А. Схрейвер
ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО
И ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ
В ДВУХ ТОМАХ
Перевод с английского
С.А. Тарасова, М.А. Фрумкина и В.И. Шлыка
под редакцией
Л. Г. Хачияна
Москва «Мир» 1991

\У1ЬЕУ-1ЫТЕК5С!ЕЫСЕ 5ЕК1Е5 1М 015СКЕТЕ МЛТНЕМАТ1С5
ТНЕОКУ ОР ИЫЕАР АЫЭ 1ЫТЕОЕК РК00РАММ1Ы0
А1ехап<1ег
ТНЬиг% ипшегзНу апй
Сепггит ьоог У/1вкипс1е еп 1п\огтаИса,
Ат$1егйат
А \УПеу-1п1ег5аепсе РиЬПсаНоп
\У1ЬЕУ & 5ОЫ5
СЫсЬез1ег Ые^ Уогк Вг1зЬапе Тогоп1о

ББК 22.19
С 92
УДК 519.852
Схрейв»
С 92 Теория линейного и целочисленного программирования:
В 2-х т. Т. 2: Пер с англ. - М.: Мир, 1991. - 342 с, ил.
5-03-002753-Х
5-03-002755-6
Монография известного математика (Нидерланды), посвященная
новым эффективным алгоритмам решения задач линейного и целочисленного
программирования и анализу вычислительной сложности алгоритмов. При-
Приводятся алгоритмы Хачняна и Кармаркара и их обобщения.
Русское издание выходит в двух томах.
Для специалистов по теории линейного программирования и слож-
сложности алгоритмов и студентов соответствующих специальностей вузов.
„пнш*_^>* 24_90 ББК 22 19
Редакция литературы по математическим наукам
I5ВN 5-03-002753-Х (русск.) ©ЛоЬп \Ш1еу & 5опа Ш. 1986
13ВЫ 5-03-002755-6 (русск.) ©перевод на русский язык,
I$ВN 0-471-90855-1 (англ,) Тарасов С.А., Фрумкин М.А.,
Шлык В.И., 1991

ЧАСТЬ 4
ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Целочисленное линейное программирование (сокращенно ЦЛП)
занимается задачами линейного программирования с целочис-
целочисленными переменными, общая задача формулируется следующим
образом: найти тах{сх\Ах ^ Ь; х - целочисленный}. ЦЛП мож-
может рассматриваться так же, как поиск точки решетки, принад-
принадлежащей многограннику или как решение системы линейных
уравнений с целыми неотрицательными переменными. Иными
словами, в ЦЛП рассматриваются совместные ограничения -
неотрицательность и целочисленность.
Такая комбинация задач решается не так легко, как каждая
из составных частей. Например, неизвестен удовлетвори-
удовлетворительный аналог леммы Фаркаша или теоремы двойственности.
Если в уравнениях двойственности линейного программирования
наложить на переменные ограничение целочисленности, то
условия равенства окажутся, вообще говоря, нарушенными.
Представляется, что этот разрыв двойственности убрать труд-
трудно, удовлетворительных уравнений двойственности для задачи
целочисленного линейного программирования неизвестно.
Более того, нет полиномиального алгоритма для решения
ЦЛП-задачи. В действительности ЦЛП-задача является
МР-полной, а такие задачи, по общему мнению, не разрешимы
за полиномиальное время. Это соответствует опыту: решение
ЦЛП-задачи современными методами очень трудно и требует
много времени. Большие задачи целочисленного линейного
программирования практически неразрешимы.
Несмотря на трудность задачи целочисленного программиро-
программирования (или благодаря ей), в целочисленном линейном програм-
программировании получены интересные результаты, которым и посвя-
посвящены заключительные главы книги.

Часть 4. Целочисленное линейное программирование 366
В гл. 16 дается общее введение в целочисленное линейное
программирование и обсуждаются вопросы о многогранности
множеств возникающих в целочисленном линейном программи-
программировании, например о том, что целочисленная оболочка />
рационального многогранника Р (т. е. выпуклая оболочка
целочисленных векторов из Р) также является многогранником.
В гл. 17 даются некоторые оценки решений ЦЛП-задач, из
которых следует, что задача целочисленного линейного прог-
программирования принадлежит классу МР. Рассматриваются также
некоторые результаты об устойчивости и близости решений.
В гл. 18 изучается сложность задачи целочисленного ли-
линейного программирования. Доказывается Л^Я-полнота задачи
целочисленного линейного программирования и некоторых дру-
других задач. Приводится алгоритм Ленстры для решения ЦЛП,
который является полиномиальным при фиксированном числе
переменных, а также показано применение метода динамическо-
динамического программирования к решению задач целочисленного програм-
программирования, который при фиксированном числе ограничений дает
псевдополиномиальный алгоритм.
Главы 19 - 21 посвящены изучению вполне унимодулярных
матриц, т. е. матриц, все миноры которых равны 0, +1 или
-1. Их важность для целочисленного линейного програм-
программирования объясняется тем, что задача целочисленного
линейного программирования с вполне унимодулярной матрицей
и целочисленным вектором ограничений имеет целочисленное
оптимальное решение. Вслед за тем, как в гл. 19 приводятся
основные свойства и примеры вполне унимодулярных матриц, в
гл. 20 строится полиномиальный алгоритм распознавания
вполне унимодулярных матриц (в основе этого алгоритма лежит
фундаментальная теорема Сеймура о разложении вполне унимо-
унимодулярных матриц). В гл. 21 теория вполне унимодулярных
матриц получает дальнейшее развитие.
В гл. 22 излагается теория двойственности для впол-
вполне целочисленных задач, уточняются понятия целочислен-
целочисленного линейного программирования и комбинаторной оптимиза-
оптимизации, введенные Эдмондсом и Гилесом. Одним из результатов
является существование целочисленных решений у некоторых

Гл. 16. Введение в ЦЛП 367
задач линейного программирования, для которых двойственные
задачи имеют целочисленные решения.
В гл. 23 мы обращаемся к теории отсечений, восходящей к
работам Гомори и Хватала. Эта теория дает систематический
метод построения граней целочисленной оболочки Р- много-
многогранника р.
Наконец, в гл. 24 дается обзор дальнейших методов
целочисленного линейного программирования: ветвей и границ,
углового многогранника Гомори, лагранжевой релаксации и
декомпозиции Бендерса.
В заключение части 4 приводятся исторические замечания.
Заметим, что большинство результатов настоящей главы
справедливы только в рациональных пространствах при рацио-
рациональности всех исходных данных.
16
ВВЕДЕНИЕ В ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
В этой главе рассматриваются некоторые вводные вопросы тео-
теории целочисленного линейного программирования. После всту-
вступительного § 16.1 в § 16.2 доказывается, что целочисленная
оболочка Р рационального полиэдра Р (т. е. выпуклая обо-
оболочка целочисленных векторов из Р) тоже является полиэдром.
В § 16.3 рассматриваются целочисленные полиэдры, т. е. по-
полиэдры Р, удовлетворяющие равенству Р = Р Это соответст-
соответствует линейным программам, которые при любой целевой функции
имеют целочисленное оптимальное решение. В § 16.4 речь идет
о так называемых базисах Гильберта рациональных полиэд-
полиэдральных конусов. Базисы Гильберта будут использованы в
гл. 21, посвященной вполне двойственной целочисленности. В
§ 16.5 доказывается теорема Белла и Скарфа, аналог теоремы
Каратеодори. Наконец, в § 16.6 приводятся некоторые замеча-
замечания по поводу задачи о рюкзаке и агрегации, а в § 16.7 - по
поводу смешанного целочисленного линейного программиро-
программирования.

368 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
16.1. Введение
Одна из возможных общих формулировок задачи целочисленного
линейного программирования состоит в следующем:
A) по заданным рациональной матрице А
и рациональным векторам Ь и с найти.
тьх{сх\Ах ^ Ь\ х - целочисленный}.
Возможна и другая формулировка задачи:
B) по заданным рациональной матрице А
и рациональным векторам Ь и с найти
& 0; Ах = Ь\ х - целочисленный}.
В действительности формы A) и B) полиномиально эквива-
эквивалентны: в A) можно считать, что А и Ь целочисленны, так
как А и Ь можно умножить на произведение встречающихся в
них знаменателей и тогда задача т&х{сх\Ах ^ Ь) эквивалент-
эквивалентна задаче тах {сх' - сх"\х', х"у х ^ 0; Ах'- Ах" + х = Ь\
х', х'\ х - целочисленные}, являющейся частным случаем B).
Обратное сведение еще проще: х ^ 0, Ах = Ь эквивалентно
-х ^0, Ах ^ Ь, -Ах ^ -Ь. Эти сведения являются сведениями
по Карпу.
В общем случае в соотношении двойственности для ЦЛП-за-
дачи имеет место строгое неравенство:
C) тах {сх\Ах ^ Ь\ х - целочисленный} ^
^ щ'\п{уЬ\у ^ 0; у А = с\ у - целочисленный}.
Например, пусть А = B), Ь = A), с = A), тогда макси-
максимум в C) равен 0, а задача на минимум недопустима (в то
время как оба соответствующих ЛП-оптимума равны —).
Далее нетрудно видеть, что задачи A) и B) также поли-
полиномиально эквивалентны следующим задачам распознавания
совместности:
D) по заданным рациональным матрице А
и вектору Ь определить, разрешима ли
система Ах ^ Ь в целочисленных х\

Гл. 16. Введение в ЦЛП 369
E) по заданным рациональным матрице А и вектору Ь
определить, разрешима ли система Ах = Ь в
; неотрицательных целочисленных х.
Лемма Фаркаша (следствие 7.1A) и аналогичные следствия
3.1Ь и 4.1а вызывают предположение, что для рациональной
системы Ах = Ь неотрицательное целочисленное решение * су-
существует тогда и только тогда, когда из неотрицательности
и целочисленности вектора уА следует неотрицательность и
целочисленность уЬ. Однако это неверно: возьмем, например,
А = B, 3) и Ь = A). Легко видеть, что из первой половины
утверждения следует вторая, но обратное, вообще говоря, не
выполняется. Подобным образом в C) имеет место только
«слабая двойственность», т. е. выпоняется только указанное
неравенство.
Преодоление разрыва двойственности каким-либо удовлетво-
удовлетворительным способом, по-видимому, означало "бы, что ЦЛП-
задача может быть хорошо охарактеризована, т. е. принадле-
принадлежит ИР г\ со-ЫР (как это имеет место для ЛП-задачи,
см. § 10.1). Но, как преодолеть этот разрыв, неизвестно, и
представляется маловероятным, что это удастся сделать (как
мы увидим в гл. 18, ЦЛП~задача является ИР - полной) .
В этой главе обсуждаются некоторые вопросы теории линей-
линейного целочисленного программирования. При этом в дальней-
дальнейшем мы ограничимся в основном рассмотрением ЦЛП-задач с
рациональными входными данными. Без этого предположения мы
бы не могли даже гарантировать достижение оптимума: напри-
например, §ир{^ + тгЯГ\% + -ЯГ - I"» & "Л - целые} = |-, однако
супремум в целочисленных переменных не достигается.
Один из теоретических подходов к преодолению в ЦЛП
разрыва двойственности основывается на формулировке задачи,
двойственной к ЦЛП-задаче, в терминах субаддитивных функ-
функций, см. Вигс1е*, ЛоЬпзоп [1977], Лего$1о\у [1978а, 19795],
Шейнман [1978*], Лебедев, Шейнман [1983*], ВЫг, Легоз1о™
[1982], ММзеу [1981а], Шлык [1988*], Сишппате-Огеел
[1988*], а также §23.7. - Прим. перев.

370 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Наконец, дадим в заключение этого параграфа следующее
определение: релаксированной ЛП~задачей или ЛП~релакса-
цией ЦЛП-задачи
F) тах{сл;|Лл: 2 Ь, х - целочисленный}
будем называть задачу
G) гпах {сх\Ах ^ Ь).
Очевидно, G) дает верхнюю границу для F).
16.2. Целочисленная оболочка полиэдра
Для произвольного полиэдра Р определим его целочисленную
оболочку Р ;
(8) Р := выпуклая оболочка целочисленных векторов
из Р.
Таким образом, ЦЛП-задача A) эквивалентна задаче
тах{сх\х € Р) при Я:= {х\Ах $ Ь}.
Прежде всего приведем следующий результат Мейера (Меуег
[1974]): если Р - рациональный полиэдр, то Р - тоже поли -
эдр. (Это тривиально, если Р ограничен.) Заметим, что для
любого рационального полиэдрального конуса С:
(9) С, = С,
поскольку С порождается рациональными, а значит и целочис -
ленными векторами.
Теорема 16.1. Для любого рационального полиэдра Р множество
Р- является полиэдром. Если Р не пуст, то сЬаг.сопе (Рт) =
= сЬаг.сопе (Р).
Доказательство. П^сть Р = С + С, где 0 - политоп, а С -
характеристический конус Я, см. следствие 7.1Ь. Пусть С
порождается целочисленными векторами «/.,..., у , а В - по-
литоп

Гл. 16. Введение в ЦЛП 371
A0) В:= { Е 11у \0 5М1 для I = 1,...,
1=1
Покажем, что Р = ((} + В) + С, откуда будет следовать
утверждение теоремы, поскольку С} + В ограничен и, значит,
(<Э + В)г - политоп, причем из Р # 0 следует, что С - ха-
характеристический конус Р
Чтобы показать, что Р Я (($ + ВI + С, возьмем произ-
произвольный целочисленный вектор р из Р. Тогда р = ц + с для
некоторых <7 € ^> с € С. Далее с = Ь + с' для некоторого
Ь € В и некоторого целочисленного вектора с* € С (действи -
5
тельно, запишем с = 2 \1 у. (д. г 0) и возьмем с': =
1=1 1 Х
1=1
з
и Ь:= с - с'). Значит, р = (<? + Ь) + с' и
ц + Ь € (С} + 5)х, поскольку д + Ь = р - с', а р и с' цело-
численны. Таким образом, р € (С? + В) + С.
Обратное включение следует из цепочки (<2 + В)г + С Я
$ Рх + С = Р1 + Сх с (я + с)г = Яг а
Прямое следствие теоремы на первый взгляд выглядит
неожиданным: любая ЦЛП-задача может быть записана в виде
тах{с#|;с € <2} для некоторого полиэдра (Э и, следовательно,
является ни чем иным, как ЛП-задачей! Но вся неприятность
заключена в словах «может быть записана>: для того чтобы
применять методы линейного программирования, необходимо
задать <2, т. е. Рг линейными неравенствами. В общем случае
эта цель труднодостижима, что, например, не позволяет
перенести свойство полиномиальной разрешимости с ЛП на ЦЛП.
В гл. 23 будет описан (неполиномиальный) «метод отсечений>,
позволяющий находить неравенства, определяющие Р .
Как будет показано в §17.4, теорему 16.1 можно нес-
несколько усилить:
A1) для любой рациональной матрицы А существует такая
рациональная матрица М и для любого вектор-
столбца Ь существует такой вектор-столбец й, что
{х\Ах * Ь}г = {х\Мх * <*}.
Таким образом; зная коэффициенты неравенств, определяющих
Р, можно найти коэффициенты неравенств, определяющих Р..

372 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
16.3. Целочисленные полиэдры
Важнейшей особенностью полиэдров, возникающих в комбина-
комбинаторной оптимизации, является то, что для них часто
оказывается выполненным свойство Р = Р^ Полиэдры с этим
свойством называются целочисленными. Легко показать, что
для рационального полиэдра Р следующие утверждения эквива-
эквивалентны:
A2) A) Р - целочисленный, т. е. Р = Р или Р есть вы-
выпуклая оболочка целочисленных векторов из Р\
(и) каждая грань Р содержит целочисленные векторы;
(ш) каждая минимальная грань Р содержит целочис-
целочисленные векторы,
(IV) тпах{сх\х € Р) достигается на целочисленном
векторе для любого с, при котором этот макси-
максимум конечен.
В частности, если полиэдр Р заострен, то Р - целочисленный
тогда и только тогда, когда все его вершины целочисленны.
Если Р - целочисленный, то любую ЦЛП-задачу на Р можно
решить за полиномиальное время.
Теорема 16.2. Существует полиномиальный алгоритм, который,
получая на вход рациональную систему неравенств Ах ^6, за-
задающую целочисленный полиэдр, и рациональный вектор с, на-
находит оптимальное решение ЦЛП-задачи т&х{сх\Ах ^ Ь\ х ~
целочисленный) (если максимум конечен).
Доказательство. С помощью метода Хачияна (гл. 13) можно
найти б:= тах{сх\Ах < 6} и систему линейных уравнений
А' х = Ъ*, определяющую такую минимальную грань Р полиэдра
{х|Л* ^ Ь}у что для каждого х из Р выполняется сх = б. Если
Ах ^ Ь определяет целочисленный полиэдр, то Р содержит це-
целочисленный вектор, который можно найти за полиномиальное
время, см. следствие 5.3Ь. Этот целочисленный вектор явля-
является оптимальным решением ЦЛП-задачи. □
Воспользовавшись терминологией §14.2, сформулируем бо-
более общее утверждение.

Гл. 16. Введение в ЦЛП 373
Теорема 16.3. Пусть (Р. |/ 6 М) - класс целочисленных поли-
полиэдров, для которых проблема отделения полиномиально разре-
разрешима. Тогда существует полиномиальный алгоритм, который по
п.
заданным с е 04 и с € Ю г находит целочисленный вектор х из
Р., доставляющий максимум тах{сх\х € Р.; х - целочислен-
целочисленный}.
Доказательство. Аналогично изложенному выше. О
Заметим, что алгоритм, который
A3) по заданным рациональной матрице А и рациональным
векторам Ь и с, для которых тах{сх\Ах ^ Ь) дости-
достигается на целочисленном векторе ху находит цело-
целочисленное оптимальное решение задачи тъх{сх\Ах ^
является столь же сильным, как алгоритм, находящий
целочисленное решение заданной системы Ах ^ Ь. Мы можем
взять в A3) с = 0: если система Ах 5 Ь имеет целочисленное
решение, то алгоритм найдет его; если система Ах ^ Ь не
имеет целочисленного решения, то алгоритм либо «застрянет»
на одном из этапов своей работы, либо превысит полиномиаль-
полиномиальную границу времени (что будет означать «неправильность
входных данных»).
16.4. Базисы Гильберта
С рассматриваемыми в этой главе вопросами тесно связано
введенное в работе СПез апс! РиПеуЫапк [1979] понятие ба-
базиса Гильберта полиэдрального конуса. Конечное множество
векторов а ,..., а называется базисом Гильберта^ если каж-
каждый целочисленный вектор в сопе {а ,..., а^} является неот-
неотрицательной целочисленной комбинацией а ,..., а.. Нас инте-
интересуют главным образом целочисленные базисы Гильберта,
т. е. базисы Гильберта, состоящие только из целочисленных
векторов. Следующий результат об их существовании принад-
принадлежит по существу еще Гордану (Оогйап [1873], см. также
НПЬег! [1890]); единственность для заостренных конусов
показана ван дер Корпутом (уап Aег Когр1Й [1931Ь, с]).

374 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Теорема 16.4. Каждый рациональный полиэдральный конус С
порождается некоторым целочисленным базисом Гильберта, Если
С заострен, то существует единственный минимальный {по
включению) целочисленный базис Гильберта, порождающий С.
Доказательство. Пусть рациональный полиэдральный конус С
порождается векторами />,,..., Ь.. Без потери общности
можно считать векторы б-,..., Ь целочисленными. Пусть
. а - все целочисленные
а.,.
а - все целочисленные векторы политопа
A4)
{ЛД +... + Ак*к|0 5
1 = 1,..., к)}.
Тогда а1>..., а образуют целочисленный базис Гильберта,
порождающий С. Действительно, эти векторы порождают С, так
как
1
встречаются среди
а
,...,
а
и
A4)
1 К и
содержится в С. Чтобы показать, что а ,..., а образуют це-
целочисленный базис Гильберта, возьмем произвольный целочис-
целочисленный вектор Ь из С. Тогда существуют такие \1 ,..., /х ^
^ 0, что
A5)
Запишем
A6)
Ь =
Ь =
Вектор
содержится среди а.,..., а , так как ясно, что левая часть
A7) целочисленна, а правая - принадлежит политопу A4).
Поскольку &-,..., &к также содержатся среди а^,..., а^., то
A6) является представлением Ь в виде неотрицательной
целочисленной комбинации векторов а1,..., а^. Значит,
а.,'..., а составляют базис Гильберта.
Предположим далее, что конус С заострен, и пусть

Гл. 16. Введение в ЦЛП 375
A8) Н:~ {а € С\а * 0; а - целочисленный; а не являет -
ется суммой двух других целочисленных векторов
из С}.
Ясно, что порождающий С базис Гильберта должен содержать Н
в качестве подмножества. Поскольку множество Н содержится в
A4), оно конечно. Чтобы показать, что Н является базисом
Гильберта для С, возьмем такой вектор Ьу что Ьх > 0 для
всех х € С \ {0} (Ь существует, так как С заострен). Пред-
Предположим, что не каждый целочисленный вектор из С является
неотрицательной целочисленной комбинацией векторов из Я,
Пусть с ~ один из таких векторов и на нем достигается
минимум произведения Ьс (такой вектор существует, так
как с должен принадлежать множеству A4)). Поскольку с не
принадлежит Я, то с - с1 + с для некоторых ненулевых цело-
целочисленных векторов с и с из С. Тогда Ьс < Ьс и Ьс < Ьс.
Значит, с и с являются неотрицательными целочисленными
комбинациями векторов из Н. О
Нетрудно видеть, что если конус не заострен, то его
минимальный целочисленный базис Гильберта не единствен.
Заметим также, что если вектор с принадлежит порождающему
заостренный конус минимальному базису Гильберта, то
компоненты с - взаимно простые числа.
Объединяя доказательства теорем 16.1 и 16.4, нетрудно
показать, что для любого рационального полиэдра Р существу-
существуют такие целочисленные векторы х ,..., х , «/-,..., у , что
A9) {х\х € Р\ х - целочисленный} =
... + II у |А ,..., А , д ,..., II - неотрицательные
целые, А +■ ... + А = 1}.
Это дает «общее параметрическое решение» системы линейных
диофантовых неравенств.
Базисы Гильберта изучались в работах Васпет [1978],
Огауег [1975], Ние! [1978] и Легоз1о^ [1978Ь]. Другие ре-
результаты о конечных базисах и периодичности можно найти в
[1976].

376 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
16.5. Теорема Белла и Скарфа
Белл и Скарф (Ве11 [1977], 5саг! [1977]) доказали следующий
интересный аналог теоремы Каратеодори, см. § 7.7 . Пусть
дана система
B0) агх * р1,..., ащх * (*т
линейных неравенств с п переменными.
Теорема 16.5. Если система B0) не имеет целочисленных
решений, то в ней найдется не имеющая целочисленных решений
подсистема, содержащая не более 2П неравенств из B0).
Доказательство. Предположим, что система B0) не имеет
целочисленных решений. Можно считать, что удаление любого
из неравенств B0) приводит к системе, которая уже имеет
целочисленное решение. Это означает: существуют такие
целочисленные векторы х ,..., Xго, что при / = 1,..., т век-
вектор х* нарушает неравенство а.х ^ р но удовлетворяет всем
остальным неравенствам B0).
Нужно показать, что т з 2П. Предположим, что т > 2П, и
пусть
B1) 2:= 1п П сопу.пи11{лЛ...,
Выберем такие у«»•-.. у , что
1 ГО
B2) A) у^ * пнп{а^|г € 2; а^г > ^
(и) система а.хЛ < у.,.., а * < У не имеет ре-
' 1 1 1 Ш ГО ГО
шений в Ъ и, следовательно, сумма у1 + ...
... + у максимальная из возможных.
го
Такие У-,..., У существуют, так как множество удовлетво-
удовлетворяющих B2) наборов (У1,..., у ) не пусто (что можно пока-
Или, скорее, теоремы Хелли. - Прим. ред.

Гл. 16. Введение в ЦЛП 377
зать, взяв в B2) A) равенства), ограничено (так как у. ^
25 а .дг для всех /, ибо в противном случае х? € 2. был бы ре -
шением системы а.х < У-,..--. ^ < у ), и замкнуто (так как
отрицание B1) (п) 3 г € 1\ V/ = 1,..., т: у > я .г опре-
определяет открытое множество).
Поскольку сумма у.+... + у максимальна, для любого / =
= 1,..., т существует такой вектор у° € 2, что аУ = у. и
^ /) И П
а |/^ < у (* * /)• Из предположения т > 2П следует су-
ществование таких &, I (к * /), что */* = у (той 2).
Значит, ^(^ + У ) принадлежит 1 и удовлетворяет ах <
< у.,..., а * < Ут, что противоречит B2) (п). □
Непосредственным следствием этой теоремы является следу-
следующая теорема Скарфа Eсаг! [1977], см. также ТосМ [1977]).
Следствие 16.5а. Пусть Ах $ Ь - система линейных неравенств
с п переменными и пусть с € ГСП. Если максимум тах{сх\Ах ^
^ Ь\ х - целочисленный) конечен, то
B3) хпах {сх\Ах ^ Ь\ х - целочисленный} =
* ^ Ь1 \ х - целочисленный}
для некоторой подсистемы А*х ^ Ъ* системы Ах ^ Ьу содержа-
содержащей не более 2П - 1 неравенств.
Доказательство. Положим д:= тъх{сх\Ах ^ Ь\ х - цело-
целочисленный}. Тогда при любом г € N система Ах ^ Ьу сх ^ д +
+ 1 / г не имеет целочисленных решений. Следовательно, по
теореме 16.5 для любого I € N существует подсистема системы
Ах ^ Ь, сх ^ }1 + 1 / /, которая содержит не более 2П огра -
ничений и не имеет целочисленных решений. Поскольку Ах ^ Ь
имеет целочисленное решение Цх - конечно), в каждую такую
подсистему входит неравенство сх 2г \х + \ /1. Значит, в
Ах ^ Ь существует такая содержащая не более 2П - 1 ограни -
чений подсистема А* х ^ Ъ', что система А' х ^ Ь\ сх ^ д +
+ \ / I не имеет целочисленных решений для бесконечного
числа значений / € № Следовательно, система А'х ^ У, сх >
> д не имеет целочисленных решений. Отсюда получаем B3). □
Заметим, что граница 2П в теореме 16.5 наилучшая. Это
показывает пример системы

378 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
1 € I * 1 « I 1
содержащей 2П ограничений относительно я переменных
16.6. Задача о рюкзаке и агрегация
Задача о рюкзаке состоит в следующем:
B5) для заданных рациональных векторов а и с1 и рацио-
рационального р найти тгх{сх\ах 5 р; х - {О, ^-век-
^-вектор}.
Эта задача является частным случаем ЦЛП-задачи, причем ока-
вается, что она /УЯ-полна. Л^Я-полны и следующие близкие
ей задачи:
B6) для заданных рационального вектора а и рациональ-
рационального C определить, существует ли {0, 1}-вектор х,
удовлетворяющий уравнению ах = 3;
B7) ,; для заданных рационального вектора а и рациональ-
рационального |3^ определить, существует ли неотрицательный
целочисленный вектор х, удовлетворяющий уравнению
= C.
Л^Я-полнота этих задач будет показана в § 18.2. Исполь-
Используемое там сведение основано на идее агрегации линейных
уравнений, которую мы сейчас кратко обсудим с теоретической
точки зрения.
Заметим вначале, что если система рациональных линейных
уравнений не имеет соответственно (\) неотрицательных,
(И) целочисленных, (Ш) вещественных решений, то можно
образовать линейную комбинацию этих уравнений, которая тоже
не имеет решений соответствующего типа. Легко видеть, что
это эквивалентно следствиям 7.1A (лемма Фаркаша), 4.1а и

Гл. 16. Введение в ОПП 379
Геометрически случаи A) и (и) можно интерпретировать
так: каждое аффинное подпространство 5 из @п со свойствами
5 п 0^ = 0 (соответственно 5 п 1п = 0) содержится в аффин-
аффинной гиперплоскости Н с тем же свойством И л 0п = 0 (соот-
(соответственно И п 2П = 0).
Относительно 1™ Шевченко [1976] (продолжая работы
Ма1пе>У5 [1897], ВгаA1еу [1971Ь] и О1оуег апй М>о1зеу
[1972]) доказал следующее: если 3 = {х\Ах = Ь} - аффинное
подпространство 0п, то 5 содержится в аффинной
гиперплоскости Я, для которой Н п 1п = 5 п 2П, тогда и
только тогда, когда само 5 является аффинной
гиперплоскостью или когда конус, порожденный столбцами А,
является заостренным. Иначе говоря, если ранг А не меньше
двух, то линейная комбинация уравнений системы Ах = Ьу
имеющая те же неотрицательные целочисленные решения, что и
система Ах = Ь, существует тогда и только тогда, когда
конус, порожденный столбцами А заострен.
Задача нахождения указанной линейной комбинации называ-
называется задачей агрегации уравнений. После агрегации задача
нахождения неотрицательного целочисленного решения системы
линейных уравнений сводится к решению одного уравнения.
См. также работы Бабаева, Мамедова [1978], ВаЬауеу апс!
О1оуег [1984], Спуа1а1 апA Наттег [1977], Рауагд апс!
РЫеаи [1973], О1оуег [1975а], Каппап [1983а], КепёаП апс!
Тюп\$ [1977], РадЬег^ [1972], КозепЬег^ [1974], Весе-
лова, Шевченко [1978], Иванова [1975*] и МетЬеге: [1977,
1979а, Ь]. Другие ссылки можно найти в Ьеуеяие [1974,
Уо1. 2, рр. 7-16], КазЫпд [1976, рр. 251-252], Наизтапп
[1978, р. 174] и уоп Капёо™ [1982, р. 182; 1985, р. 206].
См. также § 18.2.
16.7. Смешанное целочисленное линейное программирование
Задача смешанного целочисленного линейного программирова-
программирования состоит в следующем:
B8) для заданных рациональных матриц А, В и рациональ-
рациональных векторов Ьу с, а* найти I тахЖуГТ
^ Ь\ х - целочисленный}.

380 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Таким образом, эта задача объединяет в себе ЛП- и
ЦЛП-задачи и, следовательно, является трудной задачей.
Методами, подобными тем, которые применялись при
доказательстве теоремы 16.1, можно показать, что множество
B9)
сопу.ЬиИ -
У
Ах + Ву ^ Ъ\ х - целочисленный
также является полиэдром.
В этой книге мы не будем подробно исследовать задачи
целочисленного линейного программирования, а лишь эпизо-
эпизодически затронем результаты, полученные в этой области, в
§18.4 (алгоритм Ленстры), 23.1 (отсечения) и 24.5 (разло-
(разложение Бендерса).
17
НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО
ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Эта глава содержит некоторые оценки и результаты о близости
и чувствительности в целочисленном линейном программирова-
программировании .
В §17.1 показывается, что если ЦЛП-задача имеет конеч-
конечный оптимум, то она имеет оптимальное решение полиномиально
ограниченного размера. Это означает, что сложность фасет
полиэдра Рг ограничена полиномом от сложности фасет полиэд-
полиэдра Р. Отсюда следует, что линейное целочисленное програм-
программирование принадлежит к классу ЫР. В § 17.2 обсуждается
вопрос о том, насколько близко находятся решения ЦЛП-задачи
Все результаты этой главы с очевидными переформулировка-
переформулировками и без изменения оценок верны для задач смешанного
целочисленного линейного программирования. - Прим. ред.

Гл. 17. Некоторые оценки для задач ЦЛП 381
к решению соответствующей релаксированной ЛП-задачи, и
наоборот. Здесь также приводятся оценки чувствительности
решений ЦЛП-задачи к изменению ее правых частей. В § 17.3
показывается, что если допустимое решение ЦЛП-задачи не
оптимально, то «поблизости» существует допустимое решение,
которое лучше прежнего. Наконец, в § 17.4 показывается,
что, грубо говоря, левые части (т. е. коэффициенты) уравне^
ний, определяющих фасеты выпуклой оболочки Р , зависят
только от левых частей уравнений, определяющих фасеты Р.
17.1. Размеры решений
В этом параграфе мы получим некоторые оценки размеров реше-
решений ЦЛП-задач. В частности, покажем, что если ЦЛП-задача
имеет конечный оптимум, то она имеет оптимальное решение,
размер которого ограничен полиномом от размера входа. Отсю-
Отсюда следует, что задача принадлежит классу ЫР, см. также
§ 18.1.
Вначале аналогично доказательству теоремы 16.1 покажем,
что сложность описания фасет целочисленной оболочки Рг ог-
ограничена полиномом от сложности описания фасет Р (см. Кагр
ап<3 РарасПтйпои [1982]). Это будет вытекать из следующей
теоремы, которая понадобится нам и для других целей.
Теорема 17.1. Пусть Р = {а: | Лл: ^ Ь), где А - целочисленная
(пг х п)-матрица, а Ь - целочисленный вектор. Тогда
A) Рг = сопу.ЬиН {*г..., х^} + сопе {уу..., ув}>
где *.,•••» х., у ,..., у ~ целочисленные векторы, все
компоненты которых по абсолютной величине не превосходят
(п + 1)Д, где А - максимум абсолютных величин миноров мат-
матрицы [А Ь].
Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 16.1.
Поскольку случай Р - 0 тривиален, будем считать, что Рг *
# 0. По теореме 16.1 и правилу Крамера можно записать
сЬаг.сопеР = сопе {у„..., у }, где уЛ>.., у - целочис-
ленные векторы, все компоненты которых являются минорами
матрицы Л и, в частности, не превосходят по модулю А.

382 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Кроме того,
B) Р = сопу.Ьи11{21,...,
сопе
где 2-,..., г - векторы, каждая компонента которых есть
отношение миноров матрицы [А Ь\ и также не превосходит по
модулю А. Рассмотрим все целочисленные векторы х ,..., х ,
содержащиеся в
C) сопу.Ьи11{гг..., 2к} + {д^ +... + *у/81° 5
5 Д1 5 1 (/ = 1...., 5); не более п чисел д отличны
от нуля}.
Тогда любая компонента любого х. по абсолютной величине не
превосходит (п + 1)Л. Докажем теперь A). Для этого доста-
достаточно показать, что каждая минимальная грань Р полиэдра Р-
содержит хотя бы один вектор х . Каждая минимальная грань Г
содержит какой-то целочисленный вектор, скажем х . Посколь-
ку х принадлежит Р, то
D) х* = \ггг + ... + Акгк + ц^ + ... + ц^,
где X.,..., Ак> Д'^,..., Дз ^ О, X +...+ X = 1 и не бо-
более п из д. отличны от нуля (теорема Каратеодори, следст-
следствие 7.П). Тогда, как легко проверить,
E) ЗЬ Л1г1 +... + Лк2к +
- снова целочисленный вектор из Р. Более того, это один из
векторов х , что и требовалось доказать. □
Следствие 17.1а. Пусть Р - рациональный полиэдр в &п и <р -
сложность описания его фасет. Тогда сложность фасет Рт не
превосходит 24п <р.
Доказательство. Пусть Р = {х\Ах ^ Ь] и размер каждой строки
[Л 6] не больше (р. Каждое неравенство ах ± |3 из Ах ^ Ь
можно умножить на произведение его знаменателей, которое не
больше чем 2^; тогда получим эквивалентное целочисленное

Гл. 17. Некоторые оценки для задач ЦЛП 383
неравенство, размер которого не превосходит (п + 1)ф. Таким
способом мы получим систему неравенств Ах ^ Ь. Размер каж-
дои подматрицы из [А Ь] не превосходит (л + 1) (р, следова-
следовательно, по теореме 3.2 размер Л наибольшего по абсолютной
величине минора матрицы [А Ь] не превосходит 2(п + 1) <р.
2
Таким образом, А ^ 22(п+1) Р. Значит, по теореме 17.1
существуют такие целочисленные векторы *,,-.., х у
уг,..., у, что
F) Р = сопу.Ьи11{х х) + сопе {^1,..., ^ },
где каждая компонента каждого х., у по абсолютной величине
не превосходит (п + 1)Л и тогда ее размер не превосходит
2(п + 1J<р + [1о%2(п + 1I + 3. Следовательно, для любого /
G) 512е(х.) < п + пBп + 2
кл + 1I + 3) ^
Аналогичная оценка справедлива для у.. Таким образом, слож-
ность описания вершин Р не превосходит 6/г ^р, и тогда по
теореме 10.2 сложность описания фасет Я* не превосходит
24 пь<р. П
Другое следствие теоремы 17.1 состоит в трм, что если
рациональный полиэдр содержит целочисленные векторы, то он
содержит целочисленные векторы малого размера (см. ВогозЬ
апс1 ТгеуЬ1д [1976, 1979], Соок [1976], уоп гиг Са1пеп апс1
51еуек1П^ [1978], Каппап [1976], Каппап апс! Мопта [1978] и
РарасНтИпои [1981]).
Следствие 17.15. Пусть Р - рациональный полиэдр в Кп и <р -
сложность описания его фасет. Если Р содержит целочисленный
вектор, то размер этого вектора не превосходит 6п <р.
Доказательство. См. доказательство следствия 17.1а. О
Таким образом, с помощью перебора можно за конечное
время найти целочисленный вектор х, удовлетворяющий системе
Ах ^ Ь, или доказать, что такие векторы не существуют.
Следствие 17.1с. Пусть Р - рациональный полиэдр в Кп, <р -
сложность описания его фасет и с е 0п. Если максимум

384 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
тах{сх\х е Р, х - целочисленный) конечен, то он достигает-
ся на векторе, размер которого не превосходит 6л (р.
Доказательство. См. доказательство теоремы 17.1: максимум
достигается на одном из векторов х^ и
Следствие 17.1д. Задача целочисленного линейного программи-
программирования принадлежит классу ИР.
Доказательство. Из следствия 17.1Ь вытекает, что если сис-
система рациональных линейных неравенств Ах з Ь имеет целочис-
целочисленное решение, то она имеет целочисленное решение, размер
которого ограничен полиномом от 51ге (А, Ь). [Аналогично
если система Ах = Ь имеет неотрицательное целочисленное
решение, то она имеет такое решение полиномиально ограни-
ограниченного по &1ге (А, Ь) размера ]. П
17.2. Расстояния между оптимальными решениями
Вначале мы дадим оценку близости решений ЦЛП-задачи и реше-
решений соответствующей ЛП-релаксации. Эта оценка получена в
работе Соок, Оегагйз, 5спп]уег апс! Тагёоз [1986]; она уси-
усиливает результат БЫг апс! Легоз1о\у [1979, Тпт. 1.2].
Теорема 17.2. Пусть А - целочисленная (т х п)~матрица, каж-
каждый минор которой по абсолютной величине не превосходит Д,
и пусть даны векторы Ь и с. Предположим, что оба максимума
1 *
В работе Тарасова, Хачияна [1980 ] (см. также Хачиян
[1983 ]) приведены оценки границ решений, пригодные для
произвольных смешанных задач выпуклого полиномиального (на-
(например, линейного или квадратичного) программирования:
10(х, у) —> ппп; 1{(х, у) 3 0, / = 1,..., /п;
х - целочисленный,
задаваемых целочисленными коэффициентами полиномов /0,
/„,..., \ . Кроме того, там показано, что к классу ЫР при-
1 1 * ГО
надлежит общая задача распознавания совместности систем
выпуклых полиномиальных неравенств в целочисленных пере-
переменных. - Прим. ред.

Гл. 17. Некоторые оценки для задач ЦЛП 385
(8) 0) тах {сх\Ах * Ь}у
(и) тах {сх\Ах ^ Ь, х - целочисленный}
конечны. Тогда:
I. для любого оптимального решения у задачи ([) сущест-
существует оптимальное решение г задачи (и), для которого
\\у - г\\т * лД;
II. для любого оптимального решения г задачи (и) су-
существует оптимальное решение у задачи @, для которого
\\у - г11ю * лД.
[Как обычно, II-* 41 обозначает максимум абсолютных величин
компонент • • • .]
Доказательство. Возьмем оптимальное решение у задачи @ и
оптимальное решение г задачи (И). Разложим систему Ах * Ь
на две системы А.х ^ Ь и А~х ^ Ь , такие, что
(9) Агу < Агг, А2у < А2г.
Рассмотрим конус С:= {и\А и ^ 0; Аои ^ 0}. Поскольку А у <
< А г з Ь , то по свойству дополняющей нежесткости ъАо = с
для некоторого V ^ 0. Значит, си ^ 0 для любого и из С.
Кроме того, у - г е С, значит, л
A0) у - г = Л1«1 +... + А^
для некоторого Л ,..., Л ^ 0 и таких линейно независимых
целочисленных векторов и ,..., и из С, что для каждого /
имеем Н^.НЮ - А (поскольку по правилу Крамера С порожда-
ется целочисленными векторами и, для которых II и\\^ ^ А,
см. §3.2).
Если 0 5 д. < Л1 для всех *", то вектор
(И) 2 + \1ги^... + д1.ы1
удовлетворяет системе Ах ^ 6, поскольку
A2) А
и Л

386 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
(напомним, что А^и{ $ О, А?и1 г 0 для всех /). Пусть теперь
A3) г'\= г + 1*1}и1 +... + 1\}иь =
= У -
где {ЛА} = Л1 - Ц^. Тогда г' есть целочисленное решение
Ах ^ Ь и сг' > сг (так как си ^ О для всех /). Таким обра-
образом, г* является оптимальным решением (и). Кроме того,
A4) \\у~ г'Ню =
1-1 1 Л
Это доказывает пункт I.
Аналогично пусть
A5) у':= I/
= 2 +
Тогда у* удовлетворяет Ах ^ Ь. Далее имеем су' ^ су, пос-
поскольку в противном случае [Л^ > 0 и си.> 0 для некоторого
I, и тогда (с учетом A2)) вектор г + [Х^^* является цело-
целочисленным решением Ах ^ Ь и с(г + |_Х.]ы.) > сг, что проти-
противоречит оптимальности г. Кроме того,
A6) Иг - у'\\т = 11{Л} « +...+ {\}и^\\а * I Ун Вш ^ «Д.
1 = 1
Это доказывает пункт II. □
Доказанная теорема обобщает следующие результаты Оотогу
[1965] и Шо1зеу [1981Ь]: для любой рациональной матрицы А
существует такой конечный набор векторов х ,..., дг\
что для любой вектор-строки с и любого целочисленного
вектор-столбца Ь из того, что х является оптимальным
базисным решением (т. е. вершиной) линейной программы
тах{сх\х ^ 0; Ах = Ь], следует, что оптимум ЦЛП-задачи
тах{сх\х ^ 0; Ах - Ь\ х - целочисленный} достигается на
одном из векторов х - х (к = 1,...,

Гл. 17. Некоторые оценки для задач ЦЛП 387
Следующий пример показывает, что полученная в теореме
17.1 граница лД неулучшаема:
A7)
+1 0 0.
-1 +1 0
0 -1 +1
• ■
0
о
0-1 +1
\
; с:= A... 1).
Для любого р, 0 ^ /3 < 1, следующие векторы являются единст
венными решениями задач тъх{сх\Ах < Ь) и тах{сх\Ах
^ Ь\ х - целочисленный}:
A8)
У=
п\
г: =
0
0
О
\\и - г\\т ~
(Этот пример принадлежит
Заметим, что
Л. Ловасу.)
Из теоремы 17.2 и результата о чувствительности для ЛП
(теорема 10.5) вытекает полученное в работе Соок, Оегагёз,
ЗсЬг^уег апй ТапЗоз [1986] следствие, которое усиливает
теорему В1а1г апс! ЛегозЬчу [1977, ТЬт. 2.1]-
Следствие 17.2а. Пусть А - целочисленная (пг х п)-матрица,
каждый минор которой по абсолютной величине не превосходит
А, и пусть Ь* и Ь" - гп-мерные векторы, ас— п-мерная век-
вектор-строка. Предположим, что максимумы хпак{сх\Ах ^ Ь* \ х -
целочисленный} и гпах{слг|Л* ^ Ь"\ х - целочисленный} конеч-
конечны. Тогда для любого оптимального решения г* первой задачи
на максимум существует такое оптимальное решение г" второй
задачи, что
A9)
г' - г"\\т * пЦ\\Ь' - 6"НЮ + 2).
Доказательство. Возьмем оптимальное решение г* задачи
тах {сх | Ах ^ Ъ'\ х - целочисленный}. Согласно II теоре-
теоремы 17.2, существует оптимальное решение х' задачи
тах{сх\Ах $ 6'}, для которого \\г* - х'\\^ ~
реме 10.5 существует оптимальное решение
"
По тео-
теозадачи

388 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
тах{сл:|Л;с ^ &"}, для которого II*' - х"\\ ^ пЬ\\Ь* - Ь"\\^.
Согласно 1 теоремы 17.2, существует оптимальное решение г"
задачи тах{сх|>4* ^ Ъ"\ х - целочисленный}, для которого
IIх' - ^"Ид, 5 лД. Объединив эти три неравенства, получим
A9).
Ссылки на другие результаты о чувствительности в ЦЛП
приведены в конце § 23.7.
17.3. Конечные тестовые множества в целочисленном линейном
программировании
Еще одну оценку дает следующий результат работы Соок,
СегагёБ, Зспг^уег, Тагёоз [1986], из которого следует тео-
теорема Кравера (Сгауег [1975]), см. также В1а1г апё ^гоз1о^
[1982, Ьетта 4.3]): для любой ЦЛП-задачи тах{сх|Л* ^ 6;
х - целочисленный} существует такое зависящее только от
матрицы ограничений конечное («тестовое») множество цело-
целочисленных векторов *\. ., хп, что допустимое решение х*
является оптимальным тогда и только тогда, когда из
допустимости х + хк (к = 1,..., #) следует с(х + хк) ^
*
^ сх .
Теорема 17,3. Пусть А - целочисленная (т х п)-матрица, все
миноры которой по абсолютной величине не превосходят Д, Ь -
пг-мерный вектор-столбец и с ~ п-мерная вектор-строка.
Пусть г - допустимое, но не оптимальное решение задачи
тах{сх\Ах ^ Ь\ х - целочисленный). Тогда существует такое
допустимое решение г', что сг* > сг и \\г - г"\\т - яД-
Доказательство. Так как г не оптимально, для некоторого
целочисленного решения г" системы Ах ^ Ь выполняется сг" >
> сг. Систему Ах ^ Ь можно разбить на подсистемы Ах ^ Ь и
Ах ^ Ь , для которых
B0) Ахг * Ахг\ А2г * А^г".
Рассмотрим конус С:
B1) С:= {и\АЛи * 0; Аои 5 0}.

Гл. 17. Некоторые оценки для задач ЦЛП 389
Тогда г" - г принадлежит С, и, значит,
B2) г"- г = \лил +... + Л. и
лил +... + Л. и.
для некоторых А^..., Л ^ 0 и линейно независимых целочис-
целочисленных векторов ы ,..., и из С, для которых IIи,II ^ Д (по
правилу Крамера, см. § 3.2).
Заметим, что если 0 з д. ^ А. (/ = 1,..., /), то вектор
B3) г + ц1
= г" ~
удовлетворяет Ах ^ Ь, поскольку
B4)
Ахг" * Ь± и
Возможны два случая.
Случай 1. Л ^ 1 и си. > 0 для некоторого I. Тогда, соглас-
согласно B4), вектор г':= г + и. является допустимым решением
задачи тах{сх\Ах ^ Ь\ х - целочисленный}, для которого
сг' > сг и \\г* - г11ю з Л <
Случай 2. Для всех / из А1 ^ 1 следует са . ^ 0. Тогда, сог-
согласно B4), допустимым решением задачи тах{сх\Ах ^ Ь\ х -
целочисленный} является вектор
B5) *':= г +
где {А.} = А. - [А4], причем сг'^ сг" > сг и Иг' -
11^ -
1=1
17.4. Фасеты Р
В § 17.1 было показано, что сложность описания фасет цело-
целочисленной оболочки Р ограничена полиномом от сложности

390 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
описания фасет исходного полиэдра Р. Сейчас мы увидим, что
это утверждение остается в силе, если не учитывать правых
частей линейных неравенств. Это было показано в работах
Шо1зеу [1981Ь, ТЬт. 2] и Соок, Оегагск, 5сЬп]Уег апй
Тагйоз [1986] (см. ВЫг апё Легоз1о\у [1982, ТЬт. 6.2]).
Теорема 17.4. Для любой рациональной матрицы А существует
целочисленная матрица М, такая, что: для любого вектор-
столбца Ь существует вектор-столбец й, такой, что
B6) {х\Ах * Ь}г = {х\Мх 5 О).
Если матрица А целочисленна и каждый минор А по абсолютной
величине не превосходит А, то все элементы М можно взять не
превосходящими по модулю величину п2пДп, где п - число
столбцов А.
Доказательство. Без потери общности можно считать А цело-
целочисленной. Пусть А - максимум абсолютных величин миноров А.
Возьмем матрицу М, строками которой являются все целочис-
целочисленные векторы из множества
B7) !:= {ш|3 у ^ 0: уА = щ хя - целочисленный;
Ню11ю * п2пАп}
Мы утверждаем, что это и есть требуемая матрица. Для
доказательства возьмем произвольный вектор-столбец Ь.
Если система Ах ^ Ь не имеет решений, то понятно, что
можно найти такой вектор йу что система Мх ^ й не имеет ре-
решений (так как строки А входят в Ь).
Если система Ах ^ Ъ имеет решение, но не имеет целочис-
целочисленного решения, то конус {х\Ах з 0} имеет неполную размер-
размерность и, значит, система Ах ^ 0 содержит неявное равенство,
скажем, а.х ^ 0. Следовательно, а1 и -о^ принадлежат Ь, и
поэтому можно выбрать такое йу что {*|М* ^ О) = 0.
Таким образом, можно считать, что система Ах ^ Ь имеет
целочисленное решение. Для любой вектор-строки с положим
B8) 5 := тах {сх\Ах ^ Ь\ х - целочисленный}.

Гл. 17. Сложность ЦЛП 391
Достаточно показать, что
B9) {х\Ах ^ Ь) = {х\аих з 3 для всех и; из Ц.
Включение Я в B9) прямо следует из B8). Чтобы показать
включение 2 возьмем какое-нибудь выполненное для {*|Л* ^
^ Ь} неравенство сх ^ 5 . Пусть максимум тгх{сх\Ах ^ Ь\
л. С
х - целочисленный} достигается на г. Тогда по теореме 17.3
C0) С:= сопе{х - г\Ах ^ Ь\ х - целочисленный} =
= сопе {х - г\Ах ^ Ь\ х ~ целочисленный; \\х -
По правилу Крамера этот конус можно представить в виде
C1) С = {и\ши ^ 0 для всех а; из А, }
для некоторого подмножества Ь векторов из Ь. Для любого ш
из Ь имеем 3 = шг. Кроме того, поскольку г ~ оптимальное
решение задачи тах{сх|Лх ^ Ь\ х - целочисленный}, то
си ^ 0 для любого вектора и е С. Следовательно, с =
Л ш + ... + Л.ш для некоторых Л ,..., Л %■ 0 и некоторых
IV.,..., IV. € /, Кроме ТОГО, б = С2 = Л XV X + ...
X I» х С X X
... + А.ш 2 = А-5 + ... + А 5 . Отсюда следует, что не-
равенство сх ^ б выполнено и для полиэдра в правой части
О
B9). Дальнейшие сведения о фасетах Р см. в § 18.3. а
18
СЛОЖНОСТЬ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
В настоящей главе изучается сложность задач целочисленного
линейного программирования. Основными результатами являются
теорема об ЛТ-полноте задачи целочисленного линейного прог-
программирования и о ее разрешимости за полиномиальное время
при фиксированном числе переменных.

392 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
В § 18.1 показано, что ЦЛП-задача является #Р-полной,
то есть самой сложной задачей класса #Р. К числу #Р-полных
задач относятся также некоторые близкие задачи: задача о
рюкзаке, задача о разрешимости одного линейного уравнения в
неотрицательных целых числах, задача о камнях (см. § 18.2),
распознавание принадлежности точки к выпуклой оболочке Р
целых точек многогранника Я, распознавание вершин Р ,
распознавание соседства в Р (§ 18.3). Более того, если
ЫР * со-#Р, то в общем случае Р1 имеет «трудные» фасеты,
которые также обсуждаются в § 18.3.
Затем рассматриваются положительные результаты. В § 18.4
доказывается результат Ленстры о разрешимости за полино-
полиномиальное время задачи целочисленного программирования с
фиксированным числом переменных. В § 18.5 показано, что ес-
если зафиксировать верхнюю границу для коэффициентов целевой
функции, то задача о рюкзаке разрешима за полиномиальное
время. Соответствующий алгоритм принадлежит Беллману и
Данцигу. Он основан на методе «динамического програм-
программирования» и, как показали Ибарра и Ким, дает «вполне
полиномиальную аппроксимационную схему> для задачи о
рюкзаке. Наконец, в § 18.6 приводится более общий резуль-
результат Пападимитриу о существовании «псевдополиномиального»
алгоритма решения ЦЛП-задачи тах{с*|* ^ 0; Ах = Ь) при
фиксированном числе ограничений типа равенств. Этот метод
также основан на динамическом программировании.
18.1. \Р-полнота общей задачи целочисленного линейного
программирования
Покажем, что задача целочисленного линейного программи-
программирования, записанная в следующей форме:
A) заданы рациональная матрица А и рациональный век-
вектор Ь\ требуется определить, существует ли цело-
целочисленное решение системы Ах ^ Ь,
является МР-полной. Этот результат, принадлежащий по су-
существу Куку (Соок [1971]), показывает, что ЦЛП-задача при-
принадлежит к числу наиболее сложных задач класса

Гл. 18. Сложность ЦЛП-задач 393
Теорема 18.1. Задача целочисленного линейного програм-
программирования A) является ЫР-полной.
Доказательство. Согласно следствию 17.1A, задача A) при-
принадлежит ЫР.
Для доказательства #Я-полиоты задачи A) необходимо по-
показать, что любая задача распознавания ^ из класса ЫР
сводится по Карпу к задаче A). Итак, пусть Ь 2 {0, 1}
некоторая задача класса ЫР. Это означает, что существует
полином ф и задача V из класса Р9 такие, что для каждого
слова г € {0, 1} выполнено соотношение:
B) г € I * 3 у € {0, 1}* | (г, у) € V и &1ге(у) =
= «3126B)).
В качестве модели ЭВМ примем следующую машину М (к-лен-
точную машину Тьюринга, см. Ахо, Хопкрофт, Ульман [1974]).
C) (\) В каждый момент времени М находится в одном
из C) состояний ^1,..., л .
(и) Машина М имеет к бесконечных двусторонних
лент, каждая из которых состоит из счетного
числа ячеек с номерами ..., -2, -1, 0, 1,
2 В каждой ячейке может быть записан
0 или 1.
(ш) В каждый момент времени М читает на каждой
ленте содержимое ровно одной ячейки.
(IV) Пусть в момент времени г машина М читает со-
содержимое ячеек с. ленты /, / = 1,..., к.
Прочитанные символы и состояние машины М в
момент времени I однозначно определяют сле-
следующие данные:
(а) состояние машины М в момент времени
/ + 1;
(Ь) символ в с -й ячейке г-й ленты
(/ = 1,..., к) в момент времени / + 1
(символы во всех остальных ячейках не
меняются); /

394 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
(с) одну из трех ячеек с1 - 1, с^ с^ + 1
ленты 19 которая будет читаться в мо-
момент времени г + 1 (* = 1,..., к).
Таким образом, (а), (Ь) и (с) зависят только от состояния
машины М и символов, читаемых машиной М в момент времени /.
В действительности можно обойтись без внутренних
состояний. Состояния можно имитировать лентами: /г состояний
можно имитировать Н дополнительными лентами, на которых
всегда читается только ячейка с номером 0, так что 1 в
нулевой ячейке 1-й дополнительной ленты указывает на то,
что машина находится в состоянии ф (и в каждый момент
времени ровно одна из нулевых ячеек этих дополнительных
лент содержит 1). Поэтому можно предполагать, что Л = 0.
Таким образом, формально модель полностью описывается
отображением
D) Р: {0, 1}к -» {0, 1}к х {-1, 0, +1}к.
Значение отображения Р(сг ., о*к) = ((о*^,..., о*^),
(уг''' • ук^ следует интерпретировать следующим образом.
Если в некоторый момент времени / машина М считывает символ
о*. из с.-й ячейки 1-й ленты (* = 1,..., Л), то символ о\
в ячейке с. заменяется на о*' ив момент времени / + 1 номер
читаемой ячейки на 1-й ленте будет равен с^ + V. (/ =
Принадлежность V к классу Р означает, что существует
модель ЭВМ М указанного выше типа (т. е. функция Р вида
D)) и многочлен ф, такие, что:
E) слово (г; у) = (Сг-•, Сп; \. — , ^(п)) принад-
принадлежит ^ в том и только том случае, если выпол-
выполнено следующее условие:
если в момент времени 0 на ленте 1 в ячейках с
номерами 1,..., 2л записаны символы 1, Сг 1*
С,...» 1, С » а в ячейках с номерами 1,...
...,ф(п) ленты 2 - символы Т)а,..., ^ф(пу при-
причем остальные ячейки содержат символ 0 и на
каждой ленте читается нулевая ячейка,

Гл. 18. Сложность ЦЛП-задач 395
то в момент ф(п) машина М прочтет на ленте 1
символ 0.
Без потери общности можно считать, что ф(п) ^ 2л и 0(л) ^
^ ф(п) для всех п.
Покажем, что отсюда следует, что Ь сводится по Карпу к
задаче A). Предположим, что требуется выяснить принадлежит
ли данное слово г = (^ ^ ) множеству Ь. Это озна-
означает, что необходимо выяснить, существует ли слово у =
= (?!»•■•» Сп)» такое, что (г; у) принадлежит V. Будем
теперь рассматривать написанные на лентах машины М символы
как переменные. Пусть с обозначает ячейку (*-й ленты,
читаемую в момент времени *, и б. . . - символ в ячейке с
номером с + / ленты / в момент времени г. Таким образом»
б. . п - символ, читаемый в момент времени I на ленте /.
Рассмотрим теперь следующие элементы:
* — 1 , . . . , К) г
Каждый элемент б. строки I + 1 однозначно определяет-
ся самое большее к + 3 элементами /-й строки, а именно
элементами
G) а1,1.0"-"вк.*.О'
6 5 5
Более того, существует конечный алгоритм, описывающий зави-
зависимость б от переменных G), который строится по
отображению /\ как в D). Эта зависимость может быть описа-
описана линейными по 5 . и по переменным из G) неравенст-
неравенствами, так, что их {0, 1}-решения однозначно определяют
как Функцию переменных G) (иными словами, можно
0

396 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
найти линейные по переменным G) и б1 .+1 . неравенства,
такие, что для каждого («1,1|0.'...1вк,1|0.в,1»,к
3. ,, 3 ) б {0, 1} существует единственное зна-
чение 3. . л ., для которого соответствующая система нера-
венств разрешима).
Из E) следует, что г принадлежит Ь в том и только том
случае, если система 2 с переменными F), состоящая из всех
этих неравенств и следующих ограничений^
^1 У )
5^ =0 (/ = 1 и / 5 0 или / > 2л, или / = 2
и / ^ 0; или / > ф(п); или / а 3),
0^6.. з 1 (для всех /, /, /),
имеет целочисленное решение. Существует полиномиальный ал-
алгоритм, который по г строит систему Е, что является своди-
сводимостью задачи Ь к задаче линейного программирования. а
18.2. №-полнота близких задач
Из теоремы 18.1 может быть получена #Р-полнота нескольких
близких задач. Вначале рассмотрим следующую задачу:
(9) задана рациональная матрица А и рациональный
вектор Ь. Имеет ли система Ах - Ь неотрицательное
целое решение х?
Следствие 18.1а. Задана (9) является ЫР-полной.
Доказательство. Задача A) может быть сведена к задаче (9)
следующим образом. Поскольку в A) можно предполагать, что
А и Ь - целые, то Ах ^ Ь имеет целочисленное решение в том
и только том случае, если Ах'- Ах" + х = Ь имеет неотрица-
неотрицательное целочисленное решение х', х"% х, О
В этом и следующих доказательствах сводимости являются
сводимостями по Карпу (ср. с §2.6). Кроме того, мы предос-
предоставляем читателю возможность самому убедиться в том, что

Гл. 18. Сложность ЦЛП-задач 397
рассматриваемые задачи принадлежат классу NР (это легко
следует из следствия 17.1Ь).
В следующей задаче рассматриваются только {0, 1}-решения
задачи (9):
A0) задана рациональная матрица А и рациональный
вектор Ь. Имеет ли система Ах = Ь {0, 1}-решение
х?
Следствие 18.1Ь. Задача A0) является ЫР-~полной<
Доказательство. Задача (9) может может быть сведена к зада-
задаче A0) следующим образом. Пусть требуется решить систему
Ах = Ь в неотрицательных целых числах. Пусть ф - максималь-
максимальный из размеров строк матрицы [А Ь]. Согласно следствию
17.1Ь, если система Ах - Ь имеет ненулевое решение, то она
имеет решение, размер которого не превосходит М = 6п30, где
п - число переменных. Заменим тепеерь каждую компоненту ^
решения х величиной ]* 2*^ , где ^. - переменные прини -
мающие значения 0 или 1 (/ = 1,..., /г; / - 0,..., М). Тогда
система Ах = Ь имеет неотрицательное решение в том и только
том случае, если эта система! записанная в переменных
^ ., имеет {0, 1}-решение. а
Задача A0) остается #Р-полной и в том случае, когда в
ней имеется только одно уравнение:
(И) заданы рациональный вектор а и рациональное число
Э. Определить, имеет ли уравнение ах ~ C {0, 1}-
решение.
Следствие 18.1с. Задача A1) является ЫР-полной.
Доказательство. Задачу A0) можно свести к задаче A1)
следующим образом, Пусть требуется найти {0, 1}-вектор х,
являющийся решением системы а.х - Э-,..., а х = 8 . Без ог-
раничения общности а,,..., а , C.,..., 8 можно считать це-
1 ГО 1 ГО
лыми. Пусть п - размер а. и Т - максимум абсолютных
значений компонент а. и р.. Тогда для произвольного {0, 1}-
вектора х имеет место эквивалентность а.х = Э ,...,а х =

398 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
= Р в том и только в том случае, когда (а^ + BпТ)а2 + ...
... -Г BпТ)тап)х = Эх + BпТ)р2+ ... + BпТ)агХРт. п
Отсюда следует УУР-полнота задачи о рюкзаке:
A2) заданы рациональные векторы а и с и рациональные
числа E и б. Существует ли {0, 1}-вектор х, такой,
что ах ± Э, сх 2: б?
Следствие 18.1A. Задана о рюкзаке является ЫР-полной.
Доказательство. Следует непосредственно из следствия 18.1с,
если положить а = с и /3 = 6. Р
В действительности в (И) можно предполагать, что а не-
неотрицательно:
A3) заданы рациональный вектор а ^ 0 и рациональное
число /3. Определить, имеет ли уравнение ах = /3
{О, 1}-решение.
Следствие 18.1е. Задача A3) является ЫР~полной.
Доказательство. Задачу A1) можно свести к задаче A3)
следующим образом. Пусть требуется найти {0, 1}-вектор ж,
который является решением уравнения ах - |3. Заменяя компо-
компоненту ^. вектора х на A - ?.) в случае, если /-й коэффици -
ент в а отрицателен, получим задачу, эквивалентную A3). □
[Один из подходов к решению задачи A3) с помощью метода
приведённого базиса можно найти в работе Ьа&апаз апA
ОсИухко [1983].]
В действительности ($ может быть выбрано равным полови-
половине суммы компонент вектора а:
A4) заданы рациональные числа а1,..., а € Ю+. Сущест-
Существует ли подмножество 5 множества {1,...,я}, та-
такое, что ^ а. = 1/2 (ах+ ... + а )?
Следствие 18.11. Задана A4) является МР-полной.
Доказательство. Задачу A3) можно свести к задаче A4) сле-
следующим образом. Пусть а = (^ ад) ^ 0 и /3 е 0 - инди-

Гл. 18. Сложность ЦЛП-задач 399
видуальная задача A4). Предположим, что 3 - 1/2@^+...
...+ ап) (в противном случае заменим 3 на (а1+...+ а) -
- 3> а любое решение х на 1 - х). Положим ос== (а +...
... + а ) - 23. Тогда
A5) 3 {0, 1}-вектор х, такой, что ах = 3 *=> 3 подмно-
подмножество 5 Я {0,..., л}, такое, что ][ 0^= 1/2 ^ аг
1€5 1*0
Для доказательства импликации =* предположим, что х =
= (?1,..., ^П)Т - такой {0, 1}-вектор, что ах = 3- Пусть
5 = {0} и {Ц% = 1}. Тогда ^ а. - а0 + ах = а0 + 3 =
= 1/2 (а. +... + а ).
Для доказательства импликации «= предположим, что
5 Я {0,..., п] такое множество, что ]Г о^= 1/2 ^ос. Можно
1=0
считать, что 0 € 5 (так как в противном случае 5 можно за-
заменить на {0,..., п) \ 5). Пусть х = (€1, — , ?П)Т {0,1}-
вектор, такой, что ^. = 1 тогда и только тогда, когда
I € 5. В этом случае
A6) ах = Е а1= -а0 + ^ а. = -а0 + 1/2
1€5\{0>
= -A/2)ап + 1/2 ?" а = E.
1 = 1
Отсюда следует соотношение A5), которое показывает, что
A3) сводится к A4). □
Следующая задача также является Л^Р-полной (Ьиекег
[1975]):
A7) заданы рациональный вектор а и рациональное число
3- Имеет ли уравнение ах = 3 неотрицательное целое
решение?
Следствие 18Л%. Задана A7) является МР-полной.
Доказательство. Задачу A3) можно свести к задаче A7)

400 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
следующим образом. Предположим, требуется найти такой
{0, 1}-вектор х = (€г-.., €П)Т» что
A8) «А+■-.+«„€» -Р.
где а.,..., а , |3 - положительные натуральные числа (инди -
видуальная задача вида A3) может быть легко приведена к
такому виду). Можно предполагать, что # ^ а + ... + а .
Пусть <г - наименьшее натуральное число, для которого
A9) Е = а, + ... +а < 2°"-
1 П
Рассмотрим уравнение
° + 2зыга)$ + B3(Г
B0) B° + 2зыга1)$1 + B
+ Bз(п-1 )<т + 2зыга^ ^ + + Bз(п
+ B° +
+Bз( 1-1H-
2C„+1)(Г } =
п' п
п' п
Докажем следующее утверждение:
B1) уравнение A8) имеет {0, 1}-решение
(€<!»■••»€) ^ Уравнение B0) имеет неотри-
неотрицательное целое решение (€«»•••. С » ^1»-» Т)П)Т«
Поскольку размер 2 ограничен полиномом от размера задачи
A8), то из утверждения следует, что A3) сводится к A7).
Для доказательства импликации =» в утверждении B1) дос-
достаточно заметить, что если E-,..., ^ )Т - {0, 1}-решение
задачи
A8), то (?г...,?п, 1-?г...,1-?пГ - неотри-
неотрицательное целочисленное решение задачи B0).
Для доказательства импликации ^ предположим, что
1*
, Сп. ^Г •• •> *0 ) - неотрицательное целочисленное

Гл. 18. Сложность ЦЛП-задач 401
решение задачи B0). Покажем вначале» что ^1 + тгк - 1. При-
водя B0) по модулю 2 , получим
B2) ^ + тI = 1 (тос1230).
,30*
Поэтому, если €* + Ъ * 1» т0 ?! + \ > % . Тогда для ле
вой части /, и правой части # уравнения B0) имеем соотноше
ния:
B3) I * 23п\%х + 2Cп+1)(Га1т)
1тI
30* > 0Cп+3H* >
что противоречит равенству Ь и Я.
Если доказано, что ^ + к) = ,.. = ^^ + 7)^ = 1, то с
помощью редукции по модулю 231(Г аналогично доказывается,
что
+ т^ - 1,
B4) 23{1~Х)СГ(С1 + !?!> « 23A-1)(Г (тос1231(Г).
(Если ?. + Ч, * 1, то ^ + 7^ > 23<г и противоречие получа
ется точно так же, как в B3) с заменой индекса 1 на *.)
Таким образом, (€г-... €п» Чг .... ЧП)Т - {0, ^-реше
ние уравнения B0), такое, что ^ + \ ~ • •• = ?п + *ПП = ^
Следовательно,
B5) ^^ пп {1
...+ о и ) > 23п<гЭ + 2Cп+1)(ГA - 0)
Замена ТI на 1 - ^ дает
B6) 23п(ГA - 2<г)(а1?1 + ... + апу - 23пСГA
и, следовательно, (?1,...,?п) - {0, 1}-решение уравнения
A8). а
Лагариас (Ьа§аг1а5 [1982]) показал, что даже задача про-
проверки существования целочисленного решения систем линейных

402 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
рациональных неравенств, каждое из которых имеет не более
двух ненулевых коэффициентов, является #Я-полной.
18.3. Сложность фасет, вершин и задачи соседства
на выпуклой оболочке целочисленных точек
По сравнению с полиэдром Р полиэдр Я- может быть устроен
гораздо сложнее, и работать с ним может оказаться несрав-
несравненно труднее. Во-первых, число фасет полиэдра Я может
быть экспоненциально велико по сравнению с размером систе-
системы, определяющей Р. Это показано целым классом примеров,
изученных в работе Еётопйз [1965с].
Теорема 18.2. Не существует такого полинома 0, что для
каждого рационального полиэдра Р = {*|>4* ^ Ь) число фасет в
Р , выпуклой оболочке целочисленных точек полиэдра Я,
ограничено величиной ф($1ге (Д Ь)).
Доказательство. Выберем натуральное число п ^ 4, и пусть
А - матрица инцидентности полного неориентированного графа
К - (V, Е)> т.е. \п х 2 -матрица, столбцы которой об-
образованы из всевозможных {0, 1}-векторов, имеющих в точнос-
точности две единицы. Пусть далее Я: = {х ^ 0\Ах ± 1}, где 1 -
вектор, состоящий из одних 1. Тогда Рг (являясь политопом
паросочетаний графа /Сп) имеет по крайней мере Я + 2П~Х
фасет, поскольку, согласно теореме 8.8, каждое из следующих
неравенств задает некоторую фасету политопа Я*
B7) A) х(е) ^0 (ее Е),
(и) I х(е) 5 1 (V € V),
(III) I х(е) 5 11У2\и\} (Ц Я V,
|<У| нечетно, \Ц\ * 3).
Утверждение теоремы теперь следует из того, что о I +
+ 2 не ограничено никаким полиномом от вне (Л, Ь) =
= О(п3). и

Гл. 18. Сложность ЦЛП-задач 403
В действительности Эдмондс показал, что система B7)
дает все фасеты целочисленной оболочки Я- указанного поли-
полиэдра Р (см. следствие 8.7а). Отсюда следует, что данный
класс полиэдров еще не слишком плох: хотя Р имеет экспо-
экспоненциально много граней, известно по крайней мере явное
их описание. По заданному уравнению можно быстро проверить
действительно ли оно определяет некоторую фасету полиэдра
Р-. Более того, в работе Рас1Ьег& апё Као [1982] показано,
что проверку выполнимости неравенств системы B7) для
заданного х можно осуществить за полиномиальное время,
т. е. задача отделимости для полиэдров Р1 указанного вида
полиномиально разрешима.
Как следует из работ Кагр апё РарасйтИпои [1980] и
РарасНпШпои аш! Лаппакак15 [1982], для полиэдров общего
вида ситуация еще хуже. Карп и Пападимитриу показали, что
при выполнении общепринятой гипотезы NР±со-NР полиэдр
Р имеет в общем случае «трудные» грани. Более точно, спра-
справедлива следующая теорема.
Теорема 18.3. Следующие утверждения эквивалентны.
@ ЫР * со-#Я.
(И) Не существует такого полинома 0, что для каждой
рациональной матрицы Л, каждого рационального век-
вектора Ь и каждого неравенства сх ^ 5, определяющего
фасету целочисленной оболочки Р (где Р = {*|Л* < Ь}
и Р. * 0), утверждение о том, что все точки из Р
удовлетворяют неравенству сх ^ б, имеет доказатель-
доказательство длины, не превосходящей ф ($\ге (А, Ь, с, 5)).
Условие (и) можно записать более формально: в классе УУР
не существует множества /,, такого, что
B8) {(Л, 6, с, 5)\сх з б определяет фасету полиэдра
{х\Ах ^ 6} } с I с {(Л, Ь, с, д)\сх * д выпол-
выполнено для полиэдра {х\Ах ^ &}Л:= N.
Доказательство. Для доказательства теоремы рассмотрим сле-
следующую задачу:

404 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
B9) заданы матрица Д вектор-столбец Ь, вектор-стро-
ка с, рациональное число б. Существует ли цело-
целочисленный вектор ху такой, что Ах & Ь, сх > б
(причем известно, что система Ах ^ Ь имеет цело*
численное решение)?
Отрицательный ответ на вопрос задачи B9) имеет доказа-
доказательство полиномиальной длины тогда и только тогда, когда
B9) принадлежит со-МР, т. е. (поскольку задача B9) явля-
является #Я-полноЙ) в том и только том случае, если ЫР =
Таким образом, ЫР = со~ЫР в том и только том случае, ес-
если задача B9) принадлежит со-ЫР, т. е. если множество N из
B8) принадлежит ЫР.
Покажем вначале, что A) =* (и). Предположим, что су-
существует полином фу удовлетворяющий (п). Пусть вопрос в
B9) имеет отрицательный ответ, т. е. если х - такой цело-
целочисленный вектор, что Ах ^ Ь, то сх ^ 3. Пусть Р:= {Ах ^
з Ь). Тогда существуют фасеты с^х 5 5 ,..., с^х ^ 5^. поли-
полиэдра Я_ и такие неотрицательные числа Л1,...,Л1., что
C0) А1<71 + ... + Хьсг = Су
А1б1 +... + Л^ ^ б.
Можно взять I ^ п (где п - число столбцов матрицы А) и
согласно оценкам §17.1, выбрать с.,..., с., б.,..., б.,
А ...,Л. размера, ограниченного полиномом от размеров Л,
Ь и с. Согласно нашему предположению, существует доказа-
доказательство истинности неравенств с.х ^ б для Р полиномиаль-
полиномиальной длины. Следовательно, и утверждение, что сх * & истинно
для Рг также имеет доказательство полиномиальной длины,
так как
C1) сх = (Л1^1 +... + \сг)х * А1б1 +... + А^ ^ б.
Поэтому отрицательный ответ в B9) имеет доказательство по
линомиальной длины.

Гл. 18. Сложность ЦЛП-задач 405
Более формально, если множество Ь удовлетворяет B8),
определим
C2) М = {(Д Ь, с, б, сг..., сп, бх бп,
I А,,.,., А ^ 0; А.с, + ... + А с = с\
1 П 11 П П
Л1б1 + •'• + Лп6п ^ б; (Л* Ь> С1> 51
ДЛЯ I = 1,..., П].
Поскольку и принадлежит ЫР, то и М принадлежит ЫР (так
как принадлежность множеству М легко сводится к принадлеж-
принадлежности множеству I). Итак N в B8) удовлетворяет:
C3) (Л, Ь, с, б) € УУ «=> существует строка у такая, что
(Л, 6, с, б, г/) €
Это означает, что # принадлежит ЫР, т. е. задача B9)
принадлежит со-#Д откуда следует, что #Я = со-#Р.
Для доказательства (и) =» A) предположим, что ЫР =
= со-ЫР. Тогда, в частности, задача B9) принадлежит со-ЫР.
Это означает, что отрицательный ответ на B9) имеет доказа-
доказательство полиномиальной длины. Это есть отрицание условия
Более формально, если ЫР = со-NР, то множество # из B8)
принадлежит ЫР и, следовательно, можно положить I* = N. и
Таким образом, если мы считаем, что ЫР * со-ЫР, то для
общего полиэдра Р не следует рассчитывать на возможность
«точного» описания полиэдра Р. в терминах линейных нера-
неравенств. Заметим, что из упомянутой выше теоремы Эдмондса
следует, что такое описание существует, если Р = {х\ х ь 0;
Ах 5 1}, где А - {0, 1}-матрица, у которой в каждом столбце
имеется ровно две единицы. Другими словами, согласно описа-
описанию Эдмондса B7) полиэдра паросочетаний, условие (и) тео-
теоремы 18.3 не выполняется, если ограничить /> полиэдрами
парасочетаний.
Из доказательства теоремы 18.3 следует, что ее утверж-
утверждение остается верным, если ограничиться рассмотрением по-

406 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
лиэдров Р = {х\ Ах ^ Ь}у соответствующих любой #Р-полной
задаче, например задаче о рюкзаке A3) или A7). Таким
образом, если ЫР * со-#Я, то для а € 0^, Э € 0+ «трудные>,
в смысле теоремы 18.3, фасеты имеют также и следующие поли-
полиэдры:
C4) {*| х 2: 0; ах з 0}
{х\ 0^x51; ах ^
Второй из указанных политопов называется рюкзачным. Он изу-
изучался в работах Ва1аз [1975а] и №о1зеу [1975].
Приведем теперь следующий результат Пападимитриу и Яна-
какиса (РарасЛтНпои апё ЛаппакаЫз [1982]), который нес-
несколько сильнее теоремы 18.3.
Теорема 18.4. Следующая задача ЫР-полна\
C5) для заданной системы линейных неравенств Ах 5 Ь
и вектора-столбца у определить, принадлежит ли
у полиэдру Рх (где Р = {Ах ^ Ь}).
Доказательство. Во-первых, задача C5) принадлежит ИР. По-
Положительный ответ может быть доказан, если удастся указать
целочисленные векторы х ,..., х , удовлетворяющие системе
Ах ^ Ь и неотрицательные числа Л1,...,Л? такие, что
Л, +...+ Л = 1 и \лх. +...+ \х = и. Согласно §17.1,
1 п 11 п п ^ з »
*,,...,*, Л.,..., Л могут быть выбраны так, что их раз-
1 П 1 П '
мер будет ограничен полиномом от размеров А Ь и у.
Теперь для доказательства Л^Р-полноты задачи C5) пока-
покажем, что #Р-полная задача A4) сводима по Карпу к C5).
Пусть а ,..., а € 0+ и Р - полиэдр, задаваемый системой
C6) а^х + ... + ап^п = 1/2 (ах + ... + ап),
0 < ^. п \ (| = 1,..<г пу
Пусть у = A/2,..., 1/2) . Тогда у принадлежит Р в том и
только том случае, когда задача C6) имеет целочисленное

Гл. 18. Сложность ЦЛП-задач 407
решение, т. е. тогда и только тогда, когда задача A4) име-
имеет положительный ответ. Это непосредственно следует из то-
го, что если (С1,..., 5П) - целочисленное решение задачи
1 П
C6), то и A - ^ ,..., 1 - ^ )т - целочисленное реше-
ние задачи C6) и, следовательно, у = 1/2 (€«»•••»? ) +
т
+ 1/2A - ?1,..., 1 - €п) принадлежит Р . П
Пападимитриу и Янакакис дали другое доказательство этой
теоремы, показав, что проверка принадлежности к «политопу
коммивояжера» является Л^Я-полной.
Теорема 18.4 действительно обобщает теорему 18.3. Если
условие (п) теоремы 18.3 выполнено, то любой отрицательный
ответ на вопрос задачи C5) имеет доказательство полиноми-
полиномиальной длины, состоящее из неравенства, определяющего фасе-
фасету полиэдра Я_, которое нарушается вектором у и доказатель-
доказательства полиномиальной длины справедливости этого неравенства
для Р.. Следовательно, тогда C5) принадлежит со-ЫР,
откуда следует, что ЫР = со-NР.
Проверка того, что вектор не является вершиной полиэдра
Р , также представляет собой ЫР-полную задачу.
Теорема 18.5. Следующая задача NР-полна:
C7) для заданной рациональной системы линейных нера-
неравенств Ах ^ Ь и целочисленного решения у этой
системы определить, что у - не вершина полиэдра
Рг (где Р = {Ах * Ь}).
Доказательство. Во-первых, задача C7) принадлежит классу
ЫР, так как если у - не вершина, то существуют такие линей-
линейно независимые целочисленные решения *1?..., *п системы
Ах * Ь, что п 2е 2 и у = Л1^1 +... + Лп* для некоторых
АО...,Л > 0 с А. +...+ Л =1. Решения *-,..., х мож-
1 П 1 П 1 П
но выбрать так, что их размер ограничен полиномом от раз-
размеров Д Ь и у.
Теперь для доказательства Л^Я-полноты задачи C7) пока-
покажем, что #Я-полная задача A3) сводима по Карпу к C7).

408 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Пусть а1,..., ап, E € (В+ - заданная индивидуальная задача
вида A3). Положим а = (а1,..., а^). Задача A3) заключает-
заключается в определении существования такого {0, 1}-вектора х, что
ах = |3. Рассмотрим полиэдр Р Я ГСП+1, состоящий из всех век-
векторов (^0, ?!»•••» ? )Т. удовлетворяющих системе
C8) &0 - а^г ... - апСп = 0,
т
Предположим, что (^ , ?-,...,€) - целочисленный вектор
из Р. Если ?0 = 0, то ^х = ... = ^п = 0. Если ^0 = 1, то
€г....€п€{0, 1}. Если ?0 = -1, П то ?г-.,€п€{0,-1}.
Следовательно,
C9) уравнение ах = & имеет {0, 1}-решение
@,..., 0)т - не единственное целочис
ленное решение системы C8) *=>
<=> @,..., 0)т - не вершина Р .
Последняя эквивалентность следует из того факта, что если
х - целочисленное решение C8), то и -х - целочисленное ре-
решение C8).
Более того, проверка несмежности вершин полиэдра Р
(см. РагасНтйпои [1978]), также оказывается Л^Я-полной.
Теорема 18.6. Следующая задача МР-полна:
D0) для заданной рациональной системы линейных нера-
неравенств Ах з Ь, для которой Р = {х\Ах 2 Ь) Я
й [0, 1]п, и для заданных целочисленных решений
хг и х2 этой системы определить, являются ли х и
Х- несмежными вершинами полиэдра Р .
Доказательство. Во-первых, задача D0) принадлежит классу
ЫР, так как хх и х2 - несмежные вершины Р1 тогда и только
тогда, когда существуют целочисленные решения у. и у2 сие-

Гл. 18. Сложность ЦЛП-задач 409
темы Ах ^ Ь, такие, что 1/2 (* + х2) = 1/2 (у1 + у2) и
Теперь для доказательства МР-полноты задачи D0) пока-
покажем, что УУР-полная задача A4) сводима по Карпу к D0).
Пусть а,..., а € 0+ - заданная индивидуальная задача ви-
вида A4). Без потери общности можно предположить, что
а,,..., а > 0. Положим
1 Г»
D1) а ^ •= а •= 1/2(а1+...+ а)
4 ' п+1 п+2 ч 1 п'
и определим полиэдр Р Я [0, 1] следующим неравенством:
D2) а.6, + ...+а? + а _6 _ + а
= аг + ... +ап, 0 < ^. ^ 1 (/ = 1 п + 2).
и х2 =
Тогда векторы х - @,..., 0, 1, 1)
т "
= A,..., 1, 0, 0) принадлежат Р и, следовательно, являют-
являются вершинами Ру Для любого другого целочисленного решения
системы D2) имеют место равенства С+1 = ^и?+2 = ^
или ?+1 = 0и^+2 = 1. Более того, для такого решения
х + ... + ап), т. е. оно являет-
является одновременно и решением задачи A4). Далее если
т
(?!»•♦•» ? +р^ ~ произвольное целочисленное решение систе-
системы D2), то и A - ?1,..., 1 - С +2) ~ целочисленное реше-
решение. Следовательно, имеем
D3) х и х несмежны в Ят <=> х их не являются
единственными целочисленными решениями системы
D2) <=» а,^ +... + а С = 1/2 (а^... + а )
имеет {0, 1}-решение.
Это сводит задачу A4) к задаче D0). О
Приведенное доказательство отличается от доказательст-
доказательства Пападимитриу, который доказал #Я-полноту задачи проверки
несмежности вершин «политопа коммивояжера».
Отметим, что Л^Я-полнота задачи о несмежности не вытекает
автоматически из #Я-полноты основной задачи. В работе

410 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
[1975а] описан полиномиальный алгоритм проверки
смежности вершин некоторого класса полиэдров Я_, где Р =
= {х ъ 0\х ^ 1; Ах * 1} и А - {0, 1}-матрица, (т.е. Рг -
«политопы клик» некоторых графов)» для которых задача опти-
оптимизации на Р (т. е. задача нахождения клики максимального
размера) является #Я-полной задачей.
Замечание 18.1. В работах КиЫп [1970] (ср. Легоз1о>у
[1969], Лего$1ош апс! Ког1апек [1972]) показано, что если рк
есть к-е число Фибоначчи (определяемое рекуррентно: <р -
= <Р2 = *> <Рк = <Рк-1 + <Рк-2 ПРИ * г 3) и ПОЛИЭДР ^к в К2
задается тремя неравенствами:
4 * 0, 1»*0,
то выпуклая оболочка (Рк)г целочисленных точек полиэдра Р
имеет к + 3 вершин и 6 + 3 фасет. Следовательно, число
определяющих Рг неравенств не может быть ограничено никакой
функцией, зависящей только от размерности и числа ограни -
чений, определяющих полиэдр Р. (Джерослоу (Легоз1о>у [1971])
привел аналогичный пример с двумя ограничениями в К2.)
В работе Науез апё Ьагтап [1983] показано, что если Р Я
С Кп задан системой
D5) х г 0, ах * Э,
где о € 1П, а > 0, 0 € 2, 3 > 0, то число вершин в Рх не
превосходит Aо^ B + 2|3/а))п, где а - наименьшая компо-
нента вектора а.
[Доказательство. Полиэдр Рг не имеет двух различных
вершин х = (€г-->> СП)Т и у = (т>г,.., Т)п)т, таких,
что Цов^ + 1)] = Цов^A»1 + 1)],..., ио^^ + 1)] =
я и°в2^п + ^-1" ^ противном случае, как нетрудно видеть,
2х - у ъ 0, 2у - х г 0. Кроме того, аBх - у) + аBу -
- л) ■ ах + ау * 23. Следовательно, аBдс - у) з 0 или
аB(/ - ж) ^ р, поэтому либо 2х - г/ € Р, либо I/ - 2х € Я.
Это противоречит тому, что и дс, и у - вершины /I.
Таким образом, число вершин Я. не превосходит A +
+ 1))п» гДв М - максимальное значение абсолютных

Гл. 18. Сложность ЩШ-задач 411
величин координат вершин полиэдра Рг Так как М ^ |3/а, то
получаем требуемую верхнюю оценку.]
Обобщение этих рассуждений показывает, что если зафик-
зафиксировать т (но не размерность), то для любого полиэдра Р,
заданного т линейными неравенствами число минимальных гра-
граней Р ограничено полиномом от размера системы, задающей Р.
18.4. Алгоритм Ленстры решения задачи
целочисленного линейного программирования
Ленстра (Ьепз1га [1983]) показал, что для каждого фиксиро-
фиксированного натурального п существует полиномиальный алгоритм
решения задач целочисленного линейного программирования с п
переменными. Эквивалентная формулировка: для каждого фикси-
фиксированного натурального п существует полиномиальный алгоритм
решения систем неравенств с п целочисленными переменными.
Результат Ленстры является обобщением результатов Скарфа
Eсаг! [1981а, Ь]) для случая двух переменных (см. ЬНгзЬ-
Ьеге апё Уопд [1976] и Саплоп [1980]).
Два основных элемента метода Ленстры уже встречались -
это метод приведения базиса (§6.2) и метод округления по-
полиэдров (§15.4). В действительности эти методы были разра-
разработаны в работах Ьоуазг, СоШп и, Ого1$Ье1, Ьоуазг апё
ЗЬг^уег [1984, 1986] именно в связи с работой Ленстры. Как
заметил Ловас, из этих двух методов вытекает следующая те-
теорема, из которой уже можно легко получить результат
Ленстры.
Теорема 18.7. Существует полиномиальный алгоритм, который
для любой системы рациональных линейных неравенств Ах 5 Ь
находит либо такой целочисленный вектор у% что Лу з Ь, либо
такой ненулевой целочисленный вектор с, что
D6) тах{сх\Ах ^ Ь} - т\п{сх\Ах ^ Ь} ^
5 2п(п +
где п - число столбцов матрицы А.
Доказательство. Дадим описание алгоритма. Пусть задана
система Ах $ 6, имеющая п столбцов, и положим Р = {х\Ах з

412 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
2 Ь). Методом эллипсоидов можно определить имеет ли Р пол-
полную размерность и выяснить ограниченность Р. Таким образом,
остается рассмотреть один из следующих трех случаев.
Случай 1. Р не имеет полной размерности. Методом эллип-
эллипсоидов можно найти ненулевой вектор с и рациональное число
б, такое, что Р Я {х\сх ~ 6}, что дает искомое решение.
Случай 2. Р ограничен и имеет полную размерность. Исполь-
Используя «округляющий алгоритм» теоремы 15.6 (и полагая у в
= 1 /'(п + 1)), можно найти такой вектор г € €п и такую по-
положительно определенную матрицу Д что
D7) еИ (г, (п + 1)й) й Р Я е11 (г, О).
Далее методом приведения базиса (теорема 6.4) в решетке 1п
можно найти базис 6^..., &п, для которого
D8) //Ьх// • ... • //\// ^ 2П(П)/4 /<1е* О
П(П)/4 /<1е* О'1
где для х € ГСП используется обозначение
ьй'г
D9) //х// = У хьй'гх
Вез потери общности можно считать, что //Ьг// ^...
...* //&„//■ Пусть г = Л161 +...+ ХЬ и у = №х}Ьг +...
Если у удовлетворяет системе Ах 5 Ь, задача решена. В
противном случае, согласно D7), у « еИ (г, (л + Г2
Следовательно,
E0) (п + I) < (у - г)тО-х((/ - г) = //(/ -
Поэтому
E1) (я + I) с
< /А\ ~ 1\1)ЬХ * ... * (Ап -

Гл. 18. Сложность ЦЛП-задач 413
Отсюда следует, что
E2) /Д// * \/(п(п + 1)).
Пусть теперь с - такой ненулевой вектор с попарно взаимно
простыми компонентами, что сЬ. = ... = сЬ , = 0. Покажем,
■ 1 П"*1
что вектор с удовлетворяет соотношению D6). Пусть В. -
матрица, составленная из столбцов ^ 6 . Тогда (ср. с
§ 1.3) имеем
E3) (сйст) с*е1 (Втй~хВ ) = (сЬ J с!е1 (Вт .О В ,).
Так как 1п порождается векторами ^1,..., Ь , то сЬ^ = ±1 и
<1е1 В = ±1. Поэтому из E3) следует, что
' . »' 1 •-• >•'!
E4) {сйст) <1е1 п х= Aе1 (В^п гВп_г)-
Из неравенства Адамара (§ 1.3) имеем
E5) йе\
■/: >,
Следовательно, если хт&~ х ^ 1, то
E6) \сх\ 5 /гОст • АтР~гх * у/сОсг =
Б • /ае! (Вт ^-1В ,) ^
* п(л + 1JП(П'1)/4
(здесь использованы неравенство Кош и-Шварца (§ 1.3) и
соотношения D8), E2), E4), E5)). Поэтому, если у €
€ е11(г, Я), то \с{у - г)\ * п(п + 1Jп(п~1)/4, откуда
следует, что
E7) тах{сх\х € Р} - гшп{сх|ж € Р} <
; € ей (г, /))} -
: € е11(г,Я)} 5 2п(п +
что и требовалось.

414 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Случай 3. Р не ограничен. Пусть <р - максимум размеров строк
матрицы [А Ь\. Положим
E8) <2:= Р п
п * •• *
< ГI3П ^Р • 4 1
Тогда О ограничен и к (? применимы случаи 1 или 2. Если
целочисленный вектор ^ в б найден, то у содержится в Р и
задача решена. Предположим теперь, что удалось найти такой
целочисленный вектор с, что
E9) тах{сх\х € <2} - ппп{сх|х €
* 2п(п +
Покажем, что то же самое имеет место и для Л т. е. выпол-
выполняется соотношение D6). Согласно теореме 10.2,
F0) Р = сопу.ЬиИ {»1,...1 1>к} +
сопе
где каждый из векторов »1,...1 ^к, в1,..., е. имеет размер,
не превосходящий 4п (р. В частности, »,,..., у. принадлежат
(}. Поэтому, если
F1) тъх{сх\х € Р] - тт{сх\х € Р} >
> тах{сх\х € О) - т'т{сх\х € 0>},
то се. * 0 для некоторого /. Поскольку размер е. не пре-
восходит 4л2ф и с - целочисленный, то |се.| ^ 211 ^. Более
3
2 , «3
того, г = V + 28п ^е принадлежит (}, поскольку все компо-
компоненты векторов V и е по абсолютной величине не превосхо-
2
дят 2411 ^, и потому все компоненты г по абсолютной вели-
2
чине не превосходят 213п ^. Теперь имеем
F2) тах{сх|х € 5} - ш1п{сх|х е 0} * \сг - сох
= 2*п2(р\сеА * 2*1*9 > 2п(п + 1Jп(п)/4,
о
что противоречит E9). Поэтому F1) неверно и из E9) сле-
следует D6).

Гл. 18. Сложность ЦЛП-задач 415
Следствие 18.7а (алгоритм Ленстры). Для любого фиксиро-
фиксированного п существует полиномиальный алгоритм, позволяющий
решать в целых числах системы рациональных линейных нера-
неравенств Ах з Ь с п неизвестными или определять несовмест-
несовместность таких систем.
Доказательство. Доказательство проводится индукцией по п.
Случай п « 1 - тривиален. Пусть п ^ 2. Если задана система
Ах ^ Ь и матрица А имеет п столбцов, то применяем алгоритм
теоремы 18.7. Если алгоритм дает целочисленное решение
системы Ах ^ Ь, то задача решена. Предположим, что алгоритм
находит такой ненулевой целочисленный вектор с, что
F3) п\ах{сх\х € Р) - т\п{сх\х € Р} *
* 2п(п +
где Р:= {х\Ах ^ Ь}> Не ограничивая общности, можно считать,
что компоненты вектора с взаимно просты. Вычислим {X -
= гшп{с*|* € Р) и рассмотрим полиэдр
F4) Рг:= {х € Р\сх = /}
для ( = Гм1 ГМ + 2п{п + 1Jп(п~1)/41. Тогда любое
целочисленное решение системы Ах ^ Ь принадлежит одному из
полиэдров Р^. Поэтому для решения системы Ах ^ Ь в целых
числах достаточно проверить каждый из полиэдров Р% на
наличие в нем целочисленного вектора.
Пусть V - такая матрица размера (п-1)хл, что \ц\ ~
невырожденная, целочисленная и унимодулярная (т. е. имеет
определитель равный ±1; такая матрица может быть най-
найдена методами из § 5.3). Тогда линейное преобразование
Ф: Кп —> К11, Ф(х) = С1х переводит полиэдр Р в полиэдр
F5)
Более того, если х € Р с\ 2П, то 1)х € <?. п 2 \ и наобо-
рот, если у € д^ п 2П~\ то Г^1 ГМ € Р^ п 1П. Поэтому

416 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
задача сводится к нахождению целочисленного вектора в одном
из полиэдров ($ . Это означает, что требуется решить не
более 2п(п + 1Jп(п~1)/4 + 1 задач размерности л - 1. По
предположению индукции это можно сделать за полиномиаль-
полиномиальное время (заметим, что размеры с и С/, поскольку их можно
найти за полиномиальное время, ограничены полиномом от
размеров А и Ь). о
Следствие 18.7Ь. Для произвольного фиксированного
натурального числа п существует полиномиальный алгоритм,
который решает задачу целочисленного линейного программи-
программирования тгх{сх\Ах ^ Ь; х - целочисленный), где матрица А
имеет п столбцов и все входные данные рациональны .
Доказательство. Используя оценки размеров оптимальных
решений задач целочисленного линейного программирования
(см. следствие 17.1с) и дихотомию, видим, что это следст-
следствие легко вытекает из предыдущего. и
Следствие 18.7Ь обобщает следствие 18.7а (случай с = 0).
Ленстра заметил, что справедлив следующий более общий
результат.
Следствие 18.7с. Для произвольного фиксированного натураль-
натурального числа п существует полиномиальный алгоритм решения
задач, который решает задачу целочисленного линейного
программирования тах{сх\Ах ^ Ь\ х - целочисленный), где
ранг матрицы А не превосходит п и все входные данные
рациональны.
Доказательство. Если А, Ь и с заданы и ранг г матрицы А
не превосходит л, то без потери общности можно считать, что
F6)
А =
'А.
где А1 состоит из г линейно независимых строк (которые
могут быть найдены за полиномиальное время методом
Следствие верно и для задач выпуклого целочисленного
программирования с полиномиальными ограничениями, см. Хачи-
ян [1982*1. - Прим. ред.

Гл. 18. Сложность ЦЛП-задач 417
исключения Гаусса, см. §3.3). Пусть I/ - неособая целочис-
целочисленная унимодулярная матрица, такая, что АМ - нормальная
эрмитова форма (V может быть найдена за полиномиальное
время, см. § 5.3). Тогда если А' = А1) и с' = Шу то
F7) тьх{сх\Ах ^ Ь\ х - целочисленный} =
= тах{с' у\А' у ^ Ь\ у - целочисленный}.
Поскольку только г столбцов матрицы А' содержат ненулевые
элементы, то, удалив нулевые столбцы матрицы А' у сведем
исходную задачу к ЦЛП-задаче с матрицей, имеющей самое
большее п столбцов. Поэтому следствие 18.7с вытекает из
следствия 18.7Ь. □
Заметим также, что из следствия 18.7Ь вытекает разреши-
разрешимость за полиномиальное время ЦЛП-задачи вида тах {сх|х ^
^ 0; Ах = Ь} при фиксированном числе переменных. Отсюда
также следует, что для каждого фиксированного к существует
полиномиальный алгоритм решения систем линейных уравнений с
неотрицательными целыми переменными, где к - размерность
пространства {х|Лх = Ь). (Поскольку можно предполагать, что
А имеет полный ранг по строкам, то можно найти такую
унимодулярную матрицу V, что А11 - нормальная эрмитова фор-
форма, и тогда задача сводится к отысканию целочисленного
вектора уу такого, что А1/у = Ь, Цу ^ 0, и по существу явля-
является задачей с к переменными (см. КиЫп [1984 -1985])).
Теорему 18.7 можно обобщить также на случай, когда
полиэдр задается не явной системой Ах ^ Ь, а алгоритмом от-
отделения (ср. Ого{зсЬе1, Ьоуазг апс1 Зспп^ег [1986]). В
этом случае оценка 2п(п + ^2п(п)/4 заменяется оценкой
2л32 /4. Можно также показать, что в следствиях
18.7а, Ь, с систему Ах ^ Ь можно заменить алгоритмом отде-
отделения. Ьепз^га [1983] заметил, что отсюда вытекает следую-
следующее утверждение для задачи смешанного целочисленного линей -
ного программирования:
F8) для произвольного фиксированного натурального чис-
числа п существует полиномиальный алгоритм, который
решает задачу шах{сх + йу \ Ах + Ву ^ Ь\ х - це-

418 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
лочисленный), где ранг матрицы А не превосходит п
и все входные данные рациональны.
Набросок доказательства. Задача отделения для полиэдра
<2 = тах{;с|Э у: Ах + Ву ^ Ь) разрешима за полиномиальное
время, поскольку по лемме Фаркаша
F9) х € <Э <=> 3 у: Ву ^ й - Ах <=* (Уг а 0: гВ = 0 =ф
=ф гАх ^ гЬ).
Поскольку справедливость последнего выражения можно прове-
проверить за полиномиальное время вместе с нахождением отде-
отделяющей гиперплоскости для х ё ($, то для ($ получаем поли-
полиномиальный алгоритм отделения. Заметим, что задающая <2 мат-
матрица ограничений имеет ранг, не превосходящий п. Поэтому,
согласно обобщению следствия 18.7с, за полиномиальное время
можно либо найти вектор в множестве {*|31/: Ах + Ву ^ Ь\
х - целочисленный}, либо установить его пустоту. Следова-
Следовательно, то же самое верно для множества {(х, у)\Ах + Ву 5
^ Ь\ х - целочисленный}. Применяя дихотомию, получаем, что
задача смешанного целочисленного линейного программирования
разрешима за полиномиальное время. □
[Указанный метод имеет много общего с методом деком*
позиции Бендерса, см § 24.5.]
Замечания к § 18.4. Усовершенствованные версии алгоритма
Ленстры были предложены в работах Саппап [1983Ь] и ВаЬа1
[1984]. Бабаи показал, что верхнюю оценку D6) можно сни~
зить до л3^1^2. В работе РаН [1984] предложен алгоритм
решения ЦЛП-задач с двумя неизвестными за время О(т(Ь +
+ 1о(* т)), где т - число ограничений, Ъ - максимум размеров
входных чисел.
18.5. Применение метода динамического программирования
к задаче о рюкзаке
Беллман (ВеИтап [1956, 1957а, Ь]) и Данциг
[1957]) предложили использовать для решения ЦЛП-задач (и, в

Гл. 18. Сложность ЦЛП-задач 419
частности, для задачи о рюкзаке) метод сдинамического прог-
программирования», который состоит в нахождении кратчайшего
пути в некотором большом графе. Этот метод дает псевдополи-
псевдополиномиальный алгоритм решения задачи о рюкзаке, т. е. алго-
алгоритм, время работы которого ограничено полиномом от размера
входа и максимума абсолютных величин числителей и знамена-
знаменателей входных чисел. Пападимитриу (РарасПтНпои [1981])
показал, что на этой основе можно построить также псевдопо-
псевдополиномиальный алгоритм решения задачи целочисленного линей-
линейного программирования с фиксированным числом переменных.
В настоящем параграфе приводится метод решения задачи о
рюкзаке, а в следующем параграфе мы возвращаемся к общей
задаче целочисленного линейного программирования. Заметим,
что эти задачи ЫР-полны, поэтому маловероятно, что их можно
решать за время, ограниченное полиномом от двоичного разме-
размера входа.
Пусть задача о рюкзаке задана в следующей форме:
G0) т\п{сх\ау ^ 0; х - {0, 1}-вектор},
где а = (а1,..., ап) и с = (у1,..., Уп) - целочисленные
векторы ир- целое число. Пусть 5 - максимум абсолютных
величин элементов вектора а.
Построим ориентированный граф й = (V, А) с множеством
вершин
G1) V = {0,..., п}х{-пЗ +л5}
и множеством дуг А, определяемых следующим образом:
G2) ((/. в). (*,б')) € А «->/= I- 1
И б7 - б € {0, 0^}.
Определим длину /((*' - 1,5), (/, б7)) дуги ((/ - 1,6),
(«.8')):
г у., если б7 = б + а.,
G3) /((/-1,3), (/.з')) = {0; если5, =3 4

420 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Нетрудно видеть, что любой ориентированный путь П в О из
вершины @, 0) в вершину (л, 3') Для некоторого 3' - 3 дает
допустимое решение х = (§ ,..., ^ )т задачи G0), а именно,
достаточно положить
G4)
0, если ((< - 1, 5), (/, б'))
принадлежит П для некоторого б;
1. если ((| - 1. 3), (I, 5' + а))
принадлежит П для некоторого б.
Более того, длина П (сумма длин входящих в П дуг) равна сх.
Поэтому можно решить задачу G0), найдя путь из @, 0) в
(л, 3') Для некоторого 3' ^ 3-
Нетрудно видеть, что кратчайший путь может быть найден
за время О(\У\ \о%(пТ)), где Т - максимальная компонента с.
[В самом.*, деле пусть 1г $ - длина кратчайшего пути из
@, 0) V* (*» >$) (где /. * = оо, если не существует пути из
@,0) в, (*'„6)). Тогда / ^ можно вычислить с использова-
использованием следующего рекуррентного соотношения
G5) /1>3 =
Поэтому для всех / и б величина /. & может быть вычислена
за время О(\о%(пТ)). Следовательно, полное время, необходи-
необходимое для отыскания / я, / ЙА1,.^ о» равно
п,р п,р+1 п,пь
0(\У\-\оШ(пТ)).]
В результате задачу G0) можно решить за время
О(п 5*\оц(пТ)) (предполагая без потери общности, что |3| 5
^ л5).
Используя построенные граф и весовую функцию для
заданных вектор-строк а и с и натурального числа б, можно
найти наибольшее целое 3» Для которого существует
{0, 1}-вектор х, удовлетворяющий неравенствам сх ^ б и ах ^
2: 3 (такое 3 является наибольшим из чисел, для которых
/ о - 3» СР- с G5)). Как и выше, для этого потребуется
П» Р «
время О(п 39\о%(пТ)). Это значение 3 удовлетворяет соотно-
соотношению
G6) 3 = тах{а*|ог ^ б; х есть {0, 1}-вектор}.

Гл. 18. Сложность ЦЛП-задач 421
Таким образом, эта задача о рюкзаке может быть также решена
за время О(п $'\о%(пТ)). (Без потери общности можно предпо-
предполагать, что |Э| ^ пТ.) Поменяв ролями а и с, получаем, что
задача
G7) тах{сх\ах з /3; х есть {0, 1}-вектор}
может быть решена за время О(п Т*\о%(п5)). В итоге справед-
справедлива
Теорема 18.8. Для заданных целочисленных векторов строк
а, с € 0п и целого 0 задача
G8) тах{сх\ах 5 C; х есть {0, \}-вектор)
может быть решена как за время О(п25-\о%{пТ)), так и за
время О(п Т-\о%(пЗ)), где 5 - максимум абсолютных-величин
компонент вектора а (предполагая без ограничения общности,
что | /31 ^ пЗ) и Т - максимум абсолютных величин компонент
вектора с. '--^
Доказательство. Рассуждения перед формулировкой теоремы и
тот факт, что при изменении знаков у а, Ь и Э задача G8)
переходит в задачу G0), доказывают теорему. □
Очевидно, что построенный алгоритм не является полино-
полиномиальным. Положив а = A, 2, 4,..., 2П~Х), получим, что
ориентированный граф й имеет ОBП) вершин (даже если
опустить все вершины, которые недостижимы ориентированными
путями из @, 1), см. также ОпгаЫ [1980]).
В работе 1Ьагга ап<1 Ют [1975] с помощью теоремы 18.8
показано, что задача о рюкзаке может быть решена прибли-
приближенно за полиномиальное время в следующем смысле.
Следствие 18,8а (теорема Ибарры-Кима). Существует алго-
алгоритм, который по заданным неотрицательным целочисленным
векторам а, с € 2П, целому числу Э " рациональному с > 0
находит такой {0, \}-вектор х , что ах 5 C и
G9) сх* *• A - е)тах{сх\ах * Э; х есть {0, 1}-вектор}
за время ограниченное полиномом от \/е и от размеров а, с и

422 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Доказательство. Пусть а, с, C, е заданы, и пусть 5 и Г -
такие же, как в теореме 18.8. Можно предполагать, что 5 ^ C
(иначе можно удалить переменные) и, следовательно,
(80) хпах{сх\ах ^ |3; х есть {0, 1}-вектор} ^ Т.
Определим вектор с* следующим образом:
(81) с':=
(здесь [^ обозначает покомпонентную целую часть).
Максимальное значение абсолютных величин компонент вектора
с' равно [п/е}. Следовательно, по теореме 18.8 за время
О(л3е"*11о§;(п5)) можно найти @, 1}-вектор х , для которого
достигается
(82) тах {с'х\ ах * Э; * есть {0, 1}-вектор}.
Покажем, что для этого значения х выполнено неравенство
G9). Пусть максимальное значение выражения G9) дости-
достигается на векторе х. Положим 9 = {€Т)/п. Тогда
(83) A - е)сх * сх - вп з в • с' х * в • с* х* * сх .
[Доказательство. Первое неравенство следует из (80) и того,
что е • сх ^ еГ = вп.' Второе неравенство следует из того,
что каждая компонента вектора с - 6с' = с - в \в~ с} не пре -
восходит в, а третье - из того, что Вс' = В^в^с] ^ с] Не-
Неравенство G9) следует из (83). и
Приведенное доказательство принадлежит Гэри и Джонсону
(Оагеу ап<1 ЛоЬпзоп [1979]).
Теорема Ибарры-Кима утверждает, что задача о рюкзаке
имеет так называемую вполне полиномиальную аппроксима-
ционную схему. Заметим, что она является полиномиальной по
1/е, но не по 1о§1/е (= 512е(е)). Из полиномиальности по
1о^ 1/е следовала бы разрешимость за полиномиальное время
(УУЯ-полной) задачи о рюкзаке. В самом деле пусть с =
= (У1.--.УП) и € = 1/4 (у1+...+ У,,). Если {0, 1}-век-

Гл. 18. Сложность ЦЛП-задач 423
тор х удовлетворяет G9) и ах з /3, то сх з % +... + у •
Следовательно,
(84) сх ^ тах {сх\ах * (&\ х - {0, 1}-вектор} ^
з A/A - е))с/ * с/ + 1/2.
Поскольку сх и максимум - целые числа, то х достигает
максимального значения. Поэтому, если время работы прибли-
приближенного алгоритма было бы полиномиально ограничено величи-
величиной 1о§1/е, то мы получили бы полиномиальный алгоритм ре-
решения задачи о рюкзаке.
Замечания к § 18.5. В действительности Ибарра и Ким
доказали, что для любого фиксированного е > 0 существует
алгоритм, подобный алгоритму следствия 18.8а, выполняющий
О(п 1о& п) элементарных арифметических операций. /<*•
Лолер (Ьа\у1ег [1977, 1979]) предложил уточнения и обоб-
обобщения этого метода. Он, в частности, показал, что след-
следствие 18.8а остается справедливым, если в качестве х в G9)
брать не {0, 1}-вектор, а неотрицательный целочисленный
вектор. Кэннан (Каппап [1983а]) показал, что если ЫР * Р,
то в G9) неравенство ах ^ C не может быть заменено ра-
равенством.
Близкие результаты изложены в работах СШтоге ап<1 Оотогу
[1966], МагЧеИо апA То1Ь [1984], ЫетНаизег ап<1 1Л1тапп
[1968-1969], 5аЬт [1975], ТСет^аКпег аш! N638 [1967] и
ЛоЬпаоп [1974а].
18.6. Применение метода динамического программирования
к целочисленному линейному программированию
Методом динамического программирования (методом кратчайшего
пути) можно попытаться решить и общую задачу целочисленного
линейного программирования.
Предположим, что М - целочисленная (т х п)-матрица, Ь и
с - целочисленные векторы и требуется решить задачу цело-
целочисленного линейного программирования
(85) тах{с*|лг ^ 0; Мх = Ь\ х - целочисленный}.

424 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Пусть 5 - верхняя оценка абсолютных величин элементов
матрицы М и компонент вектора Ь. Известно, что если решение
задачи (85) конечно, то (85) имеет решение х, компоненты
которого ограничены величиной (я + 1)(/л5)т (это следует из
теоремы 17.1, поскольку для системы х ^ 0, Мх = Ь имеет
место оценка А ^ т\ 5т^ (/я5)т). Пусть
(86) У:= (я + 1) 5(/и5)ю.
Рассмотрим ориентированный граф й = (V, А) с множеством
вершин
(87) V = {0,..., л} х{-(/,..., +*/}"
и множеством дуг
(88) ((/, Ь')9 (и Vй)) € А «->/ = I - 1 и
Ь" - Ь' = к ' т1 для некоторого Л € 2+,
где т. обозначает /-й столбец матрицы М. Поставим в соот-
соответствие дуге (88) длину, равную -к%^ где у4 - /-я компо-
компонента вектора с.
Опять нетрудно видеть, что любой ориентированный путь
в й из @, 0) в (п, Ь) дает допустимое решение х =
= (?!»••» С )Т задачи (85). А именно если дуга
((| - 1, б7), (/, б7 + Л/п1)) принадлежит этому пути, то
полагаем ^ - к. Любое допустимое решение х задачи (85) по-
получается этим способом из некоторого пути из @,0) в
(я, Ь), Более того, длина соответствующего пути равна -сх.
Поэтому задача (85) может быть решена методом нахождения
кратчайшего пути в О из @, 0) в (я, Ь),
Более точно, если не существует ориентированного пути из
@, 0) в (я, Ь)у то в задаче (85) нет допустимых решений
(поскольку, если в (85) имеются допустимые решения, то
существует допустимое решение, все компоненты которого не
превосходят (я + 1)(/л5)т). Если такой путь существует и
линейная релаксация задачи (85), т.е. задачи тах{сх\х ^
^ 0; Мх = Ь), является неограниченной, то и задача (85)

Гл. 18. Сложность ЦЛП-задач 425
неограниченна (ср. теорема 16.1). Если линейная релаксация
ограниченна, то кратчайший путь из @, 0) в (л, Ь) дает
оптимальное решение задачи (85).
Поскольку кратчайший путь может быть найден за время,
ограниченное полиномом от \У\ и от размера максимума длин
ребер (ср. § 18.5), то задачу (85) можно решить за время,
ограниченное полиномом от л, B11 + 1)т и от размера с. От-
Отсюда следует, что для любого фиксированного числа ограниче-
ограничений задачи целочисленного линейного программирования могут
быть решены за псевдополиномиальное время. Таким образом,
получаем результат Пападимитриу (РарасНтйпои [1981]).
Теорема 18.9. Для произвольного фиксированного числа т
существует алгоритм решения задачи целочисленного линейного
программирования
(89) тах{сж|* ^ 0; Ах - Ь\ х - целочисленный},
где А - целочисленная (пг х п)-матрица, а Ь и с - цело -
численные векторы, за время ограниченное полиномом от л,
51ге (с) и 3 (где 3 - максимум абсолютных величин компонент
матрицы А и вектора Ь) .
Доказательство. Использовать построенный выше алгоритм. и
Следствие 18.9а. Для произвольного фиксированного натураль-
натурального числа пг существует алгоритм решения систем Ах = Ь ли-
линейных уравнений в целых неотрицательных числах за время,
ограниченное полиномом от п и 5, где 3 - максимум абсолют-
абсолютных величин компонент целочисленных (пг х п)~матрицы А и
вектора Ь размерности т.
Доказательство. Положить в теореме 18.9 с = 0. П
Следствие 18.9Ь. Для произвольного фиксированного
натурального числа пг существует алгоритм решения систем
линейных неравенств Ах ^ Ь в целых числах за время, огра-
ограниченное полиномом от п и 5, где 3 - максимум абсолютных
Этот результат также, очевидно, следует из теоремы 18.8
с помощью описанного в § 18.2 сведения задачи (89) к задаче
о рюкзаке. - Прим. оед.
3 - 781

426 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
величин компонент целочисленных (гп х п)-матрицы А и вектора
Ь размерности т.
Доказательство, Можно предполагать, что Ь - целочисленный
вектор. Заменим Ах ^ Ь на Ах' - Ах" + х = Ь, х\ х'\ х *■ О
и применим следствие 18.9а.
Следствие 18.9с. Для произвольного фиксированного натураль-
натурального числа т существует алгоритм решения задач линейного
программирования
'(90) тах{с*|Л* ^ Ь\ х - целочисленный),
тах{с*| х ^ 0; Ах ^ Ь\ х - целочисленный}
за время, ограниченное полиномом от л, в1ге (с) и 5, где
3 - максимум абсолютных величин компонент целочисленных
{гп х п)~матрицы А и вектора Ь размерности т.
Доказательство. Непосредственно вытекает из теоремы 18.9. и
Этот алгоритм можно легко модифицировать в псевдополино-
псевдополиномиальный алгоритм решения задач (85) и (90), в которых це-
целочисленный вектор х заменен на {0, 1}-вектор. Специальный
случай этого утверждения - теорема 18.8. г
В работе №о1зеу [1974а] предложена еще одна точка зрения
на использование методов динамического программирования в
линейном целочисленном программировании, см. также Весктапп
[1970].
19
ВПОЛНЕ УНИМОДУЛЯРНЫЕ МАТРИЦЫ:
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И ПРИМЕРЫ
В главах 19-21 рассматриваются вполне унимодулярные матри-
цы> т. е. матрицы, у которых любой минор равен 1, -1 или 0,
в частности, любой элемент такой матрицы равен 1, -1 или 0.
Вполне унимодулярные матрицы дают основной класс задач
линейного программирования, оптимальные решения которых це-
лочисленны.

Гл. 19. Вполне унимодулярные матрицы 427
В настоящей главе обсуждаются основы теории и некоторые
примеры вполне унимодулярных матриц. В § 19.1 дается харак-
теризация Хоффмана-Краскала вполне унимодулярных матриц,
связывающая теорию вполне унимодулярных матриц с линейным
целочисленным программированием. В § 19.2 приводятся
некоторые другие характеризации. В § 19.3 рассматриваются
некоторые классы примеров вполне унимодулярных матриц,
среди которых особенно интересен класс матриц сетей. Как
следует из глубокой теоремы Сеймура, эти матрицы образуют
базис всех вполне унимодулярных матриц. Теорема Сеймура
утверждает, что каждую вполне унимодулярную матрицу можно
получить некоторой композицией матриц сетей и определенных
матриц размером 5x5. В §19.4 теорема Сеймура обсуждается
без доказательства.
Одним из следствий теоремы Сеймура является полиномиаль-
полиномиальный алгоритм проверки полной унимодулярности, который об-
обсуждается в гл. 20. В гл. 21 развиваются некоторые теорети-
теоретические вопросы, связанные с полной унимодулярностью.
19.1. Полная унимодулярность и оптимизация
Матрица А называется вполне унимодулярной, если любой ее
минор равен 0, + 1 или - 1. В частности, любой элемент та-
такой матрицы равен 0, +1 или -1.
Следующий основной результат связывает теорию вполне
унимодулярных матриц и линейное целочисленное программи-
программирование.
Теорема 19.1. Пусть А - вполне унимодулярная матрица и Ь -
целочисленный вектор. Тогда полиэдр Р = {*|Л;е ^ Ь) является
целочисленным.
Доказательство. Пусть Г = {х|Л'* = Ь'} - минимальная грань
полиэдра Я, где А' х ^ Ь'- некоторая подсистема системы
Ах ^ Ь, причем А' имеет полный ранг по строкам. Тогда А* =
= [(/, У]у где <3е{ {] = ± 1 (или может быть приведена к тако-
такому виду перестановкой столбцов). Следовательно, вектор

428 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
является целочисленным вектором, принадлежащим грани Р. О
Из теоремы вытекает, что любая задача линейного програм-
программирования с целочисленными данными и унимодулярной матрицей
ограничений имеет целочисленное оптимальное решение.
Следствие 19.1а. Пусть А - вполне унимодулярная матрица, Ь
и с - целочисленные векторы. Тогда прямая и двойственная
задачи
B) тгх{сх\Ах * Ь) = пип {уЬ\у 2: 0; уА = с}
имеют целочисленные решения.
Доказательство непосредственно следует из теоремы 19.1,
если учесть полную унимодулярность А и матрицы
C)
-А1
Хоффман и Краскал (НоНтап апй Кгизка1 [1956]) показа-
показали, что доказанное свойство более или менее характеризует
вполне унимодулярные матрицы. Этот факт, устанавливаемый в
следствии 19.2, является основным результатом параграфа.
Более короткое доказательство результата Хоффмана и
Краскала получено в работе Уешой апй ЭапЫд [1968]. Оно
использует обобщение введенного в гл. 4 понятия унимодуляр-
ности. Согласно прежнему определению, матрица называется
унимодулярной, если она целочисленна и имеет определи-
определитель, равный ±1. Для любой (т х п)-матрицы А полного ранга
по строкам назовем базисом А любую невырожденную подматрицу
ранга т. Будем теперь называть целочисленную матрицу А
унимодулярной, если она имеет полный ранг по строкам и
определитель любого её базиса равен ±1. Нетрудно видеть,
что А вполне унимодулярна тогда и только тогда, когда
матрица [/ А] унимодулярна.
Доказательство Вайнота и Данцига основано на следующем
интересном вспомогательном результате.

