/
Author: Штейнер Я.
Tags: математика геометрия учпедгиз элементарная геометрия синтетическая геометрия
Year: 1939
Text
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПОСТРОЕНИЯ
ВЫПОЛНЯЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ
ПРЯМОЙ линии
НЕПОДВИЖНОГО
КРУГА
ЯКОБ ШТЕЙНЕР
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПОСТРОЕНИЯ,
ВЫПОЛНЯЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ
ПРЯМОЙ линии
НЕПОДВИЖНОГО
КРУГА
Перевод с немецкого
под редакцией
проф. Д. М. Синцова
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
НАРКОМПРОСА РСФСР
• МОСКВА 1У39
513
Ш 88
Книга Я- Штейнера «Геометрические построе-
ния, выполняемые с помощью прямой линии
и неподвижного круга», по справедливости
считается классическим сочинением. В ней дает-
ся применение принципов синтетической геомет-
рии, одним из создателей которой был автор,
к решению вопросов так называемой элемен-
тарной геометрии.
Книга представляет собой переиздание пере-
вода, выходившего в 1910 г. в Харькове в серии
«Харьковская математическая библиотека». Всту-
пительная статья проф. Д. М. Синцова написа-
на заново.
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ.
1. Вопрос о построениях при помощи линейки и циркуля занимал
еще древних. Несмотря ш выст шлейные некоторыми исследов >телями
(наппимер, Т. L. Heath'ом, издавшим на английском языке «Начала»
Евклида с обширными комментариями в трех томах) возражения, весьма
веским является мнение, поддерживаемое таким знатоком греческой
геометрии, как покойным Н. Zeuthen’oM, что постулаты (1-й, 2-й
и 3-й) о возможности проведения прямой через две точки, ее беско-
нечного продолжения и черчения круга являются именно установлением
положенных в основу построений, а следовательно, именно теми огра-
ничениями обл >сти образов, изучаемых геометрией, которые позволяют
иазв!ть «Планиметрию» Евклида геометрие! линейки и циркуля.
Этот взгляд подтверждается с большой убедительностью теми воз-
зрениями, которые высказывает в начале своей «Геометрии» Р. Де-
карт,— он именно настаивает на допустимости в геометрии только
таких построений, которые могут быть выполнены с помощью линейки
и циркуля.
Но вслед за тем является вопрос, какие построения возможны
С меньшими вспомогательными средствами. И здесь мы имеем: 1° поль-
зой шие одною линейкой, 2° пользование одним циркулем и 3° пользо-
вание линейкой и одним наперед данным неизменным кругом.
Область последних построений (т. е. «построений Штейнера»,
которым и посвящена эта книжка) оказывается так же, kik и область
построений при помощи одного циркуля (так называемые «построения
Маскеров и»), одинаковою с областью построений при помощи ли-
нейки и циркуля.
Построения при помощи одной линейки, конечно, дают область
более узкую, но интересно, что они объемлют именно область проек-
тивной геометрии. Синтетически и наиболее полно провел и разработал
геометрию линейки Ш т а у д т (G. Ch. Staudt) в «Geometric der Lage»,
Niirnb. 1847.
Построения, которыми занимается в предлагаемом сочинении Штей-
нер, кроме линейки, предполагают еще дшным начерченный в плоско-
сти некоторый круг вместе с его центром. Последнее добавление
является, как оказывается, очень существенным. Г ильберт (D- Hil-
bert) показал, что если дан только самый круг, а центр его не дан, то
построить его центр при помощи одной линейки оказывается невоз-
можным. Является вопрос, возможно ли построить центр, т. е. перейти
к построениям Штейнера, если даны 2 или 3 круга (без центров),
Cauer («Mathem. Ann.» 70, 1912) нашел, что построение невозможно,
если данные два круга не имеют вещественных точек пересечения в
конечном. Оно возможно, если данные круги имеют две веществгнные
точки пересечения или касаются, а также в том случае, когда данные
круги будут концентрическими (т. е. когда точки пересечения — мни-
мые — удаляются в бесконечность). Если даны четыре (или даже три)
круга, которые не подходят под предыдущие условия (т. е. не будут
3
концентрическими и ие имеют вещественных точек пересечения), не
строение их центров при помощи одной линейки возможно, и мы при-
ходим таким образом снова к построениям Штейнера.
Были предложены и доугие основные построения. Так, возможно
поставить требование, чтобы циркулем пользовались только для пере-
несения отрезков (гильбертовский «откладыватель отрезков»), может
быть линедка с параллельными сторонами и т. д.
Построения при помощи одного цчпкуля обычно связываются с
именем Маскерони, напечатавшего в 1797 г. книжку «Geometrii del
Compasso», на которую и ссылается Штейнер. Но недавно обнаружено,
что за 125 лет до Маскеоони та же идея возникла у датского м тема-
тика Георга Mona, опубликовавшего в 1672 г. на голландском и
датском языках книгу «Euclides Danicus» («Датский Евклид»).
Но мы не будем на этом остан (втиваться и отошлем к книге
Адлера (Adler) «Theorie d.r geometrischen Konstructlonen», переведен-
ной на русс <и 1 язык в изда :ии Матезис и потом (не раз) переизданной.
Ср. также Е. Klein, Vortrage fiber ausgrwahlte Fragen der Elem ntar
geometric (переведено на русский язык под ред. Д. М. Синцова, 1899 г..
изд. Каз шского физико-матем гтического обществ i), а также Th. Vahlen,
Konstruktionan und Approximationen, Teubn, 1911.
2. Якоэ Штейнер, один из величайших геометров нового времени,
родился 18 мая 179о г. в Уценсторфе, городке Бернссо о ктнтодп, в
простой крестьянско I семье. До восемнгдщти лет он помогал своим
родителям в сзльсгом хозяйстве, и обр гзование его было т1кже огра-
ничено, как и всех его сзеэстникоз; kik он сам писал впоследствии
о сабе, на девятнадцатом году он едвд умел писать, в умственнэм
счете приобрел ишестную лозкость, а т шже имел некоторые эмпири-
ческие сведения по астоономии, которая его тогда особенно увлекала,—
он мог проводить целые ночи в созерцании звездного неба. К счастью
для него и для науки, его стремление к зншию было лмечено одним
из ученисов и помощников Песттлоцци, который и постарался заинте-
ресовать им знаменитого педагога, а также преодэлеть сопротивление
отца Штайнера, не желавшего терять сильного помощника. Пестзлоцци
действительно принял Штейнера посла месячного испытания бесплатно
в свое знгменитое воспитатетьное заведение, перенесенное уже тогда
в Иверден. Здесь Штейнер большую часть времени уделял изучению
математики, этого главного предмета в системе преподавания у Песта-
лоцци, возбуждавшего притом уже тогда живой интерес в Штейнере.
«Применявшаяся в заведен зи Песталоцци метода делать математические
истины предметом свободного размышления давала мне, как ученику
этого заведения, повод изыскивать для установленных при преподавании
предложений возможно более глубокие основания, чем те, которые
устанавливали мои тогдашние уч гтеля (Маурер и Ленцингер), и мне
это часто удавалось, так что учителя предпочитали мои доказательства
своим; благодаря этому, после полуторагодичного пребывания моего
в этом заведении, мне решились доверить преподавание математи си».
Последние два года Штейнер преподавал также в заведении Kills!.
«Но так как там (в Ивердене) математические науки преподавались
больше ради методы их, а не в их объективном систематическом
объеме, метода же в конце концов определяется сама объективным
объемом науки, то, возбужденный жизым интересом к этой науке»,
Ште1нер решился отправиться в университет, чтобы расширить свои
познания в отношении математических фактов, что и привело его в
Гейдел .бзрг,— ближайший к Берну университетский центр.
«Ште ,нер во время своего пребывания в моем заведении показал
отличные способности к математике и с железной энергией пробивает
себе путь к самообразованию по этой специальности; успех его мне
4
представляется несомненным»,— писал Песталоцци в свидетельстве, вы-
данном на п юшзние 23 августа 1818 г.
Но не тол ко пробуждением любви к намке обязан был Штейнер
зазедению Пест|лоцци; проникнувшись его идеями в области препода-
вания, он, вместе с тем, приобрел дружбу тех молодых люде i, которые
в то время приезжали в Ивеоден учиться преподаванию у Песталоцци;
таким образом завязались связи, оказавшие значительное влияние иа
дальне иную судьбу Штейнера.
Гораздо меньшее влияние оказало, невидимому, на Штепнепа его
пребызание в Гейдельберге. Предоставленный собственным силам, он
должен был большую часть времени отдавать частным урокам и за два
с половиною года, проведенные им в Гейдельберге, не успеа попол-
нить зшчителыюни своего общего, ни специально м [тематического
образования. Ои слушал лекции по различным отделам чистой и при-
кладной математики у проф. Швейнса, но аналитически! по преимуще-
ству характер ее не заинтечесоз 1Л Штейнера, уже тогда, вероятно,
наиболее склонного к чисто геометрическим спекуляциям. Не пробыв
и тоех обязательных лет студентом, он бросает Гейдельберг по полу-
чении от одного из приобретенных в Иве-щене друзей (Ге щденма ера)
известия об открывающемся месте преподавателя в Вердеровской гим-
назии в Берлине, и не списавшись с директором ее, в м,рте 1821 г.
отправляется в Беплин. Здесь на первых же порах оказалось, что ре-
комендаций Песталоцци и Швейнса недостаточно, чтобы занять место
преподавателя в прусской гимназии. Штейнер должен был подверг-
нуться экзамену в испытательной комиссии. Сохранившийся протокол
испытания рисует нам, какими знаниями и подготовкой обладал двадца-
типятилетний Штейнер при ппибытии своем в Берлин. Древних язы-
ков, истории и философии он не знал совершенно1), но и по специ-
альности своей — математике Штейнер обнаружил сведения односторон-
ние: письменная работа была представлена через 4 недели, отличалась
основательностью и точностью, свидетельствуя об изобретательности
и остроумии азтора, д 1вшего своеобразное изложенье предмета; по-
хвалы заслужил и пробный урок (об определении объема пирамид),
хотя комиссия нашла неуместным применение принципа Кавальери в
элементарной геометрии. Устный экз 1мен по высшему анализу, стерео-
метрии и статике, начатый с представленной работы,обнаружил в экза-
менующемся везде собственную работу мысли, но малый запас поло-
жительного знания — меньше всего по высшему анализу, хотя работа
позволяла ожидать противного; хорошие познания были обнаружены по
элементарной геометрии; по алгебре — не дальше уравнений второй
степени; по плоской тригонометрии — мало навыка, сферическая триго-
нометрия отсутствовала совсем. В заключение комиссия дала Штейнеру
пр^во преподавания математики во всех классах, кончая secunda (кроме
старшего', в уверенности, что проявленные им способности дадут ему
возможность пополнить все недочеты. Таким образом, приезжая в Бер-
лин, Ште :нер привез с собо! малый запас положительных сведений;
его гений был порукою в том обязател ьстве, которое пришлось ему
дать, чтобы получить право на преподавание. И это обязательство
было покрыто с лихвою: через двен щцать лет этот кандидат на долж-
ность учителя, которому комиссия не начала возможным р азчэшить пре-
подавание в старшем классе, покрывается академическими почестями,
как признанный основатель новой геометрии.
Но в данный момент Штейнеру приходилось тяжело. Хотя и допу-
щенный временно к преподаванию (у него было 19 недельных уроков),
1) Хотя в Гейдельберге и слушал всеобщую историю у Шлоссера; интересно от-
метить что экэамииатором по философии был сам Гегель.
5
он не получал содержания, и в ноябре того же 1821 г. ему пришлось
подавать особое прошение о выдаче ему заработанного жалования. Но
ему не долго привелось оставаться в гуманистическо1 Вердеооэской
гимназии, и уже в августе следующего года он должен был ее оставить,
проработав в ней полтора года. Существовать ему пришлось на уроки
в частных учебных заведениях: в школах Пламанна и Кауэра, которые
велись в духе Песталоцци и в которых в числе преподавателей были
старые знакомые Штешера по Ивердену. Давал он и ча тные уооки, и
в воспоминаниях одного из таких учеников сохранилась характеристика
его оригинальной личности со своеобразным швейцарским говором, не-
смотря на трудные материальные обстоятельства бросающего урок, если
ученик недостаточно внимателен к любимому его предмету. Более проч-
ное положение получает Штелнзр только благодаря счастливой случай-
ности— открытию в Берлине в 1824 г. городского ремесленного училища
(Gewerbeschule\ которое по своей программе (отсутствие дргвних язы-
ков, главные предметы: естествоведение, математика и новые языки)
явилось одним из старейших реальных училищ, а впоследствии и было
преобразовано в реальное училище. Во главе его встал Ф. Кледен,
такой же self-made man, как и Штейнер, пробивший себе дорогу в ди-
ректоры средней школы из золотых дел мастера, страстный приверже-
нец идей Песталоцци, в течение многих лет применявший их на прак-
тике в школе Пламанна. В Штейнере он увидел родственную душу, и
со втооого же года (1825 г.) пригласил его к себе. С этих пор началась
педагогическая деятельность Штейн -ра в этой школе сначала помощ-
ником учителя (Hiilfslehrer), потом'с 1829 г.) — старшим учителем (ОЬег-
lehrer\ вплоть до 1835 г.— до назначения его экстраординарным про-
фессором университета.
Об этом периоде жизни Штейнера сохранилось довольно Много до-
кументальных сведений благодаря тому, что директор власть по управ-
лению школой разделял с попечительным советом, с бургомистром во
главе, с которым и должен был сноситься по всем делам школы.
Первый год Штейнер преподавал арифметику во втором отдалении.
Небольшое число уроков позволило ему заняться окончанием учитель-
ского экзамена, - и в марте 1826 г. он получил право на преподавание
математики во всех классах гимназии.
Это же время было и началом его научной карьеры и ученой дея-
тельности. Основанный в том же 1826 г. журнал Крэлля («Journal fur
die reine und angewandte Mathematik») наполнен в начале главным обра-
зом работами Штейнера1) и Абеля, жившего в 1825— 827 гг. в Бер-
лине. На них и рассчитывал Крелль, основывая свой журнал; он в то же
время сделался деятельным ходатаем за Штейнера, всегда готовым ока-
зать ему поддержку.
Преподавательская деятельность Штейнера в школе с каждым годом
расширялась: последовательно он получает преподавание алгебты, сна-
чала в старшем отделении, на следующий год и в счеднэм, потом к нему
переходит и геометоия, в 1829 г. он преподает уже почти в'ю матема-
тику. Пасхальная программа 1830 г. содержит планы преподавания, при-
водимые J. Lange (1, с. 27). Особенно интересен план теподтвания
геометрии, значительно уклоняющийся от обычного. Все преподавание
вздется по собственному эвристическому методу. В программу входят
задача Аполлония о круге, касательном к трем данным кругам, и синте-
тическая теория конических сечениэ,— и это осуществлялось Штейнером
80 лет назад в средней школе.
Преподавание шло у него параллельно с научною деятельностью.
Так, в вопросе о пересечении и касании кругов (В среднем отделении)
*) В первых трех томах журнала напечатано 15 различных мемуаров и заметок
Штейнера, посвященных различным вопросам геометрии.
6
была им использована работа, которую он представлял в испытательную
комиссию и о которой Кледен давал министерству блестящий отзыв.
Неизвестно почему, Штейнер ограничился опубликованием только не-
большой части, хотя вполне готова для печати вся первая часть была
еще в том же 1826 г., и после смерти его найдена в его бумагах с за-
главием «Теория прикосновения и пересечения кругов в плоскости
шаоов в пространстве и кругов на шарозой поверхности в системати-
ческом ходе развития».
Штейнер проектировал еще вторую часть, содержание которой
в тесной связи с первою должно было составить синтетическое иссле-
дование в общей форме всех кривых и поверхностей второй степени
и вместе с тем дошедшие до нас от древности поризмы (как в первой
части задача Аполлония) должны были представиться, как специальные
моменты более объемлющего целого; Штейиер предполагал, что за
второй должна последовать и третья Часть, план которой еще не наме-
чался. Получая, как помощник учителя, очень скудное содержание, он
должен был уделять остающееся от преподавания в школе время ча-
стным урокам и отказгться от научных занятий, и потому он обратился
в Министерство народного просвещения с просьбою о пособии, прилагая
к прошению упомянутый выше отзыв Кледена. Министр Альтепштейн
запросил о его работах астронома Бесселя и, получив от него весьма
благоприятный отзыв о таланте Штейнера, проявленном в работах в из-
бранном им синтетическом направлении, обещал Штейнеру место в гим-
назии. Неудовлетворенный этим, Штейнер обратился с такою же прось-
бою о поддержке к Академии наук и, поддержанный всеми членами
математического отделения, получил субсидию в 310 талеров. Таким
образом Штзйнер получил возможность существовать, не набирая боль-
шого числа частных уроков, до 1829 г., когда благодаря стараниям Кле-
дена он был сдэлан старшим учителем и, как упомянуто выше, стал
преподазать почти всю математику.
Эго было время наиболее напряженной его деятельности и в на-
учном отношении,— на это время падает наибольшее число печатных
его работ, наполняющих первый том академического издания его сочи-
нений, и, в частности, обе книги: «Systematische Entwickelung der Abhan-
gigkeit geometrischer Gestalten von einander, mit Beriicksichtigung der
Arbeiten alter und neuer Geometer fiber Porismen, Projections-Methoden,
Geometrie der Lage, Transversalen, Dualitat und Reciprocitat etc.», 1. Theil,
Berlin 1832 г.1), посвященная В. ф. Гумбольдту, в семье которого он
давал уроки, и через год: «Geometrische Constructionen etc.», в которой
ясна связь между преподавательской и научной деятельностью у Штей-
нера.
На это же время падают и высшие академические почести. Сначала
министерство, по представлении им своего большого труда, дает ему
предикат профессора, а несколько недель спустя Штейнер получает
известие, что философский факультет Кенигсбергского университета
возвел его в степень доктора философии honoris causa, «чтобы выразить
этим признание крупного таланта в челозеке, стоящем во главе тех, кто
выдвинул в нозейшее время геометрию на небывалую дотоле высоту»,
как писали в своем предс i авлении Якоби, Бессель и Фр. Нейман.
В 1834 г. состоялось избрание Штейнера в члены Академии наук по
представлению Крелля и Дирихле. Но была и оборотная сторона
медали. Мягкостью характера Штейнер от природы не отличался; теперь,
утомленный напряженной научной работой, он должен был особенно
9 Систематическое развитие зависимости геометрических образов одного от дру-
того, с учетом работ старых и новых геометров о поризмах, методах проектирования,
геометрии положения Секущих, двойственности и взаимности и пр ч. 1, Беолцн, 1832.
Перепечатано в «Собрании сочинений», т. I и VI, в «Ostwald's K’rsslker».
7
раздражаться непонятливостью учеников, среди которых его эвристи-
ческая система преподавания, требовавшая живости и сообразитель-
ности, до жна была давать известную часть неуспевающих На этол
почве начались трения между ним и директором Кледеном и попечи-
тельным советом, болезненно отзывавшиеся на самолюбии Щтейнера,
который стал стремиться вон из школы и впоследствии неохотно о нет
вспоминал. Он усиленно стал добиваться профессуры в Берлинском
университете при деятел, ной поддержке неизменно к нему располо-
женного крелля. Осуществить это, однако, удалось только в 1835 г.,
после смерти проф. Ольтмана, и с тех пор и до самой смерти в 1813 г.
ГИтеанер состоял экстраординарным профессором Берлинского универ-
ситета.
За это время он читал следующие курсы:
1. Объяснения ноле' ших методов синтетической геометрии с при-
ложением их к ртз.ичным задачам, главным образом по «Systematische
Entwickelung etc.» <рбъядлено 21 раз!.
2. Сущ.стзеннзйшье свойства конических сечений в синтетическом
и элементарном изложении (объявлено 17 р ,з).
3. О максимальных и минимальных сво .стзах фигур в плоскости,
на шаре и в пространстве в геометрическом изложении (объявлено
5 раз в 1833—1841 и в 1847 гг.).
Кроме этих трех главных курсов, он читал еще 5 раз, с 1848 г. до
1855 г. о поверхностях второ.! степени, дв,жды—курс степеомегоии
вместе с т ж нюываемой тчгртлтел. но i геометрией, и каждый семестр
2 Ч1С1, позднее 1 ч ic, посзящал геометрическим упражненьям по из-
бранным глазам элемент 1рно i геометрии.
Доке и в последние годы, когда силы Штейнеоа уже ослабели,
лекции его имели волшебную привлек дельность для студентов, по
словам прор. Е. Lampe; они носили xipa.cTep полусечинада; Ште нэр
не стрзмился излагати в законченном виде, но требовал постоянного
деятетьного сотрудничества слушателей, — он обращался к ним с во-
просами, давал теоремы для доказательства и требов|Л выполнения по-
строени 1. Все это привлекало студентов к его лекциям и заставляло
их усердно к ним готовит ся.
Первые курсы были, уже после смерти Штейнера, изданы в 1867 г.,
в обпчботке первый Шрбтепа, второй — Гейзепа. Трети! совп1Д1Л, ве-
роятно, по содержанию с представленной автором в 1841 г. в Парижскую
Академию наук работой <Sur le maximum et le minimum des figures dans
le plan, sur splifere et dans 1’espace en gen -ral», немецкий текст которой
отпечатан во втором томе собрания Штейнера.
Этим, одн|ко, не исчерпывается научная продукция Штейнера за
время его профессорства. Его работы <по синтетической геометрии по
преимуществу1) носят крайне сжатый характер; это большею частью
перечень теорзм, даже без н амеков на ход доказательства. Обеацанной
второ i части «Systematische Entwickelung» он не написал и не опубли-
ковал даже уже готово! к печати пабогы о кастич шаров. Таким об-
разом, те надежды которые он сам и Крэлль возлагали на освобожде-
ние его от уроков в средней школе, оправдались далеко не вполне.
Главною причиною было, конечно, то, что напряженная умственная ра-
бота в предыдущем периоде совершенно подорзала его здоров е. Уже
в 1833 г. он брал отпуск для лечения почек. Во время профессорства
он в сущности никогда не был здоров. Каждое лето он должен был
отправляться на воды, периодически бпал и более продолжительные от-
пуски (1843—1841 академические годы, 1848 г, двухлетний отпуск в
1856—1858 гг., после чего уже регулярно читал только зимний семестр,
’) Только три заметки откосятся к комбинаторному анализу и теории чисел.
8
уезжая на летний семестр в Швейцарию). В 1862 г. он не вернулся из
отпуска, и 1 апреля 18оЗ г. скончался одиноко в Безне от брайтовой
болезни. Ои похороиеi был на кладбище Monbijou, которое в 18' 6 г,
было закрыто, и п^ат Штейнеза был перенесен в доугое (brenngarten).
