(HERM THEORY
ШИП
Florida State University
A WILEY-INTERSCIENCE PUBLICATION
OHN WILEY & SONS, New York - London • Sydney • Toronto

теория ПА.М.ДИРАК
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Перевод с английского
Г. В. ИСАЕВА
Под редакцией
члена-корреспондента АН СССР
Д. И. БЛОХИНЦЕВА
МОСКВА АТОМИЗДАТ 1978

УДК 530.12
Дирак П. А. М. Общая теория относительности: Пер. с
англ./ Под. ред. Д. И. Блохинцева. — Пер. изд.: США,
1975. — М.: Атомиздат, 1978.— 64-с.
Книга выдающегося физика нашего времени иностранно-
иностранного члена АН СССР П. А. М. Дирака представляет собой
конспект лекций, прочитанных в Университете штата Фло-
Флорида. Автор дает в ней ясную и краткую формулировку ма-
математического аппарата общей теории относительности Эйн-
Эйнштейна. Некоторые результаты (в частности, относящиеся
к движению непрерывно распределенной материи и к грави-
гравитационным волнам) в этой книге получены новыми метода-
методами, ранее не публиковавшимися.
Рассчитана на научных работников, аспирантов, студен-
студентов и преподавателей, интересующихся проблемами грави-
гравитации.
ИБ № 808
ПОЛЬ АНДРИЕН МОРИС ДИРАК
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Редактор Е. В. Сатарова
Художественный редактор А. Т. Кирьянов
Обложка художника А. И. Шаварда
Технические редакторы И. Н. Подшебякин, Л. Ф. Шкилевнч
Корректор С. В. Малышева
Сдано в набор 27/IV 1978 г. Подписано к печати 19/Х 1978 г.
Формат бОХЭО'Де. Бумага типографская № 2. Усл. печ. л. 4,0. Уч.-
изд. л. 3,55. Тираж 23000 экз. Цена 25 коп. Зак. изд. 77505. Зак.
тнп. 1457. Атомиздат, 103031, Москва, К-31, ул. Жданова, 5. Москов-
Московская типография № 6 Союзполиграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной тор-
торговли. 109088, Москва, Ж-88, Южнопортовая ул., 24.
д 20402 119 Б3_8_4—1978 © John Wiley & Sons, Inc., 1975
034@1)—78 © Перевод на русский язык. Атомиздат, 1978

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Новая книга выдающегося физика нашего времени иност-
иностранного члена АН СССР П. А. М. Дирака основана на его
лекциях, прочитанных в Университете штата Флорида, и пред-
предназначена для читателя, начинающего изучать общую теорию
относительности Эйнштейна. Отличительной чертой этой книги
является компактность и изящность изложения. В последнее
время появилось много монографий по общей теории относи-
относительности, включающих наряду с фундаментальными вопроса-
вопросами теории ее многочисленные приложения в астрофизике и
космологии. На этом фоне книгу П. А. М. Дирака можно на-
назвать «математическим минимумом» в области общей теории
относительности.
Изложение ведется в рамках традиционной геометрической
идеологии, основывающей обсуждение эйнштейновской грави-
гравитации на римановой геометрии. Прочитав эту книгу, читатель
без труда разберется в приложениях теории.
Методы получения некоторых классических результатов
являются оригинальными. В частности, в самом общем виде
получены уравнения движения непрерывно распределенных
источников внешних полей как следствие уравнений Эйнштей-
Эйнштейна и уравнений соответствующих полей.
Эту книгу с интересом прочтут также и те, кто уже актив-
активно работает в области общей теории относительности или пре-
преподает этот предмет. Они сумеют оценить ее исключительные
достоинства.
Д. И. Б л ох инцев

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Согласно общей теории относительности Эйнштейна, для
описания физической реальности требуется искривленное про-
пространство. Чтобы продвинуться глубже в понимании физиче-
физических закономерностей, нужно установить корректный вид урав-
уравнений, необходимых для описания искривленного пространст-
пространства. Для этого имеется хорошо развитый, но довольно слож-
сложный математический аппарат. Каждый, кто хочет понять тео-
теорию Эйнштейна, должен им овладеть.
Эта книга создана на основе курса лекций, прочитанных
на физическом факультете Университета штата Флорида. Не-
Необходимый материал изложен в ней в доступной и компакт-
компактной форме. Для ее понимания не требуется предварительных
знаний, выходящих за рамки фундаментальных идей специ-
специальной теории относительности и умения дифференцировать
полевые функции. Это позволит читателю, изучающему общую
теорию относительности, преодолеть возникающие трудности
с минимальной затратой времени и энергии и подготовить себя
к более глубокому изучению специальных аспектов предмета.
П. А. М. Д и р а к
Талахасси, шт. Флорида
Февраль 1975

1. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Для описания физического пространства — времени требу-
требуется четыре координаты: время t и три пространственные ко-
координаты х, у, z. Положим
t = х°; х = х1; у = х*; z = х3,
тогда четыре координаты можно записать в виде х^, где ин-
индекс (х пробегает значения 0, 1, 2, 3. Индекс записан в верх-
верхней позиции, чтобы выполнить условие баланса индексов во
всех общих уравнениях теории. Точное значение выражения
«баланс индексов» станет ясным чуть позже.
Возьмем точку, близкую к рассмотренной точке х^\ пусть
ее координаты будут x^+dx^. Четыре величины dx^, описы-
описывающие смещение, можно рассматривать как компоненты век-
вектора. Законы специальной теории относительности позволяют
производить линейные однородные преобразования координат,
выражающиеся в линейных однородных преобразованиях dxP.
Эти преобразования таковы, что величина
(dx°f — (dx1? — (dx*f — (dx3J A.1)
является инвариантом (выбрана система единиц измерений
длины и времени, в которой скорость света с—\).
Совокупность величин Л*\ которые при преобразованиях
координат преобразуются так же, как dx^, называют контра-
вариантным вектором.Инвариантную величину
(Л0J — (Л1J — (Л2J — (Л3J = (Л, Л) A.2)
можно назвать квадратом длины вектора. Если есть второй
контравариантный вектор В^, то существует инвариантное
скалярное произведение
А°В° — АгВг — Л252 — А*В* = (А, В). A.3)
Для удобства записи таких инвариантов введем нижние ин-
индексы. Определим
А0 = А°; Аг=—А\ А2=—А*; А3=-А*. A.4)
Тогда запишем выражение в левой части A.2) в виде А^.А •*,
где подразумевается суммирование по четырем значениям ин-

декса jx. В таких обозначениях A.3) можно представить в
виде Ар В •* или Л»1 В д.
Четыре величины Лц, введенные выражениями A.4), так-
также можно рассматривать как компоненты вектора. Законы
преобразования этих величин при преобразованиях координат
несколько отличаются от законов преобразования Л11 из-за
различия в знаках. Такой вектор называют ковариантным век-
вектором.
Из двух ковариантных векторов Л11 и В* можно образо-
образовать шестнадцать величин A^BV (индекс v, так же как все
греческие индексы в этой книге, пробегает значения 0, 1, 2, 3).
Эти шестнадцать величин образуют компоненты тензора вто-
второго ранга. Их иногда называют внешним произведением век-
векторов Л11 и В^, в отличие от скалярного произведения A.3),
которое называют внутренним произведением.
Тензор Л11 Bv является специальным, так как его компонен-
компоненты связаны друг с другом определенными соотношениями. Од-
Однако, складывая несколько тензоров, образованных таким спо-
способом, можно получить тензор второго ранга самого общего
вида, скажем
7*v = A»BV + Л'цB'v + A"»Bv + . . . A.5)
Этот тензор обладает важным свойством: при преобразованиях
координат его компоненты преобразуются так же, как вели-
величины А^ Sv.
Можно опустить один из индексов в 7MiV, применяя прави-
правило опускания индексов к каждому члену в правой части A.5).
Так образуется Т ^ или Т\ ¦ Опуская оба индекса, получаем
величину Tpv.
В 7(iv можно положить v = |x, что приводит к Т у? . Здесь
должно быть произведено суммирование по четырем значе-
значениям (х. Далее всегда по дважды повторяющимся индексам
подразумевается суммирование. Значит, Т^ является скаля-
скаляром; Т ^ тождественно равно Г% .
Можно продолжить эту процедуру и перемножить более
чем два вектора с различными индексами. Таким способом
строятся тензоры высшего ранга. Если все векторы контрава-
риантны, то у тензора будут только верхние индексы. Если же
опустить некоторые индексы, то получим тензор общего вида с
рядом верхних и рядом нижних индексов.
Положим определенный нижний индекс равным определен-
определенному верхнему индексу. Тогда должно быть произведено сум-
суммирование по всем значениям этого индекса. Он становится
немым. Остается тензор, имеющий на два свободных индекса
меньше, чем первоначальный. Такую процедуру называют
сверткой. Итак, если исходить из тензора четвертого ранга
ТДф0, то, сворачивая сначала по индексам о и р, получим
тензор второго ранга Т\рр, который имеет только шестнад-
8

цать компонент, соответствующих четырем значениям индек-
индексов [I и v. Произведя свертку снова, придем к скаляру ^%р°
состоящему из единственной компоненты. '
Теперь проясняется смысл выражения «баланс индексов».
Каждый свободный индекс появляется в уравнении один и
только один раз в каждом члене (слагаемом) уравнения и яв-
является всегда (во всех слагаемых) верхним или всегда ниж-
нижним. Индекс, возникающий дважды в одном члене, является
немым и должен находиться один раз в верхнем и один раз в
нижнем положении. Его можно заменить любым другим грече-
греческим индексом, еще не использованным в этом члене уравне-
уравнения. Таким образом, Г^р" = Т"%аа. Индекс никогда не дол-
должен появляеться более чем дважды в одном члене.
2. НЕОРТОГОНАЛЬНЫЕ ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ
Прежде чем перейти к математическому аппарату общей
теории относительности, удобно рассмотреть промежуточный
формализм — специальную теорию относительности в неорто-
неортогональных декартовых координатах.
При переходе к неортогональным осям каждая из величин
dxv- в выражении A.1) оказывается линейной функцией новых
dxv-, и квадратичная форма A.1) становится общей квадра*
тичной формой по новым их»-, которую можно записать в виде
g^dx^dx*," B.1)
где подразумевается суммирование как по \i, так и по v. Ко-
Коэффициенты gv.v зависят от выбора неортогональной декарто-
декартовой системы координат. Мы, конечно, полагаем g^v =gvii> так
как любое различие между g^v и gV\i не сказалось бы на вы-
выражении для квадратичной формы B.1). Имеется, таким об-
образом, десять независимых коэффициентов g\w-
При преобразованиях координат четыре компоненты Л11
произвольного контравариантного вектора преобразуются так
же, как dx*. Тогда g^A^A" является инвариантом. Этот ин-
инвариант есть квадрат длины вектора А*.
Пусть В•* —другой контравариантный вектор; тогда А*1 +
+ Я5Ц также является вектором для произвольного значения
числа Я. Квадрат его длины есть
g^ (А* + Я5Ц) (А4 + %BV) = g^A" + Я (g
+
Эта величина должна быть инвариантом при всех значениях к.
Отсюда следует, что коэффициенты при Я0, Я1 и Я2 являются
инвариантами. Коэффициент при Я1 имеет вид
= 2 ^\

так как во втором члене левой части можно поменять места-
местами |л и v и воспользоваться условием g'p.v=gvn . Таким обра-
образом, выясняется, что g цуА^В* является инвариантом. Этот
инвариант есть скалярное произведение А*1 и В11.
Пусть g— детерминант guv- Значение g не должно рав-
равняться нулю; в противном случае четыре оси не описывают
независимые направления в пространстве — времени и не мо-
могут быть выбраны в качестве координатных осей. В ортого-
ортогональных декартовых координатах, рассмотренных в предыду-
предыдущей главе, диагональные элементы g^v равны 1, —1, —1, —1,
а недиагональные элементы равны нулю. Тогда g =—1. В не-
неортогональных декартовых координатах g должен оставаться
отрицательным, поскольку неортогональные координаты могут
быть получены из ортогональных непрерывным процессом, вы-
выражающимся в непрерывном изменении g; следовательно, зна-
значение g не может проходить через нуль.
Определим величину Ац, называемую ковариантным векто-
вектором, следующим образом:
^=g(lvAv. B.2)
Так как g не обращается в нуль, эти уравнения позволяют
выразить Av через Лц. Пусть результат имеет вид
А1 = g"^. B.3)
Каждая компонента g ^ равна алгебраическому дополнению
соответствующей компоненты g^v в детерминанте матрицы
gp.v, деленному на сам детерминант g. Следовательно, gMiV=gA"Ji.
Подставим в B.2) выражение для А* из B.3). Чтобы не
получить три одинаковых индекса в одном члене, нужно заме-
заменить немой индекс (х в B.3) каким-нибудь другим греческим
индексом, скажем р. Тогда получим
Так как это соотношение должно иметь место для произволь-
произвольной четырехкомпонентной величины Лц, заключаем, что
ё^^Р = ^ B.4)
где
J1 при , = р;
11 (О при fi=?p.
При помощи формулы B.2) можно опустить у тензора лю-
любой верхний индекс; при помощи формулы B.3) можно под-
поднять любой нижний индекс. Если определенный индекс под-
поднять и снова опустить, то, согласно B.4) и B.5), тензор не
изменится. Заметим, что g$. просто производит замену (х ин-
индексом р:
10

или р индексом jx:
Применив правило поднятия индекса к jx в gf^, получим
Это согласуется с B.4), если принять во внимание, что вслед-
вследствие симметрии gpv индексы в gav можно писать один под
другим. Поднимая далее по тому же правилу индекс v, имеем
gaP=i
Этот результат непосредственно следует из B.5). Правила
поднятия и опускания индексов применимы ко всем индексам
3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
Теперь перейдем к системам криволинейных координат.
Рассмотрим величины, локализованные в точке пространства —
времени. Это могут быть многокомпонентные величины с ком-
компонентами, отнесенными к координатным осям в данной точке.
Если подобная величина существует во всех точках простран-
пространства, ее называют полевой величиной.
Полевую величину Q (или одну из ее компонент, если их
несколько) можно продифференцировать по любой из четырех
координат. Запишем результат:
Нижний индекс через запятую всегда будет обозначать такую
производную. Индекс ц помещен внизу, так как верхний ин-
индекс в левой части находится в знаменателе. Изменение Q при
переходе от точки х^ к близлежащей точке х^ + бх11 имеет
вид
uQ = Q.vL&f. C.1)
Видно, что условие баланса индексов выполнено.
Нам понадобятся локализованные в точке векторы и тен-
тензоры с компонентами, отнесенными к координатным осям в
этой точке. При преобразованиях координат компоненты таких
величин преобразуются по тому же закону, что и в предыду-
предыдущем разделе, но зависящему от преобразования координат в
рассматриваемой точке. Получим, как и прежде, величины
g-p,v и g1** с нижними и верхними индексами. Однако они боль-
больше не константы, а меняются от точки к точке, т. е. являются
полевыми величинами.
II