Гл. 19. Вполне уннмодулярные матрицы 429
Теорема 19.2. Пусть А - целочисленная матрица полного
ранга по строкам. Тогда полиэдр {х\х * 0; Ах = Ь) является
целочисленным при любом целочисленном векторе Ь в том и
только том случае, когда А унимодулярна.
Доказательство. Пусть А имеет пг строк и п столбцов. Предпо-
Предположим вначале, что А - унимодулярна. Пусть Ь - целочислен-
целочисленный вектор их'- вершина полиэдра {х\х ^ 0; Ах = Ь). Тогда
существуют п линейно независимых ограничений, которые
обращаются вектором х в равенства. Следовательно, столбцы
матрицы Л, соответствующие ненулевым компонентам вектора
хЙ, линейно независимы. Дополним эти столбцы до базиса В
матрицы А. Тогда вектор, образованный из координат вектора
х\ соответствующих столбцам из В, равен В" Ь, и является
целочисленным , в силу того, что Aе1 В = ±1. Так как
компоненты х', соответствующие не вошедшим в В столбцам,
равны нулю, то х' - целочисленный.
Для доказательства обратного, предположим, что {х\х ^
^ 0; Ах - Ь) - целочисленный полиэдр для любого целочислен-
целочисленного вектора Ь. Пусть В - некоторый базис А. Для доказа-
доказательства унимодулярности В достаточно доказать целочислен-
ность вектора В I для любого целочисленного вектора /.
Пусть г - целочисленный, тогда существует целочисленный
вектор уу такой, что г - у + В~Х1 ^ 0. Следовательно, Ь =
= Вг - целочисленный. Пусть вектор г' получается добавле-
добавлением к г нулевых компонент так, что Аг'= Вг = Ь. Тогда г' -
вершина полиэдра {х\х ^ 0; Ах - Ь) (поскольку г' принадле-
принадлежит полиэдру и обращает п линейно независимых ограничений в
равенства). По предположению г' целочисленна. Следователь-
Следовательно, целочисленными являются также векторы г и В I = г - у.
' и
В качестве следствия получаем следующую важную теорему
(НоКтап ап<1 Кгизка1 [1956]).
Следствие 19.2а (теорема Хоффмана-Краскала). Целочисленная
матрица А вполне унимодулярна тогда и только тогда, когда
для любого целочисленного вектора Ь полиэдр {х\х ^ 0; Ах ^
25 Ь) является целочисленным.
Доказательство. Напомним, что А вполне унимодулярна тог-
тогда и только тогда, когда [/ А] унимодулярна. Кроме того,

430 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
для любого целочисленного вектора Ь вершины полиэдра {х\х ^
^ 0; Ах ^ Ъ) целочисленны тогда и только тогда, когда
целочисленны вершины полиэдра {г\г ^ 0; [/ А]г = Ь}. Поэ-
Поэтому следствие вытекает из теоремы 19.2. О
Так как для вполне унимодулярной матрицы А матрица
D)
А
-А
также является вполне унимодулярной, получаем, что
целочисленная матрица А вполне унимодулярна тогда и только
тогда, когда для любых целочисленных векторов а, Ь, с, й
все вершины полиэдра {х\с з х ^ й\ а з Ах ^ Ь) целочислен-
целочисленны. Аналогичным образом из теоремы Хоффмана-Краскала можно
вывести, что целочисленная матрица А вполне унимодулярна в
том и только том случае, когда все вершины полиэдров
^ Ь}, {х\х ^ с; Ь * Ах),
{х\с * х; Ах < Ь), {х\с < х; Ь ± Ах]
целочисленны для любого целочисленного вектора Ь и некото-
некоторого целочисленного вектора с. В терминах линейного прог-
программирования теорема Хоффмана - Краскала может быть сформу-
сформулирована следующим образом.
Следствие 19.2Ь. Целочисленная матрица А вполне унимоду-
унимодулярна тогда и только тогда, когда для всех целочисленных
векторов Ь и с оба оптимума в тождестве двойственности
F) тъх{сх\х ± 0; Ах * Ь) = т\п {уЬ\у * 0; уА * с}
достигаются на целочисленных векторах х и у (если опти-
мумы конечны).
Доказательство вытекает непосредственно из следствия 19.2а,
если учесть, что матрица, транспонированная к вполне унимо-
унимодулярной, также является вполне унимодулярной. □

Гл. 19. Вполне унимодулярные матрицы 431
19.2. Дальнейшие характеристики унимодулярности
Существуют и другие характеризации вполне унимодулярных
матриц. Вместе с характеризациями, данными выше, перечислим
их в следующей теореме. Характеризации (й) и (ш) взяты
из работы НоНтап апA Кгизка1 [1956], характеризация (IV) -
из ОпоиПа-Ноип [1962] (ср. РасШег^ [1976]), характериза-
характеризации (у) и (VI) - из Сагшоп [1963а, Ь, 1965], характериза-
характеризация (уИ) принадлежит Гомори (см. .Сагшоп [1965]).
Теорема 19.3. Пусть А - матрица, все элементы которой рав-
равны 0, +1 или -1. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(I) А - вполне унимодулярная матрица, т. е. любой
минор матрицы А равен 0, +1 или -1;
(и) для каждого целочисленного вектора Ь полиэдр
{х\х ^ О, Ах ^ Ь} имеет только целочисленные вер-
вершины;
(ш) для всех целочисленных векторов а, Ьу су й полиэдр
{х\с ^ х ^ й, а ^ Ах ^ Ь) имеет только целочислен-
целочисленные вершины,
(IV) любой набор столбцов матрицы А можно разбить на
две части так, что разность сумм столбцов разных
частей есть вектор, состоящий из 0, +1 и -1;
(у) каждая невырожденная подматрица матрицы А содержит
строку с нечетным числом ненулевых элементов;
(VI) сумма элементов любой квадратной подматрицы, у ко-
которой сумма элементов каждой строки и каждого
столбца делится на 4;
. (VI0 у матрицы А нет подматрицы, определитель которой
равен +2 или -2.
Доказательство. Пусть А - (пг х п)-матрица. Эквивалентность
свойств (I), (и) и (ш) была доказана выше (см. следствие
19.2а).
A11) —» (IV). Пусть А - вполне унимодулярная матрица.
Выберем произвольный набор ее столбцов. Рассмотрим полиэдр
G) Р = {х|0 * х * а, 1A/2)Аа4] < Ах *
где а* - характеристический вектор выбранного набора столб-

432 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
цов, а [ ^ и Г 1 обозначают покомпонентное взятие ближай-
ближайшего соответственно слева и справа целого числа. Посколь-
Поскольку Р не пуст {й/2 € Р), то Р имеет хотя бы одну вершину х,
которая, согласно (Ш), является {0, 1}-вектором. Поэтому
все компоненты вектора у - й - 2х равны 0, +1 или -1 и у =
= ^(гпос! 2). Более того, все компоненты вектора Ау равны
О, +1 или -1. Поэтому у дает необходимое разбиение столб-
столбцов.
(IV) —» (у). Пусть В - квадратная подматрица матрицы А,
у которой сумма элементов каждой строки четна. Согласно
(IV), существует {+1, -1}-вектор х, такой, что Вх является
{О, +1, -1}-вектором. Так как по условию сумма элементов
любой строки матрицы В четна, то Вх = О, т. е. В - вырож-
вырожденная матрица.
(IV) —> (VI). Пусть В - квадратная подматрица матрицы А9
у которой сумма элементов каждой строки и каждого столбца
четна. Согласно (IV), столбцы матрицы В можно разбить на
два класса В и В так, что суммы столбцов матриц Вг и Вг
совпадают (так как сумма элементов любой строки матрицы В
четна). Пусть ог(В.) - обозначает сумму элементов матрицы
В.. Тогда <у(Вх) = &(В2), но о^) четна (так как сумма
элементов каждого столбца четна). Следовательно, сг(В ) +
+ &(В2) делится на 4.
(V) —> (VII) И (VI) —> (VII). ПреДПОЛОЖИМ, ЧТО ЭКВИВа~
лентность A) - (VII) уже доказана для всех собственных
подматриц матрицы А. Предположим также, что для А выполня-
выполняется (V) или (VI). Если (VII) неверно, то с!е{ А = ± 2, а
определитель каждой ее собственной квадратной подматрицы
равен 0 или + 1. Так как Aе1 А = 0 (тос! 2), то столбцы мат-
матрицы А линейно зависимы над полем ОГ{2) - полем из двух
элементов. Для любого собственного подмножества столбцов А
линейная зависимость над (О совпадает с линейной зависи-
зависимостью над ОРB) (поскольку любой собственный минор А равен
0, ± 1). Так как столбцы А линейно независимы над @, то все
компоненты суммы всех столбцов матрицы А являются четными.
Это, однако, противоречит (у).
Аналогичным образом можно показать, что все компоненты
суммы строк матрицы А четны. Пусть матрица В получается из

Гл. 19. Вполне унимодулярные матрицы 433
матрицы А вычеркиванием первой строки. По предположе-
предположению существует {+1, -1}-вектор х, такой, что Вх есть
{О, +1, -1}-вектор. Из четности всех компонент суммы строк
матрицы В следует, что Вх = 0. Поэтому
(8)
Ах =
а
0
0
для некоторого целого а. Так как
X
т
00.
1
..0
а
0
6
где матрица А' получается из матрицы А вычеркиванием
первого столбца, то |а| = |ёе{Л| = 2. Поскольку все ком-
поненты вектора 1-х четны, то 1МA - х) = 0 (шос! 4). Так
как 1ТАх = а = 2 (тос! 4), то получаем 1ТЛ1 е 2 (той 4),
ЧТО ПрОТИВОреЧИТ (VI).
(VII) —> A). Достаточно показать, что если В - квадрат-
квадратная {0, ±1}~матрнца с |Aе1 В\ > 2, то она содержит квадрат-
квадратную подматрицу с определителем ±2. Пусть В такая матрица и
п - ее порядок. Рассмотрим матрицу С = [В /]. Пусть С по-
получается из С с помощью операций сложения или вычитания
строк и умножения столбцов на -1 и обладает следующими
свойствами: (I) Сесть {0, ±1}-матрица, (II) п единичных
столбцов из матрицы / входят в С, (III) в первых п столб-
столбцах матрицы С содержится максимально возможное число еди-
единичных столбцов. Не ограничивая общности, можно предпо-
предполагать, что
A0)
0
В'
о
п-к
где В' - некоторая матрица порядка л, /., / - единичные
К П К
матрицы порядков к и п - к. Поскольку подматрица матрицы С

434 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
(и, следовательно, также матрицы С), образованная первыми
п столбцами, имеет определитель |<3е{ В\ ^ 2, то к < п.
Поэтому можно считать, что имеется вхождение 1 в некоторую
позицию (|, /) матрицы С, где А + 1 з «, / < л. По предпо-
предположению (III) /-й столбец нельзя элементарными преобразова-
преобразованиями строк превратить в единичный без нарушения усло-
условия (I). Следовательно, найдется такая пара *', /', что
B х 2)-подматрица, стоящая на пересечении строк с номерами
I и V и столбцов с номерами / и /', будет иметь вид
[
1 -1
или
-1 -1
. Таким образом, подматрица матрицы
Су образованная столбцами / и /' и всеми единичными столб-
столбцами за исключением / и /', имеет определитель равный ±2.
Отсюда следует, что В имеет подматрицу с детерминантом ±2.
а
В работе Ваит ап<3 ТгоМе'г [1977] приводится следующая
характеризация. :
Теорема 19.4. Целочисленная матрица А вполне унимодулярна
тогда и только тогда, когда для любого натурального к и лю-
любых целочисленных векторов Ь и у, таких, что у & 0, Ау 5 кЬ
имеем у = х + ... + х для некоторых целочисленных векто -
ров д^,..., *к из полиэдра {х ^ 0\Ах ^ Ь).
Доказательство, Достаточность. Для доказательства того, что
А вполне унимодулярна, достаточно показать, что для каждо-
каждого целочисленного вектора Ь все вершины полиэдра Р = {х ^
'.0\Ах ^ Ь) являются целочисленными. Предположим, что х -
лсцелочисленная вершина. Пусть к - НОК знаменателей компо-
компонент вектора х^. Тогда у - кх0 удовлетворяет соотношениям
у ^ 0, Ау ^ кЬ. Следовательно, у = х +...+ х для неко-
X IV
торых целочисленных векторов *,...,* из Р. Поэтому *0 -
= (х. +... + х ) /к - выпуклая комбинация целочисленных
векторов в Р, что противоречит предположению о нецелочис-
ленности вершины х .
С точностью до перестановки строк и умножения второго
столбца на -1. - Прим. ред.

Гл. 19. Вполне унимодулярные матрицы 435
Необходимость. Пусть А - вполне унимодулярна. Возьмем
произвольные целочисленные векторы Ь и у и натуральное
число ку такие, что у 2: 0, Ау ^ кЬ. Индукцией по к покажем,
что существуют такие целочисленные векторы х.,..., х. из
{х ^ 0|А* ^ Ь}у что у = хг +... + х. Случай к = 1 тривиа-
тривиален. Если 6 ^ 2, то полиэдр
A1) {х\0 & х * & Ау - кЬ + Ь * Ах * Ь}
не пуст, поскольку он содержит вектор к~ху. Так как А -
вполне унимодулярная матрица, то полиэдр A1) имеет цело-
целочисленную вершину, скажем, х . Пусть у' - У - \- Тогда
у' - целочисленный и у' ^ О, Ау' * (к - \)Ь. По предположе-
предположению индукции у' = х^...* *к-1» где Х1*---* \-х ~ цело-
целочисленные векторы из {х ^ 0\Ах ^ Ь). Поэтому у = хг + ...
...+ х - нужное разложение.
Ниже приведена еще одна необходимая для дальнейшего ха-
рактеризация.
Теорема 19.5. Пусть А - матрица полного ранга по строкам.
Следующие утверждения эквивалентны:
([) для каждого базиса В матрицы А матрица В~1А це-
лочисленна\
(и) для каждого базиса В матрицы А матрица В А
вполне унимодулярна;
(ш) существует базис В матрицы А, такой, что матрица
ВТ А вполне унимодулярна.
Доказательство. Можно предположить, что А = [I С] для не-
некоторой матрицы С, так как свойства A), (и) и (Ш) инва-
инвариантны относительно умножения слева на невырожденную мат-
матрицу.
Теперь нетрудно проверить, что каждое из свойств A),
(и) и AИ) эквивалентно тому, что любой базис матрицы
[/ С] является унимодулярным. □
Следующая характеризация получена в работе СЬапёгазе-
кагап [1969]: матрица А вполне унимодулярна тогда и только
тогда, когда для каждой невырожденной подматрицы В матрицы
А и для каждого ненулевого {0, ±1)-вектора у НОД элементов
вектора у В равен 1.

436 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Доказательство. Необходимость. Известно, что В~х - целочис-
целочисленная матрица. Пусть к = ИОЩуВ) (т. е. к - НОД компонент
вектора уВ). Тогда 1С уВ - целочисленный вектор и, следо-
следовательно, 1Г у - к~ уВВ~ - целочисленный вектор. Так как
у - {0, 1}~вектор, то к = 1.
Достаточность. Покажем, что имеет место свойство (у)
теоремы 19.3. Пусть В - невырожденная подматрица матрицы А.
По предположению НОД компонент вектора \В равен 1. Следова-
Следовательно, один из столбцов В должен иметь нечетное число
Ненулевых элементов.
Это доказательство, воспроизведенное по работе Тат! г
[1976], показывает, что матрица А вполне унимодулярна тог-
тогда и только тогда, когда НОДAВ) = 1 для любой невырож-
невырожденной подматрицы В из А
Нетрудно видеть, что невырожденная матрица В является
унимодулярной тогда и только тогда, когда НОД(уВ) =
= ИОД (у) для любого целочисленного вектора у. В статье
Спапйгазекагап [1969] показано, что здесь нельзя ограни-
ограничиться {0, ±1}-векторами. В этом можно убедиться на примере
A2) В =
10 10
11-10
0 11-1
0 10 1
В § 21.1 и 21.2 будут рассмотрены другие характеризации
вполне унимодулярных матриц. Дальнейшие результаты и обзоры
по вполне унимодулярным матрицам можно найти в работах
Вго\уп [1976, 1977], СеДегЬашп [1958], Спапёгазекагап
[1969], Соттопег [1973], де Шегга [1981], НеИег [1963],
РаёЬеге [1975а], Тагтг [1976], Тшетрег [1980] и Уаппакак^з
[1980, 1985]. Применения к комбинаторным задачам даны в
НоНтап [1960, 1976, 1979Ь]. Прямой вывод характеризации
Камиона из характеризации Гуила-Хури приведен в Ра<1Ьег&
[1976] и Тат! г [1976]. Еще один обзор можно найти в Оопйгап
[1973]. Результаты, связанные с характеризацией Гомори,
см. в Кгезз апс! Тапиг [1980].

Гл. 19. Вполне унимодулярные матрицы 437
19.3. Основные примеры: матрицы сетей
В настоящем параграфе рассматриваются некоторые примеры
вполне унимодулярных матриц и, в частности, матрицы сетей.
В § 19.4 обсуждается знаменитая характеризация Сеймура,
утверждающая, что матрицы сетей образуют блоки, из которых
можно построить любую вполне унимодулярную матрицу.
При рассмотрении примеров будут использоваться некоторые
понятия из теории графов. Читателю, незнакомому с ними,
рекомендуем обратиться к § 1.4.
Пример 1. Двудольные графы (см. Мо1гкт [1956], НоНтап апс1
Кгизка1 [1956], НоНтап апс! КиЬп [1956]). Пусть О = (V, Е)~
неориентированный граф и М - матрица инцидентности О (т. е,
М - {0, 1}-матрица, строки и столбцы которой перенумерова-
перенумерованы вершинами и ребрами О соответственно, и М =1 тогда
и только тогда, когда ь € е). Тогда
A3) М вполне унимодулярна тогда и только тогда, когда
граф О двудольный.
Иными словами, М унимодулярна тогда и только тогда,
когда ее строки можно разбить на два класса так, что каждый
столбец содержит по одной единице в каждом классе.
Утверждение A3) легко получить из характеризации Гуила-
Хури, см. (у) в теореме 19.3.
Приложение 19.1. Из теоремы Хоффмана-Краскала и полной
унимодулярности матрицы инцидентности двудольного графа
следует несколько теорем, подобных теоремам Кен и га о
паросочетаниях и покрытиях в двудольных графах и теореме
Биркгофа и фон Неймана о бистохастических матрицах.
Пусть М - матрица инцидентности двудольного графа О =
= (V, Е). Тогда из A3) и следствия 19.2Ь получаем.
тах {у\\у ^ 0; уМ 5 1; у - целочисленный} =
= ппп{1;е|* 2: 0; Мх ^ 1; х - целочисленный}.
Это утверждение эквивалентно «теореме Кенига о покрытиях>
[1933]): мощность максимальной коклики в двудольном

438 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
графе равна минимальному числу ребер, покрывающих все
вершины. (Здесь предполагается, что каждая вершина графа
инцидентна по крайней мере одному ребру.)
Аналогичным образом, имеет место утверждение
A5) тах{1*|* а 0; Мх ^ 1; х - целочисленный} =
= ГП1П {у\ \у ^ 0; уМ а 1; |/ - целочисленный}.
Это утвержение эквивалентно теореме Кенига-Эгервари (Кош^
[1931], Е&егуап [1931]): максимальная мощность паросоче-
тания в двудольном графе равна минимальной мощности мно-
множества вершин, покрывающих все ребра.
Более общее утверждение можно сформулировать следующим
образом: для каждой весовой функции ж Е —> 2+:
A6) тах[шх\х ^ 0; Мх ^ 1; х - целочисленный} =*
= пип {у\\у ^ 0; уМ ± хю\ у - целочисленный}.
Если рассматривать о> как «функцию дохода>, то A6) дает ми-
минимаксную формулу для оптимизационной задачи о назначениях.
Самым общим применением теории вполне унимодулярных матриц
к двудольным графам является соотношение
A7) тах{адх|с < х ± й\ а ^ Мх ^ Ь\ х - целочисленный} =
= тт{г'й? - г"с + у'Ь - у"а\г\ г", у\ у" а 0;
(у' - у")М + г' - г" = иг, г\ г", у', у" - це-
целочисленные},
которое также соответствует некоторому варианту задачи о
назначениях.
Кроме этого, полиэдры {х\х ^ 0; Мх з 1} и {х\х а 0; Мх =
= 1} - целочисленные. Следовательно, функция х: Е —» К+
есть выпуклая комбинация векторов инцидентности (совершен-
(совершенных) паросочетаний графа О тогда и только тогда, когда
2 х(е) ^ 1 (соответственно ^ х(е) = 1) для каждой вершины
еЭу еЭу
а В частном случае, когда О - полный двудольный граф
К , то последнее утверждение эквивалентно теореме Биркго-
Гд, Г»

Гл. 19. Вполне унимодулярные матрицы 439
фа (В1гкЬоН [1946]) и фон Неймана (уоп Ыеитапп [1953])
утверждающей, что бистохастическая матрица есть выпуклая
комбинация матриц перестановок (бистохастинеской матрицей
называется матрица с неотрицательными элементами, у которой
сумма элементов каждой строки и каждого столбца равна 1,
см. § 8.10).
Пример 2. Ориентированные графы (см. ОалЫ& апё Ри1кегзоп
[1956], НоНтап апа Кгизка1 [1956], а также НеИег ап<1
Тотрктз [1956]). Пусть й = (V, А) - ориентированный граф и
М - его матрица инцидентности (т. е. {0, ±1}-матрица, стро-
строки и столбцы которой перенумерованы вершинами и дугами
графа О соответственно, и М = +1 (= -1) тогда и только
тогда, когда а входит в (выходит из) V). Тогда М вполне
унимодулярна. Таким образом:
A8) любая {0, ±1}~матрица, имеющая в каждом столбце
ровно одну +1 и ровно одну -1 является вполне
унимодулярной.
Это утверждение сформулировано в работе Ротсаге [1900].
В работе УеЫеп ап<1 РгапкНп [1921] дано следующее короткое
индуктивное доказательство. Любая квадратная подматрица N
матрицы М либо содержит столбец, имеющий не более одного
ненулевого элемента (в этом случае, разлагая определитель
по этому столбцу, получаем по индукции, что определитель
равен 0 или ±1), либо каждый столбец содержит и +1, и -1
(в этом случае определитель равен 0).
Кроме того, A8) сразу следует из характеризации Гуила-
Хури, см. (IV) в теореме 19.3.
Приложение 19.2. Как и выше, из теоремы Хоффмана-Краскала и
полной унимодулярности матриц инцидентности ориентированных
графов следует несколько теорем, подобных теореме Менгера,
теореме о максимальном потоке и минимальном разрезе,
теореме Хоффмана о циркуляции и теореме Дилворта.
Пусть М - матрица инцидентности ориентированного графа
й = (У, А) и х: А —> К+ удовлетворяет соотношению Мх = 0.
Вектор х можно расматривать как циркуляцию, поскольку для х
выполнены условия сохранения потока во всех вершинах:

440 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
A9) I х(а) = Е х(а)
а входит в V а выходит из V
для всех V € V.
По теореме Хоффмана - Краскала все вершины полиэдра
[х\й ^ х ^ с; Мх = 0; х - целочисленный} целочисленны для
всех с, й: А —> 2+. Отсюда следует, что если существует
циркуляция й ^ х ^ с, то существует и целочисленная цирку-
циркуляция с этим свойством.
Из теоремы Хоффмана-Краскала также следует, что для всех
с, йу /: А -> I и {±оо}:
B0) тах{/х|<2 ^ * ^ с; М* = 0; х - целочисленный} =
= тт{у'с - у"й\у\ у" € Оф г € #у; гМ + у1 -
- #7/ = [\ у'> у"* ^ - целочисленные}
(например, если некоторая компонента с равна со, то эта
компонента фактически не дает ограничения и соответствую-
соответствующая компонента у' в задаче на минимум равна 0).
Если интерпретировать /(а) как выигрыш (или -{(а) -
стоимость), получаемый от пропускания единицы потока по
дуге а, то B0) можно рассматривать как формулу для макси-
максимума выигрыша (минимума стоимости) циркуляции при заданных
на дугах ограничениях на поток сверху и снизу.
Если для некоторой фиксированной дуги а0 - (г, 5) поло-
положить /(а ) = 1, а для всех остальных дуг положить [(а) = 0,
и если, кроме того, й = 0 и с ^ 0 таково, что с(а0) - со,
то максимум в B0) есть максимальное значение (г-$)-пото-
ка в графе В* = (V, А \ а0), в котором пропускные способ-
способности дуг заданы функцией с, т. е.
B1) шах 2 *(а) - 2
а выходит из г а входит в г
при ограничениях
Е х(а) = 2 х(а)
а выходит из V а входит в V
для всех V € V \ {г, 5},
0 < х(а) ^ с(а) для всех а € А \

Гл. 19. Вполне унимодулярные матрицы 441
В этом случае минимум в B0) равен минимальному значению
у'су где у' € 1+ - такой вектор, что существует г € 2^,
удовлетворяющий неравенствам у' (а) - г(у) + г(и) ^ 0, если
а = (и, V) *■ ($, г) и у'(а0) - г(г) + г(з) ^ 1 (см. опре-
определение /). Поскольку с(а0) = со, то у'(а0) = 0 и» следо-
следовательно, г(з) ^ г(г) + 1. Обозначив (/:= {^ € У\г{и) ^
^ гE)}, получаем, что у'(а) ^ 1, если а € 5~(^7) (:=« мно-
множество дуг, входящих в V). Отсюда
B2) у'с* I с(а).
а € б ((У)
Следовательно, максимальная величина (г - $)-потока не
меньше пропускной способности разреза 8~(У)- Поскольку
максимальный поток, очевидно, не может быть больше
минимального разреза, получаем, что они совпадают.
Таким образом, полная унимодулярность М дает теорему
Форда-Фалкерсона (Роге! апё РЫкегзоп [1956]) и Элиаса,
Фейнштейна и Шеннона (ЕПаз, РешзЫп апс! ЗЬаппоп [1956]):
B3) максимальная величина (г-$)-потока равна мини-
минимальной пропускной способности (г - $)-разрезов.
Если пропускные способности всех дуг целочисленны,
то максимальный поток также может быть выбран це-
целочисленным.
Второе из этих утверждений было доказано в Т)&п\г\% [1951Ь].
Если все пропускные способности равны 1, получаем тео-
теорему Менгера (Меп^ег [1927]):
B4) максимальное число попарно непересекающихся по
дугам (г - я)-путей равно минимальной мощности
(г - 5)-разрезов.
Выбрав / произвольно, можно получить аналогичную мини-
минимаксную формулу для минимальной стоимости потока заданной
величины из г в 5.
Если кроме верхнего ограничения х 5 с на поток ввести и
нижнее ограничение й ^ х, где 0 ^ й 5 с, то из B0) полу-

442 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
чится следующее утверждение: максимум величины (г-.^-по
тока источника в сток равен минимуму величины
B5) I с(а) - I й(а)
а € б+A0 а € д~(Ц)
по таким подмножествам вершин II, что г € 11> 8 й и
множество дуг, выходящих из II).
Если оставить только ограничения снизу, отбросив ограни-
ограничения сверху, т. е. положить с - +а>, то получим теорему
Дилворта (ОП\уог*Ь [1950]):
B6) максимальная мощность антицепи (антицепью называ-
называется множество несравнимых элементов) в частично
упорядоченном множестве (X, з) равна минимальному
числу цепей (цепью называется множество попарно
сравнимых элементов), достаточных для покрытия X.
Теорему Дилворта можно также получить с помощью введения
отрицательных пропускных способностей. Чтобы в этом убе-
убедиться, рассмотрим следующий вспомогательный орграф.
Расщепим каждый элемент х из X на две точки *', х" и,
добавив две дополнительные вершины г и 5, зададим дуги и их
пропускные способности следующим образом:
B7) с(п х') = с(х'\ з) = 0 и с(х\ х") = -1,
если х € X;
с(х'\ у') = 0, если х, у е X и х < у
Считая, что не указанные в B7) дуги отсутствуют, получим,
положив й - - оо, следующее. Максимальная величина (г - $)-
потока при пропускных способностях с равна
B8) минимальному числу цепей, покрывающих X,
взятому со знаком минус.
С другой стороны, минимум B5) равен
B9) взятому со знаком минус максимальному
размеру антицепи в X.

Гл. 19. Вполне унимодулярные матрицы 443
Отсюда следует совпадение величин B8) и B9), что и сос-
составляет утверждение теоремы Дилворта.
Пример 3. Комбинация примеров 1 и 2. Хеллер и Томпкинс
(НеПег апс! Тотркшз [1956]), а также Д.Гейл доказали
следующее утверждение. Пусть М - {О, ±1)~матрица, в каж-
каждом столбце которой имеется ровно два ненулевых элемента.
Тогда
C0) М вполне унимодулярна тогда и только тогда, когда
существует такое разбиение строк М на два класса,
при котором ненулевые элементы любого столбца
попадают в общие классы при несовпадении знаков и
в разные классы при совпадении знаков.
Это утверждение легко следует из примера 2 (умножением
всех строк одного класса на -1 можно получить матрицу типа
A8)) или из характеризации (IV) в теореме 19.3. Обратно,
этот пример включает примеры 1 и 2.
Характеризация C0) дает полиномиальный тест на полную
унимодулярность для матриц, имеющих в каждом столбце не бо-
более двух ненулевых элементов. В работе Тгиетрег [1977] за-
замечено, что из характеризации Камиона ((у) в теореме 19.3)
следует, что имеющая не более трех ненулевых элементов в
каждом столбце матрица М вполне унимодулярна тогда и
только тогда, когда каждая ее подматрица, имеющая не более
двух ненулевых элементов в каждом* столбце, является вполне
унимодулярной.
Пример 4. Матрицы сетей (см. Ти11е [1965]). Пусть й = =
(V, А) - ориентированный граф и Т = (V, Ао) - произ-
произвольное ориентированное дерево с тем же множеством вершин
V. Рассмотрим (Л. х Л)-матрицу М, определяемую следующим
образом. Для всех а' € Ао и а = (у, ш) € А положим
В литературе используется также название «матрицы путей»
и «матрицы хорд». - Прим. ред.

444 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
C1) Мпй =+1, если единственный ориентированный
(V - ш)-путь в Т проходит через а' в
прямом направлении;
-1, если единственный ориентированный
(р - ш)-путь в Т проходит через а' в
обратном направлении;
О, если единственный ориентированный
(V - о>)-путь в Г не проходит через а'.
Матрицы, получающиеся таким образом, называются сетевыми
матрицами. Если М9 Т и й такие, как указано выше, то бу-
будем говорить, что Т и Б представляют М. Заметим, что класс
сетевых матриц замкнут относительно взятия подматриц: вы -
черкивание столбца соответствует удалению ребра из Д а
вычеркивание строки - сжатию дуги в Т.
Прежде чем доказывать полную унимодулярность матриц
сетей, докажем следующее утверждение.
C2) Пусть й = {УУ А) - слабо связанный ориентированный
граф, N - его (V х А)-матрица инцидентности, а N
получается из N вычеркиванием одной строки. Тогда
N имеет полный ранг по строкам. Более того, мно-
жество столбцов К матрицы N образует базис этой
матрицы тогда и только тогда, когда соответст-
соответствующие К дуги образуют ориентированное остовное
дерево на V.
Доказательство. I. Пусть вначале А' Я А образует ориенти-
ориентированное остовное дерево на V. Пусть В - подматрица, обра-
зованная столбцами из #, соответствующими А'. Предположим,
что эти столбцы линейно зависимы, т. е. Вх = 0 для неко-
некоторого ненулевого вектора х. Пусть А" - множество дуг из
А\ соответствующих ненулевым компонентам х. Так как А' -
дерево, то А" - лес, поэтому в (V, А") имеются по крайней
мере две вершины степени 1. Пусть и - одна из таких вершин,
не соответствующая строке, вычеркнутой из N. Тогда вектор
Вх имеет ненулевую координату, соответствующую и, поскольку

Гл. 19. Вполне унимодулярные матрицы 445
последняя инцидентна только одной дуге из А". Поэтому Вх *
* 0, что противоречит предположению.
Так как N имеет \У\ - 1 строк и любое остовное дерево
имеет \У\ - 1 дуг, то N имеет полный ранг по строкам и
каждое остовное дерево порождает базис.
II. Обратно, пусть В - базис N. Тогда В состоит из \У\ -
~ 1 линейно независимых столбцов. Пусть А* - дуги, соот-
соответствующие столбцам из В. Покажем, что А' образует остов-
остовное дерево. Поскольку \А* | = \У\ - 1, достаточно показать,
что А* не содержит (неориентированных) циклов. Предположим,
что С - такой цикл. Выберем на С одну из двух ориентации.
Пусть х - такой вектор из множества {О, ±1}А , что
C3) х(а) - +1, если а проходится в С
в положительном направлении;
х(а) = -1, если а проходится в С
в отрицательном направлении;
х(а) = 0, если а € А' \ С.
Нетрудно проверить, что Вх = 0. Поскольку х # 0, это
противоречит тому, что В - базис N. п
Покажем теперь, что
C4) матрицы сетей вполне унимодулярны.
Доказательство. Пусть матрица сети М представлена деревом
Т = (V, Ао) и ориентированным графом И = (У, А). Пусть # -
матрица инцидентности графа й и Ь - матрица инцидентности
дерева Г, Пусть N и Ь получаются в результате удаления
одной строки (соответствующей одной и той же вершине) из N
и /.. Согласно A8), матрица [/ Ь ЛГ| унимодулярна и, сог-
ласно C2), Ь - базис для [/ /, Щ. Следовательно, матрица
C5) /."V I #] = [I / Г1 Щ

446 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
-1
является унимодулярной. Поэтому матрица Ь N вполне уни-
модулярна.
Нетрудно проверить, что ЫЛ - N. Следовательно, ЬМ - N и
-1
поэтому М = Ь N. Таким образом, М вполне унимодулярна. □
Аналогично можно показать, что
C6)
если М - матрица сети полного ранга по строкам и
В - ее базис, то В~гМ - также матрица сети. Если
М представлена деревом Т = (V, АЛ и ориентирован-
ориентированным графом й = (V, Л), то столбцы C6) матрицы В
соответствуют некоторому остовному дереву в Д на-
например А , а матрица В~1М представляется деревом
(V, Аг) и графом й.
Доказательство. Пусть Ь и N такие же, как в доказательстве
предыдущего утверждения. Тогда М = 17 N и В - базис
матрицы [Ь 1 Ь Ы\ Следовательно, ЬВ - базис матрицы
[/ Ь ЛГ]. Согласно C2), столбцы матрицы ЬВ соответствуют
некоторому остовному дереву, например А1 в /). Поскольку
^В(^Г1Л1) = УУ, то матрица В~ХМ есть матрица сети, представ-
представленная (V, А ) и О.
Из C6) вытекает следующее утверждение:
C7) класс матриц сетей замкнут относительно ведущих
преобразований (рюоНпв), т. е операций вида
г с
Ь й
-е
ее
еЬ п- еЬс
где е € {±1}, Ь - вектор-столбец, с - вектор-стро
ка, й - некоторая матрица.
Заметим также, что примеры 1-3 представляют собой част
ные случаи матриц сетей.

Гл. 19. Вполне унимодулярные матрицы 447
Пример 5. Семейства, свободные от пересечений . Семейство Е
подмножеств множества V называется семейством, свободным от
пересечений) если
C8) из Г, V € Е следует либо Т й и, либо V й Г,
либо Т п и = 0, либо Т и О = V.
Иными словами, семейство является свободным от пересечений,
если его диаграмма Венна может быть нарисована на сфере без
самопересечений.
В работе Ейтопйз апс! СШез [1977] отмечено следующее.
Пусть Т = (И7, Ао) - ориентированное дерево и ф: V —> ИР -
отображение. Для каждой дуги а из Г положим:
C9) V - {и V€ У\ф(и) принадлежит той же компоненте
графа (ИР, Л0\{а}), что и начальная вершина а}.
Пусть
D0) Е = {Ул\а € Ао}.
Нетрудно установить, что Е - семейство, свободное от пере-
пересечений. Более того, каждое семейство, свободное от Пересе т
чений может быть получено таким способом. Пара Т, ф называ-
называется древовидным представлением для Е.
Для заданных свободного от пересечений семейства Е 5
й Р(У) и ориентированного графа п = (V, А) введем матрицу
М, строки и столбцы которой пронумерованы элементами из Е и
А соответственно, а элементы определяются следующим
образом:
+1, если а входит в II,
-1, если а выходит из V,
0, в остальных случаях
<41>
Используется также термин «параллельные семейства». -
Прим. ред.

448 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
для всех и € Е, а € А Можно показать, что М - матрица се-
сети, представленная деревом Т (которое является древовидным
представлением Е) и графом ^. Обратно, каждая матрица сети
может быть представлена таким образом. Детали мы оставляем
читателю. Такое представление матрицы сети будет использо-
использовано позже.
Пример 6. {О, \}-матрицы сетей и альтернирующие графы
(НоНтап апс! Кгизка1 [1956], НеИег апс! НоНтап [1962]).
Согласно определению матриц сетей (пример 4), произвольная
неотрицательная (т. е. {О, 1}-) матрица сети получается из
ориентированного дерева Т выбором в нем некоторых
ориентированных путей и взятием в качестве столбцов матрицы
векторов инциденции этих путей (рассматриваемых как векторы
в К , где А - множество дуг в Т). Другая характеризация
была дана в работах НоНтап апё Кгизка1 [1956], НеНег апё
НоНтап [1962]. Ориентированный граф называется альтерниру-
альтернирующим, если в каждом цикле последовательные ребра имеют про-
противоположную ориентацию. Из определения следует, что аль-
альтернирующие графы не содержат контуров и все их циклы име-
имеют нечетную длину. Пусть ^ = (V, А) - альтернирующий граф.
Построим матрицу, строки которой пронумерованы элементами
из V, а столбцы являются векторами инциденции некоторых
ориентированных путей в й. Тогда М - матрица сети и каждая
{О, 1}-матрица сети возникает таким образом.
[Для того чтобы убедиться, что М - матрица сети, пост-
построим ориентированное дерево следующим образом. Вначале за-
заменим каждую вершину V графа й парой новых вершин V* и сГ и
каждую дугу а = (а, ш) - «красной» дугой а = (сГ, ш+). До-
Добавим также «синие» дуги (а+, и") для всех V € V. После
этого стянем все красные дуги. В результате останется
ориентированное дерево Г, имеющее только |У| «синих» дуг.
Каждый ориентированный путь в ^ (рассматриваемый как мно-
множество вершин) совпадает с некоторым ориентированным путем
в й (рассматриваемым как множество дуг) (обратное, вообще
говоря, неверно). Поэтому М - матрица сети.
Для того чтобы доказать, что таким способом можно полу-
получить любую {0, 1}-матрицу сети, рассмотрим произвольную

Гл. 19. Вполне унимодулярные матрицы 449
матрицу М, порождаемую ориентированным деревом Т = (У, А ).
Построим ориентированный граф В - (А , А), в котором для
дуг а, а' из Ао условие (а, а') € А выполнено тогда и
только тогда, когда конец а совпадает с началом а'. Тогда
является альтернирующим, и ориентированные пути в
(рассматриваемые как множества вершин) совпадают с
ориентированными путями в Т (рассматриваемыми как множество
дуг). Поэтому каждая {0, 1}-матрица получается из
некоторого альтернирующего ориентированного графа.]
В работе НоНтап апA Кгизка1 [1956] показано, что если
Б = (V, А) - ориентированный граф и М - матрица, строки ко-
которой пронумерованы элементами из V, а столбцы являются
векторами инциденций некоторых ориентированных путей в Д
то М вполне унимодулярна тогда и только тогда, когда й -
альтернирующий граф.
Пример 7. Интервальные матрицы. Если М является {0, ^-мат-
^-матрицей и в каждом столбце единицы расположены последователь-
последовательно (при некотором заданном линейном упорядочении строк), то
М вполне унимодулярна. Такие матрицы называются интер-
интервальными. В действительности, каждая интервальная матрица
является матрицей сети. Это следует из того, что в примере
4 в качестве ориентированного дерева можно взять ориентиро-
ориентированный путь.
Таким образом, все рассмотренные примеры вполне
унимодулярных матриц являются матрицами сетей. Очевидно,
что вполне унимодулярными являются также все матрицы,
получаемые транспонированием матриц сетей. *В § 19.4 будут
указаны две вполне унимодулярные матрицы порядка 5, которые
не являются матрицами сети или матрицами, транспонированны-
транспонированными к ним. Сеймур доказал, что из этих матриц порядка 5 и
матриц сетей можно построить вполне унимодулярные матрицы.
Замечание. В работе Е<3топA5 апё Кагр [1972] показано, что
некоторая модификация алгоритма Форда-Фалкерсона (Роге! апс!
Ри1кег§оп [1957]) для построения потока минимальной стой -
мости решает задачи линейного программирования с матрицами
ограничений, являющимися матрицами сетей, за полиномиальное
время. При решении задач с такими матрицами полиномиальным
является и симплекс-метод, см. 11шга апё Ыетпаизег [1983],

450 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
ОгПп [1985а], а также замечание 2 в § 11.4. В Тагс1о$
[1985а] показано, что для этих задач существует полиноми -
альный алгоритм (см. § 15.2).
19.4. Разложение вполне унимодулярных матриц
Матрицы сетей образуют базис вполне унимодулярных матриц. В
этом состоит утверждение красивой и глубокой теоремы
Сеймура (см. Зеутоиг [1980], а также Зеутоиг [1985]).
Не всякая вполне унимодулярная матрица является матрицей
сети или транспонированной к ней. Это показывают следующие
примеры (НоНтап [1960], В1хЬу [1977]):
D2)
1
1
0
0
1
-1
1
__|
0
0
0
-1
1
-1
0
0
0
-1
1
-1
0
0
-1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
Сеймур показал, что каждую вполне унимодулярную матрицу
можно некоторым образом получить из матриц сетей и матриц
D2).
Для того чтобы описать характеризацию Сеймура, заметим,
что полная унимодулярность матрицы сохраняется при следую-
следующих преобразованиях:
1D3)
0)
(И)
(ш)
(IV)
перестановка строк и столбцов;
транспонирование;
умножение строк и столбцов на
операция замещения
-1;
е с
Ь И
на
-с
еЬ й - еЬс
(V)
(VI)
приписывание нулевой строки или нулевого
столбца или строки или столбца с единствен-
единственным ненулевым элементом равным ±1;
повторение строки или столбца.
(В свойстве (IV) € € {±1}, Ь - вектор-столбец, с - век-
вектор-строка, О - матрица). Полная унимодулярность сохраня-

Гл. 19. Вполне унимодулярные матрицы 451
ется также при выполнении следующих операций над матрицами:
D4)
В =
(И) [А а]
(• * • ч
111)
А
с
2
а а
0 1
\А
[о
"
в.
©
3
0"
В
1
й
"А
,0
0
й
аЬ"
В,
в\ "
' А
р
В
A-сумма);
B-сумма);
C-сумма).
(Здесь А и В - матрицы, а и а* - вектор-столбцы, Ь и с -
вектор-строки соответствующих размеров.) Сохранение пол-
полной унимодулярности при этих преобразованиях нетрудно ус-
устранить с помощью характеризации Гуила-Хури из теоре-
теоремы 19.3.
Теорема 19.6 (теорема Сеймура о разложении вполне унимо-
дулярных матриц). Матрица А вполне унимодулярна тогда и
только тогда, когда А может быть получена из матриц сетей и
матриц D2) с помощью операций D3) и D4). При этом опера-
операции D4) применяются в том и только том случае, если для
каждой матрицы А и В сумма числа строк и числа столбцов не
меньше 4.
Доказательство (см. Зеутоиг [1980]) дается в терминах мат-
роидов. В основе доказательства лежит специально разрабо-
разработанная техника «расщепления» матроидов (если регулярный
матроид содержит в качестве собственного минора некоторый
матроид, то он может быть «расщеплен»).
Из теоремы Сеймура вытекает хорошая характеризация
полной унимодулярности.
Следствие 19.6а. Задача распознавания полной унимодуляр-
унимодулярности хорошо характеризуема, г. е. принадлежит классу
ЫР п со~ЫР.
Доказательство. Для доказательства того, что заданная мат-
матрица М не является вполне унимодулярной достаточно указать
подматрицу, определитель которой отличен от 0 или ±1. Для
доказательства полной унимодулярности матрицы М достаточно
описать построение М способом, предложенным в теореме 19.6.
Такое построение можно описать в полиномиально ограниченной
памяти (отметим, что последовательность преобразований

452 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Г Е С 1
D3) (IV) может быть описана кратко: если А = I В Э },
где Я - квадратная матрица порядка к, и последователь-
последовательные ведущие элементы расположены в позициях A, 1),
B, 2),..., F, 6), то Е - невырожденная и в результате
получается матрица
[
-Е~г Е'гС
D5) |^ ВЕ-1 о _ ВЕ~\С
В гл. 20 будет показано, что в действительности сущест-
существует полиномиальный алгоритм распознавания полной унимоду-
лярности.
Укажем еще одно следствие.
Следствие 19.6Ь. Пусть М - вполне унимодулярная матрица.
Тогда имеет место по крайней мере одно из следующих ут-
утверждений:
(\) М или транспонированная к М - матрица сети;
(п) перестановкой строк и столбцов и умножением
их на -1 М можно привести к одной из матриц
D2);
(III) в М есть строка или столбец не более чем с
одним ненулевым элементом или М имеет две
линейно зависимые строки или столбца;
(IV) строки и столбцы матрицы М можно переставить
так, что она примет вид М = , где
[с и \
гапк (В) + гапк (С) ^2 ив каждой из мат-
матриц А и й сумма числа строк и числа столбцов
не меньше 4.
Доказательство. Можно предполагать, что каждая строка и
каждый столбец матрицы М имеют по крайней мере два ненуле-
ненулевых элемента и что любые две строки (два столбца) матрицы М
линейно независимы (в противном случае имеет место ситуация
A11)). Поэтому если построить М, как указано в теореме
19.6, то операции D3) (V) и (VI) применены не будут. Да-
Далее, либо применяется одна из операций D4), и тогда имеет
место (IV), либо ни одна из операций D4) не применяется, и

Гл. 20. Распознавание полной унимодулярности 453
тогда М удовлетворяет A) или (п). (Отметим, что каждое из
свойств A), (п) A11) и (IV) сохраняется относительно
операций D3) A) - (IV).) П
Возможность построения с помощью теоремы Сеймура полино-
полиномиального теста на полную унимодулярность объясняется тем,
что выполнение свойств 0), (и) и (Ш) следствия 19.6 для
матрицы М можно проверить за полиномиальное время и, более
того, разложение вида (IV), если оно существует, можно
найти для матрицы М также за полиномиальное время.
Последнее разложение сводит проверку полной унимодулярности
матрицы М к проверке полной унимодулярности матриц меньшего
размера. Индуктивное применение этой процедуры дает полино-
полиномиальный алгоритм, обсуждаемый в следующей главе.
20
РАСПОЗНАВАНИЕ ПОЛНОЙ УНИМОДУЛЯРНОСТИ
Изложенная в § 19.4 теорема Сеймура о разложении позволяет
построить полиномиальный алгоритм ' распознавания вполне
унимодулярных матриц. Составными частями этого алгоритма
являются полиномиальный алгоритм тестирования матриц сетей,
см. § 20.1, и полиномиальный алгоритм построения разложения
в смысле Сеймура, см. § 20.2. Комбинация этих тестов дает
тест полной унимодулярности» см. § 20.3.
20.1. Распознавание матриц сетей
Первая процедура, используемая для распознавания полной
унимодулярности - полиномиальный алгоритм тестирования мат-
матриц сетей. Этот алгоритм впервые был изложен в Аи$1апAег
ап<1 Тгеп* [1959, 1961], СоиИ [1958], Тц11е [1960, 1965,
1967]. Дальнейшие уточнения см. В^хЬу апй Сипшп^Ьат
[1980], а также ЕИхЬу апё Ша^пег [1985]. Излагаемый ниже
алгоритм основан на методе Татта и использует идею Биксби и
Каннингэма.

454 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Алгоритм проверки того, что заданная матрица является
матрицей сети, должен, в частности, проверять планарность
графа: матрица, транспонированная к матрице сети, представ-
представленной деревом Т = {V, А ) и ориентированным графом
й = (V, А) является матрицей сети в том н только том слу-
случае, когда граф (V, А и А) является планарным. Это утверж-
утверждение может быть получено на основе теоремы Куратовского
(Кига1о\уз1и [1930]) о планарных графах, см. ТиНе [1958]
(это же утверждение можно получить из приводимого ниже
описания алгоритма).
Полезно вспомнить обычный алгоритм проверки планарности
(неориентированного) графа С = (V, Е) (ср. Аиз1епс1ег апс!
РаНег [1961], ТиПе [1963], НорсгоН апс! Тапап [1974]
(здесь даются дальнейшие ссылки), НиЫп [1975Ь]).
A) Выберем в О цикл С, удаление которого приведет к
расщеплению Е по крайней мере на две части (здесь
удаление понимается в топологическом смысле: два
ребра е и / принадлежат одной части в том и только
том случае, если существует путь, множество
вершин которого не пересекает С, но пересекает е
и /). Если такого цикла не существует, то проверка
планарности тривиальна. Если такой цикл существу-
существует, то при любом вложении С в плоскость каждая
часть лежит целиком либо внутри С, либо вне С. Ес-
Если две части Р и Р имеют перемежающиеся точки
контакта с С, то эти точки будут препятствовать
одновременному расположению обеих частей внутри
или вне С. Теперь построим граф Я, вершинами кото-
которого являются части, причем части Р. и Р соеди -
няются дугой в том и только том случае, если точки
контакта /э1 и Р- с С перемежаются. Нетрудно ви-
видеть, что О - планарный в том и только том случае,
если Н - двудольный и С и Р - планарный для каж-
каждой части Я.
Это рассуждение показывает, что проверка планарности
сводится к проверке двудольности и планарности графов с
меньшим числом вершин. Эта рекурсия приводит к полиноми-

Гл. 20. Распознавание полной у ни модулярности 455
альному алгоритму. В работе Норсгой апс1 Таг]ап [1974] дана
реализация этого алгоритма, которая работает линейное
время.
Приводимый ниже алгоритм распознавания матриц сети явля-
является параллельным. Напомним, что матрица М является матри-
матрицей сети в том и только том случае, если существуют
ориентированный граф й = (V, А) и параллельное семейство
множеств Е 2 Р(^), такие, что М удовлетворяет соотношению
D1) из § 19.3. Напомним также, что семейство подмножеств
множества V называется параллельным семейством множеств,
если оно имеет планарную диаграмму Венна. Таким образом,
планарность возникает вновь, правда в другом контексте,
связывая свойство матрицы быть матрицей сети с планарностью
графа.
Алгоритм распознавания матриц сетей. Пусть М - {0, ±1}-
матрица размера т х п. Если каждый столбец матрицы М
содержит по крайней мере два ненулевых элемента, то
нетрудно проверить, является ли М матрицей сети.
Для этой цели разобьем множество /? строк матрицы М на
две группы Я и Яо так, что если умножить все строки из
множества /? на -1, то полученная матрица будет иметь в
каждом столбце не более одной 1 и не более одной -1
(см. пример 3 в § 19.3). Если такое расщепление возможно,
то легко видеть, что М - матрица сети. Если такое расщепле-
расщепление невозможно, то М - не матрица сети, так как она не
вполне унимодулярна согласно характеризации Гуила-Ури, см.
теорему 19.3 (IV).
Для отыскания такого расщепления /? определим неориенти-
неориентированный граф С следующим образом. Пусть V1,..., V - вер-
вершины. Соединим две различные вершины V и V ребром, если в
М найдется столбец, имеющий ненулевые элементы одинакового
знака в строках с номерами I и /. Соединим две различные
вершины V .и V путем длиной 2, имеющим новую дополнитель-
дополнительную вершину, если в М найдется столбец, имеющий в строках с
номерами * и / ненулевые элементы противоположного знака.
Расщепление указанного выше вида может быть построено в том

456 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
и только в том случае, если О - двудольный граф. Двудоль-
ность графа легко проверяется за линейное время (ср. с
§ 1-4).
Таким образом, можно предполагать, что матрица М имеет
столбец, содержащий по крайней мере три ненулевых элемента.
Для каждого / = 1,..., т построим неориентированный граф С
следующим образом. Множество вершин О совпадает с множест-
множеством {1,..., т) \ {/}. Две вершины / и к соединяются ребром
в О. и в том и только том случае, если в М имеется столбец,
содержащий в строках с номерами /' и к ненулевые элементы и
О в строке I .
Тогда имеет место утверждение:
B) если матрица М - матрица сети, то для некоторого
I граф С. является несвязным.
Для доказательства этого утверждения предположим, что
М - матрица сети и пусть дерево Т и ориентированный граф й
представляют М, где Т имеет дуги а1,...,ат, соответствую-
соответствующие строкам с номерами 1,..., т. Тогда Т содержит путь
длины три, иначе каждый столбец матрицы М имел бы самое
большее два ненулевых элемента. Пусть а1 - средняя дуга
такого пути. Тогда, поскольку в дереве Т дуги а на
расположены по разные стороны от а4 (т. е. лежат в разных
компонентах Г \ а^, то / и 4 не смежны в Сг Последнее
утверждение следует из того, что любой путь в Г, содержащий
а. и а., содержит также и а . Поэтому любой столбец матрицы
М, имеющий ненулевые элементы в строках с номерами / и к,
имеет ненулевой элемент также и в строке с номером /.
Отсюда следует несвязность графа в..
Таким образом, если все графы О1 связны, то можно
утверждать, что М не является матрицей сети. Если же 0^ -
несвязен, то предположим, что С.,..., С - его компоненты
связности. Положим
C) №:= носитель первой строки матрицы М\
п носитель «*-й строки матрицы М\

Гл. 20. Распознавание полной унимодулярности 457
для I = 2,..., т; к = 1,..., р (носителем вектора называет-
называется множество номеров отличных от нуля координат).
Рассмотрим неориентированный граф И с вершинами
С1,..., С , в котором различные Ск и Сх смежны в том и
только том случае, если
D) з I € ск. их I и^ и х ^
1 1 к ^ к ^
Для каждой компоненты С обозначим через Мк подматрицу
матрицы Му состоящую из первой строки матрицы М и строк,
номера которых принадлежат С^.
Имеет место утверждение:
E) М - матрица сети в том и только том случае, если
И - двудольный, а матрицы М - матрицы сетей для
всех к = 1,..., р.
Индуктивное применение этого утверждения показывает, что
свойство быть матрицей сети можно проверить за полиномиаль-
полиномиальное время, см. теорему 20.1.
Доказательство утверждения E). Необходимость. Если М -
матрица сети, то каждая матрица М., очевидно, также будет
матрицей сети. Для доказательства двудольности графа Н
обозначим через Т - дерево и через й - ориентированный
граф, представляющие М, в котором дуги а1,..., а соот-
соответствуют строкам с номерами 1,..., пг. Не ограничивая общ-
общности, можно считать, что {а2,..., а } и {а^. ,..., а\ -
дуги компонент графа Г\а1. Для доказательства двудоль-
двудольности графа Н покажем, что если для произвольных к, I С. и
С. - подмножества одного и того же множества (т. е. С.,
С1 2 {2,..., (} или Ск, С1 2 {I + 1,.,.,/п}), то они не
смежны в Я.
Для доказательства этого факта положим Лк = {а11/ € С.}
и Аг - {а4 К € Сг}. Тогда Ак и Ах образуют в Т поддеревья,
расположенные по одну сторону от а,. Пусть Vк (г^) - та
(единственная) вершина в Г, покрытая деревом А (АЛ, кото-
4 - 781

458 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
рая расположена ближе всего к а^ Тогда имеют место одна
или обе из следующих возможностей.
A) Путь в 7\ соединяющий и с а., не содержит дуг из
А . Тогда каждая дуга а. из А либ^ принадлежит пути из и
X 1 К К
в V и в этом случае Их й №., либо не принадлежит этому
пути, и в этом случае V. п №. = 0. Следовательно, условие
D) не выполнено и Ск и С1 не смежны в И.
(И) Путь в 7\ соединяющий у с а , не содержит дуг из
А . Этот случай рассматривается аналогично с A).
Достаточность. Предположим, что граф И является дву-
двудольным и каждая из матриц М. есть матрица сети. Пусть
С.,..., С - вершины одной доли графа Я, а С А1,..., С
вершины другой доли.
Утверждение 1. Пусть отношение « задано на множестве
{1,.., д} следующим образом: к « / в том и только том слу-
случае, если к * / и
F) з / € Су ик * № и их п и^ * 0.
Тогда отношение « есть отношение частичного порядка.
Доказательство утверждения 1. Согласно D), ни для каких
&, / € {1,...,<7} не может быть выполнено одновременно
к « / и / « к. Поэтому достаточно доказать транзитивность.
Пусть к « к и к <с I. Тогда выполнено условие F) и
G) з/€ ск: иь * и^ и цк г\ и^ * 0.
к: иь
Поскольку [/ь п ^ * 0, то №д п Ук^ 0 для некоторого 5 €
€. Сь. Так как к и к не смежны в Я, то из D) вытекает, что
Ц й № (так как выполнено G)). Следовательно, V Я V? с
КЗ К 8
й С/^ и поэтому, согласно F), выполнены соотношения
(8) Ць * V? и Ць г\ И7 * 0.
Отсюда следует, что Л « ^. Поскольку ни для каких к, I =
«= 1,...,<7 не может одновременно быть к « / и / « к (так
как Ск и Сг не смежны в И (ср. с D)), то отсюда вытека-
вытекает, что отношение « есть отношение частичного порядка.
Конец доказательства утверждения 1.

Гл. 20. Распознавание полной унимодулярности 459
Таким образом, можно предполагать, что из к « / следу-
следует к < I.
Предположим теперь, что построены ориентированные дере-
дерево Т = (V, А ) и граф й = (V, Л), которые представляют
подматрицу Мо матрицы М, образованную строками, номера
которых принадлежат множеству {1} и С и... и ^-1' ПРИ"
чем начало V дуги дерева 7\ соответствующей первой строке,
является концевой вершиной дерева (это возможно, например,
при к = 1). Пусть а1,..., ап дуги (возможно петли) графа О,
соответствующие столбцам с теми же номерами. Тогда индекс /
принадлежит V? в том и только том случае, если а соединяет
V с некоторой другой вершиной из Т.
Пусть V = (V, А'о) и /)' = (V, А') представляют подмат-
подматрицу М матрицы М. Так как С. - связный подграф графа Сх,
то дуга графа 7\ соответствующая строке 1, - конечная дуга
дерева Т'. Так как и после изменения ориентации всех дуг в
Т' и В* последние по-прежнему представляют матрицу М , то
можно предположить, что начало V' этой дуги есть конечная
вершина дерева Т'. Как и выше, пусть а',..., а' - дуги
(возможно петли) графа О', соответствующие столбцам с теми
же номерами. Индекс / принадлежит V? в том и только том
случае, если а' соединяет V* с другой вершиной дерева Т'.
Если ни а 9 ни а*, не являются петлями, то /-й столбец
матрицы М имеет ненулевой элемент в некоторых строках с
номерами {1} V Сх и ... V С и {1} и С.. Следовательно,
из определения № и С ,..., С следует, что / принадлежит №.
Докажем теперь следующее утверждение.
Утверждение 2. Существует вершина о> дерева Т такая, что для
всех / € 1У из неравенства а'. * (и' у') следует, что а со-
соединяет V и ш.
Доказательство утверждения 2. Это утверждение эквивалентно
следующему:
(9) если у столбцов с индексами /, /' € № есть по
крайней мере один ненулевой элемент в С, то эти
столбцы имеют одинаковые ненулевые элементы в
строках с номерами из С и ... и С -.
4*

460 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Для доказательства утверждения (9) предположим, что оно
не выполняется для столбцов с номерами /, /'. Из предыду-
предыдущего вытекает, что /, /' € и^. Из предположения (9) следу-
следует, что существуют / < к и I € Су такие, что / € V? и /' *
й № или / * № и /' € \У. Это противоречит тому, что из
F) следует к < I.
Конец доказательства утверждения 2.
Выберем теперь ш, существовующее согласно утверждению 2.
Удалим дугу а' и вершину V' из Т' и отождествим вершину V*
из Т' с вершиной ш из Т. В результате получится новое
дерево Т" с множеством вершин V" = V и V \ {V* V'}.
Далее если а' * (с^, 0^) и / € №, то либо а = (^0, ш)
и а'. = (и' у') для некоторой вершины у' и в этом случае
полагаем а^ = (^^, V^2)у или ^ = (а;, ^0) и а^ = (^, »^)
для некоторой вершины у', ив этом случае полагаем а" ~
= (V* г/'). Для остальных а полагаем а" - а. или, если
а. - петля, а'' = а'
Нетрудно видеть, что Г" и ^// = (У7/, {а^,..., а^}) пред-
представляют подматрицу матрицы М, соответствующую строкам с
номерами из множества {1} V С V ... и Ск таким образом,
что начало дуги, соответствующей строке 1, отвечает некото-
некоторой конечной вершине.
Действуя, таким образом, по индукции, можно представить
подматрицу М* матрицы М, состоящую из строк с номерами из
множества {1} и С. и ... и С , некоторым деревом Т+ и ори-
ориентированным графом О+ таким образом, что начало и* дуги а*
дерева Г\ соответствующей строке 1, есть конечная вершина.
Аналогичным образом можно представить подматрицу М~
матрицы М, состоящую из строк с номерами из множества {1} и
и С +1 V ... V С , некоторым деревом Т~ и ориентированным
графом й~ таким образом, что конец г* дуги а~ дерева Г~,
соответствующей строке 1, есть конечная вершина.
Теперь, отождествив дугу а* дерева Т+ с дугой а~ дерева
Т~, получим новое дерево Т. Более того, если дуги (о*, ш)
графа Б* и (ш7, V~) графа Х)~ соответствуют одному и тому же
столбцу матрицы М (номер которого, таким образом, принадле-
принадлежит №), то заменим их некоторой новой дугой (ш', хю). Анало-
Аналогичным образом если дуги (до, о*) графа й+ и (у~, до') графа

Гл. 20. Распознавание полной унимодулярности 461
й соответствуют одному и тому же столбцу матрицы М
(с номером из ЯР), то заменим их одной новой дугой (а>, х&').
Пусть эти две новые дуги вместе с незамененными дугами из
В* и /)~ образуют ориентированный граф й. Тогда Т и й
представляют М.
Отсюда следует
Теорема 20.1. Проверка того, что заданная матрица является
матрицей сети, может быть выполнена за полиномиальное вре-
время.
Доказательство. Нетрудно видеть, что найдутся константа С
и показатель г ^ 2, такие, что для для каждой (/л х ^-мат-
^-матрицы М время выполнения следующих программ не превосходит
A0) (\) проверяем, что все элементы матрицы М равны
+1 или -1;
(Л) проверяем, что каждый столбец содержит не
более двух ненулевых элементов;
A11) если каждый столбец содержит не более двух
ненулевых элементов, то проверяем указанным
выше методом, будет ли матрица М матрицей
сети;
(IV) если в М имеется столбец, содержащий по
крайней мере три ненулевых элемента, то
указанным выше методом строим графы О.
(/ = 1,...,т), проверяем, имеется ли среди
О несвязный граф, строим граф Я, проверяем
двудольность графа Н и находим матрицы
Согласно утверждению E), при условии, что М выдерживает
все эти тесты, М является матрицей сети в том и только
том случае, когда все матрицы М. являются матрицами сетей.
Это дает рекурсивный алгоритм проверки матриц сетей. Индук-
Индукцией по т покажем, что время работы алгоритма с матрицей
размера т х п не превосходит Ст + п .
Если порождения матриц М не происходит, то время,
необходимое для работы программ A0), не превосходит Ст п .

462 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Если происходит порождение матриц Мк, то каждую из них
необходимо проверить на предмет, является ли она матрицей
сети. Это по предположению индукции требует времени не
больше чем С/п*+1п*, где т - число строк матрицы М.. Кроме
того, для выполнения программ A0) требуется время не
превосходящее Ст}п . В совокупности это дает время не
превосходящее
A1)
Заметим, что если М - матрица сети, то алгоритм позволя-
позволяет построить в явном виде дерево и ориентированный граф,
представляющие М.
Замечание. Из теста планарности A) можно получить знамени-
знаменитую теорему Куратовского (Кига1оузк1 [1930]), характеризу-
характеризующую планарные графы (граф является планарным в том и толь-
только том случае, если он не содержит подграфа гомеоморфного
/С или /С_ _): если в тесте A) необходимая цепь не может
быть найдена или Н не является двудольным, то в графе могут
быть найдены гомеоморфные образы или графа /С , или графа
3,3
Совершенно аналогично дальнейший анализ приведенного
алгоритма приводит к характеризации матриц сетей, принад-
принадлежащей Татту (Ти11е [1958]). Для этого рассмотрим следу-
следующие операции над вполне унимодулярными матрицами:
A2) A) удаление строки или столбца;
Ге с
(и) исключение, т. е. замена матрицы [6 И
Г -г ее 1
матрицей |_ еЬ ^ - еЬс ] (здесь е € {±1},
Ь - вектор-столбец, с - вектор-строка,
й - матрица).
В §19.3 мы видели, что класс матриц сетей замкнут относи-
относительно этих операций. Теорема же Татта состоит в том, что
вполне унимодулярная матрица М является матрицей сети в том

Гл. 20. Распознавание полной унимодулярности 463
и только том случае, если она этими двумя операциями не
может быть приведена к матрице, транспонированной одной из
матриц сети, представленной ориентированным деревом
Т = (V, А-) и ориентированным графом й - (V, Л), такими,
что граф (V, А и Ап) есть (ориентированная версия) Кк или
Э.З
Большинство из этих результатов формулируются более
естественно и в более общей форме в терминах матроидов,
см. №е1зп [1976], Зеутоиг [1981] и Отшп^лат [1982].
20.2. Проверка разложимости
Вторым ингредиентом алгоритма проверки полной унимоду-
унимодулярности является следующая теорема Каннигэма-Эдмондса
(СипшгщЬат апс! Еатопдз [1982]).
Теорема 20.2. Существует полиномиальный алгоритм, проверя-
проверяющий существование приведения заданной матрицы М с помощью
перестановок строк и столбцов к такому виду
A3)
Г А в 1
что гапк (В) + гапк (С) ^ 2 и для каждой из матриц А и
сумма числа строк и числа столбцов не меньше 4.
[Каннингэм и Эдмондс заметили, что такое разложение может
быть построено алгоритмом пересечения матроидов, мы же
опишем метод исключительно в терминах матриц.]
Доказательство, Пусть X - множество столбцов матрицы
[/ М]. Пусть Хг и X - множества столбцов матриц / и М
соответственно.
Нетрудно видеть, что отыскание указанного выше разложе-
разложения эквивалентно нахождению в X подмножества У, такого, что
A4) р(У) + р(Х \ У) < р(Х) + 2
(здесь для множества векторов У:

464 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
A5) р(У) - ранг матрицы, составленной из векторов,
принадлежащих У, или размерность линейной оболочки
множества У)
и \У\ * 4, |* \ У| * 4, и V г\ Хг * 0 * V п Хг Хг \ У *
* 0 * Х2\ У.
Такое множество У может быть найдено за полиномиальное
время, если имеется полиномиальный алгоритм решения
следующей задачи:
A6) заданы множества векторов X и 5, Т Я X, такие, что
5 п Т = 0, найти множество У, такое, что 5 ^ У Я
Я X \ Ту и такое, что р(У) + р(Х \ У) принимает
наименьшее возможное значение.
Этого достаточно для нахождения У, указанного в A4),
поскольку для всех 5, Т Я X, таких что |5| = 4, \Т\ = 4 и
3 п Хг * 0 * 3 п Х2, ТпХ1*0*ТпХ2 можно проверить
существует ли множество У, такое, что 5 Я У й X \ Г, р(У) +
+ р(Х \ У) ^ р(Х) + 2. Это может быть выполнено путем
повторения алгоритма проверки A6) О(|Х|8) раз.
Полиномиальный алгоритм проверки A6) работает следующим
образом. Пусть 5, Т Я X, 3 п Т = 0, V = X \ E V Т). Пред-
Предположим, что найдено подмножество 7, Я V, такое, что выпол-
выполнены соотношения
A7) рE и I) = рE) + |2|, р(Т V 1) = р(Г) + \1\.
В качестве начального приближения можно взять 2 = 0. Попы-
Попытаемся сделать 1 настолько большим, насколько это возможно.
Для этого построим граф В = (V, Е) следующим образом: для
V € V \ 2 положим
A8) (и, V) € Е в том и только том случае, если
рE V B \ {«}) и {V}) = рE) + \2\;
, и) € Е в том и только том случае, если
р(Г и B \ {«}) и М) = р(Т) * \2\.

Гл. 20. Распознавание полной унимодулярности 465
Кроме указанных в графе й других дуг нет. Таким образом,
й - ориентированный двудольный граф с долями 2 и V \ 2. По-
Положим
A9) V = {V € V \ 2|рE и 2 V и) = р($) + \2\ + 1};
ИР = {V € У \ 2\р(Т V 2 и-и) = р(Г) + |2| + 1}.
Имеет место один из следующих случаев.
Случай 1. В й имеется ориентированный путь, начинающийся
в (У и кончающийся в №. Пусть П - кратчайший из таких путей.
Положим
B0) 2м = 2 Л {V € V | у принадлежит П}
(здесь Л обозначает симметрическую разность). Тогда для 2'
выполнены следующие соотношения:
B1) рEи Г) = рE)
и 2') =
Для проверки того, что рE и 2') = рE) + \2' |, обозна-
обозначим через 1/0, г , у , г., с; ,..., г., о вершины пути П (в
порядке их прохождения), причем р € I/, и. € №. Таким обра-
зом, 2' - B \ {г ,..., г }) и {и0,..., у.}. Так как П -
кратчайший путь, то (V , г.) ^ Е, если / ^ / + 2 и
(г^ у.) « Е, если / ^ I + 1.
Так как и принадлежит ^У, то рE ю 2 V и0) - рE) +
+ \2\ + 1. Следовательно, существует подмножество 5' в
множестве 5, такое, что 57 и 2 V {^0} образуют набор из
рE) + \2\ + 1 линейно независимых столбцов. Выполняя
операции над строками, можно добиться того, что столбцы
множества 5х и 2 и {^0} будут единичными базисными векто-
векторами. Перестановками строк и столбцов и умножением на
ненулевые скаляры, столбцы с номерами из множества 57 и 2 и
и {а0,..., 1^} можно привести к виду:

466 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
B2) 5'
10..
0 . .
* *
а
6 . . .
0 . . .
(
) . . .
0 . . .
0 . . .
0 . . .
(
2\{гу..
. 0 0 . . .
а •
а а
•. о
0 1 0 . . .
. 0 10..
. (
) (
) . .
к 9 * «
1 • 9 ■
1 • •
> «а
1 а
) . . .'
. 0 0...
р
. 0 0...
.00...
* *
) (
к
** * • •
• V 2Х . . . .
. 0 0...
. 0 0...
.00...
а •
6 1 (
) . . .
. 0 10..
: 0 . .
> а • • *
а а а * *
а а
. 0 0...
. 0 0...
а *
) (
•
* ...
\ "о
. 0 0
■
»
. 0 0
. 0 0
. (
■
к
>
) (
)
. 0 0
9
*
■
•
а
■
)
6 1 0
. 0 1
. (
У (
)
1 0 .
0 . .
* «
а
1
0 . .
. . 0
а •
а а 9
.0
. 0 1
о .... о о . .
О О .... 00
Из B2) видно, что столбцы с номерами из 5' и 1' линей-
линейно независимы, что дает первое утверждение из B1). Анало-
Аналогичным образом доказывается и второе утверждение.
Теперь \Ъ* \ = \2\ + 1 и можно повторить итерацию, заме-
заменив 2 на 2;.
Случай 2. В О не существует ориентированного пути из V
в Г.
Положим
B3) У=Зи&йУ\вО существует ориентированный
путь из V в Щ.
Тогда У минимизирует величину р(У) + р(Х \ У) среди всех
таких У, что 3 Я У Я X \ Т (т. е. решает задачу A6)). Это
следует из того, что A7) влечет за собой следующий факт:
для всех Уу таких, что 5 2 У Я X \ Т имеют место соотно-
соотношения
B4) р(У') а: р((У" п 2') и 5) = рE) + |У п 2\,
\ У") 2: р(B \ У) и Т) = р(Г) + \2 \ V |.

Гл. 20. Распознавание полной унимодулярности 467
Отсюда следует, что
B5) р(У') + р(Х \ Г) * \1\ + рE) + р(Г).
Более того, положив V = У, получим в B5) равенство.
Для того чтобы это доказать, предположим, что в B5)
для У = У имеет место строгое неравенство. Тогда одно из
неравенств B4) также является строгим.
Предположим сначала, что р(У) > р((У п 1) и 5). Тогда
в множестве У \ B. и 5) найдется и, такое, что
B6) р((У п г) V 3 V V) = р((У п 1) V 8) + 1 =
= рE) + \У п 1\ + 1.
Более того,
B7) рE и I и у) = рE) + \1\
(так как если рE и 2 и и) - рE) + |2| + 1, то V принад-
принадлежит {] и, следовательно, найдется ориентированный путь из
V в \У\ согласно определению У в B3)).
Из B6) и B7) следует, что рE и B \ и) и ») = рE) +
+ |2| для некоторого ы из 1 \ У. Отсюда видно, что (и, V) -
такая дуга в ^, что у € У н V € У, а это противоречит опре-
определению У в B3).
Совершенно также доказывается, что неравенство
р(Х \ У) > р(B \ У) и Т) приводит к противоречию. Отсюда
следует, что в B5) при У - У имеет место равенство. и
20.3. Проверка полной унимодулярности
Процедуры, приведенные в §20.1, 20.2 используются в ал-
ритме проверки полной унимодулярности, существование кото-
го утверждается в следующей теореме.
Теорема 20.3. Полная унимодулярность заданной матрицы может
быть проверена за полиномиальное время.
Доказательство. Сначала проверяем, что все элементы матрицы
М принадлежат множеству {0, +1, -1}. Затем удаляем из мат-

468 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
рицы М все столбцы и строки, содержащие не более одного
ненулевого элемента, и если две строки (столбца) линейно
зависимы (т. е. либо совпадают, либо отличаются знаком), то
удаляем одну (один) из них. (Полная унимодулярность
инвариантна относительно этих операций.) В результате мы
получим матрицу, в которой каждый столбец и каждая строка
будут содержать по крайней мере два отличных от нуля
элемента, и в матрице не будет линейно зависимых столбцов и
строк.
Затем проверяем является ли М или М матрицей сети или
одной из матриц порядка 5» указанных в D2) § 19.4, или
получается из них перестановкой строк или столбцов или
умножением некоторых строк или столбцов на -1. Согласно
теореме 20.1, это можно сделать за полиномиальное время.
Если один из этих тестов даст положительный результат, то
матрица М вполне унимодулярна. В противном случае с помощью
алгоритма теоремы 20.2 проверяем можно ли М разложить так,
как указано в A3). Если такого разложения не существует,
то по теореме Сеймура (следствие 19.6Ь) матрица М не
является вполне унимодулярной. Если М можно разложить одним
из указанных в A3) способов, то имеет место один из
следующих шести случаев.
Случай 1. гапк (В) = гапк(С) = 0. В этом случае В = 0
и С = 0, и, следовательно, М вполне унимодулярна в том и
только том случае, если А и й вполне унимодулярны.
Случай 2. гапк (В) = 1, гапк (С) = 0. Пусть В = /#,
где I - {0, ±1}-вектор-столбец и § - {0, ±1}-вектор-строка.
Тогда матрица М вполне унимодулярна в том и только том
случае, если матрицы [А (] и
['1
вполне унимодулярны.
Это нетрудно проверить, используя, например, характеризацию
Гуила-Хури (см. (IV) в теореме 19.3).
Случай 3. гапк (В) = 0, гапк (С) = 1. Этот случай анало-
аналогичен случаю 2.
Случай 4. гапк (В) = гапк (С) = 1. Можно предположить,
что разложение вида A3) с гапк {В) + гапк (С) ^ 1 невоз-
невозможно. Перестановками строк или столбцов и умножениями их
на -1 можно добиться того, что разложение матрицы М примет
следующий вид:

Гл. 20. Распознавание полной унимодулярности 469
B8)
М =
А =
Аз\
О 1
0 0
Л Аг
А2 \
0
1
О
0
, где
3
2
4
(т х п )-матрица, а
- (т х п )-матрица,
а 0 и 1 обозначают матрицы соответствующих размеров, состо-
состоящие только из нулей и только из единиц.
Теперь найдем е , ео € {+1, -1}, обладающие следующими
свойствами. Построим двудольный граф С, одну долю которого
составляют строки матрицы Л; а другую - столбцы матрицы Л,
причем строка г смежна столбцу с в том и только том случае,
если на их пересечении в матрице А расположен ненулевой
элемент. Пусть # и К обозначают множества строк и столбцов,
пересекающие А . В графе С должен существовать путь из /? в
/С, ибо в противном случае вершины графа С можно было бы
разбить на два класса V и V так, что /? Я V К ^ V и ни
одно ребро не будет соединять V и V . Отсюда следует, что
матрица М имеет следующий вид:
B9)
М =
0
.
0
0
.
0
0
0
0
• *
0
А
1
0
0
0
1
3
0
0
0
с
причем Л4 = 0. Нетрудно проверить, что разложение матрицы М
получается такое же, как в уже рассмотренных случаях 2 и 3,
которых мы исключили из рассмотрения по предположению.
Пусть ТТ - кратчайший путь из /? в К и б - сумма элемен-
элементов матрицы Л, соответствующих ребрам из ТТ. Поскольку ТТ
имеет нечетную длину, то 5 - нечетно. Положим
C0)
е = +1, если 5 = 1 (тос1 4),
сг ••=■ -1, если 3 = -1 (тос! 4).

470 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
(П - произвольный кратчайший путь, поэтому если А имеет
ненулевой элемент, то можно положить е равным этому
ненулевому элементу.) Значение е определяется по матрице В
аналогичным образом.
Докажем теперь, что матрица М вполне унимодулярна в
том и только том случае, если матрицы
C1)
л2 о о
Аз\
О 1
1 1
О е
е1 °
1 1
О О
1 О
являются вполне унимодулярными.
Доказательство. Пусть матрицы из C1) вполне унимоду-
лярны. Тогда е1 - е , поскольку подматрица первой из матриц
в C1), образованная строками из кратчайшего пути П и
нижней строки и столбцов из П и последнего столбца, имеет
определитель, равный ±(^1е2 - 1). Поскольку матрица вполне
унимодулярна, то отсюда следует, что е = е . Полная унимо-
дулярность М вытекает теперь из характеризации Гуилы-Хури
(см. (IV) в теореме 19.3).
Предположим теперь, что М вполне унимодулярна. Тогда
матрицы
C2)
" А1
Аз
0
А2
\
1
0
1
е2.
1
0
1 О
вполне унимодулярны. Для второй из этих матриц утверждение
можно получить с помощью характеризации Гуилы-Хури из
полной унимодулярности подматрицы матрицы Му образованной
строками из множества П и строками, пересекающими Д а так-
также столбцами из ТТ и столбцами, пересекающими й. Аналогично
доказывается полная унимодулярность второй матрицы из C2).
Унимодулярными также являются матрицы
C3)
А^
3
0
А2
Л
4
1
0
1
0
у
0 1
1 В
О В
О

Гл. 20. Распознавание полной унимодулярности 471
В самом деле, если матрица А. содержит нулевой элемент, то
полная унимодулярность второй из матриц в C3) вытекает
непосредственно из полной унимодулярности матрицы М. Если
матрица А не содержит нулевых элементов, то, как следует
из полной унимодулярности первой из матриц в C2), все ее
элементы равны е . Следовательно, построенный выше двудоль-
двудольный граф С, будет содержать путь П' из /? в /С, не имеющий
ребер, непосредственно соединяющих /? и /С. В противном слу-
случае можно было бы опять разбить вершины графа О на два
класса V и V так, что К й V, К ^ У2 и ни одно ребро, со-
соединяющее V и V, не соединяет Я и К. Это дает разложе-
ние аналогичное разложению в B9), в котором А- - матрица,
состоящая из элементов, равных е2. Отсюда получаем разложе-
разложение матрицы М, такое же, как и в рассмотренных случаях 2 и
3, которые мы исключили из рассмотрения по предположению.
Пусть 1Г - кратчайший путь в графе С, соединяющий /? и К
и не содержащий ребра, соединяющего # и К непосредственно.
Пусть М* - подматрица матрицы М, индуцированная строками,
принадлежащими П', и строками, пересекающими Я, а также
столбцами, принадлежащими П', и столбцами, пересекающими /).
Из полной унимодулярности матрицы М* следует полная
унимодулярность второй матрицы в C3). Аналогичным образом
доказывается полная унимодулярность первой матрицы в C3).
Очевидно, что из полной унимодулярности матриц C2) и
C3) следует полная унимодулярность матриц C1).
Случай 5. гапк (В) = 2 и гапк (С) = 0. Выполняя исклю-
исключение с использованием одного из ненулевых элементов матри-
матрицы В, получаем матрицу М' и ее разложение, как в случае 4.
Поскольку М вполне унимодулярна в том и только том случае,
если матрица М* вполне унимодулярна, то это показывает, что
случай 5 сводится к случаю 4.
Случай 6. гапк (В) = 0 и гапк (С) = 2. Этот случай рас-
рассматривается точно так же, как случай 5.
В каждом из рассмотренных случаев проверка полной унимо-
унимодулярности матрицы М сводилось к проверке матриц меньших
размеров. Это дает рекурсивный алгоритм распознавания пол-
полной унимодулярности. Нетрудно проверить, что время работы
алгоритма полиномиально.

472 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Согласно работе ВххЬу [1982], применение теста декомпо-
декомпозиции Каннингэма и Эдмондса (Сипшпдпат апй Еётопйз [1980])
приводит к тесту разложения, имеющему время работы, равное
О(п + /пL, где тип- число строк и столбцов матрицы.
Блэнд к Эдмондс показали, что теорема Сеймура о
декомпозиции приводит к полиномиальному алгоритму решения
задач линейного программирования с вполне унимодулярными
матрицами. Декомпозиция позволяет свести такие задачи к
задаче с матрицами, транспонированными к матрицам сетей,
т. е. сетевой задаче. Как известно, такие задачи разрешимы
за полиномиальное время (см. § 19.3). В Маиггаз, Тгиетрег
апс! Ак(*и1 [1981] доказано, что задачи линейного програм-
программирования с вполне унимодулярными матрицами разрешимы за
полиномиальное время методом, который является модификацией
метода релаксации (см. § 12.3). Это также очевидным образом
вытекает из метода Хачияна (гл. 13).
Замечания к гл. 20. Другие методы проверки полной
унимодулярности приведены в Тгиетрег [1982]. В Ваг1Ьо1с!1
[1981-1982] показано, что задача отыскания наибольшей впол-
вполне унимодулярной подматрицы в заданной матрице является
#Р-полной.
21
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ТЕОРИЯ, ОТНОСЯЩАЯСЯ
К ПОЛНОЙ УНИМОДУЛЯРНОСТИ
В этой главе излагаются дополнительные результаты, связан -
ные с полной унимодулярностью, и некоторые смежные вопросы.
В § 21.1 и 21.2 унимодулярность рассматривается с точки
зрения теории матроидов, обсуждается понятие регулярного
матроида и связанное с ним понятие цепной группы. В этих
терминах формулируются фундаментальные результаты Татта и
Сеймура.
В §21.3 доказывается результат Хеллера о том, что впол-
вполне унимодулярная матрица с гп строками может иметь не более
пг + ш + 1 различных столбцов.

Гл. 21. Теория, относящаяся к полной унимодулярности 473
В § 21.4 и 21.5 рассматриваются два обобщения вполне
унимодулярных матриц: унимодулярные матрицы и уравнове-
уравновешенные матрицы, имеющие приложения в целочисленном линейном
программировании.
21.1. Регулярные матроиды и присвоение знаков элементам
{О, 1}-матриц
Полная унимодулярность изучалась (в частности, в рабо-
работе ТиНе [1958]) также в терминах регулярных матро-
идов и цепных групп. Здесь будут изложены некоторые ре-
результаты, полученные в этом направлении (см. также Ше1зп
[1976, рр. 173-176]).
Пара E, Р), состоящая из конечного множества 5 и непус-
непустого семейства Р его подмножеств, называется матроидом, в
том случае, когда выполнены следующие условия:
A) A) если Т € Р и V Я 7\ то V € Р\
(И) если 7\ V € Р и |Г| < |{/|, то Т V {и} € Р для
некоторого и € V \ Т.
Множества из Р называются независимыми множествами матро-
ида.
Мы ограничимся рассмотрением линейных матроидов. Пара
E, Р) называется линейным матроидом (представленным над
полем 1Р), если множеству 5 можно сопоставить множество
столбцов матрицы А над 1Р так, чтобы множество Т й 8 входило
в Р тогда и только тогда, когда отвечающие Т столбцы
линейно независимы. Нетрудно показать, что такая конструк-
конструкция всегда порождает матроид. Матрица А называется пред-
представлением C, Р).
Ясно, что линейный матроид имеет представление вида
[/ В], где / - единичная матрица. Если В' получается из В
серией ведущих операций, то [/ В] и [/ В'] представляют
изоморфные матроиды, поскольку [/ В7] может быть получена
из [/ В] после соответствующего масштабирования строк или
столбцов, сложения строк и перестановки столбцов.

474 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Линейный матроид, имеющий вполне унимодулярное представ-
представление А, называется регулярным матроидом. Линейный матроид
называется бинарным матроидом, если его можно представить
над ОРB) (т. е. над полем из двух элементов {0, 1}).
Легко показать, что каждый регулярный матроид является
бинарным: пусть регулярный матроид представлен вполне
унимодулярной матрицей А и матрица А' получена из А заменой
всех -1 на +1. Подматрица А является невырожденной над О
тогда и только тогда, когда соответствующая подматрица А'
будет невырожденной над СРB). Таким образом, А' дает
представление регулярного матроида над 6РB).
Обратно, определим приписывание знаков элементам {0, 1}-
матриц как замену в них некоторых +1 на -1. Нетрудно ви-
видеть, что для всякой {0, 1}-матрицы В имеем:
B) бинарный матроид, представленный [/ В] является
регулярным тогда и только тогда, когда существует
такое присвоение знаков В, которое превращает ее
во вполне унимодулярную матрицу.
Следующий пример матриц над 6РB) показывает, что не
всякий бинарный матроид является регулярным
C)
10 0 110 1
0 0 10 111
0101011 0100101
и1У1У11' 0010011
Г 1 0 0 0 1 1 0
0 0 0 1111
Два этих матроида называются соответственно матроидом
Фано и двойственным матроидом Фано.
Татт (ТиНе [1958]) получил глубокую характеризацию ре-
регулярных матроидов. Для изложения его результатов нам
потребуется понятие минора. Пусть М = E, Р) - представлен-
представленный некоторой матрицей линейный матроид, а 5 и 5» - непе-
ресекающиеся подмножества 5. Определим семейство
D) Р:= {5' 2 5 \ EХ и 52)|столбцы, отвечающие 5',
линейно независимы по модулю Пп.пиИE )}.

Гл. 21. Теория, относящаяся к полной унимодулярности 475
[Множество векторов V линейно независимо по модулю линейно-
линейного пространства /., если V и В линейно независимо для неко-
некоторого базиса В пространства Ь (и, следовательно, для всех
базисов V).] Просто проверяется, что пара E' 2 5 \ EХ и
V $2)у Г) задает линейный матроид, который называется мино-
минором E, Р), полученным сжатием по $х и удалением 52. Любой
минор регулярного (бинарного) матроида будет опять регуляр-
регулярным (бинарным) матроидом. Поэтому регулярные матроиды не
могут иметь в качестве минора матроид Фано или ему двойст-
двойственный (см. C)). Татт доказал, что именно это свойство
выделяет регулярные матроиды среди бинарных.
Теорема 21.1 (характеризация регулярных матроидов Татта).
Бинарный матроид регулярен тогда и только тогда, когда в
нем нет минора, изоморфного матроиду Фано или двойственного
ему.
Доказательство можно также найти в работах Зеутоиг
[1980], Тшетрег [1978Ъ]. Обобщение содержится в В1хЬу
[1976].
Можно показать, что следующий результат эквивалентен
теореме Татта (см. Ти11е [1958, 1965, 1971], Тгиетрег
[1978Ц).
Следствие 21.2а. Присвоение знаков, превращающее {0, 1}-
матрицу В во вполне унимодулярную, существует тогда и
только тогда, когда В нельзя преобразовать в одну из сле-
следующих матриц:
E)
110 1
10 11
0 111
и
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
Г 1
5. 'V
используя перестановки, удаления строк и столбцов, ведущие
1 с
операции над полем 0РB) (т. е. замену матрицы , на
т I Ь О
с удалением знаков минус).
Ъ й - Ьс \
Доказательство эквивалентности следствия 21.1а и теоре-
теоремы 21.1. По C) достаточно показать, что для любой {0, 1}~
матрицы В

476 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
F) представленный матрицей [/ В] бинарный матроид не
имеет минора, изоморфного матроиду Фано или ему
двойственному, тогда и только тогда, когда В нель-
нельзя преобразовать в одну из матриц E) описанными
в следствии 21.1а операциями.
Сначала предположим, что В может быть преобразована в
одну из матриц E). Поскольку удаление столбца В отвечает
удалению соответствующего элемента матроида Му а удаление
/-й строки В соответствует сжатию по /тму элементу-столбцу
в представлении [/ В] матроида М и так как матроид не
изменяется при ведущих операциях над В (кроме изменения по-
порядка элементов в его матричном представлении), то тогда М
должен иметь минор, изоморфный матроиду Фано или ему двои -
ственному.
Обратно, предположим, что матроид М ~ E, Г) имеет
минор, изоморфный матроиду Фано или ему двойственному. Рас-
Рассмотрим минор, порожденный сжатием по 5 и удалением
по 5 . Учитывая определение D), можно считать, что
отвечающие 5 столбцы линейно независимы и Нп.Ьи11E) -
= Нп.ЬиП E \ 5 ). Тогда можно провести такие ведущие
операции, чтобы множеству 5 отвечали в представлении
[/ В] некоторые столбцы единичной матрицы /, а 5 - ,неко-
торые столбцы матрицы В. Отсюда вытекает, что сжатие по 5
и удаление 5 порождает двоичный матроид, представленный
матрицей [/ В'], здесь В' получается из В удалением отве-
отвечающих 59 столбцов и соответствующих 5 строк (используя
естественное соответствие между столбцами / и стороками В).
Таким образом, двоичный матроид [/ В'] либо изоморфен
матроиду Фано, либо ему двойственному и порядок / равен 3
или 4, а порядок В' -3x4 или 4x3. Теперь конечная про-
проверка показывает, что В' должна совпадать (с точностью до
перестановок строк и столбцов) с одной из матриц E). П
Камьон (Сагшоп [1963Ь]) показал, что
G) с точностью до умножения строк и столбцов на -1
существует лишь одно присвоение знаков, превращаю-
превращающее {О, 1}-матрицу во вполне унимодулярную.

Гл. 21. Теория, относящаяся к полной унимодулярности 477
Доказательство. Построим по {0, 1}-матрице В двудольный
граф С, вершинами которого являются строки и столбцы В,
причем строка г и столбец с смежны тогда и только тогда,
когда они пересекаются по 1. Обозначим через Т максимальный
лес в С, а через В' - получаемую присвоением знаков В впол-
вполне унимодулярную матрицу. Используя умножение строк и
столбцов В' на -1» можно считать, что в матрице на отвечаю-
отвечающих Т местах стоят 1 (если строка г (столбец с) является
висячей вершиной 7\ инцидентной ребру леса еу то по индук-
индукции можно умножить строки и столбцы В' на -1, чтобы на
соответствующих Т/ е местах стояли 1). Теперь при необхо-
необходимости можно умножить строку г (столбец с) на -1 и полу-
получить 1 в позиции е.
Результат Камьона является следствием делимости на 4
суммы элементов В'? соответствующих произвольному циклу без
хорд С в графе О (последнее свойство вытекает из полной
унимодулярности В'). Упорядочим не входящие в Т ребра
е ,..., е^ графа О таким образом, чтобы при / > / цикл в
подграфе Т V е. имел большую длину, чем цикл в подграфе
Т V е.. Тогда для всех /' хордами цикла в подграфе Т V е.
являются ребра е. с / < /. Следовательно, е принадлежит
циклу без хорд С с ребрами из множества Т и {е ..,в.}.
Поэтому, если однозначно определен знак элементов В', отве-
отвечающих в ,..., е,г, то по индукции это верно и для е.,
откуда и вытекает требуемый результат. а
Приведенное доказательство неявно содержит полиноми-
полиномиальный алгоритм приписывания знаков элементам {0, 1}-матри -
цы В и трансформации ее в {0, ±1}-матрицу В', являющуюся
вполне унимодулярной в том и только том случае, когда су-
существует заряд матрицы В, превращающий ее во вполне унимо-
унимодулярную. Добавив алгоритм из гл. 20, получаем полиноми -
альный тест, проверяющий существование заряда, превращаю-
превращающего {0, 1}-матрицу во вполне унимодулярную. Более того,
отсюда вытекает и полиномиальная проверка регулярности
бинарного матроида, представленного С/гB)-матрицей.
Замечание. В работе Роп1ир1 апё Касо [1984] построен поли-
полиномиальный, использующий ведущие операции и умножение строк

478 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
и столбцов на -1 алгоритм преобразования произвольной впол-
вполне унимодулярной матрицы в {0, 1}-матрицу.
21.2. Цепные группы
С теорией регулярных матроидов связана разработанная Таттом
теория регулярных цепных групп (Ти11е [1947, 1956, 1965],
см. также Сагшоп [1968]).
Цепной группой называется подгруппа аддитивной группы
1п, т. е. подрешетка 1п. Цепная группа С называется регу-
регулярной, если для любого х € С существуют такие {0, ±1}-
векторы *,,..., х , что х = *,,..., х и носители х.
1 Ш 1Ш 1
содержатся в носителе х.
Таттом была доказана
Теорема 21.2. Пусть А - целочисленная матрица, М:= [/ А] и
цепная группа С задается условием {х\Мх = О, х целочисле-
нен). Тогда полная унимодулярность А эквивалентна регуляр-
регулярности С.
Доказательство. Предположим сначала, что С регулярна. Мы
должны показать, что детерминант каждого базиса В матрицы М
равен ±1. Пусть Вх' = е для некоторого орта еу нам доста-
достаточно показать, что при любом наборе е вектор х' - целочис-
целочисленный. Это тривиально, если е входит в число столбцов В.
В противном случае для некоторого вектора х> полученного
из х' приписыванием -1 в соответствующую е позицию и ну-
нулей - во все остальные, не входящие в В позиции, выполня-
выполняется система Мх = 0. Найдем такой множитель д # 0, что век-
вектор х" = 11х целочисленен. Тогда х" € С и для некоторых не -
нулевых {0, ±1}-векторов х ,..., х из С, имеющих нулевые
компоненты на месте нулевых компонент ху выполняется равен -
ство х" = х,...,х. Из невырожденности В вытекает, что
каждый вектор х. является кратным х", а следовательно, х =
= х и х - целочисленный.
Обратно, предположим, что матрица А - вполне унимодуляр-
т
ная. Как обычно, для любого вектора х = (?1,.... €п) обо-
обозначим через 11x11^:= тах{ |^а |,..., |?п|}- Мы покажем ин-
индукцией по 1Ы1т, что приведенная сумма х принадлежит С.
Предположим, что 11*11 > 0 (случай 11*11 = 0 тривиален). По-
(Ар (Ар

Гл. 21. Теория, относящаяся к полной унимодулярности 479
ложим а:= НяН^1 ' х, и пусть Р:- {у\Му - 0; [а] ^ у з [а*]}.
Я содержит целочисленный вектор, скажем х , так как а € Р и
матрица М - вполне унимодулярная. Поскольку II аII = 1, то х
должен быть {0, ±1)-вектором. Более того, если" ' какие-то
координаты х равны нулю или ±11x11 , то эти же координа-
координаты х равны соответственно нулю или ±1. Следовательно,
\\х ~ х\\ф < \\х\\^. Но х - х € С и по индуктивному пред-
предположению для некоторых входящих в С {0, ±1}-векторов
х ,..., х с носителями, принадлежащими носителю . .вектора
с» ГО
х - х верно доказывающее теорему равенство х - х. =
= Х- + • ' • + X . • П
2 т
На самом деле, нами доказано нечто большее: если С -
регулярная цепная группа и х € С, то имеет место разложение
х - х + - • • + х по таким принадлежащим С {0, ±1}-векторам
х., что если какая-то компонента х1 положительна (отрица-
(отрицательна), то и соответствующая компонента х также положи -
тельна (отрицательна). Отсюда непосредственно вытекает сле-
следующее утверждение. Пусть й:= [/ -/ А -А] и К - конус:
(8) К:= {х\х * 0; Ох = 0}.
Тогда матрица А является вполне унимодулярной в том и
только в том случае, если каждый целочисленный вектор. К
можно представить в виде целочисленной комбинации с неот-
неотрицательными коэффициентами {0, 1}-векторов из /С* Последнее
эквивалентно тому, что конус К порожден содержащимися в немг
{0, 1}- векторами. Таким образом, матрица А - вполне
унимодулярная тогда и только тогда, когда двойственный
у
* т
нус К = {ю \гюх ^ 0 для всех х € К} удовлетворяет условию:, .
* т
(9) К = {и» \шх ^ 0 для каждого {0, 1}-вектора х,
удовлетворяющего Ох =
Поскольку из леммы Фаркаша (следствие 7.1) следует, что
A0) К* = {шт\тх 5 0 для всех х * 0 с Ох = 0} =
: уО * г

480 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
то мы приходим к следующему результату Хоффмана (НоНтап
[1976]).
Теорема 21.3. Целочисленная матрица А вполне унимодулярна
тогда и только тогда, когда для любого вектора ш равносиль-
равносильны утверждения:
(\) существует такой вектор у, что уй ^ ш;
(И) тих ^ 0 для каждого {0, \}~вектора х,
удовлетворяющего Эх = 0},
где матрица п: = [I -I А -А].
Доказательство. См. выше. О
(Отметим, что из леммы Фаркаша вытекает эквивалнтность
утверждений (\) и (п) для любой матрицы, если в (и)
вектор х пробегает все неотрицательные векторы с Вх - 0.)
Можно сформулировать результат Хоффмана иначе.
Следствие 21.3а. Целочисленная матрица А вполне
унимодулярна тогда и только тогда, когда для любых векторов
а, Ь, с, й равносильны утверждения:
(\) политоп {х\с ^ х ^ й\ а ^ Ах 5 Щ непуст,
(П) а ^ Ь, с 5 й и для всех {0, \}-векторов и, V с
иА - V справедливо
-3
[Здесь компоненты векторов а, 6, с, а* обозначены соответ-
соответственно через а , C , % , б .]
Доказательство. Применим теорему 21.3 к матрице А . и
Приложение 21.1. Последний результат следующим образом
применяется к ориентированным графам. Пусть /) = (У, А) -
ориентированный граф и М является (V х Л)-матрицей
инциденций. Тогда М - вполне унимодулярная (§ 19.3) и из
следствия 21.3а вытекает, что полиэдр {х\а* ^ х ^ с\ Мх = 0}
непуст в том и только в том случае, если й ^ с и для любых
векторов V € {0, ±1}у и о> € {0, ±1}А, связанных соотношени-
соотношением ьМ = о>, справедливо неравенство

Гл. 21. Теория, относящаяся к полной унимодулярности 481
A2) 2 й{а) * Е с(а).
а€А а€А
Это утверждение эквивалентно теореме Хоффмана о циркуляции
(НоНгпап [1960]) (циркуляция определялась в § 1.4): в
орграфе й существует ограниченная заданными верхними и
нижними границами с и й циркуляция тогда и только тогда,
когда й ^ с и для каждого подмножества II с V выполняется
неравенство
A3) Е *(а) * Г с(а),
а€б (Ш абеГШ)
где, как обычно, через 5+({У) и б~(^7) обозначено соответст-
соответственно множество ребер, выходящих из V и входящих в Ц.
С теоремой 21.2 Связан следующий результат (СейегЬаит
[1958]): (т х п)-матрица А (пг ^ п) является вполне унимо-
дулярной тогда и только тогда, когда, приравнивая нулю
п - 1 переменных из множества (ТК,..., Т) , €«•••*»€}•
1 ГО ^1 *Ц1
система уравнений у = Ах имеет решение у = (т/1,..., т/т) ,
^ = (€1»--» ? )Т * 0 в классе {0, +1}-ве/сгор0в. (Достаточ-
(Достаточность здесь вытекает из доказательства теоремы 21.2, а
необходимость следует из самой теоремы 21.2.)
21.3. Верхняя граница Хеллера
Если содержащая пг строк матрица М имеет в качестве столбцов
всевозможные {0, ±1}-векторы, имеющие не более одной +1 и
не более одной -1, то М - вполне унимодулярная и содержит
пг + пг + 1 различных столбцов. В работе НеПег [1957]
показано, что этот случай экстремальный.
Мы приведем доказательство, предложенное в статье В1хЬу
апс1 Сиптпдпат [1984]. Доказательство следующей предло-
предложенной в работе Заиег [1972] комбинаторной леммы будет
изложено по книге Ьоуазг [1979Ь, РгоЫет 13.10 (с)].
Лемма. Пусть тик- натуральные числа, а X - пг-элементное
множество. Если ЕЯ Р(Х) и выполняется неравенство

482 Часть 4; Целочисленное линейное программирование
A4)
пг
О
т
1
т
к - 1
пг
к
то в X имеется такое подмножество У мощности \У\ = к + 1,
что {Е п У\Е € Е} - Р(У).
Доказательство. Применим индукцию по пг. Случай пг = 0 триви-
тривиален. Пусть пг ^ 1 и множество е 5 Р(х) удовлетворяет A4).
Выберем произвольный элемент х0 € X. Определим подмножест-
подмножества:
A5)
Ясно, что }Е| = |Е7 | + [Е7/| и A4) приводит к альтернати
ве
Е': = {Е с X \ {х0} | Е € Е или Е V {х0} € Е},
Е": = {Е Я X \ {х0} | Е е Е и Е V {*0} € Е}.
A6)
0) либо |Е'
• • * +
(и) либо |Е"| >
пг
пг
—
0
пг
к
0
пг
к
1
- 1
_ \
1
- 1
- 1
*
пг -
1
пг
+
пг -
1
1
— 1
к
1
Если выполняется (л), то из индуктивного предположения
вытекает, что множество X \ {х } имеет такое подмножество У
мощности \У\ = к + 1Т что {Е п У\Е е Е7} = Р(У), т. е. по
определению A5) {Е п У\Е е Е} = Р(У).
1 'Если выполняется (И), то из индуктивного предположения
вытекает, что множество X \ {х } имеет такое подмножество У
мощности \У\ = к, что {Е п У\Е € Е'7} - Р(У). Следовательно,
если5 положить У':= У и {^0}, то \У \ = к + 1 и из A5)
имеем {Е л У \Е € Е"} = Р(У).
Теорема 21.4. Если М - вполне унимодулярная, не имеющая
дв$% одинаковых столбцов {пг х п)-матрица, то п ^ пг + т + 1.
Доказательство. Предположим, что л > т + т + 1. Можно счи-
считать, что один столбец М - нулевой (иначе его можно доба-
добавить к М). Пусть X:- {!,..., ш}, и определим семейство

A7)
Гл. 21. Теория, относящаяся к полной унимодулярности 483
Е:= множество носителей столбцов М.
Поскольку все столбцы различны, то каждое множество Е € Е
является носителем не более двух столбцов М. И конечно,
единственным столбцом, имеющим нулевой носитель, является
нулевой столбец. Поэтому
A8)
|Е| г кп - 1) + 1 > Ыт2 + т) + 1 =
т
0
т
1
т
2
Следовательно, по лемме множество X имеет подмножество У,
такое, что |У| = 3 и {Е п У\Е € Е} = Р(У), что эквивалентно
наличию в матрице М подматрицы вида (с точностью до
подходящих перестановок строк или столбцов):
A9)
О ±1 0 0 ±1 ±1 0 ±1
О 0+1 0 ±1 0 ±1 ±1
0 0 0 ±1 0+1 ±1 ±1
Но легко видеть, что матрица A9) не вполне унимодулярная.
Дополнительное исследование экстремальных случаев в
лемме и теореме показывают, что при п = т + т + 1 матрица
М - сетевая.
21.4. Дополнительные сведения об унимодулярных матрицах
В § 4.3 мы назвали невырожденную целочисленную матрицу с
детерминантом ±1 унимодулярнои. В § 19.3 это определение
было распространено на целочисленные матрицы полного строч-
строчного ранга, имеющие, скажем, т строк, каждый базис (т. е.
невырожденная подматрица порядка т) которых имеет детер-
детерминант ±1. Приведем дальнейшее обобщение (не противоречащее
предыдущим определениям). Матрица А ранга г называется уни-
модулярнойу если она - целочисленная и в любой ее подмат-
подматрице Б, состоящей из г линейно независимых столбцов, НОД
всех миноров порядка г равен 1. Из определения легко
вытекает, что любая столбцовая подматрица унимодулярнои
матрицы снова является унимодулярнои.

484 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Унимодулярные матрицы изучались в работе НоНтап апё
Кгизка1 [1956], где доказана следующая теорема (ср. со
следствием 4.1с):
Теорема 21.5. Для целочисленной матрицы А следующие
утверждения равносильны:
{\) матрица А унимодулярна\
(п) полиэдр {х\х * 0; Ах - Ь) является целочисленным
при любом целочисленном векторе Ь\
(ш) полиэдр {у\уА ^ с} является целочисленным при лю-
любом целочисленном векторе с.
Доказательство. (\) —> (п). Пусть Ь - целочисленный век-
вектор» *0 ~ вершина полиэдра {х\х ± 0; Ах = Ь}, а В - столб-
столбцовая подматрица А, соответствующая ненулевым компонентам
х . В имеет полный столбцовый ранг, поскольку х0 - вершина.
Обозначим через х ненулевую часть вектора х . Тогда Вх0 -
Ь, и из следствия 4.1с (примененного к матрице Вт) выте-
вытекает, что вектор хо> а следовательно, и вектор х - цело-
целочисленные.
A) —> (ш). Пусть с - целочисленный вектор и Р -
минимальная грань полиэдра {у\уА ^ с). Тогда по теореме 8.4
в матрице А существует такая состоящая из линейно
независимых строк А подматрица В, что верно представление
B0) Р = {у\уА = Ъ)у
где через с обозначен вектор соответствующих В компонент с.
Следовательно, из (примененного к матрице В ) следствия
4.1с вытекает, что грань Р содержит целочисленный вектор.
(и) ~~> A) и (Ш) —> A). Предположим, что матрица А
не является унимодулярной. Обозначим через В такую
состоящую из г (:= гапк А) линейно независимых столбцов А
подматрицу матрицы Ау что НОД миноров В порядка г равен к €
е М, к > 1. Из следствия 4.1с вытекает существование таких
нецелочисленного вектора * и целочисленного вектора с, что
B1) вектор Ь:= Вх0 - целочисленный и
система уВ = с не имеет целочисленного решения у.

Гл. 21. Теория, относящаяся к полной унимодулярности 485
Поскольку прибавление целых чисел к компонентам вектора х
оставляет его нецелочисленным, а вектор Вх - целочислен -
ным, то х можно считать неотрицательным. Дополняя я
нулевыми компонентами, получаем целочисленную вершину
полиэдра {х\х ^ 0; Ах = Ь}у что противоречит (П).
Пусть вектор у0 удовлетворяет системе у В = с (такой
вектор всегда существует, поскольку В имеет полный столб-
столбцовый ранг). Обозначим через Р полиэдр
B2) />:= [у\уА г
(здесь через [^ обозначена покомпонентная целая часть
вектора). Тогда множество
B3) Р:= {у е Р\уВ = с}
является не содержащей целочисленных векторов гранью Р
(непустой, так как у € Г), что противоречит (ш). □
Итак, если матрица А - целочисленная, то многогранник
{*|А*; ^ Ь) тогда и только тогда целочисленный, когда матри-
ца А - унимодулярная. Аналогично имеем
т
Следствие 21.5а. Если А - целочисленная матрица, то А
является унимодулярной тогда и только тогда, когда
экстремумы в обеих частях соотношения двойственности
линейного программирования
B4) тах{сх\Ах ^ Ь} = т\п {уЬ\у ^ 0; уА = с}
достигаются при любых целочисленных векторах Ь> с на
целочисленных векторах х и у.
Доказательство. Примените теорему 21.5 к матрице А . П
В работе Тгиетрег [1978а] приведена следующая
характеризация унимодулярных матриц. Базисом матрицы А
ранга г называется ее подматрица, состоящая из г линейно
независимых строк А.
Теорема 21.6. Для целочисленной матрицы А следующие
утверждения эквивалентны:
(\) матрица А - унимодулярная;
(и) существует такой унимодулярный базис В матрицы Л,
что вполне унимодулярной является (единственная)

486 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
матрица С, удовлетворяющая равенству ВС = А;
(ш) произвольный базис В матрицы А является унимоду-
лярным и вполне унимодулярной является (единствен-
(единственная) матрица С, удовлетворяющая равенству ВС = А.
Доказательство. Следствием каждого из утверждений A), (п)
и (ш) является существование у Л по крайней мере одного
унимодулярного базиса. Поскольку A), (и) и (ш) инвари-
инвариантны при элементарных строчных операциях (включающих пере-
перестановку строк, умножение строк на -1, вычитание целых
кратных одной строки из другой), то можно считать матрицу
Вт приведенной к нормальной эрмитовой форме (см. теорему
4.1). Тогда Вт - [/ 0], так как НОД максимальных миноров
В равен ±1. Тогда после соответствующей перестановки
столбцов имеем:
B5) А =
0 0
Теперь равносильность утверждений ({), (и) и (Ш) легко
вытекает из теоремы 19.5. о
Подобно указанному в доказательстве способу, можно,
используя элементарные строчные операции, свести и другие
связанные с унимодулярностью задачи к соответствующим
задачам в терминах полной унимодулярности. Например,
покажем, что унимодулярность целочисленной матрицы А можно
проверить за полиномиальное время. Сначала найдем какой-ни-
какой-нибудь базис В матрицы А (например, с помощью метода
исключений Гаусса - см. § 3.3); затем проверим, является ли
т
матрица В вполне унимодулярной (для этого нужно привести В
к нормальной эрмитовой форме, которая должна иметь вид -
см. §5.3 - [/ 0]); затем найдем невырожденную унимодуляр-
ную матрицу, удовлетворяющую равенству [/ 0] = В V (см.
§ 5.3). Наконец, матрица А является унимодулярной тогда и
т
только тогда, когда матрица V А - вполне унимодулярная (что
можно проверить за полиномиальное время - теорема 20.3).
В работе ТЛлетрег [1978а] аналогично получены другие ха-
рактеризации унимодулярности в терминах полной унимоду-
ляр^ности.

Гл. 21. Теория, относящаяся к полной унимодулярности 487
Локальная унимодулярность. Следующее понятие было введено в
работах НоИтап апс! ОррепЬе1т [1978], Тгиетрег апс1
СпаЫгазекагап [1978] (см. также НоНгпап [1979Ь]). Пара
(Л, Ь), где А - целочисленная матрица и Ь - целочисленный
вектор, называется локально унимодулярной, если унимодуляр-
на каждая имеющая полный столбцовый ранг столбцовая подмат-
подматрица В матрицы Ау для которой система Вх = Ь имеет положи -
тельное решение. Пара (Л, Ь) называется локально сильно
унимодулярной, если указанная матрица В содержит
невырожденную подматрицу того же ранга, что иве
детерминантом ±1, и она называется локально тотально
унимодулярной, если матрица В вполне унимодулярна. Таким
образом, верны следующие импликации: локальная тотальная
унимодулярность —» локальная сильная унимодулярность —>
локальная унимодулярность. Ясно, что целочисленная матрица
А - унимодулярная тогда и только тогда, когда для любого
целочисленного вектора Ь пара (А, Ь) - локально унимодуляр-
унимодулярная.
Аналогично доказательству теоремы 21.5 можно показать,
что если пара (А, Ь) локально унимодулярная, то для любого
целочисленного вектора с задача
B6) тах{сх|* 2: 0; Ах * Ь)
имеет целочисленное оптимальное решение. При этом
двойственная задача пнп {уЬ\у ^ 0; уА ^ с} не обязательно
имеет целочисленное оптимальное решение, что показывает
пример:
B7)
1
0
0
0
1
0
1
0
2
0
1
-2
, *>:=
' 1 "
1
0
. к- A,
1,
2,
0)
21.5. Уравновешенные матрицы
Другое семейство, связанное с понятием полной унимодуляр
ности, образуют введенные Бержем (Вег^е [1969, 1970]) урав
новешенные матрицы.

488 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
{О, 1}-матрица М называется уравновешенной, если она не
содержит квадратную подматрицу нечетного порядка, содержа-
содержащую в каждых строке и столбце ровно две единицы, т. е. не
имеющую (после возможной перестановки строк и столбцов)
подматрицы нечетного порядка вида
B8)
1
0
»
6
1
1
1
0
0 .
1 .
* *
ф
ф
. . . 0
« ♦ ♦
■
а *
ф ф
■ ф
ф • •
ф ф
0
0
*
■
•6
1
1
Из определения вытекает, что множество уравновешенных
матриц замкнуто относительно операций выделения подматриц,
транспонирования, перестановки строк и столбцов.
Поскольку определитель матрицы B8) равен 2, то вполне
унимодулярные {0, 1}-матрицы - уравновешенные. Следующий
пример уравновешенной матрицы с определителем -2 показы-
показывает, что обратное неверно:
B9)
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
В работах Вег^е апс! Ьаз Уег^паз [1970], Вег^е [1972],
Ри1кегзоп, НоНтап аш! Орреппе1т [1974] приведено описание
уравновешенных матриц с точки зрения оптимизации, из
которого вытекает, что для уравновешенной матрицы М обе
программы в соотношении двойственности линейного программи-
программирования
C0)
тах{сх\х 2: 0; Мх * Ь} = т\п {уЬ\у * 0; уМ * с}
имеют целочисленные оптимальные решения, если Ь и с - цело-
целочисленные векторы и по крайней мере один из них имеет все
единичные компоненты. Это свойство более или менее выделяет
уравновешенные матрицы. Сначала мы приведем результат из
работы Рц1кег5оп, НоНтап апс! Орреппе1т [1974].

Гл. 21. Теория, относящаяся к полной унимодулярности 489
Теорема 21.7. Если М - уравновешенная матрица, то полиэдр
C1)
Р: = {х\х 2: 0; Мх = 1}
является целочисленным.
Доказательство. Рассмотрим уравновешенную (пг х гс)-матрицу
М. Докажем теорему индукцией по пг. Можно считать, что Р
содержит лишь один имеющий положительные компоненты вектор
х (поскольку каждая грань Р может быть получена, если
приравнять к нулю некоторые координаты, и потому имеет
структуру политопа C1)).
Для того чтобы показать, что Р содержит {0, 1}-вектор
(с необходимостью совпадающий с х), нужно найти такие
столбцы а1?..., а матрицы М, что справедливо равенство
а + ... + а = 1 (напомним, что через 1 обозначен вектор,
все компоненты которого - единицы). Допустим, что найдены
столбцы а1>..., а^ матрицы М, удовлетворяющие соотношениям
C2)
+ а
1 и
к:= 1т(а + • • • + а )
- максимально возможное.
Если к = пг, то все доказано, так что предположим, что
к < т. Можно считать, что столбцы а ,..., а составляют
первые ( столбцов матрицы М, имеющей следующий вид:
C3)
1 0 ..
1 0
0 1
1
0
0
0
0
0
1
► к
0 0 ...0 1
0
о

490 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Поскольку Мх = 1, то существуют такие индексы I и / ,
что / > к> / > / и М л т = 1. Обозначим через М под-
матрицу матрицы М, состоящую из ее первых к строк. Тогда
М х = 1 и, следовательно, по предположению индукции вектор
х является выпуклой комбинацией {0, 1}-векторов г, удовлет-
удовлетворяющих равенству М г = 1. Из положительности х вытекает,
т
что для некоторого {0, 1}-вектора у = (т) ,..., Т)^) с
У) т = 1 выполняется равенство М у = 1.
Положим У\= {1,..., /} и {/|тк = 1}. Пусть Е - множество
таких пар {/, /'} элементов V, что / * /' и некоторая стро-
строка М имеет 1 в позициях / и /'. Тогда граф О = (У, Е) -
двудольный с цветными классами {1,..., /} и {/ > ^|Т7 = 1}.
Обозначим через С множество вершин компоненты С, содержащей
.*
/ . Верно утверждение:
C4) для / > к 1-я строка М имеет не более одной
единицы в соответствующих позициях С.
Ибо предположим противное, что строка с номером / > к
имеет более чем одну 1 в позициях, отвечающих С, скажем
М = М. ./ = 1. Обозначим через П кратчайший путь в С
о3 1о3
между вершинами /' и /'. Тогда минор М, образованный пере-
пересечением столбцов М со столбцовыми индексами элементов из П
и строк М, соответствующих ребрам П и строкам / , является
матрицей вида B8), что противоречит уравновешенности М.
Из утверждения C4) непосредственно вытекает, что для
множества столбцов Ь.,..., Ь матрицы М, где {1,..., 5} =
= {1,..., 1}&С (здесь через Д обозначена симметрическая
разность), верно неравенство Ь + ... + Ь ^ 1. Более того,
т т
1 (Ь + ... + Ь ) > 1 (а + ... + а ), поскольку существует
такой индекс / € С \ {1,..., /}, что М т т = 1, а это про-
тиворечит нашему выбору а ,..., а (см. C2)). □
Теорема 21.8. Для {0, 1}-матрицы М следующие утверждения
эквивалентны:
(\) матрица М - уравновешенная',
(и) для любых {0, \}-вектора Ь и целочисленного векто-
вектора с обе программы в соотношении двойственности
линейного программирования

Гл. 21. Теория, относящаяся к полной унимодулярности 491
C5) т\п{сх\х * 0; Мх * Ь) = тьх{уЬ\у > 0; уМ * с}
имеют (если оптимумы конечны) целочисленные
оптимальные решения;
(ш) для любых {0, оо}~вектора Ь и целочисленного векто-
вектора с обе программы в соотношении двойственности
линейного программирования
C6) тах{сх\х ± 0; Мх * Ь) = т\п {уЬ\у * 0\ уМ * с}
имеют (если оптимумы конечны) целочисленные
оптимальные решения.
[Если в формуле C6) компонента вектора Ь равна со, то соот-
соответствующее ограничение выбрасывается из системы Мх ^ Ь, а
соответствующая компонента вектора у полагается равной 0.]
Доказательство. I. Импликации (п) —> A) и A11) —> (I)
очевидны. Предположим, что М содержит подматрицу М' вида
B8), скажем, порядка 2/е + 1. Обозначим через Ь {0, 1}-век-
тор, номера единичных компонент которого в точности
совпадают с номерами столбцов М' в М. Аналогично, обозначим
через с {1, 2к + 2}-вектор, номера единичных компонент
которого в точности совпадают с номерами столбцов М' в М. В
этом случае легко видеть, чго программы в C5) не имеют
целочисленных оптимальных решений, так как оптимум в C5)
равен к + г".
Аналогично строится контрпример и для (ш).
II. Пусть М - уравновешенная матрица, а Ь - {0, ^-век-
^-вектор. Любую вершину х полиэдра
C7) Я:= {х\х * 0; Мх ь Ь)
можно определить, решая для некоторой строчной подматрицы
М/ матрицы М систему М*х - 1 и приравнивая некоторые компо-
компоненты х к нулю. Следовательно, по теореме 21.7 вектор х
целочисленный. Но это верно для произвольной вершины Р, и
потому минимум в C5) имеет целочисленное оптимальное
решение.
5*

492 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Аналогично и максимум в C6) имеет целочисленное
оптимальное решение.
III. Пусть М - уравновешенная (т х п)-матрица. Для того
чтобы показать, что для всех {0, 1}-векторов Ь максимум в
C5) имеет целочисленное оптимальное решение, достаточно
проверить это в случае 6 = 1. Доказательство проводится
индукцией по т.
Пусть максимум в C5) достигается в точке у. Если вектор
у - целочисленный, то все доказано, так что предположим,
что у = (<ч1 Т)т) и Т)г * 1. Пусть М = Пу1, где а - верх-
верхняя строка М. Имеем
C8) тах{г1|г 5: 0; гЫ < с - \у)г\а} * у\ - Т)г
так как г\= (ть,..., Т) ) является допустимым решением для
этой программы. По индуктивной гипотезе программа C8)
имеет целочисленное оптимальное решение, скажем
(€->»•••» € )• Но число у\ - целое, поскольку оно равно
значению программы на минимум в C5) согласно пункту II
имеющей целочисленное оптимальное решение. Следовательно,
величина максимума в C8) не меньше \у\ - Т)Л = у\ - \У)Л.
Поэтому вектор у:= Цт)], ?«,..., С) удовлетворяет ограни-
X €л ГО
чениям 5/1 2: у\ и уМ ^ с и является целочисленным опти-
оптимальным решением программы на максимум в формуле C5).
IV. Пусть М - уравновешенная (т х л)-матрица. Для того
чтобы показать, что для всех {0, оо}-векторов Ь максимум в
C5) имеет целочисленное оптимальное решение, опять
достаточно проверить это в случае 6 = 1. Обозначим через т
величину максимума компонент вектора с. Тогда
C9) т\п {у\\у * 0; уМ г с) =
=гтп{(/1|0 ^5 г1; уМ ^ с} =
= хт - гпах{г1|0 ^ г ^ т-1; гМ 5 т*Ш - с} =
= тт - гпах{г1|г ^ 0; г[/ М] ± (т-1, х-Ш - с)}.
Среднее равенство следует из замены у на т*1 - г.
Поскольку матрица [/ М] также является уравновешенной,
то, по п. III, последняя программа на максимум в C9) имеет

Гл. 21. Теория, относящаяся к полной унимодулярности 493
целочисленное оптимальное решение г . Следовательно, цело-
численное оптимальное решение у :- т-1 - г имеет и прог-
программа на минимум. □
В работе Вегде апс1 Ьаз Уег^паз [1970] теорема была дока-
доказана для случая, когда вектор с в (п) считался {1, со}-век-
тором, а в A11) - {0, 1}-вектором. В работе Вег^е [1970]
отмечалось, что теорема Ловаса о совершенных графах (Ьоуазг
[1972]) влечет выполнение утверждения A11) для всех цело-
целочисленных с. В работе Ри1кегзоп, НоНтап апё Орреппе1т
[1974] было показано, что (п) выполняется для всех цело-
целочисленных векторов с. Использованный в пункту III метод до-
доказательства мне сообщил А.Хоффман.
Аналогично могут быть получены и другие характеризации.
Из п. I доказательства вытекает эквивалентность следующих
утверждений:
D0) A) матрица М - уравновешенная;
(и) значения оптимумов программ в C5) целочис-
ленны для любых {0, 1}-вектора Ь и {0, оо}-
вектора с;
A11) значения оптимумов программ в C6) целочис-
ленны для любых {0, оо}-вектора Ь и {0, 1}-
вектора с.
[Здесь A11) следует из (Л) при замене М на транспониро-
транспонированную ей матрицу.] В частности, для того чтобы охаракте-
охарактеризовать уравновешенные матрицы, достаточно потребовать
существования целочисленного оптимального решения только у
одной из программ в C5) (и аналогично в C6)).
Переход к транспонированным матрицам в частях (и) и
A11) теоремы 21.8 приводит к другим следствиям. Более
того, по аналогии с доказательством п. IV теоремы можно
показать, что для уравновешенной матрицы М программы
<41) т'т{у\\0 < у * й\ уМ * с} и
тах{*/1|0 5 у * й\ уМ 5 с}
имеют целочисленные оптимальные решения при всевозможных
целочисленных векторах с и й (см. Ри1кегзоп, НоНтап апс!
Орреппе1т [1974]). См. также работу Вегде [1980].

