Text
                    А. ГЖЕГОРЧИК
ПОПУЛЯРНАЯ
ЛОГИКА
ОБЩЕДОСТУПНЫЙ ОЧЕРК
ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ,
СТЕРЕОТИПНОЕ
Перевод с польского
С. П. БЕЛЯЕВА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1979


22.12 Г 45 УДК 517.1 ANDRZEJ GRZEGORCZYK LOGIKA POPULARNA PRZYSTEPNY ZARYS LOGIKI ZDAN WYDANIE TRZECIE NIEZMIENIONE WARSZAWA 196 1 20203 130 Г 053(02)-79 83"79- 1702020000 Scan AAW
СОДЕРЖАНИЕ § 1. Чем занимается логика? 5 1.1. Умозаключение — одно из действий, обогащающих наше познание 5 1.2. Умозаключение как переход от посылок к выводам 7 1.3. Логика дает схемы и способы проведения правильных умозаключений 8 1.4. Логика и философия 9 § 2. О правильном выражении мысли в предложениях ... 13 2.1. Правильное выражение мысли посредством языка образуется из предложений 13 2.2. Сложные предложения, как правило, состоят из простых предложений и союзов между предложениями 16 2.3. Логические связки между предложениями ... 18 2.4. Логические наименования некоторых сложных предложений 21 Упражнения 24 § 3. Правило отделения (modus ponens) 26 3.1. Логические правила дают возможность признавать истинными новые предложения 26 3.2. Формулировка правила отделения 27 8.3. Дальнейшие примеры применения правила отделения 29 Упражнение 30 § 4. Законы логики предложений 31 4.1. Закон исключенного третьего 31 4.2. Закон непротиворечивости 33 4.3. Законы двойного отрицания 35 4.4. Закон контрапозиции 37 4.5. Законы, характеризующие конъюнкцию .... 40 4.6. Законы импликативных силлогизмов 42 4.7. Законы, характеризующие дизъюнкцию .... 49 4.8. Законы, характеризующие эквивалентность . . 50 4.9. Законы де Моргана 51 Упражнение 52 3
§ 5. Характеристика логических союзов 53 5.1. Таблица для отрицания 54 5.2. Таблица для конъюнкции 55 5.3. Таблица для дизъюнкции 58 5.4. Таблица для импликации 61 5.5. Таблица для эквивалентности 65 Упражнения 67 § 6. Табличная проверка формул логики предложений . . 69 6.1. Символика логики предложений 69 6.2. Правильно построенные формулы 70 6.3. Проверка формул с одной переменной 71 6.4. Проверка логических формул с многими переменными 76 6.5. Сокращенный метод проверки (метод нуля и единицы) 81 Упражнения 86 § 7. Применение логики предложений 87 7.1. Применение логики предложений к математическим наукам 87 7.2. Применение логики предложений в технике . . 92 7.3. Замечания о применении логики предложений к гуманитарным наукам 96 7.4. Обнаружение ошибок в умозаключениях .... 97 7.5. Анализ правильных выводов 104 Упражнения И0
§ 1. ЧЕМ ЗАНИМАЕТСЯ ЛОГИКА? 1.1. Умозаключение — одно из действий, обогащающих наше познание. В нашей повседневной жизни случается так, что нам недостает сведений о каком-то интересующем нас предмете. Тогда мы обращаемся за помощью к учебникам, справочникам, энциклопедиям или же спрашиваем у специалистов. Поступая таким образом, мы используем знания, добытые другими людьми и записанные в книгах или же передаваемые нам живой речью. Но иногда мы пытаемся необходимые нам сведения получать самостоятельно, без использования чьих-либо знаний. В случаях, когда мы либо не хотим, либо не имеем возможности воспользоваться чьей-либо помощью, мы можем попытаться вспомнить, не встречалась ли аналогичная ситуация в нашей практике. Если же и память нам ничем не может помочь, то нам остается только использовать имеющиеся в нашем распоряжении сведения. Мы можем прийти к нужным нам сведениям либо путем соответствующих наблюдений и опытов, либо же при помощи правильного умозаключения. Этими двумя путями ученые шли в поисках новых научных результатов и этими же способами мы сами помогаем себе в повседневной жизни. Например, если мы пожелаем домашним способом изготовить мыло и имеем в своем распоряжении точный рецепт его изготовления, но не знаем, можно ли его приготовить в алюминиевой посуде без вреда для посуды, то для разрешения сомнения мы можем поставить опыт: взять крепкий горячий раствор каустической соды, употребляемой при изготовлении мыла, поместить в него кусочек алюминия, после чего пронаблюдать, не появится ли на поверхности этого кусочка явление коррозии. Этим путем мы легко убедимся, 5
что алюминий растворяется в содовом растворе и что по этой причине для изготовления мыла необходимо использовать другую посуду. Но не все сомнения можно разрешить посредством опыта. Например, если мы живем в селе и желаем из ближайшего к селу города вылететь самолетом в Варшаву и если нам известно, что между этими городами существует ежедневное авиасообщение, но мы не знаем, в котором часу вылетает самолет, а выяснить нам это не удалось, то мы вместо сравнительно дорогой поездки в аэропорт для выяснения времени отлета можем провести следующее рассуждение. «Полет ночью более труден и менее безопасен, нежели днем, поскольку ночью видимость плохая. Кроме того, известно, что полет занимает ровно час. Пассажиру, приехавшему в Варшаву ночью, приходится искать ночлег и до утра ждать времени для деловых операций. Поэтому пассажирам ночной отлет менее удобен, чем отъезд ночным поездом, когда не нужно заботиться о ночлеге. Если же самолет вылетает утром, то после прилета в нужное место можно в тот же день выполнить все намеченное и возвратиться или снова самолетом, или же ночным поездом. Поскольку транспорт в государстве организован так, чтобы обеспечить пассажирам наибольшую безопасность и удобства, то наиболее вероятным оказывается то, что самолет должен отлететь утром, и уж во всяком случае днем, а не ночью». Мы провели определенное рассуждение конкретного вида, называемое умозаключением. Правда, хотя в данном случае это рассуждение и не дает нам определенного ответа, но все же оно указывает на ту возможность, которую следует признать за более вероятную. Рассуждение углубило наши знания, обогатило запас наших сведений. До того, как мы провели наше рассуждение, мы не знали, когда следует выезжать в город к отлету самолета. После завершения рассуждения мы знаем о том, когда мы меньше всего подвергаемся риску, отправляясь в город. Рассуждение здесь сыграло роль, подобную той, какую в случае с изготовлением мыла играл опыт с куском алюминия, обогативший наши знания новыми сведениями, частично отвечающими на вопрос о том, в какой посуде лучше всего изготовлять мыло без вреда для посуды. Аналогично, и рассуждение во втором случае дает нам некоторые сведения о том, когда вероятнее всего следует 6
отправиться в путь. Поэтому умозаключение представляет собой одно из действий, увеличивающих наши знания. На самом же деле в становлении человеческого знания как целого опыт сыграл гораздо большую роль в сравнении с умозаключением. Все наши знания вытекают определенным образом из опыта, понимаемого как различного рода самый непосредственный контакт с действительностью. 1.2. Умозаключение как переход от посылок к выводам. Присмотримся ближе к тому действию, которое мы назвали умозаключением. Мы в нем сначала констатируем многие данные, рассматриваемые как несомненные даже до того, как начать рассуждение, как, например, «ночью видимость хуже», «расстояние между городами самолет пролетает в течение часа», «расписание движения самолетов приспособлено к удобствам пассажиров» и другие. Кроме того, мы располагаем некоторыми сведениями, которыми связываем предыдущие и которые получены как раз путем рассуждения, например, «если бы самолет вылетел ночью, то пассажиры не имели бы столько удобств», «наиболее вероятным представляется то, что самолет должен вылететь утром». О сведениях второго рода мы уже знаем, что они являются выводами, опирающимися на сведения первого рода, т. е. информация второй группы нами выведена из информации первой группы. Поэтому можно сказать, что в рассуждениях такого рода, которые можно назвать умозаключениями, мы всегда имеем дело с двумя группами сведений (информации): 1°. Сведения, которыми мы располагаем до начала рассуждения. 2°. Сведения, которые выводятся из первого рода сведений именно путем рассуждения. Сведения первого рода мы назовем посылками или условиями, а сведения второго рода — выводами умозаключений. Но бывает и так, что сначала мы получаем вывод и только после этого выясняем, из каких посылок он вытекает. В приведенном рассуждении мы сначала сделали некоторый вывод: «ночью полет самолетов более труден и менее безопасен, нежели днем» и только после этого мы выяснили, что это вывод из посылки: «ночью видимость хуже». Если вначале высказывается вывод, а затем выясняются посылки, то перед посылками 7
ставится обычно одно из выражений: «поскольку», «так как», «потому что», как это было у нас в выражении: «Ночью полет самолета менее безопасен, нежели днем, поскольку ночью плохая видимость». При этом не все посылки рассматриваются нами как имеющие одинаковое значение для умозаключения. Например, говоря «Пассажир, приехавший в Варшаву ночью, должен искать себе место для ночлега», мы в качестве посылки подразумеваем, что большинство людей нуждается в ночном сне. Эту посылку, несмотря на всю ее важность во всем рассуждении, мы считаем настолько очевидной, что опускаем ее. Таким же образом мы в повседневных рассуждениях часто не высказываем некоторых посылок, о которых убеждены, что они очевидны для каждого. Такой же важной посылкой является в нашем рассуждении и тот факт, что в Варшаве учреждения функционируют днем, а не ночью. Именно из этой посылки вытекает то, что мы в рассуждении высказали: «Пассажир, приехавший в Варшаву ночью, вынужден был бы искать места для ночлега и до утра ждать наступления времени для выполнения намеченного дела». Независимо от того, все ли посылки высказаны в рассуждении, как бы важны они ни были, мы можем сказать, что вообще умозаключение обогащает наши знания. Из известного в настоящее время (из посылок) мы получаем некоторые новые сведения (выводы) только путем рассуждения, без непосредственного использования какой- либо иной информации и без новых опытов. 1.3. Логика дает схемы и способы проведения правильных умозаключений. Очевидно, что не каждое рассуждение углубляет наши знания и не каждое обогащает их истинными сведениями. Рассуждение, как и всякое другое действие, может быть проведено ложно (ошибочно), и тогда трудно полагаться на выводы. Кроме того, если посылки в рассуждении были ложными, то нет основания доверять выводам из них, хотя бы по аналогии с другими, похожими действиями. Посылки (условия) представляют собой как бы материал, сырье для умозаключения, а выводы — готовую продукцию умозаключения. Аналогия с различными действиями поможет нам также установить, когда умозаключение следует считать правильным. Если мы посмотрим на какую-либо человеческую дея- 8
тельность, то каждый согласится считать деятельность хорошей (доброкачественной), если посредством ее добротный материал превращается в добротную продукцию. Сапожник хорошо шьет сапоги, если он из хорошей кожи всегда шьет хорошие сапоги. То же самое можно сказать и об умозаключении. Метод получения выводов является хорошим, если он из «хороших» посылок всегда дает «хорошие» выводы. Правда, здесь возникает вопрос, когда посылки или выводы следует считать «хорошими». Поскольку мы не имеем в виду здесь немедленных практических целей, то всякие сведения мы можем назвать хорошими, если только они верны. Поэтому посылки или выводы являются хорошими, правильными, если они истинны, т. е. соответствуют действительности. Следовательно, мы назовем хорошим (или, лучше, правильным) способ умозаключения, если он от истинных посылок всегда ведет к истинным выводам. Такое описание правильного умозаключения в данном случае не дает нам никакого рецепта, каким образом следует рассуждать, чтобы проводить правильное умозаключение. Но раскрытие подобного рода рецептов очень важно. Не удивительно также, что издавна различные мыслители пробовали давать различные рецепты (правила, схемы) правильных умозаключений, которые от истинных посылок неизбежно приводят только к истинным выводам (заключениям, следствиям). Этих мыслителей мы называем логиками, а науку, устанавливающую общие методы (схемы) правильных умозаключений,— формальной логикой. 1.4. Логика и философия. К логике, как почти и к любой науке, в течение веков относили самые различные предметы. В настоящее время также встречаются различные взгляды на предмет логики, но предписания (рецепты) и схемы правильных рассуждений всегда относились раньше и относятся сейчас к логике, хотя различные логики связывают с ними различные философские представления. Часто ввиду этих же обстоятельств философскую логику, как ту область философских исследований, которая связана с методами правильных рассуждений, отличают от формальной логики, являющейся собранием методов правильного умозаключения, рассматриваемых только с точки зрения их формальной структуры. Мы 9
будем заниматься в дальнейшем только формальной логикой. Философские исследования, связанные с формальной логикой, значительно труднее предлагаемых здесь нами рассмотрений. Их следует отнести к исследованиям, стоящим по степени трудности на одном из первых мест. Предлагаемая книжка утратила бы свой доступный, элементарный характер, если бы в ней затрагивались эти вопросы. Мы только сообщим некоторую общую информацию о связи формальной логики с марксистской диалектикой. Эта тема была предметом продолжительной дискуссии, проводившейся в Советском Союзе. В результате этой дискуссии укрепилось убеждение, что между чисто логическими тенденциями формальной логики и марксистской философией нет никакого противоречия. Но существуют некоторые философские интерпретации формальной логики, противоречащие марксистской философии. Мы здесь не будем рассматривать такие интерпретации. Зато мы в ряде мест обратим внимание на такие интерпретации формальной логики, которые полностью согласуются с диалектическим материализмом. Первые общие схемы правильных рассуждений систематически были изложены уже в древности греческим философом Аристотелем (384—322 г. до н. э.). Независимо от него несколько иными видами схем правильных умозаключений занимались стоики, например, Хризипп (род. ок. 280 г. до н. э.) и другие. Затем в средние века были несколько развиты и пополнены древние схемы умозаключений. Позже, в новое время, некоторый прогресс в логике наступил благодаря философу и математику Г. В. Лейбницу (1646—1716). Но только со второй половины XIX и в XX вв. благодаря работам Дж. Буля (1815—1864), Г. Фреге (1848—1925) и других ученых в логике начался период интенсивного развития, приведшего к тому, что логика стала самостоятельной, содержательной научной дисциплиной. Этот последний период бурного развития логики имеет своим источником разработку вопросов обоснования математики. В самом деле, математика представляет собой такую науку, в которой умозаключение играет более важную роль по сравнению с другими науками. Все математические теоремы опираются на точные доказательства, основанные на выводе следствий из общепринятых общих мате- 10
матических аксиом или постулатов. Поэтому неудивительно, что ученые при анализе математических рассуждений открыли в этих рассуждениях больше всего схем (способов) правильного умозаключения. В силу этого современная логика носит название математической логики, так как она изучает прежде всего математические рассуждения. Современная логика называется также символической логикой, поскольку схемы правильных умозаключений осуществляются с помощью логических символов, являющихся сокращенными знаками, заменяющими более длинные речевые обороты. В дальнейшем мы будем рассматривать основную часть математической логики, так называемую логику высказываний (или логику предложений). На ее примере мы ближе познакомимся с тем, на чем основаны современные логические схемы правильных умозаключений и каким образом в современной логике мы пользуемся логическими символами. Тем самым мы познакомимся с основными понятиями математической логики. Из послевоенных книг по логике назовем: 1.И. С. Градштейн, Прямая и обратная теоремы (Элементы алгебры логики), «Наука», 1965. 2. А. Тарский, Введение в логику и методологию дедуктивных наук, ИЛ, 1948. 3. Д. Гильберт и В. Аккерман, Основы теоретической логики, ИЛ, 1947. 4. П. С. Новиков, Элементы математической логики, Физматгиз, 1973. 5. Э. Беркли, Символическая логика и разумные машины, ИЛ, 1962. 6. Р. Л. Г у д с т е й н, Математическая логика, ИЛ, 1961. 7. С. К. К л и н и, Введение в метаматематику, ИЛ, 1957. 8. А. Ч ё р ч, Введение в математическую логику, ИЛ, 1960. 9. Л. А. К а л у ж н и н, Что такое математическая логика?, «Наука», 1964. 10. Е. С л у п е ц к и й, Л. Борковский, Элементы математической логики и теория множеств, «Прогресс», 1965. 11
11. Р. Линдон, Заметки по логике, «Мир», 1968. 12. X. Фрейденталь, Язык логики, «Наука», 1969. 13. X. К а р р и, Основания математической логики, «Мир», 1969. 14. Э.Мендельсон, Введение в математическую логику, «Наука», 1976. 15. Р. Р. Сто л л, Множества. Логика. Аксиоматические теории, «Просвещение», 1968. 16. Дж. Т. Калбертсон, Математика и логика цифровых устройств, «Просвещение», 1965. 17. И. М. Яг л ом, Необыкновенная алгебра, «Наука», 1968. 18. М. Кац, С. У лам, Математика и логика. Ретроспектива и перспектива, «Мир», 1971. 19. С. К. К лини, Математическая логика, «Мир», 1973. 20. Дж. Ш е н ф и л д, Математическая логика, «Наука», 1975. 21. Ю. Л. Ершов, Е. А. Палютин, Математическая логика, «Наука», 1979.