Рассмотрим результат специального преобразования коор-
координат. Пусть каждая из новых криволинейных координат x'v-
есть функция четырех х^. Удобнее писать х^', где штрих стоит
при индексе, а не при основном символе.
Варьируя х11, получаем четыре величины 6#>\ образующие
контравариантныи вектор. Компоненты этого вектора в новых
координатах, согласно C.1), имеют вид
Ьх»' = (дяР'/дх*) 8xv = х»; v 8x\
Отсюда получаем закон преобразования любого контравариант-
ного вектора Av
А»'=х»\А\ C.2)
Переставив новую и исходную системы координат и изменив
индексы, получим
А% = х) ц. А»''. C.3)
Из свойств дифференцирования в частных производных из-
известно, что {в обозначениях B.5)]
Таким образом,
*^'*?'v = gt C.4)
Это позволяет увидеть согласованность C.2) и C.3), так как
подстановка C.2) в правую часть C.3) дает
*1>-*\А* = &А'=А\
Чтобы выяснить, как преобразуется ковариантный вектор
.Вц , используем условие инвариантности величины А^В^.
С учетом C.3) запишем:
А»' В»- = АхВь = х)^' А»' ВС
Этот результат должен оставаться справедливым для всех зна-
значений четырех величин А»', поэтому, приравняв коэффициенты
при А11', можно получить
В». = х) г В*. C.5)
Формулы C.2) и C.5) позволяют теперь преобразовывать
произвольный тензор с любым числом верхних и нижних ин-
индексов. Коэффициенты типа х^ и х^. как раз и должны
быть использованы для каждого верхнего и нижнего индекса
соответственно с соблюдением баланса индексов, например:
r'^^^VVrV C.6)
Любая величина, преобразующаяся по такому закону, есть
тензор. Соотношение C.6) можно считать определением тен-
тензора.
12

Заметим, что для тензора существенна симметрия или ан-
антисимметрия по индексам типа А, и ц, так как это свойство
сохраняется при преобразовании координат.
Формулу C.4) можно переписать в виде
X, а.' X, vgf' = gv,
откуда следует, что g% есть тензор. Для произвольных векто-
векторов A», Bv имеем
Так как это справедливо для всех значений Аа> и В$', заклю-
заключаем, что
fti'P'=«,«*%'¦*%'¦ C.7)
Отсюда следует, что g nv является тензором. Аналогично мож-
можно показать, что g^ — тензор. Эти величины называют фунда-
фундаментальными тензорами.
Произвольную скалярную полевую величину можно счи-
считать как функцией четырех х^, так и функцией четырех *ц-
Согласно свойствам операции дифференцирования в частных
производных
5)(д,' = 5д x,fi'.
Следовательно, 5д преобразуется, как В% из уравнения C.5),
.и, таким образом, производная от скалярного поля является
ковариантным векторным полем.
4. НЕТЕНЗОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Существуют величины N\p... с различными верхними и
нижними индексами, которые не являются тензорами. При пре-
преобразованиях координат тензорная величина должна преоб-
преобразовываться по закону вида C.6). В противном случае эта
величина — не тензор. Тензор обладает тем свойством, что
если все его компоненты обращаются в нуль в одной системе
координат, то они равны нулю и в любой другой. Для нетен-
нетензоров это не обязательно так.
Поднимать и опускать индексы нетензорных величин мож-
можно по тем же правилам, что и для тензоров. Так,
g N vp = N р.
Эти правила фактически никак не связаны с законами пре-
преобразования к новой системе координат. При определении не-
нетензорных величин с тем же успехом можно не делать разли-
различия между верхними и нижними индексами.
Тензоры и нетензоры могут стоять вместе в одном уравне-
уравнении. Балас индексов понимают для нетензоров так же, как для
тензоров.
13

Теорема о частном. Пусть величина P\nv такова, что
n является тензором для любого вектора Av. В этом
случае Р \у» — тензор.
Чтобы доказать это, введем Qp.v = А Р\^. По условию
Qnv есть тензор, поэтому
Тогда
А
Так как Ах — вектор, из C.2) имеем:
Таким образом,
Это равенство должно выполняться для всех значений Ла; еле*
довательно,
Р = Р х^"' Х^' Ху'.
Видно, что Papv — тензор.
Теорема остается справедливой для величины с произволь-
произвольным числом нижних и верхних индексов.
5. ИСКРИВЛЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО
Двухмерное искривленное пространство легко себе пред-
представить как поверхность в трехмерном евклидовом пространст-
пространстве. Аналогичным образом можно иметь дело с искривленным
четырехмерным пространством в плоском пространстве боль-
большего числа измерений. В этом случае искривленное простран-
пространство называют римановым. Малая область риманова прост-
пространства близка к плоскому пространству.
Эйнштейн предположил, что физическое пространство яв-
является пространством именно такой природы, и поэтому пола-
жил риманову геометрию в основу теории гравитации.
В искривленном пространстве нельзя ввести систему пря-
прямолинейных координат. Приходится пользоваться криволиней-
криволинейными координатами типа рассмотренных в разд. 3. Формализм
этого раздела можно целиком применить к искривленному
пространству, так как все обсуждавшиеся там уравнения яв-
являются локальными, что делает их нечувствительными к кри-
кривизне.
Инвариантный интервал ds между точкой х^ и близлежа-
близлежащей точкой x^+dx11 дается выражением вида B.1):
14

Интервал ds для вроемениподобных точек является действи-
действительным, для пространственно-подобных точек — мнимым.
В криволинейных координатах gy.v, заданная как функция
координат, фиксирует все элементы инвариантного расстояния;
таким образом, gy,v задает метрику. Величина gnV определяет
как координатную систему, так и кривизну пространства.
6. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
Пусть вектор А * локализован в точке Р. Если пространст-
пространство искривлено, понятие параллельного вектора в другой точке
Q лишено смысла, в чем легко убедиться на примере искрив-
искривленного двухмерного пространства в трехмерном евклидовом
пространстве. Однако в точке Р', близкой к Р, существует
вектор, параллельный Л1* с точностью до членов второго по-
порядка по расстоянию между точками Р и Р'. Тогда можно
придать смысл операции переноса вектора А11 из точки Р в
точку Р', оставляющей вектор параллельным самому себе и
не изменяющей его длины.
При помощи операции параллельного переноса можно не-
непрерывно перемещать вектор вдоль некоторой траектории.
Выбрав траекторию от Р до Q, получим вектор в точке Q,
параллельный, в смысле данной траектории, исходному векто-
вектору в точке Р. Другая траектория даст иной результат. Поня-
Понятие вектора в точке Q, параллельного исходному вектору з
точке Р, не является абсолютным. Если произвести параллель-
параллельный перенос вектора из точки Р вдоль замкнутой траектории,
то получим снова вектор в точке Р, который, вообще говоря,
отличается от исходного направлением.
Уравнения для параллельного переноса вектора можно по-
получить, предположив, что наше четырехмерное физическое про-
пространство находится в плоском пространстве большего числа,
скажем N, измерений. Введем в этом TV-мерном пространстве
прямолинейные координаты zn(n=l, 2,...,/V). Эти координаты
могут быть неортогональными. Для двух близлежащих точек
существует инвариантное расстояние:
ds^ = hnmd?ld?n, F.1)
где суммирование по п и т ведется от 1 до N. В отличие от
guv величины hnm являются константами. С их помощью мож-
можно опускать индексы в iV-мерном пространстве:
dzn = hnmdzm.
Физическое пространство образует четырехмерную «по-
«поверхность» в плоском iV-мерном пространстве. Каждая точка
ж1* этой поверхности определяет некоторую точку уп в JV-мер-
ном пространстве. Каждая координата уп является функцией
15

четырех х11. Уравнения поверхности задаются путем исключе-
исключения х11 из N функций уп(х). Таких уравнений N — 4.
Дифференцируя уп(х) по параметрам х^, получаем
Для двух близких точек поверхности, различающихся на
имеем
F.2)
Согласно F.1), квадрат инвариантного расстояния между эти-
этими точками имеет вид
Поскольку hnm — константы, то 6s2 можно записать в виде
Кроме того,
8s* = 8li
Отсюда получаем, что
?„.ч = Уп,»Уп,ч- F.3)
Рассмотрим в физическом пространстве контравариантный
вектор Л*\ локализованный в точке х. Компоненты Л1* преоб'
разуются так же, как б*1* из F.2), и из них, следовательно,
можно образовать соответствующий контравариантный вектор
Ап в iV-мерном пространстве, преобразующийся так же, как
Ьуп из F.2). Тогда
Л" = г/% Л*. F.4)
Вектор Лп, разумеется, принадлежит поверхности.
Сместим теперь Ап в соседнюю точку поверхности x+dx,
оставляя его параллельным самому себе (это означает, что
компоненты Лп остаются неизменными). Вследствие кривизны
пространства вектор в точке x+dx уже не принадлежит по-
поверхности. Однако его проекция на поверхность задает опре-
определенный вектор, принадлежащий поверхности.
Для нахождения проекции на поверхность нужно разло-
разложить вектор на тангенциальную и нормальную составляющие,
и затем нормальную составляющую отбросить:
Л" = Л?ап + Alor. F.5)
Если обозначить К11 компоненты Л"ап в координатной си-
системе х, принадлежащей поверхности, то в соответствии с
F.4) можно записать:
AnUn = Ktxyn,ll{x + dx), F.6)
где коэффициенты #% взяты в новой точке x+dx.
16

Составляющая Л?ог по самому определению ортогональ-
ортогональна любому тангенциальному вектору в точке x + dx и, следо-
следовательно, любому вектору типа правой части F.6) независимо
от вида К11. Тогда
Если теперь умножить F.5) на yn<v (x+dx), то член с
исчезает, и с учетом F.3) получим
Таким образом, с точностью до величин первого порядка по
dx находим:
Kv.(* + dx) = Ап [yniV {x) + yn-Via dxa] = Any\ [ynv + yn^<adxa\ =
Так как Kv есть результат параллельного переноса Av в точ-
точку x+dx, можно положить
Ky — Ay=dAv,
так что dAy обозначает изменение Av при параллельном пере-
переносе. Тогда имеем
yn,v,adxa. F.7)
7. СИМВОЛЫ КРИСТОФФЕЛЯ
Дифференцируя F.3), получаем (вторая запятая при дву-
двукратном дифференцировании опущена)
S^v.a = У\оУп.ч + У\Уп,чо = Уп,»о ^,v + УплоУ*,*' G.1)
поскольку немой индекс п вследствие постоянства hnm можно
поднять и опустить. Меняя местами ц и а в G.1), получаем
?оч,1х = Уп,о»У% + Уп,^УПо- G.2)
Переставляя v и а в G.1), имеем
8цо,* = Уп,»*Уп.о + Уп.тУп.ц- G-3)
Теперь сложим G.1) и G.3), вычтем из полученного уравне-
уравнения G.2) и разделим пополам. В результате получим:
\ll*) (.s^v.a > оца,v °va,n/ Уп.чаУ,ix • ^ '
Положим
T^va = A/2) (g^v,a + g^a.v-Sva, J • G-5)
Эту величину называют символом Кристоффеля первого типа.
Она симметрична по двум последним индексам. Символ Кри-
2 Зак. 1457 17

стоффеля первого типа не является тензором. Из G.5) непо-
непосредственно следует:
riwa + rv|iO = g|W(O. G.6)
Теперь ясно, что F.7) можно записать в виде
dAv = A* rVva dxa . G.7)
Это уже не относится к iV-мерному пространству, так как сим-
символ Кристоффеля выражается только через метрический тен-
тензор guv физического пространства.
Можно показать, что длина вектора не изменяется при па-
параллельном переносе. Действительно:
d и*" Ац Av) = g»v A» dAv + g^ Av dA» + Лм Av дг a dxP =
= A1 dAy + A11 dA» + Аа А р gap ,a dxa = Лv A» T^va dxa +
+ Лц Лv rv(ia ^° + Ла Лр ga\adxa = Лv Л11 g^v >a dxa +
+ ЛаЛрёар,аСгд:а. G.8)
Далее, ga>l,ag^v + fi^g^.a = (g**&»„).„ = g?,o = 0- Умножая
на g^v, получаем
,o- G-9>
Это полезное соотношение выражает производную gaP через
производную guv- Отсюда
Следовательно, выражение G.8) обращается в нуль. Таким
образом, длина вектора не изменяется. В частности, нулевой
вектор (т. е. вектор нулевой длины) при параллельном перено-
переносе остается нулевым.
Постоянство длины вектора при параллельном переносе
следует также из геометрических соображений. При разложе-
разложении вектора А11 на тангенциальную и нормальную составляю-
составляющие, согласно F.5), нормальная составляющая инфинитези-
мальна и ортогональна тангенциальной составляющей. Значит,
в первом приближении длина вектора равна длине его тан-
тангенциальной составляющей.
Постоянство длины произвольного вектора влечет за собой
постоянство скалярного произведения ^МиД, двух произ-
произвольных векторов Л и В. Это можно показать, используя по-
постоянство длины вектора А.+ ХВ при произвольном значении
параметра А,.
Часто бывает полезно поднять первый индекс символа Кри-
Кристоффеля так, чтобы образовать величину
которую называют символом Кристоффеля второго типа. Она
18

симметрична по двум нижним индексам. Как пояснялось з
разд. 4, операция поднятия индекса определена и для нетен-
зооных величин.
Формулу G.7) можно переписать в виде
dAv = r!taA»dxa. G.10)
Это стандартная запись в ковариантных компонентах. Введя
второй вектор -Sv, получим
d(AvBv)=0;
AvdB* = — BvdAv = —B*Y%aAlxdxa = — В11 Г^A,dx" .
Последнее соотношение справедливо для произвольного Av.
Тогда
dB' = —rvaB»dxa. G.11)
Это — стандартная запись для параллельного переноса в конт-
равариантных компонентах.
8. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ
Пусть точка с координатами z» движется по какой-либо
траектории, тогда z^ является функцией некоторого парамет-
параметра т. Положим dz^/dx = и? .
Имеется, таким образом, вектор и11, определенный в каж-
каждой точке траектории. Предположим, что при движении вдоль
траектории вектор и^ смещается посредством параллельного
переноса. Тогда задание начальной точки и начального значе-
значения вектора и11 определяет всю траекторию. Действительно,
надо сместить начальную точку из z^ в z^ + ulldx, затем по-
посредством параллельного переноса сместить в эту новую точ-
точку вектор и11, потом снова сместить точку в направлении,
заданном новым вектором и11, и т.д. Определена не только
траектория, но и параметр х вдоль нее. Траекторию, получен-
полученную таким способом, называют геодезической.
Если U.V- в начальной точке является нулевым вектором, то
он останется нулевым вектором во всех других точках; в этом
случае траекторию называют нулевой геодезической. Если и
в начальной точке — времениподобный вектор (ы|А^ц>0), то
он останется времениподобным вектором во всех других точ-
точках, и мы имеем времениподобную геодезическую. Соответст-
Соответственно, если и11 в начальной точке является пространственно-
подобным вектором (ым'Ыц<0), то он останется пространствен-
пространственно-подобным во всех других точках, и мы получим простран-
пространственно-подобную геодезическую.
2* 19

