Э. С. МАРКОВИЧ
КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
С ЭЛЕМЕНТАМИ
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
vl
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ.
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов экономических специальностей
высших учебных заведений
*У
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА»
Москва— 1972

517 + 517.8
M25
УДК 517.2/517.3 + 519.2(075)
Маркович Э. С.
М25 Курс высшей математики с элементами теории вероятностей
и математической статистики. Изд. 2-е, переработ, и доп. Учеб.
пособие для вузов. М., «Высш. школа», 1972.
480 с. с илл.
Настоящая книга состоит из двух частей — общего курса высшей
математики и элементов теории вероятностей и математической
статистики. Первая часть включает в себя элементы аналитической
Геометрии на плоскости, введение в анализ, дифференциальное и
интегральное исчисление, ряды, элементы линейной алгебры,
элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве,
функции нескольких независимых переменных и дифференциальные
уравнения. Во второй части излагаются элементы теории
вероятностей, основные сведения из математической статистики и элементы
теории корреляции.
Изложение теоретического материала иллюстрируется большим
количеством примеров и задач. Кроме того, в конце каждой главы
даются упражнения для самостоятельной работы.
Предназначается для студентов экономических специальностей
высших учебных заведений.
2-2-3 517 + 517.8
49—72
Рецензенты: кафедра высшей математики МИНХ
им. Г. В. Плеханова и проф. Н. Я. Виленкин

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
После выхода в 1963 г. предыдущего издания книги программа
по математическим дисциплинам в экономических высших учебных
заведениях была расширена и внесены соответствующие изменения
в учебные- планы, по которым, начиная с 1967/68 учебного года,
предусматривается изучение высшей математики на первых трех
курсах. В связи с этим в новое издание внесены существенные
изменения.
Первая часть книги («Общий курс высшей математики»)
значительно расширена за счет включения новых глав: «Элементы
линейной алгебры», «Элементы векторной алгебры и аналитической
геометрии в пространстве», «Дифференциальные уравнения». Помимо
этого, в содержание некоторых глав внесены дополнения. Так,
в главе «Прямая линия» содержится дополнительный материал,
освещающий геометрический смысл линейных неравенств и систем таких
неравенств, что является необходимым для подготовки студентов
к изучению основ линейного программирования; в главе «Функции
нескольких независимых переменных» даются краткие сведения
о конечных разностях и рассматривается интерполяционный поли
ном Ньютона; в главе «Определенный интеграл» приводятся примеры
вычисления площадей фигур, заданных неравенствами, и т. д.
Вторая часть («Элементы теории вероятностей и.математической
статистики») также содержит ряд изменений. С учетом требований
программы написана новая глава «Основные сведения из
математической статистики», которая дает математическое обоснование
применения выборочного метода,-Кериме того, так же как и в первой
части книги, в отдельных главах имеются некоторые дополнения.
Например, в главе «Основные определения и теоремы» даются
краткие сведения из теории соединений, выводятся обобщенная формула
сложения, формула полной вероятности и формула Байеса; в главе
«Повторные независимые испытания» рассмотрена асимптотическая
формула Пуассона; в главе «Случайная величина и ее числовые
характеристики» приведены новые примеры распределения случайной
величины и т. д. В конце книги дается предметный указатель.
Наряду с дополнениями и переработкой теоретического
материала книга пополнена новыми упражнениями, что, по мнению
автора, должно облегчить студентам усвоение математических
знаний при самостоятельной работе над книгой.

Педагогический опыт автора позволяет рекомендовать изучение
материала в следующей последовательности.
На I курсе следует изучить главы I—XII первой части. В
первом полугодии II курса нужно изучить вторую часть книги, так
как усвоение «Элементов теории вероятностей и математической
статистики» должно предшествовать изучению на II же курсе «Общей
теории статистики». В этом же полугодии должна быть пройдена
глава XV первой части (перед изучением последней главы второй
части—«Элементов теории корреляции»). Во втором полугодии
II курса изучаются главы XIII, XIV и XVI первой части,
являющиеся подготовительными к изучению на III курсе дисциплины
«Математическое программирование». При этом в главе XIII даны
только основные понятия из линейной алгебры, так как остальной
необходимый для математического программирования материал
излагается в соответствующих пособиях по этой дисциплине.
Автор считает необходимым выразить свою признательность
рецензентам Н. Я. Виленкину и В. М. Цодексу, замечания которых
способствовали улучшению рукописи, А. И. Карасеву за
сделанные им полезные советы, а также редактору издательства А. М. Суход-
скому, проделавшему большую работу при подготовке рукописи
к изданию.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящая книга предназначается в качестве учебного пособия
для студентов-заочников всех специальностей экономических и
финансовых вузов.
Учебное пособие составлено применительно к программе,
утвержденной Министерством высшего и среднего специального образования
СССР.
Учебный материал по математической статистике для студентов-
заочников по специальности «Статистика» подробно изложен в учебном
пособии «Основы математической статистики» (1962 г.).
Пользуясь настоящей книгой, заочник сможет сознательно
усваивать теоретический материал, знакомясь со значительным количеством
примеров (в ряде случаев из области экономики) и решая упражнения,
предлагаемые по каждой теме программы.
Автор стремился отразить в учебном руководстве специфику,
отвечающую условиям самостоятельного изучения математики с тем,
чтобы практические работники, повышающие свою теоретическую
подготовку без отрыва от производства, находили в нем то, что хотя бы
в некоторой степени заменяет повседневное общение с преподавателем.
Автор надеется, что это его стремление достигнет своей цели.
Автор выражает свою признательность И. Е. Базилевичу, В. И.
Левину, Ю. И. Гроссбергу, Р. С. Гутеру, Л. 3. Румшискому за
высказанные ими полезные советы, а Р. С. Гутеру еще за взятый на себя труд
по редактированию книги.
1963 г. Автор
4

ВВЕДЕНИЕ
Развитие науки и техники невозможно без использования
математических исследований и расчетов, поэтому подготовка
инженеров тесно связана с получением хороших математических знаний.
Инженеры-экономисты также должны в совершенстве владеть
математическим аппаратом, необходимым для решения многих важных
задач экономической науки.
При обобщении наблюдаемых явлений в экономической жизни
общества часто приходится строить математическое выражение
закономерностей, характеризующих некоторые процессы; в
простейших случаях используется составление эмпирических формул по
способу наименьших квадратов, а в более сложных—составление
корреляционных уравнений. Наличие в руках экономиста данных
о количественных связях в изучаемых явлениях вносит
значительный элемент надежности в предвидение динамики дальнейшего
развития соответствующих процессов.
Особо важное место в работе экономиста должны занимать вопросы
планирования и наилучшего использования ресурсов, а также
разработки принципов рационального размещения производительных сил.
Простейшие типы задач, связанные с выбором варианта
наилучшего использования ресурсов, восходят к элементарным задачам на
отыскивание наибольших и наименьших значений величин,
разрешаемым с помощью квадратичной функции. Некоторое обобщение типов
таких задач дается в дифференциальном исчислении при изучении
экстремума функций одной и нескольких переменных. Но эти методы
оказываются недостаточными для постановки задач, стоящих
перед экономической, наукой.
Управление экономическими процессами связано с
многочисленными показателями, характеризующими эти процессы, и с выяснением
разнообразных условий и ограничений, которым должны
удовлетворять соотношения между этими показателями. Преодолеть
возникающие при таких условиях трудности можно с помощью новых
математических методов, составляющих содержание целого ряда дисциплин,
из которых наибольшее развитие получило линейное
программирование.
В общей постановке задача, разрешаемая методами линейного
программирования, заключается в отыскании максимума или минимума
функции совокупности переменных, связанных условиями системы
уравнений и неравенств. Вариант значений переменных,
определяющих искомый экстремум, называют оптимальным, и сила
применяемых методов состоит в том, что они дают возможность найти его
из большого количества вариантов.
Важно отметить, что вычислительные операции при решении
задач методами линейного программирования принципиально просты,
но практически весьма громоздки, поскольку здесь обычно участвуют
системы с большим числом уравнений, а поэтому выполнение этих
операций осуществимо с помощью электронно-вычислительных
машин.
5

В практике народнохозяйственного планирования применение
новых математических методов уже дает значительный эффект
(сокращение непроизводительных перевозок на транспорте, повышение
выпуска продукции в результате правильного перераспределений
загрузки оборудования и т. д.).
Было бы, однако, неправильным полагать, что изучение
математики в экономических высших учебных заведениях можнр
ограничить только теми вопросами, которые непосредственно
применяются в практической работе экономиста. Основой математических
знаний, необходимых экономисту, является общий курс высшей
математики с элементами теории вероятностей и математической
статистики, составляющий содержание настоящего пособия,

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОБЩИЙ КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Раздел первый
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Глава 1
ДЕКАРТОВА ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
Аналитической геометрией называется раздел математики, в
котором геометрические задачи решаются алгебраическим путем.
Это дает возможность вырабатывать общие методы решения
геометрических задач.
Основой аналитической геометрии является метод координат,
впервые использованный в XVII в. французским математиком и
философом Рене Декартом (1596—1650). Метод координат исходит
из рассмотрения положения точки относительно некоторых линий,
образующих систему координат на плоскости или в пространстве.
В нашем курсе все геометрические образы связываются с
декартовой прямоугольной системой координат.
§ Ь Взаимно однозначное соответствие между точками плоскости
и парами действительных чисел
Декартова прямоугольная система координат на плоскости
представляет собой две взаимно перпендикулярные оси с общим
началом.
Осью является прямая, на которой:
а) выбрана начальная точка («начало», обычно обозначаемое
буквой О),
б) указано (стрелкой) положительное направление отсчета,
в) выбрана единица длины (масштаб).
Первая ось Ох называется осью абсцисс, а перпендикулярная ей
ось Оу—осью ординат. Обычно ось абсцисс проводят в
горизонтальном направлении. Общая точка заданных осей называется
началом координат (в ней совпадают начальные точки обеих осей).
На оси Ох за положительное принимается направление слева
направо, а на оси Оу—направление снизу вверх. Единица длины
обычно (если нет специальной оговорки) принимается одинаковой
для обеих осей.
7

Установим сначала, как определяется положение точки,
лежащей на оси.
Пусть дана (рис. 1) горизонтальная ось, для которой за единицу
длины выбран отрезок, помещенный над осью слева. Тогда
положение каждой точки на оси определяется числом (координатой
точки), равным отношению длины отрезт прямой от О до этой точки
к выбранной единице длины. Условимся считать это число
положительным для всякой точки, лежащей справа от О, и
отрицательным—для всякой точки слева от О. Так, из рис. 1 видно, что
точке А соответствует число 3, а точке В — число (—5). Это соответствие
В А9
О А
i i I i —j—
В9
-s -и -з -г -i о i г з ь 5 б х
Рис. 1
между каждой точкой и числом выражается для точки А записью
Л(3), а для точки Б —записью В (—5).
Заметим, что симметричные относительно начала О точки на оси
Ох различаются только знаками своих координат. Так, для точки
А симметричной относительно начала О является точка А' (—3), а
для точки В—точка В'(5).
Положение каждой точки на вертикальной оси Оу определяется
также числом —координатой этой точки. Эту координату будем
считать положительной для точек, лежащих
выше начала О, и отрицательной—для
точек, лежащих ниже начала О. Так, из
рис. 2 видно, что точке Н на оси Оу
соответствует число 1,5, а точке
К—число (—3). Это соответствие обозначается
записями: Я (1,5) и К(—3).
Пусть теперь требуется определить
положение точки А на плоскости
относительно заданной
прямоугольной системы координат (рис. 2).
Опуская из точки А перпендикуляры
на каждую ось, мы видим, что на оси Ох
"основание перпендикуляра оказывается точкой, которой соответствует
число 4—абсцисса точки Л, а на оси Оу основание перпендикуляра
оказывается точкой, которой соответствует число 2 —ордината
точки А. Таким образом, в прямоугольной системе координат
данной точке соответствует определенная упорядоченная пара чисел —
ее координат (4; 2). Установленное для точки А соответствие
записывается А (4; 2).
Оси координат делят плоскость на четыре части, называемые
четвертями или квадрантами. На рис. 2 дана установленная
нумерация этих четвертей.
8
Ж
ж
Рис. 2

)
Знаки координат всякой точки плоскости определяются в
соответствии с ее расположением в одной из четвертей (см. таблицу),
исходя из того, что абсциссы точек правой полуплоскости
положительны, а левой — отрицательны, и что ординаты точек верхней
полуплоскости положительны, а
нижней—отрицательны.
Так, точка А лежит в I четверти,
а потому обе координаты ее
положительны. Точке В (рис. 2),
расположенной во II четверти, таким
же образом соответствует своя
определенная пара чисел (—1; 2,5)—ее
координаты, что обозначается записью
В (-U 2,5).
Легко далее установить, что точке С, помещенной в III четверти,
соответствуют абсцисса (—0,5) и ордината (—2), и это дает запись
С(—0,5;— 2), а точке D, помещенной в IV четверти,
соответствуют абсцисса 3 и ордината (—1,5), и это приводит к записи
0(3; -1,5).
Установленное соответствие между точками плоскости и парами
чисел сохраняется и для точек, лежащих на любой оси координат.
При этом, если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна
нулю; если же точка лежит на оси ординат, то равна нулю ее
абсцисса. На рис. 2 точки Е, F, Н и К соответственно определяются
координатами: £(1; 0), F (—3,5; 0) Я(0; 1,5) и К(0\ —3).
Для начала координат установленное соответствие дает: О (0; 0).
Рассмотренные на рис. 2 точки имеют своими координатами пары
рациональных чисел. Но возможны и такие точки, координаты
которых—любые действительные числа. Например, если в I четверти
прямоугольной системы координат поместить квадрат с диагональю,
равной 2 ед. дл., так, что одна из его вершин лежит в начале
координат, а пересекающиеся в ней стороны — на координатных осях,
то противоположная вершина определяется координатами (К2; V%>
вершина на оси Ох—координатами (1^2; 0) и вершина на оси Оу —
координатами (0; V2).
Таким образом, метод координат на плоскости ставит в
соответствие каждой точке плоскости определенную (упорядоченную)
пару действительных чисел—координаты этой точки.
Упорядоченность пары чисел понимается здесь так, что из двух
неравных чисел составляются две пары, соответствующие двум
различным точкам плоскости, поскольку абсциссой всякой точки
является первое число пары, а ординатой — второе число пары.
Установленное соответствие позволяет рассматривать и
произвольную точку плоскости УИ, считая ее координаты произвольными и
обозначая ее в виде М (х\ у). Такое же обозначение принято и для
точки, координаты которой требуется вычислить. Аналогично для
произвольной (или для искомой) точки на одной из осей приняты
обозначения М(х; 0) или УИ(0; у).
X
У
I
+
+
II
—
+
III
—
—
IV
+ 1
—
9

Обратно, каждой паре действительных чисел соответствует един-
ственная точка плоскости. При этом в любой заданной
прямоугольной системе координат положение точки, соответствующей паре
чисед (х\ у)—ее координатам, устанавливается следующим образом:
из начала координатам по оси Ох откладывается х единиц (вправо
или влево, смотря по знаку х), а по оси Оу—у единиц (вверх или
вниз, смотря по знаку у)\ затем из конца отрезка на каждой оси
проводится параллель к другой оси. Пересечение этих параллелей
определяет единственную точку, со*
ответствующую заданной паре чисел.
Так, паре чисел (2,5; 5) соответствует
точка Л, а паре чисел (—2,5; 4)—точка
В (рис. 3). Это соответствие выполняется
и в случае, когда одно из чисел пары
или оба — иррациональные.
Так, по данной паре чисел (У 2; —3)
на оси Оя__откладывается отрезок,
содержащий |/2 ед. дл.*, а на оси Оу (в
сторону отрицательных ординат)— отрезок,
содержащий 3 ед. дл. Пересечение
перпендикуляров, восставленных к осям" из
концов отрезков, определяет единственную
точку C(V2; —3).
Таким образом, метод координат на плоскости устанавливает
взаимно однозначное соответствие** между точками плоскости и
парами действительных чисел. Это позволяет изучать геометрические
образы с помощью алгебраических операций над
числами—координатами точек, характеризующих эти образы. Например, заданием
координат трех точек Л(—1; —2), В(—4; 2) и С(5; 6) в
прямоугольной системе координат определяется
треугольник ABC (см. пример 3 и рис. 6).
На основании простейших приложений
метода координат, которые будут рассмотрены
ниже, можно жлегко вычислить длины
сторон, медианы, биссектрисы и углы
треугольника;
Выясним теперь, как определяются
координаты точек, симметричных данной точке
относительно: а) оси ординат, б) оси абсцисс
и в) начала координат. Рис. 4 наглядно показывает, что при
исходной точке А1(3; 2) симметрия относительно оси Оу меняет
знак абсциссы, симметрия относительно оси Ох меняет знак
ординаты, а симметрия относительно начала координат меняет знаки
* Напомним, что мин£ этого отрезка отыскивается построением гипотенузы
прямоугольного треугольника (рис. 3), у которого каждый катет имеет 1 ед. дл.
** Понятие взаимно однозначного соответствия характеризует в математике
такое соотношение между элементами двух совокупностей (множеств), при
котором каждому элементу одной совокупности ставится в соответствие один и
только один элемент другой.
V
V
У|
0
• -л, -
X
•\
Рис. 4
10

обеих координат. Поэтому для произвольной точки М(х\ у)
симметричная ей относительно оси Оу точка имеет координаты (—х\ у),
симметричная относительно оси Ох—координаты (х;—у) и
симметричная относительно начала координат — координаты (—х\ — у).
§ 2. Расстояние между двумя точками
Простейшее решение этой задачи относится к частному случаю,
когда обе заданные точки плоскости лежат на одной из осей
координат.
Пусть, например, требуется определить расстояние между
точками А1 и А2 на оси Ох (рис. 5).
Обозначив абсциссы этих точек через хх и х2, можно установить,
что это расстояние, т. е. длина отрезка АХА2 (начало отрезка Аг
и его конец Л2),
d = OA2 —ОА1=(х2 —хг) ед. дл.
При заданном расположении отрезка (конец его А2 находится
справа от начала Ах и абсциссы обеих точек положительны)
полученная разность положительна. Возможны и
другие расположения отрезка (например, когда
при одинаковых знаках абсцисс А2 находится
слева от Ах или когда абсциссы заданных точек
различны по знакам). Тем не менее легко
проверить, что для всех возможных случаев
расположения точек А± и Л2 на оси Ох
расстояние между ними равно абсолютной величине
разности между абсциссами этих точек, т. е.
d = \x2—xl\ ед. дл. (1а) Рис. 5
Аналогичным путем устанавливается, что расстояние между
точками Вг и В2, заданными на оси Оу, с ординатами ух и у2 равно
абсолютной величине разности между их ординатами, т. е.
d=|#2—Уг\ ед- дл- (1б)
Эти же формулы применяются для определения расстояния между
двумя точками, имеющими равные ординаты или абсциссы.
Пример 1. Определить расстояние между точками С (3; 2) и
D (7; 2).
Решение. Применение формулы (1а) для значений хг = 3 и
х2 = 7 дает
d = 7—3 = 4 ед. дл.
Пример 2. Определить расстояние между точками Е (3; 4) и
D (3; -5).
Решение. Применение формулы (16) для значений |/х = 4 и
У% = ~5 Дает
d = | —5 — 41 = 9 ед. дл.
11
У
h
4
0
\
v'
1
1
1
А,
А
Мг
/V
z х

По каждому из этих примеров учащемуся рекомендуется выпол*
нить соответствующие построения в прямоугольной системе
координат.
В случае, когда определяется расстояние между двумя точками
плоскости Мг (хг) ух) и М2 (х2; у2) (см. рис. 5), отрезок МгМ2
является гипотенузой прямоугольного треугольника MXNM2, и это
позволяет выразить длину МгМ2 через координаты точек Мх и М2.
Здесь
d = МгМ2 = VMXN% + NM\,
а так как
MlN = A1A2 = \x2 — x1\
и
NM2 = B1B2 = \y2-yl\,
то окончательно
d-M.M^Vix.-xrf + iy.-yJ* ед. дл. (1)
В этой формуле имеется в виду арифметическое значение корня.
При выводе формулы (1) точки Мх и М2 были помещены в I
четверти. Однако можно показать, что такой же результат получится
для случаев любого расположения точек Мх и М2 в координатной
плоскости *.
Замечания. 1. В частных случаях при х2—хх или при #2 = #i одно из
слагаемых в подкоренном выражении обращается в нуль, и формула (1)
принимает вид (la) d — \x2—хг | или (16)
d = \y2—ух\. Поэтому в таких случаях
лучше пользоваться соответственно
формулами (1а) или (16).
2. Так как слагаемые подкоренного
выражения имеют четные степени, то
внутри скобок можно менять местами хх
с х2 и ух с у2.
3. Если одна из двух данных точек
лежит в начале координат, то формула
(1) упрощается:
d = OM = Vx2 + y* ед. дл.
Пример 3. Вычислить длины
сторон треугольника по
координатам его вершин: А (— 1; — 2),
В (—4; 2) и С (5; 6) (рис. 6).
Решение. Применяя формулу (1) к координатам точек Л и В,
В и С, А и С, будем иметь:
У
/
0
У\я У-п
ш JJ
/ *
Рис. 6
АВ = ]/(—4+1)2 + (2 + 2)2 = К9+Т6 = 5 ед. дл.)
ВС = К(5 + 4)2 + (6 — 2)2 = /81 + 16 = 1/97 « 9,84 ед. дл.)
ЛС = ]/(5+1)2 + (6 + 2)2 = К36 + 64 = 10 ед. дл.
* Справедливость этой формулы рекомендуется проверить самостоятельно,
поместив, например, точку Мх в IV четверть, а точку М2 — во II четверть.
12

§ 3. Деление отрезка в данном отношении
Пусть по данным двум точкам Мг (хх\ уг) и М2 (х2; у2) (рис. 7)
требуется найти точку М внутри отрезка М1М2 так, чтобы отрезки
MtM и ММ2 находились в отношении тт^- = Х, где X обозначает
любое положительное число. Это значит, что
должны быть вычислены координаты х и у
точки М, удовлетворяющей поставленному
условию.
Опустив из точек Mlt Mj и М2
перпендикуляры на ось Ох, можно на
основании пропорциональности отрезков прямых,*
пересеченных рядом'параллельных, записать
М1М_А1А
ММ*~ АА*
Рис. 7
При выбранном расположении точек
имеем: А1А=х—х1 и АА2 = х2—х, и заданное в условии
отношение принимает вид
£=£± = Ь.
х2—х
Выражая отсюда х, получаем
Х± -f- AJfg
x =
Аналогично находим
ff_yi+Xy2
Можно показать, что полученные формулы верны и при другом
расположении точек Мг и 7И2.
Итак, координаты точки, делящей данный отрезок в отношении А,,
находятся по формулам
х = *1+%?2 и у^У1+Ху2
1+А,
1+Х
(2)
Полученные формулы упрощаются, если данный отрезок делится
пополам, т. е. отыскиваются координаты середины отрезка. В этом
частном случае X = 1, а поэтому
х-й+й и у-Ь+й
(2а)
Пример 4. Точка В (4; —1) делит отрезок АС в отношении
^=="2"- Найти координаты точки Л, если известны координаты
точки С (—2; 3).
13

Решение. При этом условии в формулах (2) неизвестными
оказываются координаты хг и уг начала отрезка А. Поэтому
подстановка данных значений х, х2, у, у2 и к дает
4 =
*i + 2"(-2)
или
■+4
10 = ^—3 и
lfi + 1-З
1 + -
А— л_9
2 -г/1 » 2
Отсюда л:х = 13 и (/а = —7.
Рисунок к этому примеру рекомендуется выполнить
самостоятельно.
Пример 5. Найти на оси ординат точку Е, через которую
проходит отрезок (рис. 8), соединяющий точки
А (-2; 3) и В (7; -4).
Решение. Рассматривая Е как делящую
точку с абсциссой х = 0, определим К из
'отношения отрезков АЕ:ЕВ, выраженного через
абсциссы их концов:
Рис. 8
%--
О— (—2) 2
7—0 7
Теперь ордината точки £ вычисляется по формуле (2):
3 + у(-4)
13
КЗ
9
Этим определена точка Е (0; -§•
Пример 6. По координатам вершин треугольника А (—1; —2),
В(—4; 2) и С (5; 6) найти: 1) длину медианы, проведенной из
вершины В, 2) координаты точки пересечения медиан и 3) длину
биссектрисы угла Л.
Решение. 1.. Определим координаты середины D стороны АС
(см. рис. 6) по формулам (2а): л: = ""12+5 = 2; у = ^Ь£ = 2.
Отсюда длина медианы BD определится по формуле (1а) расстояния между
двумя точками В (—4; 2) и D (2; 2) с равными ординатами: BD =
-2 —(—4) = 6 ед. дл.
2. Координаты точки пересечения медиан определяем из
условия, что эта точка делит каждую медиану в отношении Х, = 2, считая
44-2-2
от вершины к противоположной стороне; это дает х =—^ =0,
а у = 2, так как все точки медианы BD имеют одну и ту же
ординату.
3. Для вычисления длины биссектрисы угла А необходимо знать
координаты точки Е пересечения этой биссектрисы со стороной ВС.
14

Из элементарной геометрии известно, что биссектриса делит сто-
АВ
рону ВС в отношении k=-££. Так как выше найдено (см.
пример 3), что АВ = 5 и АС = 10, то ^ = у, а это дает для
координат точки Е
-4+-г5 ,
#== : = 1
1+Т
2+у6
10
1+т
Отсюда длина биссектрисы АЕ определяется по формуле (16)
расстояния между двумя точками А (—1; —2) и Е (—1; З-^) с
равными абсциссами:
d^AE = 3~(—2) = б4 ед. дл.
§ 4. Угловой коэффициент прямой
Одной из характеристик расположения прямой в плоскости
является ее наклон относительно оси Ох. При этом за угол наклона
данной прямой принимается угол а, отсчитываемый от оси Ох против
движения часовой стрелки до этой прямой.
Так, из двух прямых (рис. 9) прямая /
образует с осью Ох острый угол <хх, а прямая //—
тупой угол аа.
Определение. Угловым коэффициентом
прямой называется тангенс угла наклона этой
прямой к оси Ох.
Обозначая угловой коэффициент символом kt
имеем
k = tg a.
В зависимости от различных значений а возможны следующие
случаи:
если а—острый угол, то его тангенс положителен, т. е. /г>0;
если а—тупой угол, то его тангенс отрицателен, т. е. k < 0;
если а = 0, т. е. прямая параллельна оси Ох, то ft = 0;
если a=-j, т. е. прямая параллельна оси Оу9 то она не имеет
углового коэффициента, что условно записывается в виде & = оо.
Если известен угловой коэффициент прямой, то соответствующий
ему угол наклона можно определить по таблицам. Так, по значению
А =
Y « 0,4286 из таблицы тангенсов находим ^а « 23° 12'.
15

По заданному угловому коэффициенту k прямой, проходящей
через некоторую точку М1(х1; ух), легко построить эту прямую.
Для этого:
1) из точки Мх (рис. 10) проводится параллельно оси Ох вправо
отрезок MXN, длина которого равна знаменателю углового
коэффициента, если k — рациональная робь, и единице, если k—целое или
иррациональное число;
2) из точки N проводится перпендикулярно к Ох отрезок ЛШ2,
равный по длине числителю углового коэффициента при дробно-
рациональном k или самому числу k в
остальных случаях, а по направлению
совпадающий с его знаком;
3) через данную точку Мх и через вторую
(найденную) точку М2 проводится прямая.
2
Так, например, для значения k = -g
отрезок MXN следует взять равным 3 ед. дл.,
а отрезок NM2 следует направить вверх на
длину, равную 2 ед.; для значения k= —1,2
отрезок MXN следует взять равным 5 ед. дл., а отрезок NM%
следует направить вниз на длину, равную 6 ед. Соответствующие
рисунки рекомендуется выполнить самостоятельно.
Если даны две точки М1(х1; ух) и М2(х2; у2), то по их
координатам можно вычислить угловой коэффициент прямой, определяемой
этими точками.
Из треугольника MtNM2 (см. рис. 10) имеем
fe==tea = M^'
а так как
NM2 = y2—y1 и M1N^xt—x19
то
fe = £•=&. (3)
хг—xi
Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки,
равен отношению разности ординат этих точек к соответственной
разности их абсцисс*.
Особо выделяются два частцых случая:
а) при равенстве ординат данных точек (у2^=уг) прямая
параллельна оси Оху т. е. & = 0;
б) при равенстве абсцисс данных точек (х2 = хг) прямая
параллельна оси Оу, и формула (3) в этом случае теряет смысл.
Пример 7. По координатам вершин треугольника,
представленного на рис. 6, Л(—- 1;— 2), В(—4; 2) и С (5; 6) вычислить угловые
коэффициенты его сторон, медианы BD и биссектрисы АЕ.
* Эта формула сохраняется и при других расположениях точек Мг и М2,
если соблюдается условие хг Ф х2. Справедливость этого может быть
установлена самостоятельно.
16

Г^Ч\,
Решение. 1. Угловой коэффициент стороны АВ
2-(-2) _ 4
*1~-4--(-1)""~ 3*
2. Угловой коэффициент стороны ВС
= 9 •
3. Угловой коэффициент стороны АС
6-(-2)^4
"•"б—(—1) 3 '
4. Концы медианы В (—4; 2) и D(2; 2) (см. пример 6 § 3) имеют
равные ординаты, поэтому km = 0, т. е. медиана BD параллельна
оси Ох.
5. Концы биссектрисы А(— 1; —2) и £ (—1; З-jJ имеют
равные абсциссы, т. е. биссектриса АЕ параллельна оси Оу и не имеет
углового коэффициента (&6 = оо).
§ 5. Угол между двумя прямыми
Введенное понятие об угловом коэффициенте прямой можно
использовать для определения угла между двумя прямыми и для
вывода условий их параллельности и перпендикулярности.
При пересечении двух прямых I и II
(рис. 11) образуются четыре угла, которые
попарно равны, как вертикальные, и
различаются как смежные <р и я—<р.
Определение. За угол <р между прямыми
lull принимается тот угол, который отсчи-
тывается от прямой I против движения
часовой стрелки до прямой II.
Заметим, что смежный угол я—<р между
прямыми II и I отсчитывается уже от прямой //
против движения часовой стрелки до прямой /.
В соответствии с этим определением дано обозначение углов
на рис. 11.
Пусть требуется вычислить угол ф между прямыми / и //, если
известны угловые коэффициенты этих прямых
fe1 = tga1 и k2 = tga2,
где аг и а2 — углы наклона к оси Ох прямых / и //.
Тогда, по определению угла между прямыми / и //, имеем
Рис. и
ф =
■а»
«1
* Здесь а2—внешний угол треугольника, а ах и ф—внутренние углы, с ним
не смежные.
17

Отсюда
tg9=tg(a2—o1)f
что после применения формулы тангенса разности двух углов дает
tg<P
_ tgq2—tgO!
1 + tg ax tg а2 #
После замены tg а, = ft, и tg a2 = ft2 получаем
*¥ = т¥&- (4)
Эта формула применяется при условии
1+^Адоследует иметь в виду, что перестановка значений kx и ft2 в
числителе этой дроби дает
rS^ = -rftfe=—tg(P = tg(H-9).
Это значит, что изменение знака разности в числителе дроби
приводит к тангенсу не искомого угла, а угла, смежного с ним.
Если известно, например, что прямая / имеет угловой коэффи-
7
циент ft, = 1,1, а прямая // — угловой коэффициент ft2 = y, то по
формуле (4) получаем
tg<p=T7ir2l=^^0'3458-
+ 10* 3
Отсюда по таблице тангенсов находим ^/ф « 19°5'30\
Пример 8. Вычислить внутренние углы треугольника, заданного
в примере 3, по координатам его вершин.
Решение. Последовательное применение формулы (4) к углам
Л, В и С дает:
а) £А заключен между сторонами АС и АВ с угловыми
коэффициентами ^з=="з" и ^ = —Т* П0ЭТ0МУ
_±_-£
1 + ^^з
■+(-i)-i
б) j/B заключен между сторонами ВА и ВС с угловыми
коэффициентами ftx=—у и ft2==-Q-, поэтому
g , , 4 / 4\ 11
!+i -т
* Расстановка угловых коэффициентов, как и для tg Л, в числителе
подчинена формуле (4).
18

в) /С заключен между сторонами СВ и С А с угловыми коэф-
4 4
фициентами k2 = -§- и &3 = -j, поэтому
+ п 3 9 24
1+3 " 9
Для проверки правильности найденных значений тангенсов можно
использовать известное из тригонометрии равенство
tgi4 + tgB + tgC = tgi4.tgB.tgC,
которое является необходимым и достаточным условием того, что А + В + С = п.
Проверка показывает, что в нашем примере это равенство выполняется:
24 48 24_24 48 24
7МР 43~~7 ' 11 #43'
По найденным значениям тангенсов углов при вершинах данного
треугольника сами углы определяем из таблицы тангенсов:
tg А = у « 3,42857, откуда А = 73°44'24";
tg В = у? « 4,36364, откуда В = 77°5'36";
94
tg С = ■§« 0,5581, откуда С = 29°10'.
В формуле (4) выделяются два частных случая:
1) ф = 0, т. е. прямые I и II параллельны, и
2) ф = ~, т. е. прямые 1 п II перпендикулярны.
В первом случае условие ф = 0 дает tg9 = 0, а это возможно
при условии равенства нулю числителя дроби, определяющей tg ф,
т. е. при
Значит, аналитическим признаком параллельности двух прямых
является равенство их угловых коэффициентов.
Во втором случае ф = -о" и С*8Ф = 0» а так как
ctgV = tgV'
то с помощью формулы (4) получаем
\+kxk2 ___0
Это приводит к соотношению
1 + kxk2 = 0,
которое и является условием перпендикулярности двух прямых
с угловыми коэффициентами kx и k2.
19

Простое преобразование позволяет записать это условие в виде
ИЛИ
*.=-£. (6)
Это значит, что при перпендикулярности двух прямых их угловые
коэффициенты имеют значения, обратные по абсолютной величине
и противоположные по знаку.
Пример 9. В треугольнике ABC (см. рис. 6) определить угловой
коэффициент высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ.
Решение. Положение стороны АВ определяется угловым
коэффициентом kx = —-j. Соответствующая высота должна иметь
угловой коэффициент, определяемый условием kh=—т-, что дает
Кх
ь _ !__!
Kh — IT — л •
Пример 10. Проверить, является ли прямоугольным
треугольник, заданный координатами своих вершин: А (— 4; 5), В (— 7; — 6)
и С (7; 2).
Решение. Вычислим угловые коэффициенты сторон; для
столп и —6—5 11 Dn , 2 + 6 4
роны АВ: fet —'_7 , 4 — у» ДЛЯ стороны ВС: #а = ^~у=у ; для
стороны АС: £3=^==—^.
Таким образом, k3=—т-, т. е. угол при вершине А — прямой.
Читателю рекомендуется выполнить к этой задаче необходимое
построение в прямоугольной системе координат.
Упражнения
1. Для точек А (- 3; 4), В (4; — 5), С (0; 6), D (— 1; — 2) и Е (— 5; 0) найги
точки, симметричные каждой из них: а) относительно оси абсцисс, б) относительно
оси координат и в) относительно начала координат. Выполнить соответствующие
построения в прямоугольной системе координат.
2. Расстояние между точками (я; 5) и (—2; у) делится в точке (1; 4) пополам.
Найти эти точки.
Отв. (4; 5) и (— 2; 3).
3. Найти длину медиан треугольника с вершинами: А (2 ; 1), В(—2; 3),
С(0;3). _"
Qme. уОз, V~R и 1.
4. На прямой, соединяющей точки А (2; 3) и В (11; 15), найти точку С с
абсциссой х = 5.
Отв. С (5; 7).
6. На оси ординат найти точку, через которую проходит прямая,
соединяющая точки (— 3; — 2) и (2; 8).
Отв. (0; 4).
20

В примерах 4 и 5 следует применить два способа решения: а) с помощью
деления отрезка в данном отношении и б) с помощью углового коэффициента для *
отрезка прямой.
6. Точка 5(0,8; 0,6) делит отрезок АС в отношении A,=-^-; при этом дана
точка С(—1; 3). Вычислить длину отрезка АС.
Отв. 5.
7. По данным вершинам треугольника А (— 9; 1), В (5; 0) и С(—5; —7)
определить угловые коэффициенты медианы, проведенной из вершины В, и высоты,
опущенной из вершины А.
1 10
Отв. — и — -=-.
4 7
8. По координатам двух вершин параллелограмма Л(~3; б)иА (2; 7) и точки
пересечения его диагоналей М(1; 2) найти координаты его остальных вершин.
Отв. С (5; — 1) и D (0; —3).
9. На оси ординат найти точку, равноудаленную от точек А (— 8; — 3) и
В (-4; 7).
Отв. (0; —0,4).
10. По координатам трех вершин ромба Л (1; 4), В (— 3; ]) и С (4; 0)
определить координаты четвертой вершины.
Отв. (0; —3).
11. На продолжении отрезка АВс координатами концов А (— 5; 5) и В (1; — 4)
найти точку, абсцисса которой равна 9.
Отв. (9; — 16).
12. По координатам вершин треугольника, заданного в примере 7,
вычислить его углы.
Отв. ,/Л=59°21', £В = 34°20'32" и £ С = 86°18'28".
Глава II
УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Ж К
§ 6. Уравнения простейших геометрических мест
В предшествующей главе было показано, как с помощью метода
координат можно решать некоторые задачи, касающиеся
прямолинейных фигур, пользуясь данными о координатах отдельных точек —
вершин этих фигур.
Вместе с тем материал предыдущей главы содержит и сведения,
которые могут быть использованы для выражения свойств некоторых
геометрических мест с помощью
метода координат.
Проведем биссектрису I и III
координатных углов. Тогда
свойство этого геометрического
места— равноудаленность от сторон
угла — принимает в прямоугольной
системе координат форму
равенства между координатами любой
точки биссектрисы у = х (рис. 12).
Если мы проведем теперь через
начало координат не биссектрису
I и III координатных углов, а
такую ^ прямую, каждая точка
которой имеет ординату, вдвое Рис. 12
ШК
21

большую, чем абсциссу, то свойство этого нового геометрического
места в форме соотношения между координатами любой его точки
запишется так: у = 2х.
Если, далее, проходящая через начало координат прямая будет
составлять с осью Ох произвольный угол а < у, то отношение
ординаты любой точки такого геометрического места к ее абсциссе
будет — = fe, где fe = tga>0. Свойство этого геометрического места
можно записать в виде y = kx.
Записанное аналитически — в виде соотношения между
координатами—свойство геометрического места вполне отвечает понятию
геометрического места. В самом деле, если взять соотношение у = 2х9
то нетрудно убедиться, что всякая точка, лежащая на
соответствующей прямой [например, (1; 2), (3; 6), (—2; —4), (—1,5; — 3)
и т. д.], удовлетворяет этому соотношению и что никакая точка,
не лежащая на этой прямой [например, (1; —2), (2; 3), (—3; —5),
(4; 7) и т. д.], этому соотношению не удовлетворяет.
Придавая угловому коэффициенту любые положительные
значения, можно привести в соответствие соотношению' y = kx любую
прямую, проходящую через начало координат под острым углом
к оси Ох. Если же придавать угловому коэффициенту k и
отрицательные значения, то соотношение у = kx будет служить выражением
произвольной прямой, проходящей через начало координат (кроме
оси Оу). Например, соотношение у=—-j-x дает характеристику
геометрического места точек, у которых каждой абсциссе
соответствует в четыре раза меньшая и противоположная по знаку ордината.
Эти соотношения, в виде уравнений первой степени, связывают
х и у как переменные величины, охватывающие всю
совокупность тех пар действительных чисел, которым соответствуют
точки рассматриваемых геометрических мест.
Решающее значение в выражении простейшей линии—прямой —
уравнением первой степени имеет то, что х и у рассматриваются
как переменные, связанные между собой
определенным соотношением, характерным для этой
линии как некоторого геометрического места
точек.
Во всех таких случаях, когда имеется
зависимость между переменными х и у в виде
уравнения, говорят, что эти переменные
связаны функциональной
зависимостью. Для обозначения функциональной зави-
Рис. 13 симости пользуются такими символическими
записями, как y = f(x) (читается: «игрек равно эф
от икс») или F (х, у) = 0 (читается: «эф от икс и игрек равно нулю»).
С помощью переменных х и у мы записали свойство биссектрисы
I и III координатных углов в виде уравнения у = х, а затем
перешли к уравнению y = kxt которое выражает прямую, проходящую
22

через начало координат под любым отличным от прямого угла
к оси Ох.
Запишем уравнение еще одного простейшего геометрического
места—окружности с центром в начале координат и радиусом,
равным R. Этим уравнением будет соотношение х2 + у2 = R2,
связывающее переменные координаты х и у (рис. 13) с радиусом и
выражающее основное свойство окружности — равноудаленность любой
ее точки от центра.
§ 7. Общее понятие уравнения линии
Разобранные в предыдущем параграфе примеры показали, как
простейшее геометрическое место, или линия, может быть задано
уравнением, связывающим переменные х и у, которые называются
текущими координатами. Название «текущие координаты»
дается координатам х и у произвольной точки М в связи с тем,
что когда точка движется по линии, то ее координаты, будучи
связанные между собой, меняются — «текут».
Возможность выразить линии интересующих нас классов
уравнениями позволит, как мы увидим, заменить при изучении линий
геометрические построения более простым и в то же время более
общим алгебраическим исследованием уравнений этих линий.
Определение. Уравнением линии в аналитической геометрии
называется соотношение, или зависимость, между переменными х и у,
которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии (и
не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой линии).
Обычно в аналитической геометрии изучают линии, заданные
алгебраическими уравнениями, т. е. урарнениями вида Р (х, t/) = 0,
где Р (х, у)—многочлен от х и у, например,
х2 + у2—7х+3у + 6 = 0.
Пользуясь уравнением линии, можно выяснить, лежит ли
некоторая точка на данной линии или, что то же, проходит ли данная
линия через некоторую точку.
Некоторая точка лежит на данной линии, если подстановка
координат этой точки обращает в тождество уравнение
данной линии. Если же такая подстановка не дает тождества, то это
значит, что точка не лежит на этой линии.
Например, по алгебраическому уравнению х2 + у2 + Ах—12=-О
можно установить, что точка (— 2; 4) лежит на линии,
соответствующей этому уравнению, а точка (— 4; 2) не лежит на этой линии.
В самом деле, подстановка координат (— 2; 4) в уравнение дает
(— 2)2 + 42 + 4 {— 2)— 12 - 4 + 16—8—12 = О,
т. е. тождество, а подстановка координат (— 4; 2) в то же
уравнение дает
23

16 + 4 — 16 — 12 = — 8=^0,
т. е. тождества нет.
Легко выяснить, что при равенстве нулю свободного члена
алгебраического уравнения соответствующая линия проходит через
начало координат, а при неравенстве его нулю—соответствующая
линия не проходит через начало координат.
Ниже мы познакомимся с уравнениями, представляющими
некоторые линии. Правда, перечень линий, изучаемых в аналитической
геометрии, весьма ограничен. Но вместе с тем естественным является
уже теперь следующий общий вопрос: всякую ли линию можно
выразить уравнением и всегда ли геометрическим
образом уравнения является линия?
Первая часть этого вопроса получает, вообще говоря,
положительный ответ. Но на практике далеко не всегда легко составить
уравнение, соответствующее данной линии.
Зато вторая часть вопроса получает отрицательный ответ:
1) бывает, что уравнению соответствует геометрическое место
точек в виде линии (примеры этого дают хотя бы линии, изучаемые
в аналитической геометрии);
2) уравнению может соответствовать одна или несколько точек
плоскости; например, уравнению (х— 1)2 + {у—1)2 = 0 соответствует
одна точка (1; 1), а уравнению (л:2 — 4)2 + (#2 — 4)2 = 0
соответствуют четыре точки: (2; 2), (—2; 2), (—2; —2) и (2; —2);
3) уравнению может не соответствовать ни одна точка
плоскости (в этом случае говорят, что уравнению соответствует мнимая
линия или мнимое геометрическое место точек); например,
уравнению л;2 + у2 + 8 = 0 не соответствует ни одна точка плоскости, так
как оно не удовлетворяется никакими действительными значениями
х и у.
Прежде чем перейти к систематическому изучению некоторых
линий на основании их уравнений, следует остановиться на общей
задаче, стоящей перед аналитической геометрией.
Как мы выше указывали, аналитическая геометрия отличается
от элементарной методом исследования. Изучая, главным образом,
положение и формы фигур, аналитическая геометрия пользуется
методом координат.
Обычно при этом возникают следующие вопросы:
1) на основании геометрических свойств изучаемой фигуры
(линии) вывести ее уравнение в общем виде;
2) по данному уравнению линии исследовать все характерные
ее свойства;
3) рассмотреть особенности уравнений с числовыми
коэффициентами в связи с решением задач прикладного характера.
Если в алгебре задача, связанная с уравнением, считается
доведенной до конца, когда найдены корни уравнения, то в
аналитической геометрии такая задача считается законченной, когда
составлено уравнение рассматриваемого геометрического образа и
исследована его форма.
24

; Упражнения
1 Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и на-
2
клоненной к оси Ох под углом, тангенс которого равен -— .
2. Проверить, лежат ли на линии, заданной уравнением х*—4х-\-Зу—5=0,
следующие точки: Л (5; 0), В (-5; 0), С (-4; -9), D(—1; 0), £(4; —2).
3. Проходит ли кривая, заданная уравнением ^+36 = 0, через каждую из
точек: Л (3; 12), В (-6; 6), С (18; -2), D(—9; -4)?
4. Указать координаты (в целых числах) четырех точек, через которые
проходит линия, заданная уравнением х2+у2-— 20 = 0.
б. Сколько точек соответствует уравнению (х2—9)2+#а = 0? Указать коор
динаты этих точек.
6. Ответить на такой же вопрос для уравнения (х2—1)2 + (уа—4)а = 0.
7. Какое геометрическое место соответствует уравнению (х—1)2 + (#—3)а = 0?
Глава III
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Из элементарной геометрии известно, что прямая может быть
построена: 1) по одной данной точке и направлению прямой и
2) по двум данным точкам.
Рассматривая прямую относительно прямоугольной системы
координат, можно определить ее положение заданием некоторых
различных по форме выражений этих условий построения (отрезок
оси Oyf отсекаемый прямой, и ее угловой коэффициент; координаты
какой-то точки прямой и ее угловой коэффициент; отрезки,
отсекаемые прямой на осях Ох и Оу\ координаты двух известных точек
прямой и др.).
Отсюда и возникает различие в возможных формах
аналитического выражения прямой уравнением.
§ 8. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть положение прямой в прямоугольной системе координат
задано: 1) величиной отрезка, отсекаемого этой прямой на оси
ординат (эта величина называется начальной ординатой), и 2)
угловым коэффициентом этой прямой (рис. 14).
Используем эти данные (ОВ = Ь и tga = fe)
для составления соотношения между
текущими координатами х и у произвольной
точки М прямой, т. е. для вывода
уравнения прямой.
Здесь
y = AM = NM + AN = BNtga + OB =
=xtga+b. Рис 14
Отсюда искомое соотношение -между переменными
запишется в виде
y = kx + b. (7)
Это—уравнение прямой с угловым коэффициентом.
25

Заметим, что если точка М1(х1\ ух) не лежит на прямой, то ее
координаты не удовлетворяют уравнению (7), если она лежит выше
прямой, то Уг> кхг + Ь, а если она лежит ниже прямой, то
у1 <kxx + b.
Выясним теперь, как отражаются на расположении прямой в
плоскости различные значения постоянных k и Ь, т. е. углового
коэффициента прямой и ее начальной ординаты:
1) при k > О прямая образует с осью Ох острый угол;
при k < О прямая образует с осью Ох тупой угол;
при k = 0 прямая параллельна оси Ох (см. § 4)*;
2) при Ь > 0 прямая пересекает ось Оу выше начала координат;
при b < О прямая пересекает ось Оу ниже начала координат;
при Ь = 0 прямая проходит через начало координат.
Сочетая данные о значениях k и Ь, можно сразу представить
расположение в системе координат прямой по записанному ее
уравнению.
Так, уравнению у = Зх + 2 соответствует прямая, образующая с
осью Ох острый угол и пересекающая ось Оу выше начала
координат;
уравнению у = 3х—2 соответствует прямая, образующая с осью
Ох острый угол и пересекающая ось Оу ниже начала координат;
уравнению у=—Злг + 2 соответствует прямая, образующая с
осью Ох тупой угол и пересекающая ось Оу выше начала координат;
уравнению у=—Зл:—2 соответствует прямая, образующая с
осью Ох тупой угол и пересекающая ось Otf ниже начала
координат.
В уравнениях у = 2 или у=—2 имеем k = 0. Они выражают
собой прямые, параллельные оси Ох и отстоящие от этой оси
соответственно выше или ниже на 2 ед. дл.
Уравнения у = 3х или у=—Зл: выражают собой прямые,
проходящие через начало координат: первая под острым, а вторая под
тупым углом к оси Ох. Здесь Ь = 0.
Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
(0; —3) и параллельной прямой, заданной уравнением у —
= -А*+12.
Решение. Заданная точка определяет начальную ординату
прямой Ь=—3. Условие параллельности (гл. I, § 5) k2 = kt опре-
з
деляет угловой коэффициент прямой k = —j. Поэтому искомое
3 о
уравнение прямой имеет вид у=—jx—о.
Пример 2* Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из
точки (0; 7) на прямую, заданную уравнением у=— 4,5л: + 8.
* При помощи уравнения (7) не может быть выражена прямая,
параллельная оси Оу, так как для такой прямой теряет числовой смысл угловой
коэффициент. Уравнение для такой прямой дается ниже, в § 9.
26

Решение. Свободный член искомого уравнения Ь = 7, а
угловой коэффициент определится из условия перпендикулярности k2 =
1 9 2
— -.В заданном уравнении прямой kx = —-*-» а поэтому К — -§ •
Таким образом, искомое уравнение перпендикуляра запишется
в виде у = -дХ + 7.
Если требуется построить прямую по заданному ее уравнению
с угловым коэффициентом, то в общем случае, при k ФО и ЬфО,
можно применять такие два приема.
Первый прием. Из точки В(0; Ь) на оси ординат (см. рис. 14)
проводится вправо горизонтальный катет BN прямоугольного
треугольника, равный по длине знаменателю углового коэффициента
(если k—целое число, то знаменатель равен 1), а затем из точки N
проводится перпендикулярно к BN второй катет, равный по длине
числителю k и направленный вверх или вниз в зависимости от
знака k. Конец М этого катета определяет вторую точку прямой,
которая и проводится через точки В и М.
Второй прием. Сначала по уравнению y = kx строится
прямая, проходящая через начало координат (эту прямую можно
наметить пунктиром), а затем производится
параллельный сдвиг этой прямой соответственно
значению начальной ординаты.
Пример 3. Построить прямую, заданную
уравнением у = —ул: + 5.
Реднение. Здесь Ь = 5, а поэтому за
исходную принимается точка (0; 5) на оси
ординат (рис. 15). Из этой точки проводим
параллельно Ох вправо отрезок в 3 ед. дл. и из
конца этого отрезка проводится
перпендикулярно к Ох вниз отрезок в 4 ед. дл. Через
конец отрезка и точку (0; 5) проводится
прямая, которая и соответствует заданному
уравнению.
Легко видеть, что та же прямая получится,
если сначала провести через начало координат
4
прямую, соответствующую уравнению у
а затем провести параллельную ей
через точку (0; 5).
На примерах уравнений у= — 1,2л: + 4, у=
=0,6 х—5, у=—4х + 1 следует научиться строить
прямую самостоятельно.
Рис. 15
3 Xt
прямую
Рис. 16
Пользуясь уравнением прямой в виде
y = kx + b,
можно^ установить, как изменится это уравнение, если от данной
прямой АВ (рис. 16) перейти к прямой, ей симметричной:
27

1) при симметрии относительно оси Оу изменить знак
коэффициента при х\
2) при симметрии относительно оси Ох изменить знак
коэффициента при х и свободного члена или, что то же самое, изменить
знак коэффициента при у;
3) при симметрии относительно начала координат изменить знак
свободного члена.
Это следует из того, как меняются знаки координат
произвольной точки М(х\ у) при переходе к симметричным ей точкам
относительно оси Оу, оси Ох и начала координат (см. выше § 1).
Пример 4. По уравнению прямой у=—Злг + 5 написать
уравнения прямых, симметричных ей относительно каждой из осей и
относительно начала координат.
Решение. Для случая симметрии относительно оси Оу будем
иметь уравнение у = Ъх + Ъ\ для случая симметрии относительно
оси Ох—уравнение у — Ъх—5; для случая симметрии относительно
начала координат—уравнение у= —Зх—5.
Соответствующий чертеж рекомендуется построить учащемуся.
§ 9. Уравнение прямой, проходящей через данную точку
в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей
через две данные точки
Положение прямой на плоскости вполне определяется и такими
двумя условиями—координатами лежащей на ней точки и угловым
коэффициентом. Поэтому с помощью пары чисел (л^, уг),
соответствующих точке М19 и значения k — tga,
указывающего наклон прямой, можно связать
координаты произвольной точки М такой
прямой, т. е. найти ее уравнение.
В самом деле, если М1(х1\ ух)—заданная
точка на прямой (рис. 17) и k—данный
угловой коэффициент этой прямой, то с помощью
координат произвольной точки- этой прямой
М (х, у) ее угловой коэффициент выражается
[см. формулу (3)] так:
X—Хг
Это же соотношение, переписанное в виде
У—Ух = Ь(х—хх)*, (8)
дает уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном
направлении.
Пользуясь этим уравнением, можно, например, написать
уравнение прямой, проходящей через точку (—2; 3) с угловым коэффи-
* При *! = 0 заданная точка лежит на оси ординат и уравнение прямой,
проходящей через такую точку, принимает форму уравнения прямой с угловым
коэффициентом.
28

M|(x,;ft)
циентом fe = 4, так:
0-3 = 4(* + 2).
Этот же вид уравнения применяется, когда, помимо данной
точки, прямая определяется условием параллельности или
перпендикулярности другой прямой, если только эта последняя не
параллельна оси Оу.
Следует отметить, что если известны лишь координаты одной
точки прямой (л:, (/), а направление прямой не определено, т. е.
k может принимать любые числовые значения, то с заданной точкой
связывается бесконечная совокупность (или
пучок) прямых, проходящих через данную У| j
точку (за исключением прямой, параллель- I МХЛ^•
ной оси Оу).
При таком смысле k уравнение у—ух=
= k(x—xt) называют уравнением пучка
прямых, проходящих через данную точку. В
связи с этим задачу об уравнении прямой, про- рис 18
ходящей через данную точку в заданном
направлении, можно рассматривать как выбор из пучка той
прямой, которая имеет заданное направление.
Частным случаем такого выбора направления прямой является
проведение прямой через данные две точки: Мх(хх\ ух) и М2(х2\ у2)
(рис. 18).
Введение координат второй точки позволяет определить
заданное направление значением углового коэффициента, выраженным
формулой (3), и на основании этого переписать уравнение (8) в виде
После деления обеих частей уравнения на у2—ух получаем
У—У\ = *—*i * /дч
У2—У1 х2—хх ' * '
Это—уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Таким
видом уравнения пользуются, например, когда по координатам
вершин треугольника требуется составить уравнения его сторон и
медиан.
Пример 5. По координатам вершин треугольника А(—1; —2),
В( — 4; 2) и С (5; 6) составить уравнения его сторон, медианы,
проведенной из вершины С, и высоты, опущенной из вершины А (см.
рис. 6).
Решение. Сторона АВ определена двумя точками: А(—1; —2)
и В(—4; 2). Применение уравнения (9) дает
у-(-2)_ *-(-!)
2--(-2) -4-(-1) '
Этот вид уравнения прямой применим при любом расположении заданных
Двух точек, у которых хх 9= х2 и ух ф у2.
29

или
У±1
4
*+1
—3
После преобразования это уравнение принимает вид
4л: + 3г/+ 10 = 0.
Правильность составленного уравнения проверяется подстановкой
в него координат каждой из точек А и В вместо х и у.
Подстановка # =— 1 и # =—2 дает тождество
4(—1) + 3(—2) +10 = 0.
Точно так же и подстановка х =—4 и у = 2 дает тождество
4(—4) + 3-2+10 = 0.
Зтим подтверждена правильность составленного уравнения
стороны АВ.
Для составления уравнения стороны ВС используем координаты
вершин £(—4; 2) и С (5; 6), что дает
у-
6-
0-
-2
-2
-2
л+4
~5 + 4
л+4
или
У—2_Х
4 9
После преобразования уравнение записывается в виде
4л;—9*/ + 34 = 0.
Уравнение третьей стороны составляется по координатам
вершин Л(—1; —2) и С (5; 6)
у+2_х+\
6 + 2 5+1»
или
у+2_х+\
8 ~ 6 *
После преобразования получим окончательную запись
уравнения АС в виде
4х—Зу—2 = 0.
Проверка правильности записанных уравнений ВС и ЛС может
быть выполнена учащимся.
Для составления уравнения медианы, проведенной из вершины С,
требуется знать координаты середины стороны АВ. Применяя к
координатам вершин А(— 1; —2) и В (—4; 2) формулы (2а), получим
* = ■
-1—4 5
-Г"в—2" И У =
-2 + 2
= 0.
30

Таким образом, медиана определяется точками С (5; 6) и
— .£.; о ] , и ее уравнение имеет вид
После преобразования получаем окончательную запись уравнения
медианы
Ах—5г/+10 = 0.
Правильность этого уравнения может быть подтверждена
получением тождеств при подстановке в него координат каждой из
точек С и F.
Высота, опущенная из вершины Л(—1; —2), перпендикулярна
стороне ВС. Поэтому в уравнении y + 2=k(x+l) угловой
коэффициент k можно определить, зная угловой коэффициент стороны ВС
&2=~о" (см- пример 7, § 4) и применяя условие перпендикулярности
1 9
двух прямых [см., формулу (6) § 5]. Это дает fe = j-=—^.
"9"
Отсюда искомое уравнение высоты АН имеет вид
или после преобразования
9х + 4*/+17=0.
Пользуясь уравнением (9) прямой, проходящей через две точки,
можно найти условие того, что данные три точки лежат на одной
прямой.
Пусть, кроме точек Мг и М2, дана еще точка М3(х9, у3). Тогда
эта точка лежит на прямой, проведенной через точки Мг и Л42,
если подстановка значений х3 и у3 вместо х и у в уравнение (9)
дает тождество
Уз—У\ __ хг—*i /gav
Если же такая подстановка не дает тождества, то точка М3 на
этой прямой не лежит.
Так, из четырех точек: А(— 1; —3), Я(3; 5), С (4; 7) и D(6; 10)
только точки Л, В и С лежат на одной прямой.
В самом деле, условие (9а) выполняется лишь для координат
этих трех точек:
7—(—3)_„4—(—1) 10_ 5
5—(—3) — 3—(—1) • ИЛИ 8~~Т'
Если же заменить координаты любой из точек Л, В и С
координатами точки D, то условие (9а) не даст тождества, что может
быть проверено учащимся.
31

Таким образом, формула (9а) выражает условие того, что три
точки лежат на прямой, проведенной через любые две из них.
Пример 6. Какой должна быть абсцисса точки В с ординатой
#--=8, если эта точка лежит на прямой, проходящей через точки
А(—3; 4) и С (5; 6]?
Решение. Искомую абсциссу найдем из пропорции (9а),
выполняемой для координат трех точек, лежащих на одной прямой,
8—4 *+3 х+3 0
6=4 = 5+3' или'-£- = 2.
Отсюда х=13; таким образом, определена точка 5(13; 8).
Применение уравнения в виде (9) оказывается невозможным,
когда данные две точки имеют равные абсциссы или равные
ординаты [см. примечание к уравнению (9)]. Между тем в таких
случаях уравнение прямой записывается сразу без использования
уравнения прямой, проходящей через две точки.
В самом деле, при равенстве ординат данных двух точек, т. е.
при у2=у1У имеем М1(х1; ух) и М2(х2\ у2), а это определяет прямую
как геометрическое место точек, имеющих одну и ту же ординату
Эта запись или эквивалентная ей запись у—уг=0 и является
частным уравнением прямой, заданной двумя точками с равными
ординатами, т. е. параллельной оси абсцисс.
При уг > 0 прямая расположена над осью Ох, а при у < 0 она
расположена под осью Ох.
Если каждая из равных ординат данных двух точек есть нуль,
т. е. Уг = у1 — ®у то определяемая этими точками прямая совпадает
с осью абсцисс, уравнение которой будет, таким образом, у — 0.
При равенстве абсцисс двух точек, т. е. при хг=-х1, имеем
М1(хг; ух) и М2(хг\ у2), что определяет прямую, являющуюся
геометрическим местом точек, имеющих одну и ту же абсциссу х^=хг.
Эта запись или эквивалентная ей запись х—х^О является
частным уравнением прямой, заданной двумя точками с равными
абсциссами, т. е. параллельной оси ординат.
При х1 > 0 прямая расположена справа от оси Оу, а при хг < 0
— слева от оси Оу. При хг=0 соответствующая прямая совпадает
с осью ординат, уравнение которой будет х = 0.
Обращаясь к треугольнику, заданному координатами вершин
А(— 1; —2), В (—4; 2) и С (5; 6) (см. рис. 6), мы видим, что концы
биссектрисы АЁ имеют одинаковые абсциссы xt = — 1. Это
позволяет сразу записать уравнение этой биссектрисы х = — 1, или
л:+ 1 =0.
Аналогично, отметив равенство ординат концов медианы BD
ух =- 2, мы можем записать уравнение этой медианы у = 2, или
0-2=0.
§ 10. Уравнение прямой в отрезках
Применим уравнение (9) предыдущего параграфа к прямой,
заданной отрезками, отсекаемыми ею на осях координат (рис. 19).
32

J Пусть а—отрезок, отсекаемый прямой на оси Ох, а Ь—отрезок,
отсекаемый на оси Оу (а и Ь отличны от нуля). Тогда можно
определить заданную прямую двумя точками (а; 0) и (0; 6), и ее
уравнение будет иметь вид
у-0_
&—0 0—а '
или
После преобразования к виду
JL + JL
£= — ±+ 1
Л
(10)
мы получили уравнение прямой в отрезках.
Эта форма уравнения весьма удобна для построения прямой,
поскольку таким уравнением
даются ее точки (а; 0) и (0; Ь) на У
осях координат.
На рис. 19 дана прямая, для
которой a > 0 и Ъ > 0. Вообще
Рис. 20
же значения а и Ь определяются из уравнения. Так, у прямой,
заданной уравнением
-3^-5 Х>
а = — 3 и fc = — 5, а у прямой, заданной уравнением
а=3 и Ь = — 5 (рис. 20).
Заметим, что при помощи уравнения в отрезках не могут быть
записаны прямые, параллельные любой оси координат, а также
проходящие через начало координат.
Пример 7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
(—3; 8) и отсекающей на оси Ох отрезок, вдвое меньший, чем на
оси Оу.
Решение. Пользуясь уравнением прямой в отрезках
- + £ = 1
2 М 2418
33

заметам, что & = 2а, а это приводит к уравнению
Подстановка координат точки (—3; 8) в это уравнение дает
=§ + 1 = 1, или 1-1.
Отсюда а=1 и ft = 2, a искомое уравнение будет иметь вид
х + |-=1, или 2х + у—2 = 0.
Проверка правильности составленного уравнения по координа-j
там данной точки (—3; 8) дает тождество—6 +
+ 8—2 = 0.
Пример 8. Построить прямую, заданную
уравнением Ах—Ъу—24 = 0.
Решение. Переписав заданное уравнение в
виде
4х—3# = 24,
разделим обе части его на 24, что дает
Рис. 21
■£+JL=i
б ^-8 *'
Это—уравнение прямой в отрезках. На оси Ох прямая отсекает
отрезок 6, а на оси Оу отрезок (—8).
Откладываем эти отрезки и через концы их (6; 0) и (0; —8)
проводим прямую (рис. 21).
§ 11. Общее уравнение прямой и его исследование
1. Общее уравнение прямой. Уже в ряде примеров на
составление уравнений прямой мы давали окончательную запись
уравнения в виде
Ах + Ву + С = 0. (11)
Использование любой пары условий, определяющих прямую на
плоскости, непосредственно не дает такой формы уравнения. Вместе
с тем исследованием можно установить, что при любых
действительных значениях Л, Б и С, из которых А и В одновременно не
равны нулю, уравнение (11) всегда аналитически выражает
прямую.
Исследование уравнения (11) будем проводить раздельно по вна-
чениям коэффициента при у: В = 0 и ВфО.
1. Полагая, что 5 = 0, мы вместо уравнения в виде (11)
получаем уравнение в виде Ах + С = 0, или х = — -^ . Отсюда при АфО,
обозначив —-т- = а, получим уравнение х = а. Это уравнение выра-
34

жает прямую, параллельную оси ординат, так как все ее точки при
любых ординатах имеют фиксированную абсциссу, равную а.
2. Полагая ВфО и решая уравнение (11) относительно у, мы
А С
получаем уравнение в виде у = — •% *—д-> которое выражает
прямую, не параллельную оси ординат fee угловой коэффициент & =
= ~ а точка пересечения с осью Оу имеет начальную ординату
»~4)-
Таким образом, рассматриваемое уравнение первой степени с
двумя переменными х и у
Ах + Ву + С = 0
всегда выражает прямую, которая при 5 = 0 параллельна оси
ординат, а при ВфО не параллельна этой оси.
Для полного представления всех частных случаев расположения
прямой, выражаемой уравнением (11), уточним полученный результат.
1. При В = 0 и А Ф 0 прямая параллельна оси Оу. Если же и
С = 0, то уравнение принимает вид Ах = 0, или х = 0, что
выражает ось Оу. Случай, когда при 5 = 0 и Л = 0, но Сф0> не имеет
геометрического смысла.
2. При 6^0 в общем случае и АфО, и СфО, а тогда
выражаемая уравнением (11) прямая не параллельна не только оси Оу,
но и оси Ох, и еще не проходит через начало координат. Частные
же случаи при этом таковы:
а) если еще и А Ф 0, а С = 0, то уравнение имеет вид Ах +
-\-By = Q, или y = kx (здесь fe =—-g-j, что выражает прямую,
проходящую через начало координат-,
б) если А=0, но СфО, то уравнение имеет вид 5г/ + С = 0 или
у = Ь (здесь 6 =— 'g-j, что выражает прямую, параллельную оси Ох;
в) если А =С = 0, то уравнение имеет вид Ву = 0, или у = 0, что
выражает ось Ох.
Проведенное исследование показывает, что уравнение
Ах + Ву + С=0
охватывает все возможные положения прямой на плоскости.
Поэтому его называют общим уравнением прямой.
Уравнение прямой, заданное в общем виде, непосредственно не
дает представления о расположении прямой, но это легко
достигается определением по данному уравнению геометрической
характеристики соответствующей прямой. Такой характеристикой могут
служить: 1) угловой коэффициент прямой и ее начальная ордината,
2) отрезки, отсекаемые прямой на осях координат, 3) две точки,
принадлежащие прямой, 4) одна точка прямой и ее угловой
коэффициент.
2*
35

По каждой паре этих данных может быть выполнено построе- ;
ние прямой, соответствующей данному уравнению.
Угловой коэффициент и начальная ордината определяются из ,
общего уравнения прямой по формулам: \
к = -^и & = -£ (приВ^О).
Отрезки, отсекаемые прямой на осях, определяются в общем слу- 1
чае следующими преобразованиями уравнения: I
Ax + By + C=Q; I
Ах + Ву = — С; 1
(-£)•*+(-*)•'-"
-¥+-¥-'•
~Т —В" 1
Сравнение с уравнением в отрезках (10) дает выражения отрез- 1
ков, отсекаемых прямой на осях координат, i
а = —£- и 6== — ТГ ^ПРИ Л=^°> в=^=0 и С=^0). I
Это—общий прием, а по конкретному уравнению прямой значе- 1
ния а и 6, определяющие концы отрезков на осях координат, вычис- 1
ляются непосредственно способом, приведенным в примере 8. 1
При выборе пары условий для построения прямой по ее уравне- 1
нию в общем виде можно руководствоваться следующими указа- 1
ниями: 1
1) если свободный член уравнения С делится нацело и на Л, 1
и на В, то прямую удобнее строить -по двум ее точкам на осях 1
координат (см. пример 8); 1
2) если свободный член С делится нацело только на В, то пря- I
мая строится по ее уравнению с угловым коэффициентом (см. при- я
мер 3); I
3) если свободный член С не делится нацело ни на Л, ни на В, 1
то применяется построение по найденным из уравнения координа- 1
там двух точек (желательно целым) или по координатам одной точки 1
и по угловому коэффициенту. I
Выполним два примера в соответствии с последним указанием. I
Пример 9« Построить прямую по ее уравнению 5*—3#+16 = 0. I
Решение. Подбором находим две пары целых координат I
X
1
—2
У
7
2 1
По двум точкам (1; 7) и (—2; 2) строим прямую,
за

Пример 10. Построить прямую по ее уравнению 4л:-f 5y+ 17 = 0.
Решение. Подбираем точку с целыми координа?ами (—3; —1),
а затем через эту точку проводим прямую с
угловым коэффициентом &=—4/5 (рис. 22).
2. Геометрическое истолкование неравенства первой "~">Г11!
степени с двумя переменными. Вводя понятие об урав- >^
нении, мы указывали, что этому уравнению не
удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ней. Если
речь идет о прямой линии, то каждая из не лежащих
на ней точек принадлежит одной из двух полупло-
с к с с т е й, на которые прямая разбивает всю плоскость. ™ис- "
Чтобы аналитически выразить каждую из этих
полуплоскостей, следует установить расположение ее точек относительно заданной
уравнением прямой.
Так, если мы рассматриваем точки, не лежащие на оси ординат (ее
уравнение * = 0), то для их координат это уравнение нарушается, т. е. х Ф 0. При этом
все точки правой полуплоскости имеют положительные абсциссы, что выражается
неравенством х > 0, а все точки левой полуплоскости имеют отрицательные
ординаты, и это дает неравенство х < 0.
При рассмотрении точек, не принадлежащих оси Ох, уравнение которой
#==0, мы видим, что все точки верхней полуплоскости имеют положительные
ординаты и выражаются неравенством у > 0, а все точки нижней
полуплоскости— неравенством у < 0.
Аналогично при рассмотрении всех точек плоскости относительно прямой,
параллельной какой-либо из координатных осей, можно установить, что прямая
x~at параллельная оси Оу, распределяет все точки плоскости на две
полуплоскости, из которых левая выражается неравенством х < а и
правая—неравенством х > а; прямая у = Ь, параллельная оси Ох, образует две полуплоскости,
из которых верхняя выражается неравенством у > Ь, а нижняя—неравенством
У <Ь.
Например, если дано уравнение прямой х — 2, то все точки, лежащие справа
от нее, удовлетворяют неравенству х > 2, а лежащие слева от
нее—неравенству х < 2. С другой стороны, можно установить, что неравенством х > 5
выражаются все точки плоскости, расположенные справа от прямой #=5,
неравенством х < 3—все точки, лежащие слева от прямой дс = 3, неравенством у <3 —
все точки, лежащие ниже прямой y = 3t неравенством у>6—все точки,
лежащие выше прямой # = 6, и т. д.
В общем случае, когда прямая дается уравнением Ах-\-Ву+С = 0,
подстановка координат не лежащих на ней точек приводит к неравенствам Ах-\-Ву-{-С >0
или Ах+Ву+С < 0.
Определение полуплоскости, соответствующей всякому неравенству при С Ф 0,
устанавливается на основании знака С.
При совпадении знака С со смыслом неравенства полуплоскость,
соответствующая ему, включает и начало координат. Если же знак С противоречит
неравенству, то соответствующая ему полуплоскость не включает начала
координат.
Такой признак для выбора полуплоскости связан с результатами подстановки
в неравенство значений л: = 0 и # = 0, определяющих начало координат.
Пример 11. Найти полуплоскости, соответствующие неравенствам: а) 3*—у —
—4<0 и б) х+2#+5<0.
Решение, а) Так как свободный член удовлетворяет неравенству, то
определяемая неравенством полуплоскость содержит начало координат, и это
указывается направлением штриховки от прямой 3*—у—4=0 к началу координат
(рис. 23).
б) Здесь знак свободного члена нарушает неравенство. Поэтому
соответствующая неравенству полуплоскость не включает начала координат, что и
указывается направлением штриховки от прямой х-\-2у-\-Б~0 в сторону,
противоположную началу координат.
37

Заметим, что рассмотренное соответствие между линейными неравенствам
и полуплоскостями используется в математическом программировании. При это
совмещаются неравенства с уравнениями в виде ж^О, у^О, Ах+Ву + С^Ъ
Ах-\-Ву+С ^0, что имеет своим образом соответствующую полуплоскость вмест
С граничной прямой.
Так, по неравенству Зх—2у+1 ^0 можно установить, что ему соответству
полуплоскость, содержащая начало координат и граничную прямую.
Рис. 23
Рис. 24
Пример 12. Изобразить геометрически совокупность точек, удовлетворяющих
неравенству 4х-\-5у—20 ^ 0.
Решение. Так как свободный член не удовлетворяет неравенству, то
соответствующая неравенству полуплоскость не включает начала координат. Поэтому
искомая совокупность точек объединяет все точки прямой 4*-f-5y—20 = 0 и
полуплоскости, не включающей начала
координат. Вся эта область на рис. 24 указана
направлением штриховки.
Если ставится вопрос о геометрическом
образе, соответствующем линейному
неравенству с двумя переменными без свободного
члена, т. е. Ах + Ву^0 или Ах-\-Ву^0,
то следует ориентироваться уже не на
начало координат, которое лежит на прямой,
соответствующей уравнению Ах-{-Ву = 0, а
на другую произвольно выбранную точку.
Пример 13. Изобразить геометрически
совокупность решений неравенства Зх—
-4^0.
Решение. Нулевым значениям х и у
в левой части неравенства соответствуют
точки прямой, заданной уравнением 3*—
*— 4^ = 0. Эта прямая изображена на рис. 25 [по двум точкам 0(0; 0) и Л (4; 3)].
Для определения полуплоскости, соответствующей неравенству Зх—&у > 0,
определим значение его левой части в произвольно взятой точке В (0; 3). Это
дает: 3-0—4«3=—12 <0. Такой знак неравенства показывает, что искомая
полуплоскость не включает выбранной точки В. Поэтому штриховка от прямой должна
быть направлена в сторону, противоположную точке В.
Указанная полуплоскость вместе с граничной прямой и дает геометрический
образ совокупности всех решений заданного неравенства.
Замечание. Если бы в условии было дано неравенство Зх—4|/^0, то
штриховку на рисунке следовало бы направить в сторону точки В.
Рис. 25
38

§ 12. Точка пересечения двух прямых. Условия параллельности
и перпендикулярности двух прямых.
1. Пересечение двух прямых. Точка пересечения двух прямых
лежит одновременно на каждой из этих прямых. Поэтому
координаты ее должны удовлетворять уравнениям обеих прямых и
нахождение этих координат сводится к решению системы
соответствующих уравнений:
I II
Axx + Bj, + Cx=*Qt
Ajc+Bjf + Ct = 0
В,
-в,
i
(А,В2 - А%Вг) х = С2ВХ - СХВ29
I. Умножим все члены первого уравнения на В2, а всё члены
второго на (—Вг) и почленно сложим. Это дает
откуда
X-
А^—Аф!*
II. Умножим все члены первого уравнения на (— Л2), а все
члены второго на Аг и выполним почленное сложение. Это дает
(А1В%—А%Вх)у = А£г--А£%ш
откуда
и А2СХ—АХС2 - ~ _
Исследование полученных выражений координат точки
пересечения двух прямых приводит к трем возможным случаям.
1. Координаты точки определены, т. е. прямые
пересекаются, если знаменатель этих дробей не обращается в нуль; это
имеет место при условии
А%^ Вл'
Прямые пересекаются, т. е. имеют одну общую точку, если нет
пропорциональности между коэффициентами при х и при у в их
уравнениях.
2. Прямые не пересекаются, т. е. параллельны, если
знаменатели дробей, определяющих х и у, обращаются в нуль, а
числители не обращаются в нуль. Это имеет место при
соотношениях А1В2 = А2В1, А£%фА£г и C1B2=^C2Bli которые позволяют
записать условие параллельности двух прямых йепосредственно
по их уравнениям, заданным в общем виде, так:
— = —^= —. (12)
А2 В2 С2
Две несовпадающие прямые параллельны, если коэффициенты при х
и при у в их уравнениях пропорциональны, не будучи
пропорциональными свободным членам.

D частности, параллельность прямых имеет место, когда пронор-|
циональность коэффициентов переходит в их равенство:
АХ = А„ Вг = В2, но СгфСг.
3. Прямые сливаются, если и знаменатель и числитель!
каждой дроби обращаются в нуль. Это имеет место при условии1
*»2 "2 ^2
т. е. при пропорциональности соответственных коэффициентов и сво-|
бодных членов в заданных уравнениях.
Так, по уравнениям Ъх-\-2у—8 = 0 и 15л:—10*/ + 40 = 0 легкс
установить, что выражаемые ими прямые пересекаются [теФ^Ц^] »]
по уравнениям 8л:—6#+ 15 = 0 и Ах—Зг/ + 8 = 0 видно, что представ-,
/ 8 — 6 , 15\ 1
ляемые ими прямые не пересекаются (-j-= ^=7^-3*); уравнениям!
2х—Ту +11=0 и 4х— 14г/ + 22 = 0 соответствует одна прямая!
/ 2 _ —7 11 \
V 4 ——14 22 J •
В случае 1 следует выделить такое пересечение прямых, когда|
они оказываются перпендикулярными.
По уравнению прямой А1х + В1у + С1 = 0 определяем ее угловой]
*— А
коэффициент kx = -g-^ , а по уравнению прямой А2х + В^у + С2 = 0 -
л
угловой коэффициент &2 = -б-*. Поэтому условие (6) перпендику-]
D2 " j
лярности двух прямых (см. § 5) 1 + кгк2 = 0 принимает вид]
[ — -тг) (— 7Г/ + 1=0> что после преобразования дает
АгА2 + ВхВ2 = 0. (13)]
Прямые, заданные уравнениями в общем виде, перпендикулярны,
если сумма произведений их коэффициентов при х и при у равна
нулю.
Пользуясь условиями (12) и (13), можно, например, не
отыскивая угловых коэффициентов, установить, что прямые, заданные
уравнениями Зл:—5у + 8 = 0 и 9л:— \Ъу—13 = 0, параллельны, а прямые,
заданные уравнениями 6л:—-4*/ + 5 = 0 и 6х + 9у+ 11 =0,
перпендикулярны.
Если прямая задана уравнением Ах+Ву + С = 0, то на
основании условия (13) легко записать общий вид уравнения прямой, ей
перпендикулярной
Вх—Ау + Сг = 09
так как при этом имеет место равенство АВ—#4 = 0.
Пример 14. Через точку пересечения прямых, заданных
уравнениями 5л:—2г/+11=0 и 7х + 3у—2 = 0, проведена прямая,
параллельно прямой, заданной уравнением Ax + fy—8 = 0. Составить
уравнение этой прямой.
40
I

Решение. Найдем координаты точки пересечения данных двух
прямых. Решая систему уравнений
i 5л:—2^/+ 11=0,
\ 7х + 3у— 2 = 0,
находим * = —1 и # = 3.
Прямая, параллельная прямой, заданной уравнением 4х-\-5у —
_-8 = 0, определяется уравнением 4* + 5t/ + C = 0, где свободный .
член С находится из условия прохождения прямой через точку
(-1; 3):
4(_ 1) + 5.3 + С = 0, или —4+15 + С = 0.
Отсюда С =—11, и таким образом, искомое уравнение прямой
4х + 5у—11=0.
Пример 15. По уравнениям сторон треугольника
5х + у— 7 = 0,
2х—Зу—13 = 0,
7х—2у— 3 = 0
составить уравнение высоты, опущенной из вершины, лежащей в
III четверти.
Решение. Ищем координаты вершин треугольника, решая
три системы уравнений:
система
/ 5*+ у— 7 = 0,
\ 2х—3# —13 = 0
дает вершину D(2; —3); система
/ 5*+ у—7 = 0,
\ 7х—2у—3 = 0
дает вершину В(1; 2); система
j 2x—3|/—13 = 0,
\ 7х—2у— 3 = 0
дает вершину А(— 1; —5).
Таким образом, требуемая высота АЕ опускается из вершины
А(—1; —5) перпендикулярно стороне 5D,
уравнение которой 5л: + у—7 = 0 (рис. 26).
Уравнение этой высоты ищем в виде х—5у +
-f С = 0; С определяется из условия прохождения
высоты через вершину А(— 1; —б):
(—1)—5(—5) + С = 0, или —1+25 + С = 0.
Отсюда С = — 24, и уравнение искомой высоты
х—5#—24 = 0.
т 2. Геометрическое истолкование системы неравенств пер- ***!£• 26
вой степени с двумя переменными. Выведенные в настоящем
параграфе аналитические условия различных случаев расположения двух прямых
по заданным их уравнениям позволяют установить, какая часть плоскости
.41

!
соответствует системе двух линейных неравенств с двумя переменными, а затем!
и системе большего числа таких же неравенств. |
Так, есда по соответствующим уравнениям видно, что заданные ими прямые^
пересекаются, то в зависимости от сочетаний знаков неравенств их система опре-|
деляет частр плоскости, в виде различных углов между этими прямыми. Это|
следует из того, что часть плоскости, удовлетворяющая системе двух неравенств,
является общей частью, или пересечением, полуплоскостей, соответствую-j
щих этим неравенствам и представляет собой один из четырех углов между
прямыми.
Например, для систем неравенств
а) I 3*—j/+6>0,
\ * > 0;
в) f Зх—1/+6 > О,
I *<0;
б) ( Зх—y+6<Qf
\ х>0;
г) I Зх—у+6<0,
\ х< О
можно установить (рис. 27), что:
а) система определяет пересечение правой полуплоскости х > О с
полуплоскостью Зх—у + 6 > О, включающей начало координат, т. е. ^7,
б) система определяет пересечение правой полуплоскости х > О с
полуплоскостью Зх—у + 6 < 0, не включающей начала координат, т. е. 2 2>
в) система определяет пересечение
левой полуплоскости х < 0 с полуплоскостью
Зх—у + 6 > О, т. е. </<?,
Рис. 27
Рис. 28
г) система определяет пересечение левой полуплоскости х < 0 с
полуплоскостью Ъх—# + 6 < 0, т. е. </ 4.
Аналогично можно установить, что для систем неравенств
а) ( Ъх+у—6^0,
\ 2х—*/+1^0;
в) \ Ъх + у—6<0,
/ 2*—у+КО;
б) / Ъх+у—6<0,
г) / Зх+#—6^0,
\ 2х—*/+1<0
соответствующие пересечения полуплоскостей определяют: а) тупой угол,
б) острый угол, в) тупой угол и г) острый угол. При этом включаются и
стороны углов.
Если по соответствующим уравнениям видно, что заданные ими прямые не
пересекаются, а параллельны, то в зависимости от сочетаний знаков неравенств
пересечение соответствующих полуплоскостей существует в виде части
плоскости между двумя параллельными прямыми, в виде одной из полуплоскостей или
вовсе не существует.
42

Так, например, из системы неравенств с противоположными знаками
/ Зх— 2y+6^s0,
\ Зх—2у—6<0
можно установить (рис. 28), что пересечение выражаемых ими полуплоскостей
ограничивается соответствующими параллельными прямыми (со включением их).
При одинаковых знаках в системе тех же неравенств их общая часть
совпадает с одной из выражаемых ими полуплоскостей — именно с той, которая не
включает второй граничной прямой.
Рис. 29
Рис. 30
В самом деле, для системы
Зх-
Зх-
-2J/ + 6:
-2у—6:
2у—6^0 (рис. 29),
геометрическим изображением служит полуплоскость Зх
а для системы
/ Зх—2у + 6<0,
\ 3*—2у —6<0
полуплоскость Зх—2y-f-6«^0 (рис. 30).
При втором возможном сочетании про- у
тивоположных знаков двух неравенств, т. е.
для системы
f Зх—2*/ + 6<0,
\ Зх—2у—6^*0
соответствующие им полуплоскости не
имеют никакого пересечения (рис. 31).
В задачах линейного программирования
геометрический способ решения связывается
с использованием систем, содержащих два и
более линейных неравенств с двумя
переменными.
Рассмотрим системы неравенств,
связанные с системой трех уравнений,
заданных в условии примера 1о Рис. 31
( 5х + у— 7 = 0,
; 2д:—3/у—13 = 0,
\ 7х—2у— 3 = 0,
в отношении тех геометрических областей, которые соответствуют решениям этих
неравенств.
43

По' расположению на рис. 26 треугольника, заданного этими прямыми,
можно установить, что часть плоскости, ограниченная треугольником, является
областью решения системы неравенств
( 5х+ у— 7<0,
{ 2*—Зу—13 < О,
{ 7х—2у— З^гО.
Здесь знаки первых двух неравенств указывают (рис. 32), что
соответствующие им полуплоскости включают начало координат. Знак же третьего
неравенства указывает, что соответствующая ему полуплоскость не включает начала
Рис. 32
Рис. 33
координат. Эта система неравенств определяет часть плоскости, ограниченную
треугольником.
Рассмотрение возможных систем с измененными знаками у всех трех, у двух
или у одного неравенства показывает:
Рис. 34
Рис. 35
1) при перемене знаков у всех трех неравенств не существует пересечения
всех трех полуплоскостей, а имеются лишь три изолированных пересечения
двух полуплоскостей вне области, ограниченной треугольником; эти пересечения
не показаны на чертеже (рис. 33);
2) при перемене знаков у двух неравенств существует общее пересечение
всех трех полуплоскостей в виде полуплоскости, соответствующей третьему
неравенству (с неизмененным знаком), за исключением площади треугольника
(рис. 34). Такого вида результат имеет место в трех случаях;
44

3) при перемене знака у одного неравенства существует общее пересечение
всех трех полуплоскостей в виде части полуплоскости, ограниченной незамкну>
той выпуклой ломаной линией из трех звеньев (рис. 35). Такого вида
результат имеет место в трех случаях.
§ 13. Расстояние от точки до прямой
Если требуется найти расстояние от некоторой точки М0 (хе; у0)
до прямой, заданной уравнением Ах+Ву + С = 0, то
непосредственное решение этой задачи сводится к следующим операциям:
1) составляется уравнение перпендикуляра, опущенного из
точки М0 на данную прямую;
2) находятся координаты точки пересечения этого
перпендикуляра с данной прямой;
3) по координатам двух точек вычисляется расстояние между
ними.
Решим эту задачу сначала на частном примере.
Пример 16. Найти расстояние от точки (—3; 4) до прямой
12х + 5у—Ю = 0.
Решение. 1) Уравнение перпендикуляра к данной прямой
составляем в виде
Ъх— 12*/ +С = 0.
Значение С находится из условия, что этот перпендикуляр
проходит через точку (—3; 4):
С = — 5(—3)+124 = 63.
Таким образом, уравнение перпендикуляра к данной прямой
5л:— 12£/+63 = 0.
2) Совместным решением системы двух уравнений определяем
координаты точки пересечения данной прямой с проведенным к ней
перпендикуляром, пользуясь формулами для нахождения
координат точки пересечения двух прямых (см. стр. 39)
% 5х+12#+60 = 0.
Отсюда
( 12л;+ Ъу—10 = 0,
^ _ 63.5-1Q.12 Ш5 2|.
*1~~ 12-(—12)—5-5"" 169"" 13'
_ —10-5—12>63 __ — 806 _ 62
#i ~ ZTg9 —169 ~" 13"
3) Определяем расстояние между двумя точками (—8; 4) и
Л 15. 62\
V 13» 1з;
-- /(-й+»)"+(8-4)'- VW^f-
-Щ=2ед.дл.
45

Громоздкость полного решения этой задачи в каждом отдельном |
случае указывает на целесообразность использования формулы
расстояния от точки до прямой.
Эта формула имеет вид
d =
Ах0 + Ву0 + С
Va*+b*
(14)1
Применение ее для решенного здесь примера сразу дает искомый
результат
d =
12-(—3)+5>4—10
у^+б2
= jg = 2 ед. дл.
Формула расстояния от точки до прямой часто применяется в\
экономических расчетах.
Дадим вывод этой формулы путем решения задачи о расстоянии \
от точки до прямой в общем виде.
1. Если из точки М0(х0\ у0) проводится
перпендикуляр к прямой, заданной уравнением
Ах + Ву + С = 0
(рис. 36), то уравнение этого перпендикуляра с
учетом условия (13) и того, что этот
перпендикуляр проходит через точку (х0\ t/0), можно запи-,
сать в виде
В(х—х0) — А{у—у0) = 0.
2. Для совместного решения этих двух урав-
Рис. 36 нений преобразуем первое из них так, чтобы
корнями системы оказались разности координат j
(х1—х0) и (у1—у0), где хх и у!—координаты точки Afj*. Этой цели '
отвечает система
I А(х-хо) + В(у-уо) + Ах0 + Вуо + С = 0,**
\ В(х-хо)-А(у-у0) = 0.
Отсюда находим корни системы по формулам (см. § 12)
предварительно заметив, что во втором уравнении отсутствует свободный
член:
xi xo = дг\ Q2 \Ахо + Ву0 + С),
Уг—Уо = — A*+W (Л*<> + ВУ» + С)*
* Запись в виде (хг—дс0) и (yi—yQ) выгодна здесь для получения по
значениям корней в формуле (1) искомого расстояния от точки М0 до точки Mi на
данной прямой.
** Такой вид исходного уравнения прямой Ах-\-Ву+С = 0 получен после
приписки к нему выражения (—Ах0—Ву0 + Ах0-{-Ву0), равного нулю, с
последующей расстановкой его членов.
46

3. Теперь искомое расстояние вычисляется по формуле (1).
Сначала составляем сумму квадратов полученных разностей, что дает
* = Щ^(А*о + Ву*+С)*.
Отсюда после сокращения дроби в правой части и извлечения корня
получаем
d =
Ах0 + Ву0 + С
У А* + В*
Таким образом, расстояние от точки М0(х9\ у0) до прямой
Ах + Ву + С = 0 определяется абсолютной величиной дробщ
числитель которой—значение левой части уравнения прямой при х = х0
и у^Уо* а знаменатель—квадратный корень из суммы квадратов
коэффициентов при х и при у.
Пример 17. Вершины треугольника расположены в точках с
координатами (у; 2j, (в; 4) и {—2; 3). Определить длину высоты,
опущенной из вершины с наибольшей ординатой.
Решение. Составляем уравнение стороны треугольника,
проходящей через две точки (-*-; 2) и (—2; 3):
1
у-2_ * 2
3-2~ 1 '
Преобразование к общему виду приводит к уравнению
2х + 5у—П=0.
Длина искомой высоты определяется по формуле (14), что дает
/4 + 25 I УЪ У~29
Упражнения
1. По уравнениям двух сторон параллелограмма Ъх—4у+3 = 0; 13х+2у —
— 17 = 0 и координатам одной из его вершин (3; —4) найти координаты точки
пересечения его диагоналей.
Отв. (2; —1).
2. Определить коэффициент А в уравнении прямой Ax-j- 3#+13 = 0, если
известно, что прямая проходит через вершину прямого угла треугольника,
заданного уравнениями его сторон 2х+3у—1=0; Ъх—2у+12 = 0 иЗ*— 2у—8 = 0,
Отв. Л = — 5.
3. По координатам вершин треугольника >4 (—2; —1), В(1; 3) и С(3; —2)
составить уравнения высоты, опущенной из вершины С, и медианы, проведенной
из вершины А.
Отв. Зх+4у—1=0 и За:—8у—2 = 0.
4. Написать уравнение прямой, симметричной прямой, заданной уравнением
ох—7у—14 = 0, относительно оси Ох<
Отв. 5^ + 7^—14 = 0,
47

5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (5; 4) и отсекающей
на осях координат равные отрезки.
Отв. х+У—9 = 0.
в. Написать уравнения перпендикуляров к прямой Зх+5у—15 = 0,
проходящих через концы отрезков, отсекаемых этой прямой на осях координат.
Отв. 5х—3#—25 = 0 и 5*—3#+9 = 0.
7. Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма: х—у—1=0 и
х—2у = 0 и точка пересечения его диагоналей М (3; —1). Написать уравнения
двух других сторон параллелограмма.
Отв. х—у—7 = 0 и х—2у—10 = 0.
8. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2; 1) и через точку
пересечения прямых, заданных уравнениями х-\-у—1=0 и х—#+2 = 0.
Отв. х + 5*/—7 = 0.
9. Составить уравнение прямой, перпендикулярной прямой, заданной
уравнением х—3«/ + 5 = 0 и отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный 2.
Отв. Зх+у—6 = 0.
10. Определить свободный член в уравнении прямой 5лг + 4у+С = 0, если
известно, что эта прямая проходит через точку пересечения прямых, заданных
уравнениями 4х-\-5у-{-\1=0 и Ъх+у — 2 = 0.
Отв. С = 7.
11. Вычислить площадь треугольника, образованного осями координат и
прямой, заданной уравнением 4* + Зу—12 = 0.
Отв. 5 = 6 кв. ед.
12. По уравнениям сторон треугольника 2х—3^+10 = 0, *+у = 0 и 4х—у=0
найти координаты точки пересечения его медиан.
О те
■ни
13. По уравнениям сторон треугольника 2х—у—2=0, х—Зу—6 = 0 и
4х-\-Зу—24 = 0 найти уравнение и длину высоты, проведенной из вершины,
лежащей на оси ординат.
Отв. За:—4i/—8 = 0; 6 ед. дл.
14. Найти острый угол между прямыми
8 4 2^0,8 в
Отв. 85°14'.
16. Треугольник задан уравнениями сторон х-\-7у—11=0; 2jt+#-f4 = 0 и
Ъх—Ъу—7 = 0. Найти длину высоты, проведенной из вершины, лежащей в I
четверти, и вычислить угол при этой вершине.
Отв. #Л = 5,8 ед. дл., £ А = 39°5'36".
16. В треугольнике с вершинами А (2; 5), В (5; —1) и С (8; 3) определить
расстояние от точки пересечения медиан до стороны ВС.
. Отв. 2 ед. дл.
17. По уравнениям прямых х + у—2 = 0; 3*+2у—5 = 0 и 5*—\2у—32 = 0
определить расстояние от точки пересечения первых двух из них до третьей.
Отв. 3 ед. дл.
18. Составить уравнения сторон квадрата по данным противоположным
вершинам Л(1; 4) и С (9; —2).
Отв. *—7у+27 = 0, 7х+у—61=0, х—7#—23 = 0, 7*+*/—11=0.
19. Уравнения 2х—5у+27 = 0,*+г/+3 = 0и6*—8у—15 = 0 задают стороны
треугольника. Найти длину высоты, проведенной из вершины с отрицательной
абсциссой, и составить уравнение этой высоты.
Отв. 7,5 ед. дл.у 4* + 3#+15 = 0.
20. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: 7х—24у—45 = 0; Зх -f-
+ 4у—5 = 0 и точка пересечения диагоналей (7; 1). Определить длину высот этого
параллелограмма.
Отв. 1,6 и 8 ед. дл.
"21. Представить геометрически каждое из следующих линейных неравенств:
а) 3*+2t/—5S&0, б) 5дг—3# + 4^0, в) 2х—#+1<0, г) л; + 4# + 3<0.

шщ:*
»22. Дать геометрическое представление области плоскости, соответствующей
системе неравенств
f Sx+2y+9 <0,
2*—5у—12 <0.
23. Является ли геометрическое отображение системы неравенств
f<3
а) ( *<4, б) ( у:
\ Х7&1 \ у*
пересечением двух полуплоскостей? Если является, то показать его на чертеже.
24. Построить область, соответствующую системе неравенств
{
х+ */—3<0,
3x+2y—6^z0,
2х— у—4<0.
25. По уравнениям трех прямых х—2у—2 = 0, 3*—у—6=0 составить ту
систему трех неравенств, которая имеет своим геометрическим образом
треугольник. Подтвердить полученный результат чертежом.
Глава IV
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 14. Понятие о кривых второго порядка
В аналитической геометрии изучаются алгебраические линии,
или кривые. Эти кривые выражаются уравнениями, которые
содержат лишь основные операции над переменными х и у (сложение,
вычитание, умножение, деление и возведение в степень с
натуральным показателем).
Приведение левой части уравнения алгебраической линии к виду
многочлена с целыми степенями позволяет установить порядок этой
линии, который определяется степенью ее уравнения.
Так, например, прямая является линией первого порядка, так
как выражается уравнением первой степени.
Рассматриваемые в настоящей главе кривые второго порядка
аналитически выражаются уравнением второй степени, общий вид
которого
Ax* + Bxy + Cy* + Dx + Ey + F = 0*. (15)
В частности, это уравнение может представлять собой эллипс,
гиперболу или параболу.
Кривые второго порядка имели большое значение в развитии
математических идей, и, кроме того, очень важным является их
многообразное применение в различных областях. Так, известно,
* Для дальнейшего отметим, что уравнения
Ax2 + Bxy+Cy* + Dx + Ey+F = 0
и
kAx*+kBxy+kCy* + kDx+kEy+kF = 0
(k ф 0) задают одну и ту же линию. Обратно, если два уравнения задают одну и
ТУ же линию, то их коэффициенты пропорциональны.
49

что планеты и искусственные спутники движутся по эллипсам,
ракеты—по параболам.
Выяснение характера взаимосвязей между различными
показателями экономического характера зачастую приводит к форм? этих
связей в виде параболы или гиперболы.
В настоящей главе приводятся краткие
сведения о всех кривых второго порядка.
1. Окружность. Окружностью называется
геометрическое место точек, одинаково
удаленных от одной данной точки—центра.
Если точка С(а\ 6)—центр, М(х; у) —
произвольная точка окружности и R—ее
радиус (рис. 37), то можно записать
У*
м(х\у)
Рис. 37
Отсюда
или
СМ = У(х-аУ + (у-Ь)\
CM = R.
V(x-a)* + (y-b)* = Rt
(x—a)2 + (y—b)2 = R2.
(16)
Это простейшее уравнение окружности. Для задания его
достаточна знать координаты центра и радиус. Так, уравнение окружности
с центром С (—3; 5) и с радиусом R = 8 имеет вид (х 4- 3)а + ((/—5)2=64,
а уравнением (л:—6)2 + (# + 7)2 = 81 выражается окружность с
центром в точке (6; —7) и с радиусом, равным 9.
Отметим частные случаи положения окружности:
1) если центр окружности лежит на оси ординат, т. е. а = 0, то
ее уравнение имеет вид х2 + (у—b)2 = R2\
2) если центр окружности лежит на оси абсцисс, т. е. Ъ = 0, то
ее уравнение имеет вид (х—a)2 + y2=-R2\
3) если центр окружности лежит в начале координат, т. е. а = 0 и
6 = 0, то ее уравнение имеет вид x2 + y2~R2 (см. § 6).
Например, уравнение х2 + (у + 5)2 = 36 выражает окружность
с центром в точке (0; —5) и с радиусом, равным 6.
Выясним условия, при которых общее уравнение второй степени
с двумя переменными (15)
AjP + Bxy + Ctf + Dx+Ey + F = Q
является уравнением окружности.
Для этой цели раскроем скобки в уравнении (16) окружности
Это дает
(*—а)2 + {у—b)2 = R2.
х2 + у2 — 2ах—2by + a2 —b2 — R2 = 0.
(16а)
Теперь видно, что уравнение (15) может выражать окружность,
если выполняется соотношение пропорциональности с соответствен-
60

ными коэффициентами уравнения (16а):
JL—±_±
а ~~ в ~ с •
Отсюда получаем, что 1) А —С, 2) В = 0.
Таким образом, уравнение (15) должно иметь вид
_ Ax2 + Ay* + Dx + Ey + F = 0.
Разделив обе части уравнения на А, получаем
Сопоставляя соответственные члены уравнений (16а) и (15а),
получим
Последнее равенство перепишем в виде
или
что
после
£>2+Е2
4Л2
4Л2
преобразований дает
—/?а = —
-х=#а>о,
D2 + £2>44F;
это третье из условий, при которых уравнение (15) выражает
окружность.
Итак, общее уравнение второй степени (15) представляет собой
окружность при выполнении условий:
1) А=С,
2) 5 = 0,
3) £2 + £2>4Л/\
Заметим, что условие 3 не требует проверки при AF < 0 (в этом
случае уравнение представляет собой окружность, если выполнены
условия 1 и 2).
Полученные условия позволяют легко установить, представляет
ли заданное уравнение второй степени собой окружность. В этом
случае можно выразить координаты центра и радиус окружности
через коэффициенты общего уравнения второй степени. Именно:
D J*
а~~2л (збсцисса центра); Ь — — =-т (ордината центра) и
К 5jj , или К Та .
Пример 1. Представляет ли собой окружность каждое из
уравнений:
а) х* + у*—8х+12у + 58 = 0;
б) Х1 + у* + бх—20# + 84 = 0?
61

Р е ш е н и е. а) Для первого уравнения выполняются условия 1 и 2.
Проверяя условие 3 (D = — 8, Е = 12, А = 1, F = 58), получаем
D2 + £2 = 64 + 144 = 208; 4Л/Г = 232.
Таким образом, условие 3 нарушено и заданное уравнение не
выражает собой никакого геометрического образа.
б) Для второго уравнения также выполняются условия 1 и 2.
Далее, D = 6, £ = — 20, Л = 1 и F = 84. D2 + Е* = 436 > 44F = 336
и заданное уравнение определяет окружность.
Координаты центра и радиус этой окружности можно определить
по записанным выше формулам, которые дают а — — 3, ft =10 и
jR=5 ед. дл.
Заметим, что отыскание этих данных может быть выполнено без
запоминания формул, путем преобразования уравнения окружности
к простейшей форме (16).
Пример 2. Найти координаты центра окружности, заданной
уравнением
х2 + у2+10х— 18у + 70 = 0.
Решение. В этом уравнении коэффициенты удовлетворяют всем
трем условиям*. Значит, оно представляет собой окружность.
Сгруппируем члены уравнения по отдельным переменным:
(х2+10х) + (у2-18у) + 70 = 0.
Прибавим к обеим частям числа, обращающие каждую скобку
в полный квадрат:
(*2+10* + 25) + (*/2 — lfy + 81)+ 70 =25 + 81.
Свертываем квадраты и переносим свободный член в правую часть:
(* + 5)2 + (у-9)2 = 36.
Сопоставляя этот результат с простейшей формой уравнения
окружности (л:—a)2 + (y—b)2 = R2t находим
Yk У| а = —5; 6 = 9 и /?=6 ед. дл.
Таким образом, заданное в этом примере
уравнение определяет окружность с центром в точке
(—5; 9) и с радиусом, равным 6 (рис. 38).
В применении к окружности не
принадлежащие ей точки составляют две области
плоскости. Первая из них—ограниченная и
охватывает все точки, заключенные внутри окружности.
Каждая из этих точек характерна тем, что ее
расстояние от центра меньше радиуса окружности,
что аналитически выражается неравенством
(х—а)2 + (у^-Ь)2 < /?2. Вторая область—неограниченнай и
охватывает точки плоскости, лежащие вне окружности. Каждая из них
характерна тем, что ее расстояние от центра превышает длину
радиуса, а это выражается неравенством (л:—а)2 + (у—Ь)2 > R2.
* Читателю следует проверить это утверждение вычислением.
Рис. 38
62

Если уравнение окружности дано в общем виде
Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0
(А > 0), то координаты точек, лежащих внутри окружности, определяются
неравенством Ax2-\-Ay2-\-Dx-\-Ey + F < 0, а координаты точек, лежащих вне
окружности,—неравенством Ах2-\-Ay2-\-Dx + Еу + Е > 0. Например,
неравенством х2 + у2—12х+16#+19 < 0 определяются точки, лежащие внутри
окружности, а неравенством х2+у2—12*+ 16у + 19 > 0—точки, лежащие вне
окружности.
Поэтому, если требуется узнагь, как расположена некоторая точка
относительно окружности, то достаточно подставить координаты этой точки в левую
часть общего уравнения окружности. Если полученное число положительно,
то эта точка лежит вне окружности, если оно отрицательно—внутри окружности.
Пример 3. Не выполняя построения, установить, как расположены
относительно окружности х2 + у2—8х+\6у—25 = 0 точки: а) (3; —8), б) (—8; 11),
в) (5; -7), г) (12; -15).
Решение, а) Подстановка координат дает: 9+64—24—128—25=—104;
значит, точка лежит внутри окружности.
б) Подстановка координат дает: 64+121+64+176—25 = 400; значит, точна
лежит вне окружности.
в) Подстановка координат дает: 25 + 49—40—112—25 =—103; значит, точка
лежит внутри окружности.
г) Подстановка координат дает: 144 + 225—96—240—25 = 8; значит, точ11а
лежит вне окружности.
2. Эллипс. Пусть дана окружность с центром в начале
координат и с радиусом R = a (рис. 39)
х2+у2 = а2.
Ордината произвольной точки окружности может быть
выражена в виде
у = ± Va2—х2.
При этом для точек верхней полуокружности берется знак «плюс»,
а для точек нижней полуокружности—знак «минус».
Рассмотрим теперь наряду с точкой М еще точку Л/, которая
при той же абсциссе имеет ординату, составляющую некоторую
часть — (здесь Ь<а) ординаты точки М yi
окружности. Тогда ордината такой точки
выразится в виде
Поскольку точка М представляет любую
точку окружности, то переход от нее к
точке с уменьшенной ординатой при той же
абсциссе можно рассматривать как сжатие
всей окружности к горизонтальному
диаметру. В результате этого сжатия образуется
замкнутая кривая, каждая точка которой характеризуется
соотношением (*) между ее координатами. Эта кривая называется
эллипсом.
53

Преобразование формулы (*) путем освобождения от радикала
и знаменателя дает соотношение
которое после деления обеих частей его на аъЬг приводится к виду
■£ + -£= 1.
а2 ^ б2
(17)
Это—простейшее, или каноническое, уравнение эллипса.
Входящие в уравнение постоянные а и Ь обозначают полуоси эллипса:
а—большая полуось и b—малая полуось. Оси симметрии эллипса
называются его осями, а точки пересечения эллипса с осями—его
вершинами.
Отношение — позволяет судить о степени сжатия эллипса в
сравнении с окружностью, радиус которой равен большой полуоси.
Чем меньше значение —, тем большим оказывается сжатие эллипса
к; его большой оси, или, что то же, вытянутость эллипса вдоль
этой оси (в сравнении с окружностью, радиус которой равен малой
полуоси).
Для определения формы эллипса служит его эксцентриситет
-/•-$'•
Эта формула показывает, что при Ь = а имеем е = 0. Таким
образом, окружность можно рассматривать как эллипс с нулевым
эксцентриситетом.
Из этой формулы следует, что эксцентриситет эллипса всегда
меньше единицы.
Построение эллипса по данному уравнению может быть
выполнено рядом различных приемов. Здесь, однако, следует
ограничиться тем приембм, который непосредственно
связан с операцией перехода от ординаты
точки М окружности радиуса а к ординате точки
эллипса с той же абсциссой. Из приведенных
выше выражений ординат точек М и N (см.
рис. 39) видно, что для всякого х < а имеем
AN:AM = b:a.
Поэтому для отыскания на отрезке AM
положения точки эллипса следует построить
наряду с заданной окружностью еще
концентрическую радиуса Ь и соединить точку М(х\ у)
с центром. Тогда точка М19 в которой
радиус пересекается с малой окружностью, имеет ординату (рис. 40)
ух = — у (из подобия треугольников ОА1М1 и О AM), а
соответствующей точкой эллипса окажется точка Nt (прямая MtNt параллельна Ох).
Этим способом строится еще некоторое количество точек, и
соединение их плавной кривой дает эллипс.
Рис. 40
54

Пример 4. По уравнению
*а . У2 _ 1
х*
вычислить эксцентриситет эллипса и построить его.
Решение. Здесь а2 = 25 и б8 =16, откуда а =16 и 6 = 4.
Эксцентриситет вычисляем по формуле
Для построения эллипса описываем из начала координат две
концентрические окружности радиусами в 4 и 5 ед. дл. Проводим
из О по два радиуса внешней окружности в каждой четверти. Из
конца каждого радиуса проводим (пунктиром) перпендикуляр к оси
Ох и. на этом перпендикуляре фиксируем точку, в которой qro
пересекает отрезок, проведенный из конца малого радиуса
параллельно оси Ох. Найденные точки вместе с вершинами соединяем
(с помощью лекала) плавной линией.
§ 15. Понятие о преобразовании системы координат
(параллельный перенос осей)
Построим на рис. 38 новую систему координат, выбрав
за ее начало центр окружности 01У за оси координат прямые,
соответственно параллельные осям исходной, или старой,
системы и сохранив неизменной принятую
единицу длины.
Очевидно, уравнение нашей окружности
относительно этой новой системы будет иметь вид
х2 + */2 = 36.
1?
ы
х
По сравнению с исходным уравнением
окружности (см. условие примера 2) новое урав- рис 41
нение характеризуется краткой и более
выгодной записью: здесь отсутствуют члены с первыми степенями
х и у, а свободный член представляет собой квадрат радиуса.
Запись уравнения в таком виде получена на основании ранее
определенных координат центра и радиуса окружности. Но можно
прийти к такой же записи с помощью преобразования
системы координат параллельным переносом осей.
Пусть на плоскости дана некоторая точка М, которая
определяется (рис. 41) относительно одной (старой) системы хОу
координатами (х\ у), а относительно другой (новой) системы
XOxY—координатами (X; У). Пусть еще начало новой системы 0г задано
относительно старой системы координатами (*0; у0). Тогда
соответственные координаты точки М связываются формулами парал-
55

лельного переноса осей:
х = Х-\х„, \
y = Y + y0, /
{Щ
которые выражают старые координаты через новые*.
Применим эти формулы для преобразования уравнения (15а)
окружности
к виду
д*+#« = #«.
Подстановка формул (18) дает
(X + xtf + (Y+yoy + ^(X+xo) + ^(Y + yo) + ^ = 0,
или после преобразования
X* + Y*+ (2х0 + -£) Х+ (2у0 +4) Y + *l + yl +
Условие отсутствия членов, содержащих X и Y в первой
степени, определяет координаты нового начала
__JL —_JL
*° ~ 2А и Уо~ 2А-
Подстановка этих значений в члены, не содержащие X и У, дает
4+Й + т^+7^+7
D*
£2
D2
£2
4Л2 ^ 4Ла
D* + £«—4AF
2 А*
2Ла
"IP"
= -#*
Таким образом, уравнение (15а) приводится к требуемому виду
X* + Y* —#а = 0, или Ха + У2 = #а.
Полученный результат для уравнения окружности в общем виде
решает вопрос о возможности приведения уравнения этой кривой
к намеченной форме X2 + Y2 = R2 по формулам (18) параллельного
переноса осей. В связи с этим такая операция становится
выполнимой и для любого конкретного уравнения окружности.
Пример 5. Путем преобразования системы координат
параллельным переносов осей упростить уравнение окружности
х2 + У* — 12Х+18*/ —52 = 0,
принимая за новое начало центр окружности.
* Эти формулы сохраняются при любом расположении нового начала
координат относительно старой системы координат.
66

Решение. При равенстве коэффициентов старших членов и
отрицательном значении свободного члена заданное уравнение
представляет собой окружность.
Подстановка х=Х + х0 и y = Y + y0 дает
X* + Y* + (2x0-\2)X + (2y0+\8)Y + xl + yl - 12х0 + 18у0-52 = 0.
Условия 2х0 —12 = 0 и 2у0+18 = 0 определяют координаты
нового начала (центра окружности): х0 = 6 и #0 = — 9.
Подстановка этих значений дает
х1 + у1^12х0 + 18у0—52 = 36 + 81— 72 —162—52 = — 169.
Отсюда получаем преобразованное уравнение окружности в новых
координатах:
Х2 + Га = 169.
§ 16. Уравнение параболы с осью,
параллельной одной из осей координат
При изучении некоторых экономических явлений можно
встретиться с такими случаями, когда данные о соответственных
значениях двух основных показателей графически
напоминают параболу, заданную уравнением У4
у = ах2 + Ьх+с. (19)
В простейшем случае при 6 = с = 0 иа=1
парабола определяется уравнением
У = х\
(20)
и
Рис. 42
Исследуем это уравнение.
1. Четная степень х указывает на то, что
изменение знака абсциссы любой точки не
меняет знака ее ординаты, т. е. что точки парабо- -
лы с ординатами, отличными от нуля,
симметричны относительно оси ординат.
2. Парабола имеет единственную точку,
лежащую на оси симметрии,—это ее вершина, совпадающая с
началом координат.
3. Все точки параболы, кроме ее вершины, расположены над
осью абсцисс, причем с увеличением абсолютных значений их
абсцисс они неограниченно удаляются от оси абсцисс.
Построение такой параболы можно выполнить (рис. 42) по
точкам, координаты которых даются в следующей таблице значений:
X
У
0
0
±1 ±2
1
4
±3
9
±4 |
16
67

При этом по точкам строится одна из дуг параболы (например,
с положительными абсциссами), а вторую дугу можно построить
симметрично первой относительно оси ординат.
Парабола, соответствующая уравнению у =— х2, отличается от
предыдущей только тем, что все ее точки, кроме вершины,
расположены ниже оси Ох. Построение ее
может быть выполнено симметричным
отражением первой параболы относительно оси
абсцисс.
У параболы, заданной уравнением у = ах2
(| а \ф1)9 вершина также совпадает с
началом координат, а ось симметрии—с осью
ординат. При | а | > 1 парабола
располагается между параболой у = х2 (или #= Щ
= — л:2) и осью ординат, а при | а | < 1 —
вне этой параболы. При этом с
возрастанием \а\ парабола сжимается, т. е.
располагается ближе к оси ординат.
Эта характеристика параболы
иллюстрируется ниже таблицами значений хну
для а =±2, ±4, zh-s-, ±т
Рис. 43
и
соответственным построением (рис. 43).
у = ±2х2
У=±ТХ*
X
У
0
0
±1
±2
±2
±8
±3
±18
у = ±Ах2
X
\ у
0
0
±1
±4
±2
±16
±3
±36
X
У
0
0
±1
1
±2
±2
±3
±4
#=±!*2
X
У
0
0
±1
4
±2
±1
±3
*т
Пример 6. Фермы, поддерживающие железнодорожный мост
длиной в 120 м, имеют вид параболы, заданной уравнением у=ах2.
Найти уравнение соответствующей параболы, если наибольшая
высота мостовой арки составляет 48 м.
Решение. Примем за начало координат вершину фермы. Тогда
симметричные точки у основания фермы будут определяться
координатами (—60; —48) и (60; —48). Подстановка любой пары коор-
58