494 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Ясно, что задача «является ли данная матрица уравнове-
уравновешенной?» принадлежит классу сложности со-Л^Я, поскольку
достаточно найти подматрицу вида B8). Неизвестно входит ли
эта задача в NР. В частности, открыт вопрос о полиноми-
полиномиальном тесте, проверяющем уравновешенность.
Замечание 21.1. Любая вполне унимодулярная {0, 1}-матрица
является уравновешенной, но обратное неверно (см. пример
B9)). Трумпер и Чандрасекаран (Тшетрег апс! СЬагкЗгазекагап
[1978]) установили дополнительные связи между понятиями
уравновешенности и полной унимодулярности, доказав следую-
следующий результат: для любой пары (А, Ь), состоящей из {О, 1}-
матрицы А и неотрицательного целочисленного вектора Ь
следующие утверждения равносильны:
D2) A) полиэдр {х\х ^ 0; Ах ^ Ь'} является целочислен-
целочисленным для любого целочисленного вектора Ь\ удов-
удовлетворяющего неравенству 0^6' ^ Ь\
(и) в матрице А нет такой квадратной подматрицы
Ло, что с1е* А = ±2, элементы матрицы Л равны
±|- и Л01 ^ 2&0, где Ьо - часть вектора Ь, соот-
соответствующая строкам Ао, а 1 - единичный вектор-
столбец из единиц.
Если Ь ~ \у то этот результат содержится в теореме 21.7,
поскольку тогда условие D2) (и) исключает в точности под-
подматрицы вида B8). Если выбрать компоненты вектора Ь беско-
бесконечными (или достаточно большими), то мы приходим к теореме
Хоффмана и Краскала (следствие 19а).
Доказательство эквивалентности A) и (И) и характери-
зации в терминах локальной унимодулярности содержатся в
работе Трумпера и Чандрасекарана.
Замечание 21.2. В работе Тгиетрег [19785] приведено другое
обобщение понятия уравновешенности. Назовем {0, ±1}-матрицу
уравновешенной, если сумма элементов любой ее подматрицы,
имеющей ровно два ненулевых элемента в каждой строке и в
каждом столбце, делится на 4. Это определение обобщает
понятие уравновешенной {0, 1}-матрицы. Как и раньше, любая
вполне унимодулярная матрица (даже содержащая 0, 1 и -1)

Гл. 22. Вполне двойственная целочисленность 495
является уравновешенной. Трумпер получил характеризацию
{О, 1}-матриц, имеющих заряд (т. е. смену знаков некоторых
+1 на -1), превращающий их в уравновешенные.
Дальнейшие замечания по гл. 21. Другие обобщения полной
унимодулярности содержатся в работах КеЬтап [1974], ВеУ1&
апй На11 [1982], Ва^пе, На11 аш! Ка1г [1978], На11 апA
Ка1г [1979, 1980, 1981] (целочисленные обобщенные обратные
целочисленных матриц). См. также СНоуег [1968Ь].
В работе Закагоуисп [1975, 1976] изучались «квазиурав-
«квазиуравновешенные» матрицы.
22
ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ПОЛИЭДРЫ И ВПОЛНЕ ДВОЙСТВЕННАЯ
ЦЕЛОЧИСЛЕННОСТЬ
В гл. 19 - 21 мы исследовали вполне унимодулярные матри -
цы, которые в точности совпадают с теми целочисленными
матрицами А, для которых выполняется свойство: полиэдр
Р:= {х ^ 0\Ах ^ Ь) является целочисленным для любого цело-
целочисленного вектора Ь. (Напомним, что рациональный полиэдр
называется целочисленным, если каждая его грань содержит
целочисленные векторы, т. е. если полиэдр является выпуклой
оболочкой содержащихся в нем целочисленных векторов.)
В этой главе мы интересуемся целочисленностью полиэдра
Р:= {х\Ах ^ Ь) при фиксированных А и Ь и изучаем связанное
с этим понятие вполне двойственной целочисленное™.
Отправным моментом здесь является следующий результат
Эдмондса и Джайлса (Ейтопйз ап<3 ОПез [1977]), обобщающий
более ранние результаты работ Ри1кегзоп [1971], НоНгпап
[1974].
Если для заданной рациональной системы Ах ^ Ь и любого
целочисленного вектора с величина тъх{сх\Ах ^ Ь) есть це-
целое число или со, то для любого вектора с, для которого мак-
максимум конечен, он достигается на целочисленном векторе х.
В частности, если вектор Ь целочисленный и для любого
целочисленного с двойственная ЛП-задача на минимум

496 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
A) тах{сх\Ах ^ Ь) = т\п {уЬ\у ^ 0; у А = с}
имеет целочисленное решение у всякий раз, когда минимум ко-
конечен, то задача на максимум в A) также имеет целочислен-
целочисленное решение всегда, когда максимум конечен.
Это побудило Эдмондса и Джайлса назвать рациональную
систему неравенств Ах ^ Ь вполне двойственно целонислен -
яо#(сокращенно ВД//-системой), если задача на минимум в A)
имеет целочисленное оптимальное решение у для любого цело-
целочисленного вектора с, которому соответствует конечное зна-
значение минимума. Таким образом, если Ах ^ Ь - это ВДЦ-систе-
ма и вектор Ь - целочисленный, то полиэдр {х|Л* ^ Ь) явля-
является целочисленным.
§22.1 посвящен изложению указанных результатов, которые
затем в § 22.2 иллюстрируются двумя комбинаторными прило-
приложениями. В § 22.3 обсуждается связь вполне двойственной
целочисленности с базисами Гильберта и рассматриваются
минимальные ВДЦ-системы. В § 22.4 изучается более сильное
понятие ящичной вполне двойственной целочисленности (Ьох-
Ша1 йиа1 ШецгаШу). §22.5-22.7 посвящены дальнейшей
теории и характеризациям вполне двойственной целочисленнос-
целочисленности. В § 22.8 показывается, что линейные программы над
ВДЦ-системами с целочисленными входными данными разрешимы в
целых числах за полиномиальное время. В § 22.9 мы обсудим
проблему распознавания вполне двойственной целочисленнос-
целочисленности, она разрешима за полиномиальное время при фиксированном
числе переменных. Наконец, в § 22.1р рассматриваются свой-
свойства целочисленного разложения и целочисленного округления,
которые можно изучать в терминах вполне двойственной цело-
целочисленности.
22.1. Целочисленные полиэдры и вполне двойственная
целочнсленность
Основой этого параграфа является следующий результат
Эдмондса и Джайлса (Ес1топс15 апй ОПез [1977]; более простой
частный случай заостренного полиэдра рассматривался в явном

Гл. 22. Вполне двойственная целочисленность 497
и неявном виде в работах СНуа1а1 [1973], Ри1кегзоп [1971],
Оотогу [1963а], НоНтап [1974]).
Теорема 22.1. Рациональный полиэдр Р является целочислен-
целочисленным тогда и только тогда, когда каждая его рациональная
опорная гиперплоскость содержит целочисленные векторы.
Доказательство. Необходимость условия очевидна, так как
пересечение Р с опорной гиперплоскостью есть грань Р.
Чтобы доказать достаточность, предположим, что каждая
опорная для Р гиперплоскость содержит целочисленные векто -
ры. Пусть Р - {х\Ах ^ Ь). Поскольку полиэдр Р рациональный,
можно считать матрицу А и вектор Ь целочисленными. Рассмот-
Рассмотрим произвольную минимальную грань Р = {*|Л'я = 6'} полиэд-
полиэдра, где А'х ^ Ъ' - некоторая подсистема системы Ах ^ Ь
(см. теорему 8.4). Если Р не содержит целочисленных векто-
векторов, то по следствию 4.1а найдется такой у, что с:= у А' -
целочисленный вектор, а число б:= уЬ' не целое. Можно счи-
считать, что все компоненты у положительны (к компонентам у
можно прибавлять целые числа, не нарушая требуемых свойств
у). Далее, Я:= {л:|сх - 5} - опорная гиперплоскость для Р,
так как легко проверить, что Р - Р п И. Поскольку 5 - не
целое, а с целочисленен, то Я не содержит целочисленных
векторов. Это противоречит нашему предположению. Р
Следующий результат представляет собой эквивалентную
формулировку теоремы.
Следствие 22.1а. Пусть Ах ^ Ь - система рациональных линей-
линейных неравенств. Тогда т&х{сх\Ах ^ Ь) достигается на цело-
целочисленном векторе х для любого вектора с, для которого этот
максимум конечен, если и только если тъх{сх\Ах ^ Ь) есть
целое число для любого целочисленного вектора с, для кото-
которого максимум конечен.
Доказательство. Если с - целочисленный вектор и задача
тах{с*|Л* ^ Ь) имеет целочисленное оптимальное решение х,
то максимум - целое число. Таким образом, необходимость ус-
условия тривиальна.
Для доказательства достаточности предположим, что для
любого целочисленного вектора с тах{сх|Л* ^ Ь) - целое
число, если этот максимум конечен. Пусть И = {*|с* = 6} -
рациональная опорная гиперплоскость полиэдра Р:= {х\Ах ^

498 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
^ Ь). Компоненты с можно считать взаимно простыми целыми
числами. Так как 3 = тах{сх\Ах ^ Ь) - целое число, уравне-
уравнение сх = 6 имеет целочисленное решение х. Следовательно, И
содержит целочисленный вектор.
Таким образом, каждая рациональная опорная гиперплос-
гиперплоскость полиэдра Р содержит целочисленные векторы, значит, по
теореме 22.1 Р - целочисленный. Другими словами, если мак-
максимум тах{сх\Ах ^ Ь) конечен, то он достигается на цело-
целочисленном решении. □
Как уже говорилось во введении к этой главе, мы будем
называть рациональную систему линейных неравенств Ах ^ Ь
вполне двойственно целочисленной, сокращенно ВДЦ-системой,
если задача на минимум в тождестве ЛП-двойственности
B) тах{сх\Ах ^ Ь) = гтнп {уЬ\у ^ 0; уА = с)
имеет целочисленное оптимальное решение у для любого цело-
целочисленного вектора с, которому соответствует конечное зна-
чение оптимума. В частности, если матрица А вполне унимо-
дулярна, то по теореме Хоффмана-Краскала (следствие 19.2Ь)
система Ах ^ Ь является ВДЦ-системой для любого рациональ-
рационального вектора Ь.
Эдмондс и Джайлс (Ейтопйз апA ОПез [1977]), обобщая
результаты работ Ри1кегзоп [1971], НоНтап [1974] и Ьоуазг
[1976], показали, что если в ВДЦ-системе Ах ^ Ь вектор Ь -
целочисленный, то любая задача на максимум в B) также име-
имеет целочисленное решение.
Следствие 22.1Ь. Пусть Ах 5 Ь - ВДЦ-система. Если Ь - цело-
целочисленный вектор и максимум в B) конечен, то задача на
максимум имеет целочисленное оптимальное решение.
Доказательство. Получается непосредственно из следствия
22.1а, поскольку если Ь - целочисленный, Ах ^ Ь - ВДЦ-сис-
ВДЦ-система и оптимумы в B) конечны, то их значения являются це-
целыми числами. □
Другими словами, имеет место
Следствие 22.1с. Если Ах ^ Ь - ВДЦ-система и Ь - целочис-
целочисленный вектор, то полиэдр {х\Ах ^ Ь) является целочислен-
целочисленным.

Гл. 22. Вполне двойственная целомисленность 499
Доказательство. Прямо вытекает из следствия 22.1Ь. □
Следует отметить, что вполне двойственная целочислен-
ность системы ке является свойством определяемого этой
системой полиэдра. Так, системы
C)
1 1
1 О
1 -1
О
О
О
И
1 1
1 -1
о
0
определяют один и тот же полиэдр, но первая является
ВДЦ-системой, а вторая нет. Как правило, ВДЦ-система содер-
содержит больше ограничений, чем необходимо для определения
полиэдра.
Легко проверить, что если матрица А - целочисленная, а
вектор Ь - рациональный, то система х х 0; Ах ^ Ь вполне
двойственно целочисленна тогда и только тогда, когда зада-
задача на минимум в
D)
тах{сх\х ^ 0; Ах ^ Ь) = т'т {уЬ\у ^ 0; у Л & с}
имеет целочисленное оптимальное решение у для любого цело-
целочисленного вектора с, для которого минимум конечен. (По-
(Поскольку по определению х ^ 0; Ах ^ Ь есть ВДЦ-система тог-
тогда и только тогда, когда задача т\п {уЬ\у ^ 0; г Ъ- 0; уА -
- г - с] имеет целочисленное оптимальное решение для любого
целочисленного вектора с, для которого минимум конечен.)
Аналогично, для целочисленной матрицы А система х ^ 0;
Ах ^ Ь вполне двойственно целочисленна тогда и только тог-
тогда, когда задача на максимум в
гшп{сх|* 2: 0; Ах 5 Ь) ~ тах{уЬ\у э: 0; уА * с}
имеет целочисленное оптимальное решение у для любого цело-
целочисленного с, для которого максимум конечен.
Кроме того, если А целочисленна, то система х ^ 0,
Ах = Ь является вполне двойственно целочисленной (т. е. х ^
^ 0; Ах 5 Ь\ -Ах ^ -Ь есть ВДЦ-система) тогда и только тог-
тогда, когда задача на минимум в
@)
0; Ах - Ь) - тт {уЬ\уА * с}

500 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
имеет целочисленное оптимальное решение у для любого цело-
целочисленного с, для которого минимум конечен.
В некотором смысле «каждая грань ВДЦ-системы тоже вполне
двойственно целочисленная. Точнее говоря, справедлива
Теорема 22.2. Пусть Ах ^ Ь\ ах ^ /3 - ВДЦ-система. Тогда
Ах ^ Ь\ ах = Э - также ВДЦ-система.
Доказательство. Пусть с ~ целочисленный вектор, для которо-
которого оптимумы
G) тах{сх\Ах * Ь\ ах = Э} = т'т {уЬ + (А -
г 0; Л, д > 0; г/Л + (Л - д)а = с}
конечны. Пусть, далее, эти оптимумы достигаются в (возмож-
(возможно, дробных) точках х , у , Л , д . Наконец, пусть с*\- с +
1а- Тогда оптимумы
(8) тах{с'х\Ах * Ь\ ах 5
* 0; Л а 0; уА + Ла = с'}
т
также конечны, поскольку х:= х является решением задачи на
максимум, а у:= у , А:= А + |"/1 "] - д есть допустимое ре-
решение задачи на минимум.
Так как Ах $ Ь\ ах ^ /3 есть ВДЦ-система, задача на мини-
минимум в (8) имеет целочисленное оптимальное решение, скажем,
у, А. Тогда у:= у, А:= X, д:= [д ] есть целочисленное опти-
оптимальное решение задачи на минимум в G): оно допустимо в
G) и оптимально, поскольку
(9) ~уь + (X -
* /& + (А
(Здесь соотношение ^ следует из того факта, что у , А +
# *
+ ГД I ~ М является допустимым решением задачи на минимум
в (8), а у, А - оптимальное решение этой задачи.) Таким об-
образом, задача на минимум в G) имеет целочисленное опти-
оптимальное решение. а

Гл. 22. Вполне двойственная целочисленность 501
22.2. Два комбинаторных приложения
Для иллюстрации понятия вполне двойственной целочисленности
опишем здесь два комбинаторных приложения этой теории.
Приложение 22.1. Выходящие деревья. Пусть й = (V, А) - ори-
ориентированный граф с выделенной вершиной г. Выходящим г-де-
ревом называется множество Л' из \У\ - 1 дуг графа, состав-
составляющих такое остовное дерево, что в каждую вершину V * г
входит точно одна дуга из А'. Таким образом, для любой вер-
вершины V в А* существует единственный направленный путь из г
в V. Множество дуг вида 5"(^7), где V - непустое подмно-
подмножество из V \ {г} называется г-разрезом. [Как обычно, б~((/)
обозначает множество дуг, входящих в (/.]
Нетрудно видеть, что выходящие г-деревья являются мини-
минимальными по включению множествами дуг, пересекающими все
г-разрезы. Следовательно, минимальные по включению г-разре-
зы являются минимальными по включению множествами дуг,
пересекающими все выходящие г-деревья.
Фалкерсон (Ри1кегзоп [1974]) показал, что имеет место
Теорема 22.3 (теорема об оптимальном выходящем дереве).
Для любой функции «длины» I: А —» 2+ минимум длин выхо -
дящих г-деревьев равен максимальному числу I г-разрезов
сл1..., с. (с допустимыми повторами), таких, что ни одна
дуга а не содержится в разрезах более /(а) раз.
В терминах ЦЛП этот результат можно сформулировать сле-
следующим образом. Пусть С - матрица, строками которой являют-
являются векторы инциденций всех г-деревьев. Таким образом,
столбцы С индексированы дугами графа, а строки С - теми
множествами вершин V, для которых 0 * V Я V \ {г}. Тогда
теорема об оптимальном выходящем дереве эквивалентна утвер-
утверждению, что оба оптимума в соотношении ЛП-двойственности
A0) ппп{/х|* 5: 0; Сх * 1} = тах{у\\у * 0; уС * 1}
имеют целочисленные значения для любой функции / € 2+, Зна-
Значит, для доказательства теоремы в силу следствия 22.1Ь дос-
достаточно показать, что задача на максимум в A0) имеет цело-
целочисленное решение для любой функции /: А —> Ю+, т. е. что

502 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
A1) система х ^ 0, Сх ^ 1 есть ВДЦ~система.
Следуя работе ЕйтогкЗз апс1 ОПез [1977], это можно сделать
следующим образом.
Доказательство. Если некоторые компоненты / отрицательны,
то задача на максимум в A0) не имеет допустимых решений.
Если все компоненты / неотрицательны, то максимум в A0)
достигается на векторе у, таком, что величина
A2) 2 уи\и\г
принимает наибольшее значение (суммирование в A2) произво-
производится по всем множествам II, для которых 0 * V с У\{г}).
Существование такого вектора у следует из компактности. По-
Покажем, что набор множеств
A3) Р- {и\уи > 0}
является ламинарным, т. е. если 7\ V € Р, то Т Я. и, или
[/ с Г( или Т п V - 0. Чтобы показать это, предположим, что
Г, и€риТ*и*Т>Тг\Ц*0. Пусть с:=: ппп {ут у^} > 0.
Переопределим
С\А.\ II •— #» — р ц '—и + Р
V1 V Ут- Ут о» #тптг Утг\и °'
• ■ *
а все другие координаты у оставим неизменными. После пере-
переопределения уС не увеличится ни по какой координате (так
как ех + ех - ?Х _ + ^Х , где через х
3 (Т) б AЛ б (тпш б (ти1)
обозначен вектор инциденций), у\ также не изменится. Однако
сумма A2) возрастет, что противоречит ее минимальности.
Это показывает, что набор Р ~ ламинарный.
Пусть С - подматрица матрицы С, состоящая из строк,
соответствующих всем V из Р. Тогда
A5) тах{*/'1|1/' * 0; у'С * 1} = тах{у\\у * 0; уС *
Здесь неравенство ^ тривиально, поскольку С' - подматрица
С.

Гл. 22. Вполне двойственная целочисленность 503
Неравенство ^ следует из того факта, что определенный
выше вектор у дает решение второй задачи на максимум в
A5), причем все координаты этого вектора, соответствующие
не входящим в С строкам С являются нулевыми.
Матрица С вполне унимодулярна. Докажем это с помощью
критерия Гуила-Хури, см. (IV) в теореме 19.3. Выберем про-
произвольное множество строк из С, т. е. выберем произвольный
поднабор С из Р. Для каждого V из Р определим «высоту» Н{И)
как число таких множеств Т из С, что Т 2 V. Разобьем С на
подмножества С .. и С в зависимости от того, нечетна
оаа еуеп
или четна высота а € А Из ламинарности О легко вывести,
что для любой дуги а € А число множеств в О . , содержащих
эту дугу, отличается самое большее разве что на единицу от
числа множеств из С , содержащих ту же дугу. Следова-
Следовательно, соответствующие С строки можно разбить на два
удовлетворяющих критерию Гуила-Хури класса, что доказывает
полную унимодулярность С
По теореме Хоффмана-Краскала первая задача на максимум в
A5) имеет целочисленное оптимальное решение у*. Расширение
у' нулевыми компонентами дает целочисленное оптимальное ре-
решение второй задачи на максимум в A5). Значит, задача на
максимум в A0) имеет целочисленное оптимальное решение. О
Итак, задача на минимум в A0) обладает целочисленным
оптимальным решением х для любой функции /: А —» 0+, и поэ-
поэтому полиэдр {х ^ 0\Сх ^ 1} - целочисленный. Его вершинами
являются векторы инциденций, скажем </-,...., й , выходящих
г-деревьев. Тогда
A6) {х * 0 |С* * 1} = {с?г <у1\
где, как в § 9.2 о блокирующих полиэдрах, для векторов
г ,..., г € Кп используется обозначение {г ,..., г
1 к ^
Пусть с,,..., с - столбцы С (они являются вектора-
ми инциденций г-разрезов) и й - матрица со строками
*/У,..., ^. Из теории блокирующих полиэдров известно, что
A7) {х * 0

504 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Это означает, что для любой функции ж А —> 1+ минимум в
A8) т\п{ы}х\х ^ 0; Вх * 1} - тах{у\\у > 0; уй <
достигается на целочисленном векторе х, т. е. на векторе
инциденций некоторого г-разреза. Оптимальным решением зада-
задачи на максимум в A8) также является целочисленный вектор
у, т. е. система х ^ 0, Ох ^ 1 вполне двойственно целочис-
ленна (см. Ес1топ<15 [1973]).
Приложение 22.2. Ориентации неориентированных графов. В ка-
качестве применения полиэдральной теории к неоптимизационной
комбинаторике получим с помощью предложенного в работах
Ргапк [1980] и Ргапк апс! Тагёоз [1984] метода, использую-
использующего вполне двойственную целочисленность, следующую теорему
Нэша-Вильямса (ЫазЬ апс1 ШПНатз [1969]).
Теорема 22.4 (теорема Нэша-Вильямса об ориентации). 2к-
связный неориентированный граф может быть ориентирован та-
таким образом, что он станет к-связным ориентированным гра-
графом.
[Неориентированный граф 2&-связен, если в каждое непус-
непустое собственное подмножество множества его вершин входит по
меньшей мере 2к ребер. Ориентированный граф /г-связен, если
в каждое непустое собственное подмножество вершин входит по
меньшей мере к дуг.]
Доказательство. Пусть О = (V, Е) - 2/г-связный неориентиро-
неориентированный граф. Выбрав на ребрах С произвольную ориентацию,
получим ориентированный граф О = (V, А). Рассмотрим полиэдр
в КА, задаваемый неравенствами:
A9) 0 ^ ха < 1 (а € Л),
\ +Е х * | *-(*/)| -к @ * и я
[Здесь 3~(^) (д+(и)) обозначает множество дуг орграфа I),
входящих в и (выходящих из С!).) Если A9) имеет целочислен-
целочисленное решение х, то О может быть ориентирован так, что он
станет ^-связным орграфом: после перемены ориентации дуг а
орграфа Д для которых х =1, получим ^-связный орграф й.
Действительно, если 0 # V * V, то

Гл. 22. Вполне двойственная целочисленность 505
B0) число входящих в 11 дуг орграфа ^ =
- х) =
а
а€б +(Щ а а€б СШ
а€в+(Ш а а€б (Ш
Теперь достаточно показать, что A9) имеет целочисленное
решение. Вначале заметим, что вследствие 26-связности О
A9) имеет решение, а именно х - —(а € А). Следовательно,
теорема будет доказана, если удастся показать, что A9) оп-
определяет целочисленный полиэдр. Это можно сделать, показав,
что A9) является ВДЦ-системой.
Для этого возьмем с: А —> 1 и рассмотрим линейную про-
программу, двойственную задаче максимизации 2 спхп ПРИ °гра-
<Х€А а а
ничениях A9). Обозначим через гц @ * V 2 V) двойственные
переменные, соответствующие второму множеству ограничений
в A9), и рассмотрим двойственное оптимальное решение, для
которого сумма
B1) Е г\{]\-\Ч\и\
0* ЦСV и
по возможности минимальна. Тогда семейство множеств Г: =
= {У\ги > 0} свободно от пересечений (сгозз-{гее), т. е.
для любых У, V? € Р либо (/сЦ7, либо Г с (/, либо V п 47 - 0,
либо {/ и № = V. Чтобы показать это, предположим, что
V? е Р и И Г « У, (/ п Г * 0, (/ и Г * У. Возьмем е: =
= гшп {г , г } > 0 и переопределим
B2) гу1= ги - г,
не изменяя остальные компоненты г. Так как сумма левых час-
частей неравенств системы A9), соответствующих (/ и ?, равна
сумме левых частей неравенств, соответствующих И с\ ЧР и V и
и №, то новый вектор г снова является допустимым двойствен-
двойственным решением. Более того, для правых частей получаем
B3) (|«"(УI " *) +
" п ^)| - *)

506 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
и, значит, новый г снова является оптимальным решением. Но
сумма B1) уменьшилась, что противоречит нашему предположе-
предположению. Итак, Р свободно от пересечений. Следовательно, нера-
неравенства A9), соответствующие положительным двойственным
переменным, образуют вполне унимодулярную матрицу (см. при-
пример 5 в §19.3), и, значит, существует целочисленное опти-
оптимальное решение. Таким образом, A9) является ВДЦ-системой
и имеет целочисленное решение. П
22.3. Базисы Гильберта и минимальные ВДЦ-системы
Для того чтобы лучше понять вполне двойственную целочис-
ленность, в работе ОПез апс! РиИеуЫапк [1979] было введе-
введено понятие базиса Гильберта. В соответствии с определением,
данным в § 16.4, это множество векторов а ,..., а ,
обладающих свойством: каждый целочисленный вектор Ь из
сопе {а1,..., а^} является неотрицательной целочисленной
комбинацией а^..., а . Целочисленный базис Гильберта - это
базис, состоящий только из целочисленных векторов. В § 16.4
был доказан следующий результат Гордана и ван дер Корпута.
Всякий рациональный полиэдральный конус С порожден
некоторым целочисленным базисом Гильберта. Если С заострен,
то минимальный по включению базис Гильберта для С единст-
веннен.
Между базисами Гильберта и вполне двойственной целочис-
ленностью имеется тесная связь.
Теорема 22.5. Рациональная система Ах ^ Ъ вполне двойствен-
двойственно целочисленна тогда и только тогда, когда для любой грани
Р полиэдра Р.= {х\Ах ^ Ь) активные для Р строки матрицы А
образуют базис Гильберта.
[Строка из А активна для Ру если соответствующее неравенст-
неравенство из Ах ^ Ь обращается в равенство для всех векторов х
из Р.]
Доказательство. Предположим вначале, что Ах ^ Ь есть
ВДЦ-система. Пусть Р - грань Р и а , а - активные для
Р строки А. Чтобы доказать, что а ,..., а образуют базис
Гильберта, выберем в сопе{а1,..., а^} произвольный цело-

Гл. 22. Вполне двойственная целочисленность 507
численный вектор с. Тогда решением задачи на максимум в
соотношении ЛП-двойственности
B4) тах{сх\Ах ^ Ь} - т'т {уЬ\у ^ 0; уА = с}
является любой вектор х из Р. Задача на минимум имеет цело-
целочисленное оптимальное решение, скажем вектор у. Из условий
дополняющей нежесткости следует, что все соответствующие
неактивным для Р строкам компоненты вектора у равны нулю.
Следовательно, с является неотрицательной целочисленной
комбинацией а ,..., а^.
Чтобы доказать обратное утверждение, возьмем произволь-
произвольный целочисленный вектор с> для которого оптимумы в B4)
конечны. Пусть Р - минимальная грань Р, такая, что каждый
активный вектор из Р доставляет максимум в B4). Пусть
а у...у а - активные строки для Р. Тогда с принадлежит
сопе {а ,..., а }, так как задача на минимум в B4) имеет
(возможно, дробное) оптимальное решение */, в котором нет
положительных компонент, соответствующих строкам, отличным
от а ,..., а . В соответствии с условием теоремы а-,..., а^
образуют базис Гильберта и, следовательно, с = А о +...
... + Л. а. для некоторых неотрицательных целых А ,..., Л..
Добавив к вектору (Л ,..., Л ) нулевые компоненты, получим
такой целочисленный вектор у ^ 0, что уА = с и уЬ = уАх =
= сх для всех х из Р. Значит, у доставляет минимум задачи
B4). Так как это верно для любого целочисленного с, то
Ах ^ Ь есть ВДЦ-система. □
Заметим, что в действительности мы показали, что в фор-
формулировке теоремы 22.5 можно ограничиться рассмотрением
лишь минимальных граней Р. Кроме того, как следствие полу-
получаем следующую характеризацию базисов Гильберта в терминах
вполне двойственной целочисленности.
Следствие 22.5а. Строки рациональной матрицы А образуют ба-
базис Гильберта тогда и только тогдау когда система Ах ^ 0
вполне двойственно целонисленна.
Доказательство. Получается непосредственно, если -в теореме
22.5 взять 6 = 0. и

508 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
ВДЦ-система Ах ^ Ь называется минимальной ВДЦ-системой
или минимально вполне двойственно целочисленной, если любая
собственная подсистема из Ах ^ Ь, определяющая тот же поли-
полиэдр, что и Ах ^ Ь, не является ВДЦ-системой. Таким образом,
ВДЦ-система Ах ^ Ь является минимально вполне двойственно
целочисленной тогда и только тогда, когда каждое ее нера-
неравенство определяет опорную гиперплоскость полиэдра {х|Лх ^
5 Ь) и не является неотрицательной целочисленной комбинаци-
комбинацией остальных неравенств из Ах ^ Ь.
Комбинация теорем 16.4 и 22.5 дает следующий результат
(СПез апс1 РиИеуЫапк [1979], ЗсЬгцуег [1981]).
Теорема 22.6. A) Для любого рационального полиэдра Р су-
существует такая ВДЦ-система Ах ^ Ь, что А - целочисленная
матрица и Р - {х\Ах ^ Ь). Здесь Ь может бить выбран цело-
целочисленным тогда и только тогда, когда Р - целочисленный
(и) Если Р имеет полную размерность, то существует
единственная ВДЦ-система Ах ^ Ь, такая, что А - целочислен-
целочисленная и Р - {х\Ах з Ь). Здесь вновь Ь - целочисленный тогда
и только тогда, когда Р - целочисленный.
Доказательство. (\) Для каждой минимальной грани Р полиэд-
полиэдра Р рассмотрим выпуклый конус Ср всех векторов строк с,
для которых тах{сх|х € Р) достигается на всех х из Р.
Пусть а ,..., а^ - целочисленный базис Гильберта, порождаю-
порождающий Ср (см. теорему 16.4). Возьмем х0 € Р и положим 13^.=
= ахх0 для I = 1,...,/. Таким образом, C1 = тах{а1х\х €
€ Р}. Тогда система Ц, неравенств
B5) агх ^ Э^..., агх * ^
состоит из ложных неравенств для Р. Кроме того пусть Ах з Ь
будет объединением систем 21, для всех минимальных граней Р.
Тогда Ах * Ь определяет Р, и по теореме 22.5 эта система
вполне двойственно целочисленна.
Ясно, что если Р - целочисленный полиэдр, то правые час-
части в B5) - целые числа, и поэтому вектор Ь - целочислен-
целочисленный. Обратно, если можно выбрать целочисленный Ь, то по
следствию 22.1с полиэдр Р - целочисленный.

Гл. 22. Вполне двойственная целочисленность 509
(и) Если Р имеет полную размерность, то каждый конус Ср
заострен. Следовательно, существует единственный минималь-
минимальный целочисленный базис Гильберта а1,..., а , порождающий
Ср (теорема 16.4). Возьмем описанную выше систему ^.. По
теореме 22.5 каждое неравенство из ^ должно входить в
любую ВДЦ-систему Ах ^ Ь, где А - целочисленная матрица, и
Р = {х\Ах * Ь).
Аналогично предыдущему заключаем, что Р - целочисленный
полиэдр тогда и только тогда, когда Ь - целочисленный. □
Следствие 22.6а. Рациональный полиэдр Р является целочис-
целочисленным тогда и только тогда, когда существует такая
ВДЦ-система Ах ^ Ь, что Р = {х\Ах * Ь} и Ь - целочисленный.
Доказательство. Прямо следует из теоремы 22.6. П
Часть (и) теоремы 22.6 напоминает утверждение о том,
что полиэдр полной размерности задается единственной
(с точностью до умножения неравенств иа положительные ска-
скаляры) минимальной системой линейных неравенств, см. A7) в
§ 8.2. Следует только иметь в виду, что, как показывает
пример C), минимальная ВДЦ-система может содержать больше
неравенств, чем требуется просто для задания полиэдра.
Если Ах ^ Ь - минимальная ВДЦ-система для полиэдра Р
полной размерности и матрица А целочисленна, то компонен-
компоненты любой строки А взаимно просты, см. замечание после тео-
теоремы 16.4. Таким образом, для любого полиэдра Р полной раз-
размерности существуют единственные минимальные системы нера-
неравенств Ах з Ь и А' х * Ь', такие, что A) Р = {х|Лх ^ Ь] =
= {*|Л'х з Ь'}\ (П) компоненты любой строки А' являются
взаимно простыми целыми числами; A11) А'х ^ Ь' есть
ВДЦ-система. Отметим, что Ах * Ь является подсистемой А' х ^
^ Ь' и полиэдр Р - целочисленный тогда и только тогда,
когда вектор Ь' - целочисленный. Было бы интересно оха-
охарактеризовать полиэдры со свойством А = А'.
В общем случае для рационального полиэдра полной размер-
размерности нахождение минимальной ВДЦ-системы с целочисленными
левыми частями за полиномиальное время невозможно уже
потому, что ВДЦ-система может быть экспоненциально большой.
Например, минимальная ВДЦ-система для полиэдра {(^, Т))|^ +
2: 0}, где к -фиксированное целое, состоит из нера-

510 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
венств С + Л) - 0. / - 0,..., к. Значит, ВДЦ-система имеет
размер О(к 1о§ к) при размере исходной системы ОAо& к).
22.4. Ящичная вполне двойственная целочисленность
Рациональная система Ах ± Ь называется ящичной вполне двой-
двойственно целочисленно (ЯВДЦ-системой), если система
B6) Ах * Ь\ I < х * и
является вполне двойственно целочисленной для любой пары
рациональных векторов / и и (т. е. если B6) является
ВДЦ-системой для любого «ящика» / ^ х ^ и). Из ящичной
вполне двойственной целочисленности следует
Теорема 22.7. Я ВДЦ-система является ВДЦ-системой.
Доказательство. Пусть Ах ^ Ь - ЯВДЦ-система. Возьмем цело-
целочисленный вектор с, такой, что тах{сх\Ах ^ Ь} конечен.
Пусть этот максимум достигается на векторе х . Выберем та-
такие ! и и/ что I < х < и. Тогда задача тах{сх\Ах < 6; / <
< х * и) имеет целочисленное оптимальное двойственное реше-
решение, в котором компоненты, соответствующие ограничениям / ^
^ х ^ и, должны быть нулевыми (дополняющая нежесткость).
Следовательно, задача тах{сх\Ах ^ Ь) также имеет целочис-
целочисленное оптимальное двойственное решение. П
Аналогичным образом можно показать, что если Ах ^ Ь -
ЯВДЦ-система, то B6) является ВДЦ-системой в случае, когда
некоторые компоненты / или и равны -оо или +оо.
По теореме Хоффмана и Краскала (следствие • 19.2Ь) матрица
А вполне унимодулярна тогда и только тогда, когда Ах ^ Ь
является ЯВДЦ-системой для любого вектора Ь.
Назовем полиэдр ящично вполне двойственно целочисленным
(ЯВДЦ-полиэдром), если его можно задать с помощью ЯВДЦ-
системы. Следующая теорема (Соок [1986]) показывает, что
ящичная вполне двойственная целочисленность является по
существу свойством полиэдров.
1
В оригинале: Ьох-Шп11у йиа1 Шедга1 5у$1ет. - Прим.
перев.

Гл. 22. Вполне двойственная целочисленность 511
Теорема 22.8. Пусть Р - Я В ДЦ-полиэдр и Ах ^ Ь - такая
ВДЦ-система, что Р = {х\Ах * Ь]. Тогда Ах * Ь - ЯВДЦ-систе-
ма.
Доказательство. Пусть Р Я ГСП. Возьмем /, и € пп и с € 2п.
Достаточно показать, что задача на минимум в
B7) тпах{сх\Ах * Ь\ / < х < м} =
= гшп {уЬ + уи - шЦу, иу до ^ 0; уА + V - ш = с)
имеет целочисленное оптимальное решение у, V, хю при усло-
условии, что минимум конечен. Возьмем задающую Р ЯВДЦ-систему
Ах ^ Ь. Задача
B8) гп1П {уЬ + уи - ш1\у, V, ш ^ 0; у А + V ~ ш - с)
имеет целочисленное оптимальное решение у , V , ш . Положим
* * «~
с:- с - V + ш = у А и рассмотрим
B9) гпах{сл:|Лл: ^ Ь) = т\п{уЬ\у ^ 0; уА ^ с}.
Из того, что задача на максимум имеет допустимые решения
м* **4 в*^
ш *
(оптимумы B7) конечны) и сх = у Ах ^ у Ь при х € Р, заклю-
заключаем, что оптимумы в B9) конечны. Так как Ах ^ Ь - ВДЦ-
система, то задача на минимум имеет целочисленное
оптимальное решение, которое обозначим через у. Тогда у,
V , до составляют целочисленное оптимальное решение задачи
на минимум в B7), так как это решение допустимо, и
— #
C0) уЬ + V и - до/ =
"" * *
= ш\п{уЬ\у ^ 0; уА = с] + V и - до / =
= гшп {уЬ\у ^ 0; г/Л = с} + V и - до / =
= ГП1П {г/Ь + V и - до 1\у ^ 0; уА = с] =
= гшп {#6 + сш - до/|#, у, до - 0; уА + V - ш - с} =
= ГП1П {уЬ + ни - ш1\у, V, до ^ 0; уА + V - "ш - с}.

512 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Первое равенство следует из того, что у является оптималь-
оптимальным решением задачи на минимум B9). Второе равенство
верно, поскольку системы Ах 25 Ь и Ах ^ Ь определяют один и
тот же полиэдр. Третье равенство тривиально. Четвертое -
* * *
следует из того, что у , V , ш составляют оптимальное
решение задачи B8). Последнее равенство снова выполняется,
потому что Ах ^ Ь и Ах ± Ь описывают один полиэдр. □
Не всякий полиэдр является ЯВДЦ-полиэдром. Например,
2^ + т/ ^ 0 * не является ЯВДЦ-полиэдром
(поскольку неравенство 2% + 1) ± О вполне двойственно цело-
численно, но система 2^ + 7) - 0, 0 25 ^ < 1, -1 з -ц < 0 не
определяет целочисленный полиэдр).
Следующая теорема (Соок [1986]) характеризует ЯВДЦ-поли -
эдры.
Теорема 22.9. Рациональный полиэдр Р в Кп является ЯВДЦ-по-
ЯВДЦ-полиэдром тогда и только тогда, когда для любого рациональ-
рационального вектора с = (у1,..., У ) существует такой целочислен-
целочисленный вектор с = (з\ У )» что \с] ^ с 5 [с"| и каждое
оптимальное решение задачи гпах{сх\х € Р) является также
оптимальным решением задачи тпах(сх\х € Р}.
Доказательство. Необходимость. Пусть Ах 2= Ь - определяющая
Р ЯВДЦ-система. Покажем, что для каждого I = 0,..., л вы-
выполняется следующее утверждение:
C1) для любого рационального вектора с = (У1,..., Уп
существует такой целочисленный вектор с =
= (У-,..., ? ), что каждое оптимальное решение за-
задачи тах{сх\х е Р} является оптимальным решением
задачи тах{сх\х € Я} и §\ < \у/\ для всех /,
У1 = у., если у1 - целое,
Понятно, что утверждение нужно доказать для наиболее силь-
сильного случая I = п. Докажем C1) индукцией по /. Возьмем ра-
циональный вектор х = (?1>..., ? ) в относительной внут-
внутренности грани Р оптимальных решений задачи тах{сх\х € Р}

Гл. 22. Вполне двойственная целочисленность 513
(т. е. В(х , е) п а!!.Ьи11 (Т7) Я Р для некоторого е > 0).
Пусть вначале / = 0. Рассмотрим
C2) тах{[с~]х\Ах <&;*;.< €*> если у. * 2},
где х - (^1,..., ^п)т. Этот максимум достигается на х ,
поскольку для любого допустимого х задачи C2) выполняется
\с\{х* - х) * с(х* - х) * 0. Так как Ах * Ь - ЯВДЦ-систе-
ма, то существуют такие целочисленные вектор-строки у ^ 0,
г = (Сг-.., Сп) - 0, что уА + г = |"С1> Уь + гх* = \с\х* и
г
. = 0, если у. € 2. Таким образом, получаем, что для с: =
= [с"| - г максимум тах{с*|Лх ^ Ь) также достигается на х
(так как сх = уЬ> у А = с, I/ ^ 0). Для I = 0 C1) доказано.
Предположим, что C1) уже доказано для некоторого / < л,
и докажем C1) для г + 1. По предположению индукции сущест-
существует 2\ удовлетворяющий свойствам, соответствующим случаю
*, т. е. §\ 2= 1"^! для / = 1,..., (. Если у1+1 ^ ЬГц.^* то
все доказано, поэтому будем считать, что у < [у^+1].
Возьмем такую выпуклую комбинацию с* - \с + A - А)с век-
векторов сие, что ее (г + 1)-я координата равна |_у. Л. Тог-
да х является оптимальным решением задачи тах^'д^Лх ^
^ ^}. Следовательно, по предположению индукции существует
такой целочисленный вектор с' = (у!,..., у7), что х
оптимальное решение для гпах {с'х\Ах $ Ь) и у| 5 [у|"] <
для « = 1,..., п\ у^ ^ [у^ > \$к\ для I = 1,...,
и У[ - ?1 = ^г если у. - целое. Тем самым
C1) доказано для случая I + 1.
Достаточность. Предположим, что Р удовлетворяет указан -
ному в формулировке теоремы условию. Пусть Ах ^ Ь - некото-
некоторая определяющая Р ВДЦ-система. Докажем, что система Ах ^ Ь
ящично вполне двойственно целочисленна.
т т
Возьмем произвольные / = (Л^..., А ) , и = (у ,...,у )
€ 0п и до = (до ,..., до ) € 2П Пусть х - оптимальное
решение задачи
C3) тах{хл>х\Ах * Ь\ I * х * и).
Из свойств ЛП-двойственности и дополняющей нежесткости
следует, что существуют такие вектор-строки уу г* =

514 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
;,..., с;), г" = (с^,...,с") * о, что
C4) уА + г' - г" = тя\ уЬ + г* и - г = хазх ;
; = 0 или С" = 0 (/ = 1,..., п).
Определим с = (у1?..., у ):= уА = и; - г' + г". По пред-
предположению существует такой целочисленный вектор с =
= (У-,..., У ). что [с} ^ с ^ [с] и любое оптимальное реше-
решение задачи тах {с* | Л* 5 6} оптимально для задачи
тах{сх\Ах ^ Ь}. Следовательно, поскольку х - оптимальное
решение задачи тах {сх\Ах ^ Ь) (по свойству дополняющей не-
жесткости сх - (до - г* + г")х *■ юх - г'и + г = уЬ), то
х - оптимальное решение задачи тах(сх\Ах ^ Ь). Так как
Ах ^ Ь - ВДЦ-система, то существует такой целочисленный
вектор у ^ 0, что уА = с и уЬ - сх . Положим 57:= (ш - с)+
и г":= (с - да) , где (•) получается из (•) присваиванием
*
отрицательным компонентам значения 0. Тогда если ^. < V.,
то С- = 0» следовательно, у ^ да., и, значит, у. - «'•• Та-
1 ^ X X ^ X X
ким образом, г'и = г'х . Аналогично, 5У// = 5"* . Поэтому
C5) ^Л + 5' - г" = уА + да - с = да,
уо + г и - г I = сх + г и - г I =
+ 2'х - г дс = дадс .
Вывод: C3) имеет целочисленное оптимальное двойственное
решение. и
Следствие 22.9а. Рациональная система Ах ^ Ь является ЯВДЦ-
системой тогда и только тогда, когда она представляет
собой ВДЦ- систему\ и для любого рационального вектора
с = (У*»--» У ) существует такой целочисленный вектор
с = (?1,..., У ), что 1с] ^ с ^ |*с], и каждое оптимальное
решение задачи шах{сх\Ах 5 Ь) является также оптимальным
решением задачи тъх(сх\Ах ^ Ь).
Доказательство. Непосредственно следует из теоремы 22.9. и
Из теоремы 22.9 также следует, что если ЯВДЦ-полиэдр Р
имеет полную размерность, то Р = {х\Ах ^ Ь) для некоторой
{0, ±1}-матрицы А.
Доказательство. Пусть ах ^ C определяет фасету Р полиэдра
/\ к:= IIа11 ^ и с- кГга. Так как тах{сх|х € Р) конечен, то

Гл. 22. Вполне двойственная целочисленность 515
по теореме 22.9 существует такой целочисленный вектор с,
что [с] ^ с ^ \с], и тах{сх\х € Р) достигается на каждом
элементе из Р. Значит, с - с и, следовательно, с есть
{О, ±1}-вектор. п
Как мы увидим в следствии 22.10а, это утверждение оста-
остается верным и для полиэдров неполной размерности (ЕйтопДз
апс! СПез [1977, 1984]).
22.5. Вполне двойственная целочисленность при операциях над
системой
В этом параграфе мы исследуем, как ведет себя свойство
вполне двойственной целочисленности при выполнении некото-
некоторых операций с системой линейных неравенств.
Умножение на скаляры. Понятно, что умножение ВДЦ-системы
Ах ^ Ь на скаляр а > 0 приводит к системе (аА)х ^ <хЬ, кото-
которая может не быть вполне двойственно целочисленной
(например, можно взять такое а, что все компоненты аА будут
четными целыми числами).
Однако если Ах ^ Ь - ВДЦ-система, то свойство вполне
двойственной целочисленности сохранится, если мы разделим
каждое неравенство системы на (свое) натуральное число.
Оно сохранится и при умножении всех правых частей на общую
положительную рациональную постоянную. В частности, если
Ах % Ь - ВДЦ-система, то для любых к € N и а ^ 0 система
(к" йА)х ^ <хЬ вполне двойственно целочисленна.
Эти утверждения верны и для свойства ящичной вполне
двойственной целочисленности.
Джайлс и Пуллибланк (СШез апё РиПеуЫапк [1979]) пока-
показали, что
C6) для любой рациональной * системы Ах ^ Ь существует
такое натуральное к, что система (кГгА)х ± кГхЬ
вполне двойственно целочисленна.
Доказательство. Требуется доказать существование такого
натурального к, что т\п {уЬ\у ^ 0; уА = ш} достигается на
векторе у с компонентами из к' 1 для любого целочисленного
вектора ад, для которого минимум конечен (в этом случае

516 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
задача гшп {у(к~ Ь) \у ^ 0; у(к~гА) = ш} имеет целочисленное
оптимальное решение). Существование такого к можно показать
следующим образом.
По теореме 22.6 существует ВДЦ-система Сх ^ а* с целочис-
целочисленной матрицей Сие тем же множеством решений, что и
система Ах ^ Ь. Пусть к - такое натуральное число, что для
любой строки с матрицы С задача т'т {уЬ\у ^ 0; у А = с) име-
имеет оптимальное решение у с компонентами из к~г2. [Такое к
существует, так как для любой фиксированной строки с из С
минимум достигается на рациональном векторе, скажем на у .
В качестве к можно взять НОК всех встречающихся в векторах
у знаменателей.]
Пусть теперь ьи - такой целочисленный вектор, что экстре-
экстремумы
C7) т&х{шх\Ах ^ Ь) = т\п{уЬ\у ^ 0; уА = ш}
конечны. Обозначим их общее значение через д. Так как
Сх * а* - ВДЦ-система, то неравенство шх ^ 3 является неот-
неотрицательной целочисленной комбинацией неравенств (к~1А)х ^
^ кГгЬ. Следовательно, шх ^ 5 является неотрицательной це-
целочисленной комбинацией неравенств системы (кГхА)х ^ к~хЬ.
Это означает, что уЬ = 6 для некоторого у ^ 0, для которого
у А = ш и все компоненты которого принадлежат (\/кI. Таким
образом, задача на минимум в C7) имеет A//е)-целочисленное
оптимальное решение у. и
Следующий факт доказан в работе Соок [1983].
C8) Пусть Ах з Ь\ ах ^ C - минимальная ВДЦ-система с
целочисленными А и а, определяющая полиэдр полной
размерности. Тогда для а > 0 система Ах ^ Ь\
(аа)х з а/3 вполне двойственно целочисленна, если и
только если а = \/к для некоторого натурального к.
Как и в доказательстве теоремы 22.6, это следует из утверж-
утверждения: пусть а^ а2,..., а^ образуют минимальный целочис-
целочисленный базис Гильберта, порождающий заостренный конус С;
тогда для рационального а > 0 векторы аа1, а2,..., а^ вновь

Гл. 22. Вполне двойственная целочисленность 517
образуют базис Гильберта тогда и только тогда, когда а =
= \/к для некоторого натурального к.
Доказательство. Достаточность в последнем утверждении
очевидна. Чтобы показать необходимость, предположим, что
оса , а ,..., а образуют базис Гильберта. Так как а > О,
они порождают С. Поскольку а. принадлежит С, то существуют
такие неотрицательные числа А ,..., А^., что
C9) аг = Л1аа1 + А2а2 + ... + \(*ь.
Тогда а1 * 0, поскольку в противном случае а ,..., а. не
образовывали бы минимальный базис Гильберта. Вектор A -
- \<х)ал = Л а + ... + Л а принадлежит С. Поскольку С за-
острен, -а * С. Следовательно, 1 - \%а ^ 0 и А^ ^ 1. Так
как (Л1а)а1 = ах - Л2а2 - ... - \аг - целочисленный вектор
и компоненты а. - взаимно простые числа, то А^ = 1. Следо-
Следовательно, а = 1/А . □
Для полиэдра Р и натурального числа к теорему 22.1 можно
легко обобщить до следующего утверждения: каждая грань Р
содержит вектор, все компоненты которого принадлежат A/кI
тогда и только тогда, когда каждая опорная гиперплоскость Р
содержит такой вектор. Это можно получить, например,
заменяя Р на кР. Аналогичным образом могут быть обобщены и
другие следствия.
Будем называть систему Ах ^ Ь вполне двойственно \/к-
целонисленной, если задача на минимум в
D0) тъх{сх\Ах ^ Ь) = т'т{уЬ\у ^ 0; уА = с}
имеет \/к - целочисленное оптимальное решение у для любого
целочисленного вектора с, для которого минимум конечен.
Ясно, что система Ах ^ Ь вполне двойственно 1/Л-цело-
численна тогда и только тогда, когда система (кГ1А)х ^
^ к~1Ь вполне двойственно целочисленна. Отсюда следует, что
если система Ах ^ Ь вполне двойственно \/к - целочисленна и
Ь - целочисленный, то задача на максимум в D0) имеет
\/к - целочисленное оптимальное решение х.

518 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Другие операции, (не)сохраняющие вполне двойственную цело-
целочисленность. В теореме 22.2 мы видели, что «каждая грань
ВДЦ-системы снова вполне двойственно целочисленная. Это
означает, что вполне двойственная целочисленность сохра-
сохраняется, если некоторые неравенства системы заменить на
равенства. Отсюда непосредственно следует выполнимость
аналогичного свойства для ящичной вполне двойственной
целочисленности.
Следующее утверждение очевидно:
D1) если системы А^х ^ 6 и Ах ^ Ь2 определяют один и
тот же полиэдр и каждое неравенство системы
Ах ^ Ь является неотрицательной целочисленной
комбинацией неравенств системы Ах ^ Ъ^ то из
(ящичной) вполне двойственной целочисленности
системы Ах ^ Ь следует (ящичная) вполне двойст-
двойственная целочисленность системы Ах ^ Ь .
Доказательство. Из условия следует, что для любого
целочисленного у 2: 0 существует такой целочисленный у* ^ О,
что уАг = у'А2 и уЬг = у'Ь2. и
(Ящичная) вполне двойственная целочисленность сохра-
сохраняется при введении и удалении «дополняющих» (з1аск) пере-
переменных (Соок [1983]).
D2) Пусть А - рациональная матрица, Ь - рациональный
вектор, а - целочисленный вектор и р - рациональ-
рациональное число. Система Ах ^ Ь\ ах ^ |3 (ящично) вполне
двойственно целочисленна тогда и только тогда,
когда система Ах ^ Ь\ ах + 1} = |3; г/ ^ 0 (ящично)
вполне двойственно целочисленна (здесь 1} - новая
переменная).
Доказательство. Для произвольного целочисленного вектора с
и целого у рассмотрим соотношения ЛП-двойственности:
D3) тах{сх\Ах * Ь\ ах ^ /3} =
= гтип {уЬ + А/3|(/ > 0; А ^ 0; уА + Ла = с} и

Гл. 22. Вполне двойственная целочисленность 519
тах{сх + ут}\Ах ^ Ь\ ах + Т) = |3; 7) * 0} =
= гшп {уЬ + [1$\у а 0; IX ^ Ту уА + дА = с}.
Пара г/ и Л оптимальна для первого минимума тогда и только
тогда, когда пара у и ц = А + у оптимальна для второго
минимума, в котором вектор с заменен на с + уа. Значит, для
первого минимума существует целочисленное оптимальное реше-
решение при любом целочисленном векторе с, для которого минимум
конечен, тогда и только тогда, когда вторая задача на
минимум имеет целочисленное оптимальное решение при каждом
целочисленном векторе (с, у). Для которого минимум конечен.
□
Вполне двойственная целочисленность сохраняется также
при следующей операции исключения. Пусть А - целочисленная
матрица, й, а^ а - целочисленные векторы, е - целое чис-
число, Ь - рациональный вектор, |3 , Э - рациональные числа,
х - вектор переменных и 1) - отдельная переменная. Тогда
D4) система Ах + Л) ^ ЬУ о^х + ет) * р , 2 2
вполне двойственно целочисленна тогда и только
тогда, когда система Ах + йг\ ^ Ь, (аг - еа2)х ^
< ($1 - ер , ах + 7) = $ вполне двойственно це-
целочисленна. Аналогичное утверждение верно и для
ЯВДЦ-систем.
Справедливость утверждения непосредственно вытекает из
D1).
Объединяя D2) и D4), получаем, что если переменной в
ограничении-равенстве (ящичной) ВДЦ-системы (т. е. в двух
противоположных неравенствах) соответствует коэффициент +1
или -1, то эту переменную можно исключить из системы без
нарушения свойства (ящичной) вполне двойственной целочис-
ленности.
В работе Соок [1983] показано, что (ящичная) вполне
двойственная целочисленность сохраняется при «исключении
Фурье-Моцкина» (см. § 12.2) переменной Т), входящей во все
ограничения с коэффициентами 0, ±1. Другими словами, если
система

520 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
D5) (!)
(И)
V +
а.х -
1
а.х з
т? - Э1
'О - Э-
(<■ =
1...
т'
т"
., т'
+ 1.
+ 1.
).
• • •
V • •
. т"),
, т)
вполне двойственно целочисленна, то и система
D6) (а4 + а^)х * ^ + р. (/ = 1,..., т'; / =
= /п7 + 1,..., пг"),
ахх ^ Э. (I = т7/ + 1,..., пг)
вполне двойственно целочисленна.
Доказательство. Заметим, что для любого вектора с
D7) тг\{сх\х удовлетворяет D6)} =
= тах {(с, °) Г 7) ] [ 7) 1 УД°влетв0Ряет D5)}-
Пусть у - целочисленное оптимальное решение задачи, двойст-
двойственной для второго максимума в D7). Так как последняя ком -
понента (с, 0) равна 0, то сумма компонент у, соответству-
соответствующих неравенствам D5) A), равна сумме компонент у, соот-
соответствующих неравенствам D5) (Н). При подходящем подборе
пар ограничений получим целочисленное оптимальное решение
задачи, двойственной первому максимуму в D7). П
Далее, из того, что а^ + Ах ^ Ь является ЯВДЦ-системой
(где а - вектор-столбец), следует, что Ах ^ Ь - также ЯВДЦ-
система, поскольку эта система получается по существу
добавлением условия 0 ^ ^ ^ 0. Таким образом, пересечение
ЯВДЦ-полиэдра с координатной гиперплоскостью снова является
ЯВДЦ-полиэдром.
Из теоремы 22.9 также легко следует, что проекция
ЯВДЦ-полиэдра на координатную гиперплоскость вновь является
ЯВДЦ-полиэдром. Это означает, что если Р - ЯВДЦ-полиэдр в
1Кп+\ то и полиэдр
D8) {х| 3?0: Г ^о 1 € Р}
1 X }
есть ЯВДЦ-полиэдр.
Рассмотрим теперь повторения переменных. Вполне двойст-
двойственная целочисленность тривиально сохраняется при замене

Гл. 22. Вполне двойственная целочисленность 521
системы Ах ^ Ь на а% + Ах ± Ь, где а - первый столбец А и
^ - новая переменная. Это же верно и для (ящичной) вполне
двойственной целочисленности (ЕAтопA5 апй ОПез [1984],
см. также работу Соок [1986], доказательство из которой
приводится ниже).
Теорема 22.10. Если Ах ^ Ь - Я В ДЦ-система, то а% + Ах ^ Ьу
где а - первый столбец А и ^ - новая переменная, также яв-
является Я В ДЦ~ системой.
Доказательство. По теореме 22.8 достаточно показать, что
если Р Я. Кп - ЯВДЦ-полиэдр, то и полиэдр
D9) о г
I («О + «Г
является ЯВДЦ-полиэдром.
Покажем это. Пусть тах {То?о + сх \ (^0, д:Т)Т =
= (€0.•■■. СП)Т € О) конечен и с = (Уг..., Уп). Тогда
Уо = у , поскольку в противном случае можно было бы
заменить ^ , ^ на ^ = ±1, ^ = ±1 и увеличить значение
максимума. Так как Ах ^ Ь - ЯВДЦ-система, то по теоре-
теореме 22.9 существует такой целочисленный вектор с =
= (У11..-, Уп), что [с} * с * [с] и каждое оптимальное
решение задачи тах {сх\Ах ^ Ь} является оптимальным решени-
решением задачи тах{сх\Ах ^ Ь). Отсюда сразу следует, что каждое
оптимальное решение задачи тах {У0С0 + сх\а%0 + Ах ^ Ь) яв-
является оптимальным решением задачи тах {у^ + сх\а% +
+ Ах ^ Ь). Следовательно, по теореме 22.9 а%0 + Ах * Ь -
ЯВДЦ-система. П
Приводимое ниже следствие было получено в работе Ейтопйз
апй ОНез [1984].
Следствие 22.10а. Пусть Р - ЯВДЦ-полиэдр. Тогда Р -
= {ж|Л* ^ Ь) для некоторой {0, ±\}-матрицы А и некоторого
вектора Ь.
Доказательство. Пусть Сх ^ й - определяющая Р ЯВДЦ-система.
_ *
Тогда вектор х принадлежит Р тогда и только тогда, когда
E0) тах{-1*' + \х"\Сх + Сх' + Сх" * й\
х = х*\ х' * 0; х" < 0} ^ 0
- 7А1

522 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
(здесь 1 - вектор-строка, состоящая из единиц). Так как по
теореме 22.10 Сх + Сх' + Сх" * а - ЯВДЦ-система, то E0)
эквивалентно
E1) тт{уй - уСх \у * 0; уС * -1; уС * 1;
у - целочисленный; уС - целочисленный} ^ 0.
Таким образом,
E2) Р = {х\(уС)х ^ уй для любого у ^ 0, для которого у
и уС целочисленны и -1 ^ уС ^ 1}.
Следовательно, Р может быть задан системой линейных
неравенств, содержащей только коэффициенты 0, ±1. п
Замечание 22.1. Пусть
E3) А:=
Г 1 1 1 1
110 0
10 10
10 0 1
2 111
Система Ах ^ 0 является минимальной (ящично) вполне двойст-
двойственно целочисленной. Этот пример показывает, что в целочис-
целочисленной минимальной ЯВДЦ-системе не обязательно все коэффи-
коэффициенты левой части равны 0, ±1, даже если допустимая об-
область системы имеет полную размерность. Отметим также, что
{х|Лдс з 0} нельзя задать системой с вполне унимодулярной
матрицей ограничений. С другой стороны, можно показать, что
если Р - ЯВДЦ-полиэдр, то а!!.Ьи11(Р) = {х\ Сх = </} с не-
некоторой вполне унимодулярной матрицей С.
Замечание 22.2. Пусть Ах ^ Ь - ЯВДЦ-система и />:= {х\Ах *
^ Ь}. Если Р заострен, то каждое ребро и каждый экстремаль-
экстремальный луч Р направлены как некоторый {0, ±1}-вектор. Чтобы
убедиться в этом, предположим, что Ь - целочисленный и рас-
расстояние между любой парой вершин Р не меньше п + 1, где
п - размерность пространства (иначе можно умножить Ь на
достаточно большое число). Пусть г = (?•»••-. С ) ~ верши-
вершина Р. Тогда по следствию 22.1с полиэдр
E4) {х\Ах * *; ?! - 1 * €х * Сх + 1. ' = 1...., *},

Гл. 22. Вполне двойственная целочисленность 523
где х = (С^..., €П)Т> является целочисленным. Отсюда сле-
следует, что каждое ребро или экстремальный луч Ру начинаю-
начинающийся в 2, выходят из «ящика» {#|С« " 1 - ?* - С + 1 Для
I = 1,..., л} в некоторой целочисленной точке, скажем у.
Тогда у - г является {0, ±1}~вектором, задающим направление
ребра или экстремального луча.
Следующее преобразование известно из ЛП: замена Ах ^ Ь
на х' ^ 0; х" ^ 0; Ах' - Ах" ^ Ь. В общем случае оно сохра-
сохраняет вполне двойственную целочисленность, что показывает
следующий пример из работы Соок [1983]:
E5)
Л| **"
1 5
1 б
1
1
Еще один отрицательный результат: если Ах ^ Ь и Ах ^
^ Ь - ВДЦ-системы, то Ах
Ь + Ь - не всегда является
ВДЦ-системой (таким образом, замкнутое относительно умноже-
умножений на положительные скаляры множество {Ь\Ах ^ Ъ - ВДЦ-сис-
тема} может не являться выпуклым конусом). Соответствующий
пример дают
E6)
В заключение покажем, что доминант ЯВДЦ-полиэдра также
является ЯВДЦ-полиэдром. Доминант полиэдра Р Я Кп определя-
определяется следующим образом:
" 1 0 1
1 2
0 1
0 1
и •_
Г о 1
2
1
0
и • —
Г о 1
0
1
0
E7)
йот (/>):= {г € Кп| 3 х € Р: х * г}.
Теорема 22.11. Доминант ЯВДЦ-полиэдра - Я В ДЦ-полиэдр.
Доказательство. Воспользуемся теоремой 22.9. Пусть Р -
ЯВДЦ-полиэдр в Кп и с - (У1,.,УП) - такой рациональный
вектор, что максимум
E8)
тах{сх\х € йот(Р)}
конечен. Тогда с ^ 0 (так как максимум можно увеличить по
любому координатному направлению, для которого компонента с
положительна). Так как Р - ЯВДЦ-полиэдр, то существует

524 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
такой целочисленный вектор с, что [с] ^ с ^ \с], и каждое
оптимальное решение задачи гпах{с*|* € Р) является опти-
оптимальным решением задачи тах{сх|* € Р). Покажем, что каждое
оптимальное решение х задачи тах{ос|* € йот(Р)} является
оптимальным решением также для тах{сх\х € йот(Р)}.
Действительно, известно, что х ^ г для некоторого г из
Р. Так как х доставляет максимум сх на ёот (Р), то те
координаты х и г, где с - отрицателен, совпадают. Значит,
сг = сх , и так как с ^ |_с_|, то с* = сг. Таким образом,
г является оптимальным решением для тах{сх\х € Я}, а
значит, и для тах{сх\х € />}. Следовательно, г является
оптимальным решением задачи гпах{сх|х € йот (Я)}, а тогда и
* - оптимальное решение задачи гпах{сх\х е йот (Я)}. П
В частности, если Р - ЯВДЦ-полиэдр, то йот (Р) можно
задать системой линейных неравенств Ах ^ Ь с коэффициентами
О и 1 (Ейтопйз ап<1 СИез [1977]).
22.6. Целочисленный аналог теоремы Каратеодори
Из теоремы Каратеодори (следствие 7.1) вытекает, что если
оптимумы
E9) тах{сх\Ах ^ Ь) = т\п{уЬ\у ^ 0; уА = с}
конечны, то существует оптимальное двойственное решение у,
содержащее не более г положительных компонент, где г - ранг
матрицы А. Верно ли это, если Ах ^ Ь - ВДЦ-система, с -
целочисленный и на вектор у также наложено требование
целочисленности? Нетрудно указать ВДЦ-системы с допустимыми
областями неполной размерности, для которых ответ
отрицателен (например, ^=_зг^=0гс" ^^' ^с"
ли ограничиться областями полной размерности, то ответ не
известен.
В работе Соок, Роп1ир1 апс! Зспг^уег [1986] получена
следующая оценка.
Теорема 22.12. Пусть ВДЦ-система Ах $ Ь с целочисленной
матрицей А определяет полиэдр полной размерности. Пусть с -
целочисленный вектор, для которого оптимумы E9) конечны.

Гл. 22. Вполне двойственная целочисленность 525
Тогда для задачи на минимум в E9) существует целочисленное
оптимальное решение у, содержащее не более 2г - 1 положи-
положительных компонент, где г = гапк (А).
Доказательство. Как и ранее, утверждение теоремы можно
получить из следующего результата. Пусть векторы а-,..., а.
из 2п образуют базис Гильберта и сопе {а а.}
заострен. Тогда каждый целочисленный вектор с из
сопе {а,..., а} является неотрицательной целочисленной
комбинацией не более чем 2п - 1 векторов а..
Для доказательства последнего утверждения возьмем
А ,..., А , доставляющие максимум
F0) тах {А1 + ... + А^ |А1,..., Л^ ^ 0;
с = А а + ... + А а }.
Так как сопе {а а} заострен, этот максимум конечен,
и по обычной, «дробной» теореме Каратеодори можно считать,
что в оптимальном решении задачи линейного программирования
F0) не более п множителей А. отличны от нуля. Рассмотрим
вектор
F1) с':= с -
Этот вектор целочисленный и принадлежит сопе {а.,,..., а}.
Значит,
F2) с' = д1а1 + ... + д^
для некоторых неотрицательных целых чисел Д-,..., Д..
Поскольку А ,..., А. доставляют максимум F0), то
X «#
F3) II + ... + 1± + |_А ] + ... + [А } ± А + ... + А..
X и X I X ъ
Учитывая, что не более п множителей А. отличны от нуля,
получаем
F4) 11г + ... + ^ *
25 А + ... + А^ - [А^ - ... - [А^ < п

526 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Следовательно, не более п - 1 неотрицательных целых чисел
отличны от нуля, и потому в разложении
F5) с = ([Л^ + д1)а1 + ... + (|Л^ + 11ь)аь
не более 2п - 1 ненулевых коэффициентов. а
Из теоремы 22.12 следует, что целочисленное оптимальное
двойственное решение для ЛП-программы на ВДЦ-ограничениях
Ах ^ Ь с целочисленной матрицей А может быть всегда записа-
записано в памяти, полиномиальной по числу переменных х, прямой
задачи, даже если число двойственных переменных экспонен-
экспоненциально велико.
22.7. Другая характеризация вполне двойственной
целочисленности
В работе 5спп]уег апс! Зеутоиг [1977] (см. также 5сЬп;)уег
[1981]), побудительным мотивом которой послужили работы
Ьоуазг [1976, 1977], было получено полезное для комбина-
комбинаторных приложений усиление теоремы Эдмондса и Джайлса
(следствие 22.1Ь).
Пусть А - рациональная (т х я)-матрица, Ь - целочислен -
ный т-вектор. Тогда для любого рационального вектора с вы-
выполняются следующие неравенства:
F6) тах {сх\Ах * Ь\ х - целочисленный} ^
^ тах {сх\Ах < Ь} = тт {уЬ\у * 0; уА = с) *
$ тт {уЬ\у ^ 0; уА = с; у - полуцелочисленный} з
5 т\п {уЬ\у ^ 0; уА = с\ у - целочисленный}.
Следствие 22.1Ь утверждает, что если три последних
оптимума совпадают для любого целочисленного вектора с, то
все пять оптимумов совпадают для любого целочисленного с.
Следующая теорема показывает, что для любого целочисленного
с достаточно требовать совпадения двух последних оптимумов
в F6).
Теорема 22.13. Рациональная система Ах ^ Ь вполне двойст-
двойственно целочисленна тогда и только тогда, когда минимум

Гл. 22. Вполне двойственная целочисленность 527
F7) т'т {уЬ\у ^ 0; уА = с\ у - полуцелочисленный}
конечен и достигается на целочисленном векторе у для любого
целочисленного вектора с, для которого т\п{уЬ\у ^ 0; уА =
= с} конечен.
Доказательство. В силу F6) достаточно доказать достаточ -
ность. Предположим, что система Ах ^ Ь удовлетворяет сфор-
сформулированному в теореме условию. Пусть С - множество цело-
целочисленных векторов су для которых
F8) гшп {уЬ\у > 0; у А = с)
конечен. Вначале покажем, что для любого с из С и любого
целого к ^ 0:
F9) т\п {уЬ\у ^ 0; уА = с\ 2ку - целочисленный} =
= гтпп {уЬ\у ^ 0; уА = с\ у - целочисленный}.
Доказательство проведем индукцией по к. Случай к = 0 триви -
ален. Для к ^ 0 имеем
G0) т\п {уЬ\у 2: 0; уА = с; 2к+1у - целочисленный} =
= 2~ктш {уЬ\у 2= 0; уА = 2кс; 2у - целочисленный} =
- 2~кгшп {уЬ\у ^ 0; у А = 2кс; у - целочисленный} =
= т\п{уЬ\у ^ 0; у А = с\ 2ку - целочисленный} =
- т'т {уЬ\у ^ 0; уА - с\ у - целочисленный}.
Здесь первое и третье равенства получаются непосредственно,
второе равенство вытекает из условия теоремы, а последнее
выполняется по индуктивному предположению. F9) доказано.
Из F9) вытекает
G1) \п\{уЬ\у ^ 0; уА = с\ у ~ диадический} =
= т\х\{уЬ\у ^ 0; уА = с; у - целочисленный}
для любого с из С (рациональный вектор называется
диадическим, если знаменатели всех его компонент - степени
двойки). Теорема будет доказана, если показать, что инфимум
в G1) равен минимуму F8) для всех с из С.

528 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Пусть теперь с € С и <2:= {у\у - 0; у А = с}. Тогда диади-
ческие векторы образуют плотное подмножество в .(?. Действи -
тельно, так как минимум F7) конечен, С} содержит по крайней
мере один диадический вектор, скажем у . Пусть Я: =
= аН.Ьи11(<2). Диадические векторы из линейного прост-
пространства Я - у образуют в И-у плотное подмножество (так
как все происходит в рациональных пространствах). Значит,
диадические векторы из Я образуют плотное подмножество в Я,
так как у - диадический. Из того, что полиэдр <2 имеет ту
же размерность, что и содержащее его пространство Я,
следует, что диадические векторы из <2 плотны в С?. Следова-
Следовательно, значения G1) и F8) совпадают. п
Следствие 22.13а. Пусть рациональная система линейных
неравенств Ах ^ Ь имеет хотя бы одно решение. Тогда система
Ах ^ Ь вполне двойственно целочисленна тогда и только
тогда, когда
(\) для любого вектора у ^ 0, для которого у А -
целочисленный, существует такой диадический
вектор у' а 0, что у* А - уА\
(п) для любого полуцелочисленного вектора у ^ 0,
для которого у А целочисленный, существует
такой целочисленный вектор у' ^ 0, что у* А -
= уА и у*Ь з уЬ.
Доказательство. Если система Ах 5 Ь имеет решение, то A) и
(п) эквивалентны условию теоремы 22.13. □
Условие (п) можно ослабить, если матрица А целочислен-
целочисленна.
Следствие 22.13Ь. Пусть рациональная система линейных
неравенств Ах ^ Ь с целочисленной матрицей А имеет хотя бы
одно решение. Тогда система Ах ^ Ь вполне двойственно цело-
численна тогда и только тогда, когда
(\) для любого вектора у а 0, для которого у А -
целочисленный, существует такой диадический
вектор у* а 0, что у* А = уА\
(и) для любого {0, тг}-вектора у, для которого
у А - целочисленный, существует такой целочис-
целочисленный вектор у* ^ 0, что у' А = уА и у' Ь $ уЬ.

Гл. 22. Вполне двойственная целочисленность 529
Доказательство. Достаточно показать, что из условия (п)
следствия 22.13Ь вытекает условие (и) следствия 22.13а.
Пусть для полуцелочисленного вектора у вектор у А тоже цело-
целочисленный. Тогда вектор у - [у] является {0, А)-вектором
([•] обозначает покомпонентное взятие нижних правых
частей). Так как у А и А целочисленны, то вектор у - \у\ то-
тоже целочисленный. По условию (и) следствия 22.13Ь сущест-
существует такой целочисленный вектор у", что у"А = (у - \у\)А
и у"Ь ^ (у - [у])Ь. Взяв у':- у" + |_1/_|, получим вектор,
необходимый для выполнения (и) следствия 22.13а. а
В качестве следствий теоремы можно получить аналогичные
результаты для других типов линейных задач.
Следствие 22.13с. Пусть А - неотрицательная рациональная
матрица и Ь - целочисленный вектор. Оба оптимума из соот-
соотношения Л П-двойственности
G2) тах{сх\х * 0; Ах < Ь) = тхп {уЬ\у * 0; уА = с)
имеют целочисленные оптимальные решения х и у для любого
неотрицательного целочисленного вектора су для которого эти
оптимумы конечны тогда и только тогда, когда минимум
G3) тп\п{уЬ\у ^ 0; уА ^ с\ у - полуцелочисленный}
конечен и достигается на целочисленном векторе у для любого
такого вектора с.
Доказательство. Это следствие можно доказать непосредст-
непосредственно, используя подход, аналогичный примененному при
доказательстве теоремы 22.13. а
Следствие 22.13Ь. Пусть А - неотрицательная целочисленная
матрица и Ь - рациональный вектор. Система х ^ 0; Ах ^ Ь
вполне двойственно целочисленна тогда и только тогда,
когда для любого {0, ^-вектора у существует такой целочис-
целочисленный вектор у* ^ 0, что у* А *■ \уА\ и у*Ь ^ уЬ.
Доказательство. Из следствия 22.13Ь известно, что система
х ^ 0; Ах ^ Ь вполне двойственно целочисленна тогда и
только тогда, когда

530 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
G4) A) для всех */, 2^0, для которых уА-г - це-
целочисленный, существуют такие диадические
векторы у\ г' ^ 0, что у' А ~ г' = уА - г;
(и) для всех {0, ^-векторов У* г* Для которых
уА - г - целочисленный, существуют такие це-
целочисленные векторы у\ г* ^ 0, что у'А -
-г' = уА - г и у' Ь * уЬ.
Так как А неотрицательна и целочисленна, A) тривиально вы-
выполняется, если взять у*:= [у] и г':= (\у\ - у)А + г. Усло-
Условие (и) эквивалентно условию доказываемого следствия (за-
(заметим, что уА - г = [уА], если у и г - {0, ^-векторы и
уА - г - целочисленный). О
Предоставим читателю возможность сформулировать анало-
аналогичные результаты для соотношений ЛП-двойственности
G5) т\п{сх\Ах > Ь} = тах {уЬ\у 2 0; уА = с} и
т\п{сх\х ^ 0; Ах *■ Ь} = тах{(/6|(/ ^ 0; уА ^ с}.
Приложение 22.3. Теорема Кёнига-Эгервари. В качестве
иллюстрации применим следствие 22.13A для получения теоремы
Кенига и Эгервари о двудольных графах (Котд [1931],
Е^егуагу [1931]).
Пусть С = (V, Е) - двудольный граф и М - его (V х Е)~
матрица инциденций. Тогда из следствия 22.13A вытекает, что
система х ^ 0, Мх ^ 1 - вполне двойственно целочисленна.
1 V
Действительно, пусть у - {0, ^-вектор из К , а У% и У2 -
два цветных класса графа О. Без потери общности полагаем
У(и) * к'У'1- Далее, пусть
G6) у'&) = 1, если V € Уг и у(Ь) = \%
у*(V) = 0 в противном случае.
Легко проверить, что у'М * [уМ} и у'\ * у\.
Таким образом, х ^ 0; Мх $ 1 - ВДЦ-система и, следова
тельно, оба оптимума в

Гл. 22. Вполне двойственная целочисленность 531
G7) тах{и>х\х * 0; Мх * 1} = т\п {у\\у * 0; уМ э: а;}
имеют целочисленные оптимальные решения. Как частный
случай получаем при ни - 1 теорему Кёнига-Эгервари: макси-
максимальная мощность паросочетания в двудольном графе совпадает
с минимальным числом вершин, покрывающих все ребра.
Замечание 22.3. Очевидно следующее обобщение теоремы 22.13.
Пусть А - рациональная (т х п) ~ матрица, Ь - целочисленный
вектор, к и / ^ 2 - натуральные числа. Тогда оба оптимума в
G8) тах {сх\Ах * Ь) = т\п {уЬ\у 2: 0; уА = с]
достигаются на \/к - целочисленных векторах х и у для
любого целочисленного вектора с, для которого оптимумы
конечны тогда и только тогда, когда минимум:
G9) т\п {уЬ\у ^ 0; уА = с; у(\/к1) - целочисленный}
конечен и достигается на \/к - целочисленном векторе у для
любого такого вектора с.
22.8. Оптимизация на целочисленных полиэдрах и ВДЦ-системы
с алгоритмической точки зрения
В § 16.3 было показано, что любую задачу целочисленного
линейного программирования на целочисленном полиэдре можно
решить за полиномиальное время. Повторим теорему 16.2.
Теорема 22.14. Существует полиномиальный алгоритм, который
для заданной определяющей целочисленного полиэдра рацио-
рациональной системы Ах ^ Ь и заданного вектора с находит опти-
оптимальное решение ЦЛП-задани тах{сх\Ах ^ Ь\ х - целочислен-
целочисленный) (если оно конечно).
Доказательство. См. теорему 16.2. □
Теперь пусть Ах ^ Ь - ВДЦ-система. Рассмотрим соотноше-
соотношение ЛП-двойственности
(80) тах{сх\Ах ^ Ь) - тт {уЬ\у ^ 0; у А = с).

532 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Если Ь - целочисленный, то система Ах * Ь определяет цело-
целочисленный полиэдр и по теореме 22.14 целочисленное опти-
оптимальное решение задачи на максимум в (80) можно найти за
полиномиальное время.
С помощью метода Хачияна можно также найти за полиноми-
полиномиальное время (дробное) оптимальное решение задачи на мини-
минимум в (80). Чандрасекаран (Спапёгазекагап [1981], ср. ОгПп
[1982]) показал, что, сочетая «жадный» алгоритм с алгорит-
алгоритмом Хачияна и алгоритмом Фрумкина, фон цур Гатена и Зиве-
кинга, можно найти за полиномиальное время и целочисленное
оптимальное решение у в (80) для целочисленной матрицы А.
Теорема 22.15. Пусть Ах $ Ь ~ ВДЦ~система с целочисленной
матрицей А и с - целочисленный вектор. Тогда целочисленное
оптимальное решение задачи на минимум в (80) можно найти за
полиномиальное время.
Доказательство. Методом Хачияна можно найти оптимальное
решение х задачи на максимум (80). Пусть а ,..., а -
строки Л, соответствующие неравенствам системы Ах ^ Ь, ко-
которые обращаются в равенства в точке х . Векторы а^,..., а^
образуют базис Гильберта, так как Ах ^ Ь - ВДЦ - система.
Пусть С:= сопе {а ,..., а } и Р - минимальная грань С. Не
умаляя общности, можно считать, что а »..., а^ - векторы
из а 1,..., а принадлежащие Р. Эти векторы тоже можно
определить с помощью метода Хачияна, так как а. принадлежит
Р тогда и только тогда, когда -а. принадлежит С.
Прежде всего покажем, что каждый целочисленный вектор а*
из Р можно за полиномиальное время представить в виде
неотрицательной целочисленной линейной комбинации векторов
а ,..., а . Действительно, по методу Хачияна можно найти
для нулевого вектора 0 разложение
с положительными **к+г*ф"» ^ъ; поскольку Р =
- сопе {а. ,..., а}, то для каждого \ > к найдутся такие
числа 1>к+1,.-.. 1^_г ^+1.---» ^ - °> чт0
1
То есть Р = Пп.зрасеС. - Прим. перев.

Гл. 22. Вполне двойственная целочисленность 533
(82) -ал = Рк+1ак+1 + ... + ^а^ + V а
... +
Тогда
(83) 0 = 1>к+Л+1 + ... + V^_1а^_1 + а,
Суммируя (83) по всем / > /г, получим разложение вида (81)
для вектора 0.
Далее с помощью алгоритма Фрумкина, фон цур Гатена и Зи -
векинга (следствие 5.3Ь) вектор й можно представить в виде
(84) й =
с целыми т.+ ,..., т . Тогда при подходящем М формула
(85) а =
выражает й в виде неотрицательной целочисленной комбинации
а.+1,,.., а Все это можно сделать за время, полиноми-
полиномиальное по размерам А и й.
Теперь пусть о* - наибольшее рациональное число, для ко-
которого с ~ сг а принадлежит С (сг можно найти методом Ха-
чияна). Положим с1ф.= с - \&Лал. Пусть, далее, <г - наи-
большее рациональное число, для которого с - <Уоа принад-
2 1
лежит С. Положим с :- с - \?о\ао- Продолжаем таким же об-
к
разом до тех пор, пока не получим вектор <г.
Покажем, что с принадлежит Р. Заметим, что с - А а +
+ ... + Л а. для некоторых неотрицательных целых Л1,..., Л
(так как с - целочисленный вектор из С). Из способа выбора
величин с. следует, что вектор с - а не принадлежит С
к
при / = 1,..., Л. Значит, Л. = ... = Л = 0 и с принадле-
принадлежит Р.
Так как ск принадлежит Ру то описанным выше методом
можно найти такие неотрицательные целые 0"к+1» ••» &^
(86) с =

534 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Это дает целочисленное оптимальное решение у для задачи
на минимум в (80). и
В действительности описанный выше алгоритм позволяет
решать за полиномиальное время следующую задачу: для
системы линейных неравенств Ах ^ Ь с целочисленной матрицей
А и целого вектора с найти оптимум в ЦЛП-задаче
т'т{уЬ\у %. 0; уА = с; у - целочисленный}, если минимум ко-
конечен, или показать, что Ах ^ Ь не является ВДЦ-системой .
22.9. Распознавание целочисленных полиэдров и вполне
двойственная целочисленность
Легко видеть, что следующая задача:
(87) «для рациональной системы линейных неравенств
Ах ^ Ь определить, задает ли она целочисленный
полиэдр»
принадлежит к классу сложности со~ЫР. Если Ах ^ Ь не задает
целочисленный полиэдр, то некоторая минимальная грань не
содержит целочисленного вектора. Эту минимальную грань
можно описать системой А'х = &', где А'х ^ Ь* - подсистема
системы Ах ^ Ь\ А' имеет такой же ранг, что и Л, и Ах0 ^ Ь
для некоторого х , для которого А*х0 = Ъ*. Тот факт, что
система А'х = Ъ* не имеет целочисленных решений, можно
проверить за полиномиальное время в силу следствия 5.3Ь.
Принадлежит ли задача (87) к классу ЫР, неизвестно. Если
зафиксировать ранг А, то за полиномиальное время легко про-
проверить, определяет ли система Ах ^ Ь целочисленный полиэдр.
Теорема 22.16. Для любого фиксированного г существует
полиномиальный алгоритм проверки целочисленности полиэдра
Р:= {х\Ах ^ Ь}, где Ах ^ Ъ ~ рациональная система нера-
неравенств с гапк (А) = г.
Отметим также, что описанный алгоритм решает за
полиномиальное по размеру целочисленного базиса Гильберта
время задачу целочисленного неотрицательного разложения в
этом базисе. - Прим. ред.

Гл. 22. Вполне двойственная целочисленность 535
Доказательство. Для каждого выбора г ограничений А* х ^ Ъ*
из Ах ^ Ь проверим, являются ли строки А' линейно независи-
независимыми, если да, то найдем решение х системы А'х = Ъ'\ про-
проверим, выполняется ли Ах ^ 6, если да, то Р: = {х\А* х =
= Ь'} - минимальная грань полиэдра Р\ проверим, содержит ли
Р целочисленный вектор (следствие 5.3Ь).
Если А содержит пг строк, то систему А'х ^ Ь' можно выб-
выбрать "? способами. Каждая минимальная грань проверяется
по меньшей мере один раз для принадлежащих Р целочисленных
векторов. Поскольку при фиксированном г число сочетаний
^ полиномиально по т, описанный выше переборный алго-
алгоритм полиномиален. О
Аналогичная ситуация имеет место для вполне двойственной
целочисленности. Задача
(88) «для рациональной системы Ах ^ Ь определить, явля-
является ли она вполне двойственно целочисленной»
принадлежит со-#Я, если ограничиться целочисленными матри-
матрицами Л. В этом случае, если Ах ^ Ь ~ не ВДЦ-система, су-
существует целочисленный вектор с, для которого не работает
алгоритм из теоремы 22.15, причем размер с можно ограничить
полиномом от размера А: если с - целочисленный «контр-
«контрпример» и у - (дробное) решение задачи т\п{уЬ\у ^ 0; уА =
= с}, то и вектор с''.■=■ {у ~ \у\)А дает целочисленный контр-
контрпример для свойства вполне двойственной целочисленности.
Из того, что задача (88) принадлежит со-МР, вытекает,
что задача
(89) «для рациональной системы Ах ^ Ь определить, явля-
является ли она ящично вполне двойственно целочислен-
целочисленной»
тоже принадлежит со~МР. Если Ах ^ Ь не ЯВДЦ-система, то
Ах ^ Ь, I ^ х ^ и не ВДЦ-система для некоторых векторов-
столбцов /, и достаточно малого (т. е. полиномиального по
входу) размера. Далее, задача

536 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
(90) «для рациональной системы Ах з Ь определить, зада-
задает ли она ЯВДЦ-полиэдр»
также принадлежит со-ИР (см. Соок [1986]).
Неизвестно, принадлежит ли задача (88) классу ЫР.
Эдмондс и Джайлс (Ейтопйз апс! ОПез [1984]) предположили,
что она со-ЫР полна. В следствии 22.17 мы увидим, что если
А - целочисленная и ранг А фиксирован, то вполне двойст-
двойственную целочисленность системы Ах з Ь можно проверить за
полиномиальное время.
Для распознавания базисов Гильберта ситуация аналогична.
Задача «для целочисленных векторов а^..., а^ определить,
образуют ли они базис Гильберта» принадлежит со-ЫР, и не-
неизвестно, принадлежит ли она ЫР. Если ранг системы векторов
а1,..., а фиксирован, то задача может быть решена за
полиномиальное время с помощью алгоритма, основанного на
сведении к методу Ленстры для линейного целочисленного
программирования, см. §18.2. Указанное сведение было опи-
описано в работе Соок, Ьоуазг апс! Зспг^уег [1984], продолжа-
продолжающей работы СЬапйгазекагап апс! 5ЫгаП [1984] и ОПез ап<1
ОгНп [1981].
Теорема 22.17. Для любого фиксированного г существует
полиномиальный алгоритм, позволяющий определять, образуют
ли строки заданной целочисленной матрицы А ранга г базис
Гильберта.
Доказательство. \. Пусть ал,..., а - строки целочисленной
(т х п)-матрицы А. Покажем сначала, что можно считать конус
С:= сопе {а ,..., а ) заостренным и имеющим полную раз-
размерность. Пусть Г - (единственная) минимальная грань С и
Ь - линейная оболочка С. Не умаляя общности, предположим,
что а ,..., а - все строки А, принадлежащие Р (их можно
найти за полиномиальное время, так как строка а. из А при-
принадлежит Р тогда и только тогда, когда -а € С). Положим
й\= сНт Т7 (и отметим, что г = сИга Ц. Существует такая уни-
модулярная матрица С/, что Р1/ = Кй х 0п~ и Ш = Кг х 0п~г.
Такую матрицу и можно найти следующим образом. Выберем а*
линейно независимых векторов Х}у~>Х)& из я^..., а^
после чего из а. ,,..., а выберем г - а* таких векторов

I I
Гл. 22. Вполне двойственная целочисленность 537
что
»
линейно
независимы.
векторы -1,...,
Пусть V - матрица со строками с^,..., V . За полиномиальное
время (см. следствие 5.3а) можно найти такую унимодулярную
матрицу С/, что VII есть (нижняя треугольная) нормальная
эрмитова форма. Нетрудно проверить, что V обладает требу-
требуемыми свойствами.
Далее, строки А образуют базис Гильберта тогда и только
тогда, когда строки А11 образуют базис Гильберта. Поэтому
можно считать, что А = Аи, Р = Кпх0п-<1 и I = Кгх0п"г.
Так как теперь последние п - г столбцов матрицы А - нуле-
нулевые, можно также считать, что п = г. Легко видеть, что
строки а образуют базис Гильберта тогда и только тогда,
когда
(91)
A) а ,..., а. образуют базис Гильберта (порож-
(порождающий Р)\
(и) строки А' образуют базис Гильберта, где А' -
матрица, состоящая из последних п - й столбцов
матрицы Л.
Далее,
(92)
а ,..., а образуют базис Гильберта тогда и толь
ко тогда, когда порожденная этими векторами решет
ка есть Р п 1п.
Действительно, необходимость условия очевидна. Для
доказательства достаточности возьмем целочисленный вектор
г из Р. По предположению, г = V а + ... + V а. для неко-
торых целых У1?..., 1^. Далее, для любого I = 1,..., г век-
вектор -а1 принадлежит Р и, значит, является неотрицательной
,..., а . Следовательно, 0 =
для некоторых положительных рацио-
Тогда можно подобрать М такое что
.. + (V + М[1Ла. будет являть-
комбинацией
нальных
векторов
запись г = (у + М[1 )а +
ся неотрицательной целочисленной комбинацией векторов
(X.,..., (X. .
Сформулированное в (92) условие можно проверить за
полиномиальное время, построив нормальную эрмитову форму

538 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
для матрицы Лф, где Ао - подматрица Л, образованная первыми
строками и первыми й столбцами последней. Условие (92)
эквивалентно тому, что решеткой, порожденной строками Ао,
является 2 , что, в свою очередь, выполняется тогда и
только тогда, когда нормальной эрмитовой формой для А?
служит матрица [/ 0].
Итак, (91)A) можно проверить за полиномиальное время.
Осталось проверить (91)(п), т. е. образуют ли строки А*
базис Гильберта. Конус, порожденный строками А\ является
заостренным и имеет полную размерность. Поэтому, не теряя
общности, будем далее считать порожденный исходными векто-
векторами о-^-'у а конус С заостренным и имеющим полную раз-
размерность п = г.
II. Сейчас мы опишем алгоритм, позволяющий проверить,
составляют ли векторы а ,..., а базис Гильберта для
порожденного ими конуса С, если конус С - заостренный и
имеет полную размерность.
Вначале заметим, что а 1,..., а образуют базис Гильберта
для С тогда и только тогда, когда множество
(93) Со:= {г € С\г - а. * С для I = 1,..., т]
содержит единственный целочисленный вектор - начало коорди-
координат.
Действительно, чтобы показать необходимость условия,
возьмем произвольный целочисленный вектор г из Со. Тогда
г = ^1^1 + ... + Л а с неотрицательными целыми Л ,..., Л .
Поскольку г - а. € С, то Л = ... = Л = 0 и, значит, г =
= 0.
Для доказательства достаточности возьмем целочисленный
вектор г из С. Пусть Л - наибольшее рациональное число,
для которого г - а А принадлежит С. Далее, пусть Л - наи-
наибольшее рациональное число, для которого г - [Л \а - Л а
принадлежит С. И так далее, пока не найдем Л,,..., Л .
1 1 Ш
Тогда г - [Л ]а. - ... - 1^_|# является принадлежащим Со
целочисленным вектором и, следовательно, это начало коорди-
координат. Тем самым получено выражение вектора г в виде
неотрицательной целочисленной комбинации а.,..., а .
1 т

Гл. 22. Вполне двойственная целочисленность 539
Итак, достаточно проверить, что начало координат -
единственный целочисленный вектор в Со. Пусть Ь.,..., Ь -
векторы, задающие конус С в полиэдральном виде:
(94) С = {г\Ь г * О, I = 1,..., *}.
В силу того что ранг г системы векторов а1,..., а
равен я, требуемые Ь ,..., Ь^ можно найти за полиномиальное
время: каждую фасету С определяют г линейно независимых
векторов из а,,..., а .
Теперь из (93) и (94) тривиально следует, что
(95) Со = {г € С|для всех I = 1 т существует такое
/ = !,.,.,/, что Ь^г < ^а.}.
Тогда если обозначить через Ф набор всех функций
ф: {1,..., т} -» {!,..., /}» то
(96) Сп = и {г|6,г ^ 0 для / = 1,..., г и
0 0 € Ф <*
Формула (96) представляет С в виде объединения выпуклых
множеств, и нам нужно проверить, что каждое из этих
выпуклых множеств не содержит иных целочисленных векторов,
кроме начала координат. Мы увидим, что при фиксированной
размерности это можно сделать с помощью алгоритма Ленстры
(см. следствие 18.7а) за полиномиальное время. (Отметим,
что даже при фиксированном п мощность в общем случае
экспоненциальна по т.)
Обозначим через 1 набор векторов г, каждый из которых
задается некоторыми п линейно независимыми уравнениями из
системы
(97) Ь.г = 0 (/ = 1,..., /),
Ь г = Ь а1 (у = 1,..., 1\ I = 1 т).
Так как п фиксированно, 1 можно пересчитать и запомнить за
полиномиальное время. Далее, через 2 обозначим набор всех
таких подмножеств (г.,..., г } из 2, что
* 1 Ту

540 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
(98) (I) 21,..., гп - линейно независимы;
(И) г1,..., г принадлежат С;
A11) V I = 1?..., т 3 / = 1 *,
V к = 1,..., л: 6.гк =5 ^<а<-
также можно пересчитать и запомнить за полиномиальное
время. Определим
(99) с^,..., гп): =
= сопу.ЬиП {0, г1,..., *п} \ сопу.ЬиН {г1,..., г }
для {г ,..., 2^} из 2. В заключение покажем, что
A00) С = и о<г .... г )
и тогда теорема будет доказана: с помощью алгоритма Ленстры
для каждого {г1,...| г^} из Е можно проверить, содержит ли
<г{г ,..., г } \ {0} целочисленный вектор. Следовательно,
можно проверить, имеются ли в Со отличные от начала коорди-
координат целочисленные векторы.
Чтобы доказать A00), заметим вначале, что С ограниче-
ограничено. Действительно, Сп Я {^«а, + ••• + Л а 10 ^ Л. < 1, / =
II 11 ГО ГО 1
= 1,..., т). Пусть ш € Со. В силу (96) существует такая
функция ф из Ф, что ш принадлежит выпуклому множеству
A01) Р = {г\Ь^г * 0 для / = 1,..., / и
Ь Ьа\ для ' " 1
Так как Р ограниченно и непусто, то ограниченность сохра-
сохранится и при замене в A01) знака < на ^, т. е. при переходе
от Р к замыканию Т. Так как 0 € Ту то существует такое е >
> 0, что A + е)ш является выпуклой комбинацией некоторых
линейно независимых вершин г^..., г^ множества Т7. Тогда
{гг..., гп} € Е и ш € ст(г1,..., гп).
Чтобы доказать обратное включение в A00), возьмем
{г1,..., *п} € Е и хю € (г1,...» гп). Существует такое е >
> 0, что A + е)ш € о^,..., гп). В силу (98)(Н) ш при-
принадлежит С. Кроме того, в силу (98)(Ш) существует такая
ФУНКЦИЯ ф ИЗ Ф, ЧТО Ьфцл^ъ ~ ^0A)а1 ДЛЯ ' " ^•••» т и

Гл. 22. Вполне двойственная целочисленность 541
к = 1,..., л. Значит, Ь.2 ^ 0 для всех / = 1,..., * и к =
= 1,..., пу а так как г ,..., г линейно независимы, то
^Ф1')а' у ® для всех 1 " ^••» т- Следовательно, из того,
что A + е)^(Аг1)а; - Ьф..,а для | = 1,..., т, вытекает, что
^^ < ^<6ша1 для ' = !»•••» т» и поэтому ад принадлежит
Следствие 22.17а. Для любого фиксированного г существует
полиномиальный алгоритм распознавания вполне двойственной
целочисленности систем Ах ^ Ь с целочисленными матрицами А
ранга г.
Доказательство. Пусть задана система Ах ^ Ьу где А - цело-
целочисленная матрица ранга г. По теореме 22.5 достаточно
проверить, верно ли, что если Р - минимальная грань Р:=
= {*|Л* ^ Ь}у то активные для Г строки матрицы А образуют
базис Гильберта. При фиксированном г все минимальные грани
Р можно пересчитать за полиномиальное время тем же
способом, как в доказательстве теоремы 22.16. Пусть Р =
= {х\хА*х = Ь'} ~ минимальная грань Р, где А*х ^ Ь* является
подсистемой системы Ах ^ Ь. Обозначим через а,,..., а. те
строки матрицы Л, которые активны в Р (они могут быть
найдены, если взять решение х уравнения А' х - Ь' и выбрать
все строки А, соответствующие ограничению Ах ^ Ь и удовлет-
удовлетворяющие равенству при подстановке х0). Проверить, образуют
ли активные для данной грани строки базис Гильберта можно с
помощью метода, описанного в теореме 22.17. Р
Вопрос принадлежности к классам #Р или со-МР задачи
распознавания вполне двойственной целочисленности общих
(возможно, рациональных) систем линейных неравенств пока,
по-видимому, остается открытым.
Используя теорему 22.17, Кук (Соок [1986]) показал, что
проверка ящичной вполне двойственной целочисленности систем
Ах ^ Ь с целочисленными матрицами А фиксированного ранга
также выполнима за полиномиальное время.
22.10. Целочисленное округление и разложение
В заключение мы рассмотрим два свойства, связанные с
целочисленными полиэдрами и вполне двойственной целочис-

542 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
ленностью: свойство целочисленного округления для систем
линейных неравенств и свойство целочисленного разложения
для полиэдров.
Говорят, что рациональная система линейных неравенств
Ах ^ Ь обладает свойством целочисленного округления, если
A02) т\п {уЬ\у ^ 0; уА = с\ у - целочисленный} =
= \т\п {уЬ\у а 0; у А = с\
для любого целочисленного вектора с, для которого минимум
т\п {уЬ\у ^ 0\уА - с) конечен.
Заметим, что если Ь - целочисленный, то неравенство ^ в
A02) выполняется тривиально. Кроме того, если Ь - целочис-
целочисленный, то Ах ^ Ь является ВДЦ-системой тогда и только
тогда, когда Ах ^ Ь обладает свойством целочисленного
округления и {*|Л* ^ Ь) является целочисленным полиэдром.
На самом деле, свойство целочисленного округления можно
охарактеризовать в терминах вполне двойственной целочис-
ленности или в терминах базисов Гильберта более конкретно
(ОПез апс! ОгНп [1981]).
Теорема 22.18. Разрешимая рациональная система линейных
неравенств Ах ^ Ь с целочисленным вектором Ь обладает
свойством целочисленного округления тогда и только тогда,
когда система Ах - Ьт) ^ 0, т) ^ 0 (где Т) - новая переменная)
является ВДЦ-системой, т. е. тогда и только тогда, когда
строки матрицы
A03)
■ А Ь
0 1
образуют базис Гильберта.
Доказательство. Вначале предположим, что Ах ^ Ь обладает
свойством целочисленного округления. Для того чтобы пока-
показать, что строки матрицы A03) образуют базис Гильберта,
возьмем целочисленный вектор (с, у) из конуса, порожденного
строками A03). Тогда существуют такие у ^ 0, { & 0, что
с = у0А, у = у Ь + ^0, и поэтому правая часть A02) не
превосходит Г#о^1 - У- Следовательно, существует такой це-
целочисленный вектор у ^ 0, что у А = с и у.Ь ^ \У^Л - К-

Гл. 22. Вполне двойственная целочисленность 543
Взяв С^= У - УХЬУ получим с = ухА> у = у%Ь + <г Таким,
образом, (с, у) является неотрицательной целочисленной ком-
комбинацией строк A03).
Чтобы доказать достаточность, возьмем такой целочис-
целочисленный вектор с, что величина 5:= т\п {уЬ\у ^ 0; уА = с}
конечна. Тогда целочисленный вектор (с, [1) принадлежит
конусу, порожденному строками A03). Из предположения, что
строки образуют базис Гильберта, получаем, что существуют
такие целочисленный вектор у ъ 0 и целое С ^ 0, что
у А = с, у.Ь + С - [3~|- Отсюда следует неравенство ^ в
A02). Обратное неравенство тривиально. П
Из этой теоремы и теоремы 22.17 следует, что если А и
Ь ~ целочисленные и ранг А фиксирован, то свойство целочис-
целочисленного округления может быть проверено за полиномиальное
время (см. Ваши апA ТгоИег [1982]). Кроме того, если Ах ^
з Ь обладает свойством целочисленного округления и Л, Ь и
с - целочисленные, то по теореме 22.15 ЦЛП-задача
A04) т\п {уЬ\у ^ 0; уА - с\ у - целочисленный}
разрешима за полиномиальное время (Спапйгазекагап [1981]).
Нетрудно перенести определение свойства целочисленного
округления и на другие типы систем неравенств. Так, если
А - целочисленная, то система х ^ 0; Ах ^ Ь обладает свой-
свойством целочисленного округления тогда и только тогда,
когда
A05) тах {уЬ\у ^ 0; у А ^ с\ у - целочисленный} =
= \тгх{уЬ\у * 0; у А * с}]
для любого целочисленного вектора с, для которого правая
часть в A05) конечна.
В работе Вашп апс1 ТгоНег [1981] показано, что с помощью
полярности свойство целочисленного округления можно связать
со свойством целочисленного разложения. Говорят, что рацио-
рациональный полиэдр Р обладает свойством целочисленного разло-
разложения, если для любого натурального к любой целочисленный
вектор полиэдра кР(\- {кх\х € Р}) представим в виде суммы к

544 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
целочисленных векторов из Р. Иначе говоря, Р обладает
свойством целочисленного разложения, если для любого
натурального к и любого вектора х из Р, координаты которого
кратны \/кч существуют такие целочисленные векторы
*,,..., х из Р и такие Л,,..., Л , что
1* ш 1т
A06) х = \.хл + ... + Л х , Л- + ... + Л =1,
4 ' 11 т т 1 т
Л.,..., Л ^ 0, каждое Л. кратно \/к.
1 Ш 1
Ясно, что любой полиэдр со свойством целочисленного разло-
разложения является целочисленным.
Оказалось, что некоторые встречающиеся в комбинаторике
полиэдры обладают свойством целочисленного разложения.
Далее, в работе Ваит апс! ТгоИег [1977] показано, что мат-
матрица А вполне унимодулярна тогда и только тогда, когда
полиэдр {х\х ^ 0; Ах ^ Ь) обладает свойством целочисленного
разложения для любого целочисленного вектора Ь (см. теоре-
теорему 19.4).
В работе Ваит апс! ТгоИег [1981] описана связь между
свойствами целочисленного округления и целочисленного раз-
разложения в терминах полярного соответствия «блокирования» и
«антиблокирования» полиэдров, см. § 9.2, 9.3.
Теорема 22.19. Пусть А - неотрицательная целочисленная мат-
матрица.
(\) Система х %■ 0; Ах ^ 1 обладает свойством целочис-
целочисленного округления тогда и только тогда, когда блокирующий
полиэдр В(Р) полиэдра Р\- {х ^ 0|Ак ^ 1} обладает свойством
целочисленного разложения и все минимальные (по отношению
^) целочисленные векторы из В(Р) являются строками матрицы
А.
(и) Система х ^ 0; Ах ^ 1 обладает свойством целочис-
целочисленного округления тогда и только тогда, когда антиблоки -
рующий полиэдр А(Р) полиэдра Р\= {х ^ 0\Ах * 1} обладает
свойством целочисленного разложения и все максимальные (по
отношению ^) целочисленные векторы из А(Р) являются стро-
строками матрицы А.
Доказательство. Чтобы показать необходимость в A), возьмем
произвольное натуральное число к. Пусть с - целочисленный
вектор из кВ(Р). Тогда сх ^ к для всех х из Р. Отсюда

Гл. 22. Вполне двойственная целочисленность 545
A07) к * т'т{сх\х * 0; Ах * 1} =
= тах {у\\у * 0; уА * с}.
Если х ^ 0; Л* ^ 1 обладает свойством целочисленного округ-
округления, то существует такой целочисленный вектор у ^ 0, что
у А з с н уЛ * к (см. A05)). Так как строки А являются
целочисленными векторами из В(Р), получаем, что с есть
сумма к целочисленных векторов из В(Р).
Если с - минимальный целочисленный вектор из В(Р), поло-
положим
A08) к: = [т'т{сх\х € Р}].
Тогда к - 1. Действительно, так как с принадлежит кВ(Р),
то, как уже было показано, с = с + ... + с для некоторых
целочисленных векторов с ,..., с из 5(Р); но так как с
минимален, то к = 1.
Если система х ^ 0; Лх 2: 1 обладает свойством целочис-
целочисленного округления, то
A09) 1 = к = 1т1п{сх\х * 0; Ах * 1}] =
= [тах {у\ \у ^ 0; у А ^ с}] =
= тах{(/1|(/ ^ 0; (/Л ^ с\ у - целочисленный}.
Следовательно, у\ - 1 и уА ^ с для некоторого целочисленно-
целочисленного вектора у. Это означает, что с ^ а для некоторой строки
а из Л. Так как с - минимальный целочисленный вектор из
В(Р), то с сам является строкой Л.
Чтобы показать достаточность в A), выберем такой цело-
целочисленный вектор с, что
(ПО) тах{у\\у а 0; у А ^ с}
конечен. Пусть к равно нижней целой части (ПО). Тогда с
принадлежит кВ(Р). Если В(Р) обладает свойством целочис-
целочисленного разложения, то в В(Р) существуют такие целочис-
целочисленные векторы, что с - с + ... + с . Значит, в Л есть
такие строки а,..., а, что с ^ а +...+ а. Следова-
Следовательно, к ^ тах {у\ \у ^ 0; уА ^ с\ у ~ целочисленный}.
Часть (п) доказывается аналогично. П

546 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
В работе Ваши апё ТгоНег [1981] введены следующие опре-
определения. Говорят, что матрица А обладает свойством целочис-
целочисленного округления вниз, если система х ^ 0; Ах ^ 1 облада-
обладает свойством целочисленного округления. Аналогично, А обла-
обладает свойством целочисленного округления вверх, если
система х ^ 0; Ах 5 1 обладает свойством целочисленного
округления. Таким образом, в теореме 22.19 рассмотрены
свойства целочисленного округления вниз и вверх.
В работе МсО1агппA [1983] определено, что полиэдр Р
обладает свойством среднего целочисленного разложения, если
для любого натурального числа к и любого целочисленного
вектора с полиэдр Р п (с - кР) - целочисленный. Из этого
свойства вытекает, что Р обладает свойством целочисленного
разложения: если с € кР, то к~гс € Р п (с - (к - 1)Р), и,
значит, в Р п (с - (к - 1)Р) есть целочисленный вектор,
скажем, с . В частности, с - с € (к - \)Р. Отсюда по ин-
индукции можно найти в Р такие целочисленные векторы
^к» -., су что с = с + ... + с .
Дальнейшие ссылки по теме этого параграфа включают
работы ОгПп [1982] и СЬапсказекагап апA ЗЫгаП [1984].
23
ОТСЕЧЕНИЯ
Эта глава посвящена выделению целочисленной части полиэдров
с помощью отсечений. Метод отсечений был разработан в конце
1950-х годов Гомори для решения целочисленных линейных
программ с помощью симплекс-метода. Метод отсечений
оказался полезным и с теоретической точки зрения - он дает
возможность описать целочисленную оболочку полиэдра.
В §23.1 описываются геометрические основы теории отсе-
отсечений, из которых следует, что некоторые результаты цело-
целочисленного линейного программирования могут быть установ-
установлены с помощью так называемого вывода отсечений , которому
1
СиШпд р1апе ргоо\. - Прим. перев.

Гл. 23. Отсечения 547
посвящен § 23.2. Число отсечений и длину вывода можно
рассматривать как некоторую меру сложности ЦЛП-задач, оцен-
оценки которой даются в §23.3. В §23.4 речь идет о ранге мат-
матрицы, представляющем собой границу числа шагов округления и
добавления отсечений при решении любой ЦЛП-задачи над этой
матрицей и называемом рангом Хватала. В § 23.5 отсечения
иллюстрируются двумя примерами из комбинаторики. В § 23.6
описана связь отсечений с теорией #Р-сложности, а в
§ 23.7 - взаимосвязь отсечений и двойственности. Наконец, в
§ 23.8 описывается метод отсечений Гомори, дающий алгоритм
решения задач целочисленного линейного программирования, и
обсуждаются некоторые другие связанные с ним методы.
23.1. Олисание целочисленной оболочки с помощью отсечений
Опишем теоретические основы метода отсечений, следуя рабо-
работам СЬуа1а1 [1973] и 5сЬп]Уег [1980].
Как и раньше, через Р1 обозначим целочисленную оболочку
полиэдра Р, т. е. выпуклую оболочку целочисленных векторов
из Р. Очевидно, что если Н - рациональное аффинное полу-
полупространство {х\сх ^ б}, где с - ненулевой вектор, компо-
компоненты которого - взаимно простые целые числа (любое рацио-
рациональное аффинное полупространство можно представить в таком
виде), то
A) Нг = {х\сх * [5]}.
Геометрически Я_ получается из Я в результате сдвига огра-
ограничивающей Я гиперплоскости до тех пор, пока она не будет
содержать целочисленные векторы. Для любого полиэдра Р оп-
определим
B) Я':= о Я.,
2 х
где пересечение берется по всем рациональным аффинным
полупространствам Я, содержащим Р. (Понятно, что в пересе-
пересечении можно рассматривать только те полупространства,
граничные гиперплоскости которых являются опорными гипер-

548 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
плоскостями Р.) Так как из Р Я Я следует Рг Я Яг то Р1 Я
Я Р'. Значит, Р 2 Р' 2 Р" 2 Р"' 2 ... 2 Рг Ниже мы пока-
покажем, что если полиэдр Р - рациональный, то Р' - тоже рацио-
рациональный полиэдр и для некоторого натурального числа / имеет
место РШ = Рг (Здесь Р(о):= Р и />(т):= Рш'.) Этот
факт лежит в основе известного метода отсечений (Сотогу
[1958, 1960, 1963а]) для решения задач целочисленного
линейного программирования. Последовательные полупрост-
полупространства Я_ (или, более строго, их граничные гиперплоскости)
называются отсечениями.
При применении метода отсечений решаются линейные задачи
на Я, Р', Р"\ Р"'... до тех пор, пока задача не будет
иметь целочисленное оптимальное решение. На самом деле,
соответствующие полиэдры определяются не полностью, так как
максимизируется только один линейный функционал.
Ниже мы увидим, что в пересечении B) можно ограничиться
конечным числом полупространств Я, а именно, теми полу-
полупространствами, которые соответствуют какой-либо определи -
ющей Р ВДЦ-системе (см. теорему 22.6). Их можно найти за
конечное, но, вообще говоря, экспоненциальное время, исходя
из линейных неравенств, определяющих Р.
Теорема 23.1. Пусть полиэдр Р = {х|Лх ^ Ь) задан ВДЦ~
системой Ах ^ Ь с целочисленной матрицей А. Тогда Р' =
= {х|Лх ^ 1Ь]}. В частности, для любого рационального поли-
полиэдра Р множество Р' тоже является полиэдром. ([ \ обознача-
обозначает покомпонентное взятие целых частей.)
Доказательство. Если Р # 0, то теорема тривиальна, поэтому
можно считать, что Р * 0. Вначале заметим, что Р' Я {х\Ах *
- |А|}> так как каждое неравенство из Ах ^ Ь задает аффин-
аффинное полупространство Я, в то время как соответствующее не-
неравенство из Ах ^ \Ь\ задает полупространство, содержащее
нг
Чтобы доказать обратное включение, возьмем любое рацио-
нальное афффинное полупространство Я = {х\сх ^ б}, которое
содержит Р. Не умаляя общности, можно считать, что компо-
компоненты с взаимно простые числа. Тогда Я = {х\сх ^ [б]}. Из
Я 2 Р и соотношения ЛП-двойственности имеем

Гл. 23. Отсечения 549
C) б == тах {сх\Ах * Ь) = т\п {уЬ\у а 0; уА = с}.
Так как Ах ^ Ь - ВДЦ-система, то минимум в C) достигается
на целочисленном векторе, который обозначим у . Из Ах 5 \Ь\
следует
D) сх = у0Ах * уо
Таким образом, {х|Лл: ^ [Ь}} Я Я . Так как все это верно для
любого рационального аффинного полупространства И 2 Я, то
включение {х|Л* ^ [Ь]} Я Р' доказано. □
Докажем теперь следующую лемму.
Лемма. Пусть Р - грань рационального полиэдра Р. Тогда Р' -
= Р' п Р.
Доказательство. Пусть Р = {х|Лх ^ Ь), где А - целочисленная
матрица и Ах ^ Ь - ВДЦ-система . Пусть, далее, Р - {х\Ах ^
^ Ь\ ах = Э} - грань р, где ах ^ Э - некоторое выполненное
для Я неравенство, а - целочисленный и Э - целое. Так как
Ах ^ Ь\ ах ^ 3 - ВДЦ-система, то по теореме 22.2 система
Ах ^ 6; ах = $ также является ВДЦ-системой. Тогда из цело-
численности 0 следует, что
E) Р' п Р = {х\Ах ^ |Д|; ах = C} =
; ах ^ ГЭ1} =
Таким образом, если Т7' * 0, то Р* - грань Я7 (так как Р =
= Р Г\ Н для некоторой опорной гиперплоскости Я и, следова-
следовательно, Р* = Р' с\ Я).
Из леммы немедленно следует, что для любой грани Р
полиэдра Р и любого / выполняется
F) Ри) = РП) п Р.
Теорема 23.2. Для любого рационального полиэдра Р существу
ет такое число I, что Р = Р .
Любой рациональный полиэдр Р допускает такое представ
ление в силу теоремы 22.6. - Прим. перев.

550 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Доказательство. Пусть Р Я Кп - рациональный полиэдр. Дока-
Докажем теорему индукцией по размерности й полиэдра Р. Случаи
й = -1 (т. е. Р = 0) и а* = 0 (т. е. Р - точка) тривиальны.
Если аН.пиИ Р не содержит целочисленных векторов, то
по следствию 4.1а существуют такие целочисленный вектор с и
нецелое б, что а!!.пи11 Р ^ {х\сх = б}. Значит,
G) Я' 2 {х\сх * \д\\ сх & [3]} = 0.
откуда Р' = Ру
Если в аН.пиИ Р есть целочисленные векторы, то можно
считать, что аН.ЬиП Р = {0} х К**. Действительно, можно
считать, что начало координат принадлежит аН.ЬиИ Р (так
как теорема инвариантна относительно сдвига на целочис-
целочисленный вектор). Значит, существует такая рациональная мат-
матрица С полного ранга по строкам, что аН.пиН Я = (*|Сх =
= 0}. По следствию 4.3Ь существует унимодулярная матрица (/,
приводящая С к нормальиой эрмитовой форме: Си - [В 0], где
В - невырожденная матрица. Так как теорема инвариантна
относительно операции х —> 1Г1* (потому что это преоб-
преобразование отображает 2П на 2П), то можно считать, что С =
= [В 0]. Значит, аП.ЪиПР = {О}11"* х К*. Так как для
каждого рационального аффинного полупространства И и Кё вы-
выполняется (К111 х Н\ п ({0}п~* х К*) = {0}п"* хНг то
можно считать, что п - й = 0, т. е. что полиэдр Р имеет
полную размерность.
По теореме 17.4 существуют такие целочисленная матрица А
и рациональные вектор-столбцы Ь, Ь\ что Р = {х\Ах з &'},
Р. = {х\Ах * Ь'}. Пусть ах ^ Э7 - некоторое неравенство из
системы Ах * Ь' и Я:= {х\ах * &'}. Покажем, что Р(в) 2 Н
для некоторого 5. Тогда теорема будет доказана, потому что
такое включение будет выполняться для любого неравенства из
Ах 5 Ъ'.
Возьмем соответствующее неравенство ах ^ Э из системы
ах з р. Предположим, что Р « Н для всех 5. Так как Р' й
2 {х\ах з уз]}, то существуют такие целые Э" и г, что:
(8) Э' < &" 5 уз], Я(8} с {Х\ах ^ Р"} для всех 5 & г,
Р{з) € {х\ах * $" - 1} для всех $ * г.

Гл. 23. Отсечения 551
Пусть Р: = РСг) п {х\ах = C"}. Тогда й\т(Р) < <Нт (Р). Кро-
Кроме того, Р не содержит целочисленных векторов . Значит, по
индуктивному предположению Р = 0 для некоторого и. Тогда
в силу F)
(9) 0 = Ры) = Р(г+и) п Р = Р(г+и) п {х\ах = Г'}-
Таким образом, Р(г+и) й {х\ах < |3"} и, значит, р(г+и+1) е
с {*|а* ^ |3" - 1}, что противоречит (8). П
Прямым следствием этой теоремы является теорема 22.1:
если каждая рациональная опорная гиперплоскость рациональ-
рационального полиэдра Р содержит целочисленные векторы, то Р = Р'
и, следовательно, Р = Р_.
Из теоремы следует также результат работы СЬуа1а1 [1973]
для необязательно рациональных политопов.
Следствие 23.2а. Для любого политопа Р существует такое
число /, что Р = Р_.
Доказательство. Так как Р ограничен, то существует такой
рациональный политоп (} 2 Р, С}1 = Рг (поскольку Р Я {х\
|1Ы1ГО ^ М) для некоторого целого Ми г из {х\\\х\\т * М) \ Р,
существует рациональное аффинное полупространство,
содержащее Р, но не содержащее г\ тогда в качестве ^ можно
взять пересечение {дфЫ!^ ^ Щ со всеми такими полупрост-
полупространствами). Следовательно, по теореме 23.2 От - (}. для
некоторого г. Поэтому Р Я РA) с дA) = д1 = р откуда
Р
и) =
П
Примечание. Из определения B) легко получить, что
A0) если Р = {х\Ах * Ь), то Р' = {х|аЛ^ з \иЬ\
для всех и ^ 0, для которых иА - целочисленный};
если Р = {*|* ^ 0; Ах ± Ь}, то Р' = {х\х * 0;
\иА\х ^ [и^ для всех и ^ 0};
если Р = {^|^ ^ 0; Лл: = Ь)у то Р' = {х\х * 0;
: 5 [иЬ] для всех «}.
Замечание 23.1. Отсечения в смешанном целочисленном линей-
линейном программировании.
Иначе C' = Э". - Прим. перев.

552 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Теория отсечений для смешанного целочисленного линейного
программирования была разработана в работах ВЫг, Лего$1о\у
[1977, 1979, 1984, 1985] и представляется значительно более
сложной, чем для чисто целочисленного случая. Мы ограни-
ограничимся следующим замечанием.
Описанные выше отсечения для чисто целочисленного
линейного программирования подсказывают следующий подход к
отсечениям для смешанного случая, который, однако, как мы
покажем, не работает. Возьмем рациональный полиэдр Р из
К" х 1^. Мы хотим описать
(И) сопу.ЬиИч] * 1 € Р\х - целочисленный к
Для этого определим такую последовательность выпуклых мно-
множеств />, /\, Яо,...» что Р •= Р и /> , получается из Р.
следующим образом: /> , есть множество векторов „из
Я., удовлетворяющих «неравенству-отсечению»
A2) сх + йу * е
для любого целочисленного вектора с и любого рационального
вектора ё, где
A3) е:= тах{сх + ^ I Г * 1 € Р ; сх € 2},
Если /е = 0 (чисто целочисленный случай), то, как легко про-
проверить, Р = Р^ь\ и, значит, по теореме 23.2 Р. совпадает
с A1) для некоторого /. Для смешанно целочисленного случая
это, вообще говоря, неверно.
Возьмем Р Я К2 х К, определенный неравенствами
A4) ? +т)^- ? +7)^1
(л = 2, к = 1, так что ^ , ^ предполагаются целыми). Имеет
место Р = Р = Ру В самом деле, пусть ух. У2 - целые, б -
рациональное и
A5) е = шах {зг^ + у2С2 + 5т) | (Сг ?2, Ч) € Р;

Гл. 23. Отсечения 553
Так как максимум конечен, то
A6) шах {у^ + ЭГ2С2 + вт> | «г €2, т))т € Р)
тоже конечен (потому что в противном случае максимум A6)
можно увеличить, двигаясь по лучу гес.сопеР, а значит,
можно увеличить и максимум A5)). Максимум A6) достигается
на всех векторах (единственной) минимальной грани
A7) Р = {(€г €2. Ч)Т I ^ + V = \, С2 + П = 1}
полиэдра Р. Так как у1» Ур - 0 (в силу конечности A6)), то
существует такое Г) , когда ^ + у2 - C^ + У2)т) = 0. Точ-
^ 2 C^ + У2
ка (?1» ^2* ^*):== (I* ~ ^ » ^ " ^ » ^ ) принадлежит грани Р
и для нее 3Г1С1 + У2С2 € 2. Тогда е равно максимуму A6).
Так как это выполняется для любого выбора у , уо> 5, то
отсюда следует, что Р = Р
23.2. Вывод отсечений
Рассмотрим систему линейных неравенств Ах ^ Ь и неравенство
с* ^ б. Последовательность линейных неравенств а ^ б ,
с г - б^,...г с х ^ б называется выводом отсечения сх ^ б
2 2 т т
,...,
(из системы Лдс 5 й), если каждый из векторов с
является целочисленным, с =сиб = б, и для любого / =
= 1 пг
A8) с.х ^ б' является линейной комбинацией неравенств
Ах ^ Ъу с х ^ б ,..., с х ^ 5.-1 для некоторого
б|, для которого [б|] ^ б..
Число пг назовем длиной вывода.
Понятно, что если существует вывод отсечения сх ^ б из
Ах ^ Ьу то неравенство сх ^ б справедливо для любого цело-
целочисленного решения системы Ах ^ Ь. Как следует из теоремы
23.2 эта импликация выполняется также и в обратную сторону,
если предположить, что система Ах ^ Ь имеет хотя бы одно
целочисленное решение. Имеют место также некоторые анало-
аналогичные результаты (см. Спуа1а1 [1984» 1985]).
7 - 781

554 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Следствие 23.2Ь. Пусть Р = {х|Л* ^ Ь) - рациональный или
непустой полиэдр.
(\) Если Р1 * 0 и для Р выполняется сх я б (где с -
целочисленный), то существует вывод отсечениями
сх 25 3 из Ах ^ Ь.
(и) Если Р1 - 0, то существует вывод отсечениями Ох ^ -1
из Ах ^ Ь.
Доказательство. Возьмем такое г, что Р^' = Р (( сущест-
существует в силу теоремы 23.2 и следствия 23.2а). По определению
РA) для каждого * = 1,..., г существует определяющая РA)
система Ах ^ 6 , причем А = Д Ьо = Ь и для любого нера-
неравенства ах ^ 3 из Ах ^ Ь вектор а является целочисленным,
и существует вектор у ^ 0, для которого уА*_1 = а и
Поэтому если Р # 0 и неравенства сх ^ б с целочислен-
целочисленным с выполняются для Р., то по аффинной лемме Фаркаша
= с и б 2: [^ I для некоторого 1/^0. Значит,
A9) Лхх ^ Ьу А2х * Ьг.... Агх ^ ьь, сх * 5,
является выводом отсечения сх ^ б из Ах ^
Если Рг = 0, то уА = 0 и уЬ% = -1 для некоторого у ^ 0
(по лемме Фаркаша). Значит,
B0) Агх ^ бг ^ ^ Ь2,..., ^х ^ ^, Ох * -1,
есть вывод отсечения Ох ^ -1 из Лх ^ 6. □
Это следствие можно рассматривать как аналог леммы Фар-
Фаркаша для целочисленного линейного программирования. Однако,
вообще говоря, оно не приводит к хорошей характеризации,
так как длина вывода здесь может, быть весьма большой, в чем
мы убедимся в следующем параграфе.
23.3. Число отсечений и длина вывода
Теоремы 23.1 и 23.2 дают процедуру получения описания Рг
(в предположении, что Р имеет полную размерность). Начав с
Я, найти определяющую Р минимальную ВДЦ-систему Ах * Ь с
целочисленной матрицей А. Взять Р' - {х\Ах 5 \Ь\). Затем

Гл. 23. Отсечения 555
найти определяющую Р' минимальную ВДЦ-систему Ах з Ь с це-
лочисленной матрицей Л. Взять Р" = {х\Ах ^ |_6]} и т. д. В
конце концов получим полиэдр, скажем ЯA\ для которого
минимальная ВДЦ-система (с целочисленной левой частью)
имеет целочисленную правую часть. Тогда при округлении
вниз система не изменится, и, следовательно, Р^' = Р .
Наименьшее /, для которого Рк = Р представляет собой
некоторую меру сложности соответствующей ЦЛП-задачи. В
общем случае нельзя ограничить г какой-либо функцией раз-
размерности полиэдра. Например, пусть
/>:= сопу.пи11{@, 0), @, 1), (* ±
B1)
- полиэдр в двумерном евклидовом пространстве (см. рис. 7).
@,1)
@,0)
Рис. 7.
Тогда Р = сопу.ЬиН {@, 0), @,1)} и Р' содержит вектор
(к -1, |-). По индукции получаем, что (к -1, |) принад-
принадлежит ЯA) для ( < к и, значит, РA) * Рг для г < к. Этот
пример показывает также, что I не ограничено полиномом от
размера определяющей полиэдр системы. Таким образом, число
отсечений и длина вывода отсечениями могут быть велики.
С другой стороны, если Я. = 0, то, как показано в работе
Соок, Сои1агс1 апй Тигап [1985], величину I можно ограничить
функцией, зависящей лишь от размерности.
Теорема 23.3. Для любого натурального числа й существует
такое число 1{й), что если рациональный полиэдр Р размер■-
ности д. не содержит целочисленных векторов, то /- (A)) = 0.

