т
А.Л.Гольденвейзер Пеория упругих тонких оболочек
А.Л Гольденвейзер


A. Jl. Гольденвейзер
Теория упругих тонких оболочек
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Ш
ИЗДАТЕЛЬСТВО НАУКА ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1976


531 Г. 63
УДК 531
Теория упругих тонких оболочек, А. Л. Гольденвейзер, Главная редакция физико-математической литературы изд-ва Наука, 1976 г., стр. 512.
В книге со всей разумной полнотой и строгостью рассматривается линейная статика тонкой упругой однородной изотропной оболочки. Выводятся общие уравнения теории, обсуждаются возможные приближенные методы их решения, исследуются краевые задачи, возникающие в процессе приближенного расчета оболочек.
Проводится качественное исследование свойств напряженно- деформированного состояния оболочки в зависимости от условий закрепления ее краев и знака кривизны срединной поверхности. Большое внимание уделено обоснованию теории оболочек, оценке ее погрешностей и обсуждению путей уточнения.
В приложении излагаются некоторые положения теории асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных, в том виде, в котором эту теорию удобнее всего использовать для расчета оболочек.
Алексей Львович Гольденвейзер ТЕОРИЯ УПРУГИХ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК М., 1976 г., 512 стр. с илл.
Редактор В. А. Брострем
Техн. редактор Н. Я- Мурашова Корректор О. А. Бутусова
Сдано в набор 1911 1976 г. Подписано к печати 11Х1 1976 г. Формат бумаги 70xl081ie Физ. печ. л. 32. Уел. печ. л. 44,8. Уч.-изд. л. 45,3.
Тираж 6000 экз. Т-20323. Цена Зр 22 к. Заказ № 881.
Издательство Наука»
Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано с матриц Ленинградской типографии № 6 в Московской типографии № 7 Искра революции Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, Трехпрудный пер., 9,
Зак. 01620
20304—149 Г 053 02-76 143’76
© Главная редакция
физико-математической литературы издательства Наука, 1976


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 9
ЧАСТЬ 1
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК
Глава 1. Сведения из теории поверхностей 12
§ 1. Криволинейные координаты на поверхности и первая квадратичная форма 12
§ 2. Основной триэдр поверхности 14
§ 3. Деривационные формулы Гаусса—Вейнгартена. Уравнения Кодацци—Гаусса 15
§ 4. Вторая квадратичная форма поверхности и индикатриса Дюпена 17
§ 5. Сопряженные линии, линии кривизны, асимптотические линии 19
§ 6. Дифференцирование вектора, заданного на поверхности 21
§ 7. Гауссова кривизна и изгибание поверхностей 22
§ 8. Криволинейные координаты в пространстве 22
Глава 2. Трехмерные уравнения теории упругости. Сведение к двумерным уравнениям 25
§ 9. Уравнения теории упругости в триортогональной системе координат 25
§ 10. Гипотезы теории оболочек 26
§ 11. Компбненты деформации трехмерной среды 27
§ 12. Обобщенный закон Гука 29
§ 13. Первое осредненное уравнение равновесия теории упругости 30
§ 14. Второе осредненное уравнение равновесия теории упругости 32
§ 15. Полная двумерная система дифференциальных уравнений теории оболочек 34
§ 16. Напряженно-деформированное состояние упругой среды оболочки 35
Глава 3. Статика теории оболочек 37
§ 17- Усилия и моменты 37
§ 18. Векторы внешних сил и внешних моментов 39
§ 19. Уравнения равновесия теории оболочек 40
§ 20. Усилия и моменты на косых сечениях 43
§ 21. Функции напряжения 44
Глава 4. Геометрия теории оболочек 47
§ 22. Векторы упругого перемещения и упругого вращения срединной поверхности 47
■§ 23. Компоненты тангенциальной деформации срединной поверхности оболочки 50
§ 24. Компоненты изгибной деформации срединной поверхности 51
§ 25. Производные от векторов упругого перемещения и упругого вращения 52
§ 26. Выражение компонент деформации и углов поворота через перемещения 53
§ 27. Определение перемещений по заданным компонентам деформации. Уравнения неразрывности деформаций 54
Глава 5. Уравнения состояния. Общие вопросы 58
§ 28. Уравнения состояния соотношения упругости 58
§ 29. Дополнительное уравнение статики и шестое уравнение равновесия 60
§ 30. Работа сил трехмерной упругой среды оболочки 61
§ 31. Энергия деформации 64
§ 32. Общие теоремы теории оболочек 67
§ 33. Граничные условия 70
§ 34. Основные уравнения и формулы теории оболочек 73
§ 35. Полная система уравнений теории оболочек 74
§ 36. Статико-геометрическая аналогия 75
1*


4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 6. Тензорные уравнения теории оболочек 79
§ 37. Тензорная символика 79
§ 38. Тензоры срединной поверхности 80
§ 39. Тензоры усилий и моментов 80
§ 40. Тензоры деформаций, перемещений и углов поворота 83
§ 41. Статические и геометрические соотношения теории оболочек в скалярной
форме 84
§ 42. Уравнения состояния соотношения упругости 85
§ 43. Преобразование тензорных уравнений 86
§ 44. Уравнения общей теории оболочек в произвольной ортогональной системе
координат 91
ЧАСТЬ II
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК
Глава 7. Безмоментная теория 97
§ 1. Основное напряженное состояние 97
§ 2. Безмоментное напряженное состояние 99
§ 3. Чисто моментное напряженное состояние. Безмоментная теория оболочек 101
§ 4. Статические уравнения безмоментной теории ' 104
§ 5. Геометрические уравнения безмоментной теории 107
§ 6. Головная система уравнений безмоментной теории 108
§ 7. Статическая и геометрическая краевые задачи безмоментной теории 109
§ 8. Полная краевая задача безмоментной теории 111
Глава 8. Теория простого краевого эффекта 113
§ 9. Исходные предположения теории простого краевого эффекта 113
§ 10. Разрешающее уравнение теории простого краевого эффекта 114
§ 11. Расчетные формулы 116
§ 12. Интегрирование разрешающего уравнения 119
Глава 9. Метод расчленения 124
§ 13. Область применимости метода расчленения напряженного состояния 124
§ 14. Схема применения метода расчленения 126
§ 15. Краевой эффект вблизи заделанного края 128
§ 16. Краевой эффект вблизи шарнирно опертого края 130
§ 17. Краевой эффект на свободном крае оболочки 131
§ 18. Краевой эффект у внутренней линии искажения напряженного состояния 133
§ 19. Заключительные замечания 135
Глава 10. Пологие оболочки. Напряженные состояния с большой изменяемостью 137
§ 20. Вырождение оболочки в пластинку 137
§ 21. Пологие поверхности и почти плоские системы координат 137
§ 22. Приближенная теория пологих оболочек 141
§ 23. Свойства разрешающих уравнений теории пологих оболочек 144
§ 24. Приближенная теория напряженных состояний с большой изменяемостью 146
Глава 11. Оболочки с асимптотическими линиями искажения 149
§ 25. Обобщенные краевые эффекты 149
§ 26. Свойства простых и вырожденных краевых эффектов 152
§ 27. Обобщение метода расчленения 154
§ 28. Поверхности нулевой гауссовой кривизны 155
§ 29. Приближенные методы расчета цилиндрических оболочек 158
Глава 12. Обзор приближенных методов расчета оболочек 162
§ 30. Границы применимости приближенных методов расчета оболочек 162
§ 31. Приближенные методы расчета цилиндрических оболочек 168
§ 32. Область применимости приближенных уравнений В. 3. Власова 172
ЧАСТЬ III
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ
Глава 13. Методы построения интегралов безмоментных уравнений 175
§ 1. Общий интеграл полной системы безмоментных уравнений оболочек нулевой
кривизны 175
§ 2. Преобразование безмоментных уравнений сферической оболочки 178
§ 3. Интегрирование уравнений безмоментной теории сферических оболочек 180


ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 4. Применение теории аналитических функций комплексного переменного
в безмоментной теории сферических оболочек 183
§ 5. Преобразование безмоментных уравнений оболочки произвольного очертания 186
§ 6. Безмоментные уравнения оболочек, имеющих форму поверхностей второго
порядка положительной кривизны 188
§ 7. Безмоментные уравнения оболочек, имеющих форму поверхностей второго
порядка отрицательной кривизны 192
§ 8. Применение обобщенных аналитических функций к безмоментной теории
произвольных оболочек положительной кривизны 193
Глава 14. Безмоментные оболочки вращения. Применение тригонометрических
рядов 196
§ 9. Поверхности вращения 196
§ 10. Статические и геометрические безмоментные уравнения оболочек вращения 198
§ 11. Оболочки вращения второго порядка. Параболические оболочки вращения 199
§ 12. Применение тригонометрических рядов в статической безмоментной задаче
оболочек вращения 202
§ 13. Интегральные уравнения равновесия безмоментной теории. Применение
к оболочкам вращения 204
§ 14. Применение тригонометрических рядов в безмоментной геометрической
задаче оболочек вращения 208
Глава 15. Безмоментные оболочки нулевой кривизны 211
§ 15. Постановка краевых задач для безмоментных уравнений 211
§ 16. Граничные задачи безмоментной теории оболочек нулевой кривизны 212
§ 17. Консольная оболочка нулевой кривизны 213
§ 18. Консольная оболочка нулевой кривизны продолжение 215
§ 19. Консольная оболочка нулевой кривизны с косыми краями 216
§ 20. Изгибания поверхностей нулевой кривизны 217
§ 21. Теорема о возможных изгибаниях 219
§ 22. Шарнирно опертая оболочка нулевой кривизны 223
§ 23. Жестко заделанная оболочка нулевой кривизны 225
§ 24. Оболочка нулевой кривизны со свободными краями 226
§ 25. Задачи с дополнительными условиями внутри области 227
Глава 16. Выпуклые замкнутые безмоментные оболочки. Сосредоточенные воздействия 230
§ 26. Полюсы комплексной функции напряжений 230
§ 27. Действие сосредоточенных сил и моментов на полную сферическую оболочку 237
§ 28. Перемещения полной сферической оболочки под сосредоточенными силами
и моментами 238
§ 29. Действие сосредоточенных сил и моментов на произвольную оболочку положительной кривизны 242
Глава 17. Безмоментные купола J 245
§ 30. Сферический купол с одним геометрическим и одним статическим граничным условием 245
§ 31. Сферический купол с одним геометрическим и одним статическим граничным условием продолжение 250
§ 32. Обобщения 254
§ 33. Купол с одним геометрическим и одним статическим тангенциальными условиями. Полная краевая задача - 258
§ 34. Сферический купол с двумя геометрическими граничными условиями 259
§ 35. Обобщения 260
Глава 18. Безмоментные оболочки с двумя краями 262
§ 36. Оболочка положительной кривизны со свободными краями 262
§ 37. Оболочка с двумя краями однотипные граничные условия 263
§ 38. Оболочка с двумя неоднотипно закрепленными краями 266
§ 39. Оболочка с двумя неоднотипно закрепленными краями продолжение 269


6
ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ IV
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Глава 19. Итерационные процессы построения интегралов уравнений теории
оболочек 273
§ 1. Краткая запись уравнений теории оболочек 273
§ 2. Безмоментный итерационный процесс 274
§ 3. Чисто моментный итерационный процесс 277
§ 4. Итерационный процесс для основного напряженного состояния 278
§ 5. Главные уравнения безмоментного и чисто моментного итерационных процессов 280
§ 6. Построение частного интеграла 281
§ 7. Оболочки переменной толщины 282
§ 8. Итерационный процесс для простого краевого эффекта 282
§ 9. Уравнения итерационного процесса для простого краевого эффекта 285
Глава 20. Итерационные процессы выполнения граничных условий. Купола 289
§ 10. Метод расчленения 289
§ 11. Купол с двумя тангенциальными закреплениями 294
§ 12. Купол с одним жестким тангенциальным закреплением 295
§ 13. Купол с одним нежестким тангенциальным закреплением 298
§ 14. Купол с одним нежестким тангенциальным закреплением продолжение 300
§ 15. Купол с косым закреплением 301
§ 16. Купол, не имеющий тангенциальных закреплений 303
Глава 21. Итерационные процессы выполнения граничных условий. Оболочка
с двумя краями 304
§ 17. Оболочка с двумя краями 304
§ 18. Оболочка с двумя краями, закрепленными в обоих тангенциальных направлениях 305
§ 19. Оболочка положительной кривизны с двумя краями одно тангенциальное
закрепление 306
§ 20. Оболочка отрицательной кривизны с двумя краями одно тангенциальное
закрепление 307
§ 21. Оболочка с двумя неоднотипно закрепленными краями 309
§ 22. Оболочка с двумя неоднотипно закрепленными краями случай приложения краевых сил 310
§ 23. Оболочка с изломом срединной поверхности 311
§ 24. Оболочка с изломом срединной поверхности. Краевые задачи 315
§ 25. Оболочка с изломом срединной поверхности. Краевые задачи продолжение 318
Глава 22. Зависимость напряженного состояния оболочки от условий закрепления ее краев 322
§ 26. Безусловная и условная применимость безмоментной теории' 322
§ 27. Физический смысл непротиворечивых значений показателей интенсивности 324
§ 28. Асимптотика напряженно-деформированного состояния при безусловной
и условной применимости безмоментной теории 325
§ 29. Случай неустойчивой асимптотики напряженно-деформированного состояния оболочки 328
§ 30. Зависимость асимптотики напряженно-деформированного состояния оболочки от нетангенциальных закреплений 330
Ч А с т ь v
КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
Глава 23. Применение тригонометрических рядов 333
§ 1. Уравнения теории круговых цилиндрических оболочек 333
§ 2. Разрешающее уравнение 335
§ 3. Применение тригонометрических рядов по переменной 0 338
§ 4. Применение тригонометрических рядов по переменной £ 342


ОГЛАВЛЕНИЕ 7
§ 5. Расчет замкнутой круговой цилиндрической оболочки в тригонометрических
рядах по 0 346
§ 6. Расчет открытой круговой цилиндрической оболочки в тригонометрических
рядах по £ 347
Глава 24. Замкнутые круговые цилиндрические оболочки 349
§ 7. Свойства корней характеристического уравнения 23.3.6 349
§ 8. Нулевые корни и их физический смысл 356
§ 9. Анализ напряженного состояния замкнутой цилиндрической оболочки 358
§ 10. Анализ напряженного состояния замкнутой круговой цилиндрической оболочки продолжение 361
§ 11. Приближенные методы построения обобщенного основного напряженного
состояния 364
§ 12. Приближенный метод построения простого краевого эффекта 370
§ 13. Напряженное состояние с большой изменяемостью 372
§ 14. Приближенные методы -расчета замкнутых круговых цилиндрических
оболочек 376
Глава 25. Открытые круговые цилиндрические оболочки 379
§ 15. Свойства корней характеристического уравнения 23.4.9 379
§ 16. Приближенные методы расчета открытых цилиндрических оболочек 383
ЧАСТЬ VI
ОБОСНОВАНИЕ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Глава 26. Итерационные процессы интегрирования уравнений теории упругости 388
§ 1. Трехмерные уравнения теории упругости 388
§ 2. Преобразование уравнений теории упругости 390
§ 3. Интегрирование уравнений теории упругости 391
§ 4. Основной итерационный процесс 396
§ 5. Сопоставление с двумерной теорией оболочек 399
§ 6. Вспомогательный итерационный процесс 404
Глава 27. Погрешности теории оболочек 409
§ 7. Нормальная асимптотика напряженно-деформированного состояния. 409
§ 8. Асимптотические погрешности гипотез теории оболочек 411
§ 9. Асимптотические погрешности гипотез теории оболочек продолжение 415
§ 10. Область применимости итерационной теории оболочек 418
§ 11. Область применимости итерационной теории оболочек продолжение. 421
§ 12. Чисто моментное напряженное состояние 422
§ 13. Обобщенный краевой эффект 423
Глава 28. Теория погранслоя 428
§ 14. Преобразование уравнений теории упругости 428
§ 15. Преобразование уравнений теории упругости продолжение 430
§ 16. Построение решений типа а и Ь 432
§ 17. Плоский и антиплоский погранслои 435
18. Структура полного напряженно-деформированного состояния оболочки 436
Глава 29. Взаимодействие погранслоя с внутренним напряженным состоянием
оболочки 439
§ 19. Свободный край 439
§ 20. Жестко заделанный край 446
§ 21. Шарнирно опертый край 451
§ 22. Приведенные граничные условия 457
§ 23. Краевое напряженно-деформированное состояние оболочки 461
§ 24. Решение вспомогательных плоских и антиплоских задач 464
Приложение. Асимптотическое интегрирование уравнений в частных производных 469
§ 1. Простой итерационный процесс 470
§ 2. Интегралы с большой изменяемостью 471
§ 3. Интегралы с большой изменяемостью для уравнений с малой главной частью 473
§ 4. Интегралы с заданной квазистационарной линией 476
§ 5. Интегралы с заданной квазистационарной линией. Обобщение 477
§ 6. Интегралы, соответствующие г-кратному семейству характеристик L 478


8
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 7. Интегралы, соответствующие r-кратному семейству характеристик L продолжение 481
§ 8. Интегралы, соответствующие г-кратному семейству характеристик N 482
§ 9. Интегралы, соответствующие г-кратному семейству характеристик N продолжение 484
§ 10. Интегралы с заданной характеристической квазистационарной линией 485
§ 11. Частный интеграл 488
§ 12. Решение краевых задач 489
§ 13. Решение краевых задач продолжение 493
§ 14. Краевая задача теории оболочек 497
§ 15. Изменяемость напряженно-деформированного состояния оболочки 499
§ 16. Зависимость изменяемости напряженно-деформированного состояния оболочки от изменяемости краевого воздействия 501
Литература 505
Предметный указатель 511


ПРЕДИСЛОВИЕ
В книге рассматривается линейная статическая задача теории оболочек. Предполагается, что материал оболочки однороден и изотропен и что оболочка не имеет подкреплений. В рамках всех этих ограничений автор стремился рассмотреть задачу с максимальной общностью и с разумной в книге предназначенной для механиков математической строгостью.
Теорию оболочек, в принципе, можно трактовать как один из разделов общей теории твердых деформируемых тел, и поэтому, выделяя ее в самостоятельную дисциплину, необходимо с максимальной четкостью выявить специфические свойства оболочки как объекта исследования, а именно, свойства, связанные с малостью ее толщины. Этой цели автор старался подчинить все изложение книги.
Еще одна особенность теории оболочек, определяющая характер изложения, заключается в ее практической направленности. Это объясняется как тем, что оболочка весьма широко используется в реальных конструкциях, так и тем, что значение точных решений возникающих в ней краевых задач в значительной степени обесценено погрешностями, содержащимися в их формулировке. Поэтому на первый план здесь выдвигаются приближенные подходы, и основное внимание уделяется тем свойствам тонкой оболочки, на которых могут базироваться те или иные упрощения расчета.
С математической точки зрения особенностью книги является широкое использование асимптотических подходов, что естественно вытекает из высказанных выше соображений. Кроме того, больший, чем обычно, удельный вес имеют геометрические аспекты теории. Сильнее, чем в первом издании, подчеркивается связь теории оболочек с теорией бесконечно малых изгибаний поверхностей.
Второе издание книги радикально отличается от первого. В частности, изменены и обозначения, которые теперь выбраны так, чтобы упростить запись формул.
Общие уравнения двумерной теории оболочек выводятся в части 1 при помощи гипотез, которые пока, как и в первом издании, принимаются на веру. Однако теперь в книгу введен новый раздел часть VI, в котором проблема сведения трехмерных краевых задач теории упругости к двумерным задачам теории оболочек решается методом асимптотического интегрирования. Здесь дается обоснование гипотез теории оболочек, обсуждается область их применимости, оцениваются связанные с ними погрешности и намечаются пути уточнения.
Все общие уравнения и формулы теории оболочек в частях I и VI выводятся в предположении, что срединная поверхность оболочки отнесена к линиям кривизны. Эти результаты переносятся на случай произвольной метрики при помощи тензорного формализма.
Приближенные методы расчета оболочек обсуждаются в части И. Здесь- широко используются различные гипотезы, по поводу которых даются некоторые разъяснения, но вопросы более строгого обоснования принятых упрощающих предположений перенесены в последующие разделы книги. Теория


JO
ПРЕДИСЛОВИЕ
асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений при изложении приближенных методов почти не используется даются только формулировки некоторых выводов, к которым она приводит. В связи с этим знание теории асимптотического интегрирования не считается обязательным для чтения второго издания книги. Эта теория изложена в новой трактовке в приложении.
Больше, чем в первом издании, внимания уделено методам интегрирования так называемых безмоментных уравнений теории оболочек. Этому посвящена часть III.
Новой является во втором издании часть IV. В ней строятся некоторые итерационные процессы, позволяющие дать обоснование гипотезам, принятым в части II, но основное внимание уделено исследованию влияния условий закрепления на характер напряженно-деформированного состояния оболочки.
Часть V посвящена обстоятельному исследованию круговой цилиндрической оболочки. Оно представляется автору полезным, так как, во-первых, именно круговая цилиндрическая оболочка наиболее часто встречается на практике, а во-вторых, для нее уравнения теории оболочек решаются относительно легко, и это позволяет более конкретно осмыслить общие свойства напряженно-деформированного состояния оболочки.
Библиография в книге совершенно не претендует на полноту. В нее, помимо монографий, включены только те работы, в которых содержится материал, имеющий прямое отношение к вопросам, разбираемым в книге. Преобладание отечественных работ объясняется тем, что они оказали большее влияние на научные взгляды автора книги.
Формулы всюду нумеруются тремя числами. Первая из них указывает главы, для которых принята сквозная нумерация, а вторая — параграфы, которые в каждой части нумеруются заново.
С рукописью этой книги ознакомился академик Арм. ССР С. А. Амбарцумян, сделавший ряд весьма ценных замечаний. Автор принял их с большой признательностью и внес соответствующие исправления. Автор также выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук Г. Н. Чернышеву, кандидатам наук М. И. Гусейн-Заде, Е. М. Зверяеву, Н. Н. Рогачевой, а также О. Н. Смирновой, Л. В. Марковой, В. С. Бойцовой, Т. С. Федотовой и А. Л. Радовинскому, оказавшим большую помощь © работе над книгой.
А. Гольденвейзер


Часть i
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК
В этом разделе книги строятся и обсуждаются общие соотношения двумерной теории оболочек. Все эти уравнения и формулы выводятся из трехмерных уравнений теории упругости на основе некоторых гипотез, которые пока принимаются без какого бы то н-и было обоснования.
Используемые здесь гипотезы необычны, хотя в сущности они мало отличаются от гипотез Кирхгофа—Лява. Автор отдает себе отчет, что его предположения не обладают такой физической наглядностью, как предположения Кирхгофа—Лява, но они имеют и свои преимущества, которые выявляются в части VI. В ней показано, что соответствующая этим гипотезам теория заслуживает названия итерационной в том смысле, что ее можно рассматривать как исходное приближение итерационного процесса интегрирования уравнений теории упругости. При обсуждении и сопоставлении возможных гипотез теории оболочек автор стремился подчеркнуть, что, если не принимать в расчет вопросы обоснования и уточнения теории оболочек, то выбор гипотез не играет существенной роли конечно, если не выходить за разумные рамки. Поэтому читатель, питающий вполне объяснимую симпатию к гипотезам Кирхгофа—Лява, найдет в книге все вытекающие из них соотношения.
Оценки ошибок гипотез теории оболочек, в том числе и гипотез Кирхгофа—Лява, обсуждаются в части VI. Это сделано потому, что порядок ошибок существенно зависит от некоторых свойств искомого напряженно-деформированного состояния, в особенности от его изменяемости. Обо всем этом с достаточной определенностью удобно говорить только после изложения соответствующих понятий.
При выводе общих уравнений и формул теории оболочек использована векторная символика. Тензорной записи уравнений теории оболочек посвящена последняя глава части I. Автор не пытался при помощи тензорной символики избежать необходимости выписывать громоздкие соотношения теории оболочек, так как в последующих разделах книги обсуждаются методы интегрирования уравнений теории оболочек, а для этого необходимо исходить из их развернутой записи.
Больше, чем в других книгах, здесь уделено внимание геометрическим аспектам теории оболочек и особенно выделена роль понятия бесконечно малых изгибаний. Это необходимо дли лучшего понимания материала, изложенного в частях II—IV.


ГЛАВА 1
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 1. Криволинейные координаты на поверхности
и первая квадратичная форма
В первой главе, кратко и почти без доказательств, излагаются те сведения из теории поверхностей, которые используются в дальнейшем.
Кривую в пространстве трех измерений можно задать векторным уравнением
г г0, 1.1.1)
где г — радиус-вектор кривой, a t — произвольный параметр.
Равным образом, поверхность в пространстве трех измерений определяется векторным уравнением
М М аъ а2, 1.1.2)
где М — радиус-вектор поверхности; а19 а2 — произвольные параметры.
Равенством 1.L2 не только определяются геометрические свойства поверхности, но и дается способ задавать точки на ней, так как каждой паре численных значений параметров ах, а2 соответствует определенная точка или точки на поверхности. Допустим, что параметр аг сохраняет постоянное значение аг а10, а а2 изменяется. Тогда уравнение 1.1.2 определит пространственную кривую, лежащую на рассматриваемой поверхности. Такие линии называются а2-линиями, так как они характеризуются тем, что на них изменяется только параметр а2. Совокупности всех значений ос10, заключенных в определенном интервале, будет соответствовать семейство а2-линий. Так же можно ввести и понятие о семействе аглиний примеры поверхностей, отнесенных к криволинейной системе координат, приведены в §§ 10.21, 11.28, 13.6, 13.7, 14.9.
Задав одновременно значения обоих параметров, мы определим на поверхности точку или точки, являющуюся пересечением некоторой аглинии с некоторой а2-линией. Таким образом, имеет место полная аналогия между поверхностью, заданной уравнением 1.1.2, и плоскостью, отнесенной к определенной системе координат, и поэтому про поверхность, заданную уравнением 1.1.2, говорят, что она отнесена к криволинейной системе координат, а аг- и а 2-линии называют координатными линиями.
Если в уравнении 1.1.2 произвести замену независимых параметров по формулам вида
а а ai, а2, а2 аь осе, 1.1.3)
то получится уравнение
М' М' а, ой.


КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ И ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
13
Оно определяет, разумеется, ту же поверхность, что и уравнение 1.1.2, но криволинейные координаты, к которым отнесена эта поверхность, изменятся. Однако в частном случае, когда формулы 1.1.3 имеют вид
а ai, а2 а2 а2,
геометрическое очертание координатных линий останется прежним, так как при этом постоянным значением а1иа2 отвечают постоянные значения ai, а2 соответственно.
Введем обозначения
и рассмотрим векторы Мх и М2. Они, очевидно, направлены по касательным к ах- и а2-линиям соответственно. Обозначим их длины через Ах, А2. Тогда будем иметь
М А, М А, 1.1.4)
Mj_ М_
h
д д cos X 1.1.5)
где х — угол между координатными линиями.
Как всегда делается в теории поверхностей, будем предполагать, что всюду в интересующей нас области
sin h 0, 1.1.6)
т. е. что ar и а2-линии нигде не касаются друг друга.
Зададим на поверхности две сколь угодно близкие тбчки aly a2 и ax daly a2 da2, которые определят некоторое направление, произвольно ориентированное относительно координатных линий. Тогда главная часть приращения, которое получит вектор М при переходе от первой точки ю второй, будет
dJIft. doL- —J— iW2 dx2.
Отсюда, пользуясь соотношениями 1.1.4 и 1.1.5, получим формулу для квадрата дифференциала длины дуги произвольной линии на поверхности
dM2 ds2 А da2 -f- 2Л1Л2 cos da da2 -f- A2 da2. 1.1.7)
Правая часть этого равенства квадратична относительно daly da2 и называется первой квадратичной формой поверхности. Она вполне определяется заданием трех величин А1у Л2, , которые здесь будут называться коэффициентами первой квадратичной формы .
Первая квадратичная форма поверхности определяет ее внутреннюю геометрию. Под этим подразумевается следующее. Пусть alf a2 выражены через параметр 3:
ах ах Р, a2 а2 Р.
Тогда равенством 1.1.2 вектор М будет определяться как функция одного параметра р. Это значит, что написанные равенства можно рассматривать как уравнение некоторой кривой у, лежащей на поверхности. Выразив в 1.1.7 дифференциалы daly da2 через dp, получим формулу для dsv—дифференциала длины дуги у:
- V Л ж2М'Лг“??Л•
Строго говоря, коэффициентами первой квадратичной формы называются величины А А и А±А 2 cos х но в теории оболочек удобнее оперировать величинами Av А2 и х«


14
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ГЛ. 1
в которой правую часть равенства можно построить, зная только Л2, и задав уравнения кривой у. Уметь строить дифференциалы длин дуг кривых на поверхности — это и значит определить внутреннюю геометрию поверхности.
Уравнение поверхности 1.1.2 при построении dsy непосредственно не используется. Поэтому, если есть две поверхности с одинаковыми первыми квадратичными формами, то геометрия на обеих поверхностях будет одинакова. Показано, что можно строить семейства поверхностей
М М аъ а2, а,
1.1.8)
зависящих от непрерывного параметра а, для которых первая квадратичная форма одинакова, т. е. не зависит от а. Равенство 1.1.8 при фиксированном а, например, при а 0, можно рассматривать как уравнение некоторой поверхности S0, а под поверхностями Sa, получающимися при а 4 0, понимать результат некоторой непрерывной деформации поверхности S0. Если, как мы считаем, первая квадратичная форма не меняется, то при переходе от S0 к Sa сохранятся длины линий на поверхностях, а следовательно, не изменятся и углы между линиями так как для сколь угодно малых криволинейных треугольников имеет силу плоская тригонометрия. Такая деформация, т. е. деформация поверхности, при которой длины нанесенных на ней линий и углы между ними сохраняются, называется изгибанием. Это понятие играет важную роль в теории тонких оболочек.
§ 2. Основной триэдр поверхности
Введем единичный вектор нормали к поверхности и обозначим его через п. Он ортогонален векторам Мг и М2 и связан с ними соотношением
п
1
АгА3 sin %
МгхМ2
знак X обозначает векторное произведение.
Тройку единичных векторов М1у M2t ft мы назовем основными
Л1 Л2
векторами поверхности 1.1.2 и будем говорить, что в совокупности они образуют основной триэдр поверхности.
В силу условия 1.1.6 основные векторы нигде не лежат в одной плоскости. Отсюда вытекает, что любой вектор 5 а1у а2 может быть представлен в виде линейной комбинации трех основных векторов
S s±
Mi
м2
s„n.
1.2.1)
Про вектор, представленный в форме 1.2.1, будем говорить, что он развернут по осям основного триэдра, а скалярные величины slt s2, sn рИСв i “ будем называть основными компонен¬
тами вектора S.
Если криволинейные координаты на поверхности М ортогональны зт2, то основной триэдр будет состоять из взаимно ортогональных векторов. Тогда sl9 s2i sn в формуле 1.2.1 по смыслу совпадают с проекциями


ФОРМУЛЫ ГАУССА—ВЕЙНГАРТЕНА. УРАВНЕНИЯ КОДАЦЦИ—ГАУССА
1S
вектора S на оси основного триэдра, а формулы для попарных векторных произведений векторов основного триэдра будут иметь вид
1гхл-1г’
Здесь знаки расставлены, исходя из предположения, что основной триэдр ориентирован так, как показано на рис. 1.
§ 3. Деривационные формулы Гаусса—Вейнгартена.
Уравнения Кодацци—Гаусса
Введем обозначения
Щ Ц i, 1, 2)
и поставим перед собой задачу представить Мц, пь как линейные комбинации
векторов Мг, М2 и п.
Формулу для Мц в теории поверхностей принято записывать так:
' Mi Т,Мг Т2цМ2 Lifn i, j 1, 2. 1.3.1
Здесь скалярные коэффициенты при Мг и М2 обозначены при помощи:
так называемых символов Кристоффеля, т. е. буквы Г с тремя индексами из которых два нижних индекса показывают, по каким переменным дифференцируется М в левой части соответствующего равенства, а верхний индекс показывает, при какой производной от М стоит данный коэффициент.
Помножая скалярно равенство 1.3.1 на п и помня, что вектор п ортогонален Мх и М2, получим
Lit nMit i, 1,2. 1.3.2>
Эту формулу можно преобразовать и к другому виду, заметив, что
п Mt 0 1 1,2.
Дифференцируя это равенство по получаем
Uj-Mi n-Mii 0 i 1,2)
и, следовательно,
Ьц — п Mi — п, Mf. 1.3.3>
Величины Lih определенные формулами 1.3.2 или 1.3.3, называются коэффициентами второй квадратичной формы, которая будет обсуждаться в следующем параграфе.
Символы Кристоффеля могут быть выражены через коэффициенты первойг квадратичной формы Alt А2 и Соответствующие формулы выводятся в любом курсе теории поверхностей; для случая, когда поверхность отнесена к ортогональным координатам, они имеют вид
Ft __Lг Ft Ft dAj_ П 3 4V
1 a At дсц 9 1 ft — A2 daj 9 1 Ц 1 И “ At da, ' 1 ;
Здесь и всюду в дальнейшем считается, что индексы могут принимать значения 1, 2, но не могут быть равны друг другу. Это значит, что если в формулу входит только один из этих индексов, то ему надо придавать значения 1 и 2, а если в формулу входят оба индекса i, , то в этой паре индексов надо- придавать две и только две пары значений i 1,- 2 и i 2, 1. Такое правило будет применяться всегда, когда не оговорено противоположное.


16
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ГЛ. 1
Юно, в частности, означает, что всякое равенство, содержащее индексы ?, , надо рассматривать как двойное.
Вектор п, лежит в касательной плоскости, так как г2 1, откуда
1 д
2 doLi
1 и 9 п
tl tli — -hit- П 0.
Таким образом, nt можно представить в виде линейной комбинации векторов Ж j и Ж2. Соответствующие формулы для случая ортогональных криволинейных координат записываются так:
Их легко проверить, помножая скалярно написанные равенства на Мь и учитывая 1.3.3 и 1.1.4.
Нетрудно вывести и соотношения, при помощи которых развертываются по осям основного триэдра производные первого порядка от основных векторов Мл и --Ж2. Для этого надо преобразовать 1.3.1 к виду Лл л2
dai
Mi Aj -р М; La д д. Ltj
-аг -а1т’ц-а; -а-п' Ж7J а; ТЬ-А- ИГ-п а -36)
В правильности этих формул можно убедиться, выполнив дифференцирование в левых частях равенств и приняв во внимание 1.3.1 и 1.3.4.
Равенства 1.3.1 или 1.3.6 вместе с 1.3.5 образуют деривационные формулы Гаусса—Вейнгартена и играют важную роль в теории поверхностей. Они дают возможность выразить любую производную от вектора Ж через Мъ Ж2 и п. Для этого надо дифференцировать нужное число раз уравнения 1.3.1, заменяя величины М1Ъ Ж12, Ж21, Ж22, П и п2 через М19 М2 и п при помощи 1.3.1 и 1.3.5.
Разложим вблизи какой-либо точки а10, а2 а20 радиус-вектор поверхности в степенной ряд:
М М°4- М°1 а'а1° 4-Щ.c.-a° 4-Mix --?1aio2 +
Mb - ■■°Cl aiol ,K2 a2o M°22 а.а8 13 7)
нуликами сверху отмечается, что значения соответствующих векторов надо брать при аг а10 иа2 а20 и выразим Жп, Ж?2, через Ж?, Ж2, п. Так как в деривационные формулы входят только коэффициенты первой и второй квадратичных форм, то правая часть равенства 1.3.7 будет полностью определяться значениями величин М°, Ж?, Ж2, п°, Л?, ЛИ, Lu9\
ТО ТО
12’ 22’ даг 9 • •
Отсюда вытекает одна из основных теорем теории поверхностей: коэффициенты первой и второй квадратичных форм данной поверхности определяют эту поверхность с точностью до Ж0, Ж?, Ж®, п°, т. е. с точностью до ее положения в пространстве.
Таким образом, поверхность с точностью до ее положения в пространстве можно задать шестью величинами: Ль Л2, , Ь1Ъ L12, L22. Однако эти шесть величин нельзя задавать совершенно произвольно, так как тогда смешанные производные от Ж, если их вычислять указанным выше приемом, не будут, вообще говоря, удовлетворять соотношениям вида
д д им


ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ
17
В теории поверхностей доказывается, что это несоответствие устраняется, если коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности подчинены трем уравнениям, которые для ортогональных координат имеют вид
д Lg 1 д Л,Ц, ОЛ, L„
doif Ai t Af doci Ai да, д ’
' 1.3.8)
1122 L2 1 Г д 1 дл2 d dAx 1
Aa AiA2 L doci v Ai dav V A, J “
Первые два из них носят название уравнений Кодацци, а последнее — уравнения Гаусса. Наиболее важным является уравнение Гаусса, к геометрическому смыслу которого нам еще придется вернуться.
§ 4. Вторая квадратичная форма поверхности и индикатриса Дюпена
Обозначим через т единичный вектор касательной к некоторой линии на поверхности; тогда
__ dM _ и, йаг aaz
т_ ds ds *
s — длина дуги рассматриваемой кривой. В теории пространственных кривых выводится формула Френе
йт v
р-’
где р — радиус кривизны кривой, v — единичный вектор ее главной нормали. Поэтому для линии, расположенной на поверхности, получим
Помножим скалярно обе части этого равенства на п и заметим, что п cos ф, где ф — угол между нормалью к поверхности и главной нормалью рассматриваемой кривой. Получим:
- -• т’ 2в'■п- •м- ж Г■
Внесем в правую часть этого равенства значения скалярных произведений п-Мц по формулам 1.3.2 и заменим ds2 его значением в соответствии с 1.1.7. Тогда мы придем к важному соотношению
cos ф -11 dal —— 2L12 da da _ -- L-_ das • д i \
p ‘ A dal A1A2 cos day da2 A dal *
Числитель правой части этого равенства и есть вторая квадратичная форма поверхности:
II i Li dX —2Li2 dcx dc2 — L22 dx2.
Выберем для некоторой точки поверхности в ее касательной плоскости направление I и проведем через него нормальную плоскость поверхности. В пересечении с поверхностью она образует плоскую кривую у, называемую нормальным сечением оно, конечно, будет зависеть от направления Кривизна нормального сечения поверхности yt называется нормальной кривизной


18
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ГЛ. 1
1.4.2)
поверхности в направлении I. Очевидно, что главная нормаль v плоской кривой yi совпадает с нормалью п поверхности. Поэтому при вычислении нормальной кривизны 1R надо в 1.4.1 положить ф равным 0 или я. Это дает следующую формулу для нормальной кривизны поверхности:
1 Ln da —j— 2L.J2 da1 da2 L22 da2
R A dal 2ЛгЛ2 cos dat da -j- A da9
в которой, как это обычно делается в теории поверхностей, перед 1 R из двух возможных знаков поставлен минус. Это значит, что основной триэдр поверхности надо строить так, чтобы вектор п был направлен в сторону выпуклости тех нормальных сечений поверхности, кривизны которых считаются положительными рис. 2.
Принято говорить, что вторая квадратичная форма вместе с первой квадратичной формой определяют внешнюю геометрию поверхности. Смысл этого
утверждения раскрывается формулой 1.4.2. С ее помощью при заданных L1U L12, L22 и Alt А 2, х можно найти нормальные кривизны поверхности в любом заданном направлении. Для этого надо только в 1.4.2 соответствующим образом выбрать отношение дифференциалов da1 и da2.
Выберем на поверхности некоторую точку Р, построим в ней касательную плоскость Е и рассечем поверхность плоскостью, параллельной Е и отстоящей от нее на сколько угодно малое расстояние. В пересечении получится некоторая кривая, которую мы спроектируем на Е и обозначим буквой S.
Если отнести Е к декартовой системе координат, начало которой находится в точке Р, а оси направлены вдоль векторов Мг и М2, то, сохраняя в выкладках только бесконечно малые величины самого низкого порядка, можно показать, что уравнение кривой S будет иметь вид
Н2 2
тт-1т1 -’12 const.
1.4.3)
Изменим подобно кривую S, положив в правой части этого равенства константу равной ±1. Тогда мы придем к уравнению кривой, носящей наименование индикатрисы Дюпена.
Индикатриса Дюпена в весьма наглядной форме показывает, как в дайной точке поверхности изменяется кривизна нормального сечения поверхности в зависимости от направления этого сечения. Если ф — угол, который составляет интересующее нас сечение с о-линией рис. 3, то радиус-вектор, проведенный под углом ф к оси из начала координат до пересечения с индикатрисой Дюпена, равен YR.
Индикатриса Дюпена в данной точке поверхности может оказаться
а эллипсом, когда Д Ь1гЬ22 — Lh 0;
б парой сопряженных гипербол, когда Д 0;
в парой параллельных прямых, когда Д 0.
В соответствии с этим говорят, что в данной точке поверхность имеет положительную при Д 0, отрицательную при Д 0 или нулевую при Д 0 гауссову кривизну более конкретное содержание этого понятия будет указано ниже.


ЛИНИИ КРИВИЗНЫ, АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
19
Типичным примером поверхности, которая всюду имеет положительную гауссову кривизну, является эллипсоид индикатриса Дюпена имеет вид эллипса. Однополостный гиперболоид является примером поверхности всюду
прямых. Тор рис. 4 имеет зону положительной гауссовой кривизны и зону отрицательной гауссовой кривизны. Эти зоны разделяются двумя замкнутыми кривыми одна из них показана на рис. 4, вдоль которых гауссова кривизна поверхности равна нулю.
В дальнейшем гауссову кривизну там, где это не может вызвать недоразумений, мы будем называть просто кривизной поверхности.
§ 5. Сопряженные линии, линии кривизны, асимптотические линии
В каждой точке поверхности, в которой она имеет определенную касательную плоскость, можно построить кривую второго порядка или пару параллельных прямых, являющуюся индикатрисой Дюпена. В связи с этим в теории поверхностей используются некоторые термины, заимствованные из аналитической геометрии. Направления сопряженных диаметров индикатрисы называются сопряженными направлениями на поверхности. Главные направления индикатрисы называются главными направлениями поверхности. Наконец, направления асимптот индикатрисы если они действительны называются асимптотическими направлениями поверхности.
Два семейства кривых, касательные к которым в каждой точке поверхности сопряжены, образуют сопряженную сеть кривых на поверхности. Кривые на поверхности, касательные к которым везде совпадают с главными направлениями, называются линиями кривизны.
Кривые, касательные к которым везде совпадают с асимптотическими направлениями, называются асимптотическими линиями поверхности. Асимптотические линии существуют только в таких точках поверхности, где гауссова кривизна не положительна. Через точку, в которой кривизна поверхности отрицательна, проходят две асимптотические линии. В точках, где кривизна поверхности равна нулю, эти две линии сливаются в одну, а в точках, где кривизна поверхности положительна, они становятся мнимыми.
Отнесем поверхность к криволинейным координатам, в которых ах- и а2-линии образуют сопряженную сеть. Тогда и индикатриса Дюпена будет
Рис. 3.
Рис. 4.


20
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ГЛ. 1
отнесена к сопряженным осям. Это значит, что в левой части равенства 1.4.3 должно пропасть второе слагаемое. Следовательно, для поверхности, отнесенной к сопряженным криволинейным координатам, Ь12 0.
Поверхность, отнесенная к криволинейным координатам, в которых аг и а2-линии являются линиями кривизны, или коротко, поверхность, отнесенная к линиям кривизны, характеризуется тем, что для нее я2, L12 0, так как главные направления поверхности сопряжены и одновременно ортогональны.
В теории поверхностей доказывается, что всякую поверхность можно отнести к линиям кривизны. Координатные линии при этом, вообще говоря, определятся единственным образом. Исключением является случай, когда поверхность имеет области с постоянной кривизной. Такие области всегда представляют собой части сферы, а на сфере любая кривая может рассматриваться как линия кривизны.
Радиусы кривизн нормальных сечений, проведенных вдоль линий кривизны, мы будем обозначать через R± и R2 и называть главными радиусами кривизны. Они, как легко убедиться с помощью индикатрисы Дюпена, обладают экстремальными свойствами, т. е. один из них дает локальный максимум, а другой — локальный минимум первый не обязательно будет соответствовать наименьшим значениям MR.
Считая, что поверхность отнесена к линиям кривизны, и положив в 1.4.2 последовательно а2 const и а± const, получим формулы для главных кривизн поверхности:
57 -'If-
Аналитически не всегда легко бывает найти линии кривизны данной поверхности, поэтому полезно иметь в виду следующее чисто геометрическое свойство этих линий: две бесконечно близкие нормали поверхности, проведенные через точки одной и той же линии кривизны этой поверхности, не перекрещиваются, а пересекаются пример применения этой теоремы к поверхностям вращения дан в § 14.9.
В общем случае, когда поверхность отнесена к произвольным криволинейным координатам, положив в 1.4.2 последовательно а2 const и аг const, получим формулы
'L5-2>
определяющие нормальные кривизны поверхности в направлениях аГ и а2-линий. Правые части равенств 1.5.1 и 1.5.2 по форме совпадают, но величины, входящие в правые части 1.5.2, имеют другой смысл, и нормальные кривизны 1.5.2 экстремальными свойствами, вообще говоря,4 не обладают. В связи с этим для них введены другие обозначения Rl9 R2 — экстремальные радиусы нормальных кривизн, a Rll9 R22 — произвольные радиусы нормальной кривизны поверхности в направлении координатных линий; когда поверхность отнесена к линиям кривизны, R1 Rllt R2 R22. В дальнейшем в некоторых случаях будет использовано еще одно обозначение
1.5.3)
12 12
Оно аналогично 1.5.2, но R12, представляющее собой меру несопряженности координатных линий, не имеет такого простого геометрического истолкования, как ?ц, R22.
Пусть поверхность имеет хотя бы одно действительное семейство асимптотических линий для этого гауссова кривизна поверхности должна быть


§ 6 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА, ЗАДАННОГО НА ПОВЕРХНОСТИ
21
не положительна. Совместим его с аглиниями. Тогда в уравнении индикатрисы Дюпена 1.4.3 должен пропасть член с £2, т. е. будет иметь место равенство
Ln 0.
В соответствии с 1.5.2 это значит, что RX1 оо, т. е. что нормальная кривизна поверхности вдоль асимптотических линий равна нулю кривизна самой асимптотической линии может быть и отлична от нуля. Это — определяющее геометрическое свойство асимптотической линии.
В дальнейшем мы часто будем считать, что срединная поверхность оболочки отнесена к линиям кривизны, так как тогда все формулы максимально упрощаются. В частности, в этом случае деривационные формулы Гаусса— Вейнгартена приобретают такой вид:
_£_Mj_ LMl JUl _ А 9 Mf - 1 dAi мj
да, Ai А da, A, R, ' da,- Aj j At da j At ’
' da — Rt ’
а уравнения Кодацци—Гаусса в линиях кривизны записываются так:
__d_ Aj _ 1 dAt
da, V R Rj daj ,j g,
RtR2 l Ai ai da2 A9 da2 J *
В несколько более общем случае, когда поверхность отнесена к произвольной ортогональной системе координат, деривационные формулы Гаусса— Вейнгартена выражаются равенствами
L MlMl _ Ml „ 9 1 дА‘ м‘ i Al
dat Ai Aj да- Af Rti ’ dat Aj Ai daj Ac ' Rtj ’
dn_ _Ai_ JUi_ _ _Ai_ 5-6^
dai Ru Ai Rn At ’
а уравнения Кодацци—Гаусса имеют форму
±_ Al_l J J_ М
tj Ru Aj да j Rif Rj у
da j Ru J Aj daj Rij Rjj daj *
Г d 1 dAp д 1 дАг1
L даг Аг даг да2 A2 da2 J J
1.5.7)
1 1_ 1_
R11R22 R12 AjA,
§ 6. Дифференцирование вектора, заданного на поверхности
Пусть в каждой точке поверхности задан вектор й, который развертывается по осям подвижного триэдра следующим образом:
b At £,3„. 1.6.1)
Аг А2
Дифференцируя 1.6.1, получим
ddbM db п,Ъ1_д_Мг_,
да да Аг dai А2 ' dai ' dai Л, /


22
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ГЛ. 1
Производные от векторов подвижного триэдра определяются деривационными формулами Гаусса—Вейнгартена, которые, в случае, когда поверхность отнесена к линиям кривизны, имеют вид 1.5.4. Воспользовавшись этим, можно записать следующие равенства:
I дЬ _ 1 дЬ 1 dAt ,m 3 Mi
At дач U; fai AiA,- da,- u Rt j At ^
1 дЬЦ 1 dAt Mt M , 1 6‘ , .
Цл,- dac At А, даЬ j A, Ui ,- Ri ' fl ^
представляющие собой формулы дифференцирования вектора, заданного на поверхности, в случае, когда последняя отнесена к линиям кривизны.
§ 7. Гауссова кривизна и изгибание поверхностей
Выражения, стоящие в левых частях вторых равенств 1.5.5 и 1.5.7, инвариантны относительно замены криволинейных координат. Они называются гауссовой кривизной поверхности и обозначаются через К:
TS 1 1 Hl22 12 1 7 14
А RnRn Rl2 ЯА “ ’ к }
Легко видеть, что К отличается от дискриминанта индиктрисы Дюпена Д всегда положительным множителем А2 А“2, и рассмотренные в § 1.4 случаи Д 0, Д 0, А 0 отвечают случаям, когда поверхность имеет положительную, отрицательную и нулевую гауссовы кривизны соответственно.
Теперь можно с новой точки зрения посмотреть на второе из равенств 1.5.5 или 1.5.7, т. е. на уравнение Гаусса. Из него вытекает, что К полностью определяется коэффициентами первой квадратичной формы. Это чрезвычайно важное положение возвращает нас к затронутому в § 1.1 понятию об изгибании поверхностей. Эта деформация характеризуется тем, что первая квадратичная форма поверхности остается неизменной, и можно теперь сделать вывод, что при изгибании поверхности остается неизменной также и ее гауссова кривизна, хотя главные кривизны, конечно, будут меняться.
Одним из простых и вместе с тем чрезвычайно важных следствий этого положения является то, что из всех поверхностей только поверхности нулевой гауссовой кривизны могут быть путем изгибания превращены в плоскость, так как гауссова кривизна плоскости равна, очевидно, нулю в связи с этим поверхности нулевой гауссовой кривизны часто называются развертывающимися. Наоборот, никакая часть такой поверхности, как, например, сфера, не может быть без сморщиваний и разрывов превращена в часть плоскости.
§ 8. Криволинейные координаты в пространстве
Пусть в трехмерном пространстве дан вектор, зависящий от трех произвольных параметров
Р Р а1; а2, а3. 1.8.1)
Тогда, рассматривая Р как радиус-вектор, можно говорить, что каждой тройке чисел а19 а2, а3 соответствует точка в трехмерном пространстве или что в трехмерном пространстве определена некоторая система координат.
Положим а3 а30 const в 1.8.1. Тогда
Р Раъ ос2, а30 М аъ а2)
и, следовательно, уравнением а3 а30 определяется некоторая поверхность, отнесенная к криволинейной системе координат аь а2. Аналогичный смысл имеют уравнения ах а10 и а2 а20.


КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
23
Назовем поверхности а const, а2 const, а3 const координатными поверхностями. Тогда можно говорить, что с помощью равенства 1.8.1 точка в трехмерном пространстве определяется как результат пересечения трех координатных поверхностей, принадлежащих разным семействам.
Координатные поверхности а2 const иа3 const в пересечении дают пространственную кривую, которую можно назвать 04-линией, так как вдоль нее изменяется только параметр 04. Аналогично определяются а2- и а3-линии. Таким образом, можно также говорить, что равенством 1.8.1 точка определяется как результат пересечения трех пространственных кривых, в связи с чем описываемая система координат называется криволинейной, переменные аъ а2, а3 называются параметрами этой координатной системы.
Введем обозначение
Р‘ Ж •'-1.2.3.
В §§ 1.8—2.15 часть индексов принимает, как и раньше, значения 1,2, но будут встречаться и индексы, принимающие значения 1, 2, 3. Поэтому мы в §§ 1.8—2.15 будем указывать значения, которые надо придавать индексам.)
Очевидно, что векторы Р, направлены по касательной к аглиниям, поэтому координатные линии будут взаимно ортогональны, если выполняются равенства
PrPf 0 2, 3, 1.8.2)
и в этом случае система координат называется триортогональной.
Здесь и в дальнейшем запись i Ф 1, 2, 3 означает, что индексы i, могут принимать значения 1, 2, 3 в любой комбинации, исключая те, в которых i .
Запишем дифференциал вектора Р
dP Рх dax -f Р 2 da9 4 Р3 da3.
Возводя обе части этого равенства в квадрат, получим формулу для дифференциала длины дуги в криволинейной системе координат alt a2, a3. Для случая, когда последняя триортогональна, она в силу 1.8.2 будет иметь вид
ds2 Нdai Щ da 4 Щ dat
здесь величины Н х, Н 2i 3, называемые коэффициентами Ламе, определяются формулами
т Р1 £ 1,2,3.
Для построения теории оболочек наиболее удобна криволинейная система координат, в которой равенство 1.8.1 имеет вид
Р Маъ а2а3п аъ а2, 1.8.3)
где М 04, a2 — радиус-вектор некоторой поверхности, которую мы будем называть исходной и которая отнесена к криволинейным координатам a,, а2, ап — единичный вектор нормали исходной поверхности.
Если на исходной поверхности установлены ортогональные криволинейные координаты, то система координат 1.8.3, вообще говоря, будет ортогональна лишь в точках самой исходной поверхности. Рассмотрим в связи с этим вопрос: как надо выбрать криволинейные координаты на исходной поверхности, чтобы равенством 1.8.3 определялась триортогональная система координат в пространстве.


24
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
1ГЛ. 1
Имеем
Pt М,аъ аа азВ, 1,2, Р3 п. 1.8.4)
Так как по предположению п — единичный вектор, ортогональный Miy то М,: п 0, п щ -Jj-tf О i l,2)
и, следовательно,
PrPs 0 i 1,2.
Остается потребовать, чтобы при любых а3 выполнялось равенство РР2 0. Это приводит к трем требованиям
М1 М2 АгА2cos 0, ЛГ2 —2L12 0, пх-п2 0.
Из первых двух следует, что я2, L12 0. Таким образом, криволинейная система координат 1.8.3 может быть триортогоналъной только тогда, когда на исходной поверхности а3 0 координатными линиями являются линии кривизны. Это условие не только необходимо, но и достаточно, так как для поверхности, отнесенной к линиям кривизны, векторы п19 п2 в силу
1.5.4 пропорциональны векторам и М2 и третье из обсуждаемых требований также выполняется. Доказанное утверждение представляет собой частный случай теоремы Дюпена, в которой установлено, что координатные’линии произвольной триортогональной системы координат являются линиями кривизны для координатных поверхностей этой системы.
Выведем формулы для коэффициентов Ламе триортогональной системы координат 1.8.3. Возведя в квадрат обе части каждого из двух равенств
1.8.4 и учтя равенства 1.1.4, 1.3.3, 1.5.1, 1.5.4, получим
Ht A, l f 1, 2, tf8l, 1.8.5)
где At и Rt не зависят от а3 и представляют собой соответственно коэффициенты первой квадратичной формы и главные радиусы кривизны исходной поверхности.
Из 1.8.4 и 1.8.5, снова учтя 1.5.4, имеем
Ж -Г -. 2. £•
Дифференцируя первое равенство 1.8.5, получим
17 “з17яг 1. 2.
но для множителя при а3 в правой части этого равенства имеют место формулы 1.5.5. Отсюда
ЖГ 7' 1А7>
Кроме того, легко видеть, что
1, 2, 0 1,2,3. 1.8.8)


ГЛАВА 2
ТРЕХМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.
СВЕДЕНИЕ К ДВУМЕРНЫМ УРАВНЕНИЯМ
§ 9. Уравнения теории упругости в триортогональной системе координат
Отнесем упругую среду, образующую оболочку, к триортогональной системе координат alf а2, а3, описанной в § 1.8, т. е. будем считать, что Р — радиус-вектор точки трехмерного пространства задается уравнением 1.8.3, а коэффициенты Ламе Ht подчиняются формулам 1.8.5, 1.8.7,
. В такой системе координат дифференциальные уравнения теории упругости для анизотропного тела можно записать так.
Векторное уравнение равновесия:
—аа7 2за1—аа7 №з72—12аз Н1Н2Н 0. 2.9.1)
Здесь 7о — вектор упругих напряжений на площадке, нормаль которой проходит вдоль аглинии, a q — вектор массовых сил. В развернутом виде ао и q будем записывать с помощью формул
в которых, как и всюду в дальнейшем, векторы Pl9 P2t Р3 выражены через Mlt М2, п в соответствии с 1.8.6.
Формулы деформации — смещения:
1.8.8.
i 1, 2, 3,
q Qi ж li;ih q X qn'
2.9.2)
_ J_ PPL Pa. — езз- я3 da3 ' H3 da3 П'
l_dV_ Pj_ _ J__dV_ Mj_
e4 Hi dai ‘ H, Н,- da, ' H Hi da, ' A,
2.9.3)
ILL __
A. ‘ И.
1 dV Mj
Hf daj
i Ф j 1, 2,


26
ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ГЛ. 2
Здесь еи и еи — компоненты деформации, V — вектор смещения:
2.9.4)
Обобщенный закон Гука
Eeit — Оц v сгц akk i Ф f k 1, 2, 3,
Eeii 2 1 v oif i h j 1, 2, 3.
2.9.5)
Здесь E — модуль Юнга, a v — коэффициент Пуассона.
Под оболочкой постоянной толщины 2ft будем подразумевать тело, ограниченное поверхностями
Исходную поверхность а3 0 назовем срединной поверхностью оболочки, а поверхности а3 ft и а3 —ft назовем ее лицевыми поверхностями.
Примем, что к лицевым поверхностям 2.9.6 приложены силы, векторы которых, отнесенные к единице поверхности, обозначим через q и q соответственно,
Такому загружению отвечают векторные условия на лицевых поверхностях
§ 10. Гипотезы теории оболочек
В терминах линейной теории упругости определение напряженно-деформированного состояния тонкой упругой анизотропной оболочки сводится к решению трехмерной краевой задачи, состоящей в интегрировании системы уравнений 2.9.1, 2.9.3, 2.9.5 с учетом условий на лицевых поверхностях
2.9.7 и некоторых граничных условий вид которых мы пока предрешать не будем на боковых поверхностях.
Основная проблема общей теории тонких оболочек заключается в приближенном сведении сформулированной трехмерной краевой задачи к некоторой двумерной краевой задаче. Эта проблема будет подробно рассмотрена в части VI, а пока, не касаясь связанных с этим математических вопросов, будем решать ее при помощи некоторых предположений, законность которых подробно обсуждаться не будет. Наиболее популярны из них предположения, составляющие так называемую гипотезу Кирхгофа—Лява, которая формулируется в § 5.28 и более подробно обсуждается в части VI. Однако сейчас будет показано, что проблему сведения можно решить и при помощи несколько измененных гипотез, а именно:
Гипотеза 1 заключается в предположении, что перемещения и некоторые напряжения трехмерной среды, образующей оболочку, меняются по толщине по определенным законам, а именно
а3 --h, а3 — h.
2.9.6)
03 аэЛ С, °3 а3—h 7 .
2.9.7)
эквивалентные скалярным условиям
О
£3 а3±г
н- q± i - 1, 2, 3.
2.9.8)
i 1. 2,
о Ч—азТ £1,2, vz — w — азф,
2.10.1)
2.10.2)


S И]
КОМПОНЕНТЫ ДЕФОРМАЦИИ ТРЕХМЕРНОЙ СРЕДЫ
27
где величины Тъ S12, S21, Т2, Glf 12, Я21, G2, и1э и2, а;, уъ у2, ф — функции двух переменных и а2, смысл которых выяснится ниже.
Гипотеза 2 заключается в предположении, что некоторые из равенств, выражающих обобщенный закон Гука, можно заменить более простыми, а именно: вместо
Ее13 2 1 v i l, 2, Ее33 o33 — v au a22)
можно брать равенства
в3 — 0, Ее зз v 7П -- сг22. 2.10.3)
Гипотеза 3 заключается в предположении, что напряжение о33 играет второстепенную роль, вследствие чего в двух следующих равенствах обобщенного закона Гука
Ее1Х оп сг22--зз 22 22 v 11 “Ь зз 2.10.4)
а33 можно выразить приближенно формулами
4-т Ж Z’>
tn — q+
яТ — яг. z' — tit ЧГ- 2.10.5)
Это значит, что мы заменяем о33 двумя членами его разложения в ряд Тейлора, т. е. выражаем о33 формулой
о 1
?33 ?33 -f- 0С3О33 2.10.6)
О 1
и определяем о33 и о33 так, чтобы выполнялись требования, получающиеся из 2.9.8 при i 3.
/
2Гз->
Физический смысл величин, введенных в формулах 2.10.5, виден из рис. 5; m — интенсивность поперечного сжатия; Z' — нормальная равнодействующая -сил, приложенных к лицевым поверхностям оболочки.
§ 11. Компоненты деформации трехмерной среды
Перепишем второе равенство 2.10.3)
£е33 — v стц СТю 2.11.1)
и расшифруем в нем компоненту деформации е33 с помощью формул 2.9.3,
2.9.4)
Мг ,
1
д ль m
• Ж7 Г1 AT -л
и3и - It.


28
ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ГЛ. 2
В правой части этого равенства от а3 зависит только vl9 v2, v3, поэтому, учтя 2.10.2, получим
Чз —'Ф- 2.11.2)
Помножив 2.11.1 на 1 ol3R 1 а3?2 и использовав 2.11.2 и 2.10.1, будем иметь
£4lf-
Это равенство должно выполняться тождественно по а3. Оно эквивалентно трем равенствам, вытекающим из требования исчезновения коэффициентов при а§, о, а§. Однако здесь и ниже в подобных случаях мы будем
сохранять только те равенства, которые в дальнейшем не приведут
к противоречию гипотеза 1 и состоит в предположении о допустимости таких действий: если бы можно было выполнить все равенства, вытекающие из принятого закона распределения искомых величин, то это была бы не гипотеза, а констатация факта существования этого закона. В данном случае мы ограничимся только коэффициентами при аз, откуда следует
£ф Ti Т2. 2.11.3)
Обратимся к первому равенству 2.10.3. В нем компоненты деформации е13 расшифровываются с помощью 2.9.3. Поэтому, учтя 1.8.5, можно написать
хг1 х-х--0- 2-1Ы>
Из 2.9.4 и 2.10.2 вытекает, что V можно представить в виде
V U аът — азФ, 2.11.5)
где
7 1 ■- 2- — — V1-7J- — 2.11.6)
Поэтому можно написать
1 ди „ I a3 дт ^
At даi П Ai да 'пЧг Ai dat П А да 1 '
п — единичный вектор и поэтому 0»
1,2.
Внеся эти результаты в 2.11.4 и приравняв нулю коэффициенты при а°,
получим
равенство, получающееся приравниванием нулю коэффициента при aj, отбрасывается.


S 12]
ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА
29
Обратимся к компонентам деформации е1и е12 и е22. Для них, заменив в 2.9.3 величины Ht и V с помощью 1.8.5 и 2.11.5, будем иметь
1 dU Mj а3 dm Mj dn Mi
Ai дщ ' Af Ai dai Ai “3 Ai Tiai' Af ,, , оч
eti Z 1 1, zh
17
1 dU ' M2 a3 dm M2 1 dU M1 a3 dm Мг
dcL- A2 dax A2 Л2 doc2 A-± A2 doc2 A^
12 “ 1 •
f- l-g-
2.11.8)
p — 1 a — i
2.11.9)
Введем обозначения l dV Mj.
1 dU M2 1 dU Мг
Аг dat A2 ' A2 da2 At
T 1 dm M2 _dU_, Mi_ 1 dm M1 J 1 dU M2
Aj doc-, ? A2 doc2 Аг “ Л2 da2 Лх ai 2
для T даны два выражения, но, как выяснится в дальнейшем, различие между ними только кажущееся. Тогда внеся 2.11.9 в 2.11.8 и учтя формулы 1.5.4 для производных от вектора п, будем иметь
Ф
1 “Г азхг аз 00 2аят а?т
ец L il, 2, е12 7 ——7 -J—г, 2.11.10)
где
•Чг
_ _J 1 dm М2 , 1 1 dm Мх
R2 Ai doCi A2 Л2 1
§ 12. Обобщенный закон Гука
Будем теперь преобразовывать упрощенные в соответствии с принятыми гипотезами равенства обобщенного закона Гука.
Начнем с 2.10.4. Эти равенства можно рассматривать как уравнения относительно 7П и о22, так как а33 по формуле 2.10.5 выражается через компоненты поверхностной нагрузки. Решая эти уравнения, будем иметь
1 _ v2 еи vejj j _ v -£■ Z' i h j 1, 2.
Помножим обе части этого равенства на 1 l и пРимем
во внимание 2.10.1 и 2.11.10. Получим
ж-f И'f тЫ Ь“■-ж:1 Z+
v'a—-- ■ ж+
ri' Xz'1t1t- 2Л2Л)


30
ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
I ГЛ. 2
Возьмем далее второе равенство 2.9.5, положив в нем i 1, 2, и выразим деформацию etj по формуле 2.11.10. Тогда, помножив полученное равенство на 1 1 а3?2 и воспользовавшись 2.10.1,
можно написать
21 I а3 321 1 а3 12 I а3 12 N 1 I а3
V 2h h 2h 1 Я, 2h h 2h 1 R2 ~
2 1 v азт- 2.12.2)
Приравняв в 2.12.1 и 2.12.2 коэффициенты при аз и аз, получим соот¬
ветственно две группы формул
гг. 2Eh vг , „ 1 о\
Тi 1 __ v2 8i V8 1 _ v т t Ф J — 1,2,
2.12.3)
F7 7
21 12 j __ v ®
г h 2Ehs Г , ,8i 8 1 v - ]
£—' зяГ ' 3i — vр vx' —
-■т Тг 2' ■Л ж ■ Т т 1.2, 2.12.4)
и , W о _ и , ft с 2£й _
21 зяГ21 - 12 зяТ 12 з 1 v х*
Во второй из них можно величину ф выразить с помощью 2.11.3, а величины Tl9 S12, S21, Т2 исключить с помощью 2.12.3. Тогда, пренебрегая членами порядка mh по сравнению с членами порядка R,Z', получим
°г з1Г2 H‘ VKi 8 8' ~
t j 1,2, 2.12.5)
гг 2 £7i3 со \
• — 31 V т — Щ '
В части VI показывается, что допускаемые при этом погрешности не выходят за рамки тех, которые связаны с принятием гипотез § 2.10.
§ 13. Первое осредненное уравнение равновесия теории упругости
Будем теперь преобразовывать векторное уравнение равновесия 2.9.1, 2.9.2.
Учитывая формулы 1.8.5 и 2.10.1, можно написать
Я,ЯзсГо А, а31 1 7 п - к£ j i j 1, 2, 2.13.1)
где приняты обозначения
г т£-Ог- Я„.- 1 1 1,2. 2.13.2)


ПЕРВОЕ ОСРЕДНЕННОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ
31
Назовем первым осредненным уравнением равновесия теории упругости результат интегрирования по а3 в промежутке —ft, h векторного уравнения равновесия теории упругости. Оно записывается так:
л л
j ЖГ №3Tida3— j ЯНзТ2 da3 —
—b. -h 2
h
— J 1Г 1J2a3 da3 -f- J НхНъНщ da,3 0. 2.13.3)
—г 3 —h
Учитывая 2.13.1, 2.13.2, можно написать
-f-i
j Н,НзОа йаз Л;гг i j 1, 2, 2.13.4)
—h
где
° j r1 mldot 0 1. 2, 2.13.5)
—h
но r0 и т0 определены равенствами 2.13.2 и не зависят от а3, поэтому введя обозначения
--h
N- f l-g-da3 - 1,2 2.13.6)
—h
и выполнив в 2.13.5 интегрирование, можно написать
rt Nta --Tt — Slt- Ntn i i 1,2. 2.13.7)
Далее имеем
J i273 das i2J3;tft 12 1 7 1 7“ 03)
—h
а так как значения аз на лицевых поверхностях определяются равенствами 2.9.7, то
г
j Ш;Нiao da3 =
—Л 3
--АМяУг Чтгтгг-- 2'138>
Подставив 2.13.4 и 2.13.8 в равенство 2.13.3, получим первое осред- ненное уравнение равновесия теории упругости в виде
- -Л- л2г1 - А?2 АгА2Я 0, 2.13.9)
где
-f-Л
Я1£ £-• 2лз-10>
—h


32
ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ГЛ. 2
§ 14. Второе осредненное уравнение равновесия теории упругости
Под вторым осредненным уравнением равновесия теории упругости подразумевается результат векторного умножения уравнения равновесия теории упругости на аЗп и последующего интегрирования по а3 в промежутке —hyh. Оно записывается так:
-и
— J Я2з01 X аз da's— Г ННт X аЗя da3—
-л 1 -а 2
-f-ft Н“7
— J 57 х 3 das j ННчНц х am da3 0. 2.14.1)
—h -•
Подсчитаем выражения, входящие в левую часть 2.14.1. Учитывая
2.13.1, можно написать
■Л-Н,Н8а0 х а3и =
—а80 f-re-S-OT'xa-
— Л К а0 й'
За3 П Я
2hs
X а3я, t £ 1, 2.
В этом равенстве под пь подразумевается производная от пу определяемая формулами 1.5.4. Имея это в виду, получим
Mi
Ai
J -i-HiHsGiXa,anjda3 x в +
—&
nlrи x тг Ко -bda -r0 X
—h
1,2. 2.14.2)
Кроме того, интегрируя по частям, будем иметь -н &
J 157 X a3J da3 Я1Я203 X asn±h — J Я1Я203 x nda3.
—h3 -h
2.14.3)
Здесь в силу условия на лицевых поверхностях 2.9.7, для первого слагаемого правой части можно написать
112а3 X oc3n-h =
- АЛ А 1 JJ_ gr х л J- J- г о X я,
2.14.4)


§ 14]
ВТОРОЕ ОСРЕДНЕННОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ
33
а второе слагаемое расшифровывается так:
Л h
— J HiHw X П da3 X J 31 1 -J- 1 -Jr da, +
+
it x °32l tl +
. 2.14.5)
В свою очередь, интегралы, входящие в последнее равенство, можно с помощью 2.13.6 преобразовать так:
-f-Л -f-Л
I°3t 1 ‘It 1 ifc d“8 N £T I'l3i 1 da3
—h —h
i i 1, 2.
2 14.6)
Раскрыв смысл m1, m2 согласно 2.13.2 и выполнив векторное перемножение, напишем
‘ X 4г -1' Я‘ I 1, 2.
Введем, кроме того, обозначения
Q hl iq-qlxnh2'ib-i;qqxn+
л
Ц4 X а3п l --l --da3, 2.14.8)
nxtni bx —G Hjt —1‘ nn G -77)
i Ф i 1, 2.
Тогда, подставив все эти результаты в 2.14.2, 2.14.3, будем иметь
л
“ I гЯЯз01' х a®B d“3 а5Г +
2.14.7)
2.14.9)
- 1£
Л
—Л
jc73il -11' Я;7 ff1,2,
Пт5Г ■' X а3п J das -f J Я1Я2 X аЗв da3 =
—Л
•1.-2 а32 ^
—jVi-5TJai1 _Йа:
ж
Ал


34
ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
I Г Л. 2
Отсюда следует, что второе осредненное уравнение равновесия теории упругости 2.14.1 можно записать в виде
- £ АЛ' - -k- И.в АЛ -£■ - п +
ДЛ2 N2 N, -■ A,A2Q 0. 2.14.10)
Замечание. Второе осредненное уравнение равновесия получается в результате векторного помножения некоторого равенства на п. Поэтому нормальная составляющая его левой части должна тождественно исчезать. Может показаться, что этому противоречит вид левой части уравнения 2.14.10. Однако можно убедиться, что в ней нормальные составляющие, содержащиеся в первых двух слагаемых, взаимно уничтожаются с третьим слагаемым. При проверке этого утверждения надо использовать деривационные формулы 1.5.4.
§ 15. Полная двумерная система дифференциальных уравнений
теории оболочек
В §§ 2.10—2.14 были введены в рассмотрение следующие двумерные зависящие только от двух переменных а19 а2 величины.
С помощью формул 2.10.1 определено восемь величин
1 21 12 2 1 21 12 2 2.15.1)
Формулами 2.11.9 определено шесть величин
ъ со, е2, , Ха, т. 2.15.2)
Формулами 2.13.6 определены две величины
Nl9 N2. 2.15.3)
Кроме того, были использованы вектор U, имеющий компоненты
иъ и2, w, 2.15.4)
и вектор т, имеющий компоненты
Ть 72- 2.15.5)
Всего, таким образом, введена 21 величина 2.15.1 — 2.15.5. Для них построены следующие соотношения .
1 шесть формул 2.11.9, с помощью которых величины 2.15.2 выражаются через компоненты векторов U и т, т. е. в конечном итоге через
величины 2.15.4 и 2.15.5;
2 две формулы 2.11.7, с помощью которых 2.15.5 выражаются через
2.15.4;
3 восемь формул 2.12.3 и 2.12.4, связывающих между собой 2.15.1 и 2.15.2;
4 первое осредненное векторное уравнение равновесия теории упругости
2.13.9, эквивалентное трем скалярным уравнениям, относительно величин
2.15.1 и 2.15.3;
5 второе осредненное векторное уравнение равновесия теории упругости 2.14.10, эквивалентное двум скалярным уравнениям см. замечание в § 2.14 относительно величин 2.15.1 и 2.15.3.
Учитывается, что каждое равенство, содержащее индексы i, , эквивалентно двум.


§ 16
напряженно-деформированное состояние оболочки
35
В общей сложности получилось 21 двумерное уравнение для определения 21 двумерной величины. Это значит, что гипотезы, принятые в § 2.10, достаточны, чтобы свести систему трехмерных дифференциальных уравнений теории упругости к системе двумерных уравнений теории оболочек
2.11.9, 2.11.7, 2.12.3, 2.12.4, 2.13.9 и 2.14.10.
§ 16. Напряженно-деформированное состояние
упругой среды оболочки
Пусть решена некоторая краевая задача двумерной теории оболочек, т. е. определены величины 2.15.1—2.15.5, удовлетворяющие описанной в § 2.15 системе двумерных с независимыми переменными а19 а2 уравнений. Тогда можно приближенно построить все напряжения и перемещения упругой среды, составляющей оболочку.
Зная величины 2.15.1—2.15.5, по формуле 2.11.3 находим функцию р. В результате станут известны все члены правых частей равенств
2.10.1, 2.10.2, определяющих напряжения а1Ь а12, а22 и упругие перемещения vl9 и2, v3. Для полного определения напряженно-деформированного состояния остается построить напряжения oi3 и а33. Этого можно достичь при помощи уравнений равновесия теории упругости.
Векторное уравнение равновесия 2.9.1 эквивалентно трем скалярным уравнениям, которые, учитывая, что Н3 1, можно записать следующим образом:
ЖГ Ж7 Ш‘°' 77Г жг -
daf °i ® 1 2, 2.16.1)
Я2713 4- Нго23 — Н2 ои — Нг а22 HxH2q3 0.
Первое из этих равенств эквивалентно двум уравнениям, и в каждом из них содержится по одному неизвестному а13 и а23. Остальные напряжения уже построены по формулам 2.10.1. Каждое из напряжений а13 и а23 определяется при помощи одной квадратуры по а3, которую можно эффективно выполнить, так как зависимость величин а1Ь а12, а22, Hl9 Н2 от а3 выражена явно: это видно из формул 1.8.5, 2.10.1. Для определения произвольных функций интегрирования мы имеем условия на лицевых поверхностях 2.9.7.
Таким же образом, ценой еще одной квадратуры по а3 из второго равенства 2.16.1, считая в нем уже известными и а13, сг23, найдем последнее напряжение а33. Для него произвольная функция интегрирования определится из условий на лицевых поверхностях 2.9.8.
Замечания. 1. Условия на лицевых поверхностях 2.9.7, 2.9.8 содержат шесть равенств, а для определения произвольных функций интегрирования, возникающих при вышеописанном методе построения crt-3, a33, достаточно только трех. В этом нет противоречия, так как можно показать, что из каждой пары условий 2.9.7, 2.9.8 достаточно выполнить только какое-либо одно. Второе условие каждой пары будет выполняться автоматически, как следствие того, что удовлетворяется первое осредненное уравнение равновесия.
2. После того как будут определены сгг-3, можно по формуле 2.13.6 найти величины N9 но они входят в число величин 2.15.1—2.15.5, которые, по предположению, уже найдены независимо от того, чему равны at-3. В этом тоже нет противоречия, так как можно показать, что, если выполнено второе осредненное уравнение равновесия, то по формуле 2.13.6 мы получим для N такое же значение, как и при интегрировании уравнений § 2.15.


36
ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ГГЛ. 2
Формулы для 713, а23, ?зз получающиеся вышеописанным способом, громоздки, и мы их не приводим. В части VI будет показано, что во всех тех случаях, когда можно применять двумерную теорию оболочек, а13, сг23, а33 существенно меньше напряжений а119 сг12, а22, и, как правило, достаточно вычислить только последние. Отметим однако, что принципиально возможно построить и второстепенные напряжения сг13, сг23, сг33. Поэтому можно считать, что точное выполнение первого и второго осредненных уравнений равновесия обеспечивает точное выполнение уравнений равновесия трехмерной теории упругости. Для этого достаточно условиться, что а13, а23, сг33 должны быть определены из уравнений равновесия 2.16.1.
Для понимания дальнейшего надо иметь в виду, что напряженно-деформированное состояние оболочки, построенное описанным приближенным методом, не удовлетворяет во второстепенных слагаемых закону парности касательных напряжений. Это видно из второго равенства 2.10.1, в силу которого а12 j е21.


ГЛАВА 3
СТАТИКА ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
§ 17. Усилия и моменты
Введем понятие о нормальных сечениях оболочки, проведенных вдоль некоторых линий у ее срединной поверхности S. Под этим подразумевается сечение оболочки линейчатой поверхностью, составленной семейством нормалей к S, построенных в каждой точке у.
Если срединная поверхность S замкнута, то замкнутой будет называться и соответствующая оболочка; в этом случае можно сказать, что оболочка разграничивается от остального пространства двумя лицевыми поверхностями: наружной S и внутренней S', равноотстоящими от S. В более общем случае, когда S имеет боковые границы, можно считать, что оболочка выделена из некоторой замкнутой оболочки нормальными сечениями, проведенными вдоль кривых у19 у 2, , уп. Эти нормальные сечения будут называться краями оболочки. В реальных конструкциях края оболочки не всегда совпадают с нормальными сечениями, но такое различие, ввиду малости ft, можно игнорировать.
Будем считать, что оболочка, как трехмерное тело, отнесена к триорто- гональной системе координат 1.8.3, рассмотрим нормальное сечение, проведенное вдоль линии у и обозначим через а аь а2, а3 напряжения, возникающие в этом сечении.
Тогда вектор отнесенного к длине дуги усилия Rv и вектор отнесенного к длине дуги момента Qv в соответствующем нормальном сечении оболочки определяются равенствами
где dsy — дифференциал длины дуги линии у, a dsy — дифференциал длины дуги линии у, которую описывает на рассматриваемом поперечном сечении точка, отстоящая на расстоянии а3 от срединной поверхности рис. 6.
Построим в каждой точке у триэдр, состоящий из трех взаимно перпендикулярных единичных векторов s, t, пу где п — вектор нормали срединной поверхности, 5 — вектор касательной к кривой у, at — вектор тангенциальной нормали, т. е. вектор, лежащий в касательной плоскости к срединной поверхности и направленный так, что тройка векторов t s, п ориентирована в пространстве так же, как тройка векторов М19 Ж2, п. Тогда векторы Riy и Qv можно представить в виде
вектор Qv, как видно из 3.17.1, не имеет нормальной составляющей.
Когда у совпадает с координатной линией at const, мы условимся обозначать векторы усилий и моментов на этих нормальных сечениях через
3.17.1)
?v__ss_Tt Nn, Qv — Gs Ht
3.17.2)


38
СТАТИКА ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
ГЛ. 3
0, QW соответственно и, развертывая эти векторы по осям основного триэдра § 1.2, будем отмечать их компоненты индексами i. Таким образом ,
_ — Ti
Mi
■SI-
Ntn, Qll - 1)
Mi „ Mj I
Н-АГ а-Тг' ЗЛ7’3)
Знаки перед компонентами усилий и моментов в правых частях этих формул выбраны, исходя из предположения, что положительные направления упругих усилий и моментов расположены так, как изображено на рис. 7.
Покажем теперь, что введенные здесь векторы Ri, Q0 по смыслу совпадают с векторами 2.13.7 и 2.14.9, которым в §§ 2.13, 2.14 были даны такие же обозначения.
Векторы Ri и Q0 получатся, если в формулах 3.17.1 под у подразумевать ау-линию. Таким образом,
-h --h
Rt dsf J аг dSfdaz QU dsf J ro X a3ndsdas. 3.17.4)
—h
-h
Для пространства, отнесенного к триортогональной системе координат 1.8.3,
ds Hj daf А; 1 daf, dsf ds азо At dajy a a£' определяется равенством
мг м2
Gi — 3liA1 ®2i A0 3in-
Подставив эти результаты в 3.17.4, получим
‘ _тг Mi
At
■ Sji -jr NiK —
f-
I —аи—а'
Mi
2‘ A,
0' _ G,
-h
-j-h
Начиная отсюда мы снова не будем указывать значений i,j. Всегда считается, что в отдельности эти индексы могут иметь значения 1, 2, но если они входят в одну формулу, то должно выполняться условие i ф j.


§ 181
ВЕКТОРЫ ВНЕШНИХ СИЛ И ВНЕШНИХ МОМЕНТОВ
39
Отсюда вытекают равенства
-Н &
Tt j а„ 1 -- da S7 j a7l -fj- da.
—h —h
- J a 1 -57 da3- 3-17-5)
—h
--h h
G,- jTt-,- 1 h “7 аз аз Hji j0 ji 1 -j- -7 аз da3,
—h —h
связывающие усилия и моменты, возникающие на координатных сечениях оболочки, с напряжениями трехмерной среды.
Третья из этих формул совпадает с 2.13.6, остальные формулы легко
получить из 2.10.1, интегрируя эти равенства по а3. Отсюда и следует спра¬
ведливость обсуждаемого утверждения.
Согласно закону парности касательных напряжений теории упругости должно выполняться равенство
a21 a12. 3.17.6)
В теории оболочек, как уже говорилось, оно нарушается, так как ему противоречит гипотеза 1 § 2.10. Если тем не менее считать справедливым
3.17.6, то второе и пятое равенства 3.17.5 в развернутом виде можно записать так:
--h -f-h -f-i --h
21 — J 7l2 doc3 -—7— j a12a3 doc3, S12 — cf12 doc3 -- j 123 doc3f
3.1'
-f-h h H-^
Я21 j ai23 da-i -щ- J CTX2ai da3, Hu J ai2a3da3 -щ- J Ji2a3 da3-
Три интеграла, входящих в эти четыре равенства, можно исключить, и тогда получится условное уравнение
S-Su -- 0. 3.17.8)
Ниже мы увидим, что существуют различные варианты теории оболочек. В некоторых из них уравнение 3.17.8 случайно выполняется, а в других оно оказывается нарушенным. К обсуждению связанных с этим вопросов еще предстоит вернуться.
§ 18. Векторы внешних сил и внешних моментов
Пусть на оболочку действуют внешние силы, которые могут быть приложены к внутренним точкам оболочки массовые силы или к ее лицевым поверхностям S, S'. Нанесем на срединной поверхности некоторый замкнутый контур у и выделим часть оболочки, проведя через у нормальное сечение. Внешние силы, приложенные к этой части оболочки, будут статически эквивалентны силе R' и моменту Q', взятому относительно некоторой точки срединной поверхности, лежащей внутри у.