§ 2. О ПРАВИЛЬНОМ ВЫРАЖЕНИИ МЫСЛИ В ПРЕДЛОЖЕНИЯХ В общем случае умозаключениями мы пользуемся в процессе мышления. Иногда мы рассуждаем вслух, чаще же всего сразу высказываем то, о чем думаем. Еще реже мы записываем ход своего рассуждения. Трудно понять чью бы то ни было мысль, если она не выражена словами. Трудно изучить ход даже собственного рассуждения, если оно не высказано или не записано. Изучая записанное умозаключение, мы легко можем вернуться к произвольному этапу рассуждения, не загружая ни собственной, ни чьей бы то ни было памяти. Кроме того, запись важного рассуждения облегчает контроль над ходом мысли и исправление ошибок, не замеченных до этого. Следовательно, продуманно записанное умозаключение, вообще говоря, более правильно. При этом трудно себе представить такое предписание правильного умозаключения, которое не относилось бы к словесному его выражению. В соответствии с этими наблюдениями мы в логике придаем большое значение правильному выражению мысли посредством языка, и все логические результаты, касающиеся умозаключений, мы формулируем только в применении к правильно выраженным предложениям. С этой точки зрения мы и займемся теперь правильным выражением мысли посредством языка. 2.1. Правильной выражение мысли посредством языка образуется из предложений. Для того чтобы изложить правила правильного умозаключения, мы сначала обратим внимание на некоторые правила построения правильных выражений. 13
Если мы хотим сформулировать правила построения правильных выражений, то нам следует обратить внимание на то, каким образом на данном языке объясняются те люди, которые хорошо этим языком владеют. Наблюдая их способ объясняться, мы сначала замечаем, что любое сочинение на данном языке, как устное, так и письменное, например, каждое выступление, письмо или книга, состоит из предложений. Кроме предложений, там могут встретиться и междометия «Ох!», «Ах!» и др., но если мы ограничимся только рассмотрением спокойных описаний, повествований, рассуждений, излагаемых в так называемом изъявительном наклонении, то смело можем сказать, что каждая такого рода конструкция состоит из предложений. При этом каждое предложение можно рассматривать как особую языковую конструкцию, выражающую определенную мысль. Если весь текст сравнить с лесом, то отдельные предложения следует сравнить с отдельными деревьями, из которых каждое может расти независимо от остальных. В самом деле, каждое предложение какого-либо рассказа, описания или рассуждения в определенной ситуации может быть использовано как выражение какой-то мысли. Например, если кто- либо говорит: «Две недели тому назад я был в Варшаве, купил там новое издание сочинений Мицкевича, но по возвращении потерял один том в поезде. Эта потеря меня очень огорчила», то в определенных ситуациях можно каждое из составляющих предложенией высказать отдельно. Например, на вопрос: «Где вы были две недели тому назад?», можно ответить одним предложением: сДве недели тому назад я был в Варшаве», не сообщая о неудаче в поезде. Следовательно, каждое простое предложение является таким собранием выражений, которое имеет определенное самостоятельное содержание, так что оно может образовать отдельное устное или письменное высказывание. При этом каждое простое предложение является самостоятельным высказыванием такого рода, что оно уже не может быть разбито на самостоятельные более малые высказывания. Как говорят психологи, предложение является высказыванием некоторой определенной мысли, какого-либо убеждения, намерения, мнения. Но части простого предложения никогда не выражают определенной законченной мысли. Например, если кто-то говорит «я», 14
то он, вообще говоря, еще никакой мысли не выражает. Здесь сказано «вообще говоря», так как иногда одно такое выражение может быть сокращенной заменой целого предложения. Например, если кто-либо страшивает: «Кто из вас в этом году был в Закопане?» и я отвечу: «Я», то очевидно, что мой ответ является высказыванием определенной мысли и имеет определенный смысл, именно, он является сокращением высказывания: «В этому году я был в Закопане». Возникает вопрос, на каком основании мы имеем право ответ «Я» считать сокращением приведенного предложения? В самом деле, допустим, что кто-то из присутствующих не слышал поставленного вопроса и лишь услышал мой ответ «Я», но не понял его. Тогда он обратится ко мне с вопросом: «Что вы хотели этим сказать?» Мне следует дать пояснение: «Хотел сказать, что я в этом году был в Закопане». Аналогично на вопрос: «Где вы были летом?» я кратко отвечаю: «В горах». Здесь оборот «В горах» является оборотом, заменяющим более длинное выражение, являющееся предложением: «Летом я был в горах». В разговорной речи мы часто на вопросы отвечаем сокращенными выражениями, являющимися представителями целых предложений. Иногда даже небольшой жест, сделанный в подходящий момент, выражает то же, что и длинное предложение. Но такое использование заменяющих сокращений ведет к множеству ошибок в умозаключении, так как именно очень краткие ответы на многие вопросы являются либо многозначными (двусмысленными), либо же совершенно бессмысленными. Например, ответ: «Да» на вопрос «Как вам спалось?» не выражает никакой мысли. А ответ «Да» на вопрос «Не опоздали ли вы на завод?» понимается двояко. Одни это понимают как подтверждение того, что я опоздал, другие же — как утверждение, что я не опоздал. Когда мы слышим краткие обороты: «Да», «Нет», «Я», «Он» и т. п., то мы зачастую должны припоминать вопросы, чтобы правильно ответить. Мы сами часто, отвечая «Да», не отдаем себе ясного отчета в том, на что же именно мы даем свое согласие. Если же отвечать полным предложением, то мы полностью осознаем высказываемую нами мысль, да и окружающим она становится совершенно ясной. Отсюда следует практически важный вывод: в разговорах, имеющих важное значение, нельзя выражать мысль сокращенно, нельзя пропускать ни одной части 15
предложеннх. По этой же причине мы часто от очевидцев требуем, чтобы они излагали мысли как можно полнее, полными предложениями. В обыденной жизни мы не уточняем своих высказываний. Мы стремимся употреблять как можно меньше слов. Некоторые выражения мы даже сокращаем до отдельных букв, например, названия учреждений и предприятий. Это мы делаем как для того, чтобы как можно меньше времени уходило у нас на разговоры, так и для того, чтобы затрачивать на это минимум энергии. Этого требуют от нас условия нашей жизни. Но если нам необходимо изучить свое собственное или чье-либо умозаключение, то нам необходимо его записать, избегая при этом каких бы то ни было неоднозначных сокращений. 2.2. Сложные предложения, как правило, состоят из простых предложений и союзов между предложениями. Из грамматики мы помним, что предложения могут быть простыми и сложными. Сложными являются такие предложения, из которых можно выделить две (или более) части, могущие образовать самостоятельные предложения. Такие части в дальнейшем мы будем называть составляющими сложного предложения. Например, если мы договариваемся, что: Если [(мы поедем летом в Варшаву) и (у нас будет достаточно времени)], то (мы посетим Народный музей), то тем самым мы высказываем сложное предложение. В этом предложении мы выделяем три части, из которых каждая может быть самостоятельным предложением: «Мы поедем летом в Варшаву», «У нас будет достаточно времени», «Мы посетим Народный музей». При определенных условиях каждое из этих предложений можно высказать как отдельное предложение, не зависящее от остальных, в совершенно различных контекстах, или же как самостоятельное цельное предложение, высказывание. Например, на вопрос: «Куда мы поедем летом?» мояшо дать ответ: «Летом мы поедем в Варшаву». Легко заметить, что приведенное сложное предложение состоит не только из трех упомянутых простых предложений. Оно содержит, кроме трех простых предложений, еще и три выражения: «если», «и», «то», которые сами по себе ничего не выражают. 16
Казалось бы, можно предположить, что эти три выражения следует присоединить к простым предлоя^ениям и считать простыми предложениями следующие выражения: «Если мы поедем летом в Варшаву», «И у нас будет достаточно времени», «То мы посетим Народный музей». Но при внимательном рассмотрении легко видеть, что ни одно из последних трех выражений нельзя признать в качестве самостоятельного предложения, как выражение определенной законченной мысли. Иногда случается, что мы используем такого рода высказывания, но в этом случае они с точки зрения логики не выражают никакой законченной мысли. Если кто-то, размышляя о том, что он делал бы в Варшаве, высказал бы только: «Если мы поедем летом в Варшаву...» и прервал бы это высказывание, не зная, что сказать далее, то мы будем рассматривать это высказывание как прерванное, не образующее самостоятельного целого. Так же может случиться, что в разговоре один из собеседников сказал: «Если мы поедем летом в Варшаву», а другой, догадываясь о ходе мысли собеседника, прерывает его, заканчивая начатое предложение: «То мы посетим Народный музей», то, очевидно, ни высказывание одного, ни высказывание другого из собеседников не являются самостоятельными высказываниями, являющимися предложениями. И только оба эти высказывания образуют вместе одно предложение, являющееся выражением мысли обоих собеседников. Поэтому слова «если», «и», «то» нельзя включать в состав простых предложений, образующих приведенное выше сложное предложение. Эти слова нельзя рассматривать и как предложения. Поэтому необходимо сделать вывод, что сложные предложения приведенного типа состоят из простых предложений и из таких выражений, как «если», «и», «то» и т. п., выполняющих некоторую специфическую роль. Таких выражений, которые сами по себе не являются предложениями, но связывают несколько предложений в единое сложное предложение, значительно больше (они известны из грамматики). К ним относятся и такие выражения, как «либо», «поскольку» и многие другие. Как правило, сложные предложения как раз и являются такого рода предложениями, состоящими из определенных простых предложений и из такого рода выражений, как «поскольку», «если», «то», «либо», «и» и других, им подоб- 17
ных. В грамматике эти выражения называются связками, союзами. В дальнейшем мы их будем называть связками (или союзами) между предложениями, поскольку такие союзы объединяют два предложения в одно сложное предложение. Например, два предложения: «Мы поедем летом в Варшаву» и «Мы поедем летом в горы» мы можем объединить связкой (союзом) «или» в одно сложное предложение. «Мы поедем летом в Варшаву, или мы поедем летом в горы». Слова «либо», «или», как в предыдущем примере слово «если», нельзя присоединить ни к первому, ни ко второму из последних предложений, поскольку как выражение «Мы поедем летом в Варшаву или», так и выражение «или мы поедем в горы» не являются выражениями какой-либо законченной мысли и, следовательно, они не образуют самостоятельных предложений. Если рассмотреть другие выражения, являющиеся связками между предложениями, то окажется, что все они обладают тем же самым свойством, т. е. присоединение их к какому- либо предложению не дает осмысленного предложения и только связывание различных предложений посредством этих союзов приводит к образованию сложного предложения. 2.3. Логические связки между предложениями. В грамматике русского языка существует очень много связок между предложениями. Из них ряд связок интересует логиков. Рассмотрим выражение: «неверно, что...». Этот оборот употребляется с целью отрицания. Например, в предложении «Неверно, что жителей в Варшаве меньше, чем в Кракове» мы отрицаем предложение, гласящее, что «В Варшаве меньше жителей, нежели в Кракове». Как выражение «неверно», так и «неверно, что...» не являются предложениями. Но это выражение, помещенное в начале другого предложения, например, предложения «В Варшаве меньше жителей, нежели в Кракове», образует с этим предложением новое предложение. Следовательно, выражение «неверно, что...» подобно выражению «или» и выражению «если..., то...». Два последних выражения образуют из двух предложений новое предложение, тогда как выражение «неверно, что...» образует из одного предложения новое предложение. 18
Хотя выражение «неверно, что...» и не связывает двух каких-либо предложений в одно, оно также трактуется логиками как связка между предложениями. Для логики важно только то, что выражение «неверно, что...», поставленное перед произвольным предложением, образует из него новое предложение. С этой точки зрения такой оборот также часто называется связкой (в расширенном смысле). Пополняя число связок выражением «неверно, что...», мы теперь можем сказать,что в русском языке существуют следующие связки, называемые логическими: 1) «если..., то...», 2) «...или...», 3) «...и...», 4) «...либо...», 5) «ни..., ни...», 6) «...тогда и только тогда, когда...», 7) «неверно, что...». Логическую теорию, называемую логикой предложений (высказываний), с которой мы познакомимся в этой книжке, как раз можно рассматривать как теорию использования выражений 1)—7) в качестве логических связок (в расширенном смысле слова) между предложениями. В этом параграфе мы будем заниматься грамматическими вопросами, связанными со смыслом этих связок. В следующих же параграфах мы рассмотрим их логический смысл и с их помощью сформулируем определенные законы правильных умозаключений и некоторые правила. С грамматической точки зрения мы можем о каждом из упомянутых выше выражений 1)—7) сказать, что если мы заменим каждое многоточие, как предшествующее связке, так и следующее за нею, произвольным высказыванием, то получим определенное сложное предложение. Именно такими сложными предложениями являются, например, приведенные ниже предложения. Чтобы подчеркнуть ту роль, которую выполняют связки, мы составляющие предложения заключили в скобки. А) Если (мы поедем летом в Варшаву), то (мы посетим Народный музей). 19
Б) (Мы поедем летом в Варшаву) либо (мы отправимся в горы). В) Ни (в Варшаву мы не поедем) ни (в горы мы не отправимся). Г) (Мы поедем летом в Варшаву) и (у нас будет много времени). Д) (Параллелограмм представляет собой ромб) тогда и только тогда, когда (все стороны параллелограмма равны). Е) Неверно, что (дважды два — три). Очевидно, что если вместо многоточий в выражениях 1)—7) мы поставим сложные предложения, то также получим правильно построенные предложения, только сильно усложненные. Например, такого рода предложением является и то, которое уже послужило нам примером сложного предложения: Ж) Если [(мы поедем летом в Варшаву) и (у нас будет достаточно времени)], то (мы посетим Народный музей). Точно так же сложными предложениями значительно усложненной конструкции будут следующие предложения: 3) Если [ни (в Варшаву мы летом не поедем), ни (в горы мы не отправимся)], то {(мы ежедневно будем ходить на пляж) или [если (будет идти дождь), то (мы будем дома читать книги)]}. И) Если [(я намереваюсь поехать в деревню) тогда и только тогда, когда (я сдам экзамен)], то [если (я не сдам экзамена), то (я останусь в городе)]. К) Если (будет дождливая погода), то [ни (искупаться нам не удастся), ни (загореть нам не удастся)]. Таких примеров можно привести очень много. Каждое выражение, образованное из выражений 1)—7) путем замены многоточий определенными правильно построенными предложениями, будет правильно построенным предло- 20
жением, хотя оно может и не иметь никакого применения в науке и в жизни. Например, предложение: Л) Если [(дважды два — четыре) и (на Луне живут лягушки)], то (мы не сумеем ловить рыбу) грамматически построено правильно, но оно не имеет практического значения. При этом заметим, что оборот «неверно, что...» может быть, как правило, заменен более кратким оборотом «не», как например, в предложении Л) «мы не сумеем ловить рыбу», и это означает то же самое, что и предложение: «неверно, что мы сумеем ловить рыбу». 2.4. Логические наименования некоторых сложных предложений. Сложные предложения, содержащие логические связки, носят в логике специальные названия. Предложение, образованное из двух предложений, объединенных оборотом «если..., то...», в грамматике называется условным предложением, а в логике — импликацией. Наименование «условное предложение» понятно, поскольку, высказывая определенное предложение, содержащее оборот «если..., то...», мы выражаем условие. Например, говоря: Если мы поедем летом в Краков, то мы посетим знаменитый замок Вавель, мы утверждаем, что посетим Вавель, но здесь неизбежно условие, что мы это сделаем, если только летом съездим в Краков [в котором находится Вавель.— Прим. перев.]. Можно также сказать, что истинность предложения «Мы поедем летом в Краков» влечет истинность предложения «Мы посетим Вавель». Говорят, что первое предложение имплицирует второе. Первое предложение, входящее в состав импликации, называется условием, а второе — заключением. В приведенном предложепии условием является предложение «Мы поедем летом в Краков», а заключением —«Мы посетим Вавель». Мы используем импликацию тогда, когда хотим выразить, что некоторое событие зависит от другого события, как в нашем примере посещение Вавеля зависит от поездки в Краков. Подавляющее число зависимостей между событиями можно описать с помощью импликации. Можно даже установить общее предписание: если 21
требуется какую-либо зависимость между определенными событиями представить в виде одного предложения, то сначала эту зависимость необходимо высказать в форме некоторой импликации. Не рискуя впасть в ошибку, можно сказать, что если мы приходим к какому-либо общему положению, которое рассказывает нам о связи между событиями, и если необходимо точно выразить эту связь в ясных выражениях, то, прежде чем выражать это положение без использования импликации, следует сначала сформулировать его в форме импликации. В частности, при формулировке какого бы то ни было умозаключения необходимо всегда использовать импликацию г). Предложение, состоящее из двух предложений, объединенных выражением «или», называется дизъюнкцией или неисключающей альтернативой. В предложениях, содержащих слово «или», указывается на существование двух возможных событий, из которых по крайней мере одно должно быть осуществлено. Так, договариваясь: Летом мы поедем в Мазуры или поедем в Бещады 2), мы выражаем решение, в котором предполагается совершить хотя бы одно из высказанных намерений. Если мы такое решение вынесли, то утверждаем, что одно из этих намерений непременно выполним. Если требуется сказать, что выполняется одна из нескольких, более чем двух, возможностей, то слово «или» повторяется несколько раз, тем самым образуется многочленная дизъюнкция. Часто также вместо слова «или» берется слово «либо» в том же самом значении, что и «или». Но в логике слову «либо» иногда придается несколько иное значение. Предложение, составленное из двух предложений путем объединения их словом «и», называется конъюнкцией. Высказывая некоторую конъюнкцию, мы тем самым делаем такое утверждение, которое выполняется для обо- г) Импликация, как и другие сложные предложения, содержащие логические связки, подробнее будет разобрана в § 5. 2) Мазуры — историческое название современного Олыптын- ского воеводства и северной части Белостокского воеводства; Бещады — местное название части Восточных Бескид (Карпаты) на границе Польши, СССР и Чехословакии. (Прим. перев.) 22
их событий, о которых идет речь в составляющих предложениях. Например, утверждая: Мы привезем на зиму уголь и закупим дрова на растопку, мы выражаем в одном предложении свое убеждение в том, что произойдут оба эти события. Предложение, образованное из двух предложений, соединенных оборотом «тогда и только тогда, когда», в логике называется эквивалентностью. Мы используем эквивалентности при необходимости выразить взаимную обусловленность. Так, высказывая предложение: Я приобрету себе радиоприемник тогда и только тогда, когда получу премию, я утверждаю не только то, что ес#и получу премию, то приобрету радиоприемник, но и то, что это приобретение я сделаю только тогда, когда получу премию. Предложение, образованное из любого предложения с помощью выражения «неверно, что», поставленного перед этим предложением, или выражения «не» (в тех случаях, где можно выразиться короче), называется отрицанием. Так, говоря: Неверно, что 2-2 = 3, мы отрицаем высказывание, утверждающее, что 2-2 = 3. Предложение, образованное из двух предложений, объединенных выражением «либо» (точнее: «либо только..., либо только...»), называется исключающей альтернативой. Предложение, объединяющее два предложения с помощью выражения «ни... ни...», называется одновременным отрицанием. В дальнейшем мы будем рассматривать различные свойства сложных предложений разобранных нами типов. В соответствии с этими обозначениями, например, следующее предложение: М) Если [(мы скоро окончим работу) и (будет хорошая погода)], то [(мы пойдем на прогулку) или (поедем на пляж)] 23
является импликацией, у которой условием является конъюнкция, а следствием — дизъюнкция. Предложение 3) является импликацией с условием в виде одновременного отрицания, а предложение Д) является эквивалентностью. Чтобы применять законы логики, необходимо высказывать мысли в виде предложений, имеющих отчетливую форму конъюнкции, импликации, дизъюнкции или отрицания. О таких предложениях, строение которых можно характеризовать с помощью перечисленных здесь логических терминов, говорят, что они имеют логическую конструкцию. При необходимости точно следовать правилам логики, в рассуждениях следует применять предложения только логической конструкции. УПРАЖНЕНИЯ 1. Опишите логическую конструкцию предложений А), Б), В), Г), Е), Ж), 3), И), К), Л) этого параграфа. 2. По образцу расстановки скобок в приведенных примерах расставить скобки в следующих предложениях: Если мы поедем на море или возьмем палатку и пойдем в горы, то мы будем довольны каникулами. Если Платон был в Египте и видел там пирамиды, то они его очень заинтересовали, или если кто-нибудь обратил на них его внимание и ему было объяснено их устройство, то они могли произвести на него неизгладимое впечатление. 3. Опишите строение приведенных выше предложений. 4. Постройте правильные предложения, в которые входят выражения: «если..., то ...» и дважды взятое «... либо...». 5. Постройте правильные предложения, которые содержат только следующие связки: а) два раза «если ..., то ...» и два раза «и», б) два раза «если ..., то ...», один раз «и» и три раза «или», в) один раз «тогда и только тогда, когда». Указание. Легче всего строить предложения, удовлетворяющие названным условиям, как свои планы на будущее. Но постройте и несколько предложений этого типа, отражающих прошлое. 6. Расставьте скобки в предложениях, образованных в упражнении 5, и опишите строение этих предложений. 7. Подставьте в приведенные ниже схемы вместо букв «р», «#», «г», «s», «г», «и» такие предложения, чтобы полученные таким 24
образом сложные предложения могли найти применения в некоторых рассуждениях: Если [р или (q и г)], то г, Если (ни р, ни q), то [(/• и s) или (inii)], (р и о) тогда и только тогда, когда (q или /•). Воспользуйтесь тем же указанием, что и к упражнению 5. 8. Выпишите схемы предложений А) — М) и предложений, построенных в упражнениях 2, 4, 5, опираясь на упражнение 7. 9. Заметьте, что в повседневной жизни мы зачастую сокращенно высказываем предложения, в которых связки объединяют не предложения, а обороты, но играют роль связок между предложениями. Эти предложения понимаются в данной ситуации, например, когда мы выражаем условную просьбу перед официантом: «Если зайца, то со свеклой» или: «Если гуся, то с капустой». Как это можно правильно высказать без каких-либо сокращений?
§ 3. ПРАВИЛО ОТДЕЛЕНИЯ (MODUS PONENS) 3.1. Логические правила дают возможность признавать истинными новые предложения. Логика предложений дает общие методы получения правильных умозаключений. Эти методы формулируются в логике двояким образом. Они представляются либо в виде правил вывода, либо же в виде логических законов. Сначала мы познакомимся с одним из этих методов, а потом — с другим. Логические правила, называемые также директивами логики, можно рассматривать как предписания, позволяющие признавать правильными предложения, образованные из данных (выводы), в зависимости от того, какой вид имеют предложения, уже признанные истинными (посылки). В этом параграфе мы разберем основное правило умозаключения, называемое правилом отделения (modus ponens). В дальнейшем мы кратко будем говорить, что «признаем (данное предложение)» вместо более длинного выражения: «признаем (данное предложение) истинным». Правило отделения было известно уже в древности, в школе стоиков. Чтобы лучше ознакомиться с этим правилом, мы разберем некоторые примеры его применения. Правило говорит, что Умозаключение правильно, если из следующих двух посылок: 1. Если Александр Македонский был в Египте, то Александр Македонский видел пирамиды, 2. Александр Македонский был в Египте мы делаем заключение: 3. Александр Македонский видел пирамиды. 26
Аналогично, если мы считаем верным утверждение 1. Если завтра будет дождь, то завтра концерт в парке не состоится, поскольку так гласит объявление, а глядя вечером на барометр^ можем сказать, что верно утверждение: 2. Завтра будет дождь, то мы делаем правильное умозаключение: 3. Завтра концерт в парке не состоится. Можем привести еще множество примеров. Умозаключения такого рода каждому из нас кажутся очевидными. Мы выразим правило стоиков в виде общей символической схемы, в которой предложения заменены краткими буквенными символами р, д, ... 3.2. Формулировка правила отделения. Общей схемой правила отделения является выражение, гласящее, что: { Мы делаем правильные умозаключения, если из двух посылок вида 1° Если р, то q и 2° р получаем в качестве заключения, что 13°?. Это правило является схемой правильного умозаключения в том смысле, что, подставляя в эту схему вместо букв р и q определенные конкретные предложения, мы в результате получим указание правильного умозаключения в любом определенном конкретном случае. Например, подставляя вместо р предложение «Александр Македонский был в Египте», а вместо q — предложение «Александр Македонский видел пирамиды», мы из общего правила (1) правильного умозаключения получим частный его случай, приведенный выше. Легко заметить, что заключение 3° в приведенных рассуждениях правомерно следует из посылок 1° и 2° независимо от того, о чем идет речь в этих посылках. (1) 27
Это заключение следует только в силу того, что в посылке 1° имеется выражение «если..., то...», т. е. эта посылка является импликацией, и в силу того, что вторая посылка совпадает с условием этой импликации. Короче говоря, мы можем правило определения сформулировать еще следующим образом: Наше рассуждение правильно, если из двух посылок, среди которых одна является импликацией, а другая совпадает с условием этой импликации, мы выводим предложение, совпадающее с заключением той же импликации. Это правило отличается той особенностью, которая как мы увидим, характерна для всех законов и правил логики предложений. Именно, оно утверждает, что вывод из двух посылок оказывается правильным только на основании того, каково логическое строение этих посылок, независимо от того, каково содержание предложений, представляющих эти посылки. Иначе говоря, приведенное правило вывода говорит, что мы утверждаем правильность умозаключения, принимая во внимание только вид участвующих в нем посылок. В самом деле, вхождение логической связки «если..., то...» в первую посылку является характерной чертой этой посылки, очень мало говорящеп о ее содержании. Содержанием посылки, включающей в себя оборот «если..., то...», может быть как определенное местопребывание Платона, так и завтрашняя погода. Аналогично, другая посылка совпадает с условием первой, что также характеризует определенную черту вида посылок. Так как правила вывода позволяют судить о правильности умозаключений только на основе определенного вида (формы) участвующих в них предложений, то эти правила называются формальными правилами. Следовательно, правило отделения является формальным правилом. Все правила умозаключения и логические законы, установленные современной логикой, являются формальными в упомянутом смысле, поэтому современная логика называется формальной логикой. Логические правила можно формулировать как в такой форме, как это мы сделали выше, т. е. в форме предложения, определяющего, когда данное умозаключение является правильным, так и в форме рецепта, предписания, говорящего, когда можно выводить новые предложения. В виде предписания правило отделения выскажем так: 28
Если признать истинными два предложения: 1° Если р, то q, 2° р, то необходимо признать истинным и предложение q. Можно также описать это правило следующими словами: Если истинна некоторая импликация и истинно ее условие, то также должно быть истинным и ее заключение. Название «правило отделения» объясняется тем, что, применяя это правило, мы «отделяем» истинное условие условного суждения (импликации) и получаем заключение импликации в качестве самостоятельного истинного утверждения. Тем самым условие становится как бы излишним, поскольку мы можем высказывать то, о чем говорит заключение, без всяких оговорок или условий. 3.3. Дальнейшие примеры применения правила отделения. Приведем еще два примера применения этого правила. 1. Так, Петр, родственник Миха(и)ла, обещал Михалу, проживающему в Оливе, что если он летом будет в Гданьске, то навестит Михала. Анджей знает, что если уж Петр дал обещание, то он его сдержит, и Анджей знает об обещании Петра Михалу. Поэтому Анджей убежден, что истинным является условное предложение: а) Если Петр летом будет в Гданьске, то Петр навестит Михала в Оливе. Летом Анджей встречает Петра в поезде, идущем в Гданьск, и узнает, что Петр будет в Гданьске целое лето. Тогда Анджей принимает (считает истинным) высказывание: б) Петр будет летом в Гданьске. Вспомнив о предложении а), Анджей имеет право на основании правила отделения утверждать, что в) Петр навестит Михала в Оливе. Заключение в), вполне возможно, Анджей вывел бы неосознанно из посылок а) и б), вовсе не думая о правиле отделения. Поэтому люди, делающие вывод по этому правилу, приходят к заключению зачастую совершенно неосоз- 29
нанно. Формулируя правило отделения, мы стремимся только представить в виде простой формулировки один из механизмов умозаключения, на основе которого все мы очень часто делаем выводы, и тем же путем, вероятно, были найдены формулировки всех прочих правил ы логических теорем. 2. Ян, всегда выполняющий всякое свое решение, сообщил, что если в Татрах в апреле будет хороший снег, то он, Ян, возьмет отпуск и отправится в лыжный поход на две недели на высокогорное пастбище Орнак (в Татрах). Зная Яна, мы принимаем, как истинную, импликацию: а) Если в апреле в Татрах окажется хороший снег, то Ян будет на Орнаке. Допустим, далее, что мы, будучи в апреле в Закопане, убеждаемся, что в Татрах великолепный снег. Тогда мы также можем принять посылку: б) В апреле в Татрах оказался хороший снег. Из посылок а) и б) на основании правила отделения мы выводим заключение: в) Ян есть, был или будет на Орнаке. Как видно, в повседневной жизни мы часто делаем умозаключения на основе правила отделения. Правило отделения является важнейшим из правил логики предложений. Можно даже так изложить логику предложений, что правило отделения будет единственным ее правилом. И кроме этого правила, в ней будут только законы логики предложений. Поэтому мы теперь займемся законами логики предложений. УПРАЖНЕНИЕ Приведите несколько примеров из жизни на применение правила отделения.