Обратившись к уравнению G.11) с Bv=uv и dxa =dza, по-
получим уравнения геодезической:
duv/dx + Г?а и* dza/dx = О, (8.1)
или
d?zv/dx* + Via (dzaldx) dza/dx = 0. (8.2)
Для времениподобной геодезической можно привести длину
начального вектора и11 к единице, умножив его на соответ-
соответствующий множитель. Для этого потребуется лишь изменить
масштаб т. Теперь вектор и^- всегда будет иметь единичную'
длину. Он представляет собой вектор скорости v^ = dz^/ds,
а параметр х становится собственным временем s.
Уравнение (8.1) приобретает вид
o° = 0, (8.3)
а уравнение (8.2)—вид
d2zll/ds2 + Г?а (dzyds) dza/ds = 0. (8.4)
Предположим, что мировая линия частицы, не находящейся
под воздействием каких-либо сил, кроме гравитационных, есть
времениподобная геодезическая. Это заменяет первый закон
Ньютона. Уравнение (8.4) задает ускорение и является урав-
уравнением движения.
Предположим также, что траектория светового луча есть
нулевая геодезическая. Она задается уравнением (8.2) с не-
некоторым параметром т вдоль траектории. Собственное время
5 в этом случае использовать нельзя, поскольку ds обращается
в нуль.
9. СВОЙСТВО СТАЦИОНАРНОСТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
Геодезическая, не являющаяся нулевой, обладает следую-
следующим свойством: интеграл J ds, взятый вдоль участка траектории с
граничными точками Р и Q, при малых вариациях траектории
с фиксированными граничными точками постоянен.
Пусть каждая точка траектории с координатами z^ сме-
смещена в точку с координатами zu + bz^ . Если смещение вдоль
траектории обозначить d^
то
2ds 8 (ds) = dx» dx* 6g(iv + g(iv dx» bdx* + g^ dx* bdx» =
= dx» dx* g|lv, x 6x* + 2g(U dx» ddx*-.
20

Кроме того,
Таким образом, поскольку dxlx = vilds, то
б {ds) = [A/2) g|iv <x о» ovfixb + g|lX о* d&etyds] ds.
Следовательно,
б J ds = J б (ds) = J [A/2) g|lv Л o» о* бЛх + ^ oli d6*Vds] ds.
Интегрируя по частям и используя условие 8хх = О в гранич-
граничных точках Р и Q, получаем
SJds = j [A/2)г^>хtfi*tO' — (d/ds)(gr^г»»*)] d**ds. (9.1)
Условием обращения (9.1) в нуль при произвольном 8хх яв-
является
(d/ds) (g(lX о") - A/2) g[iv л v» v* = 0 (9.2)
Далее,
Тогда условие (9.2) принимает вид
=0.
Умножив это уравнение на gXff, можем записать:
dv°/ds + Ylvvllvv = 0,
т. е. как раз условие C.3) для геодезической.
Отсюда видно, что для геодезической выражение (9.1) об-
обращается в нуль и )ds = const. И наоборот, если §ds постоя-
постоянен, можно показать, что траектория является геодезической.
Таким образом, условие постоянства Jds можно использовать
как определение геодезической, за исключением случая нуле-
нулевой геодезической.
10. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Пусть 5 — скалярное поле. Тогда, как было показано в
разд. 3, 5,v есть ковариантный вектор. Далее, пусть Лц — век-
векторное поле. Является ли его производная A»,v тензором?
Чтобы ответить на этот вопрос, посмотрим, как преобра-
преобразуется Л n,v при преобразованиях координат. В обозначениях
разд. 3 А ц преобразуется, согласно уравнению C.5):
и, следовательно,
21

Это выражение является точным законом преобразования тен-
тензора, если в правой части отсутствует последний член. Значит,
n,v —не тензор.
Можно, однако, модифицировать операцию дифференциро-
дифференцирования так, чтобы получить тензор. Возьмем вектор Л ц в точке
х и сместим его посредством параллельного переноса в точку
¦x+dx. При этом Л остается вектором. Вычтем его из векто-
вектора А в точке x+dx— разность тоже является вектором.
В первом приближении получим
Лц (х + dx) — [А» (х) + r?v Aa dx1] = (А*, v — r?v Aa) dx1 .
Эта величина есть вектор для произвольного вектора dxv, сле-
следовательно, согласно теореме о частном (см. разд. 4), коэф-
коэффициент -<4n,v — r^v-^a является тензором. Легко проверить
непосредственно, что при преобразованиях координат он пре-
преобразуется по тензорному закону. Это выражение называется
ковариантной производной Лд и записывается в виде
^pi:v ^ ^n,v 1 цл> Аа • ¦ AU. 1)
Знак «: ¦» перед нижним индексом далее будет обозначать ко-
вариантную производную, подобно тому, как запятая обозна-
обозначает обычную производную.
Пусть Bv — некоторый другой вектор. Определим ковари-
антную производную внешнего произведения как
(AliBv).a=^Alx:aBv + AlxBv:a. A0.2)
¦Очевидно, что это тензор с тремя индексами. Его явный вид
^есть
(Лц Bv):a = (Лц,ст — Г?а Аа) Bv + Ац (Bv, ст — r^ff Во) —
= (Ац Bv) ш а — I puj Aa Bv — 1V0 Ац Ва .
Пусть Tfxv — тензор с двумя индексами. Он выражается в
виде суммы членов вида A^BV; тогда его ковариантная про-
производная записывается так:
I цл>:а == 1 nv ,о — i ца 1 av * vff 1 ца • ( 1U.O)
Это правило можно обобщить для случая ковариантной про-
производной тензора с любым числом нижних индексов: .
Ypv...-.о = Fnv...,a — Г-член для каждого индекса. A0.4)
В каждом из этих Г-членов нужно выполнить условие балан-
баланса индексов. Этого достаточно для однозначной расстановки
индексов. Ковариантная производная скаляра получается из
общей формулы A0.4) при нулевом числе индексов в У:
У:о = У.о. (Ю.5)
Применим A0.3) к фундаментальному тензору g^. С уче-
учетом G.6) это дает
~~ Г"а <?ца = Spiv.с ~ Г^ст ~~ Г^" =
22

Таким образом, при ковариантном дифференцировании g nV
можно рассматривать как константу.
Формула A0.2) представляет собой обычное правило, ис-
используемое при дифференцировании произведения. Предполо-
Предположим, что это правило справедливо и для ковариантной про-
производной скалярного произведения двух векторов. Тогда
(AilBlx):a = Ail:aBlx + AilBli:a. A0.6)
Отсюда, согласно A0.5) и A0.1), получаем
(А*В»),а = А^В» + А»(В1Х,а-Г?аВа) ,
следовательно,
А% В» = А»:а В» - Аа Г?а В».
Так как это справедливо для произвольного В^., имеем:
А\а=А% + ЦаАа , A0.7)
что является стандартным выражением для ковариантной про-
производной контравариантного вектора. Здесь возникает тот же
символ Кристоффеля, что и в стандартной формуле A0.1) для
ковариантного вектора, но со знаком плюс. Расположение ин-
индексов полностью определяется требованиями баланса ин-
индексов.
Этот формализм можно обобщить на случай ковариантной
производной тензора с любым числом верхних и нижних ин-
индексов. Г-члены возникают для каждого индекса (со знаком
плюс для верхнего и со знаком минус для нижнего индексов
соответственно). Если свернуть два индекса, то соответствую-
соответствующие Г-члены сократятся.
Формула для ковариантной производной произведения
A0.8)
справедлива в самом общем случае для любых тензорных
величин X и Y. Поскольку g^v при ковариантном дифференци-
дифференцировании ведет себя как константа, индексы можно подни-
поднимать и опускать до дифференцирования: результат будет тот
же, что и при перемещении их после дифференцирования.
Ковариантная производная нетензорной величины не имеет
смысла.
Физические законы должны быть справедливы во всех си-
системах координат. Значит, они должны выржаться в виде тен-
тензорных уравнений. Если уравнения содержат производные по-
полевых величин, то это должны быть ковариантные производ-
производные. Полевые уравнения получаются заменой обычных произ-
производных ковариантными. Например, уравнение Даламбера
? V = 0 для скалярного поля V в ковариантной форме прини-
принимает вид
23

С учетом A0.1) и A0.5) это дает:
glxv(V,llv-lZvV,a) = O. A0.9)
Даже если рассматривать задачу в плоском пространстве
{т. е. в пренебрежении гравитационным полем) и использовать
криволинейные координаты, следует записывать уравнения в
терминах ковариантных производных, чтобы они сохраняли
свой вид во всех системах координат.
11. ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
Из формулы для дифференцирования произведения A0.8)
видно, что в этом отношении ковариантное дифференцирова-
дифференцирование вполне аналогично обычному. Однако важное свойство
-обычного дифференцирования, которое заключается в том, что
при действии двух операторов дифференцирования их поря-
порядок не имеет значения, для ковариантного дифференцирования
в общем случае не сохраняется.
Начнем с рассмотрения скалярного поля 5. Из A0.1)
имеем
*->:n:v ^ "->:n.,v * цл>*-*:а ^ «-> ,nv 1 цл> «J , а • A1.1)
Полученное выражение симметрично по индексам [х и v, так
что в этом случае порядок операторов ковариантного диффе-
дифференцирования не имеет значения.
Теперь подействуем двумя операторами ковариантного диф-
дифференцирования на вектор Av. Из формулы A0.3) с А^,0
вместо TVp находим
Av:p:o = -"v:p,a — Iva Аа:р — 1 pa Av:a = (i4v,p Ivp-^oJ ,a —
I va \Aa,p 1 оср-Др/ — 1 pa V^v.cc 1 va"P/ = -"V ,p,a, 1 vp -"a, a —
га л т-а я Ао (Г® Га ГР Га ГР )
— lva^ia.p — ipa-^v.a ^1pV1vp,a L va 1 ap LpaLva/ ¦
Переставляя индексы р и ст и вычитая получившееся выраже-
выражение из предыдущего, получаем
А>:р:а— А>:а:р = Afl R%pa , (П-2)
где
•^\vpa = Tva ,р — Tvp , а ~Ь 1 va 1 ар — 1 vpi aa • (!!•")
Левая часть A1.2) является тензором. Следовательно, и пра-
правая часть (П.2) есть тензор. Это справедливо для произволь-
произвольного вектора Лр, поэтому, согласно теореме о частном (см.
разд. 4), i^pff — тензор. Его называют тензором Римана—-
Кристоффеля, или тензором кривизны.
24

Тензор кривизны обладает очевидным свойством:
Rvpo = — Rvap • A 1. 4^
Из A1.3) непосредственно следует, что
Rvpo + Rpav + Ravp = 0. A1.5)-
Опустим индекс р на место первого нижнего индекса. Эта
даст
%a = g^ ГО р + Г^Гця
где <рст> обозначает предыдущие члены с переставленными
местами р и ст. Тогда из G.6) получим
= Ijiva.p — бцр.р ^va + Гцрр FVCT —
= r^v^.p — ГрцР rvCT —
С учетом G.5)
¦^nvpa = A/2) (g^ vp gv(J _ ^p — ^p V(J + g-vp _ nCT) +
+ rpnCTrvp — rpupFva. A1.6)
Теперь видны еще некоторые свойства симметрии тензора кри-
кривизны, а именно:
Rfivpa = — Avpipa ( 11 ./)¦
И
Результатом всех этих свойств симметрии является то, что иг
256 компонент R nvpa независимыми являются лишь 20.
12. КРИТЕРИИ ПЛОСКОГО ПРОСТРАНСТВА
Если пространство является плоским, можно выбрать пря-
прямолинейную систему координат; тогда guv будет константой
и, следовательно, R^pa обратится в нуль.
И, наоборт, если R^vpa обращается в нуль, можно пока-
показать, что пространство является плоским. Вектор Лц, располо-
расположенный в точке х, сместим посредством параллельного пере-
переноса в точку x+dx. Затем сместим его посредством параллель-
параллельного переноса в точку x+dx+bx. Если Rp.vpo обращаете»
в нуль, то при смещении Лц из х сначала в точку х+бх, а за-
затем в точку х+бх+й?х результат должен быть прежним^
Таким образом, при смещении вектора из одной точки в дру-
другую результат не зависит от траектории перехода. Тогда, пере-
перемещая параллельным переносом исходный вектор Лц из.

точки х во всевозможные точки, получаем векторное поле,
удовлетворяющее условию Лц^ =0, т. е.
i4|liV = rSvAJ. A2.1)
Можно ли представить такое векторное поле в виде гра-
градиента от скаляра? Положим в A2.1) Лц =5,ц . Получим
о "р^ о /10 О\
Вследствие симметрии F?v по нижним индексам выражения
для S,nv и 5,vn совпадают, и уравнение A2.2) является
интегрируемым.
Выберем четыре независимых скаляра, удовлетворяющих
A2.2), в качестве координат ха' новой координатной системы.
Тогда
а' _ т-а а'
Согласно трансформационному закону C.7)
Дифференцируя это соотношение по xv, находим с учетом G.6)
"' ' "' хР' + Xя' х$' \ =
= g гст + g Гст =
Следовательно,
Значит, ^a'p', v =0. В новой системе координат метрический
тензор является константой. Таким образом, мы имеем дело
с плоским пространством в прямолинейной системе координат.
13. ТОЖДЕСТВА БИАНКИ
Прежде чем обсуждать вторую ковариантную производную
произвольного тензора, рассмотрим тензор, являющийся внеш-
внешним произведением векторов Лц и Вх :
(AViBx).().a = (All.QBx + AVLBX:p).a = All:p..aBx + All:pBX:a +
+ Лц.ст J5T:p + Лц Вт:р:а •
Теперь поменяем местами р и ст и вычтем полученное равен-
равенство из исходного. С учетом A1.2) это даст
Ии Ят):р:а - (Л№ Бт);а:р = Ла ^«pff Бт + Л,, R«pa Ba .
Произвольный тензор ГцТ выражается в виде суммы членов
типа А^Вх, тогда он должен удовлетворять соотношению
Тр.х:р.о — Тцт:а:р = Tax "цра ~г ' \кс Rxpa • (lo.l)
26

