики. Однако соотношения (3-34) будут соблюдаться в том только слу- чае, когда действующая система сил совпадает с -базовой системой сил. Желание соблюсти эти соотношения может побудить прибегнуть к более сложным базовым системам сил, сов- падающим с действующими системами сил. Это имеет место, в частности, в многомерных системах, где нагрузка только одной Из регу- лируемых координат, взятая в качестве базо- вой системы сил, нарушила бы симметрию системы, и естественно принять в качестве ба- зовой системы сил совокупность полных на- грузок, приложенных ко всем регулируемым координатам. Это необходимо также в тех слу- чаях, где сравниваются в критериях -подобия переходные процессы подобных систем под воздействием подобных систем сил. Рассмот- рим поэтому относительные уравнения эласто- статики для более сложной системы сил, где не одна, а несколько сил отличны от нуля: Л1 = 2а=Л3=1; Л4 = 25 = ... = 2т = 0. (3-30) Пусть При ЭТОМ все суммы (а»!-|-аг2 + агз) отличны .от нуля. Линейное преобразование (31) примет в этом случае вид: g _____ffi___. £ ______£2____. 1 а114“а12 + а13 ’ 2 *21 + а22 +а2з’ ’ Чтп L.. ат1 + ат2 + атпз (3-31') Уравнения (32) примут вид: С «1 (®и “I- ®12 4* ®is) “1“ is (®ai 4~ ®22 ”1“ ®га) ^2 4“ “I- • • • 4" C'im (®пц 4“ ®та 4~ ®nia) ^tn == (i = l, 2, m). (3-32') Обозначив здесь ' статические параметры С'4л(®й1 + ®й2-Е«ьз) через S'ih, получим урав- нения (32') в виде: S'ix?» “F^t’a^a 4" ’•• 4" S'in&n — (Z=l, 2, m). (3-33') Под воздействием системы сил (30') все коор- динаты примут в статике значения: В =------------£1----------= 1 “11 + “12 + “12 £ ____ ^2 __ 2 а21 + ®12 + а23 Ч“ ^2 Ч” ^ЧАЧ-Л; (3-34') t _ Чтя.2 12 _1_ 2. и уравнения (!) примут вид: mm 3-1-4. Статическое подобие В общем случае системы «к» отличных от нуля внешних статических сил из уравнений эла- стостатики могут быть исключены параметры (2m—k) статических связей. Неисключенными остаются параметры избыточных, по отноше- нию к относительной статической определи- мости, статических связей. Число их равно числу степеней относительной статической неопределимости по отношению к данной си- стеме сил. Параметры эти представляют собой метрические критерии статического по- добия. Структурным критерием статического подобия двух систем является тождество их статических структур. Из уравнений систем, относительно статически определимых по от- ношению к данной системе сил, могут быть 107
исключены все статические параметры. В этом случае метрические критерии статического подобия отсутствуют, статическое подобие обеспечивается одним лишь структурным критерием—тождеством статических структур. Статическое подобие статически определи- мых систем сводится к структурному усло- вию — одинаковости.. статической структуры. Для статически неопределимых систем возни- кают дополнительные метрические условия — равенство соответственных критериев подобия. Статическое подобие систем определяется следующими условиями. Абсолютно статиче- ски определимые системы статически подоб- ны при одинаковой статической структуре. Си- стемы, относительно статически определимые по отношению к данной системе сил, статиче- ски подобны при одинаковой статической структуре по отношению к данной системе сил. Системы, относительно статически неопредели- мые по отношению к данной системе сил, ста- тически подобны по отношению к ней при оди- наковой статической структуре и равенстве со- ответственных неисключающихся статических параметров — параметров избыточных стати- ческих связей. Параметры эти являются ме- трическими критериями статического подобия. Для количественного исследования дина- мических систем в относительных координатах, построения переходных процессов в них, в качестве базовой системы сил, определяю- щей систему относительных координат, удоб- но, хотя и не необходимо, принимать дейст- вующую систему сил.’ Качественное исследова- ние линейных динамических систем, исследо- вание их общих и локальных свойств — ста- тичности, устойчивости и т. д., безотноситель- но, как и. эти свойства, к действующим на си- стему внешним силам и здесь выбор той или иной базовой системы сил, для перехода к от- носительным координатам, является всего лишь выбором системы относительных коорди- нат и в той же мере произволен. Здесь возникает, таким образом, возмож- ность выбора канонической базовой системы сил и соответствующей ей канонической си- стемы относительных координат, приводящей к исключению наибольшего числа статических параметров и, как следствие, к наиболее про- стому, каноническому, виду уравнений стати- ки. Такой канонической базовой системой сил является, как выяснено было выше, система (3-30), приводящаяся к канонической системе координат (3—31), в которой исключается максимальное число (2/и—1) статических па- раметров. 7?-тый элемент динамической си- стемы, к которому приложена единственная отличная от нуля сила базовой системы (3-30), назовем базовым элементом системы. Нейс- ключающиеся статические параметры являют- ся критериями статического подобия и в этом качественном исследовании. Каноническая ба- зовая система сил никак не связана с дейст- вующими на систему силами и определяет со- бой лишь систему относительных координат. Удобство количественного исследования динамических систем требует для каждой си- стемы сил своей системы относительных коор- динат. Качественное исследование динамиче- ских систем может производиться в безотно- сительной к силам канонической системе отно- сительных координат. В обоих случаях неис- ключающиеся статические параметры являют- ся критериями статического подобия. Поясним процесс исключения статических параметров и перехода к каноническим урав- нениям статики на примере многократно ста- тически неопределимой системы на рис. З-ЗЛ. Исходные уравнения статики (3-33) примут вид: Поскольку все аг-ь здесь положительны, уравне- ния (!) принимают вид: , +S'le = l; -S'« + S'2, +S'2e = 0; - S'S2 + S'33 + S'3e = 0; (3-36) -S'4s + S'« +S'4e = 0; -S'64 + S'S5 + S'56 = 0; — S' +S' =0; 65 I 6o 7 уравнения (!!) принимают вид: S„ +$..=1; — 1 + Sa2 + S2e = 0; — 1 + S33 + S3e = 0; (3-37) 1646 •2 Уравнения (3-35) эластостатики после той же операции деления уравнений на параметры несобственных связей примут вид: Sn5j H_Sle5e::=l» “ ’ " ‘ +S2A = 0; + SMe.=O; 4-S4e?e^0; 55л+56л=0; — + S.A ;= 0. (3-38) 108
Определяя из (3-37) параметра внутренних связей: = 1 *^1в» S33 = 1 S3e; Ss5 = 1 Sse; S22 = 1 - S26; S44 = 1 - S4e; See = 1, (3-39) и подставляя полученные выражения (3-39) в (3-38), получаем в окончательном виде (!!!) канонические относительные уравнения ста- тики: Система четырехкратно статически неопре- делима. Нейсключающимися статическими па- раметрами являются только степени нагруже- ния Soi, 5q2, S03, S04, обратно пропорциональ- ные степеням неравномерности. Степень само- регулирования So определяется через них. Та же система канонических уравнений (3-36') пригодна для любой системы действующих сил, не совпадающей с базовой системой сил. В системе параллельно работающих турбо- (1 - sie)ik -^ + (1-5^ -S2 + (1-S3e)?3 -53 + (l-S4e)£4 (3-40) -g4 + (l-Sse)H6 + Sse$e = O; -Л+ 5e=0. Канонические уравнения динамики получа- ются из этих уравнений статики добавлением к каждому f-му уравнению члена Канони- ческие статические параметры Sih являются здесь критериями статичёского подобия, вре- мена Тi — динамического подобия. Рассмотрим более сложную систему — па- раллельной работы турбогенераторов, где aib могут иметь различный знак. За базовый эле- мент ее естественно принять объект системы— элемент ф (частота энергосистемы). Уравнения системы (понятные без структурной схемы) принимают при этом симметричный вид: ЛФ + М 4" ‘SoiP’i 4“ *$02р2 4- 50зРз + Т 1^1 + + 510ф = 0; Г2н2 + 522|х2-520ф=0; (3-35') 7* зРз + ^ЗзРз 530ф = 0; + S4ft — 54оФ = 0- Здесь также все aib положительны и урав- нения (!) принимают поэтому вид: S'22-S'20 = 0; (3-36') •S'33 5'зо = 0; S'44-S'40 = 0. Деля однородные уравнения этой системы на параметры несобственных связей, получаем уравнения (!!), из которых определяем пара- метры внутренних связей: So—l—(Soi+S02+S03+S04); S ] 1 = Si о—S22=S20=533=,5зо—S44=S4o=*1. (3J39Z) генераторов возможен, однако, и иной случай, когда одна из подсистем, например первая, изодромна. Это проще всего достигается аста- тичностью ее сервомотора. В этом случае эле- мент ф не пригоден в качестве базового эле- мента, поскольку коэффициенты влияния во всех остальных составляющих системах будут нулевыми. Единственным базовым элементом, свободным от этого недостатка, является здесь астатический сервомотор изодромной под- системы. По отношению к приложенной к нему положительной базовой силе его коэффициент влияния будет отрицателен, коэффициенты же влияния всех осталь- ных элементов положительны. (Предпола- гается, что уравнения системы составлены уже в канонической (по знакам) системе коорди- нат и выбор этой системы не может быть по- этому подчинен условию положительности всех dib. Последние получают поэтому различные знаки. Для входных систем каноническим на- правлением положительного отсчета положе- ний сервомотора является направление закры- тия. Положительной нагрузкой сервомотора является поэто!му закрытие его, т. е. разгрузка подсистемы. Оно приводит к снижению часто- ты и нагружениям остальных подсистем — от- крытиям их сервомоторов, т. е. к отрицатель- ным aib всех этих элементов). Соответственно уравнения (!) примут вид: — S'o 4“ S'ol — S'O2 — S'O3 S'O4 = 0; s'io = l; -S'22 + S'20 = 0; (3-36") Деля однородные уравнения на параметры несобственных связей (первое из уравнений, 109
где сходятся четыре несобственных связи, раз- делим на Soi), получаем уравнения (!!), из ко- торых определяем параметры внутренних свя- зей: == (*“>02 50Г Н” *^04 1 )> ^10 — ^22 — ^20 = *^«3 = ^30—^44=‘^40=1 ’ (3“39") Подставляя эти значения (и согласно условию нулевое значение 5ц) в i(3—36'), по- лучаем канонические уравнения. Они пригод- ны для любых действующих сил, но наиболее наглядны дляч случая нагружения первой под- системы, когда действующая сила совпадает с базовой силой. Уравнения (40) записаны относительно ста- рого положения равновесия (т. е. в связанной с этим старым положением системе коорди- нат). Относительно нового равновесного поло- жения они будут иметь тот же вид, лишь в правой части первого уравнения вместо единицы появится нуль. • Выбор канонической базовой системы сил, определившей систему относительных коорди- нат-и связь между статическими параметрами, является всего лишь выбором системы коорди- нат. При канонической базовой системе сил уравнения системы принимают канонический вид (!!!). В канонических уравнениях исклю- чается наибольшее возможное число—(2 m—1) статических параметров, по два параметра в каждом не &-м уравнении подин параметр— в &-<м. В этом -исключений наибольшего числа статических параметров и состоит первая цель перехода к.