ф. П. Васильев А. Ю. Иваницкий
ЛИНЕЙНОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Москва „Факториал" 1998

ББК 22.18
В 19
УДК 519.852
В 19 Васильев Ф. П., Иваницкий А. Ю. Линейное
программирование. — М.: Изд-во «Факториал», 1998. — 176 с. — ISBN 5-
88688-038-0.
В книге дается строгое изложение основ теории линейного программирования
с использованием минимального аппарата математического анализа и линейной
алгебры, без привлечения теории многогранных множеств и теорем отделимости.
Симплекс-метод излагается полно и строго, включая так называемый
вырожденный случай. На базе симплекс-метода строится теория двойственности,
доказывается ряд важных теорем линейного программирования (существование решения,
теорема Фаркаша, неравенство Хоффмана и др.). Впервые в учебной литературе
излагаются теория устойчивости для общей задачи линейного программирования,
основные методы регуляризации для решения некорректных задач.
Для студентов вузов математических и экономических специальностей, а
также для специалистов в области оптимизации.
Библиогр. 143, рис. 6.
Научное издание
Васильев Федр Павлович
Иваницкий Александр Юрьевич
Линейное программирование
Редактор Васильева О. А.
Формат 60x90/16. Гарнитура литературная. Усл. печ. л. 11. Бумага офсетная № 1.
Подписано к печати 23.9.1998. Тираж 1000 экз. Заказ № 4428.
Издательство «Факториал», 117449, Москва, а/я 331; ЛР № 063537 от 22.07.1994.
Оригинал-макет подготовлен с использованием макропакета АР-Т^Х.
Отпечатано в ППП типографии «Наука» Академиздатцентра «Наука» РАН. 121099,
Москва Г-99, Шубинский пер., 6.
© Ф. П. Васильев А. Ю. Иваницкий, 1998
ISBN 5-88688-038-0 © Факториал

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 4
Глава 1. Симплекс-метод 7
§ 1. Постановка задачи 7
§ 2. Геометрическая интерпретация. Угловые точки 15
§ 3. Основная схема симплекс-метода 23
§ 4. Антициклин 46
§ 5. Поиск начальной угловой точки. Условия
разрешимости канонической задачи 59
Глава 2. Основные теоремы линейного
программирования 78
§ 6. Условие разрешимости общей задачи 78
§ 7. Теоремы двойственности 80
§ 8. М-метод 91
§ 9. Другие теоремы 101
§ 10. Оценка расстояния от точки до полиэдра
(неравенство Хоффмана) 106
Глава 3. Критерий устойчивости 114
§11. Примеры. Определения 114
§ 12. Необходимое условие устойчивой разрешимости 118
§ 13. Критерии ограниченности полиэдров 120
§ 14. Критерии устойчивой разрешимости 128
§ 15. Равносильность различных понятий устойчивости 136
Глава 4. Методы регуляризации 146
§ 16. Метод стабилизации 146
§ 17. Метод невязки 159
§ 18. Метод квазирешений 163
Список литературы 168
Предметный указатель 174
Указатель обозначений 175

ПРЕДИСЛОВИЕ
Под линейным программированием понимается раздел теории
оптимизации, в котором изучаются задачи минимизации или
максимизации линейных функций на множествах, задаваемых
системами линейных равенств и неравенств. Линейное программирование
возникло под влиянием прикладных технико-экономических задач
в 30-40-х годах XX века и, благодаря трудам Дж. фон Неймана,
Л. В. Канторовича, Дж. Данцига и многих других известных
математиков, превратилось в самостоятельное направление
математики и продолжает развиваться в настоящее время. Линейному
программированию посвящена обширная литература, и читатель вправе
спросить, что оправдывает появление еще одной книги в этой
области, чем она отличается от других подобных книг.
Первое отличие — мы даем строгое изложение основ теории
линейного программирования с привлечением минимального
математического аппарата, опираясь лишь на самые элементарные понятия
из линейной алгебры, такие как матрица, определитель, линейная
зависимость и независимость векторов, ранг матрицы, обратная
матрица. Во многих серьезных руководствах по линейному
программированию (см., например, [7, 140]) сначала излагается довольно
сложная теория выпуклых многогранных множеств, доказываются
тонкие теоремы отделимости таких множеств, строится теория
двойственности и лишь затем переходят к изложению и обоснованию
основных методов линейного программирования, начиная с симплекс-
метода. Такая схема изложения вполне оправдана при написании
объемистых и обстоятельных монографий и учебных пособий и
весьма удобна для опытного читателя, но, по нашему мнению, слишком
трудна для студента-первокурсника, который делает первые шаги
в линейном программировании и которому в сжатые сроки надо
освоить начальные главы этой науки.
В настоящем учебном пособии первооснова линейного
программирования — симплекс-метод — излагается с подробной
мотивировкой каждого элемента и строго обосновывается, включая так
называемый вырожденный случай, в первой же главе. Мы надеемся,
что после ознакомления с этой главой у читателя сложится ясное
представление, что каждый шаг симплекс-метода, заключающегося
в направленном переборе конечного числа угловых точек
допустимого множества с одновременным уменьшением (в задачах
минимизации) или увеличением (в задачах максимизации) значений
целевой функции в этих точках, по сути представляет собой не что

ПРЕДИСЛОВИЕ
5
иное, как переход от одной симплекс-таблицы к другой с помощью
известной студентам из линейной алгебры схемы исключения
Гаусса—Жордана со специальным выбором разрешающего (главного)
элемента.
Лишь после того, как дано математически строгое изложение
основ симплекс-метода, мы переходим к доказательству теорем,
составляющих фундамент линейного программирования: теоремы
существования решения, теоремы двойственности, некоторых других
важных фактов теории систем линейных неравенств и уравнений
(теоремы Фаркаша, Штимке, неравенство Хоффмана), причем сам
симплекс-метод используется как инструмент доказательства ряда
этих теорем, что существенно упрощает доказательство. Этот
материал изложен во второй главе, и для его понимания наряду с
упомянутыми выше элементарными сведениями из линейной алгебры
требуется еще владение начальными понятиями математического
анализа. Отметим, что на возможность использования симплекс-
метода для доказательства теорем и построения теории линейного
программирования указывали многие авторы; примеры реализации
этой идеи даны, например, в [82, 107, 100, 140].
Другое отличие настоящей книги — в ней впервые в учебной
литературе с такой полнотой излагается теория устойчивости задач
линейного программирования. Этот материал составляет содержание
третьей главы — в ней формулируются и доказываются критерии
устойчивости общей задачи линейного программирования. Заметим,
что проблема устойчивости в линейном программировании,
несмотря на свою важность, до недавних пор оставалась
малоисследованной, полученные здесь результаты являются относительно
новыми, они в основном разработаны в журнальных статьях |6, 25, 126]
и недостаточно отражены в учебной и монографической
литературе [7, 8, 85, 127].
Наконец, еще об одной особенности книги. На практике поиск
решения неустойчивых задач линейного программирования
невозможен без привлечения специальных методов регуляризации,
разработанных в рамках общей теории неустойчивых (некорректных)
задач [10, 16, 19, 22, 32, 35, 63, 76, 78, 85, 88, 91, 98, 118, 119, 120,
122, 127, 143]. В настоящей книге впервые в учебной литературе
подробно и систематически излагаются основные методы
регуляризации — методы стабилизации, невязки, квазирешений, основанные
на идее расширения множества [6, 7, 8, 16, 22, 23, 24, 27, 28, 30, 59,
60, 61, 62, 75, 85, 89, 90, 91, 92, 126, 127] и сводящие исходную,
возможно неустойчивую, задачу линейного программирования к другой
вспомогательной параметрической задаче, которая также является
задачей линейного программирования, но она уже будет устойчивой
пРи надлежащем согласовании входящих в нее параметров. В
главе 4 дается описание этих методов, исследуется их устойчивость,
доказывается сходимость, выводятся оценки скорости сходимости,

6
ПРЕДИСЛОВИЕ
порядок которых совпадает с порядком погрешности задания
исходных данных и которые являются неулучшаемыми по порядку.
Библиография по линейному программированию насчитывает
много тысяч названий. Из этого обширного списка мы здесь в
состоянии упомянуть лишь некоторые монографии, учебные пособия,
а также небольшое количество журнальных статей, имеющих
прямое отношение к содержанию книги [2, 6, 7, 11, 12, 18, 25, 26, 28,
29, 30, 31, 33, 34, 37, 43, 44, 47, 48, 49, 50, 54, 58, 59, 60, 61, 62,
72, 74, 83, 89, 90, 92, 93, 96, 107, 108, 109, 111, 113, 116, 117, 121,
124, 126, 127, 129, 130, 138, 139, 140]. Из этих ссылок на
литературу читатель может узнать, что вне рамок настоящей книги остался
ряд важных общих методов линейного программирования, методы
решения специальных задач (транспортная задача, сетевые задачи
и др.), целочисленные, динамические, параметрические,
лексикографические и другие классы задач линейного программирования,
кусочно-линейного программирования, теоретико-игровые и технико-
экономические приложения, исторические аспекты теории и
методов линейного программирования и т. д. Для читателя,
интересующегося педагогическими аспектами, укажем изданные на русском
языке учебники и учебные пособия по линейному
программированию [7, 11, 34, 40, 54, 74, 96, 107, 111, 116], задачники [3, 8, 36,
39, 46, 56, 68, 71, 103]; к этому следует добавить, что разделы,
посвященные линейному программированию, имеются практически
в каждом учебном пособии по оптимизации (см., например, [1, 20,
21, 38, 39, 51, 52, 53, 55, 57, 73, 77, 82, 84, 94, 97, 99, 102, 106,
ПО, 112, 115, 125, 127]).
При написании книги учтен многолетний педагогический опыт,
накопленный авторами при чтении основных и специальных
курсов по оптимизации на факультете вычислительной
математики и кибернетики Московского государственного университета
им. М. В. Ломоносова, на математическом факультете
Чувашского государственного университета им. И. Н. Ульянова.
Авторы выражают глубокую благодарность А. С. Антипину,
Е. Г. Белоусову, Д. В. Денисову, X. Д. Икрамову, В. А. Морозову,
В. В. Морозову, М. М. Потапову, А. В. Разулину, А. А. Станевичю-
су, А. В. Тимохову, В. В. Федорову, Ю. Н. Черемных, М. Д. Ячимо-
вичу за многочисленные полезные дискуссии и советы,
способствовавшие улучшению содержания книги. Будем признательны
читателям за критические замечания.

Глава 1
СИМПЛЕКС-МЕТОД
§ 1. Постановка задачи
1. Общая задача линейного программирования может быть
сформулирована следующим образом: минимизировать функцию
f(x) = с{х{ + с2х2 + ... + спхп A.1)
при условиях
х*^0, fc€/+, A.2)
апхх + а12х2 + ... + аыхп < Ь1, Л
> A.3)
awl*1+am2x2 + ... + amnx»Ow,J
> A.4)
a8lxl + as2x2 + ... + а8Пхп = 6s, J
где с\ Ь\ aijt i = 1, 5, j = 1, n, — заданные числа, I+ —
заданное подмножество индексов из множества {1, 2,..., п}.
Функция A.1) называется целевой функцией, условия A.3) — ограни-
нениями типа неравенств, условия A.4) — ограничениями типа
равенств. Условия A.2) неотрицательности переменных, конечно,
тоже являются ограничениями типа неравенств, но их принято
выделять отдельно. Ь задаче A.1W1.4) не исключаются случаи,
когда /+ = 0 или /+ = {1, 2,..., п}; возможно также, что в A.1)-A.4)
отсутствуют ограничения типа неравенств или типа равенств.
Точку х = (ж1,..., хп), удовлетворяющую всем условиям A.2)—A.4),
будем называть допустимой точкой задачи A.1)-A.4) или просто
допустимой точкой. Множество всех допустимых точек назовем
допустимым множеством и обозначим через X. Для обозначения
задачи минимизации функции f(x) на множестве X часто будем
пользоваться следующей краткой записью:
/(x)->inf, xeX. A.5)

8
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
Введем также следующее обозначение: пусть /„ = inf f(x) — ниж-
х € X
няя грань функции f(x) на множестве X. Точку х+ = (zj, ж2,...
..., х?) € X называют решением задачи A.5), если ffa) = ?.
Множество решений этой задачи будем обозначать через Х+. Таким
образом, Х# = {жеХ: f(x) = ft}. Задача A.1)-A.4) называется раз-
решимой, если X Ф 0, /„ > — оо и Х+ Ф 0. Наряду с задачей
минимизации A.5) нам придется иметь дело с задачей максимизации
линейной функции A.1) на множестве X, которую по аналогии с A.5)
будем кратко записывать в виде
/(ж)-* sup, хеХ. A.6)
Для задачи A.6) введем обозначения: /* = sup f(x) — верхняя грань
хеХ
функции f(x) на множестве X; X* = {х е X: f(x) = /*} —
множество решений задачи A.6). Эта задача равносильна задаче
минимизации
h(x) = -/(ж) -> inf, х е X, A.7)
т. е. всякое решение задачи A.7) является решением задачи A.6)
и обратно. Учитывая такую связь между задачами минимизации
и максимизации, мы ниже будем заниматься в основном
задачами минимизации, так как всякое утверждение, доказанное для
задачи A.5), нетрудно переформулировать для задачи A.6), а метод,
разработанный для решения задачи A.5), легко приспособить для
решения задачи A.6).
2. Приведем примеры прикладных задач, приводящих к задачам
линейного программирования.
Задача оптимального планирования производства. Пусть
на некотором предприятии изготовляются п видов продукции из
га видов сырья, известно, что на изготовление одной единицы
продукции j-ro вида нужно a{j единиц сырья г-го вида. В
распоряжении предприятия имеется Ь{ единиц сырья г-го вида. Известно
также, что с каждой единицы продукции j-ro вида предприятие
получает cj единиц прибыли. Требуется определить, сколько единиц
х1, ж2,..., хп каждого вида продукции должно изготовить
предприятие, чтобы обеспечить себе максимальную прибыль.
Если предприятие наметит себе план производства ж = (ж1,...
..., хп), то оно израсходует аих{+.. .+ainxn единиц сырья г-го вида
и получит с{х1+.. .+спхп единиц прибыли. Ясно также, что все
величины х\ г = 1, п, неотрицательны. Поэтому мы приходим к
следующей задаче линейного программирования: максимизировать
функцию f(x) = clxl + ... + спхп при ограничениях х1 ^ 0,..., хп ^ О,
апх1 + .. . + ainxn ^ 6*, г = 1, га. Ясно, что эта задача является
частным случаем задачи максимизации A.6) или задачи минимизации
A.1)-A.4) с заменой f(x) на —f(x).

§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
9
Задача об оптимальном использовании посевной площади.
Пусть под посев р культур отведено г земельных участков
площадью соответственно Ь1,..., Ьг гектаров. Известно, что средняя
урожайность г-й культуры на j-m участке составляет a{j
центнеров с гектара, а прибыль за один центнер г-й культуры составляет
сг рублей. Требуется определить, какую площадь на каждом
участке следует отвести под каждую из культур, чтобы получить
максимальную прибыль, если должно быть собрано не менее d( центнеров
г-й культуры.
Обозначим через хц площадь, которую планируется отвести
под г-ю культуру на j-м участке. Тогда
хч + %,- + ... + xpj = Ь', J =T7^. A.8)
Ожидаемый средний урожай г-й культуры со всех участков равен
atixii+at2xt2+- • -+airxtr центнеров. Поскольку согласно плану
должно быть произведено не менее d{ центнеров г-й культуры,
ai\Xi\ + ai2Xi2 + • . • + airXir > dt> i = 1> P- A-9)
Ожидаемая прибыль от урожая г-й культуры равна с{(апха + ...
... + airxir), а от урожая всех культур —
р
Yl Ci(aiiXil + ai2Xi2 + • • - + <lirXir) = f(X)' 0-Ю)
г = 1
Таким образом, приходим к задаче максимизации функции A.10)
(или минимизации функции (-f(x))) при условиях A.8), A.9)
и естественных ограничениях
хг3>0, * = 1,Р, J = l,r.
Если умножить соотношения A.9) на (—1) и переменные {x{j}
переобозначить через ж1, ж2,..., жп, то придем к задаче вида
A.1И1.4).
Транспортная задача. Пусть имеется г карьеров, где
добывается песок, и р потребителей песка (например, кирпичные заводы).
В г-м карьере ежесуточно добывается а{ тонн песка, а jf-му
потребителю ежесуточно требуется Ь. тонн песка. Пусть c{j — стоимость
перевозки одной тонны песка с г-ro карьера j-му потребителю.
Требуется составить план перевозок песка так, чтобы общая стоимость
перевозок была минимальной.
Обозначим через x{j количество тонн песка, которое планируется
перевезти из г-го карьера j-му потребителю. Тогда с г-го карьера
будет вывезено
Хц+Хп + --- + Х* = а€ A.11)

10
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
тонн песка, j-му потребителю доставлено
xlj + x2i + ... + xtJ = bj A.12)
тонн песка, г = 1, г, j = 1, р, а стоимость перевозок будет равна
/<*)=? E<w (i-i3)
Естественно требовать, чтобы
х^О, г=Т77, j=T7p. A.14)
Таким образом, получили задачу минимизации функции A.13)
при условиях A.11), A.12), A.14), которая, очевидно, является
частным случаем задачи A.1)-A.4).
К задачам вида A.1)-A.4) сводятся также и многие другие
прикладные задачи технико-экономического содержания. Примеры таких
задач см., например, в работах [9, 15, 41, 45, 58, 66, 69, 80, 101,
104, 128, 134, 135].
3. Приведем различные другие формы записи общей задачи
линейного программирования A.1)-A.4). Введем вектор-столбцы
и матрицы
am+l,n
А,= 1 : ... : I, А2=-
V a 1 ... a /
Тогда задачу A.1)-A.4) можно записать в виде
/(х) = (с, х) -> inf,
хеХ = {хеЕп: х*>0, kel+, A.15)
(a0x)^b*, i = l,m, (a?,x) = bl, i = m + l,s},
где (с, х) — скалярное произведение векторов-столбцов х и с, или
еще короче:
/(х) = (с, x)->inf,
хеХ = {хеЕп: х*^0, ке1+, А{х^Ъ{, А2х = Ь2}. * ' '

§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
И
Приведем еще одну форму записи общей задачи линейного
программирования, которая часто будет использоваться ниже. Не
умаляя общности дальнейших рассмотрений, можем считать, что
переменные х1,..., хп перенумерованы так, что в A.2) /+ = {1,..., щ},
0^ п, ^ п (щ = 0 соответствует случаю /+ = 0). Тогда, отдельно
выделяя неотрицательные координаты, вектор хеЕп можем
представить так: х = (хп ж>), хх = (х/,..., х?)еЕп\ х2 = (х21,..., x^)eE^t
х{ ^ 0, п, + щ = п, и после соответствующих преобразований
записать задачу A.1)-A.4) в виде
/(х) = (с, х) = (с,, X!) + (eg, Хъ) -> inf,
x = (xl,x2)eX = {x = (xl,x2)eEn* x ?% х^О, A.17)
где
U •' ¦•:: Т). *-(?). *-(?).
t,i = i,2.
Подчеркнем, что в A.16), A.17) и всюду ниже в произведениях
вида A^Xj, A{x, Dy матриц Aijt A{, D на соответствующие
векторы xjt х, у подразумевается, что xjt x, у — это вектор-столбцы
подходящей размерности, хотя для экономии места часто будем
записывать эти векторы в виде строки.
Укажем еще на одну форму записи общей задачи линейного
программирования:
/(х) = (си X!) + (cj, afe) -> inf,
х е X = < х = (х,, х,) е Я х Я"»: х, ^ 0,
I A.18)
2^AnXl + ,2^, 12^2 ^ &1» 2l> 21Х1 +^_^ -^22^2 = &2 М
* = 1 fc = l Jb = 1 fc = l '
где A?. — fc-й столбец матрицы Air
4. Из общей задачи линейного программирования обычно
выделяют так называемую каноническую задачу:
/(х) = (с, х) -> inf, х G X = {х G J5n: х ^ 0, Ах = Ь}, A.19)
где А — матрица размерности т х п, с 6 i?n, Ь е i?m. Задача A.19)
получается из общей задачи A.17) при n^n, гс^О, га^О, га^га,

12
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
А2Х = A, 62 = 6, матрицы Ап, АХ2, А22 и вектор Ьх отсутствуют.
Задача A.19) привлекательна тем, что при ее исследовании и разработке
методов ее решения можно пользоваться хорошо известной из
линейной алгебры теорией систем линейных алгебраических
уравнений. Замечательно также и то, что методы, созданные для решения
канонической задачи A.19), нетрудно модифицировать и применять
для решения общей задачи A.17). Дело в том, что задача A.17),
оказывается, сама равносильна некоторой канонической задаче.
Покажем это. Для того чтобы легче было понять последующие
построения, прежде всего заметим, что любое действительное число а
можно представить в виде разности двух неотрицательных чисел:
а = а+ - а", где а+ = max{0; а} ^ О, а" = max{0; —а} ^ 0. Отсюда
следует, что х^ = (х}, х$,..., х^) можно представить в виде
разности неотрицательных векторов:
x2 = zx — z2, zx = max{0; a^} ^ 0, z2 = max{0; -а^} ^ 0, A.20)
где операция взятия максимума проводится покоординатно: zx =
= (z/,..., zp), z{ = max{0; a?}, z2 = {z2\ ..., zp), 4 = max{0; -a?}f
j = 1, r^. Далее, заметим, что ограничения Ах ^ b типа неравенств
можно записать в виде ограничений типа равенств Ах + у = Ь,
добавив сюда неравенство у ^ 0: ясно, что точка х будет решением
неравенства А ж ^ Ъ тогда и только тогда, когда (ж, у) — решение
системы Аж + у = Ь, у ^ 0. Отсюда следует, что, вводя переменную
у=Ьх - Ахххх-АХ2х2, A.21)
ограничение Ахххх + AX2x2^ibx с учетом A.20) можно представить
в равносильном виде
Апхх + Ах2х2 + у = Апхх+ AX2zx + (-AX2)z2 + у = Ъх, у ^ 0.
Ограничение А2Ххх + А22х2 = Ъ2 с учетом A.20) запишем в виде
А2Ххх + A22zx + (-A22)z2 + 0у = Ь2.
Учитывая эти соображения, в пространстве переменных w =
= (xx,zx,z2, у), хх еЕ^, zx GjE, z2eE^i yeE™*, рассмотрим
следующую каноническую задачу:
g(w) = (сх, хх) + (сз, zx) + (-C2, z2) + @, у) -> inf,
w<E W = {w = (xx,zx,z2, у): tO0, 22
An^ + AX2zx + (-А12)^ + I^y = Ь1?
А21 ж! + А22^ + (-A22)z2 + Оу = Ь2},
где I —единичная матрица размера гт^ х тх. Оказывается,
задачи A.17) и A.22) обе одновременно имеют решение или не имеют

§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
13
решения, причем, зная какое-либо решение одной из этих задач,
нетрудно получить решение другой задачи. Точнее, справедлива
следующая теорема.
Теорема 1.1. Задачи A.17) и A.22) равносильны. То есть
1) множества X и W оба пусты или оба непусты
одновременно;
2) еслиХф&, W^0fmo /, = ft, где /„ = inf f(x), & = inf g(w);
xex wew
3) множества решений X+ = {x e X: f(x) = ?}, W+ = {w e W:
g(w) = ft} этих задач оба пусты или оба непусты
одновременно, причем если х, = (xu, x2i) e Х„ то w. = (xu, zu, z^, ft) G W>,
где zu = max{0; x2i}> z^ = max{0; -x2i}t ft = ^ - Anxu - Al2x^,
и обратно, если w+ = (xu, zu, z^^ yj e W„ mo x„ = (xu, x^ = 2U -
Доказательство. Учитывая связи A.20), A.21) между
переменными хр х«, z{, z2, у и определения множеств X, W в
задачах A.17), A.22), заключаем, что если точка х = (хр Xg) G X,
то гу = гу(х) = (хп ^) = max{0; х^}, ^ = тах{0; — Xg}, у = Ъ{ — А^хх —
-Al2x2)e W\ И обратно, если гу = (х1? г15 г2, у)е W, то х = х(ги) =
= (хи х2 = zx — z2) G X. Отсюда ясно, что либо оба множества X
и W пусты, либо оба непусты одновременно. Далее, из определений
функций /(х), #(х), гу(х), x(w) следуют тождества
/(х) = g(w(x)), g(w) = f(x(w)) Vx, w. A.23)
Пусть X ф 0. Тогда либо ? = —сх>, либо ? > —оо. Сначала
рассмотрим случай ? = —оо. Тогда существует такая
последовательность {хк}, хке X, к = 1, 2,..., что {/(хЛ)} —> /+ = —оо. Положим
^ = гу(хЛ), Л = 1, 2,... Из A.23) тогда имеем g(wk) = g(w(xk)) =
= f(xk) ~* "~"°°» откуда с учетом включения гиЛ G W, fc = 1, 2,...,
получим, что & = —оо. Аналогично рассуждая, заключаем, что если
ft = -оо, то /„ = -оо.
Пусть теперь fm > — оо. Тогда из предыдущего рассуждения
следует, что & > -оо. Возьмем произвольное число е >0. По определению
нижней грани найдется такая точка хееХ, что /„^/(хе)</„И-е.
Тогда we = w(xe)G W и из A.23) следует, что ft <#(г<;е) = /(хе) </, + ?,
т- е- ft < Л + е- Аналогично, по определению д, существует
точка ve g W, для которой д, ^ #(ve) < g+ + е Тогда уе = x(ve) G X
*/*^/(&) = /(s(vJ) = 0(ve)<& + e, т. е./, <ft + e. Следовательно,
Л - е < ft < /„ + е. В силу произвольности е > 0 отсюда вытекает,
4To/* = ft>-oo.
Наконец, если xt6X„ то w+ = w(xj G W, ив силу вышедоказан-
ного g(wj = 0(w(xj) = /(xj = Д = ft. Это значит, что w(xi) G И^
при любом хф G Х- Аналогично доказывается, что если ги+ G И^,
то ж+ = x(wj G Х+. Отсюда следует, что либо оба множества Х+
и И^ пусты, либо оба непусты одновременно и справедливы
равенства Х+ = {х = х(гу), weWi}iWi, = {w = w(x), xGXJ. Теорема 1.1
Доказана.

14
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
5. В теории и методах линейного программирования наряду с
канонической задачей еще принято выделять так называемую
основную (или стандартную) задачу линейного программирования:
f(x) = (с, х) -> inf, х е X = {х ^ 0: Ах ^ 6}, A.24)
получающуюся из общей задачи A.17) при т^ = тг, т^ = 0, т1 = т,
7712 = 0, Аи = А, Ьх = Ь, матрицы А12, А21, А22 и вектор Ь2
отсутствуют. Это объясняется тем, что в приложениях большое число
линейных математических моделей изначально естественным
образом записывается в виде задачи A.24). Следует также отметить,
что задача A.24) весьма удобна для геометрических
интерпретаций, делающих наглядными многие понятия и методы линейного
программирования.
Если ввести дополнительные переменные у = (у1,..., ут)
посредством соотношений
у = Ъ-Ах, О 0, A.25)
то задачу A.24) в пространстве Еп+т переменных w = (x, у) можно
записать в канонической форме:
g(w) = (d, w) -¦ inf, wety
^ = {w = (z,y)^0, Cw = Ax + Imy = b}, { ' '
где d = (c, 0) e En+m, С = (A, Jm), Im — единичная матрица
размера m x m. Из теоремы 1.1 следует, что задачи A.24) и A.26)
равносильны и, зная решение х+ е X* задачи A.24), по формуле A.25)
нетрудно получить решение задачи A.26) w+ = (х„, у+ = Ь — AxJ
и обратно, если w+ = (ж^ yj е W^ то ж+ е Х+.
С другой стороны, каноническую задачу A.19) нетрудно записать
в форме основной задачи. В самом деле, если ограничения типа
равенств Ах = Ъ заменить на равносильную систему двух неравенств
Ах^Ъ, Ах^Ь, то задачу A.19) можно записать в виде
/(х) = (с, x)-Mnf,
х е X = {х ^ 0: Ах ^ Ь, (-А)х ^ -Ь} = {х ^ 0: Нх ^ h},
--(-*> 4-0-
Рассуждая так же, как при доказательстве теоремы 1, нетрудно
установить равносильность задач A.19) и A.27).
Как видим, общая задача линейного программирования,
каноническая задача и основная задача тесно связаны между собой и простым
преобразованием от одной формы легко перейти к другой. Поэтому
если мы научимся решать одну из этих задач, то тем самым
будем уметь решать задачу линейного программирования, записанную
в любой другой форме.

§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ. УГЛОВЫЕ ТОЧКИ 15
Упражнение 1.1. Требуется составить наиболее дешевую смесь,
содержащую не менее Ь1 единиц г-го вещества, г = 1, ш, при условии, что для изготовления
смеси имеется п видов продукции, причем в одной единице j-ro продукта
содержится а{- единиц г-го вещества, а цена одной единицы j-ro продукта равна с- рублей
(задача о смесях). Сформулируйте эту задачу в виде основной задачи A.24).
Упражнение 1.2. Задачу f(x) = ж1 + х2 + ж3 - ж4 — х5 -» sup, ж =
= (ж1,ж2,ж3,ж4,ж5)€А' = {ж1^0, ж3^0, ж^ОгжЧж2-^3^, жЧж4 + ж5 = 3,
х1 - ж3 + х5 ^ 1, -1 < ж2 < 1, аг ^ 1} запишите в виде задач A.1W1.4), A.15),
A.16), A.17), A.18), A.19), A.24).
Упражнение 1.3. Общую задачу A.17) запишите в форме основной
задачи A.24), докажите их равносильность.
Упражнение 1.4. Задачу /(ж)= (ср хх) + (с^, а^) + (с3, Ж3) —> inf, ж е X =
= {ж = (ж1,ж2,ж3)€ЕП1 хЕ хЕ: Ж! ^0, O^a^d, Лца^ + А{2^2 + Axzx^ < 6l5
Л21 ^1+ ^22^2 + ^23^3 = 62}' гДе -^ц ~~ матрицы размера ш{ xriy, с^еЕ*3, Ь{еЕт\
7 = 1, 2, 3,i = l, 2; d G^, запишите в виде задач A.1)-( 1.4), A.15), A.16), A.17),
A.18), A.19), A.24).
Упражнение 1.5. Исследуйте задачу /(ж) = (с, ж) —*inf, xgX = I?+ = {ж g
G ?n: ж ^ 0}. Покажите, что если с ^ 0, то Д = /@) = 0; если с' < 0 для некоторого г,
то Д = -оо.
Упражнение 1.6. Докажите, что в пространстве переменных (х{, z, у), где
z = (^2, ^2,..., д^2), 2^ = - min х% при min ж^<0,^2=0 при min ж^^О,
2^ = ж^ + 22, j =\,П2> а у определяется согласно A.21), задача A.17) может быть
записана в равносильной канонической форме.
§ 2. Геометрическая интерпретация. Угловые точки
1. Кратко остановимся на геометрическом смысле задачи
линейного программирования. Рассмотрим основную задачу A.24) при п = 2:
/(ж) = clxl + с2ж2 —> inf,
жеХ = {ж = (ж\ж2)>0:
с^ж1 +ai2x2 ^ Ь*, г = 1,ш}.
B.1)
Введем множества Х0 = {х = (ж1, ж2):
я1 ^ 0, ж2 ^ 0} — неотрицательный
квадрант плоскости (ж1, ж2), Xt = {ж =
= (ж1, ж2): ai{xl + а?2ж2 ^ Ъ{} —
полуплоскость, образуемая прямой anxl+ai2x2 =
— Ь\ г = 1, т. Ясно, что множество X
является пересечением множеств Х0, Хх>..., Хт. Может
случиться, что это пересечение пусто (рис. 1), — тогда задача B.1) теряет
смысл. Если множество X непусто, то оно образовано пересечени-
ем конечного числа полуплоскостей и представляет собой выпук-
Рис. 1

16
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
лое многоугольное множество, границей которого является
ломаная, составленная из отрезков каких-либо координатных осей и
прямых апх1+аBх2 = Ъ\ г = 1, т. Это многоугольное множество может
быть как ограниченным (рис. 2), так и неограниченным (рис. 3).
(с1,**)
С1Х1 +С*х' = (Хг
Рис. 2
Рис. 3
Пусть а — какое-либо значение функции f(x) = (с, х) = с1 ж1 +
+ с2х2. Тогда уравнение
с1х1+с2х2 = а B.2)
задает линию уровня функции /(ж), соответствующую ее
значению а, и на плоскости определяет прямую, перпендикулярную
вектору с = (с\ с2)т^О. При изменении а от — оо до +оо прямая B.2),
смещаясь параллельно самой себе, «зачертит» («заметет») всю
плоскость. При этом вектор с — градиент функции f(x) —
указывает направление, в котором следует смещать прямую B.2), чтобы
увеличивать значение функции f(x) = (с, я). Может случиться, что
при изменении а от —оо до +оо прямая B.2) при некотором
значении а = Д впервые коснется множества X и будет иметь с X хотя
бы одну общую точку х+ (на рис. 2-5 прямая B.2) представлена
с = (с\с*)
Рис. 4
Рис. 5
при а = <*!<?< а2 < а3). Ясно, что (с, х+) = Л = inf (с, х), т. е
хбХ'
х+ — решение задачи B.1). Возможен случай, когда прямая B.2)

§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ. УГЛОВЫЕ ТОЧКИ 17
при первом касании с многоугольным множеством X будет иметь
не одну общую точку с X, а целый отрезок (рис. 4) или полупрямую
(рис. 5) — это может случиться, если граница множества X имеет
сторону, перпендикулярную вектору с.
Если многоугольное множество X
неограничен©, то наряду со случаями, когда при
первом касании прямая B.2) будет иметь с X
одну общую точку х+ (рис. 3) или
сторону (рис. 5), возможна ситуация, когда
прямая B.2) при всех а, —оо < а ^ а0 < +оо,
имеет общую точку с X (рис. 6), — тогда
inf (с, х) = -оо (первого касания прямой B.2)
с X нет), т. е. задача B.1) не имеет решения. Рис* б
Из рассмотренных случаев задачи B.1) видно, что задача
линейного программирования может не иметь ни одного решения
(рис. 1, 6), может иметь лишь одно решение (рис. 2, 3), может
иметь бесконечно много решений (рис. 4, 5). Множество решений
может быть неограниченным (рис. 5).
Аналогично можно показать, что множество X в задаче A.24)
при п = 3 является многогранным множеством, и дать
геометрическую интерпретацию этой задачи. Предлагаем читателю
самостоятельно рассмотреть этот случай, а также исследовать каноническую
задачу A.19) при п = 2 и п = 3.
И при п > 3 мы нередко будем пользоваться геометрическим
языком: Г = {х е Еп: (с, х) = 7} — гиперплоскость с нормальным
вектором с ф О, Т+ = {х е Еп: (с, х) ^ 7} — положительное
полупространство, образованное гиперплоскостью (с, х) = 7, Г_ = {х е Еп:
(с, х) < 7} — отрицательное полупространство, I = {х € Еп: х = х$ +
+ te, t е Ш} — прямая с направляющим вектором е ф О, проходящая
через точку а^, 1+ = {х е Еп: х = а^ + ?е, ? ^ 0} — л#ч
(полупрямая), выходящий из точки Xq в направлении ефО, Е* = {ж е i5n:
ж ^ ОТ — неотрицательный гиперортант; множество X в
задачах A.15)—A.19), A.24) — многогранное множество,
представляющее собой пересечение конечного числа гиперплоскостей и
полупространств. Множество X из Еп называется ограниченным, если
существует такая постоянная R > 0, что |ж| ^ R для всех х е X.
2. На примере рассмотренной выше задачи B.1) нетрудно
усмотреть, что если задача B.1) имеет решение, то среди решений
найдется хотя бы одна угловая точка (вершина) многоугольного
множества X. Ниже мы увидим, что это не случайно: и в более
общей задаче линейного программирования, оказывается, нижняя
грань функции (с, х) на X достигается в угловой точке
множества X.
Определение 2.1. Точка х множества X называется
угловой точкой (вершиной, крайней точкой, экстремальной точкой)
'• П. Васильев. А Ю. Иваниикий

18
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
множества X, если представление х = ахх + A — а)^ при х15 а^ е X
и 0 < а < 1 возможно лишь при xt = Xg. Иначе говоря, х —
угловая точка множества X, если она не является внутренней точкой
никакого отрезка, принадлежащего множеству X.
Например, угловыми точками многоугольника на плоскости или
параллелепипеда в пространстве являются их вершины; все
граничные точки шара будут его угловыми точками; при га > 2
замкнутое полупространство или пересечение двух замкнутых
полупространств не имеют ни одной угловой точки.
В задачах линейного программирования понятие угловой точки
играет фундаментальную роль и лежит в основе многих методов
решения таких задач. В дальнейшем будем подробно исследовать
каноническую задачу A.19). Поэтому начнем с изучения свойств
угловых точек множества
X = {х е Еп: х > 0, Ах = Ь}, B.3)
где А — матрица размера га х га, А ^О, Ь — вектор из Ет. Ниже
будет показано, что множество B.3), если оно непусто, имеет хотя бы
одну угловую точку (см. теорему 5.1). Возникает вопрос, как узнать,
будет ли та или иная точка множества B.3) угловой точкой?
Приведем достаточно простой алгебраический критерий угловой точки
множества B.3). Для этого вначале обозначим j-й столбец
матрицы А через А. и запишем систему уравнений Ах = Ь в следующей
эквивалентной форме:
Аххх + А2х2 +... + Апхп = Ь. B.4)
Теорема 2.1. Пусть множество X определено
условиями B.3), А ф 0, г = rang А — ранг матрицы А. Для того чтобы
точка х = (х1, х2,..., хп) е X была угловой точкой
множества X, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие
номера ju ..., jT, 1 ^ jx ^ п, / = 1, г, что
А^+А^+^. + А^ = Ъ;
«у=0, зФЗг, 1 = 1,г; х*^0, I = 1, г,
причем столбцы А^ А^, ..., Ai линейно независимы.
Подчеркнем, что в B.5) номера j{, j2,..., jr необязательно
расположены в порядке возрастания или убывания.
Доказательство. Необходимость. Пусть х — угловая точка
множества X. Если х = 0, то из условия 0е X следует, что 6=0.
Так как А ^0, то г = rang A ^ 1 и существуют линейно независимые
столбцы А,,..., А,. Отсюда имеем А, -0 + А, 0 + .. . + А, -0 = 0.
Для случая х = 0 соотношения B.5) доказаны.

§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ. УГЛОВЫЕ ТОЧКИ 19
Пусть теперь х ф О, и пусть х\ ..., xJ* — все положительные
координаты точки х. Отсюда и из условия Ах = Ь с учетом
представления B.4) имеем
AJixJl+AJ2xj> + ... + AJkxj» = b; х3=0 при j^A> /=17^.B.6)
Покажем, что столбцы А^ А^ ..., Aifc линейно независимы. Пусть
при некоторых т^,.. •> 7,; имеет место равенство
ТИ*+ТИ4 + --- + 74АА=0. B.7)
Составим вектор 7 = Gi> • • •> 7П)» координаты которого т^ • • •> 7,-
взяты из B.7), остальные 7у = 0- Тогда равенство B.7) можем
записать в виде А 7 = 7i-^i + • • • + 7n^n = 0- Возьмем точки х+ = х + е7,
х_ = х — 67- Ясно, что Ахф = Ах± еА7 = Ах = Ь при любом е.
Кроме того, х| = xJ ± e7y ^ zJ =0 при всех j Ф j\, ..., jk а если j = j),
то из условия х3'1 > 0 следует, что х? = х3'1 ± е7* ^ 0 при достаточно
малом е > 0, I = 1, к. Это значит, что х± ^ 0. Таким образом, х.еХ,
х_еХ.
Очевидно, что х = (х++х_)/2, т. е. х = ах++A — а)х_еХ при а =
= 1/2. По определению угловой точки это возможно лишь при х+ =
= х_ = х, что в свою очередь означает, что j = 0 и, следовательно,
7- = .,. = 7,- =0 Линейная независимость столбцов А.,..., А.
установлена. Отсюда следует, что к ^ г.
Если fc — г, то соотношения B.6) равносильны B.5). Если к < г,
то добавим к столбцам А,,..., А, новые столбцы А, ,..., А.
матрицы А так, чтобы система А^,..., Ау, Ау ,..., Ау
была линейно независимой, а при добавлении любого другого
столбца Aj эта система становилась бы линейно зависимой. Тогда
система Ау,..., Ai образует некоторый базис линейной оболочки
векторов А,,...,' Ап. Но, как известно [35, 64], размерность
линейной оболочки векторов Ам..., Ап равна рангу матрицы А,
так что s = г = rang A. Добавив к первому равенству B.6)
столбцы AJfc ..., Aj, умноженные соответственно на xJfc+1 =0,..., х3г =
= 0, из B.6) получим соотношения B.5). Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть некоторая точка х = (х1,...,хп)
удовлетворяет условиям B.5), где Aj,..., Aj линейно независимы, г =
= rang А. Тогда х € X. Пусть х = ах{ + A — а)^ при
некоторых х1,х2еХ10<а<1. Покажем, что такое представление
возможно только при х{ = Х2 = х. Сразу же заметим, что если х3 = 0,
то из этого представления с учетом неравенств 0 < а < 1, xf ^ 0,
^2 ^ 0 несложно получить 0 ^ ах{ + A — ol)x? = xJ = 0, что
возможно лишь при х3 = х/ = х3 = 0. Таким образом, для
получения равенства х = х{ = х^ остается еще доказать, что х{ = х$ = х3
2*

20
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
и при тех j, для которых xj > 0. По условию B.5) у точки х
положительными могут быть лишь координаты xJl,..M xjr.
Производя при необходимости перенумерацию переменных, можем
считать, что х* > 0,..., xjk > 0, xh+l = 0,..., xjr = 0 (случаи к = О
или & = г здесь не исключаются). Тогда B.4) можно переписать
в виде А^х* + ... + AJkxJk = b. Кроме того, учитывая, что по
доказанному х{ = xf = 0 при всех j ф jlt I — 1, fc, равенства Ах. = Ь
также можно записать в виде Ау х/1 +.. .-\-Aj х/* = Ь, г = 1, 2.
Вспомним, что векторы Ау,..., Aifc линейно независимы. Поэтому
вектор Ъ может линейно выражаться через Aj,..., Aj единственным
способом. Это значит, что xjl = х/' = х? и для Z == 1, к. Тем самым
установлено, что х = Xj = а%. Следовательно, х — угловая точка
множества X. Теорема 2.1 доказана.
При небольших n, га эта теорема может быть использована
для практического определения всех угловых точек множества B.3).
Для этого согласно B.5) нужно рассмотреть всевозможные
подсистемы вида
Ajx х* + Ак х* + ... + Ajr xjr = Ь, B.8)
проверить, будут ли выбранные столбцы Ау,..., Aj линейно
независимыми, решить систему B.8) и отобрать решения с
неотрицательными координатами х\ ..., ху-. Доопределив остальные
координаты xj, j ф j], 1 = 1, г, равными нулю, получим угловую
точку х=(х*, ..., хп) множества B.3). Количество подсистем вида B.8)
равно Спг (С* — число сочетаний из п элементов по г). Отсюда
следует, что число угловых точек множества B.3) конечно и не
превышает
СТ = п*
n r\(n-r)\'
Определение 2.2. Систему векторов (Aj, Ау,..., А3) =
= В, входящих в первое из равенств B.5), называют фазисом
угловой точки х, а соответствующие им переменные х\ ..., х* —
базисными координатами угловой точки х.
Определение 2.3. Пусть а% — угловая точка
множества B.3) с базисом В0 = (А,-,..., А3). Тогда координаты х\ ..., xj*
всякой точки ж = (ж1,..., хп)еЕп называются базисными
переменными, соответствующими угловой точке Xq с базисом J30, а
остальные координаты точки х называются небазисными или свободными
переменными.
Определение 2.4. Если все базисные координаты угловой
точки положительны, то такую точку называют невырожденной.
Если же среди базисных координат угловой точки хотя бы одна равна
нулю, то такая угловая точка называется вырожденной.
Множество B.3) называют невырожденным, если все угловые точки этого

§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ. УГЛОВЫЕ ТОЧКИ 21
множества невырожденные; если хотя бы одна угловая точка
множества X вырожденная, то такое множество называется
вырожденным.
Каноническая задача A.19) называется вырожденной или
невырожденной, если множество X в этой задаче является
соответственно вырожденным или невырожденным.
Из теоремы 2.1 следует, что невырожденная угловая точка
обладает единственным базисом — ее базис составляют столбцы с теми
номерами, которым соответствуют положительные координаты
угловой точки. Если угловая точка вырожденная, то она может
обладать несколькими базисами. В самом деле, если xjl > 0,..., xjk > О,
к < г = rang А, а остальные координаты xj угловой точки х равны
нулю, то, как видно из доказательства теоремы 2.1, в базис такой
точки обязательно войдут столбцы Ау,..., Ау, а остальные
базисные столбцы Ajk+^ ..., Aj, входящие в представление B.5), могут
быть выбраны, вообще говоря, различными способами.
Пример 2.1. Пусть Х = {х = (х\х2, х3)еЕ3: х^О, х1 + х2-
- х3 = 0, хх + х2 + х3 = 2}. Здесь
л.(\ \ -!>»-E),а1.A).л,.A),л,.(-1).
Пользуясь теоремой 2.1, легко убедиться, что точка х^ A,0,1)
является угловой точкой множества X с базисом Ах, А*, точка Xg =
= @,1,1) угловая с базисом А2, А3, точка Хз = A/2, 1/2,1)еХ, но
не является угловой. Множество X невырожденное, так как хр
Х2 — невырожденные угловые точки и других угловых точек это
множество не имеет.
Пример 2.2. Пусть Х = {х = (ж1,ж2, х3, ж4)^0, х{ + х2 +
+ Зх3 + х4 = 3, хх - х2 + х3 + 2х4 = 1}. Здесь
".-(}} А-(-!> *-(?)¦ МО- *-(?>
Нетрудно видеть, что точки х{ = B,1,0,0) и а^ = @, 5/3,0,4/3)
являются невырожденными угловыми точками множества X,
причем базисом точки хх являются векторы А{9 А2, базисом точки а^ —
векторы А«, А4; угловая точка х3 = @,0,1,0) вырожденная, и в
качестве ее оазиса можно взять векторы Ар А3, или А2, А3, или А3,
^4» Других угловых точек множество X не имеет. Это множество
вырожденное.
Если системы {х ^ 0, Ах = Ь}и{х^0, Dx = d} равносильны
(т. е. обе системы имеют одно и то же множество решений), то
множество X, определяемое согласно B.3), совпадает с
множеством Хх = {х^ 0: Dx = d}. Отсюда и из определения 2.1, дающего

22
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
геометрическую характеристику угловой точки, следует, что
множества X и Хх обладают одинаковым запасом угловых точек.
Теорема 2.1 дает алгебраическую характеристику угловой точки, и при
применении этой теоремы для поиска и распознавания угловой
точки множества предпочтительнее пользоваться той формой задания
множества, которая проще и удобнее для проверки условий B.5).
Пример 2.3. Множество X = {х = (я1, ж2, ж3) ^ 0: хх + х2 =
= 1, хх + х2 + х3 = 1, хх + х2 — х3 = 1, хх + х2 + Зх3 = 1}
совпадает с множеством X. = {х = (ж1, ж2, х3) ^ 0, х1 + х2 = 1, х3 =0}.
С помощью теоремы 2.1 из представления Хх легко получить, что
множество X имеет две угловые точки хх = A,0,0), а^ = @,1,0).
Попутно заметим, что обе эти точки вырожденные, но каждая из них
обладает единственным базисом.
Упражнение 2.1. Опираясь на изложенную выше геометрическую
интерпретацию задач линейного программирования, решите задачи минимизации
функций f{(x) на множествах Xj, Xjk при всевозможных i, j, к, если
f{(x) = xx+x2; /2(ж) = -ж1-ж2; /3(ж) = -ж1 + 2ж2; /4(ж) = -ж1 -2ж2;
f5(x) = xx+2x2; /б(ж) = ж1-2ж2; f7(x) = xx; /8(ж) = ж2; х = (хх,х2),
Х,={а^0: ж1-*2^, хх+2х2^4}; Х2 = {ж^0: ж1 - ж2 < 1, ж*+2ж2^4};
Х3 = {ж^0: ж!-ж2^1, ж!+2ж2<4}; Х4 = {х^0: ж1 - ж2 ^ 1, ж!+2ж2^4};
Х5 = {ж ^ 0: 2Ж1 +ж2< 8}; Х6 = {ж ^ 0: 2ж! + ж2 ^ 8};
Х7 = {ж ^ 0: 2ж! + 5ж2 < 37}; Хъ = {ж ^ 0: 2ж* + 5ж2 ^ 37};
Х9 = {ж ^ 0: ж1 < 7/2}; Х10 = {ж ^ 0: ж1 ^ 7/2};
^ = ^.ПХ„ А* = 1,..., Ю.
Упражнение 2.2. Решите задачи
а) /(ж) = 2ж1 + ж2 + ж3 -> inf [sup],
ж G X = {ж € Е3: х ^ 0, ж1 + ж2 + ж3 = 4, ж1 - ж2 + ж3 < 2};
б) /(ж) = -ж2 - ж3 -> inf [sup],
хеХ = {хеЕ3: х^0, ж1 -3ж2 + ж3 = 5, ж2 - ж3 = 2};
в) /(ж) = ж1 + ж2 - ж3 -»• inf [sup],
ж € X = {ж е Е3: х > 0, 1< ж1 + ж2 + ж3 < 2}.
Упражнение 2.3. При каких значениях параметра а задача /(ж) = ж1 +
+ <Kc2->inf[sup], хеХ = {хеЕ2: ж^0, х1-х2^\, ж1+2ж2 ^4} имеет решение?
Не имеет решения? При каких а решение задачи единственно? Нарисуйте график
функции Д = Д(о) = inf/(ж). Графически изобразите множества Х+(а) = {хеХ:
/(ж) = Д(о)} при различных а.
Упражнение 2.4. Найдите все угловые точки и их базисы для множеств
Х{={хеЕ4: ж^0, ж1-2ж2-ж3 = 0, -ж1 +3ж2 + ж4 = 1},
Х2 = {ж € #4: ж ^ 0, ж1 + ж2 + ж3 + ж4 = 1, 2ж! - ж3 + 2ж4 = 1},

§ 3. ОСНОВНАЯ СХЕМА СИМПЛЕКС-МЕТОДА 23
Х3 = {хеЕ5: х^О, х{+х2 + хг + х4 = \, -х1 + 2х2 + х3 + х5 = 1},
Х4 = {хеЕ5: х^О, 2х1+х3 + х5 = 2, -х1+х2 = 3, Зх1-2х3+ х4 = 0},
Х5 = {х€Е5: х^О, 2х*+3х3 + х5 = 3, ж1 + ж2 + 2ж3 = 2, х1+х3 + х4 = 1}.
Укажите, какие из угловых точек являются вырожденными.
Упражнение 2.5. При каких значениях параметров af, 6 множество X =
= {х в Еп: х ^ 0, а{х{ 4- ... + anxn = 6} непусто и имеет угловые точки? Какое
максимальное и минимальное число угловых точек может иметь такое множество?
Упражнение 2.6. Пусть X = {х?Еп: (а?, х) < Ьг, г = 1, m}, m ^ п.
Покажите, что точка х?Х является угловой точкой множества X тогда и только тогда,
когда обращаются в точные равенства не менее чем п из неравенств (о?,х) ^ 6*,
среди которых есть п линейно независимых.
Упражнение 2.7. Найдите угловые точки множеств Х-, Хъ из
упражнения 2.1.
Упражнение 2.8. Найдите угловые точки множеств, получающихся из
введенных в упражнении 2.4 множеств Х- заменой знака равенства некоторых из
уравнений знаками < или ^.
Упражнение 2.9. Выведите теорему 2.1 из утверждения упражнения 2.6.
Указание. Множество B.3) запишите в виде X = {хеЕп: (а{,х) = Ъ%, г = 1,т;
(-е?,х) ^0, г = 1,п}, где е? — г-й столбец единичной матрицы размера п х п.
Упражнение 2.10. Докажите, что всякая угловая точка множества B.3)
является угловой и для множества X = {х ^ 0: Лх^Ь}.
У праж н е н ие 2.11. Докажите, что множество X = {х е Еп: (а., х) < 6*,
г = 1, га} при m < п не имеет угловых точек.
Упражнение 2.12. Пользуясь упражнением 2.6, сформулируйте критерий
угловой точки для множеств X из задач A.17), A.24).
Упражнение 2.13. Найдите все угловые точки множества X = < х е Еп:
х^О, 2 Х%>Т^ *=1,п}, где0<г1<г2...<гп.
« = i J
§ 3. Основная схема симплекс-метода
1. Будем рассматривать каноническую задачу A.19)
f(x) = (с, х) -+ inf, X = {х е Еп: х ^ 0, Ах = Ь}, C.1)
где А — ненулевая матрица размера m х п, се Еп, Ъ е Ет. Ниже
будет показано, что всякое непустое множество X из C.1) имеет
хотя бы одну угловую точку и, кроме того, если inf (с, х) = /„ > —оо,
то эта нижняя грань достигается хотя бы в одной угловой точке
множества X (см. теоремы 5.1-5.3). Отсюда следует, что задачу C.1)
можно попытаться решить следующим образом: сначала найти все
угловые точки множества X, пользуясь, например, теоремой 2.1,
затем вычислить значения функции f(x) = (с, х) в каждой из
угловых точек, число которых, как мы знаем, конечно, и определить
наименьшее из них. Однако такой подход к решению задачи C.1)

24
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
практически не применяется, так как в задачах не очень большой
размерности число угловых точек может быть столь большим, что
простой перебор всех угловых точек множества X может
оказаться невозможным за разумное время даже при использовании самых
лучших современных суперкомпьютеров.
Тем не менее идея перебора угловых точек множества оказалась
весьма плодотворной и послужила основой ряда методов решения
канонической и других задач линейного программирования. Одним
из таких методов является симплекс-метод. Название этого
метода связано с тем, что он впервые разрабатывался
применительно к задачам линейного программирования, в которых
множество X представляло собой симплекс в Еп: X = {х = (ж1,..., хп):
п
я ^ О, 5^ ж* = 1}; затем метод был обобщен на случай более общих
множеств X, но первоначальное название за ним так и сохранилось;
в литературе этот метод часто называют еще методом
последовательного улучшения плана. При реализации симплекс-метода
осуществляется упорядоченный (направленный) перебор угловых точек
множества X, при котором значение целевой функции (с, х)
убывает при переходе от одной угловой точки к другой, что позволит,
перебрав, быть может, лишь относительно небольшое число
угловых точек, выяснить, имеет ли задача C.1) решение, и если имеет,
то найти его. Такова общая идея симплекс-метода.
2. Перейдем к подробному описанию симплекс-метода для
решения канонической задачи C.1). По условию 1 ^ г = rang A ^
^ min{m; n}. Предполагая, что из системы (АхI = Ь\ г = 1, га,
исключены линейно зависимые уравнения, в этом параграфе будем
считать, что г = га и матрица А имеет размеры г х п. Тогда г ^ п.
Если г = п, то система Ах = Ь будет иметь единственное решение Xq
и либо множество X будет пустым (если не соблюдается
ограничение Xq ^ 0), либо X состоит из одной точки (если х^ 0) — в этом
случае задача C.1) становится малосодержательной. Поэтому будем
считать, что г <п. Тогда систему Ах = b можем записать в виде
anxl + ... + alnxn = b1, "J
> C.2)
ar{xl + ... + amzn = Ьг, г = га < п. J
Пусть известна некоторая угловая точка v = (v1, v2,..., vn)
множества X с базисом А}., А3.,..., Aj. Матрицу В = (Aj9 А^ ...
..., Aj), столбцами которой являются базисные векторы, будем
называть базисной матрицей или просто базисом. Через I(v) =
= {jjj • • чЗг} обозначим номера базисных переменных, или,
короче, базисных номеров. Перенумеровав переменные, можем считать,
что/(*;) = {1, 2,..., г}; тогда столбцы А{, А2,..., А матрицы А

§ 3. ОСНОВНАЯ СХЕМА СИМПЛЕКС-МЕТОДА
25
составляют базис точки и, а ж1, х2,..., хт — ее базисные
переменные. Обозначим
х =
х1 Х
хг/
В =
V =
с =
А,.=
МЛ
.vr.
ст,
\aj
*\т
— (Aj, А2,..., Аг).
а
Тогда систему C.2) можно кратко переписать в виде
п
A{xl+...+Arxr+Ar+lxr+l+...+Anxn = Bx+ ]Г Акхл = Ь. C.3)
k = r+l
Так как столбцы Аи ..., Аг линейно независимы, det В фО и,
следовательно, существует обратная матрица Б-1. Кроме того,
вспомним, что согласно теореме 2.1 небазисные координаты угловой
точки г; заведомо равны нулю, так что
v = i q ), где v ^ 0. Отсюда
и из C.3) следует, что базисные координаты v удовлетворяют
системе Bv = b, откуда имеем v = B~lb. Умножая систему C.3) на В~1
слева, получим следующее соотношение между базисными
переменными х и небазисными переменными xr+1,..., хп:
0^v = B~lb = x + Y^ в'1Ак
C.4)
* = г+1
Пусть (В~1АкУ = 7ijb — *-я координата вектор-столбца 7* = -В^*-
Тогда систему уравнений C.4) можно записать в покоординатной
форме:
г?1 = х1
+ 7i,r + i*r+1 + ... + 7,,*z* + ... + 7,,n*n,
vi= x* +7^+1^г + 1 + ... + 7^^ + ... + 7^^п,
C.5)
vr = жг + <y . ,xr + 1
X" + 7nr+1
+ ... + 7 x* + ... + 7,n*n.
Систему B~lAu = B~lbt полученную умножением исходной
системы Аи = Ь на матрицу В~1 слева, называют приведенной системой
угловой точки v с базисной матрицей В. Системы C.4) и C.5),
таким образом, представляют собой различные формы записи
приведенной системы точки v с базисом В = (А{,..., Аг). Подчеркнем,

26
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
что из невырожденности матрицы В следует, что системы C.4),
C.5) равносильны исходной системе C.2) или C.3).
Заметим, что если заранее знать номера базисных переменных, то
для получения из C.2) соотношений C.5) можно воспользоваться
известными методами [14, 35, 64, ПО] (например, методом
исключения Гаусса—Жордана). О том, как же определить хотя бы одну
из угловых точек множества X и ее базисные номера, как записать
систему Ах = Ь в приведенном виде C.5), будет рассказано ниже
в § 5. п
Пользуясь равенством x = v— ^ В~хАкхк, вытекающим из
C.4), значения функции f(x) выразим через небазисные перемен-
ные:
п п
f(x) = (c,x) = (c,x)+ 53 c'V = (c, v- 53 В~1А^) +
i=r+l n ,=r+l
+ ? (с'*) = (с, «) - 53 ({с,В-1А;}-с*)х\
j = r+\ j = r +1
или, короче, »
f(x) = f(v)- ? Д,а'э C.6)
j = г + 1
где учтено, что (с, v) = (с, v) = f(v), и использованы обозначения
г
Д, = (с, в-1А;)-с* = ^2с'ъ-с\ *=Г7Г. C.7)
t = l
Формула C.6), выражающая значения функции /(ж) через
небазисные переменные, называется приведенной формой целевой
функции относительно угловой точки v с базисом В.
Входящие в C.5), C.6) величины jik, viy Ду удобно записать в
виде таблицы 1, которую принято называть симплекс-таблицей
угловой точки v с базисом В = (Ап ..., Аг). В столбце Б этой
таблицы перечислены базисные переменные ж1,..., хТ точки v; в
столбце V помещены значения базисных переменных v = В~ХЪ точки v;
в столбце хк находятся координаты jik = (B~lAk)\ г = 1, г,
вектора 7jk = -B~1Afc, fc = l, n; в столбцах базисных переменных х\ ..., жг
отражены равенства J5AJ=e., j = l,r, вытекающие из
определения обратной матрицы В~х; здесь еу—j-й столбец
единичной матрицы размера г х г. В крайнем левом столбце для
удобства изложения приведены обозначения для строк
симплекс-таблицы: Гм Г2,..., Г' Д. Так, например, в строке Т{ = (v\ О,...
..., О, 1, О,..., О, 7i;r + i» > 7m) записана вся информация,
по которой удобно воспроизвести соответствующее г-е уравнение
системы C.5), и наоборот, зная г-е уравнение этой системы,
легко можно восстановить строку Г.. В строке Д помещены вели-

§ 3. ОСНОВНАЯ СХЕМА СИМПЛЕКС-МЕТОДА
27
чины Aq = f(v) = (с, v), Др..., Дп, связанные с
минимизируемой функцией f(x) = (с, х) формулами C.6), C.7); в этой строке
отражено, что для базисных номеров Ду = (с, е.) — cj = cJ - cJ = 0.
По строке Д = (/(v), 0,..., 0, Дг + 1,..., Дп) симплекс-таблицы
легко воспроизвести формулу C.6), и обратно, имея C.6),
несложно восстановить строку Д. Из формул % = v = B~lb, 7,- = B~lAp
Д0 = (с, B~lb) = f(v)t Ду = (с, В-'Ау)-^", j = l,n, для величин,
заполняющих симплекс-таблицу, следует, что эта таблица
однозначно определяется заданием векторов с, Ь, матрицы А и базисной
матрицы В угловой точки г;.
Табл. 1
"г,
г,-
Г,
Гг
д
Б
Ж1
х'
X'
хт
V
V1
V1
V'
vr
/(»)
"«Л
ll
0
0
0
0
жЧ
~о1
1
0
0
0 |
ж*
0
0
1
0
0
\хг
Го~
0
0
1
1 1
жг+1
7l,r+l
%r+i
7s, г + 1
% г + 1
Аг+1
\Хк Г
7lT
7* -
7sjk •
17rjb 1 •
kj.
.|ж>
•hi
ha
¦hi
¦hri
A±*
ж"
7iJ
7*.
isn
7m
kj
После сделанных преобразований каноническую задачу C.1)
можно сформулировать в следующей так называемой приведенной
форме относительно угловой точки v с базисом В: минимизировать
функцию C.6) при условиях C.5) и соблюдении неравенства х ^ 0.
Эта задача, очевидно, равносильна исходной задаче C.1).
Конечно, от такой переформулировки задача C.1) проще не стала, но
тем не менее оказывается, что в новой ее формулировке с явным
разделением базисных и небазисных переменных легче проследить
за тем, как изменяется функция f(x) при изменении небазисных
переменных, и можно попытаться выбрать эти переменные так, чтобы
в новой точке w е X было выполнено неравенство f(w) < f(v).
Однако если мы начнем изменять все небазисные переменные
сразу, то вряд ли сможем проследить за изменением функции f(x)
и за соблюдением ограничений х ^ 0. Поэтому попробуем изменить
лишь одну из небазисных переменных, скажем, переменную хк, г +
+ 1 ^ к ^ п, остальные небазисные переменные положим равными
нулю, а базисные переменные будем определять из уравнений C.5).
Иначе говоря, новую точку w = (ги1,..., wn) будем искать среди
точек с координатами
., w( =v{ -ъкхк, ..., wr = vr -чгкхк,
™1==vl-7i*s*,
V7, . .
w
Jk-1 __
= 0, wk = xk^0, ™*+1=0,..., гип=0.