§ 4. ЗАКОНЫ ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ Как сказано в предыдущем параграфе, главная задача логики состоит в установлении методов правильного умозаключения. Это делается двумя способами: 1) при помощи правил вывода, 2) при помощи логических законов. Теперь мы познакомимся с некоторыми законами логики предложений. Законы логики предложений можно определить следующим образом: законами логики называются схемы построения истинных сложных предложений. Ни один из законов логики не является предложением обыденного языка (обыденной речи). В обыденной речи сложные предложения составляются из простых предложений. Простые предложения состоят обычно из подлежащего, сказуемого и иных членов предложения. В законах же логики, хотя и выступают такие связки между предложениями, как «или», «если..., то...» и т. д., о которых шла речь в § 2, но нет простых предложений. В них вместо простых предложений входят так называемые переменные предложения или буквы (символы), такие, что если на их место подставить произвольные простые предложения, то получится истинное сложное предложение. Законы логики предложений являются именно схемами истинных сложных предложений. Эти законы иначе называются теоремами или тезисами логики. Эти три слова («закон», «теорема», «тезис») мы будем употреблять на равных правах, одно вместо другого. Рассмотрим несколько важнейших законов логики. 4.1. Закон исключенного третьего. Законом логики является, например, выражение: (1) р или (неверно, что /?). 31
В самом деле, если в эту схему вместо буквы р подставить какое-нибудь осмысленное предложение, то всегда получится истинное сложное предложение. Например, если вместо р подставим предложение: «Во время своих странствований Платон побывал в Индии», то получим сложное предложение: а) (Во время своих странствований Платон побывал в Индии) или [неверно, что (во время своих странствований Платон побывал в Индии) ]. В самом деле, каждый признает это предложение истинным, поскольку должна была выполниться одна из возможностей: либо Платон побывал в Индии, либо он не бывал там. Аналогично, истиной является предложение б) (В соседней комнате сейчас находится какой-то человек) или [неверно, что (в соседней комнате сейчас находится какой-то человек)]. В самом деле, иначе быть не может, либо кто-то там есть, либо там нет никого. Еще предложение: в) (Вудет повышение пенсии с 1 января) или (не будет повышения пенсии с 1 января)*). Других возможностей никто представить себе не может, Каждое из трех предложений а), б), в) подпадает под общую схему р или не р и каждое из этих предложений истинно в силу нашего повседневного опыта. Вообще, любое предложение, подпадающее под эту схему, оказывается истинным. Поэтому согласно приведенному определению эта схема является законом логики. Этот закон называется законом исключенного третьего и отдельные х) Из последнего примера видно, что оборот речи «неверно, что» может быть во многих случаях заменен более кратким выражением «не». В дальнейшем мы оборот «неверно, что» будем заменять оборотом «не». 32
частные его разновидности издавна были провозглашены логиками х). 4.2. Закон непротиворечивости. Законом логики, имеющим богатое философское прошлое, является также и закон непротиворечивости, который формулируется в логике следующим образом: (2) Неверно, что [р и (неверно, что р)], или же, короче, Неверно, что [р и (не р)]. Например, предложение а)Неверно, что {(Я имею теперь в левом кармане тысячу злотых) и [не (имею теперь в левом кармане тысячи злотых)]} представляется истинным. Всякий это охотно признает, поскольку на самом деле одна и та же тысяча злотых не может одновременно быть и не быть в данном кармане, в чем убеждает нас повседневный опыт. Применением схемы (2) являются также предложения: б) Неверно, что {(будет повышение зарплаты с 1 января) и [не (будет повышения зарплаты с 1 января)]}, в) Неверно, что {(был Платон в Индии) и [не (был Платон в Индии)]}. Каждое из этих предложений представляется нам истинным. Повышение не может одновременно и быть, и не быть (для одних и тех же лиц), если точно определить, что такое повышение. Аналогично, Платон не мог одновре- х) Закон исключенного третьего не является законом, признаваемым всеми логиками. В начале XX в. интуиционисты (Брауэр, Гейтинг, Вейль) отвергли закон исключенного третьего как универсальный закон логики. Они привели примеры утверждений, к которым, по их мнению, закон исключенного третьего неприменим. Интуиционисты отвергли также закон двойного отрицания (о нем см. ниже п. 4.3) как универсальный закон логики. Эти положения интуиционистов получили дальнейшее развитие в работах логиков конструктивного направления (А. А. Марков, Н. А. Шанин, Г. С. Цейтин, И. Д. Заславский и др.). Желающим подробнее познакомиться с конструктивным направлением в математике и логике рекомендуем обратиться к статье А.А.Маркова «О конструктивной математике», Труды Математического ин-та им. В. А. Стек-ова, т. 67, Изд-во АН СССР, 1962, стр. 8—14. 33
менно и быть, и не быть в Индии, если точно определить границы Индии. Эти требования являются необходимыми, так как часто оказывается, что некоторыми оспаривается истинность закона непротиворечивости на основании какого-нибудь примера, но при этом оказывается, что не уточнены значения выражений, входящих в состав приведенного в качестве примера предложения. Так, могут утверждать, что если Платон оказался на границе Индии или одной ногой ступил на почву Индии, а другой ногой не переступал границы Индии, то в таком случае он одновременно и был и не был в Индии. В таком случае необходимо уточнение того, что понимается под пребыванием в Индии. Если в нашем примере нахождение на границе или переход одной ногой границы Индии называть пребыванием в Индии, то тогда предложение Платон был в Индии необходимо признать истинным, а отрицание этого предложения, т. е. предложение Платон не был в Индии или Неверно, что Платон был в Индии следует признать ложным. Следовательно, всякий здравомыслящий человек, принимая какое-либо предложение как истинное, должен принимать отрицание этого предложения за ложное и должен такое предложение отбросить. Подобные недоразумения чаще всего возникают в силу неуточненности временных границ какого-либо обстоятельства. Те, кто утверждает, что данное обстоятельство имеется и не имеется одновременно, не уточняют достаточно того, что следует понимать под наличием обстоятельства в данный момент или в данный промежуток времени. Но после надлежащего уточнения терминов оказывается, что невозможно найти пример, отрицающий закон непротиворечивости. Каждое сложное предложение, подпадающее под схему (2), после надлежащего анализа оказывается истинным. Поэтому схема (2) заслуживает права называть ее законом логики в согласии с приведенным определением. Некоторые философы пытались строить целую философскую (логическую) систему, опираясь только на закон непротиворечивости (сформулированный 34
несколько иначе). В настоящее время известно, что из этого закона можно получить очень мало интересных теорем. В дальнейшем мы приведем примеры множества других простых законов логики предложений. В связи с законами непротиворечивости и исключенного третьего следует упомянуть о некоторых недоразумениях, которые могут здесь возникнуть. В этих законах фигурируют предложения типа/? и нер, т. е. предложения, которые взаимно отрицают одно другое. Такую пару предложений называют противоречащими предложениями. Закон непротиворечивости иногда формулируется в следующем виде: два противоречащих предложения не могут быть одновременно истинными. Иногда случается, что некоторые явления описываются с помощью пары противоречащих предложений, но тогда предложения всегда не уточнены. Например, одно из них относится к одному моменту, другое же—к другому, причем это отчетливо не выражено. Тогда высказывается множество предложений, кажущихся противоречивыми, хотя из разговора видно, что каждое предложение относится к определенному моменту, и специальных оговорок здесь не требуется. Но если такие высказывания уточнить, то окажется, что предложения не будут противоречить друг другу. Если в какой-то теории есть противоречащие друг другу предложения, то это всегда считалось и считается признаком противоречивости, ошибочности такой теории. 4.3. Законы двойного отрицания. Известно, что если отрицать дважды некоторое предложение, то в результате получается, что высказывается первоначальное предложение, как будто никакого отрицания не было. Так, говоря «Не является истинным, что Петр этого не делал», мы тем самым утверждаем: «Петр это делал». Отсюда мы получаем общий закон логики: (3) Если [неверно, что (неверно, что р)], то р. Вспомним, что оборот «неверно, что р» можно заменить кратким оборотом «не р». Этот оборот мы будем использовать в дальнейшем. Закон (3) мы можем поэтому выразить также в виде: (4) Если [не (не р)], то р. 35
Законом также является и обратное выражение: (5) Если р, то [не (не р)]. Эти законы признает всякий, если выписать несколько их конкретных примеров, например: а) Если (я имею в правом кармане платок), то {неверно, что [не (имею в правом кармане платка)]}, б) Если (я вижу сейчас Гевонт1)), то {неверно, что [не (вижу сейчас Гевонт)]}. Истинными являются также импликации, обратные этим 2), т. е. в) Если {неверно, что [не (имею в правом кармане платка)]}, то (имею в правом кармане платок). г) Если {неверно, что [не вижу сейчас Гевонт)]}, то (вижу сейчас Гевонт). Все эти предложения представляют собой схемы (3) и (5), в которые вместо р подставлены предложения: «Имею в правом кармане платок» или «Вижу сейчас Гевонт». Предложения (а), (б), (в), (г), как это легко видеть, не являются точными подстановками в схемы (3)—(5), но являются подстановками несколько стилистически приглаженными. Таким образом, в общем случае строгая подстановка в логические схемы оказывается зачастую очень неуклюжей, звучащей по-русски очень искусственно. Так, точная подстановка в схему (4) имела бы вид: г') Если {не [не (вижу сейчас Гевонт)}], то (вижу сейчас Гевонт). Но это предложение по-русски звучит некрасиво. Несколько лучше звучит аналогичное и эквивалентное ему предложение, как подстановка в схему (3): г") Если {неверно, что [неверно, что (вижу сейчас Гевонт)]}, то (вижу сейчас Гевонт). х) Гевонт— вершина в Западных Татрах, недалеко от Закопа- не. (Прим. пере в.) 2) Импликацией, обратной импликации вида если />, то q, называется импликация вида если д, то р. (Прим, перев.) 36
Все три предложения г), г'и г") рассматриваются нами как логически обозначающие одно и то же и как подстановки в схемы одного и того же закона логики. Но лучше всего по-русски звучит предложение г). Конструируя дальнейшие примеры, мы будем их приводить стилистически приглаженными. Поскольку мы склонны считать рассмотренные подстановки и все другие подстановки в схемы (3) и (5) истинными предложениями, то эти схемы мы можем назвать законами логики в соответствии с определением, приведенным в начале этого параграфа1). 4.4. Закон контрапозиции. (6) Если (если /?, то д), то [если (не д), то (не р)]. Рассмотрим несколько примеров из повседневной жизни. Ян обещал Петру, что если будет иметь время, то он навестит Петра. Если Ян держит свое слово, но не навещает Петра, то отсюда мы заключаем, что у Яна не было времени, поскольку он не навестил Петра. Рассуждая таким образом, мы признаем истинным следующее условное суждение: а) Если верно, что [если (у Яна будет время), то (Ян навестит Петра)], то [если (Ян не навестил Петра), то это означает, что (у Яна не было времени)]. Предложение а) содержит обороты «верно, что», «это означает, что». Но форма этих оборотов в данном предложении не играет принципиальной роли. Можно считать, что оборот «верно, что если р, то д» означает то же самое, что «если р, то д». Аналогично, оборот «если р, то это означает, что д» значит то же самое, что и оборот «если р, то д». Поэтому встретившиеся нам новые обороты можно устранить и получится, что предложение а) эквивалентно предложению: б) Если [если (у Яна будет время), то (Ян навестит Петра)], то [если (Ян не навестил Петра), то (у Яна не было времени)]. г) См. сноску на стр. 32. 37
Предложение б), возможно, звучит очень уж неуклюже на русском языке по сравнению с предложением а). Предложение б) по форме ближе к точной подстановке в закон контрапозиции. В этом случае точная подстановка в закон контрапозиции была бы совершенно неуклюжим предложением. Оно имело бы вид: в) Если [если (у Яна будет время), то (Ян навестит Петра)], то {если [неверно, что (Ян навестит Петра)], то [неверно, что (у Яна будет время)]}. Это предложение по-русски звучит почти бессмысленно, поскольку в русском языке нет двух будущих времен, которые отличали бы действие более раннего будущего времени от более позднего. В языках, которые имеют два будущих времени, предложения такой же структуры, как предложение в), возможно, звучали бы более правильно. Отрицание всего предложения зачастую можно рассматривать как отрицание внутри предложения. Мы также будем во многих примерах переносить отрицание всего предложения внутрь самого предложения. Например, предложение «Неверно, что Ян навестит Петра» означает то же, что и «Ян не навестит Петра». Также и предложение «Неверно, что Ян будет иметь время» означает то же самое, что и предложение «Ян не будет иметь времени». По изложенным соображениям мы рассматриваем предложение в) как эквивалентное предложению а) и предложению б). Поскольку предложение в) является подстановкой в схему (6), то предложения а) и б) мы рассматриваем как стилистическое видоизменение подстановки в схему (6). Аналогично, стилистическими видоизменениями подстановок в ту же схему являются предложения: г) Если верно, что [если (Вацлав разрешит вопросы), то (он позвонит по телефону)], то верно и то, что [если (Вацлав не позвонит по телефону), то это значит, что (он вопросов не разрешил)]. Предложение г), как и предложение в), истинно безотносительно к тому, держит ли Вацлав свое слово или же нет. Также всякий согласится с тем, что истинным является предложение 38
д) Если [если (батареи нагреты), то (в комнате тепло)], то [если (в комнате не тепло), то это значит, что (батареи не нагреты)]. Эти и им подобные предложения, являющиеся теми или иными стилистическими видоизменениями подстановок в закон контрапозиции, мы признаем в повседневной жизни на основании наших опытов. В соответствии же с законом контрапозиции мы рассуждаем и в следующем случае. Отдавая статью для журнала, мы полагаем, что она поступает к квалифицированному рецензенту, решающему вопрос о помещении статей в печати. Поэтому мы признаем, что верна импликация: е) Если рецензент оценит статью положительно, то редакция примет статью к печати. Но когда через некоторое время редакция возвращает нам статью, отвечая при этом, что статья к печати не принимается, то мы отсюда заключаем, что рецензет не оценил статьи положительно. Это заключение нами выводится совершенно неосознанно, без размышлений о законах логики. Сама логика не предъявляет никаких претензий в том отношении, чтобы все люди помнили о ее законах в повседневной жизни. Для логики достаточно того, что она раскрывает (дает) нам такие схемы, в соответствии с которыми люди стихийно рассуждают, не думая об этих схемах. При желании эффективно использовать закон контрапозиции, мы должны были бы рассуждать следующим образом. При подстановке в закон контрапозиции вместо р предложения «Рецензент оценил работу положительно», а вместо q — предложения «Редакция примет статью к печати», мы получим предложение, которое после некоторого видоизменения гласит: ж) Если верно, что [если (рецензент оценит статью положительно), то (редакция примет статью к печати)], то [если (редакция не приняла статью к печати), то это значит, что (рецензент не оценил статьи положительно)]. Поскольку рассмотренное нами предложение е) совпадает с условием импликации ж), то в силу правила 39
отделения мы можем признать истинным заключение импликации, или предложение з) Если (редакция не приняла статью к печати), то это значит что (рецензент не оценил статьи положительно). Поскольку мы получили ответ, сообщающий о том, что: и) Редакция не приняла статью к печати, то мы, вновь опираясь на правило отделения, можем из предложений з) и и) получить окончательное заключение (вывод), что к) Рецензент не оценил статьи положительно. Разумеется, что такого рассуждения в повседневной жизни никто не проводит. Логическая интуиция возникла в результате проведения многочисленных элементарных умозаключений и эта интуиция позволяет каждому прийти к заключению к) более кратким путем с помощью одного только мысленного осознания всей ситуации, не разбивая все наше рассуждение на уже рассмотренные этапы. Предметом логики не является описание всех свойств мыслительных процессов у людей. В противном случае объекты, изучаемые ею, непременно входили бы в область психологии. Целью логики является только указать на такие элементы мыслительного механизма, при помощи которых можно проводить любое правильное умозаключение. Но в жизни мы обычно мыслим не столь развернуто, так как объединяем в один этап сразу несколько элементарных звеньев, выделяемых логикой. 4.5. Законы, характеризующие конъюнкцию. Кажется совершенно очевидным, что если мы признаем следующее предложение, являющееся конъюнкцией: а) (Варшава расположена на Висле) и ГГорунь расположен на Висле), то мы должны также признать и предложение, образованное из а), в котором составляющие предложения поменялись местами: б) (Торунь расположен на Висле) и (Варшава расположена на Висле). 40
В логике говорят, что конъюнкция перестановочна (коммутативна), поскольку ее члены можно менять местами. При этом мы принимаем следующую логическую теорему: (7) Если (р и q), то (q и р). Подстановкой в закон (7) является предложение: в) Если [(Варшава расположена на Висле) и (Торунь расположен на Висле)], то [(Торунь расположен на Висле) и (Варшава расположена на Висле)]. Признавая предложение а) и предложение в), мы можем принять предложение б), применяя правило отделения. Аналогично, совершенно очевиден и следующий закон: (8) Если (р и q), то р, который позволяет принять первый член конъюнкции, если принята вся конъюнкция. Легко догадаться, что законом логики должно быть и выражение, позволяющее принять второй член конъюнкции, как только принята вся конъюнкция. В самом деле, это есть закон: (9) Если (р и q), то q. Таким образом, имея истинную конъюнкцию, мы можем признать истинным любой из ее членов. Возникает вопрос: если мы признали истинными два предложения, то можем ли мы признать истинной их конъюнкцию? Кажется очевидным, что если истинны предложения: г) Краков расположен на Висле, д) Торунь расположен на Висле, то должна быть истинной и их конъюнкция, т. е. предложение: е) (Краков расположен на Висле) и (Торунь расположен на Висле). В некоторых системах логики принимается специальное правило, позволяющее принимать конъюнкцию двух истинных предложений. В той же системе логики, которая здесь представлена, новое правило для этого случая не нужно. Вместо такого правила мы принимаем теорему* (10) Если р, то [если q, то (р и q)]. 41
Подстановкой в эту теорему является, например, предложение: ж) Если (Краков расположен на Висле), то {если (Торунь расположен на Висле), то [(Краков расположен на Висле) и (Торунь расположен на Висле)]}. Так как предложение г) истинно, то мы можем применить к предложениям ж) и д) правило отделения и получить предложение: з) Если (Торунь расположен на Висле), то [(Краков расположен на Висле) и (Торунь расположен на Висле)]. Аналогично, поскольку истинно предложение д), то мы можем по правилу отделения из предложении д) и з) получить предложение е), о котором и шла речь. Следовательно, теорема (10) играет в рассуждениях ту же роль, какую играет правило, позволяющее принимать конъюнкцию двух истинных предложений. Именно поэтому нам кажется целесообразным принять в качестве истинной теорему (10). В логике зачастую мы принимаем какую-либо общую теорему именно с тем, чтобы она позволяла нам провести множество таких рассуждений, которые перед этим нам казались уже интуитивно правил ьпыми. 4.6. Законы импликативных силлогизмов. Импликации играют очень большую роль в наших умозаключениях. Многие решения записываются в виде условных предложений или импликаций. Кроме того, большинство научных законов имеет вид импликаций. Примеры условных решении мы приводили в § 2. Импликации могут быть как посылками умозаключений, так и заключениями. Поэтому в рассуждениях играют важную роль такие теоремы логики, которые позволяют из двух посылок, являющихся импликациями, сделать некоторый вывод, также являющийся импликацией. Такие теоремы называются импликативными силлогизмами, по их сходству с традиционными логическими схемами, называемыми силлогизмами. Именно, в традиционной логике силлогизмами называются некоторые схемы умозаключений, не принадлежащие логике предложений, которые приводят 42
от двух посылок определенного вида к выводу, также имеющему некоторый определенный (хотя, может быть, и иной) вид. В нашем случае мы также добиваемся того, чтобы как обе посылки, так и заключение имели одинаковый вид, т. е. чтобы они являлись импликациями. Необходимость таких умозаключений, в которых обе посылки и заключение являлись бы импликациями, будет выяснена нами на следующем примере. Пусть я договорился с Яном, что, если будет ясная погода, то я его навещу. И в тот же день об этом я договорился и со Стефаном. Поэтому, если я сдерживаю свое слово, то каждое из высказанных мною обещаний является истинным предложением. Поэтому верно, что а) Если завтра будет ясная погода, то я навещу Яна, а также б) Если завтра будет ясная погода, то я навещу Стефана. Всякий, кто верит в верность моего слова, признает истинными оба эти предложения, И каждый путем интуитивного рассуждения выведет из этих двух посылок заключение, что в) Если завтра будет ясная погода, то [(я навещу завтра Яна) и ( я навещу завтра Стефана)]. Проведенное интуитивное рассуждение в этом случае можно описать следующим образом. Признавая в качестве двух посылок две импликации с одним и тем же условием, мы в качестве заключения признаем импликацию с тем же самым условием и с заключением, являющимся конъюнкцией заключений обеих посылок. Чтобы иметь возможность провести рассуждение требуемого типа, мы признаем в качестве теоремы логики следующее выражение: (11) Если [(если р, то q) и (если р, то г)]. то [если р, то (q и г)]. Именно с помощью этой теоремы можно из посылок а) и б) получить заключение в). Но это умозаключение 43
ре так уж просто. В доказательстве сначала надо применить теорему (10), чтобы можно было из предложений а) и б) получить их конъюнкцию. Поэтому подставим в теорему (10) вместо р предложение а), а вместо q — предложи ние б). Применим дважды правило отделения и получим предложение: г) [Если (завтра будет ясная погода), то (я завтра навещу Яна)] и [если (завтра будет ясная погода), то (я завтра навещу Стефана)]. Затем подставим в теорему (11) вместо переменных р, q, r соответственно предложения: «Завтра будет ясная погода», «Я завтра навещу Яна», «Я завтра навещу Стефана». После такой подстановки окажется, что условие предложения, полученного в результате этой подстановки, совпадает с высказыванием г), поэтому мы можем применить правило отделения и признать его заключение, т. е. предложение в). Теорему (11) мы принимаем не только ввиду целесообразности ее применения. Подстановки в теорему (11) представляются истинными каждому, кто только обратит внимание на их смысл. Вот другой пример стилистически видоизмененной подстановки в рассматриваемую схему. Держа пари по футболу с Тадеушем на печенье, а с Лешеком — на мороженое о том, что выиграет «Гвардия», я должен помнить об истинности предложения: д) Если верно, что {[если («Гвардия» проиграет), то (я угощаю Тадеуша печеньем)] и [если («Гвардия» проиграет), то (я угощаю Лешека мороженым)]}, то в таком случае верно, что {если («Гвардия» проиграет), то [(я угощаю Тадеуша печеньем) и (я угощаю Лешека мороженым)]}. Следующей важной теоремой логики среди этой группы теорем является следующая: (12) Если [(если р, то q) и (если г, то s)], то [если (р и г), то (q и s)]. Стилистически видоизмененной подстановкой в эту теорему является следующее сложное предложение: 44