относительным координатам. Можно -было бы, разумеется, и многими иными способами исключить из канонических уравнений статики (2m—1) статических пара- метров. Принятый выше способ исключения параметров именно несобственных связей и внутренних (или замещающих их внешних) статических связей наиболее естествен ввиду особого места, занимаемого этими связями, а для открытых систем является единствен- ным. При любом способе исключения статиче- ских параметров может быть исключено не бо- лее Мс= (2т—1) параметров. Теорема З-П: из уравнений динамических систем может быть исключено не более Мс—(2m—1) стати- ческих параметров. Доказательство теоремы и способ исключения указаны выше. Парамет- ры избыточных, сверх 7ИС, статических связей заведомо не могут быть исключены. Число их было названо выше числом степеней статиче- ской неопределимости. Число это может оказаться больше нуля и тогда, когда общее число статических связей ПО не превышает (2m—1). Это имеет место в том случае, когда нарушена равномерная локаль- ная статическая связанность. В этом случае одни элементы окажутся статически избыточ- но связаны, другие же — недостаточно. В уравнениях первых, статически неопредели- мых, элементов появятся в этом случае неис- ключающиеся статические параметры — кри- терии статического подобия. Из уравнений ди- намических систем, общее число статических связей которых равно или меньше (2m—1), можно, при отсутствии элементов с избыточ- ной статической связанностью, полностью исключить все статические параметры. В случае, когда система в некоторых эле- ментах изодромна относительно базового эле- мента, преобразование (3-31) для нее невоз- можно. Поскольку, однако, статические реак- ции всех выходящих из этого элемента квази- статических, как мы их назвали выше, связей равны нулю, общий ход рассуждений, приводя- щий к каноническим уравнениям статики, не изменяется. Выбор базовых величин для та- ких элементов произволен. Параметры квази- статических связей представляют собой такие же динамические параметры, как постоянные времени, и не могут быть поэтому определены из уравнений статики. Квазистатическим па- раметрам может быть придана квазистатиче- ская форма с помощью понятия о динамиче- ской неравномерности регулирования. Рассмотренные выше условия исключения всех статических параметров сводятся к входу не -более одной статической связи в один из элементов системы, базовый ее элемент, и не более двух статических связей — в каждый из остальных элементов. Условия эти совпадают с условиями относительной статической опре- делимости, относительно канонической базо- вой системы сил, полученных в предыдущем разделе. Теорема полного исключения. Статически определимые относительно базо- вой системы сил динамические системы допу- скают исключение всех статических парамет- ров из уравнений статики. Назвав, в дополнение к введенным ранее понятиям, полным числом статических связей системы число 7ИС, полным числом статических связей базового элемента — единицу и полным числом статических связей небазового элемен- та — число два, можно объединить все указан- ные выше частные теоремы исключения сле- дующей общей теоремой исключе- ния. Теорема З-Ш. В канонических урав- нениях статики исключаются статические па- раметры всех статически определимых элемен- тов с полным и недостаточным числом стати-
ческах связей, один статический параметр в статически неопределимых базовых элементах и по два статических параметра в статически неопределимых небазовых элементах:. Число неисключающихся статических параметров равно числу степеней статической неопредели- мости. Доказательство теоремы явствует из предыдущего. Если все элементы системы об- ладают полным или избыточным числом ста- тических связей, из канонических уравнений ее исключается наибольшее число — Мс стати- ческих параметров. Если часть элементов ста- тически определима при недостатке статиче- ских связей, часть же статически неопредели- ма, число исключающихся параметров меньше числа (2m—1) на сумму недостающих связей в статически определимых элементах. В кано- нических координатах число неисключающих- ся статических параметров равно во всех слу- чаях числу -степеней статической неопредели- мости. Параметры эти представляют собой критерий статического подобия. 3-2. ЭЛАСТОДИНАМИКА 3-2-1. Канонические уравнения эластодинамики Исключение Мс статических параметров из уравнений статики исключает их из уравнений динамики, приводя и последние вместе с урав- нениями статики к каноническому виду. Сле- дует лишь дополнительно проследить, как бу- дут изменяться при этом преобразовании па- раметры нестатических связей. Для дифференциальных систем уравнения (1-1) в результате перехода к относительным силам -и преобразования координат (3-31) примут вид: m (А'нРьтЪк + Bikahrih-|- C'ihakrbh) = Л* (3-41) £=i (/ = 1, 2,... , т), или же, обозначив A ik^kr = В ik^kr-------Т ikt С ik&kr — «S ife, m У (U' ЛяшЛ --- ------ ------- 6=1 (6 = 1, 2,...,от). (3-42) Деля затем одновременно с переходом от уравнений (!) к уравнениям (!!) каждое из урав- нений (3-42) на параметр S't несобствен- ной статической связи и обозначая получаем: m £ (^А + (3-43> *=1 (i = 1, 2,..., m). Динамические параметры U, Т, S имеют размерность времени (сек) и представляют со- бой постоянные времени второго, первого и нулевого порядков. Для интегродифференциальных систем: уравнения (1-1) примут вид: m X ( + Sik\h + U dt + £=1 -- ----- — ---------- +ЙИ^)==Аг <3'44> (* = 1, 2, ..m). Подставляя в последнее уравнение выра- жения вида (3-39) для параметров внутренние статических связей, определяемых через- остальные статические параметры из уравне- ний (!!), получаем в окончательном виде кано- нические уравнения динамики сервосистем. Уравнения эти содержат уже в себе канониче- ские уравнения статики (!!!) вида уравнений (3-40). Из канонических уравнений динамики исключается наибольшее возможное число* статических параметров. Для статически опре- делимых систем из канонических уравнений динамики исключаются все статические пара- метры. 3-2-2. Динамическое подобие Чтобы получить динамическую запись си- стемы в критериях подобия, необходимо, в до- полнение к исключенному выше наибольшему чисЛу статических параметров, исключить наи- большее число динамических параметров. Оставшиеся параметры представят собой кри- терии динамического подобия. Параметры канонических уравнений назо- вем каноническими параметрами. Поскольку канонические параметры имеют одну лишь размерность —времени, они позволяют до- полнительно, в соответствии с л-теоремой тео- рии подобия, исключение одного лишь дина- мического параметра принятием его за едини- цу времени. После этого и динамические кано- нические параметры системы становятся кри- териями подобия. Динамические канонические* параметры, отнесенные к одному из них, яв- ляются критериями динамического подобия динамических систем. Это явствует из того, что- они представляют собой наименьшее число ’Не- зависимых параметров, описывающих систему, 11»
Величины U, Т, S, R, Q представляют со- бой канонические параметры системы, их аб- солютные величины If, Т, S, R, Q — канониче- ские параметры связей. И те и другие имеют размерность времени. Все обозначения пара- метров могут быть представлены следующей таблицей: абсолютные относительные (канонические) параметры системы: параметры связей: А, В, Ct Dt Е а, Ь, с, d, е U* (сек*); Т^(сек); _3° (сек0);#"1 (сек"1); Q~* (сек"*) U* (сек*); Т (сек); 3° (сек0); R"1 (сек"1); Q~* (сек"*) Первая и нулевая степени при параметрах бу- дут в дальнейшем опускаться. Для симметрии первой строки таблицы со второй следовало бы относительные параметры системы обозна- чить большими «последними буквами латинско- го алфавита, относительные параметры свя- зей— малыми. Буквой Т принято уже, однако, обозначать параметры связей 1-го порядка, и это заставило отклониться от симметрии. Поясним все это на простейших примерах. В нулевой одноциклической системе регулиро- вания на рис. 3-1,63 содержится Л4С статиче- ских связей. В каждом элементе ее, кроме ба- зового элемента, сходится по две статические связи — одна внешняя и одна внутренняя. В базовом элементе сходится одна лишь внеш- няя статическая связь. Система образована входным замещением и статически определима. Действительно, уравнения (!) принимают для нее, если ограничиться тремя каскадами усиления, вид: S'14=l; S'22 S'21=0; S'ss — S'32=0; S'44 S'43=0. (3-45) Все [статические параметры этой системы могут быть указанным выше способом обраще- ны в единицы: S'l4= 1; S'22 = S'21 = 1; S'33 = = S'i2 — 1; S'44 == S'43 = 1 и канонические урав- нения статики принимают вид: t*»=0; —ф =0; Р-2 —1*1 = 0; Нз — На = О. (3-46) Уравнения динамики получаются добавле- нием динамических членов к этим уравнениям статики: ТЛ +Нз = 0; ЛЙ1+Н1-Ф =0; (3-47) ЛНа + На —Н1 = 0; 7>, + н, —Н2 = 0. Здесь То, 7\, Т2, Та — канонические параметры. Приняв Го за единицу времени, записываем эти уравнения в критериях подобия: Ф +нз = 0; ЛоН1 + Н1-ф =0; (3-48) ^аоНа I На Hi 0, ЛоНз + Нз — На = О. Здесь 7’10 = 7^; = тзо — -^*~ — Крите- рии динамического подобия. Критерии подобия статически определимых систем состоят только из критериев динамиче- ского подобия. Статическое подобие обеспе- чивается здесь одинаковой статической струк- турой, и критерии статического подобия отсут- ствуют поэтому. Напротив, в критерии подо- бия статически неопределимых систем входят критерии статического подобия — статические канонические параметры, и критерии динами- ческого подобия—динамические канонические параметры. Так, условием подобия двух си- стем входного замещения, обладающих стати- чески определимой структурой, указанной на рис. 3-3,а является соответственное равенство всех динамических критериев подобия: Г1О=Г'1О; 7'20= Т"20; ...; Гб0=Г"60, (3-49) где одним штрихом обозначены критерии по- добия первой из этих систем, двумя — второй из них. Для многократно статически неопреде- лимой системы на. рис. З-ЗД, чьи уравнения статики представлены уравнениями (3-40), к динамическим критериям подобия (3-49) до- бавятся статические критерии подобия: 57 Q77 . Q7 ,077 . 07 077 . 16 =О 16, 26—М 26, 36 — о 36, S'46=S"46; S,56=5"56. (3-50) На рис. 3-4 показаны в качестве примера смешанные системы, образованные входным замещением, идущим от периферии к центру (рис. а) и от центра к периферии (рис. б), и даны их качественные линии влияния. В отли- чие от системы на рис. 3-3,а, образованной за- мещением только тормозящими обратными внешними связями, смешанные системы обра- <12
Уравнения в а6солн)тньис координатах : с а с т е м ы и) bitty ~C2!ty ~C5tQt “Ь cieQs ~ + b22q2 -С25Ч5 > = Z7 — СзгЯг* b33q3 + СзсДц — ~ сЬзЧз ^44 ?4 „ @ - c^qu 4- b55q5 - О — сбвЧ5 + b6eqff+ce6q6= 0 с и c rn e м ы 5) bitty * Cl6Qs ~&r -c.2lqi + b3?q2 + c25qc, = 0 — c3zq?. — bjjty + Cj^qt — - С^З + ^44 ty + = ° - C33q3 T ^4?4 * b55$3 = ° - c62q3 - c65*i + ЬббЯб = ° относит ельнькх , У равнения в системы а) г th = z' + r2l2 + l,5 =0 - + Т&З + ^4 = ° - Ьг- + гД4 - =0 -ъ - =° - 4$+7^4 ^=Z7 координатах : системы б) Tity •*• ’= *> - 4/ + Тг^г + S2^4j = О ~ Д2 + ТЛз + = ° - К3 + + S44U = ° ” Sw4j“" ® ~^2 ~ 454-гЛ = /7 Рис. 3-4. Статическая определимость сервосистем с изодромными элементами. зованы замещением как тормозящими обрат- ными, так и возбуждающими прямыми связя- ми (Л. 87]. Регулярные свойства систем, обра- зованных входным замещением одними лишь обратными связями,— их структурная устой- чивость, в частности,— нарушены в смешан- ных системах. Система а, как показано ниже, структурно неустойчива, система б обладает вырожденной структурной устойчивостью. Од- нако условия статической определимости оста- ются для них неизменными. Обе системы ста- тически определимы, как все системы входно- го замещения. В первой -из них нет элементов, изодромных по отношению к базовой системе сил, во второй — изодромны все элементы, кроме последнего. Выводящие из этих изо- дромных элементов статические связи квази- статичны. В первой -поэтому нет квазистатиче- ских связей, во второй — квазистатичны все статические связи, кроме обратной, выходя- щей из единственного неизодромного элемен- та. Параметры всех статических связей исклю- чаются, параметры квазистатических связей остаются неисключенными. Эти квазистатиче- ские параметры представляют собой, как вы- яснено было выше, динамические параметры. Неисключенными остаются при этом лишь па- раметры собственных квазистатических свя- зей. Параметры несобственных статических связей исключаются в любом случае—статич- ности или квазистатичности. На примере построения качественных ли- ний влияния систем на рис. 3-4 выясняется смысл кинетостатических структурных схем. Знаки всех статических перемещений могли бы «быть, разумеется, найдены аналитически, с помощью формулы (1-15). Это, однако, может быть достигнуто более простым способом с по- мощью структурных схем, имея в виду, что каждый узел схемы представляет собой урав- нение статического — в статике и кинетостати- ческого —в динамике равновесия. Из условий статического равновесия вытекает, что дефор- мация системы а в элементе 6 положительна, поскольку лишь в этом случае реакция связи Ci6q6 положительна и уравновешивает отрица- тельную внешнюю силу Здесь существенно то, что реакция положительной связи совпа- дает по знаку с деформацией ведущего эле- мента связи, реакция же отрицательной связи противоположна по знаку этой деформации. Деформация элемента 5 должна быть поло- 8 И. И. Гальперин. 113