556 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Доказательство. Докажем теорему индукцией по й. Случаи а* -
- -1 (т. е. Р - 0) и а* - 0 (т. е. Р - точка) тривиальны.
Так же, как в доказательстве теоремы 23.2, можно считать,
что полиэдр Р - телесный.
Из теоремы 18.7 следует, что если рациональный полиэдр Р
из ГСЙ не содержит целочисленных векторов, то существует
такая вектор-строка с, что
B2) тах{сх\х € Р) - т\п{сх\х € Р) * /(</)
для некоторой константы 1(д), зависящей только от а*, и
компоненты с ~ взаимно простые целые числа. Положим
3:= [тах{сх|х € Р}}. Для любого к = 0, 1,..., 1D) +1
имеем
B3) р(к+1+киа-1)> ^ {х\сх<: а - к).
Для к = 0 это следует из определения Р'. Предположим, что
B3) выполняется для некоторого к, и покажем, что из сде-
сделанного индуктивного предположения следует, что
B4) рСк+1+(к+т«1-1» с {х\сх < 5 - *}.
Действительно, рассмотрим грань
B5) *= р(к+Жк+тса-п) п щсх = б _ к)
По индуктивному предположению /?и(<Ь1)) = ^ так как
(Игл (Р) < а* (без потери общности считаем, что г(й - 1) ^
а ^(/') для всех й' * й - 1). Тогда в силу F):
B6)
Следовательно, B4) доказано.
Из B4) следует, что
(97\ /рСк+Жк+ШСа-Ш/ с /у1гу < д и п

Гл. 23. Отсечения 557
что совпадает с B3) для случая к + 1.
Взяв в B3) к = 1D) + 1, получим
B8) яAС*)*2+A(«1)*ти-1)) я {х{сх < а _
Так как
B9) Р й {х\сх > 8 - 1{й) - 1},
то для Щ\= 1@) + 2 + A@) + 1)/(<*-1) получим
Р(*(й)) = 0. □
Так же, как в доказательстве следствия 23.2а, можно по-
показать, что теорема 23.3 справедлива и для необязательно
рациональных ограниченных полиэдров.
Теорема 23.3 используется при доказательстве результата
работы Соок, Оегагёз, 5спп]'уег апс1 Тагйоз [1986], в кото-
котором утверждается, что необходимое для целочисленной линей-
линейной программы число отсечений ограничено сверху величиной,
зависящей только от матрицы ограничений. Этот результат
можно также вывести из теоремы из работы ВЫ г ап<1 Легоз-
1ому [1982] (см. следствие 23.4Ь).
Теорема 23.4. Для любой рациональной матрицы А существует
такое число /, что для каждого вектор-столбца Ь выполняет-
выполняется {х\Ах ^ Ь}{г) = {х\Ах 5 Ь)г
Доказательство. Не теряя общности, считаем А целочисленной.
Пусть А содержит п столбцов и А - верхняя граница абсолют-
абсолютной величины миноров А. Покажем, что в теореме можно взять
C0) /:= тахОДл), п2п+2Ап+1 + 1 + п2п+2Ап+1*(л - 1)}
(где г(п) определено как в теореме 23.3).
Возьмем вектор-столбец Ь и Р:= {х|Лх ^ Ь). Если Р = 0,
то по теореме 23.3 Р = Р_. Поэтому можно считать, что
Рг * 0. По теореме 17.4 Рг = [х\Мх * О\у где М - целочис-
целочисленная матрица, все элементы которой по абсолютной
величине не превосходят л2пАп. Пусть пгх * 8 - одно из
неравенств системы Мх ^ О Без потери общности считаем б =
= тах{пгх\х € Ят}. Положим 5':= [тах{тх|х € Р}}. Тогда

558 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
по теореме 17.2 б' - б *; НтН^Д * л2п+2Дп+1. Для любого
к = 0, 1, ..., б7 - 5 выполняется
C1) />Ск+1+к1(пг1)) с {х\тх < 5' - *},
что доказывается так же» как в теореме 23.3. Выбрав
к = б7 - б и учтя C0), получим
C2) Рш с {Х\тх * б}.
Так как все эти выкладки справедливы для любого неравенства
из Мх * йу то Рш = Р □
Следствие 23.4а. Для любой рациональной матрицы А сущест-
существует такое число ((А), что если рациональная система
линейных неравенств Ах ^ Ь имеет хотя бы одно целочисленное
решение и для любого целочисленного решения Ах ^ Ь выполня-
выполняется неравенство сх ^ б (с - целочисленный), то существует
вывод отсечения сх ^ б из Ах ^ Ь, длина которого не превос-
превосходит г(А).
Доказательство. Непосредственно следует из теоремы 23.4. □
Другим следствием является теорема из работы В1а1г апс!
Легоз1о\у [1982], которая, как можно видеть, эквивалентна
теореме 23.4 (см. Соок, Оегагйз, Зспг^уег апс! Тагйоз
[1986]). Функция /: 0го —> Ю называется функцией Гомори, ес-
если существуют такие рациональные матрицы М ,..., М , что
М2,..., М неотрицательны и для любого Ь € ш
C3) № = тах^гл^г... Г^2Г^11 ^
(Здесь Г • 1 обозначает покомпонентное взятие верхних целых
частей; М содержит т столбцов, и М. содержит столько
строк, сколько столбцов в М1+1 (/ = 1,..., I - 1); мак-
максимум берется по всем координатам / вектор-столбца
Л'.ГЛ^г... Глум/П •• 11)
В работе ВЫ г апс! Легоз1о\у [1982, ТЬтз 5.1 ап<1 5.2] до-
доказано
Следствие 23.4Ь. Для любых рациональной (т х п)-матрицы А и
вектор-строки с € 0п, для которых т\п{сх\х ^ 0; Ах - 0}

Гл. 23. Отсечения 559
конечен, существуют такие функции Гомори /,. #: 0го —■> С, что
для любого Ь € 0т выполняется
C4) A) $(Ь) з 0 тогда и только тогда, когда множест-
множество {х\х & 0; Ах ** Ь\ х - целочисленный) не
пусто;
(и) $(Ь) = гшп{сх|х ^ 0; Ах =6; х - целочислен-
целочисленный}, если {(Ь) ^ 0.
Доказательство, Возьмем произвольные А и с. Из теоремы 23.4
следует, что существуют такие матрицы Р.,..., /* , что
Р ,..., Р неотрицательны и для любого 6 €
C5) {дг|х г 0; Ах = 6}х = {х\х г 0;
Тогда ввиду ЛП-двойственности:
C6) т1п{сдс|* ^ 0; Ах - Ь\ х - целочисленный} =
= т'ш{сх\х а 0; [7^Г ••• [Р2\Р1А]~\ ... Цдс
... Ц} =
- И I У г 0;
Возьмем матрицу М, строками которой являются верщины поли-
полиэдра {у ^ 0\у\Рь\ ... \Р2\РХА\\ ... П ^ с), и матрицу Ы,
строками которой являются крайние лучи этого полиэдра.
Тогда максимум в C6) равен
C7)
г0; » г 0; у\ = 1}.
Определив для Ь € 0*"
C8) /F):= шах(#17^Г ...
ё(Ь):= та
получим функции Гомори, удовлетворяющие C4).

560 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
23.4. Ранг Хватала
Теорема 23.4 объясняет введение следующих определений.
Пусть А - рациональная матрица. Рангом Хватала матрицы А
называется наименьшее число /, для которого {*|Л* з Ь) =
= {*|Л* ^ Ь)г для любого целочисленного вектора Ь. Сильным
рангом Хватала матрицы А называется ранг Хватала матрицы
C9)
А
-А
Таким образом, теорема 23.4 утверждает, что сильный ранг
Хватала есть вполне определенное целое число.
Из теоремы Хоффмана и Краскала (следствие 19.2а) следу-
следует, что ранг Хватала целочисленной матрицы А равен 0 тогда
и только тогда, когда А вполне унимодулярна. Более того,
теорема 21.5 утверждает, что целочисленная матрица А имеет
т
ранг Хватала равный 0 тогда и только тогда, когда А унимо-
унимодулярна (в смысле § 21.4, т. е. тогда и только тогда, когда
для любой подматрицы В, составленной из г(:= гапк (А)) ли -
нейно независимых строк Д наименьший общий делитель мино-
миноров порядка г матрицы В равен 1).
Для больших значений ранга Хватала характеризаций подоб-
подобного типа неизвестно. Известны следующие классы матриц,
ранг Хватала которых не больше 1.
A) Если А вполне унимодулярна, то ранг Хватала матриц
А и 2А не больше 1 (это нетрудно получить из теоремы
Хоффмана и Краскала).
(и) Если А = (а. .) - целочисленная матрица, такая, что
D0) Е |ос | * 2
для любого номера столбца /, то сильный ранг Хватала А не
больше 1 (Ейтопёз апA ЛоЬпзоп [1973], см. пример 23.1 ни-
ниже).
(Иг) Пусть А = (а. .) - целочисленная матрица, такая,
ЧТО

Гл. 23. Отсечения 561
D1)
Е 1<х 1 * 2
для любого номера строки *\ Тогда сильный ранг Хватала А не
больше 1 в том и только том случае, если матрицу А нельзя
преобразовать к виду
D2)
110 0
10 10
10 0 1
0 110
0 10 1
0 0 11
с помощью ряда следующих операций:
D3)
(а)
(Ь) замены
исключения или перестановки строк или столбцов
или умножения их на -1;
1 с
Ь О
столбец, с - вектор-строка и ^ - матрица
на й - Ьс, где Ь - вектор-
(Оегагйз апс! 5спп]уег [1985], см. пример 23.2 ниже).
23.5. Два комбинаторных примера
Проиллюстрируем теорию отсечений двумя примерами из комби-
комбинаторики.
Пример 23.1. Политоп паросочетаний. Пусть С = (V, Е) - не-
неориентированный граф и Р^^О) - политоп паросочетаний гра-
графа С, т. е. РтвЛ(^) есть выпуклая оболочка векторов инци-
денций (в КЕ) паросочетаний графа О. Определим политоп Р и
D4)
х(е) * 0 (е € Е),
х(е) ^ 1 (V € V).
Так как целочисленные векторы из Р - это в точности векторы
инциденций паросочетаний в С, то

562 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Далее, система
D6) х(е) а 0 (ее Е),
* 1 (о € V),
тоже определяет Р, так как третья строка в D6) состоит из
избыточных неравенств. Можно доказать, что D6) - ВДЦ-сис-
тема. Следовательно, политоп Р' задается системой
D7) х(е) * 0 (е €
х(е) 5 1 (V 6
* ю-
В работе ЕётогкЗз [1965с] показано, что в действительности
Р' = р = р АО), см. следствие 8.7а. Это означает, что
D7) определяет политоп паросочетаний. Таким образом,
политоп паросочетаний получается из D4) после добавления
одного «этапа» отсечений.
В работе Ейтопйз апй Лоппзоп [1973] отсюда получен более
общий результат: если А = (а..) - такая целочисленная мат-
матрица, что для любого столбца /:
D8) Е |« I * 2,
то для всех целочисленных вектор-столбцов Ь^ Ь2% йу
целочисленная оболочка решений системы
D9) аг ^ х ^ аг ьг* Ах* ьг
получается добавлением к D9) одного «этапа» отсечений,
т. е. добавлением всех неравенств
E0) сх * [б],
где с - целочисленный и неравенство сх ^ -5 выполнено для
любого допустимого решения D9). Эквивалентно сильный ранг
Хватала матрицы А не превосходит 1.

Гл. 23. Отсечения 563
Пример 23.2. Политоп коклик (см. СпуаЫ [1973, 1975а, Ь,
1984, 1985], РаёЬегд [1974], ЫетЬаизег агк! ТгоНег [1974,
1975]).
1. Пусть О - (V, Е) - неориентированный граф. Политоп
коклик Рсос1F) графа С - это выпуклая оболочка векторов
инциденций (в ГСУ) коклик графа С, Проблема нахождения ли-
линейных неравенств, определяющих Р .(С), для произвольных
графов О кажется довольно сложной. Если ЫР * со-МР, то
Р (О) имеет «трудные» фасеты в смысле теоремы 18.3.
Для того чтобы подойти к описанию политопа коклик,
рассмотрим Р(О) - политоп в К , определенный системой
E1) ф) 2: О (V € У),
* 1 (С $ V, С - клика).
у€С
(То есть Р(О) - антиблокирующий полиэдр для политопа клик,
см. пример 9.2.) Очевидно, Рсо АО) Я РF), так как каждая
коклика пересекается с каждой кликой не больше чем по
одной вершине. На самом деле, так как целочисленные решения
E1) являются в точности векторами инциденций коклик, то
E2) Рсос1(С) = Р(О)у
Можно поставить следующий вопрос: при каком I имеет место
равенство Р(О) = Р(О)г для заданного графа С?
2. Не существует такого натурального числа /, что
Р^1\О) - Р(О)г для всех графов С (если бы такое г сущест-
существовало, то отсюда следовало бы, что ЫР = со-ЫР, см. след-
следствие 23.5а ниже). Это было показано в работе СпуаЫ
[1973]. В работе Спуа1а1 [1984] предложено другое доказа-
доказательство указанного утверждения, основанное на работе Егс1о5
[1961], из которого следует, что даже если ограничиться
рассмотрением графов О с а(С) = 2, то и тогда требуемого /
не существует (а(С) есть кокликовое число графа С, т. е.
максимальный размер коклики в С). Доказательство получается
следующим образом.
Эрдёш показал, что существует константа с и произвольно
большие графы О с а(С) = 2, которые не содержат клик разме-

564 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
ра выше к:- \с • л 1пл], где п - число вершин графа С.
т
Для таких графов Р(О) содержит вектор а:= A/Л,..., 1/А) .
Индукцией по I можно легко показать, что Р(О) содержит
вектор 2~*а. [Доказательство. Пусть Р(С) содержит 2~ьа и
сх ^ б - выполненное для РС неравенство, где с - цело-
целочисленный. Так как 0 не принадлежит Р(С) , то б ^ 0. Если
5Н, то сB'1"га) = |*B"*а) * |б * [б]. Если 0 * б * 1,
то с не содержит положительных компонент (так как
все единичные базисные векторы принадлежат Р(С) *). Тог-
Тогда сB~1~ха) з 0 = [б]. Это показывает, что 2-1а €
€ Р(О)а*г)]. Р(СI не содержит (/3,..., |3)т при Э > 2/л,
так как из а(С) ^ 2 вытекает, что неравенство \х 5 2 выпол-
выполнено для ^сос1F) = Я(С)Г Значит, Я(С)A) * Р(ОI при
* > 2/л, т. е. при
E3)
3. Оказывается, что класс графов С, для которых
= Р(О)у в точности совпадает с классом «совершенных» гра-
графов, это было показано в работах Ьоуазг [1972], РиНсегзоп
[1970Ь, 1973], Спуа1а1 [1975а] (см. ТгоИег [1973]). Выше
в примере 23.1 мы упомянули результат работы Ес1топA5
[1965с] состоящий в следующем: если О является реберным
графом некоторого графа Н> то Р(О)' = Я(й) и Я(О) есть
политоп паросочетаний графа Я.
4. Наименьшее 1, для которого Р6М * Р(О)Г служит по-
показателем вычислительной сложности кокликового числа
а(С)(:=г максимальная мощность коклики в О). В работе
СпуаЫ [1973] поставлен вопрос: существует ли для любого
фиксированного г полиномиальный по времени алгоритм опре-
определения <х(О) для графов О со свойством Р(О)^ = Р^)^ Это
верно для / = 0 (т. е. для класса совершенных графов),
см. Ого*зспе1, Ьоуазг апс! 5сЬг1]*уег [1981]. В статьях
ЕДтопс1$ [1965а, с] описан полиномиальный алгоритм вычисле-
вычисления 0@) для случая, когда 0 - реберный граф некоторого
графа. Фактически там дан полиномиальный алгоритм поиска
максимальной взвешенной коклики в реберном графе (т. е.
максимального взвешенного паросочетания в графе).

Гл. 23. Отсечения 565
\ 5. В работах Мт*у [1980] и 5ЫЫ [1978, 1980] в продол-
продолжение результата Эдмондса описан полиномиальный алгоритм
нахождения максимальной взвешенной коклики в графе, не
содержащем Кг 3 (т. е. в графе без индуцированного подгра-
подграфа \КЛ ~). Так как реберные графы не содержат Кл «, то это
обобщает результат Эдмондса. В терминах §14.2 можно ска-
сказать, что задача оптимизации для класса полиэдров
E4) (Р (С) | О - неориентированный граф без Кл „)
полиномиально разрешима. Тогда по следствию 14.1с проблема
отделения для класса E4) также полиномиально разрешима. В
частности, для любой фасеты политопа коклик графа, не
содержащего Кл <., можно за полиномиальное время доказать,
что это действительно фасета. Тем не менее не найдено
никакого явного описания системы линейных неравенств,
определяющей Р АО) для графов без К. 3. Такое описание
обобщило бы полученное Эдмондсом описание D7) политопа
паросочетаний. Из описанного выше в п. II результата
Хватала следует, что не существует такого *, что Р(С) =
= Р(О)г для всех графов без Кх 3 (см. ОИез апс! ТгоМег
[1981]).
6. В работе Оегагёз апс! 5спп]*уег [1985] показано, что
если О = (У, Е) - неориентированный граф со следующим свой-
свойством:
E5) О не содержит подграфа Я, который может быть полу-
получен из /С заменой ребер таким образом, что каждому
треугольнику в /С. будет соответствовать в Я цикл
нечетной длины,
то Р (О) = B@)', где ()(О) - полиэдр в Ку, заданный не-
равенствами
E6) х(Ь) * 0 (V € У)у
€ Е).
Таким образом, в этом случае Р (О) получается добавле-
добавлением к E6) одного этапа отсечений. Точнее это означает,
что Р (О) определяется системой E6) и неравенством

566 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
E7)
х(у)
I I 2—
~ множество вершин нечетного
цикла).
Графы» обладающие тем свойством, что для определения
Ясос1(С) достаточно неравенств E6) и E7), были введен^ в
работе СЬуаЫ [1975а] и названы (-совершенными. В статье
Оегагйз апс! ЗсЬг^уег [1985] установлен и несколько более
общий результат, упомянутый в A11) § 23.4.
7. В работе Спуа*а1 [1973] показано, что если С - полный
граф К и <2(О) определяется системой E6), то наименьшее /,
для которого B(О)A) = ^сос1@), приблизительно равно
В работе СЬуа1а1 [1984] показано, что для любого графа
О = (К, Е) существует вывод из E6) отсечения
E8)
х 5 «(О)
и длина вывода не превосходит
показал, что если политоп (}((}
\у\
. Кроме того, Хватал
определен системой E6) и
оЦО) *к\У\ - 1), то
= Л.Л„1<С) для
сое!
E9)
= а@)
Bо@) + 1) • 1п
\У(С)\
[ 2а(С) +
23.6. Отсечения и теория Л^Р-сложности
Неизвестно, существует ли полиномиальный алгоритм для реше-
решения следующей задачи:
F0)
для заданных рациональной матрицы А и рациональных
векторов Ь и х определить, принадлежит ли х
полиэдру {*|Л* ^ Ь}'.
Более общо, если пользоваться терминологией § 14.2, неиз-
неизвестно, является ли для любого полиномиально разрешимого

Гл. 23. Отсечения 567
класса рациональных полиэдров (Я|* € М) класс (Р| |« € М)
также полиномиально разрешимым. Если это так, то полиноми-
полиномиальная разрешимость задачи о паросочетаний вытекает из того
факта, что класс полиэдров паросочетаний получается
операцией Р —> Р' из полиномиально разрешимого класса поли-
эдрбв (см. пример 23.1).
Можно, однако, показать, что принадлежность МР сохраня-
сохраняется при действии операции Р —» Р'', в смысле приводимой
ниже теоремы 23.5. Рассмотрим вновь некоторый класс (Р.\г €
€ М) рациональных полиэдров, удовлетворяющих условию:
F1) для любого заданного < € N за время, ограниченное
полиномом от 102 *» вычислить такие натуральные
п.
числа п. и (р., что Р. й К и сложность описания
IX 1
фасет Р не превосходит рг
Теорема 23.5. Пусть (Р^\1 € М) - класс полиэдров, удовлет-
удовлетворяющих F1). Если задача:
п.
1
F2) «для заданных / € М, с € 0 , б € О определить,
верно лиу что тгл{сх\х € Р } ^ 5»
принадлежит ЫРУ то и следующая задача принадлежит
п.
F3) «для заданных ебМ.сеО1, беО определить,
верно лиу что шах{сх\х € Р'} 5 б».
Доказательство. Пусть заданы I, с, 3 из F3). Рассмотрим
неравенства
F4) (Л^, + ... + Л с )х ^ (ЛЗ + ... + А б ),
х ' у 1 1 п. п.' х 1 1 п. п.'
11 11
11
где
F5) неравенства с .х ^ й с целочисленными векторами с
выполняются для Л, их размер не превосходит л^
(/ = 1,..., п^\
О «^ 1 (/ = 1,..., пх)\
^с, + ... + Л с - целочисленный.
11 п. п.
1 1

568 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Легко видеть, что все неравенства F4) образуют ВДЦ-о
тему, определяющую Я. Значит, по теореме 23.1 неравенства
F6) (\лсл + ... + Л с )х * \Хлдл + ... + Л б
4 ' у 1 1 п. п.7 1 1 1 п. п.
11 11
(при условиях F5)) определяют Я' Из положительного ответа
на F3) следует, что существует такое б7 ^ б, что неравен-
неравенство сх ^ б7 может быть записано в виде неотрицательной
комбинации неравенств F6). Размер множителей ограничен по-
полиномом от \о% ( и в\ге (с). Таким образом, положительный
ответ может быть получен за полиномиальное время. □
Отсюда следует результат работы Воус! ап<1 РиПеуЫапк
[1984].
Следствие 23.5а. Пусть (Я |/€М) - полиномиально разреши-
разрешимый класс рациональных полиэдров, для которых задача:
п.
1
F7) <для заданных I € М, с € (О , б € (О определить,
верно ли, что тах{с*|* € Я ; х - целочисленный} >
ЫР-полна. Тогда если ЫР * со~ЫР, то не существует тако-
такого фиксированного г, что Р^ь) = (ЛК для всех ь € N.
Доказательство. Предположим, что такое г существует. Так
как класс (Р. |<' € М) является полиномиально разрешимым, то
задача F2) принадлежит классу ЫР. Значит, по теореме 23.5
после замены Р на Р^' задача F2) также принадлежит ЫР.
В силу того что Я**' = Р, это означает, что задача F7)
принадлежит со-ЫР. Но это противоречит предположению о
Л^Я-полноте задачи F7) и о том, что ЫР * со-#Я. □
Пример 23.3. Задача о коммивояжере. Задачей о коммивояжере
(ассиметричной) называется следующая задача:
F8) «для заданных ориентированного графа й = (V, А),
функции длины дуг /: А —* С и рационального б оп-
определить, существует ли в О гамильтонов цикл, дли -
на которого меньше б».
Для произвольного ориентированного графа # = (V, А) оп-
определим полиэдр Ро 2 КА с помощью следующих линейных нера-
неравенств:

Гл. 23. Отсечения 569
0) Са * 0 (а € Л),
Е ?а = 1 (* € VI
2 V, 0 * (/ * V).
[Здесь 5"*({У) и 3+F/) обозначают множества дуг соответст-
соответственно входящих и выходящих из и. 3~A>):= 3~({и}), 5+(у):=
= 5+({1>}).] Целочисленные решения F9) - это в точности
векторы инциденций гамильтоновых циклов графа й. Таким об-
образом, (РХ)I есть в точности политоп задачи о коммивояжере,
являющийся выпуклой оболочкой ректоров инциденций гамиль-
гамильтоновых циклов графа О. Следовательно, задача о коммивоя-
коммивояжере F8) эквивалентна следующей задаче:
G0) для заданных ориентированного графа й = (V, А)у
вектора / € 0А и б € 0 определить, верно ли, что
т&х{1х\х € (Р^) > д.
Таким образом, задача G0) #Р-полна. С другой стороны,
класс (Ро|/) - орграф) является полиномиально разрешимым,
так как для этого класса полиномиально разрешима задача
отделения. [Хотя в F9)# экспоненциальное число ограничений,
для заданного вектора х € 0А можно следующим образом за
полиномиальное время проверить, удовлетворяет ли он F9).
G1) Условия A), (п) и A11) из F9) можно легко
проверить за полиномиальное время, рассматривая их
последовательно одно за другим. Если х не
удовлетворяет A), (и) или A11), то нарушаемое
неравенство будет найдено. Если х удовлетворяет
A), (И) И A11), ТО (IV) МОЖНО ПрОВерИТЬ
следующим образом. Рассмотрим х как функцию
пропускной способности на дугах А. Для каждой пары
г, 5 € V (г * 5) найдем (г - $)-разрез с мини-
минимальной пропускной способностью, скажем, 3 ([/ ),
где и Я V, г € V , з е С1 (это можно сде-
Г,3 Г,8 Г,3
лать за полиномиальное время с помощью алгоритма

570 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Форда-Фалкерсона для задачи о максимальном потом-
потомке, см. приложение 12.1). Далее, если для одной
из пар г, 5 пропускная способность 6+Ш ) меньше
1, то (IV) не выполняется и V дает нарушаемое
Г, 8 I
неравенство. Если для любой пары г, 5 пропускная
способность не меньше 1, то все ограничения (IV)
выполнены.]
Таким образом, (Л}|^ - орграф) является полиномиально раз-
разрешимым классом полиэдров и можно применить следст-
следствие 23.5а: если N9 *■ со-ЫРу то не существует фиксированного
числа г, такого, что для любого орграфа й полиэдр (Р)
является политопом задачи о коммивояжере для й.
См. также § 24.4.
23.7. Функции Хватала и двойственность
Второе утверждение в A0) означает, что если Р = {х\х ^ 0;
Ах ^ Ь) для рациональных А и Ь, то существует такая неотри-
неотрицательная рациональная матрица Му что
G2) Р' = {х\х * 0; \_МА\х * \МЬ\)
означает покомпонентное взятие нижних целых частей).
Поэтому из теоремы 23.2 следует, что если Р = {х\х ^ 0;
Ах ^ Ь}> то найдутся такие неотрицательные рациональные
матрицы Л!1,..., Л!., что
G3) Рг = {х\х * 0; [Мь ... 1М21МХАЦ ... \х <
Пусть, далее, т ^ 0. Функция ф: Кт —» К называется функ-
функцией Хватала, если существуют такие неотрицательные рацио-
рациональные матрицы Л! ,..., Л! и неотрицательный рациональный
вектор и> что
G4) № = и1М ... 1М 1МгП ... ^

Гл. 23. Отсечения 571
я любого вектор-столбца г из ГСт.
Из G3) можно получить следующий результат работы ВЫ г
Лего§1ош [1982] о двойственности в ЦЛП:
тах{с*|* ^ 0; Ах ^ Ь\ х - целочисленный} =
= тт {ф(Ь)\ф - функция Хватала; ф(А) ^ с}.
Здесь ф(А) - вектор [ДОя^),..., 0(ап)], где а1,..., ап -
столбцы А.
Заметим, что G5) напоминает соотношение двойственности
линейного программирования. Последнее можно получить из
G5), если исключить условие *х - целочисленный» и заменить
условие «0 - функция Хватала» на условие «ф - монотонно
неубывающий линейный функционал»
Докажем неравенство ^ в G5). Если х а 0; Ах ^ Ь\ х -
целочисленный и ф - функция Хватала, для которой ф(А) ^ с,
то
G6) сх * ф(А)х = и[Мг ... \М2\М1А\\ ... \х
... \ *
где и, Л11,..., М. такие, как в G4).
Чтобы показать соотношение ^ в G5), возьмем неотрица
тельные матрицы М1,..., М.у удовлетворяющие G3). Тогда
G7) гп1П {ф(Ь)\ф - функция Хватала; ф(А) * с) ^
5 тт{и1Мь ... \М2\МгЬ\\ ... \ \ и * 0;
... ^^Л]] ... ] * с) =
* 0; [Л^ ... [^[М^] ... }х *
= тах{сх\х € Ях} = тах{сх\х * 0\ Ах ^ Ь\
х - целочисленный}
Описанный вариант двойственности является специальным
случаем супераддитивной двойственности, о которой говори-
говорилось в примечании к § 16.1. - Прим. перев.

572 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
(первое равенство есть соотношение двойственности).
Минимаксное соотношение G5) не дает хорошей характе-
ризации ЦЛП-задачи; число I и размеры матриц М могут бь^ть
экспоненциально большими.
Примечания к § 23.7. Некоторые обобщения можно найти в
работах Легоз1о^ [1975. 1977, 1978а, 1979а. Ь. с], Ттё апё
^о1зеу [1981] и ^о1зеу [1981а, Ь]. Смотри также Ва1аз
[1970Ь], ВЫг [1978]. ВЫг апс! Легоз1о^ [1977, 1979,
1982], Ве11 апё 5пар1го [1977]. Изпег апс! Зпарио [1974],
А1са1у апс1 К1еуопск [1966], Ва1аз [1970а], Ооггу, 5пар1го
апA №о1зеу [1971-1972], ЫетЬаизег апс! Штап [1968], 5пар1-
го [1971, 1977, 1979], Оотогу апё Ваито1 [1960], ^о1зеу
[1977, 1979 (обзор), 1981а], СеоНпоп апс! №изз [1976-
1977], К1ет апс1 Но1т [1979], Но1т апё К1ет [1984],
Васпет, Лоппзоп апс! ЗсЬгайег [1981-1982], Васпет апA
ЗсЬгайег [1979, 1980], Лоппзоп [1981а, Ь], р1зЬег, Ыог1Ьир
апс! $Ьар1го [1975], ОеоПпоп [1974], Ыаизз [1979], Вом^тап
[1972Ь], Катап апс! КагсИп [1979], ЗсЬга^е апй
[1985]. (Смотри также Вигс1е* апй ЛоЬпзоп [1974*, 1977*],
Лоппзоп [1973*. 1979*], Лебедев [1984*], Лебедев и Шейнман
[1981 , 1983 ], Лебедев и Медведовская [1986 ], Михалевич и
др. [1981*], Шейнман [1978*. 1980*], Шлык [1988*(обзор)],
Сипт^Ьате-Огееп апё Ви1кагс[ [1988 ]. - Замен, перев.).
23.8. Метод отсечений Гомори
Сейчас мы опишем метод отсечений Гомори (Оотогу [1958,
1960, 1963а]) для решения задач целочисленного линейного
программирования. Ранее было изложено теоретическое обосно-
обоснование метода, однако приводимое ниже описание не использует
предшествующую теорию.
Предположим, что требуется решить ЦЛП-задачу
G8) тах{сх|* ^ 0; Ах ^ Ь\ х - целочисленный},
где А - (пгх п)-матрица и Л, Ь и с - целочисленны. Тогда
задача G8) эквивалентна задаче

Гл. 23. Отсечения 573
G9)
тах{сх\х, х ^ 0; Ах + х = Ь\
х, х - целочисленные}.
Вначале мы решим релаксированную ЛП-задачу
(80)
тах{сх\х ^ 0; Ах ^ Ь) =
= тах{сх\х, х * 0; Ах + х = Ь).
Для этого воспользуемся (прямым) симплекс-методом. Пусть
оптимальная таблица имеет вид
(81)
Имеем **0 ^ 0 и } ^ 0. Обозначим /:= (Ф1,..., ф )т. Если ф0
и / целочисленны, то и соответствующее базисное допустимое
решение целочисленно, и, следовательно, оно является опти-
оптимальным решением ЦЛП-задачи G9). Если же <р0 и / не цело-
численны, то выберем такой индекс / в {0,..., т), что <р
о
не целое. Пусть
(82)
5.
V1""
есть 1-я строка таблицы (81).
Если I = 0, то равенство
(83)
выполнено для всех
области (80) (здесь с =
л.
Если /* > 0, то равенство
х
Г*
X
из допустимой
(84)

574 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
выполнено для всех (€г»-.-. ?П+Ю)Т из допустимой области
(80).
Обозначим через {а} дробную часть числа а (т. е. {а} =
= а - [а]). Тогда из (83) и (84) следует
(85) {511}?1 + ... + {а1П+ш}?п+т н {^(тосП) и
для всех {€!»•••» ?п+т}Т из допустимой области ЩШ-задачи
G9). (Здесь а = /3 (тос! 1) означает, что а - C - целое.)
Из двух утверждений (85) следует неравенство
(86)
которое называется отсечением (или отсекающей плоскостью),
полученным из строки-источника (82). Таким образом, добав-
добавление к (80) этого ограничения не отсечет ни одного
целочисленного допустимого решения задачи, но отсечет
найденное в (81) базисное допустимое решение. (Так как если
(Е,,...,? ) является оптимальным базисным допустимым
решением, то для любого / имеет место § = 0 или б. €
€ {0, 1} и поэтому левая часть (86) равна 0, в то время
как правая часть по предположению не равна 0.)
Следовательно, к G9) можно добавить дополнительное ог-
ограничение
}.
гДе € +т+1 ~ новая неотрицательная переменная (на которую
ввиду (85) можно наложить требование целочисленности).
Итак, добавим к оптимальной таблице (81) строку, соответст-
соответствующую (87), и применим двойственный симплекс-метод
(см. § 11.7). После того как будет получена оптимальная
таблица для этой новой ЛП-задачи, мы снова проверим,
является ли последний /-столбец целочисленным. Если «да»,

Гл. 23. Отсечения 575
то получено целочисленное решение релаксационной ЛП-задачи
(ВО), являющееся оптимальным решением исходной ЦЛП-задачи
G8), Если «нет», то повторим снова описанную выше
процедуру.
Добавление отсечений будем продолжать до тех пор, пока
не получим оптимальную таблицу, в которой последний стол-
столбец - целочисленный. В этом случае соответствующее (опти-
(оптимальное) базисное решение целочисленно. Оно является
оптимальным решением исходной ЦЛП-задачи G9).
Мы выяснили, что ЦЛП-задача G9) недопустима, если на
шагах двойственного симплекс-метода в таблице есть строка
I, в которой <р. < 0, а все остальные компоненты этой строки
неотрицательны. (Тогда двойственная задача неограничена,
см. § 11.7, и, значит, прямая задача недопустима.)
Конечность метода. Можно показать, что описанный выше
метод конечен, если на протяжении всей процедуры добавления
отсечений и применения двойственного симплекс-метода обес-
обеспечивается выполнение следующих условий:
(88) 0) в каждой таблице каждый столбец лексикогра-
лексикографически положителен;
(и) на каждой двойственной итерации выбора веду-
ведущего элемента крайний справа столбец после-
последующей таблицы лексикографически убывает;
A11) в качестве строки - источника отсечения все-
всегда берется самая верхняя из пригодных для
этого строк.
[Здесь вектор-столбец у = (т) ,..., 7) ) лексикографии
чески меньше вектора-столбца г = (Со»« •» Сю) » если 7H =
= Со>-•-, \„х - С^» \ < С4 Для некоторого I = 0,.,., т.
Вектор у лексикографически положителен, если у лексикогра-
лексикографически больше вектора с нулевыми компонентами, т. е. у"%
* 0, и самая верхняя ненулевая компонента у положительна.]
Пусть Т - оптимальная таблица, полученная в результате
первоначального применения прямого симплекс-метода для
решения релаксированной ЛП-задачи (80). Тогда условие (88)
A) будет выполнено, если, например, добавить допонительное
ограничение

576 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
п+го
(89) Е $ * М,
где М выбрано так, чтобы (89) выполнялось для некоторого
оптимального решения ЦЛП-задачи G9). На практике такое
число М часто можно найти очень просто, а в общем случае
можно использовать методы, описанные в § 17.1. В результате
добавления в качестве первой строки То (сразу под самой
верхней строкой) дополнительного ограничения (89) и допол-
дополнительной переменной все столбцы станут лексикографически
положительными. В другом варианте, можно попытаться сделать
все столбцы лексикографически положительными, переупоря-
переупорядочив строки или выполнив несколько дополнительных шагов по
выбору ведущего элемента в столбцах, содержащих 0 в верхней
строке таблицы.
Для того чтобы обеспечить выполнение условий (88) 0) и
(И) во время последующих итераций, ведущий элемент двойст-
двойственного симплекс-метода будем выбирать следующим образом.
Выводимую из базиса переменную ^, выберем произвольным об-
разом из тех ^ ..., для которых <р^ < 0. В качестве вводимой
в базис переменной ^. выберем переменную с таким /» чтобы
ло
вектор
(90)
\>
'.ч
был лексикографически минимальным по всем /, для которых
5. < 0. Тогда легко проверить, что после итерации послед -
(Г3
ний столбец таблицы лексикографически уменьшится, и все
столбцы останутся лексикографически положительными.
Теорема 23.6. При условиях (88) метод отсечений является
конечным.
Доказательство. Для любой таблицы Т определим:
(91) у(Г):= число столбцов в Г,
:= V(Т) - число строк в Т.

Гл. 23. Отсечения 577
Заметим, что 1МТ) не меняется при добавлении отсечений.
Пусть То - оптимальная таблица, полученная после решения
релаксированной ЛП-задачи (80) прямым симплекс-методом,
причем Т удовлетворяет (88) (I). Конечность метода докажем
индукцией по 1МТ0).
Если ц(Т ) = 0, то метод, очевидно, заканчивается: или
все (р - целые, и тогда оптимальное ЛП-решение является
целочисленным, или не все (р. - целые, тогда ЦЛП-задача G9)
недопустима, что обнаружится сразу же, когда мы выберем в
качестве строки - источника отсечения строку (82) с нецелым
<р и попытаемся применить двойственный симплекс-метод.
Поэтому будем считать, что 1МТ0) > 0- В качестве
«внутренней» индукции применим индукцию по &(Т0). Вначале
рассмотрим случай, когда верхняя строка 7*0 полностью состо-
состоит из нулей, т.е. с = 0. Пусть оA) = /0. Тогда /-й стол-
столбец Т имеет вид:
0
1
(92) 0.
0
Мы можем удалить верхнюю строку и /*-й столбец Т и
работать далее с полученной в результате таблицей 7*0'; если
применять метод отсечений, начав с Г ', мы получим ту же
самую последовательность таблиц, что и в случае, если бы мы
начали с Т ' и из каждой таблицы этой последовательности
удалили верхнюю строку и /"-й столбец. Из соотношения
у(Г0') < и(Т0) следует конечность метода.
Предположим теперь, что не все компоненты верхней строки
7*0 равны нулю, т. е. с * 0. Тогда в обозначениях (81)
часть й0 таблицы 7*0 и всех последующих таблиц является
ненулевой. Ввиду условия (88) (и), в этой последователь-
последовательности таблиц компонента <р монотонно не возрастает. Опреде-
Определим а как инфимум всех значений <р во время выполнения
дальнейшей процедуры. Тогда а есть целое число, и ф = а
после конечного числа шагов.
[Доказательство. После конечного числа шагов будет выпол-
выполняться неравенство Ро < [о^ + 1. Если <р0 > [а], то в силу

578 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
(88) A11) строкой - источником следующего добавляемого
отсечения будет строка 0. Тогда двойственный симплекс-метод
приведет к равенству <р0 = [а] (или обнаружит недопустимость
ЦЛП-задачи). Значит, в конце концов <р = \рс} = а.]
Пусть <р0 = а, например, в таблице 7\. Так как а есть
инфимум ф0 по всем таблицам, то после таблицы Т значение
<р больше не изменится. Поэтому в последующих итерациях в
качестве ведущего не будет выбран такой элемент столбца /,
что б0 . * 0. Значит, строка 0 вообще больше не изменится.
Положим теперь /' = 0*кA). где <г есть функция о*, соот-
соответствующая Гк. Тогда /0-й столбец 7*к имеет вид (92). Уда-
Удалим теперь из таблицы Т. и всех последующих таблиц строку 0
и все столбцы /, в которых 6. . * 0, а также столбец / .
Пусть Т ' - это таблица, полученная из Т. в результате
такого удаления. Тогда все дальнейшие итерации и добавления
отсечений в таблицы исходной последовательности могут быть
выполнены и с последовательностью таблиц меньшего размера.
Но по индуктивному предположению начинающаяся с 7*0' после-
последовательность таблиц меньшего размера конечна, так как
(93) ЦТ0') < КГ0).
Это прямо следует из того, что 6*0 хотя бы для одного
индекса / * /0 (так как б0 . = 0 и й^ * 0 в 7*к).
Значит, начинающаяся с Т исходная последовательность
тоже конечна. □
Из конечности метода отсечений Гомори можно получить
другое доказательство теоремы 23.2 для полиэдров Я, принад-
принадлежащих неотрицательному ортанту. Рассмотрим полиэдр
(94) Р = {х\х * 0; Ах * 6},
где А и Ь - целочисленные. Пусть сх ^ б определяет такое
Ьпорное полупространство для Р_, что тах{сх\х € Р} коне-
конечен. Покажем, что
(95) Р{в) Я {х\сх * б},

Гл. 23. Отсечения 579
где 5 - число отсечений, достаточное для решения методом
отсечений ЦЛП-задачи
(96) тах{сх\х ^ 0; Ах ^ Ь; х - целочисленный}.
По теореме 16.1 отсюда будет следовать, что Р^ = Р для
некоторого /.
Включение (95) докажем индукцией по 5. Начнем с решения
релаксированной ЛП-задачи
(97) тах{сх\Ху х * 0; Ах + х *= Ь}.
Если 5 = 0, т. е. если добавлять отсечения не нужно» то
понятно, что тах {сх \ х € Р) - 6. Следовательно, (95) выпол -
няется.
Если 5 > 0, то рассмотрим первое добавляемое отсечение.
Так как строка-источник является линейной комбинацией строк
исходной таблицы, то она соответствует равенству
(98) (уА)х + ух = уЬ
для некоторого вектора у. Значит, добавляемым отсечением
является следующее неравенство:
(99) (уА - \цА\)х + (у - Ш)х г (уЬ - [уЬ}).
Перепишем его, введя дополнительную переменную:
A00) (\уА\ - уА)х + (Ш - у)~х + €вн№1 = (\уЬ\ - уЬ)
Теперь можно привести это ограничение к виду ограничений из
исходной таблицы. Заменив х на Ъ - Ах, получим
A01) (\уА\ - [у}А)х + ?п+в+1 = \уЬ\ -
Таким образом, если бы в самом начале этой процедуры мы
добавили ограничение
A02) (\уА\ - [у]А)х *

580 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
то мы смогли бы решить ЦЛП-задачу, добавив на одно отсече
ние меньше.
Определим полиэдр
A03) (?:= Р п {х\{\уА\ - \у\А)х * (\уЬ\ - \у\Ь)}.
Задачу тъх{сх\х € ф х - целочисленный} можно решить мето-
методом отсечений, добавив 5-1 отсечений. По индуктивному
предположению отсюда получаем, что
A04) С?*8"} Я {х\сх * б}.
Теперь Р' й ф, так как взяв в качестве Н аффинное полу
пространство
A05) //:= {х\(\уА\ - Ь,}А)х * уЬ - \у\Ь),
мы получаем Р 2 Н, Это следует из того, что из х ^ 0; Ах
з Ь влечет за собой
A06) ({уА] - [у]Л)х * (уА - [у]Л)х =
= (У ~ [у])Ах * (у -
Тогда
A07) Нг Я[х\(\уА} - \у\А)х * ([уЬ] -
Поэтому Р' й Р п Нг = (}. Следовательно, Р{9) й С}**3'1*, что
вместе с A04) дает (95).
На практике оказывается, что метод отсечений, в том виде
как он описан выше, требует большего количества времени и
памяти. Вычисления необходимо выполнять очень точно, так
как нужно иметь возможность различать целые и нецелые
числа. Однако мы можем в любой момент прекратить выполнение
метода отсечений (например, если при добавлении отсечений
значение целевой функции улучшается несущественно) и
использовать текущее значение целевой функции в качестве
верхней границы, например, в методах ветвей и границ
(см. §24.1).

Гл. 23. Отсечения 581
Промежуточная остановка не дает допустимого целочис-
целочисленного решения. Поэтому были разработаны другие методы
(Веп-1згае1 апс! Спагпез [1962], Уоигщ [1965, 1968а]т О1оуег
[1968а]), которые сохраняют все решения симплекс-таблиц
прямодопустимыми и при которых все компоненты этих таблиц
целочисленны. Тогда, как правило, не возникает проблем ок-
округления и любая промежуточная остановка дает целочислен-
целочисленное решение, которое, можно надеяться, близко к оптималь-
оптимальному (см. Оотогу [1963Ъ], ОагПпке1 апс! Ыетпаизег [1972а,
Сп.5]).
С помощью комбинации метода отсечений с методом ветвей и
границ, предложенной в работе Сгошйег, Лоппзоп ап<1 РайЬег^
[1983], оказалось возможным решать ЦЛП-задачи большого
размера с разреженными матрицами ограничений (см. § 24.6).
Примечания к гл. 23. Об отсечениях Данцига см. ОапЫ&
[1959], Веп-1згае! апс! Спагпез [1962], Во^тап апс! №тпаизег
[1970], Спагпез апс1 Соорег [1961, Уо!.Н, рр. 700-701],
Оотогу апс! НоКтап [1963] и КиЬш апс! Огауев [1972].
О других методах отсечений см. Ва1аз [1971, 1972, 1975Ь,
1980], Уоипе [1968, 1971Ь], О1оуег [1966-1967, 1972, 1973],
Спагпез, Огапо* апA Огапо! [1977], Юап!аг [1971],
Зпшуазап [1965], ВЫг [1980], В1а1г апс! Легоз1о\у [1982]
(смешанное целочисленное линейное программирование), Червак
[1971], Вомугпап апс! №тпаизег [1971], ^о1зеу [1979] (обзор)
и Ва1аз апс! Легоз1о^ [1980].
Связь между теорией и алгоритмом отсечений обсуждается
также в работе КозепЬегд [1975].
Результаты вычислений, основанных на методах отсечений,
описаны в работах Ва1аз апё Но [1980], 51ештапп апс1
5с1штп [1969] и Тгаи1п апс! Шоо1зеу [1968-1969]. Оценка
числа отсечений методом Гомори дана в работах Финкельштейн
[1970] и ГМоипе апс! Уеп1а [1981-1982], а в Легоз1олу апй
Ког1апек [1971] исследовано его поведение в худшем случае в
двумерном пространстве.
Реализация метода отсечений Гомори на языке Алгол-60
описана в работах Ваиег [1963], Ьап^гпааск [1965] и Рго11
[1970].

582 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Комментарии к методу отсечений Гомори содержатся в рабо-
работе 5а1к1п [1971], а в работе Копйог [1965] доказана конеч-
конечность этого метода. В работе [1972а] исследована связь
метода с «эрмитовыми базисными решениями». Вариант метода
Гомори предложен в работе Маг1т [1963]. В статье Р1еЫег
[1975] исследован «ранг отсечений» для отсечений Гомори.
24
ДРУГИЕ МЕТОДЫ В ЦЕЛОЧИСЛЕННОМ ЛИНЕЙНОМ
ПРОГРАММИРОВАНИИ
Алгоритмы решения ЦЛП-задач были описаны в § 18.4 (метод
Ленстры), § 18.5 и 18.6 (динамическое программирование) и в
§ 23.8 (метод отсечений Гомори). В этой последней главе
книги обсуждаются некоторые другие методы целочисленного
линейного программирования, так или иначе использующие
ветвления и оценки ЦЛП-задач.
Идея метода ветвей и границ описывается в §24.1. Она
была развита Лэндом, Дойгом и Дакиным. В методах ветвей и
границ важно получить хорошие оценки значения максимума
ЦЛП-задачи, хорошие в том смысле, что они нетрудно вычис-
вычисляются и хорошо приближают оптимум. Как было показано в
§ 23.8, одним из методов получения верхних оценок может
служить метод отсечений Гомори.
В §24.2 описывается другой метод - метод угловых поли-
полиэдров, предложенный Гомори и связанный с групповой зада-
задачей.
В § 24.3 обсуждается метод релаксации Лагранжа, также
позволяющий получать полезные оценки. Он иллюстрируется в
§ 24.4 на примере задачи о коммивояжере. С релаксацией
Лагранжа связан метод декомпозиции Бендерса, о котором идет
речь в § 24.5. Он применяется для решения смешанных ЦЛП-
задач. Оба метода основаны на разложении задачи и использо-
использовании ЛП-двойственности для одной из получающихся частей.
В заключение в §24.6 кратко обсуждаются недавние ре-
результаты Краудера, Джонсона и Падберга, посвященные решению

Гл. 24. Другие методы в ЦЛП 583
задач линейного {0, ^-программирования большой размерности
с разреженными матрицами ограничений. Их основой является
искусное соединение метода ветвей и границ с идеями теории
отсечений для задачи о рюкзаке и эвристиками.
24.1. Методы ветвей и границ
в целочисленном линейном программировании
Следующий метод ветвей и границ был разработан Дакиным
факт [1965]). Этот метод является модификацией более
раннего метода, описанного в работе Ьапё апё Осмд [1960]
(см. ниже).
Пусть А - рациональная (т х п)-матрица и Ь € 0ш, се 0п.
Требуется решить следующую ЦЛП-задачу:
A) тах{сх\Ах 5 Ь\ х - целочисленный}.
Метод представляет собой итеративный процесс. На шаге 1
имеем И := {/*}, где Р:= {х\Ах ^ Ь}. Предположим, что на ша-
шаге к имеется набор 1^ = {Р1%...7 Р^% такой, что
B) A) Р ,.... Р. - попарно непересекающиеся полиэдры
из Кп (каждый из которых задан системой
линейных неравенств);
(п) все целочисленные векторы из Р содержатся в
Тогда определим
C) II,:= тах{сх\х € Р }
для / = 1,..., к. Для вычисления /1. можно применить любой
метод линейного программирования. Выберем такое / , что
D) II т = тах{д |/ = 1,..., к)
^ 3
и рассмотрим вектор х* = (^* Сп )Т« на котором дос-
достигается максимум C) при / = / .

584 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Случай 1. х - не целочисленный. Выберем нецелочисленную
♦ *
компоненту х , например, ^. , и определим
E) аг:= {х = (С,,..,?/ € Р т\$. == 1^'}),
Положим П: = {Я,.-, Р т , <?-, <2о, Я * ,..., Р }. Этот
к ^ -1 ^ +1
набор удовлетворяет B), поэтому можно приступить к шагу
к + 1.
Заметим, что на следующей итерации нужно вычислить C)
только для двух новых полиэдров (Э и С} , так как для ос-
тальных полиэдров д. известны из предыдущей итерации. Если
вычислять C) с помощью симплекс-метода, то можно к послед-
последней таблице, которая использовалась для определения ц ш,
добавить ограничение ^. ^ |_^± ^ и применить двойственный
симплекс-метод, чтобы найти тах{с*|* € ($}. Аналогичные
действия можно проделать для B .
Случай 2. х - целочисленный. Тогда х доставляет максимум
(!)■
Если каждый полиэдр Р. - пустой, то ЦЛП-задача A) не-
допустима.
Теорема 24.1. Если полиэдр Р ограничен, то описанный выше
метод конечен.
Доказательство. Если Р ограничен, то существует такое число
Г, что
F) Р Я {* = (?!,..,?/ € Кп| -Т ^ ?1 < Т
ДЛЯ ( = 1,..., П)
2
(по теореме 10.2 можно взять Т:= 2 ^, где <р - это макси-
максимальный размер строк матрицы [А 6]). Тогда на каждой ите-
итерации каждый полиэдр Р из П. = {Ра,..., Р^} определяется
системой Ах ~ Ь, к которой добавлено несколько неравенств
вида
G) ?. * т (I - 1,..., я; т - -Г,..., Т - 1),
> т (( = 1,..., я; т = -7 + 1,...,

Гл. 24. Другие методы в ЦЛП 585
где х = E-,..., СП)Т- Индукцией по к можно показать, что
если /' * /", то полиэдры Р., и Р.» определяются различными
подмножествами из 4пТ неравенств G). Следовательно, к ^
^ 24пТ и, значит, не больше чем через 24пТ итераций алго-
алгоритм заканчивает свою работу.
Если неизвестно, что Р - {х\Ах ^ Ь) ограничен, то можно
поступить следующим образом. Обозначим через <р максимальный
размер неравенств системы Ах ^ Ь. По следствию 17.1Ь, если
Р содержит некий целочисленный вектор, то он содержит
целочисленный вектор, размер которого не превосходит 6п3<р.
Кроме того, если максимум A) конечен, то существует опти-
оптимальное решение задачи A), размер которого не превосходит
6п3<р. Определим
(8) Ро:= Р п{* = (€г..■•€/ * КП |
-2 П™^^^2П^ для I = 1,..., п}
и применим описанный выше алгоритм для поиска максимума:
(9) тпах{сх\х € Ро; х - целочисленный}.
Если задача (9) недопустима, то A) тоже недопустима. Если
(9) имеет оптимальное решение х , проверим, является ли
ЛП-релаксация задачи A), т.е. задача тах{сх\Ах ^ Ь), ко-
конечной или неограниченной (например, с помощью симплекс-
метода). Если она конечна, то и задача A) конечна и х -
оптимальное решение. Если она не ограничена, то задача A)
также не ограничена.
Время работы метода ветвей и границ не ограничено поли-
полиномом от размера входа. Действительно, рассмотрим следующие
ЦЛП-задачи ЦЛП^ для / = 1, 2,...:
A0) ЦЛП,: тах{т?|2^ = B* + 1O); 0 5 ^ 21;
7) - целые}.
Единственным допустимым решением ЦЛП -задачи является нача-
ло координат (^, Т)) = @, 0). Метод ветвей и границ требует
для решения ЦЛП.-задачи не менее 2 итераций.
8 - 781

586 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Доказательство. Величина Д «, являющаяся максимумом в D)
на Л-ой итерации, не может быть меньше 2 - к. Это так, по-
поскольку по индукции по к на /г-м шаге один из полиэдров Р
из B) содержит подмножество
(И)
; 0 *
2г - к
Легко показать, что если разбить этот полиэдр так, как это
сделано в E), то один из двух новых полиэдров будет содер-
содержать в качестве подмножества
A2)
= B*
0
* 2* - к -
Так как размер ЦЛП.-задачи зависит от I линейно, то для
времени работы метода не существует полиномиальной верхней
оценки.
В работе Спуа1а1 [1980] показано, что улучшенный вариант
описанного выше метода ветвей и границ требует 2 ° итера-
итераций почти для всех задач о рюкзаке вида
A3)
т&х{сх\сх з 1с1; 0 з * 5 1; х - целочисленный},
где с - положительный целочисленный п-мерный вектор, все
компоненты которого не превосходят 10 (а 1 - состоящий
из единиц л-мерный вектор-столбец). В работе Легоз1о\у
[1974] показано, что при нечетном п метод ветвей и границ
для задачи
A4)
шах
+ ... + 2?п = л; 0 5^ < 1
и целое (/ = 1,..., л)}
требует выполнения не менее 2*п+1*/2 итераций, прежде чем
будет установлена ее недопустимость.
Другие отрицательные результаты можно найти в работах
РЫкегзоп, ЫетЬаизег апс! ТгоПег [1974] и Ау15 [1980а].
Метод Лэнда и Дойга. Описанный выше метод Дакина является
модификацией метода, предложенного в работе Ьап<1 апс!

Гл. 24. Другие методы в ЦЛП 587
[1960]. Предположим, что Р ограничен, и справедливо включе-
включение F). В алгоритме Дакина полиэдр Р ф заменяется полиэд-
рами С) и B (см. E)). Согласно методу Лэнда и Дойга, Р „
^
заменяется 27* + 1 полиэдрами вида
A5) Рл:= Р . п {* = «! ?/ 6 В" | С, - X)
для Л = -7\..., +Т. Поэтому обычно П содержит гораздо
больше, чем к - число полиэдров.
Это может наводить на мысль о необходимости хранения
большого объема данных, но в действительности на следующей
итерации необходимо вычислить лишь величины
A6) у^:=
для Л = [^ } и Л = ["{; "|, поскольку мы заинтересованы
только в поиске максимума д , а максимум ьч достигается при
^ = 1& 1 или ^ = ГС4 1 (так как У\ является вогнутой
функцией от Л, максимум которой достигается при Л = ^. ).
Для остальных значений Л величины 1Л можно вычислять только
по мере необходимости в процессе дальнейших ветвлений.
Примечание. В описанном методе ветвей и границ для вычисле-
вычисления верхней границы мы использовали релаксированную ЛП-за-
дачу, см. C). Однако мы могли взять любую другую границу
для оптимума ЦЛП-задачи, т. е. любое д , удовлетворяющее
неравенству
A7) 11 ^ тах{с*|* € Р ; х - целочисленный}.
Фигурирующий здесь максимум снова представляет собой ЦЛП-
оптимум. Это поднимает проблему поиска хороших верхних гра-
границ для ЦЛП-оптимумов - хороших в том смысле, что их можно
быстро вычислять и они не слишком далеко отклоняются от
оптимума.
Верхние границы обсуждаются в § 23.8 (метод отсечений
Гомори) и в §24.2, 24.3 и 24.5.

588 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Примечания к § 24.1. Другой перечислительный метод для
{О, 1}-задач, называемый аддитивным алгоритмом, был развит
в работах Ва1аз [1963, 1964, 1965] и СНоуег [1965] (см.
Ва1аз [1967], Вгаиег [1967], Е1Ьуеш [1974], Ргеетап
[1966], РЫзсптапп [1967], ОеоНпоп [1967, 1969], О1оуег
апс! 2юп*з [1965], ОгеепЬег^ апс! Не^епсп [1969-1970],
Нгоис1а [1971], Ьетке апс! 5р1е1Ьег^ [1967], Ьоептап, Ы§Ыет
апс! Мипз1оп [1970]).
Смотри также Ва1аз апс! Но [1980], Вгеи апA Вигйе!
[1974], ОагПпке! [1979], СШтоге апA Сотогу [1961, 1963,
1965], Ко1езаг [1966-1967], Кго1ак [1969], Ьаш!ег апй Ве11
[1966], 5{еттапп апс! Зспштп [1969], ТотИп [1971],
ТгоМег апд ЗЬеПу [1974] и №о1зеу [1980]. Работы Ьаш1ег
апс! \Уоос1 [1966] и 5р1е1Ьег^ [1979] являются обзорами.
24.2. Групповая задача и угловые полиэдры
Приводимые далее результаты принадлежат Гомори (Оотогу
[1965, 1967, 1969]). Пусть требуется решить ЦЛП-задачу
A8) тах{сх\Ах з Ь\ х ^ 0; х - целочисленный},
где А и Ь ~ целочисленные, и пусть для соответствующей ре-
лаксированной ЛП~задачи
A9) тах{сх|Лх = Ь\ х * 0}
известно оптимальное базисное решение
B0) х* -
0
где А -■ [В М]. Разобьём векторы х и с в соответствии с B0):
X ~
хв
С —
Тогда

Гл. 24. Другие методы в ЦЛП 589
B2)
сх = тах {сх\[В
"в
^ а 0},
поскольку для оптимального решения и задачи, двойственной
задаче A9), имеет место и*В = св, и*N ^ ск, иЬ - сх* и,
следовательно, для любого допустимого решения х задачи на
максимум в B2) справедливо
B3)
сх = иЪ = и*[В
Рассмотрим теперь задачу
в
B4)
тах{сл:|[В
в
=2 /)* У > Г)" Т. Т. —
Н В* N
целочисленные}.
По сравнению с A8) в этой задаче опущено условие неотрица-
неотрицательности хв. Поэтому B4) дает верхнюю оценку для A8),
которая в силу B2), вообще говоря, лучше чем A9). Ее мож-
можно использовать в любом методе ветвей и границ.
Исследуем задачу B4). Заметим, что она совпадает с за-
задачей
B5)
тах
= В~1
(сц -
ц
н = В~16(тос1 1); х^ а 0; хн - целочисленный}.
Здесь сравнение е = /(той 1) означает, что вектор е~{ -
целочисленный. Таким образом, при решении ВГ1Ых^
= В~16(тос1 1) нужно рассматривать только дробные части ком-
компонент ВГ^Ь. Так как А и Ь целочисленны, то каждая из этих
дробных частей содержится среди чисел
B6)
0,
1
В\ -
В\ \Ле1 В\
|сЕе 1 В\
Проведение вычисление по модулю 1 означает, что по существу
мы работаем с элементами произведения циклических групп.
Поэтому задачу B5) называют групповой задачей.

590 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
В задаче B5) переменных меньше, чем в исходной ЦЛП-
задаче. Ее можно попытаться решить, например, приспособив
метод динамического программирования, как было описано в
§ 18.5 и 18.6.
Если ввести новые обозначения (забыв исходные Д Ь, с,
, то задачу B5) можно сформулировать в следующем виде:
B7) тах{сх\Ах = Ь(тод. 1); х ^ 0; х - целочисленный},
где Ь * 0(тос1 1). Гомори определил соответствующий этой за-
задаче угловой полиэдр
B8) Р(А, Ь):= сопу.ЬиИ {х\Ах в Ь(той 1);
х ^ 0; х - целочисленный}.
Таким обоазом, задача B7) эквивалентна задаче максими -
зации сх на Р(А, Ь). Гомори исследовал фасеты Р(А, Ь). При-
Приведем его результаты, считая А - (т х п)-матрицей и пола-
полагая А равным наименьшему общему кратному всех знаменате-
знаменателей, которые встречаются в /-й строке матрицы [А Ь] (* =
= 1,..., т). Обозначим через А матрицу, столбцами которой
являются всевозможные ненулевые т-мерные вектор-столбцы
B9)
I У«/Дт -
где У1...-. У - целые числа (не все равные 0), такие, что
0 5 I < А4 (* = 1,..., гп). Таким образом, А содержит ^:=
= А • • • А - 1 столбцов. Полиэдр Р(А, Ь) называется глав -
ным угловым полиэдром. Зная фасеты Р(А, Ь)% можно указать
линейные неравенства, определяющие Р(А, Ь)> так как А полу-
чается из А с помощью следующих операций:
C0) A) удаления столбца (что означает исключение
соответствующего члена неравенства);
(Н) повторения столбца (что означает повторение

Гл. 24. Другие методы в ЦЛП 591
соответствующего члена неравенства);
(III) прибавления целых чисел к элементам матрицы
(что не изменяет углового полиэдра);
(IV) перестановки столбцов (что означает переста-
перестановку соответствующих членов неравенства).
Заметим, что Р(А, Ь) является полиэдром блокирующего ти-
типа (в смысле §9.2), т.е. его фасеты задаются неравенст-
неравенствами одного из двух видов:
C1) ^ * О (I = 1,...,
их ^ 1 (й - некоторый неотрицательный вектор).
Теорема 24.2 (теорема Гомори об угловом полиэдре). Неравен
ство утх аь 1 определяет фасету Р(А, Ь) тогда и только тог
да, когда у является вершиной политопа
C2) (?:= {у\у = (Т)г>... тдт * 0;
^1 + ^ ~ \* если 21 + ^
^1 + У Л = ^у еСЛИ ^1 + ^1 ~
г/к = 1, если ак = Ь(тпо6 1)},
через а обозначен 1-й столбец А.
Доказательство. I. Докажем вначале, что
C3) (?:= {у * О
(I) утх ^ 1, если х €
х - целочисленный;
(И) Т). + тк = 1, если а. + а, = Ытой 1);
1 о 1 ^
(ш) ТI = 1, если а4 н Ь(то<1 1)}.
Для того чтобы доказать включение 2, достаточно пока-
показать, что если у € (?, то выполняется A) из C3). Предполо-
Предположим, что для некоторого целочисленного х из Р(А, Ь) выпол-
выполняется неравенство уТх < 1, и выберем х таким образом, что-
чтобы произведение \х (= сумма компонент х) было минимальным.

592 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Предположим, что более одной компоненты вектора х =
= (€!»••» См)Т отличны от нуля, например, ^ ^ 1 и ^. ^ 1.
Если а. + а = а(тос1 1), то возьмем х\ который получается
из х уменьшением ^. и ^. на 1 и увеличением & на 1. Тогда
X* € Р(А, Ь), НО уТх' = у*Х - 1)§ - Ц + 1?к ^ уТХ < 1 И
\х' < \х, что противоречит минимальности \х. Если 21 + 2. =
= 0(тос1 1), то возьмем х', который получается из х умень-
уменьшением ^. и ^ на 1. Тогда снова х' € Р(А, Ь) и неравенства
утх' = утх - 1)х - К). * утх < 1 и 1х' < \х противоречат ми-
минимальности \х. Отсюда заключаем, что х имеет только одну
ненулевую компоненту ^» соответствующую столбцу Ь из Л.
Значит, утх = ТI^1 ^ 1.
Для доказательства включения 2 достаточно показать, что
если у удовлетворяет условиям C3), то т^ + т) - т^ ^ О
при а. + а. я а.(тос1 1). Если ак * 6(тсх1 1), то это следует
из C3) (И) и (ш). Если ак * 6(тос1 1), то возьмем ах =
= Ь - ак(тос1 1). Тогда т^ + т)х = 1 ввиду (п) и ^ + т^ +
+ Т) а 1 ввиду 0). Следовательно, т^ + К) -
1^) - 0\ + Чх) * 1 - 1 = 0.
I. Теперь покажем, что
II
C4) 0 + К^ = {у 2: 0|/д: ^ 1, если х € Я(Л, Ь),
х - целочисленный}.
Ясно, что имеет место включение 2, так как если у € (},
г € К^, то (у + г)тх = угх + ггх & 1 (ввиду г г 0, х * 0).
Чтобы показать включение 2, возьмем минимальный элемент
у из правой части C4), т. е. такой у, что если у' * у,
(/' * у, то у7 не принадлежит правой части C4). Достаточно
показать, что у принадлежит 0, т. е. что выполняются уело -
ВИЯ (И) И A11) ИЗ C3).
Докажем (И). Пусть а^^ + а. = ^той 1). Тогда в силу
C4) 7) + тк ^ 1. Известно также, что если уменьшить щ или
Т)., то полученный вектор уже не будет принадлежать
правой части C4). Если ^ > 0 и 1), > 0, то отсюда следует,
что существуют такие целочисленные векторы х\ х" из

Гл. 24. Другие методы в ЦЛП 593
Ь), что 5/ - 1. ?/' - 1 и (/V = (/V = 1. Пусть век-
вектор х получается из вектора х' + х" уменьшением на 1 его
/-й и /-Й компонент. Тогда х е Р(А, Ь) и, значит, т^ + т) =
= утх' + утх" - утх ^ 1. Если одно из т^ или т). равно О,
например т). = 0, то существует такой целочисленный вектор
х из Р(А, 6), что ^ ^ 1 и утх = 1. Следовательно, ТI +
Докажем A11). Пусть с^ = 6(то<1 1). Из C4) имеем т^ ^
а 1. Так как у - минимальный элемент в правой части C4),
то существует такой целочисленный вектор х из Р(Л, Ь), что
^ 1 и утх = 1. Следовательно, т) ^ 1.
III. Равенство C4) означает, что 0 + К^ является блоки-
рующим полиэдром для Р(А, Ь). Значит, фасеты Р(АУ Ь) соот-
соответствуют вершинам <Э + К^, но последние являются в точнос-
точности вершинами B. Чтобы это доказать, возьмем у - вершину <2 +
+ К^. Тогда по теореме о декомпозиции полиэдров (следствие
7ЛЬ) у является вершиной С. Обратно, пусть у - вершина 0.
Предположим, что у = |{г' + г") для некоторых г', г" € <2 +
+ К^, г', г" ■*■ у. Возьмем такие у*, у" € 0, что у* з г',
у" * г". Тогда ку' + у") * у. Так как у € С} и ку' + у") €
€ <2, то из C3) (и) следует, что у - = ^г/' + 1///), так как
I/ - вершина, то у - у' = у". Но тогда у = г' - г", что про-
противоречит сделанному предположению. О
Примечания к § 24.2. Другие результаты в области ис-
исследования групповой задачи и угловых полиэдров (в том
числе обобщения для смешанного ЦЛП) получены в работах
Агаог [1973], Агаог ап<1 Лоппзоп [1981, 1985*], ВасЬет
[1976а, Ь, 1977*], ВасЬет, ЛоЬпзоп апA ЗсЬгааег [1981-
1982], ВасЬет апс1 5сЬгас1ег [1979], Ва!аз [1973], Ве11
[1974*, 1977*, 1979], Ве11 апс! р15Ьег [1975], Ве11 агш
5Ьар1го [1977 ], ВегЫаггь ЬерогеШ апс! ЬисегИп!
[1980*], Вигёе! апс! ЛоЬп&оп [1974, 1977], СЬеп апс! 1\оп\$
[1972, 1976], СЬорга апс! ЛоЬпзоп [1987*], Сго\ус!ег апс!
ЛоЬпзоп [1973], Сип1п^Ьате-Огееп [1981 ], Оепагск) апд Рох
[1979*], ОеУ1пе апс! О1оуег [1973], РапеШ [1978*], р1<>пег
апс! 5Ьар1го [1974], Рг^еге [1976], Оа&1ои апс1 ЛоЬпаоп
[1986*], О1оуег [1969, 1970, 1971*, 1975Ь], Оотогу [1970],

594 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Оотогу апй ЛоЬпзоп [1972а, Ь, 1973], Сопйгап [1970*],
Ооггу, 1^ог*пир апс! 5пар1го [1973], Ооггу апс! $Ьар1го
[1970-1971], Ооггу, ЗЬараго апё Шокеу [1971-1972], Огееп-
Ьег$ [1969], НаШп [1972], Ни [1969, 1970а, Ь], ЛегО51о\у
11978а], Лоппзоп [1973, 1974Ь, 1976*, 1978, 1979, 1980а,
Ь, 1981а, Ь], КапНп аш1 ищет [1976*], 5Ьар1го [1968а, Ь,
1971], 51теопе [1979*], Уо1реп*е8*а [1980*], М>1зеу [1971,
1971-1972, 1973, 1974а, Ь, с, 1979 (обзор), 1981*], Уатато-
1о [1980*], Веселов [1981*], Веселое и Шевченко [1981*],
Зииченко [1985*], Козерацкая [1980*], Литвак [1980*],
Литвак и Найвельт [1976*], Нярипя [1981*], Тришин [1983*],
Шевченко [1975*. 1979*, 1981*, 1983*], Шлык [1978*, 1980*.
1984*, 1988*] (обзорI.
24.3. Релаксация Лагранжа
В §24.3 и 24.5 мы дадим краткий обзор некоторых декомпо-
декомпозиционных методов целочисленного линейного программиро-
программирования. Они основаны на применении теории ЛП-двойственности
к подмножеству переменных или ограничений. Эти методы свя-
связаны с методом декомпозиции для задач линейного программи-
программирования большой размерности, который предложен в работах
Ват\{г'щ апс! №о11е [1960, 1961], однако в настоящей книге мы
его не рассматриваем.
В этом параграфе мы опишем метод релаксации Лагранжа,
предназначенный для получения верхних оценок для ЦЛП-задач,
в особенности для задач с «выраженной структурой», напри-
например, комбинаторных. Получение хороших верхних оценок (т. е.
таких, которые нетрудно вычислить и которые не слишком
далеки от оптимума) имеет большое значение для методов
ветвей и границ. Метод релаксации Лагранжа был разработан в
работах НеШ апё Кагр [1970, 1971].
Пусть требуется решить ЦЛП-задачу
Смотри также список добавленной литературы в примечании
к § 23.7 - Прим. перев.

Гл. 24. Другие методы в ЦЛП 595
C5) тах {с*!^* ^ 6 ; А^х ^ Ь2\ х - целочисленный},
где А1 и А имеют порядок соответственно т. х п и /п2 х п.
Верхнюю оценку для максимума C5) можно получить следующим
образом:
C6) тах сх ^ ппп [уЬ + тах (с - уААх\.
А1Х"Ь1 У~° А2Х~Ь2
А х-Ъ_ х - цело-
ч и слен-
х-це л очис-
. н ы и
ленный
Фигурирующая здесь задача на минимум называется релаксиро-
ванной задачей Лагранжа (релаксацией Лагранжа), а компонен-
компоненты у - множителями Лагранжа,
Доказывается неравенство C6) просто, если х доставляет
первый максимум, а у доставляет минимум, то сх -у Ах +
+ (с - у*Аг)х* * у*Ь1 + (с - у*Аг)х* ^ у*Ьг + тах {(с -
- у Ал)х\А х - 6 , х - целочисленный}.
т1
Определим функцию ?\ К —> К:
C7) Р(у):= уЬл + тах(с - уА)х
Ах5ь
х - цело-
ч и слен-
ный
Функция Р является выпуклой, и ее минимум на К+1 равен ми-
минимуму в C6). Если ЦЛП-задача
C8) тпах{сх\А х - Ь^у х - целочисленный}
может быть решена быстро для любой целевой функции с, то и
значение Р(у) можно быстро вычислить для любого заданного
у. В приложениях ограничения задачи довольно часто можно
разбить на такие части Ах ^ Ь и А^х ^ 6 что задача C8)
будет решаться за полиномиальное или псевдополиномиальное
время. (В работе р15пег [1981] говорится, что это справед-
справедливо для всех известных автору приложений.)

596 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
0
Предположим, что для заданного у0 € К+х мы вычислили
Р(у) и нашли, что максимум в C7) достигается на х . Тогда
и0:- Ь - Л,*0 есть субградиент функции Р в точке у0, т. е.
о
о
и удовлетворяет неравенству
C9) Р(у° + г) - Р(у°) * ги° для любого г € К*1.
Это доказывается непосредственно: Р(у° + г) - Р(у°) ь (у0 +
+ (с - A/° + г)А1)х° - (*/\ + (с - 0%)*°) = г«°.
Таким образом, если у доставляет минимальное значение
т
т1 * о о
функции Р на К+ , то (у -у )и 5 0. Это подсказывает ите-
итеративную процедуру приближения минимума. Начнем с произ-
произвольного у0 и рекурсивно построим последовательность у0,
у1, у,", следующим образом. Если г^ уже определено, то
найдем д^, доставляющий максимум шах {(с - 1^А.)х\А2х * Ь'
х - целочисленный}. Тогда (/к+1:= ук - \(Ь% - Л1хк), где
А - «длина шага», которую еще необходимо определить - для
этого можно использовать эвристические или эмпирические
соображения.
Описанная процедура является в сущности субградиентным
методом, который был предложен Шором (Шор [1962, 1964]) в
качестве обобщения метода градиента для дифференцируемых
функций. Из работы Поляк [1967] следует, что если функция Р
ограничена снизу (что имеет место в нашем случае) и если
ю
11 т А = 0, тогда как 2 А. = 0, то последовательность
ю к к=о
Р(у°), Р(у1),... сходится к минимуму. В работах НеШ апй
Кагр [1970, 1971] метод субградиента получил дальнейшее
развитие для аппроксимации оптимального значения релаксации
Лагранжа. С его помощью были получены решения индивиду-
индивидуальных задач о коммивояжере большего размера, чем удавалось
ранее.
Заметим, что на каждом шаге Р(^) является верхней
оценкой для минимального значения /\ т. е. для оптимального
значения релаксации Лагранжа. Следовательно, Р{у) может
служить оценкой сверху для значения максимума исходной ЦЛП-
задачи. Поэтому если при вычислении #°, у ,... значения

Гл. 24. Другие методы в ЦЛП 597
Р(у°), Р(уг), Р{у2)*... существенно не уменьшаются, то вы-
выполнение итеративного процесса можно прекратить и в качест-
качестве верхней оценки для ЦЛП-задачи взять текущее значение
Пук)-
Система Аох ^ Ьо в C5) может быть задана неявно с по-
мощью алгоритма отделения (в смысле гл. 14), при условии,
что задачу C8) можно решить эффективно. Говоря строже,
имеет место
Теорема 24.3. Если для класса ЦЛП-эадач типа C5) задачу
максимизации C8) можно решить за полиномиальное время (для
любой целевой функции с), то оптимальное значение релакса-
релаксации Лагранжа можно вычислить за полиномиальное время.
Доказательство. Рассмотрим полиэдр
D0) Я:= {(I/, Л) |Л а уЬ% + {с ■- уА^х для всех х, для
которых А2х ^ Ь , х - целочисленный}.
Тогда оптимальное значение релаксации Лагранжа равно
гтп{А|A/, Л) € Р}. Минимум можно найти за полиномиальное
время, так как задача отделения для Р полиномиально разре-
разрешима: для того чтобы проверить, что (у , А ) принадлежит
Р, найдем х , максимизирующий функцию (с - у°А1)х при усло-
условии А-х ^ Ь2У х - целочисленный, и проверим, выполняется
ли неравенство Л° ^ у°Ьг + (с - у°Ах)х Если «да», то
(у°> Л°) принадлежит Р. Если «нет», то неравенство Л ^
^ уЬх + (с - уЛг)х отделяет (у°у А0) от Р. и
Подробности доказательства теоремы оставляем читателю.
Часто условие целочисленности в C8) можно опустить, не
изменяя значения максимума. Это означает, что полиэдр,
определенный системой А^х ^ Ьг> является целочисленным.
(Теоретическое применение: ввиду обсуждавшейся в гл. 14 эк-
эквивалентности между «оптимизацией» и «отделением», если
задача C8) разрешима за полиномиальное время, то полиэдр
{*|Л2л: ^ Ь2) можно считать целочисленным, так как проблема
отделения для {*И2д: < Ь^г полиномиально разрешима.)
Если А^х ^ Ь2 определяет целочисленный полиэдр, то (вви-
(ввиду ЛП-двойственности) оптимум релаксации Лагранжа удовлет-
удовлетворяет соотношению:

598 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
D1)
ГП1П
уЬ + тах(с - уЛ )х
х - цело-
ч и слен-
ный
ГП1П
у>0
ГП1П
у>0
уЬ1 + тах(с -
]
Ш1П
и ^0
иЪ.
пип (уЬ + иЬ2) = тах сх.
у , и^О А х^Ь.
г А2Х ^
Таким образом, оптимальное значение релаксации Лагранжа
совпадает с оптимальным значением релаксированной ЛП-задачи
для исходной ЦЛП-задачи. Поэтому для вычисления оптимума
релаксации Лагранжа можно применить прямые ЛП-методы. В
этом состояла основная идея, благодаря которой в последнее
время удалось решить ряд задач о коммивояжере большого
размера, см. ниже.
Аналогичный подход можно применить для ЦЛП-задач других
типов. Так, например, имеет место неравенство
D2)
пил сх
А1Х=Ь1
А 2 Х"
х-цело-
ч и слен-
н ый
тах
У
уЬ
т'т(с - уАЛх
х - цело-
ч и слен-
н ый
Теперь область, на которой ищется максимум не ограничена
условием неотрицательности у.
Примечание. Минимум в C6) равен
D3)
гтпп уЬ + Л
при условиях A) у(А х) + Л ^ сх (для всех цело
численных х, для которых А~х :
(И) л*0.

Гл. 24. Другие методы в ЦЛП 599
Этот минимум в свою очередь равен
D4) пип II
при условиях A) у(А^х ~ Ьг) + Д ^ сх (для всех
целочисленных хл для которых
Агх * Ь2)\
A1) У * 0.
Таким образом» задачу можно интерпретировать как задачу
минимизации ошибок в системе неравенств у^А.х - ЬЛ а сх
(для всех целочисленных хл для которых А2х з Ьг).
В субградиентном методе если найдено *Д то ук+1 =
Х - Ах*) для некоторого х = х16, максимизирующего
х - &2). Следовательно, можно считать, что метод
субградиента является частным приложением метода релаксации
(§ 12.3). Это было замечено Хоффманом.
Формулировка D3) связана также с декомпозицией, предло-
женой Бендерсом, которую мы рассмотрим в § 24.5. В работах
Не1A ап<1 Кагр [1970, 1971] представлен метод генерации
столбцов для определения минимума D4). Этот метод имеет
много общего с методом Бендерса.
Примечания к § 24.3. Обзорами по методу релаксации Лагранжа
являются работы Р1зЬег [1981], ОеоНпоп [1974], 5пар1го
[1979], Вигкагё [1980]. См. также Ва1аз ап<1 Спп81оПаез
[1981], Ва1аз ап<1 Но [1980], Вгоокз апа ОеоНпоп [1966],
ЕуегеЙ [1963], ОаУ15п [1978], Ооггу, 5Ьар1ГО апа ^о1зеу
[197Ы972], Не1ё, ^о11е апё Сго^йег [1974], Капуап апё
Кага1П [1979], ЫетЬаизег апа 1Л1тапп [1968], Поляк [1969],
5пар1го [1971], Шор [1979].
24.4. Приложение: задача о коммивояжере
Задачу о коммивояжере (см. пример 23.3) можно сформулиро
ровать в виде ЦЛП-задачи
D5) гшп 2 у ?
1^-1 ° °

600 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
при условиях
= 1-.. я).
1=1 #0
Е ЕС,,*! @ * У 2 {2...., я}),
(IV) €1Л а 0 («. / = 1 я),
(у) ^ - целочисленные (/, у = 1,..., п).
* и
Здесь у (*■ / = !.-•♦» «) - заданные рациональные числа.
Для задачи D5) релаксированная задача Лагранжа имеет вид
(см. D2)):
D6) тах
\
. . удовлетворяют ^, 3=1
A1), A1 1), (IV), (V)
Это задача максимизации вогнутой функции на Кп. Задачу ми
нимизации в D6) можно записать (обозначив
следующим образом:
D7) гшп 2 у ?
При ВЫПОЛНеНИИ УСЛОВИЙ (И), A11), (IV), (V).
Простой анализ этой ЦЛП-задачи показывает, что она является
задачей поиска так называемого «кратчайшего выходящего
1-дерева». Выходящее 1-дерево - это набор дуг, образующих
корневое остовное дерево с корнем 1. Заметим, что перемен-
переменные ^. не встречаются в A11) и только один раз встречают-
встречаются в (и), поэтому их можно рассматривать отдельно (они не
соответствуют дугам выходящего 1-дерева).
Теперь можно воспользоваться результатом работы Ейтопйв
[1967а]: кратчайшее выходящее 1-дерево можно найти за
полиномиальное время (это было также показано в приложении
14.1). Поэтому задачу D7) можно решить за полиномиальное
время и, следовательно, по теореме 24.3 можно за полиноми-

1
Гл. 24. Другие методы в ЦЛП 601
альное время найти оптимальное значение релаксированной
задачи Лагранжа. Более того, можно воспользоваться алгорит-
алгоритмом Эдмондса для аппроксимации методом субградиента
значения максимума D6), как было предложено в работе Не1с1
апс! Кагр [1970, 1971].
В действительности значение минимума D7) не изменится,
если опустить условие целочисленности (у) - это также пока-
показано в Ес1топA5 [1967а] (доказано в § 22.2). Поэтому в силу
D1) релаксированная задача Лагранжа D7) имеет такое же
значение оптимума, что и релаксированная ЛП-задача. Следо-
Следовательно, с тем же успехом можно было бы решать релаксиро-
ванную ЛП-задачу. Именно в этом состоит подход, который был
предложен в работах ОапШ%, Ри1кегзоп апс! Лоппзоп [1954,
1959], а затем развит и улучшен в МШоНз [1978],
Ого1зспе1 апс! РасШег^ [1980] и РасШег^ апс! Ноле [1980]
(обзор см. в Сго18сЬе1 апс! РаёЬегд [1985] и РайЬегд апс!
Сго1зсЬе1 [1985]).
Названные авторы предложили для решения релаксированной
ЛП-задачи, соответствующей D5), следующий метод. Вначале с
п
помощью симплекс-метода минимизируем И%\А\\ ПРИ услови-
1^ = 1 ° °
ях ([), (и), (IV). Затем проверим, удовлетворяет ли най-
найденное оптимальное решение, скажем х , условию A11). Для
этого рассмотрим х как функцию пропускной способности,
определенную на дугах (*, /') (*, / = 1,..., п). С помощью
алгоритма Форда-Фалкерсона для задачи о минимальном разрезе
(см. приложение 12.1), найдем A - /)-разрез с с мини-
минимальной пропускной способностью для каждого / * 1. Если
пропускная способность каждого разреза сл не меньше 1, то
ф л-З
х удовлетворяет условию A11) и, значит, является опти-
оптимальным решением релаксированной ЛП-задачи. Если же про-
пропускная способность одного из разрезов с. меньше 1, то
этому разрезу соответствует неравенство вида A11), которо-
которому х не удовлетворяет. Это неравенство можно добавить к
полученной симплекс-таблице и с помощью двойственного
симплекс-метода найти новое оптимальное решение. Проверим
еще раз, удовлетворяет ли новое оптимальное решение условию
A11). В результате мы снова обнаружим, что найдено
оптимальное решение релаксированной ЛП-задачи или найдем

602 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
новое нарушаемое неравенство, которое добавим к полученной
таблице. Повторяя этот процесс, в конечном итоге мы получим
оптимальное значение релаксированной ЛП-задачи.
Описанный процесс конечен, так как ограничений A11)
«только» конечное число, но он может потребовать экспо-
экспоненциального времени. Однако в этот алгоритм можно встроить
какой-либо критерий останова, проверяющий, например, умень-
уменьшается ли приращение значения оптимума при переходе к
следующей ЛП-задаче; текущее оптимальное значение по-преж-
по-прежнему может служить нижней границей для значения оптимума
ЦЛП-задачи.
Такой подход называют методом отсечений. В действитель-
действительности в указанных выше работах исследуется главным образом
симметричная задача о коммивояжере, в которой %1. = уп для
всех I, /. Это позволяет внести некоторые упрощения в опи-
описанный метод решения. В работе Сгошйег аш! РайЬег& [1980]
сообщается, что этим методом была решена задача о коммиво-
коммивояжере с 318 городами за 2300 секунд процессорного времени
на ЭВМ 1ВМ 370/168 МУ5.
24.5. Метод декомпозиции Бендерса
Еще один метод декомпозиции был предложен Бендерсом
(Вепйегз [1960, 1962]) для решения смешанных ЦЛП-задач. Он
имеет аналогии с методом релаксации Лагранжа, но в некото-
некоторых отношениях эти методы противоположны друг другу.
Предположим, что требуется решить смешанную ЦЛП-задачу
D8) тах {сх + 4у\Ах + Ву ± Ь; х ~ целочисленный},
где матрицы А и Ь имеют соответственно порядки тх п и
т х по. Тогда, воспользовавшись ЛП-двойственностыо, получим
D9) тах сх + йу = тах [сх + тах йу ]
Ах + Ву^Ъ х-це.ло- Ву^Ъ-Ах
х-целочис- численный
ленн ый
= тах [сх + пнп и(Ь - Ах)].
х-цело- иВ=<1
чис л енный и—О

Гл. 24. Другие методы в ЦЛП 603
Последняя задача является задачей максимизации вогнутой
функции с целочисленными переменными. Ее оптимальное значе-
значение равно оптимуму задачи
E0) тах сх + Л
при условиях 0) иАх + А ^ иЬ (для всех и ^ 0,
для которых иВ - й)\
(и) х - целочисленный
(в предположении, что система ограничений и ^ 0, иВ = й
разрешима). Таким образом, задача D8) эквивалентна смешан-
смешанной ЦЛП-задаче, содержащей только одну нецелочисленную
переменную Л.
Бендерс предложил следующий метод решения задачи E0).
Определим сначала такое число М, что если задача E0) имеет
оптимальное решение, то она имеет такое решение, все
компоненты которого не превосходят М по абсолютной величи-
величине. Затем решим задачу тах {сх + А|* - целочисленный;
11*11^ ^ М\ |Л| ^ М}. Пусть х , Л° - ее оптимальное решение.
Проверим, удовлетворяет ли оно условию E0) (I). Для этого
методами ЛП проверим, выполняется ли неравенство
E1) т\п {и(Ь - Ах°)\и * 0; иВ = О) г Л°.
Если E1) выполняется, то (#0, Ло) - оптимальное решение
задачи E0). Если E1) не выполняется, то возьмем такое
и0 ^ 0, что и°В = й и и°(Ь ~ Ах°) < Л°. Тогда и0 дает
нарушаемое неравенство вида E0) A) (отсечение Бендерса).
Теперь решим задачу тах {сх + \\и°Ах + Л ^ и°Ь\ х - цело-
целочисленный; 1Ы1Ю ^ М; |Л| ^ М). Пусть х1, Л1 - ее оптималь-
оптимальное решение. Если оно удовлетворяет E0) (I), то оно явля-
является оптимальным решением задачи E0). Если оно не удовлет-
удовлетворяет E0) A), то возьмем такое и , которое дает нарушае-
нарушаемое неравенство. Тогда решим задачу тах {сх + Л | и0Ах + А ^
25 и°Ь\ и1 Ах + Л ^ ихЬ; х - целочисленный; 1Ы1Ю ^ М\ |Л| ^
^ М},... . Таким образом, процедура ясна: на каждой итера-
итерации мы находим или оптимальное решение задачи E0) или
новое нарушаемое неравенство. Если следить за тем, чтобы

604 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
каждый раз, когда решается линейная задача вида E1), для
получения нарушаемого неравенства выбиралась вершина или
экстремальный луч множества {и ^ 0\иВ = */}, то сложно найти
только конечное число нарушаемых неравенств и, следова-
следовательно, процедура будет конечной.
Итак, метод Бендерса заключается в том, что попеременно
решается смешанная ЦЛП-задача с единственной нецелочис-
нецелочисленной переменной (А) и ЛП-задача вида E1).
Этот метод можно использовать также для получения
верхних оценок в рамках какой-либо процедуры ветвей и
границ: для любых х1*, Ак текущее значение с^ + Ак является
верхней оценкой для задачи E0), а значит, и для задачи
D8).
Другие ссылки: Ва1аз [1970а], Р1е1зсптапп [1973], СеоНпоп
[1972], Нгоийа [1975, 1976], Лоппзоп апй 5иЫ [1980].
24.6. Некоторые замечания о практическом целочисленном
линейном программировании
Несмотря на то что задача о рюкзаке #Р-полна, на практике
оказывается, что она вполне эффективно разрешима, если
подходящим образом комбинировать методы ветвей и границ,
отсечений и динамического программирования с эвристическими
соображениями. В работе Ва1аз апс! 2ете1 [1980] сообщается о
решении случайно порожденных задач, содержащих до 10000
переменных с коэффициентами в пределах 10000. Для их
решения требовалось в среднем менее секунды, а время
решения в худшем случае равнялось примерно трем секундам.
См. также Ва1аз [1967], Ва1аз ап<1 2ете! [1978, 1980], Ра-
уагс! ъпЛ РЫеаи [1975, 1977-1978], ОеоНпоп [1967, 1969],
ОПтоге [1979], ОПтоге [1979], СШтоге ап<1 Оотогу [1961,
1963, 1966], ОгеепЬеге; апс! Не^еисЬ [1969-1970], Ошпагё
апс! 5р1е1Ьегд [1972], 1пдаг§ю1а апс! КогзЬ [1977], Ьаипеге
[1978], ЬНзспйг [1980], Маг1е11о апй То1Ь [1977, 1978,
1979], Ыаизз [1976-1977], 5а11ип аги! сЕе К1иууег [1975] (об-
(обзор), Заипёегз апс! ЗсЫпг^пдег [1970], То1Ь [1980] и
2о11пегз [1978].

Гл. 24. Другие методы в ЦЛП 605
Теперь рассмотрим более общие задачи. В работе
Лоппзоп апс! РайЬегд [1983] предложен метод, с помощью
которого можно решать задачи большого размера вида
E2) тах {сх\Ах ^ Ь\ х - {0, 1} - вектор},
где А - разреженная матрица, например, содержащая не более
5% ненулевых элементов. В таком случае с большой
вероятностью можно утверждать, что носители любых двух
строк из А почти не пересекаются. (Если носители любых двух
строк матрицы А полностью не пересекаются, то задача E2)
является просто объединением независимых задач о рюкзаке.)
Тогда, применяя к E2) метод ветвей и границ на каждой
итерации, приходится искать хорошую верхнюю оценку для
задачи вида E2) (поскольку после присваивания некоторым
переменным значений 0 или 1 снова получается задача вида
E2)).
Для того чтобы решить задачу E2), Краудер, Джонсон и
Падберг решают вначале (после некоторых предварительных
вычислений) ЛП-релаксацию задачи E2):
E3) тах{сх\Ах * Ь\ 0 * х * 1}.
Если х - оптимальное решение E3), то для каждого нера-
неравенства ах ^ C из Ах ^ Ь пытаются определить, существует ли
какое-нибудь неравенство, которому удовлетворяют все точки
политопа задачи о рюкзаке
E4) сопу.пиП {х\ах ^ C; х - {0, 1}-вектор},
но не удовлетворяет х . Другими словами, надо найти сотсе-
чение» точки х от политопа E4). Если такое неравенство
удается найти, то его добавляют к системе Ах ^ Ь, находят
новый ЛП-оптимум х и повторяют итерацию для х .
Указанные действия выполняются для каждого неравенства
ах ^ |3 из Ах ^ Ь. При этом верхняя оценка задачи E2)
всякий раз улучшается. Процесс улучшения верхней оценки
прекращается, когда отношение стоимости улучшения к его
величине становится неприемлемым.

606 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Поскольку задача о рюкзаке Л^Р-полна, нельзя рассчитывать
на то, что для политопа задачи о рюкзаке E4) удастся найти
все отсечения. Поэтому Краудер, Джонсон и Падберг довольст-
довольствуются подклассами всех неравенств, определяющих E4). и
предлагают некоторые эвристики. Один подкласс состоит из
неравенств следующего вида:
E5)
Считается, что а ^ 0 (в противном случае компоненту
вектора х можно заменить на 1 - ?., если соответствующая
компонента из а отрицательна). В E5) 5 - это минимальное
покрытие неравенства ах ^ C, т. е. 5 2 К:= {/|а. > 0} (если
обозначить а = (а,,..., а )) и верно Е<х. > C, но Е а. -
1 п ^з л дез ^
-^ ^Р для всех * € 5.
Для заданного х = (?1,.., ^п) нарушаемое им неравенст-
неравенство E5) можно найти, решив задачу о рюкзаке
E6) тт{ Е A - $ )т^ | 2 о^т) > 0; т) € {0, 1}
^К €К (/ е /с».
Авторы высказывают предположение о том, что эту задачу
можно решить за полиномиальное время.
Другие отсечения для E4) получаются в результате даль-
дальнейшего анализа политопа задачи о рюкзаке, основанного на
более ранних исследованиях, проведенных в работах Ва1аз
[1975а], Наттег, ЛоЬпзоп апс! РеЫ [1975], №о1зеу [1975].
Краудер, Джонсон и Падберг сообщают о решении вышеопи-
вышеописанным методом разреженных {0, 1}-линейных задач, содержа-
содержащих до 2576 переменных. Для этого требовалось менее часа
процессорного времени, а в большинстве случаев - менее де-
десяти минут процессорного времени (на ЭВМ 1ВМ 370/168).
См. также приведенные в § 24.4 (задача о коммивояжере)
замечания о родственном «методе отсечений». (Работа ЛоЬпзоп
апё 5иЫ [1980] предшествует работе Краудера, Джонсона и
Падберга.)

ИСТОРИЧЕСКИЕ И ДРУГИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
О ЦЕЛОЧИСЛЕННОМ ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ
Исторические замечания
История решения линейных уравнений в положительных целых
числах уходит своими корнями в далекое прошлое. Мы со-
сошлёмся здесь на исторические замечания о линейных диофаи-
товых уравнениях (часть 2). Отсутствие хороших характери-
заций и эффективных алгоритмов проявляется в недостатке
структурных результатов. Главным образом исследовались
специальные случаи линейных уравнений, см. ссылки в книге
Оккзоп [1920: Сп. II, III].
Здесь мы вкратце обсудим некоторые из этих вопросов.
Перечисление решений. По существу Эйлером (Еи1ег [1748,
СЬ. 16; 1770а, АЬзсЬпШ, Сар. 2; 1770Ь, 5ес. 27] было
замечено, что число неотрицательных целочисленных решений
системы линейных уравнений Ах = Ь равно коэффициенту при
1 • * ^ т в разложении производящей функции
а
-1
где А = (а ) и Ь - (&,..., Э ) неотрицательны и целочис-
ленны. Это можно легко увидеть, если воспользоваться форму-
формулой A - у)'1 = 1 + у + уг + у3 + ... .
Другие формулы для подсчета числа решений были получены,
Мег аНа, в работах Сау1еу [1855Ь, 1860], 5у1уез{ег
[1857а, Ь, 1858а, Ь, 1882] и Ьа^иегге [1876-1877] (см. Те$-
пег [1932-1933]). В работах Сау1еу [1860] и 5у1уез1ег
[1858Ь] выведена формула для подсчета числа решений,
сводящая г уравнений к случаю одного уравнения (отличным ох
агрегации способом). Другим следствием является следующая
асимптотическая формула. Пусть а ,..., а - взаимно простые

608 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
положительные целые числа и C € М; через Щ$) обозначим
число решений уравнения ос^ + ... + ап^п = C в неотрица-
неотрицательных целых числах. Тогда
(8) п. Щ 1
со $п~г (п -
Эти вопросы рассмотрены в работах №Но [1901, СЬ. 6] и
ВасЬтапп [1910, СЬ. 3, 4]. Более полный исторический обзор,
см. в Рккзоп [1920, СЬ. И, III].
Задача Фробениуса. Известно, что для любых положительных
взаимно простых целых чисел а1,..., а существует такое
наименьшее целое число |30, что уравнение
C) а
имеет неотрицательное целочисленное решение ?.,..., ^ для
любого Э ^ р . Согласно Вгаиег [1942], Г.Фробениус в своих
лекциях время от времени упоминал задачу определения грани-
границы Эо. Известно, что Эо = ос ос2 - о^ - а2 + 1 для п = 2. (В
5у1уез1ег [1884] и Сиггап 5Ьагр [1884] показано, что суще-
существует точно Ы&л ~ ^)(ар ~ 1) натуральных чисел K < < Эо»
для которых уравнение C) не имеет решения.) В Вгаиег
[1942] указывается, что Ш.Шур в 1935 г. в последней прочи-
прочитанной в Берлине лекции указал, что если ах < а <...
... < а , то 8Л ^ «а - а« - а + 1.
п м) 1 п 1 п
Теоремы о конечном базисе. Гордан (Оогйап [1873]) назвал
положительное целочисленное решение системы однородных
линейных уравнений Ах = 0 неприводимым, если его нельзя
представить в виде суммы других положительных целочисленных
решений. Он утверждал, что для любой рациональной системы
существует только конечное число неприводимых решений.
Подобные утверждения содержатся в Огасе ап<3 Уоипд [1903,
рр. 102-107] и уап Aег Согри! [1931Ь, с]. В совокупности
эти результаты означают, что любой рациональный полиэд-
полиэдральный конус имеет целочисленный базис Гильберта. Ван дер

Исторические и другие замечания о ЦЛП 609
Корпут, кроме того, заметил, что заостренный рациональный
конус имеет единственный максимальный целочисленный базис
Гильберта. Некоторые специальные случаи исследованы в
работе ЕШо11 [1903].
Связь базисов Гильберта для конусов с известной теоремой
Гильберта о конечном базисе для алгебраических форм
(НПЪег! [1890]) исследовалась в монографиях Огасе апё
Уоип§ [1903], МасМапоп [1916, 5ес. VIII] и статье
^ейгепЬоск [1930].
Агрегация. В работе Ма1Ье^з [1897] показано, что для любой
системы линейных уравнений Ах = Ь с неотрицательной мат-
матрицей А существует такой вектор а, что
D) {х\Ах = Ь; х ^ 0; х - целочисленный} =
= {х\(иА)х - иЬ\ х ^ 0; х - целочисленный}.
Это первый результат по агрегации линейных уравнений. Дру-
Другие ссылки см. в 1^^ие [1974, уо1.2, рр. 7-16],
[1976, рр. 252-253], Наизтапп [1978, р. 174] и уоп
[1982, р. 182; 1985, р. 206].
Геометрия чисел. Предмет геометрии чисел в первом при-
приближении тот же, что целочисленного линейного програм-
программирования: оба направления занимаются поиском целочисленных
векторов в заданных выпуклых множествах. Начало геометрии
чисел положил следующий известный результат Минковского
! [1893]):
E) пусть С ^ Кп - компактное выпуклое множество
полной размерности, симметричное относительно
начала координат и имеющее объем не менее 2П. '
Тогда С содержит ненулевой целочисленный вектор.
Другой фундаментальный результат был получен Блих-
фельдтом (ВНсЫеШ [1914]):
F) пусть С - компактное выпуклое множество полной

610 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
размерности, имеющее объем не менее 1. Тогда в С
существуют такие х и у, что вектор х - у отличен
от нуля и целочисленный.
Обзорами по геометрии чисел могут служить книги Саззе1з
[1959] и Ьеккегкегкег [1969]. См. также исторические заме-
замечания в конце части 2.
Комбинаторная оптимизация и целочисленное линейное про-
программирование (до 1960 г.). Большинство задач целочис-
целочисленного линейного программирования, изучавшихся до 1950-х
г., были задачами комбинаторной оптимизации. Одно из первых
исследований в области комбинаторной оптимизации было
проведено Монжем (Моп^е [1784]) (см. также в работе Та*оп
[1951]). Он исследовал задачу о перевозке земли, причем
рассматривал ее как дискретную комбинаторную задачу
переноса молекул.
Пусть на одной и той же плоскости заданы две
равные площади АБСО и аЪсй, ограниченные
произвольными контурами, непрерывными или
разрывными. Найти путь, которым должна следовать
каждая молекула М из первой площади, и точку т во
второй площади, в которую она должна прибыть.
После того как все точки будут подобным образом
перемещены, они должны полностью заполнить вторую
площадь. При этом требуется, чтобы сумма
произведений (массы) каждой молекулы на пройденное
ею расстояние была минимальной.
Если через какую-нибудь точку М первой площади
Л,
провести прямую Вйу такую, что сегмент ВАО равен
4 сегменту Ьай, то можно утверждать, что для того,
чтобы удовлетворить условиям задачи, необходимо,
чтобы все молекулы сегмента ВАй были перенесены
на сегмент Ьай и следовательно, молекулы
сегмента ВСп были перенесены на равный сегмент
Ьсй\ ибо если бы какая-либо точка К сегмента ВАй
переносилась в некоторую точку к сегмента ЬЫУ то
обязательно нашлась бы соответствующая точка

Исторические и другие замечания о ЦЛП 611
сегмента ВСО> которая переносилась бы в некоторую
точку / сегмента Ьай, но это не может произойти
без того, чтобы пути Кк и Ы не пересеклись между
своими концами, а тогда сумма произведений молекул
на пройденные ими расстояния не была бы
минимальной. Точно так же, если через точку ЛГ,
бесконечно близкую к точке М, провести такую
прямую В'й', что сегменты В'А'В' и Ь'а'й' будут
равны между собой, для ответа на вопрос нужно,
чтобы молекула сегмента В'А'В' переносилась на
сегмент Ь' а'й'. Следовательно, все молекулы
элемента ВВ' /)' й должны переноситься на равный
элемент ЬЬ'й' й. Таким образом, если разделить
площадь-выемку и площадь-насыпь на бесконечное
число элементов прямыми, выделяющими в них равные
между собой сегменты, то каждый элемент выемки
должен быть перенесен на соответствующий элемент
насыпи.
Прямые Вй и В'й' бесконечно близки, в каком
порядке молекулы элемента ВВ'й'О распределятся в
элементе ЬЬ'й'й безразлично; независимо от того,
каким способом произойдет в итоге это
распределение, сумма произведений молекул на
пройденные ими расстояния будет всегда одна и та
же; но если заметить, что на практике в первую
очередь следует брать те части, которые находятся
на пути других, и занимать только последние части
соответствующего элемента насыпи, то понятно, что
молекула ММ' должна переноситься только
тогда, когда предшествующая ей часть ММ'О'О уже
будет перенесена в тт'й'й. Следовательно, при
сделанных предположениях, если тт'й'й- ММ' /)' Д то
точка т будет именно той точкой, в которую будет
перенесена точка М.
Монж также рассматривал эту задачу для случая, когда вся
земля должна быть перевезена через заданные точки, и описал
ее обобщение на трехмерное пространство.

612 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
Р Г
Рис. 8.
Интерес к транспортной задаче и близкой к ней задаче о
назначении вновь появился в 1930 и 1940-х годах, когда
она была исследована в работах Кош& [1931, 1933], Е§;егуагу
[1931], Канторович [1939] (включая целочисленную транспорт-
транспортную задачу) [1942], Толстой [1939], НИсЬсоск [1941], Еаа-
1егПе1<1 [1946] и Коортапз [1948]. См. также исторические
комментарии о линейном программировании в конце части 3.
Непересекающиеся оптимальные упаковки путей в сетях
исследовались в работе Меп^ег [1927]. В результате этих
исследований была сформулирована стеорема Менгера», являю-
являющаяся комбинаторной формой теоремы о максимальном потоке -
минимальном разрезе. На своем коллоквиуме 5 февраля 1930 г.
Менгер (Меп&ег [1932]) поставил задачу о коммивояжере
фаз ВогепргоЫет).
Изучение задач собственно целочисленного линейного прог-
программирования началось в 1950-х годах. Сначала Данциг
фапЫд [1951Ь]), разработав специальный вариант симплекс-
метода для решения транспортных задач, показал, что эти
задачи являются такими задачами линейного программирования,
оптимальные решения которых всегда целочисленны.
Вслед за этим в виде задач целочисленного линейного
программирования изучались различные другие комбинаторные
задачи, такие, как задача с фиксированными доплатами

Исторические и другие замечания о ЦЛП 613
(ЬНгзп апс! ЭапЫ& [1954]), задача о коммивояжере (ОапЫ&,
Ри1кегзоп апс! Лоппзоп [1954, 1959], НеИег [1953а, Ь,
1955а, Ь, с], К.ипп [1955Ь], Ыогтап [1955] - последняя рабо-
работа посвящена поиску фасет политопа задачи о коммивояжере),
задача о разрезании (о разрезании газетной бумаги - Раи11
апс! ШаНег [1955]), задача о поставщике (ОасМит, НоНтап
апс! 5око1о^зку [1954], ЛасоЬз [1954], Рга^ег [1956-1957]),
потоковые и транспортные задачи (ОагЙ21§ апй Ри1кегзоп
[1956], ЕНаз, Решз1еш апс! Зпаппоп [1956], Роге апй
РЫкегзоп [1956, 1956-1957, 1957], Мо*гкт [1956], Мо*2кт
апй $*гаиз [1956], Мипкгез [1957], Е^егуагу [1958]). Работа
БапЫд [1960] является обзором.
Подход к задаче о коммивояжере с использованием отсече-
отсечений был описан в работе ОапЫ%, Ри1кегзоп апё ЛоЬпзоп
[1954, 1959]. В Магко^Иг апс! Маппе [1957] предложены
отсечения для решения ЦЛП-задач общего вида. Гомори (Оотогу
[1958]) разработал систематический метод добавления
отсечений и смог показать, что его метод всегда заканчивает
свою работу на решении ЦЛП-задачи. В работе Веа1е [1958]
метод отсечений распространен на смешанное целочисленное
линейное программирование.
Подходы к решению ЦЛП-задач, основанные на динамическом
программировании были развиты в работах ВеИшапп [1956-
1957, 1957а, Ь, 1957-1958], Эа^г^ [1957] и 0геу1из
[1957], а в Ьап<1 апс! Эо1§ [1960] описан перечислительный
метод (ветвей и границ).
Полная унимодулярность. Пуанкаре (Рошсаге [1900]) доказал
следующую теорему: если А - (а%.) - такая {0, ±1}-матрица,
что для любого к ^ 2 и любого «цикла»
G) а , а , а . ,..., а , а . , а .
Ч0! 2а1 2°2 кик-1 кЧс 1ик
В оригинале - 1пт ргоЫет. - Прим. пере в.
п
В оригинале - сагегег ргоЫет. - Прим. перев.

614 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
произведение этих элементов равно (-1) или 0, то А впол-
вполне унимодулярна (см. Оеиугез Aе Непп Ротсаге, Тоте VI,
р. 366). В качестве следствия он доказал, что {0, ±1}-мат-
рицы, в каждом столбце которых содержится точно одна +1 и
точно одна -1, являются вполне унимодулярными (см. там же
р. 369: «таблица» Т - это та матрица, о которой идет
речь).
Проведенные Пуанкаре исследования матриц сетей и свойст-
свойства вполне унимодулярности были продолжены в работах УеЫеп
апс! РгапкПп [1921] и Спиагч! [1922].
В НоНтап ап<3 Кгизка1 [1956] показано, что именно вполне
унимодулярность является причиной того, что некоторые зада-
задачи линейного программирования, подобно транспортным зада-
задачам, имеют целочисленные оптимальные решения.
Другие замечания о целочисленном линейном программировании
Книги по целочисленному линейному программированию:
ОагПпке! апй ЫетЬаизег [1972а], ОгеепЬегд [1971], Ни
[1969], Каи^тапп апс! Непгу-ЬаЬогс!еге [1977], Миг1у [1976],
Ыетпаизег апс! №о1зеу [1988], Р1еЫег [1970*], Р1апе апс!
МсМШап [1971], 5а1кт [1975], ТаЬа [1975], 21оп1з [1974],
Вгискег [1975], Вигкагс1 [1972], Ковалёв [1977*], Корбут и
Финкельштейн [1969 ], Сергиенко [1985 ]. См. также
РарасНтйгюи апс1 З^е^Шг [1982], Алексеев [1987*],
Белоусов [1977 ], Емеличев и Комлик [1981 ], Сергиенко,
Лебедева и Рощин [1980 ], Финкельштейн [1976 ]. Более общий
подход см. в 5аа1у [1970]. Связь полиэдральной теории и
комбинаторной оптимизации описана в Роге! апс! Ри1кегзоп
[1962] (классическая работа по потокам в сетях), (лгПсп
апй Ко^а1р^ [1981], Емеличев, Ковалев и Кравцов [1981],
См. также монографии ОгоЬсЬе1 [1977] и Лоппзоп [1980а].
Обзорные статьи: ВаПпзк! [1965-1966, 1967, 1970], Веа1е
[1965, 1977], ЭапЫд [1957], ВаПпзк! апс! 5р1е!Ьегд
[1969], (ЗагПпке1 апс! Ыетпаизег [1973], СеоНпоп апс! Магз-
1еп [1971-1972], Оео!Гг1Оп [1976], Легоз1о^ [1977], Ког1е
[1976], 5а1к|п [1973], ВасЬет апс! Еи1ег [1984*], Ого(зсЬе1
[1982 ], Емеличев и Ковалёв [1982 ], Корбут, Малков, Сигал

Исторические и другие замечания о ЦЛП 615
и Финкельштейн [1983 ], Корбут, Сигал и Финкельштейн
[1988*], Корбут и Финкельштейн [1983*], Леонтьев [1979*],
Супруненко, Емеличев и Танаев [1982 ], Фридман А.А.
[1977*], Шевченко [1984*], Шлык [1988*].
Книги по комбинаторной оптимизации: Ьа\у1ег [1976],
Рара<Нпи1пои апй БИе^Н!? [1982], Береснев, Гимади и
Дементьев [1978*], Ковалев [1987 ], Сергиенко и Каспшицкая
[1981*].
Обширные классифицированные библиографические сведения
по целочисленному программированию и смежным областям
собраны в Каз^гип^ [1976] и расширены в Наизтапп [1978] и
уап КапAо^ [1982, 1985].
Обзор полиэдральных методов в комбинаторной оптимизации
дан в Ьоуазх [1977, 1979а]. Работа Фрумкина [1982] пред-
представляет собой еще один обзор. См. также НоНтап [1979а].
В работе 1Ьагак1 [1976] рассматривается общая проблема
формулировки задач комбинаторной оптимизации в виде цело-
целочисленного линейного программирования.
В Меуег [1974] исследуется вопрос существования опти-
оптимальных решений (смешанных) ЦЛП-задач, там же доказана
теорема 16.1. В Меуег апй №а§;е [1978] показано, что для
иррациональных Л, Ь выпуклая оболочка множества {х\х ^ 0;
Ах = Ь\ х ~ целочисленный} также является полиэдром. В
Ва1аз апс! РайЬегд [1979] исследовался вопрос о смежности
вершин политопов с @, 1}-вершинами.
В работе 51ап1еу [1974] получены интересные результаты о
решении линейных уравнений в неотрицательных и положитель-
положительных целых числах, которые устанавливают связь неотрица-
неотрицательных целочисленных решений системы Ах = Ь с положитель-
положительными целочисленными решениями системы Ах = -Ь. О связи меж-
между решением линейных уравнений в неотрицательных целых
числах, магическими расстановками пометок в графах и
теоремой Гильберта о сизигиях говорится в 51ап1еу [1973]
(см. также ЕЬгЬаг! [1967а, Ь, 1977], 5*ап1еу [1980]). В
51ап1еу [1982] рассматривается решение линейных уравнений в
неотрицательных целых числах средствами коммутативной ал*
гебры.

616 Часть 4. Целочисленное линейное программирование
В работах АсЬои [1974], Ведей-Ооу [1972], Ви2у1зку
[1982], Раа1апс1 [1972], ЬатЬе [1974], РаёЬег^ [1971] и
КасШауасЬап апс! 5аЬЬапуа1 [1978] исследуется вопрос о чис-
числе допустимых решений задачи о рюкзаке. В работах Фрумкина
[1980] и Ргиткт [1981] изучается число неотрицательных
решений системы линейных диофантовых уравнений. Число цело-
целочисленных векторов в целочисленном политопе исследуется в
ВегпзЫп [1976]. В ЕЬгпаг* [1967а, Ь, 1973, 1977] проведе-
проведено исследование вопроса о перечислении принадлежащих поли-
полиэдрам точек решетки, для чего применяются производящие по-
полиномы (см. выше «Исторические замечания»). См. также
МсМиПеп [1975], 1згаПоу [1981] и Вигу1зку апс! Рге1тап
[1983].
Задача Фробениуса (см. исторические замечания выше) ис-
исследовалась в работах Ва1етап [1958], Вгаиег [1942], Вгаиег
апй 5ее1Ыпс1ег [1954], Вгаиег апс! 5Ьоск1еу [1962], Вугпеу
[1974, 1975], С1агке [1977], Ои1таде апс! Мепс!е15опп [1964],
Епгпаг! [1979], Егс!о5 апс! Сгапат [1972], Оо1с!Ьеге [1976],
СгеепЬегд [1980], Неар апс! Ьупп [1964, 1965], гЫте^5^е^
[1966], Ниапе [1981], ЬгаПоу [1981], ЛоЬпзоп [1960],
Ье^т [1972, 1973, 1975], Ьех [1977], Мепс!е15опп [1970],
МПапоу [1984], №]епЬшз апс! МИ [1972], КоЬег1з [1956,
1957], Кос!51п [1978, 1979], 5е1тег [1977], Зе1тег апё Веуег
[1978], 51ег1пе: [1974], УИек [1975, 1976], Шевченко
[1983*].
В работах СаЬо! [1970], ОапЫ# апA Еауез [1973],
ВгасИеу апс! ШаЫ [1973] и ШППатз [1976, 1983] изучаются
возможности расширения метода исключения Фурье-Моцкина на
ЦЛП-задачи.
Алгоритмы получения всех целых решений линейных нера-
неравенств построены в р!ого! [1969, 1970а, Ь, 1972]. Смотри
также Рег! [1975]. В Ние! [1978] рассматривается задача
построения базиса Гильберта для множества {* ^ 0\ах = 0},
где а - вектор-строка.
В работе КиЬт [1971-1972] исследуется задача определе-
определения избыточных ограничений в целочисленном программирова-
программировании. В ВгасПеу, Натгпег апс! Шо1$еу [1974] рассматривается
вопрос, для каких пар линейных неравенств ах ^ Э и ах ^

Исторические и другие замечания о ЦЛП 617
имеет место равенство {*|а* ^ Э; х - {0, 1}-вектор} =
= {х | ах ^ C; х - {О, 1}~вектор}.
Работа Ке11еу [1960] - первая, в которой метод отсечений
использован в выпуклом программировании.
Структура ЦЛП-задач с точки зрения нормальных форм Смита
и Эрмита исследуется в Вгас11еу [1970Ь, 1970-1971] и Во\утап
[1974] (см. Раа1апс1 [1973-1974]).
{0, 1}-задачи (включая задачи о покрытии и упаковке
множеств, упаковке вершин, разбиении множеств, а также о
фасетах соответствующих политопов) исследовались в работах
Ва1аз [1975а, 1977, 1980, 1984], Ва1аз апс! Но [1980], Ва1аз
апй Рас1Ьеге [1972, 1975, 1976], Ва1аз апс! 2ете1 [1977,
1984], СЬпзЫИез апй Когтап [1974-1975], СЬуа1а1 [1975а,
1979], Ри1кег5оп, ЫетЬаизег апA ТгоПег [1974], ОагПпке1
апё ЫетЬаизег [1969, 1972Ь (обзор)], аео!!г1оп [1969],
О1оуег [1973а], Сопйгап апй Ьаиг1еге [1974, 1975], Сипа
[1973], Наттег, ЛоЬпзоп апй Ре1ес1 [1975], НосЬЬаит [1982],
Ноиск апс! Уети^апИ [1977], Н\уап^ 5ип апй Уао [1985],
ЛоЬпзоп [1974а, 1980Ь], Ьа^1ег [1966], Ьетке, 5а1кт апс!
5р1е1Ьегд [1971], 1М$сЫ\г апс! РШе1 [1983], Ьоуазг
[1975], МаЫеп [1973-1974], М1сЬаис1 [1972], ЫетЬаизег,
ТгоИег апё Ыаизз [1973-1974], Рас1Ьег^ [1973, 1974, 1975а,
Ь, 1977, 1979], Р1сагс1 апё Оцеугаппе [1977], Ко1Ь [1969],
5а1к1п апс! Копса1 [1973], ТЬшех [1971], ТгоНег [1975],
Шо1зеу [1975, 1976а, Ь, 1977] и 2ете1 [1978].
В Наттег [1977] собраны нерешенные задачи, касающиеся
решеток.

ЛИТЕРАТУРА
Числа в квадратных скобках, приведенные в конце
ссылки, указывают номер страницы, на которой
имеется эта ссылка. Знаком о помечены работы,
имеющиеся на русском языке (см. с. 688-691).
АЬасНе, 5. {1964), ТЬе с1иа1 оГ Роипег'з те1Ьод Гог 5о1уш|> 1теаг теяиа1Шез, т:
Рарегв ртевеЫед. а1 1964 1тегпа1юпа1 $утро$шт оп Ма1петапса1 Ргодгатттд,
Ьопйоп, 1964 B ра§е8). [24? I
АсЬои, О. A974), ТЬе питЬег оГГеаз^Ые 8о1и1юп8 (о а кпар8аск ргоЫет, 81АМ Зоигпа1
оп АррНеА Магкетапсз 11 A974) 606-610. ;[615]
Ас1ат8, \у\ АУ. A967), $1тиНапеои§ азутр1оПс сПорЬапНпе аррпштаПопз, МслИе-
таИка 14A967) 173-180. [116]
Ас1ат5, ^. ^. A969а), 5т1и11апеои$ сПорЬапПпе арргох1таПоп8 апс! сиЫс 1
Рафс Зошпа\ о/ МмИетаИсв 30 A969) 1-14.1116]
Ас1ат8, ^. \У. A969Ь), 5!ти11апеои§ азутрЮПс сИорЬапПпе арргох1та1к>П5 1о а
оГ а геа1 сиЫс питЬег ПеШ, ^ои^па^ о/ЫитЬег ТЬеогу 1 A969) 179-194. [116]
Адагт, ^.^.A971), §1ти11апеои8 а8утрЮ11с A1орЬапПпе арргох1таиоп8 Ю а Ьа818 оГ
а геа) питЬег ПеШ, Ыадоуа Ма(ИетаИса1 ^ои^па^ 42 A971) 79-87. [116]
АсПетап, Ь. М, A983а), Оп Ьгеак1п§ ^епегаНгес! кпарваск риЬНс кеу сгур1о8у$1ет8
(аЬ81гас1), 1п: РгосееМпдз о/ 1ке $\$1ееп\\\ Аппиа1 АСМ 5утро$шт оп ТНеогу о/
Сотриипд (Во81оп, Ма88., 1983), ТЬе Аззоаайоп Гог Сотри11п§ МасЫпегу, Ые^
Уогк, 1983, рр. 402-412. [116]
АA1етап, Ь. A983Ь), Оп Ьгеак1пё 1Ье Пега1е<1 Мегк1е-Не11тап риЬИс кеу сгур1о8уз1ет,
т: А^апсез т СгурюЬду: РгосееМпдз о/Сгурю '82 (О. СЬаит, К. Ь. К1Уе81 ап<^ А. Т.
8Ьегтап, е^з.), Р1епит Ргезз, Nе^V Уогк, 1983, рр. 303-308. [И6]
АсНег, I. A974), Ьо\уег Ьоипс18 Гог тах1тит A1ате1ег8 оГ ро1у(оре8, Ма(петаПса1
Ргодгатттд 5Ыу \ A974) 11-19. [217]
АA1ег, I. (^вЗ), ТНе ехрёаеА питЬег о/рмо15 пеейей № зоЬе рагатетс Нпеаг ргодгатз
апй (Не ефаепсу о/(Не зеУ-с1иа1 $1тр1ех тегкой, тапи8спр1, ОераПтеШ оПп<1и$(па1
Еп^тееппЕ апё ОрегаAоп5 КезеагсЬ, ип!Уег811у оГ СаНГогта, Вегке1еу, Са1.,
1983. 12251
АсИег, I. апс! Вегепёиег, 5. Е. A981), капАот Нпеаг ргодгатз, ОКС КероП 81-4,
Ытуегз^у оГ СаНГогта, Вегке1еу, Са1., 1981. [225]
АсИег, I. апс1 Вегеп^иег, $. Е. A983), Сепегаипд гапАот Нпеаг ргодгатз, тапизспр!,
ЭераПтеп! оГ 1пAи$(па1 Еп§1пеепп^ апс! Орега11оп8 КезеагсЬ, ип1Уег811у оГ
СаШогша, Вегке1еу, 1983 (зиЬт^иес! 1о Ма1петапса1 Ргодгатттд). [225]
АсИег, I. апс! ОапШ^, О. В. A974), Мах1тит сИате1ег оГ аЬв1гас1 ро1уюр€8, Ма1пе-
таИса! Ргодгатттд $1иЛу 1 A974) 20-40. 1-217]
АсИег, I., Ратг^, С, апс! МиПу, К. A974), Ех181епсе оГ А-ъ\о\&т% ра1Ь8 т аЬз1гас1
ро!уюре8, Ма1кетаиса1 Ргодгатттд ЗшАу 1 A974) 41-42. [2171
АсИег, I., Кагр, К., апс! 5Ьагшг, К. A986), А Гат11у оГ51тр1ех уапапи зоЫп^ ап т х й
Нпеаг рго^гат 1п ехрес1ес1 питЬег оГр1Уо1 81ер8 с!ерепс11Пё оп А оп1у, Мапгетапсь о/
ОрегаНопв Кезеагск 11 A986) 570-590.