40
СТАТИКА ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
гл. 3
Составим выражения
ST — площадь части срединной поверхности, охваченной контуром у и перейдем к пределу при Sv — 0. Полученные таким предельным переходом величины R и Q мы будем называть вектором внешних сил и вектором внешних моментов.
Если q аь а2 и q аь а2 — силы, приложенные соответственно к внешней и внутренней поверхностям оболочки, a q а1? а2, а3 — массовые силы, то
--h
RdS q dS q dS jq dS da3,
-h
-И»
QdS q x hti dS — q x in dS -- J q x on dS da3,
—h
3.18.1)
где dS, dS, dS“, dS — соответственно дифференциалы площади срединной поверхности, наружной и внутренней поверхностей и поверхности, отстоящей на расстояние а3 от срединной.
В триортогональной системе координат 1.8.3 имеем
dS Н,Н2 d1fa1 l-g-l-2j. А,А2 da, da2,
dS± 1 ± 1 ± -fir A,A2 da, da2, dS A,A2 da, da2.
Подставив этот результат в 3.18.1 и произведя сокращение на АгА2 dax da2, получим снова формулы 2.13.10 и 2.14.8. Отсюда следует, что вектор внешних сил R и вектор внешних моментов Q по смыслу совпадают с теми величинами, которые были обозначены теми же буквами в §§ 2.13, 2.14.
§ 19. Уравнения равновесия теории оболочек
Первое осредненное уравнение равновесия 2.13.9 получено в результате интегрирования по толщине оболочки дифференциального уравнения равновесия теории упругости. Это значит, что, если выделить показанный на рис. 8 элемент тела оболочки V с помощью поперечных сечений, проведенных через стороны сколь угодно малого координатного четырехугольника, то равенство 2.13.9 будет представлять собой условие уравновешенности всех сил, приложенных к У в направлении а3 элемент V имеет конечное, хотя и малое протяжение, а в направлении аъ а2 он сколь угодно мал. Основываясь на этом, будем называть первое осредненное уравнение равновесия теории упругости, т. е. равенство
д л г1 д
dai A2R1 - - А. а,2' A,A2R О, 3.19.1)
силовым уравнением равновесия теории оболочек.
Рассмотрим второе осредненное уравнение равновесия теории оболочек
2.14.10 и перепишем его так:
- £ АС11 ■- 4- АО01 Л А N, V, i _ п +
А,А2 S2,—S12 п — А,А2Ш A,A2Q , 0. 3.19.2)


§ 19]
УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
41
Здесь под £2 подразумевается следующее выражение:
Q Sn— 3.19.3)
так что 3.19.2 получено из 2.14.10 прибавлением и вычитанием одной и той же величины.
Учитывая, что
АЯФ х М, At - Тj —St, -J- N,n X М, =
-1 А, n, Stfn, 3.19.4)
можно второе осредненное уравнение равновесия теории упругости переписать так:
-Л-АО-Л2’ Х-А1 X Мг +
-f- AAclti -j- A1A2Q 0. 3.19.5)
Оно получается в результате векторного умножения на аЗп и последующего интегрирования по толщине уравнения равновесия теории упругости, а следовательно, выражает условие уравновешенности моментов относительно тангенциальных осей от всех сил, приложенных к V рис. 8. Уравновешенность моментов относительно оси п уравнение 3.19.5, как было указано, не обеспечивает. Можно показать, что условие отсутствия моментов относительно оси п выражается равенством
£2 0. 3.19.5а)
Отсюда следует, что уравнение
—ая2 х м2—л2?1 х лгл2д о, злэ.6)
получающееся из 3.19.5 при £2 0, выражает уравновешенность моментов относительно всех осей; оно будет называться моментным уравнением равновесия теории оболочек.
Таким образом, силовое уравнение равновесия идентично первому осред- ненному уравнению равновесия последний термин больше употребляться не будет, но моментное уравнение равновесия содержит больше требований, чем второе осредненное уравнение равновесия в дальнейшем эти понятия будут различаться.
Векторы Ri, Qi, входящие в 3.19.1 и 3.19.6, расшифровываются с помощью формул 3.17.3. Их можно рассматривать как векторы интенсивности сил и моментов, приложенных к сторонам сколь угодно малого координатного прямоугольника S, выделенного на срединной поверхности оболочки. Равным образом R и Q, которые в развернутом виде мы будем записывать так:
RXX — Zn, Q 3.19.7)


42
СТАТИКА ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
ГЛ. 3
можно рассматривать как векторы интенсивности сил и моментов, приложенных к поверхности S. Тогда уравнения 3.19.1 3.19.5, 3.19.6 будут выражать условия уравновешенности всех сил и всех моментов, действующих на S.
Силовое и моментное уравнение равновесия представляют собой векторные равенства. В совокупности они эквивалентны шести скалярным уравнениям. Их можно получить, пользуясь формулами 1.6.3 для дифференцирования вектора, развернутого по осям основного триэдра.
Положим в 1.6.3 последовательно
b AtR1 и ?2. 3.19.8)
Тогда, раскрывая ?1, ?2, по формулам 3.17.3 можно каждое из векторных равенств 3.19.8 заменить тремя скалярными
й“ — А2тг, f2 — А£а, b AtNx,
61 — AS12, 62 —АГЪ Ь3 A,N2.
Отсюда с помощью 1.6.3 получаем
- ж W' - Ьй- - тг т +
isrWW—s7r-fe'Vtf TrTB- зл9-9>
Равным образом, положив в 1.6.3 последовательно
b A2Q1 и b i4jQ2
и заметив, что, в силу 3.17.3, каждое из этих векторных равенств эквивалентно трем скалярным
61— Л2Я21 62— А£ъ Ь3 0,
Ь1 Аъ 62 ДЯ12, 63 0,
получим с помощью 1.6.3)
- Ш- № “ - I' ж'Н Жа'ж +
1Ж -жнАжж- нп ■ ЗЛ9Л0)
Подставив теперь 3.19.4, 3.19.7, 3.19.9, 3.19.10 в силовое и моментное уравнения равновесия 3.19.1 и 3.19.6, получим шесть искомых скалярных уравнений равновесия для оболочки, средняя поверхность которой отнесена к линиям кривизны:
л 'т I с , д д q ч гр л л - - --


S 201
УСИЛИЯ и МОМЕНТЫ НА КОСЫХ СЕЧЕНИЯХ
43
Векторы R и Q выше были определены формулами 2.13.10 и 2.14.8, а здесь для них приняты формулы 3.19.7. Поэтому, учтя еще 2.9.2, можно компоненты векторов интенсивности внешних сил и интенсивности внешних моментов выразить через компоненты вектора массовых сил q и компоненты векторов сил qy qt приложенных к лицевым поверхностям оболочки, следующим образом:
Xi 1 qi +
?'•
—h 1
z --■1 ТЩ, -h ir,f-,r -
4-i
— J‘ da3, 3.19.12)
h
Y, Al щт 7 — 9 ft2 яТ 4t +
4-h —h
§ 20. Усилия и моменты на косых сечениях
Напряженное состояние оболочки в данной точке срединной поверхности задается четырьмя векторами ?1, ?2, Q1, Q2, которые с помощью формул 3.17.3 в свою очередь задаются десятью усилиями и моментами 7, 21 Г2 Glt Н21, Нi2 G2, N 1у N2.
Усилия и моменты на косых не координатных сечениях могут быть выражены через эти величины. Чтобы вывести соответствующие формулы, выделим на срединной поверхности оболочки вблизи интересующей нас точки бесконечно малый криволинейный треугольник abc рис. 9 и будем считать, что стороны ab и ас образуются отрезками а±- и а2-линий соответственно, а сторона Ьс направлена так, что она составляет с а i-линией угол X.
Обозначим через dslt ds2, dsy длины сторон ab, ас и be и заменим действие отброшенной части оболочки усилиями и моментами, приложенными к сторонам выделенного треугольника на рисунке векторы моментов не изображены. Из рассуждений, приведенных в § 3.19, вытекает, что силы, приложенные к сторонам треугольника abc, должны уравновешивать друг друга силы, распределенные по площади треугольника, не надо учитывать, как дающие равнодействующую высшего порядка малости. Таким образом,
?2 dSl ?1 ds2 dsv 0.
Учитывая, что
dsL cos X dsyt ds2 sin X dsv,
Рис. 9.


44
СТАТИКА ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
1ГЛ. 3
можно написать также
Я2 cos X Rib sin X 4- ?v’ О или, развернув векторы ?1 R2 и ?v по формулам 3.17.3, 3.17.2, — Т2 Ntti j cos X — T x -д- — S21 —— -j- sin X +
—Ss — TtNn 0. 3.20.1)
Выполним последовательно скалярное помножение 3.20.1 на единичные векторы s, t, п и заметим, что, как видно из рис. 9,
—cosA,, sp-sinA„ sn 0, лг л2
t • jr — sin А, cosk t-n 0.
A A2
Отсюда для усилий S, Г, на косом сечении получаем такие формулы:
S Тj — Т2 sin к cos Я, — S21 sin2 А, S12 cos2 к,
T — Тл sin2 к — Т2 cos2 к — S12 -- S21sin к cos Я, 3.20.2 — Asin А,— 2 cos A,.
Формулы перехода от моментов на координатных сечениях к моментам, возникающим на косых сечениях, можно таким же образом вывести из требования уравновешенности всех моментов, приложенных к сторонам треугольника abc. Они записываются так:
Н 21 sin2 к— 12 cos2 к Gj — G2 sin к cos к,
И 20 ЗЪ
G Я214- 12 sin к cos к— вг sin2 А,—G2 cos2 Я. v ;
§ 21. Функции напряжения
Покажем, что в теории оболочек, так же как и в теории упругости, можно построить функции напряжений, т. е., что десять усилий и моментов теории оболочек 7, S21, S12, Т2, Gly 21, 12, G2, Nl9 N 2 можно выразить через некоторые произвольные функции и их производные так, что однородные уравнения равновесия будут тождественно при любом выборе этих функций удовлетворяться 38, 77.
Замечание. Строго говоря, функции, которые будут здесь введены, надо было бы назвать функциями усилий и моментов, но для краткости мы используем здесь термин теории упругости, укоренившййся уже и в теории оболочек.
Легко видеть, что при R 0 силовое уравнение равновесия 3.19.1 тождественно удовлетворяется, если положить
Лх?2, A2R-§-, 3.21.1)
где L — произвольный вектор.
Заменим в моментном уравнении равновесия 3.19.6 A1RW и Л2?1 по формулам 3.21.1; тогда при Q 0 оно примет вид
—£- №- £ А?ю—Л хл,х ж,-о. 3.21.2)


ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЯ
45
Этому уравнению можно удовлетворить, положив
-g- L х Мъ Л231 — L х М2, 3.21.3)
каков бы ни был вектор К.
Таким образом, ?1, R2 Q1, Q2 оказались выраженными через два произвольных вектора L и К так, что оба однородных уравнения равновесия тождественно удовлетворяются. Однако L и К нельзя брать совершенно независимыми друг от друга, потому, что при этом Q1 и Q2, определенные равенствами 3.21.3, будут в общем случае иметь отличные от нуля нормальные компоненты, что противоречит второму равенству 3.17.3. Помножим поэтому обе части равенств 3.21.3 скалярно на п и потребуем, чтобы левые части обратились в нули.
Тогда, воспользовавшись формулами скалярного умножения 1.2.2, получим два скалярных равенства
..„-Н-ОЧд.--о. 3.21.4)
ограничивающие произвол векторов L и К.
Из 3.21.1, 3.21.3 легко вывести формулы, выражающие усилия и моменты через векторы функций напряжения L и К- Для этого внесем в 3.21.1,
3.21.3 развернутые выражения 3.17.3 для R£, Q£ и будем помножать полученные равенства на единичные векторы основного триэдра. Получим
т iy 1 dL m Mj о у 1 dL
1 i v П л. Art., л, 9 v •/
Al daf Ai ’ 1 1; Aj dai A
i
3-2L5)
1 dK Mi u _ 1 Mi , F „
U ““Ж”' Af ’ ПА da, ’ At L n
в силу 3.21.4 равенства, получаемые помножением 3.21.3 на пу обращаются в тождества.
Примем, что L и К развертываются по осям основного триэдра следующим образом:
L “Фа -jr — -ф- — X. К а1--а2 — сп, 3.21.6)
11 il J 12
где фь ф2 Ъ аг а2 с — произвольные функции, которые будут называться функциями напряжения.
Отождествим в формулах дифференцирования 1.6.3 вектор b с L, т.е. положим
fc1 62 — грх, 63 — х,
тогда можно написать
dL
да.


46
СТАТИКА ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
1гл. 3
Подставив этот результат в 3.21.5, получим формулы, выражающие усилия через функции напряжения tyl9 ф2, :
т J 1 dy4; 1 chb- 1 dAf v
т. — _ L : L пь с. — _ _1 _ L i у X
Af даj AiAj dat Af daf AAf да 1 l r7 '
3.21.8)
дт _ —О
A, da, Rf-
Таким же образом, отождествив b с К в формулах 1.6.3, будем иметь
дК_ _ да Ldi7. А с Mt I
dat даt А,- да, ' ' R, А
-£-ТГЖ7“'т77 '4 -S- 329)
Отсюда по формулам 3.21.5 получаем также формулы, связывающие моменты с функциями напряжения а19 а2, с,
г _ dai 1 dAf _ с
‘ А, да, AcAj dat а R, ’
и _ 1 да‘ 1 I .
Л,- да, ЛЛ, 5а, а’ Ъ
Кроме того, внеся 3.21.7 и 3.21.9 в формулы 3.21.4, мы получаем равенства
'-тг£ -г’ 3-21-10)
которые показывают, что две из шести введенных выше функций напряжения не являются независимыми.
Исключив в 3.21.8 ф, ф2 с помощью 3.21.10, получим формулы
т 1 д 1 дс I а'Л 1 1 дА' 1 дс I а‘ 'i
Л,- да j А да, ' RJ ЛЛ да, Л да, Rt ’
с 1_ , 1 дА1 1 дс ai %
°ll A, daj Л dat 1г Я ЛЛ,- 5а,- V А, да, т Rj ' 4 R, ’
.--и' -т-тИтгягж’ 13-2Ы1)
г _ 1 daj 1 дА, с
' А1 ,daf AiA, да£ Д Я,- ’
Т7 _ 1 dflt- _ 1 а. I 1 У у
il Aj daj AiAj да '
Очевидно, что выражение таким образом усилия и моменты будут удовлетворять шести однородным скалярным уравнениям равновесия теории оболочек, какими бы ни были достаточное число раз дифференцируемые функции напряжения аъ а2, с, Это значит, что последние играют в теории оболочек такую же роль, как функции Максвелла—Морера в теории упругости.


ГЛАВА 4
ГЕОМЕТРИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
§ 22. Векторы упругого перемещения
и упругого вращения срединной поверхности
В § 2.11 вектор смещения упругой среды, образующей оболочку, был формулой 2.11.5 представлен в виде
V U а Зт — азфя, 4.22.1)
где векторы U т и скаляр ф зависят только от ах, а2. Положив а3 О
в 4.22.1, убеждаемся, что U представляет собой значение, которое прини¬
мает V на срединной поверхности. Поэтому естественно назвать U вектором упругого перемещения срединной поверхности. В развернутом виде будем записывать U, так же как в § 2.11, с помощью формулы
Uu u-wn 4.22.2)
и назовем и19 и2 — тангенциальными компонентами упругого смещения оболочки, a w — нормальной компонентой или прогибом оболочки.
В книге вопросы нелинейной теории оболочек не рассматриваются, и поэтому всюду будет считаться, что компоненты упругого смещения ии u2t w и все их производные по аь а2 настолько малы, что члены, нелинейные относительно этих величин, можно отбрасывать.
Введем далее следующие обозначения для углов поворота, возникающих в процессе деформации или смещения оболочки рис. 10:
у — угол, на который поворачивается вектор в сторону вектора п
В ПЛОСКОСТИ Mt, tl\
сot — угол, на который поворачивается вектор в сторону вектора Ж,- в касательной плоскости.
Очевидно, что со ог со2 равно изменению угла между координатными линиями, аб со2 — сох2 можно принять за меру угла поворота элемента срединной поверхности вокруг нормали от М1 к М2.
Введем понятие о векторе упругого вращения Г, определив его равенством
Г Тг- — п—8п. 4.22.3)
Вектор Г изображает упругие повороты, имеющие место в срединной поверхности оболочки. Его направление выбрано так, что положительный поворот при взгляде с положительной стороны Г будет совершаться против часовой стрелки .
В 48 было принято прямо противоположное правило знаков для углов поворота. Вектор упругого вращения там был обозначен через Q. Эта величина по смыслу совпадает с — Г. Компоненты 6 вектора Q в 48 имеют тот же смысл, что и здесь.


48
ГЕОМЕТРИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
1.ГЛ. 4
Векторы U и Г, конечно, не независимы, так как упругие повороты в срединной поверхности полностью определяются смещениями, которые она испытывает. Поэтому можно вывести три скалярных соотношения, связывающие U и Г.
Помножая скалярно 4.22.3 на М±, М2 и п, получаем
V, —1'гЛ, 6 Г-и. 4.22.4)
Вместе с тем уъ у2, б можно выразить и через вектор U.
Пусть М' обозначает вектор деформированной срединной поверхности
М' М U, 4.22.5)
откуда
;-4£-.w
индексы при М' и U обозначают производные по соответствующим аргументам. Помножив это равенство скалярно на п, получим:
Mr п Mtn Urn Ui-n.
Длина вектора М равна А, а угол между Mi и п согласно данному выше
определению равен — у. Таким образом,
Мгп А sin у. 1
Но А коэффициенты первой квадратичной формы деформированной срединной поверхности отличаются от А на величину порядка компонент смещения, поэтому в линейной теории последнее равенство надо заменить таким:
Мгп Aiyr
Таким образом,
■п Ъ- 4-22.6)


§ 221
ВЕКТОРЫ УПРУГОГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И УПРУГОГО ВРАЩЕНИЯ
49
П7 4-22'9>
Сопоставляя это равенство с первым, из соотношений 4.22.4, получим: -■П — -1‘г. 0. 4.22.7)
Далее имеем:
,4.22.8)
At At At А, А Af А. А/
В левой части этих равенств стоит скалярное произведение единичных векторов, равное косинусу угла между этими векторами. Таким образом рис. 10,
Mi М, п \
cos2 ®г ®г-
В правой части равенств 4.22.8 стоит малая величина; поэтому Ai можно заменить на At. Таким образом,
U, М1 1/
откуда
6 4.22.10)
Но последней из формул 4.22.4 угол б связан также и с вектором упругого вращения. Отсюда легко выводятся равенства,
--Г Г---Г- 4-К со2 J4.22.ll)
Равенства 4.22.7, 4.22.11 и представляют собой искомые скалярные соотношения, связывающие U и Г.
Формулы 4.22.6 повторяют полученные ранее равенства 2.11.7. Это' значит, что формально введенные выше величины по смыслу совпадают с упругими углами поворота, которым здесь даны такие же обозначения. Пользуясь этим, покажем, что вектор т, введенный с помощью второго равенства 2.11.6, можно определить формулой
т п—п 4.22.12)
где п' — единичный вектор нормали деформированной поверхности. Приняв во внимание, что п и п' — единичные векторы, прлучим:
mn nti — 1 cos ф— 1,
где ф — угол между нормалями деформированной и недеформированной поверхностей. Этот угол мал, и его косинус может быть заменен единицей, так что
тп 0.
Из геометрических соображений см. рис. 10 получаем также
C0S — Sin у£ —
Y-
Таким образом, получены все скалярные произведения вектора tn на единичные векторы основного триэдра, и можно написать
Л 09 1


50
ГЕОМЕТРИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
ГЛ. 4
Требуемое положение доказано, так как 4.22.13 совпадает со вторым равенством 2.11.6.
Согласно 4.22.3 имеем
Г X Т2- X П-у X Ъ.
Сопоставляя этот результат с 4.22.13, получим формулу
т Тхп. 4.22.14)
§ 23. Компоненты тангенциальной деформации срединной поверхности оболочки
В процессе преобразования компонент деформации трехмерной упругой среды были с помощью формул 2.11.9 введены величины
8 Uj т Mi иг М2 ■ U л по 1ч
“““лг 4-23Л>
еь со, е2 будут в дальнейшем называться компонентами тангенциальной деформации срединной поверхности оболочки.
Покажем, что ег, е2, со полностью определяются приращениями, которые получают коэффициенты первой квадратичной формы срединной поверхности оболочки в результате ее деформации.
Пусть срединная поверхность оболочки до и после деформации задаются, соответственно, векторами
М и М М U.
Тогда для недеформированной поверхности
ds2 A2 da2 А dal, а для деформированной поверхности
ds 2 А2 dal 2Л2Л2 cos da da2 -f- A2 do,
где
A’i Me Uif, A cos x Mi Ui ■ М2 Ui.
Последние формулы в линейном относительно Ui приближении можно переписать так:
л7 л’1 2--f-, +
или, учитывая 4.23.1,
А'? Al 1 -f- 2et, AA2 cos Л1Л2С0. 4.23.2)
В обоих частях первого из этих равенств извлекаем квадратные корни
и пользуемся известной формулой приближенного исчисления, тогда, раз¬
решая полученное уравнение относительно еь получим
£4-- 4-23-3>
Заметим, далее, что
cos ' cos- 8 8,
где 8 — величина, на которую уменьшился угол между координатными линиями в результате деформации.


§ 24]
КОМПОНЕНТЫ ИЗГИБНОЙ ДЕФОРМАЦИИ
51
Так как 6 — малая величина, то в левой части второго равенства 4.23.2 можно пренебречь различием между А и Аь В результате получим
со 6. 4.23.4)
Формулами 4.23.3 и 4.23.4 устанавливается искомая связь компонент тангенциальной деформации с изменением коэффициентов первой квадратичной формы срединной поверхности.
§ 24. Компоненты изгибной деформации срединной поверхности
Вторая группа величин, через которые в § 2.11 выразились компоненты деформации упругой среды, записываются так:
тг _ МР U2 M, т2 Мг 1 Ж2 4.24.1)
Л А2 Rj А2 Aj А2 Л R2 Л Л2
Величины къ х2, т назовем компонентами изгибной деформации срединной поверхности. Они связаны с приращениями, которые в процессе деформации получают коэффициенты второй квадратичной формы.
Коэффициенты второй квадратичной формы деформированной поверхности определяются формулой 1.3.3)
Lf — M'i-щ, 4.24.2)
в которой М' и п' можно выразить по формулам 4.22.5 и 4.22.12. Таким образом,
Lif — Ati -f- Uia Mj -f- ffif iy 1, 2)
здесь и ниже запись i, j 1,2 означает, что допускаются и значения i Раскроем скобки, отбросим нелинейный член, поделим обе части на AlAj и воспользуемся последней из формул 1.5.4. Получим
ttti Mi
f —
Ai ’ At ’
г2
Mi _ m2
It"
Aj A2
f
_ dm \
т.
“ da t J *
L'ij Mi nj Mi Щ 1 Ui Mi
AiAj Ai Aj Ai Aj Rj Ai
i, 1, 2.
Поэтому, учитывая формулы 1.3.3, 4.23.1, 4.22.9, 4.24.1 и помня, что для поверхности, отнесенной к линиям кривизны, Ь12 0, Мг-М2 О, можно написать
И — Ч, т -Й-. 4.24.3)
a a Ri лхл2 v '
Равенства 4.24.3 имеют силу только для случая, когда срединная поверхность отнесена к линиям кривизны. Первое из них показывает, что компоненты изгибной деформации хъ х2, равно как и ех, со, е2, совпадают с теми компонентами, которые использованы в основопологающей трактовке теории оболочек 84. Однако для компоненты т здесь принято другое определение, предложенное, по-видимому, впервые в 36 и ставшее теперь общепринятым для компонент изгибной деформации предлагались и другие определения, как, например, в 30. Равенства 4.24.3 показывают, что компоненты изгибной деформации связаны с изменениями, которые испытывают в процессе деформации коэффициенты второй квадратичной формы.


52
ГЕОМЕТРИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
ГЛ. 4
Из формул 4.23.3, 4.23.4, 4.24.3 следует, что если заданы шесть компонент деформации ег, е2,со, хь х2,т и известны первая и вторая квадратичная форма недеформированной срединной поверхности, то можно алгебраическим путем найти коэффициенты первой и второй квадратичных форм деформированной срединной поверхности. Вместе с тем первая и вторая квадратичная формы определяют поверхность с точностью до ее положения в пространстве см. § 1.3. Это значит, что компоненты тангенциальной деформации вместе с компонентами изгибной деформации полностью определяют деформацию срединной поверхности, т. е. шесть величин еь е2, со, хь х2, т составляют полную систему компонент деформации.
§ 25. Производные от векторов упругого перемещения
и упругого вращения
Формулами 4.22.6, 4.22.9 и первым равенством 4.23.1 определяются все скалярные произведения векторов Ut на единичные векторы основного триэдра. Мы имеем
4.25.1)
Ai At и At Aj 1’ At u 4 7
Отсюда следует, что производные от вектора упругих смещений в развернутом виде записываются так:
-i-S--5re4r- 4-25-2>
Введем вспомогательные векторы Vit V нижние индексы взяты в скобки, так как они не обозначают дифференцирования по соответствующим переменным, задав их равенством
—-ГХГ, 4.25.3)
At А Ai
и покажем, что эти векторы лежат в касательной плоскости й определяются только компонентами тангенциальной деформации еь е2, со.
Из 4.22.3 получаем
W хГ -£ х ТГ''•
Отсюда, учтя формулы 4.22.10, 4.22.11, 4.25.2, получим требуемый результат:
4r e‘-f- 4-25-4)
Из формул 4.24.1 и 4.22.9 следует
“L. 4.25.5)
Ai Ai “ Ai Aj Ri v 7
В левых частях этих равенств вектор т можно выразить через вектор Г с помощью 4.22.14. Получим
At Aj At


§ 26]
ВЫРАЖЕНИЕ КОМПОНЕНТ ДЕФОРМАЦИИ
53
Заменив здесь и, согласно 1.5.4 и выполнив векторное умножение, напишем
ntj Mi у Tj_ Mj_
Ai At x 4 Ai ' A, ’
i; rit rif Sif j
Подставим этот результат в 4.25.5 и заметим, что согласно 4.22.3, 4.22.10 Получим
Г-я — б -i- ffli — со2.
4'25'6)
Введем обозначения
Tl. 4.25.7)
Тогда формулами 4.25.6 и 4.25.7 определятся все скалярные произведения векторов Гь Г 2 на единичные векторы основного триэдра, и можно написать
Т7 - Г 1‘ 'т ■- Ж'ТГ' -1 '•“ Т- Ь- 4-25-8>
§ 26. Выражение компонент деформации и углов
поворота через перемещения
В предыдущих параграфах были введены углы поворота ylt у2, coi, со2, б, компоненты тангенциальной деформации elf со, е2, компоненты изгиб- ной деформации и2, т и две дополнительные величины £2. Все эти величины с помощью формул 4.25.1, 4.25.6, 4.25.7, 4.22.10, 4.22.11, выражены через скалярные произведения первых производных от векторов упругого смещения U и упругого вращения Г на единичные векторы основного триэдра. В свою очередь U и Г выражаются формулами 4.22.2 и 4.22.3 через компоненты упругого смещения ult и2, w и через углы поворота у19 у2, б. Пользуясь этим, можно записать формулы, выражающие в скалярной форме перечисленные величины через перемещения. Для этого надо применить формулы дифференцирования векторов, заданных на поверхности, к U и Т. Выкладки здесь совершенно аналогичны тем, которые были описаны в §3.21. Поэтому, опуская подробности, напишем окончательный результат.
Из 4.25.1 получаем формулы для упругих углов поворота:
_ 1 duj j QAi 1 dw Ui \
АЩ d afUi — ’
4.26.1)
s 4- К ■- ®i 4 A A1“0 - А2Щ ]
и формулы для компонент тангенциальной деформации:
1 dui 1 дАг w


54
ГЕОМЕТРИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
ГЛ. 4
Из 4.25.6 вытекают формулы, выражающие компоненты изгибной деформации через углы поворота,
х. LiVL l—Miy.
1 Ai даi AiAj daf
Lili. _L 1 dAi I J£L
Aj da j AiAj dai 2 Rj
4.26.3)
и формулы для величин £х,
ь -жг-1'- 4-26-4)
Подставив в 4.26.3 выражения для углов поворота и деформации сдвига согласно 4.26.1 и 4.26.2, получим формулы, выражающие компоненты изгибной деформации через перемещения:
V‘i Ai да
dwuj 1 Д- 1 Щ \
At dai Ri AiAs да, Aj daj ' Rj j ’
1 d 1 dw ui 1 dAi I 1 dw ui , ел or pl\
T Aj da, Ai dai Ri AiAj dat A; dat R, A.Zb.O)
, j_ J_L 1. dA(
Rj V Ai da AjAj da 1
§ 27. Определение перемещений по заданным компонентам
деформации. Уравнения неразрывности деформаций
В теории упругости доказывается, что компоненты деформации упругой среды подчиняются уравнениям неразрывности деформаций Сен-Венана, которые можно рассматривать как условия интегрируемости в задаче о построении перемещений по заданным деформациям. Таким же образом
можно получить уравнения неразрывности деформаций и в теории оболочек.
Выше при помощи формул 4.25.2 и 4.25.8 мы выразили производные от векторов U и Г через компоненты деформации, углы поворота и величины и J2. Будем теперь рассматривать эти равенства как дифференциальные уравнения, определяющие векторы U и Г, считая, что нам заданы не только компоненты деформации, но и все перечисленные скалярные величины. Тогда условиями интегрируемости систем 4.25.2 и 4.25.8 будут два векторных равенства
£№--4 0, 4.27.1)
Г,-4г,_0. 4,27.2)
Если эти соотношения выполнены, то U и Г можно определить при помощи формул:
U J Ulda1-- U2da2, Г J T1da1 T2da2, 4.27.3)
в которых криволинейные интегралы в односвязной области не зависят от пути интегрирования. Это значит, что будет обеспечена геометрическая сплошность деформированной поверхности. Поэтому 4.27.1 и 4.27.2 можно назвать уравнениями неразрывности деформаций 36, 38.


§ 27 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ. УРАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ 55
Обсудим уравнение 4.27.1. Заменим в нем Ut через Уц по формуле
4.25.3. После очевидных преобразований получим
Va Га х MlTi хм ° 4-27-4)
в дальнейшем мы будем пользоваться только этим уравнением вместо
4.27.1.
Векторное уравнение 4.27.4 эквивалентно трем скалярным равенствам. Первые два из них можно получить, помножая последовательно обе части равенства 4.27.4 скалярно на Mlt Ж2. Тогда, используя обозначения
4.25.7, будем иметь:
M-3ST И,П V'' 0. 4.27.5)
Эти соотношения можно рассматривать как уравнения, определяющие величины которые выше были введены чисто формально. Формулы
4.25.4 показывают, что в выражение Ущ входят только еь е2 и со. Следовательно, величины определяются только компонентами тангенциальной деформации и их производными.
Последнее скалярное соотношение, вытекающее из. 4.27.4, записываются так круглые скобки означают смешанные произведения трех заключенных в них векторов:
п ■ -5Й7 —айГ К2 Га’ Мъ пГъ п °‘ 4-276)
Ниже будет показано, что это соотношение представляет собой тождество.
Итак, векторное равенство 4.27.4 можно рассматривать как уравнение неразрывкости только формально; оно эквивалентно трем уравнениям, из которых одно является тождеством, а два других связывают введенные ранее величины £ с компонентами деформации е2, со.
Обратимся к уравнению 4.27.2. В нем векторы Г1э Г2, как показывают формулы 4.25.8, выражаются только через компоненты изгибной деформации хъ х2, т и величины £lf £2, а последние в свою очередь выражаются через компоненты изгибной деформации еь е2, со формулами 4.27.5. Это значит, что равенство 4.27.2 представляет собой векторную запись трех скалярных уравнений неразрывности деформаций теории оболочек.
Тот факт, что в теории оболочек число уравнений неразрывности деформаций оказалось равным трем, очевиден. Уравнения, вытекающие из 4.27.2, можно было бы получить и другим путем, выразив в уравнениях Кодацци— Гаусса 1.3.8 коэффициенты первой и второй квадратичной форм деформированной поверхности А, А?, Liu Li2, L22 через коэффициенты первой и второй квадратичной форм недеформированной поверхности Аъ А 2, Ln, L22 и компоненты деформации еь со, е2, хь т, 2. Таким методом уравнения неразрывности и были впервые получены в 361.
Поставленная выше задача определения перемещений решается при помощи формул 4.27.3. Правда, в начале параграфа было сделано предположение, что нам известны не только деформации, но и величины £2 и упругие углы поворота сох, со2, уъ у2, б, однако легко показать, что, выбрав надлежащим образом последовательность выкладок, мы можем от этого предположения избавиться. Величины £2 следует считать известными, если заданы компоненты деформации еь е2, со, так как для определения их даны формулы 4.27.5. Следовательно, вектор Г по заданным компонентам деформации может быть вычислен при помощи второй из формул
4.27.3. Считая известным Г, можно векторы Ult U2 выразить по формулам


56
ГЕОМЕТРИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
ГЛ.- 4'
4.25.3 через Vi и V, а последние зависят только от компонент деформации еь s2, со. Пользуясь этим, мы можем вычислить U при помощи первой формулы 4.27.3, и задача построения перемещений по заданным деформациям будет решена. Изложенный подход к ее решению предложен в 78.
В вычислениях дважды встречается интегрирование. Поэтому в окончательный результат войдут два произвольных постоянных вектора. Они, оче- видно, представляют собой векторы смещения и вращения срединной поверхности оболочки как жесткого целого.
В качестве простейшего примера рассмотрим случай, когда все компоненты деформации равны нулю, т. е. найдем компоненты смещения срединной поверхности как жесткого целого.
При е2 е2 со к2 т 0 мы имеем
Помножая скалярно это равенство на единичные векторы основного триэдра, получим окончательно
Векторные уравнения 4.27.1 и 4.27.2 можно заменить скалярными, снова воспользовавшись формулами дифференцирования вектора, заданного на поверхности. Соответствующие выкладки аналогичны тем, которые описаны в § 3.19, и не требуют пояснений. Для оболочки, срединная поверхность которой отнесена к линиям кривизны, эти уравнения имеют вид
Г Г2 V1 К2 о.
Второе из соотношений 4.27.3 при этом дает
Г Г0 const.
Поэтому по формуле 4.25.3 имеем:
Ut г0 х Mt.
Интеграл, определяющий вектор смещения, принимает вид
4.27.7)
и, выполнив интегрирование, мы придем к известной формуле:
и Го X М и о Ее можно также записать в виде
4.27.8)
1- ы2-— Г0 х М U0.


§ 27 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ. УРАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ 57
Здесь приведены пять уравнений. Шестое скалярное равенство формально записывается так:
со со со со ~
х 2ЯХ Щ”27 °-
Оно, как уже говорилось, представляет собой тождество.
Мы будем в дальнейшем условно называть пять скалярных равенств
4.27.10 или два векторных равенства 4.27.1 и 4.27.2 уравнениями неразрывности деформации, хотя в них, помимо компонент деформации, входит величина Ее можно исключить с помощью третьего равенства 4.27.10. Тогда число уравнений неразрывности деформаций сократится до трех. Они записываются так:
первое из этих равенств содержит индексы i, j и, следовательно, эквивалентна двум уравнениям.
Замечание. В интересной работе 181 для вывода уравнений неразрывности деформаций был применен вариационный метод и были получены четыре уравнения. Они содержат, помима ех, со, е2, 15 т, 2, дополнительные геометрические величины, которые в рамках излагаемой теории надо положить равными нулю. В результате снова получатся равенства 4.27.11. Такие обобщенные уравнения неразрывности деформаций могут быть получены при построении некоторых уточненных теорий, в частности теорий, учитывающих поперечные сдвиги..


ГЛАВА 5
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
§ 28. Уравнения состояния соотношения упругости)
Чисто статические и чисто геометрические уравнения и формулы, рассмотренные в двух предыдущих главах, связаны между собой уравнениями состояния, выражающими усилия и моменты через компоненты деформации. Они были уже выведены раньше и записаны с помощью равенств 2.12.3 и 2.12.5. Перепишем их еще раз:
Равенства 5.28.1 представляют собой лишь один из возможных вариантов уравнений состояния. В литературе по теории оболочек можно найти и другие варианты тех же формул. Это объясняется тем, что любая двумерная теория оболочек опирается на те или иные упрощающие предположения, характер которых не сказывается на чисто статических и чисто геометрических соотношениях, но отражается на структуре уравнений состояния выкладки, ведущие к последним, обычно также выполняются не точно.
Равенства 5.28.1 представляют собой уравнения состояния, соответствующие гипотезам § 2.10. Последние сформулированы не совсем обычно, хотя в сущности мало отличаются от других гипотез теории оболочек. Они обладают следующими преимуществами.
Теорию оболочек, основанную на гипотезах § 2.10, можно рассматривать как исходное приближение некоторого итерационного процесса интегрирования трехмерных уравнений теории упругости и, кроме того, для определенного класса наиболее важных в практическом отношении задач она дает максимальную точность. Это утверждение будет обосновано в части VI книги.
Среди других гипотез, предлагавшихся для построения двумерной теории оболочек, наибольшей популярностью пользуется гипотеза Кирхгофа—Лява, которую можно сформулировать так:
а прямолинейные волокна оболочки, нормальные к недеформированной срединной поверхности, остаются прямолинейными и нормальными к деформированной срединной поверхности и не меняют своей длины, б нормальными напряжениями о33 можно пренебречь по сравнению с напряжениями о11у
01 2 и О 2 2*
—1Ь т1г-Ь-
3 1 —V


§ 28]
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
59
Эту гипотезу Кирхгоф положил в основу теории изгиба пластинок, а Ляв с ее помощью получил первую формулировку современной теории оболочек.
Сравнив гипотезу Кирхгофа—Лява с предлагаемыми здесь гипотезами, можно отметить, что в последних
1 сохранено предположение о том, что нормальный элемент остается нормальным; это выражено первым равенством 2.10.3,
2 отброшено предположение о неизменности длины нормального элемента, о чем свидетельствует второе равенство 2.10.3,
3 предположение о возможности отбросить сг33 заменено предположением о возможности выразить его приближенной формулой 2.10.5,'
4 приняты равенства 2.10.1, 2.10.2, которыми, как отмечалось в §2.11, в сущности устанавливается правило отбрасывания некоторых второстепенных членов при реализации гипотезы Кирхгофа—Лява отбрасывания тоже производятся, но они заранее не регламентируются.
Исходя из гипотезы Кирхгофа—Лява и сохраняя в выкладках только старшие члены, можно вывести такие уравнения состояния:
В работе 77 была также принята гипотеза Кирхгофа—Лява, но в выкладках были сохранены все степени а3 до третьей включительно. Это привело к таким уравнениям состояния:
Сравним 5.28.1 с 5.28.3 и выясним причины расхождений между этими формулами.
Прежде всего равенства 5.28.1 неоднородны. Они содержат слагаемые, зависящие от интенсивности внешнего сжатия т, которым соответствует некоторое напряженное состояние, не связанное с деформированием срединной поверхности. Это является очевидным следствием эффекта Пуассона, вызванного напряжением сг33, и в формулах 5.28.3 оно не нашло отражения потому, что в рамках гипотезы Кирхгофа—Лява сг33 не учитывается.
В выражении для Gt в квадратных скобках согласно 5.28.1 надо учитывать выражение
Лишние члены в 5.28.1а появляются как результат учета изменения длины нормального элемента. В 5.28.3а они исчезают вследствие принятия гипотезы Кирхгофа—Лява. Вместе с тем нет никаких оснований считать, что первое слагаемое выражения 5.28.1а будет больше второго. Это
7 “ 1 v
31
i 1 __V2
2 Eh
Eh
2
5.28.3)
тогда как согласно 5.28.3 вместо него надо брать
5.28.3а)


60
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
ГЛ. 5
значит, что формулы 5.28.3 нельзя считать до конца последовательными. К ним ведут выкладки, учитывающие все члены до а3 включительно. Эта точность не адекватна точности гипотез Кирхгофа—Лява, и в результате в 5.28.3 учитываются члены 5.28.3а того же порядка, как и отброшенное.
В свою очередь в 5.28.3 в выражения для Тъ Т2, S21, S12 входят слагаемые, которых нет в 5.28.1, и эти слагаемые при определенных обстоятельствах могут оказаться существенными. Отсюда следует, что уравнения состояния 5.28.1 формально столь же не последовательны, как и 5.28.3. Однако надо помнить, что формулы 5.28.1 предлагаются для определенного класса задач, а не как универсальные уравнения состояния. В части VI этот класс задач будет определен и будет показано, что в нем пропущенные слагаемые не могут оказаться существенными.
Из сказанного можно сделать вывод, что в теории оболочек вид уравнений состояния в известных пределах зависит от нашего желания и от целей, которые мы преследуем. Здесь не всегда решающим является даже стремление добиться наибольшей точности, так как простейшие варианты уравнений состояния часто оказываются в этом смысле вполне приемлемыми. Будем поэтому пока считать равенства 5.28.1—5.28.3 равноценными и присоединим к ним еще один вариант уравнений состояния, предложенный независимо и одновременно JI. И. Балабухом 13 и В. В. Новожиловым 98:
rp 2Eh , ч с Eh Ш х \
Т-1—V2 e, ve. Si-Tv03 Rj’
2 Eh? 2 Eh? 5.28.4)
.™,. Я,. Я-TinV-
При своей, почти предельной простоте он обладает важными свойствами, которые выявятся впоследствии.
Замечание. Формулы, связывающие усилия и моменты оболочки с компонентами деформации ее срединной поверхности, названы здесь уравнениями состояния, так как этот термин все чаще появляется в зарубежной научной литературе. При этом допускается некоторая условность: обсуждаемые формулы зависят не только от состояния материала оболочки, но также и от свойств, приписываемых самой оболочке в силу принимаемых гипотез.
§ 29. Дополнительное уравнение статики
и шестое уравнение равновесия
Уравнения состояния, в любом варианте, связывают восемь усилий и моментов Тъ Т2, S21, S12, Gl9 21, 12, G2 с шестью компонентами деформации еь со, 82, т, х2. Поэтому, исключив компоненты деформации,
можно получить два алгебраических равенства для усилий и моментов, к обсуждению которых мы и переходим.
Одно из упомянутых равенств в некоторых случаях, и в частности в случаях, когда уравнения состояния имеют вид 5.28.3 или 5.28.4, записывается так:
521-513 - 0. 5.29.1)
Оно совпадает с последним скалярным уравнением равновесия 3.19.11, которое мы будем называть шестым уравнением равновесия, подразумевая под этим равенство, выражающее условие уравновешенности моментов относительно оси п.
Выше уже говорилось, что шестое уравнение равновесия не входит в число статических уравнений в теории оболочек и, вообще говоря, оно
Это будет показано в части VI.


§ 30]
РАБОТА СИЛ ТРЕХМЕРНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ ОБОЛОЧКИ
61
не выполняется. Однако оно может оказаться следствием уравнений состояния. Примером, как мы видели, служат уравнения состояния, выражаемые формулами 5.28.3, 5.28.4. Пример противоположного характера представляет собой уравнения состояния, выражаемые формулами 5.28.1 и
5.28.2. Из них вместо 5.29.1 вытекает уравнение
S2i — S12 0, 5.29.2)
которое отличается от 5.29.1 отсутствием членов с 21 и 12.
Замечание. Как правило, моменты Н21, Н12 малы по сравнению с усилиями S21, S12. Поэтому нарушение шестого уравнения часто не имеет существенного значения. Напомним в связи с этим, что речь идет о несоблюдении уравновешенности некоторых воображаемых сил и моментов, приложенных к воображаемой срединной поверхности, а равновесие трехмерной среды, образующей оболочку, будет выполняться всегда, когда удовлетворены первые пять уравнений равновесия 3.19.11 и когда должным образом определены напряжения а13, а23, а33 § 2.16. Вместе с тем возможны и случаи, когда разница между уравнениями 5.29.1 и 5.29.2 станет существенной. Поэтому в дальнейшем мы будем иногда различать уравнения состояния, удовлетворяющие или противоречащие шестому уравнению равновесия.
Второе равенство, вытекающее из уравнений состояния, будет называться дополнительным статическим уравнением. К дополнительному статическому уравнению простейшего вида приводят уравнения состояния
5.28.2 и 5.28.4. В этих случаях получаем
Н21 — Н12 0. 5.29.3)
§ 30. Работа сил трехмерной упругой среды оболочки
Вернемся к трехмерным уравнениям теории упругости и будем снова пользоваться триортогональной системой координат 1.8.3.
Выделим нормальными сечениями некоторую конечную часть оболочки и будем считать, что ей соответствует односвязная или многосвязная область G изменения параметров аъ а2, ограниченная контуром или контурами g рис. II. Можно считать, что к рассматриваемой части оболочки приложены внешние силы и упругие силы, заменяющие отброшенную часть оболочки. Обозначим через Z работу всех этих сил на перемещениях трехмерной среды оболочки. Ее можно представить в виде следующей суммы:
Z ZG Z Z--f-Zg. 5.30.1)
Здесь ZG представляют собой работу массовых сил
--h
ZG f daз j q • УНгН2 da3 da2 5.30.2)
-h G
q — вектор массовых сил, V — вектор смещений трехмерной упругой среды.
Z, Z представляют собой, соответственно, работу сил, приложенных к лицевым поверхностям оболочки:
Z± 11 Я± -УНгН2аг±н da, da, 5.30.3)
G
q± — векторы сил, приложенных к лицевым поверхностям.
Под Zg подразумевается работа упругих сил, развивающихся на боковых поверхностях оболочки. Чтобы найти Zgt выделим малый объем тела оболочки


62
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
ГЛ. 5
двумя сечениями а3 а30 и а3 а30 da30, параллельными срединной поверхности, двумя поперечными сечениями, проведенными через аг- и а2-линии, и поперечным сечением, проведенным через малый участок границы g. В плоскости а3 а30 этот объем изобразится в виде криволинейного треугольника abc рис. 12.
Силы, приложенные к поперечным сечениям, проходящим вдоль ас и ab, будут, соответственно,
— G2Hdaidas и aiH2da2da3.
Поэтому из условия уравновешенности элемента abc следует, что к стороне, проходящей через cb, будет приложена сила, которая с точностью до бесконечно малых величин более высокого порядка равна
У2 Нj da i Н2 doc2 da3.
Отсюда имеем (
—h
5.30.4)
контурный интеграл должен браться вдоль рис 12. всей границы односвязной или многосвязной
области G, изображенной на рис. И.
В 5.30.4 величины V, Нь Н2 определяются формулами 2.11.5 и 1.8.5. Поэтому
А2 da2 +
--h
Yh 1 %
J а2 1 daB
Аг da—
Jа1 1 т?7das
—h
—h
Vh 1 Г
Jff2a3l da3 Alda1— J7ia3 1 -г- da{
—h —h
Aj dax —
— Ф'ф J o2 -a3l
J01, • лаз 1
A2da2. 5.30.5)
Из формул 2.9.2 и 2.10.1 следует, что


§ 30]
РАБОТА СИЛ ТРЕХМЕРНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ ОБОЛОЧКИ
Отсюда, учитывая формулы 2.13.2, 2.13.6, 2.13.7, получаем
--h -f-h
Jffo l -т-а3 ?0, J тоаз 1 -т-йаз — mi£.
—h
Поэтому можно написать ■
г 1 н
j 2,l da3p1da1-jr1l da;
—г
и, кроме того,
г
Л2 dX2f =
U-RAX dar-RAz do 5.30.6,
• j J ff2a3 1 da3j Ax dai — J ai,a3 1 da3 j A2 da2j *
—j lm-m2Ai dai— m-m1A2 da2t
В последнем равенстве вектор т с помощью 4.22.14 можно выразит через вектор упругого вращения Г. Тогда, воспользовавшись формулами*
2.14.9, получим
jff'jffCO r-Q‘,
и обсуждаемое равенство примет вид
- h - г- -f-ft - ч
J 72аз 1 -r- dasJ Ai dai — J 1аз 1 da3 j A2 da2J =
— § r-Q2Mi dai—QlA2 do. 5.30.7>
Введем обозначения
h h
J ai-a3l 2-da3 — r3£a3 1 -f da3 Nt. 5.30.8>
-h 1 -ft '
Тогда, подставив в 5.30.5 выражения 5.30.6, 5.30.7 и 5.30.8, получим, требуемый результат:
Zg j U-R2Ai dai—R1A2 da2 j r-Q2,4i dai—Q1A2 da2 —
— NlAida — NlAzdai. 5.30.9,
Обратимся к выражению ZG. В нем также можно раскрыть смысл вектора V по формуле 2.11.5 и вектора т по формуле 4.22.13. Тогда равенство 5.30.2 примет вид
Zeu' q 1 j-l -Sfad'Msd1‘fai-
G 1—h 1
— J Jr- J q X cc3n 1 LdaA1A2da1dat —
G l-h 1 2 J
— 1 7 аз И- Н“ h 5.30.10)


€4
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
Lf Л. 5
Равным образом вместо 5.30.3 можно написать
£;' ■£-М.
G
— J г -± д± X А 1 ± jrl ± A1A2da1dai +
G
J Jl±7£ftl ±--1 ±A,A2dalda 5.30.11)
G
Подставив в 5.30.1 выражения 5.30.9, 5.30.10 и 5.30.11, получим 'искомую формулу:
■Z j U-RAxdxx—RA2da — Y.QAxdax—QA2da —
2А1 dai —NA2 da? RAXA2 dax da2 —
V
— f J Г • Q13A_ dat da2 f РАгА2 da, da2. 5.30.12)
G G
'Здесь под R и Q подразумеваются векторы внешних поверхностных сил и моментов, определяемые формулами 2.13.10 и 2.14.8, а под Р подразумевается следующее выражение:
j -J1 '7 +
—h
Ч1 JrK1 'kqhliklkqr'
§ 31. Энергия деформации
Помножим скалярно силовое уравнение равновесия 3.19.1 на вектор упругих смещений t, а моментное уравнение равновесия 3.19.5 на вектор упругих вращений Г, проинтегрируем полученные равенства по области G и вычтем второе из первого. Получим
jju ЯА уA2dax da2— Пг?Л уА2 day da2 =
1 з§;АЛиЬ,‘,-
G
- J 1Г' ik A'Q0 da-
G
— J J Г-UyRW X М2Л2?1 x My1 dayda2-- f J QF • nA1A2da1 da2.
G G
5.31.1)
К первым двум слагаемым правой части равенства 5.31.1 применим формулу интегрирования по частям. Если положительное направление


§ 31]
ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ
65
обхода G взято так, как показано на рис. 13, то эта формула записывается следующим образом: „
Яч,ёл1йа2=
G
j ФР dat -f- fq da2 — J j ?— p-jj dat da2. 5.31.2)
G
Отсюда
f f U ■ RAA2 dat da2 — f Г • QAtA2 dax da2 =
а в
j U-— RMA1da1 RA2da2 — r-l— QWA1da1 QA2da2^
— J J A2RW-U1 AlR-U2da1da2 f J A2QW rx AtQ™-Г2 Ааа2 —
G G
— r.A?2 X M2 A2R X MddcL1da2 f f QT-nAdada. 5.31.3)
V G
Преобразуем в правой части этого равенства двойные интегралы, развернув ?, QW по формулам 3.17.3 и раскрыв векторные произведения. Будем иметь
j J Иг1 • иг ARM ■ U2 dot da2 — Л1 • 1 AtQM. г2 dax da2 +
G ‘G
f Г-Л1?2 x Ж2 Л2?1 X Mlda1da2— f I Qr • пАгА2 dax da2 =
V G
-т'х-ът'ЛтЛ-Тп+
G
1 с U2 , p q I M2 , Г2 Мг гг Гx M-i , tt r2 M2
Sl2U Л r'n-GlA -ж-т.-иа:-a.-a;'~
-N1.n r-' — N2-n — r.y± — Qr.nA1A2da1da2. 5.31.4)
В правой части равенства 5.31.4 множители, стоящие при тангенциальных усилиях 7, S21, Г2, S12 и моментах Gl9 21, Н12, G2, можно выразить через компоненты деформации с помощью 4.25.1, 4.22.4 и 4.25.6, множители, стоящие при перерезывающих усилиях, исчезают в силу 4.22.7, а множитель при величине Q выражается через 6 согласно 4.22.4. Преобразуем соответствующим образом правую часть равенства 5.31.4 и внесем полученный результат в 5.31.3. Будем иметь
J J U • RA1A2 da-L da2— J J Г • QA±A2 dax da2 +
G GJ
§ U-RMA dal — RMAt da2 — J Г- QMA1 dat — QA2 da2 =
l l 'lEl “I- 2 Ь 21 2 Ъ 12 2 1Я1 2И2 21 T 2Г 4"
G 1
Н12 — щ' -f- Q6J АгА2 da± da2. 5.31.5)


66
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
ГЛ. 5
Полученное равенство можно рассматривать как формулировку теоремы Клапейрона для двумерной теории оболочек, т. е. записать его коротко так:
L 2W ‘ 5.31.6)
и считать, что L представляет собой работу поверхностных и краевых сил оболочки и определяется формулой
L — J J U • RA±A2 dax da2 — J J Г • QAXA2 dax da2 +
G G
f U-iRWAtda,— RA2da2 — j — QWAtda,, 5.31.7)
a W представляет собой энергию деформации оболочки и определяется формулой
-у J J Т2г2 S2i — 12 2 iKi G22 +
G
Н21 Щ- 12 Т 2 12 dX2. 5.31.8)
Для работы L получилось выражение 5.31.7, которое соответствует обычно принимаемому в теории оболочек предположению, что силы работают на соответствующих им перемещениях, а моменты — на соответствующих
им углах поворота. Однако это лйшь формальный результат, так как построенная здесь работа L, вообще говоря, не совпадает с работой Z, которая была получена в § 5.30 при рассмотрении оболочки как трехмерного тела. Сопоставив 5.30.12 с 5.31.7, убеждаемся, что совпадение этих двух понятий будет иметь место только в том случае, если обращается в нуль величина ф, характеризующая изменение длины нормального элемента. Таким образом, предположение, что в теории оболочек работа есть сумма попар- Щ ных произведений сил на перемещениях и моментов на углах поворота, в смысле точности адекватно предположению о сохранении длины нормального элемента. Если мы хотим учесть изменение длины нормального элемента ф, то 5.31.7 надо рассматривать как величину, которую следует формально отождествить с работой, чтобы можно было считать справедливой теорему Клапейрона, выраженную равенством 5.31.6.
Замечание. Предлагались и другие определения понятия работы в теории оболочек. Укажем в качестве примера 179.
Возможность принять 5.31.8 в качестве формулы энергии деформации тоже требует оговорок. Энергия деформации должна исчезать, если отсутствует деформация, т. е. если срединная поверхность оболочки смещается как жесткое целое. Таким свойством W, вообще говоря, не обладает, так как в правую часть равенства 5.31.8 входит член Q6, где 6— угол поворота, а не компонента деформации. Этот недостаток формулы 5.31.8 снимается, когда Q 0, т. е. когда уравнения состояния удовлетворяют шестому


§ 32]
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
67
уравнению равновесия §5.29. Тогда в равенстве 5.31.6, выражающем теорему Клапейрона, W будет определяться формулой
свободной от отмеченного выше недостатка.
Легко заметить, что единственные соотношения, связывающие между собой статические и геометрические величины теории оболочек, т. е. уравнения состояния, в настоящем разделе не были использованы. Поэтому можно считать, что статические величины, с одной стороны, и геометрические, — с другой, ничем не связаны друг с другом в равенстве 5.31.6, и записать его так:
состояния, соответствующего поверхностным силам и моментам ?, Q, а под
— компоненты деформации, вектор перемещений и вектор вращения некоторого деформированного состояния; причем 5.31.13 и 5.31.14 ничем не связаны друг с другом.
§ 32. Общие теоремы теории оболочек
12
Обозначим через подынтегральное выражение в правой части равенства 5.31.12 и заменим в нем усилия и моменты через компоненты деформации с помощью уравнений состояния 5.28.4. Получим формулу
— 2 J 181 “Ь 2s2 21 2 h 12 2 2К2
Н2х — щ H12T--A1A2dalda2, 5.31.9)
5.31.10)
где
Ь12 г • RAXA2 da± da2 — ' • QAXA2 dax da2 -f
-21 1
G
2 Г 1 1 1 C 2 Г 1 1
5.31.11)
AXA2 dax da2, 5.31.12)
под
5.31.13)
подразумеваются усилия и моменты некоторого внутреннего напряженного
2 222 22 22 еь со, е2, хь 2, т, U, Г
5.31.14)
Г 2 1 “Г 2 '
12 12 1 2 12"
СОСО -f-
-J- х2х2 -- v xix2J 0 — v тт ’ 5.32.1)


68
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ- ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
ГЛ. 5
12
из которой непосредственно видно, что симметрично относительно верхних индексов. Отбросив последние в обеих частях равенства 5.32.1, будем иметь
I е? 82 2vi2 -Цр. О2 +
х 2wiX2 1 - V Т2 5.32.2)
Покажем, что при любых значениях компонент деформации выпол¬
няется соотношение
0. 5.32.3)
Для этого достаточно установить, что справедливы неравенства
si 82 2v8i82 30, i xf -f- 2vi2 0. 5.32.4)
Рассмотрим первое из них. Пусть 0 иначе доказываемое положение станет очевидно, тогда, учитывая, что v 12, можно написать
8i —— 82 —— 2vSi82 8j —— 82 —— 8j82.
В правой части этого неравенства отрицательно лишь третье слагаемое и оно не превосходит по модулю наибольшего из первых двух слагаемых. Поэтому обсуждаемые неравенства, а вместе с тем и соотношения 5.32.3 справедливы. Знак равенства в 5.32.3 будет иметь место только в том случае, когда
81 е2 со i 2 т 0, 5.32.5)
т. е. когда срединная поверхность, не деформируясь, смещается как жесткое целое.
12
Из свойства симметрии I вытекает, что в. теории оболочек, так же как в теории упругости, справедлива теорема взаимности Бетти. Из соотношений 5.32.3 вытекает, что в теории оболочек выполняется теорема единственности, аналогичная теореме Кирхгофа в теории упругости. Доказательство
обоих утверждений основано на таких же рассуждениях, как в теории упру¬
гости 39. Остановимся только на теореме единственности.
Краевую задачу теории оболочек можно схематически записать так:
С М с, D М d. 5.32.6)
Здесь М — обсуждаемое решение, т. е. совокупность искомых величин усилий, моментов, перемещений и т. д.; первое равенство 5.32.6 — символ дифференциальных уравнений теории оболочек, в котором с — правые части этих уравнений, составленные из известных функций; второе равенство 5.32.6 — символ граничных условий теории оболочек они могут быть неоднородными и d обозначает их правые части.
Пусть сформулированная краевая задача имеет два решения Мъ М2. Тогда справедливы равенства
CMj c, D Мг d, .
С М2 с, DM2 d.
Будем считать, что не только дифференциальные уравнения теории оболочек, но и граничные условия линейны, и вычтем друг из друга соответствующие равенства 5.32.7. Получим
С АТ 0, D М' 0, М' М1 — Mt.


§ 321
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
69
Таким образом, предположение о множественности решения неоднородной линейной краевой задачи теории оболочек равносильно предположению о существовании нетривиального решения соответствующей однородной краевой задачи краевой задачи, которая получается из первоначальной, отбрасыванием правых частей в уравнениях и граничных условиях.
Для однородной задачи в равенствах 5.31.6, 5.31.7 и 5.31.9, выражающих теорему Клапейрона, надо положить равными нулю векторы поверхностной силовой и моментной нагрузки. Отсюда, учитывая 5.32.2, получим
L 2W,
L j U-lRAt dth — RWA, da2 — j Г - Q2x dat — QA2 da,, 5.32.8 2W IAtA2 dat da2.
Примем, что граничные условия задачи таковы, что из соответствующих им неоднородных граничных условий следует неравенство
U• ?2Агdax — Я1 А2da2—j Г-Q2MXdat—QА2 da2 0. 5.32.9)
Тогда левая часть первого равенства 5.32.8 в силу 5.32.9 неположительна, а правая часть этого равенства в силу 5.32.3 неотрицательна. Следовательно, равенство возможно только тогда, когда 5.32.3 и 5.32.9 из неравенств превратятся в равенства. Первое из них возможно только при выполнении равенств 5.32.5, которые означают, что срединная поверхность может смещаться лишь как жесткое целое.
Итак, имеет место следующая
Теорема единственности решения краевой задачи теории оболочек. Если из однородных граничных условий вытекает неравенство 5.32.9, которое будет называться условием единственности, то решение неоднородной краевой задачи будет единственным с точностью, быть может, до смещений срединной поверхности как жесткого целого.
Замечание. Граничные условия задачи могут быть и неоднородными, но при проверке теоремы единственности, как видно из предыдущего, правые части в граничных условиях надо отбрасывать.
В теории оболочек теоремы взаимности и единственности не имеют столь абсолютного характера, как в теории упругости. Условия, обеспечивающие их выполнение, зависят от принятого варианта уравнений состояния и в некоторых случаях они могут нарушиться конечно, в малом. Эти условия заключаются в следующем:
1 должно выполняться шестое уравнение равновесия, так как иначе будет незаконным переход от формулы 5.31.8 к 5.31.9 и равенство 5.31.12 станет неправильным;
2 выражение вида 5.32.1 должно быть симметричным относительно верхних индексов;
3 выражение вида 5.32.2 должно быть не отрицательным.
Уравнения состояния 5.28.4 всем этим требованиям удовлетворяют
в чем нетрудно убедиться непосредственно. Такими же свойствами обладают и уравнения состояния 5.28.3. В противоположность этому уравнения состояния 5.28.1 и 5.28.2 не обеспечивают выполнения теоремы существования и единственности отсюда, конечно, не следует, что решений не будет или они станут не единственными; это лишь значит, что теряет силу приведенное выше доказательство теоремы.


70
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ, ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
гл. 5
§ 33. Граничные условия
В теории оболочек граничные условия всегда можно рассматривать как аналитическое выражение того факта, что каждый край оболочки соединен с примыкающей к нему конструкцией, которую можно назвать опорой свободный край надо при этом считать примыкающим к опоре нулевой жесткости. Характер соединения края с опорой можно учесть, наделив последнюю некоторыми условными свойствами. Например, для шарнирного соединения надо считать, что опора не обладает жесткостью по отношению ж повороту вокруг оси шарнира.
В реальных конструкциях встречаются опоры, обладающие самыми разнообразными упругими свойствами. Поэтому, строго говоря, расчет оболочки должен заключаться в совместном интегрировании дифференциальных уравнений оболочки и дифференциальных уравнений опоры или опор. Последнюю надо рассматривать как некоторое упругое тело, например, как криволинейный стержень, и требовать, чтобы выполнялись условия сочленения оболочки с опорой. Это связано с большими трудностями, которые часто обходят, принимая некоторые упрощающие предположения об упругих свойствах опоры. В частности, если жесткость опоры относительно какого-либо обобщенного перемещения мала по сравнению с жесткостью края оболочки, то часто жесткость опоры считают равной нулю, а если она достаточно велика, то ее полагают равной бесконечности. Граничные условия, соответствующие такому предположению, назовем идеализированными граничными условиями и пока только их и будем рассматривать предполагается, что в одной и той же точке жесткость опоры может быть равной нулю в одном направлении и равной бесконечности — в другом.
Пусть край оболочки проходит вдоль замкнутой линии аг const. Тогда условие единственности 5.32.9 запишется так:
— U-RM — r-QW А3 da, 0.
Раскрыв здесь подынтегральное выражение с помощью формул 3.17.3,
4.22.2 и 4.22.3, получим
022
71 Ь 212 wN-± Н21Y2 lYl 2 5.33.1)
ОГ'21
Здесь изменению а2 в интервале а21, а22 соответствует полный обход границы g. Для углов поворота yt имеем формулу 4.26.1. В частности,
—• 5-зз-2>
Внесем это в 5.33.1 и исключим в полученном выражении производную
от w по а2 с помощью интегрирования по частям. Тогда, полагая, что w, Н21
непрерывны по а2, получим
022 22 H21±d£-A2da2H21wZ J 5.33.3)
СХ21 021
Если считать, кроме того, что 21 и w возвращаются к прежним значениям после обхода контура g т. е. непрерывны как функции точки g, то в правой части равенства 5.33.3 пропадет первое слагаемое. Поэтому, подставив
5.33.2 в 5.33.1 и учтя 5.33.3, будем иметь
j -S21 - и2 N, -j; - w 4- GVl Л2 da, 0. 5.33.4)
аа1


§ 33]
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
71
Пусть рассматриваемый край жестко заделан, т. е. опора такова, что направление любого обобщенного перемещения можно рассматривать как направление ее бесконечной жесткости. Тогда, очевидно, необходимые условия, выражающие такие свойства опоры, будут заключаться в четырех равенствах
щ щ w Vi 0 при аг а10. 5.33.5)
При этом условие единственности 5.33.4 выполнится, так как в нем левая часть обратится в нуль. Это значит, что решение уравнений теории оболочек, подчиненное граничным условиям 5.33.5, будет единственным. Никаких других граничных требований ставить уже нельзя и условия
5.33.5 надо рассматривать не только как необходимые, но и как достаточные.
Пусть имеет место прямо противоположный случай: в направлении всех обобщенных перемещений опора имеет нулевую жесткрсть свободный край. Тогда, как может показаться, нужно было бы потребовать выполнения таких граничных условий:
Т — Sx N± Gj 0 при аг а10. 5.33.6)
Однако при этом условие 5.33.4 примет вид
22
21
и ни из чего не следует, что оно будет выполняться. Попытка преодолеть это противоречие, добавив к 5.33.6 еще одно требование
Н21 0 при аг а10, 5.33.7)
несостоятельна. Действительно, если выполняются 5.33.7, то с помощью этого равенства условия 5.33.6 можно преобразовать к виду
7,i S21-- W1- G1 0, 5.33.8)
но из структуры условия единственности 5.33.4 видно, что для его выполнения достаточно четырех равенств 5.33.8. Следовательно, нельзя ставить на краю пять граничных условий 5.33.6, 5.33.7.
Получающееся противоречие было замечено на самых первых этапах развития теории оболочек, и чтобы обойти его, принимается, что на свободном краю необходимо и достаточно выполнить условия 5.33.8. Вообще, принимается, что при наложении граничных условий надо оперировать не с истинным, а с приведенными краевыми усилиями, под которыми на краю 1 ю, проходящем вдоль линии кривизны, должны пониматься следующие величины, отмеченные штрихами:
Т ти S21 S21 — N Nl ±-¥-, G Gi. 5.33.9)
С этой точки зрения условия 5.33.8 выражают требование отсутствия приведенных усилий в четырех направлениях нулевой жесткости опоры.
К вопросу о правомерности введения понятия приведенных усилий мы еще вернемся в части VI § 29, 22.
Обобщая результаты, полученные для жесткого и свободного краев, примем, что в случае идеализированной опоры надо требовать, чтобы на краю обращались в нуль обобщенные перемещения, соответствующие бесконечной жесткости опоры, и обобщенные приведенные усилия, соответствующие нулевой жесткости. В совокупности в каждой точке края должно быть сформулировано четыре таких условия, соответствующих четырем линейно


72
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ- ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
ГЛ. 5
независимым направлениям. Под ними в дальнейшем всегда будут подразумеваться три некомпланарных линейных направления и угловое направление поворота вокруг касательной к краю.
Пример 1. Оболочка имеет замкнутый плоский край, жестко соединенный с плоской тонкой диафрагмой рис. 14. Тогда можно принять, что в обоих направлениях, лежащих в плоскости диафрагмы, последняя значительно жестче оболочки, а в направлении, нормальном к диафрагме, и в угловом направлении диафрагма значительно податливей оболочки. При формулировке идеализированных граничных условий принимается, что два линейных направления, лежащих в плоскости диафрагмы, являются направлениями бесконечной жесткости, а угловое и линейное нормальное направления являются направлениями нулевой жесткости.
Пример 2. Оболочка присоединена к массивной конструкции с помощью шарнира. Тогда любые три линейных направления можно принять за напра-
считая, что g— замкнутый контур, образованный краем const, ds — дифференциал длины дуги gt R' — вектор приведенных усилий
G' Gx — изгибающий момент, у уг — угол поворота относительно касательной к g. Таким образом, условие единственности в сущности представляет собой требование неположительности работы краевых приведенных обобщенных сил на обобщенных перемещениях, соответствующим четырем, описанным выше направлениям. Его можно записать в виде 5.33.10 и в случае, когда край произвольно располагается относительно координатных линий остается пока открытым только вопрос о том, что подразумевать в общем случае под приведенными усилиями и моментами. Если на краю ставятся идеализированные граничные условия, то из физических соображений очевидно, что условие единственности 5:33.10 будет всегда выполняться, так как левая часть этого соотношения обратится в нуль.
Формулы перехода к приведенным усилиям и моментам для случая, когда край проходит вдоль линии а2 const, выводятся так же, как 5.33.9, и записываются так:
Рассмотрим теперь общий случай упругой опоры, т. е. опоры, которую нельзя считать идеализированной. Пусть край проходит вдоль линии аг а1о для определенности и жестко соединен с упругим криволинейным стержнем, не слишком жестким и не слишком податливым по сравнению с оболочкой.
Примем, что перемещения g2, £ и Угол закручивания 0 стержня равны соответственно перемещениям ult и2, w и углу поворота уг края оболочки
Но упругое поведение стержня определяется некоторой системой дифференциальных уравнений скажем, уравнениями Кирхгофа—Клебша, которые связывают £2 0 с силами и
моментами Plt Р2, Р3 и М, действующими на стержень. Поэтому Pv Р2, Р3и М можно.выра¬
вления бесконечной жесткости, а угловое направление за направление нулевой жесткости.
Условие единственности 5.33.4 можно записать и так:
£'. tf G'vJdssssO, 5.33.10)
Рис. 14.
ft,


§ 34]
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
73
зить с помощью дифференциальных операций через краевые значения и1У и2, w, yv Если направления сил Р1У Р2, Р3 совмещены с направлением векторов Мг, М2 ft то можно принять что
Левые части этих равенств выражаются через краевые значения uly и2У wy yv Следовательно, 5.33.12 и представляют собой граничные условия, соответствующие примыканику края оболочки к упругому стержню.
Условие единственности 5.33.10 в силу 5.33.12 будет выполняться. Действительно, работа сил Р1У Р2, Р3 и момента М на обобщенных перемещениях стержня или, что то же, на обобщенных перемещениях края оболочки должна быть положительной, а краевые обобщенные усилия и моменты в силу 5.33.12 будут давать отрицательную работу.
Замечание. Были рассмотрены только однородные граничные условия.- Однако можно, представить себе и случаи, когда граничные условия будут неоднородными. Если речь идет об идеализированных граничных условиях, то это произойдет тогда, когда в направлении нулевой жесткости опоры к краю приложена заданная внешняя сила момент или в направлении бесконечной жесткости опоры краю предварительно придано заданное смещение угол поворота. Граничные условия, соответствующие жесткому соединению со стержнем, будут неоднородными, если через стержень на оболочку передаются заданные силы моменты или если стержень был предварительно деформирован.
Рассуждения, относящиеся к единственности решения, остаются в силе, так как свободные члены в граничных условиях в теореме существования не учитываются.
§ 34. Основные уравнения и формулы теории оболочек
Результаты, полученные в предыдущих разделах, сводятся к следующему:
Выведены силовое и моментное уравнения равновесия, которым должны удовлетворять Р1 Р2 — векторы упругих усилий и Q1, Q2 — векторьг упругих моментов §3.19)
причем U и Г — векторы упругого смещения и вращения, связанные тремя скалярными соотношениями § 4.22:
Доказано, что уравнения равновесия 5.34.1 при R Q 0 в случае, когда отсутствует поверхностная нагрузка и выполняется шестое уравнение равновесия тождественно удовлетворяются, если ?, QW выразить формулами §3.21)
Pi -Т (
aia10’
2 21 ,
aia10’
-N'i (
aia10
, M— G 5.33.12)
— Л2?1 x М1 AxA2Q о, и уравнения неразрывности деформаций § 4.27)
В них используются обозначения:
5.34.3’


74
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
ГЛ. 5
где L и К — произвольные дифференцируемые векторы, удовлетворяющие равенству § 3.21)
5-34-6»
Векторы Ri входящие в уравнения равновесия, выражаются через внутренние усилия и моменты оболочки формулами §3.17)
Ri -Tt А
L-S Nrti, Qi 5.34.7)
а векторы Г,, Va, входящие в уравнения неразрывности деформаций, выражаются через компоненты деформации следующим образом § 4.25:
-яг - - '‘ т-шт т11' Ь'*
—4-T- 5-34'8)
Векторы U и Г развертываются по осям основного триэдра по формулам § 4.22)
и и и-1юп, Г у2 Vl—б п. 5.34.9)
Векторы L К развертываются по осям основного триэдра по формулам § 3.21)
— i4r—п, К а,уу- а2 -у2— сп. 5.34.10)
S±l r±2 fii 12
Этим исчерпываются все чисто статические и чисто геометрические соотношения теории оболочек. Они связываются друг с другом с помощью уравнений состояния, которые вследствие приближенности теории оболочек в известных пределах зависят от нашего произвола. В частности, один из возможных вариантов уравнений состояния записывается так § 5.28:
rp 2Eh , ч со
Ti — 1 _ vs 8; ve Sji — Sij — yq-- со,
2 Eh3 2 Eh3 5.34.11)
°i — 31-v VX HП H4 3lv T-
§ 35. Полная система уравнений теории оболочек
Совокупность уравнений и формул предыдущего параграфа полна в том смысле, что из нее различными способами можно составить системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных. В частности, в теории оболочек можно получить аналог уравнений Ламе теории упругости, т. е. построить систему из трех уравнений относительно трех компонент смещения и1у и2, w. Для этого надо воспользоваться
а уравнениями равновесия 5.34.1,
б восемью уравнениями состояния 5.34.11,
в формулами деформации — смещения, вытекающими из 5.34.8,
5.34.3, 5.34.4 и 5.34.9.
В скалярной форме уравнения равновесия выражаются шестью равенствами 3.19.11, из которых надо сохранить только первые пять, считая, что шестое равенство точно или приближенно должно вытекать из уравнений состояния. Формулы деформации — смещения имеют вид 4.26.2,
4.26.5.


§ 36]
СТАТИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ
75
В четвертое и пятое уравнения 3.19.11 усилия N± и N2 входят алгебраически это свойство сохраняется и в том случае, когда срединная поверхность отнесена к произвольной системе координат. Пользуясь этим, можно в первых трех уравнениях 3.19.11 исключить N l9 N2 и получить три уравнения относительно усилий и моментов Tl9 Г2, S12, S21, Gl9 21, 12, G2, которые в свою очередь выражаются через компоненты деформации еа, е2, со, к19 х2, т с помощью уравнений состояния 5.34.11 или какого-либо другого варианта этих уравнений. Наконец, формулами 4.26.2, 4.26.5 компоненты деформации выражаются через перемещения, что и приводит нас к трем уравнениям равновесия в перемещениях ul9 и2у w. Эти уравнения очень громоздки и в расчетах используются редко. Они, конечно, зависят от того, какой вариант уравнений состояния был использован при их выводе. Для общего случая мы не будем приводить эти уравнения. Пример их применения будет дан в части V при рассмотрении задачи о круговой цилиндрической оболочке.
Полную систему уравнений в теории оболочек можно получить и другими способами. Примеры таких систем будут приведены ниже.
§ 36. Статико-геометрическая аналогия
Формулы и уравнения общей теории оболочек можно разбить на три группы.
К первой группе относятся статические соотношения, т. е.
1а уравнения равновесия 5.34.1;
16 формулы 5.34.5, связывающие R QW с векторами L и К;
1в скалярные равенства 5.34.6, которым должны подчиняться L иС;
1г равенства 5.34.7, расшифровывающие смысл векторов Z?2, ?2;
1д равенства 5.34.10, расшифровывающие смысл векторов L и К-
Ко второй группе относятся геометрические соотношения, т. е.
2а уравнения неразрывности деформаций 5.34.2;
26 формулы 5.34.3, связывающие векторы Г, V с векторами упру гого смещения U и упругого вращения Г;
2в скалярные равенства 5.34.4, которым должны подчиняться U и Г;
2г равенства 5.34.8, расшифровывающие смысл векторов Г, Уц\
2д равенства 5.34.9, расшифровывающие смысл векторов U и Г.
К третьей группе относятся уравнения состояния, один из возможных вариантов которых представляют равенства 5.34.11.
Если не обращать внимания на члены, содержащие векторы R и Q в уравнениях равновесия, то можно заметить, что статические соотношения 1а— 1д, с одной стороны, и геометрические соотношения 2а—2д, с другой стороны, тождественны друг другу по структуре, причем исключение составляет только последнее равенство 5.34.4, которое не имеет статического аналога. Точнее говоря, эти две группы соотношений переходят друг в друга, если положить R Q 0, т. е. принять, что оболочка не загружена по поверхности, и установить следующие соответствия между статическими и геометрическими величинами:
АДЫ —. — 1' Гг, AtQi— — 1Vi, L —► Г, К — U, S,,-— т щ, Hi,
G,_ в, 5.36.1)
•—у„ i—uit —6, с—w.


76
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
ГЛ. Ъ
Таким образом, в теории оболочек существует своеобразная косая симметрия: растягивающему усилию в направлении одной из линий кривизны 7 отвечает величина х2, характеризующая изгиб в направлении другой линии кривизны и, наоборот, изгибающему моменту, действующему в направлении одной линии кривизны G2, отвечает величина е, характеризующая растяжение в направлении другой линии кривизны. Перерезывающим усилиям N 1у N 2 при этом соответствуют формально введенные геометрические величины и £2.
Обсуждаемое соответствие нельзя назвать полным по следующим причинам:
1 статические величины Н12 и 21, вообще говоря, различны, но им соответствует одна и та же геометрическая величина со2;
2 из 5.36.1 легко выводятся соответствия
— т, - S12 Jb. „ т, 5.36.2)
в которых две, вообще говоря, различные, статические величины отвечают одной и той же геометрической величине;
3 последнее равенство 5.34.4 с точки зрения статико-геометрической аналогии является лишним, из него вытекает геометрическая формула
6 ТГ тйг-жг- '5'36'3>
в то время как соответствующая статическая формула для отсутствует;
4 существуют два статических соотношения, вытекающих из уравнений состояния § 5.29, и их можно рассматривать как два лишние статические равенства, связывающие функции напряжения.
Все эти несоответствия пропадут, если будет выбран такой вариант уравнений состояния, при котором статические соотношения, вытекающие из уравнений состояния, имеют вид
Нп — Ни О, S21-S12 3-- 0. 5.36.4)
Две статические величины, отвечающие геометрической величине со2г так же как две статические величины, отвечающие геометрической величине т, в силу 5.36.4 будут равны друг другу и, следовательно, отпадут первые
два несоответствия. Два дополнительных равенства, связывающие функции
напряжения, превратятся в одно, так как второе равенство 5.36.4 совпадает с шестым уравнением равновесия, которое выполняется всегда, каковы бы ни были функции напряжения § 3.21. Единственное дополнительное равенство для функций напряжения получается после подстановки в первое равенство 5.36.4 выражений 3.21.1. Оно имеет вид
- X т '1а - ЙГЛл ’ 5-36-5)
т. е. двойственно лишнему геометрическому равенству 5.36.3. Это значит, что отпадают третье и четвертое несоответствия.
Один из примеров уравнений состояния, приводящих к равенствам
5.36.4, представляют собой формулы 5.28.4 После некоторых легко проверяемых преобразований эти уравнения состояния можно записать так:
Tt F 8, ve,, S1.-- Fl—vf.
1 5.36.6)
хг -™ W G; — vGj, t D' 1 -j- v Hn,


•§36]
СТАТИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ
77
где
р _ Г' __ 3
— 1 _ V2 ’ 2 Eh? •
Заменим в первых четырех равенствах 5.36.6 величины
Т Ф С Е12 С Е21 W W
1 1 -1 2 °21 9 °12 ь1 ь2 2 ’ 2
соответствующими им по статико-геометрической аналогии 5.36.1 величинами
2 1 2 21 12 и введем дополнительные условные соответствия
F v —v. 5.36.7)
Тогда первые четыре равенства 5.36.6 перейдут в четыре последних равенства 5.36.6, и можно считать, что уравнения состояния 5.36.6 также
подчиняются статико-геометрической аналогии, переходя при этом в са¬
мих себя.
Можно подобрать и другие уравнения состояния, обеспечивающие такого рода симметрию.
Разумеется, существуют и такие уравнения состояния, при которых равенства 5.36.4 не будут выполняться, тогда нарушатся и обсуждаемые здесь свойства общих уравнений теории оболочек, но эти отступления от статико-геометрической аналогии будут проявляться в членах, играющих второстепенную роль.
Итак, в теории оболочек выполняется так называемая статико-геоме- трическая аналогия 38, которая может быть сформулирована следующим образом.
Если существует однородное равенство
I 0, 5.36.8)
связывающее усилия, моменты, компоненты деформации, углы поворота и смещения, то в рамках точности теории оболочек существует двойственное ему однородное равенство
т ,0, 5.36.9)
получающееся из предыдущего, если в нем заменить перечисленные искомые величины соответствующими им величинами согласно 5.36.1, а вместо F, D' и v подставить —Z', —F, —v. Это правило будет выполняться точно, если уравнения состояния взять, например, в форме 5.28.4.
Замечание. Часто уравнения теории оболочек преобразовывают так, что в них параметры F и D входят не порознь, а составляют вместе оДну величину
h2 1
31—v2 FD' 1—V22’
При переходе от равенства 5.36.8 к равенству 5.36.9 эту величину согласно 5.36.7 надо оставить без изменения.
Причины существования статико-геометрической аналогии не совсем ясны в связи с этим представляют интерес работы 148, 169 , но пути ее применения оказались весьма разнообразными.
1. Она позволяет автоматически удваивать каждое соотношение теории оболочек или контролировать уже полученные соотношения и в некоторых случаях помогает осмыслить те или иные положения теории оболочек.


78
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
ГЛ. 5
Так, например, заранее не ясно, что однородные уравнения равновесия допускают введение функций напряжения , и совершенно очевидно, что уравнения неразрывности должны тождественно выполняться, если в них компоненты деформации выразить через перемещения, а с точки зрения ста- тико-геометрической аналогии здесь речь идет об идентичных математических утверждениях.
2. Со статико-геометрической аналогией связана возможность записать уравнения теории оболочек в комплексной форме. Для осесимметричных оболочек вращения она была обнаружена в 162, 163, 183, а затем в работах 90, 96—98 было показано, что такой результат может быть достигнут и для' оболочек произвольного очертания. На этом основан хорошо известный комплексный метод В. В. Новожилова, породивший обширную литературу 21, 129, 130, 185, 189. Примеры применения комплексной записи уравнений теории оболочек встретятся и в предлагаемой книге, но специально на комплексном методе мы останавливаться не будем.
3. Существует тесная связь между теорией бесконечно малых изгибаний поверхностей §1.1 и так называемой безмоментной. теорией оболочек, также вытекающая из статико-геометрической аналогии.
Под бесконечно малыми изгибаниями можно понимать такую деформацию поверхности, при которой в принятых здесь обозначениях выполняются равенства
sx — со s2 0, £1£2 0. 5.36.10)
Первая группа этих равенств вытекает из формул 4.23.3, 4.23.4 и из того, что при изгибаниях первая квадратичная форма поверхности не изменяется. Вторая группа равенств 5.36.10 следует из первой в силу 4.27.10.
Согласно статико-геометрической аналогии равенствам 5.36.10 двойственны равенства
g2 h21 h12 g1 о, 0,
и можно принять с оговорками, которые выявятся в части II, что ими выражаются гипотезы безмоментной теории. В этом и заключается обсуждаемая связь между теорией бесконечно малых изгибаний и безмоментной теорией. Она проявляется в идентичности соответствующих дифференциальных уравнений и была использована в работах 18, 19, 134. Об этом будет еще говориться и в предлагаемой книге.
4. Показана возможность заменить при помощи статико-геометрической аналогии одни краевые задачи статики оболочек другими 83, 125, 126, 128—130.
5. Статико-геометрическая аналогия была использована в задачах о действии на оболочку сосредоточенных сил 99, 186.
6. Она оказалась полезной также и при рассмотрении термоупругих задач теории оболочек 42, 70, 74, 100.
В заключение рассмотрим с точки зрения статико-геометрической аналогии предельный случай, когда оболочка превращается в пластинку. Тогда в уравнениях теории оболочек надо положить R1 R2 оо, и оболочки, как будет показано в § 10.20, распадутся на две самостоятельные системы. Одна из них представляет собой уравнения изгиба пластинок, а другая — уравнения обобщенного плоского напряженного состояния, для которых роль функции Эри играет функция напряжений с. Статико-геометрическая аналогия в этом случае объясняет хорошо известный факт, что для функции Эри в плоской задаче и для нормального прогиба в теории изгиба пластинок получается одинаковое уравнение бигармоническое.
Не всякая система с избыточным числом уравнений допускает построение функций
с такими свойствами.


Г Л А В А б
ТЕНЗОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
§ 37. Тензорная символика
Уравнения и формулы общей теории оболочек в предыдущих главах: были выведены для случая, когда срединная поверхность оболочки отнесена к линиям кривизны. Обобщение этих результатов для произвольной косоугольной системы координат можно получить, используя приемы и символику тензорного анализа. Приводимые ниже тензорные уравнения и формулы заимствованы в основном из 41 Предлагались и другие варианты этих соотношений, которые можно найти, например, в изданных в СССР работах 77 107 и в работах зарубежных авторов 165—168.
Все тензоры, которые в дальнейшем понадобятся, будем определять, задавая их физические компоненты в произвольной ортогональной системе- координат, и записывать это так:
Здесь Р и Q — двумерные тензоры первого и второго ранга соответственно,, а индексами в скобках отмечаются их физические составляющие.
Переход к ковариантным и контравариантным компонентам в произвольной ортогональной системе координат осуществляется по формулам:, для тензоров первого ранга
через Aiy т. е. коэффициент первой квадратичной формы срединной поверхности звездочкой всюду в этой главе отмечаются величины, заимствованные- из предыдущих глав, в тех случаях, когда индексы при этих буквах не имеют тензорного значения.
Замечание. Физические компоненты тензоров, конечно, нельзя назначать произвольно. Они должны выбираться так, чтобы ковариантные и контравариантные компоненты, получаемые вышеизложенным способом, обладали известными свойствами, т. е. вели себя определенным образом при переходе к новой системе координат. Ниже физические компоненты вводимых в рассмотрение тензоров будут выписываться без объяснений. Правильность их выбора вытекает из тензорного характера тех соотношений, в которые они входят.
В дальнейшем всегда считается, что ковариантные и контравариантные индексы могут принимать значения 1, 2, и будет применяться правило суммирования по повторяющимся индексам,
для тензоров второго ранга
Здесь под А подразумевается величина, которая раньше обозначалась-


0
ТЕНЗОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1 СОРИИ ОБОЛОЧЕК
ГГЛ. 6
§ 38. Тензоры срединной поверхности
Введем три тензора, характеризующие геометрические свойства срединной поверхности и установленную на ней метрику. Их физические компоненты зададим так:
-Здесь Rlv Rl2, R22 имеют тот же смысл, что Rlly ?12, 22 в § 1-5, т. е.
R j2 — величина, характеризующая степень несопряженности принятой системы координат напомним, что если срединная поверхность отнесена к линиям кривизны, то Ra R, Rw 00.
Пользуясь правилом перехода от физических компонент к ковариантным и контравариантным компонентам § 6.37 и учитывая 6.38.2, 1.3.2, легко проверить, что
Здесь вместо а,- введено более привычное в тензорном анализе обозначение х, векторы Miy MiJy п имеют тот же смысл, что и в предыдущих главах звездочки при Miy Мц не ставятся, так как в данном случае индексы имеют тензорный СМЫСЛ;.
Величины aijy bify ctj представляют собой, соответственно, метрический тензор срединной поверхности, тензор кривизны и дискриминантный тензор.
Структура формул 6.38.3 свидетельствует о том, что величины, стоящие в правых частях равенств 6.38.1, действительно могут служить физическими компонентами тензоров.
§ 39. Тензоры усилий и моментов
Эти тензоры введем с помощью их физических составляющих следующим образом:
Тензор тангенциальных усилий
6.38.1)
Ln
а
п и2 ’ п ДЛ ’
Kii Ai Л1Л2
причем Ra — нормальный радиус кривизны поверхности вдоль аглинии;
6.38.2)
at, MrM,=
дМ дМ
дх1 дх ’
6.39.1)
Т', S21, S2, Т2 — тангенциальные усилия § 3.17. Тензор перерезывающих усилий
Sp — Nu -Nl,
6.39.2)
N,N2—перерезывающие усилия §3.17.


§ 39]
ТЕНЗОРЫ УСИЛИЙ И МОМЕНТОВ
81
Тензор моментов
— G -Нп\
Mi7 ня-g;’ 6,39-3)
G’, Я'12, Я,, GI — моменты § 3.17.
Кроме того, введем первый и второй тензоры функций напряжения соответственно с помощью равенств
av ад’ Ф №• 6.39.4)
в которых э— функции напряжения §3.21.
Пользуясь формулами перехода § 6.37, можно проверить, что справедливы следующие равенства:
-L _ TlitMb — S‘n. -L Qlf acavMvt Ма,
А-i t
в которых г, как и раньше, — единичный вектор нормали, а ? —
векторы усилий и моментов соответственно §3.17 у величин, отмеченных звездочкой, индексы не имеют тензорного значения, и правило суммирования
по повторяющимся индексам не должно применяться в левых частях двух
последних равенств. Равным образом имеют место равенства
L с°фзЛ1а — уп К еаМа — gn, 6.39.5)
в которых g, х — функции напряжения, совпадающие по смыслу с величинами с, х, a L и К — векторы функций напряжения § 3.21.
Формулы 3.21.5, выражающие усилия и моменты через векторы функций напряжения, в тензорной записи примут вид
aasctT J L5-Mt, casS Ls ti,
6.39.6)
csa4iMKs-Mt citL-n =
Замечание. Утверждение, что некоторое равенство , имеющее силу для линий кривизны, записывается в тензорном виде с помощью равенства , здесь и всюду в дальнейшем означает, что можно получить как частный случай из , считая, что срединная поверхность отнесена к линиям кривизны. Например, равенство, имеющее в линиях кривизны вид
Т Т2
4- о, )
Я h2
записывается так:
ЬаТа 0. )
Действительно, развернув , получим равенство
ЬцТ11 Ъ12Т12 Ь21Т21 ЬпТ 0,
в котором ковариантные компоненты тензора b и контравариантные компоненты тензора Та^
можно заменить физическими компонентами этих тензоров. Вместе с тем из формул § 6.37
следует, что
Ь A A h 7 еc3_ZW_
ар яая°а 1 л д 9
яая&
а физические компоненты Та и определяются формулами 6.39.1 и 6.38.1, причем в линиях кривизны
_Le0
R'ti Ri ’ Rt,
и мы приходим к равенству .
Таким же образом проверяются и другие тензорные равенства если дано соответствующее равенство в линиях кривизны, и в дальнейшем они будут даваться без пояснений.