жительна, чтобы реакция связи C^q$ была отрицательна и уравновешивала положитель- ную реакцию связи С66?6. Деформация эле- мента 1 должна быть положительна, чтобы реакция связи C2\q\ была отрицательна и уравновешивала в элементе 2 положительную реакцию связи C2^q^. Таким же способом опре- деляются последовательно деформации эле- ментов 4, 2, 3 системы а и элементов систе- мы б. Канонические уравнения, как уравнения с наимень- шим числом параметров — уравнения в критериях по- добия, введены были нами в 1947 г. [Л. 42] и были затем широко использованы для исследования наибо- лее сложных систем — связанного регулирования, парал- лельной работы, регулирования блочных установок [Л. 57, 58, 59, 80, 89, 94, 96, 97]. С тех пор опубликован был ряд специальных монографий, рассматривающих подобие систем регулирования безотносительно к кано- ническйм уравнениям. Некоторый шаг вперед делается в (Л. 92], где в качестве критериев подобия предлагают- ся коэффициенты дважды нормированного характери- стического полинома. Коэффициенты эти представляют в наименьшем числе общие параметры системы и яв- ляются поэтому критериями общего подобия систем. Совпадением этих коэффициентов у сравниваемых си- стем достигается лишь общее подобие, т. е. тождество общих свойств сложных систем, и не достигается ло- кального подобия — тождества локальных свойств слож- ных систем. Полное подобие систем, т. е. тождество об- щих и локальных свойств их, достигается только соот- ветственным равенством представленных в наименьшем числе локальных параметров системы. Такими парамет- рами являются канонические параметры системы. Они и представляют собой критерии локального подобия. Только для элементарных систем, случая тривиального, общее подобие является и локальным и, следовательно, полным. Игнорирование в современной автоматике теории статической определимости и вытекающей из нее тео- рии подобия, принадлежащих односторонней механике, результат все той же неопределенной принадлежности предмета и открываемого ею логического произвола. Структурное исследование позволяет в наи- более общем виде представить теорию подо- бия. Для того чтобы динамические системы были подобны, т. е. процессы в них различа- лись только масштабом величин, необходимо и достаточно тождество их структур. Тожде- ство одних лишь статических структур приво- дит к одному лишь статическому подобию, тождество и статических и динамических структур — к полному статическому и динами- ческому подобию. В подобных системах соот- ветственным выбором системы координат и системы параметров процессы могут быть представлены не только подобными, но и тож- дественными. Этой задаче отвечают канониче- ские в указанном выше смысле координаты. Единичные, принадлежащие отдельным свя- зям параметры преобразуются этими коорди- натами в наименьшее число групповых, при- надлежащих всей системе параметров. По- 114 следние представляют собой критерии подо- бия. Записанные в этих критериях дифферен- циальные уравнения динамических систем тождественны. Тождественны® этих критериях и переходные процессы, определяемые этими уравнениями. Поясним детально связь между единичны- ми и групповыми параметрами. Общее число параметров динамической системы равно чис- лу членов ее дифференциального уравнения. Не все эти параметры, однако, определяют инвариантное, не масштабное —связанное с системой единиц, содержание процессов в си- стеме. Так, в статически определимых систе- мах регулирования инвариантное содержание переходных процессов определяется не сово- купностью единичных статических параме- тров — передаточных чисел рычагов, жестко- стей пружин и т. д., а объединяющим их груп- повым параметром — неравномерностью д. Параметр этот входит в уравнение регулято- ра, однако, как и остальные канонические па- раметры регулятора — C72r, Tr, Sr, определяет- ся не только единичными его параметрами — массой грузов, массой муфты, силой катарак- та, жесткостью пружины, но и всей совокуп- ностью единичных параметров системы и всей ее структурой. Канонические групповые пара- метры так же независимы, как единичные па- раметры. Они представляют собой, однако, минимальное число независимых групповых параметров, однозначно описывающих систе- му, и являются поэтому критериями подобия. Критериями подобия является любое мини- мальное для данной системы число парамет- ров, однозначно описывающее инвариантное содержание системы. Критерии подобия явля- ются инвариантными параметрами динамиче- ских систем. Этим, в частности, определяется безразмерный их характер. Тот же результат — инвариантность пара- метров мог бы быть, казалось, достигнут без- размерностью их, отнесением всех координат системы к произвольным базовым величинам. Этим, однако, эти базовые величины лишь при- нимались бы за систему координат. Действи- тельная инвариантность параметров системы заключается в независимости их от любой си- стемы координат, в том числе и базовой. Та- кими инвариантными параметрами, определяе- мыми только содержанием системы, являются канонические параметры. Они и являются по- этому критериями подобия. Групповыми параметрами дискретных ди- намических систем являются канонические параметры — относительные постоянные вре- мени и параметры статической неопредели- мости. ч
3-2-3. Динамические влияния Эластостатика начата была задачей стати- ческих влияний, поскольку задачей этой опре- делились канонические уравнения статики и динамики. Эластодинамика заканчивается за- дачей динамических влияний, поскольку к ним сводится все содержание ее—все задачи ди- намики могут быть (Представлены как задачи о динамических влияниях. Эта более сложная вторая задача сводится к более простой пер- вой преобразованиями Фурье и Лапласа (§ 1-2-3) и составит предмет всего дальнейше- го изложения. 3-3. АВТОМАТИКА КАК ЭЛАСТОМЕХАНИКА 3-3-1. Общая задача регулирования Система понятий односторонней механики охватывает все статические и динамические свойства сервосистем единой систематикой. Такие, неопределенной принадлежности, поня- тия современной автоматики, как астатич- ность, •изодромность, статическая и динамиче- ская независимость (автономность), общая и локальная, односторонняя и двусторонняя ин- вариантность,— сводятся все к равенству нулю статических и динамических коэффициентов влияния, статических и динамических про- водимостей, соответствующих каналов, объ- единяются принадлежащим односторонней механике общим понятием о статических и динамических влияниях. Свойства эти являются в равной мере структурными и метрическими, точнее говоря — прежде струк- турными, затем метрическими. Для независи- мого регулирования необходимо прежде всего видоизменить структуру системы — дополнить ее перекрестными связями связанного регули- рования, а затем подчинить передаточные чис- ла этих связей метрическим условиям незави- симости. Такое же предшествующее положе- ние занимает структурное исследование и во всех остальных без исключения задачах авто- матики. Динамические локальные свойства имеют тот же общий смысл, что и статические свой- ства. В частности, статическая и динамиче- ская независимости в связанном регулирова- нии многомерных систем представляют собой соответственно тождественное равенство нулю соответствующих статических и динамических передаточных функций — особенные локаль- ные свойства. Примером неособенных локаль- ных свойств является быстродействие по «кана- лу скорость распространения сигнала из й-й точки в Z-ю. Оно определяется видом передаточной функции угл- В этих понятиях могут быть сейчас сфор- мулированы все задачи автоматики. Очерчен- ная в начале работы общая задача автомати- ки— получение заданных реакций системы — сводится к синтезу систем, обладающих за- ’ данными проводимостями соответствующих каналов. Поясним это на примере различных частных постановок этой общей задачи. Рассмотрим задачу получения заданных статических реакций. Задача изодромного ре- гулирования сводится к требованию нулевой статической проводимости главного канала; объект — объект, при конечной статической проводимости неглавного канала: регуля- тор— объект. К входам этих каналов прило- жены внешние силы системы, к объекту — на- грузка его, к регулятору — задание. Задача изодромности требует нулевой статической реакции системы в той точке ее, куда поме- щен объект, на внешнюю силу (нагрузку), приложенную к нему же, т. е. нулевого зна- чения главной статической передаточной функ- ции аоо объекта. Задача изменения задания,, ставящаяся перед каждой системой, требует конечной статической реакции системы в той точке ее, куда помещен объект, на внешнюю силу (задание), приложенную к регулятору» т. е. конечного значения неглавной статиче- ской передаточной функции аог. Обе задачи сводятся к получению заданных статических реакций. В решении их участвуют поэтому только статические передаточные функции. Рассмотрим задачу получения заданных динамических реакций, например, задачу так называемой инвариантности. Задача инвари- антности, регулируемой координаты требует нулевой динамической реакции системы в точ- ке «объект» по отношению к внешней силе «нагрузка», т. е. тождественного равенства нулю главной передаточной функции у<м> объекта. Вторая задача — изменения задания остается здесь той же, что и в предыдущем случае. Пусть ставятся для многомерной системы чисто статические задачи — изодромного ре- гулирования ьй регулируемой координаты ее и статической независимости ее от одной, S-й, из остальных координат. Задача сводится к требованию нулевого значения главного коэффициента влияния аа и нулевого значе* ния соответствующего неглавного коэффициен- та влияния a2S. Пусть ставится смешанная», статическая и динамическая, задача изодром- ности и динамической независимости регули- рования Z-й регулируемой координаты от всех остальных регулируемых координат. Задача сводится к требованию нулевого значения аг» и тождественного равенства нулю всех уг*. 8* 115
Задача независимого регулирования пред- стает в самых различных рассмотренных выше сочетаниях. Крайнее ее выражение — взаим- ная динамическая независимость всех регули- руемых координат при изодромном регулиро- вании их — сводится к требованию нулевых значений всех агг- и тождественного равенства нулю всех ум- Задача фильтра — пропускания или не- пропускания по отдельным каналам колеба- ний различных частот—формулируется ана- логичным образом, как задача неравенства или равенства нулю для данных частот, гар- монических проводимостей ргь этих каналов. Все эти задачи относятся к числу особен- ных. Неособенной задачей является требова- ние определенного вида переходных процес- сов в некоторых f-х точках системы по отно- шению к приложенным в k-x точках внешним силам. Решение этой задачи сводится к требо- ванию определенного вида общей проводимо- сти (передаточной функции) у^. К числу этих задач относится и задача быстродействия. Поставленные таким образом задачи могут оказаться физически невыполнимыми, как не- которые задачи инвариантности, или несовме- стными. Все, однако, задачи регулирования могут быть поставлены с помощью этого ограниченного числа единообразных понятий. В господствующей в современной автома- тике пестроте понятий и терминов, где тожде- ственные по содержанию задачи рядятся под- час в различную словесную форму, а затем порознь решаются, единообразие это является особенно важным. Так, новая задача инвариантности пред- стает в этой общей трактовке как обобщение старой статической задачи изодромности и астатичности. Весь аппарат синтеза бесконеч- но статических (изодромных) и астатических систем, рассматриваемый ниже, распростра- няется на синтез бесконечно динамических (инвариантных) и адинамических систем. Этим решается в общем виде и вопрос о реа- лизуемости условий инвариантности. Инвари- антность, как и все остальные, упускаемые со- временной теорией регулирования ненатураль- ные свойства систем, может иметь место лишь в ненатуральных системах. Инвариантность в натуральных системах так же невозможна, как невозможна в них изодромность. Оба не- натуральных феномена принадлежат односто- ронней механике. Отсутствие этого наиболее общего условия реализуемости в посвященных этому вопросу многочисленных работах — плата за ту же неопределенную принадлеж- ность предмета. 