Л. ФЕЛСЕН, Н. МАРКУВИЦ

И злучение и рассеяние
волн
том

Перевод с английского
под редакцией
М. Л. ЛЕВИНА

Издательство «МИР» Москва 1978
УДК 538.8

Книга представляет собой монографию, посвященную теории
возбуждения волн заданными источниками и исследованию дина-
мики возбужденного поля в пространстве и времени. Особое вни-
мание уделено электромагнитным волнам, причем постановка за-
дачи дается в весьма общем виде и общее решение прослежи-
вается как в простейшем случае скалярных акустических задач,
так и в более сложном случае электромагнитных волн в плазмо-
подобных средах.

В русском переводе выходит в 2-х томах. Настоящий, 1-й том
представляет собой первую часть монографии.

Книга предназначена для научных работников и инженеров,
которые имеют дело с вопросами электромагнетизма и особенно
с электродинамикой СВЧ.

Редакция литературы по физике

Original English language edition published by
ЛЛ.Л. ЛЛЛ	Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey,

20407-066	U.S.A. Copyright © 1973 by PRENTICE-HALL, INC.

041 (01)—78	(g) Перевод на русский язык, «Мир», 1978
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Неослабевающий поток публикаций по математической тео-
рии классических волновых полей в неоднородных и ограничен-
ных областях давно уже требовал появления итоговой моногра-
фии, суммирующей как аналитические методы, так и конкрет-
ные результаты этой теории. Поэтому более чем своевременным
был выход в 1973 г. книги Л. Фелсена и Н. Маркувица «Излуче-
ние и рассеяние волн», предлагаемой теперь советскому чита-
телю. Ее авторы не нуждаются в рекомендациях — они хорошо
известны в научном мире как крупнейшие специалисты в обла-
сти теории дифракции и распространения электромагнитных
волн.

Подробное авторское предисловие дает полное представле-
ние о характере и содержании книги, которая счастливо соче-
тает качества первоклассного учебного руководства по совре-
менным методам теории дифракции, богатейшей энциклопедии
аналитических решений конкретных задач и стимулятора новых
исследований. При пользовании монографией как справочни-
ком следует помнить (особенно при рассмотрении картин на
комплексных плоскостях) о многократных переобозначениях
мнимой единицы / =<=* —I. На наш взгляд, они вряд ли оправ-
данны, хотя и несколько разнообразят изложение, неизбежно
монотонное при единообразном подходе к очень широкому кру-
гу проблем.

Перевод книги, выходящей на русском языке в двух томах,
выполнен С. Н. Бреусом (гл. 4, 6), Г. В. Воскресенским (пре-
дисловие; гл. 1; гл. 5, § 1—7), В. Н. Курдюмовым (гл. 3; гл. 5,
§ 8 и 9; гл. 7) и В. Д. Новиковым (гл. 2 и 8).

М. Л. Левин
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ

Классическая теория поля изучает пространственно-времен-
ные зависимости физических характеристик поля, возбуждае-
мого заданными источниками. При этом в линейном режиме
подход практически не зависит от природы поля и одинаков в
случае звуковых, электромагнитных, плазменных и других ви-
дов полей. Для произвольного линейного поля в рассматривае-
мой пространственно-временной области характеристики поля
и его источники задают обычно посредством дифференциальных
уравнений в частных производных, причем единственность ре-
шения обеспечивается заданием граничных и начальных усло-
вий. При такой постановке задачи решение можно найти в виде
общих формул для поля, и тогда задача сводится к преобразо-
ванию этих формул в выражения, быстро сходящиеся в той или
иной пространственно временной области.

Общая задача теории поля — это задача о рассеянии, или
дифракции, при разном расположении источников возбуждения,
которые могут находиться на конечном расстоянии от препят-
ствия или быть бесконечно удаленными, а также при разных
пространственных и временных зависимостях в области рассея-
ния. Принцип эквивалентности позволяет заменять рассеиваю-
щие препятствия «наведенными токами» (не известными зара-
нее); тем самым общая задача сводится к нахождению полей,
излучаемых заданными и наведенными источниками, располо-
женными в области со сравнительно простой геометрией. Наша
книга и посвящена главным образом такой задаче об излучении,
т. е. отысканию полей, возбуждаемых источниками произволь-
ного вида в области со сравнительно простой геометрией, и
исследованию распространения этих полей. Определение наве-
денных токов рассматривается как отдельная самостоятельная
задача; ее решение зачастую связано со значительными анали-
тическими трудностями и обычно требует применения методов
интегральных уравнений или исследования бесконечных систем
уравнений ’).

В случае линейных полей, когда применим принцип суперпо-
зиции решений, основу задачи об излучении составляет опредё-

*) Относительно оригинальных пионерных приложений к волноводным за-
дачам см., например, монографии [1, 2].
ление поля, возбуждаемого точечным источником. Это так на-
зываемая задача о нахождении функции Грина. Функции Грина
оказываются скалярными для простых звуковых полей, аффи-
нерными для векторных электромагнитных полей и матричными
функциями размерности N для более сложных полей. В слу-
чае произвольного линейного поля составляющие аффинорной
или матричной функции Грина, как правило, не являются неза-
висимыми, но в некоторых областях функция Грина самого об-
щего вида может быть «скаляризована», т. е. разложена на не-
которое число независимых скалярных функций Грина. Тем са-
мым в таких областях, где возможно «разделение переменных»,
аффинорные электромагнитные функции Грина сводятся к ска-
лярным функциям Грина акустического типа, так что резуль-
таты, справедливые для поля простейшего типа, могут быть не-,
посредственно перенесены на поля иного типа. Центральной
темой этой книги является отыскание функций Грина для одно-
родных и неоднородных областей с плоской, цилиндрической,
сферической и т. д. симметрией.

Различные представления функции Грина можно находить,
пользуясь суперпозицией волновых функций, отражающих сим-
метрию области, где рассматривается поле. Так, в случае ли-
нейного стационарного поля в неограниченной однородной об-
ласти удобную систему функций, пригодную для полного пред-
ставления поля с произвольной зависимостью от координат и
времени, образуют плоские волны exp[i(k-r— «>/)]; здесь к —
волновой вектор, а <в — круговая частота, причем значения ве-
личины (к, <в) = (kx, kv, kz, со) соответствуют определенной об-
ласти спектра. Например, в распределении Фурье — Лапласа
- переменные (к, со) имеют непрерывный спектр, охватывающий
все (или почти все) действительные значения от —оо до +°°, а
соответствующие плоские волны образуют полную ортогональ-
ную систему функций в пространственно-временном континууме.
Характерная особенность такого представления состоит в том,
что амплитуды этих плоских волн определяются путём простых
алгебраических выкладок. В представлениях, которые мы в даль-
нейшем будем называть разложением по пространственным или
временным волноводным волнам, лишь три из четырех парамет-
ров периодичности (к, ©) используются для спектрального раз-
ложения; четвертый же определяется так называемым диспер-
сионным уравнением; получающаяся система плоских волн об-
ладает свойствами ортогональности и полноты на трехмерной
пространственно-временной гиперповерхности, а амплитуды
поля определяются решением обыкновенных дифференциальных
уравнений. Для нахождения поля в ограниченных или анизо-
тропных областях используют представления, аналогичные ука-
занным разложениям по гармоническим плоским волнам;
у каждого из представлений своя степень сходимости и своя
область применимости, позволяющие решать те или иные задачи
теории поля.

Хотя представление поля в виде таких разложений формаль-
но дает точное решение задачи, следует еще преобразовать вхо-
дящие в них интегралы таким образом, чтобы получить быстро
сходящиеся или аналитические выражения для поля. В ряде
случаев это удается сделать точно, но чаще приходится доволь-
ствоваться приближенными результатами. Чрезвычайно мощ-
ным и физически осмысленным методом получения приближен-
ного решения является известный в теории функций комплекс-
ного переменного метод перевала, или «метод седловой точки».
С помощью этого метода находят асимптотическое «квазиопти-
ческое» приближение для поля в области, освещенной источни-
ками, и его можно также обобщить на область «тени» и «пере-
ходную» область (полутень). Все эти приближенные методы
тесно связаны с лучевой оптикой [3], теорией распространения
волновых пакетов, ВКБ-приближением и т. д., используемыми
при решении систем дифференциальных уравнений в частных
производных.

Если известна подходящая базисная система собственных
волн, или мод, то представление решения для поля в виде раз-
ложения по модам осуществляется в два этапа: 1) анализ —
прямое преобразование, состоящее в определении зависимости
амплитуд собственных волн от вида источника, и 2) синтез —
обратное преобразование, определяющее искомую зависимость
поля от координат и времени. В различных главах этой книги
будут изложены и проиллюстрированы способы анализа и син-
теза поля с помощью собственных волн при разнообразных ус-
ловиях излучения и рассеяния. Хотя о содержании нашей книги
можно судить по ее оглавлению, мы сделаем некоторые пояс-
нения и скажем несколько слов о принятом порядке изложения
рассматриваемых вопросов. С этой целью мы кратко перечис-
лим основные обсуждаемые проблемы, которыми определяется
разбиение книги по главам.

Глава 1 посвящена формулировке линейных задач теории
поля и указанию основных методов их решения. При описании
поля с помощью систем уравнений первого порядка (дифферен-
циальные уравнения в частных производных) отмечаются об-
щие для звуковых, электромагнитных и плазменных полей ха-
рактерные особенности, свойства и методология; затем рассма-
триваются «приведенные» уравнения теории 1Голя (описание с
помощью уравнений второго и более высокого порядка). Срав-
нение функций Грина для этих полей позволяет судить об их
сходстве и взаимосвязях. Различными способами выводятся точ-
ные выражения для этих функций в виде разложений по собст-
венным волнам и проводятся вычисления в аналитической фор-
ме в простейшем случае однородной неограниченной области.
Детальным образом рассматриваются способы получения при-
ближенных оценок, справедливые при наличии неоднородно-
стей, анизотропии и дисперсии, получаемые вначале обычным
методом перевала, а затем в приближении лучевой оптики и с
использованием параболического уравнения. Поэтому гл. 1 не
следует пропускать при первоначальном чтении; в ней связы-
ваются в единую систему и иллюстрируются простейшими при-
мерами многие из приложений, рассматриваемых в других гла-
вах. Вводные замечания к различным разделам позволят
читателю быстро уяснить общий смысл рассматриваемой про-
блемы.

Главы 2 и 3 имеют дело с представлением поля в виде раз-
ложения по собственным волнам в общем случае неоднородных
и ограниченных областей. В гл. 2 рассматривается решение за-
дач о собственных значениях для электромагнитных полей в од-
нородных и сферических волноводах; это решение дает базис
собственных волн, позволяющий свести задачи для векторных
электромагнитных полей к задачам типа передающих линий
(описываемых обыкновенными дифференциальными уравнения-
ми). Решение телеграфных уравнений, к которым сводятся ура-
внения для поля в волноводных областях, проводится как мето-
дами теории цепей, так и с помощью скалярной одномерной
функции Грина. В гл. 3 приводятся явные выражения для век-
торных и скалярных собственных волн (мод) и показывается их
ортогональность для волноводов с разными сечениями. Резуль-
таты получаются классическими методами, методом характери-
стической функции Грина (резольвенты) и методом эталонных
уравнений в точном и приближенном рассмотрениях для одно-
мерной краевой задачи типа Штурма — Лиувилля, справедли-
вых как при однородном, так и при неоднородном по сечению
заполнении волновода. ’ Помимо своего значения при исследо-
вании прикладных вопросов в последующих главах книги, со-
держание гл. 2 и 3 образует основу для рассмотрения теории
линий передачи и сопутствующих задач о собственных значе-
ниях.

В гл. 4 подробно говорится о вычислении интегралов мето-
дом перевала, позволяющим получить приближенные аналити-
ческие выражения для поля при синтезе собственных волн. Рас-
сматривается вопрос о выборе контура интегрирования по ли-
нии наибыстрейшего спуска, причем особое внимание обращено
на получение единого математического описания эффектов, об-
условленных наличием вблизи точки перевала особых точек раз-
ного типа или совпадением нескольких точек перевала. Физиче-
ски эти эффекты связаны с описанием поля в так называемой
переходной области, или полутени, разделяющей области «све-
та» и «тени», или в более общем смысле — области с разными
законами распространения собственных волн. Хотя при изложе-
нии упор делается на физический смысл различных интеграль-
ных представлений, глава вполне самостоятельна как краткое
изложение теории асимптотических оценок интегралов.

Главы 5—6 посвящены приложению математической теории,
изложенной в гл. 3, к нахождению явных выражений для полей,
излучаемых источниками в изотропно-слоистых средах с пло-
ской, цилиндрической и сферической симметрией. В основном
рассматриваются электромагнитные поля, но зачастую задачи
допускают скаляризацию (либо непосредственно, либо путем
сведения к нескольким задачам), и результаты, полученные в
каждом таком случае, непосредственно применимы к акустиче-
ским или иным скалярным полям. В связи со сложностью ряда
вычислений мы попытались стандартизовать способ представле-
ния большинства результатов. После постановки задачи прежде
всего приводится сводка и физическая интерпретация получен-
ных результатов для различных областей их применимости; за-
тем под заголовком «Замечания» даются более подробные ука-
зания относительно математического анализа и ограничений
метода, если они существуют. Такое разделение теории и ре-
зультатов сделано преднамеренно с ориентацией как на читате-
ля-прикладника, так и на читателя-теоретика; принятый способ
изложения придает этой части книги сходство со справочником
по решенным задачам, в чем нетрудно убедиться, взглянув на
оглавление.	,

В гл. 7 и 8 изложенное ранее обобщается на случай полей
в анизотропных средах. При этом в гл. 7 рассматриваются одно-
осные кристаллы, а исследование гиротропных сред и сред с бо-
лее сложным характером анизотропии отнесено в гл. 8. Иссле-
дуемые типы анизотропии охватывают такие среды, как кри*
сталлы, плазма и ферромагнетики, свойства которых в элек-
тродинамике характеризуются тензорами диэлектрической и
магнитной проницаемости. При таком подходе не учитываются
некоторые неэлектромагнитные эффекты, но зато в тех случаях,
когда он допустим, он дает количественные оценки ряда ожидае-
мых дисперсионных волновых эффектов.

Что касается общего характера изложения, то в нашей книге
было затрачено немало усилий с целью выработать единый си-
стематизированный подход к анализу линейных задач теории
поля на основе метода собственных функций и теории линий пе-
редачи (теории цепей). Можно спорить, оправданна ли такая
систематизация при решении той или иной конкретной задачи.
Но при анализе целых классов сходных, хотя и не идентичных
задач теории поля почти неизбежно приходится игнорировать
излишние аспекты. В силу сказанного, в нашем изложении ос-
новное внимание уделяется методам, пригодным для решения
широкого класса задач; однако мы постарались путем полной и
законченной формулировки задач и за счет большого числа пе-
рекрестных ссылок удовлетворить также и читателя, которого
интересует лишь некий частный случай. Упомянутый выше под-
ход, использующий разложение по волноводным волнам, был
успешно применен при решении многих электромагнитных и
акустических задач и, возможно, окажется столь же плодотвор-
ным в сходных приложениях, касающихся волн в плазме, твер-
дом теле и других средах.

Нам хотелось бы принести извинения в связи с возможными
шероховатостями в некоторых разделах книги, обусловленными
ее «историей». Большую часть материала составило содержание
лекций, читанных авторами последние 15—20 лет, главным об-
разом в Бруклинском политехническом институте и частично,
одним из авторов, в Нью-Йоркском университете; черновой текст
частей этой монографии возник из серии широко распростра-
ненных отчетов, выпущенных ранее исследовательским инсти-
тутом по СВЧ при политехническом институте под названием
«Анализ и синтез электромагнитных полей на основе собствен-
ных волн». Авторы выражают свою признательность Кембридж-
ской исследовательской лаборатории ВВС (Бедфорд, шт. Масса-
чусетс) за поддержку при написании этих отчетов; мы глубоко
благодарны также Кембриджской исследовательской лаборато-
рии ВВС и Объединенному совету по исследованию электрон-
ных устройств за разрешение включить в книгу многие из пред-
ставленных в ней результатов. Хотя были затрачены значитель-
ные усилия на улучшение текста книги, авторы не считают, что
представление материала оптимально во всех отношениях. В этой
связи следует сделать одно замечание. Мнимая единица — 1
в книге обозначается либо через i, либо через —j в зависимости
от того, относится рассматриваемый раздел к математической
физике или к радиотехнике. Это соответствует преимуществен-
ному использованию временных зависимостей ехр (—ко/) и
exp(+/cof) в научной литературе по каждой из указанных дис-
циплин при рассмотрении гармонически меняющихся во времени
полей. Очевидно, что такое разделение нельзя считать однознач-
ным, но инженеры по традиции больше имеют дело с передаю-
щими линиями и теорией цепей, нежели с рассеянием и дифрак-
цией. Чтобы свести путаницу к минимуму, мы часто указываем
временную зависимость всюду, где это нужно, а возможность
быстрого перехода от одной зависимости к другой зачастую ока-
зывается полезной при сравнении различных результатов, опуб-
ликованных в технической литературе. Наконец, следует огово-
риться, что не делалось попытки привести исчерпывающую
библиографию; однако цитируемая литература дает основную
информацию по рассматриваемому вопросу.

В подготовке материала для книги участвовало большое чис-
ло отдельных лиц. Мы признательны слушателям и коллегам
за замечания и критику. Особую благодарность нам хотелось
бы выразить Маргарет Бартоли за труды при напечатании ру-
кописи и ее окончательной подготовке. Мы глубоко благодарны
руководству электрофизического факультета Политехнического
института, а на конечной стадии — руководству научно-техниче-
ского колледжа Нью-Йоркского университета, предоставившим
нам все необходимое для написания книги. И наконец, мы бла-
годарны нашим семьям; их постоянная поддержка и терпение
сделали возможным завершение нашего труда.

Л. Фелсен,
Н. Маркувиц
Нью-Йорк

ЛИТЕРАТУРА

1.	Schwinger L, Saxon D., Discontinuities in Waveguides, Gordon and Breach,
New York, 1969 [имеется перевод: Ю. Швингер, Неоднородности в волново-
дах, Зарубежная электроника, № 3 (1970)].

2.	Вайнштейн Л. А., Теория дифракции и метод факторизации, М., 1966.

3.	Keller J. В., A Geometric Theory of Diffraction, в книге: Symposia on Ap-
plied Mathematics, vol. 8, McGraw-Hill New York, 1958, p. 27.
глава i. Линейные поля,
зависящие от координат
и времени

§ 1.	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ О ВЕКТОРНОМ ПОЛЕ

И СКАЛЯРНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ

Зависимость линейного поля от координат и времени при
заданном возбуждении неявным образом описывается уравне-
ниями поля, и задача состоит в отыскании решения этих урав-
нений, удовлетворяющего определенным начальным и гранич-
ным условиям. Нахождение явных выражений для поля зача-
стую облегчается, если известны свойства симметрии поля
(свойства взаимности), а потому желательно установить такие
свойства исходя из общих уравнений поля. Для этого рассма-
тривают вспомогательные или сопряженные задачи, связанные
с исходной задачей теории поля таким образом, что их анализ
позволяет выявить пространственно-временную симметрию ис-
ходного поля.

Если выразить искомое поле через функции Грина, описы-
вающие отклик поля на «возбуждение точечным источником», то
требуемые свойства симметрии найдут компактное выражение
в симметрии функций Трина. Ниже будут определены функции
Грина для ряда линейных задач классической теории поля, что
позволит выявить общие свойства, присущие любому линейному
полю, и использовать общие математические решения для нахо-
ждения полей разного типа. При рассмотрении скалярного, век-
торного или n-компонентного (матричного) поля функции Гри-
на описываются соответственно скаляром, аффинором или
матрицей. Наиболее удобны для анализа скалярные функции
Грина, и потому всегда, когда это оказывается возможным,
аффинорные и матричные функции Грина будут представляться
в виде суммы независимых скалярных составляющих. Правда,
подобная скаляризация задачи далеко не всегда может быть
проведена.

Уравнения, описывающие поле, можно представить либо как
систему дифференциальных уравнений первого порядка в част-
ных производных, либо, если исключить некоторые переменные
поля, как уравнения более высокого порядка. У уравнений пер-
вого порядка то преимущество, что они имеют одинаковый вид
для однородных и неоднородных сред (т. е. сред, характери-
стики которых в первом случае не зависят, а во втором зависят
от координат). Если же при решении задач теории поля исхо-
дить из уравнений второго порядка, то вид уравнений, как пра-
вило, оказывается неодинаковым в случае однородных и неод-
нородных сред. Мы приведем формулировки обоих типов для
целого ряда линейных полей.

Когда задача о сложном поле формулируется в виде уравне-
ний второго порядка, влияние поля одного типа проявляется в
изменении вида характерных параметров иного типа. Так, при
исследовании электромагнитного поля в плазме на основе урав-
нений второго порядка учет динамических эффектов, связанных
с наличием заряженных частиц в ионизованных средах, приво-
дит к изменению эквивалентной диэлектрической проницаемо-
сти среды. Если в уравнениях первого порядка основные пара-
метры не обладают дисперсией, то в уравнениях второго
порядка, напротив, они могут обладать пространственной и
частотной дисперсией. Пространственная и частотная дисперсия
основных параметров возникает обычно при наличии наряду с их
прямой зависимостью от координат и времени еще и зависимо-
сти от оператора дифференцирования в первом случае по коор-
динатам, а во втором — по времени. Следует иметь в виду, что
иногда под «дисперсией» понимают также частотную зависи-
мость плоских волн, составляющих поле. Эти два значения од-
ного и того же термина не обязательно эквивалентны, и их сле-
дует различать.

а. Скалярное звуковое поле

Общие свойства

В нейтральной однородной или неоднородной сплошной сре-
де без вязкости с плотностью nQm и статическим изотропным
давлением ро могут распространяться звуковые волны. В ли-
нейном режиме звуковое поле описывается малыми изменения-
ми амплитуды давления р = р(г, /) и скорости v = v(r, /), удо-
влетворяющими уравнениям Эйлера [1]

Vp + Пот	= — f.

Функции s = s(r, t) и f = f(r, t) в правых частях уравнений,
определяющие условия возбуждения, — это плотность скаляр-
ного источника частиц и плотность (векторных) внешних сил;
у — пуассоново отношение удельных теплоемкостей для среды;
V —оператор Гамильтона. Уравнениями (1) однозначно опреде-
ляются поля давления и скорости, если наложить на функции s
и f, описывающие источники, нулевые начальные условия s =
= 0 = f при t гС Л, а на оба искомых поля — начальные усло-
вия

p = 0 = v при t^ti	(la)

и граничные условия

p = av-n на S.	(16)

Здесь п — единичный вектор нормали к поверхности S (если она
существует), ограничивающей объем, внутри которого справед-
ливы уравнения (1), а а —параметр, характеризующий свой-
ства границы.

Умножив обе части первого уравнения системы (1) на р, а
i второго на v и сложив их, получим уравнение, которым выра-
жается закон сохранения энергии:

Г	=	+	(2)

;	Вектор pv можно рассматривать как мгновенный поток мощно-

1	сти звука через единичную площадку в точке г в момент вре-

мени t, а выражение в круглых скобках — как плотность полной
запасенной энергии. Величины,—sp и —f-v — это приращения
j !	энергии в единице объема в точке г, i, обусловленные действием

?	заданного источника частиц и внешней силы.

В случае однородных сред уравнения второго порядка для
|i характеристик звукового поля нетрудно получить, исключив из
' уравнений (1) переменную v или р. Опустив для простоты функ-
ции, определяющие источники, получим однородные волновые
С уравнения

(За)

<3б>

где a = (уро/по^)1/» = (ухТо/т)7» — акустическая (тепловая)
скорость, То — температура невозмущенной среды, % — постоян-
j ная Больцмана. Наличие источников приводит к очевидным из-
< менениям в уравнениях (3). Вычисление дивергенции (V-) и ро-
тора (VX) уравнения (36) ясно показывает «продольный» ха-
!	рактер звукового поля. Действительно, в отсутствие источников

|	величина V-v, очевидно, удовлетворяет волновому уравнению

* того же вида (За); вихрь же V X v не меняется со временем и
в силу начальных условий (1а) равен нулю, если поле скоростей
ограничено. Как будет показано в § 2, п. «а», это означает, что
у бегущей плоской звуковой волны отлична от нуля лищ|}


составляющая скорости' в направлении распространения (т. е. >
волна — «продольная»).

При решении задач о звуковом поле в пространственно-од-
нородной среде можно исходить либо из системы уравнений пер- f
вого порядка, либо из уравнений второго порядка. В последнем
случае в силу скалярного характера звукового поля его можно
характеризовать одной скалярной функцией, например давле-
нием или потенциалом скоростей и т. д. Но мы будем исходить
из системы уравнений первого порядка (1), поскольку при та- •
ком подход»: а) можно просто и наглядно представить зависи-
мость поля от вида источников s и f, б) можно рассматривать
как однородные, так и неоднородные среды, в) можно пользо-
ваться математическими методами, одинаковыми для всех ли- ;
нейных полей.	*

В силу линейности уравнений (1) давление и скорость в лю-
бой пространственно-временной точке г, t можно выразить через
источники s и f в виде	।

р (г, t) = — $	(г, г'; t, t') s (г', t') dr' dt' —

-	( G12(r, r'; t, t')-t(r', t')dr'dt',
f	(4)

v (r, 0 = — j G21 O’, r'j i, t') s (r', t') dr' dt' —

-	J V22 (Г, r'; t, t'}  f («•', t') dr' dt',	

где dr'dt' — бесконечно малый элемент пространственно-времен- |
ного объема, а интегрирование проводится по области, где от- ?
личны от нуля функции, описывающие источники. Как явствует
из равенств" (4), бц(г, г'; t,t') и G2i(r, г'; t, t')—это скалярная
и векторная функции Грина, т. е. взятые с обратным знаком да-
вление и скорость в точке (г, t), обусловленные действием «еди-
ничного» ’) источника частиц жидкости, находящегося в точке
(r',t'). Аналогично G]2(r, г'; t, t') и r'i М')— это вектор-
ная и аффинорная функции Грина, т. е. (если их скалярно умно-
жить справа на единичный вектор е') давление и скорость в
точке (г, t), обусловленные действием «единичного» вектора
плотности силы* 2) в точке г', t' в направлении е'.

‘) Пространственно-временное распределение единичного источника опи-
сывается функцией 6 (г — г') b (t — t'), где б (г — г') и б (f — Г) — трехмерная
и одномерная дельта-функции Дирака. Трехмерная дельта-фуНКция б (Г) рав-
на 0 при г^Ои равна оо при г = 0; интеграл от б (г) по объему равен
единице, если точка г расположена внутри области интегрирования.

2) Единичный вектор плотности силы в точке г', V определяется выраже-
нием е'б(г — г') б (Г — О> гае е' —единичный вектор.
Выражения (4) позволяют свести задачу о нахождении ха-
рактеристик поля, удовлетворяющих системе уравнений (1), к
отысканию четырех акустических функций Грина Gn, G12, G21
и е<22- Это дает главным образом то преимущество, что при ре-
шении задач для функций Грина отпадают трудности, связан-
ные с видом функций s(r,/) и f (г, t). Подставив выражения (4)
в уравнения (1), мы, считая функции s и f произвольными, полу-
чим *)

7^ V	= 6 <Г - Г'> S ~

а

VG11 +	G21 = О,

VG12 + twn = 16 (г - г') 6 (/ - /')•

Эти уравнения следует решать со следующими граничными и
начальными условиями:

Gn=an-G2i на S, Gi2 == an • ^22 на S, (5а)

Gh^O^Gji при	=	при /</', (56)

где п — вектор внешней нормали к поверхности S (если она су-
ществует), ограничивающей область, в которой определяется
поле.

Граничные условия типа (5а) могут усложнить определение
акустических функций Грина. Поэтому часто вводят другие
функции Грина, удовлетворяющие более простым, нулевым гра-
ничным условиям: Он == 0 = G12 на поверхности S. В этом слу-
чае при рассмотрении ограниченных областей следует обобщить
представление (4), включив в него интегралы по поверхностям,
обусловленные распределением источников на граничной по-
верхности S.

Исключив из уравнений (5) векторные функции G2i и Gi2, в
случае однородных сред получим дифференциальные уравнения
второго порядка в частных производных для скалярной функции
Грина Gn(r, г'; t, t') и тензорной функции Грина г'; t, t')-.

(v2 —-Jr Gn = —«o"i-^-6(r —г')б(/ —(6а)

(vv - 4- £1) 	4«<г - 6»-<  <66)

Единичный аффинор 1 определяется равенствами 1А = А1 = А, где
А — произвольный вектор.
Если функции Грина, удовлетворяющие уравнениям (6), най-
дены, то из уравнений (5) можно интегрированием по времени
определить G2i и Gi2.

Некоторые свойства акустических функций Грина можно ус-
тановить, не решая уравнения (5) в явном виде. Так, из инва-
риантности вида уравнений (5) относительно произвольных ли-
нейных сдвигов в пространстве и во времени следует, что для
неограниченной однородной области искомое решение зависит
лишь от разностей аргументов г — г' и t — f:

Оц (г, г'; t, t') = (г — г', t — f),

(6в)

где различные индексы i,j = 1, 2 относятся к скалярной, век-
торным и тензорной функциям Грина.

Еще одно свойство акустических функций Грина можно уста-
новить, сопоставив решения уравнений (1) с решением «сопря-
женной» задачи. Для этого введем сопряженные уравнения, а
также граничные и начальные условия в таком виде, чтобы по-
лучить приводимое ниже соотношение взаимности (9) между
исходным и сопряженным полями. К уравнениям для сопряжен-
ных полей давления р+ = p+(r, t) и скорости v+ = v+(r, t) мо-
жно прийти, применив к уравнениям для исходного поля (1) пре-
образования отражения: d/dt -> —d/dt и V -»—V. В результате

получаем

---— ~гг р+ — V • v+ = — 3+,
уро dt к	*

Г7 4-	5v+	.+

— Vp+ — По/п-^-= — f.

(7)

Эти уравнения
условиями

следует решать

с граничными и начальными

р+ = — ап • v+ на S,

(7а)

р+ — 0== v+

при t t2,

(76)

учитывающими отражение пространства-времени, причем функ-
ции источников s+ = s+(r, t) и f+ = f+ (r, t) должны быть равны
нулю при t > t2. Сопряженные уравнения (7) отличаются от
уравнений для исходного звукового поля (1) тем, что в них вхо-
дят «обращенное время» и иные источники; эти уравнения при-
водят к решениям в виде приходящих волн, а не уходящих, как
получалось ранее. Решения в виде приходящих волн имеют вид
Ё(|г| + а/) и могут обращаться в нуль при t > t2, тогда как
для уходящих волн характерна форма Е(|г| —at) и они могут
обращаться в нуль при t < ti.

Умножив уравнения системы (1)—первое на р+, а второе
на v+ и уравнения (7) — первое на р, а второе на v и сложив
результаты, получим «соотношение взаимности», связывающее
решения исходных и сопряженных уравнений:

V • (pv+ + p+v) +	(рр+) + tyn (v • v+) =

= + ps+ — p+s — f • v+ + f+ • v. (8)

Проинтегрируем это соотношение по объему, ограниченному по-
верхностью S,. и по времени от Л до > Л, воспользуемся тео-
ремой Гаусса — Остроградского и учтем граничные и начальные
условия (1а), (16), (7а).и (76); в результате получим инте-
гральную форму соотношения взаимности:

t2

0 = JJJdr Jdf[ps+-p+s-f-v+ + f+-v].	(9)

t,

Из линейности сопряженных уравнений (7) следует, что со-
пряженные поля можно выразить через сопряженные функции
Грина в виде интегралов, аналогичных интегралам (4):

р+ (г, t) — — j Gn (г, г'; t, t') s+ (г', t') dr' dt' —

-	( Gf?(r, r'; t, t') • f+(r', t')dr'dt',

C	(10)

v+ (r, /) = — j G21 (r, r'; t, t') s+ (r', /') dr' dt' —

-	J W2 (r, r'; t, t') • f+ (r', t'\(lr' dt',

где Gtj — сопряженные функции Грина, которые играют для со-
пряженного поля такую же роль, как и обычные функции Грина
для исходного поля. Произведя в уравнениях (5) — (6) для обыч-
ных функций Грина преобразования отражения, подобные сде-
ланным при выводе (7), мы придем к уравнениям, определяю-
щим сопряженные функции Грина.

Соотношение взаимности (9) связывает поля р, v, возбу-
ждаемые источниками s, f, с сопряженными нолями р+, v+, воз-
буждаемыми источниками s+, f+. Пусть поле возбуждается «то-
чечными источниками» вида

а = б (г - г') б (/ -1'), s+ = б (г - г") б (t -1"),

f = 0,	f+ = 0.

Тогда в соответствии с выражениями (4) и (10) получим

Р == - Gn (г, г'; t, t'), р+ = - СЙ (г, г"; t, t"),

v = — G21 (г, г'; t, t'), v+ = — G« (r, r"; t, t")-,
и, в силу равенства (9), имеем

(Г", г'; t", f) = Gfi (г', r"-, t', t").	(11 a)

Аналогично можно рассмотреть возбуждение точечными источ-
никами другого типа:

s = 0,	s+ — 0,

f = е'б (г - г') б (t - И, f+ = е"б (г - г") б (/ - /"),
где е' и е" —единичные векторы, указывающие направления
векторов плотности силы в точках г' и г". Так как из выра-
жений (4) и (10) следуют выражения

р = — 012 (г, г'; /, t') • е', р+ = — Gi2 (г, г"; t, t") • е",

v = — ^<22 (г, г'; t, t') • е', V+ = — ^22 (г, г"; t, I") • е",
в соответствии с соотношением (9) получаем

е' • ^22 (г', г";	t")  е" = е" •	(г", г'; t", t')  е',

^22 (г', г"; t', t") = Ш (г", г'; t", f),	(11 s б)

где *^22 транспонированный аффинор V22. Второе из ра-
венств (Пб) вытекает из первого, если учесть, что при транспо-
нировании скаляр не меняется, и принять во внимание тождество
а • Я) • b = b • S> • а, гдеаиЬ — векторы, а — аффинор. Рас-
сматривая аналогичным образом точечные источники вида

s = б (г - г') б (/ - /'), f+ = е"б (г - г") б (/ - /"),
или

f = е'б (г — г') б (/ — /'), 5+ = б (г — г") б (/ — /"),
получаем соответственно

G2I (г", г';	/') =	(г', г"; t', t"),	(11в)

Gi2 (г", r'; t", t') = G2A (г', г";	t").	(1 ir)

Другие соотношения взаимности для акустических функций
Грина следуют из того, что, как явствует из сопоставления ура-
внений (1) и (7), сопряженные функции Грина зависят от «об-
ращенного» времени и, кроме того, в силу пространственного от-
ражения, их составляющие, описывающие распределение скоро-
стей, меняют знак:

G^(r, г'; f, O = (-l)/+/ Gl} (г, г'-, -t, -t').	(12а)

Отсюда, используя соотношения (Па) — (11г), находим

Gij (г', г;	0 - (- 1)г+' G/z (г, г'-, -К- /'),	(126)
где об индексах можно сказать то же, что говорилось по по-
воду равенства (6в). Соотношения взаимности (12) применимы
к звуковым полям весьма общего вида как в однородных, так и
неоднородных средах и зачастую могут облегчить нахождение
явных выражений для акустических функций Грина.

Как можно установить исходя из уравнений (6) и (5) [и как
нетрудно убедиться прямой подстановкой в уравнения (5)], в
случае однородных сред все введенные выше функции Грина
удается выразить через единственную скалярную функцию Гри-
на g(r, г'; t, t') с помощью следующих формул '):

Оц(г, г'; t, t') = notn-^ g(r, г'; /, /'),

*= (Г, Г'; I. о =	4	g(г, г'; I, I1),	(13а)

G21 (г, г'; t, I') = — Vg (г, г'; t, t') = G12 (г, г'; t, t'),

причем функция g(r, г'; t, t') удовлетворяет волновому уравнению

(v2 - 4-	£ <г’ r': П = - 6 (Г - Г') б (t - /'), (136)

а также граничным и начальным условиям (5а) — (56). Воз-
можность выразить все четыре акустические функции Грина че-
рез одну скалярную функцию есть следствие скалярной природы
звукового поля, и это свойство не присуще векторным полям в
общем случае. В силу соотношения взаимности (126), для аку-
стических функций Грина в случае однородных и не меняю-
щихся во времени сред из формул (13а) следует равенство

g(r, г'; /, t') = g(r', г; — f, —t).	(13в)

Если же, наоборот, предположить справедливость равенства
(13в), то нетрудно прийти к соотношениям (126).

Скалярная функция Грина для свободного пространства

Скалярная функция Грина g для неограниченной однород-
ной области обладает свойством (6в), т. е. g(r, г'; t,t') —
= g(r— г', t—t'), и в результате уравнение (136) принимает
вид

(V2 “ 5 (г> 0 = - 6 (г) 6 (0,	(14)

*)

Здесь используется обозначение

t

W'»- $ 1ИЛ

—оо
где для простоты выбрано г' = 0 = Решение уравнения (14),
удовлетворяющее нулевому начальному условию при t sg О
(принципу причинности) иди эквивалентным ему условиям излу-
чения, имеет вид

g(r>	, г = | г |.	(15а)

Это решение можно получить, рассматривая сферу радиусом г
(объем V и площадь поверхности S) с центром в точке г = 0.
Из теоремы Гаусса — Остроградского следует, что

V	S

и, кроме того,

ПРЙ

I

Поэтому, в силу сферической симметрии уравнения (14), инте-
грирование его по объему вблизи точки г = 0 дает

4nr2^~l = — d(t).
аг т->0

Из функционального вида общего (сферически-симметричного)
решения уравнения (14), удовлетворяющего условию излучения,
g(r, /) = /[/—(rla)}lr, сразу следует выражение (15а), кото-
рое можно переписать в форме

g(г, г'; t, f) = dh~4„7r(Lrr7|r,|/aL1 •	(156)

Пользуясь этим выражением, можно по формулам (13а) вычис-
лить различные функции Грина в случае неограниченной одно-
родной среды.

Если амплитуда точечного источника s(r,/), находящегося
в точке г' = 0 при t 0, меняется со временем по закону s(t),
то возбуждаемое (потенциальное) поле </>(г, t) можно найти,
умножив выражения (156) на s(f) и проинтегрировав по f от
г = 0 до f — t — ria. В результате получаем

(г>/) ^	(7 (/-Z.),	(15в)

где U(т) — единичная ступенчатая функция, равная 1 при т > 0
и 0 при т < 0. Таким образом, амплитуда поля в точке г ме-
няется со временем так же, как амплитуда источника, но с за-
держкой на время т = r/а, требуемое для распространения поля
от источника к точке г. Условие причинности = 0 при t < 0
заменяется более жестким условием ф ив 0 при t < r/а (т. е.
первый отклик в точке г возникает спустя время т после вклю-
чения источника).

В случае ограниченной области скалярная функция Грина g
не имеет простой структуры типа (156), но ее можно предста-
вить в виде разложения по собственным функциям рассматри-
ваемой области, как будет показано в § 4 и гл. 2.

б. Векторное электромагнитное поле

Общие свойства

Векторы напряженностей электрического поля E(r, t) и маг-
нитного поля Н (г, t) в вакууме, характеризуемом диэлектриче-
ской проницаемостью во и магнитной проницаемостью цо> в ка-
ждой точке пространства удовлетворяют уравнениям Макс-
велла1):

V X Е +	- - м.

(16)

Источниками поля здесь являются вектор плотности электриче-
ского тока J (г, /) и вектор плотности магнитного тока M(r, t)
(работа [2], разд. 8.14). С ними связаны электрические и маг-
нитные заряды, распределенные с плотностями p(r, t) и pm(r, t),
удовлетворяющие уравнениям непрерывности

V. м =

at

(16а)

Кроме уравнений (16) векторы поля удовлетворяют в каждый
момент времени t дополнительным уравнениям

V • е0Е = р,
V-p0H=pm,

(166)

непосредственно связывающим векторы поля с плотностями за-
рядов; эти уравнения можно получить из уравнений (16), взяв
дивергенцию и проинтегрировав по времени с учетом соотноше-
ний (16а) и условий (16в). Для того чтобы векторы поля Е и Н

*) Уравнения .Максвелла (16) справедливы и для неоднородных сред, но
в этом случае следует заменить е0 и Цо соответствующими функциями ра-
диус-вектора г,
были определены единственным образом, требуется, чтобы ис-
точники J и М отсутствовали при t < t\, а поля удовлетворяли
начальному условию (принцип причинности)

Е = 0 = Н при t fi	(16в)

граничному условию

пХЕ = ГН	(16г)

на поверхности S (если она существует), ограничивающей об-
ласть, где ищется поле. Здесь п — единичный вектор внешней
нормали к поверхности S, а Я? —некоторый аффинор «импедан-
сов» (с составляющими, поперечными вектору п), характери-
зующий свойства границы.

Умножив скалярно первое из уравнений Максвелла (16) на
Е, а второе на Н, нетрудно получить закон сохранения энергии

у.(ВХН)»-4(^ + ^)-ГВ-М«Н.	(17)

Величина Е X Н — это мгновенный поток мощности электромаг-
нитного поля через единичную площадку с центром в г, f; вы
ражение в скобках — плотность полной запасенной электромаг-
нитной энергии; слагаемое — J • Е — мощность, выделяемая в
единице объема возбуждающими электрическими токами, а сла-
гаемое-МН— мощность, выделяемая в единице объема маг-
нитными токами.

Для пространственно-однородных сред в отсутствие источ-
ников нетрудно, исключив из уравнений (16) вектор Н цли Е;
получить уравнения второго порядка для векторов поля:

УХУХЕ + ^^-Е = 0,

1 <18>

V X V X Н + ± А- н = 0,

где с = (poeo)~'/2 — скорость света в вакууме. Уравнения второго
порядка при наличии источников легко получить, добавив в пра-
вые части уравнений (18) эквивалентные возбуждающие поле
токи; нетрудно также обобщить найденные уравнения на случай
неоднородных сред. В отсутствие источников из уравнений (18)
следует соотношение V-Е = 0 = V-Н; как будет показано поз-
же, это условие означает, что в однородной среде продольные
составляющие векторов Е и Н в направлении распространения
плоской электромагнитной волны равны нулю.

В силу линейности уравнений (16), векторы электромагнит-
ного поля можно выразить через возбуждающие токи в виде
интегралов

Е(г, 0 = - $	(г, г'; t, t')  J (г', /') dr' dt' -

-	J ^i2 (г, г'; t, t') • M (r', f) dr' dt',	(19a)

H (r, t) = - J ^21 (r, r'; t, t')  J (r', t') dr' dt' -

-	J ^22 (r. r'; I, t') • M (r', t') dr' dt', (196)

где интегрирование ведется по четырехмерному пространствен-
но-временному объему, в котором отличны от нуля токи J и М.
Если источники удалены на бесконечность, то их вклад в полное
поле Е<, Н4 должен быть включен в представления (19а) и (196)
явным образом. Из выражений (19) легко видеть, что состав-
ляющие тензоров 'f/’n (г, г'; /, t') • е' и ef2i (г»	t')' ь' — эт0

взятые с обратным знаком векторы электрического и магнит-
ного полей в точке г, t, обусловленные действием единичного
электрического источника1), находящегося в точке r',t', с век-
тором плотности тока, направленным вдоль е'. Аналогично
VI2(r,r'; Л t')«е' и *§<22(г, г'; t, t')-e' суть взятые с обратным
знаком электрическое и магнитное поля в точке г, t, возбужден-
ные магнитным источником, находящимся в точке г', t', с век-
тором плотности тока, направленным вдоль е'.

Четыре тензорные функции являются фундаментальными
функциями Грина для электромагнитного поля. Уравнения для
этих функций легко вывести, подставив выражения (19) в урав-
нение (16). Тогда, учитывая произвольность токов J и М, полу-
чаем

ео - V X == 16 (г - И d (/ -1'),

VX^n+Ho^f- = O,
8ft^k_VXV _0	'	'	(20)

е0	V X 22 --V,

v X ^12 + Но = 16 (Г - г') д (/ - /').

Уравнения (20) нужно
граничными условиями:

решать со следующими начальными и

^u = 0 = V2I при	пХ^п=Я ^2t на S, (20а)

v12 = 0 = ^22 при	пХ^12 = г-V22 на S, (206)

*) Пространственно-временное представление единичного вектора плотно-
сти тока в точке г', f, направленного вдоль е', таково: е'д (г — г') б (t — /').
где п и2 определены так же, как в формуле (16г). Зачастую
краевую задачу для функции Грина упрощают, принимая более
простые граничные условия, например

пХ^|=0на$, nX'«i21==0 = nX(VX't<22) на S. (20в)

При этом следует обобщить интегральные представления (19),
включив в них поверхностные интегралы, обусловленные «наве-
денными токами», возникающими из-за различия граничных ус-
ловий (16г) для поля и граничных условий (20в) для функций
Грина.

Исключив из уравнений (20) функции Грина ^12 и ^/21,
получим в случае однородных сред или вакуума дифференциаль-
ные уравнения в частных производных второго порядка для
функций Грина электрического и магнитного типов Фц (г, г'; t, t )
и ^22 (г, г'; t, f):

v X v х + 4-=	16 (Г - н б (/ - f), (21а)

VXVX^22 + 4-^^22 = e0-^-ld(r-r')d(/-f). (216)

Зная 'f/’ii и If22, оставшиеся функции Грина ef12 и V2I можно
определить из уравнений (20) интегрированием по времени.

Если электромагнитное поле обладает симметрией, то неко-
торые свойства электромагнитных функций Грина можно уста-
новить, не находя решения в явном виде. Так, например, в слу-
чае неограниченной однородной стационарной области, когда
уравнения (20) инвариантны относительно любого линейного
пространственно-временного сдвига, нетрудно показать, что ре-
шение зависит лишь от разностей г — г' и t — t':

Ъц (г, г'; t, t') = Vtl (г - r'U -f),	(22)

где Z, / = 1, 2.

Анализ задачи для сопряженного поля приводит к установ-
лению дополнительных соотношений симметрии. При этом со-
пряженные поля определяются таким образом, чтобы был воз-
можен вывод соотношения взаимности (24). Уравнения для со-
пряженных электрического и магнитного полей Е+ = E+(r,t) и
Н+ = H+(r, t) получим, применив к уравнениям для исходного
поля (16) преобразованйя пространственно-временного отраже-
ния dfdt-^—d/dt и V ->—V. Как явствует из соотношений (23),
(23а) и (236), первое из преобразований приводит к обращению
времени, а второе — к изменению знака отношения Е/Н для по-
лей без источников. В результате приходим к уравнениям

-е0^ + уХн+ = -Л

+	(23)

-VXE+-Ho^r = -M+,
которые следует решать с «отраженными» начальными и гра-
ничными условиями

Е+ = 0 = Н+	при />/2,	(23а)

пХЕ+ = -2-Н+ на S;	(236)

источники поля J+ и М+ должны выключаться при t > t2. Ура-
внения для сопряженного поля отличаются от уравнений исход-
ного поля (16) тем, что в них входит «обращенное время», из-
менен знак отношения Е/Н, а свойства границы характеризуют-
ся транспонированным аффинором импедансов —Z. Как
следует из условия причинности (16в) и его обращенного во вре-
мени аналога (23а), решения уравнений для сопряженного поля
имеют вид приходящих (опережающих) волн F(t + r/c) в от-
личие от уходящих (запаздывающих) волн F(t— r/с) исходного
поля.

Исходное и сопряженное поля связаны соотношением взаим-
ности

V • (EX Н+ + Е+ X Н) + 8о 4(Е • Е+) + Но4(Н • н+) =

= J+• Е — J • Е++ М+• И — М • Н+, (24)
которое нетрудно вывести, умножив скалярно уравнения (16) на
Е+, Н+, уравнения (23) на Е, Н и сложив результаты. Проинте-
грировав соотношение (24) по объему, ограниченному поверх-
ностью S, и по времени от t\ до t2 > Ли используя теорему
Гаусса — Остроградского, а также начальные и граничные ус-
ловия (16в), (16г) и (23а), (236), получим интегральную форму
соотношения взаимности

° = J J J dr j А (J+ • Е - J • Е+ + М+ • И - М • Н+). (25)

Чтобы более четко,выявить связь между исходным и сопря-
женным полями, в неявном виде содержащуюся в соотношении
взаимности (25), нужно сначала ввести сопряженные тензор-
ные функции Грина. Вследствие линейности сопряженных урав-
нений (23) для сопряженных полей справедливы интегоальные
представления, аналогичные выражениям (19):

Е+ (г, 0 « - J (г, г'; t, t') • J+ (г', t') dr' dt' -

-	$	(r, r'; t, t') • M+ (r', t') dr' dt', (26a)

H+ (r, 0 == - j (r, r'; t, f) • J+ (r', t') dr' dt' -

-	J V& (r, r'; t, /') • M+ (r', t') dr' dt', (266)

где сопряженные функции Грина, отмеченные крестом, так же
связаны с сопряженным полем, как обычные функции Грина,
удовлетворяющие уравнениям (20), связаны с первичным полем.
Путем пространственно-временного отражения, как при выводе
уравнения (23), можно было бы получить уравнения для сопря-
женных функций Грина, но мы опустим такой вывод и перей-
дем непосредственно к выяснению свойств сопряженных функ-
ций Грина из соотношения взаимности (25).

Рассмотрим несколько разных комбинаций источников. Пусть,
например,

J = е'б (г - г') б (/ - f),	J+ = е"б (г - г") 6(t- t"),

М = 0,	М+ = 0.

Тогда, как следует из соотношений (19) и (26),

Е (г, /) = -	(г, г'; t, t')• е', Е+ (г, /) =	(г, г"; t, t") • е",

Н (г, /) = -^21 (г, г'; t, t') • е', Н+ (г, /) = -(г, г"; t, t") • е". (27)

Подставив эти выражения для полей и источников в соотно-
шение (25), находим

е' • КЛ (г', г"; С, t") • е" = е" •	(г", г'; t", t')  е',

или

(г', г"; t', t") = Vn (г", г'; t", i'),	(28а)

где тильдой обозначена операция транспонирования. Точно
так же, выбрав точечные источники вида

J = 0,

J+ = 0,

М « е'б (г - г') б (t -1'), М+ = е"б (г - г") б (t -1"),

приходим к соотношению

Ш (Г', г";	t") _ V» (г", r'\ t", t'),	(286)
а условия возбуждения

J = e'd(r-r')6(/-f), Г = 0,

М = 0,	М+= е"д (г — г") 6 (/—/")

приводят к равенству

(г', г"; f, /") = #21 (г", г'; t", t')	(28в)

В частном случае, когда Z = Z, из уравнений (23) сле-
дует, что сопряженные функции Грина совпадают с функциями
Грина исходной задачи, удовлетворяющими уравиениям (20),
если изменить знак времени и отношений	и

Применив соотношения взаимности (28) к электромагнитным
функциям Грина для области вакуума, ограниченной поверх-
ностью, на которой Z — Z, получим:

(г, г'; t, f) = (-l)w	(г', г; - t', -1),	(29)

где i, / — 1, 2. Соотношения (28) и (29) часто облегчают оты-
скание явного вида электромагнитных функций Грина (см. так-
же § 5, п. «б»).

Аффинерные функции Грина для свободного пространства
(инвариантное описание)

Пользуясь формулами (19а) и (196), электрические и маг-
нитные поля, возбуждаемые заданными источниками, можно
выразить через электромагнитные функции Грина для области,
содержащей источники. Такому способу описания поля посред-
ством функций Грина, не зависящих от вида и закона распре-
деления источников, может быть противопоставлен классиче-
ский метод скалярных и векторных потенциалов (электрических
и магнитных), которые зависят от вида и распределения источ-
ников. В дальнейшем мы найдем явные представления аффи-
нерных функций Грина для различных областей, причем форма
представления будет зависеть от свойств симметрии каждой об-
ласти. Как видно из уравнений (21), отыскание явного выраже-
ния функций Грина V// существенно определяется возмож-
ностью обращения аффинора [V X (V X 1) + l(d2/c2dt2)]. В слу-
чае свободного пространства такое обращение осуществляется
просто и может быть проведено аналитически способом, эквива-
лентным нахождению, классических скалярных и векторных по-
тенциалов точечного источника; в ограниченных же областях
этот метод оказывается неприменимым и должен быть модифи-
цирован. В то же время, как показывается в данном разделе,
требуемое обращение оператора может быть осуществлено
операторным методом, который применим как к неограничен-
ным, так и к ограниченным областям и инвариантен в том смыс-
ле, что сам метод и результат не зависят от выбора системы
координат в рассматриваемой области пространства.

Классический метод

В свободном (безграничном и однородном) пространстве че-
тыре аффинерные электромагнитные функции Грина можно
более или менее классически выразить через единственную ска-
лярную функцию Грина. Такое выражение для функции Кц
можно получить исходя из волнового уравнения (21а), если на-
ложить на •'f/’n (г, г'; t, t') нулевое начальное условие при t <1'
(условие причинности, означающее, что решение выбирается в
виде уходящих волн). Взяв дивергенцию обеих частей первого
из уравнений (20), получим

e04v-^u=VS(r-rW-n.

Подставляя это соотношение в уравнение (21а) и учитывая
равенство VX (V X ^ц) = VV • — V2^, находим (см. при-
мечание на стр. 21).

= -	>- mW) 8(Г~И««-/')• (30а)

Введем скалярную функцию Грина g(r, г'; t, t'), такую, что

V,, (г, г'; I, и = (g„4 1 -	g(r, Г-; I, t'). (306)

Очевидно, что данная подстановка удовлетворяет уравнению
(30а), если g(r, г'; t, t') обращается в нуль при t < t' (и тем
самым выполнено условие излучения) и удовлетворяет скаляр-
ному волновому уравнению

r'; t, f) = -d(r-r')6(/-f). (ЗОв)

Скалярная функция Грина g совпадает с акустической скаляр-
ной функцией, определяемой уравнением (136) (если заменить
в последней скорость звука а скоростью света с), и, таким обра-
зом, ее можно записать в виде

g(г, г'; /, /') =	7(|r7,f/|/с)] •	(31)

х	'	4л | г — г' |	7

Аналогично соотношению (306) можно выразить аффинор-
чую функцию Грина &22 через скалярную функцию g, даваемую
формулой (31), в виде

'	) 8 (Г> Г’ (32а)

Чтобы обеспечить, пыпвяйение уравнений (20), остальные элек-
тромагнитные функции Грина следует определять по формулам

'^i2 = VXlg = -'^2i.	(326)

Операторный метод

Операторный метод определения функций Грина &(1 осно-
вывается на аффинерном тождестве VX(VXl)—VV— V21,
которое можно записать в следущем операторном виде:

(33а)

где и 1т — ортогональные единичные аффиноры («продоль-
ный» и «поперечный» для векторного оператора V), обладаю-
щие свойством 1l-1t = 0. Последнее означает, что при базисе,
ориентированном вдоль оператора V, матрица, соответствующая
выражению (33а), диагональна. Пользуясь единичными аффи-
норами, введенными согласно формуле (33а), основной опера-
тор в уравнениях (21) можно представить в виде

v х (v x 1) ч — & 1 = — ——	4- (v2_— a2 j У X (У X О

VAl*AVT с2 dt2 * — с2 dt2 72 Т	с2 df2 j

(336)

Ввиду ортогональности единичных аффиноров справедлива, как
легко убедиться путем непосредственного перемножения (ска-
лярное произведение), следующая общая формула обращения:

Гл УУ •рУХ(УХПГ1 _Г1 W	1 VX(VXl)'

L У2	У2 J L А V2	В У2 ~

(ЗЗв)

где А и В — скаляры, или скалярные операторы, коммутирую-
щие с оператором V. В соответствии с соотношениями (33а) —
(ЗЗв) искомый обратный оператор имеет вид

[vX(VXl)+4-g-l]'' =

= f_LJLrl уу > (V2__L 32 Г1 ?Х(УХ 1) _
\ С2 dt2 ) V2 ’ \v с2 dt2 )	У2 . —

<33г>
Операторные тождества (33) применимы * *) к любой функции в
пространственно-временном представлении и, в частности, к
функции точечного источника S (г — г') 6 (7 — t'). В силу соотно-
шения (ЗОв), результат действия обратного оператора, заклю- :
ченного в скобки в правой части равенства (33г), на функцию i
6 (г — r')6(f— f) можно отождествить со скалярной функцией
Грина g(r, г't, t'). Выражения для аффинерных функций Грина
efn и получаются затем непосредственно из уравнений
(21) и (33г) и совпадают с выражениями (306) и (32а), а функ-
ции af2i и ^12 определяются по формуле (326).

Поле электрического диполя

Найдем теперь с помощью функций Грина свободного про-
странства поле мгновенно возникающего в момент t = 0 в точке
г = 0 электрического диполя с моментом р(г,0 =рб (г) {/(/),
где U (а) — функция Хевисайда, равная 1 при а •> 0 и равная О
при а < 0. Такому источнику отвечает импульсная плотность
электрического тока J (г, /) = dp (г, t) /dt е= рб (г) 6 (/) и [фор-
мулы (19)] электромагнитное поле, зависящее от координат и
времени по закону

Е(г,/) = —	(г, 0;/, 0) • р,

Н (г, 0 = - ^21 (г, 0; /, 0) • р,	( )

где е/п и —функции Грина, даваемые формулами (306), (31)
и (326). Чтобы придать этим функциям вид, в котором более
четко выявлялась бы природа различных составляющих поля,
перепишем функцию VIb даваемую формулами (306) и (31),
следующим образом 1с учетом того, что $ Ъ(х — r!c)dx=*

L	— оо

= [/(/-г/с)]:

(г, 0; /, 0) = ро У(4~Г^' 1 ~ W-	-

- [<< - +<• - «+

.	+ С - 3r.r.)	: (34a)

*) Область определения оператора и область значений оператора опре-
деляются граничными и начальными условиями, накладываемыми на решение
уравнений (21*
функцию К2ь даваемую формулами (31) и (326), перепишем
в виде

^21(г, 0; t, 0)=-VXl'd(<4~r/^ =

_ Г 6(t — r/c) . 6' (t — r/c) 1 ГоХ 1 .	/д4б\

[ г	с	J 4лг *	'

здесь 6'(а) = d6(a)/da. Первые два слагаемых в формуле
(34а), заключенные в квадратные скобки, соответствуют «полю
излучения» и «ближнему полю», распространяющимся от источ-
ника со скоростью света в виде импульсной сферической волны;
третье слагаемое, отличное от нуля лишь в области г < ct, т. е.
после прохождения сферического фронта, соответствует стати-
ческому полю электрического диполя. Поле излучения попе-
речно относительно вектора Го и спадает по закону 1/г, а осталь-
ные члены убывают как 1/г2 и 1/г3. Магнитное поле, как видно
из выражения (346), не содержит статической части и имеет вид
импульсных сферических фронтов, движущихся от источника со
скоростью света. Составляющая поля вдоль вектора q при воз-
буждении его диполем, ориентированным вдоль р, легко нахо-
дится умножением тензоров в формулах (34а) и (346) слева на
вектор q, а справа на вектор р; заметим, что r0 X = ro X Р-

Свободное пространство, тензорные функции Грина
(поперечно-инвариантные) — потенциалы Герца

В формулы (306), (32а) и (326) для тензорных функций
Грина свободного пространства входят лишь операторы V, и по-
этому такие функции инвариантны относительно выбора коор-
динатного базиса. Допустим теперь, что один из базисных векто-
ров а постоянен и фиксирован, и рассмотрим представления
функций Грина, инвариантные относительно поверхности, попе-
речной вектору а. Представления функций Грина в таком базисе
оказываются особенно удобными при анализе плоскослоистых
рассеивающих структур с осью, направленной вдоль вектора а.
Хотя в таком случае размеры области, поперечные вектору а,
бесконечны, результаты легко обобщаются на случай цилиндри-
ческих областей с конечным поперечным сечением. Инвариант-
ные представления для тензорных функций Грина в рассматри-
ваемом случае, как и ранее, выражаются через одну скалярную
функцию Грина, которая, разумеется, отличается от скалярной
функции Грина (ЗОв). Еще одно преимущество этих представле-
ний для тензорных функций Грина состоит в том, что они при-
водят к простым формулам для вектора Герца электромагнит-
ного поля, возбуждаемого заданным током, и делают более яв-
ными некоторые характерные сингулярности таких представле-
нии.

2 Зак. 639
Выше классическим и операторным методами было пока-
зано, что тензорная функция Грина выражается [формула
(306)] через инвариантный тензорный оператор и единственную
скалярную функцию Грина g. Мы воспользуемся этим инва-
риантным результатом и выразим входящие в формулу (306) аф-
финоры 1 и VV в базисе, ориентированном вдоль некой оси, на-
правление которой задается постоянным единичным вектором а.

Представив оператор градиента в виде V =	4-(a>V)a, пе-

репишем единичный аффинор в правой части формулы (306) с
учетом тождества

Vh=V?aa + VtV/ + (VXa)(VXa), (35а)

где Vt — инвариантная составляющая оператора а, поперечная
относительно вектора а, а V? = V2 — (а X V)2 ’). Тождество (35а)
можно доказать, если учесть, что векторы а, V* и V X а = VtXa
ортогональны, а их амплитуды равны 1, д/Vt и ^J^t, в силу чего
справедливо формальное равенство

1 =аа-[

(V X а) (V х а)

(356)



Для преобразования аффинора VV воспользуемся тождествами
W = VfV, + (V,a 4- aVz) (а • V) + аа (а • V)2,
[VX(VXa)][VX(VXa)] =

= VtVt (а • V)2 — (V*a + aV() (а • V) V? + aaVM

умножив которые на V2 и сложив, получим

V1W = (aaVl + ViVO V2 - [V X (V X а)] [V X (V X а)]. (36)

Комбинируя формулы (35а) и (36), найдем тензорный оператор,
который входит в выражение (306):

(**° ~dt 1 — е0(d/dt) ) = — e0(d/dt) ^aaV/ + (V ~ ~c^~d?} +
+ Poj(VXa)(VX>) + -g-^^^*)1 • (37)

Введем скалярную функцию (г, г'; t, t'), удовлетворяющую
соотношению V2^ = g; тогда из уравнения (306) получаем еще
одно представление тензорной функции Грина для свобод-

4) Если умножить скалярно справа равенство (35а) на вектор А, то мы
получим выражение для V*A, причем (V Xа) • А® V- (а X А)-
ного пространства:

^„(г. г'; I, )') = ?? (и.^-1 -	S’(г, и I, п. (38)

Подставим сюда операторное выражение (37) и учтем, что в слу-
чае функций разностного аргумента г — г', к которым относится
и У (г, г'; t, t'), действие оператора V эквивалентно действию
оператора —V'; в результате получим

(аа + ^) 8 (г - г W - Л +

+ [но-й- (V Х а) (V' Х а) “ РХ(7Х8о1Хо (7,Ха)1]^ (Г’ Г';

(38а)
где ^ — скалярная функция Грина для свободного простран-
ства, которая определяется уравнением

V/ (v* -4"ж)	r'; П = 6(г-г')б(/ -п (386)

и удовлетворяет начальному условию 9* = 0 при t > t'. Отме-
тим, что первое слагаемое в выражении (38а) содержит сингу-
лярную часть функции Грина G, которая, как можно показать
вычислениями в цилиндрической системе координат р, ф, г,
имеет вид

я  d(r-r')d(f-f)

При р' = О для нее можно написать более известное соотноше-

откуда следует характерная для функции Грина стационарного
линейного источника зависимость от р: (1/2л)1п(ар). В случае
р' =h 0 получаем

G = [-jjjr In а | р - р' | ]d(z - 2<) 6(/ - /'),	(38в)

где а — постоянная; эта функция отлична от нуля (и сингуляр-
на) лишь на плоскости z = z' при t — t'.

Так же как и в соотношении (306), в формуле (38а) Vn вы-
ражается через единственную скалярную функцию Грина 9>
(если z г' и t #= f). Из выражения (31) и уравнения (386)
получаем

_ ДСз.-аг -r:i/g)]

4л | г — г I	v /
где т = /В цилиндрической системе координат р, </>, z,
ось z которой направлена вдоль вектора а, находим (если г' = О
и, следовательно, | г — г' | = д/р2 + )

JL д р д = _ Мт — (Ур2 + г27с)]
р др др	4л У р2 + г2

Умножив обе части этого равенства на р и проинтегрировав по
р от 0 до р, получаем

(396)

где U (а) — функция Хевисайда, равная I при а > 0 и 0 при
а < 0. Во многих случаях (гл. 5, § 2) необходимо знать не саму
функцию а лишь величины или V^; в этих случаях для
определения поля нужны лишь выражения (39).

Сходное рассмотрение можно провести для функций
of12 и и получить представления этих функций Грина, от-
личающиеся от выражений (31), (32а) и (326). Преобразуем
сперва входящий в равенство (326) тензор V X 1> воспользовав-
шись соотношением (35а) и тензорным тождеством

VXlV? = VXaaV? + VXV/V< + (VXVXa)(V.Xa) =

= -(VXa)(VXVXa) + (VXVXa)(VXa), (40)
во второй строке которого учитываются векторные соотноше-
ния VX(VXa) = V/(a-V)-V|a, V = V<4-a(a-V) и aXV< =
= — V X а (здесь а — единичный вектор вдоль выделенного
направления симметрии). Из уравнений (ЗОв) и (326) находим

V* (v2 —(г> г'>	= v'v X 16 (Г - и б (/ - /'),

а с учетом уравнений (386) и (40) получаем (использовав ра-
венство V'= —V) искомое новое представление для тензорной
функции Грина магнитного типа в неограниченном свободном
пространстве:

V21 (г, г', t, f) = - [(V X а) (V' X V' X а) +

+ (V X V X а) (V' X a)] (г, г'; t, f). (41)

Функцию Грина '§<12, как и прежде, легко найти, используя ра-
венство V12 = — ^21 и выражение (41), а функцию а/22 можно
получить из выражения (38а) для путем замены ео*->|Ло-

Найдем явные выражения для электрического и магнитного
полей, возбуждаемых электрическим током с плотностью J (г, t).
Для этого воспользуемся формулами (19), (20), (38) и (41) (с
ограничениями, которые будут указаны ниже); получим

Е (г, /) = -Ио4-?ХаП"(г, 0 + ¥Х(?Ха)П'(г, t),
д	(42а)

H(r, /) = VX(VXa)n"(r, 0 + 80-£-VXaII'(r, t),

где скалярные величины

П" (г> /) = ( V' X а?1 (г, г', t, t') • J (г', t') dr' dt',
, r	(426)

П' (r, t) = J V'X(V'Xa) 9> (r, r'; t, t') • J (r', f) dr' dt'

суть потенциалы Герца, связанные с плотностью электрического
тока J [напомним, что V' X X а) Ф ss V' X [V' X (а^1)] и т.. д.].
Из выражений (42а) следует, что, так как вектор V X аП' по-
перечен вектору а, поле, соответствующее потенциалу Герца
П', не имеет составляющей магнитного поля вдоль а, а у поля,
соответствующего потенциалу П", отсутствует составляющая
электрического поля вдоль а; по этой причине П' и П" часто на-
зывают потенциалом электрической, а П" — потенциалом маг-
нитной моды относительно направления а. Выражение для век-
тора электрического поля в формулах (42а) неверно в плоско-
стях, поперечных вектору а и содержащих источники 3 (г, t), так
как при переходе от выражения (38а) к выражению (42а) опу-
щен сингулярный вклад первого слагаемого. Об этом опущении
и о соответствующем ограничении области применимости фор-
мулы (42а) для электрического поля, в которой оно выражается
через потенциал Герца, следует помнить. Заметим также, что
в выражение для магнитного поля в формулах (42а), справед-
ливое даже в областях, содержащих источники, входит вели-
чина ео(д/дОП' и поэтому для его определения не требуется вы-
числения потенциала II'.

Важное значение потенциальной функции частного вида
(396) становится очевидным при расчете полей, излучаемых им-
пульсным точечным элементом электрического тока 3 (г, t) —
= Уорб(г)6(/), где р — электрический дипольный момент ис-
точника, а уо — вектор, перпендикулярный вектору a s z0.
Вклад х-составляющей магнитного поля, обусловленный, со-
гласно формуле (42а), потенциалом IT в формуле (426), оказы-
вается равным [напомним, что 6'(а) = (d/Ja)6(a), а sign a =
= ± 1 при а 0]

+	+>'('-г)]’ <43а)
а вклад, обусловленный потенциалом П", таков:

- Р [<S|S" г>6 (' - -V-) -	(' - В] +

+t6' О-Ш <4зб>

в результате полное магнитное поле в направлении х оказы-
вается равным

Н1=Л+Й=Р1£т[А<^£>. + ±У	(43в>

где

г2 = х2 4- у2 + z2 = р2 + z2.

Как показано на фиг. 1, каждое из слагаемых Нх и И" есть
комбинация плоского и сферического волновых фронтов, а пол-
ное поле Нх содержит лишь сферические волновые фронты, на-
личие которых и можно было бы предположить в случае сосре-
доточенного источника. Разложение полного поля Нх на Нх и
Нх соответствует разложению функции J (г, /), описывающей ис-
точник, на слагаемое, отвечающее излучению лишь Е-волн (об-
условленных потенциалом П') относительно направления г, и
слагаемое, отвечающее Я-волнам (П"). Эквивалентные источ-
ники распределены по всей плоскости z — 0, и каждый из них
возбуждает помимо сферической волны плоские волновые
фронты, которые гасят друг друга и, таким образом, отсут-
ствуют в полном поле. Составляющая магнитного поля вдоль
оси у представляется в виде аналогичного формального разло-
жения на Е- и Я-волны:

причем полная ^-составляющая поля при этом равна нулю:

Ну = Н'У + Ну=0.	(446)

Составляющая магнитного поля вдоль оси z полностью обу-
словлена лишь магнитным потенциалом П" и равна

тг _ н" _ рх Г д (/ — г/с)
пх = п* — —	[	-

(45)

в отличие от составляющих Нх и Ну, поперечных к выделенной
оси (оси симметрии) z, эта составляющая поля не содержит
плоского волнового фронта. Выражения для полного поля (43в),
(446) и (45) совпадают с х-, у- и z-составляющими вектора
Н = — p^2i • Уо> где I/21 определяется формулой (346) (заметим,
ЧТО Г0Г = ХоХ + УоУ + zoz).

В отличие от рассмотренных выражений для магнитного
поля выражения для поперечного электрического поля, полу-
ченные путем подстановки (396) в (42), оказываются расходя-
щимися в плоскости источника z = 0. В рассматриваемом слу-
чае возбуждения поля элементом электрического тока, ориенти-

Фиг. 1. Волновые фронты, создаваемые потенциалами волн Е- и /7-типа.

рованным вдоль оси у, поля Ех и Ех, обусловленные электриче-
ским П' и магнитным П" потенциалами, имеют вид

& = Vv {26(<^|г|/С) + д-(?р~г'/С) fP4 - 2zW + ^1-

-i6' G -т) }+&u G -7)-	(46a)

p"__ РХУ . / Ho (	2d(t^-\z |/c) , 2d (/ — r/c) ,, 1 .z /, r

{	&	+-----?!----+—6

(466)

откуда для полного поля Ех — Е'х + Ех получаем

Мы видим, что вклады в полное поле, соответствующие и Е- и
Я-волнам, имеют плоские и сферические волновые фронты, изо-
браженные на фиг. 1. Кроме того, та часть поля, которая соот-
ветствует £-волнам, содержит статическое дипольное поле, да-
ваемое вторым слагаемым в выражении (46а), а последнее сла-
гаемое этого выражения обращается в бесконечность в плоско-
сти источника z = 0. Эта расходимость в выражении для пол-
ного поля (47) фиктивна, так как она нарушает непрерывность
составляющей Ех на плоскости z — 0 и ее появление связано с
некоторой неточностью, допущенной при формулировке задачи
с помощью потенциалов Герца. При сохранении операторного
слагаемого (V/V//V?), присутствующего в точном равенстве (38а),
но опущенного при выводе соотношений (42), указанная расхо-
димость поля исчезает. [См. результат, который получается при
умножении этого члена слева на —рх0 и справа на уо, с учетом
замечаний к равенству (38а).] Проведенные вычисления показы-
вают, что надо соблюдать осторожность, описывая поле в пло-
скостях, содержащих источники и ориентированных перпенди-
кулярно вектору а, с помощью формул (42), в которые входят
потенциалы Герца. Однако выражения для полей, полученные
для областей вне плоскостей источников, можно использовать
для представления полей и на этих плоскостях, если потребо-
вать выполнения непрерывности соответствующих составляющих
поля [т. е. при условии выделения и исключения расходящихся
слагаемых, как в выражении (47)]. Прямой проверкой нетрудно
убедиться, что если отбросить последнее слагаемое в формуле
(47), то выражение для Ех совпадает с полученным по совер-
шенно иной формуле —• рхэ • • у0 [с учетом формулы] (34а),

Тензорные функции Грина для ограниченных
цилиндрических областей

В случае однородного волновода произвольного (но неизмен-
ного) сечения, перпендикулярного оси волновода а, ограничен-
ного идеально проводящими стенками s, функция Грина
определяющая электрическое поле и удовлетворяющая уравне-
нию (21а), должна, кроме того, удовлетворять граничному ус-
ловию

vX'^n = 0 на поверхности s,	(48)

где v — вектор внешней нормали к стенкам. Аффинорная функ-
ция Грина для свободного пространства, даваемая выражением
(38а), удовлетворяет условиям излучения на бесконечности во
всех направлениях, но не удовлетворяет граничным условиям
(48). Однако, как следует из вывода выражения для обратного
оператора, представления (38а) и (41) остаются справедливыми^
если в них подставить две разные скалярные функции Грина 9"
и

= (аа+^г)6 <г -г'> 6 (' -+

+ Но (V X а) (V' х а) 9>" (г, г'; /, /') -

[V X (V X а)1 [V' х (V X а)]	(г, г'; t, f) ’ (4Qa)

во (д/df)	’	'	7

K2l = - [(V X a) (V' X V' X a) (r, r'; t, t') +

+ (V X V X a) (V' X a) 9" (r, r'; t, t')], (496)

где обе функции P" и ЗР" удовлетворяют уравнению (386), но
различаются своими граничными условиями, которые выбраны
так, чтобы выполнялось условие (48):

-/-^" = 0 на з,

V^' = 0 = P’/ на з.

(49в)

Совместность условий У|^' = 0 и ЗР' = 0 на s следует из ура-
внения (386) в отсутствие источника. Нужно задать начальные
условия: потребовать, чтобы поле обращалось в нуль при t t',
и, следовательно, задать условия излучения в ±оо на оси волно-
вода.

Функциями Грина (49) можно воспользоваться для предста-
вления полей, возбуждаемых в однородном волноводе с идеаль-
но проводящими стенками электрическим током с плотностью J.
При этом выражения для векторов поля (42) сохраняют силу,
а вместо формул (426) для электрических потенциалов Герца
получаются выражения

П" (г, /) = ( V' X aS?" (г, f'; t, f)  J (г', t'). dr' df„

,	1 г	(5°)

П (r> ° = mW j v' x (V'Xa) (г> г'; Л J (r'’dr'df-

Заметим, что в случае линейных стационарных систем ска-
лярные функции Грина 9s' и ЗР" обладают свойством

ЗР (г, г'; t, t') == У (г, r'-t -1'),	(51 а)

и, так как, в силу соотношения взаимности (29), для функции
Грина выполняется равенство ^(r, г'; t, t')=S7l(r', г; ——t),
мы имеем

ЗР (г, г'; t -1') = 9 (г', г; t -1').	(516)
Приведенное выше соотношение взаимности позволяет пред-
положить следующий общий вид для функций и

г'; t, Г)==ЕлвФв(г, /)Фв(г', - Г),

а

(51 в)

Г (г, г'; t, Г) = £ В₽фр (г, /) фр (г', - Г),

где Фа и фр — собственные функции, которые, в силу уравнения
(386), при г^г', t ф t' должны определяться как решения

краевых задач

(V2 — тг-^г)Фа = 0, Фа = О на з,
/ „	1 д2 \	&Фв

V	~dv 0 на ®»

а Аа и Вр — амплитуды, которые следует выбирать в соответ-
ствии с видом особенности в правой части уравнения (386) при
г = г', t — t'. Разложения такого же типа для стационарного со-
стояния будут приведены в гл. 2, § 3, и гл. 5, § 2.

Так же, как при выводе формул (38а) и (41), или просто ру-
ководствуясь принципом дуальности можно найти общие реше-
ния уравнений (20) и (216) для функций Грина и в
однородном волноводе с идеально проводящими стенками; эти
решения имеют вид

1*0 w/ut) \	Vf J

+ eo-^-(VXa)(V'Xa)<?'(r, г'; /, /')-

[V X (V X а)] р' X (V' X а)] У" (г, г'; t, Г)

Ho (d/dt)	’

^12 = (V X a) [V' X (V' X a)]	(r, r'; t, f) +

+ [V X (V X a)](V' X a) (r, r'; t, t'), (526)

откуда по формулам (19a) и (196) находим электрическое и
магнитное поля, возбуждаемые магнитным током плотности
М(г, /):

Е(г, 0 =VX(VXa)n'(r, О-Цо47ХаП"(г, /),
,	(53а)

H(r, /)-eo^-VXan'(r, 0 + VX(VXа)П"(г, /),
где

П' (Г> /) = - ( V' х а^' (г, г'; t, f) • М (г', /') dr' df,

1 r	(536)

IF (г, О = т-М- \ V'X(V'Xa)^"(r, г'; /, Г)-М(г', t')dr'df.

и*/ v

Из того, что формулы (42а) и (53а), выражающие поля через
потенциалы Герца, совпадают, следует, что потенциалы Герца,
обусловленные наличием электрического и магнитного токов с
плотностями J и М, определяются суперпозицией выражений
(50) и (536). Отметим, что формулы (53а) для полей магнит-
ного типа применимы лишь в плоскостях, поперечных вектору а
и не содержащих источников М(г, /); как было показано ранее,
это связано с расходимостью функции имеющейся в фор-
муле (52а), но опущенной в формуле (53а).

в. Плазменное поле (модель однокомпонентной жидкости)

•Общие свойства

Коллективные волновые явления в плазме, т. е. системе за-
ряженных частиц, находящихся в состоянии теплового движе-
ния, можно в ряде случаев приближенно описать в рамках мо-
дели однокомпонентной однородной жидкости без учета столкно-
вений частиц. Ограничимся случаем, когда подвижными части-
цами в плазме являются лишь электроны. Плазменное поле, ли-
неаризованное и соответствующим образом усредненное,. харак-
теризуется векторами электрического и магнитного поля E(r, f)
и H(r, t), давлением электронов p(r, t) и вектором средней ско-
рости электронов v(r,/), которые удовлетворяют следующей си-
стеме уравнений:

дЕ  *°~дГ	-vxh	— noqv	= — J,
VXE	.	<5Н  +Р0-57-	= -M,
	1 др  УРо dt	+ V • v	= — s,
«о</Е	+ Vp	+tiom — ®cb0Xv) = — f-

(54)

Здесь, как и ранее, 8о — диэлектрическая проницаемость ва-
куума, ц0 — магнитная проницаемость вакуума, пот и —nQq—
плотность массы и плотность заряда однородного электронного
распределения, р0 — соответствующее давление (в холодной плаз*
ме ро ~ поТо = 0), а у — показатель адиабаты для электронов.
Предполагается, что плазма находится в постоянном магнитном
поле Во = Bobo, а поэтому в уравнения входит «циклотронная»
частота электронов (гирочастота) сос = qB^m. Поле возбу-
ждается заданными внешними электрическими и магнитными
токами с плотностями J(r, t) й М(г, /), источниками электронов,
распределенными с плотностью s(r, /), и сторонними силами с
плотностью f(r, t). Нетрудно убедиться, что два первых уравне-
ния системы (54) представляют собой обычные уравнения Макс-
велла для заряженной жидкости с плотностью электрического
тока —nQqv и с внешними источниками, характеризуемыми плот-
ностью электрического и магнитного токов J и М. Вторая пара
уравнений (54) — это уравнения Эйлера для заряженной невяз-
кой жидкости, в которые входит плотность силы Лоренца
—n0#(E +v X Во) и заданные источники, распределенные с плот-
ностями s и f [формулы (1) и (16)]. Появление в уравнениях
Максвелла членов, зависящих от v, а в уравнениях Эйлера чле-
нов, зависящих от Е и Н, приводит к взаимосвязи между элек-
тромагнитным и гидродинамическим полями, которые в пп. «а»
и «б» рассматривались независимо. Система уравнений (54) за-
писана в таком виде, при котором будет естественным переход
к матричному уравнению (57) и абстрактной формулировке за-
дачи, рассматриваемой в п. «г».

Чтобы решение системы (54), содержащей поля Е, Н, р и v,
было единственным, нужно дополнительно потребовать, чтобы
распределения источников J, М, s и f обращались в нуль при
t t\, а поля удовлетворяли нулевым начальным условиям *

E = H= p = v^0 при	(54а)

и граничным условиям

пХЕ = Г Н, )

> на S.
р = av • п )

где и — единичный вектор внешней нормали к поверхности S
(если она существует), ограничивающей область, в которой
ищется поле; а и Z — граничные («импедансные») параметры,,
первый — для гидродинамического, а второй — для электромаг-
нитного поля.

Умножив уравнения (54): первое на Е, второе на Н, третье
на р и четвертое на v и сложив их, нетрудно получить закон со-
хранения энергии

,.(EXH+rt=-|«+if+£+si)-

-J Е-М H-sp-f v, (55)
который является естественным обобщением соотношений (2)
и (17). Вектор (Е X Н + pv) можно назвать полным мгновен-
ным потоком энергии плазменного поля через единичную пло-
щадку в точке г, t. Совершенно аналогично выражение в круг-
лых скобках в правой части равенства (55) можно отождествить
с полной мгновенной плотностью энергии плазменного поля, а
остальные слагаемые — это мгновенная объемная плотность
мощности, отдаваемая полю источниками J, М, s и f. Данные
величины представляют собой очевидные комбинации введенных
ранее плотностей энергии и мощностей звукового и электромаг-
нитного полей.

Из линейности уравнений для плазменного поля (54) сле-
дует линейная зависимость полей Е, Н, р и v от источников J,
М, s и f. Поэтому имеет место очевидное матричное обобщение
соотношений (4) и (19):

(56)
причем интегрирование по пространственно-временному объему
распространяется на все области, где отличны от нуля источ-
ники. Скалярный, векторный или тензорный характер элементов
матрицы функций Грина Gap m Gap(r, г'; t, t') и соответствую-
щие матричные произведения^ входящие в правую часть выра-
жения (56), определяются скалярным или векторным характе-
ром рассматриваемых составляющих плазменного поля, описы-
ваемого левой частью соотношения (56). Функция Грина Gap
представляет собой взятое с обратным знаком поле, возбуждае-
мое в точке г, t источником единичной амплитуды, расположен-
ным в точке г', i'. Так, например, величина —• е—это век-
тор электрического поля, возбуждаемого в точке г, t элементар-
ным единичным электрическим током, расположенным в точке
г', t' и направленным вдоль вектора е.

Представление поля в виде (56) позволяет свести задачу
об определении плазменного поля к нахождению функций Гри-
на Gap. Уравнения для этих функций Грина получим, подставив
выражение (56) в систему уравнений (54). Так, например, функ-
ции Грина Gai, отвечающие точечному электрическому току с
плотностью, описываемой аффинором f = 16(г — г')6(^ — О»
должны удовлетворять уравнению

где в соответствии с выражением (56) были использованы мат-
ричные обозначения для основных операторов, действующих на
поле в уравнениях (54). Для обеспечения единственности реше-
ния уравнения (57) следует также потребовать удовлетворения
начальных и граничных условий, которые обычно задаются в ви-
де [соотношения (54а) и (546)]

Gal=0 при	(57а)

пХ^и = ^-^21> )
q _ an J на поверхности S. (576)

Заметим, что, хотя в левой части уравнения (57) мы имеем ска-
лярное произведение, произведение векторного элемента матрицы
с индексами 43 на вектор G3i следует понимать просто как VG3).

Если рассмотреть сопряженную задачу аналогично тому, как
это сделано в пп. «а» и «6», то нетрудно вывести соотношения
симметрии и взаимности, которые справедливы для плазменных
функций Грина.

Чтобы избежать повторений, приведем соответствующий ре-
зультат без вывода:

GO3 (г, г'; I, П = (- 1)о+е Gpa (г', г; -1', -1),	(58)

где символом «~j> обозначен транспонированный тензор. Соот-
ношение взаимности (58) является обобщением ранее получен-
ных соотношений взаимности (12) и (29) для звуковых и элек-
тромагнитных полей.
Тензорные функции Грина для неограниченной
изотропной электронной плазмы

Выражения для функций Грина Gap неограниченной плазмы
в отсутствие магнитного поля (сос = 0) можно получить в зам-
кнутом виде, если обобщить формулы для нахождения обрат-
ного оператора (33) для функций Грина свободного простран-
ства. В рассматриваемом случае полное плазменное поле (т. е.
Gap) можно скаляризовать, т. е. выразить через две разные ска-
лярные функции Грина, одна из которых описывает распростра-
нение волн со скоростью света, а другая — со скоростью зву-
ка. Решим вначале уравнение (57) относительно Кц (г, г';/, /').
исключив ef2i> G31 и af4i; в результате получаем

/ д (	«>2	1 VV »2)+®2-?У2УХ(УХ1)1

V0 dt L1+ (Ж)-ЛЧ V2 Pa(dldt) сФ )' &1’

= б (г — г') 6 (/ — f), (59а)

где для упрощения использована операторная форма записи *).
Пользуясь обратным оператором (ЗЗв), для оператора, обрат-
ного заключенному в скобки в уравнении (59а), можно полу-
чить последовательно выражения

ы _ V2 — (1/а2) (d2/d<2)	VV _	д_	7Х(УХ1)	_	/5дбч

toid/dt)	V2 ёа 1X0	dt V2	ёсг	^У0‘

= Ио	“-§)]>	(59в)

= Но “ во(7/дО [&» + (д2/^+ш2	’ (б9г)

где ga и gc — скалярные функции Грина, которые определяются
формулами (606). Сгруппировав по отдельности члены, содер-
жащие ga и gc, перепишем окончательно (59г) в виде

чу ( д 77 д/di \ VV	<»2

11 Vго 5/ в0 №2) + ш2Лс в0 (д/д0[№2)+<02]го’
(60а)
где

s-= ^_(i;^)[7^ + <.a	с. (606)

причем с= 1/Vpoeo, а = Vур^т, = п^/тво- Оператор-
ными соотношениями (606) определяются две скалярные функ-
ции Грина, через которые можно выразить поля в изотропной

9 Умножив это уравнение на [(d2/dt2) — a2V2] V2, можно убрать обрат-
ные операторы.
однокомпонентной плазме. Отметим, что если устремить к нулю
плазменную частоту -> 0, то выражение (60а) для функции
Грина перейдет в выражение (306), определяющее функцию
Грина в свободном пространстве для электромагнитного поля.

В случае безграничной среды решение (606), имеющее вид
расходящейся волны, можно представить в форме (если ввести
обозначения г = г — г', t = t — t')

F екр

J	4лг	at

—co

Это решение является обобщением решения в случае сор = 0:

б [/ — (г/и)] _ С ехр {— i [о/ — в) (r/u)]}

4лг	J	4лг	2л

Действительно, разложения (606) в интеграл Фурье по времени
(когда оператор d/dt заменяется величиной —ко) для случаев
(ор = 0 и (Ор ф 0 различаются лишь заменой (о -> д/<о2 — со2
(§ 5, п. «д»). Интегральное выражение (61а) можно записать
[4] в виде

б [* — (г/и)] ~ ®р Ji [сор V/2 — (г2/и2П U[t — (г/и)]
4лг	и	'у/12 — (г2/и2)	4л

где /1 (я) — функция Бесселя первого порядка, a U (я) — сту-
пенчатая функция, равная 1 при я > 0 и 0 при я < 0.

Скалярное поле gU9 описываемое выражением (616), состоит
из сферического волнового фронта, такого же, как и в среде с
(0р — 0, и распространяющегося за ним до бесконечности «сле-
да», обусловленного дисперсией. Из-за наличия дисперсии вол-
ны различной частотй, входящие в интеграл (61а) и требуемые
для образования поля, распространяются с разными скоро-
стями. При достаточно больших временах наблюдения, когда
можно заменить функцию Бесселя ее асимптотическим выра-
жением Л (а) ~ (2/ла) ,/2cos [а—(Зл/4)], поле представляется
набором волновых пакетов или пучков плоских волн с подходя-
щими волновыми числами и частотами; мы подробно рассмот-
рим это представление в § 6.

Так как интересующие нас решения обращаются в нуль при
t < (г/и) = т, мы имеем *)

т + Ц, 6(/-Т) =	U(62а)

*) В чем можно убедиться, подействовав на обе части равенства (62а)
оператором (d2/^2) + wp.
умножая обе части этого равенства на gw(r, t) и выполняя инте-
грирование по времени, получаем

1	г sin con (t — т)

/д2/д ,2х , 2 ёи (г, О = ( -----------gu(r, x)dr. (626)

Внося соотношения (616) и (62) в операторное решение (596),
находим

^н(г, г'; /, /') =

_ go 1 а Г d	Ьр л/t2 ~ (г2! С2)] у /	£\1 __

4л dt I г	с	л/12 — (г2/с2)	\ с / J

_____1 vv (Г COS (др [/ — (r/с)] __

4ле0 V I г

t
(др Г
---- \ COS (О0 (/ — т)
с г/с

1

4ле0

Л (®р Ут2 - (г2/с2) )
Ут2 - (г2/с2)

J [1—coscop(/—т)]	-2^-— drl и 6 — — )|. (63)

rja	л/х2—(г2/а2) J \	а/)

Из выражения (63) видно, что электрическое поле, возбуждае-
мое электрическим диполем, который мгновенно включается при
t = 0 в точке г = 0, представляется суперпозицией двух сфери-
ческих волновых фронтов, распространяющихся со скоростями
с и а, за каждым из которых тянется след, обусловленный дис-
персией.

Приведенная формулировка задачи о плазменном поле

Отметим, что систему уравнений первого порядка (54), опи-
сывающую плазменное поле, можно свести к уравнениям более
высокого порядка, если исключить переменные р и v. При этом
мы приходим к следующим уравнениям для электромагнитных
характеристик плазменного поля:

•(’.	-----J',

г>н	(64)

v X Е 4- Но^-= - м,
где величина

8 С7’ d?) = е° G + (d2/5/2) 1₽+ a2W )

есть оператор эквивалентной диэлектрической проницаемости
для изотропной (сое = 0) плазмы, a J' — вектор эквивалентной
плотности электрического тока, зависящий довольно сложным
образом от J, f и s. Если эквивалентная диэлектрическая прони-
цаемость зависит от V или d/dt, то обычно говорят о наличии
пространственной или частотной дисперсии; в этом состоит одно
из отличий от формулировки задачи в виде уравнений первого
порядка, когда параметры не обладали дисперсией (§ 5).

Исключив из системы (54) векторы Е и И, мы приходим к
иной формулировке задачи о плазменном поле относительно ги-
дродинамических характеристик р и v.

г. Произвольное линейное поле (абстрактная формулировка)

Поскольку аналитическое описание звукового и электромаг-
нитного полей и поля однокомпонентной плазмы в пп. «а»—«в»
одинаково, можно предположить, что такой же анализ справед-
лив и для любого линейного поля, инвариантного относительно
пространственных и временных смещений. Пусть уравнения для
линейного поля записаны в операторном виде

Г? = -ф,

(65)

где L = L(y,d/dt)—линейный оператор, эквивалентный урав-
нениям, описывающим поле, Y = Чр(г, /) — векторная волновая
функция, характеризующая искомое поле, а Ф = Ф(г, t) — век-
тор, описывающий источники. Так как L представляет собой
дифференциальный оператор, для единственности решения не-
обходимо потребовать, чтобы вектор У принадлежал к задан-
ной области ZDl определения оператора L; такое требование эк-
вивалентно заданию начальных и граничных условий для эле-
ментов вектора Чр. Приведем матричные выражения для опера-
тора L и векторов У и Ф в случаях полей, рассмотренных в
пп. «а»—«в».

Звуковое поле

д

di

(66)


Электромагнитное поле

L^f80^1 “VX1

Л?Х1 но-^-1

(67)

Поле однокомпонентной плазмы

При вычислении входящего в уравнение (65) произведения мат-
ричного оператора на волновой вектор LW нужна некоторая
осторожность, так как элементами матрицы оператора могут
быть скаляры, векторы или аффиноры, а элементами вектор-
ной волновой функции — скаляры или векторы. Нужный вид
произведения легко установить, сопоставив выражения (66) с
уравнениями (1), выражения (67) с уравнениями (16), а выра-
жения (68) с уравнениями (54).

Для решения уравнения (65) требуется определить внутрен-
нее (скалярное) произведение двух волновых векторов и ввести
понятие сопряженного оператора [5]. Внутренним произведением
векторов Чг+ и Ч*" назовем интеграл по четырехмерной простран-
ственно-временной области:

(Y+, Y) « J Y+ (г, 0 • Y (г, 0 dr dt.	(69а)

В случае электромагнитного поля, описываемого формулами
(67), выражение для внутреннего произведения волновых векто-
ров можно записать в следующем более явном виде:

(Y+, V) = J [Е+ • Е + Н+ • Н] dr dt.	(696)
Если внутреннее произведение векторов Т и LT связано с вну-
тренним произведением векторов L+T+ и Т соотношением

(Т+, PF) = (L+'F+, Т),	(70)

то оператор L+ называют сопряженным оператору L для векто-
ров и Т+, принадлежащих первый — области	а второй —

области S)L+. Оператор L — это один из матричных дифферен-
циальных операторов в формулах (66) — (68). Таким образом,
уравнение (70) выражает теорему об интегрировании по частям
для четырехмерного пространственно-временного объема с уче-
том обращения в нуль вклада границ, обусловленного выбором
Т и Чг+ среди функций, принадлежащих соответствующим обла-
стям определения операторов.

Введение сопряженного оператора L+ с помощью соотноше-
ния (70) позволяет определить сопряженную краевую задачу

L+T+ = — ф+,	(71)

решение которой единственно при наличии соответствующих гра-
ничных и начальных условий (т. е. вектор Т+ должен принадле-
жать заданной области определения оператора 0£+); вектор
Ф+ произволен. Векторная волновая функция Т исходной за-
дачи (65) связана с вектором Т+ сопряженной задачи (71).
В силу соотношения (70), очевидно, справедливо равенство

(Т+, ф) = (ф+, Н	'	(72)

которое представляет собой соотношение сопряженности, обоб-
щающее приведенные ранее эквивалентные соотношения сопря-
женности (теоремы взаимности) (9) и (25).

Введем оператор функции Грина G для произвольного ли-
нейного поля Т с помощью соотношения

— вФ, откуда LG = 1,	(73а)

и соответствующую сопряженную функцию Грина G+ для сопря-
женного поля

^+ = -С+Ф+, откуда L+G+ = l.	(736)

Уравнения (73) — это сжатая форма записи уравнений для
функций Грина произвольного линейного поля. Функции Грина
G и G+ можно представить в матричном виде:

G->(Gz/(r, г'; t, Г)) и G+->(Gi/(r, г'; t, /')),	(73в)

где элементы матриц Сзц и G*/ могут быть скалярами, векто-
рами или аффинорами [см., например, эти представления в вы-
ражениях (4), (19) и (56)]. В силу соотношения сопряженности
(72), сопряженная функция Грина G+ связана с исходной
функцией Грина G соотношением

(С+Ф+, ф) = (ф+, ОФ),	(74а)

откуда, учитывая равенство (69а) и произвольность выбора век-
торов Ф и Ф+, описывающих источники, получаем следующие
соотношения для элементов матрицы функции Грина:

G?/(r, г'; t, = г; t', t).	(746)

Эти равенства являются обобщением ранее полученных анало-
гичных соотношений (11) и (28). Заметим, что знак транспони-
рования необходим в (746) лишь тогда, когда элементы Gf3- —
аффиноры.

Равенство (746) можно расматривать как соотношение вза-
имности для функции Грина исходной задачи лишь в том слу-
чае, когда сопряженная функция Грина G+ может быть выра-
жена через G. Такая возможность существует, если оператор ис-
ходной задачи L обладает свойствами симметрии относительно
преобразования обращения времени в некоторой области. На-
пример, если обозначить оператор с обращенным временем L(V,
—d]dt) символом L, то для всех расмотренных выше операторов
L+ имеем L+ = TLT, где Т — диагональный оператор с матрич-
ными элементами ±1, такой, что T~l = Т. В результате полу-
чаем

G+ = ТОТ,	(75)

где 0 — оператор, определенный в подходящей области уравне-
нием LG = 1; он представляет собой матрицу с элементами

G/; (г, г'; t, t') = Gi{ (г, г'; - t, - /').	(76)

Из уравнений (746)—(76) следует справедливость в некоторой
области соотношения взаимности

Gv(r, г'; I, /') = (-1)‘+/ Git (г, г'; -f, -t) (77}
для исходного поля; последнее соотношение служит обобще-
нием аналогичных соотношений (12), (29) и (58), выведенных
ранее.

§ 2. РАЗЛОЖЕНИЕ ПОЛЯ ПО ПЛОСКИМ ВОЛНАМ

В общем случае невозможно найти решение задачи о про-
странственно-временном распределении полей, возбуждаемых
распределенными источниками, в замкнутом виде. Хотя в § I
было получено формальное решение большого числа таких за*
Дач операционным или другими эквивалентными методами, на*
.хождение явных представлений решения зачастую требует вы-
числения сложных интегралов, определяемых пространственно-
временным распределением источников. Гораздо более простой
задачей оказывается, естественно, нахождение полей, возбу-
ждаемых источниками, имеющими структуру плоских волновых
гармоник, так как в этом случае операционные соотношения
сводятся к алгебраическим. Поэтому, если распределение источ-
ников можно представить в виде разложения по плоским
волнам, возбуждаемые ими поля могут быть найдены, вообще
говоря, путем алгебраических выкладок, а для получения про-
странственно-временной картины поля необходим синтез (инте-
грирование) откликов поля, отвечающих отдельным составляю-
щим плоским волнам. Такое разложение поля и последующий
синтез — весьма эффективный способ вычисления потока энер-
гии, получения асимптотических оценок для поля в дальней
зоне и т. д. в случае линейных полей. Здесь мы уделим основ-
ное внимание получению представлений различных полей и со-
ответствующих функций Грина в виде разложений по плоским
волнам; отвечающие этим разложениям зависимости поля от ко-
ординат и времени находятся путем преобразований, которые
также будут установлены.

Поля в линейном, однородном, стационарном, безграничном
пространстве инвариантны относительно пространственно-вре-
менных сдвигов и, следовательно, могут быть представлены су-
перпозицией плоских волн вида exp[i(k-r— Волновой век-
тор к и круговая частота со, характеризующие период измене-
ния поля вдоль радиуса-вектора г и во времени t9 могут быть
выбраны так, чтобы плоские волны образовывали полную си-
стему функций; эту систему можно использовать для разложе-
ния функций с произвольной зависимостью от координат и вре-
мени. Математической основой для такого разложения может
служить теорема о представлении функции четырехмерным ин-
тегралом Фурье [6], в силу которой интегрируемая функция ко-
ординат и времени F\r> t) может быть записана в виде

F (г, 0 = J F (к, ю) е1	,	(1а)

где F (к, со) — амплитуда разложения по плоским волнам —
определяется формулой

F (к, со) = F (г, t) e~l dr dt.	(16)

-  —. —	-   '-V „

Каждый из четырехкратных интегралов в (1а) и (16) берется
в пределах от —оо до +°о, a dk и dr — элементы объема в к- и
«•-пространствах. Здесь для простоты функция F(r, t) и ее изо-
бражение F(k, со) обозначены одинаковым символом и разли-
чаются лишь своими аргументами.
Преобразования Фурье (1а) и (16) могут быть записаны бо-
лее сжато в виде «условия полноты» системы собственных функ-
ций, которое представляет собой разложение четырехмерной
дельта-функции по плоским волкам:

б (г - r') б (t - /') = J e* l * * 1k -fr-r')-» (<-*')]	.	(2а)

Тогда формулы (1) можно вывести, умножив обе стороны ра-
венства (2а) на Г (г', t') и выполнив интегрирование по всем
элементам четырехмерного объема dr'dt'. Соотношения (1) оз-
начают также, что собственные функции «ортогональны», т. е.

(2л)4 б (k - V) б (© - а') = jj е~< 1<к~к'> Л dr dt. (26)

В пространстве интегрируемых функций область интегриро-
вания в соотношениях (1а) и (2а) охватывает все действитель-
ные частоты св и действительные волновые чйсла к. Во многих
физических приложениях встречаются неразложимые в инте-
грал Фурье, но ограниченные функции, которые подчиняются
принципу причинности, т. е. обращаются в нуль до определен-
ного момента времени и остаются конечными при /->оо. Для
таких «причинных» функций можно доказать существование
преобразования вида (16), если слегка сдвинуть контур интегри-
рования на плоскости'© с действительной оси в верхнюю полу-
плоскость Im © >• 0. Обобщенные таким образом соотношения

(1) и (2) составляют содержание теоремы о представлении
функции обобщенным интегралом Фурье — Лапласа. То, что
функция F(r, t), представленная интегральным преобразова-
нием (1), удовлетворяет условию причинности, т. е. обращает-
ся в нуль при t < 0, нетрудно показать, сместив контур интегри-
рования по со в выражении (1а) в верхнюю полуплоскость
Im © > 0; тогда вследствие регулярности функции F(k, ®) ин-
теграл обращается в нуль по теореме Коши, (и

В линейной, однородной, стационарной, неограниченной среде
функции Грина зависят лишь от разностей г — г', t — t' и, сле-
довательно, согласно формуле (2), могут быть представлены
в виде

g(г, г'; I, t'}=\g(k, ©)el*'»].	(3)

Характерной особенностью такого разложения по плоским
волнам (базису) является то, что при его использовании алге-
браизуются (диагокализуются) дифференциальные операторы V
и d/dt в уравнениях поля, инвариантных относительно простран-
ственно-временных смещений. При таком выборе базиса мы
имеем

V = zk,	= —г©.	(4)
В силу этого свойства, представление (3) позволяет свести за-
дачу о нахождении зависящей от координат и времени функции
Грина в линейном, однородном, стационарном, безграничном
пространстве к простой алгебраической задаче об определении
функции g(k, со). Можно заранее сказать, что в пассивных си-
стемах без потерь функция g*(k, со) должна обладать особенно-
стями, если со и к действительны, так как при импульсном воз-
буждении подобных систем генерируются волны, распростра-
няющиеся без затухания до бесконечности. Иначе говоря, по-
скольку при некоторых действительных со и к существует реше-
ние в виде плоской волны для однородной задачи без источни-
ков, функция Грина g(k, со) должна обладать «резонансами»,
или особенностями, при соответствующих со и к. Поэтому для
однозначного определения интегралов типа (3) желательно раз-
личать аналитические выражения g(k, со) в верхней полупло-
скорости Im со > О (для обеспечения принципа причинности) и
сингулярные, но интегрируемые представления при Imco = O; в
обоих случаях при этом волновое число к считается действи-
тельным.

а. Звуковое поле

Звуковые поля, возбуждаемые в линейном однородном про-
странстве, как было показано в § 1, п. «а», могут быть выра-
жены через скалярную функцию Грина, описываемую уравне-
нием (136):

(V2--^^)^<r’ г'; П = -6(г-г')6(/-П	(5)

и удовлетворяющую начальному условию g ss 0 при t f.
В случае неограниченной области, поскольку скорость распро-
странения поля а конечна, это означает также, что при любом
t выполняется граничное условие g ss 0 при |г — г'| оо [§ 1,
формула (15в)]. В силу алгебраического правила (4), подставив
разложение (3) в уравнение (5), находим простое решение для
амплитуды преобразования Фурье

g (k, со) = k2-(a>2/a2) ’ Im ® > °>	(6а)

аналитичность которого в этой области обеспечивается условием
Im со > 0 в соответствии с выполнением принципа причинности
для функции Грина. Что касается аналитического продолжения
функции g(k, со) на действительную ось со (в пределе при
1шсо->0+), то сначала заметим, что действительная сингу-
лярная функция 1/х, неопределенная в точке х = 0, может быть
однозначно определена путем следующего предельного пере-
хода '):

V = lim ТГ7Г = lim ( х* 2 *'£'ё~ + 1	4- eO = Р Т + яй (6б)

где символом Р обозначена «главная часть», служащая для вы-
деления (в смысле Коши) особенности при х = 0. Соотношение
(66) следует понимать как обобщенную функцию, которая при-
обретает обычный смысл, если умножить его на некоторую
функцию от х и проинтегрировать по х [7]. В соответствии с ра-
венством (66) функцию g(к, ®) можно записать в виде

g(к, со) = Р+ лгб (k2 — -^-), Im<о = 0. (6в>
По фурье-образу g(k, ®), воспользовавшись представлением (3)_
найдем пространственно-временную функцию Грина2)

( f ei	rfkd<oi_ б [/ - (г/а]	, п

g (г, 0 = | J *2 - (®7а2) (2я)4;-. 4лг ПрИ г;>и’	(7>

'	0	- при /^0,

где для краткости записи через г и t обозначены разности г — г'
и t — t', а результат интегрирования известен из другого выра-
жения для функции Грина [§ 1, формула (15а)]. Отметим, что
полюсы подынтегрального выражения в формуле (7), или осо-
бые точки функции g(k, ©), имеют место при значениях к, со,,
удовлетворяющих «дисперсионному уравнению» k2— (as2/а2) =
= 0, т. е. «резонансному» соотношению (см. ниже).

Различные акустические функции Грина бц (г, г';/,/')>
^22 (г, г'; t, t') и др. можно вычислить, зная функцию g(r, г'; t, t')„
по формулам (13а) из § 1. Из этих формул и соотношений (4)
и (6в) следует, что в пространстве преобразований к, со акусти-
ческие функции Грина представляются (при Im со =0) в виде
G„(k, ») =	- -g-) + Р .(а/№) +‘,

^(к,	6 (- -g-)+р f w+l+

1

/<ОП0/П

GI2 (к, ®) = G21 (к, ф) = /к [- л/б (k2 - -§-)+ Р	;

*) Соотношение лб (х) = lim [е/(х2 + е2)] можно получить, проинтегри-
е->0

ровав обе части равенства (66) в окрестности х = 0.

2) Интегрирование по ю в формуле (7) дает еще одно слагаемое

б[/+ (г/а)]/4лг, которое обращается в нуль при f>0 [§ 1, выражение

(3.25)].
при Im со У= 0 здесь следует опустить 6-функции и символ глав-
ного значения Р1). Величины 1L и 1т — это единичные аффи-
норы, которые даются формулами

1г = ~k*(2kX1) , 1 = 1£+1г	(8а)

й могут быть названы первый — продольным, а второй — попе-
речным относительно направления распространения плоской

Фиг. 2. Система координат с ортами k0, Tg, Tq.

волны к0 = к/£. Представленные выше выражения для фурье-
образов функций Грина имеют важное значение, ибо если запи-
сать уравнения звукового поля [формула (1) из § 1] в простран-
стве преобразований:

/Р<к> ®) — /к • v(k, <о) = — s (к, <о),

(9)
— jkp (к, <в) + ]<япату (к, ®) = — f (к, со),

то решения этих алгебраических уравнений можно следующим
образом выразить через фурье-образы функций Грина:

р (k, со) = — Gn (к, со) s (к, со) — 012 (к, <в) • f (к, со),

v (к, со) = — G21 (к, со) s (к, со) — К22 (к, со) • f (к, со).	' '

В том, что выражения (10) удовлетворяют уравнениям (9) в
случае свободного пространства, можно убедиться путем подста-
новки их в уравнение (9), но это явствует уже из формул (4)
и (6) § 1.

4) Обозначением / = —i мы будем пользоваться иногда, чтобы подчерк-
нуть возможную интерпретацию с точки зрения теории цепей; оно соответ-
ствует гармоническим процессам, зависящим от времени по закону ехр(/со/).
Полуплоскость 1ш со > 0 при /-обозначениях переходит в полуплоскость
Im со < О в /-обозначениях. Заметим также, что бц(к, со) =* бц(—к, со),
^22 (к, со) = ^22(-к, со) ит. д.
Построив эквивалентную схему, соответствующую уравне-
ниям звукового поля в пространстве преобразований к, со, можно
наглядно представить взаимосвязь различных характеристик

поля; кроме того, такие схемы пригодны для определения дис-

персионных свойств (стр. 14) и энергии излучения. Введем си-
стему координат, задав ее (фиг. 2) тремя единичными вектора-

ми ко, То, То = ко X То. Тог-

да векторные поля можно раз-
бить на продольную (L) и по-
перечную (Г) части:

v(k, <о) = oLk0 + vrT' + ог„Т"
f(k, ®) = fLk04-frT' + f7..T'',
а система (9) распадается на
продольные уравнения

/ —— р —

1 NPa	ь

kp + /®ПО/П1»Д = — fL
и поперечные уравнения
]wiomvT, = — fT,,
/®nomor„ = — f т„,
где р = —/р(к, ®) и

Фиг. 3. Эквивалентная схема для зву
ковых волн.

(На)

(116)

§ =

= —/з(к, ®). Системе уравне-
ний (11) соответствуют пред-

ставленные на фиг. 3 стацио-
нарные схемы, элементами ко-
торых служат «емкость» 1/уРо.

«индуктивность» пот и идеальный трансформатор с отношением
числа витков k. Стоящие в правых частях уравнений источники
s и могут быть интерпретированы как «генератор тока» с бес-

конечным внутренним сопротивлением и «генераторы напряже-
ния» с нулевыми внутренними сопротивлениями, а функции Д
и va — это «напряжение» на емкости l/уро и «токи» через индук-
тивности п$т. Очевидно, что продольный (L) и поперечный (Г)
контуры независимы, т. е. между ними кет связи.

Как следует из уравнений (11) или схемы для продольной
цепи в отсутствие источников (т. е. при $ — 0 = /а), нетри-
виальное решение уравнений звукового поля возможно при тех
к, о, при которых выполняется «условие резонанса» (равенство-
нулю полного сопротивления цепи)

k2

/<w" + 7^7 = 0	'	(12а>
или, что эквивалентно, удовлетворяется «дисперсионное уравне-
ние» [равенство нулю детерминанта; § 7, формула (4а)]

(*!-£)=(*+т)(‘-т)=»- “=л/^- (12б)

Указанными допустимыми действительными значениями к, со
определяются, очевидно, поля двух плоских волн, распростра-
няющихся в направлениях ±к0 со скоростью звука а. Един-
ственные отличные от куля характеристики поля, связанные с
такими волнами, распространяющимися в отсутствие источни-
ков, — это давление р и продольная скорость vL. Из уравнений
(11) или из эквивалентной схемы можно получить следующее
соотношение, характеризующее структуру (характеристический
импеданс) этих продольных волк:

' <12">

где знаки ± соответствуют волнам, распространяющимся в на-
правлениях ±к0.

Стационарная мощность излучения источника звука

Полная плотность мощности, отдаваемой источником звуко-
вому полю в каждой точке г,/, равна [§ 1, формула (2)]
—p(r,/)$(г,/). Поэтому полная энергия, передаваемая звуко-
вому полю в неограниченной среде без потерь распределенным
источником s(r, /), такова:

— \ р (г, f) s (г, t) dr di — — \ р (к, со) $* (к, со)

dk d® /in \
(13а)

выражение в правой части равенства следует из уравнений (1а)
и (2), а также соотношения s(—к, —со) = s*(k, со), справедливого
при действительных к, со. Полная мощность излучения с часто-
той соо, испускаемого монохроматическим источником вида
^(r)ez®°f, определяется действительной частью выражения для
энергии (13а), если в него подставить фурье-образ плотности ис-
точника $ (к, со) = $(к)2л6(со — соо) [формула (16)]:

Р»м=------Re J Р(к, ю) з*(к)-^г = Re J Gn (к, ®)| s(k) |2-^-

(136)

причем здесь <в = <»о- Для вычисления мощности излучения в не-
ограниченное пространство необходимо, очевидно, знать лишь
действительную (резистивную) часть функции Грина Оц(к, ©),
определяемой по формулам (8).
В частном случае точечного монохроматического источника
частиц с комплексной амплитудой s(r) = S6(r) [т. е. s(k) = S]
мощность акустического излучения на частоте со, согласно вы-
ражениям (136) и (8), оказывается равной

РИЗл(®) = J <W«n6 (/г2 - -J-) | S |2	=

= Л-л/^~ \Ska\2,	ka=—, (14)

4л V 1/УРо в	а

где интегрирование по к проведено в сферической системе ко-
ординат, для которой dk = 4nk2dk, и учтено соотношение

/ Ь2	«>2 \ 6 (k — ш/а)

k	а2	2k

при 0 < k < ОО.

(Заметим, что б (ах) = [aj-'S^).]

Точно так же при возбуждении поля монохроматическим ис-
точником силы с плотностью f (г, 0 вида f (г) е{<а^ мощность аку-
стического излучения на частоте ® = ©о оказывается равной

РизлН = Re $ Г (к) • V22 (к, ®) • f (к)	,	(15)

где f(k)—пространственный фурье-образ функции f(r). В слу-
чае безграничной среды, где могут излучаться лишь продольные
волны, выражение (15) на основании формулы (8) преобразует-
ся к виду

Риз.,(®) = Re $ G^l (к, <в) I fL (k) l2-^,	(16)

где индекс L означает продольную составляющую. В случае то-
чечного монохроматического источника с плотностью силы
f(r) = F6(r), амплитуда которого задается комплексным векто-
ром F, используя выражения (16) и (8) для мощности излуче-
ния, находим

о о

здесь интегрирование проведено в сферической системе коорди-
нат, в которой 0 — полярный угол между векторами F и ко.
б. Электромагнитное поле

Электромагнитные поля в неограниченной области могут
быть определены [§ 1, формулы (31) и (32)] с помощью скаляр-
ной функции Грина, удовлетворяющей уравнению

(v2--^-^-)g(r, г'; t, /') = -6(r-rW-n	(18)

с граничным условием g = 0 при |г — г'| -> со, выполняющимся
в любой конечный момент времени, и начальным условием
g = 0 при t t'. По аналогии с тем, что говорилось в п. «а»,
где рассматривалось почти такое же уравнение в случае звуко-
вого поля, находим, что в пространстве преобразований к, со ре-
шение уравнения (18) имеет вид

при Im со > О,
£(к,со) = < J7	,	(19)

. Р k* - (Ю8/^) + Ш'д \k ~~~) ПрИ Im ® = °-

Ему соответствует следующее пространственно-временное пред-
ставление функции Грина:

( f е1	dbda б [/- (r/с)]	п

g(rj) = | U-m (2Л)4 * 4лг при	(2.0)

(	0	при t < 0,

причем здесь (и ниже) через г, t обозначены разности г — г',
t — t'. Функции Грина электромагнитного поля Vn (г, /), t)
и т. д. выражаются через g(r, t) по формулам (30) — (32) из § 1.
В пространстве преобразований к, <в эти соотношения прини-
мают вид (при Im со = 0)

“> = life- + [“W(‘! - 4-) + Р	+ (Вдад„) ] 1г.

°	~7-) + Р ,.ц. + №=№.„) ] 1 г. (21>

V12(k, co) = -V21(k, со) =

- _/txi[-«/»(^-£)+р

где в случае Im со #= 0 следует опустить символы Р и б-функции.
Здесь 1L и 1т — продольный и поперечный аффиноры, опреде-
ляемые формулами (8а), a j = —i!).

4) Напомним, что при использовании обозначения j верхняя полупло-

скость Imco > 0 в выражении (19) переходит в полуплоскость Inuo < 0.
Роль, которую играют фурье-образы функций Грина (21)
при описании электромагнитного поля, становится очевидной,
если уравнения Максвелла также записать для пространства
к, со:

/(овоЕ (к, со) + jk X Н (к, со) = — J (к, со),

-/кХЕ(к, со) +/®иоН(к, ®) = —М(к, со). 1 '

Решение этих трансформированных уравнений Максвелла есть,
очевидно, фурье-образ решения [§ 1, формула (19)], определяю-
щего пространственно-временные зависимости. Поскольку функ-
ции Грина для однородной, стационарной, неограниченной среды
зависят лишь от разностей |г — г'| и t — t', эти фурье-образы
уравнений (19) из § 1 дадут в результате прямого преобразо-
вания Фурье или применения теоремы о свертке [6] простые фор-
мулы:

Е (к, со) = -	(к,	со) •	J (к, ®) - К12 (к, ш) • М (к, ©),

Н (к, ©) = -	(к,	®) •	J (к, ©) - ^22 (к, ®) • М (к, ®). (23)

Разложим векторы	Е,	Н,	J и	М на составляющие в характери-

стической системе координат ко, То, То, изображенной на фиг. 2,
например

Е (к, ®) = £дко + Ет'То 4* •Е’г’То и т. д.

Тогда уравнения (22) расщепляются на продольные уравнения

/ювоЕд = — j<i>n0HL = — ML	(24а)

поперечные уравнения

]<д&оЕт' — kHf" = — /у/,	]<1>е.оЕт" — kHr' = — /г",

~	~	(246)

kET, + /®ц0Яг„ = — Мт„, kET„ + /ац0Яг, = — Мт,,

где введены новые обозначения

Нт« яа + 1Нт-,	=	Н?' =— ]Нт', Мт's—]Мтг- (24в)

Уравнениям Максвелла для фурье-образов поля (24) можно
сопоставить эквивалентные схемы, представленные на фиг. За,
элементами которых служат «индуктивности» цо, «емкости» в0 и
идеальные трансформаторы с отношением числа витков в обмот-
ках k: 1. Составляющие электрического поля Еа(а = L, Т', Т")
играют роль «напряжений» на емкостях ео, составляющие маг-
нитного поля Йа отождествляются с «токами» через индуктив-
ности |л0. а /а и Л?а — это эквивалентные «генераторы тока» и
«генераторы напряжений». В резонансном характере цепей, экви-
валентных поперечным уравнениям, и в отсутствие связи с экви-
Фиг. За. Эквивалентная схема для
электромагнитных волн.

валентными продольными цепями выражается поперечный ха-
рактер электромагнитного поля.

В отсутствие источников электромагнитные поля в виде пло-
ских волн ехр[—/(k*r— со/)] могут существовать лишь при та-
ких значениях к, со, которые допускают нетривиальные решения
однородной (J — 0 = М) си-
стемы уравнений (24). Таким
образом, решение уравнений
(246) в виде поперечных волн
возможно лишь при условии

+	<2Sa>

ИЛИ

62--^- = 0,	(256)

а решение продольных уравне-
ний возможно лишь при и =
= 0. Условие (25) есть ди-
сперсионное уравнение [де-
терминант системы (246) ра-
вен нулю] для электромагнит-
ных волн или эквивалентное
ему условие резонанса (пол-
ный «адмитанс» в точке Р ра-
вен нулю) в изображенной на
фиг. За цепи, эквивалентной
поперечным уравнениям. Как
можно убедиться исходя, из
уравнений (246) или из соот-
ветствующей эквивалентной
схемы, отношение составляю-

щих электрического и магнитного векторов для волновых полей
(характеристический импеданс, или волновое сопротивление)

равно

(26)

где знаки ± относятся к волнам, распространяющимся в напра-
влении ±к0.

Стационарная мощность излучения электрических
и магнитных токов в свободном пространстве

При использовании базиса к, со нетрудно рассчитать электро-
магнитную энергию, излучаемую электрическим или магнитным
током в неограниченной области в отсутствие потерь. Так как
мощность, отдаваемая полю электрическим током плотности J
в единице объема в точке г, равна —E(r, t) -J(r, t)f полное при-
ращение энергии поля за конечный интервал времени равно

— (Е(г, /)• J(r, 0*А = -(Е(к, ®)-Г(к,	(27)

причем в полной аналогии с акустическим соотношением (13а)
выражение в правой части равенства можно получить либо на
основании теоремы Парсеваля (гл. 5, § 2, п. «г»), либо восполь-
зовавшись соотношением (1а) и аналогом формул (2) с учетом
равенства J(—к, —со) = J*(k, ®), справедливого при действитель-
ных сок. В случае монохроматического источника с плотностью
тока J (г) возбуждающего поле Е (г, t) = Е (г) е/Шо<, средняя
за период мощность, передаваемая полю и, следовательно, излу-
чаемая на частоте со = со0> равна [формула (13а) и далее]

Риал = - Re J Г (к)  Е (к)	==	(28а)

= Re $ Г (к) •	(к, со) • J (к)	-	(286)

= $Я(к, <o)|Jr(k)l2-(fjr.	(28в)

где J(k) и Е(к)—среднеквадратичные значения комплексных
составляющих разложения функций Е(г) и J(r) в пространст-
венные интегралы Фурье. Выражение (28а) преобразуется к ви-
ду (286), если учесть формулы (23), а величина ReVn(k, ®) =
= R(k,<о)1т в соответствии с формулой (21) дает действитель-
ную (активную) составляющую тензора импеданса /? (к, св).

В случае точечного монохроматического источника с плот-
ностью электрического тока J(r) = J°6(r) = /16(г), где J0 —
«вектор плотности тока» (J° = /l), мощность излучения попе-
речных волн, согласно выражениям (28в) и (21), есть [с учетом
замечаний, сделанных после формулы (14)]

=1 S2я sin °de f 1 “sin 811,5 (‘ - т)=
О	о

= z=|,|> <29>

Vvv у eg	v

где интегрирование проводилось в сферической системе коорди-
нат, в которой элемент объема равен dk = 2л sin Qk2dQdkf а 0 =
угол между вектором к и направлением тока в источнике 1.
В случае точечного магнитного тока с плотностью М(г) ==

3 Зак. 639
= М°6(г) = 716 (г) средняя по времени мощность излучения оп-
ределяется аналогичным образом и равна

PH3JI=Re J М‘(к)-^22(к, ®)-М(к)-^г =

где G(k, со) 1Г = ReK22(k, ©)—действительная (активная)
часть тензора проводимости определенного выражением
(21).

в. Плазменное поле

В случае однокомпонентной плазмы (§ 1, п. «в») описание
полного поля с помощью функций Грина [§ 1, формулы (56) и
(57)] требует нахождения большого числа частных функций
Грина Gag(r, г'; Хотя в случае изотропной плазмы (о)с =
= 0) все эти функции Грина можно выразить лишь через две
скалярные функции Грина типа функций, определенных уравне-
ниями (5) или (18), мы не будем этого делать, а проведем реше-
ние непосредственно уравнений (57) из § 1 в частном случае
<ос = 0. Аналогичный, но более сложный анализ может быть
проведен и в общем случае, когда а>с ф 0.

В случае неограниченного пространства, заполненного плаз-
мой, введем фурье-компоненты функций Грина Gap(k, ю) в про-
странстве к, (о с помощью разложений

Ga&(r,r'U,f)=$Gae(k,®)^^''-“H^.,	. (31)

где г" = г — г', t" — t—t'. Уравнение (57) из § 1, определяю-
щее функцию Gai в пространстве к, о, в случае сос = 0 прини-
мает вид

(32)
аналогично записываются и уравнения для Ga2, баз и Ga4, но
в них единичный источник в правой части уравнения имеет вид
столбца, в котором отлична от куля соответственно вторая, тре-
тья и четвертая строка. Обратив уравнение (32), можно получить
выражения для различных функций Gap(k, <о). Так, например,
имеем (здесь / = —a Im <о =# 0)

1£

^11 (к> ®)	+ й2/(/®/ур0)]} ”1”

_|_________________Jr______________, (зз)

/<оео + [>2/(МИ0)] + [«^/(/“«о'”)] ’

где к — продольный, а 1Т — поперечный аффинор [формулы
(8а)]. Физический смысл фурье-компонент функций Грина
Gag(k, со) становится ясным, если записать фурье-компоненты
выражений (56) из § 1, которые в случае линейной, однородной,
стационарной, безграничной среды нетрудно интерпретировать,
если учесть соотношение взаимности (22) из § 1 и теорему о
свертке. В частности, функцией ч§/'н(к, со) определяется, очевид-
но, электрическое поле Е(к, со), возбуждаемое электрическим то-
ком с плотностью J (к, со):

Е (к, со) = - Vп (к, со) • J (к, со),	(34)

и, таким образом, есть обобщение электрической функции
Грина Кц для электромагнитного поля (п. «б»).

Формулу (33) можно переписать в ином виде, так, чтобы бы-
ла очевидна зависимость тензорной функции Грина от двух
скалярных функций Грина. Пользуясь обозначениями, введен-
ными в § 1, п. «в», имеем

г/ й2с2 \

Кц (к, со) = /сор.0 I 1--2-----Г U ) G«0 <к> ®) +

L\ со — (о*	/

2,2 2	п

. .	(й~ k С	I

+	СО2-®2 Gea (к’	1д] ’	(35)

где Ge0 — фурье-компонента скалярной функции Грина «опти-
ческого типа», которая имеет вид (при использовании обозначе-
ния /)

Geo(k, со) =

' 72—гГТ—2\/'''гТ	ПРИ InicoCO.

*	1	(	со 2 со^ \

---Г/~2--24/ 21 ~ I -----------2“^ ) ПРИ Im СО = 0.

k *2-[(®2-®2)/с2] к	<?	)

(35а)

Скалярная функция Грина «акустического типа» Gea опреде-
ляется аналогичным выражением, в котором следует лишь заме-
нить скорость света с скоростью звука а. Из выражения’ (35а)
для функции Geo следует, что действительная (активная) часть
тензорной функции Грина ^ц(к, со) при 1шш = 0 имеет вид

Re Vn(k, ®) =
[о 9	,♦	2	9 \	✓	2	2 X П

(36)

а мнимая часть совпадает с главной частью выражения (33).

Записав уравнения для плазменного поля [§ 1, формула (54)]
в пространстве к, ® в виде уравнений для составляющих вели-
чин Е, Н, р, v и J, М, s, f по координатным осям к0, Т'о, То, изо-
браженным на фиг. 2, мы приходим к системе 10 скалярных ура-
внений для 10 искомых составляющих поля Е, Н, р и v. Эти ура-
внения легко получить из исходных [§ 1, формула (54)], вос-
пользовавшись операторами d/dt = j® и V = —/к. Эквивалент-
ные схемы, соответствующие этим уравнениям, представлены на
фиг. 4. Эквивалентная схема для изотропной однокомпонентной
плазмы имеет вид связанных эквивалентных цепей для электро-
магнитного и звукового поля, изображенных на фиг. 3 и За; по-
мимо элементов, входящих в эти цепи, она содержит идеальный
трансформатор связи с отношением витков в обмотках 1 : По<?;
«генераторы тока» и «генераторы напряжений» в этих схемах
определяются так же, как и ранее. В соответствии с независи-
мостью изображенных на фиг. 4 цепей, эквивалентных продоль-
ным и поперечным уравнениям, и их очевидным резонансным
характером в изотропной плазме могут независимо распростра-
няться продольные и поперечные волны.

В отсутствие источников плазменные поля, имеющие форму
плоских волн ехр [—/(к-г — art)], возможны лишь при таких к, и,
при которых существует нетривиальное решение фурье-компо-
нент уравнений (54) из § 1 с нулевыми правыми частями J =
= М = s = f == 0. Волны разного типа отвечают различным
нулям детерминанта системы этих уравнений или, что эквива-
лентно, детерминанта матрицы в уравнении (32). Соответствую-
щие дисперсионные уравнения имеют следующий вид:
продольные волны

jweo + janom [^/(/o/ypo)] e 0’
или

2	<>

*2—ЦА-°;	<37а>

поперечные волны

k2 r&q2
ИЛИ

&-

^- = 0

С2

(376)

Дисперсионными уравнениями (37) определяются также полюсы
функции Грина *FU [выражение (33)] и нули (резонансы) пол-
ных проводимостей на клеммах Р для изображенных на фиг. 4

Фиг. 4. Эквивалентная схема для волн однокомпонентной плазмы.



эквивалентных схем продольных и поперечных уравнений. Ха-
рактерные отношения составляющих поля, описывающие струк-
туру рассматриваемых волн, могут быть найдены из фурье-ком-
понент уравнений (54) из § 1 или вычислены по резонансным
значениям напряжений и токов в эквивалентной схеме на
фиг. 4, но их явных выражений мы здесь приводить не будем
Стационарная мощность излучения электрических токов
в неограниченной плазме

Вычисление энергии плазменного поля [т. е. энергии электро-
магнитного и звукового полей, даваемых формулами (55) из § 1],
излучаемой источниками в плазме, сравнительно просто прове-
сти в пространстве к, со. Так, например, если потери отсутствуют»
средняя активная мощность, передаваемая плазме в электромаг-
нитной форме электрическим током с плотностью J(r)e>* и тем
самым равная энергии плазменного поля, излучаемой в единицу
времени, есть [выражения (28) и (35)]

Риэл = - Re J Г (к) • Е (к)	= Re J Г (к) •	(к, ®) • J (к)

(38)
где J(k) и Е(к) —среднеквадратичные значения составляющих
разложения функций J(r), Е(г) в пространственные интегралы
Фурье для монохроматических плотности электрического тока
и напряженности электрического поля. Приведенный результат
обобщает чисто электромагнитное соотношение (28); при этом
следует заметить, что природа излучения плазменного поля
не только электромагнитная, но и акустическая [§ 1, формула
(55)]. В случае однокомпонентной изотропной плазмы величина
ReVn(k, <в) определяется формулой (36).

Мощность излучения плазменного поля в однокомпонентной
изотропной среде при возбуждении точечным монохроматиче-
ским диполем с плотностью тока J(r, t) = /16 (г) exp (/и/) не-
трудно вычислить по формулам (36) и (38). Проводя вычисле-
ния в сферической системе координат в k-пространстве, для ко-
торой dk = 2л&2 sin QdQdk, где 0 — полярный угол между векто-
ром к и направлением дипольного момента 1, получаем

/Зизл = Л(ОЦо \ |-4--7гб( k2--^-M[//COSO|2 +

J I— ь* €* X	v* Z

( a	<в2 — <o2 \ л ,1	k2dkdf)

+ 6 ^fe2----ci JI II sin 012 J 2л sin 0 ~(2п~)з~ =

= 0	при ® < <op;

здесь k = co/с. Большой первый член в скобках дает часть мощ-
ности, излучаемой в виде продольных волн; второй член — вклад
в, излучение поперечных волн. При выражение (39) пере-
ходит в соответствующее выражение (29), полученное лишь для
электромагнитного поля.
Результат, описываемый выражением (39), не совсем соот-
ветствует действительности, так как получен в предположении
бесконечно малой длины излучающего элемента. В случае излу-
чателя конечных размеров можно, исходя из выражения (38),
провести аналогичный анализ, использовав соответствующее
J(k) [8].