82
ТЕНЗОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
1.ГЛ. 6
Силовое уравнение равновесия 3.19.1 можно записать так:
— 4ТаУ“ R R 0. 6.39.7)
V а дха
Здесь R— вектор внешних поверхностных сил; а— определитель метрического тензора в ортогональной системе координат У а AAq Rs определяется формулой
Rs 4- Rs — ГМс—Ssa. 6.39.8)
A
Равным образом моментное уравнение равновесия 3.19.6 выразится равенством
- -i. -±. УЪГ ааМу са6Г“р Q 0, 6.39.9)
V а ах
в котором Q — вектор внешних поверхностных моментов
ct 4- Qls aaaMvsM. • 6.39.10)
As
Для проверки равенств 6.39.7 и 6.39.9 надо только помнить правило суммирования по повторяющемуся индексу и учитывать следующие формулы векторного умножения:
Ms х п asac№Mp, Msx Mt cstn,
которые для поверхности, отнесенной к линиям кривизны, вырождаются в формулы 1.2.2.
Справедлива следующая формула Фосса—Вейля :
где Гр7—символ Кристоффеля § 1.3. Отсюда следует, что для любого вектора £а, у которого а имеет значение контравариантного индекса, можно написать
Поэтому силовое и моментные уравнения равновесия, можно, соответственно, записать так:
=
6.39.11)
- — YQa сап Q 0.
Равенства 6.39.8, 6.39.10, 6.39.11 имеют тензорную структуру. Отсюда следует, что физические составляющие тензоров 7 М, S правильно определены формулами 6.39.1—6.39.3.
Равным образом из 6.39.5, 6.39.6 следует правильность выбора физических составляющих первого и второго тензоров функций напряжения.
Каган В. Ф., Основы теории поверхностей, ч. I, Гостехиздат, 1947, стр. 350.


§401 ТЕНЗОРЫ ДЕФОРМАЦИЙ , ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И УГЛОВ ПОВОРОТА
83
§ 40, Тензоры деформаций, перемещений и углов поворота
Эти тензоры можно ввести с помощью их физических компонент следующим образом.
Тензор тангенциальной деформации
8 i2l. \
J J, 6.40.1)
е, ю el— компоненты тангенциальной деформации 4.23 звездочка при величине, не имеющей индексов, означает, что эта величина не является инвариантом.
Тензор изгиб ной деформации
х х? — компоненты изгибной деформации § 4.24.
Тензор углов поворота
V -Y,. -у;у 6.40.3)
Yi, у2 — углы поворота относительно тангенциальных осей § 4.22. Вспомогательный тензор деформаций
la Й, Й. 6-40.4)
J, £2 — вспомогательные геометрические величины §§ 4.25, 4.26.
Тензор тангенциальных смещений
vU иТ uS, 6.40.5)
и. и — компоненты тангенциального смещения § 4.22.
С помощью введенных величин можно записать следующие выражения для векторов упругого перемещения U и упругого вращения Г:
U vaMa — wrt Г С‘:аХдМа — бг. 6.40.6)
Формулы 4.25.1, 4.25.6, 4.25.7, выражающие компоненты деформации, углы поворота Yt Тг и вспомогательные величины £2 через векторы U и Г, теперь принимают вид
SS у 44, UrMs, ns а5бс3аГ-ЛГа, ys U,-n,
Ь г.-. в ff.-f, г. -£■, 6-40J)
где б — угол поворота вокруг нормали.
Тензор р,5г можно выразить и через вектор т, определяемый, как и в § 4.22, равенством
т Г х п haMa; соответствующая формула записывается так:
lst 2 Щь -j- mt • Als -j- Cas b6.


84
ТЕНЗОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Сгл. 6
Структура формул 6.40.7 свидетельствует о правильности выбора физических компонент тензоров 6.40.1—6.40.5.
Формулу 4.25.3, при помощи которой были введены вспомогательные векторы К1, К2, теперь можно записать так:
Здесь под Vs понимается тот же вектор, который раньше обозначался Ks. В предыдущих главах индекс брался в скобки, чтобы подчеркнуть, что он не обозначает дифференцирования по as, здесь скобки отброшены, так как из 6.40.8 видно, что индекс при V имеет тензорный характер.
Уравнения неразрывности деформаций 4.27.2, 4.27.4 можно записать в виде равенств
В них векторы Г3 и К3 выражаются через тензоры ist, bt9 ls с помощью формул
вырождающихся при переходе к линиям кривизны соответственно в 4.25.8 и 4.25.4.
§ 41. Статические и геометрические соотношения теории оболочек в скалярной форме
Полученные в §§ 6.37—6.41 статические и геометрические формулы и уравнения можно записать и в скалярной форме.
Уравнения равновесия
где ps, Z, qb — компоненты векторов внешних сил и внешних моментов — определяются равенствами
VS US MSX г.
6.40.8)
6.40.9)
Г3 суаху?1Ма — аауМа,
6.40.10)
УаГ“ - baSa р 0, VaS“ — Z 0,
VaMsa — — f 0. cag Tafi cvabMai 0,
R paMa — Zn, Q qaMa.
6.41.2)
Уравнения неразрывности деформаций
6.41.3)
6.41.4)
Формулы €углы поворота — перемещения»
6.41.5)


§ 421
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
85
Формулы усилия, моменты — функции напряжения»
Т Л?ХРэ ctabal- Mst C°Ve Vae3 fcaf£ — cstx,
ss c“svx W.
Ps Vsg—bea. 6.41.7)
Соотношения 6.41.1—6.41.7, в которых под Va подразумевается кова- риантная производная, пока принимаются на веру. Их правильность будет показана в §6.44, а пока заметим, что 6.41.1—6.41.7 подчиняются ста- тико-геометрической аналогии. Она в тензорной форме выражается такими формулами соответствия:
Г' — c-cVp. ca1a, Af' —CVV,
■ es — vs, g —► w, cps — x —6.
6.41.8)
Это значит, что при
Z qs ее О
равенства 6.41.1, 6.41.6, 6.41.7 перейдут соответственно в равенства
6.41.3, 6.41.4, 6.41.5, если в первой группе равенств статические тензоры заменить геометрическими тензорами согласно 6.41.8 исключение из этого правила, так же как и в § 5.36, представляет собой второе равенство 6.45.1, не имеющее статического аналога. При проверке этого утверждения надо учесть соответствия
— CvabVeMaliCbJsBv.
Они следуют из первого и третьего соответствий 6.41.8, в силу тензорного равенства
ca al 6.41.9)
справедливость которого легко проверяется непосредственно. Кроме того, надо помнить, что метрический тензор ast и дискриминантный тензор Cst по отношению к ковариантному дифференцированию ведут себя как кон-
§ 42. Уравнения состояния соотношения упругости)
Эти формулы с помощью тензорной символики записываются так:
Tst B£e8ap Л 6 42 п
Mst DGs'aVa3 4- DHsmeaB mst.
Здесь В, D — величины, зависящие от свойств материала оболочки и от ее толщины,
Р 2Eh р. 2Eh? п л су с\
В Тг зГ— V2 ’ 6-42-2)
Еу F, G, Н — тензоры упругости, зависящие от aap, bay сар и v, а т0 и та — тензоры неоднородности, зависящие от сил, приложенных к лицевым поверхностям.
Смысл тензоров упругости определяется в зависимости от того, как выбраны уравнения состояния.
Каган В. Ф., Основы теории поверхностей, ч. I, Гостехиздат, 1947 стр. 361.


86
ТЕНЗОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
ГЛ. 6
В качестве одного из возможных вариантов можно положить
Esm tfta asatfS vcsact pstafi 3 Q 6 42.3)
Для случая, когда срединная поверхность оболочки отнесена к произвольной ортогональной системе координат, формулам 6.42.3 соответствуют следующие уравнения состояния:
Простейший вариант уравнений состояния 5.28.2, который часто используется в тех случаях, когда срединная поверхность оболочки отнесена к линиям кривизны, не может быть записан в тензорной форме, i. е. не существует таких уравнений состояния, которые имеют силу для любых криволинейных координат на срединной поверхности, а для линий кривизны приводят к формулам 5.28.2.
Уравнения состояния 5.28.3 имеют тензорный характер. Им соответствуют такие тензоры упругости:
где Н — средняя кривизна оболочки, т. е. инвариант, определяемый формулой Н — ааЬа.
Уравнения состояния 5.28.4 также не обладают тензорными свойствами это показано в работе 139. Таким образом, не существует достаточно простых тензорных уравнений состояния, обеспечивающих, подобно формулам JI. И. Балабуха — В. В. Новожилова, выполнение всех общих теорем теории оболочек §5.32. Этот вопрос подробно рассмотрен в работе 68. В ней показано, что в произвольных координатах аналог уравнений состояния 5.28.4 можно построить, только отказавшись от одного из выявленных в § 5.32 преимуществ этих формул например, от выполнения принципа взаимности.
§ 43. Преобразование тензорных уравнений
В качестве примера преобразований тензорных соотношений теории оболочек выполним здесь некоторые выкладки, результаты которых нам понадобятся ниже.
В теории оболочек существует так называемое дополнительное уравнение статики § 5.29. В простейшем варианте оно записывается в виде первого
6.42.4)
*
_
Ru ,,
Esm asaaP wsacO +
X НГь3 2aS — 1irL aab— aV“S0 b' •
Fsm НамаФ 2asV3— -Цр- bsaa°— SV3,
6.42.5)
Htai 2fl.bP_ Iv. asabt—asa, та3 m“3 0,


ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТЕНЗОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
87
равенства 5.29.3. Его мы и примем во всех дальнейших преобразованиях и запишем в тензорной форме так:
саРМ“3 0. 6.43.1)
Это равенство позволяет одну из функций напряжений, вводимых формулами 6.41.6, выразить через другие. Заменим в 6.43.1 индексы суммирования на s, t и внесем полученный результат во второе равенство 6.41.6. Получим
csc“sVaeB 4- baeg cstcst 0. 6.43.2)
Выполним свертку дискриминантных тензоров с по повторяющимся индексам, пользуясь здесь и всюду ниже формулой 6.41.9. Заметим при этом, что из 6.38.3 следует симметричность тензора Ьа, в то время как тензор са3 — обратно симметричен. Поэтому
с“еЬсф о.
Кроме того, справедливо равенство
сс1 -■ а 2.
Учитывая все это, получаем из 6.43.2 требуемую формулу
X J- c“VaeB. 6.43.3)
Помножим первые два равенства 6.41.6 на cptcSQ, выполним свертки, учтем, что тензоры а и с при ковариантном дифференцировании ведут себя как константы в дальнейшем мы будем этим пользоваться без напоминания, и запишем полученные результаты, присоединив к ним равенство 6.41.7,
cvtC4qM УDea boqg СрцЪ g 43 4^
CspCtaT - У7Ф Cspbq, фс Vsg—bea.
Этим статическим равенствам по статико-геометрической аналогии двойственны первые два геометрических равенства 6.41.4 и первое геометрическое равенство 6.41.5. Кроме того, мы имеем статическое равенство 6.43.1 и двойственное ему второе геометрическое равенство 6.41.5. Введем обозначение
р h 6.43.5)
131— V)
помножим все перечисленные геометрические равенства на 2Ehp, а все статические — на и сложим их попарно. Получим формулы
Ерр Vplfl bpq W -- Cpqdy Apq — VAp Capbqd,
Лр VPW— bapVa, d —L c“pvayB, в которых использованы следующие обозначения:
6.43.6)
ЕРЯ Ehpspq “Ь i°ptCqbM Ард — 2Ehpiljjq -f- iCspCtqT ,
Vp 2 Ehpvp iep, W 2 Ehpw ig, b.43.7)
Лp 2EhpXp -- iqp, d — 2Ehpb -f- .


ТЕНЗОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
ГЛ. 6
Введем теперь в рассмотрение уравнения неразрывности деформаций
6.41.3. Исключив во втором из этих равенств величину при помощи третьего равенства, получим
faba 3xw cpVj VaV3 в„ 0. 6.43.8)
Аналогичным образом исключим величину Sa во втором уравнении равновесия 6.41.1, воспользовавшись третьим из этих уравнений. Тогда, считая, что внешние поверхностные моменты отсутствуют qa 0, можно написать равенство
6a3rp vaveMai—Z 0.
Его можно переписать в следующем виде:
VaVcpcstlMst 4- Z 0, 6.43.9)
в чем нетрудно убедиться, выполнив свертку тензоров с и помня, что в силу
6.43.1 тензор Mst симметричен.
Помножив 6.43.8 на 2Ehp, а 6.43.9 — на i, сложив их и использовав обозначения 6.43.7, получим
срасаАва cpVpVaV3£M iZ 0. 6.43.10)
Обратимся к уравнениям состояния 6.42.1 и будем считать, что предстоящие выкладки должны быть выполнены на уровне точности, соответствующей простейшему варианту этих уравнений, выражаемому формулами
6.42.3. Однако пока мы положим равными нулю лишь тензоры т и т, а F и Н обратим в нули несколько позже. В промежуточных выкладках тензоры F и Н будут показывать, величинами какого вида мы пренебрегаем в каждом конкретном выражении, избрав простейший вариант уравнений состояния. Если при этом в данном выражении содержатся другие слагаемые того же вида, то будет приниматься, что в рамках принятой точности их также можно отбросить.
Возьмем уравнения состояния в виде
Tst В asaatfi 4- vcsVp ea3 DFsmia, 6.43.11)
Mst D asaa 'J vcsVp xa3 DHstasa3. 6.43.12)
Первое из них заменим следующим равенством, разрешенным относительно тензора тангенциальной деформации:
2ЕЫМ aDsaqt — vcpscqt Tst QpqstMst. 6.43.13)
Если в формулах 6.43.11 и 6.43.13 положить F и Q равными нулю, то правильность перехода от одной из этих формул к другой можно проверить, подставив, например, 6.43.13 в 6.43.11 и произведя свертку. Что же касается тензора Q, то его конкретный смысл для нас несуществен. Этот тензор также будет положен равным нулю в окончательных результатах,
а пока он будет играть ту же роль, что и F и Я, т. е. будет указывать те сла¬
гаемые, которые можно отбрасывать в рамках принятой точности.
При помощи формул 6.43.4 равенство 6.43.13 можно привести к такому виду:
2Ehpq срс,.п— vaa? V„ Vgg— bey cnbl +
Qpqst C ae3 T bag С •


§ 43 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТЕНЗОРНЫХ УРАВНЕНИЙ gg
Замечание. Если тензор имеет верхние и нижние индексы, а порядок последних для этого тензора является существенным, то ставятся дополнительные точки, фиксирующие место индекса. Так, например, символ с£ означает, что в обратно симметричном тензоре с нижний ковариантный индекс а стоит на первом месте, а верхний контравариантный индекс р —■- на втором. Для а и b точки не ставятся, так как эти тензоры — симметричны.
В последнем равенстве слагаемые, содержащие тензоры е и х, попарно подобны в том смысле, что в каждую пару входят одноименные тензоры и одинаковое число символов ковариантного дифференцирования. Поскольку в каждую пару подобных слагаемых входит тензор Q, истинный смысл которого нам не известен, отбросим не только члены с Q, но и подобные им слагаемые. Получим
2Ehzpq с'р? — vapa V3Vag. 6.43.14)
Аналогично поступаем с равенством 6.43.12. Помножим его на cpt, csqr выполним свертку и выразим тензоры еаР, хар по формулам 6.41.4,
6.41.5. Получим ‘
D сД?9 — va3 Vp Vaw—blvy—cyabl 6 =
DcptcsgH5 3 VaUp -- baw -f- cap6.
В этом равенстве в вышеуказанном смысле подобны друг другу две парьг слагаемых с тензорами vy, 8. Положив тензор Я равным нулю и отбросив все слагаемые, подобные тем, которые содержат тензор Я, будем иметь
cptcigMst D сД“‘ — va3a“ Vp'Vaw. 6.43.15)
Забегая вперед, заметим, что в выражении символы ковариантного
дифференцирования можно поменять местами к вопросу о замене порядка ковариантного дифференцирования мы еще вернемся в этом параграфе. Поэтому в коэффициенте при можно заменить а на Р, а Р на а и
представить формулу 6.43.15 так:
cptcsgMst — D ctC vaSe? VpVa®. 6.43.16)
Из равенств 6.43.14 и 6.43.16 очевидным образом составляется комплексная комбинация
Ещ — ip c„VvBVar vaXPVpVaW, 6.43.17)
в которой черточка над буквой — символ комплексной сопряженности.
Из первого и четвертого равенств 6.43.6 следует, что Ерд — симметричный тензор. Поэтому равенство 6.43.17 эквивалентно трем равенствам. В них Epq при помощи 6.43.6 можно выразить через Vp, W, и мы получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными. Это так называемые уравнения теории оболочек в комплексных перемещениях, впервые предложенные в работе 98. Под комплексными перемещениями в них подразумеваются величины Vp, W, задаваемые третьим и четвертым равенствами 6.43.7.
Из 6.43.17 очевидным образом получается следующее важное для дальнейшего равенство:
срVpVaVp£M - tpcpV3VaVp c'tcpVrFtW valayW. 6.43.18)
Тензор Epg в левой части 6.43.18 можно выразить при помощи 6.43.10 через Ард и, учтя 6.43.6, написать
cpacgSiVayfiEpg S S S — iZ, 6.43.19)


90
ТЕНЗОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
1ГЛ. ь
где
S cpacqa,V0VpW S - cpacqba VabWy.
ц b.4o.zJ)
S — cpacqacVPbyad
Будем вычислять величины 6.43.20, пользуясь равенством
Vac°v 0, 6.43.21)
представляющим собой тензорную запись уравнений Кодацци для поверхности, отнесенной к линиям кривизны, эти уравнения выписаны в § 1.3.
Выполнив в правой части третьего равенства 6.43.20 свертку по индексу р и заметив, что по индексам Р, q тензор Ьасимметричен, а тензор обратно симметричен, получим
s — cq?,ba?flybyqd cqhab°qd 0. 6.43.22)
Далее, в силу 6.43.21, имеем
S cpaVqcqfibapWcpa V35a3 VPW VqcpacqaVnW 6.43.23)
Равным образом
S - cpaVacqblV, cpa V0 Aa3 blVv - VffcpV3ba3yv. Справедливо равенство
ГЬаЫ аК
К — гауссова кривизна срединной поверхности, которое легко проверить, построив в линиях кривизны компоненты тензоров, стоящих в его правой и левой частях. Поэтому можно написать
S —awVqKVT 6.43.24)
Таким образом, из 6.43.19, 6.43.20, 6.43.21—6.43.23 следует, что fV3VaV3£w VV3fea3vp№ - avKVv - iZ. 6.43.25 Обратимся к правой части равенства 6.43.17 и введем обозначения
т Т cpV3VaV3aaVnV?F. 6.43.26)
Первое из этих равенств преобразуем так:
Т ср“Ар5 aa5apt,VaV3V4V5r. 6.43.27)
Далее нам надо будет менять порядок ковариантного дифференцирова¬
ния. Оно, вообще говоря, не подчиняется закону переместительности, и формулы, к которым нам придется прибегать, записываются так :
Vr,V5 — V6VTS 0, VpVnVs — Vr,V3VaS 6.43.28)
Здесь S — произвольный инвариант, a Ramn — тензор Римана—Кристоф- феля, для которого справедлива следующая формула Бианки:
ЯссЗ, пm Kcacmn. 6.43.29)
Каган В. Ф., Основы теории поверхностей, ч. 1, Гостехиздат, 1947.


§ 441 УРАВНЕНИЯ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
Поэтому можно написать
Т aV’XVeVjV a“5aPrVa VEV KccT,yv W =
laa5VaVE aV.Vj VaCc“V,,VvJ № ЛДЙ7 aJ-yVaKVv W. 6.43.30)
Здесь использовано обозначение
amnVmVn Д.
и под А подразумевается обобщенный оператор Лапласа; в произвольной ортогональной системе координат он расшифровывается гак:
Д — 1 д А д Ai о \
АгА2 даг Ал даг ' да2 А2 да2 J *
Из второго равенства 6.43.26 получаем
т cVVaVpVgV.
Применив снова формулы 6.43.28, 6.43.29, будем иметь
Т c’acntVa VEVBV, KciPcWY W c6aVaV c4PVaV4rj a-VaffVvF.
Но выражение, взятое в квадратные скобки, равно нулю в силу первой формулы 6.43.28, и следовательно,
2
Т aavS7aKS7vW. 6.43.31)
Подставив в левую часть равенства 6.43.18 выражение 6.43.25 и преобразовав правую часть 6.43.18 при помощи 6.43.26, 6.43.27, получим важное для дальнейшего уравнение
cpacq1yqbapW — av KVy — iZ =
— tp A AW aavVa KVvW — a“vVa CVv¥jJ. 6.43.32)
§ 44. Уравнения общей теории оболочек в произвольной ортогональной системе координат
Уравнения §§ 6.41—6.43 сохраняют силу при любой системе координат, установленной на срединной поверхности, так как все они имеют тензорный характер. В частности, их можно расшифровать для случая, когда срединная поверхность отнесена к произвольной ортогональной, не сопряженной системе криволинейных координат. Для этого надо иметь в виду правила перехода к физическим компонентам § 6.37 и учитывать формулы 6.38.1,
6.39.1—6.39.4 , 6.40.1—6.40.5, 6.41.2, с помощью которых были определены все использованные здесь тензоры. Кроме того, надо пользоваться формулами ковариантного дифференцирования, которые записываются так:
г J а тп л г njn
иг V7 Тп I г a S-, т mn OL , тлп т оип , тлгп т па
Лс7’ 5 дзГ 5 _лё rlasb lasb ,
VI dZ-я pa j y7 J dLnm та т r
v Sn s L sn-'a, Vsnm — —- 1 sn Jam 1 smna-
ox dxs
Здесь Tap — символы Кристоффеля, определяемые для произвольной ортогональной системы координат формулами 1.3.4; L — инвариант; L°, La —


92
ТЕНЗОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
ГЛ. 6
ковариантный и контравариантный тензоры первого ранга; Lap, La3 — контравариантный и ковариантный тензоры второго ранга.
Приняв все это во внимание, получим следующие уравнения и формулы общей теории оболочек, срединная поверхность которых отнесена к произвольной ортогональной системе координат здесь мы возвращаемся к обозначениям глав 3—5; индексы i, не имеют тензорного характера и могут принимать две пары значений i 1, 2 и i 2, 1; звездочки, употреблявшиеся в §§ 6.37—6.39, теперь не ставятся.
Уравнения равновесия
да
да, 11 1 даj v 1 tff dat 1
I 2 J21 T °l2
11 22 12
A,A Ru Ru AAfX' ~
521'512 ik -k A к A'N 2 °-
6.44.1)
dA,
7 G’ — -Щ- Hii AiAiN’ AA'Y' °’
С С I 21
°21 12 T F
Ku
Hv
0.
R22 R12
Уравнения неразрывности деформаций
aS7‘4',,—'5ST 'E7 “ - t4,x 7 - Vu ~
l , _J_ oT , I e2 _ _® co_ \
?i, Я12 V T Rlt 2RU 2Я22 j
6.44.2)
47 - 7 Ж7 ■ J - °-
- - -k iA’ t 1ST T °-
Формулы деформации — перемещения, гг.ш поворота»
1 i
8 — 17 т 17
Л,- да, Л4, да, '
m А1 д 1 Л д цг 2w
Л2 да2 V Л, ' Л, да, А.г _t” ?12 ’
И, —
Л да,- 4,-Л, да, l Ri; »
6.44.3)
т
3; *
i v ю е>
Л,- да,- “г Л Л, да, ‘ ’
ь к _ 17 ж ж)


§ 441
уравнения в произвольных Ортогональных координатах
93
Формулы углы поворота—перемещения»
__ I Uj И_
V Ai dai Rii Rif
dui 1 dAi
w
A,, oat AiAj daf Ui Rif 9
S 7Г AA, do7 17 Aiut *
Формулы усилия, моменты — функций напряжения»
1 Z 1 Y
1 А да у Л Л,- 557 Я; ~
1 d 1 дс а; а,-
А, оа, V Л,- day ”г Rif +
1 М,- _1_ _дс_ _а_ _ Д j
AfAf да Ас dai Ru Rif J Ri
с __ 1 I 1 OAi i4, x
l A, da, AiAj da ?,7 —
I о 1 dc Д, y \
— Aj da, Ai da,- Rjt WfJ '
_i — A. -fZ iv JC
4,4, da, 4, da, Rjу R ■ '
Г? _L_Lj l—idL, f_
' 4, da, t Л,Л,- da; 1 Rj ’
и 1 0ai 1 дА, С , .
w- —'ds; 75747 ж Xl
л, — 1'
1,
1 d tfc
4,- day Я,у
11 dc a, ai_
Rif Aj daу i?,, ?,-y
й. - J __l
4, da, RU Rn '
Уравнения состояния
™ 2Eh
а;
а, \
Rtt
Rn)
дс 1
а,
da,- ^
„
£Л
to,
r 2EKA , ,
G' —31 »
31 — v2)
д 2Eh? со _ со M
Ha -3 i -v2 LT 77 'vx J
вариант, соответствующий простейшим тензорным уравнениям
6.42.4.
6.44.4)
9
6.44.5)
•
6.44.6)
состояния


94
ТЕНЗОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
1.ГЛ. 6
Соответствия статико-геометрической аналогии
Sji -- т — —р
П 4 '6.44.7)
Hfi4--9 Ф, а,4-и,.Ьщ г 4—ъ w.
В этих формулах использованы обозначения § 1.5, т. е. Rit — нормальные радиусы кривизны поверхности в направлении координатных линий, а ?12 — величина, характеризующая степень несопряженности координатных линий. При переходе от произвольных ортогональных координат к линиям кривизны надо положить
Rit — R f R i2 •
Тогда приведенные здесь уравнения и формулы перейдут в уравнения и формулы глав 3, 4, и это служит доказательством правильности тензорных соотношений § 6.43.


Часть И
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК
Под оболочкой понимается тонкое упругое тело. Поэтому основной задачей теории оболочек надо считать создание таких приближенных методов анализа, которые существенным образом опираются на малость относительной толщины оболочки h. Разумеется, в некоторых случаях можно исследовать оболочку, исходя из уравнений теории упругости и не внося в них никаких упрощений такие решения даны для сферы и цилиндра. Однако эти результаты надо относить к достижениям теории упругости, хотя и имеющим очевидную большую ценность для теории оболочек.
Малость толщины в неявном виде использована уже в части I при формулировке гипотез теории оболочек в части VI показано, что все они являются следствием малости hj. В части II малость h используется для формулировки приближенных методов интегрирования двумерных уравнений теории оболочек. Соответствующие упрощения исходных уравнений производятся на основе дополнительных предположений, которые, так же как и в части I, принимаются пока без попыток серьезного обоснования. Однако,, как выяснится в последующих разделах книги, все они отражают асимптотические при h — 0 свойства напряженно-деформированного состояния оболочки.
Для теории оболочек характерна поражающая на первый взгляд пестрота приближенных подходов и кажущаяся противоречивость предположений положенных в их основу. То, что объявлено второстепенным в одной ситуации, может быть признано главным при других обстоятельствах. Так, например, моменты и перерезывающие усилия, которыми можно пренебречь в без- моментной теории, превращаются в определяющие статические факторы,, когда речь заходит о напряженных состояниях с большой изменяемостью. Асимптотический анализ интегралов уравнений теории оболочек вскрывает причины такой разнородности, но, как бы то ни было, она остро ставит вопрос об области применимости каждого отдельно взятого приближенного приема расчета оболочек. В части II он также обсуждается, и для этого вводится понятие о показателе изменяемости. Оно в теории оболочек в высшей степени важно, но вместе с тем и крайне расплывчато. Автору представляется, что такая ситуация отражает сущность рассматриваемой проблемы, и полностью устранить возникающую в связи с этим неопределенность, по-видимому невозможно. Пусть, например, на замкнутую упругую тонкую сферу действует спокойная медленно меняющаяся от точки к точке нагрузка. Тогда в оболочке возникнет безмоментное напряженное состояние. Столь же ясно, что если нагрузка станет достаточно бурной, то напряженное состояние станет моментным. Однако граница между спокойной и бурной нагрузкой, конечно, не будет резко очерченной даже для такого сравнительно простого объекта обсуждения, как тонкая упругая сфера. Здесь в сомнительных случаях нужен разумный учет всех конкретных обстоятельств. Несмотря на это, в книге делается попытка придать максимальную определенность понятию показателя изменяемости.


Qg ЧАСТЬ II
Формулируются некоторые из утверждений теории асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных, изложенной в приложении, и показывается, как они связаны с вопросом об изменяемости.
Наибольшие трудности вызвало изложение такого, казалось бы, ясного понятия, как безмоментная теория. Читателя, возможно, удивит сложность избранного здесь подхода, однако, перебрав все более простые трактовки, автор не нашел среди них ни одной свободной от противоречий или хотя бы такой, которая не повредила бы правильному пониманию обсуждаемых вопросов.


ГЛАВА 7
БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ
§ 1. Основное напряженное состояние
Напряженно-деформированное состояние оболочки часто представляет собой сумму основного напряженного состояния и краевых эффектов. Первое из них распространяется на всю оболочку, а вторые имеют местный характер и локализуются вблизи определенных кривых, которые в дальнейшем будут называться линиями искажения напряженно-деформированного состояния или просто линиями искажения к ним принадлежат края оболочки, линии излома срединной поверхности или, вообще, линии скачкообразного изменения исходных данных.
Существуют некоторые условия, при которых напряженно-деформированное состояние оболочки заведомо обладает такими свойствами. Эти условия выявятся ниже, а пока мы постулируем, что они выполняются. Тогда в качестве приближенного подхода к решению задач теории оболочек может быть использован метод расчленения напряженно-деформированного состояния или, просто, метод расчленения. Его идея заключается в следующем. Основное напряженное состояние и краевые эффекты по своим свойствам существенно отличаются друг от друга. Поэтому существенно различны и те дифференциальные уравнения, которыми приближенно описываются эти напряженные состояния. На этом базируется основная идея метода расчленения: строить на первых этапах расчета основное напряженное состояние и краевые эффекты раздельно пользуясь для этого различными вариантами приближенных дифференциальных уравнений и вводить их в совместное рассмотрение только для выполнения граничных условий, так как только эта операция и обусловливает их взаимодействие. К подробностям реализации метода расчленения мы вернемся в главе 9 и особенно подробно обсудим их в части IV, а сейчас обратимся к основному напряженному состоянию и примем пока без объяснений следующее
Предположение. При определении основного напряженного состояния в силовых уравнениях равновесия члены с перерезывающими усилиями N ъ N2 играют второстепенную роль.
Отбросим в соответствии с принятым предположением в силовых уравнениях равновесия члены с перерезывающими усилиями Nu N2. Тогда для оболочки, отнесенной к произвольной ортогональной системе координат, получим следующую систему приближенных уравнений.
1. Силовые уравнения равновесия 6.44.1)
£ М,т. - Т, £ AiSm -Ц S„ АЛХ, 0. 7.1.1)
4- И.Л •- А £ МА Ц- s„ w - 0, 7.1.2)
_р___1£ц. i Z-0. 7.1.3)
К11 А12 А22
7 А. Л. Гольденвейзер


98
БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ
ГЛ. 7
2. Тангенциальные уравнения состояния 6.44.6 здесь и ниже тангенциальными называются те уравнения состояния, которые связывают Тlf S2i, S12 Т2 с деформациями)
Тх -уг81 V82 2 iy е2 V8i S21 S12 7.1.4)
3. Формулы компоненты тангенциальной деформации — перемещения 6.44.3)
1
81 17
д1 dax '
1
дЛг
и2 —
да
АгА2
да2
r7i
9
1
ди2 , да2 '
1
дЛ2
иг —
W
82 л2
АгА2
даг
R22
9
Лх д ,
05 л3 а2 1
)
1 2 Аг
д
даг
иъ_\
а2 )
1 +
2т Rl2 '
7.1.5)
4. Формулы компоненты изгибной деформации — перемещения»
6.44.3)
1 dyx 1 в б
Xl л7да7 лй75а7 7’ и L_
2 Л2 да2 АгА2 дщ R12 ’
L-Va. , —
1, da, ЛЛ2 да2 '1 г Rlf R
12
L д? 1 дЛ2 у 1 сч
Л2 да _г АгА2 даг ' ?22 R12 ’ '
j. 3
™ V Ла дя, т- Ru R12 J •
jb_ \
V Л2 Эа2 tf 22 R12 J ’
1 ди2 1 дАг ,
щ д аГа Ul Ж7 ’
1 диг 1 дЛ2 у , w
S Т 1447 ' да7 — 97 2“2 *
5. Нетангенциальные уравнения состояния 6.44.6 под этим подразумеваются уравнения, связывающие моменты с деформациями)
9 FP73 2Eh3
Gl 3 v2j ХХ Ь V5t2 2 3 1 v2 Х2 Vtl,
7Л'7)
Н1 — Hl 3 1 v Т-
6. Моментные уравнения равновесия 6.44.1)
- i- АЛ 4sr °. ЛЛ £- Я„ А,А а _ 0, 7.1.8 ЖГ У —о. - жг л,яи _ Я„- W. 0. 7.1.9)


БЕЗМОМЕНТНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
99
В приближенной теории основного напряженного состояния берутся простейшие уравнения состояния, а шестое уравнение равновесия отбрасывается.)
В дальнейшем, когда надо подчеркнуть отличие 7.1.1—7.1.9 от неупрощенных уравнений 6.44.1—6.44.6, будем называть последние уравнениями моментной теории оболочек.
§ 2. Безмоментное напряженное состояние
Важное следствие отбрасываний, произведенных в силовых уравнениях равновесия 7.1.1—7.1.3, заключается в том, что они вместе.с дополнительным равенством
S21 S12, 7.2.1)
вытекающим из 7.1.4, образуют самостоятельную подсистему, состоящую из четырех уравнений с четырьмя неизвестными Тъ S2i, S12, Т2. Это значит, что 7.1.1—7.1.3 и 7.2.1 определяет некоторую совокупность таких напряженных состояний Тъ S21, S12, Т2, которые находятся в равновесии с внешними силами Q, состоящими из поверхностной нагрузки Xl9 Х2, Z и краевых тангенциальных сил t, s)
Q Хъ Х2, Z, s 7.2.2)
, s — тангенциальные усилия, возникающие на сечении, проведенном вдоль края, и выражающиеся через краевые значения 7, S21, S12, Т2 по формулам 3.20.2.
Коэффициенты уравнений 7.1.1—7.1.3 и 7.2.1 не зависят от параметра г, под которым здесь подразумевается малое число по сравнению с единицей, равное отношению полутолщины оболочки к характерному радиусу кривизны срединной поверхности. Поэтому при некоторых дополнительных условиях таких, например, как требования ограниченности области, отсутствие линий вырождения типа уравнений и т. п. решения этих уравнений имеют относительно h такой же асимптотический порядок, как и внешние силы Q. Запишем это так:
Тъ S21, S12, T2 0Q. 7.2.3)
Для каждого из решений Тъ S21, S12, Т2 уравнений 7.1.1—7.1.3,
7.2.1 можно найти соответствующие ему моменты, перерезывающие усилия, перемещения и деформации, поступая следующим образом.
Для определения elf со, е2 имеем тангенциальные уравнения состояния
7.1.4. Относительно величин 2ЕЫЪ 2Eha, 2ЕЫ2 они образуют алгебраическую систему уравнений, также не содержащую h в коэффициентах. Поэтому справедливо соотношение
2Екгъ со, е2 О Q. 7.2.4)
Для определения перемещений служат формулы тангенциальные деформации—перемещения. Они образуют систему дифференциальных уравнений относительно ult u2, w считается, что еь со, е2 уже определены и снова ше содержат в коэффициентах параметра h. Поэтому при некоторых дополнительных условиях такого же характера, как и упомянутые выше для каждой определенной тройки еь со, е2 можно построить тройку иъ u2, w, имеющую тот же порядок по h. Сохраняя только такие решения, будем иметь
2Eh иъ u2, w О Q. 7.2.5)


100
БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ
ГЛ. 7
Для определения хъ т, х2 служат формулы 7.1.6. По ним переход от перемещений к деформациям выполняется прямыми действиями, не зависящими от ft. Поэтому
2ЕНхъ т, х2 О Q. 7.2.6)
Далее можно воспользоваться нетангенциальными уравнениями состояния, из которых при помощи алгебраических действий находятся моменты. При этом легко видеть, что
Gu Я2Ь tfia, Ga О А. 7.2.7)
Наконец, Nu N2 из уравнений 7.1.8, 7.1.9 определяются прямыми действиями, не зависящими от ft. Следовательно,
Nu N2 0hlQ. 7.2.8)
Приближенные силовые уравнения равновесия 7.1.1—7.1.3 получены за счет отбрасывания следующих величин:
AiAjX'i — — Ri 2,
Z 47 557 Л1г '
Поэтому можно считать, что напряженно-деформированное состояние Рб, соответствующее внешним силам Q и построенное описанным способом, отличается от некоторого истинного значения этой величины Р на поправочное напряженно-деформированное состояние Р соответствующее внешним силам Хь Х2, Z', s', tf. Причем под XJ, Х2, Z' — компонентами поверхностной поправочной нагрузки — надо подразумевать величины 7.2.9, a s', f зависят от нашего выбора и можно, в частности, положить s' t' 0. Из асимптотического соотношения 7.2.8 и формул 7.2.9 следует, что
Х'и Ха, Z', 0, 0 0hlQ. 7.2.10)
Но выше было принято, что тангенциальные усилия имеют такой же порядок, что и внешние силы. Поэтому асимптотическое соотношение 7.2.10 означает, что для решений рассмотренного вида отбрасывание членов с Nlt N2 приводит к незначительным погрешностям, неограниченно уменьшающимся при ft — 0, т. е. предположение теории основного напряженного состояния § 7.1 при достаточно малом ft можно считать оправданным.
Назовем напряженно-деформированное состояние, удовлетворяющее асимптотическим соотношениям 7.2.3—7.2.8, безмоментным напряженным состоянием. Сказанное в предыдущем абзаце означает, что для него остается справедливым предположение, сформулированное в § 7.1 для основного напряженного состояния.
Обозначим через оТ и oG наибольшие напряжения, порождаемые соответственно тангенциальным усилием Т и моментом G. Из формул 2.10.1 легко вывести, что
_ Т _ 3G
°т 2h 1 °G 2К*
эти формулы, конечно, можно получить и непосредственно.
Отсюда, учитывая 7.2.3 и 7.2.7, будем иметь асимптотическое соотношение
aG 0ftjr, 7.2.11)
из которого вытекает, что при достаточно малом ft безмоментное напряженное состояние оправдывает свое название в том смысле, что в нем напряжения от моментов играют второстепенную роль.


ЧИСТО МОМЕНТНОЕ СОСТОЯНИЕ БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ
101
Прежде чем идти дальше, поясним смысл высказанных утверждений.
В формулировке каждой краевой задачи теории оболочек содержится в явном или неявном виде некоторое число параметров. Если, например, надо рассчитать замкнутую круговую цилиндрическую оболочку, подверженную действию поверхностной нагрузки, меняющейся по закону sin па± sin ma2, то параметрами задачи будут: h — относительная полутолщина, г — радиус оболочки, I — длина облочки, а также числа пит, определяющие характер внешних воздействий. В связи с этим обратим внимание читателя на то, что полученные здесь оценки выявляют некоторые свойства, связанные с поведением только одного из параметров задачи, а именно, с малостью й. Это — асимптотические свойства, т. е. свойства, проявляющиеся при достаточно малом k. В конкретных задачах значение этого параметра фиксировано, и как бы оно ни было мало, может случиться, что при выбранных значениях других параметров задачи асимптотические свойства еще не имеют силы.
Возвратимся к соотношениям 7.2.10, 7.2.11. Из них следует, что при достаточно малом h безмоментное напряженное состояние обладает следующими свойствами:
1 оно может быть с известной точностью построено при помощи уравнений 7.1.1—7.1.9,
2 в нем напряжения от тангенциальных усилий превышают по абсолютной величине напряжения от моментов.
Если h фиксировано, а другие параметры рассматриваемой краевой задачи ничем не ограничены, то безмоментное напряженное состояние может утратить оба упомянутых свойства. Условимся в связи с этим говорить, что безмоментное напряженное состояние не существует, когда для его построения непригодны уравнения 7.1.1—7.1.9, а если оно существует, но в нем напряжения от моментов не меньше напряжений от усилий, то такое безмоментное напряженное состояние назовем выродившимся.
Пример. Фиксируем в описанной выше цилиндрической оболочке параметры й, г, п, т, примем, что пит соизмеримы с единицей, и будем менять параметр Тогда можно показать, что при малых I безмоментное напряженное состояние существует и является невырожденным. При увеличении I 1± безмоментное состояние выродится, так как слишком возрастут напряжения от моментов, но оно еще будет существовать, так как компоненты дополнительной нагрузки Хь Хг, 2' останутся малыми. Дальнейшее возрастание I 0 2 поведет к возрастанию Xi, Х2, 2', и безмоментное напряженное состояние перестанет существовать. Все эти утверждения легко проверить по формулам, которые выводятся для цилиндрической оболочки в § 13.1.
§ 3. Чисто моментное напряженное состояние.
Безмоментная теория оболочек
При определении перемещений в предыдущем параграфе удерживались только такие решения уравнений 7.1.5, которые удовлетворяют асимптотическому соотношению 7.2.5, а последнее в силу 7.2.4 равносильно требованию
и19 иъ w О е, е тахе1, со, е2. 7.3.1)
Вместе с тем очевидно, что уравнения 7.1.5 имеют решения, не удовлетворяющие этому соотношению. К ним, например, принадлежат все решения однородной при 8 со s2 ее 0 системы 7.1.5, так как для них 8 0, a ul9 u2, w отличны от тождественного нуля. Рассмотрим теперь эти решения и построим соответствующие им напряженно-деформированные состояния.


102
БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ
ГЛ. 7
Для каждого решения uly и2, w однородной системы 7.1.5 можно подсчитать къ т, х2 по формулам 7.1.6. Это требует только выполнения прямых действий. Поэтому
2£7ib т, к2 О 2EhU, U maxuly и2, w. 7.3.2)
Из нетангенциальных уравнений состояния алгебраически получаем моменты, а затем из моментных уравнений равновесия прямыми действиями находим перерезывающие усилия. При этом будут справедливы соотношения
Glf Н2и Hl2, G2 О 0h2EhU, tflf ЛГ2 О hEhU. 7.3.3)
Все остальные величины, определяющие искомое напряженное состояние, можно в первом приближении положить равными нулю:
Т — S21 S12 Т2 со s2 0. 7.3.4)
Тогда уравнения 7.1.1—7.1.9 при
X1X2 Z 0 7.3.5)
будут удовлетвор яться.
Формулы 7.3.4 можно при желании уточнить следующим образом. Возвратимся к силовым уравнениям равновесия моментной теории, т. е. возьмем вместо 7.1.1—7.1.3 первые два равенства 6.44.1, отбросим в них свободные члены в силу 7.3.5 и будем считать, что JVlf N2 известны. Тогда, использовав дополнительное равенство 7.2.1, получим систему из четырех уравнений для определения 7, S21, S12, Т2, в которой роль свободных членов играют некоторые выражения, содержащие Nг, N2. Так же как это делалось в § 7.2 при определении перемещений, примем, что эта система имеет решение, порядок которого равен порядку свободных членов, и сохраним только такие решения. Тогда будет справедливо соотношение
Ти S21, Si2, T2 0h22EhU. 7.3.6)
Далее при помощи 7.1.4 получаем алгебраически компоненты тангенциальной деформации, для которых оценочное соотношение имеет вид
81, со', 82 0hU. 7.3.7)
Напряженно-деформированное состояние, удовлетворяющее асимптотическим соотношениям 7.3.1—7.3.3, 7.3.6, назовем чисто моментным напряженным состоянием.
В чисто моментных напряженных состояниях, если их строить при помощи приближенных уравнений 7.1.1—7.1.9, компоненты тангенциальной деформации обращаются в тождественный нуль. Уточнения, которые можно получить, обратившись к уравнениям моментной теории, приводят к значениям, удовлетворяющим асимптотической оценке 7.3.7, играющей такую же роль, как оценка 7.2.10. Основываясь на этом, можно утверждать, что приближенные уравнения 7.1.1—7.1.9 в равной мере применимы к построению как безмоментных, так и чисто моментных напряженных состояний.
Из 7.3.3 и 7.3.6 легко вывести асимптотическое соотношение
аТ О HOq. 7.3.8)
Оно по смыслу прямо противоположно соотношению 7.2.11 и показывает, что при достаточно малом h чисто моментное напряженное состояние оправдывает свое название: в нем наибольшие абсолютные значения имеют


ЧИСТО МОМЕНТНОЕ СОСТОЯНИЕ. БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ
103
напряжения, обусловленные моментами. Вместе с тем при малом, но фиксированном h свойства, выражаемые соотношениями 7.3.7, 7.3.8, могут и не проявиться, т. е. чисто моментное напряженное состояние, так же как безмоментное, может не существовать или оказаться вырожденным.
Замечание. Чисто моментное напряженное состояние по смыслу совпадает с тем, что Ляв f84 назвал деформацией без растяжения и сжатия. Поскольку чисто моментное напряженное состояние здесь будет постоянно противопоставляться безмоментным напряженным состояниям, автор счел более уместным отразить в названиях состояний те их свойства, в которых выражено наиболее существенное различие между ними.
При решении уравнений 7.1.1—7.1.9 надо, кроме выполнения некоторых прямых действий, дважды интегрировать системы дифференциальных уравнений: при определении тангенциальных усилий интегрируется система
7.1.1—7.1.3, 7.2.1 при определении перемещений — система 7.1.5. Можно считать, что все произволы, содержащиеся в интегралах уравнений
7.1.1—7.1.3, 7.2.1, переходят в безмоментное напряженное состояние, а все произволы, содержащиеся в интегралах уравнений 7.1.5, переходят в чисто моментное напряженное состояние. Это значит, что основное напряженное состояние представляет собой сумму безмоментного и чисто момент- ного напряженных состояний.
Одним из самых распространенных приемов анализа напряженно- деформированного состояния оболочки является так называемая безмомент- ная теория. В самых общих чертах ее можно определить как метод, стремящийся использовать то обстоятельство, что вдали от линий искажения в оболочке, как правило, господствует безмоментное напряженное состояние, т. е. выполняется соотношение 7.2.11. Эта предпосылка явно или неявно принимается во всех трактовках безмоментной теории, но детали метода у разных авторов выглядят совершенно по-разному. Так, например, иногда считается, что цель безмоментной теории заключается лишь в определении тангенциальных усилий и что в ней надо учитывать только уравнения 7.1.1—
7.1.3, 7.2.1. В других случаях определение перемещений также включается в задачу безмоментной теории, и соответственно увеличивается число уравнений, с которыми надо оперировать. Можно указать и другие расхождения.
В настоящей книге безмоментная теория также занимает видное место и, избегая путаницы, постараемся достаточно четко определить это понятие предлагаемая трактовка, может быть, и не является наилучшей, но она удобно увязывается с принятым здесь способом изложения.
В некоторых случаях часто встречающихся в практических задачах в процессе применения метода расчленения построение основного напряженного состояния выделяется в совершенно самостоятельную задачу. Это происходит тогда, когда, не вводя в рассмотрение краевые эффекты, удается из четырех граничных условий общей теории оболочки выделить два граничных условия, которые надо учитывать при интегрировании уравнений 7.1.1—
7.1.9 и которые вместе с этими уравнениями однозначно определяют основное напряженное состояние. Такие случаи будут здесь разобраны в §§ 9.15— 9,17. Там же приведен и пример противоположного характера. В части IV при более систематическом рассмотрении метода расчленения будет показано, что, если построение основного напряженного состояния выделяется в самостоятельную задачу, то в нем господствует безмоментное слагаемое и основное напряженное состояние будет безмоментным если оно не вырождается.
Здесь под безмоментной теорией подразумевается один из вариантов метода расчленения, заключающийся в построении основного напряженного состояния при помощи интегрирования уравнений 7.1.1—7.1.9 с учетом двух граничных условий, выделяемых из четырех граничных условий теории


104
БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ
ГЛ. 7
оболочек по определенному правилу без введения в рассмотрение краевых эффектов.
По поводу принятого определения полезно сделать ряд замечаний.
1. Не предполагается, что в результате применения безмоментной теории обязательно должно получиться напряженно-деформированное состояние, в котором преобладают напряжения от тангенциальных усилий. В общем случае это будет так потому, что возможность самостоятельно строить основное напряженное состояние означает, как уже говорилось, господство без- моментного напряженного состояния, в котором, как правило, наибольшими являются напряжения от тангенциальных усилий. Однако возможны и исключения, которые будут иметь место, если безмоментное напряженное состояние выродится.
2. В предлагаемой трактовке цель безмоментного расчета заключается в построении некоторого основного напряженного состояния, в котором господствует безмоментное напряженное состояние. Поэтому, вообще говоря, надо находить не только тангенциальные усилия Тъ S21, S12, Т2 и перемещения и1у и2, w, но также моменты Gb 21, 12, G2 и перерезывающие усилия Nlt N2• Построение Gb 21, Я12, G2, Nl9 N2, как мы уже могли убедиться, достигается прямыми действиями и не связано с дополнительными принципиальными затруднениями. Вместе с тем оно может дать существенные поправки, если господствующее безмоментное напряженное состояние выродилось или близко к вырождению когда есть уверенность, что вырождение или близость к ней невозможна, необходимость в вычислении моментов, конечно, отпадает.
3. Требование, чтобы выделение задачи построения основного напряженного состояния производилось без связи с краевыми эффектами, нуждается в дополнительном разъяснении, но здесь было бы не своевременно на этом останавливаться. Вопрос станет яснее после общего рассмотрения метода расчленения в части IV.
Мы будем называть уравнения 7.1.1—7.1.9 уравнениями безмоментной теории, так как их интегрирование составляет математическую задачу этой теории. Однако надо помнить, что эти уравнения лежат также в основе и более общего приближенного подхода, т. е. метода расчленения. Логически правильней было бы называть 7.1.1—7.1.9 уравнениями основного напряженного состояния, но упомянутый выше термин прочно вошел в теорию оболочек, а, кроме того, метод расчленения на практике применяется чаще всего в том варианте, который здесь назван безмоментной теорией.
§ 4. Статические уравнения безмоментной теории
Силовые уравнения равновесия безмоментной теории 7.1.1—7.1.3 вместе с дополнительным равенством 7.2.1, как уже говорилось, образуют самостоятельную подсистему. Введя обозначение
Эти уравнения мы будем называть статическими уравнениями безмоментной теории, или короче, безмоментными статическими уравнениями.
52i — S12 —
ее можно записать в виде
7.4.1)
7.4.2)
— — 4- — 4- Z 0 р. р “г — и*
Ян Я12 R09


СТАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ
105
Найдем характеристики безмоментных статических уравнений 7.4.2. Для этого положим X1 X2 Z 0, оставим в первых двух уравнениях только главные содержащие производные от искомых величин слагаемые и заменим в них символы дда на множитель dfldat. Тогда 7.4.2 превратится в систему однородных алгебраических уравнений относительно 7, S, Т2. Обратив определитель этой системы в нуль, получим дифференциальное уравнение характеристик системы 7.4.2:
ЖЖ
Ах дссг 0 1
Ли
1
Ж
о
Л2
дос2
и
1
Ж
жж
1
да.
А2 да2
2
1
Rl2
R2 2
о,
7.4.3)
или в раскрытом виде:
J- ±?t2 J--L-R _L_Lin2 0. 7.4.4)
Rn Л2 дсс2 Ri2 AiA2 dXidx2 R22 Ai dec
Уравнения 7.4.2, а следовательно, и уравнение 7.4.4, имеют силу в любой ортогональной системе криволинейных координат. Выберем последние так, чтобы а2-линии совместились с асимптотическими линиями срединной поверхности. Тогда в 7.4.4 надо положить R22 оо, и одно из решений этого уравнения станет очевидным f ах. Как известно из теории дифференциальных уравнений, равенство const, где — нетривиальное решение уравнения 7.4.4, определяет семейство характеристик системы 7.4.2. Это значит, что характеристиками уравнений 7.4.2 являются линии ал const, т. е. а2-линии. Следовательно, характеристиками статических безмоментных уравнений являются асимптотические линии срединной поверхности 109, 116.
На поверхности положительной гауссовой кривизны К 0 асимптотические линии мнимы. При С 0 существует два действительных семейства асимптотических линий, а при К 0 существует одно действительное двойное семейство асимптотических линий. Отсюда вытекает, что тип статических безмоментных уравнений зависит от знака гауссовой кривизны срединной поверхности. Для оболочек положительной кривизны это будет эллиптическая система, для оболочек отрицательной кривизны — гиперболическая и для оболочек нулевой кривизны — параболическая.
Систему 7.4.2 в однородном случае, т. е. при Хг Х2 Z 0, можно свести к одному уравнению, воспользовавшись формулами, связывающими усилия и моменты с функциями напряжения.
В части I были введены четыре основные функции напряжений ах, а2, с, и две вспомогательные функции напряжения фх, ф2 последние называются вспомогательными, так как даются формулы, при помощи которых ф ф2 можно выразить через а1у а2 с, х-
Для оболочки, отнесенной к произвольной ортогональной системе координат, согласно формулам 6.44.5 усилия выражаются через фх, ф2, следующим образом:


106
БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ
ГЛ 7
Полные не упрощенные за счет отбрасывания Nlt N2 однородные уравнения равновесия будут тождественно удовлетворяться в силу формул 7.4.5, каковы бы ни были достаточное число раз дифференцируемые функции фг, ф2, X Свяжем их равенствами
jh_ , J?a_ L Jl. _h_ L п л k\
R22 RX2 A2 da2 ’ R12 ■■ Ru Ax da, ’
_J_dA , _L J-U-o 7 47)
А, да, А1 dax АгА2 da2 Ъ AXA, dax Rxx R22)
из которых следует, что
Nf N9 0. S21 Si2 5.
Это значит, что полные силовые уравнения равновесия 6.44.1 обратятся в систему 7.4.2, и последняя будет тождественно удовлетворяться в силу 7.4.5—7.4.7.
Разрешим уравнения 7.4.6 относительно фг, ф2:
11 1 дх 1 1 д _ 1 1 1 д 1 1 д \
К V Ru Л2 да9 Rl2 Аг да, К V R22 А, да, Rl9 АЖ)
7 4.8)
К ■ гауссова кривизна срединнойповерхноспЛ Внеся 7.4,8 в 7.4.7,
1122 “12 /
получим искомое уравнение
J LJ_ J L_2L _i 1 д I
А2 да2 К. Rxx А2 da2 R12 4i dcс, /
, I М, 11 L , J 1 \
r АХА2 da2 К R22 Ах da, t R12 А2 da2 r
. J_J LJ L-Lj.J LAU
r Ax dax К R22 Ax dax l R12 A2 da2 J
,_J_dA±_L±_L ,_L_LJX_ ,J_ ¥_0 74 9)
ЛХЛ3 dOj К V u A2 da2 R12 Ax dajK Rxx R22 %
Оно эквивалентно системе 7.4.2 в том смысле, что каждому решению уравнения 7.4.9)
соответствует решение системы 7.4.2, в котором 7, 5, Т2 выражаются следующими формулами:
т _ 1‘ _L Л. ± _L _L , _L_ _L Ж. +
‘ v Aj да, К R„ At dat R,, A, da, j ^
I Г 11 1 4y 1 1 1 fr ■ 1 1 dt t
; AtA, dai К Ru A, da, R, A, dat Ri,*
c nt J d 1_J L J5L-l _L _L-Л-i. 7-4.10)
Aj da j К Ru Aj daf Rif At dat )
-i‘ — dAL±J-±Il- J L_ _ i JL
K AjAj да К Rjj Ai dat Rif Af da, ’ Ru
ihi 1, 2.
Они получаются, если подставить 7.4.8 в 7.4.5 и отбросить индекс при S два выражения
для 5 отличаются друг от друга, конечно, только по форме.
Замечание. Уравнение 7.4.9 имеет смысл только при К 0, т. е. для оболочек ненулевой гауссовой кривизны.
Ниже выяснится, что при К 0 безмоментные статические уравнения настолько просты, что для них вопрос о приведении к одному уравнению не представляет интереса.


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ
107
§ 5. Геометрические уравнения безмоментной теории
Под геометрическими уравнениями безмоментной теории или просто геометрическими безмоментными уравнениями будут подразумеваться равенства
в которых компоненты тангенциальной деформации рассматриваются как известные величины.
Равенства 7.5.1 образуют систему из трех уравнений с тремя неизвестными иъ и2, w и имеют простой геометрический смысл. В однородном случае, т. е. при ех со е2 0, уравнениями 7.5.1 определяются такие перемещения срединной поверхности оболочки, при которых компоненты тангенциальной деформации обращаются в нуль. При этом, как следует из формул
4.23.3, 4.23.4, сохраняется первая квадратичная форма срединной поверхности, а следовательно, однородные уравнения 7.5.1 определяют перемещения, соответствующие бесконечно малым изгибаниям срединной поверхности оболочки § 1.1.
С геометрической точки зрения однородную ех со е2 0 систему
7.5.1 можно назвать дифференциальными уравнениями изгибаний в перемещениях здесь и всюду в дальнейшем бесконечно малые изгибания для краткости называются просто изгибаниями. Легко вывести и дифференциальные уравнения изгибаний в деформациях. Шесть компонент деформаций еь со, 82, хь т, х2 удовлетворяют трем уравнениям неразрывности, которые в произвольной ортогональной системе координат записываются в виде равенств 6.44.2. Положив в них ех со е2 0, получим искомую систему
состоящую из трех уравнений с тремя неизвестными хь т, х2.
Два варианта дифференциальных уравнений изгибаний, т. е. системы
7.5.1 и 7.5.2, в известном смысле эквивалентны друг другу. Каждому решению ul9 и2, w системы 7.5.1 можно с помощью формул 7.1.6 поставить в соответствие некоторое решение хь т, х2 системы 7.5.2. При этом надо заметить, что существуют и такие решения 7.5.1, которым соответствует тривиальное решение 7.5.2, т. е. хг т х2 0. Смысл их очевиден: это будут смещения, определяющие движение срединной поверхности как жесткого целого, при котором все компоненты деформации обращаются в нуль. В дальнейшем, так же как это делается в теории поверхностей, будем иногда жесткое движение срединной поверхности называть тривиальным изгибанием.
Пусть, наоборот, известно некоторое решение
_ 1 диг 8l Аг дах
щ Л2 д и2 2w
А1 Л даг А2 ' Rl2
7.5.1)
_ 1 ди2 , 82 А2 да2
АхА2 da, R22 ’
1 дЛ2 w
—г -3—- ил —-г-
7.5.2)
Ru я г R*
Хз_ , _2т_ , _ о
Е “Г Р. ' Р
XI X?, т т°,
Х2 Х2
7.5.3)
уравнений изгибаний в деформациях 7.5.2.


108
БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ
ГЛ 7
Тогда, присоединив к 7.5.3 равенства е1 со е1 0, мы будем знать все шесть компонент деформации. Они заведомо удовлетворяют уравнениям неразрывности, и значит, по ним, как показано в § 4.27, можно восстановить смещения ul9 и2, w, являющиеся решениями уравнений 7.5.1. Эти смещения определятся с точностью до тривиальных изгибаний, т. е. до жесткого движения срединной поверхности.
Заметим, что 7.5.2 по структуре идентичны статическим безмоментным уравнениями 7.4.2: системы 7.5.2 и 7.4.2 переходят друг в друга, если установить такие соответствия:
Это одно из проявлений статико-геометрической аналогии, о котором уже говорилось в § 5.36.
Из 7.5.4 следует, что между статическими безмоментными уравнениями
7.4.2 и геометрическими безмоментными уравнениями 7.5.1 существует тесная связь. Пусть известно решение однородных уравнений 7.4.2. Тогда с помощью 7.5.4 можно найти соответствующее ему решение уравнений
7.5.2, а следовательно, и решение уравнений 7.5.1. Очевидным образом устанавливается и обратное соответствие. Это значит, что уровень трудности решения статических безмоментных уравнений 7.4.2 и геометрических безмоментных уравнений 7.5.1 одинаков. Более того, можно утверждать, что всякий метод решения одной из этих систем может быть использован и как метод решения другой системы. -
Характеристики дифференциальных уравнений 7.5.1 можно найти так же, как это делалось для уравнений 7.4.2. В результате вместо 7.4.3 получим равенство, в левой части которого стоит транспонированный определитель. Это значит, что характеристики геометрических безмоментных уравнений также совпадают с асимптотическими линиями срединной поверхности, а следовательно, эта система будет эллиптической для оболочек положительной кривизны, гиперболической для оболочек отрицательной кривизны и параболической для оболочек нулевой кривизны.
§ 6. Головная система уравнений безмоментной теории
Головной системой уравнений безмоментной теории или, короче, головной системой безмоментных уравнений будет называться совокупность равенств, состоящих из равенства 7.4.2 и двух следующих групп равенств:
Кроме 7.4.2, 7.6.1, 7.6.2, в уравнения безмоментной теории входят равенства 7.1.6—7.1.9, которые можно рассматривать как дополнительные. Из них прямыми действиями определяются не содержащиеся в головной системе неизвестные хь т, х2, Gl9 12, 21, G2, Nl9 N2.
Головную безмоментную систему легко свести к трем уравнениям относительно и19 и2, w. Выразив в 7.6.1 компоненты деформации через перемеще-
— Т2, т — — 5, с2 — Т
7.5.4)
1 диг 1 дАг
8 — АГ _1 даГ “3
Ru
W
7.6.2)


СТАТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ БЕЗМОМЕНТНЫЕ ЗАДАЧИ
.109
ния при помощи 7.6.2 и внеся этот результат в 7.4.2, получим следующие головные безмоментные уравнения в перемещениях:
1 д Г 1 dAjUi dAjtiA l l 1
Ai да i_AiAj , dat daj j Ri Rj W~
. ,i л 1 д Г 1 Мин дАи, 1 ,
H 2 Aj da j AiAj да,- dat jj
I ui ,11,111, 1— va у _л
‘r RiR, r Ru Ai da Rif А да,- J Г 2Eh u
ij 1,2, 7.6.3)
1 1 1 дА2иг дАги2 1 2v 1 \
д1ЖГWbRR2'j'Mw~
12 - - ■ „ - ■ ~
1 V2
da, r12 u2 ]
2 Eh
Z 0.
Уравнения 7.6.3 представляют собой результат суперпозиции статических и геометрических безмоментных уравнений Отсюда следует, что характеристики 7.6.3, так же как характеристики 7.4.2 и 7.5.1, совпадают с асимптотическими линиями срединной поверхности, но в головной системе безмоментных уравнений однократному семейству асимптотических линий семейству, существующему на поверхности отрицательной кривизны соответствуют двухкратные характеристики, а двухкратному семейству асимптотических линий семейству, существующему на поверхности нулевой кривизны соответствуют четырехкратные характеристики.
§ 7. Статическая и геометрическая краевые задачи
безмоментной теории
Вернемся к формуле 5.31.5, выражающей теорему Клапейрона в теории оболочек. В ней под
QC Ти S,,, G,, Hjiy Nu Q i i 1, 2 7.7.1)
подразумеваются статические неизвестные теории оболочек R Qi определяются формулами 3.17.3; для Q в линиях кривизны справедлива формула
3.19.3, а под
и, Г, ег-, со, 7ih т 12 7.7.2)
подразумеваются геометрические неизвестные теории оболочек.
При выводе 5.31.5, как уже говорилось, не используются уравнения состояния, связывающие между собой 7.7.1 и 7.7.2. Поэтому каждую из этих двух групп величин можно в 5.31.5 выбрать независимо друг от друга. Надо только требовать, чтобы величины 7.7.1 удовлетворяли уравнениям равновесия, а величины 7.7.2 — формулам деформации — смещения. В частности, в 5.31.5 можно положить
G, Нг1 Я12 G2 N, N2 0, S21 S12 S, 7.7.3 Q yi— Y 0. 7.7.4)
Ниже выяснится, что иногда удобно рассматривать головную безмоментную систему как единую, не обращая внимания на возможность расчленить ее на статические и геометрические уравнения.


110
БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ
ГЛ. 7
При этом моментные уравнения равновесия 6.44.1 тождественно выполнятся, а силовые уравнения равновесия 6.44.1 превратятся в статические безмоментные уравнения. Кроме того, в силу 3.19.3 и 7.7.3 мы будем иметь
Q 0 i 1, 2, 7.7.5)
поэтому, подставив 7.7.3—7.7.5 в 5.31.5, получим равенство
J J V-RAA da da2 -f- j U • da, — RA da2 =
0 e
f i®i “h 22 12 dcx-t dcc2n 7.7.6)
V
в котором через Rjn обозначена составляющая вектора Rt лежащая в касательной плоскости срединной поверхности,
л0 пп Mj Мj
Kt 1 1 А Aj ’
а под G и g, так же как в 5.31.5, подразумеваются соответственно область изменения параметров als a2, отвечающая рассматриваемой оболочке, и контур или контуры, ограничивающий эту область.
В 7.7.6 криволинейный интеграл выражает, очевидно, работу тангенциальных краевых сил на соответствующих им перемещениях. Его, можно преобразовать к виду
j U-lRAi da, — da2 ф PtV, PnVn ds, 7.7.7)
где Ph Pn — проекции краевых сил на два взаимно ортогональные тангенциальные направления , тг, а Vh Vn — проекции краевых смещений на те же направления, ds — дифференциал длины дуги контура.
Рассмотрим две краевые задачи.
Статическая безмоментная краевая задача. Под этим подразумевается построение в области G решения статических безмоментных уравнений 7.4.2, для которого на контуре g краевая сила Pt в заданном тангенциальном направлении I принимает заданные значения.
Геометрическая безмоментная краевая задача. Под этим подразумевается построение в области G такого решения геометрических безмоментных уравнений 7.5.1, для которого на контуре g краевое перемещение Vn в заданном тангенциальном направлении п принимает заданное значение.
Из равенства 7.7.7 следует, что статическая безмоментная задача и геометрическая безмоментная задача взаимно сопряжены, т. е. справедливы следующие теоремы.
Теорема 1. Если однородная геометрическая безмоментная задача имеет нетривиальное решение иХ, и то статическая безмоментная задача может иметь решение только тогда, когда выполняется интегральное равенство
j j Ua ■ RAlAi dai da2 j PiVX ds 0. 7.7.8)
G g
Теорема 2. Если однородная статическая безмоментная задача имеет нетривиальное решение Т SlA, то геометрическая безмоментная
задача может иметь решение только тогда, когда выполняется интегральное равенство
PftiVnds J J гГе, 7Г62 S0W А1А2 da, da2. 7.7.9)


ПОЛНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ
111
Доказательство. Примем, что существует нетривиальное решение однородной геометрической безмоментной задачи, и будем считать, что геометрические неизвестные в 7.7.6 соответствуют этому решению. Для последнего
гг со е2 0 в области G и Vn Q на контуре g.
Подставив это в 7.7.6 и учтя 7.7.7, получим равенство 7.7.8. Аналогично, если под статическими неизвестными в 7.7.6 понимается нетривиальное решение однородной статической безмоментной задачи, то в 7.7.6 надо положить
R 0 в области G, Pt — 0 на контуре g,
что и приведет к равенству 7.7.9.
Возможны случаи, когда однородная геометрическая безмоментная задача имеет несколько линейно независимых решений. Тогда будет существовать столько же различных необходимых условий 7.7.8. Равным образом и условие 7.7.9, вообще говоря, будет не единственным.
Если поставлено геометрическое граничное условие, выражающее отсутствие перемещений в некотором направлении р в каждой точке края, то будем говорить, что оболочка имеет закрепление в направлении р. Кроме того, будем говорить, что решение статической безмоментной теории порождается поверхностными и краевыми силами, первые из которых определяются свободными членами уравнений равновесия, а вторые — свободными членами граничного условия. Тогда теореме 1 можно дать простое физическое толкование. Если в геометрической безмоментной задаче закрепление в направлении п не препятствует изгибанию v срединной поверхности, то статическая безмоментная задача, в которой на краю задается тангенциальное усилие в направлении I, ортогональном п, может иметь решение только тогда, когда равна нулю работа сил, порождающих это решение, на перемещениях изгибания v.
§ 8. Полная краевая задача безмоментной теории
В § 5.33 введено понятие об идеализированных граничных условиях. В однородном случае они выражают либо требование отсутствия краевого смещения в заданном линейном или угловом направлении, либо — требование обращения в нуль краевых приведенных сил и моментов определенного направления. В некоторых случаях направления, для которых формулируются идеализированные граничные условия, можно разделить на тангенциальные и нетангенциальные. Под первыми подразумеваются линейные направления, параллельные касательной плоскости, а под вторыми — линейное направление нормали и направление угла поворота. Тогда будем говорить, что идеализированные граничные условия разделяются на тангенциальные и нетангенциальные. В дальнейшем выяснится, что возможность такого разделения оказывает существенное влияние на характер напряженного состояния оболочки. Примеры разбиения граничных условий на тангенциальные и нетангенциальные приводятся в §§ 9.15—9.17.
Под полной краевой задачей безмоментной теории или полной безмоментной краевой задачей будет подразумеваться задача интегрирования головных уравнений безмоментной теории с выполнением двух тангенциальных граничных условий в каждой точке края или краев оболочки. Всегда будет предполагаться, что эти граничные условия таковы, что в однородном случае из них следует обращение в нуль правой части равенства 7.7.7, т. е. выполнение равенства
Р№ i РпУ п ds — О,
7.8.1)


112
БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ
ГЛ. 7
Для этой краевой задачи остается в силе с оговоркой, о которой будет сказано ниже теорема единственности, доказанная в § 5.32. Чтобы показать это, рассмотрим, как и там, соответствующую однородную краевую задачу. Для нее надо считать, что R 0, и принять, что выполняется равенство
7.8.1. Поэтому 7.7.6 примет вид
Но здесь выражение, взятое в скобки, в силу формул 7.6.1 всюду в области G неотрицательно § 5.32, и следовательно, должны выполняться равенства
Отсюда вытекает, что решение полной безмоментной краевой задачи единственно с точностью, быть может, до перемещений, удовлетворяющих выписанным равенствам, т. е. с точностью до перемещений, соответствующих изгибаниям срединной поверхности.
Сравнив этот результат с общей теоремой единственности § 5.32, отметим следующие черты различия.
1 Для головных безмоментных уравнений единственность обеспечивается не четырьмя, а двумя граничными условиями тангенциальными. Последние должны отвечать требованию 7.8.1, которое можно называть условием единственности полной безмоментной краевой задачи.
2 Роль смещений срединной поверхности как жесткого целого играют теперь смещения, соответствующие изгибаниям.
Замечание 1. Произволы, содержащиеся в решении полной краевой задачи безмоментной теории, могут и исчезнуть. Это будет тогда, когда ее тангенциальные геометрические граничные условия не допускают изгибаний срединной поверхности.
Замечание 2. Если в каждой точке края ставится одно тангенциальное статическое граничное условие, заключающееся в требовании, чтобы тангенциальная краевая сила Р имела заданное значение, и одно геометрическое граничное условие, заключающееся в требовании, чтобы тангенциальное смещение Vn имело заданное значение, то полная безмоментная задача, в сущности, представляет собой соединение статической безмоментной задачи и геометрической безмоментной задачи. Действительно, в этом случае можно сначала найти Tly S, Т2, интегрируя статические безмоментные уравнения совместно со статическим граничным условием, а затем выразить алгебраически 8Х, со, е2 через 7, 5, Т, при помощи уравнений состояний, и, наконец, найти перемещения иг, и2 ДО, интегрируя геометрические безмоментные уравнения совместно с геометрическим граничным условием. Вместе с тем, легко указать на случаи, когда такое разделение станет невозможным. Это будет, например, в том случае, когда оба граничных условия — геометрические. Тогда целесообразно говорить о полной краевой задаче безмоментной теории, не расчленяя ее на статическую и геометрическую задачи.
8j со е2 0.


ГЛАВА 8
ТЕОРИЯ ПРОСТОГО КРАЕВОГО ЭФФЕКТА
§ 9. Исходные предположения теории простого
краевого эффекта
Кроме основного напряженного состояния, о котором шла речь в предыдущих параграфах, в оболочке, как уже говорилось, могут возникать краевые эффекты, т. е. местные напряженные состояния, локализующиеся вблизи некоторых линий у, названных в § 7.1 линиями искажения напряженного состояния более подробно о них будет сказано в § 9.14.
Здесь будет рассматриваться простой краевой эффект, под которым подразумевается местное напряженное состояние, проявляющееся вблизи неасимптотической линии искажения у это значит, что у нигде не проходит вдоль асимптотических линий срединной поверхности и ни в одной точке не касается их; другими словами, нормальная кривизна поверхности в направлении неасимптотической линии искажения нигде не должна обращаться в нуль.
Условимся считать, что срединная поверхность оболочки отнесена к некоторой ортогональной системе криволинейных координат, в которой рассматриваемая линия искажения у проходит вдоль одной из линий аг const. Предполагается, что для конкретно указанной линии искажения такую систему можно построить, но она может бытьс сопряженной только в том случае, когда у совпадает с линией кривизны. Поэтому при выводе теории простого краевого эффекта мы будем считать, что оболочка отнесена к общей ортогональной системе координат, и исходить из системы уравнений, выведенной в § 6.44.
Приближенную теорию простого краевого эффекта можно построить на основе следующих предположений.
Предположение L Простой краевой эффект — быстро затухающее напряженное состояние, поэтому связанные с ним искомые величины усилия, моменты, перемещения, компоненты деформации и т. д. существенно увеличиваются при дифференцировании в направлении нормали к у, т. е. по переменной аг. Дифференцирование поа2, если и приводит к увеличению искомых функций, то не к такому значительному, как дифференцирование по а1в
Предположение 2. Наибольшим из тангенциальных усилий является усилие Т2 рис. 15, возникающее в сечениях, ортогональных к линии искажения у; величины 7, S21, S12 существенно меньше и подчиняются соотношениям
—2 1 — I. 8.9.1)
д\
dS21
даг
даг
dax I 1 ' 2 Г
Предположение 5. Моменты играют существенную роль; главным является Gx — изгибающий момент в сечениях, параллельных линии искажения у рис. 15. Изгибающий момент G2 связан с Gx равенством
G2 vG19 Г 8.9.2)
8 А. Л. Гольденвейзер


114
ТЕОРИЯ ПРОСТОГО КРАЕВОГО ЭФФЕКТА
ГЛ. 8
а крутящие моменты 21, Н12 играют второстепенную роль, подчиняясь соотношениям
дН21
даг
дНл
да-.
0х.
8.9.3)
Предположение 4. Из перерезывающих усилий главным является усилие Nly действующее в сечениях, параллельных у рис. 15, и справедливо соотношение
8.9.4)
Предположение 5. Деформация срединной поверхности имеет в основном изгибный характер, и ее главными компонентами являются величины ки т, к2; они связаны между собой соотношениями
: К 1 8.9.5)
дт
дк2
да±
даг
показывающими, что наибольшую роль играет кг.
Предположение 6. Растяжения сжатия и сдвиги срединной поверхности относительно малы. Из трех величин w, е2, характеризующих эту деформацию, наибольшие значения имеет е2, а остальные связаны с ней соотношениями
—ve2
I дсо I ai
8.9.6)
8.9.7)
Предположение 7. Точки срединной поверхности смещаются в основном по нормали к срединной поверхности, и справедливы соотношения
диг
ди2
даг
da-L
ш.
8.9.8)
Предположение 8. В первом и втором уравнениях равновесия 6.44.1 слагаемые, содержащие перерезывающие усилия Nlt N2, играют второстепенную роль.
Всегда считается, что простой краевой эффект не связан с поверхностной нагрузкой, а вызывается некоторыми воздействиями, распределенными вдоль линии искажения напряженного состояния. Поэтому его надо строить, исходя из однородных уравнений теории оболочек, т. е. полагать Хг X 2 Z Y, У2 0.
§ 10. Разрешающее уравнение теории простого краевого эффекта
Выпишем без каких бы то ни было отбрасываний те из общих уравнений § 6.44, которые здесь будут нужны,
а Третье уравнение равновесия


§ 10]
РАЗРЕШАЮЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРОСТОГО КРАЕВОГО ЭФФЕКТА
115
б Пятое уравнение равновесия
1 д ' Я„_лг1,о.
АгА, За,v 2 11 АгА2 За, 2 Л,42 За,' 1 12 АгА2 да,
в Формулы деформации—перемещения»
1 ди2 , 1 дА2 w
8а — А2 Шц АгА2 3a7Wl *
J 3_ , Щ ЩЛ ■ 1 дАх _з_ и, ,
1 At Зах Ах дах ' Ru RiJ АхА2 да2 А2 да2 R22 R12)
г Уравнения состояния
г 2Eh3 , ч 2£Vi , , ч
— 3 Ц _ V2 Х1 VX2. Т2 -у— v2 б2 V8X.
Будем упрощать выписанные равенства, оставляя в каждом из них только те слагаемые, которые являются главными в силу предположений предыдущего параграфа. В частности, всегда будет учитываться предположение 1, означающее, что производная по аг от любой искомой величины существенно больше ее первообразной.
Из 8.9.1 и 8.9.4 следует, что третье уравнение равновесия можно записать так:
-. 8.Ю.1)
Из 8.9.2 и 8.9.3 вытекает, что пятое уравнение равновесия можно взять в виде
8.10.2)
Формулы деформации—перемещения при помощи 8.9.8 упрощаются следующим образом:
w I д 1 dw о in о\
®2 — R, lchTx ИдсГх' 8.10.3)
Наконец, в соответствии с 8.9.5 и 8.9.6, получаем следующие уравне¬
ния состояния:
9Fh3
°1 — 3Г ■ т 2ЕЫ• 8Л04)
Приближенные уравнения 8.10.1—8.10.4 образуют систему из шести уравнений относительно шести неизвестных
Т2, Gt, Nlt щ, е2, w, 8.10.5)
определение которых составляет самостоятельную задачу. Отметим, чтр величины 8.10.5 можно назвать главными неизвестными теории простого краевого эффекта: из предположений, принятых в § 8.9, вытекает, что Т2 — наибольшее из тангенциальных усилий, Gx — наибольший из моментов,
N — наибольшее из перерезывающих усилий, и е2 — наибольшие из изгибных и тангенциальных деформаций, a w — наибольшее из перемещений. В качестве проявления эффекта Пуассона, в простом краевом эффекте момент Gx и тангенциальная деформация е2 вызывают появление момента G2 и деформации 19 которые можно дополнительно определить по формулам
8.9.2 и 8.9.6.