динат в уравнение, у = ах2 дает —48--= а -3600, откуда
_ 48 _ 1
а~~ Ш- — 75'
Таким образом, мостовая ферма имеет вид параболы,
соответствующей уравнению
У = -Т5х\
К параболам, симметричным относительно оси ординат,
относится также парабола, заданная уравнением вида
у=ахг + с. (21)
Симметрия видна из того, что перемена знака у аргумента, т. е.
замена х на (—х), не меняет значения у.
Вершина такой параболы смещена по оси Оу на с ед.
(с учетом знака с) от начала координат. Поэтому построение такой
параболы состоит в соответствукнцем сдвиге по оси Оу параболы
у=ах2.
Для нахождения коэффициентов уравнения параболы у = ах2
достаточно знать координаты одной ее точки. В случае же параболы
у = ах2 + с нужны координаты двух точек, так как для отыскания
значений а и с требуются два уравнения.
Пример 7. Найти уравнение параболы, симметричной относительно
оси ординат, если известно, что парабола проходит через точки
(3; --2) и (—2; 8).
Решение. Искомое уравнение должно иметь вид
у = ах2 + с.
Подстановка координат первой точки дает уравнение 9а + с = —2,
а второй—уравнение 4а + с = 8.
Решая эту систему, находим, что а — — 2 и с= 16.
Таким образом, условиям задачи удовлетворяет парабола
у = — 2*2+16.
Заметив, что эта парабола может быть получена вертикальным
сдвигом параболы у = — 2л:2, предоставляем читателю выполнить
соответствующий чертеж.
Переходя к параболе, ось симметрии которой параллельна оси
ординат, заметим, что в простейшем случае такая парабола
выражается уравнением
у = {х—х0)2,
где х0 — абсцисса вершины этой параболы. Действительно, при
* = *о находим у0 = 0, т. е. определяется единственная точка
параболы, для которой нет симметричной, так как эта точка лежит на
оси симметрии.
Построение такой параболы сводится к преобразованию
заданного уравнения по формулам х=^Х + х0 и y = Y к виду Y=^X2
59

и к построению этой простейшей параболы в системе XOJf, начала
которой Ог(х9\ 0) совпадает с вершиной данной параболы.
Например, для построения параболы у = (х+3)2 достаточно
принять координаты ее вершины Ог(—3; 0) за начало новой системы
ХОгУ й построить в этой системе параболу Y = X2 (рис. 44).
Относительно системы хОу новая система
определяется смещением оси ординат влево на
3 ед. дл.
На этом же рисунке помещена парабола
# = 2(х+3)2, которая в новой системе
выражается уравнением Y = 2X2 и отличается от
предыдущей большим сжатием к оси
симметрии.
Все сказанное выше о параболе у = ах2
сохраняется и для параболы у = а(х—х0)2
с тем лишь, что ее ось симметрии х = х9
параллельна оси ординат.
Если теперь принять ординату вершины
параболы у0=£0 при той же абсциссе х = х09
то уравнение такой параболы будет иметь вид
Рис. 44
у = а(х—х0)2 + У0-
(19а)
Эта парабола также имеет ось симметрии, параллельную оси
ординат, так как применение преобразования параллельного
переноса осей (х = Х + х0 и y — Y + y0) приводит уравнение к виду
К = аХа.
Покажем теперь, что общее уравнение (19) параболы в виде
у = ах9 + Ьх + с
также представляет собой параболу, ось симметрии которой
параллельна оси ординат.
I способ. Общее уравнение у = ах2 + Ьх + с эквивалентно
уравнению у = а(х—х0)2 + у0У представляющему собой параболу с осью
симметрии, параллельной оси ординат. В самом деле, координаты
вершины параболы х0 и у0 могут быть определены из заданного
уравнения (19) сопоставлением с уравнением (19а) в развернутом
виде
ах2—2ах0х+ ах20 + у0 = 0.
Действительно, из сравнения коэффициентов при х имеем
—2ах0 = Ь, что дает х0 = — ^ •
Из сравнения свободных членов имеем ах% + у0 = с, а отсюда
Ь2 ь2 4ac—b2
Л + Уо = с и» следовательно, Уо = с—&> или У о = 4а .
II способ. Применим к уравнению у = ах2 + Ьх + с
преобразование системы координат способом параллельного переноса осей
по формулам х = Х+х0 и y = Y + y09 что дает
Y + y0 = a(X + xQ)2 + b(X + x0) + c,
60

или
Y + y0=aX* + (2ax0 + b)X + axl + bx0 + c.
Выбор значений х0 и у0—координат нового начала—должен
быть таким, чтобы преобразованное уравнение параболы приняло
вид Y = aX2. Такое уравнение получится при выполнении условий:
1) 2ах0 + Ь = 0 и 2) y0 = axl + bxQ + c.
Отсюда
_ Ь _ ab* Ь* __ 4ас—Ь2
Таким образом, требуемое упрощение уравнения параболы
осуществляется при переходе к новой системе координат с началом
п (_ Ь . 4ос—62\
Ui i 2а1 4а j*
В новой системе координат осью симметрии параболы является
ось ординат, параллельная по условиям преобразования оси
ординат системы хОу.
Этим установлено, что парабола, заданная уравнением (19),
имеет ось симметрии, параллельную оси ординат. Уравнение этой оси
ъ
симметрии х= — ^ •
Поэтому для построения параболы по уравнению
у = ах* + Ьх + с
достаточно ввести новую систему ХОгУ с началом в вершине
параболы и относительно этой системы построить параболу Y = aX%.
Напомним, что началом .такой системы является точка
ОЛ — *-; ^Т" ], а особенности расположения параболы У = аХа
показаны выше на параболе, заданной уравнением у = ах2.
Это—общее решение задачи о построении параболы,
соответствующей уравнению у = ах2 + Ьх + с. Но в частных случаях при
построении параболы по ее уравнению с числовыми коэффициентами
можно пользоваться непосредственным преобразованием заданного
уравнения без вычисления по формулам координат ее вершины.
Пример 8. Найти координаты вершины параболы, заданной
уравнением у = л:2 + 8л:+11. Написать уравнение оси симметрии и
построить эту параболу.
Решение. Преобразуем правую часть уравнения, выделив
в ней полный квадрат:
у = х2 + 8х+1Ь—5,
или
у = (х + 4у-Ь.
Вершина этой параболы находится в точке с самой малой
ординатой. Эта точка определяется условием (# + 4)2 = 0, т» е. х0 =—4.
Соответствующая ордината у0 = — 5. Значит, координаты вершины
(—4; —5), а уравнение оси симметрии х = —4* или л; + 4 = 0.
61,

jgjap'""
Преобразуем теперь наше уравнение путем параллельного пер
носа по формулам х = Х—4 и y = Y—5. Это дает
Y—5 = (Х-^4 + 4)а-5,
или
Y = X\
Значит, для построения заданной параболы (рис. 45) следу
построить в системе хОу новую систему XOJS с соответственно па
раллельными осями и с началом в точке 0Х(—4; —5) и отн
сительно этой системы построить парабол
Y = X\
Пример 9. Найти координаты вершины, на
писать уравнение оси симметрии и построит
параболу, заданную уравнением
0 = 7 + 6*—х\
Решение. Преобразуем правую часть урав
нения, выделив в ней полный квадрат:
# = 7—(х2—6лг + 9) + 9,
или
у=16-(х-3)\
Вершина этой кривой находится в то
точке, которая имеет наибольшую ординату
т. е. в точке, где х = 3 и у=16.
Отсюда уравнение оси симметрии х = 3, или х—3 = 0.
Перенос начала координат в вершину при параллельном пер
мещении осей по формулам х = Х + 3 и у =
Рис. 45
= У+16 дает
У*
Y = — X\
0i
I
ж
X
Знак «минус» указывает, что парабола
располагается ниже своей вершины.
Для построения этой кривой (рис. 46)
достаточно поместить в системе хОу новую
систему XOJT с началом в точке Ох (3; 16)
и в этой системе построить параболу Y =
=—Х\
Пример 10. По уравнению параболы
у = у х2 + За: + 6 определить координаты
вершины, написать уравнение оси симметрии и построить параболу.
Решение. Координаты вершины определяем по формулам
_ 4ас—б2
У о — 4а
Это дает
12—9 _ з
vq — ■ ^ « У о 2 2 "
Рис. 46
*п =
Ь
"FT И
2а
хл= — 3 и
Отсюда уравнение оси симметрии х=— 3, или * + 3 = 0.
62

Проведем преобразование уравнения по формулам параллельного
переноса осей координат
Это дает
х = Х-3 и y = Y + %.
Y + ^ = ~X*-3X + ^+3X-9 + 6,
или
K-J-X-.
Рис. 47
Рис. 48
По этому уравнению строится заданная парабола в новой системе
координат XOtYt начало которой помещено в точке 0Х (—3; -^-)
(рис. 47). ^ 2'
Пример 11. Определить площадь трапеции, вписанной в параболу,
заданную уравнением у=х* —Зх—10, если одно из оснований
трапеции лежит на оси Ох, а
второе основание проходит
через точку пересечения
параболы с осью Оу.
Решение. Точка
пересечения параболы с осью Оу
определяется координатами
(0; —10). Поэтому высота
трапеции равна 10 ед. дл.
Длину каждого основания
определим (рис. 48) по
абсциссам точек пересечения
параболы у = хг— Зл:—Юс
прямыми у = 0 и у =—10.
Абсциссы концов верхнего основания дают корни уравнения
х2—Зл;—10 = 0, т. е. хг = — 2 и л:2=5, а абсциссы концов нижнего
основания дают корни уравнения х%—3л; = 0, т, е. ^=0 и лг2 = 3.
Отсюда верхнее основание имеет длину в 7 ед., а нижнее—длину в 3 ед.
Таким образом, площадь трапеции
S = l±*. W = 50кв. ед.
Для составления уравнения параболы у =ах2 + Ьх + с надо знать
в общем случае координаты трех ее точек.
Это следует из того, что по координатам этих точек М1(х1\ уг),
^М*8; У2) и Мз(*8» Уг) получается система трех уравнений, которая
Дает определенные решения, если только эти три точки не лежат
на одной прямой.
Замечание. Смысл этой оговорки связан с тем, что парабола, являясь
линией второго порядка, не может иметь более двух точек пересечения с прямой.
* поэтому, если без проверки расположения трех точек будет составлена система
( ax\ + bx1+c = yl,
axl + bx2+c = y2,
ax\ + bxz + c=yz,
63

то получение нулевого решения для а служит показателем того, что заданные
точки лежат на одной прямой.
Пример 12. Составить уравнение параболы по данным
координатам трех точек, через которые она проходит: (1; 3), (3; 5) и (5; 10).
Решение. Подстановка в каждое уравнение соответствующих
координат* вместо (хг; уг), (хг\ у2) и (лу, у3) дает систему уравнений
относительно a, b и с
а+ Ь + с= 3,
9а + ЗЬ + с= 5,
25а + 5Ь + с=10.
Из этой системы получается
\]
0
1
-/ /
111 ^
X
**: а =
3
8
'&==-Т
С = 31
образом, искомая парабола
ляется уравнением
3 2 ! , О 1
и, таким
опреде-
Рис. 49
Рассмотренное уравнение
параболы с осью, параллельной оси
ординат, позволяет отметить особенности
уравнения параболы с осью,
параллельной оси абсцисс.
Частный случай, когда ось
параболы совпадает с осью абсцисс, а
вершина—с началом координат,
приводит к уравнению
х = ау2.
Этому уравнению соответствует парабола, симметричная параболе
у = ах2 относительно биссектрисы I координатного угла. Взаимное
1, т. е. у —х2 и х — у*9
расположение таких двух парабол при а-
показано на рис. 49.
Уравнение х = ш/2 приводится заменой а-
у2 = 2рх.
-YP к ВИЛУ
* Предварительная проверка формулы (9а) дает
10—3 5—3
5—1 *3—1 '
а это показывает, что заданные три точки не лежат на одной прямой.
** Решение этой системы выполняется элементарно:
1) вычитание первого уравнения из второго и второго из третьего дает
систему двух уравнений
f 8а+26 = 2,
\16а+26 = 5;
2) вычитание первого уравнения из второго дает
8а = 3,
а ©тс!юда уже получаются все три корня.
64

При р > 0 соответствующая парабола располагается справа от
оси иу, а при р<0—слева от оси Оу.
Аналитическое выражение дуги параболы, расположенной над
ее осью, дается уравнением
у == у 2рх.
Как и в случае параболы у = ах*, уравнение параболы у*-*2рх
можно составить, зная координаты одной ее точки, так как подстановка
пары значений х и у в это уравнение определяет значение р. Так,
можно установить, что через точку (4; 6) проходит парабола,
уравнение которой у2 = 9х, а через точку (—9; 12)—парабола,
уравнение которой у1 = — 16л:.
Ось параболы совпадает с осью абсцисс и у параболы, вершина
которой смещена только вдоль оси Ох. Такое смещение приводит
к уравнению вида у2 — 2р(х—х0), где х0 — абсцисса вершины
параболы. Так, уравнению у2 = \2х—24 соответствует парабола с
вершиной в точке (2; 0), а уравнению у2 = 4х+Ю—парабола с
вершиной в точке (—2,5; 0).
Ось параболы оказывается параллельной оси абсцисс, если
ордината ее вершины отлична от нуля. Уравнение параболы при этом
имеет вид: а) (у—у0)2 = 2рх, если абсцисса вершины равна нулю,
и б) (у—у0)'2 = 2р(х—л:0), если абсцисса вершины отлична от нуля.
Параллельность оси симметрии каждой из этих парабол оси абсцисс
подтверждается тем, что преобразование их уравнений по формулам
параллельного переноса осей к новому началу О1(х0] у0) приводит
к уравнению Y2 = 2pX, которое представляет параболу с осью,
параллельной оси абсцисс исходной системы координат хОу.
Это замечание позволяет осуществлять построение параболы по
ее уравнению (у—у0)2 = 2р(х—х0) путем построения параболы
Y2 = 2pX в системе XO^Y, начало которой помещено в вершине
заданной параболы. Если же уравнение параболы задано в
развернутом виде
y2 + qy + r = 2px,
то построение можно выполнять после приведения этого уравнения
к каноническому виду.
Пример 13. Построить параболу по заданному уравнению
y2—\Qy—8*+1=0.
Решение. Первые два члена дополним до полного квадрата,
оставляя его в левой части, а остальные члены перенесем в правую
часть, что дает
у2— 10# + 25 = 8х + 24.
После свертывания получаем
0/-5)2 = 8(х-ЬЗ). ш
По этому уравнению видим, что вершина параболы имеет
координаты (—Д 5) и ось симметрии определяется уравнением у—5 = 0.
3 № 2418
65

Построение сводится к тому, что в новой системе с началом
Ог(—3; 5) вычерчивается парабола У2 = 8Х (рис. 50).
В отношении'параболы, заданной уравнением у=ах* + Ьх+с, разбиение не
принадлежащих ей точек плоскости на две области связывается со сравнением
значений ординаты с результатом подстановки в правую часть уравнения
соответствующих значений абсциссы. При
этом различаются два случая, когда у
1) а > 0 и 2) а < 0: -
Рис. 50
Рис. 51
1) при а > 0 неравенству у > ах2-\-Ьх-\-с соответствует область внутри
параболы,
2) при а < 0 область внутри параболы определяется неравенством у < ах2-\-
+ Ьх+с.
Например, неравенству у > х2—6*+ 5 соответствует область плоскости,
расположенная внутри параболы (рис. 51), а неравенству у > 3 + 2*— х2—область
плоскости, расположенная вне параболы (рис. 52).
Если ставится вопрос о замкнутой фигуре,
ограниченной несколькими линиями по заданным их
уравнениям, то в одних случаях эта фигура
определяется однозначно, а в других
случаях—неоднозначно.
Например, однозначно определяется замкнутая
фигура, ограниченная параболой у = ах2 + Ьх4-с и
любой пересекающей ее прямой y = kx-\-bt но
неоднозначно определяется фигура, ограниченная
параболой у = ах24-Ьх+с и пересекающими ее осями
координат. Неоднозначно определяется фигура,
ограниченная окружностью и любой пересекающей ее
прямой.
В связи с этим в ряде случаев аналитическое
задание отдельных фигур на плоскости требует
помимо введения уравнений пересекающихся линий
еще и дополняющих эти уравнения неравенств.
Пример 14. Определить области, соответствующие системе уравнений у = 6х—-x2f
#*=0 и Sx—Зу—8 = 0, и дать аналитическое выражение каждой отдельной
области.
Решение. Построение показывает, что заданной системе соответствуют три
области ЕОС, ОАВС и CBD (рис. 53). Аналитическое же задание каждой
отдельной области связано с тремя системами неравенств.
Область ЕОС определяется системой неравенств
( i/<6*—х2,
[ 8лг—3^—8<0g
Рис. 52
60

область ОАВС—енютемой
а область CBD—системой
9<6х~ х\
8*—Зг/—8<0,
у < 6*—x2s
< У**0,
{ 8х—Зу—8^0,
Пример 15. Найти аналитическое выражение замкнутой выпуклой области,
границы которой определяются системой
уравнений
2х—.0 + 4 = 0,
2лг + 5с/—10 = 0.
Рис. 53
Рис. 54
Решение. Построение показывает, что из всех возможных замкнутых
выпуклых областей ОАС, OABD, BCD, ABE и ODE с системой всех уравнении
связана область OABD (рис. 54).
Аналитически она определяется системой неравенств
( у**о,
J *<о,
1 2*—у+4^0,
{ 2х+Ъу—10<0.
§ 17. Равносторонняя гипербола с асимптотами,
параллельными осям координат
Определение. Прямая называется асимптотой данной
кривой, если при неограниченном удалении точки кривой от начала
координат расстояние этой точки от прямой стремится к нулю.
Наличие асимптот является особенностью рассматриваемой в
настоящем параграфе кривой—равносторонней* гиперболы.
1. Рассмотрим сначала простейший случай, когда эти асимптоты
совпадают с координатными осями.
Определение. Равносторонней гиперболой% асимптотами ко-
торой являются координатные оси, называется геометрическое место
точек, произведение координат которых есть величина постоянная.
* Специфика программы по математике для экономических вузов исключает
рассмотрение гиперболы в общем виде.
3* 67

Пусть М(х\ у)—произвольная точка гиперболы, заданная
координатами х и у (рис. 55). Тогда, обозначив произведение этих
координат числом /я, можно на основании определения записать
уравнение равносторонней гиперболы в виде
ху=т, или (/ = —, или х = —
(22)
Заметив, что это уравнение выражает обратную
пропорциональную зависимость между переменными х и у, можно рассматривать
представленную в таком виде гиперболу как график обратной
пропорциональности, знакомый из
школьного курса математики.
Постоянная т по абсолютной
величине определяется площадью
прямоугольника, стороны которого численно
равны координатам любой точки
гиперболы.
Из уравнения (22) можно
установить следующие свойства гиперболы:
1) гипербола состоит из двух
отдельных ветвей, расположенных при т > О
в I и III четвертях, а при т < 0 — во II
и IV четвертях;
т
Рис. 55
2) уравнение у = — показывает, что
при неограниченном возрастании
абсциссы точки равносторонней гиперболы ордината этой точки
стремится к нулю; уравнение х = — показывает, что при неограни-
у
ченном возрастании ординаты той же точки гиперболы абсцисса
этой точки стремится к нулю; значит, оси координатной системы,
относительно которой уравнение равносторонней гиперболы имеет
вид ху = т, являются асимптотами этой гиперболы (ось Ох—
горизонтальная асимптота, а ось Оу—вертикальная асимптота);
3) каждая ветвь гиперболы имеет вершину с равными по
абсолютной величине координатами (|л:| = |у|=1/|т|) и удаленную от
начала координат на расстояние а = ]/г2\т\ *;
4) гипербола имеет две оси симметрии—первая из них
(действительная ось) проходит через обе вершины и совпадает при т > О
с биссектрисой I и III координатных углов, имея своим
уравнением у = х (при т<0 она совпадает с биссектрисой II и IV
координатных углов, и уравнение ее у = — х)\ вторая (мнимая)** ось
перпендикулярна к первой и имеет при т>0 уравнение у = — х,
а при /я < 0 уравнение у = х.
* Вычислено по простейшей формуле расстояния между двумя точками, когда
одна из точек лежит в начале координат.
** Такие названия осей симметрии связаны с тем, что первая из них
пересекает гиперболу, а вторая гиперболы не пересекает.
68

Из приведенного определения равносторонней гиперболы
следует, что для составления ее уравнения достаточно задать одну
точку, через которую она проходит.
Пример 16. Написать уравнение равносторонней гиперболы, если
известно, что она проходит через точку (3; —2).
Решение. Подстановкой координат данной точки в уравнение
ху = т находим, что т = — 6, и отсюда искомое уравнение ху = — 6.
Пример 17. Составить уравнение равносторонней гиперболы,
если известно, что каждая из ее вершин удалена от начала
координат на расстояние а =1,5.
Решение. Постоянную т в уравнении гиперболы найдем из
соотношения a = V2\m\, которое дает
, , а2 2,25 9
lml=—=—^т-
9 9
При т>0 уравнение гиперболы имеет вид ху = -тг> или У — тг*
9 9
а прит<0 ху = — -^ , или у = — ^.
Пример 18. Построить гиперболу, заданную уравнением
12
Решение. Так как здесь т > О, то ветви гиперболы распола-
гаютсяч в I и III четвертях.
Таблицу значений х и у начнем с координат вершины, имеющей
положительную абсциссу. В нашем примере эта вершина лежит на
биссектрисе I координатного угла и имеет
координаты x = y = V\2« 3,46. Эта
точка обозначена буквой М (рис. 56).
Последующие пары заачений берутся по
наиболее выгодному выбору
возрастающих значений х.
Само построение выполняется так:
1) проводится биссектриса I и III
координатных углов;
2) по данным таблицы строятся точки
М, М19 М2У М3 и М4 и соединяются Рис. 56
плавной кривой;
3) в том же квадранте строится ряд точек, симметричных
произвольным точкам дуги ММ4 относительно биссектрисы; из вершины М
через эти точки проводится плавная дуга кривой;
X
У
V\2
1^72
4
3
6
2
8
1,5
12
1
...
69

4) в противоположном квадранте строится ряд точек,
симметричных произвольным точкам всей ветви кривой по отношению к
началу координат; соединение всех этих точек плавной линией
дает вторую ветвь кривой.
Пример 19. Вычислить площадь трапеции, вписанной в
гиперболу ху = 32, если вершинами трапеции являются точки пересечения
этой гиперболы с прямыми х + у—18 = 0 и х + у—12 = 0.
Решение. Определяем координаты вершин трапеции. Система
уравнений
/ ху = 32,
\ х + у-\8 = 0
дает значения: х1~2, */х=16 и *2 = 16, у2 = 2.
Вторая система
/ ху = 329
\ х + у-12 = 0
дает *8 = 4, #8 = 8 и хА = 8, уА = 4;.
Отсюда длина большего основания определяется расстоянием
между точками А (2; 16) и В (16; 2): AB = Vl4* +142 = 14]/"2 и
аналогично длина меньшего основания CD = ]/42 + 42 = 4 V2 (рис. 57).
Высоту трапеции представляет отрезок биссектрисы координатного
угла, заключенный между основаниями трапеции. Совместное
решение уравнения х = у с каждым из
уравнений х + у—18 = 0 и х + у—12 = 0
определяет координаты концов высоты (9; 9)
и (6; 6). Отсюда длина высоты
h = VW+¥=SV2:
По этим данным определяем площадь
трапеции
s=^npTl.3V2-
:54 кв. ед.
Рис. 57
2. Переход к более общему 'случаю
равносторонней гиперболы с асимптотами,
параллельными осям координат, связан с преобразованием
рассмотренного в п. 1 уравнения равносторонней гиперболы путем
параллельного переноса осей.
Пусть в системе X0XY дано уравнение равносторонней
гиперболы XY = ml и известно, что относительно системы координат хОу
асимптоты гиперболы заданы уравнениями х = х0 и у = у0. Тогда
преобразование уравнения связывается с обращением формул
параллельного переноса осей (§ 15)
х=Х + х0 и y = Y + y0
к формулам
Х = х—х0 и Y = y—y0f
которые переводят простейшее уравнение
XY = m1
70

в уравнение относительно х и у
(x—x0)(y—y0) = mlt
или
ху—х0у—у0х = т1—х0у0. (23а)
Такое уравнение обычно дается в виде
и выражает равностороннюю гиперболу с асимптотами,
параллельными осями координат.
В этом можно убедиться двумя способами.
1) Установим эквивалентность уравнения (23) уравнению (23а)
выражением параметров перехода х0 и у0 через постоянные
уравнения (23).
Преобразование уравнения (23) к виду (23а) дает
cxy + dy—ax = bt
или
. d а Ь
Сопоставляя коэффициенты этого уравнения при х и при у с
соответствующими коэффициентами в уравнении (23а), находим
значения х0 = и у0 = — . Отсюда заданные асимптоты гиперболы
имеют в системе хОу уравнения х-\— = 0 и у = 0.
2) Путем преобразования уравнения
ц — ах + Ь
cx + d
по формулам параллельного переноса координатных осей
х = Х + х0 и y = Y + y0
находятся те значения х0 и у0 (координаты начала Ох новой системы
координат XOxY), при которых это преобразование приводит к
уравнению XY ^тг.
Предоставляя проведение такого преобразования учащемуся, мы
выполним его на примере уравнения с числовыми данными.
Пример 20. Преобразовать к простейшему виду уравнение у =
4^ 3
= 3^4-2 и П0СТР0ИТЬ гиперболу, определяемую этим уравнением.
Решение. Выполняем преобразование заданного уравнения
параллельным переносом осей по формулам
х = Х + х0 и y = Y + y0.
После приведения уравнения к виду
Зху + 2у—4х = — 3,
71

или
2 4 ^
вводим подстановку
(X + x0)(Y + y0) + l(Y + yQ)-±(X + x0)=-L
Упрощения дают
Xr+^0+4)F+(^0-j)^ = 4^o-|-i/o-^o-l.
Условия преобразования требуют, чтобы
2 4
x0 + -j = 0 и у0—з~ = 0.
Это дает
*о — з И ^° 3 '
При этом свободный член принимает значение
8 8.8
"*!-—-Q-Q- + -
1 9 '
9 9^9
Таким образом, определено новое начало координат Ох (— у; -j),
и заданное уравнение принимает в системе ХОгУ вид
17 _____ ,, 17
ХГ==--
или 7=-
9Х
Относительно новой системы ХОгУ соответствующая гипербола
располагается во II и IV четвертях. При этом вершины гиперболы
находятся на биссектрисе II и IV
координатных углов на расстоянии
а= |/~«2 от 0Х.
Построение гиперболы сводится
(рис. 58) к заданию, помимо
системы хОу, еще системы координат с
новым началом 0г (—у;у)и к
нанесению в новой системе двух ветвей
гиперболы приемом, показанным в
ч примере 18 (см. рис. 56).
Пример 21. Составить уравнение
равносторонней гиперболы, имеющей
осям координат и пересекающиеся в
точке (—г-*» тг)| если произведение расстояний каждой точки
гиперболы от ее асимптот равно 18.
Решение. Относительно системы координат с началом в точке
пересечения асимптот условию соответствуют два уравнения гипер-
Рис. 58
асимптоты, параллельные
72

болы:
"-]?■"—$•
Рассмотрим первое уравнение, предоставив самостоятельное
рассмотрение второго уравнения учащемуся.
Переход к системе координат хОу, оси которой параллельны
асимптотам гиперболы, можно выполнить по формулам Х=х—х0
3 2 3
и Y = y—yot где л:0=—-g-, а й^у» т. е. по формулам Х=х + -^
и Y = у— у. Отсюда
2 18 -5"* + 25+18
»—5-=—-г • или у== з—;
х+т х+т
окончательный вид искомого уравнения
1<к+456
У=*
25АГ+15
Пример 22. По условию предыдущего примера составить в
системе хОу уравнения осей симметрии и найти координаты вершин
гиперболы.
18
Решение. Из уравнения гиперболы в виде Y = ^ можно
записать:
уравнение действительной оси
Y = X,
уравнение мнимой оси
К = — X.
3 2
Переход к системе хОу по формулам Х = х+-? и Y = y—-g- дает:
для действительной оси^
2 3
У— тг = Х+у, ИЛИ X — */+1=»0,
ДЛЯ МНИМОЙ ОСИ
у—т = — х— -|-, или х + у + ~ = 0.
Координаты вершин в системе ХОгУ:
для вершины в I четверти X^V^^ 3J/T, Y = 3^2;
для вершины в III четверти Х =—3J/"2, У = —3J/2.
В системе хОу эти точки имеют другие координаты. Применяя
формулы х = Х + х0 и y = Y+y0, получаем:
для первой вершины х = 3^2^0,6, у = 3^2 + 0,4;
для второй вершины л; = --3^2—0,6, # = —3j/~2 + 0,4.
73

Приближенные значения координат вершин:
для первой вершины А (3,64; 4,64);
для второй вершины Ах(—4,84; —3,84).
Замечание. В данном примере исходным было уравнение гиперболы,
отнесенное к ее асимптотам. Если же уравнение дано в системе с осями
координат, параллельными асимптотам гиперболы, то для отыскания координат
вершин следует предварительно перейти к уравнению в виде XY = m1.
§ 18. Роль параметра в уравнении кривой и уравнение семейства
кривых
Параметром в уравнении кривой называется число, которое
выделяет каким-либо способом из ряда однородных геометрических
образов один.
Так, уравнение y = kx + b при беременном k представляет собой
пучок прямых, проходящих через точку (0; 6), а при
фиксированном значении k этому уравнению соответствует одна прямая из всего
пучка, имеющая определенный наклон к оси Ох\ аналогично, то же
уравнение при переменном b представляет собой совокупность
параллельных прямых заданного наклона; при фиксированном
значении b этому уравнению соответствует единственная прямая
заданного наклона к оси Ох, проходящая через точку (0; Ь).
Уравнение у = ах2 + с при переменном значении с представляет
собой множество одинаковых парабол, симметричных относительно
оси Оу, но с различными вершинами на этой оси, а при
фиксированном с этому уравнению соответствует одна парабола с вершиной
в определенной точке (0; с)\ аналогично то же уравнение при
переменном а представляет собой множество парабол, имеющих общую
вершину на оси OY и симметричных относительно этой оси, но с
различно сжатыми ветвями, а при фиксированном а этому
уравнению соответствует одна из этих парабол.
Приведенные примеры выясняют геометрическое значение
параметра в уравнении кривой. В связи с этим можно ввести понятие
семейства кривых.
Семейством (однопараметрическим) кривых называется
совокупность кривых, являющихся геометрическими образами уравнения
вида F'(х, у, С) = 0, где каждому значению переменного параметра С
соответствует определенная кривая семейства.
Так, совокупность всех прямых, проходящих через начало
координат, представляет собой семейство прямых, пересекающихся
в начале координат.
Аналитически такое семейство задается уравнением y = kx, где
значение k принимает всевозможные действительные значения.
Уравнение у = х + Ь, где ft является переменным параметром,
представляет собой семейство прямых, наклоненных к оси Ох под углом в 45°.
Уравнение (x—a)2 + y2=lf где а является переменным
параметром, представляет собой семейство окружностей единичного радиуса
с центром, скользящим по оси Ох.
74

Уравнение #2 + j/2 = r2, где г является переменным параметром
представляет собой семейство концентрических окружностей с
центром в начале координат.
Уравнение у = ах2, где а является переменным параметром,
представляет собой семейство парабол, симметричных относительно
оси Оу и с вершиной в начале координат.
Уравнение ху = т, где т является переменным параметром,
представляет собой семейство равносторонних гипербол с ветвями,
расположенными при т>0 в I и III четвертях, а при /тг<0 —
во II и IV четвертях. Геометрический смысл параметра т
заключается в том, что с увеличением его значений по абсолютной
величине вершины гипербол семейства удаляются от начала координат.
Упражнения
1. Составить уравнение линии центров окружностей, заданных уравнениями
*2 + У2— 12*-f-14y+60 = 0 и *2 + y2 + 8*+16y—l:=0.
Отв. л:—10у—76 = 0.
2. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат и
симметричной относительно оси Оу, если она проходит через точку (4; —5).
Отв. 0=—-J6*2-
3. Найти координаты вершин и построить параболы по их уравнениям:
а) у = х*—блг+5 и б) у = 8—7*—х2.
Отв. а) (3; —4), б) (—3,5; 20,25).
4. По данному уравнению кривой ху=\$ вычислить площадь вписанного в
нее прямоугольника, вершины которого являются точками пересечения кривой
с прямыми х—у+3 = 0 и х—у—3 = 0.
Отв. 5 = 54 кв. ед.
б. Написать уравнение равносторонней гиперболы, если дана точка
пересечения ее асимптот (2; —3) и если произведение расстояний каждой ее точки
от асимптот равно 12.
За:—18
0|Явв у 2=ЗГ-
6. Вычислить длину хорды, образуемой пересечением прямой у = 4х с
параболой «/ = 34-25—х2.
Отв. 4]Л7.
7. Вычислить площадь трапеции, вписанной в параболу # = 9*—х2, если
основания трапеции заданы уравнениями # = 8 и у =—22.
Отв. 5 = 300 кв. ед.
4х 3
8. Преобразовать уравнение у= . путем параллельного переноса осей,
если за новое начало координат принята точка пересечения асимптот кривой.
Построить график этого уравнения.
29
Отв. ХГ=-у.
9. Вычислить площадь трапеции, вершины которой являются точками
пересечения гиперболы, заданной уравнением ху^б с прямыми х+у—7 = 0 и
х+у + 5 = 0.
Отв. 5 = 36 кв. ед.
10. Определить площадь треугольника, вписанного в параболу у = 3 + 2*—*2,
если вершина треугольника совпадает с вершиной параболы, а основание лежит
на оси Ох.
Отв. 5 = 8 кв. ед.
75

11. По уравнению параболы у = х2 + 6х вычислить длину хорды,
соединяющей вершину параболы с началом координат.
Отв. d = УТ56 » 9,49 ед. дл.
9*-4-3
12. По данному уравнению равносторонней гиперболы у» — найти ко-
' X—О
ординаты ее вершин.
Отв. (6; 5) и (0; -1).
13. Парабола задана уравнением у=х2—2*+3. Определить площадь
треугольника, вписанного в параболу, если одна из вершин его совпадает с
вершиной параболы, а противолежащей стороной является хорда, образуемая прямой
</ = 6.
Отв. 5 = 8 кв. ед.
14. Составить уравнение осей симметрии равносторонней гиперболы, задан-
2*+7
ной уравнением у = 1 .
Отв. *—#+1=0и х+г/—3 = 0.
15. По уравнению параболы в виде y = x2 + px-\-q определить значения р и
q при условии, что парабола проходит через точку (2; 5) и что ее ось симметрии
задана уравнением х = 4.
Отв. р=—8, q = l7.
16. Найти уравнения осей симметрии гиперболы, заданной уравнением
2*—3
У^Ъх^Ъ'
Отв. дг—^—1 =0 и 3*+3у—7 = 0.
17. Определить площадь прямоугольника, вершинами которого являются
точки пересечения гиперболы ху=—8 с прямыми х—у+6=0 и х—у—6 = 0.
Отв. 5 = 24 кв. ед.
18. Составить уравнение параболы, проходящей через точки (—5; 0), (—3; —22)
и (1; 6).
Отв. 0=3*2+13*—10.
19. Составить уравнение гиперболы, если известны точка пересечения ее
асимптот Ог(2\ —3) и одна из вершин А (4; —1).
—Зх+10
Отв. у= -=—.
* х—2
20. Представить на чертеже область, определяемую системой неравенств
а) Г *2 + y2 + Sx—6#—11<0, б) [ *2 + ^ + 8*_fo,__11<()>
{ Зх+Бу— 3<0, г Зх+Ьу — 3^*0.
( 5*— у+23 ^0; ( 5*— у +23^ 0.
21. Дать геометрическое отображение области, определяемой системой
неравенств
а) / *2 + */2<25, б) I *2+j/2<25,
I 0<*а; \ У^ 5— х2.
22. Представить геометрически область, определяемую системой неравенств
10+3*—*2,
а) ( 0<Ю+3*—*2, б) f y<10
< х^ьО, 1 *<0,
li^O; [y^O.
23. Найти системы неравенств, определяющие области плоскости,
расположенные в границах линий
0=*2_4*—5,
0 = 0,
2*—у +11=0.
{
1) [ У^х2—4х—5, 2) [ у^х*—4х-
{ у>о, { у^о,
\ 2*— #+11^*0; { 2х—у +11:

Раздел второй
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Глава V
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
§ 19. Понятие о функции
1. Величины постоянные и переменные. При изучении
различных величин мы замечаем, что одни из них сохраняют одно и то
же численное значение —они называются постоянными, а другие
принимают различные численные значения и называются
переменными.
Примерами постоянных величин могут служить: отношение длины
окружности к своему диаметру ((число я), отношение диагонали
квадрата к его стороне, равное V 2, сумма внешних углов всякого
выпуклого многоугольника, равная 360°, целый ряд так называемых
физических постоянных (абсолютный нуль температуры, равный
—272,2° С, скорость света в пустоте, равная 299800 км/сек, ускорение
силы тяжести на широте 45° g = 9,81 м/сек* и др.).
Некоторые величины в одних вопросах яв- У| ^|
ляются постоянными, а в других—переменными.
Так, скорость равномерного движения —
величина постоянная, а скорость свободно
падающего тела—величина переменная.
Наглядное представление о постоянной и
переменной величинах дает рис. 59, на котором
изображены две прямые АВ и CD. Если точка М
движется по прямой АВ(АВ ±_Ох), то абсцисса
этой точки остается неизменной; если же точка
М движется по прямой CD, наклонной к оси
Ох, то абсцисса ее—переменная величина.
Постоянные величины обычно обозначаются начальными буквами
латинского алфавита а, Ь, с, а переменные—последними буквами х, у, г.
2. Определение функции. Изучая разнообразные явления природы
и факты общественной жизни, мы замечаем, что в них участвует
несколько переменных, связанных между собой определенной
зависимостью.
Из физики, например, известно, что при данной температуре
давление газа в закрытом сосуде обратно пропорционально его объему.
Величина заработка рабочего при сдельной оплате труда
зависит от фактической выработки.
Если изменять радиус круга, то при этом определенным
образом меняется площадь этого круга, причем всегда значения радиуса
и площади круга связаны известной зависимостью.
Определение. Если каждому рассматриваемому значению
одной переменной х по некоторому правилу или закону ставится
77

в соответствие определенное значение другой переменной у, то
говорят, что между переменными х и у существует функциональная
зависимость; при этом переменную величину х называют независимой
переменной, или аргументом, а переменную величину у—зависимой
переменной, или функцией.
В приведенных выше примерах давление газа в замкнутом
сосуде есть функция его объема; заработок рабочего при сдельной
оплате труда есть функция производительности труда рабочего,
площадь круга есть функция его радиуса.
Иногда каждому значению аргумента ставится в соответствие
не одно, а несколько значений функции. Функция тогда называется
многозначной. С такими случаями мы встречались при изучении
уравнений кривых второго порядка в аналитической геометрии.
Например, для окружности, уравнение которой записано в виде
х2 + #2 = /?2, каждому значению абсциссы х соответствуют по
формуле y = ±]/rR2—х2 два значения ординаты у.
В нашем курсе мы будем изучать функции, отвечающие
приведенному выше определению, т. е. функции однозначные.
Функциональную зависимость между независимой переменной х
и зависимой у коротко записывают так: y = f(x)* (читается: «игрек
равно эф от икс»).
Здесь буква / является символом правила, по которому
значениям х ставятся в соответствие значения у.
Если при каком-нибудь исследовании одновременно
рассматриваются несколько различных функций, то при символической их
записи употребляются различные буквы: / (x)t ф (х), F (х), Ф (х) и т. д.
Под символом f(a) подразумевается значение функции /(х),
соответствующее значению аргумента х = а. Так, например,
если f(x) = 2x + 3, то /(1)=2.1+3 = 5;
если ф(л:) = 4—у, то ф(2) =4 —~ = 4—2 =2, а <р(0) = 4.
В некоторых задачах приходится иметь дело с функциями,
зависящими от, нескольких переменных.
Так, из элементарной геометрии известно, что площадь
параллелограмма определяется произведением основания на высоту,
а объем параллелепипеда—произведением его трех измерений.
Соответствующие формулы S=xy и V = xyz указывают на то, что
площадь параллелограмма есть функция двух переменных, а объем
параллелепипеда—функция трех переменных.
Определение. Величина z называется функцией двух
независимых переменных х и у, если каждой паре рассматриваемых
значений этих переменных по некоторому правилу или закону ставится
в соответствие определенное значение z**.
* Эта запись уже приводилась ранее в связи с понятием уравнения линии.
** Аналогично вводится понятие функции трех и большего числа независимых
переменных, причем в случае трех переменных правило соответствия строится
в отношении каждой тройки значений этих переменных, а в случае п
независимых переменных—в отношении каждой совокупности значений этих п
переменных.
78

Как и в случае функции одной переменной, иногда
рассматриваются такие зависимости между переменными, при которых
каждой системе значений нескольких независимых переменных
соответствует более одного значения функции, и функция называется
многозначной.
§ 20. Способы задания функциональной зависимости
Функциональная зависимость считается заданной, если
приведено правило для определения значения функции,
соответствующего данному значению аргумента.
Такое правило может быть представлено различными способами;
важнейшими из них являются аналитический, графический и
табличный.
1. Аналитическое задание состоит в том, что дается формула,
указывающая, какие математические действия следует выполнить
над каждым значением аргумента, чтобы получить соответствующее
значение функции. Этот способ задания функций является наиболее
важным в математическом анализе, так как при задании функции
формулой можно вычислить любые значения такой функции с какой
угодно точностью и удобно исследовать ее свойства.
Так, например, для функций
легко установить, что независимо от знака аргумента значения
каждой из них всегда положительны. Нетрудно также установить,
что при возрастании по абсолютной величине значений аргумента
значения первой функции возрастают, приближаясь при этом к
единице, значения второй функции убывают, приближаясь к нулю,
а значения третьей функции возрастают неограниченно.
Справедливость приведенных утверждений учащийся может проверить,
подставляя в эти функции различные значения х.
Бывает, что правило соответствия между значениями хну
дается двумя или большим числом формул.
1) Так, можно задать функцию двумя условиями:
Г(х)~ \ 1 при |х|> 1.
2) Пример большого числа формул дает аналитическое4
выражение тарифов стоимости проезда по железной дороге. Для
пассажирских поездов дальнего следования действует тарификация по поясам.
Каждый пояс охватывает все пункты назначения, удаленные от
пункта отправления на расстояние (в км) в границах, специально
установленных по группам поясов, и для этого пояса зафиксирована
определенная стоимость проезда.
Для поясов 1—20 действует прирост расстояния от пояса к
поясу на 5 км при соответствующем увеличении тарифа на 0,1 руб.,
для поясов 21—30 та же надбавка в тарифе соответствует приросту
79

расстояния на 10 км, для поясов 31—50 имеет место надбавка по
0,2 руб. на каждые 20 км.
По последующим поясам действует дальнейшее нарастание (не
всегда равномерное) дистанций для групп поясов с соответственным
изменением тарифов.
Приводим формулы структуры тарифов по некоторым группам
поясов:
Пояса
1
2
3
4
5
21
22
23
24
25
51
52
53
54
55
Расстояние в км, х
0 < *< 5
5 < *<10
10 <л;<15
15 < *<20
20 <*<25
100<*<110
110 < *< 120
120 < *<130
130 < х < 140
140 <*<150
700<*<740
740 < л:<780
780 < х < 820
820 < л:<860
860 < *<900
Тариф в руб., f (х)
/W = o,i
/(х)=0,2
fix) = 0,3
/W = 0,4
fix) = 0,5
fix) = 1,9
fix) = 2,0
fix) = 2,2
fix) = 2,3
fix) =2,4
fix) = 7,5
fix) = 7,8
/(jt) = 8,l
fix) = 8,Z
/W = 8,5
В обоих примерах аналитическое задание вполне удовлетворяет
определению функциональной зависимости, так как каждому
значению х ставится в соответствие одно значение f(x).
В ряде случаев для функций применяются специальные
условные обозначения. Так, в теории рядов, в теории вероятностей,
в статистике часто применяют произведения последовательных
натуральных чисел, начиная от единицы. Для краткой записи такого
произведения принято ограничиваться последним множителем с
последующим знаком ! (читается: «факториал»). При такой записи для
произвольного натурального числа п имеем 1 -2-3...п= п\ (читается:
«эн факториал»), в частности, 3! = 1-2-3; 5! = 1-2-3-4-5 и т. д.
Из других примеров можно отметить функцию, определяющую
наибольшее целое число, содержащееся в х. Такую функцию
обозначают [х]. Например, [3,2] = 3, Г2~1 =2, [40,17] = 40, [5] = 5 и т. д.
Все сказанное выше об аналитическом способе представления
функциональной зависимости относится к явному заданию
функции в виде y-=f(x), где символ / предусматривает
математические операции, приводящие в соответствие каждому значению х
определенное значение у. Но функция может быть задана также
и в неявном виде уравнением F(x,y) = 0, не разрешенным
80

относительно д. Когда такое решение возможно*, неявная
функция может быть приведена к явной, т. е. к виду y — f(x). Так,
из уравнения 2х + 3у—5 = 0 получается решение У = —о—»
определяющее у в виде явной и притом однозначной функции х.
И в случае уравнения x2 + y2 = R2t или х2 + у2 — /?2 = 0, переход
к явной функции легко выполним, но здесь мы получаем решение
У = ±У R2—л:2, представляющее двузначную функцию от х.
Устранение двузначности достигается выбором знака перед корнем. Если
брать лишь знак «плюс», то заданная неявная функция приводится
к однозначной явной функции y=VR2—*2; при выборе одного
лишь знака «минус» та же неявная функция приводится к другой
явной функции у= — У R2—х2.
Введем понятие сложной функции. Пусть закон соответствия
между значениями независимой переменной х и ее функции y = F (х)
построен на двух правилах: по первому из них каждому значению х
ставится в соответствие определенное значение переменной и = <р (х),
а по второму—каждому уже определенному значению и ставится
в соответствие определенное значение переменной (функции) y=^f(u).
Этим закон соответствия между значениями х и у приводится к виду
y = f[<t(x)]>
что определяет у как сложную функцию (или функцию от функции)
от х.
При таком представлении функциональной зависимости между
х и у переменная и является для функции у промежуточным
аргументом, а для независимой переменной х—в записи и =
<р(х)—промежуточной функцией.
Например, функцию y = ]fsinx можно записать в виде у = |Лг,
где и = sin х. В этом примере имеет место цепочка из двух звеньев.
Но в практике изучения функций встречаются и более сложные
зависимости. Так, функция y = Yesinx может быть представлена в
виде сложной функции, содержащей три звена:
у = Уи\ u = ev\ и = sin л;.
При этой записи переменная и есть промежуточный аргумент,
зависящий от другого промежуточного аргумента v, который в свою
очередь зависит от независимой переменной х.
2. Графический способ задания функции состоит в том, что в
данной прямоугольной системе координат задается некоторая кривая **.
Абсцисса каждой точки кривой дает значение аргумента ху а орди-
* Смысл этой оговорки станет ясным, если учесть, что уравнение F (ху у) = 0
может вовсе не иметь решений (например, , =0 или 5^~^==0] или
исключает возможность выражения у в конечном виде через х (например, хь+уь —
— Ьху = 0).
** Любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает эту кривую не более чем
в одной точке.
81

ната той же точки—соответствующее значение функции у.
Например, по графику (рис. 60) можно сразу установить, что при х= —10
значение функции (/ = 8, при х = —2 получаем у =11, при х = 3
имеем # = 9,5 и т. д.
Одним из преимуществ графического представления
функциональной зависимости является его наглядность. По графику
непосредственно выявляются основные свойства представленной функции
и весь ход ее изменения, тогда как при
задании формулой свойства функции
могут быть установлены лишь в результате
некоторого исследования.
Результаты некоторых наблюдений
также представляются в виде графика, и
для этого применяются самопишущие
приборы. Так, индикатор вычерчивает график
зависимости между объемом и давлением
пара в цилиндре паровой машины;
термограф дает кривую зависимости температуры от времени.
Недостаток графического способа задания заключается в
ограниченной точности определяемых значений у.
3. Табличный способ состоит в том, что функциональная
зависимость задается в виде таблицы, содержащей ряд числовых значений
аргумента и соответствующих им значений функции. Этот способ
является наиболее удобным, когда изучается зависимость между
переменными величинами по результатам наблюдения. В частности,
таблица является средством четкого отражения интересующих
экономиста показателей, характерных для исследуемого периода.
Вот пример такой таблицы*.
Темпы роста деловой продукции промышленности за 1940—1965 гг.
(в процентах к 1940 г.)
Рис. 60
Годы
Вся

мышленность
производство
средств
производства
(группа А)
В том числе
производство
средств
потребления
(группа Б)
Годы
Вся

мышленность
В том числе
производство
средств
производства
(группа А)
производство
средств
потребления
(группа Б)
1940
1944
1945
1946
1947
1948
1949
1950
1951
1952
1953
1954
100
104
92
77
93
118
141
173
202
225
252
285
100
136
112
82
101
130
163
205
239
268
299
340
100
54
59
67
82
99
107
123
143
158
177
200
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
320
354
390
430
479
524
572
627
678
728
791
390
434
481
536
602
666
735
814
891
970
1056
217
237
256
277
304
326
348
374
393
408
442
* См.: «Народное хозяйство СССР в 1965 году». Статистический ежегодник.
М., «Статистика», 1966.
82

Данные этой таблицы должны быть внимательно исследованы
учащимися с выяснением показателей относительного прироста
производства по отдельным годам. При этом следует выявить на этих
показателях сравнительную характеристику темпов прироста по всему
производству и отдельно по группам «А» и «Б».
Результаты этого исследования следует представить графически,
а также аналитически [в виде формул, связывающих показатели
прироста (у) со временем (*)].
В случаях сложной аналитической зависимости для некоторых
специальных функций создаются таблицы. Такова, например, таблица
значений применяемой в теории вероятностей функции Ф(х). Кроме
того, для облегчения вычислений с часто встречающимися функциями
составляются их таблицы, например, таблицы квадратов, кубов,
корней квадратных и кубических, логарифмов, тригонометрических
функций и т. д.
§ 21. Классификация функций
Функции, заданные аналитически в явном виде, разбиваются
на два класса: алгебраические и неалгебраические.
1.Определение. Алгебраическими называются такие функции,
значения которых получаются в результате выполнения над
значениями аргумента конечного числа алгебраических действий.
Под алгебраическими действиями имеются в виду: сложение,
умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня.
Среди алгебраических функций различаются рациональные и
иррациональные, а среди рациональных—целые и дробные.
Целой рациональной функцией, или многочленом степени п,
называется функция вида
Р (х) = а0хп + аххп"х + ... + a«-i*+Д„-
Здесь п—целое положительное число, а коэффициенты—постоянные
величины.
Среди функций этого класса следует выделить: линейную
y = kx + b9 квадратичную у = ах2 + Ьх + с и степенную у = хп (п—на-
натуральное число).
Дробно-рациональная функция представляет собой отношение двух
многочленов:
f. aoXn + a1xn-i+...+an
у ЪъК~ + Ъг#*-1+...+Ъм #
Простейшей функцией этого вида является дробно-линейная
функция у = -~ij. ( где сфО и -^ф-j); в частном случае, при a = d = Ot
это обратная пропорциональность у = —. К этому же классу
относится степенная функция у = хп при целом отрицательном п.
Алгебраическая (явная) функция называется иррациональной, если
в составе указываемых операций над аргументом имеется извлечение
корня или возведение в дробную степень.
83

Примерами иррациональных функций могут служить:
V^Tb (n>2); p+V^; /Щ+М-6; ,
степенная функция х* (а—дробное число).
Простейшей иррациональной функцией является у = j/x. График
этой функции представляет собой расположенную со стороны
положительных ординат ветвь параболы,-заданной уравнением у2 = х.
Отметим еще иррациональную функцию у = ±\Псъ. График этой
функции называется пол у кубической параболой (рис. 61). Двойной
знак перед радикалом указывает здесь, что если
ограничиться рассмотрением однозначных функций, то
аналитическое представление функции у2 = х* в явном
виде требует задания двух однозначных функций,
различающихся знаком перед радикалом.
2. Из класса неалгебраических функций по
школьному курсу знакомы следующие:
а) показательная функция у = ах (а>0 и аф\)\
б) логарифмическая функция у = logex (а > 0 и а Ф 1);
в) степенная функция у = хт (т — иррациональное
число);
р с 61 г) тригонометрические функции: у == sin х, у = cos х,
у = tg xf у = ctg х, у = sec х и у = cosec x\
д) обратные тригонометрические функции: #=arcsinx, y =
= arccos.x:, t/ = arctgx, r/ = arcctgx.
Перечисленные здесь функции называются элементарными.
Элементарными называются также функции, получаемые из
вышеуказанных с помощью конечного числа алгебраических операций,
а также с помощью операций образования сложной функции (это
понятие рассмотрено в п. 1 § 20).
Замечание. При исследовании функций бывает полезно знать,
как влияет перемена знака аргумента на значение функции. В связи
с этим выделяются четные и нечетные функции.
Функция y = f(x) называется четной, если
/(-*) = /(*).
Примерами четных функций являются:
у = х2; y = axA + bx2 + c\ y = cosx\ y = -^JL.
К четным функциям, в частности, относятся упоминаемые в п. 1 § 20:
M*)=FT5; M*) = TTF; М*) = *2 + 5.
Функция y = f(x) называется нечетной, если
Таковы, например, функции:
у = х; у = х3; у = х3—3х; y = -^zfs', y = tgx.
84

График всякой четной функции симметричен относительно оси
ординат (см. рис. 42), а график нечетной функции—относительно
начала координат (см. рис. 55). Для прочих функций эти
особенности не имеют места. Например, функции
y = siriA: + cosx
не являются ни четными, ни нечетными, и график каждой из них
не симметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала
координат.
§ 22. Область существования функции
Рассмотрение разнообразных функций показывает, что
совокупность допустимых значений аргумента, т. е. тех его значений,
которым ставятся в соответствие определенные значения функции, не
всегда охватывает все действительные числа.
Так, если рассматривать сумму внутренних углов выпуклого
многоугольника как функцию числа его сторон (я), то аргумент
может принимать только целые положительные значения /г^З.
Если сумму членов геометрической прогрессии
_fl(gl»—1)
при заданных а и q^\ рассматривать как функцию от п, то
аргумент п может принимать все целые положительные значения.
Изучаемые в математическом анализе функции по преимуществу
являются зависящими от непрерывно изменяющейся переменной.
Так, рассматривая путь, пройденный свободно падающим телом,
мы замечаем, что здесь аргумент / (время) изменяется непрерывно,
принимая все действительные значения от нуля до того момента
времени, когда тело достигнет земли.
Рассматривая длину хорды окружности как функцию ее рас-
стояния от центра (эта функция дается формулой у = 2]/ R2—х2),
мы видим, что здесь аргумент х ограничивается условием O^x^R.
В этих границах аргумент может принимать любые значения.
В дальнейшем мы будем пользоваться следующими понятиями
и обозначениями:
1) совокупность всех действительных чисел, заключенных между
определенными числами а и 6, за исключением самих а и Ь, назовем
промежутком и будем обозначать символом (а, Ь). Запись а < х < 6
означает, что переменная х изменяется в промежутке (а, 6);
2) совокупность всех действительных чисел между а и Ь с
включением граничных чисел а и b назовем отрезком и будем обозначать
85

символом [а, Ь]. Если переменная х изменяется на отрезке [а, 6],
то пишут а^.х^Ь*\
3) промежуток (л:—б, х + 6), включающий точку х, называют
окрестностью точки х.
Если переменная величина может принимать любые
действительные значения, то говорят, что она изменяется от минус
бесконечности до плюс бесконечности, и в этом случае пишут
— оо <Сх < + °°.
Определение. Множество всех значений аргумента, которым
соответствуют какие-либо значения функции y = f(x), называется
областью существования этой функции.
Если функция задана аналитически, то принято считать ее область
существования состоящей из тех значений аргумента, для которых
выполнимы операции, входящие в определение функции.
Выполнимость операций следует понимать в том смысле, что они
приводят к действительным значениям функции, поскольку в нашем
курсе рассматриваются только функции, принимающие
действительные значения.
Для рациональных функций областью существования является
все множество действительных чисел, за исключением тех, которые
обращают знаменатель функции в нуль.
2% | 5
Например: 1) функция у= 2_ 6 имеет областью
существования все множество действительных чисел, так как знаменатель
х2—х + 6 не имеет действительных корней;
2) функция j/= 2 *—т- имеет корнями знаменателя числа (—3)
и 2; отсюда следует, что область существования данной функции
содержит множество всех действительных чисел, за исключением
указанных двух чисел.
Область существования иррациональных функций ограничивается
еще тем, что корень четной степени имеет смысл только при тех
значениях аргумента, при которых подкоренное выражение
неотрицательно.
Например: 1) из двух функций у= 1/4—х2 и у = Т7===г °Дна
у 4—х2
имеет областью существования множество всех действительных чисел,
а другая—то же множество, за исключением значений *=—2
и л: = 2, при которых эта функция не существует;
2) из двух функций у=\^25—х2 и у= f = первая имеет областью
существования отрезок [—5, 5], а вторая — промежуток (—5, 5). Это
различие связано с тем, что знаменатель второй функции обращается
в нуль при л; =—5 и х = 5, а на нуль делить нельзя;
3) для функции J/25—х2 + У х—3 допустимые значения
аргумента в первом радикале определяются условием | х \ ^ 5, а во вто-
* Заметим, что пользуются также понятием интервала (закрытого—вместо
отрезка и открытого—вместо промежутка).
86

ром—условием х^З. Поэтому допустимые значения аргумента для
функции в целом определятся сочетанием этих двух условий, что
дает 3<;*<;5, а это значит, что заданная функция имеет областью
существования отрезок [3, 5].
Заметим еще, что областью существования логарифмической
функции вида log^x является множество всех положительных чисел.
Аналогично область существования функции loga(A:—2) определяется
условием *>2, а функции loga(2—л:)—условием *<2.
§ 23. Некоторые простейшие функции и их графики
1. Прямая пропорциональность и линейная функция. Прямая
пропорциональная зависимость между двумя переменными х и у
аналитически дается уравнением y = kx, где k—коэффициент
пропорциональности.
Связь этого вида между переменными наблюдается в самых
разнообразных областях.
Так, при равномерном движении пройденный путь
пропорционален времени движения, и это выражается формулой s = vt, в
которой коэффициентом пропорциональности служит скорость v,
определяющая путь, пройденный за единицу времени.
При прямой сдельной оплате труда заработок рабочего
пропорционален количеству выпущенных им изделий; здесь коэффициентом
пропорциональности служит принятая оплата за изготовление
одного изделия.
Для многих случаев прямой пропорциональности в
практических примерах характерно то, что допустимые значения назависи-
мой переменной неотрицательны, а коэффициенты
пропорциональности в большинстве практических задач только положитель-
н ы. Поэтому, если для функциональной зависимости y = kx графиком
служит изученная в аналитической геометрии прямая, проходящая
через начало координат в любом направлении, то для практического
случая прямой пропорциональности графиком обычно оказывается
лишь полупрямая, исходящая из начала координат и направленная
под острым углом к оси абсцисс. При этом крутизна подъема
полупрямой, отражающей пропорциональную зависимость между
изучаемыми показателями (время и путь, количество выпущенных
изделий и сумма заработка при прямой сдельной оплате труда, месячная
стоимость питания больных в стационарном лечебном учреждении
и норма расхода на питание на койко-месяц и др.), увеличивается
с ростом значений соответдтвующего коэффициента
пропорциональности (скорости движения, размера оплаты за выработку одного
изделия и т. д.). График (рис. 62), изображающий пучок полупрямых
с различной крутизной подъема, с успехом применяется для
облегчения расчетов при планировании выпуска продукции, составления
расходных смет по отдельным пунктам однородных операций и т. д.
Прямая пропорциональность представляет частный случай
линейной функции y = kx-\-b.
87

Фиксируя значения аргумента через равные интервалы, мы
устанавливаем, что соответствующие значения этой функции
представляют собой арифметическую прогрессию
X
У
0
ь
1
b + k
2
b + 2k
3
b+Zk
...
...
Рис. 62
Графиком линейной функции является прямая с равномерно
нарастающими (при k > 0) или с равномерно убывающими (при
k < 0) ординатами ее точек при
возрастании значений х. Точки этой
прямой с одинаково нарастающими
абсциссами графически отображают
возрастание или убывание интересующих
нас показателей.
Пример 1. При равномерном
расходовании полученного топлива в общем
количестве Q условных единиц по q ед.
в день запас его будет сокращаться.
Размеры этого запаса Rn на любой день
будут определяться значениями
линейной функции Rn = Q—nq, а
количество израсходованного топлива будет
определяться значениями функции
Pn = nq. При Q = 100 ед. и q = 5 ед. график первой функции будет
представлять собой (рис. 63) отрезок прямой между осями координат, а
график второй
функции—отрезок прямой,
исходящей из начала
координат. По
структуре Rn и Рп видно,
что для всякого целого
значения я ^20 имеем
Допустимые значе- ^ ,
ния независимой
переменной во всех
практических случаях
применения линейной
функции неотрицательны,
но коэффициенты
пропорциональности могут
быть и
положительными (при одновременном
росте связанных этой
зависимостью
показателей), и отрицательными
/ Z3 Ь5 67 8 9 1011ПВШВПЮЖИ п
Рис. 63

(когда с ростом значений аргумента значения зависимого
показателя убывают).
Отмеченная связь значений линейной функции с арифметической
прогрессией позволяет иногда применять линейную функцию для
приближенной характеристики изменения интересующих нас
показателей.
Таковы, например, данные о росте производительности труда
в СССР в промышленности (без промышленности колхозов) за
период 1950—1965 гг. (в процентах
к 1950 г.)*.
Годы
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
Проценты
100
ПО
117
12&
133
148
159
170
Годы
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
Проценты
181
194
204
213
225
236
245
257
8 К 8' Й "5TS SS *!а ^
Рис. 64
Расположение в плоскости
точек, соответствующих этим
данным (рис. 64), позволяет считать,
что отмечаемая для показателей
роста производительности труда
динамика приближается к
арифметической прогрессии. Поэтому можно считать, что графическое
отображение этой динамики может представить прямая,
сглаживающая отдельные отклонения в расположении точек, как это выполнено
на рис. 64.
2. Преобразование графиков при некоторых простейших
изменениях функций. Прямая пропорциональность и линейная функция
имеют своими графиками прямую, построение которой подробно
рассмотрено в аналитической геометрии. Ознакомление с другими
простейшими функциями связано с более сложными приемами
построения, а потому целесообразно ввести следующие общие приемы
преобразований графиков семейства кривых при переходе от
основного графика функций y = f(x) к графикам измененных
функций:
а) график функции y = f(tnx) получается из графика функции
f(x) сжатием его вдоль оси абсцисс в т раз; это значит, что каждая
точка М{х\ у) графика функции y = f{x) заменяется на графике
функции y = f(mx) точкой Мх(^\ у) (рис. 65,а);
* См.: «Народное хозяйство СССР в 1965 году». Статистический ежегодник.
М.» Статистика, 1966.
89

б) график функции y = nf(x) получается из основного графика
растяжением его вдоль оси ординат в п раз; это значит, что
каждая точка М(х\ у) графика y = f(x) заменяется точкой М1(х\ пу)
графика y = nf(x) (рис. 65,6);
в) график функции y = f(x-\-a) получается из основного графика
y = f(x) сдвигом параллельно оси Ох на а ед. дл. в сторону,
противоположную знаку а; каждая точка М(х\ у) графика y = f(x) при
этом заменяется точкой Мх(х—а; у) графика y = f(x+a) (рис. 65, в)\
Рис. 65 |
г) график функции y = f(x) + b получается из графика y = f(x) I
сдвигом параллельно оси Оу на Ь ед. дл. в сторону, совпадающую I
со знаком 6; каждая точка М (х\ у) графика y = f(x) заменяется I
точкой Мг(х\ у + Ь) графика y = f(x) + b (рис. 65,г). I
Замечание. Для положительных значений т < 1 и п < 1 сжатие пере- 1
ходит в растяжение и растяжение — соответственно в сжатие. Для отрицатель- 1
ных значений т, помимо сжатия (растяжения), основной график заменяется сим- I
метричным относительно оси Оу, для отрицательных значений л, помимо растя- 1
жения (сжатия), основной график заменяется симметричным относительно оси Ох. 1
3. Квадратичная функция. Выше, в § 16, были рассмотрены 1
свойства параболы, заданной уравнением 1
у = ах2 + Ьх + с. 1
Правая часть этого уравнения называется квадратичной функ- I
цией. Исходя из графика этой функции в простейшем виде у=ха I
(см. рис. 42), было показано построение параболы в общем случае 1
преобразованием ее уравнения к виду 1
у = (х—х0)* + у0, 1
гдех0=— ^ и t/0=^Z координаты ее вершины, 1
90 1
I

Используя приведенные выше указания о преобразовании
графиков, построим график квадратичной функции
у = Зх2+12х+8.
Здесь а = 3, х0 = — 2 и у0 = — 4. Отсюда
у = 3(* + 2)*-4.
Теперь для требуемого построения достаточно выполнить над
графиком функции у = х2 (см. рис. 42) следующие преобразования:
1) растяжение графика вертикально в 3 раза вверх (при
неподвижной вершине) дает график у = 3х2;
2) сдвиг этого графика горизонтально влево на 2 ед. приводит
к графику y = 3(*-f-2)2;
3) сдвиг этого графика вертикально вниз на 4 ед. дает график
заданной функции.
Заметим, что операции сдвигов графика выгодно заменить
параллельным переносом осей координат: оси Оу на 2 ед. вправо
и оси Ох на 4 ед. вверх.
Для проверки правильности расположения графика полезно
учесть, что точка пересечения кривой с осью Оу имеет ординату 8,
а точки ее пересечения с осью Ох—абсциссы (—3,16) и (—0,84).
Проверить следует и координаты вершины.
4. Обратная пропорциональность и дробно-линейная функция.
В общем случае дробно-линейная функция имеет вид
В частном случае при a = d=0 эта функция обращается в
0=~ (или ху — т)у которая выражает обратную пропорциональность.
Зависимость такого вида имеет место, например, между скоростью
равномерного движения и временем прохождения данного пути (vt = s),
между давлением и объемом газа при неизменной температуре
в замкнутом сосуде (pV = C)9 между производительностью
землеройной машины и временем выемки заданного количества грунта
и т. д.
График функции у=— в общем случае представляет собой (см.
§ 17) равностороннюю гиперболу, состоящую из двух ветвей,
расположенных при т>0 в I и III четвертях, а при т<0—во II
и IV четвертях.
При статистической обработке показателей экономического
характера используются частные случаи дробно-линейной функции:
, ь ь ь
y="+T>y=irfd>y=T+d+a-
« . ъ
В частности, зависимость вида у = а + -^ выявляется при
изучении показателей себестоимости продукции и объема ее выпуска,
9t

зависимость вида у~ х , d отражает заработок на одного члена
семьи при числе d работающих и при наличии неработающих.
Построение графиков функций этого вида базируется на
использовании основного графика функции #=—, представляющего собой
равностороннюю гиперболу, отнесенную к своим асимптотам, как
к осям координат, и с вершиной ^лежащей на биссектрисе I
координатного угла на расстоянии V2 ед. дл. от начала координат:
1) график функции у = а + -^ получается из графика функции
у=— вертикальным растяжением в
Ь раз с последующим вертикальным
сдвигом на а ед. дл.;
2) график функции у= , d
получается из основного графика таким
же растяжением, но с последующим
горизонтальным сдвигом на—ded. дл.\
3) график функции у= ■ . + а
получается из первого графика
горизонтальным сдвигом на —d ед. дл.
или из второго графика
вертикальным сдвигом на а ед. дл.
О 5
Пример 2. Построить график функции У = ^зз + 2.
Решение. Предварительно устанавливаем переход от
функции у = — к заданной:
У
01
I Y
у-г
в,
><
1
X
X
Рис. 66
h 0,5.1;' 0,5.-
0,5.-
—3^^-
Поэтому выполняем следующие последовательные
преобразования (рис. 66) основного графика функции у=—, ограничиваясь
одной ветвью:
а) вертикальное сжатие в два раза;
б) горизонтальный сдвиг координатной системы на 3 ед. дл.
влево;
в) вертикальный сдвиг координатной системы на 2 ед. дл. вниз.
5. Показательная и логарифмическая функции. Показательная
функция определяется уравнением у = ах, где основание а>0
отлично от единицы.
X
а*
0
1
1
а
2
а2
3
а3
4
а4
...
...
92

При значениях аргумента О, 1, 2, 3, 4, ... значения
показательной функции составляют геометрическую прогрессию, что при
а > 1 определяет возрастание, а при а < 1 —убывание значений
функции. Темп возрастания тем более высок, чем больше основание
а> 1, и, наоборот, темп убывания тем более значителен, т. е.
значения ах становятся с возрастанием х тем ближе к нулю, чем
меньше основание а < 1.
График показательной функции рассмотрим для двух
взаимно обратных значений а: 2 и у. Графики функций у = 2*
и #=(yj (Рис- 67, а) симметричны между собой относительно
оси Оу это согласуется с правилами преобразования графиков, так
как (~Л* = 2-* . Оба графика имеют общую точку (0; 1) и общую
Рис. 67
асимптоту—ось Ох. Эти особенности характерны для графика
показательной функции при любом основании а, определяющем эту
функцию. Наглядное отображение общих свойств графика
показательной функции дает (рис. 67, 6) пучок графиков при ряде
значений а.
На практике свойственный показательной функции непрерывный
рост имеют, например, естественное изменение общей численности
народонаселения в какой-либо отдельно взятой стране, количество
древесины на лесном массиве, огражденном .от порубки, и т. д.
Действующий в таких случаях закон непрерывного (органического)
роста будет выведен ниже, в гл. VI.
Рост по закону геометрической прогрессии отражает формула
А = aqf, действующая для исчисления суммы накоплений по
сделанному в сберкассу взносу в а руб.; для простых вкладов q=l,02
и для срочных 9 = 1,03.
Приближаются к закону геометрической щдтр^д&Ш данные*
о росте национадщрго дохода в СССР за период 1950—1966 гг.
(в процентах к 1950 г.).
* См.: «Народное хозяйство СССР в 1965 году». Статистический ежегодник.
М., «Статистика», 1966.
93

№*"
370}
m
Отображение этих данных в прямоугольной системе координат
(рис. 68) показывает, что соответствующие точки располагаются по
ломаной линии, которая выравнивается в кривую, приближенно
соответствующую показательной функции вида у = 100-1,11*, где
11% определяют средний прирост
национального дохода в СССР по
годам рассмотренного периода.
Полученная здесь зависимость
представляет собой показательную
функцию вида у —па*. График
такой функции может быть
получен растяжением основного
графика функции у = а* в
вертикальном направлении в п раз.
Годы
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
Проценты
100 1
112
126
136
153
1 171
! 190
204
Годы
1953
1959
1960
1961
1 1962
1963
1964
1965
Проценты
229
247
267
284
300
312
341
364
§§§§§§§«§ годы
Рис. 68
Рассматривая другие возможные типы преобразований функции
у = ах, можно установить, что:
график функции у = атх получается сжатием в горизонтальном
направлении в т раз основного графика,
график функции у = ах+ь—горизонтальным сдвигом на—Ъ ед. дл.
основного графика,
*(*+т)
график функции у = &
кх+Ь _>
—горизонтальным сжатием
в k раз основного графика с последующим горизонтальным сдвигом |
на—■£- ед. дл.,
график функции у = ах + Ь—вертикальным сдвигом на Ъ ед. дл.
основного графика.
Рассмотрение логарифмической функции t/ = logax(a>0 и аф1)
требует предварительного введения понятия обратной функ-J
ции.
Определение. Пусть функция y = f(x) на заданном отрезке
обладает тем свойством, что различным значениям х соответствуют
разные значения у. Тогда каждому из принимаемых у значений
соответствует единственное значение х (при котором у принимает это
94

зна^иие). В этом случае х = <р(у) называется обратной функцией
по отношению к y = f(x).
Признаком такого соотношения между двумя функциями
является выполнение для произвольных допустимых значений х и у
соответствующего равенства
Ф [/(*)]=* или /[<р(*/)] = */.
5# 12
Пример 3. Установить, что функции y=^f(x) =—т— и х = у(у) =
г= ~]Г у являются взаимно обратными.
Решение. Подставим во вторую функцию вместо у его
выражение через х. Это дает
12 + 8.52="
Ф [/(*)]= 5 = Х'
Аналогично, подставляя в первую функцию вместо х его
выражение через у, получаем
5 12+Зу 12
Дф(У)]= Ц = У'
В общем случае при заданной функции y = f(x) каждому
значению у соответствует более одного значения х, и это приводит
к многозначности обратной функции х = у(у).
Так, например, функции у = х2 соответствует двузначная
обратная функция x = ±Vy. Для достижения однозначности обратной
функции достаточно выделить из области существования
функции y = f(x) тот промежуток, на котором эта функция является
монотонной, т. е. либо только возрастающей, либо только
убывающей. Наглядно такое ограничение состоит в том, что на графике-
данной функции выделяется дуга, имеющая лишь одну точку
пересечения с любой прямой, параллельной оси Ох. Таким путем
выясняется, что функции у = х2 соответствуют две однозначные обратные
функции х = Уу и х = —У у.
Если для функции y = f(x) однозначной обратной функцией
является х = (р(у), то обе эти функции определяют одно и то же
правило соответствия между значениями х и у. Поэтому
функциям y = f(x) и х = у(у) соответствует один и тот же график.
х - 5л:— 12 12 +Зу
Так, функции у = —^— и х==—g~~^ имеют один и тот же
график— прямую, соответствующую уравнению 5л:—Зу—12 = 0.
Если в уравнении обратной функции х = у(у) переставить
местами х и у, то полученная новая функция у = <р(х) будет
объединять новую совокупность пар значений х и у в сравнении с
совокупностью пар, объединяемых функцией */ = /(*), или, что то же,
функцией х = у(у). Различие будет заключаться в том, что
произвольная точка (а; Р), принадлежащая графику функции y = f(x)f
перейдет в точку (р; а), принадлежащую графику функции у = у(х).
95

Расположение точек (а; (5) и ф; а) в прямоугольной системе
координат (рис. 69) показывает, что они симметричны относительно
биссектрисы I и III координатных углов.
Поэтому, если кривая / (см. рис. 69) является графиком
функции y = f(x), то график функции у = ф(х) представится кривой //,
симметричной кривой / относительно
биссектрисы I и III координатных углов.
Переходя к построению графика
логарифмической функции y = \ogax,
воспользуемся тем, что она является обратной к
функции х = аУ9 так как обе эти функции
выражают один и тот же закон соответствия
между значениями х и у. В этом можно
убедиться по таблице значений х и у = log2Ar,
т. е. при а = 2.
Поэтому искомый график
логарифмической функции является симметричным
графику показательной функции у —а*
относительно биссектрисы I и III координатных углов. При этом
различаются случаи а > 1 и а < 1 (рис. 70, а и б).
Рис. 69
X
У
1
0
2
1
4
2
8
3
16
4
В курсе математического анализа специально выделяется пока-
вательная функция при основании а = е« 2,71828, т. е. у = е*> и ее
разновидности; в частности, функция у = е~н*х2 имеет приложения
Рис. 70
в теории вероятностей. Вместе с тем преимущественно
рассматривается логарифмическая функция при том же основании е; ее
называю* натуральным логарифмом и обозначают
у = \пх.
96

Упражнения
3*а 1
1. Дано/(х) = ■ 3 , найти /(1).
ОШ./(1) = у.
2. Дано fix)^^^, найти: /(2); f (2a); f(x+l); f(x) + l; f Ш ;
1 1 1 v2 v2 1
/(*)'
Отв. -тг\
-I' x2+2x' *2—1 ' 1— а:2 ' ~ *' x—1'
3. Найти значения функции f (x)~2xz—3*2 + #+5для значений аргумента,
равных —1; 0; 1 и 2.
Отв. /^<—1)= —1; /<0) = 5; /(1) = 5; /(2> = 11.
4. Дано F (х)~=± . найти F (-2), F (0), F (-1) и /? (2).
Отв. />(—2) не определена; F(0)=—-i; /? f-1 j==--JL , /?(2) = 4-~.
б. На предприятии действует прогрессивно-премиальная оплата труда>
определяющая месячный заработок в процентах к установленной ставке в
зависимости от процента выполнения плана на следующих условиях:
Доля выполнения
плана (х)
Выплата в
долях ставки (у)
Ниже 1
0.9
1,0
1,0
Свыше 1, но
не более 1,03
1,05
Свыше 1,03,
но не
более 1,05
Li
Свыше 1,05,
но не
более 1,1
1,15
Свыше '1, 1
1,2
Представить в аналитическом виде соответствие между х и у, выражая"
значения, у через ставку а> t
6. Определить область существования функции ,у = 3 |/"4—-jc2.
Отв. Отрезок [-—2, 2].
7. Определить область существования функции у=*
Отв. Промежуток (—3, 3).
8. Определить область существования функции у —
1^9—*2
Ь—У7^2
V5—X
Отв.^ Интервал [2, 5), открытый справа.
9.'' Пользуясь методом сдвигов и растяжений (сжатий) построить график
функции у = 2х2—12*+14.
10. Тем же способом построить график функции #==д—г-х.
Глава VI
ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
§ 24. Понятие предела
Начальные сведения о пределах встречаются в школьном курсе
математики. В алгебре р понятием предела связан вопрос о сумме
членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии; в
геометрии—вопрос о вычислении длины окружности и площади круга,
поверхностей и объемов круглых тел.
4 № 2418
97

В курсе математического анализа понятие предела является
одним из основных. С помощью предела вводятся производная
и определенный интеграл; пределы же являются основным
средством в построении теории рядов.
Предварительно ознакомимся с понятием числовой
последовательности.
Пусть каждому натуральному числу п поставлено в соответствие
число an = f(n)f т. е. пусть задана функция натурального
аргумента. Тогда говорят, что задана числовая последовательность {ап\.
Обычно числовую последовательность задают формулой
an = f(n).
Так, например:
1) формула ап = 2п — 1 числам натурального ряда
1, 2, 3, 4, 5, ...
ставит в соответствие последовательность нечетных чисел
1, 3, 5, 7, 9, ...; (1)
2) формула а„=1—2п задает числовую последовательность
-1, -3, -5, -7, ..., (2)
которая является бесконечно убывающей арифметической
прогрессией;
3) формула а„ = 2 * задает возрастающую последовательность
правильных дробей
11111. п\
3 » 5 * 7 * 9 * 11 » • • *' W
4) формула ап*=ь . задает убывающую последовательность
неправильных дробей
1 L И 11 11 (а\
2 ' 5 » 8 ' 11' 14» "•• W
Во всех приведенных примерах заданные последовательности
являются бесконечными: для каждой из них не существует
последнего члена. Вместе с тем сравнение характера этих
последовательностей показывает, что члены последовательности (1) по мере
увеличения их номера могут стать больше любого произвольно выбранного
числа, а члены последовательности (2)—меньше любого произвольно
выбранного числа. Поэтому последовательность (1) называют
неограниченно возрастающей, а последовательность (2)—неограниченно
убывающей. Последовательности (3) и (4) являются ограниченными.
Члены первой из них, хотя и возрастают с увеличением их номера,
но при этом остаются меньше у, а члены второй, убывая с уве-
4
личением их номера, остаются при этом больше -g-.
88

Сравнивая члены последовательности (3), т. е. значения
переменной ап= 9 4-1 > с числом у» мы видим, что с увеличением
номера члена разность ап—у по своей абсолютной величине
неуклонно убывает и может стать меньше любого наперед заданного
положительного числа. В самом деле, \ап—у = 2(2п4-\\ ПРИНИ"
мает при п = 3 значение у^, при п = 10—значение ^, при я =
= 100—значение ^ и т* Д- Для наперед заданного малого числа,
1
например для 10000> можно установить, что, начиная от члена
с порядковым номером 2500, абсолютная величина разности
|а„—у = 2(2п , Х) <foooo [число п = 2500 получается из
неравенства 2(2/г+1)> 10000]* Только число у характеризуется
отмеченной особенностью по отношению к членам последовательности (3).
При всяком другом числе, даже незначительно превышающем -у-,
например при ^9 разность ап—^ по своей абсолютной величине
хотя и убывает с возрастанием номера п, но оказывается
боЛЬШе gg.
Аналогично для членов последовательности (4), т. е. для значе-
нии переменной ал== 3n_i > можно установить, что разность
\ап—-«- с увеличением номера п неуклонно убывает и может стать
I !
меньше любого наперед заданного малого числа. В этом примере
I 4 1^1 ^
условие ап—у < у^щ °Удет выполняться, уже начиная с члена
с порядковым номером 1112 (в этом легко убедиться, решив отно-
4л— 1
< 10000) * Эта особенность, по
сительно п неравенство .3n__ 1-
отношению к значениям переменной ап= 3nZ!i присуща только
4
числу -^. Всякое другое число, даже незначительно меньшее, чем
4 4
у, не удовлетворяет отмеченной особенности числа у. Выбрав,
79 4
например, число gg < -^» можно легко заметить, что разность
| 4д 1 791 . #. .
Зп_1—~ , хотя и убывает с возрастанием номера й, йо
оказывается больше go»
4* 99

Таким образом, значения переменной ап = 2 . , т. е. члены
последовательности (3), по мере возрастания номера приближаются
$ числу у так, что абсолютная величина разности \ап—у стано-
Ловится меньше любого произвольно выбранного положительного
$исла. Число у называют пределом переменной, или числовой
Последовательности ал = о/г4-Г ПРИ возРастанииаРгУмента(номеРа)л-
Точно так же для переменной ап*= 3„~1 число у является
пределом, к которому эта переменная стремится, когда аргумент п
возрастает.
Определение. Число А называется пределом последователь-
ности а„, если для любого сколь угодно малого положительного
^исла г (эпсилон) можно указать такой номер N, что при всяком
ty^N абсолютная величина разности между значением ап и числом А
меньше ё.
Это краткб записывает так:
Нтап = А, или а„—>Л, если \ап—Л|<е при n^N.
Чтобы отметить неограниченный характер изменения аргумента я,
когда переменная (функция) стремится к пределу, пишут так:
lim an = A.
П -* 00
В цримерах, использованных нами для введения понятия
предела, значения одной из переменных—члены последовательности (3)-^
возрастают, оставаясь меньше предела (ап < у J, а значения другой
переменной—члены последовательности (4)—убывают, оставаясь
больше предела Ып>-£) .
Иногда переменная стремится к своему пределу, то возрастая,
То убывая. Пусть, например, дана бесконечная геометрическая
Прогрессия
-*М -11-11-1
lf 2*4' 8 ' 16' 32 ' * ' *
Вдесь а=1 и q = — у *
Составим суммы из одного, двух, трех и т. д. членов этой
прогрессии
Последовательность Sn тэких сумм называется последователь-
Jостью частичных сумм. В нашем примере эта последовательность
акова:
« 1 " £ 5 н ' 21 2 Г' 11
i> 2 » 4•' Т* 1б' 35' ••' ♦ ¥ L H2)»J * '•
100

(общий член последовательности записан по формуле суммы п
членов геометрической убывающей прогрессии).
С возрастанием номера п эта последовательность стремится к пре-
делу S = -g-, причем члены ее с нечетными номерами (Su S3, S6, ...) —
больше предела и убывают, а члены с четными номерами (S2, S4,
S6, ...)—меньше предела и возрастают.
Приведенное выше определение предела переменной величины
(последовательности) не является достаточно общим. Оно
предусматривает лишь те случаи, когда аргумент принимает целочисленные
значения, возрастающие неограниченно {п —> оо). Между тем
изучаемые в математическом анализе функции могут быть определены на
целом интервале действительной оси Ох: а < х < Ь. В соответствии
с этим общее определение предела переменной (функции) можно
сформулировать так.
Определение. Постоянная А называется пределом функции
y = f(x) при х—»а, если для всякого сколь угодно малого положи-
тельного числа г можно указать такое положительное число б, что
неравенство \f(x)—А | <е выполняется, для всех х, удовлетворяющих
условию 0 < |х—а\ < б.
Краткая запись этого такова:
\imf(x)~A.
х -* а
Это значит, что для всех значений х, достаточно близких к числу а
(и отличных от него), соответствующие им значения функции y = f(x)
оказываются сколь угодно близкими к числу А.
Постоянную можно рассматривать как переменную, все значения
которой равны между собой; поэтому считают, что предел постоянной
величины равен самой постоянной.
§ 25. Бесконечно большая величина
Возвратимся к приведенному в предыдущем параграфе примеру
переменной, заданной в виде числовой последовательности (1) аЛ=
=2п — 1. Значения этой переменной, начиная с некоторого п,
становятся больше любого наперед заданного положительного числа М.
Так, положив Л1 = 10000, мы устанавливаем, чгб~ неравенство
а„> 10 000 выполняется для всех значений переменной,
соответствующих л ^5001. О такой переменной принято говорить, что она
стремится к бесконечности (ап—►оо), а самую переменную называют
бесконечно большой величиной. Распространяя на этот случай
понятие предела, говорят, что переменная ап имеет своим пределом
бесконечность, если ее значение становится сколь угодно большим
При достаточно большом номере п:
lim an= +°°-
Аналогично пример последовательности (2) ап= 1—2п дает
представление о переменной величине, значения которой для всех п^п0
101

удовлетворяют неравенству
ап<—М,
где М—любое наперед заданное положительное число. В этом
случае записывают:
аЛ—►— оо, или НтаЛ = —оо.
П -*■ 00
Рассмотренные здесь примеры бесконечно большой величины
касаются лишь функции от целочисленного аргумента. Общее же
представление о такой величине можно дать на примерах функций
У = кх+Ь и */ = ^ •
Для первой функции при k > О значения функции растут с
увеличением значений аргумента и при достаточно больших значениях
х принимают сколь угодно большие значения. Это означает, что
Рис. 71 Рис. 72
уz=kx+Ь—*оо, или lim#=+°°. При КО с увеличением значе-
ний аргумента значения функции убывают и при достаточно
больших значениях х принимают сколь угодно большие по абсолютной
величине отрицательные значения, т. е. y = kx + b-+ — oof или
limy = —оо. Рис* 71, а и б дают наглядное подтверждение этих
результатов.
Для второй функции можно установить, что при х—+а значения
функции возрастают по абсолютной величине и становятся больше
любого наперед заданного положительного числа М. При этом,
если #<а, то значения функции убывают и у—+ — оо, а если
х>а9 то значения функции возрастают и у—++оо (рис. 72). Оба
случая приближения х к а объединяются рассмотрением абсолютных
величин разности х—а и значения функции, и это дает
lim I =оо.
Ш

Определение. Функция y = f(x) называется бесконечно боль-
той при х—*а, если для любого наперед выбранного
положительного числа Mt как бы велико оно ни было, можно указать такое
положительное число б, что \f(x) | > УИ, лишь только О < \х— а\ < б.
Например, переменная У = —^ является бесконечно большой
при лг^З, так как, положив, например, М = 1000, мы
устанавливаем, что условие -^з > 1000
выполняется при S = 2oo ; достаточно взять
j л:—31 = 2оГ и тогда имеем ^zzl = Ю05.
График функции у = —^тт (рис. 73),
имеющий вертикальную асимптоту x = 3f
наглядно поясняет смысл введенного
понятия бесконечно большой величины.
Следует отметить, что если функция
f (х) стремится к бесконечности при х —* а,
то говорят, что при х = а эта функция не
существует. Поэтому, например, запись
рис уз limtgx^oo означает, что для прямого
угла не существует тангенса.
Геометрическим примером бесконечно большой величины может
служить переменная величина суммы внутренних углов выпуклого
многоугольника с неограниченно возрастающим числом сторон.
§ 26. Бесконечно малые величины и их основные свойства
Определение. Переменная величина, предел которой равен
нулю у называется бесконечно малой.
Примерами бесконечно малых величин могут служить:
1) дробь— при п—*оо;
2) t/ = sin л: при х—► ();
3) длина хорды круга, удаляющейся от центра. Выражая длину
хорды в виде функции ее расстояния от центра # = 2j/jRa—х29
мы устанавливаем, что
lim (2VR2— х2) = 0.
x-*R
По определению предела имеем
1^/—О J —i- 0, или Ы-—0, если 0<|х—а|<б.
Определение. Функция у = а(х) называется бесконечно малой
при х—+ау если для всякого сколь угодно малого положительного
числа е можно указать такое положительное число б, что | а (х) | < в
при всех х, для которых О < |л:—а | <б.
193

В дальнейшем при одновременном рассмотрении нескольких
бесконечно малых мы будем иметь в виду, что они бесконечно малы
при одном и том же условии: х—у а.
Функция, равная постоянной, является бесконечно малой только
в том случае, если эта постоянная есть нуль. В самом деле, если
f (x) = const Ф О, то определение бесконечно малой не удовлетворяется
для всякого положительного числа е, выбранного так, что е < |/(л:)|,
например, е = 0,5|/(х)|.
Выше мы уже применяли понятие ограниченной величины.
Уточним его.
Определение. Переменная f(x), все значения которой на
отрезке [а, Ь] удовлетворяют условию \f(x)\^M, где М—некоторое
положительное число, называется ограниченной на этом отрезке.
В частности, ограниченной в окрестности точки а является
переменная, имеющая предел при х—+а и в том числе бесконечно малая,
а также всякая постоянная.
Приведем без доказательства два положения:
1) если переменная y = f(x) при х^-+а имеет предел, отличный
от нуля, т. е.
то обратная ей переменная грс есть величина, ограниченная в
некоторой окрестности точки а;
2) если а (х)—бесконечно малая величина, не принимающая
значения нуль, то обратная величина —т-т—бесконечно большая.
а (х)
Переходим к свойствам бесконечно малых величин.
Свойство 1°. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно
малых величин есть величина бесконечно малая.
Пусть аг(х), <х2(*) и аз(х)—бесконечно малые величины.
Докажем, что алгебраическая сумма аг (х) + <х2 (х)—а8(л:)—бесконечно
малая величина, т. е. что
|«i (*) + <*•(*)—«•(*)! <*,
где е—произвольно малое положительное число.
Так как аг(х), а2(х) и а3(х)—бесконечно малые величины при
х—+0, то для каждого из них можно указать такое число б > 0,
что при \х—а|<8 имеют место неравенства:
К(*)!<!-; 1«.(*)1<т и KWK-J-'.
Почленно складывая эти неравенства и учитывая, что
абсолютная величина суммы не может превышать суммы абсолютных вели-
* Собственно говоря, для ах (х) таким числом является некоторое dlt для
0&2 (х) — 62 и для а3 (*) — $з- Выбирая из этих чисел наименьшее и обозначая его
через б, мы достигнем справедливости всех трех неравенств.
10*

чин слагаемых, можно записать
\а1(х) + а2(х)—а9(х)\^1\а1(х)\ + \аг(х)\ + \а9(х)\<г$
что и требовалось доказать.
Заметим, что доказательство этого свойства проводится тем же
методом для любого конечного числа бесконечно малых; для
каждого слагаемого принимается |яЛ(*)| < —, где п—число слагаемых.
Свойство 2°. Произведение ограниченной переменной величины
на бесконечно малую есть величина бесконечно малая.
Пусть f(x) — ограниченная переменная в окрестности точки а и
а(х).—величина бесконечно малая в той,же окрестности. Докажем,
что произведение f(x)-a(x)—бесконечно малая величина,, т. е. что
\f(x)-a(x)\<e:'
Первый из множителей, в соответствии с определением
ограниченной переменной, удовлетворяет услоцию. .
\f(x)\<M,
где М—некоторое положительное число.
Второй сомножитель как бесконечно малая величина
удовлетворяет »условию
|aWI<iv
Почленное умножение этих неравенств дает
- |/(*)|-М*)|<*
Заметив, что абсолютная величина произведения равна
произведению абсолютных величин сомножителей, запишем
|/(*)-а(х)|<е.
Следствие 1. Произведение постоянной на бесконечно малую
есть величина бесконечно малая.
Следствие 2. Частное от деления бесконечно малой на
переменную есть величина бесконечно малая% если только переменная сама
не является бесконечно малой.
Переписывая частное j£2 в виде произведения 7Ж#а^ и за~
мечая, что первый множитель—ограниченная переменная, убеждаемся
в справедливости этого предложения.
Свойство 3°. Произведение конечного числа бесконечно малых
есть величина бесконечно малая.
Справедливость этого свойства для случая двух множителей
непосредственно вытекает из свойства 29, если рассматривать одну
из бесконечно малых как ограниченную переменную. При большем
же числе множителей справедливость этого свойства устанавливается
индукцией.
105

Произведение трех бесконечно малых аг (х) • а2 (х) • а8 (х) можно
переписать в виде a1(x)[a2(x)-az{x)], а так как произведение
а2 (л:)• а3 (х) есть бесконечно малая величина, то этим самым случай
трех множителей сводится к случаю двух множителей. Таким же
путем выполняется понижение и любого конечного числа бесконечно
малых множителей.
§ 27. Основные теоремы о пределах
Предварительно сделаем два замечания.
1. Признаком того, что постоянная А является пределом
переменной y — f(x) при х—>а> служит выполнение при любом е
неравенства \у — Л|<е. Справедливость неравенства указывает, что
разность у—А есть бесконечно малая величина. Обозначив эту
бесконечно малую через а (так будем обозначать для простоты
бесконечно малую величину а(х) ив дальнейшем), можно записать:
у—А = а. Отсюда следует, что у = А + а, т.е. переменная, имеющая
предел, равна сумме этого предела и бесконечно малой величины.
Следует иметь в виду, что бесконечно малая а может быть и
положительной, и отрицательной. Так, записывая связь между
периметром Рп правильного многоугольника с неограниченно
возрастающим числом сторон и длиной окружности С в виде Рп = С + а, мы
замечаем, что в случае описанного многоугольника бесконечно малая
а положительна (так как периметр многоугольника всегда больше
длины вписанной окружности), а в случае вписанного
многоугольника —отрицательна.
Имеет место и обратное предложение: если некотцрая переменная
может быть представлена в виде суммы постоянной величины и
бесконечно малой, то данная постоянная является пределом этой
переменной. Справедливость такого утверждения следует из того, что
равенство у = А + а равносильно неравенству \у—^4|<е, которое
означает, что число А является пределом переменной у.
2. При одновременном рассмотрении нескольких переменных,
стремящихся к пределам, мы будем иметь в виду, что каждая из
них стремится к своему пределу при одном и том же условии х—+а.
Переходим к основным теоремам о пределах.
Теорема I. Предел алгебраической суммы конечного числа
переменных, имеющих пределы, равен такой же сумме пределов этих
переменных.
Доказательство. Пусть при х—+а переменная ^(х) имеет
предел Ах и переменная f2(x)—предел Аг Тогда, в силу замечания 1,
каждая из этих переменных выражается в виде суммы постоянной
и бесконечно малой:
f1(x)=A1 + a1 и М*)-Л2 + а2.
Отсюда
h (х) + f% (x) = (Аг + Аш) + (аЛ + о,).
Заметив, что в правой части этого равенства Ах +А2—
постоянная, а 04 +а2—бесконечно малая (см. свойство 1° бесконечно малых),
106

можно установить, что при х-~+а переменная fx{x)+f2{x) представлена
в виде суммы постоянной и бесконечно малой величин, а поэтому
^rn[f1(x) + f2(x)] = Al + A2.
х -* а
Этим доказано, что
Hm [h (x) + f2 (x)] = lim f, (x) + lim /2 (x).
x -* a x -+ a x -* a
Рассмотренный случай арифметической суммы двух переменных
легко переносится на разность этих переменных, так как
^ fi(x)-fAx) = (A1 + *1)-(A2 + a2) = (A1-A2) + (al-a2).
Кроме того, группировкой к рассмотренному случаю приводится
сумма трех переменных
h(x)-fAx)+h(x) = lfi(x)-h(x)] + h(x)>
а отсюда и алгебраическая сумма любого конечного числа
переменных.
Теорема II. Предел произведения конечного числа переменных,
имеющих пределы^ равен произведению пределов этих переменных.
Доказательство. В случае произведения двух переменных
h(x) и /2W это произведение представляется в виде
h (х) /, (*) = (А% + а,) (Аг + од = Л А+Мл+ Аха2 + «Л).
Здесь А2ах и Аха2 по свойству 2° (следствие 1) и аха2 по
свойству 3° предыдущего параграфа—бесконечно малые, а сумма всех
этих трех произведений как сумма бесконечно малых величин —
также бесконечно малая величина. Поэтому переменная, записанная
в левой части равенства, выражена в виде суммы постоянной
величины и бесконечно малой, а это значит, что
lim [fx(x)fAx)]^A1A2= lim fx(x)- lim f2(x).
x -*■ a x -*> a x-+a
Теорема доказана для предела произведения двух переменных.
Доказательство ее для произведения трех и большего числа
переменных, а также доказательство двух следствий из этой теоремы
предоставляется учащемуся.
Следствие 1. Предел целой положительной степени
переменной, имеющей предел, равен той же степени предела самого основания.
Следствие 2. Постоянный множитель можно вынести за знак
предела.
Теорема III. Предел частного от деления двух переменных,
имеющих пределы, равен частному от деления пределов этих переменных^
если только предел делителя не равен нулю.
Доказательство. Пусть
lim fi (x) = Аг и lim f% (x) = А2 ф 0.
х -* а х -*а
107

Для доказательства теоремы достаточно установить, что разность
/2 M А*
при х—+а бесконечно мала.
Так как
/1(x)*=i41 + a1 и /2(*) = Л2 + а2,
то
J? /г\ — Л1 + а1 Ai— ^i«i —^i«a
AW~42 + a2 Л2~(Л2 + а2).Л2 •
Числитель этой дроби—величина бесконечно малая (свойства
2° и 1° бесконечно малых), а знаменатель — переменная, но не
бесконечно малая (по условию А2фО). Поэтому вся разность (как
частное от деления бесконечно малой на переменную, предел которой
отличен от нуля)—бесконечно малая.
Этим доказано, что
,Te/iW ^2 иш/,й'
Теоремы о пределах позволяют находить пределы функций,
определяемых алгебраическими действиями над переменной, предел
которой задан. В простейших случаях достаточно подставить в
выражение функции вместо х его предельное значение.
Покажем, как можно проверить правильность этого способа на
#а + 3
примере отыскания предела функции 3*34.5 при х^-*2.
Применение теорем о пределах с последующей подстановкой
предельного значения х = 2 позволяет записать
Um (**+3) lim (*«)+3
ж™ 3**+5 lim (3*з +5) ~~ lim (Зл^ + б"3
дс -* 2 дс -» 2
/ lim л;\2+3
_ \х-*2 ) _ 4+3 7
3/ lim лг\3+5 24 + 5 "~ 55 #
Сопоставляя этот результат с результатом непосредственной
х2+з
подстановки значения х = 2в дробь g^T fl » мы отмечаем полное
совпадение:
и *2+3 — 22""g - 7
;™ 3*з+б —32«+Й~29-
Но не всегда подстановка предельного значения аргумента в
выражение функции позволяет найти значение предела этой функции.
1. Если непосредственная подстановка предельного значения
аргумента в дробно-рациональную функцию обращает ее числитель
108

и знаменатель в нуль, то подстановку можно выполнять лишь после
предварительного сокращения дроби.
Пример 1. Найти lim 2 * ~ .
х -► о х "Т «**
Решение. Дробь ^ * ^ сокращением приводится к виду
*+з •
Этим сокращением удалены из числителя и знаменателя
множители, обращающие их в нуль. Теперь имеем
х-*о хл+ох Хч,0 х+з з
Пример 2. Найти
Решение. При непосредственной подстановке значения 3
числитель и знаменатель обращаются в нуль. Значение предела
находится после предварительного сокращения дроби. Это дает
.. *+\0х~&__ .' (Х-З)(х+Щ
;™з *3-27 ~ ;™ (др—3) (*2+3* +9) ~
- lim ,*+13, __ 3+13 _16
' *™з *а + 3*+9 ~~9+9+9~27-
Пример 3. Найти lim 1**+*-^*-* .
Решение. Так как непосредственная подстановка дает -g->
а поэтому нельзя применить теорему III, то прежде всего следует
уничтожить иррациональность в числителе:
Уа + х^ Уа—х 2х
* ~~ х(Уа+х+Уа^х) *
После сокращения дроби подстановка л; = 0 приводит к искомому
значению предела:
,.2 2 1
ит ■» г г =—/=■ = —т=*•
х-о Va+x+Va—х 2уа У а
Пример 4. Найти lim r- —- .
Решение. Сначала выполняем последовательные операции
устранения иррациональных разностей в числителе и знаменателе:
_'Ух+2-У2х = (2-^х)(У^с^А + УЩ = (лг-2)(1/"5х^4+1/'3^)
jAgF^l— /~з£ (2*—4)(^+2 + 1^2л:) 2 (*—2) (уТ+2 + У2х) *
Затем проводим сокращение'дроби:
Vtt+2—YPi ^,. У&Г=4+У5?
УЬх^Лт- УШ > 2(угдН^+Уг2*)/
109

Вычисляем предел
lim VT+z-VTx __ Um Г YbZ=~A+Vzx_ I =
„2^-4-У^ X-+2L 2(У7+2 + У2х) J
1 Уб+Уь _ Уе
~~ 2 2 + 2 4 '
Замечание. Если делимое при х—+а конечно, а делитель
стремится к нулю, то предел частного не существует, и в этом
случае говорят, что этот предел бесконечен. Так,
lim —z—==оо.
2. При вычислении предела частного можно в некоторых случаях
применять следующую теорему»
Предел отношения двух многочленов (при условии, что аргумент
стремится к бесконечности) равен пределу отношения их старших
членов.
( 0 (т<п),
\ оо (т > п).
Здесь а0т£0 и Ь0^=0.
Доказательство. 1) Предположим, что m^ntl и разделим
числитель и знаменатель на хт, тогда
lim flo^+fli^-' + ^.+g.^ lim t"f"*"r'""t"x« __
,-. ^«+6^-1+...+^ ^oo^„-w+M„-W-1 + ...+J*!L
= lim
«0+-^+...+^- f 0 при т<п,
^^,(b0+A+...+^) I J- при т-я.
2) Пусть теперь т> п. Деление числителя и знаменателя на х*
дает
«>*-+qi*«--* + -.+a, _ Km **~4go + ^+'^+"^) = ^
Д™ M»+b!*»-l+...+b» Д™
так как числитель безгранично возрастает, а, знаменатель в пределе
равен Ь0.
Например:
5x5—4*2+1 г 5*2
2)Ji"i^-^+i=ilm(BT=oo;
оч «. 4jc2—8*+5 л
ПО

§ 28. Два замечательных предела
В курсе математического анализа имеют важное значение два
предела, отыскание которых выполняется специальными приемами.
1. Предел при х—>0. Докажем, что lim —- существует и
равен единице.
Предварительно сформулируем (без доказательства) теорему,
применение которой потребуется для вывода рассматриваемого предела.
Если две переменные имеют при х—+а общий предел, то и
любая заключенная между ними переменная имеет тот же предел.
имеет определенные значения
Рассматриваемое отношение
sin*
при любых значениях хфО. Для значений 0<*<у мы можем
по данным приводимой ниже таблицы установить, что при
стремлении х к нулю отношение -^-^ возрастает, приближаясь к единице.
Углы *
в градусах
30
20
10
&
1
sin х
0,5
0,3420
0,1736
0,0872
0,017452
X
0,5236
0,3491
0,1745
0,0873
0,017453
tg х
0,5774
0,3640
0,1763
0,0875
0,0175
sin x
X
0,9570
0,9797
0,9943
0,9984
0,9999
sin*
Эти данные приводят к предположению, что lim =1, но
не доказывают его.
Данные той же таблицы показывают, что для значений 0 < х < у
имеет место двойное неравенство
sin л: <.х < tgx. (1)
Этот результат можно обосновать при
помощи круга единичного радиуса (рис. 74)
следующим образом:
плДОЛМ<пл. сект. О AM < пл. Д О AT,
или
1 -ysinjcO-yX <bytgx,
что и дает записанное двойное неравенство (1).
Деление всех членов этого неравенства на у sin л; дает (так как
sin*>0)
Рис. 74
К
sin*
<
1
COS*
ИЛИ COS*< —— < 1.
X
(2)
111

Так как cos х-
выше теоремы)
I при х—>0, то (на основании приведенной
,. sinдс * «
*-0 х
Полученный результат связан с условием 0 < х < ~. Но и при
условии — у < х < 0, т. е. при замене х на
sin*
•х, этот результат
сохранится в силу четности отношения
Приведем примеры приложения полученного результата к
отысканию некоторых пределов.
Пример 5. Найти предел выражения s!" * при л;—*0.
Ре шей и е. Представим выражение в виде
3*
sin3*
За:
sin За:
б*
sin Ъх 9
Ъх
3
ИЛИ у
Перейдем к пределу:
,. sin За: f.
lim Ш^с = llm
х _* о sin ох х->0
sin За:
~ЪГ
sin 5*
бл: J
За:
sin 5a: '
Ъх
3 ,-0 Зх
5 ,. sin 5*
3
" 5
х- О
5*
Этот результат получен, исходя из того, что при х —*0 и Зх-
с Л „ sin Ъх sin 5*
и Ъх —► О, а потому каждое из отношении Яу и —=— при х -
имеет своим пределом единицу.
Пример 6. Найти предел
Решение. Сначала выполняем преобразование
1 '•—cos х
х*
Ъх
при л;—*0.
О,
*0
1 —cos х
2 sin2 -
2>sin2y
х2
Переходя к пределу, получаем
1 —cos х 1
lim
x-+Q
у lim
4 х-+0
X
SI"T
X
~2
2. Число е. Предварительно сформулируем один признак
существования предела переменной, величины (доказательство этого
признака даётся в подробных курса*).
Возрастающая переменная, все значения которой не превосходят
некоторого числа М9 имеет предел, не превосходящий этого числа.
112

Составим таблицу некоторых членов последовательности
1 \п
*-('+4)'
Л
«и
1
2
2
2,25
3
2,3704
4
2,4414
5
2,4851
10
2,5937
100
2,7048
200
2,7116
Эта таблица показывает, что последовательность
ап—возрастающая, но вместе с тем с увеличением значений п возрастание
соответствующих членов последовательности замедляется. Это дает
основания полагать, что наша, последовательность имеет предел. Для
получения определенных выводов обратимся к развернутому виду
заданной последовательности.
По формуле бинома Ньютона имеем
„,_(, + !)"_,+„.!
я(я—1) 1
, я(я—1)(я—2) J_ , я(я-1)...[я—(я—1)]
"* 1-2-3 л3~г#""г 1-9.я
или
г» • 1 Я—1
1-2
■ --1
1-2-3...п
1 п—\ /1—2
*+
1-2
+ -■--
1.
1-2-3 ... я
1-2-3
Я-1
п
п
п—2
п
Последняя запись позволяет установить, что а„>2и что с
увеличением числа п возрастает каждое слагаемое, начиная со второго,
и увеличивается число этих слагаемых. Значит, последовательность
ап—возрастающая.. Далее» множители -—--, ^-~—, ... являются
правильными дробями, а потому, отбрасывая их, мы увеличиваем
значение правой части последнего равенства. Поэтому
Я/|<2 + ]72+Ь2ТЗ+ ••• + 1-2-3...л •
Заменяя каждый из множителей 3, 4, ... , п в знаменателях
числом 2, мы усиливаем неравенство:
лй<С2 + -^-+224"'§з+ ••
2*-i •
Так как у+-&+-&+ • • • + t^it < J [сумма членов этой
прогрессии равна' 1 —2^гг "о формуле Sn = д^ 1, то это значит,
что an = (l+±y<3.
Щ

Отсюда на основании признака существования предела
ограниченной возрастающей переменной мы устанавливаем, что при п—+оо
последовательность an=(l-\—J имеет предел, не превышающий
числа 3. Этот предел обозначен Эйлером символом е, а поэтому е
называют числом Эйлера.
Итак,
.ч-О+я)'--
Число е является иррациональным. Приближенное его значение
с точностью до пятого знака е » 2,71828.
Помимо выражения числа е в виде предела переменной ( 1 -|—)
при /г-—юо, это число можно представить и по-другому. Полагая
— = а, имеем
е= Нт(1+а)а.
Можно доказать, что этот предел существует и равен числу е не
только при a = —t когда п—целое число, но и для любой другой
бесконечно малой.
Число е служит основанием системы натуральных логарифмов.
Натуральные логарифмы находят применение в математическом
анализе и обозначаются символом In (см. стр. 96).
Установим связь между натуральными и десятичными
логарифмами: если lnN=k, то ek = N, и логарифмирование обеих частей
равенства по основанию 10 дает
klge^lgN.
Обозначив lge = M, получим lg N = Mkf или
\gN = MlnN.
Это—формула перехода от натуральных логарифмов к
десятичным. Здесь М«0,43429. Число М называется модулем перехода
от натуральных логарифмов к десятичным. Обратный переход от
десятичных логарифмов к натуральным осуществляется с помощью
формулы
lnN = ±\gN;
здесь ^ « 2,30258.
Например, по известному из таблиц значению lg 5 = 0,69897
можно найти In 5 = 2,30258-0,69897 =1,60944.
3. Закон непрерывного (органического) роста. Число е находит
применение при выводе количественного закона, которому
подчиняются некоторые естественные процессы, как то: рост
народонаселения, рост количества древесины на лесных массивах и др. В основе
114

вывода этого закона лежит известная из курса элементарной алгебры
формула сложных процентов.
Известно, что наращенная сумма А по данной начальной сумме
а при процентной таксе р% и продолжительности роста / лет
определяется формулой
Эта формула выведена в предположении, что проценты
присоединяются к начальной сумме в конце каждого года. Если же ввести
условие присоединения процентов по отдельным частям года,
равным —-й доле его, причем процентная такса р% по-прежнему
относится к целому году, то по истечении одной такой части года
начальная сумма обратится в я (*+"Щ/> по прошествии двух,
трех, четырех и т. д. частей года начальная сумма обратится соот-
ветственно в a (l +1^)\ a (l+j^)'. a (l +^)* и т. д.
По прошествии одного года начальная с>мма а обратится
в а(1+Щй") » п0 прошествии двух лет—в a(l+^5n ) *» п0 ПР°"
шествии / лет Л ~' * '
г—в a(l-f
100л J •
Если ввести дальнейшее условие, что присоединение процентов
производится непрерывно, т. е. число частей, на которые делится
год, неограниченно возрастает (п —+ оо), то величина наращенной
суммы А представится в виде предела выражения
р \т
Ш) прии-оо.
Для отыскания этого предела принимаем щ^^ — "» Т0ГДап = щ*
, mpt о ЮОп
и и* = 7~р Здесь m = —-, а отсюда следует, что при неограниченном
возрастании пит неограниченно растет.
После перехода к переменной т величина наращенной суммы
по прошествии t лет определится формулой
e(l +
A=llma(l+±)
т -► оо ч "* /
mpt
100
ИЛИ
BL
100
"=*L">.(l+i)1
Принимая во внимание, что выражение, заключенное в
квадратные скобки, представляет собой постоянную величину е, находим
окончательную формулу роста по закону сложных процентов
EL
J00
А^ае
«Б

Эта формула применяется каждый раз, когда речь идет о
непрерывном органическом росте или убывании с течением времени.
Заменяя щ величиной k и вводя обозначение—k для случаев
убывания, мы получим формулы: A=aekt для вычисления
результатов процесса непрерывного роста и A = ae~kt—для непрерывного
убывания.
§ 29. Непрерывность функции.
1. Приращение функции. Пусть дана некоторая функция y = f(x)
и х—произвольное значение аргумента; назовем его начальным.
Если мы дадим этому значению х какое-либо приращение Дл:
(читается: «дельта икс»), то новое значение аргумента будет равно
лг + Дл;; его будем называть наращенным значением аргумента.
Соответственно, обозначая приращение функции символом Ау
(читается: «дельта игрек»), будем иметь: y = f(x)— начальное
значение функции, у+ Ay = f(x-{- Ax) — наращенное значение функции.
Отсюда вычитанием находим
by = f(x+bx)-f(x)
Итак, приращение функции равно разности между наращенным
значением функции и ее начальным значением.
Отыскание приращения заданной функции в соответствии с этой
формулой состоит в том, что:
1) записывается начальное значение функции;
2) составляется выражение наращенного значения функции;
3) вычисляется разность между наращенным и начальным
значениями функции.
Так, например, для функции у=х2 имеем:
1) У = *2;
2) у + Ау = (л: + Ах)2 = х2 + 2хАх + (Ах)2;
3) Ау = 2хАх + (Ах)2 = (2х + Ах)Ах.
Поэтому для начальных значений х (0, 1, 2, 3) и для значений
приращения Ал: (1, 0,5, 0,2, 0,1) можно легко получить
соответственные значения приращений функции в виде таблицы.
\^ Да:
X ^\
0
1
2
3
1
1
а
5
т 1
0,5
0,25
1,25
2,25
3,25
0,2
0,04
-
0,44
0,84
1,24
0.1
0,0!
0,21
0,41
0,61
115

y+by
Для функции # = — наращенное значение функции будет
, д ; отсюда приращение функции
1 1 Ах
Ду =
*+Д* х
х (х+ Ах)
При начальных значениях аргумента 1 и 3 для приращений
аргумента 3, 2, 1, у, у, -j» To* Too соответственные значения
приращений функции расположатся в таблице:
X
1
3
3
3
4
1
6
2
2
з !
2
15
1
1
2
1
12
1
2
1
3
1
21
\
3
1
4
1
30 *
1
т
1
5
1
39
10
1
11
1
93
1
100
1
101
1
903
Наглядное представление приращений аргумента и функции дает
график функции (рис. 75).
Здесь х = ОА—абсцисса точки М, х + Ах = ОА' = ОА + АА'—
абсцисса точки М\ а поэтому Дл; = ЛЛ' = 0Л'—О А
абсцисс точек М' и М\ далее, у = АМ—ордината точки, М,
^А'М' = A'N-\-NM' —ордината точки ЛГ, '
а потому Ay = NM'=*A'M' — A'N —
разность ординат точек М! и М.
2. Понятие непрерывности функции.
Определение. Функция y = f(x) назы-
разность
у+Ау=
вается непрерывной в точке x0*t
входящей в область существования функции,
если f(x) имеет своим пределом f(x0), когда
х стремится к х0, т. е. если
х-*х0 Рис. 75
Это определение согласуется с
наглядным представлением о непрерывности на основании графика;
непрерывность функции означает, что ее трафик есть сплошная линия, а
не состоит из отдельных разрозненных участков. Так, по графику
функции f(x) (рис. 76) непосредственно видно, что соответствующая
функция непрерывна при х = х0. Здесь
lim/(x+A)= lim/(*—A)=/(x0),
ft -* 0 Л -* 0
в точке х0ъ.
* Характеризуя функцию f (х) при х=х0, часто пишут: «/ (х)
Такая запись будет встречаться в дальнейшем изложении курса.
** Этот предел признается существующим, если он принимает одно и то же
конечное значение, когда х—*х0 и при х < х0, и при х > х0.
117

или
lim/(x)=/(*0) при \х—x0\=h—^O.
Вместе с тем по графику функции y=F(x) (рис. 77) видно, что
при х = х0 lim F(x) не существует. Действительно, если х—+х0,
X -+ Х9
оставаясь слева от х09 то этот предел равен ординате точки А;
если же х —► xQf оставаясь справа от яв, то этот предел равен
ординате точки В. Но ординаты этих точек не равны между собой,
и этим нарушено условие
непрерывности*
01 х0-А лд я^+Л х
Рис. 76
*№
в
* — **—>
Рис. 77
Включенное в определение непрерывности условие lim f (x) = f (л:0)
можно в соответствии с определением понятия предела Представить
в виде
|f(xt + Ax)-/(xt)|=|AfW|<e.
X -*■ Х9
Поэтому определение непрерывности функции можно
сформулировать еще и так.
Функция y = f(x) непрерывна в точке х0, если бесконечно малому
приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение
функции, т. е. если
lim Д# = 0.
д*-* о
Если условие непрерывности выполняется для всех значений
а < х < 6, т. е. в любой точке промежутка (at b), то функция
называется непрерывной в этом промежутке.
В частности, функция может быть непрерывной на всей числовой
оси, т. е. при
— оо<*< + оо.
Так, например, функция у=х* непрерывна везде. Это следует из
справедливости равенства lim A#= lim (2х + Д*) Дл: = 0 при любых
значениях х.
д* •* о
Дх-»0
Выше мы видели, что функция у *=* F (х), представленная на рис. 77,
не отвечает условию непрерывности при дс~х0, т. е. в точке х0.
118

Те точки, в которых нарушается условие непрерывности,
называются точками разрыва данной функции.
Разрыв непрерывности, показанный на примере функции на
рис. 77, связан с тем, что при д: —^ ха предел этой функции не
существует.
Разрыв непрерывности бывает связан и с другими причинами.
В частности, встречаются такие функции, у которых непрерывность
нарушается тем, что в данной точке х0 функция не определена.
Очень часто в окрестности такой точки функция оказывается беско-
конечно большой. Такой характер разрыва непрерывности
графически отражается существованием вертикальной асимптоты в точке
разрыва (см. рис. 73).
А
1
I
oj
as
02
"/few/' "". поясг- • t ПоясЗ t ПоясЬ ' % Пояс5
5 10 15 2Q 25 X
Расстояние, км
Рис. 78
Так, функция у = '— не определена, а потому и разрывна в
точке х = 0. Аналогично и дробно-линейная функция у = ах~ГИ претерпе-
СХ —р- (X
d
вает разрыв в точке х= —— .
Легко указать примеры функций, имеющих несколько и даже
бесконечное множество точек разрыва. Так, функция у = а 2
непрерывна везде, кроме двух точек: х1 = — 3 и #2 = 3, в которых
она не определена, а функция y = tgx претерпевает разрыв при
значениях x = y(2fe+l), где * = 0, ±1, ±2, ±3, т. е. в
бесконечном множестве точек.
Пример функции, имеющей много точек разрыва, дает
приведенное на стр. 80 поясное определение железнодорожных тарифов.
График этой функции (для первой группы тарифных пейсов) даётся
на рис. 78.
Нетрудно получить представление о непрерывности основных
элементарных функций.
Степенная функция у = хп (п—натуральное числе?), везде
непрерывна. Далее, всюду непрерывными являются:доказательная
функция а*9 тригонометрические функции sin* и cos*. Обратные им
функции arcsinx, arccosx и логарифмическая функция непрерывны
во всей области своего существования; В часттсгиуфуш]щяд*=к>£ах
непрерывна Ддя всех #>0» '; .«•.<• ••:.■«'•
*19

Можно установить, что выполнение арифметических операций
над непрерывными функциями, вообще говоря, не нарушает
непрерывности. Это значит, что сложение, вычитание и умножение
непрерывных функций приводят всякий раз к функции, непрерывной
в тех же точках, в которых непрерывны все ее компоненты.
Деление же сохраняет непрерывность, кроме тех точек, в которых
знаменатель обращается в нуль.
* Поэтому, например, если даны две функции fl(x) = 3x2 + 5 и
f%(x) = x*—х—2 (непрерывность их на всей числовой оси очевидна),
то непрерывными везде будут и функции f1(x) + f2(x); fi(x)—f2(x)t
f (х) f (х)
h(x)-ft(x) и гт^т- Дробная же функция ^Ч^ не сохранит своей
/1 \Х) /2 [*)
непрерывности везде, так как знаменатель f^(x) =* хг — х — 2
имеет действительные корни х1=— I и
х% = 2. В< соответствующих двух точках
эта функция претерпевает разрыв.
При решении вопроса о
непрерывности Дробной функции со знаменателем,
имеющим действительные корни, следует
проверять, не дает ли, этот знаменатель
кажущийся (устранимый) разрыв. Это
можно пояснить на простом примере
функции у = -jz?i • Здесь корень знаменателя
х0 = 2 определяет точку устранимого разрыва, так как простое
преобразование •—2* = /х1_2)—Lz=x+%
приводит к линейной функции у=^х + 2,
которая непрерывна на всей числовой
оси.
Приведем без доказательства три
свойства непрерывных функций, имеющие
применение в дальнейшем изложении курса.
Свойство 1°. Если функция y = f(x)
непрерывна при х = х0 и f(x0)^0, то
всегда можно найти такой промежуток
(х0—Л, x0 + h), что для всех значений х в
этом промежутке знак f(x) совпадает со знаком f(x0) (рис. 79).
Свойство 2°. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке*
[а, Ь] и значения ее на концах отрезка f(a) и f(b) имеют
противоположные знаки, то найдется по меньшей мере одно такое число с
между а и by что f(c)=^0 (рис. 80).
Свойство 3°. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке
[а, Ь], то она принимает на этом отрезке наибольшее значение и
наименьшее значение.
РИС; 79
Рис. 80
* Функция y — f(x) называется непрерывной на отрезке [а, Ь]9 если она
непрерывна в каждой точке промежутка (а, Ь) и, кроме того,
lim/(*)=/(а) и lim /(*) = /(&).
х -+ а х -+ b
(х>а)
120

Упражнения
3n—5
Un+\
1. Дана последовательность ап=л^ , t . Установить номер я0, начиная
с которого выполняется неравенство \ап—А \ < =^х.
Отв. п0 = 719.
2. Является ли дробь j* пределом последовательности ап — ~ .? Если
нет, то установить наименьший номер n=Nt для которого условие \ап — у^ < у^
не выполняется.
Отв. ЛГ=2б.'
Найти:
3. йт 37^ . 0ww- ~ш-
^9 лг2—81 1°8
4. lim —-—Z——- . Олгв. —тт.
х + * *а+Л>_20 Т
5. lim 35**7?ii • Отв. 0.
ЛГ--2 4*+8 вуН? -
Проверить непрерывность следующих функций:
К v
7* Ус Ug* О™8* ПРИ всех * ^—2 Функция непрерывна.
*а4-4
8. у=д и—- . Отв. Функция непрерывна при всех значениях
|*| > 6.
9. у=* -^ на отрезке [0,5]1 Отв. Функция непрерывна, за исключением
точки разрыва х = 2.
10„ Определить точки разрыва функции у=* .„ а . .
Отв. ТОЧКИ Хх~—-£ И JCa=:-j.