г. Произвольное линейное поле

Разложения по плоским волнам справедливы для полей про-
извольной природы в линейной однородной стационарной (свой-
ства не зависят от времени) неограниченной среде. Такие поля,
как показано в § 1, п. «г», удовлетворяют обобщенному линей-
ному уравнению (65) из § 1 и могут быть описаны с помощью
функции Грина G(r, г'; определяемой уравнением

L (V, G (г, г'; t, /') = д(г - г') d(t - /'),	(40)

решение которого следует выбирать так, чтобы не нарушался
принцип причинности (решение в виде уходящих волк). В об-
щем случае оператор L представляется квадратной матрицей,
элементами которой могут быть скалярные, векторные или тен-
зорные операторы; совершенно аналогично функция G может
быть представлена квадратной матрицей, элементами кбторой
служат частные функции Грина, зависящие от аргументов г, г',
t'. При такой записи правая часть уравнения (40) содержит
перед произведением дельта-функций множитель в виде единич-
ной матрицы. Из инвариантности уравнения (40) относительно
произвольных пространственно-временных смещений, проявляю-
щейся в независимости оператора L от координат г, /, следует
существование разложений по плоским волнам вида (1). Тогда
в пространстве к, со имеем

L(k, co)G(k, ш) = 1.	(41)

Здесь, как и в выражении (3), величина G(k, со) есть образ
Фурье — Лапласа функции Грина и для простоты введено обо-
значение L(k, со) s L(ik,—/со).

Роль функции G (к, со) становится очевидной, если применить
преобразование Фурье к соотношениям (73) из § 1, выражаю-
щим решение задачи о линейном поле произвольного типа [§ 1,
формула (65)] через функцию Грина. На основании теоремы о
свертке получаем

V (k, со) = - G (к, со) Ф (к, со),	(42)

где Т(к, со) и Ф(к, со)—образы Фурье — Лапласа функций
^(г»0 и Ф(г,/). Заметим, что функция Грина G(k, со) может
быть представлена квадратной матрицей, элементы которой
имеют алгебраический характер и, в силу соотношения (41), со-
впадают с элементами матрицы

G(k, «>) = £’ (к, со),	(43)

обратной известной нам матрице L(k, со). Особыми точками
функции G(k, со) на комплексных плоскостях к, со определяются
дисперсионные свойства решений в виде плоских волн, которые
могут распространяться в отсутствие источников в рассматри-
ваемой среде. В частности, функция G (к, со) имеет особенности
при таких значениях к, со, при которых

det L (к, со) = 0.	(44)

Если фурье-образ G(k, со) определен с помощью соотношения
(43) в явном виде, то, учитывая равенство (1а), можно найти
удовлетворяющую уравнению (40) функцию Грина в простран-
стве координат и времени:

G(r, г'; i, /') = U~‘(k, w)eHk-(r-r')-<o(/-ni rfkd® (45)
J

Согласно формуле (42), решение задачи о произвольном линей-
ном поле, описываемом уравнением (65) из § 1, можно предста-
вить в аналогичном виде:

' V (г, 0 = - J L~l (к, со) Ф (к, со) е1 (к-г-“п	.	(46)

Хотя это равенство и дает формальное решение уравнения (65)
из § 1 для произвольного поля, чтобы им воспользоваться, необ-
ходимо представить в явном виде произведение £-1Ф и вычис-
лить четырехкратный интеграл по к и со.

Во многих случаях такой способ нахождения решения может
быть существенно упрощен, если с самого начала учитывать
свойства симметрии решения во времени или относительно про-
странственных координат, существующие в рассматриваемой не-
ограниченной области. Эти упрощения, о которых подробнее бу-
дет сказано в § 3 и 4, возможны также и в случае (стационар-
ных, однородных) ограниченных областей.

§ 3. ВОЛНОВОДНОЕ ВО ВРЕМЕНИ (ОСЦИЛЛЯТОРНОЕ)
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

В предыдущем параграфе было показано, что плоским вол-
нам exp(ik-r — tcof), —оо < (kx, kv,kz, со) < со присуще свой-
ство ортогональности в четырехмерной пространственно-времен-
ной области, характеризующее симметрию относительно про-
странственных координат и времени в безграничной однородной
стационарной среде. Однако, так как со и к считались незави-
симыми, с помощью таких плоских волн оказывалось невозмож-
но представить решение уравнений поля в отсутствие источни-
ков или описать поляризационную структуру поля. Использова-
ние таких плоских волн позволяет свести пространственно-вре-
менные операторы, действующие на линейное поле, к чисто ал-
гебраическим и тем самым привести задачу нахождения поля в
неограниченной области к простому обращению алгебраической
матрицы и вычислению четырехмерного интеграла Фурье. В дан-
ном параграфе мы будем рассматривать «волноводные во вре-
мени» поля вида Y„(k)exp[tk • г — ®о(к)/], —оо < kx, ky, kz<oo
обладающие свойством ортогональности, которое определяется
видом трехмерной области пространства, где поле отлично от
нуля, и поляризационной структурой (таким образом, эти вол-
ны являются частными решениями однородных уравнений поля,
но не обладают ортогональностью по временной координате).
Волноводные во времени волны позволяют представить линей-
ное поле в виде суперпозиции характерных колебаний, требую-
щей вычисления лишь трехмерных интегралов Фурье, что ока-
зывается удобным при решении задач об излучении с началь-
ными условиями. Получающиеся при этом представления для
полей могут быть обобщены и на случай сред с переменными во
времени параметрами.

В случае неограниченной области математическую основу
для разложения поля по волноводным волнам такого типа со-
ставляют две следующие теоремы. Прежде всего это теорема о
представлении интегрируемой волновой функции Ч*1 (г, t) в виде
трехмерного интеграла Фурье *)

Y(r,0 = jY(k,/)eik-r-^r,	(la)

где

T(k, /)= ^4?(r,t)e~ikrdr,	(16)

a dk и dr, как и ранее, — элементы объема в к- и г-пространст-
вах. В случае однородного ограниченного пространства в раз-
ложения (1) вместо экспонент exp(ik-r) войдут другие собствен-
ные функции Ф(г). Прямое и обратное преобразования Фурье,
определяемые сотношениями (1а) и (16), независимо от вида
функции Т можно объединить в «соотношение полноты», или
разложение для трехмерной дельта-функции:

6(r-r') = J^-(r-n_g_.	(2а)

*) Здесь функции и их фурье-образы обозначаются одинаковым симво-
лом и различаются, если это необходимо, указанием их аргументов.
Для обеспечения полноты следует проводить интегрирование по
всем действительным точкам в трехмерном к-пространстве.
В результате любая интегрируемая функция переменной г — г7,
например функция Грина G(r, г'; t, t') в неограниченной одно-
родной среде, может быть представлена в виде

G (г, г'; t, (k; t, t')	-Д-.	(26)

Из преобразований Фурье (1) следует также свойство «орто-
гональности»

(2л)3 д (к - к') = J е~1 <к-к>г dr.	(2в)

Входящий в соотношения (1) фурье-образ Y(k,/), описы-
ваемый столбцом или вектором в n-мерном поляризационном
пространстве, при фиксированном к можно представить в виде
суперпозиции собственных векторов (к):

Y (к,/) = £	(к) аа (к, /),	а=1, 2,	(За)

а

где коэффициенты аа определяются эрмитовым (т. е. комплекс-
но-сопряженным) скалярным произведением: в общем случае с
весом, вектора Т на сопряженный вектор Ya:

„ (и	чг(к>'»

«а (к> 0 — 2Уа (к)	’

где W+ — «весовой» оператор. При данном к функции ЧГа и Tj
составляют полную взаимоортогональную систему базисных; век-
торов (в поляризационном пространстве), обладающих следую-
щими свойствами:

(Г^.т,)=2ДГАв={ “• 2"	о.»

где Na — постоянная нормировки. Соотношения (За) и (36) мо-
гут быть независимо от вида функции Y (k, t) объединены в со-
отношение полноты для поляризационного пространства:

v ^„(kJUZ+qr+W

Z-i 2Уа (к)	’	W

а

причем единичный оператор в левой части равенства представ-
ляется единичной матрицей в поляризационном пространстве.

Пользуясь преобразованиями (1) и (3), можно получить
представления волновой функции Y(г, t) как в геометрическом,
так и в поляризационном пространствах:

Y(r, t)= J £ aQ(k, t) Yo(k)^-r_jg_,	(5a)

a

где

(56>

Эквивалентом этого прямого и обратного преобразований слу-
жит соотношение полноты

a

из которого видно, что функции 4ra(k)e,k r образуют полную си-
стему собственных функций, пригодную для представления ре-
шений задачи о произвольном линейном поле (§ 1, п. «г», и § 2,
п. «г») в неограниченной среде. Из равенства (6) следует, в
частности, что произвольную (матричную) функцию Грина для
линейного поля можно представить в виде

(7)

a

где коэффициенты Ga следует определять с помощью уравнений,
которым удовлетворяет функция G, как будет показано ниже.

а. Произвольное линейное поле

Поле произвольного типа в линейной, однородной и стацио-
нарной среде описывается линейным оператором L(&,dldt), вве-
денным в § 1, п. «г». Если оператор L можно разбить на две ча-
сти, в одну из которых входит лишь оператор dfdt, а во вто-
рую— лишь оператор V, то уравнение (73а) из § 1, определяю-
щее функцию Грина, принимает вид

i [Л4 (V) +	4] G г':	= 6 (г - rW -1'),	(8)

причем функция G должна удовлетворять начальному условию
G = 0 при i < и соответствующим граничным условиям. Как
отмечалось в § 1, п. «г», функция Грина G в общем случае пред-
ставляется матрицей, элементами которой могут быть скаляры,
векторы или тензоры. Примеры выражений для операторов М и
W можно получить, представив операторы, приведенные в § 1,
п. «г», в виде L = iM + W (d/dt).

Чтобы представить функции Грина в виде (7), нужно знать
характеристические векторы Тд, которые определяются как ре-
шения однородного уравнения LT = 0 и зависят от времени как
ехр(—i(oa/). Учитывая представление оператора L в уравнении
(8), получим для собственных векторов Та и связанных с ними
собственных частот (оа следующее уравнение в координатном
пространстве:

M(V)'ra(r) = <oarVa(r).	(9)

В случае неограниченных трансляционно-инвариантных сред
можно выбрать собственные векторы в виде Ta(r) =
= Ta(k)e^i); тогда уравнение для собственных функций (9)
становится алгебраическим:

Af(k)Ya(k) = ©a(k)rYa(k),	(10а)

где М (к) ж М (ik) — матричный оператор с алгебраическими
составляющими, а Ya(k)— многокомпонентный вектор в поля-
ризационном пространстве. Соответствующая сопряженная за-
дача на собственные значения описывается уравнением* 2)

М+ (к)	(к) = ©а (к)	(к),	(Юб)

в которое входят сопряженные собственные значения ©а, сопря-
женные операторы М+ и 1F+, недиагональные элементы матриц
которых транспонированы и сопряжены элементам матриц опе-
раторов М и W. Из уравнений (10) можно с помощью эрмито-
вых произведений векторов в поляризационном пространстве
образовать соотношение, связывающее решение уравнения
(106) с решением ’Fg уравнения (10а):
(M+Y+,Ye)-(Y+,MY6)=©a(^+Y+,Ye)-©e(Y+,U7Ye). (Юв)
Так как по определению сопряженных операторов [§ 1, формула
(69)] эрмитовы произведения как слева, так и справа равны, из
полученного уравнения следует свойство взаимной ортогональ-
ности

(ГГ, We) = 2^daB>	(11)

которое уже приводилось ранее в виде уравнения (Зв). Соответ-
ствующее соотношение полноты в поляризационном простран-
стве имеет вид

1 L, 2jVa (k)	’	t12'

*) Для упрощения обозначений используются одинаковые символы 'Fa (г)
и Va(k). Последняя функция встречается в дальнейшем чаще и обычно будет
обозначаться через ЧГа.

2) Из уравнения (Юв) следует, что сопряженное собственное значение
= Од, если существуют такие и ЧГ+, что (г+чг+, ve) * 0.
его можно сравнить с приведенным ранее равенством (4).
В частном случае, когда М+ == М и W+ = W, очевидно, полу-
чим Чга=Та*, где Та*—решение уравнения (10а), соответ-
ствующее собственному числу <оа = со*.

В поляризационном k-пространстве уравнение для функции
Грина (8) преобразуется, в силу представления (26), в матрич-
ное обыкновенное дифференциальное уравнение

[Л4(к) + ^^-]б(к; t, =

(13)

Фурье-образ матрицы функции Грина G(k;t,t') с учетом соот-
ношения полноты можно представить в виде

G (к; /, t') «=	(т+ (к), WG (к; t, /')) =

Va (к)	(к)

2Va

Ga (к; t, i'),

(14)

где скалярные коэффициенты Ga определяются по формуле
1lraGa = WG). Подставив разложение (14) в интеграл (26),
получаем представление функции Грина, зависящей от про-
странственных координат и времени,

О (г. т'; , Г) = J £ о. (к; <, Л	е—>	. (15)

аналогичное представлению (7). Для определения коэффициен-
тов Ga образуем эрмитовы произведения уравнения (13) слева
и справа на Yj (к); с учетом разложения (14) приходим к сле-
дующему уравнению для Ga:

[4 + Zcoe (k)] Ge (k; t, n = 6 (t - П,

которое следует решать с начальным условием Ga = О при t

Так как (dldt) U(t — t') = 6 (t — t'), где U — единичная
Функция Хевисайда, решение полученного уравнения имеет вид
Согласно формуле (15), в результате получаем следующее ос-
цилляторное представление функции Грина:

<Э(г, г'; /,/') =

С X"1	(к) |к.(Г_гл)_Юя (к) (/_/')] dk

У Ь 2Na (к) е	(2л)3

“ (17)
при t>l

О	при t < t'.

Заметим, что такое выражение можно получить, вычислив кон-
турный интграл на плоскости со в выражении (45) из § 2.

Осцилляторное представление (17) функции Грина для про-
извольного линейного поля удовлетворяет принципу причинно-
сти, т. е. дает функцию, равную нулю до определенного момента
времени, а затем имеющую вид уходящей волны. Каждое из эле-
ментарных колебаний в таком представлении имеет вид плоской
волны, которую можно рассматривать как приходящую или ухо-
дящую в зависимости от положения точки наблюдения г. Нали-
чие в представлении внешнего поля излучателя как уходящих,
так и приходящих плоских волн, хотя и не является ошибкой,
есть некоторая избыточность, и возникает законный вопрос,
нельзя ли выделить вклад приходящих волн в общем выраже-
нии для поля и исключить его.

Элементарное колебание представляет собой плоскую волну
с волновым вектором к вида exp[i(k-r)—®(k)Z], где частота
со (к) может быть и положительной и отрицательной, поскольку
рассматриваемое поле плоской волны обратимо во времени.
В заданной точке наблюдения г положительной частоте ю(к)
соответствует уходящая плоская волна, если волновой вектор к
такой, что к-г > 0, и приходящая плоская волна, если к-г < 0;
в случае отрицательной частоты <о(к) справедливо обратное ут-
верждение. Таким образом, приходящую волну в точке г можно
характеризовать частотой ю+(к), положительной при к-г > 0 и
отрицательной при к-г < 0; частота со-(к), которая считается
отрицательной при к-г > 0 и положительной при к-г < 0, ха-
рактеризует уходящую в точке г волну. При этом, очевидно, вы-
полняется равенство со±(к) = —©±(—к).

Различая уходящие и приходящие волны в фиксированной
точке г по частоте ю±(к), можно получить новое представление
для функции Грина, если вычесть из выражения (17) вклад при-
ходящих волн. Обозначим в сумме по а (17) вклады, отвечаю-
щие колебаниям со+(к) и <о_(к), индексами а+ и а_ и вычтем из
этой суммы члены с а_, которым соответствуют приходящие
волны, удовлетворяющие однородным уравнениям (9). Такое
вычитание следует провести при всех t, чтобы не внести особен-
ность в функцию G и не нарушить тем самым уравнение (8)
[т. е. вычитаемая часть должна удовлетворять однородному урав-
нению (9)]. При проведении описываемого вычитания вклады
мод с соа = 0 (если они существуют) нужно учитывать с весом
Vs, так как эти моды можно считать и уходящими и приходя-
щими в точке г. Полученная в результате этой процедуры функ-
ция Грина не удовлетворяет принципу причинности, так как она
теперь в отличие от выражения (17) не равна нулю при t < f.
Но при t>tf эта функция совпадает с удовлетворяющей прин-
ципу причинности функцией (17) и, кроме того, содержит лишь
вклад уходящих волн а*. Выполнив указанное вычитание, мы
приходим к новому (содержащему лишь уходящие волны) ос-
цилляторному представлению функции Грина для линейного
поля

G(r, г'; t9 t') =

__ { V1	J [к-(г—г')—со (fe) (f-fz)]	Л
- J L -2ваЛМк)~е	W’ t>l (18)

а+
где

( 2 при ®а —О,
8“ { 1 при ©а =/= 0.

Проводить вычисление функции Грина с помощью разложе-
ния (18) несколько проще, чем пользуясь представлением (17),
так как в первом опущены члены с а_. Хотя при t~> t' выраже-
ния (17) и (18) дают одинаковый результат, у разложения (18)
есть один недостаток: оно имеет особенность при t = t' [см., на-
пример, приводимое ниже выражение (256)], обусловленную
разрывами введенных зависимостей w±(k) от к. Такая особен-
ность не очень существенна, если выражение (18) для функции
Грина используется для представления полей, возбуждаемых ис-
точниками, исчезающими к моменту наблюдения поля t; невер-
ный и трудно поддающийся интерпретации вклад в поле появ-
ляется в случае, когда источник продолжает действовать в мо-
мент наблюдения. Положение здесь в какой-то мере напоминает
появление особенности при некоторых значениях координаты z,
когда поле описывается потенциалом Герца (§ 1, п. «в», и § 3,
п. «в»).

Представления (17) и (18) удобнее представления (45) из
§ 2, так как, во-первых, они требуют на одно интегрирование
меньше, а во-вторых, функции Та (к) позволяют проще получить
элементы обратной матрицы L-1 (к, ®). В дальнейшем мы най-
дем осцилляторные (элементарные) собственные векторы Та(к)
и собственные частоты <оа (к) для линейных полей разного типа.
Проведенное рассмотрение позволяет получить осцилляторные
представления типа (17) или (18) функций Грина для этих по-
лей и найти их явную зависимость от координат и времени путем
интегрирования по к. Обычно собственные частоты <о(к) будут
выражаться непрерывными функциями от к; функции со±(к),
определенные разрывными выражениями, будут использоваться
лишь в связи с разложениями типа (18).

б. Звуковое поле

В случае однородного линейного звукового поля (§ 1) урав-
нение (9), описывающее задачу на собственные функции осцил-
ляторного типа и определяющее монохроматические
решения без источников, принимает вид

V-v = —р,

YPo

(19)

Vp = /(ОП0АПУ,

где р = р(г, ®) и v = v(r, со) — комплексные амплитуды рас-
пределений давления и скорости в точке г, а пот и 1/ур0— те же
параметры звукового поля, что и в уравнениях (1) из § 1. Ста-
ционарное осцилляторное решение уравнений (19) в неограни-
ченной области имеет вид

Р (г. ю)
v(r, о)

р(к, со)\
v(k, to)/

ezk,r,

(20а)

где для простоты характеристики поля в г- и к-пространствах
обозначаются одинаковыми символами р и v. Равенство (20а)
можно следующим образом переписать, используя введенные в
предыдущем пункте волновые векторы:

Y (г, ®) = Т (к, и) е‘к-г,	(206)

причем входящие в уравнения (9) и (10) операторы М = М+ и
w = 1F+, согласно формуле (19), имеют вид

1

0 V\

V 0А

YPo

о

о

п&п\

(21)

В этих выражениях элементы матриц М и W с индексами 11
представляют собой скаляры, элементы 12 и 21—векторы, а
элементы 22 — аффиноры.

Из системы (19) или уравнений (10а) и (21) следует, что
собственные колебания вида (20) могут существовать лишь на
частотах иа(к), для которых обращается в нуль детерминант
det [Af (k)—®a(k)lF], записанный с учетом тождества V аг :к.
Имеются четыре такие частоты:

«>±1 — ±ka, —0,	(о3==О,

(22)

где k=|k| и а = (уроМо/п)Vs— скорость звука. Эти частоты
(22) совпадают с собственными резонансными частотами экви-
валентной акустической цепи, изображенной на фиг. 3. В систе-
ме координат k0, То, Т", показанной на фиг. 2, собственные век-
торы 'Га (к, и)^Т0 = ЧГа, удовлетворяющие уравнениям (19) и
соответствующие собственным частотам <оа (22), принимают вид

/ V YPo \

х I*

'	Vпйт '

(23а)

эти векторы обладают свойствами ортонормальности (11), при-
чем нормировочные постоянные таковы:

JV±i = l, 2W2=1,	2ЛГ3=1.	(236)

Осцилляторное представление акустической функции Грина

Функция Грина (матричная) для звукового поля может
быть найдена с помощью осцилляторного представления (17)
или (18). Разложение (17), учитывающее как уходящие, так и
приходящие волны, при t > 0 имеет вид
<?(r; t) =

(-^- e~ikat + e+lkat + Т2Т2 + ад) eJk-r-^L- (24а)
(здесь для простоты разности г — г' и t — t' обозначены просто
через г и t). Разложение (18) учитывает лишь уходящие волны
и при t > 0 записывается в виде

G (г; t) = $ у (ад?-^ + ад + ад) е*"	, (246)

где <в± — частоты, о которых говорится перед формулой (18).
Подставив в выражение (24а) собственные частоты и собствен-
ные векторы, определенные согласно формулам (22) и (23), по-
лучим для элемента матрицы с индексами 11 выражение
с„ (г;	(«-'•+< +

Проводя интегрирование по В и <р в сферической системе коор-
динат, для которой k-r = &rcos0 и dk = № sin 0 dQ dtp dk, no-
лучаем

Си (г, t) —

ОО

="o'" w $ №к (r~ai}+e~ik (r~at) ~eik (r+at> _ e~ik <r+a<)i 4Sr=

0

_ „ m д Г 6 [/ - (r/g)l _ 0 К + (r/a)] 1 _

“"O'" dt L 4лг	4ЛГ J

d d [/ — (r/a)]	. A	/пе к

= /Vn — 4яу  при />0.	(25a)

Заметим, что слагаемое c 6[t + (r/а)], обусловленное вкладом
приходящих волн, обращается в нуль при t > 0. Для другого
представления [формула (246)], включающего лишь уходящие
волны, при проведении интегрирования по полярному углу 0 сле-
дует использовать те же частотные зависимости ®±(к), что и в
формуле (18); тогда частота <o+i (к) переходит в ®+i = ka при
0 < 0 < л/2 и в ®+i = — ka при п/2 < 0 < л. Таким образом,
исходя из представления (246) приходим к окончательному вы-
ражению, совпадающему с (25а):

Г Л/2

= YPo f t {kr cos b_kat) k2 smQdQdk

2 I J	(2л)2

L 0

€ pi (kr cos e+kat) fe2 sln

J 6	(2Л)2

Я/2

о

at) _|_ e-lk (г—at) g—ikat etkai]	=

д Г6К —(г/а)]

—пйт

4лг

d (t) ]	d d [f — (r/a)]	.. n

Члг*J = "o'" 7T~ L ПРИ ' > °’ <256>

где слагаемое с б(/) фиктивно и появляется в связи с тем, что
мы разделяем волны на уходящие и приходящие и пренебрегаем
последними. Окончательные выражения в формулах (25а) и
(256) записаны в виде, аналогичном принятому для представле-
ния функции Грина звукового поля в формулах (13а) из § 1;
остальные акустические функции Грина можно найти аналогич-
ным образом, исходя из других элементов матрицы G, опреде-
ленной выражениями (24).

в. Электромагнитное поле

Монохроматические электромагнитные колебания, зависящие
от времени как ехр(—гш/), в отсутствие источников определяют-
ся системой уравнений

V X Н = — /со80Е,
V X Е = кфоН
и должны удовлетворять определенным условиям на границе
рассматриваемой области (если область ограничена). Уравне-
ния (26) приводят к задаче о собственных значениях типа (9),
где Е = Е(г, со) и Н = Н(г, со) —комплексные векторные ам-
плитуды электрического и магнитного полей, а 8о и — как
обычно, электромагнитные параметры вакуума. В свободном
пространстве зависимость решения уравнений (26) для монохро-
матических полей от пространственных координат может быть
записана в виде

Е (г, со)

Н (г, ©)

Е(к, ©)

Н (к, со)

(27а)

или, в обозначениях собственных векторов, введенных в и. «а»,

Т(г, ®) = Т(к, <о)егк-г,

(276)

где в соответствии с уравнениями (26) операторы М = М+ и
Ц7 = Ц7+ таковы '):

/О -VX14	/е0 0\

‘Их. о / "Mo J1-	(28)

Уравнения (26) могут иметь собственные решения вида (27),
где V к ik, только при шести значениях собственных частот

<о± 1 = ®± = ± kc,	®з = Од = 0,	(29)

где £ = |k|, а с = (p,o8o)_,/j — скорость света в вакууме. Дву
кратно вырожденные частоты (29) совпадают с резонансными
частотами эквивалентной электромагнитной цепи, изображен-
ной на фиг. За. Связанные с этими частотами резонансные поля,
как следует из системы уравнений (26), описываются собствен-
ными векторами Чга яа Фа (к, <о), которые в системе координат
ко, То, Т" (фиг. 2) представляются в виде

То/уЧ А т ( T"/Ve0 \
±Tq7Vpoz	\±То / V Цо /

ко/уЧЛ ™. ( 0 А

О /	хко/Уио7

Эти векторы при любых к ортонормированы в соответствии с
формулой (11), причем нормирующие постоянные таковы:

У±1=1=У±2,	2У3=1=2У4.

(306)

4) Заметим, что М == М+, так как оператор V/i эрмитов, а тензор а X 1==
- а X 1 антисимметричен.
Осцилляторное представление электромагнитной функции Грина

Разложение электромагнитной функции Грина во временном
представлении (матричной) по осцилляторам дается формулой
(18). Подставив в нее собственные частоты (29) и собственные
векторы (30), с учетом равенства 'Fj = Ч*“а получим для свобод-
ного пространства при t > t' (т. е. пренебрегая особенностью
при t = t')

G(r, г'; t, t') =

= ( i [(Vj + ЧТО	+ Y3Y3 + Y4T4] e‘k-(r-r,)	.

(31)

Элемент этой матрицы с индексами 11 совпадает с импедансной
тензорной функцией Грина Vlt (г, г'; /, /'), определенной в § 1,
п. «б» (далее г, t означает г — г', t — f):

dk. ft , е / -iw,,t	ак

2в0	(2л)3 J k°k° 2во	(2л)3

(32а)

d W \ f е <k’r ®+l° dk
dt е0 (d/df) J J - 2/fe/c (2л)3 ’

lAf A ______ ( 111	\ b [t — f/с) , A

^ii (r> /)— (1^0 dt ^(d/dt)) 4лг ’	/>0,

(326)

(32b)

При преобразованиях в формулах (32) были использованы
тождества 1 — koko == TqTq -|- То То, VV = — &2k0k0, djdt — — ike,
t

(d/dt)~x — $ dt и результат интегрирования по со, приводящий к
о

временному представлению (20) из § 2 [формула (25)]. Пред-
ставление (32в), очевидно, совпадает с ранее найденной тензор-
ной функцией Грина, определяемой формулами (306) и (31) из
§ 1. Совершенно аналогично исходя из остальных элементов
матрицы (31) можно определить и другие функции Грина.

Отмеченную особенность осцилляторного (волнового во вре-
мени) разложения (31) для функций Грина в пространственно-
временном представлении следует противопоставить аналогич-
ным аналитическим свойствам пространственно-волноводных
представлений, рассматриваемых в п. «б» и в § 4. В разложе-
ниях по пространственным волноводным волнам, бегущим в на-
правлении оси г, мода возбуждается распределением источни-
ков, обладающих подходящей периодичностью во времени и от-
носительно поперечных пространственных координат в плоско-
сти, перпендикулярной оси z; при этом распределение источни-
ков, занимающих ограниченную область на плоскости z = z',
заменяется эквивалентным распределением источников на всей
этой плоскости [§ 1, формула (43), и § 4, формула (15)]. Волно-
водные же во времени моды возбуждаются источниками, распре-
деленными во всем пространстве с периодичностью, характери-
зуемой вектором к; при рассмотрении возбуждения этих мод ис-
точники, распределенные в ограниченной пространственно-вре-
менной области, заменяются эквивалентным объемным распре-
делением источников. Использование упрощенных представле-
ний для функций Грина (пространственно-волноводных [§ 1,
формула (42)] или осцилляторных [формула (18)]) приводит к
появлению фиктивных вкладов в выражения для поля в первом
случае в плоскости источника z = z' = 0 [§ 1, формула (47)], а
во втором случае в момент включения t = t' = 0 [формула
(25)]. В обоих случаях указанные аномалии поля ограничены,
очевидно, гиперплоскостями в четырехмерном г, /-пространстве,
содержащими источник и перпендикулярными выделенной вол-
новодной оси.

г. Плазменное поле

Из рассмотренной в п. «в» системы уравнений для плазмен-
ного поля во временном представлении следует, что монохрома-
тические колебания в изотропной однокомпонентной плазме в.
отсутствие источников определяются уравнениями

V X Н + n^qv = — f(O8OE.

VXE	=fo|*oH,

п0<?Е	4- Vp = i&nQtnv,

к которым следует добавить также граничные условия. Здесь
мы имеем задачу о собственных значениях, аналогичную задаче
решения общего уравнения (9), причем величина <о играет роль
собственного значения, а составляющими соответствующего ему
собственного вектора служат напряженность электрического
поля Е = Е(г, ©), напряженность магнитного поля Н = Н(г, о),
линеаризованное давление р = р(г, ю) и линеаризованное рас-
пределение скоростей vs=v(r, и). В неограниченной стационар-
ной однородной плазме установившееся решение системы урав-
нений (33) можно записать в виде 10-мерного (скалярные со-
ставляющие) волнового вектора

или, в векторных обозначениях,

Y(r, ш) = Т(к,

(34а)

(346)

Подставив волновой вектор (34) в уравнения (33), перепишем
их в абстрактной операторной форме (10), где операторы Л4(к) =

= М+ (к) и W = W+ имеют вид		
Л1->|	< 0	- к X1 0 W/l >  кХ1	00	0  0	0	0	к	1 9
Нетривиальные pei	— in^ql	0	к	0	>  в01	0	0	0  0	р01	0	0  0	0—0  УРо  0	0	0  пения уравнения (10) или си	(35)  стемы (33) су-

ществуют лишь для собственных частот <о = соа(к), определяе-
мых следующими дисперсионными формулами:

®±! =	= ± V СО р + ^2с2»

<о±3 = ± V^ + ^2a2,

(36)

<о4 == со5 == со6 == cd7 = 0, где с = —==,	а— л/ °-,

VhoSo	*

Первые четыре частоты соответствуют чисто электромагнитным
колебаниям, частоты оо±з относятся к плазменным колебаниям,
а последние четыре нулевые частоты характеризуют статические
колебания !) продольного и поперечного типа. Указанные 10 ча-
стот совпадают с резонансными частотами изображенной на
фиг. 4 эквивалентной схемы, описывающей свободные колеба-
ния плазмы. Отвечающие этим частотам резонансные поля опи< 4 * * *

4) При рассмотрении статического колебания с частотой (Об, для которого

поле, вообще говоря, может не удовлетворять уравнению Пуассона, следует

считать, что k ф 0. В случае k 0 необходимо учитывать постоянный поло-

жительный фон, который приходится вводить для нейтрализации заряда.
сываются собственными векторами 4е(к, <оа(к)) = Та(к)^Та,
которые представляются в виде (34). В показанной на фиг. 2
системе отсчета k0, Tq, Tq векторы 'Fa принимают вид



Т0

' V Во

kc____

®± 1 д/Ир
о

ia>D То

®±1 -х/п^т

Т

*о

V Во

®±2 Vh0

о

___2L

®±2 Vnom

ор ко

kc т"

&р л/пот

О
кр_

УЙо
О
о

7

ко_
Ve0

О

о

о

*тр

о

__	Tq

Ор пот

, (37а}

Выписанные собственные векторы обладают ортогональностью
типа (11), причем нормирующие постоянные таковы:

N±l = N±2 = N±3= 1,	2^4=1,

2Л(6 = 2Af7 = 1-)

®п
2^=1+-^,
^2	(376}

“2Р 

Осцилляторное представление функции Грина плазменного поля

Матричную функцию Грина G(r, г'; t, t') плазменного поля
можно выразить через осцилляторные собственные векторы
(37а) исходя из общей формулы (18). В качестве примера вы-
пишем аффинерный элемент матрицы Кп (г, г'; t, f), .опреде-
ляющий взятый с обратным знаком вектор электрического поля
в точке г, /, которое возбуждается точечным электрическим ис-
точником, расположенным в точке г', Этот элемент представ-
ляется в виде [ниже принято сокращенное обозначение г, t для
разностей г — г', t — t' и определение частот со±(к), введенное
в связи с формулой (18)]

(г, 0=4$	4-	+ Y3Y3e-^ +

,	I dk

1 — (<o2/fe2a2) J eik r (2л)» “
=ibn(T«T«+ToT")e’,w+

+ Mo ,	* - 0 + Mol elk-r =

<Op + k^a-	J (2л)

1 f Г< d , VV d 1 ] ?(к-г-щ. i) C2dk

— 2 J L1|i0 di + e0 dt k2c2 ]	- i®,	(2л)8

VV о2 г в*(кт-®Д) rfk

e7 w J	(2л)3" 	(38)

Проведя интегрирование по полярному и азимутальному уг-
лам в к-пространстве и перейдя от переменной k к новой пере-
менной со = V<o2 + fe2u2, где и равно а или с, получим

(г, 0 = Про	— 7^77"4 Sc (г, 0 -

V dt е0 \d~ldt) + <0-pJ

W

“	(d/do[(W) + <] ga (r’z)’	(39a)

где	'	1

SexpГ—txmt — 'yv? — co2r/«)l d<o	Л	, 	i

- L — Im<a>°	<396>	!

— oo

>(u равно с или а). Используя известные выражения для инте- (
тралов Фурье [§ 1, формула (61)], нетрудно показать, что выра-
жения (39) при t t' идентичны ранее найденным выражениям
(59) — (61) из § 1 для функции Грина afn(r, t).

§ 4. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ВОЛНОВОДНЫЕ

РАЗЛОЖЕНИЯ

I

Поля в линейных однородных и стационарных средах могут
быть представлены, как мы видели, различными способами. Раз-
ложение по плоским волнам exp[i(k-r — со/)], введенное в § 2,
сводит задачу определения поля в безграничных средах к про-

j
стым алгебраическим уравнениям для амплитуд поля в к, <о-
представлениях. При использовании разложений по плоским
гармоникам вида exp(ik-r), о чем говорилось в § 3, задача о на-
хождении поля сводится к решению обыкновенного дифферен-
циального уравнения для спектральных амплитуд поля, завися-
щих от волнового вектора к и времени. В данном же параграфе
мы введем несколько иные представления для поля, которые
оказываются очень удобными при рассмотрении полей в средах,
однородных вдоль одной из пространственных осей, например>
оси z. Рассматриваемые ниже волны вида ехр(/к£-р—iW)X
Xexp(fxz) представляют собой плоские волны частоты со с дей-
ствительными поперечными (относительно оси z) волновыми
числами к£. Они обладают ортогональностью во времени и в по-
перечном сечении, определенном радиус-вектором р, нормаль-
ным к оси z\ эти волны удовлетворяют уравнениям, описываю-
щим поле в среде, и различаются волновыми числами х = х(к£,
со), которые зависят от формы поперечного сечения и поляриза-
ционной структуры поля. Подобные волновые поля позволяют
представить линейное поле в виде суперпозиции характеристи-
ческих волноводных волн с пространственной зависимостью
exp(fxz), имеющей вид трехмерного интегрального преобразо-
вания (двойной интеграл по пространственным координатам и
интеграл по времени); такие поля оказываются очень удобными
для представления решения краевых задач в однородно-слои-
стых средах.

В однородных областях, поперечное сечение которых, нор-
мальное к оси г, неограниченно и описывается радиус-вектором
р, интегрируемую волновую функцию 4е(г, t) можно представить
в виде тройного интеграла Фурье *):

Т(р, /; г)= J T(k<t z)el(k^	(la)

где

Т(ко со; z) = Щ Т(р, /; z)e~l (кг₽-в<) dp dt, (1б>

причем dkt dco — элемент объема в пространстве изображений
к£, со, dp dt — элемент объема в пространстве оригиналов р, t а
к£ — составляющая волнового вектора, перпендикулярная оси z.
В однородном поперечно ограниченном волноводе экспоненты
exp(ikrp) в выражении (1а) следует заменить соответствующими
поперечными собственными функциями Фа(р) (гл. 3). Соотно-
шение полноты, эквивалентное прямому и обратному преобразо-

9 Функции и их фурье-образы обозначаются одним символом и разли-
чаются, если это необходимо, по их аргументам.


ваниям Фурье (1а) и (16), имеет вид

б (р - р') б (/-/')=$$ $ eik‘ ^e-ia	,	(2а)

где для полноты интегрирование распространяется на все дей-
ствительные волновые числа к/ и частоты со от —оо до 4-оо. Из
преобразований Фурье (1) можно вывести и соотношение орто-
гональности

(2л)3 б (к/ - кЭ б (со - ®') = J ё~1 <k<-k')₽+i	«dp	(26)

Функция Грина, выраженная в том же базисе, в котором за-
писана и формула (2а), имеет вид

G(r, r'; t, t')= G(kf, co; z, z')e	®

Особые точки подынтегральной функции G (kt, co; z, z') часто
бывают расположены на действительной оси со. Чтобы не нару-
шался принцип причинности (т. е. условие G ss 0 при t < f),
можно изменить форму контура интегрирования так, чтобы он
заходил в верхнюю полуплоскость Im со > 0 комплексной пло-
скости со. Так же как в осцилляторном представлении в § 3,
волновая функция в пространстве изображений Т(кг, со), входя-
щая в соотношения (1)—это матрица-столбец (вектор) в п-
мерном «поляризационном» пространстве, которую можно рас-
сматривать как суперпозицию собственных векторов или мод
Ta(kt, со):

Y (к/, со; z) = X (kt, со) аа (къ со; z),	(4а)

а

где сумма берется по индексам а, характеризующим разные
моды. Амплитуда аа определяется как взятое с весом Г эрми-
тово внутреннее произведение волнового вектора Т на сопря-
женный собственный вектор Тц (kt, со):

aa(kt, a, z) —	2Na(kt, со)	'

Собственные функции и образуют полную взаимно ор-
тогональную систему функций в поляризационном пространстве,
причем соотношения ортогональности имеют вид

(Г+Т+,Те) = 2^бае,	(4в)

где Na — норма, бар — символ Кронекера, обращающийся в
нуль, если индексы аир относятся к модам с разными ка и хр.
При п-кратном вырождении собственных чисел следует так
определить различные собственные волновые векторы и их
сопряженные где i, j = 1, 2, ..., п, чтобы выполнялось со-
отношение ортогональности

(Г+Т£, Т0/) = 2ЛГагдг/.	(4г>

Условие полноты системы собственных функций в поляриза-
ционном пространстве, эквивалентное преобразованиям (4а) и
(46), можно записать в виде разложения для единичного опе-
ратора

Zj 2Na(kt, ®)	’•	W

а

Разложения (1) и (4) в функциональном и поляризационном
пространствах позволяют представить поле Т(г,/), зависящее
от всех пространственных координат и времени, в виде

^(Р. /; z) = J £ Yo(kf, <o)aa(kf, о; z)el	(6а>

a

где

(6б>

Соответствующее этому представлению условие полноты систе-
мы собственных функций в функциональном и поляризационном
пространствах имеет вид

1б(р-р')б(/-Н =

__С V*	®) r+iya (kf> о) <|с,.(Р-Н -to (f-Г) ^kfdfi> ,

J L> 2Ыа (к*, w) e e	(2л)’ ♦

a

таким образом, с помощью системы собственных волноводных
волн Te (kt, и) е1 (кгр-о0 можно полностью описать решение за-
дачи о произвольном линейном поле в поперечно неограничен-
ной среде. В частности, как будет показано ниже, матричную
функцию Грина в поперечно неограниченной среде можно пред-
ставить в виде

G (г, г'; t, t') =

__С у* G(k w ? г'} ®)Va (кГ ®)
------------------------2^a(kfr ю)----e e
a

(8)
а. Произвольное линейное поле

Как указывалось в § 1, п. «г», произвольное линейное поле в
однородной стационарной среде можно описывать линейным опе-
ратором L(y,d/dt). В случае сред, обладающих трансляционной
•симметрией относительно выделенной оси г, оператор L может
быть представлен в виде суммы двух слагаемых, одно из кото-
рых зависит лишь от производной d/dz, а второе от V/ и d/dt, где
V/ — V — z^d/dz) есть составляющая векторного оператора V,
поперечная относительно направления г. В результате уравне-
ние (73а) из § 1 для функции Грина G(r, г'; t,t') произвольного
линейного поля принимает вид

4)~т<йй «>.<’' '1'-

= 16 (р - р') 6 (/ - /') 6 (г - г')-, (9)
в случае безграничной области решение должно удовлетворять
принципу причинности (или, что эквивалентно, условию излуче-
ния при |z — z'\ -» оо). Операторы К и Г могут быть выражены
через операторы L, введенные в § 1, п. «г», и будут приведены
ниже в явном виде для полей разного типа. Элементами матриц,
представляющих эти операторы, могут быть скаляры, векторы
или тензоры, и соответствующий характер будет иметь функция
Грина G.

Чтобы представить функцию Грина, удовлетворяющую ура-
внению (9), в виде разложения (8), необходимо прежде всего
найти характеристические векторы поля Та. Они определяются
как решения однородного уравнения LWa = 0 для векторов
поля Та, характеризуемых зависимостью от z вида exp(ixaz).
Вводя указанную зависимость от z и учитывая разбиение опера-
тора L в уравнении (9), приходим от уравнения = 0 к за-
даче о собственных значениях:

к 4-) <<>’	(₽’ ь <10>

решив которую мы получим собственные векторы и собст-
венные значения ха. В случае безграничного однородного (транс-
ляционно-инвариантного) сечения, нормального к оси z, мы
имеем Та(р, t) s= Ya(k(, ©)exp {i(krp— »/)}, и, таким образом,
в пространстве изображений kt, © уравнение (10) принимает вид

К (к/, ®)	(ко ®) = %а (к,, ©) ГТа (ко ©),	(11 а)

где K(kf, со)—алгебраический матричный оператор, получен-
ный из K(4t,dldt) путем подстановки V< »ikt и d/dt в—tea, а
Чгв(ко<») — многомерный вектор в соответствующем «поляриза-
ционном» пространстве. Собственные значения сопряженного
оператора находятся из уравнения !)

К+ (ко ®) Tf (ко ©) ж= иа (ко ®) г+та+ (ко ®); (Пб)
оно дает комплексно сопряженные собственные значения х* и
сопряженные собственные векторы сопряженных операторов
К.+ и Г+, недиагональные матричные элементы которых полу-
чаются из элементов операторов К и Г путем транспонирования
и комплексного сопряжения. Образуя соответствующие эрми-
товы внутренние произведения векторов Та и Те,из уравнений
(11) находим

(%e-Xa)(Tf, ГТи) = (^Т3+, Ya)-(4tf, ЯТа) = 0,
откуда следует, что в поляризационном пространстве кг, © вы-
полняются рассмотренное ранее свойство взаимной ортогональ-
ности (4в) и соотношение полноты системы (5):

1 — Zu 2Na (к/, <о)	'

а

В случае эрмитовых операторов, когда К = К+ и Г = Г+, из
уравнений (И) следует равенство Ya==Va*, где Ya* —собст-
венный вектор, отвечающий собственному значению %*.

Исходя из представления (3), преобразуем уравнение (9)
для функции Грина к матричному обыкновенному дифферен-
циальному уравнению в пространстве изображений kt, ю:

- i [К (ко ®) - т -Зг] ° г> «') == 16 (z - г'),	(13)

причем в области, неограниченной в направлении г, функция
Грина должна удовлетворять граничному условию G->0 при
\z — z' \ —> со для Im © > 0. Определяемое уравнением (13) изо-
бражение функции Грина в пространстве к(, © можно с помощью
соотношения (12) представить в виде

G (ко ®; z, Z') - £ g (Та+ (к6 ®), TG (к6 ®; z, г')} =
a

у ’P’a (kf. ®) (ко <о)

“ L 2N^t, ®)------------G« <кь *>2	<14>

a

*) Сопряженные собственные значения удовлетворяют равенству »
m xa, если существуют Ч?а и такие; что внутреннее произведение
(r+V+, Va) о. В случае диссипативных систем иногда удобнее опреде-
лить внутреннее произведение, не используя операцию комплексного сопря-
где скалярные амплитуды Ga определяются соотношениями
Т*Ga = (’?„, ГО). Подставляя выражение (14) в формулу (3),
приходим к выражению для функции Грина в функции коорди-
нат и времени в виде интеграла (8). Для определения амплитуд-
ных коэффициентов Ga требуется преобразовать уравнение (13)
относительно базиса Фа. В результате, умножив скалярно ура-
внение (13) на векторы (к/, ©), с учетом соотношения (14)
получим

[~& ~	(к<> ®)] G“ (к<> ®; 2> 2^ == 6 (z ~ z'),	(15)

причем решение должно удовлетворять условию G->0 при
|z — z'| —> оо, если 1ш на Ф 0 при Im со > 0. Уравнение (15) до-

пускает решения

Ga(kf, <*; Ъ *') = | о

при
при

z > z't
z<zr

(16а)

с волновыми числами ха, такими, что Im xa > 0, которые опи-
сывают волны, переносящие энергию (или затухающие) в на-
правлении -J-z, а также решения вида

Ga (ко

о; z, z') =

О
_e<Ha

при Z > Zf,
при z < z'

(166)

с ха, имеющими Im ха < 0, соответствующие волнам, которые
переносят энергию (или затухают) в направлении —г. Вели-
чину «а для волн, бегущих в направлении 4-z, мы будем поме-
чать индексом a > 0, а для волн, бегущих в направлении —г, —
индексом а < 0. Это приводит к трудностям в сложных средах; в
простых пассивных средах волны, переносящие энергию в напра-
влениях 4-z или —z, различаются знаком групповой скорости,
т. е. в первом случае (<5ха/д®)-1 > 0, а во втором (дна/д(л)~1 <
< 0 (§6, п. «в»). Соответствующая идентификация может быть
осуществлена, как отмечалось выше в связи с уравнением (3),
за счет аналитического продолжения в область Im w > 0 с
должным выбором Im xz 0 для волн, бегущих в направлениях
±z. Можно, напротив, получить требуемые решения при дей-
ствительных к( и со, если допустить, что среда обладает ^палыми
потерями [и тем самым сместить особые точки функции G(kf, <о;
г, г') с контура интегрирования], а затем перейти к предельному
случаю среды без потерь.

Подставляя выражения (16) в уравнение (14) и учитывая
соотношения (3), приходим к искомому представлению для
функции Грина
G(r, г';	/') =

__ f V	Q) (kP ®) i [kf .(р-р9-<в(*-Г)]	(*-*') d(d zi7\

— }L ±2tfa(kf, ®) e	e ~W’

a^O

где индексы a 0, и знаки ± отвечают областям z > г', z <
< г', а интегрирование проводится по всем действительным зна-
чениям к/ и со в пределах от —оо до 4-оо. Разложение функции
Грина по волноводным волнам (17) отличается от осциллятор-
ного представления (17) из § 3. В последнем случае решение,
очевидно, соответствует принципу причинности (равенство ну-
лю при t < t'); в разложении по волноводным волнам принцип
причинности обеспечивается должным выбором волн, бегущих в
направлениях положительных и отрицательных z (т. е. выбором
а > 0, a < 0).

Разложение функции Грина по волноводным волнам (17)
становится более наглядным, если известны собственные век-
торы Тц и и их норма Na. Ниже будут получены явные вы-
ражения для искомых функций в случае различных линейных
полей (см. также гл. 8, § 3 и 4).

б.	Звуковое поле

Уравнение для собственных функций линейного звукового
поля (10), описывающее волноводные волны с пространственной
зависимостью ехр(гхг) в отсутствие источников, с учетом фор-
мулы (1) из § 1 можно переписать в виде

i#+v‘-v'=-/%v-z0’

5v <18>

Vtp + «от = — ixpz0,

где р — р(р, t; х) и v = v (р, t‘, к) — комплексные амплитуды
поля давления и поля скоростей, а векторы v = v* + v2Zo, V =
= Vf+ zo и r = p + zz0 представлены в виде суммы соста-
вляющих, продольной и поперечной относительно выделенного
направления симметрии zq. В однородных поперечно неограни-
ченных средах волноводные решения уравнений (18) разли-
чаются индексом а и могут быть представлены в виде

/ р (г, /) \ = / ра (ко ®) \
\v(r, t)J \vu(k(, а))

(19а)

где для простоты приняты одинаковые обозначения для поля и
его «спектральной амплитуды» в пространстве изображений kf, w.
Используя введенные в п. «а» волновые векторы, соотношения
(19) можно записать в виде

Т (г, I) = Tu (ko о) е‘	(196)

и тогда уравнения (18) можно записать в операторной форме

LY=-Z(K-xar)Ta = 0,	(20а)

причем составляющие операторов, входящих в уравнения (10)
и (Па), имеют вид

(<о

УРо

-kz

-к/

(MlQfnl

д <

(206)

отметим, что К — К+, Г = Г+ и отсюда Yj = 'F .Так как в ба-
зисе k(, и соотношение взаимной ортогональности собственных
функций (4в) принимает вид

“) гч,8(к.. “))-<•(»,. ®) ».»(к,- “) +

+ ”™.(к.. »)Р,(к„«') = 2Л8д„	(21)

и, очевидно, распространяется лишь на независимые составляю-
щие поля р и vZ9 часто оказывается удобным исключить зависи-
мую составляющую поля vz и ввести сокращенный волновой век-
тор звукового поля Т вида

р(г, /)
V2(r. О*о

^(Г, /)

(22)

Для собственных векторов типа (19) справедливы соотно-
шения Vi s ik« и d/dt = —ico. Поэтому при заданных к;, (о от-
личное от нуля решение уравнений (18) или (20а) может суще-
ствовать лишь при двух значениях волновых чисел (собствен-
ных значениях), определяемых нулями det L:

х±1 = ±	где а = д/-^-.	(23)

Их можно отождествить с двумя постоянными распространения
для эквивалентной длинной линии, изображенной на фиг. 5; в
отрезок единичной длины линии входят последовательная «ин-
дуктивность» Пот и шунтирующая «емкость» 1/уро> включенная
параллельно «индуктивности» Пот через идеальный трансфор-
матор с отношением витков в обмотках 1: kt. Сопоставление с
длинной линией становится еще более наглядным, если исклю-
чить из уравнений (18) характеристику поля v<; проекция урав-
нений акустики (18) на продольную ось z в кь ^-пространстве
принимает (в силу равенства tx = д/дг) вид

дог . f ®	\	. v

dz куро	^4а)

= id)nQfnvz — IkZvz,

где	_______

’‘=л/£~й " Z=T=T (246)

суть постоянная распространения и характеристический импе-
данс линии, а р и Vi играют роль обобщенных «напряжения» и

Фиг. 5. Линия передачи для звуковых воли.

а—эквивалентная схема в виде отрезка линии единичной длины; б—единичный отрезок
соответствующей линии с распределенными параметрами.

«тока» в длинной линии. Собственным значениям (23) отве-
чают собственные векторы T±i типа (196), нормированные к
2Af±i в соответствии с соотношением ортогональности (21). Как
следует из уравнений (18) или (На) и (20), указанные собст-
венные векторы и нормы имеют вид

(1	\	X

/	114/ Ь У±1=-^- = ±У,	(25)

(x±izo + кд)/<опо/п7

и, таким образом, при фиксированных и ш поле представ-
ляется двумя собственными волноводными волнами.

Зная характеристики волноводных волк, даваемые форму-
лами (23) и (25), можно найти явные выражения для функций
Грина звукового поля, удовлетворяющих уравнениям (9) и (20).
В соответствии с выражением (17) акустическая функция Грина

4 Зак. 639
[§ 1, формула (4)] может быть представлена в виде следующего
разложения по волноводным волнам, распространяющимся
вдоль оси г:

0ц (г, г'; t, t') =

(мг^т

2

„Чкг₽-<аП„±<

е е	(2л)3

Zs=0, (26)

где интегрирование проводится по всем действительным к(, <в от
—оо до + оо и для простоты принято, что р' = z' = t' = 0. Хотя
формула (26) дает для функции Грина выражение, отличное от
выражения (25а) из § 3, результат вычисления содержащихся
в ней интегралов, конечно, должен совпадать с приводимым в
этом выражении результатом в замкнутом виде. Заметим также,
что выражение (26) может быть получено интегрированием раз-
ложений (8) из § 2 функции Оц в 4-кратный интеграл Фурье
по z-составляющей х волнового вектора к = kt + xz0 (§ 5,
п. «в»).

в.	Электромагнитное поле

Электромагнитные волноводные волны в отсутствие источни-
ков с характерной зависимостью exp(ixz) от продольной коор-
динаты z удовлетворяют однородным уравнениям Максвелла [§ 1,
формула (16)], в которых следует положить d)dz = iw.

Л-VjXH-HXH,
ан	<27>

V/XE + po-^-=-^zoXE.

От уравнений (27) мы приходим к задаче о собственных зна-
чениях типа (10), в которой Е = Е(р, t\ х) и Н = Н(р, t; х) —
амплитуды электрической и магнитной составляющих собствен-
ного вектора, ах — собственное значение. Как и ранее, соотно-
шения V = Vj + ixz0 и г == р + zz0 представляют разбиение век-

торов на поперечную и продольную части относительно волно-
водной оси z. В поперечно неограниченной однородной среде
решение системы уравнений (27) для собственных волн можно

представить в виде

/Е(г, 0 \/Be(kh ®) \ i (k^P-erf) лив«
\Н(г, t)) iHJkf, <о)Г

(28а)

где индексом а обозначены различные собственные решения при
заданных к(, ®. Для сокращения обозначений величины, харак-
теризующие поле, и их спектральные амплитуды в пространстве
kz, о обозначаются одинаковыми символами; в ряде случаев,
когда это необходимо для устранения неопределенности, указы-
вается аргумент функций.

Воспользовавшись введенными в п. «а» собственными векто-
рами 4е, перепишем решение (28а) в форме

Т (г, 0 = Та (kb ®) е' (k‘ -p-“fV.	(286)

В результате система (27) перепишется в общем виде (х = ха)

L4fa = -i(K- хвГ) Та = 0,	(29a)

где К. и Г — операторы, которые входят в уравнения (10) и
(На); они определяются формулами

/	<ое()1 ktXl\ С о — ZOX1\

*(k/’ ®)“>к-к<Х1 ©МЛ \ZOX1 о J-

Операторы К = К+ и Г = Г+ эрмитовы (так как а X 1 — 1 X
Ха = -аХ1), и, следовательно, = ЧГа« *). В пространстве
kt, ® соотношение ортогональности (4в) собственных векторов
Ya принимает вид

(Ъ> ГЧ^Е^, ш) • Не(кр ©)Х*0 +

"Ь На* 04’ ®) ‘ Zo X Eg (кр ®) = $^<х$аВ»	(30)

в данное соотношение входят лишь поперечные составляющие
векторов электрического и магнитного полей. Это означает, что
поперечные компоненты Еь Н( являются независимыми состав-
ляющими электромагнитного поля; имея это в виду, часто вво-
дят сокращенные обозначения для волнового вектора попереч-
ных составляющих электромагнитного поля

Ф,г' 0 —(н/(г. о)’	(31<

собственные векторы которого также определяются равенством
(286) и обладают свойством ортогональности (30).

4) Оператор К эрмитов в случае поперечно неограниченной области; при
наличии границ с определенными поперечными граничными условиями это
свойство сохраняется. В этом случае сопряженные собственные векторы опре-
деляются формулой Ф** = где Ф*а* — собственный вектор, отвечающий
собственному значению ха.
В случае поперечно неограниченной однородной среды элек-
тромагнитные собственные векторы (28) определяются как от-
личные от нуля резонансные решения системы уравнений (27),
где положено Vt s ik<, d/dt э —io- При заданных к/, © такие
решения существуют лишь для четырех вырожденных собствен-
ных значений (нулей det L):

где (32)

Существование четырех собственных значений согласуется с на-
личием четырех независимых поперечных составляющих элек-
тромагнитного поля. Зависимые продольные составляющие поля
Ег, Нг в к/, ©-пространстве могут быть найдены по формулам

— ©е0£г = kt  Н t X z0,	— араНг = к/ • z0 X Eb (33)

следующим из системы (27). Восстановив в системе (27) произ-
водные по z с помощью соотношения d/dz = ix, нетрудно полу-
чить следующие уравнения, определяющие зависимости ампли-
туд поперечных составляющих поля Ег, Н( от г в базисе к<, ©:

^-=(fel*oW
^Г= ( '«во1 -+

S-)-^Xzo).
^-Н°хЕ‘)-

(34)

В соответствии с видом аффиноров, стоящих в правых частях
уравнений (34) и заключенных в скобки, поперечные векторы
поля представляются в виде суммы двух..ректоров, ориентиро-
ванных вдоль кго и k#o X z0 (к<0 — единичный вектор в направ-.
лении к<):

Е, (кр ©; г) = Е' (г) к,0 + Е" (г) kt0 X z0,

Н, (кр ©; z) = Н' (г) z0 X к<0 + Я/ (г) к/0.	(35а)

Подставив эти равенства в уравнения (34), приходим к двум не-
зависимым системам скалярных уравнений:

dEt	_L

dH't 

= ititeoE't,

дЕ'/

-т— = г©р,пЯ/,
дг r~o t»

дн" (

(356)



Эти системы уравнений можно отождествить с телеграф-
ными уравнениями для независимых полей с амплитудами
E't, Ht и Е'[, И'/ и сопоставить им эквивалентные длинные ли-
нии, изображенные на фиг. 6. Амплитудами напряженностей
поля H't определяются «напряжение» и «ток» волны Е-типа
(с составляющей Hz = 0), в линии, изображенной на фиг. 6, а,
в которой последовательные и шунтирующие распределенные

Фиг. 6. Линия передачи для электромагнитных волн,
а—электрические волны; б—магнитные волны.

параметры (на единицу длины) выражаются через «индуктив-
ность» цо, «емкость» во и отношение витков kt: 1 идеального
трансформатора. Сходным образом можно сопоставить системе
уравнений для амплитуд Е'{, Н" изображенную на фиг. 6, б эк-
вивалентную длинную линию, вдоль которой распространяется
волна Я-типа (с Ег = 0). На фиг. 6 изображены также эквива-
лентные однородные двухпроводные линии, характеризуемые
импедансами Z', Z" и постоянными распространения х', х"; ве-
личины этих характерных параметров, которые можно опреде-
лить из уравнений (356) или с помощью эквивалентных цепей,
равны
и' _ 1	7//_ (ОЦо _ 1

Х “ (О8о “ Г' ’	~ к" ~ Y" ’

= д/^Ц080 — k2 = %".

Используя эти соотношения, можно записать уравнения (356)
в несколько ином виде, типичном для линий передачи:

ЗЕ	z , /

дг	°

ОН*	, ,

^ = Ik"Y"E'I.

(366)

Нетрудно получить четыре независимых решения этих уравне-
ний в виде волновых векторов Та волноводного типа (заметим,
ЧТО т+ = ^а*) <):

±Z'kt°-^kz<>
z0 X kto

/±Z"kfoXzo\

<37a)

X±1

причем нормирующие постоянные таковы:

ЛГ±1==±Г = ^1,	N±2 = ±Z" = ^-,	(376)

(О8о	Х±2

а собственные числа x±i и х+2 определены согласно формулам
(32). При заданных к/, со волновые векторы (37а) описывают
поля двух независимых волноводных волн, обладающих свой-
ством ортогональности (30).

Имея выражения (37) и (32) для волновых векторов Уа и
собственных чисел х.а, можно с помощью формулы (17) полу-
чить разложение функции Грина для электромагнитного поля
по пространственным волноводным волнам. В соответствии с
(17) матричная электромагнитная функция Грина G, удовлетво-
ряющая уравнению (19) из § 1, представляется в виде

uu, г , i, И J L 2x/®eo 2®no/x J	(2л)3 ’

(38a)
где знаки ± соответствуют случаям z 0 и для простоты по-
ложено pz = tf = zr = 0. Для вычисления тензорной функции
Грина подставим в (38а) элементы первой строки волновых
векторов (37а). Учитывая, что часть подынтегрального выра-

9 Глава 8, § 2, формула (10а).
жения в (38а), заключенная в скобки, может быть представлена
в виде *)

[ ]п = ~п [“тт" k/okto Т	(kfoZo + zok/o) +

L л	Wcq

+ z°z° + <kzo X z°) <k,° X z°>] ’
UJcQAr	Л	«J

получаем

*„ =(*<£-1 -s*'Л-2**(эд

где операторы, действующие на интеграл, определяются форму-
лами V = iktkto ± i%z0, d/dt = —ia>, а величина к = v! = %"
дается выражениями (36а) или (32). Разложение функции Гри-
на по волноводным волнам (386) отличается от осцилляторного
представления (326) из § 3, но дает такой же окончательный
результат [§ 3, формула (32в)]. Заметим также, что выражение
(386) можно получить, если в четырехкратном интеграле [§ 2,
формула (20)] по k, w провести интегрирование по продольной
«-составляющей волнового вектора к — kt + xz0 с вычетами
(§ 5, п. «в»).

§ 5. ПРИВЕДЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ (УРАВНЕНИЯ БОЛЕЕ
ВЫСОКОГО ПОРЯДКА) ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО
ПОЛЯ

В предыдущих параграфах мы рассматривали свойства ли-
нейных полей, основываясь главным образом на формулировке
теории поля в уравнениях первого порядка. Но в литературе по
распространению электромагнитных волн в однородных или не-
однородных средах часто используют «приведенную» запись в
уравнениях более высокого порядка, которые можно получить,
исключив из первоначальных уравнений неэлектромагнитные пе-
ременные. В полученные при этом для поля уравнения более
высокого порядка входят материальные параметры (диэлектри-
ческая и магнитная проницаемости), которые в общем случае
могут зависеть от дифференциальных операторов V и d/dt, а в
случае неоднородных, но стационарных сред также и от про-
странственных координат г. Такой средой является, например,

*) Элемент матрицы 4ra’Fa* с индексами ij представляется произведе-
нием i-строки Va на сопряженный элемент j-строки в отсутствие потерь
Чга« = Чга. Таким образом, элемент ij оказывается равным (Фр	^/),

где в эрмитовы произведения входят «единичные волновые векторы» Ф( и Ф^.
холодная плазма, электромагнитные свойства которой в одно-
жидкостном приближении описываются тензором диэлектриче-
ской проницаемости с частотной дисперсией (т. е. зависящим
от оператора dfdt); учет тепловых эффектов приводит к появле-
нию пространственной дисперсии (зависимости от оператора V),
как указывалось в связи с формулами (64) из § 1.

Уравнения поля более высокого порядка можно записать как
уравнения для функций Грина вц, которые совпадают с функ-
циями Грина, введенными в § 1, п. «г», но общее число их теперь
меньше, так как индексы ij относятся теперь к меньшему числу
переменных, описывающих поле. Так, вектор электрического
поля E(r, t), возбуждаемого электрическим током с плотностью
J (г, t) в однородной среде, представляется формулой

Е (г, t) = - J 'tfn (г, г'; I, t') • J (г', t') dr' dt',
откуда следует, что приведенное уравнение поля в этом случае
имеет вид

£; r)-E(r, O = -J(r, t),

где — дифференциальный оператор (проводимость), обрат-
ный функции Грина 'efn- Приведенные уравнения более высо-
кого порядка могут содержать и оба вектора Е и Н [пример —
§ 1, уравнения (64)]; в этом случае в них вместо проводимости
входят дисперсные операторы диэлектрической и магнитной
проницаемостей 8 и ц.

Из-за наличия дисперсии у параметров среды соотношения,
связывающие запасенную энергию и поток мощности, в случае
когда теория поля формулируется в приведенных уравнениях, а
не в уравнениях первого порядка [§ 1, формула (55)], выглядят
иначе. При выводе выражений для плотности энергии и потока
мощности следует отличать поля монохроматических плоских
волн вида exp[i(k-r — со/)] от волновых пакетов, образуемых
суперпозицией таких волн. Ряд энергетических соотношений мо-
жно установить исходя из дисперсионных свойств (т. е. произ-
водных по со и к) оператора проводимости ‘У для монохрома-
тических полей. Поскольку поля, гармонически меняющиеся во
времени, представляют важный класс задач, этому .режиму при-
дается особое значение в последующем изложении. Соотноше-
ния взаимности для монохроматических полей, описываемых
приведенными уравнениями, весьма схожи с полученными в пре-
дыдущих параграфах, и мы не будем останавливаться на них
специально.

Ранее отмечалось, что некоторые результаты для пространст-
венно неоднородных или ограниченных сред удается получить
путем прямого обобщения решений соответствующих однород-
ных задач. В данном параграфе этот вопрос исследуется подроб-
нее. Вместо условий излучения на бесконечности, накладывае-
мых на решение в неограниченной области (или в дополнение к
ним), необходимо потребовать, чтобы электромагнитные поля
на границах раздела различных сред или на поверхностях, огра-
ничивающих область, удовлетворяли определенным граничным
условиям. При наличии неоднородностей среды соотношения
взаимности, полученные ранее для полей в безграничном одно-
родном пространстве, также видоизменяются. Эти вопросы рас-
сматриваются в п. «б».

Распространение волн в плоскослоистых средах, а также в
областях, ограниченных цилиндрическими идеально проводя-
щими стенками, можно исследовать, просто видоизменяя разло-
жения по волноводным волнам, полученные в § 4 (гл. 2, § 1—3
и далее). В этих случаях векторные электромагнитные поля
удается описать с помощью скаляров, выбрав «волноводную
ось» z, параллельную граничным стенкам или направлению
слоистости. Введенные ранее скалярные функции Грина, удо-
влетворяющие уравнениям (386) и (49) из § 1, не связаны с вы-
бором оси г в качестве выделенного направления; такие скаляр-
ные задачи зачастую удобнее решать на основе других «волно-
водных» представлений — для координат, поперечных оси z.
С теорией этих новых разложений поля читатель познакомится
в п. «в». Более общий анализ таких разложений будет прове-
ден в гл. 3, § 3, п. «в», а различные их приложения можно найти
в гл. 5, § 4, п. «а», и гл. 5, § 6, п. «а».

а. Плотность энергии, поток мощности и групповая
скорость электромагнитного поля

Энергия поля и ее распространение подчиняются закону со-
хранения энергии. В теории поля, сформулированной в уравне-
ниях первого порядка, если параметры среды не обладают дис-
персией, закон сохранения энергии принимает сравнительно про-
стой вид; в частном случае плазменных сред он выражается со-
отношением (55) из § 1. Формулировка в уравнениях более вы-
сокого порядка, когда исключаются неэлектромагнитные пере-
менные, приводит к вакуумноподобным уравнениям для векто-
ров электромагнитного поля, в которые, однако, входят диэлек-
трическая в = e(V, d/dt\ г) и магнитная ц = p.(V, d/dt-, г) про-
ницаемости, в общем случае анизотропные и обладающие про-
странственной и частотной дисперсией, а в случае пространст-
венно неоднородных (но стационарных) сред зависящие еще и от
координат г. В качестве примера приведенных уравнений мож-
но указать на уравнения (64) из § 1 для нагретой изотропной
однородной плазменной жидкости. При наличии дисперсии у па-
раметров среды в, ц интерпретация закона сохранения для не-
монохроматических полей требует известной осторожности. Так,
например, величину е | Е |2/2 нельзя прямо отождествлять с плот-
ностью запасенной энергии (положительной) электрического
поля в изотропной диспергирующей среде, поскольку, например,
в случае гармонических колебаний в изотропной холодной плаз-
ме эквивалентная диэлектрическая проницаемость в = е0(1 —
— <о2/со2) отрицательна при со < сор.

Характеристики переноса энергии поля наиболее естественно
рассматривать, используя временное представление, так как это
дает возможность следить за изменением сгустка энергии (вол-
нового пакета), возбужденного источником, в течение конечного
интервала времени. Как указывалось в § 3, временное предста-
вление для полей, возбужденных источником в неограниченной
области, можно строго получить в виде суперпозиции плоских
волн с разными волновыми числами к. Асимптотическая оценка
этих выражений будет проведена в § 6, где будет показано, что
энергия поля локализована в областях, где происходит интерфе-
ренционное усиление плоских волн, образующих волновой па-
кет. Анализ интерференции показывает, что в таких областях
поле ведет себя локально как плоская волна Т ~ ехр(гф), где
яр = [к-г — (о(к)/], а энергия поля перекосится с групповой ско-
ростью Vg = V/lo)(k), равной градиенту (в k-пространстве) ча-
стоты (о = со(к), определенной дисперсионным уравнением для
среды [§ 3, формула (10а)]. Направление вектора vg называют
направлением луча, причем в анизотропных средах это направ-
ление, вообще говоря, отличается от направления волнового
вектора к, вдоль которого распространяются поверхности равной
фазы (волновые фронты) ф = const с фазовой скоростью со/й'.
В § 6 и 7 рассматриваются соотношения, описывающие поведе-
ние лучей, волновых пакетов, волновых фронтов и т. д. как в
случае полей, зависящих от времени, так и в случае монохрома-
тических полей. Изучение вопросов переноса энергии в данном
параграфе не связано со специальными интегральными предста-
влениями поля, а основано на общих законах сохранения энер-
гии, получаемых из приведенных уравнений для электромагнит-
ного поля.

Последующее рассмотрение приведенных уравнений для
электромагнитного поля ограничено средами, в которых тен-
зоры 8 и р, могут зависеть от координат, но обладают лишь ча-
стотной дисперсией; эффекты пространственной дисперсии мо-
гут быть включены в теорию, но в большинстве случаев мы бу-
дем ими пренебрегать для простоты изложения. Рассмотрение
включает анизотропные среды, чтобы на их примере показать
различие между характеристиками, описывающими распростри-
нение фазы и энергии поля. Так как в нашей книге в качестве
диспергирующей среды рассматривается в первую очередь ани-
зотропная плазма, магнитная проницаемость р обычно считает-
ся скалярной функцией, что существенно упрощает выкладки и
позволяет описать тензорные и скалярные среды едиными фор-
мулами. Результаты без труда обобщаются на среды с тензор-
ной магнитной проницаемостью.

Уравнения Максвелла для зависящего от времени электро-
магнитного прля, возбуждаемого заданными распределениями
электрического J (г, t) и магнитного M(r, t) токов в пространст-
венно неоднородной анизотропной среде с частотной дисперсией,
имеют вид

VXE(t, /) = -ХВ(г, 0-M(r, I),
д	<1а)

VXH(r, 0 = ^-D(r, /) + J(r, t).

Материальные уравнения представляются в виде

В(г, 0 =	r)'H(r’ Z)’ D(r’ ')==8(^' г) Е(г’°’ (1б)

справедливом в отсутствие пространственной дисперсии и допу-
скающем запись посредством линейных интегральных операто-
ров. В отсутствие магнитных токов (М = 0) можно исключить
из системы (1) вектор Н и перейти к уравнению1)

[4' + VX((W]T-<VX !))] Е(Г, о —J(r, <), (2а)

или

^(v, 4; r) -E(r, O=-J(r, t),	(26)

где электромагнитное поле характеризуется аффинором
(проводимость), обладающим пространственной и частотной
дисперсией. Решение уравнений (2), так же как и в § 1, можно
записать в виде

Е (г, fl = - $	(г, г'; t, t') • J (г', t') dr' dt', (3)

т. e. выразить через тензорную функцию efn, представляющую
собой оператор, обратный оператору проводимости <У. Иско-
мые характеристики переноса энергии поля можно получить,
рассмотрев дисперсионные свойства оператора <2/.

9 Символом l/(d/df) обозначен интегральный оператор dt, а символом
1/|л — обратный аффинор у-1.
Плотность энергии и поток мощности

Прежде чем выводить уравнение переноса энергии, попы-
таемся найти выражения для плотности энергии и потока мощ-
ности поля. Из уравнений Максвелла (1) в отсутствие источни-
ков (j = о = М) нетрудно получить хорошо известное соотно-
шение

V.(EXH) = -(E"f+ Н”)'	<4>

Величина S = Е X Н есть мгновенная плотность потока элек-
тромагнитной мощности в точке г> (вектор Поинтинга), но
отождествить выражение в скобках в правой части (4) с произ-
водной по времени от мгновенной плотности энергии W доволь-
но трудно. Трудность эта связана с частотной дисперсией мате-
риальных параметров среды в уравнениях



что и не позволяет получить выражение для плотности энергии
W при произвольной зависимости полей от времени. Энергетиче-
ская интерпретация, основанная на усреднении по времени, ока-
зывается возможной, однако, для монохроматических стацио-
нарных полей вида

Е (г, t) = л/2 Re [Ё (г) е~lat], Н (г. 0 = V2 Re [Н (г) е~^], (6)

где Ё(г) и Н (г) - среднеквадратичные значения не зависящих
от времени комплексных амплитуд поля; соотношение (5) при-
нимает в этом случае вид ')

= - д/2 Re [А»е (со, г) •

= - VF Re [й>Я К г) • Не- ^].

Воспользовавшись комплексной записью для векторов поля и
проводя усреднение по времени в равенстве (4) 2), получим

д№

(8)

<) Оператор djdt в соотношении (б) коммутирует с операторами s и g
дЛЯ г^а«и^Р«“хснсР®Добозначениях усредненное по времени произведение АВ
величин, гармонически меняющихся во времени, равно (1/7") J АВ dt

e Re АВ' = >/2 (АВ’ + А*В), где Т ~ Чф - период колебания.
где

S = ReEXH*,

= - 4(Ё* • (е -е+) • Ё+ Н* • (ц-ц+) • Н],	(8а)

а в+и ц+— аффиноры, эрмитово сопряженные аффинорам е и ц
(т. е. полученные путем транспонирования матрицы и замены
ее элементов комплексно сопряженными). Хотя величина
dWIdt, входящая в равенство (8), имеет размерность скорости
возрастания энергии в единице объема, полученное для нее вы-
ражение не позволяет определить среднюю по времени плот-
ность энергии W. В случае среды с действительной скалярной
магнитной проницаемостью ji = ji+ = ц.1 величина

< = Ё*-а.Ё	(9)

есть энергия, рассеиваемая в единице объема за единицу вре-
мени, выраженная через тензор проводимости средыJ) а =
= i®(8— в+)/2. В поглощающей среде энергия переходит в теп-
ло и выражение в правой части равенства (9) должно быть по-
ложительным. Это условие выполняется и в более общем случае
равенства (8а); в случае произвольных полей из него следует,
что оба слагаемых положительны и, стало быть, эрмитовы тен-
зоры —1(8 — в+) и —i(g— р+) должны быть положительно оп-
ределенными. В среде без потерь, для которой скалярная магнит-
ная проницаемость действительна, правая часть равенства (8а)
должна обращаться в нуль, откуда следует (при j* = р.1), что

8 = 8+, ц — действительная величина.	(10)

Таким образом, аффиноры, представляющие материальные па-
раметры анизотропной среды без потерь, должны быть эрмито-
выми. В случае изотропных сред материальные параметры дей-
ствительны, но могут быть отрицательными в некоторых интер-
валах частот. Для определения средней плотности запасенной
электрической энергии в диспергирующей среде без потерь не-
обходимо рассматривать немонохроматические поля.

Обобщим выражения (6) и введем векторы

Е (г, /) = д/Г Re [Ё(г; t)	(11 а)

 D(r, /) = V2~Re[D(r; /)«-«],	(116)

*) Потери, связанные с токами проводимости Jc(r, со)i= а (г, со) -Е(г, со),
выражаются через тензор проводимости а, входящий в тензор диэлектриче-
ской проницаемости s = st + (о/—/со). Как видно из равенства (10), сла-
гаемое 81 — это эрмитова часть оператора 8 (т. е. 8j «=»	). Так как вели-

чина о/ — /со антиэрмитова, тензор проводимости также оказывается эрмито-
вым (т. е. д = о+).
где Е и D — среднеквадратичные значения комплексных функ-
ций /, очень медленно изменяющихся в интервале времени, рав-
ном периоду колебания Т — 2л/со. Тогда среднее за период Т
значение первого слагаемого в правой части равенства (4) та-
ково:

___	т

( (Ёе-М + Ё*е<(Л<) •	(De-^ + DVa<) dt«

01	a I J	Of

0

T

«	( (E‘eto/ • -%r (De-i<B9 +	(D*e'“')l dt, (12)

Zi J	UI	UI

0

а поскольку момент начала отсчета времени t = 0 произволен,
соотношение (12) справедливо для любого периода. Слагаемые
подынтегрального выражения, содержащие множители
exp(±i2®Z), дают малые вклады в интеграл по сравнению с ос-
тальными членами. В самом деле, предположим, например, что
в течение некоторого интервала времени для Е и D справедливо
представление ') [9а]

Ё (г; t) = Ё1 (г) е~D (г; t) = D( (г)	(13)

причем ®1	(о, что соответствует медленному изменению этих

функций за период Т. Проведя интегрирование, можно убедить-
ся, что отношение вкладов пренебрегаемых членов к вкладу ос-
тавшихся есть величина порядка 0(®i/(o) и, следовательно, пре-
небрежение законно. Из формулы (13) имеем

•4- (De~£<of) = — i(со + ®i)8 (® + ®i) • Ёе~ги/, (14)
Of

ибо Dexp(—tbit) есть гармоника с частотой (со + ®i)> связанная
с Еехр(—tat) уравнением (7). Разлагая множитель —t(co+
+ (oi)e((o 4- (01) в ряд Тейлора возле точки со с точностью до ли-
нейных членов О («и), находим

= j _	((о) • Ё +	И ((о)] -	(15)

полученное соотношение является обобщением формулы (7) для
монохроматического случая. Подставив это соотношение в инте-

f) Более общий вывод, основанный на представлении полей интегралами
Фурье, можно найти в работе [28]< Кроме того, вычисляя (d/df)e(d/dO • Е(г;/)Х
X ехр (—tcoZ) с целью получить выражение (14), следует также ознако-
миться с более общим выводом выражения (27а) ниже и соответствующим
примечанием.
грал (12), находим явное выражение для его главной части:

+ 4 { В" ' £ М WJ  •# + -f-• £ ["'+ W1' Ё }  (16)

Аналогичное выражение для магнитной_ энергии можно поле-
чить, заменив в формуле (16) величины Е, е и 8+ величинами Н,
р и р+. В случае среды без потерь 8(®) = 8+(а>) и выражение
(16) принимает вид

#“4{тВ--^[«.»М)-в}.	(17)

Поэтому в диспергирующей электрически анизотропной среде
без потерь со скалярной магнитной проницаемостью можно счи-
тать, что средняя по времени плотность запасенной энергии
дается выражением ')

= 4 { Ё* • if I®® (®)1 • Ё + IН I2 },	(18)

где Е и Н — зависящие от координат и слабо зависящие от вре-
мени комплексные амплитуды гармонических полей E(r, t)e~iat
и Н (г; Поскольку запасенная энергия положительна, ве-
личина д(ир,)/да> также должна быть положительной, а аффи-
нор (д/д(о)[сое((о)] должен быть положительно определенным.
Более того, средняя энергия, запасенная электромагнитным по-
лем, в физической среде не может быть меньше, чем в вакууме,
так как часть энергии затрачивается на поляризацию среды,
описываемую материальными параметрами. Таким образом,
W Wo, где Wo — запасенная энергия поля в вакууме, для ко-
торого р = go, 8 = 1во (цо, во — постоянные). Следовательно,
должно выполняться более жесткое условие [96]

=у { Ё‘ • [-^-(<08) - 180] • Ё +

+ [^(®Н)-Но]|Н|2}>О, (19)
где 1 — единичный аффинор.

Для холодной электронной плазмы без потерь, находящейся
в постоянном внешнем магнитном поле Во, направленном вдоль

4) Поскольку We медленно меняется за период Т, мы имеем We & We в
интервале 0 t Т и dWeldt ж dWe/dt. В последнем соотношении произ-
водная по времени рассматривается в масштабе интервалов времени, больших
пр сравнению с Т.
оси г прямоугольной системы координат, имеем ц = Цо> а тен-
зор е представляется в виде

(81	—182	0 \

«82	8|	О I,	(20)

0	0	ег/

где
9	9	9

±-=1--------(20а)

е0 а> — е0 о	е0	®

причем —е и т — заряд и масса электрона. Здесь учитывается
движение лишь электронов, так что сор и <ос — плазменная и
циклотронная частоты электронов. Чтобы вывести формулу (20),
заметим, что в случае монохроматического поля Еехр(—iat)
уравнение движения электронов с гармоникой скорости
vexp(—iat) в постоянном магнитном поле Во = Bozo имеет вид
[§ 1, формула (54), где р = 0 и d/dt = —/со]

— i&tnv = — е (Е + v X А))>	(21)

или	_	_

(/col + ®cZo X 1) • mv — еЕ.	(21а)

Используя аффинерные тождества

(Zol + ®cz0 XI)- (»®1 - <ocz0 X 1) = - (®2 - со2) 1, - ®2z0z0,
— (zoX 1) • (z0X 1) = 1 — zozo = lz

и уравнение (21а), легко показать, что , составляющими ско-
рости vt и vz поперек и вдоль направления магнитного поля
обусловлены плотности тока

— NeVf =

Zcoeo

(Ор 1/ + * (в)с/«>) <фо X 1

О)2 — G)2

E«,

—	°>D	—

— Nevz = i<i>e0-^rEz.

(22)

Так как тензор диэлектрической проницаемости для плазмы
можно определить соотношением

— /Vev = — /со (« — е01) • Ё,
из формул (22) и (22а) следует равенство

е = ех 1 # + ie2z0 X Ъ + 8ггого,
представляющее собой аффинорную форму записи матрицы (20).
Чтобы величина [д(<ве)/д<о— 1ео] была неотрицательно опреде-
ленной [формула (19)], главные миноры матрицы тензора ди-
электрической проницаемости должны быть неотрицательными,
т. е. должны выполняться условия

£(-&)>!•

Как легко убедиться, при определении параметров среды фор-
мулами (20а) эти условия выполняются, хотя сами элементы
матрицы могут быть отрицательными.

Усредненный перенос энергии (групповая скорость)

В случае полей, мало отличающихся от монохроматических,
можно построить кинематическое описание среднего по времени
течения энергии в области, занимаемой полем, на основе волно-
вых пакетов, движущихся вдоль некоторых траекторий со строго
определенной групповой скоростью. Как будет показано ниже,
в однородной среде без пространственной дисперсии средний по
времени вектор Пойнтинга 5 [формула (8а)] и средняя плотность
энергии W [формула (18)] связаны соотношением

S = ^vg,	(24а)

где vg — групповая скорость, характеризующая перенос энергии
(или движение некоторого волнового пакета) в рассматриваемой
точке. В этом случае выполняется, как будет показано, закон
сохранения средней энергии, имеющий форму уравнения (8).
Из соотношения (24а) в случае, когда vg не зависит от коор-
динат, находим? -S = vg- VF; в результате равенство (8) при-
нимает вид

^-lF + vg- ?Г = 0,	(246)

ИЛИ

•^-¥ = 0, если vg = -^-.	(24в)

Из равенства (24в) следует, что средняя плотность энергии
W в точке, движущейся с волновым пакетом вдоль линейной
траектории г = г(7) с пока еще неопределенной скоростью vg,
остается постоянной. Так как уравнения (24) относятся к немо-
нохроматическому полю, величина IF, а следовательно, и ве-
личина S даже в однородной среде будут слабо зависеть от ко-
ординат и времени; мы покажем, что эти величины можно вы-
разить через амплитуду немонохроматического поля и оператор
проводимости W (2). В случае неоднородных сред уравнения
(24) требуют обобщения, которое будет проведено в § 7.

Для исследования распространения энергии в случае, когда
справедливы уравнения (24), рассмотрим немонохроматические
поля в однородных диспергирующих средах без потерь. Соглас-
но уравнениям (2), электрическое поле Е в однородной среде в
областях, где нет источников, описывается оператором проводи-
мости , причем

^(v, 4) -Е(г. 0 = 0.	(25)

Будем искать почти монохроматическое решение уравнения (25)
(волновой пакет) как действительную часть поля

Е(г, 0 = Ё(г,	(26)

где E(r, t) — отвечающее заданному к, слабо зависящее от ко-
ординат и времени среднеквадратичное значение амплитуды
поля, а со = со (к) —частота, которые определяются уравнением
(25). В дальнейшем считается, что Е и Н слабо зависят от г и от
/; их не следует смешивать с полями Е = Е(г, /) и Н = Н(г; /),
введенными в формуле (11), так как последние зависят от г
произвольным образом. Для вывода закона сохранения средней
энергии рассмотрим квадратичное выражение

Е*(г, Z)-^(V, -£)-Е(г, /) + Е(г,	-^-)-Е*(г, /) = 0,

равное нулю в силу равенства (25). Подставив сюда выражение
(26) и воспользовавшись правилом дифференцирования *) (при
действительных со, к), находим

E*-2<(/k + V, _/й>+А).Ё +

+ Ё • (ik + V, - Z® 4--^-) • Ё* = о, (27а)

Если амплитуда Ёе=Ё(г, f) слабо зависит от координат и вре-
мени, то оператор в уравнении (27) можно заменить его раз-

9 Операторную функцию F (V, d/dt) производных V, d/dt, действующую
на произведение двух пространственно-временных функций Л, В, можно
представить в виде F (V, d/dt) А (г, t) В (г, t) = F (V' + V, d/dt' + d/dt) X
X А (г, t) В (г', /')]r=s=rz> fas/„ что позволяет проводить дифференцирование
для обоих множителей раздельно.
ложением в ряд Тейлора *) в окрестности точки ik, —/со. Для
среды без потерь (7k, — Zco) = — i33 (k, co), где S3 = $3 —
действительный оператор, и из соотношения (27а) получаем * 2)

4[Ё*.^(к,ф)-Ё]-7.7й[Ё*-Я(к, ®)>Ё] = 0, (276)

где действует только на 93 (к, ®), а V — лишь на Е и Ё*.
Чтобы выяснить смысл выражений в квадратных скобках в
формуле (276), заметим, что, согласно уравнениям (2) для од-
нородной среды без потерь с магнитной проницаемостью, описы-
ваемой скалярной функцией [формула (10)], оператор Я имеет
вид

93 (k, <в) = <В8 4-	(28а)

откуда следует, с учетом равенства (18), обобщение известного
в теории цепей энергетического соотношения

Ё-.	. ё - Ё- 	»	(<»„)]. ё -

да>	L да>	®2ц2 да> v r'J

,	_	,	_	_	(286)

= Е* • ^-((08) Е + Н* -f-(cop) Н = 21F,

д® ' ’	1 дв> '	’

где использовано равенство к ХЕ = <оцН. Аналогичным обра-
зом из уравнения (28а) для второго искомого члена в (276) в
случае, когда у е отсутствует пространственная дисперсия, по-
лучаем	_	_

- V • Vft [Ё* • S3 • Ё] = V • Vfe[----2g(k><;£~] =

=	v . Г Ё* х (k X Ё) +Ё х (к ХЁ*) 1 =

L ®и J

=	V • [Ё*Х Н 4-Ё X Н*] =2V • S; (28в)

при этом были использованы тождества Vftk = 1 и Vft (А • В) =
= (VfeA) • В 4-(VftB • А). Воспользовавшись соотношениями (28),
можно переписать равенство (276) в виде уравнения балан-
са (8):

^-4-v-s = o.

Выведенный нами для немонохроматического поля (26) закон
сохранения среднего потока энергии применим, вообще говоря,

*) У (Zk + V, - to + d/dt) = У (Zk, - to) + i (d/dt) (д/до) У (Zk, - to) -
-«V-TWtfk, -to)+ ... .

2) Заметим, что для скалярного оператора справедливо соотношение
а-вГ • b = b• ¥ -а, где ~ означает транспонирование.
не только к электромагнитному полю, но и к полям других ви-
дов. Нам остается лишь доказать соотношение для потока энер-
гии (24а). Подставив решение в виде волнового пакета (26) в
уравнение для поля в отсутствие источников (25) в однородной
среде без потерь, получим

Я(к, ®)-Ё = 0,	(29а)

где ^(к, ®)—оператор, определенный формулой (28а). Нетри-
виальное решение Ё уравнения (29а) существует лишь на таких
частотах ® = ®а(к), которые удовлетворяют дисперсионному
уравнению det $ (к, ®а) = 0. При произвольном бесконечно ма-
лом приращении 6k, в силу уравнения (29а), имеем

6[Ё*-^(к, ®а) • Ё] = Ё" • 6^? (к, ®в)-Ё = 0

и, так как (очевидно, 6®о = 6k • Vfe®a)

6Я (k, ®а) = 6k •	(k, ©„) + 6k • Vft®« -g-,	(296)

учитывая произвольность 6k, получаем

[Ё* • Я • Ё] + Vft®a [Ё* •	• Ё] = 0;	(29b)

с учетом равенств (286) и (28в) это уравнение можно перепи-
сать в виде энергетического соотношения (24а):

S = Fvg, vg = Vfc®e,	(30)

где vg — групповая скорость. Так как условие обращения в
нуль детерминанта det (к, ®) приводит к различным диспер-
сионным зависимостям ® = ®а(к), соотношение для потока
энергии (30), а значит, и групповая скорость vg = 7ь®а харак-
теризуют разные типы (а = 1, 2, ...) волновых пакетов.

б. Граничные условия, единственность решения
и соотношения взаимности для электромагнитного поля

Поле в материальной среде можно описать либо системой
уравнений первого порядка, рассмотренной в § 1, п. «г», либо
приведенными уравнениями более высокого порядка, например
уравнениями (64) из § 1 или уравнениями (1). В присутствии
внешнего магнитного поля диэлектрическая и магнитная прони-
цаемости — обычно тензорные величины. В случае монохрома-
тических полей, зависящих от времени как величина ехр(—i®/),
в пространственно неоднородной среде, параметры которой не
обладают пространственной дисперсией, диэлектрическая и
магнитная проницаемости представляют собой комплексные
тензоры е(г, о) и g(r, to). В этом случае приведенные уравнения
Максвелла (1), описывающие электромагнитное поле, возбу-
ждаемое заданными распределениями электрических и магнит-
ных токов J и М в анизотропной среде с частотной дисперсией,
принимают вид

V X Е (г) = йвВ (г) - М (г), V X Н (г) = — zcoD (г) + J (г), (31а)

В (г) = в (г) • Н (г), D (г) = е (г) • Е (г),	(316)

где опущены экспоненциальные множители ехр (—ia>t) и не ука-
зана зависимость всех величин от со. Частный случай изотроп-
ных сред без потерь, для которых е = 18, ц = 1ц, также опи-
сывается этими уравнениями.

Фиг. 7. Граница раздела между двумя средами.

На гладкой поверхности раздела двух сред S векторы элек-
тромагнитного поля должны удовлетворять граничным усло-
виям

vX(H2-H1) = Js, v X (Ei — Е2) = Ms,	(32а)

v • (Bi — В2) = r]m, v-(D2 — Dj) = t],	(326)

где индексами 1 и 2 обозначены величины в областях 1 и 2, по-
казанных на фиг. 7. Здесь Js и Ms — плотности поверхностных
электрических и магнитных токов на границе раздела, т] и
г)то — плотности поверхностных электрических и магнитных за-
рядов, a v — единичный вектор нормали к S, направленный в об-
ласть 2. Если ни одна из сред не является идеальным проводни-
ком, то поверхностные токи и заряды не наводятся (Js = Ms =
= т] =	= 0); но если на поверхности раздела имеются сто-

ронние поверхностные токи, то их следует учитывать. Пусть об-
ласть 2 заполнена идеальным проводником; тогда поля Е2 и Н2
в этой области должны отсутствовать, а на граничной поверхно-
сти существуют наведенные электрические токи и заряды.
В этом случае в соответствии с условиями (32) имеем

H,Xv = Js, vXEi = 0, v-Bi»0, -Di-v = n. (33)

На поверхности идеального проводника касательное элек-
трическое поле обращается в нуль. Как видно из уравнений
(32а), конечное поле можно возбудить вблизи этой поверхно-
сти, распределив на ней поверхностный магнитный ток. При
плотности поверхностных токов Ms возбуждаемое ими вблизи
идеально проводящей поверхности электрическое поле имеет ка-
сательную составляющую, такую, что

vXE1==Ms.	(33а)

Реально существующие источники электромагнитного поля мо-
жно, разумеется, характеризовать лишь электрическими заря-
дами и токами; но введение эквивалентных магнитных токов за-
частую оказывается удобным искусственным приемом. Так, на-
пример, элементарный динейный магнитный ток в изотропной
среде эквивалентен круговому электрическому току в контуре
исчезающе малого радиуса, лежащем в плоскости, нормальной
к магнитному моменту. Поскольку условия (32) и (33) справед-
ливы для любого монохроматического поля, в силу теоремы об-
00

ращения Фурье f(r, /) = J f(r, a)e~ia>t d<a, они справедливы и
— 00

для полей с произвольной зависимостью от времени.

В случае неограниченной области необходимо еще знать по-
ведение поля на бесконечно удаленной поверхности. Если все
источники сосредоточены в области конечных размеров, то по-
ведение поля на больших расстояниях от источников должно
определяться физическим требованием вытекания энергии поля
из области источников (т. е. решение уравнений поля должно
содержать лишь «уходящие» волны). Это требование, впервые
сформулированное Зоммерфельдом, представляет собой гранич-
ное условие на бесконечно удаленной поверхности и обычно на-
зывается «условием излучения» [10]. Поперечные составляю-
щие поля сферически расходящейся волны в однородной среде
убывают как 1/г, где г — расстояние от области источников, и
локально совпадают с полем плоских волн, распространяю-
щихся от источника в направлении г, т. е. каждая составляю-
щая поля поперечна радиусу г и описывается формулой
ехр(гЛпг)/г. Математически это требование можно сформулиро-
вать в виде соотношения *)

lim г (^- — iknA\ — 0,	(34а)

где А — любая поперечная относительно г составляющая поля,
a = со д/^8 — величина, стремящаяся к постоянному значе-
нию при г —> со. Если локально заменить сферическую волну
плоской, то поперечные составляющие электрического и магнит-

4) Здесь рассматриваются лишь изотропные среды; условие излучения
энергии можно распространить и на неизогропные области, но это сложнее,
так как направления распространения фазы и энергии поля, вообще говоря, не
совпадают, (§ 6 и 7).
ного векторов поля будут связаны при г->оо простым соотно-
шением	’

Го X Е-> д/f Н,	(346)

где Го — единичный вектор в направлении г, a Vp/e — импеданс
свободного пространства.

В случае двумерных полей, которые не зависят, скажем, от
прямолинейной координаты х, источники, распределенные в ци-
линдрической области конечных размеров, возбуждают цилин-
дрические расходящиеся волны [каждая составляющая поля та-
кой волны имеет вид exp (tfe„p)/Vр , где р — радиус в полярных
координатах на плоскости, нормальной к оси х]. В этом случае
двумерный аналог условия излучения (34а) имеет вид

Jirn VF — iknA} — °’	(34в)

где А — любая поперечная составляющая поля. Соотношение
(346) также остается справедливым, ко в нем следует заменить
величину Го величиной р0.

Формулы (34а) и (34в) относятся к средам без потерь, для
которых kn — действительная величина. Если же допустить, что
в среде есть небольшое затухание (а это откосится к любой
реальной среде), то волновое число kn имеет положительную
мнимую часть и требование, чтобы волны на бесконечности
были «уходящими», можно заменить более простым условием
обращения в нуль на бесконечности всех полей, которые возбу-
ждаются источниками, сосредоточенными в конечной области.
Такое простое условие сохраняет силу для анизотропных и не-
однородных сред и приводит к выбору решений, убывающих
при г —> оо. В случае негармонической зависимости от времени
условие излучения должно определяться принципом причинно-
сти для полей во временном представлении. При аналитическом
продолжении на верхнюю полуплоскость комплексной плоско-
сти со для' выбора затухающих решений можно также исполь-
зовать условие причинности 1ш со > 0 (§2).

Говоря о граничных условиях (32) и (33), мы предполагали,
что граничная поверхность S регулярна, т. е. у нее отсутствуют
острия, ребра или углы. При наличии же геометрических осо-
бенностей такого рода у электрически непроницаемых поверх-
ностей некоторые составляющие поля могут вблизи них обра-
щаться в бесконечность. Чтобы установить допустимые типы
расходимости у электромагнитного поля, воспользуемся следую-
щим энергетическим соображением: энергия в ограниченном
объеме, содержащем физические источники поля, должна быть
конечной. Расходимость составляющих электромагнитного поля
возле нерегулярных точек непроницаемой, например, идеально
проводящей поверхности обусловлена наведенными поверхност-
ными токами, вклад которых в энергию поля не может превы-
шать вклада истинных источников. Таким образом, мы прихо-
дим к условию, что электрическая и магнитная энергия, запа-
сенная в любом объеме, окружающем геометрическую сингу-
лярность поверхности, должна быть конечной. Математическая
формулировка этого требования для изотропной среды без дис-
персии может быть представлена в виде ’)

\ [8|Е|* 2 + Hl Н I2]dx = конечная величина, (35)

где т — конечный объем, окружающий рассматриваемую осо-
бенность поверхности.

Условие (35) накладывает определенное ограничение на
рост любой составляющей поля вблизи особенности. В случае
ребра двугранного угла, изображенного на фиг. 8, рассмотрим

Фиг. 8. Поверхности с геометрическими особенностями,
а—ребро; б—острие.

цилиндрический объем, ось которого совпадает с ребром; если
ребро представляет собой регулярную кривую, то высоту ци-
линдра можно выбрать малой и считать отрезок ребра внутри
цилиндра прямым. В цилиндрических координатах р, </>, z, где
за ось z взято ребро, элемент объема равен dx = pdpdfdz.
Предположим, что каждая составляющая поля вблизи ребра
(т. е. при р-> 0 2)) представляется в виде /(р)ф(^, z). Тогда ус-
ловие (35) накладывает ограничение лишь на зависимость со-
ставляющих поля от р, а зависимость поля от ф и z выражается
регулярными функциями. Условие (35) можно при этом пере-
писать в виде (R — радиус рассматриваемого цилиндрического
объема)

я

$ If (р)|2р dp = конечная величина,	(36)

о

*) О влиянии дисперсии и анизотропии см. п. «а».

2) В случае прямого ребра это условие строго выполняется (гл. 6, § 5).
откуда следует, что величина |/(р) |2 при р->0 может возра-
стать не быстрее, чем где а — сколь угодно малая поло-
жительная величина. В результате мы приходим к следующему
«условию на ребре»:

Составляющие векторов Е или Н не могут возрастать
быстрее, чем р-1+“ при а > 0,	(37)

где р — расстояние до ребра.

В случае острой вершины, изображенной на фиг. 8, б, окру-
жим ее сферой радиуса R. В сферической системе координат г,
0, ф с центром на острие элемент объема равен dx —
= г2 sin 0 dr dQ dф. Предположим, что каждая составляющая
поля при г->0 представима в виде £(г)ф(0, ф); тогда условие
(35) сводится к более простому:

J 1ё (012 г2 dr =конечная величина,	(38)

о

откуда следует, что величина |g(r) |2 не может при г->оо воз-
растать быстрее, чем г-3+2“ при а > 0. Таким образом, вблизи
острой вершины конуса:

Составляющие векторов Е или Н не могут возрастать
быстрее, чем r-’A+а при а > 0,	(39)

где г — расстояние от вершины. Условия (37) и (39) следует
добавлять к граничным условиям для поля при наличии у гра-
ничной поверхности геометрических особенностей; эти условия
обеспечивают единственность решения задачи.

Решение уравнений Максвелла, удовлетворяющее всем опре-
деленным выше граничным условиям, является единственным.
Пусть некоторая область объемом т, ограниченная поверхностью
S (которая может быть многосвязной), заполнена «физической»
средой, обладающей небольшим затуханием; сформулируем без
доказательства следующую теорему единственности: стационар-
ное электромагнитное поле в объеме х определено единственным
образом [26], если 1) в области х заданы источники поля (в том
случае, когда они существуют) и 2) на различных участках по-
верхности S заданы касательные составляющие электрического
или магнитного поля. В условие 2) следует включить случай,
когда касательные составляющие электрического и магнитного
полей на границе связаны линейно [§ 1, условие (16г)]:

vXE = rH,	(40)

где v — единичный вектор нормали к границе, Z — тензор им-
педанса, у которого отличны от нуля лишь составляющие, пер-
пендикулярные вектору v (т. е. v = v = 0). Соотноше-
нием (40) определяется «импедансное граничное условие», кото-
рое можно использовать для приближенного описания поля на
границе хорошо поглощающей или «реактивной» области. Сфор-
мулированные выше условия сохраняют силу и в случае анизо-
тропных сред. Если часть области S удалена на бесконечность,
а все источники сосредоточены в ограниченной области, то для
обеспечения единственности решения необходимо, чтобы поле
удовлетворяло на бесконечности введенному ранее условию из-
лучения. При наличии геометрических особенностей граничной
поверхности следует, кроме того, наложить условие (35).

В случае нестационарных полей их величина в моменты
t > однозначно определяется начальными условиями, отне-
сенными к моменту /ь Установленные выше граничные условия
на S также должны удовлетворяться при t t\.

Соотношения взаимности

В § 1, пп. «б» и «в», мы рассматривали соотношения взаим-
ности для электромагнитного поля в вакууме и в однородной
плазме. При выводе этих соотношений использовалось предпо-
ложение об однородности среды и уравнения для всех характе-
ристик поля, а не приведенные уравнения типа системы (31)
лишь для электромагнитных величин. Кроме того, полученные
ранее результаты представлялись в виде, пригодном при произ-
вольной зависимости поля от времени, а соотношения, отвечаю-
щие гармонической зависимости от времени, хотя и могут быть
получены без труда, не приводились. Мы получим теперь раз-
личные соотношения взаимности для монохроматических элек-
тромагнитных полей в пространственно неоднородных анизо-
тропных средах непосредственно из приведенной системы (31) и
сравним эти результаты с найденными в § 1.

Рассмотрим два электромагнитных поля Е, Н и Ё, Н, опре-
деленных в объеме ^ограниченном поверхностьюS, и возбуждае-
мых сторонними токами J, М и X, М. Пусть в первом случае
свойства среды описываются зависящими от пространственных
координат тензорами диэлектрической в (г) и магнитной ц(г)
проницаемостей, а во втором — тензорами е(г) и ц(г). Пусть
оба электромагнитных процесса' имеют общую частоту со. Тогда
каждое из полей удовлетворяет уравнениям Максвелла ’)

VXE —icon- И -М, VX Н = — ico8 • Е + J, (41а)

VXE = /coi*-Н-М, VX Н = — мое • Ё + J. (416)

9 Величины, отмеченные знаком ~ связаны с сопряженными полями,
введенными в § 1, если положить J = — J+ и М = — М+.
Вычислив выражения V • (Е X Н) =(Н • V X Е — Е • V X Н) и
V • (Е X Н), образовав их разность и выполнив интегрирование
по т на основании теоремы Гаусса — Остроградского, получим
ф[пХЕ-Н-пХЁ-H]dS —

- /со $ [Н • ц • Н - Н • ц • Н - Е • е • Ё + Ё • 8 • Е] =

= J [Н • М + Ё • J - Н • М - Е • J] dr. (42)
т

Соотношение взаимности состоит в равенстве нулю правой части
(42). Так как Н • ц • Н = Н • ц • Н и т. п., объемный интеграл в
левой части равенства (42) равен нулю, если параметры среды
для обеих задач описываются транспонированными тензорами,
т. е.

е(г) = е(г), ц(г) = ц(г).	(43а)

Пусть граничное условие в первой задаче задается общим импе-
дансным соотношением (40) на поверхности 3, а для второй за-
дачи— аналогичным равенством vXE=Z H. Тогда условие

Я (г) = 2? (г)	(436)

обеспечивает обращение в нуль интеграла по поверхности ’) в
формуле (42). Таким образом, при выполнении соотношений
(43) поля Е, Н и Е, Н связаны равенством

J [Н • М + Ё • J - Н • М - Е • J]dr = 0.	(44)

т

Поясним соотношение взаимности (44) на примерах, в кото-
рых условия возбуждения будут выбраны специальным обра-
зом. Положим М = М = 0, J — J°d (г — г'), 3 = J°6 (г — Р), где
J0 и 3° — постоянные векторы равной величины, тогда

ГЁ(г') = 3°-Е(?').	(45а)

*) Если часть поверхности S удалена на бесконечность, то обращение по-
верхностного интеграла в нуль обеспечивается условием излучения. Если по-
верхность S идеально проводящая и имеет геометрические особенности, на-
пример ребра или острые вершины, то следует окружить эти особенности
замкнутой поверхностью S' и потребовать выполнения условий на ребре; при
этом вклад в поверхностный интеграл от S' при уменьшении т' до нуля дол-
жен стремиться к нулю.
Согласно этому соотношению, в области с параметрами 8, ц, Z
составляющая электрического поля в точке г' в направлении J0,
возбуждаемого электрическим током J0 в точке г', совпадает с
составляющей электрического поля в точке г' в направлении J0,
возбуждаемого электрическим током J0 в точке г' в области с
той же геометрией и параметрами 8, ц, Z. Аналогичным обра-
зом в случае J =** J =* О, М = М°д (г — г'), М = М°6 (г — г7), где
М° и М° — постоянные векторы равной величины, имеем

М° • Н (г') = М° Н (?),	(456)

а в случае J = M==0, J = J°6(r—г'), М = М°6(г—г') получаем
М°-Н(г') = -J°-E(?).	(45в)

Хотя приведенные соотношения, вообще говоря, связывают
поля «транспонированных» задач, они применимы и к полям в
одной и той же среде, если только ^анизотропия симметрична
[т. е. е(г) = е(г), ц (г) = ц (г), Z(r) = Z(r)]. В случае изотропных
областей последнее утверждение, разумеется, справедливо. Уп-
рощение имеет место также для сред без потерь, когда 8 = е‘ =
=эе+, р, = р+, Z = — Я+[равенства (10)]. Если исходя из уравне-
ний, комплексно сопряженных системе (416), где виц заме-
нены на в и ц, провести описанный выше вывод с учетом соот-
ношений для параметров среды без потерь, то придем к равен-
ствам

jo*. Е(?) = - J0 • Е*(г'), М°* • Н (?) = - М° • Н*(г'),
3°* • Е (?) = -	Н* (г'),	<45Г)

где все поля и источники рассматриваются в одной и той же об-
ласти. Заметим, что равенства (45г) обобщают соотношения
взаимности, найденные в § 1, п. «б», для полей с произвольной
зависимостью от времени в вакууме.

По аналогии с формулами (19) из § 1 можно определить
функции Грина для монохроматического электромагнитного по-
ля, возбуждаемого произвольными распределениями токов, ме-
няющимися во времени по гармоническому закону:

Е(г)=-^п(г, г')-J(r')dr'-^12(r, r')-M(r')d< (46а)

н (г) = - J V21 (г, г') • J (г') d%' - J Ч/22 (г, г') • М (г') dr', (466)

где (г, г'), ^22(г> ?) и efI2(r, г') или 'V2i(r> г') — тензорные
функции Грина электрического, магнитного и «смешанного» ти-
па. Интерпретация различных функций Грина проводится
так же, как в выражении (19) из § 1, с очевидными измене-
ниями, обусловленными монохроматичностью поля. В случае
М = 0, J (г) = J°6 (г — г') функция Грина (г, г'), как сле-
дует из системы (31), удовлетворяет векторному дифферен-
циальному уравнению

V X [ц-1 (г) • V X Уц (г, г')] - ю2е (г) •	(г, г') - - ZcolS (г - г'),

(47а)
где (л-1 — обратный тензорный оператор, определенный так, что-
бы выполнялись соотношения ц.-1 • ц = ц • ц-1 = 1, а постоянный
вектор J0 опущен. Аналогично

V X [в-1 (г) • V X ^22 (г, г')] - ф2И (г) •	(г, г') = - /(01S (г - г').

(476)
Уравнения (47) являются обобщением уравнений (21) из § 1 для
монохроматических процессов (d/dt == —ico) на случай неодно-
родных и анизотропных сред.

Как и в § 1, п. «б», соотношения взаимности (45) можно пе-
реписать в более компактной форме, пользуясь введенными тен-
зорными функциями Грина. Если ввести 'Уц согласно (46а) и
аналогично определить функцию if и, то соотношение (45а) при-
нимает вид

J0 •	(г', г') • J° = J0 •	(?, г') • J° = J0 •	(?, г') • 3°,	(48)

откуда следует

^11(r',?) = V11(P, г').	(49а)

Точно так же из соотношений (456) и (45в) находим

^22 (Л r') = ^22(r', г'),	(496)

— 1f21(r', r')==V12(r', г').	(49в)

На основании уравнений Максвелла и соотношений (49)
полное электромагнитное поле в области, где нет источников,
можно выразить только через одну (причем любую) тензорную
функцию Грина. Пусть известна, например, функция (г, г').
Тогда из уравнений Максвелла находим функцию V21(r, г'),
выраженную через VX^n(r, г'). Далее, пользуясь соотноше-
нием (49в), мы определяем if12(r, г'), а затем из уравнений
Максвелла находим функцию	г'), выраженную через

VX^i2(r, г').

В средах с симметричной анизотропией (негиротропных),
когда е = е, ц = ц, Z = Z, или в изотропных средах функции
Грина в левой части равенств (49) следует заменить функциями
К(1 (г', г'), ^22 ОЛ И, ^21 (г/» г>). и, таким образом, соотноше-
ния взаимности в этом случае применимы для одной и той же
области. Получающиеся соотношения имеют при этом такой же
вид, как в формулах (29) или (58) из § 1, и отличаются лишь
временной зависимостью. То же самое относится и к гиро-
тропным средам без потерь, где 8 = е+, ц = ц+ и Я= —
и функции Грина в левых частях равенств (49) следует заме-
нить функциями —	(г', Г'), — ^22 ОЛ F') И afgl О"'» ?')•

Функции Грина для собственных волн, представляющие на-
пряжения и токи в линии передачи, возбуждаемые точечными
генераторами тока или напряжения единичной амплитуды, так-
же удовлетворяют условиям взаимности, полученным выше. Это
будет показано в гл. 2, § 3, п. «в» [формула (15)].

в. Альтернативные представления

В структурах с трансляционной симметрией относительно оси
z развитый в § 4 волноводный подход естественно приводит к
разложению поля по собственным функциям поперечных сече-
ний, нормальных оси г. Если поперечное сечение структуры до-
пускает простое описание в системе координат (и, о), в которой
переменные разделяются, то можно выразить решение через соб-
ственные функции либо в координатах (и, г), либо в координа-
тах (о,г). Поскольку разложения таких двух типов обладают
разной степенью сходимости, они пригодны для вычисления поля
при разных значениях параметров. Теория, на которой основаны
такие альтернативные представления поля, излагается в гл. 3,
§ 3, а приложение их к задачам об электромагнитных и звуко-
вых полях можно найти в гл. 5. Здесь мы ограничимся лишь не-
которыми замечаниями по поводу таких представлений, связан-
ными с содержанием настоящей главы.

Полученные в § 4 представления для поля в однородной без-
граничной среде [см. также § 1, формулу (49)] нетрудно преоб-
разовать так, чтобы они были применимы в случае, когда об-
ласть неоднородна вдоль оси z или ограничена в направлениях,
поперечных оси z. При сведении краевых задач для векторного
поля к эквивалентным скалярным задачам в такой области
обычно требуется приписывать особую роль оси симметрии z, но
при рассмотрении вспомогательных скалярных задач это необя-
зательно. Иллюстрацией могут служить выражения для элек-
тромагнитного поля (386) и (49в) из § 1, где скалярные потен-
циалы SP' и Я?", удовлетворяющие дифференциальным уравне-
ниям и определенным граничным условиям, могут быть предста-
влены в виде любого удобного разложения. То же самое отно-
сится, очевидно, и к звуковому полю, которое можно выразить
через скалярную функцию Грина, удовлетворяющую уравнению
(136) из § 1 с соответствующими граничными условиями.

Мы уже приводили ряд альтернативных представлений для
поля в § 2—4, когда речь шла о разложении функции Грина по
плоским волнам, по осцилляторам или временным волноводным
волнам и по пространственным волноводным волнам. При этом
отмечалось, что осцилляторные представления (26) из § 3
строятся из собственных функций в r-пространстве; к этим пред-
ставлениям можно прийти, если взять интеграл по о в разложе-
нии по плоским волнам [§ 2, формула (3)] с применением теоре-
мы о вычетах, деформировав контур интегрирования на ком-
плексной плоскости со так, чтобы он охватывал особые точки
функции Грина G(k, со). В разложениях по пространственным
волноводным волнам [§ 4, формула (3)] используются собствен-
ные функции (р, ^-пространства; эти разложения можно полу-
чить из той же формулы (3), если взять в ней интеграл по kz по
теореме о вычетах, деформировав контур интегрирования на
комплексной плоскости kz так, чтобы он охватывал особые точки
G(k, ®). Из сказанного ясно, что наибольшей общностью обла-
дает разложение поля по плоским волнам (хотя оно и не самое
удобное для вычислений), так как из него можно вывести любое
из разложений по волноводным волнам. Чтобы перейти от од-
ного волноводного представления к другому, сначала представ-
ляют поле в виде четырехкратного интеграла Фурье функции
Грина G(k, со), а затем исключают одну из переменных интегри-
рования, как говорилось выше. Но можно получить волновод-
ные представления для поля, не проводя дополнительного инте-
грирования, а основываясь на «характеристических» функциях
Грина.

Проиллюстрируем все эти методы на примере одномерной за-
дачи для скалярного потенциала, описывающего изотропное
плазменное поле; он должен удовлетворять уравнению (606) из
§ 1

+	г'> П = -6(2!-г')б(/-П (50)

и условию причинности g = 0 при t < t'. Разложение в инте-
грал по плоским волнам имеет при этом вид [§ 2, формула (31)]

ОО

g(г, г'; /, 1')=-^- И G(k, ®)eikь-л-*«-*') dk d<&, (51)
J J

—oo
где

G (&, co) = -”2 / 2	.2 x / 2 •	(51a)

Zr — (ш — о*
Чтобы не нарушалось условие причинности, контур интегриро-
вания на комплексной плоскости <в должен огибать действитель-
ные полюсы со = ± ®1 = (fe2u2 + ©2)’Л сверху, т. е. при Im <в >
> 0. В комплексной плоскости k полюсы расположены при
k ™ ± kt = ± (<о2 — <o2)'/2/u, Im fej > 0, т. е. по разные стороны
от пути интегрирования Im k = 0. Замыкая контур интегрирова-
ния по а» в нижней полуплоскости, где величина ехр [— «о (t — t')]
убывает при t > и вычисляя интеграл методом вычетов, све-
дем выражение (51) к интегралу1)

\	ф, (fe)=A/fe2«2 + ®2. (52)

— оо

Можно, наоборот, вычислить интеграл по k\ замыкая контур ин-
тегрирования в верхней полуплоскости при (z — z') > 0 и в
нижней при (z — z') < 0, находим

1	?	iftjz-z'l

— оо

А / G)2 — (0 „

и Р - (53)

Интегральные представления (52) и (53) можно получить и
непосредственно, воспользовавшись разложениями по времен-
ным или пространственным волноводным волнам, найденным в
§ 3 и 4. Одномерная форма разложения по нормированным соб-
ственным функциям <Dfe(z) в z-пространстве [§ 3, формула (2)]
имеет вид

г	.	е,кг

d(z-z') =	Фк(2)Фк(г') dk, Фк(г) = Л=^,	(54)

— оо	*

оо

g(z, z'; t, t') = J gt(t, t'; htk№k(z)®k(z')dk, (55)

где обозначения и нормирорка такие же, как в гл. 3, § 3, где
проводится более общий анализ. Подставив это интегральное
представление в уравнение (50), находим, что функция gt долж-
на удовлетворять уравнению

(-5- + St	Ьь) = «2б (' “	Ktk = № (56)

и, следовательно, может быть отождествлена с одномерной функ-
цией Грина во временном пространстве. Решение уравнения

') Этот интеграл был взят {11):

g = 4/o	V«2 ~ ~	“ z')2 ) У 1« (< “ И - | г - г | ].
(56), удовлетворяющее условию gt = 0 при t < t'9 имеет вид

St (f, t'i btk) = u2 ——т==———,	(57)

и, стало быть, представление (55) приводит к старому резуль-
тату (52). Функция gt является аналогом функции Грина Ga,
определенной уравнением (16) из § 3; в данном случае разница
между ними обусловлена тем, что поле описывается уравнением
второго порядка (50).

Чтобы найти разложение по волноводным волнам, восполь-
зуемся одномерным аналогом представлений (2) и (3) из § 4:

6 (t - /') = J Фо> (0 Ф® (/') do, Ф® (0 = ^=г,	(58)

— ОО	*

ОО

g(z, z'; t, t')= j gz(z, z'; %«®)Ф®(/)Ф®(/')^®-	(59)

Подставляя данное выражение для функции Грина в уравнение
(50), приходим к уравнению для gz:

+ М gz (z, z'; Лгш) - - d (г - z'),	= k\ (<о). (60)

Решение этого уравнения для одномерной функции Грина в z-
пространстве g2, удовлетворяющее условию излучения при
|z — z'| —> оо и условию Im дАг® > 0, имеет вид

§z z'-, лгю) -	,	(61)

откуда и явствует эквивалентность интегралов (53) и (59). Мы
показали, что представление в виде интеграла по плоским вол-
нам (51) может быть сведено к разложению либо по времен-
ным волноводным волнам, либо по пространственным; следова-
тельно, одно разложение волноводного типа может быть выве-
дено из другого путем реконструкции [формулы (51)]. Сравне-
ние выражений (51), (55) и (59) показывает, что эта рекон-
струкция состоит в представлении функции gt (57) одномерным
интегралом по собственным функциям /-пространства, а функ-
ции gz (61) по собственным функциям z-пространства:

(62а)

—сю

„ (- Л X F ф6(г)Фл(И ..	(МЛ.

ёг	“ j £2______(626)

5 Зак, 639
Форма этих выражений говорит о наличии глубокой связи ме-
жду функциями Грина и спектральными разложениями. К дан-
ному вопросу мы вернемся в гл. 3, § 3.

Отметим, что представления (55) и (59) можно вывести одно
из другого и не пользуясь промежуточным соотношением (51).
Определяемое формулами (59) и (61) разложение по простран-
ственным волноводным волнам имеет на комплексной плоскости
ю точки ветвления при со = ±шр. Если провести линии разре-
зов на двухлистной поверхности Римана так, как показано на
фиг. 9, то во всех точках верхнего листа будет выполняться ус-
ловие ImVx2e>>0 (о римановой поверхности см. гл. 5, § 3,

Rei/~ <0

Relf > v
С

с2 -шр

Re\f >0

со,, _ Ct

Ref" <0

Фиг. 9. Контур интегрирования на комплексной плоскости <в и распределение
функции Re ^<о2 — о2 на верхнем листе римановой поверхности, для ко-
торого Im д/<в2 — ®2 > 0.

п. «б»). При t> f подынтегральное выражение экспоненциаль-
но убывает на бесконечности в нижней полуплоскости комплекс-
ной переменной ®, и поэтому, деформировав контур интегрирова-
ния С, можно заменить его контурами Ci и Сг, огибающими ли-
нии разрезов. Произведя замену переменной со->—ю, можно
объединить интегралы по контурам Сг и Ci; наконец, еще одна
замена переменной	с учетом распределения знаков

Re показанного на фиг. 9, приводит к выражению (55).

Все сказанное будет обобщено и сформулировано более ком-
пактно в гл. 3, § 3, где будут введены «характеристические»
функции Грина.

§ 6. ЛУЧЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
ПРЕДСТАВЛЕНИИ

Точные альтернативные выражения для пространственной и
временной функции Грина, полученные в § 2—4, в общем случае
приводят к интегралам, не выражающимся через известные
функции при произвольном расположении точки наблюдения в
пространстве и во времени. Но их можно вычислять прибли-
женно, ограничивая соответствующим образом область точек
наблюдения. В данном параграфе мы рассмотрим поведение по-
ля на «больших» расстояниях от источника, для которых инте-
гральные представления поддаются асимптотической оценке
методом седловой точки, подробно излагаемым в гл. 4. Там бу-
дет показано, что главный вклад в интеграл дают в этом случае
окрестности изолированных критических точек — стационарных
(седловых) точек, полюсов и крайних точек, — расположенных
в области интегрирования. Благодаря этому нет необходимости
в точном вычислении интеграла во всей области интегрирова-
ния. Вклад каждой критической точки соответствует волновому
процессу с определенными физическими характеристиками, рас-
сматриваемыми подробно в п. «а»—«в» данного параграфа.

Вклады седловых точек, как будет показано, соответствуют
волновым пакетам (узким пучкам плоских волн с величинами
кию, изменяющимися в конечном интервале), движущимся
вдоль определенных траекторий в пространстве-времени, кото-
рые называются лучами. В однородной среде лучи прямолиней-
ны, а' еСЛй свойства среды меняются от точки к точке в про-
странстве, то лучи искривляются. Энергия волнового пакета со-
храняется вдоль его пространственно-временной траектории.
В однородной среде в пучке плоских волн остаются постоянными
во времени и волновой вектор к, и частота со (к), а при наличии
пространственных неоднородностей постоянна лишь частота со.
Такие выводы можно сделать исходя либо из осцилляторного
(п. «а»), либо из волноводного (п. «б») представления. Анализ
того и другого вскрывает специфические закономерности рас-
пространения, соответствующие каждому из асимптотических
решений.

Хотя математическое определение седловой точки выглядит
очень просто, найти положение седловых точек аналитическими
методами, вообще говоря, весьма трудно, если среда обладает
не совсем элементарными дисперсионными свойствами. Это лег-
че сделать графически, исследуя дисперсионные поверхности
(к, ю), представляющие дисперсионные зависимости для пло-
ских волн; седловые точки могут быть найдены на них путем
простого геометрического построения. Такое построение позво-
ляет найти пространственно-временные лучи, определяющие по-
ложения волнового пакета в пространстве и времени. Построе-
ние производится в четырехмерном пространстве (к, ®), если дис-
персионные поверхности не обладают никакой симметрией, но
сводится к трем измерениям в случае гиротропной среды (на-
пример, магнитоплазмы) и к двум в случае изотропной среды.
Применение дисперсионных поверхностей облегчает также по-
строение пространственно-временных лучей в неоднородной среде
и выявляет тесную связь между процессами распространения и
излучения негармонических и гармонических волн. Обычные
лучи геометрической оптики оказываются частным случаем про-
странственно-временных лучей.

Анализ поведения поля на дальних расстояниях, основанный
на представлении о волновых пакетах, допустим в том случае,
когда разные волновые пакеты (если их несколько) полностью
сформированы и хорошо разделены по волновому числу и по
частоте. Однако имеются определенные области в пространстве-
времени, называемые переходными областями, в которых от-
дельные волновые пакеты либо еще не полностью сформиро-
ваны, либо сильно взаимодействуют с соседними пакетами. В ин-
тегральных представлениях поля переходные области соответ-
ствуют совпадению критических точек разного вида в подынте-
гральном выражении. В этом случае простой метод интегриро-
вания, пригодный при наличии лишь изолированных критиче-
ских точек, уже неприменим. Необходимая модификация метода
указывается в п. «в».

а. Осцилляторное интегральное представление

Однородные среды

Осцилляторное представление зависящих от времени функ-
ций Грина для неограниченной стационарной однородной изо-
тропной или анизотропной среды приводит к интегралам пло-
ских волн вида

Z(r, /)= J A(k)^<r’f»k)dk, ф(г,/; к) = к • г - со(к)/,	(1)

где dk = dkxdkydkZi а интегрирование производится по беско-
нечному объему в к-пространстве. В общем случае полное реше-
ние может содержать несколько интегралов типа (1), соответ-
ствующих различным типам волн с разными зависимостями
®а(к) иЯя(к) (§3).

Поскольку интеграл (1), вообще говоря, может не быть эле-
ментарной функцией, его приходится вычислять приближенно.
Одним из наиболее эффективных способов вычисления интегра-
лов, в которых подынтегральное выражение содержит большой
параметр, является метод седловых точек. Об этом методе и о
его связи с методом стационарной фазы подробно говорится в
гл. 4; он применим, когда расстояние г от точки источника г =
= 0 до точки наблюдения г достаточно велико. При этом усло-
вии основной вклад в интеграл дают окрестности седловых (ста-
ционарных) точек ks, определенных неявно соотношением Vfei|>=
= 0, где

Vk = Хо (д/<5/гх) 4- у0 (d/dky) + z0 (d!dkz), *
т. е. соотношением

У8 (к) Ж Vft© (к) = у- при ks = ks (г, /).	(2)

Вблизи значения ks медленно меняющуюся амплитудную функ-
цию Л (к) можно приближенно заменить значением Л(к3); для
фазы же нужно использовать разложение в ряд вплоть до чле-
нов второй степени по к — ks (линейные члены отсутствуют в
седловой точке согласно ее определению):

♦ (Г, t\ к) = ф (г, /; к,) +1 [(к - ks) • VftJ2 ф (г, /; к.) + ... = (За)

• = ф (г, /; к,) -1/ [(к - к,) • VaJ2<o (к,) + ..(36)

где оператор считается действующим только на ф или ©.
Получающийся интеграл вычисляется по формуле [гл. 4, § 7,
формула (5)]

Г ( t	» 1	»/ e~l W4) ’

$ exp { - 4[(к - к,) • VAJ2©J dk = (2л)А,	(4)

где Q = | I 1 -• абсолютное значение детерминанта ма-
трицы Q, равной

	д2(0	д2®	д2<о	
	dkx	dku л у	dkx 0kx	
	д2(&	д2(о	д2(й	
	dk„ Мх  у л		dky dkx	= |V*Vft®(ke)|.
	д2(д	д2в)	fl3(0	
	dkxdkx	dkx д^у	"^1	k-ks
	3			

(4а)

Здесь <r=£signfy, Я/— величины, обратные элементам ма-
трицы в диагональной форме (т. е. собственным значениям),
a sign/?/ = ±l при Rj 0. Таким образом, основной вклад

в интеграл (1) при больших г [а значит, согласно (2), и при
больших /] и при действительном ф(г, t; ks) (среда без погло-
щения) имеет вид

I (г, 0 ~ A (ks) е» (г’кв)-^г е~{

(б)

Величина ks определяется неявно уравнением (2). Если это ура-
внение имеет несколько решений kS2, то единственный член,
имеющийся в формуле (5), должен быть заменен суммой по L
Поскольку I (г, 0—действительная величина, каждому реше-
ную для седловой точки ks, со (k^) соответствует другое решение
—к4, ® (—ks) = —со (kg). В сумму по i входят такие сопряжен-
ные пары, а также слагаемые, соответствующие различным ти-
пам седловых точек. Дополнительный вклад в интеграл могут
давать особые точки подынтегрального выражения (п. «в» и
гл. 4), но мы пока что не будем их учитывать.

Приближенное асимптотическое решение (5) допускает ин-
тересную физическую интерпретацию. Очевидно, что поле в про-
странственно-временной точке (г, t) описывается плоской вол-
ной exp[tks-r — ico(ks)Z], амплитуда которой равна не просто ве-
личине A (ks), как в подынтегральном выражении в формуле (1),
а величине A (ks) с указанным в формуле (5) множителем. Этот
поправочный множитель, появление которого ясно из способа
расчета интеграла, обусловлен интерференцией «пакета», или
«пучка», плоских волн с амплитудой Л (к), волновые векторы
которых лежат в небольшом интервале в к-пространстве
бк = к — ks вблизи седловой точки к8. Средняя фаза ф волн в
этом пакете определяется центральным волновым вектором kg,
а суммарная амплитуда дается формулой (5). Из формулы (2)
следует, что величина ks постоянна, если постоянно г/Z, так что
наблюдатель, движущийся вместе с волновым пакетом с по-
стоянной скоростью vg = r/t, воспринимает фиксированное вол-
новое число и фиксированную частоту <o(ks). Иными словами,
траектория, вдоль которой частота волнового пакета остается
постоянной, определяется в фазовом пространстве (г, к) пара-
метрическими соотношениями

£-0 [^-=о].	(6)

Эти уравнения траектории справедливы в случае однородной
среды, а соответствующие уравнения для случая пространст-
венной неоднородности будут приведены ниже [формулы (17а) и
(19)]. Поскольку энергия поля локализована в волновом па-
кете, величину vg = Vfe© следует отождествить с групповой ско-
ростью, т. е. скоростью переноса энергии. Эта скорость, вообще
говоря, отличается от фазовой скорости

с которой перемещается эквифазная поверхность ф = const в
направлении нормали по. Только в том случае, когда нет дис-
персии, т. е. когда ®(k) = kc, где с — не зависящая от к ско-

рость распространения волны, скорость vg равна скорости vp.
Если наблюдатель находится в точке г и не движется, то волно-
вой вектор ks, соответствующий седловой точке, меняется со вре-
менем согласно формуле (2), так что уравнение (5) описывает
в каждый момент времени t другой волновой пакет.
I

Изменение амплитуды, обусловленное интерференцией волн,
образующих волновой пакет с центральным волновым вектором
ks, можно вывести, основываясь на простых физических сообра-
жениях [12—14]. Примем, что величина I (г, t) в формуле (1)
нормирована так, что полная энергия в любой момент времени t
дается выражением

F(t)= J|/(r, 012^г,	(8а)

где интегрирование производится по всему физическому про-
странству. На основании теоремы Парсеваля [или прямо под-
ставив выражение (1) с учетом соотношения (2а) из § 3] най-
дем, что энергия в момент t = 0 равна

W (0) = (2л)3 J | А (к) |2 dk,	(86)

так что начальная энергия, соответствующая волнам в упомя-
нутом выше диапазоне 6k, равна Д№ = (2л)3|Л (ks) |2Дк, где
Дк — элемент объема, соответствующий диапазону дк. Если по-
глощения нет, то энергия не может изменяться со временем. Та-
ким образом, можно считать, что величина AW остается по-
стоянной и равна энергии волнового пакета, образуемого при
значениях (г, t), соответствующих формуле (5). Пусть в неко-
торый момент времени после своего возникновения волновой па-
кет занимает пространственную область Дг с соответствующей
энергией AW — |/|2Дг. Приравнивая оба выражения для Д№,
получаем	____

|Z| = (2л)3/'| Л(к,)|	(9)

Величина Дк остается постоянной, а Дг меняется во времени, так
как групповые скорости разных плоских волн в пакете несколь-
ко различаются. Переход от г- к k-пространству описывается со-
отношением

* )дк,	(10)

где J — якобиан преобразования, который можно найти из со-
отношения г = vg(k)f [формула (2)]. Поскольку х = vgx(k)t =
= td(a(k)/dkx и т. д., мы имеем |/| = i3Q, где Q — величина,
введенная выше в связи с формулой (4). Тем самым подтвер-
ждается согласие между формулами (5) и (9).