Литература 619
Аё1ег, I., Кагр, К. М., ап<3 8Ьапш, К. A983Ъ), А зшр1ех Vа^^ап^ зоШпд ап т х а1 Ипеаг
ргодгат т О(гшп(т2,Л2)) ехресгей питЬег о/ршог згерз, КероП 11СВ/С8Э 83/158,
СотрШег 8аепсе О1У18юп, итуегаПу оГ СаИГогта, Вегке1еу, Са1 1983. [225]
Ас11ег, I. апд Мердсю, N. A983), А з\тр\ех-1уре а1доп(кт зоЬев Ипеаг ргодгатз о/оЫег
тх п т оп\у 0{(тт(т,п)J) мера оп 1ке мегаде, ргеИттагу героП, 1983. [225]
Аё1ег, I. апс! Ме^сМо, N. A984), А 81тр1ех а^огцпт ^Ьозе ауега^е питЬег оГз1ер8 18
ЪоипсЫ ЪеМееп шо циас1га11с ГипсПопз оГШе 8та11ег A1теп8юп, 1п: Ргосее<Нпд$ о/
(Не Згхсеемк АппиЫ АСМ Зутрозшт оп ТНеогу о/СотриНпд (\Уа$Ып#оп, 1984), ТЬе
А58ОС1а1юп Гог Сотри11п§ МасЫпегу, №\у Уогк, 1984, рр. 312-323 [Гта1 уег§1оп т:
Уоыгпа/ о/(Не А&ьоаапоп ]ог СотриМпд МасИтегу 32 A985) 871-895]. [225]
АA1ег, I. апс18а^а1, К. A976), Ьоп§ топоюпе ра1Ьз т аЬ&1гас1 ро1у1оре§, МагНетаНсз о/
ОрегаНопз КезеагсН 1 A976) 89-95. [217]
А^топ, 8. A954), ТЬе ге1аха(юп те1Ьо<1 Гог Ипеаг ^пециаИиех, СапасИап Зоита1 о/
МагНетагкз 6 A954) 382-392. [242, 245]
°АЬо, А. V., НорсгоЛ> ]. Е., апA1Л!тап, 3. О. A974), Тке йезгдп апй Апа1уз1з о/Сотри(ег
А1доткт^ Ас1с118ОП-\Уе$1еу, КеасИп^. Мазв, 1974. [33, 35, 69, 311, 393]
Ак1, 8. О. A979), Т^о 1етагк& оп а сопуех Ьи11 а1ёоп1Ьт, 1п/огтаиоп Ргосеззтд 1лиегз
8A979) 108-109. [356].
Ак1, 8. О. ап<1 Тоиззат*, О. Т. A978), А Га§1 сопуех Ьи11 а1ёоп1Ьт, 1п/огтапоп
Ргосеззтд ииегз 7 A978) 219 -222. 135(.].
А1са1у, К. Е. апс! К1еуопск, А. К. A966), А по1е оп 1Ье <1иа1 рпсез Гог 1п1е§ег рго^гатз,
Есопоте(пса 34 A966) 206-214. [572]
°[А1ек$аш1гоу, А. С A958) = ] А1ехап<1го\*\ А. И., Копиехе РоХуе&ег Aгапз1а1ед Ггот 1пе
Ки881ап), Акаает1е-Уег1а^, ВегИп <ОГЖ), 1958. [355]
АИ, АЛ., Не^а^оп, К. V., Кепп1пеюп, ^. Ь.« апс! ЬаП, Н. 8. A978), Рпта1 81тр1ех
пет^огк сос1е8: $те-оГ-1пе~аг11тр1етеп1апоп 1есЬпо1о8У, Кеыогкз 8 A978) 315-339.
[218]
АИЬегг, >Л^. A975), Ап а^огИЬт Гог епитегаипв а11 уегисез оГа сопуех ро1упес!гоп,
СотриНпд 15A975) 181-193. [356]
Акпегг, ^. A978), Ескрипк1Ъе811ттип§ копуехег Ро1уес1ег, 1п: КотЫпаютске
ЕмзскеШипдзргоЫете: Ме(коАеп ипА Ап\\>еп4ипдеп (Т. М. 1леЫтв апс! М. Кб8з1ег,
едз.), ЬесШге N0168 1п Есопотюз апс1 Ма1Нетаиса1 8у81етз 153, 8рпп^ег, ВегНп,
1978, рр. 184-195. [356]
Ак8пи1сг, А. A985), ТЬе Маш-\Уа1кир 8рЬепса1 соитегехатр1ез ю 1Ье И^„-ра1п
со^есШге аге по! ро1уЮраК МагкетаИсз о/ ОрегаНопз Яезеагск 10 A985) 158-159.
[217]
Аш1ге\у, А. М. A979), Апо1Ьег еШает а^опШт Гог сопуех Ьи11з т 1шо д1теп8юп8,
1п/огтагюп Ргосеззтд 1еШг$ 9 A979) 216-219. [356]
Агаог, X A973), Ро1укес1га1 пеоро1агШез, Оосюга! ТЬе818, ип1уег8Цу оГ >^а1ег1оо,
^а1ег!оо, Отагю, 1973. Ь155, 593]
Агаог, I. A979), В1оскт# апA апи-Ыоск1П8 ех1еп81опз, Орегапопз Кезеагск
Уег/акгеп/МакоАз о/Орегасют Кезеагск 32A11 8утро8шт оп Орега11опз КезеагсЬ,
МаппЬе1т, 1978; ^. Оеи11 апс! Р. 81е(Теш, ес!8.), А1Ьепаит/На1п/8спрюг/Нап81е1П,
К6тв81ет/Т8., 1979, рр. 5-18. и 85]
Агаог Э., I., ЕAтопAй, I., апё ОгЦГт, V. }. A983), Ро1апие8 феп Ьу «уз^етз оГ ЫНпеаг
тециаНИез, Магкетапсз о/ ОрегаНопз Кезеагск 8 A983) 34-41. [185]
Агаог, 1. апс1 Доппзоп, Е. Ь. A981), 8оте ге»и!18 оп ро1уЬе<1га оГ8ет18гоир ргоЫетз,
51АМ ^ои^па^ оп А\деЪга\с апй Ызсгеы Ыегкойз 2 A981) 244-258. [593]
АвруаН, В. A980), Е$\с1еп1 а1догйктз (ог сгпаш запзраЫШу апа1 Ипеаг ргодгатттд
ргоЫетз, РЬ.Э. сИ88еПаПоп, Оер1. оГ Сотри1ег 8с1епсе, 81апГог<1 ип4уег811у, 81апГогд,
Са1., 1980. [304]
АзруаИ, В. апс! 8Ь11оасЬ, V. A980а), А ро1упогша! ите а^огкЬт Гог 8о1\1П8 8у81ет8 оГ
Нпеаг 1пеяиаН11е$ \У11Ь 1\уо уапаЫез рег 1пеяиаН(у, 81АМ ^ои^№^ оп Сотрштд 9
A980) 827-845. [3041

620 Литература
АзруаН, В. апс! 8Ы1оасЬ, V. A980Ь), А Газ1 а^отЬт Гог зоМп^ зу81ет8 оГ Ипеаг
ециаиопв ^НЬ 1\уо уапаЫез рег ециайоп, ипеаг Л\деЬга апА На АррИсапопз
34A980) 117-124. 160]
А1ктзоп, К. Е. A978), Лп 1гигоAис1юп № ЫитепсЫ Апа1узгз, Ч/Пеу, Ые^ Уогк, 1978.
[69]
Аиз1апдег, Ь. апё Раг1ег, 8. V. A961), Оп ^тЪескИп^ вгарЬз т 1Ье зрпеге, ^ои^^ш^ о/
Магкетапсз ап& Мескатсв 10 A961) 517-523. [454]
Аи81апс1ег} Ь. апс! ТгеШ, Н. М. A959), 1пск1епсе та1псез апс! Ипеаг ^гарЬз, Зоигпа1 о/
МагНетапсз аЫ Мескатсз 8 A959) 827-835. [453]
Аи81ап<1ег, Ь. апс! Тгет, Н. М. A961), Оп 1Ье геаНгаиоп оГ а Нпеаг §гарЬ {$1Уеп Ц8
а^еЪгаю зреаПсаПоп, Зошпа\ о/(Не Асои$пса1 Зосхегу о/ Атепса 33 A961) 1183—
1192. 1^1
Ау18, О. A980а), А по1е оп зоте сотри1а11опа11у сИШсик 8е( соуепп^ ргоЫетз,
Ма(Нета(ка1 Ргодгатттд 18 A980) 138-145. [586]
Ау!8, С A98ОЬ), СоттеШз оп а 1ошег Ьоипё Гог сопуех ЬиI <1е1егтта1юп, 1п/огтснюп
Ргосеззтд Ьеиегз 11 A980) 126. [356]
Ау18, О. A982), Оп 1пе сотр1ехцу оГГтс11п^ 1пе сопуех Ьи11 оГа $е( оГроЫз, Ызсгеге
АррИеЛ МагкетаПсз 4 A982) 81-86. [356]
Ау18, Б. ап<1 СЬуаЫ, V. A978), Ио1е8 оп В1апсГз р1Уо11П^ ги!е, Ма1кетапса1
Ргодгатттд БЫу 8 A978) 24-34. [212, 215]
°ВаЬаеу, ОгЬ. А. апс! Матейоу, К. 8Ь. A978), А^ге^аиоп оГа с1а88 оГзуз^етз оГ1п1е§ег-
уа1иес! еяиаиопз (т Ки551ап), 2кигпа1 УусЫзШеГпог Магетапкх г МагетаИске&кох
18 C) A978) 614-619 [Еп^ИзЬ 1гапз1аПоп: 1/.5.5.К. Сотришюпа1 МагкетаИсз
МагкетаПса! Ркузкв 18 C) A978) 86-91]. [379]
ВаЬа1, Ь. A984), Оп Ьоь&зг Хатсе гейисгюп апй, гке пеагезг 1аШсе рош ргоЫет, ргергЫ,
1984 Aо арреаг 1п СотЫпаюпса) [зпог1епес1 уегз^оп 1п: 8ТАС8 85 2пй Аппиа!
Зутрозшт оп Ткеогепса! Азрес18 о/ СотриСег Зсгепсе (8аагЬгискеп, 1985; К.
МеЫпогп, е<Л.), ЬесШге Ыо1ез 1П Сотри1ег 8с1епсе 182, Зрпп^ег, ВегНп, 1985, рр. 13-
20]. [418]
ВаЬауеу, Э. А. апс! С1оуег, Р. A984), А^геваиоп оГ поппеваиуе ш(е§ег-уа1иес!
едиа!1ОП8, йгзсгеге АррИей Магкетаисз 8 A984) 125-130. [379]
ВасЬет, А. A976а), ВеИгаде гиг Ткеопе Лет Согпег Ро1уе4ег, УеНа^ АпЮп Наш,
Ме^веппеш ат О1ап (Г.К.С.), 1976. [593]
ВасЬет, А. A976Ь), Арргох1таПоп $ашгэЫщст Ро1уес1ег дигсЬ Согпег Ро1уеёег,
2еН5сИг$}йг апдепап<Ие Магкетапк ш& Мескатк 56 A976) Т332-ТЗЗЗ. [593]
ВасЬет, А. A978), ТЬе (Ьеогегп оГМтко\узк1 Гог ро1уЬе<Лга1 топо^з апд а^ге^а^ес!
Нпеаг AюрЬап(ше зуз1етз, т: ОргШгагюп апй Орегапою Кезеагск (РгосеесИп^з оГа
\УогкзЬор ЬеМ а! 1пе ип1Уегз11у оГВопп, 1977; К. Непп, В. КоПе апй XV. ОепН, едз.),
ЬесШге Ко1е8 1п Есопогшсз апд Ма1Ьетаиса1 8уз1етз 157, 8рпп§ег, ВегИп, 1978,
рр. 1-13. [375]
ВасЬет, А. апд Огб18сЬе1, М. A981), СЬагас1еп2а1юпз оГа^асепсу оГГасез оГро!уЬес!га,
Магкетапса! Ргодгатттд $Ш<1у 14 A981) 1-22. [356]
ВасЬет, А., ДоЬпзоп, Е. Ь., апс! ЗсЬгадег, К. A981 -2), А сЬагас1епгаиоп оГпншта1 уаИс!
1пециаИиез Гог гшхед 1П1е§ег рго^гатз, Орегапопз Яезеагск ЬеКегз 1 A981-2)
63-66.1^72, 5931
ВасЬет, А. апс! Каппап, К. A979), АррИсаиопз оГ ро1упот1а1 8т1(Ь погта1 Гогт
са)си1аиоп8, тп: Митегхзске МегкоЛеп Ъех дгаркеШкеогейзскеп ипй котЫпаЮтскеп
РгоЫетепВапА 2 (Ь. Со11а1г, О. Метагдиз апс1 )^. ^еиег11П8, е^з.), В1гкЬаизег,
Вазе1, 1979, рр. 9-21. [93]
ВасЬет, А. апд Каппап, Я. A984), ЬаШсез апй гке Ьазгз гейисИоп а1догИкт, КероП
СМи-С8-84-112, ОераПтет оГ Сотртег 8с1епсе, Сагпере-Ме11оп Ш^усгвку,
РШзЬигй, РеппзуКаша, 1984. [116]
ВасЬет, А. ап<* уоп Кап<5о^, К. A979), 1тееег 1Ьеогетз оГ Кагказ 1етта 1уре,
Орегайопз Яезеагск Уег^акгеп/МегкоЛз о/0рега(юпз Яезеагск 32 (III Вутрозшт оп

Литература 621
ОрегаНопз КевеагсЬ, МаппЬе1т, 1978; >^. ОеПИ апд Р. 51ейеп8, еёз.),
А1Ьепаит/Нат/8спр№г/Нап81ет, Кот^етДз,, 1979, рр. 19-28. [82, 356]
ВасЬет, А. апё 8сЬгаёег, К. A979), А ёиаШу (Ьеогет апё гштта1тециаИ^ез т гшхеё
тХе^ет рго&гатттз, 2еИзскп/(фг апдемап&е МагкетаИк ип<1 Мескатк 59 A979)
Т88-Т89. [572, 593]
ВасЬет, А. апё ЗсЬгаёег, К. A980), Мтша! теяиаИйеа апс! 8иЪаёсИAуе ёиаН(у, 31АМ
Зоигпа1 оп Соп(го1 ап4 ОрИтШюп 18 A980) 437-443. [572]
ВасЬе!, §г ее Мёхтас, С.-О. A612), РгоЫётз рШзапз е( АёкааЫез, дш зе/от раг 1ез
потЬгез, рагпе гесиеИИз йе Ашгз аигкеигз, еХ тоетег йе помеаи, аьес 1еиг Аё-
топМгаНоп, Р. К^аис!, Ьуоп, 1612 [герпп1е<1: А. ВЫпсЬагс!, Рапа, 1959]. 148]
ВасЬтапп, Р. A898), Вхе Апгктепк Лег диаЛгапхскеп Рогтеп, Егз1е АЫеИипд, ТеиЬпег,
Шрг\& 1898. [130]
ВасЬтапп, Р. A902), ЫгеДеге ХаЫеткеопе, УЫ. 1У ТеиЬпег, Ъщ)Ъ\& 1902 [герпШей ^ИЬ
Уо1ите II: Спе1$еа, Ые\у Уогк, 1968]. [129]
ВасЬтапп, Р. A910), ШеАеге 7.ак1еШкеопе, УЫ II, ТеиЬпег, Ье1ра& 1910 [герпп1ед
\У11Ь Уо1ите I: СЬе18еа, N6* Уогк, 1968]. [129,608]
ВасЬтапп, Р. A923), Оге АгНктеНк Лег циайгашскеп Рогтеп, Хмеке АЫеИипд,
ТеиЬпег, Ыргщ, 1923. П 30]
Ва1а$, Е. A963), Рго^гатаге Ншага си уапаЪПе Ыуа1еп1е (Китатап) [ипеаг рго^гат-
Ш1П8 >У11Ь гего-опе уапаЫев], РгосееАтдз ТШЫ $аеп1фс $е$$юп оп ЗшгкПсз,
ВисЬаге»1, ОесетЬег 5-7, 1963. [588]
Ва1а$, Е. A964), Ш а1§оп(Ьте аёё^^Г роиг 1а гёзоЫюп ёез рго^гаттев Нпёа1ге5 еп
уапаЫев Ь1Уа1ете8, Сотрш КепАт НеЬДотаЛтгез <Ие$ Зёапсез Ле ХАса&ётхе Лез
Заепсез (Рат) 258 A964) 3817-3820. [588]
Ва1а$, Е. A965), Ап адд1Aуе а1^оп(Ьт Гог 8о1у1п§ Нпеаг рго^гатх \У1(Ь гего-опе
уапаЫев, ОрегаПопз Кеьеагск 13 A965) 517-546. [588]
Ва1ак, Е. A967), О1зсге1е рго^гатт^п^ Ьу 1Ье Йкег те1Ьод, Орегапопз Кезеагск 15 A967)
915-957. [588, 604]
Ва1а$, Е. A970а), Мшшах апс! AиаН(у Гог Нпеаг апд попНпеаг т1хед-1п(е^ег рго^гат-
Ш1П8, ^п: Шедег ап4 №опНпеаг Ргодгаттхпд {}. АЪасИе, её.), МолЬ-Но11ап<1,
Агп81егс]ат, 1970, рр. 353-365. [572, 604]
Ва1аз, Е. A970Ь), Оиа111у 1п Ш$сге(е рго$гатт1п& 1п: Ргосеейщз о/ гке Ргтсеюп
Зутрозшт оп Ма1кетапса1 Ргодгатттд (Рппсе1оп, 1967; Н. >У. КиЬп, её.), Рпп-
сеюп ип!уег811у Ргевв, Рппсеюп, N.1, 1970, рр. 179-197. [572]
Ва1а8, Е. A971), 1п1ег$ес1юп си18—а пе\у 1уре оГсии^п^ р1апев Гог т1е8ег рго^гаттгп^,
ОрегаПопз Кезеагск 19 A971) 19-39. [581]
Ва1а$, Е. A972), 1п(е$ег рго^гатт1Пё апё сопуех апа1у818:1п(ег$есAоп си(в Ггот ои(ег
ро1аг8, Ма1кетаНса1 Ргодгатттд 2 A972) 330-382. [581]
Ва1а8, Е. A973), А по1е оп 1Ье §гоир (Ьеоге11с арргоасЬ 1о ^тевег рго8гатт1п§ апё 1Ье
0-1 саае, ОрегаПопз Кезеагск 21 A973) 321-322. [593]
Ва1аз, Е. A975а), Расе1з оГ1Ье кпарзаск ро1у1оре, Ма1кетаИса1 Ргодгатттд 8 A975)
146-164. [406, 606, 615]
Ва1а8, Е. A975Ь), О18]ипсAуе рго$гатт1п^: сии1п$ р!апех Ггот 1о§1са1 сопё1AОП8, ш:
ЫопНпеаг Ргодгатттд 2 (Ргос. 8утр. Маёгвоп, \У18Соп8т, 1974; О. Ь. Мап^акапап,
К. К. Меуег апё 5. М. КоЫпзоп, её».), Асаёеплс Рге88, N6^ Уогк, 1975, рр. 279-312.
[581]
Ва1а8, Е. A977), 5оте уаИё {пециаИпев Гог 1Ье 8е1 рагппотпе ргоЫет, [т: ЗгиаЧез т
Шедет Ргодгатттд (Р. Ь. Наттег, е1. а!., еёз.),] Аппак о/ Ызсгеге ЫаХкетаХхсз 1
A977) 13-47. [615]
Ва1а8, Е. A980), СиНшв р1апе§ Ггот сопё1Aопа1 Ьоипёз: а пе\у арргоасЬ (о хе1 соуепп^,
МагкётапсаХ Ргодгатттд 31и4у 12 A980) 19-36. [581, 615]
Ва1аз, Е. A984), А 8Ьагр Ьоипё оп 1Ье гаио Ьес\уееп орита! 1п(е^ег апё ГгасПопа1 соуег8,
Магкетапсз о/ОрегаПопз Кезеагск 9 A984) 1-5. [615]
Ва1а8, Е. апё СЬп81ойёе8, N. A981), А гезШскё Ьа^гап^еап арргоасЬ 1о 1Ье
ргоЫет, МагкетаИса! Ргодгатттд 21 A981) 19-46. [$99]

622 Литература
Ва1а8, Е. апA Но, А. A980), 8е1 соуепп§ а1§оп1Ьт8 изт^ сиШпя р1апе8, Ьеипзйсв, ап<1
8иЬ8гаё1еп1 ор11пН2а1юп: а сотриШюпа1зшс1у, МснкетаИса! Ргодгатттд Зшйу 12
A980K7-60.1581, 588, 599, 615]
Ва1аз, Е. апс! 1егоз1о\у, К. С. A980), 81геп&1Ьепт& си18 Гог пмхес! Ые^ег ргодгатБ,
Еигореап Зоита\ о/ ОрегаПопЫ КезеагсН 4 A980) 224-234. [581]
Ва1аз, Е. апс! Рас!Ъег& М. >У. A972), Оп Ше 8е1-соуепп§ ргоЫет, ОрегаНопв КевеагсН 20
A972) 1152-1161. [615]
Ва1а8, Е. апс1 Ра<ЗЪегв, М. A975), Оп 1пе зе1-соуепп§ ргоЫет: II. Ап а!§оп1пт Гог зег
рагМюшп& Орегапопз КевеагсН 23 A975) 74-90. [615]
Ва1аз, Е. апс! РасШег^, М. \У. A976), 8е* рагППоп1п§: а зигуеу, 81АМ ^гем 18 A976)
710-760. [615]
Ва1аз, Е. апс! Рас1Ъег& М. \У. A979), АсЦасеШ уеПюез оГ 1Ье а11 0-1 рговгатттв
ро1у1оре, Кегие Ргап^шзе й АиЮтапцие, (Нп/огтаИдие е( с1е ЯесНегсНе ОрёгаИопеИе
[Я.Л./.Я.О.] {КесНегсНе ОрёгаХопеНе) 13 A979) 3-12. [614]
Ва1ав, Е. апс! 2ете1, Е. A977), Сппса1 си18е18 оГ§гарЬ8 апс! сапоп1са1 Гасе1з оГ8е1-раск1Пё
ро1у!оре8, МаЖетаисз о/ОрегаИопз КезеагсН 2 A977) 15-19. 1615]
Ва!ав, Е. аш! 2ете1, Е. A978), Расег$ оГ1Ье кпарзаск ро1уЮре Ггот т!п1та1 соуегз,
81АМ Зоита{ оп АррШ МслНетаНсз 34 A978) 119-148. [604]
Ва1аз, Е. ап<1 2ете1, Е. A980), Ап а^огппт Гог 1аг§е гего-опе кнарзаск ргоЫетз,
Орегаиопз КезеагсН 28 A980) 1130-1154. [604]
Ва1а8, Е. апс! 2ете1, Е. A984), Ы(йп$ апс! сотр1етеп1т§ у!е1с!8 а!1 1Ье Гасе18 оГ
розШуе гего-опе рго§гатгп1п§ ро!у1оре§, т: МагИетаИса! Ргодгатттд (К. >У.
Сои1е, М. Ь. Ке1тапзоп апс1 В. Ког(е, ес15.), Ког1Ь-Но11апс1. Атз1егс1ат, 1984, рр.
13-24. [615]
ВаНпзк!, М. Ь. A961), Ап а1ёоп1Ьт Гог Гтс!т§ а11 уегйсез оГ сопуех ро1уЬес!га1
зе1з, Зоигпа! о/ гНе $ос1е1у /ог 1пйи$1па1 апй АррНес! МагНетапсз 9 A961) 72-88.
[356]
Ва1ш5к1, М. Ь, A965-6), 1тееег рго§гатт1п§: те1пос18, изез, сотри1аиоп, МападетеШ
ЗЫепсе 12 (А) A965-6) 253-313. [614]
ВаИп8к1, М. Ь. A967), 8оте §епега1 те1гюс18 т 1п1еёег рго§гатгп1П8, т : ЫопНпеаг
Ргодгатттд (}. АЬасНе, ее!.), Nог^Ь"Но11ап<1, Ат81егйат, 1967, рр. 221-247. [614]
Ва1шзк1, М. Ь. A970), Оп гесет ёеуе1ортеп18 т т1е§ег рго^гатт^пв, т: РгосееШпдв о/
гНе Рппсеюп Зутрозтт оп МагНетаиса! Ргодгатттд (Рппсе1оп, 1967; Н. \у\ Кипп,
её.), Рппсегоп 13туег511у Рге88, РппсеЮп, N.1., 1970, рр. 267-302. [6141
ВаИпвкй, М. A983), 81§па1иге8 с1е8 ро1п18 ех1гётел Aи ро1уёс!ге диа1 с1и ргоЫёте с1е
Ггапврог!, СотрХез Яеп<1и$ Лез Зёапсев йе 1'Асайётхе Лез Зсгепсез [Рат] 8ёпе I 2%
A983L57-459. [218]
ВаНпзН М. A984), ТЬе Н1г§сЬ соп]ес1иге Гог <1иа11гапзрог1аПоп ро!уЬес1га, МагНета-
Исз о/ОрегаИопз КезеагсН 9 A984) 629-633. [218]
ВаНпзк!, М. Ь, A985), 81§па1иге те(Ьос18 Гог п\с а881§птеп1 ргоЫет, Орегагхопз
КезеагсН 33 A985) 527-536. [21Х|
ВаНпзкй, М. Ь. апс! 8р1е1Ьегё» К. A969), Ме1по<18 Гог Ые^ег ргоегатт^п^: а!§еЬга1с,
сотЫпа1опа1, апс! епитега11Уе, 1п: Ргодгезз т Орегаиопз КезеагсН, КеШюпзЫр
ЬеШееп ОрегаСюпз КезеагсН апа* (Не Сотршег, УЫите III {}. 8. АгапоГзку, ед.),
N6^ Уогк, 1969, рр. 195-292. [614]
Ваге138, Е. Н. A968), 8у1уез1ег'ь 1с1епП1у апс1 ти1П81ер Ые^ег-ргезегут^
еИгп1па1юп, МагНетайсз о/СотрШайоп 22 A968) 565-578. [35]
Вагкег,С. Р. A973),ТЬе 1аШсеоГГасезоГаппйес!1теп81опа1 сопе,Ыпеаг АгдеЪга апйПз
АррПсаиопв 7 A973) 71-82. [356]
Вагкег, С. Р. A978), Касез апс! с1иаЙ1у т сопуех сопе», Ыпеаг ап<1 МиНШпеаг А1деЬга 6
A978) 161-169. [356]
Вагпез, Е. 8. A959), ТЬе сопз1гис1юп оГрегГес! апс1 ех1гете Гогтз II, Ааа АгИНтеша 5
A959) 205-222. [128]
ВагпеЦе, V. A974), Ап иррег Ъоит! Гог {Ье сИате1ег оГа ро1уЮре, О1зсге(е Ма1Нетайсз
10A974)9-13. [217]

Литература 623
ВагпеПе, Э. A979), Ра1Ь ргоЫетз ап<1 ехИета! ргоЫет* Гог сопуех ро1уЮре8, т:
КеШюпз ЪеХшеп СотЫпаЮпсз апй ОгНег РаПз о/ МагкетаИсз (Ргосеедт§8 оГ
8утро51а т Риге Ма1ЬетаПС8 Уо1ите XXXIV [Со1итЬи8. ОЫо, 1978]; ТУ. К. Кау-
СЬаиЛЬип, ед.), Атепсап Ма1петаПса1 8оае1у, Ргоу*с1епсе, К.1., 1979, рр. 25-34.
C55]
Вагг, К. 8., О1оуег, Р., апд КИп^тап, О. A977), ТЬе акегпаппв Ьа$18 а1§отпт Гог
авз^птеп! ргоЫетз, Ма1петаИса1 Ргодгатттд 13 A977) 1-13. [217]
ВаПе18, Н. О. A973), А ргюп 1п/огтаиопеп гиг Ипеагеп Ргодгатткгипд, ОЬег Ескеп
ипД Нурефаскеп аи/ Рогуейегп, Уег1а§ АпЮп Наш, Ме18епЬе1т ат О1ап,
1973. [355]
ВаПНокИ, III, Д. 3. A981-2), А §оос! 8иЬта1пх 18 Ьагс1 ю Пп<1, ОрегаИот ЯезеагсН 1лпег$
1A981-2) 190-193. [472]
Ва1етап, Р. Т. A958), Кегйагк оп а гесеп1 по!е оп Нпеаг Гогтз, ТЬе Атепсап
МагНетаИсЫ МотЫу 65 A958) 517-518. [614]
ВаП^пе, О. К., На11, Р. ^. апё Ка(х, I. У A978), РиПЬег ге8и1(8 оп Ые^га! ёепсгаУжй
туегзез оГЫе^га! та1псе8, Ыпеаг апп. МикШпеаг А1деЬга 6 A978) 233-241. [308]
Ваиег, Р. Ь. A963), А1воп(Нт 153 Сотогу, Соттитсснюпз о/ гИе АСМ 6 A963) 68.
[581]
Ваит, 8. апё ТгоПег, ^г, I.. Е. A977), 1п1еёег гоипШп^ апA ро1уЬе<1га1 Aесотро511юп оГ
Ю1аПу ип1тос!и1аг 8у81етз, 1п: ОргШгаИоп апА ОрегаНопз ЯезеагсН (Ргос. Вопп 1977;
К. Непп, В. Ког1е апс! XV. ОеиИ, ейз.), Ьесшге Ыо1ез 1П Есопотюз апс! МаШ. 8уз1ет8
157, Зрпп^ег, ВегНп, 1977, рр. 15-23. 1434, 543]
Ваит, 8. апй ТгоПег, ]г, Ь. Е. A981), 1тевег гоипё1Пё Гог ро1ута1го1с1 апс! ЪгапсЬте
орит12а11оп ргоЫетз, 51АМ Зоитаг оп А1деЬгшс апй Эисгеге МегНойз 2A981) 416—
425. [543, 546]
Ваит, 8. апс! ТгоПег, )г, Ь. Е. A982HРпи1есЬескаЪШ1у Гог 1п1е§ег гоипсИп^ ргорегпез ш
сотЫпа(опа1 рго8гатт1п§ ргоЫетз, МшкетаисЫ Ргодгатттд 22 A982) 141-147.
1543]
Вагагаа, М. 8. апй 1агУ18, ]. }. A977), Ипеаг Ргодгатттд апд. ЫеМогк Пот, М1еу,
Кеш Уогк, 1977. [355]
Веа1е, Е. М. Ь. A954), Ап акегпаПуе те1Ьод Гог Ипеаг рго§гаттт8, РгосееаЧпдз о/гке
СатЬгШде РНИозорИка! ЗосШу 50 A954) 513-523 [228, 234]
Веа1е, Е. М. Ь. A955), СусНпв 1П 1пе Йиа1 81тр1ех а18Оп1Ьт, NаVа^ Кезеагск [.одгапсз
йиапеНу 2 A955) 269-275. [211]
Веа1е, Е. М. Ь. A958), А тегИоа1 о/зоШпд Ипеаг ргодгатттд ргоЫеть ыпеп зоте Ъиг по1
аи о/ (Не иапаЫез тизг шке т1едга1 Vа^иез^ Тесптса1 КероП Ыо. 19, 81аП8Aса1
ТесЬп1яие8 Кезеагсп Сгоир, Рг^псеЮп ип!Уег811у, РппсеЮп, N. Д., 1958. [613]
Веа1е, Е. М. Ь. A965), 8игуеу оПте^ег ргоегатттв, Орегапопа\ Кезеатсп ОиатюХу 16
A965) 219-228. [614]
Веа1е, Е. М. Ь. A968), МагкетаИса\ Ргодгатттд т Ргаспсе, Р11тап, Ьопс1оп, 1968.
[355]
Веа1е, Е. М. 1>. A977), 1тевег рго8гатт1п§, 111: Тке $Ше о/1ке Ап т ЫитепсЫ Апа1уз1з
(Ргосеедт$8 СопГегепсе Уогк, 1976; 0.1асоЬз, ес1.), Асаёет^с Рге88, Ьопдоп, 1977,
рр. 409-448. [614]
ВескепЬасЬ. Е. Р. ап<1 Ве11тап, К. A983), 1пеяиаНИез, Роипк РгтНпд, 8ргтвег, ВегИп,
1983. [21]
Вескег, О. A933), Еискэхоз-ЗШсНеп I. Е1пе УОгеис1ох18сЬе Ргорогиопеп1еЬге ипс! Шге
8ригеп Ье1 АпвЮЫев ипс! ЕикНс!, ОиеМеп ипй ЗшЛеп гиг ОезсккЫе <1ег МагкетаИк
Азггопотге иЫ Ркузгк. АЫеПипд В: ЗшМеп 2 A933) 311-333. И 17]
Весктапп, М. ^. A970), Бупатю рго^гатттБ оГзоте 1п1еёег апд попНпеаг рго^гат-
т1П8 ргоЫетз, 1п: Шедег аЫ ЫопИпеаг Ргодгатттд {}. АЬасИе, ее!.), ЫопЬ-Но11апс1,
Ат$1егаат, 1970, рр. 463-472. [426]
Ве^ей-Ооу, А. С. A972), Ьошег апс1 иррег Ьоипс18 Гог 1Ье питЬег оГ Ыпсе рот18
т а 81тр1ех, 51АМ Уоигпа/ оп АррНей Магкетапсн 11 A972) 106-108.
[615]

624 Литература
ВеН, О. Е. A977), А (пеогет сопсегшп^ 1пе тХе$ет 1аП1се, ЗшсИез т АррИеД Магкетагкз
56A977) 187-188. [376]
ВеН, Х>. Е. A979), Е№аеп( $гоир си1з Гог 1П1е^ег рго§гат8, Ма1кетапса\ Ргодгатттд 17
A979) 176-183. [593]
ВеН, Т>. Е. апй р1§пег, М. Ь. A975), 1тргоуе<1 ш(е§ег рго§гатт1п§ Ьоипйз и$т§
^тегзесПопз оГсотег ро1уЬес!га, МагкетаИсЫ Ргодгатттд 8 A975^345-368. [593]
ВеП, О. Е. ап<18пар1го, У Р. A977), А сопуег§еп1 AиаШу 1пеогу Гог т1е§ег рго8гаттт&
ОрегаНопз КевеагсН 25 A977) 419-434. [572]
ВеИтап, К. A956), N0168 оп (Не (пеогу оГ йупагтс рговгатттв, IV—тах1пша1юп
оуег (Й8сге1е 8е18, NаVа^ Незеагск 1*од\зйсз ОиапегХу 3 A956) 67-70. [418]
ВеИтап, К. A956-7), Оп а <1упагтс ргоёгатттв арргоасЬ 1о (Не са1егег ргоЫет—I,
Мападетет ЗЫепсе 3 A956-7) 270-278. [613]
ВеИтап, К. A957а), Соттет оп ОапЫв'к рарег оп д18сге1е уапаЫе ех1гетит
ргоЫетз, ОрегаИопз КехеагсИ 5 A957) 723-724. [418, 613]
оВе11тап, К. A957Ь), Оупатк Ргодгатттд, Рг1псе1оп ип1Уег§11у Рге88, Рппсе(оп, N. 5.,
1957. [418,613]
ВеИтап, К. A957-8), N0168 оп (Не 1пеогу оГ дупатю рговгатттв—1гап8роПа1юп
тоае18, Мападетет ЗЫепсе 4 A957-8) 191-195. 1613]
ВеНтап, К. A960), ЫноЛисМоп ю Ма(пх Апа1уз15, МсСгаш-НШ, N6^ Уогк, 1960.169]
Веп-Ьгае!, А. A969), Ьтеаг ециа^опх апй 1пеяиа11ие8 оп Пш1е Й1теп810па1, геа1 ог
сотр1ех, уес1ог зрасез: а ипШеё (Ьеогу, 5оита\ о/ МаХпетапсаХ Апа1уз1$ апД
АррНсаНопз 27 A969) 367-389. [152]
Веп-Ьгае! А. апд Спагпез, А. A962), Оп воте ргоЫетз оГ ёюрпаШте рго8гатт1п&
СаМегз Аи СеМте й'Ёш<1е$ йе Яескетске ОрётапопеИе 4 A962) 215-280. [581]
Вепс1ег8, Д. Р. A960), РагШоптд т таХкетапсаХ ргодгатттд, ТЬе818, Оп1Уег811у оГ
1ЛгесЬ1, 1ЛгесЬ1, 1960. [602]
Вепёегз, ]. Р. A962), Рагпйошпв ргоседигез Гог 8о1у1П§ т1хес!-уапаЫе8 рговгатт1П§
ргоЫетв, Nите^^5ске Магкетапк 4 A962) 238-252. [602]
ВетсЬои, М, Саи(Ь1ег,}. М., Неп^ез, С, апс! К1Ыёге,О. A977), Тпе еШаеШ зоШиоп оГ
1аг8е-8са1е Нпеаг рго§гатт1П8 ргоЫетз—зоте а18оп1птю 1есЬп1цие8 апс! сотри1-
а1юпа! гезикз, Ма(кета(ка1 Ргодгатттд 13 A977) 280-322. [212]
Вегеп^иег, 8. Е. A978), Капйот1у депетаШ Нпеат ргодтатз, Р1Ш. ТЬе818, ишуег811у оГ
СаИГогша, Вегке1еу, Са1., 1978. [225]
Вегеп^иег, 8. Е. апс! 8ткп, К. Ь. A986). ТЬе ехрес1ес1 питЬег оГехиете ро1т§ оГа
гапс!от Ипеаг рго^гат, Магкетайса] Ргодгатттд 35 A986) 129-134. [225]
Вегде, С. A969),ТЬе гапк оГа ГатПу оГзе18 апд зоте аррНсаПопз 1о ^гарЬ (Ьеогу, т:
Кесеп1 Ргодгезз \п СотЫпаЮпсз (РгосеесИп^з оГ (Ье ТЫг<1 АУа1ег1оо СопГегепсе оп
СотЫпаЮпсз, \Уа1ег1оо, ОШапо, 1968; >У. Т. ТиПе, ее!.), Асадегшс Ргезз, N6^ Уогк,
1969, рр. 49-57. [487]
Вег^е, С. A970), 8иг сег1ат8 Ьурег^гарЬез ^епегаИ8ап1 1е8 ^гарЬез Ыраг11(е8, 1п:
СотЫпа(опа1 Ткеоту апЛ Нз АррНсаИопз I (РгосеесИп^в Со11оци1ит оп Сот-
Ыпа(опа1 ТЬеогу апс! 118 АррНсаПопз, Ва1а(опШгес1, Нипеагу, 1969; Р. Егс1б8, А.
Кёпу1 апд V. Т. 868, еск), КоПЬ-НоИапа, Ат81егс1ат, 1970, рр. 119-133. [487]
Вег8е,С.A972),Ва1апсеата1псе8,МаГйетапсй(/Рго^гаттт^2A972) 19-31. [488, 493]
Вег$е, С. A980), Ва1апсес1 та1псе8 апс! ргореПу (С), Ма1кетаИса1 Ргодгатттд ВШу
12 A980) 163-175. [4931
Вег&е, С. апс! Ьаз Уег^паз, М. A970), 8иг ип 1Ьёогёте ди 1уре К6п1§ роиг Ьурег^гарЬез,
[т: 1мегпаНопа1 Соп/егепсе оп СотЫпа1опа1 МагкетаНсз (№ш Уогк, 1970; А.
СетПг апс! Ь. V. ри1п1а8, ес!8.),] Аппа1з о/(ке N€4? Уогк Асайету о/Заепсез 175
[Аг*1с1е 1] A970) 32-44). [488, 493]
Вег8$(г6т, V. A935), ВеНгаде гиг Ткеопе 4ег еп<ШскаЧтепзюпа1еп Мо^Ып ипй йег
йюркапИзскеп АрргоххтаНопеп, Медде1апс1еп Ггап Ьипёз итуег8Пе(8 Ма(етаA8ка
8ет1папит, Вапд 2, Шкап ОЫззопз ВисЬдгискеге!, Ьип<1, 1935. [129]

Литература 625
Всгтап, А. A973), Сопез, Матсез аЫ Ма(кетаПса1 Ргодгатттд, Ьес1иге Ыо1ез т
Есопописз апс! Ма1петаПса1 8уз1етз 79, Зрип^ег, Вег1т, 1973. 1152]
Вегтап, А. апс! Веп-1згае1, А. A971а), Ьтеаг шециаНИез, та1петаПса! рго§гатт!п§
апс! татх 1пеогу, Маскетайса} Ргодгатттд 1 A971) 291-300. [152]
Вегтап, А. апд Всп-18гае1, А. A971Ь), Моге оп Нпеаг тециаНпез ^Цп аррИсаПопз ю
та1пх 1Ьеогу, Зоита1 о/ Ма(кетаиса1 Апа1узгз апа1 АррИсайопз 33 A971) 482-496.
[152]
Вегтап, А. апс! Веп-1згае1, А. A973), Ыпеаг ециаиопз оуег сопез \уЦп ш1епог: а
5о1уаЫН1у (Ьеогет мп аррНсаиопз Ю та1пх (Ьеогу, Ыпеаг А1деЪга ап<1 Па
АррИсаПопз 7 A973) 139-149. [152]
0Вегп8Мет, Э. N. A976), ТЬе питЬег оГт1е^га1 роти 1п 1п1е§га1 ро!уЬес1га (т Ки§51ап),
Гипк(зюпаГпу1 АпаНг / Едо РгНогкетуа 10 C) A976) 72-73 [Еп&Н§Ь 1гап$1а1юп:
РипсИопа1 Апа\упз ста1 Из АррНсаИопз 10 A976) 223-224]. [614]
Вегп81ет, Ь. A971), Тке ЗасоЫ-Реггоп А1догйкт—11з ТНеогу ап<1 АррИсаиоп, ЬесШге
N0^5 [п Ма1Ьета11С8 207, Зрппяег, ВегИп, 1971. [116]
ВеПзеказ, О. Р. A981), А пе^ а1ёОп1Ьт Гог 1Ье аз51ёптет ргоЫет, Ма1Негпайса1
Ргодгатттд 21 A981) 152-171. [218]
ВеУ18,}. Н. апс1 На11, Р. ^. A982), $оте с1а&5е5 оПп(е§га1 та1псе5, Цпеаг А1деЬга апй Н&
АррНсаИопв 48 A982) 473-483. [493]
ВёгоШ, Е. A767), КесЬегсЬез зиг 1е йе^гё дев ^иа{]оп$ гёзиНаШез йе Гёуапои158етет
дек 1псоппи§, е1 5иг 1е§ тоуепз ци'Л сопУ1ет с!'етр1оуег роиг 1гоиуег се§ ёциапоп$,
ШзШге йе VАсаАётхе КоуаЫ йез Заепсез аиес 1ез Мётоггез <1е Ыагкётаг'щие е1 йе
Ркущие (Рапз) [аппёе 1764] A767) 288-338. [<о]
Вёгои1, Е. A779), ТНёопе дёпёгЫе <1ез ёдиагшпз ЫдёЬщиез, 1трг. ее Р.-Э. Р1егге§, Раг18,
1779. [65]
Вте1,5. Р. М, A813), М6то1ге шг ип &у§1ёте Aе Ьгти1е§ апа1уПяие§, е11еиг аррНсаиоп
а Aе8 соп51<1ёгаиоп5 §ёотё1пяие8 [1и 1е 30 ЫоуетЬге 1812], Зоигпа1 йе УЁсок
Ро1у1ескп\цие Юте 9, саЫег 16 A813) 280-354. [67]
В1гкЬо1Т,О. A946),Тге§оЬзегуасюпеззоЬгее1 а1^еЬгаНпеа1, Яетзга ГасикаЛ АеС'хепс'шз
Ехаааз, Ригаз у АрНсаАаз 1)пмег$Мас1 Ыасюпа1 йе Тиситап, $ег1е А (МсиетаИсаз у
Пзка Теопса) 5 {\9Щ Н1-\5\ [167, 439]
В1гкНоП", С. ап<1 Мае Ьапе, 8. A977), А Зигьеу о/ МоАегп А1деЬга {/оипк едШоп),
МастШап, Ке\* Уогк, 1977. [16, 69]
В1хЬу, К. Е. A976), А 81геп&1Ьепес1 Гогт оГТиПе'5 сЬагас1епга1юп оГ гееи1аг та1го1A5,
Зоигпа1 о/ СотЫпаЮпЫ Ткеогу {В) 20 A976) 216-221. [475]
В1хЬу, К. Е. A977), Кига1о\у$кГ$ апс! ^а^пегЧ 1Ьеогетз Гог та1го1A5, ^ои^па^ о/
СотЫпаЮпа! ТНеогу (В) 22 A977) 31-53. [450]
В1хЬу, К. Е. A982), Ма1гок1$ апс! орегаПопх гезеагсН, т: Ас1гапсе4 Тесктдиез
т 1ке Ргааке о/ Орегапопз Кезеагск F 1иЮпа1§ рге$еп1ес! а1 1Ье 5ет1-
Аппиа! ^о^п^ ОК5А/Т1М5 теепп^, Со1огадо $рпщ»8. 1980; Н. ^. СгеепЬег^, К. Н.
МигрНу апа 5. Н. 5Ьа\у, е^5.), N0^^^011311^, N6^ Уогк, 1982, рр. 333-458.
Г472]
В1хЬу, К. Е. апё Сипп^п^Ьат, XV. Н. A980), СопуегИгщ Ппеаг рго§гатз 1о пе1^огк
ргоЫетх, Мшкетаисз о/ОрегаНом Яеаеагск 5 A980) 321-357. [4811
В1хЬу, К. Е. апс1 СипптеЪат, ^. Н. A984), Зкоп соагсипз т Ыпагу тШгоШз, Кероп
N0. 84344-ОК, 1п«111и1 Гиг 0копоте1пе ипё ОрегаПопз ЯезеагсЬ, 1]п1уегз1{аЧ Вопп,
1984 (и> арреаг т Еигореап Зоита\ о/ СотЫпаюгкз). [453]
В1хЬу, К. Е. апё ^а^пег, И. К. A985), Ап Ытом Нпеаг-пте а\догНкт /ог дгарк
геаИгаНоп, ТесНтса1 КероП 85-2, Оераг1теп1 оГ МасЬетаГюа! $с»епсе5, Й1се
итуегзпу, Ноихюп, Техаз, 1985. [453]
ВЫг, С. Е. A978), М1шта11пециаИпе$ Гог гтхес! 1п1еёег рго^гатз, О\$сге1е Мшкетаисз
24A978) 147-151. [572].
В1а1г, С. Е. A980), Рас1а1 с11з]ипсг1уе рго^гатз апс! зециепсез оГси1Пп§-р1апе8, О\зсге1е
АррШ МагНетайсз 2 A980) 173-179. [581]

626 Литература
ВЫг, С. A983), Капа*от Ипеаг ргодгатв т1к тапу тпаЫеъ апЛ/еы сопМгтШз, ГасиИу
^Уогк'шз Рарег N0. 946, Со11е§е оГСоттегсе апс! Визтезя Ас1т1Ш81га*юп, 1Муег5-
Ну оГ НИпо18 а! ОгЪапа-СЬатра^п, 111., 1983. 1*2251
ВЫг, С- Е. апс! 1егоз1о\у, К. О. A977), ТЬе уа!ие Гипсвоп оГ а ггихеё »те?ег рго§гат: I,
йисгеге МсиНетайсь 19A977) 121-138. [387,552, 557]
ВЫг, С. Е. апд .1его81о\у, К. С. A979), ТНе уа!ие Гипс1юп оГа гшхес! Ые^ег рго^гат: II,
й1$сге1е МагкетаИсз 25 A979) 7-19. [384, 388, 552]
ВЫг, С. Е. апс1 1егч>81о\у, К. С. A982), ТЬе уа1ие Гипсиоп о( ап т1е§ег рго^гат,
МагкетаИсЫ Ргодгатттд 23 A982) 237-273. [390, 558, 572, 581]
ВЫг, С. Е. апс! Зего81о\у, К. С. A984), СопзИ'исиуе сЬагас1епга1юп5 оГ 1Ье \а1ие-
Гипсиоп оГ а пгнхеё-т1е§ег рто§гат I, О\$сге1е АррИеД МткетаНсз 9 A984) 217 233.
[552]
ВЫг, С. Е. апс! 1его81о\у, Я. О. A985), Соп«(гис!1Уе сНагас1еп2а1юп8 оГ гЬе уа1ие
Гипспоп оГа т1хе<1-1те§ег рго^гат II, Омете Аррпей МшкетаПса 10 A985) 227-
240. [552]
В1апс1, К. О. A977а), N0^ Гт11е р1Уоип§ ги1ез Гог 1Ье 51пгф1ех те1Ьод, Ма1кетаПсз о[
ОрегаИопа Яезеагск 2 A977) 103- 107. [197]
В1апс1, К. С. A977Ь), А сотЫпа(опа1 аЬз^гасиоп оГ Ппеаг рго^гатгпт^ ЗоигпЫ о(
СотЫпаюпЫ Ткеогу (В) 23 A977) 33-57. [231]
В1апс1, К. О. A978), Е1етеп1агу уес1ог$ апс! 1^о ро1уЬебга1 ге1ахаг1оп8, Ма1кета1ка\
Ргодгатттд 8ш<1у 8 A978) 159 166. [185, 231 ]
В1ап<1, К. С, СокИагЪ, Э., апс! Тос1с1, МЛ. A981), ТЬе еШрзок! те|Ьос1: а зипеу,
Орегапот Кезеагск 29 A981) 1039-1091. [252, 265]
В1апкш8Мр, XV. А. A963), А пе^ усгзюп о( 1Ье ЕисИёсап а1ёОП1Ьт, Тке Атепсап
МагкетаПса! МотЫу 70 A963) 742-745. [86]
В1апкт8Ыр, "уУ. А. A966а), А1^оп(Ьт 287, Ма(г1х 1пап§и1аПоп У/11Н 1п1е§
[Р1], СоттипкаИою о/1ке АСМ 9 A966) 513. [89]
В1апкт8Ыр, \у\ А. A966Ь), А1^огНЬт 288, ЗоЬиоп о^ 81гпи11апеои8 Нпеаг
еяиаеюпз [Р4], Соттитсапопз о[гке АСМ 9 A966) 514. [89]
ВНсЬГекН, Н. Р. A914), А пе\у рг1пс1р1е 1П 1Ье §еоте1гу оГ питЬегх, \У1ГЬ зоте
аррНса1юп8, Тгапзасйопз о/ гке Атепсап Ма1кетапса1 8оае1у 15 A914) 227—
235. [128, 609]
ВНсНГе1с1(, Н. Р. A935), ТЬе гтттит уа1ие8 оГрозШуе яиа<1га1к (огтз 1п 81Х, зеуеп апй
ещЫ уаг1аЫе8, МагИетаИзске геПзскп/1 39 A935) 1-15. [128]
В1ит, М., Р1оуд, К. \У., РгаП. V.. К]уе81, К. Ь., апй Таг)'ап, К. Е. A973), Т1те Ьоцп^з Гог
8е1ес1:1оп, Яоигпаг о/ Сотри!ег апд. Зузгет Заепсея 7 A973) 448 461. [ЗЛ]
Вос1е^1& Е. A956), Матх Са1сиЫз, Мог1Ь-Но11ап<1, Ат51егдат, 1956. [89, 93]
Воп<1, ^. A967), Са1си1аип^ (Ье ^епега! зо!и^оп оГ а Ппеаг A1орЬап11пе ециаПоп, Тке
Атепсап МагкетагШ МопгЫу 74 A967) 955-957. [86]
Воп<1у, }. А. ап<1 МиПу, 13. 5. Я. A976), Огарк Ткеогу мНк АррНсапопв, МастШап,
Ьопскт, 1976. [24].
Воппезеп, Т. апс! РепсЬе!, \У. A934), Ткеопе Лет копьехеп Когрег, Зрпп^ег, ВегНп, 1934
[герптей: СЬекеа, Ые\у Уогк, 1948]. [343, 355]
Воге1, Ё. A921), Ьа 1Ьеог1е <1и ^еи е11е8 ёяиайопз 1п(еёга1е8 а поуаи 8утё1^ие, Сотр1ех
Яепйия НеЬа'отаа'аьгех а*ев $ёапсех &е \УАса&ет\е йе$ Заепсез 173 A921) 1304- 1308
[герптес! 1п: Оемгез 4е ЕтИе Воге1, Тоте //, Сешге Ыаиопа! Aе 1а КесЬегсЬе
ЗаепиЯяие, Рап8, 1972, рр. 901-904] [ЕпёПзЬ 1гап81аПоп Ьу Ь. 5. 5ауа§е 1п:
ЕсопотегПса 21 A953) 97-100]. [344]
Вогс1, Ё. A924), ЁЫтепгз йе 1а Ткеопе йе$ РгоЪаЬИНёз (Зе ёаЧпоп геьие е1 аидтешёе), 3.
Негтапп, Рап§, 1924 [Еп^Ыг 1гап§1а1юп оГЫо(е IV ('8иг 1ез ]еих ой )тегу1еппеп11е
Ьавагд е1 ГЬаЫ1е1ё <1е§ ^оиеи^8') Ьу Ь. }. Зауа^е: Оп §ате81Ьа1 туо1уе сЬапсе апд 1Ье
8кШ оНЪе р1ауег8, Есопоте(пса 21 A953) 101-115. [344]
Воге1, й. A927), Зиг 1е8 8у81ёте8 с1е Гогтез 1тёа1ге8 а ёё1егт1пат зутё^г^цие ^аисЬе е11а
(Ьеопе ^ёпёгак ёц ]еи, Сотргез Кеги/и5 НеЬАотаАтгех &еъ Зёапсех &е VАса&ётхе

Литература 627
Заепсез 184 A927) 52-54 [герпШес! т: Оетгез йе ЕтНе ВогеЪ Тоте II, Сетге
ЫаПопа! ее 1а Кеспегспе 8с1еп*Шцие, Рапз, 1972, рр. 1123-1124] [Еп^ИзЬ 1гап$1а1юп
Ьу Ь. I $ауаве т: Есопотегпса 21 A953) 116-117]. [344]
Вогдшагск, К.-Н. A977а), V тегзиспипдеп гиг АзутргоНк йег тИпегеп ЗсНгШгаМ ьоп
$1тр1ехьефкгеп т Лег Нпеагеп Орптхегипд, Й$$. 1Гтуег811а1 Ка1зег1аи1егп, 1977.
[224]
Вог$ртагс!1, К.-Н. A977Ь), Ш1егзиспип8еп гиг А8утр1о11к Йег гшШегеп 8сЬпигап1 уоп
81тр1схуеНаЬгеп т с!ег Ипеагеп Орйппегипв, ОрегаНопз Кезеагск Уефкгеп 28 A977)
332-345. [212, 224]
Вог^агск, К.-Н. A978), Хит КесЬепаиГ^'апё уоп 81тр1ехуегГаЬгеп, ОрегаНопз Ке-
зеагск Уефкгеп 31 A978) 83-97. [224]
Вог&н&гди К.-Н. A979), Э1е а8утр1ои8сЬе Огдпип^ <1ег ткиегеп 8сЬпигаЫ уоп
81тр1ехуеНаЬгеп, МеЖойз о/ОрегаИопз Яезеагск 37 (IV. 8утрО8шт оп Орега11ОП8
ЯевеагсК, ип1Уегз11а1 с1е« 5ааг1апо!е8, 1979; Н. Котв апс! V. 8(етте1д едз.),
А1Ьепаит/На1п/8спрЮг/Нап81е1п, Кош881е1пД8., 1979, рр. 81-95. [224]
Вог^агс11, К.-Н. A982а), 8оте с1181пЬи11ОП-1пдерспс1еп1 гезикз аЬои1 гЬе азутрюис
огдег оГ 1Ье ауега^е питоег оГ р1уо1 з1ер8 оГ 1Ье 81тр1ех те1Нод, МшкетаИсз о/
ОрегаИоп$Яе$еагск7{№2L41-462Л21Ь, 218, 220]
Вог^агй!, К.-Н. A982Ь), ТЬе аУега^е питЬег оГр1Уо1 81ерз гсяи1гес1 Ьу 1Ье 81тр1ех-
те1Ной 18 ро1употша1,2еИяскп/1 Щг ОрегаНою Яеьеагск 26A982) 157-177. [216,
218]
ВогосИп, А. апй Мипго, I. A975), Тке СотршаНопа1 СотркхНу о/ Л1деЬгтс аЫ
Ыитегк РгоЫетз, Атепсап Е18еУ)ег, Ые\у Уогк, 1975. [69]
Вого&Ь, I. апд ТгеуЬ^ Ь. В. A976), Воипс18 оп ровШуе 1те^га1 5о1и11опз оГ Нпсаг
йюрЪапПпе е^иа^^оп8, РгосееАтдз о/ (ке Атепсап Ма1кетапса1 Зосгегу 55 A976)
299-304. [383]
ВоговЬ, I. апA ТгеуЬ18, Ь. В. A979), Воипс18 оп розШуе т!е^га1 &о!ипоп8 о!" Нпеаг
йорЬапйпе ечиа11ОП8 II, мпадхап МагкетаПсЫ ВиИеИп 22 A979) 357-361. [383]
Во\ушап, V. }. A972а), А 81ги Гига1 сотрапвоп оГОотогу'з Ггас11опа1 сии^п^ р!апе8 апс1
Негт1иап Ьав1С зо1иНоп8, ^ЫМ ЗоигпЫ оп АррИей Ма1кета(к$ 23 A972) 460-462.
[581]
Во^тап, ^г, V. Д. A972Ь), 8еп8ШУ11у апа1уз18 т Нпеаг 1те8ег рговгатттв, АНЕ
ТгапаасИопа 4 A972) 284-289. [572]
Вочутап, V. 3. A974), ТЬе 81гис1иге оГ т1е%ег рго^гатз ипёег 1Ье Негт1иап погта1
Гогт, ОрегаНот Кезеагск 11 A974) 1067-1080. [615]
Во^тап, )г., V. I. апс! ^тпаизег, О. Ь. A970), А йпкепезз ргооГГог тос!Шес1 ОапСад
си(8 ш 1те^ег рго8гатт!П2, Мню/ Кевеагск ЬодШкз ОщПегХу 17 A970) 309-313.
[581]
Во^тап, V. }. ап<1 ЫегпЬаизег, О. Ь. A971), Веер си*8 т 1П1е^ег рго8гаттт& Орзеагск
8A971)89-111. [581]
Воус1, 8. С. апс! РиНеуЫапк, ^. К. A984), Расе1 депегаИпд ^ескп^^ие5,1о арреаг. [568]
Воуег, С. В. A968), А Ш$югу о/ Магкетайс$, У/Неу, №\у Уогк, 1968. [69]
ВгасПеу, О. Н. A970а), А1^оп1Ьт апд Ьоипс! (ог 1Не %тъъХеЫ согатоп д!У18ог ог п
Ыеяеге, СоттитсаИот о/гке АСЫ 13 A970) 433-436. [86]
Вгай1еу, О. Н. A970Ь), Еци1Уа1еШ 1пге§ег рго^гата, т. ОК 69 (Ргосеед1П88 оГ 1пе ИЛЬ
1п1етаИопа1 СопСегепсе оп ОрегаНопа! Яевеагс^, Уетсе, 1969; ]. Ьа*гепсе, ее!.),
ТаУ1$1оск РиЫ1саПоп8, Ьоп^оп, 1970, рр. 455-^63. [615]
ВгасПеу, О. Н. A970-1), Ецшуа1еп11Ше8ег рго^гатз апд сапотса1 ргоЫетз, Мападе-
тет Ваепсе 17 A970-1) 354-366. [615]
ВгасПеу, С. Н. A971а), А^отптв Гог Негпше апс! 8т11Ь погта! та^псез апй Нпеаг
ЛорЬаШте еяиа1юпз, Ммкетайсз о/ Сотригапоп 25 A971) 897-907. [89, 93]
ВгасПеу, О. Н. A971Ъ), ТгапзГоггааиоп оГ »п(е§ег ргоегатз ю кпарзаск ргоЫета,
Охзсгеге МагкетаИсз 1 A971) 29-45. [379]
ВгасИеу, С. Н., Няштег, Р. I., апс! ^о1зеу, Ь. A974Х СоеШслет гедисиоп Гог
1пециаНпс8 ш 0—1 \апаЫез, Магкетапса! Ргодгатттд 1 A974) 263 282. [614]

628 Литература
ВгасНеу, О. Н. апо! №аЫ, Р. N. A973), Ап а^огкНт Гог 1те^ег Нпеаг рго§гатттв: а
сотЫпеё а^еЬгаёс апс! епитегапоп арргоасп, ОрегаНопз Яевеагск 21 A9K) 45-60.
[614]
Вгаиег, А. A942), Оп а ргоЫет оГрагШюпз, Атепсап Зоита\ о/Магкетапсз 64 A942)
299-312. [608, 614]
В:аиег, А. ап<1 8ее1Ыпёег, В. М. A954), Оп а ргоЫет оГраПкюпз И, Атепсап ЗоитаХ
о/ Мшкетаиса 76 A954) 343-346. [614]
Вгаиег, А. апс15Ьоск1еу, 3. Е. A962), Оп а ргоЫет оГ РгоЬепшз, Зоита1)йг (Не гете ипа*
апдемаМге МагкетаИк 211 A962) 215-220. [614]
Вгаиег, К. М. A967), А по1е оп 1пе еШаепсу оГВа1а$' а^огипт, ОрегаНопз Кезежск 15
A967) 1169-1171. [588]
Вгеп^ез, А. 3. A981), А 11Уо-(Нтеп$юпа1 соп(тиес1 Ггасиоп а^олгпт Гог Ьевг арргохь
таAОП8 \У1(Н ап аррНсаНоп 1П сиЫс питЬег Пе1с1$, Зоигпа1/иг (Не гете ипй апдеумхп&хе
МаМетаНк 326 A981) 18-44. [116]
Вгеи, К. ап<1 Вигдег, С-А. A974), Вгапсп апд Ъоипд ехрептетз т гего-опе
ргоёгатт1п§, МагНетапса! Ргодгатттд $1ийу 2 A974) 1-50. [588}
Вгегтакй С. A981), Тпе 1оп§ ЫзЮгу оГ сопппиес! Ггас11оп$ апс1 РаAё арргохнпап1$, 1п:
РаЛё АрргохтаИоп апд. пз АррНсаЫопз АтзгеЫат 1980 (Ргосеей^пвз оГа СопГегепсе
Не1й 1п Ат51ег6ат, 1980; М. С. с1е Вги1п апс! Н. Уап Ковхит, еёз.), Ьесгиге N0168 1П
Ма1Ьета11сз 888, 5рпп§ег, ВегНп, 1981, рр. 1-27. [130]
Вг^ж1$1е<1, А. A983), Ап ЫггоЛисИоп ю Союех Ро1уЮре$, 5рпп§ег, №^ Уогк, 1983.
[217, 355]
Вгоокз, К. апд Сео!Гг1оп, А. A966), РтсНпя Еуегеи'з Ьа^гап^е тиШрНегз Ъу Ипеаг
рго8гатт1п§, Орегайот КезеагсН 14A966) 1149-1153. [599]
Вго^п, О. Р. A976), С1гсш18 апс! иттос1и1аг та1псез, 81АМ Зоита\ оп АррНеА
Мснкетшкз 31 A976) 468-473. [436]
Вго^п, О. Р. A977), Сотроипс! апс! ип1то<1и1аг та(псе8, Т>шгеге Ма(кетаИсз 19
A977) 1-5. [436]
Вгоудеп, С О. A975), Вазгс Мшпсе$-Ап ШгоЛиспоп ю Ма1г\х ТНеогу агн! РгасИсеу
МастШап, Ьопдоп, 1975. [69]
Вгискег, Р. A975), СапггакИде Нпеаге Ргодгаттхегипд ти окопотгяспеп АптпАипдеп,
Ма1Ьетаг1са1 8у$1ет$ 1П Есопотюз 16, Ап1оп На1п, Ме1§епЬе1т ат О1ап, 1975.
[614]
Вгйскпег, М. A900), Ухекске иЫ Уге1/1асНе, Тпеопе ип<1 ОезсккЫе, ТеиЬпег, Ье1р21§,
1900. [355]
Вгип, V. A959), МепгсНтеП8Юпа1е А1^оп(Ьтеп, ше!сЬе (Не Еи1ег8сЬе КеЦепЬгисЬегИ-
^1ск1ипй дег 2аЫ е уега118ете1пегп, 1п: ЗаттеШапА йег ги Екгеп йе$ 250.
ОеЬигШадез ЬеопНаЫ Еи1егз Лет Оеи($сИеп Акайетхе <1ег УУгззепзспа/геп ги ВегНп
иогде1ед1еп АЬИапШипдеп (К. 8сЬгдс1ег, е<1.), Акадегте-Уег1а§, ВегНп, 1959, рр. 87-
100. [И6]
Вгип, V. A961), Ми§1кк о^ ЕикПдвке а^огЛтег, N0^1^ МшетаШк ТШкгф 9 A961)
29-36. [П6]
Вип<18спип, Р. A975), Оп а {Ьеогет оГЬ. Кгопескег, Таткапд Зоигпа! о/МаМетаисз 6
A975) 173-176. [116]
Вип1, Ь. N. Н. A934), Вуа'гаде Ш йе хпеопе а*ег сопоехе рипШггатеНпдеп, [Рп.О. ТЬе518,
ип1Уег811у Сгошп^еп,] N00^-1101130A8^6 1Л1§е\ег5таа15сЬарру, Ат81егс1ат,
1934. [342]
Вигс1е1, С.-А. A974), СепегаПп^ а11 (Не Гасез оГа ро1уЬес!гоп, 51АМ Зоита\ оп АррМед.
Ма1кетаИс8 26 A974) 479-489. [356]
ВигдеЕ, С.-А. апд Доппзоп, Е. Ь. A974), А 5иЪаск1туе арргоасЬ ю 1пе §гоир
ргоЫет оГ 1п1е^ег рго§гаттт§, Ма1петаг1са1 Ргодгатттд 8(иAу 2 A974)
51-71. [593]
ВигсМ, С.-А. апс! 1оЬпзоп, Е. Ь. A977), А зиЪаскНПуе арргоасЬ 1о 5о1уе Нпеаг 1п1е§ег
ргобгагп5, [1п: $ш<Нез т Ыгедег Ргодгатттд (Р. Ь. Наттег, е1 а!., еде),] АппаЫ о/
01зсте МагкетаИсз 1 A977) 117-143. 1369]

Литература 629
г, Е. A956), рЬег потовепе Нпеаге Ш81е1спип§88у81ете, 2е18скгф ]йг апде-
МшНепшпк ит1 Мескатк 36 A956) 135-139 [356]
Вигкагй, Я. Е. A972), МегкоАеп йег дапггакНдеп ОргШегипд, 8рпп§ег, У1еппа, 1972.
[614]
Вигкагй, К. Е. A980), 8иЬ#га<НегП тегпо^з ш сотЫпаЮпа1 орйгтхайоп. т: Огзстеге
$1гис1иг€8 апА А1дог\1ктз (Ргосеедтвз \Уогк8Пор \УС 79 51п СопГегепсе оп
ОгарЬЛеогеис Сопсер18 ш Сотри1ег 8аепсе, ВегНп (>Уез1), 1979; II. Раре, ес1.), Саг!
Напзег Уег1а& МипсЬеп, 1980, рр. 141-151. [599]
ВигуЫсу, Р. Ь. A982), Ап еГГесЙУе Гогти1а Гог 1пе питЪег оГ8о1и1юп8 оГНпеаг Воо1еап
ециагюпз, $1ЛМ Зоита1 оп АХдеЬгахс апй ВЫгеге Мегко&з 3 A982) 182-186. [615]
ВигуЫсу, Р. Ь. апд Гге^тап, О. А. A983), Ап еЯес^уе Гогти1а Гог 1Ье питЬег оГ
5о1и1!ОП5 оГа $у51ет оГ1^о 0,1-едиаиопз, Огзсгеге АррНей МшкетаИсз 6 A983) 127—
133. [614]
Вука1, А. A978), Сопуех ЬиП оГ а Ппке зе1 оГ рот18 1п 1\уо сИтеп81ОП8, 1п[огта1юп
Ргосезшд Ыпегз 7 A978) 296-298. [356]
Вутез, I. 8. A974), Оп а ра«топ ргоЫет оГКгоЬеп^из, Зоигпа1 о/СотЫпа1опа1 Ткеогу
(Д) 17 A974) 162-166. [614]
Вугпез, Д. 8. A975), А раггШоп ргоЫет оГРгоЪепшз, И, Ааа АгИктеНса 28 A975) 81-
87. [614]
СаЬо1, А. V. A970), Ап епитегаПоп а1§оп1Ьт Гог кпареаск ргоЫетз, Орегаиопз
ЯеаеагсН 18 A970) 306-311. [614]
СаЗоп, Р. A895), А НЫогу о/МагкетаИсз, МастШап, Ые^ Уогк, 1895 [1Ыгс1 е<Шюп:
СЬекеа, Ые\у Уогк, 1980]. [70]
Сатюп, Р. A963а), Сагас1ёп8а(юп ёсз та1псе§ ип^тодиЫгез, 'СаЫегз йи Сепгге
ЯЁШез Ле Яескегске ОрёгайопеПе 5 A963) 181-190. [431]
Сатюп, Р. A963Ь), Магпсез Ша1етеп1 итто<1и1тге& е( ргоЫётез сотЫпашгея, РЬ.О.
ТЬезаз, 11туег8Цё ЫЬге бе ВгихеИез, Вги$8е18, 1963. [431, 476]
Сатюп, Р. A965), Спагасяептайопз оГ1оЫ1у ишто<1и1аг та1псе$, Ргосеейтдз о/(ке
АтеПсап МшкетаНсЫ 8оае1у 16 A965) 1068-1073. [431]
Сатюп, Р. A968), М ос!и1е8 иттоёиЫгев, ^ои^па^ о/СотЫпаСопа1 Ткеогу 4 A968) 301 -
362. [152, 478]
Сага1пёос1огу, С. A911), ОЬег <1еп УапаЪПкгЦзЬегеюп Йег ГоипегзсЬеп Коп81атеп уоп
розШуеп Ьагтоп18сЬеп РипкПопеп, КепеИсопю йе1 СггЫо МаХетайсо (И Ракгто 32
A911) 193-217 [герпп(е<1 т: Сопзштт Сашкёойогу, Оезаттеке Магкетапзске
$скп/1еп, ВаЫ III (Н. Т1е1ге, её.), С. Н. Веск'зспе Уег1а§8Ъисппапс11ип§, МипсЬеп,
1955, рр. 78-110]. [133, 146, 340]
Сагпа1, Н. A970), Т>\е копуехе Ни11е уоп п го1аИоп88утте1П8сЬ уеПе1Неп Рипк!еп,
2еИ8скп/1 ]йг ]УакгзскетНскке1шкеопе ит! иетапЖе СеЫе1е 15 A970) 168-176.
[2251
Сагуег, \У. В. A921-2), 8ув1ет8 оПтсаг тециа1те8, Аппак о/Мснкетаисз 23 A921—2)
212-220. [147, 342]
Са$8е1, О. A918), ТкеогеМзске ^оггагокопотхе, С. Р. \Ут1ег, Ье1рг1§, 1918 [Еп^ИзЬ
(гап$1а(юп: Тке Ткеогу о/5оаа1 Есопоту, Нагсоип, Вгасе & Со., >1е^ Уогк, 1932].
[345]
Са$$е18,1. >У. 8. A955), 81ти1(апеои$ сИорЬапипе арргох1таиоп, Тке ^ои^па^ о/ Тке
иЫоп МагкетапсЫ 8оае1у 30 A955) 119-121. П16]
0Са$8е18, 1. \У. 5. A957), Ап 1ттойис1юп ю Ыоркапппе АрргохШапоп, [СатЪпс^е
Тгас18 1П Ма1ЬетаAС8 45,] СатЬпё^е итуег811у Ргезз, СатЬпо"ёе, 1957. [129]
0Са88е1з, .Т. ^. 8. A959), Ап 1п1гоAис1юп Ю гНе ОеотеПу о{ ЫитЬегз, 8рппёег, Вег1т,
1959. [129. 610]
СаисЬу, А. Ь. A815), Методе 8иг 1ез Гопсйопз ци) пе реиуеп( оЫетг ^ие йеих уа1еиг§
< с1е 81§пе8 соп1га!ге8 раг 8и11е с!е8 1гап8ро5!Поп8 орегеек еп1ге 1ез уапаЭДез
гепГегтеШ, Зоита! Ае ГЁсок Ро1у1есктдие Юте 10, саЫег 17 [1и 1е 30
!ЫоуетЬге 1812] A815) 29-112 [герпп!ес1 1п: Оешгез Сотр1ёш А'Аидизпп Списку
$ег. II, Уо\. I Саи1Ыег-УШаг$, Рапз, 1905, рр. 91 -169]. [68]

630 Литература
СаисЬу, А. A847), Методе яиг 1е$ Ьеи\ япа!у^иез, Сотр1е[ь) Кепс1и[а НеЫо-
тайтгез] йез Зёапсея & УАсШпие Аеъ Заепсеч 24 [24 Мы 1847] A847) 885-887
[герптес! т: Оеиигех СотрШеь (ГАидиз^п СаисЬ\> 5<г. ], 'Уо1. X, ОаШЫег-УШагз,
Рапз, 1897, рр. 292-295] [Еп^ПзЬ ПапзЫюп (рагтгаПу) т О. Е. ЗггшЬ, А Зоигсе Воок
т МагНещайса, МсСга^-НШ, >3е\у Уогк, 1929, рр. 530 531]. 167]
Сау1еу, А.' A843), [8ер1 сНЯегепи тёто1гс8 сГапа1у§е:] N0. 3 Кетагяиея зиг 1а поСаиоп
Ма(Нета1ка1 ЗоитаХ 4 A843) 119-127 [герпШсс! т: ТНе СоИесЫ Ма(НетаИса1
Рарег$ о/ АпНиг Сауку, УоИ, ТНе 11п^еш1у ?те5«, СатЬИа^е, 1889. [герппЫ:
ДоЬпзоп Керпт Согр., Ые^ Уогк, 1963] рр. 55-62]. [681
Сауку, А. (! 846), 5иг ^ие^^ие51Ьёогётек Aе 1а 2<*отё*пе Aе ромпоп, Зоита\]йг (Не гете
ип<1 апдемапЖе МаЖетаМк .11 A846) 213 226 [герптес! т: ТНе СоИесыд МтИетаг-
\са\ Рарегз о/Аг(Ниг Сау1еу, Уо1. /, ТЬе 11шуепту Ргеяя, СатЬпй^е, 1889 [герпШес!:
ДоЬпяоп Керпт Согр., №^ УЪгк, 1963,] рр. 317 328] [Еп^НхН (гап51аПоп (рагПаНу)
т: О. Е. 8ткЬ, А Хоигсе Воок т МшЬеттк^ МсСна^-/-НШ, \е\у Уогк. рр. 52 7 - 529].
[68]
Сау1еу, А. A855а), [8ер1 ё1Йегеп15 тёто1ге§ сГагЫузе;] Ко. 3 Кетагциез §иг 1а по1аПоп
Йез ГопсПопз а18еЪпчие8, Зоитпа\$йг Ме гете ипд апдепапйи МмкетаИк 50 A855)
282-285 [гергепЫ т: ТНе Сопеаей МагНетаМса! Рарегя о/АпНиг Сау1еу\ Ко/. //,
ТЬе Шгуегеку Рге§8. СатЬпН^е, 1889 [герпл*е<1: .ТоЬпзоп КерНт Согр., Кеш Уогк,
1963], рр. 185-188]. [671
Сау1еу, А. A855Ь), КезеагсЬез оп гЬе раггл1юп о{ питЪег§, РЫ1о$орк\са1 Тгапзас-
1ЮП5 о/ (Не Коуа\ $оае1у о/ ЫЫоп 145 A855) 127-140 [герппЫ т: ТНе
СоИеаей Ма(НетаЫса1 Рарегз о/ АпНиг Сау1еу, Уо1. II, ТЬе 1)шуег8Цу Ргезз,
СатЬп^е, 1889 [герптей: ^оЬп8оп Керпт Согр, Ые\у Уогк, 1963], рр. 235-249].
[607]
Сау1еу, А. A858), А тето1г оп 1Ье (Ьеогу оГтагпсез, РНИозорЫсЫ ТгапзасИопз о/гНе
Яоуа\ 5ос1е1у о/ ЬопАоп 148 A858) 17-37 [герпШес! т; ТНе СопесШ МшНетаЫса1
Рарегз о/ АпНиг Сауку, Уо\. II, ТЬе ЦшуегзКу Ргезз, СатЬпё§е, 1889 [герг1п(еA:
ДоЬпвоп Керпт Согр., Нсуу Уогк, 1963], рр. 475 496]. 167]
Сау1еу, А. A860), Оп а ргоЫет оГс!оиЫе рагийопз, РНИохорЫсЫ Мадахте 20 A860)
337-341 [герпШед 1п: ТНе СоИесШ МахНетаИсш Рарегз о/ АпНиг Сауку, Уо1 1У,
ТЬе ишуег$ку Ргезз, СатЪгй^е, 1891, [герпп1ес1: »1оЬпзоп Керпп! Согр., Неш Уогк,
1963], рр. 166-170]. [6071
СедегЬаит, 1.A958), Ма1псе8а11о(шЬо5ее1етет§аг!с1 $иЬсИегттап18аге 1, ~ 1 огО,
Зоигпа\ о/МагНетагка! РНузгсз 36 A958) 351-361. [136, 431]
Сепзог, V. апс! Е1Гу1П8, Т. A982), N6%' те*ЬосE Гог Ппеаг тециаНиея, 1лЦеаг А\деЪга апа1
Ш Арр1ка(юп8 42 A982) 199-211. [251]
СЬапдгазекагап, К. A969), То(а1 шнтойЫашу оГта1г1се5, 51АМ Зоита1 оп АррМей.
МагНетаИсз 17A969) 1032-1034. [41*5]
СЬапдгазекагап, К. A981), Ро1упот1а1 а18оп1Ьт8 Гог Ю1а1!у о!иа1 1П1е§га15у81етз апс!
ех1елзюпз, [1п: 5ш<Ие$ оп ОгарНз апй Омсге1е Ртодгатттд (Р. Напкеп, ед.),] АппаЬ о/
О(8сге(е Ма(ИетаИс8 И A981) 39-51. [53?, 542|
СЬап^газекагап, К., КаЬаё1, 8. К., апс! Миг*у, К. О. A981-2). 8оте ЫР-сотр1е1е
ргоЫетз 1п Нпеаг ргобгатт1п^, ОрегаПопх РечеагсН Ьепегз 1 A981-2) 101-104.
[357]
СЬапс1га8екагап, К. апс! 8ЫгаН. 5. A984К То(а( ^еак иштойЫагНу: 1е$йп% апс!
аррИсаПопз, Р18сгеге Ма(Нета1к$ 51 A984) 137-145. [536, 546]
СЬагпез, А. A952), ОрПтаШу апс! дееепегасу т Нпеаг рго^гатттз, Есопотетса 20
A952) 160-170. [21Ц
СЬагпез, А. апс! Соорег, ^. \\^. A961), Мападетет МоАеЬ ап<11пйтгпа1 АррИсапот о/
Ыпеаг Ргодгатттд. \о\. I, II, \УПеу, Ые^ Уогк, 1961. 1355, 581]
СЬагпез, А. апд Соорег, ^. ^. A961-2), Оп зоте \уогкз оГКаШогоуюН, Коортапз апс!
01Ьег$, Мападетет Вскпс. 8 A961-2) 2^6 263. [353]
СЬагпез, А., Соорег, \У. \У., апё Непскгяоп, Л. A953К 1п 1т*-(нЫсиоп Хо Ыпеаг
Ргодгатттд, 'уУНеу, №\у Уогк, 1953. C5о|

Литература 631
СЬагпез, А., Огапо1, О., ап<1 Огапо1, Р. A977), Оп Ш1ег8ес1юп си18 т Ыегуа! ш(е&ег
Нпеаг рго8гатгшп§, Орегапопх ЯезеагсН 25 A977) 352-355. [581]
СЬа1е1е1, А. A913), Ье$оп$ зиг Ха Ткёопе йе$ ЫотЬгез {тойиХез, еппегз аХдёЪпдиез,
гёДиспоп сопНпие11е\ СаигЫег-УШагз, Ралз, 1913. [126, 1291
СЬа*е1е1, А. A914), 8иг ипе соттишсайоп де М. Сеог^ез ОНгаид, СотрШ КепАиз Дез
Зёапсез, 8оаё(ё МагкётсШдие йе Ргапсе 1914 A914) 46-48. [126]
СЬаип4у, Т. ^. A946), ТЬе агИЬтеис питта оГ роз^уе циайгаис Гогтз (I), 0иапег1у
ЗоигпаХ о/МагкетаИсз (Ох/оЫ) 17 A946) 166-192. [128]
°СпеЬуфеу, Р. Ь. A866), Оп ап апЧЬте11са1 яиези'оп (т Кизз^ап), ХаргзЫ ШреШогвко}
АкаДети Ыаик 10 A866) 8ирр1. N0. 4 [РгепсЬ 1гап81а1юп: $иг ипе яиез1юп
ап(Ьтёпцие, 1п: ОешгезЛе Р. 1-. ТскеЬусНе[, Тоте I (А. А. МагкоГГапб N. Уа. 8опт,
ес1з.), Сотт1581опа1гез Aе ГАсас1ёт1е 1трепа1е с!еа 8аепсе8, 8г Ре^егзЬиг^, 1899
[герптеа: СЬЫзеа, N6^ Уогк, 1962] рр. 637-684]. [125]
Спеета, М. 8. A966), 1п1е§га1 8о1иПоп оГ а 8у81ет оГ Нпеаг ециайопз, Тке Атепсап
МагкетаИсЫ МопгЫу 73 A966) 487-490. [89]
СЬеп, О.-$. апс! 21оп18,8. A972), Ап ехрозШоп оГ1Ье §гоир {ЬеогеНс арргоасп № 1
Ипеаг рго^гатт^пй, Орзеагск 9 A972) 75-102. [593]
СЬеп, О.-8. апс! 21оп18, 8. A976), Сотрапзоп оГ 8оте а^огкЬтз Гог зоЫп^
1Ьеогеис Ые^ег ргоёгатт1П8 ргоЫет, ОрегаНот Яезеагск 24 A976) 1120-1128.
[593]
Н. С. апд Ро1Ип^1оп, А. Т>. A981), А гезик Ггот <ИорЬап1те арргох1та1юп
Ьаз аррПса11опз т есопот1С8, Мапизспрга Магкетагка 35 A981) 271-276.
[ЮЗ]
°СЬегткоу, 8. N. A961), ТЬе зоЫюп оГ Нпеаг ргозгатттв ргоЫетк Ьу еНт1па1юп оГ
ипкпо^пз AП Ки881ап), ИокШу АкайетИ Ыаик 555К 139 A961) 1314-1317
1гапз1а11оп: $0V^е^ МагкетаНсз ОокШу 2 A961) 1099-1103]. [242]
°Спегткоу, 8. N. A965), Соп1гас1юп оГ Пт1е 8у81етз оГ Ипеаг тециаИйез Aп
ХкитаХ VусЫ$ШеГпо\ МсИетапЫ \ МагетапскезШ Ртк\ 5 A965) 3-20.
1гапз1а1юп: 1/.5.5.К. Сотршапопа\ Магкетайсз ап<1 МыкетайсЫ Ркузкз 5 A) A965)
1-24]. [242]
°СНегшкоуа, N. V. A964), А1ёоп1Ьт Гог ПпсПпё а §епега! Гогти1а Гог 1пе поп-пе^аНуе
зо1иAопз оГ а зу81ет оГ Нпеаг ециайопз (т Ки8з1ап), ХкитаХ VускЫНеУпог
МагетапМ \ МагетапскезШ ШЫ 4 A964) 733-738 [Еп^ИзЬ 1гапз1а1юп: (/.5.5.К.
СотриШюпа1 МснкетаНсз апй Ма1кетаИса\ Ркузгсз 4 D) A964) 151-158]. [356]
°СЬегткоуа, N. V. A965), А1§оп1Ьт Гог ГтсИп^ а ^епега! Гогти1а Гог 1Ье поп-пе^аПуе
зо1и1юп8 оГ а зуз1ет оГ Нпеаг 1пециаИпез Aп Кизз^ап). ХкитаХ VускЫИе\'по\
Мсиетапкх / МснетаНскезШ /чгШ 5 A965) 334-337 [Еп^ИзЬ 1гапз1а11оп: (У.5.5.Д.
СотришпопЫ МагкетаИсз апй Ма1кетаИса1 Ркузкз 5 B) A965) 228-233]. [356]
оСпегткоуа, N. V. A968), А1§оп1пт Гог (Ивсоуеппв 1Ье 8е1 оГаИ 1Ье зо1и1юпз оГ а Нпеаг
рговгатттв ргоЫет (т Ки88»ап), ХкитаХ УусШИеГпог Ма1етаПЫ I Ма1етаИ-
скезШ Р121Ы 8 A968) 1387-1395 [Еп^ИзЬ 1гапз1апоп: С/.5.5.Я. СотриШюпаХ
МснкетсШсз апй Ма1кетаИсаХ Ркуысз 8 F) A968) 282-293]. [356]
°СЬегуак, Уи. У и. A971), А сиПт^-рЫе те1Ьод Гог <Кзсге1е ргоЫетз Aп Ки881ап),
1)кгашкп Мсйетапскезки 2китаХ 23 F) A971) 839-843 [Еп^ИзЬ 1гап81аНоп:
1!кгаШап МшкетаПсаХ ЗоигпаХ 23 A971) 691-694]. [581]
СЬои, Т.->У. }. апё СоШпз, С. Е. A982), А1§оп1Ьгп8 Гог 1Ье зо1ииоп оГзуз1етз оГ Ипеаг
сИорЬатте ециа11Опз, 81ЛМ ЗоигпаХ оп СотриНпд 11 A982) 687-708. [93]
N. апс1 Когтап, 5. A974-5), А сотри1аПопа1 зигуеу оГте1по<18 Гог 1Ье 8е1
ргоЫет, Мападетет ЗЫепсе 21 A974-5) 591-599. [599]
СЬиагс!, I. A922), (^иезПопз <Г апа1у$1з 81Ш8, КепАкопп АеХ СлгсоХо МахетаИсо <И
РаХегто 46 A922) 185-224. [614]
СЬуаЫ, V. A973), Едтопёз ро!у1орез апс! а ЫегагсЬу о! ^отЫпа1опа1 ргоЫетз,
О\зсге1е МагкетаИсз 4 A973) 305-337. [497, 547, 551, 563, 566]
СЬуаЫ, V. A975а), Оп сегШт ро1уюре& а88ос1а1ес1 >У11Ь ^гарЬз, ЗоигпаХ о[СотЫпаЮпаХ
Ткеогу (В) 18 A975) 138-154. [183, 410, 563, 566, 615]

632 Литература
СЬуаЫ, V. A975Ь), 8оте Ппеаг рго^гатттв ааресга оГсотЫпаЮпсз, т: РгосеесНпдз о/
гке Соп/егепсе оп А\деЬга\с АзресХз о/СотЫпа(опсз (Тогопго, 1975; О. СогпеП ап<! Е.
Меп<Зе18оЬп, ес!8.), Соп^геззиа Митегапгшт XIII, ШШав, \Ушшре& 1975, рр. 2-30.
[563]
СЬуаЫ, V. A979), А ^теебу Ьеиткйс Гог гЬе зег-соуеппе ргоЫет, МагкетаИсз о/
ОрегаНопз Кезеагск 4 A979) 233-235. [599]
СЬуаЫ, V. A980), Нагс! кпарзаск ргоЫетз, ОрегаНопз Яезеагск 28 A980) 1402-1411
[421, 586]
СЬуаЫ, V. A983), Ыпеаг Ргодгатттд, Ргеетап, Ые\у Уогк, 1983. [69, 356]
СЬуаЫ, V. A984), СиИтд-р1апе ргоо/з аЫ гке $1аЫШу питЬег о/а дгарк, Керог* N0
84326, 1п8ПШ1 Гиг Окопоте*пе ипс! Орегаиопз КезеагсЬ, КЬе1П18сЬе РпейпсЬ-
^1Ье1т8-ип1уег8ка1, Вопп, 1984. [553, 563, 566]
СЬуаЫ, V. A985), Си11т% р!апе§ 1П сотЫпаЮгюв, Еигореап ^ои^па^ о/СотЫпаюпсз 6
A985J17-226. [553, 563]
СЪуаЫ V. апс! Наттег, Р. Ь.A977), А2^ге8аиопоГ1пециаНие8Ш т1е§ег рго§гатт1П8,
[1п: ЗшсИез т 1тедег Ргодгаттгпд (Р. Ь. Наттег, е1 а1., е<18.),] АппаЬ о/ Игвсгеге
МагНетапсв 1 A977) 145-162. [372]
С1агке,}.\\.{\977),Сопс1топ5 Гог 1Ье8о1иПоп оГа ИпеагёюрЬапПпеециаНоп, Тке Л^ен»
Хеа\апЛ МаскешаИсз Мадагте 14 A977) 45-47. [614]
С1азеп, В. У A888), 8иг ипе поиуеИе тёггюйе с!е гё8о!ииоп Aе8 ёциа(юп8 Ппёа1ге§ е( 8иг
ГаррНсаПоп с!е сеПе тё(Ьос!е аи са!си! с!е$ йё(егтшап(8, Аппакз &е 1а 8оЫё1е
ЗаепйГщие йе ВгихеИез B) 12 A888) 251-281 [а!8о: Магкезк {Кесиеп Магкётапдие а
1Ъзаде Лез Ёсокз ЗрёсШез) 9 (8ирр1. 2) A889) 1-31]. [67]
СоЬЬат, А. A965), ТЬе т1пп81с сотри1аиопа1 ёШсику оГ Гипс1юп8, т: Ьодхс,
Ме1койо\оду ап<1 РкИозорку о/Заепсе (Ргос. 1п1егп. Сопёгезз 1964; V. Ваг-НП1е1, ее!.),
ЫопЬ-Но11апс1, Ат81егс1ат, 1965, рр. 24-30. [32, 44]
СоЬп, Н. A962), А&апсей ЫитЬег Ткеогу, Ооуег, Ке\у Уогк, 1962. [81, 129]
СоЬп, I» Н. Е. A973), Нипукг* 1Ьеогет, РгосееЖпдз о/ 1Не Атепсап МснкетаНса!
8оае1у 38 A973) 436. [103]
СоШп8, С. Е. A974), ТЬе сотри^п^ Пте оГ1Ье ЕисИс1еап а!§оп1Ьт, 81АМ Зоита\ оп
СотриНпд 3A974) 1-10. [86]
Соттопег, Р. С. A973), А зиЛкпет сопд1Иоп Гог а тагпх Ю Ье Ю1а11у иттос1и1аг,
Ыетогкз 3A973) 351-365. [436]
Соте, 8. О. апс! <1е Воог, С. A965), Е1етепшгу Nите^^са^ АпЫузгз, ап А1догНктк
АрргоасК МсСга\у-НШ, Ые\у Уогк, 1965. [69]
°Соок, 8. А. A971), ТЬе сотр1ех11у оГ гЬеогет-ргоут^ ргосейигез, т: РгосеесИпдз о/
ТкЫ АппиЫ АСЫ Зушрозшт оп Ткеогу о/Сотриипд (8Ьакег Не^Ьгз, ОЬю, 1971),
АСМ, Ые\у Уогк, 1971, рр. 151-158. [32, 38, 42, 392]
Соок, 8. А. A976), А зкоп ргоо/1кш гке Нпеаг йюркапйпе ргоЫет 13 т ЫР, иприЬНзЬед
тапи8спр1, 1976. [383]
Соок, АУ. A983), ОрегаНопз (Ьа( ргезегуе Ю1а1 <1иа1 ш(евгаН(у, ОреШюпз Кезеагск
Ьешгз 2 A983) 31-35. [516, 518, 519, 521]
Соок, XV. A986), Оп Ьох 1оЫ1у Йиа! ти^га! ро!уЬедга, МагкетШкЫ Ргодгатттд 34
A986) 48-61. [510, 512, 536, 541]
Соок, Ш., Сои11агс1, С, апс! Тигап, Су. A985), Оп гке сотркхиу о/сиШпд-рШпе ргоо/з, го
арреаг. [555]
Соок, \У., Роп1ир1, т. апй 8сЬгууег, А. A986), Ап Ые^ег апа!оёие оГ Сага1Ьёос1огу'8
{Ьеогет, ^ои^па^ о/ СотЫпа(опа1 Ткеогу (В) 40 A986) 63-70. [524, 558]
Соок, \У., СегагсЬ, А. М. Н., 8сЬгууег, А., апс! Таг<!о8, Ё. A986), ЗепзШуйу 1Ьеогегп8 т
1П1е§ег Нпеаг рго^гатт1п8, МшкетаНса! Ргодгатттд 34 A986) 251-264. [194, 384,
387, 388, 390, 557]
Соок, \У., Ьоуазг, Ь., апс! 8сЬ^уег, А. A984), А ро1упопна1-ите 1ез1 Гог (о(а! диа1
1п1е8гаН1у 1п Яхес1 сЬтепвюп, МткетапсаХ Ргодгатттд 8{ш1у 22 A984) 64-69.
[536]
уап с!ег Согри!, ^. О. A931а), 1ЛеЬег 8у8*ете уоп Ипеаг-Ьото^епеп О1е1сЬип§еп ип<1

Литература 633
, РгосееАтдз КотпЩке АкаАетхе ъап \Уегепзскарреп 1е АтзгеЫат
34A931K68-371. Г342]
уап а*ег. Согриг, }. С. A931Ь), ШЬег ОюрЬапизсЬе 8у81ете уоп Ипеаг-Ьото^епеп
С1е1сЬипёеп ипс! Ып^еюНип^еп, РгосееМпдз КотпЩке Акайетхе иап \Уе1еп-
зскарреп 1е АтзгеЫат 34 A931) 372- 382. [373, 608]
уап с1ег Согриг, ]. О. A931с), Копзггикпоп дег М1шта1Ъа818 Гиг 8рех1е11е ОюрЬапПзсЬе
8у81ете уоп Нпеаг-Ьото^епеп СНегсЬипёеп ипс! Ш^еюНип^еп, РгосееаЧпдз Когххпк-
1'уке Ака&етхе иап \Уе1еп8сНарреп 1е Атз1еЫат 34 A931) 515-523. [373, 608]
Сои1е, К, №. апс! ЭапЫё, С. В. A968), Сотр1етепгагу р!УоггЬеогу оГ та1ЬетаПса1
ргоёгаттт& Цпеаг А1деЬга апй 1гз АррИсаНогхз 1 A968) 103-125. [231]
[Соигпо!, А. А. A826) = ] А. С, 5иг 1е са!си! <1е8 сопс111юп8 д'1пё§аН1ё, аппопсё раг М.
Роипег, ВиНеИп йез Заепсез МагМтапциез, Азгтопотщиез, Ркузхдиез еХ СЫтщиез 6
A826) 1-8. [332]
[Соигпо1, А. А. A827) = ] А.С., Ех^епзюп с1и рппаре с1е8 уйеззез У1г1ие11е8 аи саз ой 1ев
с1е На18оп Aи 8уз1ёте 8оп1 ехрптёез раг с1е8 шёёа1Нёз, ВиНеНп <1е$ Заепсез
з, Амгопотгдиез, РНузхциез е1 СЫтхциеь 8 A827) 165-170. [329]
Соигпо1, А. А. A830а), Мёто1ге 8иг 1е тоиуетеп! (Тип согр8 Г1§1с1е, 8ои1епи раг ип р!ап
Пхе, Зо\\та\$пг (Не гете ипй апдепап&е МтНетапк 5 A830) 133-162. [330]
Соигпо1, А. А. A83ОЬ), Эй тоиуетеп! с1'ип согр8 §иг ип р!ап Пхе, яиапс! оп а ё§агд а 1а
гё8181апсе с1и Ггоиетет, е1 яи'оп пе зиррозе ци'ип &еи1 ро!п1 с1е соп1ас1,5оигпа\$г (Не
гете ипй апдепапЖе Мшкетаик 5 A830) 223-249. [330]
Соигпо*, А. А. A832), Эй тоиуетет сГип согрз §иг ип р1ап Пхе, циапо! оп а ё^аго! а 1а
гё8181апсе <1и ГгоиетеШ, ЗоитаХ^йг (Не гете ипд. ащепаМге МаХкетайк 8 A832) 1-12.
|330]
Соуег, Т. М. апо! ЕГгоп, В. A967), Сеотегпса! ргоЬаЫ111у апс! гапс!от ро1п18 оп а
НурегврЬеге, ТНе АппЫз о/ МшкетаИсЫ ЗмИзйсз 38 A967) 213-220. [225]
Соуеуои, Я. К. апо! МасрЬегзоп, К. О. A967), Гоипег апа1уз18 оГ ип1Гогт гапс!от
питЬег §епега1ог8, ЗоитаХ о/(ке АхзоЫапоп/ог Сотриппд МасЫпегу 14 A967) 100-
119. [ИЗ]
Сохе1ег, Н. 3. М. A947), [КеУ1е^ оГ| СЬаипс1у, Т. АУ. ТЬе аг11Ьтейс т1П1та оГрозШуе
Яиас1га1ю Гогтз. I., Ма1кетаПса1 КеггепБ 8 A947) 137-138. [128]
Сохе1ег, Н. 3. М. A948), КедШаг Ро1уЮрез, Ме1Ьиеп & Со., Ьопдоп, 1948 [зесопс!
ед1Поп: Со1Иег-Маст111ап, Ьопс!оп. 1963 [герпп1ед: &о\ег, Ые^ Уогк, 1973]].
[355]
Сгатег, С. A750), 1тгоAис1юп а Гапа1узе Лез Ндпез соигЬез а{дёЪщиез, Ьез Ггёгез Сгатег
ее С. РНШЪегг, Оепёуе, 1750. [1гап81а1ес1 раШаИу т: Н. М1Aоп1ск, Тке Тгеашгу о/
Ма1кетайс5:2,А РеНсапВоок, Реп§и1п Воокз, Нагтопс18\Уог1Ь, 1968, рр. 311-319].
[49, 65]
Сго\ус1ег, Н. апо1 Наит^Ь, ^. М. A975), РагПаНу погтаИгед р1Уо1 8е1ес11оп т Нпеаг
рго8гаттт§, Ма{ИетаНса1 Ргодгатттд Зшку 4 A975) 12-25. [212, 231]
Сго^с1ег, Н. Р. апс! 1оЬп80п, Е. Ь. A973), 118е оС сусМс ^тоир те1Ьос18 1п ЬгапсЬ апс!
Ьоипд, 1п: МагкетаХхсаХ Ргодгатттд (Т. С. Ни апс! 8. М. КоЫпзоп, ес!8.), Асас1ет1с
Рге88, N6^ Уогк, 1973, рр. 213-226. [593]
Сго^дег, Н., 1оЬпзоп, Е. Ь., ап<1 Рас1Ьегё, М. ^. A983), 8о1у1п§ 1агве-8са1е гего-опе
Нпеаг рго§гатт1п§ ргоЫетз, Орегапопз Кезеагск 31 A983) 803-834. [581, 605]
Сго^дег, Н. апд Рао*Ьег§, М. №. A980), БоМп^ 1аг§е-8са1е 8утте1пс 1гауеШп§
8а1е8тап ргоЫетз Ю орптаН(у, Мападетет Заепсе 26 A980) 495-509. [602]
Сиппт$Ьат, №. Н. A976), А пе1\уогк 81тр1ех те!Ьос1, МшкетаМсЫ Ргодгатттд 11
A976) 105-116. 1217]
СипптзЬат, №. Н. A979), ТЬеогеОса! ргорегиез оГ 1Ье пе1^огк 81тр1ех те1Ьос1,
МшкетаИсз о/Орегаиопз Кезеагск 4 A979) 196-208. [217]
Сигшт^Нат, №. Н. A982), 5ерага1|П§ соС1гси1(8 1П Ыпагу тагго1<д8, Ыпеаг А1деЬга аЫ
/Г5 АррПсаЧою 43 A982) 69-86. [463]
Сиппт^Ьат, №. Н. апс! ЕдтопоЧ ^. A980), А сотЫпаЮг1а1 йесотрозтоп 1Ьеогу,
СапаМап ЗоигпЫ о/ МсНкетаИа; 32 A980) 734-765. [463, 472]

634 Литература
Сиппт§пат, XV. Н. апс! К1тсе\У1С2, 1 О. A983), Оп сус1*п§ т *Не пе1^огк 81тр1ех
те1пос1, МшИетаИса! Ргодгатттд 26A983) 182-189. 1217]
Сиггап 5пагр, XVЛ. A884), [&о1и1юп ю РгоЫет 7382,] МагкетаИсз /гот гке Еа'ис-
аИопЫ Птез т1к $оШоп$ 41 A884) 21. [608]
СизкЖ, Т. XV. A971), ЭюрЬатте арргох1таПоп оГ*егпагу Нпеаг Гогтз, МшИетснкз о/
СотриШюп 25 A971) 163-180 [116]
Ошск, Т. XV. A972а), Рогти1аз Гог хоте (ИорЬаШте арргох1та1юп согШаШз, Магке-
таИзске Аппакп 197 A972) 182-188. [116]
Ошск, Т, XV. A972Ь), $1ти]1апеоиз с1юрпап(ше арргсштаиоп оГ га*юпа1 питЬегз,
Асш АгиктеИса 22 A972) 1-9. [116]
Ошск, Т. XV. A974), РогтЫаз Гог воте сИорЬапПпе арргох1та1юп сопз1ап15, II, Ааа
АгИктегка 26 A974) 117-128. [116]
Сизгск, Т. XV. A977а), ТНе 8гекеге8 тиШсНтепзюпа! согШпиес! ГгасПоп, Магкетагкз о/
СотриШюп 31 A977) 280-317. [116]
Си81ск, Т. XV. A977Ь), Ь!ПсЫе(*8 дюрЬапПпе арргох1таиоп 1Ьеогет, Ви11е1т о/ гке
Аи$1га1\ап Ма1кетапса1 Зоаегу 16 A977) 219-224. [116]
Сизюк, Т. XV. A980), Вез* сПорЬатте арргох1та1юп8 Гог гегпагу Нпеаг Гогтз, Уоигпа/
]йг (Не гете ипй апдеумтйы Магкетапк 315 A980) 40-52. [116]
Эакш, К. 1A965), А 1гее-8еагсЬа1§оп1ЬтГогт1хеA1П(е§егрго§гатт1п§ргоЫет8, Тке
Сотршег Зоита\ 8 A965) 250-255. [583]
. A951а), МахтигаПоп оГа Нпеаг ГипсПоп оГ уапаЫез зиЬ)ес1 ю Нпеаг
, 1п: Аспт1у АпаХуш о/ РгойисИоп ап& АЦосапоп (Т]. С. Коортапз, ес1.),
, N0* Уогк, 1951, рр. 339-347. [196,197, 210, 354]
. В. A951Ь), АррНсаПоп оГ1Ье 81тр1ех те1Нос! Ю а 1гап5рог1аИоп ргоЫет, 1п:
АсгШгу Апа1у$х$о/РгоЛиспоп апй АИосагюп(Ту С. Коортап»,ед.), Л\^Леу, Ые>у Уогк,
1951, рр. 359-373. [152, 217, 612]
ап121& С. В. A951с), А ргооГоНЬе еци1уа1епсе оГ 1Ье ргоёгаттт§ ргоЫет апс] 1Ье
8ате ргоЫет, т: Асшйу АпЫузгз о/Рго^исиоп апд. АИосаНоп (Ту С. Коортапз, ее!.),
^11еу, N6^ Уогк, 1951, рр. 330-335. [344]
апB12, С. В. A953), СотршаиопЫ Ыдогккт о(гке геигзеА 51тр1ех техкой, КероП КМ
1266, ТЬе Капа СогрогаПоп, 8ап1а Мопюа, Са1., 1953. [228]
ап121^,С В. A957), О18сге1е-уапаЫеех1гетит ргоЫетз, ОрегаЫопз Яезеагск 5A957)
266-277. [418, 613, 614]
апЫз, О. В. A959), Ыо1е оп 8о1уш$5 Ппеаг рго^гатз 1п т!е§ег8, Ыаьа1 Кезеагск
ЬодШкз ОиаПеАу 6 A959) 75-76. [5811
ап121& С. В. A960), Оп 1пе з^тПсапсе оГ8о!у1п§ Нпеаг ргойгатт!п§ ргоЫетз шкЬ
зоте 1те^ег уапаЫев, ЕсопотеШса 28 A960) 30-44. [613]
ап121& С. В. A963), Ыпеаг Ргодгатттд аЫ Ехгепвюпз, РппсеЮп ип1Уег811у Ргезз,
РппсеЮп, N.1, 1963. [212, 216, 354, 355]
. В. A980), ЕхресШ питЬег о/Мерз о) гке з\тр\ех техкой/ог а Нпеаг ргодгат
а согюехку сопмгам, ТесЬ. КероП 8ОЬ 80-3,8у$1ет8 ОрПт12а11Оп ЬаЬогаЮгу,
Е)ер1. оГОрегаиопз КезеагсЬ, 81апГога ип!уег811у, ЗитГогй, Са1., 1980. [224]
апЫ^, С. В. A982), КетЫзсепсез аЬои11пе ог^^пз оГ Ипеаг рго§гатт1П8, ОрегаНопз
Кезеагск Ыиегз 1 A982L3-48 [а!зо т: МагкетайсаХ Ргодгатттд—Тке$Ш1ео/1ке
Ап, Вопп 1982 (А. ВасЬет, М. Сго1$сЬе1 ап^ В. КоПе, едз.), Зрпп^ег, ВегПп, 1983,
рр. 78-86]. [354]
ап121& СВ., Оетр81ег, М. А. Н., апд КаШо, М. (ес!з.) A981), Ьагде-зсак Ыпеаг
Ргодгатттд, 1п1егпа1юпа1 1пзти1е Гог АррНес! Зуз^етз Апа1у818, ЬахепЬиг^
(Аиз1па), 1981. \355]
ап121^, С. В. апс! Еауех, В. С. A973), Роипег-Мо1гкт еНт1паиоп апс1 Из с1иа1, Зоигпа\
о/ СотЫпагопаХ Ткеогу (А) 14 A973) 288-297. [242, 614]
апЫ& С. В., Рогд, Ь. К., апс1 Ри1кегзоп, О. К. A956), А рпта!-с1иа1 а!ёог11Ьт Гог
Нпеаг рго^гатз, т: Ыпеаг 1педиа1шеа апд. Не1а1ед $у$1етз (Н. XV. КиЬп апс! А. XV.
Тискег, ес18.), РппсеЮп Ушуегзку Ргезз, РппсеЮп, N.1., 1956, рр. 171-181. [231]
С. В. апс! Ри1кегзоп, Э. К. A956), Оп 1пе тах-По^ т1п-си* (Ьеогет оГ

Литература 635
, т: Ыпеат 1педиа1Шев ап<1 Яе1аЫ 8уз1ет$ (Н. XV. КиЬп апс! А. ^. Тискег,
едз.), РппсеЮп ишуегзку Ргезз, Рппсеюп, N.1, 1956, рр. 215-221. [439, 613]
Оап1218, О., Ки1кег8оп, К., аш1 .[оЬпзоп, 8. A954), 8о1и1юп оГ а 1аг8е-зса1е 1гауеПпз-
8а1е8тап ргоЫст, Орегапопз Яеаеагск 2 A954) 393-410. [600, 613]
ОапB1$, О. В., Ри1кег8оп, Э. К., апс! ,1оЬп80п, 3. М. A959), Оп а Ипеаг-рго§гатт1п§,
сотЫпа1опа1 арргоасН \о 1Не 1гауе1т§-5а1езтап ргоЫет, Орегаиопз Яезеагск 7
A959) 58-66. [599, 613]
Оап1218, С. В. апс! ОгсЬапЗ-Науз, XV. A954), ТЬе ргос1ис( Гогт Гог 1пе туегзе ш 1пе
81тр1ех те1Ьос1, МшИетаНсЫ ТаЫез апй ОгНег АШ № Сотришюп 8 A954) 64-67.
[228]
С. В., Огскп, А., апс! >Уо1Ге, Р. A955), ТЬе ^епегаНгес! 81тр1ех те1Ьо^ Гог
а 1теаг Гогт ипс!ег Нпеаг 1пециаЬ1у ге51га1м$, Расфс ^ои^па^ о/
МшИетаИс* 5 A955) 183-195. [211],
ап121§, О. В. ап<1 \Уо1Ге, РЬ. A960), ОесотрозШоп рппс!р1е Гог Ппеаг рго^гатз,
Орегапопз Яеьеагск 8 A960) 101 -111. [594]
апЫз, О. В. апд ^оКе, РЬ. A961), ТЬе <1есотро$Шоп а1йог11Ьт Гог Ппеаг рго^гатз,
Есопотетса 29 A961) 767-778. [594]
апгег, Ь., СгйпЬаит, В., апс! К1се, V. A963), Не11у'8 (Ьеогет апс! 118 ге!аПуе8, 1п:
СопьехНу (V. I.. К1ее, ее!.), Атепсап Ма1ЬетаПса1 8ос1е1у, Ргоу1Aепсе, К.1., 1963,
рр. 101-180. [3201
, Ь.} Ьаи^^г, V., апс! Ьепг, Н. A957), ОЬег Aаз Ьо^пегвсЬе Е1Нр8О1A ипс! 8е1п
ип1ег ёеп етет Е1когрег е1пЬе5сЬпеЬепеп ЕШро8О1Aеп, Агскю &ег
МагкетаИк {Ва$е1) 8 A957) 214-219. [320]
°Оауепрог1, Н. A952), Тке Нхдкег Атпктепс, Ап 1шгос1ис1юп Ю хке Ткеогу о/ЫитЬегв,
Ни1сЫп8Оп, Ыеж Уогк, 1952. [129]
ОауепроП, Н. A955), Оп а 1Ьеогет оГ Риг(^ап81ег, Тке ^ои^па^ о/ Тке Ьопйоп
МшкетаисЫ 8оае1у 30 A955) 186-195 [герппЫ т: Тке СоНесЫ Могкз о/НагоШ
Омепроп. Уо1. И (В. 1 В1гсЬ, Н. На1Ьег81ат апё С. А. Ко^егз, есЬ.), Асас1ет1с Ргезз,
Ьопс1оп, 1977, рр. 659-668]. [116]
Оауепрог!, Н. апд МаЫег, К. A946), 81тиИапеои8 (ИорЬапПпе арргох^тайоп, йике
Ма(кетаисаиоигпа113A946) 105-111 [герпп1е<11п: Тке Сопеаей \Уогкзо/НагоШ
ОаьепроМ, Уо1.1 (В. ]. В1гсЬ, Н. На1Ьег81ат апс! С. А. Ко§ег8, ес18.), Асас1ет1с Рге$8,
Ьопс1оп, 1977, рр. 143-149]. [116]
Оауепрог!, Н. апA 8сЬш1A1, \У. М. A967), Арргох^таПоп 1о геа! питЪегз Ьу циас!гаис
1ГгаПопа1§, Асш Агиктепса 13 A967) 169-176 [герпШей 1п: Тке СоИеаей Могкз о/
НагоЫ йаьепроп, Уо1. И (В. 3. В1гсЬ, Н. На1Ьег81ат апс! С. А. Ко§егз, ес!8.), Асаёетю
Рге85, Ьопс1оп, 1977, рр. 770-777]. [П6]
ОауепроП, Н. апс! 8сЬгп!с11, XV. М. A969-70), О1г1сЫе1'8 1Ьеогет оп (НорЬапипе
арргох^тапоп. П, Асш АгИктеЫса 16A969-70) 413-424 [герпшей 1п: Тке СопесХед,
\УогЬ о/НагоШ йаьепроп, Уо\. II (В. 1 В1гсЬ, Н. На1Ъегз1ат ап<1 С. А. Ко§ег8, еда.),
Аса<1ет1с Ргезз, Ьоп<1оп, 1977, рр. 849-860]. [П6]
ОауепроП, Н. апс! 8сЬткИ, XV. М. A970), ОтсЫе1'81Ьеогет оп <11орЬапПпе арргохнп-
аиоп, 1п: Теопа Ае\ Ыигпеп (9-12 ёюетЪге 1968), 8утро81а Ма1Ьета1юа УоК IV,
Асаёет^с Рге§8, Ьопдоп, 1970, рр. 113-132 [герптеё 1п: Тке СоИесШ \Уогкз о/
НагоШ Эаьепроп, Уо\. II (В. Х В1гсЬ, Н. На1Ьег8(ат апс! С. А. Ко^егз, е^5.), Асадет1с
Ргезз, Ьопаоп, 1977, рр. 829-848]. [ПЬ]
ОеЬгеи, С. A964), Ыоппе^аиуе зоЫНопз оГ Ппеаг теяиа1и1ез, 1пгегпа\\опа\ Есопотк
Я^ш^ 5 A964) 178-184. [135]
Оёуа1, Г. ап<1 8гепс1гёпу1, Т. A979), СоттеШз оп сопуех Ьи11 оГа Гтйе 8е1 оГро1п(8 1п
1^о <Нтеп8ЮП8, 1п/огта(юп Ргосезыпд ЬеИегв 9 A979) 141-142. [356]
Оеуте, М. апс1 С1оуег, К. A973), Сотри1аПопа1 с1е81^п апс1 питепса1 гезиНз Гог
§епегаAП§ 1Ье пе81ес1 Гасез оГгЬе Оотогу ро1уЬес!гоп, Орзеагск 10 A973) 143-160.
[593]
Оеугоуе, Ь. A980), А по1е оп Гтс11п^ сопуех Ьи11з У1а тах1та! уес1огз, 1п/огтахюп

636 Литература
Ргосешпд 1лпег$ 11 A980) 53-56. [356]
Эюкзоп, 5. С. апд Ргеёепск, Р. Р. A960), А ёеазюп ги1е Гог 1гпргоуес1 еГГкмепсу т
8о1ут& Нпеаг рговгатттв ргоЫетз шкЬ гЪе $1тр1ех а1§отЬт, СоттипкаИопз о/
гНе АСМ 3 A960) 509-512. [210]
Огскзоп, Ь. Е. A920), Нгзюгу о/1ке ТНеогу о/ ЫитЬегз, Уо1. II, ОюрНапИпе Апа1уз(з,
Сагпе^е 1пзШи(шп оГ \УазЫп§1оп, УУазЬт^оп, 1920 [герпп1её: СЬе1$еа, №\у Уогк,
1966]. [П8, 130, 608]
Огскзоп, Ь. Е. A923), ШзЮту о/1Не ТНеогу о/ЫитЬегз, Уо1. III\ ОцаДгахк ап4 НхдНег
Гогтв, Сагпе^е 1п8(йшюп оГ ШазЬт^Юп, ^азЫгфоп, 1923 [гергЫед: СЬеТвеа,
Nе^VVо^к, 1966]. [130]
О1Ск8Оп, Ь. Е. A929), 1п(гос1ис(юп Хо (Не ТНеогу о/ЫитЬегз, ТЬе 11туег§Цу оГСЫса^о
Рге§8, СЫса^о, 111., 1929. [129]
Оигкзоп, Ь. Е. A930), ЗшШез Ы гНе ТНеогу о/МитЬегз, ТЬе ишуегзку оГСЫса^о Ргезз,
СЬ1саво, 111., 1930 [герппЫ: СЬеиеа, Ые^ Уогк, 1957]. [129]
Эгскзоп, Ь. Е. A939), Мо4егп ЕХетеыату ТНеогу о/МитЬеп, ТЬе Ъшуетгу оССЫса^о
Рге88, СЫса^о, 111., 1939. [129]
О1егег, I). A975), Нош Ю са1си1а(е 1Ье зЬоПез! уесЮгз 1п а 1аиюе, Ма1Иета1к$ о/
Сотрштюп 29 A975) 827-833. [ИЗ]
Оцк81га, Е. ^. A959), А по1е оп 1шо ргоЫетз 1п соппехюп т\\\ ^гарЬз, ЫитепзсНе
МагНетаИк 1 A959) 269-271. [30]
ОПшоПЬ, К. Р. A950), А десотрозкюп 1Ьеогет Гог раП1аПу огдегед зе18, Аппак о/
МтНетаИсз B) 51 A950) 161-166. [442]
Отез, Ь. Ь. A917), Сопсегпт^ ргеГегепиа1 уоПп^, ТНе Атепсап МагНетагкЫ МопгМу
24A917K21-325. [242, 342]
Итез, Ь. Ь. A918-9), 5у81ет8 оПтеаг 1печиаН11е8, Аппак о/МшИетаИсз B) 20 A918-9)
191-199. [239, 242, 342]
Отез, Ь. Ь. AУ2Э), ОеНпие йпеаг <1ерепс1епсе, Аппа\$ о^Ма1Нетагкз B) 27 A925) 57-64.
[242, 342]
Отез, Ь. Ь. A926-7), N016 оп сег1ат а88оаа1ес1 8у81ет8 оГ 1теаг еяиа11Пе8 апс!
тециаНпез, Аппак о/ МагНетапсз B) 28 A926-7) 41-42. [341]
Оше$, Ь. Ь. A927а), Оп ровшуе 8о1иИоп8 оГ а §у81ет оГ Нпеаг еяиаиопз, Аппа1з о/
МагНетаИсз B) 28 A927) 386-392. [242, 341]
Отез, Ь. Ь. A927Ь), Оп зе18 оГ ГипсПопз оГ а §епега1 уаг1аЫе, ТгатасНопз о/ {Не
Атепсап МшИетаНса! 5оае1у 29 A927) 463-470. [343]
Этез, Ь. Ь. A927с), Оп сотр1е1е1у 818пес18е18 оГГипсиопз, Аппа\$ о/МшНетаНсз B) 28
A927) 393-395. [343]
Отез, Ь. Ь. A930), Ыпеаг 1пециаНие8 апд зоте ге!а(ес1 ргорегпез оГГипсиопз, ВиИегт о/
(Не Атепсап Ма(Нета(ка1 ЗоаеГу 36 A930) 393-405. [343]
Ишез, Ь. Ь. A936), Сопуех ех1еп81оп апс! Ипеаг 1пециаНие8, ВиНеМп о/(Не Атепсап
МахНетапсаХ 5оае1у 42 A936) 353-365. [343]
Отез, Ь. Ь. апс1 МсСоу, N. Н. A933), Оп Нпеаг тециаИпез, РгосееаЧпдз апа* Тгапзас-
1\оп5 о/(Не Яоуа1$оск(у о/ Сапайа CJ7 A933) 37-70. [242, 343, 354]
оОтЙ8, Е. А. A970), А^огйЬт Гог 8о1иПоп оГа ргоЫет оГтах1тит Ло\у 1п а пе1\уогк
\У11Ь рошег езита^оп (т Ки881ап), йокЫу Ака&етп Ыаик $8$Я 194 A970) 754-757
[ЕпзНзЬ 1гап81а1юп: $ОV^е^ МагНетапсз ОокШу 11 A970) 1277-1280]. [237]
ОтсМе(, О. Ье]еипе A842), Уега118ете1пегип8 е^пез 8а1гез аиз с1ег ЬеЬге уоп деп
КеПепЬгйсЬеп пеЬз1 е1П1^еп Ап^епс1ип^еп аиГё1е ТЬеог1е дег 2аЫеп, ВегкНг йЬег Же
гиг ВекапттасНипд дее'хдпеьеп УегИапаЧипдеп йет КбтдИсН РгеизызсИеп Ака&етхе
а'ег \У1з5еп5сНа[(еп ги ВегНп A842) 93-95 [герГ1п1ес1 т: С. Ье]еипе йтсЫег'з \Уегке,
Уо11 (Ь. Кгопескег, ес1.), С. Ке1тег, ВегПп, 1889, [герг!п1ес1: СЬе1зеа, №\у Уогк,
1969,] рр. 635-638]. [94, 113, 121]
ЭтсЫе*, О. Ье]еипе A850), ОЬег (Не Кес1ис11оп с!ег роз^П'уеп циа^гаизсЬеп Рогтеп т1(
<1ге1 ипЬезитт(еп ^апгеп 2аЫеп, Зоита1{йг сИе те'хпе ип<1 апдеъапйге Ма1НетаИк 40
A850) 209-227 [герптес! т: С. Ье}еипе йтсНШ'з Мегке, Уо1. II (Ь. Кгопескег, ед.),

Литература 637
С. Кеттег, ВегНп, 1889, [герпМед: СЬекеа, №ш Уогк, 1969,] рр. 29-48]. [121]
ЭтсЫе!, Р. С. Ье^еипе A879), УоНезипдеп йЬег 2.аккп1кеопе, НегаиздедеЬеп ипа1 т\Х
Хизанеп Vе^8еНеп иоп Я. йейектй, ОпИе АиЯа^е, У1е^е& ВгаипзсЬ^е!^, 1879
[герптеё: СЬе1$еа, Ые\у Уогк, 1968]. [129]
, 3. и. A970), ТЬе питЬег оГ81ерз ш 1Ье ЕисНйеап а^отЬт, ^ои^па^ о/ЫитЬег
Ткеогу 2 A970) 414-422. [86, 103]
, 3. О. A971), А 81тр!е е811та1е Гог 1Ье питЬег оГз1ер8 ш 1пе ЕисИдеап а^огйЬт,
Тке Атегкап Ма(кета(ка1 МошЫу 78 A971) 374-376. [86}
О1хоп, 3. V. A981), Оп с1иаН(у 1пеогет8, Цпеаг АХдеЬга аМ Нз АррНсаИопз 39 A981)
223-228. [356]
ЭоЪкт, П., ЫрЮп, К. ]., ап<1 Ке188,5. A979), Ьтеаг рго^гатт^п^ 151о§-8расе Ьаг<1 Гог Р,
Хфгтапоп Ргосеззтд Ьеиегз 8 A979) 96-97. [3573
ОогшсЬ, Р. О. A983), ТНгее пею ро1упот1а11у-11те Ьоши1е<1 ИегтИе погтЫ /огт
Ыдогкктх, М.8с. ТЬе815, 8сЬоо1 оГ ОрегаПопз КезеагсЬ апс! Тпс1и81па1 Еп^пеепп^,
СогпеП ип1уег811у, НЬаса, НУ., 1983. [89]
ВогшсЬ, Р. О., Каппап, К., апд Тгоиег, .1г, Ь. Е. A985), НегтНе погта1/огт сотршапоп
и$\пд то<1и1о АегегтЫат агНктеИс, СОКЕ О1§си$8юп Рарег 8507, Сеп1ег Гог
ОрегаПопз КезеагсЬ апс! Есопоте1пс8, Ьоиуа1п-1а-Ыеиуе (Ве1ё1ит), 1985. [89]
ОопаШзоп, 5. Ь. A979), М1пко^8к1 геёисйоп оГ 1п1е8га1 та1г1се8, МшкетаИсз о/
Сотршапоп 33 A979) 201-216. [89]
ВогГтап, К. A984), ТЬе Шзсоуегу оГ Нпеаг рго8гатгп1п§, АппЫв о/ гке НЫогу о/
СотриИпд 6 A984) 283-295. [354]
ОогГтап, К., 8атие18оп Р. А., апс! 8о1о\у, К. М. A958), Ыпеаг Ргодгатттд апс!
Есопотк Апа1уз1$, МсОга^-НП1, №>у Уогк, 1958. [346]
ОгеуГив, 8. Е. A957), Оупатк ргодгатттд зо1и(юп о/а11осаНоп ргоЫет$, КАЫО Рарег
Р-1083, ТЬе КА^ Согрогаиоп, 5ап1а Мошса, Са1., 1957. [613]
Пгегпег, 2. A983), ТЬе пе$1е<1 Ьа11 рппс1р!е Гог 1Ье ге1аха11оп те1Ьос1, ОретаНопз
Яеыатск 31 A983) 587-590. [251]
ОпеЬеек, N.1 A969), АррИей ипеаг Ргодгатттд, Ас1с118оп-\Уе81еу, Кеас11П8, Ма88.,
1969. [355]
ОиЬо18, Е. апс! КЫп, С. A980), Арргох1таПоп8 81гаи11апёе8 <1е <1еих потЬгез гёе]5,1п:
Зёттагге Эе1апде-Р15о1-Рокои, 20е аппёе: 1978/79 — : — Ткёопе йез потЬтез — : —
Газскик 1: Ехрозёз \ а 21, ишуегзкё Р1егге е1 Мапе Сипе, 1п8Ши1 Непг! Ро1псагё,
8есгё1апа1 та1ЬётаПяие, Рапе, 1980, [Ехрохё 9] рр. 9-01—9-13. [116]
ОиЬо18, Е. апс! КЬ^п, С. A982), МеШеигез арргохтШюпз с!'ипе Гогте Ипёа^ге сиЫцие,
Ас(а АгИНтеИса 40 A982) 197-208. [116]
ЭиШп, К. ]. A967), Ап ог1Ьо8опаН1у 1Ьеогет оГО1пе8 ге1а1е<11о тотет ргоЫетз ап<1
Нпеаг рговгатгшгц», ^ои^па^ о( СотЫпаюпа1 Ткеогу 2 A967) 1-26. [242]
ЭиШп, К Л. A974), Оп Коипег'8 апа1у818 оГ Ипеаг тециаШу 8у81ет8, МагкетаМсЫ
Ргодгатттд 8гис1у 1 A974) 71-95. [242]
Ои1та§е, А. Ь. апс! Мепс1е18оЬп, N. 8. A9М), Сар§ т 1Ье ехропеп1 8е1 оГ рптШуе
та1псе8, ИНпогз ЗоитаХ о/ Ма1кетапс$ 8 A964) 642-656. [614]
ОипЬат, 3. К., Ке11у, О. С, апё ТоНе, 3. У/. A977), Боте ехрептепш! гезикз сопсегтпд
1ке ехреаеа1 питЬег о/рмо1з/ог зоЫпд гапйот1у депегаШ Нпеаг ртодтатз, ТесЬтса!
КероП 77-16, Орегапопз КезеагсЬ апс! 8у81ет Апа1у$18 ОераПтет, ип|уег811у оГ
ЫоПЬ СагоНпа а1 СЬаре1 НШ, 1977. [212]
Эуег, М. Е. A983), ТЬе сотр!ехку оГ уеПех епитега11оп те1Ьос!$, МаХкетапсз о/
ОрегаПопз КезеагсН 8 A983) 381-402. [356]
Эуег, М. Е. A984а), Ьтеаг Пте а1§огиНтз Гог т\уо- апс! 1Ьгее-уапаЫе Нпеаг рго^гатз,
ШАМ Зоита! оп СотриИпд 13 A984) 31 -45. [311]
Эуег, М. Е. {1984Ь), Ап 0{п) а^огпЬт Гог 1пе ти1ир1е-сЬо1се кпарзаск Нпеаг
рго§гат, Магкетайса! Ргодгатттд 29 A984) 57-63. [311]
Оуег, М. Е. ап<1 Рго11, Ь. О. A977), Ап а1§огкпт Гог с1е1егт1П1Пё а11 ех1гете ро1п15 оГ а
сопуех ро1уЮре, Ма1кетаПси1 Ргодгатттд 12 A977) 81-96. [356]