Раздел третий
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава VII
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
§ 30. Задачи, приводящие к понятию производной.
Определение производной
Методы элементарной математики дают возможность изучать
постоянные величины, а также процессы, протекающие равномерно.
Так, для равномерного прямолинейного движения материальной
точки можно найти скорость как отношение пройденного пути к
затраченному времени. Для процессов, протекающих неравномерно,
элементарными методами можно определять лишь средние
характеристики.
Так, можно установить среднюю скорость неравномерного
движения за данный промежуток времени, но как найти эту скорость
для отдельного момента? Можно вычислить среднюю плотность
любого неоднородного тела, но как определить его плотность в отдельно
взятой точке, если известен закон распределения массы этого тела?
Можно определить угловой коэффициент секущей, проведенной через
данные две точки кривой, но как определить угловой коэффициент
касательной к кривой в данной точке?
Решение всякой задачи такого характера становится возможным
лишь с помощью производной, являющейся основным понятием
математического анализа.
^^- $ - Изучение функций с помощью
^^^s***^ ^'^'■'■^ производной составляет пред-
O^'^'zS^Zu.^^t -—~—~~~т"т~й мет Дифференциального ис-
ттттщт f""— числения.
Рис gl Для введения понятия
производной рассмотрим две
классические задачи: о
мгновенной скорости и о наклоне касательной к кривой.
1. Мгновенная скорость неравномерного движения. Пусть точка
движется по прямой от начального положения О (рис. 81), и закон
ее движения выражается зависимостью (функцией) пути от времени
s = f(t).
Пусть в момент времени t точка занимает положение А\
требуется определить ее скорость в этот момент времени.,
Перейдем для, этого к моменту tx = t + At, когда точка займет
положение В. Соответствующее приращение пути, т. е.
путь,.пройденный за промежуток времени At, выразится разностью
As = Sl-s = f(t + At)~fVh
122

При равномерном движении точки ее скорость за промежуток
времени At постоянна и выражается для каждого момента времени
(в том числе и для момента t) средней скоростью v, равной
отношению пройденного пути к соответствующему промежутку времени,
-As _/(/ + */)-/(/)
U At At
Если же точка движется неравномерно, то средняя скорость
не совпадает со скоростью в момент /. Однако отклонение средней
скорости движения v от скорости ее в момент t с уменьшением
промежутка времени At сокращается. При достаточно малом
значении At переменная величина средней скорости —■ оказывается сколь
угодно близкой к скорости движения в момент /, т. е. -г|-—v <e
при Д/<6 (где 6—достаточно малое положительное число).
Таким образом, мгновенная скорость движения точки в момент
t определяется как предел ее средней скорости, т. е. предел
отношения пройденного пути к соответствующему промежутку времени,
при условии, что этот промежуток времени, т. е. А/, стремится
к нулю:
v A* r f(t + At)—f{t)
,д/->оА' д<-*о &
2. Наклон касательной к кривой. Эта задача решается
элементарным путем лишь для окружности, касательная к которой
перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. В общем
случае для произвольной кривой, имеющей
в некоторой точке М касательную, ее
угловой коэффициент может быть найден на
основании следующего определения: касательной
к кривой в точке М (х\ у) называется прямая
МТ, являющаяся предельным положением се- о\ в А
кущей ММХ, когда точка Мг, перемещаясь _ ; Л
по кривой, стремится к точке М (рис. 82).
Пусть через точку М (х\ у) кривой,
представляющей собой функцию y = f(x), непрерывную в некоторой
окрестности этой точки (включающей точку М), проведена секущая
ММХ, образующая с положительным направлением оси Ох угол а.
Обозначив координаты точки Мх через (х+Ах\ у + Ау)*, можно из
треугольника MNMX определить угловой коэффициент этой секущей
%«-£• «)
Перемещая точку Мх по кривой к точке М, мы тем самым
поворачиваем секущую ММХ вокруг точки М. При этом меняется
угол а, стремясь к углу q> между касательной МТ и положитель-
* Важно отметить, что здесь имеется в виду как положительное, так и
отрицательное приращение независимой переменной А*.
123

ным направлением оси Ох, и меняются, уменьшаясь, значения А*
и Ау. Однако при всяком положении конца секущей йа дуге ММг
сохраняется равенство (1).
Обращение секущей ММг в касательную связано с предельным
переходом, определяемым условием Ах—*0. Но это равносильно
условию ос —*<р или tga —*tg(p, где tg<p = &—угловой коэффициент
касательной к кривой в точке М.
Поэтому, сохраняя равенство (1) при переходе в обеих частях
его к пределам, получим
fe = tg<p= lim &. (2)
Ах -> О *х
Таким образом, угловой коэффициент касательной к кривой
Может быть определен с помощью предельного перехода, связывающего
секущую с касательной.
3. Определение производной. Математическая операция,
требуемая для решения обеих задач настоящего параграфа, одна и та же.
Выясним аналитическую сущность этой операции, отвлекаясь от
вызвавших ее конкретных вопросов.
Если рассматривать отношение -^ для линейной функции у =
z=kx + b, то можно установить, что оно постоянно. В самом деле,
здесь при любом х
Ay = k(x + Ax) -\-b—kx—b =•• kAxt
а поэтому
Это значит, что отношение •— в случае линейной функции не
зависит ни от значения х, ни от Ах.
Для функции у = х2 имеем (см. § 29, п. 1)
Ау = (2х + Ах) Ах и ^с = 2х+Ах.
Здесь уже отношение ^—величина переменная, зависящая и
от х, и от Ах. Такой характер этого отношения имеет место для
любой функции, отличной от линейной.
Если рассматривать приращение функции Ау как изменение
функции, соответствующее приращению аргумента А*, а под х
понимать время, то отношение -~ = 2л; + Дл; будет выражать
среднюю скорость изменения функции, а скорость изменения этой
функции в точке х (по аналогии с мгновенной скоростью
переменного движения) выразится пределом этого отношения при А*—>0.
Тогда
lim ^ = 2x.
124

Если обратиться еще к функции (/ = —, приращение которой
Ах
(§ 29, п. 1) Ду = (х-\-Ьх)9 т0 сРеЛняя скорость ее изменения вы-
Ау 1
разится в виде ~ = —х(х4- Ах\ • а пРедел этого отношения при
Дл;—*0, выражающий скорость изменения функции в точке х, будет
lim тг= 2- Легко заметить, что этот результат конечен при
д* -+ О А* х
всех значениях хфО. При х = 0 предел отношения ^ не
существует. Заметив, что в точке * = 0 функция У = — имеет разрыв,
можно заключить, что истинная скорость изменения функции не
определяется в точках разрыва.
Пусть теперь дана функция y = f(x), определенная в промежутке
(а, Ь). Если некоторое значение независимой переменной в этом
промежутке х0 получает приращение Дл; (положительное или
отрицательное), то изменение функции определится приращением Д# =
= f(x0 + kx)—f(x9), а соответствующая средняя скорость изменения
функции—отношением
Ay ^ffo+A*)—/(*о)
Ах Ах
Скорость изменения функции в точке х0 представляет собой
предел средней скорости этого изменения при условии Дл:—»0:
Д* -> 0 ах Ах - О Л*
Этот предел, если он существует, называется производной
функции y = f(x) при значении х = х0, или в точке х0.
С изменением значений х производная, вообще говоря, принимает
различные значения, являясь тоже некоторой функцией от х.
Производную обозначают символами у\ f (x)f j- (читается: «игрек штрих»,
«эф штрих от икс», «де игрек по де икс»). Таким образом,
* Д*->0 *Х
Определение. Производной функции y = f(x) в данной точке
называется предел отношения приращения функции к приращению
независимой переменной, когда приращение независимой переменной
стремится к нулю (если этот предел существует).
При рассмотрении функции у = -— мы установили, что в точке
* = 0 отношение ~ при Дл: —+0 не имеет конечного предела.
Значит, функция у = — не имеет, произэодной при х = 0, т. е. в точке
125

разрыва. Предел отношения ~ может быть конечным лишь при тех
значениях х, при которых вместе с Ад:—*0 и Ау—»-0, т. е. функ- -j|
ция непрерывна.
Действительно, если #' = Пт~, то (см. § 27, п. 1) д^ = #' + сс
л(а—бесконечно малая величина вместе с Ах). Отсюда Ау = у'Ах-\-
4-аДх, и, таким образом (пот ореме о пределе суммы), при Ах—^0
и Ау—>-0, т. е. функция, имеющая в некоторой точке конечную
производную, непрерывна в этой точке.
Функция, имеющая конечную производную, называется
дифференцируемой.
Сформулируем полученный результат: необходимым условием диф-
ференцируемости функции является ее непрерывность. С этим, в
частности, связано условие о непрерывности функции в задаче о наклоне
касательной (см. выше, п. 2). ,«
Операцию нахождения производной называют дифференцировав щ
нием. В основу этой операции кладется определение производной: Ц
I. По данной функции y = f(x) отыскивается ее наращенное
значение, когда аргумент принимает значение х+Ах:
y + Ay = f(x + Ax).
II. Находится приращение функции, соответствующее
приращению аргумента Ах:
Ay = f(x+Ax)-f(x).
III. Составляется отношение приращения функции к приращению
независимой переменной
Ay = f(x+Ax)—f(x)
Да: Д*
IV. Отыскивается предел этого отношения при Д*—>0:
Нш Ау= Цш/(*+**)-/<*> >.
Д* -* 0 ах х -* 0 *Х
Пользуясь этим способом, решим следующие примеры.
Пример 1. Найти скорость переменного движения, совершаемого
а/2
по закону s = v0t + -Y 1это—формула пути, проходимого телом при
равномерно ускоренном движении, где s означает пройденный путь,
v0—начальную скорость, t (аргумент) — время и а—ускорение].
at2
Решение. Найдем производную данной функции s = v0t +-$-1
I. s + As = v0(t + At)+j(t + At)* = v0t + v0At + ^ +
, . A . , a (At)2
+atAt-]—V1-
II. As = v0At + atAt + ^^-
126

As _ , „i , aSi (
д7:
III. ^ = ^0 + ^ + ^;
IV. u= lim -4= lim (v0 + at + ^P) =v0 + at.
At - О Ш At-*0 \ * J
Полученный результат дает нам известную из курса
элементарной физики формулу скорости при равномерно ускоренном движении.
Пример 2. Найти угловой коэффициент касательной к кривой,
заданной уравнением у = х2—Зл: + 5, в точке с абсциссой х = 2.
Решение. Найдем производную данной функции:
I. у + Ау = (х+Ах)2—3(х+Ах) + 5 = х2 + 2хАх + (Ах)2 — Зх —
— ЗДх + 5;
II. Ау = 2хАх + (Ах)2—ЗАх;
III. ^ = 2х + Дх-3;
IV. */' = lim (2* +Л*—3) = 2л:—3.
Ах-* О
Для определения углового коэффициента в точке с абсциссой
х = 2 достаточно подставить в найденное выражение производной это
значение х9 что дает fe = 2-2—3=1.
Полученный результат позволяет установить, что в заданной
точке касательная к кривой наклонена к оси Ох под углом в 45°.
§ 31. Свойства производной
В предыдущем параграфе производные, нужные для решения
задач, вычислялись непосредственно по определению. Этот способ
является громоздким, кроме того, выполнение каждый раз
предельного перехода связано не только с вычислительными, но и с
принципиальными затруднениями. Между тем оказывается возможным
выработать ряд приемов, позволяющих находить производные
элементарных функций по фюрмальным правилам, не требующим
нахождения пределов. Эти правила объединяются под общим названием
правил дифференцирования. Для их вывода следует
рассмотреть некоторые свойства производной и вывести формулы для
производных основных элементарных функций.
Свойство Г. Производная постоянной равна нулю.
Доказательство. Постоянную можно рассматривать как
Функцию, которая при всех значениях аргумента имеет равные
значения. Поэтому, если y = f(x) = c, то:
I. y+Ay = f(x + Ax) = c\
II. Ay = f(x + Ax)-f(x) = 0;
127

III. ^ = 0.
IV. Пользуясь тем, что предел постоянной величины равен
самой постоянной (см. § 24), заключаем:
с'= lim g = 0.
Итак,
с'=0
(1).
Свойство 2е. Производная функции у = х равна единице.
Доказательство. Если у = х, то:
I. у + Ау = х+Ах;
II. Д|/=Ах;
ш. Й-1,
IV.
Итак,
х' = 1
(2);
Свойство 3°. Производная алгебраической суммы дифферен-\
цируемых функций равна такой же сумме производных этих функций. I
Доказательство. Пусть дана функция y=u + v—w, где1
u = u(x)t v = v(x) и w = w (а:)—дифференцируемые функции от х.
Тогда выполнение дифференцирования дает: •
I. y + Ay = u + Au + v + Av —w— Aw;
II. Ay=Au + Av— Aw;
IV. При переходе к пределу применяем теорему о пределе
^суммы переменных, имеющих пределы, что дает
lim2&=limE+,Jm£-lim
Ьх+О"* Дх->0А* Д*-*0А* Дх-»С
Ах
"о д**
В силу дифференцируемое™ слагаемых ut v и w
,. Ан / *, Ао , ,. Дад ,
lim-r- = w; hm дг = 1; и llm Т^^»
Дя-*0
Ал:
д*-+о
Да:
Д*-*0
Ах
а потому
Итак,
y'=lim%-=u' + v'-
Дх-0
W .■
(t/ + t>—и>У = u' + v' —до'
,(3>
(28

Следствие. Две дифференцируемые функции, различающиеся
на постоянную величину, имеют равные производные.
В самом деле, рассматривая функции f(x) и f{x) + cf мы
видим, что
[f(x) + c]' = f'(x) + c'=f'(x).
Свойство 4°. Производная произведения постоянной величины
на дифференцируемую функцию равна произведению постоянной на
производную данной функции.
Доказательство. Пусть у = ти, где т—постоянная, а
и = и(х)—дифференцируемая функция. Тогда:
I. у+Ау = т(и + Аи);
II. Ау = тАи\
ттт Аы Аи
IV. При переходе к пределу постоянный множитель выносится
за знак предела: lim -Л = т lim -Л = ти' в силу дифференцируе-
мости функции и = и(х). Поэтому у' = ти', т.е.
{ти)1 = ти'
(4)
Пример 3# Найти производную функции у = Зх + 5.
Решение. Применение свойств 3Q, 4°, 1Q и 2° дает
у' = (3х)' + 5'=3(х)' + 0 = 3.
Пример 4. Найти производную функции у = 7—-~ .
Решение. Переписав функцию в виде у = 7—r-л:, имеем
у'=т-{тх)'--тх' =
5
5 "
§ 32. Производные алгебраических функций
1. Производная степени с целым положительным показателем.
Производная функции у = хп находится обычным способом:
I. у+Ау=(х + Ах)п = хп + пхп'1 Ах +
+ njn-l)xn„2{^x)2+t ^ t+{Ax)n
(здесь применено разложение по формуле бинома Ньютона);
И. Ау = пхп'1 Ах + п("~1) • хп-*(Ах)*+ ... + (Д*)Я;
III. % = nx»-i +^=^ • х«-* Ах+ ... + (Ах)»~^
А*-* О Л*
'S № 2418 120

Таким образом, производная степени с целым положительным
показателем равна произведению показателя степени на степень с
показателем, уменьшенным на единицу:
^ (5)
(*")
Л\'
ПХп
Пример 5. Найти производную функции у = \—2х + 3х*.
Решение. Применяя свойства 3е, Г, 4° и формулу (5),
получаем
у' = 1'—{2х)' + (Зхъ)' = —2 + 3 • 5а* = —2 + 15а-*.
2. Производная произведения. Пусть y = uv, где и = и(х) и
v = v(x)—дифференцируемые функции. Тогда имеем:
I. у + Аг/ ^= (и + Д и) (v + Av) == uv + vbu + uhv + Д« Да;
II. Ay = v&u + u Av + ДаДи;
ШДу Ди . Да . Дм А
IV. lim т^ = и lim x^+ ^ Hm т^+ lim^' lim Да =
= vu' + uv' + 0 = i/'t; + ми'.
При предельном переходе учтено, что 1) и и v как начальные
значения функций от Да не зависят, а потому они выносятся за
знак предела, 2) и « w—дифференцируемые функции, а потому их
приращения стремятся к нулю вместе с Да.
Таким образом, производная произведения двух функций равна
сумме произведения производной первой из них на вторую и
произведения первой функции на производную второй:
(uv)' = u'v -f uv'
(6)
Пример 6. Найти производную функции
у = (*2 + 5)(3х — 4а3).
Решение. Пользуясь формулой (6), получаем
у' = (л:2 + 5)' (За:—4л:3) + (а2 + 5) (3* — 4х*)' = 2х (Зх — Ах*) +
+ (л:2 + 5)(3 — 12х2).
Производная найдена, но она должна быть еще приведена к
простейшему виду:
*/' = 6а2—8а4 + За2+15 —12х4—60а2 = 15 —51а2 —20а4.
Этот результат целесообразно проверить дифференцированием, ^
выполненным в другом порядке.
Сначала преобразуем произведение к форме многочлена
у = Зх' + 15л: — 4л;6—20а3 = 15а— 17а3—4а5.
130

|V Теперь находим
у'= 15—51л:2 — 20л:4.
формула (6) производной произведения двух функций может
быть распространена на произведение трех функций. Если y = uvw,
где и, v и w—дифференцируемые функции от х9 то заменой vw = z
исходная функция приводится к виду y = uz9 для которой
производная будет (uz)' = u'z + uz'. Заметив далее, что z' = (vw)' =
= v'w-\-vw', можно записать искомую производную
(uvw)' = u'vw+ uv'w-\-uvw'.
Методом математической индукции можно установить ту же
закономерность для производной произведения при любом числе
множителей. Значит, для произведения из п множителей
где u1 = u1(x)f и2 = и2(х)9 ..., Vi = M«-iM и ыи =
ия(х)—дифференцируемые функции от х9 производная запишется в виде
(и^Ыз.. мп^хипу = и[и2.. мп + и,и'2и3. ..ип+...+
+ или2и3.. м^уЦп.
Число слагаемых здесь п и число множителей в каждом
слагаемом также п.
Пусть теперь все множители произведения равны между собой,
т.е. их = и2 = и3 = ... = ипж1 = ип = и. Тогда заданное произведение
представляется в виде целой степени у = ип9 где основание и = и (х)—
дифференцируемая функция от х. Производная этой степени
получится непосредственно из производной произведения п функций
заменой в ней различных множителей (ul9 и29 и39 ..., ип)
одинаковыми (и). Это приведет каждое слагаемое производной к виду
(UUU. . .WM') = ttM~V,
а всю производную — к виду
у' = (ипу = пип-1и' т (ба)
Это значит, что для степенной функции у~ип, где
и—дифференцируемая функция от х, а п—натуральное число,
производная выражается произведением показателя степени на степень с
показателем, уменьшенным на единицу, и на производную основания.
Эта формула принимает вид (5) при и=х9 так как третий
множитель и'=х' = 1.
Пример 7. Найти производную функции у = (5а:3 — 7)4.
Решение. Здесь и = 5х3—7 и и' = \Ьх2. Поэтому
у' = 4 (5а:3 — 7)3 1 5а:2 = 60а:2 (5х3 — 7)3.
Пример 8. Найти производную функции у -(5 — За:4)6 (7а:2 + 8).
5* 13.

Решение. Предварительно найдем производную первого
множителя
[(5—Зх4)6]' = 5 (5—Зх*У (5—Зх*)' = 5 (5—За:4)4 (—12л;3) =
= —60л:3 (5—За:4)4.
Теперь дифференцируем заданное произведение:
у' = [(Ь — Зх4)5]'(7а-2 + 8) + (5—За-4)5 (7л-2+ 8)' =
= — 60л:3 (5—Зл-4)4 (7xs + 8) + 1 Ах (5 — Зл:4)6 ==
= 2х (5 - Зл-4)4 [7 (5 —Зл-4)—30xs (7ха + 8)] =
= 2х (5—Зл-4)4 (35 — 240л-8—231 л-4).
3. Производная частного (дроби). Пусть у = —, где и и
v—дифференцируемые функции от х. Тогда:
II Л _и + &и и _uv-\-v Аи— uv—и Av у Аи— и Av и
У v+Av v (v-\-Av)v (v-\-Av)v '
Аи Av
J,. А«/ Ал: Ajc
Ал: (v + Av)v
mi t. Ay ,. Ал: Ал: a*-+o А* Лд:-*о Ал: ш'—uv'
IV. I'm -= hm ,_ , А,л .. = ,.. , lim Avy.. =——,
д*-0Д* д*-о (У+Ду).и /о+ limAAoyif t;2
Операция предельного перехода выполнена с учетом замечаний,,
которые даны для производной произведения (п. 2).
Таким образом, производная частного выражается дробью,
числитель которой представляет собой разность между произведением
делителя на производную делимого и произведением делимого на
производную делителя, а знаменатель равен квадрату делителя:
(7)
В частных случаях при постоянных делителе или делимом эта
формула упрощается:
а) при v=c имеем t/ = -l = — -и. Применение свойства 4°
(см. § 31) дает
\Т)=-с-и=Т' <7а>
б) при и = с имеем у = — , а поэтому
, __ V&—Си' V'O — CV' * СО'
У — ^ — ^ — ^г-
132

Таким образом,
Учащемуся следует иметь в виду, что обращение к общей
формуле (7) в этих частных случаях затрудняет отыскание
производной, а потому нецелесообразно.
3л:2 + 5
Пример 9. Найти производную дроби у = 2хТ3 .
Решение. По формуле (7) имеем
, _ (Зл;2 + 5)Ч2х+3)-(Зл:2 + 5)(2х + ЗГ
У (2х + 3)2
Так как
(Зхя + 5)' = 6х и (2* + 3)' = 2,
то
, 6лг(2х + 3)—(Зл:2 + 5)-2 = 12л:2 + 18л:— 6л:2— 10 _6лг2+ 18л:—10
У ~ (2х+3)2 ~~ (2х + 3)2 "" (2л:+ 3)2 *
ix& 5)2
Пример 10. Найти производную функции у = -—=—- .
Решение. Применяем формулу (7а) с учетом того, что
производная числителя берется по формуле (5а):
, __ Г(л:3 —5)21' __ 2 (л:3—5)-Зл:2 __ 6л:2(л:3— 5)
У ~ [ 7 J ~~ 7 ~~ 7
о
Пример 11. Найти производную дроби у = 3 3.
Решение. По формуле (76) имеем
, __ _ 8 ( — 9л:2) ___ 72л:2
У ~~ (4—3л:3)2~~(4 —3л:3)2 *
Здесь учтено, что (4 — Зл;3)' = —9л:2.
4. Обобщение производной степенной функции для любого
действительного показателя степени будет проведено ниже, в § 34, с
помощью производной логарифмической функции. Здесь же мы
рассмотрим лишь дифференцирование степеней с целым отрицательным
и дробным показателями.
а) Степень с целым отрицательным показателем у~и~п может
быть представлена в виде дроби у=-^> Поэтому производная
степени в данном случае находится по формуле (76) для производной
- Дроби с постоянным числителем:
_LV — пи"-1 и' _ пи
и") ~~ й2" ~~~^ип + 1
Этот результат может быть записан в виде степени с
отрицательным показателем:
(и-п)' = — пи'п'1и\
133

что и подтверждает справедливость формулы (5а) производной от
степени для целого отрицательного показателя.
Пример 12. Найти производную функции у = (2х3—5)~4.
Решение. Применяя формулу (5а), можно записать
у' = —4 (2а:3 — 5)~б (2х3 — 5)' = —4 (2х3—5)~б 6х2 =
= —24х2(2х3 — 5)~б.
Это первое обобщение формулы производной степенной функции
позволяет несколько упростить дифференцирование дроби с
постоянным числителем, если она имеет вид t/ = -^. После приведения этой
дроби к виду y = cv~n найдем производную
у' = с{—n)vn"1v' =
vn + l*
Таким образом,
\vnJ "~~ vn+1'
Например, (!)' = _ 1.
б) Степень с дробным показателем может быть всегда приведена
к виду у = и« у если y = v* , где --—несократимая дробь, то
замена vp = u приводит к этому виду).
При q = 2 имеем у = и2 =Уи и дифференцирование
выполняется так:
(KT)'=lim Vu+bu-Vt _
Дк-0
Aw *
Й0 (У*+Ш+Уи)Ьх
lim *2
lim (Уu + Au-\-Vu) 2 У и
Дл:-*0
Этот результат полезно выделить в виде формулы производной
квадратного корня
e^'-.-fr
(8) I
* Устранение разности радикалов в числителе достигается умножением
числителя и знаменателя на выражения, приводящие числитель к разности
квадратов радикалов (при д==2) или к разности кубов радикалов (при <?=3).
134

Пример 13. Найти производную функции y = Vtf+l6.
Решение. По формуле (8) имеем
(а:2+16)' _' 2х_ х
"2}/"х2 + 1б 2^+16 /я2+16 '
При (7 = 3 имеем у=иъ =у/и и дифференцирование по аналогии
со случаем q = 2 выполняется так:
/зу—у 1- у н+Дн—у и
(у и) = hm ду v =
Д* -* О &х
= Ига А"
Д* - о \у/(и + Аи)*+ )/(« +Д«) и+ у/и2] Ах'
lim *И
Ьх ■* о Ах
В общем случае для q = n можно показать, что
п у ип~х
Поэтому при дробном показателе — будем иметь
q уцРЯ-Р q у xfl-P q
Значит, и для степени с дробным показателем сохраняется
формула (5а) производной степенной функции.
Пример 14. Найти производную функции у= 4/ =-.
У 5 —За:2
Решение. После приведения функции к -виду у = 15 (5—З*2) 4
выполняем дифференцирование:
У' = -т(5-3*2Г^(-6*) = - 45"
2 У (5—За:2)6 "
У праж нения
1. Пользуясь определением производной, найти производные следующих
Функций: а) */ = Зх2; б) у = 8—х* и в) # = 8—За: + а:3.
Отв.: а) у' = 6х; б) t/'=—2а:; в) г/'=3х2—3.
2. Найти производные следующих функций:
3 *ч 5 , 1
135

и указать, при каких значениях х эти функции не имеют производной.
3
Отв.: а) у' = ^ , при х = 0 производной нет;
*V f 5
б) У /л. \2' ПРИ Xsjz* производной нет;
(4 X)
2х
в) г/' =Т2—пг2 t ПРИ х1 = ~-Ъ и *2 = 3 производной нет.
\Х У)
3. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = 5—Зл:2 в точке
с абсциссой х = —2.
Owe. ft =12.
4. В какой точке касательная к кривой у=х2 + 2х—5 параллельна прямой
12л:—2# + 9=0?
Отв. (2; 3).
5. Закон движения задан в виде s — t2—3/ + 5. Найти величину пройденного
пути и скорость в момент времени / = 2.
Отв. s = 3, o=l.
6. Найти производную функции у — (3х2—5лг)(л:3 + 8).
Отв. ^' = 15л:4—20л:3 + 48лг—40.
2х 5
7. Найти производную дроби у — -А—Q , 2.
4 — оХ ~\~ X
п , — 2х2+Юх—7
Отв. у = (4_3х+х2)2 ■
Найти производную функции:
лГ За: 4-2 п > 12—8а:—9а:2
8. и= V ox^z . Отв. у'=
у л:2 + 4 2(л:2 + 4)2 J^3*+2
5—2л: л , 10—5л:
9. у = —====• . Отв. у =
Ух2—5 ' ' V(x2—5)з '
*~~2. Отв. у' =. .
г а: + 2 (jc + 2) У^л:2— 4
§ 33. Производная сложной и неявной функции
1. Производная сложной функции. Формулы (5а) и (8),
выведенные в предыдущем параграфе, являются примерами производных
сложной функции: и степень у = ип, и квадратный корень у —У и,
у которых переменная и есть функция х, представляют случаи
задания y = F(x) в виде функции от функции.
Общее правило дифференцирования сложной функции дается
в следующей теореме.
Теорема. Пусть y^F (x) представила в виде функции от функции
y=f[(p (x)], причем обе функции y~f(u) и и^у(х) дифференцируемы:
первая по и, а вторая по х. Тогда производная заданной функции
по х существует и равна у' = f (и) и'.
Доказательство. Из условия дифференцируемости функции
и = у(х) следует (см. § 30) ее непрерывность в тех точках, где она
дифференцируема, а это значит, что при Дх — >0 и Д«—*0.
Ограничимся случаем, ко^да при АхФ§ и Ди^О.
136

Преобразуем необходимое для отыскания производной у по к
отношение приращений
Ду Ay Аи
А* ~~ "Кй Ах *
При переходе к пределу при Дл:—>0 учтем, что Ди —>0 и, кроме
того, применим теорему о пределе произведения. Это дает
,. Ау |. А*/ ,. Aw
lim 77 ^ llm л # llm л~-
Дл: - 0 ах Ли - О л" Д* -* 0 л*
Так как множители в правой части являются производными
функций /(и) и ф(лг) (в силу дифференцируемости этих функций),
то последнее равенство показывает, что искомый
предел—производная функции y--=F(x) по х—существует и
d у dy du
dx~ du* dxy
ИЛИ
уг=ГШ'(х)=Г(и)*: (9)
Эта формула показывает, что производная сложной функции
выражается произведением производной данной функции по
промежуточной переменной на производную промежуточной переменной по
независимой.
Применение этой формулы позволяет, например, по заданной
функции
^—V4—б*8/
искать ее производную в виде
У * \^4—Ьх*) V4—5*3/ '
а по заданной функции
X
^Бх
— в виде
71 \3^-Sx) *
Предоставляя учащемуся самостоятельно привести обе эти
производные к окончательному виду, отметим, что выведенная формула
относится к простейшему заданию сложной функции в виде двух
звеньев.
Если сложная функция определена больше, чем двумя звеньями
простых функций, то соответственно увеличивается и число
множителей в ее производной, отыскиваемой по формуле (9).
137

Так, при задании функции в виде
y = f(u),
и = <р(0,
* = ♦(*)
имеем
^ = П«Оф'(')*'(*).
или
dy __dy du ^ dt
Jx~du' dt* dx *
2. Производная неявной функции может быть найдена без
приведения этой функции к явному виду (тем более, что это не всегда
возможно) на основании правила дифференцирования сложной
функции.
В самом деле, при задании функции в неявном виде F (х, у)^0
можно рассматривать левую часть этого равенства F(xt у) как
некоторую сложную функцию л: и дифференцировать обе части равенства.
Например, для функции, заданной уравнением x2 + y2 = R2>
дифференцирование обеих частей дает
2х + 2уу' = 0, или x + yy' = Ot
откуда
У = •
В этом примере дифференцирование не вызывает затруднений,
так как здесь разные переменные входят в отдельные слагаемые.
Пример 15. Найти производную функции, заданной в виде
ху2—3х = 0.
Решение. Дифференцируем отдельно каждое слагаемое:
1) (ху2)' =х'у* + х(у2)' = у2 + 2хуу'\
2) (3*)' = 3.
Отсюда *
у2 + 2хуу'-3 = 0,
а поэтому
, 3—у»
У ~ 2ху '
Пример 16. Найти производную функции, заданной уравнением
х3 + 2ху2 —у3 = 0.
Решение. Почленное дифференцирование дает
3*2 + 2у2 + 4хуу' -Зу2у' = 0;
отсюда
(Зу2-4ху)у' = 3х2 + 2у2,
а
,_3**+2j/2
У Зу2-—4ху '
138

§ 34. Производные логарифмической и показательной функций
1. Производная логарифмической функции. Пусть дана
логарифмическая функция при основании а = е, т. е. #=1плг. Тогда
непосредственное дифференцирование дает:
I. у + ку^1п(х + кх)\
А* Vй
П. Д*/=1п(х + Дх) — 1п*=1п^Ц^ = 1п(1+^)}
«'•Й-Ё-'»('+¥Н-Е-Ь(1+£К-ь(1 +
(здесь первоначальное выражение ~ преобразовано умножением и
делением на xt а затем переносом множителя ^- в показатель
степени логарифмируемого выражения);
^>Ы±-К,+¥)=КЫь,0+*)4]-
Так как логарифмическая функция непрерывна, то можно перейти
от предела логарифма к логарифму предела *, что дает
,imi!=T-ln
Заметив далее, что при Дх-
(см. § 28, п. 2)
lim
Ах
Ои
;.('+т
\Ах
Ах
О, а -г—* оо и поэтому
д*
Hm (l + х I
Ах -* О \ х /
^\Тк
-е,
можно записать
lim ^ = 1. In е.
Ак -О
Ал:
Так как In e = 1 f то имеем
(Ю)
Если дана сложная функция у = 1пи, где и—дифференцируемая
функция от ху то на основании правила дифференцирования
сложной функции имеем
(\пи)'=-
(Юа)
* Этот переход обосновывается тем, что в данном случае выполнены условия
теоремы о непрерывности сложной функции / [ф (х)] на том же отрезке, на
котором непрерывна <p(*), и в связи с этим lim /[ф (*)]=/[ lim ф (х)].
X -*■ Xq X -* Xq
139

Таким образом, производная натурального логарифма некоторой
функции у = 1пи равна отношению производной от этой функции
к самой функции.
Так, при у = \п(2х+ 1)
у 2х+\
(2*+!)'
у —
при у=\п(х2 + Зх + 5)
У = *2 + Зл: + 5'
х
Пример 17. Найти производную функции у = \п-7 .
V х2 -\- \
Решение. Предварительно выполним логарифмирование:
y=lnx-±.ln(x*+l).
Теперь находим производную
2х 1 х 1
У =Т—9"'
х2+\ х х2+1 х(х2+\)
Пусть теперь дана логарифмическая функция при основании
афе, т. е. y=\ogau. Тогда после перехода к натуральным
логарифмам
1°8«" = 1^Г1п"
получим производную в виде
„V —. . _
In а и
uoge«)'=i4. (in
В частности, при w = х
(logax)'=-^-.
v ba ' *lna
2. Логарифмическое дифференцирование. Так называют прием
дифференцирования, при котором производная от заданной функции
отыскивается с помощью производной от ее логарифма. Это значит,
что если y = f (я)—данная функция, то для отыскания ее
производной сначала логарифмируют эту функцию lny=--lnf(x), а затем
дифференцируют полученное равенство, что дает ^- = [In /(*)]' (пра-
у
вую часть этой формулы называют логарифмической производной).
Отсюда у' = у [Inf (x)]', т. е. производная заданной функции
равна произведению этой самой функции на ее логарифмическую
производную.
Этим приемом легко отыскивается производная показательной
функции у =-~аи .
Логарифмирование по основанию е дает
Iny^u In a.
НО

Находим логарифмическую производную:
Отсюда у' = уи' \па, или
У- = и' In а.
у
(аи)'=ааи'1па (12)
Таким образом, производная показательной функции равна про-
изведению самой функции на производную показателя степени и на
натуральный логарифм основания.
Например, для функции у = а*г имеем у' = а*12х In a = 2xa*2 In a.
В частных случаях формула (12) упрощается:
а) при и — х у = ах и у'=ах1па (здесь х' = 1);
б) при а = е у = еи и у' = еии' (здесь 1пе=1);
в) при и = х и а = е у = ех и у' = ех.
Пример 18. Найти производную функции y = e2~zx.
Решение. Здесь у' = е2'*х(2—Зх)' = — Зе2-3*.
Пример 19. Найти производную функции у = (2х—5)е~3*.
Решение. По формуле (6) производной произведения имеем
у1 = (2х—5)' е-3 * + (2х—5) (е~ ЗЛУ =
= 2е-*х + (2х—5)е-*х(—3) =
= <Г3*(2 —6х + 15) = (17—6х)е'*х.
Прием логарифмического дифференцирования позволяет обобщить
формулу (5а) производной степенной функции для любого
действительного показателя степени.
Пусть i/=*ua{a—любое действительное число), тогда 1пу = а\пи,
у' и' , аи' аи«и' „ Л ,
2- = а- —; отсюда #= (/== = <хиа-1и .
у и и и v и
Этим установлена справедливость формулы производной
степенной функции для любого действительного показателя степени.
Упражнения
Найти производную функции:
1. ^ = (4д:2— 1) In (2лг+ I). Отв. у'=2 [4х 1п(2*+1) + 2*—1]
2. у = х*\пх. Отв. у' = х (2 1п*+1).
8-У = 1пЗ=45- Отв'У=0+2х)(3-4х)-
4. у = (х-\-\)е-2х. Отв. у'= — е~2х (2х + 1).
'• y-^Vi^k' 0тв'у,= *+2*-з-
7. у = х2е~2х. Отв. у' = (2х—2х2)е~гх.
. \f2x~^% n , 1
8.
141

9. у**\п(*+Ух*+\). Отв. у'=у-—.
10.|f=lni=f. Отв. V' = -±rv
§ 35. Производные тригонометрических функций
1, Производные синуса и косинуса. Для функции // = sin л:
производная находится обычным путем:
I. y+Ay = sin(x + Ax);
(Д у \ А «
х ■+■ т)sin т
(здесь применено преобразование разности синусов в произведение);
. Ах . Ах
iii.f5_2«(,+£).^-«»(,+¥) "
Ах >
т ,
Ах
IV. lim -г^= limcos (х+-т£) lim Av = cosa;.
Д* - 0 а* Д* - о V г J Ax - о t*2
Первый множитель дает cos* в силу непрерывности, а второй
дает единицу как предел отношения 5^-5 при а—*0.
Таким образом,
(sin х)' = cos л: . (13)
В общем случае сложной функции y=sinu, где и —
ц>(х)—дифференцируемая функция от х, производная находится по правилу
дифференцирования сложной функции, что дает
(sin и)' = cos а • и' = и' cos и. (13а)
Функция у = cos x может быть представлена в виде
y=sin(y— *),
что позволяет применить формулу (13а):
Jsin^y — х\] =(у — х) cos(-j—дЛ==(—l)sinx.
142

Таким образом,
(cosx)' = — sin л; .
(И)
В общем случае сложной функции у = cos и имеем
(cosu)' = — sin м-и' = — и' sin и. (14а)
Например:
1) [ski (3jc + 2)]' = cos (Зх + 2)• 3 = 3cos (Зл: + 2);
2) (cos 5л;)' = — sin 5л:-5 = —5 sin 5л:;
3) у = (2л: + 3) • sin 4л:; у1 = (2л: + 3)' sin 4л: + (2л: + 3) (sin 4л:)' =
= 2 sin 4л: + (2л: + 3)-4 cos 4л: = 2 sin 4л: + (8л:-f- 12) cos 4л:;
4) (sin2 л:)' = 2 sin х (sin х)' = 2 sin x cos х = sin 2л:;
5) (cos2 л;)' = 2 cos x (cos л:)' = 2 cos х (— sin л:) =
= —2 sin х cos л: = — sin 2л:.
2.: Производные тангенса и котангенса. Функция y = t%x может
быть представлена в виде дроби tgjc=^—*; ее производная поэтому
отыскивается по формуле (7):
Asin x\' fein•#)'ras*—-sin xjposлу __cas2x+Mn*<x __ 1
у--
v ь ' \COS X
Таким тэбразом,
COS* X
cos2 л:
cosz#
(tg*)' =
1
COS2*
(15)
Для сложной функции y = tgu имеем
(to* ^)' =—_ w = —^
v & cos2 и cos2u
(15a)
Производная котангенса может быть найдена либо таким же
COS X 1
приемом из выражения ctg х = -т^- , либо из выражения ^л: = ^—.
Используем второе выражение, применив формулу (76) производной
дроби с постоянным числителем:
(tg*y_ 1 _ 1
Таким образом,
COS2 Xtg2 X
sirr х
(ctgx)' = -sl-
Для сложной функции (/ = ctg « имеем
(ctg«)' =
sirru
(16)
(16а)
143

Например:
i)(Vaxy-2tgax(tga,r-2tga*.5gfc-4Se--?Sfe:
2) ltt*V2iX = W2xL= ^ = = - _ ' =•
& sin2}^* 2 VlJcsin» ]А2л: V2x sin2 ]/ 2x
3) (tgx-x)^^^^—l = secax—l=tg2x.
Упражнения
Найти производную функции:
1. y=(*2 + 2)sin2*+xcos2x. Om«. у' = (2л-2 + 5) cos 2х.
2 „_v^. о™, г- "'+sin;^
y cos 2x cos2 2x у sin 2л;
3. t/ = sec2 * ctg2 x. Отв. у' = г-=—.
sin3*
л , /~ 1 — cos л: л , 1
4- У= 1/ т-i • Отв. у =т~х •
и V 1+cosjc * 1 + cosx
- sin 2л* л , 2 (cos 2л-—2)
5- # = г-5— • Отв. у' = v . 9 '.
* tg2jc у tg2*
§ 36. Производные обратных тригонометрических функций
Предварительно установим правило дифференцирования обратной
функции.
Если у = / (х) и х = ф (у)—взаимно обратные функции, то х можно
представить в виде сложной функции х = (р [f (х)].
Здесь #' = 1, а дифференцирование правой части выполняется по
формуле (9) для производной сложной функции, что дает
Отсюда при условии /' (х) Ф О находим
1
1=Ч'(У)Г(х).
(х)ФС
Ф'(</)
Точно так же
при условии <р'(у)фО.
Таким образом, производная обратной функции существует и
равна обратной величине производной данной функции, если эта
производная не равна нулю.
1. Производная арксинуса и арккосинуса. Функция j/ = arcsinx
является обратной по отношению к x = s\ny. Поэтому
(arcsin х) = , . ч/ = --— .
N ' (sin у) cos у
И4

Условие уф0, при котором существует искомая производная,
выполнимо при —-1 <x = s'my < 1, а это ограничивает значения у
промежутком (—~, у j . В этих границах cos у > 0, а потому
Отсюда
cosy = V 1 — sin2 r/ = |/ 1 —х2.
(arcsin x)' —
^~
(17)
Для сложной функции t/ = arcsin и, где и—дифференцируемая
функция от х, значения которой ограничены условием —1 <и< 1,
имеет место формула
(arcsin ы)' = -7£==. (17 а)
Если, например, дана функция у = arcsin у, то область ее диф-
ференцируемости (в соответствии с областью существования)
определяется из неравенства — 1 <— < 1, т. е. —3 <* < 3.
В этих границах будем иметь производную
1 1
fare sin -j J =
|/"9—x*
3|/ l-T
Обобщая этот результат, можно записать
/ . xV l
arcsin— = - : >
V a J Y&—X1
Аналогично устанавливаем, что функция j/ = arccos.x; имеет
производную для всех значений х в том же промежутке ( —1; 1). Но
так как
1 1
то
(cos y)f
(arccosx)' =
sin у
1
Соответственно для сложной функции имеем
(18)
(arccos и)' =
Например:
1) (arcsin ^j •
(т)'
у.'-
"(т)'
У т.
*3 V х~
(18а)
~хУх* — I '
145

2)(
arccos
w-
(
3
/-(¥)• »v
9 —x2—Ax — 4
/5 — 4*—x2 *
2. Производная арктангенса и арккотангенса. Функция у = arctg л:
является обратной по отношению к x = tgy. Поэтому
(агс1§*)' = ^ = ^.
Так как sec2 у = 1 + tg* у = 1 + х2 Ф 0, то искомая производная
существует для любых jk, и, таким образом,
(arctg x)'
l-f-л:2
(19)
Для слажной функции у = arctg и, где м —дифференцируемая
функция от х9 имеем
(arctg и)'
1 + и*
(19а)
(«*т)'-Ж
Следует отметить случай, когда «=.-—-, при котором
1 а
Для функции #= arcctg* имеем
(arcctg к)' =
1
cosec* у
2 /у »
что после преобразования дает:
(arcctg х)^--^
Соответственно для сложной функции
(arcctg ы)' =
Например:
1)
1+«2
(20)
(20а)
("*»'-г&-
1+(у) 3
2)
Л 4^\ 9+4а;2
/X + 3V
Г018 ^ J ~1 + (£±Зу-4^ +(£$?]"
*2+6* + 25
I
3) (х arctg 2x)' = 1 • arctg 2x + x (arctg 2л:)' =
-arctg 2x + x.J?^-^arctg 2* + ^^ .
146

У пражнен ия
Найти производную функции:
1. у = J^arctg*.
1
Отв. у'' =
2(1+a:2) Varctgx '
2. y = j arcsin (*2) + y l/*l — Л
Отв. у' ~х arcsin (л:2).
3. f/ = ln arctg J^**
Ome. у' = — ^~
2 ^Jt(l + *)arctg ^ л;
4. у— arcsin J^ln *•
Ome. y'= — t
2a: j/^lnjc—1п«*
5^4aictg^2FTI)»
Ome. y' =
*2 + l
§ 37. Таблица производных
j:«
,
2
3
4
5
5a
6 I
7
7a
76
£
с
10
10£
и
Функци i 1
у —с
у = х
y = u-{~v—ю
у = ти
У = хп
у = и»
у = ии
и
У~ v
и
*=7
С
У=Т
у=уи
у=/[ф(*)1; ф(*)=«
У = 1п Л:
у = In и
y = loga и
Производная
с' = 0
*'=1
(м + и—wy = u'-\-v'—и)'
(mu)' = mu'
(xn)' = nxn'1
(un)r^nun-lu'
(uv)' ~ u'v + uv'
f и у u'v—uv'
[v J v2
ШЧ
/c V су'
(i/ТЛ'- "'
1 ° J"'2^
у' = /'(«)ф'М
(lnx)'-i
('"">'=4
/1 v/ 1 W
(l0ga «)'=:
v a 7 In a a

Функция
Производная
у = аи
у = еи
У = а*
У = ех
y = sin х
y = s'm и
у = cos х
у —cos и
y = tgu
y=ctgx
y=ctgu
^ = arcsin x
# = arcsin«
у = arccos x
у = arccos и
y = arctgx
y = avctgu
у == arcctg x
# = arcctg и
(au)' =auu' In a
\епу=еии>
(ax)' = ax In a
(e*)'=ex
(sin x)' = cos x
(sin u)' = w' cos и
(cos x)' = —sin x
(cos u)' — —u' sin и
(tg*)'=; !
(tg«)'
COS2*
COS2 W
(Ctg a;)' = -
(ctg u)' = -
(arcsin *)' =
1
sin2 x
sin* и
1
(arcsin u)' —
(arccos x)f ■=
J^i—*2
1
(arccos m)' = —
Vl-x*
и
(arctg *)' =
(arctg«)' =
1
1 + л:2
l + w2
(arcctg x)' = -
(arcctg м)' — -
1+x2
\+u*
Упражнения
Найти производные следующих функций (в примерах 1—6 применять
непосредственное дифференцирование, а в последующих примерах выполнять
дифференцирование, пользуясь формулами):
Отв. у' = —6х2.
2
Отв. у =— р .
6*
1.
2.
3.
4.
у= 1—2л:3.
х + 2
у=—!— ♦
9 X
3
у — cos л:.
Qma. #' = —sin л:.
143

5. y = ctgx.
6. у=УЪ
7. у = (л:3 + 3)(4л:2 —5).
8. у = (х—5)4(л; + 3)5.
(Зл:2 + 5)3
2х— 3
5*
(5—2 а:)3 '
2
Ю. у =
П. 0 =
12' ^=(^ + 5)5 '
13. */ = j/бл:2 — 5.
14. г/ =
j/"*2+4 '
.5.,= /!
— 2
+ 3"
16. (/ =
sin 2jc
cos Зл: '
sin2 д:
17. у= г
у cos 2x
18. */ = (л:2—2) sin х + 2х cos *.
sin л: — л: cos jc
19. */ =
cos л: -f- л; sin x
20. «/=-arctg y
л: —2
21. «/ = arcsin——- .
о
22. у = —~= arctg ' ,
23. */ = |- Кго«=7» +
, а2 .а:
4-— arcsin— .
1 2 а
24-^inKS
25. у
+ 5
а:—1
4 "У*2 — 1
/Г
26. # = ш?
** 1
27- »=U+\-
28. # = е*)п*.
Ome. f/' =
Отв. у'-
Отв. у'-
Отв. у' =
Отв. у' =
Отв. у'-
Отв. у' -
Отв. у'-
Отв. у' =
Отв. у' =
Отв у' =
Отв. у' -
Отв. у' =
Отв. у'=
Отв. у'-
Отв. у'-
Отв. у'-
Отв. у'-
, **•**"-* &?5ЙЙ
sin^ х
2 V х
:20л:4—15л:2 + 24л:.
= (л:-5)3(л: + 3)4(9л:-13).
л:4— 15л:2 + 6л:
(5 —л:2)2
(Зл:- + 5)2(30л:2 —54л:—10)
5 (5 н- 4х)
' (5 —2л:)4 '
30*2
(2л:—З)2
(л:3 + 5)6 '
4л:
|/(6л:2-5)2 '
5л
1^(л:2 + 4)3
5
2(л: + 3) У~х* + х — 6
5 cos х—cos 5л:
2 cos2 Зл: *
sin 2л: cos2 x
J/^cos3 2л:
= л:2 cos л:.
л:2
"(cos x-\-xs\t)x)2 '
ab
~~Ь* + а*х* '
1
" 1^5 +4л:—л:2"
1
"2л:2 + 6л:+7'
Отв. y'=Va2 — x*.
1
л:2+5л: '
1
4 (х«—1) *
V7
Отв. у' =
Отв. #' =
Отв. */
, ае
2 ^л; "
2ех
От., ^-—-j—j.
Отв. ^' =^1пл (1 -j-lnx).
149

лл • arctgT ^ , *rctg*^ in a
29* y = a x Отв у'-=—а
x2+l *
зо- у-£+«"« - 0тв- y/g(^+V*)»-
j/V + l + a K1 + -
33. y = arctg—|-
l/~*=£L. Ome. $,'=-
r x4-a
№
34. у=}ГТ+1ё+
+ -—10^- ! . Отв. и' =- : .
^2 уХ+хг + \ * х
35. y = *arcsin |/ —лгу —
— У^лг-+-arctg V^x. Отв. у'=агс sin т/
л:
7 3
36. у = sin 2х cos Sjc. Отв. у" = -^ cos 7* —~-cos 3*.
о~ , tgjc—1 Л , 3 sinx+cosx
37. */ = In & . Отв. у' =^г. . -р-г—! —.
/tg2*+tgjt-f 1 2 sin3 x—cos3 x
Mlf_l/fcEffiEl 0яц д- Ж-Ш+\\
38' У- К (^_3)<^—4) • 0Ш' У - ^(*-1)(*-2Н*--3)*(*-4** *
Указание. В примере 38 применить логарифмические
дифференцирование.
39. X = yVT+£ От. %-^W
40. х = ?-Л- Отв. $-=- '*
l + ln# ' dx ху—х2 '
Указание. В примерах 39 и 40 применить правило дифференцирования
обратной функции (см. стр. 144).
§ 38. Дифференциал
Предварительно дадим краткие сведения о порядках бесконечно
малых.
Говорят, что а и |3 —бесконечно малые одинакового порядка, если
отношение -?- при а—► () и |3—►О имеет предел, который является
конечной величиной, отличной от нуля. В частности, если этот
предел равен 1, то а и (5 называются эквивалентными бесконечно малыми,
что принято обозначать так: a~|J.
150

Так, при а—»0 величины а и sin-^ бесконечно малые
одинакового порядка, так как при этом условии предел их отношения
. ос
Sin-у j
равен-g-. Величины а и sin а при а—>0 эквивалентны (<x~sina),
1: sin a «
так как lim = 1.
a->0 a
Если отношение -q—величина бесконечно малая, то говорят,
что а—бесконечно малая порядка выше, чем р. Если же отношение
ji—►оо, то а —бесконечно малая порядка ниже, чем |3,
Например, отношение
-» • о a .05
2Sin2-^- SinlT
-о
1—cos a
sin a
2 sin*-J
ot a
2 sin — cos -д-
. a
_sm2"
~" a
cosT
. a
= tgT
при a—>0. Поэтому бесконечно малая 1—cosa имеет высший
порядок малости, чем sin a при а —>0.
1. Понятие дифференциала. Из определения производной
lim &=*
следует (см. замечание 1, §27) равенство Щ* = у' + а, где а
бесконечно мала вместе с Дл;. Это равенство можно переписать в виде
Ау = у'Ах + аАх.
Пусть у'фО. Тогда первое слагаемое у'Ах пропорционально Ах,
поскольку у' не зависит от Д*. При Дх—»0 это слагаемое —также
бесконечно малая, но порядок его малости ниже порядка малости
второго слагаемого, так как для всех значений у'фб
-^гг ^0 при Ах—>0.
Поэтому слагаемое у'Ах является главной частью
приращения функции. Это слагаемое, линейное относительно Дл;, называют
дифференциалом функции y = f(x) и обозначают символом dy или
df(x). Таким образом, dy = y'Ax.
Заметив, что dx = x Ах = Ах, т. е. что дифференциал
независимой переменной равен ее приращению, можно выразить
дифференциал функции в виде
dy = y'dx
Таким образрм, дифференциал функции равен произведению ее
производной на дифференциал (или приращение) независимой
переменной.
ш

Дифференциал функции вычисляется умножением ее
производной на dx.
Так, для у = хп dy--=nxn-1dx\
у = Ух dy = -
dx
2}Гх '
» у = In х dy =—.
Поэтому и свойства производной (см. выше, § 31) сохраняются
для дифференциала.
Из равенства, выражающего дифференциал, видно, что обозна-
о , du
чение производной в виде у — -т- выражает производную как
отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента*.
2. Геометрический смысл дифференциала. Пусть некоторая
дифференцируемая функция y=zf(x) изображена кривой (рис. 83) и через
точку этой кривой М(х\у) проведены
касательная МТ и секущая ММг.
Рассматривая два треугольника MNMX и
MNT, общий катет которых MN = Ax, можно
установить, что
Ay^NM^NT + TMt.
Здесь первое слагаемое NT — MNtgy или,
так как tg<p = r/', NT = y'&x. Но, как известно,
y'Ax=--dy, а поэтому dy = NTt т. е.
дифференциал функции геометрически определяется
разностью ординат касательной к кривой при переходе от точки с
абсциссой х к точке с абсциссой х + Ах.
Заметим, что в тех же условиях приращение функции
геометрически определяется разностью ординат соответственных точек самой
кривой.
3. Инвариантность формы дифференциала. Если дана сложная
функция y = f(u), где и = у(х), то ее дифференциал
dy = yfdx (1)
в связи с выражением производной сложной функции y'=f'(u)u'
приводится к такому виду:
dy = f,(u)u,dx9 (2)
т. е.
dy =/' (u)du.
Сравнение обоих выражений (1) и (2) дифференциала указывает
на неизменность (инвариантность) его формы: дифференциал функции
* До сих пор •—• рассматривался как единый символ производной, не
связанный с операцией деления.
152

имеет всегда один и тот же вид — произведения производной на
дифференциал аргумента, который может быть как независимой
переменной, так и какой-либо дифференцируемой функцией от
независимой переменной.
Это свойство позволяет обращаться к записи дифференциала
в виде (2), когда запись в виде (1) громоздка и потому неудобна
для выполнения различных операций.
dx
Например: 1) для функции у = \п2х dy = 2 \nx —, но более
удобно пользоваться записью dy = 2 lnxdlnx; 2) для функции
у = (х2 + a2)3 dy = 6 (х2 + а2)2 xdxt но удобней пользоваться записью
dy = 3 (x2 + a2)2 d(x2 + a2); 3) для функции у = arcsinK*
dy = —r x , но удобней пользоваться записью dy^~
2Vx—x*' Y\ — x
и т. д.
Непосредственное приложение этого свойства дифференциала
имеет место в операциях интегрирования функций.
4. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Определение дифференциала как главной части приращения
функции позволяет пользоваться дифференциалом как приближенным
значением приращения функции:
dy « Ду.
Это приближенное равенство дает тем меньшую ошибку, чем
меньше значение Дх, так как ошибка определяется значением
второго слагаемого правой части равенства
Ay = dy + аДх.
Вместе с тем операция отыскания дифференциала значительно
проще вычисления приращения.
Пример 20. Ребро куба длиной в 30 см увеличено на 0,1 см.
Требуется определить величину изменения объема этого куба.
Решение. Обозначая ребро куба через х, имеем для объема
V = x\
Если величину изменения ребра обозначить через Ах, то величина
изменения объема куба будет определена как приращение функции
ДУ = (х + Ах)3 —х3 = Зх2 Ах + Зх (Ах)2 + (Ах)3.
Если же для определения величины этого изменения взять
дифференциал данной функции dV = V dx = 3x2dx, то мы допустим
ошибку против истинной величины изменения объема.
Подстановка данных значений в выражение дифференциала
определит приближенную величину изменения объема куба
dV = 3x2dx--=3.900.0,l-270^3.
Истинное же значение этого изменения определяется из
выражения приращения:
ДК = Зх2Дх + Зх(Дх)2 + (Дх)3-3.900-0,1+3-30-0,01 +
+ 0,001-270 + 0,9 + 0,001 = 270,901 см\
153

Таким образом, ошибка в связи с использованием дифференциала
для определения изменения объема куба очень незначительна —
меньше 1 см3. Этой ошибкой, конечно, можно пренебречь, так как
она менее 0,4% истинного изменения объема.
Приближенные вычисления с помощью дифференциала не
ограничиваются отысканием изменения (приращения) значения функции.
Легко вычисляется также новое (наращенное) значение функции,
когда по условию дано или может быть выделено некоторое
близкое к искомому значение функции, а также соответствующее
значение аргумента и его приращение.
Такое вычисление проводится по следующей приближенной
формуле:
f(x+Ax)&f(x) + df(x),
или
f(x+bx)&f(x) + f'(x)dx.
Пример 21. Зная, что In 75 = 4,3175, вычислить без таблиц In 73,
пользуясь дифференциалом логарифмической функции.
Решение. Исходя из того, что In(х + Ах) = Inx-f-.dInx и что
d In x = (In х)' Ал: = — Дл:, проведем требуемые вычисления, приняв
х = 75 и Ал: = — 2:
In 73 = In (75 —2) = lnJ5 + (1пл:);=7б-(—2) « 4,3175—^ «
«4,3175 — 0,0267 = 4,2908.
Сравнение с табличным значением 4,2905 указывает на
относительное отклонение менее 0,01%.
Пример 22. Найти с помощью дифференциала приближенное
значение JJ/24.
Решение. Заданной операции соответствует функция у=\/х.
Точный ближайший к искомому корень связан со значением
аргумента я = 27, а поэтому Дл=—3. Отсюда
J/24»3 + (J/^i7(-3).
По производной (Ух)'= з/-з находим (\/х)'Хяв„ =—j-
Зз/^ — ^ -/*-» з^/272
0,037. Отсюда £/24 » 3 + 0,037 •(—3) = 2,889.
"27
Упражнения
1. Пользуюсь дифференциалом, определить изменение объема правильной
четырехугольной пирамиды со стороной основания, равной 10 см, и с в#сот<$й,
равной 25 см, если при неизменной высоте каждая сторона основания
увеличивается на 0,1 см.
2
Отв. 16-*- см'6.
2. Определить объемно* расширение металлического шара радиуса #=*20 см
при его нагревании на 200° С, если известен коэффициент линейного расширения
а= 0,000012. Применить дифференциал.
Отв. 76,8л см3.
154

3. Зная, что sin 30° = 0,5, вычислить без таблиц sin 31° пользуясь
дифференциалом.
Отв. 0,515.
4. Зная, что In 85 = 4,4427, найти без таблиц In 86, пользуясь
дифференциалом логарифмической функции.
Отв. 4,4544.
5. В прямоугольном треугольнике с катетами а=\2 см и 6 = 5 см меньший
катет увеличен на 0,5 см, а больший оставлен неизменным Определить с
помощью дифференциала изменение гипотенузы.
Отв. 0,19 см.
6. С помощью дифференциала найти приближенное значение \/§.
Отв. 2,083.
7. Зная, что In 100 = 4,6052, найти, пользуясь дифференциалом (без таблиц),
In 98.
Отв. 4,5852.
8. С помощью дифференциала найти приближенное значение ^146.
Отв. 12,0833.
Глава VIII
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
§ 39. Уравнения касательной и нормали к кривой
Выше, в § 30, установлено, что угловой коэффициент
касательной к кривой, заданной уравнением y = f(x), в точке М{х\ у)
fe=lim p.
Этот предел назван производной (у'9 F(х), j-Л, техника
вычисления которой подробно разобрана в предыдущей главе.
Поэтому, если точка касания имеет координаты х0 и у0, то уравнение
касательной записывается в виде
У—Уо = У'о(х—*о)
(см. § 9), где у'ъ—k есть численное значение производной от
функции y = f(x) при значении х = х0.
Пример 1. Составить уравнение касательной к кривой у = x% l
в точке с абсциссой х0 = 2.
Решение. Находим ординату точки касания
Ищем производную
,_ \—х2
У — (*«+1)а'
Угловой коэффициент касательной в данной точке
Я-#о-(4+1)2- 25'
155

Поэтому искомое уравнение касательной имеет вид
У—т = - к(х-2)-
Упрошение этого уравнения следует выполнить учащемуся.
Нормалью к кривой в данной точке называется прямая,
проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной в этой же
точке. Поэтому уравнение нормали должно быть составлено как
уравнение прямой, проходящей через данную точку, с угловым
коэффициентом, обратным по величине и противоположным по знаку
угловому коэффициенту касательной в этой же точке. Значит, если
угловой коэффициент касательной равен y'0i то угловой коэффициент
нормали в той же точке должен равняться , а потому урав-
Уо
нение нормали имеет вид
У—Уо = ~(х—х0)9 или (х—х0) + Уо(У— УоН°-
Уо
Пример 2. Составить уравнение нормали к кривой у = \/2х+\
в точке х0 = 4.
Решение. Находим ординату y0 = V2-4;+ 1 =-3.
Ищем угловой коэффициент нормали
Уо
= — ]/'2х+1
х0=4
= —3.
1*0=4
l/"2JTfT
Отсюда уравнение нормали имеет вид
у_3=—3(х—4),
или
Зх + у—15 = 0.
Упражнения
Найти уравнения касательной и нормали к каждой из следующих кривых
в указанной точке:
1. К кривой х2 + у2 = 5 в точке (—1; 2).
Отв. 2у—х = Ъ и у+2х=0.
2. К кривой ху=4 в точке (1; 4).
Отв. у+4х — 8 и 4у—*=15.
Указание. В примерах 1 и 2 можно применить дифференцирование
неявной функции.
3. На кривой, заданной уравнением у = х2—3* + 2, найти точку, в которой
касательная к этой кривой перпендикулярна прямой Зх-\-у—4 = 0.
- (h -!)•
4. Составить уравнения касательной и нормали к кривой, заданной уравне-
i и= в точке с абсциссой х =—1.
* х2+\
Отв. 2*/ +1=0; лг+1 =0.
5. На кривой, заданной уравнением у=-х—5*+ 2, найти точку, в которой
3
касательная к этой кривой имеет угловой коэффициент k = 4.
Отв. (3; —4) и (-3; 8).
156

§ 40. Теоремы Ролля и Лагранжа
Теорема Ролля. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке
[а, Ь] и дифференцируема в каждой точке промежутка (а, Ь), а
значения ее на границах промежутка равны между собой, т. е. f(a) = f(b)y
то в этом промежутке существует по крайней мере одно такое
число с, для которого f (с) = 0.
Опуская доказательство теоремы, ограничимся геометрическим
ее истолкованием на рис. 84 и 85. Здесь видно, что параллельное
перемещение хорды, стягивающей концы заданной на отрезке [а, Ь\
дуги, в сторону ее внутренних точек приведет к касательной,
параллельной оси Ох, если только в соответствии с условием теоремы
в любой своей точке дуга кривой имеет касательную.
Замечание. Слова «по крайней мере» в условии теоремы указывают на
возможность существования не одной, а нескольких точек в промежутке (а, Ь),
для которых выполняется теорема.
Теорема Лагранжа. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке
[а, Ь] и дифференцируема в промежутке (а, &), то существует
в этом промежутке по
крайней мере одно такое
число су для которого вы-
полняется равенство
f(b)-f(a) = (b-a)f'(c).
Геометрическое
истолкование теоремы Лагранжа
(рис. 86 и 87) заключается
в том, что на дуге кривой,
соответствующей функции
y~f(x)> найдется по
крайней мере одна точка, в которой касательная параллельна хорде,
стягивающей эту дугу, если в любой точке своей дуга имеет
касательную.
Отметим важное следствие этой теоремы.
Следствие. Функция, имеющая во всех точках некоторого
промежутка производную, равную нулю, сохраняет в этом промежутке
постоянное значение.
Рис. 86
Рис. 87
157

Доказательство. Для любых Значений хг и х2 в
рассматриваемом промежутке выполняется теорема Лагранжа, т. е.
где л^ < х < х2. Но /'(.*) = О, а потому и /(х2)—/(*i) = 0, т.е.
f(xi)===f(x2) Для любых значений хх и х^ а это значит, что /г(л:) =
=const.
§ 41. Правило Лопиталя
Применение производной- позволяет легко выполнять вычисление
предела отношения двух функций, когда при х = а обе они
обращаются в нуль. Такое вычисление проводится по правилу
Лопиталя, которое основано на следующей теореме.
Теорема. Пусть даны две функции Фх{х) и Ф2(х),
дифференцируемые в окрестности точки л; =- а и обе равные нулю в этой точке,
т. е. Ф1(а) = Ф2(а) = 0. Тогда, если существует предел отношения
производных этих функций (конечный или бесконечный), то к этому
же пределу стремится и отношение заданных функций, т. е.
lim^=lim^.
х->аф2(*) х-+аФ2(х)
Доказательство этой теоремы опускается.
Использование настоящего правила имеет преимущества по
сравнению с рассмотренными в § 27 приемами вычисления пределов,
так как его применение легче этих приемов и к тому же оно
охватывает более широкий класс выражений, принимающих
неопределенный вид.
Пример 3. Найти предел отношения —3_ 195 ПРИ х—^'
Решение. Так как при х = 5 и числитель, и знаменатель
данной дроби обращаются в нули, то применяем приведенное правило,
что дает
ах fax
Пример 4. Найти lim •
*-*о х
Решение. При х=-0 имеем а°.-=60=1, а потому и числитель,
и знаменатель дроби обращаются в нуль. Использование правила
Лопиталя дает
ljmgl-M=1.m^lna-Mlnb=lna_ln6 = lna
*->0 х х-*0 l °
Это же правило применяется и в тех случаях, когда заданные
функции Фх(х) и Ф2(а:) неограниченно возрастают по абсолютной
величине при х—>а или при х—>оо.
158

Пример 5. Найти lim ^±^ .
X -* 00 Х
Решение. При лг—^оо и lnx—->оо, а потому x+lnx—> со.
Поэтому применяем правило Лопиталя, что дает
х I
X -* ос л * -+ со *
(здесь -у"—►О при х—*eoj.
Бывает так, что lim Ф1 (х) = lim Ф'2 (х) = О или lim Ф[ (л:) =
х-*- а х -* а к -+ а
= lim Og (л:) = оо или lim ®i(x) = lim Ф\(х)= оо. В таких случаях
х -*-а х -* со х -*- со
снова применяется правило Лопиталя с переходом к пределу
отношения производных второго порядка и т. д. до получения искомого
предела.
Пример 6. Найти предел выражения хге~х при х—юо.
х9
Решение. Преобразование данного произведения к дроби —
показывает, что при л:—► оо и числитель, и знаменатель
неограниченно возрастают, а поэтому следует обратиться к правилу
Лопиталя, которое применяем трехкратно:
hm ^= hm —= lim ?= lim - = 0.
Упражнений
х
1. Найти предел отношения — цри х—► ().
Отв. %.
1п х
2. Найти предел отношения -тг-г ~ ffPH *—*1.
Отв. -к-.
о
3. Найти lim *3~fl3 .
дс -+ а X—а
Отв. За*.
4. Найти lim
1+а*
П-оо l+fl^ + i'
От.. |7при|в'>1;
I 1 при | а | ^ 1.
5, Найти lim —.
х^ » хп
Отв. оо.
о. Найти предел отношения / —^—= при х-
Отв. А.
159

§ 42. Возрастание и убывание функции
Определение. Функция y = f(x) называется возрастающей
(убывающей) в промежутке (а, Ь), если большему значению х в этом
промежутке соответствует большее (меньшее) значение функции.
Это значит, что для любых значений хЛ и х2 в промежутке (а, Ь)
в случае возрастания функции неравенству хх < х2 соответствует
неравенство f(xl)<f(x2)f а в случае убывания неравенству х1 < х2
соответствует неравенство / (хх) > / (х)2. Графическое представление
возрастающей функции дано на рис. 88, а убывающей —на рис. 89.
Рис. 88
Рис. 89
Обозначая х2—хг = Ах и f(x2)—f (лгг) = Ду, можно заметить, что
при возрастании функции положительному приращению аргумента
соответствует положительное приращение функции, т. е. вместе
с Дл; > О и Ау > 0, а при убывании эти приращения
противоположны по знаку, т. е. Дл: > О, а Ау < 0.
Таким образом, для возрастающей функции отношение
приращений положительно, т. е. -^ > 0. С уменьшением Дл: знак
отношения сохраняется, но само отношение становится переменным,
стремящимся при Д*—*0
которая
Этот
к своему пределу — производной
:0.
Дл: -► 0 Л*
принимает значение у
результат позволяет сформулировать необходимый
признак возрастания функции в данном промежутке.
Теорема 1. Если функция y = f(x) дифференцируема и возрастает
в промежутке (а, Ь), то при всех значениях а <х <Ь ее
производная неотрицательна.
Аналогичные рассуждения в случае убывания функции, начиная
от исходного отношения т^ < 0, приводят к условию у'^0, что
позволяет сформулировать необходимый признак убывания.
Теорема 1а. Если функция y = f(x) дифференцируема и убывает
в промежутке (а, b)t то при всех значениях а < х < 6 ее
производная неположительна.
Эти аналитические признаки могут быть наглядно подтверждены
графически.
.160

r - >7^^ц-гн,';
На примере графика возрастающей функции (рис. 90) видно, что
касательные к кривой наклонены к оси Ох под острыми углами, за
исключением одной точки, в которой касательная параллельна оси
Ох. Такое расположение касательных определяет неотрицательные
значения их угловых коэффициентов, что приводит к условию
tg(p>0, которое равносильно аналитически установленному
необходимому признаку возрастания функции у'^0.
По аналогии с этим график убывающей функции (рис. 91)
показывает, что расположение касательных определяет неположительные
значения угловых коэффициентов, т. е. tgcp^O. Это условие
равносильно необходимому признаку убывания функции у' ^ 0.
У*
Рис. 90
Рис. 91
Достаточные признаки возрастания и убывания функции
устанавливаются следующей теоремой.
Теорема 2. Если дифференцируемая в промежутке (а, Ь) функция
у =- f (х) имеет при любом значении а < х < b положительную
(отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает)
в данном промежутке.
Доказательство. Для любой пары значений хх и х% внутри
заданного промежутка (а, Ь) выполняется теорема Лагранжа, т. е.
справедливо равенство
/(*»)—/(*i) = (*i—*i)f (с), где хх<с<х2.
Если /' (с) > 0, то при х2—хг > 0 и / (х2) —/(*!)>(), а это значит,
что в промежутке (а, Ь) заданная функция возрастает.
Если же /'(с)<0, то при х2 — х1>0 f(x2)—[(xj <0, а это
значит, что в промежутке (а, Ь) заданная функция убывает.
Функция называется монотонной в некотором промежутке, если
она только возрастает или только убывает в этом промежутке,
поэтому промежутки, в которых сохраняется один и тот же знак
производной, определяют промежутки монотонного изменения
функции.
Для исследования некоторой функции на возрастание и
убывание необходимо:
1. Найти ее производную.
Л» 2418
161

2. Определить корни производной, т. е. значения х, при
которых /'(*) = О*.
3. Разбить всю область существования функции найденными
критическими значениями х на отдельные промежутки и для
каждого из них установить, какое неравенство: /' (л:) > 0 или /' (х) < О
выполняется. Те промежутки, в которых выполняется неравенство
/' (л:) > 0, являются промежутками возрастания функции, а те, в
которых /' (л:) < 0,— промежутками ее убывания.
Пример 7. Исследовать на возрастание и убывание функцию
у = 2х* + 3х2 —36х+1б.
Решение 1. Находим производную
y' = Gx2 + 6x—36 =6 (** + *—6).
2. Уравнение 6(х2 + х—6) = 0 имеет корни хх=*—3 и #а = 2.
3. Корни производной разбивают область существования функции
на три промежутка: (—оо, —3), (—3, 2) и (2, + оо).
Производная положительна при х < хх и х > *а, т. е. в первом
и третьем промежутках, и отрицательна при хг < х < х2, т. е. во
втором промежутке**.
Таким образом, в промежутке (—оо, —3) функция возрастает,
в промежутке (—3,2)—убывает и в промежутке (2, + <*>)—снова
возрастает.
Замечание. Если при переходе через какой-либо корень хь производная
не меняет знака, т. е. при х < хь и при х > х^ выполняется одно и то же
неравенство /' (я) > 0 (или /' (х) < 0), то в соответствии с этим неравенством
функция возрастает (или убывает) и в окрестности точки *=#£.
Пример 8. Исследовать на возрастание и убывание функцию
у = (х+1)*(2х-3).
Решение 1. Находим производную
y> = (x+l)*[3(2x-3) + (x+l)2]=(x+l)*(8x-7).
2. Из уравнения (л:+1)1 (8л:—7)=0 определяем корни
производной: Х18= — 1 И *8=-£-.
3. Эти корни определяют три промежутка: (—со, —1), ( —1, -г)
и (1, +оо)
Из выраже
выражения производной у' = (х+1)г(8х—7) видно, что при
переходе через корень xlia =—1 производная не меняет знака:
и при х<— 1, и при —1 <x<-g- имеем у' <0; при переходе
* Значения х, при которых производная исследуемой функции обращается
в нуль, называются критическими.
** Знаки производной в отдельных промежутках установлены здесь на
основании известного из школьного курса правила о знаках квадратного трехчлена.
Проверка справедливости этих данных предоставляется учащемуся.
162

7 ^7
через корень *8=7Г пР0ИЗВ°Аная меняет знак: при *<-о- имеем
7 7
у' < 0, а при *>-£■, наоборот, #' > 0. Следовательно, при л: < -g-
7
функция убывает, а при #>-§-—возрастает.
Если требуется исследовать поведение функции в окрестности
определенного значения х, то достаточно подставить в ее
производную это значение х. Знак полученного числа (если производная
при этом значении х не равна нулю) решает вопрос о возрастании
или убывании функции в окрестности этой точки.
Если же в какой-то точке производная равна нулю, то
поведение функции в ней выясняется по знакам производной в
окрестности этой точки.
Например: 1) в окрестности точки х=1 функция у = 3—2х—х2
убывает, так как производная у' =—2 — 2х при х = 1 дает у'х=\ =
= -4<0;
2) в окрестности точки х=1 функция у^=2 + 3х—х2 возрастает,
так как у' = 3— 2х и уХяш1=1>0\
3) при х=1 производная функции у = (х—I)3, равная у.' =
=3(х — I)2, обращается в нуль. Тем не менее в окрестности этой
точки функция возрастает, так как при любых значениях х Ф1
в этой окрестности производная этой функции положительна [при
хф\ у' = 3(*-1)»>0].
§ 43. Максимум и минимум функции
Определение. Говорят, что функция y = f(x) имеет мак-
симум при х=х1, если для всех значений хфхг и достаточно
близких к х1 выполняется неравенство
f(x)<f(Xl). (1) Я
Аналогично, функция y = f(x) имеет
минимум при х = х2, если для всех
значений хфх2 и достаточно близких
к х2 выполняется неравенство
/(*)>/(*,)• (2)
Наглядное представление
экстремумов (максимума и минимума)
функции дает график (рис. 92); точки
кривой вблизи точки максимума
расположены ниже этой точки [/(*)</(*i)]»
а точки кривой вблизи точки
минимума расположены выше этой точки [/(*)>/(ха)]»
Существование у исследуемой функции экстремума и характер
его устанавливаются на основании следующих двух теорем.
Рис. 92
б*
163

1. Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция
y = f(x)9 дифференцируемая в промежутке (а, ft), имеет в некоторой
точке внутри этого промежутка экстремум, то ее производная
в этой точке равна нулю.
Доказательство. Пусть при х = х1У т. е. в точке с абсциссой
хх (a<xl<b), функция y = f(x) имеет максимум. Тогда на
основании соотношения (1) для значений х = х1 + Ах при достаточно малом
Да: и при Длс > 0, и при Дл: < 0, т. е. в близлежащих к хх точках
и слева, и справа выполняется неравенство
ffa + AxXfixJ, или f(x1 + Ax)-f(x1)<0.
При этом в случае Дх < 0 имеет место неравенство д " > О,
а в случае Д* > 0—неравенство д*1' < 0.
Переходя к пределам этих отношений при Дх —*0, имеем
для Дх<0 lim^^>0, а для Д* > 0 lim ^г^<0.
Ах -* 0 ах Ах -* 0 *Х
Так как оба предела в силу дифференцируемости функции в
промежутке (а, ft) определяют единственную и притом конечную
производную в точке х19 то
Hm ^=/'(*i)=0*.
Ах -* 0 *Х
Этот результат наглядно подтверждается геометрически (см.
рис. 92): в точке М (максимум) и в точке т (минимум)
касательная к кривой параллельна оси Ох, а это значит, что в каждой
такой точке
*8Ф =Л*в* = Я *=*■ = <>•
Доказанная теорема позволяет установить отсутствие у
функции экстремума, если производная исследуемой функции не имеет
действительных корней.
Например: 1) функция у = х*—Зхг+10х + 8 не имеет
экстремума, так как ее производная у' = 3х2—6х+10 не имеет
действительных корней. Эта функция всюду возрастающая, так как
трехчлен Зх2—6х+10>0 при любых значениях х\
2) функция у = 5— 12л:—хг не имеет экстремума, так как у' =
=—12—Зх2 <0 при всех значениях х и отражает монотонное
убывание функции на всей оси;
3) функции ех и е~* не имеют экстремумов, так как первая —
всюду возрастающая (ее производная е* > 0 при любых значениях х),
а вторая—всюду убывающая (ее производная —е~~х < 0 при любых
значениях х).
Вместе с тем значения х, при которых производная исследуемой
функции обращается в нуль, не всегда определяют экстремум.
* Аналогичное доказательство для случая минимума функции опускается.
1G4

Здесь следует выделить случаи, когда производная' *keW^4«#lt^
и тот же знак по обе стороны критической точки, т. е. в окрест- ^-Щ
ности ее сохраняется монотонность функции. Такой случай имеет
место, например, для функции, рассмотренной в § 42 (пример 8),
у = (х+1)Ц2х-3),
где производная обращается в нуль при значениях xli2 =— 1 и
х3--«■» но в точке ^1,2^ — 1 нет экстремума: здесь функция
убывает. Еще на примере функции y = (x—\)z мы видели, что хотя
значение х=\ и обращает производную в нуль, все же здесь имеет
место возрастание.
Таким образом, использование необходимого признака
устанавливает либо отсутствие экстремума (когда у производной нет
действительных корней), либо позволяет отобрать точки (они называются
критическими), в которых, быть может, имеется экстремум.
Существование экстремума и его характер определяет теорема
о достаточных условиях экстремума.
2. Теорема. Если производная исследуемой функции обращается
в некоторой точке в нуль * и при переходе через эту точку меняет
свой знак, то в этой точке функция имеет экстремум; если же
знак производной при переходе через данную точку не меняется, то
в ней функция экстремума не имеет.
Доказательство. Пусть в некоторой точке хх производная
функции y = f(x) обращается в нуль, причем при х < хх /' (х) > О,
а при х > хх f (х) < 0. Это значит, что в достаточно малой
окрестности точки хх слева функция возрастает и / (х) < / (хг)9 а справа
функция убывает и снова f(x)<f(xl). Но этим устанавливается,
что для всех хфхх и достаточно близких к хх выполняется
неравенство fix) </(a:1), которое и означает, что функция y = f(x) имеет
максимум в точке хх.
Пусть теперь f'(x2) = 09 но при х < х2 /' (х) < 0, а при х>х2
/'(y)>0. Это значит, что в достаточно малой окрестности точки х2
слева функция убывает и f (x)> f (х2), а справа функция
возрастает и снова f(x) > f(x2). Но этим устанавливается, что для
всех хфх2 и достаточно близких к х2 выполняется неравенство
f(x)>f(x2), которое означает, что функция у=.[(х) имеет минимум
в точке х2.
Пусть в точке х=-х.А производная функции y^f(x) обращается
в пуль, причем и слева и справа от точки х3 знак производной
один и тот же. Это значит, что
а) и при х < х3, и при х > х.6 /' (х) > 0 либо
б) и при х < х3, и при х > х.л f (х) < 0.
Но первые два неравенства указывают, что и слева и справа от
точки х3 функция возрастает, а вторые два неравенства указы-
* Случай, когда производная в этой точке не существует, в нашем курсе
не рассматривается.
165

вают, что и слева и справа от точки х9 функция убывает, т. е.
а) f(x)<f (х9) при х < xz\ f(*)>f (**) при х > х$ либо
б) !{*)>! (*«) при х < лу, f(x)<f (х3) при х > х8.
В обоих случаях функция не может иметь экстремума в точке
x = x3t так как она либо только возрастает, либо только убывает
в ее окрестности.
Полученный результат легко проиллюстрировать геометрически
(см. рис. 92). При наличии в точке хх максимума касательные к
кривой слева от точки хг образуют с осью Ох острые углы, т. е.
tgq> = t/'>0, а справа—тупые углы, т. е. tg<p=y <0.
При наличии в точке хг минимума касательные слева от этой
точки образуют с осью Ох тупые углы, т. е. tg<p=#' <0, а
справа—острые углы, т. е. tg<p = j/'>0.
Доказанная теорема позволяет составить наглядную схему для
решения вопроса о наличии экстремума и характера его в точке,
где обращается в нуль производная.
Критические
Значения
*1
ч {
Знаки у'
х<хи
1 + 1 +
к=хк
оооо
х>хк
I++I
Характер точки
Максимум
Минимум
Ни максимума,
ни минимума
Первое правило отыскания экстремума функции
I. Определяется производная исследуемой функции.
II. Производная приравнивается нулю и находятся критические
значения х, т. е. корни уравнения у' = 0 (корни производной).
III. Для каждого из найденных корней производной выясняется
наличие экстремума по приведенной выше схеме и определяется
значение функции в соответствующей точке.
Пример 9. Исследовать на экстремум функцию
*/ = 2л;8 + Зл;а —36*+15.
Решение. I. Находим производную
у' = 6ха + 6х—36 = 6 (хг + х—6).
II. Корни производной находим из уравнения
6(ха + х—6) = 0,
откуда
*! = — 3
и х2 = 2.
III. а) Исследование критического значения хг = -
*<—3; * = —3; х>— 3;
*/'>0; у' = 0; */'<0.
■3 дает;
166

Этим определяется при хг =—3 максимум, значение которойГ^9Щ
Ух^з^2(>-3)*+3(—З)2— 36 (—3)+ 15 = —54 + 27+ 108+ 15 = 96.
б) Исследование значения х2 = 2 дает:
х<2\ х = 2\ *>2;
у'<0; у' = 0; у'>0.
Этим определяется при х2 = 2 минимум, значение которого
^=2=,223 + 3.23—36-2+15= 16+ 12 —72+15 = —29.
Пример 10. Исследовать на экстремум функцию у = (х + 2)*(х— I)2.
Решение I. Находим производную
у' = (х + 2У(х-1)[3(х-\) + 2(х + 2)]=(х + 2У(х-1)(5х+1).
II. Корни производной находим из уравнения
(х + 2)2(лг—1)(5*+1) = 0,
что дает xltt = —2; xs = — -g- и л:4 = 1.
III. Последовательно исследуем каждое критическое значение:
а) при *1|2 = —2 имеем
х <С —2; х = —2; х>— 2;
*/'>0; */'=0; */'>0.
Сохранение знака производной указывает на отсутствие экстремума
в этой точке. При х==—2 значение функции у = 0;
б) при лг3 = — тг имеем
__J_. J_. i_.
*/'>0; */' = 0; </'<0.
Следовательно, при х3= — у функция имеет максимум, значение
которого
/9\V <5\а 26 244 Q A
в) при х4 = 1 имеем
х< 1; *=1; х> 1;
#'<0; у' = 0; у'>0.
Итак, при *4=1 находим минимум функции, значение которого
</* = ! = 0.
§ 44. Вторая производная и ее применение к вопросу
об экстремуме функции
Производная функции y = f(x) является в общем случае тоже
Функцией от х, и для этой функции можно рассматривать произ-
167

водную
»•>'; [ТИП Ш)-
Так получается производная от первой производной или вторая
производная, обозначаемая символами:
/; Г(х); % и др.
Отыскание второй производной заключается в выполнении над
заданной функцией y = f(x) последовательного двухкратного
дифференцирования.
Например:
1) для функции у = хь if = (5х*У = 20л;3;
2) для функции у = 1пх / = (7) =—Ж»
3) для функции у = в'** у" = (-—2хе-*2)' = —2е~*2 + \х%е~** =
= (4л;2 —2) е-**;
4) для функции у-
X
'х* + \
,,_( i—x2 у _-z2x(l+x2)—4x(l-
У -\(l+x*)*j -
-л:2)
2х*—6х ,
:(1+л:*)»;
■ 2 cos x—Arsinjc.
[+x2)V (1+jc2)3
б) для функции y = xsinx ^ = (sinA: + A:cosx)':
Переходя к использованию второй производной при
исследовании функций, мы будем в дальнейшем предполагать, не всегда
оговаривая это особо, что изучаемые функции дважды непрерывно
дифференцируемы в рассматриваемых промежутках, т. е. что вторая
производная всегда существует и непрерывна.
В определенных условиях вторая производная может
быть использована для упрощения операции отыскания экстремума
функции.
Теорема. Если в некоторой точке первая производная исследуемой
функции обращается в нуль, а вторая производная в нуль не
обращается, то исследуемая функция имеет в этой точке экстремум —
максимум при у" < 0 и минимум при if' > 0.
Доказательство. Пусть f'(c)=0, но {"(с)ф0.
По определению производной
Г(,)=Ишм,,1тш(
х-+с * ° дг-*с* с
так как по условию теоремы f'(c) = 0.
1) Пусть f"(c)>0. Тогда при значениях х, достаточно близких
к с, значение —^- будет сколь угодно близким к f(с) и,
следовательно, будет иметь место (по свойству 1° непрерывных функций,
§ 29) неравенство
/'(*)
>0.
168

-ri^B
Отсюда при х < с получим, что /' (л;) < 0; при х > с, наоборот,
f (х) > 0. Но это означает (на основании теоремы 2, § 43), что
в точке х = с функция y = f{x) имеет минимум.
2) Пусть теперь f" (с) < 0. Аналогично устанавливаем, что в точке
x = g функция y = f(x) имеет максимум.
Второе правило отыскания экстремума функции.
Доказанная теорема позволяет сформулировать второе правило
отыскания экстремума функции, в котором сохраняются пункты I
и II первого правила (см. стр. 166), но меняется пункт III,
который дается ниже:
III. Находится вторая производная исследуемой функции, и для
каждого из найденных корней первой производной вычисляются
значения второй производной.
Максимум имеет место при тех критических значениях х9 при
которых у" <0, а минимум—при тех критических значениях лг,
при которых у'1 > 0.
Значения функции в точках максимума и минимума
устанавливаются подстановкой соответственных значений х в заданную
функцию y = f(x).
Случай у" = 0 в теореме и во втором правиле отыскания
экстремума не рассматривался. Этот случай остается сомнительным.
В точке, в которой обращаются в нуль одновременно первая и
вторая производные, функция может вести себя каким угодно
образом: она может иметь максимум, минимум или вовсе не иметь
экстремума. Возможность всех этих трех случаев подтверждается
рассмотрением следующих трех функций:
у = х3, у = х* и у = —хА.
Для всех трех функций уравнение у' = 0 имеет один и тот же
корень *0=0. При этом значении х (в точке х0 = 0) обращаются
в нуль и вторые производные всех трех функций; в самом деле
(*»)* = 6*; (х*)" = 12х* и (—х*У= — 12л;2.
Между тем применение теоремы 2 § 42 показывает, что
функция у — хъ в точке 0 не имеет экстремума
» у = хх » 0 имеет минимум
» у = —х* » 0 имеет максимум
з
Пример 11. Исследовать на экстремум функцию у= ■ g .
Решение. I. Находим первую производную у' = ~.\ .
II. Из уравнения ,~ ^\а = 0 определяем критическое значение
х0=0.
III. Находим вторую производную
Г —6л 1' _ 18л:2—54
L(*2 + 9)2J ~ (х2 + 9)3 #
169

2
При х0 = О получаем У" =-$f <0\ таким образом, в точке *0 = 0
функция имеет максимум, значение которого у0 = у.
Пример 12. Исследовать на экстремум функцию у = х\п^
Решение. I. Находим первую производную */'=^lnx+l.
II. Уравнение 1пл:+1=0 дает ln* = — 1, откуда х0=—.
III. Находим вторую производную у" = ~. При х<> = у имеем
#"=е>0, чем определяется минимум со значением у0 = .
Нахождение экстремумов функции имеет очень важное значение
для различных приложений. Почти во всех практических задачах
возникает вопрос об отыскании наиболее
выгодных условий, наибольшей
производительности или наименьшей затраты
ресурсов. Все такие вопросы математически
представляют собой задачи на экстремум.
Некоторые простейшие задачи такого типа
рассматриваются нами ниже. Кроме этого,
нахождение экстремумов функции
используется при построении графиков функций
(см. § 46).
Задача 1. Из углов квадратного листа
Рис. 93 картона размером S см2 следует вырезать
одинаковые квадраты так, чтобы, согнув
лист по пунктирным линиям (см. рис. 93), получить открытую
сверху коробку наибольшей вместимости.
Решение. Если обозначить сторону вырезаемого квадрата
через х, то сторона нижнего основания коробки будет равна |/S—2х,
а высота коробки—равна х. Тогда объем (вместимость) ящика
выразится функцией V = (]fS—2х)2х.
Найдем минимум этой функции.
I. Производная этой функции V'=S—8xVS+l2x2.
II. Определяем корни производной из уравнения
(VS—2х) (VS—6х) = 0.
Это дает ^ = -^7— и x% = -L-~\ второй корень отбрасывается, как
не имеющий смысла в условиях задачи (при таком размере
вырезаемых квадратов не остается картона для дна ящика).
III» Вторая производная У = 24л;—8^5 при подстановке
значения хх = -^р- дает V = — 4 V"S < 0.
Таким образом, наибольшая вместимость ящика будет
обеспечена, если сторона вырезаемых квадратов равна одной шестой
стороны исходного квадрата.
Задача 2. Расходы на топливо для топки парохода пропорцио-
170

нальны кубу его скорости. Известно, что при скорости в 10 км/ч
расходы на топливо составляют 30 руб. в час, а остальные расходы
(не зависящие от скорости) составляют 480 руб. в час. При какой
скорости парохода общая сумма расходов на 1 км пути будет
наименьшей? Какова будет при этом общая сумма расходов в час?
Решение. Обозначим сумму расходов в час на топливо через
Ах. Тогда A1 = kvzi где коэффициент пропорциональности k
найдется из условия Лх = 30 руб. при v = 10 км/ч; это дает /МО3 = 30,
откуда k = 0,03 и AL = 0,03с/3. Сумма всех расходов за час Л =
= Аг + 480 = 0,03и3 + 480, а общая сумма расходов на 1 км пути
~ выразится в виде функции скорости f (v) = 0,03t/a H * Ищем
минимум этой функции.
I. n»)=o,06,-f _*«£=«.
II. Обращение в нуль производной приводит к уравнению
0,06t/3 —480 = 0.
Отсюда и3 = 8000, т. е. и = 20 км/ч.
960
III. Вторая производная f (v) = 0,06 + -^ при подстановке
значения 0 = 20 дает положительное число 0,06 + 0,12 = 0,18, а это
показывает, что при скорости v = 20 км/ч общая сумма расходов
на 1 км пути будет наименьшей. При этом общая сумма
расходов в час составляет: /^""^s
А = 0,03.203 + 480 = 240 + 480 = 720 руб.
I
«!
I
Задача 3. При каком соотношении между радиусом
основания и высотой цилиндр данного объема будет
иметь наименьшую полную поверхность?
Решение. Обозначая объем цилиндра (рис. 94) через _ _
V и принимая за переменную радиус основания R9 мы ^-^
имеем, с одной стороны, выражение объема V = nR2H, а Рис. 94
с другой—выражение поверхности S = 2n(R2 + RH).
После исключения Я=-^ мы можем выразить искомую
поверхность в виде функции одной переменной R.
2V
S = 2nR*+Z-£.
Найдем минимум этой функции.
2V
I. Производная S' = 4jt/?—"5а= ^
2V
II. Критическое значение находим из уравнения 4я/?—-^=0.
з г~у~
Решение этого уравнения дает R=y — t
III. Вторая производная S# = 4ji + ^3 при подстановке найден-

ного значения
дает
4V
2л
4л + 8л = 12л>0.
Это значит, что наиденное значение радиуса определяет
наименьшую полную поверхность.
Определение соответствующего значения высоты цилиндра дает
ПУ А
Таким образом, наименьшее значение поверхности цилиндра
данного объема имеет место при одинаковой величине его высоты и
диаметра основания.
Использование этого результата позволяет, например, получить
значительную экономию в расходовании жести на изготовление
консервных банок по сравнению с банками, не соответствующими
найденному соотношению между их высотой и диаметром основания.
§ 45. Направление вогнутости. Точки перегиба
Рассмотрим два типа графиков функций (рис. 95 и 96).
Независимо от наличия промежутков возрастания и убывания первый
график характерен тем, что все его точки располагаются над
соответствующими точками касательных (за исключением точек касания);
Рис. 95
такой график называют вогнутым вверх. У второго графика все
точки располагаются ниже соответствующих точек касательных, и
его называют вогнутым вниз. График функции может иметь и
различные направления вогнутости в данном промежутке (рис. 97).
В этом случае точка Р, в которой касательная пересекает график
и меняется направление вогнутости, называется тонкой перегиба.
Понятия о направлении вогнутости графика и о точке перегиба
введены по наглядным геометрическим признакам. Установим дли
функции y = f(x) аналитические условия, при которых ее график
имеет то или иное направление вогнутости, а отдельным значениям
аргумента х соответствуют точки перегиба.
Пусть график функции y = f(x) (см. рис. 95) направлен в
рассматриваемом промежутке вогнутостью вверх. Тогда переход от
172

точки Мх с абсциссой хх к точке М2 с абсциссой х.г(хх <х2) связан
с таким поворотом касательной, что ее угловой коэффициент
возрастает, т. е. tg<p1<tgcp2, где <pt — угол между осью Ох и
касательной в Mv а ф2 — угол между осью Ох и касательной в Мъ.
Замена угловых коэффициентов производными дает
n*i)<P(*i) ПРИ *1<*2'
а это значит, что при вогнутости графика функции вверх первая
производная этой функции возрастает, и, следовательно, вторая
производная неотрицательна, т. е. /" (х) ^ 0.
Аналогичные рассуждения в случае, когда график функции
y^f(x) направлен вогнутостью вниз (см. рис. 96), приводят к
заключению, что в рассматриваемом
промежутке вторая производная заданной у}
функции неположительна, т. е. f (x)^. 0.
Сформулируем на основании
полученного результата необходимый
признак определенного направления
вогнутости графика функции.
Теорема 1. Если график дважды
дифференцируемой функции направлен 0\ Х$
в некотором промежутке своей вогну- Рис 97
тостью вверх (вниз), то вторая
производная в этом промежутке неотрицательна (неположительна).
Этот признак наглядно связывается со случаями наличия
экстремума при некотором значении х (см. рис. 92). Так, максимум
функции при х = хг определяется условием Г(хх)<0, и это
согласуется с направлением в этой точке вогнутости графика функции
вниз, а минимум функции при х = х2 связывает условие f (х2) > 0
с направлением вогнутости графика функции вверх.
Установим теперь достаточные признаки определенного
направления вогнутости графика функции y = f(x).
1°. Пусть при значениях х в некотором промежутке (х[, х'2)9 где
х[ <*2, вторая производная заданной фукции y = f(x) положительна,
т. е. f (х) > 0. Тогда (см. § 42, теорема 2) в этом промежутке первая
производная, т. е. f (х), возрастает. А это означает, что точки
соответствующей кривой расположены выше касательных,
проведенных через концы промежутка, и этим определяется вогнутость
графика вверх.
2°. Случай, когда в заданном промежутке вторая производная
исследуемой функции отрицательна, т.е. f" (х) < 0, аналогичным
путем приводит к тому, что в этом промежутке график функции
направлен вогнутостью вниз. Это приводит к следующей теореме.
Теорема 2. Если вторая производная функции y = f(x)
положительна (отрицательна) в некотором промежутке, то график такой
функции в этом промежутке направлен вогнутостью вверх (вниз).
Остается выяснить признаки существования точек перегиба у
графика исследуемой функции.
173

При переходе через точку перегиба направление вогнутости
графика функции меняется. Поэтому, согласно теореме 1, вторая
производная по одну сторону от точки перегиба неотрицательна, а по
другую—неположительна. Отсюда следует, что в точке перегиба
вторая производная должна равняться нулю и при переходе через
эту точку знак f" (х) должен меняться («+» на «—» или «—» на
«4 »), ибо сохранение знака второй производной при переходе через
нуль исключает изменение направления вогнутости.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 3. График дважды дифференцируемой в некотором
промежутке функции y = f(x) имеет при х~х0 точку перегиба, если
f (л:0) = 0, и притом знаки f" (х) при х < х0 и при х > х^
противоположны, т. е.
либо f"(x)<0 при х<х0, а /"(л;)>0 при х>х0 (см. рис. 97),
либо /"(л;)>0 при х<х0, а /"(#)< О при х>х0 (рис. 98).
В виде примера рассмотрим функции у = х3 и у = х*.
о]/ ■
1\
h<o\
Рис. 98
Рис. 99
Рис. 100
График первой из них (рис. 99) имеет при х = 0 точку перегиба;
вторая производная у" = 6х в окрестности этой точки меняет свой
знак:
*<0 лг = 0 %>0
значениям х
соответствуют знаки у"
0
+
и вогнутость вниз слева переходит в вогнутость вверх справа.
График же функции у = хА (рис. 100) не имеет точки перегиба
при х = 0\ здесь нет изменения направления вогнутости, так как
вторая производная у" = 12х2 не меняет своего знака:
значениям л: я<0 л: = 0 #>0
соответствуют знаки у" + 0 + ,
т. е. и слева и справа от * = 0 вогнутость кривой направлена вверх,
а при * = 0 имеет место минимум функции с таким же направлением
вогнутости вверх.
Правило исследования функции на направление вогнутости
ее графика и на точки перегиба,
I. Находим вторую производную исследуемой функции.
II. Вторая производная приравнивается к нулю и находятся
корни уравнения */" = 0 (х[, х'2) ...).
174

III. Вся область существования функции разбивается корнями
второй производной на отдельные промежутки, и для каждого
промежутка устанавливается знак второй производной; при этом в
промежутках, где у" > 0, график направлен вогнутостью вверх, а в
промежутках, где у" < 0, —вогнутостью вниз.
IV. Среди корней второй производной выделяются те значения
х, при которых меняется знак второй производной. Этим
определяются точки перегиба.
Пример 13. Исследовать функцию у = (х + 2)*(х—1)а на
направление вогнутости и на точки перегиба.
Решение I. Находим вторую производную:
у'=(х + 2)*(х— 1)(5л:+1)* = (х + 2)2(5л:а—4л:— 1);
*/" = (х + 2)[2(5*2 —4х— 1) + (х + 2)(10*—4)] =
= 2(* + 2)(5*2 — 4x— 1+5х* + 8х—4) = 2(х + 2)(10л;2 +4л:—5).
II. Из уравнения 2(х + 2)(10л:2 + 4х—5) = 0 находим корни второй
производной: х[ =—2; х2 «—0,93 и лгз = 0,53.
III. Эти корни разбивают действительную ось на четыре
промежутка: 1) (—оо, —2), 2) (—2,-0,93), 3) (—0,93, 0,53) и
4) (0,53, + оо).
В первом промежутке (л: + 2)<0, а (10л:2 + 4л: —5) > 0 и, таким
образом, у" < 0, т. е. график направлен вогнутостью вниз;
во втором промежутке (л:+2)>0 и (10л:2 + 4л:—5) > 0 и, таким
образом, у" > 0, т. е. график направлен вогнутостью вверх;
в третьем промежутке (л: + 2)>0, а (10л;2 + 4л:—5) < 0 и, таким
образом, у" < 0, т. е. график направлен вогнутостью вниз;
в четвертом промежутке (х + 2) > 0 и (10л:2 + 4л:—5) > 0 и, таким
образом, у" > 0, т. е. график направлен вогнутостью вверх.
IV. График имеет три точки перегиба: 1) в точке х[ = —2
вогнутость вниз слева переходит в вогнутость вверх справа; 2) в точке
х2«—0,93 вогнутость вверх слева переходит в вогнутость вниз
справа и 3) в точке xz«0,53 вогнутость вниз слева переходит
в вогнутость вверх справа.
Пример 14. Исследовать функцию у^в'** на направления
вогнутости и точки перегиба.
Решение I. Находим вторую производную:
*/'=— 2xe-*z\
у" = (_2л;е-*г)' = —2г-*г—2х (—2хе'х*) = (4л:2 — 2)е'х\
II. Приравнивая вторую производную нулю, определяем ее
корни. Уравнение 4л:2—2 = 0 (второй множитель е~х* не имеет
действительных корней) дает
г'- У* и х- ^
* См. выше, пример 10.
,175

III. Этими корнями область существования функции разбивается
на три промежутка:
■>(—.--«£).*> (-£.-£) .s,(j£..).
В первом промежутке, т. е. при х < 2 , у" > О и график
направлен вогнутостью вверх; v _
во втором промежутке, т е. при 1Г~ ^ * ^ ~^Г~' У ^ и
график направлен вогнутостью вниз;
в третьем промежутке, т. е. при х > -^—, (/" > 0 и график
направлен вогнутостью ввер .
IV. График функции у = е~*2 имеет две точки перегиба: 1) при
х1=—L- в этой точке вогнутость вверх слева переходит в ВО-
cu V2
гнутость вниз справа и 2) при x2 = -L-z в этой точке вогнутость
вниз слева переходит в вогнутость вверх справа.
Пример 15. Исследовать функцию у = (\-\-х2)е* на направления
вогнутости и точки перегиба
Решение. I. Находим вторую производную:
#'=(1+х)2е*;
у" = [(1+хуе*]' = (3 + х)(1+х)е*.
II. Определяем корни второй производной из уравнения
(3 + х)(1 + *) = 0: х[ = —3 и *; = —1.
III. Этими корнями область существования функции разбивается
на три промежутка: 1) (— оо, —3), 2) (—3, —1) и 3) (—1, оо).
В первом промежутке, т. е. при х < —3, у" > 0 и график
функции направлен вогнутостью вверх;
во втором промежутке, т. е. при —3 < х < —1, у" < 0 и график
функции направлен вогнутостью вниз;
в третьем промежутке, т. е. при х> — 1, />0и график
функции направлен вогнутостью вверх.
IV. Перемена знаков второй производной в точках х[ = —3 и
х'2 = — I указывает, что обе они являются точками перегиба графика
заданной функции.
Для рассматриваемой функции характерно то, что х2 = — 1
является двойным корнем первой производной. Поэтому в
соответствующей точке не выполняется достаточное условие существования
экстремума. Отсюда у = (1 + х2)е*—монотонно возрастающая функ- \
ция, график которой имеет две точки перегиба. Эти особенности \
данной функции будут отражены при построении ее графика в
следующем параграфе.
176

§ 46. Исследование функций и построение их графиков
Рассмотренные в настоящей главе приложения производной
позволяют исследовать весь ход изменения функции и по полученным
результатам построить ее график. При этом используются некоторые
ранее изученные вопросы об области существования функции и ее
непрерывности.
Вся схема построения графика функции основана на выяснении
следующих вопросов:
а) область существования функции, точки разрыва;
б) симметрия графика;
в) поведение графика в окрестности каждой точки разрыва;
г) поведение в бесконечности (горизонтальные асимптоты);
д) точки пересечения графика функции с осями;
е) промежутки возрастания и убывания и точки экстремума;
ж) промежутки вогнутости вверх и вниз и точки перегиба;
з) сводная таблица и построение графика.
В каждом отдельном примере могут быть
пропущены пункты, не имеющие отношения к данной
функции. Так, если дается многочлен, то можно опустить вопросы
о точках разрыва и горизонтальных асимптотах; если отсутствуют
признаки четности или нечетности функции, можно опустить пункт
о симметрии и т. д.
Заметим, что ответ на вопрос пункта о точках пересечения
кривой с осью абсцисс связан с решением уравнения /(#) = 0, корни
которого бывают простыми или повторяющимися — кратными.
В точках, соответствующих простым корням или повторяющимся
корням нечетной кратности, график функции пересекает ось Ох,
а функция, переходя через нулевое значение, меняет свой знак.
В точках же, соответствующих повторяющимся корням четной
кратности, график функции касается оси Ох, а функция, переходя
через нулевое значение, не меняет своего знака.
Так, для функций у = х, у = х*, у = хь, ... корень х = 0
определяет точку пересечения графика с осью Ох (для всех одну и ту
же—в начале координат), а для функций y = x2f у^х*, у = х*, ...
тот же корень определяет точку касания графика с осью Ох в виде
вершины кривой.
Пример 16. Построить график функции у = х*—8х2+16.
Решение, а) Являясь многочленом, заданная функция
определена (существует) и непрерывна на всей действительной оси.
б) Четность функции указывает на симметрию ее графика
относительно оси ординат (см. замечание в конце § 21).
в) При |лг| —^ оо Ит(х* — 8х2 + \6)=+оо, т. е. точки графика
с возрастанием значений \х\ удаляются вверх от оси абсписс.
г) Точку пересечения графика с осью Оу определяем
подстановкой в функцию значения х = 0, что дает (0; 16); точки пересечения
графика с осью Ох находим, приняв # = 0, из уравнения хА—8х2~\-
+ 16—-0, корни которого х12 = — 2 и х34 = 2 являются абсциссами
точек (—2; 0) и (2; 0). Но в этих точках график не пересекает,
177