е) Если верно, что {[если я получу премию), то (куплю себе мотоцикл)] и [если (я получу отпуск), то (поеду на море)]}, то в таком случае верно также, что {если [(я получу премию) и (получу отпуск)], то [(куплю себе мотоцикл) и (поеду на море)]}. Закон (12) вместе с правилами логики и законом (10) позволяет принять импликацию, у которой условие является конъюнкцией условий обеих импликаций, взятых в качестве посылок, а заключение представляет собой конъюнкцию заключений тех же импликаций-посылок. В соответствии с этой теоремой мы рассуждаем, например, тогда, когда, принимая в качестве посылок два предложения: ж) Если (в воскресенье я буду здоров), то (сделаю лыжную вылазку в лес), з) Если (в воскресенье будет холодно), то (надену свитер), мы делаем из них вывод: и) Если [(в воскресенье будет холодно) и (я буду здоров)], то [(надену свитер) и (сделаю лыжную вылазку в лес)]. Пожалуй, что важнейшей из теорем для импликатив- ных силлогизмов является следующая теорема: (13) Если [(если р, то q) и (если q, то г)], то (если /?, то г). Довольно сильно стилистически видоизменными подстановками в эту схему являются сложные предложения: к) Если верно, что {[если (после работы будет собрание), то (я вернусь домой поздно)], и верно, что [если (я вернусь домой поздно), то (не прослушаю концерта по радио)]}, то также должно быть, что [если (после работы будет собрание), то (я не прослушаю концерта по радио)]. 45
л) Если верно, что {[если (начнут топить), то (в комнате будет тепло)] и вместе с тем [если (в комнате тепло), то (можно будет сидеть без свитера)]}, то верно, что [если (начнут топить), то (можно будет в комнате сидеть без свитера)]. Оборот «р и q» в предложении к) заменен эквивалентным оборотом «верно, что р, и верно, что q», зато в предложении л) этот оборот заменен оборотом «р и вместе с тем д». Легко убедиться на многочисленных примерах, что эти три оборота в русском языке означают одно и то же. О законе (13) в логике говорится, что этот закон высказывает свойство транзитивности условного суждения. Эта теорема имеет многочисленные применения. Например, рассмотрим следующее рассуждение. Руководитель обещал мне, что если я буду интенсивно работать, то получу премию. Я же, в свою очередь, решил, чю если получу премию, то куплю ребенку новый костюм. Будучи убежден в твердости своего слова и слова руководителя, я беру в качестве посылок следующие предложения: м) Если я буду интенсивно работать, то получу премию, н) Если я получу премию, то куплю ребенку новый костюм. В силу закона (13) я могу получить предложение: Если я буду интенсивно работать, то куплю ребенку новый костюм. Это предложение мы неосознанно получаем из посылок м) и н). При желании получить это предложение точно из закона (13), мы сначала должны объединить посылки м) и н) в конъюнкцию. Это мы производим с помощью закона (10). Так, мы подставляем в закон (10) вместо переменной р предложение м), а вместо переменной q — предложение н) и получил!: о) Если [если (я буду интенсивно работать), то (получу премию)], то {если [если (я получу премию), то (куплю ребенку новый костюм)], то {[если (я буду интенсивно работать), то (получу премию)] и [если (получу премию), то (куплю ребенку новый костюм)]}}. 46
Признавая предложения м) и о) истинными, мы также должны признать истинным следующее предложение, полученное с помощью правила отделения: п) Если [если (я получу премию), то (куплю ребенку новый костюм)], то {[если (я буду интенсивно работать), то (получу премию)] и [если (получу премию), то (куплю ребенку новый костюм)]}. В полученном предложении п) условие эквивалентно уже известной нам посылке н), поэтому, в силу правила отделения, мы можем признать истинным заключение предложения п), т. е. предложение: р) Если (я буду интенсивно работать), то (получу премию)] и [если (я получу премию), то (куплю ребенку новый костюм)]. Итак, мы с помощью теоремы (10) получили конъюнкцию наших посылок м) и н). Затем мы подставим в теорему (13) вместо переменных р, q, r соответственно предложения: «я буду интенсивно работать», «получу премию», «куплю ребенку новый костюм». Получим предложение: с) Если {[если (я буду интенсивно работать), то (получу премию)] и [если (я получу премию), то (куплю ребенку новый костюм)]}, то [если (я буду интенсивно работать), то (куплю ребенку новый костюм)]. Посылка этой сложной импликации совпадает с истинным предложением р); поэтому мы можем применить правило отделения и признать заключение, или предложение: Если (я буду интенсивно работать), то (куплю ребенку новый костюм). Это предложение отличается от посылок м) и н) тем, что у него условие взято из первой посылки, а заключение — из второй посылки. Повторяющееся предложение «получу премию» в обеих посылках оказалось в окончательном выводе (заключении) устраненным. Теорема (13) более всего напоминает своей структурой уже упоминавшиеся силлогизмы традиционной логики, поэтому (и прежде всего по этой причине) она называется условным силлогизмом. В дальнейшем мы приведем другие примеры использования этого закона. 47
Из законов данной категории мы еще отметим следующую теорему: (14) Если [(если р, то q) и (если г, то q)]y то [если (р или г), то q]. Пусть руководитель сообщил работнику: Если вы перевыполните норму, то мы вас отметим. Пусть второй руководитель сказал тому же работнику: Если вы улучшите продукцию, то мы вас отметим. Из зтих посылок мы заключаем: Если работник перевыполнит норму или улучшит продукцию, то его отметят (наградой, премией). Такое умозаключение каждому представляется правильным. Именно для проведения такого рода умозаключений и служит теорема (14). В качестве подстановок в схему (14) могут быть, например, следующие предложения: Если верно, что {[если (ребенок будет вести себя тихо), то (я смогу работать дома)] и [если (теща возьмет ребенка на прогулку), то (я смогу работать дома)]}, то верно, что в таком случае {если [(ребенок будет вести себя тихо) или (теща возьмет ребенка на прогулку)], то (я смогу работать дома)}. Если верно, что {[если (я буду победителем в конкурсе), то (куплю себе велосипед)] и [если (я выиграю в лотерее), то (куплю себе велосипед)]}, то верно и то, что {если [(я буду победителем в конкурсе) или (выиграю в лотерее)], то (куплю себе велосипед)}. О законах логики, названных нами условными силлогизмами, мы можем сказать то же самое, что и о предыдущих законах. Они являются схемами того же типа, что и вышеприведенные предложения, которые подходят под 48
эти схемы и кажутся истинными очевидным образом (и без схем). 4.7. Законы, характеризующие дизъюнкцию. В логике говорят, что дизъюнкция является коммутативной (нерест анрвочной). Например, если кто-либо утверждает, что а) Завтра будет дождь или завтра будет вьюга, то тот же высказывающийся мог бы в равной мере утверждать: б) Завтра будет вьюга или завтра будет дождь. От предложения а) к предложению б) мы переходим на основании теоремы: (15) Если (р или д), то (q или р). Именно подстановкой в эту теорему является предложение в) Если [(завтра будет дождь) или (завтра будет вьюга)], то [(завтра будет вьюга) или (завтра будет дождь)]. Предложение в) и другие подстановки в схему (15) представляются истинными как очевидные. Важной теоремой, характеризующей дизъюнкцию, является следующий закон: (16) Если (р или #), то (если не р, то q). Подстановками в этот закон являются, например, предложения: г) Если верно, что [(Стефан навестит нас в субботу) или (Стефан навестит нас в воскресенье)], то [если (Стефан не навестит нас в субботу), то это значит, что (Стефан навестит нас в воскресенье)]. д) Если верно, что [(в столовой улучшатся обеды) или (я перестану посещать столовую)], 49
то [если (в столовой не улучшатся обеды), то верно и то, что (я перестану посещать столовую)]. Следовательно, мы делаем вывод способом, который подпадает под схему (16), каждый раз тогда, когда мы с кем- либо договорились (если он сдерживает слово), что он совершает одно или другое действие, и если он не совершил одного из этих действий, то мы заключаем, что он совершит другое. 4.8. Законы, характеризующие эквивалентность. Из законов, характеризующих эквивалентность, мы обратим внимание на следующий: (17) Если (р тогда и только тогда, когда q), то (q тогда и только тогда, когда р). Например, Если [(наступает туман) тогда и только тогда, когда (относительная влажность воздуха превышает 100%)], то [(относительная влажность воздуха превышает 100%) тогда и только тогда, когда (наступает туман)]. Следовательно, эквивалентность также коммутативна. (18) Если (р тогда и только тогда, когда q), то {если р, то q). Подстановкой в этот закон является, например, предложение: Если Ян решил, что [(он купит лыжные ботинки) тогда и только тогда, когда (они наполовину подешевеют)], то [если (Ян купил себе лыжные ботинки), то это значит, что (они подешевели наполовину)]. Это предложение является довольно стилистически видоизменной подстановкой в закон (18). (19) Если (р тогда и только тогда, когда q), то (если q, то р). Если [(Ян купит себе лыжные ботинки) тогда и только тогда, когда (они подешевеют наполовину) ]г 50
то [если (лыжные ботинки подешевеют наполовину) то это значит, что (Ян их купит)]. (20) Если [(если р, то q) и (если q, то р)], то (р тогда и только тогда, когда q). Пример. Допустим, я решил, что если я летом куплю себе велосипед, то поеду за город навестить дядю. Всякий, кто знает о моем решении, будет считать истинным предложение; а) Если (у меня будет велосипед), то (я навещу дядю). Если вместе с этим дядя решил, что, если я его навещу, то он подарит мне велосипед, то всякий, кто знает о решении дяди, признает истинным предложение; б) Если (я навещу дядю), то (я буду иметь велосипед). Из предложений а) и б) следует в силу закона (20) предложение: в) (Я буду иметь велосипед) тогда и только тогда, когда (я навещу дядю). Из предложений а) и б), опираясь на закон (20), всякий, кто знаком как с решением дяди, так и с моим, сможет получить предложение в). 4.9. Законы де Моргана. Таково название довольно важной группы теорем, к которой относятся прежде всего две следующие: 21) [Не (р либо q)] тогда и только тогда, когда [(не р) и (не q)]. 22) [Не (р и q)] тогда и только тогда, когда [(не р) или (не q)]. Эти два закона имеют многочисленные применения. Например, подстановками в них являются следующие предложения: {Неверно, что [(завтра у нас на ужин будет ветчина) или (будет колбаса)]} тогда и только тогда, когда {[не (будет завтра на ужин ветчины)] и [не (будет колбасы)]}. 51
{Неверно, что [(завтра будет холодно) и (завтра будет дождливо)]} тогда и только тогда, когда [не (будет завтра холодно) или не (будет завтра дождливо)]. [Лучше: Неверно, что завтра будет холодно и завтра будет дождливо тогда и только тогда, когда завтра не будет холодно или завтра не будет дождливо]. {Неверно, что [(будет повышение ставок) или (будут снижены цены)]} тогда и только тогда, когда [не (будет повышения ставок)] и [не (будут снижены цены)]. {Неверно, что [(Антон — портной) и (Антон — поэт)]} тогда и только тогда, когда [(Антон не портной) или (Антон не поэт)]. Как видно, все примеры подстановок в законы де Моргана истинны с исключительной очевидностью. Эти законы можно характеризовать следующим образом: отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний, тогда как отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний, УПРАЖНЕНИЕ Привести собственные примеры применения рассмотренных здесь законов логики.
§ 5. ХАРАКТЕРИСТИКА ЛОГИЧЕСКИХ СОЮЗОВ В предыдущем параграфе мы разобрали некоторые избранные теоремы логики предложений. Здесь могут возникнуть вопросы: сколько существует такого рода теорем? Как их можно изложить? Ответ таков: теорем логики предложений бесчисленное множество и существует простой метод образования произвольного числа такого рода теорем, содержащих какие угодно логические союзы. В этом параграфе мы познакомимся с этим методом. Прежде всего мы изложим некоторые вспомогательные сведения, дающие возможность представить этот метод. Мы охарактеризуем логические союзы с помощью определенного рода таблиц. В этих таблицах, называемых также логическими матрицами, содержится ответ на вопрос о том, когда сложное предложение истинно, в зависимости от того, истинны или ложны образующие его предложения. В общем случае мы хорошо понимаем то, в каких случаях простое предложение является истинным. Например, истинными являются простые предложения: «Наполеон I умер на о-ве Св. Елены», «2 -|- 2 = 4», «Варшава расположена на Врюле», поскольку дело обстоит именно так, как гласят эти предложения, или, как говорится, эти предложения согласуются с действительностью, т. е. утверждают о наличии определенных фактов, имевших или имеющих место в действительности. Зато ложными являются, например, предложения: «Земля является плоской», «Луна подвешена на шнуре», «2 -|- 2 = 5» и множество других, поскольку эти предложения утверждают существование «фактов», не имеющих места в действительности. В общем случае можно сказать, что простое предложение истинно тогда и только тогда, когда оно утверждает существование факта, имеющего или имевшего место 53
в действительности. (Это описание после некоторого его уточнения рассматривается даже как определение истинного предложения.) Ответ на вопрос о том, когда сложное предложение является истинным, требует уже не только обращения к фактам, но требует еще и рассмотрения смысла логической связки, при помощи которой это предложение было образовано. Поэтому при желании рассмотреть, когда сложное предложение является истинным, нам необходимо рассмотреть по порядку все логические союзы. Мы начнем с рассмотрения выражения «неверно, что», являющегося выражением отрицания. Несмотря на то, что это выражение образует сложное предложение из одного только простого предложения, мы все же в соответствии с нашим соглашением (в § 2) будем рассматривать это выражение как союз между предложениями. 5.1. Таблица для отрицания. Всюду принимается, что отрицание истинного предложения является ложным предложением и отрицание ложного предложения является истинным предложением. Отрицая истинное предложение, мы впадаем в ложь, отрицая же ложь, мы высказываем истину. Так, например, поскольку ложно предложение «Варшава лежит на Одере», то истинным является предложение: «Неверно, что Варшава лежит на Одере». Зато истинно предложение: «Варшава расположена на Висле», поэтому ложно предложение: «Неверно, что Варшава расположена на Висле». Следовательно, вообще можно сказать, что отрицание ложно тогда, когда предложение, которое отрицается, является истинным. Ы наоборот, если предложение является ложным, его отрицание является истинным. Эту связь мы можем выразить символически, записывая, что 1. Если р истинно, то (не р) ложно, 2. Если р ложно, то (не р) истинно. Для более краткой записи этих зависимостей мы условимся вместо «р истинно» писать: «р = 1», вместо «р ложно» писать: «р = О». При таком условии (соглашении) предложения 1 и 2 могут быть записаны в более краткой форме; 54
1. Если р = 1, то (не р)= О, 2. Если р = 0, то (не р)= 1. Эту зависимость можно записать еще иначе, в виде таблицы. В этой таблице под буквой р в колонке (столбце) записаны символы тех значений, которые может принимать произвольное предложение. Такими символами являются символы истинности и ложности, поскольку мы считаем, что каждое предложение может быть либо истинным, либо ложным. В столбце же под выражением не р для данного значения предложения р мы выписываем значения или символы значений, которые соответствуют значению отрицания предложения р, т. е. предложения не р, когда значение предложения р находится в той же строке. Таким способом эта таблица наглядно выражает то содержание, которое было сформулировано в виде предложений 1 и 2. р 1 0 не р 0 1 Эта таблица очень точно характеризует выражение «не». Таблица выражает в краткой форме очень существенный признак отрицания, именно, что при неточном (грубом) описании отрицание «образует» из истинного предложения ложное, а из ложного — истинное. 5.2. Таблица для конъюнкции. Таблицы, аналогичные той, которую мы привели для отрицания, называемые логическими матрицами, строятся для каждого логического союза. Таблица любого союза является его своеобразной полной характеристикой. Поэтому целесообразно разобрать все эти таблицы. Начнем с конъюнкции. Пусть, например, мы приняли за истинное предложение: Завтра будет мороз и завтра будет идти снег. Это предложение мы признаем истинным, если осуществится то, о чем оно гласит, а именно, что завтра будет и мороз и снег, т. е. если как первый член конъюнкции («завтра будет мороз»), так и второй член («завтра будет 55
идти снег») окажутся истинными предложениями. Если будет идти снег, но будет оттепель и не будет мороза, т. е. когда первый член конъюнкции будет ложным, хотя второй и будет истинным, то всю такую конъюнкцию мы признаем ложной. Аналогично признаем ее ложной, если будет завтра мороз, но снег падать не будет, поскольку тогда не будет выполнено второе условие или второе простое предложение этой конъюнкции. Если не выполнится ни первое, ни второе условие, то наше предложение также не будет соответствовать действительности и его надо признать ложным. На этом примере мы видим, что если конъюнкция рассматривается как истинная, то это может быть только тогда, когда оба ее члена признаны истинными предложениями. Анализ любого другого подобного примера дал бы тот же результат. Здесь же следует обратить внимание на обратную проблему, т. е. на вопрос о том, всегда ли бывает так, что когда оба члена конъюнкции мы признаем истинными, их конъюнкцию также рассматриваем как истинное предложение. Всякий, кто признает, что «Варшава расположена на Висле» и признает, что «Париж расположен на Сене», согласен с тем, что «Варшава расположена на Висле и Париж расположен на Сене». Аналогично, признавая, что «2-2 = 4», всякий может в нашем примере признать предложение: «Варшава расположена на Висле и 2-2 =4». Оказывается, что всякий согласен с тем, что конъюнкция двух истинных предложений всегда истинна, несмотря на то, что сами предложения могут совершенно не иметь друг с другом ничего общего; поскольку мы оба предложения, взятые порознь, признаем истинными, то признаем и оба предложения, рассматриваемые вместе. Самое большее, что при этом можно сказать,— это то, что хотя предложение «Варшава расположена на Висле и2«2 =4» и истинно, ни к чему интересному оно нас не приводит; оно является бесцельной конъюнкцией, хотя и истинной. Зато предложение «Варшава расположена на Висле и Париж расположен на Сене» может привести к каким- нибудь интересным выводам, хотя бы при перечислении столиц, расположенных по берегам рек. Это предложение может иметь какое-то применение в географических рассуждениях, тогда как предложение «Варшава расположена на Висле и 2-2 =4» никакого интересного применения 56
ни в географии, ни в математике не имеет. Таким образом, мы признаем истинными конъюнкции произвольных предложений, являющихся истинными, хотя многие из них неприменимы как в науке, так и в повседневной жизни. Поэтому мы можем сказать, что истинной является и импликация, обратная предыдущей, т. е. можем сказать, что если оба члена конъюнкции рассматриваются как истинные предложения, то и их конъюнкция рассматривается как истинное предложение. Подытоживая рассуждения о конъюнкции, мы можем заключить, что конъюнкция нами рассматривается как истинная тогда и только тогда, когда мы признаем оба ее члена истинными, и конъюнкция признается ложной тогда н только тогда, когда хотя бы одно из составляющих предложений ее ложно. Предложение р и q истинно тогда и только тогда, когда оба предложения р и q истинны. Во всяком из трех остальных случаев предложение р и q ложно. Поэтому, в соответствии с принятой символикой, мы можем написать, что 1. Если р = 1 и q = 1, то (р и q)= 1. 2. Если р = 1 и q = 0, то (р и q)= 0. 3. Если р = 0 и q = 1, то (р и q)= 0. 4. Если р = 0 и q = 0, то (р и q)= 0. Предложения 1—4 характеризуют конъюнкцию подобно тому, как соответствующие предложения об отрицании характеризуют отрицание. Эти предложения можно выразить с помощью следующей таблицы, в которой колонки под буквами р и q содержат символы тех значений, которые могут принимать эти предложения, а в колонке под выражением р и q помещены те значения, которые принимает конъюнкция, соответствующая значениям, которые принимают ее члены, помещенные в той же строке^ V 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 V и q 1 0 0 0 57
5.3. Таблица для дизъюнкции. Аналогичным образом, желая охарактеризовать дизъюнкцию, мы выясним, в каких случаях истинно предложение: Колумб был в Индии или был в Египте. И оказывается, что всякий признает это предложение истинным как в том случае, если Колумб был в Индии и не был в Египте, так и в том случае, если он не был в Индии, но был в Египте, а также если он был и в Индии и в Египте. Зато никто не признает этого предложения истинным, если окажется, что Колумб не был ни в Индии, ни в Египте. Аналогично и предложение: Летом мы поедем в горы либо отправимся на море мы признаем истинным только тогда, когда мы либо поедем в горы, но не отправимся на море, либо отправимся на море, но не побываем в горах, либо же если мы отправимся на море и побываем в горах. В этих трех случаях наша дизъюнкция признается истинной. Ложной дизъюнкция будет признана лишь в одном случае, именно в последнем из возможных, когда мы не поедем в горы и не отправимся па море. Обобщая эти случаи, мы можем сказать, что дизъюнкция признается истинной только тогда, когда хотя бы один из ее членов является истинным, и поставим вопрос, всегда ли в случае истинности одного из членов дизъюнкции признается истинной и сама дизъюнкция? Например, всегда ли истинна следующая дизъюнкция: A) Варшава расположена на Висле или все люди курят папиросы? Первый член этой дизъюнкции является истинным, второй — ложным, оба являются осмысленными, поскольку понятны и правильно построены, но следует ли целиком всю дизъюнкцию признать истинной? Аналогично, по два или по одному истинному члену содержат следующие дизъюнкции: Б) Варшава расположена на Висле или 2-2 = 4. B) Кошки вообще двуличны или 2*2 =4. Г) Все канарейки курят папиросы или все щеглы не курят папирос. 58
Предложения А) — Г) являются осмысленными и было бы желательно знать, истинны они или же ложны. Должны ли мы их признать истинными или ложными? Нетрудно всякому согласиться с тем, что эти предложения нет оснований отбрасывать как ложные. Скорее всего, их можно рассматривать как безвредные, и если кто-либо не осмеливается признать их истинными сразу, то это потому, что ни в повседневной жизни, ни вообще в науке нет нужды пользоваться такими дизъюнкциями, в которых оба члена не связаны по содержанию. В самом деле, предложения вроде приведенных не нужны никому ни в каких рассуждениях. Но как с ними поступить, если они являются осмысленными? В логике эта проблема разрешается таким образом, что предложения этого рода признаются истинными. Поэтому мы примем следующее условием несмотря на то, что оба члена дизъюнкции могут не иметь между собой ничего общего по содержанию, все же если хотя бы один из членов дизъюнкции является истинным, то и вся дизъюнкция является истинной. (Это условие эквивалентно предложению: если дизъюнкция является ложной, то и оба ее члена ложны. Последнее же предложение вытекает из предыдущего в силу законов контрапози- ции и де Моргана.) Следовательно, например, предложения А) — Г) мы признаем истинными, поскольку они содержат хотя бы по одному истинному члену. Аналогично и предложение: «Некоторые слоны живут в Африке или больше никаких войн в мире не будет» мы признаем истинным предложением, поскольку один из членов этого предложения является заведомо истинным, именно — первый член. И каким бы ни был в этом случае второй член, истинным или ложным, в обоих случаях при истинности первого *глена дизъюнкция истинна в соответствии с нашим соглашением (условием), гласящим, что дизъюнкция двух произвольных предложений, из которых хотя бы одно является истинным, также истинна, независимо от содержания этих предложений. Такое соглашение совершенно безвредно, хотя совершенно различные по содержанию предложения, соединенные (объединенные) в дизъюнкцию, дают предложения, не представляющие интереса. Примером служит предложение из двух предложений (о слонах и о войнах), только что приведенное. Но зато такое соглашение упрощает нам возможность характеризовать логический союз «или». Если бы мы захотели дать какое-то 59