116 Центральные понятия современной теории регулирования — передаточные функции, ам- плитудно-фазовые характеристики и возни- кающие из них понятия — изодромности, авто- номности, инвариантности, фильтра обобщают принадлежащее односторонней эластомехани- ке понятие о статических влияниях и их коэф- фициентах. Концепция односторонней механи- ки объединяет все эти понятия общим поня- тием —о динамических влияниях. Рассмотрим в этом свете наиболее общие, относящиеся к многомерным системам, задачи регулирования. 3-3-2. Независимое регулирование Условия статической независимости (авто- номности), впервые строго сформулированные И. Н. Вознесенским (Л. 13, 16] и затем много- кратно рассматривавшиеся [Л. 22, 35, 57], для простейшего случая исчерпываются матрич- ным соотношением: IP*uv II = lj Suv ||(3-51) («, 0 = 1, 2, ..., /п), устанавливающим обратность искомой матри- цы передаточных чисел i регулирования за- данной матрице статических связей S объек- та. Отсутствие общей концепции с наибольшей ясностью сказалось в специальных, вне всякой связи с общим соотношением (1-15) элавтоме- ханики, выводах этого частного соотношения [Л. 107]. В односторонней эластомеханике специальное соотношение это без дальнейших доказательств получается из общего соотно- шения. Матрицы коэффициентов жесткости и влияния упругих систем всегда обратны, как матрицы взаимно обратных линейных преоб- разований. Можно, таким образом, заранее утверждать, что в сервосистемах, односторон- них упругих системах, матрицы коэффициен- тов жесткости и влияния так же обратны, как и в натуральных упругих системах. Рассмот- рим, что вносится в это тривиальное в одно- сторонней механике положение независимо- стью регулирования. Запишем уравнения независимого регули- рования в обычных относительных координа- тах Стодола. Уравнения объекта: ai?i + + S'12?2 + • • • + S'lmVm + \ 1Н1 + + *^i2lx2 + • • • + (3-52) T a2?2 + ^21? i + $'22^2 + • • • + + S2ilh + + ЗзгРг • • • + 7* “4“ “4“ гпгФг 4“ • • • “4“ “t- ~ «Sni2p*2 + • • • “4“ ==:
Уравнения регуляторов: = ?1/8п *Ч2 = ?2/82; • • • ; 1т = Чт^т- (3-53) Уравнения сервомоторов: “4“ (^n^i “4“ Чг’Чг ~4~ • • • "4“ Чт'Чш) О» (3-54) ^сгИг 4“ Рг (^*21*41 “4“ I22I2 "4“ • • • "4“ ^mlm) := О» cmP'm “И Нт (Gni'Hi "4~ ^тг’Пг “4" • • • “И ^тпт'Лт) В независимом регулировании, и только в нем \ = lv l2 = lv • • •> = (3-55) Подставляя (3-55) в (3-52), и опустив пока в последнем саморегулирование, получаем в статике: ^11Р1 “Ь *^12^2 “F • • • “I” ^imP*m ’ ^1» + ^22Р*2 ”4“ • • • “4“ ^2т^т = (3-52') *^ТП1Р1~И ‘^тгРгЧ’- • • • "4“^тт^т=^т • В свою очередь, уравнения (3-54) получают в статике вид: Уравнения (3-52') и (3-54') суть такие же уравнения упругой системы, решенные относи- тельно обобщенных сил т] и обобщенных де- формаций ц, как и уравнения (1-42), (1-43). В независимом регулировании положение каждого из регуляторов однозначно опреде- ляется его нагрузкой (уравнения (3-55). По- ложения эти в той же мере, что и нагрузки, представляют, таким образом, независимые обобщенные силы по отношению к перемеще- ниям сервомоторов как обобщенным коорди- натам. Отсюда без дальнейших доказательств вытекает соотношение (3-51), исчерпывающее задачу определения передаточных чисел не- зависимого регулирования. Передаточные чис- ла перекрестных связей независимого регули- рования выступают здесь как коэффициенты влияния, статические параметры объекта — как коэффициенты жесткости. В работе (Л. 58, 89], базирующейся на вве- денных нами структурных методах и канони- ческих относительных координатах объекта ф, координатам этим наряду с полезным приме- нением придается также значение, которого они не имеют,— утверждается, что только в них соотношение (3-51) имеет место. Как явствует из приведенного выше доказательст- ва— в неканонических координатах Стодола, вывод этот ошибочен — соотношение (3-51) верно во всех системах относительных коорди- нат, в которых в статике внешние си- лы однозначно представляются положениями регуляторов. Соотношением (3-51) указываются усло- вия одной лишь статической независимости. Подвергнув уравнения (3-52) и (3-54) преоб- разованиям Лапласа, можно получить в той же матричной форме и условия динамической независимости (это сделано в работе [Л. 105], сжато излагающей важные результаты). По- следние, таким образом, так же прямо выте- кают из односторонней эластомеханики, как и первые. В отличие от известных формул И. Н. Воз- несенского (Л. 16] соотношение (3-51) спра- ведливо лишь при отсутствии саморегулиро- вания и взаи-морегулирования (S\fe = 0). При учете только саморегулирования i(S\fe=0, при i^k), соотношение это лишь видоизменяется, поскольку здесь по-прежнему т)г = Хг-. После подстановки (3-55) и (3-53) в (3-52) получа- ем в этом случае: ~4~ “4“ • • • “4“ = (1 S ц^) Т]1, ^гхНх “И “4“ • • • “4" == (1 228г) ^2» “4“ ”4“ • • • "4“ — (1 5 тт$) *Лт* (3-52") Разделив левые части уравнений на скобки правых, получим соотношение (3-51) в не- сколько измененном виде. При учете и взаиморегулировании (S'ife=/=0, при г#=£), соотношение (3-51) разрушается, поскольку величины т] не представляют в этом случае однозначно внешние силы Q (Tb#=Qi)- Все эти положения являются простейшими следствиями общих положений эластомеха- ники. В независимом регулировании, и только в нем, при отсутствии взаиморегулирования перемещения регуляторов однозначно пред- ставляют внешние обобщенные силы и сами являются, следовательно, независимыми обоб- щенными силами односторонней упругой си- стемы. По отношению к ним вступает поэтому в силу соотношение (3-51). Здесь обратны матрицы перемещений регуляторов и серво- моторов. В зависимом регулировании и в не- зависимом — при наличии взаиморегулирова- ния независимыми обобщенными силами серт 117
ъосистемы — односторонней упругой системы являются только внешние силы ее, перемеще- ния же регуляторов взаимозависимы. Здесь обратны только матрицы этих внешних сил Q(1) и координат ц. Координата же каждого из регуляторов определяется всеми нагрузка- ми. Координаты эти взаимозависимы и не яв- ляются независимыми обобщенными силами. Для них не имеет места поэтому соотношение (3-51). В зависимом регулировании общее со- отношение (1-15) связывает перемещения ц с силами Q(1), в зависимом — с представляю- щими здесь эти силы перемещениями ц. Этим определяются в последнем случае передаточ- ные числа независимого регулирования. Все эти выводы односторонней эластоме- ханики распространяются на локальную, ча- стичную и полную независимости. Вся теория независимого регулирования в наиболее про- стом и общем виде вытекает из односторонней эластомеханики. 3-3-3. Локальные, частичные и полная независимости Рассмотренная выше полная независимость представляет собой общее свойство системы, образованное, однако, упорядоченной сово- купностью независимых локальных под- свойств — локальных независимостей. Таким же делимым, распадающимся на независимые локальные подсвойства, свойством является общее свойство статической определимости. Напротив, такие общие свойства, как устой- чивость, апериодичность и т. д., неделимы. Полная независимость достигается наиболь- шим, полным числом локальных независимо- стей — каждой из координат от всех осталь- ных. Используя различные упорядоченные части этого полного числа, можно получить различные частичные независимости. А. Локальная независимость Назовем соответственно статической, гар- монической и общей локальными независимо- стями системы в канале k—i равенства: <ХгА = О» ргл^О, ylft = 0. Они означают соответ- ственно отсутствие в канале k—i статическо- го, гармонического и общего влияния нагруз- ки Qft на i-й элемент. Рассмотрим условия локальной статической независимости. К ним приводятся преобразованиями Фурье и Лап- ласа и условия гармонической и общей неза- висимостей. Структурные условия определяются тео- ремой 3-1V: локальная статическая незави- симость aik^O в канале k—i может быть до- стигнута наложением одной лишь перекрест- ной статической связи регулирования, идущей от k-го регулятора к i-му сервомотору. Для доказательства теоремы запишем уравнения (3-52) в следующем виде: rei'Pl=Q;,,+Q‘2,=Qi; 7’a2,?2=Q(<2)+Q<22)=Q2; (3-56) Здесь внешние составляющие Q(1), Q(1),..., / ] \ 12 обобщенных сил равны, соответственно, Л2, ..., внутренние же составляющие — О(2) О(2) О(2) пяпикг Ч, , ч2 , • • •» Ч равны. Q1 >— + 3'12^2 + • • • + ”F 4“ *^12^2 ”F • ’ ’ “F *^imlxm)j Q(22)= + S'22<P2 + • • • + ^2Л+ (3-57) 4“ ^21^1 “F ~F • • • “F 32m^m)] — (4S'nu<P1-|-‘S'rn2?2_|“ • • • -hS'ww?w-|- “F •SmiP'i ~F “F • • • ~F Условием локальной независимости i-й ко- ординаты объекта от Л-й его координаты яв- ляется равенство нулю коэффициента влияния канала k—i односторонней упругой системы: <^=# = 0. (3-58) Выражение это может быть представлено в виде: п ____ dQi __________________q /П CQ\ ik~dQk ~~dQt d4)t dQk ~l- (3’5y> В специальном случае изодромного регули- рования B = = = 0 и уравнение (3-59) (Kci тождественно удовлетворяется при любых зна- чениях передаточных чисел: изодромность регулирования i-й координаты является до- статочным условием статической независи- мости ее от всех остальных координат. В общем случае — неизодромного регулирова- ния равенство (3-59) может иметь место только при f^-=0 всегда отлично от нуляУ or.k \oQk J / Поскольку составляющая Q',- постоянна, по- <<» п следнее требование принимает вид =0. Опуская пока саморегулирование в (3-57), можно 118
придать этому требованию следующую раз- вернутую форму: JQi_dQj idQi dp.2 . . dQi ______q dr^k ’ dp.2 d^k ’ ‘ ’ * * д^т д-Цк (3-60) Здесь суть передаточные числа связей не- зависимого регулирования. Все одного передаточного числа - они, кроме новой пере- крестной связи, реализующей, по теореме, условие aife = 0, должны быть известны как передаточные числа старых связей. Через них может быть определено из (3-60) передаточное число новой связи. Теорема доказана. Ею указывается способ осуществления любой ло- кальной статической независимости. Как явствует из доказательства, локаль- ную независимость можно получить наложе- нием и других перекрестных связей. Указы- ваемая теоремой схема осуществления локаль- ной независимости наиболее проста. Односторонняя локальная независимость возможна лишь в односторонней механике. В классической механике, по теореме взаимно- сти, возможна лишь двусторонняя локальная статическая независимость (а^=’а^=0). Од- нако представить этот новый феномен одно- сторонней механики в понятиях классиче- ской— значило понять общую его природу. Упорядоченными сочетаниями локальных независимостей можно получить различные градации общей независимости. Так, каждая из треугольных матриц динамических локаль- ных автономностей yik=0: ТифО; Т12 = 0; у18=0; = 0 Т21ф0; у22ф0; Т22=0; Y24=e0 Yai^O; г32Ф0; т33^0; y31=o Т«Ф0; Т42ф0; Т43ф0; у44ф0 ГиФО; Т12ф0; у18ф0; Т14ф0 ?21==0; у22ф0; Т23ф0; Т24ф0 Т31 = 0; у32=0; у33фО; ?34ф0 Т42=о> у4з=0; приводит к односторонне независимому регули- рованию, так же распадающемуся в смысле общих свойств системы на составляющие си- стемы, как и двусторонне независимое регу- лирование, общая теория которого дана была И. Н. Вознесенским [Л. 13,16]. В первой (3-61) из этих систем равны нулю передаточные функции всех прямых (i>k) каналов, во вто- рой (3-62)—всех обратных (i<k) каналов. Для двусторонне независимого регулирования матрица локальных независимостей принима- ет вид диагональной матрицы: Тпф0; у12 = 0; у13 = 0; Т14 = 0 Y2i^=0, Y22 0» Y23 — Y24 ==Р Т31 = 0; Y32 = 0; Y33^0; YJ4=0 y«=0; Т42=0; Ьз=0; y44^o