28
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
В такой точке w согласно C.6) значение функции f(w) равно
f(w) = f(v)-Akxk, хк>0. C.9)
Наша ближайшая задача — выбрать номер fc, r + l^fc^n, и
величину хк ^ 0 так, чтобы новая точка C.8) удовлетворяла
требованиям Aw = Ь, w > О, f(w) ^ f(v) (будет еще лучше, если удастся
получить f(w) < f(v)). Что касается первого требования Aw = Ь, то
здесь проблем нет: точка C.8) при любом выборе номера к и
величины ж*, очевидно, является решением системы C.5) и
равносильной ей системы C.2). Анализируя знаки величин Ак, *yik, нетрудно
выяснить, можно ли удовлетворить оставшимся двум требованиям
w ^ 0 и f(w) ^ f(v), и указать правило выбора нужного номера к
и нужной величины хк ^ 0. Такой анализ приведет к рассмотрению
следующих трех взаимоисключающих друг друга случаев I—III.
Случай I. справедливы неравенства
Д, = (с, B-U^-c'^O, j = r+l,n, (ЗЛО)
т. е. в нижней строке симплекс-таблицы 1 все Ду, 1 ^ j ^ п,
неположительны. Как видно из C.8), C.9), тогда невозможно добиться
выполнения неравенства f(w) < f(v) ни при каких fc, r + l^fc^n,
и хк > 0, в лучшем случае при хк = 0 получим ги = г;, /(ги) = f(v).
Однако это обстоятельство не должно огорчать нас, так как,
оказывается, при выполнении условий C.10) рассматриваемая точка v
является решением задачи C.1). В самом деле, для любой
точки х е X = {х ^ 0: Ах = Ь} с учетом представления C.4) и
неравенств C.10) имеем
п п
f(x) = {c,x}+ Y, с'х> >(?,«} + 53 <*» В-1А,)х* =
i = г +1 у в г +1
= (с, х+ ? B-lAjX^ = (c,v)=f(v).
Таким образом, /(ж) ^ /(v) при всех ж е X, т. е. v — решение
задачи C.1).
Случай II. Существует такой номер к, г + 1 ^ к ^ п, что
Д*>0, 7*<0Vi=I77, т.е. Б-Ы^т^О. C.11)
Это значит, что в к-м столбце симплекс-таблицы 1 над
величиной Ак > 0 нет ни одного положительного числа 7**- В этом случае
при всех хк ^0 точка w, определяемая формулами C.8), будет иметь
неотрицательные координаты и, следовательно, будет принадлежать
множеству X. Тогда, как видно из C.9), f{w) = f(v) — Д*ж* —> —оо
при хк -++оо. Это значит, что /+= inf /(ж) = -оо, т. е. задача C.1)
не имеет решения.

§ 3. ОСНОВНАЯ СХЕМА СИМПЛЕКС-МЕТОДА
29
Случай III. Существует номер fe, r + l^fc^n, для которого
дл > 0, причем для каждого такого номера к найдется такой
номер г, 1 ^ г ^ г, что 7,* >0, или, иначе говоря, в каждом fc-м столбце
симплекс-таблицы 1 над величиной Ак > О имеется хотя бы одно
положительное число 7tjk- Используя известные кванторы V, Э
всеобщности и существования, рассматриваемый случай кратко запишем
в виде
УД,>0 Э7л>0. C.12)
Для точки -ш, определяемой формулами C.8), согласно C.9) здесь
будем иметь f(w) = f(v) — Акхк^ f(v) при любом хк ^ 0. Остается
лишь позаботиться о выполнении условия w ^ 0. В рассматриваемом
случае множество номеров
Ik(v) = {i: l^i^r, 7*>О}^0.
Если i ? Ik(v), т. е. jik ^ 0, то, как видно из формул C.8), w{ =
= yi"" 7йьж* ^ v* ^0 при любом выборе хк ^ 0. Если же 7»* > 0, то
при слишком больших значениях хк, а именно при хк > min vl/jik1
величина w* = v* — likxk станет отрицательной хотя бы для
одного номера г е Ik(v). Таким образом, чтобы обеспечить выполнение
условия w ^ 0 для точек, определяемых формулами C.8), здесь
нужно взять хк так, чтобы 0^ ик ^ min v*/jik. Пусть
i€lk(v)
.«&,?"?• ««.)• C.13)
Так как множество IAv) непусто и конечно, хотя бы один такой
номер s существует. Величину jsk, где номера fc, s определяются
условиями C.12), C.13), называют разрешающим (ведущим)
элементом симплекс-таблицы 1.
Зафиксируем один из разрешающих элементов %к таблицы 1
и в формулах C.8), C.9) положим хк = vs/*y8k. Получим точку w =
= (w\ ..., wn) с координатами
w'=«e-7*?=0, w'+^V+i-j.^^., ..., «,'=V'-7f4?, C.14)
и=0, ..., wn=0,
и значение функции f(x) в этой точке
/(«;) = (с, ш) = /A0-Д4?. C.15)
По построению точка w с координатами C.14) принадлежит
множеству X. Покажем, что w — угловая точка множества X с базисом
Аи..., Л,_„ Ак,А,+ 1,..., Аг, C.16)
wr+l=0, ..., to'-'sO, «;*=^-,u;*+1=0, ..., гоп=0,
/sfc

30
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
получающимся из базиса точки v заменой столбца А3 на Ак.
Учитывая, что ws = wr + l = .. , = wk~l = wk + l = .. . = гуп=0, условие Aw = b
можно записать в виде Axwx + ... + As_xws~l + As + lw8 + { + ...
...+ Arwr + Akwk = b. Согласно теореме 2.1 остается показать, что
система векторов C.16) линейно независима. Пусть для некоторых
чисел а^..., ая_п ав + 1,..., аг, ак оказалось, что
alA{+... + as_lAs_l + a3 + lA8 + l + ... + arAr + akAk=0. C.17)
Поскольку
г г
Ак = ВВ~*Ак = J2 А<(В-*АкУ = 2 7*^,
г=1 г=1
из C.17) следует, что
Г Г Г
]С "<А< + a* Z) ?<* А< = Х^ + aklik)Ai + в*7л-А. = 0.
• = 1 t = 1 i = 1
t t^ a i ф s
Однако система Ах,..., As,..., Ar является базисом точки г; и,
следовательно, линейно независима. Тогда последнее равенство
возможно лишь при oti + akjik =0, г = 1, г, г ^ s; a* 7** = 0- Но 7Я* > 0»
как разрешающий элемент, поэтому ак = 0. А тогда все остальные
а- равны нулю, г" = 1,г, г ^ s. Таким образом, равенство C.17)
возможно лишь при а! = ... = а3 _ { = as +1 = ... = аг = ак = 0. Это
значит, что система C.16) линейно независима. Тем самым
показано, что точка w, определяемая формулами C.14), является угловой
точкой множества X с базисом C.16), с базисными
переменными х1,..., ж5, ж*, хв + 1,..., жг, причем f(w)^.f(v), так как
в C.15) Д,>0, 7я*>0, V >0.
Замечание 3.1. Для дальнейшего изложения полезно
подчеркнуть, что при доказательстве того, что точка w является
угловой точкой, мы нигде не пользовались тем, что Ак > 0. Это означает,
что независимо от знака Ак формулы C.13), C.14) позволяют
перейти от одной угловой точки v множества X к другой его угловой
точке wy лишь бы были выполнены неравенства lk(v)^0, v* >0.
Если vs = 0, то формулы C.13), C.14) дают ту же угловую точку,
т. е. w = v, но при этом происходит замена базиса Ар А2,..., Ат
на базис C.16).
Далее познакомимся с правилами заполнения симплекс-таблицы
точки w (см. таблицу 2), постараемся понять, как связаны
симплекс-таблицы точек v и w. Как и в таблице 1, в столбце Б
укажем базисные переменные ж1,..., ж8, ж*, жв + 1,..., жг
точки w с базисом C.16), в столбце V — соответствующие
значения гу1,..., ws~{, wk, гу5 + 1,..., wr ее базисных координат,
вычисленные по формулам C.14). В столбцах xj нам нужно поместить

§ 3. ОСНОВНАЯ СХЕМА СИМПЛЕКС-МЕТОДА
31
координаты_7у вектора 7 у = В {Ajt где В {—матрица, обратная
к матрице В = (Ап..., А8_х, Ак, А5 + 1,..., Аг). Следует, однако,
заметить, что обращение матриц и их умножение являются
довольно трудоемкими операциями, поэтому нахождение координат
вектора 7j> исходя из его определения, может потребовать большого
объема вычислений.
г,
г/
Г.-1
г,
г.+,
А
Г1
г/
г.+,
г'г'
[д
Б
ж1
ж''
X*
ж'+1
хг
жг
0
0
0
0
0
1
0
V Is
7io = w' 1 1
7<о = w< (
7,-1,0=^'"' И
7,о = w* (
7,+i,o=«''+1 С
7го = ™т (
А0 = /(«)(
жг + 1 |.
7i,r + i
7<,г+1
7,-i,r + i •
7цг+1
7< + i,r+i •
7г,г+1 |-
Ar+i [
л 1
1
) .
) .
) .
> .
)| .
\ х*-1
• 7i,fc-i
• 7»,*-i
• 7»-i,*-i
• 7,,*-i
• 7, + i,*-i
•| 7r,t-i
•| A,.,
X*
0
1
0
0
0
0
0
X*
0
0
0
1
0
0
0
x* + 1
7i,*+i
7i,fc+i
7»-i,*+i
7^t+i
7«+i,jb+i
7P,t+i
A* + i
x'-1
0
0
1
0
0
0
0
Xs
7i,
lis
7,-1,,
7,+i,,
7„
A.
X3
7y
7»-i, y
_7,y
7,+i,j
7*
A,
Таб
x' + 1
0
0
0
0
1
0
0
л. 2
xn
7i„
7i„
7,-i, n
T sn
7,+i, n
7™
A„
В связи с этим полезно вспомнить, что вектор 7 у совпадает
со столбцом коэффициентов при переменной х3' в приведенной
системе В~{Ь = В~{Ах, соответствующей угловой точке w с
базисом C.16). К счастью, имея приведенную систему C.5) для угловой
точки v, из нее нетрудно получить такую систему и для точки w.
Покажем, как это делается. С этой целью разделим s-e уравнение

32
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
системы C.5) на разрешающий элемент j8k > 0; учитывая, что в
силу C.14) wk = vs/%k, получим
»' - ? - ?¦•+ ё ?*'+¦*+ ё Ъ'- <зл8>
i = г +1 у = к +1
Отсюда выразим переменную хк через остальные переменные:
и подставим ее в другие уравнения системы C.5) (здесь и
ниже в C.20)^C.24) знак J2' означает, что суммирование ведется
по всем j = г + 1, п, исключая номер j = k). Будем иметь
п . п v
у* = Х*+ У^ T^+7-i.f— —Xs- У^' ^ж'| =
^ Z^ 7„* ^7*\7* 1л ^ Ък I
j = г + 1
откуда с учетом C.14) получим
п
«W-7ft ? = *« + (-?)*•+^(^-^J*. C20)
г = 1,..., s- 1, s + 1,..., г.
Система г уравнений C.18), C.20) относительно
неизвестных ж1, ж2,..., хп равносильна системам C.5), C.2) и
представляет собой приведенйую систему для угловой точки w (см.
упражнение 3.7). Отсюда следует, что в строке Г3 таблицы 2 согласно C.18)
мы должны записать величины j8J.t j =0, п, определяемые
формулами
- - *-JiL - -JL
^=%T' j =r- + 1,..., fc-1, fc + 1,..., n; C.21)
7,* = 1." lsj=Q, J = l,..., s-1, s + 1, ..., r.
В других строках Г{, i^st таблицы 2 согласно C.14), C.20) следует
поместить величины 7#> У =0, п, определяемые формулами
7М = ю' = v{ - 7л^.в 7« = 1." 1и = *^;
7* = 7*-7*^, J=r + 1,..., fc-1, fc + 1,..., n; C.22)
iik = 0; 7^ = o, i^j'^n jVs, jv*¦

§ 3. ОСНОВНАЯ СХЕМА СИМПЛЕКС-МЕТОДА
33
Наконец, заполним строку Д таблицы 2. С этой целью подставим
переменную хк из C.19) в C.6); с учетом формулы C.15) получим
следующее выражение значения функции f(x) через небазисные
переменные точки w:
j=r+\ х j = r+l '
C.23)
j = r+\
Из C.23) следует, что в строке Д_ симплекс-таблицы 2 точки w
должны быть записаны величины До,..., Дп, определяемые
формулами
A0 = f(w) = f(v)^Ak^-; As = -Ak±-;
Д,. = Д,.-Д^, j=r + l fc-1, fc + 1,..., n; C.24)
Ду=0, y = l,..., s-1, s + 1,..., г; Д*=0.
Таким образом, симплекс-таблица 2 угловой точки w с
базисом C.16) полностью заполнена. Несложный анализ формул C.21),
C.22), C.24) с учетом конкретных числовых значений jijt j{j, Ajt
Д, в базисных столбцах таблиц 1, 2 показывает, что элементы этих
таблиц связаны следующими простыми соотношениями:
Т«у ~ '77' Ту — Ту ~~ 7.тк'^~") г — *) г> г г s>
Ък _ 'Ък C.25)
Д,. = Д,-Д^, j=0,n.
Если элементы и строки таблицы 1 обозначить 7#(v)» Ду(^)» rt.(v),
Д(г>), элементы и строки таблицы 2 — 7y(w), Ay(w), Гдм), A(w),
то соотношения C.25) можно записать в векторной форме:
г = 1,.., з-1, s + l,..., г; C.26)
A(w) = A(v) - Д.(г;)ЬМ.
Соотношения C.25) и C.26) описывают один шаг известного
метода исключения Гаусса—Жордана [14, 35, 64, ПО],
соответствующий исключению переменной хк из всех-строк симплекс-таблицы 1,
кроме строки Г,, в которой переменная хк остается с
коэффициентом %k(w) = 1.
Таким образом, один шаг симплекс-метода, заключающийся в
переходе от одной угловой точки v множества X к другой угловой
3 *. П. Васильев, А. Ю. Иваницкий

34
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
точке гу, описан. Этот шаг формально можно истолковать как
переход от одной симплекс-таблицы 1 к другой симплекс-таблице 2
по формулам C.25) или C.26), где номера fc, s и разрешающий
элемент jsk = jsk(v) выбираются из условий C.12), C.13).
3. Формулы перехода C.25), C.26) были получены в
предположении, что множество номеров базисных переменных угловой точки v
имеет специальный вид J(v) = {l, 2,..., г}, что соответствует
таблице 1. Конечно, путем перенумерации переменных всегда можно
добиться, чтобы множество I(v) имело указанный вид, но это
связано с дополнительной обработкой числовых массивов и
усложняет программную реализацию симплекс-метода на ЭВМ. К счастью,
можно обойтись без какой-либо перенумерации переменных, так
как, оказывается, формулы перехода C.25), C.26) остаются
справедливыми для угловых точек с любым множеством базисных
номеров. Покажем это.
Пусть номера базисных переменных начальной точки v образуют
множество I(v) = {j\,..., jr}. Заметим, что в процессе применения
симплекс-метода множество I(v) обновляется на каждом шаге и
нельзя ожидать, что номера j{,..., jr из этого множества будут
упорядочены, скажем, в порядке монотонного возрастания или убывания
(так, например, в таблице 2 в отличие от таблицы 1 монотонность
номеров базисных переменных в столбце Б уже нарушена). Однако
это обстоятельство нашим дальнейшим рассуждениям никак не
помешает. Обозначим
и =
uJ
uJ
/с.
В =
V =
/а,
\%\
С =
А
*i*
п.
— (-^у,! • • ч А}),
C.27)
Так
= (е,,
=в~1
7* = 7*И = .
Jik = nfik(v)z=z(B'
г =
как В~1В = В'
B~lAk,
-}АкУ,
= l,r,
'(А,,.
7о = 7оИ = -В-1Ь,
1М^2М = (В-1
к = 1, п.
.., АА) = (В-«А4,
..., ег) = 1г — единичная матрица размера
А3,=е{ для всех г
Bv = A, vj* + .
= l,r.
.. + А}
ЪУ,
.... в-1
А0 =
Г X Г, ТО 7у.=
Кроме того, согласно теореме
vjr — b\ vJ=0, j
4Hv),
2.1
поэтому v = В~1Ь = 7о» vji =(-В_1Ь)* = 7io> г = 1> т\ vj =0» 3 & I(v)-
п
Таким образом, умножая систему Ах— Y^ А{х{ = Ь слева на матри-
* = i

§ 3. ОСНОВНАЯ СХЕМА СИМПЛЕКС-МЕТОДА
35
цу В~\ как и при выводе системы C.4), C.5), получим приведенную
систему угловой точки v в векторной форме
п
0^v = B-{v = lo = x+ Y,(B-{Ak)xk=J2lkXk
kii(v) * = i
или в координатной форме
п
vj< = 7<о = «* + J2 Т*** = ? 1*х"> г' = ^ C-28>
По аналогии с C.6), C.7) для целевой функции получим ее
приведенную форму
f(x) = (c,x) + ]Г с,.х* = (с, v- Y^(B^Aj)xJ)+ Yl C'V =
Jil(v) j$I(v) Jil(v)
= (c,v)- ?[<c, В-1А,)-с*]х*,
которую можно переписать в виде
п
До = /(х)+ J2 А*** = /(*) + Ел*х*' <329>
% ? /(») * = 1
где приняты обозначения
A0 = f(v) = (c,v),
Ak = (c,B->Ak)-c" = {c,lk)-ck = J2c4ik-ck, к=Т^, C-30)
t = l
причем учтено, что для всех k = j(e I(v) выполнены равенства Ду =
= (с, B^Aj) - cji = (с, е.) - с* = с* - cji = О, г = 1, г, т. е. Ак =
= 0 VfceJ(v).
Информацию из C.27)-C.30) об угловой точке с базисом В —
= (Aj,..., А^ ) удобно записать в виде симплекс-таблицы 3:
строка Г. в ней соответствует г-му уравнению C.28), строка Д—
представлению C.29) для целевой функции. Отметим, что в столбце
базисной переменной x3i вектор т,. равен eit т. е. jtj = 0 при всех I фг,
1 ^ / ^ г, 7у. = 1; в нижней строке этого столбца Ду =0.
Симплекс-таблицу 3 можно кратко записать в виде матрицы
*=*<"•*>=(? I',::: ?)-(?)
3*

36
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
размера (г + 1)х(п+1), где столбцы % подматрицы Г =( ... I,
а также элементы строки Д вычисляются по стандартным
формулам:
Ъ = В-*Ак, Ак = (с, В^Ак) - с* = (с, Ъ) - с*,
к =0, п;
C.31)
здесь для единообразия формул принято Ъ = А0; предполагается, что
с0 = 0, остальные обозначения взяты из C.27).
Табл. 3
г,
г,
г,
д
Б
а*
X1-
х3т
V
7ю
7i0
Ъо
7r0
А,
X1
7п
7ii
7.1
7ri
А,
X*
7ь
1»
7„
7„
4
хк
Ък
Ък
Ък
7,*
А,
х*
7-. =1
А,=0
х"
7i„
isn
7m
An
Замечание 3.2. Существует и другая, так называемая
симметричная форма симплекс-таблицы
а-( Ъ 0 7i • • • ъ\
Ь-\\ 1 Д, ... A./
полученная добавлением к S второго столбца ( У 1,
соответствующего вспомогательной переменной х° = (с, х) = /(ж). Информация,
записанная в строках 5, соответствует уравнениям
п п
>-i
i=i
Первое из этих уравнений представляет собой другую форму
записи хорошо знакомой нам приведенной системы C.28) точки v
с базисом В, а второе уравнение приводит к формуле C.29),
записанной теперь в более естественной для симплекс-таблиц
симметричной форме. Можем считать, что переменная х° входит в
выражение для минимизируемой функции с коэффициентом Cq = 0:

§ 3. ОСНОВНАЯ СХЕМА СИМПЛЕКС-МЕТОДА
37
f(x) — 0 • х° + (с, х). Тогда величина Д0 = f(v) представима в
виде Д0 = (с, В~1Ь) - с0 = (с, 70) - с°> что придает формулам C.30)
смысл и при к =0. Если, наконец, ввести столбец Ад = Ь, то
приходим к единообразным симметричным формулам C.31) и
получаем для них более естественное определение, чем это было сделано
выше.
Из правил преобразования симплекс-таблиц следует, что
столбец ( V ) в S будет оставаться неизменным для всех угловых точек
и никогда не будет вводиться в базис и выводиться из него.
Поскольку никакой полезной информации об угловых точках этот столбец
не содержит, его обычно вычеркивают из 5 и пользуются симплекс-
таблицей 5.
Перейдем к описанию одного шага симплекс-метода в общем
случае. По аналогии с (ЗЛО)—C.12) рассмотрим следующие три
взаимоисключающие возможности.
Случай I. Справедливы неравенства
А3. = (с, Д-'А,)-с><0, i=T7^, C.32)
т. е. в нижней строке симплекс-таблицы 3 все величины Дм ..., Дп
неположительны. Тогда с учетом равносильности систем C.2)
и C.28) для любой точки хе X имеем
/(x) = (*,x)+ ? с*х'2(е,*)+ ]? <с, В-1А,)х* =
= (с, х+ Y, В-1А,х') = (?,€) = /(у).
НИ*)
Это значит, что v — решение задачи C.1).
Случай II. Существует такой номер fc, к ^ 0, к ? /(v), что
Д*>0, ъ = В~1Ак^0, C.33)
т. е. в к-и столбце симплекс-таблицы 3 над Ак > 0 нет ни одной
положительной величины jik. Тогда точка х = x(t) = (ж1,..., хп)
с координатами хк = t; x3i = v3i — jikt, г = 1, г; х3' =0, j 4 I(v),
jфк, будет принадлежать множеству X при всех t ^0. Отсюда
и из C.29) следует, что f(x(t)) = f(v)-Akt —>—оо при ? —> +оо.
Это значит, что /„= inf /(я) = -оо и задача C.1) не имеет решения.
Попутно доказано, что при выполнении условия C.33) линейная
однородная система уравнений Ае =0 имеет решение е ^0 со
свойствами е ^0, (с, е)<0. Например, здесь можно взять е = (е1,..., еп),
где eJ« =—7tjfc» г = 1, г, е* = 1, остальные е'=0. Тогда луч ж(?) = а^+
+ *е, ? ^0, выходящий из произвольной точки XqEX, будет
принадлежать X, причем /(z(*)) = /(a%)+t(c, e)=f(x0)- t\(c, e)|-+-oo
при ? -» +оо (см. упражнение 5.13).

38
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
Случай III. Существует такой номер к, к >0, к ? I(v), для
которого Ак > О, причем для каждого такого номера к найдется такой
номер г, 1 ^ г ^ г, что 7** > 0» или, короче,
УД*>0 3Jik = (B-lAky>0. C.34)
Это значит, что в каждом fc-м столбце симплекс-таблицы 3 над
величиной Ак >0 имеется хотя бы одно положительное число 7.*- Тогда
выберем номер s и разрешающий элемент %к > 0 из условий
i€lk(v) lik Jsk
Далее, рассуждая так же, как выше (см. формулы C.14)—C.16) и
пояснения к ним), убеждаемся, что точка w = (wl,..., wn) с
координатами
tf,A=f,A-7 ^1 = 7 _7 Зл, г = 1,..., г; г ф s;
lskj lsk C.36)
принадлежит множеству X и является угловой точкой этого
множества с базисом
(A,.,..., Ah_x, Ah, А^,..., ЛА) = В; C.37)
значение функции f(x) в этой точке равно
/(*) = /(«)-Д4? = А>-Д43?. C.38)
Замечание 3.1 с очевидными изменениями сохраняет силу и в
рассматриваемом общем случае.
Приведенная система точки w выводится так же, как
система C.18), C.20), и имеет вид
. . , 7 v ."™, 7Л C.39)
аналогичное C.23) выражение для функции f(x) выглядит так:
f(x) = f(w)- (-^Л *>•- ?' (Д,-Д»^) *'; C.40)
4 * ' ПК*)

§ 3. ОСНОВНАЯ СХЕМА СИМПЛЕКС-МЕТОДА
39
в C.39), C.40) знак Jj' означает, что суммирование ведется по всем
j?I(v), зфк. Нетрудно видеть, что если /(г;) = {1, 2,..., г},
то формулы C.35)-C.40) переходят в соответствующие
формулы C.13)-C.16), C.18), C.20), C.23). Анализируя коэффициенты
при переменных ж\ ..., хп в выражениях C.39), C.40), получаем
формулы, аналогичные C.21), C.22), C.24), для величин, которые
должны находиться в строках ГДги), г = 1, г; A(w)
симплекс-таблицы точки w, и убеждаемся в том, что переход от симплекс-таблицы
точки v с базисом В = (Ау,..., Aj.) к симплекс-таблице точки w
с базисом C.37) совершается по тем же формулам C.25), C.26),
где номера fc, s определяются из условий C.34), C.35). Если
условиям C.34), C.35) удовлетворяют несколько номеров fc, s, то,
фиксируя эти номера в C.25), C.26) по-разному, мы будем получать
симплекс-таблицы, соответствующие различным угловым точкам w
с различными базисами.
Для однозначного выделения номеров &, s и разрешающего
элемента 7S* условия C.34), C.35) принято дополнять уточняющими
их правилами. Например, часто выбирают разрешающим
элементом ту величину jsk1 у которой номера fc, s являются наименьшими
(или наибольшими) среди всех номеров, удовлетворяющих
условиям C.34), C.35). В качестве номера к можно взять наименьший
из номеров, для которых Ак = max Ay > 0.
Для однозначного выделения номера s из условия C.35) при уже
фиксированном к также можно руководствоваться аналогичными
правилами. Иногда стараются разрешающий элемент 7,* > 0
убрать максимально возможным из всех тех, какие допускаются
симплекс-таблицей, что выглядит разумным с точки зрения
уменьшения погрешностей вычислений, которые могут возникнуть в
формулах C.25), C.26) при делении на *ysk. Если в столбцах небазисных
переменных имеются величины ^^ = 1, то можно попытаться именно
их взять в качестве разрешающего элемента, что несколько
сократит вычисления по формулам C.25), C.26). Возможен случайный
выбор номеров fc, s, удовлетворяющих условиям C.34), C.35).
Существуют и другие правила выбора разрешающего элемента. Ниже
мы рассмотрим еще одно из таких правил, обсудим возникающие
здесь проблемы.
Пока же допустим, что какое-то правило выбора разрешающего
элемента, дополняющее условия C.34), C.35), уже выбрано и
зафиксировано. Тогда, имея какую-либо начальную угловую точку v0
множества X, с помощью симплекс-метода можно,
последовательно переходя от одной угловой точки к другой, построить
последовательность угловых точек v0, v{,..., vp,... Из выражения C.38)
Для значений функции и неравенств Ак > 0, jsk > 0, v3* ^ 0 следует,
что
Лч>)>/Ы>.../Ю>..- C.41)

40
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
Возникают естественные вопросы: будет ли этот процесс, который
мы в дальнейшем будем кратко называть симплекс-процессом,
конечным, получим ли мы с его помощью решение задачи C.1)?
Прежде чем переходить к обсуждению этих интересных вопросов,
рассмотрим конкретные примеры.
Пример 3.1. Будем минимизировать функцию /(ж) = 10ж2 —
- ж3 + 4ж4 + х5 на множестве X = {х = (ж1,..., ж5) ^ 0: ж1 + 2ж3 +
+ ж4 = 2, 2ж* — ж3 + ж5 = 3, —ж1-ьж2-Ь ж3 = 1}. Уравнения, задающие
это множество, можно записать в виде
Как и выше, столбец из коэффициентов при переменной х1
будем обозначать через А{. Нетрудно видеть, что выписанная
система уравнений является приведенной системой для угловой
точки v0 = @,1,0,2, 3) с базисом А2, А4, А5; здесь
ДЧ>) = 0*1 = 4, h = 5, Эъ = 2}, В = В0 = (А4, Аб, А2).
Внесем коэффициенты этой системы в строки Г1э Г«, Г*
симплекс-таблицы 4 точки % Пользуясь формулами C.30), C.31),
вычислим значения величин Д., j = 0,1,..., 5, и внесем их в
строку Д таблицы 4. В этой строке величина Д3 = 18 > 0, а в
столбце ж3 имеются положительные элементы 713 = 2, 733= 1- Это значит,
что в точке v0 реализовались условия C.о4). Определим номер s
из условия C.35): min{710/7i3> 7зо/7зз} = min{2/2, 1/1} = 1. Как
видим, здесь минимум достигается сразу при двух значениях 5 = 1
и s = 3. Для определенности возьмем 5 = 3. Тогда разрешающий
элемент равен j33 = l (к =3, s = 3). В таблице 4 и в
последующих таблицах разрешающий элемент будем обводить кружочком.
Табл. 4
г»
г2
Г3
А
Б
X*
Xs
X2
V
2
3
1
21
хх
1
2
-1
-4
X2
0
0
1
0
X3
2
-1
Ф
18
X4
1
0
0
0
~?1
0
1
0
0
В соответствии с выбранным разрешающим элементом
переменную х3'3 = ж2 и столбец А^ = А2 будем выводить из базиса и
заменим их переменной ж3 и столбцом А3 соответственно. Согласно
формуле C.26) разделим строку l\ на 7зз = 1 и полученные
величины внесем в строку Г3 таблицы 5. Затем будем последовательно

§ 3. ОСНОВНАЯ СХЕМА СИМПЛЕКС-МЕТОДА 41
умножать строку Г3 таблицы 5 на величины 713 = 2, 723="~ 1» ^з= 18,
получившиеся строки вычтем соответственно из строк Гр Г2, А
таблицы 4 и результат вычитания внесем в строки Гр Г2, Д таблицы 5.
Таким образом, придем к симплекс-таблице 5 следующей угловой
точки vx = @,0,1,0,4) с базисом Вх = (А4, А5, А3), с множеством
базисных номеров J(v1) = {j1=4, i. = 5, j3 = 3} и со значением
целевой функции /(^) = 3 < f(v0) = 21.
Табл. 5
г,
Гз
А
Б
X4
X5
X3
У
0
4
1
3
X1
®
1
-1
14
X2
-2
1
1
-18
X3
0
0
1
0
X*
1
0
0
0
X5
0
1
0
0
В строке Д таблицы 5 величина А{ = 14 > 0, а в столбце хх
имеются положительные элементы 7ц =3, 721 = 1» т- е- снова
реализовались условия C.34). По правилу C.35) min{0/3, 4/1} =0
однозначно определяется номер s = 1 и разрешающий элемент 7и =3. Это
значит, что переменную х3х = х4 и столбец Ау = А4 следует вывести
из базиса и заменить их переменной ж1 и столбцом Ах
соответственно. По формулам C.26) построим симплекс-таблицу 6 следующей
угловой точки v2 = @,0,1,0,4) с базисом В2 = (АХ, А5, А3), с
множеством I(v2) = {j\ = 1, j2 = 5, jz = 3} и со значением функции f(v2) =
= 3 = /(г;1). В строке Д этой таблицы среди величин Д1?..., Д5
нет положительных. Это значит, что реализовался случай C.32) и
точка v2 = @,0,1,0,4) является решением рассматриваемой задачи,
Табл. 6
г2
Гз
д
Б
X1
X5
X3
V
0
4
1
3
X1
1
0
0
0
X2
-2/3
5/3
1/3
-26/3
X3
0
0
1
0
X4
1/3
-1/3
1/3
-14/3
~&\
0
1
0
0
Заметим, что точки v{ и v2 совпадают и различаются лишь
базисами. Выясняется, что еще в таблице 5 мы, оказывается, уже
получили решение задачи, но не смогли это распознать и вынуждены
были сделать еще один шаг симплекс-метода.

42
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
Пример 3.2. Рассмотрим следующую задачу: минимизировать
функцию f(x) = xl+x2—x3—xA+x5 при условиях х = (ж1,..., ж5)^0,
х — х3 + х4 + х5 = 1, х2 + ж3 — х4 + х* = 1. Нетрудно видеть, что
v0 = A, 1,0,0,0) — угловая точка с базисом В0 = (Ап А2) и с
множеством I(t;0) = {j*! = 1, j2 = 2} и система уравнений, задающая
множество, уже записана в приведенной форме. Таблица 7
представляет собой симплекс-таблицу точки v0. В строке Д имеется
несколько положительных величин Д3 = Д4 = Д5 = 1. В качестве
разрешающего элемента выберем величину j23 = 1 из столбца я3.
Табл. 7
Б
X1
X2
V
1
1
2
X1
1
0
0
X2
0
1
0
X3
-1
Ф
1
X4
1
-1
1
X5
1
1
1
По формулам C.26) при s = 2, fc = 3 совершим переход к симплекс-
таблице 8 угловой точки v{ = B,0, 1,0,0) с базисом В1 = (А1, А3),
и с множеством I(vx) = {j\ = 1, у2 = 3}. В строке Д таблицы 8
имеется величина Д4 = 2 > 0, но столбец я4 не содержит положительных
элементов. Это значит, что реализовался случай C.33).
Следовательно, ? = —оо и рассматриваемая задача не имеет решения.
Табл. 8
Гб
X1
X3
V
2
1
1
X1
1
0
0
X2
1
1
-1
X3
0
1
0
X4
0
-1
2
X5
2
1
0
Подобно тому, как это сделано в таблицах 7, 8, во многих
последующих симплекс-таблицах мы будем опускать обозначения строк или
столбцов, полагая, что читатель уже привык к обозначениям.
Можно предложить и более компактную запись симплекс-таблицы,
вычеркнув из нее столбцы, соответствующие базисным переменным,
поскольку содержание этих столбцов легко восстановить по
информации из столбца Б. Правда, в этом случае наряду со столбцом Б
нужно обязательно сохранять обозначения столбцов небазисных
переменных, так как выводимый из базиса столбец будет
записываться на место вводимого и поэтому столбцы будут меняться местами.
Следует сказать, что работа с такими симплекс-таблицами
требует известной внимательности во избежание ошибок в вычислениях.
Для контроля числа в строке полезно вычислять двумя способами:
как по формулам C.26), так и по C.30), C.31).

§ 3. ОСНОВНАЯ СХЕМА СИМПЛЕКС-МЕТОДА
43
В рассмотренных примерах симплекс-процесс завершился за
конечное число шагов, причем в примере 3.1 на последнем шаге
оказались выполненными условия C.32) и было найдено решение задачи,
а в примере 3.2 реализовались условия C.33) и выяснилось, что
задача не имеет решения.
Возникает принципиальный для обоснования симплекс-метода
вопрос: для всякой ли канонической задачи симплекс-процесс будет
конечным и завершится реализацией либо условий C.32), либо
C.33), или, возможно, существуют канонические задачи, для
которых симплекс-процесс может неограниченно продолжаться?
Поскольку варианты C.32)-C.34) изменения знаков величин Ак,
7ijb исчерпывают все возможности и взаимоисключают друг друга,
симплекс-процесс может быть бесконечным лишь в том случае,
когда на каждом шаге этого процесса будут реализовываться
условия C.34). Каждая реализация условий C.34) связана с переходом
от одной угловой точки к другой угловой точке, от одной симплекс-
таблицы к другой симплекс-таблице. Это значит, что всякий
бесконечный симплекс-процесс порождает последовательности угловых
точек {vp}, их базисов {Вр} и симплекс-таблиц {5р}, где Sp
является симплекс-таблицей точки vp с базисом Вр, причем, как видно
из C.41), соответствующая последовательность {f(vp)} не
возрастает. Поскольку угловых точек и их базисов в задаче C.1) конечное
число, конечно и множество симплекс-таблиц этой задачи.
Отсюда следует, что симплекс-процесс может быть бесконечным лишь
в том случае, когда хотя бы одна из симплекс-таблиц 5,
соответствующая некоторой угловой точке v с базисом В, будет повторяться
бесконечно много раз. Это значит, что найдется такая
бесконечная подпоследовательность номеров {р{}, р{ < р^ <... < pt <..., что
SPi = S, Wj%=t7, Bp=B, f(vPi) = f(v) при всех 1 = 1, 2,... В
силу C.41) это возможно лишь тогда, когда
f(vp) = const Vp>Pl. C.42)
Таким образом, необходимым условием бесконечности симплекс-
процесса является условие C.42), которое должно выполняться
начиная с некоторого номера рх. Посмотрим, когда это возможно.
Начнем с выяснения того, когда f(w) = f(v) и когда f(w) <f(v), где
угловая точка w получена из угловой точки v в результате одного
шага симплекс-метода. В силу условий C.34), C.35) Ак > О, %к > О
и, кроме того, vjt ^ 0, как базисная переменная угловой точки v.
Отсюда и из формулы C.38) следует, что f(w) = f(v) тогда и
только тогда, когда vj> = 0, т. е. v — вырожденная угловая точка.
Такое явление мы наблюдали в примере 3.1 при переходе от
таблицы 5 к таблице 6. Таким образом, среди канонических задач имеет
смысл выделять задачи вырожденные и невырожденные (см.
определение 2.4).

44
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
Покажем, что в невырожденных задачах C.1) симплекс-процесс
всегда конечен. В самом деле, в таких задачах все базисные
координаты угловой точки v будут положительны. Поэтому, какими бы
ни были номера fc, s, определяемые из условий C.34), C.35),
всегда vj* >0, и согласно C.38) тогда f(w)<f(v). Отсюда следует, что
в невырожденных задачах симплекс-процесс порождает
последовательность угловых точек v0, v{,..., vp,..., для которых
/D>)>/(«i)>...>/K)>... C.43)
Поскольку угловых точек конечное число и из-за строгих
неравенств C.43) они не могут повторяться в симплекс-процессе, этот
процесс закончится на каком-то шаге выполнением либо
условия C.32), либо C.33). Впрочем, конечность симплекс-процесса
здесь вытекает и из несовместимости соотношений C.42), C.43).
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 3.1. Пусть в канонической задаче C.1)
множество X непусто и невырождено, rang А = г — т<п, и пусть v0 —
произвольная угловая точка этого множества. Тогда симплекс-
процесс, начинающийся с точки vQ, при выборе разрешающего
элемента %к из условий C.34), C.35) завершится за конечное
число шагов определением некоторой угловой точки vp
множества X, в которой реализуются либо условия C.32), либо C.33),
причем в случае C.32) vp —решение задачи C.1), f{vp) = f^ > -оо,
а в случае C.33) задача C.1) не имеет решения, /+ = -оо.
Заметим, что, хотя теорема 3.1 справедлива при любом выборе
номеров fc, s из условий C.34), C.35), продолжительность
симплекс-процесса и последняя точка vp могут существенно зависеть
от выбора этих номеров.
Упражнение 3.1. С помощью симплекс-метода решите следующие
канонические задачи:
а) /(ж) = ж1 + ж2 + ж3 + ж4 + ж5 -»inf; х = (ж1, ж2, ж3, ж4, ж5) ^ 0,
ж1 + ж2 + 2ж3 + ж4-2ж5 = 2, 2Ж1 - ж2 + ж3 + 2ж4+ ж5 = 1;
б) /(ж) = ж1 + Зж2 + 2ж3 + ж4 - Зж5 - inf; ж = (ж1, ж2, ж3, ж4, ж5) ^ 0,
ж1 + 2ж2-4ж3~ж5 = 0, -ж2 + ж4 - 2ж5 = 3;
в) /(ж) = ж1 - 2ж2 + ж3 - ж4 -> inf; ж = (ж1, ж2, ж3, ж4) ^ 0,
ж1-2ж3 + ж4=1, ж2 + ж3-2ж4=1;
г) /(ж) = ж1 + ж2 + ж3 + ж4 + ж5 -+ inf; ж = (ж1, ж2, ж3, ж4, ж5, ж6) ^ 0,
ж1 + 2ж2-ж4 + 2ж5=1, ж2 + ж3 + 2ж4-ж5 = 0, -ж2 -2ж4 + ж5 + ж6 = 1.
Упражнение 3.2. Проверьте, что точка vQ является угловой, найдите ее
базис, приведенную систему и, взяв vq в качестве начальной точки, с помощью
симплекс-метода решите следующие задачи:
а) /(ж) = ж1 + 2ж2 + ж4 + ж6 -¦ inf [sup]; ж = (ж1, ж2, ж3, ж4, ж5, ж6) ^ 0,

§ 3. ОСНОВНАЯ СХЕМА СИМПЛЕКС-МЕТОДА
45
хх + 2ж2 - ж3 + 2ж4 - х5 + 2ж6 = 0, ж1 - Ах2 + 2ж3 + 2ж4 - 4ж6 = 1,
2ж* - 2ж2 + х3 + 4ж4 + ж5 - 2ж6 = 3; v0 = A,0,0,0, 1,0);
б) /(*) = хх + х2 + ж3 + 2ж4 + Зж5 + 2ж6 ->inf[sup]; ж = (ж1, ж2, ж3, ж4, ж5, ж6) ^ О,
хх + ж2 + 4ж4 + 2ж6 = 5, ж2 + ж3 + ж4 - ж5 + 2ж6 = О,
хх + ж3 + ж4 - ж5 + 2ж6 = -1; v0 = @, 1,0, 1,2,0);
в) /(ж) = ж1 + 2ж2 + Зж3 + ж4 + ж5 -»inf [sup]; ж = (ж1, ж2, ж3, ж4, ж5) ^ О,
хх + ж2 + 4ж3 - ж4 + ж5 = 1, ж1 - ж2 - 2ж3 + ж4 + ж5 = 1,
- жх + ж2 - 6ж3 + ж4 + ж5 = 1; г>0 = A, 1,0, 1,0).
Упражнение 3.3. Найдите начальную угловую точку v0, ее базис,
приведенную систему и решите следующие задачи:
а) /(ж) = -ж1 + Зж2 + 5ж3 + ж4 -> inf [sup]; ж = (ж1, ж2, ж3, ж4) ^ О,
я-1 + 4ж2 + 4ж3 + ж4 = 5, хх + 7ж2 + 8ж3 + 2ж4 = 9;
б) /(ж) = ж2 - ж3 + ж5 -> inf [sup]; ж = (ж1, ж2, ж3, ж4, ж5) ^ О,
ж1+ж4-ж5=1, ж1+ж2+2ж4 = 3, ж3 + ж4 = 1;
в) /(ж) = 4Ж1 - ж2 - Зж3 - 10ж4 ->inf [sup]; ж = (ж1, ж2, ж3, ж4) ^ О,
хх + ж2 - ж3 + ж4 = 0, 14Ж1 + ж2 + 10ж3 - 10ж4 = 11.
Упражнение 3.4. С помощью приемов, описанных в § 1, запишите
следующие задачи линейного программирования в каноническом виде и решите их с
помощью симплекс-метода:
а) /(ж) = -хх + 4ж2 - 5ж3 -* inf [sup]; ж = (ж1, ж2, ж3) ^ О,
2ж!+ж2 + ж3 = 4 [<4;^4], ж1-ж2-ж3 = 2 [< 2; ^ 2];
б) /(ж) = ж* + ж2 + ж3-» inf [sup]; ж = (ж1,ж2,ж3)^0,
-1 ^ж1 +ж2 + ж3^ 1, -ж1 + ж2 + ж3< 1, ж1 -ж2 + ж3< 1;
в) /(ж) = ж1 + ж2 + ж3 + ж4 -> inf [sup]; ж = (ж1, ж2, ж3, ж4, ж5) ^ О,
хх - ж2 ^ 0, хх + ж2 - ж3 + ж4 - ж5 ^ 1;
г) /(ж) = (с, ж) -> inf [sup], xe X = {ж = (ж1,..., жп): 0<ж* <аг-, г = 1,п}.
Упражнение 3.5. При каких значениях параметра а задача
/(ж) = ж1 + 2ж2 + Зж3 + 4ж4 -> inf [sup];
ж = (ж1, ж2, ж3, ж4) ^ 0, ж1+ж2 + ж3 +аж4< 1 [^ 1; =1]
имеет решение? Не имеет решения? Единственное решение?
Упражнение 3.6. Докажите, что симплекс-таблица 3, записанная в
виде матрицы S = S(v, J5)= I 7° Ъ '" дп )» является единственным
решением матричного уравнения MS = N, а симметричная форма симплекс-таблицы S =
= ( ^ 1 А1 А/ — единственное решение матричного уравнения Af 5 = JV,
-"-(#'J) *-($ Д) MX -?.') fT-(c'' =i)' 'T-

46
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
Указание. Следует заметить, что det М = - det В Ф О, и воспользоваться
формулами C.27), C.30), C.31).
Упражнение 3.7. Пусть v — угловая точка множества X = {х ^0: А х = 6}
с базисом В = (Aj ,..., А^ ), где А — матрица размера тх n,r = rang A = m<n.
Пусть некоторая система уравнений
МОД
равносильна системе Ах — Ь. Докажите, что система C.44) является приведенной
системой для точки v с базисом В. Указание. Сначала покажите, что
системы C.44) и C.28) равносильны, затем подставьте в C.44) следующие
решения системы C.28): xq=v; хр=(хр,...,хр), p$I(v), где xj;=vj*-yipi i = l,r; а?=1;
а^=0, jigJ(v), зфр, и убедитесь, что /г7» = vji, ц{к = 7Л, к <? I(v), г = ]~~г.
Упражнение 3.8. Пусть задача C.1) имеет своим решением угловую точку v
с симплекс-таблицей 3. Можно ли утверждать, что тогда выполнено условие C.32):
А • < 0 для всех j = 1, п (см. таблицы 5, 6)?
Упражнение 3.9. Для того чтобы задача C.1) имела своим решением
угловую точку и, необходимо и достаточно, чтобы для какого-либо базиса В точки v
соответствующая симплекс-таблица удовлетворяла условиям C.32). Докажите это.
Упражнение 3.10. Пусть угловая точка v с базисом В = (А •,..., А •)
является решением задачи C.1), и пусть ее симплекс-таблица (см. таблицу 3)
удовлетворяет условиям C.32). Пусть при некотором к $. I(v) = {j\,..., jr} величина Afe
равна нулю и в столбце хк имеется величина *yik > 0. Пусть разрешающий элемент *у8к
определен по правилам C.35) и получена угловая точка w с координатами C.36) и
с базисом C.37) (см. замечание 3.1). Докажите, что тогда w — решение задачи C.1).
Можно ли таким способом получить все угловые точки множества Хл являющиеся
решением задачи C.1)?
Упражнение 3.11. Пусты; — угловая точка множества Х= {х ^0: Ах = 6},
В = (А^ ,..., Aj ) — ее базис; А — матрица размера г х п, г = rang A < п; пусть
в матрице Г=Gо> 7i>---> 7n) (см- обозначения C.27)) один из столбцов *ук ^ 0,
А; ф I(v) = {jp ..., jr}. Докажите, что тогда множество X неограничено и
найдется такой вектор с = (q,..., cn) G Еп, для которого inf (с, х) = —оо. Указание.
х 6 X
Следует взять с{ =0, г € I(v), ск = — 1, а в качестве остальных с, выбрать
произвольные числа и составить симплекс-таблицу точки v для задачи C.1) с выбранным с.
Можно ли утверждать обратное: если множество X неограничено, то в матрице Г
найдется столбец 7*^0» к ? I(v)?
Упражнение 3.12. Можно ли, зная симплекс-таблицу, однозначно
восстановить угловую точку и ее базис (см. пример 5.JJ)?
§ 4. Антициклин
1. Выше мы выяснили, что бесконечный симплекс-процесс может
иметь место лишь в том случае, когда каноническая задача C.1)
вырождена. Чтобы лучше понять происходящие здесь явления,
внимательнее посмотрим, как действует правило выбора разрешающего
элемента C.35) в невырожденной задаче и что может случиться,
если задача C.1) вырожденная. Предположим, что номер fc,
удовлетворяющий условиям C.34), как-то уже выбран. Оказывается, после

§ 4. АНТИЦИКЛИН
47
любой такой фиксации номера к условие C.35) в невырожденных
задачах однозначно определяет номер s. В самом деле, для
невырожденной угловой точки w = (ги1,..., wn) с базисом C.37)
координаты wji положительны для Уг, г\ф s, 1 ^ г ^ г. Из формул C.36) тогда
следует, что vji -/yik%7L> 0, или ^- > ^-, для всех г е Ik(v), г ф s,
так что минимум в левой части C.35) будет достигаться на
единственном номере s e Ik(v). Отсюда следует, что условие C.35) может
неоднозначно определять номер s лишь в вырожденных задачах.
Кстати говоря, если в C.35) минимум достигается по крайней мере
на двух номерах s, I e Ik(v), аф1, то согласно формулам C.36)
wh = wjl = 0, т. е. угловая точка w непременно будет
вырожденной (так случилось, например, в таблицах 4, 5). Конечно, точка w
может быть вырожденной и в том случае, когда условие C.35)
однозначно определяет номер s e Ik(v), для которого v3* = 0 (как
видим, тогда сама точка v вырожденная); в этом случае, как видно
из C.36), у точки w базисная координата wk =0 (см., например,
таблицы 5, 6). Впрочем, если
selk(v), ti'.=0, D.1)
то минимум в C.35) равен нулю и будет достигаться именно на этом
номере s (и на других номерах I e Ik(v), для которых vjl = 0), и
согласно формулам C.36), C.38) тогда w = v, f(w) = f(v). Это значит,
что при выполнении условий D.1) мы сделаем один шаг симплекс-
метода и останемся в той же точке w = v, лишь заменив один ее
базис В = (Aj,..., Aj) на другой базис C.37) (именно так случилось
в таблицах 5, 6). Здесь возникает естественный вопрос: при
выполнении условий D.1) не может ли привести дальнейшее
применение симплекс-метода к бесконечному перебору базисов угловой
точки v, не может ли здесь реализоваться бесконечный симплекс-
процесс? Оказывается, так вполне может быть. Приведем пример
вырожденной задачи [139], в которой симплекс-процесс приводит
к так называемому зацикливанию, заключающемуся в бесконечном
циклическом переборе базисов одной и той же угловой точки.
Пример 4.1. Рассмотрим задачу минимизации функции
/(х) = хх - х4 - х5 + х6 D.2)
при условиях
х = (х\х2,...,х7)^0, ж1 + ж4 + ж5 + ж6 + ж7 = 1, (. ~v
-2х1 + х2 + х4-3х5 + 4х6 = 0, Зх1 + х3+4х4-2х5 + х6 = 0. К * }
Нетрудно видеть, что точка v0 — @,0,0,0,0,0, 1) является угловой
точкой с базисом (А7, А2, А3) = В0, а система D.3) представляет
собой приведенную систему этой точки. Образуем симплекс-процесс,
взяв в качестве начальной точку v0 с указанным базисом.