638 Литература
Еа$1егПе!<1, Т. Е. A946), А сотЫпа1опа1 а^опгпт, Тке ^ои^па^ о/ гке 1.оЫоп
Магкетпапсаг 8оае1у 21 A946) 219-226. [612]
ЕЪегпагй, V. A891), 2иг МогрМодге Лег Ро\уеЛег, ТеиЬпег, Ье1р21§, 1891. [355]
Еск1у, XV. Р. A977а), А пе\у сопуех Ьи11 а1$*оп1пт Гог р1апаг §е1з, АСЫ ТгапзасМопа оп
Ма1кетапса\ 8о/шаге 3 A977) 398-403. [356]
ЕсШу, XV. Р. A977Ъ), А^огкпт 523 СОNVЕX, А пе\у сопуех Ьи11 а^огппт Гог р!апаг
$е13, АСМ Тгаюасйопз оп Ма1кетаЫса1 §о/{паге 3 A977) 411-412. 1356]
Ес1топс18,5. A965а), Ра1П8, ггеез, апс! По\уегз, СапасНап Зоигпа1 о/Ма(кетаисз 17A965)
449-467. [32, 38, 44, 564]
Ейтопёз, .1. A965Ь), М1ттит рагМюп оГа та1го!A1ПЮ тйерепйет 8иЪ$е18,}оигпа\о[
Кезеагск о/1ке ЫайопЫ Вигеаи о/ ХшпЛаЫз {В) 69 A965) 67-72. [32, 45]
Ес1топA$, 5. A965с), Мах^тит та1сЫпё апс! а ро1уЬедгоп \уиН 0, 1-уег1!се8, ^ои^па^ о/
Яе$еагскоAке N^№A1 Вигеаи о/ЗшпАаЫи (ВN9 {1965) 125-\Ш [169, 183. 402,
562, 564]
Едтопдз, .Г A967а), Ор^тит ЬгапсЬ1ПйЯ, ЗоитаХ о/Кезеагск о/1ке Мапопа! Вигеаи о/
5(апAаЫ5 (В) 71 A967J33-240. [284, 600]
Ес1топд8, У A967Ь), 8у51ет$ оГс11811пс1 гергезетаиуез апс! Ипеаг а1^еЪга, Зоигпа! о/
Яевеагск о/ гке Ышюпа1 Вигеаи о/ Згапа'ага'а {В) 71 A967) 241-245. [55, 58]
Ес1топс18, .1. A973), ЕA§е-A15]о1п1 ЪгапсЬт§8, 1п: СотЫпаюпа! А1доп(ктз (Соигат
СотрШег Зс1епсе 8утро81ит, Моп1егеу. Са1., 1972; К. Ки81т, е<1.), Асас1ет1с
Уогк, 1973, рр. 91-96, 15001
, ]. апд СПе8, Я. A977), А т1п-тах геЫюп Гог 8иЬтос1и1аг Гипс1юп8 оп
рп: ЗшаЧез т Шедег Ргодгаттхпд (Р. Ь. Наттег, е1а1., ес!8.),] Аппак о/ Эг
Ма1кетапс$ 1 A977) 185-204. [447, 495, 496, 498, 502, 515]
Едтоп<1&, У ап<1 СНез, К. A984), ТоЫ с!иа! иКе^гаН^у оГИпеаг 1пеяиаН1у $у81егпз, 1п:
Ргодгеьз т СотЫпа(ог1а1 ОрМтггаиоп AиЫ1ее СопГегепсе, ип1уег811у оГ \Уа1ег1оо,
АУа^еНоо, Отапо, 1982; ^. К. РиИеуЫапк, её), Асаает1с Ргёзз, Тогото, 1984,
рр. 117-129. [515, 521,524]
Ес1топс18, 5. апс! 1огт8оп, Е. Ь. A973), Ма^сЫпз, Еи1ег Юиг$ апс! гЬе СЫпезе роз1тап.
МсикетшкЫ Ргодгаттхпд 5 A973) 88-124. [560, 562]
Бдтопа$, ]. ап<1 Кагр, К. М. A972), ТЬеогеиса! нпргоуетегпх 1П а18оп1Ьт1С еШаепсу
Гог пе1шогк Яо>у ргоЫетз, Зоита1 о/ 1ке Аз&ос'Мюп/ог Сотрштд МасЫпегу 19
A972J48-264. [217, 237, 304, 449]
Ытопдз, 5., Ьоуазг, Ь., ап<1 РиНеуЫапк, XV. К. A982), Впек Aесотро$топ$ апс! Ше
та1сЬтв гапк оГ^гарЬз, СотЬтаюпса 2 A982) 247-274. [286, 290]
Е^егуагу, Е. A931), Ма1пхок котЫпа1опи8 1и1а]с1оп8а8а1г61 (Нип§;апап) [Оп сот-
Ыпа1опа1 ргорег^еа оГта1псе8], МаГетаИкаг ёз Гшкш 1мрок 38 A931) 16-28. 1438,
530, 613]
Е§егуагу Е. A958), Ветегкип^еп гит ТгапзроПргоЫет, МГИ^ МгиеИипдеп 5 A958)
278-284. 1612]
Евд1е81оп, Н. О. A958), СомехИу, СатЬп<18е 11шуег811у Рге88, СатЬи^ве, 1958. [355]
Епгпагг, Е. A967а), 8иг ип ргоЫёте <1е 8еоте1пе д1орЬапиеппе Нпёаие. I, Ро1уес1гез еХ
гёзеаих, Зоигпа\ ]йг (Не гете ипй апдепап&е МагкетаИк 226 A967) 1-29. [615]
ЕЬгпаП, Е. A967Ь), 8иг ип ргоЫёте <1е 8ёотё1пе AюрЬапиеппе Нпёа^ге. II, Зу81ёте8
сИорЬапПепх Нпёахгез, Уоигпа/уйг (Не гете иМ апдемаЫге Ма(кетаНк 227 A967) 25-
49. [6151
ЕпгпаП, Ь A973), 8иг 1е8 8у81ёте8 ^1пёяиа1юп8 <1юрЬап11еппе81тёа1ге$, Зоигпа1#г а*\е
гете ши! апде\напа*1е МагкетаИк 262/263 A973) 45-57. [614]
ЕпгпаП, Е. A977), Ро1уп6те5 Агиктёпциез ег Мё(ко4е Дез РоХуёйгез еп СотЫпаШге,
ЫегпаПопа! 5епе8 оГ >1итепса1 Ма1ЬетаПс8 35, В1гкНаи8ег, Ва8е1, 1977. [61
ЕпгпаМ, Е. A979), 8иг 1ез ёциаПопх сИорЬапПеппез Нпеатгев, Сотргез Яепйиз с1е$ $ёапсез
йе ГАсайётге Лез Заепсез (Рапз) Зёпез А-В 288 A979) А785-А787. [614]
Е1$етапп, К. A955), Ыпеаг рго^гатттё, <2иапег1у о/ АррНеа1 Магкетахкз 13 A955)
209-232. [228]

Литература 639
Е18епз1ет, О. A847), Ыеие ТЬеогете с!ег попегеп Апгптеик, Зоигпа1]иг йхе гете ипа1
апдеыапйге Мслкетапк 35 A847) 117-136, [герппгеё т: Ма1кета(хзске \Уегке—
СопкоШ Ехзепзгет, Уо1 /, Спе1зеа, Ыеш Уогк, 1975, рр. 483-502]. [123]
ЕНаз, Р., Ретз1ет, А., апё $паппоп, С. Е. A956), А по1е оп гпе тахгтит Ло\у гпгои^п а
пе(шогк, 1КЕ ТгатасИопз оп 1п/огтаИоп ТНеогу 1Т 2 A956) 117-119. [152, 179»
441, 613]
ЕШо((, Е. В. A903), Оп Ипеаг Ьото^епеоиз спорпашше едиаПопх, Оиапег[у ЗоигпаХ о/
Риге апй АррШ МагкетаПсз 34 A903) 348-377. [609]
ЕНшеш, Ь. В. A974), А Пех^Ые епитегаиоп зспете Гог гего-опе рго^гатште,
Орегаиопз Кезеагск 22 A974) 144-150. [588]
уап Етс1е Воаз, Р. A980), Оп 1Ье п{п\о%п) 1ошег Ьоипс! Гог сопуех ЬиН апс! тах1та!
уес1ог с}е1егт1па11оп, 1п/огта1юп Ргосезмпд Ьеиегз 10 A980) 132-136. [356]
уап Етйе Воаз, Р. A981), АпогНег N Р-сотрШе рагШюп ргоЫет ап4 (Не сотркхку о/
сотриМпд зНоп иесюгз т а 1аШсе, Керог1 81-04, Ма1пета1юа11п8111и(е, ип1уегз11у оГ
Ат81егс1ат, Ат51егс1ат, 1981. [ПЗ]
, Р. A961), СгарЬ 1Ьеогу апс! ргоЪаЫ1ку. II, СапсиНап Зоита1 о/ Ма(кетагк$ 13
A961) 346-352 [герпШес! т: Раи1 Ег4б$, ТЬе Ап о/ СошШпд, Зекаей 1УгШндз {5.
Зрепсег, е<1), ТЬе М1Т Рге8§, СатЬпсЦе, Ма§8., 1973, рр. 411-417]. [563]
, Р, апс! ОгаЬат, К. Ь. A972), Оп а Нпеаг сНорЬаШте ргоЫет оГРгоЬетиз, Ас1а
АгпНтеНса 21 A972) 399-408. [614]
Еи1ег, Ь. A740), 8о)иио ргоЫетаиз ап1ЬтеПс1 с!е 1пуешепс1о питего цш рег сЫоз
питегоз A1У18и8, геПпциа! <1а1а гезИиа, Соттеп(аги Асайетхае Заеппагит 1трепаН$
Ре1гороШапае 7 [1734-5] A740) 46-66 [герпп1ес1 т: ЬеопкаЫг Еи\еп Орега Отта,
Зег. I Уо1. II [СоттепшИопев АгиНтепсае, Уо1. /] (Р. КиШо, е<1)> ТеиЬпег, Ье1рг1$>
1915, рр. 18-32]. [118]
Еи1ег, Ь. A744), Ое Ггас1юшЪи$ сопипи^з, A188еПа11О, Соттепшт АсаЛетхае Зсхепг-
хагит 1трепаНз РеггороНгапае 9 [1737] A744) 98-137 [герпп1е<1 т: ЫопНаЫх Еи1еп
Орега Отта, Зег. I Уо1. Х1У [СоттетаХхопез Апа1у(хсае, аи гкеогхат зепегит
хп/хпхшгит реШпешез, Уо1.1] (С. Воепт апс! О. РаЬег, ес1з.), ТеиЬпег, Ьырхщ, 1924,
рр. 187-215]. [119]
°Еи1ег, Ь. A748), 1п1гос1ис1ю т Апа1узхп 1прпИогит, УЫ /, М.-М. Воизяие!, Ьаизаппе,
1748 [гергЫес! аз: ЬеопкагДх Еикгх Орега Отта, Зег. I, Уо1 УIII (А. Кгагег апд К
КисНо, едз.), ТеиЬпег, Ье1р21§, 1922] [Сегтап 1гапз1аиоп Ьу Н. Мазег: ЕхпкНипд хп
й\е Апа1у5\з Дез 11пеп(Иккеп, Егз(ег ТеИ, Зрип^ег, ВегНп, 1885 [герптеё: 1983]].
[607]
0Еи1ег, Ь. A770а), УоИзшешИде АпШшпд гиг А1деЬга, 2. ТНеИ, Уоп Агфозипда1деЪгах$скег
Окхскипдеп ипй йег ипЪеттпнеп Апа1упсу Кауз. Асаё. Aег \У188еп8сЬаЙеп, 81.
Ре1егзЬиг§, 1770 [герГ1п1е<1 т: ЬеопкаЫх Еикгх Орега Отта, Зег. I, \Ы. I [уЫЫагиИде
АпкИипд гиг А1деЬга, ти йеп Хиза'Шп гоп Зозерк Ъоихз Ьадгапде~] (Н. АУеЪег, е<1.)»
ТеиЬпег, Ъъ\рп%, 1911, рр. 209-498] [Еп^Нзп 1гапз1а11оп (\уНЬ 1. ТЬеП): ЕктеШз о/
А1деЪтау 3. .ЬЬпзоп, Ьопдоп, 1797 [ИЛЬ есПгюп A840) герпп1ед: Зрпп^ег, Ыеш Уогк,
1984]]. [118; 607]
Еи1ег, Ь. A77ОЬ), Ре раггШопе пишегогит 1п раг1ез 1ат питего циат зресге да1е8> NоV^
СоттеШагп Асайетхае ЗсхеМхагит ШрегхаНз РеггороШапае 14 [1769]: I A770) 168-
187 [герппЫ т: ЬеопкаЫх ЕикН Орега Отта, Зег. I, \Ы Ш [СоттепННюпез
АгИктеИсае, Ко/. //] (Р. Кийю, ее!.), ТеиЬпег, Ыр218, 1917, рр. 132-147]. [607].
Еуегеи III, Н. A963), СепегаКгес! Ьа^гапее тиШрКег те1ЬоA Гог 8о1у1п§ ргоЫетв оГ
орПтит аПосаПоп оГгехоигсез, ОрегаИопз Яезеагск 11 A963) 399-417. [599]
Еуез, Н. A964), Ап Шгойислюп ю 1ке Нхзюгу о/ МаМетаМсз, Нок, КтеЬаП апс!
^1П8Юп, N6^ Уогк, 1964. [70]
Еуез, Н. A966), Ектепшу Ма(гхх Ткеогу, АПуп апс1 Васоп, Возюп, Мазз., 1966. [69]
Раа1апс1, В. A972), Оп 1пе питЬег оГ зоЫиопз 1о а <110рЬап1те ециаНоп, /оигпа/ о/
СотЫпа(опа1 Ткеогу {А) 13 A972) 170-175. [615]
Раа1апс1, В. A973-4), ОепегаНгес! еяи!уа!еп11п1евег рго^гатз апс! сапопка! ргоЫетз,

640 Литература
Мападетет 8скпсе 20 A973-4) 1554-1560. [615]
°Раск1ееу, В. К. ап<3 РасЮееуа, V. N. A963), СотриШюпЫ Мегкойз о/ Ыпеаг А1деЬга,
Ргеетап, 8ап Ргапазсо, 1963. [69]
0Рас1с1ееуа, V. N. A959), СотриШюпЫ Мегкойв о/ Ыпеаг А1деЬга, Эоуег, №\у Уогк,
1959. [69]
Рагказ, Оу. A894), А Роипег-Гё1е тесЬатка1 е!у а1ка1та2аза1 (Нип^апап) [Оп 1Ье
аррИсапопз оГ 1Ье тесЬатса! рппс1р1е оГ Роипег], Магкетагхкт ёз Тегтёз-
1епи4отапу1 Ёпезхгб 12 [1893-4] A894) 457-472 [Оегтап 1гап$Ыюп, \уцЬ зН^Ы
акегаиопз: Рагказ [1895]]. [133, 138, 335]
Рагказ, ]. A895), ОЬег с11е Агтепдитзеп Aез тесЬатзсЬеп Рппарз уоп Роипег,
МагНетаггзсНе ипд. па1игт55еп5ска/пкке Вегккге аиз Ипдагп 12 A895) 263-281.
[335, 336]
Рагказ, Оу. A896), А Роипег-Гё1е тесЬатка1 е1у а1ка!та2а8а1пак а1§еЬга1 а1ар)аг61
(Нип§апап) [Оп 1Ье а^еЬгаю Гоипйаиоп оГ 1Ье аррНсаиопз оГ 1Ье тесЬашса!
рппс|р1е оГ Роипег], Магкетапкт ёз Ркузгкш Ьарок 5 A896) 49-54 [Сегтап
1гап81аПоп, ^11Ь зоте а^кюпз: 8есПоп I оГ Рагказ [1897-9]]. [241, 336]
Рагказ, .Г A897-9), О1е а18еЬга1зсЬеп Огипс11а§еп дег Апшепс1ип^еп Aе§ Роипег'зсЬеп
Рппсхрз т Aег МесЬап1к, Магкетапзске ипД пашгтззепзска/Шске ВегкЫе аиз
Цидагп 15 A897-9) 25-40. [335, 336]
Рагказ, Су. A898а), Рагате*еге5 тодзгег Роипег тесЬатка1 екёЬег (Нип8аг1ап) [А
рагате1г1с те1Ьос1 Гог 1Ье тесЬатса! рппс1р1е оГ Роипег], МагкетаНкт ё$ Ркузгкт
1мрок 7 A898) 63-71 [Сегтап 1гапз1аПоп: 5есиоп II оГ Рагказ [1897-9]]. ИЗЗ, 135,
138, 242, 336]
Рагказ, Су. A898Ь), А Роипег-Гё1е тесНатка! е1у а1ка1та2азапак а1^еЬга1 а1ар]а
(Нип^апап) [ТЬе а1^еЬга1с Гоипс1аиоп оГ1Ье аррИса1юп$ оГ1Ье тесЬашса1 рппс1р!е
оГ Роипег], Магкетапках ёз Тегтё&геии&отапух Ёг(езиб 16A898) 361-364 [Сегтап
1гапз1аиоп: Рагказ [1898с]]. [336]
Рагказ, .1. A898с), О1е а1веЪга15сЬе СгипШа^е дег Апшеп^ип^еп Aе§ тесЬатзсЬеп
Рппс1рз уоп Роиг1ег, Магкеташске ипй паШгтззепзска/Шске Вегккгеаиз 11пдагп 16
A898) 154-157. [336]
Рагказ, 5. A900а), АН^етете Рпшмр^еп Гиг с1ге МесЬашк дез Ае1Ьегз, Агскюез
Нёег1ап4тзе5 Аез Заепсез Ехасиз е( ЫшигеЦез B) 5 A900) 56-75. [336]
Рагказ, Оу. A900Ь), Уесюпап ёз аг едузгегй хпаедиахюк хапа (Нипвапап) [ТЬеогу оГ
уесЮг5 ап<1 81тр1е тециаНпе&], Ко1о28уаг, 1900. [336]
Рагказ, ^. A902), ТЬеог1е <1ег е1пГасЬеп Ш^екгшпвеп, Зоита\ {иг <1к тете ип4
апдепапйге Мыкетапк 124 A902) 1-27. [135, 336]
Рагкав, ]. A906), ВеИга'яе ги деп Огипд1а§еп <1ег апа1уизсЬеп МесЬашк, Зоита\$йг Ахе
гехпе \т<1 апдепапйи Магкетапк 131 A906) 165-201. [3361
Рагказ, Оу. A914), А Мескамка А1ар1апах (Нип§апап) [ТЬе Роипёапопз оГ МесЬ-
ашсз], Ко1о28Уап е^уе1егп1 е16ада8ок копуота1а, КоЬгзуаг, 1914. [336]
Рагказ, Оу. A917а), Ыетуопа1аз е§уеп1б11епзё§ек уопа1азза 1ё1е1е (Нип^апап) [Сопуег-
зюп оГ попИпеаг 1пеяиаНие8 1п1о Нпеаг опез], МшкетаМкт ёз ТегтёзгеиЫотапуг
ЁПезНб 35 A917) 41-50. [336]
Рагказ, Оу. A917Ь), Ми1ирНса1огоз тбдзгег пё§у2е1ез а1акокЬог (Нип^апап) [Ме1Ьод
оГ тиШрНегз Гог циадга11с Гогтз], Мснкетайках ёз ТегтёзгепиАотапух Епезггб 35
A917) 51-53. [336]
Рагказ, Оу. A918а), Е^уепШИепзёвек а!ка1тага8апак й] тод]а1 (Нип^апап) [Не\у \уау$
оГарр1у1п81пециаШ1е8], Магкетапках ёз ТегтёзгеНи&отапух Ёпезкб 36A918) 297-
308. [336]
Рагказ, Оу. A918Ь), А Ипеапз е|$уеп1б11еп8ё8ек коуе^кегтёпуе! (Нип^апап) [Сопзе-
^иепсе8 оГ Нпеаг ^пециаНиез], Мснкетаг.кт ёз Тегтёзгеиийотапух ЁпезНо 36A918)
397-408. [336]
Рагказ,}. A923), 3(аЬПез О1е1сЬ^е^1сЬ1 оЬпе Ро!епиа1, Мснкетайзске ип4 паШгтззегх-
зска/Икке ВегкЫе аиз Ыпдат 32 A923) 43-50. [335, 336]

Литература 641
Рагказ, Су. A926), А1аруе1ё§ аг е^узгегй едоепШИепвёдек уек1оге1тё1е(ёЬег (Нип-
&апап) [Роипдаиопз оГ (Ье уес(опа1 (Ьеогу оГ ытр1е тециаН^ев], МшНетаикт ёз
ТегтёагепиЛотапух Ёпезх'гд 43 A926) 1-3. [336]
Рауагд, О. апд Р1а(еаи, О. A973), Кё$о1и(юп <Гип ргоЫёте д'айес1а*юп, ЁХестспё Ле
Ргапсе, ВиНепп Ле 1а ОггесНоп Лез ЁгиЛез ег ЯесНегсНез, $ёпе С (Магкётагхциез*
1п/огтаНдие) 1973 Ыо. 1 A973) 83-108. [379]
Рауагд, О. апд РЫеаи, С. A975), Ке$о1и(юп оГШе 0-1 кпарзаск ргоЫет: сотрапзоп
оГ те1Ьод§, МшкетапсЫ Ргодгаттхщ 8 A975) 272-307. [6041
Рауагд, \Э. апд РЫеаи, С. A977-8), Оп "Ап еШает а^опШт Гог 1Ье 0-1 кпар-
заск ргоЫет, Ьу КоЬеП М. N8088", Мападетет 8аепсе 24 A977-8) 918-919.
Г604]
Рек, 8. О. A984), А Га§1 а^огкЬт Гог 1Ье 1>уо-уапаЫе Ыедег рго§гатт1П8 ргоЫет,
Зоигпа! о/1ке АззоааИоп/ог СотриНпд МасЫпегу 31 A984) 99-113. [4^
РепсЬе1, >Л^. A953), Сопьех Сопез, 5егз, апД Рипсгюпз [Ггот по1е§ Ьу О. уУ. В1аске(( оГ
1ес1иге§ а1 РппсеЮп 11шуег8ку, 1951], героП, Рппсе1оп итуег811у, Рппсе1оп, N.^.,
1953. [355]
РепсЬе!, V/. A983), Сопуехку 1Ьгои§Ь 1Ье а^ез, 1п: Сотехку апй Из АррНсаИопз (Р. М.
СгиЬед апд }. М. >УШ§, едз.), В1гкЬаи8ег, Вазе1, 1983, рр. 120-130. [355]
Рег^изоп, Н. К. Р. апд Рогсаде, К. ^. A979), СепегаНгаПоп оГ1Ье ЕисПёеап а1§оп1Ьт
Гог геа! питЬеге 1о аИ д1теп$!оп$ Ы§Ьег 1Ьап 1^о, Ви11еМп (^е>у Зеггез) о/1Ие Атепсап
МшИетаисЫ $ос1е1у 1 A979) 912-914. [116]
Рег^изоп, К. О. апд 8аг§еп1, Ь. Р. A958), Ыпеаг Ргодгаттгпд: РиЫатепШз апй
АррНсапопз, МсСгаш-НШ, Ыеш Уогк, 1958.1355]
°РткеГ8Ь1ет, Уи. Уи. A970), Е81нпа1юп оГ 1Ье питЬег оГ кега1юп§ Гог Сотогу'з а11-
^огйЬт Aп Ки881ап), ОокШу АШетп Наик $$$К 193 A970) 543-546
1гап§1а11оп: 8оьге1 Ма1кетапс$ ЪокЫу 11 A970) 988-992]. [581]
Рюго1, З.-СЪ. A969), Оёпёгаиоп дез рот18 епAег$ д'ип сопе ро1уё<1пцие, СотрХез
КепАш ИеЫотаЛахгез &е$ Зёапсез Аг ХАсаЛётхг Лез Заепсез 8ёг. А 269 A969) 215-
217. [614]
Рюго(, 1.-СН. A970а), А1^оп(Ьте де &ёпёга(юп де$ ро1п($ епПегз д'ип сопе рсЯуёдпцие,
Е\ес1пс\1ё а*е Ргапсе, ВиНепп йе 1а йггеспоп Лез Ёшйез ег КесНегскез, Зёпе С
{Магкётащиез*1п/огтаНяие) 1970 N0.1 A970) 5-28. [614]
Рюго!, Х-СЬ. A920Ь), Оёпёгайоп дез рош($ епиегз д*ип рага11ё1о1оре де Ля, Сотрш
КепЛиз НеЪДотаДтгез Лез Зёапсез йе ГАсаЛётхе Лез Зсхепсез 8ёг. А 270 A970) 395-
398. [614]
Рюго(, ]. С. A972), Сепегайоп оГ а!11п1е§ег ро1п($ Гог §1Уеп $еи оГНпеаг ^пециаНйез,
Ма1кетаИса\ РгодГатттд 3 A972) 276-295. [614]
Рюго1, 5.-О\. ап<1 Сопдгап, М. A969), Кё8о1и11оп дез зузгётез Нпёа1ге§ еп потЬгез
епAег8, Ё1ес1гш1ё Ле Ргапсе, ВиИеНп Ле 1а ЭггесНоп Лез ЁшЛез ег ЯесНегсНез, Зёпе С
(Магкётаггяиез*1п/огтаг1яие) 1969 Ыо. 2 A969) 65-116. [93]
р18сЬег, К. апд $сЬ^е1§ег, Р. A975), ТЬе питЬег оГ §1ер§ т а йпЁ1е 1асоЫ
МапизспрШ МшНетаНса 17 A975) 291-308. [116]
ПзЬег, I. A938), Соигпо1 ГоПу уеагз а§о, Есопотеггхса 6 A938) 198-202. [330]
р1$Ьег, М. Ь. A981), ТЬе Ьа^гап^ап ге1ахаAоп те(Ьо<1 Гог 5о1у1п§ 1
ргоЫетз, Мападетет Зсгепсе 27 A981) 1-18. [595, 599]
р18Ьег, М. Ь., Nог^ЬирI \У. О., апд 8Ьар1го, 1. Р. A975), 1181П8 диа1ку (о §о!уе д1§сге1е
орит!2аиоп ргоЫетз: (Ьеогу апд сотрШапопа! ехрепепсе, Ма1петапса\ Рго-
дгатттд ЗЫу 3 A975) 56-94. 15721
г, М. Ь. апд $Ьар1го, 5. Р. A974), Соп$(гисAУе диаН(у ш
\ 81АМ ЗоигпаХ оп АррНеЛ Ма(Нета(хс8 27 A974) 31-52. [572, 593]
РЫзсЬтапп, В. A967), Сотри1а(юпа1 ехрепепсе Ш1(Ь (Ье а^огкЬт оГВа1а8, Орегапопз
КезеагсН 15A967) 153-155. [588]
Р1е18сЬтапп, В. A973), Ете рпта1е Уегз1оп де$ Вепдегв'зсЬеп 1>екотрО81Поп8УегГаЬ-
геп8 ипд 5е1пе Апшепдип^ ш дег §ет1$сЬ(-^ап22аЬН^еп Орпт1егип^, ш: Ыитегхзске

642 Литература
МегкоДеп Ьех ОрНтгегипдзаи/даЬеп (Ь. Со11а1г апс! \У. ОДИегИп^, еёз.), В1гкЬаи§ег,
Ва8е1, 1973, рр. 37-49. [604]
Роп1ир1, 3. апё Касо, М. A984), Опеп1аПоп оГ таЫсез, Ма1ИетаИса1 Ргодгатттд
5ш<1у 22 A984) 86-98. [477]
Роге,1г, Ь. К. апё РЫкегзоп, О. К. A956), Мах1та1 Яо\у 1пгои§п а пе1^огк, СапаШап
Лита1 о/МшНетаИсз 8 A956) 399-404. [152, 179, 441, 613]
Роге, 1г, Ь. К. апс1 Ки1кег§оп, О. К. A956-7), ЗоМп^ 1Ье 1гап&роПаПоп ргоЫет,
Мападетет Заепсе 3 A956-7) 24-32. [613]
Роге, .7г. Ь. К. апс! Ри1кег$оп, Э. К. A957), А 51тр1е а1§оп1пт Гог Ттёт^ тах1та!
пеНУогк Лошз апс! ап аррНсаПоп ю 1Ье Нкспсоск ргоЫет, СапааЧап Зоита1 о/
МшНетаНсз 9 A957) 210-218. [236, 449,613]
Роге, .!г, Ь. К. апс! Ри1кег8оп, О. К. A958-9), А зи&^ес! сотритиоп Гог тах1-
та! ти1и-соттос!11у пе^огк По^8, Мападетет Заепсе 5 A958-9) 97-101.
[228]
°Рогс1^г,Ь. К. апд Ри1кег8оп, Э. К. A962), Р1о\\>5тЫе1\уогк$, Рппсе1оп ишует1у Рге§8,
РппсеЮп, ЫЛ., 1962. [6141
оРог8у1Ье, С. Е. апс! Мо1ег, С. В. A967), СотрШег ЗоЫгюп о/ипеаг А\деЬта\с Зузгетз,
Ргеписе-На11, Еп^ооа СН^8, N.1., 1967. [69]
Роипег, ^. В. }. A798), Мётсже зиг 1а 81аПяие, соШепам 1а <1ётоп81гаПоп <1и рппаре
с!езУ11е88в8 У1г1ие11е8, е11а 1Ьёопе с!е$ тотепз, ^ои^па^^^е УЁсок Ро1у1есНтциеу юте 2
саЫег 5 ([ап VI = ] 1798) 20-60 [герпп1е<11п: Оешге& а'е Роипег, Тоте II (О. ОагЬоих,
её.), Саи1Ыег-У111аг8, Рапе, 1890, [герппЫ: С. О1т8, Ш1ае8Ье1т, 1970]
рр. 477-521]. [329]
Роипег, ]. В.}. A826а), 8о1и11оп ё'ипе циезиоп рагисиНёге <1и са1си1 <1е8 тё§а1аё8,
Ноиьеаи ВиИеИп ^5 Зшпсез раг 1а 5оЫё1ё ркНота1Ыщие а'е Рапз A826) 99- 100
[герпп1е<1 т: Оешгез а'е Роипег, Тоте II (С. ОагЬоих, ед.), Саи1Ь1ег-УШагз, Рап&,
1890, [герппЫ: С. О1т8, НИаезЬепп, 1970] рр. 317-319]. [147]
Роиг1ег, 1. В.}. A826Ь), [героПеё т:] Апа1у&е ёев 1гауаих <1е ГАсаёёгше Коуа1е с1е&
8с1епсе8, репёат Гаппёе 1823, РагПе таШётаицие, Нхвюхте Де УАсаа'ётхе КоуаХе а'ез
Заепсез Ае ПпвШш йе Ртапсе 6 [1823] A826) хх1х-х!1 [рагПаИу герпШей аз: Ргет1ег
ех(га1(, 1п: Оеиьгез Де Роипег, Тоте II (О. ЭагЬоих, ед.), Оаи1Ыег-\гИ1аг8, Рапз, 1890,
[герппю!: С. О1тз, Н1Ме8Ье1т, 1970] рр. 321-324.]. [ПО, 197, 331, 332]
Роипег, ). ВЛ. A827), [героПеё 1п:] Апа1у8е ёез 1гауаих ее ГАсаёёгте Коуа1е <1е8
Заепсез, репёат Гаппёе 1824, РагПе та1пётаияие, ИЫогге Ае {'АсаДётге Яоуа1е а'ез
Заепсез <1е ИпзШш &е Егапсе 7 [1824] A827) х!уп-1у [герпп1её аз: Зесопё ех1га11,1п:
Оеиигез а'е Роипег, Тоте II (С. ОагЬоих, её.), СашЫег-УШагз, Рапз, 1890,[герпп1её:
С.О1т8, НИёе8Ье1т, 1970,] рр. 325-328] [Еп^ИзЬ 1гапз1аПоп (рагНаПу) 1п: Э. А.
КоЫег, Тгап81аиоп оГа героП Ьу Роипег оп Ыз ^огк оп Нпеаг ЁпециаНпез, Орзеагск
10 A973) 38-42]. [140, 239, 242, 331, 332]
Роигшег, А. A979), Соттеп1з оп сопуех пи11 оГа Гт11е зе1о(ро1п18 1п 1\уо ёЫепзюпз,
1п/огтаИоп Ргосеззтд Ъеиегз 8 A979) 173. [356]
Рох, Ь. A964), Ап ЫггоДисгюп ю ЫитепсЫ Ыпеаг А1деЬга, С1агепёоп Ргезз, ОхГогё,
1964. [69]
Ргапк, А. A980), Оп 1пе опеп1а1юп о{ ^гарЬз, ^ои^па^ о/СотЫпаюпЫ Ткеогу (В) 28
A980J51-261. [504]
Ргапк, А. апё Тагёоз, Ё. A984), Мапчмёз Ггот сгоззт^ ГатШез, 1п: РШге апй 1п/1пИе 5е1з
{Уо1.1) (Ргосееёт^в 81х1Ь Нип^апап СотЬта1опа1 Со11ояи1ит (Е§ег, 1981; А.
Назпа1, Ь. Ьоуазг апё V. Т. §6з, еёз.), ЫопЬ-Но11апё, Атз1егёат, 1984, рр. 295-304.
[504]
Ргапк, А. апё Тагёоз, Ё. A985), Ап аррйса^оп о^ 81тиИапеоиз арргох1таиоп 1п
сотЫпа1опа! орПт12а11оп, 1п: 26гк Аппиа1 $ушрозшт оп РоипйаНопз о/ Сотригег
Заепсе, 1ЕЕЕ, N6^ Уогк, 1985, рр. 459-463. [310]
РгапкИп, }. N. A968), Матх Ткеогу, Ргеписе-На11, ЕпЕ1е\уооё СИ1Т8, N. ]., 1968. [67]
РгеёЬо1т, I. A903), Зиг ипе с1аззе ё^иаиопз ГопсПопе11е8, Ааа Магкетайса 27 A903)

Литература 643
365-390 [герптеё ш: Оетгез СотрШез Ае 11Ш ГгеАНоЫ, 1л1оз Керго1гуск, Ма1то,
1955, рр. 81-106]. [48, 66]
Ргеетап, К. } A966), Сотри!аПопа1 ехрепепсе у/11Ь а 'Ва1а81ап' шОДег рговгаттт^
а^огпЬт, Орегапопз Кезеагск 14 A966) 935-941. [588]
Рпе<1Ьег8, 5. Н., 1п$е1, АЛ., апй Зрепсе, Ь. Е. A979), Цпеаг Л1деЬга, РгепПсе-НаИ,
Еп^ешоод СИ&8, N.1, 1979. [69]
Рпехе, А. М. A976), 8Ьопе$1 ра1Ь а^огНптз Гог кпарзаск (уре ргоЫета, МшНетаИса!
Ргодгаттхпд 11 A976) 150-157. [593]
РгоЪепшв, Р. С. A879), ТЬеопе йег Нпеагеп Рогтеп гт1 допгеп СоеГПс!еп1еп, Зоигпа.1
/иг 4м гехпе ипА апдечнтйи Мшкетапк 86 A879) 146-208 [герпШед т: РеЫтаЫ
Оеогд ГгоЪети&, Сезаттеке АЬкагиНипдеп, ВаЫ I (Х-Р. 8егге, ед.), Брпп^сг, ВегНп,
1968, г р. 482-544]. [67, 77, 81, 125]
РгоЬепшз, Р. С. A880), ТЬеопе <1ег Нпеагеп Рогтеп тй ^аптеп СоеШс1еп1еп (РоП-
$е!гиа^), ^ои^па^]й^ (Не гете ипЛ апдепапйи Мшкетапк 88 A880) 96-116 [герпп(е<1
1п: РегАтаЫ Оеогд ГгоЬеп\и$, Сезаттеке АЬкагиНипдеп, ВаЫ I A,-Р. 5егге, е<3.),
$рт>8ег, ВегНп, 1968, рр. 591-611]. [77, 67, 81, 125]
РгоЬепия, Р. О. A912), СЬег Ма1пгеп аи§ п1сН1 пе^апуеп Е1етеп1еп, ЗигипдзЬепскге
йег К пдНск Ргеиззмскеп АкЫетге Лет \У15$еп8ска/ш гы ВегНп A912) 456-477
[герпп1ед 1п: ГепНпапА Сеогд РгоЬепшз, Сезаттеке АЬкагиНипдеп, ВапА III A.-Р.
8егг.% ей.), Зрпп^ег, ВегНп, 1968, рр. 546-567]. [167]
Рго^оп^и$, Р. О. A917), ОЪег геНе^Ьаге 1)е1егт1патеп, ЗпгипдзЬегкЫе йег КбтдНск
' геимхзскеп АкаДетхе 4ег УУгззепзска/ип ги ВегНп A917) 274-277 [герпШед т:
Рег&папД Оеогд ГгоЬепшз, Оезаттеке АЬкапШипдеп, Вапй III (Х-Р, 8егге, е<1.),
Зрппяег, ВегНп, 1968, рр. 701-704]. [167]
^Ргиткт, М. А. A975), Рошег а18опШт$ т 1Ье 1Ьеогу оГ8у51ет$ оГИпеаг дюрЬапипе
еяиа1юп& (т Ки$81ап), ЫзреШ МшетаИскезШкк N0^ 30D) A84) A975) 263-264.
[89].
°Ргиткт, М. А. A976а), Ап аррИсаиоп оГ тоёЫаг аг!1Ьте11С 1о 1Ье сопв1гис1юп оГ
а^отЬтз Гог зо1 у1п^ьу51етз оГНпеаг еяиа11Оп$ Aп Ки$$1ап), ОокШу АкаАетп Ыаик
8В5К 229 A976) 1067-1070 [ЕпвНзЬ 1гап81апоп: 5о11е( МшНепшисз ОокШу 17 A976)
1165-1168]. [89, 92]
°Ргиткт, М. А. A976Ь), А1^оп(Ьт8 Гог 1пе 8о1ипоп 1п тге^егз оГ $у51ет5 оГ Ипеаг
е^иа(^оп$ (|п Ки$$1ап), 1п: ИзШогатуа ро <И$кгето1 орпгтгШзи [ЗтсЛех т Э18сге1е
Ор11т12а11оп] (А. А. РгЫтап, ед.), 1гёа1. "№ика'\ Мовсо^, 1976, рр. 97-127.
[89, 92]
°Ргигакт, М. А. A976с), Ап а1|$оп1пт Гог 1Ье ге<ЗисНоп оГа та1Г1Х оГ^Шевегз 1о 1пап§и!аг
Гогт \у11Ь роу/ег сотр1ех1(у оГ(Ье сотриипопх Aп Ки$51ап), Ёкопотгка \ Мшетап-
скезЫ МеШу 12 A976) 173-178. [89]
Ргиткт, М. А. A977), РоГупогша! 11те а1^оп1Г1т5 ш (Не 1Ьеогу оГ Ипеаг сИорНапИпс
еяиа1юпз, 1п: ГипАатетЫз о/Сотри1а1юп Ткеогу (М. Кагрт$к1, е<1.), ЬесШге N0168
т Сотри1ег 5с1епсе 56, Зрип^ег, Ые* Уогк, 1977, рр. 386-392. [89]
оРгитк1п, М. А. A980), 1^итЬег оГ паШга1 $о1и1юп8 оГ а $у81ет оГ Нпеаг <1юрЬап11пе
еяиа(юп$ (т Ки$8!ап), Мснетапскезкге Хатегкх 28 C) A980) 321-334 [Еп^НзЬ
1гап$1а1юп: МагкетаМсЫ Ыо1е$ о/1ке АсаНету о/8Ыепсе$ о/1ке 1185К 28 A980) 627-
634]. [613]
Ргиткт, М. А. A981), Оп 1пе питЬег оГ.поппе^аиуе т1е|$ег зоЫиопз оГа 8у81ет оГ
Ппеаг д1орЬап11пе еяиаиопз, [1п: ЗшсИез оп Огаркз апй Ьхзсгехе Ргодгатттд (Р.
Напвеп, ес1.),] АппаЬ о/ О\зсге1е Магкетагкз 11 A981) 95-108. [614]
°Ргиткт, М. А. A982), Сотр1ехйу яиезПопа т питЬег (Ьеогу (т Киз81ап), [т: Тке
Ткеогу о/1ке Сотр1ехиу о/СотриШпопз I (т Ки$81ап) (Э. Уи. Оп^огуеуа апд А. О.
ЗИвепко, ес18.),] ЪарШ Ыаискпукк ЗетЫагою Ь0М1 118 A982) 188-210 [Еп§НзЬ
1гап81а1юп: ЗоитаХ о/ ^ге1 Магкетапс& 29 A985) 1502-1527]. [130, 6141
га, М. A928), Оп 1пе зу51ет оГ^^пеа^ 1пеяиаПг1ез ап<1 Нпеаг 1П
РгосееЛтд* о{(ке 1трепа1 Асайетуо?3арап 4 A928) 330-333. [343]

644 Литература
Рцршага, М. A930), Оп гЬе 8уз1ет оГ Нпеаг теяиаНпез, Ргосеедтдз о/ гке 1трепа1
Асадету орарап 6 A930) 297-298. [343]
Ри1кег8оп, Е>. К. A968), №г\уогкз, Ггатез, Ыоскт{> 8у81етз, т: Магкетапсз о/ гке
пестоп ЗЫепсез, Рап 1 (О. В. ЭапЫ^ апд А. Р. УетоП, 1г, едз.), ЬесШгез т АррНед
Ма1Нета11С8 Уо1.11, Атепсап Ма1ЬетаПса1 8оае1у, Ргоуккпсе, К.1., 1968, рр. 303—
334. [152],
РЫкегзоп, Б. К. A970а), В1осктв ро1упедга, т: Сгарк ТНеогу апд Из АррИсаНопз (В.
Нагпз, ед.), Асадегшс Ргезз, Кеш Уогк, 1970, рр. 93-112. [175, 176]
РЫкегзоп, Э. К. A970Ь), ТЬе регГес! §гарЬ согуесШге лпй р1ирегГес1 %тлрЪ 1Ьеогет, т:
РгосеесНпдз о/1Не ЗесопА СНаре1 НШ Соп/егепсе оп СотЫпа(опа1 МагНетапсз апд. /*5
ЛррНсапопз A970; К. С. Возе, е( а1„ ее!».), 11шуег811у оГЫопЬ СагоИпа, СЬаре! Н^И,
N.0, 1970, рр. 171-175. [183, 564]
РЫкегзоп, О. К. A971), В1оскт§ апс! апи-Ыоск1п§ ра1гз оГ ро1уЬес1га, Ма1кетаиса1
Ргодгатттд I A971) 168-194. [175, 176, 181, 495, 498]
РЫкегзоп, В. К. A972), Апи-Ыосктб ро1уЬес1га, ^ои^па^ о/СотЪттопа! ТНеогу (В) 12
A972) 50-71. [175, 181]
РЫкегзоп, О. К. A973), Оп 1пе регГес! 8гаРп *пеогет, т: Ма(Нетаиса1 Ргодгатттд
(Т. С. Ни апа 8. М. КоЫпзоп, е^з.), Асайетю Ргезз, 1Че^ Уогк, 1973, рр. 69-76. [183,
564]
РЫкегзоп, И. К. A974), Раскт^ гоо1е<1 с11гес1е<1 си1$ т а ч/е\%\\1е<1 (Игес1е<1 8гаРп>
МшНетаНсЫ Ргодгатттд 6 A974) 1-13. [499]
РЫкегзоп, И. К., НоЙтап, АЛ., апс1 Орреппенп, К. A974), Оп Ъа1апсес1 та1псез,
Ма1кетаИса1 Ргодгатттд 8ш4у I A974) 120-132. [488, 493]
РЫкегзоп, О. К., КетЬаизег, С. Ь., апё ТгоНег, ]г, Ь. Е. A974), Т^о сотритпопаНу
зе1 соуепп§ ргоЫетз 1Ьа( апзе т сотриип§ 1Ье 1-\у1с11Ь оГ1падепсе татсез
1пр1е зуз1ет8, Ма{кета1гса1 Ргодгатттд $т<1у 2 A974) 72-81. [586, 6151
Риг1^ап§1ег, РЬ. A927), ОЬег <Ле з^тикапе АрргохгтаПоп уоп 1ггаПопа12аЫеп,
Магкетапаске Аппа1еп 96 A927) 169-175.[И6]
, РЬ. A928), ОЬег сКе 81ти11апе Арргох1таПоп уоп 1гга11Опа12аЫеп. 2\уеке
, Ма1кетаИзске Аппа1еп 99 A928) 71-83.[116]
Сасз, Р. апд Ьоуазх, Ь. A981), КЬасЬ1уап'з а^ог^Ьт Гог Нпеаг ргойгатт1п8,
МшкетаИсЫ Ргодгатттд $ш<1у 14 A981) 61-68. [252, 265]
Оаддит,}. \У^ НоЯГтап, А. ]., апс! 8око1о^зку, Э. A954), Оп 1пе ко!иС1Оп оГ1Ье са1егег
ргоЫет, NаVа^ Яезеагск 1юдт\с& ОцапегХу 1 A954) 223-229. [613]
Са1е, Т>. A951), Сопуех ро!уЬес1га1 сопез апс! Ипеаг 1пеяиаИПе8,1п: Асгтгу Апа1уз\& о/
Ргойиаюп апд. АИосаИоп (Ту С. Коортапз, ее!.), ^Иеу, N6^ Уогк, апд СЬартап &
На11, Ьопдоп, 1951, рр. 287-297. [355]
0Са1е, В. A960) Тке Ткеогу о/Шеаг Есопотк МоАек, МсСга^-НШ, №^ Уогк, 1960.
[356]
Са1е, О. A963), Nе^8ЬЬог1у апд сусИс ро1уЮрез, 1п: Сопьехпу (Ргосеед1п88 оГ8утрО81а
1п Риге Ма1Ьета11С8 VII; V. Ь. К1ее,ед.), Атепсап Ма1Ьетаиса18ос1е(у, Ргоу1депсе,
К. I., 1963, рр. 225-232. [217]
Оа1е, О. A964), Оп 1пе питЬег оГ Гасез оГ а сопуех ро1угоре, СапааЧап ^ои^па^ о/
МаХкетаИсз 16 A964) 12-17. [217]
Са1е, П., Кипп, Н. уУ., апд Тискег, А. ^. A951), Ыпеаг рго8гатт1пе апд гпе 1Ьеогу оГ
§ате8, т: Аатгу АпаХузхв о/Ргодиспоп апд. АНосаПоп (Ту С. Коортапз, ед.), М1еу,
N6^ Уогк, 1951, рр. 317-329. [140, 344, 354]
Са1репп, А. М. A976), ТНе §епега1 8о1и1юп оГ а Пп1(е 8уз1ет оГ Нпеаг теяиа1Шез,
Ма1кетаПс8 о/Орегаиою Яезеагск 1 A976) 185-196. [356]
оОап1тасЬег, р. К. A959), Тке Ткеогу о/Ма1псе$, УоЫтеь I, II (ггапзЫед Ггот (Не
Кизз1ап), СЬе1зеа, Ые\у Уогк, 1959. [16, 69]
Сагаа, С. В., Сои1д, Р. )., апд СЫег, О. A984), Ехрептетз тгк а иапапг о/ОапШдз
5е1/-диа1 те\койу героп, Сгадиа1е Зспоо! оГ Ви81пезз,
1984. [2121

Литература 645
°Сагеу, М. К. апс! ДоЬпзоп, В. 8. A979), Сотршегз апй 1п1гаааЫ1Иу: а ОиШе № гке
ТНеогу о/NР'сотр1е1епе$5у Ргеетап, 8ап Ргапазсо, 1979, [33, 35, 38, 422]
СагПпке1, К. 8. A979), ВгапсЬ апй Ъоипд те1Ьоо!8 Гог т1е§ег рго$>гатгтп2> 1п:
СотЫпаЮпа! ОрИткмюп A4. СЬпзюПёез, А. Мшдоггй, Р. То1Ь апо! С. 8апсИ, е<18.),
М1еу, СЫсЬе81ег, 1979, рр. 1-20. [588]
Сагйпке1, К. 8. апс! NетЬаи8ег, О. Ь. A969), ТЬе зе1-раг1топт§ ргоЫет: 8е1 соуепвд
и'ИЬ еяиаИ1у соп81гат18, ОрегаНопз ЯезеагсН 17 A969) 848-856. [615]
СагЛпке1, К. 8. апс! ЫетЬаизег, О. Ь. A972а), Ыидег Ргодгатттд, \УПеу, №\у Уогк,
1972. [93, 581, 614]
СагНпке1, К. апс! NетЬаи8ег, С. Ь. A972Ь), ОрПта1 8е1 соуеппв". а зигуеу, т:
Регзресйьез оп Орйт&аМоп; А СоИесйоп о/Ехровиогу АгиЫез (А. М. СеоПпоп, ес1.),
А<кИ8ОП-^е81еу, Яы<Мп& Ма88., 1972, рр. 164-193. [615]
СагГтке1, К. 8. апс! КетЬаизег, С. Ь. A973), А зигуеу оГ т1е%ег рто^глттп'т^
етрЬазшпё сотри1айоп апс! ге]аИоп8 атоп§ тосЫа, 1п: Ма1кета(ка1 Ргодгатттд
(Ргос. Ас1уапсе<1 8ет1паг, МасИзоп, ^18., 1972; Т. С. Ни апй 8. М. КоЫпзоп, ес!8.),
Асайетк Ргезв, Ые^ Уогк, 1973, рр. 77-155. [614]
Са88, 8.1. A975), Цпеаг Ргодгатттд МегкоАз апй АррИсапопз (/оиПИ еёШоп),
МсСга^-НШ, 1Ме^ Уогк, 1975. [355]
Саззпег, В. I. A964), СусИвд 1П 1Ье 1гап8рогШюп ргоЫет, №юа\ КезеагсН ЬодгзЫсз
Оцапег\у \\ A964) 43-58. [217]
уоп гиг Са1Ьеп, ^. апс! 81еуект§, М. A976), АУекеге гит ЕгШНипйзргоЫет ро1упогша1
а'яшуа1еп1е котЫпаЮпзсЬе АиГ^аЬеп, 1п: Котр\ех\Ха1 Vоп ЕтзсНеШипдзргоЫетеп
(Е. Врескег апд V. 81га88еп, ее!».), ЬесШге Ыо1ез 1п Сотри1ег 8с1епсе 43, 8рпп§ег,
Не1с1е1Ьег8, 1976, рр. 49-71. [88, 89, 92]
уоп гиг Са1Ьеп, X апс! 81еуек1п§, М. A978), А Ьоипс! оп 8о1ийоп8 оГ Нпеаг 1п1е§ег
ециаИиез апо! теяиаИиев, Ргосеейтдз о/1Ие Атепсап МшНетапсЫ $ос\егу 72 A978)
155-158. [88, Ш)
Саи88, С. Р. A801), О1щитгюпе8 Апгктеисае, ОегЬ. РЫзсЬег, Ье1рг1§, 1801 [Еп^ИвЬ
1гап81а11оп: Уа!е ип1Уег81(у Ргезз, N6^ Науеп, 1966] [герпп1е<1 аз: Саг1 РпейгхсН
Саизз \Уегке, УЫ /, КошвИсЬеп ОезеИзсЬаЛ <1ег МззепзсЬаКеп ги Оби1П8еп,
Обитееп, 1863 [герппЫ: О. О1т8, НИо!е8Ье1т, 1973]]. [120]
Саизз, С. Р. A809), ТНеопа Мошз Согрогит СоекзИит т ЗеспотЪиз Соптз 5о1ет
АтЫемшт, Р. Рег(Ье8 & ^. Н. Веззег, НатЪиг& 1809 [герпп(ес1 1п: Саг1 РпеЛпск
Саи$5 \Уегке, Уо1 VII, КошёНсЬеп ОезеИзсЬаЛ с!ег ^188еп8сг1аГ1еп ги Сбит|$еп,
Обит^еп, 1871 [герппЫ: С. О1т8, ННйезЬеАт, 1973], рр. 3-280] [Еп^ИзЬ
(гап81аиоп: ТНеогу о{хке Могхоп о/(ке НеаиеЫу ВосИез МоV^пд аЬоиг 1кг 5ип т Соте
ЗесИопз, 1Ли1е, Вгоу^п & Со., ВозЮп, 1857 [герпШед: Эоуег, Ыеш Уогк, 1963]]
[Оегтап (гап$1аПоп (рагиаИу) 1п: С. Р. Саы55, АЬкашНипдеп гиг Мехкойе йег к1ет81еп
Оценкам (к. ВбгзсЬ апс! Р. 81топ, едз), 81апк1е^юг, ВегНп, 1887 [герпп1е<1: РЬузюа-
Уег1а8, ^йггЬиг& 1964], рр. 92-117]. [48, 65, 66]
Саи88, С. Р. A811), О18ЯШ8Пю <1ее1етепП8 еШрПС18 РаНасКз ех оррО81ПошЬи8 аппогит
1803, 1804, 1805, 1807, 1808, 1809, СоттетаНопез ЗосШаЫз Кедхаг Заеппагит
СоШпдеп818(С1а$51$ Ма(кетайсае) 1 [геас! 25 ЫоуетЪег 1810] A811) 3-26 [герппЫ
1п: Саг\ РгхейПск Саивз У/егке, Уо1. VI, Кбт^НсЬеп СезеНзсЬаК <1ег \У188еП8сЬаГ1еп
ги Обит^еп, Сби1П8еп, 1874 [герпп1е<1: О. О1т8, НП<1е8Г1е1т, 1973,] рр. 3-24]
[Оегтап 1гапз1а1юп т: С. Р. Оаи§8, АЪксииНипдеп гиг МегкоДе йег к\е\пз1еп 0цайга1еу
(А. ВбгзсЬ апс! Р. 81топ, ес!з.), 81апк1е^1сг, ВегИп, 1887 [герпп*ео!: РЬу81са-Уег1а§,
уУйггЬигв, 1964,] ррЛ 18-128. [66]
Саи88, С. Р. A823), Впе/ап ОегНпд, СоШпдеп, йесетЬег 26, 1823 [гергодисес! т: Саг1
Рпейгкк Оаивз Мегке, Ко/. IX, Кот^НсЬеп СезеПзсЬаЛ дег \У188еп8сЬаГ1еп ги
ОоЦтвеп, Сбитвеп, (т сотт1881оп Ье1 В. С. ТеиЬпег, Ье1р218,) 1903 [герпп1е<1: О.
О1т&, ШИезЬеш, 1973], рр. 278-281] [Еп§И8Ь 1гап81аПоп 1п: РогзуЛе [1951]].
[60, 65]
Саи88, С. Р. A828), 8ирр1етеп1ит ТЬеопае СотЫпаAОшз ОЬзегуа1юпит ЕггопЪиз

646 Литература
Мш11Ш8 ОЪпсшае, СоттепХапопез Зоаешш Яедгае $аепПагит Соххтдепахз [Кесеп-
ххогез] 6 [геад 16 5ер1етЬег 1826] A828) 57-98 [герпгПес! т: Саг1 РпеЛпск Саизз
\Уегке, Уо1. IV, Кбш^ИсЬеп Се8е11$сЬаГ1 с1ег УУ188еп5сЬаГ1еп ги СбИт&еп, СбПтёеп,
1873 [гергтЫ: С. О1т5, НМезЬейп, 1973], рр. 57-93] [Сегтап 1гап&1а1юп т: С. Г.
Оаизз, АЬкапсИипдеп гиг МехкоДе йег к\ет$1еп Оиайга\е, (А. ВбгзсЬ апй Р. $1топ,
еде.), 31апк1е^1С2, ВегПп, 1887 [герптес!: РЬу51са-Уег1а§, ^иггЬиг^, 1964], рр. 54-
91]. [66]
Саи88, С. Р. A829), ОЪег ет пеиех а11§ететез Охмх\<\%ъ%е\.г с!ег МесЬашк, 5оитпа\$и'г <Не
гехпе ипЛ апдепап&е МагНетайк 4 A829) 232 .235 [герптес! т: СаН РпеЛпсИ
УУегке, Ко/. К Кот^ИсЬеп Ое&еИзсЬаГ! с!ег МззепзсЬаЙеп ги С6и1пееп,
1877 [герппЫ: О. О1т5, Н11ае5Ье1т, 1973], рр, 25-28] [Еп^ИзЪ 1гап81а11Оп: Оп а пе\у
§епега1 рппс1р!е оГтесЬап1С8, РИНозорИкЫ Мадагте 8 A830) 137-140]. [330]
[Саи88, СР. A831) = ] Апопутоиз, "ип1ег8исЬип§еп йЬег сИе Е1§еп§сЬаГ1еп <1ег
розШуеп 1егпагеп яиас!га118сЬеп Рогтеп уоп Ьид\У1§ Аи^и§1 8ееЬег, Иг. A. РЬПоз.
огдеп11. РгоГ <1ег РЬу81к ап дег ип!Уегх. 1П Рге1Ьиг§. 1831. 248 5. т 4", СоШпд\$сНе
де1екг(е Апгехдеп [иШег Лег Аи/зкШ Лег К6тд\. Се5е115сИа/( Аег \УжепзсИфеп] A831)
[2. Вапа, 108. 81иск, Оеп 9. ;иИиз 1831] 1065-1077 [герппЫ 1п: ^*оигпЫ]йг (Не тете
иЫапдеу/апйге МшНетаик 20A840) 312-320] [герпп1ес1 а1хо 1п: Саг1 ГпеАпск Саиаз
\Уегке, Уо1. II, Кбш^НсЬеп ОеаеПхсЬаЛ <1ег ^188еп5сЬаГ1еп ги Оби1Пёеп,
1863, [герппЫ: С. О1т5, ЬШевЬепп, 1973,] рр, 188-196]. [121]
Саи$8, С. Р. A832), Рппар1а ОепегаНа ТЬеопае Р^игае Р1и1с1огит 1п 81аШ
Соттетшюпез 8оЫе1ап5 Кедхае Зсхетхагит боШпдепш Кесеппогез 7 [геас! 28
8ер1етЬег 1829] A832) 39-88 [герппЫ 1п: СаП РпеМсИ 0аи$5 УУегке, Уо1. К
Кбп^НсЬеп Ое8е118сЬаЛ с1ег ^18§еп8сЬаГ1еп ги Об1ип§еп, Сб1Ппёеп, 1867, [герпт-
е<1: О. О1тз, №1<1е$Ье1т, 1973,] рр. 30-77] [Оегтап 1гап$\&1юп:А11детехпе СгипсИа-
деп етег ТНеопе Лег Ое$(аН ьоп РШззхдкехЬеп хпх 2и$1ап<1 Ае$ СкгсНдешсЫз
[1гап81а1ес1 Ьу К. Н. уУеЬег, еа1(ес1 Ьу Н. УУеЬег], УУ11Ье1т Епёе!тапп, Ье'фгщ, 1903].
[330]
Сау1$Ь, В. A978), Оп оЫатт|» 1Ье *Ье81' ти1йрИег5 Гог а Ьа6гап^еап ге1ахаПоп Гог
иПедег рго8гатт1П8, СотрШегз апд. Орегаиопз Кезеагск 5 A978) 55-71. [599]
СеоСГпоп, А. М. A967), 1п1евег рго$гаттт§ Ьу 1трПа1 епитегапоп ап<1 Ва1аз'
те1Ьоё, 81АМ Яеьхеп 9 A967) 178-190. [588, 604]
ОеоЯпоп, А. М. A969), Ап «тргоуес! 1трИа1 епытегапоп арргоасЬ Гог 1п1е%ег
рговгатгшпй Орегаиопз КезеагсН 17 A969) 437-454. [586, 604, 615]
ОсогТпбп, А. М. A972), ОепегаИгес! Вепс1ег8 десотрО81иоп, Зоигпа1 о/ Орпшггапоп
ТНеогу апЛ АррПсаНопз 10 A972) 237-260. [604]
ОеогТпоп, А. М. A974), Ьа^гап^еап ге!аха!юп Гог Ые^ег ргоёгатт1П8, МтИетаИсЫ
Ргодгатттд 8ШAу 2 A974) 82-114. [572, 599]
Сеойпоп, А, М. A976), А ^и1с!ес1 1оиг оГ гесет ргас1юа1 адуапсез 1п 1П(еёег Нпеаг
рго8гатт1пе, Отеда 4 A976) 49-57. [614]
СеоЯпоп, А. М. апс! Маг81еп, К. Е. A971-2), 1Мевег ргоёгатт1пё а18оп1Ьт8: а
Ггате^огк апс1 81а1е-оГ-1Ьс-аг1 зигуеу, МападетеШ Заегхсе 18 A971-2) 465-491.
[614]
ОеогТпоп, А. М. апс! Ыаизв, К. A976-7), РагатеЫс ап<1 ро81оритаН1у апа1у818 т
ш(е^ег Ппсаг рго8гатт1Пй, ЫападетепХ 5шпсе 23 A976-7) 453-466. [572]
Сегагск, А. М. Н. апс! Зспгцуег, А. A985), Маггкез тхН 1ке Ейтопйз-Зокпзоп ргорепу,
КероП N0.85363-ОК, 1п8A1и1 Шг 0копоте1пе ипс1 ОрегаПопз КезеагсЬ, ип!Уег51(аЧ
Вопп, 1985 (Ю аррсаг 1П СотЫпаюпса). [561, 565, 566]
Оег^оппе, I. Т>. A820-1), 13етоп$(гаиоп ёе§ ёеих (Ьёогёте$ йе ^ёотё(г1е ёпопсёх а 1а
ра§е 289 ди 1Х.е уо1ите <1е се гесие!!, АппЫез Aе та1кётапдиез ригез ех аррХщиёез 11
A820-1) 326-336. [332]
Сег§оппе, I. О. A824-5), КесЬегсЬе <1е цие1яие8-ипе8 с1е$ 1018 §ёпёга1е8 цш гёё188еп11е8
ро!уёс1ге8, Аппакз йе тагкётаИциез ригез ех аррНциёеа 15 A824-5) 157-164. [332]
}. Э. A825-6), Сёотё1пе <1е 31(иаиоп. РЬНозорЫе та(ЬётаПяие. Соп81<1ёг-

Литература 647
а(юп§ рЬПозорЫциех зиг 1ек ё1ётеп$ с!е 1а зспепсе с1е Гё1епс1ие, Аппа1ез Ле тспкётаИ-
аиез ригез е1 аррНциёез 16 A825-6) 209-231. [67, 332]
СегпагсЛ, К. I. A891), ЬеПэтг йЬег сНе Ое1егттап1еп, ЗНгипдзЬегккге Аег КдтдНск
Ргеиззгзскеп Акайетге йег \У1ззепзска/1еп хи ВегИп A891) 407-423. [64]
ОггПп§, С. Ь. A843), О\е Аизд1еккипдз-Яескпипдеп Аег ргасИзскеп Оеоте1пе оЛег (Не
Мегкойе Лег к\е\пз1еп Оца&гахе ти хкгеп Апчгепйипдеп/пг деоа"а'Изске Аи/даЬеп, Р. &
А. РеПЬез, НатЬиг§, 1843. [61, 67]
Оег§1епЬаЬег, М. A951), ТЬеогу оГ сопуех ро1упе<1га1 сопез, т: АаЫгу Апа\у5\5 о/
РгойисИоп апй АНосшюп (Ту С. Коортапз, ед), \УИеу, Ке^ Уогк, апд СНартап &
НаН, Ьопдоп, 1951, рр. 298-316. 1356]
Се\У1гB, А., 8котег, Н., апё Тискег, А. \У. A974), Сопз1гис1ше Ыпеаг А1деЬга, РгегШсе-
На11, Еп^е\уоос1 СНГГз, ЫЛМ 1974. |69]
СЬоиПа-Ноип, А. A962), Сагас*ёп$аПоп <1е$ та^псек Ю1а1етеп1 ип1тос1и1а1ге8,
Сотр1е$ ЯепАиз НеЪАотайшгеа Леи Зёапсез йе \'Аса<1ёт\е Лез Заепсез (Рапз) 254
A962) 1192-1194. [4311
СПез, К. апс1 ОгНп, I. В. A981), Уеп/утд ша\ Аиа\ ШедгаШу, тапизспр!, 1981.
[536, 5421
ОПез, Р. К. ап<1 РиИеуЫапк, ^. К. A979), ТоЫ с1иа! 1те§гаН1у апс1 т1е§ег ро1уЬе<1га,
Ыпеаг А1деЬга апд. Пз АррНсаНопз 25 A979) 191-196. [373, 506, 508, 515]
ОПез, К. апд ТгоПег, .1г, Ь. Е. A981), Оп 51аЫе$е1ро1уЬе<1гаГогК1 ъ-кее %гарЪ$^оигпЫ
о/СотЫпаюпа1 Ткеогу (В) 3* A981) 313-326. [565]
5СШ, Р. Е., Миггау, \У„ ап<1 ^пвН(, М. И. A981), РгасИсЫОргШгм'юп, Аса<1етю Ргезз,
Ьопс1оп, 1981. [355]
СПтоге, Р. С. A979). Си1Ппё зЮск, Нпеаг рго§гатт1пё, кпар8аск1П8, Aупат1с
рго^гатт1пё апс11те^ег рго^гатт^пё, зоте Ыегсоппесиопз, [1п: йгзсгеге Орпгтг-
апоп I (Р. Ь. Наттег, Е. Ь. ^оЬп8оп апс! В. Н. КоПе, е^§.),] АппаЪ о/
МшкетаИсз 4 A979) 217-235. [604]
ОПтоге, Р. С. апс1 Оотогу, К. Е. A961), А Нпеаг ргозгаттт§ арргоасп (о
§1оск ргоЫет, ОрегаНопз Яезеагск 9A961) 849-859. [228, 588, 604]
СПтоге, Р. С. ап<1 Сотогу, К. Е. A963), А Ипеаг рго§гатт1п§ арргоасЬ го 1пе сии1п§-
51оск ргоЫет-РаП II, ОрегаИопз Яезеагск 11 A963) 863-888. [588, 604]
СПтоге, Р. С. апй Сотогу, К. Е. A965), МиШзт^е диШпв 51оск ргоЫетз оГ(\уо апс1
тоге сИтеп81ОП8, Орегапопз Яеяеагск 13 A965) 94-120. [588]
СПтоге, Р. С. апй Сотогу, К. Е. A966), ТЬе 1Ьеогу апс! сотриШюп оГ кпарзаск
ГипсПопз, Орегапопз Яезеагск 14A966) 1045-1074 [еггаШт: 15A967K66]. [423, 604]
Скаид, С. A914), 8иг 1а гё5о1и1юп арргосЬёе еп потЬгев епиегз <^ип 8у§1ёте
с1'ёяиаПоп8 Ппёа1ге8 поп Ьото^епез, Сотргез ЯепАиз йе$ Зёапсев, Зосхёгё Магкётап-
цие Де Ргапсе A914) 29-32. [126]
Сн-Нсп, Е. апд Коша1]о\*\ М. М. A981), ЫкШгпеаге (Изкге1е ОрИтгегипд, Ака<1егте-
Уег1аё, ВегИп (ООК), 1981. [614]
С1оуег, Р. A965), А тиШрЬа8е-Aиа1 а1ёог11Нт Гог 1пе гего-опе 1п1е§ег ргоёгаттт^
ргоЫет, Орегаиопз Яезеагск 13 A965) 879-919. [588]
С1оуег, Р. A966-7), ОепегаНхес! си181п сИорЬапПпе ргоёгатт1пд, МападетеЫ 8аепсе
13A966-7J54-268. [581]
С1оуег, Р. A968а), А пе\у Гоип<1а11оп Гог а 81трППес1 рг!та1 1п1еёег рго^гатттв
а1ёОП1Ьт, Орегапопз Яезеагск 16 A968) 727-740. [581]
С1оуег, Р. A968Ь), А по(е оп Ппеаг рго^гатттё апс^ 1п1е^ег Геа81ЫН1у, ОрегаИопз
Яезеагск 16A968) 1212-1216. [495]
С1оуег, Р. A969), 1п1е§ег рго8гатт1п§ оуег а Пш1е аб&Шче §гоир, 51АМ ^ои^па^ оп
Сомго1 7 A969) 213-231. [593]
С1оуег, Р. A970), Расез оГ1пе Сотогу ро!уНес1гоп, 1П: 1тедег апй ЫопНпеаг Ргодгат-
ттд E. АЬасИе, ес1.), Nо^^Н-Но1IапA, Ат81егAат, 1970, рр. 367-379. [593]
С1оуег, Р. A972), См зеагсЬ те1Нос18 1п т(евег рго§гатт1пё, Ма1кетапса1 Ргодгат-
тхпд 3A972) 86-100. [581]

648 Литература
О1оуег, Р. A973), Сопуехку си*з апс! сШ зеагсЬ, ОрегаИопз КезеагсН 21 A973) 123-134.
[581]
С1оуег, Р. A.975а), Ые\у гезикз оп еяшуа1еп* !п1е§ег ргоёгатгшп§ Гогти1а*юп8,
МшНетаисЫ Ргодгатттд 8 A975) 84-90. [379]
О1оуег, Р. A9756), Ро!упе<1га1 аппеха1юп т гшхе<1т1е|$ег ап<1 сотЫпаЮпа1 рго^гат-
тт& Ма1кетаИса1 Ргодгатттд 9 A975) 161-188. [593]
Скэуег, Р. апс! КИп^тап, О. A976), А ргасМюпег'з $ш<1е Ю 1пе з*а1е оГ 1аг$е зса1е
пе1>уогк апс! пе*\уогк-ге1а1ед ргоЫетз, т: АР1Р5 Соп/егепсе РгосеесИпдз [УоЫте
45~\ 1976 ЫаИопЫ СотрШег Соп/егепсе (8. Мпк1ег, е<1.), АР1Р8 Рге88, Моп*уа1е, N. ].,
1976, рр. 945-950. [218]
О1оуег, Р. ап<1 АУоо18еу, К. Е. A972), \^те$апп$ <11орЬапПпе соп81га1п18, Яекзскп/г/йг
ОрегаИопз КезеагсН 16 A972) 1-10. [379]
О1оуег, Р. ап<1 21оп1з, 8. A965), А по1е оп 1Ье а<1<11иуе а1ёоп1Ьт оГВа1а8, ОрегаИопз
КезеагсН 13 A965) 546-549. [588]
Сое48ее1$, Р. 5. Е. A902), ТНёопе Дез еггеигз Л'оЬзегиаИоп, СЬаг1е8 Рее1ег8, Ьеиуей, ап<1
Оаи1Ь1ег-У111агз, Рапз, 1902. [340]
ОоШп, I. Ь. A980), ТЬе ге1ахаПоп те1Ьо<1 Гог зо1ут|$ 8у81ет§ оГ Ипеаг 1пеяиаНпез,
МагНетапсз о/ОрегаИопз КезеагсН 5 A980) 388-414. [242, 245]
ОоШп, }. Ь. A982), Оп 1Ье поп-ро1упот1аИ1у оГ 1Ье ге1ахапоп те1Ьо<1 Гог 5у81ет§ оГ
Нпеаг 1пеяиа11Пе8, Ма1кетаИса1 Ргодгатттд 22 A982) 93-103. [249]
ОоШп, .Г-Ь. A984), УапаЫе те1пс ге1аха1юп те1Ьо<1з, РаП II: ТЬе еШрзок! те1Ьо<1,
МагНетапсаХ Ргодгатттд 30 A984) 147-162. [249, 320]
СоЫЪегв, Е. Ь. A976), Оп а Ппеаг (ИорЬапПпе ециаПоп, Ааа АгИНтейса 31 A976) 239-
246. [614]
ОоШГагЬ, Т>. A983), Щ)гз1-сазе сотр1ехйу о/(Не зНайоп ьеггех 5Шр1ех ЫдогиНт, героП,
Оераг1теп1 оПп<1и81па1 Еп^пееппз апс! Орега11оп8 КезеагсЬ, Со1итЫа ип1Уег8Иу,
1983. [215]
СоМГагЪ, О. A985), ЕШс1еп1 <1иа1 знпркх а1§ог11Ьт8 Гог 1Ье азз^птет ргоЫет,
Ма1ИетаИса1 Ргодгатттд 33A985) 187-203. [218]
ОоШГагЬ, О. ап<1 Ке1<1, ). К. A977), А ргасисаЫе з1еерез1-ес1ёе 81тр1ех а^огкНт,
МагНетаИса! Ргодгатттд 12 A977) 361-371. [212]
СоШГагЬ, О. ап<1 811, V/. У. A979), \Уогз1 сазе ЬеЬау^ог оГ 1Ье з1еерез1 ео!8е 81тр1ех
те1Ьо<1, Эхзсгеге АррПеа* МагНетаИсз 1 A979) 277-285. [215]
СоШГагЪ, Э. апс! Тоё<1, М. }. A982), Моо!Шсаиопз апо! 1тр1етеп1аПоп оГ1Ье е1Ир8о1д
а1^оп1Ьт Гог Нпеаг ргозгаттте, Ма(Нета11са1 Ргодгатттд 23 A982) 1-19. [265]
СоМтап, А. 3. A956), Ке8о1иПоп апс! зерагаПоп {Неогетз Гог ро1уЬес!га1 сопуех зе18,1п:
Цпеаг 1пециаШ\е5 апй КеХаХеЛ 8уз1етз (Н. >У. КиЬп апс1 А. ^. Тискег, ес!8.), Рппсе1оп
Ш1У. Ргезз, Рппсеюп, N. 3., 1956, рр.41-51. [153]
Оо1с1тап, А. 3. апс! К1е1птап, О. A964). Ехатр1е8 ге1аПп8 1о 1Ье 81тр1ех те1Ьо<1,
ОрегаНом ЯезеагсН 12 A964) 159-161. [217]
СоЙтап, А. 3. апс! Тискег, А. >Л^. A956), Ро1уЬес1га1 сопуех сопев, 1п: Цпеаг 1педиа1Шез
апа* КеЫей Зуметз (Н. >У. КиЬп ап<1 А. АУ. Тискег, ес!8.), РппсеЮп ип1уег811у Ргезз,
РппссЮп, N. 3., 1956, рр. 19-40. [153]
СоМзИпе, Н. Н. A977), А ШзЮгу о/ Иитепса1 Апа\уз\з, Зрпп^ег, №ш Уогк, 1977.
[66, 69]
Оо1иЬ, О. Н. апс! уап Ьоап, С. Р. A983), Ма(пх СотриШюпз, Nог^Ь ОхГогс! Асаёегтс,
ОхГога, 1983. [69]
Оотогу, К. Е. A958), ОиШпе оГап а^огкЬт Гог 1п1е8ег воШиопз Ю Нпеаг рго^гатз,
ВиПеПп о/ гНе Атепсап МагНетапса! $оае1у 64 A958) 275-278. [548, 572, 613]
Оотогу, К. Е. A960), 8о1уш|$ Ппеаг рго8гатт1п§ ргоЫетз 1П 1П*е8ег8, т: Сот-
Ыпаюпа! Апа1у$1з (Я. ВеПтап апс! М. На11, )г, едз.), Ргосеед1П88 оГ 8утро81а 1П
АррНед Ма1Ьета1к8 X, Атепсап Ма1пета1юа1 8ос1е1у, РгоуМепсе, К. I., 1960,
рр. 211-215. [548, 572]
Оотогу, К. Е. A963а), Ап а^огйЬт Гог 1п(е§ег 8о!ииопз *о Нпеаг рго^гатз, 1п: Кесет

Литература 649
АДьапсе* ш Ма(Нетагка1 Ргодгатттд (К. Ь. Сгауез апд Р. \Уо1Ге, едз.),
НШ, N6* Уогк, 1963, рр. 269-302. [497, 548, 572]
Сотогу, К. Е. A963Ь), Ап а11-1п1е§ег 1п1е§ег ргоёгатгтп§ а^огкпт, т: 1паъи5(па1
ЗсИеАиНпд (}. Р. Ми1Ь апд С. Ь. ТЬотрзоп, едз.), РгепНсе-НаИ, Еп|»1е\уоод СПЙ'з,
Ш., 1963, рр. 193-206. [581]
Оотогу, К. Е. A965), Оп 1пе геЫюп ое^ееп т1е§ег апд пошМе^ег зоЫюпз 1о Ипеаг
рго^гатз, РгосееаЧпдз о/ (Не Иапопа! Асайету о/ Заепсез о/ (Не 11т(еа' $1а(ез о/
Атепса 53 A965) 260-265. [386, 588]
Сотогу, К. Е. A967), Расе§ оГ ап т1е§ег ро)упедгоп, РгосееаЧпдз о/ (Не ИаНопЫ
Аса&ету о/ЗЫепсеа о/(Не \]п\(ед. $(а(е$ о/ Атепса 57 A967) 16-18. [588]
Сотогу, К. Е. A969), $оте ро1уЬеAга ге!а1еA Ю сотЫпа1опа! ргоЫетз, ипеаг А1деЬга
ап4 1E АррНсаИопз 2 A969) 451-558. [588]
Сотогу, К. Е. A970), Ргорегиез оГа с1азз оПпОДег ро1уЬес1га, 1п: 1п(едег апА Ыогйтеаг
Ргодгатттд {). АЪасИе, ей.), ^пН-Но11апс1, Атз1егс1ат, 1970, рр. 353-365. [593]
Сотогу, К. Е. апй Ваито1, уУ. }. A960), 1п1е§ег рго8гатт1п§ апд рпс!Пё, Есопотетса
28A960M21-550. [572]
Сотогу, К. Е. апс! Нойтап, А. }. A963), Оп 1пе сопуегдепсе оГап 1п1еёег-рго8гатт1пё
ргосезз, NаVа^ КезеагсН Ьод1$(к$ ОцапеАу 10 A963) 121-123. [581]
Сотогу, К. Е. апй )оЬпзоп, Е. Ъ. A972а), 8оте сопИпиои8 Гипс1юпз геЫей ю согпег
ро1уЬес!га, Ма(НетаИса1 Ргодгатттд 3 A972) 23-85. [594]
Сотогу, К. Е. апй .ГоЬпхоп, Е. Ь. A972Ь), 8оте соп11пиои8 Гипс1юпз ге!а1ес1 ю согпег
ро!уЬес1га, П, Ма1НетаНса1 Ргодгатттд 3 A972) 359-389. [594]
Сотогу, К. Е. апс! .1ог1П8оп, Е. ^. A973), ТЬе ^гоир ргоЫетз апй §иЬас1с11Пуе ГипсПопз,
1п: Ма(НетаИса1 Ргодгатттд (Т. С. Ни апй 8, М. КоЫпзоп, ейз.), Асайетю Рге§8,
Ые^ Уогк, 1973, рр. 157-184. [594]
Сопйгап, М. A973), Ма1псез Ю1а1етеп1 иштос1и1а1гез, Е1естсиё йе Ргапсе, Ви11е(т йе
1а й1гес(юп Ае$ Ёш<1е$ е( ЯесНегсНез, 5ёпе С {МагИётапдиез* 1п/огта(гдие) 1973 N0. 1
A973) 55-73. [436]
Сопйгап, М. апд Ьаипёге, ]. Ь. A974), ТЛп а^опШте роиг 1е ргоЫёте <1е рагиНоппе-
тегН, ЯеVие Ргащагзе а" Ашотапоие 1п$огтапдие ЯесНегсНе ОрёгапопеИе
[Я. А. 1. Я. О.] %{ЯесНегсНе ОрёгаИопеИе У-1) A974) 27-40. [615]
Сопйгап, М. апс! Ьаипёге, I. Ь. A975), Ш а!§оп1Ьте роиг 1е§ ргоЫётез де гесоиуге-
теп1, Яеьие Ргащахзе а"Аи(отащие Щогтапцие ЯесНегске ОрёгаПопеИе
[Я. /4. /. Я. О. ] 9 (ЯесНегсНе ОрёгаиопеПе \-2) A975) 33-51. [615]
Соой, К. А. A959), 8у81етз оГИпеаг геЫют, 51АМ ЯеV^е^V 1 A959) 1-31. [354]
Согйап, Р. A873), УеЪег <Ие АиПозип^ Нпеагег СЫсНип^еп тк гееПеп СоеШаеШеп,
МагИетатсИе Аппакп 6 A873) 23-28. [147, 335, 373, 608]
Соггу, С. А., МоПгшр, ^. О., апс! 8Ьар1го,}. Р. A973), СотриШюпа! ехрепепсе \у!1Ь а
^гоир 1Ьеоге11с 1п1е§ег рговгатт1П8 а1§огкЬт, Ма(Нетапса\ Ргодгатттд 4 A973)
171-192. [594]
Соггу, С. А. апс! 5Ьар1го, 3. Р. A970-1), Ап айариуе 8гоиР Леогеис а1^оп(Ьт Гог
т1е$$ег рго^гаттт§ ргоЫетз, МападетеШ 5Ыепсе 17 A570-1) 285-306. [594]
Соггу, С. А., 8пар1го, I. Р., апс! ^оЬеу, Ь. А. A971-2), Ке1ахаиоп те1Ьо<!8 Гог риге апд
1тхед 1п1е§ег ргоёгатт1П8 ргоЫетз, Мападетеп( ЗЫепсе 18 A971-2) 229-239. [594,
572, 599]
Сои1д, К. A958), СгарЬв апд уесЮг 8расе§, ^ои^па^ о/Ма(НетаИс5 апй РНузгсз 37 A958)
193-214. [353]
Сои11, К. }., Нозк^пз, К. Р., МПпег, ]. А., апд РгаП, М. }. A974), Сотри(а1юпа1 МеМоЛз
т Ыпеаг А1деЬга, 81ап1еу ТЬогпез, Ьопдоп, 1974. [69]
Сгасе, 5. Н. апд Уоип§, А. A903), ТНе А1деЬга о/1тапап1з, СатЬпд§е иш'уегзку Ргезз,
СатЬпд§е, 1903 [герптед: СЬеЬеа, Ые\у Уогк, 1965]. [608]
СгаЬат, К. A972), Ап еШает а1|$оп1п[т] юг де1егт1П1п§ (Не сопуех Ьи11 оГ а Пп1(е
р1апаг зе1, 1п/огта(юп Ргосеззтд Ьепегз 1 A972) 132-133. [356]
Сгаззтапп, Н.#A844), [О1е [У155епзсНа/( йег ехипзЬеп Сго$$е, оа'ег аЧе Аи$с1еНпипд51еНге,

650 Литература
ете пеие тахкетаХгзске ОгзарИп АагдезхеХХх ипа* Аигск Апыепйипдеп егХаиХегх, Егзхег
ТНеИ, (Не Нпеа1е АизйекпипдзХекге епхкаХхепй:~\ Ок ХтеаХе Аиз^екпипдзХекге, ехп пеиег
2пехд йег Махкетаххк, О. \У1вапс1, Ье1р218, 1844 [аЬ§1гас1: Сгаззтапп [1845]]
[зесопс! есШюп: йк АизйекпипдзХекге гоп 1844 оа'ег йк ХхпеаХе Аизс1екпипдзХекге, е\п
пеиег 7.у^ехд йег Махкетаххк, О. №1§апс1, Ьс\рп%у 1878 [герпп(ес1 т: Негтапп
Огаззтаппз СезаттеХхе тахкетахгзске ипй ркузхкаИзске УУегке, Уо11, Рагх I (Р. Еп§е1,
есЦ ТеиЬпег, Ьырт,1%у 1894, рр. 5-319] [герг1пЫ: СНеЬеа, Ые\у Уогк, 1969]]
[Еп^ИзЬ 1гап81аПоп (рагОаНу) 1п: О. Е. 8гш(Ь, А Зоигсе Воок ш Мткетапсз,
МсСга\у-Н111, N6^ Уогк, 1929, рр.684-696]. [68]
Огаззтапп, Н. A845), \]еЪет сИе \У18зеп8сЬаГ( <1ег ех1еп81уеп Сго88е ос!ег Ле
АиздеЬпип^еЬге, Агскю йет Ыахкетайк ш\Л Ркузгк 6 A845) 337-350 [герпп1е<1 т:
Негтапп Сгазвтаппз Сезаттеке тахкетатске ипй ркузгкаНзске Мегке, Уо1. /, Рап 1
(Р. Еп§е1, ей.), ТеиЬпег, Ье1р21& 1894, [герппЫ: СЬе18еа, Ые\у Уогк, 1969, ] рр. 297-
312]. [68]
СгаЦап-Сшппе$8, I. A970), 1о8ерЬ Роипег'з апПараПоп оГ Нпеаг ргоёгатт^пё,
Орегапопа\ Кезеагск 0цаПег1у 21 A970) 361-364. [331]
Сгауег, }. Е. A975), Оп 1Не Гоит1аиоп8 оГ Нпеаг апс! 1п1е§ег Нпеаг рговгатття I,
Магкетапса! Ргодгатттд 9 A975) 207-226. [375, 386]
Огееп, Р. I. апс! 811уегтап, В. ^. A979), Соп51гисип§ 1Ье сопуех Ьи11 оГа 8е1 оГрО1п18 т
1Ье р1апе, Тке СошрШег ЗоитпаХ 11 A979) 262-266. [356]
СгеепЬег$ Н. A969), А дупагтс рго8гаттт§ 8о1иПоп ю 1п1евег Нпеаг рго^гатз,
Зоигпа\ о/ Махкешапса! Апагузхз аш! АррИсаХюпз 26 A969) 454-459. [5941
СгеепЬег§, Н. A971), 1пХедег Ргодгатттд, Асайетю Ргезз, Ые\у Уогк, 1971. [614]
СгеепЪег& Н. A975), Ап а^огиЬт Гог де1егт1П1П8 гес!ипс1ап1 тециаИпез апё а!1
8о1ииоп8 Ю сопуех ро1уЬес!га, Ыитепзске Махкетахгк 24 A975) 19-26. [356]
СгеепЪег&, Н. A980), Ап а1^оп1Ьт Гог а Нпеаг дюрЬапппе ециа^оп апс1 а ргоЫет оГ
РгоЬешиз, ^тепзске Махкетаххк 34 A980) 349-352. 16141
СгеепЬег^, Н. ап<1 Не^епсЬ, К. Ь. A969-70), А ЬгапсЬ зеагсЬ а1ёог11Ьт Гог 1Ье кпарзаск
ргоЫет, Мападетепх Заепсе 16 A969-70) 327-332. 1588, 604]
СгеиЬ, \У. A975), Ыпеаг А1деЬга {/оипк еАШоп), Зрип^ег, Ые\у Уогк, 1975. [69]
СпШп, V. A977), РоХукеЛгаХ роХапХу, ОосЮга! ТЬе818, ишуег811у оГАУа1ег!оо, АУа1ег1оо,
ОШапо, 1977. [185]
СпШп, V., Агаог, Л., апс! Ес1топс18, ]. A982), Ро1уЬес1га1 ро!ап1у йеГтес! Ьу а §епега1
ЫПпеаг теяиаП1у, МаХкетахкаХ Ргодгатттд 23 A982) 117-137. [185]
Огб18сЬе1, М. A977), РоХуеа'пзске Скагакхепзкгипдеп котЫпаЮпзскег ОрХШгегипдз-
ргоЫете, Уег1а§ АпЮп На1п, Ме18епЬе1т ат О1ап, 1977. [614]
Сгб18сЬе1, М. A980), Оп 1пе 8утте1пс 1гауеШп§ заЬзтап ргоЫет: 8о1иПоп оГа 120—
сйу ргоЫет, МаХкетахкаХ Ргодгатттд 8хи4у 12 A980) 61-77. [600]
Сгб18сЬе1, М., Ьоуазг, Ь., ап<1 ЗсЬгцуег, А. A981), ТЬе е1Iр8О1с1 те1Ьос1 апс! 118
сопзеяиепсез т сотЫпаЮпа1 оритггаиоп, СотЫпаХогка 1 A981) 169-197 [сог-
п§епдит:4A984J91-295].[269, 252, 564]
Сгб18сЬе1, М., Ьоуазг, Ь., апд 8сЬгууег, А. A984), Сеоте1пс те1Ьос!8 т сотЫпаЮг1а1
орит1гаиоп, 1п: Ргодгезз т СотЫпаХопаХ ОрхШгахюп (ДиЫ1ее СопГегепсе, ип1уег-
8Пу оГ \Уа1ег1оо, АУа1ег1оо, ОМагю, 1982; >У. К. РиНеуЫапк, ее!,), Асайетю Рге88,
ТогопЮ, 1984, рр. 167-183. [269, 4111
Огб18сЬе1, М., Ьоуазг, Ь., апс! ЗсНгууег, А. A986), Тке ЕХХгрзоИ Мехкой апй Сот-
ЫпаХопаХ Орптхгахюп, Зрпп^ег, Неи1е1Ьег§, Ю арреаг. [269, 295, 320, 356, 411,
417]
Отб18сЬе1, М. ап<1 Ра^Ьег^, М. ^. A979а), Оп 1пе 8>тте1пс 1гауе111пе 8а1езтап
ргоЫет I: 1пеяиаП11е8, МаХкетахкаХ Ргодгатттд 16 A979) 265-280. [600]
Сго18сЬе1, М. ап<1 Ра^Ьег^, М. №. A979Ь), Оп 1Ье зуттетс 1гауеШп$ 8а1е8тап
ргоЫет II: Ь1Г11П81Ьеогет8 апс! Гасе18, МаХкетахкаХ Ргодгатттд 16A979) 281-302.
[600]
Сгб18спе1, М. апс! РадЬег^, М. №. A985), Ро1уЬес1га11Ьеогу, «п: Тке Т^аVе^^пд ЗаХезпгап

Литература 651
РгоЫет, А СиШеё Тоиг о/СотЫпа*опа1 ОрНткшюп (Е. Ь. Ьа\у1ег, е1 а!., е<1$.),
СЫсЬез1ег. 1985, рр. 251-305. [600]
СгиЬег, I*. М. апс! \УН18, ^. М. (е<1$.) A983), Сопиехку апп. Из АррНсаИопз, ВикЬаизег,
Вазе!, 1983. [355]
ОгипЬаит, В. A967), Сопиех Ро\у\орез, 1п1ег$аепсе-\У11еу, Ьопйоп, 1967. [153, 355]
СгйпЬаит, В. апс! МоЫип, Т. 8. A962), Ьоп§ез{ з1тр1е ра1па т ро1уЬес!га1 §гарЬ§,
Уоигпа/ о/1ке Ьопйоп МагкетапсоХ Зоаегу 37 A962) 152-160 [герпп1е<1т: Ткеойоге
5. Моикт: 8е1ес1еа* Рарегз {О. СаШог, В. Согйоп апс! В. КсЯпзсЫк!, е<18.), В1гкпаи8ег,
Во51оп, 1983, рр. 292-300]. 12171
ОгипЬаит, В. апс1 ЗЬерпагс!, О. С. A969), Сопуех ро1у1оре8, Тке ВиНепп о/1ке Ьопйоп
Магкетайса! 5оае1у 1 A969) 257 300. [355]
Сипа, В. К. A973), ТЬе 8е1-соуепп§ ргоЫет и'кп ециаН!у соп81га1п18, Орегайопз
Яезеагск 21 A973) 348-351. [615]
Отваге!, М М. атк! 8р!е1Ьегё, К. A972), М1хес1-1п1еёег а1§оп(Ьт8 Гог 1Ье @,1)
кпарзаск ргоЫет, 1ВМ 3оигпа1 о] Кезеагск апй ОеъеЬртет 16A972L24-430. [6041
Ситтег, С Р A926), 8е(8 оГИпеаг ециаПопз 1П р081Пуе ипкпо^пз, АЬзггасг 1есШге
Магкетаиы! Аззосшпоп о/ Атепса, СоЫтЬиз, ОЬ1О, $ер1етЪег, 1926 [зее: Тке
Атепсап Мшкетапса1 МомЫу 33 A926) 487-488]. [3421
СйЧтв, К. A975), 2иг УегаП^ететегипё Aе8 КеиепЬгисЬа^оп^Ьтиз. I, ЗоигпаЦйг (Не
гете иЫ апдекапЖе МагкетаЫк 278/279A975) 165-173. [116]
СйЧт& К. A976а), 2иг Уега11ёете1пегип§ с1е& КеиепЬгисЬа1§оп1Ьти8. II, ^ои^па^^и^
(Не гете ипЛ апдепап&е Ма1кетаИк 281 A976) 184-198. [116]
СШт^, К. A976Ь), 2иг УегаИ^ететегипё дез КеиепЬгисЬа1ёоп1Ьти8. III, Зоигпа\$йг
(Не гете иЫ апдепап&е Магкетайк 283/284 A976) 384-387. [1161
Нааг, А. A918), А Нпеапь е§>еп1о11еп8ё^екгб1 (Нип^апап) [Оп 1пе Нпеаг 1пеяиаНПе8],
Магкетапках ёз ТегтёзгеПиАотапуг ЁгшНо 36 A918) 279-296 [герпШес! т: АЦгеА
Нааг Сезаттеке АгЬеиеп (В. ЗгокеГаМ^а^у, ес1.), Акас!ёт1а1 К1ас16, Вис1аре81,1959,
рр.421-438] [Сегтап 1гапз1а1юп: Нааг [1924-6]]. [145, 340, 342, 343]
Нааг, А. A924-6), ОЬег Нпеаге Уп^еюНип^еп, Асха Ыиегагит ас Зшппагит Кед'хае
11пюег$Иа1\5 Нипдапсае Ргапазсо-Зозерктае [$геде(Г\ 5есио $с1еппагит Ма(к-
ета^сагит 2 {1924 6) 1-14 [герпШей 1п: АЦгей Нааг, Сехаттеке АгЬепеп (В.
32бкеГа1\'1-1Ч[ае;у, ес1), Ака<1ёгшш К!ааб, Вис1аре81, 1959, рр. 439-452].[146,339,342,343]
Нас11еу, С. A962), Цпеаг Ргодгатттд, Аск118ОП-\Уе81еу, КеаA1Пё, Ма85., 1962. [355]
НасЫ'^ег, Н. A955), Акез ип<1 \!еие$ пЬег копьехе Кбгрег, В1гкпаи8ег, Ва8е1,1955. [355]
На1тоУ1СГ1, М. A983), Тке ътр1ех такой г$ гегу дооа1!—Оп 1ке ехресхед. питЬег о/рмсн
Мерз апд. геЫеа1 ргорегпея о/гапАот кпеаг ргодгатз, ргерпп(, 1983. [212, 218]
На1тоу1сг1, М. A984а), Оп гке ехресгеа1 Ьекаьюг о^'Vа^^аЫе (Нтепзюп зхтркх а1допгкт5,
ргерпт, 1984. [225]
На1тоУ1СП, М. A984Ь), А зкоп ргоо(о{гезикз оп (ке ехресгеа1 питЬег о/з1ер5 т Оатщ'з
$е1/с1иа1 а1доп1кт> ргерпт, 1984. [225]
НаШп, 5. A972), АгЫ1гап1у сотр1ех согпег ро1уЬес1га аге депзе 1п К", $1АМ Зоита\ оп
АррНеа* МагкетаНсх 23 A972I57-163. 1411, 594]
На1Пп, $. A983), Тпе зрпеге те1пос1 апс] 1Ье гоЬизтезз оГ *пе еШр8О1A
Ма1кетаИса1 Ргодгатттд 26 A983) 109-116. [264]
На11, Р. 3. апс! Каи, I. }. A979), Оп гапк8 оГ т1е§га! 2епега112ес1 1пуег8е5 оГ
татсез, Цпеаг апа* МикШпеаг АХдеЪга 7 A979) 73-85. 1495]
НаП, Р. 3. апд Ка1г, 1.1. A980), Моге оп 1П1е^га1 ёепегаНгес] туегзез оГ1п1е§га1 та1псез,
Ыпеаг апа1 МикШпеаг А1деЬга 9 A980) 201-209. [495]
НаП, Р. 3. апс! Ка1г, I. .1. A981), Т^оппе^аПуе 1п1е§га1 ёепегаНгес! 1пуегзе8, Цпеаг АХдеЪга
апа1 /Г5 АррИсаНопз 39 A981) 23-39. 1495]
оНа1то8, Р. К. A974), РтИе-аЧтеп5юпа1 УесЮг Зрасез, ЗрИп^ег, Ые^ Уогк, 1974. [69]
Наттег, 3. A977), 11пзоAес1 РгоЫетз Сопсегптд 1мике Ротгз, Ритап, Ьопдоп, 1977.
[130, 615]
Наттег, Р. Ь., ЗоНпзоп, Е. Ь., апс! Ре1ес1, II. N. A975), Расе1$ оГге^и1аг 0-1 ро1уЮрез,

652 Литература
МшИетаНса1 Ргодгатттд 8 A975) 179-206. [606, 615]
Напсоск, Н. A917), ТИеогу о/ Махша. апй МШта, Стп апс! Со., №\у Уогк, 1917
[герппЫ: Ооуег, Ые\* Уогк, 1960]. [350]
Напсоск, Н. A939), ОеьеЬртет о/гНе МткошМ Оеотеггу о/NитЬе^5, ТЬе МастШап
Сотрапу, Ые\у Уогк, 1939 [герпп1ес1 (ш 1^о уо!итез) Ьу: Ооуег, №^ Уогк, 1964].
[129]
Нагс1у, О. Н. апд ^п§Ы, Е. М. A979), Ап 1тго4исНоп (о 1Ие ТНеогу о/МитЬегз {/1/(И
еШиоп), ОхГогс! Ш1Уег811у Ргезз, ОхГогс1, 1979. [130]
Нагпх, V. С. A970а), Ап а!§оп1пт Гог ГтсПпв 1Ье§геа1е51 соттоп сНу1$ог, ТИе ПЬопассг
<2иапег1у 8 A970) 102-103. [86]
Натз, V. С. A970Ь), N0^ оп 1Ье питЬег оГсНу18ЮП8 гецшгес! ш ПпсНп@ 1пе §геаге81
соттоп с11У»8ОГ, ТИе ПЬопаса ОиапеАу 8 A970) 104. [86]
Наизтапп, О. (е<1) A978), 1шеуег Ргодгатттд апс1 Яе1шес1 Агеаа, А
ШЫ'юдгарНу 1976-1978, Ьес1иге N0168 т Есопот1С8 апс1 Ма1Ь. 5у81ет8 160,
ВегПп, 1978. [379, 609, 615]
Науе$, А. С. апс1 Ьагтап, О. О. A983), ТЬе уегйсез оГ1Ье кпарзаск ро!уЮре,
АррНей МагНешапсв 6 A983) 135-138. 1410]
Неар, В. К. апо! Ьупп, М. 5. A964), А §гарЬ-1пеоге1ю а1§оп1Ьт Гог 1Ье 8о1иПоп оГа Нпеаг
A1орЬапПпе ргоЫет оГ РгоЬеп1их, Nите^^$сНе МагНетапк 6 A964) 346-354. [614]
Неар, В. К. апс1 Ьупп, М. 8. A965), Оп а Нпеаг сИорпапгте ргоЫет оГ РгоЬепшз: ап
1тргоуес1 а1§оп[пт, МитетсИе МтНетаИк 1 A965) 226-231. [614]
Не^ег, ^. A856), ОЬег сИе АиПозип^ е!пе8 8у51ете8 уоп теЬгегеп ипЬе8Птт1еп
С1е1сЬип^еп с1е8 ег81еп Огас1е5 1п §апгеп 2аЫеп, \уе!спе е1пе ^гозкеге АпгаЫ уоп
ЫпЬекаптеп 1П 81сЬ зсЬПеззеп, а1§ З1е ги Ьез1]ттеп уегтб^еп, ЗигипдзЬегкЫе
Ое$1егге\сЫ$сИе Акайетхе Лег №теп$сИа/1еп (тшИетаЫзсН-пашгтззепзсНа/ШсИе
К1аз5еJ\ A856M50-560. [125]
Не^ег, I. A858), ОЬег д\с АиПозип^ е1пе» Зу81ете8 уоп теЬгегеп ипЬе81|тт1еп
Сгас1е8 1п §апгеп 2аЫеп, ОепкзсНп/ш <1ег КотдИсНеп
п(\У1еп), Ма1НетаШсИ-па1иг№5$е№сИа[11'1сНеК\а8$е 14B.
АЫЬ.) A858) 1-122 [аЬю риЬНзЬеа Ьу: СегоШ 8оЬп, ^1еп, 1858]. [81, 125]
НеЛЬголп, Н. A968), Оп 1Ье ауега^е 1епё1г1 оГ а с!а88 оГ ПтЧе сопппие<1 Ггас11ОП8, 1п:
АЬНатНипдеп аиа 2аН1еп1Неопе ипA Апа1у$1з, гиг Епппегипд ап ЕЛтиЫ ЬапАаи (Р.
Тигап, ее!.), УЕВ ОеШзсЬег Уег1а§ <1ег ^188еп8сЬаГ1еп, ВегНп (ЭОК) апс1 Р1епит
Рге88, Ые\у Уогк, 1968, рр. 87-96. [86, 103]
Нек1, М. ап<1 Кагр, К. М. A970), ТЬе 1гауеИп8-за1е8тап ргоЫет ап<1 тинтит
8рапп1п§ 1геез, ОрегаИопз НезеагсН 18 A970) 1138-1162. [596, 599, 600]
Не1<1, М ап<1 Кагр, К. М. A971), ТЬе 1гауеНпв-за]е$тап ргоЫет апс! гтттит
$раппт&1ге<я:рьг1П,Ма1ИетаИса1 Ргодгатттд \ A971) 6-25. [594, 596, 599, 600]
НеМ, М, \Уо1Ге, Р., апс! Сго^с1ег, Н. Р. A974), УаНдаПоп оГ зиЪвга&ет орптяаХюп,
МагНетаххсаХ Ргодгатттд 6 A974) 62-88. [599]
Не11ег, I. A953а), Оп 1пе ргоЫет оГ 8Ьог1ез1 ра1п Ье1^ееп рот18. I, Ви11е(т о/ гНе
Атепсап Ма1НетаИса1 8оае1у 59 A953) 551. [613]
НеИег, I. A953Ь), Оп (Ье ргоЫет оГ 8Ьог1е81 ра1Ь ЪеПуееп рот(8. II, ВиНеНп о/ (Не
Атепсап МагИетаИса1 $ос\е1у 59 A953) 551-552. [613]
Не11ег, I. A955а), Оп 1Ье (гауеШп^ &а1е8тап'8 ргоЫет, т: РгосееШпдз о/(Не $есопA
Зутрозшт т Цпеаг Ргодгатттд, Уо1. II (Н. А. Ап1о81е>У112, ее!.), Ыаиопа! Вигеаи оГ
81апаагд8, ^азЫп^оп, 1955, рр. 643-665. [613]
НеИег, I. A955Ь), Сеотетс сЬагас1епгаиоп оГсусИс регти1а1юп8 (АЬз1гас1), ВиНеНп о/
(Не Атепсап Ма(НетаAса1 5оае(у 61 A955) 227. [613]
НеИег, I. A955с), ^^ЬЪог ге1аПоп8 оп 1пе сопуех оГ сусНс регти1а11опз (АЪ81гас1),
ВиНейп о/гИе Атепсап Ма1Иета1ка18ос\е1у 61 A955) 440 [Ги11 агAс1е: Расфс 5оигпа\
о/ МагНетапсз 6 A956) 467-477]. [613]
НеИег, I. A957), Оп Нпеаг 8уз1етв ш{Ь 1п1е§га1 уа1иед 8о1ииоп8, Расфс Зоигпа\ о/
МагИетапсз 7A957) 1351-1364. [481]

Литература 653
НеПег, I. A963), Оп ипшосШаг 8е15 оГ уесТогз, т: КесеШ Адхюпсез т МшНетаНса!
Ргодгатттд {К. Ь. Сгауе<? апс! Р. УУо1Ге, е<1$.). МсОга\у-НШ, №* Уогк, 1963. рр. 39-
53. [436|
НеНег, I. апс1 НоЯтап, АЛ. A962), Оп иштоAи1аг та1псез, Расфс ЗоитаХ о/
МшИетайсз 12A962) 1321-1327. [448]
НеПег, I. апй Тотрктз, С. В. A956), Ап ех1епзюп оГа гпеогет оГ Оатг^'з,т: Ппеаг
ап<1 КеХагеа* 5уз1етз (Н. уУ. КиЬп ап<1 А. УУ. Тискег, е<18.), РппсеЮп
Рге88, РппсеЮп, N.1., 1956, рр. 247-254. [436, 439, 443]
Неппа, Р. A977), \рр]\ес1 апА СотришпопаХ СотрХех АпЫуш, Уо1 2, $рес\а\
Рипсиопь -!тсдга\ Тгапфгш--Азутрынса — СопИпиеа* ГгасИопз, УУПеу, Ые\у
Уогк, 1977. [1301
Нггпнге СЬ. A849), 8иг ипе циеьПоп ге!аП\е а 1а (Ьеопе Aе^ потЬгеь, Зоигпа! Aе
МшНёта^иеа Ригез е1 АррНциёеь 14 A849) 21-30 [герпп1ес1 1п: Оетгеь &е СНаг1ез
НегтИе, Тоте I (Ё. Рюагд, е<Ц СатЫег-УШагз, Рапз, 1905, рр. 265-273]. [122]
Негтке, СН. A850а), Ех1га11$ с1е 1е11гез <1е М. СЬ. Негтие а М. ЛасоЬ! зиг <НЙегеп18
оЬ]е(8 <1е 1а 1Ьёог1е с!е8 потЬгез, Уоигма/уйг (Не тете ип<1 ащеучап&хе Мс&Нетапк 40
A850) 261-278,279-290, 291-307, 308-315 [герппЫ т: Оеюгез йе СНаг1ез НегтИе,
Тпте I (Ё. Йсагй, ее!.), Саи1Ыег-УШаг8, Рапз, 1905, рр. 100-121, 122-135, 136-155,
155-163]. [122, 104]
Негтйе, СН. A850Ь), 5иг 1а 1пёопе бех Гогтез циайгапциез 1егпа1ге$, Зоигпа1/пг (Не гете
ипс1 апдемап&е МшНетапк 40 A850) 173-177 [гергт1ес! т: Оеиггеа &е Скагкь
НегтИе, Тоте I (Ё. Р1сагд, ее!.), СатЫег-УШагз, Раг18, 1905, рр. 94-99]. [121]
Негтке, СЬ. A851), 8иг Гт1гос1ис1юп дез уапаЫез сопйпиез дапз 1а 1Ьеопе с1ез
потЬгез, Зоигпа1]йг <Не тете ш\A апдеюап&е МшИетаИк 41A851I91-216 [герптес!
т: Оемгез Ае СИаНез Негтке, Тоте III (К. НепзеК ее!.), Саи1Ыег-У111аг8, Раг18,1905,
рр. 164-192]. [124]
Негтке, СЬ. A880), 8иг ипе ех1еп§1оп Aоппее а 1а 1пёопе <1е§ Ггасиопз сопипиез раг М.
ТсЬеЬусЬеГ (Ех1га11 (Типе 1е11ге <1е М. СЬ. Негт11е а М. ВогсЬагЖ [22 тагз 1879]),
Зоигпа1]иг(Не гете ит1 апдемашке Ма1кетаИкЯ&(\%Щ 10-15 [герпШес! т: Оетгез
йе СНагкз НегтИе, Тоте III (Ё. Рюагс!, ее!.), СатЫег-УШагз, РаПз, 1912, рр. 513-
519]. [125]
ННЬеП, и. A890), ШЬег д1е ТЬеог1е дег а^еЬга^зсЬеп Рогтеп, МснкетаИзске Аппакп
36 A890) 473-534 [гергЫед 1п: йагШ НИЬеП Сезаттеке АЬкапЛЫпдеп, Уо1. II,
ЗрИп^ег, ВегИп, 1933 [герптес1: СЬе1зеа, Ые^ Уогк, 1965], рр. 199-257]. [373]
Шгзсп, УУ. М. апс! Оап1218, О. В. A954), Ткерхед скагде ргоЫет, КероП Р-648, ТЬе
КА^ Согрогаиоп, 8ап1а Мопюа, Са1., 1954. [6131
Н1Г5сЬЬег§, П. 8. ап<1 УУоп^, С. К. A976), А ро1упопиа1-Пте а1ёоп1Ьт Гог гЬе кпарзаск
ргоЫет \У11Ь 1^о уапаЫеа, ЗоигпЫ о/ гке Аззоаапоп /ог Сотриппд Масктегу 23
A976) 147-154. [411]
НисЬсоск, Р. Ь. A941), ТЬе сИзгпЪиПоп оГа ргодис! Ггот 8еуега1 зоигсез 1о питегоиз
1оса1тез, Зо\лгпа\ о/ МшИетансз апй Ркуьхсз 20 A941) 224-230. [353, 612]
Но, }. К. апд Ьои1е, Е. A980), А сотрагайуе 8Ш<1у оГ 1>уо те1Ьо<18 Гог зЫгсазе Нпеаг
рго^гатз, АСЫ Тгапзаспопз оп МшкетагкЫ $о/№аге 6 A980) 17-30. [212]
Но,}. К. апд Ьоте, Е, A983), Сотри1а1юпа1 ехрепепсе ш!1Ь адуапсед 1тр1етеп1аНоп
оГ десотрозкюп а18оп1Ьт8 Гог Ипеаг рго8гатт1Пё, МаькетапсаХ Ргодгатттд 27
A983) 283-290. 12121
НосЬЬаит, О. 8. AУ82), АрркштаПоп а18оп1Ьтз Гог 1Ье зе1 соуегтб ап<1 уеПех соуег
ргоЫетз, 81АМ Зоигпа! оп СотриИпд 11 A982) 555-556. [615]
НоПтап, А. ]. A952), Оп арргох1та(е зо1ииопз оГзуз(етз оПтеаг 1пециаНаез, Зоигпа1
о/Яеаеагск о/1ке ЯаНопаг Вигеаи о/ $1апйаЫ$ 49 A952) 263-265. [194, 245]
НоШпап, А. ], A953), СусИпд \п гке зхтркх а1догикт, Яерог! N0. 2974, №г. Виг.
$1апс1агаз, ^азЫп#оп, О.С., 1953. [211]
НоГГтап, А. ]. A960), 8оте гесеп! аррИсаПопз оГ (Не 1Ьеогу оГ Ипеаг тециаИпез ю
ех(гета1 сотЬтаЮпа! апа1у818,1п: СотЫпаЮпа1 Апа1узгз (РюсеесИп^з оГ8утроз1а

654 Литература
т АррПес} Ма1пета*1С$, УоШте X (К. Ве11тап апс! М. НаП, .1г, есЬ.), Атепсап
МагЬетаОса! Зоае1у, Ргоук!епсе, К.Г, 1960, рр. 113-127. [436, 450, 481]
НоЙтап, А.}. A974), А ^епегаПгаиоп оГ тах Ло\у-тт сШ, МшНетаПса! Ргодгатттд 6
A974K52-359. [495, 497, 498]
НоЙтап, А. }. A976), То1а1 иштос!и1ап*у апс1 сотЫпа1опа1 гпеогетя, ипеаг Л1деЬга
апй Из АррНсапот 13 A976) 103-108. [436, 480]
НоЙтап, А. }. A979а), Ыпеаг ргоёгатгшп§ апс! сотЬтаЮпсь, т: Яе1апопз Ветееп
СотЫпаюпсз апа1 Охкег Рапа о/ МшкетаМса (Ргосеес1т§;$ оГ 8утро$!а т Риге
Ма1петаис8 Уо1. XXXIV; О. К. Кау-СЬаиёпип. ее!.), Атепсап Ма1петаПса1
5оае1у, Ргоу1с!епсе, К.1., 1979, рр. 245-253. [615]
НоЙтап, АЛ. A979Ъ), ТИе го!е о( ип1тос!и1ап1у 1П арр1у!п§ Нпеаг 1пециаНие8 ю
сотЫпаЮпа! ^Ьеогетх, [т: Огзсгеге ОргШгаНоп I (Р. Ь. Наттег, Е. Ь. 1оЬп8оп апс!
В. Н. Копе, ейз.),] АппаЫ о/О1$сгеге МсНкетаИсь 4 A979) 73-84. [436, 487]
НоЙтап, А. ). апс! Кгизка!, ]. В. A956), 1п1евга1 Ьоипс!агу ро1Ш5 оГсопуех ро1уЬес!га, 1п:
Цпеаг 1педиаНие5 апй Яе1а1ей$у$1еп\5{Н. ^. КиЬпапс! А. ^. Тискег, ес1з), РппсеЮп
Ып1у. Рге55, Рппсеюп, N.1, 1956, рр. 223-246. П53, 428, 429, 431, 437, 448, 449,
484, 6141
НоЯтап, А. ]. апс! КиЬп, Н. \\'. A956), 5у8(ет5 оГ Й18Ппс1 герге8еп1аиуе8 апс! Нпеаг
рго§гатт!п§, Тке Атепсап МагИетаиса1 МотМу 63 A956) 455-460. [437]
НоЙтап, А., Маппоз, М., Зококэи'зку, О., апс! ^1е§тапп, N. A953), Сотри1аПопа1
ехрег!епсе 1П 8о1уш§ Нпеаг ргоёгатз, Зотпа\ о[1ке 8ос1егу/ог 1пйи$1па1 апд. АррНеа*
Мснкетагкз 1 A953) 17-33. [212]
НоЙтап, А. ) апс! Орреппе1т, К. A978), 1л>са1 ип1тос1и1ап1у 1п 1Ье та1спт§ ро1у1оре,
[1п: А1догИктк Аарес15 о/СотЫпаыпсз (В. А18расН, Р. Не11 апс! О. .Г М111ег, ес!8.),]
Аппай о/Огзсгеге МшкетаПсз 2 A978) 201-209. [487]
НоГте151ег, О. К. A966), 2и е1пет РгоЫет уоп КгоЪепи^, йег КопдеНде N0^^
УгйепзкаЬегв ЪеккаЬз 5кп/1ег 1966 Nг. 5 A966) 1-37. [614]
Но1т, 5. апс! К1ет, О. A984), ТЬгее те1пос!8 Гог розЮрпта! апа!у818 1п т1е§ег Ипеаг
рго^гатт^пё, Ма1кетайса\ Ргодгатттд 5шс1у 21 A984) 97-109. [5721
НорсгоЛ,}. ап<1 Таг)апТ К. A974), ЕШаеШ р1апаг«1у 1е811п§, Зошпа\ о/1ке Аззоааиоп/ог
Сотригтд Масктегу 21 A974) 549-568. [454, 455]
Ноиск, О. У апс! Уети^апП, К. К. A977), Ап а1воп1пт Гог 1пе уеПех раск1п§ ргоЫет,
ОрегаИот Кезеагск 25 A977) 773-787. [615]
Нои§епо1с!ег, А. 5. A964), Тке Ткеогу о/МаГпсез т Ыитепса! Апа1уз\з, В1а18с!е11, Ые\у
Уогк, 1964 [герптес!: Воуег, Ые\у Уогк, 1975]. [69]
Нгоис!а, 3. A971), А сотпЪиПоп ю Ва1а&' а1ёоп1Ьт, АрНкасе Магетапку 16 A971) 336-
353. [588]
Нгоис!а, 5. A975), Мос!1Пкоуапу Вепс!ег5йу а^огитиз, Екопот1ско-Ма1етаИску ОЬюг
\\ A975L23-443. [604]
НгошЗаЛ. A976), ТНе Вепёегз те1пос! апс! рагате1г12а1юп оГ1Ье п^ЬьЬапс! 81с1е8 1п 1Ье
т1хе<! 1п1е§ег Ппеаг рго§гатт1п§ ргоЫет, АрНкасе Ма(ета{1ку 21 A976) 327-364.
[604]
Ни, Т. С. A969), 1тедег Ргодгатттд апд. Ыетогк Пот, АсЫ18Оп^е81еу, Кеас1ш§,
Ма88„ 1969. [89, 93, 594, 614]
Ни, Т.С A970а), Оп 1пе а8утр1оПс 1те§ег а1§ог«1Ьт, т: 1п(едег апд. ЫопНпеаг
Ргодгатттд {]. АЬасПе, ее!.), ЫопЬ-НоПапс!, Ат8(егс!ат, 1970, рр. 381-383. [594]
Ни, Т.С. A970Ь), Оп 1пе азутрюи'с 1теёег а^оп^Ьт, ипеаг А1деЬга апд. Н$
АррИсаНопв 3 A970) 279-294. [594]
Ниа, Ь. К. A982), Ыподиспоп ю ЫитЬег Ткеогу, Зрпп^ег, ВегНп, 1982. [130]
Ниап& Н.-С. апс! Тгоиег, ^, \^. Е. A980), А 1еспшцие Гог с1е1егтт1пё Ыоск1п§ апс! апп-
Ыоск1Пё ро!уНес!га1 с!е8спрПоп$, Ма1кетаНса1 Ргодгатттд 5шду 12 A980) 197-205.
[185]
Ниап& Н.-5. A981), Ап а]§оп(Нт Гог тЬе 8о1иПоп оГ а Нпеаг с!юрпапппе ргоЫет оГ
РгоЬе/|1и8, Сктезе Зоигпа\ о( Ма1кетайсз 9 A981) 67-74. [614]

Литература 655
НиЬег, А. A930), Ете Егшеиегипе ёег ОтсЫе*8сЬеп Ме1Ьос1е дез В18копПпш1аЧ$-
Гак1ог8 ипд Шге Апшепдип^ аиГ ете АиГ§аЪе <1ег МаЬг$сЬетИсЬкеЙ8гесНпип&
Мопагзкферг МагНетапк ипЛ РНузгк 37 A930) 55-72. [342]
Ние1, О. A978), Ап а^огкЬт ю §епега1е 1Ье Ьа818 оГ 8о1и1юп8 № Ьото^епеоиз
Ипеаг <1юрЬап1те еяиа1юп8, 1п[огтаНоп Ргосеззтд Ьеиегз 7 A978). 144-147.
[375, 614]
Нип& М. 5. A983), А ро1упогша181тр1ех те(Ьой Гог 1Ье а881|ттеп1 ргоЫет, Орегаиопз
КезеагсН 31 A983) 595-600. [218]
Нип& М. 5. апс1 Кот, >У. О. A980), ЗоМпв *Не азм^птет ргоЫет Ьу ге1аха1юп,
ОрегаНопз КезеагсН 28 A980) 969-982. [218]
Нипуйг, А. A891), ^ГеЪег сИе ап§епаЬеПе Оаг51е11ип§ с!ег кгапопакаШеп ёигсЬ
га(юпа1е ВгйсЬе, МагНетаИзсНе Аппакп 39 A891) 279-284 [гергЫед т: ШгкегШ-
18ске \Уегке юп ААо1/Нигт1г, 2ш\гег Вап4, В1гкЬаи8ег, Ваве1, 1963, рр. 122-128].
[103, 126]
Н\уап& р. К.., 8ип, I. апд Уао, Е. V. A985), ОрПта1 ее! раПШошпё, 51ЛМ ^ои^па^ оп
Л1деЬгтс аЫ йхзсгеге МегНоЛз 6 A985) 163-170. [615]
1Ьагак1, Т. A976), 1п(е§ег рго§гатт1п§ Гогтикйоп оГ сотЬ1па!опа1 оригшхаПоп
ргоЫетв, Охзсгеге МыНетаИсз 16 A976) 39-52. [615]
1Ъагга, О. Н. апд К1т, С. Е. A975), Каз1 арргох1та1юп а!§оп1Ьт8 Гог 1Ье кпарваск апс!
8ит оГвиЬ8е( ргоЫетв, ^ои^па^ о/гке АззоааНоп/ог СотриИпд Масктегу 22 A975)
463-468. [421]
1кига, V. ап<1 КетЬаизег, С. Ь. A983), А ро1упот1а1-1гте йиа1 вхтркх ЫдогкНт/ог гке
ггапзропапоп ргоЫет, ТесЬтса! Керог1 602, 8сЬоо1 оГ Орега(юп8 КехеагсЬ ап<1
1паи81На1 Еп^пеепп^, СогпеП ЪтуегвИу, ИЬаса, ^У., 1983. [217, 449]
1п8аг8ю1а, С. Р. апс! КогвЬ, 5. Р. A977), А §епега1 а^опЛга Гог опе-с!1теп81опа1
кпарваск ргоЫетв, ОрегаНопз Яезеагск 25 A977) 752-759. [604]
°18гаПоу, М. I. A981), ЫитЬегв оГ 8о1и11оп8 оГ Ипеаг д1орЬап11пе еяиаиопз ап<1 1Ье1Г
аррНсаAоп8 т (Не (Ьеогу оГ шуапап! сиЬа(иге Гогти1а$ (т Кихыап), ЗШгзкН
МаитайсНезкИ 2кита1 22 B) A981) 121-136 [Еп^ИзЬ (гап81аAоп: ЗШепап МагН-
етаНсЫ Зоита\ 22 A981) 260-273]. [614]
ДасоЫ, С. С. 1. A845), ОЬег е1пе пеие АиПб8ип^8аг( ёег Ье1 с!ег Ме1Ьоёе дег к1е1П81еп
Оиадга(е уогкоттепёеп Нпеагеп СЛеюЬип^еп, АзггопотгзсНе ЫасНгкНгеп 22 A845)
297-303 [герппЫ 1п: С. О. ^. ЗасоЫ'з Оезаттеке УУегке, 3. Ваги1{К. \Уе1ег$1га88, ед.),
О. Я«тег, ВегНп, 1884 [герппЫ: СЬеЬеа Ыеш Уогк, 1969], рр. 469-478] [61, 67]
ТасоЫ, С. С. 1. A868), А11&етеше ТЬеопе ёег кеиепЬгисЬаЬпНсЬеп А1§оп(Ьтеп, т
\уе1сЬеп ^есIе 2аЫ аиз <\ш уогЬег^еЬепёеп ^еЫ1Aе( тгД (Аи8 <1еп Ып(ег1а$8епеп
Рар1егеп уоп С. О. }. 1асоЫ т1(^е(Ье1к ёигсЬ Неггп Е. Нете), ЗоигпЫфг &\е гете ип4
апдепапйге Мыкетапк 69 A868) 29-64 [гергЫеё т: С. 0.7. ЗасоЫ'з Оезаттеке
\Уегке, 6. Ваги! (К. >^е1ег$1газ8, её.), О. Ке1тег, ВегИп, 1891 [герпп1ед: СЫзеа, N0^
Уогк, 1969], рр. 385-426]. [117]
ТасоЬв, >^. A954), ТЬе са1егег ргоЫет, NаVа^ КезеагсН ЬодхзНсз ОцаПеНу 1 A954) 154—
165. [613]
Заготсгук, ^. ^. A981), Упеаг деавюп 1геев аге 1оо шеак Гог сопуех ЬиН ргоЫет,
1п/огта(юп Ргосеззтд ЬеНегз 12 A981) 138-141. [356]
1агУ18, К. А. A973), Оп 1пе к1еп1Шса1юп оГ(Ье сопуех ЬиП оГа Пт1е 8е1 оГрО1пE ш Ше
р!апе, 1п/огтаНоп Ргосеззтд ЬеШгз 2 A973) 18-21. [356]
ДеговЬ^, К. С. A969), Оп (Не ипНтНеа' питЬег о//асез т Шедег Ни11з о/Ипеаг ргодгатз
т(И то сопзггаШз, Тесп. КероП Ыо. 67, Оер(: оГ ОрегаПоп8 КевеагсЬ, Со11е§е оГ
Епвшееппй, СогпеП ишуегвИу, ИЬаса, КУ., 1969. [410]
1его81о\у, К. С. A971), Соттеп18 оп ш1е&ег Ьи11в оГ 1\уо Нпеаг соп8(гат18, ОрегаНопз
Яе&еагсп 19 A971) 1061-1069. [411]
Дего$1о\у, К. О. A973), ТЬе 81тр1ех а^опШт *11К 1пе р1Уо1 ги1е оГтахип1ип8 сп1епоп
цпргоуетет, Ызсте1е МагНетаНсз 4 A973) 367-377. [215]
1его81оиг, К. О. A974), Тпу1а1 Ые^ег рго^гатх ип8о!уаЫе Ьу ЬгапсЬ-апё-Ьоипй,