ограничение в отношении содержания при применении союза «или» («либо»), то мы были бы вынуждены залезть в чащу трудностей философского порядка. Производя же описанное упрощение, имеющее только значение общности, не больше, не оказывающее никакой заметной ослабляющей роли в практике умозаключений, как это доказано логической практикой, мы получаем следующую таблицу, характеризующую дизъюнкцию. Мы увидим, что эта таблица даст нам простой способ проверки логических формул и сдособ проведения многих важных логических исследований. Можно наши выводы из рассуждений о дизъюнкции сформулировать в виде предложения, являющегося следующей эквивалентностью: дизъюнкция истинна тогда и только тогда, когда хотя бы один из ее членов является истинным. Эта эквивалентность складывается из двух ранее выделенных импликаций. Они суммируют (подытоживают) две части наших рассуждений о дизъюнкции. Этот итог мы можем также записать при помощи принятых нами сокращений: 1. Если р = 1 и q = 1, то (р или q) = 1. 2. Если р = 1 и q = О, то (р или q) = 1. 3. Если р = О и q = 1, то (р или q) = 1. 4. Если р = О и q = 0, то (р или q) = 0. Предложения 1—4, характеризующие дизъюнкцию, можно также записать в виде таблицы, в столбцах которой под буквами р и q записаны символы значений, которые могут принимать предложения р и q, а под выражением р или q — символы значений, которые принимает дизъюнкция тогда, когда ее члены имеют значения, содержащиеся в данной (в соответствующей) строке. V 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 р или q 1 1 1 0 GO
5.4. Таблица для импликации. По отношению к импликации мы поставим перед собой два вопроса: 1. Какие значения истинности принимают посылка и заключение импликации, когда импликация признается истинной? 2. Всегда ли при данных значениях истинности посылки и заключения импликация признается истинной? Чтобы правильно ответить сначала на первый вопрос, мы рассмотрим два примера, один — из повседневной жизни, другой — из математики. Пусть примером из повседневной жизни будет уже известное нам обещание верного слову руководителя: (а) Если улучшишь качество продукции, то получишь премию. Какие тут могут быть случаи? Так, например, качество продукции улучшено и премия получена. Тогда видно, что руководитель сдержал свое обещание, т. е. импликация, которую он высказал, истинна. Если же качество улучшено, а премия не получена, то руководителю будет предъявлена претензия, что он не сдержал обещания, т. е. что его обещание оказалось ложным. При отсутствии улучшения качества и неполучении премии, очевидно, никакой претензии руководителю предъявить нельзя, поскольку не выполнено поставленное для этого условие. Хотя руководитель премии и не выдал, но обещания своего при этом он не нарушил, даже можно считать, что обещание выполнено им, хотя он ничего не делал для его выполнения, поскольку, так как рабочий не улучшил качества, то это освобождает руководителя от обещания премировать его. Наконец, может оказаться, что, несмотря на то, что качество рабочим не улучшено, руководитель может выдать рабочему премию за другие заслуги, поскольку не было обещания о премировании только за улучшение. Было обещано, что при улучшении качества премия будет непременно, но она может быть и в других случаях. Поэтому руководитель может премировать и при отсутствии улучшения качества, не входя в противоречие со своим обещанием. Поэтому решение (обещание) руководителя оказывается истинным предложением также и в том случае, когда качество продукции не улучшено, но премия получена. Итак, мы видим, что высказанная руководителем импликация может оказаться ложной только тогда, когда 61
качество продукции улучшено, но премия не получена, т. е. когда истинна посылка «будет улучшено качество продукции», но ложно заключение «будет получена премия». И только в этом случае руководителю может быть предъявлена обоснованная претензия. В трех остальных случаях импликация истинна и не может быть оснований для претензий в отношении руководителя. Возьмем еще один пример (с истинной математической импликацией): 1) Если число х делится на 6, то число х делится на 2. Подставим вместо числа х любое натуральное число, например 4, 12, 17, так как мы имеем право на такую подстановку. Тогда мы получим предложения: 2) Если 4 делится на 6, то 4 делится на 2. 3) Если 12 делится на 6, то 12 делится на 2. 4) Если 17 делится на 6, то 17 делится на 2. Если мы признали предложение 1) как общую математическую теорему, то мы должны признать предложения 2)—4) его частными случаями (подстановками). Рассмотрим подробнее эти предложения. Каждое из них является истинной импликацией. В предложении 2) условие (посылка), или предложение «4 делится на 6»,— ложное предложение, а следствие «4 делится на 2» — истинное предложение. Импликация с ложной посылкой и истинным заключением оказывается истинной. В предложении 3) посылка «12 делится на 6» — истинное предложение. Заключение «12 делится на 2» также истинно. Импликация с истинными посылкой и заключением истинна. В предложении 4) ложна посылка «17 делится на 6» и ложно заключение «17 делится на 2». Импликация с ложными посылкой и заключением также истинна. Когда же приведенная импликация оказывается ложной? Это было бы тогда, когда нашлось бы такое число х, которое делилось бы на 6 и не делилось на 2. Если бы такое число х было найдено, то сразу же следовало бы отбросить нашу общую теорему. Следовательно, мыпризнали бы импликацию ложной только тогда, когда оказалось бы, что ее посылка истинна, но ьак- 62
лючениеложно.Нотакогочисла,длякоторого предложение «х делится на 6» было бы истинным, а предложение «х делится на 2» было бы ложным, не существует, поэтому и импликация 1) истинна. Этот математический пример показывает нам также, что импликация ложна тогда, когда ее посылка истинна, а заключение ложно. Поэтому мы получили следующий ответ на первый вопрос: если импликация признана истинной, то это может быть только тогда, когда неверно, что ее условие истинно при ложности заключения, т. е. тогда, когда члены импликации или оба истинны, или оба ложны, или же когда первый член импликации (условие) ложно, а заключение истинно. Но когда посылка истинна, а заключение ложно, то импликация признается ложной. Нам остается разрешить только второй вопрос, именно: всегда ли импликация должна быть признана истинной, если только оба ее члена либо истинны, либо ложны, либо же если первый ее член является ложным, а второй — истинным. Здесь положение подобно тому, какое мы имели при рассмотрении вопроса о разобранных выше логических союзах. В умозаключениях повседневной жизни и в науке мы пользуемся только такими импликациями, в которых предыдущий и последующий члены связаны по содержанию, причем эта связь затрудняет нам дальнейшее ее уточнение, определение. Импликации же, в которых нет этой связи, вообще не имеют значения в умозаключениях. По этим соображениям мы ими не пользуемся и нам трудно выработать определенное отношение к ним. По этой же причине это отношение мы можем определить по собственному выбору. Оказывается, что логическая практика не противодействует тому, чтобы в тех случаях, когда посылка и заключение импликации являются произвольными осмысленными предложениями и оба являются одновременно истинными или одновременно ложными, или же когда посылка ложна, а заключение истинно, независимо от содержания посылки и заключения считать импликацию истинной. В этом случае, как и в случаях разобранных уже союзов, логическая практика показывает, что такое соглашение не приводит ни к каким неправильным результатам, но упрощает характеристику союза и приводит к тому, что импликация становится надежным инструментом в различных логических исследованиях, в особенности таких, которые лежат в основании математики. 63
Объединяя оба рассуждения, мы, следовательно, можем сказать, что импликация является ложной в том и только в том случае, когда ее посылка истинна, а заключение ложно. В согласии с этим истинны следующие импликации; 1) Если 2*2 = 4, то Варшава лежит на Висле. 2) Если Варшава лежит на Сене, то 2*2 = 4, 3) Если Варшава лежит на Сене, то 2*2 =5. 4) Если войн больше не будет, то слоны живут в Африке. 5) Если Варшава лежит на Сене, то войн больше не будет. Обратим внимание на предложения 4) и 5). Они являются истинными импликациями согласно приведенному определению и тогда, когда предложение «войн больше не будет» истинно, и тогда, когда это предложение является ложным. Зато ложными являются следующие импликации; 6) Если 2«2 =4, то Варшава лежит на Сене. 7) Если Варшава лежит на Висле, то Луна сделана из теста. В предложениях 6) и 7) посылки истинны, а заключения ложны. Заметим еще раз, что те импликации, в которых посылки и заключения являются предложениями без взаимной (по существу) связи, не могут играть в науке более или менее важной роли. Они являются совершенно бесплодными предложениями. Они не ведут ни к ложным выводам, ни к истинным выводам более глубокого содержания. Большинство научных теорем являются импликациями, но ни одна теорема не является такой импликацией, в которой посылка и заключение не были бы связаны по содержанию. Такие теоремы не представляли бы интереса. Разобранную нами характеристику импликации можно записать также в форме таблицы. V 1 0 1 0 9 1 1 0 0 Р-*<7 1 1 0 1 64
В этой таблице для сокращенной записи примем общеупотребительное сокращение оборота «если р, то q» через «р -> q». 1. Если р = 1 и q = 1, то (р -> q) = 1. 2. Если р = 1 и q = О, то (р -> д) = 0. 3. Если р = 0 и q = 1, то (р -> g) = 1. 4. Если р = 0 и # = 0, то (р -*- #) = 1. 5.5. Таблица для эквивалентности. Теперь с помощью таблицы мы охарактеризуем эквивалентность. Чтобы определить, когда эквивалентность истинна, мы разберем пример. Допустим, что уже упоминавшийся нами руководитель дал обещание: (р) Премию получишь тогда и только тогда, когда улучшишь качество. Если качество улучшено и премия получена, то очевидным является убеждение, что руководитель свое обещание выполнил, что руководитель верен своему слову, что предложение, которое он высказал, является истинным. Если бы качество не было улучшено, а также не была получена обещанная за улучшение премия, то никаких претензий к руководителю быть не может, поскольку руководитель не давал обязательства выдавать премии, когда качество не улучшено, и при этом не нарушается обещание руководителя. Более того, руководитель, в согласии со своим обещанием, даже не должен присуждать премию, если качество не улучшено, поскольку он сказал, что только тогда будет получена премия, когда будет улучшено качество. Поэтому если премия получена, а качество не улучшено, то необходимо признать, что руководитель не поступил в точном соответствии со своим заявлением. В этом случае его действие расценивалось бы так, как будто бы он дал обязательство, имеющее вид предложения (а) на стр. 61, а не как рассматриваемое сейчас нами предложение (р). Следовательно, если бы руководитель выдал премию, несмотря на то, что качество не улучшено, то заявление руководителя оказалось бы ложным. Очевидно также и то, что если бы качество было улучшено, а премия не выдана, то необходимо было бы признать, что заявление руководителя не выполнено и оно оказалось бы ложным предложением. 65
Таким образом, мы видим, что эквивалентность истинна только тогда, когда оба ее члена либо одновременно истинны, либо одновременно ложны. В случае, когда один из членов эквивалентности истинен, а другой ложен, эквивалентность ложна. Итак, мы разрешили половину вопроса; если эквивалентность мы признаем истинной, то поступаем так тогда, когда оба ее члена либо истинны, либо ложны. На вопрос о том, всегда ли в таком случае эквивалентность истинна, мы отвечаем положительно. К этому ответу мы приходим тем же самым путем, как и для импликации. Следовательно, характеристика эквивалентности гласит: эквивалентность истинна тогда и только тогда, когда оба ее члена одновременно либо истинны, либо ложны. Символически и при помощи таблицы это записывается следующим обра- р 1 1 0 0 я. 1 0 1 0 p=q 1 0 0 1 зом, с учетом использования общепринятого сокращения, согласно которому выражение «р тогда и только тогда, когда q» обозначается «р = q»: Если р = 1 и q = 1, то (р == q) = 1. Если р = 1 и q = 0, то (р = q) = 0. Если р = 0 и q = 1, то (р ~ ф = 0. Если р = 0 и q = 0, то (р = q) = 1. Аналогично, при помощи соответствующих таблиц можно охарактеризовать и другие логические союзы, названные в § 2. Следует заметить, что полученная при помощи этих таблиц характеристика выводится посредством анализа того смысла, который имеют эти союзы в обычной речи. Но в обычной речи эти союзы не имеют столь точно определенного смысла, как это требуют научные соображения. Повседневная наша жизнь не требует от многих используемых нами понятий такой точности, какая тре-
буется в научных исследованиях. Поэтому неудивительно, что при желании получить из логических понятий безотказное орудие научного исследования необходимо соответствующим образом уточнить смысл логических союзов. Благодаря этому логические союзы и в самом деле оказались хорошим инструментом для многих исследований в области логики, математики и некоторых других наук. Как логические понятия, так и вое остальные научные понятия образуются из понятий повседневной жизни и подвергаются в науке определенной конкретизации, благодаря чему они оказываются годными для дальнейшего использования и содействуют нам в деле преобразования природы. Например, понятия работы в физике или в политической экономии получены из повседневной жизни, но подверглись в этих науках далеко идущим уточнениям. УПРАЖНЕНИЯ 1. Напишите таблицу союза «либо только ..., либо только ...» и союза «ни ..., ни ...» (первый из них называется исключающей дизъюнкцией, а второй — одновременным отрицанием. Эти названия дают указания на то, каков должен быть вид у таблиц этих союзов.) 2. На основании приведенных нами таблиц составьте таблицы для следующих сложных выражений; неверно, что (р или q), неверно, что (если р, то q). Аналогичным образом постройте таблицы для отрицания конъюнкции и отрицания эквивалентности. 3. Какие из таблиц упражнения 1 совпадают с некоторыми таблицами из упражнения 2 и какой вывод можно отсюда сделать относительно союзов «либо только ..., либо только ...» и «ни ..., ни ...»? 4. На основании данных таблиц составьте таблицы для выражений: неверно, что [если р, то (если р, то q)], неверно, что [(если р, то д), то q], если р, то (если q, то р), если (р или q), то (q или р), если [(р или q) и (не р)], то q. Отметить, что три последних выражения являются законами логики, с которыми мы встретились в предыдущем параграфе. Убедитесь на примере других законов логики, что соответствующие им таблицы аналогичны. 5. Постройте с помощью отрицания и дизъюнкции выражение, таблица для которого совпадала бы с таблицей для конъюнкции, 67
и выражение, таблица для которого совпадала бы с таблицей для импликации. Сравните свой вывод с содержанием законов де Моргана. 6. Аналогично этому постройте с помощью отрицания и импликации выражение, таблица для которого совпадает с таблицей для дизъюнкции, и второе выражение с таблицей, совпадающей с таблицей для конъюнкции. 7. Если у некоторого выражения соответствующая ему таблица совпадает с характеристической таблицей некоторого союза, то будем говорить, что этот союз можно определить с помощью рассматриваемого выражения. О каких союзах на основании приведенных упражнений можно сказать, что их можно определить, и при этом при помощи каких выражений?
§ 6. ТАБЛИЧНАЯ ПРОВЕРКА ФОРМУЛ ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ Логические таблицы, с которыми мы познакомились в предыдущем параграфе, позволяют нам строить любое число теорем логики предложений самой различной конструкции и с многочисленными применениями. Сейчас мы познакомимся с методом получения новых теорем логики предложений. Одновременно познакомимся с общепринятым методом записи теорем логики предложений, именно с методом записи их при помощи символов. 6.1. Символика логики предложений. Уже в предыдущем параграфе мы использовали сокращения « -> » для ИхМпликации, « = » — для эквивалентности. К сожалению, среди логиков не существует единой, общепринятой символики. Поэтому мы для сведения читателя приведем таблицу символов, наиболее часто используемых: | Обыденная речь не р если р, то q р тогда и только тогда, когда q р ИЛИ q \ р и q Символика Шредера - Пирса Р' p->q Р = Я Р + Я p-q Пеано — Рассела ~Р PZ)q Р=Я рУя p.q Гильберта Р р->я Р~Я рУя p&q Лукасе- вича Np Cpq Epq Apq Kpq Другие, значительно менее употребляющиеся союзы между предложениями не имеют установившихся обозначений. В дальнейшем мы будем использовать обозначения только для импликации и эквивалентности по Шредеру — 69
Пирсу. При помощи этих символов закон контрапозиции запишется в виде: (Р-* Я) -* [(н* Я) -+ъе р)]. Законы условных силлогизмов будут иметь следующий вид; l(p -> q) и (р ->- г)] ->- [р -> (q и г)], [(р -> q) и (г -> 5)] ->- [(р и r)-+(q и *)], [(р -+ q) и (r-+ q)\ -> [(р иди г) -+- ?], [(Р "> Я) и (q -+ г)] ->(/>-> г). Такая частично символическая запись логических формул обстоятельно подготовит читателя к полному овладению символической записью формул. 6.2. Правильно построенные формулы. Тот метод получения произвольных теорем исчисления предложений, с которым мы теперь познакомимся, можно разделить на две части. В первой части выписываются определенные формулы, о которых мы предполагаем, что они могут быть теоремами логики предложений, необходимыми для наших рассуждений. Во второй части мы при помощи таблиц, разобранных нами в предыдущем параграфе, будем убеждаться, что эти формулы в действительности являются теоремами логики. Займемся первой частью этого метода. Она состоит в том, чтобы выписывать только такие формулы, которые правильно построены (осмыслены) в логике. Правильно же построенной формула считается тогда, когда ее можно рассматривать как схему правильного высказывания, правильного сложного предложения. Так, формула (р или q) -> (р или г) является правильно построенной, поскольку в нее можно подставить вместо переменных р, q, r некоторые произвольные правильные предложения и получить новое правильное предложение, являющееся импликацией двух дизъюнкций. Например, подставляя вместо р «идет дождь», вместо q — ч<светит солнце», вместо г — «тепло» («сейчас тепло»), Мы получим правильно построенное предложение; Если [(идет дождь) или (светит солнце)], то Кадет дождь) или (тепло)]. 70
Зато не является правильно построенной формула (р или q) —>- (р или), поскольку в ней недостает второго члена второй дизъюнкции. Вторая дизъюнкция при данной подстановке имела бы вид: «идет дождь или». Выражение «идет дождь или», как известно из § 2, построено неправильно, оно вообще не является предложением, нескольку всякая дизъюнкция должна иметь два члена. Итак, не существует «одночленной дизъюнкции» и слово «или» использовано здесь неправильно. Правильно построенной формулой является такая формула, что если в ней содержится знак импликации, то в аей содержатся также и некоторые две формулы, объединенные этим знаком импликации; аналогично, если такая формула содержит знак дизъюнкции, то она содержит также я две формулы, которые объединяет этот знак дизъюнкции; то же самое в отношении знака конъюнкции; если в данной формуле содержится знак отрицания, то в ней же содержится и формула, отрицаемая этим знаком отрицания (которой этот знак предшествует). В правильно построенной формуле каждая импликация имеет два члена: условие и заключение; каждая дизъюнкция, конъюнкция или эквивалентность имеет два члена, а отрицание имеет один член. Не являются правильными следующие выражения; (p-+q)-> не, не р (или q), р u-+q. Зато следующие выражения являются правильными формулами логики предложений; [не (р -> q)] или (р и q), [р и (не q)] или [q и (не /?)], {р и [не (р -> q)]} -> [(не q) ->- г]. 6.3. Проверка формул с одной переменной. Поскольку мы теперь умеем записывать сколь угодно много правильно построенных формул логики предложений, то нам остается познакомиться со второй частью метода получения теорем исчисления предложений, с чисто табличным методом проверки, который позволит нам решать, является ли 71
данное выражение теоремой логики или же не является ею. Этот метод проверки мы опишем сначала в применении к логическим формулам, содержащим только одну переменную, символизирующую произвольное предложение. Такая проверка основана на определении теоремы логики предложений. Теоремы логики предложений — это (как это нам известно из § 4) схемы истинных предложений, или такие формулы, подстановки в которые всегда являются истинными предложениями. Предложение, подпадающее под некоторую формулу, называется подстановкой в эту формулу. Поэтому из определения закона логики предложений следует, что если необходимо проверить, действительно ли данная формула является теоремой логики предложений, необходимо исследовать все подстановки в нее. Вместо входящих в такую формулу переменных надо подставлять произвольные предложения, а каждое полученное таким образом сложное предложение оценивать, является ли оно истинным или ложным. Разумеется, что выписывание всевозможных подстановок в данную формулу и исследование того, отвечает ли каждое полученное таким образом предложение нашей интуиции, не выполнимы, поскольку в каждую общую схему можно произвести бесконечно много подстановок. Но, не имея возможности поступать таким образом, мы должны использовать какой-то иной метод, который на первый взгляд может показаться несколько неожиданным. Такой упрощенный метод распознавания того, является ли некоторая формула теоремой логики предложений или же нет, подсказывается нам приведенными выше таблицами, характеризующими союзы между предложениями. Как нам воспользоваться этими таблицами? Это можно сделать, используя таблицы с помощью такого рассуждения, которое мы проведем на примере закона исключенного третьего, устанавливая, является ли данная формула законом логики. Закон исключенного третьего представим формулой: (I) р или (не р). Для того чтобы формула (I) была законом логики, необходимо, чтобы любая подстановка в нее была истинной. Пусть в данную формулу вместо переменной р подставлено конкретное предложение G. Содержание предложения С — вполне определенное, но произвольное; пусть, на- 72
пример. G будет предложение: «Платон побывал в Индии» или какое-нибудь другое. Мы рассмотрим вопрос об истинности конкретного сложного предложения вида G или (не G). Очевидно, что предложение G либо истинно, либо ложно. Если G истинно, то в каком случае не G является ложным предложением — в соответствии с таблицей отрицания (см. первую строку таблицы отрицания). Затем мы обратимся к таблице дизъюнкции. Во второй строке ее мы читаем: 2. Если р = 1 и q = О, то (р или q) = 1. Подставим в это выражение вместо р предложение G, а вместо q — предложение не G. Мы получим предложение 2'. Если G = 1 и (не G) = О, то [G или (не G)} = 1. Допустим, что в самом деле G = 1 и (не G) = 0 (поскольку выражение G = 1 является сокращением предложение «G является истинным предложением», а выражение (не G) = О является сокращенной записью предложения «Не G является ложным предложением»), тогда из предложения 2' получим, что [G или (не G)] = 1, т. е. предложение G или (не G) является истинным, если предложение G истинно. Рассмотрим теперь вторую возможность, когда предложение G является ложным, т. е. когда G = 0. Тогда предложение не Сбудет, очевидно, истинным, т. е. (не G) = 1. Вспоминаем, что третья строка таблицы дизъюнкции гласит: 3. Если р = 0 и q = 1, то (р или q) = 1. Подставляя вместо р предложение G, а вместо q — предложение не G, мы получим предложение: 3'. Если G = 0 и (не G) = 1, то [G или (не G)] = 1, Поскольку теперь мы предположили, что G = 0 и (не G) = 1, то получим, что предложение G или (не G) и в этом случае истинно, хотя G является ложным предложением. Поэтому, если мы принимаем допущение, что любое предложение или истинно, или ложно, то всякая подстановка в формулу (I), образованная с помощью произвольного предложения G, оказывается истинной, как в том случае, когда G является истинным предложением, так и в том, когда G является ложным предложением. 73