48
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
В таблицах 9-15 приведены результаты вычислений для первых
точек v0, vx,..., v7; в кружочках указаны разрешающие элементы
этих таблиц. В таблицах 9, 11, 13 разрешающий элемент
условием C.35) определяется неоднозначно, в таблицах 10, 12, 14
разрешающий элемент находится однозначно. Как видно, таблицы 9
и 15 совпадают, и поэтому если на следующих шагах продолжать
выбор тех же разрешающих элементов в том же порядке, то
придем к бесконечному симплекс-процессу, в котором будет
осуществляться циклический перебор базисов точки v0 в следующем
порядке: (А7, А2, А3) -> (А7, А4, А3) -> (А7, А4, Ах) -¦ (А7, А5, Ах) ->
—> (А7, А5, Ае) —* (А7, А2, А6) —> (-А7, А2, А3) —>...
Табл. 9
г,
г2
Г3
д
Б
X7
X2
X3
V
1
0
0
0
X1
1
-2
-3
-1
X2
0
1
0
0
X3
0
0
1
0
X4
1
Ф
4
1
X5
1
-3
-2
1
X6
1
4
1
-1
X7
1
0
0
0
Табл. 10
г,
г2
Г3
д
Б
X7
X4
X3
V
1
0
0
0
X1
3
-2
®
1
X2
-1
1
-4
-1
X3
0
0
1
0
X4
0
1
0
0
X5
4
-3
10
4
X6
-3
4
-15
-5
X7
1
0
0
о 1
Табл. 11
г,
г2
Гз
д
Б
X7
X4
X1
V
1
0
0
0
X1
0
0
1
0
X2
7/5
-3/5
-4/5
-1/5
X3
-3/5
2/5
1/5
-1/5
X4
0
1
0
0
X5
-2
Ф
2
2
X6
6
-2
-3
-2
X7
1
0
0
0
Табл. 12
г,
г2
г3
д
Б
X7
X5
X1
V
1
0
0
0
X1
0
0
1
0
X2
1/5
-3/5
2/5
1
X3
1/5
2/5
-3/5
-1
X4
2
1
-2
-2
X5
0
1
0
0
X6
2
-2
Ф
2
X7
1
0
0
0

§ 4. АНТИЦИКЛИН
49
Табл. 13
г,
г2
Г3
д
R
X1
X5
X6
V
1
0
0
0
т1
-2
2
1
-2
X2
-3/5
2/5
1/5
ж3
7/5
-4/5
-3/5
1/5
ж4
6
-3
-2
2
ж5
0
1
0
0
ж6
0
0
1
0
ж7
1
о
0
0
Табл. 14
г,
г2
Гз
д
Б
ж7
ж2
ж6
V
1
0
0
0
ж1
4
10
-3
-4
ж2
0
1
0
0
ж3
-1
-4
Ф
1
ж4
-3
-15
4
5
ж5
3
5
-2
-1
ж6
0
0
1
0
ж7
1
о
0
0
Табл. 15
г,
г2
Г3
А
Б
ж7
ж2
ж3
V
1
0
0
0
ж1
1
-2
-3
-1
ж2
0
1
0
0
ж3
0
0
1
0
ж4
1
Ф
4
1
ж5
1
-3
-2
1
ж6
1
4
1
-1
ж7
1
0
0
0
Еще один пример задачи с зацикливанием приведен ниже
в упражнении 4.3; другие такие задачи с различными длинами
циклов даны в [116]. Любопытно отметить, что, оказывается, длина
цикла в задачах линейного программирования, не бывает меньше
шести [139]. Этот пример показывает, что описанный выше симплекс-
метод действительно может привести к бесконечному
симплекс-процессу и с его помощью может быть решена не всякая каноническая
задача C.1). Если функция /(х) = (с, х) принимает одинаковые
значения в нескольких вырожденных угловых точках, то, по-видимому,
возможны более сложные бесконечные симплекс-процессы, в
частности явления зацикливания с участием в цикле базисов различных
таких точек.
Можно ли избежать зацикливания, или, точнее, появления
бесконечных симплекс-процессов? Нельзя ли уточнить
правило C.34), C.35) выбора разрешающего элемента так, чтобы для
любой задачи C.1) симплекс-процесс, начинающийся с произвольной
начальной угловой точки, завершался за конечное число шагов
реализацией одного из условий C.32) или C.33)? Положительный
ответ на эти вопросы имеет важное значение для обоснования
симплекс-метода и означает, что в принципе любую задачу линейного
программирования можно решить симплекс-методом.
4 Ф. П Васильев, А. Ю. Иваницкий

50
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
Определение 4.1. Любое уточняющее C.34), C.35)
правило выбора разрешающего элемента, с помощью которого можно
избежать зацикливания, или, точнее, появления бесконечного
симплекс-процесса, во всякой канонической задаче C.1), назовем ан-
тициклином.
Выше были сформулированы некоторые дополнения к
правилу C.34), C.35) (см. текст после формулы C.40)), позволяющие
однозначно выбирать разрешающий элемент в симплекс-таблице.
К сожалению, не всякое такое дополнение к правилу C.34), C.35)
может служить антициклином. В частности, на практике
правило C.34), C.35) нередко дополняют следующим образом: среди
номеров fc, удовлетворяющих условиям C.34), выбирают тот, для
которого Ак принимает максимальное значение, а если таких
номеров несколько, то берут минимальный из них, а затем, после
такой фиксации номера fc, берут номер s, минимально возможный
из условий C.35). Такое уточнение правил C.34), C.35)
действительно гарантирует однозначность выбора разрешающего
элемента 75*> выглядит вполне естественным и в примере 4.1, как легко
проверить, на самом деле позволяет избежать зацикливания.
Однако пример задачи из упражнения 4.3 (см. ниже) показывает, что
в общем случае в классе канонических задач линейного
программирования такое уточнение правил C.34), C.35) не спасает от
зацикливания и, следовательно, не может служить антициклином. Это
говорит о том, что построение антициклинов — дело тонкое и с
первого взгляда неясно даже, существуют ли они. К счастью, антицик-
лины существуют, и к настоящему времени уже созданы различные
не очень сложные антициклины (см., например, [7, 8, 18, 21, 84, 94,
107, 116]).
Остановимся на одном из них [7]. Для описания этого антицик-
лина нам понадобится понятие лексикографического упорядочения
конечномерного линейного пространства.
Определение 4.2. Говорят, что вектор х = (хх,...,х1)еЖ1
лексикографически положителен [отрицателен], и обозначают
ху0 [х-<0], если ж^Ои первая ненулевая координата вектора х
положительна [отрицательна]. Говорят, что вектор х Е Ш1
лексикографически больше [меньше] вектора у е Ш1, и пишут х у у [х -< у],
если х — у у 0 [х — у -< 0].
Другими словами, запись х у 0 означает, что существует такой
номер р, 1 ^ р ^ Z, что хх =... = хр~х =0, хр > 0, остальные
координаты хр+х,..., хп могут быть любыми. Лексикографическое
неравенство ху у означает существование такого номера р, 1 ^ р ^ Z,
что хх = у1,..., хр~х = ур~х, хр> ур.
Для любых ж, у е R1 выполнено одно и только одно из
соотношений х у у, уух или х = у. Ясно, что отношение >- транзитивно,
т. е. если ху у, у У z, то х у z. Упорядочение векторов в их
лексикографическом убывании (или возрастании) вполне аналогично

§ 4. АНТИЦИКЛИН
51
упорядочению слов в словарях, что и объясняет присутствие слова
«лексикографический» в определении 4.2.
Опираясь на определение 4.2, несложно вывести следующие
важные для дальнейшего изложения свойства отношения у:
1) если х у О, то ах у 0 для всех чисел а > 0;
2) если х У г/, то ах у ау для всех а > 0;
3) если х у 0, у у 0, то х + ау у 0 для всех а ^ 0;
4) если х у 0, то у у у — ах для всех а > 0 и у е R1.
Определение 4.3. Пусть М0 — некоторое множество целых
(номеров), и пусть У = {ж. = (ж/, ж*,..., xf)eRl, г еМ0}. Вектор х8,
$ е М0, называется лексикографическим минимумом множества Y,
если для всех г е М0 либо х{ у х3, либо х{ = х8. Обозначение: х3 =
= lexmin ж..
Лемма 4.1. Пусть М0 — конечное множество номеров,
и пусть в множестве Y = {ж. € Rz, г е М0} все векторы
различны. Тогда лексикографический минимум множества Y
достигается на единственном векторе ж5 e Y. Для определения
номера s нужно последовательно строить множества М0, Мх = {s:
seM0l x] = minx?}, ..., M={s:seM ,, х* = min ж?},...
t€M0 ^ ' *€Mp_i
до тех пор, пока не будет обнаружено множество М 0< v ^ I,
состоящее из единственного номера s, который и будет
искомым.
Доказательство. В простейшем случае, когда
множество М0 состоит из единственного номера s, xs —искомый вектор
по определению. Поэтому пусть М0 содержит более одного
номера. Тогда строим множество М{. Если Мх содержит лишь один
номер s, то х] < х] для всех г G М0, г Ф s, и ясно, что х8 = lex min ж?.
Если М, содержит по крайней мере два номера, то строим
множество М2 = {г е М,: жв2 = min ж?} и т. д. Пусть уже построены мно-
t € Мх
жества М0Э МХЭ ... D Мр1 р < Z, причем множества М0,..., Мр_,
содержат более одного номера. Если Мр состоит из одного номера s,
то xs — искомый вектор. Если Мр содержит более одного номера, то
строим множество Мр+1 и т. д. В крайнем случае, когда
множества М0,..., Мх_ { окажутся состоящими более чем из одного номера,
этот процесс закончится построением множества Мг = {s e Mt_{:
xl8 = min ж/}. Если бы множество М{ содержало два различных
номера 5, q, то у векторов ж5, xq все координаты были бы
одинаковыми, т. е. xs = xq. Однако по условию в множестве Y нет двух
одинаковых векторов. Следовательно, Mt состоит из единственного
номера 5, причем х3 =1ех min ж.. Лемма доказана.
4*

52
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
~ г д
Опираясь на отношение у для векторов, введем отношения у, у
на множестве симплекс-таблиц. Не стремясь к общности
построений, ограничимся следующим определением, достаточным для
дальнейших рассмотрений.
Определение 4.4. Симплекс-таблицу S = S(v, В) угловой
точки v с базисом В назовем лексикографически
положительной и будем обозначать S У О, если все ее строки 1\ = (ji0, ji{,...
• • •> 7ш) ^0» i = 1, г (см. таблицу 3). Скажем, что
симплекс-таблица 5, = 5(^,2?,) лексикографически больше другой симплекс-
д
таблицы 52 = 5A^, В2), и будем обозначать S{ У S2, если
строка Д1 = (Д10,..., Ain) таблицы S{ лексикографически больше
строки Д2 = (Дго,.. .| &2п) таблицы 52.
Для примера укажем, что таблицы 4-8, 13 лексикографически
положительны, таблицы 9-12, 14, 15 не являются таковыми;
симплекс-таблица 12 лексикографически больше симплекс-таблицы 11.
Нетрудно видеть, что если угловая точка v с базисом В = (А^,...
..., Aj) невырожденная, то ее симплекс-таблица S у0, так как то-
гда (см. таблицу 3) ~fiQ = vji > 0 и, следовательно, Г{ У 0 при всех i =
= 1, г. Если точка v вырожденная, то ji0 = 0 хотя бы для одного
номера г, 1 ^ i ^ г, и первый отличный от нуля элемент в строке Г.
может оказаться отрицательным, а тогда Г. -<0 (см., например,
строки Г2, Г3 таблицы 9). Впрочем, такой «недостаток» строки Г{ легко
исправить, если соответствующий базисный столбец x3i симплекс-
таблицы поставить между столбцами V и ж1. Такая
перестановка, равносильная перенумерации переменных, приведет к тому, что
в строке Гг. сразу после величины ji0 = 0 окажется величина 7ц. = 1
и строка Г. станет лексикографически положительной, а на
лексикографической положительности или отрицательности других строк
это не отразится, так как j8j =0 при всех s фг, 1 ^ s ^ г. Отсюда
ясно, что, последовательно переставляя указанным образом базисные
столбцы xh для всех строк Г, -< 0, нетрудно добиться, чтобы
симплекс-таблица стала лексикографически положительной. Так,
например, в таблице 9 для этого достаточно поставить столбцы ж2, х3
между столбцами Уих1. После сказанного теперь не удивительно,
что симплекс-таблица 1 лексикографически положительна. А вот
симплекс-таблица 2 может потерять это свойство, если в строке Г8
окажется wk = 0, jsa < 0.
2. Используя введенные лексикографические понятия, перейдем
к описанию обещанного антициклина. Напомним, что применение
симплекс-метода во всякой невырожденной задаче приводит к
построению последовательности угловых точек v0, v{,..., vp,... со
свойством C.43). Так как ДРо = f(vp), согласно определению 4.4
свойство C.43) будет означать, что соответствующие этим точкам

§ 4. АНТИЦИКЛИН
53
симплекс-таблицы S0, S{,..., Sp,... таковы, что
а д д д
S0yS{y...ySpy... D.4)
При написании цепочки лексикографических неравенств D.4) мы
д д
учли транзитивность отношения у для симплекс-таблиц: если S{ >-
д л Д „ «A^^
у S2, So >- 53, то Sx У S2. Так как симплекс-таблиц конечное число,
а в D.4) повторение таблиц невозможно, мы еще раз
убеждаемся в конечности симплекс-процесса в невырожденных задачах. А в
вырожденных задачах последовательность \f(vp)} обладает, вообще
говоря, лишь свойством C.41), а свойство D.4), как видно из
примера 4.1 (см. таблицы 9-15), может не выполняться. Возникает идея:
нельзя ли дополнить правило C.34), C.35) выбора разрешающего
элемента так, чтобы и в вырожденных задачах получались
последовательности симплекс-таблиц со свойством D.4)? Реализация этой
идеи приведет нас к антициклину.
Пусть v — какая-либо угловая точка множества X с базисом В =
= (Aj,..., Ay) и симплекс-таблицей S = S(v7 В), пусть это будет
таблица 3. Предположим, что таблица S удовлетворяет
условиям C.34) и уже зафиксирован какой-либо номер к ? I(v), к > О
из (о.34). Выберем номер s и разрешающий элемент 75* из условия
jJ? = lex min} ^, s e Ik(v) = {»: U t < г, 7* > 0}. D.5)
С помощью леммы 4.1 убедимся, что условие D.5) однозначно
определяет номер s. Для этого нам надо показать, что
множество Y = {х{ = TJjik, i G Ik(v) = M0} состоит из различных векторов.
Допустим, что два вектора из этого множества оказались
равными- ^ihik = Tp/jpk, р,ке Ik(v), рфк. Тогда Г, = (nfJmpk)Tp1 т. е.
строки Г?, Тр в матрице Г = (т0, 7i»---> 7п) = (#~ь> В~1А{,...
..., В~1Ап) = В~1(Ь, А) пропорциональны. Однако по
предположению множество X непусто, поэтому система C.2) А и = Ь
совместна, и согласно теореме Кронекера—Капелли [35, 64] тогда
rang( Ь, А) = rang А = г. Отсюда и из невырожденности матрицы В ~1
следует, что rang Г = rang А = г. Это значит, что строки Г\,..., Гг
матрицы Г образуют линейно независимую систему векторов и
никакие строки Г,, Тр в этой матрице не могут быть
пропорциональными. Полученное противоречие показывает, что множество Y
состоит из различных векторов. Согласно лемме 4.1 тогда условие D.5)
однозначно определяет номер s€lk(v), причем для его
практического нахождения можно воспользоваться конструкциями, указанными
в этой лемме.
Важно заметить, что лексикографическое правило D.5) выбора
разрешающего элемента не отменяет ранее сформулированное
правило C.34), C.35), а наоборот, включает его в себя, дополняет

54
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
и уточняет его. В самом деле, в соответствии с конструкциями
леммы 4.1 для поиска номера s из условия D.5) мы в первую очередь
образуем множество Мх = {s е М0 = Ik(v): %0/%к = min 7<o/7*}. ко-
гем0
торое в точности совпадает с множеством номеров s, определяемых
условием C.35). Отсюда, кстати, следует, что если множество Мх
состоит из единственного номера (так будет, например, в
невырожденных задачах), то оба правила C.34), C.35) и D.5) определяют
один и тот же номер s и один и тот же разрешающий элемент j8k.
Если же М{ содержит более одного номера, то правило D.5)
устраняет возможную в вырожденных задачах неоднозначность в выборе
разрешающего элемента при использовании правила C.34), C.35).
Итак, выберем номера к, s и разрешающий элемент *ysk = jsk(v)
из условий C.34), D.5) и по правилам C.26) совершим переход
от симплекс-таблицы_5(?;, В) угловой точки v с базисом В к
симплекс-таблице S(w, В) угловой точки w с координатами C.36) и с
базисом C.37). Оказывается, что если исходная симплекс-табли-
г
ца S(v, В) у 0, то имеют место следующие лексикографические
неравенства:
S(w, В) у О, S(v, В) у S(w, В). D.6)
г
В самом деле, если 5(v, В) у 0, то по определению 4.4 в этой
симплекс-таблице Г. = I\(v) у О, г = 1, г. Тогда из C.26), из
неравенства %к >0 и свойства 1) отношения >- следует, что Ts(w) =
= Ts(v)/l8k(v)yO.
Пусть теперь г\ ф s. Тогда рассмотрим случаи 7»* > О И 7»* ^
^ 0. Если 7tk > 0» то г € Ik(v) и согласно правилу D.5) имеем
^i(v)/lik(v)^^s(v)/%k(v)- В СИЛУ свойства 2) отношения >- тогда
ГЛ»)уЬМ/ъЛу))Г3(у), т. е. ГДи;) = Г<(«)-Gл(«)/7л(«))Гв(г;)>-
У 0. Если 7л ^ 0, то а = -Gл(*)/ТлМ) ^ 0 и г,(™) = r«(v) +
+ (~7ljk(v)/75jk(v))rs(^) >- 0 в силу свойства 3) отношения у.
Таким образом, Ti(w)y0 для всех г = 1,г, что означает, что
_ г
симплекс-таблица S(w, В)у0. Наконец, из того, что Ts(w) у 0,
Ак = Дл(г>)>0, из формулы C.26) для строки A(w) и из свойства 4)
отношения у имеем A(v)y A(v) — Ak(v)Ts(w) = A(w). Это значит,
д —
что S(v, В) у S(w,B). Лексикографические неравенства D.6)
доказаны.
Теперь посмотрим, к какому симплекс-процессу приведет
применение правил C.34), D.5). Пусть имеется некоторая угловая точ-
г
ка v0 с базисом В0 и с симплекс-таблицей S0 у 0. Пользуясь
правилами C.34), D.5), C.26), организуем симплекс-процесс,
начинающийся с точки v0, и получим последовательности угловых точек {vp}, их
базисов Вр и симплекс-таблиц {5р}, где {Sp}— симплекс-таблица
точки vp с базисом Вр. Оказывается, что последовательность {Sp}

§ 4. АНТИЦИКЛИН
55
удовлетворяет лексикографическим неравенствам D.4), в чем
легко убедиться с помощью математической индукции, основываясь
на неравенствах D.6) и 50 >- 0. Так как в цепочке неравенств D.4)
повторение симплекс-таблиц невозможно в силу транзитивности
д
отношения у и в задаче C.1) множество симплекс-таблиц
конечно, такой процесс закончится на каком-то шаге реализацией одного
из условий C.32) или C.33). Это значит, что правило выбора
разрешающего элемента по формулам C.34), D.5) является антицик-
лином. Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 4.1. Пусть в канонической задаче C.1)
множество X непусто, rang Л = г = т < п, и пусть vQ —какая-либо
г
угловая точка этого множества с симплекс-таблицей S0 у 0.
Тогда симплекс-процесс, начинающийся с точки vQ, при выборе
разрешающего элемента jsk из условий C.34), D.5) завершится
за конечное число шагов определением некоторой угловой
точки vp множества X, в которой реализуются либо условия C.32),
либо C.33), причем в случае C.32) vp—решение задачи C.1),
/(ур) = /+ > -оо, а в случае C.33) задача C.1) не имеет решения,
/, = -оо.
Следует подчеркнуть, что построенный антициклин C.34), D.5)
г
работает при условии, что начальная симплекс-таблица S0 У 0.
Но это условие нельзя считать серьезным требованием к антицикли-
ну, так как выше мы показали, что, переставив некоторые из
базисных столбцов и соответствующим образом перенумеровав
переменные, любую симплекс-таблицу S0 легко сделать лексикографически
положительной. К тому же такую операцию с перестановкой
столбцов и перенумерацией переменных нужно сделать самое большее
один раз в самом начале симплекс-процесса. Впрочем, операцию
с перестановкой столбцов и перенумерацией переменных можно
явно и не делать, если учесть ее при порядке формирования
множеств Мп М2,..., указанных в лемме 4.1 и используемых при
поиске номера s из условия D.5).
Заметим также, что антициклин C.34), D.5) оставляет
некоторый произвол в организации симплекс-процесса, из-за того что
условие C.34) определяет номер fc, вообще говоря, неоднозначно.
Для устранения указанной неоднозначности к правилу C.34), D.5)
можно сделать дополнение, руководствуясь какими-либо другими
соображениями, например, можно выбирать минимальный номер
или максимальное число fc, удовлетворяющее условиям C.34).
Пример 4.2. Для иллюстрации приведенного антицикли-
на C.34), D.5) рассмотрим задачу D.2), D.3), в которой, как
обнаружилось выше, использование правила (о.34), C.35) выбора
разрешающего элемента может привести к зацикливанию. Сначала
симплекс-таблицу 9 начальной угловой точки v0 = @,0,0,0,0,0,1) еде-

56
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
лаем лексикографически положительной, поставив базисные
столбцы х2, х3 между столбцами V и х1; в результате придем к
таблице 16, в которой сохранена первоначальная нумерация переменных.
Табл. 16
г2
Г3
д
Б
X7
X2
X3
V
1
0
0
0
X2
0
1
0
0
X3
0
0
1
0
X1
1
-2
-3
-1
X*
1
1
®
1
X5
1
-3
-2
1
X6
1
4
1
-1
X7
1
0
о
0
В строке Д таблицы 16 величина Д4 = 1 положительна и весь
столбец х4 заполнен положительными числами: 714 = 1» 724 = 1»
*%4=4. Таким образом, условия C.34) выполнены и I4(v0) = {l, 2,3}.
для применения лексикографического правила D.5) выпишем
строки
II = A,0,0,1,1,1,1,1), Ij = @, 1,0, -2,1, -3,4,0),
Л = (оо ! -2* -! I (А
7з4 Г Ч' 4'1' 2'4'и/-
Последовательно сравнивая по величине первые, вторые и т. д.
координаты этих вектор-строк TJjikt г € Мд =/4(и0), легко находим
указанные в лемме 4.1 множества Мх = {2, 3}, М2 = {3}, искомый
номер s=3, так что здесь lexmin^/^ ^2/Ъ^ Г3/734} = гз/7з4-
Понятно, что те же множества Мр М2 и номер s =3 можно было
получить непосредственно из таблицы 9, просматривая ее
столбцы в таком порядке: V, х2, х3, х1, х4, х5, х6, х7. Таким образом,
с помощью правила D.5) мы однозначно нашли разрешающий
элемент 7з4 = 4. Далее, по формулам C.26) в базис вводим
переменную х4 и выводим из базиса х3. В результате придем к симплекс-
таблице 17 угловой точки vx, совпадающей с v0, но имеющей другой
Табл. 17
г2
Г3
д
Б
X7
X2
X4
V
1
0
0
0
X2
0
1
0
0
X3
-1/4
-1/4
1/4
-1/4
X1
7/4
-5/4
-3/4
-1/4
X4
0
0
1
0
хь
C/2)
-5/2
-1/2
3/2
ж6
3/4
15/4
1/4
-5/4
X7
1
0
0
о
базис (А7, А2, А4). В этой таблице разрешающим элементом может
быть лишь величина 7is = 3/2. Из базиса выведем переменную х7,

§ 4. АНТИЦИКЛИН
57
заменив ее на #5, и по формулам C.26) получим таблицу 18. В
строке Д все величины Дг, 1 < г ^ 7, неположительны, реализовались
условия C.32). Симплекс-процесс на этом заканчивается.
Выясняется, что невырожденная угловая точка v3 = @, 5/3,0,1/3,2/3,0,0)
является решением задачи D.2), D.3), f(vz) = /ф = -1.
Табл. 18
г,
г2
г3
д
Б
X5
X2
X4
V
2/3
5/3
1/3
-1
X2
0
1
0
0
X3
-1/6
-2/3
1/6
0
X1
7/6
5/3
-1/6
-2
X4
0
0
1
0
X5
1
0
0
0
X6
1/2
5
1/2
-2
X7
2/3
5/3
1/3 |
-1 1
Заметим, что, хотя среди задач линейного программирования
вырожденные задачи встречаются довольно часто, тем не менее на
основе всего практического опыта применения симплекс-метода к
таким задачам сложилось убеждение, что вероятность получения
бесконечных симплекс-процессов ничтожно мала. Следует также
сказать, что использование антициклина на каждом шаге симплекс-
метода может привести к заметному увеличению машинного
времени ЭВМ, требующегося для решения задачи. Поэтому на практике
чаще всего пользуются упрощенным правилом выбора номеров к и s
из условий C.34), C.35), при котором в случае необходимости
берутся наименьшие или наибольшие номера, удовлетворяющие этим
условиям. И лишь в том случае, когда обнаруживается, что значение
минимизирующей функции не уменьшается на слишком большом
числе итераций симплекс-метода (см. равенства C.42)) и возникает
подозрение, что симплекс-процесс с упрощенным выбором
разрешающего элемента не может закончиться за конечное число шагов,
подключают антициклин и тотчас отключают его, как только на
какой-либо итерации значение функции уменьшится. Из сказанного
следует, что наличие симплекс-метода, снабженного антициклином,
для практики, видимо, не является слишком актуальным, но в
теоретическом плане это принципиально важно и ставит симплекс-
метод на надежный математический фундамент.
Остается напомнить, что в последних двух параграфах
задача C.1) и симплекс-метод для ее решения рассматривались в
предположении, что m = r = rang А < п и нам известна хотя бы одна
угловая точка множества X и ее приведенная система. В следующем
параграфе будет показано, как избавиться от этих ограничений.
3. Кратко остановимся на применении симплекс-метода для
решения канонической задачи максимизации
f(x) = (с, х) -> sup, х е X = {х е Еп: х ^ 0, Ах = Ь}, D.7)
где А — ненулевая матрица размера га х п, с е Еп, Ь е Ет, г =
= rang А < п. Конечно, эту задачу можно свести к равносильной

58
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
задаче минимизации д(х) = —f(x) —> inf, x e X, и к ней применить
описанный выше симплекс-метод без каких-либо изменений. В то же
время нетрудно несколько видоизменить симплекс-метод и
приспособить его для непосредственного применения к задаче D.7).
Посмотрев на формулы C.6), C.9) и C.29), легко понять, что при решении
задачи максимизации D.7) нас прежде всего будут интересовать
величины Ак < О и мы естественно придем к рассмотрению следующих
трех случаев, аналогичных случаям C.32)-C.34).
Случай I. В нижней строке симплекс-таблицы 3 все
величины ДJ,..., Дп неотрицательны. Тогда исходная угловая точка v
является решением задачи D.7).
Случай И. В нижней строке симплекс-таблицы 3 найдется
величина Ак <0, 1 ^ к ^ п, и находящийся над ней столбец 7*
неположителен. Тогда /* = sup (с, х) = +оо и задача D.7) не имеет решения.
хеХ
Случай III. В нижней строке симплекс-таблицы 3 имеются
величины Дд. < 0, 1 ^ к ^ тг, причем в каждом столбце над
величиной Ак < О найдется хотя бы одно число 7л > О- Тогда зафиксируем
один из таких номеров fe, для которого Ак <0, и выберем
разрешающий элемент %к по правилу C.35), или, точнее, D.5), а затем
по формулам C.36) совершим переход от одной угловой точки v
с базисом В к точке -ш, которая согласно замечанию 3.1 также
будет угловой точкой множества X с базисом В, имеющим вид C.37),
причем f(w) ^ f(v). Один шаг симплекс-метода для задачи D.7)
описан. Как и выше, можем считать, что исходная симплекс-табли-
г
ца S(v, B)y0. Тогда будут справедливы следующие лексикографи-
__ г
ческие неравенства, аналогичные неравенствам D.6): S(w, B)y0,
а —
5(v, В) -< S(w, В). Отсюда следует, что симплекс-процесс для
задачи D.7) будет конечным и закончится реализацией одного из
случаев I или II.
Все приведенные здесь утверждения, касающиеся задачи D.7),
доказываются совершенно так же, как и аналогичные утверждения,
касающиеся задачи C.1). Предлагаем читателю убедиться в этом
самостоятельно.
Упражнение 4.1. Решите следующие задачи с использованием антициклина:
f(x) = 2х2 + 2хг + х4 + Зх6 -> inf [sup], xeX,
Х = {х = (х\ х2,..., х7) > 0: хх - х2 + х5 - х6 = 0,
хх + х2 + 2хъ + х4 - 2х6 = 1, хх + х2 + 2х3 - Зх6 + х7 = 0}.
Рассмотрите симплекс-процессы с начальными угловыми точками V] =B,1,0,0,0,1,0),
v2 = @,0,0, 1,0,0,0), v3 = @,3,0,0,4, 1,0).
Упражнение 4.2. Решите задачи

§ 5. ПОИСК НАЧАЛЬНОЙ УГЛОВОЙ ТОЧКИ
59
f(x) = Зх1 + 2х2 + х3 + х6 -»inf [sup], x?X,
X = {х = (хх, ж2,..., х7) > 0: - х2 + х5 + х6 = 1,
2х! +2х2 + х3 + 2х5 + 3х7 = 0, х1 + х2 +х4 + х5+ 2х7 = 0}
с помощью антициклина, взяв в качестве начальной угловой точки vQ =
= @,0,0,0,0, 1,0) с базисом А6, А3, АА. Покажите, что Д = /* = 1, и объясните,
почему это так.
Упражнение 4.3. С помощью симплекс-метода с антициклином решите
задачу
/(х) = -|х! + 150х2 - ^х3 + 6х4 — inf; х = (х1, х2,..., х7) ^ О,
ix1 - 60х2 - JLa;3 + 9х4 + х5 = О,
ix1-90x2-^x3 + 3x4 +х6 =0,
х3 +х7=1,
взяв в качестве начальной угловую точку v0 = (О,0, 0, 0, 0,0, 1) с базисом В0 =
= (A5,A&iAj). Показать, что если разрешающий элемент jsk выбирать по
правилу C.34), C.j5) так, что А; — наименьший из номеров, для которых Ак = max Ay,
as — наименьший из номеров, удовлетворяющих условию C.35), то придем к
циклическому перебору базисов точки v* по схеме (А5, А6, А7) —> (Л1? Лб, А7) —>
-» (Ах, А2, А7) ->(Л3, А2, А7) -> (А3, Л4, А7) ->(Л5, А4, Л7) -> (А5, Л6, А7) ->...
§ 5. Поиск начальной угловой точки.
Условия разрешимости канонической задачи
1. Будем рассматривать каноническую задачу
/(ж) = (с, х) -+ inf, xeX = {xeEn: х^0, Ах = Ъ}, E.1)
где А — матрица размера т х га, cG i?n, Ь Е Ет, в самом общем
виде, отказавшись от ограничительных требований rang A = га < га,
принятых в предыдущих параграфах. Можем считать, что А ^0, так
как при А=0 либо X = ?? (случай Ь=0; см. упражнение 1.5), либо
X = 0 (Ь у^О), и задача E.1) становится малосодержательной. Нас
будут интересовать вопросы, как узнать, не пусто ли множество X,
и если оно непусто, то имеет ли оно хотя бы одну угловую
точку? Как найти эту угловую точку, ее базис, ее симплекс-таблицу?
Ниже будут даны ответы на все эти вопросы. Здесь замечательно то,
что для ответа на них может быть использован изложенный выше
симплекс-метод с антициклином. Оказывается, по задаче E.1)
легко можно составить новую вспомогательную каноническую задачу,
к которой очень удобно применять симплекс-метод, и в зависимости
от того, чем закончится симплекс-процесс для вспомогательной
задачи, можно будет сказать, пусто или непусто множество X, найти
ее угловую точку и приведенную систему этой точки. Этот метод
поиска начальной угловой точки в литературе часто называют
методом искусственного базиса.

60
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
Можно считать, что в E.1) вектор 6^0, так как если Ь* <д
при некотором г, 1 ^ г ^ т, то соответствующее г'-е
уравнение (АхI = Ь{ системы Ах = Ь можно умножить на (—1).
Наряду с основными переменными х — (ж1,..., хп) введем
вспомогательные (искусственные) переменные и = (и\ ..., ит) и в
пространстве Еп + т переменных у = (и, х) = (и\..., wm, ж1,..., хп) рассмотрим
следующую каноническую задачу линейного программирования:
д(у) = ul + ... + um = (Im, и) ->inf, ye X
? = {у=(ЛеЕ™ + п:у>0, Су = и + Ах = Ъ}, E2>
где 1ТО = A, 1,..., 1) G Sm, С = Aта, А), 1т — единичная матрица
размера т х га. Систему Су = и + Ах = Ъ перепишем в
покоординатной форме:
Ь1 = и1
+ ацЖ1 + ... + a{jxj + ... + alnxn,
+ апх1 + .
+ а^ж' + ..
E.3)
, 4- а а^ -Ь... -Ь а жп.
При гг1 = ... = ит = 0 система E.3) превращается в
систему Ах = Ъ. Множество Y непусто: оно содержит,
например, точку z0
-.(*)
^ 0. Более того, с помощью
теоремы 2.1 легко убедиться, что точка z0 является
угловой точкой множества Y с базисом Im = (еп..., еш).
Система E.3) является приведенной системой этой точки, rangC = m.
Для целевой функции приведенная форма равна д(у) = \Im, & -
— Ax) = g(zQ) — (ATlm, ж), где АТ — транспонированная матрица А.
Табл. 19
г,
"д
Б
и1
и*
ит
V
Ъ1
Ьт
\
их
1
0
0
0
«*
0
1
0
0
ит
0
0
1
0
X1
о,,
0*1
«ml
\
X'
mj
д,-
Xя]
X]
Теперь симплекс-таблица точки % составляется просто (см.
таблицу 19): в столбце Б — базисные координаты и1,..., ит, в столб-

§ 5. ПОИСК НАЧАЛЬНОЙ УГЛОВОЙ ТОЧКИ
61
у — 7о = &» в столбцах и\ ..., ит вспомогательных
переменных 7/==ei'""' ^m ^ em» B столбцах ж1,..., жп основных
переменных 7i = I«^i = ^i> • • м 7n = Im^n = Ап; элементы строки Д
легко вычисляются по формулам C.31): величины Zxlf..., Am
равны нулю, как соответствующие базисным переменным, а
величины До» Aj,."j An равны сумме элементов соответствующих
столбцов V, ж1,..., а?: m
А) = 5Z Ь'' = 9i*o)> Д; = Z4> i= !» п-
t = l t=rl
Заметим, что симплекс-таблица 19 лексикографически
положительна — это получилось потому, что у вектора у = (и, х)
координаты вспомогательных переменных имеют первые номера. Таким
образом, имеются все условия для решения вспомогательной
задачи E.2) симплекс-методом, оснащенным антициклином.
Поскольку Ijty) ^ 0 при всех у е Y, имеем д, = inf д(у) ^ 0 и
случай & = — оо здесь невозможен. Поэтому, взяв в качестве начальной
точку Zq, с помощью симплекс-метода с антициклином за конечное
число шагов найдем угловую точку z+ = (%, vj множества У,
являющуюся решением задачи E.2): #СО = &^0. Имеется две
возможности: или g(zj > 0, или g(zj = 0. Если gfa) = и} + ... + и™ > 0,
то щ^О и оказывается, что множество X в задаче E.1) будет
пустым. В самом деле, если бы существовала хотя бы одна
точка Xq € X, то точка %> = @, а^) принадлежала бы множеству У и,
кроме того, выполнялось бы равенство д(Уо) = 0, что противоречит
неравенствам д(у0)^g(zj = & > 0. Таким образом,при g(zj = & > 0
множество X пусто, и задача E.1) не имеет смысла.
Пусть теперь g(zj = u}+.. .+и™=0. Тогда^=0и^ = @, wj.
Кроме того, по построению z+ = @, v>) — угловая точка множества У.
Покажем, что тогда % — угловая точка множества X. Прежде всего
ясно, что из z+ ^ 0 следует v+ ^ 0, а из Czt = Ъ имеем Av+ = Ь. Это
значит, что v+e X. Далее, рассмотрим представление
v+ = ахх +A - ol)x2, 0<а<1, x^z^eX, E.4)
и покажем, что оно возможно лишь при v, = ж, = а^. Точки у, =
= @? xi), Уг = (О» ^г)» очевидно, принадлежат У. Тогда E.4) можно
переписать в виде z+ = аух + A - а)%, 0 < а < 1. Но г„ —
угловая точка множества Y. Поэтому полученное представление для zt
возможно лишь при z, = у, = у2. Отсюда следует, что v+ = хх = а^.
Учитывая представление E.4), заключаем, что vt — угловая точка
множества X. Тем самым доказана следующая важная теорема.
Теорема 5.1. Если множество X = {хеЕп: х^0, Ах = Ъ}
непусто, то оно имеет хотя бы одну угловую точку.
Таким образом, с помощью изложенного метода искусственного
оазиса, составной частью которого является симплекс-метод с
антициклином, мы получили возможность узнать, пусто множество X
задачи E.1) или непусто, а в случае непустоты X определили одну

62
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
из его угловых точек v+. Найденная точка v^ вполне может быть
использована как начальная угловая точка для организации симплекс-
процесса для исходной канонической задачи E.1). Зная координаты
точки v+, с помощью теоремы 2.1 можно определить номера
базисных переменных и ранг матрицы А. В самом деле,
положительные координаты (v*,..., v*k) точки v+ заведомо являются
базисными (см. доказательство теоремы 2.1). Остается добавить к линейно
независимым столбцам А^,..., А^ матрицы А другие ее столбцы
и получить базис (А^,..., Ai) = В линейной оболочки векторов,
натянутых на столбцы Aj,.. ', Ап матрицы А, Номера з\,..., jr
будут базисными для точки v+ и г = rang А. Далее, с помощью
процесса Гаусса—Жордана можем выразить базисные переменные
через небазисные и, попутно исключая линейно зависимые уравнения
из системы Ах = Ь, придем к приведенной системе угловой точки v^
с базисом В. Остается применить симплекс-метод с антициклином
и получить решение задачи E.1) или узнать, что эта задача не имеет
решения.
2. Таким образом, доказана принципиальная возможность
использования симплекс-метода, оснащенного антициклином, для решения
произвольной канонической задачи. Более того, с помощью
симплекс-метода мы доказали важную для теории и методов линейного
программирования теорему 5.1. Приведем еще две теоремы,
касающиеся канонической задачи, в доказательстве которых симплекс-
метод также играет существенную роль.
Теорема 5.2. Для того чтобы каноническая задача E.1)
была разрешима, т. е. существовала такая точка х+ е X, что
(с, xj = /„ = inf (с, х), необходимо и достаточно, чтобы
г,
'г'"
г.'
т — р
Г
1 т-р +1
г
т — р + г
Б
и1
и1
и'
ит-р
X1
Xi
X"
V
0
0
0
0
«.'
vt
«.'
u1..
1 ..
0 ..
0 ..
0 ..
0 ..
0 ..
0 ..
и*
0
1
0
0
0
0
0
..w.
.. 0 .
.. 0 .
.. 1 .
.. 0 .
.. 0 .
.. 0 .
.. 0 .
. .ит~
. 0
. 0
. 0
. 1
. 0
. 0
. 0
р ит-р+1
7l,m-p+l
1i, m - р + 1
/в, го — р + 1
/го — р, m — р + 1
/го — р+1, го — р+1 '
'го — p + i,ro — р+1 *
/го, т — р + 1
Um
7lm
llm
* ism
im — p, ro
* / ro — p + 1, ro
• im — p + », ro
/ro, ro

§ 5. ПОИСК НАЧАЛЬНОЙ УГЛОВОЙ ТОЧКИ
63
1) множество X было непустым;
2) функция f(x) = (с, х) была ограничена снизу на X.
Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем
достаточность. Из того что Хф<2), по теореме 5.1 следует существование
угловой точки множества X. Принимая эту точку за начальную,
будем решать задачу E.1) с помощью симплекс-метода, снабженного
антициклином. Так как по условию /„ > —оо, случай C.33) здесь
невозможен и симплекс-процесс завершится за конечное число
шагов реализацией случая C.32) и отысканием точки х+, являющейся
решением задачи E.1).
Теорема 5.3. Если задача E.1) разрешима, то среди ее
решении найдется хотя бы одна угловая точка множества X.
Доказательство. По условию теоремы Х^0и существует
такая точка х+еХ, что (с, х+) = Д > -оо. По теореме 5.1 тогда
множество X имеет хотя бы одну угловую точку. Отправляясь от одной
из этих угловых точек, с помощью симплекс-метода с антициклином
за конечное число шагов придем к угловой точке множества X,
являющейся решением задачи E.1). Теорема 5.3 доказана.
3. Намеченный выше путь построения приведенной системы
угловой точки v„, найденной методом искусственного базиса, носит
все же теоретический характер — он весьма трудоемок и на
практике может применяться для решения задачи E.1) разве лишь
при небольших т, га. Опишем другой, более удобный способ
построения приведенной системы угловой точки %, использующий
симплекс-таблицу точки z„ которая получилась в результате
применения симплекс-метода к задаче E.2). Так как га = rang С ^ rang A,
Табл. 20
X1 ... X1 ... Хр Хр+1 ... Хк ... Хп
0 ... 0 ... 0
0 ... 0 ... 0
0 ... 0 ... 0
0 ... 0 ... 0
7i,p+i ••• 1\к ••• 7in
7j, p +1 • • • lik • • • 1hn
Is,p+\ • • • isk • * • Isn
im-p,p+l • • • 7m-p, к * * * 7m- p, n
0 ••• 0 7т-р+1,р+1 •"• 7m-p+l,Jk "•• 7т-р+1,п
' • • * • • • " 7т -p + itp+l ' * ' 7т - р + t, к • " • 7т - р + ъ, п
__ • " • ^ • • • * 7т, р + 1 * ' ' 7mJk * ' * 7тп

64
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
в базис точки ^ могут входить не только столбцы матрицы А, но
и столбцы матрицы Im (так и будет, если m > rang А).
Перенумеровав переменные, можем считать, что базисом точки zM являются
столбцы еи ..., еш_р, Ап..., Ар матрицы С = AТО, А),
соответствующие вспомогательным переменным и1,..., ит~р и основным
переменным ж1,..., хр,— именно эта ситуация отражена в
симплекс-таблице 20. Подчеркнем еще раз, что из z+ = @, vj
следует, что и} =... = и™ = 0, — эти равенства также нашли отражение
в столбце V таблицы 20. Нижняя строка Д таблицы 20 опущена —
это обстоятельство не повлияет на дальнейшее преобразование
данной таблицы.
Согласно правилу составления симплекс-таблиц таблице 20
соответствует система уравнений
+ 7,,РмЯр + 1 + ... + 7,*я* + ... + 7ь*п> E.5)
I l = l,m-p;
+ 7m-p+i,P+i^+1 + ... + 7m-P+^^ + ... + 7m-p+t>^n, E.6)
I *' = 1,P,
представляющая собой приведенную систему угловой точки z+ =
= @, vj с базисной матрицей В = (еи ..., ет_р, А{,..., Ар).
Замечание 5.1. Система E.5), E.6) равносильна системе
вида E.3), Су = и + Ах = Ъ и может быть получена из нее
умножением слева на матрицу В. При и1 =... = ит =0 система E.3)
превращается в систему Ах = Ь, а система E.5), E.6) — в систему
0 = %р+1хр + { + ... + llkxk + ... + Jlnxn, I = l,m-p; E.7)
совпадающую с системой B~lAx = B~lb и, следовательно,
равносильную исходной системе Ах = Ь.
В зависимости от того, присутствует ли в таблице 20 хотя бы
одна строка, соответствующая вспомогательным переменным и1 или
основным переменным х\ рассмотрим все возникающие здесь
возможности.
Случай I. В таблице 20 отсутствуют строки, соответствующие
вспомогательным переменным и\ ..., ит~р (т=р), и,
следовательно, столбцы Ап ..., Ар составляют базис точки z+ = @, %). Тогда

§ 5. ПОИСК НАЧАЛЬНОЙ УГЛОВОЙ ТОЧКИ
65
в системах E.5), E.6) и E.7), E.8) на самом деле подсистемы E.5)
и E.7) отсутствуют и система E.7), E.8) превращается в систему
< = *' + li,p + ixp + l + • ¦ • + 7*** + - - - + 7*п*п> i =I7p, E.9)
которая согласно замечанию 5.1 равносильна системе Ах = Ь. Ранг
системы E.9) равен р, поэтому rang А = г = р = га, угловая
точка г;+ множества X имеет своим базисом матрицу В =(А1,..., Ар),
координаты vj,..., v* являются базисными для точки %, а
система E.9) представляет собой приведенную систему точки г>+ с
базисом В и полностью аналогична системе C.5). Таким образом,
если в таблице отсутствуют строки, соответствующие
вспомогательным переменным, то для получения симплекс-таблицы угловой
точки % достаточно вычеркнуть из таблицы 20 все столбцы гх1,..., ит
и к получившейся таблице добавить нижнюю строку Д из
величин Д0 = /(ч), Д1 = ... = Ар = 0, Ду=Ес'7<у-с>, J=P+l,n.
г = 1
Случай И. В таблице 20 имеются строки, соответствующие как
вспомогательным, так и основным переменным @ < р < га), и
среди коэффициентов 7&> Z = 1, га — р, fe=p + l,n (они выделены
в таблице 20 рамкой), имеются положительные. Пусть, например,
75jb > 0, 1 ^ s ^ га — р, р + 1 ^ к ^ п. Это значит, что
множество индексов /д.(О = {г: 1 ^ г ^ га, 7** > 0} непусто. Поскольку
для элементов столбца V = {7?0> i = 1, га} выполнены равенства
7ш = ч!=0, / = 1,га-р, -Ym-p + i,0 = vl ^ 0, г = 1, р, получаем
min 3ffi = ^=0.
»€/k(*,) /ijfc 7sJk
Это значит, что любой коэффициент j8k > 0, 1 ^ s ^ га — р, р + 1 ^
^ к ^ п, можно взять в качестве разрешающего элемента
таблицы 20 и с его помощью вывести вспомогательную переменную и8
из базиса и вместо нее ввести в базис основную переменную хк
(см. замечание 3.1). Из формул преобразования C.26) симплекс-
таблиц нетрудно увидеть, что, поскольку и* = 0, в результате
такого преобразования мы получим симплекс-таблицу той же
угловой точки z„ но ее базис В = (е{,..., его_р, А{,..., Ар)
заменяется новым базисом Вх = (еп ..., е8_ 1? Ак, е, + 1,..., ет_р, Ах,..., Ар).
Если и в новой симплекс-таблице, соответствующей точке z+ с
базисом Ви на пересечении столбцов хр+{,..., ж*, ж* + 1,..., жп со
строками, отвечающими вспомогательным переменным, еще
останутся положительные элементы, то, взяв любой из них за
разрешающий элемент, можно вывести из базиса еще одну вспомогательную
переменную и т. д. Может оказаться, что после нескольких таких
операций нам удастся вывести из базиса точки z+ все
вспомогательные переменные еп ..., ет_р. Это будет означать, что в результате
I- Васильев, А. Ю. Иваницкий

66
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
мы пришли к симплекс-таблице, соответствующей уже
рассмотренному случаю I, когда rang А = га = р. Может, однако, получиться
и так (при rang A < m так это и будет), что в очередной симплекс-
таблице на пересечении столбцов основных переменных, не
являющихся базисными для точки z„ со строками, соответствующими
вспомогательным базисным переменным, не найдется ни одного
положительного элемента, и тогда описанный процесс вывода
вспомогательных переменных из базиса оборвется. Это будет означать,
что реализовался случай, к рассмотрению которого мы сейчас
переходим.
Случай III. В таблице 20 имеются строки, соответствующие как
вспомогательным, так и основным переменным @<р< ш), но jlk ^0
при всех J = 1, m — р, fc = р + 1, п. Это означает, что в
подсистеме E.7) все коэффициенты 7/* ^ 0. Возможно, что при некотором I
коэффициенты 7/* =0 при всех к =р + 1, п. Ясно, что такое
уравнение будет тривиально удовлетворяться при всех х е Еп и его можно
вычеркнуть без ущерба для системы E.7), E.8). Поэтому можем
считать, что в каждом из уравнений подсистемы E.7) имеется
хотя бы один отрицательный коэффициент. Пусть в 1-м уравнении
подсистемы E.7) jt. < 0,..., 7м: < 0, а остальные коэффициенты
равны нулю. Тогда это уравнение можно записать в виде
7ttix*. + ... + 7ttf**'=0. E.10)
Поскольку я* ^0, 7дь. < 0, У = 1, д, равенство E.10) возможно
только при ж*1 = ... = xkq = 0. Таким образом, в рамках случая III как
только будет выполнено неравенство 7** <0 ПРИ некоторых fc, Z,
1 ^ I ^ га—р, р+1 ^ к < п, мы получим хк =0. Такую координату хк
будем называть отмеченной. Множество номеров отмеченных
координат обозначим через /0. Подставив отмеченные координаты zJ =0,
j G /0, в E.7), замечаем, что все уравнения подсистемы E.7)
превращаются в тривиальные тождества при всех значениях
неотмеченных переменных. Поэтому все уравнения E.7) можно вычеркнуть
без ущерба для дальнейших рассмотрений, предварительно
запомнив номера отмеченных координат. Таким образом, в случае
система E.7), E.8) превращается в систему
п
^ = ж'+ ^2 1т-Р+и**> *=ТГр; я''=0, jeJ0. E.11)
j=p+u Hi*
Следует оговорить, что система E.11) в отличие от E.7), E.8)
при 10ф<2> не будет равносильна исходной системе Ах = Ь, так как
при переходе от E.7), E.8) к E.11) в рамках случая III мы
воспользовались требованием неотрицательности переменных. Тем не
менее, в случае III мы можем говорить об эквивалентности следующих

§ 5. ПОИСК НАЧАЛЬНОЙ УГЛОВОЙ ТОЧКИ
67
систем: {х^О, Ах = Ь}&{х^0, уравнения E.7), E.8)}<ф{х^0,
уравнения E.11)}. Это значит, что множество X задачи E.1) в
рассматриваемом случае может быть задано неравенством х^Ои
уравнениями E.11) и у всех допустимых точек задачи E.1) отмеченные
координаты равны нулю. Поэтому если мы отмеченные координаты
выделим из задачи E.1), запомнив их отдельно, то в
пространстве переменных хх = {х\ г е {1, 2,..., п} \ J0} задачу E.1) можем
заменить следующей канонической задачей:
* = 1> **'o n E.12)
Xl^{xl^0:v: = xi+ ? %>-* + ****> » = l,p}.
k=p + U kil0
Остается заметить, что задача E.12) уже подготовлена к
применению симплекс-метода: начальная угловая точка vu = {v/, j e
е {1,..., п} \ /0} и ее базис 1р известны, система vl = х1 +
п
+ Yl lm-P+ikxki г = 1>Р, является приведенной системой
угловой точки vu. Симплекс-таблица точки vu может быть
получена из таблицы 20 вычеркиванием всех строк 1^,..., Гт_р,
столбцов вспомогательных переменных гх1,..., ит и отмеченных
переменных xj, j el0, нужно лишь еще вычислить элементы строки Д
по известным формулам. Применяя симплекс-метод с антицикли-
ном, можем найти решение хи задачи E.12). Для получения
решения х+ исходной задачи E.1) к координатам хи нужно добавить
нулевые значения отмеченных координат. Если же выяснится, что
задача E.12) не имеет решения, то задача E.1) также не будет
иметь решения. Случай III рассмотрен.
Случай IV. В таблице 20 отсутствуют строки, соответствующие
основным переменным (р = 0). Это значит, что столбец Б
состоит лишь из вспомогательных переменных и = (и1,..., ит), а
столбец V — из значений базисных координат и}—... = и™ = 0 угловой
точки z^= ( w*~~ ) с базисом В =1т. Базисные координаты на-
*-(*)
чальной точки z0 = ( ? ) задачи E.2) и точки z+ связаны
равенством и+ = В~{Ь = 6 (см. формулы C.31) при к =0). Отсюда следует,
что случай IV может реализоваться лишь при 6=0. Тогда
начальная угловая точка z0 = ( !f J сама является решением
вспомогательной задачи E.2), так как g(z0) = 0 = g+, а симплекс-таблица 20
в случае IV будет совпадает с таблицей 19, где 6=0. Это значит,
что система Ах = 6 является однородной: Ах = 0. Так как по
предположению А т^О, у матрицы А имеется ненулевой элемент a{j.
5*

68
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
Можем считать, что a{j >0, поскольку в противном случае г-е
уравнение (Ах)* = 0 системы Ах = 0 можно умножить на (—1). Таким
образом, в таблице 19 найдется хотя бы один элемент a{j > 0. Так как
Ь{ = 0, a(j можем взять в качестве разрешающего элемента
таблицы 19 и переменную и{ вывести из базиса, а переменную xj ввести
в базис. В результате среди базисных переменных появится
основная переменная и мы окажемся в условиях, исследованных выше
в случаях I—III.
Все возможные случаи рассмотрены. Как видим, опираясь на
симплекс-таблицу, которая получается на завершающем этапе
симплекс-процесса для вспомогательной задачи E.2), можно
значительно облегчить подготовку исходной задачи E.1) к применению
симплекс-метода. При анализе случаев I—IV мы предполагали, что
в таблице 20 базис угловой точки ^ = @, t;J имеет вид (e^...
..., em_p, Av ..., Ар). Нетрудно видеть, что все рассуждения
сохраняют силу и в общем случае, когда точка z% имеет какой-либо другой
базис (е^,..., е. , А^ ..., Aj), и на практике нет необходимости
перенумеровывать переменные и сводить симплекс-таблицу точки z+
обязательно к таблице вида 20.
Кратко обсудим некоторые особенности применения
симплекс-метода к задаче E.2). Для того чтобы побыстрее исключить из
базиса вспомогательные переменные, на каждом шаге
симплекс-метода обычно стараются брать разрешающий элемент на пересечениях
строк вспомогательных переменных и столбцов небазисных
основных переменных. Если есть уверенность в том, что множество X
в задаче E.1) непусто, то после того как вспомогательная
переменная и1 выведена из базиса, столбец и1 можно сразу вычеркнуть
из симплекс-таблицы, поскольку в дальнейшем все равно будет
принято и'=0и ясно, что столбец и{ не окажет никакого влияния
на окончательную симплекс-таблицу угловой точки v^ задачи E.1).
Если в симплекс-процессе задачи E.2) на каком-то шаге
обнаружилась угловая точка z„ для которой \ = g(zj) = 0, то, очевидно,
g(zj = д, = 0, т. е. *„ = @, wj — решение задачи E.2). В этом
случае симплекс-процесс для задачи E.2) следует закончить, не
добиваясь неположительности всех элементов строки Д
симплекс-таблицы, и затем перейти к рассмотрению случаев I—IV.
4. Для иллюстрации вышеизложенного рассмотрим несколько
примеров.
Пример 5.1. Рассмотрим задачу
f(x) = хх - х4 - х5 + х6 -* inf,
х = (х1, х2,..., х7) ^ 0,
х2 + Зх4 - х5 + 6х6 + 2х7 = 2,
хх + х2 - х3 - Зх4 - х5 + Зх6 = 0,
-4хх + х2 + х3 + 6х4 - 4х5 + 6х6 + х7
E.13)
1 E.14)
1. J

§ 5. ПОИСК НАЧАЛЬНОЙ УГЛОВОЙ ТОЧКИ
69
Сначала найдем начальную угловую точку множества E.14),
пользуясь изложенным выше методом искусственного базиса.
Вспомогательная задача E.2) здесь имеет вид
д(у) = и1 + и2 + и3 -+ inf,
у = (и, х) = (и\ и2, и3, х1, х2,..., х7) ^ О,
2 = и1 + х2 + Зх4 - х5 + 6х6 + 2х7, E.15)
О = и2 + х1 + х2 - ж3 - Зх4 - х5 + Зх6,
1 = и3 - 4х! + х2 + х3 + 6х4 - 4х5 + бх6 + х7.
Таблица 21 представляет собой симплекс-таблицу начальной
угловой точки z0 = B,0,1,0,0,0,0,0,0,0) задачи E.15). С помощью
лексикографического правила D.5) в столбце х7 найдем
разрешающий элемент %7 = 1 и с его помощью переменную и3 выведем
Табл. 21
г,
Гз
д
Б
и1
и2
и3
V
2
0
1
3
и1
1
0
0
0
и2
0
1
0
0
и3
0
0
1
0
ж1
0
1
-4
-3
X2
1
1
1
3
X3
0
-1
1
0
X4
3
-3
6
6
X5
-1
-1
-4
-6
X6
6
3
6
15
X7
2
о
Ф
3
из базиса, заменив ее переменной х7 по формулам C.26).
Получим симплекс-таблицу 22 угловой точки zM = (u^ vj, щ = @,0,0),
% = @,0,0,0,0,0,1). Хотя в строке А этой таблицы есть
положительные величины, тем не менее можем сказать, что z^ —
решение задачи E.15), так как <7(<О = 0 = &. Это значит, что
точка v+ = @,0,0,0,0,0,1) является угловой точкой множества E.14).
Табл. 22
г,
г2
Гз
д
Б
и1
и2
X7
V
0
0
1
0
и1
1
0
0
0
и2
0
1
0
0
и3
-2
0
1
-3
X1
8
Ф
-4
9
X2
-1
1
1
0
X3
-2
-1
1
-3
X4
-9
-3
6
-12
X5
7
-1
-4
6
X6
-б
3
6
-3
X7
о i
о 1
1
о
Найдем ее базис и приведенную систему. В таблице 22 на
пересечении строк Гп Г2 вспомогательных переменных со столбцом
небазисных основных переменных имеются положительные
величины. Это значит, что здесь реализовался случай II. Выберем
разрешающий элемент из столбца х1 с помощью лексикографического

70
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
правила D.5) — это будет 721 = 1- Из базиса исключаем
переменную и2 и вместо нее вводим ж1; получим таблицу 23 (строка Д
в ней опущена за ненадобностью). В качестве разрешающего
элемента в таблице 23 можем взять ^ХЪ = \Ъ и исключить из базиса
Табл. 23
г>
г?
Г3
Б
и1
X1
X1
V
0
0
1
и1
1
0
0
и2
-7
1
4
и3
-2
0
1
X1
0
1
0
X2
-9
1
5
X3
6
-1
-3
X*
15
-3
-6
X5
<®
-1
-8
X6
-30
3
18
X7
ol
0
1
переменную г*1, в результате придем к таблице 24. Таким
образом, нам удалось исключить из базиса все вспомогательные
переменные и в таблице 24 реализовался случай I. Тем самым найдена
Табл. 24
г,
г2
Г3
Б
X5
X1
X7
V
0
0
1
«'
1/15
1/15
8/15
и2
-7/15
8/15
4/15
и3
-2/15
-2/15
-1/15
X1
0
1
0
X2
-3/5
2/5
1/5
X3
2/5
-3/5
1/5
X4
1
-2
2
X5
1
0
0
X6
-2
1
2
X7
0
0
1
угловая точка v0 = v+ = @,0,0,0,0,0,1) множества E.14) с
базисом А5, Aj, A7; p = 3 = ra = rangA. Вычеркнув из таблицы 24
столбцы г*1, и2, и3, получим строки Ги Г2, Г3
симплекс-таблицы 25 угловой точки v0; в строке Д этой таблицы помещены
величины Д0, Дп..., Д7, вычисленные по формулам C.30), C.31).
Табл. 25
г2
г3
д
Б
X5
X1
X7
У
0
0
1
0
X5
1
0
0
0
X1
0
1
0
0
X2
-3/5
1/5
1
X3
2/5
-3/5
1/5
-1
X4
1
-2
2
-2
X6
-2
1
2
2
X7
0
0
1
0
Базисный столбец хъ поставлен перед столбцом х\ чтобы
обеспечить лексикографическую положительность симплекс-таблицы 25.
Предлагаем читателю сравнить таблицы 25 и 12 и убедиться, что
они с точностью до перестановки нескольких строк и столбцов
совпадают и являются симплекс-таблицами одной и той же точки v0.
Опыт примера 4.1 говорит о том, что при применении симплекс-
метода без антициклина в нашей задаче возможно зацикливание,
поэтому принятые меры по обеспечению лексикографической
положительности симплекс-таблицы имеют основание. Дальнейшие
вычисления отражены в таблицах 26, 27. Полученное в таблице 27

§ 5. ПОИСК НАЧАЛЬНОЙ УГЛОВОЙ ТОЧКИ
71
решение задачи E.13), E.14) — это невырожденная угловая
точка ж* = @, 3, 2,0, 1,0,0) с базисом Л5, А2, А3 — отличается от
решения, полученного в примере 4.1. Это говорит о том, что
каноническая задача линейного программирования вполне может иметь
Табл. 26
г,
г2
Гз
д
Б
X5
X2
X7
V
0
0
1
0
X5
1
0
0
0
X1
3/2
5/2
-1/2
-5/2
X2
0
1
0
0
X3
-1/2
-3/2
1/2
X4
-2
-5
3
3
X6
-1/2
5/2
3/2
-1/2
X7
0
о i
1
0
Табл. 27
г.
г2
Гз
д
Б
X5
X2
X3
V
1
3
2
-1
X5
1
0
0
0
X1
1
1
-1
-2
X2
0
1
0
0
X3
0
0
1
0
X4
1
4
6
0
X6
1
7
3
-2
X7
1
3
2
-1
несколько решений. Кстати, для получения решения из примера 4.1
достаточно заметить, что в таблице 27 Д4 = 0, взять разрешающий
элемент j34 = 6 и ввести в базис вместо х3 переменную х4 (см.
упражнение 3.10).
Пример 5.2. Рассмотрим задачу
/(х) = х1 - Зх2 + 2х3 + х4 - Зх5 -> inf, E.16)
х = (х*,х2,х3,х4,х5)^0, E.17)
х1 + х2-4х3 + х4-3х5 = 3, ]
х1-4х3 + 2х4-5х5 = б, > E.18)
^2х1-5х2 + 8х3 + х4 = 3. J
Для поиска начальной угловой точки множества E.17), E.18) также
применим метод искусственного базиса. Не останавливаясь здесь
на явной формулировке задачи E.2), сразу выпишем
симплекс-таблицу 28 начальной угловой точки z0 = C,6,3,0,0,0,0,0)
множества Y.
Выбирая с помощью лексикографического правила разрешающий
элемент 7з4 = *» переходим к таблице 29 и убеждаемся, что
точка ^ = (tit,vj, ^ = @,0,0), ^ = @,0,0,3,0) является решением
вспомогательной задачи E.z). В таблице 29 реализовался случай II.
Взяв в ней за разрешающий элемент 721 = 5, переменную х1
введем в базис и придем к таблице 30, в которой имеет место
случай III. В строке Г, элементы jXj =0 при всех j = 1,..., 5, поэтому

72
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
Табл. 28
г2
Гз
д
Б
и1
и2
и3
V
3
6
3
12
и1
1
0
0
0
и2
0
1
0
0
и3
0
0
1
0
хх
1
1
-2
0
х2
1
0
-5
-4
X3
-4
-4
8
О
X4
1
2
®
4
X5
-3
-5
О
-8
Табл. 29
г2
Г3
д
Б
и1
и2
X4
V
О
О
3
О
и1
1
О
О
О
и2
О
1
О
О
и3
-1
-2
1
-4
X1
3
©
-2
8
X2
6
10
-5
16
X3
-12
-20
8
-32
X4
0
0
1
0
X5
-3
-5
0
-8
Табл. 30
г-
г2
Г3
Б
«»
X1
X4
V
0
0
3
и1
1
0
0
и2
-3/5
1/5
2/5
и3
1/5
-2/5
1/5
X1
0
1
0
X2
0
2
-1
X3
0
-4
0
X4
0
0
1
X5
0
-1
-2 |
Табл. 31
г,
г2
д
Б
X1
X4
V
0
3
3
X1
1
0
0
X2
©
-1
4
X3
-4
0
-6
X4
0
1
0
х5 1
-1
-2
о
строку Г, и столбец и1 можно вычеркнуть. Вычеркнем также
столбцы и2, и3 и получим строки Г15 Г2 симплекс-таблицы 31 угловой
точки v0 = v+ = @,0,0,3,0). Выясняется, что здесь множество 10
отмеченных координат пусто, множество базисных номеров точки v0
равно I(v0) = {1;4} и аналог системы E.8) имеет вид
ч> = 0 = ж1 + 2х2 - 4ж3 - ж5, v+4 = 3 = -ж2 + ж4 - 2ж5, E.19)
причем системы E.18) и E.19) равносильны. В строке Д таблицы 31
помещены величины Ajy вычисленные по формулам C.30), C.31)
на основе приведенной системы E.19) точки v0. Отметим, что
симплекс-таблица 31 в этой задаче, в отличие от примера 5.1, оказалась