Берлинской Академии наук он завещал 8 000 тал ров для учреждения
премии за сочинения в области синтетической геометрии, а в своем
родном городе учредил премию за умственный счет для учеников
низшей школы.
В 1882 г. Берлинская Академия наук издала в двух томах собрание
его сочинений. В него вош..и, согласно решению Академии, толыо ра-
боты, напечатанные при жизни автора и,и оставшиеся после смепти в
существенном в готовом для печати виде. В первый том, выше пли i в
18Н г. (552 стр), вошли 20 мемуаров, напечатанных в 1826—1831 гг.,
в том числе основные pi6o'bi: «Svstematische Entwickelung geom. Gest.»,
1832 г., печатаемые нами «Geonaetrische Konstruktionen», 1833 г. и «Einige
geonaetrische oetrachtungen < relle Z.»„ bd. I, 1826, переиаданныэ позже в
коллек (ии «Ostwald’s Klassiker/. Во второй том, вышедш..й в том же
1882 г., вошли .45 д гльне ших мемуаров, напечатанных автором в годы
1833—1853, и тол .ко два мему ipa, извлеченные из ост1вч(ихся после
Штейнеоа рукописей и напечатанные проф. Ге йзером в журнале Крелля,
Bd. 66, 68.
В остальном, как говорит редактор издания К. Вейер ш трасс
со слов про|>. Гейзеза (племянника покойного геометра и обладателя
рукопи'ей, согласно завещанию), надежды на то, что втозой том при-
несет ряд еще ненапечатанных работ Ште .нера, нэ о равдались, — в
этом рукописном материале оказались только подготовительные на-
броски, чепновики уже напечатанных работ, оставшийся матеоиал, кото-
рый мог бы быто испол .зован только в пезеработанном подобно из-
данной тем же проф. Геазером элементарной синтетической теории
конических сечений, и теооия конических сечений, основанная на проек-
тивных свойствах, обработанная Шрбтером, — вместе эти два курса
представляют ют мааерюл, который по первоначальному замыслу
Штейнера должен был соста лять пятую часть его «Systematische Ent-
wickelung»; вторая часть должна была быть посвящена проактивным
плоскостям и пучкам лучей (в пространстве), третья — проективным
простр 1нствам и четверт |Я — корреляционным системам и сетям (со
включением инволюционных систем и сете й).
Обрабатывавши шея панее теооия касшия коугов и шаров теперь в
этом новом плане должн i была следовать за пятой частью и после ра-
боты о точ <ах и осях средних расстояний, трансверсалях и пр.
Интересна судьба этого произведения Ште :нера. Особенно интен-
сивно работал он над вопросами кас!ния и пересечения кругов и ша-
ров в 1824 г., когда ему было 28 лет. К началу 1825 г. он настолько
подвинулся, что мог начать уже систематическое изложение. Он завел
жупнал, в который, начиная с 7 января 1825 г., стал вносить система-
тически свои результаты с чрезвыча iiioi ясностью и наглядностью,
почти без помарок, — в такой степени матеаиал был им уже выношен.
Последняя запись относи .-ся к 2 августа того жа года. Вскоре он на-
чал вторичную обработку и н(писал первую часть о кзуге — теозиао
центзов и осей подобия, — прэдполаоя во втоаой части перейти к
шару. Трэтья часть должн) была тр ктовать о кругах на шаре и их
перэезчениях. Но и это наложение не удоалетворило автора, — он, по-
видимому, почувствоз 1л, что свойства коуга и шаз i так тесно пезе-
плетаются, что нельзя их излагать отдетьно, и Штейнер подверг свой,
тзуд-новой пеэеэаботке, вводя случаи вырождения коугоз и щар <в в
точки, которым ранее, отводилась особая гла :а,-в самый текст. В таком-
виде получилась- готовая для печати рукопись, правда, не доведенная
9
до первоначально задуманного конца: третья часть — о пересечении кру-
гов, расположенных на таре, — осталась не написанной. И все же
в печати работа не появилась.
Не следует, однако, думать, что сочинение Штейнера о касании
кругов и шаров по содержанию элементарно. С любовью выношенное,
оно построено удивительно. Начиная с самых простых исходных фак-
тов почти без чертежей, применяя очень удачные обози 1чения, Штей-
нзр доходит без труда до сложна (ших задач, обнаруживая поразитель-
ное мастерство геомгтричес сого изложения, — он не ограничивается
элементарног геометрией кругов и шаров, а переходит и к более вы-
соким проблемам, достаточно указать, что вводим я Штейнером пре-
дэльн 1я поверхность, огиб ющая двух систем сопряженных шаров, есть
не что иное, как цик.тида Дюпена.
Невидимому, после смерти Штейнера далеко не все оставшиеся
после него рукописи поступили к проф. Гейзеру. Значительная часть
их не была, однасо, потерянт, как поедпотаг (лось, а была, должно быть,
ликвидатором перед 1на в библиотеку общества естествоиспытателей
в Берне, и там лежала в ящике в кладовот нт каменном полу, под-
вергаясь действию непогоды, пока их не обнаружил в 1896 г., перед
приближавшимся столетием рождения Штейнера, проф. Грар и пору-
чил разборку д-ру Hiitzenberger’y, преподавателю в кантональном тех-
никуме в Бургдорфе.
И вот к радостному изумлению средн них оказалось это сочине-
ние, долго считавшееся утерянным, в блестящей обработке, со стара-
тельным разбором случаез мнимых пересечений.
Однако при всем интересе, который возбудила находка, только че-
рез 35 лет удалось ее опубликовать, — большую часть средств дало
Escher—Abegg — Stiltung fiir wissenschaftliche Forschung при Цюрихском
университете.
Интересен собственный обзор этого периода, сделанный Штейнером
и найденный Бюценбергером в бумагах Штейнера. Приводим его до-
словно.
«Родившись в Уцисдорфе, кантон Берн, сын простых поселян, я по-
лучил воспитание tikobwx. Только на дев 1тнадцагом году стремление
к образованию стало для меня потребностью, и привело меня к Песта-
лоцци, который принял меня к себе бесплатно. После полуторагодич-
ного участия во взеденном там обучении меня сочли способным пре-
подавать и поручили мне препошзание элементов математики. Три года
спустя, в 1818 г., я поступил в университет в Гейдельберге; по этому
случаю Песталоцци дал мне прилагаемый отзыв. Из Гейдельберга, где
я занимался математическими н 1уками, приобретая средства к жизни
частными vpoKiMH, я был вызван через 2'/2 год< директором здешней
(берлинской) Вердэровской гимназии д-ром Циммерманом, но не мог
в ней удержаться, ибо не мог положить в основу преподавания состав-
лении! им учебник математики. С марта 1821 г. нахожусь я в Берлине,
и с осени 1822 г. вынужден с величайшим трудол дэбывать средства
к сущее । вованию чтстными уроками.
Таков внешний ход моей до сего времени жизни; что касается
внутреннего, то я полагаю, что периода моей юности, проведенного
в родительском ломе, я могу коснуться лишь постольку, поскольку
сельскохозяйственная работа, которой я занижался тогда, соприкосно-
вение с внешней природой, к которому она приводила, доставляло более
широкие картины, чем могло бы дать городское ремесло.
Рассмотрение звездного неба и живой поверхности земли вознесло
во мне стремление к установлению и объздинению представлзний и
с ростом этого стремления потребность быть принятым в заведение
10
Песталоцци; ибо там я надеялся получить празила, которые бы удов-
летворили этому стремлению.
Даваем >е здесь математическое обучение всецело эвристическое
и выходило везде, поскольку допускало искусство учителей, из pic-
смотрения необходимости, определяющей эту науку. Это рассмотрение
выявляло мне человека законодателем природы, и меня захватила
при этом прежде всего не абстрактная наука, не объективная экономия
ее предложений, но способность человека наперед опоеделить законы
внешнего содержания, т. е. синтетическая, и так превосходно отвечала
тому стремлению, бл агодаря которому я поступил в это учреждение.
Уже ученику, когда я ознакомился с несколькими учебниками гео-
метрии, навязывались представления случайности порядка, п аоистекав-
шей от потребности увязывания отдельных представлений как таковых;
я искал нечто произвольное в том, чтобы необходимость науки дока-
зывать из ее материального содержания, вместо того, чтобы по смутно
оживлявшему меня чувству все многообразие материи выводить из об-
щего единства ее и соответственно этому исчерпывать. Мне стало оче-
видным. что, пока систематический метод будут искать в этой внешней
случайной связи отдельных предложений, ученику внушается представ-
ление, будто цель науки составляют отдельные предложения, и этим
так з<темняется ее общее систематическое единство, что он научится
понимать его очевидность только в связи с определенными предложе-
ниями, и никогд1 не научится представлять в ее первичности. Как пре-
подаватель я ставил себе поэтому задачу каждую дисциплину рассмат-
ривать как единую мысль, и отдельные предложения выводить на своем
месте только как результаты развития этой единой мысли.
Почти бессозн цельно я причел таким образом к собственно гео-
метрическому способу рассмотрения, как оно должно было быть при-
суще геометрии древности, но я находился в случае, противоположном
им. Мне было дано множество разоешимых задач и предложений, и мне
приходилось заняться не фиксацией отдельных предложений, а уста-
новлением того свойства общих законов систематического построения,
что из них вытекают все открытия подобного род i, и их соответственным
образо 1 исчерпать».
3. Печ1таемое теперь небольшое сочинение Штейнера также яв-
ляется результатом его интереса к вопросам преподавания начал гео-
метрии и представляет результат применения к вопросам геометриче-
ски; построений идей и методов его основного сочинения «Systematische
Entwickelung der Abhangigkeb geometrischer Gestalten».
Но если Штейнер не опубликовал сам произведения своей моло-
дости, то интерес, который он питал к этим вопросам, отразился на его
преподавании.
Ю Ланге в своей статье «Jacob Steiner’s Lebensjahre tn Berlin
1821—1863», изданной к 75-летию Friedrich Werderschen Oberrealschule
(первоначально с 1824 г. — ремесленное уч лите), где Штейнер препо-
давал с 1825 г. дон1зн1чения его экстраординарным профессором Бер-
линского университет! в 1836 г., приводит программы Штейнера.
Приведем его программы по геометрии.
Tertia — 3 часа (купе двухгодичный;.
Подроб аый си it 'тический курс. Рассмотрения взаимного положения
прямых линий, образующих в плоскости определенные фигуры, глав-
ным образом, в отношении углов.
Условия, при которых все части фигуры опоеделеиы, как основа-
ние для предло кений о совместимости фигур. Форма или вид фигур;
услозия, при которых они определены; вывод отсюда предложе t гт
о подобии; упраж гения со сложными фигурами, применение к земле п-
рию и употреблению инструментов; о площади прямолинейные фигур;
И
равенство и отношение площадей различных фигур. Преобразование
и деление фигур по их площади. Излагаемый на уроке по собтвен-
ному эвристическому методу материал будет записываться и состав-
ляться учени.ами.
Secund 1 — 3 часа (курс такжэ двухгодичный).
Преобра <ование и деление фигур повторяется, но более подробно;
равным образом и учение о подобии. Применения счисления к геомет-
рическим предложениям и задачам.
Учение о кпуте; хопды и касательные; вписанные и описанные мио-
гоугол ники; пропорции.
Учение о прикосновении и пер сече"ии коугов; о точках и линиях
подобия 1т. е. о центрах и осях подобия) о степени в отношении круга.
Краткий обзор тригонометрии По co6ci венному эвристическому методу.
Prim г— (два года). Летний семестр 3 часа, зимний — 2 часа.
Плоская тригонометрия с при ожениями. Точки и о:и среднего рас-
стояния, рассмотрение которых позволяет очень л гко доказать ц лый
ряд геометрических истин. Точка наименьшего расстояния. Плоские
(геометрические) места, р осматриваемые ппи помощи ктоодишт,
а именно: уравненье первой степени или рассмотрение ппямых ли; ий;
уравнение второй степени или рассмотрение конических сечений совме-
стно с синтетическим их исс едованием. Стереометрия.
Таким образом, не только курс дополнен задачами касания кругов,
в связи с упомянутыми выше исследованиями, но и взодятся начала
аналитической геометрии. Вряд ли когда-либо ран.е в курс сгедней
школы входила аполлониева задача о кшании кругов, и до сих пор
сре няя шсола ждет введения метода коопдин гт. Интересно, что эта
попытка связы ается им нно с именем великого геометра.
При перевода я пользовг ся к,к оригин гльным изданием 1833 г.,
так и его перепечаткой в «Собраниг сочинений» Штейнера, т. 1, 1882 г.,
и в коллекции «Ostwald’s Kla=siker» п°60, а при составлении вводной
статьи литературой.
J. L а п g е, Jacob Steiners Lebensjahre in Berlin, 1821—1863, Nach
seinen Personalakten dargestellt, Berlin 1899.
Dr. J. N. Graf, Der nriefwechsel zwischen J. Steiner u. L. Schlafli,
Bern 1896.
J. S t e i n e r’s, Gesammelte Werke, Bd, I, II, 1882.
J. S t e i n e r’s, Vorlesungen fiber Synthetische Geometric Th. II, Die
Theorie der Kegelschnitte gestiizt auf projektivische Eigenschaften, bearb.
von Dr. H. Schroter, Leipzig 18 >7.
J. Steiner, Allgemeine Theorie uber das Bertlhren u. Schneiden der
Kreise u. der Kugeln, Or. Ftissh, Leipzig u. Zurich 1931.
Dr. F. Bfitzenberger, Zum 100 sten Geburtstage Jakob Steiners,
«Zeitschr. f. rnath. u. natur. Unterricht.», Bd. 27, 1896, S. 161—171.
E. Lampe, Zur biographic von Jacob Steiner, «uibl. math.» (3\ Bd. I,
S. 129—141, u. «Naturw. Kundschau; XII.
В настоящем издтнии вним целью пересмотрен текст перевода
1910 года и переработана вступительная статья.
Д. С и и ц о в.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ.
§ I-
Геометрия в более тесном смысле для своих построений нуж-
дается только в двух инструментах, циркуле и линейке. Итальян-
ский математик Маскерони весьма остроумным способом показал1),
что все геометрические задачи могут быть решены при помощи
одного только циркуля. С другой стороны, в новейшее время2)
некоторые французские математики обратили внимание на те мно-
гочисленные задачи, решение которых требует только применения
или проведения прямых линий между двумя данными точками.
Некоторые высказали даже предположение, что все построения
могут быть выполнены только при помощи линейки, если где-либо
в плоскости дан будет вспомогательный неподвижный круг. На-
стоящее небольшое сочинение имеет своею целью подтвердить это
предположение. Этой цели, оказывается, достигнуть легче, чем я
думал сначала, и чем это казалось бы, судя по объему предмета.
Действительно, если взглянуть внимательно на всю совокупность
построений, какие встречаются в обыкновенной геометрии при
свободном пользовании циркулем и линейкой, то будет видно, что
все они, за исключением случаев, когда достаточно одной линейки,
опираются в сущности на дза следующих главных построения:
а) найти пересечение прямой и круга и
Ь) иайги пересечения двух кругов.
При настоящем ограничении вспомогательных средств из двух
этих задач одна — первая, оказывается, имеет значение главной,
так что решения всех задач опираются на единственную задачу:
А) Найти пересечение прямой и круга, потому что
другая задача [Ь)] может и долина быть сведена к этой.
Но то обстоятельство, что пересечение прямой и данного вспо-
могательного круга непосредственно даны, дает возможность легко
решить следующие весьма часто встречающиеся вспомогательные
задачи, по существу обнимающие большую часть элементарных задач:
с) провести параллельные прямые;
*) Сочинение Маскепони «Геометрия циркуля» («La geometria del
Compasso») было переведено на французский язык Кареттом и на не-
мецкий— Грюзоном. Беплин 1825.
г) Книжка Штейнера вышла в 1833 г,— Перев.
13
d) взять произвольное кратное от данной по
величине прямой или разделить ее на произ-
вольно большое число равных частей;
е) провести взаимно перпендикулярные прямые;
f) через данную точку провести прямую, которая
с данной прямой составляет угол, равный углу,
данному по величине и положению;
g) разделить пополам данный угол или взять от
него произвольное кратное;
h) отложить от данной точки в произвольном
направлении прямую, которая была бы равна дан-
ной прямой по величине и направлению.
Способы, которыми разрешаются эти задачи, конечно, совер-
шенно отличаются от способов, обычных в геометрии, а именно
тем, что здесь некоторые из этих задач служат для того, чтобы
решить две главные задачи а), Ь) или скорее единственную глав-
ную задачу А), т. е. при всевозможных обстоятельствах найти
пересечение прямой и круга, данного по величине и положению
(т. е. когда даны центр и радиус, сам же круг не начерчен), тогда
как при обычных способах задачи [с) — h)] разрешаются с по-
мощью этой последней.
Удалось ли мне простейшим образом достичь поставленной
цели, я этого не могу решить, и я также не уверен, везде ли
применены самые удобные построения, даже при выбранном мной
пути. Но если предмет возбуждает все-таки некоторый интерес, то
при ревностном изучении геометрии в наше время все недостающее
будет дополнено другими, и я, с своей стороны, смею рассчиты-
вать на некоторое снисхождение.
Если построения Маскерони, как это он утверждает, с большой
пользой могут быть применены механиками, особенно при изготов-
лении астрономических инструментов, то настоящие построения не
менее полезны для инженеров и землемеров, о чем, рднако, я буду
ожидать компетентного приговора.
§ 2.
Теоремы о фигурах и их свойства, на которых основываются
решения вышеупомянутых задач (§1), находятся частью в первой
части сочинения «Systematische Entwickelung der Abhangigkeit geo-
metrischer Gestalten von cinander» («Систематическое развитие за-
висимости между геометрическими образами») и частью в статье
«Einige geometrische Betrachtungen» («Journ. f. Math.», т. 1,
стр. 161)!), так что, ссылаясь на эти сочинения, предложенные
*) Перепечатаны в собрании сочинений!, Steiner’a «Gesammelte
Werke», т. 1 и в коллекции «Ostwald’s Klassiker», n° 83, 123.— Пчрев.
14
I
задачи можно было бы окончательно разрешить на немногих cfpa
ницах. Так как настоящее сочинение легко может попасть в руки
тех, которые незнакомы с названными сочинениями, то я нашел
целесообразным указать вкратце эти теоремы и свойства фигур,
причем старался изложить их как можно элементарнее. Сообразно
с этим настоящая работа состоит из трех глав, содержание кото-
рых следующее:
Первая глава. Некоторые свойства прямолинейных фигур
в отношении трансверсалей (секущих), гармонических лучей и то-
чек; построения при помощи одной линейки при известных пред-
положениях, т. е. когда даны параллельные или разделенные в
данном отношении прямые, то можно другие прямые, данные по
величине и положению, увеличивать в произвольное число раз,
делить и проводить другие параллельные прямые, а также делить
пополам прямые углы и строить кратное каких угодно данных
углов.
Вторая глава. О круге. I. Гармонические свойства круга.
II. О центрах подобия (или о центрах проекции) двух или не-
скольких кругов. III. О степени по отношении к ,кругу: А) гео-
метрическое место равных степеней; В) общая степень в ее отно-
шении к центрам подобия.
Третья глава. Решение всех геометрических задач посред-
ством линейки [если дан (некоторый) неподвижный круг], включая
и первые восемь задач [§ 1, а) — h)]. Заключительные за-
мечания.
Кроме того, в особом добавлении помещены еще некоторые
существенные задачи о конических сечениях, которые должны слу-
жить целесообразными примерами применения настоящего метода.
—------------ fЛАВ А ПЕРВАЯ ---*-------
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ФЧГУР
И ОСНОВАННЫЕ НА НИХ ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ
ОДНОЙ ТОЛЬКО ЛИНЕЙКИ.
I. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЛУЧИ И ТОЧКИ. ТРАНСВЕРСАЛИ.
§3.
I. Пусть АВС (черт. 1) произвольный треугольник; пусть из
вершины В выходит луч Ь, проходящий через середину 5 основания,
и пусть луч d параллелен основанию АС. Проведем через середину '3
основания какую-либо прямую или трансверсаль ай; эта последняя
пересечется с двумя сторонами а, с и лучами b, d в четырех точках
a, у, 5 так, что
A$:BS = аЗ : ай (потому что Д аЛ 3 со Д аВЙ),
Q : BS = у,3: уй (потому что Д уДЗ со Д уВ6),
следовательно, так как Л'З — С.З, то
аЗ : aS — : уо,
а'З : [Зу = ай ; -(S,
т. е. расстояние aS делится на
такие три отрезка, что первый
а} так относится ко второму °у,
как целое ай относится к тре-
тьему уй. В силу этого свой-
ства четыре точки a, [3, у, й
называются четырьмя гар-
моническими точками
и притом а и у, [J и й на-
зы’.аются сопряженными
гармоническими точка-
м и. Точно так же четыре луча
а, Ь, с, d называются четырь-
мя гармоническими лу-
чами; как а и с, так и b и d
называются сопряженными гармоническими лучами.
II. Если примем лучи a, b, с, d неподвижными и неограничен-
ными, то они разделяют гармонически не только каждую трансвер-
саль, которая проходит через точку [3, но очевидно и каждая
произвольная трансверсаль пересечется ими в четырех гармони-
ческих точках, ибо в какой бы точке такая трансверсаль ни встре-
тила луч Ь, всегда можно через такую точку вообразить прямую,
16
параллельную АС, и применить предыдущее доказательство. Если,
в частности, трансверсаль параллельна одному из гармонических
лучей а, Ь, с, d, как, например, АС параллельна d, то тогда точка 4,
в которой она пересекает гармонический луч Ь, сопряженный парал-
лельному лучу d, лежит в середине между двумя точками а и у,
в которых она пересекается остальными шумя лучами о и с; и
сб атно: если имеет место последнее, то трансверсаль параллельна
первому лучу (т. е. если 4^ — '>С, то d || 4(_). С другой стороны,
если мы возьмем четыре определенные гармонические точен а, г5, у, S,
то подобным же образом следует, что каждые четыре луча a, b, с, d,
которые соединяют какую-либо точку В с данными гармоническими
точками, суть четыре гармонических луча.
III. Легко видеть, что если даны три луча (которые проходят
через одну точку), из кот рых два приняты за сопряженные, то
возможен только один определенный луч, который к третьему лучу
будет сопряженным гармоническим. Если, например, даны три луча
а, с, d, и лучи а к с должны быть сопряженными, то, вообразив
какую-либо прямую АС, параллельную третьему лучу d, получим,
что четв ргый луч Ь, сопряженный лучу d, должен проходить через
середину (I прямой АС, и таким образом он определен вполне. Или
же, если даны три луча а, Ь, с, причем а и с сопряженные лучи,
то через какую-либо точку третьего луча b можно так провести
прямую АС между а и с, что она будет делиться пополам в точке В,
и тогда луч d, парад >ельный АС, есть единственно возможный чет-
вертый гармонический луч, сопряженный лучу Ь. То же самое имеет
место и для четырех гармонических точек а, В, у, 5.