116
ТЕОРИЯ ПРОСТОГО КРАЕВОГО ЭФФЕКТА
ГЛ. 8
Система 8.10.1—8.10.4 легко сводится к одному уравнению относительно w. Для этого из 8.10.1, 8.10.2 надо исключить перерезывающее усилие N1 и выразить в полученном равенстве изгибающий момент Gly а также нормальное усилие Т2 через прогиб w при помощи 8.10.3 и 8.10.4. Это приводит к следующему уравнению:
1 д 1 д Л2 д 1 dw , 3 1 — V2 _п о i п
АгА2 даг Аг даг AL даг Аг даг ' h2R2 Wo.lU.bj
Рассмотрим тождество
А рщ р дw
даг ' даг 1 даг
и будем считать, что в нем W — одна из искомых величин теории оболочек усилие, момент, перемещение и т. п., а Р — один из коэффициентов этих уравнений. Тогда в рамках точности, с которой выводилось уравнение 8.10.6, в правой части обсуждаемого тождества можно пренебречь вторым слагаемым по сравнению с первым и написать
L. 8.10.7)
Таким образом, из предположения 1, в частности, следует, что при
построении простого краевого эффекта коэффициенты уравнений теории оболочек в первом приближении надо рассматривать как постоянные по а1 величины. Конечно, это будет неверно, если в рассматриваемой области вблизи у)
I дР
да-.
1П 8.10.8)
Поэтому всегда считается, что вблизи той линии, у которой простой краевой эффект строится при помощи предлагаемого приближенного метода, кривизны и метрика срединной поверхности оболочки не слишком быстро изменяются по аг.
Из 8.10.7 вытекает, что в уравнении 8.10.6 коэффициенты Аъ А2 можно выносить за знак дифференцирования, т. е. брать 8.10.6 в виде
1 dw 31 —V2 л 0
Ада НЩь W 8.10.9)
Это уравнение мы назовем разрешающим уравнением теории простого краевого эффекта.
Замечание. Термин краевой эффект введен Лявом 84. Он совпадает по смыслу с принятым здесь термином простой краевой эффект, введенным в 48. Дополнительным словом простой подчеркивается, что существуют и обобщенные краевые эффекты, понятие о которых будет введено в § 11.25. А. Ляв ограничился рассмотрением оболочек вращения, в которых обобщенные краевые эффекты возникнуть не могут.)
Приближенные подходы исследования напряженно-деформированного состояния, названного здесь простым краевым эффектом, обсуждались в общей постановке в работах 48, 108, 135, 146, 147. Кроме того, применительно к круговым цилиндрическим оболочкам этот вопрос рассмотрен в 178.
§ 11. Расчетные формулы
Разрешающее уравнение 8.10.9 составлено относительно нормального прогиба w. Через него остальные величины, определяющие простой краевой эффект, можно выразить при помощи прямых действий.
Рассмотрим первое и второе уравнения равновесия 6.44.1. Согласно предположению 8 § 8.9 в них можно отбросить члены с перерезывающими усилиями, а это значит, что они перейдут в безмоментные уравнения 7.4.1,


§ И]
РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
117
7.4.2. Последние можно преобразовать, выразив в них тангенциальные усилия через перемещения. Эти действия уже выполнялись и привели к первому равенству 7.6.3. В теории простого краевого эффекта два вытекающих из него уравнения можно значительно упростить при помощи соотношений
8.9.8 и 8.10.7. Тогда, положив Хг — Х2 0, получим
1 д2иг 1 v 1 dw ~
Un 3w 477 ” U’
1 1 d2u2 , 1 dw q
2 А daf ?i2 Аг dax
Помножим оба уравнения на А г и проинтегрируем их по аг, рассматривая коэффициенты как постоянные. Будем иметь
1 dii- 1 j v 1 diin 2 q • -j ■ \
AaST'fe iW’' Т7йГ -ш- 8Л1Л)
Здесь и в последующих выкладках этого параграфа отброшены произвольные функции интегрирования. Ниже выяснится, что произволы, которые содержит w как интеграл разрешающего уравнения, достаточны для решения нужных краевых задач. Сохранять произволы интегрирования было бы и неправильно по причинам, которые изложены в § 8.12.
Заменив в правых частях 8.11.1 w через его четвертую производную при помощи разрешающего уравнения 8.10.9 и вновь выполнив интегрирование по аъ можно написать
1 v г2?22 1 d3w
Ul “ 7 RJ 3 1 -V3 Щ ’
_ 2 h2Rh 1 дт 8.11.2)
“2 Rn 31 —V2 А до '
Компоненты деформации при известных перемещениях ul9 и2У w подсчитываются при помощи формул 7.1.5, 7.1.6. Учитывая снова соотношения 8.9.8 и 8.10.7, сохраняя только главные члены и выполнив некоторые преобразования, вытекающие из 8.11.1, получим
' 1 dux w v w
1AdRRW' eRZ’
1 du2 , 2 л 1 d2w
лГ7 ш 0 8-И-З)
1 dA 1 dw 1 d dw 1 д 1 dw
I A Лv A Лv ^
2 AxA2 dax Aj daj A0 da2 A2 da2 9 A2 da2 Аг dax
в выражении для к2 из осторожности оставлена вторая производная по ос2: двухкратное дифференцирование по а2 в отличие от однократного может в некоторых случаях привести к достаточно большому увеличению.
Для подсчета тангенциальных усилий и моментов имеются уравнения состояния 7.1.4, 7.1.7, из которых при помощи 8.11.3 получаем
т. — о т — Ehw о о п
1 I и 1 2 D 9 021 °12 U>
Д;
22
Г 2Eh3 1 d2w r r 2Eh3 1 d2w 11 «
Gi — 3 1 — v2 AI daI 9 G2-vG1- v 3 1 __v2 A2 dot2 , 8.11.4)
ы tt 2Eh3 1 d 1 dw
fl21 — 12
31 -j- v A2 da2 Ax dax *


118
ТЕОРИЯ ПРОСТОГО КРАЕВОГО ЭФФЕКТА
L Г Л. 8
Напомним, что равенства 8.11.4 —приближенные. Поэтому обращение в нуль величин 7, S21, S12 не надо понимать буквально. Оно только обозначает, что взаимно сократились главные слагаемые в соответствующих выражениях. Это объясняется тем, что был принят такой путь вычислений, при котором все четыре величины 7, S21, S12, Т2 должны недифференциально выражаться через w, а согласно 8.9.1 четвертая из них по модулю существенно превышает остальные. Построив выкладки иначе, можно уточнить результат и получить для Tlt S21, S12 ненулевые значения. Для этого мы примем •
Дополнительное предположение. В простом краевом эффекте в формулах
6.44.5, выражающих тангенциальные усилия через функции напряжений, можно оставить только члены, содержащие функцию с.
Отсюда следует, что, сохраняя в 6.44.5 только главные члены, мы получим
j, 1 д 1 Л2 гр 1 д2с
1 Л2 да? Л2 да2 ' АА2 даг даг 9 2 А да 9
о и 1 ис
21 — 12 — л л •
1 д 1 дс А2 да2 Аг даг
8.11.5)
Поэтому, учитывая 8.11.4, будем иметь
т 1 д2с 2 Ehw
А да2 R2,
Заменив здесь w через его четвертую производную при помощи разрешающего уравнения 8.10.9 и выполнив двухкратное интегрирование, можно написать
2Eh3 R22 d2w С 31—V2' А да *
Отсюда по формулам 8.11.5 и получим требуемый результат:
гр 2Eh3 1 д 1 д 1 дЛ2 д R22 d2w
1 3 1 — v2 А2 да2 А2 да2 АА2 дах даг А да 9
2Eh? 1 д R22 d3w
2i 12 31— v2 А2 да2 А да\
Если линия искажения, около которой строится простой краевой эффект, совпадает с линией кривизны, то R12 оо и второе равенство 8.11.2 даст и2 0. Этот результат тоже нетрудно исправить. Второе равенство 8.11.1 можно уточнить, написав
1 ди2 ,2 w 1 v о 2h2 1 д R22 d3w
Ах даг R12 Eh 21 __ 31 —v Л2 да2 А да\
Отсюда при R12 оо следует
W Аг д R22 d2w 31 — v A2 да2 A da2 *
Остается определить перерезывающие усилия. Для этого можно воспользоваться четвертым и пятым уравнениями равновесия 6.44.1, которые после элементарных преобразований и отбрасываний второстепенных членов дадут
д. _ 2Eh3 1 d3w д, 2Eh‘3 1 d 1 0-w
3 1 —v2 da3 9 yv2 “ 31 — V2 Ада Л da \


S 12]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО УРАВНЕНИЯ
119
§ 12. Интегрирование разрешающего уравнения
При интегрировании разрешающего уравнения 8.10.9 будут сохранены те предположения, которые принимались при его выводе, т. е. Аг и R22 будут рассматриваться как константы не зависящие от аг. Тогда 8.10.9 обращается в обыкновенное линейное уравнение с постоянными коэффициентами и интегрируется без труда. Решение его можно искать в виде
Подставим это выражение в разрешающее уравнение и сократим на экспоненциальный множитель. Тогда для определения функции получится уравнение
Чтобы оно не приводило к противоречивому результату, т. е. чтобы f не зависело от а1у учтем, что в предлагаемой теории простого краевого эффекта коэффициенты рассматриваются как константы по а19 и положим в полученном уравнении
ниже всюду в приближенной теории простого краевого эффекта вместо коэффициентов берутся их значения при аг а10, и это отмечается точкой сверху.
Тогда для получатся четыре значения, которые можно записать так:
i £l г£, f k — ig, fs — klig, fi — k — ig.
Здесь g a2 и константу k с принятой точностью можно определить равенствами
В последнем из них X — константа, равная некоторому среднему значению величины R22 на интересующем нас участке контура аг а10.
Общий интеграл разрешающего уравнения 8.10.9 запишется теперь так:
w Сг a2 ek 00 1—ю g __ с2 а2 ek ai—ю g -j-
Cg a2 ek lv at—a10 g _j_ c4 a2 ek 1° s.
В правой части этой формулы первые два слагаемых быстро затухают при удалении от линии а1 а10 в область а1 а10, а два последних слагаемых быстро затухают при удалении от линии аг а10 в область ос10. Физический смысл этого очевиден: первые два слагаемых соответствуют краевому эффекту в области аг а10, и только при таких значениях их нам и придется вычислять впоследствии; последние два слагаемых дают краевой эффект в области а1 а10 — их придется вычислять только при а1 а10. Отсюда вытекает, что погрешность, которую мы допускаем, заменяя Аг и R22 через А, R22, будет невелика конечно, если Аг и R22 не слишком быстро изменяются по аг вблизи аг — а10, так как нас практически будут интересовать только значения аь близкие к а10.
Итак, будем считать, что при а1 С а10
w С а2 efаг ai—а10.
А А 0С2 А а1а10’ 22 R22 2 R22 aia10
8.12.1)
8.12.2)
W Сг а2 ek vv g C2 a ek а1-аю 9


120
ТЕОРИЯ ПРОСТОГО КРАЕВОГО ЭФФЕКТА
ГЛ. &
а при а1 а10
w С3 а2 £— 1—ю g С4 а2 1— ai—а10)
Эти выражения соответствующей заменой произвольных функций интегрирования можно преобразовать к действительной форме, и тогда получатся такие формулы фх, ф2, Фз Ф4 — произвольные функции а2: при ocj а10
2Ehw фх cos k ах — а10 g -f ф2 sin k аг — а10 g ek а1аю g, при а1 а10
2Ehw ф3 cos k ах — а10 g ф4 sin k аг — а10 g ек а1-аю g.
Подставим эти выражения в расчетные формулы § 8.11, заменим всюду коэффициенты их контурными значениями и введем обозначения
■-лГъ
I, *
8.12.3)
31 —V2’
с0 cos k аг — а10 g, s0 sin k ах — а10 g,
St ek а‘_“1о g, So ek a,_w g.
Получим: при ax a10
2Ehui y -j- УЩГ y № — Ф2 со гл ф2 s0J St,
2Ehu2 — V2-j- ii — со i3i яр2 s0j St.
R2
2Ehw iiCo af2so St
2Ehyi — —f -j- rr- K'ti Ф2 c° — Ф1 — Ф2 so St>
' V R22
T - -w gn -
FrT yt КГ Il'1’1 — ’ 'Ы So t<
T2 — —7- Ф1С0 фго St 8.12.4)
R22
Sn S12 y -J- -jr ? ф — Фа Со Фг фа s0 St,
Gi 4“ 2 p- 777- Ф2С0 — фво o.
v 22
y;’1” c''■_ w Sal ’
N1 “ YY k £32 2 CQ H“ 1 4- Ф2 Sol St9


§ 12]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО УРАВНЕНИЯ
121
при а10
2Ehui УЖ Кфз Ч со — Ш — so 37,
2Ehu2 V2 т фз --14 со — Сфз — s0 о-, .
й 12 _
2Ehw i,3Co ihso 5о»
2Ehyi -L гг 'фз — со ОФз s0 37,
V R22
T' i? r 4Co 3So +
7T a.a10111,3 W c-- so 37,
Ti —-7- tsCo 14X0 37 , 8.12.5)
°22
521 S12 - J -j- jLr- Фз 1W Co — b - Ь so r0-J,
Gi G2 -У -J— ф4со — Фзво8о,
22
h2i Hvs —уЖ №—4 Co 4 So ’
ЫхУт Ж¥l3 Co 3—So '
n2 — ———
2 A ^
—C0 — ifeSo З’о 1.
R22 J
При выполнении граничных условий нам будут нужны значения, которые принимают усилия, моменты, перемещения и углы поворота краевых эффектов на кривой а1 а10. Соответствующие формулы можно получить из
8.12.4, 8.12.5, положив в них ах а10, т. е. считая, согласно 8.12.3, что с0 1, s0 0, §ж — 1 ПРИ этом, чтобы отличить краевой эффект в области аг а10 от краевого эффекта в области ага109 мы при подстановке будем в первом случае писать а1 а10 — 0, а во втором а1 ос10 0.
Получим: при а1 а10 — 0
-ITT £■-•
2Дш, - - V2 t, — ,
12
2Ehw 2Ehyt — y -j- ф, Ф2,
Ti2__LA ib—Ф1
1 2 A: da, A; da, 2 k yjjr A,A, da± aiau Wl P2'’
T2 S21 - S12 -L-Г — тг Ч—2 , 8.12.6)
U 12 2 k a; da,, s
Л _ 1 Л _ РФ н _н 1 — V 3 1 а фх -h Ф2
v°2_ 2 л;, ’ 21 12 “ л; x2 yr -
Д7 1 Ф1 Ф2 дг I2 1 Фа .
1 12 k R-m 7V- Л- а2 яи ^


122
ТЕОРИЯ ПРОСТОГО КРАЕВОГО ЭФФЕКТА
£ГЛ. 8
при aj а10 4- О
2ЕИщ —у1Г V -
2Ehuz V2 -j- №3 4,
12
2Ehw “фз, 2Ehy1 yj у— 4з—Ф,
■р Z2 1 5 1 di4 ■ 1 I 11 дА2 .
1 № 4 дсс2 дсс2 2 k yjg AtAr да, а,а10 3 +
Г2 S21 S12 i-L-L-A±S-, 8.12.7)
и 2 ft л; 3“2 j;2 v 7
7 — — G —
1 “ v “ ft ’
1—у 3 J д_ Уз — %
V2 ft3 а; да., у- ’
ям- я12 =
М I I м — — 1 9 ^
1 12 k р-32 , - ki .
В формулах настоящего параграфа k есть безразмерная величина, значения которой для тонкой оболочки, вообще говоря, велики по сравнению с единицей. Отсюда вытекает, что при некоторых дополнительных условиях, о которых будет сказано ниже, в полученном решении выполняются все предположения, положенные в § 8.9 в основу теории простого краевого эффекта. Все искомые величины выражаются через функции
е±ь —а10 g sin k ai — ai0 g9 e±k а,—a10 g cos k ax— ai0 g.
Отсюда следут справедливость предположения 1 о быстром затухании простого краевого эффекта. В справедливости остальных предположений § 8.9 легко убедиться при помощи формул 8.12.4 и 8.12.5, позволяющих сравнивать порядки искомых величин простого краевого эффекта по степеням большого параметра ky входящего в их выражения.
Напомним, что в § 8.11 при выводе расчетных формул произволы, связанные с интегрированием по а19 отбрасывались. Их нельзя было сохранять потому, что в соответствующих решениях, как можно проверить, предположения § 8.9 не выполняются.
Итак, предположения приближенной теории простого краевого эффекта § 8.9 можно считать оправданными, если параметр k достаточно велик и если остальные величины, входящие в 8.12.4, 8.12.5, после приведения к безразмерной форме соизмеримы с единицей. Однако два последних условия могут и не выполняться. Это случится тогда, когда на рассматриваемой линии искажения R22 приближается к нулю или бесконечности.
Для практических применений особенно важен случай, когда на линии искажения всюду или на некоторых ее частях R22 обращается в бесконечность или имеет весьма большие абсолютные значения. К решению соответствующих задач изложенную приближенную теорию простого краевого эффекта применять нельзя. В § 8.9 было оговорено, что линия искажения простого краевого эффекта должна быть неасимптотической. Этим исключается


ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО УРАВНЕНИЯ
123
случай обращения R22 в бесконечность хотя бы даже в одной точке. Однако из сказанного выше следует, что недопустимы и почти асимптотические линии искажения линии, вдоль которых нормальный радиус кривизны поверхности где-нибудь слишком велик по абсолютной величине. В дальнейшем для краткости мы будем по-прежнему говорить о неасимптотических линиях искажения, считая, что они нигде не должны быть и почти асимптотическими.
В этой главе теория простого краевого эффекта изложена в самом грубом приближении. Ниже, в § 19.8, приводятся общие соображения о возможности улучшить этот результат при помощи итерационного процесса. Кроме того, более точные варианты теории простого краевого эффекта можно найти в работах 49, 130, 184.


ГЛАВА 9
МЕТОД РАСЧЛЕНЕНИЯ
§ 13. Область применимости метода расчленения
напряженного состояния
При интегрировании дифференциальных уравнений теории оболочек в каждой точке края надо выполнять четыре граничных условия § 5.33. Для этого недостаточно произволов, содержащихся в решениях дифференциальных уравнений безмоментной теории. Они представляют собой суперпозицию двух систем статических и геометрических безмоментных уравнений, каждая из которых эквивалентна уравнению второго порядка §§ 7.4, 7.5. Поэтому, вообще говоря, при интегрировании безмоментных уравнений в каждой точке края удается выполнить лишь два граничных условия. Естественно искать выход из этого затруднения, используя произвольные функции а2, ф2 а2 или ф3 а2, ф4 а2, входящие в формулы 8.12.4,
8.12.5 теории простого краевого эффекта. На этой идее и основан метод расчленения напряженно-деформированного состояния, о котором уже говорилось в § 7.1.
Идея применения приема, который мы называем методом расчлененияу используется в теории оболочек очень давно и восходит к работам Лява 84. В более общей форме она высказана в 41 и положена в основу изложения в 48. Существенную роль метод расчленения играет и в книге 185.
Простейшие примеры, показывающие, что метод расчленения действительно позволяет выполнить хотя и приближенно все граничные условия теории оболочек, будут приведены в §§ 9.15—9.18. В части IV это доказывается для широкого класса задач. Вместе с тем можно привести и примеры противоположного характера. Поэтому, прежде чем идти дальше, сформулируем некоторые предварительные требования, без выполнения которых вопрос о применении метода расчленения ставиться не будет.
Первое требование заключается в том, что все края оболочки должны быть неасимптотическими. Оно вытекает из следующих соображений.
Во-первых, если край оболочки будем считать, что он совмещен с линией аг а10 в некоторой точке проходит вдоль асимптотической линии срединной поверхности, то в этой точке обращается в нуль нормальная кривизна в направлении линии аг а10, т. е. ?2 оо, а в этом случае теряет силу приближенная теория простого краевого эффекта, построенная в главе 8.
Во-вторых, асимптотические линии срединной поверхности совпадают с характеристиками уравнений безмоментной теории §§ 7.4, 7.5. Поэтому, когда край касается асимптотической линии или проходит вдоль нее, граничные задачи для этих уравнений надо ставить особым образом.
Ниже выяснится, что существуют оболочки такого очертания, при котором решения безмоментных уравнений становятся неограниченными. В этом случае будем говорить, что срединная поверхность оболочки—особая.


§ 13}
ОБЛАСТЬ ПРИМЕНИМОСТИ МЕТОДА РАСЧЛЕНЕНИЯ
125
Второе требование применимости метода расчленения заключается в том, что срединная поверхность оболочки должна быть не особой и в достаточной степени отличаться от нее. Это требование, конечно, сформулировано нечетко. Остается неясным, по каким геометрическим признакам можно отличить особую поверхность от неособой и какой мерой можно охарактеризовать близость между ними. В общем виде эти вопросы в книге не рассматриваются, но в конкретных случаях мы к ним еще будем возвращаться. Забегая вперед, укажем, что к оболочкам с особыми срединными поверхностями относятся:
а цилиндрические оболочки, содержащие бесконечно удаленные точки;
б оболочки, содержащие острие в частности, конические оболочки, содержащие вершину;
в оболочки, срединная поверхность которых касается плоскости вдоль замкнутой кривой в частности, тор;
г оболочки с плоской срединной поверхностью, т. е. тонкие пластинки.
Приведенный список не претендует на полноту и охватывает только
оболочки, особые свойства которых выявились в расчетной практике.
Поскольку нельзя допускать близости срединных поверхностей к особым поверхностям, из второго требования вытекает, что метод расчленения не должен применяться к длинным цилиндрическим оболочкам, к усеченным коническим оболочкам, край которых близко подходит к вершине конуса, и к пологим оболочкам, срединная поверхность которых в каком-то смысле близка к плоскости.
Третье требование применимости метода расчленения заключается в том, что основное напряженное состояние не должно иметь большой изменяемости, т. е. соответствующие ему усилия, моменты деформации и перемещения, взятые в отдельности, должны в близких точках иметь не слишком сильно различающиеся значения.
Понятие изменяемости первостепенно важно в теории оболочек, и оно будет более подробно обсуждено ниже § 12.30 и Приложение § П. 15. Пока, чтобы не прерывать изложения, мы ограничимся некоторыми предварительными разъяснениями.
Рассмотрим функцию
fаи а2 A sin паг sin та2 Л, г, т—константы. 9.13.1)
Ее изменяемость, т. е. скорость, с которой меняются значения функции при переходе от точки к точке, очевидно, будет тем больше, чем большие значения имеют параметры пит. Можно сказать и более определенно: значениями пит определяются изменяемости функции f по переменным ах и а2 соответственно. Отсюда следует, что можно говорить о частной изменяемости функции, т. е. о ее изменяемости по каждой из независимых переменных в отдельности при этом под общей изменяемостью функции подразумевается наибольшая из частных изменяемостей. Формулы
пА cos паг sin та2, тА sin паг cos та2
показывают, что если изменяемость функции по некоторой переменной аг характеризуется достаточно большим числом п и если f О Л, то dfda1 пО Л. Выражая это свойство функций с большой изменяемостью, будем для краткости говорить, что такие функции существенно увеличиваются при каждом дифференцировании по рассматриваемой переменной.
Рассмотренный пример, конечно, предельно упрощен, но в § 12.30 будет показано, что существует весьма широкий класс функций, обладающих такими же свойствами, и говоря о функциях с большой изменяемостью, можно пока считать, что их моделью является сфункция 9.13.1, откуда,


126
МЕТОД РАСЧЛЕНЕНИЯ
ГЛ. 9
в частности, вытекает, что важнейшее свойство функции с большой изменяемостью заключается в том, что она существенно увеличивается при каждом дифференцировании по рассматриваемой независимой переменной.
Внимательный читатель, конечно, заметил, что в теории простого краевого эффекта понятие о функциях с большой изменяемостью уже было использовано. Все искомые величины простого краевого эффекта быстро меняются затухают по а1 и имеют заведомо меньшую изменяемость по а2. Это свойство было введено в теорию как предположение, на основе которого получились решения, действительно обладающие таким свойством.
Возвратимся к обсуждению третьего требования применимости метода расчленения. В § 7.2 было введено понятие о компонентах поправочной нагрузки X', X', Z', определяемых формулами 7.2.9, и считалось, что погрешность безмоментной теории тем больше, чем больше X', X', Z' по сравнению с истинными компонентами нагрузки.
Полагая, что перемещения основного напряженного состояния известны, можно подсчитать X', X', Z', последовательно применяя формулы
7.1.6—7.1.9. Ими предусматривается многократное дифференцирование перемещений. А именно, перемещения дифференцируются при подсчете упругих углов поворота yi9 сог-, б, углы поворота дифференцируются при подсчете компонент изгибной деформации т, х2, затем моменты, линейно выражаемые через хь т, х2, дифференцируются при подсчете перерезывающих усилий N j, N29 а последние дифференцируются при подсчете компонент дополнительной нагрузки X', Х2, Z'. Таким образом, в общей сложности перемещения дифференцируются четырежды.
Компоненты дополнительной нагрузки, вообще говоря, будут малы потому, что, как показано в § 7.2, в процессе вычислений появится множитель вида О ft2, но четырехкратное дифференцирование может уравновесить влияние этого множителя или даже оказаться сильнее его. Так случится тогда, когда основное напряженное состояние имеет большую изменяемость, так как в этом случае при каждом дифференцировании абсолютные значения искомых величин будут существенно увеличиваться. Это поведет к возрастанию погрешностей уравнений безмоментной теории, а значит, и метода расчленения.
§ 14. Схема применения метода расчленения
Пусть расчету подлежит п-связная оболочка, край которой g состоит из п замкнутых кривых g g2 • • • Во всех точках каждой
из них задаются по четыре граничных условия. Примем, что это — идеализированные граничные условия § 5.33 hjtto их можно разделить на тангенциальные и нетангенциальные §7.8. Тогда схема расчета методом расчленения будет состоять в следующем.
Интегрируем дифференциальные уравнения безмоментной теории, учитывая только тангенциальные граничные условия, и строим, таким образом, основное напряженное состояние. Допустим, что такой расчет возможен и что он выполнен условия существования решения краевых задач безмоментной теории и методы фактического получения этих решений рассматриваются в части III. В нетангенциальных граничных условиях, которые при этом не учитываются, будут допущены невязки. Чтобы устранить их, прибавляем к решению уравнений безмоментной теории простой краевой эффект. В нем содержатся произвольные функции tyl9 ф2 или Фз 4 которые можно использовать для ликвидации невязок в нетангенциальных граничных условиях при этом, конечно, появятся вторичные невязки в тангенциальных граничных условиях, но в части IV будет показано, что они существенно меньше первоначальных невязок.


S 14]
СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА РАСЧЛЕНЕНИЯ
127
Пусть на замкнутом контуре gk, являющемся частью края имеется в виду многосвязная оболочка, допущены невязки в нетангенциальных граничных условиях. Тогда gk можно принять за одну из линий искажении напряженного состояния, построить вблизи нее простой краевой эффект и воспользовавшись содержащимися в нем двумя произвольными функциями устранить невязки в нетангенциальных граничных условиях на краю gk. Так как простой краевой эффект быстро затухает, то эта операция практически не окажет влияния на напряженное состояние вблизи остальных замкнутых участков края оболочки, и значит, ликвидацию невязок в нетангенциальных граничных условиях можно выполнять самостоятельно для каж- дого замкнутого участка края конечно, если края не слишком близки друг к другу. Воспользовавшись этим, можно вблизи каждого замкнутого участка края gk строить свою криволинейную систему координат так, чтобы в ней контур gk задавался уравнением аг а10. Тогда для краевых значений усилий, моментов, перемещений и углов поворота можно воспользоваться формулами 8.12.6, если внутренним точкам оболочки соответствует ai или формулами 8.12.7 — в противоположном случае.
Замечание. Подчеркнем, что раздельное рассмотрение упругих явлений на каждой замкнутой части границы основано на свойстве быстрого затухания простого краевого эффекта, и только при операциях, с напряженным состоянием такого рода, оно и применимо. При построении основного напряженного состояния граничные условия, конечно, надо выполнять- одновременно на всех участках края.
Таким образом, в общем случае целесообразно строить, во-первых, такую общую координатную систему, которая удобна для определения основного напряженного состояния, и, во-вторых, такие локальные системы координат вблизи каждого замкнутого участка края, которые удобны для определения простых краевых эффектов.
Заметим, что при решении уравнений безмоментной теории невязки могут получаться не только на краях, но и внутри области интегрирования. Это будет происходить тогда, когда на некоторой линии g оказываются негладкими условия задачи. Примером могут служить случаи, когда на g терпят скачки компоненты внешней нагрузки или модули материала, когда вдоль g оболочка усилена элементом жесткости пренебрежимо малой ширины, и когда на g срединная поверхность имеет излом или скачкообразно меняются ее кривизны.
В таких задачах решение уравнений безмоментной теории нельзя подчинить на g всем требованиям непрерывности, вытекающим из физических соображений так же как нельзя выполнить все граничные условия на краях. Так, например, если срединная поверхность оболочки гладкая, а компоненты внешней нагрузки имеют скачки на линии аг а const, то надо требовать, чтобы при переходе через эту линию остались непрерывными величины.
Ti, Si, N и Gb ии и2, w, 7i
штрихом, как и в § 5.33, отмечены приведенные усилия.
Однако при решении безмоментных уравнений можно требовать, чтобы оказались непрерывными только четыре из этих величин, а четыре остальные величины будут претерпевать скачки. Избавиться от этих невязок можш также при помощи метода расчленения. Для этого при интегрировании уравнений безмоментной теории, кроме тангенциальных граничных условий, принимаются во внимание еще тангенциальные условия непрерывности- на линии g, т. е. требования непрерывности для величин
Т S', ui9 и2
Т, S — тангенциальные усилия на сечении, проведенном вдоль gj.


128
МЕТОД РАСЧЛЕНЕНИЯ
ГЛ. 9
При этом получатся невязки в нетангенциальных условиях непрерывности, т. е. при переходе через g приращения
6N', 6G', бш, бу 9.14.1)
сбудут отличны от нуля. Чтобы ликвидировать эти невязки, принимаем g за линию искажения напряженного состояния, строим, если надо, вблизи нее новую криволинейную систему координат так, чтобы в ней линия g задавалась уравнением а, и вводим в рассмотрение простые краевые эффекты по обе стороны от линии аг а. Один из них определяется формулами 8.12.4, 8.12.6 и содержит произвольные функции ф2, другой — определяется формулами 8.12.5, 8.12.7 и содержит произвольные функции ф3, ф4. Распоряжаясь этими четырьмя функциями, можно ликвидировать невязки 9.14.1.
Замечание. Может случиться, что две линии искажения пересекаются например, если линия, по которой оболочка снабжена усилением, доходит до края. Сама линия искажения может иметь излом например, края с углами, и каждый гладкий ее кусок рассматривается как самостоятельная линия искажения.
В этих случаях раздельное устранение невязок на разных линиях искажения, строго говоря, недопустимо. Однако в практических расчетах оно часто применяется. При этом надо отдавать себе отчет, что картина напряженного состояния в угловой точке будет, вообще говоря, совершенно неправильной.
Таким образом, под линиями искажения напряженного состояния надо понимать:
а края оболочки;
б линии излома срединной поверхности или скачкообразного изменения ее кривизн;
в линии скачкообразного изменения жесткостей оболочки в частности линий, по которым она снабжена усилениями;
г линии разрыва внешней поверхностной нагрузки или не всегда ее производных.
В настоящем параграфе описаны схемы применения метода расчленения, предусматривающие существование линий искажения типов а и г. Не вызывают затруднений и задачи с линией искажения типа в. Сложнее оказываются случаи, когда надо учитывать линию искажения б оболочка с изломом срединной поверхности. Они обсуждаются в части IV.
Выполнение всех требований § 9.13 не только означает возможность применить метод расчленения как приближенный прием расчета, но позволяет также сделать выводы относительно характера напряженного состояния оболочки. В этом случае в оболочке будет господствовать основное напряженное состояние что оправдывает его название, но вблизи каждой из перечисленных линий оно будет искажено добавлением простых краевых эффектов, быстро затухающих при удалении от них.
Замечание. Обычно вдали от линий искажений напряженное состояние оказывается безмоментным. Это объясняется тем, что оно выгодней чисто моментного напряженного состояния и, как правило, оболочки конструируются так, чтобы последнее было подавлено что достигается должным закреплением краев. Однако возможны случаи, когда и вдали от линий искажения будет преобладать чисто моментное напряженное состояние. Примеры будут показаны в части IV.
§ 15. Краевой эффект вблизи заделанного края
При расчете оболочек методом расчленения мы всегда будем исходить из равенства
Р—РОСН kCРкр 9.15.1)
в котором k имеет тот же смысл, что ив § 8.12, с — произвольное целое число,


§ 15]
КРАЕВОЙ ЭФФЕКТ ВБЛИЗИ ЗАДЕЛАННОГО КРАЯ
129
а каждый из символов Р, Я0СН, Лкр означает некоторое напряженное состояние оболочки, т. е. совокупность усилий, моментов, перемещений и т. д., причем под Р понимается полное напряженное состояние, а под Р0Си и Ркр — основное напряженное состояние и простой краевой эффект. Таким образом, равенство 9.15.1 означает, что, например,
Ti Ti осн k?T 1 Кр , Yi Yi осн -f- CYl кр и т. д.
Напомним, что простой краевой эффект строится как решение однородных уравнений, поэтому все составляющие его величины можно подобно изменять. Соответственно этому в равенство 9.15.1 и введен постоянный множитель kc. В нем целое число с будет впоследствии выбираться в зависимости от условий задачи.
Пусть оболочка имеет жестко заделанный край, совпадающий с линией ai ю — 0 эт0 значит, что внутренним точкам оболочки соответствует ai сею. Тогда на нем надо выполнить четыре условия § 5.33)
и 0, 2 0, до 0, y’ 0 9.15.2)
здесь снова точка сверху означает переход к краевому значению рассматриваемой величины.
Первые два из условий 9.15.2 — тангенциальные, а два других — нетангенциальные.
Расшифруем 9.15.2, воспользовавшись равенствами 9.15.1 и 8.12.6:
2Ehui 2Ehu ося VЯ22 j № — 2 0,
2Ehu2 2Ehu,2 осн — У2 lkcl ‘22 ii — яр2 0,
12
2 Ehw 2Ehw0CH kctyi 0,
i kci
2Ehyi 2Ehyx 0Сн — —г Ф1 'фг 0.
V2 1 Уй
Примем, что в этих равенствах
2ЕН 1 осн 2 осн Шосн Yl осн О h у 9.15.3)
положим с 0 и оставим во всех равенствах только слагаемые, содержащие множителем наивысшую для этого равенства степень k здесь и во всех рассматриваемых ниже примерах задачи решаются в самом грубом приближении; в части IV будет показано, что эти результаты можно., в случае необходимости, уточнять при помощи итераций. Получим тангенциальные граничные условия
2£7ш;осн 0, 2£7ш20сн 0 9.15.4)
и нетангенциальные граничные условия
2Ehwi0CH —— Tpi 0, Ji —— тр2 6. 9.15.5)
Этот результат вполне соответствует схеме, описанной в § 9.14. Получены приближенные граничные условия 9.15.4, которым должно подчиняться основное напряженное состояние; ими оказались тангенциальные граничные условия, и в рамках принятой точности в них не вошли величины,


130
МЕТОД РАСЧЛЕНЕНИЯ
ГГЛ. 9
связанные с простым краевым эффектом. Для определения произвольных функций простого краевого эффекта служат нетангенциальные граничные условия 9.15.5, а это значит, что ф2, подбираются так, чтобы была устранена невязка в граничных условиях.
Нетрудно видеть, что число с в рассматриваемой задаче определяется единственным образом. Равенство с — 0 обеспечивает выполнение двух важных требований:
1 для основного напряженного состояния получилось два граничных условия, что соответствует порядку дифференциальных уравнений безмоментной теории;
2 для определения произвольных функций г, ф2 простого краевого эффекта получилась непротиворечивая неоднородная система уравнений.
При с f 0 по меньшей мере одно из этих требований будет нарушено: если с 0, то после отбрасывания второстепенных членов в левой части первого уравнения 9.15.5 пропадет первое слагаемое и решение системы 9.15.5 станет тривиальным: ф2 0, а если
сС 0 то в первом уравнении 9.15.5 исчезнет второе слагаемое левой части и основное напряженное состояние надо будет подчинить трем граничным условиям
2Ehul оси 0, 2£7ш2осн 0, 2Ehw'0CH 0.
Во всех примерах §§ 9.16—9.18 число с также определяется единственным образом, но проверка этого утверждения будет опускаться.
Вернемся к условиям 9.15.4, 9.15.5 и примем, что существует основное напряженное состояние, удовлетворяющее условиям 9.15.4, и что оно нам известно. Тогда, решая систему 9.15.5, получим
Ф1 — ф2 2£Woch-
Отсюда для расчетных дающих наибольшие напряжения усилий и моментов простого краевого эффекта будем иметь по формулам 8.12.3,
8.12.4)
2 Ehw .
I 2 кр СО So 0о ,
R22 9.15.6)
Г 1 Г h 2EHwoch , V ар+
кр — 2 кр -Г- у—■■ 0 So 00 .
v R22 V 3 1 — v-4)
В рассмотренной задаче, так же как в задачах, которым посвящены §§ 9.16—9.18, построение основного напряженного состояния в исходном приближении выполняется самостоятельно не требует каких бы то ни было операций с краевым эффектом. Оно достигается интегрированием уравнений безмоментной теории с учетом тангенциальных граничных условий
9.15.4. Это значит, что в данном случае применима безмоментная теория, которая позволяет с известной точностью описать напряженно-деформированное состояние обол эчки вдали от краев § 7.3.
§ 16. Краевой эффект вблизи шарнирно опертого края
Пусть оболочка имеет шарнирно опертый край, задаваемый уравнением ai ю — 0- Тогда на нем должны выполняться § 5.33 тангенциальные граничные условия
Т 0, и; 0 и нетангенциальные граничные условия
от о, G; о
при расчете методом расчленения напряженного состояния в граничных условиях не надо заменять истинные усилия приведенными, так как и в безмоментной теории, и в приближенной теории простого краевого эффекта крутящие моменты 21 и 12 считаются пренебрежимо малыми.


§ 17]
КРАЕВОЙ ЭФФЕКТ НА СВОБОДНОМ КРАЕ ОБОЛОЧКИ
131
Воспользовавшись формулами 9.15.1 и 8.12.6, напишем все четыре граничных условия в развернутом виде:
rp- _ гр- 1 lk°-1 1 дА2 \
1 ■Г1осн у- у—-у AiA2 да aiaiQ ф2 ФО О,
2Etm 2Еш50СН — 2 — 'Фг О,
Я12
Рис—2
2Ehw‘ 2£Woch 0, Gi Gi0CH —afc 0.
22
Примем, что
Тмосн, 2EhuUocR, 2Ehw0CR 0k°. 9.16.1)
Тогда можно считать, что
Gi0CH, о ft-4, 9.16.2)
так как для подсчета Gx нужно воспользоваться формулой 7.1.7, в которую по сравнению с формулами 7.1.4 входит лишний множитель й2, а согласно
8.12.2 он имеет вид О й-4.
Учтем это, положим снова с 0 и оставим в граничных условиях только главные члены. Получим тангенциальные граничные условия
Т1 осн 0, 2 осн 0,
которые надо выполнять при интегрировании уравнений безмоментной
теории, и нетангенциальные граничные условия
2£Woch Ф1 0, ф2 0,
из которых определятся произвольные функции простого краевого эффекта.
Остается написать расчетные формулы, подставив в 8.12.4 полученные значения г, ф2,
гг _ 2£W0CH р„ л _ 1 h 2EhW0CH ас
1 2 кр — — 0 Со, VI кр — — С2 кр — — - -■■ - ■ Go So.
А 22 Т22 V 1 V /
§ 17. Краевой эффект на свободном крае оболочки
Пусть край а10 свободен и к нему не прикладываются краевые силы. Тогда § 5.33 надо выполнять следующие тангенциальные граничные условия:
Т 0, S'21 0 9.17.1)
и нетангенциальные граничные условия
N 0, G; 0. 9.17.2)
Эти равенства расшифровываются так:
гр• rp I kc 1 дА \
' - 1 V2 Уу ТА лг Ч- -Ч - о.
,., 9.17.3)
1осн ф2 о, N — N осн - з2 Фг — Ф1 0.
22 К 2 R22
Принимая, что
Тцосн, S2iосн О k , Ai0cH Gi0CH z О k 4, 1 9.17.4)


132
МЕТОД РАСЧЛЕНЕНИЯ
ГЛ. 9
заключаем, что в данном случае надо положить с —2. В результате, оставив лишь старшие члены, будем иметь тангенциальные условия для основного напряженного состояния
и нетангенциальные граничные условия для определения произвольных функций простого краевого эффекта
Теперь можно было бы выписать выражения для Т2Кр, Gi КР и G2 КР, но в данном случае это практически не нужно. Для свободного края в формуле 9.15.1 пришлось положить с —2, в то время как у заделанного и шарнирно опертого краев получилось с 0. Это значит, что относительная интенсивность простого краевого эффекта вблизи свободного края весьма мала и практически строить здесь простой краевой эффект не нужно.
Пусть теперь к свободному краю приложены распределенные силы или моменты. Тогда граничные условия 9.17.1, 9.17.2 станут неоднородными. Если краевые силы — тангенциальны, т. е. их направления параллельны касательной плоскости, то свободные члены появятся только в равенствах
9.17.1. Это приведет только к тому, что вместо 9.17.5 получатся тангенциальные граничные условия
в которых Г, S — заданные функции переменной а2.
Наоборот, случай, когда края загружены моментами или силами, нормальными к срединной поверхности, требует особого рассмотрения.
Пусть тангенциальные граничные условия 9.17.1 остаются прежними, а нетангенциальные граничные условия 9.17.2 принимают вид
где Л — заданная функция переменной а2, определяющая краевые нормальные силы, приложенные к оболочке.
Примем дополнительно, что оболочка не загружена по поверхности и что
В этом случае полагаем с 1. Тогда третье и четвертое равенства
9.17.3 в первом приближении дадут
В 9.17.7 функции и ф2 можно исключить при помощи 9.17.6. Тогда тангенциальные граничные условия для основного напряженного состояния примут такой вид:
Ткосн — о, S21 осн 6
9.17.5)
4 • I2
k 1 ОСН Ф2 0, Ф2 Ф1 0*
9.17.6)
Равным образом из первых двух равенств 9.17.3 получается
9.17.7)


§ 18]
КРАЕВОЙ ЭФФЕКТ У ВНУТРЕННЕЙ ЛИНИИ ИСКАЖЕНИЯ
133
Теперь остается только выписать расчетные усилия и моменты. Из 9.17.6 и 8.12.4 для расчетных усилий и моментов получаем
т2 кр, Ц- УЩ,г Лсд, о, КР g2 кр VRT, МЛ.
Замечание. Здесь, как и в других примерах, принимается, что существует основное напряженное состояние, удовлетворяющее тангенциальным граничным условиям. Вместе с тем в части III будет показано, что нельзя, вообще говоря, требовать, чтобы во всех краевых точках оболочки решения уравнений безмоментной теории удовлетворяли двум тангенциальным статическим граничным условиям. Поэтому рассмотренный пример имеет смысл только тогда, когда, помимо а1 аго, оболочка имеет по меньшей мере еще один, достаточно жестко закрепленный край.
Так, например, если речь идет о консольной оболочке, то надо соединить результаты, полеченные для жестко заделанного и для свободного краев. Это значит, что основное напряженное состояние следует подчинить условиям 9.15.4 на одном крае и условиям 9.17.5 на другом, что, как будет показано в части III, всегда возможно краевые эффекты строятся, как мы знаем, на каждом краю совершенно независимо.
Рассмотренная задача представляет собой случай, когда безмоментную теорию в смысле § 7.3 надо считать неприменимой. Граничные условия, необходимые для определения основного напряженного состояния, здесь удается сформулировать только в результате введения в рассмотрение простого краевого эффекта: он необходим для того, чтобы можно было написать равенства 9.17.7, и для того, чтобы исключить из них произвольные функции ф, ф2. В части IV такие примеры подвергаются более общему рассмотрению, и для них вводится понятие об условной применимости безмоментной теории.
§ 18. Краевой эффект у внутренней линии искажения
напряженного состояния
Пусть на некоторой линии g' компоненты внешней нагрузки терпят разрыв первого рода. Будем считать, что g' рассекает область интегрирования G вообще говоря, многосвязную на две подобласти G и G-, как показано на рис. 16, а. Если это неверно, то контур g' можно должным образом продолжить, как показано пунктиром на рис. 16, б, и считать, что на продолженной части g' разрывы обращаются в нуль.)
В таком случае искомое напряженное состояние Р в областях G и G можно строить раздельно, снабжая соответствующие искомые величины дополнительными индексами и —. При этом на линии g' должны быть выполнены условия сопряжения
они по смыслу совпадают с условиями непрерывности § 9.14. Послед¬
ние для случая, когда g задается
а1 cxi, имеют вид
уравнением _1_ _ _1_ —
И1 1 2 2»
- -
W W, уг уъ
Решение задачи будем снова искать в виде 9.15.1, полагая, что это равенство справедливо и в G и в G. Далее, можно считать, что областям G+
Тг Тъ
А к,
_ 21 “21У
G, Glf
9.18.1)


т
МЕТОД РАСЧЛЕНЕНИЯ
и G отвечают неравенства ах а1о иааю соответственно и что в них имеют место простые краевые эффекты, определяемые для G формулами
8.12.5, а для G — формулами 8.12.4.
Учитывая это, раскроем 9.18.1 при помощи 9.15.1, 8.12.6, 8.12.7 и напишем
.
Т1осн)
I kcl 1 дА2 ,, ч
j2 AiA2 ddi atai0 ~
Т[
осн)
kcl 1 дА2 ,, , , .
М’з 'М,
СОь OCi—ОСю
н.
•21 осн)
2Ehu осн -j- &
I k°l д ф2 — фх _ с. а ф3 ф4
— O21 осн
2 Л; 5а2 у~
2Ehu осн kclV22 h “д7” “1“
41 22
2 Л2 За2 ’
№1 —12 9.18.2)
2£гы20сн —У2гс
-1
я;
Ч1 — -фг =
2ЕЫ осн У2 ф, +
°Х2
.
N1 осн '
.
Glосн)
/
2 я32
фг фО Wioch-
/
К2 Я’32
фз ф4,
ahc—1
-ij2 g;
2ьс-1
осн)
г1
9.18.3)
.
2ЕJlXSDосн Ф1 — 2EhWocn —- 2 фз,
.
2ЕН ух осн)
С1 Ь2 , C1 t3-t4
У7 -уЩ- 2Eh W7 Т1Г •
Отсюда, предполагая по-прежнему, что основное напряженное состояние удовлетворяет соотношениям 9.15.3, 9.17.4, заключаем, что, вообще говоря, можно положить с 0. Тогда в первом приближении получатся тангенциальные условия сопряжения
— — — +
Tl осн Т1 осн, 21 осн 21 осн, 1 осн — И осн, 2 осн 2 осн,
9.18.4)
которые относятся к основному напряженному состоянию, и нетангенциальные условия сопряжения
t2 —13 4. —24,
“К —.
2£ш0сн “j- Ф1 2EhWocH Н- Фз, Ф1 -- Ф2 —фз -- ф4*
Из последних можно определить произвольные функции простого краевого эффекта, возникающего по обе стороны от линии g',
Ф1 — Фз Ehbw, ф2 ф4 0, bw wосн — Шосн-


§ 19 ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
135
Аналогичным образом решается задача и в случае, когда вдоль линии g' оболочка имеет дополнительное усиление. Пусть, например, вдоль g' оболочка контактирует с конструкцией, которая препятствует нормальным смещениям оболочки, но не стесняет свободу смещений во всех других линейных и угловых направлениях. Тогда вместо условий сопряжения 9.18.1 надо написать
— — — — —
Тъ Slf и1 иъ и2 и 2, Gi Glf
4- — —
w 0, w 0, Yi Yi.
Равенства 9.18.2 сохранятся. Из равенств 9.18.3 останутся без изменения второе и четвертое, а вместо первого и третьего равенства надо написать
2ЕЬхюоси 2£,Ш0СН £сфз 0.
Учитывая это, можно положить с 0, и тогда в первом приближении
для основного напряженного состояния вновь получатся тангенциальные
условия сопряжения 9.18.4, а уравнения для произвольных функций простого краевого эффекта примут вид
ф2 Ф1 — Фз 4“ Фй '— Ф2 — Фй-
Отсюда
Ф1 2EhW0Cn, Фз : 2EhWосн Ф2 — ф4 Ehw0Ch f осн*
§ 19. Заключительные замечания
В разобранных примерах применение метода расчленения базировалось на формуле 9.15.1, выражающей главную идею метода: представление полного напряженного состояния в виде суммы основного напряженного состояния и простых краевых эффектов. В ходе рассуждений принимались дополнительные предположения 9.15.3, 9.16.1, 9.17.4, определяющие асимптотику краевых значений усилий, перемещений и углов поворота основного напряженного состояния. Можно принять, что перечисленные величины имеют такой же порядок и во всей рассматриваемой области, т. е. что
7, Sih 2Ehuh 2Ehw0W О 9.19.1)
Действительно, во всех рассмотренных примерах приближенное построение величин 9.19.1 свелось к решению краевых задач, в которых ни уравнения, ни граничные условия не зависят от малого параметра А, а следовательно, и от большого параметра k множитель 2Eh считается включенным в состав искомых величин, а случаи, когда полная краевая задача не имеет ограниченных решений, исключены из рассмотрения в таких оболочках срединная поверхность считается особой.
Из 9.19.1 вытекает, что напряжения от от тангенциальных усилий имеют порядок
ж 0 9Л9-2)
а для напряжений от моментов, исходя из формулы 9.16.2, получим
о0 ОЩ 9.19.3)
считается, что изменяемость основного напряженного состояния не слишком велика и не учитывается возможность увеличения искомых величин
при дифференцировании. Таким образом, во всех разобранных примерах


136
МЕТОД РАСЧЛЕНЕНИЯ
ГЛ. 9
вдали от краев напряженное состояние безмоментно. Для определения произвольных функций простого краевого эффекта были получены уравнения, не зависящие от параметра k. Это значит, что для фх, Ф2 можно написать оценку
W О k°,
из которой при помощи формул 8.12.4 легко получить оценку усилий и моментов простого краевого эффекта. Учитывая, что k О i_12, получаем для наибольшего из усилий Г2 и наибольшего из моментов Gx)
Г, 0Л°, G1 0i1, а следовательно, в простом краевом эффекте
-■ 0 Л-1, 0 -§- О Л-1. 9.19.4)
Итак, в формуле 9.15.1 величины Я0Сн основное напряженное состояние и ЯКР простой краевой эффект, взятые в отдельности, эквивалентны друг другу в том смысле, что дают напряжения одинакового порядка. Однако при составлении полного напряженного состояния краевой эффект, согласно
9.15.1, множится на kc, а это значит, что числом с определяется относительный порядок вклада простого краевого эффекта в полное напряженное состояние оболочки. Если с 0, то дополнительные краевые напряжения будут соизмеримы с основными. Такая картина в рассматриваемых случаях имеет место вблизи заделанного края. Если с 0, то вклад краевого эффекта будет ничтожным, так как k в тонкой оболочке весьма велико. Примером служит свободный край. Наконец, при с0 краевые напряжения будут значительно больше основных. Соответствующих примеров мы пока не имели, но они, как выяснится в части IV, возможны. В частности, весьма большие дополнительные напряжения могут появиться в оболочке вблизи линии излома ее срединной поверхности. Этот случаи рассматривается в части IV. В противоположность этому разрыв нагрузки вдоль некоторой линии вызывает, как было показано в § 9.18, дополнительные напряжения такого же порядка, как и основные с 0.
Разумеется, различие между основным напряженным состоянием и простым краевым эффектом заключается не только в том, что они могут давать напряженные состояния различных порядков. Простой краевой эффект, как уже говорилось,— местное, быстро затухающее напряженное состояние, а кроме того, как видно из оценок 9.19.4, связанные с ним напряжения, вообще говоря, имеют смешанную природу, т. е. обусловливаются в равной мере усилиями и моментами, в то время как основное напряженное состояние в большинстве случаев безмоментно.
Остановимся несколько подробнее на структуре напряжений, соответствующих простым краевым эффектом. Все связанные с ним величины быстро затухают, поэтому при качественных рассуждениях можно ■ исходить не из формул 8.12.4, определяющих простой краевой эффект в окрестности линии возмущения, а из формул 8.12.6, задающих его только на самой этой линии. Формулы 8.12.6 показывают, что главное тангенциальное усилие Т2 и главный момент Gx пропорциональны соответственно произвольным функциям фх и Фг- Таким образом, простой краевой эффект имеет черты сходства с дополнительными напряженными состояниями, возникающими вблизи отверстий как в пластинке, растягиваемой в своей плоскости, так и в пластинке, подвергаемой изгибу. Первое из этих дополнительных напряженных состояний связано с функцией фх и дает в освном нормальные усилия на сечениях, ортогональных к линии возмущения. Второе связано с функцией ф2 и дает в основном изгибающие моменты на сечениях, параллельных линии возмущения.


ГЛАВА 10
ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ. НАПРЯЖЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ
С БОЛЬШОЙ ИЗМЕНЯЕМОСТЬЮ
§ 20. Вырождение оболочки в пластинку
Одним из условий применимости метода расчленения является требование, чтобы срединная поверхность оболочки в достаточной мере отличалась от плоскости, т. е. чтобы оболочка не вырождалась в пластинку и не превращалась в пологую оболочку § 9.13. Плоскость в терминологии § 9.13 отнесена к особым поверхностям особым с точки зрения возможности применения безмоментной теории или метода расчленения по совершенно ясным причинам. Если срединная поверхность есть плоскость, то
flu R12 R22 ос, 10.20.1)
и третье безмоментное уравнение равновесия 7.1.3 потеряет всякий смысл.
Возвратившись вновь к общим уравнениям теории оболочек 6.44.1—
6.44.6 и подставив в них 10.20.1, мы получим, как легко проверить, уравнения, которые распадаются на две подсистемы. В первую подсистему входят:
а первое, второе и шестое уравнения равновесия 6.44.1;
б тангенциальные уравнения состояния 6.44.6;
в формулы тангенциальные деформации — перемещения 6.44.3.
Эта группа соотношений образует уравнения теории обобщенного напряженного состояния.
Во вторую подсистему входят:
а третье, четвертое и пятое уравнения равновесия 6.44.1;
б нетангенциальные уравнения состояния 6.44.6;
в формулы изгибные деформации — перемещения 6.44.3, 6.44.4.
Эта группа соотношений образует уравнения теории изгиба пластинки.
Как в случае обобщенного плоского напряженного состояния, так и
в случае изгиба пластинки получаются уравнения для плоского упругого тела, срединная поверхность которого отнесена к произвольной ортогональной криволинейной системе координат. Мы не будем обсуждать эти уравнения, считая их известными из курсов теории упругости.
§ 21. Пологие поверхности и почти плоские
системы координат
Обратимся к пологим оболочкам, т. е. к оболочкам, срединная поверхность которых в некотором смысле мало отличается от плоскости. Тогда описанное выше противоречие формально устраняется, но можно ожидать, что в этом случае применение безмоментной теории приведет к далеким от истины результатам. Вместе с тем именно пологие оболочки особенно


138
ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ. СОСТОЯНИЯ С БОЛЬШОЙ ИЗМЕНЯЕМОСТЬЮ ГЛ. 10
интересны с точки зрения практических применений, и поэтому целесообразно обсудить возможность приближенных подходов к исследованию их напряженно-деформированного состояния.
Начнем с обсуждения координатных систем, которые можно построить на пологой поверхности. Коэффициенты первой квадратичной формы А19 А 2 в любой системе криволинейных координат, построенной на плоскости, удовлетворяют уравнению Гаусса 1.5.7, которое в рассматриваемом случае можно записать так:
тг i О- Т5г “ - о,
V 1 1
А -- 5з гауссова кривизна.
12 12
Назовем почти плоской такую систему криволинейных координат на поверхности при К Ф 0, для которой вместо написанного равенства будет справедливо соотношение
AjAa К АгА2 ф --7-4- 1-
121 1 12 R11R22 Ri2 да1 2 да1 да2 Л2 да2 ^
10.21.1)
На произвольной поверхности S такую систему, разумеется, построить нельзя, но если S полога, т. е. все ее точки близки к плоскости Р, то при некоторых дополнительных условиях их смысл выявляется в рассматриваемых ниже примерах на S можно построить почти плоскую криволинейную систему координат, прибегнув, например, к такому приему. Установить на Р какую-либо криволинейную систему координат аь а2, а затем снести ее на поверхность S, т. е. считать, что, если некоторая пара значений alt а2 задает на плоскости Р некоторую точку т, то на поверхности S эти же значения определяют точку т', проекцией которой является т.
Пример 1. Почти декартова система координат на пологой поверхности.
Пусть в декартовой системе координат рассматриваемая поверхность S задана уравнением
z fx, у.
Примем, что на плоскости хОу ей соответствует некоторая область s изменения х, у с характерным размером Тогда декартовы координаты х, у можно снести на поверхность S, введя обозначения
X и
а2 —
и задав радиус-вектор Л1 так:
М 1аг1х la2iy Zalf la2 i2 10.21.2)
, iy9 iz — орты декартовой системы координат.
Коэффициенты первой квадратичной формы для поверхности 10.21.2 подсчитываются по формулам 1.1.4, 1.1.5:
Mi ix -f- i2, M2 I iy -f- Jz i — -0— 9 f2 — >
Ai Mi I j 1 -f- fb Ai ’УM l 1 4- 2,
M1.Mi hh ,, У ? §
Ai A ■2 1 I ’ Ii ?)


21 J
ПОЛОГИЕ ПОВЕРХНОСТИ И ПОЧТИ ПЛОСКИЕ КООРДИНАТЫ
Отсюда следует, что на поверхности S обсуждаемая система координат не ортогональна, но если выполняется условие
maxi, 2 1, 10.21.3)
то значения cos будут малы, и ее можно рассматривать как почти ортогональную. В рамках той же точности формулы для коэффициентов первой
квадратичной формы можно записать так:
Л1 А2 1. 10.21.4)
Для коэффициентов второй квадратичной формы имеем формулы 1.3.2. Выполним выкладки
Мл х М2 —fiix — f2iy iz П - А,А2 sin X Л? ’
М __ 2 ZL М — 2 df I М — 2 д2 •
yWl1 — 1 дх2 7Wl2 “ УК1а2 ф2 г»
ttL 2.
г Лf дл:2 г л дг2
La Л111 • Л у 122 -22 ' ^
о 9 22 22 _ г- п К- у
yi fl y fl fl
d2f
дх ду
Отсюда видно, что на поверхности S рассматриваемые криволинейные координаты образуют несопряженную сеть L12 в общем случае будет такого же порядка, что и Ln, L22. Поэтому для подсчета нормальных кривизн поверхности S надо воспользоваться формулами 1.5.2, 1.5.3, которые дают
а2/
1 L_ _ дх?
Ru А 1 ? у ifl f ’
1 L22 ду
i yi fl fl ’
d2f
22 Л2
1 L12 дх ду
R12 A,A2 у l f 1 4- ft УI f tl
Будем считать, что требование 10.21.3 выполнено, пренебрежем малой неортогональностью выбранной системы координат и замейим последние формулы приближенными равенствами
1 дЧ 1 дЧ 1 дЧ
Ru дх2 9 R12 дхду ’ R22 ду2 '
Тогда сильное неравенство 10.21.1 превратится в требование
Hivjv__£LyХ'
I дх2 ду2 дхду |
Отсюда видно, что если к 10.21.3 присоединить требования
10.21.5)
/
дх1 дх1
1 1,2, 10.21.6)


140 ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ. СОСТОЯНИЯ С БОЛЬШОЙ ИЗМЕНЯЕМОСТЬЮ ГЛ. 10
то сильное неравенство 10.21.1 выполнится, а если, кроме того, требовать, чтобы
Р
d3f
1 1,2,
дх1 дх дх*
то будут выполняться и более жесткие условия
ли.К. Ш'-
10.21.7)
10.21.8)
Криволинейную систему координат, определяемую равенством 10.21.2, мы назовем почти декартовой.
Пример 2. Почти полярная система координат на пологой части сферы.
Отнесем сферу к географической системе координат, в которой положение точки задается полярным углом 0 и долготой ср рис. 17. Тогда, обозначив через г радиус сферы, можно задать ее векторным равенством
М г sin 0 cos срix т sin 0 sin фiu -f- r cos 0?.
Считая, что роль параметров аь а2 здесь играют соответственно 0, ф, получим по формулам 1.1.4, 1.1.5)
Мл г cos 0 cos фix -j- г cos 0 sin фiy — r sin 02,
M2 — r sin 0 sin фix r sin 0 cos фiL,
Ai У Ml r, A2 У Ml r sin 0, cos 0.
Подставив эти результаты в 10.21.1 и заметив, что для сферы R±1 — R22 r R12 °° получим
sin 0 С 1 -
Это значит, что для того, чтобы выполнялось сильное неравенства
10.21.1, 0 должно быть мало, т. е. срединная поверхность должна умещаться в малой окрестности полюса географической системы координат.
В этом случае можно положить sin 0 0, и коэффициенты первой квадратичной формы будут выражаться так:
Аг г, Л2 г0, cos 0.
Поэтому, введя обозначение гв р, можно написать
откуда
ds2 dp2 -f- р2 dф2,
А1 1, А9 — р,
10.21.9)
и мы приходим к формуле дифференциала длины дуги для плоскости, отнесенной к полярной системе координат р, ф. Отсюда следует, что на пологой части сферы,
примыкающей к полюсу географической системы координат, можно построить описанную выше координатную систему, которую мы будем называть почти полярной. По своим свойствам она мало отличается от полярных координат на плоскости, т. е. является разновидностью почти плоских систем.
Для почти полярной системы координат на сфере соблюдается не только
10.21.1, но и сильные неравенства 10.21.8, так как К и г — константы.


22]
ПРИБЛИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
141
Не останавливаясь на подробностях, заметим, что почти полярную систему координат можно построить на пологой части произвольной поверхности вращения, примыкающей к полюсу географической системы координат. При этом для того, чтобы выполнялись соотношения 10.21.8, надо только требовать, чтобы были достаточно малы первые три производные от функции, задающей меридиан оболочки.
Замечание. На пологой поверхности можно построить и такую систему координат, которая не удовлетворяет сильному неравенству 10.21.1. Примером может служить географическая система координат на сфере, если под пологой частью сферы будет подразумеваться малая окрестность какой-либо точки, расположенной у экватора, так как там sin 0 мало отличается от единицы.
В дальнейшем всегда, когда речь идет о пологой оболочке, будет предполагаться,, что на ней установлена почти плоская система координат, и, следовательно, выполняются сильные неравенства 10.21.8.
§ 22. Приближенная теория пологих оболочек
В основу приближенного расчета пологих оболочек мы положим два следующих предположения.
Предположение 1. В первых двух уравнениях равновесия, выражаемых первым равенством 6.44.1, можно отбросить члены, содержащие перерезывающие усилия Nly N2.
Предположение 2. В первых двух уравнениях неразрывности деформаций, выражаемых первым равенством 6.44.2, можно отбросить члены, содержащие величины £2.
Первую из этих гипотез можно подкрепить такими рассуждениями.
Рассмотрим подъемистую оболочку с неособой срединной поверхностью § 9.13 и неасимптотическими краями. Ее приближенный расчет, вообще говоря, можно выполнить методом расчленения § 9.13 исключение представляет случай, когда основное напряженное состояние имеет слишком большую изменяемость; к нему мы еще вернемся. Это равносильно принятию предположения 1, так как и в теории основного напряженного состояния § 7.1, и в приближенной теории простого краевого эффекта § 8.9 в первых двух уравнениях равновесия перерезывающие усилия Nlt N2 отбрасываются. В случае, когда оболочка вырождается в пластинку, предположение 1 превращается в тривиальное утверждение, так как коэффициенты при Nu N2 в первых двух уравнениях равновесия при этом обращаются в нуль. Но пологая оболочка занимает промежуточное положение между подъемистой оболочкой и пластинкой, поэтому естественно ожидать, что предположение 1, имеющее силу для крайних случаев, останется правильным и для промежуточного случая.
Предположение 2 двойственно предположению 1 в смысле статикогеометрической аналогии. Его можно подкрепить рассуждениями такого же рода, но на этом мы останавливаться не будем.
Поскольку наша задача заключается в приближенном исследовании пологих оболочек, будем пользоваться простейшим вариантом теории оболочки и, в частности, будем считать законным комплексное уравнение 6.43.32, выведенное без каких бы то ни было отбрасываний, выходящих за рамки точности такой теории. Это уравнение можно существенно упростить, если считать, как мы условились выше, что на срединной поверхности пологой оболочки установлена почти плоская система координат. Тогда будет обеспечено выполнение сильных неравенств 10.21.8, а это, как легко убедиться, означает, что в уравнении 6.43.32 члены, содержащие гауссову кривизну К, играют второстепенную роль. Отбросив эти члены и перейдя от тензорной символики ж простой по формулам главы 6, получим


ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ. СОСТОЯНИЯ С БОЛЬШОЙ ИЗМЕНЯЕМОСТЬЮ ГЛ 10
основное комплексное равенство приближенной теории пологих оболочек в произвольной ортогональной системе координат)
1 д Л2 _J д_ , _д 1 д_ , _д 1 д_ _д_ _А±_ _1 д w _
AiA2 А- 22 дХ2 12 dCL- R2 2 2 2 11 дХ2 J
Ф AAW— iZ. 10.22.1)
В нем содержится единственное комплексное неизвестное W, имеющее следующий смысл:
W p2Ehw ic9 10.22 2)
р r-.h 10.22.3)
131—v3 v '
а под А подразумевается обобщенный оператор Лапласа
д-ткЬН-£ -£ж' ,1а22-4>
Комплексное уравнение 10.22.1 эквивалентно двум действительным уравнениям, содержащим нормальный прогиб w и функцию напряжений с. Эта система получится, если потребовать, чтобы в обсуждаемом уравнении обращались в нуль в отдельности действительная часть и коэффициент при мнимой части. Будем иметь
А6—31-1 AAa Z 0, Дш -ДгДДс 0. 10.22.5)
Здесь в дополнение к 10.22.4 использовано обозначение
д _ 1 д Л2 1 д д 1 д_
R АхА2 да± Ах R22 даг ' да2 R12 дах '
1°-22-6)
OOCj i?i2 Ct2 -2 11 2 /
индекс напоминает, что оператор существенно зависит от радиусов кривизны оболочки.
Равенство 10.22.1 или, что то же, равенства 10.22.5 будут называться разрешающими уравнениями теории пологих оболочек. Каждая пара функций w, с, представляющая собой решение этих уравнений, определяет некоторое напряженно-деформированное состояние оболочки. Последнее можно построить при помощи прямых действий, к описанию которых мы переходим.
В § 6.43 было показано, что в рамках точности простейшего варианта теории оболочек справедливы тензорные равенства 6.43.14 и 6.43.15. Первое из них показывает, что в формулах тангенциальные усилия — функции напряжения должны быть оставлены только слагаемые, содержащие величину gy соответствующую в обычных не тензорных обозначениях функции напряжения с. Это значит, что в теории оболочек, основанной на простейшем варианте уравнений состояния, вместо первых двух равенств 6.44.5 надо брать формулы
T. _LA а 1 21
‘ А да А дадЬ.д dai да >
_ 1_ дс 1 dAi _дс_ , 1 дА2 дс
J21 12 _ •‘Ма даг да3 аА3 йа2 АхА да1 да2
S., — 5,
10.22.7)


§ 22]
ПРИБЛИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
143
Равным образом из 6.43.15 вытекает, что третье и четвертое равенства
6.44.3, учитывая 6.44.4, надо заменить формулами
„ _L_ LL _i i j _ i 2,
At da Ai dat д.д2 dai daj ’
x =
d2w
1 dAx dw 1 дЛ2 dw 10.22.8)
dax da2 aa2 да2 дах dax da2
Ими и формулами 10.22.7 тангенциальные усилия и компоненты изгибной деформации, а вместе с последними и моменты, выражаются через с и w. Перерезывающие усилия после этого можно найти при помощи уравнений равновесия и, наконец, при помощи первых двух равенств 6.44.6 определяются компоненты тангенциальной деформации.
Равенства 10.22.7, 10.22.8 вместе с уравнениями состояния можно назвать расчетными формулами теории пологих оболочек. Ими приближенно определяется напряженно-деформированное состояние. Остались неизвестными только тангенциальные смещения и1у и2, но, так как все компоненты деформации уже получены, перемещения можно строить, например, так, как описано в § 4.27.
Есть и другой путь построения перемещений пологой оболочки. Поскольку ех, со, е2 — известны, можно рассматривать равенства 7.5.1 как систему дифференциальных уравнений относительно их, и2, w.
Третью из этих величин надо также считать известной, так как она определяется при интегрировании разрешающего уравнения. Поэтому, сохранив два из трех равенств 7.5.1, мы будем иметь уравнения для определения и1у и2. При их решении произволы надо выбирать так, чтобы выполнилось отброшенное равенство 7.5.1.
Просмотрев еще раз выкладки § 6.43, можно убедиться, что при выводе равенства 6.43.32 не были использованы ни первые два уравнения равновесия, выражаемые первым равенством 6.44.1, ни первые два уравнения неразрывности деформаций, выражаемые первым равенством 6.44.2. Покажем теперь, что если правильны предположения 1 и 2 и если отсутствуют внешние поверхностные тангенциальные силы, т. е.
Хх Х2 0, 10.22.9)
тоти уравнения приближенно выполняются в силу формул 10.22.7 и
10.22.8, каковы бы ни были в них достаточное число раз дифференцируемые функции су w. Для рассматриваемых уравнений равновесия это вытекает из следующих равенств, которые легко проверить при помощи 10.22.7:
к г к AS., S„ -
JL JL i d 1 dAx I 1 dc
L dax Ax dax J ' da2 A2 da2 J Аг dax 9
d dA d dA 10.22.10)
к iA'T'y кTiкЛ A - if-
Г— 1 дА d 1 dAx 1 1
L dax Ax da1 ' da2 A2 da2 J A2
dc daо
Левые части их совпадают с левыми частями первого равенства 6.44.1, если в последних отбросить члены с Niy а правые части будуг малы, если срединная поверхность пологой оболочки отнесена к почти плоской системе координат и вследствие этого выполняется сильное неравенство
10.21.1.


ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ. СОСТОЯНИЯ С БОЛЬШОЙ ИЗМЕНЯЕМОСТЬЮ ГЛ. 10
Уравнения неразрывности деформаций двойственны уравнениям равновесия, поэтому, повторив вышеприведенные рассуждения и выкладки, можно убедиться, что первые два уравнения неразрывности деформаций приближенно удовлетворяются в силу допущения 2 и формул 10.22.8.
Замечания. 1. Требование 10.22.9 обязательно для излагаемого варианта теории пологих оболочек. Оно имеет силу лишь в случае, когда внешняя поверхностная нагрузка нормальна к срединной поверхности оболочки. Обобщение на случай Х f 0 не сложно, но мы не будем на этом останавливаться.
2. Возможность отбрасывать в выражении для компонент изгибной деформации тангенциальные перемещения, а в выражении для тангенциальных усилий — функции а, b часто принимается как самостоятельные предположения теории пологих оболочек. Вышеизложенные результаты показывают, что эти отбрасывания надо рассматривать как действия, логически вытекающие из свойств упрощенной теории оболочек. Если в какой-либо задаче возникнет необходимость удержать такие члены, то это значит, что для нее нельзя пользоваться упрощенной теорией оболочек и надо с большой осторожностью подойти к выбору уравнений состояния.
Изложенная здесь трактовка приближенной теории пологих оболочек предлагается, по-видимому, впервые, хотя получившиеся разрешающие уравнения и расчетные формулы известны очень давно. Историю создания теории пологих оболочек надо, по-видимому, начинать с тридцатых годов, когда в работах 86, 142, 143 были высказаны важные идеи применительно к задачам устойчивости. Уравнения и формулы современной теории пологих оболочек, в частности и те, которые приведены здесь, выводились в работах 30, 31, 87, 121, 161.
§ 23. Свойства разрешающих уравнений теории пологих оболочек
Структуре разрешающих уравнений теории пологих оболочек можно дать простую физическую интерпретацию. Отбросив в 10.22.5 члены, содержащие оператор Дд, получаем два самостоятельных уравнения. Одно из них имеет вид
ЗТ?АД-2 0
и совпадает с уравнением, которому подчиняется нормальный прогиб w в теории изгиба пластинок. Второе уравнение имеет вид
ДА с 0
и совпадает с уравнением, которому подчиняется функция Эри в теории обобщенных плоских напряженных состояний.
Отбрасывание членов с операторами ДД также приводит к двум самостоятельным уравнениям
ARc--Z Q, ARw 0. 10.23.1)
Если оболочка отнесена к криволинейным координатам, удовлетворяющим сильному неравенству 10.21.1, и если Хг Х2 0, то первое из этих уравнений будет приближенно эквивалентно статическим уравнениям безмоментной теории § 7.4, а второе — геометрическим уравнениям безмоментной теории § 7.5.
Действительно, положим Х1 Х2 0 в безмоментных статических уравнениях 7.4.2, будем считать, что S21 S12 S, и выразим Tl9 S21, S12, Т2 по формулам 10.22.7 через функцию напряжений с. Тогда первые два уравнения 7.4.2 можно отбросить, так как они приближенно удовлетворяются, а третье уравнение 7.4.2 превратится в первое равенство
10.23.1. Далее, геометрические уравнения безмоментной теории выражают требования
со е2 0 10.23.2)


§ 23 РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
145
и в определенном смысле см. § 7.5 они эквивалентны системе 7.5.2, в которой в силу 10.23.2 можно считать
со 8i © , е2
Х — R Т—R Т-
К22 12 11 12
Поэтому, выразив к1у т, к2 по формулам 10.22.8, мы приближенно выполним первые два уравнения 7.5.2, а оставшееся уравнение сведется ко второму равенству 10.23.1.
Таким образом, в разрешающих уравнениях 10.22.5 операторы ДД отражают влияние теории изгиба пластинки и теории обобщенного плоского напряженного состояния, а операторы Дд отражают влияние безмоментной теории.
Порядок и тип системы 10.22.5 определяют операторы ДД, так как они содержат старшие производные. Это значит, что система 10.22.5 — эллиптическая и при ее интегрировании можно выполнять в каждой точке границы области по четыре условия столько, сколько учитывается граничных условий в теории изгиба пластинок и в теории обобщенного напряженного состояния в совокупности. Таким образом, описанные в § 10.22 преобразования не повели к потере интегралов, необходимых для решения краевых задач теории пологих оболочек.
Напомним, что разрешающие уравнения теории пологих оболочек, будь это действительная система 10.22.5 или комплексное уравнение 10.22.1, составлены в предположении, что оболочка отнесена к почти плоской системе координат, в которой коэффициенты первой квадратичной формы А1у Л2 должны удовлетворять сильному неравенству 10.21.1. В § 10.21 были построены две такие системы: почти декартова система координат, удобная для исследования пологих оболочек с прямоугольным планом, и почти полярная система координат, удобная для исследования пологих оболочек с круговым планом. Ими и ограничивается список почти плоских систем, применявшихся до сих пор. Поэтому можно условно говорить о двух вариантах теории пологих оболочек. В первом из них используется почти декартова система координат и в равенствах 10.22.4, 10.22.6, а также в расчетных формулах 10.22.7, 10.22.8 надо Л ь Л2, Rlly R12y R22 брать по формулам 10.21.4,
10.21.5. Во втором варианте используется почти полярная система координат, а Ль Л2 берутся по формулам 10.21.9.
Методы интегрирования уравнений теории пологих оболочек весьма разнообразны. Этому вопросу посвящена обширная литература, и мы на нем не будем останавливаться.
В заключение заметим, что равенства 10.22.1 или 10.22.5 с некоторыми оговорками, которые выявятся ниже, можно рассматривать и как разрешающие уравнения теории оболочек нулевой кривизны в частности, цилиндрических и конических оболочек, независимо от того, пологи они или нет 80, 81, 86, 92, 120. Чтобы убедиться в этом, достаточно просмотреть еще раз рассуждения § 10.22. Они показывают, что для вывода равенств 10.22.1 и 10.22.5 достаточно предполагать, что в оболочке
а срединная поверхность должна быть не особой,
б линии возмущения и, в частности, края должны быть неасимптотическими,
в на всей срединной поверхности может быть установлена криволинейная система координат, отвечающая сильному неравенству 10.21.1.
Но при С 0 последнее условие становится тривиальным: ему удовлетворяет любая система координат, следовательно, остаются два первых требования. Первое из них означает, в частности, что цилиндрическая оболочка, к которой можно применять уравнение 10.22.1 или 10.22.5, не


146 ПОЛОГИЕ оболочки, состояния с БОЛЬШОЙ ИЗМЕНЯЕМОСТЬЮ ГЛ. 10
должна быть слишком длинной, а для конической оболочки нельзя допускать большой близости точек срединной поверхности к вершине конуса. Второе требование означает, например, что цилиндрическая оболочка должна быть замкнута, так как прямолинейные края открытой оболочки являются асимптотическими линиями искажения. Ниже, в разделах, посвященных цилиндрическим оболочкам, выясняется, что первое требование является необходимым: для длинных цилиндрических оболочек уравнения
10.22.1 или 10.22.5 могут дать ошибочные результаты. Будет установлено также, что второе требование самостоятельного значения не имеет и сводится к первому. Так, например, открытую цилиндрическую оболочку можно рассчитывать при помощи обсуждаемых уравнений, пока эта оболочка короткая.
§ 24. Приближенная теория напряженных состояний
с большой изменяемостью
Обратимся к случаю, когда нарушается третье условие применимости метода расчленения § 9.13, т. е. к случаю, когда искомое напряженное состояние имеет большую изменяемость, и покажем, что для приближенного исследования таких напряженных состояний снова остаются в силе разрешающие уравнения 10.22.1 или 10.22.5 и расчетные формулы 10.22.7,
10.22.8, какова бы ни была подъемистость оболочки.
На непологой поверхности, вообще говоря, нельзя установить почти плоскую систему координат, а следовательно, неравенство 10.21.1 теряет силу. Тем не менее отбрасывание в уравнении 6.43.32 слагаемых, содержащих гауссову кривизну К, остается законным, так как речь идет о напряженном состоянии с большой изменяемостью, в котором искомые величины увеличиваются по модулю при дифференцировании. Отсюда следует, что в правой части равенства 6.43.32 второе и третье слагаемые в скобках малы по сравнению с первым, а в левой части 6.43.32 первое слагаемое превышает второе. Конечно, последняя часть высказанного утверждения основана на предположении, что V не может существенно превышать W При помощи простых, но кропотливых рассуждений, на которых мы не будем останавливаться, можно убедиться в справедливости этого предположения. Более того, выясняется, что W существенно больше, чем У.
Далее, следует убедиться, будут ли удовлетворяться неиспользованные при выводе 6.43.32 первое и второе уравнения равновесия, а также первое и второе уравнения неразрывности деформаций. Для этого, не останавливаясь на подробностях, которые можно найти, например, в 50, примем, что предположения 1, 2, сформулированные в § 10.22 для пологих оболочек остаются правильными и для приближенного исследования напряженных состояний с большой изменяемостью, и будем считать, что выполняются равенства 10.22.9. Тогда вопрос о выполнении первых двух уравнений равновесия сведется к рассмотрению равенств 10.22.10. Они получены в результате применения формул 10.22.7. Следовательно, выражения, стоящие в правых частях равенств и содержащие только первые производные от с, получились в результате взаимного сокращения слагаемых, содержащих третьи производные от с. Это значит, что правые части 10.22.10 надо считать приближенно равными нулю. Отсюда вытекает, что расчетные формулы
10.22.7 не противоречат первым двум уравнениям равновесия. Так же доказывается двойственное по статико-геометрической аналогии утверждение, что расчетные фомулы 10.22.8 не противоречат первым двум уравнениям неразрывности деформаций.
Итак, разрешающими уравнениями 10.22.1 или 10.22.5 и.. расчетными формулами 10.22.7, 10.22.8 можно пользоваться также и при расчете


§ 241 НАПРЯЖЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ С БОЛЬШОЙ ИЗМЕНЯЕМОСТЬЮ
147
оболочек любой подъемистости, если в них возникает напряженное состояние с большой изменяемостью.
Равенства 10.22.5 были первоначально выведены как уравнения пологих оболочек, и их часто называют разрешающими уравнениями теории пологих оболочек, независимо от того, для каких целей они предназначены. Такая терминология не способствует правильному пониманию сущности вопроса. Мы будем называть уравнения 10.22.5 в разных случаях по-разному, в частности, они будут здесь называться и разрешающими уравнениями теории напряженных состояний с большой изменяемостью. Остановимся на специфике этих теорий.
Особенность расчета пологих оболочек заключается в том, что на срединной поверхности надо выбирать криволинейные координаты так, чтобы выполнялось сильное неравенство 10.21.1.
Особенность теории напряженных состояний с большой изменяемостью заключается в том, что при ее построении было использовано свойство большой изменяемости того напряженного состояния, которое мы собираемся находить. Это свойство можно использовать и при интегрировании 10.22.5. В § 8.10 было показано, что при построении простого краевого эффекта обладающего большой изменяемостью по ах в первом приближении допустимо пренебречь переменностью коэффициентов по аг. Равным образом, если речь идет о напряженных состояниях с большой изменяемостью по обеим переменным, то коэффициенты уравнений 10.22.5 можно в первом приближении рассматривать как константы по аь а2. С другой стороны, когда строятся напряженные состояния с большой изменяемостью, надо следить, чтобы интегралы уравнений 10.22.5 действительно обладали этим свойством, а интегралы, не имеющие большой изменяемости, надо отбрасывать либо ставить заново вопрос об их законности.
Последнее утверждение можно пояснить следующими рассуждениями. Уравнения 10.22.5 сохраняют силу и в теории простого краевого эффекта. Тогда в них надо положить Z 0, а в формулах для А иДв первом приближении можно отбросить все производные от искомых величин, кроме старших производных по ах. В результате получим систему
1 д2с 2ЕКЪ 1 dw _ п
AIR22 да1 3 1 V2 д4 0а4 >
1 d2w 1 1 дс п
AR22 да 2Eh А4 да4 ~
Она в рамках той же точности приводится к одному уравнению
1 d8w ,31 — v2 1 dw ^
Л® daf 222 daf
которое, в частности, имеет такие решения:
Во ое, Bi а2 аг, В2 а2 аъ Вг а2 а?
Bi — произвольные функции. Однако эти решения незаконны, так как
они не обладают большой изменяемостью по аг. От них можно избавиться,
1 a4 D
отбросив символический множитель г-дг В результате мы вновь придем
к разрешающему уравнению теории простого краевого эффекта 8.10.9.
Уравнения 10.22.5, как уже говорилось, можно использовать и при
расчете цилиндрических оболочек. Особенность такого истолкования этих


148 ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ. СОСТОЯНИЯ С БОЛЬШОЙ ИЗМЕНЯЕМОСТЬЮ ГЛ. 10
уравнений заключается в требовании, чтобы цилиндрическая оболочка не была слишком длинной.
В заключение отметим, что все обсуждаемые здесь факторы могут усиливать друг друга. Например, напряженно-деформированное состояние пологой оболочки может иметь большую изменяемость. Тогда уравнения
10.22.5 будут вдвойне справедливы, т. е. точность их повысится. Если изменяемость не мала, то эти уравнения можно применять и к не слишком пологим оболочкам. Если оболочка не слишком подъемиста, то 10.22.5 будут иметь силу и в том случае, когда большая изменяемость не очень сильно выражена. Равным образом надо учитывать, что срединная поверхность оболочки может иметь малую гауссову кривизну например, в почти цилиндрической бочкообразной оболочке. Для такой оболочки требования к пологости и к изменяемости напряженного состояния также смягчаются 157.


ГЛАВА 11
ОБОЛОЧКИ С АСИМПТОТИЧЕСКИМИ ЛИНИЯМИ ИСКАЖЕНИЯ
§ 25. Обобщенные краевые эффекты
Под простым краевым эффектом подразумевается § 8.9 местное напряженное состояние, возникающее вблизи неасимптотической линии искажения. Требование, чтобы линия искажения была неасимптотической, т. е. нигде не касалась асимптотических линий срединной поверхности, оказалось существенным с математической точки зрения, так как разрешающее уравнение простого краевого эффекта 8.10.9 теряет силу в тех точках, где R22 обращается в бесконечность. Введем теперь понятие об обобщенном краевом эффекте, под которым будем подразумевать напряженное состояние, локализованное вблизи асимптотической линии искажения, т. е. вблизи контура, всюду совпадающего с одной из асимптотических линий срединной поверхности 48.
Предполагается, что обобщенный краевой эффект затухает при удалении от линии искажения, следовательно, по соответствующей переменной он имеет большую изменяемость. Поэтому примем, что обобщенные краевые эффекты можно изучать при помощи приближенной теории напряженных состояний с большой изменяемостью, т. е. Исходя из однородного разрешающего уравнения 10.22.1—10.22.4. Перепишем его еще раз в развернутом виде:
1 д А 3 а А. а 1 д Л2 dW д Аг dW \
А V гпг- A I fir- А_ rrt_ А_ rin. ~
Замечание. Строго говоря, для вывода уравнения 11.25.1 было использовано свойство быстрой изменяемости по обеим координатам. Поэтому высказанное предположение надо было бы обосновать, но мы не будем на этом останавливаться и сошлемся на тот факт, что оно выдержало проверку в применении к теории простого краевого эффекта § 10.24.
Обсуждение обобщенных краевых эффектов мы начнем со случая, когда кривизна срединной поверхности отрицательна, и выберем криволинейные координаты так, чтобы то семейство асимптотических линий, к которому принадлежит интересующий нас контур, совпало с линиями аг const.
При этом будет справедливо равенство R22 оо так как нормальная кривизна поверхности вдоль асимптотической линии равна нулю по опреде¬
11.25.1)
w У г12Ehwic-


150
ОБОЛОЧКИ С АСИМПТОТИЧЕСКИМИ ЛИНИЯМИ ИСКАЖЕНИЯ ГЛ. 11
лению. Вместе с тем гауссова кривизна поверхности выражается формулой 1.7.1, из которой следует, что если одна из координатных линий совмещена с асимптотической линией, то R22 и R12 обращаются в бесконечность только тогда, когда К 0. Итак, для оболочек отрицательной кривизны можно принять
R22 ОО у 12 ОО.
При таком выборе параметров а1у а2 комплексная функция W для искомого напряженного состояния должна существенно увеличиваться при ди- ференцировании по ах. Что касается дифференцирования по а2, то оно либо вовсе не должно увеличивать абсолютные значения Wy либо должно приводить к менее значительному увеличению, чем дифференцирование по аг. Поэтому, так же как это делалось в § 8.10, все величины, кроме искомых, можно рассматривать как не зависящие от аг. Учитывая все это и отбрасывая в уравнении 11.25.1 все члены, кроме главных, получим:
dw -з1— V2 1311 д dW п
г К2 А,А2 да2 R12 R12 да2 да, ’
А daj
или после однократного интегрирования по ах:
1 dsW
А? да'
11.25.2)
Это соотношение и является разрешающим уравнением обобщенного краевого эффекта в оболочке отрицательной кривизны.
Перейдем к обобщенному краевому эффекту в оболочке нулевой кривизны. Чтобы удобнее было сопоставлять получаемые результаты с теми, которые приводятся в литературе, сделаем предположение, что срединная поверхность отнесена к линиям кривизны таким образом, что в бесконечность обращается главный радиус кривизны R±. Это значит, что теперь асимптотическими будут ai-линии, а линия искажения будет задаваться уравнением а2 a20. Поэтому при упрощении уравнения 11.25.1 можно пользоваться тем, что W будет существенно увеличиваться при дифференцировании по а2 и сохранять порядок своей величины или увеличиваться не столь значительно при дифференцировании по а±. Следовательно, все функции, кроме W, можно считать не зависящими от а2. Кроме того,
12 2 ’
Учитывая все это, легко найти в уравнении 11.25.1 главные члены и, отбросив все остальные, написать разрешающее уравнение обобщенных краевых эффектов в оболочке нулевой кривизны. Оно имеет вид
j_agy fi302 д а2 aw _
At dai У h А,А2 да, A, R2 да,
Обобщенный краевой эффект в оболочке отрицательной кривизны мало изучен, и в дальнейшем о разрешающем уравнении 11.25.2 будут высказываться лишь некоторые общие соображения. Разрешающее уравнение
11.25.3 обобщенного краевого эффекта в оболочке нулевой кривизны мы рассмотрим более детально.
Будем считать, что комплексная величина W, удовлетворяющая уравнению 11.25.3, известна а следовательно, известны нормальный прогиб w и функция напряжений с, и выразим через них усилия и моменты оболочки. Для этого можно исходить из расчетных формул 10.22.7, 10.22.8 теории напряженных состояний с большой изменяемостью. Учитывая, что в рассматриваемом случае дифференцирование искомых функций по а2 приводит


§ 25]
ОБОБЩЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ
151
к более существенному увеличению, чем дифференцирование по а1у их можно упростить еще больше и записать так:
1 д 1 dw , 1 дАг dw 1 d2w
Xl AlA даГ'даГ’ дар
'-Е-7Г--К—7Г- 11.25.4)
Аг 'даг А2 да2 9 v 7
гр 1 д2с гр 1 д 1 дс , ,1 д4х дс
7 1 „2 9 7 2 I Лгу а I
Л2 2 1 1 а1 12 а2 а2 *
1 д 1 дс Аг даг А2 да2
S21 — 12 — л
вторые производные по а± не считаются малыми по сравнению с первыми производными по а2.
Из этих формул вытекает, между прочим, что обобщенный краевой эффект в оболочке нулевой кривизны обладает свойствами, выражаемыми сильными неравенствами:
ТГ2, с2 щ. 11.25.5)
Рассмотрим теперь соотношения упругости 6.44.6. Учитывая 11.25.5, их можно упростить и записать так:
8о 7 11 д2с 14-v 1 д 1 дс п 9^
е1— — — 1ЕГ 2Ш Щ ’ с0— IJT А да2 ’ ’’
р 1 р 2Eh3 2 Е№ 1 d2w
2 “ 1 _ 3 1 -V 2 3 1 -V Щди’
И — Н — 2ЕНЗ 1 а 1
21 — 12 — 3lv Ах даг А2 да2 11.25.7)
Из равенств 11.25.6 вытекает, что
е1 — -Ь-®. 11.25.8)
Вместе с тем компоненты тангенциальной деформации связаны с перемещениями формулами 7.1.5, которые при R1± 00 и R22 R2 имеют вид
1 дих 1 дАг 1 ди2 , 1 дА2 w
81 Аг дах ' АхА2 да2 2’ 83 Л2 да2 ALA2 да± Ul R2 9
со —L
А9 даs
ui I _2_ “2 \
А1г Ал дах А2'
11.25.9)
Здесь в выражения для е2 и со входят слагаемые, заведомо большие, чем любое слагаемое в выражении для еь так как
Ul ди2 1 dAi
Ах Ал дах 9 А2 да2 AtA2 да,
Л9 да с
и2.
Это не будет противоречить соотношениям 11.25.9 только в том случае, если в правых частях последних двух формул 11.25.9 взаимно уничтожатся главные члены. Отсюда вытекает, что в рамках той точности, с кото-


152
ОБОЛОЧКИ С АСИМПТОТИЧЕСКИМИ ЛИНИЯМИ ИСКАЖЕНИЯ ГЛ. 11
. рой строится теория обобщенного краевого эффекта, вместо второй и третьей из этих формул надо написать равенства
1 ди2 , 1_ дЛ2 _ о
Л2 да2 ‘ АгА2 дссг 1 R2 9
_Дх Ljh_ I A-JL — О
А2 да2 Аг ' Аг даг А2 )
11.25.10)
которые при приближенных вычислениях означают, что в левых частях происходит взаимное уничтожение главных членов.
В соотношениях 11.25.10 величину w надо считать известной, и мы получаем два уравнения для определения и1 и и2.
Остается определить перерезывающие усилия. Для этого могут быть использованы моментные уравнения равновесия 7.1.8, 7.1.9. Порядок величин, входящих в левые части этих равенств, можно установить с помощью формул 11.25.7. Пользуясь этим и оставляя только главные члены, получим
n1 -4-±--Vi--Tr4Gi—°. =
1 Аг даг А2 да2 1 АгА2 даг ' 1 2’ 2 А2 да2
Отсюда после простых преобразований приходим к окончательным формулам:
л, 2 Eh3 1 д 1 dw лг 2Eh3 1 110К,п
зГГ 1L251l>
§ 26. Свойства простых и вырожденных краевых эффектов
Представим комплексное разрешающее уравнение обобщенного краевого эффекта в оболочке нулевой кривизны 11.25.3 в виде системы двух действительных уравнений. Для этого надо раскрыть смысл комплексной пе¬
ременной W и приравнять нулю в отдельности действительную часть и коэффициент при мнимой части в полученном уравнении. Это приведет нас к системе .
_1 д_ _Л__Д дс 2Eh3 1 dw _ 0
АхА2 Аг R2 даг 31—v2 А доА ’
11.26.1)
1 д А2 1 dw , 1 1 дАс __0 '
АгА2 даг Аг R2 даг 2Eh А4 да*
в которой, как и раньше, все коэффициенты можно рассматривать как величины, независящие от а2. Пользуясь этим, легко исключить неизвестное с и получить одно уравнение относительно w. Продифференцируем первое равенство 11.26.1 четыре раза по а2 и разделим на А. Получим уравнение
1 д А2 1 д дАс 2Eh3 1 d8w ^
АХА 7 д1 уда j 3 1 — v2 j das 9
в котором с легко исключается при помощи второго равенства 11.26.1, и после очевидных преобразований будем иметь искомое уравнение
1 еь ,31-V Lta 0t 11.26.2)
где
т 1 д А2 1 д 2 д А2 1 dw_ л 1 4V
даг A do A; R; aoT


§ 26 J СВОЙСТВА ПРОСТЫХ И ВЫРОЖДЕННЫХ КРАЕВЫХ ЭФФЕКТОВ
153
Так же можно преобразовать и разрешающее уравнение 11.25.2 обобщенного краевого эффекта в оболочке отрицательной кривизны. Оно приводится к следующей действительной системе двух уравнений:
Исключим отсюда неизвестное с учитывая, что все коэффициенты уравнений можно рассматривать как функции одного а2. Продифференцировав первое равенство три раза по и разделив его на А, получим уравнение
в котором третью производную от с по ах легко выразить из второго равенства 11.26.4. Это позволяет после очевидных преобразований записать искомое уравнение так:
Сравним теперь уравнения 11.26.2 и 11.26.5 с разрешающим уравнением 8.10.9 простого краевого эффекта. Во всех трех уравнениях в левых частях стоят по два слагаемых, из которых второе имеет большой коэффициент, пропорциональный г-2. Для того, чтобы уравнения выполнялись,, величины
Здесь L2 и 14 — операторы второго и четвертого порядков, определяемые формулами 11.26.3 и 11.26.6, но, отвлекаясь пока от этого обстоятельства, будем рассматривать L4 и L2 как множители при w, значения которых соизмеримы с h°. Тогда можно утверждать, что решение уравнения
11.26.2 должно увеличиваться при дифференцировании по а2, а решения уравнений 11.26.5 и 8.10.9 должны увеличиваться при дифференцировании по аг. В 11.26.2 считается, что линией искажения является a2const, а в 11.26.5 и 8.10'.9 считается, что линией искажения является ах const, поэтому во всех случаях речь идет о большой изменяемости в направлении, перпендикулярном к линии искажения. Однако здесь есть и важное различие: увеличение одинакового порядка в простом краевом эффекте должно достигаться в результате четырехкратного дифференцирования, а в обобщенном краевом эффекте — в результате восьмикратного или шестикратного дифференцирования соответственно. Отсюда заключаем, что быстрее всех затухает простой краевой эффект, следующим по быстроте затухания идет обобщенный краевой эффект в оболочке отрицательной кривизны и, наконец, обобщенный краевой эффект в оболочке нулевой кривизны.
11.26.4)
J д д3с 2Eh3 1 d6w
R12 да2 да? 31—v2 а? да?
11.26.5)
где
R12 да2
1 dw
. 11.26.6)
1 d8w 1 d6w 1 dw
11.26.7)
Л® doc ’ Л® daf ’ A daf должны быть равны по модулю соответственно
11.26.8)


154
ОБОЛОЧКИ С АСИМПТОТИЧЕСКИМИ ЛИНИЯМИ ИСКАЖЕНИЯ ГЛ. 11
Вернемся теперь к структуре величин 11.26.8. В простом краевом эффекте она пропорциональна w. Отсюда следует, что быстрота затухания простого краевого эффекта стабильна, не зависит от характера изменения w вдоль линии искажения по переменной а2. В обобщенных краевых эффектах вместо w мы имеем дифференциальные выражения 11.26.3 или 11.26.6. Их абсолютные значения могут существенно зависеть от закона изменения w по аг или а2, т. е. вдоль линии искажения. Поэтому быстрота затухания обобщенных краевых эффектов нестабильна; она существенно связана с изменяемостью искомых функций вдоль линии искажения. Если w увеличивается при дифференцировании по а2 или alf т. е. имеет большую изменяемость вдоль линии искажения, то увеличится и быстрота затухания обобщенного краевого эффекта. Наоборот, если w таково, что приближенно выполняется уравнение
то быстрота затухания обобщенного краевого эффекта уменьшится, а если точность выполнения уравнений 11.26.9 или 11.26.10 станет достаточно большой, то может случиться, что затухания вообще не будет. В этом случае краевой эффект утеряет свое основное свойство, и мы будем его называть вырожденным.
Уравнения и формулы §§ 11.25, 11.26, не имеют силы для вырожденного краевого эффекта, так как под этим подразумевается напряженное состояние, изменяемость которого мала по обеим переменным, и для него становится неоправданным предположение о возможности исходить из разрешающего уравнения напряженных состояний с большой изменяемостью.
Отметим в заключение, что все рассуждения и выводы этого параграфа имеют качественный и несколько расплывчатый характер. Более определенное описание обсужденных здесь свойств краевых эффектов можно найти б § 12.30.
§ 27. Обобщение метода расчленения
Вернемся снова к разрешающим уравнениям краевых эффектов 8.10.9,
11.26.2, 11.26.5 и заметим, что по переменным, соответствующим движению по перпендикуляру к линии искажения, порядки этих уравнений различны.
Для простого краевого эффекта, т. е. для уравнения 8.10.9, порядок равен четырем, и на примерах, разобранных в §§ 9.15—9.17, было показано, что за счет простого краевого эффекта можно устранить невязки в двух граничных условиях.
Для обобщенных краевых эффектов, т. е. для уравнений 11.26.2 и
11.26.5, эти порядки равны шести и восьми соответственно. Поэтому по аналогии заключаем, что за счет обобщенных краевых эффектов можно устранить невязки в трех граничных условиях для оболочки отрицательной кривизны и в четырех граничных условиях для оболочки нулевой кривизны. Это полностью согласовывается с числом граничных условий, которые можно выполнить при решении уравнений безмоментной теории. Если край неасимптотический, то решение безмоментных уравнений можно подчинить двум условиям, а невязку в двух оставшихся условиях ликвидировать за счет простого краевого эффекта. Если край проходит вдоль асимптотической линии на поверхности отрицательной кривизны, то эта линия является однократной характеристикой как для статических, так и для геометрических уравнений безмоментной теории §§ 7.4, 7.5, и значит, она есть двухкратная
или уравнение
L 4 w 0 L2 w 0,
11.26.9)
11.26.10)


§ 28]
ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
155
характеристика полной системы безмоментных уравнений. На двух таких краях при решении полной краевой задачи безмоментной теории можно ставить только по одному граничному условию, но за счет обобщенного краевого эффекта можно ликвидировать невязки в трех оставшихся уравнениях. Наконец, если край проходит вдоль асимптотической линии на поверхности нулевой кривизны, то это будет двухкратная характеристика и статических, и геометрических уравнений безмоментной теории. В рамках последней на таких краях вообще нельзя ставить граничных условий. Невязки получатся во всех четырех граничных условиях, и их надо ликвидировать за счет обобщенного краевого эффекта.
Таким образом, метод расчленения напряженного состояния формально можно трактовать шире, чем это делается в § 9.13, включив в область его применимости и случаи, когда линии искажения проходят вдоль асимптотических линий срединной поверхности при этом все условия применимости метода расчленения § 9.13, кроме первого, останутся в силе. О, лко интегрирование разрешающих уравнений 11.26.2 и 11.26.5 не так элементарно, как интегрирование уравнения 8.10.9, что снижает эффективность таких видоизменений метода расчленения.
Тем не менее этот приближенный метод удалось применить к расчету оболочек отрицательной кривизны 111, 187. Для оболочек нулевой кривизны произволы основного напряженного состояния не могут быть использованы для выполнения граничных условий на асимптотических краях, и метод расчленения сводится к предположению о возможности составить напряженно-деформированное состояние оболочки из обобщенных и простых краевых эффектов. В §§ 11.29, 12.32 мы увидим, что методы В. 3. Власова и В. В. Новожилова можно трактовать как некоторые видоизменения такого варианта метода расчленения в них дополнительно предполагается, что можно игнорировать простые краевые эффекты.
§ 28. Поверхности нулевой гауссовой кривизны
Обращаясь к изложению приближенных методов расчета цилиндрических оболочек, начнем с рассмотрения некоторых геометрических вопросов.
Выберем в пространстве систему ортогональных декартовых координат х, уу г. Тогда произвольный цилиндр с образующими, параллельными оси х рис. 18, может быть задан в криволинейных координатах тремя скалярными уравнениями:
х аг, У — У а„, z z а8)
или одним векторным уравнением:
М осг1х -- у а2 iy -- z а2 iz 11.28.1)
ix, iz — орты выбранной системы декартовых координат.
Функции у а2 и 2 а2 должны быть выбраны так, чтобы уравнениями
у уа2 z — z а2 11.28.2 Рис. 18.
задавался контур поперечного сечения цилиндра направляющая кривая. В этой системе криволинейных координат ai-линиями будут образующие цилиндра, а а2-линиями—поперечные сечения цилиндра.
Положение произвольной точки цилиндра М задается значениями параметров и а2. Параметр равен расстоянию от поперечного сечения, лежащего в плоскости х 0, до поперечного сечения, содержащего точку М. Параметром а2 определяется положение точки М на направляющей кривой.