Полученное выше выражение для поля справедливо при тех
значениях (г, t), при которых волновые пакеты полностью сфор-
мированы и хорошо определены. В «переходных областях» про-
странства (г, t), в которых эти условия не выполняются, следует
прибегать к альтернативным решениям (п. «в»).
Дисперсионные поверхности и пространственно-временные лучи

Чтобы рассчитать негармоническое поле на основании соот-
ношения (5), нужно знать седловые значения волновых чисел
k8(r, /), которые неявно определяются условием (2). Но диспер-
сионное уравнение со = со (к) (для плоских волн) обычно столь
сложно, что уравнение (2) невозможно разрешить в явной фор-
ме относительно ks. Поэтому целесообразно применить графиче-
ский метод, основанный (в случае сред без поглощения) на по-
строении действительной дисперсионной поверхности со = со (kx,
ky, kz) или, в неявном виде,

f(kXi ky, kz, <о) = О.	(11)

,В самом общем случае f представляет собой гиперповерх-
ность в четырехмерном пространстве (к, со), но при наличии той
или иной симметрии оказываются возможными существенные
упрощения. В изотропной среде волновые свойства не зависят
от направления распространения, так что со (к) = со(А), где k—
абсолютная величина волнового вектора. Уравнение (11) сво-
дится к уравнению

f(k, со) = 0.	(11а)

Соответствующий график можно построить в двумерной системе
координат (k, со); В случае магнитоактивной среды, например
плазмы, анизотропия которой вызвана постоянным внешним
магнитным полем Но = г0Н0, характеристики плоских волн не
зависят от направления в плоскости, перпендикулярной вектору
Но. При этом уравнение дисперсионной поверхности имеет вид
f(fep,	<о) = 0,	(116)

где kp — составляющая волнового числа, перпендикулярная оси
z, и ее можно построить в трехмерной системе координат (kp,
kz, со).

Графическое определение седловых точек ks(r, t), удовле-
творяющих условию (2), может быть проведено как по диспер-
сионной поверхности /(к, со) = 0 в четырехмерном пространстве
(к, со), так и по ее проекциям со — <»(k) — const в трехмерном
к-пространстве. В первом случае искомые седловые точки соот-
ветствуют тем точкам [ks(г,/), о)(ks)J дисперсионной поверхно-
сти, в которых четырехвектор нормали параллелен простран-
ственно-временному четырехвектору (r/Z, 1), если оси системы
координат kx, kv, kz, со выбраны параллельными осям системы х,
у, г, —t. Во втором случае вектором ks определяются точки
проекций со (k) = const, в которых градиент равен r/t. Первое
утверждение следует из того, что четырехвектор нормали к дис-
персионной поверхности f(k, со) = 0 дается четырехМерным гра-
диентом □/ s= df/da) и перпендикулярен касательному че-
тырехвектору (dk, da) = (dk, Ддсо • dk) *). Взяв скалярное про-
изведение этих двух векторов, получим

df = O = VJ + ^-Vfe(o.	(12)

Таким образом, четырехвектор нормали □/ параллелен четырех-
вектору (Vaco,—1), который, согласно формуле (2) и с учетом
противоположной ориентации осей щи/, должен быть сделан
параллельным четырехвектору (г//, 1). Второе сформулирован-
ное выше утверждение вытекает из того, что вектор градиента
к поверхности со = const — это трехмерный вектор Va®> который,
согласно формуле (2), должен быть положен равным r/t. Век-
тором (r/t, 1) = (vg, 1), т. е. вектором групповой скорости в че-
тырехмерном пространстве, определяется траектория «простран-
ственно-временного луча» г = г((), описывающая простран-
ственное и временное положение движущегося волнового па-
кета.

Геометрический принцип, лежащий в основе графического
метода нахождения седловых точек, сравнительно прост. Но его
применение для произвольной среды, описываемой уравнением
(И), усложняется тем, что приходится иметь дело с нормалями
к четырехмерным поверхностям или с трехмерными поверхно-
стями при нахождении проекций нормали на гиперплоскости
<в = const- Упрощения возможны лишь в случае гиротропных
сред; в этом случае дисперсионная поверхность [формула (116)]
может быть построена в трехмерной системе координат и проек-
ции на плоскости со = const сводятся к кривым в плоскости вол-
новых чисел (kp,kz). Мы проиллюстрируем сказанное на при-
мере распространения электромагнитных волн в холодной элек-
тронной плазме, обладающей одноосной симметрией в бесконеч-
но большом внешнем магнитном поле Но, направленном вдоль
оси z. Дисперсионное уравнение имеет в этом случае вид (гл. 7,
§2)

,	/	Ш2 \ „	(О2 (	<В2 \

f(kp, kg, =	+	=	(13)

где с — скорость света в пустоте. Это уравнение поверхности,
кривые пересечения которой с плоскостями со = const образуют
семейство эллипсов, когда |ю| больше плазменной частоты ар,
и семейство гипербол, когда |®| < юр. Для простоты рассмо-
трим лишь часть поверхности, соответствующую |со| > юр
(фиг. 10). Из соображений размерности удобно откладывать по

') Если (к, со) и (к + dk, со + dco) находятся на дисперсионной поверх-
ности, то вектор (dk, dco) касателен к этой поверхности.
Фиг. 10. Графические методы нахождения седловых точек анизотропной
дисперсионной поверхности.

в—дисперсионная поверхность Df ->	df/d®) ; б—пространственно-временной луч

(Ф<45°), Vg -> (Vg, с), п^=г//; в—кривые волновых чисел в плоскостях со=const;
а—кривые групповой скорости.

осям (кс, со) и (г, cf); при этом нормаль к дисперсионной поверх-
ности определяется соотношением □/ ез (c-'Vhf, df/da). Чтобы
установить положение седловой точки, соответствующей вектору
групповой скорости Vg = (r/t, с) (фиг. 10,6), мы отыскиваем на
дисперсионной поверхности, построенной в описанной выше си-
стеме координат, нормаль Of, параллельную вектору Vg, и на-
ходим ее проекцию cks (фиг. 10,а).
Фиг. 11. Поверхности фазовой и лучевой
скоростей.

Можно также построить семейство кривых волновых чисел
при разных значениях © (фиг. 10, в) и семейство кривых группо-
вой скорости vg (k) = vg (k, 0) = | Vft© | = [(da/dk)2 + (да/k <50)2],/4
(фиг. 10, г); здесь k и 0 — величина и полярный угол вектора к
в цилиндрической системе координат. Положение седловой точ-
ки определяется вектором проекции vg = r/t на фиг. 10, б. На
фиг. 10, в необходимая параллельность векторов и r/t под-
черкнута выделением тех
точек на кривых волновых
чисел, в которых нормали
параллельны г. При этом
получается кривая А, пара-
метрическое уравнение кото-
рой имеет вид k = 6(0). На
этой кривой расположена
седловая точка 6S = 6(0S).
Заметим, что вектор Va© на
кривой со = coi указывает в
сторону кривых со значе-
нием со > Требование
к величине vg = | V^co | = г It
налагается построением,
показанным на фиг. 10, а:
седловой точкой ks является
та точка кривой А на
фиг. 10, в, для которой зна-
чения k и 0 совпадают со
значениями, полученными
на фиг. 10, а.

Из фиг. 10, в видно, что в анизотропной среде волновой век-
тор к и вектор групповой скорости vg в общем случае не парал-
лельны, так что направления распространения фазы и энергии
неодинаковы. Это поясняется на фиг. 11. Напомним, что волно-
вой пакет содержит пучок плоских волн, волновые векторы кото-
рых лежат внутри узкого конуса в k-пространстве; он распро-
страняется в направлении, в котором эти плоские волны скла-
дываются в результате интерференции. Волновые фронты пере-
мещаются по направлению волнового вектора к со скоростью,
даваемой выражением vp = ^/k [формула (7)]. Отложив этот
вектор на графике, получим поверхность фазовой скорости. На
фиг. 11 частично показана одна такая поверхность, соответст-
вующая типичной кривой волновых чисел на фиг. 10, в. По-
скольку вектор vpt дает пространственное смещение волнового
фронта от начального положения в момент t = 0, по поверхно-
сти фазовой скорости можно построить волновые фронты через
0йичный интервал времени [15]. Фазовые фронты для волно-
^j-o пакета, находящегося в момент t = 0 в начале координат
9 афика vpt, переместятся к моменту t — 1 так, как показано
фиг. 11. Их пересечением определяется положение интерфе-
ренционного максимума, т. е. новое положение волнового пакета,
Р^зываемое вектором «лучевой скорости» vr, вдоль которого
У^спространяется энергия. Если поверхность фазовых скоростей
Ре является, как в изотропной среде, сферой, то векторы фазо-
РрЙ и лучевой скоростей направлены под углом а друг к другу и
Ярость распространения волнового фронта вдоль направления
Руча равна vr = vp/cos а. Построив волновые фронты для всех
рчек поверхности фазовых скоростей, мы получим новую по-
верхность, поверхность лучевых скоростей или, короче, «луче-
yjo поверхность», являющуюся огибающей волновых фронтов,
фобы найти направление переноса энергии (т. е. направление
?уча), соответствующее заданному направлению vp, нужно по-
кроить плоскость, перпендикулярную скорости vp и проходя-
щую через конец вектора vp, найти точку касания ее с лучевой
поверхностью и построить вектор, идущий из начала координат
g точку касания, как показано на фиг. 11. Наоборот, направле-
нию луча, определяемому данной точкой на лучевой поверхно-
соответствует волновой вектор, направленный по нормали

5 этой поверхности.

В частном случае изотропной среды два способа построения,
поясненные на фиг. 10, эквивалентны, так как соответствующее
дисперсионное уравнение (На) требует лишь двумерного по-
строения в пространстве (к, со). Поскольку дисперсионная по-
верхность обладает симметрией вращения относительно оси ©,
кривые волновых чисел на фиг. 10, в будут в этом случае окруж-
ностями, так что кривая А вырождается в прямую, идущую
ндоль радиуса. А так как vg(k) =vg(k), семейство кривых на
фиг. 10, г сливается в одну кривую, не зависящую от 0. Рассмо-
трим, например, холодную электронную плазму с дисперсионной
формулой

f (k, <й) — to2 — (fee)2 — to2 = 0.	(14)

Дисперсионная поверхность и график пространственно-времен-
ных лучей показаны на фиг. 12, а и б, а кривая групповой скоро-
сти— на фиг. 12, в. Величина ks определяется так же, как и
раньше. В этом случае тоже можно (и это принято) вместо кри-
вой фиг. 12, в использовать дисперсионную кривую фиг. 12, а.
Непосредственно из условия седловой точки d&ldk = гЦ можно
найти fes, проведя касательную с углом наклона r/t. Диспер-
сионная поверхность позволяет также наглядно представить из-
менение амплитуды, даваемое формулой (5). Как говорилось
выше [после формулы (8)], энергия волнового пакета, соответ-
ствующего определенному отклонению Дк от ks, остается по-
стоянной. В изотропном случае, к которому относится фиг. 12,
для иллюстрации этого свойства волновой пакет можно характе-
ризовать интервалом волновых чисел (фиг. 13, а), определяющим

Фиг. 12. Графический метод определения положения седловой точки в слу-
чае изотропной среды.

а—дисперсионная поверхность; б—пространственно-временной луч; в—график групповой
скорости.

соответствующие граничные лучи 1 и 2. В конфигурационном
пространстве (фиг. 13,6) эти лучи образуют пространственно-
временную трубку лучей. Поскольку эта трубка лучей описы-
вает один и тот же волновой пакет с фиксированным интерва-
лом волновых чисел Д(йс), энергия, сосредоточенная в трубке
лучей, остается постоянной. Постоянство энергии ДИ7 » |7|2Дг
означает, что амплитуда |/(г,/)| в момент t отличается от ам-
плитуды |/(г0, /о) | в момент t0 множителем, равным квадрат-
ному корню из отношения соответствующих поперечных сечений
трубки плоскостями t = const:

\Цг, О1 = 1/(го^о)1д/-^ •

(15)

Это соотношение остается справедливым и в случае дисперсион-
ных поверхностей более общего вида, характеризуемых трехмер-
ными и четырехмерными графиками. Оно эквивалентно соотно-
шению (9), поскольку величина |/(г0, М |2Afo пропорциональна
|Л (ks) |2Дй. Из фиг. 13 видно, что чем сильнее искривлена дис-
персионная поверхность, тем быстрее расходятся лучи при фик-

Фиг. 13. Сохранение энергии в пространственно-временной трубке лучей.
а—дисперсионная поверхность; б—трубка пространственно-временных лучей.

сированном интервале волновых чисел Д(Лс) и, следовательно,
тем быстрее уменьшается амплитуда, что и выражается множи-
телем Q-1/* в формуле (5).

Слабонеоднородные среды

Если свойства среды изменяются в пространстве, то перемен-
ное в пространстве и во времени поле уже нельзя представить
в виде суперпозиции плоских волн в k-пространстве типа (1),
поскольку функция A (k) exp [zk • г — z® (ks) теперь уже не яв-
ляется собственной функцией в области г, I. Правда, правильное
представление можно получить, рассматривая суперпозицию
функций типа A (k, t) exp (zk • г), но в этом случае очень трудно
рассчитать Л (к, t), так как функции exp(ik-r) не образуют орто-
гональной системы в r-пространстве при наличии пространствен-
ных неоднородностей. Если свойства среды изменяются «доста-
точно медленно», то можно приближенно построить выражение
для поля в виде спектра местных плоских волн, амплитуда Л и
частота и которых зависят не только от волнового вектора к, но
и от средней пространственной координаты г, т. е. медленно ме-
няющейся переменной, описывающей изменение свойств среды
от точки к точке. В случае среды, свойства которой меняются
лишь в одном измерении («одномерная» неоднородность), спра-
ведливость такого приближенного интегрального представления
доказывается методами ВКБ (гл. 3, § 5, и гл. 1, § 6, п. «б»), а в
случае, когда свойства среды изменяются в двух и трех напра-
влениях, справедливость метода подтверждается анализом, про-
водимым в § 7, п. «д».

Если исходить из представления поля (1) для однородной
среды, то медленное изменение свойств среды можно учесть, рас-
сматривая сначала интегралы, соответствующие «кусочно-по-
стоянным» характеристикам среды. При этом мы получаем ин-
тегралы типа

/(г, t-, r)= J Л(к, г)еИкт-®(к,7)П(Лс>	(16)

где область изменения точек наблюдения г ограничена объе-
мом т, окружающим точку г = г, причем объем т достаточно мал,
чтобы можно было в дисперсионном уравнении © = о (к, г)«
«со (к, г) считать © не зависящим от г. При фиксированных зна-
чениях г, г и t основной вклад в /(г, г) в формуле (16) дают
те точки k = ks(r, t; г), которые удовлетворяют условию для
седловой точки

^ = Vfe©(k,F).	(17)

Как и в случае однородной среды [формула (5)], соотношение
(17) допускает интересную физическую интерпретацию при зна-
чениях г, при которых волновые пакеты полностью сформиро-
ваны. Наблюдатель, движущийся по траектории г = г(/) в объ-
еме т со скоростью

v„--g- = 7—V,(k,7),

регистрирует волновое число k = ks, зависящее от г. Поскольку
величина г принимает в соседнем объеме ть прилегающем к т,
другое значение гь соответствующие значения ks будут опре-
деляться уравнением (17), в котором величины г, т заменены
величинами т/, точно так же будет обстоять дело и для
других элементов_объема rt. Но поскольку частота ©(к, г)
слабо зависит от г [т. е. ©(к, Г/)«©(к, г), если г находится
в объеме тг], то волновое число к, регистрируемое наблюдате-
лем, движущимся со скоростью drjdt, определяется уравнением

-|-==Vfe©(k, г).	(17а)
Если наблюдатель движется вместе с волновым пакетом по фа-
зово-пространственной траектории к = к [г (/)] = к (/), г = г (/),
вдоль которой частота волнового пакета со (к, г) остается по-
стоянной, то из постоянства частоты следует, что

4-»(k.r) = 0=V»«>-^ + V«,.-§-,	(18)

так что, согласно формуле (17а),

=---v<9 (к, г).	(19)

В случае однородной среды мы имеем <о = со(к) и уравнения
(17а) и (19), очевидно, сводятся к уравнениям (6).

О фазово-пространственных координатах и траекториях, со-
ответствующих постоянной частоте, в случае волнового пакета
в неоднородной среде говорится в § 7, п. «а».

Непостоянство ks вдоль траектории луча усложняет приме-
нение графических методов, аналогичных описанным выше
(фиг. 11). В случае плоскослоистых сред мы имеем Vco =
= zo(d®/dz), где z— координата в направлении изменения
свойств среды. Из уравнения (19) при этом следует, что состав-
ляющая вектора к/, перпендикулярная оси г, остается постоян-
ной. Это позволяет применить графический метод фиг. 18: ис-
тинные значения ks соответствуют лучам, проходящим через за-
данные точки (г,/). Если свойства среды меняются в двух или
трех измерениях, то из уравнения (29) следует постоянство со-
ставляющей к(, перпендикулярной вектору V®, зависящему от г.
Подробно о графических построениях в этом случае см. в § 7,
после формулы (27).

б. Волноводное интегральное представление

Представление поля в виде суммы волн, распространяющих-
ся вдоль прямолинейной пространственной оси z, удобно в слу-
чае слоистых сред, свойства которых непрерывно или скачкооб-
разно изменяются при изменении координаты z. Волноводное
интегральное представление поля имеет вид [§ 4, формула (3)]

7 (г, /)= $ 7 (г, a)e~ia>i day, у > 0,	(20)

где

1 (г, ®) = F (kz, о; ?) etk* ’р dkt.	(21)

—Ор
Величина у в формуле (20) выбирается достаточно большой,
чтобы путь интегрирования в комплексной плоскости со лежал
выше всех особенностей функции /(г, со), как того требует прин-
цип причинности. Поперечное волновое число kz = х0£х + yQky
в формуле (21) пробегает все действительные значения в пло-
скости, перпендикулярной оси 2. Раздельное интегрирование по
кг и по со делает такое представление особенно удобным для ана-
лиза полей, создаваемых гармоническими во времени источни-
ками. Если соо — частота возбуждения, то вследствие линейно-
сти и постоянства свойств среды (во времени) ^частотная зави-
симость величины F имеет вид 9 F(kz, со; 2) — F(kti^z)b((o—
— ©о), так что интегрирование в формуле (20) становится из-
лишним: функция /(г, (Оо) и является функцией отклика для гар-
монического возбуждения.

Поскольку даже в случае однородной среды волноводное
представление дает интересные результаты, которые можно сра-
внить и сопоставить с результатами, полученными в п. «а» на ос-
нове осцилляторного представления, мы рассмотрим сначала
случай однородной среды, а затем перейдем к случаю неодно-
родных сред.

Однородные среды (гармонические поля)

В однородной среде зависимость F от z имеет вид плоской
волны, так что /(г, со) дается выражением

I (г, ®) = J А (к„ ®) е'”’ <г: ki’ “) dkz>
4(г; kt, со) = к, • р 4- x(kf, со)г,

(22)

гДе &zss« = x(k0 со) — продольная постоянная распространения,
которая находится из дисперсионного уравнения для плоской
волны f (к#, kz, со) = 0. При больших значениях г = р + zoz инте-
грал можно заменить приближенным выражением, получаемым
методом седловых точек (гл. 4). Седловые точки k<s определяются
неявно соотношением — 0, где	— z0 (d/dkz) =

— x0 (d/d£x) + y0 (d/dky), или, если опустить зависимость от со,
уравнением

-f- = —	(k<) при k/s = kfs (p, z).

(23)

’) При такой форме зависимости величина у равна нулю. Если у > 0,
то можно взять F (kf, о; z) = F(kf, (о0; з)/(со — соо), замкнуть контур инте-
грирования в нижней полуплоскости комплексной переменной <о при t > Q
И вычислить интеграл по теореме вычетор,
Поступая так же, как и при анализе выражений (3) и (4),
можно найти вклад k<s в интеграл (22):

, ft, OJ.V /ь \ .I 21Грг	(sign R.+sign fe]

I (г, со) ~ A (kfs) е1 ^•р+%	*1	=-----------,	(24)

ZQ‘*

где Q = \R1R21 1 — абсолютное



<?2х
dfe2

д2и

dk„ dk

У х

значение детерминанта матрицы
д2х

dkx dku

Л у

д2и

dk}

(24а)

Jk,

t“^ts

причем R\ и R2 — обратные величины элементов матрицы
приведенной к диагональному виду.

Выражение (24) удобнее представить в инвариантной форме,
более наглядно описывающей распространение волны в однород-
ной среде [13]. С этой целью представим себе, что ось г системы
координат повернута до совпадения с радиус-вектором г, так
что р = 0 и z = г. Уравнением для седловых точек в этой си-
стеме координат [формула (23)] определяются точки k(s на дис-
персионной поверхности волновых чисел x = x(kf), в которых
вектор нормали параллелен оси z (фиг. 14). В таких точках Р
элементы матрицы Q, в диагонализированном виде равны 1/RiR2,
где Ri и Р2 — главные радиусы кривизны поверхности волновых
чисел в точке Р. При повороте системы координат остаются ин-
вариантными: радиус-вектор г, проведенный из начала коорди-
нат в физическом пространстве до точки наблюдения, волновой
вектор ks, проведенный из начала координат в пространстве вол-
новых чисел до точки Р поверхности волновых чисел, в которой
нормаль параллельна вектору г, и главные радиусы кривизны в
точке Р. Таким образом, уравнение (24) можно переписать в
виде

Г	sign ^1+sign Ri I p p- |V«

I (r, ®) - A (k/s) eik* -r ------------------------L^J-

(25)

Если приведенному выше условию удовлетворяет несколько то-
чек Р, то каждая точка дает соответствующий вклад в /(г,®)
вида (25) (см. ниже об условии излучения). Особенности под-
ынтегрального выражения в формуле (22) также могут дать
вклад в асимптотические значения интеграла, но мы пока их не
будем учитывать.

Напомним, что поверхность волновых чисел в к-простран-
стве, соответствующая фиксированной частоте со, — это одна из
дисперсионных поверхностей со = со (к), описывающих простран-
ственно-временные дисперсионные соотношения в четырехмер-
ном пространстве. Вектор нормали к поверхности со = const ра-
вен Vfe(o(k), что, согласно формуле (2), представляет собой груп-
повую скорость vg в направлении переноса энергии, т. е. в на-
правлении луча. Если ввести в гармонический по времени сиг-
нал небольшой разброс по частотам, то можно сохранить поня-
тие групповой скорости в данном контексте. Так, уравнение (23)
можно рассматривать как определяющее траекторию луча

Фиг. 14. Графическое определение положения седловой точки,
а—первоначальные оси координат; б—повернутые оси координат.

p/z = const, вдоль которой движется энергия, непрерывно ис-
пускаемая источником. Поскольку среда однородна, лучи пред-
ставляют собой прямые линии, так что, согласно формуле (23),

если k<s = const и «(k<s) = const, то ks = const. (26)

Графическое расположение седловых точек на фиг. 14 точно та-
кое же, как на фиг. 10, в. В формуле (25) должны учитываться
только те точки к8 на поверхности к, для которых вектор V^co па-
раллелен вектору г и направлен в ту же сторону. Такие точки
удовлетворяют условию излучения, требующему, чтобы энергия
распространялась в радиальном направлении. В случае электро-
магнитных волн в анизотропной диэлектрической среде без про-
странственной дисперсии (например, холодная плазма в магнит-
ном поле) установление допустимых точек облегчается тем, что
в них угол между вектором ks и вектором vg (параллельным век-
тору г) не должен превышать 90° [§ 7, формула (53а)].

Как и в нестационарном случае [формула (5)], гармониче-
ское во времени поле описывается локально плоской волной
exp(iks-r), амплитуда Л(кгв) которой, входящая в формулу
(22), видоизменяется последним множителем в формуле (25).
Этот множитель определяется интерференцией плоских волн с,
волновыми векторами, находящимися в узком конусе Дк в к-
пространстве. Такой конус вблизи вектора ki доказан на
фиг. 15, а. Он охватывает элементарную площадку ДЛ] на поверх-
ности волновых чисел. Соответствующая трубка лучей, проходя-
щих через точки границы площадки ДЛ1 перпендикулярно этой
площадке, имеет «вершину» на расстоянии, пропорциональном
Vl #i#21> гДе и #2 — главные радиусы кривизны волновой
поверхности в точке кь Энергия (постоянная), заключенная в
пучке плоских волн, соответствующем Дк, распространяется в

Фиг. 15. Точечный источник в анизотропной среде.

а—поверхность волновых чисел; б—конфигурация в физическом пространстве.

пространстве внутри лучевой трубки, так что плотность энер-
гии в пространстве меняется, очевидно, обратно пропорциональ-
но сечению лучевой трубки, которое в свою очередь определяет-
ся расходимостью лучей (см. также § 7, п. «б»). Из фиг. 15,а
видно, что при слабом искривлении поверхности в точке ki ко-
нус лучей расходится слабо и плотность энергии в лучевой труб-
ке убывает медленно. Наоборот, при большой кривизне поверх-
ности волновых чисел убывание плотности энергии происходит
быстро. Если обозначить через AQi телесный угол, охватывае-
мый лучевым конусом в точке источника, то из фиг. 15, а и б
видно, что Д£21 = Д41/г2 ~ AA1/R1R2 и, следовательно, сечение
лучевой трубки, соответствующее фиксированному значению
ДД1, меняется как г2/£1£г. Амплитуда поля пропорциональна
квадратному корню из плотности энергии, откуда получается ха-
рактерная зависимость последнего множителя в формуле (25)
[13, 14, 16].

Плоскослоистые среды (гармонические поля)

В среде, свойства которой зависят от координаты z, функцию
F в подынтегральном выражении в формуле (21) в общем слу-
чае нельзя выразить через известные функции. Это возможно
лишь при некоторых специальных законах изменения свойств
среды вдоль z (гл. 5, § 9), но и тогда интеграл (21) обычно не
берется точно. Но если свойства среды медленно изменяются
вдоль оси z, то функцию F почти при всех z можно заменить ее
локальным приближением по методу ВКБ (гл. 5, § 8, п. «г»),
так что выражение (21) принимает вид

I (г, со) = $ A (kit ®; г) ехр [к/ • р + J х(к/, <*>; 0 dt] j dkit (27)
где и локальное значение постоянной распространения и, опре-
деляемое зависящим от z дисперсионным уравнением для пло-
ских волн /(к/, х, о; z) = 0, и локальное значение амплитуды А
медленно меняются в зависимости от г. При больших расстоя-
ниях до точек наблюдения г = р + ZqZ или при малых длинах
волн ’) основной вклад в интеграл (27) вносится окрестностями
седловых точек к/« (гл. 4), определяемых неявно приравнива-
нием нулю производной по к/ (т. е. от функции, стоящей в
экспоненте подынтегрального выражения (зависимость от ® опу-
скается) :

X

Р = — $	(к/, 0 при kf = k/s (р, z).	(28)

Используя описанную выше методику, мы получим вклад от к/8
в интеграл (27) в точке наблюдения (р, z) в виде (24) с заменой
Z

к (k/s) z в экспоненте на и (kts, £) d£.

Для облегчения нахождения положения седловых точек k/s
удобно, как и в случае однородной среды [формулы (23) и (26)],
интерпретировать соотношение (28) как уравнение траектории в
r-пространстве. Особый интерес представляют траектории, для
которых к/8 = const. Они описывают пути распространения ло-
кальных плоских волн, так как в однородном слое на уровне zt
плоская волна описывается волновым вектором k(z/)=k/ +
4-z0x(k/, Z/), а условие непрерывности фазы на границе раздела
(закон преломления) приводит к требованию, чтобы в соседнем
слое касательная составляющая волнового вектора к/ осталась
неизменной, так что k(zy) = к/+ zox(k/, гД. Таким образом, в
дифференциальной форме уравнением (28)

-j7 = —Vft<x(k/, z), к/= const	(29)

i) В случае гармонических полей соответствующим параметром служит
«нормализованное расстояние» r/Х, где X — локальное значение длины волны.
Большая величина параметра r/Х может быть обеспечена как достаточно боль-
шим г, так и достаточно малым X. Последний случай использован в §7,п. «а».
а—профиль показателя преломления; б—кривые волновых чисел	fe0=(O/c);

в—ход лучей в пространстве постоянно).
определяется семейство криволинейных траекторий, вдоль кото-
рых распространяются волновые пакеты, описываемые парамет-
ром кг, а седловой точкой k<s выделяется та траектория, которая
проходит через заданную точку наблюдения (р, г).

Сопоставление уравнений (29) и (23) с фиг. 14 показывает,
что в каждой точке траектория направлена вдоль нормали к
дисперсионной поверхности (поверхности волновых чисел). По-
скольку направление нормали, выбранное в соответствии с усло-

вием излучения, совпадает с направлением потока энергии, кри-

вые, определяемые уравнением
хода лучей (потока энергии).
Ход лучей в неоднородной сре-
де можно получить, повторив
построение фиг. 14, а при кг =
= const для разных кривых
волновых чисел. Такое построе-
ние проведено на фиг. 16 в слу-
чае однородной среды, в кото-
ром направление луча совпа-
дает с направлением волново-
го вектора, так что кривые вол-
новых чисел представляют со-
бой окружности. Среда разде-
лена на тонкие локально одно-
родные слои, толщина кото-
рых выбрана так, чтобы полу-

(29), представляют собой линии

Фиг. 17. Графическое определение
седловой точки в случае изотроп-
ной среды kfS = kon (zr) sin 0O-

чить достаточно хорошее при-

ближение к заданному непрерывному профилю (фиг. 16,а). Со-
ответствующее семейство кривых волновых чисел показано на
фиг. 16, б. Падающему лучу 1 в среде п1 приписывают некоторое
заданное значение kto и, используя условие kt = kto, строят с по-
мощью фиг. 16,6 ход луча в среде. Мы видим (фиг. 16,в), что
луч не проникает в слой «э, так как kg < kto', это соответствует
полному отражению от верхнего слоя. (Подробнее см. в гл. 5,
§8.)

При возбуждении волн точечным источником все лучи про-
ходят через точку источника (р',г'} = (0,г'). Для каждого лу-
ча параметр kt определяется углом 0о отклонения луча от оси
z: kt = k(z')sin 0о = ^on(z')sin 0O, где ko — константа (волновое
число, соответствующее п = 1), a n(z) —коэффициент прелом-
ления. Выбрав луч, проходящий через точку наблюдения (р, г)
(фиг. 17), находят седловую точку к(3.

Плоскослоистые среды (негармонические поля)

При возбуждении поля негармоническим источником инте-
гральное представление содержит помимо интегрирования пр fo,
указанного в формуле (27), еще одно интегрирование по со [фор-
мула (20)]. Соответствующие седловые точки (kts, ®«) находятся
теперь из условий

М = -Й- = 0’	+	(30)

В случае полей, описываемых локально плоскими волнами, пред-
ставляют интерес лишь те седловые точки, которые приводят к
действительным к/, и и со. Требование У^ф = 0 уже было рас-
смотрено выше в связи с описанием случая гармонического поля
[формулы (28) и (29)].

Требование дф/дсо = 0 дает
е дн (к., со; 51
/=i —~при =<г» $	(3 о

или, в	дифференциальной	форме,

dz	1	/олч

при	<32)

Чтобы	выяснить	смысл	одновременных условий (28) и (31)

для седловой точки, рассмотрим однородную среду, в которой к
не зависит от z, так что интеграл по z берется элементарно. Это
фактически та же задача, что и в п. «а», но здесь мы пользуемся
волноводным представлением полей, тогда как в п. «а» исполь-
зовали осцилляторное представление. При этом было показано,
что требования (2), предъявляемые к седловым точкам, могут
быть удовлетворены при геометрическом построении, если найти
на четырехмерной дискретной поверхности в пространстве (к, <в)
точки (ks, со), в которых четырехвектор нормали параллелен че-
тырехвектору (r/t, 1), когда оси kx, kv, kz, со направлены парал-
лельно осям х, у, г, —t. Поскольку геометрическое построение не
зависит от принятой частной формы дисперсионного уравнения
[со = со (к) в п. «а» и х = х(кг, ®) в данном случае], уравнения
(28) и (31) должны давать те же точки дисперсионной поверх-
ности (к, со), что и уравнение (2). Для доказательства этого за-
метим, что для точки (к, и) тангенсы углов наклона к оси z
проекций вектора нормали = д//дх, df/dco) на гипер-
плоскости (р, z) и (— t, z) равны ^ktU(df/dv} и — (df/d(o)/(df/dx).
Уравнения же (28) и (31) в случае однородной среды опреде-
ляют вектор, для которого тангенсы углов наклона равны
— V^x и dx/dco. Учитывая соотношения

+ + (33)
которые получаются из дисперсионного уравнения f [kf, со; х(кг,
(о)] = О, если вычислить df = O, мы видим, что оба вектора
имеют одно и то же направление. Поскольку при заданных зна-
чениях (г, t) седловые точки для обоих представлений находят-
ся по одним и тем же точкам (ks, <os) дисперсионной поверхно-
сти, они описывают одинаковые волновые пакеты. Для нахожде-
ния седловых точек в осцилляторном представлении нужно

Фиг. 18. Построение траекторий пространственно-временных лучей в не-
однородной среде.

а—траектории лучей (постоянное ©$); б—Дисперсионные поверхности.

взять проекции ks, а для волноводного представления, связан-
ного с осью г, — соответствующие проекции kis и о.

Из отмеченного выше и из сказанного в п. «а» следует, что
в однородной среде волновой пакет движется по прямолинейным
лучам в пространстве-времени и что для него остаются постоян-
ными полный волновой вектор k = ks и частота © = ©3. Если
среда неоднородна, то волновой пакет описывается параметрами
(kts, ©s), а величина x(kts, ©s; z) меняется вдоль z, так что по-
стоянна лишь частота, а полный волновой вектор к уже не по-
стоянен [см. также формулу (19)]. Из формул (29) и (32) сле-
дует, что пространственно-временные траектории луча теперь
искривлены. Их проекция на гиперплоскость, перпендикуляр-
ную оси времени, дает криволинейные лучи, описываемые урав-
нением (29), относящимся к гармоническим полям (о — const)
(фиг. 17). Как говорилось выше, это позволяет отождествлять
криволинейные лучи для гармонических полей с путями непре-
рывного переноса энергии в г-пространстве.
Чтобы проследить пространственно-временные траектории
луча в неоднородной среде, можно применить метод построения,
аналогичный показанному на фиг. 16. Строится подходящая по-
следовательность дисперсионных поверхностей для последова-
тельных приращений z вдоль траектории и налагается условие
(kfg, ®s) = const. Рассмотрим для примера волновой пакет, дви-
жущийся в плоскости (г, ct), так что р, а значит, и k<s равны
нулю. Если среда представляет собой изотропную плазму, то
дисперсионное уравнение в каждой точке Zi (фиг. 18, а) дается
уравнением (14), где частоту сор следует заменить частотой
(dpi — <dp(Zi). Участки соответствующих дисперсионных кривых
показаны на фиг. 18, б. Предполагается, что из области 1 падает
волновой пакет с частотой cos, характеризуемый отрезком луча
1. Чтобы перейти в область 2 с несколько отличными свойст-
вами среды, следует учесть условие = const при построении
участка 2 и т. д. (заметим, что время постоянно возрастает
вдоль траектории пространственно-временного луча в соответ-
ствии с принципом причинности). Поскольку в рассматриваемом
примере величина x(z) убывает с ростом z, пространственно-
временной луч поворачивает обратно и волновой пакет отра-
жается: на выбранной частоте &)s энергия не проникает дальше
слоя 3.

Определив из уравнений (29) и (32) седловые точки, можно
в случае негармонических полей найти их значения по асимпто-
тическим представлениям интегралов (27) и (21) подобно тому,
как это делалось для интеграла (1).

Негармонические поля в недиспергирующих средах
(обращение выражений для гармонических полей
в замкнутом виде)

В общем случае интегрирование в формуле (20) не может
быть выполнено явно, так что приходится прибегать к асимпто-
тическим и иным приближенным методам расчета. Исключение
представляет случай недиспергирующих сред, в котором гармо-
ническое решение может быть представлено в виде интеграла
Лапласа

ОО

1 (г, о) — $ e~sxB (г, t) dr, s == — Zco,	(34)

о

где В не зависит от $. Если справедливо соотношение (34), то из
фурье-обращения уравнения (20) с учетом условия /(г, t) =0
при t < 0, выражающего принцип причинности, получим

оо

1 («•» <о) “	$ I (Г, 0 dt,	(35)

о
откуда, сопоставляя (34) и (35), находим

I (г, /) — 2л В (г, i).

К интегралам типа (34) относится, в частности, интеграл [гл. 5,
§ 3, формула (14)] типа

I (L, со) — eikL cos (w) dw,	(37)

~р

где Р—контур, показанный на фиг. 8,6 из т. 2. L и а—поло-
жительные параметры, причем 0 < а < л/2, a f(w) —функция,
не зависящая от k = со/с. Полагая со = is в формуле (37) и счи-
тая величину Re s достаточно большой, получаем

— Zoo

I(L,a) = $ e~s(Ii,c'>c°swf(w-{-a)dw,
Zoo

(38)

если принять, что у функции f(w) нет особенностей в полосе
О < |Rete>| < л/2. При наличии же таких особенностей появ-
ляются дополнительные слагаемые. Поскольку ехр [—s(L/c)-
•cos(te> — а)] стремится к нулю в полосе cos (а»действ— а) > О,
контур интегрирования можно сместить, чтобы получить пред-
ставление интеграла (38), если Res достаточно велико. Перейдя
последовательно к новым переменным р = iw и т = (L/c) ch р,
получим

ОО

I (L, <в) = - i $ в-«	dr,	(39а)

Lie	V т2 — (L/c)2

где

b (т) = f [а — i Arch (-77)] + f [а + i Arch (-77)] .	(396)

Выражение (39a) имеет, очевидно, вид выражения (34), где

.	(	0	при т<Л/с,

B(L, т) = <	, __________ (40)

I — ib (т)/Vt2 — Щс)2 при т > L/c.

Если величина и(о>) = — if(w) действительна при действитель-
ном w, то c(u)*) = v*(w) (в силу принципа отражения Шварца
[17]). При этом

— ib (т) = 2 Re { — if [a — i Arch (-77)] } •

(41)

Заметим, что представление (39а) применимо и в том случае,
когда f(w) зависит от s. Хотя прямое преобразование Лапласа
в явном виде теперь уже невозможно, разложив функцию f(w;
s) в ряд по степеням 1/s или s, можно найти асимптотическое
представление для интервалов времени сразу после прихода
первого отклика или, наоборот, спустя длительное время после
его прихода.

в. Дифракция и переходные явления

Представление поля в дальней зоне в виде совокупности чет-
ко различимых волновых пакетов, приведенное в пп. «а» и «б»,
допустимо почти во всех пространственно-временных точках (г, t),
но непригодно в «переходных областях», где отдельные волно-
вые пакеты либо еще не полностью сформировались, либо силь-
но искажены взаимодействием с другими волновыми пакетами.
Первый случай имеет место вблизи момента появления началь-
ного возмущения или волнового фронта, распространяющегося
с максимальной скоростью с для среды. Поскольку до первого
прихода сигнала поле тождественно равно нулю, на волновом
фронте значения полей или их производных должны претерпе-
вать скачок. Поведение полей в области волнового фронта опре-
деляется преимущественно волнами очень больших частот, для
которых влияние дисперсии пренебрежимо мало. Волновые же
пакеты образуются из упорядоченных цугов диспергирующих
волн лишь на достаточно большом расстоянии от волнового
фронта или, с точки зрения неподвижного наблюдателя, по ис-
течении достаточно большого времени после прихода первого
сигнала. С аналитической точки зрения в переходной области
между волновым фронтом и сформированным волновым паке-
том ks, (Ds -> ОО.

Другой класс переходных явлений имеет место, когда у двух
или нескольких волновых пакетов одинаковые волновые век-
торы, частота и групповая скорость; в таком случае они сильно •
взаимодействуют и их нельзя рассматривать независимо. Такие
переходные области (в пространстве г, t для негармонических
процессов и в r-пространстве для гармонических) характери-
зуются совпадением седловых точек с другими особыми (крити-
ческими) точками в интегральном представлении поля. Мы в
пп. «а» и «б» не рассматривали влияния изолированных полю-
сов или точек ветвления, расположенных вблизи седловых то-
чек, но они тоже могут вносить вклад в асимптотическое пред-
ставление поля, который можно истолковать как отдельные вол-
ны от особенностей. Эти особенности существенны, если они ока-
зываются охваченными контуром интегрирования при асимп-
тотическом вычислении интегралов методом седловых точек
(гл. 4).

Наличие переходных областей можно обычно обнаружить по
расходимости простых выражений для амплитуды в соответ-
ствующих составляющих волнах, получаемых методом седловых
Точек. Например, переходные области в r-пространстве, для ко-
торых	в формуле (25), соответствуют точкам перегиба

дисперсионной кривой и означают слияние двух седловых точек.
Эта расходимость не означает неограниченного нарастания по-
ля, а лишь указывает на неприменимость простой асимптотиче-
ской формулы для данного типа волны. Для описания поля в
дальней зоне, справедливого во всех точках наблюдения, нужно
использовать более сложные равномерные асимптотические при-
ближения, приведенные в гл. 4 для случая интегралов с близко
расположенными критическими точками. Несколько иной под-
ход к характеристике переходных явлений указан ниже в конце
данного пункта.

Упомянутые выше волновые процессы можно разделить на
первичные и дифракционные (вторичные). Под первичными по-
нимаются главные эффекты, вторичные вносят в них лишь по-
правку. Сопоставление данного типа волны с соответствующей
ему критической точкой зависит от принятого интегрального
представления. В одном представлении первичное поле может
быть обусловлено седловой точкой, а в другом оно может вызы-
ваться особенностью иного вида. Первичные и дифракционные
асимптотические типы волн обычно рассматриваются на основе
лучевого представления. Различные типы лучей, механизмы их
возбуждения, их применение при построении решения дифрак-
ционных задач для гармонических полей — все это разбирается
в § 7, п. «г». Поскольку нигде дальше в этой книге мы не будем
заниматься негармоническими полями в диспергирующих сре-
дах, здесь уместно рассмотреть некоторые вопросы, относящие-
ся к начальной стадии образования волновых пакетов и к их
взаимодействию. Сначала остановимся на вопросе о взаимодей-
ствии пакетов, так как он более тесно связан с содержанием
пп. «а» и «б».

Распространение негармонических полей и сигналов
в магнитоплазме (взаимодействие волновых пакетов)

Пусть гармоническое во времени поле представлено асимпто-
тически в дальней зоне, так что величина 7 (г, со) в формуле (20)
известна. Для нахождения негармонического поля 7 (г, t) нужно
вычислить интеграл, который в упрощенной форме имеет вид

со-Ну

I (г, t) =	f (<о) ei4 (<e) do, q (о) — | (о) г — at. (42)

-oo+iy

Здесь f—амплитуда, г — расстояние, a g—модифицированное
волновое число, равное k для изотропной среды и k cos а для не-
изотропной (а — угол между вектором к и направлением луча).
Хотя выражение (42) относится к однородной среде, нетрудно
обобщить его и на случай среды с медленно меняющимися
свойствами, когда f и § слабо зависят от г. Вклад седловых то-
чек и = <BSi для интеграла (42) находится так, как указано в
п. «б», и приводит к выражению [гл. 4, § 2, формула (1) и да-
лее]	__________

1 (*•» о ~ Е Vм ехр {‘ [? (®*г)+

+ -Jsign|"(®s/)]}, (43)

где седловые точки ®Si (г, t) определены неявно соотношением
/(®н) = 0«=(г/0—1/|'((о*<) (штрихом обозначено дифферен-
цирование по со) *). Как указывалось выше, каждое i-e слагае-
мое в формуле (43) описывает волновой пакет с центральной
частотой соя, волновым числом g(cosi) и групповой скоростью
1/£'(со8<). Положение седловой точки <o8i можно найти графиче-
ски, как показано на фиг. 19, а в случае многозначной диспер-
сионной поверхности (например, при распространении необык-
новенной волны в холодной магнитоплазме; см. гл. 8, § 3, пп. «а»
и «б»). В аналогичном построении на фиг. 13 переменной, ха-
рактеризующей седловую точку, служит волновое число k, а не
частота со. Из фиг. 19, б видно, что при фиксированном г для
времен наблюдения в интервале г/с < t <. ta вклад дает един-
ственная седловая точка, а при t> ta существенны три седло-
вые точки (см. также фиг. 19, в). Время ta соответствует мо-
менту прибытия волнового пакета с частотой ааа, движущегося
с максимальной групповой скоростью, которая соответствует
точке перегиба Т на верхней ветви графика на фиг. 19, а.

Из фиг. 19, а и б видно, что волновые пакеты, соответствую--
щие лучам 2 и 3, сильно взаимодействуют при t « ts. Отдельные
волновые пакеты различимы фактически только по истечении
достаточно большого времени с момента прихода ta импульса
энергии с центральной частотой ©88. Наличие переходной обла-
сти вблизи ®88 проявляется в нулевом значении кривизны
£"(<о88) = 0, при котором выражение (43) несправедливо. Пра-
вильное представление поля вблизи ®88 учитывает слияние двух
соседних седловых точек coS2, (Озз и записывается через функции
Эйри (гл. 4, § 2, п. «д»); поэтому переходное поле такого типа

*) Поскольку величина /(г, О должна быть действительной, седловые
точки встречаются парами ±<о«<, причем вклад точки —<о»« комплексно со-
пряжен вкладу точки 4-оы. В формулу (43) включены только слагаемые,
соответствующие точкам [см. замечания после формулы (5)]. Разлагая
5(<в) вблизи o>s, легко показать, что (dg (®)/й®)ш^ = [do (£)МВ]£Л где ©s =
= ® (?s)> а Bs = £ (<о8)> и, таким образом, получить другие выражения для
групповой скорости.
Фиг. 19. Двухзначная дисперсионная кривая, графики групповой скорости и
пространственно-временных лучей.

а—дисперсионная кривая; б—групповая скорость, r/c/s=tg0o. в—пространственно-вре-
менные области, достигаемые лучами различных типов.

йосйт йазваиие волны Эйри [18]. Усиление негармонического по-
ля в области волны Эйри аналогично такому же усилению гар-
монических полей в области каустики (гл. 5, § 8, п. «г»). Оба
эти эффекта соответствуют фокусировке энергии.

Другой интересный переходный эффект связан с особен-
ностью типа полюса амплитудной функции /(со) в формуле (42).
а

Фиг. 20. Первоначальный путь интегрирования С при наличии полюса ж/
формированный путь С', проходящий через седловую точку,
а—полюс не пересекается (/ < б—полюс пересекается (t > /о).

Негармоническое поле
и гармонический сигнал

Фиг. 21. График пространственно-вре-
менных лучей в случае негармониче-
ского (сплошные стрелки) и гармони-
ческого (штриховые стрелки) сигнала
(особенность типа полюса).

Такой полюс имеет место при мгновенном включении источника
гармонических колебаний U (t), где U(f) =0 при / <0 и
U(t) = 1 при t > 0. Фурье-образ такой функции [а значит, и
функции /(©)] имеет простой полюс при а» = <в0, вносящий в ин-
теграл (42) вклад вычета
Ir = — 2ni К® — ©о) f («01а, X

Хе1ч	(44)

Выражение (44) описывает
гармонический сигнал, появ-
ляющийся в точке наблюде-
ния г в момент /о, опреде-
ленный неявно уравнением
(Os (г, /о) = to0. Этот сигнал
существует в том случае,
когда при деформации ис-
ходного контура С (фиг. 20)
в контур С', проходящий че-
рез седловую точку, прихо-
дится пересекать полюс <о0
(контур С' показан для слу-
чая <7z,(tos) < 0, имеющего
место для ветви cosi на
фиг. 19, а; подробнее см. в
гл. 4, § 4, п. «а»). Время
to — это время, необходимое
гармоническому сигналу для

того, чтобы пройти при соответствующей ему групповой скорости
vgo = l/^z (too) расстояние от источника до точки наблюдения г.
Вклад волны (44) остается отличным от нуля также и во все
последующие моменты времени благодаря постоянному прибы-
ванию волновых пакетов с групповой скоростью vgo. На схеме
пространственно-временных лучей (фиг. 21) показаны как гар-
монические сигналы (44), так и негармоническое поле, даваемое
формулой (43). Вблизи момента to выражение (43) становится
неприменимым, так как f (®о) -> оо. В этой переходной области,
для которой полюс и седловая точка близки друг к другу, поле
выражается через интегралы Френеля (гл. 4, § 4, п. «а»). Глав-
ный сигнал (44) можно считать первичным излучением, а не-
установившееся поле (43) —дифракционным эффектом [19].

•едение поля вблизи волнового фронта до образования
ового пакета

Изложенный в пп. «а» и «б» подход неприменим при k3, ®s -*
-» оо. Поскольку дисперсионное уравнение при k, о ->• оо имеет
вид ® = kc, член, учитывающий кривизну дисперсионной по-
верхности dta/dk2 или (Pk/dat2, в знаменателе выражений (5) или
(43) стремится в пределе к нулю. Мы уже отмечали, что среда
не обладает дисперсионными свойствами на частотах, соответ-
ствующих наибольшей скорости распространения с начального
возмущения или волнового фронта. Отсюда вытекает невозмож-
ность образования волнового пакета. Поскольку поле на волно-
вом фронте и вблизи него образуется высокочастотными состав-
ляющими, начало неустановившегося отклика должно опреде-
ляться поведением высокочастотных гармоник и наоборот. При-
мем, что поле /(г, t) вблизи волнового фронта t = г/с описы-
вается соотношением

7(г,	t>^.	(45)

где а не зависит от времени, а 0 > —1. Мы можем подставить
это приближенное выражение в интеграл (35) и заменить ниж-
ний предел величиной r/с (поскольку 7 = 0 при t < r/с) при
со -> оо [при Im ® > 0, формула (20)], так как exp(i©i) при
этом быстро убывает по мере удаления от момента t — r/с и,
следовательно, эффективная область интегрирования находится
вблизи t = r/с. Вводя Г-функцию

оо

Г (х) = $ dv, Re х > 0,	(46)

о

можно записать результат интегрирования в формуле (35) в
виде

7(г,	«Пё+П t	(47)

2л (— 7(0)Р ‘ 1

6 Зак., 639
где k ж (д/с, а частоту со теперь будем считать действительной.
Таким образом, поведение поля во времени вблизи момента t=
= r/с связано с поведением гармоник при со~»оо, как видно из
формул (45) и (47). Если I (г, со) ~ (2л)~1а'ехр(^г), где а' не
зависит от со, то соответствующая функция /(г, /) имеет вид /(г,
t) ~ a'6(t — г/с). Включив в формулу (45) члены разложения
более высокого порядка, можно получить члены более высокого
порядка в асимптотическом разложении (47) и наоборот [20].
Этот вопрос рассматривается в § 7, п. «д».

Даже при учете членов более высокого порядка по со в фор-
муле (47) получающаяся функция /(г, t) не дает перехода к ре-
жиму распространения, характеризующемуся образованием вол-
новых пакетов, поскольку ограничение дисперсионной формулой
k ~ со/r, не учитывающей дисперсию, оказывается слишком
жестким. Можно улучшить приближение, учтя следующий член
высокочастотного приближения:

9
(О 0)1

+ ®->оо> (48)

где иа — в общем случае некоторая характеристическая частота
среды. Формула (48) учитывает появляющуюся дисперсию, уст-
раняет обращение в бесконечность выражений (5) и (43) (при
£ = &) из-за обращения d2co/d&2 и d2k/dto2 в нуль в знаменателе
и потому может служить основой для равномерного приближе-
ния, связывающего волновой фронт с волновым пакетом. Под-
становка (48) в (42) с учетом асимптотического поведения ам-
плитудной функции f ~ В(—(о-»оо, где В = const, дает
с учетом известного интегрального представления для функции
Бесселя [21] выражение

(г,/)~2лВ(т)	Z_,_v(2 л/Ьх\ Ь — -2-, т = /--, (49)

справедливое в небольшом интервале времени наблюдения
вблизи t ~ r/с. При больших расстояниях г параметр b велик.
При очень малых временах, когда &т->0, заменив функцию Бес-
селя (49) первым членом ее разложения по малому аргументу,
получаем

T-(l+v)

(50)

что согласуется с выражением (45), поскольку в нашем случае
/(г,со) ~ В(-— ico)vexp(fftr). Для больших времен наблюдения,
когда 2'x/b%'^> 1 (поскольку b велико, неравенства br 1 и
т <С 1 могут выполняться одновременно), асимптотическое пред-
ставление функций Бесселя [гл. 4, § 2, формула (226)] дает

I~2Вл'1‘ cos(2	+ ^±1 л - j)•	(51)

Легко убедиться, что, заменив в формуле (43) величину £(ю) s
== k(a>) ее значением (48) и добавив к величине I комплексно
сопряженное ей выражение, получим (51). Таким образом, вы-
ражение (49) действительно описывает переход от поля вблизи
волнового фронта к волновому пакету. Равномерное асимптоти-
ческое представление, справедливое при больших значениях т,
приводится в работе [22].

§ 7. ЛУЧЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В § 6 точные интегральные представления гармонических и
негармонических полей в областях, допускающих разделение пе-
ременных, были приближенно заменены асимптотическими вы-
ражениями, полученными методом седловых точек и справед-
ливыми при больших расстояниях до точки наблюдения. Эти
асимптотические представления часто имели инвариантную фор-
му оптических лучей, что указывает на их применимость к бо-
лее широкому кругу задач. В данном параграфе мы покажем,
что приближение лучевой оптики применимо и в случае неодно-
родных конфигураций, не допускающих разделения переменных,
основываясь на асимптотическом представлении, относящемся
непосредственно к дифференциальным уравнениям для поля.

В отличие от прямых асимптотических методов интегральное
представление (разложение по модам) основано на точных ре-
шениях для поля (хотя и для ограниченного числа задач), и по-
этому принимаемым при расчете приближениям можно дать си-
стематическую оценку. Так, например, в § 6, п. «в», показано,
что для расчета поля в переходной области требуется не новое
представление, а лишь уточненная методика асимптотической
оценки. В то время как метод седловых точек выдвигает на пер-
вый план интерференцию волн и образование при этом волновых
пакетов, введение лучей и траекторий несущественно для асим-
птотической оценки поля, оно служит лишь для выяснения фи-
зического механизма распространения. Если же, наоборот, пря-
мо принять с самого начала асимптотическую форму представ-
ления поля, то можно исходя из точных дифференциальных
Уравнений для поля вывести упрощенные уравнения для фазы
и амплитуды в принятом асимптотическом представлении поля.
Этими упрощенными уравнениями определяются траектории лу-
чей и закон сохранения энергии, т. е. наиболее существенные ха-
рактеристики переноса поля. По этой причине мы будем далее
называть прямой метод лучевым. Поскольку в нем рассматри-
ваются явления перекоса энергии, лучевой метод не дает спо-
соба установления начальных значений поля: в окрестности ис-
точника или области рассеяния поле должно быть найдено ка-
ким-либо другим методом (например, разложением по модам).
Так же как и простой метод седловых точек, метод лучей отка-
зывает в переходных областях. Для устранения этого недостат-
ка, обусловленного непригодностью принятого с самого начала
асимптотического представления, требуется существенная моди-
фикация метода. Данный недостаток можно устранить, приме-
нив метод граничного слоя [23], ко мы его ке будем здесь рас-
сматривать. Как указывалось, лучевой метод ке ограничен лишь
конфигурациями, в которых возможно разделение переменных,
и поэтому имеет широкую область применимости. Его примени-
мость подтверждена сопоставлением с асимптотическими выра-
жениями для полей, получаемыми строгими методами разло-
жения по модам в случае задач, допускающих разделение пере-
менных. Можно построить эффективную методику, основанную
на селективном использовании обоих подходов.

Сущность лучевого метода мы уже изложили, детали же за-
висят от вида уравнений для гармонического или негармониче-
ского поля. Естественно, что проще всего случай скалярных по-
лей, поляризация же векторного поля, анизотропия и т. д. вно-
сят дополнительные осложнения. Гармоническое во времени по-
ле легче поддается анализу, чем негармоническое, так как нали-
чие дисперсии в последнем случае усложняет структуру уравне-
ний. Эти различия наиболее резко выражаются при расчете ам-
плитуд полей и поляризации; что касается траекторий лучей и
изменения фазы, то они определяются уравнениями первого по-
рядка в частных производных, имеющими общую структуру во
всех случаях. О таких уравнениях, их формальном решении ме-
тодом характеристик и их лучевой интерпретации говорится в
п. «а». Далее рассматривается вопрос об их применении в за-
дачах о распространении скалярных гармонических волн (п. «б»)
и о гармонических векторных полях в изотропных и неизотроп-
ных средах (п. «в»). Лучевые построения, проведенные в пп. «б»
и «в» для неограниченных сред, обобщаются далее в п. «г» пу-
тем введения отраженных, преломленных и дифрагировавших
лучей с целью учета границ раздела и рассеивающих центров.
В п. «г» излагается также геометрическая теория дифракции,
т. е. лучевая теория синтеза высокочастотных полей в присут-
ствии сложных рассеивающих объектов как совокупности про-
стых составляющих лучевых полей; приведен пример примене-
ния такой методики. В применении к негармоническим полям
лучевой метод приводит прямо от дифференциальных уравнений
для поля к волновым пакетам и их траекториям, которые были
найдены в § 6, пп. «а» и «б» на основе асимптотического пред-
ставления интегралов. Исследование негармонических полей в
изотропной плазме служит иллюстрацией лучевого метода в про-
стейшем случае (п. «д»). Лучевой метод позволяет также выяс-
нить соотношение между высокочастотным гармоническим по-
лем и переходными полями вблизи падающего волнового
фронта.

а. Лучи и теория характеристик

Как отмечалось в § 6, лучевые методы основаны на асимпто-
тическом представлении поля как локальной плоской волны.
В абстрактных обозначениях § 1, п. «г», будем считать, что в
первом приближении (см. полное асимптотическое представле-
ние в п. «д») при больших г, t общее линейное поле, зависящее
от пространственных координат и времени, можно представить
в виде

Т(г, /)~ТО(Г,	(1)

где v — большой параметр асимптотического разложения (не
путать с величиной v на стр. 162). Хотя некоторые из приводи-
мых далее результатов применимы и для средь? с потерями, мы
будем рассматривать только среды без потерь, если не будет
оговорено особо. Вектор поля T(r, t) удовлетворяет уравнениям
поля первого порядка без источников

l(v’4; г’ о=о, (2)

где явная зависимость оператора L от г и t означает формаль-
ную применимость уравнения (2) к средам с неоднородностями,
медленно меняющимися в пространстве и во времени. Подста-
вив выражение (1) в уравнение (2), получим, сохранив лишь
главные члены по v, следующую систему дифференциальных
уравнений в частных производных первого порядка для фазовой
функции ф и аплитудной функции То:

£(м?ф, г, /)то(г, 0 = 0.	(3)

Сохранение г и t в уравнении (3) и ниже предполагает, что это
величины порядка O(v); кроме того, можно некоторые «харак-
терные частоты» среды считать величинами порядка O(v) [эти
вопросы, несущественные для общего анализа, рассмотрены в
п. «д»].

Поскольку в однородной среде уф = к-г — cat, к— (по-
стоянный) волновой вектор, а и — частота, производные 7ф и
dtyldt играют роль локальных волнового числа к и частоты ©,
нормализованных по отношению к v. Из уравнения (3) следует^
что при 4*0 ¥= 0 фаза ф должна удовлетворять условию

det L (г\7ф, iv-^г', г, 0 = 0,	(4а)

которое в переменных кий превращается в локальное (завися-
щее от координат и времени) дисперсионное уравнение [§ 2, фор-
мула (44) и замечание после формулы (41)]

detL(к, Л; г, /) = 0, к = ?ф, й = -^-	(46)

или, в явном виде,

ш = ш(к, г, /),	(4в)

где одним и тем же символом со обозначены частота со и функ-
ция, выражающая ее зависимость от к, г, t. Собственными век-
торами_Тоа(г,/) уравнения (3), соответствующими каждому ре-
шению соа(к, г, /) дисперсионного уравнения (46), определяется
поляризация каждого собственного решения для низшего при-
ближения 4%. Амплитуда Т0(г, /) = £Аа(г, О^оа(г, 0 предста-
а

вляет собой суперпозицию собственных векторов. Для ее опре-
деления нужно использовать уравнение переноса, являющееся
следующим приближением в системе уравнений, которые полу-
чаются при разложении 4е (г, t) в уравнении (1) в ряд по обрат-
ным степеням v [24].

В случае гармонических волн в среде, свойства которой не
меняются во времени (хотя и могут меняться в пространстве),
временную зависимость ехр(—i&t) можно опустить, и тогда пер-
вое приближение для векторного поля (полное асимптотическое
представление см. в пп. «б» и «в») имеет вид

Т(г)~ Т0(г)^Ч	(5)

где волновое число k0 = м/с играет роль большого параметра.
Уравнения поля для гармонических процессов получаются’ из
уравнения (2), если опустить аргумент t и заменить оператор
d/dt величиной —ко. Уравнение низшего приближения (2) при-
мет в этом случае вид

Л(Ч г; £o)^(r)==O,	г; kQ) = М (V) - kQcW (г), (6а)

где использовано разбиение оператора L, выполненное согласно
формуле (8) из § 3. Подставив выражение (5) для Ч**, получим
в первом приближении

L (Уф, г) То (г) = 0, L (Уф, г) = М (Уф) + icW (г).	(66)

Если ввести волновой вектор к = Уф, нормализованный по от-
ношению к k0, то можно записать соответствующее уравнение
для детерминанта в виде

det L (к, г) = 0, к = ?ф.

(6в)

Это уравнение обычно называют уравнением эйконала геомет-
рической оптики. В частном случае изотропной среды его можно
записать в явном виде [см. формулы (18а) и (386) ниже]

k = sn(r), s = -j-,

(6г)

где п — показатель преломления, as — единичный вектор в на-
правлении Уф, перпендикулярном волновому фронту ф = const.
Как и в случае негармонических полей, нахождение собственных
векторов Ч?оа(г) из (66), соответствующих каждому решению
уравнения эйконала, позволяет найти амплитуду и поляризацию
собственных волн, необходимых для синтеза вектора поля То (г),
описываемого выражением (5). Другие характеристики поля
То (г) получаются из уравнения переноса, получаемого разложе-
нием Т(г) по убывающим степеням kQ.

И дисперсионное уравнение (46), и уравнение эйконала (6в)
представляют собой уравнения в частных производных первого
порядка. Методом характеристик их можно свести к системе
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка,
которая может быть формально проинтегрирована вдоль спе-
циальных траекторий — лучей, определенных выше в § 6. Рас-
смотрим уравнение общего вида

дФ дФ	дФ	\ п	/т\

Gk дх> ’ дх2 ’ ' • дхп ’ х'г Хг.Хп) ~0

для функции	хп), где (t = 1, ..., п) — пространст-

венные или временные координаты. Продифференцировав, полу-
чим

п

+<*') <7а)

где через обозначена производная дф1дх^. Это уравнение удо-
влетворяется при условии

dg,	дх,

dQldxt ~ ~ дО1д^1 ' 1 =!»•••»«•	(76)

Если ввести параметр s и определить траектории хг- = хг($),
= в фазовом пространстве то соотношение (76)
можно записать в виде, аналогичном гамильтоновым канониче-
ским уравнениям механики:

dxt	dG d^.	dG

ds	д%. ’ ds	dxt

(8)
На введенных траекториях производная от ф дается выраже-
нием

(9)
ds L~i ox. ds	' '

i-1

так что ф можно найти интегрированием по s (строгий вывод
читатель может найти в учебниках по теории уравнений в част-
ных производных [25, 26]).

Чтобы применить полученные соотношения к дисперсионному
уравнению для негармонических процессов, положим Xi = х,
х2 = у, Хз = z, Х4 = t, ф = ip, G <i> = й> (к, г, t). Из уравнения
(46) и одного из соотношений (8) следует, что dt]ds = —1 и
время t можно использовать как параметр, описывающий траек-
тории лучей r = r(t). Тогда, согласно формуле (8),

-g- = Vfe6(k, г, t), ^=~	(k, r, t),	(10a)

откуда	_	_

d& (k, r, t) _ да (k, r, 0	Л

dt ~ dt

Уравнение (Юб) не является независимым, а вытекает из урав-
нений (Юа) и формулы для полкой производной	=

• dr/d/+Vfc(o • dk/d/+d(o/dt Как и в § 6, величина Учесть группо-
вая скорость vg переноса энергии в среде без потерь. Из уравне-
ния (9), проинтегрировав от пространственно-временной точки
(гь Л) до точки (г, t) вдоль луча, получим

(М)

ф(г, /)—-ф(гь /0= $ (k-dr — ®dt).	(11)

(гЛ)

В случаях гармонических процессов, описываемых уравне-
нием (6в), положив х = г и ф = ф, получаем из уравнения (8)

^ = VfeG, -g-=-VG, G^detL,	(12а)

или, для изотропной среды с О = к — п(г) [формула (6г)],
£ = ' -i(ns) = vn.	(126)

Проинтегрировав вдоль траектории r(s), соответствующей ура-
внению (12а), от точки п до точки г, найдем из (9) фазовую
функцию ф:
г	г

ф (г) — ф (ri) = к • VftG ds = к • dr.	(13)
Уравнения лучей (10а) и (12), а следовательно, и уравне-
ния (И) и (13) упрощаются в некоторых частных случаях. Если
параметры среды не меняются в пространстве, то б = б(к, /),
так что k = const на пространственно-временном луче, опреде-
ленном уравнением (10а). Если параметры среды не меняются
во времени, то б = б(к, г), так что б — const на пространствен-
но-временном луче. В частном случае плоскослоистой среды,
свойства которой меняются вдоль оси г, так что б — <о (k, г), по-
стоянна величина к( составляющей вектора к, перпендикуляр-
ной оси z- Получающееся уравнение луча эквивалентно уравне-
ниям (29) и (32) из § 6. Наконец, если параметры среды не ме-
няются_ни в пространстве, ни во времени, так что б = б(к), то
и б и к постоянны вдоль луча, как видно из формулы (6) § 6.
Эти условия могут быть использованы при построении траекто-
рий лучей, как показано на фиг. 10, 16 и 18.

В оставшейся части параграфа, а также в гл. 5—8 детально
рассматриваются асимптотические представления гармониче-
ских полей и их лучевая интерпретация. Негармонические поля
в диспергирующих средах рассмотрены вкратце в п. «д»; кроме
того, дополнительные данные о них приведены в задачах в конце
главы.

б. Скалярные гармонические поля

Рассмотрим скалярное поле вне области, занимаемой источ-
ником, например акустическое поле (§ 3, п. «б»). Поскольку
векторный характер (продольного) акустического поля тривиа-
лен, так как v находится простым дифференцированием давле-
ния р [§ 3, формула (19)], мы можем рассматривать лишь ска-
лярное давление р, обходясь тем самым без векторного форма-
лизма уравнения (6а). На основании уравнения (19) из § 3
можно показать, что в неоднородной среде, где невозмущенная
плотность Ио, статическое давление р0 и температура (~РоМо)
являются функциями радиус-вектора г, гармонически меняю-
щееся давление р удовлетворяет волновому уравнению
[v' + ^!(r)-(VM?)v’-7J=T)l-i!ar=o,	=	(14)

L	\	у па (г) Л1 у по (г)	’	аа

где га(г) = а0/а(г) —коэффициент преломления (не смешивать
с невозмущенной плотностью «о)> о (И = [уРо(г)М«о(г)]‘/’ — ло-
кальная скорость распространения волны, а ао — скорость, соот-
ветствующая среде с п = 1. Если невозмущенная плотность ме-
няется достаточно медленно, то последним членом в скобках в
формуле (14) можно пренебречь, и мы получим приближенное-
волновое уравнение

[V2 + k20n2 (г)] и (г) = 0,	(15)

где и = р!п'Ь.

Наша цель — построить высокочастотное асимптотическое
решение вида
ОО

“«-«“"’Еда--	«в»

ш=0

Здесь тильда «~» означает «асимптотически равно». В этом
разложении величины ит(у) и гр (г) считаются не зависящими от
волнового числа к0; в отличие от § 6, п. «б», здесь за большой
параметр принято &0, а не расстояние до точки наблюдения. Ес-
ли подставить выражение (16) в уравнение (15) и предполо-
жить, что допустимо почленное дифференцирование, то поло-
жив k = Vip = ns, получим

ОО

{(^о)2 [£2 - п2] + (ik0) [V • к + 2к • V] + V2} £	~ 0. (17)

т=*0

Поскольку разложение справедливо при любых (хотя и доста-
точно больших) значениях fe0, коэффициенты перед каждой сте-
пенью kQ должны по отдельности быть равны кулю. Член, про-
порциональный feo, дает

£2 = п2;	(18а)

член, пропорциональный ko, дает

(V • k + 2k • V)no = O;	(186)

члены, пропорциональные v = 0, 1, 2, .дают1)

(V • к + 2к • V)nm = - V2nm_b пг> 1.	(18в)

Напомним, что вектор к нормирован по отношению к ko. При
выводе уравнений (186) и (18в), называемых уравнениями пере-
носа для амплитудных коэффициентов асимптотического разло-
жения (16), использовано уравнение (18а)—уравнение эйко-
нала геометрической оптики [27]. В силу рекуррентного харак-
тера системы уравнений (18в) все коэффициенты ит при т> 1
могут быть в принципе выражены через коэффициент низшего
порядка п0.

*) В этом формальном разложении уравнение (15) считается точным.
Если уравнение (15) —лишь приближенная производная форма, например по-
лученная из уравнения (14), то члены разложения высшего порядка нужда-
ются в уточнении.
Если поглощение в среде отсутствует, так что п* 2 — положи-
тельная действительная величина, то решение уравнений (18)
проводится в три этапа:

1)	определяются траектории лучей (т. е. кривые в каждой
точке, параллельные среднему значению вектора плотности по-
тока энергии S);

2)	интегрированием вдоль луча рассчитывается фазовая
функция ф;

3)	с учетом сохранения энергии в трубке лучей вычисляется
амплитуда и0 в низшем порядке.

Первый и второй этапы соответствуют приведенным выше
уравнениям (126) и (13), и мы остановимся на этом еще раз
ниже. Что касается третьего этапа, то рассмотрим сначала усред-
ненную по времени плотность потока энергии для скалярного
гармонического поля, даваемую выражением типа

S = £Im(u*Vu),	(19)

где £— действительная постоянная. Решение низшего порядка в
разложении (16) в приближении высоких частот имеет-ло-
кально структуру плоской волны

и ~ UQeik<®.	(20)

«Геометрооптический» член1) в формуле (16) намного больше
всех остальных, если относительное изменение коэффициента
преломления |Vn|/n мало по сравнению с локальным значением
длины волны kQn, т. е. если 2) _

Выражение (20) имеет такойже"вЙд, как и выражение (5). Там,
где «о меняется медленно [исключение — области вблизи фоку-
сов, формула (36)], мы имеем Vu ~ и поэтому

S-^ol«ol2V^ = ^ol^ol2k.	(22)

Для акустического поля и = р/пъ, так что с учетом формулы
(19) из § 3

S = Re(pv*)=-l-|Ho|2k.	(22а)

0 Хотя мы здесь не говорим о распространении света, целесообразно со-
хранить термин «геометрооптический», поскольку определяемое этим членом
поле подчиняется законам, аналогичным законам световой оптики.

2) Точнее, условие «0	(г) выполняется, если вдоль траектории

луча выполняется неравенство [kouo (г) п (г)]”1 V2w0 (г) < 1. в котором uQ (г) —
величина, даваемая выражением (34) (см. задачи в конце главы).
Выражение (22а) совпадает, очевидно, с выражением (22) при
£= Х/ют. Это выражение для S используется ниже при инте-
грировании уравнения переноса (186).

Отметим, что предыдущие (так же как и последующие) рас-
суждения не изменятся, если ряд (16) умножить на величину
(/&о)"А где 0 < р < 1, а поэтому дробные степени kQ также мо-
гут быть включены в рассмотрение.

Траектории лучей

Согласно уравнениям (126) [см. также (22)], «лучевой век-
тор» ns, где s — единичный вектор, определенный соотноше-
ниями (6г), направлен по касательной к лучу. Приведем здесь
для удобства еще раз уравнение луча (126):

v„, где (-£)’=-!.	(23)

В однородной среде, для которой п = const, решение уравнения
(23) имеет вид г = As + В, где А и В — постоянные векторы.
В этом случае лучи представляют собой прямые линии.

В неоднородной среде, в которой величина п непрерывно
меняется, лучи плавно искривлены. Рассмотрим производную
ds/ds, которая дает нам вектор, перпендикулярный криволиней-
ному лучу и численно равный кривизне луча в данной точке:

где t — единичный вектор, a D — радиус кривизны луча в дан-
ной точке. Из формулы (23) следует, что, поскольку т • s = 0, мы
имеем т • Vn = т  d (ns)/ds = nr • ds/ds — n/D > 0. Таким образом,
луч изгибается в сторону увеличения показателя преломления.

В случае плоскослоистой среды с n(r) = n(z) уравнению
луча (23) соответствуют уравнения для х- и //-составляющих

//	dx	л * d	du

-г- п -г- — 0 = п -г-,	(25)

ds ds	ds ds	' '

откуда получаем, что dy/dx = const вдоль луча [т. е. луч лежит
в плоскости, перпендикулярной плоскости (х, //)]. Из равенства
(25) следует, что величина n(z)d$/ds, где р — хох + уоу, по-
стоянна вдоль луча. Введем величину 0(z) = arcsin(dp/ds) —
угол между лучом и осью z. Тогда вдоль луча ’)

п (z) sin 0 (z) = а = const.	(26)

4)	Параметр луча а не следует смешивать со скоростью акустических
волн ао или а (г).
Этим соотношением выражается закон преломления; из него
видно, что всякое бесконечно малое изменение волнового век-
тора происходит в направлении максимальной скорости измене-
ния показателя преломления (т. е. вдоль оси г). Такое же усло-
вие определения хода луча было дано ранее формулой (29) из
§ 6, где лучевая интерпретация условия для седловой точки бы-
ла использована для графического построения на фиг. 16 и 17.
Уравнение траектории луча, представленное в явной форме, сле-
дует из равенства dp/dz = tg 0, откуда, согласно формуле (26),
имеем [см. также § 6, уравнения (28)]

Z

= а ............Г>	<27>

J Vn2(£)-a2

где p(zi) =0 соответствует произвольной начальной точке от-
счета.

При произвольных п(г) второе уравнение (126) означает, что
вдоль траектории изменения волнового вектора происходят в
меняющемся от точки к точке направлении максимальной ско-
рости изменения показателя преломления в каждой точке. Поль-
зуясь этим условием, можно приспособить графическую проце-
дуру, показанную на фиг. 16, к случаю произвольного измене-
ния свойств среды. Среду тоже делят на локально однородные
участки вдоль траектории, причем границы между участками
выбирают на этот раз перпендикулярными направлению гра-
диента показателя преломления в данной точке.

Фазовые функции

Рассчитав, согласно уравнению (23), траектории лучей, мож-
но найти интегрированием фазовую функцию ф по формуле (13)
или с учетом равенств (6г)

Г

ф (г) — ф (ri) = $ п ds.	(28)

Г1

Фазовым интегралом (28) определяется длина оптического пути
вдоль луча. Выражение (28) можно интерпретировать как вре-
мя, за которое фазовый фронт проходит участок от и до г вдоль
луча; учитывая, что локальная скорость распространения волны
есть dsfdt = aQjn, можно написать

Г

ф(г) — ф(г() = Оо [dt,	(29)

Г1

где а0 скорость распространения волны при п = 1. В случае
регулярных областей, в которых через всякую точку проходит
лишь один луч, можно показать, что для точек и и г на луче оп-
тический путь, даваемый выражением (28), или время распро-
странения, определяемое интегралом (29), отсчитываемые вдоль
луча, будут меньше, чем вдоль любой другой кривой, соединяю-
щей эти две точки. Этот результат известен под названием прин-
ципа Ферма, принципа кратчайшего оптического пути или прин-
ципа наименьшего времени [27].

В однородной среде, где п — const и лучи представляют со-
бой прямые линии, мы имеем ф(г) —ф(Г1) = п|г — и|. Таким
образом, изменение фазы вдоль луча на расстоянии L в одно-
родной среде дается множителем exp(i&oM> характерным для
плоской волны. Для неоднородной среды с плоскопараллель-
ными слоями (фиг. 16) соотношение (27) с учетом условия
п sin 0 = а дает

Г

ф (г) — ф (rO = п (sin 0 dp + cos 0 dz) —

г,

= a (p — pj + $ ojn2 (z) — a2 dz. (30)

Z{

Это выражение совпадает с результатом метода седловых точек
[§ 6, формула (24), с поправкой, указанной после формулы
(28)]. Полученное лучевое решение для неоднородной среды тес-
но связано с ВКБ-приближением, как будет показано в гл. 5, §8.

Изменение амплитуды

Чтобы найти амплитудную зависимость «о(г) для поля (20),
удобнее переписать уравнение (186) в несколько ином виде.
Прежде всего умножим это уравнение на комплексно сопряжен-
ную функцию ий (г), что дает

| н0 j2 V • k + 2u*V«0 • к = 0.	(31а)

Учитывая, что к — действительная величина, и складывая ура-
внение (31а) с комплексно сопряженным ему, получаем

|«ol2V-k + V|Ho|2.k = O= V-(|«ol2k).	(316)

Из этого соотношения следует, что V-S = 0[cp. соотношение
(22) с учетом равенства = const; для случая акустических
волн см. формулу (22а)]. По теореме Гаусса — Остроградского
мы получим уравнение закона сохранения энергии, эквивалент-
ное первоначальному уравнению (186):

ф S • v dA = 0,	(32)

А
где А — замкнутая поверхность, a v — единичный вектор нор-
мали к поверхности А. Если взять в качестве А поверхность уз-
кой лучевой трубки, как показано на фиг. 22^ так что S-v = О
на боковых поверхностях трубки и S«v= ±Si,2 на бесконечно
малых торцевых сечениях dAi, 2, то из формулы (32) получим
SidAi == SzdAs, т. е.

(33)

Таким образом, модуль вектора плотности потока энергии (т. е.
интенсивность) в точке г2 вдоль луча отличается от своего зна-
чения в точке Г| множителем, равным отношению бесконечно

малых площадей, вырезаемых в волновых фронтах узким пуч-
ком лучей, а полный поток мощности внутри такой лучевой
трубки остается постоянным. Такой закон сохранения энергии
является обобщением результатов § 6, пп. «а» и «б» на случай
произвольных (но медленных) изменений показателя преломле-
ния. Из формул (6г), (22) и (23) следует, что амплитуда поля
I «о (г) I, пропорциональная [S(r)/n(r)]'/2, в произвольной точке г
вдоль луча связана со значением амплитуды |ы0(Г1) | в исходной
точке ri на том же луче соотношением

• (84)

Так, например, в случае сферически расходящегося возмущения
в однородной среде лучи расходятся по радиусу из начала ко-
ординат г = 0 и сечение конической лучевой трубки про-
порционально г2. Таким образом, dA (r^/dA (г) = (п/г)2, откуда
|«о(г) | = |Ыо(Г1) | (ri/r).

Уравнение (316) можно представить также в виде

w4iuol2 = 4lnl«ol2=-|v-k = -±V.(nS), (35а)
и интегрирование от и до г вдоль луча дает
[г	—

— у $ 7 V ‘ ds I •	(35б)

Г|	J

В приведенном выше примере вектор s совпадает с единичным
вектором Го, направленным по радиусу, так что V-s = 2/г и мы
получаем предыдущий результат.

Из формулы (34) видно, что она не верна при dA (г) -> О,
т. е. когда лучи, образующие трубку, сходятся в линию или в
точку. Этим условием определяется положение каустик или фо-
кусов, вблизи которых требуется более тщательно анализиро-
вать поле (см. гл. 5, § 8, п. «г», где рассматривается случай пло-
скослоистой среды). Таким образом, к условию применимости
формул геометрической оптики (21) следует добавить еще тре-
бование

(!•)=#= О	(36)

во всех точках луча.

Объединив формулы (28) и (34), можно записать главный
член асимптотического разложения отдельной составляющей
высокочастотного поля (20) в виде

«(г) - и (п) [-7$- 4НгГ eik°№ (г,)’-	(37)

В этой формуле г — радиус-вектор точки наблюдения, лежащей
на луче, г, — радиус-вектор исходной точки на том же луче,
dA (г) и dA (Г|) — площади поперечного сечения лучевых трубок
в точках г и гь и (г) и п (гО — показатели преломления в этих
точках, а ф(г) и ф(Г|) — фазовые функции. Таким образом, поле
в точке г выражается через заданное поле в точке гР О при-
менении этих формул в случае плоскослоистых сред см. гл. 5,
§ 8.

в. Векторные гармонические поля

Изотропные среды

В изотропной среде с меняющейся от точки к точке относи-
тельной диэлектрической проницаемостью е(г) = п2(г), где п —

показатель преломления, гармоническое электромагнитное поле
вне области, занимаемой источниками, определяется уравне-
ниями Максвелла (6а), в которых [§ 3, формулы (26) и (28)]

/ 0

<-w)4VXi

Г (г)

eo«2(r) 1
0

Т(г)->

/Е(г)
кН(г)

(38)
где ео, но — диэлектрическая и магнитная проницаемости ва-
куума, а с = (|лоео)_,/!. Множитель ехр(—iat) здесь опущен.
Уравнения низшего порядка асимптотического приближения для
векторного поля (5) сводятся к уравнением (66) или, в явном
виде,

кХН0 = -у-Е0, кХЕо = ?Но, к = ?Ф,	(38а)

откуда следует уравнение эйконала (6в)

кЕ 2 = п? (г) или к = sti (г),	(386)

как уже отмечалось в формуле (6г). Собственными векторами
низшего приближения Е (г) ~ Ео (г) ехр [г&оФ (г)] и Н (г) ~
~ Но (г) ехр [г&оф (г)] определяется геометрооптическое поле, по-
ляризационные свойства которого ясны из формулы (38а):

Ho-k~O~Eo-k, Ео-Но~О,	(38в)

т. е. векторы электрического и магнитного поля взаимно пер-
пендикулярны, лежат в плоскости постоянной фазы ф = const и
имеют структуру локально плоской волны в изотропной среде.
Определив траекторию лучей по формуле (126), можно рассчи-
тать фазовую функцию ф по формуле (13). Изменение амплитуд
Ео (г) s=s | Ео (г) | и Но (г) поля в геометрооптическом приближе-
нии можно найти из закона сохранения энергии

VS = 0, S = Re(EX H*)~Y^k = Fvs, (39)
где S — действительный усредненный по времени вектор Пойн-
тинга (вектор плотности потока мощности), a W = п2ео£о =
= (С/с) Hq— среднее значение полной плотности энергии, причем
v = с/п — локальная скорость распространения энергии и бе-
рутся среднеквадратичные значения поля. Соотношение (39)
имеет тот же вид, что и равенство (316), в применении к трубке
лучей, показанной на фиг. 22, оно приводит к изменению ампли-
туды вида (34). Комбинируя полученное изменение амплитуды
с изменением фазы, получим

Е (г) ~ Е (г,) [-£$	^р 6% J «(40)

'Ft	'

где Г! и г — две точки на луче, определенном уравнением (126).
Направление поля определяется уравнением переноса для век-
тора поляризации [формула (49)]. Определив таким образом
вектор электрического поля в точке г, можно сразу найти век-
тор магнитного поля из второго уравнения (38а).
Как и в случае звукового поля в п. «б», можно построить
асимптотическое разложение высокочастотного электромагнит-
ного поля, для которого приближение геометрической оптики
[формула (40)] дает лишь главный член [27]. Вследствие отно-
сительной простоты гармонических полей в изотропной среде
удобно перейти от уравнений первого порядка для поля (урав-
нений Максвелла), используемых в п. «а», к уравнениям вто-
рого порядка. Такой переход целесообразен даже для низшего
приближения, поскольку он быстрее приводит к соотношениям
(386) и (39) и упрощает формулировку уравнения переноса для
вектора поляризации. Рассмотрим электрическое поле Е, удо-
влетворяющее векторному волновому уравнению

V2E + ^n2E + 2V(E • Vlnn) = 0;	(41)

магнитное поле выражается через него соотношением Н =
= (i&o£)-1V X Е. По аналогии с формулой (16) будем считать,
что при больших ko
оо

E(r)-^Mf)	(42)

т=0

где амплитудные коэффициенты Ет и фазовая функция ф (а
значит, и коэффициент преломления п) ке зависят от kQ. Как и
в п. «г», последующие рассуждения останутся справедливыми
и в том случае, если выражение (42) умножить на дробную сте-
пень величины k0. Предполагая дифференцируемость асимптоти-
ческого приближения, вводя волновой вектор k s 7ф, нормиро-
ванный по отношению к kQi и подставляя разложение (42) в
уравнение (41), получаем

оо

е>кл X	+ ik<>  k + 2кЕ- • V1п и +

т=0	_

+ 2к • VEm) + V2Em + 2V (Em • V In n)} = 0.	(43)

Приравняем нулю коэффициенты при разных степенях ko. Ко-
эффициент /г2 дает уравнение эйконала (386), коэффициент при
ko с учетом (386) дает

E0V • к + 2(Е0  Vlnn)k + 2(к • V)Eo = O. (44а)

Как и в формуле (18в), амплитудные функции Ет (где т > 1)
можно определить по функциям Em_i на основании рекурсив-
ных соотношений, получаемых приравниванием нулю коэффи-
циентов при ko \ v 0, в формуле (43):

[V • kl + 2k (V In п) + 2k • VI] • Em =

₽= -	- 2V [(V Inn)  Ew_!],	(446)
где 1 — единичный тензор. Уравнения (44а) и (446) представ-
ляют собой уравнения переноса для электрического поля. Как и
в п. «а», мы не будем рассматривать члены высшего порядка
т 1. Член с т = 0, т. е. геометрооптическое поле, опреде-
ляется формулами (38а) и (38в). Он дает хорошее приближение
при Ei < k0E0-, это означает, что свойства среды должны изме-
няться медленно [формула (21)] [28]. В пределах точности при-
ближения геометрической оптики показатель преломления п мо-
жет слабо зависеть от k0, так что в этом приближении можно
включить в теорию и диспергирующие среды 1).

В отличие от формальной процедуры, применяемой к урав-
нениям поля первого порядка при выводе формулы (66), по-
следний подход дает сразу отдельные уравнения для изменения
фазы и амплитуды в приближении геометрической оптики. Что-
бы преобразовать уравнение (44а) к виду (39), удобно ввести
вектор поляризации 0, параллельный направлению электриче-

ского поля:

о ._Ер _ Ер

~ Ео~ (Е0.Е^ •

(45)

Умножив уравнение (44а) скалярно на EJ, с учетом формул
(386) и (38в) получим

•у (EJ • Ео) V • k + nEj •-^-Ео = 0.	(46)

Сложив это уравнение с комплексно сопряженным ему, полу-
чим уравнение

E6V-k + n^-Eo = O = V-(£бк).	(47)

выражающее соотношение V-S = 0 [формула (39)].

Аналогично из уравнения (44а) можно получить уравнение

переноса вектора поляризации 0 вдоль луча. Поскольку

Ер _ 1 d р ___ d р	(лц\

ds — ds Ео ~~ Ео ds Ео ds °’

согласно формулам (47) и (44а), с учетом равенства k-V =
= n(dlds) получим

-g- = -s(0.Vlnn).	(49)

Очевидно, что величина 0 постоянна в однородной среде, где
Vn = 0, а также в случае, когда электрическое поле поляризо-
вано перпендикулярно направлению слоистости плоскослоистой

4) Для холодной изотропной плазмы п2 (г) = 1 — [©^ (г)/©2], где ©Р —
плазменная частота. Слабая зависимость от kQ позволяет считать, что отноше-
ние ©Р/© остается конечным
среды. Добавлением к уравнению (40) уравнения для вектора
поляризации р(г) мы завершаем задание поля в приближении
геометрической оптики для среды с медленно меняющимися в
пространстве свойствами.

Анизотропные среды

В неоднородном анизотропном диэлектрике (например, в
кристалле или холодной магнитоплазме), в котором характери-
стики распространения зависят не только от координат точки,
но и от направления распространения волны, гармоническое во
времени электромагнитное поле удовлетворяет уравнениям Мак-
свелла (6а), где

о
VX1
0
ЦоМ’

-VX1
о

(50)

Здесь е(г)—тензор относительной диэлектрической проницае-
мости среды, который может слабо зависеть от k0 = ®/с. Мно-
житель ехр(—iaf) опущен. Приближение низшего порядка (5)
удовлетворяет уравнению (66) или, в явном виде, уравнению

кХ Но = —-|-8 • Ео, кХЕ0 = 2Н0, к^?ф, £ =	(51)

откуда следует, что

к • Но= к • с • Eq =? Но • Ед = Нд • & • Ед = 0.	(62)

Таким образом, вектор Н перпендикулярен векторам Е и к
но вектор Е, вообще говоря, не перпендикулярен вектору к,
так что действительный ^усредненный по времени вектор плот-
ности потока мощности S = Re(EXH*) в общем случае не па-
раллелен вектору к. Если пространственная дисперсия отсут
ствует (т. е. е не зависит от к), то вектор S параллелен вектору
групповой скорости vg, т. е. направлению луча [§ 5, формула
(24а)]. Поскольку

S~lRe[EoX(kXEo)J,	(53)

так что

к  S = || кх Ео |2>0,	(53а)

угол между лучом и волновым вектором не превышает 90°. Это
существенно при определении положения седловых точек графи-
ческими методами, изложенными в § 6, пп. «а» и «б». Из фор-
мул (6в) и (50) следует уравнение эйконала

det [#1 - kk - е (г)] = 0,	(54)

позволяющее рассчитать траектории лучей по формуле (12а) и,
следовательно, найти фазовую функцию ф по формуле (13).

Графические методы нахождения направления луча в одно-
родной или плоскослоистой среде были рассмотрены выше в
связи с построениями на фиг. 14 и 16; некоторые замечания о
лучах и волновых фронтах в анизотропной среде были сделаны,
когда речь шла о фиг. 11 и 15. Как и в изотропном случае,
здесь, чтобы определить изменение амплитуды |Ео(г)|, можно
воспользоваться сохранением энергии в лучевой трубке (фиг. 22),
вытекающим из уравнения переноса, связанного с уравнением
(6). Для определения поляризационных эффектов следует ис-
пользовать уравнение (66), LTo = 0. В изотропном случае мы
имеем в (г) = In2(г) и уравнение (54) сводится к уравнению
(6г), поскольку, в силу формулы (52), в этом случае к-Ео->О.

Найти явное выражение для поля в неоднородной анизотроп-
ной среде довольно трудно даже в низшем (геометрооптиче-
ском) приближении (случай плоскослоистых сред см. в работах
[15, 28]). Далее мы ограничимся однородным случаем 8 = const.
В этом случае лучи представляют собой прямые линии и

ф (г) = к • г = Nr = nr cos а,	(55)

где г— радиус-вектор точки на луче, п = |к| —обычный пока-
затель преломления, характеризующий скорость _продвижения
фазового фронта вдоль к (напомним, что вектор к нормирован
к k0), a N = п cos а — «лучевой показатель преломления», ха-
рактеризующий изменение фазы вдоль луча. Поскольку вектор к
не параллелен направлению луча, а образует с ним в общем
случае угол а (фиг. 15), вместо обычного соотношения N — n
для изотропной среды имеет место соотношение (55). Подчерк-
нем, что величины п и N, а значит, и а являются функциями
полярных углов 9 и ф, характеризующих данное направление
луча. Лучевая скорость vr, определенная выше (фиг. 11), равна
vr = c/N, тогда как фазовая скорость в направлении вектора к
равна vp = с/п. Фазовая функция (55) в точности соответствует
формуле (25) из § 6.

В случае поля, создаваемого точечным диполем (гл. 7, § 3,
п. «а»), лучи расходятся радиально из точки источника. Энергия
сохраняется вдоль лучевой трубки — это обстоятельство было ис-
пользовано при нахождении амплитудных функций |Е0| и | Но |
в формуле (51). Из формулы (53а) следует, что интенсивность
S(r) = -^1

луча меняется как | Е0|2, и поэтому изменение величины | Ео |
можно определить по изменению интенсивности S. Сохранение
потока энергии в лучевой трубке означает, что

S (г) dA (г) = const,	(55а)

где dA (г) — площадь сечения трубки в точке г. Отсюда следует,
что для радиально расходящейся системы лучей

(556)

К такому же выводу мы пришли в § 6, п. «б», связав, кроме того,
плотность энергии со свойствами волновой поверхности (фиг. 15)
соотношением S (г) ос RiR2/r29 где Ri и R2 — главные радиусы
кривизны волновой поверхности в точке, соответствующей лучу.

Из сказанного следует такое геометрооптическое приближе-
ние для электрического поля, создаваемого точечным источни-
ком в однородном неограниченном анизотропном диэлектрике:

Е(г) = £е,(г). ЕДг)~	А/> к£-г = ^г.	(56)

i

Здесь г — вектор, указывающий из точки, источника в точку на-
блюдения, — точка на волновой поверхности, для которой
нормаль направлена вдоль луча г (причем кг-г 0, фиг. 15), а
сумма по £ включает все значения ki, удовлетворяющие этому
условию; Ян и R2i — главные радиусы кривизны волновой по-
верхности в точке кг-. Вектор Ai задает амплитуду возбуждения
и поляризацию поля на луче; определение первой требует реше-
ния задачи для данного источника (гл. 7, § 3; гл. 8, § 3; п. «в»;
гл. 1, § 3, п. «г»), а поляризация находится из задачи на собст-
венные значения (§ 3, п. «а», см. также [24]). Возможно сложе-
ние нескольких лучей в тех случаях, когда поверхность волно-
вых чисел имеет точки перегиба, как на фиг. 15, или несколько
ветвей (фиг. 19, где рассмотрены аналогичные явления в связи
с пространственно-временными лучами, описывающими негармо-
нические поля). Поскольку каждому лучу соответствует свое
значение лучевого показателя преломления Ni, интерференцию
можно наблюдать, когда два луча или несколько лучей имеют
сравнимые амплитуды. Приближение геометрической оптики
становится неприменимым при Ru -> оо или R2i -> оо (т. е. в
случае, когда луч соответствует точке волновой поверхности с
нулевой гауссовой кривизной). Расчеты для такой переходной
области приведены в гл. 8, § 3, п. «в».

Выражение (56) согласуется с выражением (25) из § 6, по-
лученным путем разложения по модам.
г. Геометрическая теория дифракции

Простые лучевые решения, изложенные в пп. «б» и «в», мож-
но использовать при исследовании более сложных задач о рас-
сеянии высокочастотного поля методом геометрической теории
дифракции. Такая теория, развитая первоначально Келлером
для однородных изотропных сред [29], была затем обобщена на
неоднородные среды [30], анизотропные среды [31] и среды, в ко-
торых могут распространяться различные типы волн (например,
горячая плазма [32]). Согласно этой теории, рассеянное поле в
данной точке наблюдения состоит из совокупности геометриче-
ски отраженных и преломленных, а также дифрагировавших
лучей, индивидуальные характеристики которых зависят от ло-
кальных свойств рассеивающего объекта и окружающей среды.
Падающее поле представляется в виде системы лучей, которые,
попадая на препятствие, рассеиваются; характер рассеянных лу-
чей близ поверхности препятствия зависит от свойств поверх-
ности и свойств среды в точке падения (точнее, вблизи точки
падения). Пользуясь формулами пп. «б» и «в», можно затем
проследить за ходом рассеянных лучей дальше от границы рас-
сеивателя. Луч, падающий на плоский элемент поверхности, от-
ражается или преломляется по соответствующему закону отра-
жения или преломления (для плоских волн) и распространяется
дальше с амплитудой, определяемой коэффициентом отражения
для плоских волн. Луч, падающий на искривленный элемент по-
верхности (с главными радиусами кривизны, намного превы-
шающими длину волны), отражается так же, как от плоскости,
касательной к поверхности в точке падения луча, но интенсив-
ность волны в отраженном луче определяется так называемым
«коэффициентом расходимости», обусловленным искривлением
поверхности и учитывающим распространение энергии внутри
узкого пучка лучей. Отраженные и преломленные лучи — это
встречавшиеся нам лучи геометрической оптики в изотропной
или неизотропной среде, и на их свойствах мы подробно оста-
навливались в данном параграфе.

Наряду с этими лучами в геометрической теории дифракции
используются еще дифрагировавшие лучи, свойства которых в
однородной среде мы кратко изложим ниже. Луч, падающий по
нормали на ребро, вызывает появление лучей, «дифрагировав-
ших на ребре», расходящихся по всем направлениям в плоско-
сти, перпендикулярной ребру в точке падения луча. Интенсив-
ность волн в этих лучах убывает как р~’/2, где р — расстояние от
ребра (см. подробнее гл. 6, § 4, а также пример в конце данного
параграфа). При косом падении луча на ребро дифрагировав-
шие лучи лежат на поверхности конуса с углом раствора, рав
ным удвоенному углу между падающим лучом и ребром, па-
дающий луч и дифрагировавшие лучи расположены по разные
стороны от плоскости, перпендикулярной ребру в точке падения
луча (фиг. 23,а). Луч, падающий на вершину конуса (фиг. 23,
б) или пирамиды, рассеивается по всем направлениям; интен-
сивность убывает вдоль «дифрагировавших на вершине» лучей
как г-1, где г — расстояние от вершины (гл. 6, § 8, п. «в»). Луч,

Фиг. 23. Дифрагированные лучи.

а—ребро; б—-вершина или острие; в—плавно искривленная поверхность; г—граница двух
сред; б—многократно отраженные лучи в случае дифракции на щели.

падающий по касательной к искривленной поверхности (фиг. 23,
в), приводит к появлению «ползущего» луча, распространяю-
щегося вдоль поверхности препятствия в область тени и непре-
рывно теряющего энергию по мере своего прохождения, вслед-
ствие чего его амплитуда уменьшается с расстоянием по экс-
поненциальному закону (гл. 6, § 7). При наличии границы раз-
дела двух сред луч, падающий из оптически более плотной сре-
ды под критическим углом 0С, приводит к появлению бокового
луча, распространяющегося в менее плотной среде параллельно
границе раздела и непрерывно испускающего часть энергии об-
ратно в более плотную среду благодаря преломлению (фиг. 23,
г); закон убывания амплитуды этого бокового луча из-за утечки
энергии оказывается степенным (гл. 5, § 5). Траектории отра-
женных и дифрагировавших лучей согласуются с принципом
Ферма (минимального времени распространения), а характер
изменения поля (по амплитуде и по фазе) вдоль отраженного
или рассеянного луча !) часто можно указать из простых гео-
метрических соображений, как пояснено в конце данного пара-
графа. Начальные значения амплитуды и фазы на заданном ди-
фрагирующем луче, вообще говоря, невозможно определить ме-
тодами геометрической теории дифракции. Его приходится
брать из строгого асимптотического решения для простого рас-
сеивателя «канонической» формы, контур которого вблизи точки
дифракции совпадает с контуром рассматриваемого препятствия
(см. приведенные в других разделах книги примеры геометро-
оптической интерпретации асимптотических решений).

Построенное таким образом по законам геометрической тео-
рии дифракции рассеянное поле для «канонических» препят-
ствий, очевидно, совпадает с асимптотической формой строгого
решения в пределе при kQ -> оо. Однако геометрическая теория
дифракции, использующая локальный характер высокочастот-
ной дифракции, может быть применена и к препятствиям более
сложной формы, для которых точные решения нелегко получить.
Так, например, аппроксимируя окрестность точки на цилиндри-
ческой поверхности переменкой кривизны круговым цилиндром
с радиусом, равным радиусу кривизны в данной точке, можно
определить поведение дифрагировавшего (ползущего) луча на
такой поверхности; справедливость такого подхода подтвер-
ждается сопоставлением с асимптотическим представлением точ-
ного решения для параболического и эллиптического цилиндров
[33]. Этот метод был подтвержден также в задачах о дифракции
на круглом отверстии и на щели; в этом случае приходится учи-
тывать многократно рассеянные лучи, идущие от одного края
к другому (фиг. 23, д) [34, 35]. Аналогичное рассмотрение было
проведено для анизотропных сред, для сред, в которых возмож-
ны различные типы волк, и для областей, обладающих волко-
водными свойствами [36, 37]. Пример применения этой теории к
кеэлемектаркой задаче рассеяния приведен ниже в данном пара-
графе.

Привлекательной особенностью геометрической теории ди-
фракции является простота ее принципов и широкая область
применимости к однородным, неоднородным, изотропным и ани-
зотропным средам. Однако эта теория основана на ряде посту-
латов, справедливость которых в общем случае до сих пор еще
не доказана, так что ее приходилось подтверждать сопоставле-
нием с асимптотическими разложениями для задач, поддаю-
щихся строгому решению. Учитывая значительное число таких

4) Типы дифрагирующих лучей, распространяющихся вдоль действитель-
ных траекторий в r-пространстве (фиг. 23), можно дополнить типами лу-
чей, идущих по комплексным траекториям [например, лучей, описывающих
поверхностные волны (гл. 5, § 6) и вытекающие волны, или экспоненциально
затухающие поля]
успешных сопоставлений, можно полагать, что геометрическая
теория дифракции способна предсказать по крайней мере глав-
ные эффекты при рассеянии высокочастотных полей при произ-
вольных условиях. Эта теория была также обобщена для рас-
смотрения негармонических полей в диспергирующих средах;
роль обычных лучей здесь играют пространственно-временные
лучи [19, 24].

Законы отражения и преломления лучей

Когда луч падает на поверхность, на которой свойства среды
меняются скачком, он порождает отраженный луч, а в прони-
цаемой для волн среде — и преломленный луч, которые в об-
щем случае идут от поверхности в направлении, отличающемся
от направления падающего луча. Направления новых лучей мо-
гут быть найдены из условия непрерывности фазы для всех
имеющихся здесь волн на границе раздела, необходимого для
того, чтобы выполнялось условие непрерывности полей, и бла-
годаря этому комплекс из трех волн: падающей, отраженной и
преломленной — сохранял локальную структуру типа плоской
волны. В применении к границе раздела двух обычных диэлек-
триков сшивание фаз приводит к обычному закону преломления.
Более сложные соотношения получаются в случае, когда среда
анизотропна или когда в среде могут распространяться различ-
ные виды волн [38]. Так, если имеется всего m волн с соответ-
ствующими фазовыми зависимостями ехр[^оф^(г)], /=1,2, ...
..., m [формула (5)], то на поверхности раздела В мы имеем

Ф1 (г) == ф2(г) = ... =фт(г), г на поверхности В. (57)

Из формулы (57) следует, что производные фДг), / = 1, ''
2, ..., т, в направлении вектора, g, касательного к границе раз-
дела, также должны быть непрерывны. Поскольку

=	(58)

где — единичный вектор, а к^- — проекция /-го волнового
вектора на поверхность В, условие непрерывности фазы можно
выразить также через нормированные волновые векторы kj =

=

k/i = k/2 — • • • — ktm на поверхности В. (59)

Этим соотношением мы воспользуемся для определения напра-
вления отраженных и преломленных волн в случае изотропных
сред, анизотропных сред и сжимаемой плазмы. Начальные зна-
чения амплитуды и поляризации поля на отраженных и прелом-
ленных лучах можно найти либо наложив дополнительные тре-
бования непрерывности на асимптотические представления по-
лей, либо, что эквивалентно, путем точного решения задачи об
отражении и преломлении плоской волны, падающей на пло-
скую границу раздела между двумя однородными средами с па-
раметрами, равными значениям параметров исходных сред в
точке падения луча.

Изотропные среды

На плоской границе раздела между двумя обычными диэлек-
триками с показателями преломления Hi (г) и п2(г) луч 1 (/ = 1),
падающий из среды 1, порождает в точке падения единственный
луч 3 (/ = 3), отраженный в среду 1, и единственный луч 2
(/ = 2), преломленный в среду 2. Поскольку kL3 = п^.з, k2 = n2s2
[формула (6г)] и s#/ = |osin0/, где 0j— угол между направ-
лением луча и нормалью к поверхности, согласно формуле (59),
мы имеем

sin 0i = sin 03, щ sin 0i =n2sin02.	(60)

Переходя от синусов к углам и выбирая между 0j и л — 0j, сле-
дует учесть условие излучения, требующее, чтобы и отражен-
ный и преломленный лучи были направлены от поверхности раз-
дела. Для пары лучей Si и s3 (фиг. 24,(7), распространяющихся
в одной и той же среде (падающего и отраженного), первое из
уравнений (60) дает зеркальный закон отражения, а для пары
лучей Si и S2 (падающего и преломленного) получается обыч-
ный закон преломления. При этом уравнения (59) требуют, что-
бы все три луча — падающий, отраженный и преломленный —
лежали в одной плоскости, перпендикулярной поверхности раз-
дела. В случае искривленной поверхности (фиг. 24, а} следует
иметь в виду, что приближение геометрической оптики приме-
нимо лишь тогда, когда радиус кривизны поверхности велик по
сравнению со значениями длины волны в рассматриваемой точ-
ке Х1,2 — 2л/^о^1,2-

Законы отражения и преломления, выражаемые соотноше-
ниями (59) и (60), можно наглядно представить, рассматри-
вая поверхности показателя преломления и волновых чисел. Как
отмечалось в § 6, для заданной среды такие поверхности полу-
чаются откладыванием показателя преломления п или волно-
вого числа k = kon = kQk как функции направления. Вектором,
идущим из начала координат в какую-либо точку поверхности,
определяется направление распространения фазы в соответст-
вующей плоской волне exp(fk-r). Как показано в § 6, п. «а»,
нормаль к поверхности в этой точке указывает направление рас-
пространения энергии (направление луча) в среде. В случае
изотропной среды п не зависит от направления, так что поверх-
пости п или k представляют собой сферы, и векторы направле-
ния распространения фазы и луча параллельны. На границе
раздела двух сред исходя из условия kn =k/2 = kf3 можно вы-
полнить графическое построение, показанное на фиг. 24, б, где
ky — ось, параллельная оси у на фиг. 24, а в точке падения, а
ky^—касательная составляющая волнового вектора падающего

Фиг. 24. Законы отражения и преломления: 01 = 0з, sin 0i = п2 sin 02.

а—ход лучей в физическом пространстве; б—график в пространстве волновых чисел
(сечение плоскостью, содержащей лучи).

луча 1. Тогда отраженный луч 3 и падающий луч 2 опреде-
ляются теми точками поверхностей волновых чисел, которым со-
ответствует то же значение kv. Путем такого же графического
построения на фиг. 16 мы прослеживали ход луча в слоисто-
неоднородной среде.

Анизотропные среды

Если луч падает на границу между двумя разными анизо-
тропными средами еа и е^, то начальные направления отражен-
ных и преломленного лучей можно определить из условия со-
гласования фазы (59); у всех имеющихся здесь волн составляю-
щая к4 волнового вектора, касательная к поверхности, должна
быть одинаковой. Аналитическая форма записи законов отраже-
ния и преломления в общем случае весьма сложна [гл. 7, § 5,
формула (96) для частного случая среды с одноосной анизотро-
пией], но наглядное представление о траекториях лучей можно
получить, рассматривая поверхности волновых чисел обеих
сред. Пусть среда еа имеет волновые поверхности с двумя вет-
вями а\ и а2, а среда имеет поверхность с одной лишь ветвью
Ь\ на фиг. 25 показаны лишь участки этих ветвей, нужные для
построения. Рассмотрим падающий луч /, проходящий через
точку ki на ветви а2 нижней среды. При соответствующей ориен-
тации координатной системы ху в касательной плоскости каса-
тельная составляющая волнового вектора падающей волны kf

Фиг. 25. Отражение и преломление в анизотропных средах (проекция на
плоскость хг).

а—ход лучей в физическом пространстве; б—график в пространстве волновых чисел.

будет совпадать с кх : кг = кх. Этим значением кх определяются
другие точки к; на диаграмме волновых чисел. Соответствующие
лучи S,-, перпендикулярные поверхностям, строятся так, чтобы
выполнялось соотношение kpS; 0 [формула (53а)]; таким об-
разом получаются лучи, показанные на фиг. 25. Здесь представ-
лены лишь проекции лучей на плоскость xz, хотя все векторы к/
лежат в этой плоскости, лучи в общем случае не компланарны
и векторы лучей имеют отличную от нуля составляющую по оси
У, если только волновые поверхности не симметричны относи-
тельно плоскости kv = 0. Заметим, что падающий луч дает два
отраженных луча, один из которых (2) отражается обратно. Та-
кое явление «обратного» отражения или преломления лучей воз-
можно в анизотропной среде из-за сложного характера поверх-
ности волновых чисел; однако для волновых векторов никаких
обратных отражений или преломлений не может быть и соответ-
ственно не может повернуть назад волновой фронт: это исклю-
чено, в силу условия согласования kf = const. Заметим также,
что по лучу 4 энергия распространяется от поверхности раздела,
тогда как фазовый фронт для этого луча бежит по направлению
к поверхности раздела (см. направление вектора к4), что указы-
вает на наличие «обратной волны» по отношению к направле-
нию г, нормальному к поверхности раздела. Из всех точек кг- с
заданным значением к; на диаграмме допустимы только те, ко-
торые удовлетворяют условию излучения, требующему, чтобы по
каждому отраженному или преломленному лучу энергия рас-
пространялась от поверхности раздела. Этим требованием ис-
ключаются лучи, соответствующие верхней ветви а\ и верхнему
пересечению с ветвью Ь.

Горячая изотропная плазма

В однородной горячей плазме независимо распространяются
электромагнитные (поперечные) и электроакустические (про-
дольные) волны, первые с фазовой скоростью v = с/мр, а вто-
рые с фазовой скоростью о — alnp, где с — скорость света в ва-
кууме, а — электронно-акустическая скорость для плазмы, а
пр — (1 — %/<в2)1/а — показатель преломления плазмы (§ 2, п. «в»).

Фиг. 26. Отражение и преломление лучей в случае горячей плазмы,
а—ход лучей в физическом пространстве; б—график в пространстве волновых чисел.

В первом приближении эти волны распространяются независимо
и при медленном изменении свойств среды, но они оказываются
связанными на границах, где свойства сред меняются скачком.
Покажем применение методики согласования фазы на примере
электроакустического луча, падающего на границу между плаз-
мой и внешней диэлектрической средой с показателем прелом-
ления п (фиг. 26). Поскольку среды изотропны, поверхности
волновых чисел для электромагнитной и электроакустической
волн в плазме и электромагнитной волны в диэлектрике пред-
ставляют собой сферы радиусом konp, katip и kQn; здесь k0 =
= а/с, ka — ®/а. Падающий электроакустический луч 1 имеет
составляющую kt\ = ka sin 0i, параллельную поверхности раз-
дела; согласно формуле (59) и фиг. 26, б, этой составляющей
определяется направление отраженного акустического луча 2,
отраженного электромагнитного луча 3 и прошедшего электро-
магнитного луча 4. Поскольку в рассматриваемом случае на-
правления лучей и волновых векторов совпадают, из формулы
(59) следует простая аналитическая формулировка законов пре-
ломления и отражения лучей.

sin 0! = sin 02 = — sin 03 — —	sin 04.	(61)

С	С Tip

Аналогично может быть рассмотрен случай, когда на границу
раздела падает электромагнитный луч со стороны плазмы или
со стороны диэлектрика.

Дифрагированные лучи

Вообще говоря, для определения начальных значений полей
на дифрагированных лучах нужно решать соответствующую
«каноническую» задачу, но некоторые общие выводы можно де-
лать, рассматривая совокупность дифрагированных лучей, соз-
даваемых заданным падающим лучом. Так, например, в первом
приближении луч, падающий на слабо искривленное ребро в
среде с медленно изменяющимися характеристиками, возбу-

ждает такое же рассеянное поле, что и плоская волна в одно-
родной среде, падающая на прямолинейное ребро, бесконечно

протяженное по касательной в точке падения луча. В такой ка-
нонической задаче плоская волна и параметры среды выбирают-
ся так, чтобы описывать локальные условия вблизи точки па-
дения. В силу трансляционной инвариантности вдоль оси х, па-
раллельной ребру, в однородной среде падающая плоская волна
с волновым числом kxi вдоль х возбуждает рассеянные волны,
характеризуемые теми же значениями kx — kXi. На основе этого

условия можно выполнить графическое построение начальных
направлений лучей, дифрагированных на ребре, таким же мето-
дом, как при построении отраженных и преломленных лучей,
ассмотрим, например, анизотропную среду, характеризуемую
поверхностью волновых чисел с тремя ветвями а, Ьх и Ь2, сим-
метричными относительно оси w, как в холодной плазме, нахо-
дящейся в магнитном поле, направленном по оси w (фиг.27,б).
Ребро окружено такой средой, и на него падает луч la с kx —
= kxi (фиг. 27, а и б). Дифрагированные лучи соответствуют

Фиг. 27. Дифракция лучей на ребре.

а — ход лучей в физическом пространстве; б—график в пространстве волновых чисел.

значениям к, лежащим на кривых пересечения Л, и В2 пло-
скости kx = kxi с ветвями поверхности волновых чисел. Лучи
направлены по нормалям к поверхности волновых чисел [см.
условие (53а) для ориентации лучей] в точки, расположенные
вне области, занимаемой клином на фиг. 27, а. Как видно из
фиг. 27, дифрагированные лучи, соответствующие разным вет-
вям поверхности волновых чисел, расположены на разных кону-
сах (или на разных участках конусов в случае незамкнутых кри-
вых сечения), вообще говоря, не симметричных относительно
ребра. В частном случае изотропной среды поверхность или по-
верхности волновых чисел сферические (фиг. 24 и 26), так что
образующиеся конусы дифрагированных лучей симметричны от-
носительно оси х. В частности, в случае обычного изотропного
диэлектрика поверхность волновых чисел представляет собой
единственную сферу, так что угол раствора конуса дифрагиро-
ванных лучей равен углу между падающим лучом и ребром, как
было отмечено выше в связи с фиг. 23, а. Заметим, что траекто-
рии лучей, дифрагированных на ребре, определяются так же,
как и в случае линейного источника с изменением фазы
exp(ikxix) на оси х (гл. 5, § 4, п. «г»; гл. 7, § 3, пп. «в» и «г»).

Аналогично можно рассмотреть также и боковые лучи, воз-
буждаемые на границе двух сред [39]. Боковые лучи возникают
всякий раз, когда падающий луч определенного вида может воз-
будить луч другого вида, направленный параллельно границе
раздела; этот последний луч может распространяться либо в
первоначальной среде, из которой пришел падающий луч (если
в этой среде возможно распространение волн разного вида) , ли-
бо во внешней среде. В случае границы между думя обычными
диэлектриками очевидно (фиг. 24, б), что 02 — 90° при kyo = kz,
т. е. 01 = 0С = агсзнЦпг/П]), где 0С — критический угол (при
01 > 0с падающий луч полностью отражается и никакого про-
никновения в среду 2 не происходит). Претерпевший критиче-
ское преломление луч 2 (фиг. 24,6) движется в среде 2 вдоль
границы раздела и непрерывно посылает энергию вдоль лучей 3
обратно в среду 1 (фиг. 23, г). Лучи 1—3 должны удовлетворять
условию согласования фаз (59). В случае анизотропных сред
(фиг. 25) может появиться несколько боковых лучей. Например,
если падающий луч / ветви az на фиг. 25 направлен так, что
преломленный луч параллелен границе раздела в области Ь, то
получается схема лучей, показанная на фиг. 28, а слева. В среду
а отражаются лучи 2 и 3, соответствующие разным ветвям по-
верхности волновых чисел для области а. Если же падает луч Г
ветви at области а, то он возбуждает боковой луч 2' ветви az,
идущий в области а параллельно границе раздела и непрерывно
излучающий энергию в среду а вдоль луча 3' и в среду b вдоль
луча 4'. Подробнее этот вопрос рассматривается в гл. 5, § 5,
пп. «а» и «б», и в гл. 7, § 5 п. «г». Из фиг. 28, б видно, что боко-
вой луч 4 может также возбуждаться падающим критическим
лучом 1" ветви Оь а боковой луч 2' может возбуждаться падаю-
щим критическим лучом 1"' в области Ь. Боковые лучи появ-
ляются также на границе раздела диэлектрика с горячей плаз-
мой (фиг. 26). Так, например, если угол падения электроакусти-
ческого луча 1 равен 0i = arcsin(a/c), то луч 3 будет электро-
магнитным боковым лучом, распространяющимся в плазме па-
раллельно границе раздела и преломляющимся в виде электро-
акустического луча 2 в плазму и в виде электромагнитного луча
4 в диэлектрик. Если угол падения луча 1 равен 01 =
— агсзш(ап/спр), то электромагнитный луч 4 в диэлектрике ста-
новится боковым и преломляется в виде электроакустического

7 Зак. 639
луча 2 в плазму. Заметим, что если записать дисперсионное ура-
внение в форме kz — k2(kx, ky), удобной для анализа распро-
странения в плоскослоистых средах с направлением слоистости

Фиг. 28. Боковые лучи на границе раздела анизотропных сред.

а—ход лучей в физическом пространстве; б—график в пространстве волновых чисел

вдоль оси z (§ 6, п. «б»), то боковые лучи будут соответство-
вать двукратному корню на дисперсионной поверхности и, сле-
довательно, характеризоваться точкой ветвления в интеграль-
ном выражении для к; [§ 6, формула (21)].

Пример: дифракция на проводящей полуплоскости,
разделяющей два изотропных диэлектрика

Асимптотическое выражение для высокочастотного поля в
задачах об излучении или дифракции в общем случае содержит
несколько слагаемых вида (37), (40) и других эквивалентных
выражений. В случаях отражения или преломления на границе
соответствующие явления описываются геометрооптическими по-
лями ugf тогда как влияние затенения, неоднородностей и т. п.
сводится к появлению дополнительного дифрагированного поля
ud. Таким образом, полное поле в точке наблюдения г дается в
общем случае суммой

и (г) ~ Ug (г) + ud (г),

(62)

где ug (г) =а му> (Яг) — прямое, отраженное или пре-
ломленное поле, приходящее в точку г вдоль луча R,-. Дифраги-
рованное поле тоже может иметь несколько составляющих:
«S' = S »!'>(«,)•

Фиг. 29. Нахождение поля методом геометрической оптики в случае линей-
ного источника, освещающего плоскую границу раздела, на которой имеется
полу бесконечный рассеивающий экран (пунктиром показаны дифрагирован-
ные лучи).

Метод построения геометрооптического поля указанным спо-
собом пояснен на фиг. 29. Два однородных изотропных диэлек-
трика с разными показателями преломления ni и п2(п2 < ni)
разделены плоской границей. На границе раздела расположена
идеально проводящая полуплоскость. В среде 1 имеется линей-
ный источник, параллельный ребру полуплоскости (задача ста-
новится при этом двумерной). Источник испускает лучи во всех
направлениях; они попадают в точку наблюдения либо прямо,
либо после отражения, либо после преломления или дифрак-
ционного рассеяния. В точку наблюдения п в верхней среде
приходят прямой луч / и отраженный луч 3, которые в сумме
и дают поле геометрической оптики. Дополнительный вклад вно-
сят дифракционные эффекты, связанные с полным отражением
от границы раздела и с наличием особенности на ребре. Полное
отражение приводит к появлению бокового луча 5, идущего
вдоль границы раздела в среде с меньшим коэффициентом пре-
ломления и испускающего излучение назад в область с ббльшим
коэффициентом преломления вдоль луча 6 (подробнее см. гл. 5,
§ 5). Когда боковой луч попадает на ребро, он создает радиаль-
но расходящееся дифрагированное поле, приходящее в точку п
вдоль луча 7. На ребро падает также непосредственно от источ-
ника луч 8, создающий свое собственное дифрагированное на
ребре поле вдоль луча 7 (подробнее о дифракции на полупло-
скости см. в гл. 6, § 5). Таким образом,

« (г.) ~ ц«> + Ы(3) +	<	(63)

где верхним индексом служит номер луча, ведущего в точку гь
индекс g означает «геометрооптический», индекс d—«дифрак-
ционный», а цифровой нижний индекс — это номер возбуждаю-

щего луча.

Вид каждого слагаемого в соотношении (63) можно найти
исходя из формулы (37) или (40). Пусть поле линейного источ-
ника нормализовано так, что в неограниченной среде создается
поле единичной амплитуды на единичном расстоянии от источ-
ника, причем фаза равна нулю в точке источника. Поскольку
лучи расходятся радиально в плоскости чертежа, а в разных

поперечных сечениях через различные точки источника идут па-
раллельно друг другу (гл. 5, § 4, п. «г»), трубки лучей имеют
клинообразную форму, так что dA(R)~ l[R, где R— расстоя-
ние от источника. Таким образом, амплитуда поля в падающем
луче меняется как R-'h, что характерно для цилиндрической рас-
пространяющейся волны. Исходя из формулы (37) получим, учи-
тывая принятую нормировку, следующее выражение для вклада
прямой волны:

JfeonA

(64а)

где учтено, что для однородной среды ф(/?) = koti\R. Здесь и да-
лее Ri — расстояние вдоль i-ro луча на фиг. 29.

Отраженное поле можно также рассчитать по формуле (37),
взяв за начало отсчета на луче 3 точку на поверхности раздела.
Поскольку поверхность раздела плоская и среда изотропна,
трубка отраженных лучей как бы выходит из изображения ис-
точника (фиг. 30, а), так что отношение площади сечения трубки
у границы раздела площади сечения в точке п равно Rs/fjRz +
+ R3) (относительно общего случая отражения от искривленной
поверхности см. работу [40]). Отраженное поле у границы раз-
дела равно падающему полю, умноженному на коэффициент
отражения Г, т. е., согласно формуле (64а), величине
exp (ZXfo«i7?2)-Изменение фазы вдоль луча 3 дается множите-
лем ехр (1’/г0П1/?з) • Таким образом, согласно формуле (37),

//(2) == Г -________

& 7*Г=нГз •

(646)

Френелевский коэффициент отражения Г находят путем сши-
вания полей падающего, отраженного и преломленного лучей на
границе раздела. Поскольку, как указывалось выше, поля носят
локально характер плоской волны, этот коэффициент такой же,
как и для плоской волны, падающей в направлении луча 2.

Дифрагированное поле в направлении луча 6 образуется не-
прерывным преломлением поля, распространяющегося вдоль бо-
кового луча 5, который в свою очередь возбуждается лучом 4,

Фронт отраженной
волны (цилиндрич.)

Фиг. 30. Построение различных лучевых трубок,
а—отраженные лучи; б—боковой луч; в—лучи, дифрагировавшие на крае экрана

Фронт дифрагированной
волны (цилиндрич.)

падающим под углом полного отражения 0С = arcsinfnz/Mi), из-
меряемым от нормали к поверхности. Поскольку угол прелом-
ления равен 0С и, следовательно, постоянен, трубки дифрагиро-
ванных лучей ограничены параллельными лучами (фиг. 30,6),
так что амплитуда поля вдоль луча 6 постоянна. Изменение
фазы вдоль луча 6 дается выражением exp (ikoriiR6), так что
wd5 = wd5exP(^oni^e)’ где ы<г5 — начальное значение поля у гра-
ницы раздела, которое приходится определять, решая соответ-
ствующую граничную задачу (см. также работу [41]). Оказы-
вается (гл. о, § 5), что фаза поля совпадает с вычисленной
по длине лучей 4 и 5 (луч 5 распространяется в среде с показа-
телем преломления п2), а амплитуда пропорциональна X/koR^.
Таким образом,

pikf) (М1^4+Л2^54*Л1^в)
— и (64в)

где U (/?5) — единичная функция Хевисайда, показывающая, что
величина (64в) отлична от нуля лишь тогда, когда оптический
путь включает конечный отрезок Т?5 (т. е. для точек наблюдения
в заштрихованной области на фиг. 30, б, в которой локализо-
ваны лучи, претерпевшие полное отражение). Конечно, вблизи
границы полного отражения Т?5 = 0 формула (63в) неприме-
нима и должна быть заменена здесь переходной функцией, кото-
рую невозможно определить методами лучевой оптики (гл. 5,
§5).

Луч, падающий на край полуплоскости, создает цилиндри-
чески расходящееся дифрагированное поле, которое можно рас-
сматривать как совокупность радиальных лучей, исходящих из
края полуплоскости (фиг. 30, в). Таким образом, поле вдоль ди-
фрагированного на крае луча 7 убывает как Rt~'/2, а фаза его
меняется как ехр (/60^1^7). Поле на единичном расстоянии от
ребра приходится определять, решая соответствующую дифрак-
ционную задачу. Для дифрагированного поля, возбуждаемого
лучом 8 на фиг. 29, в силу локально плоского характера волны
падающего поля достаточно рассмотреть более простую задачу
о дифракции плоской волны. Решение ее дает коэффициент ди-
фракции £>87, равный дифрагированному полю на единичном рас-
стоянии от края, создаваемому плоской волной с единичкой ам-
плитудой, падающей на край в направлении луча 8. Поскольку
истинное падающее поле дается формулой (64а) с заменой
на /?8, мы имеем

JMi (Яз+Ят)

(Мг>

Коэффициент дифракции DS7 зависит от углов, образуемых па-
дающим и дифрагированным лучами с полуплоскостью. В слу-
чае однородной среды он рассчитывается в гл. 6, § 5.

Чтобы найти коэффициент дифракции D57, нужно провести
такой же расчет для боковой волны, падающей на край полу-
плоскости. Затем из тех же соображений можно написать

“% ~	..kR>W------- U (*б)’	(64Д)

*0^5 ^7

где Т?5 — полное расстояние от точки падения луча 4 до края.
Край дает также боковую волку, бегущую налево вдоль поверх-
ности раздела; ее вклад не показан на схеме, ко тоже должен
быть учтен. Кроме того, когда точка наблюдения расположена
намного правее края, появляются другие составляющие волны,
отраженное поле становится иным, а поле боковой волны исче-
зает.

Точно так же можно построить методом геометрической оп-
тики поле в нижней среде (фиг. 29). Вместо двух геометроопти-
ческих вкладов (64а) и (646) мы имеем теперь одно поле, рас-
пространяющееся вдоль преломленного луча 10, Дифрагиро-
ванные поля — того же типа, что и раньше, только слагаемое
(64в), соответствующее боковой волне, должно быть опущено,
поскольку в оптически менее плотной среде этой волны нет
(фиг. 24). Если край препятствия расположен левее точки па-
дения луча 4, соответствующего критическому преломлению, то
существует область геометрической тени, в которой преломлен-
ных лучей 10 нет и в которую проникают лишь лучи 11, дифра-
гированные на крае.

Хотя зависимость от £0 не выражена явно в коэффициентах
отражения и преломления в (64), зависимость от расстояния
указана там полностью. Как мы видим, на больших расстояниях
R дифрагированные поля значительно слабее геометрооптиче-
ских полей, что затрудняет их обнаружение (исключением яв-
ляются области тени, где дифрагированные поля дают главный
вклад). Такой трудности кет в случае негармонических полей,
поскольку, как указывалось в § 6, п. «в», разные фазы отдель-
ных слагаемых в формуле (63) соответствуют разным временам
прибытия негармонического отклика в точку наблюдения (см.
изображение волновых фронтов на фиг. 30, а также т. 2, фиг. 34
и 78). Временное разрешение импульсных сигналов позволяет
распознавать различные слагаемые поля, которые в случае гар-
монического поля трудно различимы.

В заключение подчеркнем, что при сохранении лишь глав-
ного члена (37) в асимптотическом представлении различных
составляющих полей не обеспечивается корректность выражения
(63) для общего поля с точки зрения разложения по малому па-
раметру 1/£0. Зависимость амплитуды дифрагированного поля от
&о (см., например, амплитуду боковой волны) может соответ-
ствовать второму члену асимптотического разложения поля гео-
метрической оптики [формула (16)], и поэтому может оказаться
необходимым включить такие члены, чтобы обеспечить коррект-
ность результатов с точностью до определенного порядка по
1/&0-

Негармонические поля

Негармонические во времени поля в однородной (во времени
и в пространстве) среде удовлетворяют системе уравнений, за-
писанных символически в форме (2). В первом приближении
при условиях, позволяющих говорить о волновых пакетах, об-
щие уравнения поля сводятся к простой системе уравнений гео-
метрической оптики (3), интегрируемой вдоль пространственно-
временных траекторий, определяемых уравнениями (10). Фаза
поля в представлении (1) находится путем решения дисперсион-
ного уравнения (4а) [формула (И)], а для определения ампли-
туды и поляризации вектора поля Ч*о нужно найти собственные
векторы Тоа из уравнения (3). Из-за влияния дисперсии такие
расчеты весьма сложны. Для примера рассмотрим простой слу-
чай холодной изотропной плазмы, в котором как приближение
первого порядка, так и высшие приближения могут быть полу-
чены без особых трудностей [19].

Как и в случае гармонических полей (пп. «б» и «в»), при вы-
воде дисперсионных уравнений и уравнений сохранения энергии
для амплитуд пространственно-временных лучей в низшем при-
ближении удобнее исходить из уравнений второго порядка для
полей. Поэтому рассмотрим скалярное волновое уравнение

[v2	0 = 0,	(65)

которому приближенно удовлетворяет скалярная электромаг-
нитная потенциальная функция и в пространственно-неоднород-
ной холодной плазме, характеризуемой плазменной частотой
йр(г), зависящей от координат точки; с означает здесь скорость
света в вакууме. Введя параметр v, по которому будет произво-
диться асимптотическое разложение, мы вводим масштаб про-
странственных и временной координат

Уравнение (65) принимает вид

Гг72 1	&

Р* — тг

«(R, т) = 0,

(67)

где V/} —оператор градиента в системе координат R, <5P(R) =
= ®р (г) =	(Rv), и m(R, т) —это величина и (г, t), предста-

вленная в виде функции новых аргументов. Будем теперь
считать у большим, так что конечным значениям R и т будут
соответствовать большие значения г и /. Как указывалось
выше, это именно та область, где волновые пакеты уже сфор-
мированы. Мы имеем V®p(r) = (l/v)VR©p(R) = O(l/v), так что
частота <ор (г) меняется медленно. Представим решение и в виде
асимпотического разложения

оо

U(R,	,	(68)

т=»0

где ф и Um — величины, не зависящие от v. Подставив это раз-
ложение в уравнение (67) и предположив, что мы можем менять
порядок дифференцирования и суммирования, получим

+ >v [VU -	+ 2Ve<p • V, - i 2 £ i] F +

+ (Ч-4^/И = 0,	(69)

где через F обозначена сумма, фигурирующая в формуле (68).
Поскольку это уравнение должно быть справедливо при любых
(хотя и достаточно больших) значениях v, коэффициенты перед
каждой степенью v должны независимо обращаться в нуль.
Член, пропорциональный v2, дает

член, пропорциональный vl, дает

(vh’-^ + ZVrf-V,-£££)«,-(>;	(71)

члены, пропорциональные у~т (где т ;> 0), приводят к уравне-
ниям

(VU -	+ 2Vs+  V, - A	+

+ (’» —(72)

Уравнение (70) представляет собой дисперсионное уравнение
для среды, которое, если ввести частоту ш и волновой вектор к
так же, как и в формуле (46):

<*=->, k==v^> <73)

принимает более привычную форму:

к2 ~	+ -<°р	= 0» т. е. й = й(к, R) =

**	L

= ±|W + <&2(R)]y‘.	(74)

Уравнение (71)—это уравнение переноса для главного члена
разложения амплитуды и0, а уравнения (72) — уравнения пере-
носа для высших приближений амплитуды. Высшие приближе-
ния можно выразить по рекуррентным формулам через прибли-
жения низшего порядка и ф, но мы не будем здесь проводить
таких расчетов.
Решение дисперсионного уравнения

Путем интегрирования вдоль пространственно-временных
траекторий лучей, даваемых формулой (10), можно найти фазо-
вую функцию, как в формуле (11). Поскольку в дисперсионное
уравнение (74) время ке входит в явном виде, в формуле (10)
мы имеем d&ldt — 0, так что со = const вдоль луча. Таким об-
разом, формула (11) сводится к виду

R

ф (R, т) — ф (Rb Tj) = $ к • dR — й (т — т^,	(75)

Ri

где к — величина, даваемая уравнением (74). В частном случае
плоскослоистой среды фазовая функция совпадает с величиной,
полученной в § 6 методом седловой точки из интегрального
представления поля [формула (30)]. Графический метод по-
строения лучей_был рассмотрен в связи с фиг. 18. Для однород-
ной среды со и к постоянны вдоль луча, и мы получаем фазовую
функцию по формуле (5) из § 6, где vip — величина, даваемая
формулой (1) из § 6, п. «а».