IV. Если, в частности, треугольник АВС равнобедренный,
именно В 4 = ВС, то луч Ь, как проходящий через середину f
основания АС, будет перпендикулярен к АС, а также и к лучу d и
образует равные утлы с лучами а и с, так что углы (ab) = (be;)
поэтому и луч d должен составлять с а и с равные углы (ad) =
= (1с), т. е.: «
Если из четырех гармонических лучей a, b, с, d,
один, например Ь, образует равные углы с двумя
сопряженными лучами а и с, то то же самое имеет
место и для его сопряженного луча d, и оба луча
взаимно перпендикулярны; и обратно: если из че-
тырех гармонических лучей два сопряженных b и d
взаимно перпендикулярны, то они делят пополам
угол, образуемый двумя другими лучами.
§ 4.
Какие-либо четыре прямые а, с, ах, ct (черт. 2), лежащие
в одной плоскости, вообще пересекаются попарно в шести течках
A, C,F,G,H,/ и образуют так называемый полный четырех-
сторонник. Такой четырехсторонник имеет три диагонали АС,
2 Яксб Штейнер 17
GF, HI, которые пересекаются в трех точках В, D, Ё. Легко дока-
зать, что эти три диагонали пересекаются друг с другом гармони-
чески1), именно следующим образом: вообразим к трем лучам а, с, d
четвертый гармонический луч Ъ, сопряженный с лучом d, и также
к трем лучам alt q, вообразим четвертый гармонический луч blt
сопряженный с лучом dt; тогда каждый из двух лучей b и Ь{ дол-
жен пересекать диагональ A CD в такой точке В, которая будет
четвертой гармонической к трем данным точкам А, С, D, сопряжен-
ной точке D (§3); точно так же оба луча Ь, Ьг должны пересе-
кать диагональ HIE в такой точке В, которая будет к трем точкам
Н, I, Е четвертой гармонической, сопряженной точке Е; но так
как b и Ьг могут иметь только одну общую точку В, то ма должна
быть вместе с тем точкой пересечения диагоналей АС и! /, откуда
следует, что эти диагонали пересекаются гармонически.
Подобным же обра-
зом можно
что третья
GP делится
чески двумя
ми в точках D и Е.
Таким образом:
Во всяком пол-
ном четырехуго-
льнике каждая из
трех диагоналей
делится гармони-
чески двумя оста-
льным и, т. е. точ-
ки, в которых од-
на из трех диаго-
налей пересекает-
суть сопряженные гармониие-
вершинам четырехугольника,
так, например, А, В, С, D суть
Черт. 2.
показать,
диагональ
гармони-
остальны-
ся двумя другими,
ские точки к тем
которые она соединяет;
гармонические точки, а точки В и D суть сопряженные точки* 2).
§ 5.
Из многочисленных следствий и приложений, которые можно
вывести из последней теоремы (§ 4), мы выдвинем только некото-
рые, а именно следующие:
*) Значение этого термина пояснено в конце параграфа при более
полной формулировке теоремы.
2) Понятия полно-о четырехсторонника и полного четырехугольника
ввел еще в 1803 г. Lazare Nicolas Marguerite Carnot (знаменитый орга-
низатор побед Великой французской революции и отец Sadi Carnot,
положивш?го основание механической теории теплоты) в своем со-
чинении «Geometrie de position», 1803.
18
1, Найти к трем данным точкам прямой четвертую
гармоническую при помощи только линейки:
а) если, положим, даны три точки G, D, F (черт. 2), и нужно
найти четвертую гармоническую точку Е, сопряженную D, то прово-
дим из произвольной точки А прямые AG, АО, AF, берем на AD
произвольную точку С и проводим прямые GC1, FCFF, получим две
точки пересечения / и Н; накс'нец, проводим прямую HI, которая
и встретит прямую GJF в искомой точке Е.
Или
Ь) если даны точки G, F, Е и нужно найти четвертую гармо-
ническую D, сопряженную Е, то проводим из произвольной точки Л
прямые FA, GA; потом пересекаем их в точках / и Н произвольною
прямою EIN, проходящею через точку £; затем проводим прямые
О/, FH, которые пересекутся в точке С, и, наконец, прямую АС,
которая и пройдет через искомую точку D.
П. К трем данным лучам, проходящим через одну
точку, найти при помощи только линейки четвертый
гармонический луч.
Пусть даны три луча а, с, d (черт. 2) и требуется найти чет-
вертый гармонический луч Ь, сопряженный с d\ тогда через произ-
вольную точку О прямой d проведем какие-либо две прямые GA, G1,
которые пересекут лучи а и с в точках А, I, С, Н; затем прово-
дим прямые AC, HI, скрещивающиеся в точке В; FB и будет
искомый луч.
Точно таким же образом отыскивается четвертый гармонический
луч d, сопряженный с Ь, если даны лучи а, Ь, с.
III. Прямой угол и другой произвольный угол
имеют общую вершину и общую сторону; требуется
последний угол удвоить при помощи только одной
линейки.
Пусть (М) (черт. 1) прямой угол и (Ьс) другой угол; отыски-
ваемым к трем прямым Ь, с, d четвертую гармоническую а, сопря-
женную с прямой с; тогда, по § 3, IV, угол (ab) равен углу (Ьс),
поэтому угол (ас) будет искомый двойной угол.
IV. Если из трех лучей, проходящих через одну
точку; один образует с двумя другими равные углы,
то можно при помощи одной только линейки найти
четвертый луч, который с двумя последними линия-
ми также образует равные углы и, следовательно,
перпендикулярен к первой линии.
Решение этой задачи, как и предыдущей, основывается на II и
§ 3, IV.
V. Если какие-либо две прямые а, с (черт. 2) пере-
сечем произвольными прямыми Др Ь±, Ср.., проходя-
щими через некоторую точку G, и точки пересече-
ния каждых двух из последних соединим накрест
2* 19
парой прямых, например АС и Hl, AL й MN, ТО See
точки, в которых пересекаются эти пары прямых,
как, например, В, К, лежат на одной прямой Ь, кото-
рая проходит через точку пересечения F двух
вышеупомянутых прямых а, с и которая является
четвертой гармонической к а, с и прямой FG (или d)
и сопряженной с d.
Справедливость этой теоремы следует, как это легко видеть,
из II, или § 4.
VI. Через данную точку провести при помощи
только линейки прямую, которая с двумя данными
прямыми пересекается в одной точке, в том случае,
если эта последняя недоступна.
Положим, В (черт. 2) есть данная точка и AM, HL — данные
прямые, которые, однако, не могут быть продолжены до точки F,
в которой они должны сходиться. Проведем прямые АВ, НВ, кото-
рые пусть пересекут данные прямые в точках С, I, и проведем далее
прямые АН, IC, пересекающиеся в G; через эту точку G проводим
произвольную прямую GM (которая может и не проходить через
точку В), пересекающую данные прямые в точках М, L; затем про-
ведем AL, НМ, пересекающиеся в точке К\ тогда прямая КВ и
будет удовлетворять задаче. Точка В может иметь какое угодно
положение по отношению к данным прямым AM, HL, например,
может совпадать с G, вывод останется тот же; точно так же и
прямые могут иметь какое угодно взаимное положение, например,
могут быть параллельными.
Справедливость этого решения основывается, как это видно, на
предыдущей теореме (V). (Ср. «Abhangigkeit geometrischer Gestal-
еп», ч. I, стр. 77).
II. ПОСТРОЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙКИ ПРИ ИЗВЕСТНЫХ
ПРЕДПОЛОЖЕНИЯХ.
А. Если даны параллельные линии или отрезки,
разделенные в некотором рациональном отношении.
§6.
В задаче (§ 5, I) может встретиться один важный частный слу-
чай, который нужно рассмотреть подробнее. Предположим, что из
трех данных точек G, D, F, точка D лежит как раз в середине
между точками G и F; тогда четвертая, сопряженная с ней гармо-
ническая точка Е удаляется в бесконечность, т. е. прямая HI,
с памо'нью которой она определяется, должна быть параллельна
данной прямой G JF. И обратно: пусть две стороны AG, AF произ-
вольного треугольника GAF перепекаются какой-либо прямой HI,
параллельной основанию GF (черт. 3); соединим точки пересече-
ния Н, I с противоположными вершинами при основании прямыми
FH, GI, которые пересекаются в точке С; проведем через эту
точку и через вершину А треугольника прямую АС )•, эта послед-
няя и пройдет непременно через середину D основания.
На этом оснозано решение следующих задач;
I. На прямой даны три точки G, D, F (черт. 3),
из которых одна D лежит посредине между двумя
остальными; требуется (при помощи только линейки)
через произвольную точку И
параллельную данной.
Проведем прямые GAY, FH] возьмем
на ОН произвольную точку А и про-
ведем прямые А1, AF; через точку
пересечения С прямых FH и А 9 и че-
рез G проводим прямую GCI, которая
пересечет AF в точке /; HI и есть ис-
комая параллельная.
II. Даны две параллельные
прямые GF, HI (черт. 3); т р е б у е т-
ся какой-либо данный отре-
зок, лежащий на той или на
другой прямой, например GF,
провести прямую,
разделить пополам.
Из произвольной точки А проводим прямые ДО, AF к кон-
цам G, F данного отрезка, они пересекут вторую параллельную
в точках Н, I (в случае, если бы точка А лежала между парал-
лельными, как С на чертеже, или по другую сторону GF, прямые
AG, AF нужно было бы продолжить до пересечения с НГ). Эти
точки пересечения соединяем с точками G и F прямыми HF, IG-,
они пересекутся в некоторой точке С; проведем, наконец, через
эту точку и через взятую точку А прямую ACD\ она и будет
проходить через середину D отрезка GF.
III. Даны две параллельные прямые, требуется
через данную точку провести к ним третью парал-
лельную прямую.
Делим пополам, согласно (II), произвольный отрезок, лежащий на
одном из данных параллельных прямых; тогда задача сводится к (I).
IV. Даны две параллельные прямые и определен-
ный отрезок на одной из них; требуется:
а) на той же самой прямой отложить от данной
точки другой отрезок, который был бы произволь-
ным кратным данного отрезка, например, «-кратным;
или
Ь) данный отрезок разделить на данное число
равных частей, или разделить на две такие части,
91
которые относились бы друг к другу, как данные
числа; или, наконец,
с) найти другой отрезок (на той же прямой), кото-
рый с данным отрезком находился бы в данном
рациональном отношении;
Пусть BF, bf (черт. 4) данные параллельные прямые и ВС
данный отрезок. Проводим через произвольную точку А третью
параллельную прямую
AG (III) и к концам
отрезка ВС проводим
прямые АВ, АС, ко-
торые вторую парал-
лельную пересекут в
точках b и с; затем
проводим прямую СЬ,
которая третью парал-
лельную прямую пере-
сечет в G; проведем
потом прямую GcD‘,
тогда, как легко ви-
деть, CD = ВС и, сле-
Черт. 4. довательно, В Э будет
вдвое больше данного
отрезка ВС. Проводим потом прямйе AD и GdE-, затем АЕ и
GeF ит. д.; очевидно, что отрезки ВС, CD, DE, EF равны
между собой, и таким образом мы можем построить любое кратное
отрезка ВС, например, BF = 4ВС.
а) Если нужно такое кратное отложить от данной точки X, то
проводим прямую ХЬ (или А/), продолжаем ее, если нужно, до
пересечения с AG в точке ¥ и проводим прямую YfZ; XZ и бу-
дет искомый /г-кратный (здесь четырехкратный) отрезок.
Ь) Если нужно разделить данный отрезок ВС на п равных
частей, то проводим (если bf есть /i-кратное Ьс) прямые Cb, Bf,
которые пересекутся в точке I; затем проводим прямые с/у, dl6,
elz, . ..; тогда отрезки С'(, будут равны между собой,
и каждый из них будет /г-я часть данного отрезка ВС.
Если нужно данный отрезок ВС разделить на такие две части,
которые относились бы друг к другу, как два заданные числа р,
q, то bf должно быть (p~\~q) -кратным Ьс, от b отсчитываем р
отрезков be, cd,...; из конечной точки последнего, например,
из d, проводим прямую dF, тогда отрезки С&, В5 и будут отно-
ситься, как р: q.
с) Если, наконец, нужно найти такой отрезок, который к дан-
ному относился бы, как q:p, то проводим (если положим, что fd
и db относятся, как q: р) прямые Bb, Cd, и из точки их пере-
сечения проводим прямую через /; эта последняя пересечется с пря-
22
мой ВС в точке W; тогда CW и будет искомый отрезок, т. е.
BC:CW= р:д.
Примечание. Если от данного отрезка ВС нужно взять
такую часть, которая к целому относилась бы, как 1 :и, где п
целое число, то можно поступать еще так.
Из произвольной точки
А (черт. 5) проводим к
конечным точкам отрезка
СВ прямые АВ, АС, кото-
рые с другой параллельной
пересекутся в точках b и с;
затем проводим прямые Вс,
Cb, которые пересекутся в d;
проведем, далее, прямую
AdD; CD и будет половина
данного отрезка ВС. Если,
далее, проведем прямую cD,
которая пересечется с Cb в
точке е, и прямую АеЕ,
то СЕ = ВС. Действи-
О
тельно, так как точки А, с,
ронник (три диагонали которого
Е, С суть гармонические точки (§ 4); и мы имеем:
Черт. 5.
е, d образуют полный четырехсто
Ае, cd, CD), то точки В, D
СЕ: ED = СВ: DB,
откуда следует, так как DB = CD = — CB, что
СЕ = ^-СВ.
О
Точно так же, если проведем далее
сечет Cb в точке f, и прямую AfF, то
прямую сЕ, которая пере-
полу ч им
CF = у СВ-
точно таким же образом получим, что CG — — CB и т. д.
Этот остроумный способ впервые, повидимому, был применен
французским артиллерийским капитаном Брианшоном (В г i а п с h о п,
Application de la theorie des trans versales, Paris, 1818, p. 37). Он
рассмотрел некоторые из предыдущих задач и указал в особен-
ности, какие полезные применения можно сделать из этих задач
в поле, на войне и т. д., почему и я рекомендую свою работу
военным и землемерам.
23
«На прямой даны два прилегающие друг к другу
отрезка В \ DC (черт. 6), которые находятся в неко-
тором данном рациональном отношении; требуется
(при помощи только линейки) через произвольную точку
провести прямую, параллельную данной прямой».
Так как эта задача имеет
\ / больше теоретическое значе-
д* ние, чем практическое, то
/\\ я укажу вкратце возмож-
/ 1\ нощь ее решения, гредостав-
g / I \ ляя другим находить более
\ \ легкие и удобные решения,
/ \ Задача может считаться
/ " - разрешенной, как только
д \ х '' на данной прямой будут най-
q jj q £ дены какие-нибудь три точ-
ки, из которых одна нахо-
Черт. 6. дится на равных расстояниях
от двух других (§ 6, I).
Данное рациональное отношение между данными отрезками BD
и ОС, в какой бы форме оно ни было дано, возможно выразить,
как отношение двух целых взаимно простых чисел a, t>. Предпо-
ложим, что о^> Ь. К трем данным точкам В, О, С строим четвер-
тую, сопряженную с D гармоническую точку Е (§ 5, I); тогда
имеем;
BD-.CD^ ВЕ-.СЕ
или если вместо линий взять соответствующие им числа, а СЕ
выразить числом х:
d: b = (я —b —х): х,
откуда
„___ fe (я + f1)
а — b ’
Если положим ВС = а-\-Ь = у, то будем иметь:
у . „ — Ь .
Х-У— a — b •
или
1) Х‘ У = b : (а — Ь),
т. е. по двум данным отрезкам В \ С">, которые от-
носятся, как числа а, Ь, можно найти два новых
отрезка ВС, СЕ или у, х, которые между собой так
24
относятся, как разность данных чисел а — ft отно-
сятся к меньшему числу ft.
Повторным применением этого способа можно найти два таких
отрезка, которые будут равны между собой, т. е. мы будем иметь
три точки, из которых одиа лежит посредине между двумя осталь-
ными, и этим мы данную задачу сведем к предыдущей (§ 6, I).
Действительно, если, например, разность а — b больше ft, то но-
вым построением получим два отрезка, которые относятся, как
ft: (о —2ft);
так можно продолжать до тех пор, пока не получим два отрезка,
которые относятся, как
ft: (о — nft),
где остаток а — nb меньше ft и равен, положим, с. Затем найдем
еще два таких отрезка, которые относятся, как с: ft — с и т. д.;
так как о, ft, с,... числа целые и идут убывая, то в конце концов
мы непременно дойдем до таких двух отрезков, которые относятся,
как 1:1.
Если мы ГЕ или ft-]-х обозначим через z, то, подставив
вместо х его прежнее значение, получим:
. , b (а + ft)
а: z — а: ft -]—— . -
1 а — ft
или
2) a-.z— (а — Ь):2Ь,
т. е. таким же построением мы найдем такие два отрезка, кото-
рые относятся друг к другу, как разность данных чисел а—b
относится к удвоенному меньшему числу 2ft, благодаря чему в из-
вестных случаях можно несколько быстрее подойти к требуемому
отношению 1:1.
Пусть, например,
а) а —2, Ь=\,
тогда х = 3, и потому С лежит посредине между В и Е', если же
Ь) с = 3 и b= 1,
то т = 2, и Г лежит в середине между В и Е. Каждый из этих
двух случаев требует только одного вспомогательного построения.
95
В. Если в некоторой плоскости даны две пары парал-
лельных прямых или два отрезка, разделенных в рацио-
нальном отношении, или параллельные прямые и отрезки,
разделенные в рациональном отношении.
§ 8
I. В плоскости даны какие-либо две пары парал-
лельных прямых, т. е. некоторый пар ал лелограм;
требуется (при помощи одной линейки):
а) провести по всем направлениям параллельные
прямые, т. е. провести прямые, параллельные дан-
ной прямой через данную точку;
Ь) каждый произвольно данный отрезок взять
кратным или разделить в данном отношении.
Пусть АВ и DC, AD и ВС (черт. 7)—данные параллельные
прямые и, следовательно, ABCD — данный параллелограм, диагонали
которого АС, В D пусть пересекаются в точке Е. Через точку Е
проведем прямую EF, параллельную какой-либо одной из двух
данных параллельных, например, AD, ВС; очевидно, что она
лежит посредине между ними, т. е. равноудалена от той и дру-
гой, так что эти три параллельные прямые каждую другую пря-
мую (непараллельную с ними) пересекают в трех таких точках,
из которых одна лежит посредине между двумя остальными.
Если данная прямая, например GK, то она пересекается тремя
параллельными в трех то .ках G, F, Н, из которых одна, F, ле-
жит посредине между двумя остальными, G и И; отсюда первая
задача [а)]: «через произвольную точку провести параллельную
данной прямой ОК» может быть решена на основании § 6, I.
26
Можно также, вместо того, чтобы проводить третью параллель-
ную EF, поступить следующим образом. Через точки /, К, в ко-
торых данная прямая GK пересекает параллельные АВ, DC, про-
водим прямые IE, КЕ, которые встретят эти параллельные в точ-
ках L и М", очевидно, что прямая LM параллельна IK; таким
образом, через каждую произвольную точку, на основании § 6, Ш,
можно провести прямую, параллельную IK.
Вторую задачу [Ь)] можно решить с помощью первой и руко-
водствуясь § 6, II.
II. Если в некоторой плоскости даны, или
а) три параллельные прямые, которые рассе-
кают четвертую прямую в данном рациональном
отношении; или
Ь) на двух параллельных прямых два каких-ни-
будь отрезка, которые рационально относятся
друг к другу; или
с) какие-либо-две параллельные прямые и какой-
нибудь отрезок, разделенный в данном рациональ-
ном отношении; или, наконец,
d) два произвольных непараллельных отрезка,
из которых каждый разделен в данном рациональ-
ном отношении; то можно:
а) в произвольном направлении провести парал-
лельную прямую и
f) каждый произвольный отрезок взять кратным
или разделить в рациональном
Случай а). Если три параллель-
ные прямые АВ, CD, EF (черт. 8)
пересекают четвертую АЕ так, что от-
резки АС, СЕ относятся, как p-q,
где р, q — взаимно простые числа, то
на одной из параллельных прямых, на-
пример АВ, откладываем кратное про-
извольного отрезка и берем AG, рав-
ное р таким отрезкам, и GB, равное q
таким отрезкам [§ 6, IV, а)]; затем
проводим прямые GC, BE', они будут
параллельны между собой (так как
АС: СЕ— AG: GB = p: q); этим настоящая задача сводится к пре-
дыдущей (I).
Чтобы получить другую пару параллельных прямых, можно
было бы также, на основании § 7, провести прямую, параллельную
прямой GE, разделенной в рациональном отношении; но это реше-
ние было бы сложнее, чем первое.
Случай Ь). Пусть АВ, СО (черт. 8) данные параллельные
прямые и АВ, СИ данные отрезки, которые относятся, как два
27
отношении.
Черт. 8.
данных числа р. q. Проведем через конечные точки отрезков пря-
мые АС, ВН, которые пересекутся в какой-либо точке Е (можно
бы также провести прямые АН, ВС)-, на основании подобия тре-
угольников ЛЕВ, СЕН будем иметь:
АЕ: СЕ = АВ: СИ = p-.q-,
у чай с). Пусть А, В
9) данные параллельные пря-
СЕ данный отрезок, кото-
D делится так, что отрезки
DE относятся, как два дан-
и
при этом дано и отношение отрезков АС: СЕ, — именно, оно равно
(р — q): q, таким образом этот случай сводится к предыдущему [я)]
(при этом нет необходимости проводить третью параллельную EF,
как это легко видеть).
Сл
(черт. !
мые
рый в
С) и
ных числа р и q. Проведем через
точки С, D и Е три прямые, па-
раллельные прямым А, В (§ 6, Ш),
и будем иметь первый случай fa)].
Или, проведем через произ-
вольную точку прямую, параллельную СЕ (§ 7), задача сведется к
предыдущей (I).
Случай d). Пусть AC, DF (черт. 10)
данные отрезки, которые точками В, Е
делятся в данном отношении, так что
AB-BC=p:q и DE'.EF — r:s, где р,
q, г, S данные числа; проведем через ка-
кую-либо точку прямую, параллельную АС, и
через ту же самую или какую либо другую
точку прямую, параллельную 3F (§ 7); тогда
задача сведется к предыдущей (I).
Или, если проведем через две точки од-
ной прямой, например через Е, F, прямые,
параллельные другой данной прямой АС (§ 7),
то задачу сведем к случаю а), и построение
в большинстве случаев будет в общем ко-
роче, чем данное выше.
Черт. 10.
С. Если дан некоторый квадрат.
§ 9.