156
ОБОЛОЧКИ С АСИМПТОТИЧЕСКИМИ ЛИНИЯМИ ИСКАЖЕНИЯ ГЛ. 1!
В частности, под а2 можно подразумевать и длину дуги направляющей кривой 11.28.2, отсчитываемой от некоторой начальной образующей до точки М.
Произвольный конус, вершина которого совпадает с началом декартовой системы координат, у, z рис. 19, может быть задан тремя скалярными уравнениями
х ах cos 0, у осх sin 0 sin а2, z ах sin 0 cos as
или одним векторным уравнением
М ах cos Ых Ц- аг sin 0 sin ajv ах sin 0 cos a2iz, 11.28.3)
где 00 a2 — функция, зависящая от геометрического очертания конуса. Заметив, что при этом
2 У2 г2 аь -y ctga2, 11.28.4)
легко выявить геометрический смысл принятой системы криволинейных координат. В ней о-линиями линиями a2const будут сечения конуса плоскостями,, проходящими через ось х, т. е. образующие конуса, а а2-линиями
линиями aconst будут кривые, по которым конус пересекается с семейством сфер, задаваемых первым равенством
11.28.4. Таким образом, а2-линии на конусе в общем случае оказываются неплоскими. Исключение представляет только круговой конус 0 const.
В круговом конусе ось является осью симметрии конуса, 0 равно половине угла раствора конуса, аглинии остаются по- прежнему образующими, а а2-линии превращаются в поперечные сечения, т. е. Рис. 19. в сечения конуса плоскостями, ортого¬
нальными оси рис. 19.
Произвольная точка М на конусе задается значениями параметров и а2, причем ах равно расстоянию от точки М до вершины конуса, а параметр а2 определяет положение точки М на а2-линии.
Вычислим коэффициенты первой квадратичной формы. В соответствии с 11.28.1 и 11.28.3 имеем: для цилиндра
M1 ix, М2 у' a2 iy -f z' а2 4;
для конуса
Мг cos 0д. -- sin 0 sin a2iy 4- sin 0 cos a22,
M2 — ax0' sin 0д. 4- ax 0' cos 0 sin a2 4- sin 0 cos a2 iy 4-
4- 0' cos 0 cos a2 — sin 0 sin a2 iz.
Отсюда: для цилиндра
Al yMl 1. Л c°sx -4f °;
для конуса
2 i л 1Г ЛЛ 1 ’ШГТд j са2 1 М


§ 28]
ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
157
По формулам главы 1 можно вычислить и коэффициенты второй квадратичной формы цилиндра и конуса. Получим: для цилиндра
L'ii — о, -L12 — О, L2 2 —
У г — г У
Vу'2 -Ь 2'2
для конуса
Ьц О, L12 О, L22 -
ах cos 0 sin2 0 20'2 cos2 0 — 0 sin 0 V sin2 0 -f 0'2
Следовательно, цилиндр и конус векторными уравнениями 11.28.1 и 11.28.3 задаются в линиях кривизны, так как в обоих случаях система криволинейных координат ортогональна cos 0 и сопряжена Ь12 0. Кроме того, так как Ln 0, то можно утверждать, что ai-линии, т. е. образующие цилиндра и конуса, являются асимптотическими линиями.
Главные радиусы кривизны для поверхностей, отнесенных к линиям кривизны, подсчитываются по формулам 1.5.1, поэтому для цилиндра
_1_ 0 1 _ yfz — z'y _ 1
Ri ’ Я2 у'2 -j- z'232 Р
1р — кривизна направляющей кривой; для конуса
1 q 1 cos 0 sin2 0 -f- 20'2 cos2 0 — 0 sin 0
’ a1sin20-f0,2d2 ’
Гауссова кривизна К для обоих видов рассматриваемых поверхностей будет во всех точках равна нулю.
Кроме цилиндров и конусов, к поверхностям нулевой кривизны принадлежат так называемые поверхности касательных, представляющие собой геометрическое место касательных к произвольной пространственной кривой Цилиндром, конусом и поверхностями касательных исчерпываются все поверхности нулевой кривизны, которые называются также торсами и развертывающимися поверхностями последнее название связано с тем, что эти поверхности и только они могут быть с помощью непрерывных конечных изгибаний развернуты до совпадения с плоскостью. Отнесем произвольную поверхность нулевой кривизны к линиям кривизны аь а2 и найдем, какой вид при этом будут принимать коэффициенты первой квадратичной формы и главные радиусы кривизны.
Если, как мы предполагаем, кривизна рассматриваемой поверхности равна нулю, то одна из величин Rx или R2 должна обратиться в бесконечность. Пусть как в цилиндре и конусе R± оо. Тогда уравнения Кодацци—
Гаусса 1.5.5 примут вид
да, R2 R2 да,
д , д__ о 11.28.5)
даг Лг даг да2 Л2 да2 )
Второе из них показывает, что Аг зависит только от аг. Следовательно, дифференциал длины дуги ai-линии можно записать так:
dsx Аг аг da,.
К а г а н В. Ф., Основы теории поверхностей, ч. 1, Гостехиздат, 1947.


158
ОБОЛОЧКИ С АСИМПТОТИЧЕСКИМИ ЛИНИЯМИ ИСКАЖЕНИЯ ГЛ. И
Функция Ах ах зависит от выбора параметра аъ и, если за последний принять длину дуги алинии, т. е. положить ах sl9 то вновь как для цилиндра и конуса мы получим
Таким образом, если соответствующим подбором параметра ах коэффициент А х первой квадратичной формы поверхности нулевой кривизны обращен в единицу, то второй коэффициент этой квадратичной формы А2 и отличный от бесконечности главный радиус кривизны R2 будут линейно зависеть от а.
В частных случаях Лг0 и А могут обращаться в нуль не одновременно. При этом, как было показано выше, для цилиндра
§ 29. Приближенные методы расчета цилиндрических оболочек
В § 11.26 было установлено, что обобщенный краевой эффект в оболочке нулевой кривизны может при некоторых обстоятельствах выродиться. При этом он утеряет свойство быстро затухать при удалении от породившей его асимптотической линии возмущения, и вследствие этого станут незаконными уравнения и формулы §§ 11.25, 11.26. В связи с этим мы изложим здесь еще один приближенный метод расчета цилиндрических оболочек, который, как выяснится ниже, сохраняет силу и в случае, когда в оболочке возникает вырожденный обобщенный краевой эффект.
Выпишем дифференциальные уравнения цилиндрической оболочки. Они получаются из уравнений произвольной оболочки, отнесенной к линиям кривизны, если в последней положить
и считать, что величины В и R зависят только от а2.
Запишем получающиеся при этом уравнения, введя в них дополнительные условные множители ь 2, 3, они будут использованы ниже, а пока надо считать, что jx 2 3 4 1.
а Уравнения равновесия 6.44.1)
Аг I.
При таком значении Аг третье равенство 11.28.5 дает Л2 Ai0 аг -f- aiA cfe,
11.28.6)
а первое равенство 11.28.5 показывает, что
11.28.7)
л24° R2 Ri0,
а для конуса
Aj — 1, А2 В, Rf R12 оо, R2 R
11.29.1)


§ 29 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК J59^
б уравнения неразрывности деформаций 6.44.2)
—г— — А — п
дах Б да2 ’ £ да2 дах 2R R 1
1 ; j ^
'4 дах В да2 ’
11.29.3>
в уравнения состояния 6.44.6)
2 Ehe1 T1 — Г 2, 2Ehe2 ХТ2 — vT ъ Elm 1 v S21 1 v S12,
11.29.4.
U2
2 з j v2 Eh x2 -f- jiVKi,
Эти уравнения мы будем упрощать, основываясь на следующих предположениях, представляющих собой несущественно видоизмененные гипотезы, сформулированные В. 3. Власовым 26, 27.
Предположение 1. Справедливы сильные неравенства
в силу которых в уравнениях состояния можно отбросить Г2 и хх по сравнению с 7 и х2, соответственно.
Предположение 2. Справедливы сильные неравенства
в силу которых в шестом уравнении равновесия можно пренебречь слагаемым H12R по сравнению с S21, а во втором уравнении неразрывности деформаций — слагаемым со2R по сравнению с т.
Предположение 3. В четвертом уравнении равновесия можно отбросить, слагаемое, содержащее 21, а в четвертом уравнении неразрывности деформаций — слагаемое, содержащее со.
Предположение 4, В третьем уравнении равновесия можно отбросить слагаемое с N 1у а в третьем уравнении неразрывности — слагаемое с £2.
Нетрудно проверить, что предположения 1, 2, 3, 4 соответственно эквивалентны утверждению, что в уравнениях 11.29.2—11.29.4 можно положить
Будем преобразовывать систему 11.29.2—11.29.4, 11.29.7. В ней девять неизвестных Tl9 S21, S12, ех, со, е2, £2, хх можно выразить через
произвольную функцию t таким образом, что будут тождественно удовлетворяться: первое и шестое уравнения равновесия, первые три уравнения состояния и последние три уравнения неразрывности деформаций. Соответ—
11.29.5)
11.29.6)
1 0, 2 0, з 0, и 0.
11.29.7)


160
ОБОЛОЧКИ С АСИМПТОТИЧЕСКИМИ ЛИНИЯМИ ИСКАЖЕНИЯ ГЛ. И
ствующие формулы, которые легко проверить непосредственной подстановкой, имеют вид:
т' тг£ =
2Ею, 4- Ц; 2Е.е,_—11.29.8)
2£ЛТ- —-о v J •’fiBda,, 2И£.
2E -i5s7-1 ',x- 2И.-тж;4ж71-
Оставшиеся неизвестные 2, т G2, 21, Я12, Nl9 N2t Т2 можно выразить через другую произвольную функцию m так-, что будут тождественно удовлетворяться первое уравнение неразрывности, последние четыре уравнения состояния, третье, четвертое и пятое уравнения равновесия. Соответствующие формулы аналогичны 11.29.8 и имеют вид
2Ehn2 -п , 2Eh ,
2 В да2 даг 9
р h2 v dm р h2 1 dm
1 ” — 31 — v2 В д 9 2 “ 31 — v2 В 9
fj и dm д-г i2 1 д2т у- j
2i 12 31 —J— v act ’ 1 31—V2 £ daida2 ’
M h2 d dm T h2 R д 1 д 1 dm p v
2 ” 31— v2 В da2 В da2 9 2 31— v2 В da2 В da2 В da2 KL'
Остается выполнить только второе уравнение равновесия и второе уравнение неразрывности деформаций. Подставляя в них неизвестные величины по формулам 11.29.8 и 11.29.9, получим систему уравнений для определения функций t и т. Ее можно записать в виде
-зтгЬм jd-k■-х-4- i т - •
d2m
doc[
Mt 0, 11.29.10)
где использовано обозначение
MF —— — — — - — — -I - - — 11 29 11)
т Г g д В да В да В да Г BR да В д • LL.4V.Ll)
Назовем 11.29.10, 11.29.11 разрешающими уравнениями теории В. 3. Власова. Соответствующими им расчетными формулами являются равенства 11.29.8, 11.29.9. Отметим, что метод В. 3. Власова отличается от всех изложенных выше приближенных подходов тем, что в нем во втором уравнении равновесия учитывается усилие N2, а во втором уравнении неразрывности деформаций учитывается величина Как выяснится ниже, областью рациональной применимости метода В. 3. Власова являются достаточно длинные цилиндрические оболочки для этого случая он и был предложен его автором. Для таких оболочек, как уже говорилось, теряют силу предположения 1, 2 теории пологих оболочек § 10.22, т. е. становятся неправильными утверждения, что можно отбрасывать Nl9 N2 в первых двух уравнениях равновесия, а £2 — в первых двух уравнениях неразрывности


§ 29 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК 161
деформаций. Таким образом, в теории цилиндрических оболочек уравнения
11.29.10, 11.29.11 и уравнения 10.22.5 естественным образом дополняют друг друга. Первыми целесообразно пользоваться для длинных цилиндрических оболочек, а вторыми — для коротких. Более обоснованное обсуждение сформулированных здесь предположений В. 3. Власова, а также свойств уравнений 11.29.10 будет проведено в следующей главе, а также для круговых цилиндрических оболочек в части V. В этих разделах такие понятия, как короткая и длинная цилиндрическая оболочка, получают более четкое определение.
В. В. Новожилов назвал предложенный В. 3. Власовым метод полу- безмоментной теорией, подчеркивая этим, что в нем сохраняется только часть моментов, а именно, моменты G2, действующие по поперечным сечениям оболочки.
Если исследованию подлежит цилиндрическая панель не слишком длинная и не слишком короткая цилиндрическая оболочка, то можно воспользоваться приближенным методом В. В. Новожилова, который назвал его упрощенной теорией цилиндрических пластин 92, 120. Эта теория представляет собой дальнейшее упрощение теории В. 3. Власова и может быть получена, если к сформулированным выше гипотезам присоединить следующие дополнительные предположения.
Дополнительное предположение 1. Во втором уравнении неразрывности деформаций 11.29.3 можно отбросить слагаемое, содержащее
Дополнительное предположение 2. Во втором уравнении равновесия
11.29.2 можно отбросить слагаемое, содержащее N 2.
Дополнительное предположение 3. При дифференцировании по переменной а2 во всех уравнениях коэффициенты можно рассматривать как константы.
Легко проследить, что дополнительные предположения 1 и 2 эквивалентны отбрасыванию второго слагаемого в правой части формулы 11.29.11, задающей вид оператора М. Учитывая дополнительное предположение 3, этот оператор можно записать так:
MF -g- 11.29.12)
Эта формула вместе с равенствами 11.29.10 и определяет систему разрешающих уравнений метода В. В. Новожилова. Возможна и другая интерпретация: формулы, и уравнения этого метода эквивалентны соотношениям приближенной теории невыродившегося обобщенного краевого эффекта, изложенной в § 11.25. На обосновании этого утверждения мы останавливаться не будем.


ГЛАВА 12
ОБЗОР ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК
§ 30. Границы применимости приближенных методов
расчета оболочек
Основным приближенным приемом исследования напряженно-деформированного состояния оболочки можно считать метод расчленения §§ 9.13— 9.19, во многих случаях вырождающийся в безмоментную теорию § 7.3. На нем, в сущности, базируется большинство практических приемов расчета оболочек, хотя термин метод расчленения обычно и не употребляется. Вместе с тем, метод расчленения не универсален, так как его применимость обусловлена целым рядом требований § 9.13. Поэтому, обращаясь к обзору приближенных методов расчета оболочек, будем поступать так: перебирать ситуации, не позволяющие применить метод расчленения, и обсуждать возможность заменить его в этом случае каким-либо другим приближенным методом, основанным на особенностях разбираемой ситуации.
Одно из условий применимости метода расчленения заключается в требовании, чтобы изменяемость искомого напряженного состояния была не слишком велика. С него мы и начнем намеченное обсуждение.
Рассмотрим равенство
в котором k — большая константа, а ср и — функции, имеющие среднюю изменяемость, т. е. такие, что модули их производных не слишком малы и не слишком велики по сравнению с модулем соответствующей первообразной функции напомним, что, как говорилось в § 9.13, об изменяемости функций можно судить, сопоставляя абсолютные значения самой функции и ее производных.
Продифференцируем 12.30.1 по некоторому направлению у и, учитывая свойства величин k, , ср, напишем
Отсюда следует, что в общем случае дифференцирование функции вида
12.30.1 сводится, грубо говоря, к помножению ее на величину порядка О k. Исключение представляет случай, когда точно или приближенно выполняется равенство
Ф ср а19 а2 е
tkf alt a2)
12.30.1)
12.30.2)
Основываясь на этом, будем говорить, что функции вида 12.30.1 при больших k имеют большую однородную изменяемость, и заметим, что могут существовать направления, в которых изменяемость функции Ф становится значи¬


30 ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ
163
тельно меньше. Такие квазистационарные направления проходят вдоль линий уровня функции Им соответствует переменное у, для которого выполняется равенство 12.30.2.
В качестве числовой характеристики изменяемости функции Ф можно принять константу k. Она определит порядок отношения абсолютных величин, производных от Ф, к модулю самой функции Ф во всех точках, где , , ф имеют оговоренные выше свойства. Однако в теории оболочек удобнее пользоваться для этого показателем изменяемости, т. е. числом , определяемым формулой
k h 12.30.3)
где h — безразмерная полутолщина оболочки, равная отношению полу- толщины к характерному радиусу кривизны оболочки. Смысл t можно пояснить на следующем примере. Если h 0,001, a t 13, то изменяемость функции вида 12.30.1 будет такой, что при каждом дифференцировании в направлении, отличном от квазистационарного, функции Ф будут приобретать множитель порядка Й713, т. е., грубо говоря, увеличиваться на порядок в 10 раз.
Изменяемость функции в квазистационарном направлении надо характеризовать другим числом, а именно, если приближенное равенство 12.30.2 означает, что
df
ду
О if а 0,
то изменяемость Ф можно охарактеризовать константой k kh° или числом которое можно ввести при помощи формулы
U ЬГг\
В дальнейшем, в тех случаях, когда надо подчеркнуть существование ква- зистационарных направлений, мы будем называть t общим показателем изменяемости, a t' — частным показателем изменяемости f t.
Формулой вида 12.30.1, при тех ограничениях, которые были наложены на ky , ф, охватывается широкий, но далеко не всеобъемлющий класс функций. Последние могут, в частности, быть неоднородными по изменяемости. Вместе с тем, практически любую функцию, определяющую внешние воздействия кроме сосредоточенных, и вызванное ими напряженно-деформированное состояние можно, с достаточной точностью, аппроксимировать при помощи сумм, составленных из выражений вида 12.30.1. Это следует хотя бы из того, что, положив в 12.30.1)
Ф с, k ipy f агаг а2а2 с, р, aiy а2 const, i V—0»
мы получим общий член комплексного тригонометрического ряда, и, следовательно, даже в частном случае обсуждаемую сумму можно рассматривать как отрезок ряда Фурье, способного аппроксимировать функции весьма общего вида.
В дальнейших рассуждениях мы ограничимся случаем, когда внешние воздействия, вызывающие рассматриваемое напряженно-деформированное состояние, задаются одной величиной В имеют одну, отличную от нуля компоненту, которая представляет собой функцию вида 12.30.1. В линейной теории оболочек это ограничение несущественно: если В есть функция более общего вида, то ее можно аппроксимировать некоторой суммой функций вида Ф и каждый член этой суммы рассмотреть отдельно. Так же можно поступить и в случае, если отличны от нуля не одна, а несколько компонент внешних воздействий.


164
ОБЗОР ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК
ГЛ, 12
Итак, зададим В следующим образом:
В фУ,
12.30.4)
будем считать, что ф и определены в некоторой двумерной области если
это, напрймер, компонента поверхностной нагрузки или нанекоторой линии если это, например, краевая сила, под к будем понимать фиксированную константу и назовем число 0, удовлетворяющее равенству
показателем изменяемости внешних воздействий. В приложении §§ П. 12, П. 13 показано, что если внешнее воздействие имеет вид 12.30.4, то порожденное им напряженно-деформированное состояние оболочки, вообще говоря, имеет вид
т. е. составляется как сумма некоторого числа напряженных состояний Рр,
каждая компонента которых PQ задается функцией вида 12.30.1, причем при фиксированном р число kQ и функция р имеет одинаковый смысл для
всех компонент Рр они отличаются друг от друга смыслом функций фр.
Показано также § П. 16, что, если показатель изменяемости 0 удовлетворяет соотношениям
К — гауссова кривизна срединной поверхности, то четыре слагаемых суммы
12.30.5, которые мы для определенности обозначим через Рц р 1, 2, 3, 4, можно с некоторой степенью приближения найти, исходя из безмоментных уравнений. Это значит, что Рр соответствуют основному напряженному состоянию. Остальные члены суммы 12.30.5 соответствуют в случае, когда все края — неасимптотические простым краевым эффектам. Таким образом, неравенство 12.30.6 представляет собой условие, которому должен отвечать показатель изменяемости внешнего воздействия, чтобы можно было применять метод расчленения в его простейшем виде.
Для существования простых краевых эффектов требование 12.30.6 не является необходимым. Его можно заменить менее сильным, не зависящим от знака кривизны, требованием, выражаемым неравенством
Заметив это, рассмотрим случай, когда’ показатель изменяемости внешнего воздействия заключен в пределах
При таком значении 0 все члены суммы 12.30.5, кроме первых четырех, будут по-прежнему соответствовать простым краевым эффектам. Напряженно- деформированные состояния Pp, х 1, 2, 3, 4 можно при этом рассматривать как некоторое обобщение основных напряженных состояний. Чтобы пояснить смысл этого утверждения, заметим следующее. Если компоненты нцпряженно-деформированного состояния Рр определяются вторым равенством 12.30.5 и в нем kQ — большое число, то при приближенном определе-
R
12.30.5)
р0
12.30.6)
0 12.
12.30.7)


§ 30]
ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ
165
S
нии Рр надо функцию р определить с повышенной точностью, так как она содержит большой множитель и входит в показатель степени. Поэтому высказанное выше утверждение, что при выполнении 12.30.6 можно приближенно построить исходя из безмоментных уравнений, означает, что этих уравнений достаточно для точного определения р и приближенного
s
построения фр. Если же вместо 12.30.6 станут справедливы неравенства
12.30.7, то, как показано в приложении, безмоментные уравнения позволят определить р лишь приближенно и будут совсем недостаточны для построения фр. Таким образом, под обобщенным основным напряженным состоянием подразумевается такое напряженное состояние, для которого безмоментные уравнения продолжают управлять качественными свойствами позволяют приближенно определить р, но уже недостаточны для количественного
s
анализа не позволяют строить фр.
Итак, в случае, когда показатель изменяемости 6 заключен в пределах
12.30.7, можно применить еще один вариант метода расчленения кроме указанного в § 11.27. Он заключается в том, что полное напряженно-деформированное состояние оболочки ищется в виде суммы обобщенного основного напряженного состояния и краевых эффектов последние также могут быть обобщенными. Обобщенное основное напряженное состояние, как мы видели, нельзя строить при помощи безмоментных уравнений, но вопроса о том, чем должны быть заменены эти уравнения, мы разбирать не будем. В § 24.11 показан пример применения обобщенного метода расчленения к расчету круговых цилиндрических оболочек.
Неравенства 12.30.6 и 12.30.7, как условия применимости простого или обобщенного методов расчленения, удобны для практического использования, так как в них 0 — показатель изменяемости внешних воздействий — есть число, которое можно считать известным из условий задачи. Надо, однако, помнить, что мы существенно опирались на предположение об однородной изменяемости внешних воздействий. Как правило, в конкретных задачах это будет не так, поэтому прежде чем применять критерии 12.30.6 и 12.30.7, надо в общем случае разложить внешние воздействия на однородные по изменяемости слагаемые, т. е., например, в случае, когда оболочка деформируется под действием нормальной поверхностной нагрузки, задаваемой компонентой Z, эту величину надо представить в виде
а затем расчленить в правой части сумму на три слагаемых
Z Z1 Z2 Z3\
г“' Ь.„А. z S
r 1 rPll
23 s Zmlrekrtr
r—Pi 4-1
таким образом, чтобы к Z1 относились все слагаемые, в которых 0 0', а к Z2 относились все слагаемые, в которых 0' 0 12. При этом метод расчленения и обобщенный метод расчленения будут пригодны для приближенного исследования напряженно-деформированных состояний, вызванных воздействиями Z1 и Z2 соответственно. Для исследования результата воздействия Z в целом методом расчленения можно воспользоваться только тогда, когда Z1 достаточно хорошо аппроксимирует Z; практически это часто можно установить и не прибегая к разложению внешних воздействий.


166
ОБЗОР ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК ГЛ. 12
Если вместо 12.30.6 или 12.30.7 выполняется неравенство
0 12,
то и метод расчленения, и обобщенный метод расчленения станут непригодными. В этом случае все.члены суммы 12.30.5 будут соответствовать напряженным состояниям с большой изменяемостью § П. 14. Приближенное решение таких задач можно выполнять, исходя из теории напряженных состояний с большой изменяемостью § 10.24.
Итак, по признаку изменяемости внешних воздействий возможны три приближенных подхода к расчету оболочек: метод расчленения, имеющий силу при 00', обобщенный метод расчленения, имеющий силу при 0' 0 12, и теория напряженных состояний с большой изменяемостью, имеющая силу при 0 12. Надо, однако, заметить, что выделение обобщенного метода расчленения связано с формальными математическими соображениями и не является обязательным. Обобщенный метод расчленения можно рассматривать как частное проявление теории напряженных состояний с большой изменяемостью, так как последняя базируется лишь на предположении о достаточно большой изменяемости искомого напряженно-деформированного состояния, а обобщенное основное напряженное состояние и краевые эффекты этим свойством обладают. Встав на такую точку зрения, можно считать, что альтернативой метода расчленения по признаку изменяемости является теория напряженных состояний с большой изменяемостью но область применимости последней надо определить неравенством
Если край или другая линия искажения проходит вдоль асимптотической линии срединной поверхности и 0 12, то вместо обсужденных выше методов расчленения надо прибегнуть к методу расчленения, описанному в § 11.27 и основанному на использовании обобщенных краевых эффектов. Не имея в виду обсудить все связанные с этим детали, отметим некоторые обстоятельства, важные при оперировании с обобщенными краевыми эффектами.
Для определения понятия функции с большой изменяемостью было введено представление 12.30.1, в котором под k подразумевалась большая положительная константа. Оно играет важную роль и ниже во всех рассуждениях, относящихся к учету влияния большой изменяемости. Поэтому важно отметить, что формулой 12.30.1 задается широкий класс функций, поскольку в ней и ф почти произвольны ограничены только требованием средней изменяемости.. В приложении показана справедливость утверждения, выраженного равенствами 12.30.5. Оно означает, что решения граничных задач, характерных для статической теории оболочек, могут быть приближенно представлены в виде суммы конечного числа слагаемых вида
12.30.1. Поэтому можно считать, что понятие функции, имеющей большую изменяемость, определено с достаточной для интересующих нас задач общностью.
Значительно труднее ввести определение функций с весьма малой изменяемостью, с которыми приходится часто иметь дело в теории обобщенных краевых эффектов. Для этой цели неприемлем, казалось бы, естественный подход: сохранить представление 20.30.1, но считать, что в нем k весьма мало. Дело в том, что под функцией с малой изменяемостью надо подразумевать такую функцию, производные которой по модулю малы по сравнению с ней самой, а 12.30.1 при малых k таким свойством, вообще, не обладает. Можно показать но на этом мы останавливаться не будем, что достаточно общих для
00' {
13 при К. 0, 14 при К 0.


30]
ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ
167
задач теории оболочек представлений функций с весьма малой изменяемостью и не существует. Поэтому в дальнейшем показатель изменяемости t будет, как правило, считаться неотрицательным, а в тех случаях, когда придется вводить в рассуждения отрицательный показатель изменяемости, будет считаться, что это понятие в каждом конкретном случае некоторым образом уточнено. Это легко сделать для круговой цилиндрической оболочки, как будет видно в части V, но для оболочек более сложной формы это сопряжено с трудностями, на которых мы не будем останавливаться.
Изменяемость обобщенных краевых эффектов имеет свои характерные черты, качественное описание которых было дано в § 11.26. Количественно они выражаются формулой
12-30-8)
в которой t — общий показатель изменяемости, ' — показатель изменяемости в квазистационарном направлении, as — удвоенная кратность асимптотических линий срединной поверхности, проходящих в рассматриваемом квазистационарном направлении. Равенство 12.30.8 доказывается в § П. 10 Приложения при рассмотрении свойств интегралов с заданной характеристической квазистационарной линией, которыми и определяются обобщенные краевые эффекты. Оно верно не только для обобщенных краевых эффектов в оболочках нулевой кривизны когда надо полагать s 2 и в оболочках отрицательной кривизны когда надо полагать s 1, но и для простых краевых эффектов. В последнем случае квазистационарное направление не проходит вдоль асимптотических линий и надо положить s 0, что ведет к уже известному результату: t 12 при любом '
Из формулы 12.30.8 видно, что при ? 0, когда изменяемость в квазистационарном направлении не велика но и не слишком мала, получаем t 14 для оболочки нулевой кривизны и t 13 для оболочки отрицательной кривизны, в то время как для простого краевого эффекта t 12. Это вполне согласуется с качественными выводами § 11.26. Из 12.30.8 видно также, что только при s 0, т. е. в простом краевом эффекте, общий показатель изменяемости t не зависит от '. В обобщенных краевых эффектах t возрастает вместе с ' и при ' — 12 общий показатель изменяемости для всех простых и обобщенных краевых эффектов получается одинаковым: t f 12, а при дальнейшем возрастании t понятие о краевых эффектах, как мы знаем, теряет смысл.
Значительно более сложными являются случаи, когда линии искажения не проходят вдоль асимптотических линий срединной поверхности оболочки, а касаются их в отдельных точках. Они встречаются, например, в таких практически важных задачах, как расчет оболочек неположительной кривизны с отверстиями. По-видимому, не случайно задача о цилиндрической оболочке с отверстием получила приемлемое аналитическое решение только в случае, когда отверстие мало 80.
Разнообразные и трудные проблемы возникают в случаях, когда оболочка имеет особую или близкую к особой срединную поверхность § 9.13. При этом снова будет нарушено одно из условий применимости метода расчленения, г единого альтернативного приближенного подхода, по-видимому, не существует. Можно ожидать, что они будут разными, когда различны причины, по которым срединная поверхность должна считаться особой.
Одним из примеров особых поверхностей является плоскость. Если оболочка вырождается в пластину, то метод расчленения следует заменить расчетом по теории изгиба пластинки или по теории обобщенного плоского напряженного состояния. Если оболочка делается пологой, то на смену методу расчленения приходит приближенная теория пологих оболочек.


168
ОБЗОР ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК
ГЛ.12
Совсем иные подходы требуются при расчете торообразной оболочки, срединная поверхность которой также относится к особым § 9.13. Этому вопросу посвящена обширная литература см., например, 69, 98, 118, 123, 124, 130, 131, 141, 154. Мы на нем останавливаться не имеем возможности.
Наконец, особыми или близкими к особым могут быть цилиндрические оболочки, если их длина достаточно велика. Такие оболочки первостепенно важны для практических применений, и поэтому мы посвятим им весь следующий параграф.
§ 31. Приближенные методы расчета цилиндрических оболочек
Приближенные методы исследования напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки мы будем обсуждать, исходя из уравнений 11.29.10, 11.29.11 и расчетных формул 11.29.8, 11:29.9. Примем
для простоты, что компоненты внешней нагрузки Xlt Х2, Z обращаются в тождественные нули, перепишем 11.29.10, 11.29.11 еще раз:
d2t h2 яr ч п д2т , лл ~
М т 0, —j М 0,
д 31-vV v да2
_ J_ _д_ R_ _d_ J_ _д_ _l__d_, 1 д_ _д_ 12.31.1)
В да2 В да2 В да2 В да2 ‘ BR da2 В да2
и обсудим физический смысл этих уравнений.
При определенных обстоятельствах, которые выявятся ниже, слагаемые, содержащие оператор Л4, можно отбросить, т. е. заменить 12.31.1)
приближенными равенствами
d2t д2т
да ’ dotf
ТТ 0. х£ 0. 12.31.2)
Общее решение этих уравнений, очевидно, составляется из двух следующих решений:
t t0 a1t1, т 0; 12.31.3)
t 0, т т0--а1т1, 12.31.4y
в которых 0, tlt т0 т1 — произвольные функции независимой переменной
а2. Тангенциальные усилия, соответствующие 12.31.3, и компоненты из¬
гибной деформации, соответствующие 12.31.4, подсчитываются по формулам 11.29.8, 11.29.9. Положив в них Х± Х2 Z 0, получим
Т — 1 di _ I dt0 ах
1 В да2 В да2 ' В да2 *
stl s12 -- —tu т2 о,
9Fbv 1 dm _ 1 дт0 аг dml
апгы2- в да в да2 -Г в да2 >
2Ект ml9 2Ehx, 0.
12.31.5)
12.31.6)
Формулы 12.31.5 определяют точное решение однородных статических безмоментных уравнений 7.4.2, а формулы 12.31.6 определяют точное решение геометрических безмоментных уравнений 7.5.2. В этом можно убедиться непосредственной подстановкой, при которой надо, конечно, принимать во внимание геометрические свойства цилиндрических оболочек, выра-


§31 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК JgCJ
жаемые формулами 11.29.1. Таким образом, вырождение системы 12.31.1 в 12.31.2 соответствует переходу к уравнениям безмоментной теории, так как решения 12.31.5, 12.31.6 дают и безмоментное, и чисто моментное напряженные состояния, а из комбинации последних и составляется любое решение безмоментных уравнений § 7.3. Аналогичные свойства были от- мечены и при обсуждении уравнений 10.22.5. Вырождение их в уравнения 10.23.1 соответствует переходу к уравнениям безмоментной теории,. Однако надо иметь в виду существенную подробность: соответствие 10.23.1 с уравнениями безмоментной теории — приближенное, в то время как уравнения 12.31.2 точно эквивалентны уравнениям безмоментной теории.
Выясним условия, при которых решения системы 12.31.2 приближенно удовлетворяют исходным уравнениям 12.31.1. Пусть
t t'-f-1 т т -f- га"
и t га' представляют собой решение вида 12.31.3. Тогда для поправок t,r9 т получится следующая система уравнений:
Щ-Зй МГ — М ', 12.31.7)
и ответ на поставленный вопрос будет положительным, если среди решений системы 12.31.7 найдутся такие, в которых га по абсолютным значениям
существенно меньше модулей t га' соответственно. Постулируя, что t’ т действительно обладают такими свойствами, заменим нулем правую часть второго равенства 12.31.7 и заметим, что согласно 12.31.1 оператор.М не содержит производных по а,. Следовательно, считая, что f определяется первым равенством 12.31.3, где t0t t1 есть функции а2, получаем
М t М t0 -- хгМ tj.
„Поэтому частный интеграл второго уравнения 12.31.7 можно взять в виде
3!
и нетрудно убедиться, что ему будет соответствовать следующий частный интеграл первого уравнения 12.31.7:
А 5
t h2
31 — v2)
12.31.8)
Далее, очевидным образом можно построить итерационный процесс. Однако мы не будет входить в его детали и примем грубое предположение, что погрешности, допускаемые при переходе к системе 12.31.2, можно оценить, сравнивая правые части равенства 12.31.8 и первого равенства 12.31.3. В результате условия применимости уравнений 12.31.2 запишутся так:
W4 I h I w4 /
глЪМЛЛ t т1 лб N4
5 3 1 — v2 р6 Хч р6ММ J Г 4 31 — v2 р6 44 р6ММ t0)
12.31.9)
Здесь под подразумевается длина оболочки разность между наибольшим и наименьшим значениями а± в рассматриваемой области, а постоянный множитель р6 введен для того, чтобы сделать безразмерными левые и правые части неравенств под р можно, например, подразумевать средний радиус кривизны поперечного сечения.
Такие же неравенства получатся, если вместо 12.31.3 взять решение
12.31.4.
Примем, что уравнения 12.31.1 сохраняют силу для любых напряженно- деформированных состояний, показатель изменяемости которых меньше


170
ОБЗОР ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК ГЛ. 12
to
k _ 1
рММ t0)
рвАШ 7, 1 п8
12 в §§24.7, 24.11 это будет доказано для круговой цилиндрической оболочки. Тогда можно утверждать, что неравенства 12.31.9 определяют область применимости безмоментных уравнений в зависимости от длины цилиндрической оболочки. Они показывают, что в цилиндрических оболочках погрешности безмоментных уравнений растут не только при увеличении изменяемости как и должно быть в соответствии с общими результатами § 12.30, но также и при увеличении длины оболочки. Последнее обстоятельство объясняется тем, что длинный цилиндр надо рассматривать как особую срединную поверхность § 9.13.
Влияние длины I отражено в неравенствах 12.31.9 явно: обсуждаемые погрешности растут пропорционально четвертой степени L Влияние изменяемости по а2 выявляется в структуре правых частей неравенств 12.31.9. В них в знаменателях содержится дважды повторенный оператор М, который определяется третьим равенством 12.31.1 и содержит четырехкратное дифференцирование по а2. Это значит, что если изменяемость функций t0 а2, ti а2 характеризовать величиной
п— —
она называется мерой изменяемости и более подробно обсуждается в § П. 13, то можно условно принять, что
12.31.10)
Таким образом, для цилиндрических оболочек погрешность безмоментных уравнений пропорциональна квадрату толщины, четвертой степени длины и восьмой степени меры изменяемости искомого напряженно-деформированного состояния.
Замечание. Если относительная длина цилиндрической оболочки соизмерима с единицей, то из сказанного следует, что погрешность безмоментных уравнений будет оцениваться формулой
е О h2.
Обозначив через 0 показатель изменяемости искомого напряженно-деформированного состояния в поперечном направлении, получим п hСледовательно,
е О h2 80.
Отсюда вытекает, что область применимости безмоментных уравнений по изменяемости ограничена требованием 0 1 V4 вполне согласующимся с неравенством 12.30.6.
Приведем примеры определения области применимости безмоментных уравнений при помощи неравенств 12.31.9. Ограничимся вторым из них и примем, что в нем знак сильного неравенства означает требование, чтобы правая часть была в 10 раз больше левой части. Получим
24 L 1
Ю 0
4 3 1 —V2)
где
0)
12.31.11)
Считая, что цилиндрическая оболочка имеет круговое поперечное сечение, положим
В — R р const, t± а0 cos ра2


31 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
и будем понимать под а2 центральный угол, задающий положение точки на направляющем круге. Тогда в соответствии с третьим равенством 12.31.1 получаем
а следовательно, при достаточно большом р в 12.31.11 можно положить
Пусть 0,01 и мера изменяемости функции t0 равна единице. Тогда из 12.31.11 для максимально допустимой относительной длины оболочки будем иметь
Это значит, что для обеспечения точности, грубо говоря, равной 10 при расчете по безмоментным уравнениям, нельзя допускать, чтобы длина цилиндрической оболочки была больше восьми диаметров.
Положив в 12.31.11 h 0,01, 4, получим п р 2. Это зна¬
чит, что безмоментные уравнения, даже для относительно короткой цилиндрической оболочки представляющей собой в плане прямоугольник 2 : 1, могут применяться лишь при малой мере изменяемости искомого напряженно- деформированного состояния. Для обеспечения ориентировочной точности в 10 надо требовать, чтобы р 2, т. е. при использовании тригонометрических рядов по а2 можно вычислять гармоники не выше второй.
По поводу рассмотренного примера полезно сделать ряд замечаний.
Цилиндрическая оболочка представляет собой один из самых плохих объектов для применения безмоментных уравнений, так как, во-первых, цилиндрическая оболочка имеет нулевую кривизну и для нее ограничение по изменяемости, выраженное неравенством 12.30.6, оказывается наиболее сильным; во-вторых, при увеличении длины срединная поверхность цилиндрической оболочки становится почти особой.
Замена средней части равенств 12.31.11 величиной п8, конечно, очень грубый прием, тем более, что, как выяснилось, число р оказывается небольшим. Для оболочек некругового очертания надо среднюю часть равенств
12.31.11 оценивать более точно, используя конкретные условия задачи. Это позволит учесть влияние переменности радиуса кривизны R на область применимости безмоментных уравнений вычисления, на которых мы не останавливаемся, показывают, что для некруговых цилиндрических оболочек эта область делается еще более узкой.
Наконец, обратим внимание на то, что в настоящем параграфе речь все время шла о применимости безмоментных уравнений, т. е. о применимости метода расчленения, но не о безмоментности искомого напряженного состояния. Безмоментные уравнения, как уже говорилось, определяют основное напряженное состояние, т. е. некоторую линейную комбинацию безмомент- ного и чисто моментного напряженных состояний, и для того, чтобы в ней господствовало безмоментное напряженное состояние, должны выполняться дополнительные требования. Они связаны со способом закрепления краев и будут обсуждаться в части IV. Кроме того, безмоментное напряженное состояние может выродиться § 7.2, и в цилиндрической оболочке это происходит раньше, чем оказывается исчерпанной область применимости метода расчленения. В этом случае основное напряженное состояние не будет безмоментным при любом способе закрепления краев.
п р.


172
ОБЗОР ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК 1.ГЛ. 12
§ 32. Область применимости приближенных уравнений
В. 3. Власова
Возвратимся к общему случаю и покажем, что плохая применимость безмоментных уравнений к расчету цилиндрических оболочек является правилом, допускающим важные исключения. Для этого будем искать такие решения безмоментных уравнений 12.31.2, которые точно удовлетворяют уравнениям 12.31.1. Такие решения, если они есть, должны, помимо
12.31.2, удовлетворять уравнениям
Mt 0, Мт 0, 12.32.1)
в которых оператор М, согласно 12.31.1, содержит дифференцирования только по а2. Подставив сюда t и т по формулам 12.31.3, мы обратим второе
равенство 12.32.1 в тождество, а первое из этих равенств даст два обыкно¬
венных дифференциальных уравнения
м t0 О, М tj 0 12.32.2)
для определения величин t0, tl9 как функций переменной а2. Отсюда получаем решение
Д s
tkhcjо, k о. l,
sl
ь
в котором Csk — константы, a t а2 — линейно независимые решения одного из уравнений 12.32.2.
Так же, исходя из формул 12.3Г.4, будем иметь
4
Щ L Dsk т а к 0, 1.
s 1
Окончательно получаем следующие решения:
4 S 4 S 4 6 4 8
t £ С, 0t а2 a, CS 4 2. tnYi Dsoт а„ £ Dm а2,
S1 S1 S1 S1
точно удовлетворяющие как уравнениям 12.31.1, так и безмоментным уравнениям 12.31.2. Они и только они обладают искомым свойством, т. е. определяют напряженно-деформированные состояния оболочки, удовлетворяющие безмоментным уравнениям при любых I и п.
Эти решения мы более подробно обсуждать не будем. Можно показать, что ими описываются случаи, когда оболочка работает как балка или как арка. Таким образом, можно сказать, что в структуре системы 12.31.1 отражено родство цилиндрической оболочки с балкой и аркой.
Разумеется, среди решений уравнений 12.31.1 содержатся и такие, при построении которых надо учитывать как члены с оператором d2dai2, так и члены с оператором УИ, на равных основаниях. Это будут, очевидно, решения, соответствующие обобщенным краевым эффектам §§ 11.25, 11.26, в том числе и вырожденным. Наконец, существуют и такие интегралы уравнений теории цилиндрических оболочек, которые при помощи приближенной системы 12.31.1 нельзя строить даже в самом грубом приближении. Не имея возможности войти в детали этого вопроса, мы сформулируем только окончательные результаты. Они получат подтверждение в части V при рассмотрении круговой цилиндрической оболочки.
Исходя из уравнений 12.31.1, можно с той или иной степенью точности строить:
а основное напряженное состояние,
б обобщенное основное напряженное состояние,


ОБЛАСТЬ ПРИМЕНИМОСТИ УРАВНЕНИЙ В. 3. ВЛАСОВА
173
в обобщенный краевой эффект вблизи линии у, проходящей вдоль прямолинейной образующей цилиндра.
В то же время уравнения 12.31.1 могут привести к ошибкам даже в главных членах, если применять их к построению напряженных состояний с большой изменяемостью или краевого эффекта вблизи линии у, не проходящей вдоль образующей.
Таким образом, областью применимости уравнений 12.31.1, а вместе с тем и метода В. 3. Власова является расчет цилиндрических оболочек при условии, что в них не играют существенной роли напряженные состояния с большой изменяемостью и что по тем или иным причинам не возникает необходимости обследовать краевой эффект вблизи поперечных краев оболочки. Таким образом, метод В. 3. Власова можно трактовать как приближенный прием, заключающийся в использовании обобщенного метода расчленения и в дополнительном предположении о возможности пренебречь простым краевым эффектом.


Часть III
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ
Этот раздел посвящен рассмотрению краевых задач безмоментной теории. Под последними подразумевается интегрирование дифференциальных уравнений безмоментной теории с учетом так называемых идеализированных тангенциальных граничных условий, т. е. равенств, определяющих краевые значения либо усилий, либо перемещений, лежащих в касательной плоскости.
Излагаются методы эффективного построения этих решений и много внимания уделяется обстоятельствам, при которых решения существуют и единственны. Эти вопросы в безмоментной теории решаются нетривиально. Общая линейная краевая задача моментной теории оболочек единообразна: она заключается в интегрировании эллиптической системы уравнений с выполнением в каждой точке края или краев, если область многосвязна четырех граничных условий. Она всегда имеет единственное решение. Однако при переходе к описанной выше безмоментной краевой задаче картина становится весьма пестрой, так как тип уравнений, подлежащих интегрированию, может оказаться любым эллиптическим, гиперболическим и параболическим. Различными по своему характеру оказываются и краевые задачи безмоментной теории: это могут быть задачи типа Дирихле, задачи типа Коши, а также задачи, не предусмотренные существующей классификацией. К тому же может существовать несоответствие между типом краевой задачи безмоментной теории и типом уравнений, для которых ее надо решать. Например, задачу Дирихле иногда приходится решать для гиперболического уравнения, а задачу Коши — для эллиптического. Все это приводит к тому что теоремы существования и единственности для краевых задач безмоментной теории формулируются далеко не единообразно и в них вопрос не всегда решается положительно. Однако такая ситуация не свидетельствует о принципиальной порочности самой идеи выделения в самостоятельное рассмотрение краевой задачи безмоментной теории. Каждая из описанных выше странностей краевых задач безмоментной теории свидетельствует об определенных особенностях искомого напряженно-деформированного состояния оболочки. Для широкого класса задач это будет показано в части IV.
Физически ясно, что, если мы хотим, чтобы напряженное состояние оболочки было безмоментным, то надо так закрепить края, чтобы исключить бесконечно малые изгибания ее срединной поверхности. Высказанное утверждение иногда называют гипотезой В. В. Новодворского. В части IV предпринята попытка положить эту гипотезу в основу формулировки условий существования краевых задач безмоментной теории. Они сформулированы в виде гипотетической теоремы о возможных изгибаниях, которая вкратце заключается в том, что, если при данном способе защемления краев изгибания срединной поверхности возможны, то решение краевой задачи безмоментной теории будет существовать только тогда, когда внешние силовые воздействия не совершают работы на перемещениях этих изгибаний. Выяснилось, что теорема о возможных изгибаниях должна быть обусловлена целым рядом дополнительных предположений, полного списка которых получить не удалось. Тем не менее в части III постоянно проводятся сопоставления получаемых там теорем существования с теоремой о возможных изгибаниях. Это позволяет обнаружить те обстоятельства, которые исключают возможность построения решения краевых задач безмоментной теории, а следовательно, как уже говорилось, являются причиной некоторого искажения свойств напряженно-деформированного состояния оболочки.


ГЛАВА 13
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ БЕЗМОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Общий интеграл полной системы безмоментных уравнений оболочек нулевой кривизны
Примем, что срединная поверхность оболочки есть произвольная поверхность нулевой кривизны цилиндр, конус или поверхность касательных, и отнесем ее к линиям кривизны ах, а2, как изложено в § 11.28. Тогда будут справедливы формулы
и внеся их в 7.4.2, 7.5.1 и 7.1.4, получим следующую головную систему уравнений безмоментной теории оболочек нулевой кривизны:
а статические уравнения
Пользуясь уравнениями пп. б и в, геометрические уравнения можно записать так:
Интегрирование дифференциальных уравнений безмоментной оболочки нулевой кривизны не представляет труда и может быть выполнено в общем виде.
Л1 — 1, Ru — R12 — СЮ, R22 — Ry
13.1.1)
13.1.2)
б геометрические уравнения:
в тангенциальные уравнения состояния
13.1.3)
W
R


176
ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ БЕЗМОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛ. 13
Перепишем в другом порядке статические уравнения 13.1.2, придав им такой вид:
где Тц 5ч, Дч — частный интеграл неоднородных уравнений 13.1.4, а Тб 5б, Дб — общий интеграл соответствующей однородной системы. Обе группы введенных величин легко находятся с помощью квадратур. А именно, величины с индексом ч можно записать так:
причем нижний предел интегрирования а1 есть функция переменной а2, которую надо считать фиксированной, но зависящей от нашего выбора.
Для величин с индексом б получим:
OCi
где fx а2, 2 2 а2 — произвольные функции интегрирования.
Функции и 2 удобно заменить другими, положив
fi а2 Ai,t а2, 2 а2 A2,iп а2,
ГДе Л 2,1 Л3а1а1.
Тогда вместо 13.1.7 будем иметь:
В этих формулах произвольные функции tta2 и п па2 имеют простой физический смысл. Они представляют собой значения, которые принимают S6 и Тб на линии аг аг. Считая известными 7, S, Т2 и вводя в рассмотрение равенства 13.1.3 в том порядке, в котором они записаны, легко при помощи квадратур записать решения этих уравнений.
Представим компоненты перемещения в виде трех слагаемых:
13.1.4)
и представим тангенциальные усилия так:
тх Тч Тб S s4 S6, Т2 Т2Ч т1б. 13.1.5)
13.1.6)
ич и6 имК и2 иц 4“ иб Цм, W ШчШб£УМ, 13.1.9)


§ 1 ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛ УРАВНЕНИЙ ОБОЛОЧЕК НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
где иц, up, w4 и иб u26 w6 — частные интегралы неоднородной системы 13.1.3, отвечающие Тч, 5ч, Гч и Тбу 5б, Гб соответственно, а им, Цм, шм — общий интеграл однородной системы 13.1.3.
Внося в правые части уравнений 13.1.3 вместо тангенциальных усилий последовательно Тч, S4, Тч и 7б, S6, Т26, получим:
f тч — Ti4)
' 1 1 2
п т —Т ’ i4 J ш. dai’
а9
Ч я Г 1 V 1 с„ „ Г da, г д
и2 A1 J Eh А2 1 2 J А2 J да2 2Eh dXi'
а9 а9 2 а9
а,
I й f , 1 f 3 T4'-tT£'\
А2 да2 Лг J da1 4 J да2 Ш da’ +
а? z а2
1 ал2 frp-vr‘4 r-vr4>
Л2 дах J 2Eh dXl 2Eh
а2
и равным образом
CXj CX_l г OCi
,б>
1б — 2Eh Л,1 I Эа2 Л2 da' J 2Eh А2 dXi>
az а, ' 2 7 а2
02 2
02 02 0J
.j 2£z Л2 4,2 а? la, 1 2
o J_ , J_ _дЛ9 6 L_ 76 vT6)
Я Л2 da2 Л2 да, Ui 2Eh 2 h
Нижний предел интегрирования a2 в формулах 13.1.10 и 13.1.11 также есть функция а2, которую можно выбрать произвольно.)
Наконец, положив в правых частях уравнений 13.1.3 тангенциальные усилия 7, S и Т2 равными нулю и выполнив интегрирование, мы получим
at
1М ф1 2, 2М Л2 J - da 1 -- Л2Ф2 2,
а‘ 2 2 13.1.12)
®,“’ -£ тк л-1 -щ t, £ -к'■£ г1
02
где cpi а2, ср2 а2 — произвольные функции.


178
ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ БЕЗМОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛ. 13
Пусть при аг а2 величины А 2, им и игм принимают следующие значения:
л2 А2,2, ии ф а2 I а2, и2м А22ср2 а2 т 2.
Тогда, выразив в 13.1.12 функции срх а2, ф2 а2 через £ а2, т а2, мы получим формулы, связывающие перемещения им им, шм произвольной точки оболочки нулевой кривизны с теми значениями, которые принимают тангенциальные перемещения им ui2M на краю:
„Г-Е. иГ +
13.1.13)
_L _1 J д_ Ai_ nj 1 M2_t
Л1 da2 ac2_t' Л2 da2 U2,2 л2 dax s*
a2
Замечание. В формулах 13.1.10 и 13.1.11 величина Eh не вынесена из-под знака интеграла, так как можно считать, что Е, Я, v переменны. В связи с этим отметим, что если речь идет о системе уравнений моментной теории оболочек, то методы ее интегрирования будут существенно зависеть от того, постоянны или переменны Е, Я, v. Например, система уравнений моментной теории круговой цилиндрической оболочки при постоянных Е, Я, v не будет иметь переменных коэффициентов, что существенно упрощает ее решение. Однако, если речь идет о безмоментных уравнениях, то переменность £, Я, v с точки зрения методов интегрирования становится не очень существенной.
§ 2. Преобразование безмоментных уравнений
сферической оболочки
Рассмотрим сферическую оболочку и отнесем ее срединную поверхность к географической системе координат 0, ф, описанной в § 10.21. Тогда в векторной форме ее уравнение запишется так:
М г sin 0 cos ф 4- г sin 0 sin фiy -f- г cos 02
ix iy, iz — орты декартовой системы координат, изображенной на рис. 17.
Сделаем замену независимых переменных:
ax lntg--, аг — ср. 13.2.1)
При этом будут иметь место следующие формулы:
sin 0 ch , cos0 — ihau 13.2.2)
и векторное уравнение сферы примет вид
13.2.3)
Замена переменных 13.2.1 не изменяет координатных линий § 1.1, и следовательно, на сфере, заданной уравнением 13.2.3, ai-линиями будут меридианы, а а2-линиями — параллели географической системы координат, изображенной на рис. 17. Подсчитаем коэффициенты первой квадратичной формы сферы 13.2.3)
Л' 1аГ5Г- К-Ж5Г- cos -.i 0. 13.2.4)
гвм 1 д Г
R А да. 2 J


§ 2 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
179
Таким образом, в криволинейных координатах аъ а2 имеем:
А,А2, x -y
такая система координат называется изотермической.
Приступим к преобразованию статических безмоментных уравнений
7.4.2. На сфере любая кривая есть линия кривизны § 1.5, и следовательно, в этих уравнениях можно положить Rn Rь R22 R2, R12 оо. Кроме того, мы имеем Rt R2 г и А 1 А 2 А. Поэтому 7.4.2 можно переписать так:
AAg ‘£s £r,-rO A‘X,-0.
A£At2£s--£r'-T’A’x‘0’
Ti Tt rZ 0.
Выразим Tj и Г2 через функцию Т при помощи формул
Тг — Т Т2 Г—f-. 13.2.5)
Тогда третье уравнение равновесия обратится в тождество, а первые два примут вид
A£A£ 2m;s-2£T A‘x-ATksr--0’
'•££ ’££’•.-''£4-о-
Помножив каждое из этих равенств на Аг2 и положив
s -£s, 13.2.6)
получим для определения t vl s следующую систему уравнений:
___ dt_ х dZ_ __ n
даг ' да2 г2 1 2г дах ’
dt Js_ А_ х _ dZ_ _ „ 13.2.7)
да2 ' дах ' г2 2 2г да2 ~
Приведение статических безмоментных уравнений сферической оболочки к виду 13.2.7 и составляло цель описанных преобразований. Для оболочки, отнесенной к географическим координатам 13.2.3 согласно 13.2.4, надо под А подразумевать величину
А ——.
сп аг
Замечание. Для того чтобы безмоментные уравнения сферической оболочки приводились к виду 13.2.7 при помощи подстановок 13.2.5 и 13.2.6, нет необходимости пользоваться географической системой координат. Достаточно потребовать, чтобы срединная поверхность оболочки была отнесена к изотермической системе координат А1 А2 и л2. В связи с этим полезно иметь в виду следующую теорему теории поверхностей: на любой поверхности существует бесчисленное множество изотермических систем координат, причем все они получаются из какой-либо одной при помощи преобразования независимых переменных:
li ii 1. аз la la 1, СС2,


180
ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ БЕЗМОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 1ГЛ. 13
/
удовлетворяющего условиям
ik_k o 0
дал да2 да2 дал конечно, при этом А будет иметь другой смысл.
Обратимся к преобразованию геометрических уравнений безмоментной теории сферической оболочки. В общем случае они записываются в виде равенств 7.5.1. Положим в них Аг Л2 Л, R12 оо, Ru R12 г
и составим разность первого и третьего из этих уравнений. Присоединив
к полученному соотношению второе равенство 7.5.1, получим систему, не содержащую w:
1 дих 1 дА 1 ди2 1 дА
А даг А2 да2 U2 А да2 А2 даг
д
да»
■£-*
Эти уравнения при помощи подстановок
-T -£-’ A-W 13-2-8)
после простых преобразований приводятся к виду
Легко убедиться, что уравнения 13.2.9 и подстановка 13.2.8 остаются в силе для сферической оболочки, срединная поверхность которой отнесена к любой изотермической системе координат.
§ 3. Интегрирование уравнений безмоментной теории
сферических оболочек
Безмоментные дифференциальные уравнения сферической оболочки, срединная поверхность которой отнесена к изотермической системе координат, сведена в § 13.2 к уравнениям 13.2.7 и 13.2.9. Каждому интегралу t, s уравнений 13.2.7 соответствуют тангенциальные усилия, вычисляемые по формулам 13.2.5, 13.2.6, последним можно придать следующий вид:
Г1 —ж — - Т-’ SM S„ -£s. 13.3.1)
Каждому интегралу уравнений 13.2.9 соответствуют тангенциальные смещения оболочки, вычисляемые по формулам:
1 , г- 13.3.2)
Нормальное перемещение w при известных ии и2 можно найти без интегрирования при помощи первого или третьего уравнения 7.5.1. При А1 А 2 А и R1± R22 г они дают
г дих г дА г ди2 , г дА 1 о о о\
шт г8‘ 1з.з.з)
В дальнейшем для определенности будем предполагать, что сфера отнесена к изотермическим географическим координатам 13.2.3. Тогда А rch1a1 и формулы 13.3.1 примут вид
7 —t ch2 T2 t ch2 r-§-, Sai — S12 s ch213.3.4)


§ з ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
181
-жг£г 0’ i7 °' 13-3-6)
а формулы 13.3.2 запишутся так:
—-Г— , U-2 —г— • 13.3.5)
т ch otj т ch G v '
Тангенциальные усилия и компоненты перемещения безмоментной сферической оболочки, как и для оболочки нулевой кривизны, представим в виде 13.1.5, 13.1.9.
Соответственно этому и функции ty s, ?, q, через которые выражаются усилия и перемещения безмоментной оболочки, также удобно представить в виде
t t4 t6 s s4 s6 р р р рМ, q q™ q' q™4
причем ч, s4 — частный интеграл уравнений 13.2.7; ?ч, фч — частный интеграл уравнений
Л-..- ге1ч-гП, - -?-г2соч\
даг да2 N ' da2 1 даг
где
еГ Тч — vTl4, еГ 7f — v7T°, йч 5ч;
j6f 8б — общий интеграл однородных уравнений
dt , ds q dt ds
ц да2 ’ да2 ' даг
pб9 qб _ частный интеграл уравнений
Iя—П 13-3.7)
где
вГ - ОТ - ,тп. 4й тР-чтП,
.,св __ Iv 13.3.8)
03 ШЬ '
рм, м — общий интеграл уравнений
3-3-9>
Задача определения ч, s4, так же как идентичная ей с математической точки зрения задача определения ч, легко приводится к построению частного интеграла уравнения Пуассона. Этому вопросу посвящена обширная литература, и, основываясь на этом, мы будем считать, что ч, s4, рч, q4 известны.
Определение б и s6 сводится к интегрированию уравнений 13.3.6. Эта система по форме совпадает с условиями Коши—Римана, которым должны подчиняться действительная часть и коэффициент при мнимой части аналитической функции комплексного переменного. Отсюда следует, что
t6 fs6 ф у, 13.3.10)
где у — аг га2 — комплексное переменное, а ф у — аналитическая функция этого аргумента.
Функция ф у в дальнейшем будет называться комплексной функцией напряжений, так как через нее выражаются тангенциальные усилия Т6 5б и 7Чб безмоментной сферической оболочки, не загруженной в рассма¬


182
ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ БЕЗМОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛ. 13
триваемой области изменения ах, а2 поверхностной нагрузкой. Соответст- ствующие формулы мы получим, отбросив в 13.3.4 члены, содержащие Z, и выразив t и s по формуле 13.3.10:
7l6 — ch2ax Re ф у L ch2ax ф 7 97,
71б ch2 Re фу -1-сЬ2а1ф7 Ф7, 13.3.11)
S6 ch2ax Im фу ф у — фу-
Здесь и ниже Re и Im — символы действительной части и коэффициента при мнимой части от выражений, заключенных в фигурные скобки, а ф у — величина, сопряженная с ф у, т. е.
Ф у t6 — is6.
Формулами 13.3.11, если считать в них ф произвольной аналитической функцией, определяются все напряженные состояния незагруженной безмоментной сферической оболочки.
. х Система 13.3.9, определяющая рм и qM, также представляет собой условия Коши—Римана, Следовательно,
рм м у, ‘ 13.3.12)
где у — аналитическая функция.
Функцию у мы будем называть комплексной функцией перемещений; ею определяются тангенциальные смещения безмоментной сферической оболочки, так как, пользуясь 13.3.12 и 13.3.5, можно написать:
ТГ Re V. 2 т- Im у. 13.3.13)
Этими соотношениями, если считать в них произвольной аналитической функцией, определяются все бесконечно малые изгибания сферы.
Остается рассмотреть методы определения частного интеграла уравнении 13.3.7, т. е. методы построения функций рб, б. Преобразуем эти уравнения, выразив их правые части через функцию ф у с помощью формул 13.3.8 и 13.3.11:
-ёг it - ■r2 - wch2ai ф М ф 61,
ёг —r2j' - wch2ai 1ф т—ф ?•
Задача заключается в построении частного интеграла полученной системы в предположении, что ф есть произвольная аналитическая функция своего аргумента. Помножим второе из этих уравнений на i, сложим с первым уравнением и введем обозначение k р iq. Получим:
dk , dk с 2 1 12 \
Ш1 1 ШГ ch “■Т-
13.3.14)


ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
183
Но аг ia2 у, а1 — ia2 у, поэтому, рассматривая у и у как независимые переменные, можно написать:
d ду д ду д 5 д _д д \
даг доц ду да7 ду дУ ду 9 да2 у ду9
jL ijL 2A.
dat da2 ду
Вместе с тем
ch2a, е2“- 2 е-2“ -Е evev 2e“Ve-v.
В силу этого 13.3.14 принимает вид
— йг теТе7 2 е_7е_7 р аз.з. 151
Это уравнение интегрируется элементарно, и для определения ?б, дб мы получаем следующую формулу:
£б рб __ iqб _ — 2
те71йге7рМ+
Т 1йгфМ 4_е_7йг е_фт£гт еу. 13.3.16)
Здесь через е у обозначена произвольная функция интегрирования. Под рб, б понимается некоторый определенный частный интеграл уравнения 13.3.14, поэтому и под е у надо подразумевать некоторую, вполне определенную функцию, выбор которой зависит от нас ниже выяснится, что этим можно воспользоваться для выполнения условий однозначности перемещений. 1
Замечание. Величины Е, h v в 13.3.16 можно считать и переменными см. замечание в § 13.1. В этом случае при интегрировании их надо рассматривать как функции у и у.
Таким образом, общий интеграл безмоментных уравнений сферической оболочки содержит две произвольные аналитические функции комплексного переменного: комплексную функцию напряжений ср у и комплексную функцию перемещений у. Этот результат был получен в работе 37.
§ 4. Применение теории аналитических функций
комплексного переменного в безмоментной теории
сферических оболочек
Будем считать, что безмоментная сферическая оболочка находится под воздействием такой поверхностной и краевой нагрузок, что возникающие в ней тангенциальные усилия и перемещения будут непрерывными функциями точки срединной поверхности всюду, за исключением полюсов географической системы координат Тогда, очевидно, можно принять, что такими же свойствами обладают и величины, отмеченные индексом ч, так как выбор частного интеграла зависит от нашего произвола. Следовательно, требования непрерывности надо накладывать и на величины Тб S6, 7б, иб ич и2б и Основываясь на этом, уточним условия, которым удовлетворяют комплексные функции напряжений и перемещений.
Полюсы являются особыми точками географической системы координат. Поэтому поведение усилий и перемещений в этих точках будет рассмотрено особо.


184
ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ БЕЗМОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛ. 13
Пусть сфера, составляющая срединную поверхность оболочки, задается векторным уравнением 13.2.3. Тогда можно принять, что всем точкам сферы соответствует в плоскости комплексного переменного у бесконечная полоса
“ ОО OCj —— ОО, —— ОС 2 —— ЗТ.
Прямым а2 я и а2 —я соответствует один и тот же меридиан сферы. Поэтому у и ср у должны быть периодическими функциями. Обходя связанные с этим дополнительные трудности, рационально ввести следующую замену комплексного переменного:
£ -f- мг £ ev еа cosa2 -f- i sina2. 13.4.1)
Тогда все точки сферы будут находиться во взаимно однозначном соответствии со всеми точками плоскости комплексного переменного £, и если положить
ср1п£ф£, ln£ g£,
то на ф £, g £ достаточно наложить условия однозначности эти функции также будут называться комплексными функциями напряжений и перемещений, соответственно.
В дальнейшем в качестве независимого переменного мы всегда будем пользоваться величиной £. Установим, в каком соответствии находятся точки сферы с точками плоскости £. Параллелям и меридианам географической системы координат на сфере, т. е. линиям аг const и а2 const, соответствуют на плоскости £ концентрические окружности £ const и полупрямые arg £ const. Комплексное переменное £ обращается в нуль при аг —оо, откуда, согласно 13.2.3, следует, что точке £ О соответствует верхний полюс географической системы координат, т. е. точка х у 0, z г. При а1 оо мы получим на плоскости £ бесконечно удаленную точку £ оо, которой отвечает на сфере нижний полюс х у 0, z —г. Единичный круг £ 1 соответствует верхней половине сферы, а внешняя часть этого круга £ 1 соответствует нижней части сферы.
Для Тб S6, Гб имеем формулы 13.3.11. Заметив, что ch2 ах -L 2 е-2. ± 2 ,
перепишем их так:
тб—т а ■2 -Re №
т1в 4к2-Ке£Ь 13А2>
S6 4- 2 -jlmC.
Отсюда вытекает, что во всякой точке, кроме £ 0 и £ оо, вели- чины Тб S6 и Тб будут непрерывны и однозначны тогда и только тогда, когда комплексная функция напряжений аналитична. В полюсах географической системы координат, т. е. при £ 0 и £ оо, эти величины будут удовлетворять условиям ограниченности лишь при дополнительном требо¬
Там, где это не может вызвать недоразумения, мы не будем делать различия между точками плоскости £ и соответствующими им точками сферы.


ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
185
вании, что ф £ имеет в этих точках нули по меньшей мере второго порядка, т. е. что ф £ вблизи £ 0 может быть представлена разложением
Ф £ “Н • • • 13.4.3)
а вблизи £ °о — разложением
ФС ---- 13.4.4)
Рассмотрим теперь формулу 13.3.16, которой определяются величины рб, 9б. Заменив здесь у на £ по формуле 13.4.1, приняв, что Е, h и v постоянны, и переменив знак у i, получим:
Рб _ iqi6 _ L j С j ML dt +
13.4.5)
где
£ё1п£.
Линии, вдоль которых надо вычислять криволинейные интегралы, можно выбирать произвольно, и мы будем считать, что они нигде не выходят за пределы той области G, где ф £ обладает сформулированными выше свойствами. Тогда подынтегральные функции будут всюду за исключением, быть может, границ области аналитичными. Следовательно, если область односвязна, то по теореме Коши все интегралы в формуле 13.4.5 будут аналитическими функциями. Если G — многосвязная область, то эти интегралы будут, вообще говоря, неоднозначны. Но мы условимся, что Н £ всегда будет выбираться так, чтобы рб — iq6 оставалось однозначной функцией.
Компоненты тангенциального перемещения и19 и2 выражаются черев рв, qб ПрИ помощи формул 13.3.5. Учитывая 13.4.1, их можно представить в виде
иб — --Щрб иб — j6 13.4.6)
1 г lK 2 г lK
корни надо понимать в арифметическом смысле.
Отсюда видно, что всюду, за исключением точек £ 0 и £ оо, условия ограниченности иб, иб эквивалентны условиям ограниченности рб, и, как показывает формула 13.4.5, они выполняются разумеется, при надлежащем выборе Н в силу аналитичности ф £. При £ 0 и £ оо интегралы, входящие в 13.4.5, остаются конечными, что легко проверить, так как вблизи £ О, £ оо для ф £ справедливы разложения
13.4.3, 13.4.4. Это значит, что иб, иб в силу 13.4.6 остаются конечными и при £ О, £ оо, а следовательно, однозначными и ограниченными должны быть также функции им, имК Последние определяются формулами, аналогичными 13.4.6, которые в комплексной форме записываются так:
ым шм ——Y—pW iq — 13.4.7)
1 2 ' ц-к ' 1К
Это соотношение показывает, что во всех внутренних точках срединной поверхности оболочки, за исключением, быть может, £ 0 и £ со, комплексная функция перемещений g£ должна быть аналитической, а в точках £ 0 и £ оо она может иметь полюс, но не выше первого порядка.


186
ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ БЕЗМОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 1ГЛ.'3
§ 5. Преобразование безмоментных уравнений оболочки произвольного очертания
Силовые уравнения равновесия моментной теории записываются в виде векторного равенства 3.19.1, которое мы перепишем здесь так:
-AO-U2?A A4sinX? 0, 13.5.1)
где согласно 3.17.3 и 3.19.7)
до, _ Ti _ Sm м_ Nп д2, _ _ Гг м_ N п
R Xl-±- X2-- — Zn. 13.5.2)
Лл л9
Здесь х — угол между координатными линиями, которые теперь мы не будем считать взаимно ортогональными.
Положив в 13.5.1)
Лi N 2 О, S21 S12 S,
мы перейдем от точных уравнений к безмоментным и, следовательно, получим такую векторную запись статических уравнений безмоментной теории:
_As r,-Ar,i si +
A1A2sinxv- Xt-Zn 0. 13.5.3)
Выполним дифференцирование, помножим обе части полученного равенства на п и учтем, что
Мхп М2п 0, Ми-п Ь1Ъ M12-n L12, M22-n L22.
Будем иметь
A l22t2 2l12s A Lur, — 4А sin Z 0. 13.5.4)
В теории поверхностей доказывается, что на произвольной поверхности
можно установить изотермически сопряженную систему координат, т. е. систему, в которой коэффициенты второй квадратичной формы удовлетворяют равенствам
i'll it 22 il2 “ 0 13.5.5)
в первом из них знак должен совпадать со знаком гауссовой кривизны
поверхности.
Примем, что выбраны изотермически сопряженные координаты, т. е. что выполняются равенства 13.5.5. Тогда скалярное уравнение 13.5.4 будет тождественно удовлетворяться, если положить
А- г2 т A'Airsiaz, А тх т Aisin х- z. 13.5.6)
±2 ' 22 1 11
Имеют место деривационные формулы 1.3.1. Пользуясь ими, а также формулами 13.5.6, можно векторное уравнение 13.5.3 привести к виду
-A SMi ТМ2 - А ±7’А11 —SM2 XfAfi Х2М2 0, 13.5.7)


§ 5 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК
187
где
XI A, sin XX,-jL z T‘„z- Г,z
г ■£ j 1, 2.
Векторное равенство 13.5.7 эквивалентно двум скалярным уравнениям, соответствующим проекциям на направления векторов М2. Они с помощью деривационных формул 1.3.6 могут быть записаны так:
-з 7'-S Xr -О, tLVLbT-bS X; - О, 13.5.8>
где
аг п 1 ГЬ, а2 — 2Пь Ьг ГЬ П2, 2 — 2Г?2. 13.5.9)
Уравнение 13.5.4, соответствующее проекции на направление п, выше уже было использовано.
Обращаясь к геометрическим уравнениям безмоментной теории, рассмотрим вектор упругого смещения
ж т 7МГ1 JMf 2
U Ul-- U2-£
Введем обозначение
•Ж,- ы Лгы£ cos хм,- £1,2.
Тогда будут справедливы следующие очевидные тождества:
ди дщ л я
дил ди1 л я
1я:- 4у'л,жгг'л,-
13.5.10)
Раскроем их правые части, считая, что срединная поверхность оболочки отнесена к изотермически сопряженным координатам, и имея в виду формулы
UrMt Afa 1 1,2,
U, ■ М2 U2■ Мг А,А2 -£ sin х cosх)
они представляют собой обобщение формул 2.11.9, на случай косоугольных координат, а также равенства
Мп М22 а1М1 й ЪгМ2, 2 М12 —а2М1 — Ь2М2, 13.5.11)
вытекающие из 13.5.5, 1.3.1 и 13.5.9.
Учитывая все это, получим из 13.5.10 требуемые уравнения
дил ди0 л ш дщ ди«
l±CLlUl ±bl“2Cl0, ____а21 2Ы2Л'20,
13.5.12)
где
Кх — Аех Т Л1е2, К2 — ЛХЛ2 -J-sinx cos •
13.5.13)


188
ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ БЕЗМОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 1.ГЛ. 13
§ 6. Безмоментные уравнения оболочек, имеющих форму поверхностей второго порядка положительной кривизны
К поверхности второго порядка положительной кривизны относятся: эллипсоид, двухполостный гиперболоид и эллиптический параболоид. В декартовых координатах эти поверхности можно задать следующими уравнениями:
В криволинейных координатах они задаются векторными уравнениями: эллипсоид 13.6.1а)
где , iy, iz — орты декартовой системы координат, к которой отнесены поверхности уравнениями 13.6.1.
Из 13.6.2 вытекает, что при const координата г сохраняет постоянное значение, а при а2 const постоянным остается отношение ух. Это значит, что линии а — const и а2 const образуют на поверхности второго порядка такую же координатную сетку, какую дают параллели и меридианы географической системы координат на сфере рис. 20. Мы будем поэтому говорить, что поверхности второго порядка векторными уравнениями 13.6.2 отнесены к географической системе координат.
Коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхностей второго порядка, отнесенных к географической системе координат, выписаны в табл. 1 коэффициент L12 во всех случаях равен нулю. Из нее видно, что географическая система координат на поверхности второго порядка не ортогональна. Исключение представляют поверхности вращения второго порядка случай а Ь.
Векторы 13.6.2, как нетрудно проверить, удовлетворяют двум равенствам
-г -fr 1 эллипсоид)
2 ц2 22
-jp — двухполостный гиперболоид,
2 22
-р- -р 2z 0 эллиптический параболоид.
13.6.16)
13.6.1b)
13.6.1а)
13.6.2а)
двухполостный гиперболоид 13.6.16)
13.6.26)
эллиптический параболоид 13.6.1в)
М ас® cos ajx be®1 sin a2iy -- e2®,
13.6.2b)
13.6.3)
в которых под p надо подразумевать следующую функцию:
а для эллипсоида р ch3 аи
б для двухполостного гиперболоида р sh3 ах,
в для эллиптического параболоида р е_2“.
13.6.4)


§ 6 УРАВНЕНИЯ ОБОЛОЧЕК ВТОРОГО ПОРЯДКА ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ jgg
Сравним 13.6.3 с 13.5.11, взяв в последних равенствах верхние знаки речь идет о поверхностях положительной кривизны. Эти две пары векторных равенств совпадут, если положить
dlnp и _ dni
даj ’ 0i ЩГ$
3 In JLL и 3 In fX 13.6.5)
й2=
Отсюда, в частности, следует, что на поверхностях вращения второго порядка географические координаты образуют изотермически сопряженную сеть.
Рис. 20.
Внесем 13.6.5 в статические уравнения безмоментной теории 13.5.8 и возьмем в первом из них верхний знак. Тогда после очевидных преобразований эти уравнения примут вид
-4--- — °. -4т4—2 о, 13.6.6)
дах 1 да2 1 ц да2 1 даг р
где
г — Т, s — S. 13.6.7)
И- ц,
Связь тангенциальных усилий с величинами t, s выражается формулами
TirLt—¥-sinb ri—£-—¥-sinb
S„ S1 S lis, 13.6.8)
которые следуют из 13.5.6, 13.6.7 и из равенства 1.5.2.
Геометрические уравнения безмоментной теории 13.5.12, 13.5.13, взятые с верхними знаками, при помощи 13.6.5 преобразовываются к виду
■• Г MH24sinX 4-C0Sx- 13.6.9)


Таблица 1
Коэффициенты первой и второй квадратичных форм
со
о
Эллипсоид
Двухполостный гиперболоид
Эллиптический параболоид
м
V sh2 a2 cos2 oc2 b2 sin2 a2 ^
ch2 ах a2 cos2 a2 b2 sin2 a2 +
?a, у a2 cos2 __ yi Sjn2a2 _j_ g2a,
ch2 a1
sh2 aj
А*
К a2 sin2 a2 b2 cos2 a2 ch ax
a2 sin2 a2 b2 cos2 a2 sh щ
gai a2 sin2 a2 62 cos2 a2
AtA,, cos х
a b Shai SiD a2COsa2 ' ch3 a.
„ 6,4 ch a sin cos a2 1 ' sh3a7
—e2ai a2 — b2 sin a2 cos a2
Lii
— abc
— abc
abe2a'
ch ax 1a2b2 sh2 a, с2 a2 sin2 a2 62 cos2 a2)
shaa2b2 ch2 -j- с2я2 sin2a2 Ц- b2cos2a2)
Ye2axa2 sin2 a2 62 cos2a2 a2b2
L 22
— abc
— abc
abe2Xi
chax Va2b2sh2a1 -j- c2a2 sin2a2 62cos2a2)
sho Va2b2 ch2a1 -f c2 a2 sin2 a2 -- h2 cos2a2)
Уe2a’ a2 sin2 a2 62 cos2a2 a262
ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ БЕЗМОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛ. 13


§ 6 УРАВНЕНИЯ ОБОЛОЧЕК ВТОРОГО ПОРЯДКА ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ
Здесь
р хи, q iiu.
13.6.10)
Связь между перемещениями ии и2 и величинами р, q выражается формулами
Таким образом, показано, что статические и геометрические уравнения безмоментной теории оболочек, имеющих форму поверхностей второго порядка, приводятся к виду 13.6.6 и 13.6.9 соответственно. Они аналогичны преобразованным уравнениям 13.2.7 и 13.2.9 безмоментной теории сферической оболочки, и, следовательно, показана возможность применить методы теории функций комплексного переменного и к расчету безмоментной оболочки, очерченной по любой поверхности второго порядка положительной кривизны 29, 43. Не останавливаясь на подробностях, сформулируем связанные с этим обобщения результатов § 13.4.
Если срединная поверхность безмоментной оболочки представляет собой эллипсоид, двухполостный гиперболоид или эллиптический параболоид
13.6.1 и если оболочка не загружена поверхностной нагрузкой, то ее напряженное состояние определяется комплексной функцией напряжения:
причем ф £ должна быть аналитической функцией комплексного переменного £ ea'iX в рассматриваемой области G и должна иметь нули по меньшей мере второго порядка в точках £ 0 и £ оо, если эти точки принадлежат области G.
Тангенциальные усилия незагруженной по поверхности оболочки вида
13.6.1 выражаются через действительную часть t и коэффициент при мнимой части s комплексной функции напряжений ф £ при помощи формул
13.6.8, в которых под р надо подразумевать функцию 13.6.4 и положить
Для оболочек, срединная поверхность которых задается радиусом- вектором 13.6.2, с помощью методов теории функций комплексного переменного решается и однородная геометрическая задача: все бесконечно малые изгибания такой оболочки определяются комплексной функцией перемещений
Здесь под g £ подразумевается функция, которая должна быть аналитической всюду в интересующей нас области, за исключением точек £ 0 и £ оо; в этих точках функция g £ может иметь полюс, но не выше первого порядка.
Тангенциальные смещения срединной поверхности оболочки выражаются через действительную часть р и коэффициент при мнимой части q функции перемещений формулами 13.6.11, в которых под р надо подразумевать функцию 13.6.4.
Исключение представляет оболочка, имеющая форму эллиптического параболоида. Для нее точка £ оо соответствует бесконечно удаленной параллели географической системы координат, и поэтому на функцию ф £ надо в точке £ оо накладывать требования, соответствующие условиям работы оболочки на бесконечности.
13.6.11)
t -f- is — ф £,
Z 0.
p iq g £•


192
ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ БЕЗМОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РГЛ. 13
§ 7. Безмоментные уравнения оболочек, имеющих форму поверхностей второго порядка отрицательной кривизны
Рассмотрим поверхности второго порядка отрицательной кривизны. В декартовых координатах они задаются так: однополостный гиперболоид
£l __ 1
а2 Ъ2 с2 ’
гиперболический параболоид
а2 Ъ2 ~
а в географических координатах так: однополостный гиперболоид
я й COS ОС о • I 1 sin ОСо I а. з 1 г 'т 1 \
M al bly ctZaJ 13.7.1а)
Гиперболический параболоид
М 13.7.1в)
В обоих случаях выполняются два векторных равенства
13.7.2)
13.7.3)
в которых под р надо подразумевать следующую функцию:
а для однополостного гиперболоида pcos2a1,
б для гиперболического параболоида р е2ак
Формулы 13.7.2 переходят в 13.5.11, если в последних взять нижние знаки. Это значит, что на поверхностях второго порядка географическая система координат образует изотермически сопряженную сеть и в том случае, когда гауссова кривизна отрицательна.
Уравнения безмоментной теории для оболочек, срединная поверхность которых задается формулами 13.7.1, можно преобразовать по такой же схеме, как и в предыдущем параграфе теперь в уравнениях § 13.5 надо брать нижние знаки. А именно, статические уравнения 13.5.8 в силу
13.6.5 принимают вид
dt ds 1 -у- л dt ds 1 -у*
-d d TXl ’ Т 2 ’
f — 7 s — S,
X IX
а геометрические уравнения 13.5.12, 13.5.13 можно записать так:
13.7.4)
dp
-ё 4fei Л1е2,
дах ' daL
■fe ЖГ fAlA2 т-sln Чг-cosх ’
i 3.7.5)
р т 1 q =


ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
193
Тангенциальные усилия выражаются формулами
T2 --ixt ££-sinx, Tiz'Vi -sinX.
S21 Sj2 5 pS,
а для тангенциальных перемещений сохраняются формулы 13.6.11.
Уравнения 13.7.4 и 13.7.5 представляют собой системы гиперболического типа, как и должно быть для оболочек отрицательной кривизны §§ 7.4, 7.5. В однородном случае при X Х 0 система 13.7.4 приводится к уравнению колебания струны 29, 43]
дЧ дЧ _ п
да? да ’
и его решение можно записать при помощи формул Даламбера
t f аг -f- а2 g аг — а2, s а, — а2 я а, а2)
В табл. 2 для справок приводятся коэффициенты первой и второй квадратичной формы кроме-L12, который равен нулю для поверхностей второго порядка отрицательной кривизны, задаваемых уравнениями 13.7.1.
Таблица 2
Коэффициенты первой и второй квадратичных форм
Одпополостный гиперболоид
fиперболическии параболоид
At
V sin2 а7 а2 cos2 а2 b2 sin2 а2 4- с2 cos2 0^
еи.л ?2 с12 2 2 2а,
А,
Vя2 sin2 а2 -- b2 cos2 а2 cos а1
еа' 2sh2a? 4- b2ch2 а.
АгА cosx
9 sin at sin a2cosa2 cos3
— е2' а2 4- Ь2 sh а2 ch а9
La
—C— a2b2 sin2 a-, 4-
cos ал
abe2^
-f- с2 a2 sin2a2 -f 2cos2a2“12
Jr J2oc, а2 sh2 а 2 ch2 fl22
1- 22
abc d2b2 sin2 +
cosaT 1 -
4- c2 a2 sin2 a2 4- b2 cos2 a2““12
abe2a'
a2 sh2 а2 4- b2 ch2 а2 а2Ь2
§ 8. Применение обобщенных аналитических функций к безмоментной теории произвольных оболочек положительной кривизны
Для произвольных оболочек положительной кривизны общий интеграл безмоментных статических уравнений можно выразить через так называемые обобщенные аналитические функции. Это показано в работах 18, 19, результаты которых пересказываются в настоящем параграфе.