§ 5. ПОИСК НАЧАЛЬНОЙ УГЛОВОЙ ТОЧКИ
73
лексикографически положительной. Сделав один шаг
симплекс-метода, придем к таблице 32, в которой Д3 = 2 > 0 и все элементы
столбца х3 неположительны, т. е. реализовались условия C.33).
Табл. 32
г,
г2
д
Б
X2
X4
V
0
3
3
X1
1/2
1/2
-2
X2
1
0
0
X3
-2
-2
2
X4
0
1
0
X5
-1/2
-5/2
2
Это значит, что задача E.16)—E.18) не имеет решения: ? = —оо.
Опираясь на систему E.19), нетрудно проверить, что
множество E.17), E.18) имеет единственную угловую точку v0 = @,0,0,3,0)
и оно неограничено.
Приведем простой пример множества, точки которого имеют
отмеченную координату, и найдем эту координату с помощью метода
искусственного базиса.
Пример 5.3. Пусть Х = {х = (х\ х2, х3)^0: х1 + ж2 = 1, хх+
+ х2 + х3 = 1}.
Задача E.2) в данном случае имеет вид д(у)=д(щх)—и1+и2—>inf;
уе Г,
Y=L=(A>(y l^ + x' + x*, )
I W 1=гх2 + х1+х2 + х3/ "
В симплекс-таблице 33 угловой точки z0 = A, 1,0,0,0)
разрешающий элемент будем выбирать из столбца х1 с помощью
лексикографического правила D.5); это будет 721 = 1- Введем в базис
переменную х1 и выведем из базиса и2 по формулам C.26). Получим
симплекс-таблицу 34 угловой точки zm = (и^ vj9 % = @,0), % = A,0,0),
Табл. 33
г,
г2
А
Б
и2
V
1
1
2
и1
1
0
0
и2
0
1
0
X1
1
Ф
2
X2
1
1
2
X3
0
1
1
Табл. 34
г2
А
Б
и1
хх
V
0
1
0
и1
1
0
0
и2
-1
1
-2
X1
0
1
0
X2
0
1
0
X3
-1
1
-1

74
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
для которой <7(zJ = 0 = &. Таким образом, задача E.2) здесь уже
решена, точка % угловая для множества X. На пересечении
строки Tj со столбцами небазисных основных переменных ж2, ж3 нет
положительных величин, причем ^у13 = — 1 - Как видим,
реализовался случай III, и координата ж3 будет отмеченной. Исключая
отмеченную координату ж3 = 0, придем к множеству {х = (ж1, ж2) ^ 0:
хх -ь х2 = 1} с угловыми точками A,0) и @,1). Впрочем, к этим же
выводам проще было прийти, анализируя уравнения, задающие
множество X. Попутно заметим, что симплекс-таблица угловой
точки *„ = ((), 0,0, 1,0) множества Y с базисными переменными (г*1, ж2)
также будет совпадать с таблицей 34 (см. упражнение 3.12).
В изложенном методе искусственного базиса задача E.1)
решается в два этапа: на первом этапе, решая симплекс-методом
задачу E.2), находим угловую точку множества X и приведенную
форму E.12) задачи E.1) относительно этой точки, а на втором этапе
симплекс-методом решаем задачу E.12). Ниже (в § 8) будет
изложен другой вариант симплекс-метода, в котором оба этапа будут
объединены в один процесс.
5. На этом мы заканчиваем изложение симплекс-метода для
канонической задачи E.1). Учитывая возможность сведения общей
задачи линейного программирования к канонической задаче
(теорема 1.1), можно сказать, что симплекс-метод является
универсальным методом решения задач линейного программирования. Конечно,
компьютерная реализация описанной выше схемы симплекс-метода
требует огромной дополнительной работы: надо выбрать
подходящую модификацию метода, изучить влияние погрешности на
симплекс-процесс, организовать хранение исходной и текущей
информации о задаче и т. п. — эти практические проблемы обсуждаются,
например, в [11, 93, 102, 106].
Симплекс-метод относится к так называемым конечным методам,
позволяющим найти решение задачи линейного программирования
или обнаружить ее нерешаемость за конечное число
арифметических действий. Это число, конечно, зависит от размерностей га, n
задачи E.1). Известен пример задачи линейного программирования
с п переменными и га = 2п ограничениями (этот пример приведен
в [102, 142], стр. 360), для решения которого требуется не менее
2П — 1 шагов симплекс-метода, и, следовательно, число
арифметических операций, необходимых для получения решения, не меньше 2П.
Отсюда следует, что количество вычислений для решения «плохих»
задач линейного программирования симплекс-методом оценивается
экспоненциальной функцией параметров га, n размерности
задачи и уже при не очень больших m, n решение таких задач
симплекс-методом невозможно за обозримое время даже на самых
мощных компьютерах. Как принято говорить, на классе задач линейного
программирования симплекс-метод имеет экспоненциальную
сложность. Однако вопреки такому пессимистическому выводу в прак-

§ 5. ПОИСК НАЧАЛЬНОЙ УГЛОВОЙ ТОЧКИ
75
тических задачах симплекс-метод показывает высокую
эффективность, причем в абсолютном большинстве реальных задач
количество необходимых арифметических операций имеет порядок тп2 [7].
Причина этого удивительного явления пока еще не выяснена.
Заметим, что в последнее время появились методы, имеющие
полиномиальную сложность. Так называются конечные методы, для
которых число элементарных операций, необходимых для получения
решения задачи линейного программирования с нужной точностью,
не превышает некоторого полинома от размерностей m, n задачи, —
более точные формулировки см. в [95, 113, 129, 130].
Эти методы в самом деле эффективнее симплекс-метода на
«плохих» искусственно придуманных задачах линейного
программирования, но на реальных задачах пока не могут успешно конкурировать
с ним. На практике симплекс-метод по-прежнему остается основным
методом линейного программирования. Замечательно также и то,
что симплекс-методом можно пользоваться и в теоретических
исследованиях [1, 82, 100, 107, 139]. С его помощью выше были
доказаны важные теоремы 5.1-5.3. В следующей главе симплекс-метод
будет использован при построении теории двойственности и
доказательстве ряда теорем, играющих важную роль при исследовании
линейных и нелинейных задач оптимизации.
Кроме симплекс-метода имеется множество других (конечных,
итерационных) методов решения задач линейного
программирования [7, 13, 18, 37, 47, 102, 106, 116, 125, 139, 1401; разработка таких
методов продолжается (см. например, [48, 49, 108, 109]). Для
специальных классов задач линейного программирования, таких как,
например, транспортная задача, существуют методы, лучше
учитывающие конкретные особенности этих задач [7, 37, 44, 47, 58, 82, 83,
106, 116, 128, 131]. Содержательный обзор многих существующих
методов линейного программирования дан в [102].
Упражнение 5.1. С помощью метода искусственного базиса найдите какую-
нибудь угловую точку следующих множеств:
а) х = (ж1,..., х4) ^0, хх + х2 + х3 - х4 = 2,
х1 + х3 + 2х4 = 1, хх + х2 + х4 = 2;
б) х = (х1,..., х4) ^0, х1 + х2 + 2х3 - х4 = 1,
х 1 _ х2 + хъ + ХА = 2j ж! + Зх2 + Зх3 - Зх4 = 0;
в) х = (х1,...,х4)^0} х1 +х2 + х3 + х4=1,
х1 + 2х2 - 2х3 + х4 = 0, 2Х1 + Зх2 - х3 + 2х4 = 2;
г) х = (х1,..., х5) ^ 0, х1 + 2х2 + 2х3 - х4 + х5 = 1,
2х* - х2 + х3 + х4 + 2х5 = 2, 5х2 + Зх3 - Зх4 = 0,
а;1_3х2-х3 + 2х4 + х5 = 1;
д) х = (х1,...,х5)^0, х1 + 2х2 + х3 + х4 + 2х5 = 5,
х1 - Зх3 - 2х4 - х5 = 2, 2х! + х2 - х3 + х4 + х5 = 1;

76
Глава 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД
е) х = (х\...,х6)^0, х1 + х2 + х34-х44-х5 + х6 = 2,
х1 + 2х2 + х3 4- 2х4 - х5 4- х6 = 3, ж1 4- х2 + Зх3 4- х4 + х5 - х6 = 2,
х1 + 2х2 + х3 4- 4х4 - х5 - х6 = 3.
Упражнение 5.2. С помощью симплекс-метода решите следующие
канонические задачи:
а) /(х) = х1 - х2 - х3 - х4 4- 2х5 -¦ inf [sup], х = (xl,..., х5) ^ О,
хх 4- Зх2 + х3 + х4 - 2х5 = 10, 2х! + 6х2 4- х3 4- Зх4 - 4х5 = 20,
Зх1 + 10х2 + х3 + 6х4 - 7х5 = 30;
б) /(х) = х1 4- 2х2 + х3 4- 2х4 + х5 -»inf [sup], x = (х1,..., х6) ^ О,
х1 - х2 + 2х3 4- х4 - Зх5 - х6 = 3, х1 + х3 + 2х4 - х5 + 2х6 = 2,
2х1 4- х2 + х3 - х4 + 2х5 + х6 = 3;
в) /(х) = х1 + 2х2 - 2х3 + 5х4 -» inf [sup], x = (х1,..., х4) ^ О,
хх 4- 2х2 - х3 - х4 = 1, -х1 4- 2х2 + Зх3 + х4 = 2,
хх 4-5х24-х3-х4 = 5;
г) /(х) = хх 4- 2х2 + Зх3 + 4х4 4- 5х5 -¦ inf [sup], x = (х1,..., х5) ^ О,
хх 4- х3 - 2х4 - 6х5 = 2, х2 + х3 - 2х4 + 7х5 = 2,
х1+х2-2х4 + 7х5 = 2;
д) /(х) = хх 4- х3 + х5 + х7 -> inf [sup], x = (х1,..., х7) ^ О,
х1 + Зх2 4- х3 4- 2х4 4- х5 Ч- х6 = 10, 2Х1 4- х2 - х3 4- 5х4 4- Зх6 - х7 = 20,
хх + 13х2 + 7х3 4- 5х5 - х6 + 2х7 = 10.
Упражнение 5.3. С помощью приемов, описанных в § 1, запишите
следующие задачи линейного программирования в каноническом виде и решите их с
помощью симплекс-метода:
а) /(х) = 2Х1 4- х2 - х3 4- х5 -»inf [sup], x = (х1,..., х5) ^ О,
2 ^ хх - х4 ^ 0, х1 + х2 + х3 - х4 - х5 ^ 1;
б) /(х) = Зх1 + 10х2 4- 8х3 - 6х4 — inf [sup], x = (х1,..., х4) ^ О,
Зх1 4- 2х2 + х3 - х4 ^ -1, х1 + Зх2 4- Зх3 - 2х4 = -1, ж1 « 4;
в) /(х) = хх 4- Зх2 - х3 -> inf [sup], x2 ^ О, х3 ^ О,
- 1 < хх - х2 4- х3 < 1, хх 4- х2 + х3 < 4;
г) /(х) = бх1 - 12х2 4- 5х3 + 2х4 + Зх5 -> inf [sup], x = (х1,..., х5) ^ О,
Зх1 - 6х2 4- 5х3 + 4х4 ^ 3, хх - 2х2 + 4х4 4- х5 = 2,
- х1 4- 2х2 - Зх3 - 2х4 - х5 ^ -7.
Упражнение 5.4. Суточный рацион группы животных включает не менее
10 кг продукта Пр 25 кг продукта П2, 15 кг продукта П3, 30 кг продукта ГЬ, 5 кг
продукта П5. Эти продукты содержатся в концентратах трех видов Кх, K2i л,, причем
концентрат 1С содержит продукты П{, П,, П3, П4, П5 в пропорциях 3:1 :0:1 :0,3,
концентрат К2 — в пропорциях 1:1:2:1:1, концентрат Кг — 1:0:1:0:2, цены
концентратов соответственно 0, 5; 0, 9; 0, 7 условных рублей за килограмм. Сколько
нужно в сутки покупать концентратов, чтобы необходимый суточный рацион был
наиболее дешевым?

§ 5. ПОИСК НАЧАЛЬНОЙ УГЛОВОЙ ТОЧКИ
77
Упражнение 5.5. Покажите, что если в симплекс-таблице 20 угловой
точки z+ = @, v+) оказалось, что г = п ^ т, то множество X задачи E.1) состоит из
единственной точки и+.
Упражнение 5.6. Покажите, что множество X = {ж = (ж1,..., ж6): ж1 +
+ 4ж2-5ж3-5ж4-3ж5-ж6 = 2, -4а;1 + 4ж2- 12ж3-2ж5 + 2жЬ = 2, х1 + 2ж2-3ж3 +
+ Зж4 -f ж5 -f ж6 = 1} состоит из единственной точки. Указание. Примените
метод искусственного базиса, выбрав в начальной симплекс-таблице разрешающий
элемент из столбца х2 с помощью лексикографического правила D.5).
Упражнение 5.7. Множество X задано условиями х = (ж1,..., ж6) ^ 0,
хх -2ж2 + ж3 = 1, х1-2х2 + 2ж3 + х4 = 1, х1 -2х2 + 2хг + 2хА-хъ=\, ж1 -
- 2х2 + 2ж3 + 2ж4 - 2х5 + ж6 = 1, ж1 + ж2 + ж3 + ж4 + ж5 + ж6 = 1. Симплекс-методом
решите задачу f(x) = (с, ж) —> inf, хеХ, и убедитесь, что при любом с?Еь минимум
достигается в одной и той же точке множества X. Объясните это явление.
Упражнение 5.8. Примените симплекс-метод к основной задаче A.24) с
вектором 6^0, сведя ее к канонической задаче A.26). Указание. Сравните
системы A.25) и E.3) и найдите угловую точку множества W задачи A.26).
Упражнение 5.9. Обобщите симплекс-метод на задачу f(x) = (с, х) —> inf,
х е X = {х G Еп: х ^ 0, Ах =6, а{ ^ хг ^ /3{1 г = 1, п}, где aiiPi — заданные
величины, сх{ < pi (возможно, некоторые а{ = —оо и некоторые /3{ = Н-оо) [116, 139].
Упражнение 5.10. Пользуясь упражнением 5.8, рассмотрите задачи
из упражнений 5.1-5.3 при дополнительных ограничениях 0 ^ хг < 2.
Упражнение 5.11. Докажите, что непустое множество X задачи E.1)
ограничено тогда и только тогда, когда inf (с, ж) = Д(с) > —оо при всех с G Еп.
Указание. Следует воспользоваться теоремой 5.1 и симплекс-методом с анти-
циклином.
Упражнение 5.12. Докажите, что непустое множество X задачи E.1)
неограничено тогда и только тогда, когда существует вектор cq e Еп, для которого
inf(cQ, ж) = — оо. Утверждения упражнений 5.11, 5.12 поясните геометрически при п —
= 2, 3.
Упражнение 5.13. Пусть в задаче E.1) множество X непусто. Докажите,
что тогда для выполнения равенства Д = inf (с, ж) = -оо необходимо и достаточ-
х ? X
но, чтобы однородная система линейных алгебраических уравнений Ае = 0 имела
решение, обладающее свойствами е ^ 0, е ф 0, (с, е) < 0. Указание. Для
доказательства необходимости следует заметить, что при Д = —оо симплекс-процесс
с антициклином закончится выполнением условия C.33), и воспользоваться
вытекающими из него следствиями; достаточность вытекает из того, что луч x(t) = Xq+ te,
00, принадлежит X при любом Xq?X и f(x(t)) = f(x0)+t(ci е)—>—оо при t—>-boo.
Упражнение 5.14. Пусть в задаче E. П 6 ^ 0 и среди столбцов матрицы А
имеются единичные векторы е{ , е ,..., е{ . Докажите, что тогда в методе
искусственного базиса вместо задачи E.2) можно рассмотреть задачу с меньшим числом
переменных: g(y) = ul+.. . + um~' —> inf, ye Y = {y = (u, ж)е?т_/ + п: y^0, ul+
+ ? а„х* = Ъ{, г=Т~^, t^„ *=!77;ж?<+ ? а.уж'=Ь?'} s=T77}.
Проверьте, что точка ^ = (^,2^), где Uq = (vqj ..., uq1~1),jj^ = b\ г = \,m-l,
*фг8, s = T7T; ж0 = (ж01,...,ж0п), ж^=0, г = l,n, %фгш% s=M; xtf = 6\ 5=1,/,
является угловой точкой множества Y.
Упражнение 5.15. Опишите схему симплекс-метода для основной
задачи A.24), предварительно сведя ее к канонической задаче A.26). Покажите, что если
вектор Ь имеет ровно / неотрицательных координат, то при поиске начальной угловой
точки задачи A.26) методом искусственного базиса можно обойтись задачей E.2)
с m — / искусственными переменными. Рассмотрите случай / =0 (случай / = т см.
в упражнении 5.8). Указание. Воспользуйтесь упражнением 5.14.

Глава 2
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
§ 6. Условие разрешимости общей задачи
Напомним, что общая задача линейного программирования может
быть сформулирована так:
f(x) = (с, х) = (ср х{) + (eg, Хз) -> inf, x = (xl,x2)e X,
X = {x = (x{Jx2): xx GjE?n>, x2eEr^, х^О, F.1)
11 *^1 "" ¦^•12*^2 ^ 1' 21 *^1 "¦ -^22*^2 == 2 J '
где Afi — матрицы размера mi х пу, с^. € ЕП}, Ь{ е Ещ, г, j = 1, 2.
Как и выше, будем обозначать /, = inf /(х), подразумевая при этом,
что X ф 0. Для случая, когда /, > —оо, введем множество Х+ =
= {хеХ: /(ж) = /,}. Напомним также, что задача F.1) называется
разрешимой, если Х^ф0; каждую точку х+ е Х+ называют решением
этой задачи.
Теорема 6.1. Задача F.1) разрешима тогда и только
тогда, когда X ф0 и целевая функция f(x) ограничена снизу
на X, т. е. ? > -оо.
Заметим, что для нелинейных задач такая теорема неверна.
Например, задача f(x) = е~х —> inf, х€ X = {х е Е{: х ^ 0} не
имеет решения, хотя нижняя грань /, = 0 здесь конечна. Как
следует из теоремы 6.1, неразрешимость задачи линейного
программирования означает, что либо X = 0, либо X ф 0, но /„ = —оо.
Подчеркнем, что если задача F.1) разрешима, то величина /„ конечна:
-оо < ? ^ /(х) < оо Vx е X ^ 0.
Доказательство. Необходимость вытекает из определения
разрешимости, так как условие Х+ф0 подразумевает, что X Ф 0
и ? > —оо. Докажем достаточность. Пусть X ^ 0, /, > —оо.
Пользуясь конструкциями из теоремы 1.1, запишем задачу F.1) в
канонической форме:
/(х) = (с, х) -> inf, х G X = {х е Еп: х ^ 0, Ах = Ь}, F.2)

§ 6. УСЛОВИЕ РАЗРЕШИМОСТИ ОБЩЕЙ ЗАДАЧИ 79
где с G Еп, Ь е Ет, А — матрица размера т х п. С этой целью
положим x2 = zl-z2, zx=max{0; а^}, ^ = тах{0; -a^}, y = bl-Auxl-
-А12Х2 и в пространстве переменных w = (x{, zx, z2, y)eEq, q = nl +
4-2щ + щ, рассмотрим задачу
g(w) = (с„ х,) + (eg, 22) + (-С;, 22) + @, у) -> inf, у € И^
W = {weEq: w^O, Allxl+Al2z{+(-Al2)z2 + Inhy = bl, F.3)
А21 хх + A22zx + (- А22)г2 + 0 • у = Ь2},
где / —единичная матрица размера rri! x ш^ Задача F.3)
совпадает с задачей F.2), если принять
с = (си с,, -с,, 0) еЕ', Ъ = (Ьр Ь2) € Sm,
А=Мп А12 -А12 iA F.4)
\ ^21 ^22 — ^22 0 /
Здесь А —матрица размера гахп, где m = m1+ra2, n = q = nl+2n2+
Ч-Шр Согласно теореме 1.1 из условий X ^0, /„ > —со следует, что
]У ^ 0, /* = & = inf #(ги) > —оо. Тогда по теореме 5.2, примененной
к канонической задаче F.3), множество W^ = {we W: g(w) = gif}
непусто. Возьмем произвольную точку w+ = (хи, zUJ z^9 у*) G W+.
В силу теоремы 1.1 тогда точка х+ = {жи, х^ = <zu "" *2*} — решение
задачи F.1), т. е. Х+^0. Теорема 6.1 доказана.
Покажем, что в любой задаче линейного программирования,
имеющей решение, допустимое множество и множество решений
выпуклы и замкнуты. Напомним определения выпуклости и
замкнутости.
Определение 6.1. Множество U С Еп называется
выпуклым, если для любых точек u,veU отрезок [щ v], соединяющий эти
точки и состоящий из точек гха = av + A — а)^,0^а^1,
принадлежит множеству U. Множество, состоящее из одной точки, также
будем считать выпуклым.
Определение 6.2. Множество UСЕп называется
замкнутым, если для любой такой последовательности {ик} = {щ, щ,...
..., ик,...}, uk€U, к = 1, 2..., что lim uk = гх, ее предел ueU.
к —¦ оо
Теорема 6.2. Пусть задача F.1) имеет решение. Тогда
множества X, Х+ выпуклы и замкнуты.
Доказательство. Возьмем произвольные точки и = (и{, г^),
v = (v<, v2) из X. Тогда ua=av+(l — a)u=(ula,u2a)=(avl+(l--a)ulJ
&у2+A — а)щ), 0 ^ а ^ 1. Из неравенств щ ^ 0, vx ^ 0 следует, что
и1а ^ 0 при всех a G [0. 1]. Далее, учитывая, что и, v € X, имеем
Апи1а + А12и2а-Ъ1 =
= a(Anv{ + AX2v2 - Ьх) + A - а)(Апщ + Ах2щ - Ьх) ^ 0,
А2\Ща + ^22U2a "* &2 ==
= а(А21^ +А22г;2- Ь2) + A - а)(А21гх2 + А^г^ - Ь2) = 0

80 Глава 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Это значит, что иа е X при всех a G [0,1]. Следовательно, X —
выпуклое множество.
Далее, пусть последовательность {ик = (и1к, щк)} такова, что
щ€ X, к = 1, 2,..., и lim ик = и = (и{, щ). Из того, что ulk ^ О
при к —> оо, следует, что г^ ^ 0. Поскольку Anw1Jk + А12щк ^ Ьр
^2iwifc+^22t/2fc = ^2' fc = l» 2,..., при fc—>оо имеем A11ti1+-A12i«2^bj,
А^г^ + А22гх2 = b2. Следовательно, w е X, т. е. X —замкнутое
множество.
Выпуклость и замкнутость множества Х+ = {х е X: /(ж) =
= (ср ж^ + (с2, а^) =/Л доказывается аналогично.
Переформулируем теоремы 6.1, 6.2 на случай задачи
максимизации
h(x) = (d, х) = (d1? Ж!) + (с^, x^j -+sup, ж G X F.5)
Теорема 6.3. Задача F.5) разрешима тогда и только
тогда, когда X фО> и целевая функция h(x) ограничена
сверху на X, т. е. h* — sup h(x) < +оо. Множества X, X* = {ж е X:
h(x) = h*} в разрешимой задаче F.5) выпуклы и замкнуты.
Эта теорема отдельного доказательства не требует и
непосредственно следует из теорем 6.1, 6.2, так как задача F.5) равносильна
задаче минимизации F.1) с с = — d.
Упражнение 6.1. Найдите все значения параметров с1, с2, для которых
задача f(x) = clxl + с2х2 -> inf, x ? X = {х = (я1, х2) в Е2: хх ^ О, х2 ^ 0, х1 -
- х2 ^ 0, -ж1 + х2 < 0} разрешима. При каких значениях параметров множество Х+
ограничено?
Упражнение 6.2. Найдите все значения параметров с1, с2, bl, б2, для
которых задача/(ж) = с1 ж1 + с2 ж2->inf, х€Я" = {ж = (ж1, ж2)ЕЯ2: ж1 ^0, ж2^0, ж1-
-ж2 < б1, -ж!+ж2 < б2} разрешима. При каких значениях параметров множество Х+
ограничено? Указание. Следует воспользоваться геометрической
интерпретацией таких задач из § 2; рассмотреть случаи с1 + с2 > О, с1 + с2 = О, с1 + с2 < О,
Ъ1 + Ь2>0, 61 + 62 = 0, Ь1 + 62<0.
Упражнение 6.3. Если в задаче F.1) множество X непусто и неограничено,
то существует такой вектор с = (су^), что Д = — оо. Докажите это.
Упражнение 6.4. Задача F.1) разрешима при всех с = (с{1С2) тогда и только
тогда, когда множество X непусто и ограничено. Докажите это.
§ 7. Теоремы двойственности
С общей задачей линейного программирования
f(x) = (с, х) = (с1? хх) + (с2, afc) -> inf, х <Е X,
Х = {х = (х1,х2): ХувЕ^, х2еЕТ^, х{^0, G.1)

§ 7. ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ
81
тесно связана следующая задача линейного программирования:
¦ф{\) = -(Ь„ А,) - (Ь2, А2> -*sup, А = (А„ А2) е Л,
Л = {А=(А„А2): А, е ??"•>, А2еJB"\ А,^0, G.2)
^11^1 "^" "^21^2 ~Ь~ С\ ^ ^» ^12^1 "I" ^22^2 "I- °2 = ^} >
где AJ. — матрицы, полученные транспонированием матриц Aiy.
Задача G.2) называется двойственной задачей к исходной
задаче G.1), переменные Л =(А1, Л2) называются двойственными
переменными по отношению к исходным (основным) переменным х =
= (хр Ъ)- Будем обозначать
ф* = sup ^(А), Л* = {А € Л: ^(А) = </>*}•
АбЛ
Как видим, двойственная задача G.2) однозначно определяется
по элементам A{j, cjt bit i, j = 1,2, исходной задачи G.1). В
частности, для канонической задачи A.19)
f(x) = (с, х) -> inf, х е X = {х е Еп: х ^ 0, Ах = 6}, G.3)
получающейся из общей задачи G.1) при п{ = п, г*2=0, тх =0, Ш2 =
= т, А21 = А, Ь2 = Ь (матрицы Ап, А12, А22, bt здесь отсутствуют),
двойственная задача имеет вид
<ф(\) = -(Ь, А) -> sup, А е Л = {А е ?m: АТА + с ^ 0}. G.4)
Для основной задачи A.24)
f(x) = (с, ж) -+ inf, ж б X = {х е Еп: х ^ 0, Ах < Ь}, G.5)
получающейся из G.1) при щ = п, я« = 0, т1 — т1 га^О, Ап = А,
&! = Ь (А12, А21, А22, Ь2 отсутствуют), двойственной будет задача
V>(A) = -(b,A)->sup, АеЛ={АеЯт:А^0, АТА+О0}. G.6)
Посмотрим, как выглядит задача, двойственная по отношению
к двойственной задаче G.2). Для этого сначала перепишем
задачу G.2) в равносильном виде, как задачу минимизации,
совпадающую по форме записи с задачей G.1):
-ф(\) = (Ъх, А,) + (Ь2, А2) -> inf, A e Л,
Л = {А=(А1,А2): AjEjE?^, A2€jB"\ А^О, G.7)
(-AJi)Ai + (-AJi)A2 ^ с1э (-АЬ)А! + (-А2Т2)А2 = с,}.
Далее, пользуясь тем же правилом, с помощью которого была
построена двойственная задача G.2) на основе исходной задачи G.1),
6 Ф. П. Васильев, А. Ю. Иваницкий

82 Глава 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
составим двойственную к G.7) задачу. Обозначив двойственные
к А = (Ап А2) переменные через х = (х{, 0%), придем к следующей
задаче:
V>i(s) = -(ci> х\) - (<*> Ъ) -> SUP>
ж€М = {ж = (х1, х^: x{ EjE*1, x2eE1^, х{^0,
(-АТ)т^ + (-АЬ)таь + Ь, ^ 0, Gв8)
(-АЙ)ТЧ + (-A2T2)TX2 + Ь2 =0},
являющейся двойственной к задаче G.7). Так как (—АТ.)Т = — Aijt
нетрудно видеть, что М = Х, ф1(х) = -/(х) и задача
максимизации G.8) равносильна задаче минимизации G.1). Как видим, задача,
двойственная к двойственной задаче G.2), с точностью до
эквивалентной формы совпадает с исходной задачей G.1). Отождествляя
задачи G.8) и G.1), можем сказать, что задачи G.1) и G.2)
образуют пару взаимодвойственных задач.
Параллельное изучение взаимодвойственных задач
способствует более глубокому пониманию природы этих задач, оказывается
полезным при разработке методов их решения, обогащает теорию
линейного программирования. Прежде чем переходить к
изложению нижеследующих теорем, называемых теоремами
двойственности и занимающих центральное место в линейном
программировании, докажем несколько важных лемм.
Лемма 7.1. Пусть задача G.1) разрешима. Тогда допусти-
мое множество А двойственной задачи G.2) непусто, причем
существует такая точка А* еА, что
№) = f.. G.9)
Доказательство. Сначала докажем лемму для
канонической задачи G.3). Прежде всего рассмотрим случай т = г = rang A.
Применим к задаче G.3) симплекс-метод с антициклином. Так как
по условию /+ > —оо, симплекс-процесс закончится обнаружением
некоторой угловой точки v„ множества X с базисом В = (Ау,...
..., А-), /(%) = /*, причем будут выполняться неравенства C.о2)
Ду = (с, В-^-с'^О, i=T7^, c = (cyi,...,cy). G.10)
Положим А* = — (В~1)Тс. Напомним известное из линейной
алгебры [35, 64] тождество (Мх, у) — (х, Мту) у справедливое для
любых хеЕп, уеЕш и любых матриц М размера га х п. С помощью
этого тождества неравенства G.10) можем записать в виде
0 > Д, = <(В-!)Т<Г, А,) - с' = -<А*, Ал) - с', i =17^.
Это означает, что АтА* + с ^0. Учитывая определение допустимого
множества Л задачи G.4), заключаем, что Л^0 и А* еЛ. Далее,

§ 7. ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ
83
вспомним, что у угловой точки v+ базисные координаты v+ = («/>,...
.. •> v/r) = B~lb, а небазисные координаты равны нулю. Поэтому
/. = (с, ч> = (с, «.) = (с, В Ь) = ((В-^Ус, Ь) = -<Ь, А*) = ^(А*).
Требуемая точка А* б Л со свойством G.9) найдена. Случай га = r =
= rang А рассмотрен.
Пусть теперь m > г = rang А. Тогда в системе уравнений Ах = Ь,
которую можем записать в виде (а., ж) = 6\ г = 1, т, где а? —
строки матрицы А, имеются ровно г линейно независимых уравнений.
Перенумеровав уравнения, можем считать, что первые г уравнений
этой системы линейно независимы, а остальные уравнения с
номерами г = г + 1, п линейно выражаются через первые, базисные
уравнения с номерами г = 1, г. Удаление^инейно зависимых
уравнений приведет к равносильной системе Ах = Ь, где А —матрица,
состоящая из строк а15..., аг матрицы А, Ь = (Ь1,..., Ьг), и
задача G.3) сведется к равносильной канонической задаче
f(x) = (с, х) —> inf, х е X, = {х ^ 0: Ах = Ь}.
В этой задаче число уравнений_равно г = rang A, и по уже
доказанному существует такая точка А* = (А*1,..., А*г) е Ег, что
АтА* + с^0, -(Ь,А*)=Л. G.11)
Определим точку А* = (А*, 0) е Ет, полученную добавлением к
координатам А* нулевых координат А*(г + 1) = . _ = A*W=0. Тогда из G.11)
следует, что АтА*+с^0, —(Ь, А*) = — F, A*)=/lt. Для канонической
задачи G.3) справедливость леммы установлена.
Теперь обратимся к общей задаче G.1). По условию леммы
задача G.1) разрешима. Тогда разрешима и равносильная ей
каноническая задача F.3), причем ft=/„. Мы уже доказали, что для
разрешимой канонической задачи F.3) найдется такая точка А* = (Ар А2),
AJejE?^, A;eS"\ что
АтА* + с =
А12А! + А22А2 + Cg . Л
— 4Т\*— АТ \* — г I ^ и>
Л12А1 Л22Л2 °2 I
G.12)
-F1,ЛГ)-(Ь2,А2*) = Л = Л G.13)
6*

84 Глава 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
(см. обозначения F.4)). Неравенство G.12) означает, что А*еЛ,
а G.13) представляет собой искомое равенство G.9). Лемма 7.1
доказана.
Лемма 7.2. Пусть в задачах G.1), G.2) допустимые
множества X и А непусты. Тогда
/(х)^ф(Х) VxeX, VAeA, G.14)
величины /#= inf /(ж), ф* = sup^(A) конечны и
Х*Х ХеЛ
tf*</.. G.15)
Доказательство. Возьмем произвольные х е X, АеЛ.
С учетом определений допустимых множеств X, А задач G.1), G.2)
и тождества (А,уяя А?) = (жу, А1\() имеем
/(х)-^(А) = (с1,х1) + (с2,^) + (Ь1,А1) + (Ь2,А2)^
^ (с1,х1) + (с2,а52) + (А11ж1+А12а^, А1) + (А21ж1+А22Ж2, А2)= .g
= \Cj + AnAj +А21А2, х^ + (c2 + A|2Ai + A22A2, 2-2/ =
= (c1+AJiA1+AJ1A2J а^О VzeX, VAeA.
Неравенство G.14) доказано. Последовательно переходя в G.14)
сначала к нижней грани по хеХ, затем к верхней грани по А еЛ,
убеждаемся, что величины f+,i/>* конечны и удовлетворяют
неравенству G.15). Лемма 7.2 доказана.
Перейдем к изложению теорем двойственности.
Теорема 7.1. Задача G.1) имеет решение тогда и только
тогда, когда имеет решение двойственная к ней задача G.2).
Иначе говоря, либо взаимодвойственные задачи линейного
программирования обе одновременно разрешимы, либо ни одна
из них не имеет решения. Если задачи G.1) и G.2) разрешимы,
то значения их экстремумов совпадают, т. е.
/. = tf*. G.17)
Доказательство. Пусть задача G.1) имеет решение.
Согласно лемме 7.1 тогда А^0и существует такая точка А* 6 Л,
что ^(А*) = ?. Однако *ф(\*)<* ф*. Отсюда с учетом G.15) имеем
? = V>(A*)^ <ф* ^?, что возможно только при ^(А*) = V>* = /*- Это
значит, что А„ б Л*. Тем самым доказано, что из разрешимости
задачи G.1) следует разрешимость двойственной к ней задачи G.2)
и равенство G.17). Так как задача G.1), в свою очередь,
является двойственной к двойственной задаче G.2), то по доказанному
из разрешимости задачи G.2) следует разрешимость исходной
задачи G.1) и равенство G.17). Теорема 7.1 доказана.

§ 7. ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ
85
Теорема 7.2. Взаимодвойственные задачи G.1) и G.2)
имеют решение тогда и только тогда, когда существуют
такие точки х+ = (хи, Х2+), А = (AJ, \2), что \
х.еХ, А*еЛ, /0О = ^(А*). G.18)
Соотношения G.18) справедливы для всех точек х+ е X,, А* бЛ*
и только для них.
Доказательство. Необходимость. Пусть задачи G.1) и G.2)
разрешимы, т. е. Х+ф0, Кф0. Возьмем любые точки ж,еХ„А*бЛ*.
Это означает, что 1,61, /(sJ = /„, А* 6 Л, ф(\*) = ф*. Отсюда
и из G.17) следует, что /(х^) — ф(Х*). Таким образом, в качестве
точек х^ А*, удовлетворяющих условиям G.18), можно взять любые
точки из множеств Х^ Л*.
Достаточность. Пусть для каких-то точек хт = (хь, ж^), А* =
= (А*, \*2) выполнены соотношения G.18). Это значит, что
множества 1иЛ непусты и по лемме 7.2 /„ > —оо, ф* < +оо. Отсюда и из
теорем 6.1 и 6.3 вытекает, что задачи G.1) и G.2) разрешимы, т. е.
Х+ Ф 0, Л* ф 0. В силу теоремы 7.1 тогда /* = ф*. бтсюда с учетом
равенства из G.18) имеем /(с^/(ж+) = ^(А*)^^*==/*» чт0 возможно
только при /ta) = /, = ф* = Ф(У)- Таким образом, если точки ж,,
А* удовлетворяют условиям G.18), то обязательно х+ е Х^ А* еЛ*.
Теорема 7.2 доказана.
Замечание 7.1. Условия G.18) равносильны условиям
хтеХ, А*еЛ, /(*,KV(A*). G.19)
В самом деле, совмещая неравенство из G.19) с неравенством G.14)
при х = х+, А = А*, приходим к равенству /(ж*) = ф(У)-
Теорема 7.3. Взаимодвойственные задачи G.1) и G.2)
имеют решение тогда и только тогда, когда существуют
такие точки хф = (хи, Х2+), А* = (А*, Х2), что
х+еХ, А*€Л,
xfm(AJiK + AL*2 + CiY=0> j=T^; G.20)
(АГ)'(Ь1 - Апхи - А12ХъУ =0, i = 1, т{.
Соотношения G.20) справедливы для всех точек х+ €Х+, А* еЛ*
и только для них.
Доказательство. Необходимость. Пусть задачи G.1) и G.2)
разрешимы. Согласно теореме 7.2 тогда условия G.18)
справедливы при всех х+ е Х^ У е Л*. В частности, /(ж+) = ф(Х*). Отсюда
и из неравенств G.16) при х = х„, А = А* имеем
(с1+ЛГ1АГ + Л?1А^^ = ^^(АГ1А? + А?А; + с1У=0. G.21)

86 Глава 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
В силу определения множеств X, А каждое слагаемое в этой
сумме неотрицательно. Поэтому из G.21) следуют первые из
равенств G.20). Для доказательства остальных равенств G.20)
воспользуемся неравенствами
/(х) - ^(А) = <с„ х,} + (с,, xj + (Ь„ А,) + (Ь2, А2) ^
^ \АцА] — Л2\А2, Xj/ + (—A12Aj — А22А2, х^,) +
+ (Ь„А1) + (Ь2,А2)= G.22)
= Fj — AjjXj — А12Ж2, Aj) + (о2 — А2\ХХ — А22х2, A2/ =
= (bl-Allxl- A12^, A^^O VxeX, VAeA,
аналогичными G.16) и также вытекающими из определения
множеств X, Л. Из G.22) при х = х„ А =А* с учетом равенства G.18)
имеем
ft-A^-A,,^, ЛГ> = ^(ЛГ)ЧЬ1-^11^-^12^Лг=0. G.23)
Из неотрицательности каждого слагаемого в сумме G.23) следует
вторая группа равенств G.20).
Достаточность. Пусть для каких-то точек х„ = (хи, ж^), А* =
= (А^А2) выполнены условия G.20). Тогда для них справедливы
равенства G.21), G.23), с помощью которых нетрудно убедиться,
что в G.22) при х = х„, А = А* все неравенства превращаются в
равенства и, следовательно, /(xJ = ^(A*). Это значит, что для любых
точек х„, А*, удовлетворяющих условиям G.20), выполняются
условия G.18). Отсюда и из теоремы 7.2 следует, что хф е Х^ А* б Л*.
Теорема 7.3 доказана.
Равенства G.20) называют условиями дополняющей
нежесткости. Из них следует, что если решение задачи линейного
программирования удовлетворяет каким-то из ограничений типа неравенств
строго, то соответствующая координата любого решения
двойственной задачи непременно равна нулю. Можно показать, что
существуют такие пары решений х+, А* взаимодвойственных задач, которые
удовлетворяют так называемому условию строгой дополняющей
нежесткости, когда в произведениях G.20) лишь один из
сомножителей равен нулю (см. упражнение 9.12).
Экономический смысл двойственных переменных, решения
двойственной задачи, условий дополняющей нежесткости описан,
например, в [1, 7, 47, 57].
Покажем, что двойственные переменные в задачах линейного
программирования можно истолковать как обобщение понятия
множителей Лагранжа, используемых в классическом анализе при
исследовании задач на условный экстремум [65].
Введем функцию
L(x, А) = (с„ х{) + (сь, afc) + (Ар Апх{ + Апх2 - Ьх) + ^
i (А2) А2\ Xj + А22^2 ~~ ®2/

§ 7. ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ
87
переменных х = (хх, х^еХ0 = {х = (хи а^): ххеЕ^, x2eEtl2, х^О},
А=(А1,А2)бЛ0 = {А =(А1,А2): А^Я^, А2е?7^, А^О}. Эта
функция называется функцией Лагранжа задачи G.1),
переменные А =(АИ А2) называются множителями Лагранжа, причем А, ^
^0 — множители, соответствующие ограничениям типа неравенств
в определении множества X, А2 — множители, соответствующие
ограничениям типа равенств. Пользуясь тождеством (Aiyxy, \t) =
= (хя А Т. А.), функцию Лагранжа можно записать в виде
L(x>A) = (-b1,A1> + (-bi,A2> + («i» ^iiAi + i4J1A2 + cl> +
+ (»2, -АЬА,+А?А2 + с^>, xeX0, AgAq.
Определение 7.1. Точка (x„, A*Nl0xA0 называется сед-
ловой точкой функции Лагранжа, если
L(x„AKL(x,,A*KL(x,A*) Vx е Х0> VAeV G.26)
Теорема 7.4. Взаимодвойственные задачи G.1), G.2) шсе-
/от решение тогда и только тогда, когда существуют
точки х„ = (хь, а^)€Х0, A* = (Af, A?)€Aq, образующие седловую
точку (х+, А*) функции Лагранжа. Точка (х+, A*) е Х0 хЛ0 будет сед-
ловой точкой тогда и только тогда, когда х+ е Х„, А* еЛ*, т. е.
множество седловых точек функции Лагранжа совпадает с
множеством Х+ х Л*. Справедливы равенства
L(x,,A*) = /, = /(xJ = ^(A*) = V>* V(x„A*)€X,xA*. G.27)
Доказательство. Необходимость. Пусть задачи G.1), G.2)
имеют решение. Возьмем произвольную пару (х%, А*), где х, G Х„
А* б Л*. Согласно теоремам 7.1-7.3 тогда
/(xJ = ^(A*) = /, = V>*,
(xu, A[1A* + A2T1A2* + c1)=0, (А*, Ь1~А11хи + Л12х2,)=0;
кроме того, А21хи+А22х2,1 = Ь2, AJ2X*l-\-A2T2\2+cl =0 по определению
множеств X, Л. С учетом перечисленных равенств из G.24), G.25^
при х — х„, А = А* получим равенства G.27). Кроме того, из G.25)
при А = А* имеем
L(x,A*) = ^(A*) + (x1,A71At + A2T1A2* + c1) Vx е Х0.
Отсюда и из уже доказанных равенств G.27) следует, что
L(x,A*)-L(x„A*) = (x1, AJlAJ + AJAJ + c^^O VxGX0.
Правое неравенство G.26) доказано. Далее, из G.24) при х = х„
имеем
L(x„A) = /(xJ + (A1, Anxlm + Al2x^-bl) VAeA0.

88 Глава 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Отсюда и из G.27) следует левое неравенство G.26):
L(x„A*)-L(x„A) = (A1, Ь1-Л|1ж1.-Л12я^)^0 VAgAq.
Тем самым установлено, что любая точка (х*, А*) еХ+хК является
седловой точкой функции Лагранжа.
Достаточность. Пусть (х„, А*) е Х0 х Aq — какая-либо седло-
вая точка функции Лагранжа. Покажем, что тогда х+ е Х+, А* е
GA*, т. е. задачи G.1), G.2) разрешимы. С учетом
представлений G.24), G.25) для функции Лагранжа перепишем
неравенства G.26) в развернутом виде:
/0О + (А„ Allxlm + Al2xu-bl) + (X2l А21хи + А22а^-Ь2)^
^(**,А*К п
<tf(A*) + fo, ^1А* + А2т1А; + с1) + (х2, AJ^ + A^ + c,) l' '
VxgX0, VAgAq.
Точка А =(А,=0, \2 = t(A2iXu+A22x2+ — b2))eAQ "it gR. Подставив
эту точку в G.28), из левого неравенства имеем
t|A21xu + А22х2, - Ь2)\2 ^ L (х„ А*) - /(xj Vt G R.
Разделим обе части этого неравенства на t, считая t > О, и
устремим ? —> +оо. Получим |A21xu + A22x2ii — Ь2|2 ^ 0, что возможно
только при А21хь + А72х2^ = Ь2. Далее, положим в G.28) А = (А, =
= @,.. .,0, А|,0,.. .,0), А2 = 0), считая А'^0. Получим \\(Апхи +
+ А12зс2* — Ь{I ^L(x+, A*) —/(xj VAf ^0. Разделим это неравенство
на А[ >0 и устремим А[—>+оо. Будем иметь (Апхи+А12х2^ — Ь1У^0
при каждом * = 1, п,, т. е. Апхи+А12х2^^Ъ1. Следовательно, х+еХ.
Аналогичными рассуждениями, полагая в G.28) х = (х,=0, х2 =
= t(AJ2A*+A2r2A;+c2))VtGRHx = (x1=@,...,0,x1l,0,...,0), х^О),
х{ ^ 0, устанавливаем, что A* G Л.
Таким образом, установлено, что всякая седловая точка (х^, A*)G
еХ хА. Наконец, положим в G.28) х = (х, =0, х^О), A =(Aj =0,
А2 = 0). Получим /(xj ^ ?(х„, А*) ^ Ф(л*). С другой стороны,
для точек х^е X, A* G А справедливо неравенство G.14): f(xj ^
^ i>(\*). Следовательно, /(xJ = ^(A*). Это значит, что точки х„, А*
удовлетворяют всем условиям G.18). В силу теоремы 7.2 х„ G Х>,
A* gA*. Тем самым показано, что все седловые точки функции
Лагранжа принадлежат множеству X, х Л*. С другой стороны, выше
мы доказали, что каждая точка из X, хЛ* является седловой.
Следовательно, множество седловых точек функции Лагранжа совпадает
с множеством Х+ х А*. Теорема 7.4 доказана.
Игровую интерпретацию теоремы 7.4, понятия седловой точки
читатель может найти, например, в [7, 47].
В следующей теореме вопросы разрешимости и неразрешимости
взаимодвойственных задач линейного программирования
обсуждаются в терминах пустоты или непустоты множеств X, А.

§ 7. ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ
89
Теорема 7.5. Справедливы следующие утверждения.
1. Взаимодвойственные задачи G.1), G.2) разрешимы тогда
и только тогда, когда множества ХиА непусты одновременно.
2. В задаче G.1) X ф0, /, > -оо тогда и только тогда, когда
в двойственной задаче G.2) Аф0, ф* < +оо.
3. Если в задаче G.1) X ф0, fm = —оо, то в двойственной
задаче G.2) Л = 0; обратно: если Аф0, ф* = +оо, то X = 0.
4. ?слм в задаче G.1) Хф0, а в задаче G.2) Л=0, то ? = -оо;
обратно: если X = 0, Аф0, то V* = +°°-
Доказательство. 1. Если задачи G.1), G.2) разрешимы, то,
конечно, X ф0, Аф0. Обратно, если X ф0, А^0, то из леммы 7.2
следует, что /, > —оо, ^* < +°о, и разрешимость задач G.1), G.2)
вытекает из теорем 6.1, 6.3.
2. Пусть в задаче G.1) X ф0, /„ > —оо. Тогда согласно теореме 6.1
задача G.1) разрешима, а по теореме 7.1 разрешима и двойственная
задача G.2), т. е. Аф0, ф* < +оо. Обратно: из того, что Аф0,
^* < +оо, следует разрешимость задачи G.2), поэтому разрешима
и двойственная к ней задача G.1), так что X ф 0, /ф > —оо.
3. Это утверждение легко доказывается рассуждениями от
противного. Пусть X ф 0, /^ = —оо, но Л ^ 0. Согласно первому
утверждению тогда обе задачи G.1) и G.2) имеют решение и fm > -оо, что
противоречит условию. Аналогично доказывается, что если Аф0,
ф* = +оо, то Х = 0. *
4. Пусть X ф0, Л = 0, но /ф > — оо. Тогда в силу второго
утверждения Аф0, ф* < +оо, что противоречит условию Л = 0.
Аналогично убеждаемся, что если X = 0, Лф0, то V* = +оо. Теорема 7.5
доказана.
Следующий пример показывает, что возможен случай, когда
во взаимодвойственных задачах G.1), G.2) оба множества I иЛ
пусты.
Пример 7.1. Исходная задача: fix) = ж1 — 2ж2 —> inf, xeX =
= {ж = (ж1, ж2) ^ 0: ж1 — ж2 = 1, ж1 — ж2 = 2}; двойственная задача:
^(A) = -A1-2A2->sup, Л€Л = {Л=(Л1,Л2):Л1+Л2^-1, А]+АЧ
^ -2}. Ясно, что X = 0, Л = 0.
Задачи линейного программирования с противоречивыми
условиями, когда хотя бы одно из множеств X, А пусто, изучены в [5,
50, 52].
Приведенные выше теоремы двойственности часто позволяют
получить содержательную информацию при рассмотрении задачи
линейного программирования, иногда на этом пути удается провести
полное исследование задачи и даже получить ее решение. Для
иллюстрации рассмотрим задачу линейного программирования, не
содержащую ограничений типа неравенств.
Пример 7.2. Пусть имеется задача
/(ж) = (с, ж) -> inf, ж е X = {ж € Еп: Ах = Ь}, G.29)

90 Глава 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
где А — матрица размера га х п, се Еп, Ь е Ет. Задача G.29)
является частным случаем задачи G.1), когда п, =0, щ^п, т{ = 0,
тщ — т, А22 = A, bo = b, матрицы Ап, А12, Л21, Ьх отсутствуют.
Двойственная к G.29) задача формулируется так:
ф(\) = -(Ь, Л) -> sup, Л е Л = {Л е Ет: АТХ + с = 0}.
Предположим, что задача G.29) имеет решение, т. е. X ф 0, ? >
> —оо. Тогда согласно теоремам 7.1-7.5 двойственная задача также
имеет решение, т. е. Л ф 0, ф* < +оо. Возьмем VA0 e Л. Это
значит, что с = -АТА0. Тогда f(x) = (с, х) = (—АТХ^ х) = — (А0, Ах) =
= -(Ар, Ь) = const \fxеХ. Следовательно, /+ = — (А0, Ь), Х = -^-
Таким образом, задача G.29) либо неразрешима, а если разрешима, то
f(x) = const = ? VaseX, Х+ = Х. Аналогично, если ^6X^0 6 = ^2^
и ^(А) = -(Ь, А) = -(Ааъ, А) = -(а%, АтА) = (яь, с) = const VA еЛ,
так что V* = (яь> с) = Л, Л* = Л. Как видим, задачи линейного
программирования без ограничений типа неравенств
малосодержательны и большого интереса не представляют.
В заключение отметим, что изложенная выше теория
двойственности является составной частью красивой и богатой результатами
области математики, называемой выпуклым анализом [4, 5, 8, 38,
42, 51, 52,67, 79, 105, 112].
Упражнение 7.1. Напишите двойственные задачи к задачам из
упражнений 3.1-3.4, 4.1-4.3, 5.1-5.4, приведите их к каноническому виду и найдите решение
с помощью симплекс-метода.
Упражнение 7.2. Сформулируйте и докажите аналоги теорем 7.1-7.5
для взаимодвойственных пар задач G.3), G.4) и G.5), G.6).
Упражнение 7.3. Приведите примеры взаимодвойственных задач линейного
программирования, в которых множества решений Х+, Л* непусты и, кроме того,
1) оба этих множества состоят из единственной точки; 2) оба содержат более одной
точки и ограничены; 3) оба неограничены; 4) одно из них состоит из единственной
точки, другое ограничено и содержит более одной точки; 5) одно из них состоит
из единственной точки, другое неограничено; 6) оба множества содержат более одной
точки, но одно из них ограничено, другое неограничено.
Упражнение 7.4. Приведите примеры взаимодвойственных задач линейного
программирования, в которых реализуются все случаи, описанные в утверждениях
теоремы 7.5.
Упражнение 7.5. Пусть в задаче G.1) Ь{ = 0, 62 = 0 и эта задача разрешима.
Докажите, что тогда /@) = Д = ^* = 0. Указание. Напишите двойственную
задачу и заметьте, что ф(Х) = 0 VA G Л, 0 G X.
Упражнение 7.6. Для того чтобы точка х+ = (xUl x2il) € X была решением
задачи G.1), необходимо и достаточно, чтобы существовала такая точка Л* = (AJ, Х2),
Af^O, что /(«*)</(*)+ (Af, Anx{+Al2x2-bl) + {X^ А2Ххх + А22х2-Ь2) =
= L (ж, A*) Va? = (х{, а^), хх ^ 0. Это неравенство справедливо для всех х+ G Х^ А * ?А
и только для них. Докажите это утверждение.
Упражнение 7.7. Пусть L (ж, А) — функция Лагранжа задачи G.1).
Докажите, что
f0(x)= sup L(xy Х)=< , ^v\V
дело 1+°° ПРИ хех0\х,
Vfo(A)= inf L(x, Х)=< ' . А ' А
ov ' хех0 v ' ' \-оо при АеЛо\Л.