Кроме задач, которые выше решались с помощью произвольного
паралле юграма (§ 8, I), в том частном случае, когда параллело-
грам обра цается в квадрат, могут быть решены между прочим еще
следующие задачи.
Зв
Кслй в плоскости дан Некоторый квадрат, то
можно:
а) на данную прямую из некоторой данной точ-
ки опустить перпендикуляр;
Ь) данный прямой угол разделить пополам;
с) данный угол увеличить в произвольное чис-
ло раз.
Пусть АВС О (черт. 11) данный квадрат, и Е точка пересече-
ния его диагоналей АС, В ), т. е. центр квадрата.
Если через центр проведем произвольную
прямую GF, то легко найти такую прямую
IK, которая перпендикулярна к ней в цент-
ре Е. Именно, проведем из F прямую FH
параллельно стороне ВС или AD (§ 6, Ш)
и из точки И, в которой она пересекается
с стороной АВ, прямую HI параллельно
диагонали АЕС (§ 6, 1); тогда прямая IEK
будет перпендикулярна к FEG. Действи-
тельно, на основании этого построения,
очевидно, FC =>НВ — В1 и BE —СЕ и
/_ЕВ1 — ^_ECF, следовательно, треуголь-
ники EBI и ECF равны между собой, по-
этому / BEI = / CEF и потому / BEF=
/_1EF = прямому.
Из равенства треугольников ВЕ1 и CEF
следует далее, что El = EF, поэтому тре-
угольник IEF равнобедренный, так что пря-
мая EL, которая делит пополам угол при
вершине Е, будет перпендикулярна к осно-
ванию IE’ таким образом, этот угол (IFE)
легко делится пополам. Действительно, про-
ведем с этой целью EN параллельно IF и
GK и, только что указанным способом,
к EN- тогда EL разделит пополам прямой угол IEF.
Если теперь требуется на произвольную данную прямую gf из
некоторой данной точки I опустить перпенди <уляр (а)], то прове-
дем через центр Е прямую FG параллельно fg, затем прямую KEI
перпендикулярно к FEG и через данную точку i прямую ie па-
раллельно IEK (§ 6, I); очевид го, задача решена. Ясно, что прием
останется тот же, если требуется из точки е на данной прямой fg
восставить к ней пер юндикуляр.
Если, далее, требуется данный прямой угол fei разделить по-
полам [Ь)], то проводим EF параллельно ef и EI параллельно ei;
затем разделим пополам угол FEI посредством прямой EL и прове-
дем, наконец, через точку е параллельно EL прямую е/; она, оче-
видно, и будет удовлетворять задаче.
29
Случай с), наконец, легко разрешить посредством Случая а)
и одной из прежних задач (§ 5, III).
Действительно, опустим перпендикуляр из вершины данного
угла на одну из его сторон, которые обозначим буквами а и Ь,
например, на b [как это только что было показано — случай а)]; тогда
этот угол можно удвоить согласно (§ 5, III), т. е. мы будем иметь
два угла (ab), (Ьс) равных между собой и имеющих одну об'цую
сторону Ь, так что угол (ас) есть удвоенный данный угол (ab). Опу-
стим таким же образом перпендикуляр на сторону с и удвоим оба
угла, прилежащие к этой стороне (cb), (са); получим две новые
стороны d, е и угол (ad) будет в три раза, а угол (ае) в четыре
раза больше данного угла (ab). Таким же образом можно по-
лучить посредством перпендикуляра, опущенного на последнюю сто-
рону е, угол в 5, 6, 7 и 8 раз больше данного угла, и тогда
посредством нового перпендикуляра получим увеличение данного
угла от 9 до 16 раз и т. д.; и вообще посредством п-го перпен-
дикуляра мы получим увеличение угла от (2"+1) до 2"+’ раз.
------ ГЛАВА ВТОРАЯ ------
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ КРУГА,
I. О ГАРМОНИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ1).
§ Ю.
I. Если А, В, С, D (черт. 12) какие-либо четыре гармоничес-
кие точки, то всякие четыре луча a, b, с, d, соединяющие их с
точкой Р, будут также гармоническими (§ 3).
Если мы примем четыре точки неподвижными, а из лучей два
сопряженных, например а и с, взаимно перпендикулярными, так что
*) Хотя эти свойства и не требуются для главной цели настоящего
сочинения (глава III), они все же изложены здесь вкратце, потому что
они интересны сами по себе, однако почти совершенно отсутствуют в
учебниках, а здесь они легко и элементарно выводятся на основе пред-
шествующего.
31
они делят пополам угол, образованный двумя остальными, и, сле-
довательно, угол (ab) = (ad) и (с'>) = (cd) (§ 3,1V), то очевидно,
что геометрическое место точки Р есть круг О, который отрезок
АС имеет диаметром. Лучи b, d вторично пересекаются с кругом О
в точках Е, F. Так как угол (be) = (de), тэ и дуга ЕС равна ду-
ге FC. Отсюда следует (если проведем равные хорды ЕС, FC),
что угол '[ — о и угол Е >С = F )С; отсюда елетует далее, что луч
BQ, четвертый гармонический к трем лучам BE, ВС, BF и со-
пряженный с ВС, будет перпендикулярен к ВС и образует с обеими
остальными лучами BE (или РВ) и BF равные углы, именно угол
а = Р, и точно так же луч О.¥, четвертый гармонический к трем
лучам DE, DC, OF и сопряженный с ->С, будет перпендикулярен
к лучу DC и с двумя остальными лучами DE, >F образует равные
углы. С помощью этих гарманических лучей мы выводим, наконец,
что D, F, Y, Р, а также Р, В, Е, X суть четыре гармонические
точки.
Так как мы в этом рассуждении приняли, что четыре точки
А, В, С, D, а также круг О, неподвижны, то также неподвижны
и прямые BQ и DX (из которых первая пересекает круг в S, Q),
тогда как другие прямые b, d, BF, }Е изменяют свое положение
вместе с точкой Р, именно, они вращаются вокруг неподвижных
точек В, D в то время, как точка Р описывает круг. И так как
переменные углы а и постоянно равны между собой, то Р и F
должны одновременно приближаться к неподвижней точке Q, пока
они одновременно не совпадут с ней и когда, следовательно, пря-
мая DQ, в которую переходит в этом случае луч d, обратится в
касательную к кругу. Это следует и из того, что, если точка Р,
допустим, достигла неподвижной точки Q, и вообразим лучи QA,
QB, QC, Q Э, то они будут гармоническими и, кроме того, Q.4
и QC будут взаимно перпендикулярны; следовательно, угол CQB —
= CQD = CSB, и DQ есть касательная. Точно так же выводится,
что DS—касательная к кругу.
Из этих рассуждений между прочим вытекает еще следующая
теорема:
Если мы через какую-либо неподвижную точку,
В или О, проведем произвольную прямую, напри-
мер РВЕХ или DFYP, которая пересекает непо-
движный круг О, то геометрическое место той точ-
ки X (или У), которая будет четвертой гармоничес-
кой к двум точкам пересечения, Р vl Е (или F и Р),
и к неподвижной точке В(или О), сопряженной с
последней, есть определенная прямая, X > (или ЕВ),
перпендикулярная к тому диаметру ABCD круга,
который проходит через неподвижную точку,
и которая лежит вне круга (.¥□) или пересекает его
(YB), в зависимости от того, лежит ли неподвиж-
33
пая точка внутри (как В) или вне круга (как D).
В последнем случае, когда неподвижная точка D
лежит вне круга, вышеупомянутая прямая YB пе-
ресекает круг в тех точках S, Q, в которых его
касаются прямые DS, DQ, проходящие через не-
подвижную точку D.
В силу этого взаимного соотношения между неподвижной точ-
кой, В или J, и соответствующей ей прямой ХА или YB точка
называется «гармоническим полюсом» прямой, а прямая называется
«гармонической прямой» точки относительно неподвижного круга1).
II. Если из неподвижной точки D проведем две секущие к
кругу О, например DG и DI, то четыре точки пересечения Е, G,
Н, I определят четыре прямые HEL, IGL, EKI, GKH или полный
четырехугольник, диагонали которого пересекаются гармонически
(§ 4), так что две диагонали EG и HI пересекаются третьей KL
в таких точках N, М, которые к трем точкам D, Е, G и J, Н, I
являются четвертыми, сопряженными с О, гармоническими точками;
но так как, на основании предыдущей теоремы (I), те же прямые
LEG, DHI пересекаются прямой SBQ в тех же гармонических
точках N, Л!, то, следовательно, диагональ KL должна совпадать
с прямой SQ, т. е. точки /С, L должны лежать на гармонической
прямой SQ точки D. Точно так же, если проведем через точку В
какие-либо две секущие РВЕ, АВС (из которых последняя может
и не быть диаметром), то четыре точки Р, Е, А, С их пере-
сечения с крутом образуют полный четырехсторонник АЕТ, РСТ,
APR, ECR, третья диагональ RT которого должна пересекать две
другие РЕ, АС в таких точках X, D, которые являются к трем
точкам Р, В, Е и А, В, С четвертыми, сопряженными с В, гар-
моническими точками, так что диагональ RT совпадает с гармо-
нической прямой XJ точки В. Отсюда следует:
Если мы проведем через какую-л ибо неподвиж-
ную точку, D или В, две произвольные секущие
DG, DI или РЕ, АС, то четыре точки их пересече-
ния с неподвижным кругом О-.Е, G, Н, I и ли Р, Е,
А, С определят (простой) четырехугольник (в котором
эти секущие являются диагоналями), противолежащие сто-
роны которого, НЕ и IG, El'n GH, или PC и АЕ, АР
и ЕС, пересекаются на гармонической прямой SQ
или XD, соответствующей неподвижной точке D
или В, а именно в точках L, К или Т, R.
III. На основании этой теоремы (II) гармоническая прямая точки L
должна проходить через точки D и К, так как НЕ и IG суть
*) В настоящее время употребительны названия: полюс прямой и
поляра точки относительно круга, мы сохраняем, однако, в тексте
терминологию автора.—Перев.
3 Якоб Штейнер 33
Две секущие, Проходящие через эту точку} но она также прохо-
дит, на основании (I), через точки прикосновения касательных,
проведенных из точки L к кругу. Отсюда можно заключить: гар-
моническая прямая произвольной точки L, лежащей на прямой SQ
(вне круга), проходит через гармонический полюс D этой прямой,
и обратно: гармонический полюс всякой секущей, проходящей
через неподвижную точку D, лежит на гармонической прямой Q
этой точки, но вне круга, так что касательные к кругу, про-
веденные в точках пересечения секущей, например в точках Н,
I секущей DKI, пересекаются на, упомянутой гармонической пря-
мой. Точно так же гармонические прямые всех точек, лежащих
внутри круга на прямой SQ, т. е. на отрезке SQ, проходят через
гармонический полюс D этой прямой. Действительно, если мы,
например, возьмем гармоническую прямую точки М, то она должна
пересекаться с прямой I.WH в такой точке, которая к трем точкам
1, М, Н будет четвертой гармонической, сопряженной с М (1);
следовательно, гармоническая прямая пересекается с прямой IMH
в точке D,
Отсюда следует также, что гармоническая прямая всякой точки
неподвижной прямой XD (которая не пересекает круга) проходит
через гармонический полюс В последней. Действительно, если мы
возьмем, например, гармоническую прямую точки X, то она долж-
на встречать прямую ХЕР в такой точке, которая к трем точкам
X, Е, Р будет четвертой гармонической, сопряженной с X (I), но
так как, на основании предыдущего рассуждения, точка В и есть
такая точка, то, следовательно, гармоническая прямая пройдет
через точку В. Так как точка X лежит вне круга, то касательные
к кругу из этой точки провести возможно, и через точки их при-
косновения проходит гармоническая прямая этой точки (I).
Из этих рассуждений между прочим вытекают следующие
теоремы:
1. Если точка лежит на какой-либо прямой (на-
пример, L или М на SQ, X или /?наЛ'О), то ее гармониче-
ская прямая проходит через гармонический по-
люс (О или В) этой прямой.
Или другими словами, подробнее:
2. Гармонические прямые всех точек, лежащих
на какой-либо прямой (SQ или XD), пересекаются
в одной определенной точке (О или В) именно в
гармоническом полюсе данной прямой; и обратно;
гармонические полюсы всех прямых, проходящих
через неподвижную точку (Э или В), лежат на гар
ионической прямой (SQ или ХР) последней.
3. Если вообразим, что две касательные непо-
движного круга О движутся так, что их точка пе-
ресечения (L или X) перемещается вдоль неподвиж-
34
йой прямой (SQ или XR), то прямая, соединяющая
точки касания, вращается около определенной
неподвижной точки (Э или В).
И наоборот: если секущая неподвижного круга
вращается вокруг какой-л ибо неподвижной точки
(О или В), то точка пересечения касательных, че-
рез точки прикосновения которых проходит секу-
щая, движется вдоль определенной прямой (SQ
или RX).
IV. Предыдущие рассуждения дают удобный способ решать
нижеследующие'задачи при помощи одной только ли-
нейки.
1. В плоскости дан круг О; требуется найти
а) гармоническую прямую данной точки и [>) гармо-
нический полюс дайной прямой.
Полежим, что D или В данная точка (черт. 12). Прово-
дим через нее две произвольные секущие, например )G и .)/
или BE и АС; затем соединяем попарно четыре точки пересе-
чения их с кругом двумя парами прямых, НЕ, IQ и HG, IE
или PC, АЕ и АР, ЕС; тогда точки их пересечения, L и К
или Т и R, лежат на искомой прямой [«)], которая этим и опре-
деляется.
Если, далее, прямая SQ или RX дана [’,)[, то отыскиваем только
что указанным способом гармонические прямые каких-либо двух
точек ее, например, L и М или X и Т; точка их пересечения
D или1 В и будет искомый полюс (III).
2. Провести к данному кругу О касательные,
которые проходили бы через данную точку D (ле-
жащую вне круга).
Строим гармоническую прямую SQ данной точки D [1, а)] и
соединяем точки пересечения ее с кругом S, Q и данную точку
D прямыми DS, DQ; эти прямые и будут искомыми касатель-
ными.
Примечание. Другие теоремы, которые непосредственно
вытекают из предыдущих рассуждений и которые отчасти касаются
вписанных и описанных в круг треугольников, четырехугольников
и т. д., здесь опущены, как слишком посторонние для нашей
настоящей цели. Их можно найти, вместе с предыдущими теоре-
мами и задачами, в названном выше сочинении («Systematische
Entwickelung etc.»), подробно доказанными для всех конических
сечений. Предыдуцие теоремы лежат, впрочем, в основании так
называемой «теории взаимных поляр,1).
*) Так называемую «теорию взаимных поляр., (theorie des polaires
recirpoques) установил Jean Victor Poncelet в статье, носящей это же
заглавие, в журнале «Gergonne’a Annales de Mathematiques", t. VIII, 1817.
См. далее Poncelet, «Journal fCr Mathematik», Bd., IV, 1829.
s. 35
П. О ЦЕНТРЕ ПОДОБИЯ.
§ П.
Проведем в ^плоскости через произвольную точку А (черт. 13)
по всем направлениям лучи (прямые) Аа, АЬ, Ас и установим
посредством этих лучей между точками плоскости соответствие такого
родт, чтобы каждой точке а, на каком-нибудь из этих лучей Аа,
соответствовала другая точка на том же луче, и притом, чтобы
расстояния Аа и Аа{ от точки А каждых двух соответствующих
точек а и а1 имели всегда одно и то же отношение, например,
п:п^, этим мы устанавливаем такое соответствие, в котором пло-
скость берется вдвойне, или, как это можно еще себе представить,
две плоскости Е и Ех лежат друг на друге, причем каждую точку
можно рассматривать, как принадлежащую и той и другой плоско-
сти; так, например, точку (cd) можно рассматривать, как принад-
лежащую плоскости Е, т. е. как с, и тогда ей соответствует точка
или можно ее рассматривать, как принадлежащую плоскости Е, и
тогда она будет уже и соответствует точке d.
Если мы мысленно будем приближать точку а к точке А, то
необходимо должна приближаться к неподзижной точке А и соот-
ветствующая ей точка а , пока, наконец, обе они не совпадут
в А. Поэтому можно сказать, что в А совпадают две соответствен-
ные течки, и очевидно, что это свойство принадлежит только
одной этой точке (за исключением только такой частной системы,
когда вышеупомянутое отношение n:«t= 1; в этом случае всякая
точка совпад ет со своей соответственной).
Из просто е закона, по которому определены соответственные
точки двух п юскостей Е, Еи вытекает непосредственно взаимное
соотношение между системой точек одной плоскости и соответ-
ственной ей системой точек другой плоскости; т. е. если в одной
плоскости дана какая-либо фигура, то легко показать, какая фи-
36
гура соответствует ей в другой плоскости, и какое взаимное
отношение иммот между собой две такие соответственные фигуры.
Именно, главные свойства или главные теоремы об этом отношении
осно ы лаются на следующем.
Прежде всего очевидно, что прямая ab, проходящая через ка-
кие-либо две точки а, b в плоскости Е, параллельна прямой а^,
проходящей через две соответственные точки ал, другой плоско-
сти Е ; отрезки ab, на этих прямых, ограниченные выше-
упомянутыми точками, также относятся друг к другу, как расстоя-
ния каких-либо двух соответственных точек от точки А, т. е.
ab-.albl = п:щ.
Действительно, в силу установленного соответствия, очевидно,
что треугольники аАЬ и а,АЬ1 подобны, откуда непосредственно
вытекает высказанное утверждение.
Подобным же образом следует далее: каждая из двух прямых
ab, a^bi содержит все точки, которые соответствуют всем точкам
другой прямой; именно, какой-либо точке одной прямой, например
точке е прямой да, соответствует на другой прямой, a,bt такая
точка е,, которая лежит на одной прямой с нею, так что каждой пря-
мой в одной плоскости соответствует определенная прямая в другой.
Отсюда вытгк"ют следующие предложения:
I. Каждой прямой в одной плоскости соответст-
вует определенная прямая в другой плоскости, т. е.
всем точкам первой прямой соответствует вся сово-
купность точек др.угой прямой; всякие две такие
соответственные прямые параллельны между собой,
и всякие два соответственных отрезка (на двух таких
прямых) относятся между собой, как расстояния
каки х-л ибо двух соответственных точек отточки
Л, т. е. как я: я,.
И обратно: Прямая, проходящая через две точки
одной плоскости, соответствует такой прямой,
которая определяется соответственными точками
в другой плоскости.
Существенно важный особенный случай представляет следующая
теорема:
II. Во всякой прямой, проходящей через А, сле-
довательно, в каждом луче, сливаются две соот-
ветственные прямые.
III. Точка пересечения двух каких-нибудь пря-
мых одной плоскости соответствует точка пересе-
чения соответственных им прямых в другой пло-
скости.
IV. Если через две
например через а и at,
соответственные точки,
проведем в произвольном
37
направлении два параллельных отрезка, например
ае и а е1, отношение которых равно отношению
нашего соответствия, т. е. ае ; а1е1 — п: я1, то другие
конечные точки этих отрезков е и е( суть также
соответственные точки, и как таковые, лежат на
некотором луче, проходящем через А.
Из этих основных теорем вытекают теоремы;
_V. Всякой прямолинейной фигуре одной плоско-
сти соответствует подобная и подобно располо-
женная фигура в другой плоскости, именно, вер-
шины обеих фигур суть соответственные точки,
так что они попарно лежат на лучах (некоторого пучка),
и их стороны суть соответственные прямые (или от-
резки), т. е. попарно параллельны.
VI. Всякой кривой линии С в плоскости Е соот-
ветствует подобная и подобно расположенная кри-
вая Ct в другой плоскости точки, в которых
первая кривая С пересекается некоторой прямой G,
соответствуют точкам, в которых соответствую-
щая G прямая Gt пересекает вторую кривую Ct,
так что С и G пересекаются в стольких же точках,
что G и G,; поэтому каждой касательной к первой
кривой будет соответствовать определенная, па-
раллельная ей касательная ко второй кривой, и их
точки касания должны быть соответственными
точками; всякий луч, проходящий через А и ка-
сательный к одной кривой, касается и другой
кривой; и притом он касается в соответственных
точках и т. д.
В особенности отсюда следует, что
VII. Каждому кругу в одной плоскости соответ-
ствует в другой плоскости также круг, нцентрыдвух
таких кругов суть соответственные точки; и т. д.
На основании этих свойств соответствия точка А называется
центром подобия или, принимая во внимание, что мы имеем две
совме'ценные плоскости Е и Elt центром проекций.
При таком соответствии нужно различать два случая. Именно
можно или
а} две соответственные точки, как а и at, взять по одну и ту
же сторону от центра подобия А, как это и было в предыдущих
рассуждениях, или
Р) взять каждые две соответственные точки по разные стороны
пентпа подобия, который будем обозначать в таком случае в даль-
нейшем через 7.
Оба эти спучая будем в последующем различать тем, что в пер-
вом случае будем говорить, что соответствие имеет внешний
38
центр подобия, во втором,—-что оно имеет внутренний центр
подобия.
Каждые две подобные фигуры, прямолинейные или криволиней-
ные, могут быть расположены так, что будут иметь внешний центр
подобия, или же так, что будут иметь внутренней центр подобия.
Существует также некоторый класс таких фигур, которые могут
уд овлетворять обоим условиям, т. е. они могут быть приведены
в такое положение, что будут иметь в одно и то же время и внут-
ренний и внешний центры подобия. Если говорят о двух фигурах
плоскости, что они подобны и подобно расположены, то они имеют
всегда центр подобия (V и VI).
§ 12.
I. Из предшествующих общих законов относительно центра по
добия выте! ают, в частности, для круга следующие свойства.
Если в плоскости даны два круга, то каково бы
ни было их взаимное положение, во всяком случае
они имеют И внутренний и внешний центры по-
добия.
Пусть М, Mj (черт.
14) центры двух кругов
и пусть ab, какие-
нибудь два параллель-
ных их диаметра; если
через центры проведем
прямую Л1М1‘ которую
будем называть в даль-
нейшем осью, то на-
ходящиеся по одну сто-
рону оси конечные точ-
ки диаметров лежат на одной прямой с внешним центром подобия, а
концы их, находящиеся по разные стороны оси, лежат на одной
прямой с внутренним центром подобия, т. е. прямые или лучи аак,
bbs встречают ось в одной и той же неизменной точке А, а прямые
ab1, Ьа, пересекают ее в неизменной точке Z. Действительно, вслед-
ствие параллельности диаметров треугольники АМа и АМ^Оу так
же как и треугольники 1Ма и очевидно подобны, откуда
следует:
а) АГЛ : АМ^ — Ма-.