656 Литература
МсиНетапсЫ Ргодгатттд 6 A974) 105-109. [586]
1его81олу, К. С. A975), А вепегаНгаНоп оГ а 1Ьеогет оГ СЬуа1а1 апё Сотогу, т:
ЫопНпеаг Ргодгатттд, 2 (О. Ь. Мапдазапап, К. К Меуег апй 8. М. КоЫгкоп, еск),
Асаёегтс Ргез», Ые* Уогк, 1975, рр. 313-331. 1572]
1его81о\у, К. С. A977), СиПт$-р1апе (Ьеогу: сйуипсПуе теШодв, [т: $1шИез т Шедег
Ргодгатттд (Р. Ь. Наттег, е1 а!., еёз.),] АппаЬ о$0\зсге1е МаХкетапсз 1 A977) 293-
330. [572, 614]
1его$1о\у, К. С. A978а), Сиитв-р1апе 1Ьеогу: а^еЪгагс те1Ьо<18, Ш$сге1е МагкетаИсз
23A978) 121-150Л369, 594]
1его81о\у, К. С. A978Ь), 8оте Ьа$18 (Ьеогепк Гог Ые^га] топо1A$, МагкетаИсз о/
Орегайою Яе$еагск 3 A978) 145-154. [375]
. A979а), ТЬе 1Ьеогу оГ си(ип^-р1апе$, 1п: СотЫпаЮпа! Орптхгапоп A4.
, А. М1П8О271, Р. То1Ь апй С. 8апЙ1, её».), \УПеу, СЬюЬев^ег, 1979, рр. 21-
72. [572]
го81о\у, К. С. A979Ь), М1шта11пеяиаН11е8, Ма1кетаИса1 Ргодгатттд 17A979) 1-15.
[369]
го81о\у, К. A979с), Ап 1п1гойис1юп го 1Ье 1Ьеогу оГ сиИтв-рЬпев, [1п: О'хзсгеХе
Орит'пайоп И (Р. Ь. Наттег, Е. Ь. ^оЬп$оп апй В. Н. Копе, е<15.),] АппЫз о/пгзсгеи
Ма1Нета1к5 5 A979) 71-95. [572]
го&1оч/, К. О. A979A), Боте ге1аха!1ол те1гюс)8 Гог 1теаг 1пеяиаНие$, СаЫегв Аи
Семге й'Ёшйеа 4е КесНегсНе ОрёгаНоппеИе 21 A979) 43-53. [245]
го81о\у, К. О. апй Копапек, К. О. A971), Оп ап а1воп(Ьт оГ Сотогу, 81А М ^ош^па^
он АррИеН Ма1кетаИс5 21 A971) 55-60. [410, 581]
, Р. A948), Ех1гетит ргоЫет$ ^ПЬ 1пеяиаН(!е$ а$ зиЬысНагу соп^Попх, 1п: ЗгшНез
агШ Еззауз. ргезетей № Я. СоигаМ оп Ыз бОгк ЫпЫау Запиагу 8, 1948 [ргеГасе Ьу
К, О. Рпес1псЬ8, О. Е. №ивеЪаиег ап<11.1. 8юкег,] 1п1ег§С1епсс, №^ Уогк, 1948,
рр. 187-204 [герппЫ 1п: РгИг ^окп, СоМесЫ Рарегз Уо1шпе 2 {}. Мовег, е<1.),
ВикЬаи5сг,Во51оп, 1985, рр. 543-560]Л250, 320, 350]
ДоЬп, Р. A966), Ьесшгез оп А&хххпсеЛ Ыитепса! Апа1у51&, Оогёоп апд ВгеасЬ, N6^ Уогк,
1966. [69]
ЛоЬпзоп, О. 8. A974а), Арргохнпаиоп а^опШтв Гог сотЫпа(ог!а1 ргоЫетз, ЗоигпаХ о/
СотрШег апЛ Зувгет Зсхепсез 9 A974) 256-278. [423, 615]
Догшзоп, Е. Ь. A973), СусПс ^гоир$, сШПп^ р1апе$, $Ьог1е$1 ра(Н$, !п: Ма1кета1\са\
Ргодгатттд (Т. С. Ни апй 8. М. КоЫпзоп, едв.), Асайетк Ргезв, N6^ Уогк, 1973,
рр. 185-211. [594]
ЗоЬпзоп, Е. Ь. A974Ь), Оп 1Ье 8гоиР ргоЫет Гог т1хе<1
Ма1кетаИса1 Ргодгатттд $Ыу 2 A974) 137-179. [594]
1оЬп8Оп, Е. Ь. A978), 8иррог( ГипсИоп», Ыоск1п^ ра1Г$, апс!
Ма1кетаиса1 Ргодгатттд $1и4у 8 A978) 167-196. [185, 594]
ДоЬп5оп, Е. Ь. A979), Оп 1пе §гоир ргоЫет ап<3 а 8иЬайЙ1Пуе арргоасЬ го ш(е&ег
рго8гатт1П§, [1п: пгзсгеи ОрМпишюп II (Р. Ь. Наттег, Е. Ь. /оЬпзоп апс! В. Н.
КоПе, ес15.)Л АппаЫ о/ пксте МагкетаИсз 5 A979) 97-112. [594]
Доппзоп, Е. Ь. A980а), Шедег Ргодгатттд-Гасегз, ЗиЬаа'а'ИюИу, апс! ОиаШу/ог Огоир
апй 5етг-дгоир РгоЫетз, [СВМ8-№Р Ке#опа1 СопГегепсе 8епе8 1П АррНес)
Ма1Ьетаис8 32,] 8оае(у Гог 1пс1и8(па1апA АррНеё Ма(ЬетаПс8, РЫ1аёе1рЫа, Репп.,
1980. [594, 614]
1оЬп$оп, Е. Ь. A980Ъ), 5иЬаёё1Пуе НГип^ те(Ьоё$ Гог рагA11отп^ апё кпарзаск
ргоЫетз, Зоигпа! о/А1догИктз 1 A980) 75-96. [594, 615]
.1оЬп$оп, Е. Ь. A981а), Оп (Не §епегаН(у оГ 1Ье зиЬаёсНиуе сЬагас(епгаПоп оГ ГасеE,
Ма(кетапс$ о/ Орегаиопз Кезеагск 6 A981) 101-112. [572, 594]
.к>пп8оп, Е. Ь. A981Ь), СЬагас^епгаИоп оГ Гасе15 Гог ти1Aр]е пв1и-Ьап<1 сЬо1се
11пеаг рго^гатБ, МагкетаИса! Ргодгатттд Зшйу 14 A981) 112-142. [572, 594]
.1оЬп5Оп, Е. Ь. апс! 8иН1, II. Н. A980), ЕхрептеШа \п »п1е^сг рго$таттт^, Ог&сте
АррПеа1 Ма1кетапс5 2 A980) 39-55. [604, 606]

Литература 657
.ТоЬпзоп, 8. М. A960), А Нпеаг <Норпап1те ргоЫет, СапсиНап Зоигпа1 о/Ма1кетапс5 12
A960) 390-398. [614]
<оДопе$, ^. В. апд Тпгоп, \У. 3. A980), СопНпиеа1 Ргасйопз-АпЫупс ТНеогу апд.
АррНсаПопз, АсШоп-\Уе81еу, КеаШпв, Ма§8., 1980. [119, 130]
.Тогйап, \У. A904), Нап4Ьиск Лег Уегтеззипдзкипа'е, Ег$ш Вапй: Аи&дк&кипдз-
Яескпипд паск 4ег Ме1Ио<1е Лег к1ет5(еп ОиаДгаге Eск еЛШоп), 3. В. МеЫегзсЬе
УеНадеЪисппашИипв, 81ииваг1, 1904. [67]
1игка(, \У. В., Кга(г, V/., апс1 Реуептпоп*', А. A977), ЕхрНск герге$еп1апоп$ЫВтсЫа
арргох1та!юп8, Ма1кетаИ$ске АппаХеп 228 A977) 11-25. [116]
Дигка!, ^., Кгаи, \У., апс! РеуептНоЙГ, А. A979), Оп Ьез* {ч/о-<Нтеп8'юпа\ ОгпсЬШ-
арргох1та11опз ап<11Ье1Г а18отЬт1с са1сиЫюп, Мснкетатске АппЫеп 244 A979)
1-32. [116]
. апд РеуептЬоЯ, А. A976), А соп81гис11Уе арргоасЬ ю Кгопескег арргох1т-
ап<1 118 аррИса^оп Ю 1Ье МеПепз соп]ес(иге, Зотпаг /иг (Не тете ипД
д Ма&етаПк 286/287 A976) 322-340. [116]
°КаЬа(уап$кй, О. А. ап<1 ЬеуепзМет, V. I. A978), Воип<15 Гог раск!п§5 оп а зрЬеге
1п 8расе (т Ки881ап)> РгоЫету Реге&асЫ 1п/огта(т 14 A) A978) 3-25 [Е
(гапвЫюп: РгоЫетз о/ 1п/огтаиоп Тгапзтхззтп 14 A978) 1-17]. [128]
Какеуа, 8. A913-4), Оп а 8у81ет оГНпеаг Гогтз лу1(Ь 1п1е§га1 уаг1аЫе8, Тке Тбкоки
МснкетаисЫ ,!оигпа( 4 A913-4) 120-131. [126, 343]
Каппап, К. A976), А ргоо/1ка1 Шедег ргодгатттд и т Л/Р, иприЬИзЬес!, 1976. [383]
Каппап, К. A980), А ро1упот1а1 а1§оп1Ьт Гог 1Ье 1\Уо-уапаЫе тее^ег рго^гатт1пз
ргоЫет, ^ои^па^ о/тке АззоааНоп/ог СотриИпд МасЫпегу 27 A980) 118-122. [411]
Каппап, К. A983а), Ро1упогта1-ите л^тс^аХюп о( Ше%ег ргобгатт1пё ргоЫет$,
Зоигпа1 о/(ке АззоааПоп/ог СотриИпд МасЫпегу 30 A983) 133-145. [379, 423]
Каппап, К. A983Ь), Гтргоуед а1вог11Ьт8 Гог т1евег рго8гатт1п^ апс! ге1агес! 1аШсе
ргоЫетз, 1п: Ргосеейтдз о/ хке П/геетк Аппиа! АСЫ 8утро$шт оп Ткеогу о/
Сотриппд, ТЬе Авзоаайоп Гог Сотриип^ МасЫпегу, Ыеш Уогк, 1983, рр. 193-206.
[113, 418]
Каппап, К. апс1 ВасЬет, А. A979), Ро1упогша1 а1^ог11Ьт8 Гог сотршт^ 1Ье 8гп11Ь апс!
НегтЦе погта1 Гогтв оГап 1п1е8ег та1пх, 81АМ Зоигпа! оп СотриИпд 8 A979) 499-
507. [89, 93]
Каппап, К. апё Мопта, С, Ь. A978), Оп 1пе сотри1аиопа1 сотр1ех11у оГ Ыевег
рго^гаттт^ ргоЫетв, 1п: ОрМтггаНоп апй ОрегаИопз Яезеагск (Ргосее^^п^х Вопп,
1977; К. Непп, В. КоПе ап<1 уУ. ОеиН, ес18.), Ьесшге N0^8 1П Есопот^сз апс1
МаЛста11са1 8у81ет8 157, Зрип^ег, ВегИ'п, 1978, рр. 161-172. [383]
°Кап№гоУ1СП, Ь. V. A939), Мспкетапсхй Ме1кой$ о/Огдаптпд аМ Р1аптпд Ргойисйоп
(Ш Ки$81ап), РиЫюаиоп Ноиве оГ1Не Ьетп^гас! 5га1е ип1Уег811у, Ьешп^гас!, 1939
[ЕпвИвЬ КапзЫюп: Мападетет Заепсе б A959-60) 366-422]. [350, 613]
°[КатогоуюЬ Ь. V. A942) = ] КатогоуПсЬ, Ь. V., Оп (Не 1гапз1осдиоп оГ таззез,
Сотр1е$ Кеп&ю Ае ГАсаЛётге 4ез 8с\епсе$ йе /'(/.К.5.5. [ = ОокШу АкаДети Майк
555К] 37 A942) 199-201 [герппЫ: Мападетет ЗЫепсе 5 A958-9) 1-4]. [613]
Кагтагкаг, N. A984), А пе^ ро1упот1а1-11те а18оп1Ьт Гог Ипеаг ргоёгаттт& 1п:
РгосееаЧпдз о/ хке $\х1еетк Аппиа\ АСМ Зутрошт оп Ткеогу о/ СотриИпд
(>№а5пнц}1оп, 1984), ТНе АзвоааПоп Гог Сотригт^ МасЬ^пегу, №\у Уогк, 1984,
рр. 302-311 [а18о: СотЫпаюгка 4 A984) 373-395]. [297]
°Кагр, К. М-A972), Яедис1ЫН1у атоп^ сотЫпаЮпа! ргоЫетз, 1п: Сотр1ехИу о/
Сотршег Сотришюпз (Я. Е. МШег апд 3. ^. ТЬа1сНег, едз.), Р1епит Рге«8, N6^
Уогк, 1972, рр. 85-103. [32, 38, 42]
Кагр, К, М. A975), Оп гЬе сотри1аИопа1 сотр!ех11у оГ сотЫпаюпа! ргоЫетв,
ЫеШогкз 5 A975) 45-68. [33]
Кагр, К. М. апс1 Рарас11т11пои, С. Н. A980), Оп Цпеаг сЬагас1ег12аПоп5 оГ сот-
ЫпаЮпа1 орит^хаНоп ргоЫетз, 1п: 2181 Аппиа1 Зутрозшт оп Гоипйапопь о/
Сотри1ег Заепсе, ШЕЕ, №\у Уогк, 1980, рр. 1-9 [аЬо т: 51АМ Зоита1 оп
Сотриппд И A982) 620-632]. [252,269, 381, 403]

658 Литература
Каги$Ь, ^. A939), МШта о/ Рипспопз о/^ега1 УапаЫез т(И 1педиа1Шез аз 8Ше
СопМгтмз, МЗс. О188ег1а11оп, ОераПтепг оГ Ма1Ьета11С8, Ш1уег5Йу оГ СЫса&о,
СЫса^о, III., 1939. [349]
Каг^ап, М. Н. апс! Каг4ш, К. Ь. A979), 5оте геЫюпзЫрз Ье1\уееп Ьа^галдоп апс!
зигго^а^е <1иаШу т т1е§ег рто$гатт'т$, МснИетаНса! Ргодгатттд 17 A979) 320-
324. [572, 599]
Ка8*пт& С. (ед.) A976), Шедег Ргодгатттд аЫ КеШей Агеаз, А ОаззфеА ВхЫю-
дгарку, ЬесШге Мо1ез ш Есопоткя апс1 Ма1Ьета1юа1 8уз1ет8 128,8рпп^ег, ВегИп,
1976. [379, 609, 615]
КаиГтапп, А. ап<1 Непгу-ЬаЬогйёге, А. A977), Ыедег ап& №хе& Ргодгатттд: ТНеогу
апА АррИсаНопз, Асас1ет1С Рге§8, Кс\у Уогк, 1977. [614]
КеНеу, 5г, У Е. A960), ТЬе си111Пё-р1апе те1Ьос! Гог 8о1у1п8 сопуех рго^гатз, Зошпа\ о}
гНе 5осге1у/ог Ыа*и51па1 ап<1 АррПеп Ма(НетаИсз 8 A960) 703-712. [614]
1С$Ш$оп, 8. С. A975^, РиЫатепгаЬ о/Ыитепса1 Апа1уы$, 1г\уш, Нотешоос!, 111., 1975.
[69]
Ке11у, О. С. A981), 8оте гезикз оп гап<1от Ипеаг ргодгатз, ОераПтеШ оГ 5(аA811С8,
Vт^/. оГ Ыог(Ь Саго11па, СЬаре] НШ, Ы.С, 1981. [225]
Ке11у, О. С. ап<1 То11е, .1. \\^. A979), Ехрес(ес1 51"тр1ех а1§огиЬт ЬеЬаУюиг {ох
гапёот Ипеаг рго§гат§, Орегапот Ке$еагсН Уег/аИгеп/Ме1коA$ о/ ОрегаИопз
ЯезеагсН 31 (III Вутровшт оп Орегаиопз КезеагсЬ, МаппЬе1т, 1978; \У. ОеиН апс!
Г. 81е(Тсп8, ейз.), А1Ьепаит/На1п/8сг1р1ог/Нап81е1П, Коп1ё§1е1п/Т8., 1979, рр. 361-
367. [225]
Ке11у, О. С. ап<1 То11е, I. ^. A981), Ехрес1ей питЪег оГ уегисез оГ а гапс!от сопуех
ро1уЬедгоп, 81АМ ЗоитаХ оп А1деЬгак аш1 Охзсгеге МеХпойз 2 A981) 441-451. [225]
Кепс!а11, К. Е. апс! 7лоШ&, 8. A977), 5о1уте 1Ше8ег рго^гатття ргоЫетз Ьу
а^гейа^п^ соп8(га1П(8, Орегапот Ке&еагск 25 A977) 346-351. C79}
Кегзеу, 3. A673), ТНе Е1етеп15 о/ТИа( Ма1кета1ка1 Ап СоттоЫу СаНей" А1деЬга, Уо1.1У
Т. Раззтдег, Ьопйоп, 1673. [118]
КсПгпет, 8. A981), ТЬе Нпеаг дюрЪапИпе еяиаНоп, ТНе Атепсап МагкетаМса!
МопгЫу 88 A981) 200-203. [86]
°КЬасЫуап, Ь. О. A979), А ро1употша1 а^огНЬт т Нпеаг ргоегатт1пё Оп Киз81ап),
ЭокШу Акайетп Nаик 555К 244 A979) 1093-1096 ГЕпёИзЬ 1гапзЫтп: $оV^е^
Ма(НетаИс5 йокШу 20 A979) 191-194]. [193, 252, 265]
оКЬасЫуап, Ь. С. A980), Ро1упот1а1 а1§отЬт8 1п Ипеаг рго8гаттт§ (т
2кигпа\ УускЫНеГпог Ма1етаНкг I Ма(етаИске8ко1 РхгСкг 20 A980) 51-68
1гап§1аПоп: 17.5.5.К. СотриШНопа! Ма1кетапсз апй* Магкетапса1 Ркувкз 20 A980)
53-72]. [252, 265]
°КЫп1сЫпе, А. A956), КеПепЪгйспе [1гап81а1ед Ггот 1Ье Ки881ап, риЬПзЬес! 1935],
ТеиЬпсг, Ье1рг1^, 1956 [Еп^ЬзЬ 1гап81аПоп: Сопппией Ргаспопау МоогсШоЯГ, Сгоп!п-
^еп (ТЬе Ые1Ьег1апA5), 1963]. [130]
КлапГаг, Р. A971), 81гоп§ег шециаИиез Гог 0,1 1п1е§ег рго^гатттв и81п$ кпарзаск
ГипсИ'оп8, ОрегаИопз Яезеагск 19 A971) 1374-1392. [582]
Клт, С. A971), 1тгоДиспоп № Ыпеаг Ргодгатттд, НоК, Ктепаг*, апё \\г1пз1оп, №у/
Уогк, 1971. [355]
К1ее, V. A959), 5оте сЬагас1епга11оп8 оГсопуех ро!уЬес!га, АсЬа Маькетайса A)рр8а1а)
102A959O9-107. [355]
К1ее, V. Ь. (ес1.)A963), СопьехНу, Ргосеедт§8 оГ8утро81а \п Риге Ма1Ьета11С5 Уо1. VII,
Атег1сап Ма1Ьстаиса1 8ос1е1у, Ргоу^епсе, К.1., 1963. [355]
К1ее, V. A964а), Оп 1Ье питЬег оГ уегAссз оГ а сопуех ро!уЮре, СапасНап Зоита\ о/
МагкетаИсз 16 A964) 701-720. [217, 355]
К1ее, V, A964Ь), О1ате1ег8 оГ ро1упес!га1 §гарЬ8, СапасНап ^ои^па^ о/ Магкетапсз 16
A964N02-614. [217]
К1ее, V. A965а), Не^Ыз оГ сопуех ро!у1орс5, Зоита\ о/ Ма(кетаИса1 Апа1у$1$
АррНсаИопз 11 A965) 176-190. [217]

Литература 659
КЛее, V. A965Ь). Ра1п8 оп ро!уЬес1га, I, ЗоигпаХ о/(Не 5оаеХу/ог 1пАи51па1 апд. АррНе<1
МахкетаХкз 13 A965) 946-956. [217]
КЛее, V. A966а), Сопуех ро1у1врез апс! Ипеаг ргоёгагпгшпБ, Ргосеейтдз о/ хке 1ВМ
Заеыфс СотриИпд 8утро$шт оп СотЫпаХопа.1 РгоЫетз (Уогк1оул1 Не18п1$, МУ.,
1964), 1.В.М. ОатРгосеззтв О1У15ЮН, \Упке Р1ат8, ТМ.У., 1966, рр. 123-158. [217]
КЛее, V. A966Ь), Ра1пз оп ро1упес1га Н, Рафс Уоигла/ о/МаХкетаХки 17 A966) 249 -262.
[217]
КЛее, V. A969), 8ерага(юп апс! зирроП ргорег^ез оСсопуех зе1з - а зигуеу, ш: Сопхго!
ТНеогу апЛ хке СакиЫз о/ Уапахюпз (А.У. Ва1акпзппап, ей.), Асаскгшс Ргезз, Ыеж
Уогк, 1969, рр. 235-303. [355]
КЛее, V. A973), Уегхкез о$сот>ех роХуХорез, Ьесшге N0168, ВераПтеп! оГМа1Ьета11сз,
Утуегвйу оГ ШазЫпйЮп, 8еаШе, ШазЬ., 1973. [242]
К1ее, V. A974), Ро1у1оре ра1гк апй 1Ье1Г геЫюпзЫр 1о Ипеаг рго§гатт1П8, АсХа
МшИетаПса {ИррзаЬ) 133 A974) 1-25. [217]
КЛее, V. A978), АсЦоЫз оГ ргозесиуе (гапзГогтаиопз апс! Гасе-П^игех оГ сопуех
ро1у^оре8, Ма1кетаИса1 Ргодгатттд $1и<1у 8 A978) 208-216. [355]
К1ее, V. апс! МЫу, О. 3. A972), Но>у ^оос! 18 1пе 81тр1ех а1§оп(Ьт?, \п: ЫециаИгхез, III
(О. 8Ы$па, ей.), Асас1ет1С Ргез», Ке\у Уогк, 1972. рр. 159-175. [2121
К1ее, V. апс! ^аПсир, О. ^. A967), ТЬе Л-81ер со1уес1иге Гог ро!уЬзс1га оГ ситепзюп
й < 6, Асш МшНетайса A1рр5а1а) 117 A967) 53-78 [216]
КЛет, и. апс! Но1т, 8. A979), 1п1евег рго§гаттт§ рохьорита! апа1у§18
р!апе8, Мападетет 8сгепсе 25 A979) 64-72. [572]
КЛше, М. A972), Ма(НетаНса1 ТНоидИ(/гот АпаеШ № Мойет Т1те$, ОхГогс!
Ргезз, N6^ Уогк, 1972. [70, 1181
К1оу<1а, М. ТЬ. а К. A937), Глпеаг ап<1 циапгайс еяиаиопз 1550-1660, Озтз 3 A937)
165-192. [70, 130]
КпоЫосп, Е. A980), Оег Ведтп 4ег ОегегтЫаШетНеопе, ЬегЪтгепь паскдеШззепе
5ш<Иеп гит Оеьегттапи пкагкп^ Оег81епЬег§ УеНа^, НИс1е8Ье1т, 1980. [641
оКпи1Ь, Э. Е. A968), Тке Аг* о/Сотри1ег Ргодгатттд, Уо11: РипАатемЫ АХдогйктз,
А<Ы1зоп->Уе51еу, Кеас1|п^ Ма8$., 1968. [35]
оКпи1Ь, О. Е. A969), Тке Ап о/Сотри1ег Ргодгатттд, УЫ. 2: $еттитегка\ А\догйкт$,
АдсЙ8оп-\Уе81еу, Кеадть Макз., 1969. [86, ИЗ, 130]
КоЫег, ^. А. A967), РщеЫопз о/сопьех ро1уке<1га1 зе1$, Орег. КезеагсЬ Сетег Керог!
67^29,11шуег5Цу оГСаНГогп^а, Вегке1еу, Са!., 1967. [242]
КоЫег, V. А. A973), ТгапзЬиоп оГа героп Ьу Роиг1ег оп Ыз \уогк оп Нпеаг 1пеяиаНИе8,
Ораеагск 10 A973) 38-42. [242, 332]
Кок$та, 3. Р. A936), Оюркаппзске; Арргохтапопеп, 8рпп§ег, ВегИп, 1936 [герпп1е<1:
СЬеЬеа, N6* Уогк, 1950; 8рг1п§ег, ВегИп, 1974]. [74, 129]
Кокета, .1. Г. апё МеЫепЬеИ, В. A941), 1ЛеЬег с!1е Арргох1таиоп етег Ьото^епеп
ипеагТогт ап <11е ЫиН, РгосеесИпдз КотпкЩке Nейег1аП<1$е Акайетхе Vап Мехеп-
зскарреп [Ъесх'юп о/8аепсе$] 44 A941) 62-74. [116]
К.о1е$аг, Р. I. A966-7), А ЬгапсЬ апс1 Ьоип<1 а^опШт Гог 1Ье кпарзаск ргоЫет.
Мападетепх Заепсе 13 A966-7) 723-735. [588]
Копйог, С. A965), СоттеШз оп 1Ье зо1иПоп оГ1пе 1п1е^ег Нпеаг рго8гатт1П8 ргоЫет,
т: СоИоцитт оп АррИсаХшпз о/ Махкетахкз Хо Есопотхсз, Вий аре $и 1963 (А.
Ргёкора, ей.), Акас1ёт1а1 ЮаA6, Видаре81, 1965, рр. 193-201. [582]
оте, 6. A916), СгаГок ёз а1ка1тага8ик а Aе1егт1пап8ок ёз На1тагок е1тё1е1ёЪеп
(Нип^апап), Мсикетапкт ё$ ТегтёзгеИиАотапуч Ёпе$ид 34 A916) 104 119 [Сег-
тап 1гап$1апоп: СЬег ОгарЬеп ип<11Ьге Ап>уепёип§ аиГ Ое1егт1пап1етЬеопе ип<1
Меп§еп1еЬге, Махкетахиске АппЫеп 77 A916) 453-465]. [167]
отв, И. A931), СгарЬок ёз та1пхок (Нип§аг1ап) [СгарЬз апс] татсез], Махетаххкш
ёз Рткт 1мрок 38 A931) И6-П9. [438, 530,612]
6т& Э. A933), ОЬег 1геппепде Кпо1еприпк1е 1п СгарЬеп (пеЬ»1 Ап*епс1ип8еп аиГ
Ое1егт1пап1еп ипс! Ма1г»геп), Асха Цххегагит ас Ваепиагит Кедше

660 Литература
Иипдапсае Ргапазсо^озерктае(8гедес1), $еспо Заепггагит МмкетаМсагит 6A933)
155-179. [437, 612]
Кбш& Н. апс! РаИазсЬке, О. A981), Оп КЬасЫап'з а1§оп(пт ап<1 гшшта! еШрзо^з,
Ыитепзске Ма1кетаИк 36 A981) 211-223. [326]
Коортапз, Ту С. A948). ОрНтит игШгасюп оГ *Ье 1гап5рогГа1?оп $у<Лет, т: Тке
ЕсопотеШс 8оае1у Мееппд (^азЫп^Юп, ХУ.С> 1947; О. Н. Ьеауепз, ее!.), [Ргосеес!-
т§з о( (Не 1п(егпа1юпа1 81а118Пса1 СопГегепсез, Уо1ите V,] 1948, рр. 136-146
[герппЫ т: Есопотегпса 17 (Зирр1етеп() A949) 136-146] [герптес! т:
Рарегз о/Т]аШпд С. Коортапз, Зрпп^ег, ВегНп, 1970, рр. 184-193]. [353, 612]
Коортапз, Ту С. (е<1) A951), АаЫгу Апа\уз\з о^РгойисИоп апй АИосаИоп, М1еу,
Уогк, 1951. [355]
Коортапз, Ту С. A959-60), А по1е аЬои! КагПогоуюЬ'з рарег, 'Ма1ЬетаПса1 те1Ьо<18
оГ ог^ашгт^ апс! р!апп1П8 ргос!исиоп', Мападетем Заепсе 6 A959-60) 363-365.
[352, 353]
Коортап§, Ту С. A961-2), Оп 1Ье еуа1иаПоп оГ КапЮгоУ1сЬ*$ \*огк оП939, Мападе-
тет Заепсе 8 A961-2) 264-265. [353]
Коортапз, Ту С. апс! Весктапп, М. A957), Аазцзптет ргоЫетз апс! (Не 1осаПоп оГ
есопотк асПУ1Пе8, ЕсопотеХпса 25 A957) 53-76. [613]
Кор1омB,1. апс! Доирр1, ХУ. A978), А тоге еШсмеШ сопуех Ьи11 а1§оп(Ьт, 1п/огтаИоп
Ргосеззтд Ыиеп 7 A978) 56-57. [356]
Когкте А. апс! 2о1о1аге!Г, О. A872), Зиг 1е8 Гогтез циа^гаициез ро81AУе8 циа(егпа1ге8,
Ма1кетаН$ске Аппакп 5 A872) 581-583 [128]
Когкте, А. апс! 2о1о*аге(Т, О. A873), 8иг 1е8 Гогтез яиас1гаПциез, МсикетаН&ске
АппаХеп 6 A873) 366-389. [128]
Когкте, А. апс! 2о1о1аге(Г, С. A877), 8иг 1ез Гогтез циао!гаПяиез роз1Пуез, Магкета-
Изске АппаХеп \\ A877) 242-292. [128]
Кбгпег, Р. A980), СЬег (Не орптак Огбззе иоп ТегкаЫеаиз Ье\т $\тр\ехтг$акгеп,
ргерпгП, ТесНп18сЬе ип1уегз1(аЧ Огезс1еп, 1980. [225]
Ког1апек, К. О. апо! Кот, XV. О. A971), С1аззШса11Оп зсЬетез Гог (Не з(гоп^ <1иа111у оГ
Нпеаг рго§гатт1П8 оуег сопез, Орегапот Яезеагск 19 A971) 1571 -1585. [152]
КоПалек, К. О. апд Зоу^ег, А. Ь. A972), Оп геПпететз оГ.чоте ёиа1!(у (Ьеогетт» т
Нпеаг рго§гатт]п§ оуег сопе&, Орегапою Яе^лпк 20 A972) И7 14? П52]
Ког1е, В. A976). 1ШС1)€Г ргодг^ттт^. Керпг! "ч<^ 7(ЛЯ-ОЧ ЬуА'^гЛ Гиг А1 г п>-1Сл г:- иг I
ОрегаПопз КезеагсЬ, Вопп, 1976. [614]
КоПаЬ, Т. С. Т. апс! 51е1пЬег& О. I. A978), Оп (Не ро$8|ЪШ(у оГсусНп^ >У1(Ь (Ье 81тр1ех
те(Ноа, Орегаиопз Яезеагск 26 A978) 374-376. [212]
Кгезз, М. апд Тат1г, А. A980), ТЬе и§е оГ ^соЪГз 1етта т ип1тос1и1ап1у (Ьеогу,
МшкетаМсаХ Ргодгатттд 18 A980) 344-348. [436]
Кго1, V. апс! М1гтап, В. A980), 8оте ргасисаХ тойфсапот о/еШрзоМЫ тетНо4&/ог ЬР
ргоЫетз, Агсоп 1пс, ВозЮп, Мазз., 1980. [326]
Кго1ак, Р. О. A969), Сотри(аAопа1 гезикз оГ ап т(е§ег рговгаттт^ а^огкЬт,
Орегаиопз КезеагсЬ, Вопп, 1976. [614]
Кгопескег, Ь. A877), ОЬег АЪе1зспе О1е1сЬип§еп (Аизги^ аи? <1ег ат 16. Арп! 1877
8е1езепеп АЬпапсПипв), МопагзЬепскге Дег КотдНск Ргеиззхзскеп АкаАетхе &ег
№155еп5ска/1еп ги ВегНп A877) 845—851 [герпп1е<1 1п: ЬеороЫ Кгопескег'з \Уегке,
Ъапд. IV (К. НепзЫ, е<1.), ТеиЬпег, ЬЫрг^, 1929 [герпШес!: СЬе1зеа, N6^ Уогк, 1968]
рр. 63-71]. [81]
Кгопескег, Ь. A883), 8иг 1ез ип1(ёз сотр!ехез, Сотргез Яепйиз НеЫотаЫгез &е%
Зёапсез йе 1'Асайётхе йеь Заепсез 96 A883) 93-98, 148-152, 216-221 [герпп(ед 1п:
иороШ Кгопескег'з \Уегке, ВапА 111-1 (К. НепзЫ, ей.), ТеиЬпег, \л\рг\& 1899
[герппЫ: СЬе1зеа. N6^ Уогк, 1968], рр. 3-19]. [125]
Кгопескег, Ь. A884а), О1е Рег1ос1еп8у8(ете уоп РипсКопеп гееИег УапаЬс1п, Мопасз-
ЪепсЫе йег КбмдИск Ргеиззхзскеп АкаЛетхе йег Шззепзска^геп ги ВегНп A884) 1071 —
1080 [герпп(еа т: ЫороЫ Кгопескег'з Мегке. Вапй ///-/ (К. Непве!, е<1), ТеиЬпег,

Литература 661
Ц 1899 [герппЫ: СЬе1зеа, N6* Уогк, 1968], рр. 33-46].
Кго^ескег, Ь. A884Ь), №Ьешп88\уе18е %ьп22аЫ{%е АиПозип^ Нпеагег
М^пснзЬепскге Лет КдпхдИск РгеиззгзсНеп Ака&етхе Лег {Угззепзскареп ги ВегНп
A8184) 1179-1193,1271-1299 [герппЫ ш: ЬеороШ Кгопескег'з УУегке, Вапд. И1-1 (К.
Непзе!, ее!.), ТеиЬпег, Ье1р21& 1899 [герппЫ: СЫзеа, №\* Уогк, 1968], рр. 49-109].
[74, 126]
КиЬп, Н. \\'. A955а), ТЬе Нип§апап те1Ьо<1 Гог гЬе а§818птеп1 ргоЫет, Ыма1 Яезеагск
ЬодгзНсз ()иапег1у 2 A955) 83-97. [613]
КиЬп, Н. ^. A9556), Оп сеПаш сопуех ро1уЬе<1га (АЪвггасг), ВиИеИп о/1ке Атепсап
Ма1кетапса1 5оЫе1у 61 A955) 557-558. [613]
КиЬп, Н. АУ. A956а), 8о1уаЫИгу апс1 соп8181епсу Гог Ипеаг ециаНопк апс! теци
Тке Атепсап Ма1кетаИса\ МотЫу 63 A956) 217-232. [139, 147, 242, 354]
КиЬп, Н. ^. A956Ь), Уапапгз оГ1Ье Нип^апап те1Ьо<1 Гог азз^птеп* ргоЫетз,
Кезеагск ЬоуЫка 0цаПег1у 3 A956) 253-258. [613]
°КиЬп, Н. ^. A956с), Оп а 1Ьеогет оГАУаМ, т: Цпеаг !педиа1шез ап4 ЯеШеа* 5у5(ет5
(Н. \У. КиЬп апд А. ^. Тискег, ес18.), Аппа1§ оГ Ма^Ьетайсз ЗШсИез 38, Рг1псе1оп
ип!Уег811у Рге88, Ргтсе1оп, N.1., 1956, рр. 265-274 [герпШес! 1п: ЯеааЧпдз т
Магкетапса! Есопоткз, Уо1 I, Уа1ие Ткеогу (Р. №^тап, е<1.), ТНе 1оЬп8 Норкта
Ргезв, ВаШтоге, 1968, рр. 106-115]. [346]
КиЬп, Н. >У. апс! Риапс11, К. Е. A963), Ап ехрептепЫ 8ШAу оГ 1Ье 81тр1ех те1Ьос1, т:
Ехрептепш1 АгиктеНс, Шдк-Зрееа* СотриНпд апй Магкетапсз (Ргосеес1т88 оГ
8утро81а 1п АррНес! Ма1Ьетаис8 XV; N. С. Ме1гороН8, е1 а!., е<18.), Атепсап
Ма1Ьетайса1 5ос1е1у, РгоуМепсе, К. I., 1963, рр. 107-124. [210, 212]
Н. ^. ап<1 Тискег, А. \У. A951), ЫопНпеаг рго^гаттт^, \п: РгосееаЧпдз о/1ке
$есопй Вегкеку Зутрозтт оп Ма1кетапса1 ЗшгзМсз ап4 РгоЬаЫШу (Вегке1еу, 1950;
]. №утап, ее!.), ип1уег811у оГСаИГогта Рге88, Вегке1еу, СаПГогп1а, 1951, рр. 481-492
[герпгНей 1п: ЯеааЧпдз т Ма1кета1ка1 Есопотхсз, Уо1.1, Уа\ие Ткеогу (Р. Nе^Vтап,
ее!.), ТЬе ДоЬпз Норктз Рге88, ВаНтоге, 1968, рр. 3-14]. [153, 350]
КиЬп, Н. АУ. апс! Тискег, А.^. (едз.) A956), Ыпеаг 1педиа\Ше$ апй ЯеХагед. 8у51ет$,
Аппа18 оГ МаШетаПсз ЗгисНез 38, Рппсе1оп ип!Уег811у Рге$8, РппсеЮп, ЫЛ., 1956.
[354]
Кига1о^8к1, С. A930), 8иг 1е ргоЫете дез соигЬев ^аисЬез еп ЮроЬ^^е, Рипйатеп1а
МагкетаНсае 15A930J71-283. [25, 454, 462]
Ьа Мепга, Р. A930), Ьоз 8151ета8 <1е 1песиас1опе8 11пеа1е8 у 1а с11У1$1бп <1е1 Ь1реге8рас1О,
т: Ат йе\ Сопдгеззо 1тегпагюпа1е Де\ Ма1етапс1, Уо\. II (Во1о^па, 1928), N.
2ашсЬеШ, Во1овпа, [1930,] рр. 199-209. [342]
Ьа Мепга, Р. A932а), 8оЬге 1о8 8181ета8 с!е 1песиас1опе8 Нпеа1е8, Во1е(т Ма1етаМсо 5
A932) 127-130. [342]
Ьа Мепга, Р. A932Ь), ЗоЬге 1о8 5181ета8 <1е 1песиас1опе8 Ипеа1е8 (Сопс1и81оп), Во1е1т
Магетапсо 5 A932) 149-152. [342]
Ьа^апаз, 1. С. A980а), 8оте пе^ гезиНв 1п 81тиИапеои8 ёюрЬапгте арргох!таПоп, т:
РгосееаЧпдз о/ гке Оиегпъ НитЪег Ткеогу Соп/егепсе, 1979 (Р. ШЪепЫмт, ее!.),
Оиееп'з Рарегв 1п Риге апс! АррИед Ма1Ьетапс8 54, 0иееп*8 1)п1Уег811у, К1п88Юп,
Отапо, 1980, рр. 453-474. [116]
I С. A980Ь), \Уог81-са8е сотр1ех11у Ъоипдв Гог а1ког11Ьт8 1п 1Ье Леогу оГ
циаёгаас Гогтз, ^ои^па^ о/ А1догиптз 1 A980) 142-186. [130]
I. С. A982), ТЬе сотри1а1юпа! сотр1ех1гу оГ 81тикапеои8 д1орЬапНпе
арргох1таиоп ргоЫетв, 1п: 23Ы Аппиа1 Зутрозтт оп ГоипАагюпз о/ СотрШег
Заепсе, ШЕЕ, N0* Уогк, 1982, рр. 32-39 [Гта1 уетоп: 81АМ ^ои^па^ оп Сотрштд
14A985) 196-209]. [П5, 401]
Ьа@апа8, ). С. апс! Ос11угко, А. М. A983), 8о1ут§ 1ош-с1еп811у $иЬ8е1 8ит ргоЫетз, 1п:
24гк Аппиа1 Зутрозтт оп Гоипйапопз о/Сотршег Заепсе, ШЕЕ, №\у Уогк, 1983,
рр. 1-10 [Гта1 уегаоп: ^ои^па^ о/(ке АззоааНоп/ог СотриНпд Масктегу 32 A985)
229-246]. [116, 398]

662 Литература
с!е Ьа§пу, Т Р. {1697), NоиVеаиx Е1ётет А'АгиНтеидие е[А'А1дёЬге, ои 1п(гоАи</(шп аих
МагкетаЩиея, ). ^тгкггч. Рапз, 1697. [МЫ -
де Ьа^пу. Т. Г. A733). Апа1узе щёпёгЫе, ои тётИоАез пошеИез ранг * ><оиАге кьЬгоЫётеа
Ае юиз 1е$ депгез е\ Ае юиз 1ез Аедгег а Ппппи Ьа Сотра^те ае$ ЫЬга1ге«, уапз, 1733
[а!$о: Мётоггез Ае ГАсаАётхе ЯоуЫе Лез Заепсез, Лершь 1666}изци'а 1699,11 [аппёе
1720] A733) 1-612 (+12р.)]. [118]
]. Ь. A769а) = 1 с1е 1а Сгап^е, 5иг 1а $о]и1юп с1е& ргоЫетез тае1егттё$ ди
зесопд ае&ге, ШзШге Ае 1'АсаАётхе ЯоуЫе 4ез $с\епсен е1 Вепеъ-Ьепгеь (ВегНп) 23
[аппёе 1767] A769) 165-310 [герлтед т: Оештез <1е [.адгапде, УЫ. II A.-А. 8егге1,
еа.), Оаи1Н1ег-У|Iаг8, Рапе, 1868, [герппЫ: О. О1т8, ЬПЫезЫт, 1973,'] рр.377-
535]. [118]
а^гапде, ^. I.. A769Ь) = ] с1е 1а Огап^е, 8иг 1а гё5о1иAоп с1е8 ё^иа^^оп8 питёпциез,
Шзшге йе ГАсайётге Яоуа\е Аеъ 5аепсе$ е1 Ве1\е5-ЬеИге5 (ВегНп) 23 [аппёе 1767]
A769) 311-352 [герпмед 1п: Оеиггез йе 1мдгапде, Ко/. // (^.-А. 5егге1, ес1.), Саи1Ь1ег-
УШагв, Рапз, 1868, [герптес!: О. О1тз, НПаевНит, 1973,] рр. 539-578]. [119]
, }.1-.{\770) = ] с1е 1а Огап§е, NоиVе11е тёсЬоёе роиг гёзоиAге 1ез ргоЫетез
!ПAё(егт1пё5 еп потЬгез епПегз, НЫогге <1е ГАсайётхе Яоуа1е Ае* $с1епсеа е1 ВеИез-
иигеь (ВегНп) 24 [аппёе 1768] A770) 181 -250 [гератеё т: Оешгез Аг 1мдгапде, Уо\.
II {}.-к. 8егге1, е<1.), СаШЫег-УШагз, Рапз, 1868, [герптед: С. О1тз, ННдезЬеип,
1973,] рр. 655-726] Л И 83
с!е Ьавгап^е, 1 Ь. A774), Ас1A111ОП8 аих ё1ётеп1з й'а^ёЬге A'Еи1ег—Апа1у8е 1пс1ё1ег-
т1пёе, 1п: Ь. Еи1ег, Ё1ётеШ5 А'А1дёЪге, 1гаНшEAе ГаИетапА аьес Лез Ыо(е5е( ААМНопз
[раг ^. ВегпоиШ ех Ьадгапде], ^.-М. Вгиузе!, Ьуоп, 1774, рр. 517-523 [герптей 1п:
ОетгезйеЫдгапде, УЫ. У1Ц}.-\. 8егге1, ес1.),СашЫег-У111агз,Рап8,1877, [герпп1ед:
О. О1тз, Н11Aе8Не1т, 1973,] рр. 5-180] [Еп^ИзЬ 1гап81а1юп т: Ектетз о/А1деЬга, Ьу
Ьеопагс! Еи1ег, ]. Доппзоп, 1оп<1оп, 1797 [ПЛЬ есПНоп A840) герпп1е<1 Ьу: ^ргт^ег,
Уогк, 1984]]. [119]
]. Ь. A775а) = ] ее 1а Сгап^е, КесНегсНез &аг'пЪтё1\цие [Ргет1ёге рагйе],
Ыоиъеаих Мётоггез йе \'Асайёт\е Яоуа\е Дез ^аепсез е\ ВеНез-ЬеХХгез (ВегНп) [аппёе
1773] A775) 265-312 [герпп1ес! т: Оеиигез йе [.адгапде, Уо1. III (].-А. 5егге1, е<1.)
Саи1Ыег-УШаг8, Рапз, 1869, [герг1теа: С. О1тз,РШеаНит, 1973] рр. 695- 758] И1 »\
[Ьа§гап§е, ^. Ь. A775Ь) = ] де 1а Огап^е, КоиуеПе чо1и1юп с1и ргоЬ!ете аи тоиуетеШ
ае го1аиоп а'ип согрз ае п%ите циекопцие ^и^ п'ез1 ап^тё раг аисипе Гогсе
ассё!ёга1г1Се, Ыоинеаих Мётоггез &е УАса&ётхе Коуак &е& $с1епсеъ ех Ве11е5-1лПге5
(ВегНп) [аппёе 1773] A775) 85-120 [герп'тед 1п: Оечжез Aе 1мдгапде, Уо1. III {].-А.
5егге1, еа.). Оаи1Ь1ег-У111агк, Рапх, 1869, [герптеа. Ь. О!т8, ННаезНе^т, 1973,] рр.
579-616]. [65]
[Ьа§гап§е, 3. Ь. A775с) — ] ае 1а Огап^е, 5о1ииоп8 апа1у^^^ие5 ае дие^иез ргоЫетез
8иг 1ез ругапнаез 1папёи1а!гез, NоиVеаиx Мётоггез йе 1АсЫёт\е ЯоуЫе с1е$ Заепсез
е1 Ве11еЗ'Ьеххгез (ВегНп) [аппёе 1773] A775) 149-176 [герпп1еа т: Оеиигез Ае
Ыдгапде, УЫ III A.-А. 5егге1, еа.), СашЫег-УШагз, Рапз, 1869, [герг1теа: О. О1тз,
НЛаезНе^т, 1973,] рр.661-692]. [65]
Ьа^гап^е, ]. Ь. A778), 5иг 1ез гпхегроЫюпв, тапизсг!р1, [1и раг ГАи1еиг а ГАсааёт1е аез
Заепсев ае ВегНп 1е 3 8ер1етЬге 1778,] В1ЬНо1Ьёцие ае Г1пз111и1 ае Ргапсе [Сегтап
1гап8!аиоп Ьу $спи1ге: ОЬег ааз Е^пзсНакеп, пеЬз1 ТаГе1п ипа Ве1зр1е1еп, Азхго-
потгзсИез ЗакгЪис\\ оАег ЕрНетегШп/йг Аа$ Закг 1783, ИитгЫег, ВегПп. 1780, рр. 35-
61] [герпп1еа т: Оеиьгев Ае Ьмдгапде, УЫ. УII {].-А. $егге1, еа.), Оаи1Ь1ег-УШаг8,
Рап», 1877, [герппЫ: О. О1тз, ШаезЫт, 1973,] рр. 535-553]. [651
[Ьа§гап§е, ). Ь. A788) = ] ае 1а Огап^е, МёсИатдие апаНхщие, У\с Оеза^т, Рапз, 1788
[зесопа, геу18еа еа!Поп: Мёсатцие апаХухщие, Ууе Соитег, Рапз, 1811-1815]
[Гоиг(Ь еа1Поп аз: Оеиигез Ае Ьмдгапде, УоЬ. XI {Ргетхёге рагпс: 1а зЬапцие) апА XII
ЗесопАе рагхге: 1а Аупатгдие) (Д.-А $егге* апа О. ОагЬоих, еаз.), Саи1Ыег-У1Пагз,
Раш, 1888 апа 1889 [герпп!ес1 1п опе уо!ите: О. О!тз. НИаезЬе1т, 1973]]
[герпп1еа 1п 1^о \о1итез: А. В1апспаг<1, Рапя, 1965]. [328]

Литература 663
Ьа^гап^е, Х-Ь. A797), Ткёопе Аез/опспопз апаХущиез, 1трг. йе 1а КёриЬНдие, Рапз,
[аи. у = ] 1797 [зесопё, геУ18ес1 есШюп: Ууе СоигсНег, Рапз, 1813 [герптес! ш 1^о
уоштез аз: Оешгез Ае Ьадгапде, УоЬ. IX апА X {}.-А. 8егге1, её.), СашЫег-УШагз,
Рагк 1881 апс1 1884 [герппЫ т опе уо1ите Ьу: О. О1тз, РШезЫт, 1973]]]. 1328]
Ьа^гапсе, Д. Ь. A798), Езза! сГапа1узе питёпцие зиг 1а 1гап8Гогта1юп с1ез ГгасПопз,
ЗоигпаХАе 1'Ёсо1е Ро1у1есктдие, 1оте 2, саЫег 5 ([ап.У! -] 1798) 93-114 [герпШес! ш:
Оеюкз Ае Ьадгапде, Vо^ VII (,Г-А. 8егге1, её.), СатЫег-УШагх, Рапх, 1877,
[герпк1еа: О. О1т§, ННаезЬет, 1973,] рр. 291-313]. [119]
Ьа&иегге, Е. A876-7), 8иг 1а рагНпоп дез потЬгез, Ви11е(т Ае 1а Зоаёгё тагЫтапаие йе
Ргапсе 5 A876-7) 76-78 [герпШеё т: Оеиггез Ае Ьадиегге, Тоте I (СК. Негт11е, Н.
Ро1псагё апс! Е. КоисЬё, еёз.), ОатЬ^ег-УШагз, Рапз, 1898, [герпШеё: СЬе^еа, Ые^
Уогк, 1972,] рр. 218-220]. [607]
ЬатЬе, Т. А. A974), Воипёз оп 1Ье питЬег оГГеаз1Ые 8о1и1юп5 1о а кпар$аск ргоЫет,
51АМ Зоита! оп АррНеа* МагкетаНс* 26 A974) 302-305. [615]
Ьате, О. A844), Ко1е зиг 1а Ит11е с1и потЬге <1е5 с11У1з1опз Aапз 1а гесНегсЬе Aи р1из
ёгапд соттип <Ну1зеиг еШге <1еих потЬгез епиегз, Сотр1е[$] Кеп<1и[$ НеЬАо-
таАтгез] Лез Зёапсез Ле ГАсайётге йез ЗЫепсев (Рат) 19 A844) 867-870. [43, 86]
Ьапсаз1ег, Р. апс! Т1зтепе1зку, М. A985), Тке ТИеогу о/Магпсез, ЗесоЫ ЕАШоп, м'ик
АррИсапопз, Асадетю Ргезз, Огипёо, 1985. [16, 69]
Ьапс1, А. Н. апд Ъо\%, А. О. A960), Ап аи1ота*1с те1Ьос! оГ зо1у!П§ с11зсге1е рго^гат-
тт^ргоЫетз, Есопотетса 28A960L97-520. [583, 586, 613]
Ьап& 8. A966а), Ипеаг АХдеЪга, АскПзоп-УУезку, КеасИп^, Мазз., 1966. [16, 69]
Ьап8, 8. A966Ы. 1п1го<1исиоп Ю ОюрНапппе Арргохгтапопз, АскЙ8Оп-\Уез1еу, КеасНп§,
Мазз., 1966. [130]
Ьап^тааск, Н. A965), А1^оп1Ьт 263 Оотогу 1 [Н], СоттитсаИою о/{Не АСЫ 8
A965) 601-602. [581]
Ьап^тауг, Р. A979а), 2иг З1ти11апеп О1орЬап118сЬеп Аррпштаиоп. I, МопагзНе^ге^т
Ма1кешаНк 86 A979) 285-300. [116]
Ьап^тауг, Р. A979Ь), 2иг 81ти11апеп ОюрЬапНзсЬеп Арргох1та11оп. II, Мопа1$ке/1е
/иг МшНетапк 87 A979) 133-143. [116]
[Ьар1асе, Р. 8. A776) = ] с1е 1а Р1асе, КесЬегсЬез зиг 1е са1си! 1п1ё§га1 е1 зиг 1е зуз1ёте Аи
топёе, ШзШгеЛе \'Аса<1ёт\е Коуак &еь Заепсез, аVес 1е$ Мёто1ге$ Ае МаХкётапаие
е( йе Рку5^^ие [аппёе 1772] Bе рагПе) A776) 267-376 [герпШес! 1п: Оеиьгез СотрШез
&г ЬарШсе, Тоте VIII, СаШЫег-УШагз, Рапз, 1891, рр. 369-501]. [65]
Ьар1асе, Р. 8. A798), ТгаНё Ае тёсатцие сё1ез1е, Тоте II, Л. В. М. Эирга1, Рапз, [ап.
VII = ] 1798 [Еп^ИзЬ 1гапз1аПоп: Мёсатцие Сё1ез1е, Уо1, //, НШагс!, Ыи1е апё
ХУЛктз, ВозЮп, 1832 [герпМеё: Се1езИа1 Мескатсз, Уо1. II, СЬе1§еа, Ые\у Уогк,
1966]]. [332]
Ьагтап, В. A970), Ра1Ьз оп ро!у1орез, РгосееДтдз о/1ке ЬопАоп МахкетапсаХ 8оае1у
CJ0A970) 161-178. [2161
Ьаздоп, Ь. 8. A970), ОргШгапоп Ткеогу/ог 1мгде 5уз1етз, Маст111ап, N6^ Уогк, 1970.
Г355].
Ьаипёге, М. A978), Ап а1|$оп1пт Гог 1Ье 0/1 кпарзаск ргоЫет, Ма(кетаИса1 Ргодтат-
ттд 14A978) 1-10. [604]
Ьа^1ег, Е. Ь. A966), Соуег1п§ ргоЫетз: с1иаИ1у ге1а1юпз апд а пе^ те1пос1 оГзо1иПоп,
81 АМ 7оыгпа/ оп АррНеа1 МахкетаНсз 14 A966) 1115-1132. [615]
г, Е. Ь. A976), СотЫпаЮпаХ Ор1Шгапоп: Мешогкз ап<1 Ма1гоШзу Но11, КтеЬаП
АУ1П81оп, N6^ Уогк, 1976. [615]
Е. Ь. A977), Раз1 арргох!таиоп а1§оп1Ьт8 Гог кпарзаск ргоЫетз, 1п:
18гк АппиаХ Зутрозшт оп Роип4а1юп о/ Сотршег Заепсе (РгоуМепсе, К.1.,
1977), ШЕЕ, ]Че\у Уогк, 1977, рр. 206-213. 1423]
а^1ег, Е. Ь. A979), Ра$1 арргох1таПоп а1§оп1Ьт8 Гог кпарзаск ргоЫетз, МагкетаИсз
о/ОрегаИопз Кезеагск 4 A979) 339-356. [4231
а^1ег, Е. Ь. апс! Ве11, М. О. A966), А тегпос! Гог 8о1у1п§ с1|зсге1е орПт12а11оп ргоЫетз,
Орегапопз Кезеагск 14 A966) 1098-1112 [егга(а: 15 A967) 578]. 1588]

664 Литература
, Е. Ь. апс1 \Уоос1, О. Е. A966), Вгапсп-ашЗ-Ъоипс! тегЬоск: а вигуеу, ОрегаНопз
КезеагсИ 14 A966) 699-719. [588] /
Ьа^гепсе, Дг, Л. А. A978), АЪзггасг ро1уЮре§ апд 1Ье Шгзсп сошесгиге, Ма1ке*\апса1
Ргодгатттд 15 A978) 100-104. [217] /
Ьау, 8. К. A982), Сомех $е15 апй Ткехг АррНсаИоп5, М1еу, №^ Уогк, 1982.
1355] /
Ьезепёге, А. М. A798), Е$за( &иг 1а гкёопе Лез потЬгех, }. В. М Эиргаг, Рапз, 1798 [4гп
есШюп герпШед: Ткёопе Де$ потЬгез, А. В1апспагс1, Рап$, 1979]. [102, 11&]
Ьевепске, А.-М. A805), NоиVе^^е5 тёгкоДез роиг 1а Дёшттапоп Лев огЫш йе$ сотёш,
Р. О1с1о1, Рапз,1805 [Еп^ИзЬ 1гап§1апоп оГраП» оГрр. 72-75 т: Э. Е. 8т11Ь, А Хоигсе
Воок т Мснкетайса, МсОга\у-Н111, N6^ Уогк, 1929, рр. 576-579]. Г60, 65, 332]
ЬеЬтап, А. A965), Оп 1ке \\>Ш1к-1епд1к тедиаШу, гштео^гарЫс по1е§, 1965 [риЬЬзЬес!:
Ма1кетапса1 Ргодгатттд 16 A979) 245-259 (\У11Ьои1 ргооГсоггес1юп$) апс117 A979)
403-417 (\У11Ь ргооГ соггесиопз)]. [179, 182]
ЬеЬтег, Э. N. A919), ТЬе §епега18о1иПоп оГ1Ье 1пс1е1егт1па1е е^иа^^оп: Ах + Ву + Сг
+ •■• =г, РгосееаЧпдз о/1ке N0110^1 Асайету о/$аепсез 5 A919) 111-114. [86]
ЬЫЪшг, О. V/. A678?), тапи$спр(, 1678? [сГ СегЬагсП [1891]] [рпп1е<1 т: Ье]Ьп17еп8
МагкеташсИе Зскгфеп, 2. АЫк., Вапа1 Ш (С. I. ОегЬагсИ, ес1.), Н. \У. ЗсЬпнск, На11е,
1856, [герппЫ: С. О1т§, НИс1е5Ье1т, 1971], рр. 5-6] [Еп^НзЬ 1гап§1а11оп (раП1а11у)
1п: И. Е. 5птЬ, А 5оигсе Воок Ы МагкетаИси, МсСга\у-НШ, Ые\у Уогк, 1929, рр. 269-
270]. [64]
Ье|Ъш2, О. XV. A693), Ьеххет ю Эе ГНозрИЫ, Арг'п 28, 1693 [герппЫ 1п: ЬехЪтгею
Ма1кетатске 5скп'/1еп, 1.АЫк„ ВапА 11: Впе/ыеск$е1 гтзскеп ЬегЬтг, Нидепз иап
2иНскет ипа1 Лет Магцшз Ае ГНозрИа1 (С. I. СегЬагск, ее!.), А. АзЬег, ВегИп, 1850
[герпп1ес1, 1П опе уо1ите ч/'йЪ Вапс! I: О. О1гп8, Н11с1е8Г1е1т, 1971,] рр. 236-241]
[ЕпеПзЬ 1гап81аПоп (раг^аИу) «п: О. Е. 8пшН, А Зоигсе Воок т Ма1кетапс$,
МсСга\у-Н111, N6^ Уогк, 1929, рр. 267-269]. [64]
Ье1сЫ^е188, К. A980), Копьехе Мепдеп, УЕВ ОеШхсЬег Уег1а^ <1ег
>У155еп8сЬаГ1еп/8рг!пеег, ВегНп, 1980. [356]
Ьеккегкегкег, С. О. A969), Оеотеггу о/ ЫитЬегз, ^о11ег8-Ыоогс1ЬоГГ, Оготп^еп апс1
Ыог1Г1-Но11апс1, Ат81егаат, 1969. [130, 610]
Ьетке, С. Е. A954), ТЬе <1иа1 теШос! оГ8о1у!п§ (Не Ипеаг ргоёгатт1п§ ргоЫет, NаVа^
Кезеагск Ьодгшсь ОцаПеНу 1 A954) 36-47. [228]
Ьетке, С. Е., 8а1к1п, Н. М., апд 8р1е1Ьег§, К. A971), 8е1 соуег1пё Ьу 81П81е-ЬгапсЬ
епитега1юп ^1(Ь Нпеаг-рго§гатт1Пё зиЬргоЫетз, Орегапот Кезеагск 19 A971)
998-4,022. [615]
Ьетке, С. Е. апс! 8р1е1Ьег§, К. A967), Э1гес1 8еагсЬ а1^оп1Г1ГП8 Гог гего-опе апс! т1хеA-
1п1евег ргоёгаттт& Орегайопз Яезеагск 15 A967) 892-914. [588]
Ьеп8(га, А. К., Ьепз1га, ^г, Н. \У., апс! Ьоуазг, Ь. A982), РасЮг1п§ ро1упот1а1з \укЬ
гапопа! соеШс1еп15, Магкетатске Аппа1еп 261 A982) 515-534. [116,105]
Ьеп81га, 1г, Н. \У. A983), 1п1е^ег рго^гатт^п^ \У11Ь а Пхес! питЬег о? уапаЫез,
МаМетаисзоГОрегаИопз Кезеагск 8 A983) 538-548. [111, 320, 417, 411],
Ьеуеяие, ^. 5. (ед.) A974), Кеихет т ЫитЬег Ткеогу F уо18), Атег1сап Ма1Ьета11са1
8оае1у, РгоУ1с1епсе, К. I., 1974. [379, 607]
°Ьеут, А. У и. A965), Оп ап а1§оп1Ьт Гог 1Ье гттгтгагюп оГ сопуех ГипсПопз AП
Ки$81ап), РоШЛу АкаЛетН Ыаик 585П 160 A965) 1244-1247 [ЕпеПвЬ 1гап81аПоп:
5огхе1 Ма1кетапс$ йокШу 6 A965) 286-290]. [265]
Ьеу11, К. }. A956), А гтштит §о1ииоп оГ а (НорНап(ше еяиаПоп, Тке Атепсап
Ма1кетаиса1 МотЫу 63 A956) 646-651. [86]
Ье\ут, М. A972), А Ьоипс! Гог а 8о1и1юп оГа Ппеаг с!1орЬап1!пе ргоЫет, ^ои^па^ о/(ке
1^опйоп Ма1кетапса\ Зоаегу B) 6 A972) 61-69. [614]
Ье\ут, М. A973), Оп а Нпеаг с!1ОрЬап11пе ргоЫет, Тке ВипеИп о/ 1ке Ъопйоп
Ма\кетапса\ 5оае(у 5 A973) 75-78. [614]
Ье^т, М. A975), Ап а1воп1пт Гог а зоМюп о! а ргоЫет оГ РгоЬепш8, Уоигпа//мг (Не
геме ипй апдемапа'ге Магкетапк 276 A975) 68-82. [614]

Литература 665
Ьех. ^. A977), ОЬег Ьбзип^апгаЫеп Ппеагег <1юрЬап118сЬег С1е1сНип§еп,
МшЦетапзск-ркузхкаИзске 5етез1егЬепск1е 1А A977) 254-279. [614]
иеЫш& ТЬ. М. A973), Оп 1Ье питЪег оГкега1юп8 оПЬе 31тр1ех те1Ьос1,ш: Орега(юпз
КезеаЪск-Уег/акгеп/МегкоАз о/Орегапопз Яезеагск XVII (V. ОЪег\уо1ГасЬ-Тавип8
иЬег Орегапопз КезеагсЬ, Тег! 2; 1972; К. Непп, Н. Р. Кйп21 апс! Н. 5спиЬег1, е<1з.),
Уег1ае АШоп Наш, Ме^зепЬЫт ат С1ап, 1973, рр. 248-264. [224]
у. A980), ТЬе еШаепсу оГап а1§огкЬт оПп1е§егрго8гаттт§: а ргоЪаЪШзПс
апа1уз1з1 РгосеесНпд$ о/ (Не Атепсап Ма1кетаиса1 §ос\е1у 79 A980) 72-76. [604]
ЫГзсЬкг, V. апс! Рк(е1, В. A983), ТЬе ^огз1 апс! *Ье тоз1 ргоЬаЫе регГогтапсе оГа с1азз
оГ 8е1-соуепп§ а^огкЬтз, 81АМ ^ои^па^ оп Сотриппд 12 A983) 329-346. [615]
ЬоеЬтап, Е., Г^Ыет, РЬ. Т., апс] ^ЫпзЮп, А. A970), Т\уо а1$оп1Ьт8 Гог т1е8ег
оригтгаиоп, Кеиие Ггап^тзе <1'1п/огта^ие е( йе Кескегске ОрёгапопеМе 4 (У-2)
A970L3-63. [588]
Ьоуазг, Ь. A972), Ыогта1 Ьурег§гарЬ8 апН 1Ье регГес1 §гарЬ соп]ес1иге,
Магкетапсз 2 A972) 253-267. [183, 493, 564]
Ьоуазг, Ь. A975), Оп 1Ье га1ю оГ орйта1 1п1еёга1 апс! Ггаспопа! соуегз,
Магкетайсз 13 A975) 383-390. [615]
Ьоуазг, Ь. A976), Оп 1\уо т1п1тах 1Ьеогет8 т §гарЬ, ^ои^па^ о/СотЫпаЮпа1 Ткеогу
(В) 21 A976) 96-103. [498]
Ьоуа$2, Ь. A977), Сег1а1П йиаШу рппар1ез 1П \п1е^ет ргоёгатт1П§, [т: ЗшсНез т Шедег
Ргодгатттд (Р. Ь. Наттег, е1 а1., ес!з.),] АппаЫ о/ О\$сге1е МагкетаНсь 1 A977)
363-374. [498, 615]
Ьоуазг, Ь. A979а), ОгарЬ 1Ьеогу апд ^те^ег ргоёгатт1п§, [1п: О'гзсгеье ОргШгапоп I
(Р. Ъ. Наттег, Е. Ь. }оЬп$оп апс! В. Н. КоПе, едз.),] Аппа1з о^О'исгеге Мшкетагкз4
A979) 141-158. [615]
Ьоуазг, Ь. A979Ь), СотЫпаюпа! РгоЫетз апй Ехегазез, Акас!ёт1а1 К1а<16, Вис1аре5{
апс] МопЬ-НоПаш], Атк1егс1ат, 1979. [481]
ЬоуШ, ^. V. A916), РгеГегепИа1 уо11П§, Тке Атепсап МсикетаИсЫ МопгЫу 23 A916)
363-366. [341]
Ьиекег, О. 8. A975), Тую ро1упот1а1 сотр1е1е ргоЫетз т поппедаше тгедег ргодгат-
ттд, Керог! ТК-178, Йер1. оГ Сотри1ег ЗЫепсе, РппсеЮп 11п1уег811у, РппсеЮп,
N.1., 1975. [401].
МасОиЙее, С. С. A933), Тке Ткеогу о/ Матсез, 8рг1пвег, ВегПп, 1933 [герппЫ:
СЬе1зеа, N6^ Уогк, 1946]. [691
Маек, }. М. A977), $1тикапеоиз с!1ОрЬапипе арргох1тайоп, Тке Зоигпа\ о/ гке
АизшПап Магкетагка1 5оае(у 24 (Зепез А) A977) 266-285. [116]
МасЬаиг1П, С. A748), А Тгеапве о/А1деЬга т гкгее рапз, ю ыккк гз аМеА ап АрретИх
сопсегтпц (ке депегаг ргорегпез о/деоте1пса1 Нпез, А. МШаг апс! }. Коигзе, Ьопдоп,
1748. 165]
МасМаЬоп, Р. А. A916), СотЫпагогу Апа\узг$, Уо1.1/,ТЬе ип!Уег811у Ргезз, СатЬпс1§е,
1916 [герппЫ, ^кЬ УоП 1п опе уо1ите: СЬе1зеа, Ке\у Уогк, 1960]. [607]
МаЫег, К. A976), А 1Ьеогет оп ШорЬапппе арргох1таПоп8} ВиИеИп о/(ке АизггаНап
МшкетаНса1 Зоаегу 14 A976) 463-465. [116]
Мапаз, М. ап<1 Ыетос1а, 1. A968), р1П(Ипё а11 уегПсез оГ а сопуех ро1уЬес1гоп,
Ыитензске МагИетаНк 12 A968) 226-229. [356]
Мап^азапап, О. Ь. A979), ип1яиепе§8 оГвоЫюп т 1теаг рго§гатт!Пё, Ыпеаг А\деЪга
апй Из АррПсаНопз 25 A979) 151-162. [357]
Мап^азапап, О. Ь. A981а), А 81аЫе Шеогет оГ 1Ье а!1егпаПуе: ап ех1еп81оп оГ 1Ье
Оогс1ап 1Ьеогет, Ыпеаг АХдеЬга апд, Н$ АррИсаНопз 41 A981) 209-223. [152, 357]
Мап^азапап, О. Ь. A981Ь), А сопсЛиоп питЬег Сог Нпеаг тециаНиез апд Нпеаг
рго§гат8, 1п: МегкоАз о/ ОрегаНопз Кезеагск 43 F. Зутрозшт иЬег Орегаиопз
КезеагсЬ, Аи§зЬиг$, 1981; С. ВатЬег^ апс] О. Ор11г, е<]8.), А1пепаит/
Нат/8спр1ог/Нап81е1П, Коп1$81ет/Тз., 1981, рр. 3-15. [194]
Мап1, Р. апс! >Уа1кир, И. >У. A980), А 3-8рЬеге соип1егехатр!е ю 1Ье

666 Литература
согуесшге, МагкетаИсз о/ОрегаИопз Яезеагск 5 A980) 595-598. Г217]
Маппе, А. 8. A957-8), РгоЕгаттте оГесопогшс 1ог812ез, Мападетепг $аепсе4 A957-
8) 115-135. [228] '
Маппт& Н. Р. A914), Сеотеггу о/ Роиг Отепзюпз, МастШап, N6^ Уогк, 1914
[герппЫ: Иоуег, Ые^ Уогк, 1956]. [68] /
°Магси§, М. апс! Мтс, Н. A964), А Зигиеу о/Ма(пх Ткеогуапа* Магпх 1педиа1Ше5, АПуп
ап<1 Васоп, ВозЮп, Ма§8.. 1964. [69]
Магси§, М. ап<1 Ыпйег^оос!, Е. Е. A972), А поге оп гпе тиЖрНсаЙуе ргорсПу оГ гпе
8тПп погта! Гогт, ^ои^па^ о/Яезеагск о/(Не МаНопа! Вигеаи о/Зшпа'аЫз 76В A972)
205-206. 181]
Магком*г, Н. М. апс! Маппе, А. 8. A957), Оп гпе зоЫюп оГ сН§сге1е рго§гаттт8
ргоЫетв, Есопошетса 25 A957) 84-110. [613]
Магз1еп, К. Е. A973-4), Ап а1§огкпт Гог 1аг§е 8е1 раг1!11оп!Пб ргоЫет§, Мападетем
5аепсе 20 A973-4) 774-787. [615]
МаПеИо, 8. апс! То1Н, Р. A977), Ап иррег Ьоипс! Гог 1Ье гего-опе кпарзаск ргоЫет апс! а
ЬгапсЬ ап<1 Ьоипс! а1§оп1Ьт, Еигореап ^ои^па^ о/Орегапопа1 КезеагсН 1 A977) 169-
175. [604]
МапеНо, 8. апд То1Н, Р. A978), А^отЬт 37, А1воп1Ьт Гог 1Ье 8о1и1юп оГ1Ье 0-1 51пв1е
кпархаск ргоЫет, СотриНпд 21 A978) 81-86 [6041
Маг1е11о, 8. апй То1Ь, Р. A979), ТЬе 0-1 кпарзаск ргоЫет, т: СотЫпаюпа1
ОрМтггаНоп (Ы. СЬпвЮгЫез, А. М1П^О221, Р. То1Ь ап<1 С. 8апс11, едз.), ^Неу,
СЫсЬез1ег, 1979, рр. 237-279. [604]
МаПеИо, 8. апс! То1Ь, Р. A984), ^ог81-са$е апа1у818 оГ^геес!у а1$оп1Ьт8 Гог 1Ье зиЬзе!-
8ит ргоЫет, МшкетаИсЫ Ргодгатттд 28 A984) 198-205. [423]
Маг11, 5. Т. A977), Комехе АпЫузгз, В1гкЬаи8ег, Ва8е1, 1977. [356]
Маг1т, С. Т. A963), Ап ассе1ега1ес! Еис1Шеап а18Оп1Ьт Гог Ше&г Нпеаг рго8гаттт&
1п: ЯесепЬ А&апсез т Ма1кетаИса1 Ргодгатттд (К. Ь. Огауез ап<1 Р. >Уо1Ге, ед§.),
МсОга*-Н111, N6^ Уогк, 1963, рр. 311-317. [582]
Ма1пеик, }. В. A897), Оп 1пе рагНпоп оГ питЬегз, Ргосееа'тдз о/ гЬе Ьопйоп
МагНетаИса1 5оЫе(у 28 A897) 486-490. [379, 609]
Ма1(пе18$, Т. Н. A973), Ап а1§оп1Ьт Гог с1е(егтштв 1гге1еуап1 соп81га!П18 апд а!)
уеП!се8 1П 8уз1ет8 оГ Нпеаг тециа1Ше8, ОрегаИопз ЯезеагсН 21 A973) 247-260. [356]
Ма1[1]Ье188, Т. Н. ап<1 КиЬ1П, Э. 8. A980), А зигуеу апс! сотрапзоп оГ те(Ьо<18 Гог
Ппд1п§ а11 уегисез оГ сопуех ро1уЬе<1га1 8е18, Ма&етаМсз о/ ОрегаНопз КезеагсН 5
A980) 167-185. [355, 356]
МаиЬе188, Т. Н. апс! 8сЬт1<11, В. К. A980), Сотри1а1юпа1 гезииз оп ап а18оп1пт Гог
ГтШпв аН уег!1сез оГ а ро1у(оре, МагкетаНса1 Ргодгатттд 18 A980) 308-329. [356]
Маиггаз, X Р., Тгиетрег, К., апс! Ак§Ш, М. A981), Ро1упот1а1 а^огНЬтз Гог а с1а88 оГ
Ипеаг рго^гатз, МагИетаИса1 Ргодгатттд 21 A981) 121-136. [251, 472]
Мау, Л. Н. апс1 8т11Ь, К. Ь. A982), Капдот ро1уЮре8: 1Не1г с1еГ1П1Aоп, яепегагюп ап<1
а8вге8а1е ргорегпез, Ма(Нета11са1 Ргодгатттд 24 A982) 39-54 [2251
МсСаИит, Ь. ап<1 Ау!8, Э. A979), А Нпеаг а^огкпт Гог ПпсНпв 1Ье сопуех Ьи11 оГ а
81тр1е ро!у§оп, 1п/огтаНоп Ргосеззтд Ьепегь 9 A979) 201-206. [356]
МсО1агт1д, С. A983), 1п1е§га1 десотро5111оп оГ ро1уЬес1га, МагкетахкаХ Ргодгатттд
25A983) 183-198. [546]
МсМиИеп, Р. A970), ТКе тахптшт питЬегв оГГасез оГа сопуех ро1уЮре, Мшкетапка
17A970) 179-184. [217]
МсМиИеп, Р. A975), 1Чоп-Нпеаг ап81е-8ит геЫюпз Гог ро1уЬес!га1 сопев апд ро1уЮре8,
Ма1кетаИса1 Ргосееа'тдз о$1ке СатЬгШде РкИозоркка! $осхе1у 78 A975) 247-261.
[614]
МсМиНеп, Р. апс1 8ЬерЬагс1, С. С. A971), Сопъех Ро1у№рез апЛ 1ке 1/ррег ВоипА
Сощесгиге, СатЬпдее 1_1шуег811у Ргезз, СатЬп^е, 1971, [217, 355]
МсКае, \У. В. ап<1 Оау1с1зоп, Е. К. A973), Ап а1§опгпт Гог 1Ье ех^гете гаув оГа рош(её
сопуех ро!уЬес1га1 сопе, 81АМ ^ои^па^ оп СотриНпд 2 A973) 281-293. [356]

Литература 667
х N. A982), 1лпеаг-пте а1§оп(Ьгп8 Гог Ипеаг рговгатттв ш К* апд
ргоЫеггь, :п. 21га* ,\пша\ Зутроашт оп 1'оипа>аНоп5 о/Сошршег Заепсе, ШЕЕ, Тчс
Уогк, 1»;Р2, рг: .49 - 538 [а1во. 31АМ ЗоипиА оп СотриНпд 12 A98?) 759-776]. [311 ]
Ме§кк1о, N A984), Упеаг рговгаттшв ш Нпеаг Пте ^Ьеп (Ье Лтепаюп 18 Пхес1,
Зоигпа1 о( (Не АыопаНоп/ог СотриНпд Масктегу 31 A984) 114-127. [310]
Ме&м)<1о, N. 11983), То\уаг<1з а §епшпе1у ро1упогша! а^огиЬт Гог Нпеаг рговгаттт^,
51АМ ЗоитаХ оп СотриНпд 12 A983) 347-353. [3041
МевкМо, N A986), 1трго\ес1 ахутрюпс апа1у$18 оГ (Ье ауега$$е питЬег оГ 51ер5
рсгТоггтч! Ь> гЬе хе1Г-с1иа1 &:тр1ех а!8ОГ11Ьт, Ма1кета(ка1 Ргодгатттд 35 A986)
140-172. [225!
МепскиоЬп, N. $. A970), А Нпеаг сИорЬагШпе ециаиоп ^11Ь аррИсаПопв 1о поп-
пе^аПуе та1г!се&, [т: [Ргосеейтдз] 1п(егпа(юпа1 Соп/егепсе оп. СотЫпа1ог'ш1
Ма(кетШ1С5 (N6^ Уогк, 1970; А. Оетг1т. ап<1 Ь. V. (}шгНа8, едз),] Аппак о/(ке Ыем
Уогк ЛсаДету о/Заепсез 175 (агис1е 1) A970) 287-294. [614]
Меп^ег, К. A927), 2иг аи^ете1пеп Кигуеп1Ьеопе, РипЛатета Ыахкетапсае 10 A927)
96 115. [441, 612]
Меп§ег, К. A932), Вепсги иЬег ааз Ко^шит 1929/30, 9. КоИояшит E. II. 1930),
ЕгдеЬтязе ете$ тагкетаИзскеп Копоцшитз [К. Меп|$ег, е<1.] 2 A932) 11-12. [612]
Мегкез, Е. Р. апд Меуегз, В. A973), Оп (Не 1еп#п оГ (Не ЕисИскап а18ог11Ьт, ТНе
ПЬопаса <)иаг1ег1у 11 A973) 56-62. [86]
Меуег, К. К. A974), Оп (Не ех18(епсе оГ орита! 8о1ииоп8 (о т1е|$ег апд т1хед-
1П1е8ег рго^гатт^п^ ргоЫетз, Ма(кетаМса1 Ргодгатттд 7 A974) 223-235. [370,
615]
Меуег, К. К. ап<1 ^а^е, М. Ь. A978), Оп (Не ро1уЬе<1гаН1у оГ (Не сопуех Ьи11 оГ (Ье
Геа81Ые 8е1 оГап ^гКе^ег рго^гат, 51А М ^ои^па^ оп Соп(го1ап4 ОрМткаНоп 16A978)
682-687. [615]
М|сЬаид, Р. A972), Ехас( 1трНа( епитегаиоп те(Ьос1 Гог $о1ушв (Не $е( рагAAоп1пв
ргоЫет, 1ВМ Зоитсй о/ Кеяеагск апд. ЭеьеЬртет 16 A972) 573-578. [615]
Мк!отск, Н. A968), Тке Тгеазигу о/ Магкетснкх: /, А РеКсап Воок, Реп^ит Воокх,
Нагтопа8\УопЬ, 1968. [63, 117, 118]
М1кагш, V. A913), Тке ОеьеЬртет о/Ма1кетаИс5 т Скхпа апА Зарап, ТеиЬпег,
1913 [герпп(еа: СЬе1&еа, ^* Уогк, 1974]. [64]
Мйкагш, У. A914), Оп (Ье ^арапе8е (Ьеогу оГ де(егт1пап(8, /515, 1п1егпа1\опа\
Аеьогей ю ьке НШогу о/Заепсе аЫ СШИшюп 2 A914) 9-36. [64]
МПапоу, Р. В. A984), Ро1употга1 зоЬаЫШу о/ $оте Нпеаг (ИорНатте ециапот т
поппедагЬе Шедегз, ргерпп(, 1п8Ши(е оГ Ма(ЬетаAС8, Ви1§апап Асаёету оГ
$С1епсе$, 8оПа, 1984. [614]
МП1ОП5, Р. A978), 1)$тё си1Пп§ р1апе§ (о 8о)уе (Ье 8утте(пс (гауеШп^ $а1е$тап
ргоЫет, Ма(кетаИса1 Ргодгатттд 15 A978) 177-188. [600]
Мтко\у$к1, Н. A891), ЫеЬег <11е ро81Aуеп циа<1гаA8сЬеп Рогтеп ип<1 иЬег кеиеп-
ЬгисЬаЬпНсЬе А^оп^Ьтеп, Уоигид/ уйг (Не тете ипй апдемап41е Ммкетапк 107
A891) 278-297 [герпп(е<1 т: СезаттеНе АЬкапсНипдеп роп Иегтапп Мткошкх, Вапд,
I (О. ННЬеП, ей.), ТеиЬпег, Ье^рг^ 1911 [гергт(еа: СЬе1$еа, Ые^ Уогк, 1967,]
рр. 243-260]. [111, 128]
Мшко№к1, Н. A893), Ех(т( с1'ипе 1е((ге ас1ге$8ёе а М. Негтие, ВиНеНп Ле& ЗЫепсез
Ма(кётаИдие5 B) 17 A893) 24-29 [гергЫед т: Сезаттеке АЬкапШипдеп \хт
Негтапп МткотИ, Вапа1 II {В. НПЪег(, е<Ц ТеиЬпег, Ье1р21& 1911, [герппЫ:
СЬе^еа, N6^ Уогк, 1967,] рр. 266-270]. [127, 609]
Мшко№к1, Н. A896), Сеотегпе йег ХаЫеп {Егз1е ие/египд), ТеиЬпег, \^е\ргщ, 1896
[герппЫ: СЬе18еа, Ые^ Уогк, 1953]. 1105, 128, 129, 135, 137, 138, 343]
Мшко№к1, Н. A897), АПдетеше ЬеЬг8а(ге иЬег с1йе копуехеп Ро1уедег, Ыаскпск(еп ьоп
Лег кбтдИскеп СезеИзскаД Лег УМззепзска/геп ги ОбШпдеп, тагкетапзск-ркузхкаНзске
К\аззе{\Ъ91) 198-219 [герпп1е<1 т: Сезаттеке АЬкапаЧипдеп Vоп Негтапп Мткоы-

668 Литература
1, ВапД II (О. ННЬеп, ес1.), ТеиЬпег, Ье1р21& 1911, [герптес!: СЬе1зеа, Ые\у Уогк,
1967,] рр. 103-121]. [338]
Мтко^8к1, Н. A907), йхоркаппзске Арргоххтапопеп, Ете Егп/йНгипд т (Не 2.аЫеп-
гкеогхе, ТеиЬпег, Ье1р218, 1907 [герппЫ: СЬекеа, №^ Уогк, 1957]. [129)
оМ1пкош8к1, Н. A911а), Сезаттеке АЬкапA1ипдеп, Вапа1 I, II, ТеиЬпег, Ье1р21& 1911
[герппЫ: СЬекеа, №^ Уогк, 1967]. [337]
Мтко\У8к1, Н. A911Ь), ТЬеопе <1ег копуехеп Кбгрег, тзЬезогкЛеге Ве^гипёип^ 1Ьгез
ОЬегЯаспепЬеБПЙз, [Пгз1 риЬПзЬес! т: ] Сезаттеке АЬНагиНипдеп Vоп Негтапп
Мхпкопзкх, Вап4 II {О. ННЬеП, е<1.), ТеиЬпег, Ье1р21& 1911, [герпШес!: СЬе18еа,
Ме* Уогк, 1967,] рр. 131-229. [338, 343]
Мт1у, С. ^. A974), А "Ггош зсгаЮЬ" ргооГ оГ а 1Ьеогет оГ КоскаГеПаг апс! Ри1кег8оп,
Магкетапса1 Ргодгатттд 7 A974) 368-375. [152]
Мт1у, 0.1.A980), Оп тахппа11пс1ерепс1еп( 8С18 оГ уег11се81П с1а>у-Ггее §гарЬ8, ^ои^па^ о/
СотЫпаюпЫ Ткеогу (В) 28 A980) 284-304. [565]
МбЫи8, А. Р. A827), Ьег ЬагусеШпзске Саки1, е\п пеиез НпУзшШе! гиг апЫуЫзскеп
ВекашНипд Лег Оеотеггхе,). А. ВапЬ, Ье1р21§, 1827 [герпШед: С. О1т8, Н1Ие8Ье1т,
1976] [герпте<11п: Аидизг РеЫтапА МбЫиз, Сезаттеке [Уегке, ВаЫ I (К. Вакгег,
ее!.), 8. №гге1, ХАугщ, 1885 [герппЫ: М. 8апд1§, ^1е8Ьааеп, 1967] рр. 1-388]
[Еп^НзЬ (гап81аAОП (рагПаНу) т: О. Е. 8т11Ь, А 5оигсе Воок т Мыкетаисз,
МсОга^-НШ, Ые* Уогк, 1929, рр. 525-526 апс! 670-677]. [68]
Моп^е, О. A784), Методе виг 1а 1Ь6опе <1е5 дёЬЫз е( Aе§ гетЫа18, Шзюгге йе
ГАсаДётхе ЯоуЫе Aез Заепсез, аиес 1ез Мётоггез йе Махкетснщт ег йе Ркузхцие
[аппёе 1781] Bе рагНе) A784) [ШзюЬе: 34-38, Мёто1ге\\ 666-704. [350, 610]
МогдеИ, Ь. }. A969), йюркатте ЕдиаНопз, Асадегшс Ргезз, Ьопдоп, 1969. [82, 130]
МопЮ, 8. апд 8а1к1п, Н. М. A979), Р1П(Ип8 1Ье вепега! 5о1иПоп оГа Нпеаг AюрЬап1ше
ециаиоп, Тке ПЬопасЫ 0,иаПет\у 17 A979) 361-368. [861
МопЮ, 8. ап<1 8а1кт, Н. М. A980), Шп^ 1Ье В1апк1П8Ыр а1еоп1Ьт 1о Гтс11Ье §епега!
8о1и1юп оГ а Нпеаг дюрпатте е^иа(^оп, Асш 1п/огтаиса 13 A980) 379-382. [86]
Мо1гкт, Т. 8. A936), Векгаде гиг Ткеопе Дег Ипеагеп 11пдШскипдеп, Aпаи^ига1
О188егШюп Ва$е1,) Агпе!, 1еги8а1ет, 1936 [Еп^ИзЬ 1гап81аAоп: СопМЬиМопз ю гке
гкеогу о/ Нпеаг тедиаНиез, ^N0 Согрогаиоп ТгапзЫпоп 22, 8ап1а Мошса,
Са1., 1952 [герпп1ед 1п: Ткеойоге 5. Моикт: ЪексШ Рарегз (О. СапЮг, В.
Согаопапс1В.Ко1Ь5сЬ1Ш,еа8.),В1гкЬаи8ег,Во8Юп, 1983,рр. 1 -80]]. [137, 147, 239,
343]
Моикт, Т. 8. A951), Т\уо сопзециепсех оГ 1Ье 1гап8ро81Поп 1Ьеогет оп Ипеаг
тециаППез, Есопотеггка 19A951) 184-185. [148]
МоЫст, Т. 8. A956), ТЬе авз^птет ргоЫет, 1п: ЫитепсЫ Апа1уз1з (РгосеесИп^з оГ
8утро81а т АррНес! Ма1Ьета11С8 Уо1. VI; I Н. Сиг^зз, ед.), МсОга\у-Н111, Ые\у Уогк,
1956, рр. 109-125 [герптед 1П: ТкеоАогеЗ. Моггкт: 8е1еае4 Рарегз {В. СапЮг, В.
Согдоп апд В. Ко1Ь8сЫ1A, ейз.), В1гкЬаи§ег, ВовЮп, 1983, рр. 121-137]. [437, 613]
Мо1гкт, Т. 8., Ка^ГГа, Н., ТЬотрзоп, О. Ь., апа ТЬгаИ, К. М. A953), ТЬе с!оиЫе
<1е8сприоп те!Ьо<1, т: СоШпЬшюпз (о гке Ткеогу о/Сатез УЫ II (Н. \У. КиЬп апс!
А. Ш. Тискег, едз.), РппсеЮп Ш1уегзку Ргезв, Рг1ПсеЮп, МЛ., 1953, рр. 51-73
[герпп1ес! 1п: Ткеойоге 5. Моггкхп: Зексгей Рарегз (О. СапЮг, В. Оогс1оп апс! В.
Ко1Ь8сЬП<1, ейз.), В1гкЬаи8ег, ВозЮп, 1983, рр. 81-103]. [356]
Мо1гкт, Т. 8. апд 8сЬоепЬег^, I. 5. A954), ТЬе ге1аха1юп те(Ьод Гог Нпеаг течиа1Ше&,
СапасНап ^ои^па^ о/МагкетаИсз 6 A954) 393-404 [герпп1ед т: Ткеойоге 5. МоиШ:
8е1ес1еа* Рарегз (О. СапЮг, В. Согдоп апс! В. Ко(Ь8сЫ1д, ед&.), В1гкЬаизег, ВозЮп,
1983, ррЛ 04-И 5]. [242, 2431
Моикт, Т. 8. апс! 81гаиз, Е. С. A956), 8оте сотЫпаЮг1а! ех1гетит ргоЫетз,
РгосееаЧпдз о} гке Ашегхсап Ма1кета1ка1 Зосгегу 7 A956) 1014-1021 [герпп1ес1 т:
Ткео&оге 5. Моггкхп: $е\ес1е& Рарегз {В. СапЮг, В. Оогдоп апс1 В. КогЬзсЫМ, еде.),
ВпкЬаизег, ВозЮп, 1983, рр. 279-286]. [613]
МиеПег, Я. К. апд Соорег, С A965), А сотрапзоп оГ1Ье рпта1-81тр1ех апд рпта!-

Литература 669
<1иа1 а^огкЬтз Гог Нпеаг ргр|$гатгтп& СоттитсаНопз о/гке АСМ 8A965) 682-686.
[212]
Мшг, ТЬ. A890), Тке ТНеогу о/Ое1егттап(»т гке НЫог&сА ОЫег о$иеъе\ортепг, Уо1. /,
МастШап, Ьопдоп, 1890 [герпп1ед (м1Ь Уо1ите II ш опе уо!ите): Ооуег, №*
Уогк, 1960]. [69]
Мшг, ТЬ. A898), 1лз1 оГ ^гИт^з оп 1пе 1Ьеогу оГ таШсез, Атепсап ,/оыгла/ о/
МагкетаНсз 20 A898) 225-228. 169]
Мшг, ТЬ. A911), Тке Ткеогу о/Оегегттапгз т гке ШвюпсЫ ОЫег о$ иечеХортем, Уо\.
II, Тке репод. 1840 го 1860, МастШап, Ьопдоп, 1911 [герпШед (^1Ь Уо1ите 1т опе
уоЫте): Ооуег, Ые^ Уогк, 1960]. [69]
Мшг, ТЬ. A920), Тке Ткеогу о/пешттатз т 1ке Нтогхса.1 ОЫег о/Оеге1ортеп1, Уо1.
III, Тке регЫ 1861 ю 1880, МастШап, Ьопдоп, 1920 [герппЫ (ууйЬ Уо1шпе IV1П
опе уо!ите): Ооуег, Ке>у Уогк, 1960]. [69]
Мшг, ТЬ. A923), Тке Ткеогу о/Ое1егттап15 т гке НЫопссА ОЫег о/^еVе^ортеп^, Ко/.
IV, Тке регЫ 1880 ю 1900, МастШап, Ьопёоп, 1923 [герппЫ (лупК Уо1ите III1П
опе уо1ите): Ооуег, N6* Уогк, 1960]. [69]
Мшг, ТЬ. A930), СотпЬиНопз № гке Ткеогу о/ОеШттатз 1900-1920, В1аск1е & 5оп,
Ьопаоп, 1930. [69]
МиПепдег, Р. A950), 81тшЧапеои8 арргох!таНоп, Аппак о/Магкета1к$ 52 A950) 417-
426. [П6]
Мипкгез, 5. A957), А^огиЬтв Гог 1Ье а581§птет апд 1гапврог1аиоп ргоЫетв, Зоиггип
о/1ке 5ос1е1у/ог Ши&пЫ аЫ АррИеё МагНетаИсз 5 A957) 32-38. [613]
МигодЬ, В. А. A981), А&ъапсед. Ыпеаг Ргодгатттд: Сотришюп апA РгасИсе,
МсОга^-НШ, Ые^ Уогк, 1981. [355]
МиПу, К. О. A971), Аа]асепсу оп сопуех ро!уЬес1га, 81АМ ЯеV^е^V 13 A971) 377-386.
[356]
МиПу, К. С. A972), А Гипдатеп1а1 ргоЫет т Нпеаг 1пециаЦПе8 ^1(Ь аррНсаПопз
1о 1Ье (гауеШп^ 8а1евтап ргоЫет,%МагкетаНсЫ Ргодгатттд 1 A972) 296-308.
[357]
МиПу, К. С. A976), Шеаг апд. СотЫпахопаХ Ргодгатттд, АУПеу, Ке\у Уогк, 1976.
[355, 614]
МиПу, К. С. A983), Шеаг Ргодгатттд, ШПеу, Ые\у Уогк, 1983. [355]
№зЬ->УПНат8, С. 81.1. А. A969), Ше11-Ъа1апсеё ог1еп1а1юП8 оГ йппе ^гарЬ$ ап<1
ипоЫги81уе одс!-уег1ех-ра1пп88, 1п: ЯесеШ Ргодге$& т СотЫпаюгкз (>У. Т. ТиПе,
ед.), Асаёет1с Ргевз, N6^ Уогк, 1969, рр. 133-149. [504]
Ыа1Ьап8оп, М. В. A974), Арргох1та1юп Ьу сопПпиес! ГгасПопв, Ргосеейтдз о/ гке
Атепсап МагкетаИсЫ Зоаегу 45 A974) 323-324. [103]
Ыаи$8, К. М. A976-7), Ап еШает а^огпЬт Гог 1Ье 0-1 кпархаск ргоЫет, Мападетепг
Заепсе 23 A976-7) 27-31. [604]
№и8$, К. М. A979), Рагатеггк Ыгедег Ргодгаттгпд, 1_1туег811у оГ М18$оип Рге88,
Со1итЫа, 1979. [572]
[ЫаУ1ег, С. Ь. М .Н. A825)=] ^у., 8иг 1е са!си! дев сотШюпв &тё%а\кё, ВиИегт йез
Ъаепсез 4е 1а 5оаё1ё рп^^отаг^^ие &е Рат A825) 66-68. [332]
Ые18зсг, Н. A932), ЬоЬпЬдЬе ип<1 ВезсЬйГП8ип858га^ ш Магк1д1е1сЬ8е\у1сЬ1, \Уектгг-
зска/Шскез Агскю 36 A932) 415-455. [346]
Ые1воп, С. О. A982), Ап п1о%я а1допгкт /ог гке Шо^апаЫе-рег-сопзггатг Нпеаг рго-
дгаттпд запфаЫШу ргоЫет, ргерпШ. [242, 304]
№тЬаи$ег, О. Ь. апд Тгоиег, 1г, Ь. Е. A974), Ргорегйез оГ уеПех раск1п^ апд
шдерепдепсе 8у.81ет ро1уЬейга, Магкетагка1 Ргодгатттд 6 A974) 48-61. [563, 615]
1ЧетЬаи8ег, О. Ь. апд ТгоПег, .1г, Ь. Е. A975), УеПех раскт^в*. 81гисШга1 ргорег11е8 апд
а1воп1Ьт8, Магкетагка1 Ргодгатттд 8 A975) 232-248. [563, 615]
1ЧетЬаи$ег, О. Ь., ТгоПег, }г, Ь. Е., апд N3088, Я. М. A973-4), 5е1 рагШюпт^ апд сЬат
десотром1юп, Мападетепг Заепсе 20 A973-4) 1413-1423. [615]
ТЧетЬашжг, С. Ь. апд 1Л1тапп, 2. A968), А по1е оп (Ье §епегаНгед Ьа^гап^е тЫирНег

670 Литература
зоЫюп № ап ш1евег рго8гатгшп|$ ргоЫет, Орегагюпз Яезеагск 16 A968) 450-453.
[572, 599]
№тЬаи$ег, О. Ь. ап<11Л1тапп, 2. A968-9), В18сге1е Лупапмс рговгатттв ап<1 са
а11оса1юп, Мападетет Зсхепсе 15 A968-9) 494-505. [423]
№тЬаи$ег, О. Ь. ап<1 \Уо1зеу, Ь. А., ЫХедег апй СотЫпагопЫ ОрИтхгапоп, \УПеу,
Уогк, Ю арреаг. [614]
°Нет1Г0У8ку, А. 8. ап<1 УшНп, О. В. A983), РгоЫет Сотр1ехИу апА Ме\\\о<1 ЕЦхсхепсу хп
Орптггапоп, \УПеу, СЫспе81ег, 1983 [1гапз1а1юп Ггот 1пе Киззйап $1огкпо51' гайаск I
е$ек1юпозг' тегойоь^ орггтггагт, 1гс1а(. 'Ыаика\ Мозсоу, 1979]. [355]
№пп& Е. а A963), Шеаг АХдеЪга апй МагПх Ткеогу, Шеу, Ыеш Уогк, 1963. V 6, 691
N0110, Е. A901), ЬекгЬиск йег СотЫтиопк, ТеиЬпег, Ье1р218, 1901. [6081.
уоп Nеитапп, 5. A928), 2иг ТЬеопе <1ег Ое8е118СГ1аГ1$$р1е1е, МшкетаНзске Аппакп 100
0928) 295-320 [герпШей т: Зокп Vоп Меитапп, СопесЫ №гкз, Уо\. VI (А. Н. ТаиЬ,
её.) Рег^атоп Рге§8, ОхГогс!, 1963, рр. 1-26] [Еп^Н$Ь 1гап81а1юп: Оп 1Ье 1Ьеогу о(
8ате« о{ $1га1е§у, 1п: СотпЬшюпа ю (Не Ткеогу о/Сатез, Уо1. IV {\. >У. Тискег ап<1
К. О. Ьисе, еёа.), Аппа18 оГ МаЖетаисз ЗшсНез 40, Рппсе1оп ип1Уег811у Ргевз,
Рппсеюп, N.^., 1959, рр. 13-42]. [344]
уоп \еигпапп, 3. A937), ОЬег е1П 6копот18сЬе8 О1е!сЬипв88у8(ет ип<1 ете УегаИ-
^сше1пегипе сс> ВюалегчсЬеп 1ч\риик15аие8, ЕгдеЪтззе етез та1кетаи$скеп
коИоциштз 8 [1935-6] A937) 73-87 [Еп^НвЬ 1гап$1а1юп: А тос1е1 оГ ^епега!
есопогп1С ециШЬпит, Тке Кеигеы о/ Есопотпк ЗниНез 13 A945-6) 1-9 [герпп1ед 1п:
Зокп ьоп Хеипшпп, СоИеаей Н'огкх, Ко/. VI (А. Н. ТаиЬ, ед.), Рег^атоп Ргезз, ОхГогс!,
1963, рр. 29 37] [а!зо герпп1е<1 т: ЯешИпдБ Ы МсикетаЫса! Есопоткз, УЫите II:
Сариа1 апй Сготк (Р. №\угпап, ее!.), ТЬе ЛоЬп8 Норктв Ргезз, Ва1итоге, 1968,
рр. 12\ -229]]. [346]
уоп №итапп, 1 A945), СоттишсаПоп оп 1Ье Воге! по1е§, Есопотеггхса 21 A945) 124—
125 [герпп1е<1 !п: Зокп иоп Ыеитпапп, Со1\ес1еД Щ>гкз, УЫ VI (А. Н. ТаиЪ. е<1.),
Регватоп Рге88, ОхГога, 1963, рр. 27-28]. [345]
уоп Ыеитапп, ^. A947), йгзсиззюп о/а таххтшп ргоЫет, иприЬН8пес1 %огк1П8 рарег,
1п811(и(е Гог Айуапсей 5Ш(Ие5, РппсеЮп, N.^., 1947 [герпп1е<1 т: Зокп Vоп Иеитапп,
Сопеаед Могкз, Уо1. VI (А. Н. ТаиЬ, е<1.), Рег^атоп Ргезз, ОхГог<1, 1963, рр. 89-95].
[140, 353]
уоп Ыеитапп, Д. A953), А сег(а!п 2его-8ит 1шо-рег8оп §ате ецшуа)ет 1о (Ье орита!
аз81^птеп( ргоЫет, 1п: СотпЬшюпз ю 1ке Ткеогу о/ Оатез, II (Н. \У. КиЬп ап<1
А. ^. Тискег, е<18.), Аппак оГ МаШетаисз ЗшсНез 28, РппсеЮп ишуег811у Ргезз,
Рппсе1оп, N.1., 1953, рр. 5-12 [герпШеЛ 1п: Зокп гоп Иеитапп, Со11ес1ей \Уогкз, Ко/.
К/, Рег^атоп Рге88, ОхГогс!, 1963, рр. 44-49]. [32, 43,167, 439]
Ыечгтап, 0.1 A965). ЬосаПоп оГ (Ье тах^тит оп иштоёа! зигГасез, Зоигпа! о/1ке
А&зосхагюп [ог Сотриппд Маскхпегу 12 A965) 395-398. [265]
Ыештап, М. A972), ЫедгаХ Матсез, АсаЛепнс Ргезз, N6^ Уогк, 1972. [81, 130]
>Испо1, А. 1A938),Тгавеа1е81п1Ье1!ГеоГСоигпо1,ЕсопотеГпса6A938) 193-197. [330]
ЖедппвЬаиз, XV. Р. апс1 Зсе^кг, К. A978), Зоте ехрептеп(8 Ш1(Ь (Ье ра(Ьо1оя1са1
Ьпеаг рго^гатз оГ*4. 2а<1еЬ, МснкетснШ Ргодгаттхпд 15 A978) 352-354. [217]
ТЧцеппшз, А. апд \УИГ, Н. 5. A972), Керге$еп(а(юпз оГ ш(е^егз Ьу Нпеаг Гогтз т
поппе^аНуе (телеге, ЗоигпЫ о/NитЬе^ Ткеогу 4 A972) 98-106. [614]
ЭДуеп, I. A967), 1ггаИопа1 ИитЬегз, Ма1пегааПса1 Аззос1а11оп оГ Атепса [сНз1пЬи(ес1
Ьу: \^11еу, N6^ Уогк], 1967. [130]
Моо^еНег, Т. К. Р. A984), СотриШ1юпа1 Мснкетапсз - Ап Шгойиспоп ю ЫитепсЫ
АрргсхшшНоп, Е1Й8 Ноп*оос1, СЫсЬе81ег, 1984. [130]
Ыоггпап, К. 2. A955), Оп 1пе сопуех ро1уНес1га оГ 1Ье зутте(пс ггауейп^ 8а1езтап
ргоЫет (АЬз1гасО, ВипеПп о/1ке Атегхсап МшкетаЫсЫ 5осхе1у 61 A955) 559. [614]
Ыоипе, Р. X апд Уеп1а, Е. К. A981-2), Ап иррег Ьоипё оп 1Не питЬег оГсШз пеедеЛ 1п
Сотогу'з те(НоA оПШе^ег Гогтз, ОрегаИогхз Незеагск Ьеиегз 1 A981-2) 129-133.
[581]

Литература 671
. С. A981), А по1е оп 81ггш11апеои8 <НорЬап(ше арргохтШюп, Мапизспрш
МтНетаИсаЪв A981) 33-46. [116]
ОШугко, А. М. ап<11е К1е1е, Н.}. У A985), 018ргооГоГ1Ье Мег1еп8 согуесШге, Уоигпа/уйг
сИе тете ипй апдепаЫи МснкетаНк 357 A985) 138-160. [116]
О1ё8, С. О. A963), Сопппией Ггаспопз, Капдот Ноизе, ^\* Уогк, 1963. [130]
ОгсЬагс1-Нау8, XV. A954), ВаскдгоипА, Aеье\ортет апй ехгепзюпз о/1ке гешЫ зхтркх
тегкой, Кероп КМ 1433, ТЬе Капа Согрогаиоп, 8ата Мошса, Са1., 1954.
[228]
ОгсЬагд-Науз, XV. A968), А&апсей Цпеаг-Ргодгатттд СотриИпд Тесктдиез,
МсСга\*-НШ, Ыеш Уогк, 1968. [355]
Огёеп, А. A955-6), ТЬе 1гап8Ыргпеп1 ргоЫет, Мападетет Зсгепсе 2 A955-6) 276-285.
[217]
Огдеп, А. A971), Оп 1пе 8о1и11оп оГ Нпеаг ециаПоп/теяиаН1у 8у81ет8, Ма1кета1ка1
Ргодгатттд 1 A971) 137-152. [224]
Огдеп, А. A976), Сотри1а1юпа11ПУе8118а1юп ап<1 апа1у818 оГргоЬаЬШзис рагате1ег8 оГ
сопуег^епсе оГа 81тр1ех а^огПЬт, 1п: Ргодгезз т ОрегаНопз Яезеагск, Уо1. II (Ргос.
СопГ. Е^ег (Нип^агу), 1974; А. Ргёкора ее!.), ЫопЬ-Но!1ап<1, Атз1егс!ат, 1976,
рр. 705-715. [212, 224]
Огёеп, А. A979), А 81иду оГргуо! ргоЬаЫН11е8 т ЬР иЫеаиз, 1п: Зиыеу о/МснкетаисЫ
Ргодгатттд, Уо\. 2 (Ргосеес1т88 оЙЬе 91Ь 1п1егпапопа1 Ма1ЬетаПса1 Рговгатгшп^
8утрО81ит, Вис1аре81, 1976; А. Ргёкора, е<Ц Акаёет1а К1а<16, Видаре$(, 1979, рр.
141-154. [224].
Огдеп, А. A980), А 81ер 1о>Уагд ргоЪаЫНвйс апа1у818 оГ 81тр1ех те1Ьоё сопуег$$епсе,
Магкетагкаг Ргодгатттд 19 A980) 3-13. [224]
ОгНп, 5. В. A982), А ро1упогта1 а!8ог11Ьт Гог ш(е&ег рго^гатт!^ соуепп^ ргоЫетз
8а118Гут8 *Ье 1п(е§ег гоипё-ир ргорег1у, Ма1кета1ка1 Ргодгатттд 22 A982) 231-
235. [532]
ОгНп, I. В. A985а), Оп (Не 81тр1ех а)8оп1Ьт Гог пе№огк8 апд ^епегаНгес! пе(^огк$,
Ма1кета1ка1 Ргодгатттд, ю арреаг. [217, 450]
ОгНп, 5. В. A985Ь), Оепшпе1у ро!упогта1 $1тр1ех апй поп-81тр1ех а18ог11Ьт8 Гог 1пе
т1ттит соз1 Йо^ ргоЫет, Орегапопз Яезеагск, Ю арреаг. [217]
О81говгас18ку, М. A838а), Соп81<1ёгаПоп8 дёпёга1е8 §иг 1ез тотепз Aе8 Гогсев [1и 1е 7
ЫоуетЬге 1834], Мёто&ез Ае УАсаЛётхе 1трёг'ха\е Лез Заепсез а*е Затг-РёЬегзЬоигд,
Зёпе VI: Заепсез тахкётапаиез е1 ркузгдиез 1 A838) 129-150. [330]
М. A838Ь), Мёто1ге 5иг 1е$ йёр1асетеп8 1П8(ап(апё8 с1ез $у8(ёте8
а <1е8 сопсНиопв уапаЫез [1и 1е 20 Ау«1 1838], Мётоггез Ае ГАсайётге
1трёпа1е йез Заепсез йе Затг-РёшзЪоигд, Зёгк VI: Зшпсез тагкётащиез е(
ркузхаиез 1 A838) 565-600. [331]
Расе, I. 5. апс! Вашей, $. A974), ЕШс1еп( а1$оп(Ьт8 Гог Нпеаг 8у8(ет са!си1аAоп8, РаП
I—8гп1(Ь Гогт апс! соттоп (Ну18ог оГ ро1упот1а1 та1псе8,1п1егпаИопа\ Зоита! о/
Зузгетз Заепсе 5 A974) 403-411. [89]
РайЪегЕ, М. XV. A971), А*гетагк оп *Ап 1пеяиа1ку Гог 1Ье питЬег оПаШсе ро!пи т а
8ппр1ех\ 31АМ Зоюпа\ оп АррИей МагкетаИсз 20 A971) 638-641. [614]
Рас1Ъег& М. XV. A972), Ецшуа1еп1 кпарзаскчуре Гогти1а11оп8 оГЬоипс!ес11п1е§ег Нпеаг
рго^гата: ап акетаПУе арргоасЬ, N01;^/ Яезеагск Ьодгзпсв ОцапегХу 19 A972) 699-
708. [379]
РадЪегЕ, М. XV. A973), Оп 1пе Гааа1 81гис1иге оГзе1 раск^п^ ро!уЬедга, ЫагкетапсаХ
Ргодгаттхщ 5 A973) 199-215. [615]
Рас1Ьег8, М.ХУ. A974), РегГес! гего-опе ташсез, МагкетапсаХ Ргодгатттд 6 A974)
180-196. [563, 615]
Рас1Ъег& М. XV. A975а), Спагас1еп8а1юп8 оГ Ю1а11у иттосШаг, Ьа1апсес1 апс! регГес!
та1псе8, т: СотЫпа(опа1 Ргодгатттд: Ме(кос1з аЫ АррНсаиопз (В. Коу, е<1.),
Ке1ае1, ОопкесЫ (Но11апс1), 1975, рр. 275-284. [436]
Рас1Ъег& М. XV. A975Ь), А по!е оп гего-опе рго§гатгп1п§, Орегапопз Кезеагск 23 A975)
833-837. [615]

672 Литература
М. XV. A976), А по1е оп 1Ье 1о1а1 иштос1и1ап1у оГ таШсез, О\зсге1е
МшкетаИсз 14 A976) 273-278. {431, 436]
Рас1Ъег|$, М. XV. A977), Оп 1Ье сотр1ех11у оГзе! раскт§ ро!уЬес!га, [т: ЗшсНез т 1тедег
Ргодгатттд (Р. Ь. Наттег, ег а1., е<1з.H Аппак о§Ъ\зстеге Магкетапсз 1 A977) 421-
434. [615]
РайЬегз, М. XV. A979), Соуепп& раскт^ апс! кпарзаск ргоЫетз, [т:
Орптгагхоп I (Р. Ь. Наттег, Е. Ь. ДоЬпзоп апс! В. Н. Ко«е, ейз.),] АппаЬ о
МшкетаНсз 4 A979) 265-287. [615]
РайЬегв, М. XV. апд Сгб1$сЬе1, М. A985), Ро1уЬес1га1 сотришюпз, т: Тке ТгюеИпд
Загезтап РгоЫет, А бшйей Тот о/ СотЫпаюНЫ Оритиапоп (Е. Ь. Ьа\у1ег, е1 а1.,
еДзО, ^11еу, СЬ1сЬе§1ег, 1985, рр. 307-360. [600]
Рас!Ъег& М. >^. апс! Ноп& 5. A980), Оп 1Ье §утте1пс 1гауеШпё 8а1е§тап ргоЫет: а
сотриШюпа1 81ис1у, Ма1кетаиса1 Ргодгатттд ЗШу 12 A980) 78-107. [600]
РасНэегц, М. XV. апс! Као, М. К. A980), Тке Яиззгап тегкоА апд. Ыедег ргодгатттд,
ОВА ХУогктв рарег, №^ Уогк ип1уег§11у, Ые^ Уогк, 1980 (Ю арреаг 1П Аппак о/
Орегайопа Яезеагск). [252, 269]
Рас1Ъег& М. XV. апё Као, М. Я. A982), Одс1 тЫтит си(-8е1§ апс! 6-та1сЬ1пе8,
МагкетаНсь о/ОреШюп$ Яезеагск 7 A982) 67-80. [403]
Ра1еу, К. Е. А. С. апс! Т^аеИ, Н. О. A930), СопПпиес! ГгасИопа 1П 8еуега1 сНтепзюпз,
Ргосеейтдз о]1ке СатЬпйде РкНозорккЫ $оае1у 26 A930) 127—144. [116]
уап <1е Раппе, С A971), Цпеаг Ргодгатттд апЛ КеШеА Тесктдиез, Мог1Ъ-Но11ап<1,
Атз1егс1ат, 1971. [355].
РарасНтипои, С. Н. A978), ТЬе афасепсу ге!а1юп оп 1Ье 1гауеПпй 8а1е8тап ро!у1оре 15
NР-сотр1е^е, Ма1кетаПса1 Ргодгатттд 14 A978) 312-324. [408, 403]
РараШткгюи, С. Н. A979), ЕГПаеШ кеагсЬ Гог гапопа^, 1п/огта1юп Ргосеззтд ЬеИегв
8A979) 1-4. [103, 191]
РарасНткпои, С. Н. A981), Оп 1пе сотр1ех11у оГ 1п1езег рговгатття, ^ои^па^ о/1ке
АззоааИоп/ог Сотрштд МасЫпегу 28 A981) 765-768. [383, 419, 425]
РарасИтНпои, С. Н. ап<1 81е18П12, К. A982), СотЫпаюг\а1 ОрйтггаНоп: А1догиктз апй
СотркхНу, Ргеппсе-НаИ, Еп^еиюск! СНЙ8, К.Д., 1982. [234, 615]
РарасНтПпои, С. Н. апс1 Уаппакак18, М. A982), ТЬе сотр1ех!1у оГ Гасе1з (апс! зоте
Гасе(8 оГ сотр1ех11у), т: Ргосеейтдз о/ гке Роипееп1к Аппиа1 АСЫ Зутрозшт оп
Ткеогу о/ Сотрштд (8ап Ргапс15со, Са!., 1982), ТЬе А85ос1апоп Гог СотриПп^
МасЫпегу, N6^ Уогк, 1982, рр. 255-260 [а18о: ^оигпа1 оГ Сотригег апё 8у81ет
Заепсе 28 A984) 244-259]. [403, 406]
Раи11, А. Е. апд \Уа11ег, ]. К. A955), ТЬе 1пт ргоЫет: ап аррЬсаПоп оГ Ипеаг
рго^гатштё Ю гЬе тапиГастге оГпе\^5рпп1 рарег (АЬз1гас1), Есопотегпса 23 A955)
336. [613]
Реек, Ь. С. A961), 81ти11апеои5 гаиопа1 арргох1таиоп8 1о а1§еЬга1С питЬегз, Випепп
о/1ке Атегкап Ма(кетапса1 8оае1у 67 A961) 197-201. [116]
Рег1, I. A975), Оп ПпсНп^ аП зоЫиопз оГ 1Ье раШ^ошпз ргоЫет, 1п: МшНетапсЫ
Гоипйапопз о{Сотригег Заепсе 1975 (Ргос. 41Ь Зутрозшт, Магшпзкё Ьагпё, 1975;
5. Весуаг, ес1.), ЬесШге >4о1е81П Сотри1ег 8с1епсе 32, 8рпп§ег, ВегНп, 1975, рр. 337-
343. [614]
Реггоп, О. A907), ОгипсИа^еп Гиг е1пе ТЬеопе с1е8 1асоЫзсЬеп КеПепЬгисЬ-
а^опШтиз, МагкетаИзске АппаХеп 64 A907) 1-76. [116]
Реггоп, О. A913), Ъ\е Ьекге иоп Аеп КеНепЪгпскеп, ТеиЬпег, Ьс\рг\%, 1913 [2пс1 геУ18е<1
ес!1Поп: 1929 [герГ1п1ес1: СЬеЬеа, №>у Уогк. 1950], Згд геУ18ес1 есШюп: ТеиЬпег,
вшивал, 1954 (Уо1. I), 1957 (Уо1. II)]. [129]
Реггоп, О. A921), 1гшюпакак1еп, XV. с!е Огиу1ег, Вег11П, 1921 [2пс1 геу15ес! есПЮп: 1939
[герппЫ: СЬеЬеа, N6^ Уогк, 1948]]. [126, 130]
Р1сагс1, ].-С, апс1 риеугаппе, М. A977), Оп 1Ье 1п1е8ег-уа1иес1 уапаЫеа 1п 1Ье Нпеаг
уеПех раскт^ ргоЫет, Ма1кета1ка1 Ргодгатттд 12 A977) 97-101. [680]
Р1еЫег, ^. A975), ЕЫде Ветегкип^еп гит 8сЬп1игап§ т Aег тет-%апгтЫ'щеп Нпеагеп
, МагкетаИзске Орегагюпз/огзскипд ипа* $шШ\к 6 A975) 523-533. [582]

Литература 673
1е5 ЕикИсНзсЬеп А^огкЬтиз %ъ%гппйъ\, ЛсШ АсаДетхае АЬоепзгз
МсНкетаНса ег Ркузка [5ег. В] 1 A921) 1-16. [116]
Р1ррт§, N. A957), АрргохипаНоп 2\уе1ег гееИеп 2аЫеп дигсЬ га(юпа1е 2аЫеп тк
§етет$атет Ыеппег, Асга АсаДет'ше АЬоепзхз Магкетагка ег Ркузка [Зег. В] 21
A957) 1-17. [П6]
Р1апе, Э. К. апс1 МсМШап, С. A971), Вшгеге ОргШгаИоп—Ыгедег Ргодгатттд апа1
Ыешогк Апа\узгз /ог Мападетет йеазюпз, Ргеписе-На11, Еп§1е^оо<1 СНгТз, N..1.,
1971. [614]
РШскег, У A829), ОЬег ет пеиез Соог<1та1еп8у81ет, ^ои^па^^й^ <Ие гете ипа* апдепап&е
МшНетаНк 5 A829) 1-36 [герпп1е<1 т: ЗиИиз РШскегз Сезаттеке [Ухззепзска/Шске
ЛЬНапс11ипдеп, Вапй I: ОезаттеНе МсНкетаИзске АЬкапШипдеп (А. ЗсЬоепШез, ей.),
ТеиЬпег, Ье1р21& 1895 [герг^тес!: ДоЬпзоп Керпп1 Согр., Ые^ Уогк, 1972,] рр. 124—
158]. [67]
РШскег,}. A830а), ОЪег е!П пеиез Рппс1р с1ег Сеоте1г1е ипй <1еп ОеЬгаисЬ аНвететег
8утЬо1е ип<1 ипЬе811тт1ег Сое"Шс1еп1еп, Зоигпа1 Ум> Не гете ипй апде\\>апс11е
МагкетаИк 5 A830) 268-286 [герптес! т: Уи/ш5 РШскегз СезаттеНе Щззепзска/1-
Нске АЬкапсНипдеп. Вап<11: Оезаттеке Мшкетайзске АЬкапсИипдеп (А. 5сЬоеп(Не8,
ей.), ТеиЬпег, Ье1р212, 1895 [герпШед: 1оЬп8оп Яергт! Согр., N6^ Уогк, 1972],
рр.159-177]Дб7]
РШскег, У A83ОЬ), СЬег ете пеие Ап, 1п <1ег апа!уП8сЬеп ОеотеСпе Рипк^е ип<! Сигуеп
AигсЬ О1е1сЬип§еп ёагги8(еНеп, Зоита1 ]йг (Не гете ипй апде\\>апй1е Магкетапк 6
A830) 107-146 [герпШед 1п: Уи/ш5 РШскегз ОезаттеНе \У1ззепзска/1Иске АЬкагиНип-
деп, ВаЫ I: Се&аттеке Магкетагхзске АЬкагиНипдеп (А. 8сЬоепШе8, есЦ ТеиЬпег,
Ье1ряз, 1895 [герпп1ес1: ЛоЬпвоп Керпп! Согр., Ые\у Уогк, 1972], рр. 178-219]. [67]
РШскег, I. A832), Ыо1е 8иг ипе 1Ьёопе ^ёпёга1е е1 поиуеНе Йе§ хигСасев соигЬев, Зоигпа1
Уйг <1\е гете ипА апдеу/апйге МагкетаИк 9 A832) 124-134 [герпп1ес1 т: Уи/ш5 РШскегз
Оезаттеке \У1з5епзска/1Нске АЬкап^Шпдеп, Вапй I: Сезаттеке Магкетаггзске
АЬкагиНипдеп (А. ЗсЬоепГПез, Ы\ ТеиЬпег, Ье1р21§, 1895 [герппЫ: 7оЬп8оп КерпШ.
Согр., Ке\у Уогк, 1972,] рр. 224-234]. [67]
°Роё$урашп, Е. V. A977), А ^епегаНгаиоп оГгЬе а18ог11Ьт Гог соп(тиес1 ГгасПопз ге!а1ед
1о <Ье а1вогШш1 оГ У^о Вгип (т Ки881ап), [1п: 1пье$ггдагюпз т МитЬег Ткеогу, Ран 4
(А.У. Ма1у8Ьеу, ед.),] 2арШ Иаисппукп ЗетЫагю ЮМ1 67 A977) 184-194
[ЕпвДзЬ иап81аИоп: Зоигпа! о/8о11ег МагкетаНсз 16 A981) 885-893]. [116]
°Ротсагё, Н. A880), 8иг ип тоёе поиуеаи ее гергёвепШюп 8еотё1г1яие дез Гогтев
ЯиадгаПциез дёПп1е8 ои тдёГш1е8, ЗоитаЫе ГЕсок Ро1угесктдие 47 A880) 177-245
[гергЫед т: Оеитгея йе Непп Рогпсагё, Тоте V, СатЫег-УШагз, Раг18,1950, рр. 117-
180]. [126]
°Ротсагё, Н. A884), 8иг ипе вёпёгаНваИоп Йез ГгасНопз сопппиез, Сотрш Кепйиз
НеЫотаДахгез Дез Зёапсез йе ГАсаАётге а*е$ Вс'гепсез 99 A884) 1014-1016 [герпШед
'т.Ожгеза'еНеппРотсагё, Тоте К,Саи1гпег-УШагз,Рап8,1950, рр. 185-187]. [116]
°Ротсагё, Н. A900), Зесопд сотр1етеп1 а Гапа!у818 вНиз, РгосеесИпдз о/ 1ке Ьопйоп
Ма(Нета1ка18оае(у 32 A900) 277-308 [герппЫ т: ОеиV^е5 0хе Непп Ротсагё, Тоте
VI, СаиОжг-УШага, Рато, 1953, рр. 338-370]. [439, 613]
оРо1уак, В. Т. A967), А &епега1 те1Ьод оГ 8о!у1пе ех1гетит ргоЫетз (т Ки881ап),
йокШу АкаАетН Иаик 555Я 174 A) A967) 33-36 [ЕпвДаЬ 1гап81а11оп: 8ооШ
Магкетапез йокЫу 8 A967) 593-597]. [593]
оРо1уак, В. Т. A969), Мшшигагюп оГ ип$тоо(Ь йтсПопак (т Ки881ап), ХкитаХ
УусЫзШеГпо! МагетаНкг I МагетагккезкоГ Пггкг 9 A969) 509-521 [ЕвдИзН 1гапз-
1аиоп: 1/.5.5.Л. СотриШюпа1 Магкетагкз апй Магкетагка1 Ркузкз 9 C) A969) 14-
29]. [599]
РопсЫс!, 1. V. A822), ТгаИё а*ез ргоргШёз рго)ес1юез Аез^дигез, ВасЬеНег, Рапз, 1822
[Еп^1&Ь 1гап$1а11оп (рагПаИу) 1п: И. Е. 8т1(Н, А Зоигсе Воок ш Магкетагкз,
МсСют-НШ, N6^ Уогк, 1929, рр. 315-323]. [67, 332]
Ропсе1е1, Д. V. A829), Мёпкмге зиг 1а 1Ьёог1е 8епёга1е дез роЫгез гёаргоциез,

674 Литература
(Не тете ипа* апдепапдие Мс&кетапк 4 A829) 1-71. [67]
Рга^ег, ^. A956-7), Оп 1пе са1егег ргоЫет, Мападетет 8аепсе 3 A956-7) 15-23.
[613]
Ргёкора, А. A972), Оп 1пе питЬег оГ уегпсез оГ гап<1от соп-уех ро!уЬес1га, РепоаЧса
МткетаНса Нипдапса 2 A972) 259-282. [336]
Ргёкора, А. A980), Оп 1пе Aеуе1ортеп1 оГорипшайоп *Ьеогу, Тке Атепсап Ма(кета{-
\са\ МотЫу 87 A980) 527-542. [354]
Ргерага1а, Р. Р. апс1 Ноп§, 8. I A977), Сопуех ЬиНз оГПпйе 8е1§ оГрот1§ т 1«ю апс11пгее
сПтепзюпз, Соттитсаиопз о/гке АСЫ 20 A977) 87-93. [356]
оРгерага1а, Р. Р. апс! 8пато8, М. I. A985), СотршснюпЫ Оеотеыу- Ап 1тгоа'ис1юп,
8рпп8ег, Ые^ Уогк, 1985. [356]
Рго11, Ь. О. A970), Сег1Шса11Оп оГа1ёОП1Ьт 263А [Н] Оотогу 1, Соттитсапопз о/1ке
АСМ 13 A970) 326-327. [581]
РиНеуЫапк, \У. апс! Ейтопйз, 1. A974), Расе1§ оГ 1-та1сЬ1П8 ро1уЬес!га, 1п: НурегдгарИ
Зеттаг (ОЬ1О 81а1е ип!уег811у, СоЫтЬиз, ОЬ^о, 1972; С. Вег^е апс! О. Кау-
СпаисНшп, ейз.), Ьес1иге Ыо1ез т Ма1пета1ю8 411, 8рпп§ег, ВегНп, 1974, рр. 214-
242. [173]
, К. Е. апй КиЬп, Н. XV. A964), Оп иррег Ьоипйз Гог 1пе питЬег оГ11ега11ОПх т
Нпеаг рго^гатз, Орегагюпз КезеагсН 12 A964) 161-165. [217]
Кавпауаспап, М. апс! 8аЬЬаг\уа1, V. Р. A978), Оп 1пе питЬег оГ поп-пе^аНуе 1п1еега1
8оМюп8 ю 1Ье кпарваск ргоЫет, 5США 7 A978) 81-87. [614]
Ка18Ьеск, О. A950), 81тиНапеои8 йюрЬапНпе арргсштайоп, СапасНап 5отпа\ о/
МагНетапсз 2 A950) 283-288. [И 6]
уоп Капаем, К. (е<1.) A982), 1тедег Ргодгатттд апй КеЫед. Агеаз, А С1а5$феД
ВгЫюдгарНу 1978-1981, ЬесШге N0168 т Есопотюв апс! Ма1Ьета11са1 8у§1ет8 197,
8рпп8ег, ВегИп, 1982. [379, 609, 615]
уоп Капс1о\у, К. (ей.) A985), Ыедег Ргодгатттд ап& КеЫед. Агеаз, А Оаз&фей
ВгЫюдгарНу 1981-1984, Ьес1иге Ыо1е8 т Есопогшсз апс! Ма1ЬетаНса18уз1ет8 243,
8рпп§ег, Вег1т, 1985. [379, 609, 615]
Каутйгап, А. A973), А сотрап«оп оГ Ше рг1та1-81тр1ех апс! сотр1етеп(агу р1уо1
те1Ьос!8 Гог Нпеаг рго$$гаттт& NаVа^ ЯезеагсН ЬодгзИсз 0,иагш\у 20 A973) 95-100.
[212]
Кау\уагс1-8т11Ь, V. 3. A979), Оп сотриНп^ 1пе 8тИЬ погта1 Гогт оГап т1е§ег та1г1х,
АСМ ТгапзасНопз оп Ма1пета(ка1 5о/(маге 5 A979) 451-456. [93]
КеЬтап, К. К. A974), ТоЫ ип1тос1и1агЦу апс! 1Ье 1гап8рог1айоп ргоЫет: а ^епегаНг-
аиоп, Ппеаг А1деЬга апд. кз АррНсаНопз 8 A974) 11 —24. [495]
Ке18§, 8. Р. A979), Ка1юпа1 веагсН, 1п/огта1юп Ргосеззтд ЬеПегз 8 A979) 89-90.
[ЮЗ]
Кёпу1, А. апс! 8и1апке, К. A963), ОЬег Ле копуехе НйПе уоп п гиШщ ^еи/аЬЦеп
Рипк1еп, ХеНзскп/г^г НЬНгзскетНсккегшНеопе ипс1 иегшпАи СеЫеге 2 A963) 75-
84 [герппЫ 1п: $е1ес(е4 Рарегз о/А1/гё4 Кёпуг 3,1962-1970 (Р. Тигап, е<1.), Акааёт1а1
Кла<16, Виаарев!, 1976, рр. 143-152]. [225]
Кёпу1, А. апс! 8и1апке, К. A968), ХиШШве копуехе Ро1у^опе ш е1пет К1п^еЫе1,
2екзскп/1 /иг {УакгзскетИсккегШкеопе тй ьетапДье ОеЫеге 9 A968) 146-157
[герппЫ 1п: $е\есШ Рарегз о/А1/М Яёпуг 3,1962-1970 (Р. Тигап, е<1.), Ака<1ёт1а1
К1ааб, Виаарез1, 1976, рр. 502-513]. [225]
КюЬагс1$, I. A981), СопПпиес! ГгасПопз ^1(Ьои( (еаг8, МагкетаМсз Мадагте 54 A981)
163-171. [ЮЗ]
г, О. У A976), Оп 1пе Нагпз тосИйсаПоп о!Чпе ЕисНс1еап а18ОГ11Ьт, Тке ИЬопаса
ОцаПегХу 14 A976) 196, 200. [86]
, Р. A904), 8иг 1а гё8о1ииоп арргосЬёе де сепа1пе8 соп^гиепсев, СотрШ КепЛиз
НеЫотаЛахгез 4ез Зёапсез <1е ГАсайётге Дез ЗЫепсез 139 A904) 459-462 [герптес! т:
Кгезг Рпдуез оззгедущьди типкт - РпеАгкк Ягезг Сезаттеке АгЬеИеп, Уо1.11 (А.
Сга82аг, е<1.), Акадёгта! Кла<16, Ви^арез!, 1960, рр. 1423-1426]. [126]
КПеу, V, апс! Оазз, 8.1. A958), Ыпеаг Ргодгатттд апЛ Аззоаагей Тесктциез, А