Решение уравнения переноса

С учетом формулы (73) уравнение (71) запишется в виде

(v«-k + ^-g- + 2k.V^+-l®^)uo = O. (76)

Если перейти от переменной т к_ст, ввести вектор четырех-
мерной групповой скорости Vg = Vg+joC, как на фиг. 10,6,
и учесть, что, согласно формуле (74), vg = ?6й = кс2/й, то, как
не трудно убедиться, уравнение (76) можно записать в виде
б-(“??О = 0'	+	рт)

где то — единичный вектор, направленный вдоль оси ст. Уравне-
ние (77) означает сохранение потока энергии uQVg^/c2 в про-
странстве (R, ст). Вектор Vg направлен по касательной к про-
странственно-временным лучам, определяемым уравнениями
(10); данное обстоятельство было использовано в § 6, п. «б»,
в частном случае плоскослоистой среды. Если применить тео-
рему Гаусса — Остроградского в четырехмерном пространстве
(R, ст) к объему, ограниченному трубкой лучей и гиперплоско-
стями т = const (фиг. 31), то отличный от нуля вклад в инте-
грал по гиперповерхности дадут лишь «плоскости» сечения ARi
и AR, так как на боковых стенках трубки мы имеем b-Vg==0,
где b — вектор, нормальный к гиперповерхности. Поскольку
внешние нормали к плоскостям ARi и AR направлены в противо-
положные стороны по оси т и то* Vg = £, получим

(RP т.) AR, = А „2 (R> т) дц.	(78а)

Отсюда, учитывая, что величина © постоянна вдоль луча, нахо-
дим, что амплитуда «о в точке (R, т) вдоль луча следующим об-

разом выражается через значение
амплитуды в некоторой начальной
точке (Ri,ti):

«о (R, т) = «о (Rb *1)	• <78б>

Участки гиперповерхностей ARi и
AR в плоскостях т = const в четы-
рехмерном пространстве (R,ст)
фактически являются объемами
трехмерного R-пространства, так что
соотношение (78а) эквивалентно
соотношению Д№ = 1112AR = const
[§ 6, формулы (9) и (15)]. Тем са-
мым мы обобщили сформулирован-
ную ранее теорему о сохранении

Фиг. 31. Сохранение энергии
в пространственно-временной
лучевой трубке.

энергии волнового пакета и на слу-

чай неоднородных сред. Заметим, что в неоднородной среде со-
храняется лишь разброс частот Д® в волновом пакете, тогда
как в однородной среде остаются инвариантными и Ай и ДК
Соотношения (8) — (10) из § 6 можно применять и в случае не-
однородных сред, если только построения производить локально
с сохранением энергии в волновом пакете; начальная амплитуда
«o(Ri, Ti) и фаза v4>(RiTi) вблизи источника могут быть найдены
по формуле (5) из § 6 в предположении локальной однородности
среды, а после этого можно применять уравнения (75) и (786)
с учетом изменения к и постоянства © вдоль луча.

Отражение и преломление пространствент-временных лучей

Как и в случае гармонического поля, при падении простран-
ственно-временного луча на поверхность В, на которой свойства
среды меняются скачком, возникают отраженный и преломлен-
ный лучи. По тем же соображениям, что и при выводе уравнений
(57) , должно выполняться условие непрерывности фазовой функ-
ции i|)(R, т) на поверхности В для всех входящих в рассмотре-
ние волн [38]. Отсюда следует, что частные производные ф в на-
правлении, касательном к В, и дф/<5т также должны быть непре-
рывны, откуда, согласно формуле (73), следует, что
к/1=к/2= ••• =^im, 61=®2= ... = йт, (79)

где т — число слагаемых волн. Из-за постоянства со в комплек-
се падающей, отраженных и преломленных волн условие согла-
сования (79), налагаемое на касательную составляющую волно-
вого вектора 1q, имеет тот же вид, что и для гармонического
поля, так что применимы графические построения фиг. 24—26.
Начальные направления гармонических лучей в г-пространстве,

Фиг. 32. Отражение и преломление лучей на границе раздела двух сред,
а—конфигурационное пространство; б-—дисперсионная поверхность.

определенные таким способом, представляют собой проекции со-
ответствующих пространственно-временных лучей на гиперпло-
скости, перпендикулярные оси т. Направления лучей в (R, ст)-
пространстве находят построением векторов, нормальных^ к со-
ответствующим ветвям дисперсионных поверхностей (ск, со) в
точках (ск/, ш), характеризующих комплекс лучей (о подробно-
стях графического построения см. в § 6, п. «а»). Способ согла-
сования в случае двух холодных изотропных плазменных сред,
характеризуемых уравнением (74), с локальными плазменными
частотами copi и о>Р2 по разные стороны от границы раздела по-
казан на фиг. 32. Как и в аналогичном случае на фиг. 18, для
упрощения графического построения рассматривается лишь од-
номерная задача (kz = 0). По падающему волновому пакету,со-
ответствующему лучу /, определяется параметр согласования 6/
и затем, как показано на фиг. 32, б, находят начальное направ-
ление отраженного и преломленного лучей.
Поле вблизи волнового фронта

Асимптотическое представление (68) для негармонического
поля «(R, т) = ы(г, t), справедливое при больших r,t (в обла-
сти образования волновых пакетов), неприменимо для описания
явлений в моменты t « r/с, соответствующие приходу волнового
фронта. Как отмечалось в § 6, п. «в», после волнового фронта об-
условлено высокочастотными гармониками волны. Разложения
для негармонических полей при t « r/с можно получить исходя
из асимптотических разложений для гармонических полей, при-
веденных в пп. «б» и «в», уточнив тем самым первые приближе-
ния (45) и (47) из § 6.

Из сказанного в § 6, п. «в», следует, что если гармоническое
поле описывается выражением

Н(г)^^_е/М(г) Д/(г) +

---Чтг У-^Ц^Г(р+т+1) , (80)

(-to)»+1	r т 'J v

m=»0	—

являющимся обобщением разложения (16), то, согласно фор-
муле (20) из § 6, для негармонического поля при t а? -ф(г)/с
имеем

оо

й (г. 0 - А' (г) S (О +	£ Am (г) t'm, где f = t -	>0.	(81)

m=0

Появление фазы ф(г) [формула (28)] вместо г расширяет об-
ласть применения результатов § 6, п. «в», и на среды с про-
странственной неоднородностью при наибольшей скорости рас-
пространения с. Уравнение (81) означает, что волновые фронты
продвигаются по направлениям волновых нормалей, которые в
нашем случае изотропной среды параллельны лучам, определяе-
мым уравнением (23). Асимптотическое разложение полей в об-
ласти между волновым фронтом и сформировавшимся волновым
пакетом рассматривается в работе [22].

ЗАДАЧИ

1. Вывести волновые уравнения второго порядка для акусти-
ческого давления р и скорости v, подобные уравнениям (3) из
§ 1:

а)	с учетом членов с источниками, входящих в уравнения
первого порядка [формула^ 1)],

б)	приняв, что средняя плотность п0 и давление р0 меняются
в пространстве или во времени (или и в пространстве и во вре-
1в. Найти уравнения второго порядка для функций Грина
бц и е<22 в формулах (5) из § 1 в случаях, когда средние плот-
ность и давление меняются в пространстве или во времени (или
и в пространстве и во времени).

2.	В объеме V, ограниченном поверхностью S, на которой
справедливы «импедансные» граничные условия [§ 1, формула
(5а)], использовать функции Грина, удовлетворяющие уравне-
ниям (5) из § 1 и упрощенным граничным условиям Gu = 0 =
= G12, и с их помощью найти выражения для полей p(r, t) и
v(r, t) внутри V, возбуждаемых заданными источниками s(r, t)
и f (г, t) внутри V. [Указание. В дополнение к интегрированию по
области источника [§ 1, формула (4)] проинтегрировать также
по области распределения эквивалентных источников на S, что-
бы обеспечить выполнение условия (5а) из § 1.]

3.	В сопряженной задаче остается неизменной первоначаль-
ная граничная поверхность S, но граничное условие на S, а так-
же среда, заполняющая объем V внутри S, могут, вообще го-
воря, быть иными. Рассматривая первоначально неопределен-
ную сопряженную среду с параметрами по, р+, Tq и граничным
параметром а+, показать, что для вывода соотношения взаим-
ности [§ I, формула (9)] требуется, чтобы сопряженная среда и
граничные параметры были такими же, как и в исходной задаче.

4.	Показать, что соотношения взаимности [§ 1, формулы (11)
и (12)] остаются справедливыми и в случае, когда средние плот-
ность и давление неоднородны в пространстве.

5.	Пользуясь в уравнениях (20в) из § 1 тензорной электро-
магнитной функцией Грина, удовлетворяющей граничным усло-
виям на идеальном проводнике, вывести выражения для поля,
соответствующие формулам (19) из § 1 и удовлетворяющие им-
педансным граничным условиям (16г) из § 1. Показать необхо-
димость добавления поверхностного интеграла и интерпретиро-
вать его, рассматривая эквивалентные электрические и магнит-
ные наведенные токи НХпипХЕна граничной поверхности
S, где п — нормаль к поверхности. Повторить расчеты, исполь-
зуя тензорную функцию Грина для свободного пространства.

6.	а. Вывести уравнения второго порядка для системы урав-
нений Максвелла [§ 1, формула (18)] с учетом источников J и
М в формуле (16) из § 1. Объяснить, почему члены с источни-
ками в уравнениях второго порядка можно рассматривать как
эквивалентные электрические и магнитные токи.

б.	Представить электрические и магнитные поля, возбуждае-
мые распределением источников задачи «а», используя тензор-
ные функции Грина, определенные уравнениями второго порядка
[§ 1, формула (21)]. Сравнить результат с выражением (19) из
§ 1, основанным на уравнениях поля первого порядка и факти-
ческим распределением источников. Объяснить различие обоих
представлений и преобразовать одно в другое. [Указание. Нуж-
но воспользоваться формулой A-VXB = B,VXA — V-(AXB)
и теоремой Гаусса — Остроградского.] Какая формулировка бо-
лее прямая?

в.	Повторить расчеты для неоднородной среды с диэлектри-
ческой проницаемостью в (г) и магнитной проницаемостью р(г).

7.	Используя зависящие от времени функции Грина для сво-
бодного пространства [§ 1, формула (34)], рассчитать по фор-
муле (19) из § 1 электромагнитные поля, излучаемые импуль-
сом электрического тока в кольцевом проводнике J (г, t) = фоА X
X 6 (р — a) 6(z) 6 (t). Радиус кольца равен а, кольцо лежит в пло-
скости 2 = 0, ток направлен в сторону увеличения координаты ф
в цилиндрической системе координат (р, ф, г). Показать, что если
радиус кольца а стремится к нулю, а сила источника А растет
так, что величина аА постоянна, то поле, излучаемое кольцом,
эквивалентно полю магнитного диполя, перпендикулярного пло-
скости кольца. Связать с функцией Грина 'ffa (i = 1, 2) [фор-
мула (19) из § 1].

8.	Произвольно ориентированный импульсный электрический
диполь J (г, 0 = рб (г) д (0 находится возле идеально проводящей
бесконечной плоскости. Рассчитать функции Грина для полу-
пространства и найти по ним излучаемые электрические и маг-
нитное поля. Выразить результат через поле в свободном про-
странстве и поле, отраженное плоскостью. Показать, что отра-
женное поле можно интерпретировать как поле, создаваемое изо-
бражением диполя в отражающей плоскости. [Указание. Нужно
разложить диполь на две составляющие (параллельную и пер-
пендикулярную границе области) и рассмотреть каждую из них
в отдельности.] Повторить расчеты в случае магнитного ди-
поля М(г, /) = шб (г) д (0-

9.	а. Найти негармонические поля, излучаемые произвольно
ориентированным электрическим диполем, расположенным в
точке (%', у', г') в квадранте х > 0, у > 0, образуемом двумя
идеально проводящими плоскостями, пересекающимися под пря-
мым углом. Показать, что ответ можно получить, заменив гра-
ницу тремя надлежащим образом ориентированными диполями-
изображениями в точках (—x',y',z'), (х',—у', z') и (—х',—у',
г'). Интерпретировать решение как сумму поля в свободном
пространстве и полей, отраженных от поверхностей. Построить
соответствующие волновые фронты. Повторить расчеты в случае
магнитного диполя.

б. Взять вместо квадранта сектор с углом а = л/n, где п —
положительное целое число (задача 8 и часть «а» настоящей за-
дачи — частные случаи, соответствующие п = 1 и п = 2). Пока-
зать, что границы сектора можно заменить 2п — 1 надлежащим
образом расположенными и ориентированными диполями-изо-
бражениями.

10.	Интегрированием по г' негармонической трехмерной ска-
лярной функции Грина в формуле (31) из § 1 показать, что дву-
мерная скалярная функция Грина, удовлетворяющая уравнению

р'; t' f) = -6(P-pW-n,

и принципу причинности, дается выражением

g (р, р'; t, t') =

=-—.	 1---  . и (t -1' -	Ц,	(1б)

2л V(< — Г)2 — (| Р — р' |2/с2)	\	с )

где р = (х, у), a U (а) — единичная функция Хевисайда, равная
единице при а > 0 и нулю при а < 0. [Указание. Нужно вос-
пользоваться соотношением б [f (z')l —^6(г' — Z;)/| f' (z<) I, где
i

Zi — нули функции f(z'), a ff = dfldz.]

11.	Плоский идеально проводящий экран площадью S, рас-
положенный в плоскости 2 = 0, освещается заданным электро-
магнитным полем Е£(г,/), Hj(r, f). Наведенные на экране па-
дающим полем электрические токи J (г, /) создают рассеянное
поле Es(r, t), Hs(r, /).

а.	Выразить по формуле (19) из § 1 рассеянное поле через
наведенные токи (на обеих сторонах поверхности экрана).
Используя граничное условие n X Е = 0 на S, где Е = Ег Es —
полное электрическое поле, ап — единичный вектор по направ-
лению внешней нормали к S, вывести интегральное уравнение
для наведенных токов [учесть «условие на ребре», § 5,- формула
(37)].

б.	Приняв, что наведенные токи на поверхности S такие же,
какие были бы, если бы поверхность 5 была частью бесконеч-
ной идеально проводящей плоскости, т. е. J = nXH< на S+ и
J = 0 на где S+ и S- — «освещенная» и «темная» стороны
поверхности S, обращенные к падающему полю и в противопо-
ложную сторону, ап — единичный вектор внешней нормали к S,
написать явные выражения для Es и Hs. Такое приближение
называется приближением физической оптики (приближением
Кирхгофа); оно применимо в случае, когда размеры экрана ве-
лики по сравнению с длинами волн, содержащимися в спек-
тральном временном разложении падающей волны.

12.	В идеально проводящем экране, расположенном в пло-
скости 2 = 0, имеется отверстие площадью S. Из полупростран-
ства z<i0 падает электромагнитное поле ЕДг,/), НДг,
а. Показать, что требуемую непрерывность полных касатель-
ных составляющих электрического и магнитного поля на отвер-
стии можно обеспечить, заменив отверстие идеальным провод-
ником с эквивалентными магнитными токами М = Е X п (где
п — единичный вектор внешней нормали) на его обеих сторонах.
Таким образом, задача нахождения полей в сложной области,
содержащей плоскость с отверстием, сводится к нахождению
магнитных токов М на бесконечной плоскости. Эти индуциро-
ванные токи создают рассеянное поле Е8(г,/), Н8(г, /).

б. Используя тензорные функции Грина для полупростран-
ства из задачи 8, найти поля Е8, Н8, излучаемые токами М в об-
ластях z < 0 и z> 0. Затем, учитывая требование непрерывно-
сти касательной составляющей полного магнитного поля n X
X (Hi + Н8) на отверстии, вывести интегральное уравнение для
М [учтите «условие на ребре», § 5, формула (37); см. также гл. 2,
задача 6]. На отверстии n X Н = n X Нг, т. е. касательная со-
ставляющая падающего магнитного поля в отверстии остается
неизменной.

в. Приняв, что касательное электрическое поле в отверстии
такое же, как и в падающей волне, т. е. n X Е = n X Et- на S,
найти явные выражения для Е8 и Н8. Получающееся приближе-
ние «физической оптики» (или Кирхгофа) справедливо при тех
же условиях, что и в задаче 11, «б».

13.	Используя представления тензорной функции Грина для
свободного пространства [§ 1, формулы (38а) и (41)], найти от-
клик на возбуждающий электрический ток J(r, /) =
=J6(r)e~i(AatU (/), где (7(a) = I при а > 0 и (7(а)=4 при а < 0.
Отделить переходное поле от поля, соответствующего стационар-
ному гармоническому возбуждению (/->оо). Выделить полу-
чающиеся тензорные функции Грина (г, г') Для периодиче-
ских полей и сравнить их с приведенными в гл. 5, § 2. Исполь-
зуя формулы (386) и (39а, б) из § 1, найти уравнения, которым
удовлетворяет потенциальная функция ^(г, г') для гармониче-
ского поля, а также соответствующие выражения для V?^(r, г')
и (д/др)<?(г, г'); сопоставить полученные выражения с резуль-
татами гл. 2, § 4, п. «б». Показать взаимосвязь между принци-
пом причинности и «условием излучения».

14.	Рассчитать сопряженные (обращенные по времени; схо-
дящиеся) поля Е+(г, t) и Н+(г, /), соответствующие электриче-
скому току J+(r, /) = J+6(r)eZfi>o/ (7(—- t) (задача 13). Разделить
поля на переходное и стационарное и интерпретировать поведе-
ние обоих полей. Каков аналог «условия излучения» при обра-
щении времени для гармонических процессов? Пользуясь ком-
плексными обозначениями и опираясь на результаты задачи 13?
дать соответствующую формулировку условий взаимности [§ 1,
формула (28)] для случая стационарных гармонических полей.

15.	Пользуясь формулой, в которой поле выражается через
потенциальные функции П' и П", аналогичной формуле (42) из
§ 1, найти Е- и Я-моды поля, создаваемые импульсным магнит-
ным диполем M(r, t) = уо6(г)6(О, перпендикулярным направ-
лению симметрии a bs z0. Вывести этот же результат из прин-
ципа дуальности (Е -> Н, Н —» —Е, J -> М, ц в) в применении
к уравнениям (42) — (47) из § 1.

16.	Учитывая, что элементарный электрический ток, направ-
ленный по оси симметрии a s z0, не создает Я-мод поля [П" ва
= 0в формуле (426) из § 1], рассчитать поле (£-моды), созда-
ваемое направленным так элементом тока с временнбй зависи-
мостью 6-типа. С учетом формулы (38а) из § 1 показать, что ре-
зультат не содержит особенностей [как в формуле (46а) из § 1]
в поперечной плоскости, проходящей через источник. В случае
источников тока, распределенных по объему V, дает ли формула
(42а) из § 1 правильное значение поля внутри этого объема?

17.	В случае неоднородной, но не диспергирующей среды
(волны всех частот распространяются с одной и той же ско-
ростью) величины во и go в формулах (16) и последующих из
§ 1 заменяются величинами е(г) и ц(г). Показать, что соотно-
шение взаимности типа формулы (25) из § 1 остается справед-
ливым, и вывести соотношения, аналогичные формулам (28) и
(29) из § 1. Повторить вычисления в случае анизотропной
неоднородной недиспергирующей среды, в котором величины
sodE/dt и цо<ЭН/д/ заменяются величинами в(г)-дЕ/д/ и ц(г) •
• дН/д/, где е(г) и р(г) —тензоры диэлектрической и магнитной
проницаемости.

18.	В сопряженной электромагнитной задаче пространствен-
ные границы S области V остаются такими же, как и в исход-
ной задаче, но свойства среды, заполняющей объем V, и вид гра-
ничных условий на S следует надлежащим образом определить.
Показать, что определяющие параметры в*, ц* и Z+ для со-
пряженной задачи, при которых достигается взаимность [§ 1,
формула (24)], таковы: в+==е0, ц^ = ц0, Z+ = — Z, где Я —
транспонированный тензор Z. Повторить эти же расчеты в
случае анизотропной среды (задача 17) и показать, что пара-
метры сопряженной среды должны удовлетворять условиям
е+ = е, ц+ = р, г+ = -Я.

19.	Импульсный источник, действующий в момент t = f,
распределен равномерно по плоскости z = zr в бесконечной од-
нородной недиспергирующей среде, характеризуемой скоростью
распространения cQ. В момент /0 > t' скорость распространения
в среде мгновенно (и равномерно во всем пространстве) ме-
няется и становится равной с\. Скалярная функция Грина g(z,
zr', t,t'), описывающая зависящее от пространственных коорди-
нат и времени поле, определяется уравнением

Йо z'; Z’ П =	(2)

где c(t) = с0 при t < to и c(t) — Ci при t > t0, и дополнитель-
ным условием g s 0 при t < t', выражающим принцип причин-
ности. Для обеспечения непрерывности плотностей потока элек-
трического и магнитного поля при t = t0 накладывается усло-
вие [20, разд. 1.3]

g, непрерывны при t = to.

Показать, что при t < /0 решение имеет вид

g = %U(c^-\Z\), T — t — t', Z = z — z',
4

(2а)

(26)

а при t > t0

g =	+77-)^(^ + coro-|Z|) +

+ Т С1 “ ?)	~ CiT -1Z |) -U(C1x - СоТо -1Z |)], (2в)

где То — to— t', х = t — t0. Величина U(x) — единичная функ-
ция Хевисайда, равная единице при х > 0 и нулю при х < 0.
Покажите, что различные члены в формулах (26) и (2в) можно
рассматривать как бегущие волновые фронты, и проследите за
их перемещением в различные интервалы времени. Заметьте, что
при скачкообразном изменении во времени свойств среды воз-
никает не только прошедшая, а и отраженная волна.

20.	Повторить расчеты задачи 19 в случае импульсного то-
чечного источника, расположенного в точке г = 0. В этом слу-
чае функция Грина определяется уравнением

[v,-777)	' '')-««— l">t(г)

(3)

с дополнительным условием g = 0 при t < t' и с условием не-
прерывности (2а). Показать, что при t < tQ

а при t > to



(4а)

+^) Wo+C1T-r) + (l -^)[d(Ccr0-ClT_r)_

— 6 (cix — CqTo — r)] |,	(46)
где приняты такие же обозначения, как и в задаче 19. Объяс-
нить полученные результаты как распространяющиеся волновые
фронты и проследить за их перемещением в различные интер-
валы времени. Показать, что отраженное поле в (46) остается
конечным при г = 0. Рассмотреть детально поле при г = 0, ис-
пользуя функции Грина (4а) и (46) для построения отклика на
функцию источника /(/), равную нулю при /<0и действую-
щую в течение интервала времени 0 < t < I, Рассмотреть два
случая: I < t0 и I > tQ.

21.	Источник электромагнитного поля распределен равно-
мерно по плоскости z = z' ъ однородной недиспергирующей сре-
де, а его временная зависимость описывается импульсной функ-
цией типа S'(t — f). В момент t = tQ > t' во всем пространстве
мгновенно создается холодная однородная плазма (например,
на нейтральный газ действует ионизирующее излучение). Соот-
ветствующая задача для функции Грина формулируется так:

z': *’ =	—	(5)

где б' (/) = dd (t)/dt и

фр (t) — bU(t — tQ), b — const.	(5a)

Дополнительно нужно потребовать, чтобы выполнялось условие
Р = 0 при t <Zt' (принцип причинности) и условие непрерывно-
сти типа (2а). Заметьте, что здесь Р— производная от функции
Грина g при t Ф t'.

а.	Показать, что при t0 = t', т. е. в случае поля, излучаемого
в однородную стационарную плазму,

V = д (сТ -1Z |) - ~ Z|	£/ (сГ - | Z I).	(6)

Это одномерный вариант решения (61) из § 1.

б.	Показать, что при t <_ to, когда to > t',

V =^&(cT-\Z\), T = t — t', Z = z — z',	(7a)

а при t > to

c2	cb ( J.(bt'b) f	Z\

v=T6(cr-|Z|)-T{-i^±l(T_To-7)c/(S+) +

+ Л (T - ?о + 7) U (g_) }, To = to-1', % = t-to, (76)

где £± = r2— [(Z ± cT0)/c]2. Объяснить физический смысл от-
дельных слагаемых и сравнить с решением для недиспергирую-
щих сред в задаче 19 (см. также задачу 38).	К
22.	Повторить расчеты задачи 21 для случая точечного им-
пульсного источника типа 6(/— t'). Если to = t', то решение
дается при всех t > t' выражением (616) из § 1. Когда же fo >
>> t', решение в интервале t' < t < t0 совпадает с решением
(4а) (но скорость Со заменяется скоростью с). Показать, что при
t > to

g = -L. б {СТ - г) +	(т - То - -) U (£ +) -

4лг	8лг (	\	с/ х

+ (8)

где С+ определяется так же, как и в задаче 21, но с заменой Z
на г. Показать, что если % > То, функция Грина остается ко-
нечной при г = 0 и равна

1)2 Г а(*д/т2 — Го) I г	тЛ1 г Л CQl

----+	-r°JJ, г = 0.	(9)

Объяснить физический смысл полученных результатов и сра-
внить их с решением для недиспергирующей среды в задаче 20.

23.	Показать, что в случае линейной среды материальные
уравнения могут быть представлены в дифференциальной опе-
раторной форме

D(r, 0 = 8 (V, 4; г, /)-Е(г, /),

; д .	(10а)

В(г, 0 = h(v, ^-;г,/).Н(г,/)

или в интегральной операторной форме

D (г, 0 = (в (г, /; г', Г) • Е (г', /') dr' dt',

I	(Юб)

в (г, 0 = J ц (г, /; г', /') • Н (г', t') dr' dt',

если поляризационные токи J и М в среде определяются линей-
ными дифференциальными уравнениями вида

^(V,-^;г, /) • J(r,/) = Е(г, 0,

/ Л ;	(и)

^m(v,^-;r, /) • М(г, 0= Н (г,/)•

Показать, что для однородных и стационарных сред тензорные
операторы имеют вид

е(г» С г', 0) = 8(г—г'; t—t'), p(r, t; г', /') = ц(г—г'; t—t'). (12)
24.	Повернув оси координат в четырехмерном пространстве
(г, t) так, чтобы ось времени проходила через точку наблюде-
ния, показать, что асимптотическое приближение (при больших
г) интеграла в формуле (1) из § 1 можно представить в инва-
риантной форме, отличающейся от выражения (5) из § 6,

I (г, t) ~ A (ks) el* (r>	(2л)’/! е~1 ,я/4) °	(г2 +	(13)

3

где о= £ sigofy, а /?;(/= 1, 2, 3) — главные радиусы кри-
визны четырехмерной дисперсионной поверхности (к, <и) в сед-
ловой точке ks. [Указание. См. формулы (24) и (25) из § 6.]

25.	Двумерная скалярная функция Грина для негармониче-
ских полей g(p,p'; t, t') в случае изотропной однородной холод-
ной плазмы определяется уравнением

(v2	р'; Н =

=-д(р-Р')ба-п. р=(у,г) (и)

с дополнительным требованием g s 0 при t < t' (принцип при-
чинности) .

а.	Показать, что при р' = f = 0 для функции g возможны
следующие альтернативные представления [§ 5, формулы (51) —
(53)]:	°°

8 = И J П2+е + ^2р/с2)-^2/с2) d4 dZ	(15)

2 оо оо

Н^)р»ИЖ^=	'	<*»>

2

с2

£ 4л

k^(kR)e~M	/пг—2

Л2 + ®2-ш2 ’ R-^y +2’

kH^ (kR) sin

G>1

dk,

G>1



'-<°p

С

(166)

(17)

(18)



Чтобы перейти от (15) к (16а), нужно ввести полярные коорди-
наты в плоскостях (у, г) и (т>, £) и воспользоваться интеграль-
2л

ным представлением/0 (£/?) = (1/2л)$ etkft cos * t/ф. Разобрать во-
о
прос о том, как должны быть расположены различные пути ин-
тегрирования относительно особенностей подынтегрального вы-
ражения. Пользуясь таблицей преобразований Лапласа, можно
показать, что для функции g справедливо выражение

cos [сор V/2 — (R/c)2 ]

2л V/2 - (Я/JF ~

ё =

(19)

где U(x) — 0 при х < 0 и U(x) = 1 при х > 0.

б.	Подставить в (17) и (18) асимптотическое разложение
функции Ханкеля

(20)

справедливое при больших R и конечных k или k\. Разделив
подынтегральное выражение на две части, содержащие экспо-
ненциальные функции, показать, что каждая часть приводит к
единственной седловой точке ks\ или k^-.

± 7?<Ор

S1'2 “ с2 V/2 - (tf/cF ’

t > —
С

(21)

Показать, что сумма асимптотических представлений каждого
интеграла, полученных из одномерного варианта уравнения (5)
из § 6 (однократный интеграл по k), приводит к уравнению (19).

Аналогично исходя из уравнений (18) и (20) показать, что
подынтегральное выражение имеет две седловые точки

©о	R

<Osl>2=± 1>~' (22)

Применяя уравнение (43) из § 6 для каждой седловой точки,
показать, что асимптотическое представление выражения (18)
также дает формулу (19). Проанализировать ограничения, на-
лагаемые на асимптотическое представление (хотя оно и ока-
залось совпадающим с точным).

в.	Используя метод вывода уравнения (9) из § 6 в сочетании
с формулами (18) и (20), найти переходные функции, связы-
вающие асимптотические представления с представлением вбли-
зи волнового фронта. Сравнить с точным решением (19).

26. Линейный источник, расположенный вдоль оси г, нахо-
дится в холодной изотропной однородной плазме, как в за-
даче 25. В источнике мгновенно устанавливается гармоническое
колебание

f(0 = ?-^W),

(23а)
фурье-образ которого имеет вид

ОО

F (©) = $ e^f (t) dt =	(236)

— ОО

а.	Показать, что отклик g на такое возбуждение дается ин-
тегралом (18), в котором подынтегральное выражение умно-
жено на F(®) (рассмотреть положение контура интегрирова-
ния). Произвести асимптотическую оценку интеграла и пока-
зать, что при t > R/с

.____i_ Г e~fV _	1

* ~ 4лт L (cdpf/т) “ ©о (Opf/т) + ©о J '

+4^1)(4V^7®r)e~WfZ(/-Q« (24)

где	_________

a vgo = [dki((Oo)ld&o]~l — групповая скорость, соответствующая
частоте сигнала м0- Интерпретировать результаты, пользуясь
фиг. 21. Заметьте, что при 1->оов формуле (24) остается лишь
второе слагаемое, представляющее точный отклик на гармониче-
ское воздействие [гл. 5, § 4, формула (25)]. Указать условия, при
которых справедливо выражение (24), и обратить внимание на
различия в поведении решения при ®0 > и ®о < ®Р.

б.	По Re g и Im g найти отклик на мгновенно включенные
сигналы fi — U(t)cos coot и f2 = U(t)sin W- Используя формулу
(9) из § 6, найти переходные функции для Re g и Im g вблизи
волнового фронта t = R/c. Рассмотреть различие в поведении
обоих решений и связать его с поведением во времени функций
источника fi и f2 вблизи t = 0. Сопоставить с переходной функ-
цией для 6-возбуждения из задачи 25.

27.	Рассмотреть одномерную форму волнового уравнения
(15) из § 7 с V2->d2/dz2 и п(т)~ n(z). Приняв асимптотическую
форму решения в виде выражения (16) из § 7 с r->z, показать,
что второй член асимптотического разложения дается выраже-
нием

М*)=-------1	(2б)

2Vn(z) J Vn(C)

где «о (z) = Д/Vn (z), А = const [см. также задачу 40, «а»]. Для
того чтобы в формуле (16) из § 7 можно было ограничиться
первым членом, должно выполняться условие |hi |	|&о«о|-

Показать, исходя из выражения (25), что это условие экви-


валентно условию (21) из § 7, а именно неравенству [dn/dzl
< k0n2.

28.	Источник, распределенный по всей плоскости z = z' в ва-
кууме, образован электрическими токами, параллельными оси
у, постоянными вдоль оси у, но с фазой exp(ifeoax), линейно ме-
няющейся вдоль оси х (ko = (п/с, где с — скорость света в пу-
стоте, а — действительная величина). Предполагается зависи-
мость exp (—iat) от времени.

Фиг. 33. Ход лучей в случае излучающей плоскости с линейным изменением
фазы.

Показать, что электромагнитное поле имеет отличные от
нуля составляющие Еу, Нх и Нг, что Нх и Нг можно выразить че-
рез Еу и что величина Еу пропорциональна функции Грина
g(x, z; z'), определяемой уравнением

(^г + -S’ + *0 * (*’ z; 2') = ~ 6 (* - *')	<26)

и дополнительным условием излучения при ]z| -> оо. Показать,
что решение имеет вид

g (х, г; г') = —	\---_ exp [ikQ (ах + V1 — а21 z — z' |)]. (27)

Проанализировать свойства излученного поля при |а| < 1 и
|а| > 1.

Считая известным поле при z = z', т. е.

aikoax

g (х, z'; z')» и (х, z') =	,	--,	(28)

21kq 1 CL

найти решение (27) методом лучевой оптики, приводящим к
Уравнению (40) из § 7. Почему приближение лучевой оптики
оказывается в этом случае точным? Показать, что при 0 < а С

1 система лучей имеет вид, изображенный на фиг. 33.
29.	Направленные по оси у электрические токи распреде-
лены в вакууме по цилиндрической поверхности р = а равно-
мерно по оси у и с азимутальным изменением фазы ехр(гтф),
где р и ф — полярные координаты в плоскости xz, а т — поло-
жительное целое число.

а.	Представим ехр(ппф) в виде exp(ifeoas), где s — линейное

расстояние вдоль распределения

Фиг. 34. Ход лучей в случае излучаю-
щего цилиндра с линейным изменением
фазы.

источников, а волновое число
koa = т/а описывает изме-
нение фазы источников. При
koa 1 элемент источника
А можно считать излучаю-
щим так, как если бы он
был элементом бесконечного
плоского распределения ис-
точников в плоскости, каса-
тельной к цилиндру в точке
А. Показать, что при a =
= mfkoa < 1 семейство лу-
чей геометрической оптики
имеет вид, показанный на
фиг. 34 с каустикой, распо-
ложенной при р = Ь =
= a cos 0 = аа (см. также

т. 2, фиг. 26). Показать так-
же, что отношение сечений
трубки лучей hsB/&sA для точек В и А, находящихся на луче,
при р> а дается выражением

=	£ = Vp2-&2-Va2-62, Lf = ^/a2-b2. (29)

б.	Подставив в формулу (40) из § 7 начальное значение поля
из формулы (28) и отношение сечений из формулы (29), пока-
зать, что в приближении геометрической оптики поле в произ-
вольной точке (р, ф), где р> а, имеет вид

«1 (р, ф) ~ Af exp [im (ф — у + 0) +

+ i^o (р sin у — asin0)](-^^)/‘, (30)

где у = arccos(6/p), а М — постоянная. Выражение (30) описы-
вает луч, приходящий в точку наблюдения В от источника А.
В точке В будет еще луч, выходящий из точки С и проходящий
внутри цилиндра. Рассчитать поле, обусловленное лучом из С,
учитывая дополнительный фазовый множитель ехр(—in/2), по-
являющийся из-за касания лучом каустики [см. гл. 5, § 8, фор-
мула (55), в связи с более общим вопросом о каустике в неод-
нородной среде].
в.	В области b < р < а в каждую точку наблюдения также
приходят два луча. Используя формулу лучевой оптики [§ 7,
формула (40)], показать, что суммарное поле имеет вид

и (р, <р) ~ 2М ехр pm (ф — 0) + ikoa sin 0 — X

X ( Р £ ) /1cos (feop sin у — ту —	• (31)

30. Линейный источник в точке Q параллелен образующим
искривленной поверхности, разделяющей две разные однород-
ные изотропные среды; зависимость поля от времени имеет вид
ехр (—iat).

Фиг. 35. Отражение от искривленной граничной поверхности.

а. Для лучевой трубки, построенной на фиг. 35, показать,
что, поскольку 0Г = 0, и а — 0, справедливы выражения

f = rcos0r-^-, Дф = 2Д^ + Д60,	(32а)

f _________гЛ cos Of___

f +1 ~ 2ll\ + (l + /1) r cos Of ’

где r—радиус кривизны поверхности в точке падения луча Л,
М — точка наблюдения, a F — мнимый фокус для отраженной
лучевой трубки. Показать, что если падающее поле в точке А
записывается в виде h % exp (ifeiZi), то отраженное поле равно
~ elkt (l. + lt	d __ Г (/|+/)rC0S6f "j Л	/OQ\

0T₽ -Vh+l ’	L 2/,/+ (/,+/) г cos 0Z J ’	'

где Г — коэффициент отражения, соответствующий углу паде-
ния ©i, a ki — волновое число для среды 1. Величина D — гео-
метрический коэффициент расходимости, учитывающий эффек-
ты, обусловленные искривленностью поверхности; в случае пло-
ской поверхности г = оо и D = 1, так что выражение (33) сво-
дится к формуле (646) из § 7. В случае кругового цилиндра

Фиг. 36. Преломление на искривленной граничной поверхности.

г = const. При расчете поля в дальней зоне следует положить
/ -*• оо. Полагая 1\ -> оо и перенормируя интенсивность источ-
ника так, чтобы падающее поле имело вид единичной плоской
волны exp(ZWi), получаем отраженное поле

й ~ Ге1к>(Z1+Z) л /—~-°$~{—	(34)

«отр	Л/ 2/ + rcos0i '	'°*'

4 б. Показать [с использованием закона преломления
п2 sin 0В =« «1 sin ©i], что для лучевой трубки, построенной на
фиг. 36,

_ rcosO*	rllcos9R

1 ~ Дт/ДФ (т - 1) /i + mr cos 0г ’	4 7

где т = dGR/dQi = (nt cos 0,) (п? cos 0в)-1. Полагая ki, 2= ^o«i, г>
показать, что для того же падающего поля, что и в задаче 30,
«а», прошедшее поле в точке М' дается выражением [гл. 5, § 5,
формула (9)]

«прел ~ Т --------------------------jt- £)',	(36)

Р l(m^2 C0S "Ь cos $r)/cos *

где Т — коэффициент прохождения для плоской волны. Вели-
чина D'— геометрический коэффициент расходимости, учиты-
вающий искривление преломляющей поверхности:

Г>' — Г	(^€08^+/! cos Од) Г	~|У* ф

L (m — 1) Zj/2 + (ml2 cos0f +l{ cos 0^) r J ’	'	'

для плоской поверхности D' = 1. В случае плоской падающей
волны вида exp(i^iZi)	_________________

«прел ~ Те1 (ЬМЬМ д / ---.	(37)

прел	у (m — 1) /2 + г cos 0^	х 7

31. Слабо искривленная поверхность В разделяет две одно-
родные или слабо неоднородные среды 1 и 2; в среде 1 могут
распространяться М, а в среде 2 — N видов волк. Достаточно
близко к точке Р на поверхности раздела среды можно считать
локально однородными; различные виды волн Uj удовлетворяют
здесь скалярному волновому уравнению для гармонических волн
(V2 + £2) иу — 0, kj = krij, в котором k — волновое число в пу-
стоте, а п$— коэффициент преломления. Пусть все поля и гео-
метрические характеристики не зависят от декартовой коорди-
наты z, так что задача — двумерная и все величины представ-
ляют собой функции вектора р = (х, у). Пусть на границу раз-
дела В в точке Р падает из среды 1 волна /, и пусть эта падаю-
щая волна в высокочастотном асимптотическом представлении
имеет форму

щ (р) ~ At (Р) М (₽) [1 + О (|)],	(38а)

где множитель ехр(—i&t) опущен. При падении волны uf на по-
верхность В образуется М отраженных волн в среде 1:

м

ur (р) ~ £ Brm (Р) ек^(Р) [1 + О (|)],	(386)

т=1

и N прошедших волк в среде 2:

N	г

Щ (Р) ~ X Dtn (р) е‘к^(₽) [1 + 0 (1)].	(38в)

1

Вблизи точки Р фазы всех этих волн удовлетворяют уравнению
эйконала (Vi|>')2=l [§ 7, формула (18а)], а амплитуды удо-
влетворяют уравнению переноса (186) из § 7. Величина nft'
соответствует величине % в формуле (57) из § 7.

а.	Исходя из условия согласования на поверхности для ка-
сательных составляющих волновых векторов в формуле (59) из
§ 7 и из уравнения эйконала показать, что нормальные состав-
ляющие различных волновых векторов удовлетворяют соотно-
шению

где v — нормаль к поверхности и т = 1, 2, ..., Af, п = 1,
2, ..., N.

б.	Пусть область 1 — горячая плазма, в которой могут рас-
пространяться два вида волн — электромагнитная и акустиче-
ская, и В — идеальный проводник, так что область 2 исключает-
ся (см. часть фиг. 26, относящуюся к плазме). Соответствующие
скалярные уравнения для среды 1 имеют вид

(V2 + Н (р) = 0,	= knp, k = kQ, (40а)

(V2 + £2) р (р) ==о, k2 = kanp>	(406)

где Н — составляющая магнитного поля по оси у, а р — откло-
нение акустического давления от среднего. Примем, что на по-
верхности В выполняются следующие условия [выражающие
требование равенства нулю касательной составляющей электри-
ческого поля и «импедансное» условие для нормальной состав-
ляющей скорости; § 1, формула (16)]:

0 = ,^--------

ds	dv

_	1 др дЩ 2 _ ,	<41)

iwnNrfip dv ds р eQ/n(o

Здесь <7, т, No и 0 — действительные параметры, a s — коорди-
ната по касательной к В. Найти асимптотические формы для
граничных условий (41), считая, что Н и р представляются в
виде (38а) и (386) с М = 2, и оставляя лишь главные члены.
Показать, что при падении акустической волны (т = 2) отра-
женный акустический луч имеет начальную относительную ам-
плитуду Г22(р), равную

p /о\ _ ^Г2 (Р) ____

Г22(Р)- Лг2(р) -

Ч {k\	k2 (<5i|>'/dv) - \k2 (di|>'/ds)]2(l - n2)} +

+ Pfe, (<?ф,/^) (jVoe/<a8o)

<7 {kx (di|)(/dv) Л2 (^2/^) + [fe2 (<?i|>'/ds)]2 (1 - n2)} -

- ₽*2 (^’l>7<?v) (^0«/“80)

• (42)

Вывести аналогичные выражения для коэффициента связи
Г21 = ВГ1Мг2 с отраженной электромагнитной волной. Проде-

лать то же самое для падающего
электромагнитного поля и найти
соответствующие коэффициенты
Гц и Г22.

в. Считая границу плоской и
плазму однородной, решить урав-
нения (40) и (41) и найти точные
значения коэффициентов отраже-
ния при падении плоской акусти-
ческой или электромагнитной вол-
ны. Сопоставить их с выраже-
нием (42) и др.

32.	Пусть горячая плазма за-
дачи 31, «б» возбуждается линей-

Фиг. 37. Падающий акустический
луч (/), а также отражённые аку-
стический (2) и электромагнит-
ный (3) лучи.

ным источником и среда однород-
на. Рассматривая падающий аку-
стический луч, мы найдем соот-
ношение между углами падения
и отражения [§ 7, формула (61),

а также фиг 26]. Используя эти соотношения и зная радиус кри-
визны гс границы В, найти фокальные расстояния fa и f0 для тру-
бок отраженных акустических и электромагнитных лучей
(фиг. 37). Обозначив через L2 расстояние от точки Р до точки
наблюдения на акустическом, а через L3 — на электромагнит-

ном луче, показать, что отношение сечений лучевых трубок в
точке Рив точке наблюдения для акустического луча (зада-
ча 30) равно

fa _____________гсЦ cos 0i______

fa + L2 2L{L2 + (Li + L2) rc cos 0i '

а для электромагнитного



rcL] cos2 03

fo + L3 LiL3 (cos 03 + na cos 0i) + rc cos2 03 + naL3 cos2 0i) *

(43a)

(436)
где L\ — расстояние от источника до точки Р, а па = ka/k0. Про-
делать такие же расчеты в случае падающего электромагнит-
ного луча.

Используя эти результаты и результаты задачи 31, «б» по-
строить асимптотические приближения полей, излучаемых линей-
ным источником в однородной горячей плазме, ограниченной
плавно искривленной проводящей поверхностью. Начальную
амплитуду акустической или электромагнитной волны, испускае-
мой источником, считать известной.

33.	В случае гиротропной среды, в которой имеется постоян-
ное внешнее магнитное поле, направленное вдоль оси г, поверх-
ность k=k(0, ю), описываемая концом волнового вектора к,
обладает симметрией вращения и зависит от частоты © и поляр-
ного угла 0 между к и осью г. Вместо этой ^-поверхности часто
удобнее рассматривать поверхность показателя преломления,
которая следующим образом определяется через k:

п(0, <о) = £*(ё, о).	(44)

Продифференцировав в неявном виде функцию f = kc —
— ®n = О, показать, что составляющие вектора групповой ско-
рости Vg = Vfe© таковы (оси координат повернуть так, чтобы вы-
полнялось равенство ky = 0):

___ sin б - (cos ё/я) (дп/дв)	,

°«х —с	д(п<я)/д<й	’	(4£>а'

_ ___л cos 0 + (sin ё/я) (дя/дё)

= С------д^)/до--------•	<45б>

[При этом нужно иметь в виду, что dkjdkx = sin 0, dnldkx
=/г-1 cos 0 (dn/d0) и т. д.] Показать также, что

Vs ^Jv&x "Ь vgx cos а д(п<о)/д<й ’
где

a = arctgp--^),	(46а)

(7U /

и что составляющие скорости vg вдоль вектора к и перпендику-
лярно ему таковы:

с	с tea

vgk — о (пв>)1д<й ~ Vg C0S a ’	д	•	(47)

Следовательно, величина а в формуле (46а) — это угол между
векторами к и vg. Используя формулу (46а) и рассматривая по-
верхность показателя преломления, показать путем графиче-
ского построения, что вектор vg перпендикулярен поверхности.
34.	Равномерно распределенный по плоскости г — 0 источ-
ник с импульсной характеристикой 6(/) находится в холодной
изотропной однородной плазме, характеризуемой постоянной
плазменной частотой сор. Поля могут быть выражены через ска-
лярную функцию Грина’§•, удовлетворяющую волновому урав-
нению

( д2 1 д2 аг \

~ ~dt*	=	$ (0	(48)

и дополнительному условию g = 0 при t < 0. Показать, что
функция g имеет вид [ср. с интегралом по времени от функции
(6)]

(49)

а.	Источник, фигурирующий в уравнении (48), расположен в
пространственно-временной точке (z, t) = (0,0), так что про-
странственно-временные лучи, описывающие процесс излучения,
сходятся в начале координат. Используя метод пространственно-
временных лучей (§ 7, пп. «а» и «д»), показать, что решение
уравнения луча имеет вид [обозначения см. в формуле (67) из
§7]

Z = vg (й) т, vg —	, й — ± д/kc2 + й£ (50а)

и что амплитуда поля меняется вдоль луча как тг'ь [§ 7, фор-
мула (786)]. Показать также, исходя из (50а), что параметр

луча й можно представить в виде

а^р	—	аьп

ё = ±  °"уда  (50б)

и что фаза в точке (Z, т) луча, соответствующая со 0, опреде-
ляется, согласно формуле (75) из § 7 и формуле (506), равен-
ством

ф± (Z, т) — ф± (0, 0) = Ян (орт V1 — (Z/ct)2 , о 0. (50в)

Суперпозицией решений для о 0 найти выражение для поля
[т. е. член с т = 0 в формуле (68) из § 7]

и (Z, т)---	1 cos [ v(bp д/т2 —	— vx|)+ (0, 0) + a j , (50г)

где Л (со) = |Л (со) |ехр (icz) —величина, характеризующая на-
чальное значение поля на луче, и принято ф_(0, 0) = —ф+(0, 0),
чтобы величина u(Z, т) была действительной.

б.	Чтобы найти начальные значения А и ф+(0, 0) на луче,
нужно решить задачу о возбуждении поля источником данного

8 Зак. 639
вида в окрестности источника. Поскольку лучевым методом
этого сделать нельзя (о_т>оо при т-»0 вдоль луча), начальные
значения глапует находить из точного решения задачи, справед-~
ливого вблизи источника и даваемого соотношением (49). При
достаточно больших значениях ct — z функцию Бесселя в (49)
можно заменить ее асимптотическим выражением, соответствую-
щим большим аргументам, и величины А и ф+(0, 0) в формуле
(50) определятся требованием совпадения выражения (50г)
для u(Z, т) с асимптотическим представлением (49). Провести
соответствующие вычисления. Замечание. Поскольку выраже-
ние (49) есть точное решение, справедливое во всех пространст-
венно-временных точках, лучевой метод не дает никакого пре-
имущества в случае задачи об излучении в однородной плазме.
Но для неоднородной среды с юр = <лр(г) точное решение в
замкнутой форме> получить в общем случае нельзя. В этом слу-
чае приведенное точное решение дает начальное значение поля
в окрестности z = 0, а метод лучевой оптики может быть при-
менен для получения асимптотических решений в других про-
странственно-временных точках (задача 35). Лучевое прибли-
жение оказывается непригодным вблизи волнового фронта
|z| = ct, где должна использоваться переходная функция типа
(49) из § 6. В данной задаче переходную функцию можно полу-
чить из (49), заменив л/t2 — (z/c)2 величиной V2g(/ —£), где
g=|z|/c. На основании дисперсионного уравнения ck =
= (со2 — ©2 )|/а величину ®а в формуле (48) из § 6 следует отож-
дествить с =«>2/2, а величину v в формуле (49) из § 6 поло-
жить равной —1.

35. Пусть источник задачи 34 находится в неоднородной
плазме, характеризуемой плазменной частотой сор = ®p(z) (да-
лее мы будем пользоваться обозначениями § 7, п. «д»),

а.	Показать, что уравнение пространственно-временных лу-
чей (до точки поворота, если она есть) имеет вид

z

ст = \ —;  m =• d£, й = const на луче. (51а)
о y®2-®2(?)

б.	Показать, что при заданном приращении dc5, определяю-
щем два соседних луча, сечение dZ лучевой трубки плоскостями
т = const дается выражением

dZ _ V®2-®2p(2) f <52p(£)rf£

d& &	J [®2-й2юр*	(	}

[Заметим, что если записать (51а) в виде F(r, Z, й) =0, то
dZ/dti = -(dF/дё») (dFjdZ)-1.}
в. Построить асимптотическое решение, соответствующее
т = 0 в формуле (68) из § 7, используя формулу (516) из за-
дачи «б» и формулы (75) и (786) из § 7. Найти начальное зна-
чение поля на луче, приближая точку наблюдения к области ис-
точника и требуя, чтобы асимптотическое решение согласова-
лось с решением для однородной среды с плазменной частотой
сор(О), которое было найдено в задаче 34 [заметьте, что при та-
ком предельном переходе в формуле (51а) мы имеем cr->Zo
[ф2 — шр(0)]“1/2; аналогично упрощаются и другие интегралы].
Показать, что при значениях Z, т, соответствующих участкам
луча от источника до точки поворота (если ока есть), асимпто-
тическое представление функции Грина из уравнения (48) [с
Фр = сор (z)] имеет вид [42]

g(Z,x)~-£=X

V2nv

[z ___________ -i

v/c $ д/ю2 — ю2 (J) dt, — v6t + л/4 I

X--------------2--------p-------------------у/,.	(51B)

[ю2 - Юр (2)]'/* [ю2 - ю2 (0)]'А | J (ю2 (?)	- ю2 (?)]% J

Точка поворота определяется условием dxfdZ = оо в формуле
(51а). Параметр луча ю неявно зависит от (Z, т), согласно фор-
муле (51а). Если уравнение (51а) может быть решено относи-
тельно to = ®(Z, т), то из формулы (51в) можно исключить <5.

г. Показать, что если луч имеет точку поворота (Zt, xt)
(фиг. 18), то после точки поворота его уравнение таково:

(52)

Рассчитать поле на луче [ср. аналогичные расчеты при выводе
формулы (55) из гл. 5, § 8].

36.	Рассмотрим скалярное волновое уравнение

[v2 -

1 д2

с2 дх2

u(R, т) = 0,

(53)

описывающее электромагнитные волновые процессы в холодной
изотропной плазме, характеристики которой постоянны в про-
странстве, но меняются (достаточно медленно) во времени.

а.	Исходя из решения в виде формулы (68) из § 7 показать,
что дисперсионное уравнение и уравнение переноса для w0(R, т)
даются формулами (70) и (71) из § 7 с заменой cop(R) на шр(т).
Показать также, что уравнение (77) из § 7 остается справедли-
вым, а уравнение (786) нуждается в изменении, так как ш =/=
=0 const на луче (тогда как k = const) [§ 7, формула (10) и да-
лее]. Выяснить, выполняется ли закон сохранения энергии в лу-
чевой трубке в случае среды, меняющейся во времени.

б.	Показать, что при мгновенном скачкообразном изменении
свойств среды (однородной в пространстве) в момент т = то

Фиг. 38. Преломление пространственно-временного луча на временнбм скачке
свойств среды.

вместо уравнения (79) из § 7 условие согласования принимает'
вид

ki = k2 = ... km при т = т0,	(54)

где т — число составляющих волн. Условие согласования (54)
можно графически представить так, как это сделано на фиг. 38,
где шР1 и шР2 — значения плазменной частоты до и после мо-
мента То. Найдите сходство и различие между данным случаем
и случаем пространственной неоднородности (фиг. 32). Выпол-
нить в случае среды, свойства которой меняются непрерывно со
временем, графическое построение траекторий лучей, аналогич-
ное показанному на фиг. 18.

37.	Распространение плоских волн в средах, свойства кото-
рых меняются во времени, можно характеризовать дисперсион-
ным уравнением со = со (к, /).

а.	Показать, что, поскольку собственные функции exp(ik-r)
правильно описывают пространственную зависимость полей, ос-
цилляторное представление (26) из § 3 может служить основой
для вычисления полей, возбуждаемых источниками в таких сре-
дах. Показать также, что при подстановке осцилляторных пред-
ставлений в уравнения поля приведенное уравнение для завися-
щих от времени амплитуд мод принимает вид уравнения (13) из
§ 3 с оператором W, зависящим от времени. Это уравнение в
общем случае не решается в замкнутом виде. Показать, что в
случае слабой временной зависимости можно методом ВКБ
(гл. 3, § 5, п. «в») получить асимптотическое решение для за-
висящих от времени амплитуд мод и что это приводит к инте-
гралам типа

I (г, 0 - J А (к, /) к> dk,	(55)

где

t

ф (г, /; к) = к • г ± $ со (к, т|) dr),	(55а)

г

а Л (к, t) и «(к, t) — медленно меняющиеся функции времени.

б.	Пользуясь асимптотическим методом, изложенным в § 6,
п. «а», показать, что

/(г,	(56)

где ks — седловые точки, которые определяются уравнением

± Vfe® (к, 0 = 0 при ks (г, 0;	(56а)

Q—матрица с элементами d2Qjdkidkj с ij = х, у, z, а величина
й(к, 0 — интеграл в правой части уравнения (55а). Как и в

3	__

формуле (5) из § 6, в — sign/?/, где ^ — собственные значе-

ния матрицы Q.

в.	Связать условие седловых точек (56а) с уравнением для
пространственно-временного луча в среде с меняющимися во
времени свойствами и определить седловые точки ks графиче-
ским методом задачи 36, «б». Показать, что величину / (г, t) мо-
жно представить в виде

и», 01~к(г, <,)i|	(б?»

где Дг = |det Q| Дк [ср. § 6, формула (10)]. Интерпретировать
этот результат с точки зрения пространственно-временных лучей
и сравнить с формулой (15) из § 6.

38.	Чтобы проиллюстрировать применение осцилляторных
представлений в случае сред с меняющимися во времени свой-
ствами [43], рассмотрим конфигурацию задачи 21, где примем

(а при t < t0,
\ b при / > t0,

так что плазма однородна и до и после момента t0.

а. Положив

V = f elkzg (k, t, t') dk, z' = 0,

—oo

(58)

(59)

подставив это выражение в уравнение (5) и упростив его, пока-
зать, что

( с2 cos ®iT при t < t0,	(60а)

&	( с2 [cosco^o cos и2т — (Mi/®2) sin (Oj^o sin <о2т] при t > to, (606)

где	T = t — t', To = to — t', x = t — to,

©i = V k2c2 + а2 и (02 = ^/ k2c2 + b2.

Показать, что при a = 0 выражения (59) и (60) сводятся к вы-
ражениям (7) [ср. § 1, формула (61)].

в. Выразить тригонометрические функции в формуле (60) че-
рез экспоненциальные и применить к каждому из получающихся
интегралов асимптотическую методику задачи 37 (с тем отли-
чием, что интегрирование по k однократно). Вывести соответ-
ствующие уравнения для седловых точек и истолковать их с
точки зрения лучевой оптики. Показать, что при а — 0 уравне-
ние для седловых точек (или уравнение луча) можно решить
в явном виде относительно ks = ks(z, t). Найти асимптотиче-
ское решение для Р и сопоставить его с асимптотической фор-
мой точного решения (7). Показать, рассмотрев конфигурацию
пространственно-временных лучей, что при а =# 0 семейство от-
раженных лучей, соответствующих лучу 3 на фиг. 38, может об-
разовать каустику (сжатие волнового пакета, фокусировка).

39.	Хотя, вообще говоря, дисперсия приводит к расплыванию
первоначально короткого импульса, возможны такие частотно-
модулированные (ЧМ) импульсы, которые формируются дис-
пергирующей средой. Например, спектр возбуждающего им-
пульса можно подобрать так, чтобы добиться сжатия импульса
в определенных пространственно-временных точках.

а. Рассмотрите распространение ЧМ-импульса в однородной
холодной изотропной плазме. Пусть возбуждение происходит в
плоскости z = 0 в течение интервала времени 0 < t < t0, а уси-
ленный и сжатый сигнал желательно иметь при z = Z в момент
t = Т, где Т > t0 + Z/c. При достаточно больших (Z, Т) исполь-
зуйте асимптотические приближения и схематизируйте задачу,
сведя в точке (Z, Т) в фокус пространственно-временные лучи,
выходящие из области источника (фиг 39). Определите необхо-
димый частотный спектр источника, перенеся каждый луч а с

4

-------------1

3 I

<*>з-------•	I

2	I	I

ML. ।	I—

h	h	h

в

Фиг. 39. Определение закона модуляции частоты источника, обеспечивающего
сжатие ЧМ-модулированного импульса.

а—лучи/сходящиеся в точке (Z, Г); б—дисперсионная кривая и частоты, соответствую?
щие разным лучам; в—закон модуляции частоты источника.

фиг. 39, а на дисперсионную кривую (фиг. 39, б) и найдя соот-
ветствующую частоту <£>а. Закон модуляции частоты источника
©о = юо(О (фиг. 39, в) вы найдете, отметив точки пересечения
лучей с осью t.

б. Для аналитического определения зависимости ®о(0 ис-
пользуйте уравнение пространственно-временного луча

ов(ш)(Г-Г) = 2,	(61)

где t' — время выхода луча из источника (г = 0), a vg(<a) —
групповая скорость. Покажите, что для холодной изотропной
плазмы с дисперсионным уравнением со2 ~ k2c2 — со2 = О

Покажите, что принимает вид	, ,	(Т ~ Г) (др  ®0 /') =	.	(62)  в случае неоднородной плазмы уравнение (61) г  >'=т U ("<.%	<63>  0

где yg(a), z) — переменная угловая скорость вдоль луча. Опре-
делите графически зависимость (oo(f) так же, как на фиг. 39.
(Учтите, что (о = const вдоль луча в пространственно-неодно-
родной среде.)

40.	Показать, что дифференциальное уравнение первого по-
рядка

+ a (s)w (£) = ₽($)	(64)

имеет решение
(S	\	S	/	s	\

— ( а(т])Л] )+ ( Р(£)ехр( — ( а(г))с/г| )dg. (65)

S)	'	Si	V	$	'

а.	Исходя из уравнений переноса [§ 7, формула (18в)], кото-
рым удовлетворяют амплитудные коэффициенты асимптотиче-
ского разложения [§ 7, формула (16)] гармонического поля в не-
однородной изотропной среде, и пользуясь формулой (65), по-
казать, что выражение для коэффициента m-го порядка wm(r)
имеет вид

'Г) =	(Г|' [ Mr) dA (г)1 ] —

<s№ (66)

где т =0,1,2, ... (причем w_is0), s — переменная интегри-
рования, которая меняется вдоль луча от точки п до г, a dA —
площадь поперечного сечения лучевой трубки. При выводе фор-
мулы (66) нужно учесть эквивалентность выражений (34) и
(356) из § 7 для «о (г) в нулевом приближении. Покажите, что
в одномерном случае слоистонеоднородной среды выражение
для и\ сводится к полученному в задаче 27. Покажите также,
что для того, чтобы было справедливо низшее (оптико-геометри-
ческое) приближение w(r) ~ u0(r)exp [/60ф(г)] в формуле (16)
из § 7, достаточно потребовать, чтобы выполнялось условие

[feoUo(r)n(r)]-'V2uo(r)< 1.
б.	Преобразовав к виду (65) уравнения переноса [§ 7, фор-
мула (72)], которым удовлетворяют амплитудные коэффициен-
ты асимптотического разложения [§ 7, формула (68)] негармони-
ческого поля в неоднородной изотропной холодной плазме, пока-
зать, что выражение для коэффициента тп-го порядка um(R, т)
имеет вид

«„(R, т) = um(R,t,)	-

(RT)

(R1T,)

где т = 0, 1,2,... (причем и„\ = 0), s— переменная интегри-
рования, изменяющаяся вдоль пространственно-временного луча
от точки (Ri,ti) до точки (R, т), a AR—площадь поперечного
сечения (гиперплоскостью т = const) лучевой трубки в четырех-
мерном пространстве (R, т), т. е. элемент объема трехмерного
пространства. Оператор V2 определяется соотношением V2 =
==V# — д2/с2 дх2, со =—дф/дт, a Vg — четырехмерная группо-
вая скорость. При выводе формулы (67) следует учесть, что в
нулевом приближении величину w0(R, т) можно представить ли-
бо в виде первого члена в правой части формулы (67) [§ 7, фор-
мула (786)], либо в виде, аналогичном формуле (356) из § 7.
Заметив, что ds!Vg = dxjc (фиг. 31), упростите интеграл в фор-
муле (67), перейдя к интегрированию по т.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Morse Р., Vibration and Sound, New York, McGraw-Hill, 1948 (имеется
перевод: Ф. Морз. Колебания и звук, М., 1949).

2.	Stratton J. A., Electromagnetic Theory, New York, McGraw-Hill, 1941,
Sec. 8.14 (имеется перевод. Дж. Счрэтюн, Теория электромагнетизма, М.,
1948).

3.	Clemmoio) Р. С., Dougherty J. Р., Electromagnetics of Particles and Plas-
mas, Reading (Mass.), Addison — Wesley, 1969, Ch. 5.

4.	Campbell G. A., Foster R. M., Fourier Integrals for Practical Applications,
Bell System Technical Publications, 1931, B584, Formula 865.1.

5.	Friedman B., Principles and Techniques of Applied Mathematics, New York,
John Wiley Sons, 1956, Ch. 1.

6.	Titchmarsh E. C., Introduction to the Theory of Fourier Integrals, London,
Oxford University Press, 1937 (имеется перевод: E. Титчмарш, Введение
в теорию интегралов Фурье, М., 1948).

7.	Lighthill М. L, Introduction to Fourier Analysis and Generalized Functions,
Cambridge (England), Cambridge University Press, 1958, Ch. 2.

8.	Wait J. R., Electromagnetics and Plasmas, New York; Holt, Rinehart and
Winston, 1968, Ch. 5.

9.	Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Электродинамика сплошных сред, M., 1959.
9а. Kurss Н., Quart. Appl. Math. 26, 373 (1968).

10.	Muller C., Grundpfobleme der Mathematischen Theorie Elektromagnetischer
Schwingungen, Berlin, Springer Verla^, 1957.
11.	Magnus №., Oberhettinger F., Formulas and Theorems for Special Func-
tions of Mathematical Physics, New York, Chelsea Publisching Co., 1954,
p. 118.

12.	Whit ham G. B., Comm, on Pure and Applied Math., 16, 675 (1961).

13.	Lighthill M. J., Phil. Trans. Roy. Soc. (London), A252, 397 (1960).

14.	Lighthill M. J., Journ. Inst. Maths. Applies., 1, 1 (1965).

15.	Budden K. G., Radio Waves in the Ionosphere, Cambridge, Cambridge Uni-
versity Press, 1961, Ch. 13, 18.

16.	Deschamps G. A., Kesler О. B., Radio Science, 2 (New Series), 757 (1967).

17.	Copson E. T., Theory of Functions of a Complex Variable, London, Oxford
University Press, 1935, Sec. 8.4.

18.	Бреховских Л. M., Волны в слоистых средах, М., 1957.

19.	Lewis R. М., в книге: Electromagnetic Wave Theory. Part 2, d. J. Brown,
New York, Pergamon Press, 1967, p. 845.

20.	Kline M., Kay /., Electromagnetic Theory and Geometrical Optics, New
York, Interscience, 1965, Ch. 8.

21.	Magnus W., Oberhettinger F., Formulas and Theorems for the Special Func-
tions of Mathematical Physics, New York, Chelsea Publishing Co., 1954,
p. 131.

22.	Handelsman R. A., Bleistein N., Arch, for Rat. Meeh, and Analysis, 35, 267
(1969).

23.	Buchal R. N., Keller J. B., Comm. Pure and Appl. Math., 13, 85 (1960).

24.	Lewis R. M., Granoff B., Alta Frequenza (специальн. вып.), 38, 51 (May
1969).

25.	Courant R., Hilbert D,, Methods of Mathematical Physics, vol. II, New
York, Interscience, 1962 (имеется перевод: P. Курант, Д. Гильберт, Ме-
тоды математической физики, 2-е изд., М., 1951).

26.	Garabedian Р. R., Partial Differential Equations, New York, John Wiley and
Sons, 1964, Ch. II.

27.	Born M., Wolf E., Principles of Optics, New York, Pergamon Press, 1964,
Ch. 3 (имеется перевод: M. Борн, Э. Вольф, Основы оптики, М., 1970).

28.	Гинзбург В. Л., Распространение электромагнитных волн в плазме, М„
1960).

29.	Keller J. В., в книге: Calculus of Variations and its Applications, New
York, McGraw-Hill, 1958, p. 27.

30.	Seckier B. D., Keller J. B., Journ. Acoust. Soc. Am., 31, 192 (1959).

31.	Felsen L. B., Rosenbaum S., Radio Science, 2 (New Series), 767 (1967).

31a. Bertoni H., Hessel A., Radio Science, 2 (New Series), 793 (1967).

32.	Felsen L. B„ Labianca F., Radio Science, 2 (New Series), 29 (1967).

33.	Levy B. R., Keller J. B., Comm. Pure and Appl. Math., 12, 159 (1959).

34.	Keller J. B., Journ. Opt. Soc. Am., 52, 116 (1962).

35.	Keller J. B., Hansen E. B., Acta Phys. Polon., 27, 217 (1965).

36.	Yee H. У., Felsen L. B., Keller J. B., SIAM Journ. Appl. Math., 16, 268
(1968).

37.	Yee H. У., Felsen L. B., IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques,
MTT-17, 671 (1969).

38.	Poeverlein H., Phys. Rev., 128, 956 (1962).

39.	Felsen L. B., Radio Science, 69D, 155 (1965).

40.	Фок В. А., Проблемы дифракции и распространения электромагнитных
волн, 1970, гл. 8.

41.	Keller J. В., Lewis R. М., Seckier В. D., Comm. Pure and Appl. Math., 9,
207 (1956).

42.	Bleistein N., Lewis R. M., SIAM Journ. Appl. Math., 14, 1454 (1966).

43.	Felten L. B., Whitman G. M., IEEE Trans, on Antennas and Propagation,
AP-18, 242 (1970).
глава 2. Метод эквивалентных
схем в применении
к гармоническим
электромагнитным полям
в регулярных
и сферических
волноводах

§ 1. ВВЕДЕНИЕ

Общая теория переменных и гармонических линейных полей,
возбуждаемых заданными источниками в бесконечной однород-
ной среде, изложена в гл. 1, § 1—4 в основном для простого
случая неограниченных сред. В данной главе более подробно
рассматриваются приложения этой общей теории к описанию
гармонических электромагнитных полей в волноводах с идеаль-
но проводящими стенками между двумя граничными плоско-
стями, перпендикулярными оси г прямоугольной системы коор-
динат,- или двумя сферическими поверхностями, нормальными
полярной оси г сферической системы координат. Боковая гра-
ница регулярного волновода дается уравнением f(p) = 0, где
р — векторная координата, перпендикулярная продольной оси z.
Для нерегулярного же (сферического) волновода уравнение гра-
ницы имеет вид F(0, <р) =0, где 0 и <р — углевые сферические
координаты. Регулярный волновод отличается от нерегулярного
тем, что его поперечное сечение не изменяется при перемещении
в осевом направлении. Мы будем считать, что среда, заполняю-
щая волновод, изотропна, но может скачкообразно или непре-
рывно изменять свои свойства вдоль оси z или г (фиг. 40). Как
отмечалось в гл. 1, § 4, в случае однородных областей, волновод-
ный подход применим даже при неограниченном поперечном се-
чении, особенно если параметры среды изменяются в осевом на-
правлении.

В принципе метод вычисления поля остается таким же, как
и в гл. 1, § 4: переменные поля и его источники выражаются че-
рез полный набор собственных векторных функций. Поскольку в
соотношения ортогональности собственных функций входят
только компоненты поля, перпендикулярные направлению рас-
пространения [гл. 1, § 4, формула (30) для однородных обла-
стей], можно найти (в виде разложений по собственным функ-
циям) независимые поперечные поля Ег и Hz, а по ним опреде-
лить зависимые продольные компоненты. Полное разложение по
модам Е(ТМ) и И (ТЕ) для поперечных полей и их эквивалент-
ных источников в регулярных волноводах дается в § 2, п. «б».

Продольное сечение
а

Вид в трех измерениях
б

Фиг. 40. Волноводные области.

а —регулярная; б —нерегулярная (сферическая).

а в сферических — в § 5, п. «б»1). В данной главе рассматри-
ваются общие свойства собственных векторных функций в изо-
тропных областях; их вычисление для волноводов с поперечным
сечением различной формы отнесено в гл. 3, а обобщение на ани-
зотропные области проводится в гл. 7 и 8. Показывается, что
при использовании разложений по собственным функциям и
свойств ортогональности уравнения для поперечного векторного
поля можно свести к скалярным (с независимой переменной z

!) Символом ТМ обозначаются поперечные магнитные, а символом ТЕ —
поперечные электрические волны. В регулярных волноводах Я2 == 0 для пер-
вых и Ег ss 0 для вторых; в сферических же Нг 0 для первых и £г = 0
для вторых. Общий вывод и дальнейшее обсуждение разложений по Е- и
Я-волнам см. в гл. 8, § 2.
или г) телеграфным уравнениям для амплитуд собственных
волн, аналогичным уравнениям (15) и (366) из гл. 1, § 4.

Как отмечалось в гл. 1, § 1, п. «б», вычисление векторных •
полей "часто облегчается введением скалярных потенциалов.
В случае однородных областей, не ограниченных в поперечном
направлении, такая скаляризация была произведена, например,
в уравнениях (38) из гл. 1, § 1 [см. также гл. 1, § 1, уравнения
(49)]. В § 3 данной главы скаляризация векторных полей в ре-
гулярных волноводах, ограниченных в поперечном направлении,
достигается введением полных ортогональных наборов скаляр-
ных собственных функций, которые затем используются для раз-
ложения скалярных потенциалов по собственным волнам. Хотя
такой метод выражения векторных полей через скалярные по-
тенциалы не столь прямой, как в гл. 1, § 1, п. «б», у него есть
то преимущество, что он дает фактические потенциалы. Как и в
гл. 1, вычисление полей, возбуждаемых произвольно распреде-
ленными источниками, упрощается благодаря использованию
аффинерных функций Грина. Введение функций Грина для од-
номерной передающей линии с такими же свойствами взаимно-
сти, как и у трехмерных аффинорных функций Грина, позволяет
находить решения в виде собственных волн как для кусочно-од-
нородных сред, так и для сред, непрерывно изменяющихся вдоль
координаты г- Эти выводы составляют содержание § 3.

Телеграфные уравнения, выводимые в § 2 и используемые
в § 3, решаются в § 4 для специального случая среды, кусочно-
однородной вдоль оси z (среда, непрерывно изменяющаяся вдоль
оси z, рассматривается в гл. 3, § 3 и 5). Особое внимание уде-
ляется применению эквивалентных схем для анализа процессов
возбуждения, распространения и отражения и для расчета на-
пряжений и токов в передающей линии. Эти напряжения и токи
представляют собой амплитудные коэффициенты в разложениях
поперечных электрического и магнитного полей по собственным
волнам. В § 4 кратко говорится о собственных волнах в различ-
ных резонансных передающих линиях; подробнее эти вопросы
рассматриваются в гл. 3, § 3.

Аналогичным образом анализируются в § 5—7 поля в сфе-
рических волноводах.

§ 2.	ВЫВОД ТЕЛЕГРАФНЫХ УРАВНЕНИИ

ДЛЯ РЕГУЛЯРНЫХ ВОЛНОВОДОВ

а. Уравнения для поперечного поля

Здесь мы кратко остановимся на преобразовании векторных
уравнений Максвелла для неоднородного стационарного поля в
скалярные телеграфные уравнения для типичной собственной
волны в регулярном волноводе, изображенном на фиг. 40, а.
Подход аналогичен принятому в гл. 1, § 4, для изотропных ли-
нейных полей в однородных неограниченных областях, но обоб-
щен здесь на случай продольно стратифицированных областей,
ограниченных в поперечном направлении. Стационарные элек-
тромагнитные векторные поля, возбуждаемые заданным распре-
делением электрического тока J(r) и магнитного тока М(г), опи-
сываются уравнениями поля

V X Е (г) =(г) •—М (г),

V X Н (г) =/®еЕ (г) + J (г).	(1)

На идеально проводящих стенках регулярного волновода тан-
генциальная компонента электрического поля должна обра-
щаться в нуль:

v X Е = 0 на s,	(1а)

где s — кривая, ограничивающая поперечное сечение S, a v—
единичный вектор нормали к s, лежащий в плоскости попереч-
ного сечения. Если тангенциальная компонента вектора Е на
кривой $ равна нулю, то равна нулю и нормальная компонента
вектора Н на кривой s. Для областей с бесконечным попереч-
ным сечением условие (1а) заменяется «условием излучения»,
согласно которому при любом распределении источников в ко-
нечной области решения на бесконечности должны содержать
только уходящие волны. Граничные условия на концах волно-
вода пока не будем учитывать, а учтем их при последующем
решении телеграфных уравнений. Предполагается гармониче-
ская зависимость от времени ехр(+/(о/), а решение при произ-
вольном изменении полей во времени можно найти путем вре-
менного синтеза, изложенного в гл. 1, §4'). В рассматривае-
мом случае скалярная диэлектрическая проницаемость е и маг-
нитная проницаемость ц могут зависеть от z.

Как отмечалось в гл. 1, § 4, в условия ортогональности для
собственных волн, распространяющихся вдоль оси г, входят
только компоненты поля, перпендикулярные оси г. Поэтому же-
лательно исключить зависимые компоненты Ez и Hz из уравне-
ний (1) и вывести уравнения поля для независимых попереч-
ных компонент. С этой целью умножим первое из уравнений
(1) векторно и скалярно на продольный единичный вектор z0.
Получаем

х Zo+ М х Zo = zoX (v X Е) = - ^-Е + ЧЕг =

= -^Е( + 7,£2	(2а) *

9 В данной главе выбрана зависимость вида ехр(/ю/), поскольку это
принято в приложениях, связанных с расчетом электрических цепей.
И

]а>цНг — Мг = z0 (V X Е) = — V, • (z0 X Е),	(26)

где Vt — оператор поперечного градиента, Vi = V — zod/dz. По-
добным же образом получаем из второго уравнения (1)

/coezoXE + zoX	(За)

/®eEz + 4 = Vt-(HXzo).	(36)

Подстановка Ez из уравнения (36) в (За) дает

- £ Е< = X z0 - -J- (W • X z0 - V^) + М, X z0 =

- W (1 +	• (Hi x Zo) + M/e x Zo,	(4a)

и соответственно

-^•Hi = /<oe(l +^.).(z0XEi) + z0XJ<e, (46)
где распределения эквивалентных поперечных электрического и
магнитного токов определяются выражениями

— Ji-z0X-^	J/+ /(0(Х »	(ба)

+	(56)

Величина & = й)(р,8),/2 — это волновое число в данной области,
al — единичный аффинор, так что 1 • А = А-1 = А.

Уравнения (4) и (5) для поперечных компонент поля, кото-
рые допускают изменение виц вдоль оси 2, служат основой
для решения задач теории поля в регулярных волноводах1).
Они полностью заменяют общие уравнения поля (1), поскольку
соотношения (26) и (36) позволяют выразить продольные ком-
поненты через поперечные:

№>EZ = V, • (Hf X z0) — /2,	(6а)

W2 = Vr(z0XEf)-^.	(66)

Вместо граничного условия (1а), требующего обращения в нуль
полного тангенциального электрического поля на идеально про-
водящих стенках волновода, можно записать следующие усло-

9 Волноводы, заполненные анизотропными средами или средами, свой-
ства которых изменяются в поперечном направлении, рассматриваются в
гл. 8, § 2.	.
вия для поперечных компонент поля:

vXE( = 0 )

Vr(HtXz) = 0 J На S;	(7)

второе из них вытекает из равенства (6а), если предположить,
что Jz = 0 на s. Это ограничение, которое требует, чтобы на
стенках была равна нулю z-компонента стороннего электриче-
ского тока источника, не имеет практического значения, по-
скольку сторонний тангенциальный электрический ток источ-
ника замыкается накоротко на идеально проводящей поверхно-
сти и не может возбудить поля конечной величины.

б. Разложение полей и их источников по собственным
функциям

Как отмечалось в гл. 1, § 4, п. «в», в частном случае сво-
бодного пространства, векторные уравнения электромагнитного
поля можно преобразовать в обычные скалярные дифферен-
циальные уравнения, представив поля в виде полного ортонор-
мированного набора «волноводных» собственных функций. Хотя
там такое представление было осуществлено для собственной
векторной функции Т, т. е. для матрицы-столбца, содержащей
вектор электрического и вектор магнитного поля, это можно с
таким же успехом сделать, разложив отдельно электрическое
поле Е по собственным векторам е(р), магнитное поле Н по соб-
ственным векторам h(p) и т. д. Так мы и будем поступать в дан-
ной главе, представляя поля в ограниченных областях. В случае
волноводов с идеально проводящими стенками, заполненных од-
нородной изотропной средой, возможный полный набор собст-
венных векторов содержит как собственные функции Е(ТЛ1)-волн
е'(р), h'(p), так и собственные функции Н(ТЕ)-волн е"(р),
h"(p); эти собственные функции определены ниже в уравнениях
(10) и в § 3. п. «а»; общее обоснование разложения на £- и
Я-волны дается в гл. 8, § 2. Разложение независимых попереч-
ных полей по упомянутым собственным функциям имеет вид [1;
2, разд. 1.2 и 1.3]

Et (Г) = Е V'i (z) е; (Р) + Е V" (г) е" (р),	(8а)

Hi (Г) = Е Tt (z) h; (Р) + Е п (z) h" (р),	(86)

ite (г) = Е (г) е; (Р) + Е (г) е" (р),	(8в)

м/в (г) = Е < (г) h; (р) + Е V" (z) h" (р),	(8г)
где I — в общем случае двойной индекс и

hz = 20X6/.	(8д)

Из выражений (6) и (8) можно получить следующие соотноше-
ния для продольных полей [в соответствии с уравнениями (10)
в разложение величины Ег вносят вклад только Е-волны, а в
разложение величины Н2 — только //-волны]:

/®е£2 (г) + 4 (г) = £ l'i (*) £ • е' (р),	(9а)

/®И//г (г) + Мг (г) = £ V" (г) V, • h" (р).	(96)

Конкретный вид поперечных векторных собственных функ-
ций е< и hi зависит от формы поперечного сечения волновода и
в общем случае определяется следующими не содержащими z
соотношениями [гл. 8, § 2, формула (25)]:

V,-h;=o,

дополненными в соответствии с уравнениями (7) граничными
условиями на кривой s, ограничивающей поперечное сечение
волновода, с нормалью v к ней

V X е' = 0 = Vz • (h' х Zo), V X < = 0 == V, • (h" X z0) на s. (10a)

Из условий (10a) видно, что каждая из векторных собственных
функций, входящих в соотношения (8а) и (86), удовлетворяет
соответствующим граничным условиям (7)^ для поперечных
электромагнитных полей. Более того, поскольку сторонние элек-
трический и магнитный токи не имеют первый тангенциальных,
а второй нормальных компонент на идеально проводящей по-
верхности, разложения токов источников (8в) и (8г) сохраняют
смысл также, если токи источников распределены на границе.

Применяя двумерную теорему Грина !)

dS [А • VfV, • В - В •	• А] =

S

= ф ds [(А • v)(V* • В) - (В • v)(Vt • А)] (На)

[где А и В — подходящие непрерывные поперечные векторные
функции] к векторным собственным функциям, определенным

') Уравнение (Па) получено на основании теоремы Гаусса — Остроград-
ского в поперечном сечении из равенства

7< • [AV* • В — В7/ • А] = А • 7t7* • В - В • 7<7< • Д,
уравнениями (10), получаем условия ортогональности в области
поперечного сечения S (причем предполагается единичная нор-
мировка)

dS-, J J e' • e"* dS = 0 (116)
s	s	s

и аналогичные условия для функций h^. Звездочкой обозначены
комплексно сопряженные величины1), Sij — символ Кронекера:

= 0 при i =/= /; 8ц = 1. В соответствии с этими свойствами
ортонорм ированных функций амплитуды собственных функций
в выражениях (8) определяются следующим образом:

Vt(z) = ^Et(r)-^(p)dS, It(z) = $$ HfOO-hUpMS, (12a)
s	s

Vi (Z) = J $	(r) • ш (p) dS, it (z) = J $ Jte (r) • e? (p) dS, (126)

s

где штрихи опущены, поскольку эти уравнения применимы к
обоим типам собственных функций. На основании определений
эквивалентного тока, данных в уравнениях (5), и следующей
формулы векторного интегрирования по частям (теоремы Гаус-
са— Остроградского для двумерного пространства):

(JdSVJ- А = -A + §dsf(A-v), (13)
S	S	s

где f и A — непрерывные скалярная и векторная функции, инте-
гралы, входящие в формулы (126), можно выразить иначе.
Вклад градиентов в интегралы по контуру $ обращается в нуль
в силу граничного условия h,-v = 0 [уравнение (10а)] и условия
Jz = 0 на $; поэтому выражения (126) приобретают вид

vt (z) = J J M (г) • h’ (р) dS + J J (r) • eii (P) dS, (14a)
s	s

Z, $ J W • ei dS + Y‘ $ $ M (r) •(₽) dS> (146>
s	s

где

"i-O.	(Mb)

'«-»•	О*)

Ч Хотя величины и действительны, собственные функции могут
быть комплексными, а потому условие ортогональности содержит комплексно
сопряженную функцию.
Обращение в нуль величин h'z (для £-волн) и е", (для Я-волн)
следует непосредственно из уравнений (10). Характеристические
импеданс и проводимость Z\ и У", введенные в формулах (15),
позволяют выявить физический смысл каждого из интегралов
как напряжения или тока. Отметим, что соотношения (14) не
требуют дифференцируемости величин Jz и Mz в плоскости по-
перечного сечения S, как это подразумевалось в уравнениях (5)
и (126).

Подставив разложения по собственным функциям (8) в
уравнения поперечного поля (4), изменив порядок суммирова-
ния и дифференцирования, использовав соотношения (10) и при-
равняв соответствующие коэффициенты собственных функций
Ъ и получим искомые телеграфные уравнения для амплитуд
Е и Н собственных волн [гл. 1, § 4, формула (356)]:

-^ = ^iZiIi + vh	(15а)

=	+	(156)

где Zi — характеристический импеданс, Уг- — проводимость и
— постоянная распространения для собственных волн, при-
чем эти величины определяются следующими выражениями:
для Е-волн

= =	*'1=Vfe2 ” k" “ ”] ^k“ - k2 ’ (15в)

для Н-волн,

<=V*2-kti = - j^kti -k2; <15г>
r i “i

k2 = 0)2Ц8, причем р И 8 могут быть функциями координаты Z.
Форма уравнений (15а) и (156) позволяет рассматривать Vi и
Ц как напряжение и ток в линии передачи [3, гл. 7]. Выбор зна^
ков перед корнями в уравнениях (15в) и (15г) обеспечивает за-
тухание нераспространяющихся собственных волн (с мнимыми
Xi) по мере удаления от источника для принятой зависимости
от времени ехр(+/со/). Амплитуды напряжения Vi и тока Ц ис-
точника можно вычислить, зная заданные электрический J и
магнитный М сторонние токи, по формулам (14а) и (146). Реше-
ния уравнений (15а) и (156) при различных видах стратифика-
ции и разных условиях на концах по оси z рассматриваются в
§ 4 данной главы и в гл. 3, § 3, п. «6».
§ 3.	СКАЛЯРИЗАЦИЯ И РАЗЛОЖЕНИЕ

ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ТЕНЗОРНЫХ

ФУНКЦИЙ ГРИНА В РЕГУЛЯРНЫХ ВОЛНОВОДАХ

Векторное электромагнитное поле, возбуждаемое заданными
источниками в регулярном волноводе с идеально проводящими
стенками (если они есть), заполненном однородной в попереч-
ном направлении средой, дается разложениями (8) и (9) из § 2;
векторные собственные функции определяются уравнениями
(10) из § 2; амплитуды собственных функций — уравнениями
(15) с соответствующими граничными условиями на оси z. Ре-
шение уравнений (10) из § 2 облегчается введением скалярных
собственных функций. Путем такой скаляризации можно найти
потенциалы Герца собственных волн Е- и Н-типа, которыми оп-
ределяются сами электромагнитные поля. В случае возбужде-
ния точечным источником эти потенциалы эквивалентны скаляр-
ным функциям Грина, которые были введены в гл. 1, § 1 [фор-
мулы (38) и (49)] без разложения по собственным функциям.
Рассматриваемый ниже метод позволяет получать в явном виде
разложения этих функций Грина или соответствующих им обыч-
ных потенциалов Герца по собственным функциям и, следова-
тельно, решать задачи на скалярные потенциалы. Прежде всего
мы выразим векторные собственные функции через скалярные,
а затем скаляризуем общее разложение поля.

а. Собственные функции

При выводе формулы (8а) из § 2, в которой поперечное век-
торное электрическое поле Е/ выражается через два независи-
мых набора векторных собственных функций {е'} и {е"}> мы вос-
пользовались теоремой о том, что любой поперечный вектор мо-
жно разложить на две составляющие, одну соленоидальную, а
другую — безвихревую [4]. Набор векторов {е'( безвихревой (так
как Vf X — 0 на S), а набор векторов {е"} соленоидальный
(так как Vf • е" = 0 на S) [см. также уравнения (10) из § 2].
Ввиду этого векторные собственные функции и е" можно
представить в виде градиентов и роторов скалярных функций
Ф< и следующим образом:

<(р)---(la)

<(p) = --$Wzo	(16)
и аналогично

h;(p) = -Zox-^EL,	(1в)

Ь;'(Р) = --^^-.	(1г)

kti

В силу этих выражений и уравнений (10) из § 2 собственные
функции Фа и определяются как решения двух скалярных за-
дач на собственные значения ')

?;Ф. + /г'*Ф; = 0 на S,	(2э)

Ф,=0 на s, если kti=/=O,

ОФ-	(26)

-^- = 0 на s, если k'a — 0 (ГЕМ-волна)
и

Vj4ri + k"t* 2Wi = 0 на S,	(2в)

-^р- = 0 на s.	(2г)

dv	х '

Конкретные решения уравнений (2) для волноводов с попереч-
ным сечением разной формы сведены в таблицу в гл. 3 [2,
разд. 1.2 и 1.3]2).

б. Поля в свободных от источников регулярных
областях

С учетом формул (1) и в предположении о допустимости из-
менения порядка суммирования и дифференцирования уравне-
ния (8а) и (86) из § 2 можно представить в виде

Et (г) = - VtV (г) -	(г) X zo,	(За)

Н, (г) X z0 = - V,/' (г) - \/tI" (г) X z0)	(36)

*) Векторные собственные функции для случая Т/Ш^поперечных элек-
тромагнитных) волн определяются выражением е0 (р) = h0 (р) z0 — — ^Фо (р),
где Фо (р) — решение уравнения (2а) при kti — 0, и нормированы согласно
равенству e'Q2 (р) dS =

s

2) Каждый из наборов скалярных собственных функций Ф< и по-
добно векторным собственным функциям е. и е", образует полный ортонор-
мированный набор (гл. 3, § 2). Нормировка этих скалярных собственных
функций отличается от нормировки в работе [2]. Соотношение между соб-
ственными функциями у нас и в работе [2] таково:
где V'(r)> 7'(r), У"(г)> 7z/(r) — потенциальные функции, которые
определяются следующим образом:

Г(г) = £УНг)-^, Г(г) = УиГ(г)^-,	(4а)

I	i	kti

(46)
i	i	kti

Потенциальные функции, входящие в уравнения (4), связаны
с потенциалами Герца П' и П" [формулы (42) и (53) из гл. 1,
§ 1] соотношениями

П'(г) = 4^-, П"(г) = Х^-.	(5)

V 7	/(08	V 7 /СОЦ	V 7

В силу соотношений (3) и формулы (6) из § 2, электромагнит-
ные поля в любой точке, где нет источников и где е и ц постоян-
ны, определяются выражениями [5, гл. 6]

Е (г) = V X V X [г0П' (г)] - /сор.V X [z0II" (г)],	(6а)

Н (г) = /©eV X foil' (г)] + V X V X fon" (г)].	(66)

Двух независимых функций Г (г) и V"(r), входящих в уравне-
ния (5), достаточно для определения полных полей по форму-
лам (6). В области, свободной от источников, Г'(г) и /"(г) мо-
жно найти, продифференцировав /'(г) и V"(r) по z, что явствует
из телеграфных уравнений [§ 2, формула (15)]. Таким образом,

г (г) У 1 , х^(г> ФДР) 1 д г
— jk^ dz k'ti	— /08 dz

и аналогично

r,<r)=d^iv"(r)-

(7а)

(76)

На основании соотношений (2) и формулы (15) из § 2 мож-
но показать, что в однородной области, свободной от источников,
потенциалы Герца П' и П", заданные выражениями (4) и (5),
удовлетворяют волновым уравнениям

(V2-K2)n" = 0.	(8)

в. Функции Грина для телеграфных уравнений

Чтобы найти в явном виде потенциалы Герца в областях, со-
держащих источники, следует связать амплитуды собственных
волн в уравнениях (4) с их источниками. Для этого удобно вве-
сти собственные функции Грина, которые являются одномерным
скалярным аналогом тензорных функций Грина, введенных в
гл. 1, § 1, п. «б». Ввиду линейности телеграфных уравнений [§ 2,
формулы (15)] напряжение и ток в любой точке z можно найти
как суперпозицию вкладов распределенных генераторов напря-
жения и тока, находящихся в точках г' оси г. По аналогии с фор-
мулой (19) из гл. 1, § 1, находим [3, гл. 7]

V (z) = — dz' Tv (z, z') v (z') — ^dz'Z (z, z') i (z'),	(9a)

I (z) = — J dz' Y (z, z') о (z') — $ dz'T1 (z, z') i (z'),	(96)

где индекс собственной волны i опущен. Уравнения (9) сводят
задачу к определению величин Tv(z, z'), Y(z,z') и Z(z, z'),
TT(z,z'), смысл которых как собственных функций Грина очеви-
ден: —Tv(z, г') и —Z(z, г') — компоненты напряжения в точке г,
являющиеся откликом на единичные источники (генераторы)
напряжения и тока в точке г', а —У (z, г') и —Tz(z, г') —от-
клики тока на те же источники. Таким образом, если в формуле
(15) из § 2 положить t>(z) = —6(z — г') и j(z) = 0, то мы по-
лучим

-	Tv (z, z') = faZY (z, z') - 6 (z - z'),	(10a)

-	Y (z, z') = jxYTv (z, z'),	(106)

а если o = 0, I = — 6 (z — z'), to

-	Z (z, z') = faZT1 (z, z'),	(10b)

-	-^Tr (z, z') = j%YZ (z, z'} -6(z- z').	(1 Or)

Граничные условия на концах линии вдоль оси г пока остаются
неопределенными.

Собственные функции Грина, определенные уравнениями
(10), удовлетворяют принципу взаимности как при постоянных
х и Z, так и при х и Z, зависящих от z. Рассмотрим заданную
ограниченную передающую линию, которая возбуждается дву-
мя разными распределениями источников: первое v(z), i(z) воз-
буждает V(z), /(z), второе v(z), f(z) возбуждает P(z), 7(z).
Обе системы удовлетворяют телеграфным уравнениям

_^-=/xZ/4-o,	(На)

-^ = h<YV + i,	(Нб)

_--g- = /xZ/ + $,	(Ив

-^ = /хУУ + 7.	(Пг)
Умножая первое из этих уравнений на 7, второе на — Р, третье
на —/ и четвертое на V, складывая полученные выражения и ин-
тегрируя по г в пределах от Zi до z2, получаем

*2

(VZ-Z7)*=$ dztvI + 'iV -IV -vl).	(12)

Zl

Обе системы напряжений и токов удовлетворяют одним и
тем же граничным условиям в точках Zi и z2:

У(г1,2) = =Р7(г1,2)/(г1.2), V (гЬ2) = Т Z(Z[.2)Z(K2),	(13)

где Z(zi>2) — концевые импедансы !) (интерпретации телеграф-
ных уравнений на основе эквивалентных схем посвящен § 4).
Таким образом, левая часть уравнения (12), которая представ-
ляет собой разность выражений, получающихся при подстановке
значений г2 и Zi, равна йулю, и мы получаем соотношение взаим-
ности

*2

J dz (vT + iV - IV — 67) = 0.	(14)

*1

Чтобы применить соотношение взаимности (14) к собствен-
ным функциям Грина, определенным уравнениями (10), выбе-
рем следующие специальные распределения источников:

а)	v — v = 0,	i = — б (z — z'),	i=-b(z-z"),
		V->Z(z, z'),	V->Z(z, z");
б)	г = i — 0,	v — — 6 (z — z'),	V = — 6 (z — z"),
		I^Y(z, z'),	T-^Y(z, z");
в)	v = i = 0,	i = — 6 (2 — z'),	v = — 6 (2 — 2"),
		I-^T’lz, z'),	V-+Ty(z, z").

Тогда получаем следующие теоремы взаимности:

a)	Z(z",	z')	—	Z(z', z"),

б)	Y(z",	z') = Y(z', z"),	(15)

в)	T7 (z",	z') = — Ty (z't z"),

которые подобны выражениям для тензорных функций Грина
[гл. 1, § 1, формула (29)].

П Напомним, что в этом параграфе Z — характеристический импеданс,
Z (zo) — концевой импеданс в точке га и Z (г, г') — функция Грина для 1-й
собственной волны напряжения.
Из соотношения (15в) взаимности между Т1 и Tv и уравне-
ний (10) следует важный вывод о том, что напряжение и ток
в свободной от источников области в общем случае можно вы-
разить либо только через У(z, г'), либо только через Z(z, z').
Предположим, что известно У (г, г'); тогда Tv получается из
(106). В силу теоремы взаимности мы, зная Tv, можем опре-
делить Т1, а это дает возможность определить Z(z, z') из (10г)
при условии z^z' (т. е. вне источника). Таким образом, в
V(z, z') содержится вся необходимая информация; то же самое
можно сказать о Z(z, z'). Фактически напряжение и ток в об-
ласти без источников можно выразить также либо через Т7, ли-
бо через Ту, но, как показывается в § 4, п. «г», основными функ-
циями Грина, по которым вычисляются Т1 и Ту, являются пере-
ходный импеданс Z(z, z') и переходная проводимость Y(z,z').
Поскольку в случае Е-волн основную роль играет ток (т. е. ком-
понента Ez поля), обычно удобно находить решения для Е-волн
из y(z, z')> а для определения величин, связанных с //-волнами,
более удобна функция Грина Z(z, z').

г.	Разложение по собственным функциям тензорных
функций Грина в кусочно-однородной среде

Как показано в гл. 1, § 1, электромагнитные поля, возбуж-
даемые точечными источниками тока, удобно выражать через
тензорные функции Грина. Мы здесь получим разложения по
собственным функциям для тензорных функций Грина в обла-
стях, свойства которых постоянны вдоль оси z, и покажем, как
связать тензорные функции Грина со скалярными.

Из выражений (6) видно, что электромагнитные поля Е(г)
и Н(г) за пределами области, содержащей источники, можно
выразить через скалярные потенциальные функции /'(г) и
У"(г), определенные формулами (4). Если сторонние источники
представляют собой элементы электрического и магнитного то-
ков, расположенные в точке г':

J (г) = Гд (г - г'), М (г) = М°б (г - г'),	(16)

где J0 и М° — произвольно ориентированные постоянные век-
торы, то разложения величин Г и V" по собственным функциям
(4) можно упростить. Рассмотрим сначала ток Е-волны Z£(z),
входящий в разложение (46) для токового потенциала Е-волны
/'(г). Из уравнения (96), определяющего функции Грина для
передающей линии Kf(z, z') и E((z, z'), видно, что для точечного
источника

7' (2, z') = — Y'i (z, z') v' (z') —	(z, z') i' (z')t

(17)
где зависимость от г' выражена в явном виде, а индексы
указывают характер различных величин как собственных функ-
ций (эквивалентная схема представлена на фиг. 44). Целесооб-
разно выразить T'z(z, z') через Y'(z, z'). Из формул (15в),
(Юб) и (156) находим	(

Т' (г,	= -	(< г) -	Г, (а', а) -

<18>

Поскольку для Е-волн х'У, = ие [§ 2, формула (15)], вместо
выражения (17) получаем

I'i (z, z') = - [»; (z') + -Д-(z') -^7] Y'i (z, z').	(19)

Аналогичным образом можно показать, что напряжения Н-
волн V’i (z), входящие в представление (4а) потенциальной

функции напряжения V"(r), выражаются так же, как в фор-
муле (19):

V" (z, z') = - \i" (г') + v" (z') ^r] Z" (z, z').	(20)

Поскольку в формуле (16) 6(г — г') = 6(р— p')6(z— z'),
функции источников Vi и if, определенные в § 2 [формула (14)]
через J и М, приобретают следующую простую форму:

Vi (z) = vf (z') 6 (z — z'), i, (z) = Ц (z') 6 (z — z'),	(21)

v{ (z') = h* (p') • M° + Z*ezl (p') • J»,	(21a)

it (z') = < (p') • J0 + Y*h*zt (P') • M°.	(216)

При подстановке скалярных собственных функций из формулы
(1) получаем для Е-волн

-[(г,XVI)	(22)

где V' — оператор дифференцирования по координате со штри-
хом р'. Пользуясь векторными тождествами

г. X Ч) = - »' X Ы) - - (V' X г»)	(23а)

= V' (V' • z0^) - V'2 (z0</>) (V' х V' х Zo) Ф, (236)
где ф — скалярная функция координаты р', получаем после
подстановки выражений (19) — (23) в формулу (46) следующее
компактное выражение для /'(г):

Г (г) = (V' X V' X zo) (г, г') • Г - /<ое (V' X z0) 9>' (г, г') • М°, (24)
где

(г, И = £ Ф*(р)**(И Ki (Z, z').	(24а)

i

Смысл операций (V' X z0) и (V' X V' X z0) ясен из соотношений
(23а) и (236). Выражения (24), очевидно, имеют силу только
при k'tl =/= 0 (т. е. любые возможные ТЕМ-волны исключают-
ся1))- Если структура волновода допускает наличие одной или
нескольких ТЕМ-волп, то вклад этих волн в возбуждаемые поля
следует учесть отдельно (стр. 245, примечание 1).

Для потенциальной функции Я-волн V"(r), определенной
уравнением (4а), путем аналогичных рассуждений получаем
дуальное выражение

V" (г) = /соц (V' X zo) Р" (г, г') • J° + (V' X V' X z0) 9" (г, г') • М°,

(25)
где

(Г, Г') = £ (Р)„Т*(Р ) 27 (z, z'),	(25а)

i

причем Ч^- — это скалярные собственные функции //-волн, опре-
деленные уравнениями (2).

Подстановка выражений (24) и (25) для /'(г) и V"(r) в
формулы (6) дает искомые выражения для электромагнитных
полей, возбуждаемых в точке г векторными точечными источ-
никами электрических и магнитных токов, находящимися в точ-
ке г', вида (16) [уравнение (За)]:

Е(г, г') = -Я(г, r')-J°-ZTe(r, г')-М°,	(26а)

Н(г, г') = -£Гт(г, г')-J°-<3f(r, г') •№,	(266)

где Я, и	— тензорные импеданс, проводимость и

электрическая и магнитная передаточные функции [гл. 1, § 1,

!) Изменение порядка операций суммирования и дифференцирования,
которое предполагалось допустимым при выведении выражения (24) из
уравнения (4), может оказаться незаконным в некоторых задачах, в которых
имеется непрерывный спектр собственных функций (гл. 5, § 2, п. «б»). [То
же самое относится к выражению (25).] В этих случаях вышеупомянутые
выражения следует рассматривать как формальные и интерпретировать
должным образом [соответствующие пояснения относящиеся к оператору 1/V$,
даны в примечании к формуле (38) из гл. 1, § 1].
формула (49) при г#=г'] [6]:

- /свеЯ (г, г') = (V X V X z0) (V' X V' X z0) 9' (г, г') +

+ k2 (V X z0) (V' X z0) 9>" (г, г'),	(27а)

-/(оц'У (г, г') = (V X V X z0) (V' X V' X z0) 9>" (г, г') +

+ k2 (V X z0) (V' X z0) 9' (г, г'),	(276)

£Ге (г, г') = (V X V X z0) (V' X z0) 9” (г, г') +

+ (V X z0) (V' X V' X z0) 9>" (г, г'),	(27в)

- STm (г, г') = (V X V X z0) (V' X z0)	(г, г') +

+ (V X z0) (V' X V' X z0) 9" (г, г'),	(27г)

причем k2 — <о2це = const. Аффинерные функции Грина, выра-
женные по формулам (27) через скалярные функции 9' и 9",
образуют фундаментальную систему. Следует отметить симме-
тричную форму этих выражений. Из формул (326) и (336) вид-
но, что функции — и — Ч,29” являются скалярными
функциями Грина, которые удовлетворяют уравнениям (36) и
(37). Поскольку в силу уравнений (15) мы имеем У[(з, z') =
= Y'i(z', z) и Z"(z, z') = Z"(z', z), из разложений (24a) и (25a)
для 9' и 9" следует, что при действительных Ф, и ЧЧ *)

9' (г, г') = 9' (г', г), 9" (г, г') = 9" (г', г),	(28)

откуда с учетом (27),

Z (г, г') = Z (г', г), W (г, г') =	(г', г),

^(г, r')=-^m(r',r),	(29)

где тильдой «~» обозначены транспонированные аффиноры.
Тем самым мы еще раз нашли условия взаимности в гармониче-
ской форме, полученные ранее [гл. 1, § 1, формула (29)]. Здесь
для простоты обозначения изменены следующим образом:

V12 = fTe, ^2I = fTm, V22 = <3/.	(30)

Чтобы охватить и точку г = г', выражения (27) следует преоб-
разовать аналогично формулам (38) или (49) из гл. 1, § 1.

Выражения (24) и (25) существенно упрощаются в случае
продольных источников

J° = z0/0, M° = z0A4°.	(31)

') Хотя это не всегда удобно, собственные функции Ф; и в неограни-
ченных областях или областях, ограниченных идеально проводящими стен-
ками, всегда можно выбрать действительными. Выше рассматриваются толь-
ко такие области, в которых k2t — действительная величина.
Из уравнения (23а) видно, что (V' X z0) ф • z0 = 0, а из уравне-
ния (236) следует равенство (V'X V'X ^о)  z0 = - Тогда

/'(г) = 7°G'(г, г'),	(32а)

где с учетом равенства 7'2Ф*(р') =— й^Ф^(р') или VjOf(p) =
= —	(р) мы имеем

G' (г, г') = - v;2^' (г, г') = -	(г, г') =

= i У ф/ (Р) ф; (р') П (z, Z').	(326)

JWC
i

Точно так же можно написать

V" (г) = M°G" (г, г"),	(33а,

где

G" (г, г') а - V;2^" (г, г') = -	(г, г') =

= 7^Г Е (р) (р,) z" (z> 2,)-	(33б)

Из выражений (32) и (33) видно, что источники продольного
электрического тока возбуждают вдоль оси z только £-волны,
а источники продольного магнитного тока — только /7-волны.
Для определения полей в этом случае пригодна следующая уп-
рощенная форма выражений (26):

Е (г, г') = -Д- (V X V X z0) G' (г, г') - (V X z0) G" (г, г'), (34а)
/Шс

Н (г, г') = J° (V х Zo) G' (г, г') + (V X v х Zo) G" (г, г').	(346)

Покажем теперь, что G' и G" — скалярные функции Грина,
которые при соответствующих граничных условиях удовлетво-
ряют скалярному волновому уравнению с неоднородным членом
—6(г — г'). Пусть оператор (V2 + k2) действует на функцию G',
представленную выражением (326), и предположим, что поря-
док операций суммирования и дифференцирования можно изме-
нять. Тогда, поскольку = — б^Ф, и и,2 = k2 — k't2{, получаем
(V| + ^r + *!)c'(r, r') =

- 7ST Z ф< <«> ®:	(;& + >•;) r; (z. г-) =	(35a)

i

= — s (z — z') £ ф, (p) ф; (p') =

i

==-d(z-z')d(p-p')= —d(r-r').	(356)
Переход от (35а) к (356) следует из дифференциального урав-
нения для Y' (z, z'), полученного исключением Tvt (z, z') из урав-
нений (10а) и (Юб), а ряд собственных функций сводится к
6(р — р') [см., например, гл. 3, § 2, формула (17а)]. Таким обра-
зом, собственная функция G' для £-волн представляет собой
трехмерную скалярную функцию Грина, которая удовлетворяет
неоднородному волновому уравнению

(V2 + k2) G' (г, г') = - 6 (г - г')	(36)

при тех же граничных условиях на идеально проводящей гра-
нице волновода, что и для Фг (р) [формула (26)]:

G' (г, г') = 0 при г на s.	(36а)

Граничные условия для G' в направлении z зависят от страти-
фикации вдоль оси z. Например, на стыке двух диэлектриков
при z = Zi поперечные электрическое и магнитное поля сохра-
няют непрерывность, так что напряжение и ток каждой собст-
венной волны непрерывны [§ 2, выражения (8а) и (86)]. По-
скольку Y'i(z, z') представляет собой ток, непрерывность
Yi(z, z') на границе z\ приводит в соответствии с формулой
(326) к непрерывности G'(r, г') при z\. Из телеграфных уравне-
ний следует, что напряжение собственной волны пропорциональ-
но (l/x'y,)(d/dz)y,(z, z'), а поскольку и'У^ = сое, непрерывность
напряжения в силу равенства (326) приводит к непрерывности
величины (1/е) (d/dz) G'(r, г') при Zi1). Таким образом, вели-
чины G' и (1/е) (dG'/dz) должны сохранять непрерывность на
поперечной границе раздела. Точно так же, если область огра-
ничена в точке Zi идеально проводящей плоскостью, на которой
поперечное электрическое поле обращается в нуль, напряжение
каждой собственной волны обращается в нуль, что приводит к
равенству dG'fdz = 0 в точке Zi. Если границы вдоль оси z от-
сутствуют, то в силу «условия излучения» должен существовать
поток энергии, направленный наружу. Таким образом, разложе-
ние по собственным волнам (326) является решением задачи,
поставленной в уравнении (36) для функции Грина при ука-
занных выше граничных условиях.

Путем аналогичных рассуждений можно показать, что функ-
ция Грина для /7-волн G", даваемая выражением (336), удовле-

) Величины е и (1 в формулах (24а), (25а), (326) и (336) имеют по-
стоянные значения, соответствующие среде, в которой находится точка рас-
положения источника г'; в формулах (24), (25), (27) и (34) е и ц имеют
постоянные значения, соответствующие среде, в которой находится точка
наблюдения [см. также формулы (38), (40) и (42)]. Но данные замечания
остаются в силе и при анализе среды с кусочно-постоянными виц.
творяет неоднородному волновому уравнению

(V2 + fe2) G" (г, г') = - 6 (г - г')

(37)

при том же граничном условии, что и для Ч\-(р), на идеально
проводящей границе волновода [формула (2г)]:

dG" А

——- = 0 на s.

dv

(37а)

Граничные условия для G" вдоль оси z аналогичны условиям
для G'. На плоскости раздела z = Z\ величины G" и
(1/ц) (dG"!dz) должны быть непрерывными, а на идеально про-
водящей плоскости G" = 01). Из соотношений (326), (336),
(36) и (37) следует, что скалярные функции i7"(r, г') и S?"(r, г')
удовлетворяют гармонической форме дифференциального урав-
нения [гл. 1, § 1, формула (386)] при граничных условиях, ана-
логичных условиям для G' и G". Чтобы найти 9" и ф", зная G'
и G", нужно обратить выражения (326) и (336). При k2ti 0 та-
кое обратное преобразование легко выполняется путем подста-
новки —	-> k'l или k"f и сразу приводит к разложениям

(24а) и (25а).

д. Разложения по собственным функциям тензорных
функций Грина в неоднородной среде

Формулы, представленные в п. «г», относятся к однородной
среде и должны быть видоизменены, если е и ц зависят от z.
В этом случае сохраняют силу все результаты § 2 и 3, пп. «а»—
«в», кроме уравнений (6), которые в точке, свободной от источ-
ников, можно записать в виде

Е W = Т^Г (V X V X z0) /' (г) - (V X z0) V" (г),	(38а)

Н (г) = (V X V X z0) V" (г) + (V X z0) I' (г),	(386)

где /'(г) и V"(r)—величины, определенные уравнениями (4).
Что касается результатов п. «г», то уравнения (19) — (23) ос-
таются верными, если в них величины вир, заменить величи-
нами e(z') и ц(г'). Тогда выражение (24) принимает вид

Г (г) = - LW • М° + L^'a • J°,	(39)

где L\ и L' — векторные операторы:

M^V'Xzo, L<^V'XV'Xzo.	(39а)

*) См. примечание на стр. 254.
и

I	ktl

(396)

Аналогично преобразуется и выражение (25).

С этими изменениями тензорные функции Грина (27) при-
нимают вид

2С' И“лТЗмТТ	Ь‘‘Ь<Л +	,40а)

L,L'<n + L,L'^.	(406)

+ MiTP)	<40b>

- trm (r, r') =	.	*	.	UL'^d + . 1	ЦL’9>'d,	(40r)

m v ’	1 /юр, (г)	1	‘ /сое (z )	’ x '

где

Ш (0) ЦГ* (o')

I^VXzo, i2 = VXVXzo, ^2 = У—‘A,/’ ZUz, z').

i	*ti

(40д)

Нетрудно убедиться, что, как и можно было ожидать, эти более
общие выражения удовлетворяют условиям взаимности (29).

Собственные функции Грина Y'i{z, z') и Z"t(z, z') опреде-
лены уравнениями (10). Поскольку теперь переменной служит
величина х (г) = [<о2ц (г) е (г) — ^г]‘/2, характеристические импе-
дансы Z{(z) и проводимости УДг) тоже являются функциями
г, так что эквивалентные передающие линии становятся неодно-
родными1). Исключая ТУ из уравнений (10а) и (Юб) и Т\ из
уравнений (Юв) и (Юг), получаем, что собственные функции
Грина удовлетворяют следующим дифференциальным урав-
нениям [заметим, что в формуле (15) из § 2 v.'t (z) Y't (z) = «те (z),
<(z)Z; (z) = «>n(z)]:

(z) + x'2 (z)] Yfa, z') = — jae (z') 6 (z — z'),	(41a)

(z) + x"2 (z)] Z" (z, z') = - /сои (г') 6 (z - z'),	(416)

где

^(2) = a(z)^-^-^-, a = e или j*.	(41b)

!) Хотя мы рассматриваем регулярный волновод, все сечения которого,
перпендикулярные оси z, одинаковы, из-за изменения вдоль оси z констант
среды он неоднороден в электрическом отношении. Поэтому при анализе
методом теории цепей (§ 4) поведения типичной собственной волны вдоль
оси z приходится вводить неоднородные линии передачи (см. также гл. 3,
§ 2, п. «г», § 3, п. «б»).
Граничные условия на концах передающей линии такие же, как
в формуле (13). Концевой импеданс для £-волн в силу формул
(10а) и (Юб) равен \{dldz)Y'l{z, z')/— fa'y'^z, з'Щ эаметим,
что изменяющийся в пространстве характеристический импе-
данс не следует здесь путать с концевым импедансом, о ко-
тором говорилось в § 3, п. «в». В точке соединения двух пе-
редающих линий с параметрами x,i(z), Zn(z) и кц(г), Za(z)
напряжение и ток сохраняют непрерывность. Таким образом, из
формул (10) следует, что величины/' (z, z'), [l/e(z)] (d/dz)7; (z, z')
и Z'l (z, z ), [\/ii(z)](d/dz)Z'i(z,z') непрерывны в точке сопря-
жения (см. также решение уравнений неоднородной передаю-
щей линии в гл. 3, § 3, пп. «а» и «б»).

В случае продольных источников уравнения (40) упрощают-
ся и приобретают вид, аналогичный выражениям из п. «г». Дей-
ствительно, подобно выражениям (34), получаем

Е (г’ г') = L*G' <г> ~ M°LlG" <г’ г'> ’	(42а)

Н (г, r') = y<’L1G'(r, г') +7^-rL2G"(r, г'),	(426)

где

°' (’• И = 75П7) £ К (а, г') Ф, <Р) ®; (р') -

“--KSTPyW. («а)

°" г'> “ -MfW Z z" <<>> (р'>=

Дифференциальные уравнения для скалярных функций Грина
G' и G" приобретают теперь в соответствии с формулами (41)
вид

[0| (z) + V* + k2 (z)] G' (г, г') = - б (г - г'),

k2 (г) = <в2ц (z) в (z),	(44а)

(z) + Vj + k2 (z)] G" (г, г') = - б (г - г'),	(446)

где

0* (г) = a (z) -Д- -Ь- -4- •	(44в)

“v ' v ’ dz а (z) dz

Нетрудно убедиться, что функция Грина G'(r, r')/Ve(z) удовле-
творяет волновому уравнению с модифицированным волновым

9 Зак. 639
числом k (z):

[V2 + k2 (z)]-'£!) = -	,

Ve(z)	Ve(z')	де)

k2 (z) = k2 (z) -	-^=.

dz2 у e (z)

Аналогичному уравнению удовлетворяет и величина
G" (г, г')/VН (2) • Соответствующие выражения для и сле-
дуют из формул (43). Условия, которым должны удовлетворять
G' и G" на поперечных и продольных границах области, не от-
личаются от условий, относящихся к уравнениям (36) и (37).
Эти граничные условия вместе с уравнениями (44) обеспечивают
однозначность величин G' и G". Разложения по собственным
функциям (43) являются решениями для G' и G" и следуют не-
посредственно из анализа продольного распространения. Аль-
тернативные разложения для G' и G" можно получить так, как
указывается в гл. 3, § 3, п. «в».

При постоянных вир, все приведенные выше выражения пе-
реходят в соотношения, приведенные в п. «г».

§ 4.	РЕШЕНИЕ ТЕЛЕГРАФНЫХ УРАВНЕНИЙ
(МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ СХЕМ)

а.	Случай, когда источники отсутствуют

Как показано в § 2 и 3, .чтобы найти электромагнитное поле
в регулярном волноводе, нужно знать собственные функции
(векторные или скалярные) в поперечном сечении и амплитуды
напряжения и тока собственных волн вдоль направления рас-
пространения z. Собственные функции для поперечных сечений
различной формы приводятся в гл. 3. В данном параграфе рас-
сматриваются решения телеграфных уравнений [§ 2, формула
(15), или § 3, формула (10)] для случая кусочно-однородной
вдоль оси z среды, заполняющей волновод [2, разд. 1.2 и 1.3; 3,
гл. 7]. В случае среды, свойства которой непрерывно изменяются
вдоль оси z, нужно решать уравнения (41) из § 3, которые де-
тально разбираются в гл. 3, § 3.

Для начала рассмотрим область, в которой нет никаких ис-
точников. Тогда, полагая в уравнениях (15) из § 2 v = I = 0 и
опуская индекс собственных волн i, получаем телеграфные ура-
внения для линии передачи, не содержащей источников:

-4rV(z) = iKZI{z),

d	(О
Поскольку х и Z предполагаются постоянными, два дифферен-
циальных уравнения первого порядка (1) сводятся к следую-
щему уравнению второго порядка для V или I:

(-4-г + х2)^? = 0, х, Z постоянны.	(2)

\dz2 Л (z)	'

Решение уравнений (2) можно представить в виде бегущих
или стоячих волн. Решение в виде бегущих волн таково:

V (г) = У Пад (г')	<*-*'» + У отр («') е+/*	(За)

ZI (z) = Упад (г') е~/х <*-*'> - Уотр (z') e+l«	(36)

Здесь Упад(2х) и УОтР(г') — амплитуды (в общем случае комп-
лексные) падающей и отраженной волн напряжения в точке z!
линии передачи. Первый член в правой части уравнения (За)
соответствует волне, бегущей в направлении -\-z [если зависи-
мость от времени имеет вид exp(+/W)]; второй член — волне,
бегущей в направлении —z. Выражение (36) следует из (За),
в силу уравнений (1). Если определить коэффициент отражения
по напряжению Г (г) как

Гй = -Рги-.	(4)

то выражения (3) можно переписать в виде

V (г) = Упад (г') [е-/* <*-*'> + Г (z') е+>* <г-2 >],	(5а)

I (г) = YVпад (г') [е~1*	- Г (г') е+>* (г~г'»].	(56)

Из выражений (За) и (4) видно, что коэффициенты отражения
в двух точках гиг' линии передачи связаны соотношением

Г(2) = Г(г')е+^(2-2'1.	(6)

Записывая ток и напряжение в виде стоячих волн, получаем

У (г) = У (г') cos х (г — г') — jZI (г') sin х (г — г'),	(7а)

I (г) =1 (г') cos х (z — z') — jYV (zr) sin x (z — z').	(76)

Формулы (7a) и (76), очевидно, дуальны. Если ввести абсолют-
ный импеданс Z(z) [проводимость У(г)] и относительный (нор-
мированный) импеданс Z'(z) [проводимость У'(г)] в точке z сле-
дующим образом *):

Z (z) —	= 1	Z' (г) = -KlsL = 1 	(8)

L W I (z) Y (z) ’ Л ™ ZI (z) Y' (z) ’ W

!) Штрихом в данном параграфе мы обозначаем нормированные вели-
чины. Это обозначение не следует путать с обозначением в § 2 и 3 вели-
чин, относящихся к £-волнам. Величины Z (z) и У (z) — это входные импе-
данс и проводимость в точке z, a Z и У — постоянные характеристические
импеданс и проводимость.
то можно записать выражения (7) в виде

V (z) = V (z') [cos х (z — z') — jY' (z') sin x (г — z')],	(9a)

I (z) = I (z') [cos x (z — z') — jZ' (zf) sin x (z — z')].	(96)

Разделив выражение (9a) на выражение (96), находим соотно-
шение между импедансами в двух точках линии передачи:

7'(с\— 1 + iz' № ctg х ~ г'^	< 1 m

z W— Z'(z') + /ctgx(z-z') •

Из формул (3) получаем очевидную связь между решениями
в виде бегущих и стоячих волн:

V(z) = Vnaa(z) + V0Tp(z),

2/(г) = Ипад(г)-Уогр(г),	U J

!	(Пб)

V0TP(z) = y[V(z)-Z/(z)].

Связь между импендансом и коэффициентом отражения в точке z

такова:

2/ J + г (*) ___________1_ г (?) — Z' ~ 1	(12>

L 1 - Г (г) Г' (г)’	7'(г) + 1‘

На основании первого из соотношений (Пб) можно для падаю-
щей волны в точке z принять эквивалентную схему, в которую

Фиг. 41. Эквивалентная схема для падающей волны.

входит генератор напряжения 2Упад(г) (с нулевым внутренним
импедансом, фиг. 41, а) или генератор тока 2/пад(г) =
= 2УУпад(г) (с бесконечным внутренним импедансом, фиг. 41,6).
Стрелками на фиг. 41 показаны положительные направления
напряжения и тока.
б.	Точечный источник на бесконечной линии передачи

В п. «а» мы получили решение уравнений однородной пере-
дающей линии с пока не определенными граничными условиями.
Чтобы решать неоднородные уравнения (15) из § 2, нужно уметь
описывать области источников на передающей линии. Как отме-
чалось в § 3, п. «в», описание областей, содержащих источники,
упрощается, если рассматривать возбуждение точечным источ-
ником, а затем находить полный отклик на основе принципа су-
перпозиции. Распределенные источники напряжения v (z) и тока
i(z) следующим образом выражаются через точечные источ-
ники:

v (z) = v (z') б (z — z') dz', i (z) = $ i (z') 6 (z — z') dz', (13)
где интегрирование no z' охватывает-область источников. Если
обозначить напряжение и ток в точке z, возбуждаемые точеч-
ными источниками t>(z')6(z— z') и i(z'}§(z — z'), находящи-
мися в точке z', через V(z,z') и I(z,z'), то полные напряжение
и ток получим путем суперпозиции !):

V (z) = J V (z, z') dz', I (z) = J I (z, z') dz'. (14)

Таким образом, задача сводится к отысканию откликов V(z,z')
и I(z,z') на действие точечного источника. Источники напряже-
ния и тока собственных волн v(z) и i(z) ранее были выражены
через заданные токи источников электромагнитного поля [§ 2,
формулы (14)]. В дальнейшем задачу можно упростить введе-
нием собственных функций Грина в соответствии с формулами
(9) из § 3, но мы пока отложим это.

Телеграфные уравнения в случае возбуждения точечным ис-
точником имеют вид

— V (z, z') = jnZI (z, z') + v6 (z — z'),

.	(15)

--^./(z, z') = jhYV(z, z') + ib(z-z'),

где принято обозначение v(z') = v, i(z') = L Интегрируя урав-
нения (15) no z в пределах от z' — а до z' + а, где а 0, полу-
чаем следующие выражения для скачков V(z,z') и I(z,z') в
точке z':

[V (г, 2%+_* = - V, [Z (г, z')]’'+aa = - I. (16)

*) Функции V (z, z'} и Z (z, г') связаны с собственными.функциями Грина,
которые даются формулами (9) из § 3; V (z, z') = — Tv (z, z') v (z') —
7 Z (г, z') i (z') и I (2, z') = — Y (z, z7) v (z') — T^z, z') i (z') [см. также § 3,
формула (17)].
В выражениях (16) принято, а в дальнейшем будет подтвер-
ждено, что величины V(z,z') и I(z,z')9 хотя и терпят разрыв,
ограничены в точке z'. Условия скачка (16) можно представить
эквивалентной схемой, показанной на фиг. 42, где имеются то-

z'+a

zr-a

Фиг. 42. Эквивалент-
ная схема для возбу-
ждения точечным
источи иком.

чечный генератор напряжения с нулевым
внутренним импедансом и точечный генера-
тор тока с бесконечно большим внутренним
импедансом. Строго говоря, генератор на-
пряжения на фиг. 42 следовало бы предста-
вить в виде двух генераторов напряжения
v/2, расположенных по обе стороны от гене-
ратора тока.

Чтобы показать, как пользоваться экви-
валентной схемой фиг. 42, рассмотрим про-
стой пример точечного источника на беско-
нечной линии передачи (фиг. 43). (Общий
случай линии с произвольными условиями
на концах рассматривается в п. «в».) По-

скольку линия имеет бесконечную длину и отражение отсут-

ствует, волны распространяются только от источника, и гранич-
ные условия при z = ±оо должны это обеспечивать. Поэтому
решение имеет вид

V (zr +, z') е""/х	при	z > z',	(17а)

V (zf —, z') е+/х	при	z < z',	(176)

I (z' +, z') e~iK {z~z'}	при	z > z',	(17b)

7(z'—, z')e+/x(z~z,)	при	z<z'.	(17r)

При определении амплитуд напряжения и тока	в точках	z'— и

z'+ следует иметь в виду, что импеданс с обеих сторон от ис-

V(z, /) = |
Z(z, z') = (

Фиг. 43. Точечный источник на бесконечной линии передачи.

точника равен Z. Таким образом, к генератору напряжения v
подключен последовательно импеданс 2Z, а к генератору тока i
подключена параллельно проводимость 2У. При суперпозиции
откликов от v и i получаем

V(z'±, z')=-|(±o4-Zi), I(z'±, z')=-y(±i + rv). (18)
так что в любой точке линии передачи

v (z, г') = - У [«(г, z') v + Zi] e-i* I z"z' I,

I (z, z') = — -g- [« (2, z') I + Ko] e~lK 1 z~z' I,
A

где

(	1 при z > z',

(19a)

(196)

(19b)

в.	Общий случай: эквивалентная схема в виде
линии передачи, возбуждаемой точечным источником

Рассмотрим теперь общий случай линии передачи, возбуждае-
мой точечным источником и нагруженной на концах произволь-
ными, но известными импедансами. Эти импедансы заменяют
граничные условия на концах линии передачи и определяются

Фиг. 44. Общий случай эквивалентной схемы линии передачи, возбуждаемой
точечным источником.

граничными условиями для электромагнитных полей. В каче-
стве типичного примера рассмотрим эквивалентную схему, пред-
ставленную на фиг. 44, где ZT и 1т — концевые импедансы в
точках zj и z2, a Z и х — постоянные (характеристический импе-
данс и волновое число линии). Слева от точки z\ и справа от
точки z2 система может быть в значительной мере произвольной
и эквивалентна импедансам ZT и ZT, которые характеризуют
влияние концевых устройств на поведение линии в интервале
2\ < z < z2. При переходе от линии передачи с постоянными
параметрами Z, х к линии с постоянными параметрами Z\, xi,
подключенной, например, в точке z2, нужно, использовать выра-
жения п. «а» вместе с условиями непрерывности напряжения и
тока в месте соединения двух линий. Это следует из непрерывно-
сти поперечных электрического и магнитного полей при пере-
ходе через диэлектрическую поверхность раздела (в отсутствие
источников) [§ 2, формулы (8а) и (86); напомним также, что
векторные собственные функции ортогональны и что собствен-
ные функции не зависят от параметров ei,2 и pi,2 сред 1 и 2,
находящихся по обе стороны от поверхности раздела z — const].
При решении приведенной выше задачи сначала определяют
напряжения и токи на зажимах генераторов, а затем по форму-
лам (5) и (9) для линии передачи без источников находят на-
пряжения и токи в интервале Z\ < z < z2. На фиг. 45 представ-
лена эквивалентная схема для общей задачи, причем через Z(z')

Фиг. 45. Решение задачи в случае линии передачи общего вида.

и Z(z') обозначены импедансы, подключенные справа и слева
от зажимов генератора. Величины Z(z') и Z(z') выражаются че-
рез заданные импедансы ZT и ZT фиг. 44 по формулам (10) *).
Обычным методом суперпозиции откликов на и и f, принятым
при анализе электрических схем, находим решение задачи, пред-
ставленной на фиг. 45, в следующем виде:



У(г'+, z') =	_—vZ (z') Z*(z')	T(z') ’	(20a)
V(z'~, z') =	. vZ(z')	i	(206)
	*z\z')	Y (2')	
/(*'+,*') =	— °	iY(z’)	(20b)
		TV) ’	
I(z'-, z') =	I  <--> „	1	iY (г') <--> 9	(20r)

z (z') Y (z')

1) В соответствии с выбранными на фиг. 41 положительными направле-
ниями напряжения и тока в формуле (10) величина Zf m Z'— нормирован-
ный импеданс справа от генератора. Чтобы применить формулу (10) к им-
педансу Z' слева от генератора, величины Z' следует взять со знаком минус
(т. е. нужно произвести замену Z' —* — £')•
где

Z*(z') = Z(z') + Z(z'), y*(z')=y(z') + r (z').	(20д)

Величины V и / в любой точке z линии передачи с постоян-
ными параметрами х и Z вычисляются по формулам (5) или
(9) на основании соответствующих значений в точке z'. Из соот-
ношений (5), (116) и (20) получаем решение в виде бегущих
волн при z > г':

2 L	Z (г')	К (z') J

X [e-i* <*-*'> + Г (г') е+'и <*-*">], (21а)

2 L	Y (zz)	Z (z') J

X [e~i*	- Г (z') e+/* <*-*'>], (216)

а при z < z' *)

v(г> Z) = _ 1 [_ v £g)±£ + zzIg)±Zl x

X [<?+/“ <г~г'> + f (z') e~l* <*-*'>], (21 в)

/(2> X) _ 1Г z rg)±y + Yv Ьз±£|x

2 L Y (zr) . Z (z') J

X [e+i* <*-*'> - Г (z') e~l* <г~г')].	(21r)

Коэффициенты отражения при распространении вправо Г и
влево Г выражаются через соответствующие импедансы Z' и Z'
по формулам (12).