Необходимо хорошо понять ход мысли в этом рассуждении. Нам необходимо было проверить, что формула (I) является теоремой логики, иначе говоря, что если мы в нее вместо переменной р подставим какое-либо конкретное предложение G, то каждый раз мы будем получать истинное сложное предложение G или (не G). Чтобы убедиться в этом, мы рассуждаем следующим образом: «Если бы G было истинным предложением, то независимо от его содержания мы должны были бы признать истинным предложение G или (не G), поскольку в соответствии с таблицей дизъюнкции сложное предложение, являющееся дизъюнкцией, будет истинным всегда, когда по крайней мере один из ее членов является истинным. Если же оказалось ложным предложение G, то тогда истинным будет его отрицание, т. е, предложение «не G», и, следовательно, тогда также один из членов дизъюнкции G или(не G) окажется истинным, именно, второй ее член, следовательно, и вся дизъюнкция G или (не G) будет истинным предложением». Теперь мы можем сказать, что при подстановке в формулу р или (не р) вместо переменной р произвольного предложения G мы всегда получим истинное сложное предложение G или (не G), истинным оно будет и тогда, когда G является истинным предложением, и тогда, когда G является ложным предложением. Поскольку мы предполагаем, что каждое предложение является либо истинным, либо ложным, то какое бы предложение G мы ни подставили вместо переменной р в формулу р или (не р), мы всегда получим истинное предложение G или (не G). Следовательно, каждая подстановка в формулу р или (не р) является истинным сложным предложением, а это и означает, что рассматриваемая нами формула является теоремой логики предложений. Вот такого рода рассуждения и дают решение нашей задачи, называемое табличной проверкой формул логики предложений. В проведении такого рода рассуждений следует основательно поупражняться, и мы с целью упражнения проведем еще одно рассуждение такого же типа. Проверим, является ли теоремой логики следующая формула: (II) не [р и (не р)] или же не является ею. 74
Для этого сначала подставим вместо переменной р произвольное конкретное предложение G. Тогда мы получим сложное предложение: (а) не [G и {не G)]. Теперь будем рассуждать следующим образом. Если G является ложным предложением, то его отрицание не G является истинным предложением. Поскольку же одно из дредложений G и не G является ложным предложением, именно, предложение G, то, в соответствии с таблицей конъюнкции, сама конъюнкция G и (не G) является ложным предложением. А раз контюнкция G и (не G) является ложной, то ее отрицание, т. е. предложение не [G и (не G)], является истинным. Отсюда следует, что когда G является ложным предложением, предложение (а) оказывается истинным. Теперь допустим, что вместо переменной р мы подставили истинное предложение G. Тогда его отрицание — ложное предложение не G. Здесь также один из членов конъюнкции G и (не G) является ложным, именно второй ее член. Из таблицы конъюнкции видим, что когда один из членов конъюнкции является ложным, тогда и сама конъюнкция является ложной. Предложение G и (не G), следовательно, ложно, а поскольку оно ложно, то его отрицание, т. е. предложение не [G и (не G)], является истинным предложением в соответствии с таблицей отрицания. А таким предложением и является предложение (а). Итак, мы окончательно убедились в том, что как тогда, когда предложение G истинно, так и тогда, когда оно ложно, сложное предложение не [G и (не G)] всегда оказывается истинным. Но поскольку G является произвольным предложением, которое мы подставили Вхместо р в формулу (II), то мы видим, что, подставляя в эту формулу вместо переменной р какое-либо совершенно произвольное предложение, мы всегда получим истинное предложение. Следовательно, каждая подстановка в формулу (II) представляет собой истинное предложение и, следовательно, эта формула является теоремой логики. Поскольку мы приступаем к рассмотрению формул, содержащих большое число переменных, исследуем еще одну формулу, которая не является теоремой логики. Пусть это будет формула (III) р -> {не р). 75
Для этого достаточно рассмотреть произвольную подстановку в эту формулу. Подставляя какое-нибудь предложение G вместо переменной р, получим предложение (Р) G -> (не G). Затем рассмотрим, какое значение принимает предложение (Р), когда предложение G ложно и когда G является истинным предложением. Если G ложно, то не G истинно, мы же помним, что импликация при ложном условии и истинном заключении является истинной. Итак, когда G ложно, предложение (|В) является истинным. Зато когда G является истинным предложением, его отрицание не G является ложным. Поэтому в этом случае предложение (Р) является импликацией с истинным условием и ложным заключением, а такие импликации мы решили считать ложными. Итак, мы приходим к выводу, что при подстановке вместо переменной р в формулу (III) какого-либо истинного предложения мы получаем ложное сложное предложение, а поэтому не может быть истиной то, что формула (III) является теоремой логики, поскольку некоторая подстановка в эту формулу является ложной: ложными будут все предложения, которые получены из (III) подстановкой вместо переменной р истинного предложения. 6.4. Проверка логических формул с многими переменными. Рассуждения, посредством которых мы проверяли, является ли та или другая формула законом логики, и которые мы проводили в отношении формул, содержащих одну переменную, можно аналогичным образом проводить и в применении к формулам с несколькими переменными. Так, если надо проверить формулу (Р->?)-* К"* q)-*(™ p)], то мы поступим следующим образом. Чтобы формула была теоремой логики, необходимо, чтобы каждая подстановка в нее была истинным предложением. Поэтому мы рассмотрим какую-либо произвольную подстановку в эту формулу двух конкретных предложений. Например, вместо переменной р мы подставим конкретное предложение Р, а вместо переменной q — конкретное предложение Q. В частном случае предлчше- 76
ния Р и Q могут оказаться одним и тем же предложением, но мы рассмотрим тот случай, когда эти предложения различны, т. е. более общий случай. В таком случае мы получим сложное предложение: (а) {Р ^ Q) ^ [{не Q) ^ {не P)h Поскольку мы полагаем, что каждое предложение может быть либо истинным, либо ложным, мы имеем следующие возможности: 1°. Р и Q являются истинными предложениями. 2°. Р является истинным, a Q ложным. 3°. Р является ложным, a Q истинным. 4°. Р и Q — оба ложные предложения. Рассмотрим каждую из этих возможностей в отдельности. 1°. Когда Р и Q оба являются истинными предложениями, тогда импликация Р —>• Q также является истинным предложением в соответствии с таблицей для импликации. Тогда оба предложения не Р и не Q являются ложными в соответствии с таблицей отрицания. А поскольку не Р ж не Q ложны, то импликация (не Q) -> (не Р) является истинной (см. таблицу для импликации). Поскольку оба предложения Р ->- Qm(ne Q) ->- (не Р) являются истинными, то в соответствии с таблицей для импликации будет истинной импликация (Р -> Q) -> [(не Q)-^(m P)]. Итак, в случае 1° предложение (а) оказывается истинным. Для более сокращенной записи мы применим уже введенные нами обозначения, именно, пусть выражение X = 1 обозначает, что предложение X является истинным, а выражение X = 0 — то, *гго предложение X ложно. 2ю. Р истинно, a Q ложно, т. е. Р -= 1, a Q = 0. Тогда согласно таблице для импликации (Р -> Q) = 0. Зато (не Р) = 0, а (не Q) = 1, откуда следует [(не Q) -* -+ (не Р)] = 0. Поскольку (Р -v Q) = 0 и [(не Q) -> -> (не Р)] = 0, то {(Р -><?)-> [(не Q) -> (не Р)]} = 1 в соответствии с таблицей для импликации. В случае 2е предложение (а) также оказывается истинным. 3°. Р = 0 и Q = 1. В этом случае (Р -> Q) = 1, (не Р) = 1, (не Q) = 0. Отсюда [(не Q) ->- (не Р)] = 1. Поскольку (Р ->• Q) = 1 и [(не Q) ->• (не Р)] = 1, то {(Р -> Q) -> [(не Q) ->- (не Р)]} = 1 в соответствии с таблицей для импликации и таблицей для отрицания. Поэтому в случае 3° предложение (а) также истинно. 77
4°. Р = О и <? = 0. В этом случае (Р -+ Q) = 1, (we Р) = 1, (не (?) = 1, откуда [(we (?) ->- (we Р)] = 1. Поскольку (Р ->(?) = 1 и [(we Q) -+(пе Р)] =1, то {(Р ->- (?) -->- [(we (?)—>(we Р)]}=1. Следовательно, и в этом случае из таблиц для отрицания и импликации следует, что предложение (а) является истинным. Поскольку случаи 1°—4° исчерпывают собой все возможные значения предложений Р и (?, то, следовательно, мы можем сказать, что независимо от значений предложений Р и Q предложение (а) всегда истинно. Поскольку же предложения Р и Q являются двумя произвольными предложениями, то мы получаем отсюда вывод, что для произвольных двух предложений Р и Q предложение (Р -> Q) —>- -> [(не (?) -> (не Р)] является всегда истинным. Итак, мы доказали, что любая подстановка в формулу (р ->- q) -> -> [(не q) -> (не р)] является истинным предложением, а это означает, что рассматриваемая формула является теоремой логики. Проверим еще одну формулу, например, (р ->¦ q) —>¦ [р или (не q)]. Подставим в нее вместо переменных р, q соответственно предложения Р и Q и рассмотрим аналогичные четыре случая. Г. Р = 1 и <? = 1, тогда (Р -> (?) = 1, (не (?) = 0, следовательно, у нас [Р ШШ (we ())] = 1. А поскольку (Р -> <?) = 1 и [Р u^u (we <?)] = 1, то {(Р ^ (?) -> -> [Р иди (we (?)]} = 1, а поэтому в этом случае наша подстановка является истинной. 2°. Р = 0, (? = 1, тогда (Р -> (?) = 1, (we (?) = 0. Поскольку Р = 0 и (we (?) = 0, то [Р или (we (?)] = 0 в соответствии с таблицей для дизъюнкции. Поскольку же (Р -> (?) = 1 и [Р иди (we (?)] = 0, то импликация {(Р ->¦ (?) ->- [Р иди (we (?)]} = 0 в соответствии с таблицей для импликации. Поэтому в этом случае подстановка в исследуемую формулу является ложным предложением. Итак, эта формула не является теоремой логики, поскольку не все подстановки в нее оказываются истинными, именно, ложным является любое такое предложение, которое получено из данной формулы подстановкой вместо переменной р произвольного ложного предложения, а вместо переменной q — произвольного истинного предложения. 78
Легко догадаться, что, имея формулу с тремя или более переменными, мы будем поступать аналогичным образом. Например, имея формулу мы сначала подставим вместо переменных ру q, r три произвольных предложения Р, Q, R и будем выяснять вопрос о том, всегда ли истинно предложение (р) [(Р -> 0 -> Д] -+ (Q -> Д) независимо от того, какие значения имеют предложения Р, Q, R. С этой целью мы будем вынуждены рассмотреть все восемь случаев. Именно, полагая, что каждое из предложений Р, Q, R является либо истинным, либо ложным, мы получаем следующие возможности: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Р = 1, P = i, Р = 1, Р = 0, Р = 0, Р = 0, р = 1, Р = 0, Q = i, <? = !. <? = о, е = 1. <? = о, <? = 1. <? = о, <? = о, Д = 1, Д = 0, Д = 1, л = 1, Д = 1, Д = 0, Д = 0, Д = 0. Затем мы проверяем, какое значение имеет предложение (Р) в каждом из этих восьми случаев. Например, проверим, каково значение этого предложения в случае 2. Поскольку Р = 1, Q = 1, i? = 0, то из таблицы для импликации мы получим, что (Р -> 0 =1, а «? -> Д) = 0. Поскольку (Р -><?) = 1, а Л = 0, то [(Р -><?)-> R ] = 0. И поскольку [(Р -> (?) -> #] = 0 и «?-*Д) = 0, то {[(Р-х?)->Д]-^((?->Д)} = 1. В этом случае предложение (Р) является истинным. Проверьте таким же способом все остальные случаи. Поскольку во всех случаях подстановка в эту формулу оказывается истинной, то тем же рассуждением мы придем к выводу, что вообще все подстановки в рассматриваемую формулу являются истинными сложными предложениями и, следовательно, рассматриваемая формула является теоремой логики. Если бынекоторая формула содержала четыре переменных предложения, то мы должны были бы рассматривать 79
подстановки в эту формулу четырех произвольных предложений Р, Qy R, S, из которых каждое может быть истинным или ложным, т. е. рассматривать 16 случаев. Вообще говоря, если логическая формула содержит п переменных, то необходимо рассматривать 2П возможностей. Таким образом, мы имеем общий метод, позволяющий нам после проверки табличным способом некоторого конечного числа предложений заключать, является ли некоторая произвольная логическая формула теоремой логики или же нет В рассуждении, приводящем нас к признанию произвольной формулы теоремой логики или же к исключению ее из числа теорем логики, поскольку это рассуждение производится с помощью табличного метода, основную роль играют следующие обстоятельства, которые следует еще раз подчеркнуть: 1. Мы все время полагали, что каждое предложение является либо истинным, либо же ложным. Если мы назовем истинность или ложность предложения значениями истинности предложения, то мы можем сказать, что в наших рассуждениях мы исходим из того, что существует только два значения истинности, т. е. истинность и ложность. Поскольку при проверке с помощью табличного метода это положение о двузначности играло такую важную роль, то по этим же соображениям все логические формулы, которые после проверки табличным методом оказываются логическими теоремами, называются теоремами двузначной логики предложений, а множество всех таких теорем называется системой двузначной логики предложений. Следует заметить, что существуют и другие способы представления двузначной логики предложений. Можно, например, представить такую систему в виде аксиом и теорем, выводимых из этих аксиом, аналогично тому, как в школе теоремы элементарной геометрии выводятся из аксиом этой геометрии. Но аксиоматическим методом мы здесь заниматься не будем. Очевидно, что табличный метод является очень простым и легко доступным для научной практики, так как при желании провести какое-либо рассуждение в соответствии с законами двузначной логики мы всегда пользуемся табличным методом проверки теорем логики предложений. Именно, при желании провести рассуждение в соответствии с законами логики, мы сначала выписываем те логические схемы (формулы), которые (если они окажутся теоремами логики) дают нам возможность 80
провести наше рассуждение. Затем мы с помощью табличного метода проверяем, являются ли в действительности эти схемы (формулы) теоремами. Поэтому табличный метод дает нам орудие (инструмент), позволяющее разрешить вопрос о том, является ли некоторая логическая формула теоремой логики, причем мы тут используем конечное число проверок г). 2. Кроме постулата двузначности, основную роль в табличном методе проверки логических формул играют также таблицы для отдельных логических союзов. Как мы уже не раз отмечали, мы эти логические союзы характеризовали именно таким образом, чтобы с помощью таблиц, показывающих, какое логическое значение принимает вся функция в зависимости от логического значения ее аргументов, сделать возможным табличный метод проверки формул. 6.5. Сокращенный метод проверка (метод нуля и единицы). Для того чтобы можно было быстро проверять логические формулы, рекомендуется поупражняться в сокращенных методах проверки. Сокращенные методы мы представим в виде нескольких этапов. 1. Чтобы сокращенно проверять формулу, необходимо прежде всего хорошо помнить таблицы для логических союзов. Эти таблицы можно выписать по аналогии с математическими формулами в следующем виде: а) а. б. в. г. Д- {не 0) = 1, (1 или 1) = 1, (0 или 1) = 1, (1 и 1) = 1, (0 и 1) = 0, (1 -> 1) = 1, (0 -> 1) = 1, (1 = 1) = 1, (0 = 1) = 0, (не 1) = 0, (1 или 0) = 1, (0 или 0) = 0, (1и0) = 0, (0 и 0) = 0, (1 - 0) = 0, (0-0) = 1, (1=0) = 0, (0 = 0) = 1. Сравните эти способы записи с таблицами для отдельных союзов. х) Кроме двузначной логики, существуют также логические системы, описываемые таблицами с тремя и более значениями истинности, а также с бесконечным числом значений. (Прим. ред.) 81
2. Проверяя формулу сокращенным образом, мы обходим тот пункт рассуждения, в котором происходит подстановка в формулу вместо переменных р, q, r,... произвольных предложений Р, Q, Д, ... Здесь просто мы переменные р, д, г,... представляем как конкретные предложения, которые могут быть истинными или ложными, и поэтому вся формула, например, (р ->¦ я) -+ i(ue я) -* (не р)]> сразу же рассматривается нами как конкретное сложное предложение, соответствующее следующему предложению при несокращенном способе проверки: (Р -> Q) + [{не Q) -* {не Р)]. 3. Если мы считаем переменные р, q, r,..., входящие в формулу, предложениями, то для каждой из них является истиной, что р = 1 или р = 0, g = 1 или g = 0, г = 1 или г = 0, ... Поэтому мы должны, как и в несокращенном методе, рассмотреть множество различных возможностей. Но мы можем эти возможности записать также аналогично математическим выражениям, подобно тому как мы записали таблицы. Например, рассматривая (исследуя) фор- МУЛУ (Р -> Я) -* [(не Q) -*¦ (не Р)], мы можем получающиеся здесь возможности записать следующим образом: (1 _^ 1) _^ [(^ 1) + {не 1)]? (1_^0)->[(^ 0)->(не 1)], (0-*1)-* [(не 1) -+(не 0)], (0->0)-> [(не 0) -> (не 0)]. 4. После записи таким способом всех случаев мы уже можем механически вычислить значения этих четырех выражений, применяя формулы (I) таким образом, как будто бы все эти выражения определяли некоторые математические действия, а четыре названных предложения были бы математическими функциями, записанными при помощи этих действий. Поэтому мы при помощи наших таблиц вычислим значения приведенных выражений и получим: {(1 ->!)-> [(не 1) -+ (не 1)]} = [(1 -> 1) -> (0-> 0)] = = (1 -* 1) = 1, {(1 -> 0) -> [(не 0) -* (не 1)] } = [(1 -> 0) -> (1 -> 0)] = = (0-*0) = 1, 82
{(О -+ 1) -> [(не 1) -> (не 0)]} = [(0 -* 1) -> (0 -> 1)] = = (1 -> 1) = 1, {(0 -у 0) ->- [(^ 0) -> (то 0)]} = [(0 -> 0) -Ml ->-1)] = = (1 -> 1) = 1. Сначала мы устраняем знак отрицания перед нулем или перед единицей в соответствии с таблицей для отрицания (I), а, затем импликации заменяем их значениями, наконец, все выражение сводится к импликации, которую заменяем ее значением. Поскольку все четыре вычисленных значения оказались равными единице, то рассматриваемая формула является теоремой логики. Поэтому, оставляя в стороне рассуждения, обосновывающие применение этого метода, мы можем автоматически проверять, является ли некоторая произвольно заданная формула теоремой логики. Исследуем, например, формулу: (р-+не д) ->- (д^не р). Для этого сразу выпишем подстановки в нее и сразу же вычислим их. [(1^0)^(1-^0)] = = (0->0) = 1, [(1 + 1)->(0->0)] = = (1 -> 1) = 1, [(0-*0)->(1-*1)] = = (1 -* 1) = 1, [(0 -> не 0) -^ (0 -> не 0)] = [(0 -> 1) -> (0 -> 1)] = = (1 -> 1) = 1. Поскольку все эти подстановки имеют значения, равные единице, что означает их истинность, то наша формула является теоремой логики. 5. Наконец, последним и важнейшим упрощением, которое можно произвести при проверке этим методом логической формулы, является упрощение, которое можно назвать «обратным рассуждением». Это рассуждение указывает нам, что не следует производить проверку всех подстановок нуля и единицы, что часто бывает достаточно только одной такой подстановки. Это рассуждение основано на [(1 -+не 1)-> (1 -+не 1)] [(1 -у не 0)-> (0-+не 1)] [(0-+не 1)-* (1 -+не 0)] 83
поисках такой подстановки, при которой формула могла бы получить значение нуль. Покажем это на примере. Проверим формулу [{не р) -*?]-> [{не q) -+р]. Ход мысли будет следующим: 1. Чтобы формула не являлась теоремой логики, она при некоторой подстановке должна стать ложным предложением, т. е. ее значение должно быть равным нулю. 2. Поскольку наша формула является импликацией, то она может оказаться ложным предложением только тогда, когда при некоторой подстановке условие этой формулы окажется истинным, а ее заключение — ложным, т. е. тогда, когда (не р) -> q будет равно 1 и одновременно когда (не q) -> p будет равно нулю. 3. Чтобы заключение (не q) -> p было равно нулю, необходимо, чтобы в последнем предложении условие было истинным, а заключение — ложным, т. е. чтобы (не q) = 1, а р = 0. Только тогда [(не q) -> p] = 0. 4. Поэтому эта формула может быть ложной только тогда, когда/? = Оид = 0, а поэтому достаточно испытать, истинна ли эта формула именно в этом случае. 5. Поэтому мы испытаем только посылку (условие) всей формулы, т. е. предложение (не р) -> д, является ли оно истинным или же ложным при такой подстановке, так как о заключении всей формулы, т. е. о предложении (не q) -> р, нам известно, что оно при этой подстановке является ложным, ибо именно эту-то подстановку мы искали. Но когда р = 0 и q = 0, тогда (не р) = 1, поэтому [(не р) ->- q] = 0, т. е. при той единственной подстановке, которая обращает в нуль заключение формулы, условие (посылка) также равно нулю и, следовательно, вся наша формула истинна. А поскольку формула оказалась истинной при той единственной подстановке, при которой она могла бы быть ложной, то вся формула истинна всегда, т. е. эта формула является теоремой логики. Все это рассуждение можно автоматизировать и проводить механически. Например, испытаем еще следующую формулу: (Р~*Я)-+ [(« -* г) -> (р -> г)]. Итак, чтобы значение всей этой формулы было равно нулю, должно быть (р -+• q) = 1 и [(q -> г) -> (р -> г)J = 84
= 0. Но чтобы [(q -> г) ->¦ (р ->- г)] =0, должно быть (g -v г) = 1 и (р -+ г) = 0. А чтобы было (/? -»- г) = 0, необходимо, чтобы было р = 1 и г = 0, и поэтому только при этой подстановке формула может оказаться ложной, т. е. ее значение может оказаться равным нулю. Поищем еще условия для предложения q. Поскольку q -*¦ г должно иметь значение 1, а значение г = 0, то q также должно быть равно нулю, в противном случае q-+r не может равняться 1. Следовательно, только случай, когда р = 1, q=0 и г=0, может быть тем, при котором значение формулы равно нулю. Но при р = 1 и q = 0 будет (р -+ q) = 0. Итак, хотя в этом единственном случае [(q -> г) ->¦ (р -+¦ г)] = 0, так как именно это мы и искали, но в таком случае также ж(р -+ q) = 0, а поэтому вся формула истинна для того единственного случая, когда она могла бы быть ложной. Итак, формула является теоремой логики. Заметим, что если бы мы захотели испытать формулу несокращенным методом, то нам потребовалось бы вычислить значение формулы для восьми случаев. Испытаем еще формулу: [р -> (q или г)] -+ [(q и г) -+р]. Чтобы «она равнялась нулю» (т. е. чтобы ее значение было равно нулю), достаточно, чтобы [р -> (q или г)\ = 1 и [(q и г) -> р] = 0. Чтобы [(q и г) -+ р\ =0, должно быть (q и г) = 1 и р = 0. А чтобы (q и г) = 1, должно быть q = 1 и г = 1. Исследуем условие: (q или г) = 1 и р = 0, в этом случае [р -> (q или ?")] = 1. Условие истинно, а заключение лояшо, что мы и искали, и формула для этого случая оказалась ложной, а раз она может быть ложной, то она не является теоремой логики. Если бы мы испытывали формулу несокращенным методом, то мы непроизводительно могли бы рассмотреть даже семь остальных подстановок, прежде чем напасть на рассмотренную нами подстановку, при которой формула только и оказывается ложной. Рассуждая же сокращенным методом, мы сразу же нашли нужную нам подстановку (решающую весь вопрос отрицательно)1). х) Рассуждения, в точности совпадающие с приведенными здесь, проводятся с помощью так называемых семантических таблиц Бета. Эти таблицы дают простой и удобный прием проверки того, является ли данная формула теоремой логики или нет. (Прим. ред.) 85
УПРАЖНЕНИЯ 1. Проверьте, являются ли теоремами логики следующие формулы с одной переменной: р = (не р), (не /?)—>/?, P^Pi {p или р)-*р, не{р и[р = (не р)]}, р^р, р = [(не р)-*(р и р)], р или [р = (не /?)], не [р^>(нер)], не [р = (не р)], (р или р) —* {р и р). 2. Проверьте несокращенным методом следующие формулы: (p-+q)-+[(He p) или q], (p^q) = [p = (p и q)], (Р — Я)^>(Я-+Р), (p = q)-+(p-+ q). 3. Проверьте, являются ли теоремами логики следующие формулы: [(не p)^q]^[(He q) — р], [(/>-> Я) и (»е д)]^не р, [(р и q) или q]—*(p и q), [(р —> q) или (р —> г)] —> [р —> (q или г)], [(p-*<d)^r]-*(q-*r), UP-* Я) и (г-*Я)]-*Цр и r)-*q], (р -*q)-* {[(/• ->q)-+(q и г) -* р]}.