Пусть Тцт является ковариантной производной вектора Л д:т.
Тогда
Ац;х:р:а — Ац-.х.а.р ^ ^а:х Riipa г ^ц:а *\хра •
Выполним в этой формуле циклические перестановки индек-
индексов т, <р и о и сложим полученные, три уравнения. Из левой,
части имеем
ПереСТ. = (AaR%.po):x +ЦИКЛ-
= Ла:х ДЦра + 4* ^ра:т + ЦИКЛ, перест. A3.2>
Правая часть дает
Aa:xRwo + ™KJI- перест., A3.3>
так как остальные члены сокращаются [см. равенство .A1.5)-]и
Первые члены в A3.2) и A3.3) сокращаются и остается
Аа R%po:x + цикл- перест. = 0.
Множитель А а фигурирует во всех членах этого уравнения1
и может быть отброшен. В результате имеем
Кро-.х + Кох.р + Я?хр:а = 0. A3.4>
В дополнение к условиям симметрии из разд. 11 тензор кри-
кривизны удовлетворяет этим дифференциальным уравнениям,.
Эти уравнения известны под названием тождеств Бианки-
14. ТЕНЗОР РИЧЧИ
Свернем R^vpo по двум индексам. Если свертка произво-
производится по индексам, относительно перестановки которых /?nvpa>
антисимметричен, то, разумеется, результатом будет нуль. Если
же сворачивать /?nvpa по другим парам индексов, то получим
результаты, отличающиеся один от другого лишь знаком. Это
следует из свойств симметрии A1.4), A1.7) и A1.8). Произ-
Произведем свертку по первому и последнему индексам. Получим,
7?И 7?
Avppi — Avp •
Этот тензор называют тензором Риччи.
Умножая A1.8) на g*0 , находим, что
tfvp=#pv, A4.1>
т. е. тензор Риччи симметричен.
Можно свернуть Rvp по оставшимся двум индексам и об-
образовать
Величина R — скаляр и называется скалярной кривизной^
Она определена таким образом, что является положительной
27"

для сферы в трехмерном пространстве, в чем можно убедиться
непосредственным вычислением.
Тождества Бианки A3.4) содержат пять индексов. Свернем
их дважды и получим соотношение с одним свободным индек-
индексом. Положим в A3.4) х = а и умножим на gw :
g \R\>.po:a + R\>.aa:p + Rixap-.a) = О,
т. е.
Далее,
„ИР па ир „ар р „Ш> „ар
g ^ира = g g •'хрира — eg
Вследствие симметрии Raa можно писать индексы один над
другим, т. е. /?". Тогда уравнение A4.2) приобретает вид
ИЛИ
2Re:a R:ah= О,
что представляет собой тождества Бианки для тензора Риччи.
Подняв индекс ст, можем записать
[R°a-(l/2)gaaR]:a = 0. A4.3)
Выражение для тензора Риччи, согласно A1.3), в явном
виде выглядит следующим образом:
Rixv = Г^ a, v — rjiv, a —
Гар + ГЦр TVa • A4.4)
Первый член здесь, на первый взгляд, не симметричен по \х
и v, тогда как остальные три, очевидно, симметричны. Доказа-
Доказательство симметрии первого члена требует проведения некото-
некоторых выкладок.
Чтобы продифференцировать детерминант g, необходимо
продифференцировать в нем каждый элемент gx» и домножить
его на алгебраическое дополнение ggXli . Таким образом,
g.v = §8*8^- A4.5)
Следовательно,
= A/2)g* (gXVili + g^-g^,) =
.v = 0/2) ?-' g,v = (l/2)(lng)v . A4.6)
Отсюда вытекает, что первый член в A4.4) симметричен по [д.
Я V. ;
28

15. ЭЙНШТЕЙНОВСКИЙ ЗАКОН ГРАВИТАЦИИ
До сих пор содержание книги носило чисто математиче-
математический характер, за исключением физического предположения
о том, что траектория частицы есть геодезическая. Многие ре-
результаты, изложенные в предыдущих разделах, были получены
в прошлом веке и относятся к искривленному пространству
произвольного числа измерений. В предшествующем форма-
формализме размерность пространства фигурирует лишь постольку,
поскольку
g? = число измерений.
Эйнштейн предположил, что в пустом пространстве
/?№v = 0. A5.1)
В этом и состоит эйнштейновский закон гравитации. «Пустое»
здесь означает отсутствие материи и каких-либо физических
полей, за исключением самого гравитационного поля. Гравита-
Гравитационное поле не нарушает пустоты. Все остальные поля нару-
нарушают. Условия пустоты пространства с хорошей точностью
справедливы для межпланетного пространства в Солнечной
системе, и здесь применимо уравнение A5.1).
Плоское пространство, очевидно, удовлетворяет соотноше-
соотношению A5.1). Геодезические в плоском пространстве являются
прямыми линиями; таким образом, частицы движутся по пря-
прямым линиям. В случае искривленного пустого пространства
эйнштейновский закон накладывает ограничения на кривизну.
Вместе с предположением о том, что планеты движутся по
геодезическим это дает некоторую информацию об их дви-
движении.
На первый взгляд, эйнштейновский закон гравитации не
имеет ничего общего с ньютоновским. Чтобы увидеть анало-
аналогию, нужно рассматривать g nV как потенциалы, описывающие
гравитационное поле. В отличие от одного ньютоновского
потенциала в эйнштейновской теории их десять. Эти потенциалы
описывают не только гравитационное поле, но и координатную
систему. Гравитационное поле и система координат в эйнштей-
эйнштейновской теории неразрывно связаны, и их не удается описать
независимо друг от друга.
При рассмотрении компонент g^ как потенциалов A5.1)
оказывается полевым уравнением и выглядит как обычное
полевое уравнение в том смысле, что оно является уравнением
второго порядка, так как вторые производные входят в A4.4)
через символы Кристоффеля. Уравнение A5.1) отличается от
обычных полевых уравнений тем, что оно нелинейно, сущест-
существенно нелинейно. Эйнштейновские уравнения весьма сложны,
« находить их точные решения трудно.
29

16. НЬЮТОНОВО ПРИБЛИЖЕНИЕ
Рассмотрим статическое гравитационное поле в статической
системе координат. Тогда g,xV постоянно во времени, т. е.
gixv o=0. Далее, для т=\, 2, 3 должно выполняться условие:
ёто = 0.
Следовательно,
и g™71 является обратной матрицей по отношению к gmn-
Латинские индексы всегда пробегают значения 1, 2, 3. Отсюда
находим, что Гтот1 = О, а тогда и Г™п =0.
Рассмотрим частицу, движущуюся со скоростью малой по
сравнению со скоростью света. Тогда vm есть малая первого
порядка. В пренебрежении величинами второго порядка ма-
малости получим, что
=l- A6.1)
Частица движется по геодезической. Уравнение геодезии^,
ской (8.3) с точностью до членов первого порядка дает
dV»/ds = -Г™(а°K = - gmnrn00(a»K = A/2)Ц™пййшП(v°)'
Но с точностью до членов первого порядка
dvm _ dvm dx* _ dvm
ds dxV- ds dxa
Тогда с учетом A6.1) запишем
Поскольку gp* не зависит от х°, можно опустить индекс ту
что даст соотношение
(gk)tm. A6.3)
Видно, что частица движется так, будто она находится под воз-
воздействием потенциала g\J? . При получении этого результата
никак не использовалось уравнение Эйнштейна. Теперь для
сравнения эйнштейновской теории с ньютоновской учтем закон
Эйнштейна, приводящий к определенным уравнениям для по-
потенциала.
Предположим, что гравитационное поле является слабым,
так что кривизна пространства — времени мала. Тогда можно
выбрать систему координат, для которой кривизна координат-
координатных осей (для каждой из осей три координаты фиксированы)
мала. В этом случае guv в первом приближении есть кон-
константа, a g цу.ст и все символы Кристоффеля малы. Уравнение
30

Эйнштейна A0.1) с точностью до членов первого порядка при-
приобретает вид {см. A4.4)]
Сворачивая A1.6) по двум индексам с перестановкой р и ц
и пренебрегая членами второго порядка малости, можно пре-
преобразовать это соотношение к следующему более удобному
виду:
00° (а —а —0 4-й } = 0 A6 4)
S VsPa,nv Sva.np snp,va ' 6nv,pa/ v1"-^/
Положим теперь fi = v = O и используем условие независимости
от х°. Получим
Уравнение Даламбера A0.9) в приближении слабого поля при-
принимает вид
В статическом случае это выражение сводится к уравнению
Лапласа:
gmn V.mn = 0.
Уравнение A6.5) как раз и означает, что gm удовлетворяет
уравнению Лапласа.
Можно выбрать единицу измерения времени так, чтобы goo
мало отличалось от единицы. Тогда положим:
goo=l+2F, A6.6)
где V—мало. В этом случае gool/2 = 1 -Г V и V становится потен-
потенциалом. Поскольку V удовлетворяет уравнению Лапласа, его
можно отождествить с ньютоновским потенциалом, равным
—т/г, где т — масса источника. Теперь видно, что A6.2) при-
приводит к соотношению:
Ускорение = —grad V,
так как диагональные элементы gmn^ — 1. Значит, знак при V
был выбран правильно.
Таким образом, закон Эйнштейна переходит в закон Нью-
Ньютона, когда поле является слабым и статическим. Следователь-
Следовательно, результаты ньютоновской теории по объяснению движения
лланет остаются в силе. Приближение статичности оправды-
оправдывается малостью скоростей планет по сравнению со скоростью
света. Приближение слабого поля является хорошим, так как
лространство очень незначительно отклоняется от плоского.
Рассмотрим порядки некоторых величин.
Значение потенциала V на поверхности Земли оказывается
порядка Ю-9. Таким образом, goo из формулы A6.6) очень
•близко к единице. Но даже такое малое отличие goo от единицы
31

приводит к значительным гравитационным эффектам, наблю-
наблюдаемым на Земле. Взяв радиус Земли порядка 109 см, найдем,
что значение goo, m порядка 10~18 см.-1. Следовательно, отклоне-
отклонение пространства от плоского крайне мало. Однако, чтобы
получить ускорение в гравитационном поле на поверхности
Земли, нужно умножить это отклонение на квадрат скорости
света, т. е. на 9-Ю20 (см/секJ. Поэтому ускорение (около
103 см/сек2) вполне ощутимо, хотя само отклонение простран-
пространства от плоского бесконечно мало, для того чтобы его можно
было наблюдать непосредственно.
17. ГРАВИТАЦИОННОЕ КРАСНОЕ СМЕЩЕНИЕ
Рассмотрим монохроматическое излучение покоящегося ато-
атома, находящегося в статическом гравитационном поле. Длина
волны излучаемого света соответствует определенному значе-
значению As. Поскольку атом покоится, в статической системе коор-
координат типа системы, использовавшейся в разд. 16, имеем
As* = goo(Ax°f,
где Д*0—период, т. е. время между соседними максимумами,
отнесенное к выбранной системе координат.
При распространении света в другую область пространства
Ах° не изменяется. Величина Ах° — не то же самое, что период
некоторой спектральной линии атома, находящегося в данной
точке. Эту роль играет As. Таким образом, период зависит
от гравитационного потенциала goo в той точке, где свет был
излучен:
Множитель gOo~1/2 описывает смешение спектральной линии.
В ньютоновом приближении A6.6) имеем
>~1— V.
Значение V отрицательно в области сильного гравитационного
поля, например на поверхности Солнца. Поэтому свет, излучае-
излучаемый на Солнце, смещен относительно света, излучаемого на
Земле, в красную часть спектра. Этот эффект можно было бы
наблюдать для света от Солнца, если бы он не терялся на фоне
других физических эффектов, таких, как эффект Доплера, воз-
возникающий из-за движения излучающих атомов. Красное смеще-
смещение более заметно для света от белых карликов, где вследствие
высокой плотности материи гравитационный потенциал на по-
поверхности звезды гораздо выше.
32

18. РЕШЕНИЕ ШВАРЦШИЛЬДА
Уравнения Эйнштейна для пустого пространства представ-
представляют собой очень сложные нелинейные уравнения, и нахожде-
нахождение их точных решений является весьма трудной задачей.
Однако в одном специальном случае решение находится без
особых усилий, а именно: в случае статического сферически-
симметричного поля, создаваемого покоящимся сферически-
симметричным телом.
Условие статичности означает, что в статической коорди-
координатной системе goo не зависит от времени х°, или t, и, кроме
того, gom = 0. В качестве статической координатной системы
можно выбрать сферические полярные координаты х* = г,
х2 = в, *3=ф. Наиболее общее выражение для ds2 в случае сфе-
сферической симметрии имеет вид
ds2 = Udt2 — Vdr2 — Wr2 (d62 + sin2 Qd<p2),
где U, V и W зависят только от г. Не нарушая сферической
симметрии, можно заменить г произвольной функцией от г.
Используем это обстоятельство для максимального упрощения
выражения для ds2. Удобнее всего обратить множитель W
в единицу. Тогда ds2 можно записать следующим образом:
ds2 = exp Bv) dt2 — ехр BЯ) dr2 — r2d62 — r2 sin2 Qdy2, A8.1)
где v и Я зависят только от г. Функции v и Я должны быть
выбраны так, чтобы удовлетворять уравнениям Эйнштейна.
Из A8.1) можно выразить gnV через v и Я:
g00 = ехр Bv); gu = — ехр BЯ);
g22 = — г2; ?зз = — г3 sin2 0;
g^ = 0 для ii ф v.
Далее находим
g" - ехр (- 2v); g" =-exp (- 2Я);
g22 = — г-2; g33 = — г-2 sin-2 9;
gM.v = О ДЛЯ }i ф V.
Теперь необходимо выразить через v и Я все символы;
Кристоффеля. Многие из них обращаются в нуль, а оставшиеся
имеют вид:
Гое
г!,
Г22
= v'
= Я'
=
expBv —2Я);
1
- г ехр (—2Я);
Гю = V;
г2 г3
1 12 = 1 13 =
r^3 = ctg0;
Г33 = —rsin20exp(—2Я); г!3 = — sin 0 cos 0,
где штрих означает дифференцирование по г. Эти выражения^
нужно подставить в A4.4). В результате получим:
33;.