*) Решение в виде бегущих волн при г < г' (падающая волна распро-
страняется в направлении — г) таково:

V (2) = Упад (z') [е^к (2~z'> + Г (z') е~/к

-I(z)^ Г^пад (/) [e+Z* <*-*'» -Т (z') е-^

и. следовательно,

KPSM(z')-yiy(?')-Z/(Z)J.
Решение в форме стоячих волн находим из формул (9) и
(20); при z > z' имеем

vz (У)

T(z')

I

<—>

Г(г')

Z(z,z')=-[^-+^-
L Z (z') Y (z')

а при z < z

17 i~>	-----Г____	(*')

- j [cos x (z — z') — jY' sin x (z — z')],
(22a)

• J [cos x (z—z') — jZ' (z') sin x (z—z')],
(226)

i

Z (г') Y (г') J

X [cos и (z — z') + jY' (zf) sin x (z — z')],
iY (z') , t> 1
Y (z') Z (z') J

X [cos x (z — z') + jZ' (zf) sin x (z — z')].

(22в)

(22г)

Выражения (21) и (22) дают общее решение задачи о линии
передачи, возбуждаемой точечным источником. В частных слу-
чаях возможны существенные упрощения. Случай бесконечной
линии передачи, у которой Z (z') = Z(г') = Z [т. е. Г(г') =
= Г (г') = 0; формула (12)], уже рассмотрен выше [формулы
(19)]. Если линия ограничена справа и не ограничена слева, то
Z(z') = Z и T(z') = 0. В этом случае удобно воспользоваться
выражениями для бегущих волн:

V (z, г') = - 4- (о + Zi) [е~^	+ Г (z') e+f* <г~г')]	(23а)

->	Z > z'\

I (z, z') = - у (/ + Yv) [е-'*	- Г (z') е+1к <*-*'>]	’ (236)

V (z, г') = - Г - v ----------ЬI	*----1 e+i*

L Z(z') + Z Г(г') + Н

I (z, z') = — f—i ------------1- v	!----1 е+^

L Y(z')+Y	Z(z') + zJ

(23в)
z<z'.

(23r)

Имеются еще два частных случая.

1.	Короткое замыкание в точке гг: Г(г2) =—1, Z(z2) = 0,
откуда по формуле (10) получаем

Z' (/) = / tg х (z2 — z').	(24а)
2.	Разрыв линии в точке г2: Г(г2) = +1, Z(z2) = eo, откуда

Z' (z') = — j ctg х (z2 — z').

(246)

Полное напряжение V(z) и полный ток Z(z), возбуждаемые
распределенным источником v(z) и i(z), находятся путем инте-
грирования V(z,z') и I(z, г'), как в формуле (14).

г. Функции Грина для телеграфных уравнений

Рассмотренная выше задача возбуждения точечным источ-
ником упрощается, если ввести генераторы напряжения и тока
единичной амплитуды для представления генераторов v и i, изо-
браженных на фиг. 42—45. В качестве напряжений и токов пере-
дающей линии, возбуждаемых этими точечными источниками,
выступают (собственные) функции Грина Z(z, z'), Y(z,z'),
T^z.z') и Tv(z, г'), введенные в § 3 [§ 3, п. «в», формулы (10)].
Ниже собственные функции Грина вычисляются двумя разными
способами: во-первых, методом эквивалентных схем, а во-вто-
рых, непосредственно из дифференциальных уравнений (10) из
§3.

Метод эквивалентных схем иллюстрируется следующим рас-
четом У(г, z'). Поскольку Y(z,z') определяется как ток в точке
z линии передачи, возбуждаемый последовательным источником
напряжения v = —1 (§ 3, п. «в»), расположенным в точке z',
соответствующая эквивалентная схема имеет такой вид, как на
фиг. 46. Общее решение для токов и напряжений линии с вол-
новым числом % и характеристическим импедансом Z при воз-
буждении точечным источником и при произвольных условиях
на концах, которое было дано в выражениях (21) и (22), не-
трудно использовать для определения У(г, z'). В частности, ре-
шение в форме стоячих волн дает

y(z,z') =

где

У (z', z') [cos х (z — z') — jZ' (z') sin x (z — z')]
при z > z',

У (z', z') [cos x (z — z') -f- jZ' (z') sin x (z — z')]
при z < z',

y(z', z') = ^-

Z(z')

1

Z(z')4-Z(z')‘

(25a)

(256)

(25b)

Отметим, что величина У (z', z') не зависит от источника и оп-
ределяется только импедансами линии справа и слева от точ-
ки z'.
Иногда желательно рассчитать импеданс Z не в точке рас-
положения источника z7, а в другой точке z0, где его проще опре-
<—>	<—>

делить. Связь между Z(z') и Z(z0) вытекает из соотношения
(10) (см. также примечание на стр. 264) и имеет вид

1[cosx (z' — z0) + jZ' (z0) sin х (z' — z0)] v

Z(z')

Z (Zo)

X [cos х (z' — z0) — jZ' (z0) sin x (z' — z0)].	(26)

При z > z' выражение в квадратных скобках в формуле (25а)
можно записать в виде 7(z)//(z') [формула (96)], а второй член

Z = y(z,z')

-o-—---------о

z

——о

Z

ZT



X	X

о	Q.	O—--------------O'

zt	,z’~	z +	ZZ

Фиг. 46. Эквивалентная схема для определения Y (z, z').

в квадратных скобках в формуле (26) —в виде /(z')//(z0). Под-
становка выражения (26) для Y(z',z') в формулу (25а) и рас-
крытие отношения /(z)//(z0) дают искомое выражение для

Y (z z') = Icos x ^г' ~ г°^ /Z' sin x ~ x
Z^zo)

X [cos x(z — z0) — jZ'(z0) sin x(z — z0)].	(27a)

В силу соотношения взаимности Y(z,z')= Y(z',z) [§ 3, формула
(15)] соответствующее выражение для участка г < z' имеет вид

у (z г') = fc°s * (z — z0) + jZ' (z0) sin x (z — zp)]
Z*(z0)

X [cos x (z' — z0) — jZ' (z0) sin x (z' — z0)].	(276)

Выражения (27a) и (276) можно объединить в выражение, при-
годное при любых z:

у _ tcos х (2< “ го) + <го)sin «(г< - *o)] v

Z (z0)

X [cos x (z> — z0) — /Z7 (z0) sin X (z> — z0)],	(28a)
где z< означает г при z <. z' и z' при z > z'; для z> справед-
ливо обратное.

На основании принципа дуальности можно написать

7	(C0S Х “ 20) + /У *<> $1П К 2< ” 2°) V

Z (z, z) =-----------------++---------------------X

К(*о)

X [cos X (z> — z0) — jY' (z0) sin X (z> — z0)],	(286)

а поскольку Z(z, z') определяется как напряжение, возбуждае-
мое в линии передачи точечным источником тока с амплитудой
I = —1, это выражение, очевидно, дает решение для эквивалент-
ной схемы, представленной на фиг. 47. Так как

cos х (z — Zo) 4= jZ' (z0) sin x (z — z0) —
1 < *

= | [ 1+ Z' (z0)]	<*“**> - Г (z0) e* *-*•>],

где

Z' (zo) + 1

выражение (28a) можно записать в виде бегущих волн:

Y (z, 2') = ^Л--
2(ZO)

'-Г(г0)е	°’

l-r(zo)

(29а)

(296)

е

— Г(г0)е

1 -Г(г0)

Точно так же вместо выражения (286) имеем

(29в)

2(z,z') = ^—-

'+Г(г0)е

1 +Г(г0)

+ Г (z0) е	°>

е

(29г)

1	+ Г (г»)

Вместо того чтобы вычислять функции Грина проводимости
и импеданса, анализируя эквивалентные схемы, можно найти их
исходя из дифференциальных уравнений [§ 3, формулы (10)] и
волновых решений для случая, когда нет источников, с соответ-
ствующими граничными условиями слева и справа от точки рас-
положения источника. Исключая Tv из уравнений (10а) и (Юб)
в § 3, получаем дифференциальное уравнение второго порядка
для Y(z,z')

(-£- + Y = - /хУд <2 -2') (3°)

с постоянными параметрами х и Z. Граничные условия в конеч-
ных точках Zi и 22, которыми определяется единственное реше-
ние уравнения (За), выражаются через концевые «логарифми-

Фиг. 47. Эквивалентная схема для определения Z {г, г').



ческие производные» или нормированные импедансы (т. е. отно-
шения напряжения к току):

 (^2)7(2,29 1

.(- /хГ) Y (г, г')]гь Zi

(30а)

что следует из формул (10) из § 3.

Функции Грина для дифференциального уравнения второго
порядка можно вывести хорошо обоснованным математическим
методом (гл. 3, § 3), который очень удобен и логичен при под-
ходе, основанном на теории цепей. Во всех точках z =/= z' вели-
чина У (z, z') должна удовлетворять однородному уравнению
(30) [т. е. Y(z,z')—волновое решение телеграфных уравнений
в отсутствие источников]. Поскольку величина У(z, z') фактиче-
ски представляет собой (нормированный) ток в линии передачи,
при z > z' однородное решение, удовлетворяющее граничным
условиям в точке Zj, можно на основании формулы (96) запи-
сать в виде

Z (z) = cos и (z — z0) — jZ' (z0) sin x (z — z0),	(31 a)

если за начало отсчета принять произвольную точку Zo и ввести
условие нормировки /(z0) = 1. Эквивалентная схема для одно-
родной задачи, решением которой является I (г), представлена
на фиг. 48; подчеркиваем, что в приведенном выше волновом ре-
шении совершенно не фигурирует источник.
Точно так же получаем однородное решение для г < z', ко-
торое удовлетворяет граничным условиям при zr.

I (z) = cos х (z — Zo) 4- JZ' (z0) sin x (z — z0).	(316)

Как и ранее, 7(z0) = 1. При использовании системы обозначе-
ний фиг. 46 и 48 эквивалентная схема для однородной задачи
выглядит так, как показано на фиг. 49. Нормированные импе-
дансы (логарифмические производные) в точке z0 дробно-ли-

I(z)

zt zo

Фиг. 49. Эквивалентная схема для
однородной задачи, определение

7(z)

zz

zo

Фиг. 48. Эквивалентная схема для
однородной задачи, определение

Z (г).

нейно связаны с теми же величинами, определенными в конеч-
ных точках Zi и z2 [см. формулу (10) и примечание на стр. 264].

Чтобы построить функцию Грина, на проводимость Y(z,z')
накладывают следующие условия:

1)	она должна зависеть от z как /(z) при z > z' и как Z(z)
при z < г';

2)	в силу условия симметрии У (г, г') = У (z', z) [§ 3, фор-
мула (15)], она должна симметрично зависеть от I и /;

3)	как явствует из дифференциального уравнения (30) *)
или эквивалентной схемы фиг. 46, она должна быть непрерывна
в точке z = г', а ее производная (т. е. напряжение) должна ме-
няться скачком в этой точке.

Из всего сказанного следует, что проводимость У(z, z') дол-
жна иметь вид

У (г. z') =

/U(z)Z(z')

Л/(г')7(г)

при
при

z> z',
z <z'

(32a)

(326)

’) Интегрирование уравнения (За) на бесконечно малом интервале с
центром в точке г' показывает, что величина (dldz) Y (г, z') претерпевает
разрыв в точке г == г', а величина Y(z,z') ограничена и непрерывна в этой
или в обозначениях, принятых в формуле (28),

Y (г, z') = 4/(z<)/(z>).	(33)

Константа А не зависит от z (или z') и должна удовлетворять
условию разрыва dY(z,z')ldz в точке г'. Поскольку А не зави-
сит от z (или г'), мы можем выбрать положение источника в
точке z' = z0, чтобы упростить определение А. С учетом того что
7(z0) = 7(z0) = 1, вычислив ток в точке z = Zq простой эквива-
лентной схемы (фиг. 46 при z' = z0), получаем

K(z0, z0)=^— = А	(34)

Z(z0)

а функция Грина У(z, z') дается выражением

у (2, z') =	,	(35)

Z(z0)

где в явном виде указана зависимость величин / и I от z0. Вы-
ражение (35) идентично выражению (28). Отметим, что вычис-
ление величины А по формуле (34) на основе простой эквива-
лентной схемы эквивалентно расчету матрицы, обратной врон-
скиану двух решений I и I (гл. 3, § 3, п. «б»).

д. Резонансные свойства ограниченной линии передачи

В предыдущих пунктах параграфа мы определяли отклик
ограниченной линии передачи на заданное возбуждение. При
этом мы находили собственную функцию Грина У(з, z'} или
Z(z, г'), а затем по ней вычисляли искомый отклик. Форма этих
функций Грина такова, что отклик, отличный от нуля, оказы-
вается возможным даже в отсутствие возбуждения. Подобные
условия возникают при резонансе, а именно величины У (г, г')
или Z(zt z') обращаются в бесконечность при некоторых волно-
вых числах собственных волн kt и фиксированном k или при не-
которых k и фиксированном kt.

Поскольку ограниченная линия передачи эквивалентна по-
лому резонатору или волноводу в поперечном направлении, ус-
ловия резонанса позволяют получить полный набор собствен-
ных волн полого резонатора или волновода. В первом случае
мы рассмотрим волновод конечного поперечного сечения, огра-
ниченный таким образом, что образуется (замкнутый) полый
резонатор (фиг. 50). Во втором случае первоначальный волно-
вод должен простираться до бесконечности по крайней мере
вдоль одной из осей, лежащих в плоскости поперечного сече-
ния, и должен быть ограничен в продольном направлении; такой
Фиг. 50. Случай полого резонатора,
в—поперечное сечение волновода (при заданных k^y б—ограниченная линия передачи.

у (другая ось волновода)

, в

Фиг. 51. «Поперечный резонанс»,
а—плоскость ху\ б—плоскость yz\ в—эквивалентная схема.

волновод можно рассматривать как волновод, бесконечно про-
тяженный в поперечном направлении. Частный случай волно-
вода, образованного двумя параллельными плоскостями со слои-
стым диэлектриком между ними, представлен на фиг. 51. В ка-
ждом из упомянутых случаев все возможные собственные ко-
лебания или собственные волны, которые можно возбудить в
такой структуре, определяются условиями резонанса. При бо-
лее общем математическом подходе можно показать, что полный
спектр возможных собственных волн в резонаторах или волно-
водах определяется особенностями (полюсами или точками вет-
вления и связанными с ними разрезами) собственных функций
Грина, а собственные функции определяются вычетами в полю-
сах или вкладами ветвлений и разрезов (гл. 3, § 3, п. «а»).

Из выражений (27) — (29) явствует, что собственные функ-
ции Грина обращаются в бесконечность в нулях полного импе-
данса Z(z0) или полной проводимости У(г0). Импедансы Z(z0) и
Z(z0), измеренные слева и справа от точки z0, являются функ-
циями постоянной распространения х = (k2— £|),/s, т. е. зави-
сят от волнового числа свободного пространства k — ы/с (с —
скорость света в среде, заполняющей волновод) и волнового чис-
ла собственной волны kt. Значения х = Хг, при которых

Z (z0) = 0 или Z (z0,x) = — Z (z0,x),	(36)

не зависят от выбора Zo, и ими определяются резонансы системы
(т. е. волновые числа хг, при которых ток или напряжение в ли-
нии могут быть конечными даже в отсутствие возбуждения).
Величина хг может быть действительной и комплексной; в пер-
вом случае мы имеем дело с реактивной (недиссипативной) сре-
дой, во втором — с системой с потерями.

Резонансные частоты собственных колебаний резонатора, ко-
торый представляет собой отрезок регулярного волновода, огра-
ниченный с обоих концов, можно определить, исходя из экви-
валентной схемы. При заданном поперечном волновом числе
собственной волны kt значениями величины хг, при которых
Z (z0) обращается в нуль, определяется резонансная частота сог
данного собственного колебания kt резонатора. Для резонатора
без поглощения частота а>г действительна, и, следовательно, ко-
лебания в нем не затухают (во времени). Для диссипативного
же или нагруженного резонатора а>г — комплексная величина, и
колебания в нем затухают. Отношение действительной части ве-
личины Хг к мнимой есть добротность Q для данного резонанса.

Собственные волны в бесконечном регулярном волноводе
можно определить, отыскав резонансы соответствующей «попе-
речной эквивалентной схемы», если поперечное сечение волно-
вода обладает необходимой симметрией. Для этого задаются
частотой ю и определяют волновые числа собственных волн kt,
соответствующие резонансным значениям величины хг; такой
метод определения собственных волн называется методом «попе-
речного резонанса». Найденные таким образом значения kt пред-
ставляют собой постоянные распространения собственных волн.
которые могут распространяться вдоль оси рассматриваемого
волновода. Связь между задачей резонансов в эквивалентной
схеме ограниченной линии передачи и задачей на собственные
значения для волн в поперечном сечении волновода, представ-
ленного этой эквивалентной схемой, подробнее исследуется в
гл. 3, § 3, п. «а».

Анализ резонанса дает информацию не только о резонансных
частотах схемы, но и о распределении напряжения и тока на
этих частотах в областях, свободных от источников. Хотя рас-
пределения величин I(z) I(z) [формулы (31а), (316)] обуслов-
лены источниками, расположенными в первом случае слева, а во
втором справа от зажимов эквивалентной схемы, из формулы
(36) явствует, что при резонансе волновые решения I(z) и Цг)
идентичны и удовлетворяют граничным условиям на обоих кон-
цах схемы. Эти резонансные решения для области без источни-
ков характеризуют собственные решения или собственные функ-
ции упомянутой выше задачи на собственные значения (гл. 3,
§ 3, п. «б»).

§ 5.	ВЫВОД ТЕЛЕГРАФНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДЛЯ СФЕРИЧЕСКИХ ОБЛАСТЕЙ

В случае сферической волноводной области ( фиг. 40, б) век-
торные уравнения поля [§ 2, формула (1)] удобнее преобразо-
вать к сферическим полярным координатам (г, 0, <р). Электриче-
ская Е( и магнитная Н< компоненты поля, перпендикулярные ра-
диальному направлению г, являются независимыми величи-
нами, через которые можно выразить продольные компоненты
Ег и Нт. Следовательно, уравнения поля можно свести к урав-
нениям только для поперечных полей. Путем введения полного
набора поперечных векторных собственных функций можно по-
лучить разложения по собственным волнам для Е( и Н( с ампли-
тудами волн, которые зависели бы от г и удовлетворяли бы те-
леграфным уравнениям для сферических волноводов. Методика
полностью аналогична изложенной в § 2 для регулярных волно-
водных областей при условии замены z на г.

а. Уравнения для поперечных полей

В сферической системе координат (фиг. 52) положение точки
Р определяется радиальным расстоянием г от начала координат,
углом 0 между радиус-вектором г и осью z и азимутальным уг-
лом <р между проекцией р радиус-вектора г на плоскость ху и
осью х. Обозначим через г0, 0о и <р0 единичные векторы, направ-
ленные в сторону возрастания соответствующих величин г, 0 и
<р (при этом гох0о = фо). Нам пригодятся две разные формы
записи оператора V в сферической системе координат [5,
разд. 1.18]:

V = r0^- + <V=^-^r2r0 + V/,	(1)

где

V д 1 д _1_	1 д

*	. ° г <90 г sin 6 <Э<р ’

= —г-н-	sin Ч------г-н- ф0.	(1а)

1 г sin 0 30 . и 1 rsin0 Зф чи	' '

Первая форма удобна для умножения векторов слева, а вто-
рая — справа; различие же между ними обусловлено тем, что
угловые производные единичных векторов в криволинейной си-
стеме координат не равны нулю.

Чтобы привести уравнения Максвелла (1) из § 2 к попереч-
ной относительно г форме, умножим их скалярно и векторно на
Го и после преобразований, ана-
логичных тем, которые привели
к уравнениям (4) из § 2, нахо-
дим [7]

• (HtXr) + M,eXr, (2а)

= >е(г)[1+-^^].

•(rXE,) + rXJ^ (26)

где в (г) и р,(г) —диэлектрическая и магнитная проницаемости,
которые считаются не зависящими от координат 0 и ф, k2 =
= ю2ц8, г == гог, a J/e и Mie — эквивалентные поперечные рас-

пределения источников:

=	M„ = M, + -^rX,V/, (2в)

Индексом t обозначены векторы, перпендикулярные вектору г.
Продольные (радиальные) компоненты поля выражаются через
поперечные поля и продольные токи источника: Е

Е’ = /SiWV<  <«< X г.) - U н,-^[V.-lroXB,)-^]. (3)
Если имеется идеально проводящая поперечная граница s, опи-
сываемая уравнением f(0, ф) = О, то тангенциальное электри-
ческое поле на ней должно обращаться в нуль, так что

vXE, = 0, Vr(HfXro) = O на s,	(4)

где v — единичный вектор нормали к s. Уравнения (2) и (3)
полностью эквивалентны исходным уравнениям поля (1) из § 2.

б. Разложение полей и их источников по собственным
функциям

Как и в случае регулярного волновода (§ 2, п. «б»), реше-
ния уравнений для поперечных полей в отсутствие источников,
удовлетворяющие по отдельности поперечным граничным усло-
виям, образуют полный набор функций, который можно исполь-
зовать для представления произвольного поля. Если е и ц зави-
сят только от г, то в случае, когда источники отсутствуют, пере-
менные разделяются:

гЕ„ = Vt (г) ez (р), гН,г = Ц (г) h, (р),	(5)

где р = (0, ф). Подставив эти выражения в уравнения (2) (при
J — М — 0), получим отдельные уравнения для величин, изме-
няющихся в радиальном и поперечном направлениях. Зависи-
мость вектора от поперечной координаты можно исключить из
этих уравнений простым способом при двух условиях: если
1) произведение оператора ZVV/ на вектор пропорционально это-
му вектору и 2) Ьг- = г0Х^г- Как и в уравнениях (10) из § 2,
эти два требования можно совместить одно с другим, наложив
дополнительно условия (г0 X е*) =0 или Vr (h2- X Го) = 0,
что позволяет разделить набор собственных волн на два набора.
Затем в формулах (3) полагают Hrt — 0 и Eri = 0, идентифи-
цируя тем самым два набора волн как Е- и Я-волны относитель-
но г- Этот вывод опирается на теорему о разложении произволь-
ного вектора на потенциальную и соленоидальную компоненты
[4]. Затем потенциальную компоненту можно представить как
градиент скалярной функции, а соленоидальную — как ротор
продольного вектора [см. § 6, уравнения (1), и § 3, п. «а»].

Собственные функции ег- и ht — r0 X е< являются решениями
следующих задач на собственные значения с соответствующими
дополнительными условиями на поперечном сечении S [2,
разд. 1.8]:

r2t^t • < = - k'ty{, V,. (r0 х <) = О,	(6а)

r2(vvt • h" = - k"%', vt • (h; x r0)=o,	(66)
где величину г2 мы включили в (r2/VV/), чтобы сделать опера-
тор зависящим только от поперечных координат; одним штри-
хом обозначены £-волны, а двумя — Я-волны. Граничные усло-
вия для обоих наборов собственных волн следуют из уравне-
ния (4):

V X ez = 0 = V, • (hz х Го) на s.	(6в)

На основании формулы (На) из § 2 можно показать, что век-
торные собственные функции удовлетворяют условиям ортого-
нальности, аналогичным условиям (116) из § 2:

J J е; • efdQ = 6tl = j j ef • e/* dQ; j j ej • e"* dQ = 0,	(7)

s	sJ	s

где dQ — sin QdQdtp — dS/r2 — элемент телесного угла, опираю-
щегося на поверхность S. Такие же условия можно написать для
ht-. Собственные функции нормируются приравниванием инте-
гралов единице при I = /.

Полный набор векторных собственных функций, введенный
уравнениями (6), можно теперь использовать для представления
электромагнитных полей и функций возбуждения, входящих в
формулы (2а) и (26):

rEt (г) = Е V't (г) е; (р) + Е V" (г) е" (р),	(8а)

гн, (г)= Е /; (г) ь; (р) + Е	w ь; (Р),	=г0 х ер (86)

rite (Г) = Е i't (г) < (р) + Е (г) е" (р),	(8в)

гм(в (г) = Е v; (г) hz (Р) + Е V" (г) h" (р).	(8г)

Соответственно этому из формул (3) получаем

+-£-£ та,	«ад

Здесь Zzerj и Fz/irZ — величины, даваемые выражениями (10в) и
(10г). Подставляя эти разложения в уравнения (2а) и (26) и
используя уравнения (ба) и (66) вместе с условиями ортого-
нальности (7), получаем телеграфные уравнения для сфериче-
ских волноводов, в которых переменными служат амплитуды
напряжения Vz и тока Д собственных волн:

dVi	di,

---dT =	+ vi> ~-dT = ^Y‘V‘ +	0)
где — постоянная распространения собственной волны, Zi —
характеристический импеданс и Уг- — характеристическая про-
водимость. Для Е-волн

для Я-волн

<(r) = ^W-4;	(96)

где kz(r) = й2ц(г)е(г). Нетрудно видеть, что даже если среда
однородна (еиц постоянны), постоянная распространения и ха-
рактеристический импеданс зависят от г (т. е. линии передачи
неоднородны). Это оказывается следствием того, что поперечные
сечения на разных радиальных расстояниях не тождественны, а
лишь подобны. Источники Vi и it в уравнениях (9) можно вы-
числить по известным токам J и М, обратив формулы (8в) и
(8г):

у о. (г) = J J М (г) • h; (р) dQ + Z*t $ J J (r) eri dQ, (10a)
s	s

у it (r) = $ J J (r) ♦ < (p) dQ + Y*t J $ M (r) • h;z dQ, (106)
s	s

где

Z'e' =r e* = г	e"==0	(10b)

л<ен ro /we	о /®er	’	ri ’	'

y"h"=r —= r kti^-	h' э0	(10г)

zin-i Г0 /<вц	Г0 /(ОЦГ	’	nri U-

Здесь Ф( и Tf — скалярные	собственные	функции, определение

которых дается в § 6, п. «а». Решения телеграфных уравнений
для различных радиальшях областей даются в § 7.

Средняя мощность S, переносимая через сферическую по-
верхность радиусом г, определяется выражением

S = Re J Е X Н* • r0 dS = Re	V't (г) I? (г) + £ V" (г) I"* (г)1,

s	L i	i	J

(На)

которое следует из уравнений (8а) и (86) и условий ортогональ-
ности (7). Таким образом, полная мощность равна сумме вкла-
дов отдельных собственных волн. Если точка наблюдения уда-
лена на бесконечность (г —> оо), а все источники, истинные цл
наведенные, находятся в пределах г < а, то собственные волны,
вносящие вклад в излучение, определяются неравенством kr »
> kti, откуда Zz(r)-^g = Vg/е и Vz(r) ->-£Д(г) [см. ура-
внения (9) и § 7]. Поскольку собственные волны с kti ka силь-
но затухают, набор волн содержит конечное число членов в эф-
фективном диапазоне. Полную излучаемую мощность можно вы-
разить через напряжения «дальнего поля» по формуле

S==j£|V<(r)l2 + |£|У7(г)|2, r->oo, (Нб)
i	i

которая позволяет рассчитывать такие величины, как эффектив-
ное сечение рассеяния на препятствии или эффективное сечение
отверстия.

§ 6.	СКАЛЯРИЗАЦИЯ И РАЗЛОЖЕНИЕ

ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ТЕНЗОРНЫХ

ФУНКЦИЙ ГРИНА В СФЕРИЧЕСКИХ ОБЛАСТЯХ

Как и в случае регулярных волноводных областей, задачи
нахождения векторного поля и собственных функций, сформули-
рованные в § 5, можно свести к скалярным задачам, пользуясь
потенциалами Е- и /7-волн (потенциалами Герца). Метод ска-
ляризации и определение скалярных функций Грина G'(r, г'),
G"(r, г'), 9"(г, г'),	эквивалентных этим потенциалам,

изложены ниже в полной аналогии с тем, что говорилось в § 3.

а.	Собственные функции

Из вторых уравнений (6а) и (66) § 5 следует, что набор
векторов {е^} является потенциальным (V/Xez = 0), а набор
векторов {е"} — соленоидальным (Vr • е" = 0). Поэтому собствен-
ные функции е' и е" можно выразить через градиент и ротор
скалярных функций Ф; и

< = -^=ь;хг0, hr = -^-=r0Xe;'.	(1)

Rtt

Тогда из первых уравнений (6а) и (66) § 5 получаем следую-
щие скалярные задачи на собственные значения при граничных
условиях, даваемых формулой (6в):

r2Vt- ^Ф.+ ^Ф. = 0 в S,

v=—+	(2)

1	т §1П0 дб дб 1 sin20 дф2
фг = 0, k'.^O '				
-^- = 0, £'=0])  ds	9 а	7 J	►	на	5,	(2а)
	0	в	S,	(3)
4l = o  dv		на	S.	(За)

б.	Поля в однородных областях в отсутствие источников

Как и в случае регулярных областей (§ 3, п. «б»), скалярные
радиальные потенциалы Герца или Дебая П'(г) и П"(г) в виде
разложения по собственным функциям получим, подставив вы-
ражения (1) в формулу (8) из § 5, которая в любой точке г, не
содержащей источников, дает [5, гл. 7; 8; 3, разд. 10.10 и 10.11]

Е (г) = Е'(г) + Е" (г), Н(г) = Н'(г)4-Н"(г).	(4)

Компоненты £-волн имеют вид

E'(r) = VXVX[rII'(r)], H'(r) = /<08VX[rn'(r)J,	(4а)

а компоненты Я-волн

Е"(г)==-/ю^Х[гП"(г)], H"(r) = V X V X [гП"(г)], (46)
где е и |* для простоты предполагаются постоянными. Для упро-
щения этих выражений воспользуемся формулами

VXM = -r0XM VXVXM = *V-^--r0Vr<V4.	(5)

Тогда разложения по собственным волнам скалярных потен-
циальных функций принимают вид

	,, ч	1 vn l'i (г) Ф/ (р)  П г) = — У	(6а)  /шег	kti  1	Г-' (г)	(р)  П (г) =	У  • ’ 1	;	(66)  ушрг 4-j	kti

в любой точке, не содержащей источников, они удовлетворяют
скалярному волновому уравнению

о П'(г)

(7)

™i '2 Ъ •’) А=(4 &+7 v<  <v) <м>.

!) Этот случай соответствует Г£2И-волне (Ег «= Нт = 0), которая рас-
сматривается отдельно.
где VrtV — оператор, определяющийся формулой (2). Как и в
случае регулярных волноводов, П' и П" можно также опреде-
лить непосредственно из уравнения (7) с соответствующими гра-
ничными условиями; затем можно вывести электромагнитные
поля из уравнений (4); такой подход, обратный изложенному,
дает разложения (6а) и (66) по собственным функциям.

Граничные условия, которым удовлетворяют потенциалы ГГ
и П", легко установить исходя из разложений по собственным
функциям (6а) и (66). На поперечной границе потенциал Е-вол-
ны ведет себя как Фу, а при переходе через радиальную границу
h и Vi должны сохранять непрерывность [§ 5, уравнения (8а)
и (86)]. Таким образом, если область ограничена в поперечном
направлении идеально проводящей поверхностью з, описываемой
уравнением f(0, <р) = 0, и состоит из однородных сферических
слоев, нормальных радиальному направлению, то из формулы
(2а) данного параграфа и формулы (9) § 5 следуют условия

П' (г) = 0 на з,

еП' и -^-(г1Г) непрерывны при г = га,	(8а)

где га — граница раздела между двумя однородными областями.
Аналогично для потенциала Я-волны имеем

цП" и ^(гП") непрерывны при г = га, (86)
где v — нормаль к з. Для идеально проводящей радиальной
границы при г = га обращение в нуль V" и dh/dr приводит
соответственно к д(гП')/дг = 0 и П" = 0.

в.	Разложения по собственным функциям тензорных
функций Грина

Потенциалы, даваемые формулами (6а) и (66), можно выра-
зить через собственные функции Грина Zt(r, г'), Y{(r,r'), Т\(г,г')
и Т\(г, г'), которые определяются [§ 3, формулы (10)] как
отклики напряжения или тока на точечный генератор напряже-
ния или тока. Все сказанное в § 3, п. «в», остается в силе для
переменных Ху и Zy, так что соответствующие результаты приме-
нимы и здесь, если только заменить переменные г и z' перемен-
ными г и г'. Так же, как в § 3, п. «в», можно показать, что по-
тенциальные функции П' и П", соответствующие возбуждению
точечными элементами тока М(г) = М°6(г — г') и J(r) =
c=J°6(r — г'), выражаются через вспомогательные функции
г') и д’" (г, г') при г Ф г'\

/©ег!Г(г, г') =

= (V' X V' X г;) 9>' (г, г') • J0 - /®8 (V' х г;) д>' (г, г'). М° (9а)

/оцгП" (г, г') =

= (V' X V' X г') $>" (г, г') • М° + /©ц (V' X г')	(г, г') • J0, (96)

причем *)

/ов^' (г, г') = £ Ф< (р) Ф<(р ) у; (г, г'),

i	н	(9в)

/©^"(г,	z"(r>и-

t	Rti

В этих выражениях V' — оператор дифференцирования по коор-
динатам точечного источника (г', 0', <р'), а г'— радиальный еди-
ничный вектор в системе координат со штрихами, в которой за-
дается ориентация векторов источников J0 и М° (т. е. J0 = т'0Рг +
+ 0'7° Ч- фц/о и т. д.). Отметим, что векторы J0 и М° считаются
постоянными, а операция ротора выполняется так, как в фор-
муле (5), причем умножение, обозначенное точкой, выполняется
позднее. Соотношения (9а) и (96) позволяют записать тензор-
ные функции Грина в отсутствие источников в симметричной
форме:

- jwZ (г, г') = (V X V X r0) (V' X V' X г£) Р' (г, г') +

+ (V X г0) (V' Хг«) (г. Н, (Юа)

(г, г') = (V X V X г0) (V' X V' X г0') д’" (г, г') +

+ (V х Го) (V'Xto) (г. Н. (106)

Такие же формулы можно написать и для £7% и Резуль-
таты полностью аналогичны формулам (27) из § 3.

Как и в регулярных областях, приведенные выше формулы
существенно упрощаются в случае продольных (радиальных)
источников. Из соотношений (9) видно, что радиальный элемент
электрического тока возбуждает только £-волны, а радиальный
элемент магнитного тока — только /7-волны. Это позволяет вы-
разить поля, возбуждаемые независимо указанными источни-
ками, через одну скалярную функцию. Потенциальные функции

*) Здесь предполагается, что ku Ф 0. Случай ktl = 0 соответствует
ПШ-волне, вклад которой следует вычислить особо.
ГГ и П" приобретают теперь вид

=	п"(г) = м?^>^.	(П)

где в силу формул (2), (3) и (9в) мы имеем

rr'G' (г, г') - - r'2v; • fV'^' (г, г') = £ Ф; (р) Ф; (р')	,

(На)

rr'G" (г, г') = - г'2?' • fV'S?" (г, г') = X	(р) V* (р')	.

i	/0>Ц

(116)

Можно показать, что G' и G"— скалярные функции Грина, удо-
влетворяющие неоднородным волновым уравнениям

/иг । Ь2\О'(г, г')	_а А/_	д(г-г')б(О-0')б(Ф-<р')

(V2 + lnG„^ ^ = - б (г - Г ), б (г - Г ) =

(Ив)

при таких же граничных условиях, как и для IT и П" в форму-
лах (8а) и (86). Для этого достаточно применить оператор
(V2 + k2) к разложениям по собственным функциям G' и G" и
учесть формулы (2) и (3) § 6 и формулу (9) § 5, а также равен-
ство £Фг(р)Ф*(р') = б(0-е')д(<р-ф')/8те' [гл. 3, § 3, фор-
i

мула (32а)].

§7. РЕШЕНИЕ ТЕЛЕГРАФНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДЛЯ СФЕРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ
(МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ СХЕМ)

а.	Линии передачи в отсутствие источников возбуждения
и при их наличии

Как отмечалось в § 6, п. «в», решение телеграфных уравне-
ний [§ 5, формула (9)] облегчается при введении собственных
функций Грина Z(.(г, г'), Yt(r, г'), Т\(г, г') и ТУ (г, г'), даваемых
формулами (10) из § 3. Поскольку неоднородные линии пере-
дачи подробно рассматриваются в гл. 3, § 3, пп. «а» и «б», мы
здесь кратко изложим только результаты для сферических ли-
ний. Вид уравнений для напряжения и тока в отсутствие источ-
ников неодинаков, и поэтому обычно предпочтительнее [с учетом
соотношений н'{У' = <ое, k"Z" = <йц, следующих из формул (9а)
и (96)] решать эти уравнения относительно тока £-волны и на-
пряжения //-волны, а затем вычислять напряжение Е-волны и
ток //-волны по формулам (9) из § 5. Функция Грина тока Е-
волны Y'.(r, г') и функция Грина напряжения //-волны Z'' (г, г')
удовлетворяют дифференциальным уравнениям второго порядка
[§ 3, формулы (10)]!)

+’*?] r‘(r' r'!=- <г ~ г">'	<’а|

[w; v у+(г’ =-	(>• - и. (и)

которые существенно упрощаются в однородной среде, где про-
изведения (*-У- и (x''Z") постоянны. Такого упрощения нет для
величины (к/У" или (h'Z'), первая из которых входит в уравне-
ние для тока Я-волны, а вторая — в уравнение для напряжения
f-волны.

В области, свободной от источников, где ц и е постоянны, обе
величины I't и V" являются решениями одних и тех же уравне-
ний

W]V"(г) = о. *г(0 = k л/1 --^2- •	(2)

Различие в том, что для Е-волн kti = k'tl, а для Н-золп kti =
= k".' Решения этих уравнений выражаются через сферические
функции Бесселя [гл. 5, § 9, формула (3)]

7, (kr), пр (kr), hf (kr), hf (kr), k*tl = p (p + 1),	(3)

которые попарно линейно независимы. Сферическая zp(kr) и ци-
линдрическая Zp+\/2(kr) функции Бесселя связаны между собой
соотношением

zp(kr)==^^ Zp+y3(kr).	(За)

Уравнения (9) из § 5 показывают, что пространственное распре-
деление напряжения Е-волны V'£ и тока Я-волны I" задается
производными по г функций (3). Асимптотическое поведение сфе-
рических функций Бесселя при умеренно больших р и при

*) Не следует путать функцию Грина Y((r, г') с характеристической про-
водимостью Ур а функцию z"(r, г’) — с Z",
kr » р таково ’):

ip (kr) ~ sin (kr —	, пр (kr)----cos (kr —	,

ftp1’2’ (kr) - ± je*!	kr<£p-

при kr <^p имеем (с точностью до постоянных множителей)

Ip (kr) ~ (у )₽+ » np (kr) ~ =F jh J,1’2) (kr) ~ — (-^f, kr<^p.

(46)

Выражение для jP(kr) при произвольном p и при г-»0 таково:
1p(kr)~ г	з/2) (—)	’	(4в)

откуда, применив формулу Стирлинга к гамма-функции [гл. 3,
§ 6, формула (526)], получим первое из уравнений (46).

Очевидно, что в точках наблюдения, в которых kr р, соб-
ственная волна с индексом р распространяется как однородная
плоская волна в радиальном направлении, а в области kr р
распространяющейся волны нет. В эквивалентной линии пере-
дачи это соответствует тому, что при kr >> kti постоянная рас-
пространения и характеристический импеданс Zt- стремятся
к значениям для свободного пространства, а при kr < kti (ниже
критической длины волны) становятся мнимыми, причем пере-
ход от одних к другим происходит вблизи точки перехода kr =
— ku (см. также гл. 3, § 5, п. «в»). Таким образом, в зависи-
мости от расположения точки наблюдения данная сферическая
волна может оказаться распространяющейся или затухающей.
Рассмотрим этот вопрос обстоятельнее; возьмем точечный ис-
точник в свободном пространстве, расположенный в точке г = г'
в системе координат, не связанной с источником; эквивалентная
схема имеет вид неоднородной линии передачи с точечным гене-
ратором в точке г'. Как будет показано ниже [формула (И)],
напряжение и ток собственной волны с индексом р изменяются
при г < г' пропорционально величине jp(kr) (или ее производ-
ной), а при г > г' — пропорционально величине (kr) (или
ее производной). Возможны два разных режима: р < kr' и
р kr'. При р < kr' мы имеем kr » р в области г > г', так что
поле собственной волны распространяется во внешнем направле-
нии без затухания. Распространение возможно и в области г' >
> г > p}k, но при г < p/k начинается затухание, причем по-
следнее неравенство следует рассматривать как приближенное.

') Здесь и в дальнейшем первому из индексов (1,2) соответствует верх-
ний знак, а второму — нижний.
Если же р > kr', то поля собственной волны затухают по обе
стороны от источника, а распространение возможно при г > p/k.
Если амплитуды разных собственных волн одинаковы у источ-
ника, то основной вклад в излучаемое поле вносят те из них,
для которых р < kr'. Собственные же волны с р> kr' вносят
вклад преимущественно в накопление энергии вблизи источника.

Отметим также, что в зоне излучения, где kr > kti и i-я соб-
ственная волна распространяется в радиальном направлении
как плоская волна, электромагнитное поле является попереч-
ным. Это вытекает из формул (4а) данного параграфа и из фор-
мул (8) § 5, из которых видно, что Eti и Нн —это O(l/r), a Eri
и Hri — это О(1/г2) (скалярные и векторные собственные функ-
ции не меняются в радиальном направлении). Таким образом,
хорошо известное поведение поля в дальней зоне от локального
распределения источников естественным образом вытекает из
анализа линии передачи, эквивалентной сферическому волно-
воду.

Методы решения уравнений (1) для Е- и Я-волн при нали-
чии источников рассматриваются в гл. 3, § 3, п. «а» и «б». На
основании вида сферических функций Бесселя в формуле (3) и
их вронскиана [/р (х) п'р (х) — пр (х) j'p (х)] = 1 находим, что в от-
сутствие источников решения уравнений (1) в форме стоячих
волн можно выразить через функции сиз, представленные фор-
мулами (18) из гл. 3, § 3; в случае среды, однородной в ра-
диальном направлении, с постоянными е и ц эти функции та-
ковы:

с (kr, krQ) = /р (kr) п'р (krQ) - пр (kr) j'p (kr0),	(5a)

s (kr, kr0) = y [np (kr) jp (kr0) — jp (kr) rip (&r0)],	(56)

Тогда

где штрихами обозначены производные по аргументу,
входную проводимость для Я-волны линии, оканчивающейся

при г = г2, ь рассматриваемую со стороны г0, можно найти по
формулам (20) и (21) из гл. 3, § 3:

/(0Ц Y" /г Ч

(Го)“

Dp (*о) «'₽ К,) - пр (*0) ip (*2,1)] =F (i^/k)Y"{ [п'р (х0) jp(x2> О -

________________________________________________-/р(хо)”р(х2,1)]
-> *

Dp (*о) п'р (х2>,) - пр (х0) j'p (х2 0] =F (М/^п [«р (*о) ip (Х2> 1) -

-/р(*о)МХ2,1)1

(6а)
где xv = krVi v = 1, 2. Величины У'^ и У?. ~ это концевые про-
водимости в ограничивающих точках r2 > rQ и Г\ < Го- Функция
Грина Z" (г, г') напряжения Я-волны дается формулой (22) из
гл. 3, § 3:

Z" (Г, г') = [с (x<t х0) + /соцУ/ (r0) s (x<t хо)] X

X [с (х>, хо) ~ Со)«(*>, *о)] [гГ(го) + Y"i (го)]~1 •

(66)

Входной импеданс Z' (г0) для Е-волны мы найдем, пользуясь
формулой (266) из гл^З, § 3; он имеет такой же вид, как и вы-
ражение (6а), если только в последнем произвести замену
р <-> е, У-> Z; функция Грина УДг, г') — j&eg' (г, г') для тока
Е-волны дается формулой (26) из гл. 3, § 3.

Отметим одно интересное обстоятельство, связанное с фор-
мулой (6а). Если область содержит начало координат (т. е.
Г! = 0), то входная проводимость или входной импеданс сво-
дятся к величине [формула (46)]

которая не зависит от условий на концах (от Y'^ или ZJ.,). Та-
ким образом, в особой точке г = 0 не требуется задавать гра-
ничные условия, единственное требование состоит в том, чтобы
напряжение и ток были конечны. Как отмечается в гл. 3, § 3,-
п. «б», в теории дифференциальных уравнений такая точка на-
зывается «предельной».

Альтернативный подход основан на функциях бегущих волн
[гл. 3, § 3, формулы (28) — (30)]. При постоянных ц и е волны,
бегущие в направлении -|-г [зависимость которых от времени
дается множителем exp(jW)], имеют вид

а волны, бегущие в направлении —г, таковы:

J// (осЛО’^г),

v I- )

^h'p^(kr).

(86)
Таким образом, в условиях согласования (отсутствия отраже-
ния) на выходе1) входные импедансы для £- и /7-волн имеют
вид

5'w=-s^’	<96)

Эти выражения вместе с входными импедансами при rQ = г, да-
ваемыми формулами (6) и соответствующими дуальными фор-
мулами, можно использовать при расчете коэффициентов отра-
жения [гл. 3, § 3, формула (8)] и т. д.

б.	Частные случаи

Двусторонне согласованная область

Двустороннее согласование мы имеем в идеализированном
сферическом волноводе, в котором решение содержит только

Фиг. 53. Двусторонне согласованная радиальная волноводная область.
а—форма области; б —эквивалентная схема.

волны, идущие от источника (условие двустороннего излуче-
ния); такой волновод представляет собой сферический аналог
регулярного волновода, неограниченного в обоих направлениях.
Условие согласования автоматически выполняется при г —> оо,
где волновод не ограничен, но на «нижнем» конце при г = О
(фиг. 53, а) возникает отражение и согласование не имеет ме-

’) При kr р выбор согласованных выходов обеспечивает пренебрежи-
мо малое отраженное поле; при kr р невозможно установить различие
между волнами, распространяющимися в направлениях +г и —г.
ста. Поэтому нужно экранировать начало координат неотра-
жающим оконечным устройством, например «идеально погло-
щающей» сферой радиусом а (фиг. 53, а) ‘). Как и в аналогич-
ной задаче о распространении в угловой линии передачи (гл. 3,
§ 4, п. «б»), такая граница, полностью поглощающая все собст-
венные волны, которые идут в радиальном направлении, с физи-
ческой точки зрения есть нечто нереальное, но она представляет
собой удобную модель для анализа. Такое устройство можно
приближенно осуществить как область с достаточно большим
затуханием. Эквивалентная схема задачи представлена на
фиг. 53, б, где линия передачи возбуждается генераторами на-
пряжения и тока. Входные импедансы Z,(r') задаются в этом
случае согласованными значениями &(/')> а коэффициенты от-
ражения равны нулю. Уравнения (6) и подобные им дают
следующее выражение для собственных функций Грина:

= у; (г> /) $=у да) (Аг<)	(Ar>). (io)

Однородная область 0 < г < <х>

Если источник расположен в бесконечной однородной обла-
сти, то граница при г = а отсутствует. Эквивалентная схема та-

Фиг. 54. Радиальная волно-

водная область 0 < г < со.

Фиг. 55. Идеально проводящая
сфера.

кой задачи представлена на фиг. 54. Входной импеданс в напра-
влении г = оо остается равным gf(rz), а импеданс в противопо-
ложном направлении дается формулой (7). В этом случае для
собственных функций Грина получаем из формулы (66) и дуаль-
ной ей формулы выражение

Z" (г, г')



(И)

!) Все сказанное относится только к конически расходящейся «радиаль-
ной» области и остается в силе при наличии у нее идеально проводящих
границ, как показано на фиг. 53, а.
Полубесконегная однородная область 0 < а С г < <»

Если сфера радиусом а на фиг. 53, а является идеально про-
водящей, то формулу (11) следует преобразовать так, чтобы на-
пряжение обращалось в нуль при г = а. Для этого можно вос-
пользоваться формулами (6а) и (66), положив в них У''{ = оо
(см. схему фиг. 55 с коротким замыканием в точке г — а). Ре-
зультат (как нетрудно убедиться прямой подстановкой) таков:
z"(r,r') Г. ,, , iP(ka)	1 ,,,

--------= [/₽ (^<) - (fcr<)J М? (kr>). (12а)

Для Д-волн требование V'l(a) = Q с учетом уравнений (9) из § 5
означает, что (dl'lldr)r_a — 0, откуда

(12б)

I,	пр \KU)	J

Выражения для Z" (г, г') и К'(г, /) в этом случае уже не иден-
тичны, как в формулах (10) и (II), поскольку идеально прово-
дящая граница не обладает дуальностью по отношению к себе
самой.

Составная область 0 < г < оо

Если область г > а заполнена однородной средой с опреде-
ленными параметрами е, ц, а область 0 < г < а характеризует-
ся значениями 8ь ць то эквивалентная схема задачи выглядит

Фиг. 56. Диэлектрическая сфера.

так, как показано на фиг. 56. Непрерывность тангенциальных
компонент векторов Е и Н при г = а обеспечивается непрерыв-
ностью Vj и Ц [формулы (8а) и (86) из § 5], а поэтому эквива-
лентная схема содержит лишь простой контакт. Если источник
расположен за пределами сферы, то линия передачи согласо-
вана при г > г' и отражение возникает только при г = а. Реше-
ние можно построить, не рассматривая задачу с самого начала:
достаточно прибавить к функциям Грина для двусторонне со-
гласованной области (10) вклад отраженных волн. Если же ис-
точник расположен внутри сферы, то ситуация усложняется —
появляются отражения от обоих концов линии передачи.

Для тока Е-волны коэффициент отражения Г'. (а+) влево
от точки г = а на фиг. 56 определяется формулами (29а) и
(29в) из гл. 3, § 3:

г; (а +) =	<а)] -1 * * * * * * ,	(13)

[i'(a)/z'(а)] + \

где ££ (а) и С'(а)—согласованные импедансы справа и слева от
точки г = а линии передачи, эквивалентной области за преде-
лами сферы:

. h'pw (ka)	_ h'W (ka)

=	йа) (ka) ,	h<»(ka)’	(13a)

a Z' (a) — входной импеданс слева от точки г = а [формула (7)]:

z't(a)= — /21	= шд/^181 ’ €1 = д/^‘ <136)

Если ток падающей волны равен hp}(kr), то ток отраженной
волны в точке г = а имеет амлитуду Гц hp} (ka), так что в любой
точке он равен [hpl} (ka)/hp} (ka)] Гц hp} (kr). Тогда на основании
формулы (10) получаем для Y'{ (г, г')£ выражение

1 Г	A*1* (ka)	л

(г, г') I = - |л <0 (krj + Г'н (a) h® (kr J J Л<2> (kr>),
a^r<oo (14)
и аналогичное выражение для Z" (г, г'). Поведение собственной

функции Грина внутри сферы можно в этом простом случае ус-
тановить исходя из требований, чтобы ток оставался конечным
при г = 0 и непрерывным при г — а:

Y'{ (г, г') = Y'. (а, г')	0 < г < а.	(15)

Результаты, представленные выше, можно получить из фор-

мулы (14), рассматривая различные частные случаи. Так, в слу-

чае двусторонне согласованной системы следует положить Г,. ==

~0. В случае идеально проводящей сферы, когда [ej -> оо и
arg 81 -> —л/2, получаем Z't (а) -> 0, откуда следует формула
(126). Формула (II) получается при а-+0.

ЗАДАЧИ

1. Волновод с неизменным поперечным сечением 3, ограни-
ченным кривой s = si + ss, заполнен однородной средой. Часть
стенки волновода, соответствующая отрезку зь сделана из
идеального электрического проводника (£’таНг = 0), а часть, со-
ответствующая отрезку 32, — из идеального магнитного провод-
ника (//танг === 0) •

а.	Показать, что поля в таком волноводе можно разложить
на Е- и //-волны, и сформулировать задачу на собственные зна-
чения для скалярных собственных функций, из которых можно
было бы вывести векторные собственные функции.

б.	Пользуясь этими результатами, определить собственные
функции в прямоугольном волноводе, одна боковая стенка кото-
рого сделана из идеального магнитного проводника, а осталь-
ные — из идеального электрического проводника.

2.	Тензорные функции Гринаф (г, г') и ‘У (г, г'), определен-
ные формулами (27) из § 3, в неограниченной однородной среде
с постоянными 8, р, даются формулой

Vf*(r’ r') =	=	+-™]Gf(r,r'), (la)

где Gf = (4л | г — r'|)-1exp[—/£|г — г*)] [принята временная
зависимость вида ехр (/©/)], al — аффинорная единица (1-А =
= А-1 = А). Показать, что при г-»-оо выражение (1а) сво-
дится к выражению для поля в дальней зоне

V~T	Гй~	-lkr+lk(r.r')/r

1------------(I - r0r0),

Г > г',	(16)

где Го — единичный вектор в направлении г.

3.	а. Показать, что при зависимости вида ехр (/со/) тензор-
ные функции Грина в свободном пространстве, даваемые фор-
мулами (1), можно при г Ф г* следующим образом разложить
по сферическим собственным функциям:

с* (г, г')=£	(Г<)	(Г>) + £	(Г>)	(Г>),

i	i

1 (2)
уЯ(г, г') =

e Е (r<) *?+) («>)+Z (1) (r<) (*>)» * - Vf.

i	I	v 3

(3)
где г< = г при г < г', г< = г' при г > г', а для г> верны об-
ратные соотношения. Если через hp(kr) обозначить сферические
функции Ханкеля, то

г^;(+, -) (г) = А<2 »(kr) h; (0, ф), k'l = р (р + 1),

(+ -> (г) - й;<2> *) (kr) h? (О, ф) - jh<f »(kr) £¥" h" (0, ф),

(4а)

(г)=4 w~> («•)+^+) («•)]> ^2) («•)=4- F*_) <r> - ^+) wi
r^'(+, -)(r)=A'(2,i)(^)e:(0, Ф)-|/г<2. »(M%(e,<p), %?=р(р+1),
rS" <+ -> (г) = hf »(kr) ez" (0, ф),	(46)

(г) = 4 Е^-> (г) + #<+> (г)],	(г) = X (г) - ^+> (г)].

Поперечные и продольные собственные функции определяются
формулами (1) из § 6 и (10в), (Юг) из § 5, а в явном виде они
даются формулами (63) из гл. 3, § 4, (516) из гл. 3, § 2, и (79а)
из гл. 3, § 4.

6.	По формулам (1) — (3) вычислить поле, возбуждаемое
элементом электрического тока /, расположенным в точке г' на
оси z и ориентированным параллельно оси х. Показать, что при
г' -* оо и

/шце ikr'l 1
4лг'

(5а)

получается падающая плоская волна с единичной амплитудой.

Замечание-, сначала показать на основе формулы (2а) из
гл. 6, § 8, при г' -* оо и 0 = 0, что

kre-ikr = f (2n + 1) (- /)"/„ (kr).	(56)

п-0

в.	Как нужно изменить формулы (2) — (4) при г = г' [фор-
мула (8д) из § 5]?

г.	Показать, что представленные выше формулы остаются в
силе при наличии конических границ, если взять соответствую-
щие собственные функции из гл. 3, § 4, п. «6».

4.	Показать, что нормированные векторные собственные
функции для волны ХЕМ в биконической области, ограниченной
поверхностью 0 = 01,2, имеют вид

1 Г ( tg(02/2) М-,/’

ео,о(0> ф) = 0оТйГо l2rlln(tg(0,/2) JJ ’ О<01<0<02<л,

(6)

о =*i) X е0,0’ вг( ~	~ 01	(0*О
5.	Вывести собственные функции Грина (решения для ра-
диальной линии передачи) в случае, когда источник (фиг. 56)
расположен в области 0 < г' < а.

Отверстие
Волновод

Фиг. 57. Излучение через отверстие.

ЭЮ

Фиг. 58. Элементарные распределения источников.

а—один элемент тока; б—е — симметричные комбинации двух элементов тока; ж—-коль-
цевой ток; з—кольцевая система радиальных элементов тока.

6.	В идеально проводящем экране бесконечной протяженно-
сти и пренебрежимо малой толщины имеется отверстие произ-
вольной формы. Электрическому полю в отверстии эквивалент-
но распределение магнитного тока М(г') = Е(г') Х«в экране
без отверстия (гл. 1, § 5, п. «б»). Здесь Е(г') —электрическое
поле в отверстии, ап — единичный вектор нормали, направлен-
ный в область полупространства. Мощность S, излучаемая в по-
лупространство, дается формулой (116) из § 5.

а.	Показать, что искомые напряжения в формуле (116) из
§ 5 имеют вид

|ГДг)| =	.

А

(7)

где — величина, которая дается выражением (4а), а А—
площадь отверстия.

б.	К отверстию с одной стороны подведен волновод, в кото-
ром может распространяться только одна собственная волна
(фиг. 57); в плоскости отсчета, удаленной от отверстия на рас-
стояние, составляющее «много» волноводных длин волн, напря-
жение этой волны дается выражением

V = М(г') . finds',

А

(8)

где h — действительная поперечная векторная собственная
функция для основной волны в волноводе (§ 3, п. «а»). Предпо-
ложим, что М, а значит, и Р — действительные величины. По-
казать, что если 7 — ток основной волны в волноводе, соответ-
ствующий плоскости отверстия, то для излучательной проводи-
мости G отверстия со стороны волновода справедливо выраже-
ние

С--Р	<9)

которое получается, если рассматривать поток мощности в полу-
пространстве при г -> оо, и выражение

*-ndS

r Re /

°-----г

V2

pS ) J dS'M (г) • [Re (г, r')l • м (г')

А А (Ю)

V2

которое выводится из полного потока мощности через отверстие.
Тензорная полная проводимость 2<Л(г, г') полупространства для
г' на А равна удвоенной проводимости свободного пространства
ф (г, г'), фигурирующей в формуле (1а). Показать, что поле в
отверстии удовлетворяет интегральному уравнению

(Re 7) h (г) = $ $ [Re Wh (г, г')] • М (г') dS' =	(1 la)

А

гвА (цв)

Показать также, что представленные выражения для G стацио-
нарны ( в вариационном смысле слова) при малых вариациях М
относительно истинного значения, определяемого формулами
(11), и что результат, полученный для G подстановкой прибли-
женной «пробной функции» для М, больше истинной проводи-
мости [9].

7.	На идеально проводящей бесконечной плоскости имеются
различные элементарные распределения магнитных токов, по-
казанные на фиг. 58. Рассмотрим две возможные системы коор-
динат с общим началом: в системе I ось г перпендикулярна пло-
скости чертежа, а в системе II — параллельна горизонтальной
оси фиг. 58. Показать, что такие распределения токов возбу-
ждают следующие сферические Е-волны (Етп) и Я-волны
(Нтп) [скалярные собственные функции даны в задаче 6
к гл. 3]:

Система 1

а)	Ян;

б)	Ятп, т нечетное, п нечетное (низшая волна — Яц);

в)	Нтп, т четное, п четное (низшие волны — Я02, Я22);

г)	Етп, т нечетное, п четное, и Нтп, тип нечетные (низшая
волна — Яп);

д)	Етп, т четное, п нечетное, и Нтп, тип четные (низшие
волны — Е01> На);

е)	Етп, т четное, п нечетное, и Нтп, тип четные (низшие
волны — Еоь Я22);

ж)	ЕОп, п нечетное (низшая волна — EOi);

з)	Ноп, п четное (низшая волна — Яо2).

Система II

а)	Яо];

б)	ЯОп, п нечетное (низшая волна — Я01);

в)	Ноп, п четное (низшая волна — Я02);

г)	Етп, тип четные, и Нтп, т четное, п нечетное (низшая
волна — Я01);

Д) Е mni тип нечетные, и Нтп, т нечетное, п четное (низшие
волны — Ен, Я]2);

е) Е\п, п нечетное, и Hin, п четное (низшие волны — Еп, Я]2);
ж) Етп, тип нечетные (низшая волна — Еп);

3) Нтц, тип четные (низшие волны — Яо^. Я?2).
Волны, названные «низшими», становятся основными, если

размеры а, Ь, с малы по сравнению с длиной волны.

8. Если отверстие в задаче 6 мало по сравнению с длиной
волны, то ряд сферических собственных функций в формуле (9)
быстро сходится. Если распределение поля в отверстии можно

представить как действие одной из систем элементарных источ-

Фиг. 59. Прямоугольный
вод с прямоугольным

волно-
отв ер-

стием.

ников, изображенных на фиг. 58, то
основной вклад в проводимость G
будет обусловлен соответствующей
низшей волной (или соответствую-
щими низшими волнами).

а.	Прямоугольная щель в торце
прямоугольного волновода

В торце прямоугольного волно-
вода со сторонами сечения а, b
(фиг. 59) симметрично расположена

прямоугольная щель со сторонами а’,
Ь'. Если в волноводе возбуждается

основная волна, то можно предположить, что индуцированное
поле в отверстии будет иметь вид

Е (г') X n = М (г') = z0 cos	(12)

направление оси z выбрано параллельным стороне а волно-
вода). Такое распределение источников возбуждает преимуще-
ственно сферическую волну Я01 (задача 7). Показать, что если
размеры щели малы, то

_G______1 I Ущ (Г) |2 ~ 2Л Ag [1 - (а7а)2]2 Г |Y£-Y1 1

Г"о 2?0 У2 ~ 3 Л3 [cos (ла'/2а)]2 I 1 + U |Д Л ) J )’

(13)

где ?0 и kg — полная проводимость и волноводная длина основ-
ной (Яю) волны в прямоугольном волноводе, к — длина волны
в свободном пространстве [величины То и kg — 2л/х даются фор-
мулами (15г) из § 2].

б.	Кольцевая щель в торце коаксиального волновода

В торце коаксиального волновода с радиусами а, Ь, в кото-
ром возбуждена волна ТЕМ, имеется концентрическая кольце-
вая щель с радиусами а', Ь' (фиг. 60). Простой пробной функ-
цией для электрического поля на щели может служить функция
Е(г') = ро(1/р'), соответствующая падающей волне ТЁМ, тгщ
что

М (г') = — Ф0-7-.
г

(14)

где р — радиальная координата в направлении, перпендикуляр-
ном оси волновода; ось волновода выбрана параллельной оси z

Фиг. 60. Коаксиальный волновод с кольцевым отверстием.

(такой выбор координат является естественным ввиду враща-
тельной симметрии поля в отверстии). Показать, что при малых
значениях (Ь'/Х) и (а'Д) справедливо выражение

G	21п(6/а)	Г/л&'\2 /па' Ч2]2

К ~	3 [In (6'/а')12 ЦТ J ~ J J '

(15)

Показать^ что полное разложение по сферическим собственным
функциям для проводимости имеет вид (скалярные собственные
функции приведены в задаче 6 к гл. 3)

G

Fo

1" (ЬМ_______у (4n + 3) r_d_ р ,	0.12

I2 Z-i (2« + 1) (2п + 2) Ld© 2/1+1 l

f М (г') dr' ""°
а'

6'	-12

J М(г') jn(kr') dr'
а'	-•

ЛИТЕРАТУРА

1.	Marcuvitz N., Schwinger J., Journ. Appl. Phys., 22, 806 (1951).

2.	Marcuvitz N., в книге: Waveguide Handbook, New York, McGraw-Hill, 1951
(имеется перевод: Справочник по волноводам, под ред. Я. Н. Фельда, М.,
1952).

3.	Schelkunoff S. A., Electromagnetic Waves, Princeton, D. Van Nostrand Co.,
1943.
4.	Philips Н. В., Vector Analysis, New York, John Wiley and Sons, 1933,
Sec. 8.3.

5.	Stratton J. A., Electromagnetic Theory, New York, McGraw-Hill, 1941 (име-
ется перевод: Дж. Стрэттон, Теория электромагнетизма, М., 1948).

6.	Borgnis F. Е., Papas С. Н., в книге: Handbuch der Physik, Bd. 16, Berlin,
Springer Verlag, 1958.

7.	Marcuvitz N., Comm. Pure Appl. Math., 4, 263 (1951).

8.	Bremmer H., Terrestrial Radio Waves, New York, Elsevier Publishing Co.,
1949, Ch. 2.

9.	Collin R. E., Field Theory of Guided Waves, McGraw-Hill Book Co., New
York, 1960, Ch. 8.
глава з. Собственные функции
закрытых и открытых
волноводов

§ 1.	ВВЕДЕНИЕ

Методы, изложенные в гл. 2, позволяют представить электро-
магнитное поле в регулярном волноводе с изотропным заполне-
нием в виде суперпозиции полей собственных волн. Амплитуды
последних, отождествляемые с напряжениями и токами в линии
передачи, зависят от продольной координаты 2, а распределе-
ние поля в поперечном сечении зависит от его формы. В гл. 2,
§ 4, были приведены решения телеграфных уравнений для среды
с кусочко-постоянными свойствами вдоль оси волновода z и
дана их интерпретация на основе эквивалентной схемы. Как
было отмечено в § 3, п. «а», решение векторной задачи о соб-
ственных значениях упрощается путем введения скалярных соб-
ственных функций, удовлетворяющих соответствующей скаляр-
ной задаче для заданного поперечного сечения. Такой переход
к скалярным функциям, эквивалентный разложению поля на
Е- и /7-волны, возможен при однородном заполнении попереч-
ного сечения, ко неосуществим, если свойства среды произволь-
ным образом зависят от координат радиус-вектора р в попереч-
ном сечении. Однако при определенных видах зависимости
свойств среды от координат векторная задача допускает пере-
ход к скалярным функциям, если рассматривать волновод как
линию передачи вдоль одной из поперечных координат. Пример
такого рода рассматривается в § 2, п. «г». Там же можно найти
общий вывод уравнений для поперечных полей и разложение
электромагнитных полей на собственные волны для областей
с заполнением, неоднородным в поперечном сечении.

Переход к скалярным функциям дает возможность находить
векторные собственные функции, решая задачу о собственных
значениях для данного поперечного сечения *). Аналитически за-

9 В акустике переход к скалярным функциям происходит автоматиче-
ски, поскольку в этом случае все величины находятся по известной вели-
чине давления р. Хотя в данной главе скалярные задачи о собственных
значениях решаются в применении к электромагнитному полю, способы ре-
шения применимы и к акустическим задачам, причем достаточно просто пе-
реименовать соответствующие переменные.
дачу трудно решить, если в соответствующей системе координат
переменные не разделяются и, значит, двумерная задача не рас-
падается на две одномерные. Поэтому основное внимание в дан-
ной главе уделяется исследованию одномерной задачи. Соответ-
ствующие собственные функции определяются уравнением
Штурма — Лиувилля, общие свойства которого рассматривают-
ся в § 2, п. «а». В § 2, пп. «б» и «в», классическим методом на-
ходятся собственные функции для замкнутых и открытых обла-
стей, допускающих использование прямоугольной и цилиндриче-
ской системы координат; их ортонормированкость и полнота си-
стемы выражаются в компактном виде путем разложения по
ним дельта-функции 6(р — р') (единичного оператора). Для об-
легчения построения в последующем альтернативных представ-
лений полей в § 2, пп. «б» и «в», мы кратко остановимся на ана-
литическом продолжении разложения по собственным функциям
в комплексную плоскость спектральной переменной.

Классический метод решения задачи о собственных значе-
ниях для открытых областей (одна или обе граничные точки ин-
тервала расположены на бесконечности) наталкивается на труд-
ности, связанные с тем, что в этом случае спектр собственных
значений может оказаться непрерывным, а собственные функ-
ции — кенормируемыми. В этом случае нормированную систему
собственных функций можно получить путем предельного пере-
хода в задаче для ограниченной области, как это показано в
§ 3 (п. «б» для прямоугольной и п. «в» для цилиндрической си-
стемы координат). Но более мощным и прямым методом являет-
ся метод характеристической функции Грина (резольвенты),
рассматриваемый в § 3, основанный на тесной связи между ре-
зонансными решениями (собственными функциями) и откликом'
системы на точечный источник, уже отмеченной ранее в гл. 2,
§ 4, п. «е». Такой метод, излагаемый в § 3, пп. «а» и «б», в слу-
чае оператора Штурма — Лиувилля, описывающего распростра-
нение волк в неоднородной линии передачи общего вида, при-
годен не только для одномерных задач о собственных значе-
ниях, но и для задач с источниками в неоднородных средах.
Полнота системы собственных функций и их нормировка в слу-
чае дискретного и непрерывного спектра устанавливается пу-
тем систематического исследования особенностей характеристи-
ческой функции Грина в комплексной плоскости. Указанное вы-
ше аналитическое продолжение разложения по собственным
функциям составляет существенную часть этого исследования
и, как показывается в § 3, п. «в», упрощает вывод альтернатив-
ных представлений поля. Подробному изложению применения
этого метода к задачам о собственных значениях для областей
разной формы посвящен § 4.
Хотя теория дифференциального уравнения Штурма — Лиу-
вилля или, что эквивалентно, теория распространения волн в не-
однородных линиях передачи может быть построена в достаточ-
но общем виде, тем не менее явное выражение решений через
известные ф-нкции возможно лишь при некоторых частных ви-
дах неоднородностей. Большое число таких частных решений
приведено в § 2 и 4. В более общих случаях для вычисления поля
требуются приближенные методы, основанные на том, что реше-
ние данной задачи представляется как слабое возмущение к из-
вестному решению некоторой близкой задачи. Если невозмущен-
ная задача описывается дифференциальным уравнением, анали-
тическое поведение которого в определенных критических обла-
стях (вблизи точек поворота, особенностей и т. д.) такое же, как
и исследуемой задачи, то решение последней может быть по-
строено общим методом, подробно излагаемым в § 5. Он состоит
в том, что от дифференциального уравнения переходят к инте-
гральному уравнению, ядро которого содержит невозмущенную
функцию Грина («функцию сравнения»), а затем решают его
методом итераций. Различные методы решения, используемые
в данной главе, иллюстрируются конкретными примерами.

§ 2.	КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ

СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

а.	Общая одномерная задача о собственных
значениях

Прежде чем перейти к определению скалярных двумерных
собственных функций, удовлетворяющих уравнениям (2) из
гл. 2, § 3, для различных областей, допускающих разделение пе-
ременных, рассмотрим вкратце некоторые общие свойства одно-
мерных собственных функций и соответствующих им собствен-
ных значений. Нахождение собственных функций fm и собствен-
ных значений в интервале X] х х2 представляет собой
задачу Штурма — Лиувилля [1, разд. 6.3], которая состоит в ре-
шении уравнения

~37 Р	— Я (х) + Ъп® (х)] fm (х) = 0,	Xi < х < х2,	(1)

с граничным условием

Р + <42fm = °, Х = х1>2,	(1а)

где p,q и весовая функция w предполагаются кусочно-непрерыв-
ными в интервале Xi х х2. Из того что говорилось О coqtho
шении (41) в гл. 2, § 3 [см. также § 3 данной главы, формулу
(5)], следует, что граничное условие (1а) —это «импедансное»
граничное условие.

Прежде всего покажем, что в случае действительных вели-
чин р, q, w и ai, 2 собственные значения действительны (так
называемый эрмитов случай среды без диссипации). Умножая
уравнение (1) на f*m (звездочкой обозначается комплексное со-
пряжение), интегрируя по х от х\ до х% по частям и используя
граничные условия (1а) в первом интеграле, получаем

J dxp I (dfmldx) I2 + J dxq\ fm |2 — «! I fm M I2 + a2 I fm (x2) I2
^m=--------------------. (2)

j dxw | fm I2

X\

Поскольку в случае действительных величин р, q, w, aj, 2 правая
часть равенства (2) есть действительная величина, величина
тоже действительна.

Чтобы убедиться в ортогональности собственных функций
в эрмитовом случае, умножим уравнение (1) на собственную
функцию отвечающую собственному значению	и

проинтегрируем по области изменения переменной х. Получим

Х2	Х2	Х2

S 77 (" » “ $	+ Ч, $	= о- (3)

Xi	Xj	Xi

Точно так же, умножив уравнение для f* на fm и проинтегри-
ровав его, получим уравнение (3), в котором, однако, индексы
тип поменяются местами. Вычитая второе уравнение из пер-
вого, после перегруппировки членов и элементарного интегри-
рования по частям получаем

(Л„- X.)	(4)

Xi	Х\

В силу граничного условия (10) правая часть уравнения (4)
равна нулю, откуда и следует ортогональность собственных
функций fmvi fn с весом w:

dxwfmf*n = 0, т^п.	(5 а)

Xl
Собственные функции нормируются на единицу следующим об-
разом:

х2

j dxte>|fm|2 = 1.	(56)

Xi

Система собственных функций fm, содержащая все возмож-
ные решения уравнения (1), является полной системой, т. е. мо-
жет быть использована для разложения приемлемых функций
F(x), удовлетворяющих определенным условиям, в интервале
Xi < х < х2 [приемлемыми мы будем называть функции, для
которых написанное ниже разложение существует, т. е. сумма
и интеграл в выражениях (6) сходятся]:

F(x) = ZFmfn(x},	(6а)

m	—

где суммирование производится по всем функциям fm. Исполь-
зуя условие ортогональности функций fm (5), коэффициенты Fm
можно выразить в виде

х2

Fm= J d^w^F^f^).	(66)

Xi

Свойства полноты системы собственных функций fm и их орто-
гональности можно символически выразить в компактном виде,
если в качестве функции F(x) выбрать дельта-функцию 6(х —
— х'). Тогда

х2

Fm = $ O-w ® б а - *') fm (|) = w (х') Гт (х'),	(7а)

X,	~~	~~	---

и из формулы (6а) получим условие полноты системы собствен-
ных функций

= У fт (х) f* (х'), х. < х, < х„.	(76)

т

Если это разложение умножить на F(x')w(x') и проинтегриро-
вать по х' в пределах от Xi до х2, то нетрудно убедиться в воз-
можности представления приемлемой функции F(x) в виде ряда
(6а).

Выше предполагалось, что спектр собственных значений про-
стой и дискретный. Непрерывные спектры (когда ими можно
пользоваться) можно получить из дискретных путем предель-
ного перехода (п. «б» — полубесконечная область и п. «в» —
открытый угловой сектор). Более прямой подход в случае не-
прерывного спектра основан на привлечении функций Грина
б.	Прямоугольные поперечные сечения с однородным
заполнением

Ограниченная прямоугольная область

Предположим, что волновод имеет поперечное сечение в виде
прямоугольника, изображенного на фиг. 61, и ограничен идеаль-
но проводящими стенками. Оператор V?, действующий на попе-

а

У

Ъ

х

Фиг. 61. Замкнутая прямоугольная область.

речные координаты, в данном случае можно представить так:

Если искать решение в виде

Ф/(р) = Фр(л:)Ф<7(у), Ф1(р) = 0 на s,	(9)

где Фр — функция координаты х, а Ф? — функция координаты
у, то уравнения (2а) и (26) из гл. 2, § 3, сводятся к двум одно-
мерным уравнениям

(—+ р2)фр(х) = °, ФР(0) = Фр(«) = 0>	(Юа)

(^- + «2)ф^ = 0’ Ф,(0) = Ф,(6) = 0.	(Юб)

где р2 и q2 — постоянные разделения, через которые поперечное
волновое число kti, входящее в уравнение (2а) из гл. 2, § 3, вы-
ражается следующим образом:

feii = P2 + ?2-

Аналогично, если решения для /У-волн, определяемые уравне-
ниями (2в) и (2г) из гл. 2, § 3, искать в виде

^(Р) = ^р(х)^(Я ^ = 0Has, (11)
то для Тр и Ч', получим одномерные уравнения (10) с гранич-
ными условиями

-^- = 0 при х = 0, а; -^^ = 0 при у = О,Ь. (12)

Решение уравнений (10), определяющее собственные функ-
ции, легко находится:

ФрW = д/'T s*nРх> Р = ~~а~>	w= 1,2,3,..., (13а)

Фр(у) = д/у sint/y, Я =	n=l, 2, 3... (136)

Здесь постоянные множители выбраны из условия нормировки
собственных функций

а	b

$ Фр (х) dx = 1 = $ Фр (у) dy.	(14а)

о	о

Ортогональность собственных функций легко показать, поль-
зуясь соотношением

€ sin sin m лх.. dx = 0, zn #= m/ m, mf = 1, 2, 3, ... (146)

J a	a	'

о

и аналогичным соотношением для функций Фд(#). Соотношения
(14а) и (146) могут быть объединены в одно общее соотноше-
ние ортонормированности

д	fl	'

(фр(х)ФИхМх = 6рр' = Р прИ р~_р;	(14в)

j	(.0 при Р^р'.

Поскольку уравнения (10) и (12) являются, очевидно, частными
случаями уравнения (1), свойство ортонормированности можно
было бы предсказать заранее на основе общих свойств собст-
венных функций одномерной задачи, определяемых соотноше-
нием (5), без проведения непосредственных вычислений. Свой-
ство полноты и ортонормированности можно компактно запи-
сать в виде, аналогичном формуле (76):

6 (х — х') =
m	оо

= ^pWOp(x') = Usin^sin^, 0<*<а. (15)
т=\	т=1

Разложение приемлемой функции F(x) может быть получено
умножением уравнения (15) на F(x') и интегрированием по х'
в пределах от 0 до а. При этом соотношения ортонормированно-
сти (14) получаются, если в качестве F(x) выбрать собственную
функцию ФР'(Д Для функций переменной у получим аналогич-
ное соотношение

6(1/ — /) =

= £ Ф9 (у) Ф,(/) = X sin sin ’
П=1	71=1

0< у,
У

<ь. (16)

Если известны два одномерных представления, то нетрудно
получить представление двумерной дельта-функции 6(р — р') =
= б(х— х')Ь(у— У') для прямоугольной области, изображен-
ной на фиг. 61:

Уфг(р)Ф4(р/),	0<J<a, 0<У<Ъ, (17а)

“г	х	У

6(р-р') =

пглх . плу . тлх	. пли1

	SHI —Sin-Sin —г-
а---------------о	a-b

(176)

В результате для искомых собственных функций двумерной за-
дачи, определяемой уравнением (2) из гл. 2, § 3, и поперечного
волнового числа имеем следующие выражения:

ФДр) = -A^sin-^-sin-^, m, п=1, 2, 3.............. (18а)

у ab а	b

+	(180)

В соотношениях (17) знаком У обозначено суммирование по
i

оо оо

двум индексам I Z . Дельта-функцию (17а) можно представить
т—\ п=1

в виде произведения в силу соотношения

а Ъ

\ = ^t>(p — Q')dS=^dx^dyt>(x — x')t>(y — y'), р' в S. (19)

о о

s

Из свойств ортонормированности систем собственных функций
Фр(х) и Фч(у) следует ортонормированность двумерной системы
Ф,- (р), поскольку при i = (р, q) и j — (р', q') имеем

а Ъ

J $ Ф/ (Р) Ф/ (Р) dS = ( dx J dy®p (x) Фр- (x) Фч (у) Ф,- (у) =

s	oJ о

— ^pp'^qq' — ^Ц*	(20)
Приемлемую функцию F(p) можно в силу соотношения (17а)
представить в виде

F (р) = J $ F (р') б (р - р') dS' - F^i (₽)>	(21 а)

3	i

Ft=\\F (Winds'.

s

(216)

Аналогичным образом могут быть найдены собственные
функции для прямоугольной области, изображенной на фиг. 61,
удовлетворяющие граничным условиям (11). Ортонормирован-
ная система функций Wp(x) и имеет следующий вид:

(х) = a/— cosрх,	р =	/п=1, 2, ...; Чго(х) = —Ur,

н V а	а	-у а

(22а)

^?(1/) = д/у cosW, ? =	п=1,2, ...; ЗД) = ^.

(226)

Условия полноты и ортонормированности системы собственных
функций 'Fp(x) удобно записать в виде разложения дельта-
функции, аналогичного разложению (15):

б (х — х') =

= у 4rp(x)Wp(x')==4’ X Smcospxcospx', 0 < *, < а, (23)
m=0	т=0

где ео = 1, ет = 2, m 1. Для системы двумерных собственных
функций ТДр) справедливо соотношение

б(р — р') =

У (Р)	(р'),	0 < * < а, 0 <	< Ь,

—	*	у

EV	тлх ппу тлх' плу'

Д 8me„ cos — cos cos cos .

=0

(24)

Таким образом,

^(Р) = д/-^ cos-^-cos-^, т, n = 0, 1, 2, .... (25а)
у uif	а	и


Полу бесконечная прямоугольная область

Если сторону а сечения волновода, представленного на
фиг. 61, увеличить до бесконечности, то прямоугольный волно-
вод превратится в полубескокечкый прямоугольный желоб, изо-
браженный на фиг. 62. Такой переход к открытой области мож-
но осуществить, если ввести величины

= = = <26)

По мере того как величина а возрастает, собственные значения
р = mn/a, m = 1, 2 ... все больше сближаются, пока в пределе

Фиг. 62. Полубесконечная прямоугольная область.

не сольются в непрерывный спектр. Подставив выражение (26)
в разложение (15), в пределе при а->оо (т. е. при >0)
получим

ОО

6(х — х')= lim £ sin (gmx) sin (Ux') AU =	(27a)

m^° 5m-4»

or	л л

= — J sin |xsin|x' dl, 0 < x, < co,	(276)

0

так что

Ф5(х)^Ф(|, х) = д/-^- singx, 0<|<оо.

(27в)

Сумма по пг, фигурирующая в разложении (15), заменяется
ОО

здесь интегралом $ dg, поскольку собственные значения обра-
о

зуют непрерывный спектр.

Собственные функции непрерывного спектра (27в) являются

ОО

теперь ненормированными [интеграл (2/л) $ dx sin2gx не сущест-
о

вует]. Нормировочная константа 6РР' из соотношения (14) заме-
няется теперь дельта-функцией 6(g— £'), каК это видно, если
умножить выражение (276) на sin g'Z, проинтегрировать по х'
от 0 до оо и изменить порядок интегрирования в правой части
(возможность изменения порядка интегрирования существенна
для преобразования Фурье и для функций, разложимых в инте-
грал Фурье, допустима):

sin В'х = $ sin gx I $ sin g'x' sin gx' dx' j —
o^o	'

oo

= $ sin |x6(|-£')<&	(28a)

0

t. e.

oo

J sin l'x' sin gx' dx' = 6 (| — £'),	(286)

о

что совпадает с соотношением (276). Функция Ф^(х), определяе-
мая выражением (27в), удовлетворяет требуемым граничным
условиям Ф$(0) = 0. Отсутствие граничного условия при х =
= оо является следствием вида особенности граничной точки
на бесконечности (предельная точка) [2, стр. 231] [§ 3, примеча-
ние к формуле (21)].

Свойство полноты системы двумерных собственных функций
для Е-волн в полубесконечной области, изображенной на фиг. 62,
можно записать в виде

2фДр)ФЛр'), 0<	< оо, о< <Ь, (29а)

б (р р ) = оо оо	,

—у $ S s*n&s*n ~ь~s*ns’n »	№6)

0

где

Ф< (p) = /— sin gx sin ,	0 < £ < oo, n=l, 2, ..., (29b)

Знаком 2J в формуле (29a) обозначена операция J 4 £ ’ no"
i	On-1

скольку спектр собственных значений для переменной х является
непрерывным.
Путем аналогичного предельного перехода для собственных
функций, отвечающих //-волнам, получим соотношение

оо
о г	,	х

S(x— х ) = — \ cos |х cos |х dg, 0< , < оо, (30а)
о	х

так что	__

'h (*) = д/v cos gx, 0 < g < оо.	(306)

Таким образом,

У^(Р)^(Р')> 0< * <00, 0< 5 <Ъ, (31а)
i	&

б (р Р ) —— оо оо

~яь\ ^8„C0S^XC0S-^^-C0S^x'c0S-^y(-,	(316)

О м==0

% (р) =	cos^cos-^-, 0<g<oo, « = 0,1,2....... <31в)

«7=Е! + (^-)!.

Четверть плоскости

Положив величину b на фиг. 62 стремящейся к бесконечно-
сти, получим четверть плоскости, изображенную на фиг. 63.
В отличие от предыдущего раздела имеем теперь следующее
условие полноты системы собственных функций (переменный
индекс q, принимающий непрерывные значения, обозначается
через т]):

Е-волны

& (р — р') =

оо оо

4 С	С

-~2- \ dg \ dr| singxsini]r/singx sint]^,
о	о

(326)

т. е.

Oi(p) = -^-singxsinr]i/, 0<g<oo, 0<т]<°°; k't2 = ^2+ ц2.

(32в)

оо оо

Знаком в этом случае обозначен двойной интеграл j dg j dr).
(	о о
Н-волны

б(р-р') =

УчМрНИр'), о< хг < оо, 0< Уг < 00, (33а)
i	*	У

00	00

-£	$ di) cos |х cos 1]у cos gx' cos i\y',	(336)

о о

4^ (p) = -7-cos gx cost)#, 0<£<oo, 0<r)<°°; k"i=£ + v[.

(33b)

Полуплоскость

На фиг. 64 представлена полуплоскость x > 0. Собственные
функции для бесконечного интервала —оо < у < оо проще по-
лучить исходя не из ограниченной области 0 < у < Ь, как это

У

Фиг. 63. Четверть плоскости.



Фиг. 64. Полупространство.

мы делали раньше, а из области —Ь/2 < у < Ь/2 и затем уст-

ремляя 6 —> оо. В этом случае разложение дельта-функции
дим непосредственна из разложения (16) путем замены
менных у-+у — Ь/2, у -> у' — 6/2:

нахо-
пере-

6 (у _ у') = | £ cos	cos (2п-1) я/ +

n=I
оо

. 2 v1 • 2/ijtw . 2пш/' b . У . b /ПЛ\

+ тд51П > sin 6 ’ -т</<т> <34а>
П=1

т. е. собственные функции Фд в этом случае образуют две взаим-
но ортогональные системы:

<W =

cos (2п~1)яу

. 2плу
Sin—т~-
о

п=1, 2,

__ ь_

2

2 ’

(346)
одна из которых четна, а другая нечетна относительно у. Вводя
в первой сумме в формуле (34а) обозначения

~	(2п — 1) А	2л	ч

Л»	Д'Лп — 'Пп+1	— "у"»	(35а)

а во второй сумме обозначения
2пл	А	2Я	/ог-^х

Пп= —.	ЛПп = —	(356)

и выполняя предельный переход b -> оо, получаем

t>(y-y')=

оо	оо

-^- J cos цу cos цу' йц + -i- J sin цу sin цу' Оц, (36а)
о	о

оо

-i- J COST] (у — у') <1ц,	— оо < У < ОО. (366)

о	у

Для /7-волн аналогичный результат получается предельным пе-
реходом &->оо для функций Ч'д(у), определяемых выраже-
ниями (22), после перехода к интервалу —6/2 < у < Ь/2, как
это было сделано выше. Независимость собственных функций
фч (у) = 4% (у) для бесконечного интервала от вида граничных
условий обусловлена видом особенности (предельная точка) при
у = ±оо [§ 3, примечание к формуле (21)]. Таким образом, из
разложения (36а) имеем

Фч(у) = ^(у) =

V— ( sin-qz/ )

— । Г» — °°<У<а°, 0<т]<оо. (36в)
Л (СОЭЦУ )	IV/

Чаще используется другой способ представления дельта-
функции, при котором косинус, входящий в разложение (366),
заменяют суммой двух экспонент '):

оо	оо

6 (у — у') =	J е,п <у-у'> йц + j <»-»'> Лц =

О	о

оо	оо

=-^ 5 ein{y~y'} dx\=-^ 5	=

— оо	—оо

1) В данном случае обозначение /«V-1 не связано с выбором вида
временной зависимости.
При таком представлении интеграла Фурье собственные функ-
ции комплексны и в формулу для дельта-функции входит ком-
плексно сопряженная величина [формула (76)]. Собственные зна-
чения параметра т] изменяются от —оо до +оо. Таким образом,

1 .

V2n

W, — ОО < Ц <00,	— ОО < Т| < оо. (376)

Условие ортогональности, эквивалентное условию (286), теперь
с учетом комплексного сопряжения имеет вид

1 г

2л j

оо

rfy' = 6 (т] — ri')-

— 00

(37в)

Преимуществом представления (37а) является возможность де-
формации контура интегрирования в комплексную плоскость т].
Если у > у' и подынтегральное выражение в первом интеграле
(37а) убывает экспоненциально в верхней полуплоскости rj
(Im т] >0), то граничные точки контура интегрирования могут
быть смещены с действительной оси, так что г] = —оо 4~ /8 и
= -f-оо + /б, где 8, б > 0. Точно так же если у < у', то кон-
тур интегрирования во втором интеграле (37а) можно сместить
в верхнюю полуплоскость т|. В § 3 интегрирование в комплекс-
ной плоскости будет использовано для перехода от одного пред-
ставления поля к другому. *

Итак, разложения двумерных дельта-функций в верхней по-
луплоскости имеют следующий вид:

Е-волны

оо оо

д (р — р') = У Ф{ (р) ф* (р') = 4" $ dl J dx\ sin &се-№ sjn gx'e/’w',
i	0	— oo

0 > * > oo, — oo <	< oo,	(38a)

x	у

т. e.

Фг (P) — "Z" sin	0 < | < oo, — oo< T| < oo;

6н = £2 + п2-	(386)

Н-волны

oo oo

6 (p — p') = У (p) Ч'* (p') = 4" \ dl $ dx\ cos cos ^x'e1^’,
i	0	—oo

Л X	У

0 < , < OO, — oo < , < oo,
x	y'

(39a)
Т. е.

(Р) — cos	0 < £ < оо, — оо < т] < оо,

kti2 = f + x\2-

(396)

Неограниченная область

В случае неограниченной области, изображенной на фиг. 65,
скалярные собственные функции Ф/(р) и ТДр) одинаковы для
Е- и Я-волн. Решением задачи о собственных значениях для пе-
ременной х является тот же самый интеграл Фурье (37а), так

У

У

Фиг. 65. Неограниченная
область.

0иг. 66. Полоса (слой, ограни-
ченный параллельными пло-
скостями).

что разложение двумерной дельта-функции для всей плоскости
представляет собой двумерный интеграл Фурье:

6 (р - р')=X ф< (р) ф< (р')-£ (р) (р') =
i	i

оо оо

.	$ dt, $ dye'1

— оо —оо

X	У	/ЛЛ X

— °° < ^< < °°, — оо < ^, < оо.	(40а)

т. е.

ФДр) = ^(р) = ^е~/$*+тш),	—	— оо<т)<°°,

+	(406)

Полоса

Для полосы, изображенной на фиг. 66, зависимость соб-
ственных функций от у имеет тот же вид, что и в формуле (376),
а зависимость от переменной х, изменяющейся в конечных пре-
делах, дается формулами (13а) и (22а). Таким образом, для
£-волн

6 (р — р') = У, ф< (р) Ф/ (р') =

i
оо оо

1 V* f 1	. пглх	. mnx'

= — / \ dnsm--------------е ™sin----------

ла L-i J 1 а	а ’

— ОО

О < Х, < а, — оо<^<оо,	(41а)

х	У

т. е.

Ф/(Р) = —4=-sin mnx e~i1w, m=l, 2, .— оо<т]<оо;
у ла а

^/ = (-^)2 + п2.	(416)

Для tf-волн аналогично получаем

6(р-р') = Х'Гг(р)^(р') =
i
оо оо

1 V f J	inu тПХ' inti'

= 2^L cos e cos “V в ’
m=0 -oo

0 < ^ < a, — oo < ^, < oo ,	(42a)

t. e. ________

^/(P) =	cos-~-e~^, m — Q, 1,2,..., —oo<t)<oo,

(426)

k'ti = (-^-)2 + П2- 80=l, em = 2, m>l.

Решение одномерной задачи о собственных значениях
методом эквивалентной линии передачи

Рассмотренную в предыдущих разделах одномерную задачу
о собственных значениях можно решать исходя из эквивалент-
ной линии передачи. Тогда все сводится к определению резо-
нансных напряжений и токов в свободной от источников линии
передачи с соответствующими граничными условиями на ее кон-
цах. Рассмотрим, например, задачу о собственных значениях
Для переменной х— формулу (10а). Если х— координата вдоль
линии передачи, то эквивалентную схему линии можно предста-
вить так, как на фиг. 50; при этом Zi s х, = 0, zz = Хг = а,
ZT == о = ZT. Напряжение в такой свободной от источников ли-
нии определяется однородным дифференциальным уравнением
второго порядка [гл. 2, § 4, формула (2)], которое совпадает с
уравнением (10а), если считать z =s х, х == р. Условие Фр(0) —
= Фр(а) = 0 для уравнения (10а) (т. е. обращение в нуль ре-
шения на короткозамкнутых концах) позволяет считать вели-
чину Фр(х) волной напряжения V(x). Формула (7а) из гл. 2,
§ 4, при z' =з х' — 0 приводит в случае граничных условий
1/(0) = У(а) = 0 к решению (13а) с точностью до произволь-
ного множителя. Точно так же из телеграфного уравнения для
линии, свободной от источников, следует, что напряжение V
пропорционально dl/dx [гл. 2, § 4, формула (1)]. Таким образом,
собственную функцию ЧгР(х), удовлетворяющую граничным ус-
ловиям (12), можно отождествить с током /(х) в короткозамк-
нутой линии передачи. Тогда собственные решения уравнения
(22а) прямо даются формулой (76) из гл. 2, § 4. Но можно так-
же воспользоваться моделью линии передачи, разомкнутой на
концах х = 0, а (т. е. ZT = ZT = оо). В этом случае ток равен
нулю при х = 0, а, так что Фр (х) можно отождествить с вол-
ной тока, а Чгр(х) — с волной напряжения.

Как было отмечено в гл. 2, § 4, п. «д», вид решения теле-
графных уравнений для отрезка линии передачи тесно связан
с особенностями функции Грина Z(x, х') или У(х, х') для дан-
ной собственной волны, определяемой формулами (28) и (29) из
гл. 2, § 4 (где переменные z, z' следует заменить переменными
х, х'). Эта связь еще более четко показана при исследовании
формул (22) из гл. 2, § 4, для напряжения V(x,x') и тока 1(х,
х'), которые возбуждаются генераторами напряжения v и тока
I, находящимися в точке х'. Чтобы получить конечный отклик в
отсутствие источников (т. е. при v = i = 0), необходимо, со-
гласно формулам (22), чтобы импеданс Z(x') и проводимость
У(х') обращались в нуль [см. также формулу (36) из гл. 2, § 4]:

Z*(x') = 0 == Z (х') + Z (х')	(43а)

или, что эквивалентно,

V(x') = 0 = У (х') + У (х7),	(436)

где х' — любая точка. Уравнения (43) представляют собой ус-
ловия «поперечного резонанса», которые могут быть удовлетво-
рены только при определенных значениях постоянной распро-
странения kxr = р. В случае отрезка линии передачи длиной а,
короткозамкнутого на обоих концах, выберем х' = 0, так чтобы
выполнялось условие Z (0) = 0. Тогда в соответствии с форму-
лой (24а) из гл. 2, § 4, и формулой (43а) данной главы мы
имеем Z (0) = /Zo tg pa = 0, т. е.

р = -^,	(43в)

как и для собственных значений (13а). Соответствующие реше-
ния в отсутствие источников (собственные функции) опреде-
ляются выражениями, стоящими внутри вторых скобок в фор-
муле (226) из гл. 2, § 4. Что касается общей задачи о собствен-
ных значениях, то в этом случае вопрос о связи между особен-
ностями (резонансами) собственной функции Грина и решением
телеграфных уравнений для отрезка линии передачи, свободной
от источников, будет подробно исследован в гл. 3, § 3, п. «а».

в. Поперечные сечения с однородным заполнением
в полярных координатах

Здесь мы рассмотрим коаксиальные волноводы с попереч-
ными сечениями, представленными на фиг. 67 (кольцевой сек-
тор и кольцо). Сектор ограничен идеально проводящими цилин-
дрическими поверхностями радиусом р = а, Ь и радиальными

Фиг. 67.-Коаксиальные области,
а —сектор; ^—кольцо.

плоскостями, отвечающими углам <р = 0, кольцо ограничено
идеально проводящими цилиндрическими поверхностями р — а,
Ь. Отметим, что сектор с углом ф = 2л содержит проводящую
перегородку при <р = 0 и поэтому отличается от кольца.

Поперечная компонента оператора V/ в цилиндрических ко-
ординатах р, <р имеет вид

п2  1 д д . 1 д2	....

t	р др ? др р2 д<р2 '	(44)
Если искать решения для Е- и /7-волн в виде произведений

Ф, (р) = Фр(р)Ф9(ф),	Фг(р) = 0 на з,	(45а)

(Р) = %, (Р)	(<Р).	= 0 на s,	(456)

то уравнения (2) из гл. 2, § 3, сведутся к двум обыкновенным
дифференциальным уравнениям

Г d d________

\ др Р dp р

ф» _п

W,(<p)

Ф₽(Р)=О

ад ’

d^q	= 0 при ф —0, ф,
— - 			
dqp	
	(46а)
фр	
дЧр	= 0 при р = а, Ь,
др	

(466)

где р = ku; собственные значения р2 и q2, естественно, неодина-
ковы для Е- и Я-волн. В случае кольцевой области, изображен-
ной на фиг. 67, б, граничные условия при соответствующих зна-
чениях угла заменяются условиями периодичности для Ф9 и
d®qldq, а также и для и cMqldy.

Как и в случае прямоугольного сечения, задачу о собствен-
ных значениях, сведенную к уравнениям (46), можно решать,
рассматривая эквивалентную р- и ф-линию передачи. Уравнение
(46а) по своему виду совпадает с уравнениями (10) — (12) для
прямоугольной геометрии, так что соответствующие решения
Ф9(ф) и ^(ф) представляют собой резонансы в однородной
кольцевой линии длиной ф = ф с собственными значениями па-
раметра q, выделяющими резонансные значения постоянной
распространения. В радиальной задаче о собственных значе-
ниях, определяемой дифференциальным оператором Бесселя
[формула (466)], величина р — собственное значение параметра
при заданном значении q, определяемом уравнением (46а). Если
сравнить с уравнением (41) из гл. 2, § 3 (см. также гл. 3, § 3,
п. «а»), то мы увидим, что отрезок линии передачи длиной
b — а (область изменения радиальной переменной) не является
однородным, поскольку и волновое сопротивление и постоянная
распространения зависят от координаты вдоль направления рас-
пространения волны.

Если область изменения угла ф ограничена радиальными
плоскостями ф = 0, ф, то, как и в разложениях (15) и (23), пол-
ную систему собственных функций Фд и 'Р, можно использовать
для разложения дельта-функции 6(ф — ф'):
Е-волны

6 (<р - ф') = £ Ф, (ф) ф, (ф') = 4 £ sin sin
q	m-1

О <’,<*,	(47а)

Ф?(ф) = д/-|-8Ш7Ф, q = -^, tn=l,2......	(476)

Н-волны

6 (ф - <₽')=X to) fa')=т £ ®m cos cos
q

о <’<</>,	(48а)

т. е.	___

^?(ф) = д/^соэ^ф, ?=2у-, т = 0, 1, 2, ...,

( 1 при т = 0,
гт = < о	(486)

(, 2 при т^1.

Для кольца 0 ф sg 2л собственные функции и их произ-
водные должны быть периодическими с периодом 2л, т. е.

Фу (Ф) 1Г2" = to) |’+2Л = 0,	(49)

и аналогично для ф,(ф). Собственные функции для Е- и Я-волн
в этом случае одинаковы и могут быть получены из разложения
дельта-функции:

~ У*, em cos /Иф cos mq>' + “^ £ s*n пщ> sin тф', (50а)

6(ф —ф')==

оо

вт cos m (ф - ф'),
т-0

оо

— V Q-Irn (Ф-Ф')

2л Zu	*

— OOsa/n

0 ф 2л.

(506)

(50в)

Собственные функции могут быть выбраны либо действитель-
ными:

Ф«М->Р«М“Л/¥{Х5’ф}' «•="—»> '-2...... (51а)

1Ь Зак. 639
либо комплексными [формула (376)]:

Ф,(ф) = У,(ф) = ^=е’Ч q^m^O, ±1, ±2......... (516)

Уравнению для радиальных функций (466) удовлетворяют
функции Бесселя Zg(pp), где q— порядок, а рр—аргумент
функции; под Z можно понимать функции Бесселя J, функции
Неймана N или функции Ханкеля и Н<2\ В общем случае
необходимо взять два линейно независимых решения, чтобы
удовлетворить требуемым граничным условиям при р = а и
Р = Ь. Подробные вычисления для различных структур приве-
дены в нижеследующих примерах.

Ограниченный сектор

Фиг. 68. Замкнутый угловой
сектор.

Е-волны. Сектор, изображенный на фиг. 68, получается из
кольцевого сектора (фиг. 67, а), если а устремить к нулю. Соб-
ственные функции переменной <р определяются формулами
(476). В области изменения радиуса
О р b радиальные собственные
функции Фр(р) удовлетворяют диффе-
ренциальным уравнениям и граничным
условиям (466). В особой граничной
точке отрезка р = 0 граничное усло-
вие Фр (0) = 0 заменяется требованием
ограниченности, которому удовлетво-
ряют функции Бесселя Jq:

Фр (Р)	АрЗЧ (РР)>	?q (%ng) — 0,

= pbt	(52)

где Ар — пока неопределенный нормирующий множитель, а
xnq — п-й положительный корень функции Бесселя, так что вы-
полняется граничное условие ФР(Ь) с= 0. Ограниченность функ-
ции Бесселя Jq(x) при р = 0 следует из ее поведения при малых
значениях аргумента: /д(х) ~ хч при х->0, где, как следует из
формулы (476), q > 0. Поскольку уравнение (466) является
частным видом уравнения (1), когда х->р, р(х) = w(x)->p,
q(x) -*q2/p, Xm-^p2, из формулы (2) следует, что р — действи-
тельная величина и ФР(р) удовлетворяет условию ортогональ-
ности (5а). Действительно, по аналогии с соотношением (4)
имеем

(р2 — р'2) J dppJq (рр) Jq (р'р) =

Р1

= [pp'Jg (рр) J'g (р'р) — ppJg (р'р) Jg (pp)]ft,

(53)
где Jq (х) = {dfdx) Jq (х), и, учитывая поведение функции Jq (х)
вблизи точки х — О, нетрудно убедиться, что при двух неравных
собственных значениях р и р' выполняется соотношение

ь

$ РЛ (рр) Jq (р'р) dp = О,	р =/= р'.	(54)

о

Нормирующий множитель Ар можно определить из соотно-
шения (53), если считать р собственным значением, удовлетво-
ряющим уравнению (52), и рассматривать р' как переменный
параметр, стремящийся к р. Раскрыв неопределенность по пра-
вилу Лопиталя, получим

lim	=

J	р'+р	р р

_ (d/dp')[pJq(p'b)Jq(pb)]

—	°	(d/dp') (р3 — р'г) р'-р 

так что при	_	_

^=Jr~7T~T=:T"T"~7L f (55а)
q (xfiq)	Iq+i (xnq)

условие ортонормированности оказывается выполненным:

Соотношение	b  рфр (p) ФР' (p) dp = брр'.	(556)  0  /q (Xnq) = q+1 (Xnq)9	(55b)

где xnq— корни уравнения Jq(xnq) = 0 (и = 1, 2, 3, ...), яв-
ляется следствием рекуррентной формулы [3, стр. 16]

J41+1 00	% Jq 00 Jq ОО •

(55г)

Из формулы (76) теперь следует, что разложение дельта-функ-
ции 6(р — р') с весом р' имеет вид

^<^-£Ф„(р)Фр(р')=±Х
р	П=1

7g (pp)Jg(pp')
7g+l №>)

О < p < b,
(56a)

где

P = -y-, Jq(xnq) — Q, n— 1, 2, 3, ..q фиксировано. (566)
Двумерную дельта-функцию 6(р — р') в цилиндрических ко-
ординатах можно представить в виде произведения б(р —р')/р'
на 6(<р — ф'), поскольку

Ф ь

1 = ( 6 (р — р') dS' = ( йф' ( dp'p' й ~ - б (ф — ф'), р на S. (57)
s	oJ о	Р

Таким образом, для интервалов О^ф^^, О^р^б мы имеем

& (Р - р') = £ Ф; (Р) Ф, (р') =
i

__ 4 Y» Y» sin qtpjg (рр) sin qcp'Jq (рр')
Ф62 «	(pb)	*

t. e.
2
ф/ = ; ~7t= ;—7ТГsin w7<? (я>)>
b УФ Jq+\ (pb)

mn	xnq

q = —. p = —, (58a)
ф	и

=	(586)

\ b /

Н-волны. Угловые собственные функции для //-волн опреде-
ляются формулами (48). Проведя выкладки, аналогичные пре-
образованиям (52) — (55), получим для радиальных собствен-
ных функций следующие выражения:

= ,59а>
где при фиксированном q

р =	W4) = 0,	п=1. 2.......... (596)

причем x'nq — п-й положительный корень уравнения J'q (х) = 0.'
Таким образом, двумерную дельта-функцию можно предста-
вить в виде

б (р-р') =^ipz(p)’Fz(p') =
i
оо оо

= 7 £ Xs"72j j2 cosWJ,(pp)cos^'4(pp'),
тл	х'	р	ф

^ = —’ Р =	(60а)

т. е.
Г 2е ТЛ р	(х )2

% (р)	[ ф [(pb)2 — <?2] J jq (pb) cos ^<р7<7 (РР)’ ku — ^2 > (606)

где е0=1, ет = 2, /п>1.
Открытый сектор

Е-волны, Если величину b на фиг. 68 устремить к бесконеч-
ности, то мы получим предельный случай, представленный на
фиг. 69. Чтобы найти спектр радиальных собственных значений
по известному спектру для ограниченного сектора, произведем в
соотношениях (56) замену переменных

(61а)

При b оо основной вклад в разложение (56а) дают члены
с большими значениями xnq, так что можно использовать асим-

Фиг. 69. Открытый угловой сектор.

птотику функций Бесселя при больших значениях аргумента [3,
стр. 136] [гл. 4, § 2, формула (226)]:

откуда получаем следующие значения корней уравнения
(566):

%пЬ ~ (я + -|-) я + "Y"* п ~ большое положительное целое. (61 в)

Мы видим, что при b -» оо дискретные собственные значения gn
переходят в непрерывный спектр, заполняющий всю положи-
тельную действительную ось. Кроме того,

«ад

Если ввести приращение

=	&—>°°,	(61 д)

то разложение радиальной дельта-функции (56а) принимает вид

—(р~р) = lim

р 4,-»° 5"0	о

О < Р, < оо.	(62)

р
Преобразование, являющееся следствием разложения (62),
обычно называется преобразованием Фурье — Бесселя или пре-
образованием Ханкеля [3, стр. 136]. Отсутствие определенных
граничных условий для собственных функций ФНр) = Л^^ Л?(£р)
при р->-оо является следствием вида особенности (предельная
точка) в дифференциальном уравнении Бесселя на этом конце
интервала [2, стр. 231] [гл. 3, § 3, примечание к формуле (21)].

Разложение двумерной дельта-функции по собственным
функциям области, изображенной на фиг. 69, имеет вид

6 (р - р') = У, фг (р) Фг (р')=
i
оо оо

= 7 У $ I sin qyJq (gp) sin qy'Jq (|p') dg,	(63a)

0

0 < P, < 00, 0 < % < ф,
(>	Ф

t. e.

=	w==1’2,..., (636)

0<£<oo;	fen=|2.

Как и при переходе от разложения (36а) к интегральному
преобразованию Фурье (37а), желательно представить преоб-
разование Фурье — Бесселя (62) в другом виде, при котором
интегрирование по § производится в пределах от —оо до -j-oo.
Подставив выражение

(£р) = у W (&Р) +	(|р)],	(64)

где Hq,2) (х) — функции Ханкеля первого или второго рода по-
рядка q от аргумента х, в разложение (62), последнее можно
переписать следующим образом:

Г
оо	оо

h = у 5 (IP) Л (1р')	/2 = у $ (gp) Jq (gp') dg. (65)

о	о

Если область интегрирования желательно расширить до g =
= —оо, то в подынтегральных выражениях Ц и Iz необходимо
учесть точку ветвления 1 = 0, обусловленную особенностью
функции Ханкеля [а также функции Бесселя, входящей в разло-
жение (62), поскольку индекс q не целый]. Для однозначного
аналитического продолжения в комплексной плоскости прове-
дем разрез вдоль действительной оси £ (фиг. 70). Следующие
соотношения [3] указывают способ замены g на ^|(0 < g < оо):

Jq (хе± ln) = е* lqnJq (х),	(66а)

Н^(хе1п)=-е-1яянТ(х), H^(xe~in) = -elqnH^(x). (666)

Произведем в подынтегральном выражении для h (65) замену
g = g ехр (/л). Тогда

оо еМ

4 = у j 1^2)(|рГ/я)У?(|р'е-/я)4=	(67а)

о
о

=1 $ i^)(ip)/atp')di;	(676)

оо е^п

выражение (676) следует из (67а) в силу формул (66). Таким
образом, разложение (65) может быть переписано в виде

б(7Р'-4 S ^n(gp)7,(gp')^ = T $ &Я(«Чр')М&Р)^- (68)
оо^М	оо еМ

Контур интегрирования проходит здесь вдоль верхнего берега
разреза и положительной действительной оси, как это показано

Разрез

Плоскость i

7/п?

01

а

Фиг. 70. Контур интегрирования в комплексной плоскости

на фиг. 70, а. Выражение, в котором р и р' поменялись местами
[второй интеграл (68)], получено заменой в разложении (62)
функции Jq (gp') комбинацией функций Ханкеля (64) и заменой
переменной интегрирования. Отметим, что разложение дельта-
функции с весом (68) по собственным функциям имеет не такую
же эрмитову (комплексно сопряженную форму), как и разло-
жение (76), а «биортогональную» форму:

оо

_6.(Р - и „ J Ф6(р)Ф6(р'т,	(68а)

оо

ф* (р)=VIйр)> (р)=VI(?р)> (б8б)

где через Ф$(р) обозначена «сопряженная» функция.

Точно так же можно произвести замену переменной | =
= g exp (—/л) в интеграле (65) для /1 и, воспользовавшись для
упрощения формулой (66), получить разложение:

оо	оо

±(р--р,.)==| j Л)№Н=4 $ 1^2,йр')Л(1р)^.

оо е~М	оо	(69)

Здесь интегрирование производится по контуру, показанному
на фиг. 70, б.

Интегральные представления (68) и (69) допускают дефор-
мацию контура интегрирования в комплексной плоскости |, чем
мы и воспользуемся в последующих преобразованиях. Чтобы
доказать это, исследуем асимптотическое поведение функций
Бесселя и Ханкеля при больших значениях аргумента [3,
стр. 136]

V^COS ~т)’ М->°°,	(70а)

— n<argw<n,

tf(J,2>(oO~ Vi ехр[±/(а'“Т-т)]’ 1^1-*°°» (706)

— n<argw<n,

где w — комплексная переменная, аргумент которой принимает
значения от —л до Н-л. Если Im w > 0, то функция убы-
вает как ехр(—Imw), а функция Jq(w) растет как exp(Imw),
так что

IИ™ (|р) Jq ЙР') |~	а (C-Р'), 11| ОО, (71)

nVpp HI

О < arg| < л.

При р > р' подынтегральное выражение в первом интеграле
(68) экспоненциально убывает на дуге большого радиуса в
верхней полуплоскости комплексной переменной g, а при р < р'
так ведет себя подынтегральное выражение во втором инте-
грале. Таким образом, для функций, к которым применимо пре-
образование Фурье — Бесселя, контур интегрирования Ci на
фиг. 70, а может быть смещен с действительной оси при | £| °°
и деформирован в контур Cf, лежащий в верхней полуплоско-
сти. Тогда разложение дельта-функции (68) может быть пред-
ставлено в виде

- т 5 (ад!. (ад <* о < ^ < “• Р2)

где р< — меньшая, а — большая из величин р и р'.

Указанную выше деформацию контура Ci в контур С\ необ-
ходимо более детально исследовать, если речь идет о представ-
лении произвольной функции F(p). С учетом формулы (68) по-
лучаем

оо	оо

F(p) = y J ^’(|р)Ф(^^, Ф G) = JP'F(P') Л (IP') dp'. (72а)
оо вМ	О

Хотя мы предполагали, что такое представление существует
(интеграл сходится) и что ф(|) — регулярная функция перемен-
ной § на контуре Сь функция ф(|) может иметь особенности в
верхней полуплоскости g. Наличие таких особенностей (будь то
полюсы или точки ветвления) необходимо учитывать при де-
формации пути интегрирования. Мы еще остановимся на этом
в § 3.

Точно так же можно показать, что разложение дельта-функ-
ции (69), содержащее интеграл по контуру С2 (фиг. 70,6), мо-
жет быть преобразовано к интегралу по контуру С?, лежащему
в нижней полуплоскости g:

? Ьн?'(адл(ад< та
°;

При этом остается в силе все сказанное о деформации контура
в представлении функции F(p) интегралом Фурье — Бесселя.

Н-волны. Если в выражении (60а) перейти к пределу при
b —> оо таким же способом, как это было сделано при выводе
соотношений (61) и (62), то радиальные собственные функции
Ч^(р) совпадут с функциями Ф$(р), так что представление
дельта-функции (62) остается справедливым и в этом случае.
Такая независимость собственных функций для бесконечного
интервала (Ь -> оо) от вида граничных условий для крайней
точки (в отличие от конечного отрезка) есть следствие видаосо-
бенности (предельная точка) уравнения при р-* оо. Таким об-
разом,

& (Р-Р') = £^(9)^(0') =

i

оо оо

= 7 X j £M°8W^)c°swMpH (74а)
т=0 0

0 <	< ф, 0 < р, < оо

Ф	Р

т. е.	___

(р)=Vcos w/’ар)> q=•

m — 0, 1, 2. 0 < £ < oo;	(746)

„2 t2	f 1 ПРИ m = 0>

kti-I, em-| 2 при

Круглый волновод

Собственные функции для круглого волновода, изображен-
ного на фиг. 71, отличаются от собственных функций сектора,

Фиг. 71. Круглый волновод.

изображенного на фиг. 68, только тем, что одномерные собствен-
ные функции переменной <р определяются уравнением (50), а не
уравнениями (47) и (48). Таким образом, собственные функции
для Е- и Я-волн могут быть получены непосредственно из соот-
ношений (56) и (59):

Е-волны

б(р-р') = ^ф»(р)ф;(р')^
i

..т 1 у у е~/тф/т (рр) (рр')

0 < ф, < 2л,
Ф

0< Р <оо,
Р

(75а)
где
Р =	М=1, 2, ... •

Таким образом,

Ф/ =	—7ТГ	<РР)> яг = О, ±1, ±2, ...,

о уп Jm+\ (pb)

я=1,2, ...; ku = (^)2.	(756)

Н-волны

в(р-р')=£^(р)^(р')=
i

=7 i	<₽p)'z"’'^ <₽₽'). <?»")

щ=я — оо n=l	’	*	/

где
p~ ь »	7«(xnm) = 0,	n—1, 2, ... .

Таким образом,
ЧгЛр)==	P	m = 0, ±1, ±2.......

Vn[(p&)2 — m2] Im(pb)
n=l, 2, ...; kti = (-^-) *	(766)

Хотя определяемые формулами (56) и (59) радиальные собст-
венные функции Фд (р) и Wg (р) были получены при q > 0, из
соотношения

Jm (х) = (-l)m J-М т = 0, 1, 2.......... (77)

следует возможность перехода к отрицательным значениям ин-
декса q.

Неограниченная область

Собственные функции неограниченной области (фиг. 65) мо-
гут быть получены в полярных координатах, если на фиг. 7! пе-
рейти к пределу при b -> оо. Краевые задачи для Е- и Я-волн
в этом случае совпадают, так что

б (р - р')=£ Ф» (р) ф; (₽')=£ ^< (р) w; (₽')=
i	i

оо оо

=it £ he- lmvJm (^р) e/m<₽7'n (|р,)
ДП = —оо о

< 2л,

(78а)

Ф«(Р) = Чг<(Р) = д/4’ e~l^M m = 0, ±1, ±2, ....

0<£<оо, k2ti = l2.	(786)

Вместо использованного здесь симметричного представления
радиальной дельта-функции (62) можно воспользоваться также
разложениями (68) и (69).

г. Поперечные сечения с неоднородным заполнением

Уравнения для поперечных компонент поля
и разложение по собственным функциям

В гл. 2, § 2, был рассмотрен случай электромагнитного поля
в регулярном волноводе с однородным заполнением. Было пока-
зано, что задача сводится к задачам о собственных значениях,
которые рассматриваются в гл. 3, § 2, пп. «б» и «в». Здесь мы
исследуем более общий случай, когда заполнение волновода не-
однородно по сечению (т. е. диэлектрическая проницаемость е и
магнитная проницаемость р. зависят от р). Для вывода уравне-
ний, которым удовлетворяют поперечные компоненты полей, не-
обходимо видоизменить ход рассуждений гл. 2, § 2, с учетом
того, что е = е(р), р = ц(р). Вместо уравнений (4) и (5) из
гл. 2, § 2, имеем (временная зависимость ei<at опущена)

-	(pl + i V<) • Н< X z«+ М/е х Zo, (79а)

М^М.-^Х^,	(796)

-	= /® (el + V, 1 Vt)  z0 X Е, + z0X Ke, (79b)
Хотя уравнения (79) справедливы и в общем случае, когда
8 = g(p,z), ц = р(р, z), простые выражения, связывающие поле
с не зависящими от z векторными собственными функциями,
удается получить лишь тогда, когда обе проницаемости зависят
только от поперечных координат.

Как и в гл. 2, § 2, будем полагать, что поперечные компо-
ненты электромагнитного поля, определяемые уравнениями
(79), могут быть представлены в виде разложения по полной
системе поперечных векторных функций, описывающих волно-
водные волны, распространяющиеся вдоль оси

Е((г) = Ш)е((р),	(80а)

i

H/(r)s=Ez,(2)hj(p).	(806)

i

В отличие от случая однородной среды поперечные векторные
собственные функции ег и Ьг теперь, вообще говоря, не связаны
между собой соотношением hi = z0 X как это имело место
для функций, определяемых уравнениями (8е) из гл. 2, § 2. Бо-
лее того, оказывается, что в этом случае нельзя провести раз-
деление поля на Е- и /7-волны, распространяющиеся вдоль оси
z (см. гл. 8, § 2, где рассматривается случай произвольной
среды).

Для определения векторных собственных функций еДр) и
hj (р), по которым разлагается поперечная часть трехмерных по-
лей Ег-(г) и Hi (г), вспомним, что последние удовлетворяют од-
народкым уравнениям Максвелла

V X Ez (г) = - /(DjiHi (г), V X Hi (г) = /coeEi (г).	(81)

Поскольку 8 и [I не зависят от координаты z, волка, распро-
страняющаяся в сторону положительных z, имеет зависимость
от z вида так что можно написать

Ez (г) =	(р)	Hz (г) = М, (р) е~^г.	(82а)

Поперечные собственные функции ег- и h, определяются соотно-
шениями

EZi(r) = ez(p)e-/xiz, H/z (г) = Уг11г (p)e_/X/*,	(826)

где Yt = l/Zt — волновая проводимость, которая вводится в
качестве удобного нормировочного параметра для того, чтобы
ez и hj совпадали с функциями, введенными в гл. 2, § 2, в слу-
чае постоянных е и ц. Уравнения для собственных функций е,- и
hi и собственных значений получаются подстановкой выраже-
ний (82) в однородные уравнения для поперечных полей (79):
=	+ Дг-VfY V,)-h^zo,	(83а)

= © (81 + -1- V, 1 Vt) . z0 X е,.	(836)

На идеально проводящей границе поперечного сечения $ функ-
ции е, и h, должны удовлетворять граничным условиям

v X ez — 0 = Vf • (h(- X z0) на контуре s. (83в)

В случае постоянных е и р, в силу соотношения hj = zo X ©i>
система уравнений (83) распадалась на два независимых ура-
внения. В результате мы приходили к двум отдельным скаляр-
ным задачам о собственных значениях для Е- и Я-волн [гл. 2,
§ 2, формула (10), и гл. 2, § 3, формула (2), причем входящие
в них величины и Y{ определялись выражениями (15) из гл. 2,
§ 2]. В данном же общем случае ни одно из этих упрощений не
имеет места. Но если поперечная геометрия волновода допу-
скает введение системы координат, где переменные разделяют-
ся, а е и р, зависят лишь от одной поперечной координаты, то
иногда удается расщепить уравнения (83) на два независимых
уравнения, определяющих скалярные собственные функции. Ни-
же такое расщепление продемонстрировано на примере прямо-
угольного волновода, заполненного материалом, диэлектриче-
ская проницаемость которого зависит лишь от одной попереч-
ной координаты. Отметим, что выражения (83а) и (836), а зна-
чит, и функции е< и h, не изменяются, если величины У,- и и, за-
менить величинами —У, и —х4, которыми характеризуется вол-
на, распространяющаяся в сторону отрицательных z [формула

Применив двумерную теорему Грина [гл. 2, § 2, формула
(Па)]

S 5 dS[A‘ •v- (4V- • А0 - а:  v< (4 v<  А<)]-

= ф ds 1 [(А, • v) (Vt • А)) - (А/ • v) (Vf • АО],
S

A<./ = hz,/Xz0,	(84)

с учетом формул (83а) и (83в) получим следующее соотноше-
ние между собственными функциями (величины е и ц считаем
действительными, так что в волноводе отсутствуют потери):

ZJh* J J h{ х z0 • е{ dS = Zjxi h; • Zo X dS. (85a)
Заменив в формуле (84) 8 на р. и hz> z на —eit на основании
выражений (836) и (83в) получим дуальное соотношение

$ $ z0 X е, • hj dS = Yini J J z0 X е; • hz dS. (856)
s	s

Комбинируя соотношения (85a) и (856), приходим к уравнению

(xf - *1) $ $ h< X z0 • < dS = 0.	(85в)

s

Если здесь i — j, то интеграл отличен от нуля и представляет
собой комплексную мощность, переносимую данной волной. Что-
бы уравнение удовлетворялось и в этом случае, должно выпол-
няться равенство Х/ = х*2 и, значит, величина должна быть
действительной. Появление в выражении (85в) величины сви-
детельствует о существовании двух постоянных распростране-
ния ±xz и о наличии зеркальной симметрии относительно пло-
скости z = 0. Выбрав соответствующим образом нормировку,
мы можем написать биортогональные соотношения между функ-
циями е, и hi для невырожденного случая	при i j):

) ) h; X zQ • е*. dS — 6Z/ (в отсутствие потерь). (86)
s

Свойства ортогональности, выражаемые формулой (86), по-
зволяют легко найти амплитуды собственных функций в разло-
жениях (80):

Vi (z) = J $ Et (г) • h* (р) X z0 dS,	(87а)

S

It(?)=$$ Н,(г) • z0 X <(р)dS.	(876)

s

Если умножить уравнение (79а) на hj X Zo, а уравнение (796) —
на z0 X е*, проинтегрировать по поперечному сечению S, пре-
образовать интегралы, содержащие оператор V, с учетом соот-
ношений (83), (84) и подставить выражения (87), то получим
телеграфные уравнения для Vi и /(:

(88а)

=	+	(886)
где

0/(z) = JjM<e(r).h;(P)rfs=

S

= J J М (г). Ы (Р) ds + Z* J J J (г) • exl (p) dS, (89a)
s	s

Z/e2i(p)==z0^^,	(896)

/,(z) = $J J<e(r).eJ(P)rfS =
s

= J J j (Г) • e? (p) dS + Yl	M (r) • hit (p) dS, (89b)

s	s

r^(p)^z07<'^~'-	<89r>

При выводе выражений (89а) и (89в), описывающих источники,
использована формула интегрирования по частям [гл. 2, § 2,
формула (13)] и условие ]г = 0 на идеально проводящей гра-
нице s. Как и при аналогичном выводе уравнения (14) из гл. 2,
§ 2, не требуется делать предположения о дифференцируемости
функций /2/е и входящих в уравнения (79). Отметим, что
амплитуды волн Vj и /< определяются из решения телеграфных
уравнений для однородной линии (88) так же, как и в случае
волновода с однородным заполнением.

Нахождение векторных собственных функций путем анализа волн,
распространяющихся в поперечном направлении

Как в случае однородного заполнения волновода, рассмо-
тренном в гл. 2, так и в случае неоднородного заполнения полй
в волноводе можно представить в виде рядов (80), если из-
вестны поперечные векторные собственные функции ег(р) и
hj(p) и соответствующие амплитуды V,(z) и /,-(г). Последние
удовлетворяют телеграфным уравнениям (88), а собственные
функции — уравнениям (83). Решение векторных уравнений
типа (83) упрощается, если удается ввести скалярные потен-
циалы. В этом случае векторные дифференциальные уравнения
в частных производных преобразуются к более простым скаляр-
ным уравнениям. Такой переход к скалярным уравнениям был
выполнен для упрощения уравнений (10) из гл. 2, § 2, опреде-
ляющих векторные собственные функции; в волноводе с одно-
родным заполнением это позволяет в общем случае разделить
векторные поля на Е- и //-волны относительно оси г. Как было
отмечено при выводе уравнений (80), такой способ неприменим,
если параметры среды, заполняющей волновод, зависят от по-
перечных координат. При произвольном неоднородном заполне-
нии не представляется возможным свести векторную задачу о
собственных функциях к скалярной. Но при определенной фор-
ме поперечного сечения волноводов удается перейти к скаляр-
ной задаче, в частности в случае прямоугольного волновода,
свойства материала заполнения которого зависят только от од-
ной поперечной кординаты, например х. В этом случае поле мо-
жно разбить на Е- и Я-волны относительно оси х; для первых
выполняется условие Яж == 0, а для вторых — условие Ех s== О,
но относительно оси г эти волны оказываются смешанными (т. е.
волны обоего типа имеют z-составляющие и электрического и
магнитного поля).

Как отмечалось в гл. 2, § 4, п. «д», при решении соответст-
вующей задачи о собственных функциях удобно рассматривать
поперечное сечение в качестве отрезка линии передачи. Чтобы
продемонстрировать такой метод введения «поперечной линии»
для нахождения собственных функций, рассмотрим прямоуголь-
ный волновод с однородным заполнением. Хотя такой простой
волновод естественнее рассматривать с помощью обычного раз-
биения поля на Е- и //-волны относительно оси г, как это было
проделано в гл. 2, § 3, п. «а», и § 2, п. «б», анализ поперечной
линии передачи дает другую систему собственных функций, яв-
ляющихся смешанными (гибридными) относительно оси z и
представляющими собой суперпозицию обычных Е- и //-волн.
Смешанные собственные функции удовлетворяют условию орто-
гональности (86) и не связаны между собой простым соотно-
шением h,- = Zo X е<- Результаты анализа в случае однородно
заполненного волновода будут обобщены на случай неоднород-
ного заполнения, в котором задача не может быть сведена к
скалярной методами гл. 2, § 2.

Однородно заполненное поперечное сечение

Рассматривая волновод, представленный на фиг. 72, мы бу-
дем искать собственные волны, распространяющиеся вдоль оси
z и имеющие зависимость вида ехр(—/хгг), причем волновое
число х,- необходимо определить. Для поперечно распространяю-
щихся волн волновод, представленный на фиг. 72, можно счи-
тать плоским волноводом в направлении оси х, короткозамкну-
тым в сечениях х = 0 и х = а. Для обычного плоского волно-
вода поперечные (относительно оси х) векторные собственные
функции (Е- и //-волны относительно оси х) имеют вид

{у, z) = ег (у) е~/хг = [уоё^ (у) + zoez (у)] е~1™,	(90а)

hr (У, z) = йг (у) е~1'лг = [уойу (у) + zoft2 (у)]	(906)

hy = хо X ег>	(90в)
где чертой отмечены величины, относящиеся к поперечному рас-
пространению относительно оси х, а индексом Т — векторы, нор-
мальные к оси х. Индекс собственной функции i опущен, а че-
рез Хо, уо и zo обозначены единичные векторы осей х, у9 z. Соб-
ственные функции могут быть получены непосредственно из
формул (416) и (426) (если в них величины х, а, у, ц заменить
величинами у, ft, z, х) и уравнений (1) из гл. 2, § 3 (если в них
заменить V#> z0, на Vr, х0). Поперечные (относительно оси х)

Фиг. 72. Бесконечный прямоугольный волновод.

электрические и магнитные волны могут быть представлены в
виде	__

Ег (х, у, z) — V (х) ег (у) е-!™,	(91 а)

Нг (х, у, 2) = 7(х) hy (у) е-1™,	(916)

а для х-составляющих полей имеем следующие выражения
[гл. 2, § 2, формула (6)]:

Ех (х, у, 2) = -Л- Vy • (Ну X «о) =	 ёг (у),	(91в)

Я*(х, у, 2) = 4-Vy • (хо XЕу) = Ig-e-/-vr . Ьу(г/),	(91г)

где

=	+	Vy = y0-^- —fxz0.	(91 д)

Здесь Р(х) и Z(x)—решение телеграфных уравнений для от-
резка линии передачи, рассматриваемое в конце п. «б».

Требуемые собственные функции е(х, у) и h(x, у), соответ-
ствующие распространению волн вдоль оси z, находим, сравни-
вая выражения (91) с другим представлением полей, попереч-
ных относительно оси z:

Е/ (х, у, 2) = V (г) е (х, у) = -у е~/кге (х, у),	(92а)

Н{(х, У, = I (г) h (х, у) = e~i**h (х, у).	(926)
Поскольку мы ищем решение в виде волны, бегущей вдоль оси
г, необходимо выбрать

V(2) = Z0/(z) = 4-e-^,	(92в)

где Zo — пока еще неопределенное волновое сопротивление, а
N — нормировочная константа, указывающая на произволь-
ность выбора амплитуды, функций V(x) и 7(х). Сравнивая вы-
ражения (91) и (92), получаем

е (х, y) — N [хо	Vr • ёг (у) + у0Й (х) ёу (//)],	(93а)

h (х, у) = AfZ0 [хо Vr • hr (у) + у07(х) hu (у)].	(936)

Поскольку все характеристики собственных функций (кроме N
и Zo) в выражениях (93) известны, они, очевидно, определяются
исключительно решениями телеграфных уравнений Г(х) и 7(х).
Для простейшего волновода, изображенного на фиг. 72, реше-
ния этих уравнений имеют вид

V (х) = sin рх, p=sky^s

7(х)

1 dV (х ~
-----=----— — jYn cos рх,
-jkxZ0 dx и r

(94а)

f <08	г,

— для Е-волн относительно оси х,

— для Я-волн относительно оси х.