§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГИКИ ПРЕДЛОЖЕНИЙ 7.1. Применение логики предложений к математическим наукам. В этом параграфе мы приведем несколько замечаний, касающихся применений логики предложений в науке, в технике и в повседневной жизни. Прежде всего с применением логики предложений мы сталкиваемся в математических науках. В этих науках построение доказательств, оперирующих законами и правилами логики, составляет главное их содержание и приводит к новым теоремам. Но для получения новых интересных математических доказательств, кроме законов и правил логики, с которыми мы познакомились, необходимы еще и другие законы и правила логики, например, правила действий с кванторами. Только очень немногочисленные и очень простые доказательства могут быть проведены средствами одной только логики предложений. Мы приведем пример именно такого весьма простого доказательства из области алгебры. Мы докажем теорему: [(x + z) = <y + z)]-*(x = y). Эта теорема носит название закона сокращения и позволяет сокращать выражения вида х + z = у + z, опуская встречающийся в обеих частях равенства одинаковый член (слагаемое), и получать выражение вида х = у (эквивалентное сокращаемому). Мы эту теорему получим из следующих теорем, которые в алгебре играют роль посылок: АО. х + у = у + х — закон коммутативности (перестановочности). А1. (х + у) + z = х + (у + z) — закон ассоциативности (сочетательности). 87
А2. х + (— х) = 0} — законы, характеризующие нуль A3. О + х = х ) и минус. А4. (х = у) —> [(х + и) = (у + v)h — законы, харак- А5. \(х = у) и (у = z)] -+ (х = z) \ теризующие ра- А6. (у = х) -> (х = у) ) венство чисел. Из этих посылок мы в ходе доказательств будем получать все новые и новые теоремы, пользуясь законами логики предложений и правилом подстановки. Это последнее правило, применяемое в математике, логике и многих других науках, позволяет из имеющегося общего закона, сформулированного в общем виде при помощи переменных, посредством замены входящих в этот закон переменных некоторыми другими переменными или же целыми более сложными выражениями (обозначающими, например, числа, если переменная представляла собой символ произвольного числа) получать некоторые другие выражения (обозначающие, например, также числа). Так, признавая посылку А4, мы имеем право признать теорему, полученную из А4 подстановкой выражения х -\- z вместо переменой .г, представляющей произвольное число, и получить теорему: Т1. (х + z = у) -> {(х + z) + v = у + v]. Аналогично мы можем, например, подставить в Т1 вместо у выражение у + z и получить теорему: Т2. (х + z = у + z) -> [(х + z ) + v = {у + z) + и]. В дальнейшем при подстановке выражения А вместо переменной х мы будем использовать сокращенное обозначение: х/А. ТЗ. (х + z = у + z) -* [(х + z) + (-z) = (у + z) + + (-2)]. ТЗ получаем из Т2 подстановкой v/(—z). Т4. (х + z) + (-z) =x + [z + (- z)\. Т4 вытекает из А1 посредством подстановок ylz, z/( — z). Т5. z + (—z) = 0. Т5 получаем из А2 подстановкой x/z. Т6. x + [z + (- z)] = [z + (- z)\ + x. T6 получаем из АО подстановкой ylz -\- (—z). 83
Т7. z + (- z) = О -> [z + (- z)] + x = 0 + ж. T7 получаем из А4 посредством подстановок xlz + (— z), г//0, у/ж. Т8. [z + (— 2)] + х = О + х. Т8 получаем из Т5 и Т7 при помощи правила отделения. Т9. {{[z + (- z)] +х = 0 + х} и {0 + х = х}} -> {[z + (— z)] + ж = *}. Т9 получаем из А5 путем соответствующей подстановки. Т10. {[z + (— z)] + х = О + х) и (0 + х = х). Эту теорему получаем из теоремы логики предложений: р —>- [q -> (р м g)], подставляя в эту теорему вместо р формулу [z + (— z)\ + x = О + х и вместо q — формулу 0 + х = х, затем применяя дважды правило отделения, сначала в примении к теореме Т8, а затем к условию A3. Til. [z + (— z)] + х = х, Т11 получаем из теорем Т9 и Т10 при помощи правила отделения. Т12. {{х + [* + (- z)] =[* + (- z)] + х) и {[z + (-z)] + х = х}} -> {х + [z + (- z)\ = х). Т12 получаем из А5 посредством соответствующей подстановки. Т13. {х + [z + (- z)\ = [z + (- z)\ + х} и {[z + (— z)] + х = о:}. Т13 мы получаем из теоремы логики предложений р -> [q -> {р и q)] посредством подстановок р/Тб, g/Til и затем дважды применяем правило отделения. Т14. х + [z + (— z)]= х. Т14 мы получаем из Т12 и Т13 посредством правила отделения. Т15. {(х + z) + (-z)=x + [z + (- z))} и {х + [z + (— z)] = х} -> [(х + z) + (— z) ^= х]. Т15 мы получаем из А5 посредством соответствующих подстановок. 89
Т16, {(x + z) + (-z)=x + [z + (- z)]} и {x + [z + (— z)] = x). T16 мы получаем из теоремы логики предложений Р -> U -+ (Р и ?)] посредством подстановок р/Т4, д/Т14 и правила отделения, примененного дважды. Т17. (х + z) + (- z) = х. Т17 мы получаем из Т15 и Т16 посредством правила отделения. Т18. (у + z) + (- z) = у. Т18 получается из Т17 посредством подстановки xly. До этого времени мы использовали только одну очень простую теорему логики предложений, а теперь используем формулу: (р-> q)^ {[(q и г) ->- s] -> [р -> (г -> s)]}. Эта формула после сокращенной проверки оказывается теоремой. Поэтому подставим в неер/(у = х), q/(x = у), rl(y = z), s/(x = z). После такой подстановки условие формулы совпадает с А6. Применим правило отделения. Условие полученной формулы совпадает с А5. Снова применим правило отделения, получаем теорему: Т19. {у = х)-+[(у = z)-»(x = z)\. Т20. l(x + z) + (- z) = x] -> {[(x + z) + (- z) = = (y + z) + (- z)] -у [x = (y + z) + (-z)]}. T20 получается из Т19 посредством подстановок у/[(х + z) + (- z)], z/[(y + z) + (- z)]. T21. [(x + z)+(-z) = (y+ z)+(-z)]-> [x =(y + Z) + (-z)]. T21 получается из Т20 и Т17 посредством правила отделения. Т22. (х + z = у + z) -> [х = (у + z) + (- z)]. Т22 получаем из следующей теоремы логики предложений: (р -> q) -> [(q -> г) ->- (р ->- г)], подставляя р/[* + z = г/ + z], g/[(* + z) + (- z) = (г/ + z) +(- z)], r/[* = (г/ + z) + (- z)], и затем дважды применяя правило отделения сначала к ТЗ, затем к Т21. 90
Т23. [х = (у + z) + (- z) и (у + z) + (- z)=y\-> -> (x = у). T23 получается из А5 посредством подстановок: */*/, У1[{У + z) + {- z)\. Т24. [х = (у + z) + (- z)] -+{х = у). Т24 получается из теоремы логики предложений: Р ~^ {Ur u Р) ~^ Я.\ -> (г-> #)}. Эту формулу мы проверяем табличным методом, она оказывается теоремой (логики предложений). Подставим внеер/[(г/+ z) + (—z) = = У], Q/(x = У). rl[x = {У + z) + (— z)]. Полученная посредством подстановки теорема оказывается импликацией, условие которой является теоремой Т18. Применяя правило отделения, получим импликацию, у которой условие является теоремой Т23. Снова применяя правило отделения, получаем Т24. l(x + z) = (у + z)] + (х = у) — доказываемая нами теорема. Ее мы получим из теоремы логики предложений: (р -> q) -> [(q ->¦ г) ->- (р —.> г)] посредством подстановок р/(х + z = у + z), q/[x = = (у + z) + (— z)], r/(x = у) и посредством двукратного применения правила отделения: сначала к Т22, а затем к Т24. Само собой разумеется, что при изучении математики такие простые доказательства не проводятся так скрупулезно. Мы доверяемся логической интуиции, которая у математиков обычно выработана основательно. Доказательство высказанной теоремы вообще достаточно записать в следующей форме: 1. (х + z = у + z) -> [(х + z) + (- z) = (у + z) + + (- *)]; 2. (х + z) + (— z) = х + [z + (— z)\ = х + 0 = х; 3. (у + z) + (- z) = у + [z + (- z)] = у + 0 = у; 4. (х + z = у + z) -> х = у, поскольку законы замены равного равным считаются очевидными, равно как и законы логики предложений, необходимые для этого доказательства.Но при необходимости правильного проведения значительно более трудных математических доказательств зачастую приходится ссылаться да соответствующие законы логики. И все-таки для прове» 91
дения наиболеее трудных (сложных) математических доказательств одних только законов логики предложений совершенно недостаточно. При помощи одних только законов логики предложений даже в элементарной алгебре можно доказывать только очень простые теоремы. Например, всякое решение уравнений посредством формул, выражающих решения в радикалах, обычно выводится таким простым способом, что вывод можно проводить с помощью законов логики предложений. Так называемое решение уравнения первой степени, например, Ах — 20 = 0, является доказательством эквивалентности вида (4г — 20 = 0) = (х = 5). Решение же уравнения второй степени, например, х2 — 1х + 12 = 0, является доказательством эквивалентности: (х2 — 1х + 12 = 0) = (х = 3 или х = 4). Вообще же можно сказать, что вся математика в общих чертах, грубо говоря, имеет вид такой совокупности доказательств, с помощью которых из различных законов логики и математических аксиом выводятся различные конкретные теоремы. Поскольку вывод теорем из условий мы называем дедуктивным рассуждением (от латинского слова «deduco», означающего «вывожу» или «вытягиваю»), то науки, в которых такое рассуждение играет основную роль, мы называем дедуктивными науками. Алгебра, геометрия и все другие разделы математики являются, таким образом, дедуктивными науками. Мы можем поэтому вообще сказать, что логика применяется прежде всего* к построению рассуждений в дедуктивных науках. 7.2. Применение логика предложений в технике. В каждой области знания, когда из посылок выводятся какие-либо заключения, логика находит применение в качестве орудия, инструмента умозаключения. Существуют определенные разделы (отрасли) науки, в которых изумительно отчетливо проявляется применение логики, особенно такого узкого ее раздела, каким является логика предложений. Среди таких областей применения на первый план выдвигаются применения логики в теории и практике связи, к построению электрических устройств для сигнализации, что имеет неоценимое практическое значение. В подобных устройствах мы рассмотрим такое 92
A h Ч В —\ А в Рис. 1. применение логики, когда нас интересует только состояние электрических устройств со следующей точки зрения: проводят ли они в данный момент ток или же не проводят; точнее говоря: могут ли они проводить ток в данный момент при соединении этих устройств с источником тока или не могут. Итак, нас интересует, проводит ли устройство ток или же нет? Об устройстве, которое проводит электрический ток тогда и только тогда, когда как устройство А, так и устройство В проводят электрический ток, будем говорить, что оно реализует конъюнкцию устройств А и В. Таким устройством может быть в простейшем случае последовательное соединение устройств А и В (рис. 1). Поскольку при последовательном соединении ток может проходить по единственному пути через оба устройства, то он может протекать через последовательное соединение устройств А и В тогда и только тогда, когда он может протекать одновременно как через устройство А, так и через устройство В. Об устройстве, которое проводит электрический ток тогда, когда или устройство А проводит ток или устройство В проводит ток, говорят, что оно реализует дизъюнкцию устройств А и В. В простейшем случае таким устройством может быть параллельное соединение устройств А и В (рис. 2). В самом деле, в таком устройстве ток может протекать либо через устройство А, либо через устройство В, Школьные сведения из области учения об электричестве вполне достаточны, чтобы заключить, что последовательные я параллельные соединения в самом деле удовлетворяют тем условиям, о которых идет речь. Об устройстве, которое проводит ток тогда и только тогда, когда устройство А тока не проводит, будем говорить, что оно реализует отрицание устройства А. Обычно устрой- -^VA В Рис. 93
ства, реализующие отрицание, являются очень сложными по сравнению с теми, которые реализуют дизъюнкцию или конъюнкцию. Наиболее простым из сравнительно часто встречающихся такого рода устройств, могущих реализовать отрицание, является стенной контакт (переключатель) в горизонтальном и вертикальном положении (рис. 3). В горизонтальном положении контакт проводит ток в горизонтальном направлении, в вертикальном положении — в вертикальном направлении. Поскольку промежуточные положения можно рассматривать как не имеющие значения для наших рассуждений, то можно сказать, что наш оборотный контакт проводит ток в вертикальном направлении тогда и только тогда, когда он не проводит тока в горизонтальном, т. е. что этот контакт, как проводник в вертикальном направлении, является отрицанием контакта, проводящего в горизонталь- пом направлении, и наоборот. Таким же свойством обладают и другие передвижные контакты с двумя возможными положениями проводимости, например, в верхнем и нижнем положении; в верхнем положении они проводят ток между верхними зажимами, а в нижнем положении — между нижними зажимами (рис. 4). Рис 4. Такое устройство обладает тем свойством, что оно проводит ток между верхними зажимами тогда и только тогда, когда оно не проводит между нижними. Соединение верхних зажимов является отрицанием соединения нижних зажимов (и наоборот). С помощью логических союзов удается описать не только такие простые соединения, как только что описанные (здесь приведенные), а и другие, гораздо более слож- 94
ные. Например, пусть нам необходимо установить лампу в коридоре таким образом, чтобы ее можно было зажигать в одном конце коридора и гасить в другом, пройдя весь коридор. Тогда, если мы имеем в своем распоряжении провода, лампу, источник тока Е и два оборотных контакта, то мы можем это сделать. С этой целью мы можем так соединить между собой контакты, чтобы они проводили ток мер и не q Р"? I (g>——© (р и q) или(не ри не о) Рис. 5. тогда и только тогда, когда оба контакта находятся либо в горизонтальном положении, либо же в вертикальном (рис. 5). Обозначим через р протекание тока в горизонтальном направлении через левый контакт, а через q — протекание тока в горизонтальном же направлении через правый контакт. Тогда протекание тока в вертикальном направлении через каждый из контактов запишется соответственно в виде не р и не q, в соответствии с только что сказанным о реализации отрицания посредством контактов. Поскольку горизонтальные зажимы контактов соединены последовательно, то их соединение реализует их конъюнкцию р и q. Вертикальные зажимы контактов также соединены последовательно, поэтому их соединение реализует их конъюнкцию (не р) и (не q). Поскольку же путь через горизонтальные зажимы контактов соединен параллельно пути через вертикальные зажимы контактов, то общее соединение обоих контактов реализует дизъюнкцию (А) (р и q) или [(не р) и (не q)]. 95 &
Легко убедиться, что здесь выполняется эквивалентность [(р и q) или ((не р) и (не q))] = (р = q). Ввиду этой эквивалентности можно сказать, что выражение (А) эквивалентно выражению р = q. Следовательно, такое соединение контактов реализует логическую эквивалентность. Таким образом мы можем представить нашу установку так, что она проводит ток всегда, когда истинной является эквивалентность, утверждающая, что левый контакт проводит ток в горизонтальном направлении тогда и только тогда, когда правый контакт проводит ток в горизонтальном же направлении. Такое описание нашей установки по существу соответствует ее схеме. Как видно из приведенных примеров, определенные достаточно важные свойства электрических устройств удается описать с помощью логических союзов. Эта возможность используется в технике при проектировании современных электрических устройств 1). 7.3. Замечания о применении логики предложений к гуманитарным наукам. В гуманитарных науках, как правило, нет сложных и пространных доказательств дедуктивного характера. Обычно дедуктивные фрагменты, встречающиеся в гуманитарных науках, более кратки и легки в сравнении с математическими рассуждениями и выводами, встречающимися в физико-математических науках. Следовательно, обычно для проведения дедуктивных рассуждений в гуманитарных науках достаточно бывает логической интуиции. Поэтому в этих науках обычно не существует ссылок в рассуждениях на некоторые логические теоремы в такой степени, как это необходимо в математических науках. Но для занимающихся гуманитарными науками изучение логики предложений совершенно необходимо в целях выработки тех элементарных логических навыков, которые неизбежны при проведении дедуктивных рассуждений. Прежде всего изучение логики предложений позволяет более глубоко понять значение логических союзов между предложениями, благодаря чему вырабатывается надлежащая точность в их использовании. *) Желающих подробно ознакомиться с применением математической логики в теории релейно-контактных схем и в современной вычислительной технике мы отсылаем к многочисленной литературе по этим вопросам. См., например, А. И. К и т о в и Н. А. К р и- н и ц к и й, Электронные цифровые машины и программирование, Физматгпз, 1961. (Прим. ред.) 96
Тот, кто логически менее подготовлен, обычно совершает больше ошибок в самостоятельном мышлении и в умозаключениях, нежели тот, кто получил в логике достаточную тренировку. В целях выработки логической интуиции очень помогают логические упражнения, например, следующего типа: 1. Анализ рассуждений, которые представляются нам ошибочными, и нахождение скрытых ошибок в таких рассуждениях, если они есть. 2. Анализ правильных рассуждений и поиски логических схем, благодаря которым становится возможным проведение рассуждений такого рода. Мы займемся такими упражнениями, но только очень немного. Эти операции имеют характер не только упражнений; они являются важной основной частью научной работы, где требуется анализ какого-либо рассуждения с точки зрения его правильности; там логика зачастую находит самое непосредственное применение г). 7.4. Обнаружение ошибок в умозаключениях. Формулы логики предложений помогают как при выявлении ошибок в умозаключении, так и при локализации ошибки, т. е. при нахождении того места, где заключена ошибка. Умозаключение является ошибочным, если из правильных (истинных) посылок мы получаем ложные выводы. Поэтому когда какое-либо рассуждение кажется нам сомнительным, необходимо обратить внимание прежде всего на то, являются ли истинными посылки (условия) умозаключения, т. е. описывают ли они действительное положение вещей. Если посылки правильны, то наступает очередь разобрать сами выводы, соответствуют ли они действительности. Часто бывает так, что выводы не являются явно ложными, но кажутся нам сомнительными. Тогда надо попробовать сделать из них дальнейшие выводы такого рода, чтобы их ложность была бы очевидной. Явно ложные выводы часто называются нелепыми, вздорными, абсурдными, поэтому такой метод рассуждения, который х) Автор слишком сужает возможности применения логики к гуманитарным наукам. За последнее время в целом ряде гуманитарных наук возникли области, где необходимо применение математических методов и, в частности, математической логики. К таким областям относятся, например, математическая лингвистика и особенно математическая экономика, которые в настоящее время бурно развиваются. (Прим. ред.) 97
основан на выводе из сомнительных выводов дальнейших выводов, ложность которых очевидна, носит зачастую название приведения к абсурду. Если мы в итоге получаем явно ложные выводы, то это означает, что в исходном рассуждении заключалась ошибка. Здесь следует обратить внимание на то, что, как нам кажется, даже в обиходных рассуждениях большинство ошибок получается потому, что в ходе рассуждения применяется такая формула или такая схема умозаключения, которая не является ни логическим законом, ни правилом логики, ни теоремой логики. Именно, большинство ошибок происходит из-за недостаточной точности высказываний, из-за неясности понятий, из-за неточности в процессе мышления и им подобной беспечности в формулировке мыслей. Если сделана логическая ошибка, то вскрыть ее очень легко, просто проверяя каждый шаг умозаключения, ставя каждый раз вопросы: можно ли его обосновать с помощью какого-либо закона логики. Можно быть уверенным, что ошибка встречается на том этапе рассуждения, на котором невозможно найти такой закон логики, применение которого давало бы соответствующий желаемый вывод. Но часто случается и так, что все шаги рассуждения удалось обосновать соответствующими законами логики, и все же конечный вывод оказывается явно ложным. В таком случае причину ошибки следует искать в неясности, неточности, неосновательности высказываний. Рассмотрим некоторые примеры. Известно, что если кто-либо занимается математикой, то он приобретает своего рода «логическую сноровку». Это мы можем разобрать на примере с Яном, если мы признаем следующие высказывания как вообще истинные. Допустим, что нами установлено, что Ян имеет хорошую логическую подготовку, и мы заключаем отсюда, что Ян является математиком. Но при более близком рассмотрении дела оказалось, что Ян является химиком. Заключая о том, что Ян является математиком, мы, конечно, в рассуждении допустили какую-то ошибку. Легко выяснить, какую. Для этого надо только отчетливо записать все посылки нашего рассуждения. Признавая общие результаты наблюдений, что каждый, являющийся математиком, имеет хорошую логическую подготовку, мы признаем следующую импликацию: (А) Если Ян — математик, то Ян имеет хорошую логическую подготовку. 98
Следующая посылка, получаемая нами из общения с Яном, гласит: (Б) Ян имеет хорошую логическую подготовку. Из этих двух посылок мы делаем вывод, что (В) Ян является математиком. Этот вывод оказался ложным. В самом деле, посмотрим, какая логическая формула могла бы привести нас к получению такого вывода из имеющихся у нас посылок? Предложения (Б) и (В) являются соответственно условием и заключением импликации, образующей посылку (А). Получить предложение (В) из предложений (А) и (Б) можно было бы, например, с помощью формулы (Р -> Я) -> (9 -> Р), (*) подставляя в нее вместо переменной q предложение (Б), а вместо переменной р — предложение (В); сначала применяя правило отделения к формуле (*) и предложению (А), а затем к полученной формуле и предложению (Б), мы в конце концов получим предложение (В). Но эта формула при табличной проверке оказывается ложной, не являющейся теоремой логики. Поэтому если бы мы использовали эту формулу, то совершили бы ошибку именно в этом месте рассуждения. Действительно, оказывается, что, если бы мы захотели использовать какую- либо формулу, то либо такая формула окажется ложной, либо же, если такая формула является теоремой логики, то при ее помощи невозможно получить предложение (В) из предложений (А) и (Б). На этом примере мы видим, что из истинности заключения истинной импликации невозможно утверждать об истинности ее условия. Но логически неподготовленные эту ошибку совершают часто. Каждому, кто немного логически подготовлен, интуиция сразу же подсказывает, что хотя все математики логически подготовлены, но из этого не следует, что только математики имеют хорошую логическую подготовку, поскольку может оказаться кто-либо, не являющийся математиком, но хорошо подготовленный логически. Итак, невозможно делать о ком бы то ни было вывод, что если он логически подготовлен, то он непременно уже по одному этому является математиком. 99