Общим свойством системы является также независимость всех координат системы от одной из них: ТпФ°; Yi2^°; ТиФО; т14фо т22=°; y22^°; ТазФО; Тз1=0; y32^°; ТззФО; Тз4Ф0 Y« = 0; Y42^0; Y43^0; Y44^0 или одной из них от всех остальных координат системы: Ти^О; Yt2=0; Ъз=0; ъ4=о у21Ф0; Ys! Ф °; Y4i^0; y22^°; Y32^0; y«2 °; Y23 0; Yss^O; Y43 Ф 0; Y24 Ф 0 Y34 ° Y44 Ф 0 (3-65) Аналогично, как различные упорядоченные сочетания локальных независимостей, могут быть построены и другие градации независи- мости — другие способы частично независимого регулирования. Неудобство термина автономность в общей теории связанного регулирования явствует из невозможности выразить им локальные отношения — выражение: «неза- висимость одной координаты от другой» не может быть заменено выражением: «автономность одной координаты от другой». Термин этот, щрочно занятый к тому же другим понятием аналитической механики (§ 1-1), не мог не быть здесь заменен термином независимость. Односторонне независимое регулирование предложе- но было нами в 1946 г. в [Л. 35, 46, 64, 81], где введе- ны были само понятие и термин — односторонняя неза- висимость. Затем оно повторно рассматривалось А. М. Поповским [Л. 64], Б. В. Ильиным (Л. 77] и В. Г. Морозовским (Л. 403]. Лежащее в основе одно- сторонней независимости понятие’ о локальной незави- симости и доказательство возможности ее были введе- ны нами тогда же [Л., 35, 46, 64, 81] и затем рассма^ тривалось В. С. Кулебакиным (Л. 47] под наименова- нием селективной инвариантности. В односторонне независимом регулирова- нии, при половинном числе связей, достигает- ся тот же результат — распад системы на со- ставляющие, что и в двусторонне независимом. В двусторонне независимом регулировании и координат ценой наложения п(п—1) пере- крестных связей регулирования достигается автономность каждой регулируемой координа- 119
ты по отношению ко всем остальным, т. е. распад общей системы на состав- ляющие. Тот же, однако, результат — распад си- стемы на составляю- щие— может быть до- стигнут в односторонне независимом регулирова- нии при половинном чис- ле связей, перестроением общей системы в откры- тую цепь составляющих систем [Л. 35, 46, 64, 81]. Рис. 3-5. Несвязанное регулирование. Назовем открытой цепью систем такую об- щую систему, в которой составляющие систе- мы связаны либо одними прямыми перекрест- ными связями, либо одними обратными. Это означает, что в этой цепи существует такая нумерация составляющих систем, при которой все связи между системами идут либо только от систем с меньшим индексом к системам с большим индексом (прямые связи), либо только в обратном направлении (обратные связи). Характеристические матрицы подоб- ных систем представляют собой нижнюю и верхнюю квазитреугольные матрицы. Характе- ристический определитель открытой цепи си- стем представляет собой произведение опреде- лителей составляющих систем. Система распа- дается на составляющие системы, динамиче- ские свойства каждой из которых (корни ха- рактеристического уравнения) зависят только от внутренних ее связей и не зависят от свойств остальных систем и от оставшихся только прямых или только обратных перекре- стных связей между системами. В односторонне независимом регулирова- нии ценой половинного числа наложенных свя- зей достигается тот же результат — распад об- щей системы на составляющие, что и в дву- сторонне независимом регулировании. Остает- ся односторонняя.связь между системами, т. е. каждая из составляющих систем, кроме пер- вой (назовем ее головной), испытывает воз- мущения со стороны всех предыдущих систем. Эти возмущения будут затухать в каждой из составляющих систем с частотами и декремен- тами, зависящими только от свойств этой си- стемы. Возмущения в отдельных составляю- щих системах представляют для всех последу- ющих систем открытой цепи лишь внешние на- грузки. Головная система не испытываем и этих внешних возмущений и находится в тех А» Аз» То1Р^гц О 8,у О %! чАЪр*1) о о/ О 0 lO -5г/; ТогР~$гг О о 40 о '^г/М О О о О ° §32 Tfr3pS33 О О О О Ьз&зР*1} же условиях, что и в двусторонне независимом регулировании. Б. Полная независимость Рассмотрим детальнее эти градации об- щей независимости. Начнем с полной незави- симости, достигаемой в двусторонне независи- мом регулировании. На рис. 3-5,а оно дано для наглядности в простейших структурной и ги- дравлической схемах [Л. 40, 72]. На рис. 3-в дано для сравнения несвязанное регулиро- вание. Структурные условия двусторонней незави- симости, представляющей при п регулируемых параметрах совокупность п(п—1) локальных независимостей, даются известной теоремой,, требующей для этого случая такого же числа перекрестных связей регулирования. Связи эти даны в конструктивной и структурной схемах на рис. 3-5,а. Метрические условия двусторонней неза- висимости вытекают из соотношения (3-51): у __ -4ц . у ___ -^12 та* 12 — п^н’ '“ггаг г=-=ет- <3‘66> где А — соответствующие миноры. Передаточные отношения (3-66), получен- ные из уравнений (3-52) и (3-54), подчинены двум требованиям: выполнению условий ста- тической независимости и получению всех но- минальных нагрузок X. Эти различные условия могут быть расчленены. Составим условия не- зависимости всех остальных п—1 координат 120
TOfp-Su hifliPty ~Чг О ~Чз О 0 3f2 S S/5 О —S2f ^21 0 1гАтгР+[ О 123 О & V §32 о ~1ц2 О О О L3l ^О!Р~^П О О S/J О О ~4з ° 0 ТогР-Згг 0 0 0 о 0 0 О * О §32 тозР~^зз О 0 О О ьззРзР*^ ^озР-§зз ^(ТзРЧ) при: f УЪъ Jrs'^ feS=/.2.3) л. ЗЛ О при: ЗЛ i ^3i *зз S.z Ль Т^р-^ц О 3t2 О Sfj t/2 Р ~4з 0 0 -S2; тогр-$2< О 0 — 0 0 ЪгРгР*1) О 0 при' О 0 О S32 ТозР~§зз ' ^24 S.4 0 О 0 О 433&ЗР*О *22 f -^3! 113—jT *33 0 0 =л, &2 $л =0 &2 ЗЛ §Л Д3 1 Ьр т0,р-^„ infaP*') 0 Sf2 lf2 ° 0 ~4з §13 О Д/ 0 ° ~§2/ 0 0 ^огР~^22 IgzfTzP*1) О О О l23 при: ^2 О О 0 0 TqiP~§H ь&рч) 0 §.32 О 0 0 §t2 О О 'озр-$зз Ьзз&зРЧ) о 8/3 0 0 1 -^г1 #22 : ^31 Jf3-~r~ *33 i ~^зг 1г!Г~^з S.Z Д/ ^3 §л О ~S2/ с2, О т02^22 ^гг^гР^ 0 О О О при: ^2 0 О L31 ° 1отР~$п О §32 ^32 О О S12 -42 0 Т03Р~$зз ЬзОзР*?) О S/з Р 0 4 -А12 J21 п *11 j _ ; ^Агз J32- *22 О Д/ *3 S.I 0~§2i l21 О Т02Р~§2Ъ ^ггОгР^} 0 О р О при: Su О 0 L31 0 О S32 ~^32 О Тозр-^33» <<зз(тзР^) l/^Z д Рр : _ Д!3 *11 0 О ^3 — ^1^2 ^3^^ Рис. 3-6. Связанное регулирование. а — полностью связанное регулирование; б, в — частично связанное регулирование; г — одно- сторонне независимое регулирование с головной первой системой; д — односторонне незави- симое регулирование с головной последней системой; е — отделение первой системы от остальных систем. 12В
от координат Условия эти могут быть пред- ставлены п—1 уравнениями (3-60): dQi OQi дщ । dQi dp-2 । 1 дц» д&1 дт\» "т“ d-fy * * * * I dQi ^p»n _q, ‘ФГ’^7 ’ dQ(v-i) dQ(t>-i) дРч I dQ(t,-i) di*2 i dyv др-i d/lV * dp>2 dfy "f dp-n dp-n d<?M-0 _ dQ(»+i) I dQ(v+i) dp2 । <bh> dp*i diqv- Ф2 dfy ‘ | dQ(p4-i) ^P*n j____Q. ‘ dp-n dr[v ’ dQn _ dQn дрч । dQn dp-2 dfy др-i дт^ * dp»2 drv I dQn dp»n _____ q. T^n ’ (v — 1, 2,..., n). Система n — 1 уравнений (3-67) записывает только условия независимости всех регулиру- емых координат по отношению к регулируемой координате <pv, отделяя эти условия от усло- вий независимости автономности по отношению к остальным регулируемым координатам. Имея в виду, что ^,...,^7 суть пере- даточные числа /1Г, /2Г,..., inVi а величины —параметры Suv связей объекта, деля каждое из уравнений (3-67) на ivv и обозначив отношения передаточных чисел значком juv ^vv — относительные передаточные числа), можно записать систему (3-67) следующим об- разом: ^и/1® 4“ ^12/2® 4“ • • • Н“ $i(v-i)i(v-i)v “Ь I ^1V “j“ Sl(v+l)j(v+i)v "4“ • • • “Н ^ininv == ^2111V “f” ^22/2V ”j“ * ’ • *^2V “Н ^2(v + l)j(v+l)v ~Н • ‘ • “4~ $2ninv — О* Из этих п—1 неоднородных линейных урав- нений однозначно определяются п—1 относи- тельных передаточных чисел jUv, обеспечиваю- щих независимость всех регулируемых коор- динат от о-й координаты. Таким же образом находятся передаточные числа, обеспечиваю- щие независимость всех регулируемых коор- динат от каждой из остальных координат. За- дача и здесь распадается на п независимых задач. Условия статической независимости определяются, таким образом, не п2 переда- точными числами iUv, а (п—1)п относительны- ми передаточными числами jUv по числу пере- крестных связей регулирования. Для определения передаточных чисел jUv нет нужды, разумеется, производить выкладки (3-67) и (3-68), приведенные для доказатель- ства того, что условия независимости опреде- ляются только относительными передаточны- ми числами. Матрица /ift получается из ма- трицы: || iuv || — 41 4г 4з • • • 41 4г 4з••• 41 4г 4з••• (3-69) простым делением элементов каждого столбца на диагональный элемент: 11 iuv II— 4з *21 | *23 *11 *33 *31 *32 | *11 *22 1 /12 /13 ’ * ’ /21 1 /2З * * * /з1 /з2 1 ’ | ^21 А1 А22 -<488 -<412 1 -^32 л; ••• 4з J 41 -^22 (3-70) В. Частичная независимость Осуществим сейчас для рассматриваемого объекта—теплофикационной турбины локальную независимость ^-=^- = 0. Для этого допол- ним несвязанное регулирование одной перекре- стной СВЯЗЬЮ ОТ Т)3 К JAj (рис. 3-5,6). Придадим явный вид осуществляемому нами требованию ^^- = 0, сила Qi зависит от Ь и |i3: учтя, что обобщенная всех трех заслонок — dQi dp>i [ dQi dp-2iOQi dp.8_Q dp-i dri3 ‘ dp-2 d^2 ‘ др.3 дъ 122
3десЬ дн —^12’ ^13 Па’ раметры неперекрестной и перекрестных связей объекта; — i33—известное уже передаточное число старой неперекрестной связи регулирования; —искомое передаточное число но- вой перекрестной связи; = *23—равное нулю передаточное число отсутствующей связи от т]3 к р.2. Осуществление локальной независимости определяется относительным передаточным числом /13: b‘=fe=-t <3-72) Введя матрицу S*3 (3-73) 53i S33 рассматриваемой локальной независимости, можно представить это выражение в общем виде (3-70): (3-74) Осуществим затем еще одну локальную не- дФ1 дОл л тт зависимость: -^=-^- = 0. Для этого доста- VY2 </^2 точно провести еще одну перекрестную связь от второго регулятора к первому сервомотору 4рис. 3-5,в). Условие ^- = 0 примет вид: (/^2 dQi _____ । dQt ^р*2 । dQi др»з_____________________Q /q 7 <^2 Ф*1 ^2 * d&s df\2 ‘ ' Учтя, что третий член равен нулю (поскольку отсутствует связь от т]2 к р3), получаем для /12 выражение, аналогичное (3-72): = (3-76) или, по отношению к матрице Sii S12 S21 *$22 (3-77) рассматриваемой локальной независимости, • _____ /12 Л22 (3-78) Подобным же способом может быть осу- ществлена любая иная локальная независи- мость. Выражение (3-70) для относительных передаточных чисел / остается неизменным, не зависящим от числа осуществленных ло- кальных независимостей, при все усложняю- щейся с увеличением этого числа матрице (3-73), переходящей для полностью независи- мого регулирования в матрицу уравнений (3-68). Две осуществленные выше локальные неза- висимости и привели к полной неза- <ЭД2 дФз F висимости первой координаты по отношению к остальным двум, при этом каждая из пере- крестных связей регулирования /12тд2, /13т}3 ней- трализовала одну из перекрестных связей объ- екта *$12^2» *^13^*3 * На рис. 3-5 структурные схемы отождеств- лены с характеристическими матрицами, по- скольку связями первых изображаются эле- менты вторых. Это позволяет рассматривать преобразования систем в матричной форме. В частности, переход от несвязанного регули- рования к связанному независимому пред- ставляет собой преобразование матрицы кква- зидиагональной форме (рис. 3-5,а). Следует иметь в виду, что параметры С, i в преобразо- ванной матрице не совпадают по величине с соответствующими параметрами в исходной матрице. Так осуществляется для двухотборной тур- бины независимость наиболее ответственного и притом работающего в параллель регулиро- вания координаты <о (угловая скорость рото- ра) от координат р\ и р2 (давления в отборах) с помощью всего лишь двух перекрестных свя- зей. Тем же способом может быть отщепле- на от общей системы каждая из составляю- щих систем. Это лишь одна из многих возмож- ностей, представляемых сочетанием локаль- ных независимостей. Наиболее важной из них является односторонне независимое регулиро- вание. Общая система может быть перестроена в открытую цепь односторонне независимого регулирования так, чтобы составляющие си- стемы следовали в ней в любом заданном по- рядке. Для этого достаточно нейтрализовать все обратные по отношению к этому заданно- му порядку следования связи объекта, т. е. осуществить развязку = о («>») (3-79) (напомним, что в двусторонне независимом регулировании u=£v). 123