(946)

Постоянная распространения волны х вдоль оси z определяется
следующим выражением:

х=дД2-М =	fex = p = -^-, ^ = v-> (94в)

где kv — собственное значение для одномерной задачи относи-
тельно координаты у в плоском волноводе. При этом

Vr • ег (у) — 0 для Я-волн относительно оси х,
_ _	(94г/

Vr • hr (у) — 0 для Е-волн относительно оси х,
а из соотношений (90) и (91) следует, что

Ег (х, у, z) = V (х) ёг (у) е~1мг,	,

Я2(х, у, г) = Т(х)Иг(у)е~1хг.	1 А'

Полное векторное поле, поперечная часть которого представ-
ляется векторами е(х,у) u h(x,у), определяемыми выраже-
ниями (93), распадается естественным образом на £- и /7-вол-
ны относительно оси х, но в общем случае имеет и составляю-
щую EZi и составляющую Hz. Кроме того, h =£ z0 X е, а свойство
ортогональности определяется соотношением (86). Величину N
обычно выбирают исходя из требования ортонормированности
системы собственных функций, а выбор величины Zo опреде-
ляется соображениями удобства. Если в выражениях (93)
д/ду г 0 и ё2 = 0 = hy, то соотношение h = z0 X е выполняет-
ся при условии Zox/cop = 1. Соответствующая собственная функ-
ция представляет собой //-волну относительно обеих осей х и
z, величина Zo — обычное волновое сопротивление для //-волны
[гл. 2, § 2, формула (15г)], а собственные функции е и h могут
быть выбраны совпадающими с собственными функциями ура-
внения (1) из гл. 2, § 3.

Неоднородно заполненное поперечное сечение

Чтобы обобщить изложенные выше результаты, посмотрим,
как изменятся собственные векторные функции в том случае,
когда прямоугольный волновод, изображенный на фиг. 61, за-
полнен средой, диэлектрическая и магнитная проницаемости ко-
торой зависят от координаты х, т. е. е = в(х) и ц = р(х). Как
было сказано выше, такая структура не может быть в общем
случае описана совокупностью Е- и //-волн относительно оси z.
Но разбиение на Е- и //-волны относительно оси х может быть
произведено и в этом случае, поскольку изменение свойств сре-
ды вдоль оси, совпадающей с направлением распространения
волны (гл. 2, § 2), не влияет на возможность разбиения урав-
нений Максвелла на продольную и поперечную части и после-
дующий вывод телеграфных уравнений. Таким образом, попе-
речные (относительно оси х) составляющие и х-составляющие
электрического и магнитного поля собственной волны могут
быть определены по формулам (91). В результате мы приходим
к поперечным (относительно оси z) векторным собственным
функциям е(х, у) и h(x, #), определяемым соотношениями (93),
но теперь уже Г(х) и Т(х) удовлетворяют телеграфным уравне-
ниям (15) из гл. 2, § 2, написанным с учетом зависимости па-
раметров среды от х:

-	W z &1	(95а)

-A!ITL = ikAx)Y^V(x), У(х) = тЬу, (956)
где через kx обозначена постоянная распространения вдоль оси
х. Для упрощения записи в этих уравнениях опущена черта.
Из двух дифференциальных уравнений первого порядка (95)
можно получить дифференциальное уравнение второго порядка
относительно либо V (х), либо / (х):

(96а)

Я &> *£*]+"Jx>z w; w ° °- <9бб)
Поскольку из соотношений (15) гл. 2, § 2, следуют равенства
kx(x)Z (х) = (ац(х) для /7-волн относительно оси х, (97а)
kx (х) Y (х) = сое (х) для Е-волн относительно оси х, (976)
дифференциальные уравнения (96а) и (966) упрощаются: пер-
вое в случае //-волн, а второе в случае Е-волн. В результате для
нахождения резонансных решений имеем следующие телеграф-
ные уравнения:

Н-волны (относительно оси х)

Ги ТГ77ГТ7 + ^'21 V"(x) = 0, ^'2(х) = ф2ц(х)8(х)-^2, (98а)

У"(0) = 7"(а) = 0.	(986)

Функция I" выражается через известную функцию V" по фор-
муле

Е-волны (относительно оси х)

[е W тку + k* W] /Z W = °>	k* W =	We W	k'r.

(99a)

-^^- = 0 при x = 0, a,	(996)

V'(x) =—J—(99b)
' >	— /toe (x) dx	'	’

Здесь штрихом отмечены величины для Е-волн, а двойным
штрихом — величины для //-волн, входящие в телеграфные ура-
внения. Эти резонансные задачи принадлежат к общему классу
задач, разобранных в п. «а».

Еще раз подчеркнем, что векторные собственные функции
для Н- и Е-волн, получаемые подстановкой резонансных реше-
ний уравнений (98) и (99) в выражение (91), характеризуются
отсутствием первые составляющих Ех, а вторые — составляю-
щих Нх, но, вообще говоря, имеют обе составляющие Ег и Нг.
§ 3. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ГРИНА
(РЕЗОЛЬВЕНТЫ) И АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

В случае конечного интервала и кусочно-постоянных вели-
чин p,q и w спектр собственных значений общей задачи Штур-
ма — Лиувилля [§ 2, формула (1)] является дискретным [1, гл. 6,
§ 3]. Поэтому без труда проводится непосредственное решение
этих уравнений и последующая нормировка собственных функ-
ций fm при помощи соотношений (56) из § 2. Кроме того, набор
всех возможных дискретных решений образует, как это следует
из формулы (76) § 2, полную систему функций. Но в случае от-
крытого интервала и функций р, q и w, имеющих особенности,
когда спектр собственных значений становится непрерывным,
при решении задачи о собственных значениях можно встретить
определенные трудности. Граничные условия для функций в осо-
бых крайних точках интервала часто оказываются не очень чет-
кими, нормировка собственных функций fm [§ 2, формула (286)]
затруднительна, а полнота системы собственных функций не
представляется очевидной. Чтобы избежать этих неприятностей,
в § 2 нормированные собственные функции непрерывного спек-
тра для ряда открытых структур были получены как предел
функций дискретного спектра для соответствующей ограничен-
ной области при увеличении одного из размеров до беско-
нечности. В данном параграфе мы изложим прямой подход
к задаче, пригодный для получения системы собственных функ-
ций как в случае дискретного, так и в случае непрерывного
спектра.

Подход основан на тесной внутренней связи между реше-
ниями уравнений без источников (собственными функциями) и
функциями Грина. С точки зрения теории цепей задача о собст-
венных значениях — это задача о резонансных волнах тока и
напряжения в неоднородной линии, короткозамкнутой на кон-
цах, а функции Грина дают резонансный отклик на возбужде-
ние сосредоточенным генератором тока или напряжения. Та-
кими аналогиями мы воспользуемся при последующем анализе
результатов. Общий подход будет изложен в п. «а», а в п. «б»
мы укажем способ построения функций Грина для задачи
Штурма — Лиувилля.

Теория одномерной характеристической функции Грина уп-
рощает анализ альтернативных представлений для двумерных
и трехмерных электромагнитных (и акустических) полей. Как
было отмечено в гл. 2, § 3, электромагнитное поле в различных
закрытых и открытых областях может быть построено из на-
бора волноводных волн, распространяющихся вдоль оси г. Такое
представление основывается на возможности разделения пере-
менных в поперечной по отношению к оси z области при нахо-
ждении собственных функций Фг(р) и Ч'Др) (§ 2 и 4) и на воз-
можности вычисления соответствующих амплитуд собственных
волн, зависящих от г. Для вычисления полей в некоторых диа-
пазонах параметров часто желательно иметь другое представ-
ление поля, которое обладало бы лучшей сходимостью, чем раз-
ложение на волноводные волны, распространяющиеся вдоль оси
z. Это уже было отмечено в гл. 1, § 5, и продемонстрировано на
примере представления простого пространственно-временного
поля в виде разложения по пространственным или временным
волноводным волнам. Было показано, что одно представление
можно получить из другого путем аналитического продолжения
и деформации контура в комплексной плоскости. Все это оказы-
вается проще и естественней, если использовать одномерную ха-
рактеристическую функцию Грина, как показывается в п. «в».
Такой метод подробно демонстрируется на примере трехмерной
скалярной функции Грина для прямоугольной и цилиндрической
областей и более кратко для сферической области.

а. Связь между характеристической функцией Грина
и задачей о собственных значениях

Характеристическая функция Грина g(x, х';%) для задачи
Штурма—Лиувилля, которая выражается уравнением (1) из
§ 1, удовлетворяет уравнению [2, стр. 213; 4]

К р № Й ~ q	ё <х> х'; = “5 (х~х')> xi<x'< Хг W

и граничным условиям

(p-^- + ai, г)я(х, х'; Х) = 0, х = х112.	(1а)

Здесь X — произвольный параметр, ограниченный лишь требо-
ванием единственности решения уравнения (1); вопрос о таком
ограничении пока мы отложим. Неопределенностью параметра
X характеристическая функция Грина отличается от собственной
функции Грина, рассмотренной в гл. 2, § 4.

На фиг. 73 представлена эквивалентная схема для опреде-
ления характеристической функции Грина. Ток и напряжение в
эквивалентной линии передачи удовлетворяют неоднородным
телеграфным уравнениям [§ 2, формула (95)]. Неоднородность
обусловлена токовым источником i(x')s=—6(х— х') [гл. 2,
§ 3, формула (10), или гл. 2, § 4, формула (15)]1):

-~ Wz«7х'ъ	(2а)

- ~ах~~ = ik* WrWv(х> х') ~6(х-х')>	(26)

где Z(x) = 1/У(х)—волновое сопротивление и kx — волновое
число. Для Я-волн в линии передачи (в этом случае все вели-
чины выделяются двумя штрихами) kxZ" = &n, и соответствую-

Фиг. 73. Неоднородная линия передачи, возбуждаемая генератором тока еди-
ничной амплитуды.

щее дифференциальное уравнение для V"(x,x') имеет вид [§ 2,
формула (98а)]

( d Г 1 d Л , , k'r2 1

177	+ fe°8 (х) “ TW J V"	(x~x')> (3)

где

4 = и'М = -^.	= w

Сравнивая уравнение (3) с уравнением (1), мы видим, что

p(x) = w(x) = -77-r, q(x) = — koe (х), к'т= — К,
г* \л)	М)

V"(x, х9 =/®|xog" (х, х'; X).

На основании уравнения (2а) и соотношений (4) граничные ус-
ловия (1а) можно выразить через величину

JL— ; P(dg"ldx)

V" —1 ©pog"
и заменить условиями для концевых проводимостей У'т
в точках Xi и х2:

у,/_____/"(хь х') _ /cti	_ I" (х2, х') _ — jat.

т V" (Xi, х') ©Цо ’ т V" (х2, х')	®ц0 ’

') У волновых решений в этом разделе будем подразумевать временною
зависимость вида ехр(+/<о/),

(ба)
и Г?

(56)
Поведение функций g и dgldx вблизи точки расположения
источника х = х' легко выяснить при помощи эквивалентной
схемы на фиг. 73. Функция V" непрерывна в месте включения
генератора тока, т. е. *)

х')|*^д = 0 при Д-*0,	(6а)

а ток меняется скачком:

/"(X, х')|£1=1.	(66)

Соответствующие условия для функции g имеют вид

g"(x, х'-, Х)|*?д = 0,	p(x)-^g"(X> V; Х)|^ = - 1. (6в)

В аналогичной задаче для £-волн (все величины отмечаются
одним штрихом) мы имеем k'xY' = ae, и наиболее удобной для

Фиг. 74. Неоднородная линия передачи, возбуждаемая генератором напря-
жения единичной амплитуды,

нахождения величиной оказывается ток /'(х, х') [§ 2, формула
(99)]. Соответствующая эквивалентная схема, дуальная схеме
фиг. 73, представлена на фиг. 74. Телеграфные уравнения и их
связь с характеристической функцией Грина в этом случае мож-
но установить, если произвести в формулах (3)—(6) дуальную
замену

ц0«->80, k"-*k'T, Y"-*Z'T, g"^g'. (7)

Поскольку эквивалентную схему фиг. 73 (или фиг. 74) мож-
но рассматривать как резонансный контур (без потерь, если
/У г, /У г, kx и Z — действительные величины), из физических
соображений очевидно, что напряжение или ток, описываемые
функцией g, будут конечными и однозначно определенными, ес-
ли при данном значении параметра X нет резонанса. При задан-

’) Напомним, что f (х) |£f (b) — f (а).
ных же значениях ocj,2 и Xi, 2 резонанс определяется тем значе-
нием параметра Хт, при котором соответствующие напряжение
или ток становятся бесконечными. Поэтому для обеспечения
единственности решения телеграфных уравнений необходимо ог-
раничить область допустимых значений параметра X в уравне-
нии (1) условием Л =й= Хт. Если потери отсутствуют (эрмитов
случай), то все значения Хт— действительные числа (§ 2, гл. 2)
и это ограничение может быть записано в ослабленном виде
ТтХт^О. Если величину X в уравнении (1) рассматривать как
комплексный параметр, то функция g(x, х'; X) является регу-
лярной во всех точках комплексной плоскости X, кроме точек
X = Хт, в которых она имеет особенности типа простых полю-
сов. Поскольку условие резонанса X = Хт означает, что отклик
отличен от нуля даже в том случае, когда источника нет, резо-
нансное решение удовлетворяет однородным уравнениям (1) из
§ 2. Таким образом, вся необходимая информация о собствен-
ных решениях уравнения (1) из § 2 содержится в особенностях
характеристической функции Грина и задача нахождения всех
резонансов в контуре (т. е. полной системы собственных функ-
ций) прямо связана с исследованием особенностей функции
g (х, х'; X) в комплексной плоскости X. Выше мы предполагали,
что величины Xi и х^ конечны и, следовательно, резонансам кон-
тура соответствуют дискретные значения Хт, являющиеся про-
стыми полюсами функции g. Если одна из величин Xi или х2
стремится к бесконечности или если функция р, q или w имеет
особенность, то дискретные резонансные значения могут слиться
в непрерывный спектр. В этом случае у функции g(x, х'; X)
имеется точка ветвления и приходится проводить в комплексной
плоскости X разрезы, чтобы можно было выбрать однозначную
ветвь функции g.

Чтобы установить соответствие между полной системой соб-
ственных функций fm, удовлетворяющих уравнению (1) из § 2, и
характеристической функцией Грина, удовлетворяющей уравне-
нию (1), предположим, что система собственных функций из-
вестна и что любую приемлемую функцию F(x) можно предста-
вить в виде ряда (6) из § 2. В частности, функцию g(x, х'; X)
можно записать в виде

ё (х> х j X) gm (х ; X) fm (х), Х[ <С х < х%,	(8а)

m

где

*2

ёт (х'> X) = J w ® rm ® g (g, /; X) d|.	(86)

Xi

Подставив разложение (8а) в уравнение (1), использовав пред-
ставление дельта-функции (76) из § 2 и уравнение (1) из § 2,
изменив порядок суммирования и дифференцирования и прирав-
няв коэффициенты при линейно независимых функциях fm в обе-
их частях уравнения, получим

ёт (х', Л) = —	•	(9)

Таким образом, разложение (8а) принимает вид

т

Такое представление функции g прямо указывает на наличие у
ней особенностей в комплексной плоскости Л в точках, отвечаю-
щих собственным значениям Кт.

Если соотношение (10) проинтегрировать в комплексной
плоскости К по контуру С, охватывающему все особенности
функции g, то на основании теоремы Коши получим следующее
формальное соотношение [§ 2, формула (76)]:

- sr Ф«=-X f ~м (- ±) Ф -
Ст	С

= <Па>

т

т. е.')

<11б>

С

При этом контур обходится в положительном направлении (про-
тив часовой стрелки). Хотя для обеспечения единственности ре-
шения уравнения (1) было наложено ограничение X =/= Хт, по-
лученное решение может быть аналитически продолжено при
К-+Кт- В представленном выше выводе предполагалось, что
особенности функции g являются простыми полюсами (т. е.
имеется дискретный набор собственных значений). Но соотно-
шение (116) остается справедливым и при наличии у функции g
точек ветвления, приводящих к непрерывному спектру. В этом
случае контур интегрирования следует расположить на «спек-
тральном листе» комплексной плоскости К, на котором функ-
ция g стремится к нулю при |%| оо [2, стр. 213; 5, 6]. Более
того, изложенный метод применим также и при наличии погло-

9 Соотношение (116) можно также получить, умножив уравнение (1)
на 1/Х и проинтегрировав его по замкнутому контуру, для которого вели-
с Г d d 1 g(x, х', X)	r-

чина (у -j— p-j-------q ——5-----------dh равна нулю [5,61.

j L dx dx, J Л
G
щения в среде или на границе (неэрмитов случай, р, q, w или
ai,2 — комплексные величины), когда собственные значения Ат
комплексные. Тогда в представлении дельта-функции (11) функ-
ция в общем случае заменяется сопряженной функцией

Итак, задача нахождения полной ортонормированной систе-
мы собственных функций прямо сводится к решению неоднород-
ного дифференциального уравнения (1), исследованию особен-
ностей решения и вычислению интеграла (11) по контуру, охва-
тывающему все особенности характеристической функции Грина
в комплексной плоскости X. В следующем пункте параграфа бу-
дет изложен общий метод нахождения функции g, а в § 4 мы
проиллюстрируем его на разных примерах.

б. Построение характеристической функции Грина

Характеристическую функцию Грина для Я-волн можно по-
строить по двум решениям V(x) и У(х) однородных уравнений
(1), удовлетворяющим требуемым граничным условиям при
Х1 Й Х2:

(яхр’сПс~ fl'+ ^) V (х) = О, + О]) V =0 при х = хь (12а)
— <7 + ^) У(х) = 0, (р ^ + «2)^ = 0 при х = х2. (126)

Решение, удовлетворяющее уравнению (1) при х =/= х' и усло-
вию непрерывности при х = х' [формула (6в)], имеет вид

g" (х, х'; А) = AV (х<) V (х>).	(13а)

Символ V (напряжение) подчеркивает принятую здесь интер-
претацию функции Грина с точки зрения эквивалентных схем, а
х< и х> — меньшая и большая из величин х и х'. Двойной штрих
у V, употребляемый для величин, относящихся к Я-волнам, мы
здесь опускаем. Постоянная А должна быть выбрана исходя из
условия для скачка величины pdgldx (т. е. тока) в точке х =
= х':

Ар (х') Р (/) ^7 V (х') - V (х') -^7 V (х')] = - 1.	(136)

Поэтому	g" (х, х'; А) =	(14а)  - pW (F, V)

где W — вронскиан:

*	U7(iz, V) = (i/-g-i7-g-).	(14б)
Если умножить уравнение (12а) на У, а уравнение (126)
на V, то после последующего вычитания получим

0 =	V^-p-^- = ^-[pW(V, V)].	(15а)

dx r dx dx r dx dx	v '

Таким образом, мы имеем

pIF (V, V) = const при всех х,	(156)

и эту величину можно вычислить в любой подходящей точке
х0 интервала xt х <с х2. Обозначив через V(х, х0) и V(х, х0)
решения однородных уравнений (12), нормированные к единице
в точке Хо:

V (х, хо) =	, V (х, хо) =	,	(15в)

V (хо)	V (хо)

на основании уравнений (5) можно переписать функцию Грина
(14а) в виде

(16)

/(Ogo Y (Хо)

<—>

где Y (хо) — сумма проводимостей влево и вправо от х0:

еУ(хо) = К(хо) + Г(хо)

(Хо)
^(Хо)

/(Хо) ,
V (хо) ’

(16а)



Хо

Хотя для удобства читателей, знакомых с теорией цепей, мы
и пользовались соответствующей терминологией, такая аналогия
не существенна для самого нахождения функции g(x, х'; X) с по-
мощью соотношений (12) — (16).

Приведенный выше анализ однородной линии передачи яв-
ляется обобщением анализа однородной линии, изложенного в
гл. 2, § 4. Отметим, что условие резонанса, которым опреде-
ляются особенности функции g в комплексной плоскости %, как
и в формуле (36) из гл. 2, § 4, имеет вид

Hx0)®F(x0, Xm) = 0,	(17)

где зависимость от X указана в явном виде. Функцию Грина,
определяемую формулой (16), можно переписать в виде, ана-
логичном формуле (28) из гл. 2, § 4, если воспользоваться ре-
шениями в виде стоячих волн с(х, х0) и s(x, х0) (регулярными в
комплексной плоскости X), удовлетворяющими однородным ура-
внениям

ад

с граничными условиями

С (х0, Хо) = 1, S (х0, Хо) = О,
Р (х0) с' (х0, Хо) = 0, р (х0) s' (х0, Хо) = 1,

(18а)

где штрихами обозначены производные по первому аргументу
функций с и s [т. е. с'(х0, xo) = (d/dx)c(x, Хо)\х=х,]. Для рас-
смотренной в гл. 2, § 4, однородной линии передачи р/ = в' = 1
(т. е. p = w=l, q = — ko, с (х, х0) = cos х0 (х — х0), s(x, х0) =
= (l/^x0)sin^x0(x —Хо), k2xo = kl — Х = kl — kr}. По аналогии
с выражениями (22а) и (22в) из гл. 2, § 4, мы можем написать

V (х, х0) — с (х, х0) — j&poY (х0) s (х, х0),	(19а)

откуда с учетом уравнения (2а) имеем

(х, хо) = jp (х) с' (х, х0) + ®ЦоР (х) Y (х0) s' (х, х0). (196)
Соотношения (19) позволяют установить связь между проводи-
мостью в точке Хо и концевой проводимостью Y'r в точке х2>
входящей в соотношение (56):

юц/(хо)==	х^+^оР^П^Чхо. Х2) . .	(20)

С(1о- Х2> - iaPoYTS (Х0- Х2)

Точно так же!)

V (х, хо) = с (х, х0) + /®цо? (хо) s (х, хо)	(21 а)

и

- (Хо) - W С' *'> ~	*<) .	(216)

С (Xq, Х^) 4“ /^ЦдУт’s (*0, X,)

Характеристическую функцию Грина (16) можно записать в
общем виде, аналогичном выражению (28) из гл. 2, § 4, и осо-

9 Если Xi или х2 —особая точка дифференциального уравнения (12),
то вопрос о том, нужны ли дополнительные граничные условия, можно ре-
шить, рассмотрев зависимость У(х0) от У г. Если У(х0) не зависит от кон-
цевой проводимости в особой точке (предельная точка), то достаточно тре-
бования, чтобы решение было конечным в точках Xi и х2 [2, стр. 213].
бенно удобном для слоистых структур !):

g" (х, х'; X) =

[с (х< хо) + i<W<y (*о)s (х<> *о)1 [С (*>' хо) -	S (Х>, х0)]

/®Цо Y Оо)

(22)

Поскольку собственные значения Лт определяются уравнением

V(х0, Ч) - У (хо, Хт) + У (хо, Хт) - 0,	(23а)

в числителе выражения (22) можно не делать различия между
V и V, так как каждая скобка одновременно удовлетворяет гра-
ничным условиям в точках Xi и Хг. Таким образом, собственные
функции дискретного спектра Ч'т(х) (если они существуют)
имеют вид

m W == (хг ^0, ^т) == AmV (х> %0г ^т) ==

= Дот[с(х, х0; Хт) + /ощоУ (х0, Kn)s(x, х0; Хт)], Х!<х<Х2, (236)
где Ат — нормировочная постоянная, а зависимость всех функ-
ций от Хто показана в явном виде.

Одним из преимуществ метода характеристической функции
Грина является то обстоятельство, что система собственных
функций, полученная путем интегрирования уравнения (116),
автоматически оказывается нормированной. Классическая про-
цедура нормировки [§ 2, формула (53) и далее] в случае слож-
ных собственных функций может оказаться весьма громоздкой.
Если единственными особенностями функции g (16) [или (22)]
в комплексной плоскости X являются простые полюсы в нулях
функции У(х0), то поведение знаменателя в окрестности точки
Хто, где он обращается в нуль, можно описать рядом Тейлора

У (х0, Л) = У (х0, XJ + (X - Лм) -Л- У (х0, Хт) + ..., (24а)
где

(246)

Таким образом, для //-волн из соотношений (11), (4) и (16) по-
лучаем (в отсутствие потерь) следующее представление дельта-

9 Если же слоистость отсутствует, то удобнее исходить непосредственно
из выражения (14а).
функции:

р.' (х) д (х — Хо)=

2^- ф g"(х, х'-, Л) dk - £	(х)	(х')= (25а)

С	m

V (х<-, х0; %) V (х>, xQ; %)
/<й|Х0 Y (х0, Л)

У(х<.Хо;Лт)У*^,Хо;Ате) 1л dk
- iwo (d/dkm)Y(x0 km) 2ni <? A -

__V' V (x, xp; Am) У* (xz, Xq\ km)
m (0|A0 (д/дКт) В (x0 Am)

где Фт(х)—нормированные собственные функции, которые
имеют вид

(х)-----	.......V (х, х0; km). (25г)

у ®Ио (д/дкт) В (х0 кщ)

Типичный контур интегрирования в комплексной плоскости %
изображен на фиг. 75. Знаком Д отмечено, что — скалярная

Плоскость Л

С

Фиг. 75. Контур интегрирования.

собственная функция, связанная с разложением на 77-волны
относительно поперечной оси х. При разбиении поля на типы
волн относительно оси z векторные собственные функции нахо-
дятся так же, как в § 2, п. «г». В отсутствие потерь собственные
значения Лт и проводимость В — действительные величины, так
что, в силу соотношения (21а), собственные функции Фт(х)
также действительны. Но если вместо решения уравнения (18)
в виде стоячих волн исходить из решения (28) в виде бегущих
волн, то мы придем к представлению функции, содержащему
комплексные сопряженные функции Фт(х') [§ 2, формула (76)].
Соответствующие примеры приводятся в § 4.
Для Е-волн аналогичное представление получается на основе
соотношений дуальности (7). Характеристическая функция Гри-
на g'(x, х'; X) для Е-волн имеет вид [формула (16)]

о'(х х'- п — 1^х<’хо)Цх>'хо)
g \х, х , л) —------------------

/<оео Z (х0)

T(x0) = Z(x0) + Z(x0), (26)

где штрих, которым отмечаются все величины в случае Е-волн,
$ «--»

у тока / и импеданса Z(x0) опущен [см. примечание к формуле
(22)]. Вместо соотношений (19) — (21) теперь имеем

I (х, х0) — с (х, х0) =F /<oe0Z (х0) $ (х, х0),	(26а)

± «, J ы -	. (266)

с (xfll x2i j) Т ja>e()ZTs (xfl, х2_ ])

Собственные значения km определяются уравнением

Т(х0, М = 0,	(26в)

а дельта-функция следующим образом разлагается по собствен-
ным функциям Фт для Е-волн:

8х (х) б (х — х') = — -jjU <§> g' (х, х'\ k)dk—^ Фт (х) Фт (хХ) =
С	m

__ \ ' / (х,	^т) I* (х, Хр; Л/n)	j
m ®«0 (^^т) % (х0’ ^т)

(27)

При этом ортонормированные собственные функции дискретного
спектра для Е-волн имеют вид

Фт(х) — .	-=1	7(х, х0; Лт). Xi <х <х2,	(27а)

v ®ео (д/дХщ) X (х0, ^тп)

где / — величина, даваемая формулой (26а).

Иногда удобнее иметь дело с коэффициентами отражения
для каждой собственной функции, а не с соответствующим им-
педансом. Чтобы должным образом обобщить соотношение (12)
из гл. 2, § 4, выведенное для однородной линии передачи, напи-
шем

V (х) = У + (х) + V- (х) = V+ (1 + fv) = V- (1 + Гу),	(28а)

/ (х) = 1+ (х) +1- (х) = /+(1 + Гу) = /- (1 + Гу),	(286)

12 Зак. 639
отрица-

ла)

(296)

(29в)

где индексами «+» и «—» у величин V и I обозначены волны,
распространяющиеся в первом случае в положительном, а во
втором — в отрицательном направлении оси х, а Гу (или Г/) —
коэффициент отражения по напряжению (току) относительно
положительного и отрицательного направлений оси х:

Fy=y^, Г/ = 7^.	(28в)

Пусть $ = V+/I+ — входное сопротивление согласованной линии
передачи, если смотреть в сторону положительных х, а £ =
= —V-/I- — аналогичная величина, соответствующая
тельным х. Тогда

•* t *	♦	t*

Г/ = -4Гу, Г/-------irv,

С	С

+ Г/ч 1 + Г7(х)	t l+fy(x)

Z (х) = £ (х)-----------» Z (х) = £ (х)-.

у(х)	1-	Гу(*)

С(х)

Можно, наоборот, выразить Гу(х) через Z(x):
|(х)	t	Z(x)	г

Гу(х) = 4-Х)	Гу(х)=4^---.

Z (*) । ।	Z (х) । ।

t(x)	t(x)

Условие наличия резонанса при поперечном распространении

Z (х) + Z (х) = О

может быть выражено иначе:

Гу (х) Гу (х) = I = Г 1 (х) Г7 (х).	(30)

Разложение поля по бегущим волнам приводит к системе соб-
ственных функций, отличных от фигурирующих в формулах
(27).

в. Альтернативные представления

Способ построения альтернативных представлений функции
Грина, о котором говорилось в начале данного параграфа, лучше
всего рассмотреть на примере одномерной характеристической
функции Грина, введенной в п. «а». Исходным пунктом там яви-
лась теорема о полноте системы собственных функций, выра-
жаемая соотношением (11) и связывающая характеристическую
функцию Грина с полной ортонормированной системой соб-
ственных функций посредством интеграла по контуру в «харак-
теристической» комплексной плоскости. Мы начнем с регуляр-
ной волноводной области, рассматриваемой в цилиндрической
системе координат р, г, а затем обобщим соответствующие ре-
зультаты на сферические волноводы. Чтобы обобщить резуль-
таты п. «а» на двумерные собственные функции вида

Ф/(Р) = Ф₽(«)Ф9(О)» ₽ = («»»).	(31)

где Фр(«) и Ф9(о) —одномерные ортонормированные функции
разделяющихся координат и и v в плоскости, нормальной к оси
г, заметим, что, как показано в § 2, условие полноты для си-
стемы функций Фг(р) имеет вид

6 <р - р')=мР(Р~0 ) = S ф‘(р) ф*(р/) = (32а)

u v	i

= 2ФДЫ)ФИ«') £ф?(о)ф;(»г	(326)

'	р	а

где hu и hv — параметры Ламэ, которые определяются соотно-
шением dS = huhvdudv (dS — элемент площади поперечного се-
чения). В силу формулы (И), примененной к функциям, зави-
сящим от и, имеем

б(« — и) V1	/ V гл» z м	1 V’ Д фл« (“) ФХи (“')

2u Р («) фР (« ) — 2SJ- X Ф лв-лр	dK" ~

Р	Р Си

где ФкР == Фр, величина gu — характеристическая функция
Грина задачи о собственных значениях в «-области, а Си — кон-
тур в комплексной плоскости %ц, обходящий в положительном
направлении все особенности функций gu (полюсы и точки вет-
вления вместе с соответствующими разрезами). Первое из пред-
ставлений (33), содержащее дискретную сумму по собственным
значениям или интеграл в случае непрерывного спектра, по-
лучается за счет вклада особых точек функции gu в контурный
интеграл, а сам контурный интеграл является наиболее общей
формой соотношения полноты системы собственных функций.
Аналогичное представление для функций, зависящих от и,
имеет вид

6(Х°-=Z ф*(а) ф’(о/)=- w (у’ а'; м dK ’ (34)

Су

где С„ — контур, аналогичный контуру Си. В результате имеем
6(Р-Р') =

= Г *2^7 Ф fa* ^«1 Г 2л] ф ’ ^v) ^о"|=	(35а)

L сй	J L cv	J

= (__2л/)* 2 Ф ф	’ ^t>) dXu dXv. (356)

Си

Собственные функции, входящие в разложения (33) и (34),
можно использовать для представления трехмерной функции
Грина в координатах и, v, z:

G (г, г') = Z Ф. (р) ф; (р') 8, (z, Z'-, %г1).	(36)

Зависящая от z одномерная функция Грина удовлетворяет ура-
внению, которое можно получить из соответствующих уравне-
ний для трех переменных, исключив и и v. Примеры такого рода
были рассмотрены в гл. 5, § 3, [где уравнение (16) определяло
одномерную функцию Грина, зависящую от времени, через соб-
ственные функции, зависящие от радиус-вектора г], в гл. I, § 4,
где уравнение (15) определяло как раз функцию gz, входящую
в выражение (36) !), и в гл. 2, § 3 [где величину (/(ое)"1 Y'i (z, z')
в формулах (43а) и (41) можно отождествить с функцией gj.
Если сравнить выражения (32), (35) и (36), то мы увидим,, что
трехмерную скалярную функцию Грина можно выразить через
одномерные характеристические функции Грина2) gu, gv и соб-
ственную функцию Грина gz следующим образом:

G (г, г') —

== (__2л/)2 Ф Ф	(^> $ ’ gz dkv dKu. (37)

Си Cv

Контур Си в комплексной плоскости обходит в положитель-
ном направлении все особенности функции gu, но не особенно-
сти других функций, а контур Cv в комплексной плоскости
обходит в положительном направлении все особенности функ-
ции gv, ко не других функций. Дополнительные особенности в

') В гл. 1, § 4 используется временная зависимость вида ехр(—i(at).

2) Как отмечалось в п. «а», характеристическая функция Грина и соб-
ственная функция Грина различаются только тем, что для первой пара-
метр Л определен (Л = Х<), а для второй —нет.
плоскости или Аи обусловлены функцией gz(z, z'\Kz)\ кон-
кретный вид зависимости А2 =	определяется исполь-

зуемой системой координат и, v, Например, из соотношения (Юв)
§ 2 при = кг = k2 — k'tj следует, что

А2 = k2 — Ки — Xv для прямоугольной системы координат

u = x, v = y, (38а)

а из соотношения (466) § 2 при £'-?== р2-> Ам следует, что

Kz = k2 — Ки для полярных координат1) и^р,	(386)

Представление функций Грина в виде контурных интегралов
(37), содержащее одномерные функции Грина gu, gv и gZf мож-

Фиг. 76. Контуры интегрирования и особенности в комплексных плоскостях
А^ и Ау.

а—-плоскость	б —плоскость Х^.

но рассматривать как наиболее общее представление трехмер-
ной функции Грина в виде произведения функций разделяю-
щихся переменных. Вычисляя контурные интегралы в формуле
(37), сводящиеся к дискретным или непрерывным спектрам в
зависимости от вида особенности (полюсы в первом случае и
точки ветвления во втором), и замечая, что функция gz не имеет
особенностей внутри контуров Си и Су, мы возвращаемся к за-
писи (36), т. е. исходной записи для эквивалентной линии пере-
дачи вдоль оси z. Путем деформации контура интегрирования в
плоскостях Аи и Аг можно получить и другие представления ре-
шения. Типичные примеры, когда функции gu, gv и gz имеют
особенности в плоскостях Аи и Ау, приведены на фиг. 76. Функ-
ции gu, gv и gz определены таким образом, что они достаточно

*) В этом случае величина gu ss gp зависит также от [§ 2, форму-
ла (466)], так что следует писать gu -> gu (и, и'; Ки, А«). Таким образом,
функция gu имеет особенности в обеих плоскостях Аи и А«, а функция gz —
лишь в плоскости Aw. Только особенности gu, окруженные контуром Си
в комплексной плоскости Аад, дают вклад в разложение (36) функции G.
быстро убывают на бесконечности в плоскостях и Хо. Это до-
стигается соответствующим выбором разреза на римановой по-
верхности, связанной с любой точкой ветвления функции g, —
выбором, обеспечивающим отсутствие вклада в интеграл (37)
по замкнутому контуру от участков, где |Ли| -> оо и |ХВ| ->оо.
Поэтому контур интегрирования Си на фиг. 76, а можно дефор-
мировать в контур Си, обходящий особенности функции gz на
плоскости Ки. В результате получим

G (Г, Г )---__2л/)2 Ф ёи(Ц> Ч ^u) ёе v X

<С0

X ёг (z, z'; %2) d%0 dA.„ =	(39а)

= £ Ф? (о) ф; (o') Е фг (Z) ф; (/) ёи (и, и'-, кагч), (зэв)

где разложение по собственным функциям (396) получается как
результат вычисления интегралов по контурам Си и Cv в вы-
ражении (39а). Здесь через Фг(з) обозначена собственная
функция переменной z, являющаяся решением задачи о собст-
венных значениях для функции gz, когда является характе-
ристическим параметром1). В выражении (39а) функции gv и
gz являются характеристическими функциями Грина, a gu—
собственная функция Грина, для которой принимает значе-
ния, заданные вдоль контура Си. Поскольку функция gu (и, и';
Kurq) входит в выражение (396) в явном виде, мы узнаем в этом
представлении функции Грина результат волноводного подхода,
в котором за направление распространения принята ось и. Изло-
женный вывод, очевидно, сходен с выводом соотношений (55)
и (59) из гл. I, § 5. На основании фиг. 76, а и формулы (53) из
гл. 1, § 5, можно заключить о совпадении величин и со2.

Контур Cv можно деформировать в контур Со в комплекс-
ной плоскости X» и иначе: так, как показано на фиг. 76, б. Тогда
получим

® О’» Г ) == (_2л/)2 Ф Ф О*’ “ ’	О1» ® X

си Cv

X ёг(^, z ; Лг) dX>u ==	(40а)

-IX (Z) ф; (г') Е Фр (и) ф; («') g'o (0, v'; xosp). «об)
э	р

*) В неэрмитовых задачах с комплексными собственными значениями
имеет место разложение, в котором функция Фг (z ) заменяется функцией
фг(г') или, в более общем случае, сопряженной функцией Фг(г')<
Разложение по собственным функциям (406) получается спосо-
бом, аналогичным описанному выше, и может быть истолковано
в рамках волноводного подхода, при котором рассматриваются
волны, распространяющиеся вдоль оси v. В этом разложении
«>.(*) — собственные функции переменной z, являющиеся ре-
шениями задачи о собственных значениях, для которой gz — ха-
рактеристическая функция Грина и — характеристический
параметр. Возможны и другие представления трехмерной функ-
ции Грина, при которых, например, в выражении (40а) только
интеграл по контуру Си представляется через собственные
функции переменной и, а интеграл по контуру Cv остается без
изменений. Подчеркиваем, что все приведенные выше альтер-
нативные представления функции g следует считать лишь фор-
мальными в том смысле, что каждый раз необходимо проверять
возможность деформации контура.

Представления (40) справедливы тогда, когда gz является
функцией обоих параметров и %с. В случае радиальной ли-
нии передачи, в которой выполняется соотношение (386), вели-
чина gz не зависит от %», а величина gu, как говорилось в при-
мечании, есть функция как Хм, так и Kv. В этом случае контур
С„ обходит особенности функции gu в плоскости X», а рас-
сматривается как заданный параметр. Из уравнений (466) § 2
и (1) данного параграфа [см. также § 4, формула (91)] имеем

(^-	- v)8и (р> р/; Л“; ^=-6 (р - р')- <41>

Отсюда вместо интегрального представления (40а) получим

° (г. И=§ $ g'u («>h'> К) & (У> К) X
с

(42)

Выражение (406) по-прежнему остается формально справедли-
вым, только теперь Ф8(г)—собственные функции в z-области,
связанные с функцией gz в плоскости Хи, а Фр (и) —собствен-
ные функции в «-области, связанные с функцией gu в плоскости
(причем %и считается фиксированным собственным значе-
нием задачи для области г). Что касается выражения (396), то
и в этом случае остается справедливым замечание о форме спек-
трального представления.

Точно таким же способом могут быть получены альтерна-
тивные представления функции Грина и для сферической обла-
сти. Если ввести одномерные функции Грина gr, ge и g^ для ра-
диальных и угловых переменных [§ 4, формулы (92) и (64)], то
можно представить трехмерную функцию Грина для Е-волн
[гл. 2, § 6, формула (На)] выражениями [см. также формулу
(П)] [4]

rr'G' (г, г') —	~2^ХфЛ)ф>') q  X Ф ge (0, 0'; <72; Ч) gr (Г, Г'; Ч) d\, (43а) се  (—зд-) §§£ф(ф>ф;Ч)Х  с<р се  Х^ге(0> 0 > Ч> Ч) gr (r’ г ’> ЧИЧА» (436)  q  X § g& (0, 0'; <?2; h) gr (г, г'-, х0) dA0, (43в) Сг  2o?(<p)o;(<p')E4W4(HX  X ge (6, 0'; q2', Ч) и т. д. (43г)

Здесь зависимость функции ge от двух параметров = q2 и
Х0 = р(р+ 1) показана в явном виде, а через Се, Cz, Сф обо-
значены контуры, которые обходят в положительном направле-
нии все особенности (только) функций g$, gr и g^ в комплекс-
ных плоскостях Х0 и Выражение (43в) получается из (43а),
если деформировать контур так, чтобы он обходил особенности
функции gr, а выражение (43г) получается, если выразить ин-
теграл через радиальные собственные функции /?s(r) и сопря-
женные функции /?8(г), пользуясь соотношением [§ 4, формулы
(100) и (101)]

= §gr(r, г'-, k)dk = ^Rs(r)Rs(rf). (44)
Сг

Кроме гл. 1, § 5, подробное описание применения метода ха-
рактеристической функции Грина для получения альтернатив-
ных представлений функции G(r, г') можно найти также в гл. 5,
§ 6, п. «а», гл. 5, § 7, п. «б», гл. 6, § 7 и 8. Точно такой же подход
применим и для скалярной функции 9', определяемой уравне-
ниями (24) и (39) из гл. 2, § 3, причем в этом случае появляет-
ся дополнительный полюс в комплексной плоскости или
из-за наличия множителя 1/£|\. Приведенные выше примеры
касались в первую очередь электродинамических задач для
Е-волн. Построение функции Грина для /7-волн или акустиче-
ской функции Грина, введенной в гл. 1, § 1, п. «а», произво-
дится таким же способом.

§ 4.	ОДНОМЕРНАЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
ГРИНА И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Метод характеристической функции Грина, изложенный в
§ 3, п. «а», как метод решения задач о собственных значениях
в открытых и замкнутых областях, будет практически применен
в данном параграфе в случаях прямоугольной, цилиндрической
и сферической областей. Чтобы пояснить метод, мы начнем с
подробного рассмотрения замкнутой прямоугольной области, а
затем перейдем к открытым областям, сначала путем предель-
ного перехода, а потом и непосредственно. Последующие при-
меры рассматриваются более кратко, приводятся лишь харак-
теристические функции Грина, их аналитические свойства и ус-
ловия полноты системы собственных функций.

а. Прямоугольное поперечное сечение

Область, ограниченная по координате х

Мы будем рассматривать поперечные сечения, составленные
из двух подобластей (фиг. 77), которым соответствует одна и та

Фиг. 77. Прямоугольные области (ограниченные по х), частично заполненные
диэлектриком.

же задача о собственных значениях переменной х. Области за-
полнены диэлектриком без потерь с кусочно-постоянными свой-
ствами, меняющимися скачком,

е(х) =

при
при

— d < х < О,
О < х < а,

81 > е2,

(1)

что, как будет показано ниже, приводит к разрывному предста-
влению собственных функций. Задача о собственных значениях
переменной у, имеющая такой же вид, как и для однородной
среды, была решена в § 2, п. «б». Предполагается, что магнит-
ная проницаемость всюду постоянна и совпадает с магнитной
проницаемостью свободного пространства цо, так что в формуле
(За) из § 3 и'(х) — 1. Поверхности х = а и х = —d считаются
идеально проводящими.

Н-волны (относительно оси х)

Эквивалентная схема для построения характеристической
функции Грина Я-волн представлена на фиг. 78. Она меняется
в зависимости от того, находится ли источник в области 1 или

Фиг. 78. Эквивалентные линии передачи (Я-волны относительно оси х).

а

в области 2. Постоянные распространения и волновые проводи-
мости обозначим через kxi sxi, Y\ и kx2 = к2, У2. Если восполь-
зоваться соотношениями (4) из § 3, то однородные уравнения
(18) из § 3 для стоячих волн с и $ приводятся к виду

+ ЧЕ$ = О.	(2)

где

f (X) = k\ -j- Л, — d < х < О,
и2(х, Л) = | х2(Л) = ^2 + %>	0<Х<а, Ч2 = ®Че1,2>°- <2а)

Положив в формуле (18а) из § 3 хо = О, получим

c(x) = cosxix, s(x)=-£-sinxjx, — d<x<0,
1*	(3)

c(x) = cosx2x; s (x)=— sin XjX,	0<x<a.

„Здесь и в дальнейшем явная зависимость функций с и з от х0 =
= 0 опущена. Поскольку в случае идеальной проводимости кон-
цевых нагрузок в сучениях х ₽ —4 ii х — а мьт имеем
= <х> = Уг, из соотношений (20) и (216) § 3 следует, что

<оцоУ (0) = — /%2 ctg х2я. ©ц0У (0) = — ctg xxd,	(4)

где н/ицо — волновая проводимость для Я-волн. Отсюда с уче-
том соотношений (19а) и (21а) из § 3 получаем

у (х) = sinM^x)	о < х < а, (5а)

2V/ sinx2a *	v ’

v.

V'i(x) = cosx1x-----ctgx2asinxix, — d<x<0, (56)

Xl

V2 (x) = cos XjX + — ctg %id sin x^x, 0 < x < a, (5b)

Vi(x)«= sin*»<*+?)	— d<x<0. (5r)

1 ' '	sin w.i/t ’	'	1

V(x) =

V(x) =

Для дальнейшего оказывается удобным использовать вместо вы-
ражения (5в) решение в виде бегущей волны

у2(х)  ---1----[el** + f2(0)е~^х], 0 <х<а,	(6)

1 +Г2(0)

где Гг(О) —коэффициент отражения при падении волны справа
от плоскости х = 4-0, который дается выражением

г2 (0) =	= .**+£ cte?-ld ,	. (ба)

Го2 + Г(О) ^-/XjctgM	®»‘о

Теперь на основании формулы (16) из § 3 можно сразу напи-
сать характеристическую функцию Грина g"(x,x'; X) для Н-

волн1). Поскольку величина У(х) неодинакова при х>0 и
х < О, вид функции g" тоже неодинаков по разные стороны от
плоскости х = 0. Если источник расположен так, как показано
на фиг. 78, а, то

g"(x, х'; Х) =

(*<)£./*>)

/<ОЦО У (0)

У, (xz) У2 (х) ,
/©Но У*(0)

— d < х < О,

О < х < а,

— d<x'<0, (7а)

— d<x'.<0; (76)

*) Величины V(x) и У(х), даваемые формулами (5) и (6), совпадают
с нормированными величинами в формуле (15в) из § 3. Для простоты за-

висимость от х<> = 0 не указана.
если же источник расположен так, как показано на фиг. 78,6,

то

g"(x, х'\ Х) =

Vi (х) У2 (х')
jaHo Т^О)

У2(х<)У2(х>)
/оцо Но)

— d < х < 0,	0 < х' < а, (7в)

О < х < a,	Q < х' < а. (7г)

Выражения (7) можно объединить в одну простую формулу

g" (х, х'; Л) =

Уе(х<)У0(х>)
/<оц0Г (0)

Г(0) = У(0) + У(0),	(8)

где индекс р принимает значения 1 или 2 в зависимости от того,
лежит ли соответствующее значение переменной х или х' в ин-
тервале (—d, 0) или (0, а). Чтобы решение для g" было един-
ственным, необходимо ввести ограничение 1ш Л. #= 0 (т. е.
Im 0, Im =/= 0).

Особенности функции g" в комплексной плоскости Л. пред-
ставляют собой простые действительные полюсы, соответствую-
щие нулям функции У(0). Хотя g" является функцией величины
«1,2. а, согласно формуле (2а),

«1Д = Л/Х + Ч«.

тем не менее точки ветвления Х = -~ нет, поскольку вели-

чины Vfl, У(0) и, следовательно, g"— четные функции перемен-
ной xi(2 [формулы (4) — (6)]. Таким образом, разложение g" в
степенной ряд вблизи точки xi = 0 или х2 = 0 содержит лишь
целые степени х| или х| и, следовательно, целые степени %, чем
обеспечивается регулярность поведения функции g" вблизи то-
чекЛ= —-fei.2- Нули Кт функции У(0, X), согласно формуле
(4), определяются в неявном виде трансцендентным уравне-
нием

X2ctgx2a = — XjCtgXjd,	(10)

х2 = К -J- fe2 = Л, Xj = К -|- k[ = К hy h = fef — &| 0. (10a)

При действительных значениях xi и x2 (т. e. при К > 0) ура-
внение (10) имеет бесконечное число решений, которые мы бу-
дем обозначать через xim, x2m (можно учитывать лишь положи-
тельные значения корней х2т, поскольку отрицательные приво-
дят к тем же самым значениям Кт). При мнимых значениях xi
и хз(Х < —h) уравнение (10) имеет вид

| х21 cth (| х21 а)== — | 1cth (| щ \d), хь х2 мнимые. (На)
Поскольку левая часть равенства (Па) положительна, а пра-
вая — отрицательна, решение отсутствует. Но при действитель-

Плоскосгпъ X

Л у

• •

-й=-(л,г-л|)	с

Фиг. 80. Контур интегрирования и особенности в плоскости А (£ = А +

них Xi и мнимых х2(—Л < X < 0) уравнение (10) может иметь
корни xiv, | X2v |:

rvCtg rv = - 7 cth (£ /v), r* + t*=h(P~(\ - *)	(116)

где

xlvdsrv>0, |x2V)ds/V( X2V мнимое. (11в)

Уравнение (Пб) можно решить графически, как это_показано
на фиг. 79. Имеется N корней при (2N — 1) л/2 <-y/hd <
< (2У + 1) л/2, и нет ни одного корня при -y/h d < л/2. Поэтому
для соответствующих волн имеется нижняя критическая частота.

Если проинтегрировать характеристическую функцию Грина
g", даваемую формулой (8), вдоль контура С, показанного на
фиг. 80 и обходящего все особенности, то мы получим для дель-
та-функции выражение, аналогичное выражению (25) из § 3:

6(Х-Х')==-Z)dX =

= 2ФуВ(х)^в(х') + £Фтв(х)Ф*тР(х'), -d<Xx,<a, (126)
v	m

где представлены по отдельности вклады областей, для которых
— h <	< 0 и > 0. На основании формулы (25г) из § 3, а

также формул (5) и (6) имеем для ортонормированных собст-
венных функций Tvp и Фтр следующие выражения:

*"ll4l»rt+l)l’	—</<х< 0, (13а)

“=7'	0<х<«, (136)

где

4=»ц0-^Т(ол,)-

</Л<у

= - [ fap _|_ Cosec2 г? —a csch2 (/va)"| •	(13в)

2 L tjy	J

Аналогичным образом получаем

Фт1(х)=^--^}~)-, Xim>0, — d<x<Q, (14а)

1 sin x2m (g ~ x)	.g.

Ф = l Am sinX2ma ’	«21»>0, 0<x<a,

m2 -----------------[e/x2«x + f m (0) e~ '*»«*],	(14b)

Am [1 + rm (0)]
где

A2 = ©Pn -st- (0, lm) =

m 0 dhm \ m/

T [(l +A) +	+ 7)ctg2ximd+ a-тАгctgM’ (14r)

4 [(1+ a) + pF + a) ctg2 x2ma - - - 2 ctg . (14д)
2 L	\ Hlm /	“x2mxlm	J

Как нетрудно убедиться, выражения (13) и (14) дают тот
же результат, что и полученное ранее решение для случая од-
нородно заполненного волновода (§ 2, п. «б»), если а) Л = 0
(ei — ег), б) d = 0 и в) а — 0. Необходимо обратить внимание
на разное поведение собственных функций Ч\(х) и Фт(х), да-
ваемых формулами (13) и (14). Функция Фт(х) является ос-
циллирующей во всей области —d < х < а. а Фу(х) осцилли-
рует лишь ц пределах среды с диэлектрической проницаемостью
si (ei > es). В остальной области 0 < х < а функция Ф¥(х)
убывает при удалении от точки х = 0. Если рассматривать соб-
ственные функции как волны, распространяющиеся вдоль оси г,
то функции описывают в основном поле, локализованное в
диэлектрическом слое, а функции Фт — поле, распределенное
по всему поперечному сечению. Первое обычно называются «за-
хваченными» волками, и их существование полностью обуслов-
лено наличием диэлектрика; вторые можно рассматривать как
возмущения волн в системе с однородным заполнением.

Е-волны (относительно оси х)

Характеристическую функцию Грина g'(x, х'; X) для Е-волн
и связанную с ней систему ортонормированных собственных
функций можно получить из приведенных выше соотношений
путем замены (7) из § 3 [см. § 3, формулы (26) — (30)]. Ниже
приводятся лишь окончательные результаты.

Характеристическая функция Грина

g' (х, X'-, К) =	. ЛО) = Z (0) + Z (0),	(15)

/®e0Z (0)

/

8.

с (х) — cos Ktx, s (х) = —sinxix, — d < x < 0,

“I	(15a)

c (x) = cos «2^» s(x) = — sin XjjX, 0<x<a,

®e Z(0) = j-^-tgx2a, ©eoZ(0) = /-^-tgx1d, e(2 = -^-, (156)
®2	’	8q

+	%2 = k2 + h9

Г	X

у	8 X	I

/1 (x) = cos x,x 4—7-^- tg x2a sin XjX, I

®2X1	>

/l(x)



cos Hi (x -f- d)
cos Hid

COS %2 (u — x)

COS H2u

/2 (x) = cos Хгх-------7— tg Kid sin x2x

*1*2

(15r)
Особенности функции g': действительные полюсы первого по-
рядка определяются уравнениями
г

81
= Xjm tg Ximd,	> A (16a)

®2

/

-4 rv tg rv = /v th (/va), r* + % = hd2, a = —, h = k*- kl (166)
S|	d

Klvd = rv>0> \K2v\d = ty, «2V — мнимая величина.

Уравнение (16а) имеет бесконечное число решений, а уравнение
(166)—конечное число. Графическое решение уравнения по-
хоже на приведенное на фиг. 79, но все кривые (кроме окруж-
ностей) сдвинуты влево на л/2. Нижняя критическая частота
для функций в случае Е-волн (в отличие от Я-волн) отсут-
ствует.

/ х \
Представление дельта-функции I — d < %, < aj

е' (х') б (х — х') = —	<§> g' (х, х'; Л) dh =

1	с

=Е м+X <*')
v	m

(17)

где индекс 0 определен так же, как и выражении (8), а другие
величины таковы:

Ф.,Ы=	 0<rv<VAd, — d<x<0, (17а)

ф.Их)-=сМХ(о1ь7Х,°)'' »<* <“•	<17б>

d Г th(tv«) । sec2 rv .a	ч

= V 2 //'hd Н------+ — sch2 (/va) ,	(17в)

2	j Г	®|	®2	J

W - Te”.s2/* 	-‘К^О.

/ X2 е'
 I "lntB2

’ I 2 z

\ x2me.

, 1 Y 2

+ —Jtg2xIma-
a /

h
a’‘in»xU

tg Xlmd

(17e)
Физическое различие между полями, описываемыми функциями
Фу и Фт, такое же, как в случае //-волн.

На основании соотношений (17) можно представить прием-
лемую функцию F(x) в интервале —d <Z х <. а в следующем
виде:

^(х) =
-d

X w+X <*)> -d <х < °>

=  "	\	(18)

/ t f v^v2 W “Ь / t f m$m2 (•£)>	0 X <

ч v	m

где
0	a

fv=-^	(x') ф;, (x') dx' + Д- \p (X') ф;2 (x') dx', (18a)

ei 4	e2

0	a

^' + Л \ F (X') Ф;2 (X') dx', (186)

-Jd	®2 0

а звездочкой обозначено комплексное сопряжение.

Полубесконечная область

При а-* оо на фиг. 77 получается открытая область, изо-
браженная на фиг. 81. Собственные функции для этого случая
можно найти путем предельного перехода в соответствующих
выражениях с конечным а,

Н-волны (относительно оси х) (а-*оо). При а->оо корни
xim и %2т уравнения (10) в случае И2т > 0 образуют сплошной
спектр, а корни уравнения (11) остаются дискретными и удовле-
творяют уравнению

'vctgrv = —/v, Г; + /2= hd2 при а->оо. (19а)

Далее, из соотношения (13) следует

d hd2

2

Н 96)

а из соотношения (14г) получаем

. а (	6? Л

^-*^=T(l + ^ctg41^ =

2а

U +г? (|, 0)1 [1 + г2
где Гг(£, 0)—величина, даваемая выражением (6). В формуле
(19в) gi и | — непрерывно меняющиеся переменные, равные
предельным значениям величин и1т и %2т при а-+оо:

«1т-*11 = У|2 + Л, 0<|<оо, а->ео. (19г)

Замечая, что, как и в выражении (26) из § 2, при а -> оо прира-
щение Д| равно л/а, разложение (126) можно переписать в сле-
дующем виде:

оо

6(х-/) = 1Ле(х)^з(*')+$ М’ *)$£&	(2°)

v	о

X

— d< ,<оо, В =1,2,
х г

где в случае дискретного спектра собственных значений с уче-
том соотношений (13), (14) и (19) имеем

""К.!п^+1)1 	— й <^<0, (20а)

0<Х <0°	(206)

Здесь, как и в соотношениях (8), р = 1 при х или х', лежащих
между —d и 0, и р = 2 при х или х', расположенных между 0 и

Фиг. 81. Полубесконечные (по оси х) области, частично заполненные диэлек-
триком.

оо. Как и в случае замкнутой области, функция Ч\1 осцилли-
рует, а функция Ч%2 экспоненциально затухает при х > 0. Та-
ким образом, поле этой волны по-прежнему локализовано в об-
ласти —d <_ х <_ 0, заполненной диэлектриком еь Волны с та-
ким изменением поля в поперечном направлении обычно назы-
вают захваченными или поверхностными волнами, поскольку
поле в основном сосредоточено внутри среды с большой диэлек-
трической проницаемостью и направляется поверхностью ди-
электрика.

В случае непрерывного спектра

Ф1& х)= S^L(*^-[1 + r2(0, а 0 < | < оо, — d<x<0,
у 2л sin gid

(20в)

х) = ^[е^ + Г2(0, De-П 0 < х < оо,	(20г)

где

Г2(0> g)= gt5W + &M-W (20д)
Физический смысл представления функций Ф2 в виде бегущей
волны, полученного путем предельного перехода в выражении
(14в), понятен. При выбранной временной зависимости exp(jW)
первый член в квадратных скобках формулы (20) представляет
собой соответствующим образом нормированную плоскую волну
в свободном пространстве, распространяющуюся в отрицатель-
ном направлении оси х [§ 2, формула (376)], а второй член —
волну, отраженную от плоскости х = 0 с коэффициентом отра-
жения Г2(0, g). Таким образом, в случае непрерывного спектра
при х > 0 к надлежащим способом нормированной падающей
волне добавляется отраженная волна, обеспечивающая выпол-
нение граничных условий при х = 0.

Представление дельта-функции (20) также можно непосред-
ственно получить с помощью характеристической функции Гри-
на. При а -► оо и Im х2 #= О стоячая волна, определяемая выра-
жением (5), превращается в бегущую волну. При таком пре-
дельном переходе необходимо учитывать условие Im х2 < 0, от-
вечающее выбранной временной зависимости ехр (-(-/<«>0 [гл. 2,
§ 2, формула (15)], и с его учетом мы получаем выражение, остаю-
щееся конечным при всех х > 0:

V2 (х) -> e~tw, х2 =	+Л = Im к2 < 0,	(21 а)

(х)-> cos х(х — /-^-sinXjX, Xj=Vk + h, h = k\ — k\. (216)
Далее из соотношения (4) следует

¥ (°)	• т- е- /^НоГЧО) -«/х2 4- х, ctg Xjd.	(21 в)

Величины Vj,2(x) по-прежнему определяются выражениями
►

(5в) и (5г). Величины Ур и У(0) остаются четными функциями
переменной щ, но не х2. Поэтому на комплексной плоскости А,
точка 1 = —fei2 является регулярной. Разложение же функции
g"(x, х'; А) вблизи точки Л — — ki содержит лишь целые степени
х2, так что точка ^ + ^2==^ = О есть точка ветвления 1-го по-
рядка. Если мы введем величину

Л = |Л|еЧ V^=IV^k/v/2,	(22)

то условие убывания экспоненты (Im у к < Oj в выражении
(21а) ограничит область изменения аргумента значениями
О > у > —2л. Чтобы это условие выполнялось на всем верх-
нем листе, называемом спектральным листом, двулистной рима-
новой поверхности i, необходимо провести разрез вдоль поло-
жительной действительной оси, как это показано на фиг. 82.

Плоскость Л 0)

Фиг. 82. Контур интегрирования и особенности в комплексной плоскости

Функция Грина g" может также иметь полюсы в нулях
функции У(0), т. е. когда

/х2 = — Xjctgx^.

(23)

Уравнение (23) имеет решения только при действительных зна-
чениях Xi и мнимых значениях Х2 = — /1 хг| (т. е. при 0 > К >
> —Л), что приводит к трансцендентному уравнению (19а).
Возможное расположение полюсов показано на фиг. 82. Как и
при вычислении интеграла (12а), будем проводить интегриро-
вание по контуру С (фиг. 82), обходящему все особенности
функции g" в комплексной плоскости X. Функция g"(x, х'; X)
определяется выражением (8), модифицированным с учетом со-
отношений (21). После вычисления вычетов в полюсах Xv полу-
чим ряд, входящий в разложение (20). Оставшуюся часть кон-
турного интеграла вдоль разреза можно записать в следующем
виде:

О	оо е ~ №

I = --h $ g"(x,	$ g"(x, /; %)dX = (24a)

co e ~~ /2л	0
оо е №

= — -4т	[g" (х> х'; & — $) — g" (х, х\ ке~12п — ^2)] dk =

о

оо е”/О

==--^Im J g"(x,x'; k — k^)dk —

О

= -Alm( x\ t-k^dl, £2=d.	(246)

ЭТ J
p

Переход от выражения (24a) к (246) основан на соотношении
g"(x, Xх; le-i™) = g"(x, х'; l*) = g"*(x, х'; Л), Х = |Х|е-'°. (24в)
Подставив соответствующее представление функции g" в выра-
жение (246), сразу найдем функции непрерывного спектра, вхо-
дящие в разложение (20).

Е-волны (относительно оси х) (а-*- оо)

Приведем лишь основные результаты решения задачи для
Е-волн, полученные совершенно аналогичным способом:

в' (хх) 6 (х — х') = — -4г g' (х, х'; к) dk =	(25а)

оо

- Е avB W (*') + $ % (5, х) Ф‘в & Xх) 4, (256)
V	о

X

d < < 00 9 Р = Ъ 2t

где функции дискретного спектра [при том же разделении на об-
ласти с р = 1, 2, что и в формулах (20)] имеют вид

$V1 W = COS(X(lofrv+> 0 < r* < d> ~d<x<Q, (26a)
- tvx/d

$V2 (x) «=	----»	0 < X <00,	(266)

причем rv и tv — решения трансцендентных уравнений

/

-7-rvtSrv = /v’	+	=	<26г)

81
Функции непрерывного спектра таковы:

ф, *) - л/>	[1 - Г, (0. 5)3. е,  л + Е!. (27а)

о < g < оо, — d < х <0,

Ф2(1,х)=д/^[е^-Г2(0Л)в-П 0 < х < оо, (276)

?2(0,(27в)
Z(O) + ZO2	+

При d -* оо на фиг. 77 получим полубесконечную область,
изображенную на фиг. 83, которая отличается от области на

Фиг. 83. Полубесконечные (по оси х) области, частично заполненные ди*
электриком.

фиг. 81 тем, что в данном случае среда с большим значением
диэлектрической проницаемости (ei) простирается по оси х до
бесконечности.

Н-волны (относительно оси х) (d-»-oo)

Если в уравнении (10) положить d-*<x>, то резонансы xim,
xsm > 0 сольются в непрерывный спектр значений и вторая сум-
ма в представлении дельта-функции (126) преобразуется в ин-
теграл, аналогичный интегралу в выражении (20). При d -► оо
в отличие от случая а->оо и корни уравнения (Пб) xjv и
|x2v| переходят в непрерывную последовательность. Чтобы про-
следить предельный переход d -> оо, удобно вместо решения
(56) воспользоваться решением в виде бегущей волны, анало-
гичным решению (6):

7Дх) =-------L----+ f) (0) е'*‘х], -d<x<0,	(28)

I + Г] (0)
где fi (0) — коэффициент отражения от плоскости х = 0 при
падении волны слева; он определяется выражением

Г, (0) = x» + (^ctg^a .	(28а)

IV/	xj — /х2 ctg х2а	v '

Поскольку предельный переход в соотношениях (13в) и (14д)
дает

А2т - Л|, =-----*------—------------,	(29а)

[1 + Г1 (ь 0)] [1 + г, (Ь 0)*]

d->oo, <gi < ОО,
где

Г.йь =	(296)

Ау-> Л|,, d-*oo, 0 < §1 < л/h ,	(29в)

на основании соотношений (12) — (14) и (28) получим следующее
представление дельта-функции:

Оо

д(х-х') = $ Мр *)$₽&’ *'Ир
о

(30)

— ОО < * <а, Р=1, 2,
х

где — оо (х или х') < 0 при ₽ = 1 и 0 < (х или х') < а при
0 = 2, а

Ф, (gb х) = -4=- [е-+ Г, (|ь 0) е*«*],	(30а)

V як

0 < gj < ОО, — ОО < х < а,

Ф2 £ь X) =	[1 + г, (£ь 0)],	(306)

-у2я sin ga

'	0 < х < a.

Отметим, что g — мнимая величина при 0 < < ^/h .

Чтобы вывести соотношение (30) непосредственно на основе
характеристической функции Грина, заметим, что при d->oo,
Imxi < 0 [временная зависимость exp(iW)] выражение (5) при-
нимает вид

V1 W е,к,хг — оо < х < 0,

У2(х)->cos«2* + sin«2х» 0<x<a,
x2

(31а)

(316)
Поскольку, как это следует из соотношений (8) и (31), g"(x> х';
%) — четная функция переменной хг, но не хь точка xi = 0 (т. е.
% = — kX) — точка ветвления в комплексной плоскости X. По
аналогии с соотношением (22) аргумент Л на спектральном ли-
сте выбран таким образом, чтобы выполнялось неравенство

Im дД + Л <0, т. е. —2л < arg(i + ft) < 0, К — Х-|-&2 = х], (32)
так что разрез на комплексной плоскости Л следует проводить
от точки Л = —h до оо вдоль положительной действительной

Фиг. 84. Контур интегрирования и особенности в плоскости X.

оси. Для выявления возможных полюсов исследуем условие ре-
зонанса

/со ц0У (0) = 0 = /Xi + х2 ctg х2а.	(33)

Поскольку уравнение (33) не имеет действительных корней
при Imxi < О1), полюса отсутствуют, и в качестве контура ин-
тегрирования берем контур, изображенный на фиг. 84. В ре-
зультате по аналогии с формулой (24) получаем следующее
представление дельта-функции:

б(х-х') = _.Хф£"(х, х';	(34а)

С

со

= _2lm J ^"(х,/;!?-^), -«><*,< а, (346)
о

из которого подстановкой функции g", определяемой выраже-
ниями (8), (5) и (31), получим формулу (30).

4) Соответствующие собственные функции дискретного спектра, если они
существуют, должны быть функциями с интегрируемым квадратом (т. е.
стремиться к нулю при оо), так что применимы результаты § 2, п. «а».
Поскольку рассматривается случай, когда потерь нет, все дискретные соб-
ственнее значения действительны.
Е-волны (относительно оси х) (d-+<x>)

Спектральное представление дельта-функции в этом случае
имеет вид

е' (хх') 6(х — х') — — ф g' (х, х'\ К) dk —	(35а)

= 5% (Ip х)Ф*е(|„ х')^„ ₽=1, 2,	(356)

о

где р = 1 при —оо < (х или х') <0 и р = 2 при 0 < (х или
х') < а. Контур интегрирования С на комплексной плоскости Л
показан на фиг. 84. При d -> оо из формул (17) получаем

Ф1 (1>. *) =	[е~*'х ~	°)	(36а)

О <	< оо, — оо < х < 0,

ф2&>х)=л/?п0Hc-~cote-’	(366)

г( (gb 0) = ^tg £g~s'(cVei) g = Jg — h, h=k2—k2>0. (36b)

1VS” /6tgga + g, (в^/еЭ &	’	1	V '

Неограниченная область

Рассмотрим область, состоящую из двух полубесконечных
диэлектрических полос (фиг. 85).

Н-волны (относительно оси х). Характеристическая функция
Грина в этом случае имеет вид

g" (х, х'; А) =	,	(37)

/сор.0У (0)
где

у1(х) = е/ил x2 = £2 + Xj im%i<0,	(37а)

у2(*) = е-^, к2 = /г2 + Ь, 1тх,<0,	(376)

V,(x) =-----i---[е-/’м + Г1(0)е/“Ч f,(0) = -^^, (38а)

1 + Г! (0)	X1 + Х2

к2« =-------1---[^ + Г2(0)е-^], Г2(0) = -Г,(0), (386)

1 +.Г2 (0)

jcopoy — i (X) + х>).	(38в)
Поскольку g"(x, х'; X) не является четной функцией какой-
либо из переменных xi и хг, на комплексной плоскости X имеют-
ся точки ветвления Л = — kt и Л = — kl. Аргумент комплексной
функции Л = Л + &2 при Im xi <0, Im хг < 0 удовлетворяет
неравенствам [формулы (22) и (32)]

0 > arg А > — 2л, 0 > arg (X 4- h) > — 2л, h = kl — kl, (39)

и поэтому разрез следует проводить вдоль действительной оси
Л, как показано на фиг. 86. Поскольку функция g" не имеет по-

Фиг. 85. Прямоугольные области (бесконечные по оси х), частично запол-
ненные диэлектриком.

люсов на той части римановой поверхности, где Im xi < 0 и
Im хг < 0, контур интегрирования должен быть таким, как на
фиг. 86. Поскольку же замена к на Ле_^2я для функции g" экви-
валентна комплексному сопряжению [формула (24в)], можно
написать

б(х —V) = —2^r^>g"(x, х'\

л/h

о

-4lm$^"(x,x';^-^)^ =
о

V*

= J ф, (б„ с) ф;(S,, Х-) di, +
о
оо

+ J Ф' (I, х)Ч£& М - оо < * < оо,

(40а)

(406)
где р — 1 для интервала —оо (х или х') < 0 и р = 2 для интер-
вала 0 < (х или х') < оо. При 0 < £ < оо имеются две взаим-
но ортогональные системы собственных функций:





где

COS g]X

cosgx

^ = Vl2 + A>0, ГЛ?, 0)

— оо < х < 0, (41а)

0 < х < оо,

. Е.-Е
£i + £ ‘

(416)

(41в)

В случае 0<£i < V/г (т. е. при g = —/|||) коэффициент отра-

Фиг. 86. Контур интегрирования и особенности в комплексной плоскости 1.

жения Г1 есть комплексная функция с модулем, равным еди-
нице; при этом

Ф, (Ь X) = ^==-	+ Г1 (— /111, 0) eft”], -оо < X < 0, (42а)

W2ab x) = -7U(l + rI(-/|i|, O)]e-i«i*	0 < х < оо. (426)

у 2,п

Е-волны (относительно оси х)

Характеристическая функция Грина в этом случае имеет вид

«'(X,	.

l<WoZ (Q)

(43)
где

/, (х) = e/X1X,

/2 (х) = e~i%iX,

Im х, <0, и = k\ + Л,

Imx2<0, х^^ = ^ + Л = Л,

(43а)

(436)

->	. е1Х2

Zi (х) = cos xix — / -7— sin xix,
82х1

/

12 (*) === COS К2Х + / ~— sin
81Х2

(43в)

(43г)

(43д)

Спектральное представление дельта-функции при — оо < *,
дается выражением

е' (х') 6 (х — х') = — 2^- dkg' (х, х'; X) =

_	с

л/h .	00

= J ^,ФЙ (g„ х) ф; (|р х') + J ^Ф' (I, X) ф; (I, х'),

о

о

(44)

где С —контур интегрирования, показанный на фиг. 86. При
0 < £ < оо

COS £]Х

- sin^x

(45а)

cosgx

Ve<

(456)

О < X < оо,

где

= ' ; 1 -Р ' E. = VF+T;

_	б + Sl(®2/eJ

при 0 < |] < ->Jh

Ф, (gh х) = [е-Ite - Г] (- /111, 0) ei^l - 00 < X < С

Ф2&, x) = -4=[l-f1(-/|g|, 0)]е-'5’Л 0 < х < оо.

V2rt

(45в)

(46а)

(466)
б. Угловая линия передачи

Характеристики волны, распространяющейся в направлении
изменения угловой координаты в криволинейной системе коор-
динат, отличается от соответствующих характеристик при пря-
молинейном распространении. Отличительной чертой угловой
волноводной области является то, что из достаточно удаленной
точки наблюдения на криволинейной координатной линии не-
возможно видеть источник. В результате область распростране-
ния делится на освещенную и теневую зоны, что подробно рас-
сматривается в гл. 6 при решении дифракционных задач в ци-
линдрических и сферических координатах. Несмотря на эти раз-
личия, некоторые угловые волноводные области эквивалентны
одномерным угловым линиям передачи, не отличающимся от од-
нородных линий. Угловые интервалы всегда ограничены либо
значениями угловой переменной, либо, если границы отсут-
ствуют, условием периодичности. Поэтому эквивалентные угло-
вые линии передачи всегда имеют конечную длину и оканчи-
ваются импедансной нагрузкой, заменяющей собой граничные
условия на концах интервала. Но, как и в случае прямолиней-
ного распространения, удобнее всего рассматривать волны в
бесконечных линиях передачи («двусторонне согласованных» ли-
ниях). Наличие же отражающих нагрузок учитывается либо до-
бавлением суперпозиции многократно отраженных волн, либо
введением вспомогательных (мнимых) источников, расположен-
ных вне рассматриваемого конечного отрезка линии передачи.
В данном параграфе основное внимание уделяется методу мни-
мых источников в угловой линии передачи, который играет важ-
ную роль при решении задач о рассеянии на цилиндрических и
сферических телах. На вопросе о геометрооптической интерпре-
тации мнимых источников мы остановимся в гл. 6.

Цилиндрические волноводные области

Граничная задача для угловой "переменной, возникающая
при анализе рассеяния волн в цилиндрической системе коорди-
нат (р, qp, z), иллюстрируется схемой, представленной на фиг. 87.
На фиг. 87, а изображена клиновидная область, ограниченная
радиальными плоскостями ф = 0, ф, а на фиг. 87, б представлен
случай периодичности по углу в отсутствие границ по ф. Напра-
вление изменения координаты р перпендикулярно направлению
изменения координаты ф в плоскости чертежа, а ось z перпен-
дикулярна плоскости чертежа. Как будет показано в гл. 6, § 2,
угловое распространение проще всего исследовать на примере
поля, не зависящего от координаты z и допускающего разде-
ление на £- и /7-волны относительно этой оси. Соответствующие
характеристические функции Грина будем обозначать симво-
лами g'(<р, ф'; Л) и ё"(ф, ф'; Л); они удовлетворяют следующему
дифференциальному уравнению [§ 2, формула (46а), и § 3, фор-
мула (1)]:	2

Ц? + Х) gv (Ф> Ф'; А,) «== — 6 (ф — ф').	(47)

Хотя уравнение (47) имеет такой же вид, как и уравнение (30)
из гл. 2, § 4, для однородной прямолинейной линии передачи, и,

Фиг. 87. Угловые волноводные области (<р — долгота, 0 — широта),
а— ограниченная; б—периодическая; а—бесконечная (непериодическая).

следовательно, такое же решение, физические свойства волн,
распространяющихся прямолинейно и вдоль угловой коорди-
наты, существенно различаются. Если угловые границы отсут-
ствуют (фиг. 67,6), то функция g<f должна удовлетворять усло-
вию периодичности (фиг. 87, б)

g<p (ф + а, ф'; X) = (ф — л, ф'; X);

Sv (Ф + л, ф'; Л) =	gv (ф — л, ф'; Л)

при —л < (ф,ф') л. В этом случае функции Грина для Е- и
л-волн одинаковы, так что различающие их штрихи у g«> мож-
но опустить. Если же ф лежит в интервале —л < (ф — ф') < л
(симметричном относительно источника), то условие (48а) уп-
рощается:

-^-£ф(ф> ф'; Л) = о при ф —ф' = ±л.	(486)

Если при <р = 0 и <р = ф имеются идеально проводящие пло-
ские границы, причем 0 < ф 2л (фиг. 67, а, 69 и 87, а), то

Фиг. 88. Е-волны относительно оси z — напряжение),
а—случай периодичности; б— угловой сектор.

ф' +Л	О	ф

а	6

Фиг. 89. Я-волны относительно оси z — ток),
а—случай периодичности; б—угловой сектор.

интервал изменения углов ф и ф' ограничен условием 0	(ф,

ф') ф и на функцию gv накладываются соответствующие гра-
ничные условия:

Е-волны (относительно оси z)

£ф(ф, ф'; *) = 0 при ф = 0, ф.	(49)

Н-волны (относительно оси г)

-^g"(q>, Ч>'; Л) = 0 при ф = 0, ф.	(50)

Эквивалентные схемы для разных граничных задач предста-
влены на фиг. 88 и 89 (см. фиг. 73 и 74). В двумерных дифрак-
ционных задачах о £-волнах относительно оси z источником
обычно является линейный электрический ток и единственная
отличная от нуля составляющая Ez электрического поля про-
порциональна двумерной функции Грина G' (гл. 6, § 2). Это
позволяет рассматривать функцию g^ как меру поля Ех (т. е.
как напряжение), что приводит нас на основании соотношения
(4) из § 3 и фиг. 73 к эквивалентной схеме, изображенной на
фиг. 881). Аналогичные рассуждения справедливы и для//-волк;
они приводят к эквивалентной схеме, изображенной на фиг. 89.
Отметим, что эквивалентные схемы фиг. 88, а и б в точности
дуальны и это соответствует полученному ранее результату
в случае периодичных граничных условий. Идеально
проводящие границы на концах секторной области эквивалент-
ны короткому замыканию на концах схем фиг. 88,6 и 89,6. Со-
гласно уравнению (47), постоянная распространения в одно-
родной угловой линии передачи равна л/к и волновое сопро-
тивление (проводимость) для //-волн (Е-волн) можно выбрать
пропорциональным [§ 2, формулы (97) и (98), § 3, формула
(4), примечание на стр. 344]. Поэтому можно прямо воспользо-
ваться решением телеграфных уравнений для тока и напряже-
ния, полученным в гл. 2, § 4.

Решение уравнений для эквивалентных схем на фиг. 88 и 89
получено в виде бегущих волн [гл. 2, § 4, формула (29г)] (z0 =
= 0) в короткозамкнутой линии передачи, ограниченной углами
Ф=0иф=^и возбуждаемой точечным источником 2):

(ф, ф ; М =	/ \	,	(51)

2/ц(е/|л*-ГГе_/м)

где Г и Г — коэффициенты отражения на левом и правом кон-
цах линии [соотношение между Г(0) и Г дается формулой (6)
из гл. 2, § 4], а р = Чтобы функция g' обращалась в
нуль при ф = 0, </>, как показано на фиг. 88, б, должно выпол-
няться условие Г = Г = —1. Отсюда получаем

бф\т> Y >	/	ц ЯШ цф	\ J

Чтобы производная dg"/dq> обращалась в куль на концах ли-
нии, представленной на фиг. 89, б, должно выполняться условие
Г = Г — 1, и, следовательно,

,	COS Цф^ COS 11 (Ф — ф^)

g" ф, ф ; X) = —— Ч——•	(516)

6ф \т> т ) /	— р sin Ц0	V '

4) Здесь Е- и //-волны определяются относительно оси я; Е-волна отно-
сительно оси z представляет собой //-волну относительно направления изме-
нения угловой координаты ф (направления передачи), поскольку Е s= 0,
что соответствует определению (4) из § 3.

2) В данном параграфе ц — комплексный параметр, и его не следует
путать с магнитной проницаемостью, обозначаемой в книге той же буквой.
Если выполняется условие периодичности, то, как видно из
фиг. 89, а, симметричную эквивалентную схему можно разбить
плоскостью ср = q/ на два короткозамкнутых контура. Предпо-
ложим на время, что ф' = 0. Получающаяся в результате за-
дача идентична задаче для эквивалентной схемы на фиг. 89, б
при условии, что источник (с амплитудой —V2 из-за раздвоения
схемы) сдвинут в точку ф' = 0 и что ф = л. Смещение начала
отсчета в точку ф = ф' означает просто, что угол ф заменяется
разностью ф — ф'. Наконец, из соображений симметрии ясно, что
те же самые поля будут в области ф < ф', и поэтому для полу-
чения выражения, справедливого во всем интервале |ф — ф'| <
< л, следует заменить ф — ф7 на |ф — ф'|. Таким образом, угло-
вая функция Грина для периодического случая получается из
выражения (51), если положить Г = Г= 1, ф — л, ф< = 0, ф> =
= | <р — <р' |:

^ = (ф, ф'; x)==_cosM*-|<P-<P'll...	(51в)

ьф \т> т ,	/	2р, sin цл	х 7

Выражение (51) для функции Грина — более общее, нежели
требуется для рассматриваемой задачи, поскольку оно пригодно
и в том случае, когда коэффициенты отражения Г отличны от
+ 1 или —1. Действительно, если взять вместо простых гранич-
ных условий (48) — (50) более общие импедансные граничные
условия

d	Г 0

-^-^Ф = ±/С1,2^Ф при <Р = |^,	(52)

где Ci и С2 — константы, не зависящие от ф и ц, то выражение
(51) будет решением задачи и в этом случае при следующих зна-
чениях коэффициентов отражения:

р , Ц £1 р ______________________ Н ^2

р. + Ct ’	И + С2 

(53)

Вспоминая, что р — волновое сопротивление (проводимость)
для //-волн (Е-волн), видим, что коэффициент отражения по на-
пряжению (току), определяемый соотношением (53), имеет точ-
но такой же вид, как и в формуле (12) из гл. 2, § 4, где fi,2 —
концевые импедансы (проводимости) для пассивных нагрузок
(Re fi, 2^0)- Граничные условия (52) используются в гл. 6,
§ 6, для исследования дифракции на клине с переменным по-
верхностным импедансом.

Как нетрудно убедиться, при рассмотренных выше видах на-
грузок величина gq> — четная функция параметра ц (т. е. регу-
лярная функция переменной X вблизи_точки Х= 0), а потому не
возникает вопроса о выборе ветви Единственными особен-
ностями функции являются простые полюсы, расположенные в
точках, где обращается в нуль знаменатель выражения (51)
(исключение могут представлять точки ц = 0). На бесконечно-
сти в комплексной плоскости %

е~1 Im у, | |<р-ф'|

|£Ф1«------2ПП----- ПРИ IImp|->oo. (54)

Выражение (51) непосредственно пригодно для анализа ука-
занным выше методом мнимого источника. Функция Грина
(ф> фх; и) Для «бесконечной» (двусторонне согласованной)

угловой линии передачи соответствует случаю Г = 0. Поскольку
комплексные значения р свидетельствуют о наличии в линии
потерь, приводящих к затуханию поля при удалении от источ-
ника, выражение (51) в случае Г = 0 справедливо лишь при
Im р < 0. Поскольку же g — четная функция параметра р,
при замене р на —р в формуле (51) получим предельное выра-
жение, справедливое и при Im р > 0; таким образом, \

,	,	,	I ф-ф' I

(ф, Ф ; Н) = —± 2/tt—. Im р SS 0.	(55)

В отличие от g^ величина g“ не является четной функцией па-
раметра р и претерпевает разрыв при переходе через действи-
тельную ось на комплексной плоскости р. Поэтому как
функция переменной Л. = р2 имеет точку ветвления первого по-
рядка К = 0; разрез следует проводить вдоль положительной
действительной оси_[верхний лист для функции (55) определяет-
ся условием ImV^SO], При |1тр|->-оо эта функция ведет
себя так же, как g,.. [формула (54)]. Использовав разложение в
сходящийся степенной ряд *)

оо

--------------= у (Г Г)" е-l <2п+ » и*, Im р < 0,	(56)

и сгруппировав члены, можно переписать выражение (51) в сле-
дующем виде:

«ф(ф, ф'; Л)=g~ (V, ф') + Z гп-‘гп§; (ф, 2пф - ф') +
п=*1

+ £i (Г Г)" [£“ (ф, 2пф + ф') +	(ф, - 2пф + ф')] +

+ X ГпГп+1£~(ф, - 2пф - ф'), Im р < 0,	(57)

n=0	v

х) Предполагается, что | Г Г | е 21!т и I Ф <
где — функция, которая определяется формулой (55), а Г,
Г — коэффициенты отражения, которые даются формулой (53).
Заменив здесь р, на —ц, получим представление в виде ряда,
справедливое при Im р, > 0.

Выражение (57) можно считать суммой вкладов источников,
расположенных в точках

<р = 2пф — <р', п = 0, ±1, ±2,...,

;	Ф = 2пф + <р', п = ±1, ±2, ...	($8)

t	бесконечной линии передачи. В реальной физической области

7	изменения угловой переменной 0	(ф, ф') ф имеется лишь

один действительный источник — в точке ф = ф'; все остальные

Т2Т г г г

---х -  х —— х -

3	2	1

Физическая
область

г ------—

h •—	I

О у'	ф

?	? г ггг Тггг

---х-----X-----х--— X—-»> (р

2ф-у>* 2ф+<р' 4-ф-р'4ф+у>‘

Г	2*	Зг	4

Фиг. 90. Построение мнимых источников (изображений) в случае отражаю-
щих (несогласованных) концевых нагрузок при ф = 0, Ф.

источники мнимые и расположены вне этого интервала. Ампли-
туды мнимых источников совпадают с амплитудами многократно
отраженных волн от плоскостей ф = 0иф = ^с коэффициен-
тами отражения Г и Г. Так, мнимый источник 1, обусловленный
первым отражением от плоскости ср = 0, имеет амплитуду Г,
мнимый источник 1', обусловленный первым отражением от пло-
скости <р = ф, имеет амплитуду Г, мнимый источник 2, обуслов-
ленный вторым отражением от плоскости ф = 0, имеет ампли-
туду ГГ и т. д. На фиг. 90 угловая переменная ф отложена вдоль
линейной шкалы, что позволяет сделать однозначной расширен-
ную непериодическую область —оо <z (ф, ф') < оо. Если откла-
дывать угол ф на обычной круговой шкале цилиндрической си-
стемы координат, на которой приращению ф на 2л соответствует
один полный оборот, то необходимо ввести для ф риманову по-
верхность [7, 8] с бесконечным числом листов (фиг. 87, в); вы-
ход из реальной физической области 0 ф ф происходит по
берегам разрезов вдоль линий ф = 0иф = $. Нов переходе к
комплексной римановой поверхности нет необходимости, если
все последующее изложение касается лишь физической области
0	(ф, ф') < Ф, в которой выражение (57) определено одно-

значно. В этом случае вклад вспомогательных мнимых источ-
ников можно рассматривать как вклад волн, многократно отра-
женных от границ ср = 0, ф. Чтобы не вводить многолистной
комплексной поверхности ф, мы будем пользоваться многократ-
но отраженными волнами, привлекая эквивалентные мнимые
источники (фиг. 90) для наглядного описания процесса много-
кратного отражения волн.

Если вход и выход линии передачи (<р = 0, ф) разомкнуты
или короткозамкнуты (т. е. Г = ±1), то выражение (57) упро-
щается и может быть записано в более компактном виде:

оо	оо

£Ф(ф, ф'; ^)= Е £~(ф. 2п^ + ф')± £ g~(ф, 2пф — ф'), (59)
оо	П= —оо

где верхний знак относится к случаю Г = Г = +1, а нижний —
к случаю Г = Г = —1. При периодической зависимости полу-
чим [имея в виду сказанное перед формулой (51в)]

оо	оо

^(ф, ф'; Л)= Е £“(ф —ф', 2пл)= Е §ф(ф, 2пл + ф') (60)

П=—оо	п«=—оо v

при расположении вспомогательных мнимых источников, пока-
занном на фиг. 91. Выражения (59) и (60) будут использованы

Физическая
область

------------------ , и е ।---------------х--------------х------- (ф - т')
—-ул>	-гл -л	л гл	Ьл

Фиг. 91. Построение мнимых источников (изображений) в случае перио-
дичности.

в гл. 6, § 5 и 7, при исследовании дифракции коротких волн на
идеально проводящем клине и цилиндре.

Соотношения, выражающие полноту системы собственных
функций для области изменения переменной 0 ф ф и со-
ответствующие граничным условиям (51а) — (51в), уже приво-
дились: это формулы (47), (48) и (50) из § 2. При импеданс-
ных граничных условиях (52) функция g.T, определяемая выра-
жением (51) (для простоты рассматривается случай с2 = 0),
имеет простые особенности в точках ц = g, где

ctg^ = _A	(61)

VI

Если поверхностный импеданс реактивный, так что Ci = /у и
у > 0, то уравнение (61) имеет бесконечное множество дискрет-
ных действительных корней gb g2, ••• и один мнимый корень
|о = ГП (л — действительная величина, удовлетворяющая урав-
нению cth т]ф = ц/у). Эти корни можно найти графическим спо-
собом, как это показано на фиг. 92. В результате на основании
соотношения (11) из § 3 получаем

— ф g<p (ф> ф'; dk,	(62а)

Е Ч, (ф) V, (ф') + То (ф) То (ф') и (у),	(626)

<7

где U (у) = 1 при у > 0 и U (у) = 0 при у < 0, а

(<р) = [»[l-(sin%^)/y0] Г cos & ® ~ ф)Ь ? 33 ^ > °>	(62в)

= [ Я1 + (st п»)/у» Г ch в ~ < П>0.

(62г)

Собственные функции Ч^Дср), даваемые
циллируют в интервале 0 ф ф, а

выражением (62в), ос-
собственкая функция

Фиг. 92. Графическое решение уравнения (61) при Ci = jy, где у > 0.

ЧМф), определяемая выражением (62 г), убывает при удалении
от границы с реактивным импедансом ф = 0 и потому анало-
гична собственным функциям поверхностной волны (176). На-
личие только одной поверхностной волны обусловлено введе-
нием в плоскости ф = 0 поверхностного импеданса, что пред-
ставляет собой упрощенную идеализацию среды в области ф <
< 0; в аналогичной задаче, схематически представленной на
фиг. 77, а, свойства среды в области х < 0 выступали в явном
виде. Подчеркнем, что постоянство параметров с\, 2 не означает
постоянства поверхностного импеданса на граничных плоско-
стях ф = 0, ф, поскольку цилиндрическая система координат
(р, <р, z) криволинейная. Этот вопрос подробно разбирается в
гл. 6, § 6.
Сферическая волноводная область

Двумерным задачам о собственных значениях в поперечной
к радиальной координате г области переменных 0, <р сфериче-
ской системы координат соответствуют дифференциальные урав-
нения (2) и (3) из гл. 2, § 6. Если граничные условия позво-
ляют разделить переменные (т. е. область ограничена плоско-
стями ср = const или конусами 0 = const), то двумерная задача
сводится к двум одномерным:

ф» = п
чМф)

ф.
dWq
dtp

= 0 при

ср = 0, ф, (63а)

(-4s- sinO-77T--Y~a+p(p + 1) sin o')	= о

\ du dO sin G 1 r ‘ 1	) ^(0)

= 0 (636)

дв

При 0 = 01,2

и общее решение ищется в виде произведений Ф/(р) = Ф<?(<₽) Фр (О)
и Чг((р) = Чг<;(ф)Чгр(0), а р(р + 1) = kti. Поскольку уравне-
ние (63а) совпадает с уравнением (46а) из § 2, собственные зна-
чения и характеристическая функция Грина для азимутального
угла ф такие же, как для соответствующей переменной цилин-
дрической системы координат. Сопоставление уравнения (636)
с уравнением (1) из § 3 приводит к следующему уравнению для
характеристической функции Грина переменной 0, лежащей в
интервале 01	0	0г:

(wsin0-^~lk0+Zsine)^(0- 0/;	*) = -6(0-0')> (64)

где q — заданный параметр, который в сферической граничной
задаче представляет собой азимутальные собственные значения
[уравнение (63а)]. Сравнение с уравнением (1) из § 3 после за-
мены х на 0 показывает, что эквивалентная линия передачи
вдоль 0 неоднородная, поскольку функции р(0)= о>(0) =
== sin 0 и 9(0) = 92/sin2 0 зависят от 0. В случае неограничен-
ной по углу сферической области крайние точки интервала та-
ковы: 01 = 0 и 02 = л. Если 01 = 0, а 0 < 02 < л, то область
представляет собой простой конус, а при 0 < 01 < 02 < л —
двойной конус. Граничные условия для радиальных электромаг-
нитных Е- и Я-волн (отмечаемых одним и двумя штрихами)
имеют вид [гл. 2, § 6, формулы (2) и (3)]

£е (0» 0х; Я2’ ^) = О ПРИ 0 = 01,2 (5-волны),	(64а)

(0, 0'; <72; Л) = 0 при 0 = 0|,г (Я-волны).	(646)
Отметим, что точки 9 = 0, л являются особыми предельными
точками дифференциального оператора (63). Если они совпа-
дают с границами интервала по 9, то граничные условия при-
нимают вид

функция g& конечна при 9[ = О или 92 = п. (64в)

Такие граничные задачи схематически представлены на фиг. 87.

Из линейно независимых решений однородного уравнения
(64) можно построить различные функции £0(6, 9'; q2\ %). По-
скольку X = v(v+1)—комплексный параметр и q — также не
обязательно действительная величина (см. об альтернативных
представлениях функций Грина, § 3, п. «в»), классические поли-
номы Лежандра не дают полного описания такой обобщенной
задачи. Вместо этого целесообразно выразить присоединенные
функции Лежандра через гипергеометрические функции, теория
которых хорошо разработана. Можно показать, что функции
P7q(cos9) и Ру4 [cos (л — 9)] ^Р7?(— cos 9) представляют собой
линейно независимые решения присоединенных уравнений Ле-
жандра и связаны с гипергеометрическими функциями F(a, Р; у;
z) соотношениями [9]

Р,-» (cos 9) -	tg« (4) F (- V. , + 1; 1 + ,; slrf4) -

= (cos 9),	(65a)

Pvq(—cos 6)==r(1 ^.g)ctgg (y) F (—V, V + 1; 1 + <7; COS2 у) , (656)
где Г(х) —гамма-функция, a v и q — произвольные параметры.
Некоторые свойства гипеедгеометрических функций рассматри-
ваются в § 6, п. «б». Здесь для нас важное значение имеет соот-
ношение

F (а, Ь> с; 9)=1,	(65в)

которое позволяет исследовать поведение функции (± cos 9)
вблизи особых точек 9 = 9, л. Полезно также помнить соотно-
шение

F (a,b; с;г)^^^-{ас^Ьь!)Р(а, ft; a-j-ft-c+1; 1-2) +
+ (1 -z)c'a~b —f^rtA~c) F (c—a, c-b- c—a—b +1; 1 -2), (65r)
позволяющее исследовать поведение гипергеометрической функ-
ции вблизи точки 2=1. Если Re<7 > 0, то функции P^’fcosG) и
Ру4(— cos9) ограничены при 9 = 0, а функция Ру4	cos 9) —

при 9 = л и в противоположных концевых точках они не ограни-
чены. Нам понадобятся также вронскиан

Р7" (cos©)-^ Р7’ (- cos 6) - Pyq (- cos 0)-^ p;’(cos 0) =

_ Sin (v- <7)лГ(у —<z+ 1) _______________2__________.	,	.

л sin 0 Г (v + q + 1)	sin 6 Г (q — v) Г (v + q + 1) * '	'

асимптотическая формула

Pv 4 (cos 0) « aJ nsin0 Г (v + 3/2) } C0S [(V + T) 0 — T — V] X

X[1 + °(v)]’ (666)

справедливая при | v | » | q |, | arg v | < я, | v | sin 0 > 1; формула
Стирлинга

Г (v + а) « д/v Се ) v“’ Iv I ~* °°> । arS v I < я> « < 0»	(66в)

и соотношение

F(a, b\ с; z)~ 1 + о(у)> с-»оо.	(66г)

Как и азимутальную функцию Грина £Ф, определяемую ура-
внением (47), функцию gQ можно построить, рассматривая вспо-
могательные мнимые источники, включенные в бесконечно про-
тяженную 9-линию передачи. Как было сказано ранее, такое
представление удобно при исследовании дифракции коротких
волн на конических и сферических препятствиях. Мы проиллю-
стрируем данный метод на примере области, для которой гра-
ничные значения 0 таковы: 01 = О и 02 = 0О < л, поскольку в
этом случае окончательные выражения для функций g'Q или g'^,
аналогичные выражениям (51), имеют сравнительно простой
вид. С помощью соотношений (14) из § 3 и формул (64) — (66)
данного параграфа требуемое решение можно представить в
виде суммы функции Грина gg(0, 0'; q2,t X) в интервале 0^0^

л и некоторого поправочного члена. Функция £$ имеет сле-
дующий вид:

р10(0 0'* а2- X) = — ______Г(у + ^+ 1) у,

’ о , q , Л) 2 Г (v - q + 1) sin (v - q)n Л

X Pv4 (cos 0<) Py4 (- cos 0>), 0 < ® < я, (67)
V

где X = v(v4~l)> ImZ=#0 и Ret?>0. Полная функция Грина
для Е-волн такова:

g'(0, О'; <72; X) = g°(0, 0'; q\ Л)+

+ — Pv 4 (cos 0) Pv 4 (cos 0')
*

r-fv + ^+Dp-^-cos e0)

Г (v — q + 1) Pv a (cos 0O) sin (v — q) л

(68)
а для //-волн

g"(0, 0'; ч2-. м-г§(0, О';	« +

+“p,-(e»S0)P,-«(cose')	. (69>

2	Г (V—<Н-1) (d/d0o) Pv ?(cos0o) sin (y—q) л

При действительных положительных q функции gg, g'e и g£
имеют следующую асимптотику:

Ige(0, 0z; <?-, Л)|~»	.. J .	е-1 imv11е-9'।, |v|_>oo, (70)

I V I V sin 0 sin 0

откуда следует, что характеристическая функция Грина в комп-
лексной плоскости X на бесконечности стремится к нулю. По-
скольку % = v (v + 1) = (v -j- '/j)2 — ’А и (sin яг) Г (z) Г (1 — z) = л,
величины gg, gg и gg — четные функции переменной v 4- */2-

Чтобы для двусторонне согласованной 0-линии передачи по-
лучить решение в виде бегущей волны, необходимо вместо функ-
ций Ру4(±cos0), описывающих стоячие волны [выражение
(666)], ввести функции, соответствующие бегущим волнам. Та-
кие функции	0) при произвольных v и q определяются

следующим образом '):

41-21 а, 0)= ± 8-Ь^-)л(-cos 0)~е±/	пр^ (cos 0Я= <7I>

will V (у / «IL

= £’1>2)(g, n-0)e±/(v-’)3t, £ = v + y,	(71a)

так что

p;q (cos 0) = У [E^ & 0) + Ef (I, 0)].	(716)

Соотношение (71a) очевидным образом следует из определения
(71). Используя связь между P7e(±cos0) и гипергеометриче-
скими функциями, можно показать [10], что

21 (L 0) = д/^0 Г^ги + 1)^е±1	2)(I, 0), (72)

где

л 21	^(4- + ?, 4-1+ 1;  |/Хе)>	(72а)

jrj(l,2) д) _____	± z/sin и /

(l-^/Т’’Е (y-<7.1 + у - 1+1;	(726)

*) Здесь / — мнимая единица, не связанная с тем или иным видом вре-
менной зависимости
Выражение (726) получается из (72а) в силу соотношения

F (а, Ь\ с\ утту) = (1 — F(b, с — а\ с\ z).	(72в)

То, что при больших значениях величины g sin 0 функция
f0’2)(g, 9) приобретает вид бегущей волны, становится очевид-
ным, если в выражение (72) подставить асимптотическую фор-
мулу (66г), из которой следует:

/?<*’2)(g, 0)~1,	sin6=^0.	(72г)

Характеристическую функцию Грина, определяемую форму-
лами (68) и (69), можно представить в виде суммы многократно
отраженных бегущих волн, если воспользоваться соотношением
(716) и разложением в степенной ряд [отметим аналогию с фор-
мулой (56)]:

оо

i +	е>г,	(73)

П-0

где при Im g > 0

& 0о) = 7Ж7ГТГ s “ ei	(0о),	(73а)

(ь» ”о)

причем L = 1 для f-волн и L = dldQQ для Я-волн. Таким обра-
зом, получаем

g.(e.e-;^^-l)=rr<^+Xr’+l,%- е  Л }• <74>

\	4/ L	£Г2 (£)	VsinOsinO)

где

{ } = ^е~(0, 6')/?<2)(0<)/?<1>(0>) +

+ Е ГП"!Г^Г (0, 2П0О - 9') f" R® (g, 9) R™ (g, 0') +

+ Х (ГГ)"^[С(0, -2п0о + 0ХО& 0)Ч2>^> 0') +

+ С (0, 2n0o + 0') R^ (g, 0) R? (g, 0')] +

+ S Гn+'rnf^ (0, - 2n0o - 0') R" (g, 0) R" (g, 0'),	(74a)

g^(0, 0')

I e-в' ।

-2/g

+	( — 1 для g',

Г = 1 . ,	„ (746)

[ + 1 для g''.

Г = g~l to+w ",

Соотношения (74) справедливы при Im g > 0; так как ge — чет-
ная функция величины g [см. замечание после формулы (70)],
разложение в ряд при Im g < 0 получается заменой £ на

Ряд (74а) записан в виде, позволяющем провести непосред-
ственное сопоставление с разложением (57) для азимутальной
бегущей волны. Вспоминая соотношение (74г) и замечая, что
из формулы (73а) при sin 9, sin 9', sin 9о =/" О следует соотно-
шение

+	161-°°>	(75)

находим, что при больших £ асимптотический вид соотношения
(74а) совпадает с выражением (57), откуда прямо следует воз-
можность введения вспомогательных мнимых источников, изо-
браженных на фиг. 90. В формуле (746) величина Г — это эф-
фективный коэффициент отражения в особой граничной плоско-
сти 9 = 0, Г — коэффициент отражения при 9 = 90. Поскольку
при больших значениях £ выражение в скобках в формуле (74)
близко к единице, асимптотическая функция Грина переменной
9 отличается от аналогичной функции угла <р только множите-
лем [sin 9 sin 9']~,/г. Функция g™ представляет собой асимптоти-
ческий вид функции Грина для 9-линии передачи, двусторонне
согласованной (т. е. для линии, для которой Г = Г = 9). При
произвольных значениях | метод мнимых источников по-преж-
нему пригоден, но теперь картина не сводится только к распро-
странению бегущих волн вдоль положительной и отрицательной
оси 9. Так, например, первый член в выражении (74а) [с учетом
формулы (74)] дает точную функцию Грина в согласованной
(т. е. простирающейся до бесконечности) 9-линии передачи, но
множители	и ^{z1)(9>) искажают режим чисто бегущей

волны, описываемой функцией g£ (9, 9').

На основании характеристической функции Грина и фор-
мулы (11) из § 3 нетрудно получить соотношение полноты си-
стемы собственных функций, удовлетворяющих дифференциаль-
ному уравнению (636). Ниже приводятся окончательные резуль-
таты, в которых через = р(р + 1) обозначены собственные
значения, а через Фр (9) и Ч*р (9) — собственные функции для Е-
и /7-волн.

Случай 0

Характеристическая функция Грина для полного интервала
9 от 0 до л дается выражением (67). Как было отмечено выше
[после формулы (79)], величина gg —четная функция перемен-
ной v + ’/г и потому не имеет точек ветвления в комплексной
плоскости X=v(v+1)- Функция Г,(а>) не имеет нулей, но
имеет простые полюсы w = —п, п = 0, 1, 2, ... с вычетом
(—l)n/nl, а функции Лежандра P7g(±cos0) регулярны в ко-
нечной части комплексной плоскости v. Таким образом, особен-
ности функции gg представляют собой простые полюсы, распо-
ложенные в точках

Лр = р(р+1), р + 1 = ±(7 + п + 1), n = o, 1, 2....(76)

Подставляя выражение (67) в уравнение (1) из § 3 и вычисляя
вычеты, получаем

6 (0 — ez)

sin 0'

4 оо

= 1 £ 12 (» + <7) + Ц Г—^ + 1)^ (cos 0) Pnh (cos 0'),	(77)

л-0

так что нормированные скалярные собственные функции Ф’(6)
и Ч;р(0) для Е- и //-волн одинаковы и имеют следующий вид:

ф’(О) = Т’(0) =

= р2(„ + ,)+ПГ(„ + 2,+ 1)ррйИео59)| п = 012.................. (7?а)

Если q = m — целое число, то можно воспользоваться соотно-
шением [3]

р;т (%)=(- if	р? (х),	(78)

которое позволяет свести выражение (77) к следующему виду:

= 1 Ё (2n + 1)	/>? (cos 0) р; (СОЗ О'),	(79)

п=чп

где Рп (cos0)—обычные полиномы Лежандра, тождественно
равные нулю при п < т. Для собственных функций получаем
выражение

Ф? (6)" (б) = [(га+(п+(тЯ^~Г (COS 0)’	(79а)

п — т = 0, 1, 2, ..

где

Рп(cos 0) = -2^| -^г (z2 - 1)"0>

m	т т dm I	(796)

Рп (cos 0) = (- l)m sin"10	(Z)
В частности,

Po(cos0)=l, Pj (cosG) = cos0,

P2 (cos 6) = у (3 cos2 6—l) = -|-(3cos30-|- 1) и т. д.,

P[ (cos 0) = — sin 0, P2 (cos 0) = — у sin 20,	№b)

Pl(cos0) = y(l — cos20) и т. д.

Часто оказываются полезными следующие соотношения, спра-
ведливые при целых положительных п и /и:

Рп (0) = 0 == $ Рп (cos 0) d0, п + m нечетное,
о
л

= 0 — j Рп (cos 0) cos 0 d0, п + m четное,

-4tPn (COS 0)1	=

"°	le-л/

d „ I

— P^(cos0)

“°	l0=O,n

d	।	I

-^Pa (cos 0)

"°	le-o

о

Pn (cos 6)
sin 0

P'n (cos 0)
sin 0

= 0, m > 1,
6=0, л

n (n + 1)

e-o	2

(79г)

Случай O<0i<0<02

Е-волны. Величина^, определяемая выражением (68),—
четная функция переменной v + V2, поэтому ее единственные
особенности — полюсы. Полюсы простые и расположены в точ-
ках

Кр — р (р + 1), где Ppi (cos 0О) = 0.	(80)

Если v — q есть целое число, то полюсов нет, поскольку в этом
случае Р?7(~ х) = (—l)v~^ i°77(x); аналогичное соотношение вы-
полняется и в том случае, когда v + q + 1 есть целое число (от-
метим, что Pvq ^P-v-\)> При этом для дельта-функции спра-
ведливо следующее разложение:

д (0 - 0') __	л р /9 , п Г(р + <7 + О

sin 0х —	2 Д	Г(р-^ + 1)

Р>0

X

cos 0О)

X

P/(COS0) P;^(COS0'),

[sin (р - q) л] [(д/др) Рр q (cos 0О)]

(81)
а ортонормированные собственные функции принимают вид

Ф?(0) =

= Г_______"(2p + 1)r(p + ^+;)P-^-7e<-j\r(CoS9)> (81а)

|_	2Г (р — q + 1) sin (р — q) п [(<3/<Эр) Рр q (cos 0О)] J

где р — любой положительный корень функции Рр q (cos 0О).

Н-волны. Величина g%, определяемая выражением (69),—
четная функция переменной v + Vs, потому ее единственные осо-
бенности — полюсы. Полюсы простые и расположены в точках

%р = р(р+1), где -^-P;?(cos0o) = O. (82)

В результате получается следующее разложение дельта-
функции:

iyi = 1 eosee=(4)^-T X

р > о

X----------(^УГ( <°Sefz oV1 РГ (cos 0) Рр< (cos ©'),	(83)

sin (p - q) я [(д2/др <Э0О) Pp 9 (cos 0O)]

где 6ap = 0, a #= p, 6aa = 1. Ортонормированные собственные
функции имеют следующий вид:

V?(0) =

Г — л (2р + 1) Г (р + <?	1) [^(rf/d0o) Р~9 (—cos 0O)J I* p_q

1.2Г (р - <7 + 1) [sin (р — q) л] [(д2/др д0о) Р~ч (cos 0О)] J Р

(83а)

Если q = 0, то Кр = 0 — собственное значение и необходимо
добавить постоянный член 2-1/! cosec(0о/8). При этом функции
Рр’(х) сводятся к обычным полиномам Лежандра Рр(х)^Рр(х).

Случай O<0i <0<02 < л

Е-волны. Характеристическую функцию Грина для Е-волн
g' (0, 0'; </2; X), которая обращается в нуль при 0 = 0Х> 2, можно
записать следующим образом:

~г m o'-	?? - ” с (v~q’е<’8|) с (v’ е>- е2)г + ? + V /Я4х

о , q , Ч— 2 [sin (v _ 9) я] г (v - ? + 1) С (v> q. 02> 01) .

где

С (v, <7; а, Р) =

= Р7Q (cos a) Ру 4 (— cos P) — Pyq (— cos a) P7’ (cos P).	(84а)
Поведение функции Грина при |%| -> оо по-прежнему опреде-
ляется формулой (70), а особенности функции ^ — простые по-
люсы в точках

Ч = Р (р + 1). где С (р, q; 02, 0,) = 0.	(85)

В таком случае

о (е - ez) = л_ у (2?+ 1) г (/> + ? +1)р/(cose,)

sin е' 2 [sin (р — q) я] Г (р — q + 1) Р~ч (cos 63)

v С (р, q; е, 02) С (р, д', О', 02)	. д

А (dldp)C(p,q-,Qt,92)	(-в0)

и

Ф?(0) =

= Г____________n(2p+l)r(p + <7+l)p-‘?(cose,)____________-р

|_2 [sin (р — д) я] Г (р — q + 1) P~q (cos 02) [(d/dp) С (j>, q; 0,, ©2)] J

XC(P, q; 0, 02).	(86a)

Н-волны

g''(0, 0'; q2', X) =

я B(v, 0<( 0,)B(v,	0>, 02)T(v + <? + 1)

2 [sin (v - q) л] Г (v - q + 1) [(d/d02) В (v, g; 02,0!)] ’

где

B(v, <7; a, 0) =

= P7‘7(cosa)-^-P7‘z(— cosP) — P7’(— cos a)(cos p). (87а)

Простые полюсы расположены в точках

^р = Р(р+1), где В(р, q\ 02, 01 = 0.	(88)

Разложение дельта-функции таково:

sin 0'	2 cosec I 2	)cosec (.	2	)

_ 2 V (2p + 1) rtp-Kz+DQd/deQP^fcose,)]

2 p	' tsin (P - <7) "1 Г (p - <7 + 1) [(rf/d02) P~q (cos 02)] A

V B (p’ q' 61 B (p' q'	fRQi

* (д* */др 50?) В (p, q; 02> Oj) ’
откуда при q =/= 0 и р > 0 имеем

т’(0)=Г- itf2p+1>r(p + ‘?+1>[(rf^p^(cosel)l 1|/г х

Д L 2 [sin (р — <7) л] Г (р — <7 Н- l)(W2)P;’(cose2) J

X ——— р’ --------------й- 	(89а)

[(д2/др ад в (р, <г, е2,0,)]‘/2

Если <7 = 0, то необходимо добавить постоянный член

п-’АГ ( 02-014	02 + 01 41'/»

2	I cosec I	—J cosec -	-11 .

Разложения (86) и (89) позволяют исследовать различные
частные случаи. Например, из них можно получить выражения
(81) и (83), положив 01 —> 0. Далее рассмотрим симметричный
случай 02 = л — 0ь При этом в трансцендентном уравнении
(85) возможно разбиение на множители:

0 = С(р, </; л — 01, 0i) =

= [Р/(cos00 + Рря(- cos0,)][Р;9(cos0.)-P;q-(- cos0,)]. (90)

так что собственные значения образуют два набора р' и р", со-
ответствующих обращению в нуль первого и второго множи-
теля. Можно показать, что собственные функции, отвечающие
набору //, являются симметричными, а отвечающие набору р"—
антисимметричными относительно плоскости 0 = л/2 и, следо-
вательно, задача с источником в симметричной области, образо-
ванной двумя конусами, распадается на две более простые за-
дачи о симметричном и антисимметричном относительно плоско-
сти 0 = л/2 возбуждении волн. Аналогичные рассуждения спра-
ведливы и для //-волн.

Рассмотренные нами собственные функции образуют полную
систему собственных функций, на которые может быть разложе-
на любая скалярная функция, ко азимутально симметричное
векторное поле содержит, вообще говоря, еще волну ТЕМ, кото-
рую необходимо дополнительно учесть.

в. Радиальные линии передачи

Поскольку последовательные сечения радиальной волновод-
ной области, перпендикулярные радиусу, неодинаковы, радиаль-
ная линия передачи в цилиндрической или сферической си-
стеме координат является неоднородной, как это было отме-
чено в гл. 2, § 7, в случае сферического волновода. В сфериче-
ской геометрии всегда можно провести деление на £- и //-волны
относительно радиального направления. В цилиндрической же
геометрии этого в общем случае сделать нельзя; однако цилин-
} дрические области можно рассматривать как волноводы, в кото-
! рых волны распространяются вдоль оси цилиндра. Поэтому ра-
диальная линия передачи в этом случае дает альтернативное
представление решений, при котором деление на волны произ-
> водится относительно оси z (§ 3, п. «а», гл. 6, § 2). Поскольку
уравнение для радиальной переменной в сферической системе
координат [гл. 2, § 7, формула (2)] связано с аналогичным урав-
нением в цилиндрических координатах преобразованиями (1) и
(2) из § 5, решение для цилиндрической геометрии легко выве-
сти из результатов проведенного в гл. 2, § 7, анализа сфериче-
ской линии передачи.

Радиальная характеристическая функция Грина в цилиндри-
ческих координатах удовлетворяет уравнению [§ 2, формула
(466), и § 3, формула (1)]

р,; т> x)=-fi(p-p/)	(91)

с граничными условиями

g'(p, р; т, Л) = 0 при р = р1>2 (Е-волны),	(91а)

dgp (р- р';	= 0 при Р = Р1,2 (Н-волны).	(916)

ар	'	’

Если pi = 0, то граничные условия в центре заменяются требо-
ванием ограниченности функции [см. также гл. 2, § 7, формула
(7)], а в случае неограниченной области (р2->-оо) должно вы-
f подняться условие излучения. Задача о собственных значениях,
I которая связана с характеристической функцией Грина gp, удо-
I	влетворяющей уравнению (91), различается в зависимости от

,	того, является ли характеристическим параметром Л или т.

В представлении трехмерной функции Грина, использующем
распространение волн вдоль оси z и включающем в себя собст-
венные функции Ф9(ф) или ^(ф), которые удовлетворяют ура-
внениям (46а) из § 2 (см. также § 3, п. «в»), величина X = q2
фиксируется решением задачи о собственных значениях угловой
переменной, а т — характеристический параметр для радиаль-
ной области. В представлении же двумерных и трехмерных
функций Грина на основе волн, распространяющихся в направ-
> лении изменения угла ф, величина т определена заранее, а X —
I	характеристический параметр (§ 3, п. «в», гл. 6, § 2, п. «б»; в

I	двумерных задачах т = k2, в трехмерных т = k2 — у2, где у —

собственное значение для функций, зависящих от г). Система
собственных функций и соотношение полноты для различных ра-
диальных областей уже были получены в § 2, п. «в», для пред-
ставления на основе волн, распространяющихся вдоль оси г. Из

Ь уравнений (1) и (2) гл. 2, § 7 (при ц, е = const, &2->r,
и уравнения (91) данного параграфа следует, что характери-
стические функции Грина в сферической и цилиндрической си-
стемах координат связаны между собой соотношением

#Р(р» р'; т, A,)=-4==-g/r, и т, л + -Ц|

*гг '	4'|г=р

где для Е-волн

(92)

g'r = ^Y'i(r, г), /г2 —> т, kti->K,	(92а)

а для Я-волн

= Л	(926)

Здесь через У/ (г, г') и Z" (г, г') обозначены функции Грина,
введенные в гл. 2, § 7, и C = Vp/8>

В случае неограниченной радиальной области 0 <Z р < оо
решения для Е- и Я-волн одинаковы и на основании формулы
(92) данного параграфа, а также формул (11) и (За) из гл. 2,
§ 7, с учетом замены / ->—I получаем ’)

gP (р, р'; т, %)=^- Jv (Vт р<) я;° (Vт р-Д v = Va,

0<

Р
р'

(93)

Если v — q > 0 задано, то т является характеристическим па-
раметром и функция gp имеет точку ветвления т = 0 в комп-
лексной плоскости т. При этом из соотношения (706) § 2 сле-
дует, что для обеспечения убывания функции gp при р->оо не-
обходимо наложить условие Im V? > 0- Проводя линию раз-
реза вдоль положительной действительной оси и определяя ар-
гумент т таким образом, чтобы, выполнялось условие 0<
< arg т < 2л, можно на всем верхнем листе комплексной пло-
скости т (так называемом спектральном листе) обеспечить вы-
полнение неравенства ImVT>0- Из соотношения (11) § 3
путем замены переменной £ = 'у/х получим спектральное разло-
жение (72) из § 2 функции 6(р — р')/р', которое может быть за-
писано также в виде формулы (68) или (62) из § 2.

Если величину т фиксировать, а А считать характеристиче-
ским параметром, то получим другое разложение; как было от-
мечено ранее при вычислении не зависящей от координаты z

4) При рассмотрении характеристической функции Грина через / или I
обозначена просто мнимая единица; однако полученные результаты непо-
средственно могут быть использованы для решения задач об излучении при
временнбй зависимости вида ехр(—ко/).
двумерной функции Грина методом эквивалентной угловой ли-
нии передачи, Дт —k (гл. 6, § 2). В этом случае функция gp
имеет в комплексной плоскости А точку ветвления А = 0. Функ-
ция Ханкеля первого рода (при слабом поглощении Im k > 0)
удовлетворяет условию излучения при р -> оо, если зависимость
полей от времени имеет вид ехр(—iat). Чтобы функция была
ограниченной при р = 0, должно выполняться неравенство
Rev>0, поскольку при р-»0 мы имеем 7v(^p) ~ (&p)v! про-
водя разрез вдоль отрицательной действительной оси (фиг. 93,
а) и выбирая аргумент А из условия —л < arg А < л при v =
= д/% получаем Re v > 0 на спектральном листе комплексной
плоскости А. Поскольку при А-»-оо функция gp ведет себя как
(p</p>)^x [гл. 2, § 7, формула (46)], на спектральном листе ха-
рактеристическая функция Грина стремится на бесконечности
к кулю, что позволяет воспользоваться соотношениями (11) из
§ 3. Сопоставление уравнения (91) с уравнением (1) из § 3 по-
казывает, что весовая функция w равна —1/р. Отсюда получаем
условие полноты системы собственных функций в интервале
0 < (р, р') < оо [в формуле (11) из § 3 мнимая единица обо-
значается через /, а здесь — через i]

p'd (Р — Р')=§ gP (р, р'; k2, A) dA =	(94а)

С

i со	I оо

=4 $ v/v(fep<)/f(')^p>)rfv==| J l*Jv(M^>(fep')dv= (946)
— i ОО	— i оо

i оо

= | J vH^(kp)H^(kp')dv=	(94в)

— i oo
i oo

= I J V (1 - eZ2v”) H? (kp) (fcp') dv =	(94r)

0

= У фр (М Фр (fcp'), о < P < OO,	(94д)

T	P

где C — контур интегрирования, изображенный на фиг. 93, а.
Выражение (94в) следует из (946) в силу соотношений

/у (х) = у [М° (х) +	(х)], Я(2у2) (х) = e±ivnH%’(х), (94е)

из которых вытекает, что величина vHy} (х) Ну}(у) есть четкая
функция переменной v и потому не дает вклада в интеграл
вдоль мнимой оси на плоскости v. Симметрия выражения (94)
объясняется отсутствием величин р< и р> во втором выражении
(946). Из соотношений (94) непосредственно следует прямое и
обратное преобразование Конторовича — Лебедева [11]

i оо	оо

f(p) = T $ NHV(k?}F(y)dv, F(v)= J|f(p)H^(fep)dp. (95)
— i oo	0

Сходимость этих интегралов исследуется ниже [гл. 6, § 3, фор-
мула (1)]. Сопоставляя выражение (94г) с выражениями
(946) — (94г), можно определить ортонормированные радиаль-
ные собственные функции Фр(£р), сопряженные функции
Фр(^р) [формула (946)], а также выявить смысл суммы
р

Фиг. 93. Контур интегрирования и особенности.
a—плоскость А.; б — плоскость V.

Если радиальная область простирается от р = а до р == оо,
то необходимо добавить граничные условия при р = а. Для
большей общности положим, что

dgQ	—	—

— ikCgp при р = а, С = const, (96)

откуда следуют частные случаи (91а) (С = оо) и (916) (С =
= 0). Величину С можно рассматривать как поверхностный
импеданс цилиндрического рассеивателя радиусом а (гл. 6, § 7,
п. «а»). Решение, удовлетворяющее граничному условию (96) и
условию излучения на бесконечности (при Im & > 0), имеет вид
[см. также гл. 2, § 7, формула (14)]

gP(p. р'; k2\ А) =

“f	<97>

где а (р, р') < оо и

d(v) = /;(M + <C/v(M, d(v) = //C(')(M + iC//v>(M (97а)
причем штрихом обозначена производная по аргументу. На ос-
новании соотношений (94е) можно показать, что функция gp,
определяемая выражением (97), является четной функцией ве-
личины v и, следовательно, регулярна в точке X = 0 комплекс-
ной плоскости X. При X—>оо функция gp стремится к нулю [гл. 6,
§ 7, формула (14) и далее] и в первой и третьей четверти ком-
плексной плоскости X имеет комплексные полюсы vp, определяе-
мые трансцендентным уравнением

d(v,) = 0,	(976)

(частные случаи С — 0 и С = оо рассматриваются в гл. 6, при-
ложение 5). Расположение полюсов X„ = v2 на комплексной
'	и р

плоскости X показано на фиг. 94. На основании соотношения

Фиг. 94. Особенности функции gp в комплексной плоскости X.

(11) из § 3 получаем условие полноты системы собственных
функций [11]:

р'д(р — Р') = 2S7 §gp (Р, Р'1 k2, X) dk =	(98а)

С

= - ш £ Vdpb(Vp) Н«> (fep) (*р') =	(986)

= Г Фр (*р) Фр (*р'), а С Р < оо.	(98в)

р	Р

Соотношение (97) может быть использовано также для вы-
вода теоремы разложения в случае, когда v = q > 0 задано, а
й2 —> т— характеристический параметр. Можно показать, что
функция gp имеет в комплексной плоскости г точку ветвления
т = 0 и что условие излучения на бесконечности будет выпол-
няться при Im Vх > 0 [см. то, что_говорится после формулы
(93)]. В частных случаях С = 0 и С — оо на спектральном ли-
сте, где 0 < argr < 2л, полюсы отсутствуют [т. е. функции
и Я, ° (Ута) не имеют нулей; см. также гл. 5, § 9, за-
мечания перед формулой (12)]. Аналогичным способом получим
следующие соотношения, выражающие полноту системы соб-
ственных функций для области а^(р, р')<°° [см. также фор-
мулы (24)]:

где

--у-- = - 2^Г§(Р> Р'> т> &dx=
С

(р) (рЛ)
о
оо

$ 4Vp)WM£

о

ф5(р)=У& [w-
^(р)=УГ[л(вр)-

(С=оо),

(С = 0),

(99а)

(996)

(99в)

(99г)

(99д)

Контур интегрирования С проходит вдоль линии разреза, про-
веденной вдоль положительной оси Л, а £ = Ут. Отметим, что
нормированные собственные функции (99г) и (99д) можно по-
лучить, прибавив к собственным функциям (62) из § 2, опреде-
ленным на интервале 0 < р < со, решение однородных уравне-
ний (91), чтобы удовлетворить граничным условиям Ф^(а) =0
HdW|(p)/dp|p=a = 0.

Характеристическая функция Грина и условие полноты си-
стемы собственных функций радиальной переменной в сфериче-
ской системе координат могут быть получены на основе резуль-
татов для цилиндрической системы координат с помощью соот-
ношения (92). В частности, в случае безграничной области 0 <
< (г, г') -< оо имеем

r'4(r_r') = _L_§gr(r> г'. K)dK=s	(юоа)

С
— Чл + 1оо

= Sf S	(1006)

-1/8-/оо

— У2+/ оо

= 4^- J h^(kr)h^(kr'){2»+l)dv,	(100в)

-У1-/ОО
что является обобщением преобразования Конторовича — Ле-
бедева (94) на сферические функции Бесселя, даваемые форму-
лой (За) из гл. 2, § 7. Аналогичным образом для области а <.
< г < оо с идеально проводящей граничной поверхностью г =
= а с помощью функции Грина для Я-волн [гл. 2, § 7, формула
(12а)] получим [см. выражение (986) при С = оо]

г'2А(г _ -а _ V гос _1_ П {kr) А«’’’ {ka) л<’><ь„\ — о нП1

6(	)-Л(25+1) ik[(d/ds)h^(ka)] ’ АИМ-0, (101а)

а разложение функции Грина для Е-волн [гл. 2, § 7, формула
(126)] приводит к выражению

"	ik \ydldvhj'’ (sa)J

Эти выражения справедливы при Im k 0, что позволяет ис-
пользовать их в задачах с временнбй зависимостью вида
ехр(—При временнбй зависимости вида exp(yW) следует
в формулах (101) заменить ha* на h(a и i на —

§ 5. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛЕГРАФНЫХ УРАВНЕНИИ

Как было показано в гл. 2, для вычисления поля путем раз-
ложения его на волны и суммирования последних нужно знать
собственные функции областей, нормальных к выбранному на-
правлению распространения волн, и зависимость амплитуды
волн от соответствующей координаты. Методом характеристиче-
ской функции Грина, изложенным в § 3, п. «а», было показано,
что задача о собственных значениях тесно связана с задачей о
распространении волн в линиях передачи и, следовательно, воз-
можность нахождения многомерного поля в случаях, допускаю-
щих разделение переменных, существенным образом зависит
от наличия решения соответствующих одномерных телеграфных
уравнений. Последние относятся к уравнениям Штурма — Лиу-
вилля и имеют решения в классе известных функций только при
некоторых видах зависимости от х параметров р, q и w, входя-
щих в уравнения (1) и (18) из § 3. Поэтому целесообразно рас-
смотреть приближенные методы и методы теории возмущений,
которые могут быть использованы в более общих случаях. Если
указанные параметры мало меняются на длине волны, то метод
ВКБ дает решение, справедливое в широкой области их значе-
ний. При резких же изменениях приходится вводить специаль-
ные функции, которые по возможности более точно аппроксими-
ровали бы искомые решения в требуемом интеоваде. Хотя, как
будет показано ниже, такие методы успешно применяются при
решении ряда задач, представляющих практический интерес,
подробное вычисление функций Грина или собственных функций
в большинстве частных случаев удается провести лишь числен-
ными методами.

Уравнение Штурма — Лиувилля [§ 3, формула (18)] может
быть приведено к стандартному виду, если вместо решений [§ 3,
формула (18а)] ввести перенормированные решения ё, s:

с (х, х0) j _ 1 ( ё (х, х0)

s (х, хо) J — Vp М (х, х0).	' *

Тогда уравнение принимает вид

Г d2 ,	/ \1с ________п	<о\

Lx2 +yWJ^(x, хо)-0’	(2)

где

у (х) = _ JLW +	----(2а)

р(х) р(х) Vp(x) dx2

Для удобства выберем следующие начальные условия:

ё (х0, Хо) = 1, s (х0, х0) = О,

ё' (хо, Хо) = О, s' (х0, Хо) = 1;

соответствующие функции с и s, вообще говоря, будут отли-
чаться от определяемых уравнениями (18) из § 3. При распро-
странении волн в неоднородных средах, описываемом уравнения-
ми (98) и (99) из § 2, р(х) = 1/ц (х) для //-волн относительно
оси х и р(х) = 1/е(х) для Е-волн относительно оси х1)* Если
диэлектрическая проницаемость е(х) меняется, а магнитная
проницаемость ц постоянна, то функции с, s для //-волн совпа-
дают с функциями ё, <$; точно так же уравнение (18) из § 3 сво-
дится к стандартному виду для Е-волн в среде с постоянной ди-
электрической проницаемостью. Кроме того, в рассматриваемых
случаях плоскослоистой среды мы имеем w = р и при произ-
вольных X функции с и s можно получить из найденных при
X = 0 путем замены у(х) |х==0 на у + Поскольку функции ё и
s являются линейно независимыми решениями уравнения (2) [это

*) В неоднородных диэлектриках, в которых е = е(х) и g = const, ве-
личина Vy (х) = со (х) представляет собой истинное волновое число для
Я-волн, а для Е-волн величина Vy (*) = I ®2це (х) — Ve (х)--------т=-1 2

L	dx2 уе (х) J

есть эффективное волновое число [см. также гл. 2, § 3, формула (45)]. Если
е(х) быстро меняется или обращается в некоторой точке интервала в нуль,
то возможны существенные различия в характере распространения этих двух
типов роли. При ц = р,(х) и е == const верны дуальные утверждения-
следует из неравенства нулю вронскиана ££' — sc', где все ве-
личины определены соотношениями (26)], взяв линейную ком-
бинацию величин £ и s, можно удовлетворить начальным усло-
виям более общего вида, чем (26).

Сначала мы изложим приближенный метод, состоящий в све-
дении уравнения (2) к интегральному уравнению Фредгольма
с ядром, которое выбирается по возможности «малым» для бы-
строй сходимости итерационного процесса.

а. Метод интегрального уравнения

Предположим, что решение уравнения (2) с некоторой функ-
цией у(х) нам не известно, но известно решение для функции
£(х), которая приближенно совпадает с у(х) на интервале Xi

х х2 [см. п. «б», где указываются способы выбора функции
£(х)]. Найдем функцию Грина, удовлетворяющую уравнению

[-jp- + £ (•*)] О (х, х') = — б (х — х'), Xi < (х, х') С х2 (3)

с пока еще не заданными граничными условиями. Затем на осно-
вании второй теоремы Грина для случая одного измерения1),
которую мы применим к функциям G(x, х') и ы(х) =£ или s.
получим интегральное уравнение

и(х) = [G(х', х) ) — и(х')G(х', х)1	’4-

Хг

+ J [у (х') — Z (х')1 G (х', х) и (х') dx'.

Xi

(4)

Если в интересующем нас интервале у(х)«£(х), то интеграл
в правой части уравнения (4) должен быть малым и его можно
рассматривать как поправку к невозмущенному решению, опре-
деляемому первым членом. Отсюда видно, насколько важен пра-
вильный выбор функции £(х) [п. «б»]. Если у=^в одном или
нескольких частичных интервалах х3 х х4, где х3 > Xi и
х4 < *2, то эти отрезки исключаются из области интегрирова-
ния.