§ 8. М-МЕТОД
91
Убедитесь, что задачи /0(x)-unf, xeX0 и ф0(Х)-*ьир, X gAq равносильны
задачам G.1) и G.2) соответственно.
Упражнение 7.8. Докажите, что взаимодвойственные задачи G.1), G.2)
оазрешимы тогда и только тогда, когда max min L(x, Л)= min max L(x. А).
Упражнение 7.9. Напишите функцию Лагранжа для двойственной
задачи G.2), записанной в форме G.7), и докажите, что точка (Л*, xj gAq x X0 будет
седловой точкой этой функции тогда и только тогда, когда (х+, Л*) — седловая точка
функции Лагранжа задачи G.1).
Упражнение 7.10. Пусть X = {х = (хх,х2): хх е Е, х2?Е7^, хх ^ 0,
Ахххх+АХ2х2^0, А2Ххх+А22х2 = 0},А={Х=(ХХ1Х2):ХхеЕт>, Х2еЕт*, А^О,
A Jx X х +Л Jj Л2 ^ 0, 4 ^2 Л j Н-^22^2=0}» гДе ^у — матрица размера т{ х п^, i, j = 1, 2.
Докажите, что
«f(-AliAl+-A2lA2)i = °» i = T7ni"; A^^n^+^^^J^O, г = 1,ш,,
для всех хе X, X е Л. Указание. Покажите, что задачи /(х) = 0-мпГ, x G-Y
и ^>(А) = 0—»>siip, Л еЛ являются взаимодвойственными, Х+ = X, Л* =Л, и
воспользуйтесь теоремой 7.3.
Упражнение 7.11. Пусть множество X определено, как в задаче G.1),
и непусто. Докажите, что тогда
x{(AJnXx+AlxX2Y =0, j=l,nx; Xi(bx-Axxxx-AX2x2)i=0, г = 1,тп1}
ддявсеххеХ иХеА={Х = (Хх,Х2):ХхеЕт^1 Х2€Ет*, А^О, А^Х^А^ А2^0,
А21ХХ -\-А22Х2 = 0}, для которых F1? Хх)-{- (b2, A2) = 0. Указание. Покажите,
что задачи /(х) = 0—> inf, xGX и ф(Х) = —{bx, Xx) - (b2i А2) —>sup, А еА взаимод-
войственны, разрешимы, Д = ф* = 0, Х+ = X, и воспользуйтесь теоремой 7.3.
§ 8, М-метод
Снова вернемся к симплекс-методу для решения канонической
задачи
f(x) = (с, х) -> inf, zeX = {x€Sn: ж > 0, Аж = Ь}, (8.1)
где А — матрица размера т х п, се Еп, Ь еЕт. Для определения
необходимой для начала симплекс-процесса угловой точки
множества X, ее базиса и соответствующей приведенной формы
задачи (8.1) в § 5 был описан метод искусственного базиса. Этот метод
был существенно использован при доказательстве теорем 5.1-5.3,
сыгравших важную роль при обосновании симплекс-метода и
последующих фундаментальных фактов теории линейного
программирования, в частности при построении теории двойственности. В свою
очередь эта теория теперь поможет нам описать и строго обосно-
вать другой вариант симплекс-метода решения задачи (8.1), который
не требует предварительного определения какой-либо угловой точки
Допустимого множества. Этот метод представляет собой сочетание
метода искусственного базиса с методом штрафных функций, и его

92 Глава 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
в литературе часто называют М-методом (см., например, [11, 73,
115, 138, 139, 140]). Сразу же оговоримся, что последующее
изложение не предполагает знакомства читателя с методом штрафных
функций.
Как и в § 5, считая, что А Ф 0, Ь ^ 0, введем
вспомогательные переменные и = (и1,..., ит) и в пространстве Ет+п
переменных у = (и, х) рассмотрим следующую так называемую М-задачу:
9(y)=9(y,M) = M(lm,u) + (c,x)-^ml, yeX
Y=ly=(™ jeEm+n: и^О, ж^О, Су = 1ти + Ах = Ъ
где Im = A,..., 1) € Ет, 1т — единичная матрица размера га х т,
С = (/т,А), М—достаточно большое положительное число.
При и = 0 задача (8.2) превращается в исходную задачу (8.1), а
добавочное слагаемое M(Im, и) = М(и1+.. .+nm) = M|n|1, гх^О,
представляет собой штраф за нарушение ограничения и = 0 — при
больших М «наказание», равное М]^, можно сделать сколь угодно
большим даже при малых «нарушениях» \и\х >0 ограничения и—О.
Нетрудно видеть, что в канонической задаче (8.2) множество Y
непусто и не зависит от М, угловая точка Уо = (Ь,0) этого
множества и ее базис 1т известны, rang С = rang Jm = га, приведенная
форма этой задачи относительно точки уц легко выписывается.
Поэтому при каждом фиксированном М ^ 0, применяя симплекс-метод
с антициклином, за конечное число шагов можем вычислить
значение функции &(М)= inf g(y, M), определить, имеет ли задача (8.2)
y€Y
решение, и, если имеет, найти его. Если &(М) > — оо, то согласно
теореме 6.1 множество Y^(M) = {у е Y: д(у, М) = д*(М)\ решений
задачи (8.2) непусто. Оказывается, что если число М ^ 0
достаточно велико, то, анализируя завершающую симплекс-таблицу,
получившуюся при решении задачи (8.2) симплекс-методом, несложно
узнать, разрешима ли исходная задача (8.1), и, если разрешима,
найти ее решение. Строгим обоснованием м -метода служат следующие
теоремы.
Теорема 8.1. Пусть задача (8.1) разрешима, т. е. Хф
Ф®, /*>-°°, Х.ф0, и пусть A* = (Au,..., Am*)— какое-либо
решение двойственной к: (8.1) задачи. Тогда при всех М > |Л*|00 =
= max |А**| задача (8.2) также имеет решение, причем ^(М) =
1 ^ i ^ m
= Л, Y.(M) = @, X,) VM > |A*L, где @, XJ — множество всех
таких точек у = @, х+), что х+ е X,.
Теорема 8.2. Пусть X Ф 0, но задача (8.1) не имеет
решения, т. е. /„ = —оо. Тогда задача (8.2) также не имеет решения,
или, точнее, д*(М) = -оо VM ^ 0.
Теорема 8.3. Существует такое достаточно большое
число М^ ^ 0, что в задаче (8.2) либо дт(М) = -оо VM > М^,
(8.2)

§ 8. М-МЕТОД
93
либо д*(М) = vxM + v2 VM > М где г/х, i/2 —некоторые
постоянные, причем vx ^ 0. Если gjM) = — оо или vx > О, то
задача (8.1) неразрешима. Если г/х = 0, то задача (8.1) разрешима,
причем г/2 = ?, Y,(M) = @, XJ VM > М^, м, следовательно, если
& = (ч, zj — какое-либо решение задачи (8.2), mo ti„ = 0, а; € -У*.
Прежде чем доказывать эти теоремы, рассмотрим несколько
примеров.
Пример 8.1. Рассмотрим задачу /(ж) = ж1 + ж2 —> inf, x e
е X = {х = (я1, ж2) ^ 0: ж1 + ж2 = 2}. Очевидно, /, = 2, X, = X.
Здесь М-задача (8.2} выглядит так: д(у, М) = Ми + ж1 + х2 —> inf,
у е У = {у = (ti, ж\ ж^) ^ 0: гх + ж1 + х2 — 2}. Множество У
ограничено и имеет три угловые точки: ух =B,0,0), % = @, 2,0), % = @,0, 2).
Поэтому &(М) > —оо VM ^ 0 и, перебирая указанные угловые
точки, нетрудно убедиться, что &(М) = д(ух, М) = 2М при 0 ^ М < 1,
&(М) = д(ух, М) = #(%, М) = 2 при М ^ 1. Как видим, в этой
задаче реализовался отмеченный в теореме 8.3 случай, когда г/х = 0,
и2 = 2 = fm при Мж = 1. Двойственной к исходной здесь является
задача ф(\) = —2Л —> sup, Л е Л = {Л е Е1: А ^ —1}. Ясно, что
ф* = 2, А* = —1 и |Л*| = 1 = М^. Это говорит о том, что
неравенство М > \\*\ж из теоремы 8.1 на классе задач линейного
программирования неулучшаемо.
Пример 8.2. Исходная задача: f(x) = ж1 — х2 —> inf, xe X =
= {х = (ж1, ж2) ^ 0: - ж1 + 0 • ж2 = 1}. М-задача: д(у, М) = Ми +
+ хх - ж2 —> inf, у е У = {у = (и, ж1, ж2) ^ 0: и — ж1 = 1}.
Множество У имеет одну угловую точку ^ = A,0,0). Оно неограничено, так
как луч y(t) = A + t, t, (M + 2)t)y t ^ 0, принадлежит У при
любом фиксированном М ^ 0. Кроме того, g(y(t), M) = М — t —> —оо
при t —>+оо. Следовательно, &(М) = — оо VM^O. Здесь
реализовался один из предсказанных в теореме 8.3 случаев. Исходная задача
неразрешима, так как X = 0.
Пример 8.3. Исходная задача: /(ж) = —ж1 + ж2 —> inf, ж е X =
= {ж = (ж1, ж2) ^ 0: — ж1 + 0 • ж2 = 1}. М-задача: д(у, М) = Ми -
- х1 + х2 —> inf, у 6 У = {у = (w, ж1, ж2) ^ 0: w — ж1 = 1}. Как
видим, здесь множества X, У те же, что и в примере 8.2. Так как
луч у = у(?) = A + ?, ?, 0), ? ^ 0, принадлежит У, при 0 ^ М < 1
имеем g(y(t), М) = М + (М - Ш —> -оо при t —> +оо. Это значит,
что &(М) = -оо VM, 0^М< 1. Пусть М^ 1. Тогда #(у, М) = МA +
4- ж1) - ж1 + ж2 = М + (М - 1)ж! + ж2 ^ М для всех у € У, причем
в точке ух =A,0,0) выполнено равенство д(ух, М) = М.
Следовательно, &(М) = «/(од, М) = М VM ^ 1. Реализовался отмеченный
в теореме 8.3 случай, когда г/х = 1, ^2 = 0 при Мж = 1. Исходная
задача неразрешима, так как X = 0.
Имея в виду, что для доказательства теоремы 8.3 будет
использован симплекс-метод, предварительно рассмотрим на примере, как
влияет на симплекс-процесс наличие в задаче большого параме-

94 Глава 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
тра М, и попутно постараемся объяснить, какие значения М
следует признать «достаточно большими» в каждой симплекс-таблице.
Пример 8.4. Рассмотрим задачу /(х) = 2х* — х2 —> inf, x e
е X = {х = (х1, х2) ^ О, хх - х2 = 1}. Нетрудно видеть, что здесь
множество X непусто и неограничено, ? = 2, X, = {х„ = A,0)}.
Симплекс-процесс для М-задачи #(у, М) = Ми + 2Х1 — х2 —> inf, у е
eF = {y = (w, х1, х2)^0: и+х{ — х2 = 1} начнем с угловой точки % =
= A,0,0). Приведенная форма М-задачи относительно этой точки
такова: д(у, М) = М-(М- 2)х{ - (-М+ 1)х2 -> inf, у е Y = {у ^ 0:
и + хх — х2= 1}.
Табл. 35
г,
д
Б
и
V
1
\ = м
и
1
Д,=0
ж1
Ф
\ = М-2
X2
-1
Д3 = -М + 1
Таблица 35 является симплекс-таблицей угловой точки %.
Величины Д0, Д,, Д2, Д3 из строки Д линейно зависят от М и при
больших М их значения сохраняют постоянный знак.
Величину Мос(%) будем называть достаточно большой для таблицы 35,
если Др Д2, Д3 сохраняют свой знак (или остаются равными нулю)
для всех М > М^Уъ). Очевидно, здесь М^у^) = 2 и Aj = 0, Д2 > 0,
Д3 < 0 VM > 2. Как видим, реализовались условия C.34) (случай III
из описания симплекс-метода) сразу для всех М > 2. Согласно
правилу C.35) выберем разрешающий элемент ^12 = 1, переменную и
выведем из базиса, а х1 введем в базис и придем к
симплекс-таблице 36 следующей угловой точки ух =@,1,0). Нетрудно убедиться,
что здесь Ах ^ 0, А2 = 0, Д3 ^ 0 для всех М > MQO(yl) = 2 = MJjh).
Реализовались условия C.32) (случай I). Симплекс-процесс на этом
заканчивается. Получаем &(М) = 2 = д, Y^(M) = {у+ = @,1,0)} =
= {у+ = (^ = 0, х, = A,0)} при всех М > 2 = М^, что полностью
согласуется с теоремой 8.3.
Табл. 36
г,
д
Б
ж1
V
1
До = 2
м.
1
Д, = -М + 2
я1
1
Д2=о
X2
-1
Д3 = М-1
Кстати, путем несложного анализа таблицы 35 можно получить
явное представление для &(М), YJ(M) и при 0 ^ М ^ 2. В самом
деле, &(М) = —оо при 0 ^ М < 1 (тогда в таблице 35 Д3 = —М +
+ 1 > 0, 7i3 = """ < 0 — реализовались условия ?3.33)), &(М) = М
при 1 ^ М ^ 2 (тогда в таблице 35 Дj =0, Д2 ^ 0, Д3 ^ 0 — реализова-

§ 8. М-МЕТОД
95
лись условия C.32)). Нетрудно также заметить, что для различения
случаев I—III (условий C.32)-C.34)) из описания симплекс-метода
нам необязательно было явно знать достаточно большие числа
таблиц 35, 36, поскольку для определения знака линейной функции
при больших значениях ее аргумента достаточно иметь знаки ее
коэффициентов.
Доказательство теоремы 8.1. Из разрешимости задачи
(8.1) следует разрешимость двойственной к ней задачи
^(A) = -F,A)->sup, XeA = {\eEm: АтА+с^0}
(теорема 7.1). Пусть А* = (АЬ,..., Ат*) — какое-либо решение этой
задачи. Возьмем произвольную точку х+еХ+. Согласно теореме 7.4
пара (ж*, А*) образует седловую точку функции Лагранжа Ь(х, А) =
= {с, ж) + (А, Ах-Ь) задачи (8.1) и /, = Ь(ж„ A*)^L(x, A*) = (c, х) +
-f (А*, Ах — Ь) для всех х ^ 0. В частности, это верно и для всех
тех х > 0, для которых у = (и = Ь - Ах, х) е Y. Поэтому
-оо </. ^ (с, х) + (А*, -и) ^ (с, х) + |А*|00|и|1 Vy = (и, х)е Y (8.3)
Пусть М > lA*!^. Отсюда и из (8.3) следует, что
-оо <fm^ (с, х) + М\и\х=д(у,М) VyeY
Переходя в этом неравенстве к нижней грани по у е Y, получим
—оо < Л < gJM) VM > |А*| Согласно теореме 6.1 тогда в
задаче (8.2) Ym(M) ф О VM > |А*Пс Покажем, что Л(М) = Л и ^(М) =
= (О, XJ VM > [А*!^. Возьмем произвольную точку уф = (if, = 0,xj€
€@,Х,). Тогда у,еУ и -оо<Л<Л(М)^Л(Л,М)=М-0+<с,^>=Л.
Это значит, что /„ = &(М) = у(у+, М), т. е. у, е ^(М).
Следовательно,
а(М) = /„ @,xjci;(M) vm>|a*l.
Докажем справедливость противоположного включения: Y+(M) С
С (О, XJ. Пусть у„ = (%, г„) е Y^(M). С учетом уже доказанного
равенства &(М) = /„ и неравенства (8.3) при у = а имеем
МК|1 + (с,^) = Л(М) = Л<(с,^> + |А*|00|^|1,
поэтому (М — |A*L)|t/Jj ^ 0. Отсюда и из М > |А*| следует, что
Kli ^0, т. е. %=0. Тогда z+eX и (с, ^)=^(М) = /+. Следовательно,
** € Х+. Таким образом, у, е (О, X,). так что У[(М) С (О, XJ VM >
> lA*!^. Отсюда и из вышеуказанного включения (О, XJ С 5^(М)
следует, что 1^(М) = (О, XJ VM > JA*L. Теорема 8.1 доказана.
Доказательство теоремы 8.2. Если в задаче (8.1) X Ф 0,
Л = —оо, то симплекс-процесс для нее закончится выполнением
Условия C.33), откуда, как было замечено в § 3 (см. также
упражнение 5.13), следует существование направления е фО, е ^ 0, со
свойствами Ае = 0, (с, е) < 0. Поэтому луч x(t) = qcq + te, t ^ О,
выходящий из любой точки XqE X, будет принадлежать множеству X

96 Глава 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
и (с, z(t)) = (c, afc) + t(c, е)-+-оо при ?->+оо. Тогда у(?) = @, а^)+
+ t@, е)еУ при всех t ^Ои #(г/(*), М) = М 0 + (с, x(t)) -> -оо
при ? —> +оо. Это означает, что д*(М) = —оо VM ^ 0. Теорема 8.2
доказана.
Доказательство теоремы 8.3. К задаче (8.2) применим
симплекс-метод с антициклином. Симплекс-таблицы,
соответствующие перебираемым угловым точкам ур множества У и их базисам
Вр, р = 0,1,..., будем схематически изображать в виде таблицы 37.
Табл. 37
г
д
Б
Уь
V
7о
А,
и1
7i
А,
. . .
ит
1т
Ат
X1
7т+1
Ат+1
. . .
хк
1т + к
^т + к
Хп\
1т+ п
Ат + п
Напоминаем, что в таблице 37 отражена вся информация о
задаче (8.2), записанной в приведенной форме относительно
рассматриваемой угловой точки ур и ее базисной матрицы Вр: в
строках Г записаны коэффициенты каждого уравнения приведенной
системы В~{ Су = В~1Ь = 7о» в А-строке — коэффициенты приведенной
формы целевой функции д(у, М), полученной подстановкой в
выражение для д(у, М) координат базисных переменных jfe, выраженных
через небазисные, причем \ = д(ур, М) (подробности см. в § 3).
Важно подчеркнуть, что элементы строк Г = (Гм ..., Гт) не зависят
от М, а в строке Д находятся линейные функции Ду = А3(ур, М) =
= AjX(yp)M + Ду2(г/р), j = 0, га + га, переменной М ^ 0, поскольку
д(у, М) зависит от М линейно.
В дальнейшем нас будут интересовать знаки функций Ду(ур,М),
j = 1, m + п, при больших М. Нетрудно видеть, что если Aj{(yp)^
знак линейной функ-
ф0, то при всех М>тах|-д^Ц; oj
ции ДДур,М) сохраняется и совпадает со знаком Aj{(yp). Если
AjiiVp) = °> т0 А,(Ур> М) = Аз2(УР) = const и тем более ДуC/Р> М)
сохраняет свой знак при всех М ^ 0. Число М^Ур) будем называть
достаточно большим для симплекс-таблицы угловой точки ур (с
учетом базиса Вр), если функции Ду(ур, М), j" = 1, т + га, сохраняют
знак (или остаются равными нулю) при всех М > М^уД В
качестве такого числа можно взять, например, любое число Мж(ур) ^
^ max max
1 О* < m + n
{¦
г^; 0 >. Положим М00 = тахМ00B/р), где
максимум берется по всем угловым точкам ур множества Y с учетом
их базисов. Такое число Мж существует, так как число угловых
точек множества У и их базисов конечно. Ясно, что при всех М > М*

§ 8. М-МЕТОД
97
величины А](у , М), j = 1, га + п, из Д-строки любой
симплекс-таблицы задачи (8.2) сохраняют свой знак.
Симплекс-процесс для задачи (8.2) начнем с известной угловой
точки % = (Ь, 0) е Y с базисом BQ — Im. Приведенная форма этой
задачи относительно точки у^ легко выписывается:
д(у, М) = М\Ь\Х - (МАЧт - с, х) -+ inf,
у е Y = {у = (и, х) > 0: 1ти + Ах = Ь},
где АТ — транспонированная матрица А. Отсюда следует, что
таблица 37 будет представлять собой симплекс-таблицу точки %, если
7о = Ь, А0 = М\Ъ\{; Ъ = еу, Ду=0, j = l,m; 7m+i = Ay, Дш+У =
= (ATIm)J'M - с\ у = 1, п, где еу — j-й столбец матрицы /т, Ау —
j-й столбец матрицы А (ср. с табл. 19).
Опишем общий шаг симплекс-метода для Af-задачи (8.2).
Допустим, что на некотором р-м шаге метода найдены угловая
точка ур множества У и ее базис Вр, не зависящие от М > Мж9
и пусть симплекс-таблица 37 точки ур нам уже известна. Поскольку
при всех М > М^ функции Ду(ур, М), j = 1, га + п, из Д-строки
таблицы 37 сохраняют свой знак (или остаются равными нулю), может
реализоваться один и только один из трех случаев, аналогичных
случаям I-III из описания симплекс-метода (см. условия C.32)-C.34)).
Рассмотрим их.
Случай I. ДДг/р, М) ^ 0 для всех j = 1, га + п и всех М > М^.
Тогда, рассуждая так же, как в § 3 (см. условия C.32)), нетрудно
доказать, что точка ур = (ир, хр) — решение задачи (8.2), &(М) =
= \(УР, Щ = д(ур, М) = М\ир\{ + (с, хр) VM > Мж.
Симплекс-процесс на этом заканчивается.
Случай II. С уществует такой номер fc, l^fc^ra + n, что
ДА.(г/р, М) > 0 VM > М^ и 7Л ^ 0. Тогда так же, как в § 3 (см.
условие C.33)), убеждаемся, что д*(М) = -с» VM > М^ — задача (8.2)
неразрешима при всех М > М^. Симплекс-процесс на этом
заканчивается.
Случай III. Существует такой номер fc, 1 ^ к ^ га + п, что
Д*(г/р,М)>0 VM > Мж1 причем в каждом столбце %, где
Д*(&,, М) > 0, имеется хотя бы один элемент 7,* > 0- Тогда, как
и в § 3 (см. условие C.34)), переходим к следующей угловой точ-
ке Ур+{ множества У, выбирая разрешающий элемент j8k = *у8к(ур)
по лексикографическому правилу D.5) и вычисляя элементы
симплекс-таблицы точки ур + 1 по формулам C.26) при v = yp, w — yг+1.
Так как точка и, и ее базис Вр по предположению не зависят от м >
> М^, строки Г = Т(ур) таблицы 37 также не зависят от М > М^ и,
как видно из D.5), для всех М > М^ можно выбрать один и тот же
элемент <ysk = isk(yp) этой таблицы. Это значит, что в новой
симплекс-таблице строки Г = Г(г/р + 1), вычисляемые по формулам C.26),
'• П. Васильев, А. Ю. Иваницкий

98 Глава 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
а также сама точка ур + 1 будут одними и теми же для всех М > М^.
Из тех же формул C.26) для Д-строки видно, что в симплекс-
таблице точки г/р+1 в Д-строке будут находиться линейные
функции ДДур+1,М) = Ду1(ур + 1)М + Ду2(ур + 1), j=0, т + п, с
коэффициентами
Дл(г/р + 1) = Дя(г/р)
Aj2(yp + i) = Aj2(yp)
также не зависящими от М > Мж. Общий шаг симплекс-метода
для задачи (8.2) при больших М описан.
Этот метод порождает последовательность угловых точек щ, уи
..., ур, ур + 1,... множества У, не зависящую от М > М^.
Заметим, что те же точки можно получить и с помощью обычного
симплекс-процесса с привязкой его к какому-либо конкретному
значению М0 > М^, взяв в Д-строке симплекс-таблицы точки ур
числа Ду = Aj(yp, Mq), j = 0, га + га, p = О, 1, 2,..., поскольку знаки
этих чисел при 1 ^ j ^ га + га нам уже известны и выбору того же
самого разрешающего элемента 7зк = 1ак(УР) ничто не препятствует.
Однако элементы jsk мы выбираем с помощью лексикографического
правила D.5), поэтому симплекс-таблицы точек %, 2ft,..., yp,...
не могут повторяться, как бы ни было взято конкретное
значение Mq > Мж. Отсюда и из конечности числа симплекс-таблиц в
задаче (8.2) следует, что симплекс-процесс закончится за конечное
число шагов в некоторой угловой точке ур = (ир, хр) реализацией
одного из случаев I или II. Выше было замечено, что в случае II
&(М) = —оо VM > Мж и задача (8.2) неразрешима при всех М > Мж.
Если реализовался случай I, то найденная точка ур = (ир, хр)
является решением задачи (8.2), причем
g.(M) = vlM + u2VM>M00, ^ = Kli^0, v2 = (c,xp). (8.5)
Таким образом, первая часть теоремы 8.3 доказана, установлен вид
функции &(М) при всех достаточно больших М.
Что теперь можно сказать об исходной задаче (8.1)? Если &(М) =
= — оо VM > Мж% то, оказывается, задача (8.1) неразрешима, т. е.
либо X = 0, либо X ф 0, но /„ = —оо.
В самом деле, если бы в этом случае задача (8.1) имела
решение, то мы имели бы X ф 0, ? > —оо. Однако тогда по теореме 8.1
&(М) = у;>-оо VM>|A*|00 и тем более VM >max{M00; lA*!^}, что
противоречит равенству д*(М) = —оо VM > М^.
Рассмотрим случай (8.5). Если здесь их = It^ > 0, то,
оказывается, в задаче (8.1) допустимое множество X пусто. В противном
случае, когда X Ф 0, либо /„ > -оо, либо ? = —оо. Если /„ > -оо,
*кЛУр)Ък(УРУ
у = 0, га + га, (8.4)
- А.2(Ур)
'р'ъЛурУ

§ 8. М-МЕТОД
99
то в силу теоремы 8.1 имеем &(М) = /„ VM > (А*!^ и тем более
VM > maxjM^; |A*!<„}. Для линейной функции (8.5) это возможно
только в том случае, когда коэффициент при М равен нулю, т. е.
vx = \ир\х = 0, что приводит к противоречию. Если X ф0, но /„ = —оо,
то по теореме 8.2 &(М) = — оо VM ^ 0, что противоречит (8.5).
Таким образом, если в (8.5) их >0, то X =0 и задача (8.1)
неразрешима.
Наконец, пусть в (8.5) vx = \ир\{ = 0, &(М) = и2 VM > М^.
Тогда ир = 0, ур = @, хр) G l^(Af), &(М) = д(ур, М) = */2 = (с, яр) VM >
> М^. Поскольку ур = @, жр) G Y, пллучаем хреХ, так что в этом
случае X ф 0. Далее, возможность /, = —оо исключается в
силу теоремы 8.2. Таким образом, X Ф&, /ф > —оо и,
следовательно, Х+ф0 (теорема 6.1). По теореме 8.1 тогда &(М) = /„ VM >
> [А*!^ и тем более VM > maxIM^; [А*!^}. Это возможно
только при &(М) = v2 = (с, яр) = /„. Следовательно, жр € -X*. Итак,
если в (8.5) ^=0, то задача (8.1) имеет решение и, более того,
одно из решений хр этой задачи уже найдено с помощью
симплекс-метода для задачи (8.2). Установлено также, что в этом
случае &(М) = ? VM > М^. Покажем, что при vx = 0 на самом деле
справедливо равенство Y>(M) = @, XJ VM > М^. Возьмем хм е Х+.
Тогда у, = @, х.) е Y и <?(&, М) = (с, х,) = /„ = Л(М) VM > М„.
Следовательно, г/, = @, xj e Y,(M), т. е. @, X,) € Y[(M) VM > Мж.
С другой стороны, если &(М) = /«, VM > М^, то для любой
точки & = (v„ z.) e Y,(M) имеем &(Af) = Af|t/Jl + (с, *.)=Д VM>MQO,
что возможно только при |vjj =0. Это значит, что если vx = 0,
2/* = (ч.> ^*) € Y+(M), то обязательно % =0, у, = @, zj. Тогда г, е X
и, кроме того, #(&, М) = (с, 2;) = &(М) = Д. Следовательно, 2^6-Х^.
Установлено, что если у, = (v0 zj e ^(М), то v+ = 0,^бХ„ т. е.
верно и обратное включение: У[(М) С @, XJ VM > М^ Таким
образом, если в (8.5) vx = 0, то YJ(M) = @, XJ VM > M^. Теорема 8.3
доказана.
Таким образом, возможность использования М-метода для
решения задачи (8.1) обоснована. К счастью, практическая реализация
этого метода не требует явного знания трудновычислимого
числа М^ из теоремы 8.3. Покажем это. Последнюю строку таблицы 37,
в которой записаны функции Ау(М) = AjXM + Ду2, j = 0, т + п,
заменим двумя строками &х и Д'2 и представим симплекс-таблицу
в следующем виде: Табл. 38
г
¦а,
**
Б
Уб
V
ъ
Ао,
Дог
«•
7i
д.,
А12
. . .
ит
1т
Ат1
Ап.2
Ж1
7т+1
Дт+1,1
^т+1,2
Хк
7т+к
^т + *,1
^m + Jk,2
. . .
Хп
im + n
^т + п,1
^т + п,2
7*

100 Глава 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Напоминаем, что строки А{, А2 вычисляются по формулам (8.4),
что полностью вписывается в ту же схему исключения Гаусса—-
Жордана C.26), которая используется для преобразования строк Г.
При работе с таблицей 38 нет необходимости явно определять ни
достаточно большое число М^у^ этой таблицы, ни Мж и, более
того, можно вообще «забыть», что в М-методе присутствует
параметр М. В самом деле, нетрудно понять, что случай I, когда
Aj = ДЯМ + Ду2 ^ 0 VM > Мж, j = 1, га + п, можно распознать,
не зная числа М^, по следующему признаку: Дл ^ 0 Vj = 1, га + п,
причем если Ду1 =0 при некотором j, то Ду2 ^0. Если выполнены
эти условия, то при До! > 0 делаем вывод, что задача (8.П не имеет
решения, ибо тогда X = 0 (см. пример 8.3); если же Д01 = 0, то
задача (8.1) разрешима, f = Д02, причем угловая точка ур = (ир, хА
множества У, которой соответствует таблица 38, такова, что пр=0,
хреХ+ (см. примеры 8.1, 8.4). Случай II равносилен тому, что
при некотором fc, l^fc^m + n, либо Ак1 > 0, % ^ 0, либо Ды =0,
Д*2 > 0» 7jk ^ 0- Тогда задача (8.1) неразрешима: либо X = 0
(пример 8.2), либо X ф®, f = —оо (теорема 8.2). В случае III существует
такой номер fc, 1 ^к ^т+п, что либо Ды >0, либо Ды=0, Дк2>0,
причем для каждого такого к столбец % имеет хотя бы одну
координату 7ijk > 0. Тогда переходим к следующей симплекс-таблице 38
по правилам D.5), C.26), (8.4).
Заметим, что при реализации М-метода можно обойтись и
обычной схемой симплекс-метода, использующей лишь таблицы вида 37,
если на каждом шаге Д-строку обновлять, помещая в нее
значения функций Ду = ДДур, М), j = 0, га + п, в конкретных точках М,
несколько больших, чем Мж(ур). При этом, если на последнем шаге
симплекс-процесса реализовался случай I, для различения
возможностей 1/,>0и vx =0 в (8.5) нужно будет проследить, имеются ли
вспомогательные переменные и{ среди базисных, и если таковые
имеются, то в столбце V посмотреть, все ли из них равны нулю
(тогда vp =0, vx =0) или среди них есть положительные (их >0);
если среди базисных не окажется ни одной вспомогательной
переменной, то тем более vp = 0, vx = 0.
Упражнение 8.1. Задачи из упражнений 5.2-5.4 решите с помощью М
-метода.
Упражнение 8.2. Докажите, что в задаче (8.2) функция дш(М), M ^ 0,
не убывает при возрастании М, причем если <?+(М0) = — оо в какой-либо точке Ak>0,
то д+(М) = -оо VM, 0 < М < М0. Указание: заметьте, что функция д(у, м) =
= М\и\х + (с, х) монотонна по переменной М при каждом фиксированном у = (и, х).
Упражнение 8.3. Аналитическое выражение функции д+(М) при всех М ^ 0,
приведенное в примерах 8.1-8.3, получите с помощью симплекс-метода.
Упражнение 8.4. Решите задачу
f(x) = 2xl -*2-Mnf,
х G X = {х = (xl, х2) > 0: хх - х2 = 1, 2а:1 - х2 = 3},

§ 9. ДРУГИЕ ТЕОРЕМЫ
101
пользуясь М-методом. Покажите, что в этой задаче д*(М) = —оо при 0 ^ М < 1/2;
Л(АО = 4Мпри 1/2^М^2/3;^(М) = М+2при2/З^М<1;^(М) = ЗприМ^1.
Упражнение 8.5. Пользуясь симплекс-методом, докажите, что в задаче (8.2)
либо д*(М) = -оо VM ^ 0, либо существуют такие числа 0 < а^ < ах < ... < аг, что
^(М) = -оо при О^М <Oq; g^(M)=viM + /if, ia ^0 при а{_! <М^аг-, i =T~r;
^*(jVf)=i/r+1M+i/r+1 при М^а^М^; функция д+(М) непрерывна при всех M^Oq.
Упражнение 8.6. Примените к М -задачам из упражнений 5.2-5.4 симплекс-
метод и определите величины аг-, vi% ц{ из утверждения упражнения 8.5.
Упражнение 8.7. Докажите, что если в задаче (8.1) Ь ^ 0 и среди
столбцов матрицы А имеются единичные векторы е{ , е^,..., е{, то М-задачу можно
сформулировать в пространстве ?m-/ + n меньшего, чем в (8.2), числа
переменных у — (г*1,..., гхт_/, х1,..., жп) (см. упражнение 5.14).
§ 9. Другие теоремы
Имеется большое количество теорем, составляющих основу
теории линейных неравенств и довольно просто доказываемых с
помощью изложенных выше результатов [4, 5, 8, 79, 114, 133,
137, 138]. Эти теоремы широко используются в выпуклом
анализе, в теории и методах линейной и нелинейной оптимизации. Здесь
мы остановимся на двух таких теоремах — теореме Фаркаша и
теореме Штимке, которые нам понадобятся ниже (некоторые другие
утверждения приведены в упражнениях). Излагаемые далее
теоремы 9.1-9.4 представляют собой различные варианты теоремы
Фаркаша.
Теорема 9.1. Пусть
X = {х = (хх,х2): хх €?">, х2еЕТ^, хх^0,
А\\х\ "I" ^12**2 ^ fy» -™-2\Х\ "• ^22**2 = "\ J»
A = {\=(\l,\2):\leE'*, А2€Я"\ A^O,
AJX\X + AlХ2 + сх^ 0, AJ2XX + A2T2A2 + ^ = 0},
(9.1)
(9.2)
где A{j —матрицы размера га. x njt векторы су е En>, b{ еЕт<,
h j = 1, 2; пусть X ^ 0 и а — некоторое число. Тогда для то-
го чтобы неравенство f(x) = (с,, хх) + (с^, х^ ^ а выполнялось
для всех х е X, необходимо и достаточно, чтобы
множество А было непусто, и существовала такая точка X* еА, что
^(А*) = -(Ь1,АГ)-(Ь2,А*)^а.
Доказательство. Необходимость. Пусть X ф0 и f(x) ^ a
Ух е X. Тогда inf f(x) = /+ ^ а> -оо и в силу теоремы 6.1 зада-
хеХ
Ча /(ж) —> inf, xeX имеет решение. Согласно теореме 7.1 тогда
Двойственная к ней задача ^(A)-^sup, А еЛ также имеет
решение. Это значит, что Л^0и существует точка А* €Л, для которой
V>(A*) = supV(A) = V* = /.^a.
А<еЛ

102 Глава 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Достаточность. Пусть X ^0, Л^0 и существует такая точка А* б
еЛ, что ^(V) ^ а. Тогда из неравенства G.14) при А = А* имеем
f(x) ^ Ф(У) ^ а Ухе X. Теорема 9.1 доказана.
Теорему 9.1 часто формулируют в следующей альтернативной
форме.
Теорема 9.2. Пусть множества X, Л определены
согласно (9.1), (9.2), 1^0. Тогда совместна одна и только одна
из двух следующих систем:
хеХ, f(x) = (cl,xx) + (c2,x2) <а, (9.3)
AG Л, Ф(\) = -(Ъ1,\1)-(Ъ2,\2)>а. (9.4)
Доказательство. Системы (9.3), (9.4) одновременно
совместными не могут быть, так как в противном случае для их
решений х, А согласно G.16) мы получим противоречивое
неравенство 0 = а — а > /(ж) — ф(Х) ^ 0. Покажем, что если система (9.3)
несовместна, то система (9.4) совместна. В самом деле,
несовместность системы (9.3) означает, что f(x) ^ a Vx е X. В силу
теоремы 9.1 тогда существует такая точка А* еЛ, что ф(\*) ^ а, т. е.
А* — решение системы (9.4) и, следовательно, система (9.4)
совместна. Таким образом, системы (9.3), (9.4) не могут быть также
и одновременно несовместными. Остается одна возможность: если
одна из систем (9.3), (9.4) совместна, то другая несовместна.
Теорема 9.2 доказана.
Для удобства ссылок сформулируем частные случаи
теорем 9.1, 9.2, часто используемые в приложениях.
Теорема 9.3. Пусть Ах, А2—матрицы размера тх х п,
щх п соответственно, вектор сеЕп. Тогда для того чтобы
неравенство (с, х) ^ 0 выполнялось при всех таких х е Еп, что
Ахх^0, А2х — 0, необходимо и достаточно, чтобы существовала
такая точка А* = (\\, \*2), А* е Ещ, А2 Е Е™*, что
\х > 0, с = -А1\\ - АТ2\*2. (9.5)
Доказательство. Введем множества X = {хеЕп: А{х^0,
А2х = 0}, Л = {А =(А1,А2): А, € ?"\ А2 е ?7™*, A^O, AJXx +
+ А2гА2 + с = 0), являющиеся частными случаями множеств (9.1),
(9.2), когда rij = 0, 7^ = 71, Al2 = А{, А22 = А2, с^ — с, Ь{ = 0, Ь2 = 0,
матрицы Ап, А21, сх отсутствуют. Здесь X ^0, так как ОеХ.
Воспользуемся теоремой 9.1, полагая /(ж) = (с, ж), ф(\) = 0, а=0.
Как видим, в качестве искомой точки А*, удовлетворяющей
условиям (9.5), можно взять любую точку из Л. Заметим, что здесь
а = 0 = /, = /@), ф* = 0, 0 € X., Л* = Л. Теорема 9.3 доказана.
Теорема 9.4. Пусть А -^матрица размера тх п, Ь еЕт-
Тогда совместна одна и только одна из следующих систем:
<Ь,ж)>0, Ах^О, (9.6)
А^0, АТ\ = Ъ. (9.7)

§ 9. ДРУГИЕ ТЕОРЕМЫ
103
Доказательство. Положим /(я) = — (Ь, х), хеХ = {хеЕп:
Ах^О}, <ф(\) = 0, ХеА = {ХеЕт: А^О, AVA = 6}. Теперь видно,
что эта теорема является частным случаем теоремы 9.2, когда щ —
= 0, щ = га, А12 = А, С2 = —Ь, Ь1=0, матрицы Ап, А21, А22, с1? Ь2
отсутствуют, а = 0.
Теорема 9.5 (Штимке). Пусть А—матрица размера тх п.
Тогда совместна одна и только одна из следующих двух систем:
Ах = 0, х>0, (9.8)
АтА^0, АтА^0. (9.9)
Доказательство. Системы (9.8), (9.9) не могут быть
одновременно совместными, так как в противном случае для их
решений ж, А получим противоречивое неравенство 0=(Ах, А) =
= (ж, АТА) > 0. Покажем, что если система (9.8) несовместна, то
система (9.9) совместна. Зафиксируем произвольный вектор е е Еп,
е > 0, например е = A,..., 1)т, и в пространстве переменных у =
= ( х \ eEn + l рассмотрим следующую вспомогательную задачу
линейного программирования:
/(v) = @,*) + (-lO = -7-*inf,
у=(*)еУ = {-* + <уе^0, Ах = 0}. (9Л0)
Заметим, что у = 0 е У, так что У ^ 0. Нетрудно убедиться, что
/(у) = -7 ^ 0 Vy E У. В самом деле, пусть существует такое % =
= 0*Ъ, То) € У, что /(г/0) = -7о < 0- ТогДа Ахо = 0. Ч> > 7ое > 0. т- е-
Xq — решение системы (9.8). Однако это противоречит
сделанному предположению о несовместности системы (9.8). Следовательно,
f(y) = — j ^ 0 У у e У. Далее воспользуемся теоремой 9.1. С этой
целью выпишем двойственную к (9.10) задачу:
<ф(\) = 0-> sup, А е А = {А = (Аи А2):
A^S", \2eEm, А^0, A1-ATA2 = 0, (e, At> = 1}.
Множества У, А являются частными случаями множеств (9.1),
(9.2), когда пх = 0, г^ = га + 1, щ = га, гаг^ = т, А12 = (—Jn, е),
Л22 = (А,0), ^=0, Ь2 = 0, Со = @,-1)т, матрицы Ап, А21, с{
отсутствуют. По доказанному У ^0, f(y)^0Vy e У. Отсюда и из
теоремы 9.1 при а = 0 следует, что А^0, а неравенство ^(А) ^ а =0
выполняется автоматически при всех А Е А. Возьмем
произвольную точку А = (Ап А2) е А. Мы имеем АТА2 = Х{^0. Из
равенства (е, Aj) = (e, А^А2) = 1, е>0, следует, что АА2^0. Таким образом,
А = А2 — решение системы (9.9). Следовательно, если система (9.8)
несовместна, то (9.9) — совместна, и эти системы одновременно
несовместными также не могут быть. Теорема 9.5 доказана.

104 Глава 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Упражнение 9.1. Докажите, что система (9.3) совместна тогда и только
тогда, когда а > Д. Для совместности системы (9.4) необходимо и достаточно, чтобы
Упражнение 9.2. Пусть Ах, А2 — матрицы размера тп1 х n, тп^ х п,
вектор с е Еп. Докажите, что совместна одна и только одна из следующих систем:
(с, х) < 0, Ал х ^ 0, А2ж = 0 или Л j ^ 0, A JX { + A J А2 + с = О (альтернативная форма
теоремы 9.3).
Упражнение 9.3. Пусть А — матрица размера тх п, Ь еЕт. Докажите,
что F, х) ^0 при всех ж, для которых Ах ^ 0, тогда и только тогда, когда существует
такое Л е Ет, что Л^О, i4TA = 6. Указание: воспользуйтесь теоремой 9.4 —
альтернативной формой этого утверждения.
Упражнение 9.4. Докажите, что множество X, определенное согласно (9.1),
непусто тогда и только тогда, когда {bx, Х{) + F2, Л2> ^ 0 для всех А € Л = {А =
= (А1,Л2): Х.еЕ1^, Х2еЕТ^, А^О, Xji At + ^4 Jj А2 ^ О, А^ + Aj2X2 = 0}.
У казание:длязадачи^(у) = F,, A,)+(fe2} A2)-Mnf, A G А напишите двойственную
задачу и воспользуйтесь теоремой 9.1.
Упражнение 9.5. Докажите альтернативную форму утверждения из
упражнения 9.4: совместна одна и только одна из следующих двух систем: хеХ или А €Л,
F1,А1) + F2,А2)<0.
Упражнение 9.6. Пусть А — матрица размера т х п, Ъ €Ет. Опираясь
на утверждение из упражнения 9.5, докажите, что совместна одна и только одна
из следующих двух систем:
\)Ах^Ь или F,А)<0, ЛтА=0, А ^0;
2)Ах = Ъ или ЛтА=0, F,А)<0;
Ъ)Ах = Ъ, х^О или ЛтА^0, F, А)<0;
Упражнение 9.7. Пусть А { — матрица размера mi x n, b( G E m<:, г = 1, 2, 3,
и пусть система Ахх < 6j, Л2ж = 62 совместна. Докажите, что тогда совместна одна
и только одна из систем
AjZ^bj, A2x = b2> A%x<b3 (9-11)
или
Л^А, + AjA2 + Л^ = 0, (Ъ{, А,) + {Ъ2, А2> + F3, А3> ^ 0, J2
А^0, А3^0, А3=^0.
Указание: воспользуйтесь схемой доказательства теоремы 9.5, в качестве
вспомогательной задачи в пространстве переменных у= I х ) eEn+l возьмите задачу
f(y) = -7 -»inf, у€У = {Л1х<61, А2ж = Ь2, Л3ж-7е<63},
гдее = A,1,...,1)т.
Упражнение 9.8. Пусть А — матрица размера тхп. Докажите, что для всех
решений систем Ах — 0, ж^Ои ЛтА^0 справедливо равенство
я'(АтА)'=0, j=T~^, (9.13)
причем существуют такие решения ж, А, что в произведениях (9.13) лишь один
множитель равен нулю, а другой положителен. Указание: убедитесь, что
равенства (9.13) следуют из упражнения 7.10; затем примените утверждение из
упражнения 9.7, взяв в качестве (9.11) систему —ж<0, —АТХ <0, Ах = 0, —х — А\ <0,
и покажите, что система, аналогичная системе (9.12), несовместна.

§ 9. ДРУГИЕ ТЕОРЕМЫ
105
Упражнение 9.9. Пусть А — матрица размера тхп. Докажите, что для всех
решений систем Лж^О, х^Ои ЛтА^0, А^О справедливы равенства
xj(AT\y=0, i = T~^, У(АхУ=0, i=T~^, (9.14)
причем существуют такие решения ж, Л, для которых х + АТХ > О, Л — Ах > О,
т. е. в произведениях (9.14) лишь один из множителей равен нулю. Указание:
убедитесь, что равенства (9.14) следуют из упражнения 7.10; затем примените
утверждение из упражнения 9.7, взяв в качестве (9.11) систему Ах <0, —х ^0, —А А ^0,
-А ^ О, — х — Ат\ <0, —А + Ах <0, и покажите, что система, аналогичная
системе (9.12), несовместна.
Упражнение 9.10. Пусть А — матрица размера тпх п. Опираясь на
утверждения из упражнений 9.8, 9.9, докажите, что совместна одна и только одна из двух
систем
1)Ах = 0, х>0, хфО или АтА>0;
2)Лж<0, х^О, хфО или ЛтА>0} А^О;
3)Лж<0, х>0 или ЛтА^0, АтА^0, А ^ 0.
Упражнение 9.11. Пусть А{- — матрица размера mi х Пу, j = 1, 2.
Докажите, что для всех решений систем Аихх + А12^ ^ 0» ^21 х\ + ^гг3^ =0, ^ ^ О,
и ^n^i + ^21^2 ^ 0» ^12^1 + ^22^2 = ^» ^i^O» справедливы неравенства
х{(Атп\х+АЪ\2у=0, j=T~^; (915)
Х\(Апх1 +А{2х2У=01 i = 1, тп1?
причем существуют такие решения х^(х1^х2), А=(А1}А2), что в
произведениях (9.15) лишь один из множителей равен нулю. Указание: покажите, что
равенства (9.15) следуют из упражнения 7.11, затем, пользуясь конструкциями
теоремы 1.1, запишите исходные системы в виде Ах^О, ж^0иЛтА^0, А ^ 0 и примените
утверждение из упражнения 9.9.
Упражнение 9.12. Пусть A {j — матрица размера mi х п-, Ъ( е Е™, г, j = 1, 2.
Докажите, что для всех решений систем Anxl-{-Al2x2^bli A2iX\+A22x2 = b2, х{^0
и Aj{Х{ + А2{А2 ^ 0, Aj2X{ + А22Х2 = 0, А, ^ 0 справедливы равенства
х{(АЪх{+АЪх2у=о, i = i,_np_ (916)
A{(fc, -Апхх -А12Х2У =0, i = l.mp
причем существуют такие решения x = (x{1x2)t A=(AltA2), что в
произведениях (9.16) лишь один из множителей равен нулю. Указание: убедитесь, что
равенства (9.16) представляют собой условия дополняющей нежесткости G.20) для
взаимодвойственных задач G.1), G.2) при сх =0, с^ = 0. Затем к системе Апх1-\'А12х2-
~7&i <0, А2{хх+А22х2-чЪ2= 0, хх ^0, 7^0 в пространстве переменных у=(уц %)»
2/i = l х1 ), У2 = х2 примените утверждение из упражнения 9.11, покажите, что 7 >О,
и все полученные соотношения поделите на 7-
Упражнение 9.13. Докажите, что если задачи G.1), G.2) разрешимы, то
найдутся такие х+ € Х^ X* е Л*, что в произведениях G.20) один из сомножителей
равен нулю, а другой больше нуля (условие строгой дополняющей нежесткости).
Указание: условие х+ е Х+ запишите в виде системы
хи ^ 0, Апхи +А12Х2ь ^ Ьр А21хи + А22^ = 62, (cvxu) + (с^ х%) ^ Д
и к ней примените утверждение из упражнения 9.12.

106 Глава 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
§ 10. Оценка расстояния от точки
до полиэдра (неравенство Хоффмана)
Определение 10.1. Полиэдром (или многогранным
множеством) будем называть множество, представимое в виде
Х = {хеЕп: АгХ^Ъи АоХ = ЬЛ =
I 1 И 2 2J (ЮЛ)
= {хеЕп: (а1к,х)^Ъ{, к = 1,щ; (а^ж) < Ь2', г = 1>™2>>
где А{ —матрицы размера mi x n, aik — к-я строка матрицы А.,
b^^1,...,^)^^, * = 1, 2.
Нетрудно видеть, что множества X, Л, Х+, Л* из задач G.1), G.2)
являются полиэдрами.
Определение 10.2. Расстоянием от точки xeЕп до
множества X с Еп называется величина
р(х,Х)= inf |ж — у|, \х-у\ = хГ? {х*-у*J.
В линейном программировании, теории линейных неравенств,
в выпуклом анализе важную роль играет оценка расстояния от
точки до полиэдпа через невязку Ьх — А{х, Ь2 — А2х (неравенство
Хоффмана [14J]). Такую оценку сначала получим для случая,
когда в A0.1) отсутствуют ограничения типа равенств.
Теорема 10.1. Пусть
Х = {хеЕп:Ах^Ъ} = {хеЕп:(ак,х)^Ък, fc = l,m}^0, A0.2)
где А —матрица размера т х п, ак—к-я строка матрицы А,
b = (b\ .. .,Ьт)ТеЕт. Тогда существует такая постоянная М>
> 0, зависящая лишь от А и не зависящая от Ь, что
р(х,Х)^М max (max{0; (ak3x)-bk}) VxeEn. A0.3)
1 ^ k ^ m v
При доказательстве этой теоремы воспользуемся схемой рассуж:
дений из [8]. Для этого нам понадобятся несколько вспомогательных
утверждений.
Определение 10.3. Пусть X — некоторое множество
из Еп. Проекцией точки хеЕп на множество X называется
точка w е X, ближайшая к точке ж, т. е.
w G X, \х — w\ = р(ж, X) = inf \y — х\.
Проекцию точки х на множество X будем обозначать через w =
= Рх(х).

§ 10. ОЦЕНКА РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧКИ ДО ПОЛИЭДРА 107
Лемма 10.1. Пусть X — непустое выпуклое замкнутое
множество из Еп. Тогда всякая точка хе Еп имеет проекцию
на это множество, причем эта проекция единственна.
Доказательство. Если X — ограниченное замкнутое
множество, то существование проекции точки х на множество X
следует из теоремы Вейерштрасса из классического анализа [65] о
достижении непрерывной функцией f(y) = \у - х\ нижней грани на
ограниченном замкнутом множестве. Пусть X — неограниченное
замкнутое множество. Зафиксируем какую-либо точку у0 е X и образуем
множество YQ = X П{у: f(y) = \у - х\ ^ /(%)=?% - х\}.
Множество Y0 непусто (у0 е Y), ограничено, замкнуто. Ё силу упомянутой
теоремы Вейерштрасса функция /(г/) = \у — х\ на множестве Y0
достигает своей нижней грани хотя бы в одной точке w Е Y0.
Однако нетрудно видеть, что f(w)= inf f(y)= inf /(г/). Следовательно,
w — проекция точки х на множество X. Существование проекции
на замкнутое множество доказано.
Предполагая выпуклость множества, докажем единственность
проекции. Пусть w[f w2 — проекции точки х на множество X, т. е.
wx, w2 e X, р(х, X) = f(w{) = /(m>). Тогда ^(wx + щ) € X в силу
выпуклости X и
l^i — щ\2 — ^\w\ — х\2 + 2|гу2 — х\2 — 4 \тч(щ + w2) — х
= 4p(x,X)-4f (^(пх + щ))^0.
Следовательно, 1^ — w2\2 < 0, что возможно только при wx = w2.
Лемма 10.1 доказана.
Лемма 10.2. Пусть X — выпуклое замкнутое
множество из Еп. Тогда точка w е X будет проекцией точки х е Еп
на множество X тогда и только тогда, когда
(w-ж, y-w)^0 VyEX A0.4)
Доказательство. Предварительно заметим, что
функция f(y) = \у - х\2 переменной у бесконечно дифференцируема
на Еп, причем /'(г/) = 2(у - х), f"(y) = 2Jn, где 1п — единичная
матрица размера п х п, все производные n-го порядка при n ^ 3 равны
нулю и справедлива формула Тейлора f(w + h) = f(w) + {f'(w), h) +
+ 5(f4™)Kh)=f(w) + 2(w-x,h) + \h\2, Vw,heEn. В частности,
при h — а(у — w) имеем
/ (w + a(y- w)) - f(w) = 2a(w- x, у - w) + a2\y - w\2 /jqj-ч
Vy^weE*1, a eR.

108 Глава 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Необходимость. Пусть w — проекция точки х на
множество X. Так как w + а (у — w) € X при всех у е X,
а е [0, 1] в силу выпуклости X, по определению
проекции имеем f(w + а(у - w)) — f(w) ^ 0 Vy € X, a G [0, 11.
Отсюда и из A0.5) следует, что 0^2(w—х,у—w)+a\y—w\2
VyeX, Va, 0<а^1. Из этого неравенства при a —> + 0 получим
условие A0.4).
Достаточность. Пусть некоторая точка юеХ удовлетворяет
условию A0.4). Тогда из A0.5) при a = 1 имеем
f(y) - f(v>) = 2(w - ж, у - w) + |у - w\2 ^ 0 Vy e X
Это значит, что f(w)= inf /(у), т. е. гу = /^(ж). Лемма 10.2 дока-
зана.
Лемма 10.3. Пусть множество X определено
согласно A0.2), X ф0, и пусть х?Х, w = Px(x). Тогда множество
индексов I(w) = {к: 1 ^ к ^ га, (ал, го) = Ь^} непусто.
Доказательство. Заметим, что в силу теоремы 6.2
множество X выпукло и замкнуто. Тогда из леммы 10.1 следует
существование и единственность проекции w = Px(x). Допустим, что
I(w) = 0. Так как w е X, это означает, что (aki w) < Ък Vfc = 1, m.
Тогда (afc, ги + а(х — w)} < Ьк при всех а, 0< а < а0, А: = 1, т, где
а0 — достаточно малое число. Можем считать, что а« < 1.
Следовательно, уа = w + а(ж — гу) 6 X Va, 0 < a < a0 < 1. Заметим, что
х — иофО, так как х ? X, w еХ. Поэтому
\уа — х\ — \w + а(х — w) — х\ = A — а)\х — w\ < \х — w\ Va,
0< a < a0< 1.
Оказалось, что точка уа е X ближе к точке ж, чем проекция w =
= Рх(х). Тем самым получено противоречие с определением
проекции. Следовательно, 1(ю)ф0. Лемма 10.3 доказана.
Лемма 10.4. Пусть множество X определено
согласно A0.2), Хф0, и пусть х$Х, w — Px(x). Тогда существуют
такие числа \к ^ 0, к е 1(ю) = {к: 1 ^ к ^ m, (ak, w) - Ък}, что
ж_^= ]Г A*afc. A0.6)
kel(w)
Доказательство. Согласно лемме 10.3 l(w)^0. Допустим,
что искомые числа \к, к е I(w) не существуют. Это значит, что
система уравнений { J2 \kak — x — w, Afc ^ 0, к el(w)} относи-
тельно неизвестных А* несовместна. По теореме 9.4 тогда система
уравнений {(akJ h) ^0, к el(w), (x-w, h) >0} относительно
неизвестных h = (h\ ..., hn) имеет хотя бы одно решение. Ясно, что

§ 10. ОЦЕНКА РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧКИ ДО ПОЛИЭДРА 109
h^O. Покажем, что w + aheX при всех а, 0<а < а0, где
а0—достаточно малое число. В самом деле, если к б /(гу), то для всех а > 0
имеем
(akJ w + ah) = (ah, w) + a(ak, h) ^ (ak, w) = bk.
Если k?I(w), то (ak, w)<bk и, следовательно, (ak, w+ah)<bk Va,
0< ol <a0. Таким образом, w+aheX Va, 0< a < a0. В то же время
\w + ah — x\2 = \w — x\2 + 2a(w — ж, h) + a2|h|2 =
= \w - x\2 + а[-2(ж — w,h) + a\h\2] < |гу — x\2
при всех достаточно малых а > 0, что противоречит определению
проекции точки х на множество X. Лемма 10.4 доказана.
Лемма 10.5. Пусть множество X определено
согласно A0.2), Х^0, х g X, w = Px(x). Тогда существуют такое
подмножество индексов 1Х с I(w) и такие числа рк > 0, к е Ixf
что
x-w=J2 Ркак = AlaPiu> A0-7)
где система векторов {ак, к е 1Х} линейно независима, Аг —
матрица со строками ак, к elx, pf —вектор с координатами рк,
kelx.
Доказательство. Воспользуемся уже доказанным
равенством A0.6). Заметим, что в A0.6) не все А*=0, так как хфъ).
Поэтому множество индексов 1{ = {к: к е I(w), Xk > 0} непусто,
и A0.6) можем переписать в виде
x-w = ^\kak. A0.8)
*€/,
Если система {ак, к el{} линейно независима, то требуемое
представление A0.7) получено с 1Х = 1{. Допустим, что система {ак,
к € 1Х} линейно зависима, т. е. существуют числа *ук, к el{9 не все
равные нулю и такие, что
?74=0. (Ю.9)
ike/,
Отсюда и из A0.8) имеем
x-w = ^2(Xk-tjk)ak VteR. A0.10)
JfcGl,

110 Глава 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Можем считать, что в A0.9) 7* > 0 хотя бы для одного номера к е 1и
ибо в противном случае A0.9) можно умножить на (—1). Это
значит, что множество 12 = {к elx: jk > 0} непусто. Выберем в A0.10)
А*
t = t{ = min —. Пусть здесь минимум достигается при к = s e 72,
Xs
так что tx = -т. Так как As > 0, 7s > 0» мы имеем tx > 0. Из уело-
\к \з
вия —?¦ ^ —у = ?j следует, что рк — Хк - t{jk ^ 0 "ik e I2f причем
p5 = A5-^7s=0. Если же ке1{\12, то 7* ^0 и р* = А* - txjk >0.
Таким образом, из A0.10) получаем равенство x — w= ?} Р*а*, где
fce/,
все р* ^ 0, причем р8 — 0 хотя бы для одного номера 5 б 1{. Убрав
здесь слагаемые с рк = 0, получим представление x — w — ^ Р*а*,
где множество I3Cllt причем 13 содержит меньшее число номеров,
чем 1Х. Если система {ак, к е 13} линейно независима, то требуемое
представление A0.7) получено с /ж = /3- В противном случае можем
повторить описанный процесс «чистки» дальше. Так как хфги, этот
процесс закончится за конечное число шагов получением
представления A0.7). Лемма 10.5 доказана.
Лемма 10.6. Пусть А —матрица размера т х п, и пусть
система {АТХ =0, А ^0, А ^0} несовместна. Тогда существует
такая постоянная р>0, что
max (afc,ATA)^/x|ATA| VA^O. A0.11)
1 ^ k ^ m
Доказательство. Пусть утверждение неверно. Тогда
для V/xr > 0, где {рг} -»0, найдется такое XreEm, Xr ^ 0, что
max (afc, ATXr) < pr\ATXr\. Это значит, что
1 < k ^ m
(afc, ATAr)</zr|ATAr|, Аг^0, Хгф0 V*=T^, г=1,2,... A0.12)
Можем считать, что \ХГ\{ = Х{г + ... + X™ = 1, так как в противном
случае неравенство A0.12) можно поделить на \ХГ\{ >0. Кроме того,
выбирая при необходимости последовательность с учетом теоремы
Больцано—Вейерштрасса [65], можем также считать, что Ar—>Aq,
|А0|х = 1. Умножим неравенства A0.12) на А* ^0 и сложим.
Получим
J2 А*К, АТАГ> = (]Г АГЧ, А7К) = \АТК\2 < МГ|АТАГ|.
к=1 к=\
Тогда |АТАГ| < рг, г = 1, 2,... При г -+ оо отсюда имеем |АТА0| =
= 0, или АтА0 = 0, где А0 ^ 0, |-Х0|Ж == 1. Пришли к противоречию
с условием. Лемма 10.6 доказана.