Литература 675
сотргекепьме ЫЫюдгарку т Ипеаг, попкпеаг, апй йупат\с ргодгатттд, ТЬе
Норктз Рге§$, Вакшюге, 1958. [355]
КоЪеггз, .1. В. A956), Ыо1е оп Нпеаг Гогтк, РгосеесИпдз о/ 1ке Лтепсап Ма1кетайса1
5ос1е(у 7 A956) 465- 469. [614]
КоЬеП§, ). В. A957), Оп а сНорЬапИпе ргоЫет, Сапайшп Зоита\ о/ Ма1кетаПсз 9
A957J19-222. [6141
КоЫпзоп. 8. М. A973),Воипдз Гогеггог т 1пе 8о1иПоп §е1 оГа реПигЬед Нпеаг рго^гат,
Ыпеаг АХдеЬга апй Из АррНсаИопз 6 A973) 69-81. [196]
КоЫпзоп. 8. М. A975), 8гаЫШу 1пеогу Гог зузгетз оГтециаПиез. РаП I: Ьтеаг 8у81ет&,
51АМ 1ошпа1 оп Ыитег\са1 Апагузгз 12 A975) 754-769. [357]
КоЫпзоп, 5. М. A977), А спагас1епга1юп о^51аЫН1у 1П Нпеаг ргоегатт1Пё, ОрегаНопз
ЯезеагН 25 A977) 435-447. [357]
КоскаГеНаг, К. Т. A969), ТЬе е1етеп1агу уес1ог8 оГа «иЬзрасе оГ Я", 1п: СотЫпаЮпа!
МснкетаИсз апд. 11$ АррИсапопз (Ргосеео!т8$ N0^1 СагоИпа СопГегепсе, СЬаре!
НШ, 1967; К. С. Возе апд Т. А. Оо\уИп§, ее!».)» ТЬе ип1уег511у оГТ^опЬ СагоНпа Рге§8,
СЬаре! Н|П, ЫопЬ Саго11па, 1969, рр. 104-127. [231]
оКоскаГе11аг, К. Т. A970), Сотех АпЫузгз, РппсеЮп 11п1уег811у Ргезз, Рппсе1оп, N^.,
1970. Р.52, 153, 355]
К6(]§е1Ь, О. ]. A978), Оп а Нпеаг дюрЬапПпе ргоЫет оГ РгоЬеп1и8, Зоита\$йг <Ие ге'те
ипй апдепап&е Ма1кетаик 301 A978) 171-178. [614]
Кос1.се1Ь, О. 5. A979), Оп а Ипеаг дюрпапппе ргоЫет оГ РгоЪепшз. II, ^ои^па^^й^ сНе
г же ипй апдепап&е Магкетапк 307/308 A979) 431-440. [614]
КоЬде, Р. V. A957), В^Ыю^гарЬу оп Ппеаг рго^гатт^п^, Орегаиопь Яезеагск 5 A957)
45-62. [355]
Ко11е, М. A690), Тгтгё 4'А1дёЬге, ои Рппарез Оёпёгаих роиг Яёзоийге 1е$ Оцемюпз йе
Ма1кётащие> Е. МюЬа11е1, Рапе, 1690. [118]
КооЬу-Ьа1еЬ, Е. A981), 1тргогетеп1$ ю 1ке 1кеогепса1 е$\с\епсу о/1ке пе1\чогк $\тр\ех
теской РЬ.Э. О18зег1а1юп, Саг1еЮп ип1уег81(у, ОПа^а, 1981. [218]
Ко8епЪег& I. О. A974), А^ге^апоп оГ еяиа1юп8 1П 1Ще8ег рго8гатгП1П§,
МснкетаИсз 10 A974) 325-341. [379]
Ко8епЪег& I. A975), Оп СЬуаЫ'з сиИт^ р!апез 1п 1п1е8ег 11пеаг
Ма1кетаИ5ске Орегайопфгзскипд ипй ЪгахШк 6 A975) 511-522. [581]
Ко88, 8. М. A981), А з1тр1е кеипзис арргоаск 1о згтркх ефаепсу, КероП ОКС 81-21,
ОераПтеп1 оГ 1пс1и$(па1 Еп^пеег1П8 апс! Орегаиопз КезеагсЬ, 17п1Уег811у оГ
СаНГогта, Вегке1еу, Са1., 1981. [225]
Ковзег, [У"] В. A942), А ^епегаНгаиоп оГ1Ье ЕисНёеап а^отЬт 1о 8еуега1 <11теп8ЮП8,
йике МткетаИсЫ Зоигпа1 9 A942) 59-95. [93, 113]
Ко8зсг, 1. В. A952), А те1Ьод оГ сотрипп^ ехас( 1пуег8е8 оГ та1Г1се8 \У11Ь 1п1е^ег
соеШЫетз, Зоита\ о/Яезеагск о/1ке ЫаНопЫ Вигеаи о/ЗитАаЫв 49 A952) 349-35&.
158]
Ко1Ь, В. A969), Сотри1ег 8о1ииоп8 Ю т1п1тит-соуег ргоЫетз, Орегапопз Яе&еагск 17
A969L55-465. [615]
Коу, К. A939), Ь'оеи уге ёсопогтяие д' Аи^изип Соигпо1, ЕсопотеМса 7 A939) 134-144.
[330]
КиЫп, О. 8. A970), Оп (Ье ипНтПед питЬег оГГасез 1п ^те^ег ЬиНз оГНпеаг рго§гат5
^1(Ь а зт^е сопз1гаЫ, Орегапот Яезеагск 18 A970) 940-946. [410]
КиЫп, и. 8. A971-2), Кеёипёат соп81га1п(8 апс! ех1гапеоиз уапаЫез т
рго^гатз, Мападетет $с\епсе 18 A971-2) 423-427. [614]
КиЫп. Э. 8. A975а), Уег1ех ^епегаиоп апд сагдшаН1у соп81га1пеA Нпеаг
ОрегаНот Яезеагск 23 A975) 555-565. [356]
КиЫп, Э. 8. A984-5), Ро1упогта1 а1§ог11Ьт8 Гог т х (т + 1) Ые§ег рго^гатз апд т
х (т + к) (ИорЬапппе 8уз1етз, Орегайопз Яезеагск ЬеПегз 3 A984-5) 289-291. [417]
КиЫп, О. 8. апс! Огауез, К. Ь. A972), 81геп^1Ьепед Оап121$$ си(8 Гог 1П1екег рго§гат-
Орегайопз Яезеагск 20 A972) 178-182. [581]

676 Литература
КиЫп, Р. A975Ь), Ап 1тргоуес1 а1§оп1Ьт Гог 1е81т^ (Не р1апап1у оГ а §гарЬ. 1ЕЕЕ
ТгатасИопз оп Сотршегз С-24 A975) 113-121. [454]
8аа1у, Т. Ь. A955), ТЬе питЬег оГ уег1юе8 оГа ро1уЬес!гоп, Тке Атегкап Магкетагка1
МотЫу 62 A955) 326-331. [217]
Заа1у, Т. Ь. A963), А со!уес1иге сопсегпт§ (Не 8та11е81 Ьоипс! оп 1Ье иегайопзт Нпеаг
рго^гатштй, Орегапопз Яезеагск 11 A963) 151-153. [217]
° 8аа1у, Т. Ь. A970), Орптггапоп т 1шедегз агн! ЯеШей Ехггета! РгоЫетз, МсСга\у-НП|,
N6* Уогк, 1970. [614]
8аЬш, 8. A975), АрргохйтаСе а1богКЬт8 Гог 1пе 0/1 кпарзаск ргоЫет, Зоита1 о/(Не
Аззоаапоп/ог Сотрштд Масктегу 22 A975) 115-124. [423]
1, К. A969), А ргооГоГ(пе ЬПгзсЬ соп)ес1иге оп (Не ро!уЬес!гоп оГ*пе $по«е51 гои!е
ргоЫет, 81АМ ^ои^па^ оп АррИеё. МшНетшкз 17 A969) 1232- 1238. [217]
1, К. A983), Оп хоте асегаде гезикз/ог Нпеаг сотрктепШгу ргоЫет$, тапи$спр1,
оГ Гпдизта! Еп%\х\еъх'т% апс! Мапа^етет 8с1епсез, Nо^^Ь\Vе8^егп
, ЕуапзЮп, 111., 1983. [225]
8акагоуПсЬ, М. A975), <Зиа81-Ъа1апсес1 таСпсеа, МснкетаИсЫ Ргодгатттд 8 A975)
382-386. [495] с
8акагоуПсЬ, М. A976), Оиа81-Ьа1апсес1 та(псе$—ап асШепйит, МагНетайса\ Рго-
Ргодгатттд 10 A976) 405-407. [495]
8а1кт, Н. М. A971), А по(е оп Оотогу ГгасПопа! си(8, Орегапот Яе&еагск 19 A971)
1538-1541. [582]
8а1кт, Н. М. A973), А ЪпеГ §игуеу оГ а1йоп1Ьт8 апс1 гесет ге8и!(з 1П 1п1еёег
рго8гатт1Пб, ОрзеагсН 10 A973) 81-123. [614]
8а1кт,Н. М. A975), 1шедег Ргодгатттд, АскНзоп \Уе81еу, Кеас^п^, Ма88., 1975. [614]
8а1к1п, Н. М, апд де К1иууег, С. А. A975), ТЬе кпарзаск ргоЫет: а зигуеу, Ыага1
Яенеагск ЬодгзИсз 0цапег\у 22 A975) 127-144. [604]
8а1кт, Н. М. апд Копса1, К. Б. A973), 8е1 соуепп^ Ьу ап аН т1е§ег а1боп1Ьт:
сотри(аиопа1 ехрег1епсе, Зоита\ о/ 1ке Аььосхапоп /ог Сотрштд МасНтегу 20
A973) 189-193. [615]
8аиег, N. A972), Оп 1пе ёепзйу оГГат1Не8 оГ8е18, Зоита\ о/СотЫпаЮг1а1 ТНеогу (А) 13
A972) 145-147. [481]
8аипс1ег8, К. М. апс! 8сЫп2твег, К. A970), А 8Ьппк1п§ Ьоипс1агу а1ёоп1Ьт Гог Лхсге^е
8у81ет тоAе18, 1ЕЕЕ Тгапзаспою оп 8у$1ет$ 5с\епсе апй СуЬегпеПс$ 88С-6 A970)
133-140. [604]
8аипс1ег8оп, N. A741), Тке Е1етешз о/А(деЬга т Хеп Ьоока, Уо\. 1, ТЬе ОтуегзПу Рге$5.
СатЪпдве, 1741. [И8]
8ауаве, У Е. A976), Тке СотркхИу о/Сотрштд, АУПеу, №™ Уогк, 1976. [33,
8ЫЬ1, N. A978), Ёшйе а'ез 51аЫез йапз 1ез дгаркез ват ёгопе, М.8с. Тпе818,
8с1епНГ^ие е( МёШсаЬ <1е СгепоЫе (МатНётаПдие^ Арр1^^иёе8), СгепоЫе, 1978.
[565]
8ЫЫ, N. A980), А^огНЬте с1е гесЬегсЬе <1'ип 81аЫе с1е сагсИпаН1е.тах1тит с1ап8 ип
бгарЬе «апз ёюНе, й^сгеге МагкетаЫсз 29 A980) 53-76. [565]
8сагГ, Н. Е. A977), Ап оЪ8егуа(юп оп 1пе 81гис1иге оГрго<1исПоп зе(8 ^1(Ь тс*т81Ы1Ше5,
РгосееаЧпдз о/ гке ЫаМопа1 Асайету о/ Заепсез о/ 1ке 1)пИеЛ 5(а1е$ о/ А тег ка 74
A977) 3637-3641. [376, 377]'
8сагГ, Н. Е. A981а), Ргос1ис1юп зе(8 \У1(Ь 1ПA1У181ЫН11е8—раП I: §епегаПие8, Есопоте-
гп'са 49 A981) 1-32. 1411]
8сагГ, Н. Е. A981Ь), Ргос1исиоп 8е(8 \уКЬ шсИУ151Ы11Aе8—раП И: 1Ье сазе оГ 1\уо
асПутез, Есопотетса 49 A981) 395-423. [411)
8сЬаг1аи, XV. апд Оро1ка, Н. A980), Уоп Еегтаг Ыз МмкотМ, Ете УоНезипд пЬег
ХаЫепгкеопе ипа1 \кге ЕпШсМипд, 8рпп|$ег, ВегНп, 1980 [Еп^ИзЬ 1гап81а1юп: Егот
Еегтаг ю МткошЫ, Ьесшгез оп гке Ткеогу о/ МитЬегз апа1 Из ИЫогка1 ^еVе^ор~
теш, 8рппеег, N6* Уогк, 1985]. [130]
8сЬегк, Н. Р. A825), МаЖетапзске АЬкапаЧипдеп, Ке1гпег, ВегИп, 1825. [67]

Литература 677
8сЫаШ, и A901), Ткеопе пег теЦаскеп КогчтшШ, Эгиск уоп 2игсНег ипё Риггег,
2йпсЬ, 1901 [а18о: Ыеие Оепк$сНп/1еп пег апдететеп $ск\не1геп$скеп СезеИхска/1 §иг
(Не дезитш N ашгтметска/геп 38 A901) 1-237] [герпШес! т: 1.иптд ЗскШ/И, 1814-
1895, Се$аттеНе Магкетаггзске АЪкаппЫпдеп, Ко/. /, В1гкпаи8ег, Ва8е1, 1950,
рр. 167-387]. [355]
8сЫаисЬ, Н. М. A932), М1хес18у$1ет8 оГИпеаг еяиаПопз апс1 теяиаШ1е8, Тке Атепсап
МснкетаИсЫ МомЫу 39 A932) 218-222. [342]
8сЫе8т§ег, К. A935), ОЬег (Не Ргодик1юп8ё1е1сЬип8еп с!ег бкопогтзспеп ^еШепге,
ЕгдеЬтххе е'теь тшкетапаскеп Ко11(щиштх 6 [1933-4] A935) 10-12. [346]
5сЬгтси, Е. A9! 3), 2ит ННЬеПзсЬеп Ве\уе18е с1е$ А\^аг1п§8сНеп ТЬеогет8 (Аиз етет ап
Неггп Н11ЬеП ёепсК1е1еп ВпеГе), МсикетаПаске Аппакп 74 A913) 271-274. [338]
ЗсЬгтсй, \У. М. A966), 8нпи11апеои8 арргох1та1юп ю а Ьа818 оГ а геа1 питЬегПеШ,
Атегкап Зоита1 о/Мшкетапсз 88 A966) 517-527. [116]
ЗсНписи, \У. М. A968), 5оте ге8и418 т ргоЬаЫИзПс §еоте1гу, 2еП5скп/г/пг ЦЬкгзскет-
ИсккеПзгкеопе ш& ьетапйге СеЫеге 9 A968) 158-162. [225]
$сЬгшс11, ^ М. A980), йюркапНпе АрргохгтаЫоп, Ьес1иге N0168 т Ма1Ьетаис8 785,
Зргтвег, ВегНп, 1980. [130]
ЗсЬпогг, С. Р. A985), А ЫегагсЬу оГ ро1упот1а1 Пте Ьа818 геAисПоп а1§оп1Ьт$, 1п:
Ткеогу о/ А1доп1кт5 (Ргосеес1т§8 СопГегепсе Рёсз (Нип^агу); Ь. Ьоуазг апс! Е.
ЗгетегёсН, еA8.), МоПЬ-НоИапд, Ат81егс1ат, 1985, рр. 375-386. [105, 112]
5сЬоепЪег§, I. ]. A932), Оп Гт11е-го^ес1 8у81етз оГ Ппеаг 1пеяиа11Пе8 1п 1пГт11:е1у тапу
уапаЫез, Тгапзасиопз о/гке Атегкап Ма1кета(ка1 $ос\е1у 34 A932) 594-619. [343]
8сЬопЬа§е, А. A971), ЗсЬпеПе ВегесЬпип^ уоп КеиепЬгисЬеп1\Уюк1ип|$еп, Асш 1п/ог-
тапсаХ A971) 139^144. [86]
ЗсЬопЬаее, А., Ра1ег8оп, М, апё Р1ррепбег, N. A976), Ртс1т§ 1Ье тес!1ап, Зоигпа! о/
Сотршег апа1 Зузгет Ъаепсев 13 A976) 184-199. [311]
ЗсЬгадег, К, A982), ЕШрзоЫ те1Ьос18, 1п: Мойет АррИеа1 МагкетаИсз—Орптггапоп
апй Орегаиопз Яезеагск (В. Ког1е, есЦ ЫопЬ-Но11ап(], Ат81ег(]ат, 1982, рр. 265-
311. [252, 265]
8сЬгас1ег, К. A983), ТЬе е1Нр§О1с1 те1Нос! апс] из 1тр1юаПоп8, ОК Зрекмит 5 A983) 1-13.
[252, 265]
8сЬга§е, Ь. апс) \Уо1зеу, Ь. A985), ЗепзШуПу апа1у518 Гог ЬгапсЬ апс] Ьоипс! 1п1еёег
ргоЕгатт1п§, Орегапопз Яезеагск 33 A985) 1008-1023. [572]
8спгг)уег, А. A980), Оп си1Пп§ р1апез, [т: СотЫпашкз 79 Ран И (М. Оега апсЗ I. О.
Ко8епЪег& еA8.),] АппаЬ о/ йгзсгеге Магкетайсз 9 A980) 291-296. [547]
ЗсНгцуег, А. A981), Оп Ю1а1 с!иа1 Ые8гаН1у, Ыпеаг А\деЬга апй /Гл АррНсагюпз 38 A981)
27-32. [508, 526]
Зспгцуег, А. апс] 8еутоиг, Р. С A977), А ргоо/ о/ \о1а\ йиа1 медгаШу о/ та1сктд
ро1укес1га, Ма{петаПса1 Сеп1ге героП 2Ы 79/77, Ма1Ьета1юа1 СеШге, Атз1егс1ат,
1977. [526]
Зсп^аП7, ^. Т. A961), 1п(го^ис1юп (о Матсех апА Уесюгз, МсСга^-НШ, Ые\у Уогк,
1961. [69]
ЗсЬ^е^ег, Р. A973), Тке тетса1 хкеогу о^асоЫ-Репоп Ыдогикт, ЬесШге N0168 т
Ма1Ьета1ю8 334, 8рг1п§ег, Вег11п, 1973. [116]
8сп\уе1$ег, К. A977), ОЬег етеп А1ёог11Ьти5 уоп К. Ойпп^, Зошпа\ $пг (Не гете та*
апдепап&е МаМетаИк 293/294 A977) 263 270. [116]
8ееЬег, Ь. А. A831), итегзискипдеп пЬег (Не Е1деп$ска/1еп <1ег рстшеп хетатеп
диайгайзскеп Рогтеп, ЬоеШег, Мапппенп, 1831. [120]
8ек1е1, Р. Ь. A874), ОЬег е1п Уег[аЬгеп, сНе О1е1сЬип§еп, аиГ \Уе1сЬе с1|е Ме1Ьос1е с1ег
к!е1П81еп ^иас1га^е ГйНг1, зо\у1е Нпеаге СЫсЬип^еп йЬегЬаир{, с1игсЬ
АппаЬегип^ аиГгиШзеп, АЬкаппШпдеп пег Вауепзскеп Акапетге пег
$ска/(еп (Мйпскеп), МаХкетапзск-паштмхепзска/хНске АЫеНипд 2 A874) 81-108.
[61, 67]
Зе1тег, Е. 5. A961), От Легсл'теп$}опа1 к]'ес1еЬг0к. ^ог^/с Мсиетатк Лй&кгф. 9
A961K7-43. [116]

678 Литература
8е1тег, Е. 8. A977), Оп (Ье Нпеаг ёюрЬагШпе ргоЫет оГРгоЪепшз, Зоигпа1/йг йге гете
ипй апдепапйге Магкетапк 293/294 A977) 1-17. [614]
8е1тег, Е. 8. апс! Веуег, О. A978), Оп (Ье Нпеаг сИорЬапПпе ргоЫет оГ РгоЬепшз ш
(Ьгее уапаЫез, Зоигпа\{йг (Не ге'те иги! апдемапйге Магкетаггк 301 A978) 161-170.
[614]
8еутоиг, Р. О. A979), Оп тиШ-со1оипп8§ оГсиЫс §гарп§, апд согцесШгез оГРЫкегзоп
апё Типе, Ргосеейтдз о/гке Ьопйоп МснкетаИса1Зоаегу C) 38 A979) 423 -460. [184]
8еутоиг, Р. Б. A980), Оесотрозйюп оГ ге§и1аг та(го1с18, ЗоигпаХ о/ СотЫпагогга\
Ткеогу (В) 28 A980) 305-359. [450, 451, 475]
8еутоиг, Р.Е). A981), Кесо^шгт^ §гарЫс пШгоМз, СотЫпагопса 1 A981) 75-78. [463]
8еутоиг, Р. ^. A985), АррНса(юп8 оГ (Ье ге^и1аг та(гснс1 сксотрозШоп, т: МаггоШ
Ткеогу (РгосеесИп8$ Ма1го1<1 ТЬеогу СоНояшит, 8ге§ес!, 1982; Ь. Ъо\кзт ап<1 А.
Кесвк1, ед§.), Nог1Ь-Но11апс^, АггтеЫат, 1985, рр. 345-357. [450]
ЗпасЫтап, К. A974), Сепегапоп оГ 1Ье ас1т1851Ые Ьоипйагу оГ а сопуех ро1у(оре,
ОрегаНопв Яе&еагск 22 A974) 151-159. [356]
8паттг, А. A982), А ро1упогша1 Пте а^опгЬт Гог Ьгеак^п^ 4Ье Ьа§1с Мегк1е-НеЛтап
сгур1о5у51ет, \п\ 23Ы Лппиа1 Зутрозшт оп Гоипс1аиоп$ о/Сотршег Зсгепсе* 1ЕЕЕ,
№\у Уогк, 1982, рр. 145-152 [геУ1§ес1 уегзюп: 1ЕЕЕ Тгатаспот оп 1п/огтасюп
Ткеогу 1Т-30 A984) 699-704]. [116]
8Ьат1г, К. A984), Тке ефаепсу о/гке зипркх тегко<к а зиыеу, ргергЫ, 1984. [212, 225]
8пато$, М. I. A978), Сотришюпа! деоте1гу\ РЬ.О. ТЬе&1$, Уа!е ит\ег811у, Nе^V
Науеп, 1978. [2251
8Ьато8, М. I. апд Ноеу, О. A975), С1о8е81-рО1Ш ргоЫет§, 1п: 16гк АппиЫ Зутровшт оп
ГоиЫапопз о/Сотри(ег 5аепсе, ШЕЕ, ^\у Уогк, 1975, рр. 151-162. [356}
8Ьар1го, ^. Р. A968а), Оупагшс рго8гатт1П8 а^опШтз Гог 1Ье тге$$ег рго8гатт1П8
ргоЫет—I: ТЬе 1п(е^ег рговгатттз ргоЫет У1е^ед аз а кпарааск 1уре ргоЫет,
ОрегаНот Яезеагск 16 A968) 103-121. [594]
8Ьар1го, 1. Р. A968Ь), Огоир ШеогеНс а1воп1Ьт8 Гог (Ье т(е§ег рго^гатт1П8 ргоЫет
И: ех1еп81оп Ю а вепега1 а18оп1Ьт, Орегапот Яе&еагск 16 A968) 928-947. [594]
8Ьар1ГО, }. Р. A971), СепегаИгес! Ьа^гапве ти!ирИег8 1П 1п1е§ег рго8гатт1П8, Орег-
аНопз Яезеагск 19 A971) 68-76. [572, 594]
8Ьар1Го, }. Р. A977), 8еп$Шуку апа!у818 1П Ые^ег рговгатт1п§, [1п: 51исНез т Ыгедег
Ргодгатттд (Р. Ь. Наттег, е( а1., ес!8.),] Аппа1з о/Огзсгеге Магкетапсз 1 A977) 467-
477. [572]
8Ьар1го, ]. Р. A979), А зигуеу оГЬайгап^еап 1есг1тцие8 Гог сН8сге1е ор!1т12апоп, [1п:
Охзсгеге ОргШгапоп II (Р. Ь. Наттег, Е. Ь. )оЬп8оп апс! В. Н, КоПе, ес!8.),] АппЫз о/
йхзсюе Мткетаисз 5 A979) 113-138. [572, 594]
8Ьеа, О. О. A973), Оп 1пе питЬег оГд1У18юп8 пее^ес! т Гтс11П8 (Ье §геа1е81 соттоп
<Иу18ог, Тке ПЬопассг ()иаг1ег1у 11 A973) 508-510. [86]
° ЗЬеусЬепко, V. N. A976), О18сге(е апа1о§ оГ 1пе Рагказ (Ьеогет апс! Ше ргоЫет оГ
авдгедаиоп оГа 8у8(ет оГ Нпеаг ш(е§ег ециаПопз Aп Ки881ап), КгЬегпепка {К1еь) 1976
B) A976) 99-101 [Еп^Нвп 1гап81аAоп: СуЬетеИсз 12 A976) 276-279]: [379]
°8Ьог, N. 2. A962), АррНсаиоп о/ 1ке дгсиНем те(ко4 /ог гке зоЫпоп о/ пемогк
ггапзрогюпоп ргоЫетз (т Ки881ап), N0^8 8с1еп(Шс 8еттаг оп ТЬеогу апс! АррИс-
аиопз оГСуЬегпе11С8 апс! Орегапопв КезеагсЬ, Асаёету оГ8с1епсе8 оГ(пе 1)кга1П1ап
88К, К1еу, 1962. [596]
°8пог, N. 2. A964), Оп гке зггисшге о/ Ыдогкктз /ог гке питепса1 зоЫгюп о/ оргхтаХ
рХаптпд апЛ йезгдп ргоЫетз (т Ки881ап), О188ег!а*юп, СуЬетеПсз 1п8A1и(е, Асас!ету
оГ8с1епсе8 оГ1Ье ШгаЫап 88К, К1еу, 1964. [265, 596]
°8Ьог, N. 2. A970а), ШНгаСюп оПЬе орега(юп оГзрасе с!1!а1аAоп 1п (Не т1П1т!гаПоп оГ
сопуех ГипсПопв Aп Ки881апХ КгЬегпегхка {К^еV) 1970 A) A970) 6-12 [Еп^НзЬ
(гапзЫюп: СуЬетеНсз 6 A970) 7-15]. [252, 265]
° 8Ьог, N. 2. A970Ь), Сопуег^епсе га(е оГ (Не вгад1еп1 с!е8сеп( те1Ьод ^1(Ь с111а1аиоп оГ (Ье
зрасе AП Кихзгап), К\ЬетеИка {Кхеь) 1970 B) A970) 80-85 [Еп^ИзЬ (гап8!аAоп:
СуЬегпеггсз б'A970) 102-108]. [252, 265]

Литература 679
° 8пог, N. 2. A977), СШ-оГГ те(ЬоA \У11Н $расе ех1епзюп ш сопуех рго&гатттв ргоЫетз
(т Кизз1ап), К&егпейка {К^еV) 1977 A) A977) 94-95 [Еп^НзЬ 1гапзЫюп: СуЬегпепсз
13A977)94-96]. [252, 265]
°8Ьог, N. 2. A979), МЫтггапоп МегкоЛз/ог Nоп-сИ//егепПаЫе Гипспопз (т Киз$1ап),
Ыаикоуа Битка, К\е\, 1979 [ЕпёНзН иапзЫюп: Зрип^ег, ВегНп, 1985]. [265, 355,
599]
°8Ьог, N.2. ап<1 Сегзпоу^сЬ, V. I. A979), РатНу оГ а^огйЬтз Гог зоЫп^ сопуех
рго§гатт1П§ ргоЫетз (ш Кизз1ап), К&егпеика {К1ег) 1979 D) A979) 62-67 [Еп§ПзН
1гапз1а1юп: СуЬетейсз 15A979) 502-508]. [264, 326]
8Ьо81ак, К. A981), ЭеасИпе Ипеаг тециаПНез Ьу сотриПп§ 1оор гезИиеа,./оштш/ о[гНе
Аз&осШюп/ог СотриПпд МасШегу 28 A981) 769-779. [304]
81еппв, Е. A974), ОЪег Нпеаге Рогтеп ип<1 е^п РгоЫет уоп РгоЬетиз. I, ЗоигпЫфг сНе
гете ипк апдепапйге Мсикетапк 271 A974) 177-202. [614]
51топпагс1, М. A966), Ыпеаг Ргодгатттд, Ргеписе-На11, Епё1е\уоос1 СН1Т8, N.1., 1966.
1355]
8ко1ет, ТК. A938), ОюрИаппзсНе СШсНипдеп, Зрпп^ег, ВегНп, 1938 [герг1п1еA: СЬе18еа,
N6* Уогк, 1950]. [129, 81]
81а1ег, М. Ь. A951), А по(е оп Моикт'з 1гап8р0811юп (Ьеогет, ЕсопотеМса 19 A951)
185-187. [148]
8та1е, 5. A983а), ТНе ргоЫет оГ (Ье ауега^е 8рее<1 оГ (Не 81тр1ех те(Ьос1, 1п:
Ма(кетаНса1 РгодгаттЫд, Тке Зше о/1ке Ап—Вопп 1982 (А. ВасЬет, М.Сго(зсНе1
апа В. КоПе, е^з.), 8рппвег, Вег1т, 1983, рр. 530-539. [218]
8та1е, 8. A983Ь), Оп (Не ауега^е питЬег оГ 81ер8 т (Не 81тр1ех те1Ьо<1 оГ Нпеаг
рго§гатттё, МагНешаисЫ Ргодгатттд 27 A983) 241-262. [218]
8ткп, О. Е. A925), Н\5Шу о/ Ма1кетаПС5, Ко/. //: 5реаа1 Юркз о/ еХететагу
тшкетапсз, Стп апс! Сотрапу, ВозЮп, 1925 [гергЫеЛ: Ооуег, N6^ Уогк, 1953].
[70, 119, 130]
5ткК, В. Е. A929), А Зоигсе Воок м МагкетаИсз, МсСга^-НШ, Ые^ Уогк, 1929. [68]
8т11п, В. М. апс! ОгсЬагд-Наух, \У. A963), Сотри1а1юпа1 еГПаепсу 1п ргодис! Гогт
сос!е8,1п: Яесет АДиапсеъ т Ма1кетаИса1 Ргодгатттд (К. Ь. Сгауез апс! Р.
еаз.), МсСга^-НШ, N6^ Уогк, 1963, рр. 211-218. [228]
8ткК, Н. 1. 8. A861), Оп 8у81ет8 оГ Нпеаг 1пс1е1егтта1е ециаиопз апс! соп^гиепсех,
РЫ\о$орЫса1 ТгапзасИот о/ гке Яоуа\ 5оае1у о/ ЬопДоп {А) 151 A861) 293-326
[гергЫес! т: Тке СоИешй Магкетапса! Рарегз о/ Непгу Зокп $1еркеп 5тнк, Ко/. /
{}. V/. Ь. С1а18Ьег, ее!.), ТКе С1агепс1оп Ргезз, ОхГога, 1894 [герппЫ: СЬе18еа, Ые\у
Уогк, 1965], рр. 367-409]. [76, 77, 79, 125]
О8о1ос1оуткоу, А. 8. A977), 5у51ет5 о/ Ыпеаг 1педиа1Ше5 (т Ки581ап), 1гс1а1. 4Ыаика',
Мозсо^, 1977 [Еп^Пзп 1гап81аПоп риЬНзКес! Ьу: М1Г РиЬПзЬегз, Мозсош, 1979; апс1:
ТЬе ип1уег811у оГСЫса^о Ргехз, СНюа^о, 1980]. [355]
8р1е1Ьег& К. A979), ЕпитегаПуе те(Кос!з 1П 1п1е§ег ргоёгатт1П§, [т: йгзсгеге
0р1Шга1юп II (Р. Ь. Наттег, Е. Ь. 1оКпзоп апс! В. Н. КоПе, едз.),] Аппак о/О1$сге1е
Ма1кетаИс$ 5 A979) 139-183. [588]
5р1уеу, \У. А. апс1 ТЬгаП, К. М. A970), Ппеаг Орптггаиоп, Нок, КтеКаП апс! МпзЮп,
Nе^VУогк, 1970. [355]
8роЬп, А\Л О. A968), ВПсЬГе1ёГ5 (Ьеогет апс1 51ти1(апеои8 с!1ОрКапПпе арргох!та1юп,
Атепсап Зоигпа1 о/ Магкетагкз 90 A968) 885-894. [116]
8птуазап, А. V. A965), Ап туезй^аиоп оГ зоте сотри1а1юпа1 азрес1з оГ 1п1е§ег
ргоёгатт1П§, Зоигпа! о?1ке А$$ос\а1юп{ог Сотриппд Масктегу 12 A965) 525-535.
1581]
уоп 8(аске1Ьег§, Н. A933), 2>*е1 кт^еЬе Вегтегкип^еп гиг Рге1з(Кеопе Сиз1ау Саззе1з,
2еПхскг#1 ]йг NапопаШопотге 4 A933) 456-472. [346]
8(ап1еу, К. Р. A973), Ыпеаг Ьото^епеоиз с!1ОрЬапипе ециаПопз апс! та^ю ЫЬеНп^з оГ
^гарКз, йике МагкетаНса} Зоигпа\ 40 A973) 607-632. [615]
81ап1еу, К. Р. A974), СотЫпа1опа1 гес1ргоа1у Шеогетз, ААгапсез ш Ма1кетаИс$ 14
A974) 194-253. [615] •

680 Литература
81ап1еу, Я. Р. A980), Оесотрозкюпз оГ гаПопа! сопуех ро1уюре8, [т: СотЫпаюпа!
Мсикетагхсз, ОрМтЫ йещпз апЛ Ткехг АррИсаНопз C. 8пуа81ауа, есЦ] Аппак о/
Ргзсте МснИетаИсз 6 A980) 333-342. [615]
81ап1еу, К. Р. A982), Ыпеаг сИорЬагШпе ециа(юп8 апс! 1оса1 соЬото1о§у, 1пиетюпе$
МагНетапсае 68A982) 175-193. [614]
81агк, Н. М. A970), Ап ШгоЛисИоп Ю ЫшпЬег Ткеогу, МагкЬат, СЫса^о, 1970. [1291
уоп 8(аиск, С. К. С. A847), СеотеШе Лег Ьадеу Ваиег ипс! Казре, ЫигпЬегз, 1847.
[67, 332]
81етег, 3. A832), ЗузгетаИзсНе Еп1тске1ипд Лег АЬкапдхдкеп деотетзскег Сезшкеп
иоп етапЛег, тН ВегйскжЫхдипд Лег АгЬехгеп аНег ипА пеиег Сеотегег пЬег Роггшеп.
Рщеспопз-МегкоАеп, Сеоте1пе Лег 1мде, Т^ап5Vе^5а^еп, пиаШаг ипЛ Кеаргосиаь,
е1с, Ртске, ВегПп, 1832 [герпп(ес1 т: ЗасоЬ 5{е1пег'з Сезаттеке \Уегке, Уо\, I (К.
\Уе1егз1га58, ед.), С. Кемпег,'ВегНп, 1881 [герпп(ед: СЬеЬеа, Ые^ Уогк, 1971,]
рр. 229-460]. [67]
$(ешиг, Е. A913), Ве<11п81 копуег^еШе Ке1Ьеп ипс! копуехе 8у8(ете, ]оита1]йг Лхе гете
ипЛ апдеулкт&е МагкетаНк 143 A913) 128-175. [339]
5(етП2, Е. A914), Вес11п^( копуег^ете Ке1Неп ипс! копуехе 8уз1ете
Зо\1гпа\$йг <Ие гете ипЛ апдепапйге Магкетапк 144 A914) 1-40. [339]
81етП2, Е. A916), Вес1т§1 копуег§е.Ме Ке1Ьеп ипд копуехе Зуз1ете (8сЫи88),
Лхе гете ипЛ апдепапАге МсНкетаИк 146 A916) 1-52. [137, 138, 339]
81етиг, Е. A934), УоНезипдеп йЬег Лхе Ткеопе Лег Ро1уеЛег (пегаизёе^еЬеп ип(ег
МпагЬекип^ уоп Н. КадетасЬег), 8рппвег, ВегИп, 1934 [герпп(ес1: 1976]. [343,
355]
81еттапп, Н. апд 8сп\утп, К. A969), СотриШИопа! ехрепепсе \уйп а гего-опе
ргоЫет, ОрегаНопз Яенеагск 17 A969) 917-920. [581, 588]
1, О. ^. A973), 1шгоЛис1хоп № Маггхх СотриШхопз, Асас1ет1с Ргезз, Ые\у Уогк,
1973. [69]
ЗПетке, Е. A915), ОЬег рО8111Уе Ьозип^еп Ьото^епег Нпеагег С1е1сЬип§еп, Магкета-
(хзске Аппа1еп 76 A915) 340-342. [147, 339]
8(ое1тба, ТЬ. О. О. A932), Сопьехе римиеггатеНпдеп, [РЬ.О ТЬе818, Оп1уег811у
Сгошп^еп,] Н. ]. Рапз, Ат81егаат, 1932. [342]
81оег, 3. апс! ВиНгзсЬ, К. A980), 1тгоЛис1хоп ю Ыитепса! АпЫузхз, 8рпп^ег, Ые^ Уогк,
1980. [693
8юег, ]. апс1 Мгг^аП, С. A970), СопиехНу апЛ ОрМтатюп т Пп'пе Охтетюпя /,
Зрппёег, ВегНп, 1970. [147, 153, 355]
81оке8, К. ^. A931), А ееотегпс 1Ьеогу оГ8о1и11оп оГИпеаг 1пеяиаИ11е8, Тгап$аспоп$ о/
1ке Атепсап Ма(кетапса1 8осхе1у 33 A931) 782-805. [342]
ЗгоиГГ, М. A902), Кетагциез 8иг яие1яие8 ргоро811юп8 Aие8 а М. Негт!1е, Аппакв
БаетхГщиез Ле 1'Ёсо1е Ыогта1е Зирёпеиге C) 19 A902) 89-118. [124]
°8ггап&, С. A980), Ипеаг А\деЬга апЛ Н$ АррИсайопз {2пЛ еЛпюп\ Аса^епж Рге85, Ке^
Уогк, 1980. [16, 691
°8гга88еп, V. A969), Саи881ап еПт1паиоп 18 по1 орита1, Ыитешске Мшкетшхк 13A969)
354-356. [69]
3\уагг, О. A985), РтсИпв 1Ье сог1уех Ьи11 Гасе1 Ьу Гасе1, ЗоигпЫ о/А1догПкта 6 A985) 17-
48. [356]
8у]уе81ег, 3. 3. A850), А<кШюп8 Ю 1Ье агПс1е8 т 1Ье Зер1етЬег питЬег оГ1Ыз .1оигпа1,
"Оп а пе^ с1а88 оГ гпеогетз," апс! оп РазсаГз гпеогет, Тке ЬопЛоп, ЕЛЫЬшдк, апЛ
ОиЫЫ РкИохоркка! Мадаг'хпе апЛ Зоигпа! о/5схепсе C) 37 A850) 363-370 [герппгед
т: Тке СоИесгеЛ Ма1кетагхса1 Рарегв о^атез Зозерк 5уЬез1ег, Уо1. /, ТЬе Ышуетгу
Ргезз, СатЬпёее, 1904, [герппгед: СЬе18еа, Ые^ Уогк, 1973,] рр. 145-151]. [67]
8у1уе81ег, 3. 3. A857а), Оп а (Изсоуегу т 1Не рагППоп оГпитЬегз, ОиапегХу ]оита\ о/
МшкетаИсз 1 A857) 31-84 [герпп1е<1 т: Тке СоИесгеЛ Магкетапса\ Рарегзо/Затез
Зоьерк Зуке&ш, Ко/. //, Тпе ишуегзиу Рге88, СатЬг^^е, 1908, [герппгес!: СНе18еа,
N6^ Уогк, 1973,] рр. 86-89]. [607]
8у1уе81ег, ^. 3. A857Ь), Оп 1Ье рагП1юп оГпитЬег$, BиаПег1у ЗоигпЫ о/Ма1ке'та11С5 1

Литература 681
A857) 141-152 [герптес] т: ТНе СоИесхеа1 МахНетахка! Рарегз о/ Затез ЗозерН
8у1иезхег, Уо1. II, ТЬе 11туег5ку Ргезз, СатЪпс^е, 1908, [герпп1ес1: СЬе1$еа, Ке\у
Уогк, 1973,] рр. 90-99]. [607]
8у1уез1ег, ^. Л. A858а), Оп 1пе ргоЫет оГ{Ье ук^тз, апс! 1пе §епега1 (Ьеогу оГсотроипд
рагшюп, РНИозоркка! Мадагте 16 A858) 371-376 [герптес! т: Тке СоИесХей
Махкетахка! Рарегз о/ Затез Зозерк ЪуЬезхег, Ко/. //, ТЬе 1_1шуег8ку Ргезз,
СатЪпс!$е, 1908 [герптес!: СЬе1&еа, Ые\у Уогк, 1973,] рр. 113-117]. [607]
5у1уез1ег, ]. ]. A858Ь), Ыо1е оп 1пе ециаиоп 1П питЬег8 оГ1Ье Пг81 Aе§гее Ье1^ееп апу
питЬег оГ уапаЫез \У11Ь ро8111уе соеШс1еп18, Ркпозоркка! Мадагте 16 A858) 369-
371 [герптес! 1п: ТНе СоИеаес} Ма1Иета1ка1 Рарегз о/Затез ЗозерН $уШ$1ег, Уо1. II,
ТЬе итуегзку Рге88, СатЪгк^е, 1908, [герг!ШеA: СЬеЬеа, N6^ Уогк, 1973,] рр. 110-
112]. [607]
Зу1уе81ег, }. ^. A882), Оп §иЫпуапап1§Т 1Ьа118, 8етыпуапап18 (о Ыпагу циап(Ю8 оГ ап
ипНт11ес1 огс!ег, Атегкап Зоита1 о/ Ма1Нета1к$ 5 A882) 79-136 [герптес! т: ТНе
СоИеаепМагНетаХка! Рарепо/ЗатеиЗозерН ЗуЬезш, Уо\. II,ТЬе 11туег811у Ргезз,
СатЬпс1§е, 1908, [герптес!: СЬеЬеа, N6^ Уогк, 1973,] рр. 568-622]. [607]
5у1уе81ег, ^. }. A884), [РгоЫет] 7382, МагНетапсз /гот ьке Ейиса1юпа1 Тгтез тьН
5о1и1юпз4\ A884) 21. 1608]
Вгекегез, О. A970), МиШсНтеп§юпа1 сопПпиес! Ггас^опз, Аппа\ез Итьегзкаггз $Ыеп-
пагит Вийарезппепмз Не Ко1апAо Едиюз Мот'таше, 5ес1ю МагНетапса 13 A970)
ПЗ-140.[П6]
ТаЬа, Н. А. A975), 1тедег Ргодгатттд, Ткеогу, АррИсапопз, апа* СотришИопз,
Асайегшс Рге88, №\у Уогк, 1975. [614]
ТакаЬазЫ, 3. A932), Оп 1Ье §уз1ет оГНпеаг Гогтз, Зарапезе Зоигпа! о/ Магкетагкз 9
A932) 19-26. [342]
Тагшг, А. A976), Оп Ю1а11у иштос!и1аг та1г1се8, Ыетогкз 6 A976) 373-382. [436]
ТапЗоз, Ё. A985), А зиоп^у ро1упот1а1 т1П1тит СО8( агси1аиоп а1ёопШт, СотЫпа-
гогка 5 A985) 247-255. 1304, 450]
Тагс1о8, Е. A986), А 8(гоп§1у ро1упот1а1 а^огцЬт ю 8о1уе сотЫпа(ог1а11 Ппеаг
ргоёгата, Орегапопз Кезеагск 34 A986) 250-256. 1304]
ТаЮп, К. A951), и Оеите $аепИ/щие Ле Моще, Ргеззез ишуегзкакез с!е Ргапсе, Рапз,
1951, [350, 610]
Те^пёг, Н. A932-3), Уоп с1ет Зу1уе81ег8сЬеп Оепитегатеп, Агкк/6г Ма1ета11к,
Азггопотх оск Руйк 23А G) A932-3) 1-58. [607]
ТЫпег, Н. A971), ТЬе 8е1 соуег1пё ргоЫет: а ёгоир 1Ьеогейс арргоасЬ, Кеьие Ргап^агзе
й'Щогтах'щие ег <1е КесНегсНе ОрёгагюпеНе [К./.К.О.] 5 (КесНегсНе ОрёгапопеИеУ-3)
A971)83-103. [615]
ТЬотрзоп, О. Е. A971), Цпеаг Ргодгатттд—Ап Е1етепшгу 1тгоAиспоп, МастШап,
Ые\у Уогк, 1971. [355]
ТЬигпЬеег, Р. A981), Ш гаШпетет с!и 1Ьёогёте с!е О1псЫе1 зиг Гарргох1таПоп
с!10рЬат1еппе, Сотргез Кепйиз йез Зёапсез йе ГАсайётхе Лез Заепсез (Рапз) $ёпе I
МагНётаг'щие 293 A981) 623-624. [116]
Т^сЬу, К. Р. A979), 2ит Арргох1таИоп8за12 уоп ОтсЫе1, ЬЛопа1зНе{хе{йг МахНетапк
88A979K31-333. [П6]
Ттс1,1. A974), В1оскт§ апс! апПЫоск1пё 8е(8, МахНетаХка! Ргодгатттд 6 A974) 157—
166. [185]"
Ттс1,1. A977), Оп апиЫоск1п8 зе1з апс! ро1уЬес1га, [1п: ЗхиаЧез т Шедег Ргодгатттд
(Р. Ь. Наттег, е( а!., ес1з.),] Аппак о/ШзсгеХе МахНетаХкз 1 A977) 507-515. [185]
Ттс1, ]. A979), В1оскт§ апс! апиЫоск1П§ ро1уЬес1га, [1п: ОхзсгеХе ОрХМгаХюп I (Р. Ь.
Наттег, Е. Ь. 1оЬп8ОП апс! В. Н. КоПе, ес1з.,),] АппаЬ о/ ОхзсгеХе МахНетаХкз 4
A979) 159-174. [185]
Ттс1, }. A980), Сег1ат ктдз оГ ро!аг зе1з апс! (Ье1г ге!апоп Ю та1Ьетаиса!

682 Литература
р МсикетаИсЫ Ргодгатттд 5ш<1у 12 A980) 206-213. [185]
Тт<1, 5. агк! уУокеу, Ь. А. A981), Ап е!етеп1агу зигуеу оГ §епега1 с1иа111у {Ьеогу ш
та1Ьета1юа1 ргоегаттт^, Мсикета1\са\ Ргодгатттд 21 A981) 241-261. 1572]
Тт<1,}. ап<3 ^о!зеу, Ь. А. A982), Оп (Не изе оГрепитогаз т Ыоскт^ апд апиЫоскт§
1Ьеогу, Ма1кетаИса1 Ргодгатттд 22 A982) 71-81. [185]
ТосЫ, М. 1. A976), А сотЫпа1опа1 ^епегаНгаиоп оГро!у1орез, Зоигпа1 о/СотЫпаюпа!
Ткеогу (В) 20 A976) 229-242. [231]
ТосЫ, М. 5. A977), Тке питЬег о/песеззагу сопыгаШз т ап хтедег ргодгат: А пеу/ ргоо/
о/$саг/'$ гкеогет, ТесНгиса1 Кероп 355,8сЬоо1 оГОрегайопз КезеагсЬ апй 1пс1и81па1
Еп^тееппе, СогпеИ Уп^уегх!^, ИЬаса, N. У.,.1977. [377]
Тос1A, М. 5. A979), $оте гетагкз оп гке ге\ахапоп тегко^ог Нпеаг тециаИпеь, ТесЬ. Кер.
419, 8сНоо1 о(ОрегаНоп5 КезсагсЬ апё 1пди81па1 Еп^пееппё, СогпеИ 11п1Уег811у,
ПЬаса, N.V., 1979. [245, 249]
Тодд, М. }. A980), ТЬе топоюшс Ьоип^ес! №г8сЬ со^есШге 15 Га1зе Гог A1теп81оп а1
1еа§1 4, Магкетаисз о/ОрегаПопз Яезеагск 5 A980) 599-601. [217]
ТосЫ, М. 5. A982), Оп гшгнтит уо!ите еШрзоЫз соп1а!П1П8 раг1 оГа §1Уеп еШркоМ,
МагкетаИсз о/ОрегаИопи Кеьеагск 7 A982) 253-261. [326]
ТосЫ, М, }. A986), Ро1упогша1 ехрес1ед ЬеЬаУ1ог оГ а р1Уоип$> а!8оп1Ьт Гог Ипеаг
сотр1степ1агку апс1 Ипеаг ргобгаттт^ ргоЫегт, Ма1кетапса\ Ргодгатттд 35
A986) 173-192. [225]
То15Ю1, А. N. A939), Ме1Ьос1з оГгетоу^п^ 1гга1юпа1 зЬ^ртеШз т р!апп1пЕ (т Ки881ап),
8о1шН5Ыске5кп ТгапзроП 9 A939) 28-51. [613]
ТотНп, Д. А. A971), Ап \трто\е6 ЬгапсЬ-агкМэоигк! те1ЬоA Гог Ёте^ег рго8гатт1Пё,
Орегоном Яезеагск 19A971) 1070-1075. [588]
Топкоу, Т. A974), Оп *Ье ауега^е 1еп^1Ь оГГтйе соп11пиес1 Ггасиопз, Ааа АгйктеИса 26
A974) 47-57. [ЮЗ]
ТЫЬ, Р. A980), Оупагшс рго8гатт1П8 а1еоп1Ьт8 Гог 1Ье гего-опе кпарваск ргоЫет,
СотриНпд 25 A98Р) 29-45. [604]
ТгаиЬ, ]. Р. агк! \Уо2П1акошзк1, Н. A981-2), Сотр1ехйу оГ Нпеаг рго^гатттй,
Орегаиою Яезеагск Ьепегз I A981-2) 59-62. [357]
ТгаигЬ, 1г, С. А. ап<1 )Уоо18су, К. Е. A968-9), Ые^ег Ипеаг рговгатттв: а 8(иду т
сотри1а1юпа1 еШаепсу, Мападетепг 5аепсе 15 A968-9) 481-493. [581]
уап, Тп$1, С. A978), \Уог81-са8е апа1у51& оГа^огкптз, А. 5оте 8-с.с1. а^опШтз, РШНрз
Уомгйд/ о/Яв5еагск 33 A978) 66-77. [86]
Тгоиег, 1г, Ь. Е. A973), $о\иг'юп скагааешИсз аМ аХдопхкть /ог гке ьепех-раскхпд
ргоЫет, ТЬе81з СогпеИ ишуегзпу, Кпаса, N.V., 1973. [564]
ТгоИег, ^^, Ь. Е. A975), А с!а88 оГГасе1 ргойист^ вгарЬв Гог уег1ех раск1п^ ро!уЬедга,
Ъхшеи МагкетаНсз 12 A975) 373-388. [615]
Тгоиег, }т, Ь. Е. апс! 5Ье11у, С. М. A974), Ап а1|$огйпт Гог (Не Ъоипёей уапаЫе 1п1ееег
рго^гаштт^ ргоЫет, ./оиггш/ о/1ке Аьзоаахюп /ог СотриИпд МасЫпегу 21 A974)
505-513. [588]
Тгиетрег, К. A977), Ш1тос1и1аг та(г1се8 оГПош ргоЫетз мг1(Ь адё1иопа1 соп8(га1П(8,
Ыешогкз 7 A977) 343-358. [443]
Тгиетрег, К. A978а), А^еЬгаю сЬагасгепгагюпв оГиттоёЫаг та(г1се8, $1АМ Зоита\
оп АррНеа1 МмкетаНсз 35 A978) 328-332. [485, 486]
Ттетрег К. A978В), Оп ЬаХапсед. тагпсез ап4 ТиПе'з скагааепгапоп о/ тедиХат
таггоШз, ргерпп(, 1978. [475, 494]
Тгиетрег, К. A980), СотрЬтет (ога! иттосМапгу, Цпеат А\деЬга апЛ Из АррИс-
апопз 30 A980) 77-92. [436]
Тгиетрег, К. A982), Оп (Ье еШаепсу оГ гергевеШаЪШгу 1е8(8 Гог та(го1с18, Еигореап
ЗоитпаХ о/СотпЬШогкз 3 A982) 275-291. [4721
Тгиетрег, К. ап<! СЬапёгазекагап, К. A978), Ьоса! ип1тос1и1ап1у оГтагпх-уесЮг ра!Г8,

Литература 683
Шеаг АХдеЬга апЛ Из АррХкахюпз 22 A978) 65-78. [487, 494]
ТвсЬегшкхш, 8. N. A971), Ыпеаге 11пд1еккипдеп, ОеигвсЬег Уег1а$> йег \У18веп8сЬаГ1еп,
ВегИпрЭК), 1971. [355]
Тискег, А. >У.A956), Эиа18у81ет8 оГЬото^епеоиз Нпеаг геЫюпз, т: Ыпеаг тедиаНИез
ап<1 КеХахей Зузхетз (Н. \У, Кипп апс! А. V/. Тискег, е<18.), РппсеЮп 11туег811у Ргезз,
Ргтсеюп, N.1, 1956, рр. 3-18. [354]
Типпв, А. М. A936-7), Оп сотри1аЫе питЬегз, ^ип ап аррИсаиоп Ю гЬе Ет-
зспейипдергоЫет, РтосееЦпдз о/1ке ЬопАоп МахНетахкаХ Зосхеху BL2 A936-7)
230-265 [соггесгюп: 43 A937) 544-546]. [35]
Тиие, АУ. Т. A947), А пп^ т ^гарп гпеогу, Ргосеейтдз о/хке СатЬгШде РШХозорккаХ
ЗосхеХу 43 A947) 26-40 [герппЫ ш: 5е1есШ Рарегз о/ Ж Т. Типе, Уо1 I (Э.
МсСаПЬу апд К. С. 81ап1оп, её».), СЬаНев ВаЪЪаяе КевеагсЬ Сетге, 81. Р1егге,
МашюЬа, 1979, рр. 51-69]. [478]
ТиПе, \У. Т. A956), А с1а88 оГаЬеНап ^гоирз, Сапайхап ЗоитпаХ о/МшкетаНсз 8 A956)
13-28 [герптес! т: 5е1есЫ Рарегз о/\У.Т. Тиие, Уо1. I (Э. МсСаПЬу апс! К. О.
81атоп, ейз.), СЬаНез ВаЬЬа§е КезсагсЬ Сеп1ге, 81. Р1егге, Мап1юЬа, 1979, рр. 176-
198]. [4781
ТиНе, ^. Т. A958), А Ьото1ору 1Ьеогет Гог та1го1с!81, II, Тгапзаспопз о/1Ие Лшегкап
МагкешаИсЫ 5ос1е1у 88 A958) 144-160, 161-174. [454, 462, 473, 474]
Тиие, \У. Т. A960), Ап а^отЬт Гог йе(еггштпё ^ЬеШег а 8»Уеп Ыпагу тагго1<1 18
ВгарЫс, Ргосее&пдз о/(Не Атепсап Мшкетапса! ВоЫегу 11 A960) 905-917. [453]
Тиие, АУ. Т. A963), Но\у 1о дга^ а 8гарЬ, РгосеесНпдз о/1ке ЬопЛоп Ма1кета1ка1 $ос\е1у
C) 13 A963) 743-767 [герппЫ т: $е\есхе<1 Рарегз о/\У.Т. Типе, Уо\. I {О. МсСаПЬу
апс! К. С. 81ап1оп, ес!8.), СЬагкз ВаЬЬа^е КевеагсЬ СеШге, 81. Р1егге, МашюЬа, 1979,
рр. 360-388]. [454]
Тиие, ^. Т. A965), ЬссШгез оп та1го!о!8, ЗоигпЫ о/Кезеагск о/1ке Ыапопа\ Виге аи о/
ЗшпЛаЫз (В) 69 A965) 1-47 [герппЫ т: $е1есЫ Рарегз о/IV. Т. Типе, Уо1 И {Т>.
МсСаПЬу апс! К. О. 81ап1оп, ес1з.)» СЬаг1ез ВаЬЬа^е КезеагсЬ Сетге, 81. Р1егге,
МатюЬа, 1979, рр.439-496]. [443, 478, 453, 475]
Тиие, АУ. Т. A967), Оп еуеп та1го1с18, Зоитпа! о/ Кезеагск о/(Не Ыа(юпа1 Вигеаи о/
ЗгапЛагАз [В) 71 A967) 213-214. [453]
Тиие, \У. Т. A971), 1п(го4исИоп (о гке Ткеогу о/МшгоШз, Атепсап Е18еУ1ег, №\у Уогк,
1971. [475]
игвю, 8. A982), ТЬе еШр8О1<1 а18Оп1Ьт Гог Ппеаг 1пеяиаНие8 т ехас1 ап1ЬтеПс, 1п: 23Ы
АппиЫ Зутрозшт оп Роипйапопз о/ СотриХег Зсгепсе, ШЕЕ, №\у Уогк, 1982,
рр. 321-326. [264]
Ш81С, 8. ап<1 Ра1агга, С. A983), Ехас18о1и1юп оГзу81егп8 оГИпеаг ециаИопз т1Ь пегаНуе
гпе1гюс18, 81АМ ЗоитаХ оп АХдеЬгак агиг Охзсге1е МегШз 4 A983) 111-115.[63, 103]
118реп8ку, 5. V. апд Неаз1е1, М. А. A939), ЕХетеШагу ЫитЬег Ткеогу, МсСга1*-НШ,
NеVVУогк, 1939. [130]
Уа^а, 8. A962-3), Соттитсаиоп ю 1Ье есШог, Мападетет Заепсе 9 A962-3) 154-
156. [353]
Уа1епипе, Р. А. A964), Сомех Зегз, МсСга\у-НШ, N6^ Уогк, 1964. [356]
<1е 1а Уа11ее Рои881П, СЬ. A910-1), 8иг 1а те1гюс1е <1е Гарргохпшиюп тшшит, АппаХез
йе 1а Зосхёхё ЪсхепХфщие йе ВгихеИез 35 B) A910-1) 1-16. [340]
Уапс1егтопс1е, А.-Т. A776), Мёто1ге 8иг ]'ё11ГП1паПоп, Шзхогге йе ХАсайётхе ЯоуаХе йез
Зсхепсез, апес Хез Мётохгез йе Ыахкётапцие еХ Ле Ркузхдие {Рагхз) [аппёе 1772] A776)
516-532. [65]
Уаг^а, К. 8. A962), МаШх ПегаХше АпаХузхз, РгепИсе-НаП, Еп^е^ооа СПгТв, N.1., 1962.
[69]
Уаи^Ьап, Т. Р. A978), А ^епегаИгаиоп °^ ^Ье 81тр1е сопйпиес! ГгасНоп а18оп1Ьт,
Махкепхахкз о/СотриХаНоп 32 A978) 537-558. [116]
УеЫеп, О. апс] РгапкИп, РЬ. A921-2), Оп та1псе8 \упо8е е!етеп18 аге т1е$$ег8, АпгхаХз о/
МшкетаХкз 23 A921-2) 1-15. [77, 81, 439, 614]

684 Литература
УетоП, 1г, А. Г. апд Оап1г1& С. В. A968), Ые^га! ех1гете рот18, 81АМ Яеьхеп 10
A968K71-372. [428]
°Уег8Ык, А. М. апд 8рогу8пеу, Р. V. A983), Ап езИпШе оГ1пе ауега^е питЬег оГз1ер5 т
(Ье 81тр1ех те1под, апс1 ргоЫегт т азутрЮПс !П1е§гаЗ §еоте{гу (т Ки881ап),
ЭокШу Акайети Ыаик 888Я 271 A983) 1044-1048 [Еп^ИзЬ 1гапз1аПоп: $ош1
Ма(кетаИсз ОокШу 28 A983) 195-199]. [225]
оУе8е1оу, 8.1. апд 8ЬеУсЬепко, V. N. A978), Ехропеп*1а1 ^го^1Ь оГ соеШаетв оГ
а^вге^аПпй ециаПопз (т Ки881ап), КхЪегпеИка (Кгеи) 1978 D) A978) 78-79 [Еп^ИвЬ
1гап§1аиоп: СуЬегпегкз 14 A978) 563-565]. [379]
УШе, }. A938), 5иг 1а 1пёопе §ёпёга1е с1ез )еих ой Ыетет ГЬаЫ1е1ё ве» ]оиеигз, \п:
ТгапёЛи Са1си1 Лез РгоЬаЫШёз е1 йе зез АррИсаЫопз, Ьу Ё. Воге1, Тоше IV, Ра5с1си1е
II. АррИсаИопз аих}еих йе ИазаЫ {]. УШе, ес1.), Саи1Ь1ег-УН1аг8, Рапе, 1938, рр. 105-
113. [344]
Уиек, V. A975), Воипс18 Гог а Нпеаг сИорЬапипе ргоЫет оГ РгоЬетиз, ^ои^па^ о/(Не
Ьопйоп МшкетаИсЫ 5оае1у B) 10 A975) 79-85. [614]
Укек, V. A976), Воипдз Гог а Нпеаг сНорпапйпе ргоЫет оГ РгоЪешиз, II, СапшНап
ЗоитаХ о/ МсНкетаисз 28 A976) 1280-1288. [614]
°Ушп§, V. С. A964), Оп ап езПпше оГ 1Ье сЬготаПс с1а88 оГ а р-^гарЬ (т Ки881ап),
ОШетуГ АпаНг 3 A964) 25-30. [184]
Уовв1, К. Aгап81апоп) A968), СНШ СНАЫС 8^АN 5ЯС/ = Ыеип ВйсНег атИН-
тепзсНег ТесИтк, Ехп сктезхзсНез ЯесНепЬиск $йг йеп ргаШзсНеп СеЬгаисН аиз йег
/гйкеп Нашей B02 V. Скт. Ыз 9 п.Скг.), йЬетзеШ ипА егШшеп Vоп Кип Уоде1, Р.
У1е\уе8 & $оНп, ВгаипзсЬ^б, 1968. [63]
УогопоУ, О. A908), >1оиуеИе8 аррНсаПопз дев рагатё1ге8 сопНпив а 1а 1Ьёог1е дез
Гогтез циадгаициез—Ргет1ег Мёто1ге. 8иг яие1цие8 ргорг1е1ё8 дез Гогтез циадгаи-
циез роз^иуез рагГа11ез, Зоигпа\$йг (Не тете ипй апдепапДге МагкетаИк 133 A908) 97-
178 [егга1а: 242]. [338]
°Уо1уакоу, А. А. апд Ргитк1п, М. А. A976), Ап а^огйпт Гог Ппдт^ 1Ье ^епега11П(е^ег
8о1иAоп оГ а 8уз(ет оГ Нпеаг ециаиопз (т Ки881ап), 1п: ШШтхтхуа ро сИзкгетог
орНтггсНзи [$1и<Ие5 т йEсге1е ОрМтггаИоп] (А. А. Рпдтап, ед.), 1гда(. 4Ыаика',
Мозсо^, 1976, рр. 128-140. [89, 92)
уап дег ЧМаегдеп, В. Ь. A956), Ък Кедик1юп81Ьеог1е дег роваНуеп циадгаизсЬеп
Рогтеп, Ааа МагкетаИса 96 A956) 265-309. [130]
уап дег ЧМаегдеп, В. Ь. A983), Сеоте(гу апй АХдеЬта \п АпЫеШ СШИшюпз, 8рпп§ег,
ВегИп, 1983. [69, 118]
\Уа^пег, Н. М. A957а), А сотрапзоп оГ 1Ье оп81па1 апд геу18ед 81тр1ех те1Ьод8,
Орегшюпз Кезеагск 5 A957) 361-369. [228]
, Н. М. A957Ь), А 8ирр1етеп1агу ЫЬНовгарЬу оп Нпеаг рго8гатт1П8, Орег-
аНопз Яезеагск 5 A957) 555-563. [355]
А. A935), ОЬег сИе е1пдеи118е роз111Уе ЬбзЬагке!^ дег пеиеп РгодикНопв-
, ЕгдеЬт$зе етез тшНетайзсНеп КоИоцшитз б [1933-4] A935) 12-18.
[346]
А. A936а), ОЬег д1е Ргодик11ОП8§1еюЬип8еп дег 5копот13сЬеп Шег11еЬге,
ЕгдеЬтззе етез та(кетаAзскеп КоНоциЫтз 7 [1934-5] A936) 1-6. [346]
>Уа1д, А. A936Ь), ОЬег е^ш^е О1е1спип$з8у81ете дег та(Ьетаи8сЬеп 0копот1е, Хехи
ЫапопаШкопотге 7 A936) 637-670 [Еп^ИзЬ 1гапз1а1юп: Оп зоте 8уз1ст8 оГ
оГ та1ЬетаПса1 есопот!С8, Есопотегпса 19 A951) 368-403]. [346]
, О. №. A978), ТЬе ШгзсЬ со^есШге ГаЛз Гог 1пап8и1а1ед 27-зрЬегез, МагНета-
Псз о/Орега1юпз Яезеагск 3 A978) 224-230. [217]
1, Н. 8. A948), Апа1уИс Ткеогу о/СопИпиеЛ ЕгасИопз, Уап 1Чоз1гапд, Ыеш Уогк,
1948 [герппЫ: СЬекеа, N6* Уогк, 1973]. [130]
а!га$, Ь. A874), Ё1ётеш$ й'ёсопот1е роНИдие риге ои гкёопе йе 1а пске&зе $ос\а1е, Ь.
СогЬаг & С1е, Ьаизаппе, 1874 [Еп^ПзН 1гап81аAоп: ЕХететз о/ Риге Есопотхсз, от:
Тке Ткеогу о[$оаа1 \Уеакк, АИеп апд Ып^1п, Ьопдоп, 1954]. [3451

Литература 685
О. Ь A966), Оп гЬе гшштит оГа розШуе циа<1га11с Гогт ш п (< 8) уапаЫез
(уегШса1юп оГ ВНсЬГеМГз са1си1аНоп$), РгосееЖпдз о/ 1ке СатЬгШде РИНозорЫса!
8оае(у {Ма1кетапса1 апй Ркужа\ Заепсез) 62 A966) 719. [128]
Н. О. A976), А репосИску 1етта т Нпеаг (КорЬатПте апа!уз18, Зоита1 о/
ТНеогу 8 A976) 99-108. [375].
Р. A977), А песе$8агу ап<1 зийкмепг сошШюп Гог гЬе адаевапоп оГ Нпеаг
сНорЬапгте ециаиопа, 2е\1зскп$]чг сщечниике Магкетапк ш<1 РкузНс BАМР) 28
A977N80-696. [379]
^етЪег^, Р. A979а), А зресгга! а^опгпт Гог аециегШа! адеге^аПоп оГ т Ипеаг
сПорпапгте соп81гат18,2е'а$скт#1 ]йг апдемапйье Мснкетапк ипЛ Рку$1к {2АМР) 30
A979N77-698. [379]
^етЪегв, Р. A979Ь), А песезвагу апс1 $и№аеп( сопA1Поп Гог {Ье аеЕге^аиоп оП^пеаг
с!юрНапAпе щххъХют, \п: Зигиеу о/ Мткетапсаг Ргодгатттд УЫ 2 (Ргосеедт|»8 оГ
(Ье 91Ь 1п1егпа1юпа1 Ма(Ьета11са1 Рго8гатт1Пё Зутрозшт, Вис1аре81, 1976; А,
Ргёкора, есЦ Акас1ёгп1а1 К1ас16, Вис1аре81, 1979, рр. 559-565. [379]
^ет^аппег, Н. М. апй N688, V. N. A967), Ме(Ьоё8 Гог 1Ье 8о1иИоп оГ (Ье ти!11-
A1теп81опа1 0/1 кпарзаск ргоЫет, Орегавопв КезеагсЬ 15 A967) 83-103. [423]
^етзгоск, К. A960), Сгеа1е$1 соттоп с11У]5ог оГ$еуега! Ше%ег5 апб ап а85ос1а1её Нпеаг
(ИорНап^пе еяиаНоп, Тке Лтепсап МсикетаНсЫ МопШу 67 A960) 664 667.
[86]
^екгепЬоск, К. A930), Оае ЕпёНсНке1( ёег ТпуапаШеп уоп копAпи1ег!юЬеп Огирреп
Нпеагег ТгапГогта1юпеп, РгосеесИпд& КотпЩке Акайетге ьюп \Уе1епзскарреп 1е
Атзгетйат 33 A930) 232-242. [609]
\Уе1зЬ, Т>. }. А. A976), МагтохЛ Ткеогу, Асайетю Ргезз, Ьопдоп, 1976. [463, 473]
с!е >Уегга, О. A981), Оп зоте сЬагас1еп8аПоп8 оГ 1о1а11у ип1тос!и1аг та1псе8,
МагкетшкЫ Ргодгатттд 20 A981) 14-21. [436]
\№е811аке, ]. К. A968), Л НапАЬоок о/ Nитепса^ Ма1пх 1пьетоп апд. $о\и1\оп о/Цпеаг
Ециапопа, ^Пеу, N6* Уогк, 1968. [69]
К. A976), Сгип<Надеп копиехег Орптхегшд, ЬесШге N0168 т Есопот1с8 апй
Ма1Ьетаиса1 5у81етз 137, Зрип^ег, ВегИп, 1976. [356]
К. 5. -В. апй ^1128а11, С. A968), То\уагс18 ап а1§еЬга1с сНагас1еп2а(гоп оГсопуех
ро!уЬеага] сопев, Ыитетске Магкетапк 12 A968) 134-138. [356]
1, Н. A935), Е1ететаге ТНеопе <1ег копуехеп Ро1уедег, Соттетаги МшкетаИа
ИеЬейсх 1 A935) 290-306 [Еп^Нвп 1гап81аиоп: ТЬе е!етеп1агу 1Ьеогу оГ сопуех
ро1уЬедга, 1п: СотпЬипопз го гке Ткеогу о/Сатез I (Н. >М. Кипп апд А. >^. Тискег,
е<18.), РппсеЮп 1Лшуег811у Ргезз, РппсеЮп, N..1., 1950, рр. 3-18] [герпгнео* т: И.
\Уеу1, ОезаттеНе АЬкатНипдеп, Вапд. III (К. СЬап^газекЬагап, ео!.), Зрип^ег, ВегИп,
1968, рр. 517-533]. [133, 135, 137, 138, 145, 343)
1е1е11пег, Н. A925), 2иг ГгйЬ8е8сЬ1сЬ1е йег Каите уоп теЬг аE с!ге1* О1
7A925L86-489. [68]
Мепег, С. A864), ОЬег Ухекске аги! Угефаске, ТеиЬпег, ЬЫр^е, 1864. [355]
^, 1. Н, апс! КешасЬ, С. A971), ипеаг А1деЬга% Зрпп^ег, ВегЬп, 1971. [69]
, Н. Р. A976), Роипег-Моик1п еИттаНоп ех1еп81оп 1о 1п1е§е р
ргоЫетз, ^ои^па^ о/СотЫпаюпЫ Ткеогу {А) 21 A976) 118-123. [614]
, Н. Р. A983), А сЪагас1еп5апоп оГаП Геаз^Ые зоЫпопз 1о ап т1е#ег рговгат,
АррШ Магкетагхсз 5 A983) 147-155. [614]
Н. Р. A984), А <1иа1пу 1пеогет Гог Нпеаг соп^гиепсез, Охшеге АррМеА
МшкетаИс* 1 A984) 93-103. [82]
, М. A968а), 2иг 81тикапеп Ьото^епеп <11ОрЬап118сНеп Арргох1тайоп I,
Мопа1$ке/(е/йг МагНетапк 72 A968) 254-263. ГИ6]
}. М. A968Ь), 2иг з^тикапеп Ьотойепеп ШорЬаппксЬеп Арргсттапоп II,
Мопшзке/геГиг Магкетапк 72 A968) 368-381. [116]
). М. A970), 2иг 51ти11апеп Ьото^епеп сИорЬапизсЬеп Арргох1тапоп III,
Моптзке/ге Уйг Магкетапк 74 A970) 166-171. [116]

686 Литература
\УП§оп, К. ).A972), ЫггойиспопюСгарН ТНеогууОМ\ъг апдВоуд,ЕдтЪиг§Ь, 1972 [Зги
е<Шюп: Ьоп^тап, Наг1о^ (Евкех, Еп§1апс1), 1985]. [24]
^то^гаё, 5. A980), АгИктеИс СотркхИу о/СотриШНопз, 5ос1е*у Гог 1т)из(ла1 агк!
АррЦес! Ма1ЬетаИс5, РЫ1ас1е1ргиа, Репп§у1уата, 1980. [69)
^о!Ге, Р. A963), А {есНг^ие Гог ге$о1ут§ с!е§епегасу ш Нпеаг рго&гатттв, Зоигпа1 о/
1ке ЗоЫе1у/ог ЫизМа! аМ АррНей Магкетапса 11 A963) 205-211. [212]
^о1Ге, РЪ. A976), Ртс1т§ 1Ье пеаге81 рот1ш а ро1у№ре, Ма1кетаИса1 Ргодгатттд 11
A976) 128-149. [356]
\Уо1Ге, Р. апс1 Си*1ег, Ь. A963), Ехрег1теп151п Ипеаг ргоягатттв, 1п: Кесет А&апсев т
МагкетаИсЫ Ргодгатттд (К. Ь. Огауез апс! Р. ^о1(е, е<18.), МсСга\^-Н1П, Nе*' Уогк,
1963, рр. 177-200. [212]
>Уо18еу, Ь. А. A971), СгоирчЬеогеНс гехикз 1П т1хес11п1е§ег рго8гаттт§, ОрегаМопз
Яе&еагск 19A971) 1691-1697. [594]
\Уо15еу, Ь. А. A971-2), Ех1е!шоп& оГ 1Не ^гоир 1Неоге1ю арргоасЬ 1П 1п1е^ег ргоегат-
Ш1П8, Мападетет 5Ыепсе 18 A971-2) 74-83. [594]
Ь. А. A973), ОепегаПгеё Aупат1С рго§гатт1п^ те1ЬоA8 ]*п 1п(е^ег рго^гат-
Ма1кетаИса1 Ргодгатттд 4A973) 222-232. [594]
\Уо18еу, Ь. А. A974а), А У1е\у оГхЬоПев! гоШе те1Ьо<18 т 1п1е^ег рго^гаттт^. СаЫегв
Аи Семге Л'ЁшЛез йе Кескегске ОрётапопеПе 16 A974) 317-335. [426, 594]
\Уо1$еу, и А. A974Ь), А питЬсг 1Ьсоге11с геГогти!а110п апс! десотрозШоп те1Ьос! Гог
1п1евег рговгатттз, Оштеге Ма\кетапс& 7 A974) 393-403. [594]
\Уо1§еу, Ь. А. A974с), Сгоирх, Ьоипйз апс! сии Гог Ые^ег рго8гатт1п8 ргоЫетз, 1п:
МагкетаХ\са\ Ргодгатз /ог АсМику Апа1у$1$ (Р. уап Моехеке, её.), Ыог1Ь-Но11ап<1,
, 1974, рр. 73-78. [594]
. А. A975), Расех Гог а 1юеаг 1пеяиаН1у 1п 0-1 уапаЫез, Ма\кетапса\
Ргодгатттд 8 A975) 165-178. [406, 606,615]
Шо18еу, Ь. А. A976а), Расе18 апс! 81гопв уаИё 1печиаИ11е& Гог 1П1е^ег рго^гатв,
ОрегаНопз кезеагск 24 A976) 367-372. [615]
^о1§еу, 1^. А. A976Ь), РипЬег Гасе1 §епегаAп^ ргосе<1иге8 Гог уег1ех раск1п^ ро1у1орез,
МагкетаИсЫ Ргодгатттд И A976) 158-163. [615]
^о1веу, Ь. А. A977), УаИс! течиаИиез апс1 8ирегас1д1иУ11у Гог 0-1 Ые^ег рго^гатв,
МахкетаИсз о/ ОрегаИою Яезеагск 2 A977) 66-77. [572, 615]
>Уо1$еу, Ь. А. A979), Сиит$ р!апе тС11юс1&, т: Орегаг'юпз Яе$еагск Зирроп Ме1ко-
Ыоду{к. С. Но1гтап, е<Ц Магсе! Оеккег, Ые\у Уогк, 1979, рр. 441-466. [572, 581,
593]
Л\^о1&еу, Ь. А. A980), Неитпс апа!у515, 11пеаг ргоягатгшпв апй ЪгапсЬ апс1 Ьоипс1,
МагкетапсаХ Ргодгатттд $Ыу 13 A980) 121-134, [588]
АУокеу, Ь. А. A981а), Гте^ег рговгатттз <1иаН1у: рпсе ГипсИопз ап<1 8еп8111У11у
апа!у81&, Ма1кетапса\ Ргодгатттд 20 A981) 173-195. [369]
^о1веу, Ь. А. A981Ь), ТЬе Ь-ЬиН оГап т1евег рго^гат, Оъсгеге АррНей МагкетаИсз 3
A981) 193-201.1386, 390, 572]
УагшМ$ку, В. A982), Нош о* Ипеаг ргодгатттд^ Ма81ег'§ 1Ье818, Во81оп итуегзку,
Во81оп, Ма8§., 1982. [265]
УатпИаку, В. апс! ЬеУ1П, Ь. А. A^82), Ап о1с! 11пеаг рговгатттв а1§оп1Ьт гипз |'п
ро1упогт'а1 ите, 1п: 23Ы Аппиа1 Зутрозтт оп РоипйаНопз о/Сотри1ег 8Ыепсе, ШЕЕ,
Ые\у Уогк, 1982, рр. 327-328. [265]
Уаппакак18, М. A980), Оп а с1ав8 оГ Ю1а11у ип1тос!и1аг та1псе8, т: 2151 Аппиа1
Зутрозшт оп Гоипйагюпз о/ Сотршег Заепсе, ШЕЕ, 1Че\у Уогк, 1980, рр. 10-16.
[43м]
Уаппакак18, М. A985), Оп а с1а88 оГ Ю1а11у ип1тос1и1аг та1псе&, Махкетапсз о/
ОрегаИом Кезеагск 10 A985) 280-304. [436]
Уао, А. С.-С A981), А 1о\уег Ьоипд 1о ГтЙ1Пё сопуех Ьи11&, Зоита\о$1кг АззоааЫоп/ог
СотриНпд Масктегу 28 A981) 780-787. [356]
Уао, А. С. апс! КпшН, Б. Е. A975К Апа1у818 оГ 1Не 8иЫгас11Уе а!^оп1Нт Гог

Литература 687
соттоп сИу!8Ог$, РгосееДхпдз о/1ке Nа^^оиа^ Асайету о/Заепсез о/гке
о/Атепса 72 A975) 4720-4722. [&6]
УетеПсЬеу, V. А., Коуа1еу, М. М, ап<1 Кгау1зоу, М. К. A981), Мпододгапткх дга/у
орМтггаЫуа, 1гда1. 4№ика\ Мозсо\у, 1981 [Еп^ИзЬ 1гапз1аиоп: Ро1у1оре8, Огаркв
апд, 0р1\т\шюпу СатЪпйде Ш1уег8ку Ргезз, СатЬпё^е, 1984]. [355. 614]
Уоип& О. М. A971а), НегаИье 5о1шюп о/ Ьагде Ыпеаг 5у51ет$, Асадетю Рге88, N6^
Уогк, 1971. [32, 33]
Уоип^, К. И. A965), А рпта1 (а!1-т!е8ег) ]п1е§ег рго§гатт1пй а1ёоп(Ьт, ^ои^па^ о/
Кезеагск о/1Не Nа^^опа^ Вигеаи о}$1ип<1аМ$ (В) 69 A965) 213-250. [581]
Уоип& К. И. A968), А $1трНйес1 рпта1 (а11-1п1е§ег) 1п1е^ег рго§гаттт§ а1бог11Ьт,
Орегагюпв Кезеагск 16 A968) 750-782. [581]
Уоип& К. О. A971Ь), Нурегсу1тдпса11у ёедисед си1$ 1П гего-опе 1п1е8ег рго^гатх,
Орегапопв КезеагсН 19 A971) 1393-1405. [581]
°Уис1т, О. В. ап<1 ОоГ8Ые1п, Е. С. A965), Ыпеаг Ргодгатттд, 1згае1 Рго^гат Гог
8с1епППс Тгап§1апоп8, Легиза1ет, 1965 [Еп^НзН 1гап81аПоп оГ: Теопуа \ шею4у
Ипетое ргодгаттггоюте, 1гс!а1. к5оуе1зкое КасНо', Мозсо\у, 1963 [Оегтап 1гапз-
1аИоп: Шеаге ОрИтхегищ /, //, Акадегте-УеНав, Вег11п (ОЭК), 1968,1970]]. [355]
°Уи<1т ТУ. В. ап<1 Nет^гоV»>к^^, А. 8. A976а), Еуа1иа1тп оГ1Ье 1пГогтаПопа1сотр1ех11у оГ
та(ЬетаAСа1 рго§гаттш2 ргоЫетз AП Кизз1ап), ЁкопотИш \ МагетапскезШ
Мегойу 12 A976) 128-142 [Еп^^зЬ 1гап81аИоп: Майкоп 13 B) A976-7) 3-25].
[252, 2651
°Уи<1т О. В. апс1 Nет^гоVзк^1, А. 3. A976Ь), 1пГогтаиопа1 сотр1ех11у апс1 еЙ1с1ет
те1Ьос!8 Гог 1Ье $о1и1юп оГ сопуех ех1гета1 ргоЫетз AП Кизз1ап), Ёкопотгка I
МаитаИсНевкге Мегойу 12A976) 357-369 [Еп^ИзЬ 1гап51аПоп: Майкоп 13C)A977)
25-45]. [252, 265, 320]
ХайеЬ, N. A973а), Моге ра1Ьо!ов1са1 ехатр1ез Гог пе1\уогк По\у ргоЫетз, МагНетайса!
Ргодгатттд 5 A973) 217-224. [217]
2аAеЬ, N. A973Ь), А Ьас1 пе1\уогк ргоЫет Гог 1Ье 81тр1ех те^Ьоё апс! о1Ьег пнттит
СО81 По\у а^огиЬтз, МаЖетапса! Ргодгатттд 5 A973) 255-266. [217]
2ете1, Е. A978), иГпп& (Не Гасе1з оГ гего-опе ро1уюре8, Ма1кетаИса1 Ргодгатттд 15
A978) 268-277. [615]
2ете1, Е. A981-2), Оп зеагсЬ оуег га11опа18, Орегапот КезеагсН Ье11ег& 1 A981-2) 34-
38. [1031
2еи1Ьеп, р. A933), Оаз Рппх^р о"ег КпаррЬеи, 1есЬп1зсЬе КотЫпаПоп ипо1
6копот!зсЬе С?иаН1а1, 2еНзскп/1 фг Nапопа\дкопот\е 4 A933) 1-24. [346]
2юп1з, 8. A974), Ыпеаг апЛ 1тедег Ргодгатттд. РгепПсе-На11, Еп^е^ооо1 СИ(Тз, N. ^.,
1974. [355, 614]
2о11пегз, А. А. A978), А огес1 с1езсеп1 Ыпагу кпарзаск а1$оп(кт, Зоита\ о/ (Не
АззошЧоп/ог Сотрштд Масктегу 25 A978) 304-311. [604]

ЛИТЕРАТУРА, ИМЕЮЩАЯСЯ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ
Александров А. Д. Выпуклые многогранники. - М.:
ПТИ, 1950.
Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ
вычислительных алгоритмов. - М.: Мир, 1979.
Бабаев Дж. А., Мамедов К- Ш. Агрегирование одного
класса целочисленных уравнений. - ЖВМ, т. 18 C), 1978, с.
614-619.
Беллман Р. Динамическое программирование. - М.: ИЛ,
1960.
Бернштейн Д. Н. О числе целых точек в целочисленных
многогранниках. - Функциональный анализ и его прилож., т.
10, №3, 1976, с. 72-73.
Брянстед А. Введение в теорию выпуклых* многогран -
ников. - М.: Мир, 1988.
Вершик А. М., Спорышев П. В. Оценка среднего числа
шагов симплекс-метода и проблемы асимптотической
интегральной геометрии. - Доклады АН СССР, 271, 1983,
с. 1044-1048.
Веселов С. И., Шевченко В. Н. Экспоненциальный рост
коэффициентов агрегированных уравнений. - Кибернетика, 4,
1978, с. 78-79.
Визинг В. Г. Об оценке хроматического числа р-гра-
фа. - Дискретный анализ, 3, 1964, с.25-30,
Вороной Г. Ф. Новые приложения непрерывных
параметров к теории квадратичных форм. Собрание сочинений,
т. 2, 1952.
Вотяков А. А., Фрумкин М. А. Полиномиальный алгоритм
нахождения общего целочисленного решения системы линейных
уравнений. В сб.: «Исследования по дискретной оптимизации»,
под ред. А. А. Фридмана. - М.: Наука, 1976, с. 128-140.
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1967.
Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. - М.:
ИЛ, 1963.
Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимиза-
оптимизация. - М.: Мир, 1985.
Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и
труднорешаемые задачи. - М.: Мир, 1982.
Диниц Е. А. Алгоритм решения задачи о максимальном
потоке в сети со степенной оценкой. - Доклады АН СССР, 194,
1970, с. 754-757
Джоунс У., Трон У. Непрерывные дроби. Аналитическая
теория и приложения. - М.: Мир, 1980.
Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию
чисел. - М.: Наука, 1965.
Емеличев В. А., Ковалев М. М., Кравцов М. К. Много-
Многогранники, графы, оптимизация. - М.: Наука, 1981.
Исраилов М. И. Числа решений линейных диофантовых
уравнений и их применения в теории инвариантных кубатурных
формул. - Сиб. матем. журнал., т. 22 B), 1981, с. 121-136.
Кабатянский Г. А., Левенштейн В. И. О границах
упаковок на сфере и в пространстве. - Проблемы передачи
информации, т. 14, 1, 1978, с. 74-75.

Литература, имеющаяся на русском языке 689
Канторович Л. В. Математические методы организации и
планирования производства. - Изд-во Ленинградского
университета, Л., 1939.
Канторович Л. В. О перемещении масс. Доклады АН
СССР, т. 37, № 7-8, 1940, с. 227-229.
Карп Р. М. Сводимость комбинаторных проблем. Киберн.
сб., вып. 12, 1975, с. 16 - 38.
Касселс Дж. Введение в теорию диофантовых
приближений. - ИЛ, 1961.
Касселс Дж. Введение в геометрию чисел. - М.: Мир,
1965.
Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 1.
Основные алгоритмы. - М.: Мир, 1976.
Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 2.
Получисленные алгоритмы. - М.: Мир, 1977.
Кук С. А. Сложность процедур вывода теорем. Киберн.
сб., вып. Л2, 1975, с. 5 - 15.
Кун Г. О теореме Вальда. - В кн. «Линейные нера-
неравенства и смежные вопросы» под ред. Г. Куна и А. Такера. -
М.: ИЛ, 1959.
Кун Г, Такео А. Линейные неравенства и смежные
вопросы. - М.: ИЛ, 1959.
Левин А. Ю. Об одном алгоритме минимизации булевс-
булевских функций. Доклады АН СССР, т. 160, 1965, с. 1244-1247.
Ленг С. Введение в теорию диофантовых приближений. -
М.: Мир, 1970.
Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матрич-
матричных неравенств. - М.: Наука, 1972.
Минковский Г. Пространство и время, С-Пб. "Физика",
1911.
Немировский А. С, Юдин Д. Б. Сложность задачи и
эффективность методов оптимизации. - М.: Наука, 1979.
Пападимитриу X., Стайглиц К. Комбинаторная оптимиза-
оптимизация: Алгоритмы и сложность. - М.: Мир, 1985.
Подсыпании Е. В. Об одном обобщении алгоритма
непрерывных дробей, связанном с алгоритмом Вигго-Бруна, -
Записки Научных семинаров ЛОМИ, т.67, 1977, с. 184-197.
Поляк Б. Т. Минимизация негладких функций. - ЖВМ и
МФ, т. 9, 1969, с. 509 - 521.
Поляк Б. Т. Общий метод решения экстремальных задач.
Доклады АН СССР, т. 174 A), 1967, с. 33 - 36.
Препарата Ф., Шеимос М. Вычислительная геометрия:
Введение, - М.: Мир, 1989.
Пуанкаре А. Избранные труды. Под ред. Н.Н.Боголюбо-
Н.Н.Боголюбова. - М.: Наука, 1971, тЛ-3.
Рокафеллар Р. Т. Выпуклый анализ. - М.: Мир, 1973.
Саати Т. Целочисленные методы оптимизации. - М.:
Мир, 1973.
Солодовников А. С. Системы линейных неравенств.
М.: Наука, 1977.
Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. - М.:
Наука, 1979.
Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке
АЛГОЛ. Линейная алгебра. - М.: Машиностроение, 1976.
Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н, Вычислительные методы
линейной алгебры. - М.: Физматгиз, 1960.

690 Литература, имеющаяся на русском языке
Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгеб-
алгебры. - М.: Гостехиздат, 1950.
Финкельштейн Ю. Ю. Оценка числа итераций полностью
целочисленного алгоритма Гомори. Доклады АН СССР, т. 193,
1970, с. 543 - 546.
Форд Л. Р., Фалкерсон Д. Потоки в сетях. - М.: Мир,
1966.
Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы
математических вычислений. - М.: Мир, 1980.
Фрумкин М. А. Алгоритм приведения целочисленной
матрицы к треугольному виду со степенной сложностью
вычислений. - Экономика и математические методы, т. XII,
1976, с. 173-178.
Фрумкин М. А. Алгоритмы решения систем линейных
уравнений в целых числах. - В со. «Исследования по диск-
дискретной оптимизации» под ред. А.А. Фридмана. - М.: 1976, с.
97- 127.
Фрумкин М. А. О числе натуральных решений системы
линейных диофантовых уравнений. Матем. заметки, т. 28,
№3, 1980, с.321-334.
Фрумкин М. А. Применение модульной арифметики к
построению алгоритмов для решения систем линейных урав-
уравнений. Доклады АН СССР, т. 229, №5, 1976, с. 1070-1076.
Фрумкин М. А. Сложностные вопросы теории чисел. -
Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР, т. 118, 1982,
с.188-210.
Фрумкин М. А. Степенные алгоритмы в теории систем
линейных диофаитовых уравнений. - Успехи матем. наук, т.
XXX, вып. 4, 1975, с. 263-264.
Халмош П. Конечномерные векторные пространства. -
М.: Физматгиз, 1963.
Хачиян Л. Г. Полиномиальные алгоритмы в линейном
программировании. - Доклады АН СССР, т. 244, 1979, с.
1093-1096.
Хачиян Л. Г. Полиномиальные алгоритмы в линейном
программировании. - ЖВМ и МФ, т. 20, 1980, с. 51-68.
Хинчин А. Я. Цепные дроби. - М.: Физматгиз, 1961.
Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в
сетях. - М.: Мир, 1974.
Чебышев П, Л. Об одном арифметическом вопросе, -
Зап. Имп. Академии Наук, 10, Прил. №4, 1866.
Червак Ю. Ю. Метод отсечений для дискретных задач. -
Укр. Матем. Журнал, т.23, 6, 1971, с. 839-843.
Черников С. Н. Линейные неравенства. - М.: Наука,
1968.
Черников С Н. Решение задач линейного
программирования с помощью исключения неизвестных.
Доклады АН СССР, 2, 1961, с. 1099-1103.
Черников С. Н. Сжатие конечных систем линейных
неравенств. - ЖВМ и МФ, т.5, 1965, с. 3-20.
Черникова Н. В. Алгоритм для нахождения общей
формулы для неотрицательных решений систем линейных
уравнений. - ЖВМ и МФ, т.4, 1964, с. 733-738.
Черникова Н. В. Алгоритм для нахождения общей
формулы для неотрицательных решений систем линейных
неравенств.- ЖВМ и МФ, т.5, 1965, с. 334-337.

Литература, имеющаяся на русском языке 691
Черникова Н. В. Алгоритм нахождения множества всех
решений задачи линейного программирования. - ЖВМ и МФ, т. 8,
К|°6, 1968, с. 282-293.
Шевченко В. Н. Дискретный аналог теоремы Фаркаша и
задача агрегирования систем линейных целочисленных уравне-
уравнений. - Кибернетика, Киев, 2, 1976, с. 276 - 279.
Шор Н. 3. Использование операции растяжения прост-
пространства при минимизации выпуклых функции. - Кибернетика,
Киев, 1, 1970, с. 6-12.
Шор Н. 3. Метод отсечений с растяжением пространства
в задачах выпуклого программирования. - Кибернетика, Киев,
1, 1977, а 94-95.
Шор Н. 3. Методы минимизации недифференцируемых
функций. - Киев: Наукова Думка, 1979.
Шор Н. 3. О скорости сходимости метода обобщенного
градиентного спуска с растяжением пространства. - Кибер-
Кибернетика, Киев, 2, 1970, с. 80-85.
Шор Н. 3. О структуре алгоритмов численного решения
задач оптимального планирования и проектирования.
Кандидатская диссертация. - ИК АН УССР, Киев, 1964.
Шор Н. 3, Применение градиентного метода для решения
сетевых транспортных задач. Научные записки семинара по
теории и применению кибернетики и исследования операций,
Академия Наук УССР, Киев, 1962.
Шор Н. 3., Гершович В. И. Семейство алгоритмов
решения задач выпуклого программирования. - Кибернетика,
N4 1979, с. 62-67.
Штрассен В. Исключение по Гауссу не оптимально. -
Киберн. сб., нов. сер. вып. 7, 1970, с. 6/ - 70.
Эйлер Л. Введение в анализ бесконечно малых. Т. 1. -
М.: Физматгиз, 1936.
Эйлер Л. Основан 1Й алгебры Леонгарда Эйлера части
первой первыя три отдълешя, переведенныя съ франц. яз. на
российской, со многими присовокуплениями, Васил^емъ
Висковатовымъ. Т. 1-2, С-Пб. имп. Ак. наукъ, 1812.
Юдин Д. Б., Немировский А.С. Информационная
сложность и эффективные методы решения выпуклых
экстремальных задач,- ЭММ, т. 12, 1976, с. 357-369.
Юдин Д. Б., Немировский АХ. Оценка информационной
сложности задач линейного программирования. - ЭММ, т. 12,
1976, с.128-142.
Юдин Д. Б., Гольштейн Е. Г. Теория и методы
линейного программирования. - М.: Сов. радио, 1963.

ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПРИ ПЕРЕВОДЕ
Алексеев О. Г. A987) Комплексное применение методов
дискретной оптимизации, М., Наука.
Белоусов Е.Г A977) Введение в выпуклый анализ и
целочисленное программирование. М., Изд-во МГУ.
Береснев В. Л., Гимади Э.Х., Дементьев В. Т. A978)
Экстремальные задачи стандартизации. Новосибирск, Наука.
Вершик А.М., Спорышев П. В. A983) Оценка среднего
числа шагов симплекс-метода и задачи асимптотической
интегральной геометрии, ДАН СССР, 271, 1044-1048.
Веселое СИ. A981) О числе крайних точек главного
многогранника задачи групповой минимизации. Кибернетика
F), 137.
Веселое СИ., Шевченко В.Н. A978) Экспоненциальный
рост коэффициентов агрегирующих уравнений. Кибернетика D),
78-79.
Веселое СИ., Шевченко В.Н. A981) О гранях и крайних
точках задач дискретного программирования, в кн.; Комбина-
Комбинаторно-алгебраические методы в прикладной математике, Горь-
Горький, ГГУ, 39-49.
Визинг В. Г. A964) Об оценке хроматического класса
р-графа, Дискретный анализ, 3, 25-30.
Емеличев В. А., Ковалев М.М. A982) Полиэдральные
аспекты дискретной оптимизации, Кибернетика (о), 54-62.
Емеличев В.А., Комлик В.И. A981) Метод построения
последовательности планов для решения задач дискретной
оптимизации, М., Наука.
Зинченко А. Б. A985) Теоретико-групповой подход к
усилению отсечений прямого алгоритма, в кн.: Алгебра и
дискретная математика. Элиста, Калм. ГУ, 122-134.
Ковалев М.М. A977) Дискретная оптимизация, Минск,
Изд-во БГУ.
Ковалев М.М. A987) Матроиды в дискретной оптимизации,
Минск, Изд-во "Университетское".
Козерацкая Л.Н. A980) О системах линейных диофантовых
уравнений с параметром, Доклады АН УССР, (9), 11-14.
Корбут А. А., Малков У.Х., Сигал И. л., Финкельштейн
Ю.Ю. A983) О современном состоянии и перспективах развития
вычислительных методов и программ решения задач
целочисленного программирования, в кн.: Принятие
оптимальных решении в экономических системах. Межвузовский
сборник, Горький, Изд-во ГГУ, 3-30.
Корбут А. А., Сигал И.Х., Финкельштейн Ю.Ю. A988)
Гибридные методы в дискретной оптимизации, Известия АН
СССР, Техн. кибернетика, 1, 65-77.
Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. A969) Дискретное прог-
программирование, М., Наука.
Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. A983) Приближенные
методы дискретного программирования, Известия АН СССР,
Техн. кибернетика, 1.
Лебедев С С. A984) Обобщенный метод пометок целочис-
целочисленного линейного программирования, Экономика и мат. методы
D), 20.

Литература, добавленная при переводе 693
Лебедев С С, Шейнман О. К. A983) Двойственный подход
в целочисленном программировании, Изв. АН СССР. Техн.
кибернетика, 1, 181-187.
Лебедев С.С., Шейнман О.К. A981) Двойственность в
целочисленном программировании, Экономика и мат. методы
C), 27.
Лебедев С. С, Медведовская И. Т. A986) Обобщенный
метод пометок для одной задачи целочисленного линейного
программирования, Изв. АН СССР. Техн. кибернетика C),
16-22.
Леонтьев В.К. A979) Дискретные экстремальные задачи,
в кн.: Итоги науки и техники. Сер. Теория вероятностей.
Мат. статистика. Теорет. кибернетика. Вып. 1б, М., ВИНИТИ,
39-101.
Литвак Б. Г. A980) Об одном классе задач
целочисленного программирования, решаемых модифицированным
асимптотическим алгоритмом, в кн.: Математические методы
решения экономических задач, М.: Наука (9), 107-115.
Литвак Б. Г., Найвельт А. В. A976) Опорные групповые
элементы в алгоритме групповой минимизации, в кн.:
Исследования по дискретной оптимизации, М.: Наука, 141—
155.
Михалевич В.С, Сергиенко И.В., Лебедева Т.Т., Ро-
щин В.А., Стукало А.С., Трубин В.А., Шор Н.З. A981) Пакет
прикладных программ ДИСПРО, предназначенный для решения
задач дискретного программирования, Кибернетика C).
Нярипя X. A981) Один метод решения задачи групповой
минимизации с дополнительным линейным ограничением,
Известия АН ЭССР. Сер. физ. мат., B), 30, 117-124.
Подсыпании Е.В. A9/7) Обобщение алгоритма непрерывных
дробей, связанное с теоремой Виго Бруна. В кн: Исследование
по теории чисел, 4, под. ред. Малышева А. В., Записки
научных семинаров ЛОМИ, 67, 184-194.
Сергиенко И.В. A985) Математические модели и методы
решения задач дискретной оптимизации, Киев, Наукова думка.
Сергиенко И.В., Каспшицкая М.Ф. A981) Модели и методы
решения на ЭВМ комбинаторных задач оптимизации, Киев,
Наукова думка.
Сергиенко И.В., Лебедева Т.Т., Рощин В.А. A980)
Приближенные методы решения дискретных задач оптимизации,
Киев, Наукова думка.
Супруненко Д. А., Емеличев В.А., Танаев В. С. A982) О
работах белорусских математиков в области дискретной опти-
оптимизации, Известия АН СССР, Техн. кибернет., 6, 25-45.
Тришин В.Н. A983) Модифицированный алгоритм групповой
минимизации с использованием опорных элементов, Журнал
вычислительной математики и математической физики, C), 22,
593-598.
Финкельштейн Ю.Ю. A976) Приближенные методы и
прикладные задачи дискретного программирования, М., Наука.
Фридман А. А. A977) О некоторых современных
направлениях в дискретной оптимизации» Экономика и мат.
методы, E), 13, 1115-1131.
Червак Ю.Ю. A971) Метод отсечений для дискретных
задач, Украинский математический журнал, 23, F), 839-841*.

694 Литература, добавленная при переводе
Черников С.Н. A961) Решение задач линейного програм-
программирования методом исключения неизвестных, ДАН СССР, 139,
1314-1317.
Черников С.Н. A965) Свертывание конечных систем
линейных неравенств, ЖВМиМФ, 5, 3-20.
Черникова Н.В. A964) Алгоритм для нахождения общей
формулы неотрицательных решений системы линейных уравнений.
ЖВМиМФ, 4, 733-738.
Черникова Н.В. A965) Алгоритм для нахождения общей
формулы неотрицательных решений системы линейных
неравенств. ЖВМиМФ, 5, 334-33/.
Черникова Н.В. A968) Алгоритм для нахождения
множества всех решений задачи линейного программирования,
ЖВМиМФ, 8, 1387-1395.
Шевченко В.Н. A975) О решении элементарной задачи
целочисленного линейного программирования, в сб.:
Управляемые системы, Новосибирск: Ин-т матем. СО АН СССР,
A4), 69.
Шевченко В.Н. A979) Выпуклые многогранные конусы,
системы сравнений и правильные отсечения в целочисленном
программировании, в кн.: Комбинаторно-алгебоаические методы
в прикладной математике, Горький: ГГУ, 109-119.
Шевченко В.Н. A981) О числе крайних точек в
целочисленном программировании, Кибернетика B), 133-134.
Шевченко В.Н. A983) Задача о размене, задача
Фробениуса и задача групповой минимизации, в кн.:
Комбинаторно-алгебраические методы в прикладной математике,
Горький: ГГУ.
Шевченко В.Н. A984) Алгебраический подход в
целочисленном программировании, Кибернетика, 4, 36-41.
Шейнман О. К. A978) Двойственность в некоторых
дискретных задачах минимизации, Успехи мат. наук B), 33.
Шейнман О. К. A980) Двойственность и субаддитивные
функции в целочисленном программировании, Экономика и мат.
методы D), 16.
Шлык В. А. A978) О гранях главных многогранников
Гомори, Известия АН БССР, Сер. физ.-мат. наук B), 1978,
5-11.
Шлык В.А. A980) Одно свойство граней главных
многогранников Гомори циклических групп, Известия АН БССР,
Сер. <Ьиз.-мат. наук B), 45-48.
шлык В.А. A984) Субаддитивная характеризация граней
многогранных множеств на частичной алгебре, Доклады АН БССР
(И), 2§, 980-983.
Шлык В.А. A988) О теоретико-групповом подходе в
целочисленном линейном программировании, Изв. АН СССР,
Техн. кибернетика A), 94-105.
Шор Н.З. A962) Применение градиентного метода к
сетевым транспортным задачам, Тезисы научного семинара по
теории и приложению кибернетики и исследованию операции, АН
УССР, Киев.
Шор Н.З. A964) О структуре алгоритмов численного
решения задач оптимального планирования, Канд. диссертация,
Институт Кибернетики, АН УССР, Киев.
Шор Н.З. A977) Метод отсечения с растяжением
пространства для решения задач выпуклого программирования,
Киберенетика, 1, 94-95.

Литература, добавленная при переводе 695
Шор Н.З., Гершович В. И. A979) Семейство алгоритмов
Для решения задач выпуклого программирования, Кибернетика,
3, 62-67.
\ Юдин Д. В., Немировский А. С. A976) Оценка
информационной сложности задач математического
программирования, Экономика и матем. методы, 12, 128-142.
Юдин Д. Б., Немировский А. С. A976) Информационая
сложность и эффективные методы решения выпуклых
экстремальных задач, Экономика и матем. методы, 12,
337-369.
Агаог Л., ЛоЬпзоп Е.Ь. A985) Оп !асе*з апс1 таррт^з
1ог попаЬеПап ^гоир ргоЫетз, 51АМ Лоигпа! о* А1&еЬга1С
аш1 О1зсге1е Ме^Ьойз, 6, 171-188.
ВасЬет А. A977) Кес1исИоп апс1 десотрозШоп ог
1п1ееег ргодгатз оуег сопез, Аппа1з ог О1$кге1е
Ма1Ьета11СЗ, 1, 1-11.
ВасЬет А., Еи1ег К. A984) Кесеп* 1гепс15 т
сотЫпа1опа1 орНгшгаНоп, ОрегаНопз Кезеагсй 5рек*гит
A), 6, 1-21.
Ве11 О.Е. A974) 1п1егзесиопз о! согпег ро1уЬес1га,
т: НА5А КезеагсЬ Метогапйит КМ-74-14, ЬахепЬиге, х Аизк1а,
17р.
Ве11 О.Е. A977) А 31тр1е
р^го^гатз из1п& ?гоиВ сопз1га1п1з, Орегаиопз КезеагсЬ
13-458.
Оиаг1ег1у B), 28, 45
Ве11 О.Е., 5Ьар1го Л. Р. A977) А сопуегееп* AиаП1у
1Ьеогу 1ог т1ееег рго^гатт1п§;, Орегаиопз КезеагсЬ C),
25, 419-434.
ВегЫа221 Р., ЬерогеШ С, ЬисегИп! М. A980)
АИетаЦуе §;гоир ге1ахаиоп о! 1п1ееег рто^татт'т^
ргоЫетз, Ьес^иге Ыо1ез оп Соп1го1 апс! 1п1огта1юп 5с1епсе,
23, 154-159.
СЬорга 5., ЛоЬпзоп Е.Ь. A987) Эиа! го\у тос1и1ез апс!
ро1уЬес!га ог Ыоск1п^ ётОи? ргоЫетз, Ма^Ьета11Са1
38, 229-270.
Сип1П{*Ьате-Огееп Р.А. A981) 1п*е^ег ргоегатт^п^ Ьу
Й1У1510П, О1зсге^е АррНей Ма1Ьетаисз, 3, 19—25.
Сип1пеЬате-Огееп Р. А., Вигкагс! К.Е. A988)
5ас1с11еро1п{з ш е^гоир впй зет1^гоир т1п1гп12аиопг
ОрИтиапоп D), 19, 451-459.
Оепагйо Е.У., Рох В.Ь. A979) 5Ьог1ез1-гои1е те!Ьос15:
2. Огоир кпарзаскз, ехрапйей пе!\уогкз, апс1
ЬгапсЬ-апс1-ЬоипA; ОрегаНопз КезеагсЬ C), 27, 548-566.
РапеШ 8. A978) Ап ех1епз10п о! Ни'з
пптиигаНоп а1еоп!Ьт, Са1со1о B), 15, 197-210.
Оаз1оп О.,' ЛоЬпзоп Е.и A986) Втагу цгопр
СЬ1пезе роз!тап ро1уЬес1га, Ма*Ьетаиса1 Рго^гатт1п§ A),
34, 1-33.
О1оуег Р. A971) Расез о{ 1Ье Оотогу ро1уЬес1гоп !ог
сусПс егоирз, Лоигпа1 о! Ма1Ьета1]Са1 Апа1уз1з апй
АррПсаиопз A), 35, 195-208.
Сопйгап М. A970) Рго^гатта11оп Ппеа1ге еп потЬгез
епиегз: ор1[т'1$а\'юп 6ап& ип сопе, Кеу. Ргапс. 1п1огт. е!
КесЬ. Орег. B), 4, 11-27.
ОгоЬсЬе! М. A982) АрргоасЬез 1о Ьагс! сотЫпа!ог|а1
'* ргоЫетз, т: Мойегп АррПес! Ма1Ьета11сз: Ор-

696 Литература, добавленная при переводе
апё ОрегаМопз КезеагсЬ (В.Ког*е, ее!.), Ног1Ь-
НоПапс!, Атз^егёат, 437-515. ,
ЛоЬпзоп Е.Ь. A976) Расез оГ пихес! т1е§*ег рго§ггатгт^
ргоЫегпз, т: 51троз1а Ма1Ьета11са, уо1. XIX, Ьопс1оп,
289-299. ]
Р1еЫег Л. A970) ОапхгаЬНде Нпеаге Орит\етиЬ$
(Ме1Ьос1еп ипс! РгоЫете), ТеиЬпег, Ье1р21^.
КИ К.Ь., Ыпаег У.Е. A976) 5оте сотриЫюпаПу
1Ьи |1 Я П! Ь
() р
ге1еуап! ггоир 1Ьеогеис з|гис1игез (Я Пхес!
ргоЫетз, Ма1Ьетаиса1 Рго^гатгтпд, 10, 379-400.
51теопе В. A979) А сошс а1еог11Ьт {ог 1Ье ^р
гп1П1т1гаиоп ргоЫет, СаЬ. Сеп1ге ЕЫ± КесЬ. Орег., 21,
337-351.
Уо1реп(ез1а А. A980) 5оте гетагкз аЬои! ЬототогрЬ^зтз
апс! д^гоир гтгпгшгаЬоп ргоЫетз, 1п: Зигуеу о( Ма*Кетаиса1
Р, Вис1аре51, 553-557.
Ь.А. A981) 1п!едег ргоегагпгп1Пё: с1иаН1у: рпсе
апс! зепз^иуНу апа1уз15, Ма*Ьетаиса1
е, 20, 175-195.
Уатато1о V. A980) А егоир 1ЬеогеИс Aиа1 ргоЫет
и! AиаП1у ^арз !ог Ьоипбеё 1п1е^ег ргоегатз, Лоигпа1
о{ ОрегаИоп5 КезеагсН 5оС1е1у о! Ларап B), 23, 146-155.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Часть 4. Целочисленное линейное программирование 365
I
16 Введение в целочисленное линейное программирование 367
16.1 Введение 368
16.2 Целочисленная оболочка полиэдра 370
16.3 Целочисленные полиэдры 372
16.4 Базисы Гильберта 373
16.5 Теорема Белла и Скарфа 376
16.6 Задача о рюкзаке и агрегация 378
16.7 Смешанное целочисленное линейное программирова-
программирование 379
17 Некоторые оценки для задач линейного целочисленного
программирования 380
17.1 Размеры решений 381
17.2 Расстояния между оптимальными решениями 384
17.3 Конечные тестовые множества в целочисленном ли-
линейном программировании 388
17.4 Фасеты Рг 389
18 Сложность целочисленного линейного программирования 391
18.1 #Р-полнота общей задачи целочисленного линейного
программирования 392
18.2 Л^Я-полнота близких задач 396
18.3 Сложность фасет, вершин и задачи соседства на
выпуклой оболочке целочисленных точек 402
18.4 Алгоритм Ленстры решения задачи целочисленного
линейного программирования 411
18.5 Применение метода-динамического программирова-
программирования к задаче о рюкзаке 418
18.6 Применение метода динамического программирова-
программирования к целочисленному линейному программированию423
19 Вполне унимодулярные матрицы: основные свойства и
примеры 426
19.1 Полная унимодулярность и оптимизация 427
19.2 Дальнейшие характеристики унимодулярности 431
19.3 Основные примеры: матрицы сетей 437
19.4 Разложение вполне унимодулярных матриц 450
20 Распознавание полной унимодулярности 453
20.1 Распознавание матриц сетей 453
20.2 Проверка разложимости 463
20.3 Проверка полной унимодулярности 467

698 Оглавление
21 Дополнительная теория, относящаяся к полной унимоду-
лярности 472
21.1 Регулярные матроиды и присвоение знаков элемен-
элементам {0,1}-матриц 473
21.2 Цепные группы 478
21.3 Верхняя граница Хеллера 481
21.4 Дополнительные сведения об унимодулярных матри-
матрицах 483
21.5 Уравновешенные матрицы 487
22 Целочисленные полиэдры и вполне двойственная цело-
численность 495
22.1 Целочисленные полиэдры и вполне двойственная
целочисленность 496
22.2 Два комбинаторных приложения 501
22.3 Базисы Гильберта и минимальные ВДЦ-системы 506
22.4 Ящичная вполне двойственная целочисленность 510
22.5 Вполне двойственная целочисленность при опера-
операциях над системой 515
22.6 Целочисленный аналог теоремы Каратеодори 524
22.7 Другая характеризация вполне двойственной цело-
численности 526
22.8 Оптимизация на целочисленных полиэдрах и ВДЦ-
системы с алгоритмической точки зрения 531
22.9 Распознавание целочисленных полиэдров и вполне
двойственная целочисленность 534
22.10 Целочисленное округление и разложение 541
23 Отсечения 546
23.1 Описание целочисленной оболочки с помощью отсе-
отсечений 547
23.2 Вывод отсечений 553
23.3 Число отсечений и длина вывода 554
23.4 Ранг Хватала 560
23.5 Два комбинаторных примера 561
23.6 Отсечения и теория #Р-сложности 566
23.7 Функции Хватала и двойственность 570
23.8 Метод отсечений Гомори 572
24 Другие методы в целочисленном линейном программиро-
программировании 582
24.1 Методы ветвей и границ в целочисленном линейном
программировании 583
24.2 Групповая задача и угловые полиэдры 588
24.3 Релаксация Лагранжа 594
24.4 Приложение: задача о коммивояжере 599
24.5 Метод декомпозиции Бендерса 602
24.6 Некоторые замечания о практическом целочислен-
целочисленном линейном программировании 604

Оглавление 699
Исторические и другие замечания о целочисленном линей-
линейном программировании 607
Исторические замечания 607
Другие замечания о целочисленном линейном прог-
программировании 614
Литература 618
Литература, имеющаяся на русском языке 688
Литература, добавленная при переводе 692
СОДЕРЖАНИЕ 1-го ТОМА
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 8
1 Введение и предварительные сведения 11
1.1 Введение 11
1.2 Предварительные сведения 14
1.3 Предварительные сведения из линейной алгебры, те-
теории матриц и геометрии 16
1.4 Элементы теории графов 24
2 Задачи, алгоритмы, сложность 31
2.1 Буквы, слова, размеры 33
2.2 Задачи 34
2.3 Алгоритмы и их временная сложность 35
2.4 Полиномиальные алгоритмы 36
2.5 Классы Я, ЫР и со-ЛФ 38
2.6 МР-полные задачи 41
Несколько исторических замечаний 43
Часть 1. Линейная алгебра 46
3 Линейная алгебра и сложность вычислений 46
3.1 Немного теории , 47
3.2 Размеры и хорошие характеризации 50
3.3 Метод исключения Гаусса 53
3.4 Итерационные методы 60
Замечания, относящиеся к линейной алгебре 63
Исторические замечания 63
Дальнейшие замечания по линейной алгебре 69
Часть 2. Решетки и линейные диофантовы
уравнения 71
4 Теория решеток и линейных диофантовых уравнений 72
4.1 Нормальная эрмитова форма 72

700 Оглавление
4.2 Единственность нормальной эрмитовой формы 76
4.3 Унимодулярные матрицы 77
4.4 Дальнейшие замечания 79
5 Алгоритмы решения линейных диофантовых уравнений 82
5.1 Алгоритм Евклида 83
5.2 Размеры и характеризации 86
5.3 Полиномиальные алгоритмы отыскания нормальной
эрмитовой формы и решения систем линейных дио-
диофантовых уравнений 88
в Диофантовы приближения и приведение базиса 93
6.1 Метод цепных дробей 94
6.2 Приведение базисов в решетках 104
6.3 Приложения метода приведения базиса. 111
Замечания о решетках и линейных диофантовых уравне-
уравнениях 117
Исторические замечания 117
Дальнейшие замечания о решетках и линейных дио-
диофантовых уравнениях 129
Часть 3. Полиэдры, линейные неравенства и линейное
программирование 131
7 Полиэдры, линейные неравенства и линейное программи-
программирование: основные понятия и результаты 132
7.1 Основная теорема о линейных неравенствах 133
7.2 Конусы, полиэдры и многогранники 135
7.3 Лемма Фаркаша и ее варианты 138
7.4 Линейное программирование 139
7.5 Геометрическая интерпретация ЛП-двойственности 144
7.6 Аффинная форма леммы Фаркаша 145
7.7 Теорема Каратеодори 146
7.8 Строгие неравенства 146
7.9 Дополняющая нежесткость 148
7.10 Приложение: теорема о максимальном потоке и ми-
минимальном разрезе в сети 150
8 Структура полиэдров 152
8.1 Неявные равенства и избыточные ограничения 153
8.2 Характеристический конус, пространство линейнос-
линейности, аффинная оболочка, размерность 154
8.3 Грани 156
8.4 Фасеты 157
8.5 Минимальные грани и вершины 160
8.6 Решетка граней 161
8.7 Ребра и экстремальные лучи 162
8.8 Экстремальные лучи конусов 163
8.9 Декомпозиция полиэдров 164
8.10 Приложение: бистохастические матрицы 166
8.11 Приложение: политоп паросочетаний 169

Оглавление 701
9 Полярность, блокирующие и антиблокирующие полиэдры 173
9.1 Полярность 173
9.2 Блокирующие полиэдры 175
9.3 Антиблокирующие полиэдры 180
10 Длина записи и теоретическая сложность линейных не-
неравенств и линейного программирования 185
10.1 Размеры и хорошая характеризация 185
10.2 Сложность вершинного и фасетного описания 186
10.3 Полиномиальная эквивалентность линейных нера-
неравенств и линейного программирования 190
10.4 Анализ чувствительности 193
И Симплекс-метод 196
11.1 Симплекс-метод 197
11.2 Симплекс-метод в табличной форме 200
11.3 Выбор ведущих элементов, зацикливание и слож-
сложность 209
11.4 Гарантированное поведение симплекс-метода 212
11.5 Среднее число итераций симплекс-метода 218
11.6 Модифицированный симплекс-метод 225
11.7 Двойственный симплекс-метод 228
12 Прямодвойственный метод, метод исключений и релак-
релаксационный метод 231
12.1 Прямодвойственный метод 231
12.2 Метод исключений Фурье-Моцкина 239
12.3 Релаксационный метод 242
13 Метод Хачияна для решения задач линейного программи-
программирования 251
13 Л Эллипсоиды 252
13.2 Метод Хачияна: предварительное описание 255
13.3 Две леммы об аппроксимации эллипсоидов 257
13.4 Более точное описание метода Хачияна 259
13.5 Практическая сложность метода Хачияна 264
13.6 Дальнейшие замечания 265
14 Метод эллипсоидов для решения более общих задач на
полиэдрах 268
14.1 Нахождение решения с помощью алгоритма отделе-
отделения 268
14.2 Эквивалентность задач отделения и оптимизации 276
14.3 Дальнейшие следствия 285
15 Дополнительные результаты о полиномиальной разреши-
разрешимости в линейном программировании 296
15.1 Полиномиальный алгоритм линейного программмиро-
вания, разработанный Кармаркаром 297
15.2 Сильнополиномиальные алгоритмы 304
15.3 Линейный при фиксированной размерности алгоритм
Мегиддо 310
15.4 Мелкие отсечения и округление политопов 319

702 Оглавление
Замечания о полиэдрах, линейных неравенствах и линейном
программировании 326
Исторические замечания 327
Дальнейшие замечания о полиэдрах, линейных неравен-
неравенствах и линейном программировании 354

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве
перевода и другие просим присылать по адресу: 129820,
Москва, И-110, 1-й Рижский пер., д. 2, издательство "Мир".

Научное издание
Александр Схрейвер
ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО И ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
В двух томах. Т. 2
Заведующий редакцией академик В.И. Арнольд. Зам. зав. редакцией
А.С. Попов. Ст. научн. редакторы И.А. Маховая, М.В. Хатунцева. Художник
М.Н. Кузьмина. Художественный редактор В.И. Шаповалов. Технические
редакторы ИМ. Кренделева, И.А. Маховая. Корректор М.Е. Савина.
ИБ № 8091
Сдано в набор 08.09.89. Подписано к печати 01.02.91. Формат 60x88 1/16.
Бумага офсетная № 2. Печать офсетная. Гарнитура литературная. Объем
И бум. л. Усл. печ. л. 21,56. Усл. кр.-олт. 21,56. Уч.-изд. л. 21,42.
Изд. № 1/8895. Тираж 6 000 экз. Зак. 781 Цена 5 р. 20 к.
Оригинал-макет подготовлен на персональном компьютере и отпечатан на
лазерном принтере в издательстве "Мир" В/О "Совэкспорткнига"
Госкомпечати СССР. 129820, ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижский пер., 2.
Отпечатано в Ленинградской типографии №4 Государственного комитета СССР
по печати. 191126, Ленинград, Социалистическая ул., 14.

СОВЕТСКО-ФРАНКО-ИТАЛЬЯНСКОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ
"ИНТЕРКВАДРО44
ПРЕДЛАГАЕТ
АВАНПРОЕКТ
"СТАТПРОМ"
Методы и алгоритмы
Аванпроект необходим организациям, которые разрабатывают
программное обеспечение и /или методические документы по
статистическим методам контроля качества продукции и стан-
стандартизации.
Документ подготовлен коллективом ведущих советских спе-
специалистов по прикладной математической статистике A0 докто-
докторов и 15 кандидатов наук) из АН СССР, Московского универ-
университета, Московского энергетического института, института про-
проблем управления и др. НИИ и ВУЗов.
СОДЕРЖАНИЕ
1. Развитие, стандартизация и внедрение статистических
методов управления качеством продукции - анализ состо-
состояния в СССР и за рубежом.
2. Термины и определения в области статистических мето-
методов.
3. Методические и методологические вопросы современной
прикладной статистики и других статистических методов.
4. Анализ отмененных ГОСТов по прикладной статистике,
предложения по использованию их материала в соответ-
соответствующих стандартах СЭВ.
5. Методы проверки согласия.
6. Проверка однородности двух или нескольких выборок.
7. Статистический анализ для выборок из логнормального
распределения.