Начальные условия на и накладываются в некоторой точке
Хр Решение методом теории возмущений упрощается, еслифунк-

d2	2

1)	[« (*') G (х'. х) — G (x'f	(x')jdx' =

X»

= [« (*') G (х'> х) - G (х', х) -^7 и (х')]
ция Грина удовлетворяет граничным условиям

G (х', х) = -^р- G (х', х) = 0, х' > х.	(5)

Тогда уравнение (4) сводится к виду

и(х) = { и (xj) G (xb х) - G (xi, х) du.{Xi) } +
С* Л]	иЛ] J

+ 5 lv (х') — £ (/)] О (х7, х) и (х') dx'.	(6)

х.

Таким образом, мы пришли к интегральному уравнению Фред-
гольма второго рода с переменным верхним пределом, т. е. к ин-
тегральному уравнению Вольтерра [12]. Если gi(x) и gs(x) —
два линейно независимых решения однородного уравнения

[^r + CW]gi,2(x) = 0,	(7)

то, как нетрудно убедиться *),

( S2(x')g>(x)-gI (X') g2 (X)	г С / <• Г

О«х)=	"р"	(8)

I 0	при х' > х.

Здесь W (gv g2) — вронскиан gxg'2 — g2g', где штрихом обо-
значена производная по аргументу. В результате получаем для
д(х, Xj) и §(х, Xi) следующие уравнения:

X

д (х, хО = -Д- G (хь х) + $ [у (х') — 2 (х')] G (х', х) ё (х', xj dx', (9а)
Xi

X

§ (х, Xi) — — G (хь х) + $ [у (х') — (*')] О (х', х) £ (х', %,) dx'. (96)
Xi

В случае «хороших» ядер эти интегральные уравнения мо-
гут быть решены методом последовательных приближений. Обо-
значим через Uq(x) выражение, стоящее в фигурных скобках
в правой части уравнения (6); оно представляет собой кулевое
приближение к искомой функции и(х). Подставив в подынте-
гральное выражение uQ(x') вместо и(х'), получим первое при-

*) См. § 3, выражение (14а), из которого для удовлетворения граничным
условиям (5) следует вычесть решение однородного уравнения
V(x) V(x)/(—pW). При этом мы воспользовались тем, что две функции Гри-
на, удовлетворяющие одному и тому же дифференциальному уравнению,
но разным граничным условиям, различаются лишь членом, представляющим
собой решение однородного уравнения.
ближение «1(х), подставив и\(х') вместо и(х'), получим второе
приближение и2(х) и т. д. Таким образом, решение и(х) можно
представить в виде ряда

оо

и(х) = У п„(х),	(10а)

п=0

X

ип (х) = J [у (х') — £ (х')1 G (х', х) Un-ifx'jdx', п > 1. (1 Об)
Х1

Если у, £ и G — действительные непрерывные функции пере-
менной х в интервале Xi х х2 [в случае кусочно-непрерыв-
ных уи£ величина и(х) вычисляется для каждого интервала, на
котором у и £ непрерывны], то ы(х) —действительная непрерыв-
ная функция в этом же интервале. Пусть ы0(*) в рассматривае-
мом интервале по абсолютной величине меньше некоторого по-
ложительного числа N, и предположим также, что | (у — £) G |

М. в этом интервале, где М — некоторое положительное чис-
ло. Тогда, обозначив через К (х', х) ядро (у — £) G, получим

X,

X,

Xt

• • • dxa dx^K (хр, х„) и0 (хр) ,
х<

(Н)

где а = п —2, х'0 = х', х'_1^х. Из приведенных неравенств сле-
дует, что абсолютная величина последнего интеграла ограни-
чена числом NM (х' — х,), двух последних интегралов — числом
(А^Д12/2!) (x'_j — х,)2 и, наконец,

1«я(х)К^-(х-х1)п	(12)

при всех х в интервале Xi х х2. Поэтому если величина | /С |
ограничена в данном интервале, то ряд (10а) равномерно схо-
дится. Быстрота сходимости зависит от малости числа М (т. е.
|у —С|). Если функция £(х) в уравнении (3) хорошо аппрокси-
мирует функцию у(х) в уравнении (2), то первой поправки
«1(х) достаточно, чтобы получить приемлемое решение. Нера-

оо

венство У, | ип | N ехр [Л1 (х — xj], следующее из соотношения
п=з0

(12), показывает, что сходимость ряда зависит не только от М,
но и от длины интервала х — Хр

Во многих задачах о рассеянии волн, особенно в тех, где по-
перечные размеры рассеивателя неограниченны, неоднородность
сосредоточена в ограниченной области пространства; вне этой
области среда однородна. В подобных случаях возмущенную и
невозмущенную волновые функции нужно выбирать так, чтобы
они удовлетворяли одинаковым граничным условиям в крайних
точках данной области, и потому можно воспользоваться неко-
торой модификацией изложенного метода. Предположим, что
мы хотим найти функцию Грина £(х, х') для уравнения (2)

[-^Г + Y (*)] ё (X, х') = — S (х — х')	(13)

с граничными условиями

•57 + 61.2^ = 0 при Х = Х1.2,	(13а)

гдеа1,2 — постоянные, которые могут быть комплексными (чем
обеспечивается условие излучения, если Xi~>—00 или х2—>оо).
Записывая уравнение (13) в виде

[^г + М] $ М х'>= Is М — Y М] £	х') ~д(х — х') (14)

и рассматривая правую часть уравнения (14) как «известную»
неоднородную часть Q(x, х'), можно построить решение для не-
возмущенной функции Грина, умножив уравнение (3) на —Q(x',
х") и проинтегрировав результат по х':

£ (х, Х") = G (х, х") - j К (х') - у (х')1 G (х, х') ё « х") dx'. (15)

Xi

В отсутствии вклада крайних точек интервала в это интеграль-
ное уравнение Фредгольма второго рода для ё находит выраже-
ние то обстоятельство, что функция G должна удовлетворять
граничным условиям (13а). Это интегральное уравнение можно
решить методом итераций. Но поскольку пределы интегрирова-
ния фиксированы, получаемый ряд сходится при более жестких
условиях. Сходящиеся ряды для любого непрерывного (а сле-
довательно, и ограниченного) ядра К могут быть получены бо-
лее общим методом детерминантов Фредгольма [12].

В данном случае функция Грина отличается от функции (8)
и с помощью формулы (14) из § 3 может быть приведена к виду

G (х, х') ==	. W = gxg'2 - g^{,	(16)

где gi и g2 — решения однородных уравнений (7), удовлетво-
ряющие граничным условиям (13а), первое в точке хь а второе
в точке х2. Аналогично может быть записана и функция

ё (х, х') = .^1(^)МХ>)-, w=ё& - ё2ё\,	(17)
где и £2 —решения однородного уравнения (13) [или (2)],
удовлетворяющие граничным условиям (13а), первое в точке хь
а второе в точке х2. Подставив эти выражения в уравнение (15),
получим при х < х"

ё (х, х") =	^ (/)_Y (У)] gl (V)(/) dx' -

Хх

х"

-	(/) -Y (/)] *2 wdx' -

X

-	gl (^|— j К (*') - Y СИ] g2 СИ ё2 (*') dx',	(18а)

х"

а при х" < х

х"

ё(х, х") = 82-^{х^ - 82 j lUx')-N(x')]g1(x')ёdx')dx'-

Хх

X

- е-^(х— s № - у (х')] №&№dx' -
х"

хг

--^^1\^(х')-у(х')]ё2(х')ё2(х') dx'. (186)
w w J

Предположим теперь, что х" = хр Тогда из уравнений (17)
и (186) следует, что

&С0 =

= C2g2 (х) + J С - у) g&dx' +	$ (? - Y) g^2 dx', (19)

Х\	X

где С2 — постоянная:

С = g'(X|)	_ &XM1-S2 =	+	(19а)

2 W fil(Xl) S2gi/gl-g2 Xi <*lg2(xl) + g2(xl)‘

Последнее выражение получено с учетом граничного условия
£(*.)+а1ёГ1 (xi) == 0 и аналогичного условия для функции gx.
Уравнение (19) — это интегральное уравнение для функции £2,
удовлетворяющей однородному уравнению (13) и требуемому
граничному условию в точке х2. Поскольку для нас представ-
ляет интерес лишь функциональная зависимость от х, а ин-
тегральное уравнение линейно, мы можем положить С2 = 1.
Если £ у б интервале х\ < х < х3 < то вклад первого ин-
теграла пренебрежимо мал в этой области и мы получаем

62(x) = g2(x) + -^-\(t-N)g2^dx', х,<х<х3.	(20)

Xi

Такое решение удобно для исследования в задачах о рассеянии
волн (при Xi ->—оо, х2 —> оо) влияния на рассеянное поле от-
клонений параметров среды у(я) от их невозмущенных значений
£(х), при которых решение g2 известно. В первом приближении
из выражения (20) получаем для точек наблюдения х < х3

(Xi	Ч

& (*) « ё2 (X) + gi (х) ] ± $ R (х') - у (/)] gl (х') dx' к (21)
'	*1	'

Аналогично если £ да у в интервале х4 < х х2, то из уравне-
ния (19) имеем
fir	)

& (х) = g2 (х) j 1 + J К (х') — у (х')1 £1 (х') §2 (х') dx' >, (22)
' ж,	'

Х4 < X.

В первом приближении функция £2(х') в подынтегральном вы-
ражении заменяется функцией g2(x').

Выражение (21) дает поправку к волне, отраженной от не-
однородности, которая соответствует разности t, — у, а выраже-
ние (22) дает возмущение распространяющейся волны. В каче-
стве иллюстрации рассмотрим бесконечную среду (xi -> —оо,
х2-*оо) с переменной диэлектрической проницаемостью в(х),
которая стремится к постоянному значению ео при х-> ±оо, т. е.
среду, для которой функция у(х), входящая в уравнение (13),
принимает значение

у (х) = kl при х -> ± оо,	(23а)

где ko — постоянная распространения, соответствующая предель-
ному значению во. В качестве невозмущенной функции выби-
раем

£ (х) — kl, — оо < х < оо.	(236)

Невозмущенное решение g2(x), удовлетворяющее условию из-
лучения при х2 = оо, имеет вид ‘)

g2(x) =

(24а)

9 В данном параграфе при распространении волн подразумевается вре-
менная зависимость вида ехр(—ко/).
а решение gi, удовлетворяющее условию излучения при Xi =
= —со, имеет вид

gl(x) = e-<M,	(246)

Таким образом, IF = 2ife0 и из формул (20) и (22) следует1)

оо

£ (х) = eikiX + f е-1каХ> г = JL J 01 - у (д')]	(/) dx', (25а)

— ОО

Х“> — оо,

оо

ё2 (х) = Teik°*, Т = 1 + J [k20 - Y (/)] e-lk°x'$2 (/) dx',	(256)

— 00

Х->-|-00,

где Г — коэффициент отражения от неоднородной среды, а Г —
коэффициент прохождения. В первом, так называемом борцов-
ском приближении [1, стр. 1073] для слабонеоднородной среды
имеем

оо

г« 2ib 5 ^o-Y(x')]e,2M' dx',	(26а)

— оо

оо

7 ~ 1 + W J " v (х')] dx?.	(266)

— оо

Эти выражения написаны в предположении, что функция (&о —
— Y) интегрируема на бесконечном интервале.

Поскольку функцию g2(x) можно считать напряжением V
(или током /) в неоднородной линии передачи (фиг. 73 и 74), из
постоянства потока действительной мощности в линии без по-
терь (k0, y — действительные величины) следует, что

Re (VI*) = Re ГV (х)	= const, (26в)

L ikx (х) Z (х)	dx J

где kx — постоянная распространения, a Z — волновое сопро-
тивление (фиг. 74). С учетом равенства (26в) из уравнений (25)
получаем закон сохранения энергии

1-|Г|2 = |Г12,	(26г)

которому удовлетворяют модули коэффициентов отражения и
прохождения. Так как ko и у — действительные величины, мо-

*) В данном параграфе коэффициент отражения обозначается через Г>
чтобы его нельзя было спутать с гамма-функцией Г(х).
дуль коэффициента Т. определяемого соотношением (266), боль-
ше единицы, и, следовательно, в рассматриваемом приближении
энергия не сохраняется. Это и не удивительно, поскольку в пер-
вом приближении 1 + ia = (1 — ia)-1, где а— малая величина,
и, значит, оба выражения совпадают с точностью до 0(a).
Если написать выражение для коэффициента Т в виде Т = (1 —
—7a)-1, где ia— второй член в правой части равенства (266),
то результат будет удовлетворять условию |Г| < 1. Из ска-
занного явствует, что приближенное решение, полученное мето-
дом теории возмущений, не обязательно обладает всеми свой-
ствами точного решения.

Чтобы найти альтернативное решение, подставим в уравне-
ние (4) функцию Грина, удовлетворяющую уравнению (5) при
х > х'. Тогда вместо уравнения (6) получим

u(x) = {g(x2, х)-u(x2)-£—G(x2, *)} +
V	иЛ2	)

Хг

+ [У — £1 в (х', х) и (%') dx', (27а)

X

где G(x',x) —функция, даваемая первым выражением (8), взя-
тым с обратным знаком. Если х2 -> оо и мы выбираем в каче-
стве и(х2) решение вида Т exp (ikox2), где Т—константа, то на
основании соотношений (23), (24) и (27а) получаем

eik^x °C

и(х) = Telk,>x + а./- \ (у — £)e~ikaX'u(х') dx' —

X

e-lk.X	f

----2ik^~ J (V — ?)	u (x') dx',	(276)

X

откуда в первом приближении при х->-—оо следует выражение
[°°	т

1	+ 2?Ь $ (V — £) d*' И —
— оо	-•

[оо	-1

J (y-£)eZ2*"*'dx' . (28)
— оо	j

Если амплитуда падающей волны равна единице, то коэффи-
циент при exp(ikox) равен единице и величина Т при % — kl рав-
на комплексно сопряженной обратной величине выражения
(266); как было сказано выше, они совпадают друг с другом с
точностью до членов первого порядка. _ Множитель при
ехр(—ikqx) равен коэффициенту отражения Гис точностью до
членов первого порядка совпадает с выражением (26а).
б. Уравнение для функции сравнения

Успех применения метода, изложенного в предыдущем пунк-
те параграфа, зависит от умения выбрать функцию сравнения
£(х) таким образом, чтобы разность [у(х) —£(х)] оказалась ма-
лой. Понятие «малости» должно быть уточнено в этом пункте,
и с этой целью удобно ввести большой положительный пара-
метр й, позволяющий получить асимптотическое решение урав-
нения (2). Например, если й — волновое число в свободном про-
странстве ko, то большие значения й соответствуют распростра-
нению коротких волн, таких, что на расстоянии, равном длине
волны, параметры среды меняются незначительно. Предполо-
жим, что

у (х) = й2 (сс0 (х) + cq (х, й)] в й2а (х, й),

$ (х) = й2 [pg (х) + р! (х, Й)] m Й2р (х, й),	( )

где ой (х, Й) и Pi (х, й) — функции переменных х и й, стремя-
щиеся к нулю при Й-> ОО.

Чтобы найти Z или р, для удобства преобразуем дифферен-
циальное уравнение (7) так, чтобы новая функция £(х) вклю-
чала в себя произвольную функцию преобразования Ф(х). По-
следнюю выберем так, чтобы получить хорошую функцию срав-
нения £(х) [14—16]. Предположим, что решения уравнения

[^- + й2р& й)]^) = 0

(30)

известны, и введем новую переменную х:

| = ^(х), т. е. dg = ^'(x)dx,	(31)

где штрихом обозначено дифференцирование по х. Полагая

W»Vm)	(32)

и подставляя выражения (31) и (32) в уравнение (30), полу-
[^г+Й2Р(х, Q)]g(x)-0,	(33)

где

Р(Х, Й) = Р(^, й)^'2+2^-#, х),	(33а)

а через {$, х} обозначена производная Шварца

т -1 (V-)2=- 2	•	(33б)

14 Зак. 639
Так как решение уравнения (30) по предположению известно,
известно и решение уравнения (33) с любой функцией ^(х),
которая трижды дифференцируема и для которой 0 в ин-
тервале х2 —

Теперь видно, что при больших Q уравнение (33) близко к
исходному уравнению

[^+Q2a(x,Q^W = 0,	(34)

если функция ф(х) выбрана из условия

£'2₽oW = aoW. т. е.

ф	х

J л/₽о (Ф) йф = J VctoW

dx,

♦i

(35)

где Ро(^) Нт р[<£, □]. При таком выборе главные члены в урав-
й->оо

нениях (33) и (34) совпадают, а разностная функция £ — у
мала по сравнению с у [т. е. (£— у)/у->0 при й->оо]. Таким
образом, приближенное решение имеет вид

где

g(x)«g(x) =

g_t» (*)1

л/йФ(х)!йх '

(36)

(36а)

у v Ро [0 (п)1

Хо

Поскольку функции ф'(х) и 1/$'(*) остаются ограниченными в
рассматриваемом интервале, функция сравнения ₽о [$(*)] дол-
жна выбираться так, чтобы ее нули и полюсы оказались в тех
же точках, что и у заданной функции ссо(х) Точность аппро-
ксимации функции g(x) выражением (36) устанавливают, ис-
следуя величину поправочного члена методом интегрального
уравнения (§ 4, п. «а»). Общие выводы сделать трудно [16], но
тем не менее видно, что величина {</>, х}, определяемая выраже-
нием (336), мала, когда ф'(х) является медленно меняющейся
функцией переменной х в рассматриваемом интервале. В таком
случае выражение (36) можно считать хорошим приближением.
При этом важную роль играет указанное выше требование сов-
падения положения нулей и полюсов у функций а(х, Q) и

М(*)1-

4) Из этого же требования исходят и при асимптотической оценке ин-
тегралов, когда данный интеграл сравнивается с известным, но более про-
стым, имеющим сходное подынтегральное выражение вблизи стационарной
точки (гл. 4, § 1).
е функции сравнени

в. Различив

и является ана
вале (фиг. 95).
например р
ражение4

Функция ао(х) не ; меет нулей
(ВКБ-приближенш )

(37)

еличины

да велич

к что

нкция а и

где *о -?;пр

(х) ==!),/если ао(х

звольное

олюсов

Фиг. 95. Слой без нулей и особенностей,
а—при а0 (х) > 0; б—при ао (х) < 0.

Предположи^, ч

ческой фунр#ией в ра

у Р можно

не имеет нулей
триваемом интер-
1^р1ать постоянной1),
этом случае вы-

Выберем
ли ао(х) < О,







и будем понимать корни в арифметическом смысле. Такая фор-
ма представления функции £(х) и есть ВКБ-приближение', оно
является точным решением дифференциального уравнения (33)
при ₽=1, ^' = V«o- Кроме того,
у(х)-С(х) = —^.х).	(38)

Функция Грина (8) принимает в этом случае следующий вид:

X'

sin $ VY (Л)

G (%', х) = -4--------— , у = й2а0.	(39а)

	Va0(x)a0(x')Q

4) Более точное приближение можно получить, выбрав функцию сравне-
ния, обеспечивающую лучшее совпадение, чем р = const (например, кусоч-
но-линейную или параболическую аппроксимацию; см. также § 6, п. «б»).

14*
Аналогично можно записать функцию Грина (16). В случае без-
граничной области величина ао положительна и при временной
зависимости вида ехр(—/со/) знаку «4-» в выражении (37) соот-
ветствует решение в виде уходящей волны при х = -[-оо, знаку
«—» — при х =—оо (Q— волновое число ko). В результате
выражение (16) сводится к виду

G(x, Z) =

exp

х> _______

IQ Veto (4) dr)

- x<

— 2iQ [<x0 (x) Oo (x')]7*

(396)

Если же при x = d расположена граница области и на границе
g = 0, то решение gi (удовлетворяющее граничным условиям
при х — d) имеет вид

[X	*1

Q Vао (л)	I

<39в>

а функция g2 по-прежнему определяется выражением (37), в ко-
тором удобно положить Хо = d. Итак,

G(x, х')

exp IZQ $ Veto (ч) dt) I

I *<_______________J

— 2ZQ («о (х) а0 (х')]'^

Г (х х' 1

ехр ЛМ + J ?VMn)dt]
L Id d )

— 2ZQ [ct0 (x) a0 (x')]1/(

. (39r)

Здесь в явной форме выделены падающая и отраженная волны;
множитель —1 перед вторым членом представляет собой коэф-
фициент отражения от границы. Для случая oto(x0) = 0 и
обо(х) 0 при х х0 решение gi, остающееся ограниченным
при х < Хо, приводится ниже [формула (47а)]; оно имеет такой
же вид, как и выражение (39в), но только d = Хо и к аргументу
синуса добавлена фаза л/4. Таким образом, при х, х' > хо

G(x, хЭ =

exp I ZQ $ Vao(n) di\ I

I- *< J

-2ZQ[a0(x)a0(x')]'/‘



exv

Vao(n)44

— 2ZQ [ao (x) a0 (x/)]'/‘

(89д)
В этом случае эффективный коэффициент отражения в точке
поворота *) %о равен —i. Формулы (37) — (39), очевидно, не при-
годны, если функция ао(х) обращается в данном интервале в
куль. Чтобы обобщить выражение (37) и на отрицательные зна-
чения величины ао(х), нужно знать соответствующие переход-
ные формулы, которые приводятся ниже [формулы (47)].

Функция Оо(*) имеет простой нуль

Если функция а(х, Q) = ао(х)—аналитическая в интере-

сующем кас интервале и имеет нуль первого порядка [для удоб-
ства предположим, что в точке х = 0 (фиг. 96)], по простейшей

функцией сравнения будет фут
= 0(х), такая, что 0(0) = 0. Из
выражения (35) следует равен-
ство

^ = /F’==y-^a/’, (40)

так что

Г х	ТА

“ 14 J Vao61)tfn > (41)

L о	-I

₽(В,Й) =₽0(g) = £==

Фиг. 96. Слой с нулем первого

где нижний предел интегрирова-	порядка.

ния найден из условия ^(0) =

= О.Чтобы избавиться от неоднозначности, обусловленной на-
личием множителя Vао (х), проведем разрез вдоль отрицатель-
ной действительной оси комплексной плоскости от нуля до — оо
и положим argao(x) = O при действительных положительных х.
При возрастании argx на л точка х оказывается на верхнем бе-

регу разреза и

| х | е1п	|Х|	1*1

j Vao (л)	= ein	V«о (?) ег" ^? в егзя/2 j | Veto (?) | dt,, х

о	о	о	(

так что

<0,
(42а)

(426)

Ф (х)	0 при х 0.

Решение дифференциального уравнения

G|r + <n)W = 0	(43)

i) Точка Хо называется «точкой поворота» дифференциального уравне-
ния (34), если в этой точке функция ао(х) обращается в нуль.
имеет вид

W = Bi (-ЙЧ).

(44)

где Ai (а) и Bi (ст) — функции Эйри, свойства которых подробно
рассматриваются в гл. 4, § 2, п. «е», и в гл. 6, приложение 5.
Таким образом, по формуле (36) получаем

£(x)«g(x) =

[х __________ -|7e	Ai f Г х ____________

4$V«o(nMnj [ao(x)]-,,‘B.	дДМпМп J J’ <45)

где подразумевается арифметическое значение всех корней. По-
скольку Ai (ст) и Bi (ст)—однозначные функции переменной ст,
при ст < 0 величину arg ст можно принять равной ±л.

Полученное выражение имеет смысл и вблизи точки х = О,
поскольку в ее окрестности ао(х) « х и, следовательно, ф(х) «
« х. При достаточно больших |х|, таких, что	1, мож-

но воспользоваться асимптотическими формулами (гл. 4, § 2,
п. «г»)

Ai(— ст)

л/ИчЧ'	'4,

----—J__________е-Ч, (-а)’/’

1

=-rr cos

Bi (-ст)

Ул (— ст)1/4

е’/з(

при	ст-> +	оо »
при	— а—>	+ °°,
при		•4-00,
при	— аг—>	-4-00,

(46а)

(466)

1

позволяющими привести выражение (45) с Ai для g(x) при
х > 0 к следующему виду:

О^>1. (47)

Аналогичное упрощение возможно и для слагаемого, содержа-
щего функцию Bi. Таким образом, если правую часть соотноше-
ния (45) умножить на Q7’, то получится выражение, которое бу-
дет плавно изменяться при изменении х от х = 0 до больших
|х|, совпадая в последнем случае с формулой ВКБ-приближе-
ния (37). В результате мы получаем соотношения, о которых го-
ворилось выше и которые связывают разные формулы ВКБ-при-
ближения при наличии у дифференциального уравнения точек
поворота. Применение формул (46) к общему решению (45) для
£(х), содержащему линейную комбинацию CiAi + CzBi, приво-
дит (с точностью до несущественных постоянных) к выражению

где

-г-!— {Ct sin [йф (х) + i] + С2 cos [йф (х) + -£-] }

Va0 (х)

при ао(х) > 0, (47а)

__J-----при ао(х)<О,

VKWI 1 2	J

ф (х) = J V«o(n) dr\,	(476)

a Ci, 2 — произвольные постоянные, определяемые из граничных
условий. Например, если область простирается от х = —оо до
х = +°°> то из граничных условий следует Сг = 0; с физиче-
ской точки зрения в этом случае мы имеем в области х > 0 рас-
пространяющиеся волны, которые испытывают полное отраже-
ние вблизи точки х = 0. Поскольку аргумент функций Эйри,
входящих в выражение (45), положителен при х < 0, функция
Ai экспоненциально убывает, а функция Bi экспоненциально
возрастает. Если умножить полученные выражения на Й7', то
они совпадут с соответствующим ВКБ-приближением (37).

Для построения функции Грина (16) выбирались решения
gi(x) и gz(x), удовлетворяющие граничным условиям — первое
в точке х = Xi, а второе в точке х = хг > Хр Предположим те-
перь, что область простирается до бесконечности т. е. Xi ==
= —со и Хг = 4-оо) и что ао(*) стремится к единице при х->-
ф-оо. Поскольку поле излучения источника, расположенного в
точке х', ограничено при х->-±оо, в качестве gi(x) следует вы-
брать функцию Ai. Чтобы выполнялось условие излучения при
х = ±оо, волновая функция gz(x) должна вести себя как
ехр(-Н’йх) и поэтому, согласно формулам (46), должна содер-
жать обе функции Ai и Bi. Таким образом,

X

gl(x)“-j;^^[rW]*,‘Ai[-(Qy)%], K(x) = 4JVMn)dt], (48а)

g2(x)= . ?-Wy,/t{Ai[-(ЙУ)’7’]-ZBiЕ— (ЙУ)71]},	(486)

l«o (x)J '*

где У(х) и [ao(x)]'/4 — величины, значения которых при х^О
определены соотношениями (42). Из асимптотических значений
функций Ai(z) и Bi(z) при z-> оо [формулы (46)] сразу следует,
что их вронскиан таков:

Ai (z) ± Bi (z) - Bi (?) -±- Ai (z) = •	(49)

Поэтому вронскиан функций и g2, определяемых формулами
(48), имеет вид

(50)

Функция ао(х) имеет два близко расположенных нуля
первого порядка

Если функция а(х, Q) = ао(х) имеет изолированные нули
первого порядка (фиг, 97), то асимптотический вид функций
g(x) при Q—»оо можно найти, скомбинировав ВКБ-приближе-

Фиг. 97. Слой с двумя нулями

ние с формулами для функций
Эйри. ВКБ-приближение справед-
ливо в области, где ccoW ¥=0,
а приближенные выражения для
функций Эйри можно использо-
вать для непрерывного сшивания
решения при прохождении точки
поворота в области, где <%о(х) ~0.
Но если два нуля первого
порядка функции ао(х), располо-
женные в точках х = 0 и х = ха,

первого порядка.	почти совпадают, то выраже-

ния (45) становятся непригод-
ными и расходятся при ха->-0. В случае когда функция ао(х)
имеет два близких нуля, простейшая функция сравнения имеет

вид

0&Q)Mo® = a2-l2,

(51)

причем симметрия расположения ее нулей (в точках § = ±а)
не снижает общности рассуждений. Чтобы обеспечить совпаде-
ние этих нулей в плоскости g с нулями х = 0, ха в плоскости х,
вернемся к выражению (35):

X	ф ______

^ao(x)dx j	=4{^Va2 —^2 +

0	-а

о . Ф I а2л )
а2 arc sin — + —J.

(52a)

Выбор верхнего предела интегрирования обеспечивает совпаде-
ние точек ф = —а и х = 0. Для совпадения двух других точек
ф = а и х = ха положим

J V«o(x)rfx= J Vp0(^)^=25|i.	(526)

О	—а

Из этого уравнения находим а [17, 18].

Решениями дифференциального уравнения

[-^- + £22(a2-^]ff(g) = 0	(53)

являются функции Вебера параболического цилиндра:

g (|) = Dv (± V2^ g), v = у № ~ !)•	(54)

Асимптотическое поведение этих функций при § =Ьа таково:

Dv(V2Qg)~

е-Йа’ (т+7.)

[2О(52-а2)],/‘(йа2/2)"О,’’/4

|arg(fcVQ)|<y,

(55а)

А=а2 J дЛ2 — 1 dt = ^Vi2 — a2— -yin[-1 + д/(.1)2 — 1].

(556)

Последнее выражение представляет собой аналитическое про-
должение последней формы выражения (52а) на область (| =
= ф) > а. Оно совпадает с ВКБ-приближением (37), нормиро-
ванным таким образом, что при больших значениях аргумента
|z/v|->oo функция Dv(z) ведет себя как zvexp(—z2/4) [3,
стр. 92]. Если же n/2^arg (g VQ )^л, то для нахождения подхо-
дящего ВКБ-приближения в этой области можно пользоваться
асимптотической формулой

D, (г) ~ е-» г- [ 1 + О (±)] -	[ 1 + О (±)]. (56)

В окрестности точек поворота § = а или g = —а можно вос-

пользоваться рассмотренной в предыдущем разделе аппрокси-
мацией функций Эйри, и только при а -> 0 необходимо оставить
функции параболического цилиндра. Различные асимптотиче-
ские представления функции Dv(z) для больших (и, возможно,
комплексных) значений v и z подробно рассмотрены в работе
Олвера [19].	г
Функция oq(x) имеет полюс первого порядка

Если функция а(х, й) = ао(х) имеет в точке х = 0 полюс
первого порядка (фиг. 98), то простейшая функция сравнения ’)
имеет вид

ко)-р	(57)

При этом получаем следующее решение уравнения (30):

g(g) = VrM1,2)(2QVD.	(58)

Несмотря на наличие особенностей у функции 0, решение g(g)
ограничено при 5 = 0- Поскольку ₽о(^) = 1/0, из соотношения
(35) получаем

-^ = V^dx	(59)

или, после интегрирования,

0w=4-

Va0(ri)dii

(60)

В результате выражение (36) сводится к виду

g(x)&g(x)

г-Х _______ -|*/«

$ Va0 (г)) dr\

о	#°’2)

- Va0(x) J 1

X

й J VaoOlMn
о

(61)

При х # 0 можно пользоваться асимптотической формулой для
функций Ханкеля

tf?’24z)~	|z|>l, — n<argz<n. (61а)

Если выражение (61) умножить на Й’Ч то оно перейдет в ВКБ-
приближение (37) с точностью до множителей, не зависящих от
X и й.

Для исследования поведения функции вблизи особой точки
g = 0 необходимо найти допустимый интервал изменения arg g.
Если 0(g, й) —диэлектрическая проницаемость среды с неболь-
шими потерями, то Im 0(g, й) 0 [при временнбй зависимости
вида ехр(—tW)]. В этом случае функцию 0= 1/g можно заме-
нить функцией 0 = l/(g — i6), где 6 — малая положительная ве-

') Другая функция сравнения того же типа Р (g, £2) = 1/g — [(1 — v2)/4g2Q2j
приводит к решению g (g) = Vg//y'2Ч2й Vg). У нее имеется полюс второго
порядка в точке g = 0 и простой нуль в точке g = (1 — v2)/4Q2.
Фиг. 98. Слой с полюсом
первого порядка.

личина, и тогда особая точка будет лежать выше действитель-
ной оси. При б —> О контур интегрирования в плоскости g должен
проходить ниже полюсов, так что величина argg изменяется от
нуля до —л при обходе точки g = 0. Следовательно, 0 arg VI

—л/2 и поэтому argVl = —я/2 при g < 0. Чтобы найти
решение, стремящееся к нулю при
g <. 0, нужно [формула (61а)] вы-
брать функцию Я(2> в выражении (61).
Поскольку при g > 0 мы имеем
argVi — 0, эта функция описывает
волну, распространяющуюся в сторону
отрицательных £ [при временной за-
висимости expf—Z(o/)L т. е. волна па-
дает со стороны | = + оо. Отсутствие
в решении функции Н\1} свидетель-
ствует об отсутствии отраженной вол-
ны, и, значит, падающая волна «пол-
ностью поглощается» особенностью,
хотя среда сама по себе предполагается
не поглощающей. Вопрос о возможной

физической реализации полученного результата рассматривается
в работе Баддена [20, разд. 21.13],

Функция oq(x) имеет близко расположенные полюс и нуль

Источником общего класса функций сравнения может слу-
жить конфлюэнтная гипергеометрическая функция Уиттекера
Wtt m(z), удовлетворяющая дифференциальному уравнению

/	2	1 \

^^+(-1+4-—Н-)^™=0-	(62)

Например, указанная выше функция параболического цилиндра
Dv(z) выражается через	следующим образом:

Dv(z) = 2^+')/4z-V1iFz,m(4)> 1 = 2^,	(63)

Особый интерес представляет случай m = ±’/2, когда коэффи-
циент (1/г — ’Д) имеет полюс первого порядка в точке z = 0 и
нуль первого порядка в точке г = 41. Если пользоваться обозна-
чениями, принятыми в данной главе, то при наличии у функции
а(х, Q) = осо(х) близко расположенных нуля первого порядка и
полюса первого порядка подходящая функция сравнения удо-
влетворяет уравнению

[-^+Q2(1 +|)]g(g) = O	(64)
и имеет вид

g (I) = -/аа/2, 'к (г‘2й|).	(64а)

График этой функции почти такой же, как на фиг. 98, но только
теперь обе ветви при |х| -> оо асимптотически стремятся к ли-
нии ссо(х) = 1; левая ветвь пересекает ось х в точке х = —а.
Для волны, падающей справа, особая точка «экранирует» точку
поворота, а для волны, падающей слева, — все наоборот. Реше-
ния	—z) и №\m(z) линейно независимы; при больших z

имеет место следующая асимптотическая формула:

m (г) ~	[1 + 0 (1)], | arg г | < л. (65)

Подробные асимптотические формулы для различных интерва-
лов изменения I, пг и z можно найти в работах [21, 22].

Эффективная диэлектрическая проницаемость рассмотренного
вида характерна для плазмы с линейно изменяющейся плот-
ностью электронов: (®р/®)2 = 1 + если вдоль оси £ прило-
жено бесконечно большое постоянное магнитное поле [гл. 7, § 3,
формула (1) при в= 1 — (®р/®2)]. В этом случае распростране-
ние Е-волн описывается уравнением (7) из гл. 7, § 2, которое
можно записать в виде (64), где g— ток [20, разд. 21.15].

г. Точность приближенных решений

Можно показать, что выражения (37), (45), (54) и (61) яв-
ляются асимптотическими приближениями соответствующих
функций g(x) при й -* оо, т. е. *)

£(х)~Я(х)[1+в(й)], -g-~-g-[l+e(Q)],	(66)

где 8 и в стремятся к нулю при й->-оо. Хотя асимптотические
оценки находят широкое применение и обычно имеют достаточ-
ную точность при описании основных физических свойств волн
при Й—>оо, тем не менее при проведении подробных численных
расчетов желательно знать пределы допускаемой при этом
ошибки. Оценки погрешностей для различных аппроксимирую-
щих функций были проведены Олвером [23—25], чьи результаты
для ВКБ-приближения приводятся ниже.

Пусть функция а(х, й) принимает действительные отрица-
тельные значения, а производная cPaldx2 является непрерывной
функцией х в интервале (а, Ь) (который может быть бесконеч-

*) Относительно вывода формальных асимптотических разложений, со-
держащих члены более высокого порядка в ВКБ-приближении, см. п. «д>.
ным), и пусть Й — положительный параметр; тогда дифферен-
циальное уравнение (34) имеет следующее решение:

^I.2W = gi,2W[l+Ai,2],	(67а)

Я1,2 W = ~4	1 ехр ± Q ( VI а (т), й) | dr] I,	(676)

VI а (х, 2) |	L ха	J

= ± Q Vl “ (*. &) I ехр |± Q J Vla(n» 0)1^1 X
l-х»	J

ХГ1+2х1,2±-^-(1+Д1.2)1, (68)

L	4LJI а IJ

гж Д1>2 и хь 2 — величины, ограниченные следующим образом:

|Ai,d или lxi.2 Kexpf-^-Fj.Vx, Q)] — 1,	(69а)

Л (х, Q) = J | а (п, Q) Г* |	| а (т]. Q) Г7* | dn, (696)

а

a F2 — тот же самый интеграл, но с пределами х и Ь. Пределы
интегрирования а или b могут быть бесконечными при условии,
что интегралы F], 2 сходятся. Если 4Q > Fi, 2, то вместо (69а)
можно получить более простую, однако и более грубую оценку

1Д1.21 или l%i.2l<2Q-,/,F,.2(x,Q)-	(69в>

Эти оценки показывают область применимости выражения (66).

Если функция а(х, Й) принимает лишь положительные дей-
ствительные значения, то вместо приведенных выше выражений
имеем

£1.2(х) = а2(х)(1 + Д1.2),	(70а)

[х	1

± iQ ( Va 01» Q) I •	(706)

х,	J

.	4______ Г *	_______ 1

•J7 £i. 2(*) = ±	Va(x, Q)exp I ± IQ $ Va(л» Й) drj I X

X t1 + Xi. 2 ±	(1 + Д1.2)]»	(71)
где А] = Д*, Х] = Х2> и

|Д1>21 или IХ1.2 К ехр [~ F (х, й)] — 1 < -Q /1/^ S 0) 

X

F (х, Й) = J[a(T), Q)]-,/<

С

(72a)

(726)



Здесь c — произвольная точка интервала (a, b), который может
быть бесконечным (точка с также может быть расположена на
бесконечности), если при этом интеграл F сходится. Второе не-
равенство (72а) накладывает более слабые ограничения, чем ус-
ловие (69в). Одинаковые во всем интервале ограничения на ве-
личины |Д],2| или Ixi,г| получаются при замене верхнего и ниж-
него пределов интегрирования в интегралах (696) и (726) вели-
чинами а и Ь. Согласно выражениям (69), при х = а мы имеем
Д] = 0, так что функция gi (х) (67а) удовлетворяет граничному
условию £i(a) = gi(a). Выполнение граничных условий для дру-
гих функций проверяется аналогичным способом.

д. Поправки к В КБ-приближению

В п. «в» подходящая функция сравнения g(x) выбиралась
в виде первого асимптотического приближения к искомой функ-
ции £(х), удовлетворяющей уравнению (34). Решая интеграль-
ное уравнение (9) путем итераций, можно получить поправоч-
ные члены к первому приближению. Но поправочные члены мо-
гут быть найдены и непосредственно из дифференциального ура-
внения. Мы рассмотрим здесь именно такой способ уточнения
ВКБ-приближения в случае, когда функция а(х, й) э а(х) по-
ложительна во всем интервале (т. е. не имеет нулей) [26]. Для
удобства начнем с телеграфных уравнений первого порядка без
источников [§ 3, формула (2)] дляЯ-волн [при временной зависи-
мости вида ехр(—гео/); т. е. /->—i]

^-=геор/(х), ^- = Z<08(x)F(x),	(73)

где ц — постоянная, а 8 — функция координаты х. Очевидно,
что

[-^г + й2а(х)]Р(х) = 0, й2 = ^ = со2цв0, а(х) = -^1	(74)

и, следовательно, напряжение Р(х) можно сопоставить с волно-
вой функцией £, а £0 и е(х)/во — с й и a (во — const).

Первое приближение к функции Р(х) аа g(x) определяется
выражением (37). Для нахождения поправочных членов пред-
положим, что Р (х) можно представить в виде

V (х) = [А (х) е'2* ы - В (х)	<*>] -4	,	(75)

•Va(x)

где ф (х) — фазовый интеграл

X

ф W = 5 Va (л) •	(75а)

Ха

Искомые функции А(х) и В(х) медленно меняются в рассматри-
ваемом интервале; если их считать постоянными, то формула
(75) сводится к ВКБ-приближению. Аналогично, пусть

Цх) = д/а(х) [Л (х) ы + В (х) е~^ «].	(76)

Wjlr

Отметим, что выражение (76) для 7(х) является первым асим-
птотическим приближением к величине (l/i«>y.)dr/dx при Q->
-*• оо, где Р — величина, которая определяется формулой (75).
Для самосогласованного определения функций А(х) и В(х) под-
ставим выражения (75) и (76) в уравнение (73). В результате
получаем

АеW — Be-W = 4	[A'eiQ* — В'е~‘^],	(77а)

+ ве/йФ = — 4 JL [А'е^ + B'e~ta*],	(776)

где штрихом обозначена производная по х. Сложив эти равен-
ства, получим

в'w“ Or (х)л (х)’	'78а)

а вычитая из первого уравнения второе, находим

А' Wмв Ы-	(786)

Поскольку функция ф(х) растет при увеличении х, первый член
в выражении (75) описывает волку, распространяющуюся в по-
ложительном направлении оси х, а второй — волну, распростра-
няющуюся в отрицательном направлении. Величины 4(х) и
В(х) представляют собой амплитуды соответствующих волн, а
уравнения (78) показывают, что вследствие зависимости пара-
метров среды от координат появляется связь между этими дву-
мя волнами. Если величина a'/a очень мала, то правые части
равенств (78) можно положить равными нулю; получающиеся
t в результате решения 4, В = const представляют собой функ-
ции Р(х) и 7(х) = (l/Z(op)dP/dx в первом приближении. В этом
приближении волны, распространяющиеся в положительном и
отрицательном направлениях, не связаны между собой.

Уравнения (78) можно решить методом последовательных
приближений. Сначала путем интегрирования по х их сводят к
парным интегральным уравнениям

X	X

В(х) = В0 + ^t>2(x)A(x)dx,	Л(х) = Ло+ \^(x)B(x)dx, (79)

Хг	х,

где

(79а)

а В(х2) = Bq, A(Xi) = Ло- При этом Bq, Ло — произвольные, но
заданные величины, a xi, 2 — произвольные точки интервала.
Последовательные итерации приводят к рядам

Л(х)=£Л„(х), В(х)=£в„(х),
п=0	пв0

где Л0(х) = Ло, В0(х) ш Во и при п > 1

Ап (х) + J di ® В»-, (£) В„ (х) = J д2 (?) Л„_! 0) dl.

(80)

(81)

х.

хг

Эти ряды сходятся при тех же условиях, что и ряды (10).

Соотношения (81) имеют важный физический смысл: они по-
казывают, что волны нулевого порядка, распространяющиеся в
положительном направлении оси х, возбуждают волны первого
порядка, распространяющиеся в сторону отрицательных х, кото-
рые в свою очередь возбуждают волну второго порядка, бегу-
щую в сторону положительных х, и т. д. Поэтому каждый член
ряда (80) можно рассматривать как результат непрерывного
внутреннего отражения, обусловленного участками неоднород-
ной среды, которые лежат между точкой наблюдения х и точ-
ками Xi и Хг, где амплитуды волн, распространяющихся в обоих
направлениях, предполагаются заданными. Описанный процесс
схематически изображен на фиг. 99.

Самое грубое (ВКБ) приближение является удовлетвори-
тельным при |Л11 <С Bq или <Ло. Из формул (81) полу-
чаем



' X

С___________[_£. e-/2Q* <у1 л

82 J а(ё)ф'(&) е J

(82)
причем по предположению производная x|/(*) = Va(*) [форму-
ла (75а)] не обращается в рассматриваемом интервале в нуль.
Интегрируя по частям, получаем

1А1 =

I До1

82

[a(£)]3/l

(83)

где порядок погрешности оценивался путем повторного интегри-
рования по частям. Таким образом, Ai имеет порядок O(l/Q) при

Фиг. 99. Взаимодействие волн при непрерывном отражении.

а—падающая волна распространяется в положительном направлении осих; б—падающая
волна распространяется в отрицательном направлении оси х.

£2->оо, что подтверждает асимптотический характер ВКБ-при-
ближения (см. гл. 4, § 2, п. «б», где рассматриваются асимптоти-
ческие разложения). При больших Q первый член выражения
(83) является хорошим приближением для |Л1|, так как экс-
понента в выражении (82) очень быстро осциллирует, а осталь-
ные члены медленно меняются за период этих осцилляций; по-
этому если a(g) — монотонная функция, то интеграл от Х\ до х
можно заменить интегралом по половине периода, а величину
(а'/афЭ макс вынести за знак интеграла. Получающееся в ре-
зультате условие

gz (х)
2 [а (ж)]’'’

можно считать критерием справедливости ВКБ-приближения
Л(х) « Ло или В(х) ъ Bq для среды с монотонно меняющи-
мися параметрами,
Таким образом, коэффициент отражения по напряжению
можно представить в следующем виде:

Г_____& О-i2£21t> (X)--^1 (*) + в2 (х) + Вб (*) +	(х)

А(х)	— Л0 + Л2(х)+Л(х)+ ... е • <60'

где падающая волна предполагается распространяющейся в сто-
рону положительных х, так что Во 0. Из этого выражения
видно, что амплитуда А(х) содержит лишь члены четного по-
рядка малости, а В (х) — только нечетного. При больших Q ко-
эффициент отражения, обусловленный внутренними отраже-
ниями, в низшем порядке малости равен | В\ (х)/Ао| и ведет себя
как |а7йа’/*|.

§ 6.	ПРИМЕНЕНИЕ К РАЗЛИЧНЫМ ПРОФИЛЯМ
НЕОДНОРОДНОСТЕЙ

а.	Отражение от непрерывного перехода

Для иллюстрации полученных в § 5, п. «г», результатов рас-
смотрим график функции, представленный на фиг. 100: при х <
< ха мы имеем а(х) = аь а при х > хр мы имеем а(х) = аг;

величины ai и аг — положительные константы. В области ха <
< х < хр функция а(х) предполагается аналитической и мо-
нотонной. Если волна падает слева, то коэффициент отраже-
ния Г в области х < хЛ в первом приближении имеет вид [§ 5,
формулы (85) и (81)]

Г *«

v	I 4 J a(£)	ь

U «2

(х)

(1)

где верхний предел интегрирования заменен величиной ха, так
как при х < ха мы имеем а' = 0. Если плоскость отсчета фазы
выбрана из условия ф(Х1) = 0, то

Г(%1) = т5	(2)

Нижний предел интегрирования найден здесь из следующих со-
ображений: если точка Хг расположена в области, где внутрен-
них отражений нет (т. е. Хг^хр), то величина В\, определяе-
мая выражением (81) из § 5, должна быть равной нулю при
х = х2. Поскольку при х > Хр производная а' = 0, нижний пре-
дел интегрирования можно заменить величиной Хр. Физический
смысл соотношения (2) состоит в том, что отраженная волна
первого приближения формируется всей областью неоднородно-
сти, лежащей справа от точки наблюдения.

Порядок величины коэффициента отражения зависит от глад-
кости сопряжения профиля на границах однородной и неодно-
родной области х = ха> р. Это легко показать повторным инте-
грированием по частям, аналогичным проведенному в предыду-
щем параграфе при выводе выражения (82). Если функция
а(х) непрерывна в точках ха, р, а производная а'(х) разрывна,
то Г имеет порядок О(1/й); если величины а(х) и а'(х) непре-
рывны в точках ха, р, а производная а" разрывна, то Г имеет по-
рядок О(1/й2). Вообще если функция а(х) и ее N первых про-
изводных непрерывны в точках ха, р, то Г имеет порядок мало-
сти О(1/йЛ+1). Если функция а(х) имеет постоянное значение
при х < ха или х > хр (т. е. все производные в этих областях
обращаются в нуль), то, рассматриваемая на всем интервале
(—оо, оо), она является неаналитической функцией; в этом слу-
чае при й -» оо коэффициент отражения пропорционален некото-
рой конечной обратной степени величины й, определяемой по-
рядком первой по счету производной, терпящей разрыв. Если
функция а(х) аналитическая во всем интервале (для этого не-
обходимо, чтобы выполнялись условия ха ->—со и хр->оо), то
при й -* оо коэффициент отражения спадает быстрее любой ко-
нечной обратной степени й и фактически экспоненциально мал.

Рассмотрим в качестве примера непрерывный переход, опи-
сываемый аналитической функцией [27]

а (х) = cto — a th (х/6),	(3)

где ао, а и Ъ — положительные числа и а осо- Поскольку
|th х| 1 в интервале (—со, оо), с точностью до членов по-
рядка 0(a) имеем

д/а (х)« [1 — ~ th (х/&)] -V«o,	(4а)

<4б>
Заменяя в формуле (1) х2 и ха на +<ю и х, получаем теперь сле-
дующее выражение:

х	г	п

Г Щ J sch2 iехр i2Q J Vain) dl, (5)
oo	*-	X	J

которое надо оценить при %—>—оо. Если VaW заменить выра-
жением (4а), то интеграл по т] вычисляется элементарно, и мы
получаем

£ _____

^JVa(n)rfn = (^-x)--^-(lnch|-lnchf).	(6)

и X

Поскольку |х| —очень большая величина, ch(x/6) можно заме-
нить величиной V2exp(|x|/&), так что lnch(x/&) « |х|/& — In2.
Налагая условие

Qab С 1	(7)

и учитывая, что основной вклад в интеграл (5) дает окрестность
точки £ = 0, можем написать

Гехр[- (1 + ф при х-> — оо, (8а)
где

/= J sch2|ei2^dg, Q = QVa^.	(86)

— оо

После замены переменной

/ = е2^	(9)

интеграл I сводится к виду

(10)

О	‘

где мы использовали известную из теории гамма-функций фор-
мулу [3, стр. 4]

t* dt

(1 + 0“’+*

Г (1 + г) Г (а> — г)

Г(ю + 1)

Rew>Rez> —1.	(Ц)

Поскольку Г (2) = 1, Г (z) Г (1 — z) = л/sin nz и Г (z + 1) = гГ (z),
выполняется соотношение

Г (1 + ibQ) Г (1 — гШ) = —' ” _ И1+^й) = -	,	(12)

i sh (л62) Г (»Ш) sh (nqQ) ' ’
так что коэффициент отражения дается формулой

----------ехр Г—Z2Q f 1 +—V].	х—► —оо. (13)
'	2а0 sh (лбй) L \	2а07 J

Этот результат, верный при условии (7), демонстрирует спра-
ведливость сделанного выше утверждения о том, что в случае
аналитической функции а(х) коэффициент отражения экспонен-
циально убывает при больших Q.

Зависимость коэффициента отражения от х имеет такой же
вид, как и в случае среды с постоянным значением а(х) =
= [Vao + (a/2 v a0)]2«a04-a и aCa0. Такое поведение фа-
зы *) совпадает при сделанных допущениях с ожидаемым, по-
скольку а(—оо) = а0 + а. Если величина b очень мала, то пе-
реходная область, где а(х) изменяется от ао + а до ао— а, со-
средоточена вблизи точки х — 0 и предельный случай b = 0 со-
ответствует скачкообразному изменению свойств среды. В этом
случае выражение (13) переходит в выражение

|Г(х)|^, » = 0,

(14)

которое, как нетрудно показать, если учесть, что величина
[д/а(—°о) — Va(oo)][Va(—’ °°) + Va(°°)] имеет порядок
малости 0(a), дает правильный результат.

Точное значение |Г| при произвольных а и b дается выра-
жением [формула (33) при v = 2a, т = 2/b, ao = 1 + а]

| Г |=	Q =	(15)

sh [лбй (Vl 4- й + Vl — й)/2]	a0

которое переходит в выражение (13) при а <£. 1, Qab <С 1.

Если переходная область между средами с постоянными, но
слегка различающимися значениями а невелика, так что фазо-
вый множитель (2) практически не меняется, то

|Г(Х!)|





| «2 — «1 |
4ai ’

(16)

где |аг — «11 аь В частном случае (3) получаем предельное
значение (14).

*) Точнее говоря, фазовая зависимость определяется множителем
е -J2Q Vdo + a*
б.	Решение Эпштейна в случае плавного перехода

В случае функции а(х) вида (3) напряжение Р(х), опреде-
ляемое уравнением (74) из § 5, выражается через гипергеоме-
трические функции. Это решение, приводимое ниже, может быть
использовано в качестве функции сравнения при определении
рассеивающих свойств плавных переходов. Можно показать, что
уравнение (74) из § 5 при

a(x)s±W. = (l+a)_ath^ = l+—v—, v = 2a,r = 4’ <17)
во	b	1 + е™	Ъ

где v и т — постоянные, имеет решение [28, 29]')

Vi (х) = ^-1)/2 (1 -	Ui (a> р. Y; ?), g = _	(18)

Хотя в общем случае величины v и т могут быть комплексными,
в этом разделе мы будем считать, что они действительные и
положительные. Функции и{ являются решением гипергеометри-
ческого уравнения

{Ul-O-^ + lY-(a + ₽+l)a^— ap}«/(a, ₽; Y;?) = 0, (19)

где

а=1 + «~(УГ+7-1), p=i + /B.(vr+V+l),

i J- 2iQ Zi "L
Y = 1 + —V1 +v.

Эти величины связаны между собой соотношениями

а+ 1 -р = 1 -a+i_Y=i_j^[yr+V-H],
,о _______________________ Т	(20а)

v-P=4tVi+v-i].

Дифференциальное уравнение (19) имеет особые точки £ =
= 0, 1, оо, в окрестности которых два его линейно независимых
решения могут быть представлены в виде сходящихся гипергео-
метрических рядов. Вблизи точки £ = 0 соответствующие реше-
ния имеют вид

«1 = F (а, Р; у; £),	(21а)

«5 = С>-*Г(а-у+1, Р-y+I; 2-у; О, (216)

1 Мы пользуемся такими же обозначениями, как и в работе (9]. Аргу-
мент а функций Ui и других величин не следует путать с функцией a(x)^s
 е(х)/е0.
а гипергеометричеекие ряды

^(а, ₽; у; = 1 +	+	... (21в)

сходятся внутри круга |£|<1. Вблизи точки £=1 требуемые
решения таковы:

U2 = F(a, Р; а + р-у+1; 1-?),	(22а)

«6 = (l-aV-“’^(Y-«. Y-₽; Y-a-p+1; 1-0, (226)

а вблизи точки £ = оо

=	a-Y+1; a-P+1; ;-Y	=	(23а)

(— С) \	5 /

₽—V +1: ₽—»+1: у).

(236)

Хотя эти гипергеометрические ряды сходятся лишь в областях
|£| < 1, |1 — £| < 1 и |£| > 1 (в том же порядке), гипергео-
метрические функции, обозначаемые теми же самыми симво-
лами, могут быть аналитически продолжены за область сходи-
мости их представлений в виде рядов. Поскольку в каждом слу-
чае два полученных решения линейно независимы, любое дру-
гое решение можно представить в виде их линейной комбинации.
Получающиеся при этом формулы называются «циклическими
соотношениями» для таких функций. Для последующего нам по-
надобятся из них следующие:

_ Г(у)Г(р —а) и , Г(у)Г(а-р) „
«1 — г (у - а) Г (Р) “3 Г (у — Р) Г (а) “4’

(24a)

Г (2 - у) Г (р - а)	Г (2 - у) Г (а - р) е1^~^	.

и&~~ Г(1-а)Г(Р+1-У) “3"*' Г(1-Р)Г(а+1-у) “4> I240'

Г (1 — у) Г (« + 1 — р) Г(у)Г(1-у)Г(а+1-р)

“3 — Г (1 - Р) Г (а + 1 - у)	Г (2 — у) Г (у — Р) Г (а) е “5’

(25a)

_ Г(1-у)Г(Р+1-а) Г (у) Г(1 — у) Г (Р + 1 — а) ,яМ,_п
Ы4—Г(1-а)Г(Р + 1-у) 1 Г (2 - а) Г (у-а) Г (Р) е и^

(256’»

Асимптотическое поведение функции из>4 вблизи точки х =
= оо (т. е. £ = —еха = —оо) прямо следует из соотношения
(23) и представления гипергеометрического ряда (21в):

м3~ (-:)"“, «4~(-?)Л х^оо, . (26а)

откуда на основании соотношений (18) и (20) получаем
f (х) ~ gin(V-l)/2gT>:(0-a)/2 _ eln(y-l)/?eiS>.x, х _> qq,
- y4(x)^^«(v-o/2^*(«-e>'2 = ^n(v-i)/2e-<2x> х~*<х>.

(266)

(26в)
Таким образом, функция описывает уходящую, а функция
приходящую волну при х —► оо. При х —> —оо поведение функ-
ций «1,5 определяем из соотношений (21):

Uj—>1, u5->g1~v, х-> —оо,	(27а)

так что

pi(x)^em<v-,>^eT*<v-1>/2«ef’*(v-o/2e/aVi+7x х_>_00>	(276)

¥ъ(х)~е~1я(ч-^е-^^х, х-> —оо.	(27в)

При х -> —оо функция Vi описывает уходящую, а функция Pg —
приходящую волну. Отметим, что волновой характер асимптотики
функции Vi полностью определяется простым множителем, стоя-
щим перед гипергеометрической функцией, которая сама пред-
ставляет собой лишь поправку, обусловленную неоднородностью
среды при конечных значениях х. Заметим также, что при х —
= 4-оо волновые функции имеют такой же вид, как в среде с
диэлектрической проницаемостью е(х)/ео = 1, а волновые функ-
ции при х = —оо такие же, как в среде с диэлектрической про-
ницаемостью в(х)/во = 1 4-v, что полностью согласуется с вы-
ражением (17).

Предположим теперь, что в среде с параметрами (17) со
стороны х = —оо набегает плоская волна единичной ампли-
туды, и будем искать амплитуду и фазу отраженной и прошед-
шей волн. Поскольку прошедшая волна должна быть при х =
= 4-оо уходящей, в качестве решения выбираем функцию
Р3(х), свойства которой при х-> оо [формула (266)] можно уста-
новить, исследуя гипергеометрический ряд. Но при х = —оо
пользоваться этим рядом для вычисления функции Р3(х) нельзя,
и следует воспользоваться соотношением (25а), выражающим
функцию Из через функции Ui и и5, которые могут быть вычис-
лены в окрестности точки х =—оо по формулам (21). Если
функция Pi(x), определяемая выражением (276), описывает
падающую волну единичной амплитуды, то в выражение (18)
нужно добавить множитель ехр [ш(1 — у)/2]. Пусть

Vf(x) = V<(x)e<«»-v>/2;	(28)

тогда из соотношения (25а) получаем

у А-> Г(1-р)Г(а+1-у)
v 3 w Г (1 — у) Г (а + 1 — 0) —

= у (х) _ у (х\ ,Х(У)ГО—Р)Г(«4-1-у) efn(v_i) /лпх
F,w I'sW г (2 - у) Г(у - ₽) Г (а) е '

Правую часть этого равенства можно использовать для вычис-
ления волновой функции вблизи точки х = —оо, а левая часть
пригодна для вычислений вблизи точки х = 4-°°- Так как
(—оо)—exp[z*Q д/1-j-v х], второй член в правой части опи-
сывает вклад отраженной волны. Если написать

V(— oo) = e^VT+Vx+r(_oo)e-»aVi+Vx> (30а)

то коэффициент отражения по напряжению Г(—оо) будет иметь
следующий вид:

Г(— ОО1 — _ Г(у)Г(1-р)Г(а+1-у) _

М >— Г (2 — у) Г (у — Р) Г (а)	“

_ Г(у-1)Г(1-р)Г(а+1~У) .

“	Г(1 —у)Г(у—Р)Г(а) “

г [(йй/т) УТ+7] г [- (/Q/Т) (УГ+У +1)1 г [1 - / (Q/т) (VTTV + 1)]

Г [- (Z2Q/t) У1 + v Jr [( (Й/Т)(У1 + v - 1)] Г [1 + I (Й/Т)(У1 + у - 1)] '

(ЗОв)
Аналогично если написать

У(оо) = 7’(оо)ега*,	(31а)

то для коэффициента прохождения Т из левой части выражения
(29) получим

Т fool - Г(1-р)Г(а-Ц-у)

' >— Г(1 — у) Г (а + 1 — Р)

_ г [- (zq/t) (УГ+У +1)] г [1 — z (Q/т) (УГ+Т +1)1	(31б)

Г [- i (2Й/т) У1 + V ] Г [1 - I (2Q/t)J		*	'

Для модуля коэффициента можно получить более простое
выражение. Так как при действительных z гамма-функция при-
нимает только действительные значения, то из принципа симме-
трии Шварца [30] следует равенство Г(г*) = Г*(г). Таким об-
разом, модуль отношения двух первых гамма-функций в выра-
жении (ЗОв) равен единице, поскольку Q, v и т — действитель-
ные величины. Из соотношения

ri<'r"-a=yr	(32а)

при чисто мнимых г = ih (Л — действительная величина) по-
лучаем

| Г (/А) Г (1 + ih) | = | Г (ih) Г (1 - ih) | =	.	(326)

I зи пп |

Окончательно из (ЗОв) имеем для коэффициента отражения

Г (— со И = зЬ[л(а/т)(У1 + у — 1)]

V '	sh [л (Q/т) (У1 + у + 1)] 

(33)

Предельные случаи скачкообразного перехода (т = оо) и очень
плавного перехода (т мало) были рассмотрены в предыдущем
параграфе.
Проведенный анализ относился к плоской волне, распростра-
няющейся вдоль оси х и не зависящей от координаты у или г;
в случае косого падения волны его следует модифицировать.
Простейшим примером служит случай /7-волны (Ех = 0), когда
функция р(х) в уравнении (2а) из § 5 совпадает с постоянной
диэлектрической проницаемостью. Для слоистой среды w = р и
косое падение волны приводит к появлению в уравнении (2а)
из § 5 постоянного параметра А. Если последнее уравнение пере-
писать в виде

+	?]Г,(х)=0.	(34)

где |2 = —%, то на основании соотношения (17) получим

й2	_ |2 = (Q2 _ £2) Г1 + yQ2/(e2~g2)l .	(35)

е0	L 1 + J

Это уравнение совпадает с уравнением (74) из § 5, если в по-
следнее подставить выражение (17) и произвести замену пере-
менных

Q->Vq^F,	(36)

после чего сразу найдем решение V^(x) при g ф 0 на основании
полученного ранее решения. В частности, параметры аир, опре-
деляемые выражениями (20), при g =/= 0 имеют вид

а = 1 + у [V^d + ^-g2 - VQ2--2].	(37а)

Р = 1 +1 [VQ*(i+v)-g2 +	(376)

у = 1 + v VQ2(l+v)-g2.	(37b)

Условие излучения оказывается выполненным, если мнимые ча-
сти корней выбраны положительными [формулы (26) и (27)],
а в случае 5 = 0 сами корни оказываются положительными. Та-
кой выбор ветвей корней возможен при произвольных g и необ-
ходим для представления поля сосредоточенного источника, рас-
сматриваемого в гл. 5, § 9, п. «г». В случае плоской волны, вол-
новой вектор которой составляет угол 0 с положительной осью х
при х —> оо, мы имеем g = Q sin 0, причем угол 0 лежит в пре-
делах —л/2 < 0 < л/2.

Модуль коэффициента отражения при действительных g Q
определяется уже не выражением (33), а выражением

Sh {(Л/Т) № (1 + у) _ g2 - VQ2 - £2 ]}
sh {(л/т) [Vq2 (1 + V) -	+ Va2 - ¥ ]} 

(38)
В случае плоской волны, распространяющейся при х = —оо
под углом ф, мы имеем g = Q д/1 -f- v sin и выражение (38)
принимает вид

| р / оо) I = Sh {j*	+ v cos Ф — д/1 — (1 -j- v) sin2 ф]}

sh {л (Q/т) [V1 + у cos Ф + V1 — (1 4- у) sin2 Ф ]} ’
где угол ф ограничен условием ф < фс, а критический угол
= arcsin[(l +v)-,/2]. Модуль коэффициента отражения мини-
мален при ф = 0 и возрастает до единицы при ф = фс. Посколь-
ку угол преломления 0 при х = оо связан с углом падения при
х = —оо соотношением

£ — £2 V1 + v sin ф — Q sin 0, т. е. sin 0 = л/1 + v sin ф, (40)
при ф = фс угол 0 = л/2. При ф > фс имеет место ^голное отра-
жение волны и должно выполняться равенство |Г(—оо)|=1.
В этом можно убедиться исходя из соотношения (ЗОв), изменен-
ного в согласии с уравнением (35), так как при углах л/2 ф >
> фс гамма-функции в числителе являются комплексно сопря-
женными по отношению к функциям, стоящим в знаменателе.

Если волна падает со стороны положительных х, то при х->
—оо она имеет вид уходящей волны и в качестве решения
следует выбрать функцию Pg [формула (27в)], которая при боль-
ших положительных х аналитически продолжена при помощи
соотношения (246). Самой падающей волке (единичной ампли-
туды) соответствует функция Р4. Окончательно получаем сле-
дующие выражения для коэффициентов отражения и прохожде-
ния:

Г — Г(1 ~ Р) Г (а + 1 — у) Г (р — а)
Г(1 -а)Г(Р+1-у)Г(а-Р) ’

Т (- оо\ = Г (1 — ft) Г (а + 1 —у)

V ' Г (2 — у) Г (а •— р) ’

где а, р и у — величины, определенные формулами (37). При
g = Q sin 0, причем —л/2	0	л/2, имеем

I Г Гай I = sh	Wcos2 е + v ~ cos еП	(лп\

sh {лй/т [V cos2 0 + v + cos 0]}

При некоторых плавных зависимостях, при которых точное
решение дифференциального уравнения (34) из § 5 найти не
удается, в качестве функции сравнения можно взять функцию
а(х) = е(х)/е0, определенную выражением (17). Если задача оп-
ределения неизвестной волновой функции сводится к уравнению
(15) из § 5, то необходимо найти функцию Грина уравнения
(16) из § 5. Чтобы удовлетворить граничным условиям (усло-
вию излучения) при х = ±оо, выберем gzix) — Рз(х) и gi(x) =
== Ф$(х). Вронскиан этих двух решений есть константа, не за-
висящая от х, которую можно вычислить в любой подходящей
точке, например при х = —оо. Функция Ps(—оо), определяется
выражением (27в). Для вычисления Рз(—оо) необходимо вос-
пользоваться соотношением (25а), которое дает

р3(— оо) = eilt{'l~v>12 [XeiaVT+Vх _ Be-tQVi+7х],	(43)

где А и В — комбинации гамма-функций, стоящие перед «1 и
—м5ехр[4зт(у—1)] в выражении (25а). Таким образом,

V(g2,gl) = V3^-V5^ =

- - 2iQ VT+V Г(1-у)Г(а + 1-р)	f44)

— -у i -t- V Г(1 _р)Г(а+J _Y) •

Это выражение получено при g = 0, но его легко обобщить и на
случай g 0 [формулы (35) и (36)].

Гипергеометрические функции пригодны для описания асим-
метричного слоя более общего вида (фиг. 100), когда функция
а(х) имеет минимум в точке х$ и стремится к значению а2~
= а(оо) > а(хр), причем ai #= а2. При этом симметричный
слой, или канал, получается как частный случай при ai = <%.

в. Диэлектрическая проницаемость проходит
через нуль

Чтобы показать, как используются ВКБ-приближение и функ-
ции Эйри в случае, когда диэлектрическая проницаемость имеет
нуль первого порядка, рассмотрим пример

2	1

Н2--4

a(x, О)=1-----(45)

где ц, — постоянная, которая может быть комплексной1). Если
Q — волновое число в свободном пространстве ko = (л/с, а ц2 >
> 'А, то величину а(х, й) можно представить в виде [1 —
— (юр/ю)2], так что она будет совпадать с диэлектрической про-
ницаемостью плазмы, в которой плотность электронов есть функ-
ция координаты: У(х) ос<о^(х) [гл. 1, § 5, формула (20) при
<йс = 0]. В дальнейшем будем считать ц положительной и до-
статочно большой величиной, так что ц2 — ’/< « |л2. Точка х ш

p/Q является нулем первого порядка функции Q2a(x); осо-
бенность в точке х = 0 не представляет для нас интереса, по-
скольку область изменения х ограничена достаточно большими
положительными значениями. Уравнение (34) из § 5 с учетом

*) Здесь не следует путать ц с магнитной проницаемостью.
соотношения (47) имеет точное решение

£(x) = Vq7 Сц(Йх),	(46)

где Су, — линейная комбинация функций Бесселя.

Если величина ц мала, а параметр й очень велик, то можно
положить а(х, й) « 1, так что асимптотическое представление
(37) из § 5 дает £(х) ~ ехр(±1Йх). Если константа р велика,
то это выражение справедливо для точек наблюдения, удовле-
творяющих условию Йх ц. Более точная оценка получается,
если пользоваться полным выражением (45). Путем элементар-
ного интегрирования получаем

X	X

$	$ cos ф (т|) dt\ =

= х [cos ф (х) + (ф (х) — J) sin ф (х)], (47)
где вся неточность обусловлена заменой р2 — '/4 -► ц2, а

8Шф(х) = -^-, ф(х0)^у, р<Ох.	(47а)

Аналогично

Хо

$ I Va(ri) |tfr) « J sh$(ri)4h] =x[$(x)chq)(x) — sh$(x)], (48)

X	X

где

ch ф (х) =	, ф (х0) = 0, и > йх.	(48а)

Соотношение (48) можно получить из соотношения (47) путем
аналитического продолжения функции ф(х) в комплексную об-
ласть ф(х) = л/2 — tcp (х), ф(х) > 0.

Чтобы сопоставить выражение (37) из § 5 для функции £(х)
с каким-нибудь решением уравнения Бесселя, необходимо вве-
сти соответствующий нормировочный множитель. В частности,
если известно рёшение при йх -> оо, то на его основе может
быть найдена требуемая константа. Поскольку при Qx р
асимптотика функций Ханкеля такова:

VoT№-2)(Qx)-A(I’VZ% A(1'2)=^/|eW2+"^ (49)
с помощью формулы (37) из § 5 и формулы (47) данного пара-
графа находим
а/йх я£,2)(Йх) ~

~ а/£ М	[cos ф^Мф - л/2) sin Ф1) .	}

V л	Vcos $
Выбор константы при ц > Qx производится в согласии с фор-
мулой (47а) из § 5, и в результате получаем

--- ..	Го- Qx[$chcp-sh$]

VOx нЦ-2> (Ох) ~ ЯР i л - ------==-----, и > Ох. (506)

V л V sh <р

С учетом соотношения 27ц (у) —	(у) + Я® (у)] приходим

к следующим выражениям для функций Бесселя:

V Ох	(Ох) ~

cos{Qx[cos<p+((₽”y)sin(₽W}’ Н<йх, (51а)

VOx 7ц (Or) ~-^== е-я*»сьф-вьф1> ц > qx<	(516)

Можно также определить нормирующий множитель исходя
из поведения функций при р Ох. Например,

'.<*>~(^r^>~w(v)‘-	'52а)

где была использована асимптотическая формула [§ 4, фор-
мула (66в)]

Г(р + l) = pr(p)~V2^T(£f, р»1.	(526)

Поскольку при р <С Ох

-^- = ch<p~shqj~-Ф-ln-g-,	(53)

то

е±Ох(фсЬф-зЬф)

Vsh ф

(54)

Сравнивая формулы (54) и (52а), находим, что нужно выбрать
знак, соответствующий экспоненциальному убыванию, и доба-
вить множитель (2л)_1/2, чтобы получить правильное выражение
для функции Бесселя (516). Соответствующая формула при
р < Ох получается на основании соотношения (47а) из § 5 и
совпадает с формулой (51а).

В промежуточной области р « Ох необходимо пользоваться
более сложным выражением (45) из § 5. С помощью формул
(45) и (47) из § 5 и формулы (51) данного параграфа находим
подходящее представление функции Бесселя вблизи точки по-
ворота:

Vo7 7g (Ox) ~ д/т [4 QxQ]'/e Ai [“ (4 QxQ) ] ’	(55)
где

P = cos<p, Q = cos(p+(<р — у) sirup, p^Qx,	(55а)

Р = i sh ф, Q = eZ3ll/2 [<p ch — sh ф], ц Qx.	(556)

Аналогичным способом получаются выражения для функций
Ханкеля. Они согласуются с выражениями, которые выводятся
в гл. 4, § 5, п. «а» [гл. 4, § 5, формула (33)] на основе представ-
ления цилиндрических функций с помощью интеграла Зоммер-
фельда (см. также гл. 6, приложение 1).

Область применимости ВКБ-приближения определяется кри-
терием (84) из § 5. В нашем случае при р < Six, а « cos2 ф и

а (х)«-^з- = у 8Ш2ф	(56)

условие применимости имеет вид

|tg3TCl.	(57)

г*

Так как постоянная ц по предположению велика, это условие не
выполняется лишь при ф->л/2. Замечая, что

ц Six, tg ф » sec ф » дД{{£х_ й) при ф->у,	(58)

и опуская несущественные множители, неравенство (57) можно
переписать следующим образом:

(Qx-g)»(Qx),/3.	(59)

Оно хорошо согласуется с условием Sl2ty 1, при котором спра-
ведливо выражение (47) из § 5. При ц > Six левая часть нера-
венства заменяется ее модулем. Таким образом, в этой области
применимы формулы (50) и (51), но при |Qx—= О[(йх),/з]
они должны быть заменены соотношением (55) или эквивалент-
ным ему соотношением.

ЗАДАЧИ

1.	Используя спектральное представление дельта-функции в
свободном пространстве [§ 2, формула (40)]

S(P - р') =	$ j	dn, (1)

где —оо < (х, х', у, tf) <z оо, построить методом зеркального от-
ражения спектральные разложения по Е- и Я-волнам в полупро-
странстве 0 < (х, х') < оо, —оо < (у, у') <оо [§ 2, формулы
(28) и (29) и фиг. 64]. Сделать то же самое для квадранта 0 <
< (х, х', у, у')) <. оо [§ 2, формулы (32) и (33) и фиг. 63].

2.	Используя представление в виде бегущих волн [§ 3, фор-
мулы (28) и (29)], показать, что собственную функцию Грина
У(х, х') можно представить в следующем виде [обратите внима-
ние, что на эквивалентной схеме на фиг. 74 величина У(х, х')
есть ток; см. также § 3, формулы (3) — (7)]:

У (х, х')=-------------------—

L /+ (Х2) I (Х1)

Г (х') Г (х')
Г (х2) 1+ (х.)

(2)

где £ = £ + £,

I (X, Х,) =

Z (х, х2)

7- (х)
Г (х>)
/+ (х)
/+ (Х2)

+ Г/ (-*1)

+ ГДх2)

1+ (х)

1+ (х.) ’

Г (х)

Г (х2) '

a Xi и х2— две удобным образом выбранные точки в интервале
изменения х, в частности они могут совпадать соответственно
с правой и левой границами интервала. Показать, что данная
формула переходит в формулу (29в) из гл. 2, § 4, когда x-»z,
Xi = х2 = хо, а линия передачи однородна (т. е. /* в ехр(Ч=/хх)].
Показать, что аналогичная формула для Z (х, х') получается за-

меной / —> V и т. д.

3.	На основании формулы для входного импеданса слева от
некоторой конечной точки р в области, простирающейся до на-
чала полярной системы координат [§ 3, формула (216)], пока-
зать, что в силу граничного условия для дифференциального
уравнения (466) из § 2 точка р = 0 должна быть предельной
точкой, т. е. граничные условия не должны зависеть от нагрузки
на конце линии при р = 0.

4.	Вычислить классическим способом ортонормированные
собственные функции для Я-волн Ч\₽ (х), Фтр(х), р = 1, 2, оп-
ределяемые формулами (13) и (14) из § 4, в волноводе, нагру-
женном слоем диэлектрика. При этом нужно исходить из общего
соотношения (4) § 2, которому удовлетворяют любые две собст-
венные функции fm(x) и fn(x), отвечающие собственным значе-
ниям km и Кп,

х"	Г / яР*

Xi

(3)

П dx JJXi'
Обращение в нуль правой части соотношения (3) при п ф т
на основании граничных условий р dfddx= Q при х —
= Xj, 2 и i — п, т обеспечивает ортогональность собственных
функций. Для определения нормирующего множителя при п = т
нужно считать, что fm — собственная функция для собственного
значения Хт, и рассматривать Хп как переменный параметр,
стремящийся к Хт [соотношение (3) при этом остается справед-
ливым, так как fn по-прежнему удовлетворяет дифференциаль-
ному уравнению (1) из § 2, хотя и не удовлетворяет граничным
условиям]. Вычисляя интеграл в формуле (3) при Хп = Кп, для
раскрытия неопределенности нужно воспользоваться правилом
Лопиталя [§ 2, формула (55)].

5.	Для перехода в задаче о рассеянии, рассматриваемой в
сферической системе координат (г, 0, <р), к ф-линии передачи кон-
тур интегрирования Се в интеграле (436) из § 3 деформируют
так, чтобы он обходил особенность функции gr(r, г'\ Хе) в комп-
лексной плоскости Х0. В результате Хе выражается через ра-
диальные собственные значения Хг [для радиальной волновод-
ной области 0 < г <_ оо мы имеем Xr = vr(vr + 1), vr == —V2 +
+ ivi, Vi — действительная величина; см. § 4, формулу (1006)].
Контур интегрирования С„. должен обходить особенности функ-
ции ge(0, О'; Ц; Хг) в комплексной плоскости Хф. В случае 0-об-
ласти Хф заменяется величиной Х0, играющей роль собственного
значения, а Хг считается заданным параметром. Следовательно,
собственные функции могут быть найдены из дифференциаль-
ного уравнения для характеристической функции Грина

(4-sln 6	+1,sin 0 - «йg’<9' в':м -

=—«(6—0'), (4)

где vr — заданный, а X — характеристический параметр.

а.	Показать, что если Хг — отрицательная действительная ве-
личина (vr = —Ч2 + ivt-, где vi — действительная величина), то
собственные значения X = Хц — также отрицательные действи-
тельные величины. В дальнейшем это условие предполагается
выполненным.

6.	Показать, что спектр собственных значений для области
0	0 л непрерывный, а условие полноты системы собствен-

ных функций имеет вид

sin 0'д (0 — 0') =

_	]	(cos	cos 9')

=	Ц [Г (vr - и -М)/Г (vr + Н + 1)] sin (vr - и) л d^'	(5)
в.	Показать, что спектр собственных значений для области
0 < 01	0	02 < л дискретный, а соотношение полноты имеет

вид

sin 0'6 (0 — 0') =

_ я у И (rf/rf62) (cos е2) А (уг, ц; 6, 6]) А (уг, ц; 6', 9,)

Л у sin цл (d/dGj) Р!^(соз0|)(<?2/дцд02) А(уг, ц; 02, 0J ’ Я

где ц, —мнимая величина, которая определяется уравнением
(d/d02) A (vr, ц; 02, 01) = 0, причем

A (v, р; Ф, ф) s Pv (cos ф) Р^ (cos ф) -

- Р^ (cos ф)-^ (cos ф). (66)

Производные этих собственных функций обращаются в нуль при
0 = 01, 2-

г.	Показать то же самое в случае, когда собственные функ-
ции обращаются в нуль при 0 = 01,2.

6. Полупространство ограничено бесконечной идеально про-
водящей плоскостью. В системе координат I, ось г которой пер-
пендикулярна данной плоскости, уравнение границы записывает-
ся в виде 0 = л/2, а в системе координат П, ось z которой ле-
жит в данной плоскости, уравнение граничной плоскости имеет
вид <р = 0, л.

а.	Показать, что в системе I нормированные скалярные соб-
ственные функции имеют вид

1	п,	(cos/Иф

Ф» (6, ф) = -щ- Рп (cos 0) | sin Ш(р J > « + m четное, (7а)

1	„	(COS/Иф)

(0, ф) — "v? Рп (cos 0) | sin j, и + /и нечетное, (76)
где 0^0^ л/2, 0 ф 2л, и, /и — положительные целые чис-
ла или нуль и

W2 _2л	1	(п + m)!	, ,

'	sm (2n + l) (» —m)l*	(/в>

причем 8m = 1 при /и = 0 и 8щ = 2 при m 1.

6.	Показать что в системе II нормированные скалярные соб-
ственные функции таковы:

Ф/(0, ф) = Рп (cos0)sin/иф, 0<0<л; 0=Сф<^л, (8а)

(6. ф) = Рп (cos 0) COS /Иф.	(86)
7.	а. Исходя из формулы (45) § 5 и выражения Dv(—z)~
~ (—z)vexp(—z2/4) при z —♦ оо получить следующее асимптоти-
ческое разложение функций параболического цилиндра
Dv(—-\/2Йх), 2v = Qa2— 1, справедливое при больших й и лю-
бых х в интервале (—оо, а):

Dv (-V2Q х)Ai {-[3/2 йф(х)]’/3}, (9)
НН \ Z6 /	[(X

X

где ф (х) = $ Va2 — т)2 dv\ и a (х) = а2 — х2. Показать, что при
—а

х С —а эта формула переходит в формулу (55а) из § 5.

б. На основании формулы (9) при а -> оо получить асимпто-
тическое выражение, справедливое при больших v. Показать, что
если й принимает комплексные значения, то результат можно
представить в виде

Dv(z)) е-‘^, |arg(—v)|<«, |v|-»oo.	(10)

8. Однородная плоская волна, вектор электрического поля
которой параллелен оси у, паДает на неоднородный слой с по-
казателем преломления п(х). Электрическое поле удовлетворяет
волновому уравнению [гл. 1, § 7, формула (41)]

(V^ + ^E^O.	(11)

а.	Показать, что если функция, описывающая показатель
преломления, гладкая и неоднородность сосредоточена в интер-
вале 0 < Xi < х < х2, то в первом приближении коэффициент
отражения имеет вид [§ 6, формула (2)]

х,
Тчп\___ 1 С n(x)dnldx

2 J »2(x)-sin2e
Х|

ехр |\‘2k0 V«2 frl) “ sin2 6	^X’

(12)

где 0 — угол падения относительно оси х(д!ду = 0).

б.	Показать, что если в рассматриваемом интервале п = 1 +
+ Д, где Д — очень малая величина, то коэффициент отражения
Г(0) приближенно можно представить в виде

х,

X,

(13)

Укажите условия применимости этой формулы.

9. Допустим, что в задаче 8 волна падает на неоднородный
диэлектрический слой, ограниченный плоскостями х — 0 и х =
= d, и мы ищем решение для поля внутри слоя в виде Еу =
= exp [(i&o sin 0)i/]/±(x), где f±(x) — два линейно независимых
решения волнового уравнения. Вывести точные выражения для
коэффициента отражения Г и коэффициента прохождения Т.

10.	Пусть функция Р(х) удовлетворяет неоднородному вол-
новому уравнению	f

[^ + Й2а(х)]Р(х) = 0,	(14)

где й — большой положительный параметр.

а.	Положив

У(Х) = еШ|(х,2)>	(15)

вывести дифференциальное уравнение для функции ф. Решить |
это уравнение методом последовательных приближений и полу- |
чить асимптотическое разложение функции Р(х) по обратным |
степеням й.	,

б.	Представив Р (х) в виде

со

ив)

где Ап и ф не зависят от й, найти ф и Ап и сравнить с резуль-
татом, полученным в п. «а» [см. также гл. 1, § 7, формула (16), и
гл. 1, задача 27]. Какой из двух способов удобнее для нахожде-
ния асимптотического разложения функции Р(х)?

11.	Исследование линейных дифференциальных уравнений
высших порядков проводится путем сведения их к системе диф-
ференциальных уравнений первого порядка, в которой неизвест-
ная функция и ее производные рассматриваются как независи-
мые переменные. Показать, что, например, дифференциальное
уравнение второго порядка (74) из § 5 можно представить в эк-
вивалентной форме уравнения (73) из § 5 (см. также гл. 1,
§ 1, п. «г»):

77 ф (х) = еЛ (х) ф (х),	(17)

где ф — волновой вектор, а — матрица, имеющие следующий
вид:

(V (х) \	/	0 ир (х) \

Ф(х) = 1 <7 J> е*(х) = (	.	(18)

\Ц(х)/	\ — <ое(х) 0 /	' '

Для большей общности будем считать, что р, и е зависят от ко-
ординаты х. Решение уравнения (17) должно удовлетворять на-
чальному условию

ф(х) = ф0 при Х==Хо

(19)
и требованию, что N % N элементов квадратной матрицы
е^(х) —действительные, однозначные, ограниченные и интегри-
руемые функции в окрестности точки х0.

Показать, что если матричный пропагатор (функция Грина)
G(x,Xq) удовлетворяет уравнениям

-j^-G(x, х0) = (х) G (х, хо) при х^х0, G(x0, х0) = 1, (20)
где 1 — единичная матрица, то решение ф(х) имеет вид

ф(х) = 6(х, хо)фо, ф0 = ф(х0).	(21)

Показать, что уравнение (20) решается следующим последо-
вательным разложением в ряд:

X	X	I

G(x, Хо) = 1 + J (g) dg + $ dgef (g) $ е* &)	+ •.. • (22)

Хо	Хо	Хо

Построить решение для ф(х) и исследовать его сходимость при
разных значениях параметра ы, входящего в матрицу [фор-
мула (18)].

12.	Найти другое решение задачи, сводящейся к уравнению
(17) с начальным условием (19) (31, 32], положив

ф (х) = <^ (х) W (х),	(23)

где (х) — невырожденная матрица преобразования, выбран-
ная так, чтобы матрица

=	(24)

была диагональной.

а.	Показать, что (штрихом обозначаем производную по х)

W' = (^-^-1<^')W.	(25)

Показать также, что если некоторая матрица —
диагонализует, согласно соотношению (24), матрицу е^, то то же
самое ^производит и матрица где Я) — невырожденная
диагональная матрица. (Поэтому матрицу Я) можно использо-
вать для „нормировки" матрицы а матрицу можно
записать в виде = <^>12>.) Показать, что если матрица S>
выбрана таким образом, что матрица	не имеет диаго-

нальных членов, то

Я) (х) = S>o exp — $ diag «^Т1 (g)	(g) dg I,	(26)

L X,	J

где S>0 ~ постоянная диагональная матрица, a diag Я (х) —
диагональная часть матрицы Я (х).
б.	Показать, что если (х) — медленно меняющаяся функция
переменной х, то матрица W приближенно дается решением
в виде бегущей волны (экспоненты):

X

S L|,©<U
ех>

О

W(x)«

W (х0).

(27)

О

/ ЬЛ„©46
ех*

где (£) —элементы матрицы <$?(£).

в.	Вернувшись к общему случаю, введите в выражение (25)
преобразование „бегущей волны"

X

S
W(x) = e* Z(x)

(28)

и покажите, что волновой вектор Z (х) определяется сходящимся
рядом [разложение (22)]

[X	1

1 + J М(£041 + ... W(x0), (29)
Хо	J

где

-!'#©« .
м (51) = - е х> &~х (£t)	(£,) ех>	(29а)

есть малая величина при медленном изменении свойств среды.
Покажите, что окончательное решение ф(х) имеет вид

X

_	$ #©46

Ф (х) — & (х) ех"	GM (х, х0) & (х0) фо, (30)

где матрица SP выбрана таким образом, что diag<^>~1<^‘' = 0.
Сравните это решение с решением (23) и проанализируйте его
преимущества.

13.	Примените анализ, проведенный в задаче 12, к матрице
из формулы (18).

а.	Покажите, что собственными значениями матрицы ezf
служат величины ±ik, где /г = шд/|ле> что собственные векторы

образуют столбец	гДе £ = Ун/в, и что матрица
которая диагонализует матрицу ет£, имеет вид

\ 1 1 )'

(31)

Покажите также, что с точностью до постоянной диагональной
матрицы выполняется соотношение SD (х) = и что

= SA )•	(32)

Покажите, что решение ф(х), которое получается, если в выра-
жении (30) положить (!) « 0, имеет вид

Сравните этот результат с ВКБ-приближением [§ 5, формулы
(75) и (76) при Д, В — const].

б.	Рассмотрите случай «согласованных» начальных условий
р0 = £(х0)70 и покажите, что в низшем порядке ВКБ-приближе-
ния Р(х) == £(х)7(х). Оставив второй член в разложении (30)
для функции GM(x, Хо), вычислите поправку к ВКБ-приближе-
нию и покажите, что она согласуется с поправкой, даваемой фор-
мулой (80) из § 5.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Morse Р. М., Feshbach Н., Methods of Theoretical Physics, McGraw-Hill,
New York, 1953 (имеется перевод: Ф. M. Морс, Г, Фешбах, Методы тео-
ретической физики, ИЛ, 1958).

2.	Friedman В,, Principles and Techniques of Applied Mathematics, John Wiley
and Sons, New York, 1956.

3.	Magnus W., Oberhettinger F., Formulas and Theorems for the Special Func-
tions of Mathematical Physics, Chelsea Publishing Co., New York, 1954.

4.	Marcuvitz N„ Comm. Pure Appl. Math., 4, 263 (1951).

5.	Lorch E. R., Spectral Theory, Oxford University Press, London, 1962, Ch. 4.

6.	Stakgold L, Boundary Value Problems of Mathematical Physics, Vol. 1,
Macmillan, New York, 1967, Ch. 4.

7.	Friedlander F. G., Comm. Pure Appl. Math., 7, 705 (1954).

8	Clemmow P, C., IRE Trans, on Antennas and Propagation, AP-7, 7 (1959).

9.	Bateman H., Erdelyi A., Higher Transcendental Functions, Vol. 1, McGraw-
Hill, New York, 1953, p. 142 (имеется перевод: Г. Бейтмен, А. Эрдейи,
Высшие трансцендентные функции, т. 1, М., 1973).
10.	Конторович М. И., Лебедев Н. FL, ЖЭТФ, 8, 1192 (1933).

11.	Sommerfeld A., Partial Differential Equations in Physics, Academic Press,
New York, 1949, Sec. 20 (имеется перевод: А. Зоммерфельд, Дифферен-
циальные уравнения в частных производных физики, ИЛ, 1950, гл. 20).

12.	Whittaker Е. Т., Watson G. N., A Course of Modern Analysis, Cambridge
University Press, Cambridge, England, 1952, Ch. XI (имеется перевод:
Э. T. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон, Курс современного анализа, М, 1963).

13.	Langer R. Е., Trans. Am. Math. Soc., 67, 461 (1949).

14.	Erdelyi A., Journ. Math. Phys., 1, 16 (1960).

15.	Olver F. W. J., Phil. Trans. Roy. Soc. London, 250A, 479 (1958).

16.	Pike E. R., Quart Journ. Meeh. Appl. Math., 17, 105 (1964).

17.	Langer R. E., Trans. Amer. Math. Soc., 90, 113 (1959).

18.	Kazarinoff N. D., Arch. Rat. Meeh. Anal., 2, 129 (1958—1959).

19.	Olver F. W. J., Journ. Res. NBS, 63B, 131 (1959).

20.	Budden K. G., Radio Waves in the Ionosphere, Cambridge University Press,
Cambridge, England, 1961.

21.	Erdelyi A., Swanson S. A, Memoirs of the Am. Math. Soc., No. 25 (1957).

22.	Slater L. J., Confluent Hypergeometric Functions, Cambridge University
Press, Cambridge, England, 1960.

23.	Olver F. W. J., Proc. Cambr. Phyl. Soc., 57, 790 (1961).

24.	Olver F.	W.	J.,	Journ. Soc. Ind. Appl. Math., 11, 748 (1963).

25.	Olver F.	W.	J.,	Stengler F., Journ. SIAM Numer. Anal., B2,	244	(1965).

26.	Bremmer	FL,	Comm. Pure Appl. Math., 4, 105 (1951).

27.	Rydbeck	О.	E.	FL, Trans, of Chalmers Univ, of Technology,	Gothenburg,

Sweden, N 74 (1948).

28.	Epstein P. $., Proc. Natl. Acad. Sci. (USA), 16, 627 (1930).

29.	Бреховских Л. M., Волны в слоистых средах, М, 1957.

30.	Copson Е. Т., Theory of Functions of Complex Variable, Oxford University
Press, London, 1935, Sec. 8.4.

31.	Keller FL B„ Keller J. B., Journ. Soc. Indust. Appl. Math, 10, 246 (1962).

32.	Kay /, Journ. Math. Anal. Appl, 3, 40 (1961).
глава 4. Асимптотическое
вычисление интегралов

§ 1.	ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ

а. Приведение к каноническому виду

Интегралы в бесконечных пределах

Поле излучения и дифрагированное поле в открытых обла-
стях (с бесконечным поперечным сечением), как правило, пред-
ставляются в виде интегралов, которые не берутся в замкнутом
виде. Но во многих задачах соответствующие подынтегральные
выражения содержат большой параметр Q, позволяющий вычис-
лять такие интегралы приближенно. Хотя приближенное вычис-
ление возможно при весьма общей функциональной зависимо-
сти подынтегрального выражения от параметра Q, здесь мы рас-
смотрим лишь интегралы типа

/(Q) = \f(z)e^dz,	(1)

р

где f и # — аналитические функции комплексной переменной z
вдоль пути интегрирования Р (концевые точки которого лежат в
бесконечности), a Q — большой параметр, который мы считаем
положительным

Допустим, что Re q (z)_ имеет максимум в точке zs, лежащей
на пути интегрирования Р, и, следовательно, во всех остальных
точках Re^(z) <Re<?(zs). Поскольку параметр Q велик, вели-
чина А = | ехр [Q? (z)] также максимальна при z = zs и быстро
уменьшается при удалении от этой точки. Тогда разумно предпо-
ложить, что величину /(Q) можно приближенно оценить, заме-
нив путь интегрирования Р его отрезком, находящимся в окрест-
ности точки zs, так как вклад в интеграл остальной части пути
будет экспоненциально мал по сравнению с вкладом отрезка
пути, лежащего вблизи zs. Если в окрестности точки zs функция
f(z) не имеет особенностей и изменяется медленно, то можно
приближенно заменить ее величиной f(zs) и вынести последнюю
в формуле (1) из-под знака интеграла, в результате чего подын-
тегральное выражение будет представлять собой только экспо-

1) Если Q = |Q|exp(i arg Q) — комплексное число, то его фазовый мно-
житель включается в выражение для q(z}. Иногда удобнее получить асим-
птотическое выражение для /(Q), считая Q действительным числом, а затем
аналитически продолжить его в область возможных комплексных значений Q.
ненту. Полученный интеграл можно приближенно вычислить,
разложив q(z) в степенной ряд вблизи точки za и оставив не-
сколько первых членов разложения; в излагаемой ниже более
строгой процедуре приближенного вычисления этот интеграл
сравнивается с «каноническим», который обладает с ним сход-
ными свойствами и структурой. Такова в основном схема асим-
птотической оценки интеграла /(Q) при больших значениях па-
раметра £2. В общем случае выражение А ведет себя так, как
указано выше,_не на контуре Р,_а на каком-то другом пути ин-
тегрирования Pz. Тогда контур Р деформируют, стремясь совме-
стить его с контуром Рг и соответствующим образом учесть при
этом все пересекаемые особенности функции f(z) (такие, как по-
люсы или точки ветвления) в плоскости комплексной перемен-
ной Z.

В § 1, п. «б», показывается, что точка (или точки) zs, окрест-
ность которой вносит максимальный вклад в интеграл, является
«седловой» или «стационарной точкой» функции q(z), т. е. та-
кой точкой, где обращаются в нуль первая или несколько произ-
водных_функции q(z). Наиболее желательный путь интегриро-
вания Pz совпадает с линией, вдоль которой величина Im p(z)
постоянна. Поскольку нас интересует лишь часть контура Pz,
лежащая в окрестности седловых точек, нет необходимости рас-
сматривать весьма сложные общие выражения для функции
q(z); как было указано выше, для асимптотической оценки ин-
теграла при больших значениях Q достаточно конечного числа
членов разложения q(z) в степенной ряд вблизи zs. Это позво-
ляет преобразовать заданный интеграл к «каноническому» виду,
заменив функцию q(z) другой функцией (полиномом), которая
наиболее простым образом описывает поведение q(z) вблизи
седловой точки zs. Данное преобразование можно записать в ви-
де полиномиальной функции t(s) новой переменной s:

r(s) = q (z),	(2)

причем точке гя в плоскости z соответствует точка s = 0 в пло-
скости комплексной переменной s. Тогда выражение (1) преоб-
разуется к виду

Z(Q)= J G(s)eQx<s}ds,	(3)

р'
где

G(s) = f(z)-^- и -^- = 4Н«	(За)

v J 1 к ' ds ds q (z)	v '

а штрихом обозначены производные по аргументам. Контур Р'
является отображением контура Р на плоскость s.

Путем рассуждений, сходных с проведенными выше, можно
показать, что интеграл /(й) в плоскости s проще всего вычис-
лить на контуре Р, который проходит в окрестности начала ко-
ординат и вдоль которого величина ехр[£2т($)] быстро умень-
шается при удалении от точки s = 0. Контур Р в плоскости s,
вдоль которого Im-r(s) = const и Re-r(s) < Ret(0) в окрестно-
сти s = 0, является отображением контура Pz в плоскости z на
плоскость s. Как правило, контур Р' не совпадает с Р, а поэтому
при совмещении контура Р' с контуром Р следует учитывать все
особенности подынтегрального выражения в формуле (3).

На фиг. 101 представлен типичный случай, когда желатель-
ный путь интегрирования Р и заданный контур Р' можно дефор-
мировать так, чтобы они совпали при |s| = оо. Поскольку в

точке sp имеется полюс, а точка s& является точкой ветвления,
согласно теореме Коши, интегралы по Р' и Р связаны соотноше-
нием

$ = $ + $ + $’ (4)

Р' р рр рь

где Рр — контур интегрирования, обходящий полюс, а Рь —
контур интегрирования вдоль разреза из точки ветвления.

Предположим теперь, что нам нужно приближенно вычис-
лить интеграл (3) вдоль требуемого контура Р, причем функция
G (s) регулярная и медленно меняется в окрестности точки s =
= 0. При больших значениях £2 основной вклад в интеграл (3)
дает окрестность начала координат, так как экспоненциальный
множитель быстро уменьшается при удалении от точки $ = 0.
Поэтому можно написать *):

/(Q) = J G (s) eQx (s) ds ~ G (0) ( eflT <s) ds при Q -> oo, (6)
p	p

*) Эта простая асимптотическая формула справедлива при условии, что
Я— единственный параметр интеграла. Если же Z(Q) зависит от других
параметров, то равномерные асимптотические разложения, соответствующие
эетм параметрам, имеют, вообще говоря, более сложный вид (§ 4—6).
где символ «~» означает «асимптотически равно», а величина
G(0) —значение регулярной функции G(s) в точке s = 0. По-
следний интеграл в формуле (5) и есть канонический интеграл,
являющийся первым приближением к неизвестному интегралу
/(Q) в формуле (1). Асимптотические приближения будут рас-
смотрены позднее в § 2, п. «б».

Из сказанного явствует, как следует выбирать преобразова-
ние (2). Во-первых, величина Rer(s) вдоль Р должна убывать
наибыстрейшим образом при удалении от точки $ = 0, так чтобы
наибольший вклад в интеграл приходился на окрестность на-
чала координат в s-плоскости, причем величина Re т(0) должна
быть как можно меньше; при последнем условии легче получить
асимптотическую оценку. Как показывается в п. «б», из этих
требований следует, что стационарные или седловые точки функ-
ции t(s) [нули функции т'(з)] должны находиться вблизи точки
s = 0 ')• Контур интегрирования Pz в плоскости z (соответствую-
щий контуру Р в плоскости s) проходит вблизи одной или не-
скольких седловых точек zs функции q(z) [нулей функции q'(z)],
причем Re<?(z) спадает вдоль Р2 по обе стороны от zs. Поэтому
преобразование (2) следует выбрать таким образом, чтобы ок-
рестность седловой точки zs в плоскости z отображалась в ок-
рестность точки s = 0 в плоскости s. Во-вторых, производная
dzlds, входящая в формулу (За), должна быть ограниченной при
8 = 0, чтобы функция G(s) была регулярной при s = 0. По-
этому функцию t(s) следует выбирать так, чтобы в точках s8,
являющихся отображением точек zs на плоскость s, производная
r'(s) обладала нулями такого же порядка, как и функция a'(z)
в точках zs. Чем проще функция т(8), удовлетворяющая этим
требованиям, тем проще выглядит интеграл сравнения в правой
части формулы (5). Если у функции f(z) имеются особенности
вблизи точки zs, то функция G (s) имеет особенности вблизи s =
= 0; последние должны быть изолированными, что вынуждает
рассматривать новый класс интегралов сравнения. Целый ряд
важных канонических интегралов сравнения, построенных та-
ким способом, можно выразить через известные функции. К чис-
лу таких функций, используемых в дальнейшем, относятся гам-
ма-функция, функция ошибок (или интеграл Френеля), функция
Эйри и функция параболического цилиндра.

Мы подробно исследуем интегралы в бесконечных пределах со
следующими расположениями особенностей и седловых точек:

1.	Функция q'(z) имеет простой (или кратный) нуль при
z = zs и не имеет других нулей вблизи zs; функция f(z) регу-
лярна вблизи г3 (обычный метод седловой точки) (§ 2 и 3).

’) Если у т' (s) имеется нуль М-го порядка в точке s,, то говорят, что
t(s) имеет в sa седловую точку Л4-го порядка.
2.	Функция q'(z) имеет простые нули в точках zs = Zi и
za = Z2, причем точка Zi расположена сколь угодно близко к
точке Z2; функция f(z) регулярна вблизи точек г\ и (метод
двойной седловой точки) (§ 5, п. «а»).

3.	Функция q'(z) имеет равноотстоящие друг от друга, колли-
неарные простые нули при za = Zi, za = Z2 и za = z3 (т. e. zi —
— z2 = Z2 — Z3), которые могут находиться на сколь угодно ма-
лом расстоянии одна от другой; функция f(z) регулярна вблизи
точек Zi, 2> з (метод тройной седловой точки) (§ 5, п. «б»).

4.	Функция q'(z) имеет простой нуль в точке zs и не имеет
других нулей вблизи этой т<^чки; у функции f(z) имеется про-
стой (или кратный) полюс в окрестности точки za (интегриро-
вание методом седловой точки вблизи полюса) (§ 4, пп. «а» и
<б>).

5.	Функция q'(z) имеет простой нуль в точке zs и не имеет
других нулей вблизи этой точки; у функции f(z) имеется алге-
браическая точка ветвления в точке zs или в ее окрестности (ин-
тегрирование методом седловой точки вблизи точки ветвления)
(§ 4, п. «в»).

6.	Функция q'(z) имеет простой (или кратный) нуль в точке
zs и не имеет других нулей вблизи этой точки; у функции f(z)
имеется алгебраическая точка ветвления в точке zs. [Методом,
изложенным в § 3, задача сводится к вычислению интегралов
типа (5) из § 3, где п — дробное число. В результате получается
гамма-функция, и поэтому мы не будем подробно останавли-
ваться на.вычислениях.]

Основное внимание мы уделим равномерным представле-
ниям, которые корректно упрощаются при соответствующих пре-
дельных условиях. Например, при Zi # z2 случай 2 сводится к
более простому случаю 1; точно так же случаи 4—6 можно све-
сти к случаю 1, если особенность лежит далеко от седловой точ-
ки. Соответствующие интегралы в конечных пределах рассмо-
трены отдельно.

Чтобы проиллюстрировать выбор преобразования (2) и изло-
женные выше принципы, рассмотрим несколько частных слу-
чаев.

Случай 1. Если функция q'(z) имеет в точке zs нуль Л4-го по-
рядка, то функцию т(з) можно взять в виде полинома

Я (z) = т (s) = q (zs) — sM+ *,	(6)

где точка s = 0 соответствует точке z — za, а производная
dzlds = r'(s)lq'(z) конечна при s = 0. Соответствующий ин-
теграл (5) выражается при этом через гамма-функцию (подроб-
ности приведены в § 2). Желательный контур интегрирования
Р — это линия, вдоль которой sM+1 > 0 или, менее строго, где
Re > 0.
Случай 2. Если q'(z) имеет два близко расположенных про-
стых нуля Zi, 2, то можно положить

<7(z) = t(s) = Oo+ <JS — 4г’	(7)

О

где ао и о — постоянные. Поскольку т'(з) имеет два_простых
нуля при S], 2 = ±	» мы положим, что точка Sj = -у/а соответ-

ствует точке Zi, а точка s2 — точке z3, чем будет обеспечена ре-
гулярность производной dz/ds в точках si, 2.

Исходя из соотношений

<7(г1) = т(У<у’)==а0 + т<т’/’»	(7 а)

^(z2) = t(—д/о’) = а0 —-|о’\	(76)

нетрудно выразить ао и о через ?(zll2):

ao==T(O) = y[^(zl) + ^(z2)],	(8а)

£ctS/, = ^.[9(Z])_ gfa)]'	(8б)

В этом случае интеграл (5) с величиной t(s) из формулы (7)
выражается через функцию Эйри (подробности приведены в § 5,
п. «а»). Подчеркнем, что случай двух близко расположенных
простых нулей q'(z) отличается от случая 1 только тогда, когда
эти нули расположены сколь угодно близко друг к другу (т. е.
при ог-> 0). Если же величина о конечна, то формальное асим-
птотическое разложение интеграла (1) при О-»оо можно прове-
сти, учитывая вклады каждого нуля по отдельности. Большин-
ство задач, встречающихся на практике, относится именно к та-
кому классу, и их можно исследовать методом, соответствующим
случаю 1. Вопрос о том, на каком расстоянии друг от друга дол-
жны находиться нули функции т'(5), чтобы их следовало рас-
сматривать совместно, подробно разбирается в § 5, п. «а». То
же самое относится и к случаям неизолированных седловых то-
чек.

Случай 3. При наличии трех коллинеарных равноотстоящих
нулей функцию t(s) можно выбрать в виде

<7 (z) = т (5) = од — (а + s2)2,	(9)

так как _при этом функция х' (s) имеет нули при s = 0 и s =
= ± i 's/а , соответствующие точкам z2 и zb 3. Очевидно, что
,a0 = q(zl) = q(z3), а2 = qfa) — q(z2).	(9а)
Подставив выражение (9) в формулу (5), получим интеграл, ко-
торый выражается через функцию параболического цилиндра.
Подробности вычислений приведены в § 5, п. «б».

Случай 4. Если функция f(z) в формуле (1) имеет вблизи
нуля zs функции q'(z) полюс [т. е. функция G(s) в формуле (3)
имеет полюс около точки s = 0], то метод случая 1 непосред-
ственно неприменим, так как функция G(s) быстро изменяется
вблизи точки s = 0. Мы укажем модифицированный метод вы-
числений, пригодный в случае, когда функция G(s) имеет про-
стой полюс при s = Ь, где 6-*0. Предположим, что G(s) (s—
— b )а при s->fe, где а — постоянная величина. Тогда G(s)
можно представить в^виде

G(s) = T^T + T(s),	(10)

где Т (s) — функция, регулярная при s = b и з = 0 и медленно
меняющаяся в окрестности точки s = 0. Тогда асимптотическое
приближение к интегралу /(й) из формулы (3) при й-*оо за-
писывается в виде [формула (5)]

/(й) ~ Т (0) е* W ds + a J ds,
р	р

(И)

причем т(з) дается соотношением (6), где нужно положить М=
= 1. Первый интеграл в формуле (11) соответствует случаю 1,
а второй интеграл, учитывающий вклад полюса, выражается че-
рез функцию ошибок, или интеграл Френеля (§ 4, п. «а»).

Случай 5. Если функция f (z) имеет точку ветвления первого
порядка вблизи седловой точки первого порядка zs, то соответ-
ствующий канонический интеграл [§ 4, формула (28)] преобра-
зуется в интеграл, получающийся в случае 3, т. е. выражается
через функцию параболического цилиндра.

Выше мы всюду говорили лишь об асимптотической оценке
интеграла /(й) при й -* оо в первом приближении [формула
(5)]. Но можно получить и полные асимптотические разложения
интеграла /(й), содержащие последовательно убывающие при
й -» оо члены, т. е. вычислить приближения более высокого по-
рядка. Полные разложения приведены для нескольких из опи-
санных выше случаев (общая теория таких разложений содер-
жится в работах [1, 2]).

Интегралы в конечных пределах

Если область интегрирования
жду конечными значениями za и
ление интеграла можно провести

в формуле (1) заключена ме-
zp, то асимптотическое вычис-
так же, как и в случае беско-
нечного пути интегрирования Р. Первоначальный конечный путь
интегрирования Рар с концевыми точками z^ и z$ можно дефор-
мировать так, чтобы он проходил вблизи соответствующей сед-
ловой точки zs функции q(z] (или нескольких таких точек). Если
Re^(z) < Re^(zs) вдоль части контура, лежащей вдали от сед-
ловой точки, то основной вклад в интеграл при Q -> оо будет
скова давать окрестность точки zs и асимптотическая оценка

Фиг. 102. Контуры интегрирования при вычислении интегралов в конечных
пределах.

будет совпадать с оценкой для интеграла в бесконечных преде-
лах.

Интеграл	*

/ap(Q) = $ f(z)e^dz	(12)

zn
а

преобразуется в s-плоскости с учетом формулы (2) к виду

Zap(Q)= J G(s)e^ds,	(13)

Лхр	sa

где sa и sp — точки, соответствующие точкам za и z$. Интеграл
(13) можно представить в виде суммы следующих трех интегра-
лов:

/вр ($) = ($ + $ - 5) G (s)eQx <s) ds = 7 (Q) + Ia (Q) + Zp (Q),	(14)

Pa V

где P,Pa и Pp— контуры, изображенные на фиг. 102. Контур Р
совпадает с рассмотренным ранее бесконечным контуром наибы-
стрейшего убывания функции r(s) при удалении от седловой
точки, расположенной в окрестности начала координат, а кон-
туры Ра и Рр — пути интегрирования, соединяющие концевые
точки контура Р, лежащие на ±оо, с заданными концевыми точ-
ками se и «р. Здесь предполагается, что Ret(s) < Ret(O) вдоль
всех отрезков пути интегрирования, идущих от начала коорди-
нат s = 0, и что Re x(s) < Re t(sa, p) вдоль контуров Ра, р. Под-
черкнем еще раз, что при деформации контура Рар и разбиении
/ар(й) на три интеграла (14) необходимо учитывать любые осо-
бенности (полюсы и точки ветвления) функции G(s) вблизи
точки s = 0 [формула (4) и фиг. 101].

Асимптотическое вычисление интеграла /(Q) в формуле (14)
вдоль бесконечного пути Р проводится так же, как и раньше.
Для вычисления вкладов двух других интегралов при Й —► оо мы
учтем, что т'(з) Ф 0 на контурах Ра и Рр (т. е. на контурах Ра
и Рр нет седловых точек). Интегрируя по частям, получаем

=	(15)

р	р

а	а

= _ X G(Sa)eQx<s± _ _L f _d_ FG(s) 1	(s) d (16)

Q -r'(Sa)	£2 JdsLT'(s)J	' '

с учетом того, что экспоненциальные члены обращаются на бес-
конечности в нуль. То же самое можно повторить для интеграла,
входящего в выражение (16). Метод интегрирования по частям
часто весьма эффективен при асимптотической оценке интегра-
лов, подынтегральные выражения которых не имеют седловой
точки на пути интегрирования или в его окрестности. Из выра-
жения (16) видно, что величина /а(й) при й-»оо определяется
множителем (1/Q)exp[Qr(sa)]. Точно так же интеграл 7р(Й)
вдоль контура Рр определяется множителем (1/й)ехр [Qx(sp)].
В то же время интеграл 7(Й) вдоль контура Р, пересекающего
седловую точку, содержит экспоненциальный множитель еСт<°>
[формулы (5) — (7)]. Если Rer(sap) < Ret(0), то, как нетрудно
видеть,отношение |/а>р|/|/| пропорционально exp [й Re [r(sa, р)—
— т(0)]1 (т- е- оно экспоненциально мало при й-*оо). Следо-
вательно, как и в случае интегралов в бесконечных пределах, ос-
новной вклад в интеграл (13) в конечных пределах дает окрест-
ность седловой точки (или окрестности седловых точек) функ-
ции t(s) и мы можем написать, что

7ар(Й)~/(Й) при й -► оо.	(17)

Если экспоненциальный множитель подынтегрального выра-
жения (13) в концевой точке sa — такого же порядка, как и в
седловой точке s = 0 [т. е. ReT(sa) = Rex(0)], то вклад конце-
вой точки в формуле (14) можно оценить так же, как и в фор-
муле (16), и он будет пропорционален (l/Q)eQReT(0>. В этом слу-
чае требуется более точная асимптотическая оценка интеграла
1(0). Из формулы (7) § 3 следует, что при наличии седловой
точки q(z) Af-го порядка при z = zs [формула (6)] интеграл
1(0} пропорционален Q_1/(M+!>exp[Qr(0)]. Поэтому основной
вклад в 7ар(й) при Й->оо снова дает окрестность седловой
точки (или точек), хотя вклад концевой точки мал лишь благо-
даря степенному множителю типа Q-v, где у — положительное
число, меньшее 1, точное значение которого зависит от конкрет-
ного вида функции t(s).

Метод интегрирования по частям оказывается непримени-
мым, если концевая точка приближается к седловой, поскольку
T'fSa) —* О в формуле (16). В этом случае вклады седловой и
концевой точек нельзя рассматривать по отдельности и для
асимптотических оценок следует вводить другие канонические
интегралы. Мы рассмотрим два частных случая: случай един-
ственной седловой точки первого порядка (§ 6, п. «а») и случай
двух смежных седловых точек первого порядка (§ 6, п. «б»), ле-
жащих вблизи концевой точки пути интегрирования. В первом
случае мы приходим к каноническому интегралу вида

sa

который выражается через интеграл Френеля, а во втором слу-
чае нужно знать «неполную» функцию Эйри

qTS~ s’/З 4/5 ф

б. Седловые точки и линии постоянного уровня
и постоянной фазы

Седловые точки

Различные классы интегралов типа (1) можно характеризо-
вать видом функции q(z). При этом можно наглядно изобра-
жать рельеф функции q(z) над комплексной плоскостью г. По-
лучающаяся картина рельефа функции g(z) с его «вершинами»,
«долинами» и «перевалами» облегчает выбор путей интегриро-
вания Р, о которых говорилось в п. «а». Поскольку положение
перевалов определяется стационарными точками zs функции
q(z), исследуем сначала поведение аналитической функции q(z)
в окрестности такой стационарной точки. Напишем

q(z) = u(x, 'y) +iv(x, у), z = x+iy,	(18)
где и, v, х и у — действительные величины. Положение стацио-
нарной точки zs функции q(z) определяется из условия

47 = 0 при z = zs;	(19)

поскольку функция q аналитична вблизи точки zs, функции и и
v тоже стационарны в точке (xs, ys), т. е.

ди	ди	до д» п	_.	/лп\

= -5— = "з- = 0	при	х — xs,	у = ys.	(20)

дх	ду	дх ду	r	st	j js	\ /

Несмотря на то что условия (20) выполняются, поверхности
и(х,у) = const и v(x, у) = const не обладают в точке (xa,ys)

>>• и ; v

Фиг. 103. Рельеф функций и и о в окрестности седловой точки первого
порядка.

абсолютным максимумом или минимумом. Это следует из соот-
ношений Коши — Римана, которым удовлетворяют функции
и и V,
ди ____________________ до ди ________ до	\

дх ду ’ ду дх ’	' '

поскольку из них вытекает, что для седловой точки первого по-
рядка =/= 0)

д2и   д2и д2о  	д2о

дх2	ду2 ’ дх2 ~~	ду2 '

Отсюда видно, что если в точке (xs, ya) кривизна поверхности
и (х, у) = const или v (х, у) = const, скажем, положительна
вдоль оси х, то в направлении оси у (перпендикулярной оси х)
она отрицательна. Поэтому стационарные точки z8 являются
«седловыми точками» (фиг. 103), характеризующими перевалы
рельефа функции q(z). В зависимости от выбранного пути, про-
ходящего через точку zs, величина и(хгу\. а следовательно, и
величина |ехр [Qg(z)]| может вдоль пути либо возрастать, либо
убывать, либо оставаться постоянной.

Линии постоянного уровня и постоянной фазы

Найдем теперь критерий для правильного выбора «наиболее
крутых путей», проходящих через седловую точку (т. е. таких
путей, вдоль которых модуль величины exp[Q^(z)] изменяется
быстрее всего). Из формулы (18) следует, что это такие пути,

Фиг. 104. Путь наибыстрейшего спуска в плоскости г.

вдоль которых быстрее всего изменяется функция и(х,у). Если
обозначить через ds элемент длины вдоль контура интегриро-
вания Р2 (фиг. 104), проходящего через седловую точку zs, то
скорость изменения и вдоль Pz можно представить в виде

du ди dx . ди dy ди .ди .	/ппх

-т~ = -;—1—r^“T72- = ’^~cosa +	sina, (23)

ds дх ds 1 ду ds дх	ду ’ v 7

где а — угол между элементом ds и осью х. Значение угла а,
при котором величина dujds максимальна, определяется из ус-
ловия

d2u л ди .	। ди	/лл \

~д^ = О = - Sin a + cos а,	(24а)

записываемого с учетом соотношений Коши — Римана в виде
0 = -4£-4С_41^ = _^..	(246)

ду ds дх ds ds	'	'

Таким образом, на контуре, вдоль которого и изменяется бы-
стрее всего, величина v остается постоянной, т. е. наиболее кру-
той путь совпадает с линией постоянной фазы. Точно так же. ис-
следуя максимум производной dvlds, можно показать, что вели-
чина экспоненты (т. е. высота «уровня») остается постоянной
вдоль путей наибыстрейшего изменения фазы. Хотя контур, изо-
браженный на фиг. 104, проходит через седловую точку, эти вы-
воды относятся и к линиям постоянного уровня и постоянной
фазы, проходящим через произвольную точку z.

Чтобы найти расположение линий постоянной фазы и по-
стоянного уровня в окрестности седловой точки zs, разложим
q(z) в ряд по степеням (г_zs):

<7(z) = <7(zs) + -21^pL(z_zs)2+	(25)

где двойным штрихом обозначена вторая производная по аргу-
менту. Тогда в, случае седловой точки первого порядка

или

в£2, (г) (gs)eW (*s) (*-,,)« t
eQ4 (*) eQ« (zs)g| '№<1" (zs) (г~г$)г | <cos 2'i’+‘ sIn
t = arg (z — zs) + у arg q" (zs).

(26a)

(266)

(26b)

Поскольку arg у (zs)== const, величина ф меняется лишь при
изменении arg (г zs). Отметим следующие пути ф = const,
проходящие через точку z„ с разным поведением функции
ехр [Qg (г)]:

ф = ±л/4, ±Зл/4 (линии постоянного уровня}1, фаза eQc> <*> изме-
няется наиболее быстро;

Ф = 0, л (линии наибыстрейшего подъема): величина |е2«(г)|
возрастает наиболее быстро, фаза <*> = const;

$=	л/2 (линии наибыстрейшего спуска): величина |	|

уменьшается наиболее быстро, фаза = const.

Эти соотношения иллюстрируются на фиг. 105, а; области,
где абсолютная величина exp[Q</(z)] возрастает или убывает,
названы на схемах «горной областью» и «долиной».

__(“ слУчае седловой точки второго порядка не только q'(zs) =
О,но q (zs) = 0. В этом случае разложение q(z) вблизи сед-

ловой точки имеет вид

q(z) = q (zs) + (z - zs)3 +	(27)

так что

е 9 ((*«> ехр [ | -др <?(з) (2^ (2 _ 2^з | (cos 3^ 4.1 s jn 34)J (	(27а)

где

Ф = arg (2 — г ) 4-2. arg (zs).	(276)

О
Из фиг. 105,6 видно, что в окрестности седловой точки второго
порядка имеются три «горные области» и три «долины». Угол
между двумя любыми смежными линиями в седловой точке ра-
вен 30°. Картина контуров интегрирования для седловой точки

,Долина"

б

Фиг. 105. Ход контуров интегрирования в окрестности седловой точки.

а —седловая точка первого порядка; б—седловая точка второго порядка. Сплошные
линии-пути наибыстрейшего подъема; линии с точками—пути наибыстрейшего спуска;
штриховые линии —пути постоянного уровня.

/n-го порядка строится аналогичным образом и имеет (tn -f- 1)
«горных областей» и «долин»-

Если заданный путь интегрирования можно так деформиро-
вать, чтобы он совпал с линией наибыстрейшего спуска, прохо-
дящей через одну или несколько седловых точек, то, поскольку
абсолютная величина экспоненциального множителя быстрее
всего убывает при удалении от седловых точек вдоль этой ли-
нии, при больших значениях Q интеграл (1) приближенно равен
вкладу окрестностей этих точек. Если же выбрать в качестве
контура интегрирования линию постоянного уровня, то прибли-
женное значение интеграла при больших Q все равно будет оп-
ределяться вкладом областей, лежащих вблизи седловых точек,
так как в них фаза стационарна, а экспоненциальный множи-
тель колеблется настолько Тыстро вдоль оставшейся части кон-
тура, что ее вклад в интеграл оказывается пренебрежимо ма-
лым (метод «стационарной^зазы», § 2, п. «в»). Поскольку в двух
указанных методах используются разные контуры интегрирова-
ния, асимптотическое значение интеграла (1) по линии наибы-
стрейшего спуска не обязательно совпадает со значением, полу-
ченным методом стационарной фазы. Эти два значения совпа-
дают лишь в том случае, если линию наибыстрейшего спуска
можно без скачков совместить с линией постоянного уровня; это
возможно, когда обе линии оканчиваются в одной точке (напри-
мер, в бесконечности) и функция f(z) не имеет особенностей в
промежутке между ними.

Для сложных функций q(z) бывает весьма затруднительно
найти полный путь наибыстрейшего спуска [т. е. все линии, вдоль
которых Im<7(z) = const]. В этом случае можно поступать ме-
нее строго, используя лишь отрезки линий наибыстрейшего спу-
ска в непосредственной близости от седловых точек, где их по-
ложение легко определить (фиг. 105). От остальных же кусков
контуров L требуют лишь, чтобы они проходили ниже уровня
седловых точек, Если подходящая седловая точка лежит на
уровне <?(zs) и Re q(z) Re q(zi) вдоль L, где Req(zi) <.
< Re q(zs), то относительная ошиока асимптотического прибли-
жения, обусловленная неучетом вклада отрезка L, — порядка
О(ехр(Q^(zi)—Q<?(zs)]} (п. «а»)1). Разность между такой
асимптотической оценкой интеграла и оценкой, полученной с ис-
пользованием полного пути наибыстрейшего спуска (ПНС), про-
порциональна разности двух экспонент: одной — содержащей
высоту уровня при z = zi и другой (в случае ПНС) — содержа-
щей расстояние до ближайшей особенности (§ 2, п. «б»). По-
этому рассматриваемые два результата асимптотически эквива-
лентны, если можно пренебречь экспоненциально малыми чле-
нами. Подчеркнем, что учет экспоненциально малых вкладов
(другой~~седловои точки или особенности, лежащей нйжё глав-
ном седловой точки) оправдан лишь тогда, когда они превы-
шают ошибку самого метода наибыстрейшего спуска?

Изложенный упрощенный метод применяется в различных
задачах, рассматриваемых в нашей книге (т. 2, фиг. 132 и 140).

*) Запись g (й) = О [h (й)] при й->оо означает, что величина [§(Й)/А (Й))
остается конечной при Й -> оо. Запись g (й) «= о [h (й)] при й -> оо означает,
что [# (й)//г (Q)] -> 0 при Й -> оо.
§ 2.	ИЗОЛИРОВАННЫЕ СЕДЛОВЫЕ ТОЧКИ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА

а.	Первое приближение

Если подынтегральная функция f(z) в интеграле

I(O) = J f(z)e^^dz	(1)

пне

не имеет особенностей вблизи изолированной седловой точки
первого порядка zs функции q(z), где q'(zs) = 0 и q"(zs)^=0,

Фиг. 106. Контуры интегрирования в плоскости г.

то асимптотическое значение 1(0) дается выражением [см. ниже
полное асимптотическое разложение (17)]

°-(1а)

Следует положить arg (V ) = <)> = arg (dz)Zs, где dz — элементар-
ное перемещение в точке zs вдоль пути наибыстрейшего спуска
(ПНС) [фиг. 106, формула (26) из § 1]. Если q(z) = iq(z), где
— действительная функция переменной г, и zs — действитель-
ная величина, то выражение (1а) можно представить в виде
[формула (20а) ниже]

<Zs ~

I(O) = ( f (z) eiQi)(г) dz ~	j- f (ZS)et3l)	(16)

J	V м и

ПНС

2S	Tfe)^0

Ч^ри условии, что Re(dz) возрастает вдоль ПНС вблизи zs
(фиг. 106).

Подробности вычислений

Поскольку zs — изолированная седловая точка первого по-
рядка, подходящая замена переменных z -* s дается формулой
(16) из § 1 при М = 1:

-а.

Р с(Л

q(z) = x(s) = q(zs) — s2.

(2)
Путь наибыстрейшего спуска Р в плоскости s, вдоль которого
Imt(s) = const, совпадает, очевидно, с действительной осью.
Поэтому интеграл (5) из § 1 принимает вид

I (Q) = eQq J G (s) e~Qs! ds,	(3)

— оо

где

=	(За)

Так как по предположению функция G(s) непрерывна вблизи
точки s = 0, ее можно разложить в степенной ряд

G (s) = G (0) + G' (0) s + G" (0)+ ... +G(n)(O)-J+ •••> И)

равномерно сходящийся внутри окружности с центром в точке
s = 0 и с радиусом г, равным расстоянию от центра до ближай-
шей особой точки функции G(s). Раскрыв по правилу Лопиталя
неопределенность в формуле (За) при s = 0 (т. е. при z = zs),
можно найти первый член разложения (4):

0(0) = f W	(£),.„ =	.	(5)

причем q"(zs) ф 0 в седловой точке первого порядка. Поскольку
ds > 0 вдоль пути интегрирования и в частности при s = 0, ве-
личину arg (dz/ds) рри з = 0 следует выбрать равной arg(dz)
в точке zs вдоль ПНС (фиг. 106). Этим требованием однозначно
определяется квадратный корень в формуле (5). Если функцию
G(s) можно аппроксимировать ее значением G(0) (такой слу-
чай рассматривается в п. «б»), то для 7(й) из формулы (3) мо-
жно написать следующее асимптотическое приближение первого
порядка:

4-00

I (Q) ~ G (0) eQq ('•> J е~^ ds	(6)

— оо

или, с учетом формулы (5) и того обстоятельства, что интеграл
в формуле (6) равен V>

'««-лАга	ст

Полученные результаты применимы к интегралам в конеч-
ных пределах, если выполнены условия, указанные в § 1, п. «а».
Примеры. Для пояснения формулы (7) приведем два про-
стых примера. Сначала рассмотрим гамма-функцию

Г (Q + 1) = J e~xxQ dx = Qa+1 J e~a*za dz => Qa+> j*ea <ln	dz. (8)

0	0	0

Здесь f(z) = 1, q(z)—\nz — z, z3 = 1, q"(zs) = — 1 и
Re^(z) < —1 при z 1. Поскольку ПНС в плоскости z прохо-
дит вдоль действительной оси г, а элемент интегрирования dz по-
ложителен вдоль этого пути, величина (dz!ds)3—o, очевидно, то-
же положительна. Тогда, в силу формулы (7),

Г(Й+ l)~Qa+I л/# e~Q,
\f aa

Q->oo.

(9)

Поскольку q (0) <. q (zs), вкладом концевой точки можно прене-
бречь (§ 1, п. «а»).

Далее рассмотрим модифицированную функцию Ханкеля, оп-
ределенную интегралом
оо

K0(Q)=\_e-Qchtdz, Й>0.	(10)

о

Здесь f(z) =1, q(z) = —ch z, z3 = 0, q"(z3) = — 1. Мы можем
снова воспользоваться формулой (7), введя лишь множитель ‘А,
так как стационарная точка совпадает с начальной точкой ин-
тегрирования, и поэтому интеграл в формуле (3) следует брать
от нуля до бесконечности. В результате получим

Ko(Q)~	Ш)

б.	Полное асимптотическое разложение

Полное асимптотическое разложение ’) функции /(й) (3)
получим, заменив функцию G (s) степенным рядом (4) и почлен-
но проинтегрировав результат:

7(Q)~en<7^f -^-/Я(Й).	(12)

n=0

!) Говорят, что функция I (£2) имеет асимптотическое разложение Z (Q)~
оо

~ У1, anfп ($) ПРИ & -> °°> если для любого числа N и для значения arg □,
п=о

лежащего ja заданном интервале, [Z (□) — 1N (Q) -> 0 при Q -> оо, где
IN (О) в £ anfn (°) (т- е- Ul (Q)//n (°) “> 0 при Q -> оо] [3 — 61.

л«0
Интеграл 7n(Q) выражается через гамма-функцию Г(х), опре-
деленную формулой (8):

оо

/ (Q)= S sne~astds=	при четных п,	(13а)

О	при нечетных п; (136)

результат (136) следует из того, что при нечетных п подынте-
гральная функция интеграла 7П(Й) в симметричных пределах
есть нечетная функция переменной s. Значение Г(п + 1/2) при
п = 0, 1, 2, ... легко получить по рекуррентной формуле

Г (z + 1) = хГ (г) и Г(|) = 7Г.	(14)

В то же время интеграл 7„(Й) можно представить в виде
7„(Q) = (-Dn/2^ J e~Qs'ds =	(15а)

— оо

/ d \п!	/ п	- wk

= 1“ 1а) V o' п₽и четных <15б>

Из выражений (156) и (13а) можно вывести рекуррентную
формулу

7„+2(Q) = (—^)7n(Q), n = 0, 2, 4..... (16)

Таким образом, полное асимптотическое разложение инте-
грала 7(Q) при Q-»oo имеет вид

или иначе

7(Q)

_ еа0 (хз) у, g(2«) (0) Г (" + 2 )
~ VS" L (2п)[ Q"

7(Q)~ea<?(**)£
п=0

G(2n) (0)
(2п)!

(17)

(18а)

Выражение (18а) можно записать в удобной операторной форме
(186)
где Ое(х) — четная функция, которая следующим образом разла-
гается в степенной ряд вблизи точки х = 0:

<18в>
Формулы (17) или (18а) действительно дают асимптотическое
разложение интеграла I(£2) при й -> оо, так как отношение двух
соседних членов разложения, например (N + 1)-го к Af-му, стре-
мится к нулю при Й -* оо, каково бы ни было N (см. примечание
на стр. 474).