Поясним подробнее это на примере. Пусть дана система несвязанного регулирования двухотборной турбины и требуется перестро- ить ее в открытую цепь систем в следующем порядке: головной — первой в ряду — поме- стить регулирование числа оборотов, второй— регулирование высокого давления, третьей — регулирование низкого давления (рис. г).Для этого следует нейтрализовать все обратные ' д<& dQ\ dQ2 связи объекта, т. е. связи , ч—, (77)2 <”1з идущие навстречу этому произвольно выбран- ному порядку, т. е. провести перекрестные связи дм.1 др.2 регулирования связать дополни- тельно первый сервомотор с регулятором дав- ления второго отбора. На рис. д дано другое перестроение в открытую цепь односторонне независимого регулирования, в котором го- ловной системой является регулирование вто- рого отбора, а регулирование числа оборотов— последней. В первом случае наложением всех обратных перекрестных связей регулирования нейтрализуются все обратные связи объекта, во втором случае наложением всех прямых связей регулирования нейтрализуются все об- ратные связи объекта. Оба способа односто- ронне независимого регулирования могут быть рассматриваемы как преобразование характе- ристической матрицы соответственно к ниж- ней или верхней квазитреугольной форме. Для двухотборной турбины имеется, оче- видно, шесть возможных порядков расположе- ния в открытую цепь. Из них практически ин- тересен порядок на рис. г, ставящий наиболее ответственное регулирование числа оборотов, по которому к тому же ведется работа в па- раллель, в голову цепи, т. е. в полностью не- зависимое положение. Каждую из составляющих систем можно от- щепить от общей системы, не только нейтра- лизуя связи, идущие к отщепляемой системе от всех остальных составляющих систем (рис. в), но и нейтрализуя связи, идущие от отщепляемой системы по всем остальным со- ставляющим системам (рис. е). Первый спо- соб ставит в более выгодное положение от- щепляемую систему, второй—остающуюся часть общей системы. Можно ценой четырех перекрестных связей нейтрализовать все свя- зи, идущие к отщепляемой системе и от нее, и получить таким способом двустороннюю не- зависимость отщепляемой и остающейся си- стем. Сочетанием локальных независимостей можно осуществить и ряд иных систем частич- ной независимости. Следует заметить, что число перекрестйых связей регулирования должно быть равно не числу нейтрализуемых внутренних связей объек- та, а числу осуществляемых локальных неза- висимостей. Так, для автономного регулирова- ния двухотборной турбины необходимо затра- тить полное число п (п—1) перекрестных свя- зей регулирования, хотя число внутренних связей машины неполно (отсутствуют связи р.‘2)-*фз и |1(з2) — ф2.). Все эти условия относятся только к стати- ческой независимости, частичной или полной. Для того чтобы каждая локальная независи- мость соблюдалась не только в статике, но и в динамике, необходимо, помимо соблю- дения определенного выше передаточного числа связи регулирования juv, соблюдение равенства времен zz-ro и у-го сервомоторов. Для двусто- ронне независимого регулирования требование это приводит к указанному И. Н. Вознесен- ским требованию равенства времен всех серво- моторов. Возможностыприменения упрощенных систем' связанного регулирования определяется преж- де всего характером нагрузки — изолированной или параллельной работой регулируемых ма- шин. Первой задачей связанного регулирова- ния является автономность тех > регулируемых координат, по которым ведется работа :в па- раллель. Регулирование объекта с нескольки- ми изодромно регулируемыми координатами^ работающего изолированно (не в параллель)г всегда, как при связанном, так и при несвязан- ном регулировании, статически Независимо- Действительно, значения регулируемых коорди- нат в статике неизменны при любом сочетании внешних нагрузок. Вывод этот важен и для неизодромных систем регулирования с нор- мальными, т. е. достаточно малыми, величина- ми неравномерности. В такой неизодромной системе каждая из регулируемых координат будет изменяться в статике как от своей, так и от не своих нагрузок, притом тем меньше, чем меньше ее неравномерность. Неравномерность каждой из регулируемых координат будет при этом равна сумме неравномерностей, происхо- дящих от своей и каждой из не своих нагру- зок, т. е. достаточно мала. Вмешательство ма- шиниста в статике здесь так же излишне, как и в первом случае изодромного регулирова- ния, и в этом смысле система не теряет права называться автоматической. Иначе обстоит дело в случае работы машин в параллель по какой-нибудь из регулируемых координат фи. Регулятор этой координаты свя- зан значением ее в сети и не способен исправ- лять наносимые ей возмущения. Изменение нагрузки Qv на какую-нибудь другую регули- 124
руемую координату той же машины вызовет в этом случае перераспределение нагрузки Qu между работающими в параллель машинами. Это потребует непрерывного вмешательства со щита для восстановления исходного положе- ния, что лишает систему права называться автоматической. Координата, по которой ве- дется работа в параллель, должна быть по- этому во всех возможных схемах регулирова- ния статически независима по отношению к остальным. Статическая независимость при- обретает, таким образом, особое значение для параллельной работы. Важно при этом также соблюдение и динамической независимости, исключающее перераспределение нагрузки Qu в динамике. Для машин, в которых по всем регулируемым координатам ведется работа в параллель, необходимо поэтому двусторон- не независимое регулирование. Для машин, ра- ботающих в параллель по одной лишь коорди- нате, достаточно перестроить систему в откры- тую цепь, поместив в ней головной системой регулирование этой координаты, или отсечь регулирование этой координаты от общей си- стемы. В машинах, не работающих в парал- лель, достаточно было бы прибегнуть к одно- сторонне независимому регулированию или же выбором параметров раздвинуть частоты от- дельных систем, не прибегая вообще к связан- ному регулированию. Классификация и синтез механик по знаку (реактив- ности подобны римановой классификации и синтезу геометрий по знаку кривизны. Для аналитических про- странств общего вида длина элемента дуги «выражается формулой: ds = =\/~ a dx2-\-b d y2-\-cdz2-{-fdx d y-\-g d у dz-\-h dxdz, (3-80) где коэффициенты квадратичной формы (первой основ- ной формы Гаусса) зависят от ее переменных. Условием постоянства кривизны и, следовательно, возможности движения в этих пространствах является -возможность привести это выражение к виду dx* 4- dy2 + dz2 (3.81) i+4r(x2+*'2+z2)9 где постоянная а-кривизна пространства: положитель- ная, равная нулю или отрицательная. В первом случае имеет место классическая эвклидова геометрия, во вто- ром и третьем—неклассические геометрии Лобачевского и Римана (в узком смысле). Для внутренних подсистем динамических систем общего вида локальная реактивность определяется пере- „ , v &ik даточной функцией: . Условием постоянства знака реактивности во всех каналах системы является здесь совпадение знаков числителя и знаменателя, так- же зависящих от коэффициентов квадратичных форм энергетических функций для классической механики и от коэффициентов уравнения /(1-1) для 'механик общего ви- да. Подобно трем геометриям постоянной кривизны, воз- можны только три механики «постоянной локальной реактивности: положительной, равной нулю и отрица- тельной — с передаточными функциями угь, тождествен- но (относительно дифференциального оператора р) по- ложительными, равными нулю и отрицательными для Чзсех Z, k, всех каналов системы. IB первом случае имеют место ну ль ре активные механики (в частности — класси- ческая), во втором и третьем — неклассические, плюс- реакт ивная и минусреактивная, механики. Так же как -между геометриями постоянной кривиз- ны располагаются геометрии переменной кривизны, по- рождаемые общей римановой геометрией, между меха- никами постоянной реактивности располагаются механи- ки переменной реактивности, порождаемые общей одно- сторонней механикой. Так же как понятием кривизны указывается предельное положение классической геомет- рии в общем семействе геометрий, понятием реактив- ности указывается предельное положение классической механики в общем семействе механик: общего вида механики переходят в классическую — при локальной реактивности внутренних подсистем, стремящейся к ну- лю, так же как общего вида геометрии переходят в классическую эвклидову—при кривизне пространства, стремящейся к нулю. Условие постоянной реактивности во всех каналах внутренних подсистем занимает в ме- ханике то же место, которое-в геометрии занимает усло- вие постоянной кривизны пространства. В обоих слу- чаях оно является условием неизменности локальных свойств во всех точках рассматриваемой геометрической или механической системы и однородности этой системы. Простота классической геометрии и классической меха- ники объясняется именно этой однородностью. В обоих случаях для классификации избрана локальная харак- теристика: локальная кривизна—*в геометрии и локаль- ная реактивность — в «механике. В обоих случаях эта локальная характеристика (дополненная в геометрии второй локальной характеристикой — второй основной формой Гаусса) полностью описывает систему—геомет- рию и механику, не только локальные, но и общие их свойства. Можно было бы в обоих случаях избрать для классификации и какие-либо из общих характеристик системы. Для геометрий ими явились бы асимптотиче- ские линии, для механик — знак ((включая сюда и ра- венство нулю) характеристического определителя Д, указывающий знак общей реактивности системы. Харак- теристики, эти, однако, неполны. Определяя общие свой- ства систем (форму поверхности, общую реактивность динамической системы), они не определяют локальных их свойств (локальной кривизны поверхности, локаль- ной реактивности динамической системы). Аналогия эта неслучайна. «В обоих случаях речь идет о связи локальных и общих свойств системы с локаль- ной (тензоры — в пространственных структурах, переда- точные функции — в динамических структурах) и «общей (поле тензоров, поле переда точных функций) структур- ной системы. Блестящий геометр и биограф неэвклидовых геомет- рий В. Ф. Каган, излагая полувековую историю игнори- рования, злобных опровержений, единодушных особых и неособых «несогласий с ними, замечает: «Откуда это безграничное море клокочущей злобы, поднявшееся вокруг этих отвлеченных идей, казалось бы, лежащих по ту сторону добра и зла, за пределами людских стра- стей и живых интересов?». Как ни 'мало соразмерен масштаб научных событий в синтезе всех возможных геометрий, вызванном отказом 5-му постулату классиче- ской механики, и в синтезе всех возможных механик, вызванном отказом 3-му постулату «классической механи- ки, источник одинаково активного недовольства в обоих случаях один и тот же — диктуемое новой концепцией перестроение предмета.