и
b) IM : => Ма; М^,
что отвечает основному свойству центра подобия; действительно,
правые части, как отношен.тя радиусов кругов, остаются постоян-
ными, какое бы направление эти параллельные радиусы ии имели;
стало быть и отношения, стоящие в левой части, ДЛ1: АМГ и
39
1М:/М1 будут иметь то же самсе значение, например, n:nlt и
поэтому (так как центры M,Mt неподвижны):
Все прямые или лучи, проходящие через концы
параллельных диаметров, лежащие по одну и ту же
сторону оси ММ1г п ер е с е к а ю т ось ММГ в одной и
той же неизменной точке А; точно так же прямые,
проходящие через концы диаметров, лежащие по
разные стороны оси, пересекаются с осью в одной
и той же неизменной точке Z; эти две неизменные
точки и будут центрами подобия данных кругов.
Так как = как радиусы круга Mt, то сба отноше-
ния правой части в а) и Ь) равны между собой, откуда следует, что
с) AM : AMt = IM : IMV
т. е. два центра М, Mt кругов и два центра их подо-
бия А, I вместе всегда образуют четыре гармони-
ческие точки, и как те, так и другие попарно будут
сопряженными гармоническими точками.
Также можно заметить, что центры кругов необходимо должны
лежать по одну сторону от внешнего центра подобия, тогда как
внутренний центр подобия должен лежать между центрами кругов.
Далее, относительно взаимного положения кругов и их центров
подобия нужно отметить следующее:
1. Если круги лежат вполне один вне другого, то их общие
внешние касательные пересекаются во внешнем центре подобия А,
а внутренние общие касательные пересекаются во внутреннем центре
подобия, так что оба центра подобия лежат вне обоих кругов.
2. Если мы мысленно будем приближать коуги друг к другу,
или — если центры кругов и центры подобия должны быть- непо-
движны,— увеличивать в равных отношениях до тех пор, пока они
не соприкоснутся внешним образом, то точка касания будет
вместе с тем и их внутренним центром подобия.
3. Если мы таким же образом будем двигать круги далее, пока
они не пересекутся, то внутренний центр подобия будет лежать
внутри обоих кругов.
4. Если меньший круг проникает настолько внутрь большого,
что имеет с ним внутреннее касание,, то их точка касания
будет вместе с тем и их внешним центром подобия.
5. Если меньший круг будет лежать весь внутри большего, то
оба их центра подобия лежат внутри меньшего круга.
6. Если, наконец, оба круга станут концентрическими, то оба
их центра подобия совпадут с их общим центром.
7. Если в частном случае круги равны между собой, то все
равно, пересекаются ли они между собой или нет, их внутренний
Центр подобия I лежит в середине между их центрами, а внешний
центр подобия бесконечно удален.
40
Правильность этих положений легко доказывается при помощи
предытущих рассуждений.
II. По предыдущему, концы каких-нибудь двух параллельных
радиусов двух кругов лежат на одной прямой с внутренним или
внешним центром подобия в зависимости от того, лежат ли они по
одну сторону или по разные стороны оси ММ\.
Поэтому необходимо должно иметь место и обратное положе-
ние, именно:
Если через один из двух центров подобия А,
I двух данных кругов М, Мг проведем прямую, кото-
рая пересекает один круг, то она необходимо пере-
секает и другой круг и притом в соответственных
точках, так что радиусы обоих кругов, проведен-
ные в эти точки, попарно параллельны; например
(черт. 14), если прямая, проходящая через точку Л,
пересекает круги М,М1в точках b и с, bv и с , то как
радиусы Mb и Mj&j, так и Мс и AIjCj должны быть па-
раллельны.
III. Так как для обеих подобных систем отношение п'.пг, кото-
рым определяются соответственные точки (§ И), определяется ра-
диусами кругов (I) и, следовательно, для обеих систем имеет одно
и то же значение, и так как отношения AM : АМ1 и IM : ]Mt
равны этому значению, то М и Aft будут вместе с тем
и соответственными точками в обеих системах.
Возьмем произвольную точку q и будем рассматривать ее, отно-
сительно обеих систем подобия, как лежащую водной плоскости Е
(§ 11) с кругом М; в другой плоскости Е (которой принадлежит
другой круг М,) точке q будут соответствовать две различные
точки, именно ей соответствует определенная точка q^ относительно
центра подобия А и определенная точка pt относительно центра
подобия Z; обе эти точки q, р, очевидно должны лежать на одном
и том же диаметре круга М} и на равных расстояниях от его
центра, т. е, q^^Pt должна быть прямой и q,Mr — МАр^. Дей-
ствительно, так как М и Мг суть соответственные точки относи-
тельно обоих центров подобия, и так как q и qt суть соответствен-
ные точки относительно центра подобия А, а р и р, относительно
центра подобия I, то поэтому и Mxqx и М-ру параллельны Mq
(§11, I); таким образом qM^p^ есть прямая линия, и
AM : AMi — Mq : M1q1
и
Z/И : 1Мг = Mq: Мгр^
откуда (I, с)
: М^ду = Mq: М±р^
следовательно,
41
Таким образом: всякой точке, если ее рассматривать,
как принадлежащую одному кругу, в том смысле,
как точка q принадлежит кругу Л!, соответствуют
при помощи двух центров подобия А, /в отношении
другого круга две такие точки qx, рх, которые
лежат на одном и том же диаметре круга на равных
расстояниях от его центра (в противоположные
стороны); и только центры Л1, /Wj двух кругов имеют
то свойство, что они будут соответственными точ-
ками относительно обоих центров подобия.
Отсюда, если один круг Мх начерчен, а другой нет и если
даны центры подобия А, I, то для какой-либо точки qx или
которая рассматривается, как принадлежащая к первому кругу,
легко найти соответственную точку относительно второго круга во
внутренней или внешней системе подобия. Именно, проведем пря-
мую возьмем точку рх или qx так, чтобы qxMx = Мхрх
(если круг Мх дан, это легко сделать), и проводим прямые Aq,lpx,
онн и пересекутся в искомой точке q. Проведем, далее, прямые Арх,
lq\ они пересекутся в точке р, которая также удовлетворяет усло-
вию; qMp есть прямая, и qM — Мр.
Проще всего найти те точки, которые лежат на окружности
круга, потому что в этом случае на каждом диаметре данного
круга непосредственно даны два равных отрезка; как, например,
на диаметре ахЬх отрезки ахМх и МХЬХ, благодаря чему только что
указанным образом находятся конечные точки соответственного
диаметра другого круга. Это последнее построение часто приме-
няется в следующих ниже задачах (§ 18).
Из предшествующей теоремы легко выводится:
Всякой прямой, которая рассматривается, как
принадлежащая одному кругу (как, например,
прямой G, которая принадлежит кругу Л1). соответ-
ствуют относительно двух центров подобия А, I две
различные, принадлежащие кругу Мх, прямые Gx, Нх,
которые параллельны между собой (потому что каждая
параллельна прямой G) и равно удалены от центра Мх.
Если, в частности,прямая Gпроходит через центр М
соответствующего круга, то обе прямые Ох, Нх сов-
падают и проходят также через центр Мх соответ-
ствующего им круга; если, наконец, О совпадает
с осью ММХ, то прямые Gx, Нх совпадают с ней* 1).
J) Из многочисленных приложений свойств центра подобия (на них
в другом месте я остановлюсь подробнее) я приведу вкратце один
только пример, который оригинальным образом выясняет свойства одной
замечательной и часто встречающейся точки прямоугольного треуголь-
ника; пример этот следующий,
I. Если мы в каком-нибудь треугольнике abc проведем (черт. 15)
из вершин к срединам противолежащих сторон ах, Ьх, сх прямые линии
42
В интересах последующего изложения рассмотренным здесь эле-
ментам полезно дать определенные названия. Именно, две соответ-
ственные точки, как, например, q и qr или q и рг (черт. 14),
aa^bbi, ссь то они, как известно, пересекутся в одной точке I и делят
друг друга так, что отрезки каждой прямой относятся между собой,
как 2:1; т. е.
1. Ia-.Iai=lb-lbi = lc.lci = 2A.
2:1 (§ И).
Черт. 15.
Из этого следует, что точку 7 можно рассматривать, как центр по-
добия (или центр проекции) соответствия, в котором а и йъ b и bJt
с и г, суть соответственные точки, так что а, Ь, с принадлежат одной
плоскости Е, а аи blt Cj другой плоскости Et, или одним словом тре-
угольники abc н rtjfejCj суть соответственные треугольники, и каждые
две точки, подобно расположенные относительно этих треугольников,
будут вместе с тем и подобно расположенными точками относительно
центра подобия 7, т. е. будут лежать на одной с ним прямой, и их рас-
стояния от него относятся, как
Если, далее, мы пред-
положим известным, что
три перпендикуляраaiM,
biM, CiM, восставлен-
ные из середин ait
bu Ci сторон первого
треугольника abc, пере-
секаются в одной точке,
именно в центре круга,
описанного oj<o.io тре-
угольника, и заметим, что
они вместе с тем будут
перпендикулярны и к со-
ответственным сторонам
второго треугольника
a-ibiCi (потому что эти
стороны параллельны
сторонам первого тре-
угольника), и если мы
на мгновение вообра-
зим, что эти перпендику-
ляры принадлежат тре-
угольнику afiiCi, при
помощи центра подо-
бия I, то непосредствен-
но следует, что три соот-
ветственные им прямые,
т. е. прямые, проходя-
щие параллельно им через
потому перпендикулярные
аА, ЬА, сА, пересекаются в
вершины а, Ь, с первого треугольника и
противолежащим сторонам его, прямые
-_г________ _ определенной точке А, и именно в точке,
соответствующей точке М, так что, следовательно, три точки Л!, I, А
лежат на одной прямой (проектирующем луче), и имеет место сле-
дующее соотношение:
2. М:Ш = 2:1.
Вместе с тем отсюда следует, и притом двумя способами, известная
теорема: перпендикуляры, опущенные из вершин тре-
43
относительно двух кругов, которым они принадлежат, мы будем
называть подобно расположенными точками. Точно
так же две прямые, соответственные в одной из двух систем подо-
угольннка или ab-) на противолежащие стороны
его ('71^, btM, c4W или аА, ЬА, сД), пересекаются все в одной
точке (М или Д).
Далее следует: если точку М будем считать принадлежащей пеовой
плоскости Е и притом как центр круга, описанного около треугольника
abc, то ей соответствует М1г центр круга, описанного около треуголь-
ника afi,ci, следовательно, эта последняя точка Mt во всяком сп чае
должна лежать на вышеупомянуто.! проектирующей прямо.! MIA и
притом так, что
3. IM: IMt = 2 :1.
Из (3) и из 12), как это видно и из чертежа, следует, что имеет
место также соотношение:
4. АМ:АМ1 = 2:1,
так что очевидно, что точка А есть внешний центр подобия двух кру*
гов ЛТ, Afj.
Сопоставляя все изложенное, получаем следующую теопему:
Для всякого треугольника abc существуют две
точки А и Л из которых первая есть точка пересечения
тлехвысот тпеугольника, а вторая Z — точка пересе-
чения его медиан; они всегда лежат на одной прямой,
сцентрами М и М-, двух кругов, из которых первый
описан около треугольника, а второй проходит через
середины его сторон: эти точки суть вместе с тем
и центры подобия этих кругов, так что все четное
точки (Д, I, М, МД суть гармонические относительно
друг друга <§ 12, 1\ и как первая, так и в топа я пара
точек суть сопряженные гармонические; расстояния
четырех точекдруг от друга таковы, что имеет место
соотношение:
5. IMi-.I.M'.AMr.AM = 1 :2:3:6.
II. При помощи кпугов М и Л1, и их центров подобия А, I можно
вывести erne дальнейшие свойства, например, следующие:
1. Отрезки Аа, АЬ, Ас в плоскости Е соответствуют относительно
внутреннего центра подобия I отрезкам Mait Mbu Iv'ci в плоскости Et;
поэтому
Аа : Maj = Ab: Mb} = Ас : Mei = 2:1. »
2. Точка а', b', cf, в которых круг М, пересекает лучи Аа, АЬ
Ас, суть середины этих прямых (в силу внешнего центра подобия Д)
так что
Аа: Aaf = Ab:Abi = Ас: Дс/ = 2:1.
3. Если точки, в которых круги М и Л4, пересекаются с тремя
прямыми ааъ ЬЬь сс,, проходящими через их внутренний центр подо-
бия I, обозначим через d и dit е и eit f и fit то
Id: Idi = Je : Ze, = If : Ift = 2:1.
4. Так как точка Л\ лежит посредине между точками А и М (1, 4) и
прямые Alai и Да, перпендикулярны к <?,«,, то, следовательно, круг ЛГ,
должен проходить и через а,, потому что он проходит через а,;
точно так же этот круг должен проходить через ₽i и через у,. То же сле-
44
бия, мы будем называть относительно круга подобно располо-
женными прямыми. Всякую прямую, проходящую через один
из центров подобия А или /, относительно круга мы будем назы-
вать лучом подобия (или проектирующим лучом).
дует и из того, что AfjCj параллельна (в силу центра подобия I) Ма
и (в силу центра подобия A) Мха/ параллельна Ма, та < что а/Мхах
есть ди,метр круга Mt и, следовательно, угол с,'«/г, прямой.
5. Если продолжим прямые Ааь Ду, до пересечения с первым
кругом М в точках а, р, у, то при помощи центр) подобия Д будем
иметь:
Да: Да, = Др; др, = Ду: Дух = 2:1.
6. При помощи круга Мх следует, далее, по (4) и (§ 7), что
abt - /?Р1 = ас, • ayi,
bat • bax — bct • byi,
cat co-i = cbt • cph
7. При помощи центра подобия А следует (§ 7), что прямоугольник
Аа Д«, = АЬ • Др1 — Ас • Ду, =
= Аа Аа/ = Др АЬ/ — Ду • Ас/,
а при помощи центра подобия Г.
1а • Idi — lb • le, = lc If i = Id • Iax = le Ibt — If lcx.
Все предшествующие теоремы (1—7) можно легко формулировать
словами, как, например, следующую теорему:
В каждом треугольнике лежат па одном и том же
круге 12 точек, именно: три середины с т о р о н ах, bx, ct,
три основания вы сот «1, Р„ У1, три середины а/, Ь/, с/
тех отрезков высот, которые лежат между их точкой
пересечения А и соответственной вершиной тре-
угольника, и, наконец, три точки du elt fu которые
лежат на медианах треугольника и расстояние кото-
рых от точки пересечения их I вдвое меньше расстоя-
ния этой точки / отточек d, е, f пересечения медиан с опи-
санным кругом М (только точки dt,ei,fi и d, е, f лежат по разные
стороны от точки / ; и т. д.
III. На основании предыдущего замечания (I), что точки, подобно
расположенные относительно треугольников ab1:, axbxCi, вместе с тем
являются подобно расположенными точками и относительно центра
подо )ия I, можно добавить следующее.
Если мы вооразим четыре круга, из которых каждый касается
трех сторон треуголонтка abc (или их продолжений', и четыре круга,
вписанных точно так же во второй треугольник a,bxcIt то четыре
последи.IX круга будут соотсетствовать четырем пеэвым; это значат,
что эти круги точку I попарно будут иметь внутренним центром подо-
бия, так что их центры попа ано лежат на прямых, проходящих через
эту точ-у, и их расстояния от нее относятся, как 2:1. Подобное же
выво ится из рассмотрения треугольником abc, atbxCi и относитетьно
их гетра подоэия А. Треугольники ахЬ,сх на/b/c/ равны между собой,
и Л j есть их (шутренн й' центр । одоэия, так как а,М,а/ есть прямая,
и точка М} аеж .т посредине между а, и с/ и т. д.
IV «Ес и на окружности коуга М возьмем такие-либо четы ее точки
я, Ь, с, g, о они, взятые по три, опредетяют четыре треугольника, д-тч
к иторьш точка I, служит одинаково центром описанного круга; напротив,
45
§ 13.
I. Если будем рассматривать в плоскости какие-нибудь три
круга, центры которых М2, М;
прямой, то
внешний
3 (черт. 16) не лежат на одной
них имеют два центра подобия: один
’2. А, и
и
Черт 16.
каждые два из
один внутренний (§ 12); пусть А3 и /3, А2 и I.
Zj— соответственно
центры подобия пар
кругов и Л12, Mj и
М8, Л12 и М3. Эти
шесть центров подобия
лежат по три на четы-
рех прямых, а именно:
на одной прямой лежат
все три внешних цент-
ра, и каждый внешний
лежит на одной прямой
с двумя внутренними,
ему не принадлежа-
щими; т. е. у4вИ2.-41
и AJlJt
суть прямые.
этим треугольникам принадлежат по 4 различных точки /, как Мь
и четыре точки, как А. Каждая такая четверка точек лежит на одном
круге; радиусы этих трех новых кругов будут —, —, — радиуса кру-
3 2 1
га М; их центры лежат на одной прямой с центром круга М и на таких
расстояниях от этого центра, которые относятся, как 2:3:6, так что
точка М есть общий центр подобая трех новых кругов». Далее: если
мы каждую из четырех взятых точек a, b, с, g, например g, соединим
с точкой А (т. е. с точкой пересечения высот треугольника, определяе-
мого тремя остальными точками) прямой, то полученные т 1ким образом
четыре прямых все пересекутся в одной точке, и каждая из них будет
делиться в этой точке пополам.
V. На важнейшие из предыдущих теорем я указал уже в другом
месте, а именно в статье «Dfeveloppement d’une serie de theorfemes relatifs
aux sections coniques» в «Annales de Mathfematlques, redigfees par Gergonne»,
t. XIX, 1828. Там же я указал теорему: «круг АД касается всех четырех
кругов, которые можно вписать в треугольник abc», не зная, что это же
самое еще ранее было опубликовано Feuerbach’oM1. [Круг М называется
теперь обычно кругом Фейербаха. Карл Вильгельм Фейербах
(1800—1834), сын знаменитого юриста Ансельма Фейербаха (Иена
1775—1833) и бпат философа-материалиста Людвига Фейербаха (1804—
1872), был профессором гимназии в Э влангене и написал: «Свойства
некоторых замечательных точек прямолинейного треугольника», Нюрен-
берг 1822.— При'1, ре1.). Впрочем и проф. Dove связь между четырьмя
точками в I, [(5),] равно как и сзойства JI, 4), вывел простым способом
из непосредственных соотношений между обоими треугольниками abc и
Oi&iCj, не пользуясь центрами подобия.
46
Ё самом Деле, если проведем, например, прямую А2 -12, то она
представляет собой внешнюю ось подобия как кругов Л41 и М2,
так и кругов THj и Л13, следовательно, она должна также быть
осью подобия кругов Л12 и М3, и, как таковая, должна проходить
через их внешний центр подобия At. Чтобы нагляднее в этом убе-
диться, представим себе, что из центров М19 Л12, 44 3 кругов про-
ведены в произвольном направлении три параллельных между собой
прямых AIjTVj, M2N2, M37V3 Д° пересечения с прямой А3А2 (в точ-
ках Nu N2,N2Y Тогда отрезки этих параллелей, в ситу центров подо-
бия Аг, Л3, относятся друг к другу, как радиусы кругов; обозначив
эти радиусы через /?1, R2, RSl получим, таким образом:
MjNj : Л4^2 = : /?2 (в силу центров подобия Л3),
: ZW8<V8 = Z?t: Z?8 (в силу центров подобия Аг),
поэтому также
M8A72:M,/Vj = 7?2:/?„
откуда следует (§ И, IV), что прямая VjVg, или А2Аг, проходит
через центр подобия Аг кругов Л12, Л18.
Подобным образом доказываются остальные три случая. Следо-
вательно:
1. Шесть центров подобия, принадлежащих взя-
тым попарно трем произвольным кругам, лежащим
в одной плоскости, всегда лежат по три на четырех
прямых, а именно: на одной прямой лежат три внеш-
них центра, и каждый внешний центр лежит на од-
ной прямой с двумя ему не принадлежащими внут-
ренними, или, другими словами «три круга имеют четыре
общих луча подобия, один внешнюю и три внутрен-
н и х».
2. Если все три круга, в частности, лежат вне друг друга, то
их общие касательные пересекаются в их шести центрах подобия
(§ 12, I, 1); следовательно, предыдущая теорема может быть пере-
несена на точки пересечения шести пар касательных, общих этим
трем кругам, взятым попарно.
3. Если, в частности, один круг, например, Л18, касается двух
остальных, то две точки прикосновения одновременно представляют
собой: или (§ 12, I, 2 и 4) а) центры подобия At и А2 или Zt и /2,
или Ь) центры подобия At и Z2 или А2 и Z1( смотря по тому,
касается ли круг Л43 остальных а) одинаковым или Ь) различным
образом (т. е, внутренне или внешне). Поэтому можно также ска-
зать: (1): Если какой-нибудь круг касается двух
других кругов Л11г М2, то две точки прикоснове-
ния всегда лежат на одной прямой с внешним (.<43)
или внутренним (Z8) центром подобия последних,
смотря потому, касается ли третий круг с пер-
выми двумя одинаковым или различным образом.
47
4. Если, Далее, два круга равны .между собой, например, =RS,
то их внутренний центр подобия 12 лежит в середине между их
центрами Л11, М2, а их внешний центр подобия Л2 лежит в беско-
нечности (§ 12, I, 7); поэтому лучи подобия I 73 (/12), ZljZlg (4а)
необходимо будут параллельны оси MtM3. Если все три круга
равны между собой, то луч подобия А1А3А2 удаляется в бесконеч-
ность, и три внутренних луча подобия I2l2, I2I3, I3li параллельны
осям Л12Л13, A'lgMp
II. Сделаем еще следующее замечание о трех рассмотренных кругах,
относящееся к подобно расположенным точкам. Пусть qt и q2—
какие-нибудь две точки, подобно расположенные относительно внеш-
него центра подобия Л3 двух кругов Мг и М2; тогда лучи A2qx и A^q2
пересекаются в той точке q3, которая соответствует этим двум точ-
кам относительно центров подобия А2, А1г т. е. qt и q3, q2 и q2
суть подобно расположенные точки по отношению к кругам и М3
/Ws и Л13. Точно так же и лучи 7^, lxq2 пересекаются в той
точке р3, которая соответствует двум точкам qv и q2 относительно
центров подобия /£, /1. Но две точки q3 и р3 всегда лежат на диа-
метре третьего круга М3 на равных расстояниях от его центра.
В справедливости этих предложений легко убедиться при, помощи
предыдущего.
III. О СТЕПЕНИ ПО ОТНОШЕНИЮ К КРУГУ.
А. Геометрическое место равных степеней.
§ 14.
Пусть даны в плоскости две определенные точки М, Мг (черт. 17),
и требуется найти геометрическое место точек N, для которых
разность квадратов их расстояний от точек М, есть данная
величина, например, и2, так что
Л1№ —=
Черт. 17.
Искомое геометрическое ме-
сто представляет собой, оче-
видно, прямую NQ, перпенди-
кулярную к прямой ММг и
делящую ее на два отрезка,
разность квадратов которых
равна данной величине и2,
т. е. и
MQ2-^A11Q2 = h2.