+ k'v'—v'' — 2v'/r) expBv — 2Я); A8.2)
= v" — XV + v'' — 21'/r; A8.3)
l+rv' —гЯ')ехр(—2Я) —1; A8.4)
{остальные компоненты R^ в этом случае тождественно рав-
равны нулю).
Эйнштейновский закон гравитации требует, чтобы эти выра-
выражения обращались в нуль. Обращение в нуль A8.2) и A8.3)
дает
%' + v' = 0.
При больших г пространство должно быть близко к плос-
плоскому, так что при r-voo и Я, и v должны стремиться к нулю.
Следовательно,
Из обращения в нуль A8.4) следует, что
A+2rv')expBv)= 1,
ИЛИ ;
[rexpBv)]' = 1.
Отсюда
г exp Bv) = г — 2т,
где т — постоянная интегрирования. Подстановка последнего
соотношения в A8.2) и A8.3) также обращает их в нуль.
Из этого же соотношения получаем выражение для gM:
goo = l—2m/r. A8.5)
Для больших значений г должно быть справедливо ньюто-
ньютоново приближение. Сравнение A8.5) с A6.6) показывает, что
постоянная интегрирования т, которая появляется в A8.5),
есть не что иное, как масса тела, создающего гравитационное
поле.
Полное решение уравнений Эйнштейна имеет вид
) dt* (\ ^Lyldr2 rW r2sin20dcpa A8.6)
Оно известно под названием решения Шварцшильда и приме-
применимо вне тела, создающего гравитационное поле, т. е. в об-
области, где отсутствует материя. Таким образом, это уравнение
с приемлемой точностью справедливо вне поверхности звезды.
Для движения планет вокруг Солнца решение A8.6) дает
малые поправки к ньютоновской теории. Они ощутимы только
для Меркурия — ближайшей к Солнцу планеты — и объясняют
34

отклонение траектории этой планеты от траектории, предска-
предсказываемой теорией Ньютона. Это является убедительным под-
подтверждением эйнштейновской теории.
19. ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
При г = 2т решение A8.6) становится сингулярным, так как
в этой точке goo=0 и gu =—оо. Может показаться, что г = 2т
является минимально возможным радиусом тела массы т.
Однако ближайшее рассмотрение показывает, что это не так.
Рассмотрим частицу, падающую на центральное тело. Пусть
ее вектор скорости есть иц= dz^/ds- Предположим, что частица
падает по радиусу так, что vz=v3=0. Ее движение определяется
уравнением геодезической (8.3):
dtfi/ds = — r°v xf vv = — g°°TOviV v» vv =
= ~ S°° Soo, i № = -g°° (dgjds) xfi.
Учитывая что, g00 = l/gOo> получаем
Это уравнение интегрируется и дает соотношение
= К
где k — постоянная интегрирования, которая равна значению*
goo в начальной точке траектории частицы.
В рассматриваемом случае имеем, как и прежде,
= g00 (Iff
Умножая это уравнение на goo и используя соотношение
googn = — 1, полученное в предыдущем разделе, находим
?2_(uiJ = goo= i_2m/r.
Для падающего тела vi<.0; следовательно,
v1 = — (k2— I +2m/rI/2.
Тогда
dt/dr = zfi/v1 = —k(l— 2m/r)~l (k2 — 1 + 2m/r)-1/2.
Пусть частица находится вблизи критического радиуса, т. е.
г=2т-\-е, где е мало и члены порядка е2 отброшены. Тогда
dt/dr = — 2т/г = — 2т/(г — 2т).
Интегрируя это соотношение, получаем
t = — 2т In (г — 2т) + константа.
Таким образом, при r-+2m t-*-oo, т. е. для достижения части-
частицей критического радиуса 2т требуется бесконечное время.
35

Предположим, что удаленный, наблюдатель рассматривает
частицу, излучающую свет определенной частоты. Свет испы-
испытывает красное смещение, описываемое множителем goo''''^(l —
—2т/г)~л'Ч При достижении частицей критического радиуса
этот множитель обращается в бесконечность. С точки зрения
удаленного наблюдателя, все физические процессы в частице
по мере ее приближения к критическому радиусу г = 2т проте-
протекают все медленнее и медленнее.
Рассмотрим теперь наблюдателя, движущегося вместе
с частицей. Для такого наблюдателя приращение времени
совпадает с ds. Тогда
dsldr =\lvx = — {k2 — \+ 2m/r)~'/s .
При г-+2т величина dsjdr стремится к —krl. Следовательно,
достижение частицей радиуса г = 2т происходит за конечное
собственное время наблюдателя. Если в момент достижения
критического радиуса возраст движущегося наблюдателя коне-
конечен, то что же произойдет с ним дальше? По-видимому, наблю-
наблюдатель будет продолжать свободно падать в пустом простран-
пространстве, двигаясь в область все меньших и меньших значений г.
Для того чтобы рассмотреть продолжение решения Шварц-
шильда на область г<2т, необходимо ввести нестатическую
систему координат; g^ в этом случае становится функцией
временной координаты. Оставим координаты 8 и <р прежними,
а вместо t и г введем тир, определяемые соотношениями:
x = t + f(r)\ p = t + g(r), A9.1)
где fug — произвольные функции. Тогда справедливо равен-
равенство
^ZL rfp2 = (Л + у dry zHL(dt + g'drJ = f\ — —
dr^ A9.2)
полученное за счет выбора функций fug, которые удовлетво-
удовлетворяют условиям:
f'=Bm/r)g' A9.3)
и
Bm/r)g'2 —f'* = {\— 2m/r)-' . A9.4)
Здесь штрих означает производную по г.
Исключив из этих уравнений /, найдем
g/ = (r/2mI/2(l—2m/r)-1. A9.5)
36

Чтобы проинтегрировать уравнение A9.5), положим г=у2 и
2т = а2. При г>2т величина у>а. Получаем
dg/dy = 2y dg/dr = Bу*/а)/(у* — а2),
откуда
g = B/За) у3 + 2ау — a2In [(у + а)/(у — а)]. A9.6)
Окончательно из A9.3) и A9.5) имеем
ё - f = A - 2m/r) g' = (r/2m)v- ,
что интегрируется и дает
B/3)(l/y2U)r'/>=g-f = p—x. A9.7)
Таким образом,
г = ц(р — т)г/', A9.8)
где
Из проведенных выкладок видно, что удовлетворить условиям
A9.3) и A9.4) можно. Значит, справедливо равенство A9.2).
Подставляя A9.2) в решение Шварцшильда A8.6), получаем
ds* = dx2 2m ,. dp2 — ii2(p — t)Vs (dd2 + sin2 8<*p2). A9.9)
}X (p — T) /з
Критический радиус r = 2m, согласно A9.7), соответствует
р — т = 4m/3. В метрике A9.9) сингулярность отсутствует.
Поскольку метрику A9.9) можно явно преобразовать в ре-
решение Шварцшильда при помощи преобразования координат,
то она удовлетворяет уравнениям Эйнштейна для пустого про-
пространства в области r~>2m. Из отсутствия сингулярности при
г = 2пг и из аналитической непрерывности заключаем, что A9.9)
удовлетворяет уравнениям Эйнштейна и при г^2ш. Метрика
A9.9) остается применимой вплоть до точки г=0 или р—т=0.
Сингулярность появляется при переходе от новых координат
к исходным A9.1). Но так как введена новая система коор-
координат, забудем об исходной, и тогда сингулярность больше по-
появляться не будет.
Видно, что решение Шварцшильда для пустого пространства
распространимо на область r<2m. Однако эта область изоли-
изолирована от области r>2m. Как нетрудно проверить, любому
сигналу, даже световому, потребуется бесконечное время, что-
чтобы пересечь границу r = 2m. Таким образом, область r<2m не
является непосредственно наблюдаемой. Такую область назы-
называют черной дырой, так как материальные тела могут попасть
внутрь сферы радиусом r = 2m (за бесконечное время по часам
удаленного наблюдателя), но ничто не может выйти наружу.
Возникает вопрос, существуют ли такие области в действи-
действительности? Определенно можно сказать только одно: уравнения
37

Эйнштейна их существование допускают. Массивный звездный'
объект может сжаться до очень малых размеров; в этом случае
гравитационные силы становятся настолько большими, что ни-
никакие другие из известных физических сил не смогут их урав-
уравновесить и предотвратить тем самым дальнейшее сжатие-
Похоже, что сжатие такого. объекта должно привести к обра-
образованию черной дыры*. Правда, по часам удаленного наблюда-
наблюдателя на это потребовалось бы бесконечное время, однако по»
отношению к самой падающей материи время сжатия конечно-
конечного. ТЕНЗОРНЫЕ ПЛОТНОСТИ
Элемент четырехмерного объема при преобразованиях ко-
координат преобразуется по закону:
dx0' dx1' dx2' dx3' = dx«c№dx*cbi?J, B0.1 >
где J — якобиан;
J = д (/' xv x' xv)ld (x°x1x2x3) = det x»'a.
Для краткости запишем B0.1) в виде
dV = Jd*x. B0.2 v
Учтем, что
0 — *•*' 0 хУ'
Правую часть этого выражения можно рассматривать как
произведение трех матриц; у первой матрицы индекс а обозна-
обозначает строки, индекс ц'— столбцы; у второй матрицы индекс уьг
обозначает строки, индекс v' — столбцы; у третьей матрицы
индекс v' обозначает строки, индекс C — столбцы. Это произве-
произведение равно матрице ga& из левой части. Соответствующее
соотношение должно иметь место и для детерминантов,
поэтому
g=Jg'J или g = J2g'.
Далее, так как g является отрицательно определенной вели-
величиной, можно образовать У—g, где подкоренное выражение
выбрано положительно определенным.
Таким образом,
r-g=Jyr-g' • B0.3)
* В последнее время появились аргументы в пользу того, что определен-
определенные фнзнческне поля, не предотвращая сжатия, предотвращают появление
сингулярности в метрике, т. е. образование черной дыры (см., например:
М. А. Марков. Глобальные свойства вещества в коллапсированном состоянии.—
«Успехи фнз. наук», 1973, т. 111, с. 3). — Прим. пер.
38

Пусть 5 — некоторое скалярное поле. Для него S=S'. Тогда
J 5 V=g d*x = J 5 V=g J#x = J 5' V:=ri **
при условии, что область интегрирования в координатах х?
соответствует области интегрирования в координатах х. Следо-
Следовательно,
J 5 У—g d*x = инвариант. B0.4)
Назовем величину Sy—g, интеграл от которой является инва-
инвариантом, скалярной плотностью.
Аналогично для любого тензорного поля 7liV-- величину
j.nv... y—^. можно назвать тензорной плотностью. Когда об-
область интегрирования мала, \ T^v \f—gdlx является тен-
тензором. Если область интегрирования не мала, то этот интеграл
не будет тензором, так как он представляет собой сумму тен-
тензоров, заданных в разных точках и, следовательно, не преобра-
преобразуется по какому-либо простому закону при преобразованиях
координат.
Величина У—g в дальнейшем используется очень часто.
Далее для краткости будем записывать ее в виде У . Так как
то формула A4.5) дает
/,v = (l/2)^gXliirXli,v, B0.5)
и формулу A4.6) можно записать в виде
Г^г V = V.V B0.6)
21. ТЕОРЕМЫ ГАУССА И СТОКСА
Ковариантная дивергенция Л^:ц вектора А* является
скаляром. Для нее можно записать выражение
Л% = А\ + Г^ Av = А\ + K"V.v А\
Отсюда
Л%К=(Л1А1/),ц. B1.1)
Подставив в качестве 5 в B0.4) А ^ц, получим инвариант
Если интеграл берется по ограниченному (четырехмерному)
объему, то правую часть можно преобразовать по теореме
Гаусса в интеграл по (трехмерной) граничной поверхности
этого объема.
При А\ = 0
О^О. B1.2)
39

Это приводит к закону сохранения, а именно к закону сохране-
сохранения жидкости, плотность которой есть Л°У, а поток задается
трехмерным вектором АтУ (т = 1, 2, 3). Можно проинтегриро-
проинтегрировать B1.2) по трехмерному объему V при некотором фиксиро-
фиксированном х°. В результате получим
— поверхностный интеграл по границе объема V. Если отсутст-
отсутствуют токи, пересекающие границу объема V, то §A°f~dzx
есть константа.
Эти результаты для вектора А* нельзя, вообще говоря,
распространить на тензор с большим числом индексов. Рассмот-
Рассмотрим тензор с двумя индексами F^v. В плоском пространстве,
используя теорему Гаусса, можно преобразовать J Y^v,v d*x
в поверхностный интеграл; в искривленном пространстве в об-
общем случае нельзя преобразовать объемный интеграл
J FliV,v V d4x в поверхностный. Исключение составляет анти-
антисимметричный тензор F"" = — FVil.
В этом случае
отсюда с учетом B0.6)
7*v:v = Р»\v + Г^р F^ + Цр Fw = F»\v + V~l V,P F™.
Тогда
F"v:v]/-=(^Y)lV. B1.3)
Следовательно, J F^-.vУ d*x равен поверхностному интегралу,
и при условии F^-.v =0 получаем закон сохранения.
Для симметричного тензора Y^ = Fvli, если опустить один
из индексов и работать с 7ц%, то можно получить соответству-
соответствующее уравнение с дополнительным членом:
v V t^v Г01 ' V V-LFV Vя
•«И -о — 1 ц .с '¦v.a x а. т'оа' ц •
Подставив a=v и использовав B0.6), получим
Поскольку Yav симметричен, то можно с учетом G.6) заме-
заменить raiiv в последнем члене величиной
В итоге можно записать
Для ковариантного вектора Лц имеем выражение:
^(j:v — Avp = Аул.,,, — I|iv Ар \AVttx I v ц Ар) =
= Ail,v-Av,Vi. B1.5)
40

Результат B1.5) можно сформулировать так: ковариантный
ротор равен обычному ротору. Это утверждение справедливо
только для ковариантного вектора. Для контравариантного
вектора по соображениям баланса индексов ротор образовать
нельзя.
Положим (j, = l, v = 2. Тогда получим
AV.2 — А2:Х = АХ,2 — Л2 ,1 •
Проинтегрируем это равенство по некоторой области поверх-
поверхности х°=const, x3 = const. Согласно теореме Стокса, имеем
— A2,l)ax1dx2 =
B1.6)
где последний интеграл берется по границе области. Таким
¦образом, полученный интеграл по замкнутому контуру равен
потоку через поверхность, ограниченную этим контуром. Этот
результат должен иметь место не только в системе координат,
в которой уравнение рассматриваемой поверхности есть
х° = const, x3=const, но и в общем случае, т. е. в любой системе
координат.
Чтобы получить инвариантный способ записи этого резуль-
результата, введем общее выражение для элемента двухмерной по-
поверхности. Элемент поверхности, определяемый двумя малыми
жонтравариантными векторами ^ и ?>*, задается антисимметрич»
«ым тензором второго ранга:
Тогда, если I» и ?•* имеют вид @, dx1, 0, 0) и @, 0, dx2, 0),
то две компоненты dS^ выглядят следующим образом:
dS12 = dx4x2; dS21 = — dx4x2,
& остальные компоненты обращаются в нуль. Левая часть
B1.6) принимает вид §§ A^dS^; правая часть B1.6) есть, оче-
очевидно, J A^dx^, поэтому имеем
-j JJ (A^ — A^dS^^ J А»е1х». B1.7)
Поверхность Периметр
22. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
Уравнение Даламбера ПК = 0 для скалярного поля V с уче-
учетом A0.9) дает
g»4V.^-^V.a) = 0. B2.1)
В плоском пространстве в неортогональной системе координат
каждая из четырех координат хх удовлетворяет уравнению
41