§ 10. ОЦЕНКА РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧКИ ДО ПОЛИЭДРА 111
Доказательство теоремы 10.1. Если в A0.2) матрица А =
= 0, то множество X не будет пустым только при 6^0, и, более
того, тогда Х — Еп, В этом случае обе части неравенства A0.3)
равны нулю при любом М. Пусть А ф0. Тогда X фЕп. Возьмем
произвольное множество таких индексов /с{1, 2,..., ш}, что
система {ак, к е 1} линейно независима, и образуем матрицу Ат
со строками ак, к el. Тогда система
{^, = ?^4=0, А,^0, А7^0}
kel
несовместна (впрочем, она несовместна и без требования А7 ^ 0).
Согласно лемме 10.6 тогда найдется такое число /х7 > 0, что
max(ajk, А]\т) ^ ^{AJX^ VA7 ^0. Положим /х= min /xz, где {/} —
к el I e {I}
множество всех подмножеств индексов / С {1, 2,..., ш}, для
которых система {ак, kel} линейно независима. Так как {/} —
конечное множество и /х7 > О V/ с {/}, мы имеем /л>0.
Покажем, что в качестве М в неравенстве A0.3) можно
взять М — 1/ц. Заметим, что если х е X, то обе части
неравенства A0.3) равны нулю и A0.3) будет верно с любой константой М,
в частности с М = 1//х. Остается рассмотреть случай х ? X.
Пусть w = Px(x) — проекция точки х на множество X. По
лемме 10.5 тогда справедливо представление A0.7), где I € J(w),
1хе{1}. Отсюда, учитывая, что max ({ак, х) — bk)>0 Vx$X, и ис-
1 ^ к ^ т
пользуя монотонность функции max{0; z}, получаем
max тах{0; (ак, х) - bh} = max{0; max ((ак, х) - Ьк)\ =
=, да «а*- х) ~ък) > tm?*Mak>х) -ьк) =
1 ^ к ^т к el(w)
= max ((ак, х) -(ak,w))= max (ak, x-w)>
к е I(w) к € /(«/)
^ тах<а4> x-w) = ти(о4> А]р{}^
к €1Х * G 1х хх
> V>ix\A1xPix\ = М/> - Н ^ (min /ij) • \х - w\ =
= /х|ж - w| = /х|ж - Рх(ж)| = /хр(ж, X) = ^^(ж, X).
Теорема 10.1 доказана.
Теперь рассмотрим случай более общего полиэдра A0.1).
Теорема 10.2. Пусть множество X задано
посредством A0.1), X ф0. Тогда существует такая постоянная М>0,
зависящая лишь от Аи А2 и не зависящая от Ьх> Ь2, что
р(х, X) ^ М max{ max max{0; (a1Jb, x) — Ьк}\
и*<И| |П A0.13)
max Kaa,,»)-^!} VxeE71. v
I ^ I ^ ТП^

112 Глава 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Доказательство. Ограничение А2х = Ь2 в X заменим
равносильной системой неравенств {А2х ^ Ь2, —А2х ^ — ЬЛ и множе-
ство X запишем в форме A0.2): X = {х е Еп\ (a1Jb, x) ^ 6*, fc =
= 1, mp (a^, ж) ^ Ь2, (—a^, ж) ^ -Ь2, Z = 1, rr^}. Согласно
теореме 10.1 найдется такая константа М > 0, зависящая лишь от Аи
А2, что
р(ж, X) ^ М тах{ max max{0; (alfc, ж) — Ь*};
1 ^ к ^ т,
тах тах{0; (a2f, ж) - Ь2};
1 ^/ ^Шз
тах тах{0;(-а2Ох) + Ь2}} УхеЕп.
Отсюда с учетом неравенств max{0; z} ^ \z\, тах{0; — z} ^ \z\ VzeR
приходим к оценке A0.13).
Приведем еще один вариант оценки A0.13).
Теорема 10.3. Пусть X = {х е Х0: {alk, ж) О*» fc = l,ml;
(a^, х) = Ь2, I = 1, гт^} ф 0, где множество Х0 само является по-
лиэдром: Х0={хеЕп: (аз5,ж)^Ьз» s = l,77T3, (а4г,ж) = Ь4, r = l,m4}.
Гог<5а существует такая постоянная М, зависящая лишь
от {alk}> {a2l}> {%,}, {а4г}, что
р(ж, Х)^М тах{ тах тах{0; (alfc, х) - Ь?};
10^ A0.14)
max \{o2i, х) - Ц\} Уж е Х0.
Доказательство. Из теоремы 10.2 следует оценка
р(х, Х)^М тах{ тах тах{0; (alk, х) - Ь?};
1 ^ k ^ т,
max |(a2j,a;)-b^|;
max max{0; (аз8,ж) — b3s}>'
max |(а4г,ж)-Ь;|} Ух€Еп.
1 ^ г ^ т4
Отсюда, учитывая, что
max max{0; (a3s, x)- Ь3} = 0, max |(a4r, ж) - Ь4| =0 УжеХ0,
получаем оценку A0.14).
Замечание 10.1. Если для краткости обозначить
max{0; z) = z+ = (z\,..., z™),

§ 10. ОЦЕНКА РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧКИ ДО ПОЛИЭДРА 113
где z\ = max{0;z*}, г = 1,т, и воспользоваться нормой 1^1^ =
= max \z% то оценку A0.3) можно записать в виде
1 ^г<т
p(x,X)^M\(Ax^b)+\QO VxeE\
а оценки A0.13), A0.14) в виде
р(х,Х)^Мтах{\(А1х-Ъ1)+\0О, \А2х - b2\J VxeEn
в A0.13) (соответственно Vz Е Х0 в A0.14). Так как нормы {г]^
н }zp\, 1 ^ р < оо (см. список обозначений), эквивалентны, т. е.
Noo ^ \Z\P ^ ml/pkloo Vz € #m, в правой части этих оценок
нормы KAjX— Ь^+L, |А2ж—bgl^ могут быть заменены на любую другую
норму \(А{х - b{)+\p, \А2х - Ъ2\р, 1^р<оо.
Упражнение 10.1. Напишите оценку A0.3) с указанием постоянной М
для полиэдров
а) Х = Е? = {х?Еп: х^0};
6)X = {xGEn:ak^xk^/3k, fc=T^},
где ak, /3k — заданные числа (рассмотрите случай, когда некоторые <хк = —оо
или рк = +оо);
в) X = {xeEn:(a,x) = b}, aeEn, 6gR;
г) Х = {хеЕп: (а,х)^Ь}1 аеЕп, ЬеЖ;
д) Х = {хеЕп: (а1? я?)<61, (а^ ж) < б2}, а. е Яп, 6l'eR, t = l, 2.
Упражнение 10.2. Пусть множества X, А взяты из задач G.1), G.2),
и пусть Х0 = {х = (scj, я^): хх ^ 0}, Л=(Л1,А2): Aj ^ 0}. Напишите оценки
вида A0.13), A0.14) для этих множеств.
Упражнение 10.3. Пусть А—матрица размера т х n, rangA = m,
и пусть Л"={ж€Яп: Ах=Ь}. Докажите, что р(х,Х)^\\АТ(ААТух \\-\Ах-Ь\ Ух€Еп.
Указание: убедитесь, что Рх(х) = w = ж — А1 (ААТ)~Х(Ах- Ъ) УжеEn.
8 Ф. П. Васильев, А. Ю. Иваницкий

Глава 3
КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
§ 11. Примеры. Определения
Рассмотрим общую задачу линейного программирования
/(х) = (с, х) = (cj, хх) + (%, Хг) -> inf, x = (xl,x2)e X,
X = {x = (xl,x2):xleE*, х2еЕг^, х^О, (Ц.1)
AjjXj + А12^2 ^ 0|, A2iXj + А22^2 = 02/,
где А.у = {(a^.)w, г = 1, га., / = 1,пу} — матрица размера т{ х п,.,
с, = (с},...,с?)еЕ">9 bi = (bil,...,bP)eEm*, z,j = l, 2,с = (С1,^),
& = (&!, Ь2). Пусть Х^0, ? = inf /(ж) > —оо. Тогда согласно те-
х? X
ореме 6.1 множество Х^ = {хеХ: /(x) = /J непусто.
Предположим, что вместо точных исходных данных Aijt cjt Ъ{ известны лишь
такие их приближения А-Д<5) = {(aij(S))Tl , г = 1, mi? Z = 1, пу},
М«) = (су(«), • • •» с^E))' W) = WW),..., Ь?>(8)), что
1К(*))ч-КЫ^ |cj(*)-cj|o, \ъ;F)-ь;\<6,
r=l,mt., f = l,ny, г,j = 1, 2,
где величина 5 > 0 — погрешность задания исходных данных.
Составим задачу
fs(x) = (Cl(«), X!) + (ci(ff), х,) -> inf, x G X(tf ),
XE) = {x = (x1,^): a^eJS?"», x2eE7^, x^O,
А21(й)х1+А22(й)х2 = Ь2(й)},
аналогичную исходной задаче A1.1). Задачу A1.3) будем называть
возмущенной задачей, полученной из задачи A1.1). Как видим,
возмущенная задача также является задачей линейного
программирования. Предположим, что возмущенная задача разрешима. Это
значит, что множество Х(8) непусто, /^ = inf fs(x)> — оо. В си-
хеХF)
лу теоремы 6.1 тогда Х+F) = {хеХF): /5(х) = /^}^0. Возникают

§11. ПРИМЕРЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
115
вопросы: можно ли ожидать, что ХF) ^0, и будет ли величина /^
близкой к ?, будут ли точки х+F) из Х+F) близки к
множеству X* при малых 5? Ответы на эти вопросы имеют важное
значение для приложений, поскольку в практических задачах исходные
данные обычно бывают известны неточно и вместо задачи A1.1)
приходится иметь дело с возмущенной задачей A1.3).
Сначала приведем пример простейшей задачи линейного
программирования, когда ответ на поставленный вопрос положительный.
Пример 11.1. Рассмотрим следующую задачу:
/(ж) = -ж -»inf, хеХ = {хеЕи. х^О, х ^ 1}.
Здесь п, = 1, ?V=0, ml = 1, ^ = 0, Ап = 1, с{ = —1, Ьх = 1, ? = -1,
Х^ = {ж = 1}. Пусть вместо точных исходных данных известны их
приближения: Ап = 1 + 619 с1(8)=—1 + 62, Ь1E)=1 + 53, где |<5?|^<S<1,
г = 1, 2, 3. Ясно, что условия A1.2) выполнены. Возмущенная
задача A1.3) имеет вид
fs(x) = (-l + 62)x-+ini,
хеХF) = {хеЕ{: ж^О, A + ^)ж^ 1 + 63}.
Очевидно, что при всех <5, 0< 6 < 1, множество ХF) непусто,
Л. = (-1 + «.)(! + ^)A + ffi),
X,F) = {xtF) = (l + S3)(l + 6l)-1}.
Здесь fSt —> /# = — 1, ж+(й) —> ж„ = 1 при 6 —> 0. Как видим, решение
возмущенной задачи при малых 8 вполне можно взять в качестве
приближения решения исходной задачи.
Теперь рассмотрим примеры задач линейного программирования,
когда ответ на поставленные выше вопросы будет отрицательным.
Пример 11.2. Рассмотрим следующую задачу:
/(х) = —ж1 — ж2 —> inf,
ж € X = {ж = (ж1, ж2) е Е2: х1 + ж2 ^ 1}.
Здесь ? = — 1, Х+ = Х. Пусть возмущенная задача имеет вид
/Дж) = -ж1 — ж2 —> inf,
ж е ХE) = {ж = (ж1, ж2): A + 6)х1 + A - 5)ж2 ^1 + 5}, « > 0.
Тогда Х(й)^0, но /,. = -oofX,(«) = 0Vtf>O. Здесь /,+ 74/, = -1
при <S—>0.
Пример 11.3. Рассмотрим следующую задачу:
/(ж) = ж1 - ж2 —> inf,
ж € X = {ж = (ж1, ж2) ^ 0: ж1 + ж2 < 1, -ж1 - ж2 < -1}.
8*

116
Глава 3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Здесь /„ = — 1, Х+ = {х* = @,1)}. Пусть возмущенная задача такова:
f6(x) = xl-x2-+ inf, х е ХF) = {х = (х\ х2) ^ 0:
(l-6)xl + x2^l-6, (-l-6)xl-x2^-l-6}, 0<<5<1.
Тогда X(8) = {xF) = (l,0)} = X.F), /,. = 1 и ясно, что Л.*/,,
х(<5)/> я* при <э —>0. Конечно, и возмущенная задача иногда может
оказаться «хорошей», т. е. при всех достаточно малых 6 > 0
величина /6^ будет близка к fm, а точки из Х„(<5) будут близки к Х+. Так,
например, если
fs(x) = хх - х2, ХE) = {ж = (ж1, ж2) ^ 0:
х1 + A - 6)х2 ^1-5, -х1 + (-1 - 8)х2 ^ -1 - <5},
то /^ = /ф = —1, Х+E) = Х+ V5, 0 < 5 < 1. Однако в отличие от
примера 11.1 здесь мы не можем гарантировать, что любая
возмущенная задача будет «хорошей». Более того, в этом примере возможны
такие реализации возмущенной задачи, в которых допустимое
множество пусто. А именно, в качестве возмущенной задачи возьмем
задачу
/Дх) = х1 - х2 -> inf, х G ХF) = {х = (х1, х2) ^ 0:
A - 6)х1 + х2 ^ 1 - 26, (-1 - 6)хх - х2 ^ -1 - 25}
или
хеХF) = {х = (х\х2)^0:
A + 6)х1 + A + 6)х2 ^ 1 — 6, (—1 + 8)хх + (-1 + 6)х2 ^ -1 + «}.
Как видим, Х(<5) = 0 при всех <S, 0< <S < 1, возмущенная задача
не имеет смысла, и поэтому она заведомо не может быть
использована для построения приближенного решения исходной задачи.
Приведенные примеры показывают, что в некоторых задачах
линейного программирования решения возмущенных задач близки
к решению исходной задачи, а в некоторых задачах такой близости
может не быть и, более того, возможны случаи, когда возмущенная
задача A1.3) не имеет смысла из-за того, что Х(<5) = 0 при всех
сколь угодно малых 6 > 0. В зависимости от того, будет ли
возмущенная задача A1.3) при любых реализациях А?у(<5), су(<5), Ь(F)
из A1.2) иметь смысл и будут ли при малых 6 >0 ее решения
близки к решению задачи A1.1), различают устойчивые и неустойчивые
задачи линейного программирования. Перейдем к строгим
определениям. Следуя [7], будем различать три типа устойчивости.
Определение 11.1. Задачу A1.1) называют устойчиво
разрешимой, если она разрешима и существует такое число j > 0, что
для всех 5, 0 < й ^ 7» возмущенная задача A1.3) также разрешима
при любом выборе A{J(<S), cy(<S), Ь{F) из A1.2). Иначе говоря,
если учесть, что Х+@) = Х+, устойчивая разрешимость задачи A1.1)
означает, что ХД<5)^0 при всех 5, 0^ S ^ 7-

§11. ПРИМЕРЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
117
Определение 11.2. Задачу A1.1) называют устойчивой
по функции, если она устойчиво разрешима и для любого числа е>0
найдется такое число 7» что \fs+ — /J < е при всех <5, 0 < 6 ^ 7»
и любом выборе А.у(<5), су(?), Ь{F) из A1.2).
Определение 11.3. Задачу A1.1) называют устойчивой
по аргументу, если она устойчиво разрешима и для любого
числа е > 0 найдется такое число 7» что
sup inf \x-y\<e (H.4)
хеХ,(8)У?х*
для всех <5, 0 < 5 ^ 7» ПРИ любом выборе Ай.(8)9 с (<5), ЬД<5)
из A1.2).
Для пояснения геометрического смысла неравенства A1.4)
вспомним, что р(х, XJ = inf |х — у\ — это расстояние от точки х до мно-
жества Х+. Следовательно, неравенство A1.4) означает, что
множество Х^б) принадлежит множеству {х: р(ж, XJ < е}, называемому
е-раздутием множества Х^. В общем случае, когда А, В
—некоторые множества из Еп, величина /3(А, B) = sup inf \a — Ь\ НаЗЫВаеТ-
абЛ ЬеВ
ся отклонением множества А от множества В. Обратим внимание
читателя на то, что /3(А, В) не обязательно совпадает с /3(Д А)(см.
примеры из упражнений 11.4, 11.5).
Отметим, что в примере 11.1 задача устойчива в смысле всех
определений 11.1-11.3, в примерах 11.2, 11.3 задачи не являются
устойчиво разрешимыми.
Упражнение 11.1. Докажите, что задача /(ж) = ж1 — ж2 —> inf, ж € X = {ж =
= (х\х2)еЕ2:х1^0, ж2^0, Ьа^+О-ж2^!, О-ж^Ьж2^ 1} устойчиво разрешима
и устойчива как по функции, так и по аргументу.
Упражнение 11.2. Покажите, что задача f(x) = —ж1 — х2 —> inf, х € X =
= {ж = (ж1,ж2)^0: х{ -ж2^0, -х1 + х2^0, ж*^1, х2 <2} не является устойчиво
разрешимой.
Упражнение 11.3. Исследуйте на устойчивость в смысле
определений 11.1-11.3 задачу /(ж)-» inf, же А", когда в качестве целевой функции /(ж)
берется одна из функций /1(ж) = ж1 +ж2, /2(ж) = ж1 ~ж2, /3(ж) = — ж1 -ж, а
допустимое множество X совпадает с одним из множеств Х{ = {ж = (ж1, ж2) ^ 0: ж1 + ж2 < 1},
X2 = {z = (xl,x2)>0: i' + i^I}, Х3 = {х = (х\х2)>0: ж1+ж2=1}.
Упражнение 11.4. Покажите, что отклонения @(Х+F), Х+) = 0,
Р(Х^ Х^F)) = 2, где Х^ — множество решений задачи /(ж) = ж2 —> inf, ж е А" = {ж =
= (ж1, ж2) G -Б2: - 1 ^ ж1 ^ 1, ж2 = 0}, Х+F) — множество решений возмущенной
задачи fs(x) = 6{х{ + ж2 -»inf, ж€Х(б) = Х, 0< \6{\ ^ б. Устойчива ли эта задача
по функции? По аргументу?
Упражнение 11.5. Покажите, что отклонения /3(Х+F), Х+) = 6,
Р(Х^ Х+F)) = 0, где Хт — множество решений задачи /(ж) = ж2 —> inf, ж € X =
-{х-(х\х2)?Е2: ж2^0, ж]-ж2<0, -ж1-ж2 ^0}, Х„(?) —множество решений
возмущенной задачи /(ж) = ж2-»inf, ж€Х(<5) = {ж = (ж1, х2)еЕ2: ж2^0, ж1-ж2 О,

118
Глава 3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
—х —х ^ 6}. Убедитесь, что рассматриваемая задача устойчиво разрешима и
устойчива как по функции, так и по аргументу.
Упражнение 11.6. Пусть Л, В—два множества из Еп. Величина h (А, В)=
= тах//?(Л, В); C(В, А)} называется хаусдорфовым расстоянием между
множествами А и В. Докажите, что на множестве всех ограниченных замкнутых множеств
из Еп величина h(A.B) удовлетворяет всем аксиомам метрического
пространства [35, 65].
Упражнение 11.7. Приведите примеры задач A1.1), A1.3), для которых
/i(X+(?), Х+)->0 при 6-+0 и h(X^F)t XJ-/+0 при 6-+0. Рассмотрите задачи
из упражнений 11.4, 11.5.
§ 12. Необходимое условие устойчивой разрешимости
Из приведенных в определениях 11.1-11.3 трех понятий
устойчивости задачи линейного программирования наиболее простым
выглядит понятие устойчивой разрешимости. Поэтому естественно
начать исследование проблем устойчивости с изучения этого понятия.
Теорема 12.1. Если задача A1.1) устойчиво разрешима,
то множество Х+ ее решений ограничено.
Доказательство. Пусть задача A1.1) устойчиво
разрешима, но множество Х+ неограничено. Тогда существует
такая последовательность {хк} е Хф, что \хк\ -* оо при к —> оо.
Возьмем произвольную точку х+ е Х> и составим последователь-
X ~~" X —
ность dk = | к _ *., к = 1, 2,..., единичных векторов. По
теореме Болыдано—Вейерштрасса [65] из ограниченной
последовательности {dk} можно извлечь сходящуюся последовательность.
Без ограничения общности можем считать, что сама
последовательность {dk} сходится к некоторому вектору е, |е| = 1.
Зафиксируем произвольное число t ^ 0. Так как \хк — ж J ^ \хк\ —
— |zj —» оо при к —> оо, то т г —> 0 при к —> оо и поэ-
\хк — х*\
тому найдется такой номер /% = /%(*)» что 0 ^ t\xk - xj < 1
Vfc^A^. Тогда х+ + tdk = t\xk-x+\-1 xk+(l- t\x. —х+\~1)хтеХт Vfc ^ 1%
в силу выпуклости множества л,, (теорема 6.2). Отсюда при к —> оо
с учетом замкнутости множества Х+ (теорема 6.2) имеем x^ + tee X+
W ^0. Это значит, что луч x(t) = xt+te, t^O, принадлежит
множеству X и f(x(t)) = (с, ж#) + ?(с, е) = ? W ^ 0, что возможно только
если (с, е) = 0.
Далее возьмем сF) = с - <Se, AfJ(<S) = Aijt ЬД5) = Ь^ V<S >0.
Очевидно, что условия A1.2) здесь выполнены. Соответствующая
возмущенная задача A1.3) имеет вид
fs(x) = (cF), x)->inf, xeXF) = X, й>0. A2.1)
TaKKaKx(t) = x.+teeX = XF)Vt^0Hfs(x(t)) = (c-6e, х++*е) =
= (с-5е, zj-<S?-»-oo при ?->-foo, мы получаем /5+= inf /Дж) =
x?X(S)
= -оо V<S >0. Таким образом, возмущенная задача A2.1) не имеет

§ 12. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОЙ РАЗРЕШИМОСТИ 119
решения при всех 6 >0, что противоречит определению 11.1
устойчивой разрешимости задачи A1.1). Теорема 12.1 доказана.
В примере 11.2 множество Х+ неограничено. Пример 11.3
показывает, что условие ограниченности множества Х^ не является
достаточным для того, чтобы задача A1.1) была устойчиво
разрешимой. Для получения более тонких необходимых условий устойчивой
разрешимости задачи A1.1), оказывается, полезно параллельно
рассмотреть двойственную к A1.1) задачу:
^(A) = (~b,A) = (-b1,A1) + (-62,A2)->sup, A=(A!,A2)eA,
Л = {А=(А1,А2): ХхеЕ^, А2е#"\ А^О, A2.2)
iMll'12'""^l^^J 12 'м ' 22 2 ¦" ^2 ==Uj.
Напомним обозначения: Ф* = s\npi/j(X), Л!к = {АеЛ: ip(X) = ip*}.
АбЛ
По аналогии с A1.3) выпишем возмущенную задачу для
задачи A2.2):
^(А) = (-6,E), Хх) + (-Ь2E), А2> -> sup, А е Л(*),
Л(Й) = {А=(А1,А2): Х,еЕ^, Х2еЕ^, А^О,
АЪF)Х} + АЪF)Х2 + 0,F) > 0, A2'3)
Aj2F)Xl + Al2F)X2 + c2F) = 0}1
где Ai;jF), CjF)t ЬД<5), i9j = 1, 2, взяты из A1.2). Сразу же
заметим, что задача A2.3) одновременно является двойственной к
возмущенной задаче A1.3). Этот замечательный факт будет играть
существенную роль в дальнейших исследованиях. С его помощью, в
частности, докажем следующую простую, но важную теорему.
Теорема 12.2. Задача A1.1) устойчиво разрешима тогда
и только тогда, когда двойственная задача A2.2) устойчиво
разрешима. Иначе говоря, взаимодвойственные задачи либо од-
повременно устойчиво разрешимы, либо не являются таковыми.
Доказательство. Устойчивая разрешимость задачи П1.1)
означает, что задача A1.1) разрешима, а возмущенная задача (П-3)
разрешима при всех 5, 0< 8 ^ 7- По теореме 7.1 тогда двойственная
к ней задача A2.3) также разрешима при тех же 5, 0 ^ S ^ j.
Однако двойственная задача A2.3) одновременно является
возмущенной задачей для задачи A2.2). Поэтому разрешимость задачи A2.3)
при всех 5, 0^ 6 ^ 7» означает устойчивую разрешимость
двойственной задачи A2.2). Так как двойственная к A2.2) задача
совпадает с исходной задачей A1.1), то обратное утверждение в отдельном
доказательстве не нуждается. Теорема 12.2 доказана.
Теорема 12.3. Если задача A1.1) (или A2.2)) устойчиво
разрешима, то множества Х+, Л* ограничены.
Доказательство. Ограниченность множества Х+
установлена в теореме 12.1. Согласно теореме 12.2 из устойчивой
разрешимости задачи A1.1) следует, что задача A2.2) также устойчиво

120
Глава 3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
разрешима. Согласно теореме 12.1 это возможно только тогда, когда
множество Л* ограничено. Теорема 12.3 доказана.
Приведем пример, показывающий, что теорема 12.3 существенно
усиливает теорему 12.1.
Пример 12.1. Рассмотрим следующую задачу
f(x) = хх - х2 —> inf,
xeX = {x = (x\x2)^0: x! + x2^l, -xl-x2^-l}.
Здесь ? = -1, Х+ = {х = @,1)}. Двойственная задача такова:
^(A) = ~AI + A2-^sup,
АеЛ = {А = (А1,А2)^0: А!-А2+1>0, А1 -А2- 1^0}.
Здесь ф* = -1, Л* = {А = (А >, А2) ^ 0: А1 - А2 = 1}. Как видим,
множество Х+ ограничено, а Л* — неограниченное множество. Согласно
теореме 12.3 исходная задача не является устойчиво разрешимой.
Этот факт другим способом был установлен в примере 11.3.
Возникает вопрос: достаточно ли ограниченности множеств Х„
Л* для устойчивой разрешимости задач A1.1), A2.2)? Ниже будет
показано, что ответ на этот вопрос положительный (теорема 14.2).
Упражнение 12.1. Пользуясь теоремами 12.1-12.3, выясните, какие задачи
из упражнения 11.3 не являются устойчиво разрешимыми.
Упражнение 12.2. При каких значениях параметров с1, с2 задача f(x) =
= clxl +c2x2-+inlt х€Х = {x = (xl, х2)^0: xl-x2^0, -х1+х2 ^0} не является
устойчиво разрешимой?
Упражнение 12.3. Покажите, что задача f(x) = -ж1 - х2 —> inf, x G X =
= {х = (х1,х2)^0: ж1-х2<0, -х{ + х2^.0, х1^1, х2 <2} не является устойчиво
разрешимой. Указание. Установите, что множество решений двойственной
задачи есть Л* = {А= (Л1, Л2, Л3, Л4): Л1- Л2 = -1, Л2^1, Л3 = 2, Л4 = 0}, и
воспользуйтесь теоремой 12.3.
§ 13. Критерии ограниченности полиэдров
В этом параграфе будут сформулированы и доказаны различные
условия ограниченности полиэдров (см. определение 10.1). С их
помощью мы в дальнейшем получим условие ограниченности
множеств Х^ Л* решений взаимодвойственных задач A1.1), A2.2),
условия устойчивой разрешимости этих задач.
Определение 13.1. Множество К С Еп называется
конусом с вершиной в точке 0, если для всех х е К точка ах € К
при каждом а ^ 0.
Примерами конуса являются прямая x(t) = te, t e R, ефО,
луч x(t) = te, t^0, ефО, все пространство Еп, гиперплоскость Г=
={хеЕп: (с,ж)=0, сфО}, полупространства Т+={хеЕп: (с,ж)^0,
сфО}, Г_ = {х е Еп: (с, х) ^ 0, с ф 0}, неотрицательный гиперор-
тант Е? = {хеЕп: х^0}.

§ 13. КРИТЕРИИ ОГРАНИЧЕННОСТИ ПОЛИЭДРОВ 121
Определение 13.2. Конической оболочкой векторов а1?...
..., ат е Еп называется множество точек х е Еп, представимых
в виде х = рхах + ... + Ртат при некоторых р{ ^ 0,..., рт ^ 0;
векторы ах, ..., ат называются образующими конической
оболочки. Коническую оболочку будем обозначать через Соп(ап ..., аш)
или Con А, где А — матрица, строками которой являются векторы
ар..., ат.
Определение конической оболочки можно короче записать так:
СопА=Соп(а{,...,ат) = {хеЕп:3РеЕт, р^О, х = АТр}. A3.1)
Очевидно, а{ Е Con А, г = 1, т. Приведем несколько лемм, в которых
перечисляются некоторые свойства конических оболочек.
Лемма 13.1. Con А —выпуклый конус с вершиной в нуле.
Доказательство. Пусть х е Con А, т. е. х = Атр при
некотором р^О. Тогда ах = Атар, где ар ^ 0 Va ^ 0. Следовательно,
ах е Con A Vex ^ 0, так что Con А — конус Возьмем любые две
точки ж, у е Con А, 7 ? [0, 1]. Тогда х = А*р, у = ATq при
некоторых р ^ 0, g ^ 0, поэтому ^х + A - т)У = ^ТGР + A — а)я)> гДе
7р + A — a)g ^ 0 V7 Е [0, 1]. Следовательно, 72 + A — т)У € Con A
V7 G [0, 1]. Лемма 13.1 доказана.
Лемма 13.2. Если х, у е Con А, то ж + у е Con A.
Доказательство. Мы имеем х + г/ = 7 (^) +A— т)уз— €
е Con A V7 € @,1), так как ^-, « _^ е Con А и Con A — выпуклый
конус.
Лемма 13.3. Con A — замкнутый конус.
Доказательство проведем с помощью математической
индукции по числу образующих ах,..., ат. Если га = 1, то Con A =
= {xei?n: x — paXi р^0} — луч, т. е., очевидно, замкнутое
множество. Пусть любая коническая оболочка с га — 1 образующими
замкнута. Покажем, что тогда конус с га образующими ах,..., ат
также замкнут. Рассмотрим два случая.
а. Пусть Con А наряду с векторами а{,..., ат содержит и
векторы —а{,..., —am. Тогда в силу лемм 13.1, 13.2 конус Con А содер-
т
жит также все точки вида х = — ATq = ]? g*(—a^) Vg ^ 0. Убедимся,
* = l
что в рассматриваемом случае Con A = Lin A — подпространство
пространства Еп, натянутое на векторы al5..., ат. Возьмем любую
точку х е Lin A. Тогда справедливо представление х = Ат7 при
некоторых 7 = GV-->7m)> необязательно неотрицательных. Положим
р*=тах{0;71}, д1=тах{0; 7*}, г = 1, га. Тогда р = (р1,.. .,Рт)^0»
9 = (д\-.ч Ят)^0, 1=P-Q- Поэтому х = ATp + (-ATq). Однако
Атр, —ATg G Con А, и в силу леммы 13.2 тогда х е Con А. Это
значит, что Lin А С Con А. С другой стороны, очевидно, Con А С Lin A.

122
Глава 3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Следовательно, Con A = Lin A. Однако в конечномерном
пространстве Еп каждое его подпространство, в частности Lin А,
замкнуто [35]. Замкнутость Con А в случае а установлена.
б. Хотя бы один из векторов —с^,..., — ат не принадлежит
Con А. Пусть для определенности (-am)^ConA. Каждый век-
т-1
тор х G Con А может быть представлен в виде х = ?) р*а{ + рат>
t = i
р* ^ О, г = 1, m — 1; р ^ 0. Верно и обратное: всякий вектор, пред-
ставимый в таком виде, принадлежит Con A. Это значит, что
Con А = Соп(ап ..., ат_ j) + рат, р ^ 0. A3.2)
Напомним, что по предположению индукции конус Соп(а1,...
• • •» ат-1) замкнут. Пусть а% — произвольная предельная точка
множества Con А. Это значит, что существует такая
последовательность {хк} еСопА, что {хк}-*хь. Нам нужно показать, что Xq e
GCon А.
В силу равенства A3.2) найдутся такие zk е Соп(а19...
• • ч ат-1)» Рк ^ 0» что ж* = zk + ftam> fc = 1» 2,... Покажем,
что последовательность {р*} ограничена сверху. Проведем
доказательство от противного: пусть существует
подпоследовательность {рк } —> оо при s —> оо. Так как сходящаяся
последовательность {хк} ограничена, < -=^ > -* 0 при s —> оо. Поэтому последо-
(zk xk Л
^^ = -^--am>-^-am. В силу замкнутости конуса
Con(a1?..., ат_х) и включения < т~ > е Соп(аи ..., ат_х) получа-
zk
ем, что предел — ат = lim ^- € Соп(ап ..., ат_1). Но, как видно
s-+oo Ркв
из A3.2) при р=0, справедливо включение Con(a1,...,am_1)€ConA.
Следовательно, (—ат) еСоп А, что противоречит рассматриваемому
случаю. Это значит, что последовательность {рк} ограничена.
Пользуясь при необходимости теоремой Больцано—Вейерштрасса,
можем считать, что {рк} —>р0^0. Тогда из равенства zk = xk—pkат
следует, что последовательность {zk} имеет предел zQi равный а^—р0ат,
причем z0 е Соп(аи ..., ат_ х) в силу замкнутости этого конуса.
Таким образом, Xo = zQ+p0am, где ^eCon(ap ..., ат_1), р0^0. Отсюда
и из A3.2) заключаем, что а^еСоп А. Замкнутость Con А доказана.
Лемма 13.4. Пусть Con АфЕп. Тогда существует такой
вектор g еЕп, дфО, что (д, х) ^ 0 Vz e Con A.
Доказательство. Так как СопА^Еп, существует
точка у ф Con А. Ясно, что у Ф 0. Тогда ау ? Con A Va > 0, так как
Con А — конус. Возьмем последовательность {yfc}^Con A, {yk}—»0.
вательность

§ 13. КРИТЕРИИ ОГРАНИЧЕННОСТИ ПОЛИЭДРОВ 123
Например, можем взять ук = аку, где {а*}—> О, ак > 0. В
силу лемм 13.1, 13.3 Con A —выпуклое замкнутое множество.
Тогда, как следует из лемм 10.1, 10.2, существует единственная
точка zk = icon л (У*) — проекция точки ук на множество Con А, причем
(zk-yk, x-zk) ^0 Уже Con A.
Так как zkeConA1 ук?СопА, мы получаем хкфук.
Положим дк = (zk - yk)\zk - ук\~х. Предыдущее неравенство тогда
можем записать в виде {дк, х — zk) ^ 0 Vx E Con А. Отсюда имеем
(9к,х-ук) = (дк, x-zk) + (gk, zk-yk)^(gk, zk-yk) = \zk-yk\>0,
или (дк, х)>(дк, ук)УхеСоп A, fc = l, 2,... Так как |^| = 1,
пользуясь при необходимости теоремой Больцано—Вейерштрасса, можем
считать, что {дк} -* д>, Ш = 1. При fc —* оо из предыдущего
неравенства получим (д0, х) ^ (д0, 0) = 0 Vx e Con А. Отсюда ясно, что
в качестве требуемого вектора д можем взять д = —д0. Лемма 13.4
доказана.
Рассмотрим полиэдр
X = {хеЕп: Ах^Ъ} = {хеЕп: (а„х)^Ъ\ г = 1,т}, A3.3)
где А — матрица размера га х п, а{ — г-я строка матрицы А, Ъ =
= (Ь1,..., Ьт)те??ш.
Теорема 13.1. Непустой полиэдр A3.3) ограничен тогда
и только тогда, когда Con А = Еп, или, иначе говоря, когда
система {АТр = с, р ^ 0} совместна при всех се Еп.
Доказательство. Необходимость. Пусть полиэдр A3.3)
непуст и ограничен. Возьмем произвольный вектор с е Еп и
рассмотрим задачу линейного программирования
/(х) = (-с, ж) -> inf, х е X = {х е Еп: Ах ^ Ь}.
Эта задача разрешима в силу классической теоремы
Вейерштрасса [65]: функция /(х) непрерывна, множество X замкнуто и
ограничено. В силу теоремы 7.1 тогда разрешима и двойственная задача
^(A) = -(b,A)->sup, ХеЛ = {\еЕт: А ^ 0, АтА-с=0}.
Это значит, что Л^0. Следовательно, существует такой вектор А =
= р ^ 0, что с = АТр. Таким образом, с е Con А. В силу
произвольности вектора с е Еп отсюда заключаем, что Con А = Еп.
Замечание 13.1. Из доказанного следует, что если
полиэдр A3.3) ограничен, то любой вектор сеЕп линейно выражается
через систему векторов ап ..., аш (даже с неотрицательными
коэффициентами), что возможно только при условии rang А = п ^ га.
Достаточность. Пусть 1^0и Con А =Еп. Докажем, что тогда
полиэдр A3.3) ограничен. Пусть е15..., еп — какой-либо ортонор-
мированный базис пространства Еп (например, ej — j-ая строка

124
Глава 3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
единичной матрицы In, j = 1, п). Так как Con А = Еп, для каждого
вектора еу найдутся такие pj G Ет, что р^. ^ 0, ej = Атря j = 1, гг.
n
Возьмем произвольную точку ж = ]Г) ж*е. 6 X. Тогда
ж> = (ея ж) = (Атря ж) = (ря Аж) ^ (ря Ь) ^ ^ах^., Ь) = М+,
У = 1,п.
Аналогично, вектор (—еу) представим в виде —е,. = Атдя где ду ^0,
j = 1, п. Отсюда имеем
х' = -<-ея ж) = -<ATgyj ж) = -(дя Ах) ^
^-<gy,b>>- max<g,.,6> = Af. Vj=T7n.
Таким образом, M_ ^ жу ^ Af+, j = 1, п, для всех ж е X.
Ограниченность полиэдра X установлена. Теорема 13.1 доказана.
Это теорему можно уточнить следующим образом. Оказывается,
что если Con А = Еп, то в представлении A3.1) можно обойтись
векторами р > 0. Точнее, верна следующая теорема.
Теорема 13.2. Равенство Con A = Еп справедливо тогда
и только тогда, когда для любого вектора сеЕп найдется
такой вектор р>0, что с = АТр, или, иначе говоря, система
АТр = с, р>0 A3.4)
совместна при всех сеЕп.
Доказательство. Необходимость. Пусть Con А = Еп.
Покажем, что тогда система A3.4) совместна при всех сеЕп.
Сначала возьмем с=0. Допустим, что система {АТр = 0, р>0}
несовместна. По теореме 9.5 тогда совместна система {(AT)Tz = Az^0j
Az ф 0}. Пусть Zq — какое-либо решение этой системы, т. е.
A z0 ^ 0, Az0^0. Так как ConA=i?n, существует такой
вектор q ^ 0, что — Zq = ATq. Умножим это равенство скалярно
на z0. Получим 0 ^ -|^|2 = {z0, -%) = fo, ATq) = (ATz0, q) ^ 0,
т. e. z0 = 0. Тогда Az0 = 0, что противоречит условию Azq ф 0.
Следовательно, система A3.4) при с =0 совместна. Обозначим
решение этой системы через р§. Теперь возьмем произвольный
вектор се Еп. Так как Con А = Еп, найдется такой вектор р{ > 0, что
с = Атр1.Тогцар = р1+р0>0, Атр = Атрх=с, т. е. p = p{+Pq —
Решение системы A3.4). Совместность системы A3.4) при всех с € Е
установлена.
Достаточность. Пусть система A3.4) совместна при любом сеЕп,
т. е. Еп = {с: с = Атр, р > 0}. Тогда Con А С Еп = {с е Еп: с =
= Атр, р > 0} С {с g #п: с = Атр, р ^ 0} = Con А. Следовательно,
Con А =Еп. Теорема 13.2 доказана.

§ 13. КРИТЕРИИ ОГРАНИЧЕННОСТИ ПОЛИЭДРОВ 125
Приведем еще два критерия, характеризующие равенство Con A =
Теорема 13.3. Равенство Con A = Еп имеет место тогда
и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
система {АТр = 0, р > 0} совместна; A3.5)
rang А = п. A3.6)
Доказательство. Необходимость. Пусть Con А = Еп.
Из совместности системы A3.4) при с =0 следует условие A3.5).
Условие A3.6) вытекает из теоремы 13.1, примененной к непустому
полиэдру X = {х е Еп: Ах ^ 0}, и замечания 13.1.
Достаточность. Пусть выполнены условия A3.5), A3.6), но тем
не менее Con Л фЕп. В силу теоремы 13.1 тогда непустой
полиэдр X = {хе Еп: Ах ^ 0} неограничен, и поэтому найдется
последовательность {хк}еХ, \хк\—»оопри к —>оо. Положим dk = хк/\хк\,
к = 1, 2,... Очевидно, что \dk\ = 1, Adk ^ 0, к = 1, 2,... Отсюда
следует, что любая предельная точка е = (е\ ..., еп)
последовательности {dk} обладает свойствами |е| = 1, Ае ^0. Нетрудно убедиться,
что АефЬ. В самом деле, равенство Ае = Ахе{ + .. . + Апеп=0, где
Aj — столбцы матрицы A, rang A = п, возможно только при е =0.
Но в нашем случае |е| = 1. Следовательно, Ае ^0. Таким образом,
вектор е является решением системы {Ае ^ 0, Ае т^О}. По
теореме 9.5 тогда система {АТр = 0, р > 0} несовместна, что
противоречит условию A3.5). Теорема 13.3 доказана.
Сколько образующих должна иметь коническая оболочка A3.1),
для того чтобы выполнялось условие Con A = Еп? Как они должны
располагаться в пространстве? Выше мы заметили, что для этого
необходимо выполнение условия rang A = n ^ га (замечание 13.1).
Точный ответ на эти вопросы дается в следующей теореме.
Теорема 13.4. Для того чтобы выполнялось условие
Con А = Соп(а1?..., ат) = Еп, необходимо и достаточно, чтобы
для любого номера г, 1 ^ г ^ т, вектор (—а{) линейно
выражался через остальные векторы ап..., at._,, ai + 1,..., am с
положительными коэффициентами и ранг матрицы D{, полученной
из матрицы А вычеркиванием г-й строки а{, был равен п. Иначе
говоря, Con А =Еп тогда и только тогда, когда для каждого г,
1 ^ г ^ т, выполнены следующие два условия:
система {р{ е Ет~\ Djp{ + a- =0, р{> 0} совместна; A3.7)
rangi^n. A3.8)
Доказательство. Необходимость. Пусть Соп^,...,ат) =
= 1?п. Тогда система A3.5) совместна, т. е. существует такой
вектор q = (д1,..., qm) > 0, что
m m

126
Глава 3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
где г — произвольный номер, 1 ^ г ^ т. Отсюда имеем (—а{) =
= ? Ъаз> что равносильно A3.7), где р(=(р},..., рГ\ р/+1,...
QJ
• • -j P?)> Pi = пг > 0, j = 1, ш, j Ф i. Для доказательства
условия A3.8) заметим, что из равенства Con A = Еп следует, что
каждый вектор х е Еп линейно выражается через систему ах,..., ат
(даже с положительными коэффициентами, как показано в теоре-
т
ме 13.2): х = ? <*'ау. Отсюда с учетом уже доказанного уело-
вия A3.7) имеем
ТП ТП
X = У^ aJaj + a*ai = /J (a* — aiPJ)aj'
Как видим, каждый вектор х е Еп линейно выражается через
систему ап..., а._п а._п..м ап. Это значит, что Lin(a1?...
..., a._n a._n..., an) = ISn, что возможно только при выполнении
условия A3.8).
Достаточность. Пусть для некоторого г, 1 ^ г'^ ш, выполнены
условия A3.7), A3.8), но тем не менее пусть Con А ф Еп. Тогда
по лемме 13.4 существует такой вектор д0 Ф О, что (д0, х) ^ О Vx €
Е Con А. В частности, это верно для ж = ay e Con A, j = 1, m, так что
(<7о> ау) ^ 0 Vj = 1, га. Это значит, что вектор д0 является решением
системы {Дд,^ О, (аг.,д,К0, &^0}.
Так как линейная однородная система уравнений D{g = 0 с
матрицей Д, ранг которой в силу A3.8) равен п, имеет лишь
тривиальное решение д = 0, то Дд^О. Таким образом, Д<^^0,
Д(д>^0, \аод0)^.0. Отсюда с учетом условия A3.7) имеем 0^
>(°>i>9o) = (-D?Pi> ft) = (ft> -A-fib) >°- Получили противоречивое
неравенство. Следовательно, из условий A3.7), A3.8) вытекает, что
Con A = Еп. Теорема 13.4 доказана.
Из условия A3.8) следует, что если ConA = i?n, то rang#? =
= п ^ m — 1, т. е. число образующих га конической оболочки Con A
в этом случае не может быть меньше п +1. Нетрудно привести
пример системы из п + 1 векторов а{,..., ап + 1, для которых Соп(а1?...
- чап + \) = Еп. А именно, пусть еп ..., еп — какой-либо базис
пространства Еп. Положим ах =ех,..., an = en, an+1 = — (ej + .. . + en).
Эта система удовлетворяет условию A3.7): —е. = an + 1 + е1 + .. •
.. .+е,-_1+е< + 1+.. .+enl -an + 1 = в!+.. .+еп. Условие A3.8),
очевидно, также выполнено. По теореме 13.4 тогда Соп(ап ..., ап + 1) = 25п-
Таким образом, минимальное число образующих в конусе A3.1),
необходимое для выполнения равенства Con A = 1?п, равно m=n+l-
Из теорем 13.1-13.4 вытекает следующая теорема.

§ 13. КРИТЕРИИ ОГРАНИЧЕННОСТИ ПОЛИЭДРОВ 127
Теорема 13.5. Непустой полиэдр A3.3) ограничен тогда
и только тогда, когда выполнены или условия A3.4), или уело-
вия A3.5), A3.6), или условия A3.7), A3.8) при всех i = 1, га.
Доказательство. Для ограниченности полиэдра A3.3)
согласно теореме 13.1 необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
условие Con A = Еп. В силу теорем 13.2-13.4 это возможно тогда
и только тогда, когда выполнено одно из трех условий: или A3.4),
или A3.5), A3.6), или A3.7), A3.8).
Замечание 13.2. Обратим внимание читателя на то, что
в теоремах 13.2-13.4 вектор Ь отсутствует и нет каких-либо
предположений о том, пуст или непуст полиэдр A3.3). Вполне может
случиться, что Con A =i?n, но система Ах ^ Ь не имеет
решения. Заметим, что, используя понятие конической оболочки,
можно сформулировать критерий непустоты полиэдра (см.
упражнения 13.11, 13.12, лемму 14.1).
Упражнение 13.1. Выясните геометрический смысл теорем 13.1-13.5
при п = 2.
Упражнение 13.2. Непустой полиэдр A3.3) неограничен тогда и только
тогда, когда совместна система {Ае <0, еф0}. Докажите это. Указание.
Воспользуйтесь рассуждениями из доказательства теоремы 12.1.
Упражнение 13.3. Докажите, что непустой полиэдр A3.3) ограничен тогда
и только тогда, когда система {Ае <0, е ^0} несовместна.
Упражнение 13.4. Пусть Л—матрица размера m х п, 6 €Ет. Докажите,
что непустой полиэдр X = {х € Еп: Ах = 6} ограничен тогда и только тогда, когда
выполнено одно из следующих трех условий: 1) rang Л = п; 2) система Ах = 0 имеет
единственное решение х = 0; 3) X состоит из единственной точки.
Упражнение 13.5. Пусть задан непустой полиэдр.
Х = {хеЕп: А{х^Ь19 Л2ж=Ь>}} A3.9)
где А{ —матрица размера т- х n, 6t- € Em*t г = 1, 2. Докажите, что этот полиэдр
ограничен тогда и только тогда, когда система {A Jp{ + A 2р2 = ж, pj ^ 0} совместна
при всех х е Еп. Указание. Представьте полиэдр A3.9) в виде X = {х е Еп:
@х <#}» где GT = (А{А2 — А2)Т, g = (b{i fc^, — b2)T, и примените теорему 13.1.
Упражнение 13.6. Докажите, что непустой полиэдр A3.9) ограничен тогда
и только тогда, когда система {А[рх + A2jh = #? р{ >0} совместна при всех хе Еп.
Указание. Воспользуйтесь теоремами 13.1, 13.2.
Упражнение 13.7. Докажите, что непустой полиэдр A3.9) ограничен тогда
и только тогда, когда rang(Aj>А2)=п и совместна система {Ajpi+A2p2=0, Р!>0}.
Указание. Воспользуйтесь теоремами 13.1, 13.3.
Упражнение 13.8. Сформулируйте и докажите критерий ограниченности
непустого полиэдра A3.9), аналогичный теореме 13.4.
Упражнение 13.9. Докажите, что непустой полиэдр A3.9) неограничен
[ограничен] тогда и только тогда, когда система {А{е ^ 0, А2е = 0, е ф 0} совместна
[несовместна] (ср. с упражнениями 13.2, 13.3).
Упражнение 13.10. Сформулируйте и докажите критерии ограниченности
полиэдров Х = {хеЕп: х^0, Ах^Ь} и X = {х€Еп: х^О, Ах = Ь}, аналогичные
критериям из упражнений 13.5-13.9, представив эти полиэдры в виде A3.9).
Упражнение 13.И. Докажите, что полиэдр A3.3) непуст тогда и только
тогда, когда -Ъ е Соп[(Л, -A, -Im)J].

128
Глава 3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Упражнение 13.12. Докажите, что полиэдр A3.3) непуст и ограничен тогда
и только тогда, когда Con А = Еп, -Ъ е Соп[(Л, -А, -1т)т].
Упражнение 13.13. Сформулируйте и докажите критерии непустоты
полиэдра A3.9) и полиэдров из упражнения 13.10. Указание. Запишите полиэдры
в виде A3.3) и воспользуйтесь упражнением 13.11.
§ 14. Критерии устойчивой разрешимости
Продолжим исследование условий устойчивой разрешимости
взаимодвойственных задач
f(x) = (с, х) = (ср хх) + (eg, afe) -> inf, x G X
Х = {х = (хх,х2): хх GJS% а^бЯ, хх > 0, A4.1)
11 ^1 ' 12*^*2 ^ 15 21 *^1 ¦" ^22*^2 == 2 J >
V>(A) = (-6, Л) = (-Ь„ А,) + (-Ь2, А2> -»sup, A € Л,
Л = {А = (А„А2): А.б-Е™1, А2€Я"\ Л, ^ 0, A4.2)
^11^1 ~Ь~ -^21*2 "^ Cl ^ ^> ^12^1 "I- -^22^2 "^ °2 =^}.
Напомним, что здесь A{j — матрицы размера гп{ х njy cj € Еп\
Ь?е?т«, AT. — транспонированная матрица к матрице Aijt c =
= (ci) СгO» Ь = (bi, Ь2)т- В § 12 было установлено, что задачи A4.1),
A4.2) одновременно устойчиво разрешимы или не являются
таковыми (теорема 12.2) и для их устойчивой разрешимости
необходимо, чтобы множества Х^ Л* их решений были ограниченными
(теорема 12.3). Ниже будет показано, что условие ограниченности
множеств Х^ Л* будет и достаточным для устойчивой
разрешимости задач A4.1), A4.2). Основной теоремой этого параграфа будет
следующая теорема
Теорема 14.1. Задачи A4.1), A4.2) устойчиво
разрешимы тогда и только тогда, когда существуют такие
точки х = (хх,х2)еХ, А = (А,, А2) 6 Л, что
хх>0, Ахххх 4- АХ2х2 < Ьх, А2Ххх + i422^2 = Ь2, A4.3)
\х>0, AJxXx+A2TxX2 + cx>0, AJ2A1+i42r2A2 + c2 = 0 A4.4)
и, кроме того,
rang I А2Х А^2 ] = пх + гь> = п,
rangf^11 712 ~R )=mx + m2 = m\
A4.5)
здесь I , I — единичные матрицы порядка пх и тх, 0—- нулевые
матрицы соответствующих размерностей.

§ 14. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОЙ РАЗРЕШИМОСТИ 129
(В A4.5) подразумевается, что при щ = 0 в первой матрице
отсутствует строка A^ 0), при т1 = 0 во второй матрице отсутствует
столбец
(*)¦
)
Прежде чем переходить к доказательству этой теоремы, введем
некоторые обозначения и докажем несколько лемм. Сначала
запишем множества X, Л, Х+ = {хеХ: f(x) = f+ = inf /(ж)}, Л* = {АеЛ:
х € X
ф(Х) = ф* = sup ф(\)} в виде полиэдра A3.3). А именно, представ-
АеЛ
ляя ограничения типа равенств Dz = d в виде равносильной системы
неравенств {Dz ^ d, (—D)z^—d}, а неравенства хх ^ 0, \х ^0—
в виде (—lrh,0)x ^ 0, (-1пн,0)Х ^ 0, множества X, А можем
представить в следующей форме:
Х = {хеЕп: G{x^g{}, A = {\eEm: G2X ^ а},
где
G{ =
G2 =
Л21
-Aft
-АТ
Л12
Л12
-/
т,
Л =
02 :
A4.6)
Далее, учитывая, что f(x) ^ ? Уж € X, ф(\)^ф* VA е Л и
поэтому равенства /(ж) = />, ^(А) = ^* из определений Д,, Л* можно
переписать в равносильной форме /(х) ^ ?, V>(A) > ^*» представим
множества X,, Л* в виде полиэдра:
X, = {х е Еп: G3x ^ д3}, К = {A G Sm: G4A ^ а},
A4.7)
где
а
-т-
«*¦(&)-
А.
^21
~~^21
-Г,
Л11
-Ат
Л12
-Д,
т,
ь»т
АЛ
-^22
""-^¦22
0
*/
-А1\
^¦22
Л22
0
Ц)
(
9г
¦B)-
*Л
V Л/
л
-U0-
0
W7
A4.8)
9 Ф. П. Васильев, А. Ю. Иваницкий

130
Глава 3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
(Здесь и далее ст, 6Т, cj, bj означают вектор-строки, полученные
транспонированием вектор-столбцов с, Ь, су, Ь{.) Предлагаем
читателю убедиться, что возмущенные задачи A1.3), A2.3) и множества
их решений можно записать в виде
/6(x) = <c(tf),a:)-+inf,
хеХF) = {хеЕп: GxF)x^gxF)},
Vb(A) = <-b(*),A)->sup,
ХеАF) = {ХеЕт: G2(S)X ^д2F)},
X.F) = {xeEn:G3F)x^g3F)},
XF) = {\eEm:G4F)\^g4F)},
где матрицы G{F) и векторы д{F) определены по
формулам A4.6), A4.8) с заменой Aij9 cjf b{ на Atj(S)9 сД<5), Ъ{F),
взятые из A1.2), /+, ф* — на fSm9 fy, матрицы 1Щ, 1Щ и О-ма-
трицы заменены матрицами 1Л6)9 1^F), 0F) тех же
размерностей с элементами, отличающимися от элементов
соответствующих исходных матриц /п , 7 , О на величину, не превосходящую
той же величины 6 > 0 из условия A1.2). Заметим, что в
возмущенных задачах A1.3), A2.3) и в определениях 11.1-11.3
ограничения хх^0, A j ^ 0, которые мы выше записали в равносильной
форме (-i^, 0)х ^ 0, (-1^, 0)\ ^ 0, предполагались известными
точно и не подвергались возмущению. Однако используемая ниже
методика исследования устойчивой разрешимости позволяет учесть
возможность возмущения и этих ограничений, что объясняет
появление в матрицах G{F), giF) подматриц 1ЩF), 1^F), 0F).
Лемма 14.1. Допустимое множество X задачи A4.1)
непусто тогда и только тогда, когда (-Ь)еСоп G2. Допустимое
множество А задачи A4.2) непусто тогда и только тогда, когда
(-c)eConGx.
Доказательство. Необходимость. Пусть множества X, А
непусты. Возьмем какие-либо точки х = (хх, х2)еХ, А =(А1? А2)?Л
и положим
ух = max{0; xj + 1, щ = max{0; -oj + 1,
Уз = ох — Ахххх — А12Х2)
рх = тах{0; А2} + 1, р2 = тах{0; -А2} + 1,
р3 = Аххлх + А2Хл2 + Cg.
Поскольку х2 = ух — у2, А2 = рх — р29 условие х G X можно записать
в виде системы равенств
— Ьх = — Ахххх — АХ2ух + АХ2ух — /^Уз? /1 л j3)
— о2 = —А2Ххх — А22ух + А22у2 + Оу31
A4.9)
A4.10)
A4.11)
A4.12)

§ 14. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОЙ РАЗРЕШИМОСТИ 131
где хх^0, ух ^ О, У2 ^ 0, у3 ^ 0, а условие А е Л — в виде
-с, = AjxXx + AJ2Xpx - AJ2Xpx - J^ft, t
-Cfe = Aj^ + Aj2ft - Aj2ft + Oft,
где A! ^ 0, ft ^ 0, ft ^ 0, p3 ^ 0. Согласно определению 13.2
система A4.13) означает, что (—Ь) == (—Ьх, — Ъ2) € Con G2, а
система A4.14) — (-с) = (-с„ -eg) G Con G2.
Достаточность. Пусть -6eConG2, — сеСопСр Покажем, что
тогда 1^0, Л ф 0. В самом деле, условие — Ь е Con G2 означает
существование таких ж, ^ 0, ух ^ 0, у2 ^ 0, у3 ^ 0» Для которых
справедливы равенства A4.13). Положим х = (хх, х2 = ух — у2). Из A4.13)
тогда имеем
Oj — AjjXj — Л12Ж2 = 1щУз ^ Уз ^ ^' ^2 "" А2ХХ{ "~ ^22^2 = ^> Хх ^ О.
Это значит, что найденная точка ж принадлежит множеству X.
Следовательно, X Ф 0. Аналогично, условие —с е Con Gx означает, что
существуют А х ^ 0, ft ^ 0, ft ^ 0, ft ^ 0, для которых справедливы
равенства A4.14). Положим А =(АР A2 = ft -ft). Тогда из A4.14)
следует, что
A71A1+A2r1A2 + c1 = /Thft = ft^O,
^12^1 "I" ^22^2 ^~ *-2 = ^ Aj^O,
т. е. найденная точка А принадлежит множеству Л. Таким образом,
Аф0. Лемма 14.1 доказана.
Лемма 14.2. Пусть матрицы Gz, G4 определены
формулами A4.8). Для того чтобы выполнялись условия Con G3 = Еп,
Con G4 = Em, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
условия A4.3)—A4.5).
Доказательство. Необходимость. Пусть Con G3 = Еп,
Con G4 = Em. Из теоремы 13.4 тогда следует, что любая строка
матриц G3, G4, взятая со знаком минус, линейно выражается
через остальные строки с положительными коэффициентами. В
частности, такие выражения можем записать для последних строк этих
матриц. Это значит, что для вектора —Ь = (—Ь15 —^) найдутся
такие XjEjE^, у^Е"*, й€?^, SfeGjE^, хх>0у у,>0, %>0, %>0,
что выполняются равенства A4.13). Положим х = (хи х2 = ух — у2).
Тогда из A4.13) с учетом неравенств хх > 0, у3 > 0 имеем
Ьх - АпХ{ ~ А{2Х2 = 1Щ % = Уз > 0, Ь2 - ^21 *1 - ^22^2 = 0> Х\> 0.
Это значит, что найденная точка ж Е X удовлетворяет
условиям A4.3). Далее, согласно теореме 13.4 из выполнения
условия Con G4 = Ет следует, что rang G2 = тх + тщ = ту где
матрица G2 определена формулой из A4.6). Отсюда получаем второе
из равенств A4.5).
9*

132
Глава 3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Аналогично, для вектора -с = (-Ср -Cg) найдутся такие Хх еЕт^1
рх е Е ^, р2 е Е ™*, ^ € Е *¦, A j > 0, рх > О, рг > 0, pz > О» что
выполняются равенства A4.14). Положим А =(АП А2=р1— р?). Тогда из A4.14)
с учетом неравенств Хх > О, рх > 0 имеем Af^ + A^Ag+ с, =
= #з>0, ЛjAj + AjjAg + Cg =0, At > 0. Это значит, что
найденная точка ХеА удовлетворяет условиям A4.4). Кроме того, в
силу теоремы 13.4 из выполнения условия Con G3 = En следует, что
rang Gx = пх + щ = п, что равносильно первому из равенств A4.5).
Достаточность. Пусть выполнены условия A4.3)—A4.5).
Покажем, что тогда Con G3 = En, Con G4 = Em. С помощью точек ж,
А из A4.3), A4.4) по формулам A4.12) определим ух > О, у2 > О,
Уг > 0. Pi > 0. ft > °i Рз > °- Поскольку а^ = у, - %, А« = д - ft,
условия A4.3), A4.4) запишутся в виде равенств A4.13), A4.14) с
положительными х{, ур %, у3, Ар рх, ft, ft. Это значит, что последние
строки матриц G3, G4, взятые со знаком минус, линейно выражаются
через остальные строки с положительными коэффициентами.
Наконец, поскольку добавление линейно зависимых строк и столбцов,
умножение строк и столбцов на число, отличное от нуля, и
транспонирование матрицы не меняет ее ранга, из условий A4.5)
следует, что rang Gx = n, rang G2 = m. Отсюда с помощью теоремы 13.4
(см. доказательство достаточности) заключаем, что Con Gz = Еп,
Con G4 = Em. Лемма 14.2 доказана.
Лемма 14.3. Пусть А = {ан, г = 1, т, I = 1, п} —матрица
размера т х п, А(8) = {ан(8), г = 1, т, I = 1, п) — такое при-
ближение к матрице А, что \ан(8) — ан\ ^ 8, г — 1, m, Z = 1, п.
Пусть конус Con А совпадает с Еп. Тогда найдется такое
число 7 >0, что возмущенный конус К(8) = Con А(8) совпадает
с Еп при всех 8, О < 8 ^ 7-
Доказательство. Пусть аг = (агр.. .,ат), аг(<5) = (аг1(<5),...
...,агоE)) — r-е строки матриц А, А(<5) соответственно. Пусть
утверждение леммы неверно. Тогда существует такая
последовательность {8к} —> 0, 6к> 0, что К(8к) ф Еп, к = 1, 2,... По лемме
13.4 тогда найдутся такие дкеЕп, }yj=l, что (дк, х)^.0ЧхеК(8к).
В частности, для х = агFк) е КFк) имеем (дк, аГ(8к)) ^0, г = 1, т,
fc = 1, 2,... Пользуясь при необходимости теоремой Больцано—
Вейерштрасса, можем считать, что {дк} —> у, \д\ = 1. Учитывая,
что |аг(<5к) — аг\ ^ 5^ —> 0 при fc —> оо, с помощью предельного пе-
рехода из предыдущего неравенства получим (у, аг) ^ 0, г = 1, га.
По условию Con А =Ет, так что у е Con А. Это значит, что су-
т
ществует такие (р\ ..., рш) = р ^ 0, что у = Атр = X) рТаТ. Тогда
m r= 1
|0|2 = (&#) = (&^тр)=? Рг(9,аг)^°> т- е. у = 0. Однако это про-
тиворечит равенству \д\ = 1. Лемма 14.3 доказана.