194
ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ БЕЗМОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛ. 13
Рассмотрим два комплексных уравнения
d-W lW mW 0, d-W—lW — mWr 0.
13.8.1)
13.8.2)
Здесь черточка сверху обозначает переход к сопряженной величине, у ia2 — независимое комплексное переменное, W W± iW2 —
искомая комплексная функция, I, т, п п — заданные комплексные функ-
13.8.1 или однородному при п 0 уравнению 13.8.2, называются обобщенными аналитическими функциями. В цитированных работах показано, что по своим свойствам они аналогичны обычным аналитическим функциям для обобщенных аналитических функций построены аналоги формулы Коши, рядов Тейлора и Лорана и т. д..
Развернув уравнения 13.8.1 и 13.8.2, потребовав, чтобы в них обращались в нуль действительная и мнимая части, и положив
12 “Ь т2 2 2’ 2 Ь т2 2 т± 2 2 2*
получим вместо 13.8.1)
Систему 13.8.3 можно отождествить со статическими уравнениями безмоментной теории 13.5.8, взяв в последних верхние знаки и положив
Равным образом, система 13.8.4 становится тождественной геометрическим уравнениям безмоментной теории 13.5.12, если в последней взяты верхние знаки и принято, что
Отсюда вытекает, что решение однородных уравнений безмоментной теории для произвольных оболочек положительной кривизны, отнесенных к изотермическим сопряженным координатам, можно выразить через обобщенные аналитические функции.
В § 13.6 было показано, что, если срединная поверхность оболочки есть поверхность второго порядка положительной кривизны, то нет необходимости пользоваться обобщенными аналитическими функциями, так как решение безмоментных уравнений можно выразить и через обычные аналитические функции. Этот результат не может быть улучшен. В 19 показано, что такими свойствами обладают только поверхности второго порядка положительной кривизны.
д д
ции lx il2 и аналогично для т, п пу д- -—*
Функции W, удовлетворяющие однородному при п' 0 уравнению
13.8.3)
а вместо 13.8.2 будем иметь
13.8.4)
— и, W и, nl — К2, п2 - Kv


ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
195
Надо заметить, что в 19 поверхности второго порядка отнесены к линиям кривизны, в то время как в 43 они задаются в географической системе координат. Покажем, что в этом нет противоречия.
Возможность выразить через обычные аналитические функции решения безмоментных уравнений основана на том, что последние удается отождествить с уравнениями Коши—Римана, т. е. в однородном случае привести к виду 13.3.6. Но, как известно, эти уравнения инвариантны относительно преобразования независимых переменных
ai — ai £ъ £2 а2 а21ъ £2 13.8.5)
если в нем аь а2 как функции £2 в свою очередь удовлетворяют условиям
Коши— Римана
даг __ да2 даг да2 по о с\
di, - 312 ’ ^
Преобразование 13.8.5, 13.8.6 сохраняет и изотермическую сопряженную сеть. Чтобы доказать это, примем, что
Мпп М22п, М12п 0. 13.8.7)
Эти равенства, в которых, как обычно, нижние индексы обозначают
дифференцирование по аь а2, показывают, что аь а2 являются параметрами изотермически сопряженной сети. Обозначив через М'ц производные от вектора М по 7-, можно написать
ал' ал 31 дх-± дх-± дх2 , di 3х2 , dec2 dec2 f
м MSir-щг Ма-щг-щ- -щгЖ Мгг -31ГТ1Г •"
13.8.8)
точками обозначены слагаемые, пропорциональные векторам М19 Ж2.
Составим выражения Mqn9 примем во внимание, что слагаемые, обозначенные точками в 13.8.8, обратятся в нули, и преобразуем полученные выражения с помощью 13.8.6 и 13.8.7. Будем иметь равенства
М
а ’
которыми и доказывается требуемое утверждение.
Таким образом, если для оболочки, очерченной по поверхности S и отнесенной к некоторой изотермически сопряженной системе координат аи а2, однородные уравнения безмоментной теории приводятся к условиям Коши—Римана, то при замене переменных, также удовлетворяющей условиям Коши—Римана, сохранится и изотермическая сопряженность координат на S, и вид преобразованных безмоментных уравнений.
На поверхности второго порядка и только на ней к бесчисленному множеству изотермически сопряженных сетей принадлежит и сеть линий кривизны, поэтому результаты § 13.6 находятся в полном согласии с результатами работы 19. Для поверхностей вращения параллели и меридианы географической системы координат, как будет показано в § 14.9, совпадают с линиями кривизны, но на произвольных поверхностях второго порядка линии кривизны имеют весьма сложное очертание. Поэтому для практических целей, вероятно, более удобна та форма безмоментной теории оболочек, имеющих форму поверхностей второго порядка, которая изложена в § 13.6, хотя использованные в § 13.6 координаты, вообще говоря, не ортогональны.
Заканчивая изложение общих методов интегрирования уравнений безмоментной теории, упомянем работу 109. В ней показано, что эти уравнения можно решить при помощи квадратур для случая, когда одно из семейств асимптотических линий срединной поверхности совпадает с семейством геодезических линий.


ГЛАВА 14
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ. ПРИМЕНЕНИЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
§ 9. Поверхности вращения
В декартовых координатах поверхность вращения можно задать тремя скалярными уравнениями
x sincp, rcosrp, z z, 14.9.1)
эквивалентными одному векторному уравнению
М г sin q г cos срiy -f- ziz. 14.9.2)
В этих равенствах z и ср представляют собой параметры криволинейной системы координат, а под г подразумевается некоторая функция
r rz. 14.9.3)
Так как из 14.9.1 вытекает, что х2 у2 г2, то г представляет собой радиус поперечного ортогонального оси вращения z сечения. Равенствами
14.9.1 или, что то же, равенством 14.9.2 поверхность вращения отнесена к географической системе координат см. рис. 21. Линии z const образуют систему параллелей, совпадающую с поперечными сечениями поверхности, а линии ф const образуют систему меридианов, получающуюся пересечением поверхности плоскостями ху tg ф const, проходящими через ось z. Равенство 14.9.3 представляет собой уравнение меридиана в декартовой плоскости г, г, изображенной на рис. 21.
Считая, что нижние индексы 1 и 2 при М обозначают дифференцирование по z и ф соответственно, получим
Мг г' sin фix г' cos piy 2, М2 г cos tpix — г sin piy г' .
14.9.4)
Отсюда
Аг Y М У 1 Л А2 УМ1 г, AiA2 cos Ж,-М2 0.
14.9.5)
Третье их этих равенств показывает, что параллели и меридианы географической системы координат ортогональны на любой поверхности вращения.
Вторые производные от М записываются так:
Ми f sin pix 4- г cos piy, Af i2 r' cos фtx — r' sin фiy,
M22 — tsin Ф—т cos piy,


ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
197
а для единичного вектора нормали п получаем
п Sin фд: C°S iv Г'1' 04.9.6)
Отсюда по формулам 1.3.2 имеем следующие выражения для коэффициентов второй квадратичной формы:
Ln — -ЛАц ■ ft y-— , L12 M12'ft 0, L22 M22 • ti ff2 •
14.9.7)
Среднее из этих равенств означает, что меридианы и параллели географической системы на любой поверхности вращения не только ортогональны, но и сопряжены, т. е. они являются линиями кривизны. Это можно было
предугадать и из геометрических соображений. Вдоль любой параллели нормали поверхности вращения образуют конус с вершиной на оси вращения см. рис. 22. Следовательно, эти нормали не перекрещиваются, а пересекаются, что является признаком линий кривизны § 1.5. По этому же признаку линиями кривизны являются и меридианы: они представляют собой плоские кривые, нормали которых совпадают с нормалями к поверхности, а, следовательно, вдоль меридиана последние также не перекрещиваются, а пересекаются.
При помощи 14.9.5 и 14.9.7 получаем для радиусов кривизны поверхности вращения такие формулы:
^
п
11 1 1 0, 14.9.8)
Ro
1
2
А2
2
VT
1 232 1
г'2 ’ 12
из которых видно, что Rx— это радиус кривизны меридиана, а как нетрудно проверить, равно расстоянию по нормали от поверхности до оси вращения. Знаки в формулах для Rly R2, принятые в § 1.4, в данном случае означают, что радиус кривизны R± считается положительным, если в плоскости г, г, изображенной на рис. 21, выпуклость меридиана направлена наружу.
Замечание. В принятой системе координат роли at- и а2-линий играют меридианы и параллели соответственно. Меридиан — это нормальное сечение поверхности, поэтому в данном случае первый главный радиус кривизны поверхности совпадает с радиусом кривизны ах-линии. Вообще же такого совпадения не будет. Примером является второй главный радиус кривизны поверхности R2 он не равен радиусу кривизны а2-линии, т. е. величине г.


198
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
ГЛ. 14
§ 10. Статические и геометрические безмоментные уравнения оболочек вращения
Положив в уравнениях 7.4.2)
аг 2, а2 ф, Аг У 1 -j- г'2, А2 г,
1 1 i 1 14.10.1)
R, 1 232 и г уууупг ’
запишем статические безмоментные уравнения оболочек вращения следующим образом:
4 rTiVTT -Ц-—г'т2г ут7-2 Xi о,
4 rS КПР7 r'S г 1ТТХ2 0, 14.10.2)
' Ti -717fWr2 2 0.
1 г' 232 1 -Г г Г
Третье уравнение этой системы будет удовлетворяться, если положить,
T,t £ipr ilj_Zi T__t_rvr±ZLz I4.10.3)
и рассматривать t как новую неизвестную величину.
Подставим 14.10.3 в 14.10.2 и заменим S через s по формуле
S -r. 14.10.4)
Тогда после очевидных преобразований получим относительно t и s систему уравнений
'‘-зг ъг Ъ-0- -W -'г-ш-х; о- 141а5>
в которой
у_ д Г rr'2Wz гг' 7 Зу
Al- 1ГГ7Г 2? -2-£ гХи
. г1 г'2 3Z , т VT7z v
Аг 2? Эф Н ? Л2‘
14.10.6)
Геометрические безмоментные уравнения 7.5.1 для оболочек вращения в силу формул 14.10.1 можно записать так:
1 диг г"
Л г'2 дг 1г'232
— 44 7JrU1 „ 1 w — в2, 14.10.7)
г дф r J1 г'2 г f I г'2 '
1 ди г д
Т дф jrqra дг I — 1 —
Здесь из первых двух равенств можно исключить w. В результате, после очевидных преобразований, получим равенство
4 КГ7Ч г 4 1 г'2 в1 гге2,


§ 11J ОБОЛОЧКИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ 199
которое вместе с третьим равенством 14.10.7 составляет систему двух уравнений относительно и1ъ и2. Ее можно записать в виде
Т7„,_,1Т7Ч
Т г'2 81 е®-
В § 7.5 было показано, что между статическими и геометрическими уравнениями безмоментной теории в общем случае существует тесная связь, вытекающая из статико-геометрической аналогии. В предыдущей главе мы уже встречались с ее проявлениями, которые выражались в следующем:
1 для оболочки нулевой кривизны как геометрические, так и статические безмоментные уравнения удалось решить квадратурами;
2 для оболочек имеющих форму поверхностей второго порядка, обе системы привелись к уравнениям Коши—Римана или к уравнению колебания струны;
3 для произвольных оболочек положительной кривизны решения и статических, и геометрических безмоментных уравнений выражаются через обобщенные аналитические функции.
Для оболочек вращения эту связь можно выразить более просто и конкретно: статические и геометрические безмоментные уравнения становятся тождественными друг другу в силу следующих соотношений двойственности:
s ч-у jTr71 иъ Xl-rVlr', Xl- 1г'г-
14.10.9)
гг"
§ 11. Оболочки вращения второго порядка.
Параболические оболочки вращения
Если уравнение меридиана 14.9.3 имеет вид
г — Уаг2 -- bz с а, , с—константы, 14.11.1)
то мы будем иметь поверхность вращения второго порядка.
В этом случае
2аг -f- b j, 4ас — Ь2
Г 2? ’ •
Сопоставив последнее из этих равенств с формулами 14.9.8, заключаем, что, если
4ас— 20, 14.11.2)
т. е. если гп 5 0, то гауссова кривизна поверхности будет положительной
при а ;0 это будет двуполостный гиперболоид, при а 3 0 — эллипсоид,
при а 0 — параболоид, а если
4ас—Ь2 0, 14.11.3)
т. е., если г 0, то гауссова кривизна поверхности будет отрицательна однополостный гиперболоид.
Пусть выполняется неравенство 14.11.2, тогда, введя обозначение


200
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
ГЛ. 14
можно преобразовать уравнения 14.10.5 к виду
V2-J г М KXi 0, Кг2 i М Х2‘ о.
Отсюда следует, что если ввести замену независимого переменного а а z так, чтобы выполнялось равенство
-£5’ 14Л1-5>
то статические безмоментные уравнения превратятся в неоднородные уравнения Коши—Римана
ЖМ Г-О, £-£М -0. 14.11.6)
т. е. мы вновь придем к результату, полученному уже в § 13.6.
В уравнении 14.11.5 легко выполнить квадратуру. Выразив в нем г через г по формуле 14.11.1, получим:
при а ф 0 для двухполостного гиперболоида и эллипсоида)
2az --b — VЬ2 — 4ас
—1п
при а 0 для параболоида)
2az -f-b --Vb2 — 4ас
14.11.7)
ос —nbz с. 14.11.8)
Если вместо 14.11.2 выполняется неравенство 14.11.3, то, введя обозначение
' 14Л1‘9>
можно привести уравнения 14.10.5 к виду
ж ж мXJCt °- Щ iМ •
Это значит, что при помощи подстановки вида 14.11.5 мы, как и в § 13.7, получим неоднородные уравнения колебания струны
. £-£мхг-о.
В этом случае для однополостного гиперболоида результат интегрирования уравнения 14.11.5 записывается так:
а arctg -г-. 14.11.10)
У 4ас — Ь2
Положим теперь, что уравнение меридиана 14.9.3 имеет вид
r Kz Я, р— положительные константы, fx 1, 14.11.11)
т. е. что меридиан представляет собой параболу произвольной степени. При р 1 она имеет горизонтальную параллельную оси г касательную в начале координат, а при р 1 касательная в начале координат будет вертикальной рис. 23. Это значит, что знак гауссовой кривизны поверх¬


§ и ОБОЛОЧКИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ 201
ности противоположен знаку числа р—1 исключенному из рассмотрения случаю р 1 соответствует круговой конус; он обсуждался в § 13.1.
Подставим 14.11.11 в статические безмоментные уравнения 14.10.5 и заметим, что имеет место легко проверяемая формула
ds
дг
Получим
dt
дер
■ 2 г1—2s 2ц— 1 z'-s.
№1 р
14.11.12)
Эти равенства можно рассматривать как уравнения относительно величин t и z1_2Ms. Тогда в них переменными будут только коэффициенты при производных ПО 2, и положив
а lnz, 14.11.13)
мы придем к следующей системе уравнений с постоянными коэффициентами:
14.11.14)
Изложенное здесь преобразование статических безмоментных уравнений для оболочек вращения вида 14.11.5 предложено в 28, где выведены и уравнения вида 14.10.5.
Рис. 23.
При помощи соотношений двойственности 14.10.9 результаты этого параграфа можно без труда перенести со статических на геометрические безмоментные уравнения. Окончательные формулировки сводятся к следующему.
Для оболочек вращения второго порядка с меридианом 14.11.1 геометрические безмоментные уравнения приводятся к виду
14.11.15)


202
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
1ГЛ. 14
Здесь надо брать верхние знаки, если выполняется неравенство 14.11.2, т. е. для оболочек положительной кривизны, и нижний знак, если выполняется неравенство 14.11.3, т. е. для оболочек отрицательной кривизны; новое независимое переменное а выражается через г по формуле 14.11.7 для двухполостного гиперболоида и эллипсоида, по формуле 14.11.8 для параболоида и по формуле 14.11.10 для однополостного гиперболоида; константы Х и определяются формулой 14.11.4 или 14.11.9 соответственно.
Если меридиан оболочки задается уравнением 14.11.11, то геометрические безмоментные уравнения можно привести к виду
Ш -?- 4р zl2w VTT, zl_2wr
Г JL 21-2м. у 1 I rnU, 4- 14.11.16)
dtp г №i 1 — р, L да ' ' 1' '
Н 2Х 1 21—2М 1 -- Г 2U1 j —yjj, 8т 62,
т. е. превратить их в уравнения с постоянными коэффициентами относительно величин и2г и г1-2 У1 г,2иг. В уравнениях 14.11.16 независимое переменное а связана с г формулой 14.11.13.
§ 12. Применение тригонометрических рядов в статической безмоментной задаче оболочек вращения
Коэффициенты дифференциальных уравнений теории оболочек вращения не зависят от ф. Это позволяет в общем случае, т. е. при любом очертании меридиана, искать решение при помощи тригонометрических рядов. Применим этот метод к интегрированию статических безмоментных уравнений.
Примем для конкретности, что уравнения приведены к форме 14.10.5, и допустим, что компоненты поверхностной нагрузки имеют вид
Xi 2, Ф аг z cos яф, Х2 2, ф Оа z sin ир, Z 2, ф с z cos яф,
откуда в силу 14.10.6)
X Xi 2 cos яф, Х х2 2 sin Яф. 14.12.1)
Заметив это, зададим решение уравнений 14.10.5 в виде
t г, ф T2cosmp, s 2, ф 02 sin яср. 14.12.2)
Тогда, подставив 14.12.1, 14.12.2 в 14.10.5 и сократив первое уравнение на cos яф, а второе на sin яф, получим для определения т, а систему
обыкновенных дифференциальных уравнений
г 4” xi 0 TFdz “Ь 2 14.12.3)
в которой звездочка при я поставлена для удобства дальнейшего изложения; пока надо считать, что я, я.
Равным образом, если
Х± 2, ф аг 2 sin яф, Х2 2, ф а2 z cos яф, Z 2, ф с 2 sin Яф,


§ 12]
ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
203
т. е. если
X хг z sin шр, X х2 z cos гф, 14.12.4)
то, положив
t г, ф rzsin wp, sz, ф a z cos шр, 14.12.5)
получим для т, а снова систему 14.12.3, в которой теперь нужно считать п-
В общем случае, т.е. при произвольной поверхностной нагрузке, можно положить
сю
■X 2 х'т COS Пф -f хп sin пер,
П 1
CD
Xz -f Х2п COS пер Хъп sin гаф)
П 1
принимается, что компоненты поверхностной нагрузки удовлетворяют условиям Дирихле.
Тогда, задав решение уравнений 14.10.5 в виде
00 оо
2 2 coswp-f- sin гаф, s -f s cos гаф -- sin гаф)
П 1 П 1
сведем задачу к определению двух последовательностей пар искомых функций t'ny sn и tn, sn. Пара функций t'n, s'n удовлетворяет системе 14.12.3, в которой надо положить
Т —— tfiy СУ Sjiy Х Xnt Х2 - X2rit
а пара функций , sn удовлетворяет системе 14.12.3, в которой надо положить
Т tn, СУ пу хг Хп, х2 Х2п — п.
Итак, для весьма общего случая интегрирование статических безмоментных уравнений, приведенные к виду 14.10.5, сводится к решению уравнений 14.12.3, к обсуждению которых мы и обратимся.
Уравнения 14.12.3 образуют систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, эквивалентную одному уравнению второго порядка с переменными коэффициентами, зависящими от формы меридиана. В некоторых частных случаях она допускает упрощения. Для оболочек вращения второго порядка система 14.10.5 приводится к уравнениям типа Коши—Римана илй к уравнениям колебания струны; для оболочек вращения с меридианом, имеющим вид параболы 14.11.11, система 14.10.5 приводится к уравнениям с постоянными коэффициентами § 14.11. Во всех этих случаях можно, очевидным образом, избавиться от переменных коэффициентов и в уравнениях 14.12.3. Для этого надо, например, исходить не из системы 14.10.5, а из уравнений вида 14.11.6 или 14.11.14.
Более подробно на общем обсуждении уравнений 14.12.3 мы останавливаться не будем, покажем только, что при 0 и п ±1 они интегрируются элементарно при любой форме меридиана в практических задачах наиболее важны случаи, когда внешние силы либо остаются постоянными по ф, либо меняются по закону cos ф или sin ф, т. е. именно случаи 0, 1.


20-1
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
ГЛ. 14
§ 13. Интегральные уравнения равновесия безмоментной теории. Применение к оболочкам вращения
Прежде чем переходить к подробному обсуждению утверждения, высказанного в конце § 14.12, выведем интегральные уравнения равновесия безмоментной теории.
Статические уравнения безмоментной теории записываются в виде векторного равенства 13.5.3. Помножим обе его части на da1 da2 и проинтегрируем по области G, занятой оболочкой. Получим, считая, что sin 1, т. е. что система координат ортогональна,
Также помножив обе части равенства 13.5.3 векторно на М da1 da2 и вновь проинтегрировав по области G, будем иметь
Левые части полученных равенств можно преобразовать, применив к ним формулу интегрирования по частям 5.31.2. Тогда после несложных преобразований получим g — контур области G)
Равенства 14.13.1, 14.13.2 и представляют собой векторные интегральные уравнения равновесия безмоментной теории. Первое из них выражает уравновешенность сил, а второе — уравновешенность моментов относительно начала декартовой системы координат. К ним мы еще вернемся, а пока применим их для случая, когда G соответствует части поверхности вращения, заключенной между двумя параллелями географической системы координат, и для одной из параллелей фиксируем z, положив z z0, а для другой оставим z произвольным. В этом случае в 14.13.1, 14.13.2 надо отождествить а19 а2 с z, ф соответственно, под Ж, Жь М2 подразумевать
x X-Zn X MA1A,daldat.
g
JJ x xj-jji - Zn A,A2 da, da2, 14.13.1)
g
X XzJ-ZnxMAiAzdaida 14.13.2)


13]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
205
выражения 14.9.2 и 14.9.4, двойные интегралы в 14.13.1, 14.13.2 надо заменить двукратными по z от z0 до z и по ф от —л до л, а в контурных интегралах надо считать, что 0, и заменить их разностью двух однократных интегралов по ф от —л до л, считая, что в первом из них z произвольно, а во втором z z0. Проделав все это и перейдя от векторов к проекциям на , iyy 2, получим шесть скалярных интегральных уравнений равновесия
л
j —JTis 1пф — Scos фгйф4-С1 ?1,
— л
л '
J — -7’1C0S9 S Sin9rd9 C2 R2,
— Л
-f-я Л
— J Г dtp -f С3 R3, J — 1-rr1C0Sp 2Ssin9rif--D1 Q1,
14.13.3)
Л Л
J Г 2Ti sin ф zS cos ф r dtp -j- D2 Q2, — J Sr2 сф -f- D3 Q3.
—Л —Л
Здесь приняты следующие обозначения:
Л 2
Ri J j -Х181пФ Х2со5ф—-x-sinф г’К 1 г'2dtp dz,
—я Zq
-j-л z
R2 j j X1costp — X2sln ф —cos ф r УI --r,2dtp dz,
—Л Zq Я 2
R3 Xx r'Z r dtp dz,
—Л 20 Л 2
Qi J r'z — г X cos ф — z yrJ-fr72 X2 sin ф—z rR Z cos tpr dtp dz,
—Я Zq
-j-Я 2
Qt— j—r'z — rXj sinф -j-2 f r'2 X2cosф +
—Я Zq
2 rr' Z sin ф r dtp dz,
Л 2
Q3 J j XyrTdtp dz, 14.13.4)
—Л Zq
Я
Cl I riosincP SoCOSprodP.
—Л
л
c2 j --TlQcostp—S0smtp'r0dtp,
—Л Я
Сз I r°dф’
10
—Л


206
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
ГЛ. 14
£i J ° тю cos Ф — Л Sltl фГ0 Ф.
10 „ 14.13.4)
£2 — J ГГо- £юsinф zoS0 cos Фr0dp, D3 J S0rodq>
дополнительный индекс 0 обозначает, что надо брать значение соответствующей величины при z z0.
Физический смысл величин Rf и Q очевиден: это, соответственно, проекции на , 1У, iz равнодействующей и главного момента поверхностных сил, приложенных к рассматриваемой части оболочки. Что касается С, и Diy то, как видно из определяющих их формул, это константы, зависящие от 710, S0, т. е. от краевых на г г0 значений тангенциальных усилий. Так как Т10, S0 зависят от нашего выбора, то С, и Z, нужно рассматривать как произвольные константы.
Пусть компоненты поверхностной нагрузки и тангенциальные усилия заданы тригонометрическими рядами
X' °°
Хг —тр- S Хп cos Иф Хп sin тир,
п1
Х2 —S Xln cos жр Х3п sin пр, 14.13.5)
2
2—1
Z X
Z -f 2j Z'n cos пф Zn sin Пф,
1 n1
oo
£i —- S Tin cos nq Ты sin tty,
z П1
_t OO
T — — ТгпСОЗгаф ГгпЗШпф, 14.13.6)
2 , 11
S -4т- S л cos яф 4- S sin яф.
1 ni
Здесь XJy, Xif, Z'k, Z'k — известные функции переменной г, а Г,-, Tih Sky SI — искомые величины.
Подставим 14.13.5 в первые шесть формул 14.13.4, заметим, что в них величины г, г', г не зависят от ф, учтем свойство ортогональности тригонометрических функций и используем известные формулы для вычисления коэффициентов Фурье. Получим
2
-1 тгр - УТТТ5йг 1Т7л
Z0
ё, , , , 14.13.7)
Нт7Т-,-Т7тЬя7К1 г
Zo
3 я j Хо r'Zo r d2,


§ 13J
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
207
Z
Q3 я Jxior2 Vl r'2 dz,
выражающие величины Rlt Q i 1, 2, 3 через известные функции г, а именно, через коэффициенты при 1, sin ф и cos ф в разложениях 14.13.5. Коэффициенты при cos яф и sin шр в правые части 14.13.7 не входят, вследствие того, что соответствующие им нагрузки являются самоуравно- вешенными.
Равным образом, подставив 14.13.6 в левые части интегральных уравнений равновесия 14.13.3, будем иметь равенства
которые можно рассматривать как алгебраические уравнения относительно шести неизвестных
т. е. относительно коэффициентов при 1, cos ф, sin ф в разложениях Тг и S. Величины То, So определяются из третьего и шестого уравнений
14.13.8, для определения ТТь Si имеем первое и пятое уравнения, а для определения Т, SI —второе и четвертое уравнения.
Для построения Тп, Ты, Ты можно воспользоваться третьим безмоментным уравнением равновесия 14.10.2. Подставив в него 14.13.5, 14.13.6 и приравняв коэффициенты при 1, cos ф и sin ф, получим три уравнения, определяющие эти величины.
В конечном итоге величины 14.13.9, равно как и Т, Ты, Ты, выразятся через 6 произвольных констант Ci9 Dt и через интегралы, стоящие в правых частях равенств 14.13.7, а это и значит, что решения системы
14.12.3 при я 0 и I ± 1 достигаются при помощи квадратур. Другими словами, если статические безмоментные уравнения решаются в тригонометрических рядах, то нет необходимости интегрировать те уравнения, которые получаются для коэффициентов при 1, cos ф, sin ф хотя это сделать и нетрудно. Эти коэффициенты можно построить элементарно, выделяя часть оболочки между двумя параллелями географических координат и требуя, чтобы приложенные к ней внешние и внутренние силы находились в равновесии, т. е. воспользовавшись методом сечений.
14.13.8)
— nr2So Ds Q3,
14.13.9)


208
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
ГЛ. 14
§ 14. Применение тригонометрических рядов
в безмоментной геометрической задаче
оболочек вращения
Геометрические безмоментные уравнения, конечно, тоже можно интегрировать при помощи тригонометрических рядов. Возьмем для определенности эти уравнения в виде 14.10.8 и будем считать, что их правые части
разложены в ряды следующим образом:
„ °°
Т г'2 СО 2 Шп COS Пф 4- СОп Sin 71ф,
1 г'2 8' 14Л4Л)
-г— еа -Ц- S 8п COS Пф е„ sin Пф.
г А п\
Тогда решение уравнений 14.10.8 можно задать в виде
-у- S In COS Пф In Sin Пф,
„ Г 14.14.2)
у I г'2 1 -f S Чп COS Пф 1п sin Пф.
£ п1
Для определения коэффициентов разложения 14.14.2 получится система, аналогичная системе 14.12.3:
r24t nr b 14-14-3)
в которой под £, т, я надо подразумевать либо ,, г„, я, либо rn, —я.
Все сказанное относительно 14.12.3 относится и к системе 14.14.3:
она составляется из уравнений с переменными коэффициентами, но для
поверхности вращения второго порядка и для случая, когда меридиан представляет собой параболу вида 14.11.11, система 14.14.3 приводится к уравнениям с постоянными коэффициентами. При я, 0 и ±1 решение системы 14.14.1 можно выразить через квадратуры.
Чтобы доказать справедливость последнего утверждения, рассмотрим смещения поверхности вращения как жесткого целого и назовем эти смещения жесткими. Для произвольной поверхности жесткие смещения выражаются равенством 4.27.8.
Перепишем его:
U T0xM U0 14.14.4)
и зададим постоянные векторы U0y Г0 следующим образом:
ий ajx a2iy a3z, Г0 bjx bjy b3i3t 14.14.5)
считая, что aif bt — произвольные константы.
Вектор смещения U развертывается по осям подвижного триэдра при помощи равенства 4.22.2.
Поэтому считая, что выбрана ортогональная система координат, можно написать
J,4L-r-'M-Trf'4L О'-1’2-
Выразив в правых частях этих равенств М, Мх, М2, п, У0 и Г, при
помощи 14.9.2, 14.9.4, 14.9.6 и 14.14.5 и давая i значения 1, 2,


§ 14 БЕЗМОМЕНТНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ 209
получим
Ul 7Тт r'z r sin ф VTTPi г'г—r cos ф +
-— ai г' sin ф f - y г' cos ф , 14.14.6)
11 г'2 V 4- Г'2 1Лг'2
и2 bxr'z cos ф 4- b2r'z sin ф — b3r'r -f- ах sin ф а2 cos ф.
Таким образом, при жестком смещении поверхности вращения величины и19 я2, а, следовательно, и величины и2г и 1 г'2 их выражаются как сумма величин, меняющихся по ф по закону 1, sin ф или cos ф и зависящих в общей сложности от шести произвольных констант. Вместе с тем, очевидно, что жесткие перемещения являются решениями однородных при s1 — в2 — со 0 геометрических безмоментных уравнений. Отсюда следует, что, если х е2 со 0, то в решении геометрических безмоментных уравнений вида 14.14.2 коэффициенты при 1, cos ф и sin ф соответствуют смещениям срединной поверхности как жесткого целого. Но в обыкновенных линейных дифференциальных уравнениях переход от решения однородных уравнений к решению неоднородных уравнений совершается элементарно например, методом вариации постоянных. Поэтому и из решения 14.14.6 можно элементарно получить решение неоднородных геометрических безмоментных уравнений, если имеют силу разложения
14.14.1 и в них отличны от нуля только коэффициенты при 1, cos ф и sin ф. Это и будут те решения уравнений 14.14.3, которые можно элементарно получить при я 0 и я 1. Другими словами, при решении гео¬
метрических безмоментных уравнений в тригонометрических рядах нет необходимости интегрировать те уравнения, которые получаются для коэффициентов при 1, cos ф, sin ф. Эти величины в однородном случае при гх е2 со 0 соответствуют жестким смещениям срединной поверхности и могут быть получены элементарно, а в неоднородном случае решение можно получить методом вариации постоянных.
Заключая главу, отметим, что разложением в тригонометрические ряды можно воспользоваться не только в безмоментной, но и в моментной теории оболочек вращения. При этом в моментных уравнениях также отделится поперечная переменная, и для каждого отдельно взятого члена разложения получится система дифференциальных уравненйй без частных производных. На соответствующих конкретных подробностях мы останавливаться не будем. Им посвящена обширная литература ограничиваясь лишь монографиями, укажем работы 35, 62, 81, 98, 124, 136.
Для упомянутых выше систем обыкновенных дифференциальных уравнений не удалось найти достаточно простых общих точных методов решения в качестве исключения можно привести сферическую оболочку 40, 90, 110, 114, 149, 190, для которой общий интеграл однородных моментных уравнений, соответствующий я-му члену разложения, удалось выразить через элементарные функции и присоединенные функции Лежандра комплексного индекса.
Более общие результаты в теории оболочек вращения получены при помощи асимптотических подходов. Обыкновенные дифференциальные уравнения, получаемые после отделения поперечной переменной, содержат в качестве параметров относительную толщину оболочки h и число я, равное номеру рассматриваемого члена разложения в тригонометрические ряды по ф. Соответственно, существует и два основных пути применения асимптотических методов в теории оболочек вращения.
Первый из таких подходов основывается на малости параметра h Он заключается в разложении решения по положительным степеням h*


210
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
ГЛ. U
и принес наибольшее количество эффективных решений. Первые его применения были даны в работах 137, 162, 163, 183. Этот метод нашел отражения и во всех книгах, посвященных теории оболочек вращения. Особенно последовательно и полно использована малость h в монографии 81. Обсуждаемый асимптотический подход, в сущности, эквивалентен методу расчленения, хотя это обстоятельство и не всегда бросается в глаза при чтении литературы по теории оболочек вращения. Дело в том, что в ней обсуждаются преимущественно случаи п 0, п 1, когда основное напряженное состояние строится элементарно, а, следовательно, асимптотический метод используется лишь для построения более точного, чем в главе 8 простого краевого эффекта. Если п 2, но не слишком велико, то в процессе применения обсуждаемого варианта асимптотического метода построение основного напряженного состояния и построение простого краевого эффекта превращается в почти самостоятельные задачи, и черты сходства с методом расчленения проявляются более отчетливо.
Второй путь применения асимптотического метода в теории оболочек вращения может быть избран в случаях, когда п становится настолько большим, что искомое решение можно раскладывать по отрицательным степеням п. О нем будет подробнее сказано в приложении, а пока заметим, что такой подход является альтернативой метода расчленения, точность которого падает с возрастанием п § 12.30.


ГЛАВА 15
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
§ 15. Постановка краевых задач
для безмоментных уравнений
Обращаясь к рассмотрению краевых задач, которые надо решать при интегрировании уравнений безмоментной теории, начнем с обсуждения постановки вопроса.
В § 5.33 было показано, что в общей теории оболочек в каждой точке края надо выполнять по четыре граничных условия, выражающие упругие свойства элементов, к которым примыкает край. Кроме того, может возник- нуть необходимость выполнить на тех или иных внутренних линиях оболочки дополнительные требования, называемые условиями сопряжения. Последние появляются, когда оболочка контактирует вдоль некоторой линии с каким-либо упругим телом оболочкой, усиливающим ребром и т. д. или когда вдоль внутренней линии g' претерпевают скачок величины
Xlt Х2, Z, Ru, Rl2, R22, h, E, V, 15.15.1)
задающие поверхностную нагрузку, геометрию оболочки и упругие свойства, ее материала.
Пример условий сопряжения для случая, когда терпят скачки компоненты внешней нагрузки, а линия скачка g' совпадает с аг const, пред-, ставляют собой равенства 9.18.1. Они выражают требования непрерывности четырех обобщенных усилий и четырех обобщенных перемещений и, так же как граничные условия, могут быть разбиты на две группы. К первой группе мы отнесем первые четыре равенства 9.18.1, заключающиеся в требовании непрерывности тангенциальных усилий и тангенциальных перемещений, и назовем их условиями тангенциальной непрерывности. Вторую группу составят условия нетангенциальной непрерывности, выражаемые четырьмя последними равенствами 9.18.1.
Переход от общей теории оболочек к безмоментной теории сопровождается понижением порядка уравнений. Поэтому необходимо условиться, какие краевые задачи должны ставиться для безмоментных уравнений, чтобы их решение представляло определенный физический интерес. Напрашивающийся ответ на этот вопрос заключается в том, что безмоментные уравнения надо интегрировать с учетом таких граничных условий и таких условий сопряжения, которые связаны с тангенциальными параллельными касательной плоскости направлениями, т. е. что в безмоментной теории, должны быть сохранены только тангенциальные граничные условия и условия тангенциальной непрерывности. Эта точка зрения и будёт принята в настоящем разделе книги. Она оправдана результатами, полученными в части II. Во всех рассмотренных там примерах оказалось, что решение сформулированной таким образом безмоментной краевой задачи определяет в первом приближении напряженно-деформированное состояние оболочки с точностью 14*


212
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
ГЛ. 15
до простых краевых эффектов, т. е. с точностью до локальных напряженных состояний, вызванных краями или другими линиями возмущения.
Таким образом, нам предстоит рассматривать краевые задачи, совпадающие по смыслу с полной краевой задачей § 7.8, с дополнительным предположением, что достаточно выполнять только требования тангенциальной непрерывности.
Замечание. Принятая постановка краевых задач безмоментной теории неуниверсальна, Так как могут встретиться случаи, когда невыполнимо разбиение граничных условий и условий непрерывности на тангенциальные и нетангенциальные. Для граничных условий это может Произойти, например, в случае, когда направление бесконечной жесткости опоры расположено косо, т. е. составляет с нормалью угол, отличный от нуля и я2. Для условий непрерывности это произойдет тогда, когда они ставятся на линии излома срединной поверхности. Такие случаи мы исключим из рассмотрения в настоящем разделе книги и вернемся к ним в части IV.
Ограничим, кроме того, класс полных безмоментных краевых задач, подлежащих рассмотрению в этой части книги, введя следующие
Дополнительные предположения.
1. Срединная поверхность оболочки всюду имеет определенную касательную плоскость, не содержит бесконечно удаленных точек, не касается плоскости вдоль замкнутой кривой и не имеет частей, совпадающих с плоскостью.
2. Все края оболочки — неасимптотические, т. е. нигде не проходят вдоль асимптотических линий и не касаются их.
3. Внешние силы, кривизны срединной поверхности и граничные условия достаточно гладки понятие о гладкости граничных условий будет разъяснено ниже.
Замечание. Нетрудно видеть, что требования, сформулированные в п. 1, сводятся к тому, что срединная поверхность должна быть неособой, в том смысле, как это понимается в § 9.13.
В дальнейшем речь идет только об идеализированных граничных условиях, и они будут подразделяться на геометрические и статические. Под геометрическими граничными условиями подразумеваются требования, чтобы краевые перемещения или углы поворота в некотором направлении, определенном в каждой точке края, имели заданное значение в однородном случае равное нулю. Аналогичный смысл имеют статические граничные условия, в которых вместо перемещений и углов поворота задаются усилия и моменты.
§ 16. Граничные задачи безмоментной теории оболочек
нулевой кривизны
В § 13.1 построены общие интегралы безмоментных уравнений произвольных оболочек нулевой кривизны. В них тангенциальные усилия и перемещения записываются с помощью равенств
тг тч тб, ss- sf т2 т п\
и1 — и1Ч Ц1б UlMy U2 U24 U26 U2M t W w4 w6 ШМ’
в которых величины, отмеченные верхним индексом ч, определены единственным образом при помощи формул 13.1.6, 13.1.10, величины, отмеченные верхним индексом б, выражаются формулами 13.1.8, 13.1.11, т. е. зависят от двух произвольных функций t а2, п а2, а величины, отмеченные верхним индексом м, выражаются формулами 13.1.13, т. е. зависят от двух других функций £ а2, т а2.
Для определения произвольных функций t а2, п а2, £ а2 и т а2 надо использовать граничные условия. В настоящей главе мы рассмотрим


§ 17]
КОНСОЛЬНАЯ ОБОЛОЧКА
213
эту задачу в предположении, что граничные условия ставятся на двух краях оболочки ух и у2, не имеющих общих точек, и что учитываются только тангенциальные условия.
Часто будет приниматься, что уравнения краев имеют вид
ai аъ ai ai2 а1ъ ai2 — константы, 15.16.2)
т. е. что края проходят вдоль координатных а2-линий, как это обычно бывает в практических задачах. В этом случае для краткости уь у2 будут называться- поперечными краями оболочки для произвольного цилиндра и для кругового конуса а2-линии представляют собой сечения поверхностей плоскостью, ортогональной оси вращения.
§ 17. Консольная оболочка нулевой кривизны
Под консольной будет подразумеваться такая оболочка, у которой один край для конкретности — уг свободен, а другой у2 жестко заделан.
В § 5.33 были рассмотрены граничные условия на свободном и на заделанном краях. Для случая, когда они проходят вдоль линии аг const,
Первые два из каждой группы представляют собой тангенциальные граничные условия. Поэтому, если края консольной оболочки совпадают с поперечными сечениями, то тангенциальные граничные условия можно брать в виде
7 О, S0 приа1 о11, 1711
А А 1 О. 1 1)
иг 0, ц2 — 0 при аг а12.
Здесь принято, что моменты 21 относительно малы и приведенные усилия Т и S21 заменены истинными усилиями 7, S21, кроме того, в силу равенства 7.4.1 отброшены нижние индексы при S.
В общем случае, когда края уъ у2 не совпадают с поперечными сечениями, тангенциальные граничные условия можно записать в виде равенств
Ту 0, Sy 0 на уг; и 0, v 0 на уг 15.17.2)
в которых Ту, Sy — нормальное и сдвигающее тангенциальные усилия в сечении, проведенном вдоль линии уь а и, v — тангенциальные перемещения, направленные по тангенциальной нормали и по касательной к линии у2 см. рис. 24.
Таким образом, для консольной оболочки надо рассмотреть полную
краевую задачу безмоментной теории, в которой тангенциальные граничные
условия имеют вид 15.17.1 или 15.17.2.


214
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
ГЛ. 15
В этом параграфе будем считать, чтоуь у2 представляют собой поперечные сечения, т. е. что граничные условия имеют вид 15.17.1. Их можно выполнить, приняв, что
определив правые части этих равенств при помощи формул 13.1.6 и 13.1.10 и считая, что в последних ах — а1Ь а2 а12, т. е. что в 13.1.6 интегрирование ведется от свободного края, а в 13.1.10 от заделанного. При этом как в 13.1.6, так и в 13.1.10 все интегралы обратятся в нуль и условия
15.17.1 выполнятся.
Итак, если считать, что в 13.1.6 и 13.1.10 нижние пределы интегрирования ai9 а2 постоянны, то величины, отмеченные верхним значком ч, составляют решение полной краевой задачи безмоментной теории для загруженной поверхностной нагрузкой консольной оболочки нулевой кривизны, у которой край аг а2 жестко заделан, а край а± аг свободен и не загружен краевыми силами.
В частности, перейдя от произвольной поверхности нулевой кривизны к цилиндру, т. е. положив Л2 А2 а2, R R а2 в 13.1.6 и 13.1.10, получим следующее решение полной краевой задачи безмоментной теории для консольной цилиндрической оболочки произвольного очертания:
это решение остается в силе и в случае, когда Е, ft, v меняются по аА, а2.
Для произвольной консольной оболочки нулевой кривизны решение определяют формулы 15.17.3, 13.1.6, 13.1.10, и нетрудно убедиться, что оно — единственное. Действительно, из 15.16.1, 13.1.8, 13.1.11 и 13.1.13 следует, что обсуждаемое решение получается при следующем выборе произвольных функций безмоментной теории оболочек нулевой кривизны:
Вместе с тем ни одну из этих функций нельзя считать отличной от тож’ дественного нуля, так как из 13.1.8 и 13.1.11 вытекает, что при этом нару шится по меньшей мере одно из условий 15.17.1.
ап
1
ai2
а, а,
15.17.4)
1 д г£ч—v7t°
Л2 да2 2Eh
1 д 1 д Тч —vT24 , Ti4 —vT4 47 ЖГ 47 да9 Ш. 1 2 Eh
ОС 12 ОС 12
t ос2 п а3 I а2 т а2 0.


§ 183
КОНСОЛЬНАЯ ОБОЛОЧКА
215
Из единственности решения 15.17.3, 13.1.6, 13.1.10 следует, что если речь идет об открытой имеющей прямолинейные края а2 const оболочке рис. 25, то для выполнения граничных условий на ее прямолинейных краях а2 const у нас нет произволов и эти условия могут выполниться только случайно. Поэтому формулы 15.17.3, 13.1.6, 13.1.10 мы будем трактовать как решение замкнутой не имеющей прямолинейных краев оболочки и заметим, что полная безмоментная краевая задача для открытой оболочки нулевой кривизны, вообще говоря, не имеет решения. Этого можно было ожидать заранее, так как прямолинейные образующие цилиндра являются асимптотическими линиями, т. е. совпадают с характеристиками уравнений безмоментной теории §§7.4, 7.5.
Аналогично ведут себя и нецилиндрические оболочки нулевой кривизны.
§ 18. Консольная оболочка нулевой кривизны продолжение)
Будем считать, как и в § 15.17, что расчету подлежит консольная оболочка нулевой кривизны с поперечными краями а1 а1Ъ а± а12, но теперь будет предполагаться, что поверхностная нагрузка отсутствует, а к свободному краю ах а1Х приложены тангенциальные силы Т а2)
и S21 а2. Тогда тангенциальные граничные условия примут вид
Ti UiM, S S 0С2 при аац, 15.18.1)
иг 0, и2 0 при аг а12, 15.18.2)
а величины с верхним значком ч частный интеграл обратятся в нуль,
так как предполагается, что поверхностная нагрузка отсутствует, т. е.
хг Х2 Z 0.
Заметив это, можно получить решение соответствующей полной задачи безмоментной теории, положив
Т, Тб S S6, u2 ui6 w 15.18.3)
и считая, что в формулах 13.1.8, 13.1.11 нижние пределы интегрирования
выбираются так же, как в § 15.17 аг а1Ь а2 а12.
Из 13.1.11 следует, что граничные условия 15.18.2 на жестко заде¬
ланном крае выполнятся при любых t а2 и п а2, а для того, чтобы выполнились граничные условия 15.18.1 на свободном крае, надо положить
n Tt icc2, t Si eg. 15.18.4)
Итак, решение рассматриваемой задачи получено. В общем случае
оно определяется формулами 15.18.3, 13.1.8, 13.1.11, а например, для произвольной цилиндрической оболочки, когда А2 А2 а2, R R ос2, его можно записать так:
,2
,б ___ 1 f а 4i
da, Ai Т,
S21 S12 s0 - Y- S„ T2 0,
Ai
Щ и I A2 2Eh J da2 A2 S,da, j 2Eh dau 15.18.5)
OC12


216
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
ГЛ. 15
18 z CXi
4-А Г 1 dai
2 J Аг да2 2Eh Л2
12 12
Формулы 15.18.5 так же, как и более общие формулы 13.1.8, 13.1.11, дают единственное решение рассматриваемой задачи. Действительно, отброшенные в равенствах 15.18.3 величины с индексом м нельзя считать отличными от нуля, так как тогда, согласно 13.1.13, надо положить отличными от нуля £ а2 и т а2, а это поведет к нарушению по меньшей мере одного из условий 15.18.2.
Отсюда вытекает, что 15.18.5, так же как 13.1.8 и 13.1.11, надо рассматривать как решение для замкнутой оболочки, так как в нем отсутствуют произволы для выполнения граничных условий на прямолинейных краях а2 const.
Таким образом, если считать, что в 13.1.8 и 13.1.11 нижние пределы интегрирования не зависят от а2, то определяемые ими величины,, отмеченные верхним значком б, составляют решение полной краевой задачи безмоментной теории для консольной оболочки, у которой поперечное сечение аг заделано, а поперечное сечение а2 свободно и загружено краевыми силами. Функции п, t в этом случае связаны с краевыми силами 71,1, Si формулами 15.18.4.
§ 19. Консольная оболочка нулевой кривизны
с косыми краями
Если края консольной оболочки расположены произвольно, то надо выполнить граничные условия 15.17.2, подразумевая в них под Ту, Sy усилия на косых по отношению к принятой системе координат сечениях, т. е. величины, которые можно выразить через 7, S21, S12, Г2 при помощи формулы 3.20.2. Равным образом перемещения и, v, отнесенные к направлению косого сечения, можно выразить через перемещения и1у и2, отнесенные к координатным направлениям. Тогда граничные условия 15.17.2 запишутся так:
— Ту Тг sin2 A, -f- 2S sin X cos Х--Т2 cos2 А, 0 на ух,
Sy Тг sin X cos -- S cos2 X — sin2 X — T2 sin X cos X 0 на уг9 и иг sin jli cos jli 0, v — иг cos p -f- u2 sin p 0 на y2. 15.19.2}
Здесь X — угол между ai-линией и краем уг см. рис. 9, а р— угол между а2-линией и краем у2. Кроме того, принято во внимание, что в безмоментных уравнениях S21 S12 S.
Разрешив равенства 15.19.1 относительно 7, S, получим
15.19.3}
равным образом равенства 15.19.2 дают
иг 0, и2 0 на у2.
15.19.4)


§ 20]
ИЗГИБАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
217'
Примем, что кривые у± и у2 задаются уравнениями аг аг1 а2 № ai ai2 аг и будем считать, что в формулах 13.1.6 и 13.1.10, определяющих величины с верхними индексами ч, а также в формулах 13.1.8' и 13.1.11, определяющих величины с верхними индексами б, нижние пределы интегрирования выбраны так: ах — а1± а2, а2 а12 аг- Тогда при аг а1г а2, т. е. на краю уг, будут справедливы равенства
тч 0, S4 0, Тб п 062, s6 t ai.
Равным образом при аг а12 а2, т. е. на краю у2, будут справедливы равенства
ич иб о, 4Ч 46 0.
Учитывая, кроме того, что Дб 0, заключаем, что граничные условия 15.19.3 и 15.19.4 можно выполнить, положив
Т Тч Тб, щ ич ив, 15.19.5)
и выбрав в формулах 13.1.8 функции п а2, t а2 так:
п“ Ж “ —15.19.6 У
Решение полной краевой задачи безмоментной теории для консольной оболочки с косыми краями построено. Оно единственно. Это следует из того, что величины, отмеченные индексом м, которые отброшены в 15.19.5, не могут быть отличны от нуля, так как они не удовлетворяют условиям 15.19.4.
Полученное решение, вообще говоря, теряет смысл, если sin X обращается в нуль где-либо в интересующей нас области изменения а2,т. е. если край уг касается прямолинейных образующих или проходит вдоль них. Это объясняется тем, что прямолинейные образующие поверхности нулевой кривизны являются характеристиками безмоментных уравнений.
§ 20. Изгибания поверхностей нулевой кривизны
Величины им г4м, шм, введенные в § 13.1, удовлетворяют однородным геометрическим уравнениям безмоментной теории, а следовательно, представляют собой перемещения, которые испытывает поверхность нулевой кривизны при изгибаниях §7.5. Таким образом, формулы 13.1.13, определяющие и и шм, задают при произвольных £ а2 и г а2 перемещения всех изгибаний, которые может иметь поверхность нулевой кривизны.
В дальнейшем будет важно знать, может ли срединная поверхность оболочки иметь изгибания, если смещения точек ее края или краев должны подчиняться некоторым тангенциальным геометрическим граничным условиям. Если такие изгибания невозможны, то будем говорить, что соответствующие граничные условия обеспечивают жесткость срединной поверхности.
Обсудим, при каких обстоятельствах станет жесткой поверхность нулевой кривизны. Пусть геометрические граничные условия имеют вид
иг sin р -f- и2 cos jli 0, 15.20.1)
т. е. представляют собой требования обращения в нуль краевого перемещения, образующего угол р с а2-линиями рис. 26, причем р может быть и функцией точек контура.


218
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
ГЛ 15
Примем, что на краю у поставлено два условия вида 15.20.1, т. е. должны выполняться равенства
MiMsinx Mcosx 0, им sin р'-f- и2ы cos р 0 15.20.2)
и будем считать, что край у охватывает поперечное сечение оболочки, т. е. задается уравнением аг а2, в котором
15.20.3)
ос»
и интервалу а21, а22 соответствует полный обход поперечного сечения. Если р 4 р, во всех точках у, то 15.20.2 эквивалентны равенствам
им 0, 4М 0,
15.20.4)
з из 13.1.13 видно, что им можно удовлетворить, только положив £ а2 — г а2 0 во всем интервале 15.20.3, т. е. для всех точек поперечного сечения поверхности. Одновременно 13.1.13 показывают, что при g г 0
все перемещения тождественно исчезают. Это значит, что два геометрических граничных условия вида 15.20.1 или, что тоже, вида
15.20.4, поставленные на краю у, охватывающем поперечное сечение поверхности нулевой кривизны, обеспечивают ее жесткость, т. е. обращают в тождественный нуль все перемещения, соответствующие изгибаниям этой поверхности.
Рассмотрим теперь случай, когда в общей сложности ставятся два геометрических граничных условия и одно из них задается на охватывающем поперечное сечение контуре уь а другое на таком же контуре у2 если геометрических условий больше, чем два, или если они оба ставятся на одном краю, то, как показал разобранный выше случай, жесткость срединной поверхности будет обеспечена. Тогда, положив для простоты, что уг и у2— поперечные сечения, задаваемые уравнениями аг аг и аг а2, получим из 13.1.13)
Рис. 26.
2, 1
cos Pi 0,
15.20.5)
I sin р2 Л cos р2 0
tPi Р2 — углы, определяющие направления нулевых перемещений на ухи у2 соответственно. Эти равенства образуют относительно £, г систему обыкновенных линейных однородных дифференциальных по а2 уравнений, которые надо интегрировать, требуя, чтобы £ и г возвращались к первоначальному значению после обхода замкнутой поверхности. Но система 15.20.5, вообще говоря, не имеет нетривиального не нулевого решения, удовлетворяющего таким требованиям. Это следует из того, что она сводится к однородному линейному уравнению первого порядка и ее общий интеграл определяется равенствами
£ cqa2,
в которых можно распоряжаться только константой с.
Итак, два геометрических граничных условия, поставленные на разных охватывающих краях уи у2, вообще говоря, делают поверхность жесткой. Однако возможны и исключения, к которым принадлежит случай, когда геометрические граничные условия имеют вид
иг 0 на ух и на у2.


§ 21]
ТЕОРЕМА О ВОЗМОЖНЫХ ИЗГИБАНИЯХ
219
При этом в уравнениях 15.20.5 надо положить jll1 jul2 0, и полученная система будет иметь решение £ const, т 0. Оно соответствует тривиальному изгибанию, заключающемуся в движении оболочки как жесткого целого для цилиндра и кругового конуса это будет движение в направлении оси х.
Пусть для некоторой оболочки не обязательно нулевой кривизны поставлена полная краевая задача безмоментной теории, заключающаяся в том, что на каждом краю сформулированы по два идеализированных тангенциальных граничных условия, среди которых, вообще говоря, будет находиться и некоторое число геометрических условий. Тогда можно ввести важное для дальнейшего понятие о возможных изгибаниях, подразумевая под этим такие изгибания срединной поверхности, которые удовлетворяют всем однородным тангенциальным геометрическим граничным условиям данной полной краевой задачи безмоментной теории. В число тангенциальных граничных условий задачи могут и не входить геометрические граничные условия. Тогда возможными надо считать все изгибания, которые имеет срединная поверхность оболочки, когда ее края ничем не стеснены. В дальнейшем выяснится, что с прочностной точки зрения наиболее выгодны они чаще всего и применяются на практике те оболочки, в которых тангенциальные геометрические граничные условия обеспечивают жесткость срединной поверхности, т. е. не допускают каких бы то ни было ее изгибаний. В таких случаях будем говорить, что возможные изгибания равны нулю.
Поясним понятие о возможных изгибаниях на примере консольной оболочки нулевой кривизны. Если края такой оболочки проходят вдоль поперечных сечений, то для полной краевой задачи тангенциальные граничные условия формулируются в виде четырех равенств 15.17.1, из которых к геометрическим граничным условиям относятся два последних равенства. Они совпадают с граничными условиями 15.20.4 и, как было показано выше, обеспечивают жесткость срединной поверхности. Это значит, что для консольной оболочки нулевой кривизны возможные изгибания равны нулю.
§ 21. Теорема о возможных изгибаниях
Для широкого класса случаев справедлива следующая
Теорема о возможных изгибаниях. Полная безмоментная краевая задача, отвечающая дополнительным предположениям § 15.15, имеет решение, удовлетворяющее тангенциальным условиям непрерывности, тогда и только тогда, когда соответствующие ей заданные внешние силы не совершают работы на перемещениях U всех возможных изгибаний срединной поверхности, и это решение единственно с точностью до U 61.
Сформулированную теорему мы доказывать не будем, приняв ее как условное утверждение, правильность которого будет проверяться по мере получения конкретных результатов. А пока ограничимся обсуждением условий теоремы.
Легко показать, что, если полная безмоментная краевая задача имеет решение, то в нем будут присутствовать элементы произвола, соответствующие возможным изгибаниям срединной поверхности. Перемещениям любого изгибания соответствуют нулевые компоненты тангенциальной деформации, а значит, в силу формул 7.1.4, и нулевые тангенциальные усилия. Поэтому перемещения возможного изгибания заведомо удовлетворяют однородным безмоментным статическим уравнениям и однородным статическим тангенциальным условиям. Кроме того, они по определению удовлетворяют однородным безмоментным геометрическим уравнениям и однородным геометрическим тангенциальным условиям. Таким образом,


220
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
ГГЛ 15
возможные изгибания удовлетворяют всем уравнениям и граничным условиям полной однородной граничной задачи безмоментной теории, и соответствующие перемещения всегда можно прибавить к решению этой задачи.
В практических применениях, как правило, приходится иметь дело с оболочками, в которых тангенциальные геометрические условия обеспечивают жесткость срединной поверхности, т. е. исключают ее изгибания в противном случае оболочка станет невыгодной в прочностном отношении; этот физически понятный факт подтвердится в части IV. Тогда возможные изгибания надо считать равными нулю, а это значит, что любая внешняя нагрузка будет удовлетворять условию нулевой работы и теорема о возможных изгибаниях превратится в теорему существования и единственности решения полной безмоментной краевой задачи при любой, достаточно гладкой, нагрузке.
Необходимость основного требования теоремы, т. е. условия нулевой работы, вытекает из равенства 7.7.6. В нем под U можно подразумевать любой вектор смещений, а под slf со, е2 — соответствующие ему компоненты тангенциальной деформации. Примем поэтому, что U определяет поле смещений некоторого возможного изгибания рассматриваемой задачи. Тогда в равенстве 7.7.6 надо положить е2 со е2 0, и оно примет вид
JJ U-RAlA2dalda2 ф -RAidon— RAzdaz 0. 15.21.1)
Здесь в левой части первое слагаемое выражает работу всех тангенциальных и нормальных поверхностных сил. Во втором слагаемом под Rl подразумевается тангенциальная проекция вектора ?1, и оно выражает работу тангенциальных краевых сил. При произвольном U на краю будут совершать работу как заданные внешние силы, так и силы реакции опоры. Однако вектор U задает возможные изгибания и должен удовлетворять геометрическим граничным условиям, т. е. он не имеет составляющей в тех направлениях, где могут возникнуть реактивные силы. Это значит, что равенство 15.21.1 представляет собой именно то условие нулевой работы всех заданных внешних сил, которое входит в формулировку теоремы, и необходимость его становится очевидной.
Дополнительные предположения, сформулированные в § 15.15, также необходимы.
Края оболочки должны быть неасимптотическими. Это следует из рассмотрения консольной оболочки нулевой кривизны. В такой оболочке тангенциальные граничные условия обеспечивают жесткость срединной поверхности § 15.20, и по теореме о возможных изгибаниях решение полной безмоментной краевой задачи должно было бы существовать при4 любой, достаточно гладкой, нагрузке. Однако в § 15.17 показано, что это решение можно построить только тогда, когда оболочка не имеет продольных краев, которые в данном случае проходят вдоль асимптотических линий. Более того, результаты § 15.19 показывают, что нельзя допускать даже касания края оболочки с асимптотической линией срединной поверхности.
На примере консольной оболочки нулевой кривизны можно убедиться и в необходимости требования гладкости величин 15.11.1. Решение соответствующей полной безмоментной краевой задачи определяется формулами 15.17.3, 13.1.6, 13.1.10, в которых все операции по переменной а2 заключаются только в дифференцировании. Поэтому усилия и перемещения 15.17.3, 13.1.6, 13.1.10 будут, вообще говоря, непрерывными только тогда, когда величины 15.15.1 достаточно гладки как функции точек поперечного сечения оболочки для замкнутой оболочки по переменной а2 должны выполняться не только условия гладкости, но и условия возврата, т. е. требования, чтобы рассматриваемая величина вместе с некоторым числом ее производных вернулась к прежним значениям после обхода поперечного сечения. А именно, для того чтобы выполнились тангенциальные условия


§ 21]
ТЕОРЕМА О ВОЗМОЖНЫХ ИЗГИБАНИЯХ
221
непрерывности § 15.15, т. е. были непрерывны величины S, 7, иъ и2, надо, чтобы величины 15.15.1 вместе со своими производными по а2 до порядков
dsZ дХг дХ2 дЕ dh
dal 9 да2 9 daf 9 да2 9 да2
включительно были непрерывны как функции точек поперечного сечения.
Конечно, в некоторых случаях, когда скачки взаимно погашаются, это требование можно смягчить.
По переменной аг в формулах 13.1.6, 13.1.10 выполняются только операции интегрирования, и нетрудно проследить, что условия тангенциального сопряжения на линии аг const, т. е. требования непрерывности величин S, Тъ ии и2 по аъ будут выполняться даже в том случае, когда скачки по а± имеют сами величины 15.15.1.
Итак, полная краевая задача безмоментной теории для консольной оболочки нулевой кривизны имеет единственное решение 15.17.3, 13.1.6,
13.1.10, как и должно быть, так как возможные изгибания в данном случае равны нулю. Однако это решение законно удовлетворяет условиям тангенциальной непрерывности только тогда, когда величины 15.15.1)
подчинены определенным требованиям гладкости значительно более жестким по а 2, нежели по аг.
Замечание. Повышенные требования гладкости по а2, так же как невозможность учесть граничные условия на продольных краях, для оболочки нулевой кривизны связаны с тем, что для нее линии a2 const совпадают с характеристиками уравнений безмоментной теории.
Требование гладкости граничных условий, включенное в дополнительные предположения § 15.15, также необходимо. Если в какой-либо точке края оболочки меняется смысл граничного условия или терпит скачок функция, входящая в формулировку граничного условия, и через эту точку проходит действительная характеристика безмоментных уравнений у, то на у, вообще говоря, произойдет нарушение условий тангенциальной непрерывности. Это видно из результатов решения полной краевой задачи для консольной цилиндрической оболочки, загруженной на свободном крае: усилия и перемещения в данном случае определяются формулами 15.18.5, имеющими силу только тогда, когда в правых частях условий 15.18.4 функции 71,1 и Si достаточно гладки. Другие примеры читатель найдет в § 15.25.
Общий интеграл безмоментных уравнений оболочек нулевой кривизны определяется формулами 13.1.6, 13.1.8, 13.1.9, 13.1.10, 13.1.11,
13.1.13. При этом в формулах 13.1.6, 13.1.10 компоненты поверхностной нагрузки Xl9 X2f Z неоднократно интегрируются по аг. Отсюда следует, что усилия и перемещения безмоментной теории будут при некоторых обстоятельствах неограниченно возрастать, даже если Хъ Х2, Z остаются всюду ограниченными. Рассмотрим, например, случай, когда Хъ Х2, Z постоянны поаь и проследим по формулам 13.1.6, как ведут себя усилия T4,S4, TffK
Если оболочка — цилиндрическая, т. е. если § 10.28)
Ai Ai0 аг, R2 R20 аг,
то, выполнив вычисления по формулам 13.1.6, получим
Rl0Z — Х2
пч 1—ai2 1
1 1 о
40 д“г л0 да2
:ч)
ах — ах)
Л° да2
л0 да2
RfZ — xX Tk4 — R2Z.
ai — axXx,


222
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
ГГЛ 15
Отсюда видно, что в цилиндрической оболочке усилия Тч S4 при постоянной по длине поверхностной нагрузке неограниченно возрастают с ростом а19 т. е. с увеличением длины оболочки. Легко проверить, что такими же свойствами обладает и оболочка нулевой кривизны, имеющая форму произвольной поверхности касательных, для которой § 10.28)
А2 Ар Арац R2 RP RP ai.
Если оболочка — коническая, т. е. если
А2 Ара ь R2 Rp аь
то вычисления по формулам 13.1.6 дают
уч j
2аг
+
А1 да2
Ар да2
rPz—x2
5ч =
ai —
rPz—x2
ТР — RP’aZ.
Эти формулы показывают, что в конической оболочке при нагрузке, не меняющейся вдоль образующей, усилия Тч, S4 возрастают как при
ач
оо, т. е. при увеличении длины оболочки, так и при аг I а I я
0, т. е. при
Рис. 27.
Рис. 28
приближении к вершине конуса. Отсюда следует необходимость дополнительных предположений об отсутствии бесконечно удаленных точек срединной поверхности и о существовании определенной касательной плоскости.
Недопустимо, конечно, и существование участков, на которых срединная поверхность превращается в плоскость, так как при этом R1X R12 R оо и третье силовое уравнение безмоментной теории становится бессмысленным.
Остается пояснить, с чем связано дополнительное предположение об отсутствии касания срединной поверхности с плоскостью вдоль замкнутой кривой. Для этого рассмотрим оболочку, срединная поверхность которой представляет собой полный круговой тор на рис. 27 показан его меридиан. Цилиндром аа он рассекается на две части: А — поверхность неотрицательной кривизны и В — поверхность неположительной кривизны. Пусть осесимметричная внешняя поверхностная нагрузка приложена как к части Ау так и к части В, так, как это показано на рисунке. В целом нагрузка статически уравновешена, но в отдельности для А и В ее равнодействующая дает ненулевую проекцию на вертикальную ось. Для полной краевой задачи безмоментной теории все условия обсуждаемой теоремы выполнены; в теории поверхностей доказано, что тор жёсток см., например, 19, т. е. он может


§ 22]
ШАРНИРНО ОПЕРТАЯ ОБОЛОЧКА
223
лишь двигаться как жесткое целое, а на таких смещениях самоуравновешен- ная нагрузка, приложенная к тору, не будет совершать работу. Тем не менее физически ясно, что решение полной краевой задачи безмоментной теории в этом случае невозможно. Отбросим часть В и заменим ее действие тангенциальными усилиями, приложенными к части А на сечениях, разделяющих эти части; тогда равновесие окажется невозможным, так как тангенциальные усилия не дают составляющей на вертикальную ось.
Подобные рассуждения можно провести и для любой другой замкнутей оболочки, срединная поверхность которой касается плоскости вдоль замкнутой кривой примером может служить оболочка вращения, меридиан которой изображен на рис. 28. Отсюда и следует недопустимость касания срединной поверхности с плоскостью вдоль замкнутой кривой.
§ 22. Шарнирно опертая оболочка нулевой кривизны
Возвращаясь к рассмотрению краевых задач безмоментной теории оболочек нулевой кривизны, примем теперь, что оболочка ограничена кривыми уъ у2, совпадающими с поперечными краями 15.16.2, и что на них осуществлено шарнирное опирание. Тогда тангенциальные граничные условия можно записать в виде равенств § 5.33)
Ti Ti,u Ы2 0 при ai ап, 15 22 1)
Т — Т, 2, 2 0 при ai ai2,
в которых предполагается, что а12 йц и что к краям у2 приложены заданные силы TT.i и ТТ,2.
Решение полной краевой задачи безмоментной теории, соответствующей условиям 15.22.1, зададим в форме 15.16.1, будем считать, что в формулах 13.1.6, 13.1.8, 13.1.10, 13.1.13 нижние пределы интегрирования выбраны обычным образом aA allt а2 а12, и начнем с выполнения статических условий.
Подставим в первое и третье равенства 15.22.1 выражения 15.16.1 и расшифруем Тч и Тб по формулам 13.1.6 и 13.1.8. Получим
“ Я.-;j £
2 1
2'1 t аа dai п Ы — Т, 2 — Т%
4 —'_р2
15.22.2.
Здесь
оч 2 at
- Tl U„ - j 4- Ц, j А £ RZ - MX, а,
и I 2 atl
dai -
— аЬ J i£irRZAXidcCi'
2 2
а
2, 1 — 2 aian, А2, 2 — А2 а1а12.
Равенства 15.22.2 позволяют найти сначала п а2, а затем и t ос2,. причем для определения последней получается простейшее дифференциальное по а2 уравнение, которое можно записать так:
tl5-22-3>
an


224
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
ГЛ. 15
Отсюда, воспользовавшись первым равенством 15.22.2, будем иметь
а2
■t Д- J Л2,2 Т. 2 Л2,1Т1 i Л2da2 Ci Ci const, a2i const.
a2i
15.22.4)
Обратимся к тангенциальным геометрическим условиям, выраженным •вторым и четвертым равенствами 15.22.1. Введя обозначение
2, 2 Icct cct,?
подставив выражения 15.16.1 во второе и четвертое равенства 15.22.1 и расшифровав и им п0 формулам 13.1.10, 13.1Л1, 13.1.13, получим для определения произвольных функций £ а2, т а2 уравнения
Здесь снова надо выполнять интегрирование по а2, и функция £ будет определена с точностью до двух констант Сь содержащейся в , и С2, появляющейся при определении £.
Как и раньше, полученные результаты следует рассматривать как решение безмоментных уравнений для замкнутой оболочки нулевой кривизны, и значит, надо выполнять условия возврата по а2.
Пусть величины Xl9 Х2, Z, Е, h, v достаточно гладки для того, чтобы частный интеграл, отмеченный значком ч, удовлетворял условиям возврата. Тогда надо потребовать, чтобы и t a2 удовлетворяло условию возврата, иначе, как видно из 13.1.8, будет иметь скачок сдвигающее усилие S. Выполнить это условие с помощью константы Съ входящей в t a2, нельзя, так как константа сама удовлетворяет условию возврата. Отсюда, учитывая 15.22.4, заключаем, что полученное решение для замкнутой оболочки имеет силу только тогда, когда выполняется равенство а2 2
U2, 2 71,2 A. i7l, i da2 0 15.22.6)
a2i
пределы интегрирования соответствуют обходу поперечного сечения оболочки.
Условие 15.22.6 имеет простой физический смысл. Усилия, отмеченные индексом ч, для любой конечной части оболочки должны, очевидно,


§ 23]
ЖЕСТКО ЗАДЕЛАННАЯ ОБОЛОЧКА
225
находиться в равновесии с поверхностными силами Хъ Х2, Z. Так как на свободном конце оболочки Тч 0, то величина
Т:А2, 2 dai
a2i
равна проекции равнодействующей всех поверхностных сил, приложенных к оболочке, на направление оси л; декартовой системы координат см. рис. 18, § 11.28. Отсюда следует, что 15.22.6 представляет собой условие уравновешенности в том же направлении всех сил поверхностных и краевых, приложенных к оболочке. Это условие, конечно, необходимо для существования решения, так как реакции шарнирных опор не могут воспринять продольных сил.
Если выполнено условие 15.22.6 и если исходные данные задачи, т. е. величины Xl9 X2, Z, Е, h, v, 71д, 71,2, представляют собой достаточно гладкие функции точек поперечного сечения оболочки, то усилия и перемещения, отмеченные индексом б, определяются формулами 13.1.8, 13.1.11, так же как достаточно гладкие функции точек поперечного контура, и будут зависеть от константы С±. Последнюю надо выбрать так, чтобы при интегрировании первого равенства 15.22.5 для функции Е а2 выполнились условия возврата иначе и19 как функция точек поперечного сечения, будет иметь скачок. Константа С2, получающаяся при интегрировании первого равенства 15.22.5, останется неопределенной. Это естественно, так как шарнирная опора не препятствует смещению оболочки как жесткого целого в направлении оси л: декартовой системы координат.
Тангенциальные геометрические граничные условия рассмотренной полной краевой задачи, как было показано в § 15.20, допускают изгибание срединной поверхности тривиальное изгибание, сводящееся к продольному жесткому смещению, и полученные результаты полностью соответствуют теореме о возможных изгибаниях. Условие разрешимости 15.22.6 сводится к требованию обращения в нуль работы внешних сил на жестких продольных смещениях, а решение определяется с точностью до этих смещений.
§ 23. Жестко заделанная оболочка нулевой кривизны
Пусть оба поперечных края уг, у2 оболочки нулевой кривизны жестко заделаны. Тогда тангенциальные граничные условия будут записываться так § 5.33:
щ0у и2—0 при а1а11 и при а1а12. 15.23.1)
Решение полной краевой задачи и в этом случае будем искать в виде
15.16.1. При этом удобно считать, что в формулах 13.1.10, 13.1.11,
13.1.13, определяющих перемещения, интегрирование ведется от одного из заделанных краев, т. е. положить, например, а2 а12. Что же касается формул 13.1.6, 13.1.8, определяющих тангенциальные усилия, то в них в данном случае выбор предела интегрирования а2 не имеет значения.
Граничные условия 15.23.1 на краю аг а12 выполнятся, если в формулах 13.1.13 положить
1 Л 0-


226
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
ГЛ. 15
Для определения t а2, п а2 надо использовать граничные условия 15.23.1 при аг а21. Они приводят к равенствам
ОС-ц
Oia
Т -v74)
2Eh
dax —
где
„Ч и2, '
a12 a12 J a12
Л2Л I -fe-tl2 —1 —Л
r4 — v74 \
ai2 oi2 oi2
М4г +
an oi Г Сбг
Л2'111 j жг4fdai
2£i
■j
dai
y2 ’
12
ai2 a2
dax dax 2Ш«
Л2 1 J f 5a2 j 2£M2 ’
которые образуют систему двух обыкновенных дифференциальных по а2 уравнений с двумя неизвестными tun. При интегрировании этой системы в общем случае это будут линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами надо учитывать условия возврата. Легко показать, что такое решение единственное существует при любых, достаточно гладких, нагрузках. Это вполне согласуется с теоремой о возможных перемещениях, которая превращается, в данном случае, в теорему существования и единственности, так как геометрические тангенциальные граничные условия обеспечивают жесткость оболочки § 15.20.
По аналогичной схеме решается и задача для оболочки, один край которой шарнирно оперт, а другой — свободен. На этом мы не будем останавливаться.
§ 24. Оболочка нулевой кривизны со свободными краями
Пусть оба поперечных края оболочки нулевой кривизны свободны й
к ним приложены краевые силы 7ifi, Si, S2 соответственно. Тогда
тангенциальные граничные условия запишутся так:
Т Тиъ s si при а1аи, 15.24.1)
Т — Т, 2, S SZ npHai ai2. 15.24.2)
Все эти четыре равенства, вообще говоря, невозможно выполнить в рамках решения полной краевой задачи безмоментной теории, так как в общем


ЗАДАЧИ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
227
интеграле 15.16.1, 13.1.6—13.1.8, 13.1.10, 13.1.11, 13.1.13 безмоментных уравнений в выражение для тангенциальных усилий входят только две произвольные функции п а2 и t а2, содержащиеся в величинах с индексом б. Две другие произвольные функции а2 иг а2 нельзя использовать потому, что они входят лишь в величины с индексами м, которые не содержатся в выражениях для тангенциальных усилий.
Будем выполнять только условия 15.24.1. Они совпадают с условиями 15.18.1. Поэтому можно воспользоваться результатами §§ 15.17, 15.18 и записать тангенциальные усилия, удовлетворяющие условиям 15.24.1, при помощи первых трех равенств 15.16.1,. считая, что величины с индексами ч и б определяются равенствами 13.1.6, 13.1.10 и 13.1.8,
13.1.11, в которых принято а1 — allt и что функции п а2 и t а2 выбраны так:
па2 Т1ъ ta2 Sl 15.24.3)
Подставив соответствующие выражения в граничные условия 15.24.2, получим два равенства
В них, как и раньше, Л2, i Л2,2 — значения коэффициента А2 на соответствующих краях оболочки.
Равенства 15.24.4, очевидно, представляют собой необходимые и достаточные условия существования решения рассматриваемой полной краевой задачи безмоментной теории. Если поверхностные и краевые силы удовлетворяют равенствам 15.24.4, то тангенциальные усилия будут одно-' значно определены формулами 15.16.1, 13.1.6 и 13.1.8. Перемещения при этом не будут однозначными, так как можно считать, что ul9 u2t w определяются тремя последними равенствами 15.16.1, в которых пгм, иSM, шм надо брать по формулам 13.1.13, а последние содержат две произвольные функции I а2, г а2.
Условия 15.24.4 по смыслу совпадают с требованиями, чтобы внешние поверхностные силы Xl9 X2f Z и внешние краевые силы Tit9 Tf2, Si, S2 не совершали работы на всех таких перемещениях срединной поверхности, которые соответствуют ее изгибаниям на доказательстве мы не останавливаемся, его можно найти в работе 60. Такое же утверждение остается верным и для произвольных оболочек положительной кривизны см. §18.36-
§ 25. Задачи с дополнительными условиями
внутри области
Пусть расчету подлежит замкнутая цилиндрическая оболочка, жестко заделанная по обоим поперечным краям аг al9 аг а2 и имеющая разрез вдоль части одного из поперечных сечений рис. 29. Покажем, что


228
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
ГГЛ. 15
соответствующая полная краевая задача безмоментной теории не имеет 1 решения.
Расчленим оболочку на три части, как изображено пунктирными линиями на рис. 29, и будем решать полные краевые задачи безмоментной теории в отдельности для каждой из полученных оболочек. Части 1 и 2 представляют собой консольные оболочки, а часть 3 — оболочку, жестко заделанную
Рис. 29.
по обоим краям. Соответствующие полные краевые задачи рассмотрены в §§ 15.17, 15.23. Каждая из них при любой,, достаточно гладкой, нагрузке имеет решение и притом единственное. Это значит, что в пределах каждой, отдельно взятой части безмоментная теория не может дать никакого другого апряженно-деформированного состояния, кроме найденного вышеописанным способом. Вместе с тем, для оболочки в целом это решение, вообще говоря, непригодно: на линиях, по которым оболочка мысленно рассекалась на части пунктир на рис. 29, мы не можем выполнять какие- либо требования, и в обсуждаемом решении не будет обеспечено выполнение условия тангенциальной непрерывности.
Полная краевая задача безмоментной теории в этом случае не решается потому, что условие, появившееся внутри области, негладко § 15.15: на разрезе надо ставить условие отсутствия усилий, а на продолжении разреза должны выполняться обычные условия тангенциальной непрерывности. Таким образом, здесь нарушается одно из условий теоремы о возможных изгибаниях.
Замечание. Добавление промежуточного условия само по себе не ведет к невозможности решать краевую задачу. Например, если в консольной цилиндрической оболочке на некотором промежуточном поперечном сечении закрепить все точки от тангенциальных перемещений, то появится дополнительное условие тангенциальной непрерывности и решение полной краевой задачи будет существовать, в чем читатель легко убедится сам.
Нетрудно привести и пример противоположного характера, когда промежуточного условия нет, но решение полной краевой задачи безомомент- ной теории не существует, так как граничные условия негладки. Пусть цилиндрическая оболочка жестко заделана по всему периметру.на одном из краев, а на другом краю — частично заделана, частично свободна, рис. 30. Тогда исследование можно свести к задаче для консольной оболочки 1 и к задаче для заделанной на обоих концах оболочки 2. Их решениями, единственным образом, определяется напряженно-деформированное состояние Э зонах 1 и 2, но для оболочки, в целом результат будет снова непригоден.


ЗАДАЧИ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
229
так как в нем, вообще говоря, не выполняются условия тангенциальной непрерывности по прямолинейной образующей.
При исследовании оболочек с отверстиями можно поступить так же, как и в задаче об оболочке с разрезом. Снова получаются три самостоятельные задачи, как видно из схемы, изображенной на рис. 31. В данном случае края консольных оболочек 1 и 2 не совпадают с поперечными сечениями цилиндра, т. е. получается задача, разобранная в § 15.19. Она, вообще говоря, не имеет решения, так как в точках а, b происходит касание края с прямолинейными образующими. Кроме того, в тех исключительных случаях, когда такие решения существуют, полученное напряженное состояние, вообще говоря, не будет удовлетворять условиям стыка на линиях разрезов.


ГЛАВА 16
ВЫПУКЛЫЕ ЗАМКНУТЫЕ БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ. СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
§ 26. Полюсы комплексной функции напряжений
Пусть срединная поверхность оболочки представляет собой полную замкнутую сферу и поверхностная нагрузка отсутствует Xl X2 Z 0. Из теоремы единственности § 5.32 вытекает, что для такой оболочки моментные уравнения будут иметь лишь тривиальные нулевые решения. Это утверждение остается верным хотя и не таким очевидным и для безмоментных статических уравнений. Действительно, решение последних в рассматриваемом случае определяется комплексной функцией напряжения ф £, которая § 13.4 должна быть аналитической во всей плоскости £ и иметь нули в точках £ 0, £ оо. По теореме Лиувилля она тождественно равняется нулю, что согласно формулам 13.4.2 и означает обращение в нуль напряженного состояния оболочки.
Вместе с тем не представляет труда построить отличную от нуля комплексную функцию напряжений ф £, обладающую перечисленными выше свойствами всюду, кроме некоторой точки £ £0, в которой для ф £ допускается полюс. Примером служит функция
R
г0
Она определяет безмоментное напряженное состояние полной сферической оболочки для случая, когда поверхностная нагрузка равна нулю в любой области, не содержащей точки £ £0. Поэтому естественно считать, что полюс функции напряжений ф £ при £ £0 £0 ¥0 £в Ф °° соответствует приложению в данной точке некоторого сосредоточенного силового воздействия. Равным образом естественно, принять, что полюсу функции £2Ф £ в точке £ 0 и полюсу функции £2ф £ в точке £ оо отвечают сосредоточенные силовые воздействия, приложенные, соответственно, в точках £ 0 и £ оо.
Рассмотрим очевидное равенство
lim
Z-Qn К-Ь,"
£о-?о S-So1
а const.
Оно показывает, что, если два полюса порядка я, расположенных в точках £0 и £q, бесконечно сближаются, а их коэффициенты различаются только знаком и возрастают как £ — £0 т0 в пределе получается полюс порядка я 1. Это значит, что сосредоточенные воздействия-, соответствующие полюсам более высокого порядка, можно рассматривать как результат слияния равных и противоположно направленных неограниченно возрастающих


§ 26]
ПОЛЮСЫ КОМПЛЕКСНОЙ ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ
231
сосредоточенных воздействий, которые отвечают полюсам более низкого порядка.
Пример. Пусть некоторому полюсу соответствует тангенциальная сосредоточенная сила р. Сближая р и р' ортогонально р рис. 32, а, получим момент Я, ось которого совпадает с нормалью срединной поверхности.
Рис. 32.
Сближая р и р’ вдоль направления р, получим нормальную сосредоточенную силу q рис. 32, б. В обоих случаях по мере сближения р и ?' надо безгранично увеличивать интенсивность р. Таким образом, в безмоментной теории Н и q надо рассматривать как сосредоточенные силовые воздействия более высо- кого на единицу порядка, нежели ?.
Равным образом легко сообразить, что, сближая силы q и q мы получим момент т относительно оси, лежащей в касательной плоскости рис. 33; такой же момент получится и при сближении Я с Я'. Ниже все эти рассуждения будут подтверждены выкладками.
При сближении сосредоточенных моментов могут получаться уже и самоуравнове- шенные сосредоточенные воздействия, которые естественно назвать полимоментами.
Поэтому под сосредоточенным силовым воздействием, соответствующим полюсу произвольного порядка, в безмоментной теории сферических оболочек надо понимать некоторую сумму сосредоточенных факторов, включающую, кроме сил и моментов, также и полимоменты.
Если задан полюс комплексной функции напряжений ф £, то можно подсчитать интенсивность несамоуравновешенной части соответствующего сосредоточенного воздействия, т. е. найти входящие в него силу и момент, при помощи интегральных уравнений равновесия. В § 14.13 они были получены для произвольной оболочки. Перепишем их в виде равенств
16.26.1 Js—n-bAfa1-r,L S хИ в 16.26.2)
g


232
ВЫПУКЛЫЕ ЗАМКНУТЫЕ БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ
ГЛ. 16
и будем применять их к статическим безмоментным уравнениям сферической оболочки. Считая, что последняя имеет зоны, свободные от поверхностной нагрузки, выберем в 16.26.1, 16.26.2 контур интегрирования g так, чтобы он целиком находился внутри незагруженной зоны. Тогда в контурных интегралах тангенциальные усилия 7, Т2, S будут, согласно 13.3.4, выражаться через t и s так:
Тг — ch2ax, T2 — t ch2ax, Ssch2,
и интегральные уравнения равновесия приведутся к виду
Im Г t -f- is ch2 аг Мг -j- Ш2 dat -- ida2 ?,
Itn J t -f- is ch2 аг Мг -f- tM2 x M dat -f- da2J Q.
16.26.3)
Но в точках, где отсутствует поверхностная нагрузка, и, в частности, на кривой g должны выполняться однородные уравнения 13.2.7. Следовательно,
t--is ф у. 16.26.4)
Кроме того, мы имеем
dax -f- ida2 dy. 16.26.5)
Рассмотрим векторные множители, входящие в подынтегральные выражения 16.26.3. По формуле 13.2.3 получим
ch2 М1 Ш2 — г sh yix -j- ir ch уiy — riz. 16.26.6)
Помножив обе части этого равенства векторно на М и выполнив очевидные действия, получим
ch2ax Afx -- iM2 X М —ir2shyix — r2chyiy—ir4z. 16.26.7)
Внесем 16.26.4—16.26.7 в формулы 16.26.3. Тогда, приравняв в обеих частях каждого из полученных равенств коэффициенты при одина ковых ортах, мы придем к следующим скалярным соотношениям:
R — г Im J ср у sh у dyj , Ry г Im ji J ф у ch у dyj,
Rz —rm j cpydyj,
Qx — r2 Im j1’ j ф y sh у dyj, Qy — r2 Im jj cpychydyj,
Qz — r2Imt j cpydyj,
которые удобно, сгруппировав по два, записать в виде трех комплексных равенств:
Т2 г “тт 'Jcpyshydy, j cpychydy,
g g
4—4TrfY-


§ 26]
ПОЛЮСЫ КОМПЛЕКСНОЙ ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ
233
Наконец, заменив независимое комплексное переменное у через £ по формуле 13.4.1, получим для сферической оболочки, отнесенной к изотермической географической системе координат:
Эти равенства можно назвать интегральными уравнениями равновесия в комплексной форме.
Пусть в некоторой окрестности точки £ 0 функция £-2ф £ всюду аналитична, за исключением £ 0, где она имеет полюс. Тогда при достаточно малом р в круге £ р функцию ф £ можно представить в виде
где £“2ф0 С — аналитическая функция при £ р.
Будем выяснять, какие силы и моменты входят в состав сосредоточенных воздействий, соответствующих отдельным слагаемым правой части этого равенства.
Слагаемое ф0 £ удовлетворяет всем условиям, сформулированным в § 13.4, и не будет давать каких бы то ни было сосредоточенных воздействий. Для исследования других слагаемых правой части 16.26.9 будем подставлять их в интегральные уравнения равновесия, считая, что интегрирование надо производить по окружности £ р. Тогда вычисление интегралов 16.26.8 для каждого отдельно взятого члена разложения 16.26.9 может быть выполнено при помощи известной формулы теории функций комплексного переменного
в которой ф обозначает интегрирование по любому замкнутому контуру, окружающему точку £ 0 в частности, по окружности £ р.
Имея в виду 16.26.10 и положив в формулах 16.26.8)
Слагаемые, объединенные в 16.26.9 знаком суммы, после подстановки в интегральные уравнения равновесия 16.26.8 дают
Таким образом, в правой части формулы 16.26.9 первое слагаемое в точке £ 0 вообще не дает никаких сосредоточенных силовых воздействий, три следующих слагаемых дают силовые воздействия, в состав которых входят сила и момент, а слагаемые вида ап1п при п —2 дают статически самоуравновешенные сосредоточенные силовые воздействия.
j Qx i
а2 2
Ry Чу l
r 1 2
.. Qy
Г
g
16.26.8)
g
t 0 to 0 о а-хГ1 Sa£. 16.26.9)
n—2
0 при p4 1,
2ni при p —— 1,
16.26.10)
получим:
16.26.11)
16.26.12)
R, Ry R2 Qx Qy Qz o.