= О. В B2.1) можно в качестве V подставить хх . Так как
в отличие от V хх не является скаляром, полученное уравне-
уравнение, разумеется, не будет тензорным, т. е. это уравнение спра-
справедливо только в определенных координатных системах. Оно
накладывает на координаты некоторые ограничения.
Если в качестве V подставить хх, то Vt следует заменить
величиной хх,а — Sa- Тогда уравнение B2.1) примет вид
б^Г^ = 0. B2,2)
Координаты, удовлетворяющие этому условию, называют гар-
гармоническими. Они аппроксимируют неортогональные коорди-
координаты с максимальной точностью, какая только возможна в ис-
искривленном пространстве. При желании их можно использовать
в любой ситуации, однако очень часто дело того не стоит, так
как тензорный формализм в произвольных координатах дейст-
действительно является весьма удобным аппаратом. При рассмотре-
рассмотрении гравитационных волн гармонические координаты все же
оказываются очень полезными.
Из G.9) и G.6) имеем в произвольных координатах
- g** TZa . B2.3)
Отсюда с учетом B0.6) следует равенство
(gIXVV).o= (-g^na-g^raa + ^T^)V. B2.4)
Сворачивая его по двум индексам (полагаем a=v), получаем
B2.5)
Видно, что альтернативная форма записи условий гармонич-
гармоничности есть
= 0. . B2.6)
23, ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Уравнения Максвелла в стандартной записи имеют вид:
Е = — A /с) dA/dt — grad Ф; B3.1 >
H = rotA; B3.2)
A/с) dH/dt = — rot E; B3.3)
divH = 0; B3.4)
A1 с) дЕ/dt = rot H — 4я j; B3.5>
divE = 4jxp. B3.6>
Сначала запишем их в четырехмерной форме в рамках специ-
42

альной теории относительности. Потенциалы АиФ образуют
4-вектор k согласно соотношениям
#> = ф) ?т = Дт; /71=1,2,3.
Введем
^HV = ^n,v— &у,ц. B3.7)
Тогда в соответствии с B3.1)
_ _ _ p
dxfl дх1 дх» dx* 10
ж согласно B3.2)
dk* ^ dk3 dk2 _ p =/723
д3 д* д3 м
H
дх* дх3 дх* дх3
Таким образом, шесть компонент антисимметричного тен-
.зора Fnv определяют полевые величины Е и Н.
Из B3.7) следует, что
^"nv.a + ^"va.n + ^"an.v = 0- B3.8)
Это уравнение содержит в себе уравнения Максвелла B3.3)
и B3.4). Далее, из B3.6) имеем
FOv, v = FOm,m = — Fm\m = divE = 4яр. B3.9)
Аналогично из B3.5) получаем
дх° дх2 дх3
B3.10)
Плотность заряда р и ток ]т образуют 4-вектор №, согласно
соотношениям /°=р, Jm=jm. Тогда B3.9) и B3.10) объеди-
объединяются в одно уравнение
7?|iV,v = 4ax^. B3.11)
Итак, уравнения Максвелла переписаны в четырехмерной фор-
форме, требуемой специальной теорией относительности.
Чтобы перейти к общей теории относительности, нужно за-
записать уравнения в ковариантной форме. С учетом равенства
B1.5) тензор B3.7) можно непосредственно обобщить:
•Гцл» = A^v — «v-.ц-
Это позволяет определить ковариантные полевые величины
..Fnv . Далее получаем
Выполняя циклическую перестановку индексов (л, v, a и склады-
складывая полученные таким образом уравнения, имеем [с уче-
учетом B3.8)]:
- ^va-.ц 4" Fa\x:\ = F\>M,a "Ь Fvo,\\ "Ь Faix,v = 0. B3.12)
43

В результате это уравнение Максвелла автоматически приоб-
приобретает ковариантный вид.
Остается разобраться с уравнением B3.11). В рамках об-
общей теории относительности оно не справедливо и должно быть
заменено ковариантным уравнением
7**% = 4яУ\ B3.13)
Из равенства B1.3), которое справедливо для любого антисим-
антисимметричного тензора второго ранга, получаем
Отсюда непосредственно следует равенство
Это уравнение, аналогичное уравнению B1.2), представляет
собой закон сохранения электричества. Учет кривизны прост-
пространства не нарушает его, закон выполняется точно.
24. МОДИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА
В ПРИСУТСТВИИ МАТЕРИИ
К отсутствие материи уравнения Эйнштейна имеют вид
R>xv = 0. B4.1)
Отсюда следует, что R = 0 и, таким образом,
Я^ — A/2)ё^Д = 0. B4.2)
Если взять за исходное уравнение B4.2), то путем свертки
можно получить
R — 2R = О
и, следовательно, вернуться к B4.1). В качестве основных
уравнений пустого пространства можно использовать как
B4.1), так и B4.2).
В присутствии материи эти уравнения необходимо модифи-
модифицировать. Предположим, что модифицированное уравнение
B4.1) записывается так:
а B4.2) принимает вид
R»v—A/2) glxvR = Ylx\ B4.4)
Здесь XliV и y(iV — симметричные тензоры второго ранга,,
отражающие присутствие материи.
Теперь видно, что B4.4) — более удобная для работы за-
44

пись, так как имеют место тождества Бианки A4.3), которые
показывают, что
Следовательно, B4.4) влечет за собой равенство:
. Y»\ = 0. B4.5)
Любое тензорное поле Y»v, порождаемое материей, должно
удовлетворять этому условию; в противном случае уравнения
B4.4) не являются согласованными.
Для удобства введем в уравнение B4.4) коэффициент —8л,
и перепишем его в виде
R»v — A/2) g^R = — 8nY»\ B4.6>
В дальнейшем будет показано, что тензор Fliv с этим коэф-
коэффициентом следует интерпретировать как плотность и поток
энергии и импульса (негравитационного происхождения), при-
причем К1* ° представляет собой плотность, а У^г — поток.
В плоском пространстве уравнение B4.5) имело бы вид
и влекло бы за собой закон сохранения энергии и импульса.
В искривленном пространстве энергия и импульс сохраняются
лишь приближенно. Отклонение от закона сохранения вызвано
действием гравитационного поля на материю и наличием собст-
собственных энергии и импульса гравитационного поля.
25. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ — ИМПУЛЬСА МАТЕРИИ
Пусть задано распределение материи, скорость которой
непрерывно меняется от точки к точке. Если обозначить z*
координаты элемента материи, то можно ввести вектор скоро-
скорости v^=dz^fds, который, подобно полевым величинам, будет
непрерывной функцией координат точки. Вектор скорсти обла-
обладает следующими свойствами:
0 = («ну V* VV) a = ^v (V!XvV:c + ^:а О = 2^v V» »V B5.1)
Отсюда
vy.o = 0. B5.2)
Можно ввести скалярное поле р таким образом, чтобы
векторное поле pv* определяло плотность и поток материи
так же, как / •* определяет плотность и поток электрического
заряда; другими словами, чтобы ov°yr являлось плот-
45-

яостью, a ротУ— потоком. Необходимое условие для со-
сохранения материи:
или
0*?):* = 0. B5.3)
В рассматриваемом случае плотность и поток энергии ма-
материи будут иметь видру0^-/ и pv°vmy соответственно,
плотность и поток импульса— pv"v° У и pvnvmy. Поло-
Положим
T»" = pt?vv. B5.4)
Тогда T*v У содержит плотность и поток энергии и импульса.
Эту величину называют тензором энергии — импульса мате-
материи. Тензор, ГМЛ', разумеется, симметричен.
Можно ли в качестве материального члена в правой части
уравнений Эйнштейна B4.6) использовать Т>хч ? Для этого
требуется, чтобы выполнялось равенство ГМЛ'Л,=0. Из
B5.4) имеем
7*v:v = (pt? vv) :v =. о* (pvv):v + pvv v\.
Первый член в правой части обращается в нуль в силу закона
сохранения массы B5.3). Второй член исчезает, если материя
движется по геодезическим, поскольку в случае, когда вместо
того, чтобы быть заданной только на мировой линии, v» оп-
определена как непрерывная полевая функция, имеем
Тогда (8.3) приобретает вид
(t^.v + r&o-b^O,
шли
y%yv = 0. B5.5)
Теперь видно, что тензор энергии — импульса материи
B5.4) с соответствующим численным множителем k можно
подставить в уравнения Эйнштейна B4.4). Получим
R^-{\l2)g^R = kpx^v\ B5.6)
Определим теперь значение коэффициента k. Перейдем,
следуя методу, изложенному в разд. 16, к ньютонову прибли-
приближению. Заметим прежде, что сворачивая B5.6), имеем
— R^kp.
Тогда B5.6) можно записать в виде
46

В приближении слабого поля, в соответствии с A6.4), полу-
получаем
(l/2)?fpCT (а —в —а 4-й ^ =
= Ар [&nUv — ( 1/2) guvl-
Рассмотрим статическое поле и статическое распределение ма-
материи. В этом случае ao=l, vm=0. Полагая |n=v = 0 и прене-
пренебрегая членами второго порядка малости, находим
или с учетом A6.6)
V2V = — A/2) Ар.
Для того чтобы это совпало с уравнением Пуассона, нужно
взять k = —8 я.
Таким образом, уравнения Эйнштейна в присутствии дви-
движущейся материи имеют вид
/? = - toiptfv". B5.7>
Тогда T&v, задаваемое B5.4), совпадает с Y*v из уравне-
уравнения B4.6).
Условие сохранения массы B5.3) дает
следовательно,
dplds = (др/дя?) уц = — руц: ц. B5.8>
Это условие фиксирует закон изменения р вдоль мировой ли-
линии элемента материи. При переходе от мировой линии неко-
некоторого элемента к мировой линии соседнего элемента условие
B5.8) допускает произвольное изменение р. Значит, можно*
выбрать р, обращающимся в нуль везде, кроме семейства ми-
мировых линий, образующих трубку в пространстве — времени.
Такое семейство описывало бы частицу конечных размеров.
Вне частицы р = 0; следовательно, применимы уравнения Эйн-
Эйнштейна для пустого пространства.
Заметим, что если принять общий вид полевых уравнений
B5.7), то из них можно вывести два следствия: сохранение
массы и движение материи по геодезическим. Вспомним для
этого, что [R^ — (l/2)g|iV/?]:v обращается в нуль вследствие
тождества Бианки, откуда имеем
ИЛИ
t^(pOV):v + pOVt^:V = 0. B5.9>
Умножим это уравнение на йц. Второй член даст нуль, что»
следует из B5.2), и останется (puv):v = 0, а это как раз совпа-
АТ

дает с условием сохранения B5.3). Теперь уравнение B5.9)
сводится к равенству t>vtAv = О, т. е. к уравнению геодезиче-
геодезической. Таким образом, нет необходимости делать предположе-
предположение о том, что частица движется по геодезической. Для малой
частицы движение вдоль геодезической обеспечивается приме-
применимостью уравнений Эйнштейна для пустого пространства в
области вокруг частицы.
26, ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДЛЯ ГРАВИТАЦИИ
Введем скаляр
B6.1)
где интегрирование проведено по определенному четырехмер-
четырехмерному объему. Придадим g^v малое приращение 6g ^ , ос-
оставляющее g^ и его первые производные неизменными на
границе объема. Требование б/=0 при произвольных dg »v
приводит, как будет показано ниже, к уравнениям Эйнштейна
для пустого пространства.
Из A4.4) имеем
R = g»v R»v = R* — L,
где
#* = ^v(r?av _r?v(j) B6.2)
t=f(aa-r!l.^p). B6.3)
Скаляр / содержит вторые производные g^v, поскольку они
входят в R*. Однако эти производные входят лишь линейно
и, следовательно, их можно исключить интегрированием по
частям. Получим
R*V = (e*vг^тV).v-(g^Hv vl,*-
-(S^VO.vlSa + te^vO.arSv. B6.4)
Два первых члена являются полными производными, и поэто-
поэтому они не дают вклада в /. Тогда в B6.4) необходимо оста-
оставить только два последних члена. С учетом B2.5) и B2.4)
они принимают вид
gVf$ Цч Г°а V + (- 2g>* Г?а + fT Itp) 1^ V ¦
Это совпадает с 2?у"из B6.3). Таким образом, для / получа-
получаем выражение:
содержащее только guv
/ является однородной
производным.
и его первые производные.
квадратичной формой по
Скаляр
первым
48

Положим ?=ЬУя возьмем эту величину (с соответствую-
соответствующим численным множителем, который будет определен ниже)
в качестве плотности действия для гравитационного поля. Ве-
Величина X не является скалярной плотностью, однако работать
с ней удобнее, чем с величиной RV, являющейся скалярной
плотностью, так как X не содержит вторых производных guv-
Согласно классической динамике, действие есть интеграл
по времени от лагранжиана. В рассматриваемом случае
/ = J Xd*x = \dx0^ Xdx4x2dx?,
так что лагранжианом, очевидно, является
Таким образом, X можно рассматривать и как плотность
лагранжиана (в трех измерениях), и как плотность действия
(в четырех измерениях). Компоненты gnV можно считать
динамическими координатами, а их временные производные —
скоростями. Заметим далее, что лагранжиан является квадра-
квадратичной (неоднородной) формой по скоростям, как обычно и
бывает в классической динамике.
Теперь проварьируем X. Используя B0.6) и B2.5), полу-
получаем
б (С т% f V) = ^ б (г?в tr V) + rto f V 6r?v =
B6.5)
а согласно B2.3)
б (г&« r^ g- у) = 2 (бгЦа) гй g»* Y + rta r?p б (g^ y) =
= 26 (rg« g» V) Г?р - Via T% 8 (g>™ V) =
= - б (Л* V) г?р - г?а г?Р б {g»» V) ¦ B6.6)
Вычитая B6.6) из B6.5), находим
8Х = r?v б(g»*).a -ГЙ„ б (g«v у)>v +
+ (r|L Г?р - r?p:rSv) б (g*v /). B6.7)
Два первых члена отличаются от
- rSv.e б (gr V) + r^,v б (gr V)
на полную производную. Отсюда имеем
81 = 8 J XdH = \R^8 {gw V) d*x, B6.8)
где R^v задается формулой A4.4). При произвольных 6gnV
величины б (g'iv у) также являются произвольными и незави-
независимыми, тогда требование обращения B6.8) в нуль приводит
к уравнениям Эйнштейна в форме B4.1).