§ 14. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОЙ РАЗРЕШИМОСТИ 133
Доказательство теоремы 14.1. Необходимость. Пусть
задачи A4.1), A4.2) устойчиво разрешимы. Тогда множества Х^ Л*
непусты и по теореме 12.3 ограничены. Для ограниченности
непустых полиэдров A4.7) в силу теоремы 13.1 необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись условия Con G3 = En, Con G4 = Em. Отсюда и из
леммы 14.2 следуют условия A4.3)—A4.5).
Достаточность. Пусть выполнены условия A4.3)—A4.5). Из A4.3),
A4.4) следует, что 1^0, Л ^ 0. По теореме 7.5 тогда
задачи A4.1), A4.2) разрешимы. Кроме того, из A4.3)—A4.5) и
леммы 14.2 имеем Con G3 = Еп, Con G4 = Em. Отсюда и из леммы 14.3
следует существование такого числа 7 > 0> чт0 Con G3F) = Еп,
Con G4(S) = Em при всех 6, 0<<S^7, где матрицы Ш6), G4(S)
взяты из A4.11). По теореме 13.4 тогда (-с(б))е Con Ц(?), (-Ъ(б)) е
бСоп G2F). Отсюда и из леммы 14.1, примененной к множествам
ХF), АF) из A4.9), A4.10), следует, что ХF)ф<д, АF)ф0
при всех 5, 0 < 5 ^ 7- По теореме 7.5 тогда возмущенные
задачи A4.9), A4.10) разрешимы при тех же <S, 0 < 6 ^ j. Устойчивая
разрешимость задач A4.1), A4.2) установлена. Теорема 14.1
доказана.
Теперь мы в состоянии уточнить доказанную выше теорему 12.3
и получить критерий устойчивой разрешимости задачи A4.1)
или A4.2) в другой (геометрической) форме.
Теорема 14.2. Задачи A4.1), A4.2) устойчиво разрешимы
тогда и только тогда, когда множества Х^ Л* непусты и
ограничены.
Доказательство. Необходимость установлена в
теореме 12.3. Докажем достаточность. Пусть множества Х„ Л* непусты
и ограничены. Пользуясь теоремой 13.1, примененной к
множествам A4.7), имеем Con G3 = Eny Con GA = Em. Согласно лемме 14.2
тогда выполнены условия A4.3)—A4.5). Отсюда и из теоремы 14.1
следует устойчивая разрешимость задач A4.1), A4.2). Теорема 14.2
доказана.
Нетрудно видеть, что теорема 14.1 (и, следовательно,
теорема 14.2) сохраняет силу и в тех частных случаях, когда в
задаче A4.1) отсутствуют ограничения типа неравенств (тх =0) или
типа равенств (^ = 0), все переменные х{ неотрицательны G^ = 0)
или все переменные хг могут иметь произвольный знак (п{ =0).
Чтобы убедиться в этом, нужно лишь в задаче A4.1) и в
доказательстве теоремы 14.1 убрать соответствующие компоненты Aijt b0 с^
Пользуясь этим обстоятельством, переформулируем полученный
в теореме 14.1 критерий устойчивой разрешимости для основной
и канонической задач линейного программирования.
Начнем с основной задачи
f(x) = (с, х) -> inf, х е X = {х ^ 0: Ах < Ь}, A4.15)

134
Глава 3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
где А — матрица размера т х п, с е Еп, b e Ет. Двойственная
задача здесь такова:
^(А) = (-6, А) -> sup, A G Л = {А ^ 0: АТХ + с ^ 0}. A4.16)
Теорема 14.3. Задачи A4.15), A4.16) устойчиво
разрешимы тогда и только тогда, когда существуют такие точ-
ки х е X, А е А, что
ж>0, Ах<Ъ, А>0, АтА+с>0. A4.17)
Доказательство. Задача A4.15) является частным
случаем задачи A4.1), когда пх = п, ^=0, тх = т, ^2 = 0, Ап=А,
Ь{ = Ь, q = с, матрицы А12, А21, А22, Ь2, Cg отсутствуют. Тогда
условия A4.3), A4.4) превращаются в A4.17). Условия A4.5) здесь
выполняются автоматически: rang ( г ) = rang Jn = n» rang(A, Im) =
= rang/m = m. Отсюда и из теоремы 14.1 следует справедливость
теоремы 14.3.
Рассмотрим каноническую задачу
f(x) = (с, ж) -> inf, х е X = {х ^ 0: Ах = Ь}, A4.18)
где А — матрица размера тхп,сеЕп, ЬеЕт. Двойственная к ней
задача такова:
^(A) = (-b,A)->sup, XeA = {XeEm: АтА + с^0}. A4.19)
Теорема 14.4. Задачи A4.18), A4.19) устойчиво
разрешимы тогда и только тогда, когда существуют такие
точки хеХ, А е А, что
ж>0, Ах = Ь, АтА+с>0, и rang A = т. A4.20)
Доказательство. Задача A4.18) является частным
случаем задачи A4.1), когда n{ = n, ^ = 0, m1=0, т2 = т, A2X=A,
с{ = с, Ъ2 = Ь, матрицы Ап, А12, А22 отсутствуют. Тогда
условия A4.3), A4.4) равносильны существованию точек ж, А из A4.20).
Первое из условий A4.5) выполняется автоматически, второе
условие A4.5) приводит к требованию rang A = га. Отсюда и из
теоремы 14.1 следует теорема 14.4. Отметим, что теоремы 14.3, 14.4
были доказаны в [6, 7], теоремы 14.1, 14.2 — в [25].
Для иллюстрации теорем 14.1-14.4 рассмотрим несколько
примеров.
Пример 14.1. Рассмотрим задачу f(x) = xl — х2 —>inf, х€Х =
= {х = (ж1, х2) ^ 0, х1 + х2 = 1}. Это частный случай задачи 14.18,
когда А = A,1), с = A, -1)т, 6 = 1. Двойственная задача имеет вид
^(A) = -A->sup, А еЛ = {А €Е1: Л + 1^0, А - 1 ^ 0}.

§ 14. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОЙ РАЗРЕШИМОСТИ 135
Здесь/+ = ^* = -1,Х, = {:г = @, 1)},Л* = {А = 1}, rang A = 1.
Остальные условия A4.20) выполняются, например, при х = A/2, 1/2),
А =2. Согласно теореме 14.4 задача устойчиво разрешима. Такой же
вывод следует и из теоремы 14.2.
Пример 14.2. Рассмотрим задачу
f(x) = хх — х2 —> inf,
xeX = {x = (xl,x2)>0: жЧхЧ1, -xl-x2^-l}.
Это частный случай задачи 14.15, когда А = ( | _| J, Ь =
= (_i)>c==(__j)- Двойственная задача такова:
^(A) = -A1 + A2^sup,
АеЛ = {А=(А1,А2)^0: А1 - Л2 ^ 1, А1 — А2 ^ —1}.
Здесь ?=^*=-1, Х+={х=@,1)}, Л*={А=(А1,А2)^0: А1-А2=1}.
Точку А, удовлетворяющую условиям A4.20), указать нетрудно:
А =C, 1). Однако условиям A4.20) не удовлетворяет ни одна
точка х — (ж1, х2), так как условия х1 + х2 < 1, —ж1 — х2 < — 1
противоречивы. Согласно теореме 14.1 задача не является устойчиво
разрешимой. Такой же вывод можно сделать, опираясь на теорему 14.2,
так как множество Л* здесь, очевидно, неограничено. Напомним, что
эту задачу мы уже рассматривали в примере 11.3.
В примере 14.2 отсутствие устойчивой разрешимости мы
обнаружили из-за нарушения одного из условий A4.3), A4.4). Приведем
простой пример, когда нарушается условие A4.5).
Пример 14.3. Рассмотрим задачу
f(x) = х1 + х2 —> inf,
хеХ = {х = (ж1, х2) > 0: хх + х2 = 1, хх + х2 = 1}.
Она дана в канонической форме A4.18) с А = I | | ,с= , ),Ь =
= I j ), п = га = 2. Двойственная задача такова:
t/;(A) = -A1~A2^sup,
АеЛ = {А=(АпА2): А^ + А^ + 1^0, А1 + А2 + 1^0}.
Очевидно, ? = ^* = 1, Х. = Х, Л* = {А = (А1, А2): А1 + А2 = -1}.
Выбрать точки ж, А, удовлетворяющие условиям A4.20), здесь
несложно. Однако rang А = 1 ф т = 2. Нарушено последнее из
условий A4.20), поэтому задача не является устойчиво разрешимой.
Читатель, конечно, заметил, что задача из примера 14.2
представляет собой ту же задачу, которая рассматривалась в примере 14.1,
только теперь она записана в форме основной задачи. Как видим,
в примерах 14.1 и 14.2 по сути рассматривается одна и та же за-

136
Глава 3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
дача, но выводы разные: в примере 14.1 задача устойчиво
разрешима, в примере 14.2 — нет. В чем дело? В чем причина такого
странного на первый взгляд явления? Оказывается, эквивалентные
задачи линейного программирования, но заданные в разной
форме (например, в форме канонической или основной задачи), могут
иметь разное количество возмущаемых параметров. Так, в
примере 14.1 равенство х1 + х2 = 1 мы воспринимаем как ограничение ви-
да а1х1 + а2х2 = а3, в котором возмущаются три параметра: ар с^, Од,
а в примере 14.2 то же самое равенство, но записанное в виде
системы {х1 + ж2 ^ 1, —х1 — х2^—1}, воспринимается как система
неравенств вида {апх1 + а12х2 ^ а13, а^х1 + а22х2 ^ а^}, в которой
возмущаются уже шесть параметров а.у, г, j = 1, 2, 3.
Выясняется, что, возмущая эти шесть параметров, задачу можно «раскачать»
столь сильно, что она перестает быть устойчиво разрешимой. Таким
образом, примеры 14.1, 14.2 показывают, что свойство устойчивой
разрешимости задачи линейного программирования может зависеть
от формы записи условий задачи, и при переходе от одной формы
к другой следует проявлять осторожность. К этим тонким вопросам
мы еще вернемся в конце следующего параграфа.
Упражнение 14.1. Примените критерии устойчивой разрешимости
(теоремы 14.1-14.4) к задачам из примеров 11.1, 11.2, 12.1, из упражнений 11.1-11.3,
12.2, 12.3.
Упражнение 14.2. Будет ли задача f(x) = —х1 - х2 —> inf, х еХ = {ж =
= (ж1, х2) ^ 0: хх — х2 = 0, х1 < 1, х2 < 2} устойчиво разрешимой (см.
упражнение 11.2)?
Упражнение 14.3. С помощью теоремы 14.1 докажите устойчивую
разрешимость задачи f(x) = х2-^> inf, х е X = {х = (ж1, х2) е Е2: х1 - х2 ^ 0, -х1 - х2 ^ 0}.
Упражнение 14.4. При каких значениях параметров с1, с2, b\ Ь2 зада-
4a/(x) = cV+c2a;2-Mnf, х е X = {х = (х\ х2)^0, xl-x2^b\ -х1 +х2^Ь2}
устойчиво разрешима? Не является устойчиво разрешимой (см. упражнение 6.2)?
Упражнение 14.5. Докажите, что задача/(ж) = (с, ж) —>inf, x€ X = {хеЕп:
Ах < Ь}, где А — матрица размера т х n, сеЕ t b G Ет, устойчиво разрешима
тогда и только тогда, когда существуют такие ж, Л, что Ах < 6, Л > 0, А А + с =0
и rang A = n [10].
Упражнение 14.6. Используя теорему 14.1, сформулируйте критерий
устойчивой разрешимости задачи /(ж) = (с, ж) —> inf, ж € X = {ж е Е : Ах = 6} (см.
пример 7.2 и упражнение 13.4).
Упражнение 14.7. Докажите, что задачи A4.1), A4.2) разрешимы тогда
и только тогда, когда (—с) G Con Gx, (—Ь) е Con G2. Указание. Воспользуйтесь
леммой 14.1 и теоремой 7.5.
§ 15. Равносильность различных понятий устойчивости
1. Следуя [10], покажем, что для задач линейного
программирования понятия устойчивой разрешимости, устойчивости по
функции и устойчивости по аргументу, введенные в § 11, равносильны.
А именно, справедлива следующая теорема.

§ 15. РАВНОСИЛЬНОСТЬ РАЗЛИЧНЫХ ПОНЯТИЙ УСТОЙЧИВОСТИ 137
Теорема 15.1. Задача A4.1) (или 14.2) устойчива по
функции и устойчива по аргументу тогда и только тогда, когда она
устойчиво разрешима.
Для доказательства этой теоремы нам понадобятся несколько
лемм.
Лемма 15.1. Пусть В = {brl, г, I = 1, п} — такая квадратная
матрица размера пхп, что \ЬН\< \/п, г, I = 1, п, 1п —единичная
матрица размера пхп. Тогда det(/n — В)^0.
Доказательство. Допустим, что det(/n — В) = 0. Тогда
однородная система Aп — В)х = 0 имеет нетривиальное решение Xq.
Можем считать, что la^ = 1. Равенство Aп — B)xq = 0 или Xq =
п
= Bxq запишем в координатной форме: а? = ^2 brlx?, г = 1, п. Тогда
i = i
l = \*\i = tte\ = t\tbrlx?\^±(±\bA\x'\<±±-n\x'\ = l.
г=1 Г=1Ч=1 • J = lV=l / / = 1
Получили противоречивое неравенство. Лемма 15.1 доказана.
Лемма 15.2. Пусть А —матрица размера тхп, rang А = п.
Тогда detATA^0.
Доказательство. Заметим, что А1 А — квадратная матрица
размера пхп. Пусть а^ — какое-либо решение системы АТАх0 = 0.
ТогдаО=(АтАа^, х0) = (Ах0, Аа^) = |Аа^|2. Отсюда имеем Аа^ = 0 =
= A{Xq+. . . + Апх?. Однако столбцы А0 i = 1, п, матрицы А
линейно независимы, так как rang А =тг. Поэтому о^ = 0. Таким образом,
система AtAxq = 0 имеет лишь тривиальное решение.
Следовательно, detATA^0[35, 64].
Лемма 15.3. Пусть A, D —матрицы размера тхп,
rang А = п. Тогда det АТ(А - Р)ф0 для всех матриц D = {dH},
у которых \dH\, r = l,m, I = 1, п, достаточно малы.
Доказательство. В силу леммы 15.2 detATA^0.
Следовательно, существует обратная матрица (АТА)~1. Поэтому
можем написать равенство АТ(А - D) = ATA(In - (ATA)~lATD).
Возьмем число <L > 0 столь малым, чтобы элементы матри-
цы В = (ATA)~lATD = {bH} удовлетворяли неравенству |bw| < —
для всех |<L| < cIq. По лемме 15.1 тогда det(/n — В)ф0. Таким
образом, det A^A -?>) = det(ATA)-det(in-i?)^0 для всех матриц ?>,
для которых \dH\ < cIq. Лемма 15.3 доказана.
Лемма 15.4. Пусть А —матрица размера тхп, rang А = п.
Пусть АF) — такое приближение для А, что \анF) — ан\ ^ 6,
г = 1, т, I = 1, п, где ан, ан(8) — элементы матриц А, А{8)
соответственно. Пусть для некоторого деЕп система {А*р = д,
р > 0} имеет решение р = р0. Тогда для любого е > 0 найдется
такое число 7 > 0, что возмущенная система
AT(S)p = g, p>0 A5.1)

138
Глава 3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
при каждом 8, О < 8 ^ j, имеет такое решение р = р(8), что
\p(8)-Po\<sV6,Q<8<4.
Доказательство. Решение системы A5.1) будем искать
в виде
р(8) = Ро + Ах(8), A5.2)
где вектор х(8) подлежит определению. Из условия АТ(8)р(8) = g
для х(8) получаем систему уравнений Ат(8)Ах(8) = g - А (8)р0.
Убедимся, что det АТ(8)А ^0 при всех достаточно малых 8 > 0.
В самом деле, АТА(8) = АТ(А - L>), где D = А - А(8) = {dw},
dw = aw — arl(8) —>0 при 5 —> 0. В силу леммы 15.3 существует
такое 7 >0, что det АтА(8)ф0 V5, 0< в <7- При транспонировании
матрицы величина ее определителя сохраняется, поэтому
det(ATА(8))т = detАт(8)АфО V6, 0<8<j.
Отсюда следует, что система для х(8) имеет решение
хF) = (АтF)А)-1(д-АтF)ъ) V5, 0 < 6 < 7,
причем это решение единственно. Вспоминая, как строится
обратная матрица [35, 64], заключаем, что \[т(Ат(8)А)~1 = (АТА)~1.
s —»о
Тогда lim x(8) = (АтА)~1(д - Атр^) = 0 и, как видно из A5.2),
8 —>0
lim \p(8)-p0\ = lim |АжE)|=0.Так как#>>(), взяв j>0 достаточно
8 —+ 0 5 —+0
малым, можем считать, что р(<$) > 0 V<S, 0< <S < 7. Таким образом,
вектор р(8), определяемый равенством A5.2), является искомым
решением системы A5.1). Лемма 15.4 доказана.
Лемма 15.5. Пусть А —матрица размера т х п, Ъ е Ет,
множество X = {х е Еп: Ах ^ Ь} непусто и ограничено. Пусть
А(8), Ь(8) —такие приближения для А, Ь, что
\"Лб)-*н\^б> \ьг(8)-ъг\^б, г=17^, г =Т7^,
где ан, анF) —-элементы матриц А, А(8); Ьг, Ъг(8)
—координаты векторов Ь, ЬF) соответственно. Тогда найдутся такие
числа 7 > 0, R > 0, что для всех 8, 0 ^ 8 ^j, для которых
множество Х(8) = {х е Еп: А(8)х ^ Ь(8)} непусто, выполняется
неравенство sup \x\ ^ R, т. е. возмущенные множества Х(8)
хех(й)
(если они непусты) ограничены равномерно по 8 е [0, 7].
Доказательство. Так как множество X = {хеЕп: Ах^ Ь}
по условию непусто и ограничено, в силу теорем 13.1-13.3 Con A =
= Еп, rang А = п и любой вектор хеЕп можно представить в
виде х = А 'р, где р = р(х)>0. В частности, для базисных векто-
ров ej = @,..., 0, 1,0,..., 0), j =2i n, найдутся такие pi > 0, qi > 0,
что еу = АТрр —ej = ATqjt j = 1, п. Применим лемму 15.4 к
системам {Атр = е., р > 0}, {Атд = -е., д > 0}, j = 1, п. Согласно этой

§ 15. РАВНОСИЛЬНОСТЬ РАЗЛИЧНЫХ ПОНЯТИЙ УСТОЙЧИВОСТИ 139
лемме для любого е > О найдется такое число 60 > О, что при
каждом <5, 0 < 6 ^ 7» возмущенные системы {АтF)р = ея р > 0},
{ATF)q = —e., g >0}, j — 1, п, имеют такие решения ру(<5), <7У(<5),
что |рД<5) — pjl < е, |дДй) — gy| <е, j> = 1, га. Зафиксируем какое-либо
<S, 0 < 8 < 7- Допустим, что ХF) ф&. Возьмем произвольную
точку х = (х1,..., хп) е ХF). Тогда
*' = <*,еу) = <*> АтE)^E)> = (АE)х, РД5)К
<<Ь(*), РД<5)> = (Ь,р.) + F(й)-Ь, р,.F)) + (Ъ, PjF)-Pj)<
< (Ь, РУ> + *V^(|Py(*) - Ру| + \Pj\) + НЬД«) - Р,| ^_
^ max «Ь, р,) + 7V^T(? + Ь,|) + \Ъ\е) = М+, j = 1, п.
Аналогично, zJ' = -(ж, -еу) = -(ж, Ат(<5)дуE)) = -(А(й)х, дД<$))>
>-<*<*>. 9,<*)> = -<Ь, 9,)-<*(*)-*¦ ду(*)}-<Ь2_2,(*)-д,)>
^ - min ((Ь, д.) + 1/у/гп(е + Ы) + |Ь|е) = М_, j = 1, п. Таким об-
разом, М_ ^ xJ' ^ М+, j = 1, га, или |ж| ^ Д = >/n max{|M+|, |М_|}
для всех хеХF)^0 и всех 5, 0^ 5 ^ 7» причем величина Л от 5
не зависит. Лемма 15.5 доказана.
Лемма 15.6. Задача A4.1) (или A4.2)) устойчиво
разрешима тогда и только тогда, когда существует такое
число 7 > 0, что множества Х+F), Л*E) непусты при всех 8,
0 ^ 6 ^ 7, и равномерно ограничены на отрезке [0, 7]; здесь
Х+F), Л*(<5), 0 < <5 ^ 7^ —множества решений возмущенных
задач A4.1)', A4.2).
да** A1.3), A2.3), Х„F) = Д,, Л*@) = Л* —множества решений за-
Доказательство. Необходимость. Пусть задача A4.1)
устойчиво разрешима. По теореме 12.2 тогда задача A4.2)
также устойчиво разрешима. Это значит, что множества Х+F),
Л* E) непусты при всех 6 е [0, 7]» где 7>0 — достаточно малое
число. Применяя теорему 7.2 к взаимодвойственным парам
задач A4.1), A4.2) и A1.3), A2.3) (см. также замечание 7.1), имеем
Х,хЛ* = {2 = (х, Л) е Еп х Ет:
хеХ, АеЛ, (с,х) + (Ь,АХ0}, ( ' '
X.F)x/?F) = {z = (x,\)eEnxEm: хеХF), АеЛ(й),
(сF),х) + (ЪF),\)<0}, К ' '
где п — щ + щ, т = т1 Л-т^. По аналогии с A4.7), A4.11)
множества A5.3), Aо.4) можно представить в виде
XtxX = {z = (x,\)eEn xEm: Gz^g},
Х.F) х /l(S) = {z = (x,\)€Enx Em: G(8)z < g(S)},

140
Глава 3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
где
G--
/ А,
А2|
-L
~~"^22
0
Л
)
<$
0
->4Т -
Л12
Л12
-Д,
т,
ЬГ
Л21
Л22
Л22
0
47
/л
!> S=( %
Vo
/ ЬЛ
-Л
о
О
о/
V
A5.5)
матрицы Gi
лучаются из
Go, 9\, 92 определены в A4.6), матрицы G(<S), gF) по-
A5.5) после замены Aip cf, b{ на Ai5(8), су(?), bt(8)
из A1.2), подматрицы / , J , О в A5.5)
х , ^ , ^ « Vx^.^; заменены
подматрицами I (<S), .L(<S), О(й) подооно тому, как это делалось в матри-
дах ?,(«), Л(*)вA4.9)-A4.11).
Из устойчивой разрешимости задач A4.1), A4.2) и теоремы 14.2
следует, что множество Х^ х Л* непусто и ограничено, а
множества Х>F) хЛ*(<5) непусты при всех ?, 0< 5 ^ 7- Кроме того,
приближения G(<5), g(8) для G, # удовлетворяют условиям A1.2). Отсюда
и из леммы 15.5 (при необходимости взяв 7 > 0 еще меньшим)
получаем
sup (|^| = (|x|2 + |A|2I/2)^i?0 W>, 0^5^7,
z€X,(8)x/tF)
где i?0 = const не зависит от 6. Необходимость доказана.
Достаточность не требует отдельного доказательства и следует
непосредственно из определения 11.1. Лемма 15.6 доказана.
Лемма 15.6 представляет собой еще один критерий устойчивой
разрешимости взаимодвойственных задач A4.1), A4.2) и дополняет
критерий, приведенный в теореме 14.2.
Доказательство теоремы 15.1. Необходимость. Если
задача A4.1) (или A4.2)) устойчива по функции и по аргументу, то она
устойчиво разрешима — это следует из определений 11.2, 11.3.
Достаточность. Пусть задача A4.1) (или A4.2)) устойчиво
разрешима. Покажем, что тогда она устойчива как по функции, так
и по аргументу. Сначала установим устойчивость по функции:
/,,= inf Л(х)->/ф| </>* = sup i/>s(\)-nl>* при 5->0. По опре-
*?*(«) АеЛ($)
делению 11.1 устойчивой разрешимости задач A4.1), A4.2)
множества Х^(8) и Л*(<5) непусты при всех <5, 0^ 6 ^ 7» а по лем"
ме 15.6 эти множества равномерно ограничены на отрезке [0,7]»
где 7 > 0 — достаточно малое число. Возьмем произвольную
последовательность {<5. } —> 0, 0 < 6к ^ 7» & = I» 2,... Из каждого
множества Х+Fк), КFк) возьмем какие-либо точки хк €Х+Fк), \ке/СFк),

§ 15. РАВНОСИЛЬНОСТЬ РАЗЛИЧНЫХ ПОНЯТИЙ УСТОЙЧИВОСТИ 141
к = 1, 2,... Из равномерной ограниченности множеств Х+F), Л*E)
на [0,7] следует, что последовательности {хк}, {Хк} ограничены
и из них по теореме Больцано—Вейерштрасса можем извлечь
сходящиеся подпоследовательности.
Без ограничения общности можем считать, что {хк} —» х„ {Хк} —>
—> А*. Убедимся, что (х^ А*) е Х+ хЛ*. В самом деле, включения жЛ 6
G Х+Fк), Хк ?Л*(Й) согласно A5.4) означают, что хк е ХFк), Хк е
вАFк), (cFk),xk) + (bFk), AJ^O, fc = l, 2,... Отсюда при fc-+oo
с учетом предельных соотношений АуFк)-+ Aijt cFk)->c, bFk)->
—> Ь получаем х+ е X, А* е Л, (с, ж+) + (Ь, А*) ^ 0.
Согласно A5.3) это означает, что (ж+, А*) € Х+х Л*. Тем самым
мы доказали, что все предельные точки каждого семейства
точек (хF), ХF)) е ХмF) х кF) при 6 —> 0 принадлежат
множеству X, хЛ*. Кроме того, Ли=Л(^)=(с(^),^)-^(с,ж,)=/(ж,)=Л,
^fc = ^(AJ = (-ЪFк), Хк) -> (-6, А*) = ^ (А*) = ф*. В силу
произвольности выбора последовательности {8к}—>0 отсюда заключаем,
что fSt —> /„, ^* —* ^* ПРИ <5 —>0. Устойчивость задач A4.1), A4.2)
по функции доказана.
Теперь покажем, что эти задачи устойчивы и по аргументу, т. е.
0(Х,F),Х.)= sup inf \x-y\= sup р(х,Х.)^О,0(ХF),/е) =
хеХ,F)У?х. хеХ,F)
= sup inf |А — /х| = sup p(A, Л*)—>0 при 5—>0. Отметим, что
АеЛ*E)^еЛ* АеЛ'E)
из равномерной ограниченности множеств Х+F) хЛ*(?) на отрезке
[0,7] следует, что величины /З(ХДЙ), XJ, /3(Л*E), Л*) конечны
при каждом <S, 0 < 5 ^ 7- Возьмем произвольную
последовательность {6к} —> 0, 0 < 5д. ^ 7» k = 1> 2,... По определению верхней
грани при каждом к = 1, 2,... найдутся такие точки xfe e ^(^),
ХкеА*Fк), что
1 A5.6)
р(\ь,Х)?0{/Ц6к), Л*К/>(А„Л*) + ?.
Пользуясь при необходимости теоремой Больцано—Вейерштрасса,
можем считать, что последовательность (хк, А*)—>(ж+, А*). Выше мы
установили, что (х$,А*)еХ,хЛ*. Поэтому р(хк,Х+) = inf |жк — у| ^
s:|xt-xJ-*0, р(А„Л*)= inf |Afc — yu| ^ lAjt — Л*| —>• 0 при к -» оо.
Отсюда и из A5.6) при fc —> оо получим /3(X+(Sk), X+) —> 0,
C(К(8к),К) —> 0. Учитывая произвол в выборе
последовательности {«fc}->0f заключаем, что ?(ХД5), XJ-* 0, /?(Л*(Й),Л*) -> 0
при & —> 0. Тем самым показано, что из устойчивой разрешимости
задач A4.1), A4.2) следует их устойчивость по аргументу.
Теорема 15.1 доказана.

142
Глава 3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Таким образом, установлено, что все три понятия устойчивости —
устойчивая разрешимость, устойчивость по функции, устойчивость
по аргументу — для задач линейного программирования
равносильны, и поэтому можно говорить просто об устойчивости задач
линейного программирования, не уточняя, в смысле какого из
определений 11.1-11.3 понимается устойчивость. Отсюда следует, что
теоремы 12.2, 14.1-14.4 и лемма 15.6 представляют собой
критерии устойчивости задач линейного программирования. Отметим, что
понятия устойчивости по функции и аргументу вводились также
в [126, 127], там же доказывалась их равносильность.
2. В § 14 было замечено (см. примеры 14.1, 14.2), что свойство
устойчивой разрешимости, а следовательно, в силу теоремы 15.1,
и свойства устойчивости по функции и по аргументу задачи
линейного программирования, вообще говоря, зависят от формы записи
условий задачи и при переходе от одной формы к другой эти
свойства могут сохраняться или теряться. Для иллюстрации этих
соображений рассмотрим основную задачу линейного программирования
f(x) = (с, х) -+ inf, х е X = {х ^ 0: Ах ^ Ь}, A5.7)
где А — матрица размера т х п, се Еп, Ь е Ет. Для применения
симплекс-метода, описанного в §§ 3-5, эту задачу сначала нужно
записать в канонической форме:
g(z) = @, у) + (с, х) -> inf,
zeZ = L=h]>0: Cz = Imy + Ax = b\, A5'8)
гдеС = (/ш,А).
Теорема 15.2. Если задача A5.7) устойчива, то устойчива
и задача A5.8).
Доказательство. Согласно теореме 15.1 достаточно
проверить устойчивую разрешимость задачи A5.8). С этой целью
выпишем двойственную к A5.8) задачу:
^(А) = -(Ь, A)-+sup,
АеЛ={А€Я~:СтА + @)^ A5.9)
= {А^0: АтА+с^0}.
По теореме 14.3 в силу устойчивой разрешимости задачи A5.7)
найдутся такие точки х = а^, А = А0, что Xq > 0, Ах^ < Ь, А0 > 0,
АТА0 + с > 0. Тогда
го = (яб,У6 = Ъ-Ах6)>0,
Cz0 = b, CTA0+^J >0, rangC = rang/m = m,

§ 15. РАВНОСИЛЬНОСТЬ РАЗЛИЧНЫХ ПОНЯТИЙ УСТОЙЧИВОСТИ 143
что согласно теореме 14.4 означает устойчивую разрешимость
задач A5.8), A5.9). Теорема 15.2 доказана.
Теперь рассмотрим обратный переход от канонической задачи
f(x) = (с, х) -> inf, х е X = {х ^ 0: Ах = Ъ} A5.10)
к равносильной основной задаче
f(x) = (с, х) -> inf, xeX = {x^0: Ax^b, -Ах^-Ь}, A5.11)
полученной путем замены ограничения Ах = Ь системой двух
неравенств -ГА ж < Ь, —Аж ^ —6). Пусть исходная каноническая
задача A5.10) устойчива. В силу теоремы 15.1 тогда она устойчиво
разрешима, т. е. возмущенная задача
/,(x) = (cE),x)-+inf, xeX(8) = {x>0: АF)х = ЪE)} A5.12)
разрешима при всех 5, 0 ^ 6 < j. Если мы попытаемся для
исследования устойчивой разрешимости задачи A5.11) применить
теорему 14.1 и будем искать точку ж, удовлетворяющую условию A4.3),
то быстро обнаружим, что система {Ах <Ь, — Ах <— Ь}
несовместна и такой точки нет, следовательно, задача A5.11) не является
устойчиво разрешимой. Причину такого явления мы изучили выше
на примерах 14.1, 14.2. Было выяснено, что это происходит из-за
того, что ограничения — Аж< —Ь в A5.11) рассматриваются
независимо от ограничения Ах^Ьи возмущаются также независимо. Между
тем, эти возмущения зависимы, и это обстоятельство должно
учитываться при исследовании вопросов устойчивости. А именно, если
А F), ЬF) — приближения для А, Ь, то естественно
приближениями для — А, — Ь считать —А(<5), —ЬF) и возмущенную задачу
для A5.11) писать в виде
/,(x) = (cE),x)->inf, П5 131
хеХF) = {х^0: АF)х^ЬF), -АF)х^-ЬF)}. К ' }
Очевидно, задачи A5.12) и A5.13) отличаются друг от друга лишь
формой записи, и задача A5.13) разрешима при тех же <S, что
и A5.12). Таким образом, если задача A5.10) устойчиво разрешима,
то, казалось бы, получается, что и задача A5.11) также устойчиво
разрешима. Однако мы не должны забывать, что такое утверждение
носит условный характер — оно получено лишь благодаря
специальному возмущению исходных данных, естественно возникающих
из происхождения задачи A5.11).
Рассмотрим переход от канонической задачи A5.10) к М-зада-
че (§ 8)
9(у) = д{у,М) = {М1т, и) + (с,х)-*inf, уеХ
Y = {y = (u,x)eEm+n: u>0, x^0, Cy = Imu + Ax = Ь}, A5.14)
С = Aт,А).

144
Глава 3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Теорема 15.3. Если задача A5.10) устойчива, то при
достаточно больших М устойчива и задача A5.14).
Доказательство. В силу теорем 12.2, 15.1 из устойчивости
задачи A5.10) следует устойчивость двойственной к ней задачи
^(A) = (-b,A)->sup, \eA = {\eEm: АТА+О0}. A5.15)
По теореме 14.2 тогда множества Х^ Л* решений задач A5.14),
A5.15) ограничены. Возьмем произвольное число М такое, что
M>max|AL A5.16)
А €Л
и покажем, что для всех таких М задача A5.14) устойчива. По
теореме 8.1 задача A5.14) разрешима и ^+(M) = /It, Y[(M) = @, XJ VM
из A5.16). Из ограниченности множества Х+ следует
ограниченность множества Y*(M) VM из A5.16). Убедимся, что при таких М
множество решений двойственной к A5.14) задачи
xOu)=(-M-»sup>
»еМ={»еЕ~: CVb(^) = (^ A5.17)
={/хеЕт: /z+MIm^0, AV+c^O}
также ограничено. Из разрешимости задачи A5.14) и теоремы 7.1
следует разрешимость задачи A5.17), т. е.
X* = Х*(М) = inf x*(M) > -оо, М*(М) = {/х € М: Х(м) = X*} ф ®-
Покажем, что ЛГ(М) = Л* VM из A5.16). Возьмем VA* еЛ*. Тогда
АТ\* + с ^0. Кроме того, из A5.16) имеем М> \\*\ж, так что — М<
< А** < М, г = 1, ш, т. е. А* ^ -MIm. Следовательно, А* еМ. Далее,
в силу теорем 7.1, 8.1 *(А*) = ИХ*) = ф* = /, = &(М) = x*W),
так что А* еМ*(М). Включение Л* С М*(М) доказано. Докажем
обратное включение. Возьмем V/x* eM*(M). Тогда Ат/х* + с ^0, так
что /л* € Л. Далее, в силу теорем 7.1, 8.1 tp(fi*) = х(м*) = Х*(М) =
= &(М) = /„ = V7*» т. е. /х*еЛ*. Обратное включение Л1*(М)СЛ*
также установлено.
Следовательно, Л4* = Л* VM из A5.16). Отсюда и из
ограниченности Л* вытекает ограниченность множества М*(М) VM
из A5.16). Таким образом, множества решений
взаимодвойственных задач A5.14), A5.17) ограничены при всех М>тах|А|.
Согласно теоремам 14.2, 15.1 эти задачи устойчивы. Теорема 15.3
доказана.
Наконец, рассмотрим еще один класс задач линейного
программирования, возникающих при применении метода искусственного
базиса к канонической задаче, которые будут устойчиво разрешимы

§ 15. РАВНОСИЛЬНОСТЬ РАЗЛИЧНЫХ ПОНЯТИЙ УСТОЙЧИВОСТИ 145
также только при дополнительных условиях на возмущения
исходных данных. Речь идет о вспомогательной задаче E.2)
д(у) = их + и2 +... + ит -+ inf,
уеУ = {у = (и,х)^0:/тгх + Ах = 6}, Ь^0, ^°' °'
с помощью которой мы искали нужную для начала
симплекс-процесса угловую точку допустимого множества задачи A5.10). Нетрудно
убедиться, что из устойчивой разрешимости задачи A5.10), вообще
говоря, не следует устойчивая разрешимость задачи A5.18). В
самом деле, рассмотрим случай, когда множество X допустимых точек
задачи A5.10) неограничено. Тогда множество
Ъ = {уе?:д(у) = ь=Ыуд(у) = 0} = {у = @,х):ОеЕт, хеХ}
решений задачи A5.18) также неограничено, и по теореме 12.1
такая задача не может быть устойчиво разрешимой.
Однако если исходные данные в задаче A5.18) возмущать лишь
частично, то она, оказывается, остается устойчиво разрешимой.
А именно, естественно считать, что целевая функция д(у) = и* + ...
.. ,+ит в A5.18) известна точно и возмущается лишь множество У.
Тогда возмущенная задача для A5.18) будет иметь вид
96(У) = 9(У) = ul + ... + um-^ inf,
yeYF) = {y = (u,x)>0:ImF)u + AF)x = bF)}, K ' }
где АF), ЬF) и приближение 1тF) для 1т удовлетворяют
условию A1.2) (впрочем, здесь можно считать, что 1тF) = 1т). По
предположению задача A5.12) разрешима при всех 6, 0^ 8 ^ 7- Это
означает, что ХF) ф 0 V<5 e [0, 7]. Тогда множество YF) также
непусто, так как, например, у = @, х) е Y(S) Vz е X(S). Кроме
того, g6(y)^0 Vy e Y(S). Отсюда и из теоремы 6.1 следует, что
задача A5.19) разрешима при тех же <S, что и A5.12). Это значит,
что если задача A5.10) устойчиво разрешима, то задача A5.18)
также устойчиво разрешима при дополнительном предположении, что
целевая функция д(у) = и{+.. .+um+@, у) известна точно и не
возмущается. Таким образом, как и в случае задачи A5.11), свойство
устойчивой разрешимости A5.18) носит условный характер и
сохраняется лишь при специальных возмущениях исходных данных.
Рассматривая задачи A5.11), A5.18), мы вплотную подошли
к важной и пока неисследованной проблеме условной
устойчивости задач линейного программирования, когда возмущения
исходных данных подчинены каким-либо дополнительным условиям,
взаимосвязаны. Любознательному читателю предлагаем заняться этой
интересной проблемой, дать строгие определения условной
устойчивой разрешимости, условной устойчивости по функции, по
аргументу, получить критерии условной устойчивости в разных смыслах.
Было бы также интересно исследовать влияние ошибок округления
на симплекс-процесс в канонической задаче и т. д.
10 Ф. П. Васильев, А. Ю. Иваницкий

Глава 4
МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
§ 16. Метод стабилизации
1. В этой главе будет рассматриваться основная задача линейного
программирования
f(x) = (с, х) -> inf, х е X = {х е Еп: х > О, Ах ^ Ь}, A6.1)
где A ={a{j} — матрицы размера тхп, Ь = (Ь1,..., Ьт)т€ Ет, с =
= (с!,..., сп)те?7п. Предполагаем, что X ^0, /* = inf /(ж) > —оо.
2 € X
Тогда согласно теореме 6.1 Х^ = {ж е X: f(x) = ?} ^ 0.
Пусть вместо точных исходных данных А, Ь, с известны такие
их приближения АF) = {а^F)}$ ЪF) = (Ь{F),.. .,ЪтF))Т, сE) =
= (с1E),...,спE))т, что
|с'(«) - ^| ^ 60, \ацF) - a{j\ ^ «„ |Ь<(«) — Ь*| ^ 52,
* = 1,171, J = 1,71,
где 5 = (<50, 5j, <52) ^0— параметры погрешности. В отличие от A1.2)
здесь мы выделяем три параметра погрешности: <50, <5Р <52, поскольку,
как увидим ниже, к ним будут предъявляться разные требования.
Условия на погрешности исходных данных запишем в виде
покоординатных (поэлементных) векторных и матричных неравенств
-ад. < с(б) - с ^ 60in, -^ис ^ АF) -А< s{imii,
где 1П = A,..., 1)т € Е\ 1т = A,..., 1)т е Ет, IX — матрица
размера т х п с элементами, равными 1.
Для получения приближенного решения задачи A6.1) при
условиях A6.2) можно попытаться использовать возмущенную задачу
fs(x) = (cF),x)-+ml, 63)
хеХ(8) = {хеЕп: х^О, АF)х^ЬF)}. К * '

§ 16. МЕТОД СТАБИЛИЗАЦИИ
147
Такая попытка оправдана, если задача A6.1) устойчива. Однако
если задача A6.1) неустойчива, то обращение к возмущенной
задаче A6.3) может иметь смысл только в отдельных
исключительных случаях, когда при построении этой задачи использованы
какие-то «хорошие» реализации АF), Ь(8), сF) из A6.2). Но
выбор этих реализаций на практике носит, как правило, случайный
характер, и у нас нет оснований надеяться, что имеющиеся в
нашем распоряжении реализации А(<5), b(S), cF) «хорошие». Как
мы видели на примерах в § 11, могут иметь место такие
«плохие» реализации, что множество ХF) пусто и задача A6.3)
теряет смысл, и, более того, даже в том «счастливом» случае,
когда XF)j^0, может оказаться, что либо /«. = inf /А(ж) = —оо
\ / -ю* х€ХF) °N '
и множество Х^F) = {хеХF), fs(x) = f6ilt} пусто, либо /^ > —оо,
ХДй)^0, но разность fSm — f+ и отклонение множества Х+F) от Х+
не стремятся к нулю при 6 —> 0. Это значит, что в случае
неустойчивости задачи A6.1) возмущенная задача A6.3) не может быть
использована для гарантированного получения хорошего
приближенного решения исходной задачи при любых сколь угодно малых
погрешностях 6 >0. Более того, даже в идеальном случае, когда S =0,
неизбежные при вычислениях погрешности округления могут
привести к неудовлетворительным результатам.
Возникает вопрос: как же все-таки распорядиться известными нам
приближениями АF), Ь(<5), сF) из A6.2), как с их помощью
построить новую вспомогательную задачу, решив которую мы
могли бы при достаточно малых 6 получить хорошие приближения
для решения исходной задачи A6.1)? При этом желательно,
чтобы построенная вспомогательная задача была не слишком сложной,
например, оставалась бы задачей линейного программирования, и к
тому же сама была бы устойчивой. Кроме того, хотелось бы,
чтобы разработанный на этом пути метод надежно работал вне
зависимости от того, устойчива исходная задача A6.1) или
неустойчива, поскольку практическая проверка на устойчивость задачи A6.1)
лишь при наличии приближенных данных становится
проблематичной. Существует ли метод, который удовлетворял бы столь высоким
требованиям? К счастью, к настоящему времени такие специальные
методы уже созданы. Эти методы, называемые методами
регуляризации, разработаны в рамках общей теории неустойчивых
(некорректных) задач [10, 16, 19, 22, 32, 35, 63, 76, 78, 85, 86, 87, 88, 89, 91,
98, 118, 119, 120, 122, 143] и широко применяются при решении
самых разнообразных линейных и нелинейных задач естествознания.
Ниже применительно к задаче A6.1) будут изложены три метода
регуляризации: метод стабилизации, метод невязки и метод
квазирешений, основанные на идее расширения множества [6, 7, 8, 16,
22, 23, 24, 27, 28, 30, 59, 60, 61, 62, 75, 85, 89, 90, 91, 92, 126, 127].
2. Сначала изложим метод стабилизации, или, как часто его
называют, метод стабилизирующих функционалов, разработанный
ю*

148
Глава 4. МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
А. Н. Тихоновым [118]. Используя приближения А(8), ЬF), сF)
из A6.2), определим функцию fs(x) = (сF), х) и множество
W(S) = {xeEn: х^О,
A(S)x-bF)^6llmrnx + eim = IJSl\x\l + 0)}= A6.4)
= {х € Еп: х > О, (АF) - S^FJx < ЬF) + 6IJ,
где в = в(8)>0 — параметр метода, |х|, = ]?х = х1+.. . + хп Ух ^0.
Из A6.2) следует, что
|/Дх) - /(х)| = \(сF) - с, х)\ < 80\х\ Vx e Е\ A6.5)
Предполагая, что
ОО2<0, A6.6)
покажем, что X С W(S). В силу A6.2)
-U6.W, + б2) = - *.№ - &,im <
< (A(S)x - bF)) - (Ax - b) < SxImrnx + &,!„, = A6.7)
Отсюда и из A6.6) имеем
A(S)x - b(S) 4: Ax - b + ImE,|x|, + S2) ^
A6.8)
Из A6.8) следует, что при выполнении условий A6.6) X С WE),
т. е. WF) является расширением множества X. Поскольку X ^0,
и W(S)^0 при V<S = (Й0, 5,, 62) ^0, &, ^ 0. Из определения A6.4)
множества W(S) с учетом A6.6), A6.7) также имеем
Ax-b^A(S)x^b(S) + Im(Sl\x\l + S2)<2IMFl\x\l + e) пбд)
VxeWF). у ' '
Введем функцию ^(ж) = /5(ж) + а|ж|1 = (сE) + о;1[п, х), я^О. Эта
функция называется функцией Тихонова, а параметр а=аF)>0 —
параметром регуляризации.
Рассмотрим задачу
ts(x) = (c(s) + <*1»> х) -> inf, 10)
хеЩй) = {х^0:(АE)-й11ш11)х^ЬE) + Мт}) "
которая представляет собой задачу линейного программирования,
записанную, как и A6.1), в форме основной задачи. Предполагаем,
что параметр погрешности 6^0 удовлетворяет условию A6.6), так
что W(S)^0. Выясним, при каких условиях на параметры <S, 0, а
имеет место неравенство ts+ = inf t6(x) > —оо. С этой целью
ж€ W(S)

§ 16. МЕТОД СТАБИЛИЗАЦИИ 149
вспомним теорему 7.4, согласно которой множество седловых
точек функции Лагранжа
L(x,\) = f(x) + (\, Ах-Ь), ж^О, А^О,
задачи A6.1) совпадает с множеством X, х А* и
Нъ, А*) = Д ^ L(x, А*) = /(*) + <А% Ах - Ь)
Vx^o, Vx,ex„ va*eA*.
Отсюда с учетом неравенств А* ^0, A6.9) имеем
Л</(*) + 2|АШМ1 + *) ^eW(S) A6.11)
при любом выборе А* еЛ*. Для определенности будем считать, что
А* е Л** = {А е Л*: |А |j = inf |p|} — множество так называемых нор-
ре л*
мальных решений двойственной к A6.1) задачи. Отметим, что Л**
непусто как множество решений задачи линейного
программирования
|A|i = On,A)-Mnf, \eX = {\eEm:
А^О, ATA+c>0, ф(\) = (-Ь,\)>ф*=т1 Ф(р)}
рбЛ
с неотрицательной целевой функцией |A|f ^0 (теорема 6.1). Далее,
с учетом неравенств A6.5), A6.11) имеем
*Лх)^/(х)-5о|х|1 + «|х|1^Л-2|Л*|1E1|а:|1 + 0)-<5о|х|1 + «|х|1 =
= Л + (о.-2|Л*|161-5о)|Ж|1-2|Л*|10^Л-2|Л*|1в VxeWF),
если
а = а(«)>2|А*|,«1 + ^. A6.12)
Таким образом, если X ф0, /, > — оо и выполнены условия A6.2),
A6.6), A6.12), то WF)*0, t,.= inf Ux)>f.-2\\*\{e>-oo
ж€ WF)
и задача A6.10) имеет решение (теорема 6.1). Нет необходимости
искать точное решение этой задачи, достаточно иметь
приближенное решение в следующем смысле:
х е WF), t6(x) ^ts. + e, e = e(S) > 0. A6.13)
Множество всех точек ж, удовлетворяющих условиям A6.13),
обозначим через W^F). В качестве приближенного решения
задачи A6.1) возьмем любую точку х(8) е W+F), в качестве
приближения для /„ — величину fs(x(S)). Метод стабилизации в основном
описан. Осталось указать условия согласования параметров а, 0, е
этого метода с параметрами погрешности 6 = E0, 8{, 82), в самом
деле обеспечивающие близость точек хF)€ W^(S) к множеству X»
а значения fs(x(8)) — к /„ при малых 6.

150
Глава 4. МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
Теорема 16.1. Пусть в задаче A6.1) X ^0, fm > —оо, при-
ближения АF), Ь(8), сF) взяты из A6.2) и параметры а =
= аF) > 0, в = вF) > 0, е = еF) ^ 0, 6 = (<50, «,, 62) ^ 0, таковы,
что
0^62^вF), аF)>2\\*\16{ + 60, А*еЛ**. A6.14)
Тогда
Ni^n. + 7(«) Vx€T^E), 0.= inf |х|1э
х€Х
,,,^AЛ6АУ\1 + 60) + еF) + 2вF)\У\1
Ч@)- a(S)-26l\X'\l-60
A6.15)
-[2«,| А*|,(П. + 7E)) + ^EI = -/%(«) < /(х) - /. < А(«) s
= (<*(*) +W + 4>(«. + 7(*)) + e(«) V»eW.(«), l ' '
max maxUAx - Ь)\0} < 2&(ft, + jF)) + 0F) = C,F)
U<<m A6.17)
Vx € Щ5),
p(x,X.)<M1max{/3i(«)>/%(«)} VxeW,E), A6.18)
p(x,XJ^M2max{AE),^E),7E)} VxetW), A6.19)
||x|1-fiJ^M2v^max{AE),^E),7E)} VxetW), A6.20)
где X„ = {xeX,: |x|,= inf Ij/I,} — множество нормальных реше-
уеХ,
ний задачи A6.1); через Ми М2, М3,... здесь и ниже
обозначаются положительные постоянные, не зависящие от 6.
Доказательство. Заметим, что множество Х„ непусто как
множество решений задачи линейного программирования Q(x) =
= x1+... + xn = |x|,-»inf, х€Х, = {х>0: Лх^Ь, (с, x)^/J с
неотрицательной целевой функцией Щх) на X (теорема 6.1). Возьмем
произвольные точки х„ е Хы, х € WtF). С учетом неравенств A6.5),
A6.11), A6.13) и включений X„cXtcXc Wt(S) имеем
/(х) ^ /(х) + а |х|, ^ f6(x) + й0|х|, + а|х|, =
= ts(x) + ?0|х|, < t„ + е + <50|х|, < t6(x„) + e + <S0|x|, =
= fs(x*) + a\x*\i + с + 4>Wi <
< f(xt) + <S0|xJ, + а|х.|, + e + <S0|x|, =
= /, + (Q + y(l, + eHI*U
^ /(x) + 2|А*|,(й,|х|, + в) + (а + 50R + e + *0|x|, =
= /(x) + |x|1B|A'|,5, + 5o) + 2|A*|10 + (a + 5oR + e
УхеВД), VxeX„.
Отсюда получаем (a -B|A*|,5, + S0)) |x|, <2|A*|,0 + (a + $,)fi, + e
Vx e ИСE), что при условиях A6.14) равносильно оценке A6.15).
A6.21)

§ 16. МЕТОД СТАБИЛИЗАЦИИ
151
Снова обращаясь к цепочке неравенств A6.21), извлекаем из нее
неравенство
/(*) < Л + (а + «0R + е + 60\х\{ Чх е W.F).
Отсюда и из A6.11) с учетом уже доказанной оценки A6.15)
получаем неравенства A6.16). Оценка A6.17) является следствием A6.9)
и A6.15). Далее, множества Х^ Х„ представляют собой полиэдры:
X. = {х > 0: Ах ^ Ь, (с, х) ^ /J, Х„ = {х > 0: Ах ^ Ь, (с, х) ^ Д,
(InJ x) < Qm}. Согласно теореме 10.3 тогда найдутся такие
постоянные Мх > 0, М2 > 0, зависящие лишь от А, с, что
р(х, Хф) ^ М, max{ max тах{(Аж — ЬI'; 0},
тах{(с, ж)-/+;0}} Vx^O,
р(ж, XJ ^ M2 max{ max тах{(Аж - Ь){; 0},
1 ^ i ^m
тах{(с, х)-/,;0},
тах{|ж|, -О,;0}} Vx^O.
Отсюда и из уже доказанных оценок f 16.15)—A6.17) с учетом
монотонности функции p(z) = max{z;0j получаем оценки A6.18),
A6.19). Наконец, если Рх (х) — проекция точки х на
множество Х„ (см. определение 10.3 и лемму 10.1), то
Ni - «J = IWi - l^lil = №»> * - ^*)l <
^|IJ|x-Px„s| = \/M*,XJ Vx^O.
Отсюда и из A6.19) следует оценка A6.20). Теорема 16.1 доказана.
Теорема 16.2. Пусть выполнены все условия теоремы 16.1
и выполнены неравенства
sup 2Д.1П + 4 с1 sup g(g) + e(tf)<00
о<«<м а<5) ' ооо. <*E) ' A6.22)
lim (аF) + вF) + еF))=0,
где ц = (fiQ, /х,, Ц2) > 0 — какие-либо фиксированные числа. Пусть
xF)eWtF). Тогда
lim|/(a:E))-/J=0, lim max тах{(ЛхE)-Ь)*;0}=0,
Птр(хF),Хт) = 0,
о —»U
причел*
|/(*(*))-/.|<А4(гь + «, + а(«) + в(*) + е(*))>
max max{(Ax(«)-b)';0}<A4(«,+ *(«)), A6.24)
р(я(«), Х.)<М5(Йо + 51 + а(Й) + 0E) + е(Й)), 0O<M-

152
Глава 4. МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
Если наряду с A6.22) выполнено еще условие
шк±А±т±т=0, A6.25)
*-о аF) v '
то
^
lim||x(ff)|1-nj=Ol limp (*(*), Xj=0, A6.26)
О —>U о —»U
причем
тах{|И«>|,-0,|, *>(*(«), *.,)}«
Ч^+^+в(,)+^)+.(„+4±&±*^±«И1) AМ7)
при всех хE) G W,E), 0 ^ 5 ^ /х.
Замечание 16.1. Примером параметров а, 0, е,
удовлетворяющих условиям A6.22), A6.25), служат аE) = E0 + ^ + 52)а°,
О < а0 < 1, 0E) = еE) =50 + 5! + 52. Отметим, что при выполнении
условия A6.25) первое из неравенств A6.22), содержащее
неизвестную постоянную |A*|lf будет справедливым при достаточно малых /z.
Доказательство. Величину 7E) из A6.15) можно записать
в виде
/сч . V a(g) / °F) аF)
1
аF)
Отсюда ясно, что sup *уF) ^. М7, если выполнены НераВеНСТ-
ва A6.22), и lim 7E) = 0, если дополнительно выполнено
равенство A6.25). Отсюда и из A6.15)-A6.20), A6.22), A6.25) следуют
оценки A6.24), A6.27) и равенства A6.23), A6.26). Теорема 16.2
доказана.
При сделанных в теореме 16.2 предположениях
!/«(*(*)) " /.I < \fs(xF)) - f(xF))\ + \f(x(S)) - /,| ^
^ фF)\ + \f(xF)) - /J ^ 4,@. + 7E)) + \f(x(S)) -/.HO
при 5—>0 для любых x(8)eWtF). Это значит, что точку х = хF)€
€ И^E) и величину /,(хE)) при достаточно малых 5 вполне можно
взять в качестве приближений к!, и /,. Отметим также, что
сходимость в A6.23), A6.26) равномерная относительно выбора
точки хF)е W^(S) и реализаций АE), ЬE), сE) из A6.2), что видно
из оценок A6.24), A6.27).
В оценках A6.24), A6.27) постоянные М?, по-видимому, можно
оценить более аккуратно, но степени параметров 5, а, 0, е в этих
оценках не могут быть увеличены. О таких оценках принято
говорить, что они неулучшаемы по порядку на классе всех задач
линейного программирования. Проиллюстрируем сказанное на
простейших примерах.