I
X
У
У'
if
— оо < х <—2
+
—
+
Убывание с
вогнутостью |
вверх
—2
0
0
+
Минимум
9
—2<х< —
^3
+
+
+
Возрастание
с вогнутостью
вверх
2
У~ъ
4
12,3
0
Перегиб
Г
2
-?= <*<0
+
+
—
Возрастание 1
с вогнутостью
вниз
а касается оси Ох, так как каждое из чисел—2 и 2 является
двойным корнем данной функции, в чем легко убедиться, записав ее
а виде у=(х + 2)*(х—2)2.
д) Найдем промежутки возрастания и убывания функции и
точки экстремума. Первая производная данной функции у' =4х* — 16а:,
преобразованная к виду 4х(х2—4), позволяет определить три ее
корня: *! = — 2, ха = 0, *3 = 2.
Эти корни разбивают всю действительную ось на четыре
промежутка:
1)(—оо, -2), 2) (-2, 0), 3) (0, 2) и 4) (2, ею).
В первом промежутке, т. е. при значениях л:<—2, имеет место
у' < 0, следовательно, функция убывает;
во втором промежутке, т. е. при значениях — 2 < х < 0, имеет
место у' > 0 и функция возрастает.
Четность данной функции или симметрия ее графика
относительно оси Оу позволяет установить, что в третьем промежутке
функция убывает, а в четвертом — возрастает.
Справедливость этих характеристик для каждого из промежутков
легко проверяется; так, любое значение х из первого промежутка
обращает производную в отрицательное число (например, |y/|JC=_3=
=—108 + 48 = — 60 <0), любое значение х из четвертого
промежутка обращает производную в положительное число (например,
IУ'|*.4 = 256-64= 192 >0).
Рассматривая поведение первой производной в окрестности
каждого ее корня, имеем
178

0
16
0
—

Максимум
2
0<x<-j=
+
—
—
Убывание с
вогнутостью
вниз
2
4
—12,3
0
Перегиб
1v
~h<x<2
+
—
+
Убывание с
вогнутостью
вверх
2
0
0
+
Минимум
2 < х < оо
+
..+
+

Возрастание с
вогнутостью
вверх
для хх =— 2 при х <—2 х = — 2 л:>—2
имеем у' < 0 */' = 0 у' > О,
чем определяется минимум функции в точке (—2; 0);
для х2 = 0 при х<0 # = 0 х>0
имеем у' > 0 у' == 0 #' < О,
чем определяется максимум функции в точке (0; 16).
Для х3 = 2, исходя из симметрии графика относительно оси Оу,
определяем минимум функции в точке (2; 0).
е) Найдем промежутки вогнутости графика вверх и вниз и точки
перегиба. Вторая производная данной функции y" = (4xz — 16л:)' =
= 12ха—16 имеет два корня *i =
2
7Т
И Х«=—тг=-
v2 — -^=-, которые
разбивают действительную ось на три промежутка:
2 \ ЛЧ / 2 2
1)(-°°' -тт)'2)(-
/v /■
т) и3)(тт* °°>
В первом промежутке, т. е. при значениях х < -
}/"з *
имеет
место #" > 0, следовательно, график направлен вогнутостью вверх;
во втором промежутке, т. е. при значениях
h <x<~h'
имеет место у" < 0, а это значит, что график обращен своей
вогнутостью вниз;
179

X
У
У'
у*
00
— 00
Возрг
гнуто
(-со,
-2)
—
+
—
— 3
— 16
+
—
1стание с во-
стью вниз
— 2
0
0
0
Перегиб
4>
(-2, —0,93)
+
+
+
Возрастание
с вогнутостью
вверх
— 0,93
4,6
+
0
Перегиб
(-0,93,-0,2)
+
+
—
Возрастание
с вогнутостью
вниз
в третьем промежутке, т. е. при значениях дс>
Г!'
имеет
место вогнутость графика вверх (у* > 0).
2 2
Точки х[ = -=г и д£ = —=г характеризуются, таким образом,
уз уз
тем, что в каждой из них происходит перемена направления
вогнутости графика. Действительно,
2 2 2 2
ДЛЯ Х[= =" ПРИ *< 7=" *= 7=" *> 7="
А 1 |Лзк >^з ^зу^з
имеем />0 #" = 0 */"<0,
чем определена точка перегиба (—-=■; 7-§Л;
для х'% = —?=- при х<
^з
Уз
имеем у" < О
^3
2
чем определена точка перегиба (-гг=-; 7-g-J
На основании полученных во всех пунктах
данных составляем сводную таблицу (см. стр.
178 и 179).
По этим данным вычерчиваем график заданной
функции (рис. 101).
В рассмотренном примере мы ограничились
фиксированием лишь полученных в ходе
исследований характеристических точек (к ним
относятся точки пересечения с осями, точки
экстремума и точки перегиба) графика данной
функции. Но в других случаях бывает полезно для уточнения
брать еще и обыкновенные точки внутри промежутков между
характеристическими точками.
Рис. 101
180

-0,2
8,4
0
—

Максимум
(-0,2, 0,53)
+
—
—
Убывание
с
вогнутостью
вниз
0,53
7,7
—
0
Перегиб
(0,51,1)
+
—
+
Убывание
с
вогнутостью вверх
1
0
0
+

Минимум
2 jd,»)
64
+
+
+
+
+
00
00
Возрастание с
вогнутостью вверх
Пример 17. Построить график функции у = (х + 2)*(х— I)2.
Решение. Для этой функции в примере 10 определены
промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремумов и в
примере 13— направления вогнутости по промежуткам и точки
перегиба. Эти результаты следует пополнить
данными по недостающим пунктам
исследования:
а) функция существует и непрерывна на
всей числовой оси;
г) при х— +—оо имеем у—>—сю, при х —*оо
имеем у—^ оо;
д) с осью Оу график функции
пересекается в точке (0; 8), с осью Ох — в точках
(—2; 0) и (1; 0), причем в последней (в связи
с четной кратностью корня) имеет место
касание с осью Ох.
На основании всех данных исследования
функции составляем сводную таблицу (стр. 180
и 181). Вычерчиваем график заданной функции (рис. 102).
х2 -4-4
Пример 18. Построить график функции у= 2_4.
Решение, а) Областью существования этой функции является
вся действительная ось, за исключением двух точек хх -= — 2 и х2 = 2,
в которых имеет место разрыв непрерывности, так как функция в
этих точках не определена.
б) Четность функции определяет симметрию ее графика
относительно оси Оу.
в) Точкам разрыва хх =— 2 и х2 = 2 соответствуют
вертикальные асимптоты х = —2 и х = 2. При этом в окрестности
первой точки разрыва слева (и симметрично в окрестности второй
точки разрыва справа) точки кривой, приближаясь к асимптоте,
неограниченно удаляются в сторону положительных ординат,
181

1 8
8
V
X
V
сч
сч
сч
V
X
V
о
-
о
1 *"*
1
о
V
X
V
сч
1
сч
1
1 С*
1
V
X
V
1
8 I
1 j
X
1 -
+
>*
о
X
1
ю|со
1
т
ю|со
1
1
i
о
33
+
-
й>
1
*
1
1
о
+
+
л
+
"&1
1
+
л
1
1
1
1
1
«
+
*
^
Убывание с
вогнутостью
вверх
2- _У
И СО ^-^-ч
Убывание с
вогнутостью
вниз
s • -*•
гг
а 1ч
^
Возрастание
с вогнутостью
вниз
И со <v
9 PQ ^^V
Н о.
Возрастание
с вогнутостью
вверх
так как при х < — 2
*а+4
limFTT
: СО.
(так же ведут себя
точки кривой,
приближаясь ко второй
асимптоте при х > 2).
В окрестности первой
точки разрыва справа
точки кривой,
приближаясь к
асимптоте, неограниченно
удаляются в сторону
отрицательных
ординат, так как при
х>— 2
*а+ 4
= —сю
(симметричное
поведение точек кривой в
окрестности второй
точки разрыва
следует подтвердить
учащемуся аналогичным
исследованием).
г) Исследуем
поведение функции в
бесконечности. С
возрастанием по
абсолютной величине
значений х, начиная с
Jx|>2, значения
функции убывают, а
так как
,. *а+4 ,
то график функции
имеет
горизонтальную асимптоту у = 1,
к которой точки его
приближаются со
стороны ординат у > 1,
т. е. сверху.
д) С осью Оу
график функции
пересекается в точке
182

(0; — 1), а с осью Ох график не пересекается, так как числитель"4
данной функции не имеет действительных корней. Вместе с тем знаки
функции меняются при переходе значений х черве абсциссы точек
разрыва, а именно: значениям \х\ > 2 соответствуют значения у > 0,
а значениям | х \ < 2 — значения у < 0,
е) Найдем промежутки возрастания и убывания функции и точки
экстремуму. Производная заданной функции у' =*— 1в* ■ имеет
0. Поэтому {х ~"4)
х<0 х = 0 х >0
имеем у' > 0 у' = 0 у' < 0
чем определяется максимум функции (0; — 1).
ж) Найдем промежутки вогнутости вверх и вниз и точки перегиба.
По второй производной
16(3*2 + 4)
своим корнем х0
при значениях
У"-
(х2—4)8
Ук
видно, что она не имеет действительных корней, и это исключает
существование у графика функции точек перегиба. Вместе с тем по
корням знаменателя (—2 и 2) можно установить, что знаки у" при
переходе через эти значения х меняются. В самом деле,
при |х|<2 |*!<2
имеем i/">0 у"< 0
Отсюда следует, что:
при х < — 2 график направлен вогнутостью вверх;
при |х|<2 график направлен вогнутостью вниз;
при х > 2 график направлен вогнутостью вверх.
На основании полученных
данных составляем таблицу (см.
стр. 182).
Вычерчиваем график заданной
функции (рис. 103).
Пример 19. Построить график
функции у = е~х2.
Решение. График этой
функции называют кривой Гаусса.
Это—частный случай графиков
_ **
функций вида у = е 2<J1,
связанных с вопросами распределения вероятностей.
а) Областью существования этой функции является вся
действительная ось.
б) Четность показателя степени указывает на симметричность
исследуемой функции относительно оси Оу.
г) С возрастанием по абсолютной величине значений х значение
функции стремится к нулю, так как
/N
Рис. 103
4
lim e~*2= lim —s = 0.
I* I-**
\Х l-* С» в"
X*
133

*kr
8
<N
-
0,7
0,5
о
о
V
н
V
f
i
о*
1
V
*
V
1
8
1
x
о
0,13
0,36
0,6
0,8
~
+
о
+
о
;s>
1
1
1
1
о
+
+
+
*з>
+
+
О
1
I
1
о
+
%
^
Убывание с
вогнутостью вверх
Перегиб
Убывание с
вогнутостью вниз
1 ^
Возрастание с
вогнутостью
вниз
Перегиб
У
Возрастание с
вогнутостью
вверх
Поэтому график
функции имеет своей
асимптотой ось Ох> располагаясь
над этой осью, так как
функция при всех
значениях х положительна.
д) График пересекается
только с осью Оу в точке
(0; 1).
е) Производная
исследуемой функции
у'— —2хе~х* имеет своим
корнем х0 = С. При
отрицательных значениях х
производная положительна, а
при
положительных—отрицательна. Поэтому в
точке х0 = 0 функция имеет
максимум (0; 1).
ж) Вторая производная
у" = (4л:2—2) е**2 имеет два
корня: х[=—--=«—0,71
и симметричный ему х\ =
:=JL«0,71.
Эти корни разбивают
всю числовую ось на три
промежутка:
1) (-00, -^).
2>(-7?'7т)-
3)(^.оо).
В первом промежутке yf >0
и график направлен
вогнутостью вверх;
во втором промежутке
у" < 0 и график
направлен вогнутостью вниз;
в третьем промежутке
у" > 0 и график направлен
вогнутостью вверх.
Поэтому корни второй
производной определяют
точки перегиба графика
184

с координатами (—0,71: 0,61) и (0,71; 0,61) значения функции
подстановкой значения
>,6ll.
в этих (симметричных) точках найдены
1 -JL ! ~
х =-7=, откуда у = е 2=-7^«0,i
з) Составляем таблицу (стр. 184) по результатам исследования
с присоединением данных по некоторым дополнительным точкам.
При этом для уточнения вида графика будем, учитывая симметрию,
фиксировать данные по промежуткам и их граничным значениям
при х < 0, а данные по характеристическим и обыкновенным
точкам—при л:> 0.
По этим данным вычерчиваем график (рис. 104).
Пример 20. Построить график функции у = (2х—3)е'х.
Решение, а) Функция существует и непрерывна при всех
действительных значениях х (последнее следует из непрерывности
обоих ее множителей).
X
~У
»'
V
— 00
— 00
—2
-52
+
—1
—13,6
+
0
-3
+
1,5
0
+
Возрастание с вогнутостью вниз
г г г г
2,5
0,16
0

Максимум
3,5
0,12
—
0
Перегиб
4
0,092
—
+
00
0
Убывание с
вогнутостью вверх
г) Рассматривая поведение функции в бесконечности, можно
показать, что оно различно для значений х —>—со и х —*оо. Это
выясняется применением правила
Лопиталя при отыскании предела
функции. В случае х—юо имеем
lim(2x —3)е~* = 0; в случае же
х—у— оо имеем lim(2x—3)е~*= —со
(учащийся должен это проверить).
Поэтому, удаляясь от оси Оу влево,
точки графика безгранично уходят в
направлении отрицательных ординат; с возрастанием же
положительных абсцисс точки графика постепенно приближаются к
оси Ох, которая оказывается здесь горизонтальной асимптотой
графика данной функции.
185

д) С 9йъю ординат график функции пересекается в точке (0; —3),
а с осью абсцисс—в точке (1,5$ б), переходя при этом из нижней
полуплоскости в верхнюю (при #<i,5 значения у<0, а при
х > 1,6 значения у > 0).
в) Первая производная у1 = [(2лг—3) е~*]' = (5—2х) е~х
обращается в нуль при я0 = 2,6. Этой точкой вся числовая ось
разбивается на Два промежутка: 1) (— оо, 2,5) и 2) (2,5, оо). В первом
промежутке, т. е. при* < 2,6, имеем у' > 0, т. е. функция возрастает;
во втором промежутке, т. е. при х > 2,5, имеем у} < 0, т. е.
функция убывает.
В самой точке х0 = 2,5 функция имеет максимум, значение которого
ж) Вторая производная у" = (2х—7)е~х обращается в нуль при
лГо = 3,5. Этим определяется точка перегиба (3,5; 0,12), так как при
значениях х < 3,5 имеем у" <0, т.е. график направлен
вогнутостью вниз, а при значениях х > 3,5 имеем у" > 0, т. е. график
направлен вогнутостью вверх.
з) Составляем таблицу (стр. 185) по результатам исследования
с присоединением данных по некоторым1 дополнительным точкам.
По всем полученным данным вычерчиваем график функции
(рис. 10&).
Пример 21. Построить график функции у = (\+х2)ех.
X
У
У'
У"
— ОО
0
'
—4
0,31
+
+

Вогнутость
вверх
-3
0,6
0,2
0
Перегиб
—2
0,68
+
—

Вогнутость
вниз
-1
0,74
0
0
! Перегиб
0
1
+
+
1
5,4
+
+
2
37
+
+
ОО
00
'
Вогнутость
вверх
Функция
везде

возрастает
Решение. Исследование этой функции в примере 15 показало,
что она имеет две точки перегиба (при хх = —3 и х2 = —1) и
является монотонно возрастающей. Так как все значения функции
положительны, то они (в условиях возрастания) могут изменяться
от- нуля до бесконечности. Поэтому, располагая лишь двумя
характеристическими точками, следует ввести в таблицу еще ряд
обыкновенных точек, что позволит правильно представить график функ-
186

ции на некотором отрезке. Этой же цели будет соответствовать
введение в таблицу значений угловых коэффициентов касательных
(т. е. значений у') в точках перегиба. Кроме того, поведение
функции при *■—>— оо, где lim[(l + х*)е*]=0, указывает, что график
Рис. 105
Рис. 106
имеет ось Ох своей односторонней (левой) горизонтальной
асимптотой.
Составляем таблицу (стр. 186) и вычерчиваем график (рис. 106).
Упражнения
Исследовать на возрастание, убывание и на экстремумы следующие функции:
1. у = 2х2—8.
Отв. При х < 0 убывает, при х > 0 возрастает, минимум (0; —8).
2. у = 2х—хг.
Отв. При х < 1 возрастает, при х > 1 убывает, максимум (1; 1)
3. у = е*.
Отв. Всюду возрастает.
4. у = х\пх.
Отв. При 0 < х < — убывает, при х > — возрастает, минимум ( —; ] .
5. у^х*—9*2-f-15*—3.
Отв. При х < 1 возрастает, при 1 < х < 5 убывает, при х > 5 возрастает,
максимум (1; 4) и минимум (5; —28).
х
Отв. При х < —2 убывает, при —2 < х < 2 возрастает, при х > 2 убывает,
минимум (—2; —-т-) и максимУм (2; -г-).
7. Требуется изготовить коническую воронку с образующей /=18 см. При
какой высоте воронка будет иметь наибольшую вместимость?
Отв. h = 6 ^З" с*.
8. Каковы должны быть размеры открытого сверху цилиндрического бака,
чтобы при данном объеме V его поверхность была наименьшей?
6. у--
О те,
.,_,. уг.
187

9. В окружность радиуса R вписан равнобедренный треугольник. При
каких значениях основания и высоты площадь треугольника будет наибольшей?
Отв. a = R l/~3,/i=-|/?.
10. При каком соотношении между высотой и радиусом основания
потребуется наименьшее количество материи для изготовления* конического шатра
данной вместимости?
Отв. h = r yT.
И. Внутренняя поверхность бака, имеющего форму цилиндра, равна 1,75 м2.
Найти возможную наибольшую емкость бака.
Отв. 0,2513 л3.
12. Строится открытый бассейн с квадратным основанием вместимостью
4000 м*. Требуется так выбрать его размеры, чтобы количество облицовочного
материала (в м2) оказалось наименьшим.
Отв. 1200 м2.
13. Прямая, проходящая через точку (3; 8), отсекает в I четверти
треугольник. При каком угловом коэффициенте этот прямоугольный треугольник будет
иметь наименьшую площадь?
8
Отв. При k= —х~.
14. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см. Установить
размеры катетов, при которых треугольник будет иметь наибольшую площадь.
- Отв. а = Ь = 4 У~2 см.
Определить координаты точек перегиба графиков следующих функций:
15. у = (х-2)*(х + 3). Отв. (-1; -391) и (2; 0).
Л'=?$*■ 0ш' (-7Г;т)и(тг^)-
17. у=(3х+2)е-*. Отв. (j; 1,584V
Выполнить исследование и построить графики следующих функций:
18. у=12х—*3. 19. 0 = **—2*2+1.
* at 3*2
*2 + 1б- *" * х2 + у
(2*+3)е-*. 23. у-
24. у«=(*-1)(*+3)*. 25. у--
22. у~(2х+Ъ)е~*. 23. у = е 4.
_х2+2

Раздел четвертый
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава IX
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 47. Первообразная функция и неопределенный интеграл
Одной из задач, потребовавших введения производной, явилась
задача отыскания углового коэффициента касательной к кривой,
представляющей собой график данной функции, в любой точке этой
кривой.
Пусть теперь поставлена обратная задача: найти функцию,
представляемую такой кривой, что касательная к ней имеет угловой
коэффициент, определенный для абсциссы любой точки касания.
Очевидно, искомая функция определяется в этой задаче тем,
что ее производная — известная функция х.
Значит, для решения поставленной геометрической задачи
требуется ввести новую операцию, обратную операции
дифференцирования,—отыскание функции по заданной ее производной.
Определение. Функция F(х) называется первообразной по
отношению к функции f (х), если при каждом значении х в
некотором промежутке производная функции F (х) равна функции
f(x), т. е.
F'(x) = f(x),
или, что то же,
dF (х) = f (x) dx.
Например: 1) F(x)=x* есть первообразная для f(x) = 4x9, так
как (л:4) = 4л:3;
2) F (х) = sin х есть первообразная для / (х) = cos xt так как
(sin a:)' =cosa;;
3) F (х) ~ 2 \^х есть первообразная для f(*) = -y=, так как
(2/Л' = 2--*- = -!=.
V 2 Yx Vx
Однако, если отыскание производной данной функции —операция
однозначная, то отыскание первообразной является операцией не
однозначной. Так, например, очевидно, что для f(x) = 4x*
первообразной будет не только л:4, но и л:4+ 5; х4— 5 и х4 + 21 и т. д.,
т. е., вообще говоря, функция вида х4 + С, где С — любое число.
Теорема. Если F(х) и Рг(х) две различные первообразные одной
и той же функции f(x)t то они отличаются на постоянную, т. е.
Fl(x)^F(х) + С9 где С—постоянная.
Доказательство. Пусть, помимо F(x)9 еще и Ft(x) является
первообразной для f(x) в некотором промежутке значений х. Тогда
189

по определению первообразной
F'(x) = f(x) и F'x(x)=f(x).
Следовательно,
Fi(x)—F'(x) = 0.
Заменяя разность производных производной разности, имеем
[Fl(x)-F(x)Y^0.
Это значит, что производная функции C(x) = F1(x)—F (х)
тождественно равна нулю в некотором промежутке. Но тогда на
основании следствия из теоремы Лагранжа (§ 40) С (х) в этом
промежутке есть постоянная. Отсюда
F1{x)—F(x) = C, или Fl(x) = F(x) + C.
Возвращаясь к поставленной выше геометрической задаче,
рассмотрим ее частный случай—будем искать уравнение кривой, любая
касательная к которой имеет угловой коэффициент, равный абсциссе
точки касания.
Так как угловой коэффициент касательной к кривой численно
равен значению в данной точке производной от функции y = F(x),
соответствующей этой кривой, то для любых значений х имеем
F'(x) = x.
По этой производной нетрудно записать функцию
y = F(x) = j,
которая удовлетворяет условию задачи.
х2
Но кривая, определяемая уравнением У^у» не является
единственной, удовлетворяющей заданному условию относительно углового
коэффициента касательных к ней. Этому
условию удовлетворяет и любая другая парабола
X2
из семейства # = -j+C, где С представляет
значение переменной ординаты вершины па-
х2
раболы. На рис. 107, кроме параболы у = -% ,
показаны еще параболы
у2 у2 у2
у = % + 1\ y = \-U У = ^-2.
Рис. 107 У всех этих парабол угловой коэффициент
касательных при одинаковых абсциссах один
и тот же; например, при х = 1 он равен 1, при х == 2 он равен 2 и т. д.
X2
Отыскание в этой задаче уравнения кривой в виде y^-j + C
по характеру выполненной операции говорит о том, что это уравнение
удовлетворяет определению первообразной для данной функции.
Вместе с тем наличие семейства парабол, отвечающих заданному
190

условию об угловом коэффициенте касательных, наглядно
подтверждает, что отыскание первообразной—операция многозначная.
Запись F(x) + C, выражающая любую первообразную для
функции }(х), указывает на бесконечное множество этих первообразных,
различающихся между собой на какое угодно постоянное слагаемое.
Операция отыскания первообразной для данной непрерывной
функции называется интегрированием, а вся совокупность
первообразных называется неопределенным интегралом этой функции.
Соответствующая связь между данной функцией и ее
неопределенным интегралом записывается формулой
^f(x)dx = F(x) + C.
Символ J означает операцию интегрирования заданной функции
f(x), которая называется подынтегральной функцией, а произведение
/ (лг) dx—подынтегральным выражением.
§ 48. Свойства неопределенного интеграла
Определение первообразной и неопределенного интеграла
основывается на том, что операции интегрирования и дифференцирования
взаимно обратны.
Такая связь между этими операциями заключается в том, что
последовательное выполнение над некоторой функцией интегрирования
и дифференцирования восстанавливает исходную функцию, причем
если последняя операция есть интегрирование, то результат
содержит дополнительное слагаемое С:
a) d^f(x)dx = d[F(x) + C]=f(x)dx
и
б) $dF(x)=$f(x)dx = F(x) + C.
Это соотношение между операциями интегрирования и
дифференцирования является основным: оно используется при установлении
свойств неопределенного интеграла, служит для вывода большинства
формул интегрирования (табличных интегралов), и, кроме того, оно
позволяет проверять правильность выполненного интегрирования.
Свойство 1°. Постоянный множитель можно выносить за знак
интеграла:
[kf(x)dx = k[f (x) dx.
Доказательство. Справедливость этого свойства вытекает
из того, что дифференциал правой части оказывается здесь равным
подынтегральному выражению левой части:
d\k[f(x)dx~\=kd[f(x)dx = kf (x) dx.
191

Свойство 2°. Интеграл от конечной алгебраической суммы^
функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:
\[fAx) + fAx)-fAx))dx=\f1{x)dx+\f,{x)dx-]fz{x)dx.
Доказательство. Справедливость этого свойства
доказывается таким же образом: дифференцируя обе части равенства, имеем
d[\f1(x)dx+\f2(x)dx-\fz(x)dx] = d\fl(x)dx +
+ d\f2(x)dx — d[f3 (x) dx = /t (x) dx + f2 (x) dx —
-h(x)dx=[f1(x) + h(x)-h(x)]dx.
С другой стороны,
d\[f1(x) + f2(x)-fs(x)]dx==[fl(x) + f2(x)-h(x)]dx.
Свойство 3°. Вид интеграла не меняется при переходе от
переменной х к переменной и, где и—дифференцируемая функциях.
Поэтому, если
\f(x)dx = F(x) + C,
то и
^f(u)du = F(u) + C.
§ 49. Таблица основных интегралов и непосредственное
интегрирование
Основные формулы интегрирования получаются обращением
формул дифференцирования. При этом целесообразно использовать те
формулы дифференциального исчисления, в которых за аргумент
принимается переменная и, являющаяся дифференцируемой
функцией х.
Заметим, что справедливость каждой формулы проверяется
дифференцированием:
I. ^du = u + C\
И. §u"du=^{+C (при пф-\).
Проверка этой формулы дает
\п+\ J л-fl
Ш. J^=in|a| + C, так как d(ln|a| + C) = ^ du = d£ *;
IV. j^du-^-aa + C, так как d[i^fla+c]==
= -;— ап In a du = aa du\
In a
l
* Здесь применяется свойство инвариантности дифференциала (см. § 38).
Ю2

IVa. ^e*du = e* + C;
V. ^cosudu = slnu-\-C, так как d(sini/ + Q = cos«da;
VI. ^ sini/dtf = — cosu + C, так как d( — cosu + C)= —dcosu^
= sm и du;
vn- ?7^ = ^" + с> так как d(tgu + C)=-^dw = -^;
J COSz И & \ ь » / COS2 U COS2 И
VIII. VSlSli= —ctgu + C, так как d(— ctgu + C)=— dctga =
l
" sin2 a"
du = -4
du
sin4 и
IX- l^=Tarct2T + C' ™" как d[^arCt^ + C] =
1 , и du
a & a а2 + и2
X. I r u =arcsin—+C, так как d arcsin — + C =
|A /jkV ^fl/ j/а^м2 *
XI- J J2^2 = 25In|^^| + C (вывод дается ниже, в примере 16);
XII. Г d2U ^ln\u + Vu2±a2\ + C (вывод см. в конце § 50).
Первоначальные навыки по интегрированию связаны с так
называемым непосредственным интегрированием, охватывающим
применение табличных интегралов, использование свойств Г—3° и
некоторых элементарных преобразований, приводящих подынтегральное
выражение к виду какого-либо табличного интеграла.
С х7
Пример 1. \ х* dx = -=-+C (формула II).
Пример 2. Найти неопределенный интеграл J \/xdx.
Предварительно приводим радикал к степени с дробным
показателем, а затем интегрируем. Это дает
1 l/xdx= [x~dx = ^ + C==jXi/x + C.
Пример 3. J^ = Jx-»£fa = ^?r + C=-^ + C--3iT+C.
Примере j-^=j*-Td* = ^ + C=-_^= + C.
7 № 241*
193

Примерб. \4Vxdx = 4 \*« dx =^- + C=^xVx + C.
T
Здесь предварительно применено свойство 1Q (см. § 48).
Пример 6. Ux—x*)dx={xdx— (Vd* = y—j + C.
Здесь предварительно применено свойство 2° (см. § 48).
Пример 7. Найти \2^x~lx*dx.
J Бх у х
Решение. Предварительно выполняется деление, а затем
применяются свойства 2^ и 1°:
Теперь выполняется интегрирование по формулам (III) и (II):
Окончательно имеем
[2^x~^tdx = l(ln\x\-xV'i) + C.
Примере. \ соответствует формуле (II), если принять
dx*
\пх = и$ откуда — = dlnx = du. Поэтому
*J!*£*-Jln«*Ilii*=^+C.
Пример 9. \ sin4 x cos x dx соответствует той же формуле, если
учесть, что со$хdx = d sin х. Поэтому
\ sin4 х cos x dx = \ sin4 xd sin x = -g- sin6 x + C.
Пример 10. ^ = J*£±£> = ln|* + «| + C.
Здесь учтено, что d;c = d(A: + a) для всякого числа a.
Пример П. j**-j!<£^el„(*. + 6) + C*.
Здесь учтено, что
d(x*-f6) = 2xdx.
* В тех случаях, когда выражение под знаком логарифма всегда
положительно, знак абсолютной величины опускается.
194

Среди интегралов, подходящих под формулу (IVa), можно особо
выделить случай, когда подынтегральная функция имеет вид «"*.
Соответствующее интегрирование выполняется так:
§e**dx=-j{ea*d(ax)=-jea*+C. .
Пример 12. [e-**dx=— y(V8*d(—3x) = —Le-**-\-C.
Пример 13. Jjf*-J-g^-i„(e. + 6>+C. ■
Здесь учтено, что е*+5=и, откуда
e*dx==dex==d(e* + 5) = du.
Пример 14. flilQb^dx.
Предварительное преобразование начинается здесь с раскрытия
скобок в числителе, а затем подынтегральная функция разбивается
на отдельные слагаемые, что дает
= | f x~*dx-~\xTdx+^ \xTdxT •
JL ii -L
9*3 12xe , 4a;3 , „ 27 „4 72 ^"", 3 ~ ' '
+ C=£*3^*«+.^3+C.
_5 ,. 13."1" _ 8 ^"~25Л 65 • ^KT
5T 5"6 &Т
Окончательно
I
(з/"*-2*)2 ^ 27ху^ 72**°/* х Ъх*у>х* % п
JT/^X aXz ~25 65 "•*" Гб + °#
С dx
Пример 15« \ }п — требует предварительного разбиения
подынтегральной функции на два слагаемых исходя из того, что
1 = cos2 х + sin2 x. Это дает
1 _cosa*+sin2* __ cos л: . sin*
sin,* cos x sin x cos x ~~ sin x ' cos x
Поэтому
Г *** _ Г создал f sin*d*
J sin x cos *~~~ J sin x ' j cos *
Заметив далее, что cos л: d* = d sin л:, a sin x dx = — d cos x, имеем
J sinxcos* J sinx J cos* ' ' ' ' t ,
Замена разности логарифмов логарифмом дроби дает:
■fes-H^I+^iM+S;-.. .„.'
195
J sin*<

Выполним проверку дифференцированием:
1 & ' tgJC COS2Jttg*
sin a; cos x
Этим подтверждена правильность выполненного интегрирования.
Использованный в предыдущем примере прием разбиения
подынтегральной функции на простейшие слагаемые применяется и в ряде
других случаев, когда знаменатель подынтегральной дроби можно
разложить на множители.
В частности, этим приемом можно найти один из нерассмотренных
еще табличных интегралов, которые не имеют соответствующих
(обратимых) формул дифференцирования.
Пример 16. Найдем f^^T'
Так как знаменатель подынтегральной дроби разложим на
множители х— 1 и х + 1, то и вся дробь может быть представлена в виде
алгебраической суммы двух простейших дробей после такого
преобразования числителя:
х+1
1
-х+1 (х+\)-
2
1 (*+!)-(*-
-(*-
2
-1)
-1)
Таким образом,
*^-Г —~2 (х+\)(х— 1)
Выполним это преобразование под знаком интеграла:
Г dx 1 Мх+\)-(х-\) 1 (V 1 L-\dr-
Jx*-1-"2"J (лг+1)(х—1) ах~ 2 J \x-\ x+l)ax~
=т[1-^г-1ттг]=т[1п1—i|-in|*+i|]+c
(см, пример 10).
Переходя теперь от разности логарифмов к логарифму дроби,
можно записать:
С dx 1 « | х— 1 I . п
Полученный результат приводится (см. свойство 3°, § 48) к более
общему интегралу:
h
du 1 , \и—11 , п
1п ТТЛ \+С
1 2 |«+1|
(здесь и — дифференцируемая функция х).
Этот интеграл можно обобщить для знаменателя в виде и2—а2:
X
dx 11 ~ \ "a J 1
(т)'-
-о" 1П
2
1 х 1
а
Н
а ,-.. ,+С
196

После умножения числителя и знаменателя дроби на а получаем
dx 1 . | х—а I . п
?=эвя,п|-5тзг|+с
или
du
= ~ln
2а
£Z2 4-С
Это и есть включенный в таблицу интеграл (XI).
Выведенная формула позволяет автоматически записывать
интегралы этого вида при любых значениях а; например,
с dx 1 , 1 х—41 , п
х 3^птб==т1п1^^1+с»
\
dx
7—R б|/*"2
In
а:+4
х—3 V"2
х+3 У 2
+ С,
[
dx
= —Win
2 |/*5
^Xi|+C
t+V5
и, кроме того, дает возможность преобразованием квадратного
трехчлена к разности квадратов находить интегралы вида
J xb+px+q ПРИ Условии Р2 > 4<7-
dx
С их
Пример 17. Найдем \ х2 » 8 -4-7 ' Преобразование знаменателя
х2 + 8х + 7 = (х + 4)2—9 позволяет сразу перейти к табличному
интегралу (XI), а поэтому
с dx __ Г dx
J *2 + 8* + 7 -J (* + 4)2-9 "
I'
<*(* + 4) _ 1 in
(*-И)2—9 ~ 6
* + 4—3
a: + 4 + 3
+ C-jln
Ф| + °-
Пример 18.
I'
**—7a: — 30
=4ln
~J (x-3,5)2-42,25^J
a:—3,5—6,5
^ (x—3,5)
a:—3,5 + 6,5
+ C = j-3\n
(*—3,5)«-(6.5)»
x—101
T+T
+c.
Прием, использованный в примере 16, легко приводит к
результату и в других случаях, когда знаменатель можно разложить на
множители.
Пример 19.
dx С dx 1
а+ах"
1
С dx ..... 1 Гх+а—* d
)х(х+а)- а )х(х+а) их~
х+а)йХ- a U х ) х+а]-
41(
197

С dx
Интегралы вида \ х2 , . при условии р* < 4q после
преобразования знаменателя к сумме квадратов сводятся к табличному
интегралу (IX).
Пример 20.
(* + 5)
С dx _Г d(x+5) __ 1 .
J х2+10а;+41 "J (л: + 5)2+1б"~ 4 arCt2
Пример 21. \ хг__\ i 23 после преобразования знаменателя
х«-3* + 20= (л:—1-)2 + 20—4= (^-|)2 + т
приводится к табличному интегралу:
("Ч)'+? J Ю'+Г
Аналогично решаются примеры, приводящие к табличному
интегралу (X).
В примерах, где подкоренное выражение знаменателя является
разностью квадратов, результаты записываются автоматически;
например,
Г г** v =arcsln4 + C, Г , dx = arcsin —^ + С и т. д.
J j/^ZTJS 3 'J ^12—а:2 2^3
Если Же в знаменателе под радикалом дается трехчлен в виде
q-\-px—ха, то требуется его предварительное преобразование.
Пример 22. I r после преобразования знаменателя
J ^11 + 10*—*2 v v
11 + lQx—a* = 36—25-f ID*—л* = 36 — (х—5)* приводится к
табличному интегралу:
i
У^Зб—(а:—5)й
Пример 23.
= arcsin —^—|-С.
С dx ^ С <!
J У~\7 — 4аг — a:2 J V21—4
=1
-4а:—а:2
^JL= = arcsin^ + C.
/21—{*+2)* ^21

Найти:
Зх—2 Vlc+5
У пражнзния
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
9.
J 6 }Гх*
Ptosxdx
J j^sin х "
Г ,«*dx
J (^ + 8)3 '
Cj/'e'+T**
f dx
J xa—2x—
dx.
dx.
35
dx
xa + 9x—36
ь *
I
+ 6x+25 '
dx
xa + 5x+9 '
dx .
Ome. ^--llni*
5
3|^x
O/Tw. 2 Vsinjc+C.
+A
Отв. ^x-^xVx+±x* + C.
Отв.
1
2(e*+8)!
1+0.
Отв. ~у>*+1)з + с.
Отв. -rrln
Jo
x+.5
x—3
x+12
\ + C.
Отв. larctg^+C.
x 4
Отв. arcsin—-—p-C.
§ 50. Интегрирование подстановкой
Этот способ интегрирований применяется в случая*',
когда"преобразования подынтегральной функции с помощью сёойств1
неопределенного интеграла или путем разбиения ее на отД^ныё,
слагаемые не приводят к табличным формулам, но такие формулы'можно
получить в результате перехода к новой переменной.
В общем виде операция подстановки или замены переменной
состоит в следующем: пусть заданный интеграл J f(x)dx не может
быть непосредственно преобразован к виду табличного. Введем
новую переменную / зависимостью x = q>(t)9 где
ф(/)—дифференцируемая функция от t. Тогда /(х) = Пф(01 и dx = <(' (t)dt, а все
подынтегральное выражение f(x)dx = f[ip(t)]ip'(t)dt = u)(t)dt.
При удачном выборе замены х = <р (t) интеграл ^ Ф (t) dt , может
быть приведен к одному из табличных, и тогда удается найти
первообразную
la>(f)dt±F[<t(t)]+c. ,
Затем выполняется обратная замена переменной Г на х>
первообразная функция от t преобразовывается в функцию F(x).
На практике более естественна такая структура замены, которая
представляет подынтегральное выражение в виде дифференциала
сложной функции {с допустимым отклонением на постоянный
множитель). Это значит1, что в подынтегральном выражении f(x)dx
199

выделяется такая промежуточная функция и(х) = и
(дифференцируемая по х), что
f (x) dx = g [и (х)] ku' (x) dx^kg (и) du
и, таким образом,
J f (x) dx = k J g (и) du.
Если полученный интеграл легко сводится к одному из
табличных, то задача интегрирования первоначальной функции тем самым
разрешается.
Пример 24. Найти \ КЗл;2 + 8 xdx.
Решение. Замена Зх2 + 8 = и дает Qxdx = dut или xdx= -§du.
Отсюда
\ /Зл;2 + 8 xdx = -%\ uJ du.
Мы получили табличный интеграл (II), а поэтому
ц*
'du=TJT+c=i^ui + c-
2
После выполнения обратной замены получаем
Г еу* .г- <*х
Пример 25. I -p^dx найдем подстановкой у x = t. Тогда 2 ^--- =
dx
= dt n —j^- = 2dt и, таким образом,
\ -yLdx = 2\efdt = 2ef + C=2evs+C.
А =1 естественно применить подстановку
.J Г 3+ COS2*
3-f cos2* = /, так как Л = (3 + cos2 x)'dx = — sm2xdx, a sin2xdjt =
Поэтому
J 1^3+cos2* J /* J
= — 2/2 +С=—2}/3 + cos2a: + C.
В некоторых случаях замена переменной не сразу, а лишь после
преобразований приводит подынтегральное выражение к
интегрируемому виду.
200

С х dx
Пример 27. I y может быть найден подстановкой
J у ах+ь
ax + b = t2 или подстановкой ax + b = t*. Применим первую из них
как освобождающую подынтегральную функцию от
иррациональности. Это дает
а потому
х = и dx = — tdt9
a a f
С xdx C(t2—b)2tdt 2 Г, -
=^(т-&0+с==^(^-36)+с=
= ^(^ + b—3b)Vax + b + C^=^(ax—ЩУах+Ъ + С.
Интеграл I - а* 2 можно преобразовать к рациональному виду
подстановкой Ух* ±a2 = t—х (подстановка Эйлера).
После возведения в квадрат обеих частей имеем:
x*±a2 = t2—2tx + x2, или t2 = 2tx±a*.
Дифференцирование обеих частей дает
2tdt — 2tdx + 2xdt, или (t—x)dt = tdx.
Поделив обе части на t(t—х), получаем равенство
dx dt dx dt
или
t —x t ' Yx2 ± a2 t '
этим подынтегральное выражение приведено к рациональному виду.
Теперь имеем
bfeef='"">+c-
Переход к старой переменной х выполняется из подстановки
Vx% ± a2 = t—х, откуда
t=x + Vx2±a2.
Таким образом,
■Лп\х+Ух2±а2\ + С.
Пример 28.
^(х+2)» + 3
Так как здесь а = л: + 2, можно записать:
i
dx
Ух2 + 4х+7
= ln\x + 2 + Vx2 + 4=x + 7\ + C.
* Помимо подстановки, здесь можно применить еще интегрирование по
частям (см. § 57, пример 6).
201

Найти:
1.
Упражнения
С xdx
J /25— Зх<* '
J^li(3aMeHa 2~3a: = ^-
J5+3jc2*
J /5+й*
тюб 2jc d*.
а:<?*2+б<*л\
3* In x dx.
dx.
Г /arctg 2x
' J 1 + 4*2
1. С a:2 (5—2*3)4d*.
Г dx' '
J f*2 + 3*'
f e*dл:
Ome. — у /25—За:2 + С.
Отв. у [2—За:—2 1п |2—3*|] + С%
Отв. -_1п(5+Зх2) + С.
Om.^—V'b^Yx+C.
Отв. 1?g(5x + 2)(br—3) /3=^ + 0.
Отв. ysin2x-f-C.
Отв. _1ев-8* + с.
Отв. i.e**+» + C.
л Зж2 , Зх2 , '
Отв. -^-lnx т- + £-
Отв. -i /(arctg 2a;)3 + С.
0тв; _(5-^)'+с;'
Отв. In
Отв. —In
2а
30
3^
2
е* — а
*+у+/*2+з*
+с.
ех + а
+ С.
2х-Л
dx.
2х + 3
С dx
J a:2 + 7a:—8'
Отв. yf2A-+3—41n|2* + 3|] + C.
л 1 1 I*—1
0тл !Tlrfe
+ С
§ 51. Интегрирование по частям
Пусть и и v—дифференцируемые функции от х. Тогда, как
известно,
d (uv) = udv + vdu,
откуда следует
udv = d(uv)—vdu.
Интегрирование обеих частей этого равенства дает
J udv =)d (uv) — j vdu.
Так как [d(uv) = uv в силу обратности операций
дифференцирования и интегрирования, то получаем
[ udv = uv — [vdu.
202

Это—формула интегрирования по частям, позволяющая nejtekSH
дить от заданного интеграла [и do к интегралу [ vdu\ последний
при удачном разбиении подынтегрального выражения на и и do
может оказаться более простым, чем первоначальный.
Эта формула часто применяется, когда подынтегральной функцией
является логарифмическая или обратная тригонометрическая;
произведение каждой из этих функций на алгебраическую;
произведение, содержащее алгебраические, тригонометрические, показательные
функции, и в некоторых других случаях.
Для интегралов вида [ Inxdx, £ btctgxdx, [ aLrcsinxdx за и
принимается подынтегральная функция, a dv = dx. Это дает, например,
для первого интеграла следующее:
и = In x\ do = dx\
du = —; v=x.
Поэтому установленная формула позволяет записать
\ lnxdx = xlnx— \x-£=xlnx—\ dx.
Теперь уже получается результат:
[ Inхdx = xInx—[dx = xlnx—х + С.
Аналогично отыскиваются второй и третий интегралы.
Найдем С arcsin*d#. Полагаем a = arcsin#, a do = dx, тогда
л dx
du= r ==и v = x.
jO —X*
Поэтому
l arcsin#d# = #arcsinA;—I * x
J J V\ -*2
Заметим, что к вновь записанному интегралу применяется под-
Г* х dx r
становка 1 —х% = г, которая дает I у. ■ i = — у 1 —**• Поэтому
сложно записать
J arcsinxdx = #arcsinA; + y 1— х* + С.
Когда интегрирование по частям применяется к подынтегральной
функции, имеющей вид произведения, то выбор множителей и и do
должен соответствовать цели перехода к интегралу \vduf более
простому, чем заданный интеграл [udv, причем множитель dv9
всегда включающий dx, должен быть легко интегрируемым.
Ш

Это достигается, например, тем, что для интегралов вида
[ Р (х) е°х dx9 [ Р (х) sin тх dx, [ Р (х) cos mx dx
(1-я группа)
за и принимается многочлен Р (х), а для интегралов вида
[ Р(x)lnxdx9 [P(x)arctgxdx, \ P(х)arcsinxdx
(2-я группа)
за и принимается In я, arctg x, arcsin x.
Пример 29. Найдем \ (2х—5)e~zxdx.
Принимаем
и = 2х—5 и dv = e~Zxdx\
тогда
du = 2dx и v = — у е~ъ*.
Отсюда находим
f (2*—b)e-*xdx = — j(2x—5)е'дх— f (— ^e-**\dx =
^ — ^ (2x—5)e^x + j ^ e''x dx = —^^ e''x—j e'zx +C =
13-6Vs* + c.
~" 9
Пример 30. Найдем [ x arctg x dx.
Принимаем
и = arctg x и du = x dx\
тогда
<*" = T+F и У=Т'
Поэтому
J л: arctg л: dx = -у arctg x—~ J —^.
Найдем отдельно последний интеграл:
Отсюда
С х% 1 1
\ л:arctg xdx=-y arctgx—-jX+^axctgx + C =
= ^±iarctgA:-| + C.
Если в интегралах 1-й группы Р (х) — многочлен выше первой
степени, то операция интегрирования по частям приводит к
результату лишь после применения ее несколько раз.
Пример 31. Найдем [ (х2 — 3x + 2)cos5xdx.
Принимаем
и = х2 — Зх + 2 и dv = cos 5xdx9
тогда
du=(2x—3)dx и v = -gs\n5x.
204

Следовательно,
§(x2 — 3x + 2)cos5xdx = x*~lx+2sm5x—
—у I (2x—3)s'm5xdx.
Интеграл в правой части найдем повторным интегрированием по
частям.
Полагаем теперь
2х з
ai = ~-g— и dvt = — sin 5* dx\
тогда
dut = ^dx и vt = -g- cos 5л:.
Отсюда
—g-1 (2x—3)sin5xdx= *T" cos 5л:—^g \cos5xdx=
= *2~7 cos 5л:—jgg sin бл: + С.
Таким образом,
Ux2—3x + 2)co$5xdx = x2~3*+2sin5x +
+ *~7 созбл:—|25зт5л: + С =
25лг2—75а:+48 . с , 2*—3 с , п
= 125 ^ sin 5л: + -2g- cos 5л: + С.
Рассмотрим еще один характерный случай интегрирования по
частям на примере интеграла, с которым связано вычисление
площади круга.
Пример 32. Найдем )Va2—x2dx=l (здесь / — условное
обозначение искомого интеграла).
Принимаем
u = Ya?—х2 и dv=dx\
тогда
, xdx
du = _ и v = х.
yV—л;2
Поэтому
J у а2—х
Обозначив вновь полученный интеграл через /х> преобразуем его
подынтегральную функцию:
а»--*«_а» a* Ytf^tf.
Уа?—х* Va*—x* Va*—x% \/~а2—х*
205

Поэтому
/^а*! dx — f)/^r^ = a2arcsin£_/,
J у a2—a:2 J a
и заданный интеграл принимает вид
I=:xVa2—x2 + a2arcsm-—I.
а
Перенеся теперь / в левую сторону равенства, имеем
2I=xVa2—*2 + a2arcsin~.
а
Отсюда после деления на 2 и присоединения произвольной
постоянной получаем •' ' ' ' : _
Упражнения
Найти: 7 ■ •♦ *
1. С *ln*d*: , Ome. £-(21n*—l)-f С.
*•• 2. lxe-**dx. • : • •' \ ' Отв. -^±!г2НС ' "
С ' ' ' ' х' 1 : • :
3. I *cos 2л: dx. Отв. у sin2*4- -j- cos 2x+C.
4. f(4—3x)e-**dx. Отв. ^ZEe-^+C.
С х хх
5. \ (2x—3) sin -y dx. Отв. (6—4a;) cos y+8 sin y+C.
6. C(3*—4)lnjtd*. Отв. (-|-a:2—4лЛ In* — -|-x2 + 4a: + C.
^ аг2^-^^лг. Отв. —(jt*+2* + 2)e-* + Cv.
8. \ (*2 —bx + S)sin2xdx. Отв. - — ^ ^ cos2jc +
7
2a:—5 . . , n
■ sin2A:-|-C.
1 4
9. C^^dx. Отв. 2^T(\nx—2) + C]
J V * .
10. [y a* + x*dx. Отв. 1.}ГЖ+х^ +
+JinU+Vr5sT3?/+c.
206

§ 52. Интегрирование простейших рациональных дробей
Рациональной функцией называется дробь ??Щ, числитель и зна-
менатель которой—многочлены.
Дробь эта называется правильной, если степень числителя ниже
степени знаменателя.
Так, дроби
*+ан-б» (dw> -^-правильные,
а дроби
F=4' St*!' ^-неправильные.
Если требуется проинтегрировать неправильную дробь, та
предварительна следует перейти к правильной дроби путем выделения
целой части.
Так,
JC3 _Х*—Х+Х_ . X
>са— 1 х«—1 ~ * + **—1'
а потому
J^^=5^+J^=? + jln|x«-l|.
Рассмотрим некоторые случаи интегрирования правильных
дробей с возрастающими степенями знаменателя.
I. Степень знаменателя равна 1.
Интеграл \ —лТь^х вычисляется непосредственно как интеграл
от степенной функции при п = — 1.
Пример 33.' j^d, = 2^ = 4f^g±i) = 4ln|3,+ l| + C.
II. Степень знаменателя равна 2, т. е. имеем интеграл
C(Mx + N)dx
J ax* + bx + C
При а Ф 1 делением числителя и знаменателя дроби на а
интеграл приводится к виду
/-Г тх+п dx
Здесь различаются три случая.
Г. ~—<7 = 0, т. е. корни знаменателя действительные и равные.
Тогда x2 + px + q = (x—хх)*, и интеграл приводится к виду
1~\Р~~\*^х. Этот интеграл вычисляется подстановкой х—xt — t.
Пример 34. j-^-^^d^/.
-207

Здесь хЬ2 = 2. Поэтому подстановка х—2 = / дает
= ln|f|-4 + C.
После обратной замены t = x—2 получаем
2°. ^г—-<7<0> т. е. корни трехчлена мнимые.
4
В этом случае подынтегральная функция разбивается на два
слагаемых, причем в правом из них числитель выделяется в виде
половины производной знаменателя, а во втором знаменатель
приводится к сумме квадратов:
тх+л V 2 у _ 2 _ V 2 у , 2
*2 + Р* + <7 х2 + Р* + <7 х2-\-рх + д^~
Этим заданный интеграл разбивается на два:
р
\ тх + п , Г 2 л у ( гпр \ С dx
Пример 35.
, J_
С х4-2 Г х ' 2 3 Г d*
Здесь
J x* + x+iax—2J x* + x+l ~Т1П(Х + *+1) + c»
3f rf* 3 Г d (*+т)
=fFfarctgyf+c^J/"3~arctg2W+c-
2
Таким образом,
/ = lln(^+x+l) + KS"arctg^ + C.
3°. -^-—<7>0; корни трехчлена действительные различные.
Тогда
/ялг + л __ m.y-}-fl
*2 + Р* + <? ~~ (*—*х) (л:—х2)
208

и полученная дробь раскладывается на две простейшие:
тх-\-п А , В
(х—хх) (х—х2) ~~ х—*, •" х—х2 '
Числители этих дробей находятся методом неопределенных
коэффициентов.
После приведения правой части к общему знаменателю имеем
тх-\-п ___А{х—х2) + В(х—Xi)
(*—*i)(x—*2)~~ (x—xJix—Xz)
Сравнение числителей дает
А (х—х2) + В {х—хх) = тх + п.
При х = хг определяем А и при х = х2 определяем В.
Пример 36. l+Jte+b**-
Здесь ^—q = ^—6 = ~ > 0; хъ — Ъх + 6 = 0, откуда хх = 2 и х2=3.
Поэтому
х*—5x + 6 = (*—2) (л:—3)
и
х х А В ^А(х—3) + В(х—2)
х2—Бх + 6 ~~ (*—2) (х—3) — *—2 + л:—3 (х—2) (*—3) #
Сравнение числителей дает А (х—3) + В (х—2) = х. Отсюда
при хг = 2 получаем—А = 2, или А = —2; при х2 = 3 получаем В = 3.
Таким образом,
х2—5*+6 ~ х—2 + а:—3
и, следовательно, #
= 31п|лг—3|— 2 In |лг—2| + С.
Преобразование разности логарифмов позволяет записать
первообразную в более компактном виде:
Г xdx - In Г <*-?>*
III. В рамках нашей программы нет надобности систематически
рассматривать основные случаи интегрирования рациональных
дробей со знаменателями более высоких степеней. Поэтому
ограничимся случаем рациональной дроби, знаменатель которой имеет
действительные различные корни, рассмотрев его для
степени я = 3.
Пример 37. Найти J ^^lxdx==I'
Решение. Здесь знаменатель х3 + 2х2 — 8х = х(х2 + 2х—8).
209

Заметив, что уравнению ха -f- 2л:—8 = 0 удовлетворяют значения
xt = —4 и л:2 = 2, можно знаменатель записать в виде х(х—2)(х + 4).
Разложим дробь на три слагаемых с линейными знаменателями:
*(*—2)(* + 4)~~ х + *—2 + х+4'
Приведя дроби к общему знаменателю, получим равенство
Л(х—2)(x + 4)-f Вх(х + 4=) + Сх(х—2) = х2 —2х + 2.
Отсюда, полагая:
1) х0 = 0 получаем—8Л = 2, т. е. Л = ——;
2) ^ = —4 » 24С = 26, т. е. С = {|;
3) х2 = 2 » 12В = 2,т. е. В=Д.
12
б
Теперь можно найти заданный интеграл:
ш \ Cdx . \3 С dx , I С dx _
~ 4 J х М2 J jc + 4+ 6 J х—2~~
e_iln|x| + gln|x + 4|+i-ln|x-2| + C =
:lnCy(<+4)1y"g
§ 58. Об интегрировании в конечном виде
В предыдущих параграфах мы познакомились с некоторыми
типами элементарных функций, первообразные которых также могут
быть выражены в виде комбинации элементарных функций. О таких
функциях принято соворить, что они интегрируются в конечном
виде. Ограничиваясь рассмотренными выше функциями, сделаем
несколько общих замечаний.
Как было указано в дифференциальном исчислении,
непрерывность функции является необходимым условием существования
производной. Это означает, что только непрерывные функции могут
быть дифференцируемы. Однако отсюда вовсе не следует, что
всякая непрерывная функция непременно имеет производную.
Наоборот, можно построить примеры таких непрерывных функций,
которые не имеют производной ни в одной точке.
Тем не менее если данная функция может быть записана в виде
конечной комбинации элементарных функций, то, пользуясь
разобранными в гл. VII правилами дифференцирования, мы всегда сможем
записать ее производную также в виде комбинации элементарных
функций. Таким образом, не всякая непрерывная функция имеет
производную, но производная элементарной функции всегда
элементарна.
Для операции интегрирования дело обстоит иначе. В более
подробных курсах интегрального исчисления доказывается, что непре-
2*0

рывность функции является достаточным условием интегрируемости.
Иначе говоря, всякая непрерывная функция непременно имеет
первообразную. Но, если мы захотим найти выражение для первообразной
некоторой функции, представленной в виде комбинации
элементарных, то оказывается, что это не всегда удается сделать. Итак,
всякая непрерывная функция имеет первообразную^ но первообразная
элементарной функции не всегда элементарна.
О функциях, первообразные которых не могут быть выражены
конечными комбинациями элементарных функций, говорят, что они
не интегрируются в конечном виде или что интегралы от них являются
неберущимися. В качестве примеров неберущихся интегралов можно
J sin x С dx С
d#> \ тг- > \e~xtdx и т. д. (последний из них применяется
в теории вероятностей). Эти интегралы не могу? быть выражены
в виде комбинации элементарных функций и представляют собой
новые функции, которые обычно называют специальными функциями.
Вычисление их значений возможно с помощью методрэ.
приближенного интегрирования или с помощью рядов. Эти методы будут
рассмотрены в следующих главах.
У п раж нен и я
Найти:
g Г Ъхёх
5' Г xd*
' J К (б*2—5)2
7 Г *
J е-^ + 5-
Отв. '—^Ц-С.
х '
Отв.
*2+1 .
\-с.
Отв. х—4 In* [-С.
х
Отв. 3—2х—^-\х\(Ъ — 2х) + С.
Отв. 1£/бл;2—5 +С.
Отв. -=- 1п
о
лг+5
+ С
Отв. тк\п(1+5е2х)-\гС:
Указание. Предварительно умножить числитель и знаменатель на «**.
Р dx
• J 1—4^*
■i
sin2 x cos2 x
Отв. ~-i-ln|e-3*—4| + C.
Отв. tg#—ctgjt-j-C.
Ome. -y In
x—4
Отв.
x+3
2Tt

С 4х
J х2—Х+\ '
.. Сх У2х+~\ dx.
J (,-2)
)V7
е-3х dx.
dx
+ 8дг + 5
n 2 , 2дг—1 , n
Отв. y=arctg-—+C.
Отв. .1(3*—1) (2*4-1)• V2x+\ + C.
Отв. D—^Le-*x + C.
Отв. 1п| jc + 4+ 1Л:2 + 8л: + 5|+С.
P_JU
J*2-
3* + 2
3x-f-8
л: dx
dx.
Отв. Aln(**-3* + 8)+—^
, 2x—3 . „
arctgyi"+c-
л:2—За:—18
■i
. С х*+1х— 1 .
8-3(х-3)«(*+1)Л-
20. С-^±
J ж2—6л
Отв. 1п|х + ЗЦ-|1п|^-||+С.
0тв- -21^з)+Т1п|х_3|-Т1п,л:+,|+с-
— \+с
П 1 , 191
0т* ~£ + 32ln
6х + 9
Отв. —
11
л:—3
-2 In | л:—3|+С.
Глава X
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 54. Понятие определенного интеграла
В предыдущей главе рассмотрены простейшие приемы
интегрирования функций. Обратимся теперь к задачам, решение которых
связывается с операцией интегрирования. Как и при введении
ф
п
01 <t*X0 X, ,Х2 ХА.,ХА Хл_, V'
Рис. 108
йХк
понятия производной, рассмотрим две задачи: геометрическую и
физическую, хотя имеется много других задач, сходных по своему
характеру с этими.
1. Задача о площади криволинейной трапеции. Пусть требуется
определить площадь фигуры, ограниченной снизу осью Ох, слева
и справа прямыми х = а к х = Ь, а сверху дугой кривой,
представляющей график непрерывной функции y = f(x) (рис. 108, а). При
этом будем считать, что на данном отрезке [а, Ь) функция у = f (x)
положительна и монотонна, например возрастает (при нарушении
212

монотонности отрезок может быть разбит на частичные отрезки,
отвечающие условию монотонности). Такую фигуру называют
криволинейной трапецией.
Для решения задачи о площади криволинейной трапеции
разделим отрезок точками х0 = а9 xXi хг, ..., хп_19 хп = Ь (здесь х0<хх<
< х2 <... <хп_х < хп) на п произвольных частей. Из точек деления
восставим перпендикуляры к оси Ох до пересечения с кривой АВ,
ограничивающей нашу трапецию сверху. Этим вся площадь аАВЬ
разделится на п узких трапеций с основаниями, равными ДхА=
=xk—xk_x, где индекс k принимает целые значения от 1 до д.
Все эти трапеции тоже являются криволинейными, а потому
заменим каждую из них соответственным прямоугольником с
основанием Axk и с высотой, равной левой ординате отрезка, т. е. f(xk-\)-
Площадь каждого такого прямоугольника выражается произведением
f(xk-i)^xk> гДе ^ принимает целые значения от 1 до п. Сумма
площадей всех таких прямоугольников
/ (*0) Д^ + f (хх) &х2+...+f (хп_х) Ахп = Jj/ (xk.x) Axki
представляющая площадь ступенчатой фигуры, вписанной в
криволинейную трапецию, оказывается меньше искомой площади
криволинейной трапеции.
Если теперь провести дробление каждого из п отрезков на две части
(безразлично, в какой внутренней точке) и на каждом частичном
отрезке построить прямоугольник, заменяющий трапецию на этом
отрезке, то площадь пары таких прямоугольников (см.
вспомогательный рис. 108, б) окажется больше площади прямоугольника
с основанием Дл;*.
Соответственно и сумма площадей всех новых прямоугольников,
т. е. площадь вновь получившейся ступенчатой фигуры, увеличивается
в сравнении с первоначальной и тем самым приближается к искомой
площади.
Последовательное дробление всех элементарных отрезков с
построением новых ступенчатых фигур на всем отрезке [а, Ь] будет
давать новые суммы площадей, все ближе выражающие площадь
заданной криволинейной трапеции. Истинную же величину этой
площади определяет предел, к которому стремится
последовательность сумм (Sn) площадей прямоугольников при условии, что
элементарные отрезки безгранично дробятся, а длина самого большего
из них (обозначим ее через X) стремится к нулю, т. е.
п
S= lim yf(xk-x)bxk.
В приведенном решении мы принимали за высоту каждого
прямоугольника ординату крайней левой точки соответствующего отрезка.
Но общий ход рассуждений не изменится, если за высоту каждого
прямоугольника будет принята ордината какой угодно другой точки
соответствующего отрезка.
213

Например, если за высоту прямоугольника брать ординату пра- ]
вого конца отрезка, то получ тся ступенчатая фигура, содержащая
внутри себя криволинейную трапецию, так что площадь ее будет
больше искомой площади. Однако при последовательном дроблении
отрезков площади новых ступенчатых фигур будут уменьшаться и,
как раньше, стремиться к искомой площади криволинейной трапеции.
2. Задача о пройденном пути. Пусть требуется определить путь,
проходимый точкой, движущейся по прямой с переменной скоростью и,
за время от tQ до Т9 если закон движения этой точки задан в виде
функции времени v = f(t).
Разделим все время движения T — tv на п отдельных
промежутков Atil9 А^, ..., Д/И«1Э А/п. Тогда скорости в начальные
моменты каждого промежутка будут выражаться соответственно через
»i. *v *.. •••! 4,-1» *>..
Для каждого промежутка времени Htk (ft меняется от 1 до п)
составим произведение vkLtk, выражающее путь, проходимый точкой
при равномерном движении на этом участке со скоростью vk. Этот
путь мало отличается от истинного пути, пройденного точкой за
промежуток Д^л, так как на протяжении этого промежутка скорость
меняется незначительно.
Если теперь составить сумму всех таких произведений
п
V^-f о*Д/,Ч-... +vn_lMn_l + vnMn= 2 vk&tk>
то выражаемая этой суммой величина пути будет тем ближе к
истинному пути., проходимому точкой за все время Т—t6t чем меньше
каждый из промежутков времени Д/л.
Поэтому за истинную величину s пройденного точкой пути
принимается предел, к которому стремится указанная сумма,при условии,
что продолжительность каждого из промежутков стремится к нулю, т.е.
lim
m yvkMk. (2)
Рассуждения в этой задаче не изменятся, если за постоянную
скорость в каждом промежутке Д^принимать скорость не в начальный
момент, а в любой момент этого промежутка.
3. Определенный интеграл как предел интегральной суммы.
Естественный ход решения каждой из рассмотренных конкретных задач
позволяет установить ту математическую операцию, с выполнением которой
связано получение ответа во всех вопросах такого же характера.
Пусть на отрезке [at b] задана непрерывная функция
y = f(*)-
I. Заданный отрезок разделим на п промежутков (равных или
неравных) точками
a = x0<xt <*8 <...<#„-! <*„ = £,
причем для всякого индекса ft, принимающего целые значения от 1

до п, имеет место соотношение
xk-\ <**.
Выразим длину каждого из этих частичных промежутков:
Х± Х0 = &Хit Х% Х± = £лХ2, • ♦•> Хп Хп^1 = &Хп.
При этом обозначим длину наибольшего из них через %.
II. В каждом из этих промежутков выберем произвольное число
\k так, что *Л-1 <£*<**, и по каждому такому числу определим
соответствующее значение функции /(!*)• Вычислим для каждого
промежутка произведение
III. Составим сумму таких произведений по всем п промежуткам
заданного отрезка:
Такая сумма называется интегральной суммой.
Построение интегральной суммы состоит в произвольном делеййи
заданного отрезка [а, Ь] на частичные и произвольном выборе
числа |л на' каждом отрезке.
IV. Выполняется дробление каждого из имеющихся отрезков на
более мелкие так, что длина наибольшего из йих безгранично
уменьшается (к—*0). При этом интегральная оумма становится
переменной величиной,. имеющей конечной предел (это доказывался
в подробных курсах математического анализа), если заданная
функция непрерывна, а отрезок [а, Ь] конечен:
Этот предел ' называется определенным интегралом от'
функции f(x) на отрезке [а, 6].
Соответствующее математическое выражение таково:
ь
Нт 2ШД**= \f{x)dx. (3)
Знак J, представляющий растянутую S (начальную букву
латинского слова «Summa»), символизирует здесь бесконечное
увеличение числа слагаемых интегральной суммы. Буквы а и 6,
указывающие границы отрезка, на котором выполняется суммирование,
называются пределами интегрирования.
Таким образом, определенным интегралом функции от f{x) в
границах от а до b называется предел интегральной суммы вида
2/(1») А**
при условии, что длина наибольшего часщичного отрезка стремится
к нулю.
Выясним теперь возможность непосредственного использования
операции, которая привела к понятию определенного* интеграла,
для решения соответствующих задач. Ограничимся при этом двумя
примерами на вычисление площадей.
215

Пример 1. Вычислить площадь, заключенную между прямой у=х, осью Ox -Л
и прямой *=1.
Решение. Так как данная прямая пересекается с Ох в начале координат,
то отрезок интегрирования здесь будет [0,1].
I. Разбиением этого отрезка на п равных между собой частей получим точки
деления с абсциссами:
о I I i ?=± 1
II. В каждом из полученных п отрезков выберем правые концы, т. е.
1
1 п
Так как /(*)=*, то
#1— » Х2— , •••» #w-i— — » Хп — 1.
и слагаемые интегральной суммы выразятся в виде
/<**)д*д=44-
где Л—номер элементарного отрезка и принимает значения от 1 до п.
III. Интегральная сумма выразится в виде
1. J-4-— . —4- ■ /г 1 ^\ + 2+...+п=(\ + п)п
п * п* п ' п~*~'"* п ' п 2/г2 2я2
(здесь применена формула суммы л членов арифметической прогрессии).
IV. Находим предел этой суммы при п—► <»:
Hm (\ + n)n= lim/Hhn_2=l
л-» 2л2 „-» 2л2 2 "
Таким образом, искомая площадь равна 1/2 Асе. ед. Проведенное вычисление,
явно невыгодное из-за своей громоздкости, знакомит учащегося с операцией, .£
составляющей сущность определенного интеграла.
Пример 2. Вычислить площадь, ограниченную параболой у=х2, осью Ох
и прямой х = \.
Решение. I. Разбивая отрезок интегрирования [0,1] на п равных частей,
получим такие же абсциссы точек деления, как и в примере 1.
II. В каждом из частичных отрезков выберем снова правые концы:
_1 _2 _Л_1
Так как f (*) = #2, т0
и слагаемые интегральной суммы выразятся в виде
2 л fb\2 1 &
*fc«A*fc=[-- . — = —.
\п J п п9
III. Интегральная сумма
Sn=±(\* + 2* + ¥ + ...+n*).
216

Помещенная в скобках сумма квадратов первых л-чисел »атураяынд*Ь ряда:
может быть преобразована по формуле, доказываемой в элементарной алгебре:
1»+2* + 3*+...+n2=-£+-f+-2-.
Отсюда
1 /Л» п* я\ 1 1 1
IV. Переход к пределу интегральной суммы при п—► оо дает 5=1/3.
Таким образом, искомая площадь равна 1/3 кв. ед.
Выполнение в этих двух примерах непосредственное вычисление
определенных интегралов как пределов интегральных сумм
1 1
\ х dx = у и \ x2dx = у
оказалось возможным только благодаря простой структуре операции
суммирования, да и то оно потребовало проведения сложных
подсчетов. Надо отметить, что такие приемы вычисления (здесь
применен способ Архимеда) существовали до появления понятия интеграла.
Поэтому естественным развитием понятия определенного
интеграла является выбор целесообразного способа его вычисления. Такой
способ, оказывается, дает операция интегрирования ввиду наличия
связи между определенным интегралом и интегралом
неопределенным.
§ 55. Связь между определенным и неопределенным интегралами.
Формула Ньютона—Лейбница
Рассмотрим криволинейную трапецию (рис. 109), у которой
в отличие от трапеции, заданной в предыдущем параграфе, правая
граничная прямая не зафиксирована. Площадь этой трапеции
измеряется переменной величиной,
зависящей от положения ее правой
границы х. Пусть это будет
некоторая функция Ф(х). Тогда
справедлива следующая теорема.
Теорема. Функция Ф (х),
выражающая площадь переменной
криволинейной трапеции (с подвижной
правой стороной), является
первообразной для функции y = f(x), графиком
которой является кривая,
ограничивающая эту же трапецию сверху.
По смыслу определения первообразной запись Ф(х)
будет оправдана, если мы докажем, что Ф'(л;) = /(л;).
Доказательство. Дадим начальному значению х
приращение Ах. Тогда функция, выражающая площадь криволинейной
трапеции, получит приращение ДФ(л;)^пл. хММ1х1. Это
приращение площади (рис. 109) больше площади прямоугольника xMNxl9
Х4ХХ,
Рис. 109
\f(x)dx
217

равной f(x)Ax, « меньше площади прямоугольника xNxMxx19 равной
f(x+.Ax)Ax9 т.е.
f(x) Ах < АФ (х) <f(x + Ax) Ax.
Деление всех членов неравенств на Ах > 0 дает
/М<^</(*+л*).
Если теперь ввести условие Ах—*0, то в силу непрерывности
функции y = f(x)
Hm f(x + Ax) = f(x).
д* -* о
Таким образом, отношение *** заключено между двумя
переменными, имеющими общий предел при jc —► 0. Но из этого следует,
что (см. морену, сформулированную в. п. 1 $ 28) • , .
т е.
Ф'(*) = /(*)•
Этим доказано, что функция Ф (х), выражающая площадь
криволинейной трапеции, является первообразной для f(x).
Выражение этой функции возможно в двоякой форме.
Исходя из того, что рассмотренная в предыдущем параграфе
(см. рис. 108, ц) задача о площади, криволинейной трацёции (с
фиксированными границами) получает своё р>азреше1ше с помощью
понятия определенного интеграла, можно записать:
ь
пл. аАВЬ = J / (х) dx.
а
Вместе с тем эта же площадь может быть выражена как частное
значение функции Ф(х) при х = 6, и тогда
ь
ф(Ь)= \f(x)dx.
а
Аналогично площадь криволинейной трапеции (рис. 109) с
переменной правой границей х выражается в виде
X
ф (*)=$/(*)«**. (1)
а
Этот интеграл оказывается функцией от верхнего предела.
С другой стороны, если Ф(*), выражающая площадь аАМх,
является первообразной, для функции /(*), то нд основании
теоремы § 47 можно представить ее,а виде ...
Q>(X} = F(x)+C, (2)
где F(x)—некоторая первообразная для той же функции.
218

Приравнивая правые части равенств (1) и (2), получаем
X
\f(x)dx = F{x) + C.
а
Для определения постоянной С используем то, что при х = а
трапеция превращается в отрезок, и ее площадь оказывается
равной нулю, т. е.
ф(а)=Р(а) + С = 0,
а отсюда С==—F (а) и, следовательно,
X
0(x)^lf(x)dx = F(x) — F{a).
Давая аргументу х значение фиксированного верхнего предела,
т. е. при х=Ь, мы получаем выражение определенного интеграла
через значения первообразной в виде следующей формулы:
\f(x)dx = F(b)—F(a)
(3)
Это—формула Ньютона—Лейбница. Она связывает определенный
интеграл с неопределенным.
Для вычисления определенного интеграла эта формула обычно
записывается в виде
ь
$f(*)<te = F(*)|*.
а
где знак |в служит символическим обозначением разности между
значениями первообразной функции F(b) и F(a).
Например:
в ч
1) f^==2K3+^|' = 2(K9-V"4) = 2(3-2) = 2.
О
2) Je-»*£fc=— y^a;fLl = -тf60-^==T•
Я
3) J sinxdx = ( — cos*) J" =—(cosxc—cosO) = cosO—cosn=»2.
о
Таким образом, формула Ньютона—Лейбница используется для
вычисления определенного интеграла так:
I. Находится первообразная для данной подынтегральной
функции.
249

И. Вычисляются частные значения первообразной подстановкой
значений х = Ь и х = а, где Ь—верхний и а—нижний пределы
интегрирования.
III. Определяется разность частных значений первообразной
F(b)~F(a).
§ 56. Свойства определенного интеграла
Свойство 1°. Если fx(x) и f2(x)—две непрерывные функции,
заданные на отрезке [а, 6], то
ь ь ь
l[fi(x) + f2(x)]dx=\f1(x)dx+lf2(x)dxt
а а а
т. е. определенный интеграл от суммы функций равен сумме
определенных интегралов от слагаемых.
Справедливость этого свойства устанавливается преобразованием
интегральной суммы:
после чего применение теоремы о пределе суммы при Я —-*0*
приводит к требуемому результату.
Свойство 2Q, Если f(x)—непрерывная функция, а
С—постоянная, то
ь ь
[Cf(x)dx = c\f{x)dx,
а а
т. е. постоянный множитель можно выносить за знак определенного
интеграла.
Справедливость этого свойства устанавливается применением к
пределу интегральной суммы правила о вынесении постоянного
множителя за знак предела.
Свойство 3°. При перестановке пределов интегрирования
определенный интеграл сохраняет свою абсолютную величину, но меняет
свой знак на противоположный:
а ь
\f{x)dx=—\f{x)dx.
Ь а
Замечание. Если пределы интегрирования равны между собой
(Ь=»а), то по определению принимается
а
^f(x)dx = 0.
* Имеется в виду одинаковый порядок дробления отрезка [а, Ь] в процессе
составления последовательностей интегральных сумм Для обеих функций.
220

Свойство 4°. Если at b и с^-точш> заданные на отрезке
интегрирования, то
ъ с ь
\f(x)dx=\f(x)dx+\f(x)dx.
а а с
Свойство 5°. Независимо от переменной интегрирования
определенный интеграл сохраняет свое значение, если сохранены пределы
интегрирования и вид подынтегральной функции, т. е.
ь ь
\f{t)dt=[f(x)dx.
а а
Справедливость свойств 3°—5° можно установить, например,
непосредственным применением формулы Ньютона—Лейбница к
каждому интегралу.
Свойство 6°. Если f(x)—непрерывная функция, заданная на
отрезке [а, Ь], то существует такая точка с(а^с^Ь), что
ъ
]f{x)dx = {b—a)f{c).
а
Ограничимся геометрическим истолкованием этого свойства,
известного под названием теоремы о среднем.
ъ
Пусть J f(x)dx выражает площадь криволинейной трапеции аАВЬ
а
(рис. 110). Тогда, как это видно из
рисунка,
ь
f(a)(b-a)<\f{x)dx<f{b)(b-a),
а
т. е. площадь криволинейной трапеции
заключена между площадями двух
прямоугольников, имеющих то же
основание, что и криволинейная трапеция, а
высоты, соответственно равные левой или
правой ординате трапеции. При
непрерывном параллельном перемещении любой
из этих ординат внутрь криволинейной трапеции можно найти
такую точку с, что площадь прямоугольника с высотой сС окажется
равновеликой площади криволинейной трапеции аАВЬ, т. е. что
будет справедливо равенство
У]
0
1
i
1
1
А
1 (
г--—
S
г t
с
№
; i
В
i *
Рис. 110
\f(x)dx = f(c)(b —а)*.
* Легко заметить, что рассуждения останутся справедливыми и в том
случае, когда функция не является возрастающей. Нужно только вместо f (а) и / ф)
взять соответственно наименьшее и наибольшее значения функции.
221

§ 57. Применение способов подстановки и интегрирования
по частям к вычислению определенного интеграла
1. Способ подстановки. Этот способ при отыскании
неопределенного интеграла состоит в том, что заменой х = <р(/),тде
ф(/)—дифференцируемая функция от t, J / (x) dx приводится к выражению
через новую переменную интегрирования:
$/|ф(/)]ф'(0Л-$Ф(Ьл.
а затем для Ф (/) находится первообразная в виде F [ф (/)] с
последующим переходом к F(x).
Если же подстановка применяется при вычислении
определенного интеграла, то обратное приведение первообразной к функции
от х не является обязательным, так как формула
Ньютона—Лейбница может применяться ко всякой переменной интегрирования. Но
при этом возникает необходимость изменения пределов
интегрирования-* В. .самом.деле, в нарушение, свойства .5°,.-§. 56, ; г
так как при переходе, от }f(x)dx к
$/[ф(0]ф'(0Л=$Ф(/)Я !< ' *
меняется вид подынтегральной функции*.
Чтобы установить пределы при новой переменной
интегрирования /, следует: определить те значения аир этой переменной, при
которых старая переменная х = ф(/) соответственно принимает
значения а = ф(а) и 6 = ф(Р).
Тогда будем иметь
(? 3
]f(x}dx = F(b)-F(a)^F[4>(^]-F[V(a)]^lf{^(td]fff(t)dL'
а а »
Этим доказана формула перехода к новой перёменнрй под
знаком определенного интеграла:
ь р
$/(дО*=$/[ф(0]ф'(ОЛ/
а а
3 .
С dx
Пример 3. Вычислить I f .
7 t
Решение. Замена 7—2x = t, или х«—j-, при которой dx =
= —~2^> тр^У61 следующего изменения пределов:
а = 7—Я(—1) = 9 и р=7—23=-1.
* Здесь /[ф(*)1 и ф'(/^—-непрерывные функции, -
222

Поэтому
3 19 9
— 1 » 1 1
Нетрудно показать, что к этому же результату приведет
интегрирование по л: в заданных пределах:
J ^7—2* 2 J 1^7—2*
eI 1^7—2л: 2 J J/?
—1
= 3—1=2.
JL
з
Пример 4. Вычислить \ ^* djc.
iL
б
Решение. Введем подстановку sin jc = 2. Тогда cos xdx = cbt
а пределы интегрирования изменятся так:
значению # = ^- соответствует sin~ = y;
» х = т » sin-j—Y-. -
Поэтому
J sin** J г* J 2г*
iL JL -L 2
в 2 2
'(<-tH
ft
2. Интегрирование по частям при вычислении определенного
ь
интеграла С udv выполнимо, если и и и—дифференцируемые функ-
а
ции на всем отрезке интегрирования. Соответствующая формула
следует из равенства
j«fe-[j«fo]|.
Выполнение интегрирования по частям дает
[udv = uv—[ vdu,
а поэтому
[\udv]\ = uvl-[\vdu\ba,
22$

b
\ udv = uv I — [ vdu.
a a
Пример 5i Вычислить \x\nxdx*
e
Ay.
Решение. Принимаем w = lnx и dv = xdx, тогда du = — и
др
•2
Здесь м = 1пх и v = y имеют конечные производные на отрезке
[е9 еа], поэтому применение интегрирования по частям возможно.
С х2 \е* 1 С х2 \е<1 х2 \е*
\ х\пхйх = -^\пх\ —2" \ xdx= yln* — -4*L =
-4ln*-£ln«-(£-4)-£.2-£-
8
Г* Jt Ay
Пример 6. Вычислить \ - .
Решение. Принимаем ы = лг, a do = =—, тогда du = dx,
V з*+1
а 0 = -3- КЗл: + 1. Поэтому
8 8
f xdx 2*,/o—ГТ I8 2 f,y
-VV25-4n-iK(3j+i?i;-f-5-4-2-
_!«• 9i\ _80-4 4>117_76—52 я
Учащемуся рекомендуется решить этот пример еще и способом
замены переменной.
Упражнения
Вычислить следующие определенные интегралы:
1. Г У^Тхйх. Отв. 64-|-,
-12
1
\e-*dx.
2. \e~xdx. Отв. е9
-з
224

3. \ sin 2x dx.
о
4
4. f *У*16—x2dx.
о
l
5. С лее** Лр.
о
2
1
7. ?x*?*dA:.
о
з
8.
1
9,
\ 1 п х dx.
1
е
. \ х2 In * dx.
г
2
. Г (3 — 2x)e-**dx.
о
я
2
и. j*<
D
J ^3—2*
; cos .v d*.
о
i
12 l ~^*
Отв.
Отв.
Отв.
Отв.
Отв.
Отв.
Отв.
Отв.
Отв.
Отв.
1
211
Zi з •
е—\
1 , 5
т1пт-
1.
1п27—2.
2е3+1
9 *
5г~в+7
9
4
3 *
§ 58. Геометрические приложения определенного интеграла
1. Вычисление площадей плоских фигур. Простейший случай
этой задачи представляет собой вычисление площади криволинейной
трапеции, ограниченной осью Ох, двумя прямыми х = а и х = Ь и
дугой кривой, заданной уравнением y = f(x). В этом случае*
непосредственно применяется определенный интеграл и, таким
образом, площадь
ь
S= J/(x)dx.
а
Так, если требуется отыскать площадь трапеции, ограниченной
осью Ох, прямыми хг = 2 и х2 = Ъ и дугой кривой ху= 10 (рис. 111),
* См. § 54, задача о площади криволинейной трапеции.
8 ,№ 2418 225

то для этого непосредственно используется определенный интеграл
5
J ю
~dx. Поэтому
2
S = 10 In л: Г = 10 (In 5—In 2) « 10 (1,60944 —0,69315) ж 9,163 кв. ед.
В порядке развития простейшей задачи, решаемой с помощью
определенного интеграла с уже данными пределами и готовой
подынтегральной функцией, рассматриваются
случаи вычисления площадей таких фигур,
для которых предварительно требуется:
а) отыскать пределы интегрирования,
б) установить структуру искомой
площади, которая может представлять собой
разность или сумму отдельных площадей,
в) выделить участки площади,
расположенные ниже оси Ох, и в связи с этим
провести разбиение интервала
интегрирования на частичные интервалы.
Рассмотрим на отдельных примерах
некоторые случаи вычисления площадей.
Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
1/=х6л;—х2 и осью Ох.
Решение. Пределы интегрирования определяются абсциссами
точек пересечения кривой с осью Ох (рис. 112). Для этого следует
решить относительно х систему уравнений
(данной кривой и оси Ох):
( y = 6x — X*t
X У = 0.
Из уравнения 6х2—х2 = 0 находим хг = 0
и х2 = 6. Поэтому искомая площадь
Рис. 111
S= С {6x—x2)dx.
Выполняем вычисление:
S = 3a:2—^Г = 108—72 = 36 кв. ед.
о |о
Рис. 112
Пример 8. Вычислить: а) площадь фигуры, заключенной между
линиями, заданными уравнениями у = 8 + 2х—х2 и 2х—у-\-4=0,
б) площадь фигуры, заключенной между этими же линиями и
осью Ох.
Решение, а) Рис. ИЗ показывает, что искомая площадь
определяется в виде разности площадей двух фигур:
S = im. АВСА = пл. ABCD — пл. ACD.
Для выражения этой площади подынтегральная функция должна
236

представлять разность функций у = 8 + 2х—х2 и у=*2х+49 а
пределами интегрирования должны служить абсциссы точек А и С.
Решение соответствующей системы
I у = 8 + 2х—х2,
\ у = 2х + 4
приводит к уравнению 4—ха = 0, корни которого хг = —2 и л^=2.
Отсюда искомая площадь сегмента АВСА
S= [[(8 + 2x—x2)—(2x+4;)]dx
(4—x*)dx=4x~\2 2 =
-2
2
=(8-D-(-8+l)=
10-^ кв. ед.
б) Тот же рисунок показывает, что площадь
фигуры АСЕ представляет собой сумму пло- Рис. из
щадей двух фигур ACD и DCE.
m Так как площадь St фигуры ACD ограничена сверху прямой
у = 2х + 4 в границах от хг=—2 до х2 = 2, то
2
St= [(2x + 4)dx = x2+4x\2 =4 + 8—(4—8) = 16 кв.ед.
J 1-2
-2
Площадь S2 фигуры DCE ограничена сверху кривой у = 8 + 2х—х2
в границах от х2 = 2 до х3—положительного корня трехчлена
у = 8 + 2х—х2. Определив этот корень х3 = 4, находим второе
слагаемое искомой площади:
4
S2 = J(8 + 2*-
-x2)dx = 8x+x2— ^l4:
О 12
= 32+16-^— ^16+4—|) = 9у кв. ед,
Отсюда вся площадь фигуры АСЕ равна
2 4
f (2х+4) dx + С (8 + 2х—х2) dx = 25 j кв. ед.
-2 2
В порядке проверки результата заметим, что сумма площадей
фигур АВСА и АСЕ равна 36 кв. ед., а это совпадает с
вычисленной в предыдущем примере площадью под параболой *.
Во всех разобранных примерах вычисление касалось площадей
фигур, расположенных выше оси Ох. Если же искомая площадь
* Уравнения парабол, заданных в примерах 7 и 8, по своему виду
различны; однако легко видеть, что в результате параллельного переноса оси ординат
эти уравнения можно привести к одному и тому же виду.
8*
227

полностью или частично располагается ниже оси Ох, то для
вычисления такой площади с помощью определенного интеграла требуется
сделать оговорку относительно знака.
При постановке задачи о площади криволинейной трапеции
рассматривалась фигура (см. § 54), ограниченная снизу осью Ох.
Поэтому у всех частичных прямоугольников, площади которых
включались в интегральную сумму, ординаты имели положительные
значения. Отсюда каждое слагаемое интегральной суммы, сама
сумма и ее предел т. е. определенный интеграл, имели
положительные значения, что соответствует числовому смыслу всякой
площади. Если же фигура расположена ниже оси Ох, то ординаты ее
граничной кривой отрицательны [f(lk) <0], а потому все слагаемые
интегральной суммы, сама
интегральная сумма и ее предел, т. е. определен- УЬ
ный интеграл,— отрицательны, что
противоречит числовому смыслу площади.
Поэтому в тех случаях, когда
граничная линия, представляющая подын- / sf
Рис. 114
Рис. 115
тегральную функцию, расположена в некотором промежутке ниже
оси Ох, то для всякого такого промежутка, будь то вся область
интегрирования или часть ее, при выражении соответствующей
площади фигуры или части ее принимается абсолютная величина, или
модуль определенного интеграла.
Так, если кривая, заданная уравнением y = f(x) на отрезке
[а, Ь], пересекает ось Ох в точках хг и х2 и расположена между
этими точками под осью Ох, то вся площадь фигуры, заключенной
между кривой, соответствующей этому уравнению, осью Ох и
прямыми х = а и х = Ь (рис. 114) выразится так:
S = $f(x)dx + $f(x)dx\+U(x)dx.
Соответствующие значения хх и хг определятся решением
уравнения /(л;) = 0.
Пример 9. Вычислить площадь, заключенную между осью Ох и
кривой, заданной уравнением у = х*—4х.
Решение. Из уравнения xz — 4л; = 0, или (х—4)х = 0,
находим три корня: хх = —2, xe*=0, х8 = 2. Этим определяются точки
228

пересечения кривой с осью Ох. Заметив далее, что при х <— 2
у<0, при — 2<л;<0 у>0, при 0<x<2 y<0 и прих>2
у>0, мы устанавливаем вид кривой—кубической параболы,
симметричной относительно начала координат и имеющей экстремумы
npviXl = — y=. и при х* = у~ (Рис. 115).
Вся площадь состоит из двух частей Sx и S2. Первая площадь
о
Sx= f(*3 — 4x)dx = ^— 2x2P =— 4 + 8 = 4 кв. ед.
-2
На втором же интервале
1
(х3—4x)dx = -j-
-2х*
= 4—8 = —4,
а поэтому
S.=
} (xz — 4л:) dx
= 4 кв. ед.
Таким образом,
S = 5 (X3 — 4x)dx+\\(x*—4x)dx
-2
= 8 /се. ед.
Если бы не был учтен отрицательный результат интегрирования
на втором интервале, то вычисление всей площади интегрированием
2
по всему отрезку, т. е. интегралом ^ (х3 — 4x)dxt привело бы к не-
-2
верному результату S = 0.
При задании фигуры уравнениями ограничивающих ее линий
бывают случаи (см. стр. 66), когда фигура определяется этими
уравнениями неоднозначно. Поэтому вычисление площади какой-то
фигуры требует дополнительных указаний. Например, если' в
условиях примера 8 поставить вопрос о площади фигуры,
ограниченной той же параболой у = 8 + 2х—х2, прямой 2х—у+ 4 = 0 и
осью Оу, то окажется (см. рис. 113), что таких фигур две: 1) слева
от оси Оу и 2) справа от оси Оу. Необходимое различие в
аналитическом задании каждой из этих фигур достигается с помощью
двух систем неравенств:
1) фигура, расположенная слева от оси Оу, определяется
системой
( у^8 + 2х—х\
{ 2х-0+4<О,
229

2) фигура, расположенная справа от оси Оу9 определяется
системой
( у^8 + 2х—х\
\ 2*-у + 4<0,
( х>0.
Пример 10. Вычислить площадь фигуры, определяемой системой
неравенств
( у^8—7х—х\
\ *<0,
{ 2х—#+16>0.
Решение. Построение показывает, что площадь заданной
фигуры MLN, прилегающей снаружи к дуге параболы MN, может
быть представлена в виде разности
площадей прямолинейной трапеции
AMLO и криволинейной трапеции
AMNO (рис. 116). Поэтому у
соответствующего интеграла нижним пределом
интегрирования является абсцисса
точки М пересечения линий # = 8—7х—х2
и 2х—у +16 = 0 (соответствующий
корень системы дает значение *=1), а
верхним пределом—абсцисса правой
границы фигуры MLN (она лежит на
оси Оу). Переходя к вычислениям,
получаем
о
Smln= $ (2x+l6-8 + 7x + x*)dx =
-i
Рис. 116
= 5 (x* + 9x + 8)dx= -J.*» + i*» +
1
+8*|-1г=Т + 4Т + 8==121Г **• a-
Пример 11. Вычислить площадь фигуры, определяемой системой
неравенств
( У^5 + 4х—х*9
< 2лг—#—3>0,
{ У>0.
Решение. Построение показывает, что площадь заданной
фигуры может быть представлена в виде суммы двух площадей АМС
и СМВ (рис. 117), что дает
х, хь
S = )(2x—3)dx+llb + 4x—x*)dx.
Здесь хх определяется совместным решением системы 2х—у—3 = 0
и # = 0 (это дает ^ = 1,5), х% определяется абсциссой правой точки
230

пересечения параболы с прямой, т. е. из уравнения Ь + 4х—х2 =
= 2х—3 (это дает х2 = 4); х3 определяется как больший корень
трехчлена (это дает х3 = 5).
Теперь выполняется требуемое вычисление:
4 5 4
S= С (2x—3)dx+Ub + 4x—x2)dx = x*—3x\ +
1,5
1.5
+ 5х + 2х*—~| =4^ кв. ед.
Если в условии этого примера изменить знаки второго и третьего
неравенств на противоположные, то система будет определять
другую фигуру. Учащемуся следует вычислить площадь этой фигуры,
2. Объем тела вращения. Сформулируем общую задачу
вычисления объема тела вращения.
Пусть криволинейная трапеция, ограниченная осью Ох, прямыми
х — а и х = Ь и дугой кривой, составляющей график непрерывной
функции y = f(x), вращается
вокруг оси Ох. Определить объем
этого тела вращения.
Решение этой задачи ведется
тем же путем, что и вычисление
площади криволинейной трапеции
(§ 54).
Рис. 117
Рис. U8
I. Все тело вращения (рис. 118) рассекается плоскостями,
перпендикулярными к оси вращения Ох, на п частей (не обязательно
равных). Это разбиение фиксируется на оси Ох точками
CL = Xq, Хц Х29 •••> -^и-if ■^л==">
образующими на заданном отрезке оси Ох частичные отрезки
Х-± Яд = адЛ^, X^—X-i = &Х2> •••> %п ^я—1 === ^%п*
II. На каждом частичном отрезке Axk (здесь k пробегает все
Целые значения от 1 до п) выбирается произвольная точка (пусть
231

для удобства построения это будет левый конец отрезка xk^t) и ей
в соответствие ставится произведение пу\^хкУ где tjk-i^f ixk-i) —
ордината точки кривой, соответствующей абсциссе xk^x. Это
произведение определяет объем элементарного цилиндра, вписанного
в соответствующую часть заданного тела вращения.
III. Составляется интегральная сумма таких произведений для
каждого из всех п отрезков:
п
щ\Ьхх + пу\Ах2 + ... + щ\-хЬхп = У nyl-i&xk.
Геометрически эта сумма выражает объем ступенчатого тела
вращения, вписанного в данное тело.
IV. Выполняется дробление каждого из п отрезков на более
мелкие так, что число их неограниченно растет, а длина каждого
из них стремится к нулю. При этом
переменный объем ступенчатого тела стремится к
искомому объему заданного тела вращения,
а переменная интегральная сумма—к
своему пределу, т. е. к определенному интегралу
от функции яу2 на отрезке [а, Ь]:
V = lim У, пУ1-1&Хк = \ ny2dx.
Таким образом, вращение криволинейной
b * трапеции вокруг оси Ох приводит к телу,
объем которого определяется формулой
ь
Рис. 119
J nyzdx.
Аналогично вращение фигуры вокруг оси Оу приводит к телу,
объем которого определяется формулой
d
Vy = \ nx*dy9
с
причем здесь * = <p(*/).
Пример 12. Вычислить объем тела, образуемого вращением вокруг
оси Ох фигуры, заключенной между линиями, заданными
уравнениями у=*=6л;—х2 и х + у—6 = 0.
Решение. Искомый объем определяется разностью
v^vx-vM9
где V1 образуется вращением вокруг оси Ох фигуры aAMbt a V2—
вращением вокруг той же оси фигуры (треугольника) аАЬ (рис. 119).
Пределы интегрирования одинаковы для каждого из этих тел
вращения. Они определяются решением системы уравнений
/ у==Ьх—х\
232

откуда находим xt= 1 и xt = 6.
Поэтому
б
Vx = ^n(6x—x2)2dx, а К2=$я(6—x)2dx,
1 1
На основании свойства Г определенного интеграла (§ 56) имеем:
6
К=$я[(6х—х*у — (6—xf]dx.
1
Вычисления дают:
б
У = я$(х4— 12х3 + 35х2+12лг—36) dx^
1
= л(~—Зх4+~х8 + 6х2-36х)Р =
= я рЦр!-3(6*- 1)4-§(63 —1) + 6(36 —1)—36(6 —1)] =
= я(1555— 3885 + 2508^ + 210— ш) = 208±л куб. ед.
Пример 13. Вычислить объем тела, образуемого вращением вокруг
оси Оу фигуры, заключенной между линиями,
заданными уравнениями у^х2 и 2х—у = 0.
Решение. Искомый объем, образуемый
вращением вокруг оси Оу параболического
сегмента ОтВО (рис. 120), определяется
разностью
v=vt-vt.
Здесь Vx—объем тела, образуемого
вращением фигуры ОтВА, a V2—вращением
треугольника ОВА.
Пределы интегрирования, одинаковые для
01
Рис. 120
обоих объемов, определяются значениями у из решения системы
{
У = х\
2x—y = 0t
т. е. из уравнения у2—4# = 0. Это дает: уг = 0 и #2 = 4. Поэтому
Т 1
Vt = J nx2dy=\ nydy*
о о
4 4
V2 = §nx2dy = §n(JLydy.
233

Отсюда
v=|«(y-4)*=»(4-fr)C-»(8-T)-2T»^-^
* Упражнения
1. Вычислить площадь фигуры, заключенной между линиями у = х2 и у = 8—*2.
Отв. 21 -~-/<я. ед.
2. Вычислить площадь фигуры, заключенной между параболами х2 = 2у
и у — Зх—х2.
Отв. 2 кв. ед.
За: 4-4
3. Вычислить площадь фигуры, заключенной между гиперболой у=:—~г-,
прямыми * = 3 и * = 5 и осью Ох,
Отв. 6+101пЗя^ 17 кв. ед.
4. Вычислить площадь фигуры, заключенной между параболой у = х2} прямой
2х+у—3 = 0 и осью Ох.
7
Отв. jo кв- е&-
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у=*х2—1, прямой
х=2и осью абсцисс.
4
Отв. — кв. ед.
6. Вычислить площадь фигуры, отсекаемой биссектрисой I координатного
угла на параболе х2 = 3у.
Отв. 1,5 кв. ед.
7. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох
криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой ху = 4, прямыми х — 1 и х = 4 и осью Ох.
Отв. 12я куб. ед.
8. Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ох
криволинейной трапеции, ограниченной параболой y = x2-\-3t прямой х«4 и осями
координат.
Отв. 368,8я куб. ед.
9. Вычислить объем тела, образуемого вращением вокруг оси Ох фигуры,
заключенной между кривой у = 2х—х2 и ссью Ох.
\(\
Отв. jp я куб. ед.
10. Вычислить объем тела, образуемого вращением вокруг оси Оу фигуры,
заключенной между гиперболой ху = 9, прямыми # = 3, у = 9 и осью Оу,
Отв. 18я куб. ед.
11. Вычислить объем тела, образуемого вращением вокруг оси Оу фигуры,
заключенной между параболами у =10—х2 и у*=х2 + 2 и осью Оу.
Отв. 16я куб. ед.
12. Вычислить объем тела, образуемого вращением вокруг оси Ох фигуры,
заключенной между параболой # = 4—х2 и прямой 2х + у—4*0.
Отв. 6,4я куб. ед.
§ 59. Понятие о несобственных интегралах
1. Сходимость простейших несобственных интегралов. При
введении понятия определенного интеграла мы исходили из условий
непрерывности подынтегральной функции и конечности заданного
отрезка интегрирования. Между тем в приложениях встречаются
вопросы, разрешение которых связано с необходимостью
определения интегралов, не удовлетворяющих этим условиям,
234

Такие интегралы называются несобственными. Рассмотрим «два
типа несобственных интегралов.
I. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Если,
например, незамкнутая фигура заключена между кривой # = —,
прямой * = 1 и осью Ох (рис. 121), то *
вычисление площади этой фигуры
связывается с интегралом
00
14
а вычисление объема тела вращения этой
фигуры вокруг оси Ох — с интегралом
я-
dx
Рис. 121
Оба эти интеграла являются несобственными с бесконечным
верхним пределом. Общий вид таких интегралов
00
S / (х) dx,
а
а вычисление их выполняется с помощью нового предельного
перехода
00 t
}f(x)dx= lim ]f(x)dx.
a t ~* °° а
Если этот предел конечен, то несобственный интеграл называется
сходящимся и существует. В противном случае интеграл называется
расходящимся, т. е. не существует.
Аналогично решается вопрос о сходимости двух других видов
несобственных интегралов с бесконечными пределами:
Ъ Ь +» xt
J f(x)dx= lim ]f(x)dx и J f(x)dx= lim ]f(x)dx.
*--<»
*2-*-+<»
Конечность этих пределов указывает на сходимость или
существование соответствующих несобственных интегралов.
Для приведенных двух примеров несобственных интегралов
имеем:
1 1
со t
a) f-^^Hm f-^=Iim(lnx)|'=limln/—lnl =limlnf = oo,
235

= я hm —
CD
т. е. несобственный интеграл \ ~— расходящийся (не существует);
l
ос /
б) ^~г = яНт С^L = nlim ( —
= я Нт П —— j = jif
со
т.е. несобственный интеграл \я-|—сходящийся (существует).
1
Различные результаты для этих двух интегралов приводят к
интересному выводу: площадь фигуры «под гиперболой» при отсутствии
правой границы не определена, а объем тела, образуемого вращением
этой фигуры вокруг оси Ох, определен.
II. Несобственные интегралы от функции, имеющей точки раз-
рыва непрерывности на отрезке интегрирования. Если, например,
дана незамкнутая фигура, заключенная между кривой у = —, осью
Ох и прямыми х = 0 и х—\ (см. рис. 121), то вопрос о площади
этой фигуры приводит к интегралу
1
1 dx
о
а вопрос об объеме тела вращения этой фигуры вокруг оси Ох
приводит к интегралу
\
dx
. X2
Оба эти интеграла являются несобственными из-за разрыва
подынтегральной функции в точке л; = 0.
Вопрос о существовании (сходимости) несобственных интегралов
этого типа разрешается также с помощью предельного перехода.
. Если разрыв непрерывности имеет место в граничной точке
отрезка интегрирования, то при разрыве в точке а несобственный
интеграл определяется соотношением
ъ ь
J f (x) dx = lim ] f (x) dx,
а е ~* ° а + в
а при разрыве в точке Ъ—соотношением
ь &-е
\ f (x) dx = lim \ f (x) dx.
Если разрыв подынтегральной функции имеет место в какой-либо
внутренней точке с отрезка интегрирования, то вопрос существова-
236

ния несобственного интеграла связан с отысканием двух пределов:
Ь с-е Ь
\f(x)dx= lim \f(x)dx+lim \ f(x)dx,
£' -+ ° C+8,
которые должны существовать одновременно при любом стремлении
к нулю е и Et независимо друг от друга.
Как и для несобственных интегралов типа I, сходимость
(существование) этих несобстенных интегралов имеет место при конечных
значениях соответствующих пределов.
В приведенных двух примерах интегралов этого типа \ — и
1
я—*- оба интеграла не существуют.
о
Покажем это для второго интеграла:
1 1
1
i
\ я-тт= 1'1тя \ -&■= Ит я-гГ=я lim (--—1 ) = оо.
J * е -+ О J х е-0 М1 е-^о^8 /
О е
2. Интеграл Пуассона. В теории вероятностей играет важную
роль несобственный интеграл с бесконечными пределами вида
+ 00
^ еа2 dx. Частный случай этого интеграла (при а=\) J e~*2dx
известен под названием интеграла Пуассона. Этот интеграл
сходящийся. Его значение
J e~*2 dx = Vn.
— OP
Соответствующий вывод выходит из рамок нашего курса. Поэтому,
записывая здесь этот результат, мы дадим его обоснование из
теоретико-вероятностных соображений в связи с интегральной теоремой
Лапласа.
§ 60. Приближенное интегрирование (формула трапеций)
В § 53 отмечалось, что первообразные некоторых элементарных
функций не могут быть выражены в конечном виде. Поэтому
вычисление соответствующих определенных интегралов становится
возможным только с помощью приближенных методов. Эти приближенные
методы целесообразно применять и при интегрируемости в конечном
виде, когда отыскание первообразной или переход к определенному
интегралу связаны со сложными вычислениями.
Формула трапеций для приближенного вычисления определенного
интеграла связана с геометрическим решением задачи о площади
криволинейной трапеции.
237

Пусть требуется найти приближенное значение определенного
интеграла
lf(x)dx.
Рассматривая площадь криволинейной трапеции аАВЬ (рис. 122)
как геометрическое выражение заданного интеграла, будем искать
эту площадь.
I. Отрезок [а, Ь] разделим на п
равных частей точками
а = хл
• • • 9 ХП-\У ХП~^~ ^»
h-i Ч" *
Рис. 122
Xqj Л1? Л2,
этим определяется расстояние между
каждой парой смежных точек деления
п
II. Из точек деления отрезка [а, Ь]
восставляем перпендикуляры до
пересечения с граничной кривой; это
—ординаты соответственных точек кривой:
:/(*t)i •••> </*-i = f(**-i)> yn = f(*n)-
III. Соединяем хордами смежные концы этих перпендикуляров
на кривой y = f(x) и определяем площади каждой получившейся
прямолинейной трапеции:
Уо + й
Мх,
Уг + Уг
Ах,
Уп-1 + Уп
Ах.
2 ~~» 2 ~~' " ' 2
IV. Суммируем площади всех п трапеций:
8 = Ах[^ + у1 + у2+...+уп_1+Щ.х
Заметив, что Дх = -^- и что суммой S определяется
приближенное выражение площади криволинейной трапеции,
соответствующей заданному определенному интегралу, получаем
ь
а
Это—формула трапеций.
До перехода к решению примеров по этой формуле следует четко
усвоить порядок определения значений х0, х19 ... , хп, так как
допускаемые при этом ошибки искажают значение заданного
определенного интеграла.
Здесь нельзя забывать, что первое значение х0 = а, т. е. совпадает
с нижним пределом интегрирования, а последнее значение x„ = &, т. е.
совпадает с верхним пределом.
Остальные промежуточные значения получаются
последовательными равными наращениями: х1 = х0 + Ах9 х2 = х1 + Дх, х8 = х2 + Дх
и т. д., где Ах = (Ь—а):п.
23$

Так, при условии а = 3, 6 = 8 и я =10 имеем Дл; = 0,5, а потому
х0 = 3, ^ = 3,5, л;2 = 4, *8 = 4,5 и т. д. При условии а = 0,5, 6 = 2,3
и я = 6 имеем Дх = (2,3—0,5):6 = 0,3, a потому х0 = 0,5, ^ = 0,8,
х8=1,1, ... , л:5 = 2 и л:в = 2,3.
Пример 14. Вычислить по формуле трапеций при я = 5 прибли-
6
женное значение определенного интеграла
Г dx
1
Решение. Формула трапеций для данных условий принимает
следующий вид:
б
уГ\ + х* ~ 5
о
I
[*¥*+Уг+У. + У, + У<\
Значения y0f у1У
l
Vl + x*
, уь определяются подстановкой в функцию
соответственных значений х:
1
*в=1
xt=2
*2 = 3
лг3 = 4
х4 = 5
*R = 6
Уо:
£=■«0,71.
1
y, = w~o,33.
Lr«0,19.
V2S
1
^ТЖ^0'12'
^=-7==-«0,09.
«/6 = -7=-«0,07.
По этим данным получаем ч
в
Г v^—z ^l[0J1^0,07+0>33 + 0>19 + 0t12 + 0t09l =1,12.
Пример 15. Найти по формуле трапеций при я = 8 приближен-
ю
Г dx
ное значение определенного интеграла I j—.
2
Решение. Значения y0f уг, у2, ... , у7, у8 находим подстановкой
в функцию -j— значений х в точках деления:
lg*
Xq — £\
Xi =3;
*2 = 4;
1
Уо ~~ о.зою
__ 1
^ — 0,4771
1
#2~" 0,6021
«3,3211.
« 2,0960.
« 1,6608.
239

л3
ХА
хь = 7
*7 = 9
*i=10;
0,7781
_ 1
Уь~ 0,8451 '
1
^в-0,9031 '
У' — 0,9442 :
1,1833.
1,1073.
1,0591.
По этим данным получаем:
ю
\ "ЩТ ^3,32121 + 1 +2,096+ 1,6608+1>4304+ 1,2852 +
2
+ 1,1833+ 1,1073+ 1,0591 = 11,9826.
Пример 16. Вычислить интегрированием и приближенно по
з
dx
формуле трапеций при я = 6 определенный интеграл I --~
х+4
о
Решение, а) Вычисление интегрированием проводим с помощью
подстановки 7л; + 4 = /, при которой 7dx=^dt, dx^-jdt и
меняются пределы интегрирования: при л: = 0 имеем / = 4, а при
х = 3 соответственно / = 25.
Отсюда
3 25 25 j
Г dx 1 Г dt 1 Г ,-
J K7FR 7 J /1 7 J
=4 V7
б) Обращаемся к формуле трапеций:
J^7x+4
0,365.
>■■ ж 0,302.
0,263.
0,236.
210

x5 = 2,5; yt=—^—* 0,216.
*e = 3; ^ = "^- = 0.2.
Отсюда
з
Г- Jl— ^0,5 [0>5+0>2+0,365 + 0,302 + 0,263 + 0,236+0,21б] -
о
- 0,25 [0,7 + 0,730 + 0,604 + 0,526 + 0,472 + 0,432] = 0,866.
Сравнение полученных результатов показывает, что применение
формулы трапеций в данном случае дает отклонение от истинного
результата около 1%.
Упражнения
Вычислить по формуле трапеций:
7
Ay
,379.
С dx
1- \ fTTi— ПРИ л = 6. Отв. 2,3
l
4
2. С У2 + х3(1х при л = 8. О/ш. 14,84.
о
7
3. С _^| при п = 6. Отв. 1,325.
4. Г w ^ при я = 5. Отв. 0,8236.
1
Г* d*
5. \ 2 при л = 8. Отв. 0,233.
2
6
6. I , при л=10. Отв. 1,085.
+ *3
I
7. Вычислить по методу трапеций \ —, принимая л = 8, и сравнить с ре-
1
зультатом точного интегрирования.
Отв. 1,3862.
8. Вычислить интегрированием и приближенно по формуле трапеций при
з
С dx
л = 6 определенный интеграл \ 2 . Отв. 0,2618.
0

Раздел пятый
РЯДЫ
Глава XI
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§ 61. Числовой ряд и его сходимость
Пусть числа а19 а2, а3, ..., ап, ...— члены некоторой
бесконечной числовой последовательности (см. гл. II, § 24). Тогда
выражение вида
at + a2 + aB+ ...+ап + ... (1)
называется числовым рядом.
Здесь ап—общий член, с помощью которого ряд (1) записывается
в виде
л°«-
Зная общий член ряда, можно записать ряд в форме (1). Так,
общим членом ап = п. , оч задается числовой ряд
" n[n-\-Z) L
ЬЗ ' 2-4 1 3-5 ' '" » п{п + 2) г " '»
а общим членом ап = —г задается числовой ряд
V п + \
1,1,1, ,1
V2 ]Гз У 4 ' ]/"л+1
Рассмотрим для числового ряда суммы его первых членов
alf at + a%y ax + a2 + a3, ..., at+a2+... +ап.
Будем называть их частичными суммами и обозначим
соответственно через
«->i> *->2, ^з» • • •> Sn.
Если для некоторого числового ряда бесконечная
последовательность его частичных сумм имеет конечный предел^ то этот ряд
называется сходящимся.
Этот предел
S= HmSe
называется суммой ряда.
Если последовательность частичных сумм ряда не имеет
определенного конечного предела, то ряд называется расходящимся и для
него не существует суммы.
242

Простейшие примеры сходимости и расходимости дает ряд, члены
которого образуют бесконечную геометрическую прогрессию
a + aq + aq2+ ... + aqn'1+ ...
При |<7|<1 ее называют бесконечно убывающей, потому что ее
члены по абсолютной величине убывают. Эта прогрессия образует
сходящийся ряд (сумма его S = ^ \ #
При | q | > 1 прогрессия является расходящимся рядом, так как
последовательность частичных сумм в этом случае есть неограниченно
возрастающая переменная.
Расходящимся является этот ряд и при q = —1, так как при
этом условии последовательность частичных сумм
а, 0, а, 0, а, ...
не имеет определенного предела.
Можно привести еще пример ряда, сходимость которого может
быть установлена отысканием предела последовательности его
частичных сумм.
Рассмотрим ряд
-L+J-+J- +
Общий член заданного ряда
1
(2п—\)(2п+\)
может быть представлен в виде полу разности двух дробей:
1.3~2V ЗУ'З.б^г^З 5 У ' ••" (2/г-1) (2л + 1)
e±[_i L.1
2 [2/1-1 2rt + lJ#
Определим частичную сумму п членов:
о L + J-4- 1 * I 1
l3»~b3"t"3-5't"" #"1"(2/г-3)(2/г-1)^г(2л-1)(2п+1)#
В преобразованном виде
с _±Г1 1 j-±_±_l ._! : 1 л.
°я~ 2 L "3""^3 5 ~^" ,'1~2л-3 _2Л—1"*"
_J !_1
2л-1 2/i+lJ'
^2г
что дает !
S« = "5"[1—2^+Tj-
Отсюда S=limS„ = -5-, и, таким образом, заданный ряд
сходится.
243

Для рассмотренного ряда операция суммирования оказалась
сравнительно несложной. Вообще же этот прием, если он и
выполним, связан со сложными вычислениями. Поэтому для исследования
характера ряда, т. е. для выяснения, сходится ли заданный ряд
или расходится, применяются признаки сходимости.
§ 62. Необходимый признак сходимости
Теорема. Если числовой ряд
ai + a2 + a9+ ... +ап_1+ап+ ...
сходится, то его общий член при неограниченном возрастании п
стремится к нулю, т. е.
Нтая = 0.
п ■+> оо
Доказательство. Пусть данный ряд сходится. Тогда по
определению сходящегося ряда
1йп S„ = S;
П -► 00
так как вместе с п—>оо также и я—1—юо, то
lim Sn_t=St
п -* оо
т. е.
limS7l = limSrt_1.
П -► оо п -► оо
Здесь
S„=-al + a1+...+oll_1+fl„,
а
$я-1 = а1 + а1+...+ая_1.
Поэтому
Отсюда
lima„= lim(S„—Sn^)= lim Sn— lim Sn^^0.
n -»• оо я -*■ oo л -► oo rt -* oo
Заметим, что нарушение необходимого признака устанавливает
расходимость ряда. Это значит, что если для некоторого ряда
lima^^O, то такой ряд является расходящимся. В этом случае
п -* оо
применение необходимого признака дает законченный результат.
Если же для некоторого ряда этот признак выполнен, то
соответствующий ряд может быть и сходящимся и расходящимся. В таких
случаях, т. е. при выполнении условия limart = 0, вопрос о сходи-
П -* оо
мости ряда требует дальнейшего исследования.
Пример 1. Для числового ряда
244

необходимый признак сходимости не выполняется, так как здесь
Поэтому заданный ряд—расходящийся.
Пример 2. Рассмотрим числовой ряд
! . 1 . 1 . . 1 . .
Общий член этого ряда ап = —== удовлетворяет необходимому при-
У п
знаку: lim -=- = 0. Однако этот ряд—расходящийся.
П-+ ао У П
В самом деле, частичная сумма этого ряда
Если наряду с этой суммой мы составим сумму п одинаковых
слагаемых, равных —==•, то она будет равна
у п
/1-7== К я.
У п
Частичная сумма исследуемого ряда превышает эту сумму:
S„>Vn.
Вместе с тем при неограниченном возрастании числа п
неограниченно растет и ]//г, а отсюда и частичная сумма заданного ряда.
Таким образом lim Sn не существует, т. е. исследуемый ряд рас-
П -+■ 00
ХОДИТСЯ.
Наряду с этим можно привести уже известные нам два числовых
ряда, у которых общий член удовлетворяет необходимому признаку
сходимости (lima„ = 0), и ряды оказываются сходящимися:
П -* 00
1) ряд У + -4- + 7Г+ • • • +2й+ • • •! члены которого представляют
бесконечно убывающую геометрическую прогрессию;
2) ряд у^з + зТ5+ • • ' +(2ft-l)(2tt+l)~|- "" •' Рассмотренный в § 61
в связи с введением понятия о сходящемся ряде.
§ 63. Достаточные признаки сходимости
Применение достаточных признаков при исследовании рядов
требуется в тех случаях, когда необходимый признак сходимости
(Нтая = 0) выполнен.
п -+ со
В нашем курсе рассматриваются два простейших признака:
принцип сравнения и признак Даламбера.
245