В этом примере ошибка заключается в применении недопустимого способа умозаключения-. Как уже сказано, более значительная часть более грубых ошибок в умозаключениях возникает по причине неточности, допускаемой в формулировках. Приведем пример рассуждения, в котором применяется определенный закон логики предложений на первый взгляд правильно, но тем не менее вывод оказывается явно ложным, поскольку в самих простых предложениях, входящих в состав умозаключения, содержатся определенные неточности. Пусть две посылки умозаключения имеют следующий вид: (A) Если я называю тебя буйным человеком, то я называю тебя человеком, (Б) Если я называю тебя человеком, то я говорю правду. Из этих двух посылок мы сделаем вывод: (B) Если я называю тебя буйным человеком, то я говорю правду. При помощи этого «умозаключения» можно «доказать», что называть кого бы то ни было буйным человеком мы всегда имеем основание, поскольку «мы говорим правду». Тем не менее на свете живут не только буйные люди, поэтому вывод (В) здесь является ложным. Рассмотрим, какая схема рассуждения приводит к такому выводу. Предложения (А) и (Б) являются импликациями, причем заключение импликации (А) совпадает с условием импликации (Б). В таких случаях подходит формула импля- кативного (условного) силлогизма (р -> q) ~* [(q -> r)-»(p-* г)]. После сокращенного испытания эта формула оказывается теоремой предложений. В нее можно вместо р подставить предложение «Я называю тебя буйным человеком», вместо q — предложение «Я называю тебя человеком», вместо г — предложение «Я говорю правду». Тогда условие этой формулы отождествляется с посылкой (А) и мы можем применить правило отделения. Останется заключение, являющееся импликацией, условие которой является посылкой (Б). Можем вторично применить пра- 100
вило отделения и тогда мы получим заключение (В). Следовательно, вывод (В) следует из посылок (А) и (Б) совершенно закономерно из определенной теоремы логики предложений. Сами посылки также представляются истинными предложениями. Где же заключается ошибка? Оказывается, что ошибка кроется в недомолвке, заключающейся в выражении: «Я говорю правду». Это выражение имеет смысл только по отношению к определенному высказыванию. Если мы говорим, что кто-либо говорит правду, то это вообще означает, что он говорит правду в данный момент, т. е. в данный момент он высказывает истинное предложение. Предложение (Б) следовало бы более точно высказать в таком виде: (Б) Если я называю тебя человеком, то я говорю правду, называя тебя человеком. Тогда уже не удастся получить парадоксального вывода (В). В самом деле, можно говорить правду, называя кого-нибудь человеком, но не иметь оснований мгновение спустя назвать его же буйным человеком. Причина ошибки в приведенном рассуждении заключалась, следовательно, в том, что была допущена слишком упрощенная формулировка заключения импликации (Б). Предложение «Я говорю правду», используемое в обыденной речи, обычно представляет собой такую упрощенную формулировку (упрощенный оборот). Эту формулировку следует понимать таким образом: если я хочу сказать, что теперь я говорю правду, то мне следует сказать, что я говорю правду, высказывая именно то предложение, которое я только что сформулировал. Это все само собой разумеется и нет никакой потребности в повседневной жизни непрерывно делать такую оговорку. Наоборот, в повседневной жизни часто бывает очень желательно выражать мысли как можно короче, сокращенно. Но в тех случаях, когда мы выражаемся слишком кратко, мы можем впадать в ошибки только что указанного типа. Желание выражать мысли как можно короче, опуская многое, само собой разумеющееся, ведет не только к высказыванию неясных мыслей, но также и к построению предложений, лишенных отдельных составных частей простого предложения, и, следовательно, к построению предложений с двусмысленным подлежащим, двусмысленным сказуемым, двусмысленными дополнениями и т. п., 101
яли же к замене отдельных частей предложения соответствующими местоимениями. Чтобы простое предложение, описывающее некоторое происшествие, давало нам достаточную информацию об этом происшествии, это предложение должно содержать прежде всего дополнение, указывающее на время происшествия. Однако же время определенного происшествия, являющегося предметом некоторого разговора, обычно всем (участникам разговора) известно и о нем вовсе не требуется информация в каждом предложении. Зто же относится зачастую и к подлежащему, обстоятельству места и т. д. Можно привести множество примеров на правильное применение законов логики с допущением ошибок только потому, что допущены были слишком краткие выражения. Допустим, что дядя мне обещал, что если я навещу его в Щецине1), то он подарит мне велосипед, а я вовсе не хочу иметь велосипед, но хочу иметь байдарку. Поэтому я про себя рассуждаю: (а) Если (я получу велосипед), то (я продам его и куплю себе байдарку). Я это предложение считаю истинным, поскольку оно является высказыванием моего решения. Я признаю также и следующее предложение: (Р) Если (я навещу дядю), то (я получу велосипед) на основании обещания дяди. Если к предложениям (ос) и (Р) совершенно механически применить законы логики, то в соответствии с той самой теоремой логики, которая была использована в предыдущем примере, гласящей, что импликация обладает свойством транзитивности, я имел бы право в качестве вывода из предложений (а) и (р) признать предложение, являющееся импликацией, у которой условием является условие предложения (Р), а заключением — заключение предложения (а), т. е. предложение (у) Если (я навещу дядю), то (я продам его и куплю себе байдарку). Местоимение «его», входящее в заключение предложения (ос), означает велосипед, упоминаемый в условии *) Щецин — крупный портовый город на берегу Балтийского моря. (Прим. ред.) 102
предложения (ос). Нов предложении (f), рассматриваемом отдельно, это местоимение может обозначать только дядю. Поэтому предложение (f) является ложным, поскольку я не могу продавать дядю, но могу навестить и навещу его. Если бы мы вместо предложения «я продам его и куплю себе байдарку», содержащего слово «его», подставили в заключение предложения (ее) предложение: «Я продам велосипед и куплю себе байдарку», то тогда заключение было бы следующим: Если (я навещу дядю), то (я продам велосипед и куплю себе байдарку), и это заключение уже не было бы ложным, оно было бы истинным. Можно привести сколько угодно примеров правильного рассуждения с помощью законов логики, но приводящих к ошибочным выводам по причине слишком вольного употребления выражений: «тогда», «там», «ему» и т. д. Но не только указательные местоимения, вроде «его», «ему» и т. д., не только такие выражения, как «тогда», «там», «поэтому», но и такие, казалось бы, точные выражения, как «имею основание», «говорю правду», могут оказаться причиной получения ошибочных выводов при правильном применении теорем и правил логики. Некоторые из приведенных нами выражений, как и множество других подобного рода, называются относительными («релятивными»), другие — окказиональными («случайными»). Эти названия означают, что сами по себе такие выражения не высказывают точного положения вещей или явлений, о которых идет речь, но они либо их точно определяют (характеризуют) только вместе с другими частями того же самого сложного предложения («относительные»), или же только указывают на тот предмет, притом единственный, о котором идет речь, когда они применены в определенной ситуации («случайные»). Относительными являются очень многие существительные, например, такого рода существительным является слово «отец». Во многих предложениях, имея в виду конкретного (например, нашего) отца, мы кратко употребляем слово «отец» вместо того, чтобы сказать «мой отец». Итак, относительных слов и выражений существует очень много. 103
Многочисленные опасности ошибок подстерегают каждого, кто не уточняет формулировок своих мыслей, но рассмотрение таких ошибок заняло бы слишком много места, поэтому нам следует отложить эти вопросы до особого их рассмотрения. Сейчас же мы придем к выводу, что во всех важных вопросах, касающихся наших принципиальных убеждений или оценок людей и вещей, а также там, где мы хотим применять законы логики, мы должны будем выражаться по возможности точнее. Поэтому мы должны прежде всего точно определить то, к кому мы относим каждое наше утверждение или по отношению к какой вещи мы это делаем, чтобы такое наше определение точно указывало на тот предмет или на то лицо, а может быть, и на то множество предметов или лиц, о которых идет речь. Затем мы должны сосредоточить на этом лице, этих лицах, предметах, предмете все наше внимание в отношении того, к какому времени, какому месту, к каким обстоятельствам относятся наши суждения о них. Не следует бояться излишеств в уточнениях. Только после того как мы точно определим объем наших рассуждений, мы можем быть уверенными, что ни в каком месте мы не окажемся неправильно понятыми и что логическое рассуждение не приведет нас к неправильным выводам. 7.5. Анализ правильных выводов. Табличный метод проверки логических формул дал в наше распоряжение бесконечное множество логических теорем. Эти теоремы, как необходимый научный инструмент, находят применение в математике. В других науках ученые довольствуются обоснованием своих рассуждений с помощью интуиции, неосознанно применяя при этом различные логические законы. Если интуиция «хорошо выработана», она обычно «действует безотказно». Но следует уметь проверять результаты собственной интуиции, интуитивные умозаключения с помощью законов логики. Кроме того, знакомство с законами логики и применение их вырабатывает в нас саму логическую интуицию и благодаря этому делает правильными, законными наши интуитивные умозаключения. Поэтому, чтобы правильно рассуждать, следует вскрывать те законы логики, которые мы бессознательно используем, и использовать их надо уже сознательно 104
в различных умозаключениях. Кроме того, законы логики вынуждают нас вникать в существо всех посылок и анализировать их. Чтобы иметь возможность поупражняться в анализе умозаключений, мы сейчас проанализируем одно умозаключение, называемое антиномией крокодила (или сфинкса). Когда крокодил похитил ребенка одной египтянки и та попросила его не есть ребенка, а вернуть его ей, то крокодил ответил: «Я верну тебе ребенка, а не съем его, тогда и только тогда, когда ты отгадаешь, что я с ним сделаю, съем его или не съем?». На это египтянка ответила: «Страшный крокодил, конечно, не отдашь ты мне ребенка, а съешь его». Спрашивается, как должен поступить крокодил, чтобы выполнить свое решение? Иначе говоря, в каком случае крокодил поступит пунктуально (в соответствии с обещанием)? Рассуждая обычным образом, каждый будет рассуждать так: если крокодил съест ребенка, то, значит, египтянка угадала, поэтому согласно своему обещанию крокодил обязан вернуть ребенка; если же крокодил вернет ребенка, а не съест, то это будет означать, что женщина не угадала, а поэтому крокодил должен съесть ребенка в силу своего обещания. Следовательно, как бы ни поступил крокодил, он непременно нарушит свое обещание. Проанализируем это умозаключение. Сначала мы ограничим простые предложения, которыми будем пользоваться, тем, что сведем все возможности к четырем предложениям: «съест», «угадала», «должен съесть», «должен вернуть». Хотя эти предложения сформулированы очень кратко, все же не может быть опасения, что они могут привести к недоразумениям. Далее мы сформулируем посылки, которые должен признать каждый, кто оценивает действия крокодила. Прежде всего, обещание крокодила будет выглядеть следующим образом: 1. Должен вернуть тогда и только тогда, когда угадает. Должен вернуть = угадала. 2. Должен (обязался) съесть тогда и только тогда, когда не угадала. Должен съесть = не угадала. Затем, из ответа египтянки вытекают посылки: 3. Если съест, то угадала. Съест —i> угадала. 105
4. Если не съест, то не угадала. Не съест —> не угадала. Наконец, желая оценить действия крокодила, поступил ли он в точном соответствии со своим обещанием (кратко: «поступил точно»), мы соглашаемся, что: 5. Если должен вернуть, но съест, то поступит неточно. (Должен вернуть и съест)—> [не (поступит точно)]. 6. Если обязался съесть, но не съест, то не поступит точно. [Должен съесть и не (съест)] —> [не (поступит точно)]. Затем при анализе обычного рассуждения мы видим, что в нем сначала используются посылки Зи1. Поскольку посылка 3 является импликацией, а посылка 1— эквивалентностью, то естественно допустить, что нам пригодится формула: (а) (р -> q) -> [(г = q) -> (р -> г)]. Проверяем эту формулу сокращенным методом. Оказывается, она могла бы быть ложной только при р = 1, г = 0, q = О, но в этом случае она оказывается истинной, поэтому она является законом логики, и мы можем ее использовать. Подставим в нее: р/съест, g/угадала, г/должен вернуть. Тогда мы получим: 7. (Съест —> угадала) —> [(должен вернуть = угадала) -> (съест —» должен вернуть)]. Затем мы получим предложения: 8. (Должен вернуть = угадала) —> (съест —> должен вернуть). (Образуется из посылок 7 и 3 посредством правила отделения.) 9. Съест —> должен вернуть. (Образуется из посылок 8 и 1 посредством правила отделения.) Теперь нам представляется, что надо использовать посылку 5 и предложение 9. Для этого пригодилась бы формула: (Р) {Р -> Я) —> {[(? и р) -* не г] -> (р ^ не г)}. 106
Проверим эту формулу сокращенно. Оказывается, что она является теоремой логики, поэтому мы ее используем, подставляя в нее р/съест, g/должен вернуть, г/поступит точно. Мы получим сложное предложение: 10. (Съест -» должен вернуть) —> {[(должен вернуть и съест) —>не (поступит тояно)]-> [съест —> не (поступит точно)]}. И. [(Должен вернуть и съест) —> не (поступит точно) ] —> —>[съест —> не (поступит точно)]. (Образуется из посылок 10 и 9 посредством правила отделения.) 12. Съест -> не (поступит точно). (Образуется из посылок И и 5 посредством правила отделения.) Рассмотрим второй случай, когда крокодил не съест ребенка. Мы предполагаем, что, рассуждая аналогичным образом, мы можем попробовать применить ту же самую теорему логики. Поэтому подставим в теорему (а): р/яе съест, g/не угадала, г/должен съесть. 13. (Не съест -» не угадала) —> [(должен съесть = не угадала) —> (не съест —> должен съесть)]. (Предложение 13 образуется из (а) путем приведенной подстановки.) 14. (Должен съесть = не угадала) —> (не съест —> должен съесть). (Образуется из посылок 13 и4по правилу отделения.) 15. Не съест -> должен съесть. (Из посылок 14 и 2 по правилу отделения.) Затем по аналогии можно применить закон ((3): 16. (не съест-> должен съесть) —> {[(должен съесть и не съест) —> не (поступит точно)] —> [не съест —> —> не (поступит точно)]}. (Из закона (Р) путем подстановок: р/не съест, д/должен съесть, г/поступит точно.) 107
17. [(Должен съесть и не съест) —> не (поступит точно)] —> [не съест —> не (поступит точно)]. (Из посылок 15 и 16 по правилу отделения.) 18. Не съест —> не (поступит точно). (Из посылок 17 и 6 по правилу отделения.) Сравнивая выводы 12 и 18, мы заключаем, что нам может пригодиться формула: (Г) {{р -> г) и [(не р) -> г]} --* г. После проверки сокращенным способом оказывается, что она истинна даже тогда, когда имеется возможность ей быть ложной, следовательно, она теорема логики. 19. {[Съест —> не (поступит точно]) и [не съест —> не (поступит точно)]} —> не (поступит точно). Получается из (у) подстановками: р/съест, г/не поступит точно. Ио, чтобы можно было применить правило отделения, надо предложения 12 и 18 объединить в их конъюнкцию. Вспомним, что для этого служит закон: (6) р -> [д-* (р и q)]. 20. [Съест —> не (поступит точно)] —» {[не съест —> не (поступит точно)] —> {[съест —> не (поступит точно)] и [не съест —> не (поступит точно)]}}. (Из закона (6) путем подстановок: р/предложение 12, ^/предложение 18.) 21. [Не съест —=> не (поступит точно)] -> {[съест -> не (поступит точно)] и [не съест —;> не (поступит точ- но)]}. (Из предложений 20 и 12 по правилу отделения.ч 22. [Съест —> не (поступит точно)] и [не съест —> не (поступит точно)]. (Из предложений 21 и 18 по правилу отделения.) 23. Не (поступит точно). (Из предложений 19 и 22 по правилу отделения.) 108
Итак, мы получили вывод, находящийся в строгом согласии с интуитивным рассуждением, именно, что крокодил ни в каком случае не поступит в точном соответствии со своим обещанием, т. е. поступить в точном соответствии с его обещанием вообще невозможно. Поэтому оказывается, что иногда можно вынести такое неосмотрительное решение, что его выполнение может оказаться логически невозможным. Анализ антиномии крокодила нам показал, что то интуитивное рассуждение, которое мы перед этим анализом провели по отношению к этой же антиномии, было правильным. Но зачастую логический анализ вскрывает нам ошибочность некоторых умозаключений, ложность посылок или их недостаточность. Это происходит потому, что часто только тогда, когда мы начнем проводить логический анализ рассуждения, мы тщательно вникаем в суть всех тех посылок, которые должны играть роль в рассуждении. По этим соображениям следует анализировать всякое рассуждение. Это следует делать подобно тому, как мы анализировали рассуждения крокодила: 1. Прежде всего записать все рассуждение таким образом, как оно нам предложено, стараясь позаботиться только о его ясности. 2. Затем выделить несколько простых предложений, при помощи которых можно было бы вывести достаточное количество посылок умозаключения. 3. Как посылки, так и вывод представить в виде связей между соответствующими простыми предложениями, т. е. в форме дизъюнкций, импликаций, отрицаний и т. д. этих простых предложений. 4. Найти логическую формулу, которая была бы законом логики и позволила бы переходить от посылок к выводам. 5. Проверить эту формулу и, если она окажется теоремой логики, то на ее основе провести все доказательство. 6. Сравнить полученное строгое доказательство с интуитивным рассуждением, получили ли мы в строгом доказательстве желаемое уточнение нашего рассуждения или же какого другого рассуждения, что также может оказаться. С этой целью стоит еще раз остановиться на содержании точно сформулированных посылок. 109
УПРАЖНЕНИЯ t. Из приведенных в начале этого параграфа алгебраических положений вывести теоремы: - [-(а)] = а, _ (а + &) = (- а) + (-&), и записать точные доказательства этих теорем. 2. Исследуйте следующий пример. В комнате было темно, на столе лежало пять шляп: две белые и три черные. Трое вошли в комнату, каждый в темноте одел какую-то шляпу, очевидно, не зная какую, и все поочередно вышли, причем ни один из них не оглядывался назад. Шли друг за другом и ни один не видел, какая на нем самом шляпа. Итак, каждый видел только шляпу впереди идущего, т. е. первый не видел никакой шляпы, второй видел только шляпу первого, а третий — шляпу первого и шляпу второго. При этом шествии первый спрашивает третьего: «Какая на вас шляпа?» Третий, посмотрев на шляпы первого и второго, отвечает после некоторого раздумья: «Не знаю, какая на мне шляпа». Затем первый спрашивает второго: «Какая на вас шляпа?» Второй, посмотрев на шляпу первого и подумав об ответе третьего, мысленно стараясь восстановить ход мыслей третьего, ответил: «Не знаю, какая на мне шляпа». Тогда первый, принимая во внимание ответы третьего и второго, а также стараясь представить ход их рассуждений, отвечает: «А я знаю, какая на мне шляпа». Догадайтесь, какая шляпа была на первом и путем какого рассуждения он пришел к той мысли, что на нем именно такая шляпа? Указание. Поочередно рассмотрите, как должен был рассуждать третий, поскольку он дал такой ответ, который соответствовал тому, что он мог видеть, затем как рассуждал второй, о котором мы полагаем, что он догадался о ходе рассуждений третьего и принял во внимание то, что он мог видеть. Наконец, разберите, как рассуждал первый. Полагаем, что каждый рассуждал правильно. Выпишите все посылки их рассуждений и найдите законы логики, которыми наши участники задачи должны были руководствоваться. Выпишите посылки, пользуясь, например, следующими простыми предложениями: «На первом белая», «На втором белая», «На третьем белая», «На третьем черная» и т. д., «Второй видит, что на первом белая», «Третий видит, что нэ первом черная» и т. д., «Второй знает, какая на нем», «Третий знает, какая на нем». Посылками могут быть, например, предложения: «(На первом белая) или (на первом черная)» или же «(На первом белая) — (третий видит, что на первом белая)», а также «[(На первом белая) и (на третьем белая)] —> (на втором черная)», поскольку белых только две. Сначала запишите самые очевидные посылки. В качестве образца пользуйтесь логическим анализом антиномии крокодила. 110
3. Припомните, запишите и исследуйте таким же способом какое-либо умозаключение, применявшееся вами в шахматах, домино, жизни. 4. Составьте аналогичную задачу с четырьмя действующими лицами. В каких случаях первое действующее лицо может решить задачу? Логика предложений представляет собой самый основной, но не единственный и не сложнейший раздел формальной логики. Для проведения большинства математических доказательств одной только логики предложений недостаточно, необходим и второй основной раздел логики, логика кванторов (или логика предикатов). Для ее изучения читатель должен будет прибегнуть к другим пособиям и учебникам г). х) См. литературу, указанную в конце § 1.
Анджей Гжегорчип ПОПУЛЯРНАЯ ЛОГИКА М 1979 г., 112 стр. с илл. Редактор В. В. Допчеппо Техн редактор А. П. Колесникова Корректор Н. Б. Румянг^еяа ИБ № 11408 Печать с матриц. Подписано к печати 14.08 79. Бумага 84ХЮ81/з2. Тип. № 1. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 5,88. Уч.-изд л. 5,17 Тираж 200 000 экз. Заказ 105. Цена книги 25 коп. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва В-71, Ленинский проспект, 15 Отпечатано с матриц 2-й типографии издательства «Наука» на ордена Трудового Красного Знамени фабрике «Детская книга» № 1. Москва, Сущевский вал, 49.