§ 16. МЕТОД СТАБИЛИЗАЦИИ
153
Пример 16.1. Рассмотрим задачу
f(x) = x[+0-x2->ini,
ж € X = {ж = (ж1, ж2) ^ 0: х1 + х2 < 1, -ж1 - х2 < -1}.
Здесь
/.=о, *. = к = (о,1)},
Ч-! -1} Ч-!> Ч*}
Пусть
^(^)=(_11_,1 _11_5i), M5)=(_11+,2), с(«)-A), *0=0.
Тогда задача A6.10) имеет вид
t6(x) = хх + а(х! + ж2) —> inf,
хеЩ«) = {ж = (х1,ж2)H: (AE)-<51I2IJ)x =
=(.iLS -1^;)^^)+^=(-Д\%е)>=
={x>0:(i-*1)(»I+«2)<1+e. (-l-^Xx' + x^-i + ^+e}.
Пусть 0< ^ < 1, 0< <S2 ^ 0 < 1, 0 < а < 1. Тогда функция ?Дх)
достигает своей нижней грани t5slt на множестве WF) в единственной
точке ъF) = (хЦб)=0, х?F) = A-в-62)A+26{)-*) и ^ = ах2(?).
Нетрудно проверить, что точка
хF) = (ххF) = е, х2F) = (\ - 0 - 62)(l+26l)~l - e)
удовлетворяет условиям A6.13): хF) € WF), t6(x) ^ ts^ + е.
Отсюда имеем
р(хE), XJ=|xE)-xJ^|x2Ebx^=|141-^*2)(l+25ir1+e| =
=BSl + S2+e)(l+2Sl)'l+e^(Sl + e + e).
Как видим, оценка р(хF), XJ из A6.24) не может быть улучшена
по порядку параметров ?,, 0, е. Отметим также, что здесь |/(х(<5))-
Пример 16.2. Рассмотрим задачу
f(x) = 0-xl+0-x2-*ini,
х € X = {х = (ж1, ж2) > 0: ж1 - ж2 < 0, -ж1 + ж2 < 0}.
Здесь
/, = 0, Х. = Х, Х„ = {х. = @,0)},

154
Глава 4. МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
Пусть
Тогда задача A6.10) имеет вид
f,(x)=-50(x1+x2)+a(x1+x2)=(a-60)(x1+x2)^inf,
х€Щ5)={х=(х',х2)^0:
*<*>-«,№=(_} -Ц)(?)<*<тм.=(:|#)ь
={х^0: x^-l-^x^-^+fl, -x1+(l-51)x2^-52+0}.
Пусть 0 < 8Х < 1, 0 < 62 ^ 0, 1 > а > 60 > 0. Тогда нижняя грань ts+
равна нулю и достигается при х„E) = @,0). Условиям A6.13)
удовлетворяет, например, точка хF)= I х1 = 0, х2 = —?-у 1, е >0.
Тогда р(хF), Х„) = a f g = ^ f 1 - -^ j . Отсюда видно, что
условия A6.25) и оценка A6.27) по переменной е не являются грубыми.
Из этого же примера следует, что условие A6.12),
обеспечивающее ограниченность снизу функции ts(x) на множестве WF),
также неулучшаемо на множестве задач линейного программирования.
В самом деле, здесь двойственная задача такова:
^(A) = 0A1+0.A2-^sup,
А е А = {А = (А!, А2) ^ 0: А1 - А2 ^ 0, -А1 + А2 ^ 0};
ф* = 0, Л* = Л, Л" = {А* = @,0)},
и условие A6.12) принимает вид а ^ 60. Если 0 < a < <50, то
условие A6.12) нарушается и ?^ = — оо, так как множество WF) здесь
неограничено.
Приведем еще один пример, показывающий, что, хотя
условия A6.14), A6.22), A6.25), обеспечивающие реализуемость метода
стабилизации и его сходимость, не являются грубыми на классе
задач линейного программирования, для отдельно взятых задач эти
условия могут быть существенно ослаблены.
Пример 16.3. Рассмотрим задачу
/(х) = х1 + х2 -* inf,
xeX = {x = (xl,x2)^0: х*+х2^1, -x'-x^-l}.
Здесь Л = 1, X, = Х„ = X = {х ^ 0: х1 + х2 = 1}. Пусть
Щ5)={х=(х1,х2)^0: A + й11)х1+A + й12)х2-1 + й13^
^6х(х1+х2)+в, (-1 + 521)хЧ(-1 + й22)х2+A + 523)^51(хЧх2)+0},

§ 16. МЕТОД СТАБИЛИЗАЦИИ
155
где 0 < max |^.| = 6Х < 1/4 @ < max |0i3| = 5 < 0 < 1/4). Нетрудно
убедиться, что множество W(S) непусто и ограничено и поэтому
функция
М*) = 0 - 5<н + а)хХ + 0 - 4в + <*)х2, 0 < max \60i\ < 1,
достигает своей нижней грани на W(S) без требования A6.12).
Так как здесь p(x,XJ = p(x,X^) — p(x,XI при 0 = 0E)—>0 E-+0)
метод стабилизации сходится без каких-либо дополнительных
требований на параметры метода.
3. Практическое применение описанного выше метода
стабилизации возможно только тогда, когда задача A6.10) устойчива.
Если она неустойчива, то она ничем не лучше возмущенной
задачи A6.3) и при определении точки ж = хE), удовлетворяющей
условиям A6.13), возникнут большие трудности, т. е. метод
стабилизации потеряет смысл. Опираясь на результаты главы 3, исследуем
устойчивость задачи A6.10).
Теорема 16.3. Пусть в задаче A6.1) X ^0, ? > —оо, при-
ближения АF), ЬF), сF) удовлетворяют A6.2) и
параметры а = аF), 0 = 0E) задачи A6.10) таковы, что
0^ 52 < 0E), аF) > 2^*1^ + 50. A6.28)
Тогда задача A6.10) устойчива.
Доказательство. Воспользуемся теоремой 14.2,
согласно которой для устойчивости задачи линейного программирования
необходимо и достаточно, чтобы множества решений исходной
задачи и двойственной к ней задачи были непусты и ограничены.
Заметим, что множество решений задачи A6.10) совпадает с
множеством И^E) при е = 0 (см. A6.13)). Из вышедоказанного следует, что
при выполнении условий A6.28) это множество непусто, и его
ограниченность вытекает из оценки A6.15) при каждом фиксированном
наборе параметров 6 = F0, 515 52), аE)>2|А*|151 + 50, 0^ 52^ 0E).
Остается доказать, что при чуть более жестких условиях A6.28)
множество решений двойственной к A6.10) задачи также
ограничено. Одновременно выпишем двойственные к A6.1) и A6.10) задачи.
Сформулируем их сразу в форме следующих равносильных задач
минимизации:
-V(A) = (b,A)->inf, П6 29*
ХеА = {\еЕт: A^0,ATA+c^0}, V * '
-tu(A) = FE) + 0Im,A)->inf, \eWxF) = n63m
= {\ЕЕт:\>0, <AV)-WL)A+c(*) + "In>0}. V ' '
Сравнивая пары задач A6.1), A6.10) и A6.29), A6.30),
замечаем их большое сходство. Можно сказать, что задача A6.30)
получена из задачи A6.29) путем применения к ней несколько
модифицированного метода стабилизации: величина 0 теперь
играет роль параметра регуляризации, роль величин 51? а аналогична

156
Глава 4. МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
роли параметров расширения в задаче A6.10). Конечно, аналогия
неполная, так как в отличие от задачи A6.10) здесь мы не можем
утверждать, что множество WxF) является расширением
множества Л. Тем не менее замеченная аналогия между задачами A6.10)
и A6.30) подсказывает, что при доказательстве ограниченности
множества Щ*F) решений задачи A6.30), видимо, удастся
использовать рассуждения, близкие к тем, какие выше помогли нам
получить оценку A6.15). Попробуем реализовать эти соображения.
Прежде всего заметим, что из разрешимости задач A6.1), A6.10)
и теоремы 7.1 следует, что в двойственных задачах A6.29), A6.30)
допустимые множества Л, Ж(8), а также множества их решений Л*,
W{F) непусты. Далее, из A6.2) имеем неравенства
1^(А)-^(А)|^Й2|Л|1 VAeS», ^(А) = (Ь(Й),А), A6.31)
-U*i|A|i + So) < (АТE)А + сF)) - (АТА + с) ^
^U*ilH + 4>>> VA^O, l ' }
аналогичные A6.5), A6.7). Из A6.30), A6.32) следует, что
-(i4TA+c)<-(AT(ff)A+c(«))+I„(tfi|A|, + *b)<
^-51lXA + aI„+I„EI|A|1 + 50) = Ua + 50) VA€Wi(tf). l " '
Функция Лагранжа L^A, ж) = —^(А) + (ж, — АтА — с), х>0, A>0,
задачи A6.29) согласно теореме 7.4 имеет седловую точку (А*, х+):
L{(\*, x)^Lx(X*, х+) = -'ф*^Ь1(Х, xj \/ж>0, А >0, причем
множество седловых точек этой функции совпадает с множеством А* х Х^.
Отсюда с учетом неравенства A6.33) получаем
-ф-<-ф(\) + (х„-Аг\-с)<
<-V(A) + (x„In(« + 50)> = -V'(A) + (a + 50)|xJ1 V ' '
для всех XeW{F) и хтеХф. Можем считать, что в A6.34) ж,еХм,
так что IzJ, = ft,, = inf Ix^. Полученные неравенства A6.33),
A6.34) аналогичны A6.9), A6.11)
Покажем, что Л** = {А еЛ*: |A|i= inf |p|}C WxF). В самом деле,
ре Л*
пусть А*еЛ**. Тогда А*>0. Кроме того, с учетом A6.2), A6.28),
A6.32) имеем
2AT\'+c-W\b'\i + b)-W*'\i + <**n2U<*-26i\V\i-8o)>b
Таким образом, А* е Ш}F), т. е. Л** С W{F).
Возьмем произвольные точки А*еЛ", A eW*F) и, пользуясь
неравенствами A6.31), A6.34) и включением А* € Wx{8), напишем

§ 16. МЕТОД СТАБИЛИЗАЦИИ
157
следующую цепочку неравенств, аналогичную A6.21):
-ф(\)^-г!>(Х) + в\Х\1^-ф,(Х) + 6г\\\1 + в\Х\1^
= -*u(A)+*|A|i= jnf (-«U(p)) + ^|AU
^ -tf (A*) + ?2|A*li + 6\\\ + S2\X\X = A6-35)
= -p + @ + 62)\\*\l + 62\\\l<
<-^(А) + (а + йь)П. + (в + ^)|А*|1 + ^|А|1
VA*eA**, \eW?F).
Отсюда имеем (в - S2)\X\{ ^ (a + <50)^* + ifi + *i)|A*|lf или с
учетом A6.28)
IH < e-zr2((<* + W + (o + WL) = \у\, + 7,(в) A6 36)
VA€Wj*(«), A* 6 A**,
где 7jE) = л __2c |A*|! + q _ c° fl»- Аналог неравенства A6.15)
для задачи A6.30) доказан. Из оценки A6.36) следует
ограниченность множества Ж*(<5) при каждом фиксированном
наборе параметров 8 = F*, о{, 62),аF),вF) из A6.28). Таким
образом, множества И?(о), Wj*E) решений взаимодвойственных
задач A6.10), A6.30) ограничены, следовательно, они устойчивы
при выполнении условий A6.28). Теорема 16.3 доказана.
Из этой теоремы следует, что метод стабилизации для
двойственной задачи A6.29) может быть сведен к решению устойчивой
задачи A6.30). Для этого метода можно получить оценки,
аналогичные оценкам A6.15)—A6.20). Оценка A6.36) уже доказана.
Из цепочки неравенств A6.35) можно извлечь оценку ф(Х) — ф* ^
> -(в + б2)\\*\{ - ^|А|,. Отсюда и из A6.34) с учетом A6.36)
получаем
-<* + S2)\X% - 82{\Х% + Ъ(8)) = -/%<*) ^ ^(А) - ф*<
</?4(«) = ("<*)+W VA€Wi*(ff). 1 ' '
Из A6.33) следует, что
max max{-(ATA+c)';0}^a(?)+50 VA e W,E). A6.38)
С помощью теоремы 10.3 и оценок A6.36)—A6.38) мы получим
р(А, A*KM8max{aE) + «0, &(*)} VA € W{F), A6.39)
р(А, /Г)<М9тгх{а(8) + 809 /%(«), 7i(*)> VA е WfF). A6.40)
Оценка
||A|1-|A*U^M9^max{aEH50,^5E),71(*)}VAEW;*E) A6.41)
доказывается точно так же, как аналогичная оценка A6.20).

158
Глава 4. МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
Приведем пример, показывающий, что нарушение хотя бы одного
из условий A6.28) может сделать задачу A6.10) неустойчивой.
Пример 16.4. Возьмем задачу из примера 16.2:
f(x) = 0'Xl+Q.x2^>ml,
хеХ = {х = (х1, х2) ^ 0: хх - х2 ^ 0, -х1 + х2 ^ 0}.
Так как здесь Л*=Л, Л** = {А* = @,0)}, условия A6.28) примут
вид 0 ^ 62 < 0, а > 60. Убедимся, что если нарушено хотя бы одно
из этих неравенств, т. е. или 0 < в ^ <S2, или 0 < а ^ 60, то для
«плохих» АF), ЬF), сF) из A6.2) задача A6.10) станет неустойчивой.
А именно, пусть
сF) = с-6012=(-$\ где * = (М,Л)>0.
Тогда задача A6.10) примет вид
t6(x) = (а - 60)(х1 + х2) -> inf,
х е WF) = {х = (х1, х2) ^ 0: х1 - х2 ^ 0 - <52, -х1 + х2 ^ в - &J.
Если 0 < 0 < ?2, то W(S) = 0, если в = <*2, то Щ?) = X.
Следовательно, задача A6.10) неустойчива при 0< в ^ <52. Если же в > 62 ^0,
то ?^ = —оо при 0<а < 60 и ts+=0 при а = й0» причем
множество W+F) = W(S) неограничено. Это значит, что при 62 < 0, 0< а ^ 60
задача A6.10) также неустойчива. Таким образом, нарушение
условий A6.28) в этом примере приводит к неустойчивой задаче A6.10).
Отсюда следует, что условия A6.28) устойчивости метода
стабилизации на классе задач линейного программирования неулучшаемы.
Заметим, что при соблюдении условий A6.28) для поиска
решений взаимодвоиственных задач A6.10), A6.30) можно
предварительно записать их в канонической форме, а затем
воспользоваться М-методом (§ 8) при достаточно больших М. Согласно
теоремам 15.2, 15.3 получающиеся при этом М-задачи также будут
устойчивы.
4. В теории и методах неустойчивых (некорректных) задач
фундаментальную роль играет понятие регуляризущего
оператора [118]. Приведем определение этого понятия применительно к
задаче A6.1).
Определение 16.1. Оператор R6, определенный при всех
достаточно малых 6 ^0 и ставящий каждому набору z = (AF),
b(S), c(<S), 6) из A6.2) в соответствие точку х = х(й), называется
регуляризущим, если lim f(xF)) = f+, lim p(x(S), XJ = 0.
S —> 0 S —> 0

§ 17. МЕТОД НЕВЯЗКИ
159
С помощью изложенного выше метода стабилизации оператор R6
можно построить следующим образом: фиксируем параметры a(<S),
9F), еF), 6 > О, удовлетворяющие условиям теорем 16.1-16.3;
с помощью приближенных данных z = (A F), bF), сE), S) из A6.2)
составляем задачу A6.10); приближенное решение х = хF) этой
задачи в смысле A6.13) берем в качестве значения оператора R6:
xF) = R6z. Соотношения A6.23) говорят о том, что определенный
таким образом оператор R6 является регуляризующим, а
соотношения A6.26) уточняют его свойства.
Упражнение 16.1. Для общей задачи линейного программирования A.17)
опишите метод стабилизации, сформулируйте и докажите аналоги теорем 16.1-16.3.
Указание. Пользуясь приемами из § 1, запишите задачу A.17) в виде основной
задачи A6.1).
Упражнение 16.2. Для метода стабилизации A6.30) для двойственной
задачи A6.29) сформулируйте и с помощью оценок A6.36)—A6.41) докажите аналог
теоремы 16.2.
§ 17. Метод невязки
Перейдем к изложению второго метода регуляризации,
называемого методом невязки.
1. Сначала этот метод опишем применительно к задаче
определения точки множества, описываемого системой неравенств. А
именно, пусть задано множество
G = {х е Еп: х > 0, Dx ^ d}, A7.1)
где ?> = {с^} — матрица размера га х n, d = (d1,..., dm)eEm.
Требуется найти точку xeG, предполагая, что G ф0. Для
определенности будем искать нормальную точку этого множества.
Определение 17.1. Точку хе G будем называть
нормальной точкой множества G, если \х\х= inf Ы,. Множество
нормальнее
ных точек множества будем обозначать через G+.
Учитывая, что х ^ 0, задачу поиска нормальной точки
множества A7.1) можно записать в форме следующей основной задачи
линейного программирования:
П(х) = |х|, = Aп, х) = Гпх = я1 + ... + хп -> inf,
хе G = {x^0: Dx^d}. K ' '
Введем обозначение fi+ = inf Щх). Тогда G+ = {xe G: Щх) = fyj.
Так как по условию G Ф<3 и Щх) ^ 0 Vz е G, Й^Ои G-, ф 0

160
Глава 4. МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
(теорема 6.1). Пусть вместо точек D, d известны такие их
приближения D(S) = ЦД*)}, d{F) = (dlF),.. , dmF)), что
1<W~ <У ^ 6^ \d<F) - d'| < й2,
* = l,m, j = l,n, <$ = (<*!, <S2)^0.
Задача A7.2) может оказаться неустойчивой, и для ее
решения нужно воспользоваться каким-либо методом регуляризации.
Для этих целей можно, в частности, применить метод невязки,
который предполагает замену задачи A7.2) на задачу
t26(x) = Q(x) + a\x\x = A + а)\х\х -> inf,
х е G(S) = {хеЕп:х> 0, (!>(*) - 8{lmlTn)x ^ dF) + 0Im}, К ' }
где а = аF)>0, в = 0E) > 0 — параметры метода. Нет
необходимости искать точное решение задачи A7.4), достаточно
найти точку х = хF)у принадлежащую множеству G^(S) = {x e GF):
Чб(х) ^ inf Чб(у) + ?}» гДе е = е($) ^ 0. Метод невязки для
задаче GF)
чи A7.2) описан, осталось указать условия согласования
параметров а, 0, е.
Читатель, конечно, заметил, что описанный метод невязки в
точности совпадает с методом стабилизации для задачи A7.2), в
которой целевая функция имеет специальный вид fi(x) = |ж|, и
точно известна. Поэтому здесь мы можем воспользоваться
результатами § 16. Справедлива следующая теорема.
Теорема 17.1. Пусть G^0, приближения DF), dF)
удовлетворяют условиям A7.3) и параметры а=аF)>0, 0=0(<S)>O,
е = еF) ^ 0 таковы, что
0^62<в(8), а(«)>2|А*|1«1>
где А* 6 Л** —множество нормальных решений задачи,
двойственной к задаче A7.2). Тогда GC GF)^0, задача A7.4)
устойчива, множество ее е-решений G+F) непусто и имеют место
оценки
П(х) = |х|1<П. + 7(«) Vx€G.(«),
2аш\\*\161 + еF) + 2\\*\хвF)
7(d)- a(ff)-2|AVi
-A(ff) = -[2ff1|A*|1@. + 7(ff)) + e(ff)]<
^ fi(x) - 0,^ Д (S) = ft#a(«) + e(«) Vx <E G,(8),
max maxftDx-dI; 0} ^ C3F) = 26{(П, + jF)) + 6(8)
1 ^ i ^ m
V* € G.(tf),
p(x, G.) ^ M10 тах{Д(«), /%(«)} Vx € Gt{6).

§ 17. МЕТОД НЕВЯЗКИ
161
Кроме того, если еще выполнены условия
sup Mjn<1 sup вF) + е{6)
Пт(аF) + вF) + еF)) = 0,
6 —»0
где /л = (fa, fa) > 0 — какие-либо фиксированные числа, то
при любом выборе хF)е GtF) имеют место равенства
Пт\ЩхF))-П.\=0, lim max max{(DxF) - d){; 0} = 0,
limp(xE),G,) = 0,
о —+ 0
приче.и
max{|fi(a:E)) - ft,|; p(x(S), G.)} < М.Д + o(«) + 0E) + e(«)),
max ma.x{(DxF)-dY; 0} ^ M12(^ + 0F)).
1 ^ i ^ m
Эта теорема не требует отдельного доказательства и
непосредственно следует из теорем 16.1-16.3 при с = c(<5) = In, <S0 = 0, Z? = А,
d = b, DF) = AF), dF) = bF), X = Gt X. = G. = X„.
Опираясь на метод невязки A7.4) и на теорему 17.1, нетрудно
построить регуляризующии оператор R6 — это делается так же, как
в §16.
2. Теперь вернемся к основной задаче A6.1), предполагая, что
она разрешима и приближенные исходные данные АE), ЬF), сF)
удовлетворяют условиям A6.2). Задачу A6.1) можем
переформулировать как задачу поиска нормальной точки множества
Х, = {хеЕп: х^О, Ах^Ъ, (с,ж)^Д} =
Как видим, эта задача совпадает с задачей A7.2) при D =
= f ~ V d = ( * ). Отсюда следует, что метод невязки для
поиска нормального решения задачи A6.1) сводится к задаче A7.4)
cO(ff)=(^((J))), *=*i, dE)=(^}), где/Д5)-такая
известная оценка для /„, что |/,(<S)-/J ^ 62. Сходимость метода
невязки для задачи A7.5) и его устойчивость вытекают из теоремы 17.1.
Важно подчеркнуть, что в отличие от метода стабилизации метод
невязки для задачи A6.1) предполагает наличие дополнительной
информации — знание величины ? или ее оценки f+(8).
11 Ф. П. Васильев, А. Ю. Иваницкий

162
Глава 4. МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
3. В приложениях представляют интерес задачи, связанные с
задачей A6.1), в которых вместо точки х € Х+ ищется точка х е X со
значением целевой функции /(х) = (с, х), не превышающим
некоторой заданной величины а. Точнее говоря, требуется найти
нормальную точку множества
хе G = {xeEn: ж^О, Ах^Ь, (с, х)^а} =
A7.6)
-{¦>*(*).<(:)}
Как видим, задача A7.6) совпадает с задачей A7.2) при D =
= 1^1, d = f J и для ее решения можно использовать
описанный выше метод невязки A7.4). Здесь величина а считается
заданной, причем а ^/,, что гарантирует непустоту множества A7.6).
4. В тех случаях, когда требуется найти решение не только
задачи A6.1), но и двойственной задачи A6.29), также может быть
использован метод невязки. В самом деле, согласно теореме 7.2 (см.
также замечание G.1)) точки хеЕп, А еЕт являются решением
взаимодвойственных задач A6.1), A6.29) тогда и только тогда,
когда
х е X, А € Л, f(x) = (с, х) ^г[>(\) = (-Ь, А),
или, иначе говоря,
(x,\)eX.xf{ = lw=(*)eEnxEm:
ж^О, А^О, Ах^Ъ, АтА + с^0, (с,ж) + (Ь, А)^о}= A7.7)
-{«(j)>*(o-5т)(;)<(!)}-
Таким образом, одновременное решение взаимодвойственных
задач A6.1), A6.29) можно трактовать как задачу поиска нормальной
точки множества С? = Х х Л*. Мы снова пришли к задаче A7.2),
(А О \ (Ь\
где D = I 0 — АТ I, d = I с 1, и для ее решения может быть
с
т ьт
Ьт 7 \0,
использован описанный выше метод невязки A7.4). Заметим, что
в отличие от A7.5) здесь не требуется знания величин /„, <ф* и
каких-либо их оценок.
Упражнение 17.1. Опишите метод невязки для поиска нормальной точки
множества X из общей задачи линейного программирования A.17). Указание.
С помощью приемов из § 1 представьте множество Л в виде A7.1).

§ 18. МЕТОД КВАЗИРЕШЕНИЙ
163
Упражнение 17.2. Опишите метод невязки для общей задачи A.17),
предварительно сведя ее к задачам вида A7.5), A7.6) или A7.7).
Упражнение 17.3. Опираясь на теорему 17.1, сформулируйте теоремы
устойчивости и сходимости метода невязки для поиска нормальных точек
множеств A7.5)—A7.7) и их аналогов для общей задачи A.17).
Упражнение 17.4. Опираясь на метод невязки, постройте регуляризующий
оператор для задач поиска нормальных точек множеств A7.1), A7.5)-A7.7).
§ 18. Метод квазирешений
Изложим третий метод регуляризации — метод квазирешений.
Как и в § 16, будем рассматривать задачу линейного
программирования A6.1), предполагая, что X ^0, ? > — оо и исходные
данные известны с погрешностью, удовлетворяющей условиям A6.2).
Пусть, кроме того, известно такое число г > О, что \у+\{ ^ г для
какой-либо точки гд, е Х^ или, иначе говоря, множество
Х„ = {хеЕ«:\х\х^т}ПХ. A8.1)
непусто. Тогда вместо задачи A6.1) можем рассмотреть задачу
/(х) = (с, х) -> inf, xeXr = {xe X: \х\{ ^ г} =
= {х>0:Ах<Ьэ Сх<г} = |я:>0: (^)х^(г)}' ^'^
Так как ХгсХ, мы имеем ?= inf f(x)^ inf f(x) = fmr ^/(&) = /*
x € x xeXr
Vy, G X#r, и, следовательно, /+ = ЛГ и множество решений
задачи A8.2) совпадает с множеством Х„. Это значит, что, заменяя
задачу A6.1) на A8.2), мы можем потерять лишь те решения
задачи A6.1), для которых \х\{ > г. Пренебрегая такими потерями,
в дальнейшем будем рассматривать задачу A8.2). Для решения
задачи A8.2) применим метод стабилизации. Опираясь на
множество W(<5), определенное посредством A6.4), положим
WF, г) = {х е W(S): \х\х ^ г + в} =
= {x>0:(AF)-6{lmll)x^bF) + eim, 11х^г + в} =
Пусть 0^ 62 ^ 0. Тогда X С W(S), и поэтому Хт С W(8, r). Так как
1г^0в силу A8.1), множество A8.3) также непусто. Рассмотрим
задачу линейного программирования
t36(x) = (cF),x) + a\x\l = (cF)+aln,x)-+mi, xeWF,r). A8.4)
и*

164
Глава 4. МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
Так как множество W(S, r) ограничено, t3S+ = inf t36(x) > —оо
же W(S, г)
и множество решений задачи A8.4) непусто. Тогда непусто и
множество
ТО г) = {х е WF, r): t3S(x) < tZ6. + e} Ve > 0. A8.5)
В качестве приближенного решения задачи A6.1) возьмем
точку х = хF) из W+(S, г), приближением для fm будем считать
величину Л(х(?)) = (с(*)> х(?))- Метод квазирешений для задачи A6.1)
описан. Он заключается в том, что на основе дополнительной
информации A8.1) совершается переход от задачи A6.1) к A8.2) и к
последней применяется метод стабилизации. Справедлива
следующая теорема
Теорема 18.1. Пусть в задаче A6.1) X ф®, /„ > —сю,
выполнено условие A8.1) при некотором известном г > 0 и
вместо точных исходных данных А, Ь, с известны их
приближения АF), ЬF), сF), удовлетворяющие условиям A6,2), Пусть
параметры а = аF) > 0, 9 = 9F) > 0, е = еF) ^ 0 таковы, что
0 ^ <52 < 9F), аF) > 2|р*|, 6{ + й0, A8.6)
где р* — нормальное решение двойственной к A8.2) задачи.
Тогда множество W^(S, r) из A8.5) непусто и задача A8.4)
устойчива. Справедливы следующие оценки: ?1(х) = \х\{ ^ (г + 9F))
для всех хе WF, г),
-2\\*\lFl(r + 9F)) + 9F))^f(x)-f^ .
^2(aF) + 60)(r + 9F)) + eF) Vz<E ТВДг), А* еЛ", V ''
тахтах{(Ах-ЬУ;0}^2F{(г+9F))+9F)) УхеТВДг), П8.8)
р(х, Х„) < max{2Fl(r + 0E)) + 0F));
2(аF) + 60)(г + 9F)) + еF); 9F)} 4xeW.F,r).
Кроме того, если еще выполнено условие
\im(aF) + 9F) + eF)) = 0, A8.10)
S —»0
то при любом выборе х = хF) е WtF, r)
!im|/(x(«))-/.|=0,
A8.9)
«-0 '
lim max тгх{(АхF) - Ь){; 0} = 0, A8.11)
8 —*0 1 ^ i < т ^
limp(xF),X„) = 0,
о —»U
причем
A8.12)
тах{|/(х(й))-/,|; р(х(й),Х„.)} <
^ М13(Й0 + *, + а(*) + 9F) + еF)),
max max{(AxF) - Ь)'; 0} < МиF{ + 0F)). A8.13)
1 ^ i ^ m

§ 18. МЕТОД КВАЗИРЕШЕНИЙ
165
Доказательство проводится с помощью тех же
рассуждений, что и для теоремы 16.1-16.3. Однако оно заметно
упрощается благодаря уже имеющейся оценке ?1(х) = \х\{ ^ г + 9(8) Уже
е W(S, г)— аналогу неравенства A6.15). Оценка П6.11) здесь
также остается справедливой и в силу неравенства |х]1^г + ^E)
приводится к виду
Л ^ f(x) + 2\\*\{(Sl(r + 0F)) + вF)) Vx e WF, г). A8.14)
Отсюда непосредственно следует левое неравенство A8.7). Для
доказательства правого неравенства A8.7) возьмем любую точку г/+ е
6 Х„. Тогда с учетом включений у+ е Х„ CIrC WF, r),
неравенств A6.2) и условия A8.1) имеем
/(*) ^ (сF), х) + 60\х\{ + а\х\х ^ t3S. + е + 60(г + 9)^
^ Чб(У*) + ? + *о(г + 0) ^ (с, у.) + 50|yJi + <*kli + e + S0(r + 9)^
^fm + 2F0 + a)(r + 0) + e VxeWF,r).
Оценка A8.7) получена. Неравенство A8.8) является
следствием A6.2) и определения множества A8.3). Оценка A8.9) вытекает
из неравенства Хоффмана (теорема 10.3) и оценок A8.7), A8.8).
Из уже доказанных неравенств A8.7)—A8.9) и условия A8.10)
вытекают равенства A8.11) и оценки A8.12), A8.13).
Остается доказать устойчивость задачи A8.4). Здесь мы снова
воспользуемся теоремой 14.2. Ограниченность множества решений
задачи A8.4) следует из ограниченности множества WF, r).
Докажем, что множество решений двойственной к A8.4) задачи также
ограничено, если выполнено условие A8.6). Запишем двойственные
к A8.2) и A8.4) задачи сразу в форме следующих задач
минимизации:
-^1(р) = <Ь,д) + !д->1п!,
P = (Pi,A)e*i = A8.15)
= {Р = (ft, ft) € Ет+1: р>0, Атр{ + lnp2 + с ^ 0},
-t46(p)=(bF),pl)+rp2+e(im,Pl)+ep2=
pewxF,r)= A8Л6)
= 0> = (ft,ft)^0: AT(ff)ft-*i№ft+I»ft + c(e) + aU-
Из теоремы 7.1 и разрешимости задач A8.2), A8.4) следует
разрешимость задач A8.15), A8.16). Пусть Л*! —множество решений
задачи A8.15), Л** — множество нормальных решений задачи A8.15),
W*(S, r) — множество решений задачи A8.16).
Согласно теореме 7.4 функция Лагранжа задачи A8.15) L {(р, х) =
= —фх(р) + (ж, — Атр{ — 1пр2 — с), р ^ 0, х ^ 0, имеет седловую точ-

166
Глава 4. МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
ку (р*, ж,), где р*еЛ*,, х,еХ„, т. е. L{(p% x) ^ Lx(p\ ж,) = -ф{ =
= inf (—^(р)) ^ L х(р, xj Vp ^ О, ж ^ О. Тогда для всех х е W{(S, r)
р€Л,
с учетом A6.2) имеем следующее неравенство, аналогичное A6.34):
A8.17)
-ф; <: -флр) + (**> -ATPi - i»A - сК
^-V>i(p) + (<* + S0)r VpGWl(^r).
Далее убедимся, что Л** С WX(S, r). В самом деле, для любой
точки р* = (pf, р?) б Л*,* имеем р* ^ 0 и кроме того AT(<S)p!* - «S^I^ pf +
+ 1П^ + сF) + aln > А V + 1п# + с - 25ДХК ~ ОД> + aln >
^ 1п(а - 2<S1|p*|, - 60) ^ 0 в силу A8.6). Это означает, что р* е
Е W{F, г), т. е. AY С W{F, r). Возьмем произвольные точки р* еЛ*Г,
р€ Wj*($ r) и, пользуясь A6.2), A8.17) и включением р*е ЩF> г),
напишем следующую цепочку неравенств, аналогичную A6.35):
-Фх(р) ^ ~ФЛр) + 0\p\i ^ -Ъб(р) + MPili =
= л 1?L Д-*«(^)) + ^1лК < -*«(р*) + ^1л11 <
A€W|($r)
^ -Ф№) + в\р% + 6М + ^|Д|, < -V,* + 20|p'|i + 52|р|, <
< -^(р) + (а + й0)г + 20|p*|, + 62\p\i Vp € И?($ r) Vp* € Л*,'.
Отсюда имеем (в - <52)|р|! < (а + 60)г + 20|р*|,. В силу A8.6) тогда
Таким образом, множество Wj*(<5, r) ограничено. Следовательно,
задача A8.4) устойчива. Теорема 18.1 доказана.
Заканчивая рассмотрение методов регуляризации, еще раз
обращаем внимание читателя на то, что, хотя в описаниях этих методов
много общего, они различаются требуемой для своей реализации
априорной информацией. Так, в методе стабилизации
предполагается, что о задаче A6.1) мы знаем следующее: X ^0, ? > -оо,
приближенные данные АF), ЬE), сF) удовлетворяют условиям A6.2)
с известной оценкой погрешности 6 = (<S0, 6X, 62), в методе невязки
дополнительно еще требуется оценка /*(?) для ?, в методе
квазирешений— оценка г нормы какого-либо решения задачи A6.1),
причем перечисленные оценки явно входят в формулировки лежащих
в основе этих методов вспомогательных задач линейного
программирования. Часть априорной информации (X ф 0, /, > —оо) в
описаниях методов явно как бы не участвует, но это не значит, что
ею можно пренебречь. Проиллюстрируем это на примере, взятом
из [75].
Пример 18.1. Рассмотрим задачу
/(ж) = хх + х2 -* inf,
х е X = {х = (ж1, ж2) ^ 0: ж1 - ж2 ^ -1, -ж1 + ж2 ^ -1}.

§ 18. МЕТОД КВАЗИРЕШЕНИЙ
167
Очевидно, X = 0. Возьмем возмущенные данные
удовлетворяющие условиям A6.2), и составим задачу A6.10):
t,(z) = A + а)(х1 + х2) -+ inf, ж Е Щ5) = {О 0: A - в,)*1 - х2 ^
^ -1 + 0, -sf + ж2 ^ -1 + 0}, 1 > 0 > 0, а > 0. Эта задача имеет
единственное решение
¦№-(а!^.а^-1+#).
Однако оно не может быть истолковано как приближенное решение
исходной задачи, не имеющей смысла.
Это значит, что перед применением того или иного метода
регуляризации надо предварительно убедиться, что необходимая для этого
информация имеется. О роли априорной информации, ее важности
при построении более эффективных модификаций методов
регуляризации см., например, [32, 88, 1191.
Отметим, что оценки A6.15)—A6.20) для метода стабилизации
и аналогичные оценки для методов невязки и квазирешений
были получены в [24, 30, 27, 60, 62, 92]. Эти оценки показывают,
что с помощью перечисленных методов регуляризации можно
получить решение задачи A6.1) с точностью того же порядка, что
и точность задания исходных данных. Из примеров 16.1, 16.2 видно,
что на классе задач линейного программирования указанные
оценки неулучшаемы по порядку. Для другого варианта метода
невязки, основанного на идее расширения множества и использующие
штрафные функции, в [16] получены оценки, также совпадающие
по порядку с погрешностью задания исходных данных.
В заключение упомянем еще об одной важной проблеме. Каждый
из вышеизложенных методов зависит от параметров а, 0, е,
которые, как видно из условий доказанных в §§ 16-18 теорем,
определяются неоднозначно и возникает вопрос об их наилучшем в каком-
либо смысле выборе. Проблема построения оптимальных регуля-
ризующих операторов для некоторых классов неустойчивых задач
изучалась, например, в [19, 63, 122], однако для задач линейного
программирования эта интересная проблема пока еще не
исследована.
Упражнение 18.1. Опишите метод квазирешений для общей задачи
линейного программирования A.17), предварительно сведя ее к основной задаче A6.1).
Упражнение 18.2. Опираясь на метод квазирешений и теорему 18.1,
опишите схему построения регуляризующего оператора.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абрамов Л. М., Капустин В. Ф. Математическое
программирование.— Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981.
2. Агаян Г. М., Рютин А. А., Тихонов А. Н. О задаче
линейного программирования с приближенными данными // ЖВМиМФ. — 1984. —
Т. 24, №9. —С. 1303-1311.
3. А к у л и ч И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. —
М.: Высшая школа, 1986.
4. Астафьев Н. Н. Линейные неравенства и выпуклость. — М.: Наука,
1982.
5. Астафьев Н. Н. Бесконечные системы линейных неравенств в
математическом программировании. — М.: Наука, 1991.
6. А ш м а н о в С. А. Условие устойчивости задач линейного
программирования // ЖВМиМФ.— 1981. — Т. 21, №6.— С. 1402-1410.
7. Ашманов С. А. Линейное программирование. — М.: Наука, 1981.
8. Ашманов С. А., Т и м о х о в А. В. Теория оптимизации в задачах
и упражнениях. — М.: Наука, 1991.
9. Багриновский К. А., Бусыгин В. П. Математика плановых
решений. — М.: Наука, 1980.
10. Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. Итеративные методы
решения некорректных задач. — М.: Наука, 1989.
11. Банди Б. Основы линейного программирования.—М.: Радио и связь,
1989.
12. Барсов А. С. Линейное программирование в технико-экономических
задачах. — М.: Наука, 1964.
13. Б е й к о И. В., Бублик Б. Н., 3 и н ь к о П. Н. Методы и алгоритмы
решения задач оптимизации. — Киев: Вища школа, 1983.
14. Березин И. С, Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 1—М.:
Наука, 1966, Т. 2 —М.: Физматгиз, 1962.
15. Березнев В. А. Математические методы планирования
производственной программы предприятий легкой промышленности. — М.: Легкая индустрия,
1980.
16. Березнев В. А., Карманов В. Г., Третьяков А. А. Устойчивые
методы решения экстремальных задач с приближенной информацией. Препринт. —
М.: Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика» АН СССР, 1987.
17. Браверман Э. М. Математические модели планирования и управления
в экономических системах.—М.: Наука, 1976.
18. Булавский В. А., Звягина Р. А., Яковлева М. А. Численные
методы линейного программирования.—М.: Наука, 1977.
19. Вайникко Г. М., Веретенников А. Ю. Итерационные процедуры
в некорректных задачах. — М.: Наука, 1986.
20. Васильев О. В. Лекции по методам оптимизации. — Иркутск: Изд-во
Иркутского ун-та, 1994.
21. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. —
М.: Наука, 1988.
22. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. — М.: Наука,
1981.
23. Васильев Ф. П. Методы регуляризации для неустойчивых задач
минимизации, основанные на идее расширения множества // Вестник Московск. ун-та.
Сер. 15. Вычислит, матем. и киберн. — 1990, № 1. — С. 3-16.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
169
24. Васильев Ф. П. Оценка скорости сходимости метода квазирешений
для задачи линейного программирования // Вестник Московск. ун-та. Сер. 15.
Вычислит, матем. и киберн. — 1991, № 1. — С. 16-22.
25. Васильев Ф. П. Критерии устойчивости общей задачи линейного
программирования // Вестник Московск. ун-та. Сер. 15. Вычислит, матем. и киберн.—
1998, №2.— С. 17-20.
26. Васильев Ф. П. К вопросу устойчивости методов регуляризации в
линейном программировании // Вестник Московск. ун-та. Сер. 15. Вычислит, матем.
и киберн. — 1998, № ^f. — С. 19-23.
27. Васильев Ф. П., Иваницкий А. Ю., Морозов В. А.
Оценка скорости сходимости метода невязки для задач линейного программировния
с приближенными данными // ЖВМиМФ. — 1990. —Т. 30, № 8. —С. 1257-1262.
28. Васильев Ф. П., Иваницкий А. Ю„ Морозов В. А.
Метод поточечной невязки для решения некоторых задач линейной алгебры и
линейного программирования. Сб. работ НИВЦ МГУ «Информатика и вычислительные
системы». — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1993. — С. 46-65.
29. Васильев Ф. П., Ковач М., Потапов М. М., Чеканов Ю. Н.
Оценки скорости сходимости непрерывного аналога регуляризованного градиентного
метода для задачи линейного программирования . Сб. работ НИВЦ МГУ «Численные
методы решения краевых и начальных задач для дифференциальных уравнений». —
М.: Изд-во Московск. ун-та, 1986. — С. 98-106.
30. Васильев Ф. П., Морозов В. В., Я ч и м о в и ч М. Д. Оценка
скорости сходимости метода регуляризации для задач линейного программирования //
ЖВМиМФ. — 1989. — Т. 29, № 4. — С. 631-635.
31. Васильев Ф. П., Потапов М. М., Чеканов Ю. Н. Оценка
скорости сходимости метода регуляризации А. Н. Тихонова для задачи линейного
программирования. Сб. работ НИВЦ МГУ «Математические модели и
вычислительные методы».—М.: Изд-во Московск. ун-та, 1987. — С. 21-27.
32. Васин В. В., Агеев А. Л. Некорректные задачи с априорной
информацией. — Екатеринбург: Уральская издательская фирма «Наука», 1993.
33. В а т о л и н А. А. О задачах линейного программирования с интервальными
коэффициентами // ЖВМиМФ. — 1984. — Т. 24, № П. —С. 1629-1637.
34. В и с л а в с к и й М. Н. Линейная алгебра и линейное программирование. —
Минск: Высшая школа, 1966.
35. Воеводин В. В. Линейная алгебра. —М.: Наука, 1980.
36. В уколов Э. А., Ефимов А. В., Земсков В. Н.,
Каракулин А. Ф., Лесин В. В., Поспелов А. С,
Терещенко А. М. Сборник задач по математике для втузов. Часть 4.
Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. —
М.: Наука, 1990.
37. Г а б а с о в Р., Кириллова Ф. М. Методы линейного
программирования.— Минск: Изд-во Белорусск. ун-та. Часть 1, 1977. Часть 2, 1978. Часть 3,
1980.
38. Г а л е е в Э. М., Тихомиров В. М. Краткий курс теории
экстремальных задач.—М.: Изд-во Московск. ун-та, 1989.
39. Ганшин Г. С. Методы оптимизации и решение уравнений. — М.: Наука,
1987. — М.: Наука, 1987.
40. Г а с с С. Линейное программирование (методы и приложения). — М.:
Физматгиз, 1961.
41. Г е й л Д. Теория линейных экономических моделей. — М.: Иностр. литер.,
1963.
42. Гольштейн Е. Г. Теория двойственности в математическом
программировании и ее приложения. — М.: Наука, 1971.
43. Гольштейн Е. Г, Юдин Д. Б. Новые направлении в линейном
программировании — М.: Сов. радио, 1966.
44. Гольштейн Е. Г., Юдин Д. Б. Задачи линейного программирования
транспортного типа. — М.: Наука, 1969.

170
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
45. Г р е ш и л о в А. А. Прикладные задачи программирования. — М.: Изд-во
Московск. технич. ун-та, 1990.
46. Г у р е в и ч Т. Ф„ Л у щ у к В. О. Сборник задач по математическому
программированию. — М.: Колос, 1977.
47. Данциг Д ж. Линейное программирование, его применения и
обобщения.— М.: Прогресс, 1966.
48. Евтушенко Ю. Г., Жадан В. Г. Двойственные барьерно-проек-
тивные и барьерно-ньютоновские методы для задач линейного программирования //
ЖВМиМФ. — 1996. — Т. 36, № 7. — С. 30-45.
49. Евтушенко Ю. Г., Жадан В. Г., Черенков А. П. Применение
метода Ньютона к решению задач линейного программирования // ЖВМиМФ. —
1995. —Т. 35, № 6. —С.850-866.
50. Еремин И. И. Противоречивые модели оптимального планирования. —
М.: Наука, 1988— 160с.
51. Еремин И. И., Астафьев Н. Н. Введение в теорию линейного
и выпуклого программирования. — М.: Наука, 1976.
52. Еремин И. И., Мазуров В. Д., Астафьев Н. Н. Несобственные
задачи линейного и выпуклого программирования. — М.: Наука, 1983.
53. Ермольев Ю. М., Ляшко И. И., Михалевич В. С,
Т ю п т я В. И. Математические методы исследования операций. — Киев: Вища
школа, 1979.
54. 3 а б о т и н Я. И. Лекции по линейному программированию. — Казань:
Изд-во Казанск. ун-та, 1985.
55. Зайченко Ю. П. Исследование операций. — Киев: Вища школа, 1975.
56. Заславский Ю. Л. Сборник задач по линейному программированию. —
М.: Наука, 1969.
57. Зуховицкий С. И., Авдеева Л. И. Линейное и выпуклое
программирование. — М.: Наука, 1967.
58. Зуховицкий С. И., Р а д ч и к И. А. Математические методы сетевого
планирования. — М.: Наука, 1965.
59. И в а н и ц к и й А. Ю. О решении систем линейных алгебраических
неравенств с приближенными данными. Сб. работ НИВЦ МГУ «Методы и алгоритмы
численного анализа и их приложения». —М.: Изд-во Московск. ун-та, 1989. — С. 42-49.
60. И в а н и ц к и й А. Ю., Васильев Ф. П., Морозов В. А. Оценка
скорости сходимости метода поточечной невязки для решения задач линейной
алгебры. Сб. работ «О кооперируемых работах НИВЦ МГУ и БУВЦ».— М.: Изд-во
Московск. ун-та, 1990. —С. 24-31.
61. Иваницкий А. Ю., Васильев Ф. П., Морозов В. А.
Метод поточечной невязки для решения систем линейных алгебраических
уравнений и неравенств. Труды Международной конференции «Некорректно поставленные
задачи в естественных науках». — М.: Изд-во ТВП, 1992. — С. 33-43.
62. Иваницкий А. Ю., Васильев Ф. П., Морозов В. А. Метод
поточечной невязки для решения некоторых задач линейной алгебры и линейного
программирования // ЖВМиМФ. — 1998. —Т. 38, № 8. —С. 1140-1152.
63. Иванов В. К., Васин В. В., Та на на В. П. Теория линейных
некорректных задач и ее приложения. — М.: Наука, 1978.
64. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1974.
65. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б л. X.
Математический анализ. Начальный курс.—М.: Изд-во Московск. ун-та, 1985.
66. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и
экономическая теория. — М.: Прогресс, 1975.
67. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. —
М.: Наука, 1974.
68. К а л и х м а н И. Л. Сборник задач по математическому
программированию.— М.: Высшая школа, 1975.
69. Канторович Л. В. Математические методы в организации и
планировании производства. — Л.: Изд-во Ленинградск. ун-та, 1939.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
171
70. Канторович Л. В. Экономический расчет наилучшего использования
ресурсов. —М.: Изд-во АН СССР, 1960.
71. Капустин В. Ф. Практические занятия по курсу математического
программирования. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1976.
72. Кармазин В. Н. О принципе обобщенной невязки при решении систем
линейных неравенств и задач линейного программирования. Сб. работ НИВЦ МГУ
«Оптимизация и управления». — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1983. — С. 76-86.
73. Карманов В. Г. Математическое программирование. — М.: Наука, 1986.
74. Карпелевич Ф. И., Садовский Л. Е. Элементы линейной
алгебры и линейного программирования — М.: Физматгиз, 1963.
75. Клепикова М. Г. Проблема устойчивости задач математического
программирования. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-
математических наук. Московский госуниверситет им. М. В. Ломоносова. 1985.—
141с.
76. К р я ж и м с к и й А. В., Осипов Ю. С. О моделировании управления
в динамической системе // Изв. АН СССР. Сер. техн. кибернет. — 1983. № 2. —
С. 51-60.
77. Кузнецов Ю. Н., Кузубов В. И., Волощенко А. Б.
Математическое программирование. — М.: Высшая школа, 1980.
78. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П.
Некорректные задачи математической физики и анализа. — М.: Наука, 1980.
79. Линейные неравенства и смежные вопросы / Под ред. Г. Куна,
А. Таккера. — М.: Иностр. литер., 1959.
80. Лотов А. В. Введение в экономико-математическое моделирование.—
М.: Наука, 1984.
81. Лэсдон Л. С. Оптимизация больших систем.—М.: Наука, 1975.
82. Лященко И. Н., Карагодова Е. А., Черникова Н. В.,
Шор Н. 3. Линейное и нелинейное программирование. — Киев: Вища школа,
1975.
83. М и х а л е в и ч В. С, К у к с а А. И. Методы последовательной
оптимизации в дискретных сетевых задачах оптимального распределения ресурсов. —
М.: Наука, 1983.
84. Моисеев Н. Н., Иван и лов Ю. П., Столярова Е. М. Методы
оптимизации. — М.: Наука, 1978.
85. Молодцов Д. А. Устойчивость принципов оптимальности. М.: Наука,
1987, —280 с.
86. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных
задач. — М.: Наука, 1987.
87. Морозов В. А. Методы регуляризации неустойчивых задач. — М.:
Изд-во Московск. ун-та, 1987.
88. Морозов В. А., Гребенников А. И. Методы решения некорректно
поставленных задач. Алгоритмический аспект. — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1992.
89. Морозов В. А., И в а н и ц к и й А. Ю. Устойчивый метод решения
одного класса задач линейного программирования. Сб. работ НИВЦ МГУ
«Численный анализ: методы, алгоритмы, программы». — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1988. —
С. 3-17.
90. Морозов В. А., Иваницкий А. Ю. Устойчивые методы решения
задач линейного программирования с интервальными коэффициентами. Сб. работ
НИВЦ МГУ «Численный анализ: методы, алгоритмы, программы». — М.: Изд-во
Московск. ун-та, 1988. —С. 18-26.
91. Морозов В. А., Медведев Н. В., Иваницкий А. Ю.
Регуляризация задач алгебры и анализа. — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1987.
92. Морозов В. &, Я ч и м о в и ч М. Д. Оценка скорости
сходимости одного метода регуляризации задачи линейного программирования. Сб. работ
факультета ВМиК МГУ «Вычислительные комплексы и моделирования сложных
систем».— М.: Изд-во Московск. ун-та, 1989. — С. 134-138.
93. М у р т а ф Б. Современное линейное программирование. — М.: Мир, 1984.

172
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
94. М у х а ч е в а Э. А., Рубинштейн Г. Ш. Математическое
программирование.— Новосибирск: Наука, 1987.
95. Нестеров Ю. Е. Эффективные методы в нелинейном
программировании.— М.: Радио и связь, 1989.
96. Нит И. В. Линейное программирование. — М.: Изд-во Московск. ун-та,
1978.
97. Ногин В. Д., Протодьяконов И. О., Евлампиев И. И.
Основы теории оптимизации.—М.: Высшая школа, 1986.
98. Осипов Ю. С, Кряж им с кий А. В., Максимов В. И.
Задачи динамической регуляризации для систем с распределенными параметрами. —
Свердловск: Изд-во инст. матем. и механики УРО АН СССР, 1991.
99. О р е в к о в Ю. П. Методы оптимальных решений. — М.: Изд-во Московск.
ун-та, 1986.
100. Оревков Ю. П. Симплекс-метод как инструмент теоретического анализа
линейных экстремальных задач. Сб. научно-методических статей «Математика». —
М.: Изд-во Моск. пед. инс-та. — 1989. —Вып. 16.— С. 88-98.
101. Петров А. А., Поспелов И. Г., Шананин А. А. Опыт
математического моделирования экономики.—М.: Энергоатомиздат, 1996.
102. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. — М.: Наука, 1983.
103. Практикум по линейному программированию. Под ред. Ю. Н. Ч е р е м н ы х,
Л. С. Павловой, Е. И. Суторминой. — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1984.
104. Разумихин Б. С. Физические модели и методы теории равновесия
в программировании и экономике. — М.: Наука, 1975.
105. Рокафаллер Р. Выпуклый анализ. — М.: Мир, 1973.
106. Романовский И. В. Алгоритмы решения экстремальных задач. —
М.: Наука, 1977.
107. Солодовников А. С. Введение в линейную алгебру и линейное
программирование.—М.: Просвещение, 1966.
108. С т а н е в и ч ю с А. - И. А., Щербак Л. В. Новые варианты барьер-
но-ньютоновских методов для решения задач линейного программирования // ЖВ-
МиМФ.— 1995. — Т. 35, Ко 12. —С. 1795-1807.
109. Станевичюс А.-И. А., Щербак Л. В. Функции невязок
в итерационном процессе барьерно-ньютоновского метода при решении общей
задачи линейного программирования // Известия вузов. Математика. — 1995. № 12.
С.89-98.
110. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. — М.: Мир, 1980.
111. Сумин В. И. Симплекс-метод решения задач линейного
программирования. I. Геометрический подход. — Горький: Изд-во Горьковск. ун-та, 1989.
112. Сухарев А. Г., Тим охов А. В., Федоров В. В. Курс методов
оптимизации.—М.: Наука, 1986.
113. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования.
Т. 1, 2 — М.:Мир, 1991.
114. Татевский В. М., Коптев Г. С. Элементарная теория линейных
неравенств и их приложения. — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1973.
115. Tax а X. Введение в исследование операций. Т. 1—М.: Мир, 1985.
116. Тетерев А.Г. Линейные задачи оптимизации. — Куйбышев, Изд-во
Куйбышевск. ун-та, 1983.
117. Тихонов А. Н. О некорректных задачах оптимального планирования //
ЖВМиМФ. — 1966. — Т. 6, № 1. — С. 81-89.
118. Тихонов А. Н„ А р с е н и н В. Я. Методы решения некорректных
задач. — М.: Наука, 1986.
119. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В.,
Я г о л а А. Г. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. — М.:
Наука, 1983.
120. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В.,
Я го л а А. Г. Численные методы решения некорректных задач. — М.: Наука,
1990.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
173
121. Тихонов А. Н., Карманов В. Г., Руднева Т. Л. Об
устойчивости) задач линейного программирования. Сб. работ НИВЦ МГУ «Вычислительные
методы и программирование».—М.: Изд-во Московск. ун-та, 1969. — Вып. 12.—
С. 3-9.
122. Тихонов А. Н., Леонов А. С, Я гол а А. Г. Нелинейные
некорректные задачи. — М.: Наука, Физматлит. 1995.
123. Тихонов А. Н., Морозов В. А., Кармазин В. Н. О задаче
коррекции линейных неравенств. Сб. работ НИВЦ МГУ «Численный анализ: методы,
алгоритмы, приложения». — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1985. — С. 3-13.
124. Тихонов А. Н., Рютин А. А., А га ян Г. М. Об устойчивом
методе решения задачи линейного программирования с приближенными данными //
Докл. АН СССР— 1983. —Т. 272, № 5. —С. 1058-1063.
125. Ф е д о р е н к о Р. П. Приближенное решение задач оптимального
управления.— М.: Наука, 1978.
126. Федоров В. В. К вопросу об устойчивости задач линейного
программирования // ЖВМиМФ.—1975. —Т. 15, № 6. —С. 1412-1423.
127. Федоров В. В. Численные методы максимина.—М.: Наука, 1979.
128. Форд Л., Фалкерсон Д. Потоки в сетях.—М.: Наука, 1966.
129. Хачиян Л. Г. Полиномиальный алгоритм в линейном
программировании // Докл. АН СССР. — 1979. —Т. 244, № 5. —С. 1093-1096.
130. Хачиян Л. Г. Полиномиальные алгоритмы в линейном
программировании // ЖВМиМФ. — 1980. —Т. 20, № 1. —С. 51-68.
131. Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. — М.: Мир,
1974.
132. Цурков В. И. Декомпозиция в задачах большой размерности. — М.:
Наука, 1981.
133. Чарин В. С. Линейные преобразования и выпуклые множества.—
Киев: Вища школа, 1978.
134. Черемных Ю. Н. Анализ поведения траекторий динамики
народнохозяйственных моделей.—М.: Наука, 1982.
135. Черемных Ю. Н. Математические модели развития народного
хозяйства.— М.: Изд-во Московск. ун-та, 1986.
136. Черников С. Н. Линейные неравенства.—М.: Наука, 1968.
137. Черникова Н. В. Алгоритм для нахождения общей формулы
неотрицательных решений системы линейных неравенств // ЖВМиМФ. — 1965. — Т. 5,
№2. —С. 334-337.
138. Юдин Д. Б., Г о л ь ш т е й н Е. Г. Задачи и методы линейного
программирования.—М.: Советское радио, 1961.
139. Юдин Д. Б., Гольштейн Е. Г. Линейное программирование.—
М.: Физматгиз, 1963.
140. Юдин Д. Б., Гольштейн Е. Г. Линейное программирование.
Теория, методы и приложения. — М.: Наука, 1969.
141. Hoffman A. J. On approximate soluutions of systems of linear
inequalities // J. of Research of Nat. Bureau of Standarts, 1952, V. 49, № 4, pp. 263-265.
142. К1 e e V., M i n t у G. J. How good is simplex-algorithm? — Jn:
Inequalities—Ill // Ed. Shisha N. Y. London: Academic Press, 1972, pp. 159-175.
143. Osipov Yu. S., Kryazhimskii A. V. Inverse problems for ordinary
differential equations: dynamical solutions. — London: Gordon and Breach, 1995.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Антициклин 50
Базис угловой точки 20
Базисная матрица 24
Базисные номера 24
— переменные 20
Гиперплоскость 17
Допустимая точка 7
допустимое множество 7
Задача линейного программирования
возмущенная 114
вырожденная 21
двойственная 81
каноническая 11
невырожденная 21
общая 7
основная (стандартная) 14
разрешимая 8
транспортная 9
максимизации 8 , 57
минимизации 8
зацикливание 47
Конус 120
Лексикографический минимум 51
лексикографическое упорядочивание
пространства 50
луч (полупрямая) 17
Метод искусственного базиса 59
— квазирешений 164
— невязки 159
— полиномиальной сложности 75
— регуляризации 146
— стабилизации 146
— экспоненциальной сложности 74
множество выпуклое 79
— вырожденное 21
— допустимое 7
— замкнутое 79
— многогранное 17 , 106
— многоугольное 16
— невырожденное 20
— ограниченное 17
множители Лагранжа 87
Неотрицательный гиперортант 17
— квадрант 15
неравенство Хоффмана 106
нормальная точка множества 159
нормальное решение 149
нормальный вектор гиперплоскости 17
Оболочка векторов коническая 121
— линейная 19
ограничения типа неравенств 7
— равенств 7
отклонение двух множеств 117
отмеченная координата 66
Переменные базисные 20
— двойственные 81
— небазисные (свободные) 20
полиэдр 106
полуплоскость 15
полупространство 17
приведенная система угловой точки 25
— форма канонической задачи 27
целевой функции 26
прямая 16
Разрешающий (главный, ведущий)
элемент 29
Расстояние от точки до множества 106
— хаусдорфово 118
расширение допустимого множества
148
регуляризущий оператор 158
решение задачи линейного
программирования 8
Симплекс-метод 24
симплекс-таблица 26
— лексикографическая положительная
52
Теорема Фаркаша 101
— Штимке 103
точка допустимая 7
— нормальная 159
— седловая 87
— невырожденная 20
— угловая 17
вырожденная 20
Условия дополняющей нежесткости 86
— строгие 86
устойчивая разрешимость 116
устойчивость задач линейного
программирования 116
— по аргументу 117
— по функции 117
Функция Лагранжа 87
— Тихонова 148
— целевая 7

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
V — квантор общности; 3 — квантор существования; R — числовая ось
[a, b] = fx e R: а ^ ж < 6} — отрезок; (а, 6) = {х е R: а < х < 6} — интервал;
(а, 6] = {ж е R: а < ж < 6}, [а, 6) = {ж G R: а ^ ж < 6} — полуинтервалы
Еп — n-мерное евклидово пространство вектор-столбцов со скалярным произведе-
п . . j n . v 1/2
нием (ж,у) = ? *гУг и нормой |ж| = |ж|д„ = \/(я, ж) = ( ? 1**1 )
«= 1 4t = l 7
жт = (as1,..., хп) — вектор-строка, полученная транспонированием
вектора-столбца х
Сп . \\/р
? \xt\p) i 1<р<+оо; \х\ = max \хг\ — нормы векторов из Еп
1 = 1 ' 1 ^ t ^ П
{е., г=Т~п} = {е1,...,еп}: |е?| = 1, (еоеу) = 0, 1ф% г, j = I7n — ортнормирован-
ный базис в Еп
[ап ... а1п\ (аЛ
А=[ ]={%> г = 1,ш, j = l,n}= : = (А 1}...,4П) —матрица
\aml '•• атп/ \а /
размера т х п с элементами a{j- (если т = nt то А — квадратная матрица п-го
порядка)
а{ = (atl,..., ain) — г-я строка матрицы А, г = 1, m
(°'Л _
Лу = : —j-й столбец матрицы A, j = 1, п
г=(а!1..::...а'"!)=@1Т,..101)=[ЛЛ-
\anl ••• amn/ \ЛТ/
матрица размера п х т,
полученная транспонированием матрицы Л.
L =
/1 0 ... 0\
О 1 ... О
= (ej,..., еп) — единичная матрица размера п х п со столбца-
\0 0 ... 1/
ми ер е^..., еп
det Л — определитель квадратной матрицы A rang Л — ранг матрицы А
А~х —обратная матрица для квадратной матрицы А с det A ^0
||Л||= sup |Ля|Ет—норма матрицы А размера m х п 1п = A,..., 1)т еЕп
\х\Еп < 1
(. \Т п
(Ах),..., (Аж)ш) , где (А жI = ? а^х3^' = 1, m, — произведение
матрицы размера m х п на вектор хе Еп
С = АВ — произведение матрицы А = {а^} размера тхпна матрицу В = {6^}
размера пх q, представляющее собой матрицу С = {с{Л размера mx q с элемента-
п
ми ? айЬЦ> * = 1, л, j = 1, m
/ = 1

176
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Lin A = Un(a{,..., ат) — линейная оболочка векторов ах,..., ат — строк
матрицы А
Con A = Соп(а{,..., ат) — коническая оболочка векторов ах,..., ат — строк
матрицы А
ж = (ж1,..., хп) ^ 0, если ж* ^ О, г = 1, п х = (ж1,..., хп) > 0, если хг > 0, г = 1,п
ж = (ж1,..., жп)^у = (у1,...,уп) [ж>у], если x-j/^0[x-j/>0]
?_? = {ж е i?n: ж ^ 0} — неотрицательный гиперортант пространства Еп
х+ = (ж|,..., ж™), где ж| = тах{0; ж1}, t = 1, п Ах < Ь, если (ЛжI < 6*, г = 1, т
Л = {aiy} < В = {6iy} [Л < 5], если aiy ^ b(j [a(j < b(jl г = ТГ^, j = 17^
X xY — прямое произведение множеств X и Y, представляющее собой множество
всевозможных пар (ж, у), х Е X, yGY
0 — пустое множество
Еп х Ет — прямое произведение евклидовых пространств Еп и Ет, состоящее
из пар z{ = (ж, Л), ^2 = (у, /*),..., где ж, у,... 6 Еп, Л, /i,... 6 ?m, со скалярным
произведением (z{1 z? = (ж, у) + (Л, ц) и с нормой |г| = (|ж|2 + |A|2J
/(ж) —>inf, хеХ — задача минимизации функции /(ж) на множестве X
/ф = inf /(ж) — нижняя грань функции /(ж) на множестве X
х ? X
Х+ = {х?Х: /(ж) = Д > -оо} — множество решений задачи /(ж) —> inf, ж Е X
V>(A)—>sup, Л еЛ — задача максимизации функции ф(Х) на множестве Л
ф* = sup V>(^)— верхняя грань функции Ф(Х) на множестве Л
АеЛ
Л* = {Л € Л: ^(А) = ф* < +оо} — множество решений задачи ф(Х) —> sup, АеЛ
Рх(х) — проекция точки ж на множество X.
G+ — множество нормальных точек множества G
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Васильев Федр Павлович. Родился в 1935 г. Доктор физико-математических
наук. Профессор кафедры оптимального управления Московского государственного
университета им. М. В. Ломоносова. Автор более 160 научных работ.
Иваницкий Александр Юрьевич.Родился в 1955 г. Кандидат
физико-математических наук (МГУ, 1988), доцент. Заведующий кафедрой актуарной и
финансовой математики Чувашского государственного университета. Автор 39 научных
работ.
Контактные телефоны:
119-23-24 (Москва)
(8352)-66-02-90; 42-47-38 (Чебоксары)