1. Принцип сравнения. Пусть даны два числовых ряда с
положительными членами:
al + al + az+ ... +ап+ .. .9 (1)
bl + b2 + b3+...+bn+...; (2)
тогда имеет место следующая теорема.
Теорема. Если члены ряда (1), начиная с первого, не превышают
соответствующих по номеру членов ряда (2), то из сходимости
ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1)
следует расходимость ряда (2).
Доказательство. Для частичных сумм с одинаковым
числом п слагаемых из каждого ряда имеет место соотношение Sn ^ Sni
где S'n — частичная сумма первых членов ряда (1), a S2—такая же
частичная сумма для ряда (2).
Пусть известно, что ряд (2) сходится. Тогда по определению
сходящегося ряда существует предел последовательности его
частичных сумм, т. е.
UmS'n = S2t
и так как члены каждого ряда положительны, то S"n < 52. Но тогда
и подавно S'n < S2, а это неравенство указывает, что возрастающая
последовательность частичных сумм ряда (1) ограничена. В таком
случае эта последовательность также имеет предел (см. § 28, п. 2),
т. е.
П -*■ ОС
Значит, и ряд (1) тоже сходится.
Пусть теперь известно, что ряд (1) расходится. Тогда и ряд (2)
тоже расходится, так как при его сходимости должен сходиться
и ряд (1), а это противоречит условию.
Эта теорема справедлива и в тех случаях, когда ее условие
выполняется не с первых членов, а лишь начиная с некоторого
номера. Основанием для такого обобщения служит следующее свойство
числовых рядов, которое мы не доказываем: если к членам ряда
прибавить или из состава его членов отбросить конечное число
начальных членов, то сходимость или расходимость ряда не
нарушится.
Использование доказанного признака позволяет решить вопрос
о сходимости или расходимости некоторого ряда, если его можно
сопоставить с рядом, сходимость или расходимость которого
установлена.
Пример 3. Исследовать сходимость ряда
ут+у*+ут+--- (1)
Решение. Заметив, что для этого ряда выполняется
необходимый признак, сопоставим заданный ряд с рядом
1 + ГГ+7Т+- <2>
246

Здесь
j/2</2, У5<1% ..., Vn<Vn, ...
Поэтому, начиная со второго члена, имеют место неравенства
и, таким образом, члены заданного ряда оказываются больше
членов расходящегося ряда (2).
Следовательно, и заданный ряд—расходящийся.
Пример 4. Исследовать сходимость ряда
1+1+1+1+
Решение. Заметив, что разности между знаменателями
последовательных членов ряда кратны двум, можно переписать этот ряд
в виде
J+T+ 22"^ + "2НГГ+ '" + 2«+1 ^ "•
Теперь сопоставим этот ряд со сходным с ним рядом
У + 22+"2з+ • • • +§л+ • • •
Все члены заданного ряда соответственно меньше членов вспо-^\
могательного ряда, представляющего геометрическую прогрессию со
знаменателем Q = y* a П0Т0МУ сходящегося. Поэтому исследуемый
ряд и подавно сходится.
2. Признак Даламбера. Пусть для ряда с положительными
членами
аг + а2 + а3+ ... +ап + ап+1+ ... (1)
существует предел отношения последующего члена к предыдущему
при неограниченном возрастании числа п:
я.
п
Тогда 1) при /< 1 ряд сходится, 2) при /> 1 ряд расходится,
3) при I = 1 этот признак не решает вопроса о сходимости или
расходимости заданного ряда.
Доказательство. 1) Пусть для исследуемого ряда (1) имеем
lim 22±± = /<1. Выберем е>0. Тогда в соответствии с определе-
нием предела последовательности (см. гл. II, § 24) значения
переменного отношения ^^ удовлетворяют, начиная с некоторого номера
д = А, неравенству
-/
< е. Это неравенство может быть пере-
847

писано в виде
В<^-/<8,
или (после прибавления ко всем частям неравенства е)
/_e<2tti</ + e.
При / < 1 можно выбрать е > О настолько малым, чтобы и / + е — q < 1.
Поэтому имеют место неравенства:
^Ш-<а, -^-<я, 2h±±<Qf ...
Из этих неравенств непосредственно получаются следующие:
*^<я. £Г<^ ^ <«3
или
a*+i < akQ> ^+2 < <V/2> а*+з < <We. • • •
Последние неравенства показывают, что члены исследуемого
ряда (1), начиная с ak+v оказываются меньше соответствующих
членов ряда
akq + akq* + akq*+... (2)
Но ряд (2) при q < 1 является сходящимся, а поэтому и данный
ряд (1) на оснований принципа сравнения рядов тоже сходится.
2) Пусть для исследуемого ряда (1) lim2£±i = /> l. Тогда, как
и в первом случае, начиная с некоторого номера n = k, выполняется
неравенство
/_е<2£±1</-)-е.
При />1 и достаточно малом е>0 и /—е = г>1. Поэтому
имеет место соотношение
^■>г>1,
указывающее на возрастание членов ряда при переходе от
предыдущего члена к последующему. Это приводит к расходимости ряда,
поскольку его общий член не стремится к нулю, т. е. нарушается
необходимый признак сходимости*.
Если для ряда (1) имеем Нгп 2£±± = / = 1, то ряд может быть
сходящимся и расходящимся, в чем можно убедиться на примерах
знакомых нам рядов.
Призер 5. Применить признак Даламбера к ряду
1,1,1, , 1 ,
1
Т* its"7" >a~r-"~rTT
* Реп "*',)чдация предварительной проверки выполнения необходимого
признака сходимости исключает случай 2 в практике исследования сходимости ряда.
243

Решение. Для этого ряда отношение
Q/z + i __ 1 1 _ У~п ,/" п _ ,/", Г
«Л
Предел этого отношения при п -* оо равен 1. А между тем
данный ряд, как это было установлено выше (см. § 62, пример 2),
расходится.
Этим доказано, что при /=»=1 ряд может расходиться.
Пример 6. Применить признак Даламбера к числовому ряду
ГЗ + 3^§ + 57+ '" + (2/i — 1)(2л+1) + (2л+ 1) (2/1 + 3) + ••*
Решение. Отношение
ап + 1 (2п—1)(2п+1). 2п — \
ап (2/1+1) (2/1 + 3) 2л + 3 #
Предел этого отношения
UmfcUl.
А между тем этот ряд, как установлено в конце § 61 (при
введении понятия сходимости ряда), является сходящимся.
Этим показано, что при 1 = 1 ряд может и сходиться. Поэтому,
если применение признака Даламбера дает / = 1, т. е. не выясняет
характера ряда, то сходимость или расходимость ряда в простейших
случаях может быть установлена по принципу сравнения рядов.
При исследовании сравнением сходимости рядов выгодно
используются ряды вида
У — = 14-1 . _L . . 1 .
+-* пР ' 2Р ' ЪР ' " " • ' пР ^ * ' ' '
которые сходятся при р>1 и расходятся при р^ 1 *.
В частности, при р — 1 расходящимся является ряд
1+Т + У+-+7+-'
который называется гармоническим.
Пример 7. Исследовать сходимость числового ряда
1+1 + J. + 1S +
Решение. Здесь общий член йп = }[\ удовлетворяет
необходимому признаку сходимости, поскольку
lim ^т = lim ~t—^Цт-г- «= О,
а поэтому применим признак Даламбера.
* Это доказывается более точными признаками сходимости, которые мы не
рассматриваем.
£49

Отношение
Отсюда
g/i-fl ^_(П+\)2П\ Al+l
ап (п+\)\п> /i2
lim 2»±i = о.
а это приводит к случаю /<1, при котором исследуемый ряд
является сходящимся.
Пример 8. Исследовать сходимость числового ряда
, 1,1,
1
2-3~3-32~4 З3
1
Решение. Общий член ряда ап = ^гг показывает, что не-
обходимый признак выполняется. Вместе с тем по характеру ряда
выгодно применить сравнение его с рядом
1 + "О" И" О? + « • ' ~Ь ~Ш=Т + • • •
З2
Выполнение уже со второго члена неравенства х < •^ггг
п-Зп
определяет сходимость заданного ряда.
Упражнения
Исследовать сходимость следующих рядов;
*' 1.4^4-7^7.10
с% 1п2 МпЗ^
1
In 4
+ .
з. 1+4+4+.. .
4. 1 + ^+Й+-
5. 14
1
6.
7.
1
1
2 f2 3]/"3
1 31 . 51 7!
2"l"2.4"t"2.4.6"t"2.4.68"
1,1,1,
1 + 22П 1+24 ' 1+2б
о- 2 i^22^23 '
9 А+1+А+
У* 1^2M3M,,t
10- 1+4+т+т+-
Отв. Ряд сходится.
Отв. Ряд расходится.
Отв. Ряд расходится.
Отв. Ряд сходится.
Отв. Ряд сходится.
Отв. Ряд расходится.
Отв. Ряд сходится.
Отв. Ряд сходится.
Отв. Ряд сходится.
Отв. Ряд расходится.
В
250

§ 64. Знакопеременные ряды
1. Знакочередующиеся ряды. Из числовых рядов с произвольными
знаками их членов рассмотрим прежде всего знакочередующиеся
ряды.
Ряд называется знакочередующимся, если любые два соседних члена
его противоположны по своим знакам.
Если считать первый член такого ряда положительным, то этот
ряд запишется в виде
ах—аг + а3 —а4 + ... (здесь ап > 0).
Сходимость знакочередующегося ряда может быть установлена
признаком Лейбница.
Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной
величине и lima„ = 0, то такой ряд сходится и сумма его S<ax*
rt-*0O
Доказательство. Рассмотрим частичную сумму четного
числа членов ряда (SZn), записывая ее в двух видах:
1) (fli — а%) + (а3—а4) + ... + (а2п^—а 1Я),
2) а, _(а2—а3)—(а4—аб)—... — (а2„_2 — a^J—a^.
Так как по условию а1 > а2 > а3 > ..., то входящие в обе записи
частичной суммы S2n разности положительны; поэтому, судя по
первой записи, S2„—переменная возрастающая, а по второй
записи S2„<a1, т. е. ограничена. Следовательно, она имеет
предел, не превышающий числа av
Рассмотрим еще частичную сумму нечетного числа членов ряда
S%n+1 в виде
«1—К—<*з)—К—«б)— • •. — (я2«—<Wi).
Эта запись показывает, что нечетная сумма членов
ряда—переменная строго убывающая.
Так как
$2п+1 ==52/J + a2w+1,
а при п -* оо аы+1 -► 0, то
lim S2„+1= lim Stn = S< ax.
Значит, последовательности частичных сумм ряда и при четном
и при нечетном числе членов стремятся к одному и тому же
пределу, а это доказывает
сходимость заданного ряда
$
юсть заданною ряда. i~
На рис. 123 наглядно по- , i i i ' -'***-
казано, что по мере возра- 0 $л $$ $$ $$ 4 */
стания числа членов
частичные суммы S2, S4, Se возра- Рис. 123
стают, а частичные суммы
&i> S8, S6 убывают, приближаясь к сумме ряда S.
Признак Лейбница позволяет определить границу ошибки при
замене знакочередующегося ряда его частичной суммой.
251

Принимая за ошибку число Rk, которое следует прибавить к
частичной сумме Sk для получения суммы ряда, можно записать
S = Sk + Rk.
Здесь Rk, называемый остаточным членом, представляет собой
сумму ряда, остающегося после замены первых k членов исходного
ряда одним числом—их суммой Sk, а поэтому
Rk = ±.(ak+i—<*к+г + ак+з— • ••)•
Так как этот остаточный ряд удовлетворяет признаку Лейбница,
то его сумма, совпадая по знаку со знаком перед ak+1, определяется
по доказанному условием |/?*|<fl*+i. Таким образом, пользуясь
приближенным равенством S&Sk, мы допускаем ошибку, которая
меньше абсолютной величины первого из отбрасываемых членов.
В виде примера обратимся к знакочередующемуся ряду
i_±+±_±+±_±+
8 Мб 32
. а ияртии
3
2
Его сумма S = -g- , а частичные суммы (они рассмотрены в связи
с понятием предела последовательности в § 24)St= lt S2 = -i-, Ss =-2.,
5 5
S4 = -g-, ... . Приняв за сумму ряда S4 = -g , мы допускаем ошибку
^«==24<T6==fle'
2. Абсолютная и условная сходимость рядов. В отношении
знакопеременных рядов (независимо от порядка изменения знаков их
членов) имеет место признак сходимости, который дается нами без
доказательства.
Теорема. Пусть знакопеременному ряду
их + и2 + и3 +... (1)
приводится в соответствие ряд
. KI + KI + KI+..., (2)
составленный из абсолютных величин членов ряда (1).
Тогда, если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1). Однако
из сходимости ряда (1) не всегда следует сходимость ряда (2).
В самом деле, рассматривая ряд
который является сходящимся по признаку Лейбница, мы видим,
что сходится и ряд
составленный из абсолютных значений членов исходного ряда»
252

В отношении же сходящегося ряда
(его сходимость следует из того же признака Лейбница) мы видим,
что составленный из абсолютных значений его членов ряд
(это гармонический ряд) расходится.
Определение. Знакопеременный ряд (1) называется
абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2), составленный из
абсолютных величин членов данного ряда.
Если знакопеременный ряд (1) сходится, а составленный из
абсолютных величин его членов ряд (2) расходится, то данный ряд (1)
называется условно сходящимся.
Приведенный выше признак в применении к абсолютно сходящимся
рядам читается так: всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд
сходящийся. В связи с этим признаком при решении вопроса о сходимости
знакопеременных рядов можно во многих случаях пользоваться
данными о сходимости соответственных знакоположительных рядов.
Глава XII
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
§65. Степенной ряд и область его сходимости
Степенным рядом называется ряд вида
c0 + clx + ctx* +..., (1)
где постоянные с0, clt с2,... называются коэффициентами степенного
ряда. Здесь переменная х> вообще говоря, может принимать любые
действительные значения.
При каждом фиксированном значении переменной х степенной ряд
превращается в некоторый числовой ряд. Если полученный для
какого-то значений х числовой ряд оказывается сходящимся, то говорят,
что при этом значении х> или в этой точке степенной ряд сходится.
Если же для другого значения х соответствующий числовой ряд
оказывается расходящимся, то говорят, что степенной ряд в такой точке
расходится. Поэтому в применении к степенным рядам вопрос о
сходимости связывается с выяснением тех значений х> при
которых заданный степенной ряд сходится или расходится.
Так, ряд
1+лг + л;2 + л;3+...
при значениях |#|<Cl сходится, а при значениях |л:| ^ 1 —
расходится, так как ряд этот представляет собой геометрическую
прогрессию со знаменателем, соответственно меньшим или большим единицы.
Совокупность значений х, при которых заданный степенной ряд
сходится, называют областью сходимости степенного ряда.
253

Область сходимости степенного ряда является интервалом
числовой оси, симметричным относительно точки л; = 0*.
Определение интервала еходимости степенного ряда строится на
подчинении значений х условию сходимости числового ряда. Если все
коэффициенты степенного ряда отличны от нуля, то применение для
этой цели признака Даламбера приводит к неравенству
спхп
lim
<1.
(2)
Знак абсолютного значения связан с тем, что коэффициенты
степенного ряда и значения переменной х могут быть как
положительными, так и отрицательными числами.
Условие (2) после преобразования принимает вид
откуда
lim ptti . Н<1,
\х | < lim
(3)
Неотрицательное число, определяемое этим пределом (если он су- \
ществует), называется радиусом сходимости степенного ряда и
обозначается символом R.
Таким образом, радиус сходимости степенного ряда
R = lim
/1-+СО
(4)
Знак абсолютной величины для тех значений х, при которых
степенной ряд сходится (3), позволяет определить интервал сходимости
в виде (—R, R). Этим охватывается совокупность и положительных
и отрицательных значений х, при которых степенной ряд сходится*
В соответствии с возможными значениями предела (4) различаются
три случая для интервала сходимости степенного ряда.
1. При R = oo интервалом сходимости степенного ряда является
множество всех действительных чисел.
Так, степенной ряд
1 +х+ 2! + з| + • • ■
имеет своим радиусом сходимости R-
■.■Um<S±pL
;оо, а поэтому
он сходится при всех значениях х, т. е. на всей действительной оси.
2. При R = 0 интервал сходимости вырождается в точку х = 09
и соответствующий ряд сходится к своему свободному члену.
Так, степенной ряд
1+* + 2U2 + 3!a;3+...
* Это положение доказывается в подробных курсах математического анализа.
254

имеет своим радиусом сходимости R = lim , _?\^ = 0, а поэтому он
сходится лишь при л:=»0.
3. При конечном значении 11ф0 интервал сходимости
степенного ряда является ограниченным,—при значениях |л:|</?,
т. е. внутри этого интервала, соответствующий ряд сходится, а при
\х\> R* т. е. вне интервала сходимости, ряд расходится.
На концах интервала сходимости степенной ряд может сходиться,
а может и расходиться. Уточнение этого вопроса связано с
исследованием сходимости числовых рядов, в которые обращается
заданный степенной ряд при х = — R и при x = R.
Так, степенной ряд
!+т+т+т+-
п 1- я + 2 1
имеет своим радиусом сходимости R= lim -Чп = 1, которому соот-
ветствует интервал сходимости (—1, 1). Таким образом, этот ряд
сходится при всех значениях |х|< 1 и расходится при значениях
|*|> 1. Рассматривая поведение заданного ряда на концах
интервала сходимости, можно установить, что при х =—1 ряд сходится,
а при х=\—расходится.
Если некоторые коэффициенты степенного ряда обращаются
в нуль, то формулой (4) пользоваться нельзя. В таких случаях
следует к рассматриваемому ряду непосредственно применять
признак Даламбера так же, как это сделано при выводе формулы (4).
Пример 1. Определить радиус сходимости степенного ряда.
125^ 1252 ^ 125»
Решение. Обозначая члены заданного ряда через uQi и1% и29 ...,
получим его общий член в виде
или
Поэтому выполнение условия сходимости па признаку
Даламбера связывается с неравенством
lim LfeifJ<l,
/|*в<я + 1> I I *»» II |*»| , -
Лтв<|тя^|:|тда1гя=ж<1-
Отсюда |*3| < 125 и \х\ < 5. Этим определен радиус сходимости
R = 5 и интервал сходимости (—5, 5), на концах которого ряд
расходится: при х = 5 заданный ряд обращается в числовой ряд с
членами, равными 1, а при х = —5—с членами, равными ±1.
255

Упражнения
Найти радиусы сходимости степенных
1. l + 2*+3x2 + 4*3+...
2 14-^4-^4^4
' 1+3+ 9 +^Г+--#
3' 1+^+:Г55 + 71зз+'''
*• I+"jT"^"^~'"^'^""#
5. 14-4л;+9х2+16л;34-..-
уЗ уб у7
рядов:
0тг*. /? = 1.
Отв. /?=3.
Отв. /? = 5.
Отв. R = \.
Отв. /? = 1.
Отв. /? = оо.
§ 66. Ряд Маклорена
В различных приложениях имеет важное значение
представление функции в виде суммы степенного ряда. Это позволяет,
например, осуществлять приближенное вычисление значений некоторых
специальных функций, составлять таблицы для часто требуемых-,
значений некоторых функций, осуществлять приближенное
вычисление определенных интегралов от функций, не интегрируемых в
конечном виде, и т. д.
Представление функции в виде суммы степенного ряда
называют разложением функции в ряд.
Общее правило разложения функции f(x) в ряд по степеням х
дается рядом Маклорена, который имеет вид
/(0)+£f ,+^+qfflx.+...+qja*+....
Ряд Маклорена может быть построен для любой функции, опре-;
деленной при л; = 0 и имеющей в этой точке производные всех?
порядков. Связь ряда Маклорена с функцией f(x) и ее представле-'
нием в виде суммы степенного ряда устанавливается следующей
теоремой.
Теорема. Если функция f(x) представима в некотором проме-1
жутке (—г, г) степенным рядом
f(x) = c0 + Clx + c2x* + czx*+ ... *, (1)
то эта функция имеет в том же промежутке производные всех'
порядков, а сам ряд есть ряд Маклорена.
Доказательство. Полагая в равенстве (1) я = 0, находим
c0 = f(0).
Так как степенной ряд можно дифференцировать (см. ниже,
§ 68), то дифференцирование равенства (1) дает
/'(x) = c1 + 2c2x + 3csx*+ ... (2)
* Это значит, что сумма ряда равна функции / (х) для каждого значения х
в данном промежутке.
256

Полагая в этом равенстве л: = 0, находим
*i=/'(0).
Законность дифференцирования степенных рядов позволяет
^продолжить эту операцию и далее:
f"(x) = 2c2 + 3.2cBx + 4.3c4x*+... (3)
Полагая в равенстве (3) * = 0, находим
Продолжая такие операции последовательного
дифференцирования с подстановкой значения х = 09 мы находим, что разложение (1)
принимает вид:
(4)
Полученный результат показывает, что если функция
разлагается в степенной ряд, то это—ее ряд Маклорена.
Нарушение для функции условия ее разложимости в
окрестности нуля исключает возможность представления ее в виде
степенного ряда.
Так, например, нельзя составить ряд Маклорена для таких
функций, как
/(л:) = 1пх и <p(x) = Vx.
В самом деле, первая из них сама теряет смысл при х — 0,
а у второй функции не имеют смысла при х = 0 все производные,
начиная с ф'(л;) =—у=г.
Пример 2. Разложить по степеням х функцию ех.
Решение. В соответствии со структурой ряда Маклорена
следует отыскать последовательные производные заданной функции
и вычислить их значения при х = 0:
/(*) = **; /<0)=1.
П*) = е*; /'(0) = 1.
П*) = **; Г(0)=1.
Подставляя значения ДО), /'(0), /"(0), ... в ряд (4), получаем
искомое разложение
X X Х^
**==1+ТГ+'2Г + "зГ+--- •
Пример 3. Разложить по степеням х функцию sin*.
9 № 2418 257

Решение. Находим последовательные производные sin* и их
значения в точке л; = 0:
f(x) = smx; /(0) = sinO = 0.
f'(x) = cQ3x; f'(0) = co$Q=l.
f" (x) = —sin x\ /" (0) =—sin 0-0.
f" (x) = — cos X] f'"(0) = —cos 0 = —1.
f™(x) = slnx\ fIV(0) = sinO = 0.
Заметив, что производные четных порядков обращаются в 0,
а производные нечетных порядков равны поочередно 1 и — 1,
записываем разложение синуса:
уЗ у& у7
51П^-Х-зГ+зГ-7Г+...*.
Непосредственное использование ряда Маклорена не всегда
является достаточно выгодным в связи с громоздкостью операций
повторного дифференцирования некоторых функций.
В ряде случаев оказывается удобным воспользоваться
некоторыми специальными приемами (см. § 68).
Кроме того, полезным в приложениях является биномиальный
ряд, который получается как частный случай из ряда Маклорена.
§ 67. Биномиальный ряд
Пусть требуется разложить в степенной ряд функцию,
представляющую степень двучлена
f(x) = {l+x)».
Применение для этой цели ряда Маклорена дает:
1. При натуральном показателе заданная степень двучлена имеет
т производных, отличных от нуля:
f'(x) = m(\+x)m-\ fn(x) = m(m — \)(l+x)m-*, ...,
f{m)(x) = m(m — l)(m — 2)(m — 3) ... 3-2.1-m!
Bee же последующие производные обращаются в нуль. Поэтому
ряд Маклорена в этом случае принимает вид конечной формулы
бинома Ньютона, известной из школьного курса:
(1+х)т=1+тх-± \2 'х« +
, т (т—1) (т—2) „ , , т_, . т
Н —jt^~ X" + . . . + тхт г + Хт,
2. Когда т не является натуральным числом, то заданная
функция имеет производные любых порядков. Значения степени двучлена
* Для выполненных в этих двух примерах разложений можно доказать
сходимость рядов к функциям, для которых они записаны.
258

и ее производных при х = 0 таковы:
/(0) = 1, /'(0) = т, f(0) = m(m-l),
/'"(0) = т(т-1)(т-2), ....
/<">(0) = т(т—1)(т—2)...(m —n-f-l).
Самое же разложение в ряд Маклорена в этом случае имеет вид
(l+*)*=l+m*+^J^
m(m—l)(m_2)...(m—n+\) „n ,
t" 1-2-3...(л— 1)-л * "t",,e
Полученное разложение называется биномиальным рядом.
Заметим, что это разложение применимо не для всех
значений х, так как полученный ряд имеет радиус сходимости R = 1,
что может быть установлено учащимся (см. § 65).
Биномиальный ряд можно использовать для разложения в
степенной ряд таких, например, функций, как
УТ+^=(\+х)\ ^=(1+*)-*,
= (1— х) 3, У 1+Зх2 = (1+Зх2)2.
Для последующих вопросов полезны разложения yjt и ТП? *
Пример 4. Разложить по степеням х дробь т-т~-.
1 -\-Х
Решение. Переписав заданную дробь в виде (1+*)""1,
применяем биномиальный ряд:
^ = (1+*)-1^1_1.*+Ь1^*2 +
(—1)(—2)(—3) (—1)(—2)(—3)(—4)
-\ з! Х "* 4! * i-,#*
После упрощений получаем
Это — бесконечная геометрическая прогрессия со
знаменателем (—х).
Пример 5. Разложить по степеням х дробь . 2 ♦
Решение.
T^F = (l+^ri = H-(-l)^ +
+bl^w. + (-')(-g)(-3)w+,..
После упрощений имеем
1 «I—*»-!-*4—*•+..,
i+*!
259

§ 68. Разложение в степенные ряды некоторых
элементарных функций
В подробных курсах математического анализа доказывается, что
над степенными рядами выполнимы операции почленного сложения,
вычитания, умножения в таком же порядке, как для многочленов.
Это значит, что если даны два ряда с одинаковыми радиусами
сходимости, то тот же радиус сходимости сохранится для ряда,
полученного в результате операций сложения, вычитания или
умножения этих рядов. Кроме того, степенные ряды можно почленно
интегрировать и дифференцировать.
Отметим еще, что разложение f(x) сохраняется и для /(г), где
г = <р(л;), если при лг = 0 и z = 0, т. е. ф(0)=0.
Применение этих свойств степенных рядов позволяет
значительно • упростить операцию разложения элементарных функций
в степенные ряды.
Пример 6. Разложить в степенной ряд cosx.
Решение. Так как cosx = (sin.x;)', то необходимое разложение
сразу l получается почленным дифференцированием ряда для sin x
(пример 3):
уЗ уб у7
sinx = x—3J-+5T-7J-+...
Поэтому
« X2 , X4 X* ,
С05*=1-2Г+4Г~5Г+"-
Пример 7. Разложить в степенной ряд sin2*.
Решение. Заметим, что sin2j*: = y(1 — cos2л:). Функция cos2*
имеет разложение:
cos 2х = 1
2| I 4! 6! ' * * ' '
отсюда получаем
__ 2хг , 23** 26jce
~" 2! 4! + 6!
Пример 8. Разложить в степенной ряд е~х\
Решение. Заметив, что при х = 0и (—л;2) = 0, выполняем
разложение по аналогии с разложением ех (пример 2).
Это дает
Отметим, что в теории вероятностей (при рассмотрении теоремы
X2
Лапласа) применяется разложение е 2 , которое отличается от
только что записанного тем, что разложение ведется по степеням
(— Т") вмест0 степеней (—х2).
Пример 9. Разложить в степенной ряд ln(l+jc). >
260

X
С dx
Решение. Исходя из того, что In(1 +х)= \ утг> найдем тре-
о
буемое разложение почленным интегрированием ряда для дроби
г-г- (см. пример 4):
Отсюда
X
\n(\+x) = ^^x = ^{\-x + #-x*—v.)dx=>
0 0
JC2 X9 X4
Это разложение в преобразованном виде используется для
приближенного вычисления натуральных логарифмов.
Пример 10. Разложить в степенной ряд arctg*.
Решение. Это разложение легко получается почленным
интегрированием ряда, являющегося разложением дроби тх~т (пример 5),
исходя из того, что
х
Поэтому
JTTF = arcte*-
о
X
arctgx= J (1 — х2 + х*—х* + .. .)dx =
= х з" + -§ Y'v .. •
Упражнения
Выполнить разложение по степеням х каждой из следующих функций:
1-7Г-7-Т7- Отв. 1 — Зх+6*2—10*3+ ...
1 /1 1 1 » , ЬЗ & ЬЗ-5 й ,
л . 1 «■ I ЬЗ *», 1-3.5 х'
4. arcsin*. Отв. *+у . Т+^ # Т+2^6 # Т+ *''
е*—е-* Л , х3 . х6 . х7 .
6. —у—. 0тв- *+зГ+5Г+7Г+ *••
у2 уЗ у4
7. 1п(1—я). Отв. —х ^ о 7—'*"
с 1 *+* п 0 , 2аг3 . 2л:5 .
8. 1пу-^. Отв. 2* + -g—Ьт5~+-"
261

§ 69. Применение рядов к приближенным вычислениям
Представление элементарных функций в виде степенных рядов
позволяет применять эти ряды для различных приближенных
вычислений.
1. По разложениям е*, sinx и cosx можно с какой угодно
точностью вычислить значения этих функций для любого аргумента х.
Так, для определения числа е может служить числовой ряд,
полученный подстановкой в разложение е* значения х=1. Это дает
е=2+тя+ъг+тг+~-
Аналогично значение у/е найдется из числового ряда,
получаемого подстановкой в разложение ех значения х = 0,1, что дает
yj = eo* & 1 + 0,1 +.№=1,105.
Для отыскания значения синуса или косинуса некоторого
аргумента следует привести этот аргумент к радианнои мере и затем
подставить полученное число вместо х в соответствующее
разложение синуса или косинуса.
Например,
(UlY ( *lY
со я , \36/ . V36/
Ограничиваясь первыми двумя членами, будем иметь
cos 5° « 1 -(0>082732)2 « 0,9962.
2. Биномиальный ряд используется для приближенного
извлечения корней.
Так, для вычисления ^/0,991 достаточно представить этот ко-
рень в виде (1—0,009)3 и, записав разложение (1—х)3,
подставить в него х = 0,009, что дает
У0Ж1 = 1 —j • 0,009 — 1. (0,09)2— ...
Ограничиваясь лишь двумя членами ряда, получим
j/0T99T^ 1-0,003-0,997.
Если требуется, например, найти корень n-й степени из какого-
либо числа, то под корнем выделяется ближайшая меньшая или
большая п-я степень с последующим выводом за радикал
рационального множителя, и это приводит к подкоренному выражению
вида 1 ± х, где х < 1.
Так, для ^/39 мы имеем
1
^=К27нЛ2=з|/Г+|=з(1+-1) \
2G2

а для У 200 — имеем
^200 = ^243=43 = 3 У^Ш= 3 [1 -Щ^-
3. При значениях |х|<1 можно пользоваться разложениями
в степенные ряды In (1 +лг) и 1п(1 —лг) для приближенного
вычисления натуральных логарифмов соответствующих чисел.
Пример 11. Найти приближенное значение In 1,6.
Решение. Подставим значение л; = 0,6 в степенной ряд
х2 , х3 х4 .
являющийся (см. выше, пример 9) разложением функции ln(l+*).
Это дает
1 1 с л с °>36 , 0,216 0,1296 ,
1п1,6 = 0,6- ' '
или
2^3 4 ' "
In 1,6 = 0,6—0,18 + 0,072 —0,0324+ .
Ограничиваясь записанными четырьмя членами ряда, мы получим
приближенное значение In 1,6»0,4556. Допускаемая при этом
ошибка (по недостатку) меньше отброшенного пятого члена ряда
(он равен 0,015552).
Заметим, что сходимость числовых рядов, получаемых из
разложения для In (1 +лг) связана с абсолютной величиной значения х.
С уменьшением этого значения сходимость соответствующего ряда
ускоряется. Поэтому, например, отыскивая In 1,1 с помощью
четырех членов соответствующего ряда, мы получим уже результат со
значительно меньшей ошибкой (эта ошибка оказывается меньше
0,000002, в чем легко убедиться, выполнив необходимые вычисления).
4. Отметим еще, что разложение в степенные ряды позволяет
вычислить приближенно определенные интегралы, в том числе и в тех
случаях, когда первообразная не выражается в конечном виде.
Таким образом, например, определяются значения применяемой
в теории вероятностей функции
°w=?kle"r^'
о
которая после почленного интегрирования степенного ряда для е 2
представляется в виде
Ф(*)=?1н(*-Т+£-зЙ+---)*
Это позволяет определять значения Ф(л:) с какой угодно
точностью при любых значениях х.
Пример 12. Найти приближенное значение \e~x2dx,
263

Решение. На основании полученного в примере 8
разложения для е~*2 имеем
— *3 . хь х1
~Х 3 + 2!5 3!7"^
Ограничиваясь при подстановке х = \ четырьмя членами
разложения, будем иметь
1
i
'-"^'-T+w-s-i*0'743-
О
Можно доказать, что ошибка здесь не превышает ^ .
Пример 13. Найти приближенное значение \^-^-dx.
о
Решение- Пользуясь разложением
j^3 %Ь y7
имеем
sin дс _ « х?_ | _£^_ xQ
Поэтому
1 1
С sin х л С (, х2 . х* х6 , \.
о о
а:3 , хь х7 , | 1
3! 3 ^ 5! 5 7! 7
! о
Ограничиваясь при подстановке х=\ тремя членами, получим
Jillidx^l— ^ + _L~i_o,Q5556 + 0,OOi67.
о
Окончательно
1
Г sin a:
dx^ 0,9461,
0
причем все знаки здесь верны.
Упражнения
Найти приближенное значение следующих корней, ограничившись двумя
членами биномиального ряда:
1. УХ992- Отв. 0,996.
2. £/Т30. Отв. 5,067.
3. ^/70. Отв. 4,125.
4. jj/40. Отв. 2,1.
5. Найти sin 12°, использовав два члена разложения в ряд sin x. Отв. 0,2063.

Раздел шестой
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ
Глава XIII
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 70. Система п линейных уравнений с п неизвестными
1. Постановка вопроса о решении системы. В общем виде
система п линейных уравнений с п неизвестными записывается так:
аихг + а12х2 + а13х9 + ... + ахпхп = blt
02i*i ~т 022*2 H~ 0гз*з "f" • • • ~Ь агпхп ~ "г* ,j.
Ml + *»Л + Мз + ' • • + Я*Л = К
В отличие от школьного обозначения неизвестных разными
буквами х9 у, г, ... здесь они обозначаются одной буквой с разными
индексами хг, хг> ... хп или в общем виде xk, где k—порядковый
номер неизвестной от 1 до п. Коэффициенты при неизвестных
обозначаются одной буквой с двойным индексом aik, в котором i
обозначает номер уравнения, a k — номер неизвестной. Например,
а13—коэффициент в первом уравнении при лг3, а54—коэффициент
в пятом уравнении при л:4 и т. д. Свободные члены обозначаются
через bi9 где i—номер уравнения.
Поэтому система двух уравнений с двумя неизвестными
записывается в виде
( Яи*1 +012*2 =А» (2)
\ a2lxl+a22xi=b2t
а система трех уравнений с тремя неизвестными—в виде
011*1 I 012*2 • ^13*3 = ^1»
021*1 + 022*2 + 023*3 = К (3)
031*1 I 032*2 ~Т~ 033*3 == ^3*
Для получения общего приема решения системы (1) обратимся
сначала к системе (2) двух уравнений с двумя неизвестными.
Предварительно напомним некоторые сведения из школьного курса
о решении систем уравнений.
Решить систему (1) линейных уравнений —значит найти
совокупность чисел (значений неизвестных), которые при подстановке
в каждое уравнение системы вместо соответствующих неизвестных
обращают его в тождество.
Такая совокупность чисел называется решением системы.
Система, для которой существует хоть одно решение,
называется совместной.
265

Например, система
| 2^ + 3*, = 8, -
\ Зхг — х2=1
имеет одно решение ^ = 1, х —2, или (1;2). Подстановка этих
чисел дает тождество и для ервого уравнения (2-1+3-2 = 8) и
для второго (3-1 — 2=1).
Система же
2хг + Зх2 = 8,
4x3 + 6*2 = 16
имеет сколько угодно решений: ) (1; 2), 2) (—2; 4), 3) (4; 0) и т.д.
В справедливости этого л гко убедиться подстановкой чисел
каждой пары в любое уравнение системы: 1) 2-1+3-2 = 8,
2) 4.(—2)4-6-4= 16, 3) 2-4+ -0 = 8 и т.д.
Совместная система, имеющ я единственное решение, называется
определенной.
Совместная же система, им ющая сколько угодно решений,
называется неопределенной.
Система, не имеющая ни од ого решения, называется
несовместной.
Такова, например, система
2^ + 3.^ = 8,
4х1 + 6х> = 20,
так как ни одно решение первого уравнения (1; 2), (—2; 4), (4; 0)
и т.д. не удовлетворяет второму уравнению и ни одно решение
BTopQro уравнения (2; 2), (—1; 4), (5; 0) и т.д. не удовлетворяет
первому уравнению.
Переходя к системе двух линейных уравнений с двумя
неизвестными в общем виде (2), используем способ алгебраического
сложения с исключением сначала неизвестной х2, а
затем—неизвестной хг. В результате получим следующее решение:
X == М22—Mi2 Ц х = ai\b2—a21bl ,„ —
1 «11^22 — «21^12 2 ^11^22 — ^21^12 " ™"
Это решение дает определенное значение для каждой
неизвестной при знаменателе, не равном нулю.
При равенстве нулю знаменателя, но при не равных нулю
числителях система решения не имеет, т.е. несовместна.
При равенстве нулю и знаменателя, и числителей система
обращается в одно уравнение с двумя неизвестными, т.е.
оказывается совместной, но неопределенной.
Получение аналогичных результатов непосредственным
решением оказывается громоздким уже для системы трех линейных
уравнений с тремя неизвестными. Поэтому для перехода к решению
любой системы линейных уравнений вида (1) следует использовать
структуру найденного решения системы уравнений (2).
266

Это достигается с помощью определителей.
Выражение апа22—а21а12, являющееся знаменателем дробей,
определяющих значения неизвестных xt и х2, называется определите»
лея второго порядка. Он обозначается символом D (это—заглавная
буква его другого названия «детерминант») и записывается в виде
квадратной таблицы из четырех элементов, являющихся
коэффициентами при неизвестных в рассмотренной системе (2):
D =
Этот определитель в раскрытом виде состоит из двух членов.
Каждый член является произведением двух элементов, взятых по
одному из каждой строки и каждого столбца. Элементы,
составляющие первый член, расположены на главной диагонали, а элементы,
составляющие второй член, — на побочной. Произведение элементов
главной диагонали берется со знаком «плюс», а побочной—со
знаком «минус».
Выражения числителей дробей, определяющих значения
Неизвестных хг и х2 различны. При сравнении первого числителя
bji22 — Ь2а12 со знаменателем дроби мы видим, что вместо
коэффициентов при хх в него входят свободные члены. Такое же
сравнение второго числителя апЬ2—а21Ьг со знаменателем показывает,
что в этот числитель свободные члены входят вместо
коэффициентов при х2. Поэтому числители дробей, определяющих значения
хх и х2, называются также определителями второго порядка и
обозначаются соответственно:
D,
В сравнении с D (его называют определителем системы) у
определителя Dx свободными членами заменены элементы первого
столбца, а у определителя D2—элементы второго столбца.
Пример 1. Решить систему двух линейных уравнений
J 2хх + 5х2 = 16,
\ 3^ + 10*2 = 29.
Решение. Здесь определитель системы
12 5
&1 «12
b2 ai%
и
D =
ап bt
«21 К
D =
3 10
= 2-10—3.5 = 5
отличен от нуля. Поэтому можно использовать формулы (4).
Вычисление определителей Dt и £)а дает:
Отсюда
16 5
29 10
= 1610—29-5 = 15, D2 =
2 16
3 29
= 2-29—3.16 = 10.
^i=4 = 3, х,«-5U42-2.
D
D
267

Подстановка этого решения, т. е. значений хх=^3 и х2 = 2в
заданные уравнения обращает каждое из них в тождество
(справедливость этого следует проверить учащемуся).
Для применения определителей к решению систем линейных
уравнений (1) с тремя и более неизвестными ознакомимся со
свойствами определителей.
2. Определители и их свойства. Определитель я-го порядка
записывается символически в виде квадратной таблицы,
содержащей п2 элементов вида alk, расположенных в п строках и п столбцах:
D
а*л а0
tf„i а„
а*п
В раскрытом виде этот определитель представляет алгебраическую
сумму п\ членов, каждый из которых является произведением п
элементов, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца,
причем знак всякого члена определяется входящими в его состав
элементами.
Диагональ определителя, состоящая из элементов с попарно
одинаковыми индексами, называется главной, а диагональ, состоящая
из элементов с равными суммами индексов, — побочной. Член
определителя, составленный из элементов главной диагонали, имеет знак
«плюс», а член, составленный из элементов побочной диагонали,—
знак «минус».
Чтобы пользоваться определителями при решении систем
линейных уравнений, у которых число неизвестных совпадает с числом
уравнений, следует располагать приемами облегченного их
вычисления. Поэтому необходимо выяснить, выгодно ли вычисление
определителя путем развертывания его в алгебраическую сумму п\ его
членов.
Для определителя третьего порядка
D-
такое вычисление легко выполняется по алгебраической сумме
3! ^6 членов, записанной по правилу Сарруса, состоящему в том,
что основная таблица расширяется добавлением к ней справа
первого и второго столбцов
*23 "21 "22
"Ч5 Un+ Un,
п из нее выписываются: со знаками « + » три члена, являющиеся
произведениями трех элементов в направлении главной диагонали,
208

начиная от элементов верхней строки определителя, и со
знаками «—» три члена, являющиеся произведениями трех элементов
в направлении побочной диагонали, начиная от элементов нижней
строки определителя.
Это дает следующую формулу:
D =
Ял й12 я18
«21 «22 й->
а„ а
23
31 "32 «33
= апа22аз3 + а12агза31 +а13а21а32—а31а22а13-aj2a23°11 _ «sAl^U-
Пример 2. Вычислить определитель
2 —1
1
2 4 —3 .
11 17 —121
Решение. Для вычисления по правилу Сарруса составляем
расширенную таблицу
—1 1
4 —3
17 -12
2
2
11
2
2
11
—1
4
17,
что дает:
D = 2-4.(—12) + (—1).(—3).11 + Ь2.17 —11.4.1 —17.(—3).2 —
-(-12).2 (-1).
Отсюда D = —96 + 33 + 34 —44+102—24 = 169 —164=5.
Если для определителя третьего порядка его
непосредственное вычисление сравнительно не сложно, то для определителя
четвертого порядка оно значительно усложняется, так как
требуется выписать уже 4! = 24 члена. Для определителя пятого
порядка потребовалась бы выписать 5! = 120 членов.
Поэтому следует использовать формулу Лапласа, которая
позволяет понижать порядок заданного определителя, и некоторые
свойства определителя, которые упрощают его вычисление.
Для записи этой формулы необходимо ввести понятия минора и
алгебраического дополнения элемента aiki расположенного на
пересечении i-й строки и /?-го столбца данного определителя.
1. Если в данном определителе вычеркнуть элементы /-й строки
и &-го столбца, то останется определитель, имеющий порядок на
единицу меньше, чем данный. Этот определитель называется
минором элемента aik и обозначается символом Mik.
Например, для определителя четвертого порядка
3 2 5 1
7 3 4 2
0 5 6 2
5 7 9 4
'269

миноры элементов а23
13 2 1
М2з=|0 5 21 = 13;
5 7 4
4,а31 = 0,а14 = 1 таковы:
2 5 11
3 4 2=5; Ми =
7 9 4
Af„ =
7 3 4
0 5 6
5 7 9
11.
2. Алгебраическим дополнением Aik элемента aik данного
определителя называется минор Mih, взятый со знаком «плюс», если i + k
(сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых
находится aik)—четное число, и со знаком «минус», если i +
k—нечетное число.
Например, для заданного выше определителя четвертого
порядка имеем:
алгебраическое дополнение элемента а
» » »
* » »
Формула Лапласа основана на том, что определитель можно
представать в виде суммы произведений элементов всякой его строки
(столбца) на их алгебраические дополнения. Этим данный
определитель разлагается по элементам любой его строки (столбца).
Но выполняя разложения определителя в общем виде, покажем,
что вычисленный по правилу Сарруса в примере 2 определитель
третьего порядка дает тот же результат по формуле Лапласа.
Проведем разложение этого определителя по элементам первого
столбца:
23 — ^ ^23— -^23 —
„ = 0 Л31 = М31 = 5;
14=1 Аы = -Ми =
-13;
— 11.
= 2 •
4
17
—3
— 12
—2-
— 1
17
1
—12
—1 1
4 —3
5.
2—11 _ _
2 4 -31=2-1,; _^|-2.| ,;_,;i+ib
11 17 —12
= 2(—48 + 51) —2(12—17)+11 (3-4) = 6+10— И
Заметим, что вычисление определителя сокращается при
разложении его по элементам строки (или столбца), содержащей нули,
и, в частности, дает одно произведение, если все элементы, кроме
одного, в какой-либо строке или столбце—нули.
Пример 3. Вычислить определитель четвертого порядка
|4 1 0 3|
3 5 2 4
2—3 0 1Г
5 0 0 -5
D--
Решение. Мы видим, что разложение по элементам второй строки
или первого и четвертого столбцов дает сумму четырех произведений,
разложение по элементам первой и третьей строки или второго
столбца—сумму трех произведений, разложение по элементам четвертой
строки — сумму двух произведений, а разложение по элементам
третьего столбца—одно произведение.
270

Поэтому наиболее выгодным оказывается последнее разложение,
которое дает
I4 l 31
D = —2 2 -3 1 .
|5 0 —5|
Раскладывая полученный определитель третьего порядка по
элементам третьей строки, находим
D = —2<5-
1
—3
31
1
4 1
2 —3
= _ю. f(i +&)_(_12—2)}= —10(10+14)= —240.
Ниже будет показано* что полученный здесь определитель третьего
порядка легко упрощается и может быть сразу приведен к
определителю второго порядка.
Приведем свойства определителей, применение которых
облегчает их вычисление.
1°. Транспонирование определителя, т. е. замена строк столбца-
ми и наоборот, не меняет его значения.
Учащийся может проверить, что
3 5 6
4 2 1
5 32
3 4 5
5 2 3
6 1 2
2°. Перестановка любых двух строк
знак определителя.
Проверим это на примере предыдущего определителя
(столбцов) меняет только
Пусть
D =
3 5 6
4 2 1
5 3 2
и D' =
6 5
1 2
2 3
Разложение каждого определителя по совпадающим элементам
первых столбцов дает:
D = 3 (4 — 3) —4 (10 —18) + 5 (5 —12),
D' = 3(3 — 4)—4(18 —10)+ 5 (12—5).
Отсюда видно, что D' =—D.
3°. Общий множитель всех элементов одной строки (столбца)
может быть вынесен за знак определителя:
та
та
та
а12 аг
а99 а9
= т
ап а12 ах
^*21 ^*22 ^*2
Uo-t Una Uq
Заметив, что миноры элементов первых столбцов соответственно
равны, выполним разложение обеих частей равенства по элементам
первых столбцов, что и подтверждает справедливость этого
равенства:
тах1А1г + та12А12 + та13Аи = т {а11Ап + а12А12 + alzA13).
L
27!

4°. Если соответственные элементы двух строк (столбцов)
определителя равны или пропорциональны, то определитель равен нулю.
Здесь перестановка строк (или столбцов) с соответственно
равными элементами не меняет значения определителя, а так как по
свойству 2° D' = — D, то это дает D' — D — 0.
В случае пропорциональности соответственных элементов двух
строк (столбцов) равенство определителя нулю выясняется после
вынесения общего множителя элементов одной из строк, так как
mD' = mD=:0.
5°. Если элементы какой-либо строки (столбца) состоят из
двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей,
различающихся между собой только элементами одной строки
(столбца), бывшими ранее отдельными слагаемыми:
I «и «i + а[ «13,
D =
«21 а2 + «? «23
«31 «з + «з «зз
аи «! аи
«,, «9 «,
*л
+
аи ах «13
а.п а\ «23
«31 «3 «33
d\ + d;
(после разложения левого определителя по элементам второго
столбца следует применить распределительный закон к каждому
произведению в формуле Лапласа).
6°. Если к элементам одной строки (столбца) определителя
прибавить соответственные элементы другой строки или одинаково
пропорциональные им числа, то исходный определитель не изменится.
Здесь введение добавочных слагаемых равносильно прибавлению
второго определителя, у которого соответственные элементы двух
строк (столбцов) равны или пропорциональны, а такой
определитель (по свойству 4°) равен нулю:
13 I
«21+ £«23 «22 «2
!«31 + £«33 «32 «3
«И «1
««>, «О
+ k
а23 а2
й„ а,
а,, «1
Свойство 6° позволяет в ряде случаев преобразовать
определитель так, чтобы все, кроме одного, элемента строки (столбца)
обратились в нуль, а этим облегчается вычисление определителя.
Так, если в примере 3 после приведения заданного
определителя четвертого порядка к виду
14 1 31
D = —2 2 —3 1
|5 0 —5|
прибавить элементы первого столбца к элементам третьего столбца,
то мы получим
14 1 71
D=—2 2—3 3.
|5 0 0|
Теперь разложение по элементам третьей строки дает:
1 71
D
2-5
-3 3
= -10(3+21) = —240.

Пример 4. Вычислить определитель
10 3 2
\ к а п
5—602
— 13 0 7
0—4 5—3
Решение. Разложение по элементам третьего столбца дает
два слагаемых, т. е. D = al3Al3 + a43Ai3 (здесь а13 = а33 = 0), но
выгодней преобразовать определитель по свойству 6° с тем, чтобы
в первой строке обратить в нуль элементы а13 = 3 и я14-=2.
Воспользуемся для этого первым столбцом. Прибавим к третьему
столбцу первый столбец, умноженный на (—3), а к четвертому
столбцу—первый же столбец, умноженный на (—2). Это приведет
к определителю
10 0 01
5 —6 —15 —8
-13 3 9 .
0-4 5 —3
D:
Теперь разложение по элементам первой строки сразу дает
|_6 —15 —81
D= 3 3 - 9 .
1—4 5 —3|
Упрощаем вторую строку по свойству 6°. Умножив первый
столбец на (—1), прибавим его ко второму столбцу, а умножив
его же на (—3),— к элементам третьего столбца. Это дает:
D =
-6 —9 10
3 0 0
4 9 9
= — 3
—9 10
9 9
= —3 (—81 — 90) =- 513.
Приведенные сведения о вычислении определителей дают
возможность упростить технику решения рассматриваемых систем
уравнений по правилу Крамера.
3. Правило Крамера. Полученное непосредственно для системы
(2) решение в виде хг = -~ и х2 = -£ при йфО распространяется
на систему (3) трех линейных уравнений с тремя неизвестными
и на любую систему (1), где количество неизвестных совпадает
с числом линейных уравнений. Основанием к этому служит правило
Крамера, которое принимается без вывода.
Если определитель системы (1) п линейных уравнений с п
неизвестными Ь^=0, то система совместна и имеет единственное
решение, выражаемое по следующим формулам:
D
D
х„ =
D
Здесь определитель D составляется из коэффициентов при
неизвестных системы (1), а определители D19 D2, ... , Dn получаются
273

из D заменой в нем соответственных коэффициентов при каждом
неизвестном свободными членами. Такая система называется
определенной.
Например, для системы (3) трех уравнений с тремя
неизвестными имеем
£> =
#п #12 #13
fl21 а22 <*23
^31 ^32 ^33
. 0, = |
1
Ьг #12 #13
02 #22 ^23
^3 ^32 ^33
,£* =
#п 6Х #13
#2i К #23
#31 #з ^33
и08 =
#п #12 ^
#21 ^22 Ь2
^31 ^32 ^3
При условии йфО система совместна и имеет единственное
решение
хл =
D
—2l
хг — jy и ^з :
D
Пример 5. Найти решение системы
( 2xl—3xt + 5xi = 1,
•j Xl-f- X% 2Xa = 4,
( Зл^— х2— хъ =—2.
Решение. Для вычисления определителя системы
D = \
2—3 5
1 1 —2
3 -1 —1
предварительно упростим его, обратив элементы агг и a2S в нули.
Тогда
D
2 -5
1 О
3 —4
—5 9
—4 5
= —(—25 + 36) =
-П.
Так как йфО, то правило Крамера применимо. Находим
Я.=
D2 =
а =
1 —3 5
—4 1 —2
—2 —1 — 1
2 1 5
1 —4 —2
3 —2 —1
2 —3 1
1 1 —4
3 —1 —2
= 27;
= 2(4—4) —1 (—1+6) +5(—2+12) =45;
= 2(—6) —1 (6 + 1) + 3(12—1) = 14.
Этим определено единственное решение системы:
27
*1 — IP
45
*=-Ji
*3 11 *
Учащемуся рекомендуется подстановкой найденных значений
в каждое уравнение системы убедиться в том, что эти уравнения
Обращаются в тождества.
274

4. Случаи, когда определитель системы равен нулю. Рассмотрим
следующий пример.
Пример 6. Решить систему
(Ъхх — х2 + 4лг3 = 6,
\ хг + 2х2 — х3 = 3,
{ 5хг + 3х2 + 2х3 = 8.
Решение. Для вычисления определителя системы
D =
3 —1
1 2
5 3
предварительно прибавим элементы третьего столбца, умноженные
на 2, к элементам второго столбца и элементы первого столбца —
к элементам третьего столбца.
Это дает:
D =
3
1
5
7
0
7
7
0
7
-0.
Теперь найдем значения определителей Dlt D2 и D3. Имеем
0t =
6—1 4
3 2—1
8 3 2
=:
6
3
8
7 4
0—1
7 2
= 1
18 7 4
0 0—1
14 7 2
18
14
Ф0
(здесь второй элемент второго столбца обратился в нуль после
прибавления к его элементам элементов третьего столбца,
умноженных на 2, а второй элемент первого столбца—после прибавления
к его элементам элементов третьего столбца, умноженных на 3).
Аналогично можно установить, что и Dt=^0 и D2^=0.
Таким образом, для заданной системы D = 0, а ЬхФ0, D2^0
и D3=^0, что исключает возможность применения правила
Крамера. Поэтому выясним вопрос о совместности данной системы;
для этого перейдем к системе двух уравнений с двумя неизвестными.
Исключая х3 из первого и второго уравнений, получаем
3*!— х2 + 4х3 = 6
'i'4x1 + 8x2 — 4*3 = 12
1хх + 7х2 =18,
а исключая хд из второго и третьего уравнений, получаем
, 2хг + 4х2—2х3 == 6
"^ 5*! + Зх2 + 2лг3 = 8
7х1 + 1х2 --=14.
Эти два уравнения противоречивы, что указывает на отсутствие
решений исходной системы. Значит, линейная система вида (1),
у которой определитель системы Ь = 0, а определители Ь(ф0
(здесь *=1, 2, 3, ... , п), является несовместной.
275

6—1 4
3 2—1
12 3 2
. D2 =
3
1
5
6
3
12
4
— 1
о
•<•
и D3 =
3
1
5
— 1
2
3
6
3
12
Пример 7. Решить систему
(Зх,— х, + 4х3= 6,
< х, + 2л\ — х3= 3>
i 5лг, + 3jc2 + 2аг3 = 12.
Решение. Заметив, что коэффициенты левых частей
уравнений этой системы в точности совпадают с соответствующими
коэффициентами в уравнениях системы, заданной в примере 6, можно
установить, что определитель системы D = 0. Обращаясь, далее,
к определителям
D,=
можно легко вычислить и их значения: Dl = D2 = D3 = 0t а поэтому
и в этом случае нельзя применить правило Крамера. Исключая,
как и в примере 6, неизвестную x.v получим систему двух
уравнений с двумя неизвестными.
Из первого и второго уравнений алгебраическим сложением
получаем
, Зх, — х2 + 4х3 = 6
^4^ + 8^ — 4x3 = 12
7хх + 7х1 =18
Из второго и третьего уравнений получаем
2хх + 4х2 — 2л:3= 6
+ 5х1 + Зх2 + 2х3-12
7хх + 7х2
-18.
Совпадение этих двух уравнений показывает, что вместо системы
двух уравнений, связывающих неизвестные хх и х2, имеется только
одно уравнение с двумя неизвестными. Отсюда следует, что
исходная система—совместная и неопределенная, т. е. имеет сколько
угодно решений. Это значит, что каждой произвольно выбранной
18
паре значении хх и *.,, удовлетворяющих условию хх+х2 = — 9
соответствует определенное решение системы.
Так, при хх = 2 имеем х2^у— 2 = — , а х3=х{ + 2х2 — 3 = у (из
/ 4 1 \
второго уравнения системы), что дает решение (2; у; у], которое
обращает в тождества и первое и третье уравнения системы
(учащемуся следует подтвердить это подстановкой).
1 J О.Л О
При хх = 1 имеем х\2 = у, а х3 = 1+у — 3 = у , что дает другое
решение ( 1; у; у J .
Так как значение хх может быть любым, то это значит, что
система имеет сколько угодно решений, т. е. является
неопределенной.
276

5. О линейной зависимости между уравнениями системы.
Переменные величины /^(х), /2(*), ..., fn(x) называются линейно
зависимыми, если существуют такие постоянные (не равные одновременно
нулю) с19 с29 ..., сю что
Если таких постоянных не существует, то эти величины
называются линейно независимыми.
Так, линейно зависимы: а) Зхг и 6хи так как 2-ЗХд—6хх = 0,
б) Зх2, 2х2 и 4х2, так как 2-Зх2— 2х2— 4х2 = 0 и т. д.; линейно
независимы, например, а) 1 и х2, б) х2, 2—х и 5х3, так как только
при равенстве нулю всех постоянных множителей обращаются
в нуль суммы:
а) сг-1+с2х2 и б) сгх2+с2(2 —х) + с3-5х8.
Заметим, что если линейно зависимы две величины, то каждая
из них выражается в виде произведения другой на постоянную.Так,
линейная зависимость fx (х) = у и /2 (х) = Зу записывается в виде
/2(х) = ЗД(х) или М*) = уМ*).
Если линейно зависимы три или более величин, то одна изних
выражается линейной комбинацией остальных*. Так, линейная
зависимость fi(x) = y2, f2(x) = 3y2 и /3(х) = 15#2 записывается в виде
М*)-ЗМ*) + 4М*).
Такое выражение линейной зависимости между отдельными
переменными применимо к понятию линейной зависимости между
уравнениями системы.
Если все одинаковые члены в обоих уравнениях системы (2)
пропорциональны между собой, то эти уравнения являются линейно
зависимыми, т. е. одно из них оказывается следствием . другого.
Поэтому система двух уравнений с двумя неизвестными обращается
в одно уравнение с двумя неизвестными. Это означает, что при
наличии линейной зависимости между уравнениями система является
совместной, но неопределенной (см. выше, п. 1 настоящего параграфа).
Покажем, что линейная зависимость уравнений системы (2)
следует из того, что D = 0, Dt = 0 иО2 = 0.
В самом деле, равенство всех трех определителей нулю дает
систему трех равенств
а1га22 = а21а12, Ьга22 = Ь2а12 и а11Ь2^а21Ь1У
которая сводится к пропорциональности отдельных членов в
уравнениях системы — = — = г2- (одинаковые множители хх и х„ в чис-
йц а12 о1
лителях и знаменателях двух первых дробей опущены), т. е.
к линейной зависимости между уравнениями системы.
Линейной зависимости между двумя уравнениями системы нет,
когда нарушено хотя бы одно из приведенных трех равенств.
Первый случай линейной независимости уравнений системы связан
* Такие нредставления линейней зависимости не нарушают ее общего условия,
277

с неравенством нулю определителя системы. При этом, как известно,
система является совместной и определенной. Второй же случай,
когда при D = 0 В1Ф0 и D2=^=0 связан с Тем, что пропорциональны
только коэффициенты при неизвестных, но свободные члены
нарушают эту пропорциональность, а это значит, что уравнения линейно
независимы. При этом, как известно, система решений не имеет,
т. е. несовместна.
В случае системы трех и более уравнений с тремя и более
неизвестными уравнения системы линейно зависимы, если каждый
член одного уравнения выражается одной и той же линейной
комбинацией из соответственных членов всех остальных уравнений
системы. (Тривиальный случай линейной зависимости, при которой
всем членам одного уравнения пропорциональны соответственные
члены остальных уравнений, опускается, так как в этом случае
система обращается в одно уравнение с заданным в системе числом
неизвестных.)
Найдем структуру линейной комбинации, связывающей все члены
одного из уравнений системы, заданной в примере 7, с
соответственными членами из всех остальных уравнений этой системы
Зхг— х2 + 4хв = 6,
Хл ~~\~ LAn Л» == О,
5^ + 3x2 + 2*3 = 12.
Пусть каждый член третьего уравнения равен сумме такого же
члена первого уравнения, умноженного на kv и такого же члена
второго уравнения, умноженного на k2. Линейная комбинация будет
определена, если мы найдем значения kx и k2t которые удовлетворяют
системе следующих четырех уравнений:
/ 3/?! +fe2 = 5,
__fei + 2fe2= 3,
i 4k, + k2 = 2,
I 6fet + 3fe2 = 12.
Из первого и третьего уравнений легко находится решение
системы &!= 1 и /г2 = 2, которое удовлетворяет и второму, и четвертому
уравнениям. (Справедливость этого следует проверить
подстановкой.)
Этим установлена линейная зависимость между уравнениями
системы, заданной в примере 7, и подтверждено, что линейная
зависимость связана с равенством нулю всех четырех определителей,
образуемых этой системой, что видно из решения этого примера.
Так как третье уравнение системы оказалось линейной комбинацией
первых двух, то оно является их следствием и для решения системы
излишним.
После исключения третьего уравнения мы получаем систему двух
уравнений с тремя неизвестными, которая эквивалентна исходной
системе:
Зхх— х2 + 4х3 = 6,
%1 Т" *•%* — Х3 = о.
278

Это показывает, что исходная система является совместной
и неопределенной. Действительно, принимая х3 = 1 и подставляя это
значение в оба уравнения, мы переходим к системе двух уравнений
с двумя неизвестными
хг + 2х2 = 4,
из которой находим #! = y и ха = у, Таким образом, получено
8 10 <
одно решение исходной системы хх = у, л:2 = у и лг3 = 1, которое
удовлетворяет и третьему уравнению. Этим подтверждено, 4TQ
система совместна. Последующий выбор любых значений для каждой
неизвестной ничем не ограничен, а по каждому значению одной
неизвестной находится новое решение системы, которая оказывается
неопределенной.
Случаи линейной зависимости уравнений системы п уравнений
с п неизвестными такие же, как и для системы двух уравнений
с двумя неизвестными. Однако если для последней линейная
зависимость уравнений системы вытекает непосредственно из нарушения
пропорциональности между соответственными элементами строк или
столбцов определителя, то для систем уравнений с большим числом
неизвестных это достигается только проверкой выполнения условий
линейной зависимости уравнений.
Известно, что система является совместной и определенной,
когда определитель этой системы D=^0. Проверим, существует ли
линейная зависимость между уравнениями такой системы в примере 5.
Допустим, что уравнения системы линейно зависимы. Тогда
между соответственными коэффициентами и свободными членами
всех уравнений должны выполняться следующие соотношения:
2kt + k2 = 3\ — 3kx + k2=— 1, 5&, —2&2 = — 1 и kx — 4k2 = — %
Из системы
Г 2kx + k2 = 3,
\ —3kx + k2 = — 1
и 4 и 7
следует решение: К — 'т H#2 = -g-,
При линейной зависимости уравнений заданной в примере
системы найденные значения kt и k2 должны удовлетворять и
остальным двум соотношениям.
Выполнение подстановки дает:
к 4 0 7 6 ^ , 4.7 24 /П
Противоречивость системы соотношений, обусловливающих линей*
ную зависимость уравнений системы, показывает, что при ЭфО
уравнения системы линейно независимы,
279

Решение примера 6, в котором дана система с определителем
D = 0 и с определителями Dl9 D2 и D3, не равными нулю, показало,
что эта система несовместна. Путем проверки системы соотношений,
приведенных в этом же пункте для примера 7, можно установить,
что в уравнениях системы из примера 6 для свободных членов
уравнений эта система соотношений нарушается. Учащемуся следует
выполнить эту проверку и тем подтвердить линейную независимость
уравнений системы в примере 6.
Отметим различные случаи решения системы линейных
уравнений вида (1).
1. Система является совместной и определенной, если ее
определитель D=t=0 (при этом уравнения системы линейно независимы).
2. Система является совместной, но неопределенной, если все ее
определители равны нулю: D = D, = D2 = ... = Dn = 0 (при этом
уравнения системы линейно зависимы).
3. Система несовместна (не имеет решений), если только
определитель системы D = 0 (при этом уравнения системы линейно
независимы).
6. Решение системы по методу Гаусса. Решение системы (1)
п уравнений с п неизвестными по правилу Крамера является
громоздкой операцией уже для я =4, ибо это связано с вычислением
пяти определителей четвертого порядка. Поэтому на практике
успешно применяется метод Гаусса, приводящий исходную систему
к более простому виду, позволяющему легко вычислить
последовательно значения всех неизвестных, если система совместная и
определенная.
В основу этого метода положены свойства эквивалентных систем.
Определение. Две системы линейных уравнений называются
эквивалентными, или равносильными, если всякое решение одной системы
является также решением другой из них, и обратно.
Без доказательства примем, что данная система переходит в ей
эквивалентную, если а) все члены любого уравнения умножить или
разделить на одно и то же число и б) все члены одного уравнения,
умноженные на одно и то же число, прибавить к соответственным
членам другого уравнения.
Метод Гаусса заключается в проведении с помощью
преобразований последовательного исключения неизвестных так, чтобы
последнее уравнение содержало лишь одно неизвестное.
Покажем этот метод на примере.
Пример 8. Решить методом Гаусса систему уравнений
( 2хх-\-2хг— х3 = 4,
< ОХ| X} 0\ и —— / ,
У xl + 3xi— 2.v3=-3.
Решение. I шаг. Исключаем неизвестную хх из всех
уравнений системы, начиная со второго. Исключение выполняем с помощью
первого уравнения, предварительно разделив все члены его на ко-
280

эффивдент при Jtj*, после чего система уравнений примет вид
Хх -р Х2 2 -^з — ^»
Затем а) из второго уравнения вычитаем первое, умноженное
на 3 (т. е. на коэффициент при исключаемой неизвестной во
втором уравнении):
ОХх — Х% ~~~ «З-^з ===
"~~~ 3
Здг,+3хв—2-^з = 6
-4л: —--а:
1;
б) из третьего уравнения вычитаем первое:
ATj -р ОЛ^2 ~"~~ ^-^з ==
2-^2 — у лгз== !•
Теперь система уравнений принимает следующий вид:
*Ч "Т К* о" *з — ^>
1,
"^•^2 2 "^3 :
2а: ——а: = 1
^Л2 2 3 —
II шаг. Исключаем неизвестную л:2 из третьего уравнения
системы (если бы она содержала более трех уравнений, исключение
проводилось бы для всех уравнений, начиная с третьего).
Исключение выполняем с помощью второго уравнения, которое
предварительно делим на коэффициент при хг\ после этого система запишется
в виде
Хх -рЛ:2 ^ Я3 —^>
3_ 1_
za:2 о" з== *•
* Можно применять и такой путь исключения любой неизвестной, что
в каждом уравнении производится деление всех членов на коэффициент при
исключаемой неизвестной.
£81

Затем вычитаем из третьего уравнения второе, умноженное на 2:
ZX2 2"-^з == *•
^2 "Т т %з == «Г*
4 *3 ~ 2 '
После этого шага система уравнений примет так называемую
треугольную форму:
Хг -\- Х2 с) Хъ — Z,
1 - 1
8
•*2 "Г Q ^3 —
—А -А
4 *з - 2 "
Последнее уравнение содержит лишь одну неизвестную х3,
предпоследнее—две неизвестные хъ и х2, первое—три неизвестные x3i
х2 и хх\ каждое предыдущее уравнение содержит на одну
неизвестную больше, чем последующее. Теперь уже легко найти значения
всех неизвестных.
III шаг. Определяем из третьего уравнения значение х3:
_ _2_
х3— 3 .
IV шаг. Подставляем найденное значение xz во второе
уравнение и находим х2\
Х*+ 8 V 3 / 4 ' Х* ~~
V ш а г, Значения х3 и х2 подставляем в первое уравнение и
находим хх:
*i + 0—\-(—\\=2\ хг = т.
2
\
Решение получено: х1 = -^, х2-=0, л:3= —о". Учащемуся следует
проверить правильность этого решения.
Особенностью метода Гаусса является то, что при этом не
требуется предварительного выяснения вопроса о совместности системы.
1. Если система совместна и определенна, то метод приводит
к ее единственному решению (см. пример 8).
2. Если система несовместна, то этот метод приводит к тому,
что на каком-то шаге вместе с исключаемой неизвестной
исключаются и все остальные неизвестные, а в правой части остается
свободный член, отличный от нуля.
Проверим это на системе, рассмотренной в примере 6.
I шаг* Приведем к 1 коэффициент при хх в первом уравнении,
1 4
что дает хх—-jX2 + -jXz = 29 и вычтем полученное уравнение из
282

второго уравнения системы:
Xi + 2Х2 Х3 — о
•^i з "^2"• з *^3 —
1-х-1-х -1
Приводим первое уравнение к одинаковому с третьим
уравнением коэффициенту при xt и вычтем его из третьего уравнения:
5х1 + Зх2 + 2х3 =8
—5хх —ул:2 + ул:3 = 10
у** —з"*в — — 2(сокращаем на 2).
II шаг. Система имеет вид
" "о" •* 2 « О- "^3 — ^ >
L —L —1
о Х2 о Xz 1 .
Здесь вместе с исключением из третьего уравнения х2
исключается и х3, что приводит к противоречию, так как 0=^=2. _
Таким образом, применение метода Гаусса показало, что система,
заданная в примере 6, несовместна.
3. Если система совместная, но неопределенная, то на некотором
шаге два уравнения оказываются тождественными, и таким образом,
уравнений оказывается на одно меньше, чем неизвестных.
В самом деле, применяя метод Гаусса к системе, заданной
в примере 7, получим, что после исключения из второго и третьего
уравнений неизвестной хг система приводится к виду
~ О -^2 1"
2,
L —L -1
3 ^2 з ^3 ~~ 9
з %% з *з
1,
а это значит, что исходная система оказывается равносильной системе
4L з ^2 ' 3 ^3 — '
L —L -1
« л2 з 3 —
которая является хоть и совместной, но неопределенной.
233

Упражнения
1. Вычислить определители второго порядка:
аЧ 7 3|> б)| 8 —121 • в) 1-5 3|-
Отв. а) 71, б) 0, в) 37.
2. Решить по формулам Крамера систему уравнений
/ 5*! —4*2 = 2,
\3хг + 7х2 = -27.
Отв. *! = —2, *2=—3.
3. Вычислить миноры Mllt М23 и алгебраическое дополнение А12 для
определителя
14 3 01
2—5 7.
|1 -1 б|
Отв. Ми=—23, М23=—7, Л12=— 5.
4. Вычислить определитель, данный в предыдущем уравнении, двумя
способами: а) разлагая его по элементам первой строки, б) разлагая по элементам
третьего столбца.
Отв. 107.
5. Вычислить определитель
2
0 -
1
4
0 -
-5
3
0
-8
4
0
2
3
1
-6
—2
предварительно упростив его.
Отв. 710.
6. Доказать совместность системы уравнений
J 3*! — 2а:2+5а:з=11,
^ 2*! + 3*2 = 3
и решить ее по формулам Крамера.
Отв. *i = 3, *2 = — 1, *3 = 0.
7. Решить методом Гаусса систему уравнений
*1-р 0*2— *з == 1У,
2*!+ 7*2+ 4*3 = 30,
з*! — *2 -)- б*з = — i •
Отв. *i==5, *2 = 4, *з=—2.
8. Пользуясь методом Гаусса, установить, совместна ли система уравнений
Г 3*! —4*2+ *3 = 8,
< *i+ *2+ *з——2,
^ 5*t — 2*2 + 3*3 = 4.
9. Проверить результат предыдущего решения с помощью определителей.
§ 71. Система т линейных уравнений с п неизвестными (m</i)
1. Основные и неосновные неизвестные. В общем виде система т
линейных уравнений с п неизвестными имеет вид
а1гхг + а12х2 + ... + а1пхп = Ь19
я2Л + я22*2 + ... + ct2nxn = b2,
(1)
я*Л ■+ в«Л + . •. + атпхп = 6Л.
284

Так как здесь число уравнений меньше числа неизвестных, то
следует использовать методы, которые относятся к решению системы
с числом неизвестных,, равным числу уравнений.
Положим, что т уравнений системы линейно независимы.
Это значит, что ни одно из них не может быть представлено
линейной комбинацией всех остальных, а если такое имелось, то мы
его уже исключили из системы. Выберем из всех п неизвестных т
таких, что определитель из коэффициентов при этих неизвестных
отличен от нуля *. Занумеровав эти неизвестные через xv х2, ... хт>
назовем их основными.
Таким образом, основные неизвестные в системе (1) определяются»
условием
\аЛХ аЛ9 ... alw
:0.
ат\ атг ••• атт\
Остальные п—т неизвестных назовем неосновными, или
свободными.
После такого разбиения перенесем все п—т членов уравнений
с неосновными неизвестными в правые части уравнений. Это
приведет систему к виду
011*1+^12*2 +
а21хх + а22х2 +
•+a2mxm = b2
..+4
— b1—а^ т+ххт+х — .
*2, т + \лт + 1
Xm + i .
"а\пХп*
(2)
тт^т — ®т &т, т + 1лт + 1'
1Лж + 1
V1+V2 +
Заменим теперь каждое из неизвестных в правой части системы
каким-либо определенным числом. Тогда правые части уравнений
примут определенные значения (например, &,, Ь2, ... Ьт), и это
дает систему т уравнений с п неизвестными, имеющую по правилу
Крамера определенное решение.
Пример 9. Найти одно решение системы
(Зл^— #2 + 3*з — 7х4 = 10,
I 4^ + 7x2+ 4л;3+ л;4 = 9.
13 —11
4 7
Решение. Заметив, что
= 0, мы выберем за основные
неизвестные хг и х2 и перепишем систему в виде
j Зхх— л:2 = 10—Зх3 + 7л;4,
тгХ» ~\~ I Лл — У ■'•^з "/v4
хл.
Если положить в качестве значений неосновных (свободных)
неизвестных хв = 1 и x^ = 2t то получится система
{ОХ± — X2 == Z1,
4хг + 7х2= 3,
* Это возможно, если число т линейно независимых уравнений не меньше,
чем 2, ибо случай т — 1 тривиален.
285

откуда хг = 6 и #2=—3 (этот результат может быть легко найден
учащимся по правилу Крамера). Отсюда следует одно из решений
заданной системы: xt = 6t х2= — 3, х3 = 1, х± = 2, или (6,—3, 1,2).
И из этой конкретно заданной системы, и из общего ее вида (2)
следует, что набор значений неизвестных можно изменять какими
угодно способами и что сверх этого возможно изменение состава
основных неизвестных (в данном примере ими могут быть еще и
пары: хх и х4, х2 и х3, х2 и хА и х3 и хА). Таким образом, система (1),
в которой число уравнений меньше числа неизвестных, является
совместной и неопределенной.
В задачах линейного программирования, требующих применения
систем линейных уравнений, следует оперировать хоть и с большим,
но с ограниченным числом решений системы. Поэтому следует ввести
упорядочение в полученный результат о неопределенном характере
системы (1).
Первый шаг в этом направлении — разбиение всех неизвестных
на основные и неосновные (свободные). Оказывается, число таких
разбиений не может превышать числа сочетаний из п по т. Если
обозначить число разбиений символом fe, то это значит, что k^C%,
Поясним структуру записанной границы. Так как число т
(уравнений) меньше числа п (неизвестных), то порядок определителя из
коэффициентов при неизвестных не может быть больше числа его
строк, а их столько же, сколько уравнений, т. е. т. Нас поэтому
интересует число всех определителей порядка т, различающихся:
хотя бы одним из всех п столбцов таблицы коэффициентов при не-,
известных
ап а12 й13 ..
#21 а22 #23 • •
ат\ атг &тз •
• ^Ш а1, т + 1 • • •
• ^2от ^2, т + 1 • • •
• • атт ат,т + 1 • •
^1, п-1 а1п
а2, п-Л а2п
• ^т, п-1 атп
= 0, то заданная
Число таких определителей равно С™.
В зависимости от значений коэффициентов при неизвестных число*
разбиений k-^C™, если все возможные определители m-го порядка:
отличны от нуля, или k < C£, если среди таких определителей хоть;
один равен нулю.
В примере 9 при п = 4 и m = 2 fe ^ C1 = 6. Так как среди все"
13 31
6 различных определителей один равен нулю: \л л\
система допускает 5 разбиений на основные и неосновные
неизвестные.
Поступая в каждом разбиении таким же образом, как это
выполнено для разбиения, при котором хх и х2—основные неизвест
ные, х3 и х4 — неосновные (свободные), мы получили бы для каждо0
пары значений свободных неизвестных одно определенное решени
системы.
Этот результат можно обобщить как теорему.
Если для системы т линейных уравнений с п неизвестным
286

(m < n) существует хоть одно разбиение на основные и неосновные
неизвестные, то эта система совместна и неопределенна. При этом
каждой зафиксированной совокупности значений свободных
неизвестных (хт+19 х'т+29 ..., х'п) соответствует одно определенное решение
системы (x'lt х'29 ..., хт9 х'т+19 ..., х'п).
2. Базисные решения системы. Рассмотрим следующий пример.
Пример 10. Дана система
хг + 2х2 + х3 = 24,
2хг+ х2 + х4 = 30,
х1 +л:5= 12.
Найти все решения, в которых свободные неизвестные равны нулю.
Решение. 1) По таблице коэффициентов при неизвестных
12 10 0
2 10 10
10 0 0 1
сразу видно, что не равен нулю определитель из коэффициентов при
х3, *4 и хь. Действительно,
1.
11
10
о
0 01
1 0
0 1
11
12
|l
2 1
■1 0
0 0
Тогда неосновными неизвестными оказываются хх и хъ.
Подстановка л;1=л;2 = 0 приводит остающуюся систему сразу
к решению лг3 = 24, #4 = 30 и хб = 12. Отсюда первое решение
системы (0; 0; 24; 30; 12).
2) Отличен от нуля также определитель из коэффициентов при
х19 х% и х3, так как
= -1;
поэтому свободными неизвестными теперь оказываются xi и хъ.
Принимая х± = хъ^09 мы получаем систему уравнений относительно
xi> *2> хз в треугольной форме
х1 + 2х1 + х9=24,
2хх + х2 — 30,
, хг =12.
Отсюда ^=12, х2 = 6 и л:3 = 0, и второе решение системы таково:
(12; 6; 0; 0; 0).
3) За основные неизвестные можно принять х19 х29 х4 (проверка
того, что соответствующий определитель отличен от нуля, должна быть
выполнена учащимся и в этом, и в последующих случаях), и тогда
при х3=л:5 = 0 значения основных переменных определяются из
287

системы
хг + 2х% = 24,
2хх + х2 + л:4=30,
хх = 12,
а отсюда получается третье решение (12; 6; 0; 0; 0).
4) Можно принять за основные неизвестные хи х2 и х5, и тогда
= 0 имеем систему , *-
хх + 2х2 =24,
2^ + х2 = 30,
хх + хь=\2,
которая Даёт четвертое решение (12; 6; 0; 0; 0).
Предоставляя завершение операции по отысканию остальных
решений учащемуся, заметим, что исходная система имеет 9
решений, удовлетворяющих условию задачи. Десятый случай разбиения
неизвестных на основные и свободные невыполним, так как
соответствующий определитель (учащийся должен найти его) равен нулю.
Таким образом, исходная система трех уравнений с пятью
неизвестными имеет 9 решений, в составе каждого из которых
значения неосновных неизвестных—нули.
Рассмотренный пример показывает, что из бесконечного
множества решений системы (1) т уравнений с п неизвестными (при т<п)
можно выделить ограниченное число решений, у которых свободные
неизвестные принимают нулевые значения.
Каждое такое решение называется базисным.
Как это подтверждается разобранным примером 9, число
базисных решений системы (1) равно числу возможных разбиений всех
неизвестных системы на основные и неосновные (или свободные),
так как каждому такому разбиению соответствует одно и только
одно решение, в котором свободные неизвестные—нули.
Базисные решения системы т уравнений с п неизвестными
используются в задачах линейного программирования.
Пример 11. Найти базисные решения системы
Г 3^ + 2^ + 5*3=12,
\ 4^ + 3^ + 7*3 = 25.
Решение. Так как здесь п = 3 и т = 2, то Q =
3—ограничивает число разбиений. Из них:
т основных
неизвестных
1) хх и х2
2) хх и л:3
3) х2 и *3
п
—т
неосновных
неизвестных
*3 е
Ч
*i
возможно, так как
3 2
4 3
35
4 7
2 5
3 7
^0;
288

Значения хг и х2 при х3 = 0 определяются из системы
| 3^ + 2*^12,
1 4^ + 3^ = 25,
а отсюда xt = —14, х2 = 27.
Значения xt и л:3 при х2 = 0 определяются из системы
\ 3^ + 5^3-12,
\ 4^ + 7^ = 25,
а отсюда хг = —41, лг3 = 27.
Значения х2 и х3 при ^ = 0 определяются из системы
2х2 + 5х3 = 12,
Зх2 + 7х3 = 25,
а отсюда х2 —41, х3
-14.
Мы получили 3 базисных решения: 1) (—14; 27; 0), 2) (—41; 0; 27)
и 3) (0; 41; —14).
Пример 12. Найти базисные решения системы
( 2*! —Зх2 + 4х3=5,
( Ъхг + 6х2 — 8л:3 = 1.
Решение. Проверяя возможность трех разбиений, мы
устанавливаем:
12 3 I
1) основным неизвестным х, и х2 соответствует L- ~ \ф 0,
значит, хъ — неосновная неизвестная;
2) основным неизвестным хА и х3 соответствует
значит, х2 — неосновная неизвестная;
-8
I Q у|
3) основным неизвестным х2 и xz соответствует ~ „
Ф0,
= 0,
значит, соответствующего разбиения нет.
Так как возможны два разбиения, то им соответствуют два
базисных решения.
1) Из системы
I 2х^—оХ2 = 09
\ 5хх + 6лг2 = 1
33 23
определяем хг=^=9 х2 =—н=, что дает первое базисное решение
"271
23
/33.
^27 ' 27:
2) Из системы
;0
2^ + 4x3 = 5,
5л:! — 8л:8 = 1
10 Л» 2418
289

.{
44 23
определяем xx = ^t x8 — gg, что дает второе базисное решение
V36' и' 36; •
При решении системы (1) возможны и такие базисные решения,
в которых отдельные основные неизвестные принимают нулевые
значения. С таким случаем мы встречались выше в примере 10. При
изучении линейного программирования этот случай выделяется
особо.
Упражнения
1. Указать все возможные способы разбиения неизвестных на основные и
свободные в следующих системах уравнений:
( 2хх—5ха + 7*8х=16,
а) \ xt +3*4-4*з =»-3;
*i+2*2-f 4*з— *4 = 3»
3*! —8л:а—2аг3 + *Ч = 9,
4*!—6*2+*з + Зл:4 = 12.
Отв. а) возможны три способа разбиения;
б) возможны два способа разбиения.
2. Найти все базисные решения систем в предыдущем примере.
3. Найти базисные решения системы уравнений
i *1+*2 + *з = 4,
у Xi *2 ^3 =-= ^"
Отв. 1) *!=1, *2 = 3, *8==0; 2) хх = 2, лг2 = 0, *3 = 2; 3) *! = 0, *2=6,
*. = -2.
4. Найти базисные решения системы уравнений
( 3*!—*2 + 2*3=9,
\ Ъхх—*з = 15.
Отв. 1) *! = 3, *2=*0, *з = 0; 2) ^=«0, лг2 = —39, х3 = —15.
Глава XIV
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 72. Векторы на плоскости и в пространстве
1. Понятие вектора. Понятие вектора связано с тем, что
изучаемые величины имеют между собой различие: одни полностью
характеризуются своим численным значением в соответствующей
системе единиц (масса, объем, температура, работа, сырье, готовые
изделия и др.)— их называют скалярами', другие, помимо
численного значения, определяются еще своим направлением в
пространстве (сила, скорость, ускорение и т. д.) —их называют векторами.
Вектор представляется как отрезок с указанием его начала и конца
(стрелки). Векторы обозначаются жирными буквами латинского
алфавита а или в виде АВ. Длина (модуль) вектора является
скаляром и имеет обозначение |а|, а также а или АВ.
290

При рассмотрении векторов будем считать их свободными, т. е.
допускающими перемещение с сохранением направления.
Два вектора считаются равными, если они одинаковы по длине
и направлению (рис. 124).
Рассмотрим простейшие операции над векторами.
Сложение двух векторов можно выполнять двояко: 1) сумма
двух векторов, имеющих общее начало, определяется выходящей из
Рис. 125
того же начала диагональю параллелограмма, построенного на
данных векторах (рис. 125); 2) сумма двух векторов определяется
вектором, начало которого совпадает с началом первого -вектора,
а конец—с концом второго вектора, если начало второго вектора
помещено в конце первого (рис. 126).
Второй епособ сложения двух векторов распространяется на
сумму большего числа векторов, последовательно расположенных
на ломаной. При этом сумма представляет собой вектор,
замыкающий ломаную в многоугольник* (рис. 127).
А ►*
ВА=-а
А~* г-8
Рис. 128
Нуль-вектор есть такой вектор, у которого начало и конец
совпадают в одной точке.
Векторы АВ и ВА называются противоположными; если
первый из них обозначен а, то второй обозначают—-^ а (рис. 128).
Заметив, что АВ + ВА = 0, можно записать а + (— а) = 0.
Понятие противоположного вектора позволяет определить
разность двух векторов, как сумму первого вектора с вектором,
противоположным второму. Так, а—b=a-f(—b) (рис. 129). Если
обозначить разность а—Ь = с, то а = Ь + с, и операция вычитания
может быть представлена на треугольнике, в котором вектор а
оказывается замыкающим (рис. 130).
* Заметим, что первый способ представляет собой частный елучай второго
(для двух слагаемых).
10*
291

Произведение вектора а на число (скаляр) т есть вектор та,
длина которого больше длины вектора а в т раз, а направление
совпадает с направлением вектора а при т>0 и противоположно
этому направлению при т < 0.
Наряду с вектором а на рис. 131 показано, как располагаются
некоторые векторы вида та.
Два вектора называются коллинеарными, если они расположены
на одной прямой или на параллельных прямых. Это значит, что
каждый из двух коллинеарных векторов
может быть представлен в виде произведения
другого на число (ска-
*" ~1^5 ляр). Таким образом,
2а коллинеарные векторы
*~ линейно зависимы между
Рис J3Q Рис. 131 собой.* Два неколлине-
арных вектора всегда
линейно независимы.
Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной
плоскости или параллельны одной плоскости. Так, компланарны
векторы р1У р2 и Pi + p2^4 (см- рис 125), являющиеся сторонами и
диагональю параллелограмма. Вместе с тем они линейно зависимы,
так как q=Pi+p2. Если умножить каждую сторону на число т,
то диагональ нового параллелограмма qm =
=тр1+трг, т. е. вектор q также линейно
зависим от векторов рг и р2. Заменив в
последнем равенстве q на р,+р2> имеем
(Pi+p2)^=^Pim + p2^-
Последнее равенство указывает на
распределительное свойство умножения вектора
на скаляр.
Линейная зависимость всегда имеет место Рис- 132
между тремя векторами на плоскости,
имеющими общее начало. Так, если с = та + яЬ(рис. 132), то эта же
линейная зависимость сохранится между векторами, соответственно
равными a, b и с, при их другом расположении на том же рисунке.
Поэтому три линейно зависимых вектора на плоскости всегда
можно представить исходящими из одной общей точки. Аналогичные
рассуждения о четырех векторах в пространстве, среди которых нет
коллинеарных, приводят к наличию между ними линейной
зависимости и, в частности, к тому, что
d -=fta + /b + mc.
Так именно выражается d — диагональ параллелепипеда, если
исходящие из одной вершины ребра являются произведениями
векторов a, b и с на соответствующие числа k, I и т (рис. 133).
* Заметим, что векторы являются линейно зависимыми, если хотя бы один
из них выражается в виде линейной комбинации всех остальных.
292

2. Векторы в координатной форме. Рассмотрение векторов в виде
отрезков ограничивает возможность их использования. Поэтому
важно, как это и проводится в отношении различных
геометрических форм, пользоваться аналитическим выражением вектора,
связанным с использованием метода координат на плоскости и
в пространстве.
Ознакомимся с понятием проекции вектора на некоторое
направление и с некоторыми свойствами проекций.
Проекцией вектора AS на некоторое направление или на ось
называется длина отрезка этой оси между точками Аг и В19
проектирующими на эту ось начало
А и конец В вектора. Если
АХВХ совпадает с направлением
оси, то проекция положительна,
а в противном
случае—отрицательна»
Ц
Рис. 133
Рис. 134
Так, проектируя вектор а на оси Ох и Оу (рис. 134), мы имеем
АхВх = прха и АуВу = — пруа.,
Приведем некоторые свойства проекций.
Г. Проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора
на косинус угла между осью и вектором (рис. 135).
1fxw 14Л
■■\а\ сова
Рис. 135
У*
Ж
\AxCx~Axsx+BxVx
Рис. 136
Если вектор а параллелен оси Ох, то проекция его на эту ось
совпадает с его длиной (АХВХ=\&\); если же вектор
перпендикулярен оси 0ху то его проекция на ту же ось равна нулю (АхВх=0).
2°. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций
этих векторов на ту же ось (рис. 136).
293

Для перехода к выражению вектора в координатной форме
требуется ввести понятие единичного вектора.
Определение. Отношение вектора к его длине или модулю
называется единичным вектором.
Для вектора а единичный вектор а0 — —. Соответственно,
Ь° =-<-, с°= — и т. д. Длина единичного вектора равна 1. Поэтому
| а01 = | Ъ° | = | с01 = 1, но сами единичные векторы неколлинеарных
векторов не являются равными. В связи с этим по-разному
обозначаются единичные векторы для осей координатной системы. Для
взаимно перпендикулярных осей декартовой
' f системы Ох и Оу единичные векторы, или орты,
соответственно обозначаются i и j.
^г—~Vi* Относительно прямоугольной системы коор-
Т \/^\ динат на плоскости произвольная точка М (х\ у)
\уг { характеризуется вектором т = ОМ с исходной
\£- »J > точкой в начале координат О*. Числа хну
при таком условии оказываются координатами
Рис. 137 этого вектора, а сам вектор представится
суммой составляющих векторов по координатным
осям: г=ОМ=ОЛ + ОБ (рис. 137). Но вектор ~ОА = ОА\у а вектор
ОВ = ОВ], где ОА—х—проекция ОМ на ось Ох и ОВ =
у—проекция ОМ на ось Оу. Таким образом, мы получаем выражение
вектора в координатной форме:
r = OM==xl + y].
Аналогично какая-то фиксированная точка М1(х1; уг)
характеризуется другим вектором хх —0М19 и его запись в координатной
форме
rl = OMl = x1i + y1].
Разность этих векторов г—rl = MlM есть вектор, запись
которого в координатной форме имеет вид г—тг = (х—хг) i + (у—yt)]t где
х—xL и у—ух являются проекциями МгМ соответственно на оси
Ох и Оу.
Таким же образом векторы а и b (с произвольными исходными
точками) представляются своими проекциями в координатной форме:
SL = axi + ay] и Ъ = Ьх\ + Ьу).
Переход к с>мме, или разности векторов связывается со
свойством 2° проекций:
*±Ъ = (а±Ь)х1 + (а±Ь)у1
Пользуясь выражением вектора в координатной форме, следует
различать его компоненты и координаты.
* Вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец
находится в произвольной точке плоскости, называется радиусом-вектором.
294

В записи а — ах\ + ау] слагаемые ах\ и ау]— компоненты данного
вектора, тоже векторы, а координаты ах и ау—проекции вектора
на соответствующие оси—скаляры.
Для дальнейшего изложения предварительно ознакомимся с
методом прямоугольных координат в пространстве.
Неподвижная система, относительно которой определяется
положение всякой точки в пространстве, состоит из трех взаимно
перпендикулярных осей, пересекающихся в точке О, называемой
началом координат.
За положительное направление условимся считать: по оси Ох—
вперед (к читателю), по оси Оу—вправо и по оси Oz—вверх.
В общем случае для всех осей выбирают
некоторый отрезок за единицу масштаба.
При наличии такой системы положение
каждой точки пространства определяется
тремя числами—ее координатами:
абсциссой х, ординатой у и аппликатой г.
Каждое из этих трех чисел равно отношению
проекции на соответствующую ось (Ох, Оу
и Oz) радиуса-вектора данной точки к
единице масштаба. На практике эти числа
обозначаются самими проекциями. Таким
образом, например, точка М (рис. 138)
определяется координатами х = ОА,у = ОВ
и z = OC. Если О А содержит 3 ед. ма- Рис.
сштаба, ОВ—6 ед. и ОС—8 ед., то
полученный результат кратко записывается в виде М (3; 6; 8).
Зцак каждой координаты точки определяется направлением
проекций радиуса-вектора этой точки на соответствующую ось, исходя
из принятого условия.
Частные случаи, когда не все проекции радиуса-вектора данной
точки отличны от нуля, указывают на то, что точка лежит на
какой-либо координатной плоскости или на координатной оси.
Так, если точка лежит на плоскости хОу, то ее координаты
(х\ у\ 0); если точка лежит на оси Ох> то ее координаты (а:; 0; 0).
Обратно, тройка чисел (0; 3; —2) определяет точку на плоскости
yOz с положительной ординатой и отрицательной аппликатой; тройка
чисел (—4; 0; 2) определяет точку на плоскости xOz с
отрицательной абсциссой и положительной аппликатой.
Учащемуся следует самостоятельно ставить и разрешать
аналогичное вопросы для ориентировки в расположении точек по
задаваемым тройкам чисел.
Как и в аналитической геометрии на плоскости, условимся
считать, что если дана точка, то известны ее координаты, т. е.
определенная тройка чисел, например, (хг\ ух\ z^)\ если же
требуется найти точку, то это значит, что ее координаты (л:; у\ z)
должны быть определены.
Переход к координатной форме записи векторов в пространстве
связан с добавлением третьей компоненты вектора—слагаемого на оси Oz.
295

Здесь a — axi-\-ay] + агк> а в общем случае
г _= ОМ == х\ + r/j + zk.
Таким же образом записываются сумма и разность векторов
а + b - (аЛ. ± Ьх) i + (а, ± Ьу) j + (а, ± Ь2) к.
По известным координатам конца вектора а-=ОЛ в
прямоугольной системе сразу записывается вектор в координатной форме.
Так, если х = 2, у^-—3 и z-=4, то a=-2i — 3j+4k.
Вектор b по известным координатам его конца х = 5, #=-0 и
2--=—3 записывается в виде b —5i — 3k.
Легко выполняются при записи в координатной форме операции
умножения и деления вектора на скаляр, исходя из
распределительного свойства этой операции
(а -}- Ь). т = am + bm,
(ах\ -f av] + ark) /я = ma J -j- mayj + ma,k.
Например, (2i — 3j + 4k):4 = 0,5i — 0,75i + k.
Сопоставляя вектор а и коллинеарный ему вектор b^/па с
записью в координатной форме bx\-\-by] + b2k = тах\-\-тау] + та2к,
можно установить, что условие коллинеарности двух векторов
состоит в пропорциональности соответственных координат.
Если требуется определить модуль вектора SL = x\ + y} + zkf то
| а | = V"x2-\-y2 + z\
Так, для вектора Ь = 2i — j + 2k имеем |b| = K22-r l2 + 22 = 3.
3. Скалярное и векторное произведения, их свойства и
приложения. При умножении двух векторов различаются:
а) скалярное произведение двух векторов и
б) векторное произведение двух векторов.
Скалярным произведением двух векторов называется
произведение длин этих векторов на косинус угла между ними:
a1a2 = a1a2cos(al, a2).
Примером вычисления скалярного произведения может служить
вычисление работы, выполненной некоторой силой F, под действием
которой точка совершила перемещение s. Здесь работа (скаляр)
определяется формулой Fs = /7scos(F, s).
Приведем свойства скалярного произведения.
1°. Скалярное произведение равно нулю, если векторы
перпендикулярны, так как при (at, а2) = 90° имеем cos 90° = 0. Поэтому Ij = jk =
ki=0.
2°. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. Здесь
(alf а2) = 0, что дает cos (alf a2) = 1. Поэтому а2 = | а |2 • 1 = а2. В
частности, i2 = j2 = к2 = 1.
3°. Скалярное произведение коммутативно, т. е. ab = Ьа.
296

4°. Скалярный множитель можно вынести за знак
произведения, т. е.
(ma)b = m(ab) и a(mb) = m(ab).
5°. Скалярное произведение подчиняется распределительному
закону:
(a + b)c = ac+bc и a(b + c) = ab-f-ac.
Эти свойства позволяют найти скалярное произведение двух
векторов, заданных в координатной форме.
Пусть al=x1i+yl)-\-2lk и a2 = *2i + */2j + z2k.
Тогда согласно свойству 5° умножение выполняется по правилу
умножения многочленов, что дает
а^з - XtX2i2 + угу2\* + 2г22к2 + (ХгУг + ХгУх) Ц +
+ (У А + УА) Jk + (гЛ + г А)к| = *Л + УгУъ + * А-
В частном случае при равенстве этой суммы нулю векторы at
и а2 перпендикулярны. Таким образом, обращение в нуль скаляр-
ного произведения, т. е. равенство xlx2 + yly2 + 2l22 = 09 есть условие
перпендикулярности двух векторов. Из определения скалярного
произведения двух векторов
aAHaAlcosfajTa.)
непосредственно получается выражение для вычисления косинуса
угла 6= (а19 а2) между двумя векторами:
сое 9^ *1*2 + У1У2+г1*2
Vx\ + y\ + z\Vx\ + y\+zl '
Пример 1. Вычислить скалярное произведение векторов (М =
==2i + 3j+6k и ОВ = Ъ\ — 12k и косинус угла между ними.
Решение. Скалярное произведение находим
в виде \£=ахЪ
ОАОВ = 2-0 + 3 5 —6-12 = 15—72 = — 57.
Длина вектора 0Л = К22 + 32+62 = 7,
длина вектора ОВ = |/"52+122 = 13.
Отсюда
п 57 57
cose = - fTTs — g-r
Векторным произведением двух векторов a ub рИс. 139-
называется вектор с, численно равный площади
параллелограмма, построенного на данных векторах, и
перпендикулярный к плоскости этого параллелограмма. При этом вектор с
направлен вверх, если обход по контуру параллелограмма от а к b
ведется против движения часовой стрелки (рис. 139).
В отличие от скалярного произведения, векторное произведение
записывается в виде axb или [ab].
297

Приведем свойства векторного произведения.
1°. Модуль векторного произведения в силу определения
вычисляется по формуле
jaxb| = absin(a, b).
2°. Векторное произведение двух коллинеарных векторов равно
нулю, в частности, [i2] = [j2] = [^2] = О-
3°. От перестановки множителей знак векторного произведения
меняется, так как sin(b, a) = —sin(a, b).
Поэтому, если [ab] = c, то [Ьа] = — с. Для дальнейшего важно
учесть, что
[ij] = k, [jk] = i, [ki] = j, a [ji]=-k, [kj] = -i и [ik]=-j.
4°. Скапярный множитель выносится за знак векторного
произведения:
(та) х b = а х (тЪ) = т [ab].
5°. Векторное произведение подчиняется распределительному
закону:
(a + b)xc = [ac] + [bc] и cx(a + b)= [ca] + [cb].
Использование этих свойств позволяет записать векторное
произведение в координатной форме.
Если &1 = x1i + yl] + zlk и a2 = x2i + r/2j + z2k, то по свойству 5°
можно применить правило умножения многочленов, что дает:
[аха2] = хгх2 [i2] + ухх% [ji] + гхх% [ki] + xty2 [ij] +
+ У1У2 [J2] + ^f/2 [kj]+^2 [ik] +yxz2 [jk]+ 2X22 [k2].
Учитывая результаты применения свойств 2° и 3° и располагая
компоненты нового вектора в принятом порядке, получаем
[¥а] = * {Ух*г — *1У%) — \ (*А —*Л) + k (Xtft—y^). *
Этот результат можно преобразовать к виду определителя третьего
порядка с элементами первой строки 1, j и к.
Тогда векторное произведение примет такой вид:
j k
[ata2]
*i Уг *i
*2 Уа Z2
Пользуясь таким выражением векторного произведения в
координатной форме, можно найти площадь параллелограмма,
построенного на двух данных векторах.
Пример 2. По данным векторам аг = 21—3j-f5k и a2 = i—j-f-3k
вычислить площадь построенного на них параллелограмма.
* Равенство нулю векторного произведения при коллинеарности векторов
связано с нулевыми значениями всех Координат, а это означает, что хг:х2 =*=
— #1 •"#%*= *i: *а- Этим подтверждается сформулированное выше (в п. й) условие
коллинеарности двух векторов.
298

Решение. 1) Находим векторное произведение
II J k|
а1ха2= 2 —3 5
|1 —1 3|
Разложение по элементам первой строки дает:
aiXa2 = —4i—j + k.
2) Вычисляем площадь, равную модулю найденного вектора:
5 = |a1xaa|=V"l6+l + l=Kl8 = 3K2/ce. ед.
Упражнения
1. Какой угол составляют между собой два вектора
a1==i+j—4k и a2 = i—2j+2k?
Отв. 135?.
2. Доказать перпендикулярность векторов 3i+2j + k и 21—3j.
3. Найти косинус угла между векторами i+2j+Зк и 2i—j + 4k.
Отв. cos в=у V~&
4. Найти площадь параллелограмма, заданного векторами i\=i—314-к и
r* = 2i-j + 3k._
Отв. 5 У~ 6 кв. ед.
5. Вычислить площадь треугольника по данным его вершинам: А (3; 4; — 1),
В (2; 0; 3) и С(-3; 5; —4).
Отв. у УТШ.
6. Проверить коллинеарность векторов 2i—3j + 5k и 4i—6j-f 10k.
§ 73. Элементы аналитической геометрии в пространстве
1. Простейшие приложения метода прямоугольных координат.
Сначала рассмотрим следующие задачи.
Задача 1. Найти расстояние между двумя данными точками
Мг и М2 или, что то же, длину
отрезка MtM2.
Решен и е. Если вектор тх = ОМх и
вектор г2 = ОМ2,то М1М2= тг—г1#
В координатной форме этот вектор
имеет вид
ШЪ)
MiM^iXt—xJ \+(У%—Уг) Ж*,— zi)k-
Модуль вектора МхМ2—\г2—тг| =
=У(Хг—Х1)г + {Уг—У1)% + (*г—*д% и
определяет искомое расстояние (рис. 140).
Задача 2. Найти координаты
точки, делящей отрезок М1М2 в данном Рис. 140
отношении X. Это значит, что по
данным точкам Ml(xl; yx; zx) и М2 (х2\ у2\ гш) следует найти
такую точку М (х\ у\ z), для которой МХМ\ MM2 = К.
29$

Здесь координаты рассматриваемых точек Mlf M и М2 (рис. 141)
являются координатами их радиусов-векторов. Поэтому
0М1 = т1 = х11 + уД + гхк и 0М2 = r2 = x2\+y2} + z2k.
Вместе с тем М1М=т—т1 и ММ2 = г2 — г.
Заданное соотношение отрезков МХМ: MM2 = h указывает на
линейную зависимость соответ-
**
Wv4v
^Ш^М2^;уг;г,)
ствующих векторов МгМ =
Отсюда получаем векторное
уравнение относительно г,
являющегося радиусом-вектором
точки М:
г— rl = X(r2—г).
После преобразования r-f-
+ кг = гх + Хг2, или г(1+Я) =
=г1 + Лг,| получаем
г~~ 1 + Х '
Переходя к выражению
обеих частей в координатной
форме, определяем координаты искомой точки деления:
Рис. 141
Xi -f- АХ2
' 1 + Я ;
^-т+х~ и 2--г+г-'
Пример 3. Найти расстояние между точками Л (2; 5; 0) и
В (5; 1; 12).
Решение. Применяя формулу расстояния между двумя
точками, получаем
АВ = У(Ъ—2)2 + (1 — 5)2+ 122 = К9+ 16+ 144 = ^169= 13.
Пример 4. Отрезок АВ делится точкой С в отношении, равном
2,5. По данным точкам А (3; 7; 4) и С (8; 2; 3) найти точку В.
Решение. Формулы деления отрезка
* =
Xi -f~ A,#2
</ =
У1+^2
И 2 =
Zi + lz2
Используем эти формулы для выражения неизвестных
координат точки В(х2\ у2\ z2):
(1 + Ь)у-У1
и г,
, (1+X)g—gl
Подставляя данные условия, получаем
3,5-8—3 1П. „ 3,5-2—7 п
Таким образом, определена точка В (10; 0; 2,6).
3,5-3—4
2,5
:2,6.
300

. 2. Уравнения плоскости. На плоскости простейшим
геометрическим образом, отражающим перемещение точки, является прямая,
общее уравнение которой
Ах + Ву + С = 0.
В пространстве изучение геометрических образов следует
начинать с общего уравнения первой степени уже с тремя переменными
х9 у и z, т. е. с уравнения
Ax + By + Cz + D = 0. " (1)
Для выяснения геометрического смысла этого уравнения
представим сумму Ах + By + Cz в виде скалярного произведения двух
векторов — постоянного вектора a = Ai+ .
-+Bj+Ck на переменный радиус-вектор z\
r = OM = xl + yj + zk. Этим уравнение (1) и*^4^
преобразуется к виду ar-f-D = 0. Здесь /\ * Г^^.
скалярное произведение ar = a cos (a, r)= / i^ / JS^ <^?>
= а-прв г. Поэтому уравнение можно за- ^4svj/x£2 /
писать в виде Jfc^l£. -J-+-
ПЫ× 7 ч /х
(рис. 142). Так как D и а постоянные, Рис. 142
то полученный результат.показывает, что
проекция радиусов-векторов всех точек М на один и тот же вектор
а—величина постоянная. Это же означает, что совокупность всех
таких точек М образует плоскость, перпендикулярную вектору а.
Этим установлено, что уравнение (1) есть общее уравнение
плоскости.
В частных случаях можно получить представление о положении
плоскости:
а) при D = 0 плоскость проходит через начало координат;
б) при А = О плоскость параллельна оси Ох:
в) при В = 0 » » » 0у\
г) при С = 0 » » » Oz)
д) при А = В = 0 » » , плоскости хОу\
е) при Л=С = 0 » » » xOz\
ж)при В=С = 0 » » » yOz.
Уравнение плоскости хОу записывается в виде 2 = 0, уравнение
плоскости xOz—в виде у = 0 и уравнение плоскости yOz — в виде
* = 0.
Угол ф между двумя плоскостями
As+B^ + C^ + D^O,
A2x + B2y + CtZ + D = Q
равен одному из углов между векторами ах и а2, проведенными от
начала координат перпендикулярно к этим плоскостям:
a^J + flJ + C.k,
a2 = 4ai + B2j + Cak.
801

Поэтому косинус угла между плоскостями равен косинусу угла
между перпендикулярными к ним векторами или отличается от него
знаком:
сосш- ^1^ + ДА+Ц
VM+Bl+clVM + Bt + cl '
Из этой формулы можно установить, что при
перпендикулярности плоскостей коэффициенты их уравнений удовлетворяют
условию , .
ла + вА+са^о.
Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точки (8; —3; 1) и (4; 7; 2) перпендикулярно к плоскости Зх +
+ 5y—7z + 2l=0.
Решение. Уравнение искомой плоскости Ax-\-By-\-C+D = 0
после деления всех членов на D перепишем в виде ax + by-{-c-\-l =0.
Для вычисления трех неизвестных коэффициентов составим систему
трех уравнений. Первое уравнение получим из условия
перпендикулярности плоскостей, а второе и третье—подставив координаты
данных точек в искомое уравнение. Получаем следующую систему:
( За + ЬЬ — 7с=0,
< 8а—ЗЬ + с+ 1 =0,
{ 4а + 7& + 2с+1=0.
После решения системы (это предоставляется выполнить
учащемуся) получаем уравнение искомой плоскости в виде Зх-\-у+2г—23=0.
При параллельности двух плоскостей должны быть
параллельными векторы, перпендикулярные к этим плоскостям.
Это значит, что плоскости
A.x + B.y + C.z + D^O
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
параллельны, если выполняется условие коллинеарности
перпендикулярных им векторов
a^iM + BJ + ^k
a2 = A2i + B2} + C2k,
т. е. если имеет место пропорциональность коэффициентов при х,
у и г:
А2 и2 С2
Пример 6. Через точку (3; —1; б) провести плоскость,
параллельную плоскости 2х—y + 3z—8 = 0.
Решение. Заметим, что если плоскость проходит через точку
(*о» Уо'у 2о)> то подстановка координат этой точки в общее
уравнение плоскости с последующим вычитанием полученного равенства
из общего уравнения дает уравнение связки плоскостей, прохо-
302

дящих через данную точку, в виде
А(х-х.) + В{у—у,) + С(г—г9) = 0.
При известных координатах точки это уравнение записывается
так:
А(х-3) + В(у+1) + С(г-5) = 0.
Далее, подставляя вместо Л, В и С значения коэффициентов из
заданного уравнения плоскости (с коэффициентом
пропорциональности 1), мы получаем уравнение
2(*-3)-(j/+l) + 3(*-5) = 0,
или
2х—у + Зг —22 = 0,
которое представляет искомую плоскость.
Проверяем правильность результата подстановкой координат
данной точки. Это дает 6+ 1 +Д5—22 = 0.
Одним из наглядных аналитических представлений плоскости
является уравнение в отрезках на осях координат.
Это уравнение легко получить из общего уравнения, если
последовательно определить координаты точек пересечения плоскости
с каждой осью.
а) Принимая у = 0 и 2 = 0 и решая уравнение относительно х,
мы получим абсциссу точки пересечения плоскости с осью Ох:
D
б) при х = 0 и г = 0 получаем у = —g-;
в) при х = 0 и # = 0 получаем г = — •£-.
Преобразуем теперь общее уравнение плоскости Ах+Ву + Сг +
+D = 0.
1) После переноса D в правую часть поделим все члены на
(—D). Это дает:
Ах , By , Сг
_ D r —D ' -D
= 1;
2) все члены левой части освобождаем от коэффициентов в
числителях:
х . у , г
И _D —R
A TF с
= 1;
3) заменяя знаменатели в левой части соответственно через а% Ь
и с, получим
JL + i + i.i.
а ' Ь " с
Так выглядит уравнение плоскости в отрезках, отсекаемых ею на
осях.
603

3. Точка пересечения трех плоскостей и уравнения прямой. Если
дана система трех уравнений
Aj + Bj + C^ + D^O,
Atx + B2y + C%z + D% = 0,
A3x + &sy + C3z + D3 = 0,
то она имеет определенное решение только в том случае, когда
определитель системы отличен от нуля.
Это значит, что три плоскости, соответствующие этим
уравнениям, пересекаются в одной точке.
Пример 7. Найти точку пересечения плоскостей
х—у + г = 0,
х + 2у-1=0,
х + у—z + 2=0.
Решение. Определитель системы
D =
1 -
1
1
-1
2
1
1
0
— 1
=
2
1
1
0
2
1
0
0
— 1
= —4^0.
Последующее решение приводит к значениям: х = —1, у=1 и
г = 2. Тем самым найдена точка (—1; 1; 2), в которой
пересекаются заданные плоскости, что легко проверить подстановкой.
В вопросе о пересечении трех плоскостей нас интересует случай,
при котором две плоскости, если они не параллельны и не
совпадают, пересекаются по прямой. Это имеет место в том случае, когда
одно из уравнений трех плоскостей оказывается следствием двух
других, и система трех уравнений переходит в систему двух
уравнений. Такая система уравнений двух плоскостей называется
уравнениями прямой. Такое же название распространяется и на другие
виды аналитического выражения прямой.
Таким образом, первичное аналитическое выражение прямой
в пространстве дает система двух уравнений плоскостей
( A.x + B.y + C.z + D^O,
\ A2x+B2y + C2z + D2 = 0t
у которых коэффициенты при х, у, и г не пропорциональны.
Наряду с этими уравнениями прямой важное значение имеют
канонические уравнения, имеющие вид
х—х0==у—у0==г—20
/ т п '
где /,/пи п — координаты вектора, которому параллельна эта прямая.
Переход от системы уравнений двух непараллельных плоскостей
к каноническим уравнениям прямой, по которой они пересекаются,
осуществляется так.
ЗУ*

1. Находятся координаты некоторой точки прямой путем
произвольного выбора одной координаты и вычисления остальных двух
из системы уравнений двух плоскостей уже с двумя неизвестными
(после подстановки в исходную систему произвольно взятого
значения одной координаты). Это дает три числа (x0f у0, z0)—координаты
некоторой точки прямой.
2. Значения параметров прямой /, т и п можно считать
координатами вектора, перпендикулярного к векторам a1 = Ali + B1] +
+ Сгк и а2 = А2\ + В2] + С2к, являющимся перпендикулярами к
соответствующим плоскостям. Это дает систему двух уравнений (в виде
условий перпендикулярности двух векторов) для определения
значений /, т и п
I А11 + В1т + С1п = 0у
\ А21 + В2т+С2п = 0.
3. Система эта является неопределенной; ее решение можно
найти с помощью замены и =
iA1u + Blv = -Cl9
\A2u + B2v = — C2.
Использование формул Крамера дает:
и v = —, приводящей к системе
и =
В2С2
АгВг
и v =
\СгАг
| С2А2
АхВг
АоВ2
или — =
1 ВгСг 1
1 1 В2С2 |
п \A\Bx\
\А2В2\
т
п
СгАг\
\АгВг\
и — —
После перестановки средних членов в каждой пропорции
получаем три равных отношения
I m n
\ВХСХ
I ^2^2
\СгАг
I ^2^2
\АгВг\
IАгВг|
Это позволяет записать общее решение системы в виде
/ =
Вг С,
t; m-
Сг А,
^9. А9
t;
Аг В,
А, Вг
t,
где t—любое число.
Простейшее решение получается при t — 1:
/ =
Вг С,
В, С,
т =
Сг А,
^9. А%
П =
А, Вг\
А9 В А
Пример 8. По уравнениям плоскостей
j 2x—y + z — 5 = 0,
\ Зх + у—4г—3 = 0,
образующих прямую, составить ее уравнения в каноническом виде.
3U5*