В самом деле, если точка N удовлетворяет данному условию,
то, опустив из нее перпендикуляр на прямую Л1Л11Г будем
иметь из прямоугольных треугольников NQM и NQMp.
МП2 — QM2 = МИ j2 — QAIj2 = NQ2,
48
следовательно,
ММ2 — MMf = QM2 — QM2 = u2.
Но так как прямая ММг только в одной точке Q может быть
разделена так, чтобы разность квадратов ее отрезков, т. е.
QM2—QMj2, была равна данной величине и2, то упомянутый
перпендикуляр /VQ всегда пересекает прямую ММг в той же опре-
деленной точке Q, следовательно, геометрическое место точек N
есть определенная прямая NQ.
Лежит ли точка Q между точками М, Мг или вне их, зави-
сит от взаимного отношения величины и и расстояния MMt, от того,
именно, меньше ли и или больше, чем AlMj.
§ 15.
Представим себе, что около точек М, Mj описаны круги про-
извольными радиусами R, Rt и пусть требуется найти геометри-
ческое место точек N для того частного случая, когда разность
квадратов их расстояний от точек М, равна разности квадратов
радиусов, т. е. когда
= R2 — Rf = и2.
Если круги пересекают друг друга, то искомое геометрическое
место NQ необходимо должно быть их общей секущей, т. е. пря-
мой, проходящей через их точки пересечения.
Действительно, обозначив какую-нибудь из этих двух точек
через N, будем иметь: MN = R и MJV — Ri, что, очевидно,
удовлетворяет установтенному для N условию.
Если же круги друг друга не пересекают, то ни один из них
не пересекается прямой NQ; последняя лежит тогда или между кру-
гами или по одной стероне от них, смотря по тому, лежат ли
круги вне или внутри друг друга.
В общем прямая NQ обладает следующими свойствами по отно-
шению к двум кругам:
а) касательные, проведенные к кругам из какой
нибудь ее точки, равны между собой и
Ь) наименьшие хорды, проведенные в обоих кру-
гах через каку ю-н и будь точку ее, лежащую внутри
обоих кругов (в том случае, когда круги пересекают друг друга),
равны между собой.
И наоборот:
с) всякая точка, обладающая одним из двух
свойств а) или Ь), лежит на прямой NQ.
В самом деде, представим себе, что из какой-нибудь точки М
прямой NQ проведены к каждому кругу касатедьные; обозначим
точки прикосновения через В и Вх и представим себе далее, что
проведены прямые MN и MXN и радиусы МВ, М1В1. Тогда
из прямоугольных треугольников MBN и Mflfl получим:
4 Якоб Штейнер
49
NB2 = M№ — MB2 = — R*
и
NB2 = M- М,В2 = AfjM — R2.
Вследствие вышеприведенного равенства разности, стся-цие в пра-
вых частях последних двух равенств, равны между собой, а потому
NB2 = NB2,
или
NB = NBlt
т. е. касательные должны быть равны между собой. Подобным
образом доказывается второе свойство Ь).
Вследствие этого свойства геометрическое место NQ называется
линией равных степеней или также, если принять во вни-
мание точки, лежащие вне кругов, линией равных каса-
тельных двух кругов'). О настоящих причинах первого названия
см. вышеуказанную статью (§ 2) («Einige geom. Betrachtungen»), где
этот предмет излагается несколько подробнее.
Если, в частности, круги касаются друг друга, то линия равных
' степеней есть вместе с тем и их общая касательная в точке их
прикосновения.
§ 16.
Рассмотрим какие-нибудь трч круга, которые лежат в одной
плоскости и центры которых не лежат на одной прямой; каждые
два из них имеют линию равных степеней; пусть /V3Q3, NzQ?.
— соответственно линии равных степеней кругов и М2,
/И/и V!3, Л12 и /И3.
Представим себе точку q, в которой пересекаются две из трех
линий, нз1 рнмер, N3Q3 и 7V2Q2; эта точка, как принадлежащая
линии N3Q3, имеет равные степени относительно кругов /VIt и Л12,
и, как принадлежащая линии 7V2Q2,— равные степени относительно
кругов и Л13, т. е. если точка q лежит вне кругов, то каса-
тельные, проведенные через нее к кругам Л1г и Л12 и к кругам
Мх, Л13 соответственно равны между собой, т. е. qB{ = qB2
и qBi = qBs; если же сна лежит внутри кругов, то проходящие
через нее наименьшие хорты кругов Л1р /VI2 и кругов Afj, М3
равны между собой. Поэтому точка q имеет н относительно кру-
гов М2, Л13 равные степени (т. е. проходящие через нее касатель-
ные или наименьшие хорды этих кругов р^вны между собой,
а именно, касательная qB2 = qBA), и она лежит, следовательно,
на третьей оси NjQu принадлежащей этим кругам. Благодаря этому
‘) В настоящее врзмя более употпеЗителен термин: радикальн’.я ось
двух кругов, и для точки пересечения радикальных осек трех кругов,
взятых попарно,— радикальный центр (§ 16). — Пврев.
50
свойству точка q называется точкой равных степеней
трех кругов.
Из этих рассуждений вытекают следующие теоремы:
а) Три линии равных степеней N3QS, NZQ2, NiQlt
которые принадлежат трем кругам в одной пло-
скости, взятым попарно, всегда пересекаются в од-
ной точке q, а именно, в точке равных степеней
всех трех кругов.
И, в частности:
Ь) Если три круга в одной плоскости пересека-
ются между собой, то их три общие секущие, кото-
рые они имеют попарно, всегда пересекаются в не-
которой точке q (§ 15).
с) Если три круга в одной плоскости касаются
между собой, то касательные, проведенные к ним
в точках прикосновения, пересекаются в некото-
рой т о ч к е q.
Если три круга пересекают друг друга в одной точке, то
последняя, очевидно, есть вместе с тем их точка равных степеней q.
В. Об общей степени.
§ 17.
1. Если из того или другого центра подобия двух кругов
Л1, 7И1 (черт 18), например, из внешнего А, проведем какую-
нибудь секущую .4Z>p то четыре точки пересечения суть попарно
Черт. 18
подобно расположенные точки, именно а и b и (§ 12, III).
Но две точки пересечения одного круга можно и в другом порядке
сгруппировать попарно с точками пересечения второго круга, а именно,
4* 51
а и bu b и cx; назовем пока каждую из этих двух пар непо-
добно расположенными точками1). Если проведем далее,
через тот же'самый центр подобия вторую секущую Adlt то на ней
также лежат две пары неподобно расположенных точек, а именно,
с и dj, d и q; легко показать, что каждая из этих пар точек
лежит на одном круге с каждой парой неподобно расположенных
точек первой прямой, а именно: четыре точки a, bi и с, d± ле-
жат на одном круге; точно так же на одном круге лежат а, Ьг
и d, q; b, и c, d^-, b, и ct, d.
Действительно, проведем, например, хорды ас, bd, at ct; тогда
ас и tqq, как соответственные или подобно расположенные пря-
мые, параллельны между собой (§ 11, I и § 12, III); поэтому углы
двух четырехугольников abdc и a^bdc^ должны быть попарно равны
между собой и, так как первый вписан в круг М, то второй
должен быть вписанным в некоторый круг, т. е. четыре точки
a, b, d, с должны лежать на одном круге. Точно так же, так как
хорды Ьс и £\q параллельны, как подобно расположенные прямые,
то, следовательно, четырехугольник adcibi вписан в круг, и т. д.
Так как четыре точки b, d, alt сг лежат на одном круге, то
в отношении секущих Ab, Zq будем иметь, по известной теореме
(степень точки А относительно круга. baLdcit см. вышеупомянутую
статью § 15):
А b • Aat = Ad • Act;
точно так же, так как a, d, q, bt лежат на одном круге-
Aa-Ab^ = Zd-Zq;
и на таком же основании
Аа • A bt = Ас • Adt
и
Ab-Aal = Zc-Zdp
следовательно, в совокупности
Аа-А'\ = Ab-AaL — Ac-Ad.L — Ad-Ac v
Так как эти равенства всегда имеют место, каково бы ни было
направление секущих Ablt Adlt т. е. они имеют место и тогда,
когда мы, например, будем вращать луч АЬ± около неподвижного
центра подобия Z, и так как аналогичное имеет место и относи-
тельно внутреннего центра подобия I, то мы имеем следующую
теорему:
Если из того или другого центра подобия двух
каких-нибудь кругов М, Му проведем произволь-
ные секущие, то каждые две пары неподобно рас-
') Такие точки называют также а н т и г о м о л о г и ч п ы м и.—
Персе.
52
положенных точек пересечения, принадлежащих
двум различным лучам, всегда лежат на одном
круге; и далее: произведение расстояний каждых
двух неподобно расположенных точек от взятого
центра п о до б и я (через который проведены секущие.—Перев.)
имеет постоянную величину, т. е. для всех лучей
или для всех пар точек прямоугольник (построенный
на этих отрезках) имеет одну и ту же площадь.
Эта постоянная площадь всех прямоугольников называется
общей степенью кругов М, Ai1 относительно соответствен-
ного центра подобия — она называется внешней или внутрен-
ней общей степенью, смотря по тому, взят ли центр подобия
внешний А или внутренний /. Две неподобно расположенные
точки, которыми определяется прямоугольник, как, например, а
и bit назовем сопряженными *) точками.
(Две сопряженные точки не должны, однако, лежать непременно
на самих данных кругах; они должны лежать на одном луче и при-
том так, чтобы произведение их расстояний от центра подобия
имело определенную величину и чтобы они находились по одну
или по обе стороны центра подобия, смотря по тому, берем ли
мы центр подобия А или /.)
II. Для следующих задач важно обратить здесь внимание еще
на следующие обстоятельства.
Так как четыре точки b, alf d, q лежат на одном круге, то
хорды bd и а1с1, как общие хорды этого круга и данных кругов
Л1, 2И1( должны пересекать друг друга в некоторой точке q общей
хорды rs последних кругов [§ 16, Ь)].
На таком же основании хорды (или секущие) ас и b^, ad
и ft.Cp be и fljdj пересекаются на общей хорде (или секущей) rs
данных кругов М и Mj. Соответственное имеет место относительно
внутреннего центра подобия I. Таким образом:
Каждыми двумя парами сопряженных точек, ле-
жащих на самих кругах (но не на одном и том же луче),
всегда определяются в этих кругах такие две
хорды (или секущие), которые пересекают друг друга
в некоторой точке общей секущей rs этих кругов.
l) Steiner применяет собственно термин «potenzhaltend*, трудно под-
дающийся точной передаче по-русски. — ПеревЪ
-------------- ГЛАВА ТРЕТЬЯ --------------
РЕШЕНИЕ ВСЕХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
ПОСРЕДСТВОМ ЛИНЕЙКИ, ЕСЛИ ДАН НЕПОДВИЖНЫЙ
КРУГ.
§ 18.
I. Изложенные в двух предшествующих главах свойства фигур
дают теперь возможность приступить к настоящей цели это о со-
чинения, именно к выполнению требования: решить все гео-
метрические задачи только посредством линейки,
если дан в плоскости некоторый неподвижный
круг. И гри этом, как было уже замечено во вступлении (§ 1),
все сводится, главным образом, к решению только следующих ниже
восьми задач. Доводы, на которых основывается верность применен-
ных для решения st ix задач построений, я буду вкратце указы-
вать, если они заключаются в предшествующих теоремах, и буду
проходить их молчанием, если они вытекают из легких и общеиз-
вестных элемен’эриых теорем.
II. Итак, допустим, что в плоскости дан некоторый начерченный
круг, разно как и его центр, который в дальнейшем будем обозна-
чать через М, и что разрешается пользоваться только линейк <й
для проведения прямых линий между данными точками; при зтом,
однако, мы вправе взаимные точки пересечения вспомогательного
круга А! с произвольными прямыми считать непосредственно дан-
ными.
В таком случае можно следующим образом решить наши восемь
задач.
ПЕРВАЯ ЗАДАЧА.
Провести через произвольную точку прямую,
параллельную данной прямой.
а) Данная прямая проходит через центр вспо-
могательного круга, как, например, аМй (черт. 19). В этом
случае мы непосредственно имеем на прямой три точки, а именно:
две точки а и b ее пересечения с кругом и центр М последнего;
из них одна, именно М, лежит в середине между дзумя другими,
так чго с ее помощью легко согласно (§ 6, I) через произвольную
точку поовести прямую, параалельную ah.
Ъ) Данная прямая пересекает вспомогательный
круг, но не проходит через его центр, как, напри-
мер, cd. Из точек пересечения с, d проведем через центр диаметры
с/Ие,, d\'d ; их противоположные концы ct, dt определяют хорту
c.d, которая параллельна данной rd и с помощью которой задача
легко может быть решена (§ 6, III).
с) Данная прямая и
ние, как, например, ef. 1,
данной прямой, например че|
через какую-нибудь точку с
ab (а); проведем, наконец,
диаметры c.Mclt dMdt и че-
рез конечные точки их q, dt
прямую d cf\. Тогда мы
имеем на данной прямой три
точки с, g, f, из которых,
очевидно, одна, g, нахо-
дится на разном расстоянии
от двух других, так что
легко можно провести через
произвольную точку пря мую,
параллельную данной (§ 6,1).
Или 2. Проведем через
две произвольные точки h, i
данной прямой диаметры
h.C\C, idd{ и через их кон-
цы — паралле шные хорды
cde, d с J, которые пересе-
кут данную прямую в точ-
ках е, f- из этих точек
проведем, дшее, диаметры
e.Wq, /А1Д, пересекающие
упомянутые хорды в течках е(
данной прямой ef и мы
извольную точку провести
(§ 6, III).
меет произвольное положе-
Проведем через произвольную точку
зез g, диаметр abg; затем проведем
окружности хорду cde, параллельную
Черт. 19.
, Д. Тогда прямая е^\ параллельна
легко можем через всякую про-
прямую, параллельную последней
Примечания. 1. Третий случай (с) — общий; он обнимает и
оба предыдущих случая, равно как и тот частный случай, когда
данная прямая касается круга.
2. Если бы требовалось через дачные точки провести прямые,
параллельные нескольким данным прямым, то было бы наиболее
целесообразно сразу провести какой-нибудь диаметр ab и две рав-
ноотстоящие от него параллельные ему хорды cd, cxd • тогда, оче-
видно, эти три параллели определяют на каждой прямой (если
только они ей как раз не параллельны) три точки, как, например,
е, g и f, из которых одна, g, лежит в середине между двумя
другими.
55
ВТОРАЯ ЗАДАЧА.
На прямой дан некоторый конечный отрезок;
требуется:
а) найти другой отрезок, представляющий-со-
бой данное кратное первого;
Ь) разделить данный отрезок на какое-нибудь
данное число равных частей: или, наконец,
с) найти другой отрезок, который находился
бы с данным отрезком в некотором данном рацио-
нальном отношении.
Проведем какую-нибудь прямую, параллельную данной прямой
(первая задача); тогда эта задача сразу может быть решена по
приему, указанному в § 6, IV.
ТРЕТЬЯ ЗАДАЧА.
точку провести прямую, п ер пен-
Че р е з данную
дикулярную к данной прямой.
А. Посредством параллельных прямых.
а) Данная прямая представляет собой какой-ни-
будь диаметр вспомогательного круга, как, например,
а'о (черт. 19).
Проведем какую-нибудь хорду cd, параллельную данному диа-
метру ab (§ 6, I); проведем затем диаметр dMdx и затем хорду cdv
Тогда последняя будет перпендикулярна к данному диаметру ab,
который в точке К делит ее пополам. Чтобы решить задачу, нам
поэтому остается только провести через данную точку прямую,
параллельную хорде cKdY (§ 6, I).
Чтобы, в частности, найти тот диаметр, который перпендикуля-
рен к данному ab, представим себе, что проведены прямые ас, bd
(после того, как раньше была проведена cd || ab), и соединим пря-
мой точку их пересечения с центром М. Эта прямая и есть иско-
мый диаметр. На последнем пересекаются и прямые adv bci.
b) Данная прямая пересекает вспомогательный
круг, как, например, cd.
Проведем диаметры ссу, ddt и затем хорды cdL, dci; эти послед-
ние перпендикулярны к данной прямой cd и потому параллельны
между собой. Поэтому для решения задачи нужно только через
данную точку провести прямую, параллельную этим хордам (§ 6, III).
с) Данная прямая не пересекает вспомогатель-
ного круга, как, например, ef.
Проведем какую-нйбудь хорду, параллельную данной прямой ef
(первая задача), и пусть, например, dc}— такая хорда; проведем
56
затем диаметры ddv схс, и потом хорды cd, dYcv Эти последние
перпендикулярны к хорде dcx и, следовательно, также к данной
прямой е/; они, таким образом, параллельны между собой, и для
решения задачи нужно только провести через данную точку прямую,
параллельную хордам cd, dlc1 (§ 6, III).
Во всех трех случаях (а), (Ь), (с), как легко видеть, данная
точка может лежать, где угодно, на самой данной прямой или
вне ее.
В. Посредством гармонических свойств.
а) Данная прямая представляет собой диаметр
вспомогательного круга, как, например, ab (черт. 20).
Пусть данная точка
лежит вне вспомога-
тельного круга, как,
например, р. Проведем
через точку р и через
концы диаметра ab пря-
мые pa, pb, которые
пересекут круг вторич-
но в с, d; проведем
затем прямые ad, cb,
которые пересекутся в
какой-нибудь точке рр,
тогда прямая ррх есть
искомая. Действитель-
но, так как acb и
adb — прямые углы, то
р±с и pd суть перпен-
дикуляры, опущенные
из вершин треугольника рарг на противоположные стороны; по-
этому ab должен быть перпендикуляром, опущенным из третьей
вершины на противоположную сторону, потому что все три перпен-
дикуляра должны пересекаться в одной и той же точке Ь. Доказа-
тельство можно вывести также из гармонических свойств; с этой
целью нужно только провести еще прямую csd (§ 10). Если, в
частности, данная точка лежит на данном диаметре, как, например г,
то проведем через нее какую-нибудь секущую ref, далее, прямые
ае и bf, af и be, пересекающиеся в точках q, др, соединим по-
следние прямой qqt, которая пересечет данный диаметр ab в точке s,
через эту точку s проведем произвольную секущую csd и проведем
затем прямые ас и bd, ad и cb, пересекающиеся в точках р, pt.
Прямая ppv соединяющая эти точки, удовлетворяет условиям за-
дачи. Справедливость этого построения вытекает из § 10, III и IV;
именно, следует заметить, что sqqt есть гармоническая прямая
(поляра) точки г, ргр^ — гармоническая прямая точки s и т. д.
57
Пусть данная точка лежит внутри вспомогательного крута, как, напри-
мер, q. Проведем прямые aq, bq, пересекающие круг еще в точ-
ках е, f- проведем, д >лее, прямые af, be, пересекающиеся в точке qx\
qq.L есть искомая прямая. Если s — данная точка, то проведем через
нее произвольную хорду esd и затем пртмые ас и d), ad и cb,
пересекающиеся в точках р, р • соединим последние прямой ppv
пересекающей диаметр ab в точке г, грсведем через sty течку
произвольную секущую ref и затем прямые ае и bf, of и be\ они
пересекутся в точках q, qx, и прямая qqt удовлетворяет требова-
нию, т. е. она перпендикулярна к данному диаметру ab в данной
его точке s. Все здесь покоится на тех же основаниях, как раньше.
Ь) Данная прямая имеет произвольное положе-
ние, например, она есть р;\ (или qqj.
Найдем ее гармонический полюс s (или г) относительно вспо-
могательного круга
Черт. 21.
(§ 10, IV) и проведем проходящий через этот
полюс диаметр АД (или
Л1г). Последний перпен-
дикулярен к данной пря-
мой ppi (или qqj в точ-
ке г (или $). Найдем те-
перь гармоническую пря-
мую ху этой точки г,
проведем прямую yz, а
затем прямые az, bx, пе-
ресекающиеся в точке
диаметр v И параллелен
данной прямой ppt, и для
решения задачи нужно из
данной точки опустить на
этот диаметр перпендику-
ляр по а). Дтя прямой
qqt, как легко заметить,
решение несколько проще.
ЧЕТВЕРТАЯ ЗАДАЧА.
Через данную точку провести прямую, которая
составляла бы с данной прямою угол, равный дан-
н о м у.
Пусть АтС— данный угол (черт. 21), EFданная прямая и
р пусть данная точка. Проведем диаметры ab, cd, параллельные
сторонам угла (первая задача), так что углы аМс= АтС, и диа-
метр ef— параллельно данной прямой EF; проведем затем хорду се,
параллельную ей хорду ag и далее диаметр gh.\ тогда дуга ас = ge
и, следовательно, углы g.Vle = аМс = АтС. Проведем, наконец,
через данную точку р прямую pq, параллельную диаметру gMh
58
(§ 6, I); тома угол pqE ^/_gMe = £АтС) и будет искомый.
Если бы мы вместо се провели хорду ае, а через с — параллельную
ей хорду и т. д., то мы получили бы другой угол, также удовле-
творяю’ций условиям задачи, но обращенный в сторону точки F,
а не в сторону Е.
Точно таким же образом задача решается в том частном слу-
чае, когда данная точка лежит на самой данной прямой EF, как,
например, q, т. е. когда дана обыкновенная задача: на данной пря-
мой EF в данной ее точке q построить угол, равный по величине
и положению данному углу АтС.
ПЯТАЯ ЗАДАЧА.
а) Данный угол разделить пополам; или
Ь) взять произвольное кратное данного угла.
Случай а). Пусть АтС (черт. 21) — данный угол. Прозедем
диаметры cd параллельно сторонам угла иг 4, тС, так что
/ аМс = / АтС\ проведем затем хорду ad (или cb) и через вер-
шину данного угла — прямую тп, параллельную ad (или cd); пря-
мая тп делит угол АтС пополам.
Случай Ь). Эту задачу можно решить при помощи третьей
задачи по указанию § 9. Здесь ее можно было бы разрешить еще
другим образом, но я это опускаю, так как случай этот мне не
кажете,а особенно существенным.
ШЕСТАЯ ЗАДАЧА.
От дайной точки отложить прямую, равную
данной прямой по величине и положению.
Пусть Ма (черт. 22) — данная прямая и М2, например,— дан-
ная точка. Если требуется от точки М2 отложить несколько пря-
мых, равных данному отрезку то следующий приел, кажется,
самый целесообразный. Для более легкого понимания нужно еще,
однако, заметить предварительно, что конечные точки всех пря-
мых, удовлетворяющих условиям задачи, лежат, очевидно, на
круге М2, радиус которого равен данному отрезку М1а1. Благо-
даря этому мы можем точку Л12 и конечную точку данной прямой,
например Alj, рассматривать, как центры двух равных кругов, ра-
диусы которых равны именно данному отрезку М1а1, для того
чтобы, пользуясь взаимным соотношением трех кругов М, Aft, Л12,
а именно, свойствами их центров подобия, найти средства для
решения нашей задачи. С этой целью представим себе, что А2 и
/2, At и А и / суть соответственно центры подобия пар кру-
гов Л4 и*Л1,, М и М2, Af, и ЛТ2. Так как круги Л1,, М2 равны
между собой, то их внутренний центр подобия I лежит в середине
между их центрами Af,, М2, их внешний центр подобия А нахо-
дится в бесконечности (§ 12, I, 7), и лучи подобия AtA2 [.4],
69
/2Л[Л] должны быть параллельны оси (§ 13, I, 4). После
этого можно решить нашу задачу следующим образом.