234
ВЫПУКЛЫЕ ЗАМКНУТЫЕ БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ
ГЛ. 16
Формулами 16.26.12 сосредоточенная сила и момент выражаются через 3??анные К0ЭФФиЦиенты аъ а0 и а_х главной части ряда Лорана функции £”2Ф £• Разрешив эти равенства относительно аъ а0, а_г, получим формулы
ал =
1
2л
I 1 Rz J 0.2 \
0 2л г г ’
Оу
Rx
i
2л
Ru
I Qx Г Г2
1
2л
“I 721 —
I
2л
Qx г2 У
16.26.13)
позволяющие по заданным сосредоточенной силе и моменту в точке £ О найти три первых коэффициента ряда Лорана функции ф £.
В интегральных уравнениях равновесия под Qx, Qy, Qz подразумеваются компоненты вектора того момента, который дает внешние воздействия относительно начала координат. Если в состав внешнего воздействия входит сосредоточенный момент с компонентами Qx, Q°y, Q°z и сосредоточенная сила с компонентами Rx, Ry, Rz, то можно написать формулы
Qx — Qx -f- Qx9 Qy — Qy у Q;Q° Ql.
В них звездочкой отмечены компоненты вектора момента, который дает сосредоточенная сила Rx, Ry, Rz относительно начала декартовой системы координат. Нетрудно видеть рис. 34, что
Qx rRy, Qy — rRx, Qz 0.
Воспользовавшись этим, перепишем формулы 16.26.13 так:
. Q2
On
1
2л
2 Rx
Г
1
2л
Rz
Г
I
2л
2Ru Q ,
16.26.14)
а, ■
0°
ЧУ
2 л г
2лг
Из них вытекает, что: 1 если в точке £ 0 верхний полюс географической системы координат приложена сосредоточенная сила, лежащая в касательной плоскости, то этому соответствует полюс первого порядка функции £“2ф £; 2 если в точке £ 0 приложена нормальная сосредоточенная сила и сосредоточенный момент, вектор которого направлен по нормали, то этому соответствует полюс второго порядка 'функции £2ф £; 3 если в точке £ 0 приложен сосредоточенный момент, вектор которого


§ 26]
ПОЛЮСЫ КОМПЛЕКСНОЙ ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ
235
лежит в касательной плоскости, то этому соответствует полюс третьего порядка функции £2ф £.
Эти результаты полностью подтверждают общие рассуждения, приведенные в начале настоящего параграфа. Дополнительно выяснилось, что в сферической оболочке простейшему силовому воздействию — тангециаль- ной сосредоточенной силе — соответствует простейшая особенность комплексной функции напряжения — полюс первого порядка. Учитывая это, назовем тангенциальной сосредоточенной силой такое сосредоточенное воздействие, которое статически эквивалентно этой силе и соответствует наименьшей из всех возможных особенностей комплексной функции напряжения. Можно показать на чем мы не будем останавливаться, что такое формальное определение, во-первых, остается в силе не только для сферической оболочки, но и для любой оболочки положительной кривизны, и во-вторых, оно по смыслу совпадает с обычным представлением о сосредоточенной силе как о пределе, к которому стремится равномерно распределенная нагрузка при беспредельном уменьшении области ее приложения и беспредельном увеличении ее интенсивности.
Случай, когда функция £2ф £ имеет полюс в точке £ оо, исследуется точно так же. Пусть вблизи £ оо функция ф £ может быть представлена в виде
ф £ 0 Ы Ьо Ъ-1 Г1 if 16.26.15)
п2
где £2фоо £ — функция, аналитическая вблизи £ оо. Тогда слагаемое
фсо £ не будет давать никаких сосредоточенных факторов; слагаемые, объ¬
единенные знаком суммы, дадут статически уравновешенные сосредоточенные воздействия, а слагаемые Ьх£, Ь0, будут соответствовать действию
на оболочку сосредоточенной силы и момента. Компоненты этой силы и момента определяются формулами:
у i -yr п -i ш Фх Ь-0»
-- — ir 2nb0, 16.26.16)
обратив которые, получим соотношения
ь‘-М---Мг-’ 1б-2б-17)
2я г ' г.2 ' 2л г г2 /
Здесь также компоненты момента составляются из двух слагаемых: Qx — Qx -- Qx Qy Qy -f- Qy Qz Qz -f- Qz>
из которых первые соответствуют сосредоточенному моменту, а вторые — тому моменту, который дает сосредоточенная сила Rx, Ry, Rz относительно начала координат. Для Qx, Qy, Qz мы имеем формулы см. рис. 34)
Qx rRy Qy rRx Qz — 0.


236
ВЫПУКЛЫЕ ЗАМКНУТЫЕ 6ЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ
1.ГЛ. 16
Поэтому вместо 16.26.17 можно написать
Ьо =
2я
6-1 =
2я
2?*
2яг
“f н—2jT
1
кя-
2Ry Q]
г г
16.26.18)
Рассмотрим теперь случай, когда комплексная функция напряжения имеет полюс в произвольной точке С Со Со отлично от нуля и бесконечности. Пусть в некоторой односвязной достаточно малой области G', содержащей точку С Со, функция ф С имеет вид
00 ГГ^
16.26.19)
Первое слагаемое правой части, под которым подразумевается аналитическая часть функции ф С, будет в малой окрестности точки С Со давать напряженное состояние, отвечающее случаю, когда область G' свободна от внешних поверхностных сил. Три последних слагаемых соответствуют загру- жению оболочки в точке С Со сосредоточенной силой и моментом. Чтобы убедиться в этом, воспользуемся интегральными уравнениями равновесия 16.26.8 и подсчитаем с их помощью Rx, Ry, Rz, Qx, Qyj Q2, положив
.c.
SSo2 C —Co3 '
Получающиеся при этом интегралы подсчитываются при помощи известной формулы для п-й производной аналитической функции комплексного переменного
f 9 dt
S - So)
ГЫ--Йг^
Используя ее, получим без труда Rx
21
• Qx
i -Ц- — л
г2
Г2
-О
Ry_
г
Qy
I —s- т
Со Л I 2 Сд
ui г “Гз й"
ЬО ьо ■
ГСо 2С2 , ЗС3
1— f3 с4 ЬО ьо
й
16.26.20)
— г —§- — 2я
Г Г2
А
So
_ 2 ]
г2 1~
Ьо
5-3
bo
Эти соотношения можно разрешить относительно С19 С2 и С3, и тогда они примут вид
с - UR iU 1 _/
1 “ 2я “Т2 Н оТГ7“ 1 Г“ 1 r2 I’
2я1
С‘ — -ST ■-Й +
2яг
Г “7 г 2Со Со -ъс ■i -- 16.26.21)
Rz
: Qz
Cl-— -5г-7 — Й— +
ТЯГ —‘ ® й ф • -■ й-


27 СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ НА СФЕРИЧЕСКУЮ ОБОЛОЧКУ 237
§ 27. Действие сосредоточенных сил и моментов
на полную сферическую оболочку
Пусть к замкнутой сферической оболочке в точках £ 0 и £ £0 и только в них приложены сосредоточенные силы и моменты. Примем пока, что £0 ф оо, и будем искать соответствующую комплексную функцию напряжений ф £. Эта функция должна быть аналитической во всей плоскости £, за исключением точек £ Ои£ £0. В общем случае функция ф £ имеет полюс третьего порядка при £ £0, а функция £2ф £ имеет полюс третьего порядка при £ 0.Кроме того, должно быть выполнено условие, что £2ф £— аналитическая функция при £ оо. Всем этим требованиям удовлетворяет функция вида
16-27"
/
в которой С19 С2, С3 — произвольные комплексные константы. Последними можно распорядиться так, чтобы компоненты сосредоточенной силы Rx, Ry, Rz и сосредоточенного момента Qx, Qy, Qz имели заданное значение. Так как в правой части равенства 16.27.1 первое слагаемое вблизи £ £0— аналитическая функция, то формула 16.27.1 представляет собой частный случай 16.26.19. Следовательно, константы Сь С2, С3 определяются формулами 16.26.21.
Поставленная задача решена в вычисления не вошли сила и момент, приложенные в точке £ 0; это происходит потому, что они должны удовлетворять условиям уравновешенности оболочки в целом, из которых и определяются единственным образом.
Замечание. Первое слагаемое в правой части равенства 16.27.1 введено для того, чтобы £2ф £ не имела полюса при £ сю. Если имеется в виду случай, когда £ оо не входит в рассматриваемую область, то это слагаемое можно отбросить.
Не представляет труда обобщить полученный результат на случай, когда оболочка загружена сосредоточенными силами и моментами в п 1 точках £ £р £р Ф оо, р 1, 2, , п и £ 0. Комплексная функция напряжений, соответствующая этому случаю, имеет вид
®2-гтЫ- 16-27-2>
Р1
где Cpi, Ср2, Срз — комплексные константы. Эти константы для каждого р в отдельности вычисляются по заданным компонентам силы и момента, приложенных в точке £ £р при помощи формул 16.26.21.
Формула 16.27.2 составлена в предположении, что в верхнем полюсе географической системы координат, т. е. в точке £ 0, оболочка, вообще говоря, будет испытывать действие силы и момента. Однако 16.27.2 остается в силе и в случае, когда точка £ 0 не загружена. Для этого надо только выбирать силы и моменты, приложенные в точках £ £р, так, чтобы они были в совокупности уравновешены. При этом в точке £ 0 сосредоточенные силы и моменты будут отсутствовать. Более существенно принятое выше предположение, что ни одна из точек приложения сосредоточенных сил и моментов не совпадает с нижним полюсом географической системы координат £р оо. Поэтому задачу о построении комплексной функции напряжения для случая, когда сосредоточенная нагрузка действует в точке £ оо, надо рассмотреть отдельно.
,,, Пусть сосредоточенные силы и моменты, действующие на замкнутую сферическую ободочку, приложены только в точках £ 0 и £ оо. Тогда


238
ВЫПУКЛЫЕ ЗАМКНУТЫЕ БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ
ГЛ. 16
искомая комплексная функция напряжений, очевидно, может быть задана в виде
ф£ я1£ а0 -з-' 16.27.3)
Она уже была исследована в § 16.26, и, пользуясь этим, комплексные константы а_1у а0, а1 при заданных силах и моментах можно подсчитать по формулам 16.26.13 или 16.26.18.
§ 28. Перемещения полной сферической оболочки
под сосредоточенными силами и моментами
Рассмотрим изгибания сферы. Если последняя замкнута, то они задаются комплексной функцией перемещений g С, которая должна быть аналитической во всей плоскости £, за исключением точек £ 0, £ оо; в них для g £ можно допустить полюсы не выше первого порядка § 13.4. По теореме Лиувилля все функции, обладающие такими, свойствами, задаются равенством
£ 0 Н £_i£ \
в котором В19 В о, В_г — произвольные комплексные константы.
Таким образом, все изгибания полной сферы зависят от трех комплексных, или, что то же, от шести действительных констант. Это будут так называемые тривиальные изгибания, т. е. смещения сферы как жесткого целого, что легко проверить прямыми вычислениями при помощи формул 4.27.9. Отсюда следует хорошо известное утверждение о жесткости неизгибаемости полной сферы. Оно является частным случаем классической теоремы Гаусса о жесткости овалоида произвольной достаточно гладкой замкнутой поверхности всюду положительной кривизны.
В силу статико-геометрической аналогии из теоремы о жесткости овалоида следует теорема единственности решения статических безмоментных уравнений для любой оболочки, имеющей форму полного овалоида. Действительно, рассмотрим уравнения изгибаний в деформациях 7.5.2. Для полного овалоида они могут иметь только тривиальное решение х2 т 0 иначе овалоид был бы не жестким. Из статико-геометрической аналогии следует, что для полного овалоида однородные статические безмоментные уравнения 7.4.2 также имеют лишь тривиальное решение.
Обратимся теперь к определению по безмоментной теории перемещений, возникающих в полной сферической оболочке при действии на нее' сосредоточенных сил. В § 13.4 при постоянных В, ft, v выведено равенство 13.4.5, при помощи которого можно определить искомые перемещения по формулам 13.3.5.
В 13.4.5 под ф £ надо подразумевать комплексную функцию напряжений, соответствующую действию на оболочку заданной системы сосредоточенных сил и моментов §§ 16.26, 16.27. Задача, таким образом, сводится к такому подбору аналитической функции Н £, при котором ?б iq6 будет на всей плоскости £ однозначной функцией точек срединной поверхности.
Покажем, как это может быть сделано, считая для простоты записи, что сосредоточенные силы и моменты приложены только в двух точках £ 0 и £ £0 обобщения очевидны.
В силу принятых предположений ф £ будет регулярной функцией во всей плоскости комплексного переменного £, за исключением точек £ 0 и £ £0, причем при £ оо она должна иметь нуль по меньшей мере второго порядка случай £0 оо будет рассматриваться особо. Заметив это,


§ 28]
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
239
проведем в плоскости комплексного переменного £ замкнутый несамопере- секающййся контур g, не проходящий через точки £ 0и£ £ои охватывающий конечную односвязную область G. Возможны четыре случая: 1 обе точки £ 0и£ £о попадут в область G, 2 в область G попадет только точка £ 0, 3 в область G попадает только точка £ £0, 4 в область G точки £ 0 и £ £0 не попадут. В четвертом случае в формуле 13.4.5 под интегралами будут стоять функции, регулярные во всей области G. В первом случае эти подынтегральные функции будут регулярными в области G', которая дополняет G до полной плоскости Следовательно, по теореме Коши после обхода такого рода замкнутого контура интегралы в формуле 13.4.5 не получат приращений. Во втором и третьем случаях обход по замкнутому контуру приведет к тому, что интегралы получат приращения. Введем поэтому следующие обозначения:
ejt0d£ -jlQd£ — А,
о U
16.28.1)
где дополнительными индексами О и £0 отмечены интегралы, берущиеся по замкнутому контуру в положительном направлении, окружающему точки £ 0 и £ £0 соответственно. Здесь использованы равенства вида
fW£K —
Они вытекают из того, что, обходя точку £ 0 в положительном направлении, мы одновременно обходим и точку £ £0 в отрицательном направлении.
Формулу 13.4.5 теперь можно заменить равенством индекс б в левой части опущен)
Р-Ь Ро- iQo ЦШГ1 4К 4 4г12Г1п Я 0.
в котором под ро—iq0 подразумевается однозначная функция. Отсюда ясно, что однозначность функции р—iq будет достигнута, если положить
®-1T4S 4 4r‘wlnfZS- 6-28.2)
и тогда, учитывая 16.28.1, получим
с
2m
In —. 16.28.3)
£ £o j
Случай £0 оо соотношением 16.28.3 не охватывается, и мы рассмотрим его отдельно. На этом более конкретном случае удобно исследовать поведение перемещений вблизи точки приложения сосредоточенных сил и моментов.
Пусть в верхнем полюсе географической системы координат к замкнутой сферической оболочке приложены сосредоточенная сила с компонентами Rxy
Напомним, что гр оо ip' оо 0.


240
ВЫПУКЛЫЕ ЗАМКНУТЫЕ БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ
ГЛ. 16
Ry, Rz и сосредоточенный момент с компонентами QJ, Q£, Qf, а в нижнем полюсе возникает уравновешивающая реакция. Тогда комплексную функцию напряжений надо брать в виде 16.27.3, а входящие в это соотношение комплексные константы вычислять по формулам 16.26.13. Это дает
2л
Вычислим для этой комплексной функции напряжений интегралы, входящие в правую часть равенства 13.4.5:
2 Rx
Ql
2Ry
1 I +
8*
r*
2 R
j
dt =
2л
2 Rx
$
У ,
T r2
Ry_ .
г Г -2
2 2n r r2 j
— ln£.
5г-Г—'4- ' +
+
2яг2
Q°y— iQ°x)
E ’
2яг2 IF'
Отсюда
бЧ£ dt dt Q°x — iQ°y,
4E)
40
dt =
t
dli
Следовательно, приращение, которое получит функция рб—iq6 после обхода по замкнутому контуру точки £ 0, согласно 13.4.5 будет индексы б вновь опускаются)
р—ед— i - F А - кА 4 - 4 4— ,• 4 +
+
2 R.
I.
Отсюда вытекает, что требование однозначности функции р—iq будет выполнено, если взять Н С в виде
•1 V/
I rfi
:rfi I


28]
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
241
Внося полученные результаты в 13.4.5, мы придем к следующей формуле:
р — Щ
г2 1 4- v J 1 8л
2 Eh
г г2 г ' г2
I2 -
-н—
-ir 4-—- 4к- +
+
4л
2 R.
8я
?v , i2Ry £1
г2 г г2 _
£—
+
8л
2 Rx
Г
■ 4
пЦ
F +
Ж -Т-—‘ 4 J- Й ■- Й • 16.28.4)
Из 16.28.3 и 16.28.4 следует, что в точке приложения сосредоточенных сил и моментов функция р—iq неограниченно возрастает. Для случая 16.28.4 это видно непосредственно, а для случая 16.28.3 такой же вывод получается, если в эти формулы внести выражения 16.27.1. Переход от р, q к тангенциальным перемещениям выполняется при помощи формул 13.3.5. Учитывая это и проведя принципиально простое, но кропотливое исследование, в детали которого мы не будем входить, можно прийти к следующему выводу: если к безмоментной сферической оболочке в точке £ £0 приложены: а сосредоточенные моменты, векторы которых лежат в касательной плоскости при £0 О это будут моменты с компонентами Q°x, Q°y б сосредоточенная сила и момент, векторы которых ортогональны к срединной поверхности; в сосредоточенные силы, лежащие в касательной плоскости, — то перемещения ии и2 в точке £ £0 неограниченно возрастают соответственно как £— Со-2, £ — СГ1 или In £ — £0.
Вернемся еще раз к формуле 16.28.4. Вместе с 13.3.5 она определяет перемещения замкнутой сферической оболочки.
Для Я £ в правой части 13.4.5 было найдено выражение 16.28.2, обеспечивающее однозначность перемещений. Однако это не единственное выражение Я £, обладающее таким свойством: к правой части равенства
16.28.2 можно добавить слагаемое Нп £, где
Я
Г1
К-Со"
16.28.5)
аг — произвольные комплексные константы.
Таким образом, для замкнутой сферической оболочки, подверженной действию сосредоточенных сил и моментов, перемещения в рамках безмоментной теории определяются не единственным образом, а лишь с точностью до перемещений, соответствующих комплексной функции перемещений 16.28.5.
В связи с этим отметим, не останавливаясь на подробностях, что константы, входящие в правую часть равенства 16.28.5, нельзя подобрать так, чтобы в точке £ £0 перемещения стали конечными.
Функция 16.28.5 обладает всеми свойствами комплексной функции перемещений всюду, кроме £ £0. Это значит, что Нп £ при помощи 13.3.5)


242
ВЫПУКЛЫЕ ЗАМКНУТЫЕ БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ
ГЛ. 1в
определяет перемещения, соответствующие изгибаниям полной сферы с выколотой удаленной точкой £ Со В теории поверхностей доказывается, что овалоид и в частности сфера с выколотой точкой не обладает жесткостью, т. е. допускает изгибания. Соответствующие им перемещения и задаются функцией Нп £.
Результаты §§ 16.27, 16.28 можно рассматривать как решение полной краевой задачи безмоментной теории, в которой искомые функции должны быть построены во всей плоскости комплексного переменного £, за исключением точек приложения сосредоточенных воздействий. В этих точках для искомых функций допускаются полюсы, а роль граничных условий играют требования, чтобы они имели определенный вид. С точки зрения теоремы о возможных изгибаниях мы имеем дело с задачей, в которой жесткость оболочки не обеспечена: возможными в данном случае являются упомянутые изгибания полной сферы с выколотыми точками. Поэтому тот факт, что в решение вошла неопределенная функция 16.28.5, находится в полном соответствии с теоремой о возможных изгибаниях.
§ 29. Действие сосредоточенных сил и моментов на произвольную оболочку положительной кривизны
В § 16.27 изложен метод решения статической задачи безмоментной теории для полной сферической оболочки, загруженной произвольной системой сосредоточенных сил и моментов. Он легко переносится и на случай, когда срединная поверхность оболочки представляет собой поверхность второго порядка положительной кривизны.
Пусть срединная поверхность задается одним из трех векторных уравнений 13.6.2. Тогда решение однородных статических безмоментных уравнений, как было показано в § 13.6, выражается через аналитическую функцию ф £. Точкам полного эллипсоида, двухполостного гиперболоида или эллиптического параболоида соответствует вся плоскость комплексного переменного £. Полюсы комплексной функции напряжения имеют такой же смысл, что и для сферы: в точке £ £0 Со отлично от нуля и бесконечности полюс не выше третьего порядка соответствует сосредоточенным силам и моментам, а полюсы выше третьего порядка дают сосредоточенные воздействия более сложной структуры; в точках £ 0 и £ оо такой же смысл имеют полюсы функций £“2ф £ и £2ф £ соответственно. Интенсивность и направление силы и момента, входящих в состав сосредоточенного силового воздействия, можно определить с помощью комплексных интегральных уравнений равновесия. Для оболочек второго порядка они выводятся так же, как для сферы, при помощи равенств 16.26.1, 16.26.2. Опуская подробности, приведем эти уравнения:
а для эллипсоида 13.6.2а)
16.29.1 а)
б для двухполостного гиперболоида 13.6.26)
16.29.16)


§ 29 СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ НА ПРОИЗВОЛЬНУЮ ОБОЛОЧКУ 243
в для эллиптического параболоида 13.6.2в)
16.29.1b)
Этими равенствами обобщаются формулы 16.26.8.
Таким образом, для оболочек второго порядка полностью сохраняется описанный в § 16.27 метод подбора комплексной функции напряжений ф £, соответствующей действию на оболочку произвольной системы сосредоточенных сил и моментов. Формула 16.27.2 остается в силе, но в ней при определении констант Cpj надо вместо 16.26.8 пользоваться формулами 16.29.1.
Перенос этих результатов на произвольные оболочки положительной кривизны связан с более существенными трудностями, которые можно преодолевать, например, при помощи теории обобщенных аналитических функций. В книге 19 показано, что можно построить обобщенные аналитические функции, являющиеся аналогом аналитических функций вида £—£, где £ — произвольная комплексная константа, a k — целое, положительное или отрицательное число. Отсюда следует, что можно построить и аналог функции вида 16.27.2, с помощью которого при соответствующем подборе констант Cpj и должн-а решиться задача о действии произвольной системы сосредоточенных сил и моментов на оболочку, имеющую форму замкнутого овалоида. Однако в дальнейшие подробности мы не можем вдаваться, так как пока еще не дано эффективных примеров приложения теории обобщенных аналитических функций к решению задач безмоментной теории.
Заканчивая главу о сосредоточенных воздействиях, обсудим, в какой мере полученные результаты можно считать правильными, если учесть, что они получены по безмоментной теории. Физически ясно, что вблизи точки приложения сосредоточенной нагрузки соответствующее напряженно-деформированное состояние имеет большую изменяемость и расчет по безмоментной теории не вызывает доверия, но при удалении от этой точки изменяемость делается малой и можно надеяться, что безмоментная теория станет достаточно точной. Для сферической оболочки это можно подкрепить и математически. Комплексная функция напряжений, соо ветствующая приложению сосредоточенных сил в точке £ £0, имеет вид
Вместе с тем, как уже говорилось, отношение модуля производной к модулю первообразной функции может служить мерой изменяемости, а следовательно, для ф £ последняя действительно весьма велика вблизи £ £0 и быстро убывает при удалении от этой точки.
В работе 133 показано, что, если сосредоточенные нагрузки действуют на оболочку положительной кривизны, то, так же как и при действии распределенных сил, соответствующее напряженно-деформированное состояние состоит из основного напряженного состояния, определяемого описанным выше способом, на которое вблизи точки приложения нагрузки накладывается локальный краевой эффект, быстро убывающий при удалении от этой точки в любом направлении. Таким образом, изложенные в этой главе результаты надо считать приближенно правильными в достаточном удалении от точки
Поэтому
Ф' £)
Ф £)


244
ВЫПУКЛЫЕ ЗАМКНУТЫЕ БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ
ГЛ. 16
приложения сосредоточенных воздействий. В какой-то мере это утверждение остается правильным и для оболочек нулевой или отрицательной кривизны, но в таких оболочках явление осложняется тем обстоятельством, что локальный краевой эффект значительно медленней затухает вдоль асимптотических линий срединной поверхности, т. е. вдоль характеристики безмоментных уравнений по этому поводу некоторые соображения можно найти в 119.
Поправки, которые вносит локальный краевой эффект в окрестности точки приложения нагрузки, имеют не только количественный, но и качественный характер. Он меняет порядок особенностей функций, определяющих перемещения, усилия и моменты оболочки. А именно, за счет локального краевого эффекта происходит снижение порядка особенностей. Для общего случая порядок особенностей в перемещениях, усилиях и моментах оболочки под сосредоточенными воздействиями разобран в работе 132. Для сферической оболочки этот вопрос обсуждался в статье 40. Там же задача действия на сферическую оболочку произвольной системы сосредоточенных сил и моментов решена по моментной теории точно в замкнутой форме.


ГЛАВА 17
БЕЗМОМЕНТНЫЕ КУПОЛА
§ 30. Сферический купол с одним геометрическим
и одним статическим граничным условием
Рассмотрим сферический купол, т. е. оболочку, срединная поверхность которой есть сферический сегмент, и будем считать, что на краю должны выполняться одно статическое и одно геометрическое тангенциальное граничное условие край примыкает к опоре, имеющей весьма малую жесткость в одном тангенциальном направлении и весьма большую жесткость в другом. Точнее говоря, будут обсуждаться сферические купола с граничными условиями двух видов:
а граничные условия, выражающие тот факт, что опора не воспринимает реакций в направлении касательной к краевому контуру и исключает перемещения в тангенциальном направлении, нормальном к краевому контуру;
б граничные условия, выражающие тот факт, что опора не воспринимает реакций в тангенциальном направлении, нормальном к краевому контуру, и исключает перемещения в направлении касательной к краевому контуру.
Если для определенности считать, что полюс географической системы координат совмещен с вершиной купола, то тангенциальные граничные условия будут в первом случае заключаться в требованиях:
приа1а10 5 0, их 0, 17.30.1)
а во втором случае — в требованиях:
при ах а10 Тг 0, и2 0. 17.30.2)
В рассматриваемых случаях полная краевая задача безмоментной теории сводится к последовательному решению статической и геометрической задач безмоментной теории § 7.7. Статическая задача, рассмотрением которой мы пока и ограничимся, заключается в определении тангенциальных усилий 7, 5, Г2 из безмоментных уравнений равновесия с учетом статического граничного условия. Оно для случаев 17.30.1 и 17.30.2 записывается соответственно так:
Saiai„ 0, 17.30.3)
riieai. 0. 17.30.4"
Задача 1. Найти тангенциальные усилия в сферическом куполе, если он загружен произвольной сосредоточенной силой и моментом в верхнем полюсе географической системы координат и соединен по краю ах а10 с опорой, не воспринимающей реакций, направленных по касательной к краю на рис. 35 изображена рассматриваемая сферическая оболочка, отнесенная


246
БЕЗМОМЕНТНЫЕ КУПОЛА
ГЛ. 17
к географической системе координат; опора схематически показана в виде абсолютно жесткого заштрихованного основания, с которым оболочка соединена бесчисленным множеством стерженьков, расположенных по касательной к меридианам.
По предположению распределенная поверхностная нагрузка отсутствует. Поэтому искомое напряженное состояние определяется некоторой комплексной функцией напряжения ф £, которую надо построить в области G, соответствующей срединной поверхности оболочки. На контуре области G функция ф £ должна удовлетворять граничному условию, вытекающему из 17.30.3, а в точке приложения сосредоточенной нагрузки £ 0 функция
£“2ф £ должна иметь заданную особенность.
Край aj а10 охватывает область G, которая представляет собой круг
£Ро еа°.
В нем и надо построить ф £.
Усилия связаны с комплексной функцией напряжения формулами 1’3.4.2,. Поэтому на окружности £ р0 должно выполняться граничное условие
Im Ф£ 0. 17.30.5)
Ему удовлетворяет функция вида
C 4.0f-. 17.30.6)
где фх £ — любая функция, определенная в области £ р0- В самом деле, при £ р0 комплексное переменное £ может быть представлено в виде £ р0е1, отсюда
у Ь
а следовательно,
to i£ia
и доказываемое утверждение становится очевидным.
Чтобы комплексная функция напряжения ф £ соответствовала случаю, когда к оболочке в точке £ 0 и только в ней приложены сосредоточенные Сила и момент, положим
Ф1 С “Ь §о £-£ 17.30.7)
считая, что gl9 g0t — комплексные константы, которые предстоит опре¬
делить. Тогда
f s-f g-'W
Пользуясь этим, введем обозначения
i pSeri i-0 ао So5о a-i poSi s-1 17-30-8)
Ро
и запишем функцию ф £ так:
Ф С — а£ ао a-i£ 1*


§ 30]
СФЕРИЧЕСКИЙ КУПОЛ ПРИ СМЕШАННЫХ УСЛОВИЯХ
247
Таким образом, по форме ф £ не отличается от комплексной функции напряжения 16.27.3, решающей задачу о замкнутой оболочке, загружен- ной сосредоточенными силами и моментами в противоположных полюсах географической системы координат. Поэтому в 17.30.8 константы аъ а0, а_1 надо определить формулами 16.26.13. Однако из 17.30.8 вытекает, что константы аг, а0, а_г должны удовлетворять двум равенствам
1пта1 -0, Poi а— 17.30.9)
Это значит, что предложенным способом поставленная задача не всегда может быть решена. Надо требовать, чтобы действующая на оболочку сосредоточенная нагрузка удовлетворяла условиям, вытекающим из 17.30.9 и из формул 16.26.14, связывающих константы аъ а0, а_г с компонентами сосредоточенной силы и момента. Эти условия записываются так:
Q2 0, ро 2Rx —-jr j — рф4- =
0
но, согласно 13.2.1, е2а tg2 -у- 0О — половина угла раствора
купола, и эти равенства можно преобразовать к виду
й-°- й—'Ы1Г-1- ,17Ж'°>
Условия 17.30.10 не связаны с выбранным методом решения задачи. Из физических соображений ясно, что они необходимы для решения поставленной задачи. Чтобы показать это, вернемся к схеме закрепления оболочки, показанной на рис. 35. На ней все условные стерженьки при продолжении пересекаются в одной точке О на оси z декартовой системы координат. Следовательно, рассматриваемая безмоментная оболочка является механизмом с тремя степенями свободы. Она не может находиться в равновесии, если приложенная к ней нагрузка дает отличные от нуля моменты относительно осей, проходящих через точку О. Нетрудно проверить, что 17.30.10 и выражают это требование.
Для сосредоточенного нагружения, Рис. 36.
удовлетворяющего условиям 17.30.10,
комплексная функция напряжения, решающая задачу 1, определяется формулами 17.30.6—17.30.8, в которых комплексные константы аъ а0, а_х находятся по формулам 16.26.14.
Задача 2. Найти тангенциальные усилия в сферическом куполе, загруженном в вершине произвольной сосредоточенной нагрузкой и соединенном по краю с опорой, не воспринимающей реакций, направленных по тангенциальной нормали на рис. 36 изображен такой купол, отнесенный к географической системе координат; закрепление края также условно показано при помощи стерженьков.
Здесь, как и в задаче 1, комплексная функция напряжения ф £ должна быть определена в области £ р0. Граничное условие 17.30.4 означает, что при £ ро надо требовать выполнения равенства
ReWOl 0.


248
БЕЗМОМЕНТНЫЕ КУПОЛА
ГЛ. 17
Ему удовлетворяет функция вида
9 9-4;
17.30.11)
пользуясь этим, остальные выкладки можно построить по схеме задачи 1 Положим
Константы ах, а0, а_г также не являются независимыми. Они связаны соотношениями
из которых в силу 16.26.14 вытекают три условия существования решения поставленной задачи:
Физический смысл этих условий также очевиден. В схеме закрепления края, изображенной на рис. 36, все стерженьки предполагается, что их бесчисленное множество лежат в плоскости, перпендикулярной оси г. Они не препятствуют смещениям оболочки как жесткого целого в направлении оси г и повороту около осей р и q, лежащих в плоскости края рис. 36. Поэтому внешняя нагрузка не должна иметь составляющей Rz и не должна давать моментов относительно осей р и q. Эти условия и выражают равенства 17.30.14.
Для нагрузки, удовлетворяющей требованиям 17.30.14, задача 2 решается комплексной функцией напряжений 17.30.11—17.30.13, в которой константы ах, а0, а_х надо выбирать по формулам 16.26.14.
Задача 3. Найти тангенциальные усилия в сферическом куполе, если он загружен сосредоточенной нагрузкой в г произвольных точках £, £,k k 1, 2, , г и соединен по краю а10 с опорой, не воспринимающей реакций в направлении касательной к краевому контуру.
Здесь, как и в задаче 1, расчет сводится к построению комплексной функции напряжения ф £, которую надо определить в области £ р0.
Условие на контуре £ р0, будет выражаться равенством 17.30.5. Поэтому комплексную функцию напряжения мы снова зададим в виде
17.30.6. В результате требуемое граничное условие будет выполнено при любом выборе фх£, и останется только назначить эти функции так, чтобы ф £ имела заданные особенности в точках £ £. Для этого
Фг — §i£ So §-i£
17.30.12)
тогда
Отсюда
Ф 0 — ait “Ь ао Я-iS \
где
ai -jripogi — g-i а0 go-go, a_i —pggi—£_i, 17.30.13)
Mo
Re ао - 0, poai —а_ь
17.30.14)


§ 30]
СФЕРИЧЕСКИЙ КУПОЛ ПРИ СМЕШАННЫХЛУСЛОВИЯХ
249
положим:
ki
Отсюда
г
I Г С-,ь , С2k I Счг 1
Xj L С-W J'
® £тГ 1Ы +
61
С33
СЕ Р8-СС рЯ-СС8 .
Эта функция во всей плоскости комплексного переменного С имеет полюсы только в точках
£0, £ оо, £ £, £ -f,
из которых точки, соответствующие второму и четвертому равенствам, не представляют интереса, так как они лежат вне области £ р0 предполагается, что £ Ро следовательно, рд11 Ро- Вблизи точки £ £А функция ф £ имеет вид
фо — функция, регулярная в окрестности £ £. Поэтому по заданным компонентам сосредоточенной нагрузки можно подсчитать константы С1г, Czk Сзк ПРИ помощи формул 16.26.21. Вместе с тем, вблизи точки £ 0 функция ф £ может быть представлена так:
Фо 0 — функция, регулярная в окрестности £ 0.
Из последнего равенства вытекает, что при сделанном выборе фх £ сосредоточенные силы возникают не только в заданных точках £ £ь но и в вершине купола. Следовательно, надо освободить точку £ 0 от нагрузки. Это можно сделать, наложив на полученное решение задачи 1. Если бы последняя допускала решения при произвольных значениях силы и момента, то их можно было бы подобрать так, чтобы точка £ 0 оказалась свободной от нагрузки; однако, как мы видели выше, в общем случае этого сделать нельзя. Если заданные сосредоточенные нагрузки, приложенные в точках £ £, дают отличный от нуля момент относительно осей, проходящих через точку О см. рис. 35, то сосредоточенные нагрузки в точке £ 0 полностью уничтожить нельзя. В последнем случае можно считать, что построенная функция напряжения определяет тангенциальные усилия оболочки, в которой в точке £ 0 могут возникать силовые или моментные реакции. Они и дадут ту силу и момент, которые не могут дать реакции края оболочки. Если сосредоточенные силовые воздействия в точках £ £ дают не нулевой момент относительно точки О рис. 35, то в точке £ 0 возникнут реакции, уравновешивающие этот момент, а если последний равен нулю, то в точке £ 0 сосредоточенные воздействия не возникнут.
Замечание. Представляется естественным интерпретировать решение задачи 3 как расчет оболочки, дополнительно закрепленной в точке £ 0 вследствие чего там и возникает реакция. Однако такое представление весьма условно, так как по безмоментной теории под сосредоточенными силами перемещения обращаются в бесконечность § 16.28.


250
БЕЗМОМЕНТНЫЕ КУПОЛА
ГЛ. 17
Решение задачи 3 можно рассматривать как функцию Грина для оболочки, закрепленной так, как показано на рис. 35. Выполнив обычным образом интегрирование, можно получить решение на любую нагрузку, как распределенную по поверхности, так и приложенную вдоль некоторой линии.
Очевидным образом можно построить и решение безмоментных уравнений для случая, когда оболочка загружена сосредоточенной нагрузкой в произвольной точке и закреплена так, как показано на рис. 36.
§ 31. Сферический купол с одним геометрическим
и одним статическим граничным условием продолжение)
Пусть рассмотрению подлежит сферический купол, на краю а10 которого надо выполнить одно геометрическое тангенциальное граничное условие
uxzosna2— u2sinna2 0 17.31.1)
и одно статическое тангенциальное граничное условие
ТЛ sinna2 Scosna2 0. 17.31.2)
В этих равенствах п — произвольное целое положительное или отрицательное число, а а2, как и в § 13.2, —долгота рассматриваемой точки.
Граничные условия 17.31.1, 17.31.2 соответствуют опоре, которую схематически можно представить себе как абсолютно жесткое основание,
соединенное в каждой точке края с оболочкой при помощи стерженьков, лежащих в касательной плоскости и наклоненных под углом па2 к меридиану схема закрепления показана на рис. 37, где из бесчисленного множества стерженьков показан только один. Равенствами 17.31.1 и 17.31.2 обобщаются граничные условия 17.30.1 и
17.30.2: так, например, 17.30.1 получается из 17.31.1 и 17.31.2 при п 0.
Рассмотр им безмоментн ую статическую задачу, соответствующую принятому виду закрепления края и заключающуюся в определении усилий на загруженной по поверхности сферической оболочке с учетом граничного условия 17.31.2. В этом соотношении усилия Тг и S можно выразить через функции t и s при помощи формул
13.3.4, в которых надо положить Z — 0. Тогда 17.31.2 после простых преобразований примет вид
— tsinna2 scosna2 0. 17.31.3)
Здесь t и s — действительная часть и коэффициент при мнимой части комплексной функции напряжения ф £. Эту функцию, как и в § 17.30, надо определить в круге £ р0 еа° так, чтобы на окружности £ р0 выполнялось соотношение 17.31.3. В круге £р0 функция ф £ должна быть аналитической, а в точке £ 0 иметь нуль по меньшей мере второго порядка § 13.4.
Имеет место тождество
1ш £пф £ 1т епа cosпа2 — i sin па2 t is =
_ e—noi — t sin _j_ s cos na2.


§31 СФЕРИЧЕСКИЙ КУПОЛ ПРИ СМЕШАННЫХ ГРАНИЧНЫХ условиях 251
Оно показывает, что Ф С будет удовлетворять граничному условию 17.31.3, если при ах а10 выполняется равенство
где AkJ Bk — действительные константы, а т— целое положительное число.
При этомф С в круге £ р0 будет удовлетворять требованиям, предъявляемым к комплексным функциям напряжения § 13.4, всюду, за исключением, быть может, точки £ 0, где надо выполнить условие аналитичности функции £2ф £. Этого можно достичь, только подчинив в равенстве 17.31.2 число п неравенству п 2 конечно, исключается тривиальная возможность положить все Ak и Bk равными нулю. При таком п цель будет достигнута, если в 17.31.5 положить т п — 2. В результате получим формулу
Она и решает рассматриваемую безмоментную статическую задачу для случая, когда отсутствуют поверхностные силы в том числе и сосредоточенные. Это значит, что однородная безмоментная статическая задача, соответствующая условию 17.31.2, при 2 имеет нетривиальное решение, зависящее от 2п — 3 действительных констант Л0, Ak, Bk k 1, 2, , п — 2. Можно показать на этом мы не будем останавливаться, что при рассматриваемых условиях формула 17.31.6 дает самое общее выражение комплексной функции напряжения и что множители при Ak и Bk линейно независимы.
Обратимся к безмоментной геометрической задаче, соответствующей граничному условию 17.31.1 и заключающейся в построении таких изгибаний сферы, которые совместны с закреплением, изображенным на рис. 37 показан только один из бесчисленного множества воображаемых стерженьков.
Справедливы формулы 13.3.5, при помощи которых граничное соотношение 17.31.1 может быть преобразовано к виду
где р и q — действительная часть и коэффициент при мнимой части комплексной функции перемещений g £. Эту функцию надо определить в круге I £ Ро £а1° так, чтобы на окружности £ р0 выполнялось граничное соотношение 17.31.7. При £ С р0 функция g £ должна быть аналитична всюду, кроме точки £ 0, а в последней она может иметь полюс не выше первого порядка § 13.4.
Обсуждаемая задача эквивалентна задаче об определении функции £,ng £, удовлетворяющей при £ р0 условию
Im £-№фШ 0.
Поэтому, как нетрудно проверить, гэ £ можно выбрать так:
17.31.4)
17.31.5)
р cos па2 — q sin па2 0,
17.31.7)
Im -j-££ 0,
в чем легко убедиться, раскрыв выражение, стоящее в левой части только что написанного равенства. Отсюда, повторив рассуждения, которые привели к формуле 17.31.5, получим:


252
безмоментные купола
ГЛ. 17
Действительные константы, входящие в правую часть этого равенства, надо подобрать так, чтобы при £ 0 порядок полюса g £ если он есть был не выше первого. Этого можно достичь не полагая все Ak, Bk равными нулю только при я 2. Для таких я, положив в 17.31.8 в верхнем пределе суммирования т 1 — я, получим общее выражение для комплексной функции пер емещени й
1 —п
я 2.
Отсюда вытекает, что однородная геометрическая задача, соответствующая граничному условию 17.31.1, при я 2 имеет только тривиальные решения, а яря я 2 ояа имеет R —2я 3 линейно независимых нетривиальных решений, соответствующих множителям при Л0, Л, Б ft 1, 2, , 1-я.
Таким образом, однородная статическая задача 17.31.2 и однородная геометрическая задача 17.31.1 не могут одновременно иметь нетривиальные решения, но одна из них нетривиальное решение всегда имеет.
Покажем теперь, что при я 2 безмоментную статическую задачу
17.31.2 можно решить и в том случае, когда к оболочке в точках £ k — 1, 2, , г приложена произвольная система сосредоточенных сил и моментов. Обозначим через ф £ комплексную функцию напряжения, решающую поставленную задачу, и будем искать ее в виде
Ч £пМ0 Ъ-. 17.31.9)
где
7-зио>
k\
Cik — произвольные комплексные константы.
Из результатов § 17.30 вытекает, чтоф удовлетворяет условию 17.31.4, следовательно, положив ф ф, мы при любом выборе фх выполним тангенциальное статическое граничное условие 17.31.2. Предполагается, что точки Zk лежат внутри оболочки, т. е. £л р0, поэтому в интересующей нас области функция ф £ имеет полюсы только в точках £ £. Поведение ф £ в точке £ 0 зависит от я, и легко видеть, что при я 2 она не только аналитична, но и имеет нуль по меньшей мере второго порядка. Это значит, что формулами 17.31.9, 17.31.10 определяется комплексная функция напряжения, отвечающая случаю действия на оболочку сосредоточенных сил и моментов, приложенных в точках £ £л и только в них.
В окрестности точки £ tk функцию ф £ можно представить в виде
где ф — аналитическая функция, a C'ik — комплексные константы, выражающиеся через Cik по следующим формулам:
П ?-пП I 'гп— П п 1 уп—
Lik ikik я£ L2k -j-—“2 bfc
C2k kCk я£ lCsky C3k QC3k-
Из них видно, что если Cik произвольна,'то на Cik тоже не накладывается никаких ограничений, а следовательно, их можно выбрать по фор¬


31 ]
СФЕРИЧЕСКИЙ КУПОЛ ПРИ СМЕШАННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ
мулам 06,26.21 так, чтобы сила и момент имели произвольно заданные значения. Требуемое положение доказано. Из него вытекает, в частности, что при п 2 для рассматриваемой задачи может быть построена функция Грина под этим надо понимать решение задачи о произвольной сосредоточенной силе, действующей в некоторой точке £ — £', а это значит, что доказано существование решения любой неоднородной безмоментной статической задачи, соответствующей действию на оболочку произвольной нагрузки распределенной по поверхности или по линии. Полученное решение статической задачи, конечно, не однозначно: к нему можно прибавить любые решения однородной статической задачи, выражаемые формулой 17,31.6.
Замечание. Решение 17.31.9, 17.31.10 получено в предположении, что £ О, но оно сохраняет силу и при £ 0.
Положим теперь, что в граничном условии 17.31.2 п 2 п может быть и отрицательным, и подсчитаем число дополнительных условий, которым надо подчинить внешние силы, чтобы решение статической безмоментной задачи стало возможным.
Введем обозначение
♦ 0 0 '
и потребуем, чтобы ф была комплексной функцией напряжений для оболочки, подверженной действию некоторой системы сосредоточенных сил, при статическом граничном условии 17.31.2. Тогда согласно 17.31.4 для ф £ получится граничное условие
Im №£ 0.
Пусть сосредоточенные силы и моменты приложены к оболочке в точках £ £ k 1, 2, , г. Тогда ф £, а вместе с тем и ф £ должны при £ £ иметь в общем случае полюсы третьего порядка, а это значит, что ф £ по смыслу совпадает с комплексной функцией напряжений задачи 3 § 17.30. Это значит, что надо принять
®ы0. рЫ 17-31Л1>
k\
и дополнительно потребовать, чтобы вблизи £ 0 функция ф £ имела вид
Q £2Sas£s. 17.31.12)
s0
В § 17.30 при решении задачи 3 было показано, что такое представление существует тогда и только тогда,1 когда константы Cik i 1, 2, 3; k 1, 2, , г, входящие во второе равенство 17.31.11, связаны одним действительным и одним комплексным равенствами. Константы as в 17.31.12 будут при этом линейными функциями Cik.
Положим, что равенство 17.31.12 справедливо, тогда можно написать
оо
0 2 а£-
s0
Но ф £, по предположению, есть комплексная функция напряжений и должна при £ 0 иметь нуль по меньшей мере второго порядка. Поэтому надо требовать, чтобы выражение в правой части написанного равенства было ограничено напомним, что п может быть отрицательным, т. е. чтобы выполнялись — п комплексных равенств
а0 аг • • • а_п_х 0.


254
БЕЗМОМЕНТНЫЕ КУПОЛА
ГЛ. 17
Они также представляют собой условия, которым должны подчиняться комплексные константы Cik. Таким образом, в общей сложности Cik связаны —п 1 комплексными равенствами и одним действительным равенством, что эквивалентно —2п 3 действительным равенствам.
Функция ф £ в общем случае имеет в точках £ £, полюсы третьего порядка. Обозначим через Cik коэффициенты при главных частях соответствующих рядов Лорана. Тогда Ck можно выразить через компоненты сил и моментов, приложенных в точках £ t,k- Но Cik линейно выражаются через Cik, а это значит, что должно удовлетворять всем —2п 3 действительным условиям, которые были найдены для Cik. Таким образом, число необходимых и достаточных условий существования решений рассматриваемой задачи равно —2п 3.
Сформулированное утверждение тесно связано с теоремами, доказанными в § 7.7. Граничные условия 17.31.1 и 17.31.2 определяют сопряженные статическую и геометрическую задачи безмоментной теории. Если п 2, то, как было здесь показано, безмоментная геометрическая задача имеет —2п 3 линейно независимых решений, а это согласно теореме 1 § 7.7 значит, что есть —2п 3 необходимых условий существования решений безмоментной статической задачи. Они и были здесь выведены. Попутно выяснилось, что в данном случае эти условия не только необходимы, но и достаточны.
§ 32. Обобщения
Результаты, полученные в § 17.31 для сферической оболочки, допускают широкие обобщения.
Пусть в сферическом куполе, край которого g совмещен с параллелью географической системы координат, должны выполняться следующие тангенциальные граничные условия:
т. е. можно считать, что в каждой точке края g поставлен условный стерженек, составляющий угол у с меридианом географической системы координат один из них изображен на рис. 37.
Будем считать, что у — непрерывная функция точек контура g. Тогда после однократного обхода g в положительном направлении в направлении возрастания а2 угол у получит приращение Ду. Оно выражается формулой Ду 2пп, в которой п — целое положительное или отрицательное число, равное числу полных поворотов воображаемого стерженька вокруг нормали поверхности, совершаемых в положительном направлении при однократном обходе g.
Условия 17.32.1, 17.32.2 представляют собой обобщение условий
17.31.1, 17.31.2, а введенное здесь число п совпадает по смыслу с числом п, входящим в 17.31.1, 17.31.2. Статическая и геометрическая задачи безмоментной теории, соответствующие условиям 17.32.2 и 17.32.1, подчиняются теоремам существования, сформулированным в § 17.31, для безмоментной статической задачи 17.31.2 и безмоментной геометрической задачи 17.31.1. А именно, если ввести число R формулой
то прй R 0 безмоментная статическая задача всегда имеет решение, содержащее R линейно независимых констант, а безмоментная геометрическая задача имеет решение единственное тогда и только тогда, когда выполняется R дополнительных условий; при R 0 безмоментная геометрическая задача
иг cosy — и2 sin у О, Тг sin у S cos у О,
17.32.1)
17.32.2)
R 2п — 3,
17.32.3)


i 32]
ОБОБЩЕНИЯ
255
всегда имеет решение, содержащее —R линейно независимых констант, а безмоментная статическая задача имеет решение единственное тогда и только тогда, когда выполняются —R дополнительных условий. Упоминающиеся здесь условия разрешимости по смыслу совпадают с теми, о которых говорится в теоремах § 7.7.
Высказанное утверждение основано на свойствах так называемой задачи Римана—Гильберта, а число п тесно связано с индексом этой задачи. Основываясь на хорошо разработанной теории задач типа Римана—Гильберта, можно получить и дальнейшие обобщения этого утверждения 47. Оно сохраняет силу и тогда, когда вместо сферы мы имеем произвольный купол положительной кривизны, а контур g представляет собой произвольную гладкую кривую. Наконец, все остается справедливым и в том случае когда функция у имеет конечное число разрывов первого рода, т. е. когда на разных участках края ставятся различные граничные условия, но при этом надо условиться, что в каждой точке разрыва угол у претерпевает скачок бу, заключенный в следующих пределах:
О бу зх. 17.32.4)
Поясним смысл этого условия. Если интерпретировать краевое закрепление при помощи воображаемых стерженьков, то в точке разрыва непрерывности у край оболочки окажется закрепленным не одним, а двумя стерженьками см. рис. 38, изображающий участок края, содержащий точку разрыва s s0. Это значит, что каждый скачок у как бы создает дополнительное точечное закрепление края. Поэтому бу надо считать положительным, с тем чтобы число решений безмоментной геометрической задачи, а следовательно и число возможных изгибаний, уменьшилось, а не увеличилось. Число решений безмоментной статической задачи при бу 0 увеличивается, но можно показать, что это происходит за счет появления решений,, имеющих особенности в точках разрыва у. В статической задаче такие особенности отвечают физической сущности явления, в то время как в геометрической задаче, где они появились бы при бу 0, это недопустимо.
Возвратившись к рис. 38 и заметив, что каждый стерженек можно ставить в любом из двух прямо противоположных направлений пунктир на на рис. 38, рассмотрим точку края s s0, где терпит разрыв у. В этой точке существуют два направления: т s0 — 0 и т s0 0, в которых должны
быть поставлены стерженьки. Если эти направления расположены так, как
показано на рис. 38, и стерженек У, соответствующий направлению т s0 — 0,. поставлен определенным образом сплошная линия на рис. 38, то условие 17.32.4 означает, что стерженек 2, соответствующий направлению т s0 0, надо расположить так, чтобы вращение от У к 2 происходило по часовой стрелке.
Итак, если расчету подлежит безмоментная оболочка положительной кривизны, на единственном крае которой ставится одно статическое и одно геометрическое граничное условие вида 17.32.4 и 17.32.1, то могут иметь место три следующих случая.
Случай I: Ду С 3п. Стерженек, с помощью которого условно изображается краевое закрепление, при однократном обходе края оболочки совершает менее чем полтора полных оборота в положительном направлении па часовой стрелке, если смотреть со стороны внешней нормали. Тогда однородная статическая задача не имеет нетривиальных решений, а число линейна независимых нетривиальных решений однородной геометрической задачи


256.
БЕЗМОМЕНТНЫЕ КУПОЛА
ТЛ- 17,
положительно. Это значит, что связи, наложенные на края оболочки,, не препятствуют некоторым изгибаниям срединной поверхности. Получается аналог геометрически изменяемой фермы. Приведем примеры.
Пример 1. Оболочка в виде сферического купола с одним плоским краем.
Примем, что опора исключает нормальные к краю смещения и не воспринимает касательных реакций. Такая задача для сферы уже рассмотрена
Рис. 39.
в § 17.30, где на рис. 35 с помощью условных стерженьков показана'схема закрепления края. В данном случае у const 0, и, следовательно, Ду 0; R —3. Это значит, что возможны три линейно независимых изгибания срединной поверхности. Для сферы причины этого были уже вскрыты
в § 17.30. Все стерженьки рис. 35 пересекаются в точке О, и срединная поверхность оболочки может вращаться около этой точки как жесткое целое, а это значит, что существуют тривиальные изгибания. Безмоментная статическая задача, вообще говоря, решений не имеет, а для того, чтобы такое решение стало возможно, внешние силы надо подчинить трем условиям. Они в данном случае сводятся к требованию, чтобы внешние силы не давали моментов относительно точки О.
Оболочка с такими же закреплениями, но не с плоским краем, показанная на рис. 39, также трижды геометрически изменяема, так как Ду 0, однако возможные малые изгибания ее срединной поверхности уже нетриви¬


§ 32]
ОБОБЩЕНИЯ
257
альны, потому что стерженьки, изображающие закрепление края, не пересекаются в одной точке, не лежат в одной плоскости и не параллельны одному направлению. Для разрешимости безмоментной статической задачи снова надо выполнить три дополнительных условия, но теперь они не так очевидны и заключаются в требовании, чтобы внешние силы не совершали работы на перемещениях возможных изгибаний.
Пример 2. Сферический купол — абсида с одним горизонтальным и одним вертикальным плоскими краями.
Будем считать, что купол оперт по вертикальному краю на стенку, жесткую лишь в своей плоскости, а на горизонтальном крае осуществляется то же закрепление, что в примере 1 рис. 40.
В плоскости комплексного переменного £ куполу соответствует область с угловыми точками и, строго говоря, обсуждаемые результаты в данном случае не применимы.
Поэтому будем считать, что углы оболочки скруглены, а так как условные стерженьки, изображающие закрепления краев, с одной стороны угла направлены по нормали, а с другой — по касательной к краю рис. 41, то примем, что в некоторой точке скругления происходит скачкообразный поворот углового стерженька на угол л2 рис. 41. Тогда дважды, на каждом из двух скруглений, граничные условия будут терпеть разрыв,
а так как согласно 17.32.4 скачок 6у всегда должен считаться положительным, то после однократного обхода края оболочки мы получим Ду л. Отсюда
_2п 3 — 23 2.
Двухсрезный купол геометрически изменяем, но уже дважды, а не трижды
Рис. 42.
Замечание. В частном случае, когда срединная поверхность купола представляет собой часть эллипсоида, а его края лежат в экваториальных плоскостях, оба возможные изгибания купола становятся тривиальными. Это будут смещения в направлении оси 1 и вращения вокруг оси 2, показанные на рис. 42. В монографии 31 дается пример расчета купола, изображенного на рис. 42. Этот расчет оказался возможным потому, что нагрузка собственный вес не совершает работы на упомянутых перемещениях.
Случай II: Ду Зя. Стерженек, изображающий граничное условие, делает полтора полных положительных оборота, когда край оболочки однократно обходится в положительном направлении. Тогда
2п — 3 3 — 2п 2 — —3 0,


258
БЕЗМОМЕНТНЫЕ КУПОЛА
ГЛ. 17
а это значит, что статическая задача имеет при любом нагружении единственное решение.
Пример такой оболочки дает купол с тремя вертикальными и одним горизонтальным краями, закрепленными так же, как в примере 2 рис. 43.
Случай IJT- А у 3л. Здесь мы имеем 3 — 2п С 0. Изгибания срединной поверхности невозможны. Любая внешняя нагрузка может быть уравновешена безмоментными усилиями, и притом не единственным образом. Уравнения статики дают возможность определить усилия лишь с точностью до 2п — 3 действительных констант. Такими свойствами обладает, например, купол, изображенный на рис. 44, если закрепление горизонтальных и вертикальных краев будет такими же, как в примере 2.
§ 33. Купол с одним геометрическим и одним статическим
тангенциальными условиями. Полная краевая задача
Примем снова, что имеется купол, на краю которого ставятся одно статическое и одно геометрическое тангенциальные граничные условия, и рассмотрим для него полную краевую задачу безмоментной теории. Она заключается в решении головной системы безмоментных уравнений § 7.8 с учетом обоих тангенциальных граничных условий, и в данном случае его удобно разбить на три этапа.
Этап 1. Решение статической безмоментной задачи, т. е. определение тангенциальных усилий Тъ S, Т2 при помощи интегрирования статических уравнений безмоментной теории § 7.4 с учетом тангенциального статического граничного условия.
Этап 2. Определение компонент тангенциальной деформации еь со, через Tly S, Т из тангенциальных уравнений состояния 7.1.4.
Этап 3. Решение геометрической безмоментной задачи, т. е. определение перемещений иъ и2у w при помощи интегрирования геометрических уравнений безмоментной теории § 7.5 с учетом тангенциального геометрического граничного условия.
Если невозможно выполнить этап 1, т. е. если не существует решения безмоментной статической задачи, то, очевидно, не существует и решения полной краевой задачи безмоментной теории. Это произойдет тогда, когда тангенциальное геометрическое граничное условие допускает изгибания срединной поверхности, а работа внешних сил на перемещениях таких изгибаний отлична от нуля, т. е. когда нарушатся условия теоремы о возможных изгибаниях.
Верно и обратное утверждение: если этап 1 выполним, то решение полной краевой задачи существует. Здесь возможны два случая.
Случай I имеет место, когда введенное в § 17.32 число R положительно; тогда при любой внешней нагрузке безмоментная статическая задача имеет решение, зависящее от R существенных констант Сг г 1,2,..., R. В результате будут найдены Tl9 S, Т2 с точностью до констант Сг. На этапе 2 будут получены еь со, е2, в выражения которых также войдут Сг. Следовательно, эти R констант попадут в свободные члены геометрических уравнений, подлежащих интегрированию на этапе 3, т. е. при решении геометрической задачи. Последняя, как показано, допускает решение единственное только в том случае, если выполняются R дополнительных условий. По теореме 2 §7.7 эти условия можно записать в виде равенств 7.7.9. В них входят величины еь со, е2, содержащие Сг. Следовательно, эти условия можно рассматривать как систему R линейных алгебраических уравнений относительно R констант Сг. Из нее они будут определены единственным образом принимается, что определитель отличен от нуля. После этого станет возможным решить единственным образом и геометрическую задачу этапа 3.


§ 34 СФЕРИЧЕСКИЙ КУПОЛ ПРИ ДВУХ ГЕОМЕТР ГРАНИЧ. условиях 259
Итак, в случае I, т. е. когда геометрическое граничное условие исключает все изгибания срединной поверхности так как R 0, полная краевая задача безмоментной теории всегда имеет решение, и оно единственно.
Случай II имеет место, когда R 0 тангенциальное граничное условие допускает изгибания срединной поверхности, но внешние силы не совершают работы на перемещениях возможных изгибаний. Тогда статическая задача будет иметь решение единственное, и на первом этапе будут единственным образом определены тангенциальные усилия 7, S, Т2. Поэтому на этапе 2 единственным образом определятся еъ со, е2. На этапе 3 в геометрических уравнениях в правых частях произволов уже не будет, но они и не нужны, так как при R С 0 соответствующая краевая задача решается всегда. Перемещения будут при этом определяться не единственным образом с точностью до перемещений возможных изгибаний.
Таким образом, результаты этого параграфа позволяют утверждать, что для куполообразной оболочки, на краю которой ставятся одно статическое и одно геометрическое тангенциальные граничные условия, справедлива теорема о возможных изгибаниях § 15.21.
Задачи, сформулированные в § 17.30, относятся к случаю II. В них R —3 это показано в § 17.31, что и отразилось в появлении трех условий разрешимости статической задачи. Для определения перемещений надо выполнить действия, предусмотренные здесь этапами 2 и 3, т. е., в частности, найти решение геометрической задачи. Оно существует, но определяет перемещения с точностью до трех констант. Так и должно быть, так как из рисунков 35, 36 видно, что рассмотренная оболочка представляет собой конструкцию с тремя степенями свободы.
§ 34. Сферический купол с двумя геометрическими
граничными условиями
Рассмотрим сферический купол постоянной толщины и с постоянными Е и v, у которого на Kpaioocj а10 оба тангенциальные граничные условия — геометрические, т. е. записываются так:
и1 0, и2 0 при а10. 17.34.1)
Решение этой задачи, которая была рассмотрена в 37, можно искать в виде 13.1.9, считая, что ич, Цч — перемещения, соответствующие частному интегралу, — нам известны.
Введем обозначения
г chotjMp р, rcha’ q' рс -f- iq' gf J,
подразумевая под • любой из индексов ч, б, м. Тогда g4 надо считать заданной комплексной функцией, для g6 £ р iqб мы имеем формулу 13.4.5, a g-M Q можно определить равенством
£м9№ 17.34.2)
в котором g С — комплексная функция перемещений, обладающая свойствами, сформулированными в § 13.4.
Комплексную функцию напряжений ф £, входящую в g6 £, и комплексную функцию перемещений g £ надо подобрать так, чтобы внутри области они обладали свойствами, сформулированными в § 13.4, а на границе удовлетворяли условиям 17.34.1.
Граничные условия 17.34.1 эквивалентны комплексному равенству
Хб 0 4- Хм 0 — 5СЧ 0. 17.34.3)
в котором


260
БЕЗМОМЕНТНЫЕ КУПОЛА
1ГЛ. 17
a t — контурное значение £, т. е.
t Роф, Ро 6ato.
Отбросим в 13.4.5 функцию Н £ произволы, которые она содержит, повторяются произволами g£, заменим в этом равенстве i на —i и помножим его на £. Получим
17.34.4)
Здесь можно избавиться от интегралов, положив
F ? J- J t 0 К — 2 J ML d? ? J ds. 17.34.5)
0 0 0
Дифференцируя эти равенства дважды по С и решив полученные уравнения относительно входящих в них интегралов, будем иметь
г
J t ? d? -f F ?, Шс1 г 0 4- F 0,
о о
17.34.6)
2 j Щ d? F ? ?F ? ?2Г ?)
о ъ
и, внеся эти выражения в 17.34.4, запишем требуемый результат:
17.34.7)
Уб п— — rlX v)
1 w 8 Eh
-f ?? 12 If- ? ?? 1 F?'-??m
Заметим, что на краю оболочки ££ р§, и внесем 17.34.7 в 17.34.3. Получим
г2 1 у)
8Eh
“2 Ро ро 12 0 4“ Ро Н“ 1 F t Ро р j t§ 0 — Х t-
17.34.8)
Задача свелась к определению двух аналитических функций F С и g С в области G по условию 17.34.8, наложенному на них на границе. Она почти тождественна той, к которой приводит плоская задача теорий упругости, и всегда имеет решение единственное. Для эффективного построения этого решения можно использовать методы Колосова—Мусхелишвили, но на соответствующих подробностях мы останавливаться не будем, отсылая читателя к работе 37.
§ 35. Обобщения
В § 17.34 показано, что для сферических изотропных однородных куполов постоянной толщины с плоским жестко заделанным краем в безмоментной теории можно использовать почти без изменения наиболее эффективный метод решения плоских задач теории упругости, разработанный для круговых областей. Переносятся на безмоментную теорию сферических оболочек и некоторые более общие методы решения плоских задач, относящиеся к некруговым и многосвязным областям. Они соответствуют случаям, когда край


§ 35 J
ОБОБЩЕНИЯ
261
сферической оболочки — не плоский и когда оболочка имеет жестко заделанные отверстия. В частности, остается в силе и метод конформных отображений.
Замечание. Конформные отображения в безмоментной теории можно использовать двумя способами.
Первый из них заключается в том, что система криволинейных координат фиксируется например, выбираются географические координаты и конформное отображение применяется к той области, которая получается для рассматриваемой задачи в выбранной координатной системе.
Второй способ вытекает из замечания, сделанного в § 13.2. Представление общего интеграла безмоментных уравнений сферической оболочки через аналитические функции комплексного переменного сохраняется в любой изотермической системе координат, а последняя остается изотермической при конформном преобразовании ее независимых параметров. Поэтому можно заранее подобрать такую изотермическую систему координат, в которой край задается наиболее просто, например, проходит вдоль координатной линии. Преимущество второго подхода заключается в том, что он позволяет упростить не только область, но и граничные условия задачи последние всегда формулируются наиболее просто на краях, проходящих вдоль координатных линий.
Перенесение методов плоской задачи теории упругости в безмоментную теорию принципиально возможно и для оболочек второго порядка, и для произвольных оболочек положительной кривизны в последнем случае надо оперировать уже с обобщенными аналитическими функциями. Однако такого рода конкретные результаты пока не получены.
Если поверхность любого знака кривизны не имеет бесконечно удаленных точек, ограничена только неасимптотическими краями и во всех точках этих краев она лишена свободы смещения в обоих тангенциальных направлениях, то такая поверхность не может изгибаться. Отсюда по теореме о возможных изгибаниях должно следовать, что полная краевая задача безмоментной теории при граничных условиях вида 17.34.1 на всех краях оболочки, не имеющей бесконечно удаленных точек, должна иметь решение единственное при любой, достаточно гладкой, нагрузке, если ни один из краев оболочки не касается асимптотических линий срединной поверхности. Справедливость этого утверждения доказана в § 17.34 для сферического купола с плоским краем, а в § 15.23 — для произвольной замкнутой оболочки нулевой кривизны с двумя неасимптотическими краями. Оно, по-видимому, останется правильным и в самом общем случае.


ГЛАВА 18
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ С ДВУМЯ КРАЯМИ
§ 36. Оболочка положительной кривизны
со свободными краями
Пусть на всех краях оболочки свобода смещений в обоих тангенциальных направлениях ничем не стеснена в этом случае край можно условно назвать свободным, но надо помнить, что речь идет лишь об отсутствии тангенциальных реакций, а в нетангенциальных направлениях край может быть и закреплен.
В теории изгибаний показано, что незамкнутая поверхность со свободными краями не является жесткой. Поэтому согласно теореме о возможных изгибаниях соответствующая полная краевая задача безмоментной теории не должна, вообще говоря, иметь решения. Это подтвердилось на примере замкнутой оболочки нулевой кривизны, рассмотренной в § 15.24. При этом выяснилось, что в данном случае теорема о возможных изгибаниях полностью выполняется.
Для оболочек положительной кривизны в этом направлении весьма общие результаты получены в работах 16—19. Там в принятых в настоящей работе терминах считалось, что заданы внешние поверхностные и краевые силы, действующие на оболочку, и ставился вопрос, существует ли решение безмоментных статических уравнений, отвечающее этому случаю? При этом предполагалось, что внешние поверхностные силы направлены произвольно, но краевые силы имеют только тангенциальные составляющие. Это соответствует случаю, когда в статической краевой задаче безмоментной теории должны выполняться два тангенциальных статических граничных условия, выражающие тот факт, что краевые силы имеют заданные тангенциальные компоненты. Показано, что для этой задачи справедлива следующая
Теорема существования. Решение единственное безмоментных статических уравнений, удовлетворяющих во всех точках края или краев двум тангенциальным условиям для оболочки положительной кривизны, существует тогда и только тогдау когда внешние поверхностные и краевые силы не совершают работы на перемещениях всех возможных изгибаний неподкрепленной срединной поверхности оболочки.
Подробности можно найти в монографии 19, где сформулированы и условия гладкости функций, определяющих геометрию оболочки, а также приложенных к ней сил. Для оболочки положительной кривизны условия гладкости слабее, чем для оболочки нулевой кривизны § 15.21.
Если условия сформулированной теоремы не выполняются, то, конечно, полная краевая задача безмоментной теории решения не имеет. Если условия выполняются и внутренние тангенциальные усилия, уравновешивающие заданную нагрузку, существуют, то при помощи 7.1.4 можно выразить через них компоненты тангенциальной деформации ех, со, е2. Для определения пере¬


§ 37]
ОБОЛОЧКА С ОДНОТИПНО ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КРАЯМИ
263
мещений мы будем располагать безмоментными геометрическими уравнениями 7.5.1, левые части которых надо рассматривать как известные величины. При решении этой системы не надо выполнять никаких граничных условий, т. е. любой частный интеграл системы 7.5.1 представляет собой некоторое поле смещений для рассматриваемой задачи. Такие поля, конечно, существуют; они определены с точностью до совокупности решений соответствующей однородной системы, т. е. с точностью до всех возможных изгибаний неподкрепленной срединной поверхности оболочки. Это значит, что обсуждаемая строго доказанная теорема по смыслу совпадает с теоремой о возможных изгибаниях для случая, когда оболочка свободна, а ее кривизна положительна.
§ 37. Оболочка с двумя краями
однотипные граничные условия)
Обратимся к оболочкам, имеющим два края, и будем пока считать, что на них тангенциальные граничные условия однотипны, т. е. на разных краях число статических и геометрических тангенциальных условий остается одинаковым.
В этом случае некоторые теоремы существования решений полной краевой задачи безмоментной теории формулируется точно так же, как и для ■оболочки о одним краем. Примером могут служить оболочки, края которых жестко заделаны в обоих тангенциальных направлениях. Как уже говорилось в § 17.34, решение полной задачи в этом случае существует и единственно при любой, достаточно гладкой нагрузке, независимо от числа краев если только они неасимптотические и даже независимо от знака кривизны срединной поверхности. По-видимому, сохраняется при любом числе краев также и теорема существования, обсужденная в § 18.36; надо только требовать, чтобы все края оболочки были неасимптотическими и свободными в обоих нетангенциальных направлениях. Для оболочек положительной кривизны это следует из результатов работ 16—19, в которых теорема доказана при любом числе краев. В § 15.24 показано, что теорема остается в силе для оболочек нулевой кривизны и не видно оснований предполагать, что исключение представят оболочки отрицательной кривизны. Более сложным является случай, когда гауссова кривизна оболочки меняет знак, так как при этом может иметь место касание с плоскостью вдоль замкнутой линии, что является нарушением условий теоремы о возможных изгибаниях § 15.21. Вместе с тем не исключено, что теорема снова станет справедливой при отсутствии такого касания.
Если на обоих краях оболочки в тангенциальных направлениях ставится одно статическое и одно геометрическое граничные условия, то формулировка теорем существования решений полной краевой задачи безмоментной теории зависит от знака кривизны срединной поверхности. Для оболочки всюду положительной кривизны сохраняются теоремы существования решений безмоментных краевых задач, подобные тем, которые формулировались в в §§ 17.31, 17.32. Однако для оболочек отрицательной кривизны получаются непривычные результаты; покажем их на примере оболочки, имеющей форму однополостного гиперболоида вращения.
Если срединную поверхность однополостного гиперболоида вращения отнести к географической системе координат рис. 45, то как однородные безмоментные статические уравнения, так и однородные безмоментные геометрические уравнения можно привести к следующей системе § 13.7:
4W,-0-


264
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ С ДВУМЯ КРАЯМИ
ГЛ. 18
Для перехода к безмоментным статическим уравнениям надо в 17.37.1 под £, г подразумевать
1 —Т, т — S.
JLX 1 М
Для перехода к безмоментным геометрическим уравнениям надо согласно 13.6.10, 13.6.11 положить
g Шъ Г JHW2-
Будем считать, что оболочка замкнута в поперечном направлении и ограничена двумя параллелями географической системы координат, т. е. что параметры аъ а2 меняются в следующих пределах:
aiiaiai2 —яа2 л;. 18.37.2)
Пусть в каждой точке обоих краев должны выполняться одно статическое и одно геометрическое условия
S 0, иг 0.
Тогда безмоментная статическая и геометрическая задачи будут заключаться в определении , т в области 18.37.2 с учетом условий периодичности по а2 и граничных условий, имею-
для статической задачи
Л ,„ Л аа„ 0, 18.37.3)
для геометрической задачи .
£ atatt £ a1ai 0. 18.37.4)
Зададим , г при помощи тригонометрических рядов по а2:
со оо
£ cos kX2 -4- sin fex2, Л S On cos sin 2-
k0 ko
Тогда определению будут подлежать при каждом k две пары функций
£, г и ££, vk переменной ax. Это делается очевидным образом, и, опу¬
стив пояснения, запишем для £, т окончательные формулы:
оо
£ S Са cos каг Ck2 sin kat cos ka2 +
k0
-f — D,,2 cos kat -- Dkl sin га, sin га2,
18.37.5)
Л E Dki cos feax -j- Dk2 sin fexx cos ka2 +
ft0
-f — C4,2 cos га, -- С,., sin га, sin га2.
В них Cki, Dki — константы, которые надо определять из граничных условий 18.37.3 или 18.37.4. Это для fe-го члена разложений 18.37.5 приведет к таким системам:
а в статической задаче, т. е. при условиях 18.37.3,
Си sin гап—Ck2 cos kan 0,1 Dkl cos kalt -f- Dk2 sin kau 0,
Ckl sin ka12 — Ck2 cos ka12 0, J Dkl cos ka12 -f- Dk2 sin ka12 0,
18.37.6)


ОБОЛОЧКА С ОДНОТИПНО ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КРАЯМИ
265
б в геометрической задаче, т. е. при условиях 18.37.4, cos каи -f- Ck2 sin каг1 0, 1 Dkl sin kau — Dk2 cos kau — 0, Ckl cos kal2 Ck2 sin kal2 0, J Dkl sin ka12 — Dk2 cos ka12 0,
18.37 J)
В обоих случаях определитель систем одинаков:
Д sin k а12 — ап.
Таким образом, однородные статическая и геометрическая задачи безмоментной теории могут иметь нетривиальные решения только тогда, когда
По формулам § 13.7 легко установить, что для однополостного гиперболоида а12—а, не превышает числа л, поэтому надо требовать, чтобы выполнялось неравенство т п.
Итак, для однополостного гиперболоида вращения, закрепленного выше описанным способом, существуют размеры, определяемые равенством 18.37.8 они будут в дальнейшем называться собственными размерами, при которых однородные статическая и геометрическая задачи безмоментной теории одновременно имеют нетривиальные решения. При этом собственные размеры однополостного гиперболоида расположены всюду плотно среди всех возможных его размеров как рациональные числа расположены среди всех возможных действительных чисел 32, 112, 113, 151.
Существование решения однородной статической задачи означает, что срединная поверхность оболочки имеет изгибания. Выясним характер соответствующих перемещений. Примем, что выполняется равенство 18.37.8, и выразим в нем целые числа тип формулами
в которых х и v — наименьшие целые числа, удовлетворяющие равенству
Отсюда следует, что при выполнении 18.37.8 в однополостном гиперболоиде возможно бесчисленное множество изгибаний. Соответствующие им перемещения будут меняться по а2 по закону sin rvа2 или cos rvа2, и каждому фиксированному целому значению г соответствует два линейно независимых изгибания, определяемых соответственно решениями первой и второй системы 18.37.7 при k rv.
Число rv является характеристикой изменяемости функций sin rvа2 и cos rvа2. Поэтому можно утверждать, что если собственный размер однополостного гиперболоида задается при помощи равенства 18.37.8 числом q ыv х, v — несократимые целые числа, то эта поверхность имеет бесчисленное множество изгибаний, наименьшая изменяемость которых характеризуется числом v соответствующим г 1.
Будем теперь искать решение неоднородной статической задачи, соответствующей случаю, когда на оболочку действуют поверхностные силы, меняющиеся по аг как sin kax или cos kaly а по а2 — как sin ka2 или cos ka2r а также краевые силы, меняющиеся по а2 как sin ka2 или cos ka2. Тогда решение можно строить в виде 18.37.5, оставив в правых частях этих равенств только k-e члены рядов. При этом для определения констант Снп Dni получатся уравнения очевидные и несущественные для дальнейшего подробности опустим)
а12 — ап qn, q m, п—целые числа. 18.37.8)
т rju, п rv г 1,2,3...,
q iv.
18.37.9)
в которых akt, bkl — известные константы.


266
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ С ДВУМЯ КРАЯМИ
ГГЛ. 18
Левые части этих уравнений — такие же, как в 18.37.6. Поэтому их определители будут равны нулю, если при п k и некотором целом т выполняется равенство 18.37.8. Решение неоднородной статической задачи будет в этом случае, вообще говоря, невозможно. Это можно было предвидеть заранее. Рассматриваемые здесь статическая и геометрическая безмоментные задачи сопряжены в смысле § 7.7. Поэтому, если выполнено 18.37.8, т. е. если однородная геометрическая задача имеет нетривиальные решения, то согласно теореме 1 § 7.7 надо требовать, чтобы внешние силы статической задачи не совершали работы на перемещениях всех возможных изгибаний. Выше было показано, что таких изгибаний бесконечное множество. Однако соответствующие им перемещения меняются по а2 как sin rva2 или cos rvа2, а внешние силы меняются по а2 как sin ka2 или cos ka2, поэтому, в силу ортогональности тригонометрических функций, работа внешних сил может отличаться от нуля лишь при rv k. При фиксированном г существуют только два линейных независимых изгибания, а значит, и число нетривиальных условий существования решения статической задачи также равно двум. Это и будут те два условия, которым должны отвечать правые части двух систем
18.37.9 для того, чтобы эти уравнения, а вместе с ними и статическая задача безмоментной теории, были разрешимы. Решение статической задачи, очевидно, будет при этом зависеть от двух произвольных констант.
Рассмотрим полную краевую задачу безмоментной теории для внешней нагрузки вышеописанного вида. Решение здесь также можно разбить на этапы, описанные в § 17.33, и задавать £, г в виде r-го члена разложений 18.37.5. При этом возможны два случая.
Случай I. Равенство 18.37.8 при выбранном k не выполняется. Тогда обе краевые безмоментные задачи приводятся к системам алгебраических уравнений с ненулевыми определителями. Это значит, что полная краевая задача имеет решение единственное.
Случай II. Равенство 18.37.8 при выбранном k выполняется. Тогда получатся алгебраические системы уравнений с одинаковым нулевым определителем. Для разрешимости систем, отвечающих статической задаче, надо на внешнюю нагрузку наложить два условия, вытекающие из вышеприведенных рассуждений. При выполнении их статическая задача будет иметь решение, зависящее от двух констант Eik i 1, 2. Последние попадут в конечном итоге в правые части систем, отвечающих геометрической задаче. Определители этих систем равны нулю, но Eik можно подобрать так, чтобы системы были разрешимы. Это значит, что решение полной краевой задачи безмоментной теории существует и в случае II, но оно будет определяться с точностью до бесчисленного множества тех изгибаний, которые имеет срединная поверхность при выполнении 18.37.8.
Полученные результаты полностью согласованы с теоремой о возможных изгибаниях, и мы получаем пример применимости этой теоремы к оболочкам отрицательной кривизны.
§ 38. Оболочка с двумя неоднотипно закрепленными краями
Рассмотрим теперь случай, когда оболочка имеет два края у19 у2, причем на Ух тангенциальные закрепления отсутствуют, а край у2 заделан от обоих тангенциальных перемещений. Тогда условия существования решений полной краевой задачи безмоментной теории могут оказаться довольно неопределенными, как вытекает из нижеследующего примера.
Пусть речь идет о сферическом куполе, нагруженном только краевыми силами, т. е. полная краевая задача безмоментной теории сводится к построению комплексной функции напряжений ф £ и комплексной функции перемещений g £.


§ 38]
ОБОЛОЧКА С НЕОДНОТИПНО ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КРАЯМИ
267
Функции ф £ и g С должны быть аналитическими в двухсвязной области G, ограниченной замкнутыми контурами g± и g2y отвечающими краям у1у у2 соответственно рис. 46, а. На краю уг надо выполнить два тангенциальных граничных условия, отражающих тот факт, что на оболочку действуют заданные краевые силы. В общем случае, когда край произвольно расположен относительно координатных линий, тангенциальные статические граничные условия записываются в виде двух равенств
РТ -f- qxS i, р2Т q2S f2y 18.38.1)
в которых pi, qiy ft — заданные функции точек края, а Г, S — нормальное и касательное тангенциальные усилия на косых сечениях, проходящих вдоль края. Для последних имеются формулы 3.20.2. Поэтому вместо 18.38.1 можно написать равенства
aiТ1 т СТ2 — fit
а2Тг b2S с2Т2 f2y 18.38.2)
в которых aiy biy fi — заданные функции точек края.
Кроме 18.38.2, мы имеем третье статическое безмоментное уравнение
7.1.3. Его можно записать в виде
з- 18.38.3)
Равенства 18.38.2 и 18.38.3 образуют линейную алгебраическую систему уравнений, которую можно разрешить относительно тангенциальных усилий, и следовательно, условия 18.38.1 эквивалентны равенствам
Т ь S fl
Из них в силу 13.6.8 вытекает, что, если на краю уг сферической оболочки заданы два тангенциальных статических условия, то это эквивалентно заданию краевых значений комплексной функции напряжения на соответствующем контуре g1. Точно так же, если на краю у2 сферической оболочки оба тангенциальные граничные условия — геометрические, то этим на g2 определятся граничные значения комплексной функции перемещения g £.
Известно, что нельзя произвольно задавать контурные значения действительной и мнимой частей аналитической функции комплексного переменного. Однако, имея в виду разобраться в этом детально, будем искать для рассматриваемого случая решение полной безмоментной краевой задачи, придерживаясь такой последовательности действий.
1. В области G рис. 46, а строим комплексную функцию напряжений ф С, которая на g± принимает заданные значения.
2. Зная ф £ по формуле вида 13.4.5 находим комплексную функцию рб — iq6, подобрав Я £ так, чтобы соблюсти однозначность. Функция ?б — iqi6 вместе с 13.4.6 определит тангенциальные смещения, которые, вообще говоря, на контуре g2 будут давать невязки в тангенциальных геометрических граничных условиях.
3. В области G строим комплексную функцию перемещений g С, которая на g2 принимает заданные значения их надо подобрать так, чтобы погасить невязки п. 2.
Таким образом, для достижения цели надо дважды построить в двухсвязной области G аналитическую функцию, сначала функцию напряжений,
си
6)
Рис. 46.