Решение. Определяем координаты одной точки прямой:
положим х0=*1\ тогда для аначений у0 и z& имеем систему
I -У+г = 3,
\ у—4г = 0,
что дает г«*—1 и у — —4. Теперь канонические уравнения имеют
вид
3—1 у+4 г-Н
HI h m "Г~Г9
и для определения /, т> п служит система
( 2t—m+ л = 0,
\ 3/ + т—4я = 0,
решение которой дает:
/ т п
-1 1
1 —4
I 1 2
—4 а
12 —1
3 1
Приравнивая числители знаменателям, получаем
/ = 3> т = \\ и я = 5.
Тем самым найдены канонические уравнения заданной прямой:
*— 1_у+4_г + 1
3 П ~~ 5 *
Если известны координаты некоторой точки M1(xl\ ух\ zt), то
канонические уравнения произвольной прямой, проходящей через
эту точку, таковы:
I т п '
Если же эта прямая проходит и через точку М2(х2\ у2\ га), то
имеет место соотношение
*»~*i __ У*—Ух _ Ч—ч
1 т п
Отсюда почленное деление позволяет записать уравнения
прямой, проходящей через две точки Ml(xl; yt\ zt) и Мг(х2\ у2\ z2)
в виде
*—*i ^ У—Ух ^г—Ч
х2—Xi «/2—Ух Ч—Ч
Отметим еще, что по аналогии с имеющейся в аналитической
геометрии на плоскости формулой расстояния от точки до прямой
в пространственных образах используется формула расстояния от
точки М0(х0, yQ9 z0) до плоскости Ax+By + Cz + D = 0:
Va*+b2+c2
8. Понятие об уравнении поверхности. Уравнение первой
степени с тремя переменными х, у и z имеет своим геометрическим
306

образом плоскость, которую можно назвать поверхностью первого
порядка.
Переход к уравнению с тремя неизвестными второй степени
приводит уже к поверхностям второго порядка.
Простейшей поверхностью второго порядка является сферическая
(или шаровая) поверхность с центром в начале координат. —
Ее уравнение по аналогии с уравнением окружности
X2 + y2 = R2
записывается в виде
x2 + y2 + z2 = R2.
Если центр сферы находится в точке С(а\ Ь; с)> то ее уравнение
записывается в виде
(х—а)2 + (у—Ьу + (г—с)2 = R2.
Здесь левая часть уравнения представляет собой квадрат расстояния
между любой точкой шаровой поверхности и ее центром (см.
задачу 1 на стр. 299).
Представление о виде некоторых поверхностей можно получить
с помощью сечений плоскостями, параллельными координатным.
Так, разрезая сферическую поверхность плоскостями z = с, у = Ь и
х — а, мы будем получать окружности с радиусами, равными
радиусу сферы.
Это подтверждается видом уравнений, в которые преобразуется
уравнение сферической поверхности при соответствующих условиях:
1) при г = с (x—a)2 + (y—b)2 = R2\
2) при y = b (x—a)2 + (z—c)2 = R2\
3) при х = а (y—b)2 + (z—c)2 = R2.
При других значениях переменных z [в промежутке (с—R, c+R)]9
у[ъ промежутке (b—R, b + R)] и х[в промежутке (a—R, a + R)]
соответствующие сечения сферы будут также давать окружности,
но уже с меньшими радиусами.
Если простейшее уравнение сферы
x2 + y2 + z2 = R2
мы перепишем в виде
х2 у2 г2
и затем заменим равные знаменатели различными, то получим
уравнение
х2 у2 г2
^ + Р + ?=1' (*)
Сечения этой поверхности координатными плоскостями, т. е.
подстановка в уравнение значений г = 0, у = 0 и х = 0 дает
52+|2-1> —+ -_1 и р + ^=1.
Это—уравнения эллипсов (в плоскостях хОу, хОг и yOz).
307

Соответствующая поверхность представляет трехосный эллипсоид.
В случаях а — Ъ или а = с или Ь=с уравнение (*) принимает вид
1) ^+& + ^=1 или 2> ?+?+*=* или 3)^+15 + ^=1.
что приводит к поверхностям эллипсоидов вращения, получаемых
х2 г2
вращением: 1) эллипса -^Н—^= 1 вокруг оси Ог, 2) эллипса
{2 И* X2 U2
2 + |i=l вокруг оси Оу и 3) эллипса ~2 И- ^2 = 1 вокруг оси Ох.
Изучая уравнения плоскости, мы отметили, что при отсутствии
в нем одной из трех переменных соответствующая плоскость
параллельна оси, одноименной отсутствующей переменной. В частности,
уравнению Ax + By+D = 0 соответствует плоскость, параллельная
оси Ог.
Будем рассматривать эту плоскость как поверхность,
образованную перемещением прямой, параллельной оси Ог так, что след этого
перемещения в плоскости хОу представляет собой направляющую
прямую Ах + By + D -=0.
Если же след перемещения прямой, параллельной оси Ог,
представляет направляющую кривую, то соответствующая поверхность,
образуемая перемещением прямой в пространстве, окажется поверх-
\ ностью, которую принято называть цилиндрической.
Так, уравнение x2 + y2 = R2 выражает поверхность круглого
цилиндра с образующей, параллельнбй оси Ог, и с направляющей
в виде окружности, расположенной в плоскости хОу, а уравнение
х2 = у—поверхность параболического цилиндра с той же образующей,
ко с направляющей в виде параболы в плоскости хОу. Уравнение
*/г=4 выражает поверхность гиперболического цилиндра, имеющего
образующую, параллельную оси Ох и направляющую — гиперболу
в плоскости уОг.
Упражнения
1. Построить точки по координатам: (4; 3; 5), (1; 2; —1), (4; 4; 4),
(-4; -4; -4).
2. Указать особенности положения точек: а) (4; 0; 0), б) (0; —7; 0),
в) (0; -7; 2), г) (-5; 0; 3).
Отв. Точки лежат: а) на оси Ох, б) на оси Оу, в) на плоскости уОг, г) на t
плоскости хОг.
3. Определить расстояние точки А (4; —3; 5) от начала координат и от осей -
координат. i
Отв. О А = |/!б, dx=V34, dy^yii, dz = b. \
4. Определить длины сторон треугольника, вершины которого лежат в точ- '
ках А (2; Б;_% В(П;_3; 8) и С(5; 11; 12). \
Отв. |Л49, 3 V2X и 2 j/19. \
б. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (1; 1; 1) и ?
(0; 1; —1) перпендикулярно плоскости *+у+г = 0. j
Отв. 2х—у—г = 0. \
6. Найти расстояние точки (1; 2; 3) от плоскости 2лт — 2у + г—3 = 0. ;
2 J
Отв. d = -g' \
308 |

7. По двум точкам, лежащим на прямой Л (2; —1; —2) и В (8;—7; 5),
составить уравнение плоскости, проходящей .через точку В и перпендикулярной
к прямой.
Отв. 6х—6у+7г — \2Б = 0.
8. Через точку (1; 2; —3) проведена прямая, перпендикулярная к плоскости
3*—2«/ + 2—1=0. Записать ее канонические уравнения.
Пш *— l_y-2 г+3
9. Указать геометрический смысл уравнений:
*2 + 22 = 25, у2 = 2г, х2 + 2у = 0, z + 2*2 = 0,
х2 _f_ з22 = 12, За:2 + у2 + Зг2 = 48.
10. Написать уравнение цилиндрической поверхности:
а) с образующей, параллельной оси Ох, и с направляющей в виде
окружности с радиусом, равным 3, и с центром в точке (0; 2; 1).
Отв. (г,—2)2 + (г—1)2 = 9;
б) с образующей, параллельной оси Ох, и с направляющей в виде параболы
с вершиной в начале координат и проходящей через точку (0; 3; —4).
Отв. 9z + 4y2 = 0.
в) с образующей, параллельной оси 0г, и с направляющей в виде ветви
гиперболы с вершиной в точке (3; 3; 0).
Отв. ху = 9.
И. Написать уравнение поверхности, образуемой вращением параболы у**г2
вокруг своей оси симметрии.
Отв. у = х2 + г2.
Глава XV
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 74. Основные понятия и обозначения
Определение. Величина и называется функцией нескольких
независимых переменных (х, у, г, ...), если каждой совокупности
значений этих переменных ставится в соответствие определенное
значение величины и *.
Если переменная является функцией от двух переменных х и у9
то функциональную зависимость обозначают
* = f(x, у).
Символ / определяет здесь совокупность действий или правило
для вычисления значения г по данной паре значений х и у.
Так, для функции z=x2 + 3xy
при х = 1 и у=1 имеем z = 4,
» х = 2 иу = 3 » 2 = 22,
» х = 4 и у = 0 » г = 16 и т. д.
Аналогично мы называем переменную и функцией от трех
переменных х9 у, г, если дано правило, как по данной тройке
значений ху у и г вычислить соответствующее значение и:
u = F(x, у, г).
* См. выше, в § 19, определение функции двух независимых переменных.
309

Здесь символ F определяет совокупность действий или правило
для вычисления значения и, соответствующего данным значениям
х, у и z.
Так, для функции и=*ху + 2хг—Зуг имеем:
при *=-1, #=1, г=*1 а=0
» х = 1, #=— 2, 2 = 3 и=22
» # = 2, # =— 1, г =—2 и =—16 и т. д.
Пусть дана некоторая функция от двух переменных
*=f(*.y).
Если значения независимых переменных х и у получают
некоторые приращения Дх и Ау, то и значение функции г тоже подучит
некоторое приращение Дг, которое определяется разностью между
наращенным шачением функции
* + Az^f(x + Аде, у + Д»)
и ее начальным значением
в виде
Дг = /(л; + Д*, у + Ау)—f(x, у). (1)
Это приращение называют полным приращением функции.
Так, для функции z=x2 + 3xy наращенное значение записывается
в виде
г + Наг = (х + Axf + 3 (х + Ах) (у + Ау).
Отсюда полное приращение этой функции будет
Аг =(х + Ах)* + 3 (х + Ах) (у + Ау)— х%—Зху,
или
Дг = 2*Дх + (Д*)2 + ЗхАу + ЗуАх + ЗАхАу.
В частных случаях для заданных значений это дает*:
X
1
2
3
У
1
3
2
Дх
1
1
1
АУ
1
1
1
Дг
12
23
25
Давая приращение лишь одной переменной (при неизменных
значениях остальных переменных), мы получаем частное приращение
функции по этой переменной.
* Учащемуся следует проверить правильность записанных в этой таблице
значений Дг.
310

Так, разность
А*/(*. y) = f(x + bx9 y)—f(x, у) (2)
называется частным приращением функции г = / (х, у) по переменной х.
Обозначение Axz, или &J(xt у), указывает, что приращение
функции вызывается изменением одной только переменной х.
Аналогично разность
А, / (х, y)=f(x,y + by)-f(x, У) (3)
называется частным приращением функции z = f(x, у) по переменной у.
• Для приведенной выше функции г = х2 + 3ху
. Axz = (x + Ax)2 + 3(x,+ Ax)y—x2—3xy = 2xAx + (bx)2 + 3yAx9
а
Ayz = х2 + 3* (у + Ау)—х2 — Зху = ЗхАу.
Легко заметить на примере этой функции, что сумма Axz +
+ Ayz Ф Дг, т. е. сумма всех частных приращений функции не всегда
равна ее полному приращению. Вместе с тем, например, для
линейной функции
z = ax + by + c
имеем
- Az = AxZ + AyZ*.
По аналогии с функцией одной переменной непрерывность функции
двух независимых переменных определяется так.
Функция z = f(x9 у) называется непрерывной при х = х0 и у = у0,
или в точке (х0, у0), если ее полное приращение Дг стремится к нулю,
когда Дх—*0 и Ay —*0, т. е.
lim [f(x0 + Ax9 yu+Ay)—f(xot у0)]=0.
Д0-О
§ 75. Частные производные
Пусть дана функция двух переменных г = /(л;, у), непрерывная
в точке (х0, у0).
Рассмотрим отношение
А*г _/(*о + А*, Уо)—Нхо, у0)
Ах Дат
т. е. отношение частного приращения функции по переменной х
к приращению этой переменной.
* Действительно,
&xz~a(x + &x)+by+c— (ax+by+c) = akx\
Ауг = ах+Ь(у + Ьу)+с—(ах+Ъу+с) = ЬЬу\
Дг ==а (*+Ьх)+Ь (у+&у)+с—ах—by—о**а£ис+ЬАуч
Отсюда
Д*=»Д*г+Ау*»
311

Если при Дх—► () предел этого отношения существует, то его
называют частной производной заданной функции по переменной х
и обозначают одним из символов:
дх' дх' Zjc'' f*(Xf У)'
Таким образом, частной производной функции z=f(x, у) по х
называют предел отношения частного приращения по х этой функции
к приращению аргумента х при Дл:—► () и при условии, что все
остальные аргументы (кроме х) остаются неизменными:
дг= jjm /(*о + А*. Уо) —f(x0> у0)
дх Дя'-О Ах
Аналогично определяется частная производная функции по
переменной у
te= ym /(*о> Уо + Ьу)—/(*о> Уо)
дУ Ау->0 &у
" Эта частная производная обозначается одним из символов:
дг df # '. р / \
ду' ду' Zy' 'у{<Х' У''
На основании введенных определений отыскание частной
производной от некоторой функции по х сводится к выполнению обычного
дифференцирования по х} при котором все переменные, кроме х,
считаются постоянными; аналогично при отыскании частной
производной по у выполняется обычное дифференцирование, причем все
переменные, кроме у, считаются постоянными.
Например: 1) для функции z=-x2 — Зху + 4у2 частная
производная по х
д£ = 2х-3у,
а частная производная по у
g = -3,v+%;
2) для функции z = Vx+3y частная производная по х
дг = 1
дх~ 2 V"x + ^y '
а частная производная по у
дг = 3
ду ~ 2 V7+3y '
3) для функции z^arctg— частная производная по х
дг = \х /х У
дх у^_ *2 + */2'
X2
312

а частная производная по у
дг _ \х J у __
ду . £ х*+у* '
~*~Х2
4) для функции a=*t/2sinz—yz2 sin x частная производная пох
fa = y2 sin z—yz2 cos jc,
частная производная по у
ди 0 „ .
*- = 2#у sin z—г2 sin х
•£ = л#2 cos z—2yz sin **.
и частная производная по г
ди
дг''
§ 76. Полный дифференциал
1. Пусть функция z = f(x, у) имеет частные производные — и р- ;
тогда произведение каждой частной производной на дифференциал
соответствующей независимой переменной называется частным
дифференциалом данной функции, взятым по этой переменной.
Частный дифференциал функции z = f(x, у) по переменной х
обозначается символом dxz, а частный дифференциал той же функции
по переменной у обозначается символом dyz. Таким образом, для
функции z=;f(x,y) имеем:
дг
dxz=j-dx—частный дифференциал по х,
dyz = -^dy— » » » у.
Для функции от трех переменных u—F(x9 у, z) имеем
dxu==zfadx—частный дифференциал по х,
л ди ,
dyu==zFydy~ * * * У9
. ди ,
dzu=j-dz— » » » z.
Определение. Пусть функция нескольких переменных имеет
в окрестности некоторой точки ** непрерывные частные производные
* Во всех этих примерах учащийся должен самостоятельно провести
нахождение частных производных, с тем чтобы подтвердить полученные ответы, которые
записаны без промежуточных операций.
** Окрестностью точки (я, у) в плоскости называется некоторая область
плоскости, включающая эту точку. Такая область обычно принимается в виде
круга с радиусом рис центром в данной точке, это так называемая р-окрест-
ность данной точки.
313

по каждой из переменных. Тогда полный дифференциал этой функции
равен сумме всех ее частных дифференциалов и обозначается так:
dz для функции z = f(x, у) или du для функции u = F(x, у, z).
Таким образом,
dz=fxdx+%dy>
j ди * , ди 1 , ди ,
du=Jxdx+d-ydy + <rzdz-
Например, для функции z=x2-\-3xy мы имеем частные
производные
поэтому
% = 2х + 3у и | = 3*.
dz = (2х + Зу) dx + Зх dy.
Для функции z=y2cosx мы имеем
дг 9 . дг Л
Tr- = — y2smx и 0- = 2ycosxt
поэтому
dz = — у2 sin х dx + 2у cos xdy.
Для функции и == х2у + y2z + z2x имеем
d£ = 2xy + z2', py = x> + 2yz ид£ = у2 + 2хг,
поэтому
du = (2ху + г2) dx + (х2 + 2yz) dy + (у2 + 2xz) dz.
Для функции нескольких переменных понятие
дифференцируемое™ в некоторой точке* определяется существованием ее полного
дифференциала. (Для этого достаточно непрерывности ее частных
производных по каждой переменной в окрестности этой точки.)
Подобно тому как в случае функции одной переменной
дифференциал функции является главной частью приращения этой
функции, так и в случае функции нескольких независимых переменных
полный дифференциал является главной частью полного приращения,
линейной относительно приращений независимых переменных.
2. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.
Как и дифференциал функции одной переменной, полный
дифференциал функции нескольких переменных, являясь главной частью
полного приращения функции, находит свое применение в
приближенных вычислениях.
Так, выражение полного дифференциала дает приближенное
значение полного приращения функции двух и более независимых
переменных!
%dx+%dy™Az-
* Как и в случае функции одной переменной, для функции двух переменных
вводится ее характеристика «в точке». При этом аналитическим заданием точки
служит пара чисел (х\ у)—ее координаты.
314

Пример 1. Найти с помощью полного дифференциала
приближенное изменение полной поверхности закрытого цилиндрического бака
с радиусом основания 2 ж и с высотой 10 м, если радиус основания
увеличен на 1 см, а высота—на 3 см.
Решение. Искомое увеличение полной поверхности цилиндра
найдется вычислением полного дифференциала функции, выражаемой
формулой
S = 2n(ra + rA).
Полный дифференциал этой функции при переменных г и А
и частных приращениях Аг и ДА запишется в виде
что дает
AS & 2я [(2г + А) Дг 4- г ДА].
После подстановки значений г=*2ж, А = 10 м, Дг = 0,01 м и
ДА = 0,03 м получаем
AS «dS = 2n [14-0,01 +2-0,03] =0,2-2я = 0,4я м\
Точное приращение полной поверхности цилиндра составляет
AS = 48,4008jt—48я = 0,4008я ж*. Отсюда относительная
погрешность при использовании полного дифференциала вместо полного
приращения оказывается менее 0,2°/<>.
§ 77. Необходимые условия экстремума
Дадим определения максимума и минимума функции двух
независимых переменных.
1°. Функция z = f{x, у) имеет при х = хх и у = у19 или в точке
(xi* */i)> максимум, если для всех значений х и у, достаточно
близких к хг и у19 но одновременно не равных им, выполняется
неравенство
/(*> y)<f(*i, Ух)>
т. е. разность f(x, y)—f(xx, уг) отрицательна.
2°. Функция z~f(x, у) имеет при х — х2 и y = yi9 или в точке
(*2*> Уг), минимум, если для всех значений х и у, достаточно близких
к х и у, но одновременно не равных им, выполняется неравенство
f(x9 y)>f(xt9 уг)9
т. е. разность f(x, у)—f(x2, y2) положительна.
Включенные в эти определения слова «но одновременно
1 не равных им» указывают на то, что со значением функции
в точке (л^; ух) сравниваются значения этой функции в любой
точке, отличной от (хг\ уг) из р-окрестности этой точки. То же
^относится и к точке (*а; уг).
Смысл слов «но одновременно не равных им» получает наглядное
разъяснение на геометрическом примере максимума аппликаты
«15

в вершине параболоида вращения, заданного уравнением 2 = 25 —
— х2—у2.
По сравнению с аппликатой этой вершины М (0; 0; 25) г0 = 25
(рис. 143) каждая из близлежащих точек параболоида имеет
аппликату г < 25. Так, лежащая на поверхности параболоида точка А
(с абсциссой Ах) имеет аппликату 2 = 25 — Ах2\ точка той же
поверхности В (с ординатой Ду) имеет аппликату 2 = 25 — Ау2\ точка
параболоида С (с абсциссой Да: и с ординатой
Ау) имеет аппликату 2 = 25 — Ах2 — Ау2. Все
эти точки отличаются от точки М либо
одной абсциссой, либо одной ординатой, либо
и абсциссой и ординатой.
Установим необходимые условия
экстремума.
Теорема. Если функция двух переменных,
- дифференцируемая в некоторой точке (л:0; у0),
У имеет в этой точке экстремум (максимум
или минимум), то каждая ее частная
производная в этой точке равна нулю.
Доказательство. Пусть при х = х0
Рис 143 и у = у0 функция *=/(*, у) имеет
максимум. Тогда, по определению максимума,
для всякого достаточно малого значения Ах* имеет место неравенство
f(x0 + Ax, y0)<f(xot y0).
Но этим в точке (х0\ у0) определяется максимум функции одной
переменной х, а поэтому выполняется необходимое условие
экстремума функции одной переменной л;, т. е. равенство ее производной
н>лю. Соответствующая производная в данном случае есть частная
производная функции z = f(x, у) в точке (х0, у0) по переменной х
ее символ
дхЛ
■)•
Таким образом, имеет место равенство
£(*о. Уо) = °> или -^ = 0.
Аналогично, по определению максимума, для всякого достаточно
малого значения Ау имеет место неравенство
f(x0i y0 + Ay)<f(x0, y0).
Это неравенство определяет в точке (х0\ у0) максимум функции
одной переменной у, а потому производная этой функции равна
нулю. Но эта производная в данном случае есть частная
производная функции z = f(x, у) в точке (х0, у0) по переменной у fee сим-
SLY
вол
рУо J'
* Здесь приращение Д* должно удовлетворять условию Д* < р; то же
справедливо и в отношении Дг/ (см. ниже).
316
1

Таким образом, имеет место равенство
Гу(х» У*) = 0> или -Ц- = 0.
Такие же рассуждения имеют место при наличии в точке (х0\ у0)
минимума функции.
Доказанная теорема верна и для функции нескольких (более
двух) независимых переменных. В частности, при наличии
экстремума функции трех переменных u = F(x, у, z) в точке (х0\ y0-r z0)
обращаются в нуль ее частные производные по каждой из
переменных в этой точке, т. е.
6F Л 3F Л OF
дх0 ду0 дг0
= 0.
Применение доказанной теоремы к отысканию экстремума состоит
в следующем:
1) находим частные производные заданной функции по каждой
переменной;
2) частные производные приравниваются к нулю и отыскиваются
корни полученной системы уравнений, чем и определяются
совокупности значений независимых переменных, для каждой из которых
возможен* экстремум.
Пример 2. Определить измерения прямоугольного
параллелепипеда данного объема V так, чтобы площадь его полной поверхности
была наименьшей.
Решение. Пусть ху у и z — измерения заданного
параллелепипеда. Они связаны условием xyz = V, которое определяет высоту
параллелепипеда г = —. Полная поверхность S = 2(xy + xz + yz)
ху
поэтому выражается через функцию двух переменных х и у:
S=2(xy + $ + Z).
Находим частные производные этой функции
dS 0 { V\ dS 0 / V\
Для отыскания критических значений х = х0 и у = у0 имеем
систему двух уравнений:
6S Л
^ = 0, или у.
^ = 0, или*0--=0
* Необходимо иметь в виду, что в найденных точках экстремума может и
не быть. Чтобы убедиться в наличии экстремума и его характере, необходимо
исследование достаточных условий. Однако уже для функции двух переменных
формулировка достаточных условий оказывается слишком сложной, и мы не будем
их рассматривать, ограничиваясь необходимыми условиями.
317

Решение этой системы дает х20у0 = х0у1, или х0 = у0. Отсюда
*l = V и yl = V, или х0=-у0=- \/\\ Но тогда и z0 = — = \/V*.
лоУо
Этим получено решение задачи: площадь полной поверхности
параллелепипеда данного объема оказывается наименьшей, если его
измерения равны между собой, т. е. если этот параллелепипед есть
куб.
§ 78. Эмпирические формулы. Способ наименьших квадратов..
Конечные разности и интерполяционный полином Ньютона
В практических применениях математики очень часто встречается
такая задача. Зависимость между переменными величинами
выражается в виде таблицы, полученной опытным путем. Это могут быть
результаты эксперимента, данные наблюдений или измерений,
статистической обработки материала и т. п. Требуется выразить эту
зависимость между переменными аналитически, т. е. дать формулу,
связывающую между собой соответствующие значения переменных.
Такая формула очень облегчает анализ изучаемой зависимости.
Формулы, служащие для аналитического представления опытных
данных, принято называть эмпирическими формулами.
Нужно иметь в виду, что подбор эмпирической формулы по
данным результатам наблюдений не может ставить перед собой
задачу разгадать истинный характер зависимости между имеющимися
переменными. Даже в том случае, когда в нашем распоряжении
имеются точные значения аргумента и функции, восстановить
функцию по конечному числу ее значений — задача математически нераз-"
решимая. Тем более не следует ожидать, что это удастся сделать
исходя из экспериментальных данных, которые наверняка содержат
случайные ошибки измерения или статистических наблюдений.
Во многих случаях характер зависимости между переменными
величинами предполагается известным из каких-либо теоретических
соображений и задача подбора эмпирической формулы сводится
к тому, чтобы определить числовые значения параметров, входящих
в формулу данного вида.
Например, известно, что при свободном падении тела в пустоте
зависимость пути от времени дается формулой
Здесь g—коэффициент пропорциональности, являющийся ускорением
силы тяжести; его значение находится из опыта.
Измеряя фактически пройденный телом путь в разные моменты
времени, мы получаем таблицу соответствующих значений
переменных / и s. Задача состоит теперь в том, чтобы, исходя из
наблюдаемых значений, подобрать подходящее значение g. Если бы дан-
* Можно показать, что в этой задаче при найденных значениях аргументов
функция действительно имеет минимум.
318

ные наблюдения были точными, то для нахождения величины g
достаточно было иметь одно значение t и соответствующее значение
s. Но полученные значения s содержат ошибки измерений и из
каждого наблюдения будет получаться другое значение g; нужно
подобрать значение g таким, чтобы оно наилучшим образом
удовлетворяло всем наблюдениям.
Еще чаще приходится встречаться с более общей и более
сложной задачей: в результате наблюдений получен ряд значений
переменных х и у9 однако истинный характер функциональной
зависимости между ними остается неизвестным.
Здесь мы можем ставить перед собой цель подобрать какую-либо
формулу, наилучшим образом отображающую полученные результаты.
Применяются два различных метода построения таких формул.
Один из них состоит в том, что строится многочлен, принимающий
в заданных точках заданные значения, а именно: по двум известным
точкам строится линейная функция (прямая), по
трем—квадратичная (парабола) и т. п. Достоинство этого метода в том, что
полученная формула в точности воспроизводит заданные значения. Такого
рода формулы носят название интерполяционных формул.
Другой метод подбора эмпирических формул состоит в том, что
по данным результатам наблюдений подбирается наиболее простая
формула того или иного типа, дающая наилучшее приближение
к имеющимся данным. При этом формула не воспроизводит в
точности данных наблюдения, но этого и нет смысла требовать,
учитывая, что полученные результаты могут содержать ошибки измерений.
Прежде чем переходить к вопросу о выборе типа подходящей
формулы и подборе параметров, нужно уточнить, что следует
понимать под словами «наилучшее совпадение с имеющимися
д анными». Этим словам можно придавать различный смысл, и
тогда мы будем получать различные формулы для одних и тех же
результатов наблюдений. Каждая из них будет в своем смысле
«наилучшей».
Чаще всего при подборе эмпирических формул пользуются так
называемым принципом наименьших квадратов. Он основан на том,
что из данного множества формул вида y^.f(x) наилучшим образом
изображающей данные значения считается та, для которой сумма
квадратов отклонений наблюдаемых значений от вычисленных является
наименьшей.
Подбор параметров функции f (x)y основанный на этом принципе,
называют способом наименьших квадратов.
Необходимо помнить, что способ наименьших квадратов
применяется для подбора параметров после того, как вид функции y = f(x)
определен. Если из теоретических соображений нельзя сделать
никаких выводов о том, какой должна быть эмпирическая формула,
то приходится руководствоваться наглядными представлениями,
прежде всего графическим изображением наблюденных данных. Вид
функции y = f(x) выбирается таким образом, чтобы график этой
функции по возможности близко напоминал расположение на
графике данных наблюдения.
819

Покажем, как практически подбираются по способу наименьших
квадратов коэффициенты для функций простейших видов.
Ограничимся следующими видами функций:
1) линейная функция вида у = ах-\-Ь,
2) квадратичная функция вида у = ах2 + Ьх + с,
3) гипербола вида у = а-\—,
4) показательная функция вида y = abx.
1. Пусть задана таблица значений переменных и соответствующие
*1
У\
Х%
У%
хп-\
Уп-1
*п
Уп
точки располагаются вблизи прямой линии (рис. 144). В этом
случае нужно подбирать коэффициенты линейной функции у^=ах + Ь
ч
О
Рис. 144
так, чтобы сумма квадратов отклонений вычисленных значений
axg + b от наблюдаемых значений yi9 т.е. величина
S = (ах, + Ь-уху + (ах2 + Ь-у%)* + ... + (ахя-г Ь-уп)\
принимала наименьшее значение.
Сумма
-У/)1
является функцией двух переменных а и 6, а поэтому она
принимает минимальное значение при тех значениях а и Ь, при которых
обращаются в нуль частные производные этой фуькции по каждой
переменной, т. е. когда
— = 0 и -5г = 0.
да дЬ
Находим частные производные:
|h2 Jj (axt + b-y,)xi = 2 [a Jj x*i + b Jj ж,.-Jj дс/Л];
320

as
дЬ
= 2 Jj {axi + b—yi) = 2 Га Jj х, +Ь«—Jj f/,1-
Приравнивая каждую частную производную нулю, получаем
систему двух линейных уравнений относительно а и h
a2*/ + fcn = 2<// I
(1)
(так называемая нормальная система).
Пример 3. Опытные данные о значениях х и у представлены
таблицей
X
У
1
15
2
10
3
4
4
0
S
5
—6
6
— 10
Полагая, что х и у связаны зависимостью вида
у = ах + Ь,
определить способом наименьших квадратов значения а и Ь.
Решение. Для составления системы нормальных уравнений
(1) выполняем необходимое суммирование по таблице подсчетов.
| i
1
2
3
4
5
6 .
2
*/
1
2
3
4
5
6
21
У1
15
10
4
0
—6
— 10
13
Л
1
4
9
16
25 '
36
4 91
*№
15
20
12
0
—30
—60
—43
Эти данные приводят к системе
( 91а + 216=—43,
\ 21а + 6Ь=13.
Решение этой системы дает значения коэффициентов: а«—5,06
и Ь« 19,87.
Таким образом, искомая зависимость между х и у приближенно
выражается в виде
у =— 5,06л; +19,87.
11 № 2418
321

Пример 4. По приведенным в § 23 данным о росте
производительности труда в промышленности СССР за период 1950—1965 гг.
составить эмпирическую формулу этого роста в виде линейной
зависимости.
Решение. Значения аргумента х, указывающего время, примем
(для упрощения) в виде целых чисел 1—16; после выполнения
подсчетов будем иметь
S */=136; 2*?= 1496; 2 у, = 2838 и 2ед. = 27 586.
<«=i *=i £=1 i=i
Отсюда получаем нормальную систему
Г 1496а +1366 = 27586,
I 136а+166 = 2838.
По найденным корням этой системы записываем интересующую
нас приближенную формулу роста производительности труда за
рассмотренный период уж 10,7* +87.
Пропущенные при решении промежуточные операции и
вычисления должны быть полностью восстановлены учащимся в
самостоятельной работе.
2. В случае квадратичной функции f(x) = ax2 + bx + c следует
рассматривать сумму
п
S=2(axt + bxi + c-yi)\
которая является функцией трех переменных а, 6 и с, а поэтому
принимает минимальное значение при тех значениях а, 6 и с, при
которых обращаются в нуль частные производные этой функции по
каждой переменной, т. е. когда
OS A dS n dS Л
•5-= 0, ^ = 0 и -з-=0.
да ' дЬ дс
Находим частные производные
п
1) Ш = 22*(<*х? + Ьх1 + с-у1)х! =
да ,.,
= 2
п п п п 1
a^xf+b^xf + c^xf — %xfy \.
i=l t=l i=l 1=1 J
В порядке разъяснения структуры всей этой частной
производной покажем, например, какой вид имеет ее первое слагаемое
при 1 = 1:
^[(axl + bxl + c-yiy]=2(ax\ + bx1 + c-y1)xl =
.= 2 {ах{ + Ьх\ + сх\ —х\ух)\
322

n
2) fb=2^(axf + bxl + c-yi)xl =
= 2 \а%х!+Ь2,*1 + с2х,-2*,J;
L i-\ i=l t=l *=1 J
л Г n n n "1
3)f = 2£(ax?+&x£ + c-y,) = 2 UX^ + frH^ + ^-Zj// .
*=i L «=i /=i i=i J
Приравнивая каждую частную производную нулю, мы получаем
нормальную систему
а%х! + Ь%х! + с%х]^х1У;9 \
a2^? + &2^ + c2^ = S^i» [ (2)
a^xf + b^Xi + cn^^yi. J
Заметим, что в приведенных уравнениях каждое суммирование
распространяется, как и в первоначальном выражении функции, на
все существующие значения слагаемых, т. е. здесь i пробегает все
целые числа от 1 до п.
Пример 5. Применяя способ наименьших квадратов, найти
значения параметров функции y=^ax'2 + bx + cf если известны следующие
частные значения переменных х и у:
X
У
0,5
0,8
1
1,9
1,5
4,9
2
8,8
2,5
13,9
Решение. Для составления нормальной системы (2) вычисляем
соответствующие значения сумм степеней и произведений х{ и у{\
i
1
2
3
4
1 5
2
*i
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
7,5
У1
0,8
1,9
4,9
8,8
13,9
30,3
xt
0,25
1,0
2,25
4,0
6,25
13,75
4
0,125
1,0
3,375
8,0
15,625
28,125
xt
0,0625
1,0
5,0625
16,0
39,0625
61,1875
Х(У( \
0,4
1,9
7,35
17,6
34,75
62,0
XiVi
0,2
1,9
11,025
35,2
86,875
135,2
11*
323

Эти данные приводят к системе
( 61,1875а + 28,1256 + 13,75с = 135,2,
28,125а +13,756 + 7,5с = 62,0,
13,75а+ 7,56 +5с = 30,3.
Исключаем из этой системы неизвестное с: 1) из членов первого
уравнения, умноженных на 4, вычитаются члены третьего уравнения,
умноженные на 11, и 2) из членов второго уравнения, умноженных
на 2, вычитаются члены третьего уравнения, умноженные на 3; это
дает систему двух уравнений
( 93,5а+ 306 = 207,5,
\ 15а + 56 = 33,1.
Из этой системы находим а = 2,54 и 6 = —1. Подстановка этих
значений в одно из первоначальных уравнений (например, в третье)
дает с = 0,575, и, таким образом, искомая функция приближенно
выражается в виде
у = 2,54л:2— х + 0,575.
3. При выравнивании опытных данных по гиперболе, выражаемой
формулой
f(x) = a+±,
применение способа наименьших квадратов приводит к рассмотрению
суммы вида
являющейся функцией двух переменных параметров а и 6.
Отыскание частных производных дает
£-2]§ (.+»•£-#,)
и
-2t(.+^_„).±_st(..i+t^_„.i).
dS_
db
Вводя условия экстремума ;*- = 0 и gr^O, получаем
или
324
п п п
/=1 ' t=l *l i=l Л<

или
i=i*' *=i
Отсюда можно записать нормальную систему для определения
параметров а и Ь
п
1
I
1
1=1
(3)
4. В случае формулы f(x) = abx, связанной с операцией
выравнивания по показательной кривой, используется логарифмическое
преобразование функции y = ab* к виду
lgy = x\gb + \ga,
выражающему lgy как линейную функцию от х при параметрах lga
и lgft. Определение этих параметров связывается здесь с отысканием
по способу наименьших квадратов минимума суммы вида
S=2(*,lg6 + lga-lgy£)«
i=i
из условий
OS Л dS n
dig a dlgb
Эти условия приводят к нормальной системе, которая по
структуре своей аналогична системе, полученной в первом случае для
линейной функции:
п п п
\gb^xf+lga 2*i = 2*/lg0/.
1=1 '=i i=i i (4)
*=i i=i
Найденные из этой системы значения lga и lg& позволяют легко
с помощью таблиц десятичных логарифмов определить значения а и Ь.
Пример 6. По приведенным в § 23 данным о росте
национального дохода в СССР за период 1950—1965 гг. составить эмпирическую
формулу этого роста в виде показательной функции.
Решение. Преобразуем исходную таблицу на стр. 94.
Показатели времени по годам приведем к целым значениям 1—16
аргумента х, а соответствующие показатели национального дохода у
заменим их десятичными логарифмами.
325

X
Чу
■
2
2
2,0492
3
2,0969
4
2,1335
5
6
7
2,1847 2,2330 2,2788
8
2,3096
Продолжение
X
Ыу
9
2,3598
10
2,3927
11
2,4265
12
2,4533
13
2,4771
14
15
16
2,4942 2,5328 2,5611
Подсчет данных этой таблицы приводит к следующим
параметрам нормальной системы:
2*/= 136; 2*? = 1496; 21g^i = 36»9832 и 2*/*8Vi = 324,8498.
Отсюда нормальная система (4) запишется так:
1496 \gb+ 136 lga = 324,8498,
1361g&+161ga = 36,9832.
Решение этой системы дает
lgb = 0,0313 и lga = 2,0491.
Отсюда 6=1,075 и а= 110; таким образом, эмпирическая
формула, характеризующая рост национального дохода в СССР за
период 1950—1965 гг., выражается в виде
уж 110.1,076*.
Во многих случаях по данным наблюдения, представленным
таблицей значений х и у
*1
Ух
х2
Уч
*з
Уз
...
...
хп-1
Уп-1
Хп
Уп
непосредственно не может быть установлено, какого вида функция
f(x) дает возможность замены табличного задания аналитическим
выражением зависимости между х и у. При этом отпадает
возможность использования способа наименьших квадратов.
В таких случаях обычно выбирают f(x) в виде полинома Р (х),
если только табличные данные не указывают на периодичность
в характере изменения значений у.
Основанием к замене искомой функции f(x) полиномом может
служить доказанная Вейерштрассом теорема: любая функция f(x),
непрерывная в промежутке {а, 6), может быть заменена в этом же
326

промежутке полиномом Р (х). Это означает следующее: при каждом
значении а < х < b и любом е > 0 можно найти такой полином
Р (х), что выполняется неравенство |/(л;)—Р(х)\<г.
При табличном задании функции для равноотстоящих значений
аргумента х аналитическое выражение соответствующей функции
в виде полинома Р (х) может быть получено с помощью
интерполяционной формулы Ньютона, которая одновременно устанавливает и
порядок, и коэффициенты искомого полинома.
Получение этой формулы связано с использованием элементарных
сведений о конечных разностях различных порядков.
Пусть y = f(x)—заданная функция. Обозначая через Дл; (шаг)
приращение аргумента х> мы будем называть приращением функции
Ay=Af(x) = f(x + Ax)-f(x)
первой конечной разностью функции у.
Конечной разностью п-го порядка называется первая конечная
разность первой конечной разности (л— 1)-го порядка, т. е.
Апу = А(Ап^у) (л = 2, 3, ...).
Так,
A*y = A[f(x + Ax)-f(x)] = [f(x + 2Ax)-f(x + Ax)]-
-[f(x + Ax)-f(x)]=f(x + 2Ax)~2f(K+Ax) + f(x)9
A*y = A(A*y) = A[f(x + 2Ax)-2f(x + Ax) + f(x)] =
= [f(x+3Ax)—2f(x + 2Ax) + f(x + Ax)] — [f(x + 2Ax) —
— 2f(x + Ax) + f(x)] = f(x + 3Ax)—3f(x+2Ax) + 3f(x+Ax)—f(x)
и т. д.
Пример 7. Построить конечные разности для полинома Р (х) =
= л;3 + 2, принимая шаг Дх=1.
Решение. Имеем
ДР(л:) = (л:+1)3 + 2 — (х* + 2) = Зх2 + Зх+\,
А2Р(х) = 3(х+\)* + 3(х+1) + 1—(Зх2 + Зх+1) = 6х + 6,
Д3Р(л;) = 6(л;+1) + 6 —6*—6 = 6.
При л>3 ДлР(л;) = 0.
Рассмотрим теперь последовательные конечные разности функции,
представленной табличным способом.
Если даны значения функции, у0, у19 yt9 y3, ..., Jk_lf yn> то для
них существует п первых разностей:
&Уо=Уг—Уо> ^Ух = У2—У^ &У2 = Уз—Уг> • • •» &Уп-1 = Уп— Уп-г*
Разности первых разностей, или вторые разности, выражаются
так:
A2y0 = Ay1 — Ay0 = yi—y1 — (yl—y0) = y2—2yl+y0;A*y1 = Ay2 — Ay1=
327

Таким же способом выражаются третьи разности в виде
Ь*у0 = Ь*уг — Д2*/0 = у3—3у2 + 3у1 —у0\
№у1 = Ь2у2—А2у1 = у4—Зу3 + Зу2—у1 и т. д.
Эту структуру разностей каждого порядка используем при
рассмотрении следующего примера.
Пример 8. Построить конечные разности всех порядков для
функции, заданной следующей таблицей:
X
У
1
3,02
2
7,85
3
25,11
4
60,05
5
117,92
6
203,97
Решение. Пользуясь полученными выше выражениями разно- щ
стей различных порядков через частные значения функции, мы можем щ
последовательно вычислить значения всех конечных разностей задан- щ
ной функции. 1
-ЛИ
I. Ау0 = 7,85—3,02 = 4,83, Дг/Х = 25,11 —7,85 = 17,26, Ауг = I
= 60,05—25,11=34,94, Дг/3= 117,92—60,05 = 57,87, Д*/4 =-203,97— 1
— 117,92 = 86,05; 1
II. Д2*/0 = 17,26—4,83 = 12,43, A2t/X = 17,68, Д2у2 = 22,93, I
А% = 28,18; 1
III. Д3г/0= 17,68 —12,43 = 5,25, А3У1 = 5,2Ь, Д3г/2 = 5,25; I
IV. А*у0 = А*У1 = 0; I
V. Д5*/0 = 0. 1
Полученные данные позволяют составить таблицу, содержащую I
значения х и у и всех конечных разностей: I
X
1
1 2
3
4
5
6
У
3,02
7,85
25,11
60,05
117,92
203,97
*У
4,83
17,26
34,94
57,87
86,05
Д2У
12,43
17,68
22,93
28,18
&у
5,25
5,25
5,25
Сопоставляя результаты этих двух примеров, мы видим, что обе
рассмотренные функции характеризуются тем, что для каждой из
328

них, т. е. и для полинома третьей степени, и для функции,
заданной в виде таблицы, разности третьего порядка постоянны, а
последующие разности обращаются в нуль. Отсюда непосредственно
можно поставить вопрос о существовании некоторого полинома
третьей степени, связанного с табличной функцией условием Р (X;) —
= у (xt) для всех значений х, для которых табличная функция
определена.
Положительное решение этого вопроса следует из двух теорем,
справедливость которых на частных случаях нами подтверждена.
Теорема 1. Если значения аргумента х являются равностоящими,
т. е. образуют арифметическую прогрессию, то для
соответствующего полинома п-й степени п-я разность является постоянной вели-
чиной.
Теорема 2 (обратная). Если п-е разности табличной функции
постоянны и значения независимой переменной образуют
арифметическую прогрессию у то значения табличной функции совпадают на
ее области определения (т. е. в точках х0, xlt х2, ..., хп) со
значениями некоторого полинома п-й степени.
Этот полином n-й степени, называемый интерполяционным
полиномом Ньютона, будем искать в виде
Р (х) = а0 + аг (х —х0) + а2 (х—х0) (х—хх) + аъ (х—х0) (х—х1)(х—х2)+
+ ап(х—х0)(х—х1) ... (х—хн^). (*)
Практически же нахождение этого полинома, соответствующего
данной табличной функции, сводится к определению коэффициентов
а0, alt а2, ..., ап. Это достигается последовательной подстановкой
в формулу (*) значений х = х0, х = хг, x = x2i ..., х = хп_г. При этом
используются соотношения между значениями аргумента хх—x0 = h,
х2—x0 = 2h и т. д., а также условия P(xQ) = y0f P(x1) = y1 и т. д.
Подстановка х = х0 дает y0 = a0'f отсюда а0 = у0\
» х = хх » ух = а0~\-а1(х1—х0) = у0 + axh\ отсюда
п __У1—Уо_&Уо .
ai-"~/Г~ ~ h ■
» х = х2 » у2 = а0 + а1(х2—х0)+а2(х2—х0)(х2—х1)\
отсюда я2 = ^|г;
» х = х3 » аналогично дает аз = зГр»
» * = *п » а»=ш$-
Используем полученные данные о параметрах
интерполяционного полинома для конкретного случая табличного задания функции.
Пример 9. Построить полином третьей степени для табличной
функции, заданной в примере 8.
Решение. Соответствующий полином имеет следующий вид:
P(x) = a0 + al(x—l) + a%(x—l)(x-2) + a9(x — l)(x—2)(x—3).
329
к

Подставляя сюда а„, av a2 и а3 из таблицы конечных разностей
для примера 8 и заметив, что здесь п=1, запишем полином
Р(*) = 3,02 + 4,83(х-1) + -^(*-1)(х-2) +
+ *&(х-1)(х-2)(х-3).
После проведения необходимых преобразований получаем
Р(х) = 0,875х3 + 0,Шх2 — 4,190л; + 5,37.
Пример 10. Построить интерполяционный полином для функции,
заданной следующей таблицей:
X
У
1,0
0,8427
1,1
0,8802
1,2
0,9103
1,3
0,9336
1,4
0,9505
1,5
0,9624
1,6
0,9713
1,7
0,9798
1,8
0,9911
Решение. Построим по этим данным таблицу конечных
разностей
X
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1 1,8
У
0,8427
0,8802
0,9103
0,9336
0,9505
0,9624
0,9713
0,9798
0,9911
*У
0,0375
0,0301
0,0233
0,0169
0,0119
0,0089
0,0085
0,0113
Ь2У
—0,0074
—0,0072
—0,0064
—0,0050
—0,0030
—0,0004
0,0028
Л3*/
0,0002
0,0008
0,0014
0,0020
0,0026
0,0032
AV
0,0006
0,0006
0,0006
0,0006
0,0006
Так как здесь четвертые разности табличной функции постоянны,
то искомая функция выразится полиномом четвертой степени.
P(x) = at + a1(x — l) + at(x—l)(x—l,l) + az(x—\)(x—l,l)(x—l,2) +
+ а4 (х-1) (х-1,1) (х-1,2) (х-1,3).
При вычислении параметров alt аг, а3 и а4 учтем, что h = 0,1. Имеем
а0 = 0,8427, а, = 0,0375:0,1 =0,375, а2 = —0,0074: (2-0,01) =
= —0,37, а3= 0,0002: (6-0,001) =
=0,0333, а4 = 0,0006: (24 • 0,0001) = 0,25,
По этим данным искомый полином записывается так:
Р(х) =0,8427 + 0,375 (х— 1) — 0,37 (х2—2,1*+1,1) +
+ 0,0333 (л:3—3,Зх2 + 3,62л:— 1,32) + 0,25 (д;4 —4,6х3 +
+ 7,91** —6,006х+ 1,716).
330

После упрощении получаем
Р (х) = 0,25х* — 1,1 167л:3 + 1,4975х2—0,2288* + 0,4457.
Можно показать, что полином Ньютона имеет самую низкую
степень среди всех полиномов, принимающих в области определения
табличной функции те же значения, что и табличная функция.
Вместе с тем, зная степень полинома, уже можно построить
полином той же степени по способу наименьших квадратов, причем
оказывается, что этот полином полностью совпадает с полиномом
Ньютона. Убедиться в этом можно, выполнив пример 10 из числа
рекомендованных в конце настоящей главы.
У пражнения
1. Найти первые частные производные по х и по у функций:
а) г = хV; б) г=е*У; в) г = У^х^—уК
Отв. а) %=*2хР; щ=Ыу\
. дг
дг
дх'
У х*—у* ' ду Yx*—z%'
2. г=|Л*2—у\ показать, что "л~У+^-х~0.
3. г
дг . дг Л
2,„2» показать, что ^х+^у = 0.
__ *У
4. г-
х* + у'
дх *^дуы
.дг
дг
; показать, что *2-—\-у2-г- = 2г.
дх ' * ду
б. Найти полные дифференциалы функций:
а) г=х2—2ху—у2.
Ошв. dz — 2 [(х—у) dx—(*+у) dy].
б)г= у
_ . х2 dy—ху dx
Отв. dz = - It—.
Отв. dz =
xdy—у dx
2x Уху
6. Найти измерения прямоугольного открытого сверху бака, имеющего
наименьшую поверхность, при данной
его вместимости V = 32 дм3.
Отв. 4; 4; 2.
7. По данным о значениях х и у
найти параметры а и Ь по способу
наименьших квадратов, полагая, что
хну связаны зависимостью вида
у=ах+Ь.
Отв. а *; 1,72 и b ъ 4,62.
X
У
0
4,6
1
6,3
2
8,4
3
9,3
4
11,7
5
13,2
331

8. Найти по способу наименьших
квадратов коэффициенты
квадратичной функции y — ax2 + bx-\-ct
исходя из следующих данных о значениях
х и у:
Отв. а ^—0,216; 6^ 1,25;
с ^2,9.
9. Рост производительности труда на предприятии за пять лет отражен
в следующей таблице:
i x
V
0
2,9
1,5
4,3
3
4,7
4,5
4,2
6
2,6
Годы
Среднее количество деталей,
выпускаемых рабочим за
смену
1
235
2
250
3
270
4
292
5
300
Полагая, что рост производительности труда следует линейной зависимости
y = ax+bt найти по этим данным параметры а и bt применив способ наименьших
квадратов.
Отв. а*=17,2; Ь = 217,8.
Указание. При решении примеров 7—9 рекомендуется, помимо
выполнения аналитической операции, провести также и построение, которое
отражало бы, как согласуется положение выровненной кривой с расположением точек,
соответствующих данным таблицы.
10. Для функции, заданной таблицей
X
У
0
5,2
1
8,0
2
10,4
3
12,4
4
14
5
15,2
а) построить интерполяционный полином Ньютона;
б) построить полином той же степени, что и в предыдущем пункте, по
способу наименьших квадратов и убедиться в том, что оба полинома совпадают.
Глава XVI
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 79. Дифференциальные уравнения первого порядка
1. Понятие о дифференциальном уравнении и его решении.
Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее
аргумент, неизвестную функцию и ее производные
f{x,y,y',y\ ...,y{n))=0.
Дифференциальные уравнения называются обыкновенными, если
входящие в них функции зависят от одного аргумента.
Высший порядок производной, входящей в дифференциальное
уравнение, определяет порядок данного уравнения.
332

Так, у" + ху' — у = 0— дифференциальное уравнение второго порядка
5ху'—у"' = 8х— » » третьего »
уу'—— = 0— » » первого »
у
Вместо производных в дифференциальные уравнения могут
входить соответствующие дифференциалы. Так, например, уравнение
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = Q
также является дифференциальным уравнением.
Проинтегрировать данное дифференциальное уравнение—значит
найти все функции, ему удовлетворяющие, т. е. обращающие его
в тождество.
Получаемое в результате интегрирования дифференциального
уравнения соотношение между функцией и аргументом содержит
в общем случае еще произвольные постоянные, число которых равно
порядку заданного дифференциального уравнения. Это—общий
интеграл дифференциального уравнения, который записывается в виде
F(x7yfCtClfC2> ...fCll.1) = 0.
Запись этого соотношения в виде явной функции дает общее решение
y = f(x9C,C19Cv ...,СП_1).
Чтобы убедиться в правильности решения заданного
дифференциального уравнения, достаточно подставить найденную функцию
вместе с ее производными в данное дифференциальное уравнение.
Если придать произвольным постоянным частные значения, то
это даст частные решения дифференциального уравнения.
Например, для дифференциального уравнения у2 (y'z + 1) = 1
общим интегралом является (х—С)*+у2 = 1.
При С = 0 имеем частный интеграл x* + y* = l, a
при С=\ » » » (х—1)*+у*=1.
Дифференциальное уравнение первого порядка записывается
соотношением, связывающим аргумент, неизвестную функцию и ее первую
производную в общем виде f(x, у, у')=0. Оно может быть
выражено и через дифференциалы в виде ф(х, y)dx + ty(x, y)dy = 0.
Интегрирование дифференциального уравнения первого порядка
представляет с геометрической точки зрения задачу нахождения
семейства кривых с одним параметром (см. § 18),
соответствующего данному дифференциальному уравнению f{x,y,y') = 0. Общий
интеграл F (х, у, С) =0 выражает уравнение семейства кривых,
частные интегралы—отдельные интегральные кривые. В § 47 была
рассмотрена задача, которая приводит к уравнению семейства па-
рабол у^-тг + С и к отдельным кривым этого семейства.
Обобщая полученные в этой задаче результаты, отметим, что
пока нет начальных условий в виде координат какой-либо точки,
через которую проходит одна из кривых, мы имеем все семейство
333

кривых. Только введение начальных условий позволяет выделять
отдельные кривые.
Аналитически начальные условия представляют требование, чтобы
при х = х0 искомое решение y = f(x) принимало заданное значение у0.
2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
и приводящиеся к ним однородные дифференциальные уравнения.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
задаются в виде
f 1 (*) * Ф2 (У) dx + /2 (х) • фх (у) dy = 0>
где fx(x) и /2(х)—функции только х, а ^г(у) и <р2(у) функции
только у.
1) Деление всех членов на произведение q2(y)'fz{x) приводит
к дифференциальному уравнению
уже с разделенными переменными.
2) Выполняется почленное интегрирование отдельно по каждой
переменной.
3) Общее решение имеет вид
J /2 (X) ^ J ф2 (У) *
Пример 1. Проинтегрировать уравнение
VTTy*xdx + y(4 + x*)dy = 0.
Решение. 1) Деление всех членов уравнения на (4 + х2)х
X V1 + у2 дает
xdx , ydy __ q
I
4 + *2 ^ ]AT+?
2) Выполняем интегрирование
= lln(4 + x2) + C = lnj/"4TT2 + C; f-^L_ = j/bPp + C.
*d*
4 + ** 2 * ' ' ' **' ' ' ' J J/7+7
3) Общее решение ]/ 1+у2 + 1п(4 + л:2)-С.
Пример 2. Проинтегрировать уравнение
е-у2 х
x^Z4dy + Jdx = 0-
Решение. 1) Умножение всех членов уравнения на у(х2—4)
приводит к разделению переменных
ye-y2-dy + x(x*—4)dx = 0.
2) Выполнение интегрирования
[ Уе~ у2 dy + \ х (х2 — 4) dx -= С
334

дает
§уе-Г(1у = — ±-е-'* + С\ §x(x2—4)dx =
^т!^2- 4)d(*2~4)=4-(*2-4)2 + C.
3) Это позволяет записать общее решение в виде
еУ=1.(х*—4)2 + С.
К рассмотренному виду дифференциальных уравнений с
разделяющимися переменными приводятся однородные дифференциальные
уравнения первого порядка.
Определение. Функция f (x, у) называется однородной
функцией &-го измерения, если при умножении каждого ее аргумента
на произвольный множитель t вся функция умножается на tkt т. е.
выполняется условие
f(tx,ty) = t*-f(x,y).
Если Р(х, у) и Q(x, у)—однородные функции одинакового
измерения, то их частное — нулевого измерения.
Например, при Р(х, у) = х2+у2 и Q(x, у) = х2+ху их частное
X*4-U2
Т(х>У) = Х2+ху нУлевого измерения.
Такое частное всегда можно представить в виде некоторой
функции от -2.,
На примере записанного частного видно, что деление числителя
и знаменателя на х2 дает
X
В общем случае, если f(xf у)—однородная функция нулевого
измерения, то по определению
f(x,y)=t°-f(tx9ty) = f(tx,ty).
Положив * = —, получаем
Однородным дифференциальным уравнением первого порядка
называется уравнение вида
Р(х, y)dx+Q(x,y)dy = Ot
где Р(х, у) и Q(x, у)—однородные функции одинакового измерения.
Переписав это уравнение в виде
dy=_PJx2j)
dx Q (х, у)
335

и применив в правой части рассмотренное преобразование, получим
уравнение
dx ~' V х J #
Производя теперь замену у = xzt где z—новая функция от х, мы
придем к уравнению с разделяющимися переменными.
Так как
dx-z~rxdx>
то уравнение принимает вид
' dx
z + xT* = f(z)>
или
[f(z)—z]-dx = xdz.
После разделения переменных получим
dz __dx
f(z)-z~ х "
Интегрирование дает
С dz _ С dx
)f(z)-z-) х
(напомним, что \ — = In | х | + С) .
После интегрирования выполняется обратная замена z = ^-«
Пример 3. Проинтегрировать уравнение
dy_2y2—x2
dx~~ xy
Решение. Производя замену y = xz, получаем
. dz 2х2г2—х2 dz 2г2—\
z + x-r = 5 , или л:т- = г.
1 dx х2г ' dx z
После упрощения к виду х-^ = г "7 разделяем переменные.
Это дает
zdz _dx
z2—\ ~~х ф
После интегрирования получаем
yln|z2— 11 = InСлг, или ln|z2— 11 = 1пСлг2.
Отсюда z2 — 1=Сх2, а обратная замена приводит к результату
X2 '
или
у = х]/г\+Сх2.
336

3. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Ли-
нейное дифференциальное уравнение первого порядна имеет вид
y'+Py = Q.
Здесь Р и Q—заданные непрерывные функции от х.
Для интегрирования производится замена y = uv. Из этих
множителей будем считать v неизвестной функцией, а второй
множитель и мы выбираем произвольно. Эта замена дает
du . dv , 0 л
rxv+uTx+p-uv=Q'
или
-г+й+ло-в-
Применяя произвольный выбор в отношении а, подчиним его
условию
~ + Ри = 0, или — =—Pdx.
dx ' и
Интегрируя, получаем In и = — ^ Pdx. Отсюда
-Г Pdx
и = е J
Возвращаясь к уравнению относительно v, подставляем в него
выражение и = ё~~*pdx
Это дает уравнение с разделяющимися переменными
Разделив переменные, имеем
dx ^c
dv = QeSpdx dx,
откуда
v=lQeSpdx dx+C.
Возвращаясь к переменной у, получаем
y=zuv = e
= e-$pd*
{[Qe$pdx dx + c).
При решении уравнений этого вида следует пользоваться
принятым методом, но не пытаться применять полученный общий
результат.
Пример 4. Решить линейное дифференциальное уравнение
первого порядка
dx х*+4у ху X + *'
Решение. Замена y=uv дает
dv , du 2x
udt+vTx-s+4uv = xV х* + 4'
337

или
udv + v (du — и • ^Л ) =х\/Гх2 + 4 Же.
2х dx
Полагая du—и- 2_i_az=®> разделяем переменные.
Это дает —= 2 . , а после интегрирования получаем
In w = ln(x2 + 4), или и=х2 + 4.
Теперь подстановка и приводит к уравнению
х dx
(x2 + 4)dv = xyx2 + 4dxi или do-— r
Отсюда
v=C_xdx====yx4C
1 V v-2 _J_4 '
Vx*-\-4
и, следовательно,
Таким образом,
^ = (x2 + 4)(J/x2 + 4 + C).
y = |/(X2 + 4)8 + C(x2+4)>
§ 80. Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами. Такие дифференциальные
уравнения имеют вид
y" + py' + qy = 0. (1)
Будем искать неизвестную функцию в виде y = ekx. Тогда
у' = kekx и y" = k2ekx.
Подставляя в заданное уравнение выражения для у, у' и у\
получаем
k2ekx + pkekx + qekx = Q,
или
ekx(k2 + pk + q) = 0.
Так как екхф0, то уравнение k2 + pk + q = 0, называемое
характеристическим, должно дать значения для к, при которых функция
y = ekx окажется решением заданного дифференциального уравнения.
В дальнейшем будем рассматривать лишь такие
дифференциальные уравнения, характеристические уравнения которых не имеют
мнимых корней.
Заметив, что характеристическое уравнение имеет два корня
ki и кг> можно установить, что по значениям этих корней
определяются два частных решения y1=ekiX и y2 = ek2X, которые линейно
независимы, т.е. ухфСуг при каком угодно значении С.
338

Общее же решение данного дифференциального уравнения
составляется в виде линейной комбинации найденных частных
решений, т. е. в виде
У^Схух + С2у2,
где Сх и С2 — произвольные постоянные.
Покажем, что такой выбор общего решения верен.
1. Если у = екх—какое-то частное решение уравнения (1), то
вместе с ним удовлетворяет уравнению и решение у = Секх
(С—произвольная постоянная).
Это положение подтверждается тем, что подстановка в
уравнение самой функции y = Cekx, а также производимых y' = Ckekx и у" =
Ck2ekx дает: Cekx(k2 + pk + q) = 0, поскольку k—корень
характеристического уравнения.
2. Если yx = ekiX и y2 = ek**t то и у = Схух + С2у2 удовлетворяет
заданному уравнению.
В самом деле, здесь
l/ = Clklek^ + C9k^9
а
у" = Схк2ек>х + С21г1ек*х.
Выполняем подстановку в левую часть уравнения (1)!
Cxk\eb* + C2k\ek>x + pCxkxek* + pC2k2ek>x + qCxe^x + qC2ek>* = 0.
Производя далее группировку с разложением, получаем
Cxek* (k\ + pkx + q) + C2e*>x {k\ + pk2 + q) = 0.
Этим подтверждается правильность составления общего решения.
Общее решение в полученном виде
y = Cxek>x + C2ek>x
относится к тому случаю, когда действительные корни
характеристического уравнения различны, т.е. кхфк2.
Пример 5. Решить дифференциальное уравнение
у»-5у' + 6у = 0.
Решение. Из характеристического уравнения к2—5^ + 6 = 0
определяем корни kx = 2 и к2 = 3.
Отсюда частные решения ух = е2х, у^ = езх, а общее решение
дифференциального уравнения*у = Схе2х + С2езх.
Пример 6. Решить дифференциальное уравнение #" + #' = 0.
Решение. Характеристическое уравнение k2+k = 0 дает корни
кх = 0 и к2 = 1. Отсюда ух = е° = 1, у2 = е~х, а общее решение
дифференциального уравнения у = С1 + С2е~х.
Если корни характеристического уравнения равны между собой,
т.е. kx = k2 = k9 то и соответствующие частные решения равны:
y1=^y2 = ek*x. В этом случае общее решение в принятой общей
структуре теряет свой смысл, так как здесь оказывается, что
339

У = схУ1 +С2У2 обращается в С1у1 + С2ух = (Сх + С2) ух = С^ = Cefcl*.
Это же решение не является общим для уравнения второго
порядка, поскольку требуемое общее решение должно представлять
собой линейную комбинацию двух независимых решений с двумя
произвольными постоянными.
В этом случае за второе частное решение следует принять
у2 =xekiX.
Проверим справедливость этого утверждения на следующем
примере.
Пусть дано дифференциальное уравнение у" — 2ру' + р2у = 0. По
характеристическому уравнению k2—2pk + p2 = 0 мы видим, что
kl=k2 = p. Поэтому у2 = херх. Тогда
Уг = (\+рх)еР* и уг = (2р + р*х)еР*.
Подстановка этих выражений в заданное уравнение дает:
(2р + р*х) е?х — (2р + 2р2х) еР* + р2хе?х =
= егх(2р + р2х—2р—2р2х + р2х)=--0,
т. е., действительно, ух и у2 являются решениями данного уравнения.
Можно показать, что и в общем случае выражение y2 = xekiX
действительно будет решением уравнения, а также, что частные
решения ух и у2 линейно независимы. Отсюда общее решение
рассматриваемого дифференциального уравнения записывается в виде
y = C1eklX + C2xek*x.
Пример 7. Решить дифференциальное уравнение у" + 6у' + 9у = 0.
Здесь характеристическое уравнение k2-{-6& + 9^0 дает дза
равных корня &1|2=—3. Поэтому у1 = е~зх> у2=хе~зх, что
приводит к общему решению в виде
у = (С1 + Сгх)е-**.
2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами. Эти уравнения имеют вид
у"-Уру'Л-ЯУ=Ф{х). (2)
Решение этих уравнений основано на формулируемой ниже
теореме.
Теорема. Общее решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения (2) выражается суммой его частного решения и
общего решения соответствующего линейного однородного уравнения:
y = y* + Y = y* + Схух + С2у2.
Рассмотрим способ нахождения частного решения неоднородного
уравнения, ограничиваясь решением таких неоднородных уравнений
второго порядка, у которых правая часть является многочленом,
т.е. Р(х), или показательной функцией Аекх'.
Для отыскания частного решения у* будем применять метод
неопределенных коэффициентов, причем у следует искать в таком
же виде, какой имеет Р (х) или Аекх.
340

А. Подбор частного решения у*9 когда правая часть —многочлен.
Если Р(х)—многочлен и ?^0, то j/* следует искать в виде
многочлена такой же степени. Это значит, что если, например,
Р(х)=2х + 3 или х, то у* имеет вид Ах+В; если же Р(х) = ха или
х2 + 1 или х2 + х — 1, то у* имеет вид Ах2 + Вх + С.
При этом коэффициенты многочлена находятся из системы
линейных алгебраических уравнений, которые получатся при
подстановке в дифференциальное уравнение предполагаемого многочлена и
его производных.
Рассмотрим эту операцию на примерах.
Пример 8. Найти общее решение, дифференциального уравнения
у"-2у'—3у^3х
и определить частное решение по начальным условиям: при х = 0
у(0) = 0 и #'(0)=1.
Решение. 1) Частное решение будем подбирать в виде
у* = Ах+В.
Здесь первая производная у*' = Л, вторая производная t/*" = 0.
Подставляя эти выражения в левую часть данного уравнения,
получим равенство
—2Л — ЗАх—ЗВ=Зх.
Сравнение левой и правой частей дает:
для коэффициентов при х: — ЗЛ = 3, откуда А — —1,
2
для свободных членов: 2—35=0, откуда В=у.
Отсюда у* = —* + у •
Общее решение соответствующего условию однородного
уравнения находим с помощью корней характеристического уравнения
£2—2k—3 = 0, откуда kx=—1 и&2 = 3. Следовательно, Y = Cte'x+
+ С2е**.
Таким образом, общее решение заданного неоднородного
уравнения
у = Схе-* + С2е*х-х + ^.
2) Для введения начальных условий найдем помимо
у = Сге-х + С^х-х + ^
еще
y' = —Cie-* + 3C2e**-l.
Теперь имеем при * = 0:
- У*=о = 0> или Сх + С2=— -|;
у;=0 = 1, или —^ + 3^ = 2.
4 1
Отсюда 4С2 = у, т. е. С2 = у,а Сх=—1.
841

Таким сбразом, заданным начальным условиям удовлетворяет
частное решение
1 2
У = — е~х + у е*х—х + у •
Если в рассматриваемом дифференциальном уравнении #—0 (при
этом характеристическое уравнение имеет один нулевой корень), то
в многочлен, выражающий частное решение #*, вводится
множитель х. Это значит, что вместо А берется Аху вместо Ах-\-В —
Ах2 + Вх, вместо Ах2 + Вх + С — Ахъ + Вх2 + Сх и т.д. Если же в
заданном уравнении и /7 = 0, и д = 0, то в многочлен у* вводится
множитель х2.
Пример 9. Найти решение дифференциального уравнения
у" — 2у' = 24х.
Решение. Из характеристического уравнения k2 — 2& = 0 имеем
^ = 0 и k2 = 2. Поэтому общее решение однородного уравнения
имеет вид Y = С1 + С2е2х.
Частное же решение следует искать в виде у* = Ах2 + Вх. Тогда
первая его производная будет у*' = 2Ах+ В, а вторая производная
у*" = 2А. Подставив (/* и его производные в данное
дифференциальное уравнение, получим
2Л— 4 А х + 2В = 24л:,
откуда, сравнивая коэффициенты при л:, находим А = —6, а
сравнивая коэффициенты при свободных членах: —12—2В = 0, находим
В=— 6.
Таким образом,
у*= —6х2—6а:,
а общее решение заданного уравнения
y = Y + t/*=--C1—6x—6x* + C%e**9
или
у = Сх—6л:—6х2 + С2е2х.
Б. Подбор частного решения у*, когда правая
часть—показательная функция. Если в правой части задана показательная
функция аеЬх, то частное решение у* следует искать в виде АеЬх. Для
определения коэффициента А нужно подставить выражение АеЬх и
его производные (у*' и у*") в данное уравнение и сопоставить
полученное выражение левой части с правой. Если же
характеристическое уравнение, соответствующее однородному уравнению, имеет
корень х — 6, то частное решение следует искать в виде у* = АхеЬх.
Если правая часть — сумма функций различного вида, то частное
решение составляется в виде суммы функций, соответствующих
каждому слагаемому, т. е. при наличии, например, справа суммы
х2 + е~х, у* подбирают в виде суммы Ах2 + Вх + С + Me~xt причем
каждое слагаемое проще определяется отдельно.
Пример 10. Найти решение дифференциального уравнения
у"-3у'-4у = 9е2х.
342

Решение. Корни характеристического уравнения k*—3ft—4=0
k1 =—1 и ft2 = 4. Поэтому у* = Ае2х. Последовательным
дифференцированием находим у*'= 2Ае2х и у*" = 4Ае2х.
Подстановка этих выражений в уравнение дает
4=Ае2х—6Ае2х— 16Ае2х = 9е2х.
Отсюда —18Л = 9 и А = — ^-, т. е. у* = — \е2*.
Заметив, что Y = Cle'x + C2e*x9 получаем общее решение в виде
у = С1е-* + С*»—\г2х.
Пример 11. Найти решение дифференциального уравнения
у" + 2у'— 15*/ = — 75х^2е3\
Решение. Корни характеристического уравнения k* + 2k—
—15 = 0 ftx = 3 и ft2 = —5. Этим определяется вид частного
решения у* = Ах + В + Mxezx* Вычисления для у\ и у\ проведем
раздельно!
yl = Ax + B9
У*г=А9
УГ = 0;
yl = Мхе*х,
у*2' = (М + ЗМх)е*х,
у*2" = (6М + 9Мх)е*х.
Подставив полученные выражения в данное дифференциальное
уравнение, соответственно имеем:
—15 Ах— 1ЬВ + 2А= — 75х,
2
откуда А = 5, В = -у;
8Ме3* = — 2еъх9
\
4
откуда Л1 = — -т-щ
2 1
Таким образом, у\ = 5л; + у, */* = — — лге3*. Заметив, что У =
= Сгезлг + С2е-6*, получаем общее решение
Упражнения
1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
(l + y*)xdx-(l+x*)y*dy=0.
Оте ('+*>3 с
2. Проинтегрировать однородное дифференциальное уравнение
dy_y2—x2
dx~~ 2ху *
Отв. х2+у2 = Сх,
343

3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
dy _(х — у)у
dx х2
х
Отв. In х = С.
У
4. Решить линейное дифференциальное уравнение
у"-6у' + 8у = 0.
Oms y = Cie2x~{-C^x.
5. Решить однородное дифференциальное уравнение
Отв. y = (Cl + C2x)eix.
6. Найти общее решение дифференциального уравнения
у" + 2у'-\-у = х*.
Отв. у = С1е~х + Сгхе-х-}-х2 — 4х~{-6
7. Решить уравнение у"—Ьу' -\-6у = 2хех.
Отв. у= (х+^-\ ех + Схе2х + С^Х.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Предмет теории вероятностей
В окружающей нас жизни приходится сталкиваться с различными
явлениями и фактами, наступление которых приписывается случаю,
а сами явления и факты называются случайными. Но такое
представление связано с единичными явлениями и фактами или с
небольшим количеством одинаковых случаев.
Когда же рассматриваются массовые количества однородных
явлений или фактов, то вскрываются определенные закономерности.
Приведем пример.
Данные регистрации рождений в небольшой местности,
охватывающие короткий период, не дают устойчивых соотношений между
количеством рождающихся мальчиков и девочек. По таким данным
нельзя установить, хотя бы приближенно, соотношение между
количеством рождений мальчиков и девочек. Но если собрать
статистические ^данные по целой стране за длительный период (несколько
десятилетий) и проанализировать их, то выяснится определенная
закономерность: на каждую тысячу рождений придется в среднем 515
мальчиков.
Приведем другой пример.
Рассмотрение таблиц тиражей государственного 3°/0-ного
выигрышного займа показывает, что доля серий, номера которых
оканчиваются цифрой пять, в общем числе выигравших серий по
отдельным тиражам не устойчива, а, наоборот, дает значительные
колебания.
Таковы, например, данные по ряду тиражей, не включенных
в сводные таблицы:
Число серий с цифрой
конце
5 на
% к общему числу
выиг-
73
9
5,3
74
20
11,8
75
10
5,9
76
16
9,4
77
9
5,3
78
17
i 11,0
79
18
10,6
Если же обратиться к сводным таблицам, содержащим данные
по 72 обыкновенным и 10 дополнительным тиражам, то оказывается,
что из 15 000 выигравших серий число серий с интересующими нас
345

Продолжение
Число серий с цифрой 5 на
конце
% к общему числу выиг-
80
23
13,5
81
10
5,9
82
14
8,2
83
13
7,7
84
16
9,4
85
15
8,8
86
22
12,9
номерами равно 1539, что составляет 10,26°/0 всего количества
выигравших серий.
Такой процент дает уже очень хорошее приближение к
ожидаемой десятипроцентной доле.
Изучение закономерностей однородных массовых случайных
явлений составляет предмет теории вероятностей и основанной на ней
математической статистики. При этом изучаемые явления
рассматриваются в абстрактной форме, независимо от их конкретной
природы. Только такой метод, характерный для всех отраслей
математических знаний, и позволяет обоснованно устанавливать общие
закономерности и положения, которые могут затем применяться
уже к достаточно широкому классу явлений. Однако использование
законов теории вероятностей на практике возможно при условии
тщательной проверки соблюдения основных положений теории
вероятностей и при правильной статистической обработке материалов,
относящихся к изучаемым массовым явлениям.
Глава I
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
§ 1. Событие как результат испытания
Изучение каждого явления в порядке наблюдения или выполнения
опыта связано с выполнением некоторого комплекса условий, или
испытанием.
Всякий результат или исход испытания мы будем называть со-
бытием.
Так, событиями являются: поражение и непоражение мишени
в результате произведенного выстрела (испытания); частые и редкие
звуковые сигналы в слуховой части телефонной трубки в результате
набора на диске некоторого номера; выигрыш, ничейный исход
и проигрыш при игре в шахматы; зеленый, желтый и красный
цвета на светофоре к моменту прибытия пешехода к
перекрестку и др.
Для обозначения событий приняты первые буквы латинского
алфавита Л, В, С и т. д.
События А, В, С называются несовместимыми, если в условиях
испытания каждый раз возможно появление только одного из них.
Этому определению отвечают события в каждом из приведенных
примеров.
346

События А, В, С называются совместимыми, если в данных
условиях появление одного из этих событий не исключает
появления другого при том же испытании. Так, при одновременной стрельбе
из двух винтовок поражения мишеней являются совместимыми
событиями.
Если в урне имеются белые и черные шары, причем шары
каждого цвета имеют свою нумерацию, то, вынимая один шар из урны,
мы регистрируем совместимые события: 1) цвет шара и 2) его номер.
События А и А (не А) называются противоположными, если
в условиях испытания они несовместимы, являясь единственными
исходами его. Так, противоположными событиями являются
поражение мишени и промах при одном выстреле.
Если в урне имеется один белый шар и несколько цветных
шаров (даже разных цветов), то, вынимая один шар, мы фиксируем
одно из двух противоположных событий: 1) белый шар или 2)
небелый шар.
Событие называется достоверным, если оно является единственно
возможным исходом испытания. Так, достоверным событием является
извлечение белого шара из урны, в которой все шары белые.
Событие, противоположное достоверному, называется
невозможным. Оно не является возможным исходом испытания. Так,
невозможным событием является извлечение черного шара из урны, в
которой все шары белые.
Событие называется случайным, или возможным, если исход
испытания приводит либо к появлению, либо к непоявлению этого
события. Так, случайным событием является поражение мишени при
выстреле из ружья. Случайным событием является извлечение
белого шара из урны, в которой находятся шары, различные по своему
цвету, включая и белый.
Рассмотрим несколько случайных событий, одинаковых по
характеру, но различных по условиям испытаний:
1. Пусть событие А заключается в извлечении белого шара из
урны с 10 шарами, среди которых 5 белых шаров.
2. Пусть событие В заключается в извлечении белого шара из
урны с 10 шарами, среди которых 2 белых шара.
3. Пусть событие С заключается в извлечении белого шара
из урны с 10 шарами, среди которых 8 белых шаров.
Для этих трех испытаний принимается условие, что
находящиеся в урнах шары могут различаться по цвету, все же остальные
признаки должны совпадать (шары одинаковы по весу, размеру и
на ощупь).
Сопоставление шансов на появление каждого из этих событий
непосредственно позволяет сказать, что событие С имеет наибольшую
вероятность появления, событие В — наименьшую, а вероятность
появления события А заключена между вероятностями появления
событий В и С.
Этот вывод мы делаем, рассматривая вероятность как меру
объективной возможности появления событий, но
не приступая еще к строгой количественной оценке этой меры.
347

I 2. Ча<Ггость и вероятность. Классическое определение вероятности
Чтобы подойти к определению вероятности как меры объективной
возможности появления случайного события, обратимся к
рассмотрению результатов проведения серии одинаковых испытаний.
Условимся при этом называть число М появлений некоторого
события при N испытаниях частотой (абсолютной), а отношение
тг — частостью (относительной частотой).
Результаты наблюдений обычно таковы, что если при сериях
небольшого количества испытаний частость случайного события
подвергается значительным колебаниям, то при переходе к сериям
более многочисленных испытаний эти колебания постепенно
сглаживаются, все реже и реже нарушая тенденцию к затуханию, и
интересующая нас частость при очень большом числе наблюдений
принимает почти устойчивые значения.
Показательны в этом отношении результаты наблюдения за
рождаемостью мальчиков. Данные за короткие периоды не показывают
никакой закономерности, так как имеют место самые резкие
колебания частости, которая принимает даже такие значения, как 0 (ни
одного родившегося мальчика) или 1 (все родившиеся —мальчики).
Но данные за длительные периоды дают четкую закономерность.
Известны сведения, полученные Чубером за период с 1866 по
1905 гг., о рождаемости мальчиков в Австрии. За все эти 40 лет
частость рождения мальчиков оказалась равной 0,515, а по
отдельным годам частость 0,515 повторялась 11 раз, частость 0,514—17 раз,
частость 0,516 — 9 раз, частость 0,513 — 2 раза и частость 0,517 —
всего лишь один раз.
Таким образом, найденная за весь период частость 0,515 и по
отдельным годам оказывается весьма устойчивой, поскольку
отклонения от 0,515 дают колебания в границах 0,1—0,2°/0.
Характерная для частости в многочисленных наблюдениях
устойчивость проявляется и в тех случаях, когда исходы испытания
симметричны (например, когда подбрасываемая монета по своей форме
правильна или у игральной кости все грани одинаково отточены и
совпадают по размерам и форме площади), и в тех случаях, когда
нарушается симметрия возможных исходов (например, когда у
подбрасываемой монеты имеется некоторый изгиб или у игральной
кости не все грани абсолютно одинаковы).
В связи с такой устойчивостью значений частости появления
события в серии многочисленных одинаковых испытаний за
вероятность появления события принимается постоянная величина, около
которой группируются наблюдаемые значения частости. Это
определение вероятности называют статистическим.
Раскрывая в этом общем виде количественное определение
вероятности как меры объективной возможности, следует
предупредить учащегося, что с таким именно смыслом исходного
значения вероятности придется встречаться в ряде рассматриваемых
примеров и задач.
348

В применении к примерам предыдущего параграфа установленная
связь между частостью и вероятностью может быть
продемонстрирована на задаче следующего содержания.
Путем выполнения серии извлечений одного шара из урны,
содержащей 10 шаров при неизвестном, но одном и том же числе
белых шаров, определить вероятность появления белого шара (имеется
в виду возврат вынутого шара обратно в урну).
Решение этой задачи возможно путем фиксирования нарастающих
данных о числе N всех извлечений шара и среди них о числе М
появлений белого шара. При достаточно большом числе испытаний
м
принимаем тг« р.
Полученный результат позволяет, не вскрывая урны, определить
число находящихся в ней белых шаров
т «-jj • 10,
где т—целое число.
Исходя из определения вероятности как устойчивой частости,
можно на практике с пользой применять показатели правильно
поставленного статистического наблюдения.
Приведем пример.
Выбор сорта семян некоторой культуры для посева естественно
связывается с вопросом о проценте всхожести семян разных сортов.
Для этого следует располагать статистическими данными за ряд лет
о всходах посевов по отдельным сортам на различных участках.
Осредненные показатели всхожести по всем участкам для каждого
сорта семян могут быть учтены при выборе наиболее урожайного
сорта семян в данных климатических условиях.
Итак, понятие вероятности в общем случае строится на
результатах наблюдений как устойчивое значение частости в большом
числе повторных испытаний.
Вместе с тем стоящая перед нами в этом разделе курса задача
изучения закономерностей, которым подчиняются однородные
массовые явления, может быть разрешена при условии построения правил
операций с вероятностями для целых систем случайных событий.
В связи с этим понятие вероятности должно быть определено на
основании непосредственных подсчетов по условиям испытания.
Этим требованиям удовлетворяет классическое определение
вероятности, которое строится на данных, характеризующих условия
проводимого испытания.
Классическое определение вероятности является новым
определением и не зависит от вышеприведенного статистического
определения. Классическое определение применимо не во всех случаях,
но более удобно для доказательства теорем о свойствах
вероятностей.
Выполнение всякого испытания влечет за собой некоторую
совокупность исходов. Назовем ее системой исходов испытания
(или событий).
349

В каждом из трех примеров предыдущего параграфа такую
систему представляют 10 шаров, каждый из которых может быть
извлечен из урны.
Проводимое испытание имеет своим исходом появление одного
события только из данной системы. Поэтому все исходы испытания
являются единственно возможными.
В применении к примерам с урнами это значит, что исходом
опыта может быть только извлечение одного шара.
Условия проведения испытания должны быть такими, чтобы не
было оснований приписывать какому-либо одному исходу
преимущества по сравнению с другими. Поэтому все исходы испытания
являются еще и равновозможными.
В примерах с урнами этот термин связан с приведенным нами
замечанием о том, что шары совпадают по всем признакам, кроме
возможного различия в цвете.
Результат испытания заключается в появлении одного из всех
событий системы, т. е. возможные исходы испытания являются
несовместимыми. При этом из числа всех (единственно возможных
и равновозможных) исходов выделяют те, которые приводят к
интересующему нас событию. Это — исходы, благоприятствующие
данному событию.
Так, в примере 1 событию А благоприятствуют 5 исходов из
числа 10 возможных; в примере 2 событию В благоприятствуют
8 исходов из числа 10 возможных.
Эти данные позволяют оценить вероятности появления каждого
из трех рассмотренных событий:
1. Вероятность появления события А равна
2. Вероятность появления события В равна
3. Вероятность появления события С равна
Краткие записи этих результатов таковы:
Р(А)=1, Р(В)=1 и Р(С) =
1
Р -*- р =1 И р -1
г~Ю9 2 10 3 10*
5
ю ••
2
10#
8
10'
8
10'
или
Теперь можно сформулировать общее правило вычисления
вероятности.
Пусть из системы п исходов испытания (£"lf Е2, Е3, ..., Ет9
..., Еп), несовместимых, единственно возможных и равновозможных,
т исходов (Е19 Е2, ... , Ет) благоприятствуют интересующему нас
событию Л.
Под вероятностью Р (А) наступления события будем понимать
отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению данного
события, к числу всех исходов (несовместимых, единственно
возможных и равновозможных) испытания.
350

Соответствующая запись:
Р(А)=-^> или Р = -^.
Это и есть классическое определение вероятности.
Для случайного события т < л; для достоверного события m = я;
для невозможного события т = 0. Отсюда границы значений
вероятности какого угодно события таковы:
0</?<1.
Приведем следующий пример на вычисление вероятности.
Из числа талонов, занумерованных всеми двузначными числами
и свернутых в одинаковые трубочки, наудачу берется один.
Какова вероятность того, что номер взятого талона состоит из
одинаковых знаков?
Здесь число всех талонов составляет я = 90; число талонов
с одинаковыми знаками (11, 22, ... , 99) т = 9. Поэтому
Р = $0> или ^IB-
Практика показывает, что при соответствии проводимых
испытаний условиям, на которых строится классическое определение
вероятности, по мере возрастания числа испытаний частость
появления случайного события оказывается сколь угодно близкой к его
вероятности.
Вычисление вероятности по формуле р = — вызывает в
некоторых случаях затруднения при определении значений тип. Эти
затруднения вызываются, в частности, тем, что при решении ряда
задач требуется применение формул из теории соединений.
Поэтому полезными для развития необходимых навыков являются
помещаемые ниже краткие сведения из теории соединений.
Среди возможных соединений в отдельные группы элементов из
их общего числа п выделим следующие: 1) размещения по т
различных элементов (т < я), 2) перестановки из всех имеющихся п
элементов, 3) сочетания по т элементов.
Размещением из п различных элементов по т элементов
называется соединение, которое отличается либо составом, либо порядком
своих элементов.
Так, размещениями являются трехзначные числа, составленные
из первых девяти цифр.
Число различных размещений из п элементов по т элементов
определяется формулой
А™ = п(п— l)(/i—2) ... (п—т+1).
Поэтому количество всех трехзначных чисел, состоящих из цифр
1, ... , 9, составляет
Л| = 9- 8-7 = 504.
351

Перестановками из п элементов называются всевозможные
соединения из этих п элементов.
Так, перестановками являются различные расположения четырех
человек, сидящих на четырехместной скамье. Количество всех
перестановок из п элементов обозначается символом Рп и определяется
числом размещений из всех п элементов по формуле
Ря=1-2-3 ... (п—1)п = п\
Так, Р3 = 3! = 1-2-3 = 6, Р. = 5!-1-2.3-4.5=120,
Р1§ = 10! = 1-2-3-4-5.6-7-8-9.10 = 3628800.
Например, 4 человека на четырехместной скамье могут
расположиться 24 способами, так как Р4 = 4! = 1.2-3-4 = 24.
Сочетаниями из п элементов по т элементов называются
соединения, которые различаются только составом своих элементов.
Так, сочетаниями являются трехзначные числа, составленные
из 5 различных цифр, если каждое число записано только в порядке
убывания цифр.
Количество сочетаний из п элементов по т обозначается символом
С% и определяется по формуле
гт=А" = п-(п-\)-(п—2)...(п-т+\)
Un Pm 1.2-3- ... -(/я— \)т
В упрощенной записи эта формула такова:
п т\-(п—т)\ '
Например, число различных трехзначных чисел, записанных из
разных 5 цифр в порядке убывания от цифры сотен к цифре
единиц, определится по формуле
гз_ 51 _ 1-2-3.4.5 _10
6 213! 1-2-1-2-3
Для сокращения вычислений в случаях, когда т > -5-,
применяется свойство сочетаний С% = С!гт.
5 8-7
Поэтому, например, С\ = С\ = у => 5, С\ = С\ = у^ = 28.
Переходя далее к непосредственному вычислению вероятностей,
заметим следующее: если из двух, трех и т. д. урн с одинаковым
числом k различающихся только по цвету шаров, одновременно
извлекается по одному шару, то число возможных пар, троек и
т. д. извлеченных шаров, т. е. я, принимает значения /г2, k3 и т-. д.
При этом число совпадающих по цвету пар, троек и т. д. шаров,
т. е. т19 принимает значение /г, а число различных по цвету пар,
троек и т.д. шаров, т.е. /п2,—значения А\% А\ и т. д. [здесь по
формуле числа размещений A% = k(k—\), A% = k(k— \){k — 2) и т. д].
352

Пример 1. Одновременно подбрасываются 2 игральные кости*.
Найти вероятность того, что а) на верхних гранях каждой иа двух
костей число кружков одно и то же, б) на верхней грани каждой
кости число кружков различно.
Решение. Так как число всех граней на каждой кости к = 6,
то на двух костях количество всех возможных двойных групп
кружков п = 62 = 36. а) Количество одинаковых двойных групп
кружков на верхних гранях двух костей (по 1, по 2, ...)m1 = k = 6.
б) Количество различных двойных групп кружков на верхних
гранях двух костей (1 и 2), (2 и 1), (1 и 3), (3 и 1), ... , (5 и 6),
(6 и 5) определяется числом размещений из 6 по 2, т. е. т2 = А\ =
= k(k—1) = 6.5 = 30.
~ ч 6 1 *ч 30 5
Отсюдэ: а) рх = ^ = ~ и б) р2 = зб = y-
Самостоятельно следует решить этот же пример для случая,
когда одновременно подбрасываются 3 игральные кости, (Ответ:
-1 — 5 "\
р1~гв' р*~ 9 V
Пример 2. Из 9 жетонов, занумерованных разными
однозначными цифрами, выбираются 3. Найти вероятность того, что
последовательная запись их номеров показывает возрастание.
Решение. Число всех возможных нумераций трех жетонов
определяется по формуле размещений, т.е. п = А% = 9• 8• 7 = 504.
Число же тех нумераций, которые дают только возрастание, опре-
« u >~i« А» 504
деляется по формуле числа сочетании, т. е. т = С1 = -~- = -^-.
Отсюда р = -g- •
Учащемуся следует для этой же случайной выборки трех жетонов
найти вероятность того, что номера всех трех жетонов четные.
(Ответ: />==|J = ±.)
Пример 3. Среди 25 деталей, подвергаемых проверке, имеется
всего 15 точных. Какова вероятность того, что из числа взятых
наудачу 10 деталей окажется 8 точных?
Решение. Количество всех равновозможных выборок по 10
деталей из 25 определяется по формуле числа сочетаний, т. е.
n = CJJ = 3 268760. Число же тех выборок по 10, в которых 8 точных
деталей сочетаются с 2 неточными, определяется произведением
Cf5-Cf0, т. е. т = 6435-45 = 289575.
289 575
Отсюда искомая вероятность р= 3 268 760 ^0>Q89.
* Игральной костью называется кубик с круглоотточенными вершинами, на
каждой грани которого помещены кружочки. На одной грани этого кубика
находится один кружок, на другой—2, на третьей—3, на четвертой — 4, на пятой —
5 и на шестой—6.
12 № 2418
353

§ 3. Теорема сложения вероятностей
Часто возникает необходимость ответить на вопрос о том, чему
равна вероятность появления одного из нескольких несовместимых
событий, если вероятность каждого отдельного события известна.
Ответ на такой вопрос дает теорема сложения вероятностей.
Теорема. Вероятность наступления одного из нескольких
несовместимых событий без указания, какого именно, равна сумме
вероятностей этих событий.
Пусть дана система* из п событий (Е19 E2f ... , Еп), причем
k исходов испытания (Elt £2, ... , Ek) благоприятствуют
наступлению события Л, а другие (так как события несовместимы) / исходов
(Ek+1, Ek+2f ... , Ek+t) благоприятствуют наступлению события В.
Определим при этих условиях вероятность наступления какого-
нибудь одного из двух событий: или Л, или Б.
Появлению события Л благоприятствуют k исходов; значит,
Появлению события В благоприятствуют / исходов; значит,
р<я)=4-
Появлению одного из двух событий—или Л, или
В—благоприятствуют k + l исходов; значит, Р (или Л, или В) = ~*~ »
Так как —^—= —+*jp то это означает, что
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Наши рассуждения, проведенные для двух несовместимых
событий, не изменятся и для любого другого числа несовместимых
событий.
Пример 4. Поездка пассажира с некоторой трамвайной остановки
к месту работы обслуживается трамваями маршрутов № 3 и 11.
Через данную остановку проходят трамваи пяти маршрутов.
Известно, что из 40 трамваев, курсирующих через данную
остановку, имеется 8 трамваев маршрута № 3 и 10 трамваев маршрута
№11. Найти вероятность того, что первый проходящий трамвай
будет соответствовать требуемому маршруту. При этом имеется
в виду, что из трамвайного парка еще не проходил ни один трамвай.
о
Р е ш е н и е.. Вероятность появления трамвая № 3 Р(№ 3)=^,
а вероятность появления трамвая № 11 Р(№ 11) = 25 ♦ Поэтому
Р(*з+м.и)-£+{5-4.
Применение теоремы сложения требует проверки несовместимости
рассматриваемых событий.
* Имеется в виду, что эта системе удовлетворяет условиям, установленным
в предыдущем параграфе.
Ш

Пример 5. В состав исполнительного органа добровольного
общества избрано 20 человек. Из них 15 человек по своему возрасту
старше 30 лет, а 9 человек старше 40 лет. Какова вероятность
того, что избранный путем жеребьевки председатель окажется по
своему возрасту либо старше 30 лет, либо старше 40 лет?
Решение. Вероятность того, что председатель по своему
возрасту старше 30 лет—^i = 26> a вероятность того, что он старше
40 лет—Ра = ~*
Если бы мы пользовались теоремой сложения, то получили бы
Но такой результат лишен смысла, так как вероятность
никакого события не может превышать 1, а это значит, что теорема
сложения применена здесь неправильно. В самом деле, сложением
охвачены вероятности совместимых событий, так как человек в
возрасте свыше 40 лет является тем самым старше 30 лет. Поэтому
15 3
искомая вероятность определяется значением Р = Рг = ^ = ^ без
применения теоремы сложения.
Теорема сложения позволяет установить соотношение между
вероятностями двух противоположных событий.
Обозначая вероятность события А через Р (А) = р и вероятность
противоположного А события через P(A) = q, заметим, что
наступление одного из двух противоположных событий в любом испытании
достоверно. Поэтому Р(А + А) = 1. Вместе с тем по теореме
сложения имеем
P(A + A) = p + q.
Следовательно, р + q = 1. __
Отсюда, зная, что Р(А) = р, всегда имеем Р(Л) = <7 = 1—Р*
Применим теорему сложения к понятию полной системы событий.
Система несовместимых событий Elf Е%, ..., Еп называется
полной, если события, входящие в данную систему, являются един-
ственно возможными. Это значит, что любой исход испытания имеет
своим результатом наступление события только из числа входящих
в систему. Поэтому наступление какого-либо из этих событий
достоверно, т. е.
Р(или Elt или £а, ..., или £„)=1.
С другой стороны, несовместимость событий Е19 Е2, ...,
позволяет применить теорему сложения:
Р(или Е19 или £2, ..., или Еп) = Р (EJ + P (Е2)+ ... + Р (Еп).
Отсюда
Р(Е1) + Р(Е2)+...+Р(Еп) = \,
т. е. сумма вероятностей событий^ образующих полную систему,
равна единице.
12* 355

§ 4. Теорема умножения вероятностей
События А и В называются независимыми, если появление или
непоявление одного из них не изменяет вероятности появления
другого.
Пример 6. В одной урне находятся 10 шаров, из которых 5
белых; в другой —12 шаров, из которых 8 белых. Обозначим
событие, состоящее в появлении из первой урны белого шара, через Л,
а такое же событие, относящееся ко второй урне, через В.
В этих условиях А и В—события независимые, а поэтому
Р(Л)=|, а Р(В) = -|.
Пример 7. Бросают две игральные кости. Факт появления
некоторой грани на первой кости обозначим через Л, факт появления
одной определенной грани на второй -кости обозначим через В.
События А и В здесь независимые, причем Р(А) = -?г и P(B) = -g- .
Пример 8. Из урны, в которой среди 10 шаров имеется 6
белых, извлекается один шар. Пусть А означает факт появления белого
шара. Очевидно, Р(А) = -^-. После фиксирования результата белый
шар возвращается в ту же урну. Затем выполняется вторичное
извлечение одного шара. Пусть В означает факт вторичного появления
з
белого шара. Очевидно, и Р (В) = -^ . События Ли В здесь независимы,
так как вероятность вторичного извлечения белого шара не зависит
от того, какой шар—белый или небелый—был извлечен в первый
раз.
Введем в последний пример следующее изменение. Пусть после
первого извлечения шара из урны его не кладут обратно в урну,
и вторичное извлечение шара из урны, имеющее своим результатом
событие В9 проходит в измененных условиях: общее число шаров
в урне составляет уже не 10, а 9, и число исходов,
благоприятствующих появлению белого шара, связано с цветом невозвращенного шара.
Если этот шар белый, то условия для появления белого шара состоят
в наличии 5 благоприятствующих исходов из 9 возможных; это дает
5
Р(В) = -—. Если же невозвращенный шар небелый, то при
вторичном извлечении шара из урны появлению белого шара благоприят-
ствуют 6 исходов из 9 возможных, что дает Р (В) = -д-.
При описанных новых условиях события Л и В оказываются уже
зависимыми, так как на вероятность появления события В влияет
имевший место исход в отношении события А: Р (В) имеет одно
значение при появлении события Л и—другое при непоявлении его.
Таким образом, вероятность появления события В носит условный
характер и поэтому называется условной вероятностью.
Условная вероятность появления события В, если произошло
событие Л, обозначается символом РА(В).
356

В рассматриваемом примере имеем
Pa(B)=-j и Р3(В)=|.
Теорема. Вероятность совместного наступления двух событий
равна произведению вероятности наступления первого события на
условную вероятность наступления второго события, вычисленную
в предположении, что первое событие имеет место.
Доказательство. Пусть из общего числа п исходов
(несовместимых, единственно возможных и равновозможных) испытания
наступлению события Л благоприятствуют k исходов испытания,
а наступлению события В благоприятствуют / исходов из числа к
исходов, благоприятствующих наступлению события Л. Это значит,
что совместному наступлению событий А и В благоприятствует /
исходов из общего числа их п.
Поэтому
Р(и Л, и В) = ±.
Простое преобразование полученной дроби
п nk п k
позволяет выразить искомую вероятность в виде
Р(шА, иВ) = 4-Т-
Но первый множитель представляет вероятность наступления
события Л, т. е. — = Р(А), а второй множитель выражает
вероятность наступления события В при условии, что произошло событие
Л, т. е. ± = РА(В).
Отсюда
Р(и Л, и В) = Р(А).РА(В),
что и доказывает теорему *.
Полученный результат для вероятности совместного наступления
двух зависимых событий легко переносится на случай, когда
события А и В независимы.
* По смыслу вероятности совместного наступления двух событий ясно, что
она должна быть симметрична относительно А и В. Поэтому Р (и Л, и В) =
= Р(и В, и Л), или Р(А)РА(В) = Р(В)РВ(А).
Это свойство легко проверить на примере 8, если искать вероятность
появления белого и небелого шаров. В самом деле, обозначая через А появление
белого шара и через В — небелого, имеем:
а) при появлении сначала белого шара
Р(иЛ, и В)~Р(Л)Рл(Я)==А-1=±;
б) при появлении сначала небелого шара
367

В самом деле, в этом случае вероятность появления события В т
не зависит от исхода испытания в отношении события Л, т. е.
здесь имеет место
Рл(В) = Ра(В) = Р(В).
Поэтому для независимых событий А и В
Р(и Л, и В) = Р(А)Р(В).
Пример 9. Найти вероятность двукратного извлечения белого
шара из урны, в которой из 12 шаров имеется 7 белых: а) если
вынутый шар возвращается обратно в урну и б) если вынутый шар
в урну не возвращается.
Решение. Обозначая появление белого шара первый раз
символом Л и второй раз символом Б, будем иметь:
а) события А и В независимы и
Р(А)=Р(В) = ^.
Поэтому
Р(и А, и В) = Р(^)Р(В)4'ГШ«°-34;
б) события А и В зависимы и
P(A)=1, a PA(B)=ji-
Поэтому
Р(и А, и B) = P(A)PA(B)=Y2-Ti = i^0'32-
Теорема умножения вероятностей обобщается для трех, четырех j
и т. д. зависимых событий. В частности, имеют место следующие
формулы:
Р(и Л, и Б, и С) = Р(А)РА(В)РАВ(С),
Р(и Л, и Б, и С, и D) = P(A)PA{B)PAB{C)PABC{D).
Здесь символ РАВ(С) означает условную вероятность появления ;
события С, если произошли события Л и Б, а символ PABc(D) —
условную Вероятность появления события D9 если произошли
события Л, Б и С.
Соответственно для независимых событий имеют место
следующие формулы:
Р(и Л, и Б, и С) = Р(А)Р(В)Р(С)
и
/>(и Л, и Б, и С, и D) = P(A)P(B)P(C)P(D).
Пример 10. Из трех станков, обслуживаемых одним рабочим,
вероятность остановки на протяжении одного часа составляет д*ля
I станка 0,2, для II—0,15 и для III—0,12. Какова вероятность
бесперебойной работы всех трех станков на протяжении одного часа?
Решение. Здесь бесперебойность работы станка—событие,
противоположное работе с остановкой. Поэтому, если дано р1 = 0,2,
35в

р2=^0,15 и /?з = 0,12, то соответственно вероятности бесперебойной
работы для отдельных станков составят: ^ = 0,8, qra = 0,85 и q9=
=0,88.
Если работа каждого станка не зависит от работы других
станков, то здесь теорема умножения дает Р (и I, и II, и III) = 0,8- 0,85 х
X 0,88 = 0,5984.
При решении некоторых задач на вычисление вероятностей
приходится комбинировать теоремы сложения и умножения. Таковы,
например, задачи, в которых рассматривается несколько однородных
событий, независимых между собой по условиям испытаний.
В таких задачах могут ставиться вопросы: а) о вероятности
появления одного события (один выигрыш у двух участников
лотереи, имеющих по нескольку билетов, одна пробоина в мишени после
трех выстрелов, произведенных разными стрелками и др.), двух
событий без указания какого (или каких двух) именно и б) о
вероятности появления хоть (или по крайней мере, или не
менее) одного, двух событий.
В задачах первой группы следует исходить из того, что появление
одного события из нескольких совмещается с непоявлением всех
остальных и что такое совмещение имеет место для каждого из
рассматриваемых событий. Например, при наличии двух событий
А и В такому случаю соответствуют совмещения АВ или ВА\ а при
наличии трех событий—совмещения ABC, или ВАС, или CAB.
Аналогично строятся комбинации, соответствующие условию
наступления двух событий из нескольких.
Пример 11. Найти вероятность того, что жетон, наудачу взятый
из всех трехзначных жетонов, содержит только одну цифру,
кратную трем.
Решение. Условию задачи удовлетворяет жетон, у которого
кратна трем либо цифра сотен, либо цифра десятков, либо цифра
единиц. Обозначим появление требуемой цифры на месте сотен через А,
на месте десятков—В и на месте единиц—С. Тогда событию А
благоприятствуют 3 исхода из 9, событию В—3 исхода из 10 и
событию С — 3 исхода из 10.
3 1 — 6 2
Поэтому ^(^) = -9- = -з"» а Р И) ="9" = "з"' так как 0 Аля Цифры
сотен исключается; Р(В) = ^, P (В) = 1, Р(С) = ~, а-Р (С) = ^ .
В принятых обозначениях появление^кетона с требуемой цифрой
сотен есть сложное^ событие ABC, с требуемой цифрой
десятков—событие ВАС и с требуемой цифрой единиц—событие
CAB. Поэтому вероятность того, что только цифра сотен кратна
—. — — — 1 7 7 4Q
трем, т. е. Р (А ВС) = Р (А) Р (В) Р (С) = у. ~. ^ = щ; вероятность
того, что только цифра десятков кратна трем, т. е. Р(ВАС)—
— — 3 2 7 42
=Р (В) Р (А) Р (С) = tq • у щ = gQQ; вероятность того что лишь цифра
единиц кратна трем, т. е. Р (САВ)=Р (С) Р (Л) Р (В)=± . ■§■ • £ = gg.
359

Так как условию задачи удовлетворяет любой из трех
рассмотренных случаев, то возможно сложение вероятностей, что дает
Р(АВС + ВАС + САВ) =& + Й + Й = Й-
В отношении задач с условием наступления двух событий из
нескольких решение строится по такой же схеме, но рассматриваемые
при это\1 сложные события представляются в виде ABU, или АСВ,
или ВС А.
Навыки по решению таких задач можно получить
самостоятельной работой над рекомендуемыми упражнениями.
В задачах второй группы целесообразно обращение к полной
системе событий с использованием противоположных событий.
В самом деле, если ищется вероятность наступления хоть одного
из трех независимых событий Л, В и С, то это значит, что должны
быть учтены и просуммированы вероятности таких совместимых
событий:
1) появление какого-либо одного события (при непоявлении
остальных двух): или ABC, или ВАС, или CAB,
2) появление каких-либо двух событий (при непоявлении
третьего): или ABC, или АСВ, или ВСА и
3) появление всех трех событий, т. е. ABC.
Подсчет искомой вероятности заключается в отыскании
вероятностей каждого из перечисленных совместных событий и затем в
сложении этих вероятностей. Однако можно не прибегать к этой
громоздкой операции, если учесть, что присоединение ко всем
перечисленным совместным событиям еще события ABC, состоящего
в непоявлении ни одного из событий А, В и С, приводит к полной
системе событий. Но это означает, что появление хоть одного из
трех событий А, В и С и непоявление ни одного из них—это
противоположные события.
Поэтому, обозначая искомую вероятность через Р, можно
записать, что
Р=1— Р(АВС).
Этим установлено короткое и легкое выполнимое решение
поставленной задачи. В порядке самостоятельной работы учащемуся
рекомендуется таким способом вычислить вероятность того, что
трехзначный жетон (см. пример 11) будет содержать хоть одну четную
цифру (с проверкой результата путем непосредственного подсчета
вероятности суммированием).
Вопросы, аналогичные поставленным, могут встречаться и при
рассмотрении событий, которые по условиям испытаний оказываются
зависимыми. Такое видоизменение условий должно быть при
решении задач выявлено и учтено.
Пример 12. В механизм входят две детали одинакового типа.
Механизм не работает, если поставлены обе детали уменьшенного
размера. Сборщик располагает всего 10 деталями, из которых
3 —меньше стандарта. Найти вероятность нормальной работы меха-
360

низма, если и первая и вторая -детали берутся сборщиком без
проверки.
Решение. По условию задачи работе механизма
благоприятствуют следующие исходы подбора:
событие А — I деталь стандартная, II стандартная
» В—I » » II нестандартная
» С—I » нестандартная, II стандартная
В то же время механизм не будет работать при таком исходе
подбора: событие D—I деталь нестандартная и II нестандартная.
Заметив, что все четыре перечисленные сочетания деталей
составляют полную систему событий, можно установить, что наступление
одного из первых трех исходов и наступление четвертого исхода —
противоположные события (при первом из них механизм
работает, а при втором — не работает).
Поэтому
P(A+B+C)=l — P(D).
Здесь событие D обозначает двукратное появление деталей меньше
стандарта. При этом вероятность появления первой такой детали
Р(1) = до, а вероятность появления второй такой же детали уже
2
условная: P1(II)=-g-.
Отсюда вероятность двукратного появления таких деталей
определяется по теореме умножения для зависимых событий.
р(0)=р(1)р1(п)=44=ш-
Таким образом, искомая вероятность нормальной работы меха-
низма Р = 1-75 = 15-
Определим вероятность появления одного из двух событий А
и В, когда эти два события совместимы.
Здесь следует рассмотреть все исходы, в которых
рассматриваемые два события вообще появляются. Это: 1) событие АВ, 2)
событие АВ и 3) событие АВ. _ _
Тогда искомая вероятность Р(А + В) = Р (АВ) + Р(АВ) + Р (АВ).
Первые два слагаемых можно преобразовать, пользуясь тем, что
Р(А)=Р (АВ) + Р (АВ) и Р(В) = Р (АВ) + Р (АВ).
Это дает:
Р(АВ) = Р(А)—Р(АВ) и Р(АВ) = Р(В)—Р(АВ)>
откуда окончательно имеем
P(A + B) = P(A) + P(B) — P(A-B).
Это—обобщенная формула сложения, которая выражает
вероятность появления одного из двух событий при условии их
совместимости. Ранее выведенная формула Р(А + В) = Р (А) + Р (В) при
несовместимости событий А к В является частным случаем
301

выведенной здесь формулы, так как Р(АВ) = 0, если события А
и В несовместимы.
Пример 13. Найти вероятность того, что подброшенная
игральная кость упадет, показав на верхней грани четное или кратное
трем число кружков.
Решение. Для применения формулы сложения вероятностей
двух совместимых событий найдем:
1) вероятность появления четного числа очков Р(Л)=у (число
всех граней п = 6, число граней с четным количеством кружков
тг = 3);
2) вероятность появления числа очков, кратного трем, Р (В) =»
2 1,
= -g- = y (число граней с кратным трем количеством кружков
т2 = 2);
3) вероятность появления числа очков и четного, и кратного
трем Р (Л«В) = у y = -g- (число граней с таким числом очков
т3=1).
Теперь по обобщенной формуле сложения вероятностей получаем
Р(л+в)=4-+т-т-4-т-
Пусть дана система единственно возможных и .несовместимых J
событий А19 Л2, Л3, ..., Ап и событие Е, которое может наступить
лишь совместно с одним из событий А{ заданной системы. Требуется •
найти Р (Е) вероятность появления события Е, если известны
вероятности Р(А;) и Pai(E). С такой задачей связано, например,
вычисление вероятности попадания на сборку стандартной детали из I
общей партии деталей, изготовленных на нескольких станках, если ;
для каждого станка известны его доля в общем выпуске и процент \
стандартных деталей в общем числе выпускаемых деталей.
Искомая вероятность Р(Е) = Р (или АХЕ, или А2Е, ..., или
АпЕ), поскольку наступление события Е только и возможно при
наступлении одного из несовместимых событий или Ах и Еу или Аъ
и £, •.., или Ап и Е. Поэтому по теореме сложения вероятностей
Р(Е) = Р(А1 и Е) + Р(А2 и Е)+...+Р(Ап и Е).
Применяя к каждому слагаемому теорему умножения вероятностей,
будем иметь
Р(Аг и Е) = Р(А1)-Рл1{Е)> Р(ЛШ и E) = P(AJ-PA9(E)...=
= Р(Апи Е) = Р(АЛ-РАл(Е).
Отсюда
P(E) = P(A1).PAl(E) + P(A2)PA,{E)+...+P{An)PAn(E),
или
P{E)s='EP{Al)PAt(E).
i=l
362

Это--формула полной вероятности.
Пример 14. Пластмассовые болванки изготовляются на трех
прессах. I пресс вырабатывает 50% всех болванок, II—30% и
III—20%. При этом:
из болванок с I пресса в среднем 0,025 нестандартных
» со II » » 0,02 . »
» с III » » 0,015 »
Найти вероятность того, что наудачу взятая со склада болванка
соответствует стандарту.
Решение. Здесь Р(А1) = 0,5, Р(Л2) = 0,3 и Р(Л3) = 0,2 (Аг —
появление болванки с I пресса, Ла—со II пресса и Л3—с III пресса).
Если событие Е обозначает соответствие болванки стандарту, то
для отдельных прессов имеем следующие условные вероятности
выпуска стандартных болванок:
PAt(E) = 0,975, РА,(Е) = 0,98 и РА$ (Е) = 0,985.
Отсюда
Р (Аг) РАх (Е) = 0,5 • 0,975 = 0,4875,
Р (А2) PAt (E) = 0,3-0,98 =0,294
и
P{A3)PAs(E) =0,2- 0,986 = 0,197.
Таким образом,
Р (Е) = 0,4875 + 0,294 + 0,197 = 0,9785,
т. е. вероятность того, что взятая наудачу со склада болванка
стандартна, равна 0,9785.
Если событие Е произошло, но неизвестно, совместно с каким
из событий А19 Л2, ..., Ап, то может возникнуть вопрос об
определении вероятности того, что событие Е наступило вместе с
каким-то одним событием А{ из всех единственно возможных. При
такой постановке вопроса события А19 Л2, Л3, ..., Ап оказываются
гипотезами, вероятности которых в последующем порядке
(a posteriori) следует определить.
Произвольное слагаемое из формулы полной вероятности является
произведением, симметричным относительно своих множителей,
поскольку события Л, и Е зависимы. Поэтому*
P(Al)PAi(E) = P(E)PE(Ai).
Отсюда находим вероятность гипотезы AL\
P(Ai)PAi(E)
* См. сноску на стр. 357.
363

или
Pe(Ai)"
Р(А()РА.(Е)
n
2 P(Ai)PAi(E)
Это — формула Байеса.
Для контроля правильности вычисленных вероятностей гипотез
п
следует пользоваться условием ^ РЕ(А{) =1, так как гипотезы А1У
Л2, ..., Ап образуют полную систему.
Пример 15. По условию предыдущего примера вычислить
вероятность того, что соответствующая стандарту болванки изготовлена
а) на I, б) на II, в) на III прессе.
Решение, а) Для гипотезы А19 пользуясь формулой Байеса,
получаем
р (Л v 0,5-0,975 _ 4875
Ге\л\)— о,9785 ""9785'
б) Для гипотезы А2 по той же формуле имеем
р (Л \ — 0.3-0,98 2940
гЕ\лг) — о,9785 ~~9785*
в) Для гипотезы Л3 аналогично получаем
р {А . _0,2-0,985_ 1970
ГЕ\яъ)— о,9785 — 9785 е
Правильность вычислений подтверждается тем, что
PAAJ+PAAJ + PM^ 4875+2997g+1970 ^i.
Упражнения
1. Номер серии выигрышного билета вещевой лотереи состоит из пяти цифр.
Определить вероятность того, что номер первой выигравшей серии будет состоять
из одних нечетных цифр.
Отв. 0,03125.
2. Литье в болванках для дальнейшей обработки поступает из двух
заготовительных цехов: 70% из первого цеха и 30% из второго цеха. При этом
материал первого цеха имеет 10% брака, а материал второго цеха 20%. Найти
вероятность того, что одна взятая наудачу болванка не имеет дефектов.
Отв. 0,87.
3. В каждой серии лотерейных билетов имеется по 50 облигаций. По
условиям лотереи крупные выигрыши (начиная со 100 руб.) падают лишь на один
номер облигации выигравшей серии. Какова вероятность того, что первый
крупный выигрыш в лотерее выпадает на облигацию с номером, кратным 2, 3 или 7?
Отв. 0,72.
4. В сосуде находится 11 шаров, из которых 4 цветных и 7 белых. Найти
вероятность двукратного извлечения из сосуда цветного шара: а) если вынутый
шар возвращается обратно в сосуд и б) если вынутый шар в сосуд не
возвращается.
л * 16 ^ 6
Отв. а)ш, б) gg.
364