Методом аналогичным G.9) можно показать, что
6g^ = —g^g^8gafi. B6.9)
В соответствии с B0.5) получим
бу = A/2)/g^S^. B6.10)
Таким образом,
б (g^ ^) = — [g^ g*» — A/2) &
Тогда B6.8) можно записать в другой форме:
6/ = - J Я,™ (g*<* g*> - -L
= — f (яа?> ^R) \Г 6ga($ cPx. B6.11)
J V 2 J
Требование обращения B6.11) в нуль приводит к уравнениям
Эйнштейна в форме B4.2).
27. ДЕЙСТВИЕ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНО
РАСПРЕДЕЛЕННОЙ МАТЕРИИ
Рассмотрим непрерывное распределение материи, скорость
которой непрерывно меняется от точки к точке, подобно тому,
как это было сделано в разд. 25. Запишем вариационный
принцип, в присутствии материи, взаимодействующей с грави-
гравитационным полем, в виде
6(/y + /J=0, B7.1)
где гравитационная часть действия Ig совпадает с точностью
до некоторого численного множителя k с / из предыдущего
раздела, а 1т — материальная часть действия, которая сейчас
и будет определена. Условие B7.1) должно приводить к урав-
уравнениям Эйнштейна B5.7) для гравитационного поля в присут-
присутствии материи и к уравнениям геодезической для движения
материи.
В дальнейшем необходимо будет знать, как влияет на 1т
произвольная вариация положения элемента материи. Рассуж-
Рассуждение станет более понятным, если предварительно рассмотреть
чисто кинематические вариации безотносительно к метрике
guv . В этом случае существует принципиальное различие
между ковариантными и контравариантными векторами, и
нельзя перейти от одного к другому. Скорость описывается
отношением компонент контравариантного вектора и** и не
может быть нормирована без введения метрики.
Для непрерывного потока материи вектор скорости ий (с
некоторым неизвестным множителем) задан в каждой точке.
Можно построить совпадающую по направлению с и" контра*
50;

вариантную векторную плотность р^, которая определяет
величину и скорость потока в виде
p°dx1dx2dx3,
равного количеству материи в элементе объема dxidx2dxz
в определенный момент времени и
p1dx0dxidx3,
равного количеству материи, прошедшей через элемент поверх-
поверхности dx2dx3 за время dx°. Предположим, что материя сохра-
сохраняется, тогда
^t|i = 0. B7.2)
Пусть каждый элемент материи смещен из точки z^ в точ-
точку z^+b^, где 6м—мало. Требуется определить результирую-
результирующее изменение р1* в заданной точке х.
Сначала рассмотрим случай Ь°=0. Изменение количества
материи, находящейся в трехмерном объеме V, равно с обрат-
обратным знаком количеству материи, прошедшей через границу
объема
l,, r= 1,2,3,
где dSr обозначает элемент поверхности, ограничивающей
объем V. Правую часть этого равенства можно преобразовать
по теореме Гаусса; тогда получим
,г. B7.3)
Теперь этот результат нужно обобщить на случай
Если Ь^ пропорционально р^, то каждый элемент материи
смещается вдоль своей мировой линии и, следовательно, век-
вектор р^ не изменяется. Обобщение B7.3) имеет, очевидно, сле-
следующий вид:
так как при Ь°=0 последнее уравнение совпадает с B7.3), а
при Ъ^, пропорциональном р*, дает бр°=О. Соответствующая
формула справедлива и для других компонент р^, так что
окончательно общий результат имеет вид
бри _ (pv ftii__ рц flv)jV, B7.4)
При описании непрерывного потока материи р* является
основной характеристикой, которая должна войти в функцию
действия. Величина р^ должна варьироваться, согласно фор-
формуле B7.4), и затем после соответствующего интегрирования
по частям коэффициенты при каждой из компонент Ь^ должны
быть приравнены нулю. Это приведет к уравнениям движения
материи.
51

Действие для изолированной частицы массы т имеет вид
— mjds. B7.5)
¦Необходимость введения коэффициента — т станет понятной,
если рассмотреть случай специальной теории относительности,
для которой лагранжиан имел бы вид производной по времени
от B7.5), а именно:
L = — tnds/dx0 = — т [1 — (dxr/dx°) dx'/dx0]1^
{суммирование проведено по г; г = 1, 2, 3). Отсюда получаем
выражение для импульса:
dL dxT [. dxn dxn \—V> dxr
= m —— i — ¦ ) = m
d(dxr/dx«) dx» \ dx» dx» J ds "
Действие для непрерывно распределенной материи получим
заменой т в B7.5) величиной p0dx1dx2d% и интегрирова-
интегрированием:
1т = — \ р° dx1 dx2 dx3 ds. B7.6)
Чтобы записать 1т в более понятной форме, введем метриче-
ческий тензор и положим
р» = ро»}Г, B7.7)
где р — скаляр, определяющий плотность, a v^-—вектор еди-
единичной длины, совпадающий по направлению с иР. Получим
B7.8)
где учтено, что xfids = dx°.
Такая форма записи действия не удобна для варьирования,
так как р и v* не являются независимыми переменными. Что-
¦бы можно было воспользоваться формулой B7.4), р и vIX
должны быть выражены через р^ . Из B7.7) находим
(Р|1РдI/« = Р/.
Тогда B7.8) принимает вид
Im = -5(PPid1''d*x. B7.9)
Для определения вариации этого выражения воспользуемся со-
соотношением:
б (р» Р]/)Чш = A/2) (р*- рх)->/*- (р* pv ag|lv + 2Pil 6p») =
= A/2) pv» v* V 8о^ + v» 6p».
Теперь из вариационного принципа B7.1)" после подстановки в
него B6.11), умноженного на коэффициент k, имеем
= — Г\k fR^ — -i-&»> R^j + -i-p^v^/8glxvd*x~JOllbp»d*x.
B7.10)
52

Приравнивая нулю коэффициент при 6gjxV и выбирая k =
= A6я)~1, получаем уравнения Эйнштейна B5.7), Последний
член B7.10), с учетом B7.4) и B5.2), дает
— j Он (pv 6^ — р» 6V) ,v d*x = j On.v (pv b» —
= j" (Оц, v — Ov. n) PV ^ d** = j (Оц-.v — »v: ц)
= J f n:vP»v &"• V <PX. B7.11)
Приравняв нулю коэффициент при Ь^, получим уравнение гео-
геодезической B5.5).
28. ДЕЙСТВИЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Обычное выражение для плотности действия электромаг-
электромагнитного поля имеет вид
(8л)-1 (Е2 — Я2).
Если записать его в четырехмерных обозначениях специальной
теории относительности, обсуждавшихся в разд. 23, то получим
— A6л)-1 F^F^.
Это приводит к следующему выражению для инвариантного
действия в общей теории относительности:
'« = (- 16л) J ^v F*9 V d*x. B8 Л)
Следует принять во внимание, что F^ — k^.v — кч,ц', значит,
/эк является функцией только guv и производных от электро-
электромагнитных потенциалов.
Будем варьировать сначала guv, оставляя ko постоянным;
тогда Fnv (но не i?ltv) является константой. Из B6.10). и
B6.9) имеем
б (/vv F^ V) = F^F^ б уГ +
= A/2) Fw, F»V gP° yf 6gpa — 2FllvF.afi / g^P g0 g^f» 6gpa.
Таким образом,
« (^nv ^v /) = [A/2) F^F^ gP^ - 2FpvF°v] yf 6gpa = 8n^a / 6gpa,
B8.2)
где симметричный тензор Е**3, определяемый соотношением
4я?ра = - FpvFav + A/4) g^ F^v/7^, B8.3)
есть тензор энергии — импульса электромагнитного поля. За-
Заметим, что в специальной теории относительности
4я?00 = Е2 — A/2) (Е2 — Я2) = A/2) (Е2 + Я2);
= — F°2 F12 — FV13 = Е2Н3 — Е*Н2,
53

т. е. ?00 описывает плотность энергии, а ЕОп совпадает с век-
вектором Пойнтинга, характеризующим интенсивность потока
энергии.
Вариация &ц при фиксированных gap с учетом B1.3) дает
б (Vv /) = 2Я** / 6i>, = 4Я™ / bk»,v =
= 4 (Я" У б?ц) >v 4 {л у у , V «"Ц =
= 4 (Я1"* /" бйц), v — 4/7liV: v /¦ 6уЬц. B8.4)
Складывая B8.2) с B8.4) и умножая результат на —16я,
получаем выражение для полной вариации:
С Г 1 UV fi — UV 1
б/эм = I Е 6guv -f- Dя) * F -v ойц у^ d*#. B8.5)
J L 2 J
29. ДЕЙСТВИЕ ДЛЯ ЗАРЯЖЕННОЙ МАТЕРИИ
В предыдущем разделе было рассмотрено электромагнит-
электромагнитное поле в отсутствие зарядов. Чтобы описать заряды, необхо-
необходимо ввести соответствующий член в действие. Для уединен-
уединенной частицы с зарядом е дополнительный член в действии
имеет вид
л Г Ь л/vM1 —— р Г Ъ tiIiHq ^9Q I ^
с I /vn, МЛ ~— с; I ftp, l/^LlOj y^tU* x I
где интегрирование ведется вдоль мировой линии.
Если частица, несущая заряд, является точечной, то воз-
возникают трудности, связанные с тем, что ее электрическое поле
содержит сингулярность *. Эти трудности можно обойти, если
рассматривать вместо точечного носителя заряда непрерывно
распределенную материю. Будем описывать эту материю а
рамках формализма, развитого в разд. 27, предполагая, что
каждый элемент материи несет заряд.
В кинематических задачах фигурировала контравариантная
векторная плотность р*, определяющая плотность и поток
материи. Здесь необходимо ввести контравариантную вектор-
векторную плотность ^-(i, определяющую плотность и поток элект-
электричества. Эти два вектора должны совпадать по направлению.
При малых смещениях приращение векторной плотности ^-(i в
соответствии с B7.4) можно записать следующим образом:
ЬуР = (#-v Ь* — ty* 6V) ,v B9.2)
с теми же значениями Ь^, что и в A7.4).
* Эта проблема обсуждается, например, в книге В. Паули. Теория отно-
относительности. Пер. с англ. М. — Л., ГИТЛ, 1947. —Прим. пер.
54

Для частицы, несущей заряд, действие B9.1) в случае не-
непрерывного распределения заряженной материи приводит
[аналогично B7.6)] к
При введении метрики полагаем, в соответствии с B7.7), что
2^ B9.3)
где а — скалярная функция, определяющая плотность заряда.
Тогда действие принимает вид, аналогичный B7.8):
1„ = — I ак* ^ у" d*x = — J ky, ty* &х. B9.4)
Таким образом,
в/, = - J \Т а*» + К (Г ^ - Г 6V).V
= j а (— и»1 бйц + Fnv V" Ь») / d*jc. B9.5)
Уравнения взаимодействия заряженной материи с гра-
гравитационным и электромагнитным полями следуют из общего
вариационного принципа
+ /т + /эм + /,) = 0. B9.6)
Итак, возьмем сумму выражений B9.5), B8.5) и B7.10) с заме-
заменой последнего члена в B7.10) на B7.11) и приравняем нулю
суммарные коэффициенты при вариациях 6gnV, бйц и Ь*.
Если коэффициент при y6g(iV умножить на —16я, то по-
получим
Я1** — A/2) gwR + 8яро* V* + 8nE»v =* 0. B9.7)
Уравнение B9.7) представляет собой уравнение Эйнштейна
B4.6) с У"*, состоящим из двух членов: тензора энергии ^—
импульса материи и тензора энергии — импульса электромаг-
электромагнитного поля.
Коэффициент при Уб&ц дает
Из B9.3) видно, что аи*1 совпадает с вектором тока J^ ; таким
образом,
B9.8)
Уравнение B9.8) представляет собой уравнение Максвелла
B3.13) в присутствии зарядов.
Наконец, для коэффициента при lib* находим
00 n;v VV + (XFnv VV = 0,
55

или
pO|t:vOv+^|w/V = 0. B9.9)
Второй член в B9.9) представляет собой силу Лоренца, при-
приводящую к отклонению траектории элемента материи от гео-
геодезической.
Уравнение B9.9) является следствием уравнений B9.7) и
B9.8). Действительно, возьмем ковариантную дивергенцию от
уравнения B9.7). С учетом тождеств Бианки получим
(puiiyv + e^).v = о. B9.10)
Далее, согласно B8.3), и с использованием B3.12) и B9.8)
имеем
4пЕ^: v = - F** FVv - Fm: v F\ + A /2) gr» Faf3Fap:v =
= _ p»« F\:v - A/2) g»P F° (Fpa:v — F^a — Fw:p) = 4я^а Ja.
Таким образом, B9.10) принимает вид
*Р (P»v).v + pvv t^sv + F^Jo, = 0. B9.11)
Умножая B9.11) на »ц и используя B5.2), получаем
(здесь учтено условие Ja=ova, заключающееся в том, что
«/« и va должны совпадать по направлению). Тогда первый
член в B9.11) обращается в нуль, и мы приходим к B9.9).
Таким образом, уравнения, следующие из вариационного прин-
принципа B9.6), не являются независимыми, что далеко не слу-
случайно. Причины этого обсуждаются в разд. 30.
30. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
Метод, развитый в разд. 29, можно обобщить на случай
взаимодействия гравитационного поля с любыми другими по-
полями, взаимодействующими между собой. Вариационный прин-
принцип в общем случае можно записать в виде
б (/, + /') = 0, (ЗОЛ)
где Ig — гравитационное действие, обсуждавшееся выше, а
/' — действие для всех остальных полей, состоящее из суммы
слагаемых, по одному для каждого поля. Большим преимуще-
преимуществом использования вариационного принципа является воз-
возможность легко получать корректные уравнения любых взаи-
взаимодействующих полей. Необходимо лишь найти действие для
каждого из рассматриваемых полей и включить все эти члены
в C0.1).
56

Гравитационное действие Ig=^Xdix, где X —лагран-
жева плотность из разд. 26 с множителем A6л)-1. Для вариа-
вариации Ig имеем
Выкладки разд. 26, приводящие к B6.11), показывают, что
• <за2>
Пусть <р„ (п=1, 2, 3) обозначает негравитационные поле-
полевые величины. Предполагается, что каждая из <р„ является
компонентой тензора; конкретные тензорные свойства несуще-
несущественны. Величина /' имеет вид интеграла от скалярной плот-
плотности: /' =\X'dix, где ?' — функция <рп и их первых (воз-
(возможно, также и высших) производных.
Вариация действия дает следующий результат:
б (/, + /') = ! (/>•« 6g(iV + S хл бФлj / d*x, C0.3)
где p(iv=pv(i, так как любой член, содержащий б (производ-
(производная от полевой величины), при помощи интегрирования по ча-
частям можно преобразовать к выражению, которое включается
в C0.3). Таким образом, вариационный принцип C0.1) приво-
приводит к полевым уравнениям
/^v = 0; C0.4)
Xя =-0. C0.5)
Здесь p(iv состоит из двух слагаемых: члена C0.2), обуслов-
обусловленного Ig, и члена (обозначим его N*v), порождаемого X'.
Разумеется, N*V=NVI1. Величина X/ обычно не содержит про*
изводных от guv; в этом случае
C0.6)
Теперь уравнение C0.4) принимает вид
#" — A/2) g^R — 16nN^ = 0.
Это не что иное, как уравнение Эйнштейна B4.6) с
Y»" = —2Nim. C0.7)
Отсюда видно, какой вклад в правую часть дает каждое из
полей в зависимости от того [согласно C0.6)], каким образом
входит g nv в действие для этого поля.
Для согласованности уравнений N*4 должно удовлетво-
удовлетворять соотношению N^-.v = 0. Это свойство можно в самом
57