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ СТРУКТУРНЫЙ СИНТЕЗ ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА 4-1. СТРУКТУРНЫЕ, МЕТРИЧЕСКИЕ И СМЕШАННЫЕ СВОЙСТВА 4-1-1. Структурная и безусловная устойчивость Не только практика, но и теория регули- рования оперировали до сравнительно недав- него времени единственной — одноцикличе- ской системой. С такими дополнениями, как гибкая связь и импульс по производной, систе- ма эта удовлетворяла всем практическим и теоретическим потребностям времени. Класси- ческая линейная теория этих систем в работах Вышнеградского, Стодола, Толле доведена бы- ла до ясности, с практической точки зрения не оставлявшей желать ничего лучшего. Завер- шающими явились здесь работы И. Н. Возне- сенского, принадлежащие этому периоду как по классической ясности изложения, так и по намеренно строго ограниченному кругу идей классической линейной теории, лишь распро- страняемых на новые области (связанное ре- гулирование). В этих работах наиболее не- примиримо утверждалась принципиальная за- конченность основ теории регулирования, огра- ниченное число принципов регулирования — принцип Уатта, принцип Понселе, принцип Сименса. Они, однако, непосредственно при- мыкают к периоду коренной ломки именно основ теории и нового широкого продвижения по всему, недавно еще застывшему фронту предмета. Структурное исследование, обнару- жив алгоритм синтеза всех возможных систем регулирования и указав в этом множестве скромное место систем классической теории, вновь обнаружило тщетность в науке всякого рода ограничительных утверждений. Принци- пов регулирования оказалось столько же, сколько различных устойчивых структур. Вы- яснилось неожиданно, что в исчерпанной, ка- залось, задаче устойчивости линейных систем не затронутыми оставались некоторые поло- жения, относящиеся к самым основаниям за- дачи. 126 Каков, однако, смысл выражения — воз- можные системы регулирования, какие из ди- намических систем являются в потенции систе- мами регулирования? Первым требованием, которому должна удовлетворять система регу- лирования, является устойчивость хотя бы для некоторых значений параметров, т. е. сущест- вование области устойчивости в пространстве параметров системы. На первый взгляд, этому категорическому требованию может удовле- творить любая динамическая система—доста- точно, например, в одноциклической системе прямого или непрямого регулирования взять статический параметр системы — неравномер- ность регулирования и динамический пара- метр объекта регулирования — время разбега его достаточно большими, а динамические па- раметры всех остальных элементов — их вре- мена разбега — достаточно малыми, чтобы си- стема стала устойчивой. Если, однако, -в такой системе регулятор, обладающий массами, не снабдить катарактом (адиссипативный регу- лятор), то система будет неустойчивой при всех метрических значениях остающихся пара- метров. У системы отсутствует область устой- чивости в пространстве параметров. Здесь на- лицо качественный, структурный порок, не мо- гущий быть исправленным никакими количе- ственными, метрическими соотношениями. Та- кие системы мы назвали структурно неустой- чивыми в отличие от структурно устойчивых систем, обладающих такой областью [Л. 25, 30]. Теперь легко ответить на поставленный вна- чале вопрос — возможными системами регули- рования являются только структурно устойчи- вые системы, синтез систем автоматики явля- ется прежде всего синтезом структурно устой- чивых систем. Этим выясняется место задачи структурной устойчивости в автоматике и об- щей задаче устойчивости—ею проводится пер- вый 'круг, отсеивающий системы, не подлежа-
щие дальнейшему метрическому исследова- нию, Задача структурной устойчивости являет- ся таким образом, вводной главой автоматики. Выясняя условия возникновения самого фено- мена устойчивости — определяющего свойства систем автоматики, она обнаруживает общую концепцию предмета. Структурная устойчивость представляет со- бой структурное подсвойство общего свойства устойчивости. Вторым, также структурным, хо- тя и менее значимым подсвойством того же свойства является безусловная устойчивость— устойчивость при любых значениях парамет- ров. Если структурная устойчивость означала существование области устойчивости в прост- ранстве параметров, то безусловная устойчи- вость означает заполнение, покрытие этой об- ластью всего пространства параметров, т. е. несуществование области противоположного свойства—неустойчивости. Структурная устой- чивость — подсвойство существования, без- условная устойчивость — подсвойство несуще- ствования. Оба типа структурных подсвойств и их антиподы, для устойчивости — струк- турная неустойчивость и небезусловная устой- чивость, вместе с метрическими подсвойства- ми, могут иметь место по отношению к каж- дому динамическому и статическому, общему и локальному, свойствам. 4-1-2. Структурная и безусловная изодромность Вторым, менее категорическим, но также определяющим требованием к регулирующим системам является строгая или приближенная изодромность — поддержание в статике строго или приближенно неизменных заданных зна- чений регулируемой координаты. Локальное свойство изодромности имеет те же два струк- турных подсвойства. Задача синтеза изодром- ных систем также делится на предшествую- щую задачу — структурного синтеза, синтеза структурно изодромных и безусловно изодром- ных систем, и последующую задачу—метриче- ского синтеза, получения в этих системах за- данных метрических свойств. Обе задачи — динамическая и статическая, устойчивости и изодромности — формируют теорию регулирования. Обе они получают об- щее решение в односторонней механике. 4-1-3. Структурные, метрические и смешанные свойства Рассмотренные структурные свойства явля- ются лишь структурными подсвойствами сме- шанных свойств. Смешанными будем называть свойства, зависящие как от структуры систе- мы, так и от метрики ее и имеющие соответ- ственно структурные и метрические подсвойст- ва. Структурная и безусловная устойчивость представляют собой структурные подсвойства смешанного свойства устойчивости, структур- ная и безусловная изодромность (изостатич- ность) — смешанного свойства статичности. Примером структурных свойств является статическая определимость, не зависящая от метрики системы, примером метрических свойств — метрическая однородность, не зави- сящая от структуры системы. И структурные свойства, и структурные подсвойства смешан- ных свойств являются структурными свойства- ми. Их следует, однако, различать и вторые будут для этого именоваться подсвойствами. То же относится к метрическим свойствахМ и метрическим подсвойствам смешанных систем. Каждому смешанному свойству могут быть логически сопоставлены четыре структурных подсвойства: 1) позитивное — существование области положительного свойства; 2) контра- позитивное — несуществование области поло- жительного свойства; 3) негативное — сущест- вование области отрицательного свойства; 4) контранегативное — несуществование обла- сти отрицательного свойства. По отношению к исходному свойству устойчивости позитив- ным подсвойством явится структурная устой- чивость, т. е. существование области устой- чивости, контрапозитивным — структурная не- устойчивость — несуществование области устойчивости, негативным — небезусловная устойчивость — существование области не- устойчивости, контранегативным — безуслов- ная устойчивость — несуществование области неустойчивости. Положительными названы здесь свойства, получающиеся из отрицательных свойств на- ложением дополнительных условий. Так, устойчивость возникает из неустойчивости, апериодичность из неапериодичности, моно- тонность из немонотонности — наложением до- полнительных условий — критериев устойчиво- сти, апериодичности, монотонности. Первые из этих пар свойств являются положительными, вторые отрицательными. Этой системе терминов присуща асимме- трия, связаная с применением двух определяю- щих терминов — структурно и условно. Пол- ная симметрия могла бы быть достигнута при- менением одного лишь из этих двух терминов. Применение только первого из них привело бы к следующей системе терминов: неструктурная устойчивость (наличие области устойчивости), структурная неустойчивость (отсутствие обла- сти устойчивости), структурная устойчивость (отсутствие области неустойчивости), неструк- 127-
турная неустойчивость (наличие области не- устойчивости). Применение второго из них привело бы к системе терминов: безусловная устойчивость (отсутствие области неустойчи- вости); условная устойчивость (наличие обла- сти неустойчивости); безусловная неустойчи- вость (отсутствие области устойчивости); условная неустойчивость (наличие области устойчивости). Первая система неудобна, по- скольку все ее подсвойства являются струк- турными и деление их на структурные и не- структурные вносит неясность. Вторая система свободна от этого недостатка. Понятия услов- ная и безусловная применены здесь в смысле подчинения или неподчинения метрическим условиям, т. е. в своем прямом смысле. Каждому положительному свойству — устойчивости, апериодичности ц т. д. — может быть противопоставлено отрицательное свой- ство— неустойчивость, неапериодичность ит. д. По признаку знака свойства структурные под- свойства могут быть разбиты на 2 класса: подсвойства положительных свойств и под- ввойства отрицательных свойств. По признаку существования области этих свойств структур- ные подсвойства эти можно разделить на два других класса — подсвойства существованиям подсвойства несуществования. Первые указы- вают на существование в пространстве пара- метров области смешанного свойства, вто- рые— на несуществование такой области. Оба класса структурных .подсвойств связаны меж- ду собой следующим образом. Несуществова- ние области некоторого свойства означает по- крытие пространства параметров областью противоположного свойства. Подсвойства не- существования могли бы быть поэтому назва- ны также подсвойствами покрытия. Структурные подсвойства могут быть пред- ставлены после этого следующей матрицей «структурных подсвойств: области положи- тельных свойств области отрица- тельных свойств подсвойства подсвойства существования: несуществования: позитивные конт рапозитивн ые негативные копт ранегативные Заглавия столбцов и строк матрицы должны здесь читаться как единый термин: например, позитивные структурные подсвойства пред- ставляют собой подсвойства существования об- ласти положительных свойств. Для исходного свойства устойчивости, на- пример, матрица эта в асимметричной систе- ме терминов примет вид: подсвойства существования: подсвойства несуществовании: области положитель- ного свойства—устой- чивости области отрицатель- ного свойства—неус- тойчивости структурная устойчивость структурная неустойчивость небезусловная устойчивость безусловная устойчивость В симметричной системе терминов, образован- ной одним лишь определяющим термином условно, та же матрица приняла бы симме- тричный вид: подсвойства подсвойства существования; несуществования: области положитель- ного свойства—устой- чивости области отрицатель- ного свойства—неус- тойчивости условная устойчивость безусловная неустойчивость условная неустойчивость безусловная устойчивость Преимущества симметричной системы тер- минов достаточно очевидны. Асимметричная система терминов уже вызвала разнобой—ряд немецких авторов именуют безусловную устой- чивость структурной устойчивостью [Л. 76]. Возникающая в структурном рассмотрении сложная система структурных свойств настоя- тельно требует, на наш взгляд, перехода к симметричной системе терминов. Часть этих симметричных терминов занята, однако, ины- ми понятиями, асимметричные же (структур- ная устойчивость и неустойчивость), нами же введенные, прочно установились. Вопрос о пе- реходе к симметричной системе терминов дол- жен быть обсужден, очевидно, вместе со всей терминологией автоматики. В терминах логики подсвойства существования представляют собой экзистенциальные выска- зывания: для некоторых параметров система обла- дает исходным свойством, подсвойства несуществова- ния—у ниве.реальные высказывания: для всех параметров система не обладает исходным свойством. Пользуясь кванторами £ и Л этих высказываний и знаком отрицания высказываний—чертой над ними, обо- значив параметры системы—а, Ь, с и критерий исходно- го свойства — ki (a, b, с)>0, k2(at b, с)>0, ..km(a, b, с)>0, можно представить матрицу структурных под- свойств в виде: подсвойства подсвойства существования: несуществования: области положи- тельных свойств области отрица- тельных свойств позитивное Е (лг>0) а, Ь, с конт рапозитивное Е (v>0)= А (лг>0) а, Ь, с а, Ь,с негативное Е (лг>0) а, Ь, с конт ранегативпое Ё" (лг>0)= А (лг>0) а, Ъ, с а, Ь, с Как явствует из этой матрицы, подсвойства несуще- ствования 'могут быть записаны в двух тождественных формах—экзистенциальной и универсальной, как свой- ства несуществования и свойства покрытия. Свойства 128