5. При тех же условиях найти вероятность двукратнрго извлечения из
сосуда белого шара.
Отв. а)ш, б) gg.
6. Рабочий обслуживает одновременно 4 станка, из которых на первом
вероятность нарушения нормальной работы в течение часа после проверки
составляет 0,1, на втором —0,15, на третьем—0,2, на четвертом—0,25. Какова
вероятность бесперебойной работы всех четырех станков на протяжении одного
часа?
Отв. 0,459.
7. В мешке смешаны нити трех цветов: белых—50%, красных — 30%,
черных— 20%. Определить вероятность того, что при последовательном
вытягивании наугад трех нитей окажется: а) все нити — одного цвета, б) все нити
разных цветов.
Отв. а) 0,16; б) 0,18.
8. Три стрелка стреляют в одну мишень; при этом известно, что вероятность
попадания с одного выстрела равна: 0,8 — у I стрелка, 0,7—у II стрелка,
и 0,6—у III стрелка. Найти вероятность появления в мишени одной пробоины
в результате одновременного высгрела всех трех стрелков.
Отв. 0,188.
9. В условиях предыдущей задачи определить вероятность появления в
мишени не менее одной пробоины.
Отв. 0,976.
10. Рабочий обслуживает 3 станка. Известно, что вероятность бесперебойной
работы на протяжении одного часа после наладки равна для первого станка 0,9,
для второго —0,8 и для третьего—0,7. Найти вероятность того, что за этот час
лишь один станок потребует вмешательства рабочего.
Отв. 0,398.
11. Одна из деталей прибора обрабатывается на любом из имеющихся двух
станков, причем производительность первого станка в полтора раза больше
производительности второго. Определить вероятность того, что 3 детали, взятые
наудачу из всех собранных вместе деталей, обработаны одним и тем же станком.
Отв. 0,28.
12. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,15. Какова
вероятность того, что по крайней мере один из четырех билетов выиграет?
Отв. Ръ 0,478.
13. В тренировках по парным соревнованиям в беге участвуют 6 учащихся
из школы № 1, 7 из школы № 2 и 8 из школы № 3. Найти вероятность того,
что по жеребьевке в первую пару бегунов войдут два учащихся только из
школы № 1 или только из школы № 2.
0тв-т-
14. В партии из 100 одинаковых по наружному виду изделий смешаны
40 штук 1 сорта и 60 штук II сорта. Найти вероятность того, что взятые
наудачу два изделия окажутся а) одного сорта, б) разных сортов.
ч 17 ^ 16
Отв. a) gg, б) gg.
15. Вероятность попадания из винтовки по движущейся мишени равна 0,1.
Определить вероятность того, что мишень будет поражена при залпе из 50 винтовок.
Замечание. Поражение мишени имеет в виду какие угодно исходы
стрельбы, кроме сплошных промахов.
Отв. 0,9949.
16. Набор трехзначного номера выигравшей облигации выполняется
трехкратным автоматическим выбрасыванием из урны подряд трех жетонов из
общего числа пяти жетонов с номерами 1 —5. Найти вероятность того, что
набранный так номер не содержит цифры 3.
Отв. 0,4.
17. Найти вероятность того же события, если каждый выброшенный жетон
после регистрации возвращается в урну.
Отв. 0,512.
365

18. В турнире встречаются 10 шахматистов, имеющих одинаковые шансы на
любой исход в каждой встрече (только одной для каждых двух участников).
Найти вероятность того, что какой-либо один из участников лроведет все
встречи с выигрышем.
Отв. 0,00051.
19. В девять одинаковых закрытых урн помещено по 10 шаров,
различающихся только по цвету. В две урны положено по 5 белых шаров, в три урны —.
по 4 белых шара и в четыре урны — по 3 белых шара. Из какой-то одной урны
нажатием кнопки выброшен шар, оказавшийся белым. Найти вероятность того, что
эта урна содержала 3 белых шара.
Отв. Ре(Аз)*=у}~ 0,353.
20. Детали для сборки вырабатываются на двух станках, из которых первый
производит деталей в 3 раза больше второго. При этом брак составляет в
выпуске первого станка 0,025, а в выпуске второго—0,015. Одна взятая наудачу
деталь оказалась годной для сборки. Найти вероятность того, что она
выработана на втором станке.
Отв. РЕ(А2)=1^х 0,242.
Глава II
ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ
Важные закономерности теории вероятностей, имеющие
применение в статистике, связываются с рассмотрением независимых
повторных испытаний.
Ряд испытаний мы будем называть независимым по отношению
к событию А, если вероятность появления А в каждом испытании
не зависит от результатов прочих испытаний.
Примерами повторных испытаний такого вида могут служить:
1) многократное извлечение из урны одного шара при условии,
что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно
в урну;
2) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же
мишени при условии, что вероятность удачного попадания при
каждом выстреле принимается одинаковой (роль пристрелки не
учитывается);
3) лотерейное определение номера облигации выигрышного займа,
на которую падает выигрыш, по каждой из серий, дающих выигрыш
для одной облигации (здесь выпадение определенного номера
облигации имеет одну и ту же вероятность для любой серии).
§ 5. Биномиальное распределение вероятностей
Пусть при выполнении п повторных независимых испытаний
требуется найти вероятность появления события А точно т раз,
если появление события А в каждом отдельном испытании имеет
вероятность, равную р (появление противоположного события А
имеет вероятность q=l—р).
Обращаясь сначала к частному случаю, например при я = 3,
т = 2, мы можем установить, что двукратное_появление события А
связано с однократным появлением события А (противоположного)
и что такой исход испытания может иметь место в одном из сле-
366

дующих расположений:
или AAA, или ЛА4, или ~ААА.
Вероятности каждого из этих сложных событий равны между
собой и определяются по теореме умножения вероятностей:
Р(и Л, и Л, и Л)=Р(и Л, и Л, и Л) =
= Р(и Л, и Л, и A) = p2q.
Ответ на ^вопрос о вероятности появления события Л два раза
(и события Л один раз) при трех повторных испытаниях требует
применения теоремы сложения вероятностей. Это дает*:
Р23 = Р(и Л, и Л, и Л) + Р(и Л, и Л, и А) +
+ Р(и Л, и Л, и A) = 3p2q.
Пример 1. В принятой партии хлопка число длинных волокон
з
составляет -^ их общего числа. Какова вероятность того, что в пучке
хлопка из 3 волокон окажутся 2 длинных волокна?
Решение. Здесь имеем
з** 1
я = 3, т'=2, Р = — и <7=-4,
а отсюда
P2(S = 3^ = 3(|-)8.l = g«0,423.
Чтобы обобщить выражение коэффициента 3, найденного при
условии м = 3 и т = 2, рассмотрим случай п = 4 и т = 2.
Здесь двукратное появление события Л сопровождается
двукратным появлением и события Л, а это возможно в следующих
комбинациях:
AAAAt или АААА, или АААА; илц AAAAf
или АААА, или 'АААА.
Число этих комбинаций при одинаковой вероятности появления
каждой из них определяет
Из теории соединений мы знаем, что 3 есть число сочетаний из
трех .элементов по два и что 6 есть число сочетаний из четырех
элементов по два.
Применением метода математической индукции можно
установить, что появление события Л два раза при п испытаниях имеет
* Здесь P2t 8 обозначает вероятность появления события А два раза при трех
повторных испытаниях. Соответственно Рт% п будет обозначать вероятность
появления т раз события А при п повторных испытаниях.
** Здесь и в последующих примерах такое условие связывается с принятым
в § 2 определением вероятности как устойчивого значения частости в большом
числе повторных испытаний,
367

П \~2 комбинаций (это — число сочетаний из п элементов по два),
а появление т раз события Л при п испытаниях имеет
п 19 Ш комбинаций (числосочетаний из п элементов пот).
Заметив далее, что появление каждой отдельной комбинации, в
которой событие А участвует два раза, например
АААА... Л",
/2-2
имеет вероятность p2qn~29 мы устанавливаем, применяя теорему
сложения, что
Р — Г2п2ап~2
г2, п — ^пР Ч
Аналогично появление отдельной комбинации, в которой событие А
участвует т раз, например
AAA ... А-~АА ... Л,
т п — т
имеет вероятность pmqn~m, а поэтому по теореме сложения получаем
т, п — ^пР Ч
Применяя для числа С% известную формулу (см. стр. 352)
^п т} („_m)j >
мы получим выражение вероятности появления события Л при п
независимых испытаниях ровно т раз в виде
р = 1 DmQn-m
Это — формула Бернулли.
Пример 2. Вероятность попадания в цель составляет при
отдельном выстреле /? = 0,8. Найти вероятность пяти попаданий при
6 выстрелах.
Решение.4 Здесь п = 6, т = Ъ, /? = 0,8, (/ = 0,2. Поэтому искомая
вероятность
Р5,в = ^(0,8№2)1=6.(±)5.1 = ^ = 0,3932.
Переходим теперь к дальнейшему обобщению результата,
выражающего вероятность появления некоторого события заданное число
раз при выполнении п испытаний, независимых по отношению
к этому событию.
Правая часть формулы Бернулли представляет собой общий член
разложения бинома Ньютона. Поэтому, если мы будем придавать
числу т появлений события Л значения п, п—1, п — 2, ..., 3, 2,
1, 0, то получим соответствующие выражения вероятностей:
Рп п = рп — вероятность появления события Л во всех
испытаниях;
Pn-ltn = C%-1pn~1q — вероятность появления события Л во всех
испытаниях, кроме одного;
368

pn_2 n = С*-2pn-2q2 —вероятность появления события А в п—2
испытаниях;
^з, п = ^лР39Л"3—вероятность появления события А в трех
испытаниях;
^г, п = С2пР%с1п~2 — вероятность появления события А в двух
испытаниях;
Piyn = ^nPQn'1—вероятность появления события А в одном
испытании;
P0n = qn—вероятность непоявления события А ни водном
испытании и потому — появления события А во
всех п испытаниях.
При п независимых испытаниях только и возможно, т. е.
достоверно, появление события А либо п, либо п — 1, либо п — 2, ...,
либо 3, либо 2, либо 1 раз, либо ни разу, а это означает, что
*п, л ~Г*л-1, пЛ~ *n-2t n~t~ "л-3, лГ • • • ~Ь *8i я + М, п~Г "i, л "Г *о, л ~ *>
и, таким образом, известная формула разложения бинома Ньютона
(р + q)* = p» + Cr'q + Cnn~2Pn'2q2 + Cnn~zPn"qz +
+ ... +C*npSq»-* + C2np2qn-2 + npq»-1 + qn
дает распределение вероятностей появления события А между всеми
единственно возможными и несовместимыми результатами проведения
п независимых испытаний. При этом, заметив, что p + q=l, мы
устанавливаем, что и левая часть формулы дает (p + q)n=\.
Биномиальное распределение вероятностей позволяет определить
не только вероятность появления интересующего нас события заданное
число раз при п независимых испытаниях, но и вероятность того,
что число m случаев появления этого события заключено в заданных
границах между числами т1 и т2, либо оказывается больше (меньше)
или не меньше (не больше) данного числа т1.
Покажем это на ряде примеров.
Пример 3. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается
вероятностью 0,8. Какова вероятность, что из 5 посеянных семян
взойдет не меньше 4?
4 1
Решение. Имеем п = 5, р — -^ и q == -g-; m ^ 4, т. е. т
принимает значения или 4, или 5. Искомая вероятность
Р(т>4) = Р(или 4, или 5) = Р4,б + Р5,5 =
* Если при таком же значении л = 5 требуется найти вероятность того,
что число взошедших семян меньше 4, т. е. вычислить Р (т < 4), то
непосредственное суммирование связано с отысканием по формуле Бернулли четырех
слагаемых, что является слишком громоздкой операцией. Использование того,
что Р (т < 4) + Р (т^4) = 1, позволяет проще найти искомую вероятность
с помощью вычитания: Р (т < 4) = 1—Р(т^4). Такой прием вычисления
выгоден в ряде примеров.
369

Пример 4. По данным ОТК на сотню металлических брусков,
заготовленных для обработки, приходится 30 с зазубринами. Какова
вероятность, что из случайно взятых 7 брусков окажется без
дефектов не более двух?
Решение. Пусть событием А здесь будет отсутствие на бруске
зазубрин. Тогда P(A) = p = 0J и P(A) = q = 0,3. Число испытаний
л = 7, а т^2, т. е. принимает значения или 2, или 1, или 0.
Искомая вероятность
P(m<2)^P2,7 + Plj7 + P0,7^2U(0,7)2.(0,3)^ + 7.(0,7)x
X (0,3)6 + (0,3)7 = 2Ь(0,7)2.(0,3)5 + 7.0,7-(0,3)б + (0,3)7-
= (0,3)6 (34,3 + 4,9 + 0,3) = (0,3)6.39,5 = 0,028836 « 0,03.
Пример 5. При установившемся технологическом режиме
зафиксировано 120 обрывов на 1000 веретен в час. Определить вероятность
того, что число обрывов в час на 25 веретенах будет больше двух,
но меньше восьми.
Решение. Здесь для я = 25 получим /? = 0,12 и <7 = 0,88.
Принимая т, = 3 и т2 = 7, будем иметь 3 ^ т ^ 7.
Искомая вероятность запишется в виде
Р(3<т<7)
и определится по Теореме сложения:
Р (3 < т < 7) = Р3,25 + Р4,25 + Р5,25 + Р6,25 + Р7,25 =,
=те (°> * 2>3 (°>88)22+иг! (°л 2)4 (°*88)21+
+ 5^(0^2)40,88)» + ^
/л оомя 4.23-33-2222 , 23-34-2222 , 5-2Ь23.3б-2221 .
X (0,88)18= ^ + 2524 + 25^ +
, 14.23-36.2220 , 38.23-37-2219
i 2524 ' 2524
23-33-2219
- 2525 (4.223-25 + 3.223.25 + 5.2Ь32.222 +
+ 14.33.22-25 + 38.34.25)^0,53.
В связи с последним примером следует заметить, что
использование биномиального закона зачастую связано с вычислительными
трудностями. Поэтому с возрастанием значений пит становится
целесообразным применение приближенных формул, что будет
рассмотрено в последующих параграфах.
Для небольших значений пит биномиальное распределение
дает возможность сравнительно легко установить доли отдельных
членов разложения, выявить, какое число появлений события А
наиболее вероятно, и определить, как меняются вероятности с
изменением числа появлений данного события.
370

Пример 6. Пусть производится 8 независимых испытаний,
причем вероятность появления события А в каждом испытании P = -j*
Найти вероятности возможных исходов.
Решение. Для этих условий биномиальное распределение дает:
т
8
7
6
5
4
3
2
1
0
и/1
г» 8-7'6 чл
С8=Т^з=56
С| = 70
С! = 56
С| = 28
Cl = 8
С°»=1
Pm> n
0 /2\» 1 1024 „,„
к=ЧтУШЧЙ?-.-
'«-«•(тШУнш»*088
■'м-».(4)'(т)'-й-«»7
*.-(*) (тУ-й-*~
Полученные результаты можно наглядно представить графически*
В прямоугольной системе координат по горизонтальной оси
откладываются числа т (появлений события Л), а из этих точек
восстанавливаются перпендикулярные отрезки,
представляющие значения
соответствующих вероятностей Рт п. Концы этих
перпендикуляров последовательно
соединяются прямыми отрезками, и, таким образом,
получается многоугольник распределения
вероятностей. Для нашего примера этот
многоугольник представлен на рис. 145,
причем для большей наглядности выбраны
неодинаковые по горизонтальной и
вертикальной осям масштабы.
Распределение вероятностей в
приведенном примере показывает, что наиболее
вероятны здесь 5 и 6 появлений события А и что непоявление
ни разу события А практически исключается. И цифровые данные, и
чертеж показывают, что с ростом числа т соответственные вероятности
371
Q123b5618l
Рис. 145

сначала увеличиваются, а затем, после достижения наибольших
значений, уменьшаются.
Пример 7. Длительной проверкой качества стандартных деталей
установлено, что из каждой сотни деталей не имеют дефектов
75 штук в среднем. Составить биномиальное распределение
вероятностей числа пригодных деталей из взятых наудачу 6 деталей.
т
6
5
4
3
2
1
0
С7
cl=\
С65 = 6
С|== 15
С? =20
С? = 15
с£=б
С°с=1
Рт* в
р«-(т) =ш=0'1779
<v.-(i)'"HS-»
'—"(4H±)4S5—'
'»-»• (4)'- аг-ш=».-
'«-•w-w-s-w»
'...=Чт) •№=«=»•«»'
р»-(4)'=ш=»-мо2
Эти результаты показывают, что наиболее вероятным оказывается
наличие пяти пригодных деталей из шести и что практически можно
рассчитывать на пригодность не менее
трех деталей, поскольку
Р(т> 2) = 0,963.
Графическое представление этого
распределения дано на рис. 146.
§ 6. Наивероятнейшее число появлений
события
Биномиальное распределение, как мы
видели, позволяет, в частности,
установить, какое число появлений события
А наиболее вероятно. В примере 6
такое число имело два значения: 5 и
6, а в примере 7 таким числом оказалось 5.
Здесь мы покажем, что отыскание такого числа может быть
выполнено непосредственно без составления полного биномиального
распределения.
Обозначая искомое число через т0> мы должны составить условия,
обеспечивающие для него наибольшую вероятность. Это значит, что
372

соответственный член биномиального распределения РШф, п должен
принимать наибольшее значение, т.е. должен удовлетворять нера*
венствам:
л m0-l, n (1)
И
Воспользуемся формулой общего числа члена биномиального
разложения. Из неравенства (1)
п\
п\
mQ\(n—m0)\pm°qn m°^(m0—1)!(л—mo+l)!^0" *
П-trlQ-^l
после сокращении получаем
или
Ж^л-mo+l t
np—m0p + p^m0q; пр +p^m0(p + q).
Отсюда (так как p + q=l)
т0^пр + р
(3)
Из неравенства (2)
щ\{п—щ)\р ч ^(т0+\)\(п—т0—\)\г ч
после сокращении получаем
>
или
Отсюда
п—fo0 ^^ m0-)-1
пр—т0р^Щд + д', np—q^m0(p + q).
m^np—q
(4)
Объединяя неравенства (3) и (4), мы получаем двойное
неравенство
(5)
np—q^m0^np + p
устанавливающее границы для числа /и0.
Так как пр—q=ztip + p — 1, то эти границы отличаются на 1.
Поэтому т0, являющееся целым числом, может принимать либо одно
значение, кбгда пр целое число (т0 = пр) и когда пр—q (а отсюда и
пр + р) не целое число, либо два значения, когда пр—q целое число.
Пример 8« При автоматической наводке орудия вероятность
попадания по быстро движущейся цели равна 0,9. Найти наиверо-
ятнейшее число попаданий при 50 выстрелах.
373

Решение. Здесь п = 50, /7 = 0,9 и q = Q,l. Поэтому имеем
неравенства: 50-0,9—0,1 <т0< 50-0,9+ 0,9.
Отсюда
/тг0^44,9 и т0^45,9.
Следовательно, т0 = 45.
Пример 9. Данные длительной проверки качества выпускаемых
стандартных деталей показали, что в среднем брак составляет 7,5°/0.
Определить наиболее вероятное число вполне исправных деталей
в партии из 39 штук.
Решение. Обозначая вероятность выпуска исправной детали
через /?, будем иметь q = 0,075 и р = 1 —^ = 0,925 (получение
бракованной детали и получение исправной детали—события
противоположные). Так как здесь п = 39, то искомое число можно найти из
неравенств:
39 • 0,925—0,075 < т0 < 39.0,925 + 0,925,
или
36<т0<37.
Отсюда наивероятнейшее число исправных деталей равно 36 или 37.
Выведенные неравенства для т0 позволяют решить и обратную
задачу: по данному /я0 и известному значению р определить общее
число п всех испытаний.
Пример 10. При каком числе выстрелов наивероятнейшее число
попаданий равно 16, если вероятность попадания в отдельном
выстреле составляет 0,7?
Решение. Здесь т0=16, /? = 0,7 и ^ = 0,3.
Составляем неравенства
0,7м—0,3<16<0,7п + 0,7.
Отсюда
0,7п<16.3, 7п<163 и я<23у ;
0,7п>15,3, 7п>153 и п>21~ .
Таким образом, Mt = 22 и я2 = 23, т. е. число всех выстрелов
здесь может быть 22 или 23.
§ 7. Асимптотическая формула биномиального распределения
(локальная теорема Лапласа). Формула Пуассона
Уже для двузначного числа п повторных испытаний определение
вероятности Рт%п по формуле Бернулли
р = Hi DmQn-m
вызывает вычислительные трудности. Поэтому в таких случаях при-
374

меняется следующая приближенная формула*:
Р 1 * 2
выражающая содержание локальной теоремы Лапласа**, вывод
которой в настоящем курсе опускается (желающие ознакомиться
с этой теоремой могут найти ее в подробных курсах теории
вероятностей).
Здесь
o = Vnpq,
а
т—по
х = —^.
При этом пользуются табличными данными для второго
множителя в правой части формулы
х*
1 2
(D(x) = -7z=re
Для возможности выполнения вычислений с помощью
асимптотической формулы дана соответствующая таблица I значений ср (х) (см.
стр. 465).
Для того чтобы показать, сколь незначительно отклонение
результата применения приближенной (асимптотической) формулы при
вычислении Ря>я от результата вычисления по точной формуле,
проведем оба вычисления на следующем примере.
Пример 11. Вероятность попадания по движущейся мишени
принимается равной 0,7. Какова вероятность того, что из 20 выстрелов
15 окажутся удачными?
Решение. Здесь я = 20, т=15, р = 0,7 и <7 = 0,3.
Производим вычисление по приближенной формуле.
I. Определяем о = Vnpq = /20.0,7-0,3 « 2,05.
тт г\ т—яр 15—20-0,7 А АГ.
II. Определяем х = —^""^^ 2 05 '
III. Определяем значение ср(0,49)» 0,35381.
i\7 г\ п ф(0,49) 0,35381 п t-Q
IV. Определяем Р15>80» J & 2,05 ^°>173-
Вычисление по точной формуле биномиального распределения:
Р","> =ЖЕГ(°'7>15-(0'3)5 = 3'16> 17' 19-(°>7)16 (W-
* Эта формула называется асимптотической, так как она тем точней, чем
больше |*|.
** Впервые формула такого вида была получена для случая р=-о" в 1730 г.
Муавром, а обобщение ее для любого 0 < р < 1 было проведено Лапласом.
Поэтому правильней было бы называть эту формулу локальной теоремой Муавра-^
Лапласа.
375

Логарифмирование* дает нам
lg ^15,2о = lg 3 + Ig 16 + Ig 17 Ч- lg 19 + 15 lg 0,7 + 5 lg 0,3 = 1,2524.
Отсюда P15>20 = 0,179 и, таким образом, приближенный результат,
найденный выше, дает отклонение на 3,35°/0. С повышением
значения п этот процент понижается.
Пусть в условиях предыдущего примера требуется найти
вероятность того, что 5 выстрелов окажутся удачными.
Обращение к формуле Бернулли дает
^5,20 = Qo (0,7)5 (0,3)15 & 0,00003736
(промежуточные операции по подсчету результата отнесены к
самостоятельной работе учащегося).
Столь незначительное значение найденной вероятности указывает
на то, что ожидаемое событие является практически невозможным.
Применение приближенной формулы Лапласа дает:
I. а» 2,05; II. х = (5—20-0,7):2,05 « 4,4; III. <р(4,4).
По таблице значений <р (х) не может быть найдено, так как в таблице
приведены значения ф (х) для значений не свыше 3,99. Значениям же
х > 3,99 соответствуют ничтожно малые значения ср (х), что указывает
на практическую невозможность события.
1 -—
График функции ф (х) = f е 2 называют кривой
вероятностей.
Несложное исследование функции ф(лг) дает следующее.
1. Так как здесь х входит в четной степени, то ф(—х) = у(х),
т. е. соответствующая этой функции кривая симметрична относительно
оси Оу.
2. С осью Оу кривая пересекается в точке /0; ■ _j- j.
3. С осью Ох кривая не пересекается, так как показательная
функция е 2 > 0 при всех действительных значениях х\ при этом
ось Ох является горизонтальной асимптотой для кривой, так как
-— 1
lime 2 = lim—^- = 0.
ДС-> 00 Х-+ 00 -—-
е А
X*
4. Производная исследуемой функции
ф'(*)--= т=е ~
обращается в нуль при * = 0, причем переход через нулевое
значение связан с переменой знака производной с «+» (при х < 0) на «—»
* При наличии специальных таблиц с логарифмами факториалов отпадает
необходимость преобразования выражения Pi6j2o«
376

(при х> 0); этим в точке (0; -/=) определяется максимум
функции, равный
V2n '
0,399.
у2__1 -£-
5. Вторая производная ф"(л;) = --р=в 2 обращается в нуль при
хх*=—1 и х2=1 с переменой ее знака, когда х переходит через—1
и через 1, а этим, как известно, определяются точки перегиба
[-1; ф(—1» и [1; <р(1)].
Ординаты этих точек
ф(—1) = ф(1) = ^.*~ 0,399-0,607 «0,242.
У 2л у е
Ji-
/ 0.3-
/ w-
а • .- » .... '
-г -t,s ~t -o,s o\
ifW
US /
1,S 2 X
Рис. 147
6. Составляем таблицу для ряда значений х и <р(х) и
вычерчиваем кривую* (рис. 147).
X
ф(*)
0
0,4
±0,5
0,35
±1
0,24
±1,5
0,13
±2
0,05
Построенная кривая и есть кривая вероятностей. Она позволяет
по каждому значению х = т~пр найти приближенное значение
х*
а отсюда и
^Ф<М
* Здесь для большей наглядности - приняты различные масштабы по осям.
377

1 e 2
Асимптотическая формула РтуПж /='» выражающая
содержание локальной теоремы Лапласа, дает тем более близкие к точному
значению Рт,п результаты, чем больше значение o = Ynpq- При этом
здесь сказывается не только значение п, но и значение pq. При одних и
тех же значениях п вычисление по асимптотической формуле дает для ;
Рт,п тем лучшее приближение к значению по формуле Бернулли, чем
ближе pq к 0,25 (это значение является для pq наибольшим), т. е. чем ;
заданная вероятность (а отсюда и q) ближе к 0,5. В задачах же со
значениями р или q, близкими к нулю, применение той же
асимптотической формулы дает более заметные отклонения от точных
значений Рт%п% получаемых по формуле Бернулли. ]
Так,' в примере 11 (стр. 375) при п = 20, т=15 и р = 0,7 при- ;
ближенный результат дает отклонение на 3,35%. Если же, не меняя )
значений пит, положить р = 0,95 (д = 0,05), то значению Р1Ъ,19 = >
= 0,0242 по формуле Бернулли соответствует- по формуле Лапласа 1
значение Р15>20 ^ 0,0001, что указывает уже на непригодность этой \
приближенной формулы.
В связи с этим для так называемых редких событий (со
значениями р> близкими к нулю) с успехом применяется асимптотическая
формула Пуассона в виде
где Х = пр и приближение тем лучше, чем больше п и меньше p. i
Заметим, что использование этой формулы допустимо при условии г
% = пр ^ 10. |
Выгодность применения вычислений по формуле Пуассона, напри- \
мер, для я =100 и /7 = 0,01, показывает следующая таблица значе- j
ний Ря% 100: ]
при значениях т 0 1 2 5 9
по формуле Бернулли 0,366 0,370 0,185 0,003 0,000001
» Лапласа 0,242 0,411 0,242 0,001 0,000000
» Пуассона 0,368 0,368 0,184 0,003 0,000001
Пример 12. Известно, что в принятой для сборки партии из
1000 деталей имеются 4 дефектных. Найти вероятность того, что ,.
среди 50 наудачу взятых деталей нет дефектных. J
Решение. Здесь я = 50, вероятность появления дефектной де- I
тали /? = 0,004, вероятность появления пригодной детали д = 0,996. $.
Отсутствие среди 50 деталей дефектных, означает, что все эти детали— |.
пригодные. Поэтому при т = 0 обращение к формуле Бернулли дает |
Р050 = 0,99650. Логарифмированием находим lg P = 50 -1,9983= |-
= 1,9150, откуда %"
Ро>50 = 0,8222.
* Практически вместо непосредственного вычисления по этой формуле
следует пользоваться таблицей значений функции Пуассона (см. стр. 469).
378
f

Для применения формулы Пуассона имеем
Х=др = 50-0,004 = 0,2;
Я- = Х*=1; т!=0! = 1.
Отсюда
P0,5o«e-°'2« 0,8187,
что дает отклонение от результата по формуле Бернулли менее 0,5%.
Заметим, что обращение к приближенной формуле Лапласа
требует более громоздкого вычисления и дает P0t50 «0,8085, т. е. с
отклонением около 1,7%.
§ 8. Интегральная теорема Лапласа
Мы видели (см. § 5), что отыскание вероятности появления
события А при п испытаниях, количество которых заключено в границах
целых чисел акЬ, было связано с применением теоремы сложения
вероятностей. Именно, если т принимает значения всех
последовательных целых чисел т1% т2, ..., mk> где т1=а и mk = 6, то вероятность
того, что событие А наступит либо т1 раз, либо т2 раз, ..., либо mk раз,
т. е. вероятность появления события А при я,испытаниях не менее а
и не более Ъ раз, определяется по формуле
P(a<m<6)=Pmi.„ + PmilW+...+P«4.II.
Отыскание этой суммы с помощью данных биномиального распре- ,
деления по мере возрастания числа п сопровождается значительными
затруднениями вычислительного характера. Между тем такая задача
может быть успешно разрешена приближенно и притом с желательной
степенью точности на основании интегральной теоремы Лапласа.
Теорема. Если производится большое число п независимых
испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А
равна р, то вероятность того, что число т появлений события А
удовлетворяет неравенству
пр + а Vtipq ^ т ^ пр + |3 V^npq9
имеет своим пределом
-т= Г е 2 dx9
a
когда п неограниченно возрастает.
Математическая запись этой теоремы:
lim Р(пр + <xVnpq^.m^np + fi V"npq)
Доказательство. Пусть число гп независимых испытаний
зафиксировано. Тогда принятые в условии границы значений т—определенные целые
числа.
1 Э _*!
-tL= f в 2 dx.
a
379

Обозначив их через а и Ь, будем иметь:
a=*np-{-a}^npq и b = np-\-$ }^npq*.
Искомая вероятность в указанных границах числа т определяется согласно
теореме сложения вероятностей
Я(в<т<&) = 2*я.||-
При этом значения слагаемых Ртп вычисляются либо (для небольших пит)
по формуле Бернулли, либо по формуле Лапласа.
Отыскание же предела, к которому стремится вероятность
P(np-\-aY^npq^m^np-\-fi Vnjxj)
при неограниченном возрастании числа я, может быть осуществлено только
с помощью определенного интеграла.
Приведем поэтому выражение ^VP^.n к виду интегральной суммы.
Общий член суммирования
п}
р — ! г)т пп-т
Гт,п т1{п__туР Я
мы можем представить, пользуясь асимптотической формулой биномиального
распределения, в виде
2 :[!+*(/!)).
Здесь б (п) -> 0 при п —>- оо для всех целых т в заданных границах. Но пере-
ход к переменной х связан с выделением в общем члене суммирования
множителя Ах и с установлением границ для переменной х.
При рассмотрении асимптотической формулы было принято соотношение
У прд
Это соотношение приводит в соответствие числу т1 значение х = хъ числу
/n^mx+l — значение х2 = х1-\-Ах и т. д.
Так как паре последовательных чисел т и m-j-l соответствует пара
значений х и х + кх, то имеем два соотношения:
т—пр . А т + 1 — пр
*=■ ^ и х-\-Ах =— ' «
У npq У npq
Отсюда вычитанием находим
У npq
а это показывает, что условие п —>■ оо непосредственно влечет за собой
условие A* -> 0.
Таким образом, общий член интегральной суммы может быть записан в вид©
РтгП= е 2 Дл:(1 + 6) (здесь б -> 0 вместе с Да:).
Границы значений переменной х определяются из условия теоремы о
границах числа т. В самом деле, переписав соотношение (1) ё виде
m = np + * V~npq,
* Эти соотношения между а и Ь и соответствующими им числами а и Р
будут применяться ниже при решении задач с помощью этой теоремы.
380

можно на основании неравенств
пр + а Y^npq^т^пр + Р У npq
установить, что значения х заключены в границах чисел а и р, т. е.
При фиксированном п имеем интегральную сумму
2^pmtn-Zu f—
-Е
а
У2л
е 2 Ллг(1+б) =
1 ~Т
У2л
Длг,
которая с изменением л является переменной величиной
Переход к пределу (для левой части при п
Д*
оо, а для правой часги при
0) обращает в нуль второе слагаемое в правой части, и отсюда
Km Y.Pm,n= Km ТТ==У.е 2 Д*.
Полученное равенство можно переписать в соответствии с формулировкой
рассмотренной теоремы:
1 р
lim Р (пр-\-а УИгрд^т^пр + р Vlipq) =—?= \
п - оо у 2л J
dx.
Дадим геометрическое истолкование теоремы.
Чтобы графически представить преобразованный общий член ин-
хг
1 ——
тегральной суммы тл=£ 2 ^*, обратимся к кривой, соответст-
хг
1 - —
вующей функции ф^^-^г^ 2
(рис. 148). Если М
—произвольная точка на этой кривой, то про-
1 ——
изведению -т=? 2 А* будет
соответствовать площадь
прямоугольника с высотой, равной ординате
точки М [это—значение функции
<р(*)]» и с основанием, равным
элементарному отрезку Ал: на оси Ох, соответствующему в силу
соотношения (1) приращению на 1 числа т появлений события А.
Интегральная сумма, выражающая приближенное значение
искомой вероятности, численно равна площади ступенчатой фигуры,
составленной из элементарных прямоугольников в заданных границах
между аир.
Полученный определенный интеграл, дающий предельное
значение той же вероятности при л—* оо, численно равен площади
Рис. 148
381

криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой
снизу осью Ох и с боков перпендикулярами к оси Ох в точках
х--=а и x = fi.
До перехода к применению полученного результата при
вычислении вероятностей рассмотрим частный случай, когда число т
принимает все возможные значения от 0 до /г, т. е. когда ищется
limP(0<m<Az).
П -*■ 00
Так как условие О^т^п связано с достоверностью события, то
P(0<m<n)=l,
и это сохраняется при неограниченном возрастании числа
независимых испытаний, т. е. и
lim Р(0<т<я)=1.
П -* оо
Найдем пределы соответствующего этому случаю интеграла, т. е.
границы значений переменной х.
Из соотношения (1)лг = m7l0f можно установить, что
У npq
при т = 0 х = ~Z2IL = — l/ —, а из я—* оо следует х—>—оо; при
У npq f а
п—пр nq , f па
т = п х = г L- = /•-—• = 1/ — » а из я—► оо следует х—* оо.
у npq У npq * Р
Отсюда
limP(0<m<w)-7F \e ~dx
п-*- со V ^ J
— со
и, таким образом,
+ 00 Х2
J^\e 2dx=l.
— со
Из установленной сходимости этого интеграла (его называют интегралом
Лапласа) непосредственно следует, что
+ СО Х2
\ е 2 dx = У 2л,
а отсюда легко перейти и к интегралу Пуассона, значение которого при- §
ведено в § 59. j
Xй
Действительно, замена -~- = z2 дает
х _, dx
г — ——• и dz = —р=-
Y* Y%
382

Поэтому
е-* dz =-j7=^ • V2n = У~п.
+ 00
I
Интегральная теорема Лапласа применяется для вычисления
вероятности того, что число т появлений события А заключено в
фиксированных границах
при заданном числе испытаний. Поэтому соответствующая формула
приобретает уже приближенный характер, т. е.
0 х*
Р (а < т < Ь)» -±= f e~~ dx,
а
и точность достигаемого результата повышается с возрастанием
количества испытаний.
Самое отыскание вероятностей связано с определением численных
значений найденного интеграла Лапласа
У~
X
2я J
При этом для непосредственных вычислений принята
специальная функция, представляющая удвоенный интеграл Лапласа, т. е.
функция
х xt
_2_
У~2л
значения которой находятся, например, с помощью степенных рядов,
как это показано в § 69, п. 4.
Эта функция имеет следующие два свойства:
1) с возрастанием х значения Ф(х) возрастают, приближаясь к
единице;
2) так как ряд, представляющий эту функцию, состоит из
нечетных степеней х, то Ф(—*) = — Ф(х), т. е. эта функция нечетная.
Численные значения функции Ф(х) даются в специальной
таблице II на стр. 467, и это позволяет находить интеграл
5 х*
hz\i2dx
06
по следующей формуле:
-^]е~Тйх=±[Фф)-Ф(а)].
* а
w Справедливость этой формулы может быть установлена учащимся,
385

Таким образом, вся операция состоит в отыскании значений аир,
соответствующих границам а и Ь, с последующим обращением к
табличным значениям Ф(р) и Ф(а), и в использовании формулы
Р (а <т <6) « 1 [Ф (Р)-Ф (а)].
Пример 13. Вероятность попадания в цель из скорострельного
орудия равна при отдельном выстреле 0,8. Найти вероятность того,
что число попаданий при 900 выстрелах будет заключено в
границах чисел 690 и 740.
Решение. Здесь п = 900, Р^у, ^ = 1Гв
Соотношения
a = np-\-aVnpq и b=-np + fiVnpq
здесь дают:
Отсюда
690 = 900--i + a j/900—.-i-
740-900-у+р j/900—.-J-.
12a + 720 = 690, т. е. a = —2,5;
12р + 720 = 740, т. е. р = 1,67.
Искомая вероятность
7АП\ ~. _
Р (690 < m < 740) «у[Ф (1,67)—Ф(—2,5)] =
= 1 [Ф (1,67) + Ф (2,5)]« у (0,90508 + 0,98758) = 0,94633.
Пример 14. При вытачивании болтов наблюдается в среднем
10% брака. Можно ли быть уверенным, что в партии из 400 болтов
окажутся пригодными более 299?
Решение. Принимая /7 = 0,9, будем искать Р(300 ^т^400).
Значения аир определим из соотношений:
300 = 400• 0,9 + aj/400 0,90,1
и
400 = 400 • 0,9 + р /400.09-0,1.
Отсюда
<х = (300—360):6 = —10
и
р = (400 —360) :6^6,67.
Таким образом,
Р (300 < т < 400) « у [Ф (6,67) + Ф (10)].
384

. Но оба значения Ф(л:) выходят из границ таблицы II, которая
составлена для значений х не свыше 4,50. Значениям же х > 4,50
соответствуют значения Ф(л:), мало отличающиеся от 1, и поэтому
искомая вероятность практически принимается равной 1.
Это означает, что наличие в данной партии более 299 пригодных
болтов можно считать достоверным.
Следует заметить, что формула для вычисления вероятности по
теореме Лапласа несколько упрощается в случаях, когда границы а
и b для возможного числа появлений события А симметричны
относительно числа пр, т. е.
а = пр—ajfnpq
и
b = np + aVnpq.
Тогда
Р (пр—a V"npq < т < пр + а V~npq) « ~ [Ф (а)—Ф (—а)] = Ф (а).
Пример 15. Пусть при п = 900, /г = 0,8 и (7 = 0,2 требуется найти
Р(705<т<735).
Решение. Здесь пр = 900-0,8 = 720 и 735 — 720 = 720--705 =
= 15; поэтому значение а можно найти из соотношения пр +
+ aj/n/*7 = 735, где V7ipq=l2 и 12<х=15.
Значит а =1,25, а отсюда
Р (705 < т < 735) = Ф (1,25) « 0,7887.
Использование функции Ф (л:) позволяет также ответить на вопрос
о вероятности того, что отклонение частости события [ — ] от его
вероятности в отдельном испытании (р) не превысит заданной
величины. Такой результат достигается следующим преобразованием
неравенств (в теореме Лапласа).
Деление всех членов неравенств np—aynpq^m^np+a^npq
на п дает:
я-«/?<*<*-+«/?•
Эти неравенства эквивалентны неравенствам:
— /»<*-*<-/?.
Если абсолютная величина отклонения a 1/ ^ = е, то а =
= е у —, и тогда в силу сохранения вероятности выполнения
эквивалентных неравенств имеет место соотношение
или
р{|£-р|<а/Й}«ф(а).
13 Ks 2418 385

Переход к заданной величине отклонения е дает
Р{|^-р|о}~ф(е/^).
Этот результат позволяет с помощью функции Ф(х) установить
вероятность того, что отклонение частости события при п испыта-
ниях от его вероятности по абсолютной величине не превышает
заданного числа е.
Пример 16. Вероятность появления события А в отдельном
испытании р = 0,6. Найти вероятность того, что при 150 испытаниях
частость появления этого события будет отличаться от его
вероятности не более чем на 0,03.
Решение. Здесь надо искать Р
3 2
т
п = 150, р = 4. <7=т и 8 = 0>03- Та* как
<1е) при условиях
а^е/|"=°>03]/т11=0'75' '
5 5
ТО
р /I HL —р I < 0,031 « Ф (0,75) = 0,54675.
Упражнения
1. В партии деталей двух сходных форматов число крупных деталей вдвое
больше числа мелких. Детали сложены без всякого порядка. Какова вероятность
того, что среди взятых наудачу 10 деталей окажется 6 крупных?
Ответ: Р6> 10 « 0,228.
2. Вероятность поражения мишени при каждом отдельном выстреле р = 0,8.
Найти вероятность того, что при 5 выстрелах мишень будет поражена.
Отв. Р(т^\) = 0,99968.
3. В хлопке имеется 10% коротких волокон. Какова вероятность того, что
в наудачу взятом пучке из пяти волокон окажется не более двух коротких?
Отв. Р(т< 2)^0,9914.
4. Всхожесть семян данного растения оценивается вероятностью 0,8. Найти
вероятность того, что из 8 посеянных семян взойдет не менее 6.
Отв. Р (т ^ 6) ^ 0,79692.
5. Из каждого десятка деталей 9 удовлетворяют стандарту. Найти
вероятность того, что из 50 взятых со склада деталей число стандартных окажется
между 42 и 48.
Отв. Р (42 < т < 48) ^ 0,65278.
6. Вероятность появления события А в отдельном испытании равна 0,75.
Какова вероятность того, что при восьмикратном повторении испытания это
событие появится более 6 раз?
Отв. Р (щ> 6)^*0,3671.
7. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели
равна 0,9. Определить вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных
будет не менее 16 и не более 19.
Отв. Р (16<т< 19) « 0,834.
8. Найти наивероятнейшее число появлений некоторого события при 16
испытаниях, если вероятность появления его в отдельном испытании равна 0,7.
Отв. И.
9. Число длинных волокон в партии хлопка составляет в среднем 0,6 общего
количества волокон. При каком общем количестве волокон хлопка
наивероятнейшее число длинных окажется равным 20?
Отв. 33 или 34.
386

10. На каждые 20 приборов приходится в среднем 6 неточных. Определить
наивероятнейшее число точных приборов из наудачу взятых 8 приборов.
Отв. 6.
11. Сколько раз следует стрелять из орудия, чтобы при вероятности
попадания р = 0,9 наивероятнейшее число попаданий оказалось равным 17?
Отв. 19.
12. С помощью асимптотической формулы биномиального распределения
найти вероятность того, что среди наудачу взятых 100 деталей 55 окажутся
отполированными, если в общей массе деталей имеется поровну отполированных
и неотполированных.
Отв. Рб5, 100=^0,0484.
13. Пользуясь теоремой Лапласа, найти вероятность появления события не
менее 342 и не более 378 раз, если общее число независимых испытаний равно
600 и вероятность появления этого события в отдельном испытании равна 0,6.
Отв. Р (342 < т < 378) « 0,8664.
2
14. При автоматической прессовке карболитовых болванок -=- общего числа
о
их не имеют зазубрин. Найти вероятность того, что из 450 взятых наудачу
болванок число болванок без зазубрин заключено между 280 и 320. Использовать
теорему Лапласа.
Отв. Р (280 < т < 320) » 0,94257.
15. Штамповка металлических клемм для соединительных пластин дает 20%
брака. Пользуясь теоремой Лапласа, определить вероятность наличия от 100 до
125 клемм, не соответствующих стандарту, в партии из 600 клемм.
Отв. Р(100<т< 125)^0 67.
16. С помощью теоремы Лапласа найти вероятность того, что при 400
независимых испытаниях частость появления события дает отклонение от его
вероятности при отдельном испытании р = 0,8 не более чем на 0,06.
Отв. Р Л 2. - 0,81 < 0,06 i » 0,9973.
17. Вероятность появления события А в отдельном испытании р = 0,6. Найти
вероятность того, что при 1200 независимых испытаниях отклонение частости от
вероятности по абсолютной величине не превысит 0,05.
Отв. Р ||~-0,б|<0,ф1^0,9996.
18. В партии из 2000 гаек имеется 30 с браком в нарезке. Для контроля
взяты наудачу 100 гаек. Найти вероятность того, что среди них: а) нет
бракованных и б) число бракованных гаек меньше двух.
Отв. а) 0,22061 (по Бернулли); 0,22313 (по Пуассону)
б) 0,55655 » ; 0,55783 »
Глава III
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
§ 9. Случайная величина и <ее распределение
Случайной величиной называется переменная, которая может
принимать в зависимости от исходов испытания те или иные
случайные значения.
Если при этом переменная принимает последовательные
различные значения и известны вероятности каждого из них, то она
называется дискретной случайной величиной.
Дискретная случайная величина X определена, если даны все ее
возможные значения xl9 х29 ...,xkf число которых может быть как
конечным, так и бесконечным, и соответствующие вероятности
13*
387

Это задание представляется таблицей распределения
*1
Pi
*1
Р\
х2
Ра
Хк
Рк
в которой значения х располагаются в строго возрастающем порядке.
При этом сумма соответствующих этим значениям вероятностей
равна 1, так как все возможные значения случайной величины
представляют полную систему событий.
В случае конечного числа k возможных значений эта сумма
запишется в виде
к к
2p(*,.) = 2p, = i.
Для дискретной случайной величины с бесконечным множеством
возможных значений эта сумма будет представлять собой ряд.
Представленная в виде таблицы совокупность всех значений
случайной величины и соответственных вероятностей каждой из них
или, что то же, функция Р (х)} связывающая значения х{ с
соответствующими вероятностями, является законом распределения
случайной величины.
Примерами дискретных случайных величин являются:
1) число грузовых машин, проезжающих за один час через
контрольный пункт автоинспекции;
2) сумма выигрыша, приходящегося на один билет
денежно-вещевой лотереи;
3) число ничейных результатов в шахматном турнире;
4) число отличных оценок у студентов одной группы на экзамене.
Пример 1. Составить закон распределения случайной величины —
числа появлений события А при п повторных независимых
испытаниях, если вероятность появления этого события в отдельном
испытании Р(А) = р очень мала.
Решение. Вероятность появления события А раз в испытаниях
определяется формулой Пуассона Рт^пж—г—.
Соответствующая таблица распределения имеет такой вид:
т
| /я, п
0
<?-*
1
ta?->
2
^ А
2! е
...
...
т
т !
...
Можно показать, что при неограниченном возрастании числа п сумма
вероятностей в этом распределении представляет ряд, сходящийся к 1:
П-+ CD Я -* GO \ ' U \ J
388

Пример 2. По мишени ведутся выстрелы до первого попадания
или до израсходования всех имеющихся патронов. Составить таблицу
распределения случайной величины X—числа израсходованных
патронов, если вероятность попадания при отдельном выстреле
постоянна, /? = 0,3, а число всех патронов п = 4.
Решение. Здесь случайная величина X принимает значения:
хх—\ при попадании с одного выстрела, х2 = 2—при попадании
после одного промаха, л;3 = 3—при попадании после двух промахов
и *4 = 4—при четырех промахах или при попадании после трех
промахов. Вероятности того, что случайная величина X будет
принимать указание значения, таковы:
Р(Х =*,) = /? = 0,3; P(X = x2) = qp = 0,7.0,3 = 0,21;
Р(Х = *3) = <72/> = 0,49-0,3 = 0,147 и
P(X=xA) = q* + q*p = q*(q + p) = q* = 09343.
Отсюда получим искомую таблицу распределения
Х(
Pi
1
0,3
2
0,21
3
0,147
4
0,343
4
Условие 2 Pi — 1 выполнено.
График, соответствующий заданному распределению, называется
многоугольником распределения случайной величины. При этом по
оси абсцисс откладываются значения х{ случайной величины, а по
оси ординат—их вероятности pt.
В качестве примера распределения случайной величины можно
взять еще рассмотренное нами биномиальное распределение
вероятностей числа пригодных деталей среди взятых наудачу 6 деталей
(см. стр. 372, пример 7).
Здесь случайной величиной является число xi пригодных деталей
со следующим законом распределения:
х:
Pi
0
0,0002
1
0,0041
2
0,033
3
0,132
4
0,297
5 | 6
0,3558
0,1779
Многоугольник распределения этой случайной величины
графически совпадает с многоугольником, изображенным на рис» 146, с
оговоркой, что по оси абсцисс откладываются значения xt
случайной величины (количества пригодных деталей).
Помимо дискретных существуют еще непрерывные случайные
величины, которые могут принимать все значения в заданных
границах (внутри некоторого отрезка) или на всей числовой оси.
Приведем примеры непрерывных случайных величин:
1) расстояние точки падения диска от точки метания;
2) периметр перпендикулярного сечения ствола дерева;
389

3) расстояние от центра мишени до точки попадания пули при
стрельбе.
Для непрерывной случайной величины нельзя составить таблицы,
в которой были бы перечислены все ее значения даже в небольшом
интервале. Поэтому закон ее распределения должен определять
вероятность попадания ее значений в некоторый отрезок.
Пусть дана непрерывная случайная величина X. Тогда условие
X < х для ее значений можно рассматривать как событие,
вероятность наступления которого является некоторой функцией х.
Обозначив эту функцию через F (х), будем иметь
F(x) = P(X <x).
F (х) называют функцией распределения вероятностей случайной
величины, или интегральной функцией распределения.* Будем
предполагать эту функцию непрерывной.
Отметим свойства функции F (х).
1°. Исходя из возможных значений вероятности, имеем
0<FW<1.
2°. При а<р имеем F (a)<^F ф), так как
Р(Х<а)<Р(Х<р);
отсюда F (х) —-функция неубызающая.
3°. Условие X < + оо для значений случайной величины является
достоверным событием, следовательно, F(-f-oo)=l.
4°. Условие Х< —оо невозможно; поэтому F( — 00) = 0.
Выразим с помощью введенной функции вероятность того, что
случайная величина X удовлетворяет условию а < X < (3, т. е.
найдем Р (а < X < р).
Так как а < р, то условие X < р означает, что или X < а, или
а < X < р<
Отсюда на основании теоремы сложения вероятностей имеет
место равенство
Р(Х<р) = Р(Х<а) + Р(а<Х<р).
Здесь второе слагаемое
Р(а<Х<р) = Р(Х = ос) + Р(а<Х<р).
Но для непрерывной случайной величины вероятность того,
что она примет какое-либо определенное значение, равна нулю и,
в частности, Р(Х = а)^0.
Справедливость этого следует из непрерывности F(x).
Действительно, если в равенстве
Р(а^Х <a + Ax) = F(a + Ax) — F(ос)
принять Ал:—>0 и перейти к пределу, то найдем, что
Р(Х=а) -0.
'' Иногда говорят также «интегральный закон распределения»,
390

Поэтому
Р(а<Х<р) = Р(а<Х<р)
и соответственно
Отсюда
Р(Х < р) = Р(Х <а) + Р(а < X < Р).
Р(а<Х<р) = Р(Х<р)-Р(Х<а),
Таким образом,
Р(а<Х<р)=Р(р)-Р(а).
Этим определена вероятность того, что случайная величина
принимает какое-то (безразлично какое) значение внутри отрезка [а, р]
в виде приращения функции F (х) на всем этом отрезке.
Для дискретной случайной величины также можно определить
функцию распределения. Ее значения легко находятся по таблице
в виде суммы вероятностей тех значений случайной величины,
которые удовлетворяют условию X < х для каждого значения х.
Пример 3. Составить функцию распределения для дискретной
случайной величины X—числа появлений события А при 4
независимых испытаниях, если в каждом испытании р = у.
.Решение. Определив по формуле Бернулли значения-
вероятностей при i = 0» 1, 2, 3 и 4, составим таблицу распределения
Xi
Pi
0
16
81
1
32
81
2
24
81
3
8
81
4
1
81
По данным этой таблицы определяем
0 при —оо <Х<0,
0<Х<1,
1 <Х<2,
2<Х<3,
3<Х<4,
4 <Х<оо.
F(x) = \
16
Ж ПРИ
48
8ГПРИ
72
8ГПРИ
80
"8ГПРИ
1 при
Функция F (х) для дискретной случайной величины является
кусочно-постоянной с точками разрыва при всех Х=Х/. График
функции распределения для рассмотренного примера (рис. 149)
наглядно отражает характер (ступенчатый) функции распределения
дискретной случайной величины.
391

Помимо рассмотренной функции распределения, представляющей
интегральный закон, для характеристики непрерывной случайной
величины применяется еще дифференциальный закон распределения,
связанный с понятием плотности распределения вероятностей
случайной величины.
Если с изменением длины отрезка [а,Р] вероятность попадания
случайной величины X в этот отрезок меняется пропорционально
¥'
Г(л)
Рис. 149
длине отрезка, т. е. Р(а < X < Р) = 6(jJ — а), то говорят, что
случайная величина X равномерно распределена в промежутке (а, р).
При этом отношение
Р(а<Х< р) Fft)-F(%)
р —а
: = б
— величина постоянная.
Это отношение по аналогии со случаем равномерного
распределения массы (в механике) называют плотностью распределения
вероятностей равномерно распределенной случайной величины.
Если при этом границы отрезка включают все возможные
значения случайной величины X, то условие а<Х<р — событие
достоверное. Тогда
Р(а<Л<Р)=1,
и соответственно плотность вероятности
Если случайная величина не является
ной, то приведенное отношение выражает
пределения вероятностей в данном промежутке, и тогда
понятие плотности распределения вероятностей в точке.
Эта «плотность», как и в механике, определяется производной
от функции F (х) в точке х:
равномерно распределен-
среднюю плотность рас-
вводится
lim
Ьх-> о
F(x+bx) — F(x)
Ах
:F'(X) = V(X).
Функция ф (х)9 выражающая плотность распределения
вероятностей, называется дифференциальной функцией распределения
вероятностей и представляет дифференциальный закон распределения.
ЗУ2

Переходя к дифференциалу как к главной части приращения
функции, будем иметь
<p(x)dx = dF(х) & F(x+ Ax) — F(x).
Это значит, что произведение <p(x)dx приближенно определяет
вероятность того, что случайная величина X принимает некоторое
значение в промежутке (х,х + Ах).
Таким образом, установлено, что если функция P(x)t
выражающая интегральный закон распределения вероятностей, дает точное
/
Ji-oc
0
\
о
У ФУ
f /
7
1 х 0\
Рис.
150
_Z
оС
/|
fi
X
значение вероятности попадания случайной величины в промежуток,
то плотность вероятности ф(лг), выражающая дифференциальный
закон распределения, дает здесь приближенное значение.
В теоретических исследованиях и при решении практических
задач часто бывает удобней пользоваться дифференциальным законом
распределения.
В порядке иллюстрации изложенных сведений о распределении
непрерывной случайной величины можно, например, отметить, что
№-*(*)
оС fi
Рис. 151
\+Р(с«Х<р)
Рис. 152
при равномерном распределении случайной величины на отрезке [а, Р]
плотность ее вероятности ф(х) = 6 (рис. 150, а) изображается прямой,
параллельной оси Ох, а функция распределения F(x)(puz. 150,6) —
отрезком прямой, проходящей через точки (а; 0) и (fi; 1). Здесь
J Ф(лг)^л: = 6(Р— а) = 1.
а
Если непрерывная случайная величина задана плотностью ф(л;),
то график функции у = ф (х) называется кривой распределения
вероятностей этой случайной величины (рис. 151). При этом вероятность
393

P (a < X < p) определяется площадью криволинейной трапеции,
заключенной между кривой, осью абсцисс и прямыми х = а и л:=р.
Если непрерывная случайная величина задана функцией
распределения F (х), то ее график называется интегральной кривой
распределения (рис. 152). При этом вероятность Р (а < X < (})
определяется приращением ординаты этой кривой F((3) — ^(а).
В рамках настоящего курса не рассматриваются различные виды
распределения вероятностей, кроме нормального распределения,
основные сведения о котором будут даны ниже, в § 12.
§ 10. Математическое ожидание и его свойства
Характеристика случайной величины в виде таблицы или
функции распределения представляет полное задание случайной величины.
Однако для разрешения ряда вопросов в теории вероятностей и в
статистике с успехом применяется более простая характеристика
случайной величины — ее среднее значение X, или, что тоже,
математическое ожидание — М(Х) = а.
Пусть дана таблица распределения случайной величины с
конечным числом возможных значений:
*1
Pi
Хг
Р2
АГ3
Рз
Ч
Pk
Введем следующее определение: средним значением, или
математическим ожиданием, случайной величины называется сумма
произведений всех возможных значений случайной величины на соответствую-
щие вероятности:
k
Х = Л1(Х) = а = 2ад-,
1=1
или
* = XiPi + ЧРг + • • • + Xhpk.
k
Здесь важно отметить, что 2р/=1» а это показывает, что
i = l
исчерпываются все возможные значения случайной величины,
составляющие полную систему событий.
Пример 4. Проводится беспроигрышная лотерея на 200
выигрышей, из которых 1 выигрыш составляет 100 руб., 5 выигрышей по
20 руб., 10 выигрышей по 5 руб. и 184 выигрыша по 2 руб.
Определить справедливую цену одного билета, рассчитанную так, чтобы
сумма выплаченных выигрышей равнялась сумме, вырученной за
продажу билетов.
Решение. Для применения формулы среднего значения
случайной величины мы предварительно составляем в соответствии с
данными о количестве отдельных выигрышей таблицу распределения:
394

X(
Pi
2
184
200
5
10
200
20
5
200
100
1
200
Поэтому
Таким образом, справедливая цена одного лотерейного билета
должна составить 3 руб. 09 коп.
Пример 5. Найти среднее значение числа попаданий в мишень
при 6 выстрелах, если дана вероятность попадания при отдельном
2
выстреле р = у •
Решение. Распределение случайной величины (числа
попаданий X) в этом примере подчиняется биномиальному закону:
ч
Pi
0
^0,6
1
рм
2
^2,6
3
^8,6
4
*\б
5
рм
6
^6,6
После вычисления соответствующих членов биномизльного
распределения по формуле
имеем
V AA(V\ Л 1 . 1 12 . О 60 . Q 160 . А 240 I С 192 | С б4
3е
3е ' З6^ З6 ' 3е
12+120 + 480+960+960+384
729
3е
3е'
:4.
Переходя к основным свойствам математического ожидания
случайных величин, введем понятие об их независимости.
Определение. Случайные величины X и Y называются
независимыми, если законы распределения каждой из них не меняются,
когда становится известным, что другая приняла какое-либо одно
(безразлично какое) значение.
Примером двух независимых случайных величин могут служить
суммы выигрышей по каждому из двух билетов по двум различным
денежно-вещевым лотереям.
Здесь ставший известным размер выигрыша по билету одной
лотереи не влияет на ожидаемый размер выигрыша и
соответствующую ему вероятность по билету другой лотереи.
В виде другого примера независимых случайных величин можно
привести данные о числе километров суточного пробега для двух
машин из различных гаражей. ^
Свойство 1°. Математическое ожидание постоянной величины
равно этой же постоянной величине.
395

В самом деле, таблица распределения для постоянной величины С
имеет вид:
X
р
С
1
Поэтому М(С)=С-1=С.
Свойство 2°. Лштематическое ожидание суммы случайных
величин равно сумме их математических ожиданий.
Пусть две случайные величины X и У заданы соответствующими
таблицами распределения.
Докажем, что M(X + Y) = M(X) + M(Y).
Рассмотрим простейший случай, когда каждая из случайных
величин принимает лишь по два значения:
Xi
\ Pi
Ч
Р\
х2
Pi
У/
1 V/
У\
Я\
Уч
<?2
В этих условиях сумма х + у как случайная величина
характеризуется следующей таблицей:
Xi + yj
PiQj
*\ + У\
Р\Ях
*1+У-2
Р\Яг
Х2 "Г У\
Ръ9\
Х2 + У2
РгЙч
Здесь произведения вида ptqj обозначают вероятности
соответствующих значений суммы случайных величин Х + У, так как эти
вероятности определяются по теореме умножения вероятностей.
В самом деле, P(xi-\-yJ) обозначает вероятность того, что X=xt
и Y = y;; т. е. имеет место совместное наступление двух событий:
1) случайная величина X принимает значение xi и 2) случайная
величина У принимает значение ijj.
Поэтому
P(xi + yJ) = P(X = xf и Y = yj),
где P(X=xl) = pi и P(Y=yJ)=:q/. Отсюда
Р{Х1 + у£ = рд,:
Переходя к математическому ожиданию рассматриваемой суммы,
имеем
М (X + Y) = (хх + ух) pxqx + (х, + уг) pxq2 + (*а + у,) p2q, +
396

Раскрывая в правой части скобки и группируя слагаемые по
каждому значению случайной величины, получаем
М (X + Y) = хх (pxqx + pxq2) + *a [p%qx + p2q2) + у, {Plqx + ptqx) +
+ УЛРхЯ2+РгЯ*)-
Заметив далее, что суммы в каждой скобке определяют
соответственные вероятности значений xv x2i у, и уа*, имеем
M(X + Y) = xlpl + x%P%+ylql+ytqt = M(X) + M(Y).
Это свойство можно распространить на любое конечное число
слагаемых, т. е.
M(X + Y + Z+...+U + V) = M(X) + M(ir) +
+ М (Z)+ ... + М (U) + M{V)9
или
X+y+z+... + (/+y=x+7+z+...+I7+F.
Это свойство справедливо и для независимых, и для зависимых
случайных величин, хотя приведенное доказательство применимо
лишь для независимых случайных величин.
Пример 6. Проверить свойство 2° для двух независимых
случайных величин X и У, заданных следующими распределениями:
Х(
Pi
3
0,3
5
0,5
7
0,2
у/
Я/
2
0,6
6
0,4
Решение. Составляем распределение суммы (Х + К):
*t+y/
Pfl/
3+2
0,18
3+6
0,12
5 + 2
0,3
5 + 6
0.2
7 + 2
0,12
7 + 6
0,08
Отсюда
M(X + Y) =5-0,18 + 9.0,12 + 7.0,3 + 11:0,2 + 9-0,12+ 13-0,08=8,4.
Определим теперь математическое ожидание каждой из задайных
случайных величин:
М(Х)=3.0,3 + 5-0,5 + 7.0,2 = 0,9 + 2,5 +1,4 = 4,8;
М(У) = 2.0,6 + 6-0,4 = 1,2 + 2,4 = 3,6.
Таким образом, 4,8 + 3,6 = 8,4, чем подтверждается свойство
математического ожидания суммы случайных величин.
* Действительна рхЯх + рхЯг = Рх (qx + <72) = Ръ Р%Яг + Pa<7a = Р% (<7i + <7г) = Р2;
РхЯх + РъЯх^Ях (Рх + Рг)*=Ях> РхЯг*=Яг\рх + Рг) = Яг-
397

Пример 7. Найти математическое ожидание числа т появлений
события А в п повторных испытаниях, если вероятность появления
его в отдельном испытании равна р.
Решение. Здесь число т{ появлений события А в каждом
испытании представляет собой случайную величину со следующим
распределением:
щ
1 Pi
1
1
р
0
ч
Математическое ожидание этой случайной величины в каждом
испытании одинаково:
М(т()=1-р + 0-д = р.
Число т появлений события А в п испытаниях представляет
собой также случайную величину, являющуюся суммой случайных
величин mlt m2, .. ♦, тп:
т = т1 + т2+ ... + тп-
Применяя поэтому к числу т свойство 2° математического
ожидания суммы случайных величин, получаем
М (т) = М{т1) + М (т2)+ ... + М (тп).
Так как каждое из этих п слагаемых равно /?, то М(т) = пр
или т = пр.
Заметим, что результат этого примера позволяет сразу находить
среднее значение числа т для любого случая биномиального
распределения, не прибегая к сложному вычислению, проведенному
в примере 5.
В отношении математического ожидания суммы случайных
величин применение свойства не связано с вопросом о зависимости или
независимости случайных величин. Следующая теорема — о
математическом ожидании произведения случайных величин—применима
только к независимым случайным величинам.
Свойство 3°. Математическое ожидание произведения двух
независимых случайных величин равно произведению их
математических ожиданий.
Пусть X и Y—две независимые случайные величины, таблицы
распределения которых даются ниже:
х(
Pi
Xi
Pi
*ъ
...
P2
Ч
Pk
У J
Я J
У\
Я\
У2
Й2
...
• •
У1
Qi
398

Докажем, что M(XY) = M{X)-M (К).
Рассматривая XY как случайную величину, мы устанавливаем,
что она принимает все значения вида х(ур число которых
определяется произведением kl. Вероятность каждого значения
произведения x-jfj находится по теореме умножения вероятностей:
Р(Х = *, и Y=yJ)=P(X=xi).P(X=yJ) = piq/.
Поэтому
M(XY)=2 2xiyJpiq/=2lxiPr42yJq/ = M(X)-M(Y).
i = l /=l i-l /=1
§ 11. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
Среднее значение, или математическое ожидание, случайной
величины в ряде вопросов является достаточной характеристикой
изучаемой случайной величины. Но бывает так, что одно среднее
значение не дает практически исчерпывающей характеристики
случайной величины, а требуется еще знать, сколь велики отклонения
отдельных значений случайной величины от ее среднего значения.
Например, вычисляя какую-либо физическую постоянную
некоторого вещества (теплоемкость, теплопроводность,
электропроводимость и т. д.) опытным путем, мы фиксируем полученные
отдельные показания измерительных приборов путем ^-кратного
повторения испытания.
Аналогично мы встречаемся со случайной величиной, когда,
например, по данным статистического наблюдения изучается: средний
рост или вес человека в определенной группе, средняя выработка
X х ^
t t » j ■ j . -^ i iti * t »-щ i
0 X,XZX3WX^XS 0 XfXz W Xj X* *
Рис. 153 Рис. 154
ткани (в метрах) рабочим ткацкого цеха за нормальный рабочий
день, средняя заработная плата рабочего отдельного цеха завода,
среднесуточный пробег одной грузовой машины (по данным о
пробеге всех машин автобазы) и т. д.
Во всех таких случаях результат опыта или наблюдения может
считаться удачным, если X определяется при незначительных
отклонениях х(—X.
Поэтому возникает необходимость введения еще понятия_откло-
нения случайной величины от ее среднего значения X—X. Это
отклонение характеризует рассеяние случайной величины.
Пусть одно и то же среднее значение X в опытном вычислении
при 5 измерениях является для первой серии измерений
результатом одних отдельных значений (рис. 153), а для второй серии
измерений—результатом других отдельных значений (рис. 154).
399

Первая серия вычислений характеризуется малым рассеянием
случайной величины по сравнению с большим рассеянием ее при
второй серии вычислений.
I
II
*/
Pi
1
I
8
1
5
9
1
5
12
1
5
\4
1
5
Х{
Pi
4
1
5
5
i
5
12
2
5
17
1
5
Числовые данные распределения таковы:
I. Х = 7.{ + 84 + 94+124+144=10-
П. X = 4~g- + 5-g"+12, °
■+17. 4-= Ю
Таким данным распределения самой случайной величины и ее
среднему значению соответствуют следующие данные относительно
отклонений а',-—X:
I II
1*,-л
Pi
—3
1
5
—2
1
5
-1
1
5
2
1
5
4
1
5
L-x
pi
—6
i
5
—5 2
1
1
2
5
7
1
5
В этих таблицах роль случайной величины играет уже
отклонение значений x-t от среднего. При этом распределение отклонений
во второй серии характеризуется большими амплитудами.
Среднее значение (математическое ожидание) отклонения
случайной величины от ее среднего значения всегда равно нулю.
Действительно,
х-х = 2(^--х)л = 2^/--х2л = х-х-1=0-
Этот же результат, конечно, получается и непосредственно в
рассмотренных примерах:
1
I. X-10=-3.f-2^-bf + 2^ + 4~^0;
II. Х-10=-6.£_5.^ + 2-f+ 7.-^ = 0.
Так как среднее значение отклонения всегда равно нулю, то оно
не может дать характеристики рассеяния случайной величины. Этой
цели может служить среднее значение абсолютной величины от-
400

клонения \Х—Х\:
которое называется средним отклонением.
При стрельбе, например, именно эти величины служат
показателями близости точек попаданий к цели.
Для приведенных нами примеров средние отклонения
определяются по таблицам распределения:
I II
U-ioi
Pi
2
2
5
5
1
5
6
1
5
7
1
5
1 */-">!
Pi
l
1
5
2
2
5
3
1
5
4
1
5
Отсюда находим средние отклонения: ^
II. |Х^То| = 24+54 + 64 + 74 = 4Т==4'4'
Для характеристики рассеяния случайной величины бывает
выгодно пользоваться средним значением квадрата
отклонения, которое называется дисперсией случайной величины D (X):
D (X) = (Х=Х)* = 2 (*,—*)2 Pt-
Если применить принятое еще обозначение X = М(Х) =г а, то
запись дисперсии (математического ожидания квадрата отклонения
случайной величины от ее среднего значения) дает
0(Х) = М(Х-а)* = %(Х;- af.Pi.
i
Не выполняя суммирования, можно преобразовать выражение
дисперсии в общем виде.
Так как
(X—а)2 = Х2 — 2аХ + а\
то
D(X) = M(X*—2aX + a2).
Применяя свойство 2°, § 10, имеем
D (X) = М (Х*)—М (2аХ) + М (а2).
Но
М (2аХ) = ^ 2axiPt = 2а 2 xiPi * = 2аХ = 2а2,
a M(a2) = a* (свойство 1°, § 10).
* Здесь вынесен за скобки общий множитель 2а.
401

Поэтому
D(X) = M(X2) — а\ или 2(*i— а)2Р! = Х2-а2.
Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности
между средним значением (математическим ожиданием) квадрата
случайной величины и квадратом ее среднего значения.
Дисперсия D(X) = (X— X)2 дает представление о том, чему в
среднем равен квадрат отклонения X — X. Для оценки же самой
величины отклонения служит \ D(X)> т. е. среднее квадратическое
отклонение:
а=УО(Х)=у^(х,.-Х)*Р1
Эта величина, наряду со средним отклонением |Х— Х| может
служить вероятностной характеристикой отклонений случайной
величины от ее среднего значения.
Применение среднего квадратического отклонения для
характеристики степени рассеяния случайной величины более выгодно,
чем применение среднего отклонения:
а) обращение к среднему квадратическому отклонению
исключает вычисления с абсолютными величинами, что оказывается часто
сложным;
б) среднее отклонение, как ниже устанавливается, обычно
меньше, но никогда не превышает среднего квадратического отклонения,
а это значит, что среднее квадратическое отклонение заметнее
выражает имеющееся рассеяние случайной
величины, чем среднее отклонение;
в) если рассматривается сумма независимых случайных величин,
то для этой суммы действует правило сложения дисперсий (см.
ниже стр. 404), что соответственно упрощает отыскание среднего
квадратического отклонения.
Найдем для рассмотренных нами (стр. 400) примеров случайных
величин средние квадратические отклонения.
Из таблиц распределения квадратов отклонений
I
II
(*/-*)а
Pi
1
1
5
4
2
5
9
1
5"
16
1
5
(*!
-Xf
Pi
4
2
5
25
1
5
36
1
5
49
1
5
определим дисперсии:
I.D(X) = 1 .1 + 4-4 + 94+164==6'8;
II. D(X) =4 . 4 + 25 ' +36 4 + 49 • 1 23-6-
402

Такие же результаты должно дать использование формулы
D(X) = M(X*)—a\
Здесь имеем:
1 II
К/
Pi
16
1
5
25
1
5
144
2
5
289
1
5
*'
Pi
49
I
5
64
1
5
81
1
5
144
1
5
196
1
5
что дает для случайной величины I
М (Х2) = 49. з- + 64- у + 8Ь 1+144.-J-+ 196.^ = 534.-= 106,8.
Отсюда D(X)= 106,8—100 = 6,8.
Для случайной величины II получаем
М (Х2) = 16 • 1+25 • -J-+ И4.|- + 289.у = 123,6,
откуда D(X) = 23,6.
Таким образом, средние квадратические отклонения составляют:
для I величины a = ]/D(X) = 1^6,8^2,6; для II величины а =
= j/D(X) = J/ 23,6 « 4,8 в сравнении со средними отклонениями,
соответственно равными 2,4 и 4,4.
Мы видим, что обе характеристики отклонений от среднего
значения случайной величины [и среднее отклонение |Х—X |9 и
среднее квадратическое отклонение VD (X) ] показывают, что случайная
величина II рассеяна в большей степени, чем случайная величина I.
Вместе с тем полученные для обеих случайных величин
результаты говорят о том, что среднее отклонение оказалось меньше
среднего квадратического отклонения. Это связано с общим
правилом: среднее значение квадрата любой случайной величины всегда не
меньше, чем квадрат среднего значения этой случайной величины.
Дадим вывод этого правила в общем виде.
Составим равенство из двух выражений для D(X):
Х1-а* = %(хс—afPi.
Правая часть здесь неотрицательна, так как неотрицательно
каждое слагаемое вида (х{—a)2 pt. Поэтому и
X2 —а2>0, или Х^а2.
Если D(X) = (X—а)2 рассматривать как среднее значение
квадрата случайной величины (X—а), то (X—а)2^\Х—а\2. Это
значит, что дисперсия случайной величины не меньшег чем квадрат
403

среднего отклонения этой величины, а отсюда справедливо
неравенство
УЩХ)^\1(=а\.
Выведем правило сложения дисперсий.
Дисперсия суммы независимых величин X и Y равна сумме их
дисперсий. \
Пусть даны независимые случайные величины X и У, математи- |
ческие ожидания которых М(Х) = а и M(Y) = b. f
По определению дисперсии D(X) = M(X—а)2. Поэтому *
D(X + Y) = M[(X + Y)-(a + b)]*. '
Выполняя соответствующие преобразования, получим
D(X + Y) = M[(X-a) + (Y-b)¥= \
= M[(X-ay- + (Y-b)* + 2(X — a)(Y—b)]. Г
**■
Применяя свойство 2° о математическом ожидании суммы слу- \
чайных величин, получим
D(X + Y) = M(X-ay + M(Y—by + 2M[(X-a)(Y-b)], £
где V
M(X — a)* = D(X)
и
M(Y — b)* = D(Y).
Для третьего слагаемого имеет место свойство 3° о математиче- \
ском ожидании произведения: 1
М [{X—a)(Y—b)]=M(X—a).M(Y—b) = Г.
= [М(Х) — М(а)] [(M(Y)-M(b)] = (а—Ь){b—b) = 0. \
Отсюда У
D(X+Y)=D(X) + D(Y). $.
Введенное правило сохраняет свою силу для суммы любого ко- %
нечного числа попарно независимых случайных величин. j|
Если X, У, Z, ..., U, V — попарно независимые случайные ве- ?
личины, то дисперсия суммы этих величин равна сумме дисперсий ;
ее отдельных слагаемых:
D(X + Y+Z+...+U+V)= i
= D(X) + D(Y) + D(Z)+...+D(U) + D(V). ;
Пример 8. При ознакомлении с асимптотической формулой би- i
номиального распределения и при доказательстве интегральной тео- ^
ремы Лапласа мы оперировали с величиной
o = Vnpq. ;
Показать, что эта величина определяет среднее квадратическое *
отклонение числа (т) появлений события А в п независимых
испытаниях,
404

Решение. Найдем дисперсию случайной величины т в бинр-
миальном_ распределении при п испытаниях, пользуясь формулой
D(m) = m2—m2, которая для отдельного испытания дает:
1) из таблицы распределения для mt
щ
Pi
1
р
0
я
имеем
ш.= 1-/7 + 0.9 = /?;
2) из таблицы распределения для т\
—2
Pi
1
р
0
я
имеем
т|=1-р + 0.^==р.
Отсюда D(m^~p—p*=p(\—p) = pq.
Это—дисперсия числа т( в каждом отдельном испытании,
а поэтому для п испытаний используем, на основании правила
сложения дисперсий, операцию суммирования
п
D(m)= 2 D(m{)9
которая в силу полного совпадения всех слагаемых дает D (т) = прц%
Отсюда среднее квадратическое отклонение
о = УЩт) «= YTipq.
§ 12. Нормальный закон распределения
и понятие о теореме Ляпунова
О непрерывной случайной величине говорят, что она подчинена
нормальному закону распределения или называется нормально
распределенной, если плотность ее вероятности определяется
формулой
р(х)-=—i^e"""^-.
Здесь а и 0—параметры распределения. Можно показать, что
а = М(х)—среднее значение, а а—среднее квадратическое
отклонение этой случайной величины.
405

В частном случае при а = 0 эта плотность выражается функцией
Ро (х)
о V"2;
— £
2а2
График этой функции представляет кривую вероятностей
и характеризуется следующими особенностями:
1) кривая пересекается с осью Оу в точке 0; р0 (0)= у—
являющейся точкой максимума заданной функции, так как в
точке л:=0 обращается в нуль ее первая производная
Р'оМ
а3]/"2л
=гхе
2а2
2) с осью Ох кривая не пересекается, но с возрастанием \х\
асимптотически приближается к ней;
А
.
1 >L
вш 9ч
6Yzfte \
f
0\~б~
Рис,
15,
^*^*
X
Рис. 156
3) кривая симметрична относительно оси Оу> так как р0(х)-
четная функция;
4) по второй производной
p'{x)=*YWW-lr
2а2
определяются две точки перегиба кривой с координатами:
х = ± а и р0 (± а) =
а/"2л
0,6р0(0)*.
Здесь важно отметить, что именно параметр а определяет
абсциссы точек перегиба кривой вероятностей.
Построенная по этим результатам исследования кривая дается
на рис. 155.
С изменением значения а меняются ординаты вершины и точек
перегиба кривой, а это соответственно влияет на ее конфигурацию.
Наглядное отражение этих изменений дает рис. 156, на котором
* Подробное исследование рекомендуется провести самостоятельно, пользуясь
материалом § 46.
406

наряду с кривой при а = 1 помещены еще две кривые—при <т = у
и при а = 2. Кривая с параметром о= 1 принята здесь за основную,
а другие получены преобразованием основной методом сжатий и
растяжений, как это показано в п. 2 § 23 первой части. Большему
значению а соответствует большая вытянутость кривой вдоль оси
Ох и большее сжатие вдоль оси Оу, и наоборот. Это вполне
согласуется с тем, что при большем значении имеет место большее
рассеяние значений случайной величины относительно центра
рассеяния М (X).
При афО кривые нормального распределения, заданные
плотностью
(х-а)*
р(х)=—±=е~ 2°2 ,
характеризуются горизонтальным сдвигом на а ед. масштаба по
сравнению с только что рассмотренными кривыми при тех же
значениях параметра а. Сама же форма кривых при этом смещении
остается без изменения.
Наиболее общий случай нормального распределения имеет место
при систематических отклонениях в стрельбе, в измерениях и в
других наблюдениях.
Закон нормального распределения имеет в теории вероятностей
исключительно важное значение. В сферу его применения
включаются не только отдельные случайные величины, но и суммы любого
числа независимых случайных величин, распределенных по
нормальному закону (соответствующая теорема сложения для нормального
распределения доказывается в подробных курсах теории вероятностей).
Обработка результатов наблюдения в предположении, что они
распределены по нормальному закону, легко доводится до конца
с помощью простых правил операций с нормально распределенными
величинами.
Более того, оказывается, что закон распределения суммы
независимых величин при довольно широких предположениях о
законах распределения отдельных слагаемых стремится к нормальному
закону, если число слагаемых неограниченно возрастает.
Первое доказательство этого утверждения для независимых
повторных испытаний в биномиальном распределении составляет
содержание так называемой предельной теоремы Муавра.
В дальнейшем было выяснено, но долгое время оставалось
недоказанным, что этот результат имеет место и при гораздо более
общих условиях.
Разрешение этого вопроса дает центральная предельная теорема,
которая составила предмет научных изысканий ряда крупных
математиков, начиная с Лапласа, и строгое доказательство которой было
дано А. М. Ляпуновым в 1901 г.
Сущность этой теоремы заключается в том, что при некоторых
общих условиях сумма п независимых случайных величину заданных
произвольными распределениями, имеет распределение, которое по
мере возрастания числа п стремится к нормальному.
407

Некоторая конкретизация упомянутых здесь общих условий
позволяет так сформулировать теорему Ляпунова.
Если имеется п независимых случайных величин
Aj, Л2, * ' • , Х{) • • • | Хп
с математическими ожиданиями
а1У а„ ••., а„ ..., ап
и с дисперсиями
D(Xl), D(x2)r ..., D(x{)9 ..., D(xn),
причем отклонения всех случайных величин от их математических
ожиданий не превышают по абсолютной величине одного и того же
числа 6 > 0:
а все дисперсии ограничены одним и тем же числом С:
£>(*,•)< С,
то при достаточно большом п сумма случайных величин xh т. е.
п
2*;» будет подчинена закону распределения, сколь угодно близкому
t=i
к закону нормального распределения.
Упражнения
1. По таблице распределения случайной величины
Xi
Pi
0
0,1
1
0,3
2
0,3
3
0,2
4
0,1
определить ее среднее значение, среднее отклонение и среднее квадратическое
отклонение.
Отв. Х = 1,9, \Х—Х |=0,92, о ^ 1,136.
2. Вероятность попадания из орудия в данную цель при одном выстреле
2
р=-—. Составить таблицу распределения числа попаданий при 7 выстрелах;
о
определить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Отв. 7п = 4,6667, а2 = 1,5556.
3. По данной таблице распределения случайной величины определить ее
математическое ожидание, среднее отклонение и среднее квадратическое отклонение.
Xi
Pi
4
0,3
6
0,15
8
0,18
10
0,17
12
0,2
Отв. М (X) = 7,64, |Х —X |= 2,676, а ^ 3,025.
403

4. Определить математическое ожидание, среднее отклонение и среднее квадра-
тическое отклонение случайной величины, заданной следующей таблицей
распределения:
ч
Pi
3
0,2
5
0,16
8
0,24
12
0,2
17
0,14
23
0,06
Отв. М(Х) = а = 9,48, \Х — а\ ** 4,7312, а^5,65.
5. На 20 приборов имеется в среднем 6 неточных. Составить таблицу
распределения числа точных приборов среди наудачу отобранных 5 приборов.
Определить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Отв. "т = 3,5, D(m)=l,05.
в. Составить таблицу распределения числа появлений события А при 12
независимых повторных испытаниях, если Р(Л)=р = 0,75. Определить среднее
значение и дисперсию этой случайной величины.
Отв. m = 9, D(m) = 2,25.
7. По данной таблице распределения случайной величины вычислить ее среднее
значение и среднее квадрэтическое отклонение.
*i
Pi
3
0,4
6
0,15
9
0,13
12
0,25
15
0,07
Отв. Х = 7,32, а ^4,207.
8. При обследовании группы спортсменов в составе 25 человек в отношении
размеров окружности груди установлено было, что у троих этот размер оказался
равным 88 см, у четверых —92 см, у пятерых—96 см, у шестерых —98 см и
у семерых — 100 см. Определить среднее значение размера окружности груди
у членов этой группы и среднее квадратическое отклонение.
Отв. Х = 96 см, а = 3,96 см,
9. По трем опытным участкам получены следующие данные об урожайности
с 1 га:
\ц с га
Размер уч. в га
I
18
10
II
20
20
III
22
20
Определить среднее значение случайной величины урожайности с 1 го по всем
трем участкам и ее среднее квадратическое отклонение.
Отв. Х = 20,4 цг а^ ifi ц.
409

10. Две независимые случайные величины X и Y заданы следующими табли- 1
цами распределения: М
У/
VJ
5,2
0,6
7,6
0,4
*i
Pi
2,5
0,3
6
0,5
8,3
0,2
Составить таблицы распределения случайных величин X + F и XY и прове- |
рить справедливость свойств о математическом ожидании суммы и произведения 1
случайных величин.
Г л а в а IV *
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ t
f
При ознакомлении с результатами проведения серии одинако- v
вых испытаний мы отмечали (см. выше, гл. I, § 2), что число
появлений случайного события при небольшом количестве испытаний
не подчиняется той закономерности, которая соответствует объек- >
тивной возможности (т. е. вероятности его появления в отдельном
испытании). Однако с ростом числа испытаний такая закономерность
начинает проявляться и чем дальше, тем ярче.
Аналогичный результат имеет место и в применении к случайной
величине.
Здесь отдельные значения случайной величины могут значительно
отклоняться от ее среднего значения, но средняя арифметическая
большого числа отдельных значений случайной величины уже
незначительно отклоняется от ее среднего значения.
Эти факты, проверявшиеся на многократных сериях различных
наблюдений, неизменно показывали, что отклонения от
закономерностей при отдельных наблюдениях взаимно погашаются по мере Л
возрастания числа наблюдений.
Однако соответствующие результаты, если не вскрыть их при- 1
роды, дают только внешнее содержание закона больших чисел в ~
виде выражения устойчивого характера частости или значения сред- J
ней как закономерности, связанной с большим числом наблюдений. ?
Первые теоремы, посвященные таким результатам, были харак- i
терны именно этой своей ограниченностью; построенные на частных -
вопросах, они не касались тех общих условий, без соблюдения ко- ;•*
торых рассматриваемая закономерность не имеет места. К тому же '•*
небезупречным, уже с позиций позднейших требований строгости, |
было обоснование построенных выводов. |
Вот почему относящиеся к этому вопросу теоремы Бернулли и )
Пуассона привлекли к себе внимание еще молодого Чебышева, кото- *
рый кардинально обосновал условия их применимости и дал без- * '
упречный метод их доказательства. ^
В результате работ Чебышева, Маркова и Ляпунова,
продолженных и развитых Бернштейном, Хинчиным, Колмогоровым, Гне-
денко и другими советскими математиками, теоремы, относящиеся
410

к закону больших чисел, приобрели глубокое научное содержание
и находят свое плодотворное практическое применение в самых
разнообразных отраслях народного хозяйства.
Реальный жизненный смысл закона больших чисел ярко отражен
в трудах классиков марксизма.
«Так как эти последние (имеются в виду товаропроизводители)
противостоят друг другу лишь как товаровладельцы, причем
каждый старается продать свой товар возможно дороже (и в
регулировании самого производства действуют, как кажется, исключительно
по своему произволу), то внутренний закон пробивает себе дорогу
лишь через посредство их конкуренции, их взаимного давления друг
на друга, благодаря которому взаимно уничтожаются все отклонения.
Лишь как внутренний закон, противостоящий отдельным агентам,
как слепой закон природы выступает здесь закон стоимости и
прокладывает путь общественному равновесию производства среди его
случайных колебаний» (К. Маркс. Капитал. Т. III. M., Политиздат,
1966, стр. 958—959).
«Из шести мелких хозяйчиков одни извлекут прибавочной
стоимости больше, другие меньше, чем это соответствует общей норме
йрибавочной стоимости. Отклонения уравновесятся для всего
общества, но не для отдельного хозяина» (К. Маркс. Капитал. Т. I.
М., Политиздат, 1966, стр. 335).
«...общеизвестный и бесспорный факт отступления цен от
стоимостей и равенства прибыли вполне объяснен Марксом на основе
закона стоимости, ибо сумма стоимостей всех товаров совпадает с
суммой цен. Но сведение стоимости (общественной) к ценам
(индивидуальным) происходит не простым, не непосредственным, а очень сложным
путем: вполне естественно, что в обществе разрозненных
товаропроизводителей, связанных лишь рынком, закономерность не может
проявляться иначе как в средней, общественной массовой
закономерности, при взаимопогашении индивидуальных уклонений в ту
или другую сторону» (В. И. Ленин. Соч., т. XXVI, стр. 68).
§ 13. Неравенства Маркова и Чебышева
Чтобы иметь представление о случайной величине, важно знать
характеристику ее отклонений от среднего значения. В связи с этим
введены понятия среднего отклонения и среднего квадратического
отклонения и установлены способы их вычисления. Однако это не
дает возможности устанавливать количественные оценки вероятности
тех или иных значений этих отклонений.
Между тем эти оценки имеют большое значение во многих вопросах
теории вероятностей и ее применения в статистике.
Критерии таких оценок были впервые разработаны знаменитыми
русскими учеными А. А. Марковым и П. Л. Чебышевым.
1. Неравенство Маркова. Если случайная величина X не принимает
отрицательных значений и б —произвольная положительная величина,
то Р(Х<8)<1 —£-, еде а = М(х).
411

Это неравенство оценивает вероятность того, что значения
случайной величины X не превосходят заданной величины б > 0.
Пусть дискретная случайная величина X задана таблицей
распределения*
*|
Pi
ч
Pi
х2
Рч
Ч
Pk
Ч + \
Pk + l
...
...
*н
Рп
и пусть каждое из значении х19 х2, ... , хк не превосходит
величины б, а каждое из значений хк+19 хк+29 ... , хп превосходит
величину б. Так как все значения случайной величины X
положительны, то
п
М (х) = а= 2*,7>,- > xk+,pk+1 +xk+2pk+2+ ... +хпрп.
1 = 1
Это неравенство усилится, если каждое из значений хк+19
хл+2» ••• » хп заменить величиной б. Это дает:
Отсюда
Pk+l + Pk + 2+ "• +Рп <7Г'
Заметим, что сумма, записанная в левой части этого
неравенства, в соответствии с теоремой сложения вероятностей, определяет
вероятность того, что случайная величина X > б.
Поэтому
Р(Х>6)<|,
а так как 2Р/= *> т0
t= 1
Р(Х<8) = 1— Р(Х>6).
+ />«).
или
Отсюда
Р(Х<6)>1—2-,
что и требовалось доказать. -;
Доказанное неравенство исходит из того, что величина б не
меньше значений х19 х29 ... , xk и меньше значений яЛ+1, xft+2, ... , хп. ',,
Пусть теперь б не меньше всех значений X. Тогда неравенство i
* Нумерация значений xt случайной величины обычно дается в порядке их
возрастания.
412

Xs^6—событие достоверное, и, следовательно, Р(Х^б)=1, т. е.
Р(Х<6)>1-
6 •
Таким образом, неравенство доказано для дискретной случайной
величины при любом б > 0.
Пример 1. Среднее число молодых специалистов, ежегодно
направляемых в аспирантуру при экономических вузах, составляет
200 человек. Пользуясь неравенством Маркова, оценить вероятность
того, что в данном году будет направлено в эти вузы не более
220 молодых специалистов.
Решение. Так как здесь а = 200 и б = 220, то применяя
полученное неравенство, имеем
P(X<220)>l-gj,
или
Р(Х < 220) > 1—0,091.
Таким образом, Р^ 0,909.
Неравенство Маркова справедливо и для непрерывных случайных
величин, но для них доказательство более сложно и мы его не
приводим.
2. Неравенство Чебышева. Если X— случайная величина,
математическое ожидание которой М(Х)=а, а б—произвольное
положительное число, то
Р(\Х-а\>Ь)<^М и Р(|Х-а|<6)>1-^.
Пусть дискретная случайная величина X задана распределением
х*
Pi
*1
Pi
ч
Рг
...
...
*я
Рп
и для этой случайной величины М (X) = а и D (X) = 2 (xt—а)2 /?,-.
Пусть при этом для некоторых частных значений X имеет место
неравенство | X — а | <; б, а для других значений — неравенство
|Х—а|>б.
В виде случайной величины мы будем рассматривать |Х—а\.
Тогда условие | X—а\ > б равносильно условию (X—а)2 > б2.
Применяя к этому условию соответствующее неравенство Маркова,
будем иметь
Р{(Х-а)2>б*}<:
М (Х—а)2
д2
Но М(Х—a)2 = D(X), a поэтому
D
Р{(Х-а)2>б*}<^
413

Заметив, что
P{(X-ay>V\ = P(\X-a\>6),
приходим к требуемому результату
Р(\Х-а\>Ь)<°£>. (1) |
Исходя из того, что условия \Х—а| > б и | X—а|<6 являются >*
по своему смыслу противоположными [те частные значения случай- |
ной величины, которые не удовлетворяют условию |Х—а|>б, ?
обязательно удовлетворяют условию \Х— а|^6], можно записать
Р(|Х—а|<б) + Р(|Х—а|>6) = 1.
Следовательно, если доказано неравенство (1), то справедливо и /
неравенство Г
Р(|Х-а|<6)>1-£И!. (2) :
Пример 2i Среднее значение длины детали равно 50 см, а
дисперсия равна 0,1. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить
вероятность того, что изготовленная деталь окажется по своей длине не
меньше 49,5 см и не больше 50,5 еж.
Решение. Так как здесь а = 50, то условие 49,5 < X ^ 50,5,
в котором случайная величина X обозначает возможную длину
детали, приводится почленным вычитанием числа а = 50 к виду
|Х—а|<0,5.
Таким образом, 6 = 0,5, а так как по условию D(X) = 0,1, то
применяя неравенство Чебышева, получаем
Р (| X — а |< 0,5) > 1 _^- = 0,6.
Пример 3. Пусть всхожесть семян некоторой культуры равна 0,75.
Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что v
из посеянных 1000 семян число взошедших окажется от 700 до 800 /
включительно.
Решение. Здесь М (Х) = а= 1000-0,75 и граничные значения
случайной величины X симметричны относительно М (X) = 750. По- -
этому от исходных неравенств i
700<Х<800 J
можно почленным вычитанием величины а = 750 перейти к нера- §
венствам |
—50 <Х—а<50, *
или |
\Х—а |< 50,
что дает левую часть неравенства Чебышева с 8 = 50.
Значение D (X) легко находится по формуле D (X)^npq, что дает 5
1000-0,75.0,25 = -^-.
414 i

Учитывая, что ба=2500, получаем правую часть неравенства Че-
бышева:
1 *>(*)_ 1 750 л Q07.
1 б2 ~1 f2500_1 U,U/De
Отсюда получается результат в виде
Р(\Х—7601< 6) > 0,0925.
Оба вида неравенства Чебышева справедливы и для суммы
попарно независимых * случайных величин.
В частности, если X, F, Z, ... , U, V—попарно независимые
случайные величины, математические ожидания которых
соответственно равны ак Ь, с, ... , fe, / и дисперсии—D(X), D(Y)f
D(Z), ...» D(U)9 D(V)f то рассматривая сумму X + Y + Z+... +
+ U + V как случайную величину и применяя свойства о
математическом ожидании и дисперсии суммы случайных величин, будем
иметь:
M{X + Y + Z+...+U + V)=a + b + c-{-...+k + l
и
D(X + Y + Z+...+U + V) = D(X) + D(Y)^
+ D(Z)+...+D(U) + D(V).
Поэтому последнее неравенство
Р(|Я-а)<8)>1-2£2
в применении к случайной величине
X + Y + Z+...+U + V
дает
P{\(X + Y+...+V)-(a + b+...+l)\^5}^l-
Ш(Х) + Р(Г)+...+Р(У)
$2
§ 14. Теорема Чебышева
Закон больших чисел занимал большое место в работах П. Л.
Чебышева. Первое доказательство этого закона было дано им в его
магистерской диссертации «Опыт элементарного анализа теории
вероятностей» (1845 г.). Однако это доказательство касалось частных
случаев. Но уже в 1846 г. П. Л. Чебышев нашел более общее
элементарное доказательство (на основе рассмотрения экстремальной
задачи).
Окончательное разрешение этого вопроса с доказательством
закона больших чисел в общем виде было достигнуто П. Л. Чебыше-
вым в 1866 г. в мемуаре «О средних величинах *, где на основе
* Случайные величины xlt хг> xz% ... , хп называются попарно независимым^
если для любых i и / (от 1 до п) случайные величины */ и Xj независимы.
415

точного установления свойств математических ожиданий П. Л. Че-
бышев приходит к строгому доказательству закона больших чисел.
Теорема Чебышева. Если дисперсии попарно независимых
случайных величин не превосходят данного положительного числа С, то
вероятность того, что абсолютное отклонение средней
арифметической таких величин от средней арифметической их математических
ожиданий меньше какого-нибудь данного числа, с возрастанием
количества случайных величин становится сколь угодно близкой к
единице.
Для доказательства теоремы преобразуем левую часть неравенства
Чебышева, приняв б=пе, где п—количество независимых величин
X, F, Z, ... , а е — произвольное положительное число. Это
позволит заменить условие
\X + Y+...+V — (a + b+...+l)\^8
равносильным ему
\X + Y+...+V a+b+...+l
<б,
а поэтому неравенство Чебышева примет вид
р l\X + Y+...+V _ а + Ь+...+1\ <е\>1_ D(X) + D(Y)+...+D(V)
Так как по условию теоремы D (X) < С, D(Y)^C9 ... , D (V) < С,
D(X) + D(Y)+...+D(V)^nC.
Соответствующая замена правой части усиливает неравенство и дает
l\X+Y+...+V_a + b+...+n l t_,
\\ п п |^ \ ^ t
то
П£*
Этим доказана теорема Чебышева, так как с возрастанием числа п
разность 1 2 становится сколь угодно близкой к единице, т. е.
Х + К+... + К а + Ь+...+1
lim P
<е
} = '•
п п
Следствие. Полученный в доказанной теореме результат не
нарушится, если вместо случайных величин Xt Y, ... , U> V перейти
к случайным величинам х19 х2, ... , хп, имеющим равные
математические ожидания а и одинаково ограниченные дисперсии. Такие
случайные величины могут, например, выражать независимые результаты
по сериям измерений одной и той же величины.
Соответствующая запись
\\ п I / пг
непосредственна следует из теоремы Чебышева.
Возвращаясь з правой части этого неравенства от С к D(X),
будем иметь
р Я*1 + *2+ •••+*/!
obi-DJX)
п&
416
1

Пользуясь этим следствием из теоремы Чебышева, можно
доказать теорему Бернулли.
Пусть случайная величина X представляет число появлений
события А в каждом из независимых испытаний, т. е. принимает
значения 1 или 0. Тогда сумма х1+х2 + ... +хп выразится числом т
появлений события А при п испытаниях, средняя арифметическая
такой случайной величины—частостью —, ее математическое
ожидание— вероятностью р появления события А в отдельном испытании
и дисперсия—произведением pq (см. выше, § 11, пример 8). Поэтому
математическая запись следствия из теоремы Чебышева в
применении к случайной величине числа появлений события А в п
независимых повторных испытаниях принимает следующий вид:
pJ|2L_^|<el>l_^
при достаточно большом числе п.
Переходя к пределу при я —>оо, получаем
ji.p{ii_„i<.}_i.
Этим доказана как частный случай теоремы Чебышева теорема
Бернулли: с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно
утверждать, что при неограниченном возрастании числа п
независимых испытаний частость появления наблюдаемого события как
угодно мало отличается от его вероятности в отдельном испытании.
Переход к использованию частичного * содержания закона
больших чисел для решения соответствующих задач требует некоторого
предварительного общего разъяснения.
Практика требует, чтобы по интересующим нас событиям мы
располагали надежными данными о достоверности или
невозможности их наступления. Опыт показывает, что при вероятности,
близкой к единице, данное событие почти обязательно наступает, а при
очень малой вероятности оно практически не имеет места, и всякие
расчеты, построенные на возможном его появлении, лишены
реального смысла. Но эти соображения не могут найти своего
практического приложения, пока они не обоснованы необходимыми
цифровыми расчетами. Только тогда высказанный здесь принцип
практической уверенности будет полезен в применении
к решению практических задач, когда он подкреплен данными
надежной оценки. На этом фоне выявляется особая практическая
важность закона больших чисел, раскрывающего те условия, при
которых вероятность появления события становятся сколь угодно
близкой к единице (или к нулю).
Доказанные теоремы и связанные с ними неравенства дают
ответы на ряд интересных в этом смысле вопросов: начиная с какого
числа испытаний заданная вероятность отклонения будет находиться
* Рамки настоящего курса не позволяют дать полное содержание этого закона,
но и изложенные предложения могут быть использованы для их практического
приложения.
14 Jfe 2418
417

в требуемых границах; какова граница возможного отклонения при
заданных значениях п и Р; при каком соотношении между объемами
выборки и всей совокупности будет обеспечена заданная вероятность
допустимого отклонения выборочной средней от общей средней и т. д.
Эти соображения должны дать учащемуся направление в
практически полезном применении предлагаемых здесь примеров и
упражнений.
Пример 4. При каком числе независимых испытаний вероятность
выполнения неравенства
< 0,2 превысит 0,96, если веро-
т
п
ятность появления события в отдельном испытании /7 = 0,7?
Решение, Условие Р>0,96 равносильно неравенству
Р1 < 0,04.
pq
Отсюда
П> г' 0,04 '
Подстановка значений /7 = 0,7, q = 0,3 и 8 = 0,2 дает
П > 0,04-0,04 0,0016 > '
Таким образом, требуемое задачей неравенство выполняется при
числе независимых испытаний, начиная со 132.
Пример 5. При штамповке пластинок из пластмассы по данным
ОТК брак составляет 3%. Найти вероятность того, что при
просмотре партии в 1 000 пластинок выявится отклонение от
установленного процента брака меньше чем на 1%,
Решение. Здесь следует определить
т
п
<в
при /7 = 0,03, 8 = 0,01 и я = 1000.
По теореме Бернулли искомая вероятность
Р>\
где
vq
рд _ 0,03-0,97 0,0291 n 9Q-
е2/2 (0,01)2 1 000 0,1 -"и'^У1*
Таким образом, искомая вероятность Р ^ 0,709.
Пример 6. Для определения средней урожайности колхозного
поля площадью в 1800 га взято на выборку по 1 м2 с каждого
гектара. Известно, что по каждому гектару поля дисперсия не
превышает 6. Оценить вероятность того, что отклонение средней
выборочной урожайности отличается от средней урожайности по всему
полк> не более чем на 0,25 ц.
Решение. В правой части неравенства, определяющего
искомую вероятность, условием определены значения; е = 0,25, С = 6
и п =1800.
418

Отсюда
'" , . Р>1~^ = 1- 1800-0,0625 =1-0,053 = 0,947. .
» Таким образом, Р > 0,947.
Пример 7. Партия деталей для оборудования завода
распределена по ящикам, имеющим одинаковый вес (нетто). Из каждого
ящика на выборку берется по одной детали и определяется ее вес.
Известно, что дисперсия по каждому из ящиков не превышает 4.
Установить (применяя теорему Чебышева), при каком числе ящиков
отклонение среднего выборочного веса детали от общего среднего
веса ее менее чем на 0,2 кг определится вероятностью,
превышающей 0,95.
Решение. По условию имеем:
Р> 1—^=0,95,
причем здесь С = 4, е = 0,2.
Поэтому число ящиков определится из уравнения
^ОЖп-0'95'
которое дает 100: я = 0,05. Таким образом, п = 2000.
Упражнения
Применяя теорему Бернулли, решить задачи 1—4.
1. Вероятность положительного исхода отдельного испытания р = 0,8.
Оценить вероятность того, что при 1 000 независимых повторных испытаний
отклонение частости положительных исходов от вероятности при отдельном испытании
по своей абсолютной величине будет меньше 0,05.
Отв. Р i I HL— р I < 0,051 > 0,936.
2. Начиная с какого числа п независимых испытаний имеет место
вероятность Р < р\ < 0,1 > > 0,97, если в отдельном испытании р = 0,8?
Отв. п ^534.
3. Сколько следует провести независимых испытаний, чтобы вероятность
выполнения неравенства I р\ < 0,06 превысила 0,78, если вероятность появления
данного события в отдельном испытании р = 0,7?
Отв. п > 265.
4. Вероятность наличия зазубрин на металлических брусках, заготовленных
для обточки, равна 0,2. Оценить вероятность того, что в партии из 1000 брусков
отклонение числа пригодных брусков от 800 не превышает 5%.
Отв. Р |1-~~0,8|<0,05| > 0,936.
Применяя теорему Чебышева, решить задачи 5—7.
5. Для каждой из 1500 независимых случайных величин дисперсия не
превышает 3. Оценить вероятность того, что отклонение средней арифметической
этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий
не превысит (по своей абсолютной величине) числа 0,4.
Отв. Р > 0,9875.
6. Известно, что дисперсия каждой из данных независимых случайных
величин не превышает 4. Найти то число этих величин, при котором вероятность
14* 449

отклонения их средней арифметической от средней арифметической их
математических ожиданий не более чем на 0,25 превысит 0,99.
Отв. п > 6 400.
7. Для определения средней урожайности на \ частке площадью в 1800 га
взято на выборку по 1 м2 с каждого га. Известно, что дисперсия по всему участку
не превышает 4,5. Оценить вероятность того, что средняя выборочная
урожайность будет отличаться от средней урожайности по всему участку не более чем
на 0,25 ц. "
Отв. Р > 0,96.
8. По данным ОТК брак при выпуске деталей составляет 2,5%. Пользуясь
теоремой Бернулли, оценить вероятность того, что при просмотре партии из
8000 деталей будет установлено отклонение от средней доли брака менее 0,005.
Отв. Р > 0,878(25.
9. Принимая вероятность вызревания кукурузного стебля с 3 початками
3
Р=-г, оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что среди
3000 стеблей опытного участка число таких стеблей окажется от 2190 до 2310
включительно.
Отв. Р > 0,84375.
10. Вероятность появления события в отдельном испытании р = 0,6.
Применяя теорему Бернулли, определить то число независимых испытаний, начиная с
которого Р I — — р\ < 0,1 I > 0,97.
Отв. 801.
11. Число телевизоров повышенного качества составляет в среднем 40%
общего их выпуска. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того,
что в партии из 500 телевизоров доля повышенных по качеству отклоняется от
средней не более, чем на 0,06.
Отв. Р^ 0,8667.
Глава V
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
§ 15. Генеральная совокупность и выборка
В процессе статистического наблюдения обследованию могут
подвергаться все элементы данной совокупности или некоторая часть
их. В соответствии с этим наблюдения бывают сплошными или
несплошными. Наиболее совершенный и научно обоснованный способ
несплошного наблюдения—это выборочное наблюдение.
Оно рассчитано на то, чтобы на основе обследования некоторой
части совокупности судить о всей данной совокупности.
Например, если требуется обследовать большой коллектив
рабочих одной и той же профессии в отношении распределения
бюджета, то из-за значительной трудоемкости всей работы практикуется
выборочное обследование небольшой части этого коллектива.
Весь коллектив при этом называется генеральной совокупностью,
а выделенная для обследования часть коллектива называется
выборочной совокупностью.
Наиболее простой способ образования «случайной» выборки
состоит в следующем.
Предварительно все члены генеральной совокупности нумеруются,
и каждый номер записывается па отдельной карточке.
Получившаяся пачка содержит столько же карточек, сколько членов имеет вся
генеральная совокупное 1ь. Затем после тщательного перемешивания
420

из пачки наугад берутся отдельные карточки и номера каждой из
них фиксируются. Перечень номеров этих карточек указывает,
какие ,члены генеральной совокупности случайно попали в состав
выборочной совокупности. При этом существуют два принципиально
различных вида случайной выборки.
1. Если каждая карточка, вынутая наугад из всей пачки, после
фиксирования ее номера возвращается обратно в общую пачку, то
зафиксированные номера карточек определят состав собственно
случайной повторной выборки.
2. Если каждая наугад вынутая карточка не возвращается в
общую пачку, то зафиксированные номера карточек определят
состав собственно случайной бесповторной выборки.
Заметим, что случайная бесповторная выборка имеет место и
тогда, когда из тщательного перемешанной пачки сразу берется
нужное количество карточек.
Отношение объема выборочной совокупности п к объему
генеральной совокупности' N, т. е. ^, называется относительным
показателем выборки. Если в нашем примере N = 20 000 и л = 1000,
то з данном случае относительный показатель выборки равен ^.
Любое выборочное наблюдение независимо от относительного
показателя выборки, как правило, не дает точной характеристики
всей генеральной совокупности. Поэтому каждый результат,
вычисленный по данным выборки, имеет некоторую погрешность. Эта
погрешность называется ошибкой репрезентативности (или
представительности). Ошибка репрезентативности показывает величину
расхождения между показателями по данным выборочного обследования и
соответствующими показателями всей статистической (генеральной)
совокупности.
Особенностью выборочного наблюдения является то, что отбор
единиц (объектов наблюдения) выполняется в случайном порядке.
Поэтому к выборочному наблюдению применимы положения и
теоремы теории вероятностей, дающие возможность определять границы
возможных ошибок. Случайный характер отбора объектов
обследования в выборке приводит к случайному же характеру ошибок
репрезентативности. Поэтому здесь можно на основе закона больших
чисел, увеличивая объем выборки, регулировать пределы возможной
ошибки репрезентативности и, наоборот, по заданному пределу
допустимой ошибки определить необходимую численность выборки.
Ошибка репрезентативности имеет важное значение в
применении результатов выборочного обследования. При вычислении
средней она определяется как разность между выборочной средней и
генеральной средней.
Заметим, что генеральной средней называется среднее значение
изучаемого признака в генеральной совокупности
421

Это — средняя взвешенная при наличии в совокупности
повторяющихся значений признака.
При отсутствии повторений применяется формула средней
арифметической
Аналогично выборочной средней называется среднее значение того
же признака в выборочной совокупности.
Здесь соответственно применяются формулы
или
~~ п
(п — объем выборочной совокупности).
Обозначая ошибку репрезентативности символом Д, будем иметь
Д =л' — Х.
Приведем конкретный пример.
Пусть в коллективе из 20 000 рабочих средняя месячная
заработная плата рабочего (генеральная средняя) составляет 95,9 руб.
При выборочном обследовании 1000 рабочих средняя заработная
плата рабочего (выборочная средняя) оказалась равной 96 руб.
Отсюда ошибка репрезентативности при выборочном обследовании
определяется так: Д=х— Х=96— 95,9 = 0,1 руб.
Аналогично проводится вычисление ошибки репрезентативности
при определении доли изучаемого признака в некоторой генеральной
совокупности. Если /V— численность генеральной совокупности,
а М— количество единиц, обладающих данным признаком в ее
составе, то доля (р) единиц, обладающих этим признаком в
генеральной совокупности
Р- N '
называется генеральной долей.
Если для выборочной совокупности п обозначает численность
выборки, т — количество единиц, обладающих изучаемым признаком
в составе выборочной совокупности, то w — долю соответствующих
единиц в составе выборки.
Это — выборочная доля w — — .
Разность Д=о> —p определяет ошибку репрезентативности.
Пусть в рассматриваемом коллективе из N = 20 000 рабочих
имеется 1250 учеников, т. е. М-= 1250. Этим определяется
генеральная доля учеников в объеме генеральной совокупности
1250 0,0625.
20 000
422

В, выборочной, совокупности из я = 1000 человек ©казалось т =
= 64 ученика. Этим определяется выборочная доля ш==-^щ=0,064*
f Ошибка1 репрезентативности, таким образом, составляет
& = w—p = 0,064—0,0625 = 0,0015,
или
——/7 = 0,0015.
Нахождение параметров распределения по выборочным данным
(случай нормального распределения). Если ставится вопрос об
установлении закона распределения случайной величины X по ее частным
значениям х1У х2, ..., хп, полученным в результате выборки, то
возникает необходимость отыскания значений тех параметров,
которые характеризуют этот закон распределения. Наиболее распрр-
страненным является нормальное распределение, которое задается
плотностью вероятности
или функцией распределения
где параметр а—математическое ожидание случайной величины X,
a q\—ее дисперсия.
Значения случайной величины X х19 х2, ..., хп, являющиеся
независимыми результатами опыта (в порядке выборки), можно
рассматривать как значения п независимых случайных величин, имеющих
равные математические ожидания а. Для таких случайных величин
справедливо следствие из теоремы Чебышева в виде
L + Х2 + • • • + *П
{I*
<lSi-^
/18й
(при достаточно большом п).
Поэтому имеет место равенство х{ = а, а это означает, что
математическое ожидание случайной величины X, т. е. генеральная
средняя, приближенно выражается средней арифметической (или
средней взвешенной при наличии повторяющихся значений х) ее
значений, полученных в порядке выборки, т. е.
Xt&M(X) = a.
Переходя к определению о}, т. е. дисперсии случайной величины X
по выборочным данным, следует отметить, что переход в формуле
о% = *4±-—*- к значениям по данным выборки приводит к
результату (вывод его мы опускаем)
„t_21(*/—*)'
423

Это — формула так называемой выборочной дисперсии. При
большой численности п выборки дроби — и -—т мало отличаются между
собой, и поэтому значения а2 и s% почти совпадают. При
небольшой же численности п эти значения дают заметное расхождение.
В соответствии с указанным результатом для s2. и среднее квад-
ратическое отклонение по выборочным данным принимается в виде
s«-J/ - п-\ "
Пример 1. Наблюдение в контрольной лаборатории за сроком
годности 50 электроламп одинаковой мощности, взятых наудачу из
большой партии выпущенных заводом ламп этой же мощности,
привело к следующим данным о нарушении установленного
гарантийного срока горения:
Отклонение
в ч
Частоты
— 30
5
—20
6
— 10
8
0
10
10
9
20
8
30
4
Требуется по этим выборочным данным найти параметры
нормального распределения, которое отражает отклонение фактического
срока горения лампочек от гарантийного.
Решение. Среднее отклонение
- Х/Я/*/ — 150—120—80 + 90-Ь 160+ 120
2т/
Выборочная дисперсия
50
20
50
= 0,4.
s2 =-
ьп —
2jU— *)щ.
49
(5.30,42 + 6-20,42 + 8.10,42+10 0,42 + 99,62 +
+ 8-19,6*+ 4-29,6*)=^ (5- 924,16 + 6- 416,16 + 8-108,16 +10- 0,16 +
+ 9.92,16 + 8- 384,16 + 4- 876,16) = 1(4620,8 + 2496,96 + 865,28 +
+ 1,6 + 829,44 + 3073,28 + 3696,64) = 15584,00:49 - 318.
Таким образом, искомое нормальное распределение
характеризуется следующими значениями параметров: а = 0,4, D(x)=^sl ^318
и а» 17,8. Отсюда плотность вероятности
(г-0,4)-
Ф (X) =
1
2 318
17,8 у 2л
Соответствующая этой плотности функция распределения
выразится так:
f (v^l-i-la/^ll
424