общем виде вывести из условия, что /' инвариантно относи-
относительно преобразований координат, оставляющих неизменной
граничную поверхность. Рассмотрим преобразование коорди-
координат, скажем, х» = х* + 6»\ где Ь^ мало и является функцией
х, и будем искать вариацию /' в первом порядке по Ь* . Транс-
Трансформационный закон для guv имеет {согласно C.7)] вид
ftw (х) = *f № *?\ ga-rtf), C0.8)
где штрихованные индексы стоят при преобразованном тензо-
тензоре. Пусть 6gap обозначает изменение gad в первом порядке
не при фиксированном значении поля, а при фиксированных
значениях координат, в которых ga&задано, так что
ga'r (Х') = gafi (X') + Sgap = gafi (x) + gaf3,o&a + S|fap.
Имеем далее
Тогда из C0.8) следует, что
*1« (X) = ({%+ ^) (в* + b*v) Ig^ix) + gap, a
= ^nv (X) + gp.v.oba + 6gnV + g^p &f>v + gav b^.
Итак,
S^nv = — gp.a 6% — gv* l\ — guv,a &a-
Определим теперь вариацию /' при таком изменении gp.vl
остальные поля имеют в точке Xй' те же значения, что и до
преобразования координат в точке х*. Воспользовавшись
C0.6), и на основании теоремы, выражаемой формулой
B1.4), справедливой для произвольного симметричного тензо-
тензора второго ранга, находим
Ы> = ]ЛГ 6g|W уГ &х = J^v(~ gva b% - gva b\ - g^oba)
= J [2 (Nav /),v-^v.a^V] b*dH = 2f iVj:v6
Инвариантность /' означает, что величина Ы' должна обра-
обращаться в нуль при любых значениях Ьа. Следовательно,
Wav:v = 0.
Вследствие этого равенства полевые уравнения C0.4),.
C0.5) не являются независимыми.
31. ПСЕВДОТЕНЗОР ЭНЕРГИИ — ИМПУЛЬСА
ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ
Введем величину ^v, определяемую соотношением
*/ / = {dXldg^.JgaQ-.v — glX. C1.1)
58

Тогда имеем
,v
Далее,
Согласно C0.2),
Теперь с помощью полевых уравнений B4.6) получаем
таким образом, из B1.4) и условия 1V:V = 0 имеем
= 0. C1.2)
Мы пришли к закону сохранения, поэтому сохраняющуюся
плотность (t^ + Yp?) у естественно рассматривать в качест-
качестве плотности энергии и импульса *. Как было показано, Y^
представляет собой энергию и импульс негравитационных по-
полей; следовательно, t^. описывает энергию и импульс грави-
гравитационного поля. Однако #*v не является тензором. Уравнение
C1.1), определяющее t^, можно записать в виде
*iiv = (di/a&p.v) g«e.» - g^L. C1.3)
Здесь L не скаляр, так как при его получении пришлось для
исключения вторых производных трансформировать скаляр
R, который был первоначально выбран в качестве действия.
Значит, t nV не может быть тензором. Эта величина получила
название псевдотензор.
При нахождении выражения для энергии гравитационного
поля невозможно удовлетворить одновременно следующим ус-
условиям: 1) после добавления к другим формам энергии вели-
величины ty? полная энергия сохраняется; 2) энергия, заключен-
заключенная в определенном (трехмерном) объеме в фиксированный
момент времени, не зависит от выбора системы координат.
* К закону сохранения C1.2) приводит также выражение для t^Y, отли-
отличающееся от C1.1) членом вида дт]^/д х? , где т),/а П^У> т. е. t ^
определено неоднозначно. Действительно, известно несколько выражений для
этой величины: Эйнштейна, Ландау — Лифшица и Меллера — Мицкевича. —
Прим. пер.
59

Таким образом, гравитационную энергию, вообще говоря,
нельзя локализовать. В лучшем случае можно пользоваться
псевдотензором, удовлетворяющим только условию 1). Это
дает приближенную информацию о гравитационной энергии
(впрочем, в некоторых специальных случаях эта информация
может быть точной).
Запишем интеграл
J (С + Y^) ^dx1dx2dxa C1.4)
по трехмерному объему, включающему некоторую физическую
систему в определенный момент времени. Можно ожидать, что
при стремлении объема к бесконечности мы получим полные
энергию и импульс, причем: а) интеграл сходится, б) поток
через поверхность, ограничивающую объем, стремится к нулю.
Тогда из уравнения C1.2) видно, что значения интеграла
C1.4) в момент времени х° = а и некоторый другой момент
х° = Ь равны. Более того, этот интеграл не должен зависеть от
выбора системы координат, так как можно, не изменяя коор-
координат в момент времени х°=а, преобразовывать их при х° = Ь.
Таким образом, найдено однозначное сохраняющееся выраже-
выражение для полных энергии и импульса.
Условия а) и б), необходимые для сохранения полных
энергии и импульса, в практически интересных случаях выпол-
выполняются редко. Эти условия имели бы место, если бы простран-
пространство было статическим вне конечной четырехмерной трубки;
такая ситуация реализуется, когда некоторые материальные
тела начинают двигаться в определенный момент времени, и
это движение создает возмущения, распространяющиеся вовне
со скоростью света. В случае обычной планетарной системы
движение происходит от бесконечного прошлого и условия
а), б) не выполняются. Особого обсуждения требует вопрос
об энергии гравитационных волн; этой проблеме посвя-
посвящен разд. 33.
32. ЯВНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ПСЕВДОТЕНЗОРА
Формулу C1.1), определяющую ^nv, можно записать так:
tJS = {d?ldqn,v)qn,»-gl?, C2.1)
где qn (n=\, 2,..., 10) соответствуют десяти guv. и по всем
значениям п проведено суммирование. Аналогично C2.1) мож-
можно переписать в виде
С/ = №dQm,v) Qm.» - gl X, C2.2)
где Qm — любые десять независимых функций щп- Чтобы по-
показать это, заметим, что
60

Qm,a = (dQjdqn)qn,a.
Следовательно,
д% = dJS gQm,g = dJS dQm д? dQ
d<fn,v dQm,a fy,.v dQm,a Ъп ^ dQm^ dqn
Тогда
п dQm _
—=Z Чп.р. qq 4n,\>. —
4n,v UK<m.v
откуда следуют равенства C2.1) и C2.2).
Для получения явного вида ^nv удобно воспользоваться*
выражением C2.2) и взять в качестве Qm величины g^v У.
Теперь можно использовать формулу B6.7), из которой нахо-
находим (с введением коэффициента 16л)
16л8? = (СР - gl Taaa)8 (gaP /),v + сб (g»v у),
где с — некоторый коэффициент. Следовательно,
1 C2.3>
33. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
Рассмотрим область пустого пространства, в которой гра-
гравитационное поле слабое и guv приблизительно постоянно.
Тогда применимо уравнение A6.4) или
a — fito.va — gna,vp — gpa.txv) = 0. C3.1)
Введем гармонические координаты. Условие B2.2) с опущен-
опущенным индексом К дает
P] = 0. C3.2>
Продифференцируем это уравнение по ха и пренебрежем чле-
членами второго порядка. В результате получим
?Г fcup.va — A/2)g^.pa] = 0. C3.3>
Поменяем местами р и а:
?Г [^a,vp -A/2) gjw.po] = 0. C3.4>
Сложим C3.1), C3.3) и C3.4):
Таким образом, каждая компонента g ра удовлетворяет урав-
уравнению Даламбера, и решение этого уравнения будет состоять
из волн, распространяющихся со скоростью света. Это и есть
гравитационные волны.
Рассмотрим энергию таких волн. Вследствие того, чтс»
псевдотензор не является настоящим тензором, мы не получим
•61

в общем случае ясного результата, не зависящего от выбора
системы координат. Однако в одном специальном случае, а
именно когда все волны движутся в одном направлении, мож-
можно получить «чистый» результат.
Если все волны движутся в направлении оси лг3, то коор-
координатную систему можно выбрать так, что gw будут зависеть
только от одной переменной х°—л:3. Рассмотрим более общий
случай, когда все компоненты guv являются функциями одной
переменной lax?, где la — константы, удовлетворяющие усло-
условию gpalpla=0 (в пренебрежении переменной частью gpa)-
Тогда имеем
gtxv.o = unv'a, C3.5)
где Up,v—производная от gp.v" no loX?. Разумеется, uVtV = uvv..
Из условия грамоничности C3.2) следует, что
g^uwlv = A/2) g^Ulxvlp = A/2) ulp,
где u = Up.. Это соотношение можно записать в виде
«p/v = A/2) ulp, C3.6)
или
W — A/2) gw и] /v = 0. C3.7)
Из C3.5) находим
Г?а = A/2) («? 1а + «?/„- и»а /р) .
Выражение для L B6.3) в гармонических координатах сво-
сводится к следующему:
= - A/4) ЯГ К la + U% I» — Ulxa P) (t? /р + U°plv - ПчР /*) .
После раскрытия скобок получим девять членов, но нетрудно
показать, что каждый из них обращается в нуль в соответст-
соответствии с C3.6) и условием lja =0. Таким образом, плотность дей-
действия обращается в нуль. Аналогичный результат имеет место
в электромагнитном поле, для которого в случае волн, рас-
распространяющихся только в одном направлении, плотность дей-
действия также обращается в нуль.
Теперь мы должны найти псевдотензор C2.3). Имеем
«°*. ii = — ?°* ?Р° 8ро.» = - и°* V,
/.I* = A/2)^^^.1* = A/2)/и/№, C3.8)
тогда
te°* vO.ii = - [«°* - A/2) в0* и] у /ц.
Следовательно, согласно C3.8) и C3.7)
A/2) ^Р U] I» = 0.

В результате остается
1бя^"" =
= — ( 1/2) («V /р + „V /а _
]/ti/v. C3.9)
Полученное для ^nv выражение имеет вид тензора. Эта
означает, что при преобразованиях координат, сохраняющих
характер поля, так что guv остается функцией только от одной
переменной 1<зХ? (т.е. присутствуют только волны, распростра-
распространяющиеся в одном направлении), t^ преобразуется как тен-
тензор. Такие преобразования координат могут состоять только
во введении координатных волн, движущихся в направле-
направлении /<,. Их общий вид: *•*' = х* + &•*, где Ь* является функцией
только /в*6. Когда имеются волны, движущиеся только в одном
направлении, гравитационная энергия может быть локализо-
локализована.
34. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН
Чтобы понять физический смысл C3.9), вернемся к случаю^,
когда волны движутся в направлении оси л:3, так что /0=1,
h = h = O, /3=—1, и используем координаты, близкие к ко-
координатам специальной теории относительности. Тогда из-
условий гармоничности C3.6) следуют равенства:
«оо + «оз = A/2) и; и10 + и13 = 0;
«го + «аз = 0; и30 + ы33 = — A/2) и.
Отсюда иоо — и33 = и = и00 — иХ1 — ы22 — н33;
значит,
«11 + «22 = 0. C4.1)
Кроме того, 2ы03 = — (ы00 + ы33)-
Теперь из C4.1) получаем
«ар и0* - A/2) «2 = «002 + «и2 + «222 + «зз2 - 2«012 -
- 2«022 - 2«032 + 2Ы]22 + 2«232 + 2«312 - A/2) (и00 - «33J =
= »п2 + 22 + 2"i22 = О/2) («и - «иJ + 2«122.
Таким образом,
1Ш0° = A/4) («ц - и,,)* + «122 C4.2>
и ^о3 = *о°.
Видно, что плотность энергии положительно определена, и
энергия переносится в направлении оси х3 со скоростью света.
Для обсуждения вопроса о поляризации волн введем опера-
оператор R поворота в плоскости х1х2, действующий на произволь-
63;

ный вектор (AiA2) следующим образом: RAX = Л2; RA2 =—At.
Тогда R2A1 =—Alt т.е. собственные значения оператора
iR при действии на вектор равны ±1»
Оператор R действует на ыар так:
Ruxl = игх + щ2 = 2u12; Ru12 = u22 — и1г;
#ы22 = — «i2 — U21 = — 2"i2-
Таким образом, R(uu + u22)z=0 и /?(ыц—«22)=4«i2; Я2 («и—
—«22) =—4(мц—ыгг).
Значит, под действием R Ыц + «22 не изменяется, тогда как при
действии на ии — ы12 или щ2 \R имеет собственные значения
±2. Таким образом, компоненты ыар, дающие вклад в энер-
энергию C4.2), соответствуют спину 2.
35. КОСМОЛОГИЧЕСКИЙ ЧЛЕН
Обобщение уравнений гравитационного поля в пустом про-
пространстве
Riiv = ^gixv, C5.1)
где X — константа, рассмотрел сам Эйнштейн. Это уравнение —
тензорное, т. е. оно допустимо в качестве закона природы.
Так как для уравнений Эйнштейна без дополнительного
члена было получено хорошее согласие с экспериментами внут-
внутри Солнечной системы, X следует выбрать достаточно малой,
чтобы не возникло расхождений с экспериментом. Величина
Rp.v содержит вторые, производные от g^; значит, К имеет
размерность (длина). Чтобы X была малой, эта длина долж-
должна быть очень большой. Величина Я/2 — космологическая дли-
длина порядка радиуса Вселенной.
Этот дополнительный член важен в космологических тео-
теориях, но для близлежащих объектов дает пренебрежимо малый
эффект. Чтобы учесть этот член в теории поля, необходимо
ввести в лагранжиан дополнительный член Ih=cl-l/rdix, где с —
соответствующая константа.
Из B6.10) имеем blk=c\[—-g^bgv.vyrdix. Тогда из вариа-
вариационного принципа 8(Ig + Ik) =0 следует равенство:
16я [^v — A/2) g^R] + A/2) eg»™ = 0. C5.2)
Из уравнения C5.1) получаем R=4X и, следовательно,
-#nv—(l/2)gnvR=—Д-gnv. При выборе с=32яЯ, это совпадает с
C5.2).
При взаимодействии гравитационного поля с любыми дру-
другими полями остается только включить член /ft в полное дейст-
действие, и мы получим обобщенные полевые уравнения с эйнштей-
эйнштейновским космологическим членом.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие автора , «
1. Специальная теория относительности '
2. Неортогональные декартовы координаты 9
3. Криволинейные координаты И
4. Нетензорные величины 13
5. Искривленное пространство 14
6. Параллельный перенос „ 15
7. Символы Кристоффеля 17
8. Геодезические 19
9. Свойство стационарности геодезических 20
10. Ковариантное дифференцирование _ 21
1L Тензор кривизны 24
12. Критерии плоского пространства ____„„. 25
13. Тождества Бианки 26
НА. Тензор Риччи 27
15. Эйнштейновский закон гравитации „.„..__ 29
Ш. Ньютоново приближение 30
17. Гравитационное красное смещение 32
18. Решение Шварцшильда 33
Ш. Черные дыры 35
20. Тензорные плотности „ 38
21. Теоремы Гаусса и Стокса 39
22. Гармонические координаты 41
23. Электромагнитное поле _ 42
24. Модификация уравнений Эйнштейна в присутствии материи 44
25. Тензор энергии — импульса материи 45
26. Вариационный принцип для гравитации 48
27. Действие для непрерывно распределенной материи _ 50
28. Действие для электромагнитного поля 53
29. Действие для заряженной материи '..". " \ 54
30. Вариационный принцип в общем случае 56
31. Псевдотензор энергии — импульса гравитационного поля 58
32. Явное выражение для псевдотензора ".'.''"."".".'.'. 60
33. Гравитационные волны ". ".\~"..V..V™"".™^.'"....*""." 61
34. Поляризация гравитационных волн 63
35. Космологический член . 64