Проведем прямые MMt, Л4/И2 и Л\М2; проведем, далее, диа-
метр ab, параллельный данной прямой Мга^, и затем прямые аха,
агЬ, пересекающие М\М в точках А2, /2; через точку А2 прове-
дем, далее, прямую A24lt параллельную МгМг и пересекающую
Л12Л1 в точке At, последнюю соединим с /2 прямой AL/2, пересе-
кающей Л'11Л42 в I, и проведем, наконец, прямую 1А2, пересекаю-
щую ММ2 в точке /j1); тогда точки AJt Д суть центры подобия
двух кругов Mi, М2, из которых последний имеет данный отре-
зок Aljflj своим радиусом.
После этих подготовительных построений уже легко от точ-
ки М2 отложить сколько угодно прямых, равных данному отрезку
М^.
Действительно, если проведем во вспомогательном круге какой-
нибудь диаметр, например ab (который, однако, не должен быть
непременно параллельным и соединим концы его а, b с точ-
ками At, Zt прямыми А,д и Ыи А\Ь и allt то прямые эти пере-
секутся в двух точках а2, Ь2, из которых каждая находится от
данной точки М2 на данном расстоянии ,M,at и притом эти три точки
а2, Л12, Ь2 лежат на одной прямой (§ 12, III).
J) Для нахождения точек А., Ц можно, в силу предыдущего, вместо
проведения прямой A2At через точку А2 провести через точку /2 пря-
мую /2Л, параллельную ЛОЛ, после чего посредством прямой A2Zi по-
лучим точку Z и посредством прямой / /2— точку А,; или, в-третьих,
можно раньше найти середину / прямой АДМ, (вторая задача) и после
этого посредством прямых ZZ2, ZA2 найти точки А,, Д.
60
Если же дано и направление прямой, которая должна быть от-
ложена, если, например, дана проходящая через М2 прямая, на ко-
торой она должна лежать, или если дана какая-нибудь прямая,
которой она должна быть параллельна, то нужно раньше провести
диаметр вспомогательного круга, параллельный этой прямой (первая
задача), а потом поступить по предыдущему.
СЕДЬМАЯ ЗАДАЧА.
Найти точки пересечения данной прямой и кру-
га, данного по величине и положению (но не на-
черченного).
Пусть Gx—данная прямая, Л1х — центр и М1а1, например,—
радиус данного круга (черт. 23).
Задача может быть решена тем, что мы построим центры по-
добия А, I двух кругов М, Mj и затем найдем ту прямую G,
которая по отношению к тому или другому центру подобия имеет
такое же расположение относительно вспомогательного круга М,
какое имеет данная прямая Gt относительно круга именно,
тогда точки пересечения g, h прямой G и крзга М должны соответ-
ствовать точкам пересечения g(, h{ прямой Gx и круга или
должны быть их подобно расположенными точками, так что по-
следние точки (gt, h) могут быть найдены тотчас посредством пер-
вых (g, h{). Но это выполняется следующим образом.
Проводим диаметр ab, параллельный данному радиусу Мхах,
затем проводим ось Ми прямые а а, а.±Ъ, пересекающие ось
61
в центрах подобия А, I (§ 12,1). Продолжим радиус at Vit до пе-
ресечения с данной прямой Gt в точке с{ и проводим затем луч
•4с1, встречающий диамэтр а'} в точке с- тогда с и ct —две подоб-
но расположенные точки относительно внешнего центра подобия А
[петому что вЛ1, atM ( — дае подобно расположенные прямые (§ 11)].
Проведем, далее, во вспомогательном круге произвольный диаметр de,
затем — прямые Ае, di, пересекаю циеся в точке е (или прямые
Ad, el, пересекающиеся в точке d ), проводим диаметр е /И1 (или
djAl ), соответствую ций de и, следовательно, параллельный de и
пересекающий прямую G, в точке Д и, наконец, проведем луч Af{,
встречающий диаметр de в точке f. Точки f и суть также
подобно расположенные точки относительно центра подобия А.
Поэтому прямые cf, cifl или G, G( подобно расположены отно-
сительно центра подобия А (§ 11,1), ран'но как н точки g и
h и h , в которых они пересекают соответственные круги Л1,
Проводим, далее, прямую cf, пересекающую круг М в точках g, h,
и затем лучи Ag, Ah- последние встречают данную прямую Gt
в искомых точках glt hL.
Примечания. 1. Относительно взаимного расположения
круга Л1 и прямой G возможны три случая, а именно: 1) или они
пересекаются в двух точках, или 2) они касаются в одной точке,
или 3) они совсем не встречаются. В каждем из этих трех слу-
чаев таково же будет, очевидно, взаимное расположение данного
круга и данной прямой Gx.
2. Если бы радиус М1а1 был как раз параллелен данной пря-
мой G , то точка с( была бы бесконечно удаленной, и тогда было
бы удобнее воспользоваться какой-нибудь другой точкой для даль-
нейшего построения, которая могла бы быть найдена и использова-
на для построения таким ясе обрезом, как точка В применениях
этого построения при полевых съемках следовало бы ради удоб-
ства в (ять другую вспомогательную точку уже в том случае, если
бы точка С; была только очень удаленной, т. е. если бы прямые
OjAlj и G, образовали очень острый угол.
3. Как при помощи внешнего центра подобия .4 мы построили
необходимую для решения задачи прямую G, или хорду gh, точ-
но так же можно посредством внутреннего центра подобия / полу-
чить прямую И, соответствующую относительно / данной пря-
мой Gj, после чего можно найти те же самые искомые точки g,, hr
посредством двух лучей, проходящих через I [и через точки пере-
сечения прямой Н и вспомогательного круга М, которые пред-
ставляют собой вторые концы диаметров круга М, проходящих
через g, h (§ 12, III)]. Есаи бы поэтому в практическом случае,
на поле, например, встретились препятствия, если бы, например,
данная прямая G, не везде была доступна, а была дана только
посредством двух точек, например и ft, которые были бы так
62
расьоложены, чТо из одной нельзя было бы видеть другой, тому
бы указанным путем воспользовались обоими центрами подобия
Ли/, чтобы получить каждую из сбеих искомых точек g{, hlt
как точку перзсечения дзух лучей, из которых один проходил
бы ч'рез А, а другой — через I. Но в этом случае ход решения
следовало бы несколько изменить. Нужно было бы, именно, рань-
ше провести через данные точки q, /х диаметры слМ,, за-
тем параллельные им диаметры ab, de, затем уже в дальнейшем
поступать по предыдущему.
4. Если бы, в частности, данный радиус Л11а1 лежал на оси Л1Л41,
если бы это, напримзр,, был то как следовало бы посту-
пить при решении? Подобный частный случай может представить
предшествующая задача, именно, если данный отрезок лежит в на-
правлении какого-нибудь диаметра вспомогательного круга Л/; и по-
добный случай может далее встретиться в следующей задаче (вось-
мая задача). Решение этих частных случаев мы предоставляем лю-
бителям для упражнения.
ВОСЬМАЯ ЗАДАЧА.
Найти точки пересечения двух данных кругов.
Первый случай. Один круг начерчен, именно представляет
собой самый вспомогательный круг М, а другой круг дан
Черт. 18.
только по величине и положению. Пусть, например, центр и
—данный радиус второго круга (черт. 18).
При решении задачи в этом случае все дело, очевидно, сво-
дится к нахождению общей секущей двух кругов, потому что по-
следняя непосредственно дает тогда на вспомогательном круге
63
Искомые точки г, s. В силу § 17 это мсжет быть выполнено между
прочим следующим образом.
Проведем во вспомогательном круге М диаметр Ьс, параллель-
ный данному радиусу Mlbl, затем ось Af/Wj и прямые btb, Ьгс,
которые встречают ось в центрах подобия А, I и пересекают
круг Л1 вторично в точках а и е; далее проводят луч Ас, который
Черт. 24.
встречает круг А1 вторично в точке d, а продолженный радиус
b./M1 — в точке ср, последняя точка лежит вместе с тем на круге
Мх; наконец проведем диаметр о/ и прямую fl, встречающую луч
/Ibj в точке которая принадлежит также кругу Л41 12, 111).
Тогда пары точек а и blt b и d и с( суть сопряженные
точки относительно центра подобия А (§ 17,1); поэтому, если про-
ведем две пары хорд ad и ^1с1 (последнюю продолжим), bd и atci,
пересекающиеся в точках p,q, а последние соединим прямой pq,
то эта прямая представляет собой общую секущую данных кругов
(§ 17, II) и пересекает вспомогательный круг М в искомых
точках г, s.
Примечания. 1. Если бы, кроме предположенных; ограни-
чений во вспомогательных средствах, было выставдено еще допол-
нительное условие — кроме точки bY (и центра /И1) не пользоваться
никакой другой точкою круга Л\—если бы это, например, было
бы обусловлено какими-либо неустранимыми препятствиями, то мы
могли бы, между прочим, следующим образом решить задачу по-
средством одного только круга М После того как мы нашли бы,
64
как раньше было указано, посредством прямых bxb, btc центры
подобия А,1, а также точки пересечения а, с, мы могли бы найти
посредством луча Ас точку d-t и посредством луча Ы точку g-
затем посредством хорд ad и eg — точку р и посредством хорд
ag и de — точку t\ тогда точки р, t лежали бы на хорде пересече-
ния rs данных кругов М, 44,. Легко найти, на чем основывается
правильность этого приема (глава II).
2. Если найденная прямая pq только касается круга М или его
совершенно не встречает, то это показывает, что и круг 44, только
касается его или совсем его не пересекает.
Второй случай. Оба круга даны только по величине и по-
ложению. Пусть, например, Mlt М2— центры, a 44,с,, M2cz—
радиусы двух данных кругов (черт. 24).
Задача в этом случае может быть между прочим разрешена
тем, что мы строим общую секущую двух данных кругов и затем
находим точки пересечения этой секущей и одного из двух кругов.
Это может быть выполнено следующим, например, образом.
Проведем в вспомогательном круге 41 диаметры ab, cd, парал-
лельные данным радиусам М^, М2а2, и найдем центры подобия
А., и /2, .4, и 7, пар кругов /14 и 41,, Л1 и 442. Затем построим,
с помощью центров подобия А2 и Z2, диаметр ctdt круга /И,, па-
раллельный cd, а потому параллельный и с2Л12 (§ 12, III), и оп-
ределим подобным образом второй конец d2 диаметра с2М2. Потом
проведем прямые с2с„ dzdlt пересекаюцие радиус 0,44, в точках eLft,
и лучи .42е,, A2fit встречающие диаметр аМЬ в точках е,
е и <?,, f и f—точки, подобно расположенные к кругам М, М1г
в отношении центра подобия А2. Проведем, далее, прямые се, df,
пересекающие вспомогательный круг (вторично) в точках g, h,
и затем лучи Azg и Azh, Alg и 4,4, встречающие прямые с2с,, d2d±
соответственно в точках gt и ft„ g2 и h2. Эти точки лежат
одновременно на кругах 44,, 442, и притом как с, и g2, так
и gt и с2, dt и h2, hx и d2 суть со 1ряженные точки относи-
тельно внешнего центра подобия этих кругов (4). Поэтому, если
представим себе далее, что проведены хорды gxh{, g2h2 (чтобы не
осложнять чертежа, последние и некоторые следующие линии в дей-
ствительности не начерчены на нем) и обозначим точки их пере-
сечения с радиусами c2d2, cxdx соответственно через р, q и прове-
дем, наконец, прямую pq, то эта прямая представляет собой общую
секущую кругов 44,442 (§ 17, II); таким образом рассматриваемая
задача сведена к предыдущей (седьмая задача), так как нам те-
перь нужно только найти точки пересечения прямой pq и одного
из двух кругов, например, круга 44,. Это же легко выполнить
посредством уже проведенных вспомогательных линий. Действитель-
но, проведем лучи А2р, A2q и обозначим точки их встречи с хор-
дой gh и диаметром cd соответственно через р, q; проведем, далее.
5 Якоб Штейнер
прямую pq, обозначим через г и s точки ее пересечения с вспо-
могательным кругом Л1 и проведем, наконец, лучи А,г, Д2$; по-
следние встретят прямую pq в точках г и s, удовлетворяющих
условиям задачи.
Я обхожу молчанием многие другие способы решения настоящей
задачи, потому что ни один из них не проще того, который толь-
ко что изложен. Один из них, например, состоит в том, что на-
ходим линии равных степеней (или общие секущие) дар кругов
/И и М и Л13 (первый случай) и из точки их пересечения q
опускаем на ось перпендикуляр, который представляет со-
бой общую секущую кругов Л12 и т. д.
§ 19.
Заключительное замечание.
Легко теперь убедиться, что все геометрические задачи, в более
тесном смысле этого слова, в действительности могут быть решаемы
при помощи предшествующих восьми задач (§ 18), т. е. их ре-
шение, как бы оно ни казалось сложно, заключается в комбинации
и повторении большего или меньшего числа построений, данных
для этих задач. Таким образом цель этого сочинения может теперь
считаться достигнутой. Возможность такого способа решэния задач
основывается, главным образом, на предшествующих седьмой и
восьмой задачах, ибо, как было уже замечено во введении,
только посредством этих именно двух задач решается большая
часть — и притом наиболее трудных — задач элементарной геомет-
рии. Но если бы мы захотели решить на деле все геометрические
задачи по настоящему методу, и решить их по возможности наи-
более простым образом, то при сложных построениях мы, конечло,
не должны следовать шаг за шагом тому приему, который обыкно-
венно применяется, когда дозволено пользоваться обоими инстру-
ментами— циркулем и линейкой; мы должны были бы, напротив,
думать о том, чтобы сделать решения насколько возможно простыми
и удобными при дозволенных здесь вспомогательных средствах.
В этом отношении вышеприведенные первые шесть задач сами
являются существенными примерами. Кроме того, все предшествую-
щие задачи показывают, что и здесь, как и вообше в геометрии,
все, главным образом, сводится к тому, чтобы обстоятельнее
исследовать свойства зависимости фигур друг
от друга. В особенности я хочу здесь заметить, что, например,
при таких задачах, где требуется: «в круг, данный только по ве-
личине и положению (или, вообще, определенный при помощи
каких-либо трех условий) вписать — или около такого круга опи-
сать— правильный многоугольник», мы можем, между прочим,
поступать так: раньше решить эту задачу для данного вспомога-
66
тельного круга М, а затем найденный многоугольник посред-
ством принадлежащих кругам Л1 и центров подобия Ли/
перенести на круг Mt, и т. д_; вышеприведенные построения со-
держат в себе достаточные указания для этого.
По этому поводу я прибавлю еще следующее замечание.
Повидимому, в общем до сих пор обращалось еще слишком
мало внимания на геометрические построения. Традиционная, пере-
шедшая к нам от древних манера, по которой задача считается
решенной, как только указано, каким образом привести ее к
другим, раньше рассмотренным задачам, очень мешает суждению,
о том, чего требует ее полное решение. Потому-то и случается
что таким образом часто указываются построения, от которых мы
бы скоро отказались, если бы были поставлены в необходимость
в действительности точно выполнить все, в них заклю-
чающееся, ибо мы, наверное, скоро убедились бы, что выполнить
построения на деле, т. е. с инструментами в руках, и выполнить
их, если можно так выразиться, только языком-—совсем различ-
ные вещи1). Очень легко сказать: я делаю то, потом другое,
затем третье; но трудность-—и в известных случаях, можно ска-
зать, невозможность действительного выполнения построений, ко-
торые в высокой степени сложны, требует, чтобы для каждой
предложенной задачи было точно определено: какой из различных
приемов является наипростейшим при выполнении всех построений,
или какой прием является самым целесообразным при частных
обстоятельствах, и сколько из того, что язык несколько поспешно
выполняет, можно устранить, если нам важно избавить себя от
всякого лишнего труда, или достигнуть наибольшей точности, или
по возможности сберечь эпюр (бумагу), на которой мы чертим, и
т. д. Одним словом: это свелось бы к тому, чтобы исследовать,
каким путем всякая геометрическая задача может
быть решена — теоретически или практически —
самым простым, самым точным или самым верным
образом, а именно: 1) какой прием является самым
целесообразным вообще; 2) какой является тако-
вым при ограниченных вспомогательных сред-
ствах, и 3) какой — при данных затрудняющих
*) Достаточно только напомнить при этом, например, о прежнем
построении того круга, который должен касаться трех данных кругов;
лаже в обыкновенном школьном преподавании, при гораздо более про-
стых задачах, встречаются подобные примеры, в чем легко может убе-
диться каждый внимательный преподаватель.
(Упоминаемая здесь проблема построения круга, касающегося трех
данных кругов, называется проблемою Аполлония-, ее решение опирает-
ся на учение о точках (центрах) подобия и учение о степени относи-
тельно круга. Аполлоний Пергский (200 г. до и. э.) написал сочинение
«De tactionibus» («О касаниях», перевод: Дистервега, Эльберфельд 1827;
Паукера, Зап. Петерб. Акад., 1831). Перев.]
5* 67
обстоятельствах. Такое исследование обнимало бы, таким,
образом, как метод Mascheroni, так и настоящий метод построений,
и сравнение всех методов между собой способствовало бы точному
знанию предмета и было бы, конечно, не безынтересно для самой
науки. Что решение предшествую-цих задач может казаться не-
сколько длинным, не должно еще отпугивать от настоящего метода:
если и в обыкновенной геометрии мы на деле выполним построе-
ния, которые требуются для решения сложной задачи, то, как
было уже сказано, мы скоро увидим, что и там многое совсем не
так просто, как это кажется, когда все выполняется только на
словах. II я убедился, что настоящим методом, при трудных на
первый взгляд задачах, мы получаем даже такие простые решения,
которые всеми возможными вспомогательными средствами не могут
ныть сделаны ни короче, ни удобнее, как это будет подтверждено
нижеследующими примерами.
---------------ДОБАВЛЕНИЕ.------------------
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ С УКАЗАНИЕМ ИХ РЕШЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙКИ
И НЕПОДВИЖНОГО КРУГА.
§ 20.
Чтобы показать, как просто решаются некоторые на первый
взгляд трудные задачи при помощи только одной линейки, если
в плоскости дан какой-нибудь неподвижный круг М, я здесь при-
бавлю еще несколько подходящих примеров. Основания, на кото-
рых покоятся некоторые из намеченных при этом решений, можно
найти в первой части «Systematische Entwickelung etc», и те ос-
нования, на которых покоятся остальные, будут изложены в сле-
дующих частях того же самого сочинения. Кроме того, сочинение
это будет содержать еще много других задач того же рода, и уже
в первой части встречаются многие такие задачи; повторение
здесь всех их казалось мне, однако, ненужным.
Относительно нижеследующих решений я должен еще преду-
предить, что если читатель хочет видеть описанные построения
действительно на бумаге, то пусть он сам построит необходимые
каждый раз чертежи (фигуры) согласно указаниям приведен-
ного решения.
ЗАДАЧА 1.
В плоскости даны два произвольных треуголь-
ника; требуется найти третий, который одно-
временно описан около первого и вписан во второй.
Пусть В, Blt В2— вершины первого и А, А1Г А2— стороны
второго треугольника, притом безгранично продолженные.
Возьмем на прямой А произвольную точку а, проведем луч АВ,
встречающий прямую 71, (если оба достаточно продолжены) в точ-
ке at; проведем затем луч а1В1, который пересекает прямую As
в точке а2, и, наконец, проведем луч а2В2, встречающий прямую А
в точке а. Задача, очевидно, имеет своею целью такое опреде-
ление первой точки а, чтобы точка а совпала с ней — в этом слу-
чае треугольник аа1а.2 удовлетворяет условиям задачи. Но так как
вообще этого совпадения не бывает, но а и а суть две различные,
зависимые друг от друга и соответствующие друг другу точки, то
и для двух других произвольных точек Ь, с на прямой А подоб-
ным образом найдем соответствующие им точки р, у на той же
69
прямой. Затем выберем из окружности вспомогательного круга М
какую-нибудь точку Р и проведем из нее лучи Ра и Ра, РЬ и
Р$, Рс и Р'(, которые пересекают круг (вторично) соответственно
в точках а и а, b и р, с и у; одну из этих пар точек, напри-
мер первую, соединим накрест с каждой из остальных, т. е. про-
ведем прямые и а^, пересекающиеся в точке р, а также пря-
мые ayt и a^j, пересекающиеся в точке </; проведем, далее, пря-
мую pq, которая вообще пересекает круг /И в двух точках г, $,
и проведем, наконец, лучи Pr, Ps; последние встречают сторону
(или прямую) А в тех точках г, s, в которых и только в которых
может на самом деле лежать вершина искомого треугольника, так
что треугольник этот, таким образом, найден. Согласно этому
существуют в общем два треугольника rri,r2r,ssi,s2,s, каждый из
которых удовлетворяет условиям нашей задачи. Но если, в част-
ности, прямая pq только касается круга, то существует один тре-
угольник, и если она его совершенно не встречает, то нет'ни од-
ного треугольника, который удовлетворял бы условиям задачи.
Примечание. Совершенно таким же образом задача ре-
шается, если вместо треугольников даны произвольные четырехуголь-
ники, или пятиугольники и т. д.
ЗАДАЧА 2.
Найти точки пересечения данной прямой и ко-
нического сечения, данного только посредством
а) пяти точек или
Ь) пяти касательных
(следовательно, не начерченного).
Случай а). Обозначим (данную) прямую через G, а пять
точек конического сечения — через Р, Р{, А, В, С. Какие-нибудь
две из пяти точек, например Р и Ри соединим прямыми с тремя
остальными, т. е. проведем лучи РА и РВ и РС
и РгС, и точки, в которых они (при достаточном продолжении)
встречают прямую G, обозначим соответственно через а и a, b и
[>, с и у. Посредством этих трех пар точек найдем на прямой О
две точки г, s точно таким же образом, как при предшествующем
решении (задача 1), следовательно, пользуясь вспомогательным кру-
гом М. Точки г, s суть искомые точки пересечения. Если прямая pq,
которую мы находим при дальнейшем построении, не пересе-
кает вспомогательного круга М, то данная прямая и коническое
сечение не пересекаются; если прямая pq и круг М касаются, то
данная прямая и коническое сечение касаются, так что в этом слу-
чае точки г и s совпадают.