§16. Устойчивость выборочных средних
Применение теоремы Чебышева к выборочной средней дает
возможность установить, что при достаточно большом объеме выборки
выборочная средняя практически сколь угодно мало отличается от
генеральной средней.
В самом деле, исходя из соответствующей этому условию
формулировки следствия из теоремы Чебышева (см. § 14)
Р(\х—Х|<Д)> 1 а*
лД2
/2 .
—— = -т=. Тогда вычитаемое в правой части
2 2 1
oj __ ojn 1
и наше неравенство преобразуется к виду
p{|i-*|«..£.}>l-£.
' При достаточно большом объеме выборки можно добиться того,
чтобы не только средняя ошибка выборки (д, =:-£=:, ** но и />кратндя
у п
ошибка, т. е. -т=, оказалась сколь угодно малой.
у п
Вместе с тем с увеличением / правая часть полученного
неравенства быстро приближается к единице. Действительно, при.* = 2
в правой части получается 1—~ = 0,75, при 7 = 3 имеем 1—у=0,89,
при t = 4 имеем 1 —-^ = 0,9375, при t = 5 имеем 1 — ^= = 0,96. При этом
сама оцениваемая неравенством вероятность Р еще меньше отличается
от единицы, чем ее граница 1—^ по теореме Чебышева.
Возвращаясь к первоначальной формулировке, в которой
Берега
ятность оценивается неравенством Р> 1—jjjri можно установить,
что выполнение условия \х—Х|^Д при любом сколь угодно малом
значении А с заданной надежностью, т. е. с вероятностью,
превышающей значение правой части неравенства, может быть достигнуто
только за счет увеличения п—объема выборки. Это значит, что
* Вместо е здесь использован символ А, принятый для обозначения ошибки
репрезентивности как предела отклонения 11с—X \ .
** Здесь* fi—средняя ошибка репрезентативности при определении средней
признака в случае повторной выборки. Ниже (см. стр. 428) будут введены и
другие формулы для средней ошибки jx (при определении доли, а также в
случае бесповторной выборки).
425

объем N генеральной совокупности здесь не имеет существенного
значения.
При этом еще установлено, что надежность достижения заданного
предела отклонения выборочной средней от генеральной при данном
объеме выборки возрастает, когда этот предел расширяется (см. выше
изменение Р с увеличением г).
Все это показывает, что независимо от объема генеральной
совокупности, а только при достаточно большом объеме случайной
выборки выборочная средняя сколь угодно близка к генеральной средней.
Поэтому практически совпадают выборочные средние, вычисленные
для нескольких случайных повторных выборок из одной и той же
совокупности, если объемы этих выборок по своей численности
достаточно велики. Это указывает на устойчивость выборочных
средних, что и используется в выборочном методе.
§ 17. Определение параметров выборки с помощью
теоремы Ляпунова
В предыдущем параграфе выяснено, что применение теоремы
Чебышева позволяет решать вопросы о достижении требуемого пре«
дела отклонения выборочной средней от генеральной и, в частности,
о степени надежности, т. е. вероятности соблюдения этого предела
при данном объеме выборки, а также о необходимом объеме выборки
при заданной границе надежности. Но ответы на все эти вопросы
выражаются в виде неравенств.
2
Так, искомая вероятность дается неравенством Р> 1—-^-, или
Р > 1 —-г? ; требуемый объем (п) выборки определяется неравенст-
2 _
вом п > .2 * р , предел отклонения \х — Х\ устанавливается не-
2
равенством Д > г— хг = .
Такое выражение параметров выборки лишено нужной точности,
так как применение теорем закона больших чисел дает слишком
грубую оценку вероятности и поэтому остается неизвестным,
насколько искомая вероятность превышает найденную границу.
Возможность устранить эту неопределенность возникла на
основании доказанной А. М. Ляпуновым центральной предельной
теоремы. Она устанавливает, что сумма п независимых случайных
величин, заданных произвольным распределением, но
удовлетворяющих определенным условиям, при достаточно большом п подчиняется
закону, сколь угодно близкому к нормальному распределению. Зто
позволяет применить для вычисления вероятности выполнения
неравенства \х — XJ^CA функцию Лапласа
Ф(х)---^==\е 2dx.
2_
/2л
О
426

Искомая вероятность определяется по формуле
Р{\х—Х|<А}=Ф(0
(здесь вместо принятого в теореме Лапласа обозначения а мы
вводим t для сопоставления результата с оценкой по теореме Чебышева).
Сравнение результатов вычисления Р для ряда значений дает:
Значения t
1
2
3
4
5
По теореме Чебышева
Р >0
Р > 0,75
Р > 0,898
Р > 0,9375
Р >0,96
По результатам
теоремы Ляпунова
Р =0,68269
Р =0,95450
Р =0,99730
Р =0,999993
Р =0,999999
Величина t влияет на значение предельной ошибки, которая как
указано выше, определяется в виде
Выбор / связывается с той вероятностью, с которой требуется
гарантировать результаты выборки.
Обычно ограничиваются значением ^ = 3, поскольку ему
соответствует граница ошибки А = -7=, и тогда
у п
Р{|х—Х|<Д}=Ф(3) = 0,9973.
Этот результат, известный в виде «правила трех сигм»,
означает: «с вероятностью, близкой к достоверности, можно утверждать,
что абсолютное отклонение средней выборочной от генеральной
средней не превзойдет трехкратную среднюю ошибку выборки».
Основной задачей применения выборочного метода является
определение по данным выборочного обследования признаков,,
характеризующих генеральную совокупность. В частности, выборочное
наблюдение проводится для определения границ, в которых
должна находиться генеральная средняя, а также для определения по
данным о выборочной доле границ, в которых должна находиться
генеральная доля.
Такая постановка вопросов требует применения теоремы
Лапласа в виде
Р(|Х-х|<Д) = ф(А). -
Здесь X — генеральная средняя, х—выборочная средняя, а |л —
средняя квадратическая ошибка выборки.
Пользуясь этой формулой, можно получить ответы на такие
вопросы:
1) какова вероятность того, что отклонение генеральной
средней (доли) от выборочной не превышает заданного значения Д=/ц,;
427 ■

2) в каких границах заключена генеральная средняя, если
известна вероятность того, что отклонение генеральной средней (доли)
от выборочной не нарушает соответствующего предела отклонения;
3) при каком объеме выборки выполнима заданная надежность
того, что отклонение генеральной средней (доли) от выборочной
не превышает определенного числа.
При решении всех таких вопросов требуется применение
величины \л, выражающей среднюю ошибку репрезентативности.
Значения этой ошибки определяются по четырем формулам:
для случайной повторной выборки при определении средней
признака
для случайной повторной выборки при определении доли
признака
для случайной бесповторной выборки при определении средней
для случайной бесповторной выборки при определении доли
Опуская вывод этих формул, дадим некоторые пояснения к ним.
s2
а) —- обозначает дисперсию средней (х) в выборке, причем
генеральная дисперсия о* заменяется s* дисперсией случайной величины
в выборке(поскольку генеральная дисперсия неизвестна);
б) w и 1—w обозначают доли данного и противоположного
признака в выборке;
в) 1—тг обозначает необследованную часть генеральной
совокупности. При малом объеме выборки п правильная дробь 1—^-
приближается к 1, а поэтому значения \х, при бесповторной выборке
обычно меньшие, чем при повторной выборке, оказываются
приближенно равными между собой.
§ 18. Понятие о доверительных границах для средних
При использовании результатов выборочного наблюдения нельзя
ограничиваться только приближенным равенством х = Х для
характеристики связи между генеральной и выборочной средней.
Важно еще установить границы ошибки выборки А=х—X.
В связи с этим вводится понятие о доверительных границах для
средних.
428

В качестве, критерия здесь принимается так называемая
доверительная вероятность Р, отвечающая условию
P(xi~&^X^xi + A) = P, или Р(\х—Х|<Д) = /\
Число Р выбирается произвольно, но достаточно близким к 1, и
этим характеризуется надежность неравенства \х—Х|^Д.
Применяя для выражения Р (\х — Х| ^ А) преобразованную форму
интегральной теоремы Лапласа (см. § 8), будем иметь
Р(|*-Х|<Д) = Ф(0,
где t (Р) = ——— , а Д = Lg (значение t находится по таблице
ах У П
значений Ф(х) из условия Ф(/) = Р, которое задано).
Этим определяется доверительная оценка средней условием.
с надежностью Р.
Поэтому, если дана достаточно большая выборка (х19 х2, ... ,
хп) из генеральной совокупности, определяющей случайную
величину X, у которой известны математическое ожидание а и дисперсия
о?, то с вероятностью Р можно принять, что выборочная средняя* х
удовлетворяет неравенству
у п
Отсюда следует, что средняя х находится в доверительном
интервале (а—А , а + А).
Таким образом, для вычисления доверительных границ для
выборочной средней с надежностью Р = Ф (/) следует найти t = t(P),
a to
а затем вычислить А = -=.
Vn
По найденному значению А и определяются доверительные
границы для вычисленной выборочной средней х в виде
а — А^х^а +А.
На практике требуется вычисление доверительных границ не
для выборочной средней (поскольку генеральная средняя
случайной величины М(Х) = а неизвестна), а для генеральной средней.
Поэтому построение соответствующей задачи должно быть таким:
по данным выборочного наблюдения отыскиваются выборочная
средняя х, или средняя доля признака, и выборочная дисперсия
2 _ 2 (*/—•*)'"* .
по заданному значению Р = Ф (/) отыскивается t = t (Р);
определяется ередняя квадратическая ошибка выборки |х;
429

определяется предельная ошибка выборки Д = /[гг
по этому значению А устанавливаются доверительные границы
для генеральной средней
§ 19. Примеры математической обработки данных выборочного
наблюдения
Приведенные е предыдущих параграфах сведения позволяют
решиаь ряд примеров, связанных с результатами выборочного
наблюдения.
Пример 2. Для определения средней урожайности пшеницы на
площади 10 000 га определена урожайность ..а 1000 га.
Результаты выборочного обследования представлены в виде следующего
распределения:
эжайность в
11—13
13-15
15—17
17—19
ц с
га
Количество га
150
200
450
200
Итого 1000
Найти вероятность того, что средняя урожайность пшеницы на
всем массиве отличается от средней выборочной не более чем на
0,1 ц, если выборка: а) повторная, б) бесповторная.
Решение. Вычислим среднюю арифметическую и дисперсию
данного в условии распределения (это будут выборочная средняя
и выборочная дисперсия).
За значение признака нужно принять середины интервалов.
В результате получим
х= 15,4 ц, s2 = 3,64.
Для нахождения вероятности искомого события применяем
формулу
Р(|Х-х|<Д) = ф(А),
в которой А = 0,1. Найдем среднюю квадратическую ошибку fx.
Для повторной выборки по формуле (1), в которой о2 = 3,64,
а п= 1000, получим
а в случае бесповторной выборки имеем по формуле (3)
, / 3,64 / - 1000 \ п п--
430

Если выборка повторная, то вычисление искомой вероятности
дает
Р(|Х_15,4|<0,1) = ф(-М.) = ф (1,67) = 0,9051.
Если же выборка бесповторная, то искомая вероятность
Р(|Х-1,54|<0,1) = Ф^)=Ф(1,75) =0,9199.
Пример 3. Из партии, содержащей 8000 деталей, было
проверено 1000 деталей. Среди них оказалось 4% нестандартных.
Определить вероятность того, что доля нестандартных деталей во всей
партии отличается от их доли в выборке (я/= 0,04) не более чем
на 0,015, если выборка: а) повторная, б) бесповторная,
г Решение. В соответствии с формулой (2) при w = 0,04t
п=1000 средняя квадратическая ошибка повторной выборки
/0,04-0,96 Л ЛЛСО
1000 =0,0062.
Если выборка бесповторная, то в соответствии с формулой (4)
при значениях ш = 0,04, я = 1000 и N = 8000, средняя
квадратическая ошибка
Отсюда искомая вероятность определяется так;
а) при повторной выборке
Р(|/7-0,04|<0,015) = ф(^)=Ф(2,42) =0,9845;
б) при бесповторной выборке
Р(|/7-0,04|<0,015) = ф(^)=Ф(2,54) =0,9889.
Пример 4. При условиях приведенного выше примера 2 найти
Границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключена урожайность
на всем массиве.
Решение. По таблице значений функции Ф(х) находим, что
ф(3) = 0,9973. Следовательно, при соотношении
/ = — = 3, или А = 3\х
И»
можно, зная значения \х и для повторной и для бесповторной
выборки, найти А (предельную ошибку выборки);
а) если выборка повторная, то
А = 3-0,06 = 0,18 ц\
б) если выборка бесповторная, то
А-3-0,057 = 0,17 ц.
431

Таким образом, с вероятностью 0,9973 средняя урожайность
(в ц) на всем массиве заключена в границах 15,4+0,18, т. е.
от 15,4 — 0,18= 15,22 до 15,4-р0,18 = 15,58, если выборка
повторная, и в границах 15,4+0,17, т. е. от 15,4 —0,17= 15,23 до 15,4 +
+ 0,17= 15,57, если выборка бесповторная.
Пример 5. Из партии, содержащей 8000 деталей, было
проверено 1000 деталей. Среди них оказалось 4% нестандартных.
Определить границы, в которых с вероятностью 0,9545 заключена доля
нестандартных деталей во всей партии, если выборка: а) повторная,
б)бесповторная.
Решение. По таблице значений функции Ф(х) находим, что
Ф (2) = 0,9545. Следовательно, приходим к равенству / = — = 2,
где \i — средняя квадратическая ошибка. В примере 3 (см. выше)
мы вычислили, что она равна 0,0062, если выборка повторная, и
0,0059, если выборка бесповторная. Поэтому предельная ошибка
выборки
А - 2-0,0062 = 0,0124, если выборка повторная;
А =2-0,0059 =- 0,0118, если выборка бесповторная.
Теперь можно найти искомые границы. Они будут таковы:
0,04+0,0124, т. е. от 0,0276 до 0,0524
(или от 2,76% до 5,24%), если выборка повторная, и
0,04±0,0118, т. е. от 0,0282 до 0,0518
(или от 2,82% до 5,18%), если выборка бесповторная.
Если требуется определить необходимый объем (п) повторной
выборки, при котором с заданной надежностью (Р) отклонение
выборочной средней или доли от генеральной не превысило данной
предельной ошибки (А), то значение п отыскивается из
соотношения A = t\x. Здесь / определяется по таблице из условия Р = ф(/),
а |Л — по одной из четырех формул. В частности, при определении
средней признака искомой объем находится в виде п=—д£-, а при
t2PQ t2W (\ — w)
определении доли признака — в виде п= /^ или ^— •
Пример 6. При каком объеме выборки можно утверждать с
надежностью Р = 0,9545, что отклонение выборочной средней от
генеральной не превысит предельной ошибки А = 0,25 повторной выборки,
если дано а= 1?
Решение. Исходя из соотношения Р (| х — X \ ^0,25 = Ф (/) =
= 0,9545, потаблицезначенийфункции Ф(х) находим t (P = 0,9545) = 2.
Отсюда V = T = -2 т= )/ -JL, т. е. — = й и я = 64.
Пример 7. Из партии в 1000 единиц готовой продукции
производится повторная выборка для определения доли брака. Найти
тот объем этой выборки, при котором с вероятностью Р = 0,99
гарантируется ошибка не свыше 0,1.
432

Решение. Здесь Р( \w—p\^0,1 ) = 0,99. Значению Р = 0,99
по таблице значений Ф(х) соответствует /(Р) = 2,58. При
заданном А = 0,1 имеем M'=="r==2~E8 * Значение п следует найти
из соотношения \х= 1/ —. Но в условии нет значения доли брака.
Поэтому следует использовать наибольшее значение pq = 0,25. Это
0,1 ,/(П25" 2,582-0,25 1АА
приводит к соотношению 2~58== У ~"7Г~ ' 0ТКУда п==—б~7*—=
Если надо установить объем выборочной совокупности при
бесповторной выборке, то из формул (3) и (4)
получаются следующие выражения для этого объема в бесповторной
выборке:
(при определении средней признака)
И
п = дгА2 i_P/2 (ПРИ определении доли признака).
Пример 8. Найти объем выборки из партии в 6000
прецизионных приборов, при котором можно с вероятностью Р =0,890
утверждать, что отклонение доли точных приборов в выборке от
вероятности их изготовления р = 0,4 не превысит 0,02: а) при повторной
выборке и б) при бесповторной выборке.
Решение. Здесь Р(|оу—р|<0,02) = 0,890 дает по таблице
значений Ф(л;) /=1,6. Предельная ошибка выборки по условию А =
= 0,02.
Отсюда
а) при повторной выборке применяется формула п = -^-, что дает:
2,560,40,6 0,6144
(0,02)2 ~ 0,0004
1536.
б) при бесповторной выборке применяем формулу п = NA2tP}tPQ »
что дает:
6000 -1,6*- 0,4»0,6 _ 3686,4 _ 10oq
6000-(0,02)2+ 1,6*.0,4-0,6 ~~ 3,0144 ~~ iZZ '
§ 20. Понятие о критериях согласия
Одной из задач математической статистики является отыскание
закона распределения случайной величины в ее генеральной
совокупности на основании известных данных (из опыта или наблюдения,
т. е. из выборки) о ее значениях.
433

Иногда имеющиеся данные позволяют предположить, что
изучаемая случайная величина подчиняется некоторому закону
распределения. Тогда, вычислив значения параметров, характерных для
этого закона, по имеющимся данным о значениях случайной величины
мы можем записать в соответствующем виде требуемый закон
распределения. Например, в случае выбора закона нормального распре-
деления требуется подсчитать а = М (X) « х{ и g\&s\= _!_i *
Когда такой закон распределения построен, то возникает
необходимость сопоставить данные полученного эмпирического закона с
Соответствующим по теоретическому закону распределением и на
основании этого сопоставления установить, подходит ли к
имеющимся данным наблюдения или выборки выбранный закон распределения.
Ответ на этот вопрос находится с помощью так называемых
критериев согласия.
Дадим понятие о критерии согласия Колмогорова, который
связывает эмпирическую функцию распределения Fч„(х)*
рассматриваемой случайной величины с функцией распределения ^(л:)
непрерывной случайной величины X,
Сущность этого критерия состоит в том, что вводят в
рассмотрение функцию D = max\Fn(x)—F (х)\. С возрастанием числа наб-
людений п вероятность р(к) неравенства D ^ -^= стремится к сво-
у п
ему пределу
р(1) = 1- 2 (—1)*е-2**\
&= - со
Если эта вероятность велика, то расхождения между
эмпирическими и теоретическими распределениями можно считать
несущественными и выбранный закон подходит. При малых же
вероятностях выбранный закон не подходит.
Необходимые для вывода вычисления выполняются с помощью
специальных таблиц, составленных под руководством Н. В.
Смирнова.
Упражнения
1. Проверено 3000 патронов из всего их выпуска. При этом доля брака
состарила 0,15. Найти вероятность того, что отклонение доли брака в выборке от
генеральной доли не превышает по абсолютной величине 0,0i, если выборка
повторная.
Отв. Р = 0,8764.
* Полученное из наблюдения распределение случайной величины X
позволяет определить для каждого значения х частость всех значений X < х.
Обозначая эту частость в виде ——^- [здесь т (х) — число наблюдений, в которых Х<х,
а п — число всех наблюдений], можно выразить эмпирическую функцию
распределения в виде
F /-I т(ДГ)
434'

2. Из большой партии электролампочек в порядке случайной повторной вы*
борки проверено 400 лампочек на продолжительность горения. Выборочная
средняя продолжительности горения оказалась равной 1220 ч, а вреднее квадрати-
ческое'отклонение этой продолжительности—35 ч. Найти те границы, в которы^
должна с вероятностью Р = 0,9973 находиться средняя продолжительность горения
лампочки во всей партии.
Отв. (1214,75 ч, 1225,25 ч).
3. По данным выборочного наблюдения п = 64, # = 36,41 и s„*=l требуется
найти доверительные интервалы для оценки М (х)=а с заданной надежностью:
а) Р =0,9545 и б) Р = 0,9973.
Отв. а) 36,16<а<36,66; б) 36,035<а<36,785
4. По данным выборки, представленным вариационным рядом
X
частоты
1
3
2
4
5
6
8
4
9
3
найти выборочную среднюю х и выборочную дисперсию s% = -= ♦
Отв. х =5, s£ = 8,84.
5. Из партии в 8000 деталей на выборку проверены 1000. При этом оказалось 3%
нестандартных. Определить вероятность того, что доля нестандартных деталей
во всей партии отличается от их доли в выборке не более чем на 0,01: а) для
повторной выборки и б) для бесповторной выборки.
Отв. а) Р = 0,9357, б) Р = 0,9545.
Глава VI
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИИ
§ 21. Функциональная и корреляционная зависимости
Изучение разнообразных явлений сопровождается выяснением
закономерностей, которым подчиняются характерные для данных
явлений количественные соотношения или связи. При этом оказывается,
что только для тех явлений, происхождение которых связывается с
четко учтенными факторами, количественные соотношения или связи
имеют вполне точный и определенный характер. Для таких
явлений, изучаемых, например, в физике, химии, механике, астрономии,
действуют функциональные связи между количественными
признаками. Характеристика этих связей в виде уравнения, графика
или таблицы подчиняется принципу строго определенного соответствия,
составляющего сущность функциональной зависимости.
Вместе с тем для самых разнообразных явлений массового
характера нельзя установить закономерность в количественных
соотношениях между рассматриваемыми показателями, которая удовлетворяла
бы принципу строгого соответствия. Нарушение этого принципа
связано с тем, что изменение одного показателя определяется не только
изменением другого основного показателя, но и влиянием ряда
сопутствующих второстепенных факторов.
435

Так, при установлении взаимосвязи между показателями
использования основных средств и уровня производительности труда на
заводе выясняется, что на уровень производительности труда, помимо
объема затрачиваемых основных средств, влияют еще и другие
факторы (рационализация производственного процесса, организация труда
и др.). Взаимосвязи между количеством осадков и показателями
урожайности, толщиной покрова снега и показателями стока воды,
показателями содержания марганца в стали и степенью ее прокаливаемости,
начальной прочностью бетона и прочностью его через 28 дней и т. д.
также не удовлетворяют условию определенного соответствия.
Во всех таких примерах мы сталкиваемся с невозможностью учета
влияния всех факторов на интересующие нас количественные
соотношения между двумя основными величинами (показателями). Поэтому
характеристика каждой такой взаимосвязи по данным отдельных
наблюдений носит случайный характер и может выявить некоторые
закономерности лишь по данным большого числа наблюдений.
Характерная особенность взаимосвязей в массовых явлениях
состоит в том, что каждому значению одной величины х соответствует
распределение значений у (т. е. несколько значений у с
различными вероятностями каждого из них), меняющееся с изменением х.
Такое же соответствие имеет место между каждым значением величины
у и связанными с ним значениями х.
В отличие от функциональной зависимости связь такого
характера между двумя величинами называется статистической. Степень
рассеяния возможных значений у, соответствующих каждому
значению х, характеризует большую или меньшую тесноту связи между
этими величинами. Это значит, что если влияние неучтенных факторов
на изучаемую связь между величинами хну незначительно, то
степень рассеяния значений у мала, а связь между х и у имеет большую
тесноту. Если же влияние неучтенных факторов значительно, то
степень рассеяния значений у велика, а теснота связи между х и у мала.
Для выяснения математической сущности связей такого вида на
конкретном примере обратимся к данным табл. 1 распределения
100 растений житняка по общему весу х и по весу семян у каждого
растения*
При составлении таблицы растения житняка сгруппированы
в отдельные классы по общему весу и по весу семян, а затем
определены середины классов, т. е. средние значения этих весов
по каждому классу. Середины классов растений по общему весу
обозначены переменной х, а середины классов по весу семян —
переменной у. Так, А*х = 25 обозначает середину класса растений с общим
весом от 20 до 30 г, х2=-- 35 — середину класса от 30 до 40 г и т. д.,
уг = \3 — середину класса растений с весом семян от 10,5 до 15,5 г,
у2=18 — середину класса от 15,5 до 20,5 г и т. д.
Символом пх обозначена численность класса (частота) растений
с соответственным общим весом х, а символом пу — частота растений
с соответственным весом семян у. Так, число 19 в крайнем справа
* См.: В. И. Романовский «Применение математической статистики в
опытном деле», Гоетехиздат, 1947, стр. 168.
436

столбце (пх) означает количество растений с общим весом (в среднем)
45 г (т. е. от 40 до 50 г), а число 20 в нижней строке (пу)—
количество растений с весом семян в (среднем) 23 г (т. е. от 20,5 до 25,5 г).
Числами во внутренних клетках обозначены частоты
соответственных комбинаций растений с некоторым общим весом х и с некоторым
Бесом семян у. Так, число 8 означает количество растений с общим
весом 55 г (от 50 до 60 г) и с весом семян 33 г (от 30,5 до 35,5 г);
число 4 в третьем (внутреннем) столбце — количество растений с общим
весом (в среднем) 35 г и с весом семян (в среднем) 23 г, а число
Ч\ у
х \^
25
35
45
55
65
75
85
95
105
115
125
пу
13
3
3
18
2
6
1
1
10
23
4
13
2
1
20
28
5
4
9
33
8
4
2
J4
38
1
4
6
11
43
2
6
1
9
48
2
5
1
8
53
4
2
6
58
1
4
1
6
Таблица 1
63
1
1
68
1
1
1
3
пх
5
10
19
16
11
16
6
6
8
2
1
100
4 в третьей снизу (внутренней) строке — количество растений с общим
весом 105 г и с весом семян 58 г.
В обобщенных обозначениях для чисел во внутренних клетках
применяется символ п с двойным индексом пху. Так, приведенное
выше число 8 следовало бы обозначить символом п4>5, ибо оно
указывает на количество растений с общим весом л:4 = 55 и с весом
семян уъ = 33. По этим признакам число 4 из третьего столбца
следовало бы обозначить символом п2>3, а число 4 из третьей снизу
СТрОКИ — СИМВОЛОМ tt9,io-
Рассмотренная структура таблицы распределения растений
житняка по общему весу и по весу семян отдельных растений раскрывает
на этом частном примере общую структуру так называемой
корреляционной таблицы, связывающей значения изучаемых
показателей х и у.
Суммы чисел nxyi расположенных во внутренних клетках, по
строкам дают частоты соответственных значений переменной х.
Так,
2«lty = Mlil + nlfl + nli,+ ...+/iltl = /iJfl;
2>з, / = «•, 1 + пз, 2 + "з, з+ • •. +«•,! = «*,.
Суммы чисел пху по столбцам дают частоты соответственных
значений переменной у.
437

Таблица 2
\|
*1
х*
х3
Ч
пу
у.
n2t l
«3,1
nk,l
пУг
v* v*
П1, 2
П2, 2
П3, 2
nk, 2
4
"1,3
«2,3
Л3, 3
"/г,з
Ч
у*
«1,4
«2,4
«3,4
"/г, 4
nv
у.
«1,5
«2,5
«3,5
"Л, 5
Ч
...
...
...
VI
«3./
ПУ1
пх
"х<
пх,
пх,
N
Так,
2 ЛМ = П1. 1 + п2. 1 + «з, 1 +•••+%, 1 = Пу1\
2 ni,i = 1lU 4 + ^2, 4 +«3, 4+ • • • + "*, 4 = 4'
Суммирование всех чисел пху можно представить в виде
последовательного суммирования сначала по каждой строке, а затем по
крайнему правому столбцу пх или в виде суммирования сначала
по каждому столбцу, а затем по нижней строке пу.
Совпадение результатов суммирования, выполненного в одном
или в другом порядке, подтверждает правильность составления
корреляционной таблицы:
Если совпадение результатов нарушено, то ошибка может быть
устранена проверкой результатов суммирования по каждой строке
и по каждому столбцу.
В частных случаях числа пху располагаются рядами,
заполняющими не все клетки строк и столбцов. При этом совокупность чисел
в каждой строке — это ряд распределения значений у,
соответствующих данному значению х, а совокупность чисел в столбце — ряд
распределения значений х, соответствующих данному значению у.
По корреляционной таблице 1, составленной для растений житняка,
можно, например, отметить, что значению л;5=^65 соответствует
nA7g =11 значений у со следующим рядом распределения этих значений:
значения у 23 33 38 43
их частоты 14 4 2
Распределение значений у% соответствующих значению хп=:125,
состоит из одного значения у12 = 68.
Значению х3 = 45 соответствует -19 значений у со следующим
распределением:
значения у 18 23 28
их частоты 1 13 5
Так же элементарно можно охарактеризовать распределения
значений ху соответствующие тем или другим значениям у.
438'

Корреляционная таблица, составленная на основании результатов
наблюдения за значениями переменных х и у, позволяет после
некоторой математической обработки ее данных подойти к разрешению
двух основных задач корреляционного анализа: установлению
формы корреляционной связи между переменными х и у
и определению тесноты этой связи.
Рассмотрение в корреляционной таблице рядов распределения
значений у, соответствующих последовательным значениям х, может
выявить некоторые закономерности в смещении этих рядов.
Простейшие случаи, характерные для формы таких смещений,
позволяют убедиться в том, что с возрастанием значений х в среднем
растут или в среднем убывают значения у, что с возрастанием
значений х значения у в среднем сначала возрастают, а затем
убывают, или наоборот. К этим характеристикам связей между
значениями х и у приводит внешний вид расположения рядов
распределения значений уу соответствующих последовательным значениям х.
Так, по данным корреляционной таблицы 1 распределения
растений житняка смещение рядов распределения значений у
показывает, что с возрастанием х (общего веса растения) возрастает
в среднем и у (вес семян растения). Но эта связь выразится более
отчетливо, если каждому значению х будет поставлено в соответствие
частное среднее значение у, которое обозначим символом ух.
Вычисляя эти частные средние по правилу определения средней
взвешенной*, будем иметь:
__ 13-3+18-2 1F;.
Ух-2Ъ —" Q_i_Q — 10,
Ух=гь
Ух = 4Ь
3 + 2
18-6 + 23-4
= 25;
6 + 4
18-1+23-13 + 28-5
24,1 и Т. Д.
1 + 13 + 5
С помощью таких средних, вычисленных для всех значений х,
исходная табл. 1 приводится к форме, отражающей связь между
значениями х и соответствующими частными средними ух:
Таблица 3
X
~Ух
25
15,0
35
25,0
45
24,1
55
29,9
65
35,7
75
40,5
85
47,2
95
53,0
105
58,4
115
63,0
125
68,0
Графическое отображение данных табл. 3 в виде точек,
соответствующих парам значений х и ух, с последовательным соединением
* Это правило непосредственно следует из выражения среднего значения
случайной величины (см. § 10)Е если множители при отдельных ее значениях pi
записать в виде —L, где 2/п,- = «,
439

этих точек отрезками прямых приводит к ломаной, которая
называется эмпирической линией регрессии у по х. По этой линии, или
вернее по взаимному расположению точек (вершин ломаной), можно
наметить форму линии, около которой группируются точки (х, ух)
с наименьшими отклонениями. Такую линию называют теоретической
линией регрессии, или просто линией регрессии у по х. Зависимость
yx = f(x), соответствующая линии регрессии, называется уравнением
регрессии у по х, или корреляционной зависимостью между у и х.
Отыскание уравнения этой линии дает разрешение первой основ*
ной задачи корреляционного анализа-— установления формы
корреляционной связи между переменными х и у.
0\ Ш 20 30 W 50 60 70 80 30 /00 110 120 *
Рис. 157
Если точки (х\ух) располагаются около некоторой прямой, то
линия регрессии называется прямой регрессии у по х, и
соответствующая операция «выравнивания» ломаной сводится к аналитическому
определению параметров линейной функции
ух = ах + Ь,
т. е. к линейной корреляции.
К этому типу корреляционной зависимости между у и х приводит,
в частности, рассматриваемый пример распределения растений
житняка по общему весу и по весу семян (рис. 157).
Если же расположение точек, соответствующих парам значений х
и ух> приводит к выравниванию ломаной с помощью какой-либо
кривой (в простейших случаях — с помощью параболы или гиперболы),
то соответствующее уравнение yx = f(x) обозначает криволинейную
корреляционную зависимость между у и х.
Здесь мы выяснили, таким образом, возможность установить
наличие корреляционной связи между значениями х и
соответствующими частными средними значениями у. Но та же корреляционная
таблица позволяет поставить вопрос о корреляционной связи между
440

значениями у и соответствующими им частными средними
значениями X.
Действуя аналогично предыдущему, следует найти для каждого
значения у соответственную частную среднюю ху и по парам
значений (ху\ у) построить ломаную, являющуюся эмпирической линией
регрессии х по у.
Если взаимное расположение вершин этой ломаной,
соответствующих парам значений у и ху1 может дать приближенное представление
о некоторой линии, то операция выравнивания приведет к уравнению
*к = ф(У).
выражающему корреляционную зависимость между х и у.
Корреляционные уравнения yx = f(x) и ху = (р(у) называются
также уравнениями регрессии. Первое уравнение называется уравнением
регрессии у по х, а второе — уравнением регрессии х по у.
Соответственно геометрические образы этих уравнений называются
линиями регрессии у по х и х по у.
Термин «регрессия», принятый для обозначения корреляционного
характера связи между изучаемыми показателями и для
графического отображения этой связи в виде некоторой линии, отражает
тенденцию смещения рядов распределения значений у с изменением
соответственных значений х. Так, в табл. 1 с увеличением
значений х соответствующие ряды распределений у смещаются в сторону
больших значений у. Контуры фигуры, образуемой скоплением
данных распределения в таблице, позволяют приближенно представить
форму связи между изучаемыми показателями в виде линии
регрессии, выравнивающей обнаруженное в таблице смещение.
При составлении эмпирической линии регрессии у по х может
оказаться, что все точки (х, ух) лежат на прямой или на кривой,
уравнение которой выражается в виде
£=/(*)•
В таких случаях говорят, что между х и у существует точная
корреляционная зависимость (линейная, если эта линия — прямая,
и криволинейная — в общем случае). Эти результаты в отношении
эмпирической линии регрессии могут иметь место и при малой, и
при большой степени рассеяния значений у относительно линии
регрессии. Такое различие в степени рассеяния характеризует
тесноту изучаемой корреляционной зависимости — при
малом рассеянии теснота считается большой, и наоборот.
То же может иметь место и при составлении эмпирической линии
регрессии х по у.
Признаком наличия точной линейной корреляции является
обращение в тождество соответствующего уравнения регрессии при
подстановке в него любой пары значений (х, ух) или (хуу у).
Бывает и так, что значения ух оказываются одинаковыми для
всех значений х. Это свидетельствует об отсутствии
корреляционной связи у по х.
441

. То же имеет место и в отношении связи х по у.
Заключительной стадией отыскания формы связи является опе;-
рация выравнивания. Она состоит в определении аналитическими
методами параметров корреляционного уравнения, которому
приближенно удовлетворяют значения х и ух или у и xv, характеризующие
количественные признаки изучаемых явлений. При этом возможно,
что одно из рассматриваемых явлений непосредственно воздействует
на другое (например, интенсивность орошения и урожайность
культуры или рост выработки продукции и доля накладных расходов
в общей сумме затрат предприятия), а также, что оба явления, связь
между которыми требуется установить, находятся под влиянием
какого-либо третьего общего явления (например, показатели
урожайности двух различных культур, находящихся в одних и тех же
климатических условиях).
Соотношения между показателями, характерные для
корреляционной зависимости, имеют не точный, а приближенный характер,
ибо, как выше указывалось, при изучении этих соотношений
остаются неучтенными различные дополнительные факторы, которые
рассеивают воздействие одного из основных показателей на другой.
Поэтому второй задачей теории корреляции является измерение
тесноты корреляционной связи. Такая связь в виде корреляционного
уравнения будет тем теснее (ближе к данным наблюдения над
значениями изучаемых показателей), чем слабее рассеяние связи
между этими показателями под влиянием дополнительных неучтенных
факторов.
Практическое значение теории корреляции состоит в том, что
она позволяет, используя опытные данные и известные сведения о
значениях той или иной величины, определять границы, в которых
должна заключаться другая величина, с ней связанная.
§ 22. Линейная корреляция.
Этот вид корреляционной зависимости весьма важен, так как
очень многие корреляционные связи, характерные для
количественных признаков наблюдаемых однородных фактов, близки к линейным.
Данные наблюдения, представленные в виде корреляционной
таблицы, и найденные из этой таблицы пары соответственных значений
х и ух или у и хуу используются для отыскания параметров
уравнений прямых регрессии
ух = ах + Ь и ху = су + d.
Эта операция, называемая выравниванием, обычно выполняется
по способу наименьших квадратов, сущность которого изложена
выше, в § 18 первой части.
Разберем применение данного способа в общем виде для
каждого из записанных уравнений регрессии. При этом для
иллюстрации используем данные корреляционной таблицы 1 распределения
растений житняка по общему весу и по весу семян.
442

1. Уравнение прямой регрессии у по х. При отыскании по
способу наименьших квадратов параметров линейной функции у=ах-\-Ь
на основании данных наблюдения о парах значений х и у,
связанных однозначным соответствием, используется система нормальных
уравнений
а^х + Ьп=2>у.
Здесь коэффициенты определяются простым суммированием
слагаемых в соответствии с количеством пар значений х и у.
Если же требуется с помощью способа наименьших квадратов
определить параметры уравнения, связывающего значения х с
соответственными частными средними уХУ по данным не простой, а
корреляционной таблицы, то структура коэффициентов и свободных
членов нормальных уравнений должна отразить все данные
корреляционной таблицы.
а) Коэффициенты, соответствующие суммам 2jc и 2*2> Должны включать
в операцию суммирования все значения х как повторяющиеся, так и
неповторяющиеся. Количество значений х = хх определяется числом пХх, поэтому сумма
этих значений х равна пХгх1. Аналогично сумма значений х = х2 равна nXix2 и т. д.
Отсюда сумма всех значений х выразится в виде
-Л* *1 + ПхХг + . . . + nXfXk = ^ПХХ.
Суммирование квадратов переменной х строится также и дает
пхх\ + пхх\+ ...+пХк х\ = ^пхх2.
б) Свободный член, соответствующий сумме \V должен представить сумму
всех частных средних ух. При этом для каждого значения х количество
соответственных частных средних ух определяется количеством таких значений самого х.
Поэтому значению х = хх соответствует nXl частных средних yXl, значению х — х^
соответствует пх частных средних ух и т. д. Сумма всех частных средних у х
имеет вид
nx~jixx + пх%Ух% + • • • + пхкУхк = 2n*J/*-
в) Свободный член, соответствующий сумме 2jXyt должен представить сумму
всех возможных произведений значений х на соответствующие частные средние
ух. Количество разных произведений здесь определяется количеством
соответственных значений х. Поэтому сумма всех произведений вида хух имеет вид
пх*\Ухх + пх%х#х%+- • ■ + пхк*кУхк = 2Л**Ис-
Удовлетворяющая указанным требованиям система нормальных уравнений
для отыскания значений параметров уравнения прямой регрессии ух =■ ах-\-Ь
имеет следующий вид:
\ а£пхх2 + b%jixx = 2пххУх>
\ a2«** + 0jn* = 2nxl/x'
Определение корней этой системы предварительно требует некоторого
преобразования коэффициентов и свободных членов.
Коэффициенты системы преобразуются так:
2Я*= «*,-+«*,+ • • • +пхк = Nl
443

V^ »7— — 2jlxx
2jnxx — Nx} так как x — ^ ;
2«*
2j«xjc2 = Mr2.
Развернутая запись свободного члена zjixyx позволяет для каждого
слагаемого воспользоваться переходом от частных средних ух к соответственным
частным значениям у.
В самом деле, если x — xlt то
Поэтому
и аналогично
- _п1,1У1 + п1,2Уг+--+п1,!У1
ух .
п>хУхх =■ «1,1^1 +л 1,202+ • • • +п\лУг
пХ2Ух2 = >4i0i + п2Лу2 +... + nuyh
"хгУх = "3,101 + «3,202 + • • . + Пълу1ч
пхкУхк = "a,i0i + nki2y2 + ... + nktlyv
Почленное сложение всех равенств дает в соответствии с принятой
структурой корреляционной таблицы (см. стр. 438)
2 пх~Ух = "у 01 + пуу2 +... + Ш, {yt = ^ л^у.
После приведения этого результата к выражению, содержащему среднее
значение у, получится
Ул^=% так каку=~, у .
2jny
Преобразование свободного члена 2jtixxyx выполняется аналогично. Здесь
при х = хг слагаемое пхххух приводится к виду
«1, 1*101 + 11. 2*102+... + *!, /*!0/.
Последующая запись всех остальных слагаемых такого же вида при # = *2,
* = х3, ..., x — Xft и суммирование соответствующих выражений дает результат
^пххух^2£пхуху.
Сохраняя эту запись для выполнения подсчетов, можно привести
полученный результат к выражению со средним значением ху.
Двойной знак суммирования позволяет выполнять суммирование в любом
порядке: сначала по горизонтали (меняя нумерацию частных значений у), а затем
по вертикали (меняя нумерацию частных значений д:), или, наоборот, сначала по
вертикали, а затем по горизонтали.
По структуре корреляционной таблицы:
22"*^22n^=2"*=;v'
х у х
22 "^=22 "^=2^=^
или
Отсюда
так как
444
2 2 пхухУ = Мху,
— 2 ЦРхуХУ
ху~ 2Е**у #

В преобразованном виде система такова:
I aN72 + bNx = Nxyt
\ aNx +bN =Nyt
или
f ах2 + bx = xy,
\ax + b = y.
Для определения параметра a достаточно после умножения
членов второго уравнения на х почленно вычесть это уравнение из
первого:
а(х2— х2)=ху—ху, или а = х^~-1.
Я2—X
Параметр b определяется непосредственно из второго уравнения:
Ь = у—ах.
Подставляя полученное выражение в уравнение прямой
регрессии у по х, т. е. ух = ах + Ь, получим
ух = ах + у—ах,
или
Ух—у=--а(х— ~х).
Коэффициент а в уравнении прямой регрессии называется
коэффициентом прямой регрессии у по х и обозначается символом ру/х.
Таким образом,
ху—ху
х2—х
и окончательная запись уравнения прямой регрессии у по х такова:
Ух—У = Ру/х(х—х).
Составим такое уравнение с числовыми параметрами для
распределения растений житняка по данным корреляционной таблицы 1
об общем весе (л:) и весе семян (у) растений. Вычисление
необходимых параметров можно проводить по нижеследуюшеи системе
подсчетов, соответствующей выполненному общему решению.
1) Составляем вспомогательную таблицу.
2) По данным табл. 4
х 100
^"=4665, л# = 2249,60 и ху = 2563,75.
х-^5о- = 64, у = ^^ = 35,15, / = 4096,
445

Таблица 4
пх
5
10
19
16
11
16
6
6
8
2
1
// = 100
пх*
5-25
10-35
19-45
16-55
11-65
16-75
6-85
6-95
8-105
2.115
1-125
6400
-*
ПхУх
75
200
457
478
393
648
283
318
469
126
68
3515
ПвХ2
5-625
10-1225
19-2025
16-3025
11-4225
16-5625
6-7225
6-9025
8-11025
2-13225
1-15625
466500
-*
пххух
1875
7000
20565
26290
25545
48600
24055
30210
49245
14490
8500
256375
* При вычислении значений пхух для точности и удобства подсчетов исходим
из того, что nx~li/x.=nitly1 + ni>2y2-\-... + nitlyl.
3) Определяем коэффициент регрессии у по х:
31405
_ 256 375—224 960
Р*/*~~ 466 500—409 600
' 56 900
= 0,552.
4) Записываем уравнение прямой регрессии у по х:
ух—35,15 = 0,552 (х—64),
или окончательно
ух = 0,552л:—0,178.
2. Уравнение прямой регрессии х по у. Система нормальных
уравнений для отыскания параметров end уравнения прямой
регрессии х по у, получаемая в результате применения способа
наименьших квадратов, имеет вид
с 2 пуУ2 + а^пуУ = 1%Ь>УХу>
С^ПуУ + й^Пу^^ПуХу.
По аналогии с преобразованиями, проведенными для случая
регрессии у по х, можно записать, что
%ny = N\ 2nyy = Ny; ^nyy2 = N^t^nyx^^nxx==Nx\
2 Пуфу =- 22 пу*у*=Nvx=N*y-
Нормальные уравнения можно переписать в упрощенном виде:
( cN][2 + dNy = Nxy>
\cNy + dN^Nx,
416

или
| c]f + dy==Jey,
\ cy+d= x.
Для определения параметра с из членов первого уравнения
вычитаются члены второго уравнения, умноженные на у:
с(у*—]/*)=ху—ху9
или
т ху—ху
С—=—=2- „
у2— у
Параметр d определяется непосредственно из второго уравнения:
d = x—су.
Замена d этим выражением в уравнении прямой регрессии
xy = cy+d дает
ху = су+1с—су,
или
*ху —х = с(у—~у).
Коэффициент с в этом уравнении называют коэффициентом
прямой регрессии х по у и обозначают символом рх/у
Таким образом,
у*—у
и окончательная запись уравнения прямой регрессии х по у такова:
Заметим, что обе прямые регрессии, как видно из их уравнений,
проходят через точку (л:; у).
На примере распределения растений житняка по данным
корреляционной таблицы о весе семян (у) и общем весе (л:) растений
составим уравнение прямой регрессии х по у с числовыми параметрами.
Все необходимые вычисления для подсчета параметров
проводятся в таком же порядке, как это выполнено для уравнения прямой
регрессии j/ пол;.
1) Составляем вспомогательную таблицу.
2) По данным табл. 5
£ = 64; t/ = 35,15; ya = 1235,5225; у^= 1424,65;
ху = 2249,60; ley = 2563,75.
3) Определяем коэффициент регрессии х по у:
_ 256 375—224 960 _ 31415 ^ t fifi1
Vx/y— 142 465--123552,25. Т 13 9)2,75 ^ 1,DD1,
У 447.

Таблица 5
Пу
3
10
20
9
14
11
9
6
6
1
1 3
iV = 100
ПуУ
3-13
10-18
20-23
9-28
14-33
11-38
9-43
8-48
6-53
6-58
1.63
3-68
3515
пЬх*у
75
360
900
445
850
765
665
670
590
630
105
345
6400
пуу*
3-169
10-324
20-529
9-784
14-1089
11-1444
9-1849
8-2304
6-2809
6-3364
1-3969
3-4624
142465
пууху
975
6480
20700
12460
28050
29070
28595
32160
31270
36540
6615
23460
256375
* При вычислении значений пуху для большей точности и удобства подсче- Я
тов исходим из того, что 1
пу7*1 ^ "*'(Xl + "2* '** +'''+ Пк''**' I
4) Записываем уравнение прямой регрессии х по у: 1
^ — 64 = 1,661 (f/—35,15), I
или окончательно I
*„=1,661*/ + 5,616. 1
Ниже будет показано, что оба уравнения прямых регрессии
могут быть получены одним расчетом с помощью коэффициента
корреляции.
§ 23. Коэффициент корреляции
В рассмотренном примере корреляционной связи оба коэффици- -
ента регрессии а = ру/х и с = рх/у положительны. В таком случае
корреляцию называют положительной, что имеет место при
изменении изучаемых количественных признаков в одинаковом направлении
(хну одновременно возрастают или одновременно убывают).
Прямые при положительных коэффициентах регрессии образуют ;
острые углы с соответствующими осями координат (рис. 158)—у пря- Ф
мой регрессии у по х коэффициент регрессии py/x = tga, где а— \
острый угол, образованный прямой / с осью Ох, а у прямой per- щ
рессии л: по у коэффициент регрессии px/y = tg$, гдер— острый угол, *
образованный прямой // с осью Оу. При отрицательных коэффици- 1
ентах регрессии прямые регрессии образуют с соответствующими *
осями тупые углы. I
443

I
Для большей наглядности на рис. 158 показано положение
прямых регрессии относительно новой системы координат с началом
в точке 0г(х; у) пересечения этих прямых.
Сами по себе значения коэффициентов регрессии не позволяют
судить о тесноте связи между хну. Это зависит от величины угла,
образованного прямыми регрессии. Чем меньше этот угол, тем
теснее корреляционная связь между х и у.
При слиянии этих двух прямых в одну имеет место линейная
функциональная зависимость между х и у.
В качестве меры тесноты линейной корреляционной связи
принимается коэффициент корреляции
r = ±V 9у/х9 х/у = ± У tg «tg P
со знаком, совпадающим со знаками коэффициентов регрессии. При
этом, если прямые / и // совпадают, то р = 90°—а и tgf$ =
= tg(90°—a) = ctga = T—. Но тогда tgatgP = l и, следовательно,
r = ±L . -
Обращение коэффициента корреляции в 1 или в —1 является,
как это можно доказать, необходимым и достаточным признаком
линейной функциональной зависимости между х и у.
Корреляционная таблица в таких случаях состоит из
расположенных лишь на одной диагонали частот значений х и у.
Вместе с тем, когда, по крайней мере, один из углов а или р
равен нулю, то и г = 0, а значит, и между рассматриваемыми
величинами не существует ни функциональной, ни корреляционной
линейной зависимости. Однако в этом случае между х и у возможны
нелинейные корреляционные и даже функциональные связи.
Корреляционная зависимость между х и у (для положительных
коэффициентов регрессии) имеет место, когда коэффициент корреляции,
15 № 2418
449

как это можно доказать, выражается правильной дробью (0 < г < 1).
При этом связь между переменными тем теснее, чем ближе
коэффициент корреляции к 1.
Введенное определение коэффициента корреляции в виде
г = ±УГру/хРх/у позволяет на основании выражений коэффициентов
регрессии получить удобную формулу для непосредственного
вычисления коэффициента корреляции.
Если обратиться к выражениям коэффициентов прямых регрессии
(см. стр. 445 и 447)
ху—ху хи—ху
9у/х = ==—=£- и Рх/у = =—=7 ,
х*—х* У1 —У
то можно заметить, что знаменатели в обоих выражениях обозначают
дисперсии соответствующих рядов распределений:
Зс5 — jca = aj и 'уг—у2-=о2у.
Отсюда можно получить для коэффициента корреляции формулу
ху—ху
г = -
V
которая сразу показывает, что между независимыми величинами
корреляции не существует, так как для таких величин
выполняется равенство
ху = х-у.
Замечание. Последнее равенство является приближенным, а поэтому
если коэффициент корреляции очень мал (г < 0,4), считают, что линейной
корреляции между хну нет.
Записанная выше формула позволяет выразить каждый
коэффициент регрессии через коэффициент корреляции.
Так, коэффициент регрессии у по х
Ху — Ху °у
Ру/Х — 2 —
Ох °х
а коэффициент регрессии х по у
ху—ху ох
Рх/У = 0 = — "
Оу °у
. ХУ—ХУ
°х°у
ху—ху
ал°у
Оу
= г —
°х
°х
Оу
I
J*
Такие выражения коэффициентов регрессии показывают, что s
составление уравнений прямых регрессии может быть облегчено, --?
если будет найдено значение коэффициента корреляции. Для его .
вычисления следует использовать выражения числителя и знаменателя:
— -- 1LxiJ — ,/■=—— т /*]£Л'2 -2 *<
*У-=ХУ=— -viz; сЛ=] Х2_г = ]/ — л-; |
450 . £

Тогда можно вычислить коэффициент корреляции по формуле
2** --
—-**
У Цг-х -у —~*
Пример 1. В табл. 6 дана группировка 135 сахаропесочных
заводов по размеру производственных основных средств в млн. руб.
(х) и по среднесуточной переработке свеклы в тыс. ц (у). Требуется
определить коэффициент корреляции и составить уравнения регрессии.
Таблица 6
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
Пу
4
4
5
—
3
—
—
12
5
6
9
4
3
—
—
22
6
9
15
6
2
3
—
35
7
2
10
7
7
3
2
31
8
2
7
8
2
2
21
9
1
—
1
3
1
6
10
—
1
—
2
2
5
П
—
—
—
—
2
2
12
—
—
—
—
1
1
«Я»
21
42
25
24
13
10
135
Расположение рядов распределения значений $ в табл. 6
позволяет наметить линейную корреляционную связь между х и у.
Для отыскания коэффициента корреляции составим
вспомогательную таблицу.
Таблица 7
пя
21
42
25
24
13
10
#=135
"а*
21-1,75
42-2,25
25-2,75
24-3,25
13-3,75
10-4,25
369,25
Лх*2
21-3,0625
42-5,0625
25-7,5625
24-10,5625
13-14,0625
10-18,0625
1082,9375
хпхух
1,75-114
2,25-250
2,75-171
3,25-161
3,75-102
4,25-93
2533,25
%
12
22
! 35
31
21
6
5
2
1
135
пуу
12-4
22-5
35-6
31-7
21-8
6-9
5-10
2-11
1-12
891
пуу*
12-16
22-25
35-36
31-49
21-64
6-81
5-100
2-121
1-144
6237
ytlyXy
4-28,00
4-51,50
6-83,75
7-87,75
8-65,75
9-21,00
10-18,75
11-8,50
12-4,25
2533,25
Следует пояснить, что вторые множители в четвертом столбце
(п^ух) получены из данных табл. 6 суммированием произведений
каждого числа внутренней строки на соответствующее значение у
t5*
451

(например, 114 = 4.4 + 6.5+9-6 + 2.7; 171-4.5 + 6.6 + 7-7 + 7.8 +
+ 1-10).
Так как суммирование этих вторых множителей дает сумму
всех значений у, .то сумма %пх~ух==*£пуу, и это равенство
подтверждает правильность подсчета суммы всех значений у. Аналогична
структура вторых множителей в последнем столбце. Например,
28 = 4-1,75 + 5-2,25 + 3-3,25. Здесь суммирование вторых
множителей дает сумму всех значений х9 а потому равенство %пхху = ^пх'х
У х
служит для подтверждения правильности подсчета. Вместе с тем
итоговые суммы по четвертому и последнему столбцам являются в
то же время суммами всех участвующих в таблице парных
произведений ху. Отсюда __ _
2 хпхух = 2] yriyX = 2 ху.
х У
По данным подсчетов имеем:
У\пхх
- х _369,25_07/1 - 891 сс
x^—jj—Тз5--2,74; у^-^-^6,6;
х2 = 7,5076;7 = 43>56; ху=18,084; ^ = ?5?|g^= 18,764;
Р 1082,9375 _80о18. ^2_6237_462.
Х — 135 -°>и^°> У - 135 -*°»z>
? —? = 8,0218—7,5076 = 0,5142;
lf — y% = 46,2—43,56 = 2,64.
Отсюда ^ = 1^0,5142 = 0,717 и ру = 1/2^64 = 1,625 и
коэффициент корреляции
18,764—18,084 _ 0,68 _л,л,
Г" 0,717-1,625 1,1651-U,D6D*
Для составления уравнений прямых регрессии определяем
коэффициенты регрессии:
р,„ = 0,585- ^ = 0,585-0,441 =0,258;
р„/х = 0,585:0,441 = 1,33.
Таким образом, уравнение прямой регрессии у по х
£—6,6 = 1,33 (х—2,74), или ^=1,33 + 2,96,
а уравнение прямой регрессии х по у
^_2,74 = 0,258(у—6,6), или ^, = 0,258*/+1,05.
Сравнение коэффициента корреляции в этом примере г = 0,585
с коэффициентом корреляции в ранее рассмотренном примере
распределения растений житняка
г = 1/0,552.1,661 = 0,957
показывает на большую тесноту связи между общим весом и весом
семян. Это согласуется со структурой соответствующих корреляци-
452

онных таблиц. Табл. 1 распределения растений житняка (стр. 437)
характерна четким смещением рядов распределения значений у при
малой степени рассеяния этих значений, а табл. 6 по сахаропесоч-
ным заводам (стр. 451) дает малозаметное смещение рядов
распределения значений у при значительной степени рассеяния этих
значений.
§ 24. Упрощенный способ вычисления коэффициента корреляции
Выше в § 22 и 23, при состазлении уравнений прямых
регрессии либо по данным корреляционной таблицы непосредственно
вычислялись коэффициенты регрессии, либо по тем же данным
предварительно вычислялся коэффициент корреляции. В обоих
случаях вычисления были очень громоздкими (операции с
многозначными числами).
Между тем при постоянных разностях для рассматриваемых
в таблицах значений х и у (в табл. 1 Ах =10 и Ду = 5, а в табл. 6
Дл; = 0,5 и Ау=1) можно заметно упростить вычисления, используя
линейное преобразование переменных по формулам:
x = x0-t-uAx и y = y0 + vAy,
где х0 и у0 — произвольно выбираемые значения из заданных
значений переменных х и у, а и и v — новые переменные.
Так, для рассматриваемых значений х и у в табл. 1 можно
провести преобразования
х = 25+10и и у=13 + 5и,
при которых соответствие между значениями х и и, а также между
у и v отражено в табл. 8а и 86.
Если же применяются преобразования
х = 75+10и и # = 38 + 5и,
то получается другое соответствие (см. табл. 8в и 8г).
4 Таблица 8
а б в г
X
25
35
45
55
65
75
85
95
105
115
125
и
—5
—4
—3
—2
—1
0
1
2
3
4
5
У
13
1 18
! 23
28
I 33
38
43
48
! 53
58
63
68
V
—5
—4 1
—3
—2
—]
0
1
2
з
4
5
6
У
13
18
23
28
33
38
1 43
1 48
53
58
| 63
68
V
0 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
X
25
35
45
55
65
75
85
95
105
115
125
и
0
1 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
^3

Преобразования второй серии обеспечивают большее упрощение
вычислений, так как в этом случае все операции ведутся с
меньшими по абсолютной величине числами.
Для обоснования этих линейных преобразований
х =х0 + икх и y = y0Jrvky
можно показать, что операции над переменными х и у, связанные
с вычислением коэффициента корреляции и коэффициентов
регрессии, сводятся при этих преобразованиях к аналогичным операциям
над новыми переменными и я v.
Прежде всего следует заметить, что средним значениям х и у соответствуют
средние значения переменных и и v:
х jj— ^ — ^ *о1—-fi-ьх-^хо-гиьх.
Отсюда, при зависимости и = ——- будет и
— X — Хп
U = — -.
Ах
Таким же образом можно установить, что
y = y0+vAy, или v=^^.
Далее, разность х — х = (и — и) Ах, а поэтому
Аналогично устанавливается, что у2—у2 — Ay2 (v2 —у2).
Эти результаты показывают, что участвующие в вычислениях средние
квадратические отклонения принимают вид
ох = Ахоа и ay = byctv.
Наконец, преобразование разности ху — ху дает
ХУ-ХУ= ~ ХУ= jj
— (х0 -{-и Ах) (y0-{- vAy) = Ax Ay {uv — u v).
Таким образом, переход к новым переменным дает
преобразованную форму коэффициента корреляции и коэффициентов
регрессии:
-и v .
Ах2 (и2 —и2)
_ ху — х у __ Ах uv — ии
у-—у аУ v~ — v-
9
454

Для составления уравнений регрессии с помощью новых
переменных следует включать в корреляционную таблицу значения
этих новых переменных, найденные по формулам:
х—х0 у—у*
- и V — -——
Д*
Ау
Удобней всего применять для этой цели исходную таблицу,
помещая в ней значения и слева от соответственных значений х,
а значения v—над соответственными значениями у. При этом вспо-
могательный характер значений и и v в таблице обычно оттеняется
применением для них мелкого шрифта.
Для иллюстрации тех упрощений, которые достигаются
введением новых переменных, используем этот способ на уже
рассмотренном примере с распределением растений житняка. В виде
значений х0 и у0 переменных х и у выгодней всего используются
их средние или ближайшие к ним значения этих переменных.
В примере с растениями житняка именно такую замену
представляют данные второго преобразования, рассмотренного на стр. 453,
Поставленные во вторых столбцах табл. 8в и 8г числа
получены таким образом: для значений переменной и преобразованием
Х — 7Б v
10 >
а для значений переменной v преобразованием
у—38
Вся операция по отысканию параметров уравнений регрессии
проводится по отдельным этапам.
1) Корреляционная таблица 1 пополняется значениями и и v.
Таблица 9
и
—5
—4
—3
—2
—1
0
1
2
3
4
5
V
х X
25
35
45
55
65
75
85
95
105
115
125
ПУ
-5
13
3
3
-4
18
2
6
1
1
10
-3
23
4
13
2
1
20
-2
28
5
4
9
-1
33
8
4
2
14
0
38
1 ч
4
6
11
1
43
2
6
1
9
2
48
2
5
1
8
3
53"
4
2
6
4
58
1
4
1
6
5
63
1
1 j
6
68
1
1
1
3
ЛЛ
5
10
19
16
11
16
6
6
8
2
1
100
455

2) Для отыскания коэффициента корреляции составляется
вспомогательная таблица (см. табл. 10) с вычислением ее итоговых
данных.
Таблица 10
"г
5
10
19
16
11
16
6
6
8
2
1
N =
= 100
и
—5
—4
—3
_2
— 1
0
1
2
3
4
5
пхи
-25
—40
—57
—32
—11
0
6
12
24
8
5
N~u =
=—110
пхиг
125
160
171
64
11
0
6
24
72 "
32
25
N7? =
= 690
unxvu
—5(—23) = 115
_4(—36) = 144
—3(—53) = 159
—2(—26) =52
-1(-5) =5
0
1-11 = 11
2-18 = 36
3-33 = 99
4-10 = 40
56 =30
Мю=100
ПУ
3
10
20
9
14
И
9
8
6
6
1
1 3
#=100
V
-5
—4
—3
—2
—1
0
1
2
3
4
5
6
nyv
— 15
—40
—60
— 18
— 14
0
9
16
18
24
5
18
Nv =
= -57
nyv*
75
160
180
36
14
0
9
32
54
96
25
108
= 789
3) По данным подсчетов:
й = — 1,Ю; tT= — 0,57; ы* = 6,90; ^ = 7,89; а2 = 1,21.
? = 0,3249; *ш = 6,91; «5 = 0,627.
Следует заметить, что Дл;=10; Ду = 5; х0 = 75; у0 = 38, а также,
что формулы преобразования х = х0 + икх и y = y0 + vhy позволяют
по найденным средним значениям новых переменных
7/ = —1,1 и v = — 0,57
сразу получить средние значения старых переменных:
х = х0 + й/±х = 75 — 1,Ы0 = 75 — 11 =64;
y = yo+vAy = 38—0,57-5 = 38—2,85 = 35,15.
Совпадение с данными о значениях х и у, найденных
непосредственным вычислением (стр. 445), подтверждает правильность
проведения упрощенных вычислений.
4) Определив значения трех разностей:
uv—Ъ v = 6,91—0,627 =6,283;
tf — u =6,90 — 1,21=5,69;
v*—v =7,89—0,3249 = 7,5651,
можно записать, что ай = У 5,69 = 2,385 и ov = У 7,5651 « 2,75.
45Ь

I Отсюда определяется коэффициент корреляции
ю —Ъ-у _ 6,283 _ 6,283 ^ллг»
<*a-Ov ~~~ 2,385-2,75 ~~ 6,559 ~ и'уо°-
Коэффициент регрессии у по х
о и А(/ а« 5*2,75
'«* =^г = Ш-£Г =10^385 -0,958 «0,551.
Коэффициент регрессии л; по г/
Р,/„ = -^ г = 1^- 0,958 «1,663.
Расхождения полученных коэффициентов с результатами
непосредственных вычислений относятся к третьим десятичным знакам
(стр. 446 и 447), что связано с приближенным характером
вычислений.
§ 25. Простейшие -случаи криволинейной корреляции
В некоторых случаях ломаная, соединяющая точки,
соответствующие парам значений х и ух, располагается вблизи кривой.
Ограничимся рассмотрением корреляционной связи ух = f (x) для
двух простейших кривых: параболы, соответствующей трехчлену
f (х) = ах2 + Ьх + су и гиперболы, определяемой уравнением
/(*)=а+1.
1) Отыскание параметров квадратного трехчлена по способу
наименьших квадратов с использованием данных простой таблицы
значений х и у подробно разобрано выше, в § 78 первой части.
Если же значения х и у представлены данными корреляционной
таблицы, то корреляционная связь отыскивается как уравнение
регрессии ух — ах2 + Ьх + с, причем параметры этого уравнения
определяются из системы нормальных уравнений, отражающих
в структуре своих коэффициентов и свободных членов все данные
корреляционной таблицы:
agfixX* + Ь^ПхХ2 + с^ПхХ = Щхпхух,
я2"**2 + Ь^х* + cN= %пх&х.
Заметим, что к выравниванию с помощью параболы второго
порядка можно обращаться в тех случаях, когда использование
линейной корреляции обнаруживает малую тесноту связи (значения
коэффициента корреляции в границах 0,4—0,6).
В качестве примера применения способа наименьших квадратов
для отыскания зависимости между у и х в форме уравнения
параболы второго порядка используем уже рассмотренные выше
(стр. 451) данные табл. 6 группировки 135 сахаропесочных заводов
по размеру основных производственных средств в млн. руб. (х) и
•457

по среднесуточной переработке свеклы в тыс. ц (у). Использование
этих данных для установления параболической корреляционной
зависимости целесообразно в связи с отмеченной выше (стр. 452)
малой теснотой линейной связи между рассматриваемыми
показателями.
Для составления системы нормальных уравнений необходимые
данные получаются суммированием, выполненным по схеме
вспомогательной таблицы.
Таблица 11
X
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
пх
21
42
25
24
13
10
N = 135
пхХ
36,75
94,50
68,75
78,00
48,75
42,50
369,25
ПхХ*
64,31
212,63
189,06
253,50
182,81
180,63
1082,94
"я*8
112,55
478,38
520,00
823,92
685,49
767,70
3388,04
пххА
196,97
1076,36
1430,00
2677,84
2570,28
3252,72
11204,17
ПхУх
114
250
171
161
102
93
891
ПхХУх
199,50
562,50
470,25
523,25
382,50
395,25
2533,25
пххгух
349,14
1139,06
1293,19
1700,56
1434,38
1679,81
7596,14
По итоговым данным табл. 11 можно записать систему
нормальных уравнений:
( 11204,17а + 3388,046+1082,94с = 7596,14,
\ 3388,04а+1082,946+ 369,25с = 2533,25,
( 1082,94а+ 369,256+135с = 891.
Решение этой системы дает параметры:
а«—0,0216; 6^0,677; с«5,07.
2) Рассмотрим корреляционную зависимость гиперболического
типа, определяемую уравнением ух = а + ~.
Пример 2. В табл. 12 дана группировка 44 предприятий по
выпуску продукции в тыс. ед. (л:) и средней себестоимости единицы в
Руб. (у)* Составить корреляционное уравнение связи этими
показателями.
Таблица 12
X
У
Число
предприятий
До 1
16,50
6
1—2
13,75
6
2—3
13,31
8
3—4
12,50
7
4-5
13,52
4
5-6
12,75
4
6-7
12,30
3
7—8
12,83
2
8-9
12,28
2
9—10
12,34
2
Ломаная, отображающая данные этой таблицы (рис. 159),
позволяет обратиться к уравнению гиперболы.
458

Применим способ наименьших квадратов для определения
параметров искомого уравнения в виде ух = а-\ .
#t
:№
Si
О i 2 3 4 5 б 7 8 9 10
Рис. 159
■*-JT
Для функции S = 2*t \Ух—а ) необходимые условия минимума
-^- = 0 и -дт- = 0 приводят к системе
да
* *■- X *** X*
Суммирование выполняется на вспомогательной таблице (табл. 13)
Таблица 13
X
0,5
1,5
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
7,5
8,5
9,5
~Ух
16,50
13,75
13,31
- 12,50
13,52
12,75
12,30
12,83
12,28
12,34
пх
6
6
8
7
4
4
3
1 2
1 2
2
N = 44
Па
X
12,000
4,000
3,200
2,000
0,888
0,728
0,462
0,266
0,236
0,210
23,990
Пх
хг
24,000
2,664
1,280
0,574
0,196
0,132
0,072
0,036
0,028
0,022
29,004
ПхУх
99,00
82,50
100,48
87,50
54,08
51,00
36,90
25,66
24,56
24,68
586,36
Ух
Пх -
X
198,000
55,000
40,192
24,100
12,178
9,273
5,677
3,421
2,889
2,591
353,301
459

Система нормальных уравнений
I 44а + 24b = 586,4,
\ 24а + 2% = 353,3
определяет параметры:
8526,4 10 Q , 1471,6 п ,
а = ~7оо~ = 12'8 и & = —тоо—-2'1-
Отсюда искомое уравнение регрессии запишется.так:
Соответствующая этому уравнению линия регрессии изображена
вместе с ломаной на рис. 159.
В § 23 для измерения тесноты связи при линейной корреляции
введен коэффициент корреляции. Общим измерителем тесноты связи
для всех случаев корреляции как линейной, так и криволинейной
служат корреляционные отношения (г\у/х и цх/у)-
Рассмотрим корреляционное отношение для корреляционной
зависимости, выражаемой уравнением yx = f(x)9 которое устанавливает
связь между частными средними ух и соответственными
значениями X.
В этом случае корреляционное отношение (его символ ц)
определяется формулой г)=-^—, которая выражает отношение среднего
квадратического отклонения частных средних ух от общей средней
у к среднему квадратическому отклонению значений у от общей
средней у.
Аналогично вводится понятие о корреляционном отношении г\х/у
с соответствующей формулой
Цх/у
о(ху)
Здесь^ о (ху) означает среднее квадратическое отклонение частных
средних ху от общей средней х, а ох—среднее квадратическое
отклонение значений х от х.
Это отношение в случаях линейной корреляции оказывается не
меньше коэффициента корреляции, в чем можно убедиться на данных
примера, разобранного на стр. 452.
Ранее был найден коэффициент корреляции г = 0,585 по формуле
r = Ту —'ху ^
При определении корреляционного отношения из имеющихся
данных для вычисления г используется значение оу= 1,625. Следует
определить еще а (ух) = У о2 (ух). Но величина о2 (ух)} выражающая
460

дисперсию частных средних значений ух, определяется в виДе:
Зпрсь
E^ = 2,(£)442(f)425(§)424(f)' +
+ 13(i|)'+ 10 (£)V 6021,74;
Отсюда
и
Таким образом,
~2 6021,74 , 61
Q2 (Ул) = 44,61 —43,56 = 1,05
а(^ = КШ« 1,025.
1,025 nCQ1
~ — «0,631.
1 1,625
Ограничимся этим примером, опуская общий вывод того, что в
случаях линейной корреляции значение корреляционного
отношения оказывается не меньше значения коэффициента корреляции,
т. е. что ц^г.
При этом знак равенства возможен только в случаях точной-
корреляционной связи:
г | при точной линейной корреляционной связи у по х
г\ » » » » » х по у
г J » » » » » и у по х,
и х по у
П*/,у =
§ 26. Понятие о множественной корреляции
Этот вид корреляционной зависимости возникает в тех случаях,
когда рассматривается связь между тремя или большим числом
признаков, характеризующих изучаемое явление.
Ограничиваясь линейной корреляционной связью между,
величиной z и аргументами х и у, общий вид которой
г« Ах+Ву,
заметим, что эту связь выгодней рассматривать в форме
зависимости между отклонениями величин х, у и z от их средних х, у
и z. Этим требуемая корреляционная зависимость приводится к
виду _ _ _
z—z « А (х—х) + В(у—у).
Коэффициенты этого уравнения А и В выражают
коэффициенты регрессии, которые определяются по формулам:
* гхг — гху гуг °г д гуг гху гхг °е
А. — г • И о — —- - * •
1 — гху ах 1 — гХу оу
461

Компонентами этих коэффициентов служат коэффициенты
корреляции между хну (гху), х и г (rxz) и у и z (ryz), а также
соответственные соотношения между средними квадратическимй
отклонениями величины z и каждого аргумента (х и у).
Такая структура коэффициентов регрессии А и В показывает,
что для составления линейного корреляционного уравнения между
тремя величинами требуется предварительное вычисление трех
коэффициентов корреляции—между аргументами х и у, а также
между каждым аргументом и величиной г. Эти же коэффициенты
корреляции используются в выражении сводного коэффициента
корреляции, определяющего тесноту корреляционной связи между
тремя величинами х, у и г:
R
-Y
rlz-2r,
ху' хг'у г
+ъ
1-
1 ху
Этот коэффициент принимает значения 0 ^ R ^ 1. При R = О
линейная связь между х, у, и г отсутствует, а при R = 1 между
ними имеется точная линейная связь z = ax + byt
Упражнения
1. Данные статистической обработки сведений по двум основным показателям
(х) и (у) отражены в корреляционной таблице.
^Ny^ X
У ^^\^
50
60
70
80
90
100
НО
120
130
140
150
160
Итого
50
2
1
3
6
60
1
2
3
1
7
70
1
1
1
1
4
80
1
1
1
6
6
3
1
19
90
1
5
5
6
9
4
1
31
100
3
9
20
15
8
4
1
1
61
110
2
5
8
6
5
3
2
31
120
2
2
4
6
5
4
1
24
130
1
2
4
1
8
140
1
1
1
1
4
150
1
1
2
1
5
160
1
2
2
2
3
4
14
Итого
3
5
8
12 .
30
44
42
26
20
8
6
10
214
Найти уравнение прямой регрессии у по х и определить коэффициент
корреляции.
Отв. # = 42,79+0,622*; г = 0,653.
8. По данным предыдущей корреляционной таблицы найти уравнение
регрессии в виде yx = ax2-\-bx-{-c и определить корреляционное отношение.
Отв. "^ = 0,000322х2 + 0,745*+35,42; т|=*0,693.
3. Распределение 100 заводов по производственным средствам в миллионах
рублей (*) и по суточной выработке в тоннах (у) дается в следующей таблице:
462

'\. У
50
60
70
80
90
Итого
10
2
2
—
—
4
15
2
4
2
—
—
8
20 '
5
7
—
—
»
26
6
12
10
8
36
30
4
10
10
—
24
35
—
4
6
6
16
Итого
4
21
35
26
14
100
По этим данным определить коэффициент корреляции и составить уравнения
регрессии.
Отв. / = 0,564.
4. Результаты медицинского обследования 100 мужчин по объему грудной
клетки в см (х) и общему росту (у) дали следующую таблицу:
^^v У
X ^v
75
85
95
105
115
125
135
145
Ито го
170
1
3
—
—
—
—
—
—
4
175
2
6
4
1
—
1
—
—
14
180
4
13
11
1
3
—
—
32
185
5
4
2
5
—
—
16
190
—
—
8
5
4
3
1
21
195
—
—
2
2
7
1
1
13
Итого
3
13
22
26
10
20
4
2
100
По данным этой таблицы составить уравнения прямых регрессии и вычислить
коэффициент корреляции.
Отв. г = 0,79.
5. При обследовании 50 учеников 4-го класса получены следующие данные
о росте и весе учащихся:
^^Вес (кг)
Рост (си)^>^^
125 '
126
127
128
129
130
131
132
133
24
1
1
25
2
2
1
26
4
3
2
27
1
5
4
2
28
1
5
5
1
29
1
2
3
1
30
1
1
1
453

По данным обследования определить коэффициент корреляции и составить
уравнение регрессии, связывающие рост ученика и его вес.
Отв. г = 0,87.
6. Распределение 400 прямоугольных чугунных плиток по длине в
сантиметрах (х) и по весу в килограммах (у) дается в таблице.
^"^"""^^ у
30
40
50
60
70
80
90
100
Итого
18
19
3
—
—
—
—
22
24
15
25
1
1
—
—
—
42
30
7
13
27
15
7
3
72
36
1
.3
19
33
7
15
78
42
1
9
35
47
1
93
48
—
—
—
13
23
5
41
54
•—
—
—
—
17
35
52
Итого
42
44
48
58
49
78
41
40
400
По данным этой таблицы определить коэффициент корреляции и составить
уравнения прямых регрессии.
Отв. г = 0,91.
7. Распределение имеющихся на участке 400 молодых сосен по общей длине
ствола в сантиметрах (х) и длине его части без ветвей (у) дается в следующей
таблице:
25
45
65
85
105
125
145
Итого
14
17
15
1
5
38
18
5
35
1
1
42
22
25
39
15
7
86
26
7
15
31
3
56
30
17
51
5
73
34
35
19
54
38
13
33
46
42
5
5
Итого
22
82
56
69
61
53
57
400
По этим данным определить коэффициент корреляции и составить уравнения
прямых регрессии.
Отв. г =^=0,912.

ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица значений функции (р(*) = —, е 2
К 2л
Таблица I
X
0,00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
0,10
11
12
•13
14
15
16
17
18
19
0,20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
0,30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
1 Ф(*)
0,39894
39892
39886
39876
39862
39844
39822
39797
39767
39733
39695
39654
39608
39559
39505
39448
39387
39322
39253
39181
39104
39024
38940
38853
38762
38667
38568
38466
38361
38251
38139
38023
37903
37780
37654
37524
37391
37255
37115
36973
*
0,40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
0,50
51
52
53
54 -
55
56
57
58
59
0,60 .
61
62
63
64
65
66
67
68
69
0,70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
ф(ДГ)
0,36827
36678
36526
36371
36213
36053
35889
35723
35553
35381
0,35207
35029
34849
34667
34482
34294
34105
33912
33718
33521
33322
33121
32918
32713
32506
32297
32086
31874
31659
31443
31225
31006
30785
30563
30339
30114
0,29887
29659
29430
29200
*
0,80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
0,90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
1,00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1,10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1 ф<*)
0,28969
28737
28504
28269
28034
27798
27562
27324
27086
26848
26609
26369
26129
25888
25647
25406
25164
24923
24681
24439
0,24197
23955
23713
23471
23230
22988
22747
22506
22265
22025
21785
21546
21307
21069
20831
20594
20357
20121
19886
19652
X
1,20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
1,30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
1,40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
1,50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
<р(х)
0,19419
19186
18954
18724
18494
18265
18037
17810
17585
17360
17137
16915
16694
16474
16256
16038
15822
15608
15395
15183
14973
14764
14556 .
14350
14146
13943
13742
13542
13344
13147
0,12952
12758
12566
12376
12188
12001
11816
11632
11450
11270
465

>^^^^»^oooooooooocococo<oco<ococo<ocoooooc»oooooooooooooo^^^^
о о о
ооооооооооооо о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о — •— — — — — "»—
4-4^^^4^^.^^4^>^.^01С^01СЛ<^а1С^СПС^О^
4^ Ю-— О^0СО000000-Ч000000С0СОО>—СО^СЯ--1СО — СО О) 00 ►— ^^04^^^-C^COOOOOtO-vJtOOOCOOO^Oa>tOC£>(^lN3COa54^^—<Х>
н-00ЧЧ00-С)ЮОС0ОЮО5ЮСО0000О*.СОЧСЛ0)00ЮЧ^00^0)' ^4^4^СЯООСОСООООООООСОа>Сла>ООСОСОО>а5,~-1'--СЯЬО
to to to to to to
a^a>oa>a><3t>a>a>o>o}<^<^<^c^c^oiQi<^c^ соЪо totototototototo ю ю *-» *- ►— >-*^—
О00Ч0)СЛ^МЮ|-ОЮ00Ч1(^(^^00Юь-ОС0(»Ч05СЛ^МЮн-ОС000Ч(^СЛ^(УЮн-ОС000ЧОСЛ^
ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
_►—►-_ — •— ►_►_*_►— ►— — .— ь— — ►—.-_ — >—. -— — •_.___- — *_ ЬОЮЬОЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮЮ(^(^СО(^СОСОСООЗ(^СО(^Сл5 03
40WO)COW^OOWOlCOWO^O^C»WCnO^^^OOW(»WOOWOOWC0^005M00^005W(005W
OOOOOOOOOOCO<DCO«OCOCO<DCO{050000000000000000000004S44S4*>]NJS4
tO tO tO tO tO »— »—4— i-MMt-h- _ _ _ _ __
ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo»— ~
^»-tOWW4».OlO)S^OOCDO'- ЮОО^СД^ООСОО'- CO ►£* СЛ -4 00 CO ►— W4kO>4COH-W^O)OOOK>4^-s)CO'-W(^OOOW<^OOb-4k
со оо со со со со
^^^^^^^^^^а>а>а>а^а>а>а>а>о>а>слс^слслс71С^ оо'оо to to to to To
CD00-4OCn4^00t0>— O^OO-^OOihl-COtO*— OCOOOSOiUi^WW — ОЮОО^ОэСЛ^СОЮ^ОФС-^ОЭСЛ^СОЮн—0<000^0>СЛ
OOOOOOOOOOOOOOOOQOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOQOOOOOOOOOOOOO
--ооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооо
— —■ ж ■—■ '— "^ ■— — — —'-^-^'-''~''~''~ч'~чоООООООООО — --•-~^-н—►_»—*_»_.►_.*_»_,*_,_.._*н_^->_и_м_н
ОООООООО
ОООООООО
>ООООООООООС
>оооооооооо<
Ср(^СО00СООЭСО004^^4^4^4^^СЛ<^СЛ<^С^О5О^д^О^^^^^0^
o^corf-cn^oo_iH-iorf-a>^cp>-wcn^_..—ooa>oo~ooa>^
X

Продолжение табл. I
' *
3,80
81
82
83
84
Ф<*)
0,00029
00028
00027
00026
00025
X
3,85
86
87
88
89
<Р<*)
0,00024
00023
00022
00021
00021
X
3,90
91
92
93
94
<р(*)
0,00020
00019
00018
00018
00017
X
95
96
97
98
99
ф(ДГ)
0,00016
00016
00015
00014
00014
Таблица значений функции Лапласа Ф(*) = 1 e 2 dx
о
Таблица II
X
0,00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
0,10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0,20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
0,30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
| Ф(*)
0,00000
00798
01596
02393
03191
03988
04784
05581
06376
07171
0,07966
08759
09552
10343
11134
11924
12712
13499
14285
15069
0,15852
16633
17413
18191
18967
19741
20514
21284
22052
22818
0,23582
24344
25103
25860
26614
27366
28115
28862
29605
30346
X
0,40
41
42
43
I 44
| 45
46
47
| 48
49
0,50
! 51
52
53
54
55
56
57
58
59
0,60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
0,70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
| Ф<*)
0,31084
31819
32552
33280
34006
34729
35448
36164
36877
37587
0,38292
38995
39694
40389
41080
41768
42452
43132
43809
44481
0,45149
45814
46474
47131
47783
48431
49075
49714
50350
50981
0,51607
52230
52848
53461
54070
64675
55275
55870
56461
57047
X
0,80
81 •
82
83
84
| 85
! 86
87
88
89
| 0,90
91
! 92
93
! 94
95
96
97
98
99
1,00
01
02-
03
04
05
06
07
08
09
1,10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
| Ф(^)
! 0,57629
58206
58778
59346
59909
; 60468
! 61021
61570
62114
| 62653
1 0,63188
63718
1 64243
I 64763
65278
65789
66294
66795
67291
67783
0,68269
68750
69227
69699
70166
70628
71086
71538
71986
72429
0,72867
73300
73729
74152
74571
74986
75395
75800
76200
76595 :
1 х
1,20
21
22
23
; 24
я
27
28
29
1,30
31
32
33
1 34
35
36
37
38
39
1,40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
1,50
51
52
53
54
55
56
57 1
58 !
59
| Ф<*)
0,76986
77372
77754
78130
78502
78870
79233
79592
79945
80295
0,80640
80980
81316
81648
81975
82298
82617
82931
83241
83547
0,83849
84146
I 84439
84728
! 85013
85294
1 85571
\ 85844
86113
86378
0,86639
86896
87149
87398
87644
87886
88124
88358
88589
88&17
467

ОООООООООО СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО 00 00 00 00 00 00 00 00 CO С
СО 00 --J О) СЛ 4^ СО N3 ►— О СО 00 -»J CD СЛ 4*. СО Ю — О СО СО ^1 CD СЛ 4*- СО tO ►—' <
-g -«а -«а -«а -^ -^ -^ -g -g -<j о> О) cd о> о> о> О) cd cd О)
СО 00 -vl CD СЛ 4^ СО tO ►— О СО 00 -Ч CD СП 4*. СО N3 ►— О
СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО СОСОСОСОСООООООООООО
- * - - - - > СО СО СО СО СО
* 00 CD 4*. tO О
CD CD CD CD СЛ СЛ СЛ СЛ СЛ СЛ СЛ СЛ СЛ СЛ 4*. 4* 4* 4* 4* 4*. 4> СО СО СО СО СО СО СО tO Ю to tO tO tO •—►—•—►—»—•— OOOOO
со to — ocooo -g 05сл 4> со to ►— o oo -g cd ел со to — со oo -^ ел 4* to ►— со oo cd 4* со — со oo cd 4* to о oo -*j ел со —
СО 4^ СЛ CD CD CD CD CD СЛ СЛ 4* CO — О 00 CD CO — 00 СЛ tO 00 СЛ »—CD tO -»J tO-g •— СЛ CO КЭ СЛ 00-—CO СЛ-g 00 CO О О О Q
CO — 00 СЛ tO 00 СЛ ь— CD tO -«J tO -4 — СЛ СО ГО СЛ С
СО 4*--^ -J 4».СОЮ»— СОСОСЛ4ь>04^ СЛЮ-^JCOC
> 4*-g --J СО-g -д 4* 00 СО
8 CO CO *«J CD 4*
юоч oo
слелелслслелслслслсл
CD00^1CDCri4b.COtO — О
to
сосососососососо со "со
CO00-4CDCn4^COtO — О
tototohototototototo
CO00-vJCDO44b.COh0*— О
CD00-4CDCn4^COtO — О
СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО
СО СООО 00 00 00 00 00 0000
OOCDCOCOOOOOOO^-^
4^»—ООСЛЮСОСЛЮСОСЛ
OtOCOCOCO^-COCDCOOO
COCDCOCOCOCDCDCOCOCO
00000000000000000000
-gCDCDCDCnUi^^^CO
tO004^>—-«aCOCO^OCD
CO CD CO»— — •— О00СЛО
СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО
O0O00000000000*-J-4^
COtOtO — •—OOCOCDOO
— CDtO^gtO^g--CD — СЛ
СЛСО»— Ю CO tO COCD — СЛ
СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО
-g-4--J--J-g--J^g^]-g-g
*-g-gCDCDCn4*.4*CON3tO
со Co ^g — елсоюслоо —
оососооосл — слоососо
СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО
"««J-4CDCDCDCDCDCDCDCD
— ОСОСООО-дс7>СЛСЛ4*.
4^^gcot04i».CDCOCO — Ю
004^COCO4^aiCOCO4b.-^l
ОООООООООО
COOO^CDCnO^COtO- О
СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО
CO00-gCDCn4*COtO-О
ОООООООООООООООООООО
COOO-^CDCnrf^COtO — О
COOO-oJCDCnJb'COtO — О
CDCDCDCDCDCDCDCDCDCD
COOO--gCDCn4*COtO — О
СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО
СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО
oo*-j^g^g^g*-j^g-»j^g^g
ocooo^g-«acDcn4^coco
OCOCDCO»—СОСЛ^СОО
СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО
СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО
^g^J^vlCDCDCDCDCDCDCD
Ю — OCOOO*-JCDOlCOtO
— к> to to to to — осоч
о о
СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО
СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО
£ь 4^> 4*. 4*. 4* СО СО СО СО СО Ю Ю Ю Ю — — — — О О
H-wvwvju3*kUJi4)ww ^goiCOtOOOOCD4^tOO 00CD4*. — CO^g4^tOCOCD
СЛ N3 О CD CO CO СЛ О СЛ СО СО CD CO tO 4*. CD -»J -»J -»J -J СЛ CO — CO СЛ — CD — СЛ 00
СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО
СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО
05С7>СЛСЛСЛСЛСЛСЛСЛ>Р».
•—OCO^gCD4^COK300p
сл to со <o со oo oo oooooo
OO004^O00CD4^t0O
-vj-g-vj-vj^gCDCDCDCDCD
OOCD45»»tOOOOCD4*.tOO
Si
со со со со со to to to to to — — — — — — ►—►—►—►—
OOCD4^tOOOOCD4^tOO СО00*-дс7>СЛ4*СОЮ — О
СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО
со со со со со со — "~
_ со coco со
со со со
со со со
СО СО 00 00 00 00
~ жСО0О^1О>
СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО _^__ _.
СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО
СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО СОСОСОСОСОСОСОСОСОСО СОСОСОСОСООООООООООО ОООООООООООООООООООО
oo oo oo сзр-^-«а-«а-«а *>i cd cd о* cd сл ел сл 4*. 4> со со to to — — о сооооо -g cd ел ел 4> 4> со со to — — о
»£ 55*3©00^4СЛ СО —00 OiWOSWOOilOSW 00tO OOCOCD СООЮ СО 00СО 00N3 ^ — СЛСОСОО>

Таблица значений функции Пуассона Р(Х=т) = —-е
т \.
0
1
2
3
4
5
6
7
0,1
0.904837
0,090484
0,004524
0,000151
0,000004
0,000000
0,000000
0,000000
0,2
0,818731
0,163746
0,016375
0,001091
0,000055
0,000002
0,000000
0,000000
0,3
0,740818
0,222245
0,033337
0,003334
0,000250
0,000015
0,000001
0,000000
0,4
0,670320
0,268128
0,053626
0,007150
0,000715
0,000057
0.000004
0.000000
Т<<
0,5
0,606531
0.303265
0,075816
0,012636
0,001580
0,000158
0,000013
0.000001
} б л и ца III
0,6
0,548812
0,329287
0,098786
0,019757
0,002964
0,000356
0,000035
0.000003
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0,7
0,496585
0,347610
0.121663
0,028388
0,004968
0,000695
0,000081
0,000008
0,000001
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,8
0,449329
0,359463
0,143785
0,038343
0,007669
0,001227
0,000164
0,000019
0,000002
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,9
0,406570
0,365913
0,164661
0,049398
0,011115
0,002001
0,000300
0,000039
0,000004
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000-
1,0
0,367879
0,367879
0,183940
0,061313
0,015326
0,003066
0,000511
0,000073
0,000009
0,000001
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
2,0
0,135335
0,270671
0,270671
0,180447
0,090224
0,036089
0,012030
0.003437
0,000859
0,000191
0,000038
0,000007
0,000001
0,000000
0,000000
0,000000
3,0
0,049787
0,149361
0.224042
0,224042
0,168031
0,100819
0,050409
0,021604
0,008102
0,002701
0,000810
0,000221
0,000055
0,000013
0,000003
0,000001
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
o,oiasi6
0,073263.1
0,146525
0,195367
0,195367
0,156293
0,104194
0,059540
0,029770
0,013231
0,005292
0,001925
0,000642
0,000197
0,006738
0,033690
0,084224
0,140374
175467
175467
146223
104445
065278
0,036266
0,018133
0,008242
0,003434
0,001321
0,002479
0,014873
0,044618
0,089235
0,133853
0,160623
О,160623
0,137677
0,103258
0,068838
0,041303
0,022529
0,001262
0,005199
0,000912
0,006383
0,022341
0,052129
0,091226
0,127717
0,149003
0,149003
0,130377
0,101405
0,070983
0,045171
0,026350
0,014188
0,000335
0,002684
0,010735
0,028626
0,057252
0,091604
0,122138
0,139587
0,139587
0,124077
0,99262
0,072190
0,048127
0,029616
0,000123
0,001111
0,004998
0,014994
0,033737
0,060727
0,091090
0,117116
0,131756
0,131756
0,118580
0,097020
0,072765
0,050376
0,000045
0,000454
0,002270
0,007567
0,018917
0,037833
0,063055
0,090079
0,11260
0,12511
0,12511
0,11374
0,094780
0,072908
469

14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
4,0
0,000056
0,000015
0,000004
0,000001
0,000000
0,000000
0,000000
|0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
5,0
0,000472
0,000157
0,000049
0,000014
0,000004
0,000001
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
6,0
0,002228
0,000891
0,000334
0,000118
0,000039
0,000064
0,000001
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
7,0
0,007094
0,003311
0,001448
0,000596
0,000232
0,000085
0,000030
0,000010
0,000003
0,000001
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
8,0
0,016924
0,009026
0,004513
0,0022124
0,000944
0,000397
0,000159
0,000061
0,000022
0,000008
0,000003
0,000001
0,000000
0,000000
0,000000
9,0
0,032384
0,019431
0,010930
0,005786
0,002893
0,001370
0,000617
0,000264
0,000158
0,000042
0,000016
0,000006
0,000002
0,000001
0,000000
10,0
0,052077
0,034718
0,021699
0,012764
0,007991
0,003732
0,001866
0,000889
0,000404
0,000176
0,000073
0,000029
0,000011
0,000004
0,000001
ЛИТЕРАТУРА
1. Б ер мант А. Ф. Краткий курс математического анализа. Физмат-
гиз, 1961.
2. Бернштейн С. Н. Теория вероятностей. ГТТИ, 1934.
3. Баруздин В. И. и Гончарова М. К. Основы теории
вероятностей. Оборонгиз, 1957.
4. Боярский А. Я. Математика для экономистов. Госстатиздат, 1957.
5. Г н еден ко Б. В. Курс теории вероятностей. ГТТИ, 1954.
6. Дунин-Барковский И. В. и Смирнов Н. В. Теория
вероятностей и математическая статистика в технике. ГТТИ, 1955.
7. К а р а с е в А. И. Теория вероятностей и математическая статистика.
«Статистика», 1970.
8. К р а м е р Г. Математические методы статистики. ГИИЛ, 1948.
9. Кудрявцев В. А. и Демидович Б. П. Краткий курс высшей
математики. Физматгиз, 1959.
10. Л у ком с кий Я- И. Теория корреляции. Изд. МАИ, 1948.
11. Мы ш кис А. Д. Лекции по высшей математике. «Наука», 1967.
12. Романовский В. И. Элементарный курс математической статистики.
Госпланиздат, 1939.
13. Романовский В. И. Применение математической статистики в
опытном деле. ГТТИ, 1948.
14. Р у м ш и с к и й Л. 3. Элементы теории вероятностей. Физматгиз, 1963.
15. То л сто в Г. П. Курс математического анализа. Т. 1и II. ГТТИ, 1957.
16. У н к о в с к и й В. А. Теория вероятностей. Военно-морское изд-во,
1953.
17. Энциклопедия элементарной математики. Т, III. ГТТИ, 1952.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная величина 11, 228, 252
Абсолютно сходящийся ряд 253
Абсцисса 8, 295
Алгебраическая функция 83
Алгебраическое дополнение 270
Аналитическое задание функции 79
Аппликата 295
Аргумент 78
Арифметическая прогрессия 88, 89
Асимптота 67
Асимптотическая формула
биномиального распределения 375
Базисное решение 288
Байеса формула 364
Бернулли теорема 417
— формула 368
Бесконечно большая величина 101
функция 103
— малая величина 103
функция 103
Бесконечные пределы 235
Бесповторная выборка 421
Биномиальное распределение
вероятностей 368
Биномиальный ряд 259
Больших чисел закон 410
Вектор 290
Векторное произведение 297
Вероятность 348, 350
Вершина гиперболы 68
— параболы 57, 61
— эллипса 54
Взаимно однозначное соответствие 10
Вогнутость вверх 172, 174, 175
— вниз 172, 174, 175
Возрастание функции 160, 161
Вторая производная 168
Выборочная дисперсия 424
— доля 422
— совокупность 420
— средняя 422
Выравнивание 442
Гармонический ряд 249
Гаусса кривая 183
— метод 280
Генеральная доля 422
— совокупность 420
— средняя 421
Геометрическая прогрессия 92, 100,
243
Геометрический смысл дифференциала
152
определенного интеграла 218
производной 124
Геометрическое истолкование
неравенства первой степени с двумя
переменными 37, 38
системы неравенств первой
степени с двумя переменными 41—45
теоремы о среднем 221
— место точек 21—23
Главная часть приращения функции
151
полного приращения функции
314
График функции 82, 177
Даламбера признак 247
Двузначная функция 81
Декартова прямоугольная система
координат 7
Деление отрезка в данном отношении
13, 300
Диагонали определителя 267, 268
Дискретная случайная величина 387
Дисперсия 401
Дифференциал 151
Дифференциальное уравнение 332
второго порядка линейное
неоднородное с постоянными
коэффициентами 340
однородное с
постоянными коэффициентами 338
первого порядка линейное 337
однородное 335
с разделяющимися
переменными 334
Дифференциальный закон
распределения 392
Дифференцирование 126
— степенного ряда 260
Дифференцируемая функция 126
Доверительная вероятность 429
Доверительные границы 429
Достаточные признаки сходимости 246,
247
Достоверное событие 847
Дробно-линейная функция 83, 91
Дробно-рациональная функция 83
4Л

Единичный вектор 294
Единственно возможные исходы
испытания 350
Зависимая переменная 78
Закон распределения случайной
величины 388
Замена переменной 199, 222
Замыкающий вектор 291
Знак интеграла 191, 215
— модуля 290
— определителя 267
Знакопеременный ряд 251—253
Знакочередующийся ряд 251
Игральная кость 353
Инвариантность формы дифференциала
152
Индекс 265
Интегральная сумма 215
— кривая распределения 394
— функция распределения 390
Интегрирование 191
— в конечном виде 210
Интегрирование дифференциального
уравнения 333
— подстановкой 199, 222
— по частям 202, 223
— степенного ряда 260
Интервал 86
— сходимости 254
Интерполяционные формулы 319
Иррациональная функция 83
Испытание 346
Исследование функций 177
Исход испытания 350
Касательная 123
Квадрант 8
Квадратичная функция 83, 90, 322
Классическое определение вероятности
350
Коллинеарные векторы 292
Компланарные векторы 292
Компоненты вектора 295
Конечные разности 327
Концы интервала сходимости 255
Координаты вектора 294, 295
— точки 8, 295
Корни квадратного трехчлена 207, 208
— функции 177
— характеристического уравнения
338, 339
Корреляционная зависимость 440
— таблица 437
Корреляционные отношения 460
Коэффициент корреляции 450, 451, 454
— прямой регрессии х по у 447, 454
у по х 445, 454
Крамера правило 273
Кратный корень 177
Кривая вероятностей 376, 406
— второго порядка 49
— распределения вероятностей 393
Криволинейная корреляция 457
— трапеция 213
Критерий согласия 434
Критическая точка 162
Лагранжа теорема 157
Лапласа интеграл 382
— теорема интегральная 379
локальная 375
Лейбница признак 251
Линия 23
Линейная зависимость 277, 279, 292
— комбинация 278, 292
— корреляция
— независимость 277, 279, 292
-— функция 83, 87—89, 320
Логарифмическая производная 140
— функция 84, 93, 120, 139, 140
Лопиталя правило 158
Ляпунова теорема 408
Маклорена ряд 256
Максимум 163, 165, 168, 315
Маркова неравенство 411
Математическое ожидание 394
Мгновенная скорость 123
Минимум 163, 165, 168, 315
Минор 269
Многозначная функция 78
Многочлен 83
Многоугольник распределения
вероятностей 371
случайной величины 389
Множественная корреляция 461
Модуль вектора 290, 296
Монотонная функция 161
Наивероятнейшее число появлений
события 373
Наименьших квадратов принцип 319
способ 319
Натуральный логарифм 96
Начало координат 7
Начальное условие 334
Неалгебраическая функция 84
Невозможное событие 347
Независимая переменная 78
Независимые случайные величины 395
— события 356
Независимый ряд испытаний 366
Необходимый признак сходимости 244
Неопределенная система уравнений
266, 280
Неопределенный интеграл 191
, свойства 191, 192
Неопределенных коэффициентов метод
209, 340
Неосновные неизвестные 285
472

Непосредственное интегрирование 193
Неправильная дробь 107
Непрерывная случайная величина 389
Непрерывность функции 117, 118
двух переменных 311
Непрерывного роста закон 115
Несобственный интеграл 235
Несовместная система уравнений 266,
280
Несовместимые события 346
Нечетная функция 84
Неявная функция 80, 138
Нормаль 156
Нормальная система 321
Нормальный закон распределения 405
Нуль-вектор 291
Ньютона бином 113
— интерполяционный полином 330
Ньютона — Лейбница формула 219
Область существования функции 86
— сходимости степенного ряда 253
Обратная пропорциональность 91
— функция 95, 144
Обратные тригонометрические функции
84, 120, 145, 146
Общий интеграл 333
— член ряда 242
Общее решение 333
Объем выборки 421
— тела вращения 232
Ограниченная величина 104
Однозначная функция 78, 81
Однородная функция 333
Окрестность 86, 313
Окружность 50—53
Определенная система уравнений 266,
280
Определенный интеграл 215
, свойства 220, 221
Определитель 267, 268
—, свойства 271, 272
Ордината. 8, 295
Орт 294
Основные неизвестные 285
Остаточный член 252
Ось 7
— абсцисс 7, 32, 295
— ординат 7, 32, 295
Оси гиперболы 68
— эллипса 54
Относительный показатель выборки 421
Отрезок 85
Ошибка репрезентативности 421
Парабола 57—67
Параболоид 316
Параллельность двух плоскостей 302
прямых 19, 39
Параллельный перенос осей 55, 56, 60,
71
Параметр 74
— выборки 428
Первообразная функция 189
Перегиба точка 174
Переменная величина 77
Пересечение двух плоскостей 304
прямых 39, 40 t
— полуплоскостей 42 *
Перестановки 352
Перпендикулярность двух векторов 297
плоскостей 302
прямых 19, 20, 40
Плоскость, см. Уравнение плоскости
Плотность распределения вероятностей
392
Площадь плоской фигуры 216, 225, 226,
228
Поверхность второго порядка 307
Повторная выборка 421
Повторные независимые испытания 366
Подынтегральная функция 191
Подынтегральное выражение 191
Показательная функция 84, 92, 93,
119, 140, 325
Полная система событий 355
Полное приращение 310
Полной вероятности формула 363
Полный дифференциал 314
Порядок дифференциального
уравнения 332
— бесконечно малых 150, 151
— линии 49
Постоянная величина 77
Почти устойчивые значения 348
Правильная рациональная дробь 207
Практическая невозможность события
377
Предел последовательности 100
— отношения двух многочленов ПО
sin х л in
при х -+0 111
X
— функции 101
Пределы интегрирования 215
Приближенное интегрирование 237—
239
Приближенные вычисления с помощью
дифференциала 153
полного дифференциала
314
рядов 262, 263
Преобразование графиков 89, 90
Принцип сравнения 246
Приращение функции 116
Проекция вектора на ось 293
Произведение вектора на число 292
Производная 125
—, правила вычисления 127—132
Произвольная постоянная 190, 333
Промежуток 85
Промежуточный аргумент 81
v473

Промежуточная функция 81
Простейшие рациональные дроби 207,
208
Простой корень 177
Противоположные векторы 291
— события 347
Прямая, см. Уравнение прямой
— пропорциональность 87
— регрессии 440
Пуассона интеграл 237
— формула 378
Пучок прямых 29
Равенство векторов 291
Равносторонняя гипербола 67—75, 324
Радиус-вектор 294
Радиус окружности 50, 51
— сходимости степенного ряда 254
Разделение переменных 334
Равномерное распределение 392
Разложение определителя 270
Размещения 351
Разность векторов 291
Разрыва точки 119, 236
Раскрытие неопределенностей 158
Расстояние между двумя точками 11,
12, 299
— от точки до прямой 47
плоскости 306
Растяжение 90
Расходящийся несобственный интеграл
235
— ряд 242
Рациональная функция 206
Регрессия 441
Решение системы уравнений 265
Ролля теорема 157
Ряд распределения 438
Сарруса правило 268
Сдвиг 90
Семейство кривых 74, 190, 333
Сжатие 89
Симметричные точки 10, 11
Система исходов испытания 349
— неравенств 42
— п линейных уравнений с п
неизвестными 265
— т линейных уравнений с п
неизвестными (т<п) 284
Скаляр 290
Скалярное произведение 296
Скалярный квадрат 296
Сложение вероятностей 354, 361
Сложная функция 81, 137
Сложные проценты 115
Случайная величина 387
Случайное событие 347
Событие 346
Совместимые события 347
Совместная система уравнений 265
Сочетания 352
Среднее значение 394
— квадр этическое отклонение 402
— отклонение 401
Средняя скорость 123
Статистическая зависимость 436
Статистическое определение
вероятности 348
Степенная функция 83, 119, 133—135,
141
Степенной ряд 253
Столбец 267
Строка 267
Сумма векторов 291
— ряда 242
Сфера 307
Сходящийся несобственный интеграл
235
— ряд 242
Таблица значений функции Лапласа 467
Пуассона 469
1 -**
<р (*)= -?=== е — 465
У 2д
— основных интегралов 192, 193
— производных 147, 148
Табличный способ задания функции 82,
83
Текущие координаты 23
Теснота корреляционной связи 441
Трапеций формула 238
Треугольная форма системы уравнений
282
Тригонометрические функции 84, 119,
142, 143
Убывание функции 160, 161
Угловой коэффициент 15, 16
Угол между двумя векторами 297
плоскостями 302
прямыми 17, 18
Умножение вероятностей 357, 362
Уравнение линии 23, 24
— плоскости в отрезках 303
общее 301
— поверхности 308
— прямой в отрезках 33
общее 35
, проходящей через данную точку
в данном направлении 28
, две данные точки 29
с угловым коэффициентом 25
регрессии х по у 447
у по х 445
Уравнения прямой 304
канонические 304
, проходящей через две точки 306
Условие принадлежности трех точек
одной прямой 31
Условная вероятность 356
474

Условно сходящийся ряд 253
Устойчивость выборочных средних 426
Устранимый разрыв 120
Фигура ступенчатая вписанная 213
описанная 213
Форма корреляционной связи 440
Функциональная зависимость 79
Функция 77, 78
— двух независимых переменных 78,
310
— натурального аргумента 98
— нескольких независимых
переменных 309
— от функции 81
— [х] 80
Характеристические точки 178
Характеристическое уравнение 338
Целая рациональная функция 83
Центр окружности 50, 51
Центральная предельная теорема 407
Цилиндрическая поверхность 308
Частная производная 312
Частное приращение 311
— решение 333
Частичная сумма ряда 242
Частный дифференциал 313
Частость 348
Частота 348
Чебышева неравенство 413, 415
— теорема 416
Четверть 8
Четная функция 84
Число е 114
Числовая последовательность 98
Числовой ряд 242
Эйлера подстановка 201
— число 114
Эквивалентные бесконечно малые 150
— системы уравнений 280
Экстремум 163, 166, 169
— функции двух независимых
переменных 316, 317
Эксцентриситет эллипса 53
Элементарные функции 82
Эллипс 53
Эллипсоид 308
Эмпирическая линия регрессии 440
Эмпирические формулы 318
Явная функция 80

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие ко второму изданию 3
Предисловие к первому изданию 4
Введение 5
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОБЩИЙ КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Раздел первый
Элементы аналитической геометрии
Глава I. Декартова прямоугольная система координат 7
§ 1. Взаимно однозначное соответствие между точками плоскости
и парами действительны-х чисел 7
§ 2. Расстояние между двумя точками 11
§ 3. Деление отрезка в данном отношении 13
§ 4. Угловой коэффициент прямой 15
§ 5. Угол между двумя прямыми 17
Упражнения 20
Глава II. Уравнение линии в аналитической геометрии 21
§ 6. Уравнения простейших геометрических мест 21
§ 7. Общее понятие уравнения линии 23
Упражнения 25
Глава III. Прямая линия 25
§ 8. Уравнение прямой с угловым коэффициентом 25
§ 9. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном
направлении. Уравнение прямой, проходящей через две
данные точки 28
§ 10. Уравнение прямой в отрезках 32
§ 11. Общее уравнение прямой и его исследование 34
§ 12. Точка пересечения двух прямых. Условия параллельности и
перпендикулярности двух прямых 39
§ 13. Расстояние от точки до прямой 45
Упражнения 47
Глава IV. Кривые второго порядка 49
§ 14. Понятие о кривых второго порядка 49
§ 15. Понятие о преобразовании системы координат (параллельный
перенос осей) 55
§ 16. Уравнение параболы с осью, параллельной одной из осей
координат 57
§ 17. Равносторонняя гипербола с асимптотами, параллельными
осям координат 67
§ 18. Роль параметра в уравнении кривой и уравнение семейства
кривых . 74
Упражнения 75
476

Раздел второй
Стр.
Введение в анализ
Глава V. Функциональная зависимость 77
§ 19. Понятие о функции 77
§ 20. Способы задания функциональной зависимости 79
| 21. Классификация функций 83
| 22. Область существования функции 85
§ 23. Некоторые простейшие функции и их графики 87
Упражнения 97
Глава VI. Пределы и непрерывность 97
§ 24. Понятие предела 97
§ 25. Бесконечно большая величина 101
§ 26. Бесконечно малые величины и их основные свойства .... 103
§ 27. Основные теоремы о пределах 106
§ 28. Два замечательных предела 111
§ 29. Непрерывность функции 116
Упражнения 121
Раздел третий
Дифференциальное исчисление
Глава VII. Производная и дифференциал 122
§ 30. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение
производной 122
§ 31. Свойства производной * 127
§ 32. Производные а^лге^раических функций 129
Упражнения '?'.'"* 135
§ 33. Производная сложной и неявной функции • 136
§ 34. Производные логарифмической и показательной функций . . 139
Упражнения 141
§ 35. Производные тригонометрических функций 142
Упражнения ж 144
§ 36. Производные обратных тригонометрических функций .... 144
Упражнения 147
§ 37. Таблица производных 147
Упражнения 148
§ 38. Дифференциал 150
Упражнения 154
Глава VIII. Приложения производной 155
§ 39. Уравнения касательной и нормали к кривой 155
Упражнения * 156
§ 40. Теоремы Ролля и Лагранжа 157
§ 41, Правило Лоп*италя 158
Упражнения 159
§ 42. Возрастание и убывание функции 160
§ 43. Максимум и минимум функции 163
§ 44. Вторая производная и ее применение к вопросу об экстремуме
функции 167
§ 45. Направление вогнутости. Точки перегиба 172
§ 46. Исследование функций и построение их графиков 177
Упражнения 187
477

Стр.
Раздел четвертый
Интегральное исчисление
Глава IX. Неопределенный интеграл 189
§ 47, Первообразная функция и неопределенный интеграл 189
§ 48. Свойства неопределенного интеграла 191
§ 49. Таблица основных интегралов и непосредственное
интегрирование 192
Упражнения 199
§ 50. Интегрирование подстановкой 199
Упражнения 202
§ 51. Интегрирование по частям 202
Упражнения 206
§ 52. Интегрирование простейших рациональных дробей 207
§ 53. Об интегрировании в конечном виде 210
Упражнения 211
Глава X. Определенный интеграл 212
§ 54. Понятие определенного интеграла 212
§ 55. Связь между определенным и неопределенным интегралами.
Формула Ньютона—Лейбница 217
§ 56. Свойства определенного интеграла 220
§ 57. Применение способов подстановки и интегрирования по частям
к вычислению определенного интеграла 222
Упражнения 224
§ 58. Геометрические приложения определенного интеграла .... 225
Упражнения 234
§ 59. Понятие о несобственных интегралах 234
§ 60. Приближенное интегрирование (формула трапеций) 237
Упражнения 24J
Раздел пятый
Ряды
Глава XI. Числовые ряды • ♦ 242
§ 61. Числовой ряд и его сходимость 242
§ 62. Необходимый признак сходимости 244
§ 63. Достаточные признаки сходимости 245
Упражнения 250
§ 64. Знакопеременные ряды 251
Глава XII. Степенные ряды 253
§ 65. Степенной ряд и область его сходимости 253
Упражнения 256
§ 66. Ряд Маклорена 256
§ 67. Биномиальный ряд " 258
§ 68. Разложение в степенные ряды некоторых элементарных функций* 260
Упражнения 261
§ 69. Применение рядов к приближенным вычислениям 262
Упражнения 264
Раздел шестой
Дополнительные главы
Глава XIII. Элементы линейной алгебры 265
§ 70. Система п линейных уравнений с п неизвестными 266
Упражнения ,»,.*. 284
§ 71. Система т линейных уравнений с п неизвестными (т < п) ♦ . 284
Упражнения 290
478

Стр.
Глава XIV. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в
пространстве 290
§ 72. Векторы на плоскости и в пространстве 290
Упражнения 299
§ 73. Элементы аналитической геометрии в пространстве 299
Упражнения 308
Глава XV. Функции ^нескольких независимых переменных 309
§ 74. Основные понятия и обозначения 309
§ 75. Частные производные 311
§ 76. Полный дифференциал 313
§ 77. Необходимые условия экстремума 315
§ 78. Эмпирические формулы. Способ наименьших квадратов.
Конечные разности и интерполяционный полином Ньютона . . 318
Упражнения 331
Глава XVI. Дифференциальные уравнения 332
§ 79. Дифференциальные уравнения первого порядка 332
§ 80. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами . 338
Упражнения 343
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКИ
Предмет теории вероятностей 345
Глава I. Основные определения и теоремы 346
§ 1. Событие как результат испытания 346
§ 2. Частость и вероятность. Классическое определение вероятности 348
§ 3. Теорема сложения вероятностей 354
§ 4. Теорема умножения вероятностей 356
Упражнения 364
Глава II. Повторные независимые испытания 366
§ 5. Биномиальное распределение вероятностей 366
§ 6. Наивероятнейшее число появлений события 372
§ 7. Асимптотическая формула биномиального распределения
(локальная теорема Лапласа). Формула Пуассона .' . 374
§ 8. Интегральная теорема Лапласа ." 379
Упражнения 386
Глава III. Случайная величина и ее числовые характеристики .... 387
- § 9. Случайная величина и ее распределение ♦ 387
§ 10. Математическое ожидание и его свойства 394
§ 11. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение 399
§ 12. Нормальный закон распределения и понятие о теореме
Ляпунова, 405
Упражнения 408
Глава IV. Закон больших чисел 410
§ 13. Неравенства Маркова и Чебышева 411
§ 14. Теорема Чебышева 415
Упражнения 419
Глава V. Основные сведения из математической статистики 420
§ 15. Генеральная совокупность и выборка 420
§ 16. Устойчивость выборочных средних^ ? 425
479

€пШ
§ 17. Определение параметров выборки с помощью теоремы Ляпу- * ~Щ
нова . г . , , . . . . 42S
§ 18. Понятие о доверительных границах для средних ...... 4щ -
§ 19. Примеры математической обработки данных выборочного
наблюдения 4§§^
§ 20. Понятие о критериях согласия Щщ
Упражнения * 4£|
Глава VI. Элементы теории корреляции 43&
§ 21. Функциональная и корреляционная зависимости 435
§ 22. Линейная корреляция 442
§ 23. Коэффициент корреляции 448
§ 24. Упрощенный способ вычисления коэффициента корреляции . 453
§ 25. Простейшие случаи криволинейной корреляции 457
§ 26. Понятие о множественной корреляции 461
Упражнения 462
Приложения 465
X2
1 -—■
Таблица значений функции ер (л:)— г—е 2 465
У 2л
X Д2
2 С - —
Таблица значений функции Лапласа Ф(х)= г— I е 2 dx 467
К л ,1
о
Кт
Таблица значений функции Пуассона Р (Х = т) = —-е~* 469
Литература : . . . . 470
Предметный указатель 471
Эммануил Соломонович Маркович
КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Редактор А. М. С у х о д с к и й. Художник А. И. Д е м к о
Художественный редактор В. И. Пономаренко
Технический редактор Н. А. Битюкова Корректор В. В. Кожуткина
Сдано в набор 5/Х—71 г. Подп. к печати 23/Х11—71 г. Формат 60x90Vie- Объем 30 печ. л-
Уч. изд. л. 25.0. Изд. № ФМ-440. Тираж 175 000 экз. Цена 81 коп.
План выпуска литерагуры издательства «Высшая школа» (вузы и техникумы) на 1972 год.
Позиция № 49.
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14, Издательство «Высшая школа»
Ордена Трудового Красного Знамени Первая Образцовая типография им. А. А. Жданова
Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР
Москва, М-54, Валовая ул., 28. Заказ N% 2418.