Рис. 4-1. Матрица структурных подсвойств. существования лишены этой двойственности и выража- ются одной лишь экзистенциальной формой. Пюдсвойства каждой строки матрицы связаны от- рицанием квантора существования, подсвойства каждо- го стол!бца—отрицанием функций—высказываний (кри- териев свойства), стоящих под знаком кванторов. Для устойчивости в качестве критериев k могут быть взяты неравенства Гурвитца: Д1>0, Д2>0, • • •> Дт>0. Необходимым и достаточным условием без- условной устойчивости является тождественное их вы- полнение. Необходимым и достаточным условием струк- турной устойчивости является наличие области веще- ственных решений этих неравенств. В терминах логики -силлогизмов утвержде- ние позитивного свойства представляет -собой частно утвердительное суждение, негативно- го— частно отрицательное суждение, контра- позитивного — обще отрицательное суждение, контранегативного — обще утвердительное суждение. Матрицей структурных подсвойств представлены, таким образом, все четыре фор- мы суждений классической логики. На рис. 4-1 матрица структурных под- свойств представлена в логических схемах. Область положительного свойства А представ- лена здесь заштрихованным кругом, вся ос- тальная часть пространства параметров (очер- ченного символически окружностью) представ- ляет^ собой область отрицательного свойст- ва А. Подсвойства несуществования сильнее подсвойств существования, т. е. включают в се- бя последние: безусловная устойчивость {сильное свойство) является также и струк- турной устойчивостью {слабое свойство), структурная неустойчивость (сильное свойст- во) — небезусловной устойчивостью (слабое свойство). Только у систем, обладающих сла- быми структурными свойствами (существова- ния), возникают метрические подсвойства, описывающие метрику области существова- ния— величину и ф°РмУ этой области и -рас- положение ее в пространстве параметров. У систем, обладающих сильными структурны- ми свойствами (несуществования), таких ме- трических -подсвойств не существует. Динамическая система обладает по отно- •тпению к любому исходному свойству двумя, и только двумя, из этих структурных под- свойств. Если она обладает одним из сильных свойств, то одновременно обладает и объем- лющим его слабым и никакими более иными. Сильные свойства являются подсвойствами слабых свойств. Так, если она обладает кон- транегативным подсвойством (например, без- условной устойчивостью), то обладает и пози- тивным (структурной устойчивостью) и не об- ладает ни негативным (небезусловной устой- чивостью), ни контрапозитивным (структурной неустойчивостью). Если она обладает слабым подсвойством одной из двух строк матрицы подсвойств, то одновременно обладает одним из подсвойств, слабым или сильным, второй строки. Так, если она обладает позитивным свойством (например, структурной устойчи- востью), то одновременно обладает либо не- гативным (небезусловной устойчивостью), ли- бо контранегативным (безусловной устойчи- востью). Если она обладает негативным свой- ством (небезусловной устойчивостью), то од- новременно обладает либо позитивным (струк- турной устойчивостью), либо контрапозитив- ным (структурной неустойчивостью). Свойства каждой строки матрицы структурных под- свойств являются подсвойствами слабого свой- ства другой строки. По строкам матрицы свойства находятся в отношении контрадикторной противополож- ности, по столбцам — в отношении сходства, и по диагоналям — в отношении подчинения. Все эти отношения свойств являются, оче- видно, динамической интерпретацией извест- ных категорий логики отношений. Матрицей структурных подсвойств логически исчерпыва- ются возможные структурные подсвойства. Матрица структурных подсвойств распро- страняется на все динамические и статические, общие и локальные смешанные свойства — устойчивость, апериодичность, монотонность переходного процесса, статичность, изодром- ность и т. д. Для некоторых из этих свойств (устойчивость, апериодичность, статичность, изодромность) все получаемые этим логиче- ским путем четыре подсвойства реализуются в физических системах; для других — отдель- ные из. этих подсвойств не реализуются ни в одной физической системе (так, например, не существует, по-видимому, безусловно моно- тонных сложных систем). Рассмотренные в предыдущем разделе динамические струк- 9 И. И. Гальперин. 129
турные свойства представляют собой струк- турные подсвойства двух лишь смешанных свойств — устойчивости и статичности. 4-1-4. Валентные задачи Структурные свойства подчиняются общей концепции валентности, объединяющей весь предмет, и в этом их значение. Поясним эту концепцию и содержание подчиняющихся ей структурных задач (валентных задач) про- стейшими аналогиями. Дальнейшее рассмот- рение покажет, что аналогии эти представля- ют собой далеко идущий изоморфизм валент- ных структурных задач самых различных об- ластей исследования. В задаче подвижности кинематических це- пей траектории точек механизма определяют- ся метрическими параметрами его — размера- ми звеньев. Однако прежде чем отыскивать дли- ны звеньев, обеспечивающие эти метрические свойства системы (траектории точек), необхо- димо решить предшествующую структурную задачу. Задача эта заключается в установле- нии числа степеней свободы и подвижности кинематической цепи, образующей механизм. Чтобы лечь в основу механизма, цепь эта дол- жна быть прежде всего цепью принужденного движения, однократно подвижной цепью, це- пью с определенными траекториями всех звеньев. Это структурное свойство системы не зависит для нормальных систем от метри- ческих параметров и определяется только структурными параметрами ее — числом и ва- лентностью кинематических элементов (звень- ев) и кинематических связей и их взаимной конфигурацией. Полное число связей опреде- ляется структурными формулами кинематики, правильная конфигурация—теоремами конфи- гурации Ассура (Л. 8]. С помощью этих фор- мул легко распознаются вырожденные случаи жесткости при полном числе или даже недо- статке связей (мгновенная жесткость). Возможность несения фермой заданной на- грузки также зависит от размеров образую- щих ее стержней. Однако и здесь, прежде чем устанавливать эти размеры, необходимо ре- шить ту же отвлекающуюся от них предшест- вующую структурную задачу определения чис- ла степеней подвижности кинематической це- пи, образующей эту ферму. Чтобы послужить фермой, цепь эта должна быть прежде всего жесткой, должна обладать нулевым или отри- цательным числом степеней подвижности, оп- ределяемым структурными формулами строи- тельной механики. С помощью этих же фор- мул легко распознаются вырожденные случаи подвижности при полном числе или даже из- бытке связей {мгновенная изменяемость). 130 Такой же предшествующей задачей в хи- мии является задача синтеза насыщенных т. е. также устойчивых, химических соедине- ний. И здесь это структурное свойство — на сыщенность и, следовательно, устойчивость со- единения определяется структурными пара метрами — числом, валентностью и конфигу- рацией химических элементов и химические связей. И здесь полное число связей опреде- ляется структурными формулами. Концепция валентности позволяет распознать отдель- ные случаи вырождения — недонасыщенные и перенасыщенные, такие, как перекись водоро- да, соединения, и объяснить их пониженную устойчивость. Задача структурной устойчивости анало- гична всем этим структурным задачам, и, так- же отвлекаясь от метрической стороны зада- чи— метрических параметров системы, долж- на оперировать ‘ одними лишь структурными параметрами — числом, валентностью и кон- фигурацией динамических элементов и соеди- няющих их динамических связей. Метрической задаче устойчивости, исследующей величину и форму области устойчивости и расположение ее в пространстве параметров, задача струк- турной устойчивости, устанавливающая само наличие области устойчивости в функции от структуры системы, противостоит как предше- ствующая структурная, топологическая зада- ча. И здесь концепция валентности приводит к синтезу гомологических рядов динамических соединений. И здесь она позволяет отделить норму от вырождения. Все эти задачи объединяются общей кон- цепцией валентности — статической, кинемати- ческой, динамической, химической и т. д. В каждой из них концепция эта приводит к по- нятиям: валентности элементов и связей, пол- ного числа связей, их избытка и недостатка (число степеней свободы, подвижности, не- устойчивости и т. д.), локальной и общей свя- занности, структурных фбрмул. Системы, под- чиняющиеся общим законам валентности, и задачи, решаемые этими законами, назовем валентными. Приобщение задачи устойчиво- сти к этой общенаучной концепции -валент- ности, доказательство валентности динамиче- ских систем и их структурных задач, является центральным результатом структурного иссле- дования сервосистем. В натуральных системах двусторонней механики эти общие законы ва- лентности завуалированы специальной струк- турой, приводящей к вырожденной структур- ной устойчивости, и не могли быть поэтому обнаружены. Они обнаруживаются впервые в системах односторонней механики, с их об- щей структурой. Смешение нормы с вырожде-
нивхМ могло, таким образом, лишь предшество- вать концепции валентности й принадлежит предыстории предмета. ПоследующееГуже по- сле -обнаружения этой концепции, смешение, противниками этой концепции, гомологических рядов нормальных систем с отдельными вы- рожденными системами имеет чисто полемиче- ский смысл и сообщает их построениям ту же мистифицирующую сложность, какую приоб- рела бы, например, химия при отказе (с ссыл- кой, например, на перекись водорода) от кон- цепции валентности. Валентной является для динамических си- стем не только задача структурной устойчи- вости, но и все остальные, относящиеся к по- зитивным структурным подсвойствам задачи— структурной апериодичности, структурной мо- нотонности и т. д. Задача структурной устой- чивости является наиболее общей из этих ва- лентных задач, поскольку апериодичность, мо- нотонность и т. д. являются всего лишь под- свойствами устойчивости. Структурная устой- чивость, не сопровождаемая всеми этими под- свойствами — структурной апериодичностью, структурной монотонностью и т. д., должна быть рассматриваема как вырожденная. Это позволяет выделить из всей совокупности ва- лентных задач, относящихся к динамическим системам, наиболее общую задачу — нормаль- ной структурной устойчивости, включающей в себя все остальные позитивные структурные подсвойства. 4-2. СТРУКТУРНЫЕ ПОДСВОЙСТВА 4-2-1. Сервосистемы А. Структурное содержание классической теории Простейшие примеры структурной неустой- чивости указаны были для прямого регулиро- вания структурными теоремами классической Уравнения системы а) Уравнения системы б) Уравнения системы в) Yoj>+Se<l>+(l-Sg)T}=O Тор ♦ =0 To<p+Soj>+(1-So)q=(l иг7}+Тгт]+з] - =0 Up?] ~ Рис. 4-2. Теоремы Вышнеградского для прямого регу- лирования. линейной теории регулирования [Л. 3, 5J. Прямое регулирование астатического объекта (объекта регулирования) астатическим регу- лятором структурно неустойчиво (первая теорема Вышнеградского). Прямое регулирование астатического объекта адисси- пативным статическим регулятором структур- но неустойчиво (2-я теорема Вышнеград- ского). Структурный порок, указываемый первой теоремой Вышнеградского, может быть исправлен дополнительной связью по произ- водной— прямое регулирование астатического объекта астатическим регулятором с дополни- тельным импульсом по производной структур- но устойчиво (теорема Стодола). В более общей форме некоторые из этих положений рассмотрены были Максвеллом (Л. 1]. Структурные теоремы классической теории регулирования получают простейшее объясне- ние в общей теории структурной устойчивости.. На рис. 4-2 приведены в структурной форму- лировке теоремы Вышнеградского и то про- стейшее объяснение, которо