Случай Ь). Этот случай легко приводится к первому, так
как при помощи одной только линейки можно найти те пять то-
чек, в которых данные пять касательных касаются конического се-
чения («Abhangigk. geom. Gestalten», ТЫ. I, S. 152).
70
ЗАДАЧА 3.
Найти те прямые, которые проходят через дан-
ную точку и касаются конического сечения, дан-
ного только посредством
а) пяти касательных или
Ь) пяти точек.
Случай а). Пусть данная точка обозначена через Р, а пять
данных касательных конического сечения — через Q, А, В, С.
Обозначим точки, в которых прямые Q, пересекаются с пря-
мыми А, В, С соответственно через а и alt b и blt с и сР Про-
ведем лучи Palt Pbit Pct и точки их встречи с прямой Q об"
значим соответственно через а, (>, у. Затем найдем на прямой
две точки г и s тем же путем, как в чвуу предшествующих за,
чах, — посредством трех пар точек а и а, b и р, с и у и вег
могательного круга М, и проведем прямые Pr, Ps. Эти прямые
и только они — удовлетворяют условиям задачи. Если прямая р.,
которая находится при дальнейших построениях (см. задачу 1),
не пересекает вспомогательного круга М, то это указывает на то,
что данная точка Р лежит внутри конического сечения, и задача
поэтому невозможна. Если же названная прямая касается круга, то
это указывает на то, что данная точка лежит на самом коническом
сечении и что, следовательно, только одна прямая (в ко герой две
совпали) может удовлетворять условиям задачи.
Случай Ь). Этот случай может быть соответствующим обра-
зом приведен к первому а) подобно тему, как это имело место
при вышеприведенной задаче (2); подробности этого можно точно
гак же найти в указанном там месте.
ЗАДАЧА 4
Коническое сечение задано четырьмя точками
и касательной; требуется найти точку, в которой
последняя касается конического сечения.
I. Обозначим данную прямую через О, а четыре данные точ-
ки— через А, В, С, ). Проведем через эти точки три пары пря-
мых, а именно, прямые АВ и С ), АС и В ), А Э и ВС, обозна-
чим точки их встречи с прямой G соответственно через а и а,
b и fl, с и у и точно таким же путем, как в предшествующих
задачах, найдем затем на прямой G точки г и $. Каждая из этих
точек удовлетворяет условиям пашей задачи, так что существуют
в общем два конических сечения, проходящих через четыре дан-
ные точки и касающихся данной прямой. Признаки, по которым
можно судить, допускает ли задача на самом деле два решения,
или только одно, или не допускает ни одного решения
(т. е, возможны ли два конических сечения, или только одно,
или ни одно невозможно) те же, что и в предыдущих задачах.
71
II. Чтобы несколько сократить построение, можно при решении
этой задачи поступить следующим образом. Проведем только две
пары прямых (I), например АВ и СЭ, АС и В 3, которые пересе-
кают касательную G в точках а и а, b и [>; из произвольно взя-
той точки Р окружности вспомогательного круга М (ср. задачу 1)
проведем лучи Р и Ра, РЬ и Р$, пересекающие круг в точках п,
и alt и проведем затем прямые и balt пересекающиеся
в точке р, равно как и прямые aib1 и a$j, пересекающиеся
в точке г; проведем прямую pt, которая вообще пересечет круг М
в двух точках г и $, и проведем, наконец, лучи Рг и Ps\ эти
последние встречают прямую G в искомых точках г' и s'.
ЗАДАЧА 5.
Даны четыре касательные и точка конического
чения; найти касательую, которая касается кони-
еского сечения в этой данной точке.
Пусть А, В, С, D-—данные четыре касательные и р — данная
точка. Обозначим точки пересечейия прямой А с прямыми В, С, Г)
соответственно через а, Ь, с и точки, в которых пересекают
друг друга прямые D и С, D и В, С и В—соответственно
через Др Ь{, с1. Проведем лучи pa, pb, рс и обозначим их точки
пересечения с касательной А соответственно через a, fJ, у. Най-
дем теперь на прямой А точки г и s тем же путем, что и выше,
посре дством пар точек а и а, b и 8, с и у и проведем лучи pr. ps
Каждый из последних удовлетворяет условиям задачи. Впрочем,
две точки г и s могут быть найдены тем же самым сокращенным
приемом, как в предыдущей задаче (задача 4, II), для чего нужны
только две из трех пар точек, например, а и а, b и [5.
ЗАДАЧА 6.
Даны три точки и две касательные конического
сечения, найти точки прикосновения последнего
с данными касательными.
Обозначим данные касательные через В, С и какие-нибудь две
из трех данных точек — через а, а. Проведем прямую аа, обозна
чим точки ее пересечения с В и С через Ь, р и найдем — тем же
самым путем, что и раньше (задача 4, II) — на прямой аа (там G)
две точки г и S. Проведем теперь через третью данную точку и
одну из двух других, а или а, прямую и на ней отыщем совер-
шенно таким же образом точки rt и st. Затем проведем четыре
прямых /ту, rS|, sr\ и каждая из этих прямых в отдельности
пересекает касательные В, С в таких точках, в которых они каса-
ются одного и того же конического сечения, проходящего через
три данные точки. Настоящая задача вообще допускает, следова-
тельно, четыре решения или существуют в общем случае четыре
72
конических сечения, которые проходят через три данные точки и
имеют две данные касательные1). Задача становится невозможной
(и конические сечения не существуют), если не существует одна
из названных нар точек г и s, гх и Но этот случай можно
распознать и непосредственно по взаимному расположению данных
пяти элементов, без предварительного построения, а именно, он
имеет место тогда, когда данные точки лежат в смежных углах,
образованных касательными В, С (но никакие две из них не
находятся на одной прямой с точкой пересечения касательных).
Частные или предельные случаи получаются, когда три данные
точки лежат на одной прямой или когда две из них лежат на одной
прямой с точкой пересечения касательных В, С и т. д.
ЗАДАЧА 7.
Даны три касательные и две точки конического
сечения; найти прямые, которые касаются послед-
него в данных точках.
Обозначим данные три касательные через В, С, D, данные
две точки — через я, а и точки пересечения пар касательных В в
С, В и D, С и D — соответственно через k, I, tn. Проведем пря-
мую аа, обозначим точки ее пересечения с какой-нибудь парой
касательных, например, с В и С, через b и 3 и найдем на пря-
мой аа посредством пар точек а и а, b и 3 определенную ими
пару точек г и s (задача 4, И). Подобным образом посредством
пары точек а и а и другой пары точек, в которых прямая аа
пересекается с другой парой касательных, например В и D, най-
дем определенную ими пару точек rt и Проведем затем лучи
kr и ks, lt\ и Is, обозначим точки пересечения прямых kr и
/г1? kr и Zs1( ks и Zrt, ks и соответственно через и, х,
у, z и проведем, наконец, пары прямых иа и иа, ха и ха, уа
и ya, га и га. Каждая из этих пар прямых, взятая в отдельно
сти, удовлетворяет условиям нашей задачи, т. е. в соответствую
щих точках я и а каждые две такие прямые касаются определен-
ного конического сечения, которого касаются также три данные
прямые В, С, D, Согласно этому задача вообще допускает четыре ре-
шения, или существуют четыре конических сечения, которые имеют
общими как три данные касательные, так и две данные точки,и т. д.
С помощью предшествующих задач (2—7) легко могут быть
решены и нижеследующие двойные задачи, которые, как легки
заметить, представляют собой частью комбинации первых задач,
частью их частные случаи.
*) Ср. Memoire sur leslignes du second ordre p. 47 par Bri-
anchon, Capitaine d’A r t i 11 e r i e, ancien Sieve de 1’Ecole
Polytechnique, Paris 1817 u. Ab hang. geom. Gestalten,
Thl. 1, S. 285.
73
ЗАДАЧА 8.
Найти точки пересечения данной прямой и кони-
ческого сечения заданного
а) четырьмя точками и касательной или
Ь) четырьмя касательными и точкой.
ЗАДАЧА 9.
Найти прямые, которые проходят через данную
ючку и касаются конического сечения, заданного
а) четырьмя касательными и точкой или
Ь) четырьмя точками и касательной.
ЗАДАЧА 10.
Найти точки пересечения данной прямой и кони-
ческого сечения, заданного
а) тремя точками и двумя касательными или
Ь) тремя касательными и двумя точками.
ЗАДАЧА 11.
Найти прямые, проходящие через данную точку,
и касательные к коническому сечению, заданному
а) тремя касательными и двумя точками или
Ь) тремя точками и двумя касательными.
ЗАДАЧА 12.
Найти точки пересечения данной прямой и кони-
ческого сечения, заданного
а) четырьмя точками и касательной в одной из
них или
Ь) четырьмя касательными и точкой прикоснове-
ния одной из них.
ЗАДАЧА 13.
Найти прямые, проходящие через данную точку,
и касательные к коническому сечению, заданному
посредством
а) четырех касательных и точки прикосновения
одной из них или
Ь) четырех точек и касательной в одной из них.
ЗАДАЧА 14.
Найти точки пересечения данной прямой и кони-
ческого сечения, заданного посредством
а) трех точек и касательных в двух из них или
Ь) трех касательных и точек прикосновения двух
из них.
74
ЗАДАЧА 15.
Найти прямые, проходящие через данную точку,
и касательные к коническому сечению, заданному
посредством
а) трех касательных и точек прикосновения
двух из них или
Ь) трех точек и касательных в двух из них.
Легко видеть, что, например, задачи 8 и 9 приводятся к зада-
чам 2 и 3 посредством задач 4 и 5; точно так же задачи 10 и
11 приводятся к задачам 2 и 3 посредством задач 6 и 7 и т. д.,
откуда легко ‘найти число возможных решений для каждой из рас-
сматриваемых задач.
ЗАДАЧА 16.
Даны две общие точки (или две точки пересече-
ния) двух конических сечений и еще по три точки
каждого из них в отдельности; требуется найти их
остальные две общие точки, равно как и их четыре
общие касательные.
Обозначим конические сечения через /< и их данные две
общие точки — через R, S, остальные три данные точки кониче-
ского сечения К — через А, В, С, а конического сечения — через
At, Blt Cv и, наконец, искомые две общие точки — через г, s.
Задача может быть решена, между прочим, следующим образом.
Проведем прямые AR, BS и CS, найдем точки а^Ь^с^, в кото-
рых они вторично (кроме /? и S) пересекают что, как извест-
но, может быть выполнено посредством линейки, так как даны
пять точек сечения Кх, проведем затем пары прямых АВ и ab,
АС и ас, обозначим точки их пересечения соответственно через
р, q, и проведем прямую pq. Последняя представляет собой общую
секущую (соподчиненную данной общей секущей RS) двух кониче-
ских сечений К и так что теперь нужно найти еще точки пе-
ресечения ее с одним из последних [задача 2, a)J для того, чтобы
получить требуемые задачею точки г, s.
Для нахождения, с другой стороны, четырех общих касатель-
ных возьмем на данной секущей /?£ какую-нибудь точку Р (лежа-
щую вне конических сечений), проведем из нее по две касатель-
ные к каждому коническому сечению, найдем затем с помощью
линейки их точки прикосновения а и b, aL и с этими кони-
ческими сечениями и потом проведем пары прямых aaL и bbl, abt
и balt которые пересекаются соответственно в точках А, I. Эти точ-
ки представляют собой точки пересечения искомых двух пар об-
щих касательных, так что последние (по задаче 3) легко могут
быть найдены.
Более простое решение данной задачи я сообщу в другом
месте.
75
ЗАДАЧА 17.
Даны две общие касательные А, Ах двух кониче-
ских сечений/(j и по три каких-нибудь каса-
тельных каждого из них в отдельности, например,
касательные Р, Q, R и Plt Qx, Rx, найти их осталь-
ные две общие касательные, а также и их четыре
общие точки.
Обозначим точки, в которых А и А, пересекаются касатель-
ными Р, Q, Р, соответственно через а, Ь, с и аь bit ct. Из каж-
дой из последних трех точек проведем еще вторую касательную
к сечению kKx (которую можно провести кроме уже данной каса-
тельной обозначим точки пересечения этих касательных с А
соответственно через a,FJ, у; найдем теперь на прямой А две точ-
ки г и $ с помощью вспомогательного круга и трех пар точек а и
a, Ь и [5, сиу и из каждой из этих двух точек проведем касатель-
ную (вторую) к К (или Д'.); эти две касательные должны касаться
и Кх (или К), поэтому они будут искомыми общими касательными.
Общие точки конических сечений могут быть найдены таким же
точно образом, как были найдены в предыдущей задаче общие ка-
сательные.
Можно еще составить множество задач, комбинируя две по-
следние задачи (16 и 17) с предыдущими, как, например, сле-
дующие.
ЗАДАЧА 18.
Даны две общие точки двух конических сечений
и по три каки х-н ибудь касательных каждого из них
в отдельности; найти их остальные точки пересе-
чения, а также и их общие касательные.
ЗАДАЧА 19.
Даны две общие касательные двух конических
сечений и п.о три точки каждого из них в отдель-
ности; найти их остальные общие касательные,
а также и их точки пересечения. И т. д.
Решение всех таких задач не представляет никакой трудности,
как достаточно ясно показывают вышеприведенные примеры; по-
этому я не считаю нужным подробно останавливаться на этом.
Действительно легко заметить, что, например, задача 18, согласно
заключительному замечанию к решению задачи 7, обнимает, в об-
щем, 16- случаев, из которых каждый в отдельности может быть
приведен к задаче 16. То же самое можно сказать и о задаче 19.
Из задач о конических сечениях я прибавлю еще следующие
две задачи.
76
ЗАДАЧА 20.
В коническое сечение, заданное пятью точками
(или к а к и м и-н и б у д ь п я т ь ю условиями), вписать
п-утельник, описанный вместе с тем около какого-
нибудь данного n-угольника (т. е. стороны которого
должны, вместе с тем, проходить в определенном
порядке через п произвольных данных точек).
ЗАДАЧА 21.
Около конического сечения, заданного какими-
нибудь пятью касательными, описать «-угольник,
который вписан, вместе с тем, в какой-нибудь дан-
ный «-сторонник (т. е. такой «-угольник, вершины
которого должны в определенном порядке лежать
на « произвольных данных прямых).
Из этих двух задач первая, или, скорее, только один ее част-
ный случай приобрел редкую известность благодаря тому, что
самые выдающиеся математики занимались им1). Сущность приема,
которым задача эта может быть решена при помощи допущенных
здесь вспомогательных средств, состоит, например, в сле-
дующем.
Обозначим коническое сечение буквой Л12 и данный «-уголь-
ник— N2. Каждые три из пяти данных точек конического сече-
ния, например а2, Ь.г, с2, определяют круг; обозначим его бук-
вой М1. Прежде всего можно посредством вспомогательного круга М
найти центры подобия Ли/ кругов /VI, /И1 (для чего достаточно
взятых трех точек круга М,). Посредством Ли/ определим какие-
нибудь две новые точки dL, et, круга М1. Так как даны пять
точек как круга Mlt так и конического сечения Л12, то для и
М2 можно найти, таким образом, центр проекции (который в боль-
шинстве случаев представляет собой точку пересечения двух об-
щих касательных к ним); обозначим его через Р. Посредством Р
и одной общей секущей AIt и Л12, например а2 Ь2, мы определим
принадлежащий кругу /И1 «-угольник /Vj, который соответствует
данному «-угольнику N2, принадлежащему коническому сечению Л12;
и затем посредством Ли/ легко находим «-угольник /V, принад-
лежащий М и соответствующий «-угольнику Nt, принадлежа-
щему Затем впишем посредством только линейки в круг М,
имеющийся у нас начерченным, «-угольник N', который вместе
1 Kltigel's Mathematisches Worterbuch, ТЫ. III., Art. Kreis. § 115, S.
155, и, кроме того, поздне:шие работы о том же предмете математи-
ков— Gergonne, Encontre, Servois, Rochat, Brianchon, Poncelet, Lhuilier и
др., в «Annales de Mathematiques», т. I и VIII, в «Journal de 1’Ecole Poly-
technique», cahier X, и т. д.
77
с тем описан около данного «-угольника №); найдем потом, по-
средством А и I, угольник ТУ/, принадлежащий к кругу и
соответствующий «-угольнику N' относительно центра подобия А
(или /), а затем (посредством Р и а2Ь2)— n-угольник ТУ/, соот-
ветствующий «-угольнику ДТ/ и принадлежащий коническому се-
чению М2; «-угольник N2' и будет удовлетворять условиям задачи.
Соответственным образом может быть решена и другая задача (21).
Примечание. Изложенные до сих пор задачи, начиная с зада-
чи 2, как легко заметить, попарно связаны друг с другом согласно
так называемому принципу двойственности, а именно: 2 и 3, 4 и
5,..,20 и 21
ЗАДАЧА 22.
Даны: кака я-н ибудь точка круга и его центрМр
который, однако, предполагается недоступным;
найти сколько угодно других точек этого-круга.
Если, например (черт. 25), точка определяется каким-нибудь
хвысоким предметом — башней или деревом и т. п.,—который на-
одится на маленьком острове, или в середине города, так что со
всех сторон через пространство трудно подойти к нему, ио он
виден из точки ах и из других точек М, А, а,..., и если требуется
проложить по окружающей остров воде или около города круговую
дорогу или канал так, чтобы дорога или канал проходили через дан-
ную точку д, и имели центром предмет Мх, то один человек,
посредством немногих вспомогательных средств, а именно, посред-
ством вех и цепи (или веревки) определенной длины, может
следующим образом найти сколько угодно точек, через которые
проходит вышеупомянутая дорога.
Черт. 25,
В точке «j установим вертикально веху, отложим в направлении
AljCj два произвольных равных расстояния, например ахт--= тп,
1 Это можно сделать, пользуясь, например, приемом, который
впервые опубликовал Poncelet в <Annales de Mathematiques», t. VIII.
78
и в точках т и п также поместим вехи. На какой-нибудь ровной
площадке отмерим прямую ab, параллельную прямой ахтп (§ 6,1).
затем в точку Л1, которую примем за центр вспомогательного круга,,
поместим веху, на которую свободно надевается кольцо, находя-
щееся на одном конце цепи, отложим Ма~ МЬ = длине цепи и
установим вехи в точках а и Ь. Поместим, далее, веху в Л-—точке
пересечения прямых ар и МХМ, равно как и в /-—точке пересе-
чения прямых а^Ь и MjM; тогда с помощью этих приготовительных
операций можно найти сколько угодно точек круга Mv Действи-
тельно, если натянем цепь в прсизвольном направлении, например, по
направлению к с, и установим здесь веху, а затем натянем ее в прямо
противоположном направлении до точки d и здесь тоже поместим
веху, то и точка пересечения с, прямых Ас и di и точка пересе-
чения dY прямых Ad и с/ прелставляют собой точки круга /Ир
Если бы существовали такие препятствия, которые мешали бы
видеть предметы через пространство R, т. е. если бы из А и /
нельзя было бы видеть си то нам следовало бы раньше построить
требуемое количество точек вдоль видимой дуги ар, а потом выбрать
вспомогательный круг в каком-нибудь другом месте, чтобы получить
новую дугу или чтобы продолжить прежнюю, и поступать так до
тех пор, пока не получили бы полного круга Л1.
Если бы вместо центра Mj и точки а, окружности искомого
круга были даны какие-нибудь три точки последней alt d{, elt то
задача могла бы быть решена, например, следующим образом.
Построим какой-нибудь треугольник ade, стороны которого со-
ответственно параллельны сторонам данного треугольника a, dx
найдем центр М круга ade (т. е. круга, описанного около треуголь-
ника ade), а также центры подобия А, I кругов ade, aid1ei, и
будем потом поступать по предыдущему. Чтобы провести, например»
прямую ad параллельно прямой aldl, необходимо продолжить по-
следнюю за одну из ее конечных точек для того, чтобы можно было
на этом продолжении отложить два равных отрезка, как и раньше,
а1т = тп. Но это продолжение, как известно, возможно и в том
случае, когда ни одна из обеих конечных точек не видна из дру-
гой и когда даже отрезок прямой между ними (от ах до dt) недо-
ступен, если только точки эти видны со стороны, например, из В1)
То же касается и остальных пар точек ае и ale1, de и dle1. Подоб-
ные треугольники a,dtet и ade будут тогда или подобно располо-
жены или не подобно расположены (антигомологичны); в первом
случае, который представлен на нашем чертеже, прямые, проходя-
щие через соответственные вершины треугольников, как то прямые
ар и dp, пересекаются во внешнем центре подобия А и т. д.
*) См. Handbucli des Feldmessens tind Nivellirens von Crelle, Berlin,
1826, § 67, стр. 116, где между прочим эта задача всесторонне рассматри-
вается.
СОДЕРЖАНИЕ.
Стр.
Вступительная статья...................................... 3
Предварительные замечания................................ 13
ГЛАВА ПЕРВАЯ-
Некоторые свойства прямолинейных фигур и основанные на
них построения с помощью одной только линейки........... 16
I. Гармонические лучи и точки. Трансверсали............... —
Л. Построения при помощи линейки при известных предположе-
ниях ................................................ 20
А. Если даны параллельные линии или отрезки, разделенные в
некотором рациональном отношении...................... —
В. Если в некоторой плоскости даны две пары параллельных
прямых или два отрезка, разделенных в рациональном от-
ношении, или параллельные прямые и отрезки, разделенные
в рациональном отношении............................. 26
С. Если дан некоторый квадрат........................ 28
ГЛАВА ВТОРАЯ-
О некоторых свойствах круга........................... 31
I. О гармонических свойствах.......... ... . —
II. О центре подобия..................................... 36
III. О степени по отношению к кругу....... ... . . 48
А. Геометрическое место равных степеней . ............ —
В. Об общей степени................................. 51
ГЛАВА третья
Решение всех геометрических задач посредством линейки, если
дан неподвижный круг................................. 54
ДОБАВЛЕНИЕ
Смешанные задачи, с указанием их решения с помощью линей-
ки и неподвижного круга............................... . 69
Якоб Штейнер. Геометрические построения
Государственное учебно-педагогическое издательство
Наркомпроса РСФСР. 1939 г.
Ответственный редактор А. В. 3 а н с о х о в.
Технический редактор В. И. И в а н о в. Корректор Е. В. С а п г и р.
Уполномоченный Главлита № А—12449
Сдано в набор 16/IV 193Э г. Подписано к печати 3/VIII 1939 г. Индекс У-2
Учпедгиз №12115. Тираж 10 000 зкз. Печ. листов 2.5 + вклейка 1/16.
Учетно-изд. лист. 5,19 + вклейка 0,04. Формат бумаги 84X108*/,,,.
• Бум. л. 1,25. Тип. зн. в 1 бум. л. 185.000. Заказ 521.
18-я типография треста ..Полиграфкнига», Москва, Шубинский пер., 10.