Почленное интегрирование в формуле (12) —не вполне кор-
ректная операция, поскольку радиус сходимости г степенного
ряда, как правило, конечен; поэтому такой ряд нельзя использо-
вать при всех значениях з. Ошибку, вносимую при такой опера-
ции, можно оценить, разделив область интегрирования на три
части. В первой области, где | з | = г0 <. г, используется разло-
жение (4), а в двух других областях, где —оо < s <—г0 и
г0 < s < оо, функция G (s) остается неразложенной. Вклад сед-
ловой точки в первой области дается выражением (12) или (17);
вклад концевой точки — порядка О[ехр(—Йф] [§ 1, формула
(16)]. Оставшиеся интегралы от |s| = г0 до оо тоже экспонен-
циально малы, поскольку подынтегральная функция убывает
вдоль всего пути интегрирования [функция G(s) в формуле (3)
подавляется множителем ехр(—Йе2)]. Так как погрешность ока-
зывается экспоненциально малой величиной, причем меньшей,
чем любой степенной член в разложении (17), выражения (12)
или (17) действительно дают асимптотическое разложение при
Й—>оо, если г0 — конечная величина [т. е. если седловая точка
не совпадает с особенностями функции G(s)].

Отметим, что наинизшее приближение для /(й), а именно
соответствующее члену с п = 0 в формуле (17) или (18а), сов-
падает с выражением (7). Для нахождения приближений более
высокого порядка необходимо знать значения высших производ-
ных функции G(s) = f(z)dz/ds при з = 0. Формально производ-
ные dnzfdsn можно найти, последовательно продифференциро-
вав выражение (За) и вычислив получающиеся функции при
s = 0. Другой способ — разложить в ряд функцию q(z) из фор-
мулы (2) в окрестности точки zs и найти s как функцию разно-
сти z — zs. Чтобы определить зависимость z — zs от з, этот ряд
необходимо обратить. Один из способов обращения степенных
рядов указан в приложении 1. Точное выражение для G<2>(0)
дается формулой (6) приложения 1.

При использовании асимптотических рядов очень важно
уметь оценить ошибку, вносимую при обрывании ряда после N
членов. Можно показать [3, гл. 7], что если ^(£) —аналитиче-
ская .функция на действительной оси, имеющая вблизи начала
координат особенность при gi = г ехр(/а), где г—модуль, а
а =£= 0 — фаза, то интеграл
оо

Z=Je-s^(S)^	(19а)

о
можно представить в виде

/v-i

Z = ип + rn,
п=*0

Фм (О) Г (п + Н + 1)

а»+и+1п!

(196)

Un

где ип получается почленным интегрированием разложения
^(£) в степенной ряд (из N членов). Можно показать, что оста-
точный член Rn приближенно равен «w(l — е-*0)-1 и, следова-
тельно, наилучшее приближение для 1 получается при обрыва-
нии ряда на наименьшем члене. Интеграл (3) [или (5а) из § 3,
относящийся к более общему случаю седловой точки М-го по-
рядка] легко сводится к Т в формуле (19а). Как отмечалось ра-
нее, в этом случае имеются лишь экспоненциально малые по-
грешности.

Хотя ранее везде предполагалось, что Q — действительная ве-
личина, нетрудно видеть, что функцию Zn (£2) из формулы (13а)
можно аналитически продолжить в область | arg Q | < л/2, так
как в этой области Re(fis2) > 0 и интеграл сходится. Если Q —
комплексная величина, то процедура аналитического продолже-
ния часто оказывается более удобной, чем введение множителя
exp(iargQ) перед функцией q(z). Таким образом, в области
| arg Q | < л/2 асимптотические разложения (17) или (18а) спра-
ведливы и при комплексных Q.

в.	Первое приближение для интегралов в конечных
пределах, полученное методом стационарной фазы

В § 1, п. «а», отмечалось, что формула (7) для асимптотиче-
ского приближения первого порядка и полное асимптотическое
разложение (17) применимы к интегралам в конечных пределах,
если Re?(z) <_ Req(zs) на участках пути интегрирования вда-
ли от седловой точки zs и подынтегральные функции не имеют
особенностей вблизи z3. Если же предел интегрирования совпа-
дает с седловой точкой zs, то после перехода к переменной s по-
лучаются интегралы типа (13а), где один из пределов интегри-
рования равен нулю. Следовательно, вклад такой седловой точ-
ки равен половине величины (17). Если Req(z) = Req(zs)
вдоль контура интегрирования, то этот контур является путем
постоянного уровня, вдоль которого фаза экспоненты exp[Q</(z)]
меняется быстрее всего. Как отмечалось в § 1, п. «б», в этом слу-
чае можно методом стационарной фазы получить асимптотиче-
скую оценку первого порядка, которая совпадает с оценкой пер-
вого порядка, найденной методом наибыстрейшего спуска, если
функция f(z) не имеет соответствующих особенностей.

Для пояснения сказанного произведем в интеграле (13а)
(при п = 0) замену переменных $ = s exp [—/я/4]. Получаю-
щийся путь интегрирования в плоскости s совпадает с прямой,
образующей угол —45° с действительной осью. Этот путь инте-
грирования можно совместить с действительной осью плоскости
$. В результате получится интеграл, отличающийся от (13а)
только тем, что вместо Q в нем будет стоять IQ, т. е. действи-
тельная ось в плоскости s является для этого интеграла путем
постоянного уровня. Требуемый результат следует из формулы
(7), если продолжить действительную переменную Q на мнимые
значения. В частности, если q (х) — функция действительной пе-
ременной х, то получается формула метода «стационарной фа-
зы» [мы опускаем здесь «крышку» над q, использовавшуюся в
формуле (16)]:

хь

=	(х) м dx ~ ls (Q) U [(х, - х0) (xb - х,)] +

+ /e(Q) + o(-^L), Q—>оо,

где Q > 0 и

( 1 при а > О,
{/(О) = 1 р '
(О при а<Г0.

(20)

Здесь Is — вклад низшего порядка стационарной точки, а именно:

Л(Q) = д/QIД,)I {Xs)±lnli•	(20а) I

a Ie (Q) — вклад низшего порядка концевых точек пути инте-
грирования [§ 1, формула (16)]:

(20б)

1Л \хь)	" \Ха)	J

Мы предполагали, что стационарная точка xs[q'(xs) = 0] нахо- i
дится внутри интервала (хв, х&). Если внутри этого интервала
имеется несколько стационарных точек, то выражение для <
IS(Q) содержит сумму сходных членов, относящихся к различ- |
ным х8. Если седловая точка совпадает с точкой ха или х&, то со- j
ответствующий член в формуле (206) опускается, а выражение
(20а) умножается на ’/2- Если в интервале (ха, хь) стационар-
ных точек нет, то функция Хевисайда 17(a) равна нулю и инте-
грал /(Q) выражается только через /е(^)- Когда одна из кон-
цевых точек уходит на бесконечность, ее вклад обращается в
нуль. Выражение (20) неверно, если седловая точка xs прибли-
жается к одной из концевых точек пути интегрирования; напри-
мер, когда точка xs движется к точке Хь и проходит через нее, -
функция 7е(й) терпит разрыв, так как седловая точка выходит
из области интегрирования, и неограниченно возрастает, по-
скольку q'(xb) —> О при x6->xs. В этом случае требуется более
аккуратная асимптотическая оценка, основанная на функции
ошибок или интеграле Френеля (§ 6, п. «а»).

Пример. В виде иллюстрации к выражению (20) найдем
асимптотическую оценку следующего интегрального представ-
ления функции Бесселя Jn (й):

^-иш/2 л

7n(Q) =—-—J eiS cos х cos пх dx, п = 0, 1, 2, ... .	(21)

о

Здесь f (х) — cos пх, ^(x)==cosx, xs = tnn, причем m = 0, ±1,
±2, .... Область интегрирования содержит две седловые точки:
Xi — 0 и х2 = л, причем q"(x\) = —1 и q"(x2) = 1. Поскольку
седловые точки совпадают с концевыми точками пути интегри-
рования, выражение (20) следует умножить на 1/2. Таким обра-
зом, при ОО

р	1	/ 9тг

4(Q)~v Л/4? [ега-w + е{™е-‘а+1”'*],	(22а)

•fl Z у йй

или	___

УДЙ)~д/-^-со8[й--^--2]. Q->oo. (226)

г. Вычисление методом наибыстрейшего спуска
типичного дифракционного интеграла

Рассмотрим интеграл

cos (г-а)

——dz>

р

0<а<у,

(23)

вдоль пути Р, показанного на фиг. 107. Этот интеграл встречает-
ся в некоторых дифракционных задачах, которые будут рассмо-
трены в следующих главах. Поскольку

Im cos (z — а) = — sin (х — а) sh у

(24)

и й по предположению — положительная величина, экспонен-
циальный множитель убывает в областях у > 0, —л < х — а<
< 0 и г/ < 0, 0 < х— а < л, заштрихованных на фиг. 107. Под-
ынтегральное выражение имеет простой полюс при z = ($, где
Р — произвольное число. Сравнив формулу (23) с формулой (1)
из § 1, можно написать

<7 (z) = Z cos (z — <х), f(z) = -j4j-

(25)
Подходящая седловая точка zs в плоскости z находится из усло-
вия

<7(z)== — zsinfz — а) = 0, т. е. zs = a. (26а)

Путь наибыстрейшего спуска Р2, проходящий через данную сед-
ловую точку, определяется из соотношения

Im q (z) = Im q (zs) — i.	(266)

Переход в плоскость s осуществляется, согласно формуле (2),
заменой переменных

i cos (z — а) = i — s2,	(27 a)

или

s = ± VT einli sin	.	(276)

Хотя мы можем сразу перейти в плоскость s, пользуясь форму-
лой (276), исследуем сначала путь наибыстрейшего спуска Pz
в плоскости z. Вдоль Pz переменная s действительна, а наклон
пути Pz в точке z = zs = а, как явствует из формулы (5) или
(276), таков:

4т I =±V2e-^4.	(28)

as |s=o v

Следовательно, путь Pz составляет уг°л (—45°) с осью х при
z = а. Направление обхода контура Р выбирается соответствен-
но указанному на фиг. 107 направлению обхода контура PZi так
что вблизи точки z — zs мы имеем arg (г — zs) = —л/4 вдоль
Pz и в уравнениях (28) и (276) должен стоять знак плюс. Пол-
ный путь наибыстрейшего спуска определяется из формулы
(266), откуда следует, что Im [z cos(z—a)] = i вдоль Pz> или

x — a = arccos (sch у) вдоль Pz.	(29)

Из этого уравнения можно найти координату х любой точки
контура Р2, как функцию переменной у. Получающийся контур,
имеющий асимптоты при х ==а±л/2, представлен на фиг. 107.

Преобразование контура Р из плоскости z в плоскость s осу-
ществляется по формуле (276), где выбирается знак плюс. По-
лучающийся контур Р' (фиг. 108) имеет в нижней части плоско- ’
сти s две асимптоты: arg s = —а/2 и arg s = л + а/2. Области
в плоскостях z и s, где экспоненциальный член убывает по аб-
солютной величине, заштрихованы на фиг. 107 и 108 косыми ли-
ниями. Поскольку dsldz = 0 при z — а = ±л, в результате пре-
образования (276) в плоскости $ появляются точки ветвления
при s = ± sb = db д/2 exp (Zjt/4). Эти точки ветвления и соответ-
ствующие разрезы показаны на фиг. 108. Путь наибыстрейшего
спуска Р в плоскости s, соответствующий контуру Pz в плоско- j
сти г, лежит на действительной оси $.
Поскольку все рассмотренные контуры начинаются и закан-
чиваются в заштрихованных областях плоскостей z или $, кон-
туры Р и Р' можно совместить на бесконечности с контурами Pz

У

Фиг. 107. Контуры интегрирования в плоскости z (г = х + iy)9

Фиг. 108. Контуры интегрирования в плоскости $.

и Р. При деформации контуров в оставшихся областях плоско-
стей z или s следует учитывать наличие полюса при z ==_|3 [фор-
мула (23)]. Если этот полюс г=р [или s =	sin

(7гР — 7га)] находится в одной из областей Д, В, С (фиг. 107 или
108), заштрихованных вертикальными линиями, то при дефор-
мации контура следует учесть вычет в этом полюсе. В резуль-
тате

оо

Ц (Й, а, р) = 2шега cos <^«>е (р) + eia J G (s) e~Qs2 ds, (30)

— оо

где

	' +1,	если Р (или зр)	лежит в области В или С,
в(Р) = «	-1,  о,	если р (или Зр) если р (или Зр)	лежит в области А,	(30а)  лежит в области А, В, С.

Согласно формуле (27), функция G(s) имеет вид

— 2is

1 dz dz — 2is

z— p ds ds sin (z — a) Vl — cos2 (z — a)

G(s) =

(306)

Простой вид функции dzlds позволяет получить ее полное раз-
ложение в ряд по формуле бинома Ньютона:

< = V2e-M(l-4)-V =

= V2 е~1™ (1 + 4- - ^-$4 + ...) . (ЗОв)

Этот ряд сходится внутри окружности радиусом | s | — д/2, про-
ходящей через точки ветвления. Таким образом, область сходи-
мости_степенного ряда для О (з) следующая: | з | < ^2 при | sp j >
>V2 и | з | < | Sp | при | | < V2 (т- e- область сходимости на-
ходится внутри окружности конечного радиуса, если |зр| > 0).
Первые два члена асимптотического разложения /i (й, a, р) из
формулы (23) при й->-оо имеют, в силу формул (30), (17) и
формулы (2) приложения 1, следующий вид:

Zi (£2, а, Р) — 2nieia cos (р) +

, е1 (£2"я/4) [ИГ (, i г 4 ,11.	1	/оо

+ a-f V О I 4Q L(a-P)2 2.]“^ J’ Q_>0°- (31)

Отметим, что модуль экспоненциального множителя в пер-
вом члене формулы (31), описывающем вклад полюса, ведет
себя как

ехр [— й | sin (pr — a) sh рг | ],

где рг и р.- — действительная и мнимая части величины р. Если
р. #= 0 и рг =/= а, то вклад полюса экспоненциально мал и им
можно пренебречь по сравнению с остальными членами. Если
же Pi -> 0 или рг -»• а, то вклад полюса может оказаться глав-
ным членом, поскольку он остается постоянным при Й->оо. При
учете экспоненциально малого вклада полюса необходима осто-
рожность, если р — комплексная величина, поскольку само
асимптотическое разложение (31) содержит экспоненциально ма-
лую погрешность (стр. 476). Если данная погрешность убывает
медленней, чем exp[iQcos(p— а)], то вклад полюса несуще-
ствен.

Хотя асимптотическое выражение (31) остается справедли-
вым при Q -> оо и при любых значениях р ф а, близость полюса
к седловой точке сказывается на точности приближения при
больших фиксированных значениях Q. Если полюс приближает-
ся к седловой точке [(а—Р) -*-0], то радиус сходимости ряда
для G(s) стремится к нулю. В этом случае разложение (31) ста-
новится неприменимым, поскольку ошибка, вносимая при ис-
пользовании только первого члена разложения, оказывается
большой [формула (196)]. В связи с этим отметим, что величина
VQ|a-p| играет особую роль при установлении справедливо-
сти разложения (31), т. е. при выяснении вопроса о том, лежит
ли_полюс далеко от седловой точки. Если при Q » 1 мы имеем
VQ I a — Р |> 1, то можно считать, что полюс расположен доста-
точно далеко от седловой точки и разложение (31) справедливо;
если же VQ|a — Pl^l при Q 1, то члены разложения стано-
вятся большими и справедливость (31) оказывается под вопро-
сом. В § 4, п «а», где исследуется зависимость асимптотического
разложения Л(Я, a, Р) от величины VQ|a —р|, приведены
оценки интегралов, подынтегральные функции которых имеют
полюсы, расположенные вблизи седловых точек.

д. Подынтегральные функции, имеющие две
изолированные седловые точки. Асимптотическое
разложение интеграла Эйри

Рассмотрим функцию Эйри Ai (о), определенную интегралом

Ai (о) = -jj- cos (у z3 + cz) dz,
о

который можно также представить в виде

оо

Ai(a) = -L- J e^+^dz

— оо

или, после преобразования z -»—iz,

i<x>

Ai^ = lST $ e°*-^dz.

— /оо

(32а)

(326)
Контур интегрирования в формуле (326) можно сместить от
мнимой оси» так как поведение подынтегральной функции при
[zT-»оо определяется множителем ехр(—z3/3) Мы имеем
Re (г3) >0 в следующих секторах плоскости z: 1) |argz| <
< л/6, 2) л/2 < arg z < 5л/6, 3) —л/2 > arg z > —5л/6. Сле-
довательно, на основании теоремы Коши интеграл (326) можно
вычислить вдоль любого контура L32 в плоскости г, который, как
показано на фиг. 109, начинается при |z| -* 00 в секторе 3 и

Фиг. 109. Контуры интегрирования для функций Эйри (Rez3 >0 в заштри-
хованных областях).

оканчивается при |z| —> оо в секторе 2. Из формулы (326) сле-
дует, что функция Ai (о) удовлетворяет дифференциальному ура-
внению

(-3^ - °) Ai (’) - - -sr S (" - т) - “ <33>

Z/32

где было учтено, что подынтегральная функция является пол-
ным дифференциалом и обращается в нуль в конечных точках
пути интегрирования L32.

Второе независимое решение уравнения (33) возьмем в виде

Bi(<r)==-L- J е~-г’/з dz,	(34)

L21+L31

где L21 и L3i — контуры, показанные на фиг. 109.

Экспонента в формуле (326) или (34) имеет стационарные
точки первого порядка при

о — z^ — O, т. е. == ± V<r.	(.35)
Если о — большая величина, то седловые точки расположены
далеко одна от другой и при а-> со можно получить асимптоти-
ческое разложение функций Ai (о) и Bi (о), учитывая вклады
седловых точек по отдельности [5]. Чтобы преобразовать экспо-
ненту к виду ехр [й<?(z)], где q(z) не зависит от Q, следует вве-
сти параметр

Q = а’Л	(36)

и новую перменную z = Q~'lsz (будем считать, что Q и а — по-
ложительные величины). В результате получим

лУз р

Ai(o)==-—	(37а)

Ьз»
п’/з р
Bi(o) = -^— \ eQ <*-«’«> dz.	(376)

Lji+Lsi

Здесь мы снова для удобства пишем z вместо z. Седловые точки
экспоненты лежат теперь при

zs=±l.	(38)

Пути наибыстрейшего спуска и подъема, проходящие через
седловые точки, определяются из условия постоянства фазы:
Im q(z) = Im q (zs). Поскольку q(z) = г — z3/3, где z = х + ly,
нетрудно получить уравнение этих путей:

y(^2-3x2 + 3) = 0.	(39)

Таким образом, пути наибыстрейшего спуска и подъема прохо-
дят по действительной оси в плоскости г и вдоль гиперболы
Зх2—г/2 = 3. На фиг. НО показаны пути наибыстрейшего спу-
ска, проходящие через седловые точки zs = ±1. Из вида функ-
ции q(za) следует, что точка zs = 4-1 лежит выше точки zs —
— —1. Поскольку гипербола на фиг. ПО имеет асимптоты у —
==±УЗх (т. е. arg г — =F 2л/3), пути наибыстрейшего спуска,
как нетрудно убедиться, оканчиваются в областях, заштрихо-
ванных на фиг. 109. Следовательно, любой из контуров на
фиг. 109 можно деформировать так, чтобы он совпал с соответ-
ствующим путем наибыстрейшего спуска, проходящим через сед-
ловую точку.

Теперь мы можем написать формальное асимптотическое
разложение интегралов (37) непосредственно на основании фор-
мулы (17). В случае функции Ai (о) седловая точка лежит при
zs = —1, а путь наибыстрейшего спуска имеет такой вид, как
на фиг. 110, а. Переход в плоскость s осуществляется в резуль-
тате преобразования	(С&Ч. lU'wt»	о**"/}

<7(z) = z--y- = -|--s2,	(40)
где s — действительная величина, изменяющаяся от —оо до +°°
’ вдоль пути наибыстрейшего спуска. Таким образом,

dz ___ — 2s

ds 1 — z2

и на основании формулы (5)

dz I

dS |sn>0

(41а)

(416)

Если предположить, что точки з = —оо и з = Н-оо соответст-
вуют нижней и верхней концевым точкам контура Ь32 на

Фиг. ПО. Пути наибыстрейшего спуска, проходящие через седловые точки
zs = ± 1.

а —при 2^= —1; б —при ^= + 1.

фиг. 109, то из направления обхода контура следует, что
dz/ds = +л/2 при га = —1, т. е. в выражении (416) надо вы-
брать знак плюс. Тогда на основании формул (186), (36) и
(37а) можно получить формальное асимптотическое разложение
функции Ai (а):

Ai (°) ~	[G*(V~	°°’ (42)

первый член которого имеет вид

(42а>

В нашем случае довольно просто получить полное разложение
функции G(s) = dz/ds в ряд по степеням $, а следовательно, и
общий член G<2n)(0). В результате полное асимптотическое раз*
ложение функции Ai (а) будет иметь вид [б, 6]

А1(о)_______1 ,	(43)

зУла^’	Vsi(2n)!(—9а ^!)

Хотя мы и предполагали, что а, а следовательно, и Q — поло-
жительные действительные величины, полученные результаты,
как отмечалось в п. «б», применимы и- при комплексных й, если
| arg й | < л/2. На основании формулы (36) можно заключить,
что разложения (42) и (43) справедливы при комплексных зна-
чениях о, лежащих в секторе | arg ст| < л/3 [т. е. разложение
(43) равномерно сходится в этой области arg а при |ст| ->оо].

Для асимптотической оценки функции Bi (о) необходимо пре-
образовать контуры £21 и £31, изображенные на фиг. 109, в соот-
ветствующие пути наибыстрейшего спуска, проходящие через
седловую точку z3 = +1 (фиг. 110,6). Путь наибыстрейшего
спуска, соответствующий контуру £21, состоит из участка дей-
ствительной оси плоскости z, изображенной на фиг. 110, б, и
верхней ветви гиперболы; путь, соответствующий контуру £3i,
состоит из нижней ветви гиперболы и участка действительной
оси. Переход в плоскость s осуществляется для обоих контуров
£21 и £31 в результате преобразования

q(z) = z—у = у	s2’	— сю < s < 00,	(44)

из которого следует, что dzjds определяется, как и раньше, со-
отношением (41а). Однако из формулы (5) видно, что dz/ds =
= ±1 при s = 0; из направления обхода контуров £21 и £3t вы-
текает, что в последнем равенстве необходимо брать знак плюс.
Тогда при о->оо получим в первом приближении

Bi(CT)~ <45)
у Л СГ

а для полного асимптотического разложения [б, 6] аналогично
формуле (43)

1	” Г (зп +4-1

(45а)

П=*0

Как и в случае функции Ai (о), разложение (46) равномерно по
arg о при комплексных значениях о, если | arg о| < л/3.

Чтобы выяснить асимптотическое поведение функций Ai (о)
и Bi (о) при больших отрицательных действительных значениях
величины ст, удобно исследовать функции Ai(—о) и Bi(—ст), где
ст > 0. Эти функции определены в формулах (326) (где £32 —
контур интегрирования) и (34) и могут быть представлены по
аналогии с формулой (37) в виде
q’/з г

Ai(—а) = -^-т- \ е~° <г+2’/з) dz, Q = </'«> О,

4 32
п’/з С

Bi (- <т) == 4- \ е-аи+г’/з) dz.

/Я J
^*21+^31

(46а)

(466)

Седловые точки находятся теперь при zs = ±i, так что
|ехр [Q<?(zs)]| = 1 для обеих седловых точек, т. е. они обе ле-

Фиг. 111. Пути наибыстрейшего спуска, проходящие через седловые точки
zs = ± I.

жат на одинаковом уровне. Пути наибыстрейшего спуска, про-
ходящие через седловые точки, удовлетворяют уравнениям
Im<7(z) = Imz7(z8) = ±2/3, или

^-3x2r/-3z/ = ±2.	(47)

При больших значениях х и у кривые третьего порядка (47)
имеют асимптоты </ = 0и у=±'\/Ъх. Поскольку пути наибы-
стрейшего спуска должны оканчиваться в заштрихованных об-
ластях фиг. 109, необходимо выбрать в качестве таких путей ли-
нии, изображенные на фиг. 111. Сравнив фиг. 109 и 111, можно
убедиться, что контуры L2i и L3i могут быть сразу переведены
в пути наибыстрейшего спуска P2i и Р&1, а контур L32 должен
сначала идти вдоль Рц, а затем вдоль Рп, проходя через обе
седловые точки.

Переход в плоскость s осуществляется преобразованием
q(z)*= — z—y = + -|t — s2,	— 00 < s < 00,	(48)
где верхний и нижний знаки соответствуют значениям zs = ±/.
Таким образом,
dz __________________________ 2s

~ds~ I 4- г2 ’

а из формулы (5) следует, что

dz I	( e-inn ца контуре P2b

ds |s-o= ( егя/4 на контуре P3l.

(49а)

(496)

Асимптотическая оценка интегралов (46) при й->оо следует
непосредственно из формулы (17). В первом приближении

/21 == $ е~а <?+z3/3> 4z ~ е-<’/за-<я/4
р»

/31 = е-а («+г’/з) dz ~ e«’/.8+W4

Pi\

(50а)

(506)

Интеграл (46а) равен /31 — /2ь а интеграл (466) равен 73i + hi5
следует учесть положительное направление обхода контуров P2i
и Рзь отмеченное на фиг. 111. В результате получим следующие
асимптотические приближения первого порядка, справедливые
при а-* оо [формула (36)]:

^=7Г81"(1“‘,'+т)'	(51а)

+	<S16>

Можно показать [5, 6], что полные асимптотические разложе-
ния функций А1(—о) и Bi(—о) при а-*оо имеют вид
"<-’>=	{р <“> sin (I	+ f) - «<’>cos (т °’' + т)} 

(52а)

Bi01 =	<’> “= (I <’’ + т) + «<’> (I	+f)} -

(526)

(52в)

(52г)

(4« + 2)Ц9а'«).

где

! ~ г(б«+1)(-1)л
(4п)!(9а%)2'1

и

» г(бп+4)(-1)»

Q(а) ~ 4- У —----------
Как и раньше, соотношения (51) и (52) оказываются также
справедливыми при |о|->оо, если |argo|<n/3.

Когда аргумент функции Эйри не является отрицательной
действительной величиной, тригонометрическую функцию можно
аппроксимировать экспонентой, вносящей основной вклад в ин-
теграл. В этом случае можно показать, что при я/3 < arg о < я
для функций Ai (о) получается формула (42а). Таким образом,
эту формулу можно использовать при 0 < arg а < л, а при
arg ст л следует переходить к формуле (51а). Справедливость
последнего утверждения можно установить, изучая явление
Стокса, которое подробно рассматривается в работах [7, 8]. Мо-
жно также показать, что формула (42а) остается сйраведливой
при —2л/3 arg о 2л/3, а формула (51а) — при 2л/3

arg о 4л/3. Сшивание этих двух формул происходит при
arg ст — 2л/3, где дающая основной вклад экспонента достигает
своего максимального значения.

§ 3. ИЗОЛИРОВАННЫЕ СЕДЛОВЫЕ ТОЧКИ БОЛЕЕ
ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

Если в подынтегральном выражении

Z(Q)= J f (zje^^dz
zs

(1)

функция f(z) не имеет особенностей вблизи седловой точки ze
Al-го порядка функции q(z), для которой q^(zs) — 0 при п — 1,
2, ..., М и ^M+*>(z,) #= 0, то асимптотическое разложение I(Q)
имеет вид

7(Q)~[

-(М 4-1)1

<7<M+,)(zs)

]'/(M+1)f(zs)ea<?^)

Г[1/(М4-1)1
(М+ 1)QI/(M+I> ’

Q->oo, (2)

где (М + 1)-й корень в первом сомножителе выбран так, что
arg {[ ]1/IM+I)} = ^ = arg(dz)^. Здесь dz —элемент пути наибы-
стрейшего спуска, который начинается в точке zs и оканчивается
в соответствующей «долине» при z = оо (не обязательно про-
ходя вдоль действительной оси плоскости z) (фиг. 112). По-
скольку все (М + 1) «долины» достижимы из седловой точки
Л4-го порядка, участки пути наибыстрейшего спуска (при М >
> 1),. выходящие из седловой точки и входящие в нее, могут
быть неколлинеарными. В этом случае каждый участок пути
рассматривается отдельно, причем каждый из них дает вклад
типа (1).
Подробности вычислений

Если функция q(z) в формуле (1) имеет одну подходящую
седловую точку Л4-го порядка zs [т. е. q^(zs) —0 при п =
= 1, ..., М, q(M+r>(zs) 0], то соответствующее преобразование
для перехода в плоскость s имеет вид [§ 1, формула (6)]

<7(z) = t(s) = <7(zs) —sM+l.	(3)

Требованием Imq(z) = const (т. е. sM+1 >0 вдоль путей наи-
быстрейшего спуска) определяются следующие возможные кон-

туры в плоскости s:

2цл
arSs=WT’

(4)

р = 0, 1, 2, ..., М.

Таким образом, (М + 1) путей
наибыстрейшего спуска, начинаю-
щиеся в седловой точке zs плос-
кости z [фиг. 105, б при М = 2],
преобразуются в (Л1 + 1) прямые
линии (4) в плоскости s. Послед-

пнс

Фиг. 112. Контур интегрирования
в плоскости г.

ние начинаются при 5 = 0 и
оканчиваются при ]5|=оо. По-
скольку 5M+i ;> о вдоль любого пути (4), можно без потери

общности рассматривать случай р, = 0, когда путь наибыстрей-
шего спуска в плоскости s совпадает с положительной действи-
тельной осью. Тогда интегралы /п(й) из формулы (13) § 2 мож-
но на основании формулы (3) представить в виде

In (Q) = J srte-asM+1 ds =	(5а)

= г ( ]+И а~(1+п)/<м+1)
Г I М. 4-1 ) М + 1	’

где интеграл (5а) был вычислен с помощью гамма-функции, оп-
ределенной в формуле (8) из § 2. Асимптотический характер
окончательного разложения (17) из § 2 при й->оо можно пока-
зать так же, как и в § 2, п. «б».

Разложив q(z) в формуле (3) в степенной ряд вблизи точки
zs, можно сразу же получить

-s-l г4тетГ+'’

где £— соответствующий (М + 1)-й корень из единицы. Выбор
корня определяется заданным путем наибыстрейшего спуска
[формула (4)], в остаточном члене было взято главное значение
(М + 1)-го корня. На основании формулы (12) из § 2 и фор-
мулы (5) данного параграфа легко получить следующее выра-
жение для интеграла 7(й) в приближении первого порядка (при
р = 0):

оо

T(Q) = J G(s)ea'™ds~

О

Г-(М + 1)111/(М+1) ,, , Q? (г) Г[1/(7И-Ы)1 m
b(M+!)C?s)J Me' (М + 1)QV(M+O ’

где было учтено, что G(s) = f(z) (dz/ds). При М = 1 выраже-
ние (7) почти совпадает с выражением (7) из § 2, отличаясь от
него лишь отсутствием множителя 2, который возникает там из-
за того, что область интегрирования в формуле (6) из § 2 рас-
пространяется от s = —оо до s =-f-оо. Если у функции G(s)
имеется точка ветвления при s = 0, то подынтегральная функ-
ция в формуле (5а) будет содержать не sn, а $п+₽, где 0 — дроб-
ное число, большее единицы. Окончательное выражение для
1п (й) также содержит гамма-функцию.

§ 4. СЕДЛОВАЯ ТОЧКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА,
ВБЛИЗИ КОТОРОЙ РАСПОЛОЖЕНЫ ОСОБЕННОСТИ

а. Простой полюс

Если в интеграле

7(Q) = J f{z)e^^dz
пне

(1)

функция f(z) имеет простой полюс при z = zo, расположенный
вблизи седловой точки первого порядка zs функции q(z) [т. е.
q'(zs) =0, q"(zs) ¥= 0], то асимптотическое приближение 7(й),
равномерно справедливое при z0-*zs, имеет вид [9—12] [полное
асимптотическое разложение дается формулой (16)]

I (Q) ~ eQq <**> { ± i2a	e~wQ (т ib VQ) 4- д/-$- Т (0)}.	(2)

Im&^O, Q->oo,
где	__________

а = lim [(z — z0) f (*)], b=*^]q(zs) — q(z0),	(2a)

Z->Z0

T(0)«Af(zs)4-f. л = д/тоГ’ (26)

Q (y) = J e-x' dx, Q (y) 4- Q (— y) =	(2b)

M
Квадратный корень в формуле (26) определен таким образом,
что arg Л — ss (arg dz)2s, где dz — элемент пути наибыстрей-
шего спуска, a arg b определен так, что b -> (z0 — za) /h при
«о -> zs. Если q (z) = IQ (z), где — действительная функция пе-
ременной z, и z8 — действительная величина, то arg h = ±л/4
при q"(zs) ^0 и при условии, что Re(dz) возрастает вдоль
ПНС вблизи точки zs (фиг. 113). Скачок величины 7(й) при из-
менении знака Im b от плюса к минусу в точности равен вычету
подынтегральной функции в точке z = Zo (фиг. 113). Из послед-
него соотношения в формуле (2в) следует, что в выражении (2)
можно взять как Q(-ib VQ), так и Q(+ib л/Q)-

a	d

Фиг. 113. Контуры интегрирования и расположение полюсов в плоскости z
а—при Im Ъ 0; б—при Im &»==0.

Если Im b — 0, то вместо выражения (2) имеем
7(й)~	_

~ eQl>^i2aд/л e~ab'Q(—ib^Q) — aiae~Qb' + д/ J Г(0)}. (3)
В этом случае полюс Zo лежит на ПНС, поскольку должны вы-
полняться условия Im q(z0) = Im q(za) и Re <?(z0) < Re <7(zs),
чтобы величина b была действительной. Выражение (3) дает
асимптотическое приближение к главному значению интеграла
(1). Если полюс и седловая точка совпадают, то b = 0, Q(0) =
= у2д/л и	___

I (й) ~	д/-§- Т (0), zo = z„	(4а)

где величина Т(0) остается конечной при Zq -> zs и определяет-
ся выражением

Т (0) = hf (zs) 4-------------------—--------.-----------п- =

(г0 — г,) {1 + [</3> (zs)/3q" (zs)J (z0 — zs) + ...} ‘

= Л [g (zs) — a ] > zo = zs. (46)
Здесь g (z) = f (z) - a (z — z0)-1.
Подробности вычислений

Если функция f(z) в интеграле (1) имеет простой полюс при
z — Zo, расположенный вблизи седловой точки первого порядка
zs, то функция G(s) в формуле (3) из § 1 тоже имеет простой
полюс при $ = b в окрестности точки s = 0. Предположим, что
G(s)(s— &)—>а при s-+b; тогда функцию G(s) можно пред-
ставить вблизи s = 0 в виде

=	+	(б)

Удобно воспользоваться тождеством
а ______________________ as , ab	/е ч

s — b e s2 —	+ s» — ьг

и разложением

Г(«) = Г(0) + Т,(0)«+Г,,(0)4+ ...»	(56)

непрерывным при s = b и имеющим радиус сходимости, не
зависящий от наличия полюса.

Поскольку седловая точка — первого порядка, преобразова-
ние (,2) из § 2 остается справедливым и выражение (1) можно
записать в виде (отметим, что s — [q(zs) — q(z)]l,t, h = {dz[ds)a^
и а = lim [(z — z0) f (z)J = lim [(s — b)O ($)])
z-»z0	s->b

I (Q, b) = eQq	J* G (s) e-Os’ ds,	(6)

—oo

откуда, в силу формулы (186) из § 2, следует, что

/(О, 4)~г°«Ыа,(д/-^) Vt •	<7)

где [формула (5)]

(д/— ~dQ ) = (d/dQ) + ь2 “* Те (л/~"doO •	(8)

Оператор, действующий на Vл/Q и определяющийся последним
членом в формуле (8), совпадает с аналогичным оператором в
формуле (186) и приводит к такому,же формальному асимпто-
тическому разложению, как и в формуле (17) из § 2.

Отметим, что интеграл (6) с функцией G(s), заданной выра-
жением (5), определен лишь при Im 6 =# 0 и не существует, если
величина b действительна или равна нулю. Исследование ана-
литических свойств интеграла (6) как функции величины b при
Im b -+ 0 показывает, что он терпит разрыв при пересечении дей-
ствительной оси Ь.
Предположим, что точка b приближается к действительной
оси сверху (т. е. b -> br -|- ib, где Ьг и б — действительные вели-
чины, причем б>0). В этом случае путь интегрирования ис-
кривляется при s = &г +/б, как показано на фиг. 114, а. Если
же b-+br — ib, то соответствующий путь интегрирования имеет
такой вид, как на фиг. 114, о. Чтобы найти скачок функции
I(й, Ь) при пересечении действительной оси Ь, рассмотрим раз-
ность /(й, bf^-ib)—I(Q,br — ib) и учтем, что вклады прямых

Плоскость s

br
--------*

Плоскость з

Фиг. 114. Контуры интегрирования,
а —при Im Ь=0+; б —при Im 6=0—.

участков путей интегрирования, изображенных на фиг. 114, вза-
имно уничтожаются; остается лишь вклад небольшой окружно-
сти, обходящей полюс s = br в положительном направлении. По-
скольку функция T(s) из формулы (5) регулярна внутри этой
окружности, ее вклад равен нулю и остается лишь вычет в точ-
ке s = b ’), т. е.

I (й, br + ib) -1 (й, br - ib) =	Ь -> 0.	(9)

Оператор

Л(й, Ь)

— ab / л
(d/dQ) +b2 Л/ Й ’

(10)

определенный первым членом формулы (8), можно раскрыть с
помощью обыкновенного дифференциального уравнения первого
порядка	__

(•^ + 0-4(0, Ь).--аЬл^.	(10а)

*) При выводе формулы (9) можно использовать обобщенную функцию
(гл. 1, § 2, формула (6в)]

lim ---------— = Р —-— ± л/d (s т- b)t

Ъ+q s — io s — b

где 6(x) -—дельта-функция, a P — главное значение.
Чтобы найти нем замену	частное решение уравнения (10а), произведем в  Л(Й, b) = e~Qb,B(Q, b);	(11)
это даст нам	W	«W-Vf-	(12)

Проинтегрировав обё части равенства (12) по й в пределах от
й до оо, получим
00

В (Й, Ь) = аЬ^/я\ еаь'&~,,г dQ-,	(13)

£2

здесь было временно предположено, что Ь* 2 < 0 *), откуда, в си-
лу формулы (11), следует, что В (со, Ь) = 0, если Л(оо, Ь) —ко-
нечная величина2). Производя в формуле (13) замену перемен-
ных й = —х2/Ь2, или х = ЯР ib Уй, получаем

В(Й, b) = 2aV«^^Q[=Fib Уй],	(14)

где Q (у) — „дополнение функции ошибок", т. е.

Q (у) — J е~х‘ dx,
у

(14а)

Двузначность, появившаяся в формуле (14) в результате за-
мены переменной, устраняется благодаря приведенному ранее
условию В (со, Ь) = 0 при Ь2 < 0. Поскольку величина (14а) об-
ращается в нуль, если нижний предел интегрирования стре-
мится к бесконечности вдоль положительной действительной
оси, при Ь2 <. О справедливо следующее правило выбора знака:

Я= ib > О

(146)

(т. е. надо брать знак минус, если b = t|£>|, и знак плюс, если
b = —i\b\).

4) Более общее условие: Re b2 < 0.

2) Другой вывод формулы (13) при Ь2 < 0 таков:

6)^ J -L___ds= J	=

— oo	—oo £2

= (	( e~^ds = л/п f	dl.

Q	-oo	£2
Выражение (14) можно аналитически продолжить в область,
где не выполняется условие Ь2 < 0. Подставив выражение (5) в
интеграл (6) и сравнив результат с выражениями (8), (10) и

5

Фиг. 115. График функции

°©	jjt/4

F ** | F | е(х =» е~( e~v' dy. Г F « -^=—|- О (—при больших £

J... L V2ng Ч37

(11), можно показать [13], что величина B(Q,b) представляется
также в виде определенного интеграла:

~ -Qs’	? -as>

B(Q, 6)==а&е26’J /^ds^ae^\ T=bds- (15)

Легко видеть, что величина (15) удовлетворяет дифференциаль-
ному уравнению (12). Поскольку выражения (14) и (15) дают
одну и ту же функцию В при Ь2 < 0 и поскольку выражение
(15) справедливо при любых Ь2, кроме Ь2 0, мы можем ана-
литически продолжить выражение (14) в область любых значе-
ний Ь2, кроме Ь2 0. Аналитическое продолжение от чисто мни-
мых значений b (Ь2 < 0) в область комплексных значений дол-
жно быть согласовано с условием (146). Для этого ввиду ана-
литических свойств функции (14а) необходимо ввести более об-
щее правило выбора знака в формуле (14), а именно
Re(Tift)>0 (т.-е. следует брать знак минус, если Imfe>0, и
знак плюс, если Im b <. 0).

Тогда на основании выражений (7), (10) и (14) мы можем
написать асимптотическое разложение интеграла (6) при Й > 1
и произвольных значениях параметра Ь:

I(Й, Ь) - еа<г	{ ±i2a У л e~Qb'Q( =F ib У Й ) +

+ r>(V-^s-)V^(»»

низший член которого [7’e->T(0)] совпадает с величиной (2).
Таким образом, асимптотическое разложение интеграла, подын-
тегральное выражение которого содержит простой полюс, рас-
положенный вблизи седловой точки, почти совпадает с разложе-
нием интеграла без полюса, отличаясь от него лишь отсутствием
дополнительного члена, выражающегося через функцию ошибок
Q. Функция e_£26!Q(T ib Уй) табулирована для действительных
и комплексных значений аргумента b Уй (фиг. 115).

Представляет интерес получить из соотношения (16) приве-
денное ранее выражение для скачка, претерпеваемого функцией
/(й, Ь) [формула (9)] при переходе величин Im b от положитель-
ных значений к отрицательным. Как и ранее, положим

bi,2 = br±ib, br, S действительны, S->-[-0.	(17)

Поскольку функция Те (У— d/dQ) Ул/Й непрерывна при всех
значениях Ь, скачок [/ (й, bi) — I (й, 62)] определяется выраже-
нием

_	2	__ ___________

1Я b) \ЬЬ“_ЬЬ\ = 2iaУл e~Qbr[_Q(-ibr У Й)+ Q(ibr Уй)]eQ?<4 (18)

Для нахождения суммы [Q(ia) + Q(—ia)] выбираем путь инте-
грирования в формуле (14а) от ±ia до 0 и далее от 0 до оо
вдоль действительной оси. Тогда

0	0	оо

Q(ia)-j-Q (—/а) = $ е~х"' dx +	е~*г dx = x/n, (18а)

-ia	/а	0
так как первые два члена в первом равенстве (18а) взаимно
уничтожаются. В результате выражение (18) переходит в полу-
ченное ранее выражение (9).

Функция	_

В(Q, b) = i2alb л/Q.)	(19а)

равна интегралу (15) при всех комплексных значениях Ь, если
рассматривать его как определение аналитической функции В
аргумента Ь. Действительно, предположим сначала, что Im b >
> 0; в этом случае эквивалентность выражений (15) и (19а)
была нами уже доказана. Чтобы обобщить полученный резуль-
тат, сместим путь интегрирования (15) в нижнюю половину
комплексной плоскости $. Это не меняет значения функции В,
так как при смещении контур не проходит через особые точки
[в данном доказательстве удобно заменить величину аЬЦз2 —
— Ь2) в подынтегральном выражении величиной a/(s — й)]. Вид
функции В, определенной вдоль нового пути интегрирования, не
изменяется даже в том случае, когда полюс $ = Ь проходит по-
перек действительной оси плоскости s, если только он не пере-
секает смещенного контура интегрирования (последний, оче-
видно, всегда можно сместить так, чтобы он лежал ниже произ-
вольно расположенного полюса). Следовательно, интеграл (19а)
выражается через «дополнение функции ошибок» при любых
значениях Ь, если контур интегрирования лежит ниже полюса.
Чтобы найти интеграл в случае контура, совпадающего с дей-
ствительной осью, нужно сместить контур интегрирования в про-
тивоположную сторону и учесть вычет в полосе s = Ь. Тогда при
Im b < 0

_	_	Т

B(Q, b) = i2a -y/nQ^—lb Vq) = /2na-f-a \ 7—r-ds =

— 00

= i2na — i2a Vji Q (fft Vq ), (196)

причем последнее равенство следует из формулы (14). Посколь-
ку Q (х) + Q (—х) == д/зт [формула (18а)], оба представления,со-
держащиеся в формуле (196), эквивалентны и дают аналитиче-
скую функцию S(Q, b) при любых значениях Ь. Этим можно
воспользоваться для упрощения асимптотических разложений
аналитических функций, определяющихся интегралами, подын-
тегральные выражения которых содержат полюсы [в частности,
можно записать в более простом виде соотношение (34)].

Если b — достаточно большая величина (так что b^/Q —
тоже большая величина), то в формуле (16) можно воспользо-
ваться асимптотическим разложением функции Q(=F/&Vq).
Такое разложение можно получить непосредственно из формулы
(13)	путем последовательного интегрирования по частям или
разложения функции (s2^-b2)-1 в формуле (15) в ряд по сте-
пеням s2:

В (Q, b) = ± 2ia д/л Q (q= ib д/й ) ~

— —	д/_ [14-0	(20)

Тогда асимптотическое приближение первого порядка для I(Q,
b) из формулы (16) дается выражением

/(Q, b)~eQq^	(21)

где

+ ' (21a)

В рассмотренном случае полюс расположен «далеко» от начала
координат в плоскости s и выражение (21) совпадает с форму-
лой (7) из_§ 2- Установить же, достаточно ли велико произведе-
ние | b | VQ, чтобы можно было пользоваться выражением (20)
при заданной точности расчетов, мы сможем, сравнив выраже-
ние (20) с точными значениями функции (14), которые при за-
данном b можно взять из таблиц. Подобное сравнение бу-
дет проведено ниже [формула (38)] и далее в частном случае
arg (±6) = я/4.

Если |&|—>0, то функция Q(=F ib V&)-> д/л/2.

б. Полюс более высокого порядка

Если функция G (s) имеет полюс N-ro порядка при s = b, то
ее можно представить в виде [формула (5)]

сй-^ + 7Й^+-+^ + П»). га
где T(s) — функция, непрерывная при s = Ь. Чтобы получить
асимптотическое разложение /(Q, Ь) в этом случае, необходимо
исследовать интегралы типа

При N = 1 (и а_1 = 1) соответствующие результаты даются
формулами (14) и (11):

Д_( (Q, b) ± 2/	e~Qb‘Q (т ib VO ),	Im b 2= 0.	(24)
I	Из выражения (23) следует, что

A-N (Q, b) =	A~n+x (Q, b),	N = 2, 3..... (25)

J

т. е. любой интеграл А_к при N 2 получается последователь-
ным дифференцированием величины Л-i из формулы (24) по Ь.
Поскольку интеграл (23) равномерно сходится при 1ш й #= 0,
дифференцирование под знаком интеграла, подразумеваемое в
формуле (25), допустимо. Производные функции Q вычисляют-
ся по формуле [выражение (14а)]

(26)

р так что	__

|	А-2 (Q, Ь) = — 2 VQji — 2bQA-t (Q, b) (27а)

и т. д.	_

При Ь->0 интеграл Д~2 зависит от Q, как	а инте-

’ грал Л-i — как 0(1). Следовательно, полюс более высокого по-
рядка, расположенный вблизи седловой точки, дает больший
вклад в интеграл, чем полюс первого порядка. Если b — доста-
точно большая величина, так что	> 1» то в формулу

(27а) можно подставить асимптотическое разложение (20).

В результате получим

Л_2(П, 6) ~	VQ|ft|»l, (276)

' что согласуется с выражением, которое следует из непосредст-
венной асимптотической оценки интеграла (23).

*	в. Точка ветвления

Если функция f(z) в формуле (1) имеет алгебраическую точ-
1 ку ветвления расположенную вблизи седловой точки первого
порядка zs, то у функции G(s) в преобразованном интеграле (3)
из § 2 имеется соответствующая особенность при s = b в пло-
скости s. В этом случае приходится вычислять интегралы типа

/ (Q, b) = f sn (s - b)a е~а* ds,	(28)

>	—oo

где n = 0,1, 2, ... и 0 < a < 1. Если a > 1, то множитель
(s — b)m, где m — целая часть величины a, можно выделить, а
' в случае a < 0 соответствующий интеграл вычисляется диффе-

ренцированием выражения (28) по Ь. Произведя замену пере-
менной



(29)
можно преобразовать интеграл (28) к виду

I (Q, Ь) = 4- $ («,/0 + b)n u'lae~Q (“1/а + du, (30)
так чтобы при этом концевые точки контура интегрирования
были в бесконечности. Седловые точки в плоскости и лежат при
и = 0, (—Ь)а. Если а = 1/т, где tn — 2, 3, ..., то точка вет-
вления (tn — 1) -го порядка в плоскости s отображается в tn сед-
ловых точек, расположенных вокруг и = 0, в плоскости и.
В частном случае m — 2 интеграл I(Q, Ь) выражается через
функцию параболического цилиндра [§ 5, формула (36)]. Этот
случай подробно исследуется в работе [14].

г. Равномерное асимптотическое представление
типичного дифракционного интеграла

Вернемся снова к вычислению интеграла (23) из § 2 в слу-
чае, когда полюс z — 0 расположен вблизи седловой точки
zs = а. Представление (30) из § 2 для I\ (Q, а, 0) по-прежнему
справедливо. Но функцию G(s) в формуле (30) следует теперь
представить в виде (5), чтобы выделить полюсную особенность.
Для определения зависимости величины (z — 0)от s разло-
жим сначала s в формуле (276) из § 2 (со знаком плюс) в ряд
по степеням (г — 0):

s = д/2 ewt[(sin Р~а) 4- у (cos Р) (z — 0) —

-l(sin-^-)(z-0)2+	(31)

и затем обратим этот ряд (приложение 1):

z _ R —________________($ _ М _|___ИР ~ «)/21 (с _ М2 _|_

Р e‘n/4cos [(Р — а)/2] 5	' + 21 cos2 ((₽ - а)/2]	>+•••»

(31a)
где

P = V2eW4sin-^-^-.	(316)

Таким образом,

1	_ eW4cos[(P-a)/2]	1 j

г — 0	V2 s — b

+ члены, конечные при s = b, (32)
а величина а из формулы (5) [см. также формулу (2а)] имеет
вид

а = lim [G (з) (з - &)] =	~ а)-^- (^-) =1, (33)
е

Фиг. 116. График функции

ОО

р= | F | е’£=1 —2 V2"	(2^+я/4) e~y'dy р7«+$ (р)ПРИ больших gj.

где значение величины dz/ds при s — b было найдено по фор-
муле (31а). На основании выражения (16) асимптотическое раз-
ложение интеграла (23) или (30) из § 2 при Q -► оо записывает-
ся в виде

/1 (Q, а, ₽) ~ 2л/его cos	(₽) +

+ eia [± i2	e-^'Q(=F ib д/Q) + Te (д/--^ ) Vi ] ’

Im b 0,

(34)
где е(0) —функция, определенная в формуле (30) из § 2, b —
функция, даваемая формулой (316), и

T(s) = —Lj-42--------(34а)

2 - Р fits S — Ь	4	7

т (0) = —— д/2	4-	.	(346)

а — р	V2 sin [(Р — а)/2]

Интересно, что величина, даваемая формулой (34), представ-
ляет собой непрерывную функцию переменной Ь, хотя отдельные
ее слагаемые разрывны. В самом деле, рассмотрим фиг. 108,
формулу (30) из § 2 и формулу (9) данного параграфа. Если
ролюс s = b пересекает действительную ось на фиг. 108, то член
в скобках выражения (34) испытывает скачок (9). Однако при
этом и первый член в правой части (34) изменяется скачком,
полностью компенсируя разрывность второго члена. При тех
значениях Ь, при которых выполняется условие	1, в

силу формулы (20) выражение (34) сводится к выражению (31)
из § 2. Что касается более компактной записи выражения (34),
то следует вспомнить замечания, сделанные нами после фор-
мул (19).

В некоторых дифракционных задачах, которые будут рассмо-
трены позднее, представляет большой интерес частный случай
действительных значений 0. В этом случае функция sin [(0 —
— а)/2], входящая в формулу (316), действительна и при
I 0 — <х| < л

Т/&7й=(1-<)|, g = Vo|sin-^^|, Imb^O. (35)
Кроме того, Im b > 0 при 0 — а > 0 и Im Ь < 0 при 0 — а < 0.
Следовательно, при Im b 0

± i2 Vn e-a6’Q(т ib VQ) = 2/л/пsign(0 - а) e~2^Q [(1 -/)£], (36)

где

sign(0 — а) = ± 1, 0 — а^О.	(36a)

Функцию
«	г	<1-08	-1

ег"/Ч?[(1-/)£] = j e-X'-dx = eMi\^~ J e~x,dxl (37a)

(1-05	L о	J

можно путем замены

(376)

выразить через хорошо табулированные интегралы Френеля
С(х) и S (х) в виде

и _ 0у=- д/|[с(А)+»,	(37»)
где

С (х) = J cos (у /2) dt, S (х) == J sin (у /2) dt. (37г)
о	о

Чтобы оценить значение при котором можно использовать
асимптотическое разложение величины Q[(!—/)£], даваемое
формулой (20), мы построили график [15] функции

Ffc) = ^e-^Q[(l-j)a, £>0.	(38)

При |->0 мы имеем F(|)->1, а при 1 [формула (20)]
ад

s>1' <“*>

Сравнив графики функций (38) и (38а), представленные на
фиг. 115, можно заключить, что асимптотическая формула наи-
низшего порядка (38а) дает хорошее приближение при £	3.

Следовательно, «переходная область», в которой простое асим-
птотическое разложение (31) из § 2 неприемлемо, определяется
на основании формулы (35) приближенным неравенством
10 —а|^б/д/й. Аналогичная оценка может быть найдена и в
случае полюса второго порядка; в этом случае приходится на-
ходить производные функции F(%) [формула (25)]. На фиг. 116
представлен график функции [16]

F (|) = 1 - 2	(2^+n/4)Q [(1 _ z) |](	(39)

появляющейся при такой оценке, и ее асимптотического прибли-
жения

(39а)

§ 5.	БЛИЗКО РАСПОЛОЖЕННЫЕ СЕДЛОВЫЕ ТОЧКИ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА

а. Две седловые точки

Если в интеграле

/(Q) = J f(z)e^^dz	(1)

пне

функция f(z) регулярна вблизи двух близко расположенных
седловых точек первого порядка zii2 функции q(z) [т. е.
<7'(?1, 2) = 0и <7"(Zi, 2) ¥= 0 при Ф z2], то асимптотическое при-
ближение к величине /(Q), остающееся справедливым при Z] ->
-*Z2, имеет вид [полное асимптотическое разложение дано в
формуле (23)]

I (Q) ~ | If (г,) Л, + f (z2) Л2] С (ой‘/з) +

+ [f (2i) Ai - f (z2) Л,] С' (<tQ'/s), Q -> оо,	(2)

где

«о = у [<7 (21) + 9 (z2)], а'/г = { у [q (zi) - q (z2)] J7’,	(2a)

Ai.2 =	’ C®= $ eV-^dt, —	(26)

’	ПНС

Если cr->0 (t. e. z}->z2)f to q"(zx^->Q в возникающей седло-
вой точке второго порядка. В этом предельном случае

А1 = А2=Г-^|-1/\ Z1 = Z2 = ZS.	(2в)

L </ (Zs) J

Многозначность выражений для fti, 2 и ст'/» можно устранить, по-
требовав, чтобы при Zi в z2 = zs выполнялось условие argfti,2=
== ^ = arg (dz)2s, где dz — элемент пути наибыстрейшего спуска,
выходящего из седловой точки второго порядка zs (фиг. 117).
В этом случае величина arg <jI/s выбирается так, чтобы выполня-
лось условие (2а), а условие (26) согласовалось с условием
(2в) при zi -* z2. Можно также сначала выбрать удобным обра-
зом величину arg о'Ч а затем найти arg hi, 2, исходя из пути ин-
тегрирования. Интеграл в формуле (26) выражается через ин-
тегралы Эйри [§ 2, формулы (32) и (34)] для любого приемле-
мого пути интегрирования Р, изображенного на фиг. 109 [фор-
мула (14)]. Для удобства переменную интегрирования I можно
считать действительной вдоль ПНС, выходящего из точки zs
[фиг. 117, б^тогда пути интегрирования, оканчивающиеся в об-
ластях 2 и 3 на фиг. 109, преобразуются в действительную ось t.

При Zi = z2 (о = 0) необходимо использовать соотношение
(2в) и следующие значения величины С(0) [§ 2, формула (8)]:

С(0) =

е-адбз:,/т(1)
е«л/б3-'/т

при Р — Laz,
при Р = L2i,
при Р = Lai.

При таких значениях С(0) можно показать, что главный член
в формуле (2) при zi = z2 согласуется с выражением. (7) из § 3
(если в нем М = 2), полученным для случая седловой точки вто-
рого порядка, если путь интегрирования Р для С(0) прости-
рается от s = 0 до s = оо. Тогда, в силу формулы (8) из § 2,
С(0) = 3~’,»Г(,/з). Выражения, входящие в формулу (3), полу-
чаются следующим образом:

о	оое^я/3

\e~^ds= J + J =(е<2я/3-е-'2я/3)$ =/3-^(1) (4)
Дзг	оов~<2я/3	°	0

И Т. Д.

Если | о | Й2/’	1, то можно использовать асимптотическое

приближение для функций типа функции Эйри С(ой2/з), спра-

Фиг. 117. Контуры интегрирования и седловые точки,
а—при	б—при zl=z2=zs.

ведливое при больших аргументах. Для определенности предпо-
ложим, что ПНС в формуле (26) совпадает с контуром L32 на
фиг. 109. Тогда, в силу формулы (14) данного параграфа и фор-
мулы (4г) § 2,

С (ай’л) = 2nl Ai (ой’/э) ~	e-^',	- (5a)

(У

С' (<tQ7’)----i ^/n	(56)

а выражение (2) сводится к точной формуле для случая изоли-
рованной седловой точки первого порядка z2.

/(й)~д/-

— 2л
Qq" (z2)

f (z2) e9’

(6)

Аналогичные результаты получаются и при использовании дру-
гих путей интегрирования, изображенных на фиг. 109.

Поскольку £2->оо, условие |о|й2/з-»оо, соответствующее слу-
чаю далеко расположенных друг от друга седловых точек, вы-
полняется при |а| ~ Q-'/a-a где а — положительная, но не обя-
зательно большая величина. Таким образом, равномерное при-
ближение (2) следует использовать только тогда, когда о
— О(й~2/з); при больших значениях о любую из двух седловых
точек можно рассматривать независимо от другой. В области
малых а главную роль в формуле (2) играет первый член, а по-
этому можно пользоваться более простой формулой, которая яв-
ляется прямым следствием формулы (5) из § 1:

/(Й)~/(г,)/г,Д£с(стй'/з), а мало, (7)

где индекс i может равняться как 1, так и 2, поскольку f(Zi)hi
изменяется очень медленно в области zt ш г2. Следует, однако,
помнить, что формула (7) справедлива лишь при малых о (хотя

Фиг. 118. Койтуры интегрирования в случае, когда q(z) — i$(z).
а—при z,#=zs;	(г,) < 0,	(z2) > 0; б—при z, =z2=zs.

величина стй2/з может быть большой), тогда как более общая
формула (2) не содержит такого ограничения. Переход от (7)
к (6) осуществляется при помощи формул (5а) и (26), если ве-
личина о мала. Выражение же (6) можно использовать и при
больших ст. Обе формулы (7) и (6), как и любая другая, полу-
чающаяся вместо (6) при ином подходящем контуре интегриро-
вания, дают неравномерные (хотя и перекрывающиеся) по па-
раметру о приближения для /(й), более простые, чем равномер-
ное приближение (2), справедливое при любых значениях ст.

Важный частный случай формулы (2) мы имеем при q(z) =
= i$(z), где (z) — действительная функция переменной z с
действительными седловыми точками Zi,2- Допустим, что
<№) <0 и q"(z2) > 0, а путь интегрирования проходит через
седловую точку z2 так, как показано на фиг. 118, а. Тогда из
фиг. 118,5 следует, что при z\ = z2 = zs мы имеем ф =
= arg(dz)2 =л/6, а, в силу формулы (16в), qW(zs) >0. Сле-
довательно [формула (2в)],

= Л2 == Г-^Д——1Ле^6 при 21=z? = zs, (8)
U 7 W j
где взято положительное значение кубического корня. Из фор-
мулы (166) вытекает, что arg<f/? — л/2, тогда как argo1/2 =
== л/6 + 2лп/3, n = 0, 1, 2; сравнивая с (26) и (8), заключаем,
что /1=1. Считая переменную интегрирования t в интегральной
формуле для С(£) (26) положительной вдоль отрезка контура,
выходящего из точки zs на фиг. 118, б, получим из формулы (14),
что С (£) = л [Bi (£) + i Ai (£)], где с учетом определения величины
argимеем £ = <rQ2/* = | о | ехр(—ш/3)=—| о |Q/e ехр(+ /2л/3).
Тогда на основании формулы (20в) из приложения 2 соотноше-
ние (2) сводится к формуле, содержащей функции Ai и Bi отри-
цательной действительной переменной:

I (Q)- j [f (21)А, + f (22) Л2]	е’/я/е [Ai (- | а | й’/з) +

+ z'Bi (— | о |Ql/’)] 4-такой же член с С',	(9)

где при определении а0 и о следует помнить, что q = i<? и
arg fti, 2 “= л/6. Обобщение полученных результатов на случай,
когда седловые точки сдвигаются в комплексную плоскость по-
сле слияния в точке zs, проводится в гл. 5, § 8 [формулы (59) —
(61)].

Подробности вычислений

Для преобразования интеграла (1) к каноническому виду
[§ 1, формула (5)] воспользуемся выражением (7), применимым
в том случае, когда функция q(z) имеет две смежные седловые
точки Zi и z2:

g(2) = T(s)== (Zo + cts—	(10)

й получим, как и в формуле (8) из § 1,

ао = т(О)-1[<7(21) + ?(г2)],	(11)

{✓'Ц^)-^].	(12)

Следует обратить особое внимание на выбор правильной ветви
(as/s)2/’> необходимой для вычисления о по формуле (12). Подста-
вив (10) в формулу (5) из § 1, получим асимптотическое при-
ближение первого порядка для /(й), справедливое при малых
значениях о:

I (й) ~ й"'/аО (0) ea°QC (ай’/з),

(13)
. где а0 и <з — величины, определенные в формулах (И) и (12), а



(13а)

(136)

Интеграл (136) легко выражается через интегралы Эйри [§ 2,
формула (37)] для любого приемлемого контура Р, изображен-
ного на фиг. 109. Поскольку $ — + $ =0, получим, что

L,3i £з2

2ш Ai (£)

С (О = 4 я [Bi (?) -i АКО]
«[Bi(0 + /Ai(0]

при
при
при

р — L32,
p = l21,
Р = L3i-

(14)

Выражение (13) справедливо при малых значениях а (т. е. при
Zi « z2). Так как по нашему предположению f(z) и dzfds—
функции регулярные и медленно меняющиеся в окрестности точ-
ки s = 0, можно приближенно написать

(15а)

066)

На основании соотношения (10) находим, что

_ „ /2ГГ <16в)

2	__V7 ° v <7"(Z2) ’

где неоднозначность, связанная с квадратными корнями, устра-
нена определением arg(dz/ds), упомянутым после формулы (2в).
В результате мы получаем соотношение (7).

Если две седловые точки первого порядка Zi,2 совпадают, то
точка Z\ = z2 = za становится седловой точкой второго порядка,
так как и q'(zs), и q"(zs) обращаются при этом в нуль. Произ-
водная (dzlds)*^ должна бь!ть однозначной, откуда следует, что
q"(z2) х —q"(zi) при Zi « z2 (т. е. при о л? 0); из последнего
соотношения вытекает, что q"(z2) = q"(zl)= 0 при Z\ = z2. По-
этому при а = 0 мы имеем т'(0) = т"(0) = 0 в формуле (10), а,
следовательно, начало координат в плоскости s является также
седловой точкой второго порядка. Чтобы вычислить (dzlds)s^a
в формуле (15а), мы воспользуемся тем, что при Zi->Z2

zs = -*±^,	(16а)

где zs— седловая точка второго порядка, для которой q"(zs) =
= 0. Это можно показать, разложив q"(zit2) в степенной ряд
около точки zs с учетом того, что q"(zi) « — q"(z2). Кроме того,
из формулы (12) следует, что

а* = q (z,) — q (z2) = q' (z2) (zt — z2) + q  ^г) (zt — г2)2 +

+ Л*й(г, -г2)3+ ... ту ?(3)fe)(2i - г2)3, (166)
где была использована формула (16а), а также выражения
/(22) = 0 и

q" fe) = Я" (zs) + q® (zs) (z2 -zs)+ ...

• •. = — y q(3) (zs) (zt—z2)+ .... (16b)
Таким образом,

°'/j = У [“ t	M* (г. - z2) +........... (17)

Подставив (16в) и (17) в (15в), получим формулу (2в):

/ dz\ Г —2 I1/»

Ьт) = ПЖТТ при 2i=z2 = zs. (18)

Если ctQ!/s 1, то для упрощения выражения (13) можно
воспользоваться соотношением (5а), где в качестве пути инте-
грирования взят контур Ц2 (фиг. 109). В результате с учетом
соотношений (15) получим формулу (6); таким образом, асим-
птотическая формула (13), справедливая при больших значе-
ниях аргумента, совпадает с результатом, полученным в случае
изолированной седловой точки. Во всех выкладках, связанных
с формулами (13) и (7), считалось, что величина ст мала. При
больших значениях ст, когда седловые точки разделены, необхо-
димо использовать не формулу (13), а формулу (6) и аналогич-
ное выражение, соответствующее седловой точке Z\. Следова-
тельно, как отмечалось ранее, выражение (13) является нерав-
номерным в том смысле, что .оно не перекрывает всех значений
ст. Равномерное же приближение, справедливое при любых зна-
чениях ст, дается формулой (2), которая содержит первые члены
полного асимптотического разложения интеграла (1).

Для получения этого разложения используем каноническую
форму (5) из § 1 с функцией t(s), заданной в формуле (10).
Чтобы разложение оказалось равномерным по о, функцию G ($)
следует разлагать в ряд не по степеням s вблизи точки з = О,
как это сделано в формуле (4) из § 2, а по степеням полино-
миальной функции £ = т'(з)=о— s2 с коэффициентами
bn,m [17]:

(19а)

Такое разложение позволяет получить для /(Q) асимптоти-
ческий ряд

7(0)	(196)

п=0

где

4,m(Q) = eQt(0)/n.m(Q),	(19в)

smlneQ{as-sy3}ds, m = 0, 1.	(19г)

р	омшм»

Низший член /о,о равен Q (£)> где С (Q — функция, опреде-
ленная формулой (136). Произведя замену переменной t = Q‘,,s,
получим

4,rn(Q) = Q-(2n+m+l)/3 J tm(g - f2) dt, c — <yQ’,s.	(20)

p	"

Из (136) следует

C(n)(^^r C®= J tnev~i>,3dt,	(21a)

а из формулы (33) § 2

C"(» = £C(g).	(216)

Выпишем выражения для нескольких первых функций О’:

С<з) = С + £С'; С(4) = g2C + 2С'; С<» = 4£С + £2С';

С(6) = (4 + £3) С + 6£С'; <?<*> = 9£2С + (10 + С7 8) С';	(21в)

С<8> = (28£ + £4)С+ 12£2С'.

Нетрудно доказать справедливость рекуррентных формул

7 __ _	1 7	7	____ 1 7	_ 2 (п — I) "j

Q2n-l,0	Q

7 —	_ Г 7 —	1-2(«-1)т	2а(я-п?	(21г)

*п+1,0>	Q ^п—1,0 Q
Разложив множитель (£ — /2)п в выражении (20) по фор-
муле бинома Ньютона, с учетом выражений (21) находим

v	= Жса 7.„=о, 7,.,--^с-(о, _
4,о =		4	—	i2f	12а	(22а) Л,=^с®=^с®,
Л>. 1 =	Л.. = -=^С®,
Л, 1 =	2£	2(У	—	10	(226)  -$сю-^сю.	-“.счо.

где £— та же величина, что и в формуле (20). Наибольший
вклад дает член Го, о» содержащий множитель й~|/з, а остальные
члены убывают по крайней мере как При любом контуре
интегрирования Р, начинающемся и заканчивающемся в за-
штрихованной области фиг. 109, интегралы С(£) и С'(£) легко
выражаются через функции Эйри (14) и их производные.

На основании выражений (22) и рекуррентных формул (21)
можно показать, что асимптотическое разложение (196) инте-
грала (5) из § 1 имеет вид

I (Q) - eQt (0) | с (2) + С' (С) +

Сп

Q(6n+l)/3 *	Q(6n-2)/3

dn

+ с (?) ^ [ Q(6n+2)/3 + Q(6n-1)/3 ] } ’

(23)

где коэффициенты сп, dn, еп и fn — полиномиальные функции ве-
личины о. Асимптотический характер разложения можно уста-
новить, вспоминая замечания, сделанные в § 2 после формулы
(18в). Поскольку [формула (19а)] G(«<)_= &о,о + &о, где
/==1,2, величина 6о,о= I/2[G(Vo) + G(—д/а)] есть с£еднее зна-
чение функции G(s) в седловых точках s1,2 = ±Vcr » а ^о, i =
= (1/2 V<r )[G (Vo ) — G(—^7)]. Так как о = О (Q-,/’) в обла-
сти, где используется процедура двойной седловой точки (т. е.
где величина а очень мала), коэффициент Ь^о можно приближен-
но заменить величиной G(0). Тогда первый член разложения (23)
совпадает с результатом (7) или (13). Сохранив члены с &о, о и
&0,1, получим равномерное приближение (2).
. Пример, Асимптотическая оценка функций Ханкеля

Рассмотрим функцию

Hv} (Q) = -L ( eQq dz (v, £2 положительны), (24)
л j
р

где

q (z) = i [cos z + (z — у) sin aj, sin a =	,	(24а)

а контур интегрирования Р такой, как на фиг. 107. Седловые
точки q(z) определяются из условия

q' (z) = — i (sin z — sin a) = 0,	(25)

откуда

Zi — a, z2 = л — a.	(26)

Мы предполагаем, что v/й 1, т. e. 0 < a л/2, и ищем асим-
птотическое приближение первого порядка интеграла (24) при
Д->оо и а->л/2 (случай, когда индекс и аргумент функции
Ханкеля велики и почти одинаковы).

Из формулы (24) следует, что

q («1.2) = ± i [cos a — (у — a) sin a].	(27)

Поскольку q(zi,2)—мнимая величина, величина a’/s [формула
(12)] — тоже мнимая, т. е. а <. 0. В дальнейшем будем считать,
что

а_е-гя| в i — g-isiq, q > о,	(28а)

а arg/ii.2 в формуле (2) выберем исходя из направления пути
интегрирования. В силу формулы (28а) имеем

Si,2==±V°f=::F:zVr|, Vr] >0.	(286)

Тогда на основании формулы (12)

-1	= cos a — (у — a) sin a > 0,	(29а)

т(0) = 0,	(296)

а из (15в)

неоднозначность данного выражения будет устранена ниже. По-
скольку f(z) = 1 в формуле (24), на основании формулы (29в)
можно заключить, что соотношения (15а) и (156) в данном слу-
чае выполняются. Из этого следует, что выражения (2) и (7)
для I(Q) эквивалентны, причем ограничение (7) на величину о
снимается^ Вблизи а = л/2 с учетом формулы (29а) и требо-
вания V1! ^0 можно получить

у1]!/г«4(т“а)3* т- е> п'/! ~ 2~‘Л (у — «), (30a)
а с учетом формулы (29в)

(£),=(£),,-*«' "р" ч”0-	<30б>

Для определения контура интегрирования в плоскости s
рассмотрим преобразование (10) при ст-»0 (т. е. при т|->-0),что
позволит установить расположение концевых точек преобразо-
ванного контура. Исследуем преобразование

q{z) — i[cosz — (-J — z)] =

s3

3

(т| = 0),

(31)

которое вблизи точки г = л/2 записывается в виде

ННЧ	<31а)

Извлекая кубический корень из обеих частей равенства (31а),
получаем

s « 2-,/’	- z) SV™'3, и = 0, 1, 2,	(32)

где последний множитель соответствует трем значениям куби-
ческого корня из единицы. Следует выбрать ту ветвь, для кото-
рой производная dsjdz при z = л/2 принимает одно из значе-
ний (306). Правильный выбор соответствует ветви п = 2, так
что

s«Z2“'/3(z-|), z«y.	(32а)

Таким образом, неоднозначность формул (29в) и (306) устра-
няется выбором в них знака минус. Из формулы (32а) следует,
что arg з = 0, когда z — л/2 -f- izit zt < 0, и arg s = —л/2, ког-
да z — действительная величина, причем г < л/2. Тогда след-
ствием формулы (31) и непрерывности оказывается, что вся ли-
ния Re z = л/2, Im z < 0 преобразуется в положительную дей-
ствительную ось в плоскости s, а оставшийся кусок контура Р
оканчивается в третьем квадранте (фиг. 109).

Итак, контур Р преобразуется в контур L3i в плоскости s,
изображенный на фиг. 109. Из направления пути интегрирова-
ния Р в окрестности точки z = л/2 видно, что выбор знака, о
котором говорилось ранее, был сделан верно.

На основании формул (2) [или (7)], (14), (27) и (29) можно
теперь сразу написать асимптотическое приближение первого
порядка для функции МП(О) при Q-*oo:

/Л° (Q) ~ Г-?-)'’[Ai (- nQ’/!) - iBi (- nO. (33)
где a и г) — величины, определенные формулами (24а) и (29а).
При a = л/2 формулы (3) и (306) дают

яй’ (й) ~ (4 ) ' [Ai (0) -I Bi (0)1 = (А)1''	Г (±)	(34а)

Когда величина а достаточно сильно отличается от л/2, так что
произведение т|П2/« велико, можно воспользоваться асимптотиче-
ским разложением функций Эйри (51) из § 2 и соотношением
(29а), в результате чего получается формула Дебая [18]

(Q) ~ (nQc'osa)V1 ех₽ {ZQ [coso - (I - a) sin a] ~ -Г } ‘ (34б>
Поскольку [формула (30а)]

Ч « 2‘''‘ “ - 2-'Л [1 - (£/]« 2’' ip,	(35а)

условие т]£2,/э > 1, необходимое для вывода формулы (346),
можно представить в виде

Q - v » О'Л.	(356)

Если Q —у = О(£2'Л), то следует пользоваться форму-
лой (33).

6. Три седловые точки

Если функция q(z) в формуле (1) имеет три коллинеарные
равноотстоящие седловые точки Zi, 2, з> то соответствующая
функция т($) дается выражением (9) из § 1. Подставив его в
формулу (5) из § 1 и сравнив полученное выражение с инте-
гральным представлением функции параболического цилиндра
[18]

2е^ С

D-v (0 =	J	dp, Re v > 0,	(36)

о

можно получить неравномерное асимптотическое приближение
(1) наинизшего порядка (равномерное приближение рассматри-
вается в работах [1,2])

Т(Q) ~ ff2(?2Q^'	а Мал0> (37)

где G(0) = f (z2) (dz/ds) s=s0, а и a0— коэффициенты, даваемые
формулой (9а) из § 1. Этот результат содержит лишь вклад той
! части контура интегрирования, которая начинается при s = 0 и
оканчивается в «долине» при s = оо, где интеграл сходится. Для
вычисления производной

4? = ~4 s/g(?S2) ’ a = V<7(zi)-<7(z2)»	(38а)

при з = О можно воспользоваться правилом Лопиталя, в ре-
зультате чего получаются два альтернативных выражения,
остающихся справедливыми при zi~»z2 (т. е. при а->0), чем
подтверждается медленность изменения производной dzfds
вблизи s = 0:

I Г * I7'; (386)
I	ds |s=o V q" (z2) V q" (г,) L — </4) («2) J

чтобы правильно выбрать знак корня [т. е. знак arg(dz/ds)],
нужно проследить за преобразованием исходного контура ин-
, тегрирования. Приближенные равенства в формуле (386) появ-
ляются в результате разложения в ряд функции q(z) и ее про-
изводных в окрестности средней седловой точки z2; поскольку
предполагается, что седловые точки — коллинеарные и равно-
отстоящие друг от друга, при z^z2 мы имеем q(z — z2)&

m q(z2 — z), так что

4(z)^q(z2) + q"(z2)^^ + ^(Z2)^^+ .... (39a)
t	q' (z) = q" (z2) (z - z2) +	(z2) (г ~ *г)3 + ...,	(396)

<(z) = 9"fe) + ^)(z2)-15^-+ ....		(39b)

Г Так как q'(z^ — Q, из формулы (396) следует, что
k	q" (z2)«- ^(4)(^^~^2t	(40a)

откуда, в силу формулы (39в),
q" (Zi)« у q‘4> (z2) (zj — z2)2» — 2q" (z2).	(406)

Если | д/2й ct I > 1, то функцию параболического цилиндра в
I формуле (37) можно заменить ее приближением (66) из гл. 7,
§ 5, справедливым при больших значениях аргумента, и полу-
ченная формула сводится к соответствующей формуле для слу-
чая изолированных седловых точек1)- Поскольку Q 1, нера-

4) При а > 0 контур интегрирования проходит только через седловую
точку s ==_0; при отрицательных значениях а еще одна седловая точка

s == ± / Va лежит на участке от s = 0 до $ = оо,
венство | а |	1 может выполняться и при малых а ==

= [(/(Zi)—?(Z2)]I/2, так что представленные выше вычисления
нужно проводить только тогда, когда а = O(Q~l/s). В этом слу-
чае формулой для изолированных седловых точек можно поль-
зоваться, если Zi « z2 « z3 и, стало быть, для медленно меняю-
щейся функции f(z) можно написать f(zt) « f(z2) « f(z3).

В пределе при Zi = z2 = z3 формулу (37) можно с учетом
соотношений

D_v (0) = ^-,9	, Г (а) Г (1 - а) = —2—	(41)

’	2у/2Г [(1 + v)/2]	“	sin ла	'

свести к правильному асимптотическому разложению интеграла
7(Q), подынтегральная функция которого имеет седловую точку
третьего порядка при z = z2 [§ 3, формула (7)]:

ГШ

<«>

Здесь тоже знак корня должен быть правильно выбран в ка-
ждом конкретном случае.

Во всех предыдущих рассуждениях считалось, что G(0) #= 0.
Если это условие не выполняется и первый отличный от нуля
член разложения G(s) вблизи s = 0 имеет вид G<n>(0)sn/n!, где
п — целое положительное число, то вместо формулы (5) из § 1
мы имеем

7(й) ~ J sneox (з) ds>	(43)

о

где t(s) —функция, даваемая варажением (9) из § 1. Сравни-
вая (43) с (36), получаем выражение

'(О ~< V2O а),	(44)

частным случаем которого (при п = 0) является формула (37).
Полученные формулы будут применены в гл. 7, § 5, пп. «г» и
«д».

Если три седловые точки функции q(z) не являются равно-
отстоящими и коллинеарными, то канонический интеграл содер-
жит более сложную функцию в показателе экспоненты

q (z) = т (s) = d0 + a2s2 + a3s? — s4.	(45a)

Производная r'(s) обращается в нуль при s = 0 и в двух про-
извольных точках Si, 2. Если же не требовать, чтобы один из ну-
лей функции r'(s) находился в начале координат, то можно ис-
пользовать преобразование

q (z) = т (s) = d0 +	+ a2s2 — s4.	(456)

Получающийся интеграл был исследован в работе [19]; резуль-
таты этих исследований и некоторые численные расчеты приве-
дены в работе [20].

§ 6.	СЕДЛОВЫЕ ТОЧКИ ВБЛИЗИ КОНЦЕВОЙ ТОЧКИ
КОНТУРА ИНТЕГРИРОВАНИЯ

а.	Одна седловая точка

Если в интеграле

/(й)=( f(z)eQo^dz	(1)

функция q(z) имеет седловую точку первого порядка zs [т. е.
q'(zs) = 0, q"(zs) =£ 0] и функция f(z) регулярна в окрестности
точек z0 и га, то асимптотическое приближение /(□), равномер-
но справедливое при zs->za, имеет вид

(	-2s2	)

I (Q) — eQq (*»> )	Q (д/Q S(J) _|_ 1-i ,tf(Zg) ha-f(zs) As] I , эд

( V Q	2Q	sa )

Q—> oo,

где

sa = ^q (z5) — q (za), Q (y) = J dx,
ha = -^r> As=	=Ae|

a q <za) s V q" (zs) “ \x =x

(2a)

и arg = arg (dz)Zs, где dz — элемент пути наибыстрейшего
спуска, проходящего через точку zs, а величина args0 выбрана
так, что ha->hs при sa->0.

Если za = zs, то Q(0) = VJl/2 и выражение (2) сводится к
результату, полученному в случае, когда седловая точка совпа-
дает с концевой точкой контура интегрирования [§ 2, выраже-
ние (7), дополненное множителем 1/2, так как оно относится к
интегралу в бесконечных пределах]:


при VQ | sa | » 1 использование асимптотического выражения
[§ 4, формула (20)]

Q (~	U (— Re sa)	(4)

приводит к результату, относящемуся к случаю изолированной
седловой точки,

f fe)gS<?(W(~ReSa)~ 'WFF'» (5)

где [/(а) = 1 при а > 0 и (/(а) = 0 при а < 0.

Весьма интересен частный случай, когда q(z) — iQ(z), где
<)— действительная функция переменной г, так что 4(гз, а) —
действительная величина при действительных значениях г5, а.
Тогда при действительных zs>a

e“2<?(*s)J

±i («М^+я/ч)

+	b* -1 j ’	°’ (6)

где sa = ± I (zs) — 4 (za) \',г при (za — Z^^Q и

h‘-2Wffr np“ ™*°' (6a)

f-^Q(SaVQeT"'*) +
у Q

/(□) =

При | sa | VQ » 1 можно воспользоваться формулами (4) и (5)
и получить

4'WO.

что согласуется е формулой (20) из § 2.

Подробности вычислений

Поскольку мы считаем, что функция q(z) имеет седловую
точку первого порядка, соответствующее преобразование к кано-
нической форме записывается в виде q(z) =t(s) = q(zs) — s2,
где s2 > 0 [§ 1, формула (6)]. Таким образом, если точка sa со-
ответствует точке za, то

оо

/(й)==^(*з) \G(s)e-^ds, G(s)~f(z)^ = f(z)-=^,	(7)

sa
причем нижний предел sa определяется соотношением (2а). Пе-
реписывая интеграл в формуле (7) в виде

1 (Q) = G(0) Гe~w ds- 4г (	*e-wds (7а)

J	Zaa J	&	US

sa	sa

и интегрируя второй член по частям, находим, что

__	-as^

Z(Q) =	Q (VQ sa) + 4— [G (sa) - G (0)] +

S„

полученный результат сводится к формуле (2), если ввести обо-
значения hs-= (dzlds)s^) mha = (dzlds)Sa. Последний член в вы-
ражении (76), отсутствующий в формуле (2), описывает по-
правки более высокого порядка; асимптотическое разложение
величины /(&) может быть получено повторным разбиением ти-
па (7а) последнего члена и последующим интегрированием по
частям [21]. При $а-> 0 и za-+zs мы имеем q'(za) « q"(zs) (za—
— zs) и sa « V— q" (zs)/2 (za — zs), так что ha -> hs.

В частном случае, когда q(z) =ttj(z), где — действитель-
ная функция переменной z [§ 2, формула (20)],

hs== д/тгСгЛТе±гя/4 при	(8а)

Поскольку <f(zs) = O, мы имеем sgn <?'(za) = ± sgn (za — zs) при
Г(гв)^0. Тогда на основании формулы (2а), взятой при
sa = sa ехр (=F ш/4), когда <?"(zs)^0, можно написать

. _±«2sasgn(z0-zs) ^asgn(za-zs)e±inli	.	. .

ha------i775Ji--------------im при * (Zs)°’ (86)

причем arg ha = arg h3 в силу определения sa [формула (6)].
Применение этих соотношений к формуле (2) дает формулу (6).

I

>)

X

б.	Две седловые точки первого порядка

Пусть функция q(z) в интеграле
„оо"	„оо“

I (Q) = J f (z) dz — G (s)	<s> ds	(9)

xa	sa

имеет две седловые точки первого порядка Z\t 2 [т. е. q'(zit 2) = О,
а (^1,2) =# 0 во всех случаях, кроме случая zi = z2]. Если

>
р,
ie
У-
е-
о-
te-

17 Зак, 639
функция f(z) регулярна в окрестности точек z1>2 и za, то асим-
птотическое выражение для I (Q), справедливое при Zi -> z2 ->
-» za, таково [22]:

I (£2) ~ [G (st) + G (s2)] Ca +

+ [G (a,) - G (s2)]	C'a ДО’) - ГG (sa) - (1 + -*9	-

2Q/3Sj	L	\ Si /	2

где s — переменная, связанная c z соотношениями

s3

<7(2) = r(s) = a0+ as--g-, <7 (z,) = т (sz), i=l, 2, a,

1	f з	V/»	(Юа)

«о = у fa (21) + <7 (z2)], o'7’ = [ 7 fa (Zi)—q (z2)] J = S, = — s2,

,,Oo“

G(s) = f{z)^, Ca&= $ eV-^dt, C'a(l) = d-^p,
Q>hs°	(106)

— A / T 2S‘	(—} sl~4

2— * /'(Zl.a) ’	\ds)$a~ q' (za) ’

В данном параграфе переменная s введена для упрощения обо-
значений. Неоднозначность величин о и (dz/ds)s устраняется
так же, как и в § 5. Функцию Са(£) можно назвать «неполной»
функцией Эйри, так как в случае полной функции Эйри [§ 5, фор-
мула (14)] обе концевые точки контура интегрирования должны
лежать в бесконечности; положение верхнего предела контура
на бесконечности в плоскости t определяется, как и в § 5, распо-
ложением исходного контура в плоскости z (функции, связан-
ные с Са(£), рассмотрены в работах [23, 24]).

В формуле (10) возможны разные частные случаи, соответ-
ствующие разным значениям Zi, 2, а (или si, 2, а) • При Zi = z2 =
= zs (что соответствует St, 2 = 0) две седловые точки первого
порядка сливаются в одну седловую точку второго порядка.
В этом случае получается следующее равномерное асимптотиче-
ское приближение для интеграла, содержащего седловую точку
второго порядка вблизи концевой точки пути интегрирования:
еа«(гв)	, еаЧгз) ,

7(Q) ~ G (0)^д- Ce(0) + G' (о) Са (0) +
а[?(гв)-4/з]

+ JL—772--------lG (s«) “ ° (°) * saG' (0)]. (И)
причем, как и в формуле (18) из § 5, (dz/ds)0 = [—2/q&(zs)]/‘.
При zt = z2 = za (т. е. при so = Si = s2 = 0), когда седловая
точка второго порядка совпадает с концевой точкой контура,
выражение (И) сводится к виду

<12>

что согласуется с формулой (7) из § 3, поскольку интеграл в
формуле (12) выражается через Г('/з) [§ 3, формула (5)].

Фиг. 119. Контуры интегрирования в комплексной плоскости z.

а—вклад концевой точки контура плюс вклад седловой точки; б —вклад концевой точки.

Если ни точка zi, ни точка z2 не лежат вблизи точки za (т. е.
Si,2 sa), то вклад концевой точки в неполную функцию Эйри
можно вычислить отдельно от седловых точек. Интегрируя по
частям, получаем

Са (42%) -	+ UC	(13)

где С(£) —полная функция Эйри [§ 5, формула (136)], выра-
жающая вклад двух смежных седловых точек, расположенных
вдали от других критических точек подынтегрального выраже-
ния. Через U обозначен множитель, равный единице, когда ис-
ходный контур интегрирования пересекает область, где нахо-
дятся седловые точки, и равный нулю, когда исходный контур,
выходя из za, уходит на бесконечность по «долине» рельефа, не
пересекая область, где находятся седловые точки. Разные слу-
чаи представлены на фиг. 119, где предполагается, что путь инте-
грирования заканчивается в области А. Если точка za располо-
жена так, как на фиг. 119, а, то контур обязательно пройдет че-
рез седловую точку г\ и множитель V в формуле (13) равен
единице; в случае же, представленном на фиг. 119,6, мы имеем
U = 0.

Формула для Са отличается от формулы (13) тем, что в ней
стоит С' вместо С и вклад концевой точки умножен на Q,'!'sa.
Таким образом, при sii2#tsa выражение (10) принимает вид



Z(Q)~

~G(sa)

L

+ ° (S1on~v,G eQa°C' («1 U. (14)

Эта формула правильно описывает случай, когда концевая точ-
ка контура изолирована и имеются две произвольно располо-
женные седловые точки (формулы (5) и (Юб) данного пара-
графа и формула (2) из § 5; отметим, что первый член в
формуле (14) можно представить в виде —К2а)[&д'(га)]~1 X
X ехр[йт($а)]).

Если точки $i и s2 расположены далеко друг от друга, то по-
следние два члена в формуле (14) можно, как и в формуле (5)
из § 5, упростить, сведя их к вкладам изолированных седловых
точек.

Если же точки S] и s2 сливаются в одну седловую точку вто-
рого порядка s = 0, то последние два члена в выражении (14)
упрощаются, как в формуле (2) из § 5, с помощью формул (2в)
и (3) того же параграфа.

Другое упрощение возможно, когда седловые точки нахо-
дятся далеко друг от друга (zj z2 или si>2^6 0), но одна из
них расположена вблизи концевой точки (zi « za или Si « sa).
В этом случае [формулы (26) и (27)]

са (зОТ - U2Q'h J—eQV (s*)-aoi ~

/Ф (*в)-а0]

Q,feSi (Si + s0)

j'/agO (t (s.)-aol Г Q (« Vp) _ e aa* ( 2q

[_ SSj 2Qa — s2a

где

CO

a — у/т (si) — т (sa),	Q (y) = J e~** dx

У

(16а)

и U2 = 1 или 0 в зависимости от того, проходит контур интегри-
рования через изолированную седловую точку з2 или нет. Под-
становка полученных формул в (10) дает приближенное выра-
7 жение

/ ГСП	_ efiT(Sa) Г G(S1)  G(Sg) 1 ,

'a L2aV®T ^-4J

+ C/1G(Sl)e«’WA/^. (16)

являющееся точным в случае, когда седловая точка первого по-
1	рядка находится вблизи концевой точки пути	интегрирования

I	[формула (2)]; последний же член в формуле	(16) учитывает

i	вклад изолированной седловой точки s2. При	а-*0 седловая

I	точка Si сливается с концевой точкой sa и выражение (16) [на-

' помним, что Q(0) = Vn/2] сводится к виду

+ игОЫ^<«д/^. (17)

Когда a-y/Q > 1, седловая точка Si находится «далеко» от точки
sa и можно использовать асимптотическую формулу [§ 4, фор-
мулы (18а) и (20)]	/

;	Q(aVQ)~-£^ + VnC/(-Rea); У (18)

и тогда формула (16) дает выражение, относящееся к случаю,
когда две седловые точки расположены далеко друг от друга и
от концевой точки пути интегрирования:

j	t -- .	От ($а)

!	+{/2G(S2)e2t(Sl)/^/_g_.	(19)

л Множители t/i, 2 равны единице, если контур интегрирования

проходит через точки si, 2, и нулю в противном случае. Выраже-
< ние (19) можно переписать, перейдя к функциям, определенным
! в исходной плоскости z формулой (9):

'	^ч (х )

;	1 (“> ~ и>1 <*> V ттег - f ,г-> w +

+	(20)
Подробности вычислений

Поскольку предполагается, что функция q(z) в формуле (9)
имеет две соседние седловые точки первого порядка, для пере-
хода в плоскость s подходит преобразование (10) из § 5, и по-
сле такого перехода мы получаем второй интеграл в формуле
(9) и выражение (10а). Преобразованный интеграл в плоско-
сти з можно записать в виде

I (Q) = Ьо, о (s) ds + &o, i se^(s) ds +
sa	sa

+ ’ f G(s)-<>o.o-^o.i eQx (s) dSf (21)
w J	sf — s	ds

sa	1

где b0, о и b0, i — первые два коэффициента равномерного асим-
птотического разложения интеграла в бесконечных пределах, со-
держащего две седловые точки [§ 5, формула (23)]:

Ьо, о = у [° («О + ° («г)], bo, i =[G (si) — G(s2)], s2 = —Sj.

(21a)

Поскольку функция [G(s) — &0 0 — s&0 ,](sf — s2)-1 остается ко-
нечной при s = ±s1( третий интеграл 13 в формуле (21) можно
взять по частям, в результате чего получим

1 G (sa) — b0, о — sabo, i Qt (s '
----------г—,----------------p \ a

1 (
o’ J
sa

d Г G (s) — b0 о — sbo, i 1 о / \

---I--------5----2-----I e"x s ds. (22)

ds [	s2-s2 J	v ’

Приняв выражение (d/ds)[ ] под интегралом в формуле (22) за
новую функцию G(s), мы можем ее снова расчленить, как в фор-
муле (21), и получить члены, содержащие 1/Q в более высокой
степени, и т. д. В низшем по Q порядке интегралохм в формуле
(22) можно пренебречь, и тогда формула (21) сводится к выра-
жению (10) после перехода от переменной $ к переменкой t и
введения параметра £ [§ 5, формула (21)]. Соотношение dzlds =
= ъ' (s)/q' (z)==(sj — s2^q' (z) дает различные выражения для
{dzlds)Si из формулы (Юб). Как отмечалось ранее, необходима
осторожность при определении корней, входящих в эти соотно-
шения.

Формулы для /(Q), охватывающие различные частные слу-
чаи, получаются из общего выражения (10), если канонические
интегралы Са(£) и Ca(t) заменять соответствующими упрощен-
ными выражениями. Вывод формул (11) и (12), относящихся
к случаям si,2 = 0 и si,2,a = 0, очевиден. Если si,2 96sa> то
концевая точка и седловые точки — изолированные и их можно
учитывать по отдельности. Как и в формуле (15) из § 1, вклад
концевой точки вычисляется интегрированием по частям

eQa>Ca (sfc*) _

al/s' ~

1

ds d

s, — s2 ds

t(s)

(23а)

в результате чего получается первый член выражения (13). Как
отмечалось после формулы (13), к этому вкладу необходимо до-
бавлять вклад от седловой точки, если путь интегрирования про-
ходит в окрестности точек Si, 2. Аналогично можно написать вы-

ражение

eQa>C'a(^

I „ еах (sa)

(236)



к которому, если нужно, следует прибавить вклад седловой
точки.

Если же седловые точки расположены далеко друг от друга
(Si, 2^0), но одна из них находится вблизи концевой точки
(s » за), то неполную функцию Эйри можно выразить через не-
полную гамма-функцию (интеграл Френеля). Поскольку 82,
имеются лишь седловые точки первого порядка и функцию t(s)
можно преобразовать к канонической функции t(y), чтобы пред-
ставить вклад седловой точки первого порядка Si:

сЗ	9

T(s) = a0 + s23 —-у = т(з1) —|л2, т(з1) = а0 + у4 (24)

причем у = 0 соответствует з = Зь Если положить, что у== а
соответствует s = sa, то

/= ( eQT(S)ds=eQt(S1) V	=	(25)

J	J	\ du J du st — s

sa	a

Равномерное асимптотическое приближение интеграла по у,
справедливое в случае, когда концевая точка у = а прибли-
жается к седловой точке у = 0, дается формулой (2), так что

1~	Q^.al 4. ГГ—11, (26)

(Л dy A Vo 2Qa L\ dy /e \ dy AJ )
где а= [т($1) — т($а)]/2, a Q (у) — функция, даваемая формулой
(15а). Производная (ds/d]x)a вычисляется непосредственно по
формуле (25), а величина (ds/dp,)a оказывается равной
после раскрытия неопределенности. Вспоминая определения Са и
1 [формулы (23а) и (25)] и добавляя, если нужно, соответствую-
щий вклад изолированной седловой точки s2i можно свести (26)
к (15). Аналогичным образом анализируя интеграл

seQx ds

Ш($1)	1	□	\ dp, )а

da
dtf)’

(27)

получающийся дифференцированием выражения (25), можно на
основании определения С' (236) снова прийти к формуле (15),
поскольку a2 = t(sj) —t(so) и, следовательно,

ttV = Т~ 7ПТ[т (Sl) - т (So)1 =	•	(27а)

d(s\) 2a dysj)	2a



В окончательном выражении в формуле (27) был опущен член,
содержащий производную d2s/d^s2jdpL под интегралом, посколь-
ку можно показать, что он дает вклад более высокого порядка
малости.

§ 7. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Если в кратном действительном интеграле	(

Z„(Q) = J ... \f(x)e~Q^dxt ... dxn, Q > 0,	(1)

— 00	*

где x = (xi, ..., x„), функция q имеет простую стационарную
точку xs = (xls,..., xns), для которой

= 0 при xis, i=l, .... n,	(2)

а функция f регулярна вблизи xs, то асимптотическое прибли-

жение для 7п(й) при больших Q дается выражением

Г  (3)

Часто встречается модифицированная форма 7n(Q) выраже-

ния (1). Если в кратном интеграле

/rt(Q) = J ... J f(x)elQ‘i^dxl ... dxn, Q>0,	(4)
действительная функция q имеет действительную стационарную
точку xs, определяемую соотношениями (2), и функция f регу-
лярна вблизи xs, то асимптотическое приближение для 7П(Й)

при больших й имеет вид

Zn(Q)~f(x,)eia9^)f^Y/2

ei (Л/4) о

|det(<?W^/s)|'/s ’

(5)

где

п

<т = Z Sign dt
i = \

(5а)

и dt — собственные значения матрицы d2qldxiadxj3,	...

..., п. Выражение (5) является обобщением формулы метода
стационарной фазы [§ 2, формула (20а)], относящейся к одно-
кратным интегралам. Если имеется несколько стационарных то-
чек, то каждая дает вклад (3) или (5).

Подробности вычислений

Стационарные точки xs функции q нескольких переменных
(Xi, ..., хп) определяются из условия (2), и при больших Q ос-
новной вклад в интегралы дают окрестности этих точек [мы не
учитываем сейчас возможные вклады особенностей функции
f (х)]. Вблизи xs можно положить f(x) « f(xs) и тогда

п п

q(x)fnq (xs) + у X £	{x‘ ~ Xls^ ^xl ~ x^’ аЧ dx^dx ’

i=i /=i	is ls

где в силу формулы (2) отсутствуют линейные члены. Подстав-
ляя выражение (6) в формулу (1) или (4) и перенося начало
координат в точку xs, получаем

об	/	П	\

7„ (Q) - f (xs) 5 ... $ exp I Q а^х, I dxx ... dxn, (7)

-оо	i, /=1	'

1п = 1п при а = —1 и Jn = Тп при а = I. Для вычисления
многократного интеграла в формуле (7) введем преобразование

п	п	п

*	*г=£/^,	(8а)

I, Je I	I ==* 1	/= 1

или, в матричной форме (Д — квадратная n-мерная матрица с
элементами ац),

хДх = у£)у, х = Ry,	(86)

где тильдой «~» обозначены транспонированные величины, а
D — диагональная матрица. Поскольку для диагонализации ма-
трицы А требуется поворот системы координат, матрица R яв-
ляется ортогональной, причем det R = 1. Из формулы (86) еле-
дует, что

D — RAR,	det D = (det R)2 det A = det A	(9a)

и якобиан преобразования x->y таков:

X:^:bdet*=1-	<9c>

Таким образом, после перехода к координатам у интеграл (7)
принимает вид

оо	/	П	\

$ ••• $ехр(тйЕ^)^1 ••• dy* =
— со	i="l '

п ОО

= П J ехр(-у Qdttffydyt. (10)
i“l —oo

Если а = —1 и di > 0, то однократный интеграл здесь равен
(2п)1/*(Qdi)-,/а; при а = i он равен (2«)V’(Q | dt |)~>,гexp [i(л/4) sgn d(]
п

[§ 2, формула (20)]. Учитывая, что JI dL = det D = det А, полу-
isl

чаем формулы (3) и (5). Асимптотическое разложение, содер-
жащее члены более высокого порядка, получено в работе [25].

§ 8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВОКРУГ ТОЧКИ ВЕТВЛЕНИЯ

Подынтегральные функции дифракционных интегралов часто

содержат точки ветвления, дающие вклад в асимптотическое

разложение, если при преобразовании
исходного контура интегрирования в
путь наибыстрейшего спуска приходит-
ся эти точки пересекать [фиг. 101 и
формула (4) из § 1]. В этом случае
приходится вычислять интеграл по
берегам разреза

Jf(z)es?Wdz, (1)

Фиг. 120. Точка ветвления	Рь

первого порядка в комплекс-	_

ной плоскости z. где Рь — контур, обходящий разрез
в положительном направлении
(фиг. 120). Функцию f(z) обычно можно представить в виде
f (z)« а + b -\]z — zb вблизи zb, т. е. Ь = 2 [Vz — zb f' (z)]i&, (2)
где а и b — постоянные; функция q (z) регулярна вблизи точки
Z&, и exp[Q<?(z)] убывает вдоль Р$. При больших значениях Й
интеграл 1ъ дается асимптотической формулой

h * [Ч^)1]3/*	~Zb Г {г)^ь х

X ехр { Qq (zb) — i arg [— q' (z6)]}.	(3)

Подробности вычислений

Асимптотическую оценку интеграла в формуле (1) можно
провести так же, как это делается при наличии седловой точки,
если произвести замену переменных

s2 = q(zb)-q(z)	(4)

и выбрать контур интегрирования Рь, соответствующий пути
интегрирования вблизи z&, так, чтобы вдоль него выполнялось
условие_ $2 > 0. (Поскольку считается, что exp[Q^(z)] убывает
вдоль Рь, мы имеем Re s2 > 0; условием s2 > 0 определяется
допустимый способ деформации контура, который упрощает рас-
четы и дает путь наибыстрейшего спуска, идущий от точки вет-
вления.) Таким образом, при z ~ zb, т. е. при s » 0,

s = V— q'(zb)^z — zb[l + O(z-zb)]	(5a)

или, после обращения,

, [1 + 0 (S2)],	(56)

+	(6a)

f(z)=“+V=W + 0M--	<M)

Для определенности положим, что s < 0 на части А контура
Рь и s > 0 на его части В (фиг. 120); тогда

arg(z — zb)== — arg[-/(z6)] на В,

arg(z — zb) = — arg[— q'(zb)] — 2л на A.

Подставив (4) в (1), получим интеграл

= J p(2)-g.]e-as’ds,	(8)

который можно асимптотически оценить, разложив в степенной
ряд выражение, стоящее в квадратных скобках, а затем проин-
тегрировав его почленно. Первый член разложения пропорцио-
нален s’, а поэтому интеграл от него равен нулю. Первый неис-
чезающий вклад в интеграл дает член, пропорциональный s2:

b ()

откуда следует выражение (3). Члены асимптотического раз-
ложения более высокого порядка получаются дальнейшим раз-
ложением в ряд величины [/ (z)dz/ds].

Приложение 1. Высшие производные функции

G(s) = f(z)dz/ds

Для асимптотического разложения (12) из § 2 необходимы
производные функции



(1)

в точке s = 0 (z = z8). Прямым дифференцированием выраже-
ния (1) находим

G(O) = f(z,)^(O),

G,(0) = rfe)^(0)]24-f(zs)^(0),

(2а)

(26)

G<2) (0) = f<2> (zs) [ф (О)]3 + 3f' (z.) ф (0) ф' (0) + f (z8) ф™ (0) (2в)

и т. д.

Для нахождения значений производных функции ^(s) при
s = 0 разложим функцию q(z) = t(s) в окрестности седловой
точки zs, для которой выполняется условие q'(zs) = 0, и обра-
тим полученный ряд. Проиллюстрируем эту процедуру на при-
мере случая седловой точки первого порядка zs, когда справед-
ливо соотношение q(z) = q(z3)—s2. Если положить £ = z—
— za, то

- s2 = q® (zs) -£ + q<3>(zs)	+ q«4zs) £+... -	(3)

Уравнение (3) имеет обратное решение, регулярное в точке
$ = 0 и обращающееся в этой точке в нуль !), так что на осно-
вании определения ^(s) в формуле (1) мы можем использовать
ряд

оЗ

S(s) = ^(0)s + /(0)-|r + ^>(0)-|r4-^3>(0)^r+ .... (4)

*) Другой способ, в котором используется теорема Коши, дается в ра-
боте [26].
причем

52^^(0)]2s2+^(0)^(0)s3+{[^] + ^-^(0)}s4+ ...» (5а)
?3 = [^(0)]3s3 + {|[d(0)]2</-'(0)}s4+ ...»	(бб)

£4(О)]4 s4 + ...	(5в)

и т. д. Подставив (5) в (3) и приравняв коэффициенты при оди-
наковых степенях s, получим:
Коэффициент при s2

-l=4tt((W2>fe), ИЛИ ф(0) = ±лД=1Г (6а)
*	* <г' (2«)

Коэффициент при s3

0 =	* (0) (0) + И Ж

ИЛИ

ф' (0) = —-	Гб (0)12 = — ?(3>	(66)

3?<2>(zs)lWJ з [q^M]2‘ {bQ)

Коэффициент при si

o.&L[[‘ai]'+^Ms}+

+	(<W(0) +

ИЛИ

+T^P^tm*+J!^[W'Ho,l} (6b)
4 \ZSJ L **	J /

И Т. Д.

Приложение 2. Свойства функций Эйри

Функции Эйри Ai (ст) и Bi (ст) мржно определить либо с по-
мощью дифференциального уравнения (33) из § 2 (с соответ-
ствующими граничными условиями), либо с помощью инте-
гральных представлений (32) и (34) из § 2. В § 2, п. «д», гово-
рилось о свойствах таких функций при больших значениях ар-
гумента ст. Здесь же мы остановимся на других их свойствах.
Таблицы этих функций приведены в работе [27].

Чтобы получить сходящиеся ряды, пригодные для нахожде-
ния значений Ai (ст) при малых ст, можно заменить ехр(стг) в
подынтегральном выражении в формуле (326) из § 2 степенным
рядом, в результате чего получим

оо

Ai<ff)=а»= \^-^dz	(i)

n-0	Lz2

после допустимой смены порядка суммирования и интегрирова-
ния. Коэффициент ап представляет собой сходящийся интеграл
по контуру £32, изображенному на фиг. 109, в качестве которого
можно взять прямые arg z = 4л/3 и arg z = 2л/3. Поскольку

о	о

J zne~g'!3dz — е;2<п+1)л/3 $ zne~g'l3dz, (2а)
оо^^4л/3	ОО£^Л/3

можно написать

еое^2л/3

а„==[1 — е«2(П+1)я/з] j zne~gS/3dz	(26)

о

или, после замены переменкой q = zexp(— /2л/3) и с учетом
формулы (8) из § 2,

а„ = 2/(-1)пЗ(п-2)/3Г (2L+±)sin[J«±l)«].	(3)

Таким образом,

А|(а)д?1-^jin.L<? + l)«/3|r|(. + l)/313" (_g)„,	(4)

п=0

или, если воспользоваться формулой

• Г/ I п Я1 п ( Я + 1 \	л	Л	Z1-X

Sin[(rt+1) 3 ]Г 3 ) — г [1 - (п + |)/3] — Г [(2 - Л)/3) ’

Х’Х 	©

п-0

Так как п! = Г (п 4- 1) и [формула (9)]

Г (v + а) ~ д/-^- (7-) V»,	| v | -> оо, | arg v | < л, (7)

разложения (4) и (6) сходятся при любых о. Аналогичным обра-
зом можно получить

1	ОП/З-П

Bi = з1^ X nl Г [(2 - п)/3] •

п-0

Ь
• Поскольку Г(—п) = оо, м = 0, 1, 2, ряды (6) и (8) рас-
падаются на две части: одна содержит степени ст3л, а другая —
степени ст3л+1. Многократное применение формулы Г (у + 1) =
j = #Г(г/) дает еще одну форму записи:

А1(<г) = „	---<9а)

з/,г(з)	з/’г(1)

1	Ч7»

Bi & ---T-72V ^ (*) + -7TV (<0,	(96)

з'т(1)	г(4)

где

У,0-2 2'5'(Зп + 2)? + 2>
п-»0

Функции IFi(—ст) и W2(— ст) можно выразить через функции
Бесселя с индексом */з- Для этого в разложении в ряд

п*"0

______1_____
п!г(у + п+ 1)

(Ю)

преобразуем выражение п!Г(7з + « + 1) по теореме умножения
для гамма-функции

’-,,+L (ll)

Используя формулу (5) при « = 0, получаем



W <-1>“г(« + 1+4)з"«
2лЗ''’УГ	Г(3« + 3)	—

п=-0
1
=—/
г(т) v’

и аналогично

MV') = ?§) 7^'<-’>•

(12а)

(126)
Тогда выражение (9) можно представить в виде

Ai(- ст) =	(| <т%) + Jv> (-j- <г%)],	(13a)

Bi (- ст) = д/f [/_./. (у а’/’) - /у, (4 а%)].	(136)

Комбинацию Ai (— ст) ± i Bi (— ст) легко выразить через функ-
цию Ханкеля с индексом ’/з или через функцию Эйри со сме-
шанным аргументом. На основании формулы

(14)

±i sin vre	' ’

можно после простых преобразований выражений (13) получить
[гл. 6, приложение 3, формула (32)]

А2,! (- ст). Ai (- ст) ± I Bi (- ст) = д/4 е™6Н$ ° (4 </'*). (15а)
или с учетом формул (18) —(20)

Л2,, (- ст) = - Ai (- сте±,2я/3).	(156)

Вронскиан функций Эйри Ai (ст) и Bi (о) можно определить
либо с помощью асимптотических формул (42) и (45) из § 2
при ст-* оо либо с помощью разложений в ряд (4) и (8) при
ст -> 0. Оба способа верны, поскольку вронскиан есть постоянная
величина, так что результаты вычислений одним способом мож-
но сверять с результатами, полученными другим способом. Из
асимптотических формул легко найти, что

Ai (ст) Bi' (ст) - Bi (ст) Ai' (ст) = 4 >	(16)

зт

и из рядов (4) и (8) с учетом выражения (5) получаем

2[3,аГ('/3)Г(2/з)]=1/л.

Линейно независимые решения Ai (о) и Bi (о) очень удобны,
поскольку это действительные функции при действительных зна-
чениях о. Но из фиг. 109 видно, что контурный интеграл, взятый
лишь вдоль пути L21 или L31, гораздо проще интеграла (34) из
§ 2 для Bi (о), а получающиеся функции и функция Ai (о) также
линейно независимы. Если ввести обозначения

J е«-*7з dz = - niA2 (ст),	(17а)

Ln
i

I

-

f,

J ^-«’/З dz s niAi (ст),	(176)

Lai

то по теореме Коши

2 Ai (о) = At (a) + A2 (a),	(18a)

а, в силу формулы (34) из § 2,

2 Bi (ст) = i[At (ст) —А2(ст)].	(186)

Обратно, функции А1>2 выражаются через Ai и Bi:

At, 2 (о) = Ai (о) =F i Bi (о).	(18в)

Из фиг. 109 также явствует, что функции At, А2 и Ai сво-
дятся одна к другой, если фазу переменной интегрирования
изменить на ±(2л/3). Так, если | = zexp(—Йл/З), то

$ dz = ei2"/3 $ еае/2я/35-53/з rfg;	(jg)

Ln	Ln

следовательно,

Л2Я/3

Ai (о) = -	А2 (сте{2я/3).	(20а)

Аналогично

-~i2«/3

Ai (ст) = - ——g— At (<те- ™3)	(206)

и

А1(ст) = е_/2я/3А2(сте-'2я/3).	(20в)

Из соотношений (16) и (18в) также следует

А]. 2 (or) Ai' (ст) — Ai (а) At. 2 (а) •= ±	(21a)

т. е.

л	-Т<Я/6

Ai (ст) -fa Ai (сте±*2я'3) - АГ (ст) Ai (сте±^3) =	.	(216)

ЗАДАЧИ

1.	Найдите асимптотическое выражение при Я->-оо для ин-
теграла

Z(Q)= p(z)e««Wdz,	(1)

?г

vpfi Pz — путь наибыстрейшего спуска, проходящий через седло-
вую точку первого порядка zs функции q(z), заменив exp[Q^(z)J
по формуле

е°ч (*) = еХр [□</ (zs) +	м (Q> г)>

где

М (£2, z) = ехр [□ £ 5<") (^Н[г-^),,1.

(2)

(3)

Разложите регулярные функции f(z) и Af(£2, z) в ряд вблизи
точки z = zs и, проведя почленное интегрирование, найдите
асимптотическое выражение для /(£2). Сравните полученный ре-
зультат с результатами, представленными в § 2, пп. «а» и «б».

2.	Многократным интегрированием по частям получите раз-
ложение интегральной показательной функции

£2	rt-0

(4)

в ряд по обратным степеням £2. Покажите, что это разложение
расходится в обычном смысле, но дает верное асимптотическое
выражение при £2 -> оо.

3.	Следующее интегральное представление [28] функции па-
раболического цилиндра справедливо при произвольных значе-
ниях индекса v:

D-V(z) =

~2л»	|arg(—(5)

г.

где контур интегрирования L обходит против часовой стрелки
разрез, простирающийся от £ = 0 до | = оо вдоль положитель-
ной действительной оси плоскости g.

а.	Покажите, что это выражение можно свести к выражению
(36) из § 5 при Re v > 0. Введите в формуле (5) новую пере-
менную ? = и докажите, что при (2v— 1), равном положи-
тельному четному целому числу или нулю,

где

D-v(z) = -^6-^,3,	(6)

/13 = $	dt, = 2/I0 = 2Z03,	(7)

a Lij — контур, который начинается на бесконечности в секторе
i и уходит на бесконечность в секторе / плоскости комплексной
переменной как показано на фиг. 121. Если i = 0 или / = О,
то соответствующая концевая точка контура находится при
: = о.

С помощью интегрального представления покажите, что
функция параболического цилиндра удовлетворяет дифферен-
циальному уравнению

Ьёг+(4-’-т)]в-’<г>=0-	®

б.	Пусть (2v — 1) — положительное четное целое число, т. е.
v = т 4- 1/2, где т — положительное целое число или нуль. По-
скольку функция /1зехр(г2/4) в формуле (6) удовлетворяет ура-
внению (8), функция /24ехр(з2/4) также удовлетворяет этому

уравнению и является другим ли-
нейно независимым [относитель-
но £>_v(z)] его решением (реше-
ния различны, так как контур
L2i нельзя совместить с конту-
ром L13). Покажите, что

/02 = Ло = -4- г (v) е*г/Ч)~у (- z).

(9)

Легко видеть, что если функция
D-v(z) удовлетворяет уравнению
(8), то ему удовлетворяют и
функции £>v_i(±iz). Следователь-
но, последние можно выразить
через функции D-V(±z), являю-

Фиг. 121. Различные области
в комплексной плоскости £.

щиеся двумя линейно независимыми решениями дифферен-

циального уравнения, а именно

D-v (z) - e±yniD-v (- z) =	(± iz). (10)

Покажите, что

/12 = i д/¥	И,	(11 а)

/14 = * д/т e<w^/4£>v-i (fe) - Г (v)	(- z). (116)

4.	а. Объясните, почему для асимптотической оценки инте-
грала /oi (в общем случае /^) из предыдущей задачи при боль-
ших значениях z удобно преобразовать выражение (7) к виду

oog-Za/2

/01 = Qv/Vv“ ( p2v~le~a&l2a [ц2 +gV2) du,

(12)

о
где Q == | z |2, а = arg z, ц = gz“1/2. У подынтегрального выра-
жения имеются седловые точки ps = 0, покажите, что на-
правление путей наибыстрейшего спуска в седловых точках оп-
ределяется следующим образом:

arg (dp)|^0 = { _“±я> arg(dp)	= — а ±-у,

arg (dp) |Ц4._г = — а ± -у.

б.	Покажите следующее: при 0 < а < л/2 контур интегри-
рования можно преобразовать в путь наибыстрейшего спуска,
не пересекая седловую точку р8 = —i (при заданном интервале
значений а точка ps = +« не существенна); при л/2 ос <
< Зл/4 путь интегрирования проходит через обе седловые точ-
ки, но основной вклад дает точка р., = 0; седловые точки ps =
= 0 и Цз = —i дают одинаковые вклады при а = Зл/4, и вклад
точки р8 = —i основной при Зл/4 < ос < 5л/4. Проведите такое
же исследование для случая а < 0.

в.	На основании доказанного в п. «б» и асимптотической
оценки интеграла /qi при больших значениях |z| покажите, что

D_v (z) ~ e~*’/4z-v,	— л/2 < arg z < л/2,	(14а)

D_v(z)^e-^4z-v

r(v)

g*2/4gv-l

л	5jt /л л

-y<argz<-y. (146)

(Указание. Поскольку v = m + */2. tn — 0, 1, 2, ..., асимптоти-
ческое выражение для функции D_v(z)exp(—z2/4) может быть
найдено последовательным дифференцированием по z резуль-
тата для случая ш = 0.) Покажите, что формула (146) приме-
нима также при —л/2 arg z > —5л/4, если величину
ехр(—ivn) заменить величиной exp(ivn). [Можно показать, что
формулы (14а) и (146) справедливы при произвольных значе-
ниях индекса v, удовлетворяющих неравенству |v| С |z|.]

г.	Используя (10), получите из (14а) асимптотические выра-
жения при л/2 arg z < 5л/4 и —л/2 > arg г > —5л/4.

5.	Присоединенную функцию Лежандра можно определить
[18, стр. 67] как

/V(cOSy)

1
riv + u + l)

e~*cos Wv)zvJu (z sin-у) dz, (15)

0
если 0 < (t/v) <п/2 и Re(p. + v + 1) > 0. Найдя асимптота-
ческую оценку этого интеграла, покажите, что при v—>оо

lim W? (cos 4-) =7ц(/).	(16)

V->oo	4	Z

(СО	\

Указание. $ e~*zv dz = Г (v + 1), Re (v + 1) > 0. J
о	'

6.	Исходя из интегрального представления полинома Ле-
жандра [18, стр. 67]

2Л

Рп (cos 6) =	$ (cos 6 4-Z sin 0 cos w)n dw, (17)

о

найдите соответствующее асимптотическое выражение для боль-
ших значений п:

^(cos6)~	cos[(n 4-у)0 “т]’ sinG^O. (18)

7.	Функция Грина для свободного пространства имеет сле-
дующее интегральное представление [гл. 5, § 4, формула (7а)]:

eikr

С< = -Ж7

(19)

сое^п

где r = (p2 + z2)7*, а путь интегрирования проходит над точ-
ками ветвления £ = —k, 0 и под точкой ветвления g = k. Счи-
тая, что р — большая величина, исходя из асимптотического раз-
ложения функции Яо°^р)[гл. 6, § 4, формула (8а)], выведите ме-
тодами, изложенными в § 2, пп. «а» и «б», асимптотическое раз-
ложение интеграла (19). Покажите, что члены более высокого,
чем первый, порядка равны нулю и вклад главного члена дает
точный результат.

8.	Исходя из интегрального представления [гл. 5, § 4, фор-
мула (36в)]

Но} (Ар) = -£- $ eikpcoswdw,	(20)

p

где P— контур интегрирования, изображенный на фиг. 129, б,
выведите методом, изложенным в § 2, п. «б», асимптотическое
разложение (8а) из гл. 6, § 4.

9.	Выполнив операции, указанные в выражении (42) из § 2,
получите полное асимптотическое разложение (43) из того же
параграфа.
10.	Исходя из интегрального представления в виде двойного
интеграла [гл. 5, § 4, формула (126)]

ОО	00

Gf = ~8^ J	J

— ОО	—оо

ехр [< (|х + ду) Ч- < Vfe2 — %2 — п2 | z |]	/0П

найдите соответствующее асимптотическое выражение при боль-
ших г = V*2 + у2 + z2.

а.	Проведите асимптотическую оценку, пользуясь результа-
тами § 7.

б.	Найдите сначала асимптотическое выражение для инте-
грала по т) методом, изложенным в § 2, п. «а», а затем интеграла
по g. Сравните с результатом, полученным в п. «а» задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Bleistein N., Journ. Math. Meeh., 17, 533 (1967).

2.	Rice S. 0., Bell System Tech. Journ., 47, 1971 (1968).

3.	Jeffreys H., Asymptotic Approximations, London, Oxford University Press,
1962.

4.	DeBruijn N. G.t Asymptotic Methods in Analysis, New York, Interscience
Publishing Co., 1958, Ch. 4—6.

5.	Copson E, T., Asymptotic Expansions, Cambridge, England, Cambridge Uni-
versity Press, 1965, Ch. 7.

6.	Erdelyi A., Asymptotic Expansions, New York, Dover Publishing Co., 1956,
Ch. 2.

7.	Budden K. G., Radio Waves in the Ionosphere, Cambridge, England, Cam-
bridge University Press, 1961, Ch. 15.

8.	Heading J.t An Introduction to Phase-Integral Methods, New York, John
Wiley and Sons, 1962, Ch. 3.

9.	Van der Waerden B. L., Applied Sci. Rsch., B2, 33 (1951).

10.	Pauli W., Phys. Rev., 54 (1938).

11.	Ott H.t Annalen d. Physik (Leipzig), 43, 393 (1943).

12.	Clemmow P. C„ Quart Journ. Meeh. Appl. Math., 3, 241 (1950); Proc. Roy.
Soc. London, Sec. A, 203 (1951).

13.	Fried B. D., Conte S. D., The Plasma Dispersion Function, New York, Aca-
demic Press, 1961.

14.	Bleistein N., Comm. Pure Appl. Math., 19, 353 (1966).

15.	Clemmow P. C., Munford С. M., Phil. Trans. Roy. Soc. London, Sec. A,
189 (1952).

16.	Horner F.t Proc. IEE (London)', 102, Part C., 134 (1955).

17.	Chester C., Friedman B., Ursell F.t Proc, of Cambridge Phil. Soc., 53, 599
(1957).

18.	Magnus W., Oberhettinger F., Formulas and Theorems for the Special Func-
tions of Mathematical Physics, New York, Chelsea Publishing Co., 1954.

19.	Pearcey T., Phil. Mag., 37, 311 (1946).

20.	Бреховских Л M., Волны в слоистых средах, Изд-во АН СССР, 1957.

21.	Lewis R. М., в книге: Electromagnetic Wave Theory, Part 2, ed. J. Brown,
New York, Pergamon Press, 1967, p. 864.
22,	Levey L., Felsen L. B., Radio Science, 4, 959 (1969).

23.	Rothman M, Quart. Journ. Meeh. Appl. Math., 7, 379 (1954).

24.	Носова Л. H., Тумаркин С. А., Таблицы обобщенных функций Эйри для
асимптотического решения дифференциальных уравнений вида е(ру')' +
+ (^ + er)^ = f, Москва, Вычислительный центр АН СССР, 1961.

25.	Jones D. S., Kline М, Journ. Math. Phys., 37, 1 (1958).

26.	Copson E. T., Theory of Functions of a Complex Variable, London, Oxford
University Press, 1936, Sec. 6.23.

27.	Miller J. C. P., The Airy Integral (British Association Mathematical Tables),
Cambridge, England, Cambridge University Press, 1946.

28.	Whittaker E. T., Watson G. N., A Course of Modern Analysis, Cambridge,
England, Cambridge University Press, 1952, p. 348 (имеется перевод:
Э. T. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон, Курс современного анализа, ч. 2, 1963,
стр. 179).
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода ....................................  5

Предисловие авторов ................................................ 6

Глава 1. Линейные поля, зависящие от координат и времени............13

§ 1.	Постановка задач о векторном поле и скалярном потенциале . . 13
а. Скалярное звуковое поле....................................14

б.	Векторное электромагнитное поле............................23

в.	Плазменное поле (модель однокомпонентной жидкости)	....	43

г.	Произвольное линейное поле (абстрактная формулировка)	...	50

§ 2.	Разложение поля по плоским волнам..........................53

а.	Звуковое поле..............................................56

б.	Электромагнитное поле......................................62

в.	Плазменное поле............................................66

г.	Произвольное линейное поле.................................71

§ 3.	Волноводное во времени (осцилляторное) представление	...	72

а.	Произвольное линейное поле.................................75

б.	Звуковое поле..............................................80

в.	Электромагнитное поле......................................82

г.	Плазменное поле............................................85

§ 4.	Пространственные волноводные разложения....................88

а.	Произвольное линейное поле.................................92

б.	Звуковое поле..............................................95

в.	Электромагнитное поле......................................98

§ 5.	Приведенные уравнения (уравнения более высокого порядка)
для электромагнитного поля...................................103

а.	Плотность энергии, поток мощности и групповая скорость элек-
тромагнитного поля.........................................105

б.	Граничные условия, единственность решения и соотношения вза-
имности для электромагнитного поля.........................116

в.	Альтернативные представления..............................126

§ 6.	Лучевое приближение для интегральных представлений	.	.	.	.130

а.	Осцилляторное интегральное представление..................132

б.	Волноводное интегральное представление....................144

в.	Дифракция и переходные явления............................156

§ 7.	Лучевое приближение для дифференциальных	уравнений	.	.	.163

а.	Лучи и теория характеристик ..............................	165
б.	Скалярные гармонические	поля.............................169

в.	Векторные гармонические	поля..............................176

г.	Геометрическая теория дифракции...........................163

д.	Негармонические поля......................................199

Задачи..........................................................205

Литература......................................................233

Глава 2. Метод эквивалентных схем в применении к гармоническим
электромагнитным полям в регулярных и сферических волноводах 235

§ 1.	Введение..................................................235

§ 2.	Вывод телеграфных уравнений для регулярных волноводов . . 237

а.	Уравнения для поперечного поля............................237

б.	Разложение полей и их источников по собственным функциям 240

§ 3.	Скаляризация и разложение по собственным функциям тензор-
ных функций Грина в регулярных волноводах......................244

а.	Собственные функции.......................................244

б.	Поля в свободных от источников регулярных областях .... 245

в.	Функции Грина для телеграфных уравнений...................246

г.	Разложение по собственным функциям тензорных функций Грина
в кусочно-однородной среде...................................249

д.	Разложения по собственным функциям тензорных функций Гри-
на в неоднородной среде .................................... 255

§ 4.	Решение телеграфных уравнений (метод	эквивалентных схем) 258

а.	Случай, когда источники отсутствуют.......................258

б.	Точечный источник на бесконечной линии передачи...........261

в.	Общий случай: эквивалентная схема в виде линии передачи,
возбуждаемой точечным источником.............................263

г.	Функции Грина для телеграфных уравнений...................267

д.	Резонансные свойства ограниченной линии передачи..........272

§ 5.	’Вывод телеграфных уравнений для сферических областей . . . 275

а.	Уравнения для поперечных полей............................275

б.	Разложение полей и их источников..........................277

§ 6.	Скаляризация и разложение по собственным функциям тензор-
ных функций Грина в сферических областях.......................280

а.	Собственные функции.......................................280

б.	Поля в однородных областях в отсутствие источников .... 281

в.	Разложения по собственным функциям тензорных функций Грина 282

§ 7.	Решение телеграфных уравнений для сферических волноводов
(метод эквивалентных схем).....................................284

а.	Линии передачи в отсутствие источников возбуждения и при их
наличии......................................................284

б.	Частные	случаи............................................289

Задачи..........................................................293

Литература......................................................299
Глава 3. Собственные функции закрытых и открытых волноводов . . .301

§ 1.	Введение.................................................301

§ 2.	Классический метод нахождения собственных функций .... 303
а. Общая одномерная задача о собственных значениях.............303

б. Прямоугольные поперечные сечения с однородным заполнением 306
в. Поперечные сечения с однородным заполнением в полярных коор-

динатах ...................................................319

г.	Поперечные сечения с неоднородным	заполнением............332

§ 3.	Метод характеристической функции Грина (резольвенты) и аль-
тернативные представления......................................342

а.	Связь между характеристической функцией Грина и задачей

о собственных значениях.............................. . . , 343

б.	Построение характеристической функции Грина..............348

в.	Альтернативные представления.............................354

§ 4.	Одномерная характеристическая функция Грина и собственные
функции........................................................361

а.	Прямоугольное поперечное сечение.........................361

б.	Угловая линия передачи...................................381

в.	Радиальные линии передачи................................400

§ 5.	Приближенные методы решения неоднородных телеграфных
уравнений......................................................407

а.	Метод интегрального уравнения............................409

б.	Уравнение для функции сравнения..........................417

в.	Различные функции сравнения..............................419

г.	Точность приближенных решений.............................428

д.	Поправки к ВКБ-приближению...............................430

§ 6.	Применение к различным профилям неоднородностей..........434

а.	Отражение от плавной границы однородных областей.........434

б.	Решение Эпштейна в случае плавного перехода..............438

в.	Диэлектрическая проницаемость проходит через нуль........444

Задачи.........................................................447

Литература.....................................................455

Глава 4. Асимптотическое вычисление интегралов....................457

§ 1.	Общие соображения........................................457

а.	Приведение к каноническому виду..........................457

б.	Седловые точки и линии постоянного уровня и постоянной фазы 466

§ 2.	Изолированные седловые точки первого порядка.............472

а.	Первое приближение.......................................472

б.	Полное асимптотическое разложение........................474

в.	Первое приближение для интегралов в конечных пределах, полу-
ченное методом стационарной фазы.............................477

г.	Вычисление методом наибыстрейшего спуска типичного дифрак-
ционного интеграла...........................................479

д.	Подынтегральные функции, имеющие две изолированные седло-
вые точки. Асимптотическое разложение интеграла Эйри . . . 483
§ 3.	Изолированные седловые точки более высокого порядка .... 490

§ 4.	Седловая точка первого порядка, вблизи которой расположены
особенности...................................................492

а.	Простой полюс............................................492

б.	Полюс более высокого порядка.............................500

в.	Точка ветвления .........................................501

г.	Равномерное асимптотическое представление типичного дифрак-
ционного интеграла...........................................502

§ 5.	Близко расположенные седловые точки первого порядка .... 505

а.	Две седловые точки.......................................505

б.	Три седловые точки.......................................516

§ 6.	Седловые, точки вблизи концевой точки контура интегрирования 519

а.	Одна седловая точка......................................519

б.	Две седловые точки первого порядка.......................521

§ 7.	Кратные интегралы....................................... 528

§ 8.	Интегрирование вокруг точки ветвления....................530

Приложение	1.	Высшие производные	функции G(s) = f(z)dz/ds .... 532

Приложение	2.	Свойства функций	Эйри............................533

Задачи............................................................537

Литература........................................................542
ИБ № 1046

Л. Фелсен, Н. Марку виц

ИЗЛУЧЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ ВОЛН
(Том I)

Редактор Е. Куранский

* Художник М. Мержиевский
Художественный редактор Л. Наумов
Технический редактор Н. Толстякова
Корректор Т. Пашковская

Сдано в набор 20/1V 1977 г. Подписано к печати
16/XII 1977 г. Бумага тип. № 1. 60X90Viee 17,25 бум. л.
34,50 печ. л. Уч.-изд. л. 33,85. Изд. Xs 2/8860.

Цена 3 р. 90 к. Зак. Xs 639.

Издательство <Мир>
Москва, 1-й Рижский пер., 2

Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография Хе 2 имени
Евгении Соколовой Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета
Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли,

198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29