268
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ С ДВУМЯ КРАЯМИ
ГЛ. 18
а затем функцию перемещений, так, чтобы на одной из двух границ области она принимала заданные значения.
Приступая к рассмотрению этой задачи, обозначим искомую функцию через f £, примем для конкретности, что она принимает заданные значения на gl9 и запишем соответствующее условие так:
ft ср t — значения £ на gx. 18.38.4)
Ограничимся случаем, когда ср t есть контурное значение некоторой функции ф £, которая в односвязной области Gly ограниченной контуром рис. 46, б, мероморфна, т. е. аналитична всюду, за исключением некоторых точек £1? £2, , £л, где она может иметь полюсы. Примем, что ни одна из этих точек не содержится в достаточно узкой полосе, примыкающей изнутри к границе glm Тогда условие 18.38.4, как вытекает из теоремы единственности аналитических функций, можно выполнить единственным образом, положив
т ра 18.38.5)
При этом возможны два случая:
1. Если точки £i, £2 • • • Zk отсутствуют, либо находятся внутри кон- тура g2t то формулой 18.38.5 в области G определится искомая аналитическая функция,
2. Если хотя бы одна из точек £х, £2, • • • Zk попадет в двухсвязную область G, то функция 18.38.5 не будет удовлетворять нужным требованиям, а это значит, что рассматриваемая задача не имеет решения.
Итак, если оболочка положительной кривизны имеет два края, из которых один закреплен в обоих тангенциальных направлениях, а другой в этих направлениях свободен, то для нее полная краевая задача может иметь или не иметь решение в зависимости от обстоятельств, которые трудно предвидеть заранее.
Мы воспользовались некоторыми теоремами теории аналитических функций, чтобы наиболее просто обосновать это утверждение, но, в сущности, в этом не было необходимости. При построении комплексных функций напряжений и перемещений должна быть дважды решена задача с начальными условиями Коши. Вблизи рассматриваемого контура решение задачи Коши, как известно, всегда существует, но его не всегда можно продолжить достаточно далеко вглубь области. Поэтому высказанное выше утверждение относится к любым оболочкам положительной кривизны, независимо от того, можно ли для них решать безмоментную задачу при помощи аналитических функций.
К двухкратному решению задачи Коши сводится вопрос и в случае, когда кривизна оболочки неположительна. Если кривизна равна нулю, то рассуждения становятся элементарными. Они проведены в §§ 15.17—15.19 и показали, что для оболочки нулевой кривизны обсуждаемая здесь полная краевая задача безмоментной теории всегда имеет решение, конечно, если края — неасимптотические. Если кривизна оболочки отрицательна, то обе упоминавшиеся выше задачи Коши должны решаться для систем гиперболического типа. Это значит, что их решение будет существовать в двухсвязной области при любой, достаточно гладкой нагрузке. Исключение может иметь место только тогда, когда в области G будут содержаться некоторые особые точки срединной поверхности, например, точки, через которые проходят две асимптотические линии одного семейства.
Таким образом, теорема существования обсуждаемой полной безмоментной краевой задачи имеет запутанный характер только тогда, когда кривизна оболочки положительна. Это связано с тем, что в этом случае осутствует соответствие между характером краевых задач задачи с начальными условиями и типом эллиптическим уравнений.


§ 39 ОБОЛОЧКА С НЕОДНОТИПНО ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КРАЯМИ
269
Замечание. В § 18.37 мы могли убедиться, что применение безмоментной теории к оболочкам отрицательной кривизны связано с некоторым насилием над свойствами соответствующих краевых задач например, необходимость решать задачу Дирихле для гиперболических уравнений. Здесь получился пример прямо противоположного характера: краевые задачи безмоментной теории оказались более естественными для оболочек отрицательной кривизны.
§ 39. Оболочка с двумя неоднотипно закрепленными краями продолжение)
Вернемся к оболочкам положительной кривизны. Если один из краев такой оболочки закреплен от тангенциальных смещений, то независимо от того, имеются ли другие края, и от того, как они закреплены, ее срединная поверхность не может иметь изгибаний. Этот факт известен. Он относится к любым поверхностям положительной кривизны и очевиден с точки зрения теории дифференциальных уравнений, так как построение изгибаний при таком закреплении края сводится к однородной задаче Коши. Из сказанного вытекает, что по теореме о возможных изгибаниях § 15.21 решение полной краевой задачи безмоментной теории для оболочки, рассмотренной в предыдущем параграфе один край свободен от тангенциальных закреплений, а второй — заделан в обоих тангенциальных направлениях, должно существовать и быть единственным. Однако это утверждение может оказаться и неверным, и чтобы разобраться в получающемся несоответствии, вернемся еще раз к задаче построения аналитической функции по условию 18.38.4.
Пусть
С С 2Г 18.39.1)
— аналитическая в G± рис. 46, б функция, осуществляющая конформное преобразование области Gt на круг г С 1. Тогда рассматриваемая задача сведется к построению в плоскости z функции z, принимающей на окружности z 1 заданные значения и остающейся аналитической в той части круга z 1, которая соответствует области G. На рис. 47 эта часть области ограничена пунктирным контуром gy на который отображается контур g2 рис. 46, а. Не поступаясь общностью, можно считать, что центр круга z 0 лежит внутри g; для этого надо выбрать конформное преобразование 18.39.1 так, чтобы точка z 0 соответствовала некоторой точке области G, лежащей внутри g2 рис. 46, а.
Пусть z ге1ф, тогда условие на окружности z 1 запишется так:
X ei41 t ф -- is ф. 18.39.2)
Примем, что правую часть этого равенства можно представить в виде
суммы
Хе 2 cos шр--В,, sin дер)
п0
18.39.3)
Апу Вп — комплексные константы.
В этом случае искомая функция запишется следующим образом:
N
2 2 4“ 2 2П ж -zn— 2п ; 18.39.4)
п0


270
БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ С ДВУМЯ КРАЯМИ
1.ГЛ. 18
она удовлетворяет условию 18.39.2 и аналитична всюду, за исключением точки z 0, которая заведомо лежит вне интересующей нас области.
Таким образом, для граничного условия частного вида 18.39.3 решение вспомогательной задачи построено. Под общим случаем условно можно подразумевать случай, когда в 18.39.3 и в 18.39.4 в правых частях N оо. Тогда правая часть 18.39.4 обратится в ряд Лорана, который сходится в некотором кольце, не покрывающем, вообще говоря, рассматриваемую область. Отсюда вытекает, что вопрос о существовании решения обсуждаемой задачи, соответственно результатам § 18.38, в этом общем случае остается открытым. Однако приведенные рассуждения позволяют сделать важное для дальнейшего уточнение. При достаточно большом N общие в указанном выше смысле граничные условия можно аппроксимировать условиями вида 18.39.3, а это значит, что рассматриваемая задача не имеет решения только тогда, когда она ставится совершенно строго. Смягчив постановку задачи, т. е. заменив истинное граничное условие равенством 18.39.3, всегда можно построить решение.
Отметим, что описанное выше смягчение постановки задачи заключается в том, что ее граничное условие выполняется с точностью до слагаемых, имеющих сколь угодно большую изменяемость.
Замечание. Большая изменяемость невязки в граничных условиях получается в преобразованных переменных на плоскости г. Нетрудно, однако, показать, что такое свойство невязки сохранится и после обратного преобразования на плоскости £. Это следует из того, что если £ г £, то
±friLL
dt ' dz dt, ’
a dzdt, ограничено и отлично от нуля во всякой неугловой точке контура g5.
Таким образом, обобщая полученные результаты, можно утверждать, что для оболочки с двумя краями, из которых в тангенциальных направлениях один закреплен, а другой свободен, полная краевая задача также подчиняется теореме о возможных изгибаниях, не только при этом постановка задачи должна быть смягчена указанным образом.


Часть IV
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Рассматриваются итерационные методы решения уравнений теории оболочек. Вначале формулируются итерационные процессы, позволяющие строить интегралы, соответствующие безмоментному и чисто моментному напряженным состояниям, а также простому краевому эффекту. Процессы существенно основываются на малости относительной толщины оболочек и строятся формально в том смысле, что не делается попыток исследовать их асимптотические свойства. Однако существование формальных разложений для безмоментного и чисто моментного напряженных состояний и для простого краевого эффекта в какой-то мере может служить обоснованием тех предположений, которые были положены в основу приближенных методов построения этих напряженных состояний в части III.
Наиболее существенны в части IV результаты, относящиеся к итерационным методам выполнения граничных условий. Дело в том, что каждое из тех напряженных состояний, которые были введены в рассмотрение в части II безмоментное и чисто моментное напряженные состояния, напряженное состояние с большой изменяемостью, простые и обобщенные краевые эффекты, обладают отличительными свойствами, важными для суждения о работе оболочки. Очевидно существенное различие между безмоментным и чисто мо- ментным напряженными состояниями: в первом из них материал оболочки работает по толщине равномерно, в то время как во втором загружены только области, примыкающие к лицевым поверхностям. Общим свойством и безмоментного, и чисто моментного напряженных состояний является их тотальность, охват всех областей срединной поверхности. В этом смысле оба они радикально отличаются от краевых эффектов, локализующихся вблизи линий искажения хотя иногда это свойство и нивелируется. Полное напряженное состояние составляется определенным образом из перечисленных выше более простых напряженных состояний, и роль, которую играет в этой сумме отдельные слагаемые, зависит, в частности, от характера граничных условий. Поэтому можно утверждать, что построив асимптотические процессы выполнения граничных условий, мы, помимо чисто математических еыводов, сможем сделать заключения и о физических свойствах полного напряженного состояния оболочки. В частности, здесь выясняются те последствия, которые влекут за собой те или иные странности поведения решений краевых задач безмоментной теории, выявившиеся в части III.
Итерационные процессы выполнения граничных условий изучаются в рамках ряда ограничений. Считается, что выполняются условия применимости метода расчленения часть III. Принимаются во внимание только идеализированные граничные условия часть I и не учитывается влияние изменяемости внешних воздействий другими словами, показатель изменяемости внешних воздействий полагается равным нулю, в то время как для применимости метода расчленения достаточно было бы считать, что он меньше половины. Несмотря на такие ограничения, число случаев, подлежащих разбору, получилось весьма значительным. Большим оказалось й; число различных итерационных процессов, которыми надо пользоваться для решения соответствующих задач. Это значит, что структура напряженного состояния оболочки зависит от способа закрепления ее краев в большей мере, чем этого


272
ЧАСТЬ IV
можно было бы ожидать: граничные условия могут повлиять на асимптотику решения, т. е. увеличить уменьшить искомые величины на порядок или даже на несколько порядков.
Рассмотрение итерационных процессов выполнения граничных условий позволяет сделать и некоторые чисто математические заключения. В теории оболочек можно говорить о возмущенной и невозмущенной краевых задачах. Под первой подразумевается интегрирование неупрощенных уравнений с учетом всех тангенциальных и нетангенциальных граничных условий, а вторая заключается в интегрировании предельных при h 0 уравнений с учетом одних тангенциальных условий. Возмущенная краевая задача в теории оболочек всегда представляет собой корректно поставленную задачу типа Дирихле. Однако вырожденная задача теории оболочек может оказаться в том или ином смысле некорректной. В ней может иметь место несовпадение числа граничных условий с порядком уравнений, несоответствие типа уравнений типу краевой задачи может получиться, например, задача Дирихле для гиперболической системы или задача Коши для эллиптической системы и т. д. Очевидно, что все такие неправильности невозмущенной задачи оказывают существенное влияние на характер напряженного состояния оболочки, и их полезно иметь в виду при разработке любых подходов к фактическому решению задачи в том числе и непосредственного счета на ЭЦВМ. Если стать на путь приближенных подходов к решению краевых задач теории оболочек, то здесь результаты настоящего раздела находят непосредственное применение. Исходное приближение каждого из рассмотренных итерационных процессов можно рассматривать как приближенный метод решения соответствующей краевой задачи. Получаемые таким образом результаты при желании можно уточнять, увеличивая количество итераций.


ГЛАВА 19
ИТЕРАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ПОСТРОЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
§ 1. Краткая запись уравнений теории оболочек
Введем в рассмотрение матрицу тангенциальных усилий Т, матрицу моментов G, матрицу перерезывающих усилий N, матрицу тангенциальных деформаций Е, матрицу изгибных деформаций С, матрицу смещений U, определив их равенствами
E 2Eh , К 2ЕкЩ Х, U 2Ehщ, щ, w.
т х2/
19.1.1)
Тогда дифференциальные уравнения теории оболочек можно условно записать следующим образом.
Уравнения равновесия
и т-nt N X, 0, lT — nN Z 0,
mi Q -j- У -f- hYi 0 i h j 1, 2.
Формулы деформации — перемещения»
E EU, K KU. 19.1.3)
Уравнения состояния E FT HG h2F'T--hft G h2— VK WE. 19.1.4)
В уравнениях равновесия использованы такие обозначения: Xi9 Z, Yf — компоненты внешних поверхностных сил и моментов, N — перерезывающие усилия; ь щ, , п, — линейные однородные дифференциальные опера¬
торы от элементов указанной в скобках матрицы, а именно
'1:г лЛ7 Ьй7 W ■- Ti -щ -4 А s, ■
п N — AL Ni lT— Tl- Sai Si2 I т2
ПЛ1У1 Rii Rii lJ Ru R12 tf22’
i г а а т 19Л-5>
■AI-Ъа КЛЛ at ЛЛ•
“ ° -zk 57 w ■ 7H‘I-Щ' 7 G‘]
¥■1,2.
18 А. Л. Гольденвейзер


274 ИНТЕРАЦИОННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК ГЛ. 19
В формулах деформации — перемещения под Е U, К 7 подразумеваются матрицы, элементы которых представляют собой однородные линейные дифференциальные операторы от элементов матрицы U. А именно»
торы от uiy w, смысл которых определяется формулами 6.44.3, 6.44.4. В уравнениях состояния матрицы
составлены из элементов матриц, указанных в квадратных скобках, а конкретное содержание их зависит от принятого варианта уравнений состояния. В любом случае можно считать, что
и понимать под f матрицу, составленную из компонент внешних поверхностных сил Xit Z. Что же касается матриц , F' и W, то вопрос об их конкретном содержании надо считать открытым. Мы не будем их задавать, заметив только, что эти матрицы можно при желании подобрать так, чтобы 19.1.4 стали тождественны любому из обсужденных в части I вариантов уравнений состояния. Так, например, простейший вариант уравнений состояния получается, если положить
а матрицы F и V определить формулами 19.1.7.
В Дальнейшем мы будем считать, что матрицы H,F' я f могут выбираться произвольно, но, избегая некоторых технических трудностей, примем, что
§ 2. Безмоментный итерационный процесс
Обращаясь к асимптотическому интегрированию уравнений теории оболочек 19.1.2—19.1.4, введем малый безразмерный параметр г с помощью формулы
в. которой под г понимается некоторый характерный радиус кривизны срединной поверхности. Будем пока предполагать, что компоненты внешних иил равны нулю, и зададим решение однородных уравнений 19.1.2—19.1.4 в виде
Здесь и всюду в части IV символ s означает сумму по s от нуля до некоторого числа о от выражения, заключенного в скобки, а величины, отмеченные нижним индексом s, представляют собой матрицы, не зависящие от
19.1.6)
где под еь со, х, т надо подразумевать линейные дифференциальные опера-
FTl НТ, ПТ, VKl WE]
HG F' Т f WE 0,
19.1.8)
W 0.
19.1.9)
19.2.1)
T TTa'ns7'ss, G r-a4 ifSs, N rp04 tWS s,
£ rraif£ss, К ’4a4sKss, U -rrarsUiss.


БЕЗМОМЕНТНЫЙ ИТЕРАЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС
275
параметра т. Таким образом, например, первое из равенств 19.2.2 в развернутом виде эквивалентно четырем равенствам
о о
Ti TJ-° Ч?Т 1 s, 521 T-° 11SS21 S,
S0 S0
a a
12 Л a Ll 'nS12 sh T2 T a TST2 S ,
s0 s0
в которых Tis, S2is, Si2S, T2 s не зависят от т.
Число а в 19.2.2 пока остается неопределенным; оно считается одинаковым для всех величин, т. е. r_a представляет собой некоторую константу, на которую помножено рассматриваемое решение этот множитель понадобится для дальнейшего; введение его законно, так как, по предположению, речь идет о решении однородных линейных уравнений. Верхний предел суммирования сг в разложениях 19.2.2 может быть различным для разных величин.
Справедлива очевидная формула
Л Гв£лМЗД 19.2.3)
s0
вместе с подобными формулами для
ЦТ, Е U, KlU, FT. 19.2.4)
Условимся в дальнейшем всегда считать, что
Pt 0 при £0, 19.2.5)
т. е. примем, что коэффициентам разложений вида 19.2.2 можно приписывать и отрицательные индексы, считая, что такие коэффициенты тождественно равны нулю. Тогда суммы 19.2.2 для G и N можно записать следующим образом:
о гг- £ Tf?s-_4, N гг° S TiWs_4, 19.2.6)
s0 s0
в верхних пределах суммирования здесь надо было бы написать a 4, но это число заменено на сг, так как смысл последнего не определен и сг можно выбирать по-разному для разных величин.
Отсюда, учтя 19.1.5, получим равенства
т N тр £ rfm Nis-4, н ? т а S г,Я Gs_4,
s0 S0
h?F' T rV° t nsF' Г-4,
. s0
которые в сокращенной записи имеют вид
П N rpa ifnt ЛС,_4„ Н ? т а 1fH ?,_4„ h2F Т г° гfF 7V4Is.
19.2.7)
Кроме того, в формулах 19.1.4 по предположению составляется из компонент поверхностных сил, поэтому в однородном случае надо полагать 0.
Аналогичные равенства получатся для '
п Ny mt G, h2VK. 19.2.8)


276 ИТЕРАЦИОННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК ГЛ. 19
Обратимся к однородным уравнениям теории оболочек 19.1.2—19.1.4. Подставим в них разложения 19.2.2—19.2.4, 19.2.7, 19.2.8 и потребуем, чтобы в каждом отдельно взятом равенстве обращались в нуль коэффициенты при всех степенях rj. Тогда, учитывая 19.1.9, придем к такой последовательности систем уравнений:
h Тs Xi S 0, Ts -f- ZS О, ES FITS Fs,
Ei8EUi8, KSKUis, Gs—r2VKs 3, 19.2.9)
mi Gs -- N j S 0 Ф j 1, 2; s 0, 1, 2 .
В ней, в последних двух равенствах, произведена замена индекса s — 4 на s и, кроме того, введены обозначения
*
Xi s Hi Ms-4, 2S Я Ms-4,
Fis Я0s-4 r2F' 75-4 19.2.10)
уравнения, которым должны удовлетворять остаточные члены разложений 19.2.2, не выписываются, так как, насколько известно автору, их пока исследовать не удалось.
Уравнения 19.2.9 относительно
Г5, ES, Us, Ksi 0s, N j S 19.2.11)
образуют рекуррентную цепочку систем уравнений, позволяющую строить величины 19.2.11 последовательно, в порядке возрастания s. При этом величины, отмеченные звездочкой, можно считать известными: при s 4 они обращаются в тождественный нуль в силу 19.2.5, 19.2.10, а при 4 они выражаются через величины с индексами s — 4, которые предполагаются уже построенными.
Таким образом, мы приходим к итерационной процедуре интегрирования уравнений теории оболочек. Она будет называться безмоментным итерационным процессом и заключается в том, что решение задается в виде раз¬
ложений 19.2.2, коэффициенты которых 19.2.11 строятся описанным образом.
Безмоментный итерационный процесс заслуживает такое название потому, что в однородном случае при отсутствии поверхностной нагрузки его можно рассматривать как метод, позволяющий строить безмоментные напряженные состояния со сколь угодно большой точностью здесь и ниже постулируется, что итерационные процессы, рассматриваемые в этой части, имеют асимптотический характер. Чтобы показать это, перепишем уравнения без моментной теории 7.1.1—7.1.9 в принятых здесь коротких обозначениях, отбросив нагрузочные члены и введя некоторые слагаемые со звездочкой. Получим
;СГ Х£ 0, lT Z 0, E FT Ft E EU, K KUl G —h2VKt miG Nf 0 f l,2.
Эти уравнения отличаются от однородных уравнений безмоментной теории только тем, что 19.2.12 содержат дополнительные слагаемые, отмеченные звездочкой сверху. С другой стороны, если в 19.2.12 выразить h через г по формуле 19.2.1 и положить
j, Е, К, U, Х„ Z, F, тЧ?, TftfJ =
7s, £s КS, иa 9 Xis• Zs, F, GS,


ЧИСТО МОМЕНТНЫЙ ИТЕРАЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС
277
то они станут тождественны уравнениям 19.2.9. Но из 19.2.10 следует, что при s 4 величины со звездочкой тождественно равны нулю, а это значит, что приближения 0, 1, 2, 3 в безмоментном итерационном процессе представляют собой некоторые решения уравнений безмоментной теории, а вычисляя дальнейшие приближения, мы получим уточнение этих решений. Они соответствуют безмоментным напряженным состояниям, так как последние характеризуются асимптотическими соотношениями 7.2.3—
7.2.8, находящимися в полном соответствии с принятой формой решения 19.2.2..
§ 3. Чисто моментный итерационный процесс
В однородном случае при Xt Z Yt — 0 интегрирование уравнений 19.1.2.—19.1.4 можно выполнять и при помощи другого итерационного процесса. Зададим искомое решение в виде таких разложений
т •n-fc2№7'Ss, о УГЬ2 OlsGss, JV rrb2TWss, ПР о n
£ тг42№,„ Г-тг-®№.,., и Г-имЬ, >
в которых общее для всех неизвестных число b остается неопределенным, а величины с индексами, взятыми в скобки, представляют собой матрицы, не зависящие от малого параметра.
Действуя так же, как в § 19.2, получим для определения коэффициентов разложений 19.3.1 такую последовательность систем уравнений:
liTS HiNS 0, lTS tiNS 0, mi GS -f- Nj S 0,
£. EUs, Кs К tsI, Es s H GS -f- FS, 19.3.2)
08 — r2VKs ih j 1, 2; s 0, 1, 2,....
Здесь, в первых трех равенствах, индекс s — 2 заменен на s, а в остальных равенствах индекс s 2 заменен на s. Кроме того, введены обозначения
Eis £s_4, F r2F' Г. 19.3.3)
Исходя из 19.3.2, можно последовательно, в порядке возрастания s, строить коэффициенты разложений 19.3.1, и этот процесс также будет иметь рекуррентный характер. Для каждого s в отдельности надо интегрировать систему 19.3.2, считая, что в ней величины со звездочкой заданы. Они определяются формулами 19.3.3, а следовательно, либо равны нулю при s с 4 в силу 19.2.5, либо выражаются через построенные ранее величины с индексами 0, 1, , s — 4. Такую процедуру решения однородных решений уравнений теории оболочек назовем чисто моментным итерационным процессом.
Уравнения 19.3.2 можно получить из равенств
FU E. K KIU, G -h2VKl mi6 Nf 0,
1У.о.4)
liT — niN 0, lT — nN 0, E FT HG Ft
положив в последних 7, G, N, E, Ky U, £, F =
Gis, NS, Es, rf4tfs, ЧГи, Т14Д8, К-


278 ИТЕРАЦИОННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК ГЛ. 19
В 19.3.4 входят величины со звездочкой, которые в приближениях
0, 1, 2, 3 обращаются в тождественный нуль. Но если их отбросить, то
19.3.4 превратится в систему, определяющую по схеме § 7.3 чисто моментное напряженное состояние. Следовательно, обсуждаемый итерационный процесс можно рассматривать как формальный асимптотический метод построения чисто моментного напряженного состояния. Это находится в полном соответствии с тем обстоятельством, что асимптотические свойства последнего, вытекающие из 7.3.2, 7.3.3, 7.3.6, 7.3.8, можно получить и из формул
19.3.1.
§ 4. Итерационный процесс для основного
напряженного состояния
При выполнении безмоментного итерационного процесса надо многократно решать систему 19.2.9. Для каждого, отдельно взятого s эти вычисления заключаются в следующем. Величина Т8 определяется интегрированием системы дифференциальных уравнений
h Тs -f- Xi S 0, TS -f- ZS 0. 19.4.1)
Из третьего равенства 19.2.9 находится jEs. Величина ts определяется интегрированием системы дифференциальных уравнений
EUiS Eis. 19.4.2)
Наконец, CS, GS и Л7 s строятся последовательно при помощи пятого, шестого и седьмого равенств 19.2.9. Таким образом, построение каждого приближения сводится к интегрированию двух систем дифференциальных уравнений 19.4.1 и 19.4.2, из которых определяются 7, tS, а также к выполнению некоторых прямых действий, при помощи которых подсчитываются Es, Ks, GS и NjiS.
Равным образом выполнение чисто моментного итерационного процесса требует многократного решения системы 19.3.2, а это для каждого s требует выполнения следующих операций: определения tS из уравнения
EtS ES, 19.4.3)
последовательного нахождения величин CS, Gs и ATs при помощи пятого, седьмого и третьего равенств 19.3.2, определения 7s из уравнений
liTis — niNs 0, lTis — nNs 0 19.4.4)
и, наконец, подсчета величины £s при помощи шестого равенства 19.3.2. Это значит, что снова для каждого s, кроме выполнения некоторых прямых действий, надо интегрировать две системы дифференциальных уравнений, записанных с помощью матричных равенств 19.4.3 и 19.4.4.
Сопоставив уравнения 19.4.1, 19.4.2, с одной стороны, и уравнения
19.4.3, 19.4.4 — с другой, увидим, что, в сущности, они совпадают друг с другом. Различие заключается только в последовательности решения этих уравнений и в том, какие величины надо рассматривать в них как известные. Это значит, что введение двух итерационных процессов — безмоментного и чисто моментного носит искусственный характер. Их при желании можно объединить в общий итерационный процесс следующим образом.
Перепишем еще раз уравнения 19.2.9, расшифровав величины со звездочкой по формулам 19.2.10 и снабдив каждую искомую величину дополни¬


ИТЕРАЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС для основного состояния
279
тельным индексом б, напоминающим, что речь идет о безмоментном итерационном процессе:
,• 7 - щ М® 0, 7 - п б14 0,
т, Off МП 0, £ Е Uw, 19 4 5
Е F ТТ Н Gs r2F' Т 1.
Kffi КI Is’- -rVCs6.
В уравнениях 19.3.2 расшифруем величины, отмеченные звездочкой, по формулам 19.3.3, заменим в первом, втором и шестом равенствах s на s — 4 и припишем каждой искомой величине значок м, напоминающий, что речь идет о чисто моментном итерационном процессе.
Получим
h 714 - пс MW 0, I 7ls - п 0,
пи Gs 0, Е Uffl,
19.4.6)
E:i4 FТ™ r2Ff WZUil
KiffKUfflb G r2VlKn
Сложим каждое уравнение 19.4.5 с соответствующим уравнением
19.4.6, введем обозначения
Fs TfZU, ПТ’- 0 G GT tffl Мю М°н.
176 , 7м росн If6 1 Ьм joch 76 i jr‘M •осн)
£s £S—4 £s A s As As s Г Us — СУ 5)
и запишем полученный результат так:
ДПГО-Млта 0, ivno,
пи G N°tsV 0. ZS°CH£tfl°CHL °сн йсн.
19.4.8)
£°,CH F7l°CH,l HGtU '2JP'7'S,
G°a — r2KCs°CH-
Здесь в фигурные скобки заключены слагаемые, которые при построении приближения s можно рассматривать как известные величины.
Так же, как это делалось для уравнений 19.2.9 и 19.3.2, можно убедиться, что для приближений 0, 1, 2, 3, когда величины в фигурных скобках обращаются в тождественный нуль, равенства 19.4.8 совпадают с уравнениями безмоментной теории. Отсюда следует, что полученный итерационный процесс позволяет с произвольной формальной точностью строить любое основное напряженное состояние будь оно безмоментным или чисто моментным. Его можно поэтому назвать итерационным процессом для основного напряженного состояния. С математической точки зрения он эквивалентен безмоментному и чисто моментному итерационным процессам, взятым вместе. Однако с физической точки зрения такое объединение часто оказывается невыгодным. Результаты, даваемые безмоментным и чисто моментным итерационными процессами, с физической точки зрения отличаются друг от друга коренным образом. Первый из них определяет безмоментное


280 ИТЕРАЦИОННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК Гл. 19
напряженное состояние, асимптотические свойства которого выражаются соотношением § 7.2)
ов о rfaT.
Второй итерационный процесс приводит к чисто моментному напряженному состоянию, для которого имеет силу прямо противоположное асимптотическое соотношение § 7.3)
От О rfaG.
В оболочке в зависимости от условий закрепления ее краев удельный вес безмоментного и чисто моментного напряженных состояний может быть совершенно различным, и это коренным образом отражается на прочностных качествах конструкции: оно будет достаточно высоким только тогда, когда не велика роль чисто моментного напряженного состояния в подавлении последнего, в сущности, и состоит одна из важнейших задач разумного конструирования оболочек. Ниже §§ 20.10—21.25 будет изучаться влияние условия закрепления на асимптотические свойства напряженного состояния оболочки, а для этого выгодно считать, что безмоментное и чисто момент- ное напряженные состояния строятся при помощи разных итерационных процессов.
§ 5. Главные уравнения безмоментного
и чисто моментного итерационных процессов
Возвратимся к уравнениям 19.4.1—19.4.4 и введем некоторые дополнительные условия, которые должны учитываться при выборе произвольных элементов, возникающих в процессе решения этих уравнений.
Условие 1 заключается в том, что произволы интегрирования уравнений
19.4.1—19.4.4 не должны зависеть от параметра т, так как они входят в коэффициенты разложений 19.2.2 или 19.3.1, а эти коэффициенты по предположению не зависят от т.
Заметим далее, что обсуждаемые уравнения образуют две пары равенств
19.4.1, 19.4.4 и 19.4.2, 19.4.3, внутри каждой из которых различнымй являются только члены, считающиеся известными. Это значит, что при одинаковых s произволы интегрирования уравнений 19.4.1 и 19.4.4 повторяют друг друга. Повторяются произволы интегрирования также в уравнениях 19.4.2 и 19.4.3. Учитывая это, введем
Условие 2. При выполнении безмоментного итерационного процесса должны сохраняться только произволы уравнений 19.4.1, а для системы
19.4.2 надо строить только частный интеграл для каждого определенного Es следует указывать определенное tS; при выполнении чисто моментного итерационного процесса надо сохранять только произволы, возникающие при интегрировании системы 19.4.3, а для системы 19.4.4 надо строить только частный интеграл для каждого определенного NS следует указывать определенное 7.
Из сказанного выше слудует, что в безмоментном итерационном процессе особую роль играет система 19.4.1. С ее решения начинается построение приближения номер s; с ней и только с ней связаны произволы, которыми можно распоряжаться при выполнении граничных условий. Равенства
19.4.1 мы будем в дальнейшем называть главными уравнениями безмомент- кого итерационного процесса. Равным образом, главными уравнениями чисто моментного итерационного процесса будем называть равенства, вытекающие из 19.4.3. Отметим, что главные уравнения безмоментного итерационного процесса по форме совпадают со статическими уравнениями безмоментной теории, а главные уравнения чисто моментного итерационного процесса — с геометрическими уравнениями безмоментной теории. В обоих случаях главные уравнения однородны при s 4 и неоднородны при s 4.


§6]
ПОСТРОЕНИЕ ЧАСТНОГО ИНТЕГРАЛА
281
§6. Построение частного интеграла
Примем теперь, что компоненты внешних поверхностных сил и внешних поверхностных моментов отличны от нуля, и будем предполагать, что эта величины можно представить в виде
Матрица в уравнениях состояния 19.1.4, как уже упоминалось, выражается через компоненты внешних поверхностных сил. Поэтому из 19.6.1 вытекает, что
В практических задачах, как правило, можно ограничиться предположением, что Xt, Z, Yt не зависят от т. Если все эти величины будут пропорциональны некоторой степени т например, пропорциональны г2, как при расчете на собственный вес, то, пользуясь линейностью задачи, соответствующий множитель можно ввести в окончательный результат. Это значит, что коэффициенты разложений 19.6.1 часто имеют вид
Будем искать частный интеграл неоднородных уравнений теории оболочек 19.1.2—19.1.4, задав его в виде
Здесь, как и всюду, считается, что величины со значком s тождественноравны нулю при s 0. Вместе с тем предполагается, что величина jYSj нижний значок в квадратной скобке может отличаться от тождественного- нуля при s —2 и, соответственно, в выражении для N суммирование по s должно начинаться с s —2.
Подставив в 19.1.2—19.1.4 разложения 19.6.1, 19.6.4 и применив прежний прием приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях т, получим такую последовательность систем уравнений:
Последнее из равенств 19.6.5, в котором s — 2 заменено на s, принимает при s 2 вид
при отрицательных s отлична от нуля только тогда, когда компоненты поверхностной моментной нагрузки отличны от нуля в приближении 0 и 1.
0lsss-
19.6.2)
19.6.3)
T4STSS, О rj4 rjs7ss, Vt4tiWSs>
E — TS£S s, К — TsCs s U — yfUs s.
19.6.4)
*
*
*
*
*
Hs — H Gs—4 -f” Ts—4 -f- ff s—2-
N i s—2 r2Y Us о s 0, 1. Оно показывает, что величина
iVl s, 2s)


232 ИТЕРАЦИОННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК ТЛ. 19
Снова получился итерационный процесс для последовательного определения коэффициентов разложений 19.6.4 в порядке возрастания индекса s. В нем при определении величин с индексом s величины, отмеченные звездочкой, можно рассматривать как известные, так как они выражаются через заданные компоненты разложений 19.6.1, 19.6.2 и через величины, у которых.индекс в скобках меньше s.
При s 0,1 имеем
Заметив это и сравнив уравнения 19.6.5 с уравнениями 19.1.2—
19.1.4, заключаем, что в приближениях 0, 1 предлагаемый здесь итерационный процесс будет давать такой же частный интеграл, как если бы он строился при помощи безмоментной теории без учета компонент поверхностных моментов.
§ 7. Оболочки переменной толщины
Пусть толщина оболочки переменна, т. е. h имеет вид
где hcр — средняя постоянная толщина, а р р аъ а2 — заданная функция, учитывающая переменность h.
Будем считать, что понятие срединной поверхности сохраняет смысл, т. е. каждая точка М делит пополам расстояние по нормали между лицевыми поверхностями, и примем, что уравнения теории оболочек сохраняют свой вид изменяется только смысл К. Тогда все рассмотренные здесь итерационные процессы остаются в силе, если в них параметр разложения г определить формулой
■обобщающей равенство 19.2.1. При этом останется неизменным не только характер обсуждаемых итерационных процессов, но сохраняются с точностью до членов, рассматривающихся как известные и те уравнения, которые надо интегрировать при выполнении этих процессов. Покажем это на примере безмоментного итерационного процесса.
Для каждого приближения безмоментного итерационного процесса интегрировать системы дифференциальных уравнений приходится дважды:
при построении Т и при построении U. Для Т мы имеем уравнения 19.4.1.
*
В них Xt s, ZS следует рассматривать как известные величины, а операторы lt и , как видно из 19.1.5, не зависят от h. Для определения U служат уравнения 19.4.3. В них левые части расшифровываются при помощи первого равенства 19.1.6 и формул 7.5.1, а следовательно, содержат h только в виде общего множителя, который можно перенести в правые части уравнений 19.4.3, в результате чего он войдет в состав величин, которые считаются известными.
§ 8. Итерационный процесс для простого
краевого эффекта
Решения, соответствующие простому краевому эффекту, также можно находить при помощи итерационного процесса. Обращаясь к его построению, будем считать, что толщина оболочки, вообще говоря, переменна, и снова воспользуемся обозначениями, вытекающими из равенств 19.7.1 и 19.7.2.
ХцS X£sh ZS ZS, Hs 0, Yi s_2 0. 19.6.7)
h cpP>
19.7.1)
19.7.2)


ПРОЦЕСС ДЛЯ ПРОСТОГО КРАЕВОГО ЭФФЕКТА
283
Примем, кроме того, что линия у, порождающая рассматриваемый простой краевой эффект, задается уравнением аг а10. в некоторой ортогональной системе координат в общем случае эту систему координат надо специально строить для изучения простого краевого эффекта у данной линии у, и мы предположим, что это возможно сделать таким образом, чтобы аглинии не пересекались друг с другом в окрестности у, достаточно широкой для того, чтобы в ней простой краевой эффект успел затухнуть.
Введем обозначения
ki -JTJ- , u'i 2EhCpUit w 2Ehcpw,
1,1 19.8.1)
уi 2Ehcvyi i f j 1, 2)
аналогично — для 'if со', т' и будем под В подразумевать любой коэффициент уравнений теории оболочек, включая- функцию р, характеризующую переменность толщины оболочки:
В
— Ai ’ kh Rij ’ Р I ~
Выполним замену независимой переменной аг по формуле
—а10 г 19.8.2)
и разложим величины В в ряды Тейлора вблизи у и, оставив в этих разложе- ниях некоторое число первых слагаемых, получим приближенное равенство
£ ВДН',
sО
которое мы, воспользовавшись введенной выше символикой, коротко запишем так:
BrfBss, В, ГВ,. 19.8.3)
Будем исходить из полной системы уравнений для оболочки, отнесенной к произвольной ортогональной системе координат, т. е. из соотношений § 6.44. Внеся туда 19.7.1, 19.7.2, 19.8.1 и 19.8.2, получим следующие уравнения.
Уравнения равновесия 6.44.1)
у — 111 d7 I dsi2 , г О I с Ч г
Xl Аг дй А2 да2 Й1 Сз™ 21 +
у л 1 д21 _ L 2 I и гр Т \
Х2 - А, д£ А2 да2 г 1 2 ' х +
2 12 “Ь 2l Rtf —
__ 12 21 I 2 Т 1 1 dN2 , и АТ I Ь АТ п
Ж RRATW +
гх -- kAH21 H12 k1G1-G2 N2 0,
у2 - К 02 - G, ft, Н21 Н12 Ni о
шестое уравнение равновесия не учитывается.


284 ИТЕРАЦИОННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК ГЛ. 19
Формулы тангенциальные деформации — перемещениям 6.44.3)
__ Т11 ди , , , w' ~
вг гг i2 - 0,
W £-°. 19.8.5)
г , ri-1 ди'9 1 ди , , t f , 2w' л
f ш лГЖ-lUl —
Формулы тзгибные деформации — перемещениям 6.44.3, 6.44.4)
г _ т-2 d2w' , т-1 дАг dwf kx dw' т1 1 ди\
Ai щ 32 -Щ- д Щ
1 1 ди , 3 г-1 1 ди2
12 2 2 11 1 -хжЫ1 хг t'-' 2ife U2 0»
тг __ 1 dW 4_12 да 1 дЛ2 да 3 1
А2 2 5- ЗГ 2- —
г-1 1 ди2 1 ди2 Г д 1 А?2 I I ' L
2? 12 лх dl A2R22 да2 L Л2 а57Л 12 и Ж7J щ +
-ii 7“;-0’ ,19А6>
у, , г-1 d2w' feit-1 dai' 2 дш' г- 1 ди[
лй7др57 аГЩ, ЖГ'ГЖ'-
__ 1 дих _ JTl JL _4 1 2 Г _J _1_ _£j_ _2_ ,
i ДцЛ да2 tf22 Лх д Ч- R12A2, ди2 Г Лх даг R12 f tfu Г дц J “1 +
— 'лГ'г tr г“2-жг rw' 0
в этих формулах дифференцирование по новой переменной применяется только к искомым функциям, т. е. компонентам перемещения, а для заданных величин — Alf Rllt R12, R22 — сохраняется дифференцирование по аг.
Уравнения состояния 6.44.6)
к Т—8i ve2 0, h Тч — J-B--5 82 V8i о,
n Р 0 л rt Р СО Л
?21 21 j __ v 2 Vl2 12 1 __ v 2 =
19.8.7)
gi °1 W w2 0, g2 G2 3-P4v2 X2VXI Ti4ea,
, _ „ г2р4 , п , j, r2p3t4 , п
h21 — Н21 з i _j_ v T — 12 — 12 3 i V T — 0*


УРАВНЕНИЯ ПРОСТОГО КРАЕВОГО ЭФФЕКТА
285
последние два из этих равенств упрощены за счет отбрасывания слагаемых с со.
Решения выписанных уравнений, соответствующие простому краевому эффекту, зададим формулами
Т Т с1 OfTi ss Т2 Ц 0 TSX2 ss Sij — Л C1 лSSif Ss,
Ui rrC1 Wu'i ss. W T-c rfwls s, у i Tls7i ss,
el T_c1 Olei ss. rp4-1 tscoS „ s2 г c Tfe2 ss, g
1 Г-с2 rsKl ss, t' rj—c—1 rjsXs, s, X2 tl-1 rsX2 ss,
Gi VTC2 лsGi ss, Hij r“c3 трЯ 1 SS, Я 1 ц-с1 rfN ss,
N2 r—c2 isiV2 ss i Ф j 1, 2,
в которых с — общая для всех искомых величин константа, имеющая такой же смысл, какой имеют в безмоментном и чисто моментном итерационных процессах константы а, Ь.
Подставив 19.8.3, 19.8.8 в уравнения 19.8.4—19.8.7, мы получим обычным образом рекуррентную последовательность систем уравнений для определения коэффициентов разложений 19.8.8. В решении этих уравнений и заключается итерационный процесс для простого краевого эффекта. В следующем параграфе мы убедимся, что в исходном приближении он совпадает с приближенным методом построения простого краевого эффекта §§ 8.9-8.11.
§ 9. Уравнения интерационного процесса для простого краевого эффекта
Чтобы выписать последовательность систем уравнений, о которых говорилось в § 19.8, рассмотрим для конкретности одно из уравнений 19.8.4—
19.8.7. Пусть речь идет о первом равенстве 19.8.4. После подстановки в него разложений 19.8.3, 19.8.8 получим равенство
s ч ч‘ Ш..ч’тг, ч-1 ч‘ Ш.Ич1 +
4 Л лв №llss 0nS 12 ss f CnS21 ss Л л521зз vST 1 ss ’
— rpHrf k2ss t7a ,, — трН-1 t -Д rfNi • +
TT2ri ЩД №SS 0, 19.9.1)
в котором символ s расшифровывается вторым равенством 19.8.3 и означает, что для выражения в скобках надо найти s-й коэффициент разложения Тейлора вблизи ах а10 и помножить на
Произведя в 19.9.1 почленное перемножение сумм, обозначенных символами s, можно привести хх к такому виду:
Xi Л-*
I
Здесь хг представляет собой некоторое линейное дифференциальное выражение от коэффициентов разложений 19.8.8, т. е. от величин, имеющих дополнительный индекс А,, причем: К 0, 1, 2, L Общая формула


286 ИТЕРАЦИОННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК ТЛ. 19
г
для хг громоздка, и мы ее приводить не будем. Однако, если представить xt в виде
считая, что хЪ — совокупность слагаемых, содержащих величины с нижним индексом , а х11 — совокупность слагаемых, у которых значение нижнего индекса в скобках не превосходит — 1, то выражение х записать нетрудно. Оно составляется так. В средней части равенства 19.9.1 надо оставить только те произведения двух сумм вида s, перед которыми стоит
множителем г в наименьшей степени в данном случае т_с; в каждом оставшемся произведении в первом сомножителе надо оставить слагаемое, соответствующее s 0, а во втором сомножителе сохранить слагаемое, соответствующее s I.
Таким образом,
-к0жтоТ21,)
и последовательность уравнений, которая получается в обсуждаемом итерационном процессе из первого равенства 19.8.4, запишется так:
ы.
причем х1 1 надо здесь рассматривать как известную величину, так как приближение I будет строиться только тогда, когда приближения 0,
1, , — 1, входящие в уже найдены.
Легко сформулировать правило, при помощи которого можно от пер- начального равенства в данном случае от первого равенства 19.8.4 перейти к окончательному равенству 19.9.1. Для этого надо, руководствуясь формулами 19.8.8, найти в средней части интересующего нас равенства 19.8.4 —19.8.7 асимптотически главные члены имеющие множителем г в низшей степени, приписать в них к искомой величине индекс внизу, заключить коэффициент в квадратные скобки со значком нуль, а все неглавные слагаемые заменить соответствующим символом стоящим в левой части рассматриваемого равенства, приписав ему сверху значок — 1. Руководствуясь этим правилом, выпишем искомую последовательность систем уравнений, заметив попутно, что символ при 10 сводится просто к подстановке ai ю, которую, так же как в § 8.12, мы будем отмечать точкой. Получим две следующие группы уравнений.
Группа I.
Nul =
Щц А А1 дЪ
Тц1 1 v2 е2 О v8l 0,
О. ■ : gi11 - -ipa-1' - о-
— 1 -1 Ф 8l 0 VS2 п tll Х 0. е2 О 0
22
0,1,2,.... 19.9.2)


УРАВНЕНИЯ ПРОСТОГО КРАЕВОГО ЭФФЕКТА
28?
Группа II.
1 21 сО I 1 dT2ii , ьгр v—D п
’
2
4.’ а- - о, 53?£ ^
Н21 l 31v тг h1 ° Ни l 3rlv х'1 А_1 О,
fjj Jp2 да2 Ь21 о 2 О 1 °. 19.9.3.
ено - If 7 М °. и 0- т7 - ТЯГ1' О,
S12 со — тГХ 0. '-1 О,
2о-.--г-1 0 0,1,2,....
Уравнения группы I можно выделить в самостоятельное рассмотрение Они образуют систему из семи уравнений с семью неизвестными
?2Ь NUlh G i, Dj, S , 82 19.9.4)
В группе II содержатся 12 уравнений с двенадцатью неизвестными
Tl0, 21 О, ?20, т0 21 Of 12 О, 20»
MOf © Si20, 20 х2. 19.9.5)
В совокупности 19.9.4 и 19.9.5 охватывают все неизвестные теории оболочек.
Решение уравнений группы II не вызывает затруднений: если вводить их в рассмотрение в том порядке, как они здесь записаны, то в каждое новое- уравнение будет входить только одно новое неизвестное. Поэтому все величины 19.9.5 можно выразить через величины 19.9.4 при помощи квадратур по g или алгебраически конечно, и в группе I, и в группе II величины*
с верхним индексом — 1 считаются известными.
Выведем в качестве примера формулы для Тщ и S21 , которые понадобятся в дальнейшем. Из первого равенства 19.9.2 выразим ?2ь
22 1 О , п- „1-1)
720 — Щ Ь22 z ,
и подставим этот результат в первое и второе равенства 19.9.3. Тогда, выполнив интегрирование по получим искомые формулы в виде
Т1 22210 Ах1 1 2222 Щ,
s2i о г-£г kRM I - 19.9.6.
Л2 2 Ах '
- л, j дГ11 £ W- - Ъ


ggg ИТЕРАЦИОННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК ГГЛ. 19
Вернемся к уравнениям группы I и исключим в них все величины с индексом Г, кроме w'u Получим равенство
1 дЧ 31-у ; гг-1 19.9.7)
А1У dt ?■? Rvf '
где
I 31—V2 31—V2 д1 .
a;2 df г2р'3л;2 df гузл; ^
, 31 — V2 U-D М-Щ 31—V2 г-1 31—v2 1-1 r2p’sR22 — WZ *
Оно представляет собой обыкновенное линейное дифференциальное уравнение относительно wit так как при 1 0 обращается в нуль,
а при I 1 эту величину надо рассматривать как известную. В исходном приближении, когда I 0, 19.9.7 по смыслу совпадает с разрешающим уравнением 8.10.9 приближенной теории простого краевого эффекта и интегрируется так, как описано в § 8.12 напомним, что коэффициенты уравнения 8.10.9 считались замороженными, т. е. соответствующие функции были заменены их граничными значениями. Отсюда следует, что в обозначениях § 8.12 для wо можно написать
wo сю ос2 ek 10 ё -_ с20 а2 ek 1—г a-io __
£30 а2 ек 10 с40 аг ek 1г ai-Oie g.
Это значит, что w'0 зависит от четырех произвольных функций с10, ’с2о сзо, £40 переменной а2 задающих положение точек на линии искажения, из которых первые две определяют решения, экспоненциально затухающие при убывании аь а две последние связаны с решениями, экспоненциально затухающими при возрастании ах.
Если 1, то правая часть уравнения 19.9.7 в нуль не обратится и, как следует из формул этого параграфа, будет выражаться формулой
W0 ZiC10 о, ek 1i a'-a‘ g Z2c20 a2 ek a‘-a‘ g +
Z3C30 oc2 erk 1° 8 __ Z4C30 a2 ek 1° s,
в которой Zt — некоторые комплексные множители.
Интегрируя уравнение 19.9.7 при I 1, получаем
Щ1 сп ZioiCio ek 1_Н ai-ie 4- c2i 22OC1C20 e 1° я -f-
4- c3l 4- гдОСзо e 10 £ 4” 4i 4“ 24aic4o 1-° ai_aio ^
zi — комплексные множители.
Очевидным образом этот результат обобщается и на случай любого L Поэтому можно утверждать, что, если простой краевой эффект построен при 0, 1, 2, , L — 1, т. е. уже найдены произвольные функции cti a2, где i l, 2, 3, 4; 0, 1, 2, , L — 1, то величины, определяющие простой краевой эффект, в приближении L зависят о'р’Четырех произвольных функций а2, а если сохранить только решения, экспоненциально затухающие в определенном направлении, то число произвольных функций а2 будет равно двум.


ГЛАВА 20
ИТЕРАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ВЫПОЛНЕНИЯ
ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ. КУПОЛА
§ 10. Метод расчленения
В главе 9 к некоторым конкретным задачам был применен метод расчленения, заключающийся в том, что полное напряженное состояние оболочки представляется в виде суммы основного напряженного состояния, распространяющегося на всю оболочку, и простых краевых эффектов, возникающих вблизи линий искажения. Здесь мы рассмотрим метод расчленения более подробно, используя асимптотические разложения предыдущих параграфов.
В настоящем разделе книги будет считаться, что выполняются все условия применимости метода расчленения, которые заключаются в следующем § 9.13:
1 все края оболочки должны быть неасимптотическими;
2 срединная поверхность оболочки должна в достаточной мере отличаться от особых поверхностей примеры последних даны в § 9.13;
3 изменяемость основного напряженного состояния, определяемого уравнениями безмоментной теории, не должна быть слишком большой.
Полагая, что все эти условия выполнены, будем исходить из следующей формулы:
К Я ОСН Дкр Д ч __ Дб Дм __ Дкрв 20.10.1)
Здесь под К подразумевается полное напряженно-деформированное состояние оболочки, т. е. любая из определяющих его статических или геометрических величин, Досн — основное напряженное состояние, KiKV — простой краевой эффект. В последней части равенства основное напряженное состояние заменено суммой частного интеграла Сч, безмоментного напряженного состояния К6 и чисто моментного напряженного состояния Км-
Каждую из величин, входящих в 20.10.1, можно при помощи формул
19.2.2, 19.3.1, 19.6.4 и 19.8.8 представить в виде обобщенных степенных рядов, т. е. рядов, расположенных по возрастающим степеням т, помноженных на некоторую дополнительную степень г. Поэтому 20.10.1 можно переписать в виде
К Г3 ТЗД. тг°х чЗД. тГй1 чЗД, rf-v лЭДр.-
20.10.2)
В этом равенстве принимается, что р, X, р, v — целые числа, имеющие разный смысл для различных искомых величин, а, Ь, с — числа, одинаковые в каждом отдельно взятом напряженном состоянии для всех искомых величин. Таким образом, тР, тя, тр, rjv в 20.10.2 отвечают множителям, стоящим перед знаками сумм, в асимптотических разложениях предыдущих параграфов,
19 Д. Л. Гольденвейзер


290 ИТЕРАЦИОННОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ. КУПОЛА ГЛ. 20
a va , r-b, г-с представляют собой постоянные масштабные множители, введенные, соответственно, в §§ 19.2, 19.3, 19.8 для безмоментного напряженного состояния, чисто моментного напряженного состояния и краевого эффекта.
В развернутом виде равенство 20.10.2 для некоторых конкретных величин, нужных для дальнейшего, можно, учитывая 19.2.2, 19.3.1,
19.6.4 и 19.8.8, записать следующим образом:
U t1S4ss Ta тГг’2 nC1 'nS“iKss i 1. 2,
a, rfs va rss T-6-2 rfs Т_с t,8p»
71 riM4ss -f 1f° Ш' Л-6-2 s7Mss Л_C_1 i1SyKss, 20.10.3)
T ЫТ гГ ЫП л-ь2 Ш, тГ1 лкй5,
s21 Sli4,s,s Л“а тЗД ,, Лй2 rfsttUs rc1
Gi л4 Ш л“а4 лОД,. с62 Ш's л-с2 №..
N1 Л4 № Л_а4 л1б,5,5 л2 лВД,. Лс1 л8лг1к„
Н21 ц4 rfHfiU. Ла4 л sHUs л-62 №Mlss л3 шыъъ.
Такие же выражения легко получить и для приведенных усилий § 5.33. Для случая, когда край проходит вдоль линии кривизны аг const, они выражаются формулами 5.33.9.
Составляя соответствующие линейные комбинации из равенств 20.10.3, легко заметить, что формулы для Т, S21, N будут иметь такую же структуру, что и формулы для Ti, S 21, Nu хотя, конечно, величины S.,
N0 отличаются по смыслу от Т1, S, Л-. В тех рассуждениях, которые нам предстоят, это различие, как правило, не имеет значения, и при формулировке граничных условий мы для простоты будем Т, S21, N заменять на Тl9 S21, N±. Однако надо помнить, что, если необходимо получить достаточно высокую точность, то при выполнении фактических вычислений такую замену делать не надо.
В §§ 19.1—19.9 были построены итерационные процессы для интегрирования дифференциальных уравнений теории оболочек. Теперь потребуем, чтобы итерационный характер имела также и процедура выполнения граничных условий. Напомним, что во всех итерационных процессах кроме того, который предложен для построения частного интеграла § 19.6, для каждого отдельно взятого s в нашем распоряжении остаются некоторые произволы, возникающие при интегрировании дифференциальных уравнений данного итерационного процесса. Все эти произволы надо выбирать так, чтобы не нарушалось условие 1 § 19.5, т. е. чтобы коэффициенты разложений 19.2.2,
19.3.1, 19.8.8 не зависели от параметра ц. Другими словами, надо построить такую процедуру выполнения граничных условий теории оболочек, при которой произволы, возникающие при выполнении безмоментного, чисто моментного итерационного процессов и итерационного процесса для простого краевого эффекта, определялись последовательно в порядке возрастания s и чтобы соотношения, определяющие эти произволы, не зависели от rj.
Ниже мы увидим, что для широкого класса задач построение такой процедуры всегда возможно, и что для этого числа а, Ь, с должны считаться целыми и в каждой достаточно конкретно сформулированной задаче выбираться определенным образом в этом и заключается смысл введения неопределенных показателей а, Ь, с 46.
Будем в дальнейшем называть а, Ь, с показателями интенсивности безмоментного, чисто моментного напряженных состояний и краевого эффекта,


МЕТОД РАСЧЛЕНЕНИЯ
291
соответственно. От их значений зависит, очевидно, асимптотический порядок того вклада, который вносит каждое из перечисленных напряженных состояний в полное напряженное состояние оболочки.
Чтобы продемонстрировать, как находятся показатели интенсивности а, Ь, с, рассмотрим следующий
Пример. Пусть оболочка всюду имеет положительную кривизну и ограничена одним замкнутым краем купол и пусть на краю надо выполнить условия жесткой заделки.
Выберем систему ортогональных координат так, чтобы в ней край был совмещен с линией а10 const, и запишем граничные условия задачи следующим образом § 5.33:
иг 0, и2 0, w 0, у 0 а1а10. 20.10.4)
Внеся сюда выражения 20.10.3, будем иметь
лЭД. Г“ fss гг-2 Wi,. тГ1 0.
WA,. тГ Г'Ь2 rs4s ГГ1 rfus 0,
, тГ г,-6-2 rf vT пР. 0,
WviVs,.с0 шбыгй-2 wb,л--1 rfvim о-
Потребовав, чтобы в каждом из этих равенств обращались в нуль коэффициенты при всех степенях ц в отдельности, получим такие граничные условия для приближения s:
u4s -f- Ml6sa “h Ul s62 u sc—1 0,
u24 UUsa 4“s62 sc—1 0, 20.10.5)
ов 0.
YlVs YUsa Tl si2 y sc1 0 a, a10.
Выберем целые числа a, b, с следующим образом:
а 0, Ь — 2, с 0 20.10.6)
и перепишем 20.10.5 так:
1 ЭД, - и - - 4 - и2 uUy
Шб Шм, ШКР _ШН, VjKp — — _ YMS-1 20.10.7)
a, a10.
Замечание. В последнем из этих равенств нижний индекс s заменен на s — 1; в дальнейшем, там, где потребуется, мы постоянно будем делать такие замены без пояснений.
Назовем непротиворечивыми значениями а, Ьу с такие целые числа, при которых становится возможной итерационная процедура выполнения данных граничных условий теории оболочек. Эти числа являются показателями интенсивности для оболочки с соответствующим образом закрепленными краями.
Наша цель теперь заключается в том, чтобы доказать непротиворечивость значений 20.10.6, т. е. продемонстрировать возможность итерационного выполнения граничных условий 20.10.7.
Применяя метод индукции, примем, что построены безмоментное напряженное состояние, чисто моментное напряженное состояние и простой краевой


292 ИТЕРАЦИОННОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ. КУПОЛА ГЛ. 20
эффект в приближениях от 0 до s, а частный интеграл построен во всех приближениях, какие могут понадобиться. Тогда может быть применена следующая
Схема построения приближения s:
1 Безмоментное и чисто моментное напряженные состояния s определяются с учетом двух первых граничных условий 20.10.7.
2 Простой краевой эффект s определяется с учетом двух последних граничных условий 20.10.7.
Подобные схемы будут ниже формулироваться неоднократно. Всегда надо иметь в виду следующее:
а В схеме указываются только граничные условия, которые надо учитывать при построении тех или иных напряженных состояний. Конечно, считается, что должны быть выполнены и соответствующие дифференциальные уравнения, т. е. уравнения 19.2.9 для безмоментного напряженного состояния, уравнения 19.3.2 для чисто моментного напряженного состояния, уравнения 19.4.8 для основного напряженного состояния и уравнения
19.9.2, 19.9.3 для простого краевого эффекта. Таким образом, схему надо понимать как перечисление краевых задач, подлежащих решению при построении приближения s, причем для краткости указываются только граничные условия, так как уравнения не меняются от случая к случаю.
б Предполагается, что краевые задачи должны решаться в том порядке, в котором они указаны в схеме.
в В граничных условиях 20.10.7 в правые части равенств перенесены все слагаемые, которые при построении приближения s надо рассматривать как известные. Это правило будет соблюдаться и ниже. В рассмотренном случае величины, попавшие в правые части, известны, так как по предположению все приближения до s построены, а частный интеграл известен в любых приближениях. В дальнейшем будет учитываться, что построение приближения s выполняется в определенном порядке и после выполнения п-го этапа часть величин, относящихся к приближению s, становится уже известной. В граничных условиях, вводимых в рассмотрение на п 1-м этапе, соответствующие слагаемые также записываются в правых частях равенств.
Изложенная выше схема построения приближения s, так же как и последующие схемы, требует обоснования: нужно показать, что предусматриваемые ею краевые задачи имеют решения и, если эти решения не единственны, то надо выяснить, как использовать появляющиеся произволы напомним, что в окончательном итоге решение задачи теории оболочек должно быть единственным. Итак, рассмотрим
Обоснование схемы. Первые два равенства 20.10.7, воспользовавшись обозначениями 19.4.7, можно переписать так:
иТ-гу 20-10-8)
и рассматривать их как граничные условия, которые надо принимать во внимание при интегрировании уравнений 19.4.8 итерационного процесса для основного напряженного состояния, объединяющего безмоментное и чисто моментное напряженные состояния. Эти уравнения, как уже говорилось, отличаются от уравнений безмоментной теории только смыслом свободных членов. Поэтому краевая задача, предусмотренная в п. 1 схемы, эквивалентна полной краевой задаче безмоментной теории § 7.8 для оболочки, закрепленной во всех точках края в обоих тангенциальных направлениях. В этом случае он обсуждался в § 17.35 срединная поверхность оболочки не может изгибаться, и в соответствии с теоремой о возможных изгибаниях полная краевая задача безмоментной теории при условиях 20.10.8 имеет решение единственное, каковы бы ни были достаточно гладкие правые части уравне¬


МЕТОД РАСЧЛЕНЕНИЯ
293
ний и граничных условий. Это значит, что п. 1 обсуждаемой схемы выполним и приводит к единственному решению. Два последних равенства 20.10.7 теперь можно переписать так:
дакр _ ШЧ _ даосН ?кр, _ ТЧ_1 _ 70СН, 20.10.9)
слагаемые оу°сн, перенесены в правые части равенств, так как основ¬
ное напряженное состояние s уже можно считать известным. Эти равенства должны играть роль граничных условий при интегрировании уравнений
19.9.2, 19.9.3, которым удовлетворяет простой краевой эффект s. Однако было показано § 19.9, что затухающие в нужном направлении решения уравнений 19.9.2, 19.9.3 выражаются для каждого s через две произвольных функции переменного а2. Поэтому 20.10.9 можно рассматривать как алгебраические уравнения относительно этих функций. Не представляет труда показать, что определитель этой системы отличен от нуля такого рода элементарные исследования будут опускаться. Поэтому можно утверждать, что операция, сформулированная в п. 2 схемы, также выполнима единственным образом.
Таким образом, 20.10.6 действительно определяют непротиворечивые значения а, Ь, с, так как они приводят к итерационной процедуре выполнения граничных условий теории оболочек в ней возможность построения приближения 0 не вызывает сомнения: при s 0 величины, считавшиеся известными, обращаются в тождественный нуль, а при этом все приведенные выше рассуждения сохраняют силу.
Значения 20.10.6 представляют собой единственную приемлемую комбинацию для чисел а, Ь, с. Противоречия, возникающие при других комбинациях, вытекают из нижеследующих рассуждений.
Пусть
а 0, Ь — 2, 0,
тогда, положив s —с, s —с — 1 в третьем и четвертом равенствах
20.10.5 соответственно и отбросив величины с отрицательными индексами в скобках, получим равенства
ш“Р о, =
представляющие собой однородную систему алгебраических уравнений для определения произвольных функций краевого эффекта в приближении 0. Эти функции, а с ними и в целом приближение 0 простого краевого эффекта надо положить тождественно равными нулю. Такой результат следует рассматривать как противоречивый: число с должно определить относительную интенсивность краевого эффекта, а если обращается в нуль приближение 0, то исчезает главная часть этого напряженного состояния, откуда вытекает, что с было выбрано неправильно. Вообще, значения показателей а, Ь, с всегда должны выбираться так, чтобы не исчезало ни одно из нулевых приближений в отдельности безмоментного, чисто моментного напряженных состояний и простого краевого эффекта.
Пусть
а 0, b — 2, с 0, тогда при s —b — 2 первые три равенства 20.10.5 будут:
, 0, 4 О, w 0. 20.10.10)
Но при построении чисто моментного напряженного состояния, согласно условию 2 § 19.5, можно распоряжаться только произволами главных уравнений чисто моментного итерационного процесса, которые совпадают


294 ИТЕРАЦИОННОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ. КУПОЛА ГЛ. 20
с геометрическими уравнениями безмоментной теории. Это надо рассматривать как противоречие, так как геометрические безмоментные уравнения эквивалентны уравнению второго порядка § 7.5, и содержащихся в них произволов недостаточно для выполнения трех граничных условий.
Замечание. В приближении 0 главные уравнения чисто моментного итерационного процесса § 19.5 однородны. Поэтому тривиальное решение, удовлетворяющее условиям 20.10.10, конечно, существует, но оно, как уже говорилось, недопустимо. Других решений задача не имеет, так как в однородном случае геометрические безмоментные уравнения совпадают с уравнениями изгибаний, а последние, как доказано в теории поверхностей, невозможны для поверхности положительной кривизны с закрепленным краем.
Пусть
а 0, b — 2, с 0,
тогда при s а получим для нулевого приближения безмоментного напряженного состояния три граничных условия
1б0 0. 4 0. 0. 20.10.11)
Этот результат также противоречив, так как согласно условию 2 § 19.5 в безмоментном итерационном процессе можно распоряжаться только про- изволами главных уравнений. Они совпадают по смыслу со статическими безмоментными уравнениями, эквивалентными одному уравнению второго порядка, и не обеспечивают возможности выполнить три условия.
§ 11. Купол с двумя тангенциальными закреплениями
Обратимся к более общему исследованию граничных задач теории оболочек. Всегда будет считаться, что выполняются требования применимости метода расчленения § 20.10 и что на краю ставится только идеализированные граничные условия § 5.33, т. е. условия, выражающие либо требование отсутствия перемещения, либо требование отсутствия реакции в заданном направлении. Эти требования должны формулироваться для трех линейных некомпланарных направлений и для углового направления, соответствующего повороту вокруг касательной к краю оболочки.
Граничные условия будут разделяться на статические требование отсутствия реакций и геометрические требование отсутствия смещений. Геометрические условия, как и в части II, назовем закреплениями ввести закрепление — это значит определить в каждой точке края некоторое направление и потребовать, чтобы всюду смещения в этом направлении равнялись нулю.
Рассмотрение начнем с куполов, т. е. с оболочек всюду положительной кривизны, имеющих один замкнутый край, и будем всегда считать, что выбрана такая ортогональная система координат, в которой край купола задается уравнением а10 const условие 1 применимости метода расчленения для купола всегда выполняется, так как на поверхности положительной кривизны нет действительных асимптотических линий.
Пусть край оболочки закреплен в двух тангенциальных направлениях. Тогда, очевидно, любое тангенциальное направление следует рассматривать как направление закрепления и, значит, тангенциальные граничные условия можно записать в виде
иг 0, и2 0 аг а10.
Нетангенциальные идеализированные граничные условия должны ставиться в оставшемся линейном направлении, т. е. в направлении нормали и в угловом направлении. Это значит, что они сводятся к двум требованиям: w 0 или N± 0 и Yi 0 или Gx 0. Таким образом, в рассматриваемом


§ 12 ]
ОДНО ЖЕСТКОЕ ТАНГЕНЦИАЛЬНОЕ ЗАКРЕПЛЕНИЕ
295
случае существуют только четыре следующие комбинации граничных условий теории оболочек:
иг 0, и2 0, w 0, 0, 20.ИЛ1)
и± 0, и2 0, w 0, Gx 0, 20.11.12)
иг 0, 0, iVx 0, 0, 20.11.13)
щ 0, и2 0, Л 0, Gx 0. 20.11.14)
Для них во всех случаях непротиворечивыми значениями показателей интенсивности а, b будут
а О, Ь — 2, 20.11.2)
а значения с надо выбирать в зависимости от вида нетангенциальных граничных условий. А именно
с 0, 20.11.31)
с 0, 1 20.11.32)
с — 1, 20.11.33)
с — 2. 20.11.34)
Граничные условия 20.11.11 рассмотрены уже в § 20.10, и для них были найдены непротиворечивые значения а, b, с 20.10.6, совпадающие
с 20.11.2, 20.И.З1, и указан соответствующий итерационный процесс
выполнения граничных условий. Он останется в силе и для всех остальных вариантов граничных условий 20.11.1. Покажем это на примере.
Пусть нас интересуют граничные условия 20.11.13. Тогда, повторив выкладки § 20.10, получим вместо 20.10.7 равенства
а Г,1 - “17s, - “iB5L2. иЭД, иЭД - 47s, - 4“U, — N 7,-2 — МвЛ-2, —
л?кр __ I ?м — 20.11. )
П S Л Г1 S П s Vi S)
1 а,о. •
Первые два из них надо рассматривать как граничные условия, которые должны быть учтены при определении безмоментного напряженного состояния s и чисто моментного напряженного состояния s или, что то же, основного напряженного состояния s. Два последних равенства 20.11.4 образуют систему алгебраических уравнений для определения произвольных функций простого краевого эффекта s.
§ 12. Купол с одним жестким тангенциальным закреплением
Рассмотрим теперь случай, когда на краю аг а10 в тангенциальном направлении п осуществлено закрепление, а в другом тангенциальном направлении , ортогональном п свобода края ничем не стеснена рис. 48. Речь, таким образом, идет о случае, когда тангенциальные граничные условия записываются так:
Р 0, р 0 1 а10. 20.12.1)
Здесь Р — равнодействующая краевых усилий в направлении I, а р — краевое перемещение в направлении п.
Для общности будет считаться, что направления I и п при переходе от одной точки края к другой могут по произвольному закону поворачиваться


296 ИТЕРАЦИОННОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ КУПОЛА ГЛ. 20
относительно координатных направлении, оставаясь взаимно ортогональными. Это значит, что угол ф рис. 48 должен рассматриваться как функция точки края.
Нетангенциальные граничные условия, как и в § 20.10, примем в четырех следующих вариантах:
w 0, w 0, 0, 0,
Yi °.
Gi о,
Yi 0,
Gг 0.
20.12.21 20.12.22) 20.12.23) 20.12.24)
20.12.4)
Величины Р и р, входящие в 20.12.1, выражаются через координатные
усилия и перемещения следующим образом рис. 49:
Р Тг sin ф -- S21 cos ф, р — цг cos ф — и2 sin ф. 20.12.3)
Поэтому к формулам 20.10.3 можно присоединить еще две:
Tf62 rT1 гfPTs,
Р nspj М?. +
ТГ6-2 rfy-, л-с1 rispsKPs
очевидным образом получающиеся
20.10.3 и 20.12.3.
Будем для конкретности говорить о граничных условиях 20.12.1, 20.12.24. Им соответствуют непротиворечивые значения а, b, с, определяемые равенствами
а 0, Ь 2 — jii, с 2 — р, 20.12.5)
в которых р — пока неопределенное целое число причина неединственности значений а, Ь, с выяснится ниже.
Начнем с обсуждения непротиворечивой комбинации
а 0, b — 2, с — 2, 20.12.6)
получающейся из20.12.5 при р 4. Ей соответствуют такие граничные равенства приближения s:
из
Рис. 48.
рб _ рч)
s — s ■
рм ркр)
' s—4 s—3f
пм)
Ps)
n4 n6 nKp)
• PS Ps Ps—3»
20.12.7)
— Л7ГЛ-1, — M6U—U>
KP __ n6)
Ul s — Ui S — Ui S — Ui S)
1 Oio)
и такая
Схема построения приближения s:
1 Безмоментное напряженное состояние s определяется с учетом первого граничного условия 20.12.7.
2 Чисто моментное напряженное состояние s определяется с учетом второго граничного условия 20.12.7.
3 Простой краевой эффект s определяется с учетом двух последних
граничных условий 20.12.7.
Обоснование схемы. Введем понятие о задаче Р и задаче р. Под первой
подразумевается интегрирование главных уравнений безмоментного итерационного процесса 19.4.1 с учетом первого граничного условия 20.12.7,


ОДНО ЖЕСТКОЕ ТАНГЕНЦИАЛЬНОЕ ЗАКРЕПЛЕНИЕ
297
под второй — интегрирование главных уравнений чисто моментного итерационного процесса 19.4.3 с учетом второго граничного условия 20.12.7. Обе задачи неоднородны, т. е. могут содержать свободные члены, как в уравнениях, так и в граничных условиях. По смыслу задачи Р и р совпадают, соответственно, со статической и геометрической задачами безмоментной теории §7.7. В § 17.32 было показано, что в зависимости от поведения угла ф, входящего в 20.12.3, возможны два случая. Сформулируем пока
Случай I. Статическая безмоментная задача, т. е. задача Р9 при любых, достаточно гладких свободных членах в уравнениях и граничных условиях имеет решение, содержащее г констант сS 1, 2, , г, в то время как геометрическая безмоментная задача, т. е. задача р, имеет
решение единственное тогда и только тогда, когда свободные члены в уравнениях и граничных условиях удовлетворяют г интегральным требованиям.
Обсуждаемая схема построения приближения s соответствует случаю I. При таких обстоятельствах краевая задача, предусмотренная п. 1, заведомо решается и определяет безмоментное напряженное состояние s с точностью до констант Cj s. Последние попадут и в выражение pf т. е. войдут в формулировку задачи р р поставлено в правую часть второго равенства
20.12.7, т. е. рассматривается как известная величина, так как считается, что безмоментное напряженное состояние s уже построено. Составив г требований разрешимости задачи р, получим г уравнений для c S. Можно показать, что это будет линейная алгебраическая система с ненулевым определителем, из которой cj S найдутся единственным образом. Одновременно будет обеспечена разрешимость краевой задачи р, предусмотренной п. 2 схемы. В результате единственным образом определится чисто моментное напряженное состояние s. Схему можно считать обоснованной: простой краевой эффект s, как и раньше, строится элементарно, а возможность построения приближения 0 также не вызывает сомнения.
Физический смысл случая I очевиден. В нем однородная задача р по предположению имеет только тривиальное нулевое решение. По смыслу она совпадает с однородной геометрической безмоментной задачей, заключающейся в построении перемещений, соответствующих изгибаниям срединной поверхности. Это значит, что в случае I не существует таких изгибаний срединной поверхности, перемещения которых удовлетворяют второму граничному равенству 20.12.1.
Введем понятие о жестком закреплении, подразумевая под этим такое закрепление, т. е. геометрическое граничное условие, которое исключает любое изгибание срединной поверхности оболочки. Тогда можно утверждать, что непротиворечивые значения показателей интенсивности 20.12.6 и вытекающая из них схема построения приближения s настоящего параграфа соответствует случаю, когда оболочка имеет одно тангенциальное закрепление и оно — жесткое.
Рис. 49.


298 ИТЕРАЦИОННОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ. КУПОЛА ГЛ. 20
В более общем случае, когда к тангенциальным условиям 20.12.1 присоединяется любая из пар нетангенциальных условий 20.12.2, непротиворечивые значения а, b, с записываются так:
Им отвечают последовательности граничных условий, в которых первые два равенства останутся такими же, как в 20.12.7.
Последние два равенства 20.12.7 изменятся, но легко проверить, что они также будут образовывать системы алгебраических уравнений для определения произвольных функций простого краевого эффекта s.
Подчеркнем, что жесткость неизгибаемость срединной поверхности, о которой здесь идет речь, должна обеспечиваться только тангенциальными закреплениями. Жесткость срединной поверхности оболочки, если она частично или целиком обеспечивается нетангенциальными закреплениями, не означает, что сформулированная здесь схема наложения граничных условий останется в силе.
§ 13. Купол с одним нежестким тангенциальным
закреплением
Вернемся к условиям 20.12.1, 20.12.24 и положим теперь в формулах
20.12.5 р 0, т. е. рассмотрим следующие непротиворечивые значения показателей интенсивности
Им в приближении s отвечают тангенциальные граничные условия
Заметим, что первое краевое равенство 20.13.3 можно записать в виде
считая, что здесь и в дальнейшем буквы с верхним индексом s— 1 обозначают некоторые линейные выражения, составленные из величин, у которых верхний индекс может быть любым, а нижний индекс в скобках не превосходит s— 1.
Для TKv и были выведены формулы 19.9.6, при помощи которых они выражаются через l, x2l z-I причем верхний индекс
в скобках в трех последних величинах имеет тот же смысл, что и в 20.13.4. Поэтому 19.9.6 можно переписать так I заменено на s:
а 0, Ъ — 2, с 0,
а 0, Ь — 2, с 0,
а 0, Ь — 2, с — 1,
а 0, Ь — 2, с — 2.
20.12.81)
20.12.82)
20.12.83)
20.12.84)
а 0, Ъ — 2, с 2.
20.13.1)
1 ю)
и нетангенциальные граничные условия
20.13.2)
20.13.3)
20.13.4)
7Т S 7Т-1)
20.13.5)
klR2.2NK?s Sir,


13 J ОДНО НЕЖЕСТКОЕ ТАНГЕНЦИАЛЬНОЕ ЗАКРЕПЛЕНИЕ
299
Подставив этот результат в 20.12.3, получим 5р — 2 Sin if4- ki cos 1 22iKs +
;cosi d RnNlK ,,
•—д5 ' • p • 20.13.6)
A d Л,
Равенства 20.13.5 и 20.13.6 показывают, что из краевого равенства
20.13.4 следуют краевые равенства
TKts Tsl S Sir1’, PT Pis a, o,o. 20.13.7)
Учитывая 20.13.7, можно утверждать, что непротиворечивым значениям 20.13.1 соответствует следующая
Схема построения приближения s:
1 Чисто моментное напряженное состояние s определяется с учетом второго граничного условия 20.13.2.
2 Простой краевой эффект s определяется с учетом условий 20.13.3.
3 Безмоментное напряженное состояние s определяется с учетом первого граничного условия 20.13.2.
Замечание. При выполнении п. 3 величину надо рассматривать как известную:
для нее справедливо последнее равенство 20.13.7, а простой краевой эффект s считается уже построенным в результате выполнения п. 2.
Обоснование схемы. Предусмотренные в ней действия будут выполнимы, если условия разрешимости задач Р и р прямо противоположны условиям разрешимости, принятым в § 20.12, т. е. если имеет место
Случай II. Геометрическая безмоментная задача, т. е. задача р, при любых достаточно гладких свободных членах в уравнениях и граничных условиях имеет решение, содержащее г констант d- s 1, 2, , г, в то время как статическая безмоментная задача, т. е. задача Я, имеет решение единственное тогда и только тогда, когда свободные члены в уравнениях и граничных условиях удовлетворяют г интегральным требованиям.
Действительно, при таких обстоятельствах краевая задача, предусмотренная п. 1, имеет решение по предположению, и в этом решении содержатся константы dS. Они войдут в правые части граничных условий
20.13.3, а именно в слагаемое GiMs, и после выполнения п. 2 схемы будут содержаться в простом краевом эффекте s, а следовательно, dj s попадут и в правую часть первого граничного условия 20.13.2. П. 3 схемы заключается в решении задачи Р. Условия ее разрешимости дадут г уравнений для определения d,-S, после чего может быть решена единственным образом и задача Р.
Физический смысл условий разрешимости задач Р и р, принятых в этом параграфе, также очевиден. Предполагается, что задача р имеет г линейно независимых решений, но в однородном случае она определяет такие изгибания срединной поверхности оболочки, которые согласуются с тангенциальным закреплением. Это значит, что речь идет о случае, когда рассматриваемое закрепление нежестко.
Изменение нетангенциальных граничных условий в случае нежесткого тангенциального закрепления, так же как и в случае жесткого, не вносит существенного изменения в схему построения приближения s. Если вместо
20.12.24 для нетангенциальных граничных условий выбрать другие варианты равенств 20.12.2, то непротиворечивые комбинации а, b, с соответственно запишутся так:
а 0, b — 1, с 1, 20.13.81)
а 0, 6 —1, с 1, 20.13.82)
а 0, 6 1, с 2. 20.13.83)


ИТЕРАЦИОННОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ. КУПОЛА ГЛ. 2D
Им отвечают такие тангенциальные граничные условия приближения s:
а нетангенциальные граничные условия приближения s запишутся так:
Нетрудно убедиться, что для всех этих вариантов описанная здесь схема построения приближения s сохраняет силу.
§ 14. Купол с одним нежестким тангенциальным закреплением продолжение)
Вернемся еще раз к условиям 20.12.1, 20.12.24, предполагая, как и в § 20.13, что тангенциальное закрепление— нежесткое, но теперь будем считать, что краевые и поверхностные силы, приложенные к оболочке, с некоторой степенью приближенности, удовлетворяют условиям разрешимости статической безмоментной краевой задачи, т. е. задачи Р. Другими словами, мы теперь примем, что W — работа краевых и поверхностных сил на перемещениях любого изгибания, допускаемого закреплением р 0 — имеет вид
В этом случае непротиворечивые значения а, Ь, с будут определяться формулами 20.12.5, в которых число х имеет тот же смысл, что и в 20.14.1.
Условия 20.12.1, 20.12.24 в силу 20.12.5 приведутся к таким граничным равенствам:
Тогда в третьем равенстве 20.14.2 в правой части все нижние индексы будут меньше s — л, и заменив в этом равенстве s на s 1, можно написать граничное равенство, аналогичное 20.13.4:
20.13.101)
20.13.10а)
20.13.103)
W О rf.
20.14.1)
ах — ою-
Потребуем, чтобы i заключалось в пределах
0 4.
20.14.3)
Л№И-п 1s м' i ю.


КОСОЕ ЗАКРЕПЛЕНИЕ
301
Следовательно, но аналогии с 20.13.7 будем иметь
ркр , _ ps—М-)
s—х-Ь1 — *
Примем, что построены однозначно безмоментное напряженное состояние— во всех приближениях включительно до s— 1, а чисто моментное напряженное состояние и простой краевой эффект — во всех приближениях включительно до s— р,— 1. Тогда возможна следующая
Схема построения приближения s:
1 Чисто моментное напряженное состояние s— р, определяется с учетом второго граничного условия 20.14.2.
2 Простой краевой эффект s — р, определяется с учетом двух последних граничных условий 20.14.2.
3 Безмоментное напряженное состояние s определяется с учетом первого граничного условия 20.14.2.
Обоснование схемы. Схема, в сущности, не отличается от той, которая была принята и обоснована в § 20.13. Поэтому, не повторяя приведенных там рассуждений, подчеркнем только следующее.
При s р, задача Я, предусмотренная п. 3 схемы, Оудет разрешима только при выполнении г интегральных условий. Их можно выполнить, подобрав должным образом константы df S 1 2, , г. Они появляются при решении задачи р п. 1 и содержатся в первом равенстве 20.14.2 в величинах
PjfV 20.14.4)
При s р, обе величины 20.14.4 обращаются в тождественный нуль, констант в нашем распоряжении уже не будет, но в этих приближениях задача Р по предположению разрешима.
Итак, результаты §§ 20.10—20.14 можно резюмировать следующим образом. Непротиворечивые значения а, Ь, с для граничных условий 20.12.1,
20.12.24 определяются формулами 20.12.5, т. е. оказываются неоднозначными. Причина этого заключается в том, что тангенциальное закрепление р — 0 может оказаться жестким или нежестким, в зависимости от того, какой смысл в равенстве 20.12.3 имеет угол ф § 17.32. Непротиворечивые значения 20.12.5, получающиеся при р, 0, 1, 2, 3, отвечают случаю, когда закрепление р 0 является нежестким, а работа сил на перемещениях изгибаний, допускаемых этим закреплением, удовлетворяет соотношению
20.14.1. Непротиворечивые значения 20.12.5, получающиеся при р 4, отвечают либо случаю, когда р 0 есть жесткое закрепление, либо случаю, когда р 0 является нежестким закреплением, но в 20.14.1 р, 3, т. е. W обращается в нуль с достаточно большой точностью.
§ 15. Купол с косым закреплением
В конкретных задачах часто встречаются идеализированные граничные условия, которые нельзя разбить на тангенциальные и нетангенциальные. К ним принадлежат граничные условия вида
Q 0, р 0, 7 0, Lj 0 20.15.1)
и граничные условия вида
Я 0, ? 0, Q 0, L 0. 20.15.2)
Здесь Р и р имеют тот же смысл, что ив § 20.12, Q и q — косое не лежащее в касательной плоскости и не совпадающее с нормалью усилие или перемещение соответственно, а под Lx подразумевается либо Gl9 либо у1#


ИТЕРАЦИОННОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ. КУПОЛА ГЛ. 20
Введем обозначения
COS Xi, --Q C0SX2. nQ c 0SXs,
■ q cos к, --q cosp2, nq cosx3,
где Q vi q — единичные векторы направлений усилия Q и перемещения 7 Тогда при помощи формул 3.17.3 и 4.22.2 получим
Q TX cos х, S2I cos x2 — cos x3,
20.15.3)
q щ cos jlij -f- щ cos jli2 — w cos jn3.
В первом из этих равенств надо считать, что cos cos одновременно не обращаются в нуль, а во втором — что cos р3 Ф 0. Учитывая это и подставив в 20.15.3 выражения 20.10.3 для перемещений и усилий, получим
яm:isч- тблл-6-2 то, owo.- q tre1 штъ-
Рассмотрим граничные условия 20.15.1 и, положив в них для конкретности Lx Glt запишем их так:
Q 0, р 0, q 0, вг 0. 20.15.5)
Они отличаются от граничных равенств 20.12.1, 20.12.22 только тем,
что в 20.15.5 вместо Р и w стоят Q и q соответственно. Вместе с тем Q и q
определяются формулами 20.15.4, w определяется вторым равенством
20.10.3, а для Р справедливо первое равенство 20.12.3. Сопоставив их, замечаем, что Р и р по структуре совпадают с Q и q. Поэтому все результаты §§ 20.11—20.14 остаются в силе и для граничных условий 20.15.5. А именно, если в 20.15.5 тангенциальные закрепления не жесткие, то надо положить
а 0, 6 —2, с 0
и решать задачу по схеме § 20.12, а если второе условие 20.15.5 определяет нежесткое тангенциальное закрепление, то надо согласно 20.13.82 положить
а 0, b — 1, с1 20,15.6 )
и применить схему § 20.13.
Разберем теперь граничные условия 20.15.2, снова положив Ьл — G19. т. е. записав их так:
р 0, q 0, Q 0, G1 0. 20.15.7)
Тогда одна из непротиворечивых комбинаций значений а, , с будет
а 0, b — 1, с1. 20.15.8)
Для нее при помощи 20.10.3, 20.12.4, 20.15.4 получатся в приближении s такие граничные условия:
P'si Pt Ps-3, РТ 0,
9s—1 Н 75—1 qs 7sP о,
Qs QT o, 20.15.9)
GlVs—3 -f- Gi6s_3 -f- Gi“s—2 GiKs 0
a10.
Им соответствует схема § 20.12.


КУПОЛ БЕЗ ТАНГЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАКРЕПЛЕНИЙ
303
§ 16. Купол, не имеющий тангенциальных закреплений
Пусть оба тангенциальные граничные условия — статические, т. е. записываются так:
7 0, S21 0 ах а10, 20.16.1)
а нетангенциальные граничные условия выражаются одной из четырех пар равенств 20.12.2. Тогда непротиворечивые значения а, 6, с выразятся такими формулами:
а 0, 6 — 1 — р, с 1—р 0 р 1, 20.16.21)
а 0, 6 — 1—р, с 1 — р 0 р 1, 20.16.22)
а 0, 6 1 —р, с 2 — р 0р2, 20.16.23)
а 0, 6 2 — р, с 2 — р 0р4. 20.16.24)
В них р имеет такой же смысл, как и в задаче о куполе с одним нежестким закреплением: это число определяется формулой 20.14.1, т. е. показывает, с какой точностью обращается в нуль W — работа внешних сил на перемещениях, соответствующих изгибаниям срединной поверхности оболочки, край которой ничем не стеснен. Неравенства, полученные в скобках, по смыслу совпадают с неравенствами 20.14.3. В них верхний предел допустимого изменения р показывает порядок той погрешности в выполнении требования W 0, при достижении которого оболочка начинает работать так же, как если бы требование W 0 выполнялось точно.
Выберем для конкретности нетангенциальные граничные условия в варианте 4, считая, что край а1о свободен от каких бы то ни было закреплений, т. е. на нем выполняются граничные условия
тг о, S21 0, Aj 0, Gx 0 аг а10, 20.16.3)
и положим в равенствах 20.16.24 р 0 это значит, что требование W 0 не выполняется даже приближенно. Тогда непротиворечивая комбинация значений а, 6, с будет записываться так:
а 0, 6 2, с 2, 20.16.4)
и подставив этот результат в 20.10.3, получим обычным образом последовательность граничных соотношений
7ч 'Г'б rpМ гтчкр ч оЧ , об ом , окр п
- 1 s т 1 s -г- ■ 1 s 1 1 s-f-1 — U, 21 s “Г 21 s “Г 21 s -р 21 s-j-1 —
д КР Л7ч АТ Л7м КР П?м)
М s Ml s-5 TV 1 s—5 iVls-l, ui S Ui s—4 1 s-4 s)
К a10, s 0, 1 ,... 20.16.5)
Ей соответствует такая
Схема построения приближения,
1 В четырех равенствах 20.16.5 при каждом s входят две произвольные функции S, содержащиеся в приближении s простого краевого эффекта считается, что при помощи формул вида 20.13.7 величины Tis-i-n S2PWi выражены через величины с индексом, не превосходящим s. Исключив грг s, получим два равенства, содержащих безмоментное и чисто моментное напряженное состояние s. Они составят совместные граничные условия для главных уравнений безмоментного итерационного процесса
19.4.1 и головных уравнений чисто моментного итерационного процесса
19.4.3 в приближениях s.
2 Два последних равенства 20.16.5 позволяют определить произволы простого краевого эффекта s.
На обосновании этой схемы мы останавливаться не будем. Она применялась при расчете замкнутой цилиндрической оболочки со свободными краями в 60.


ГЛАВА 21
ИТЕРАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ
УСЛОВИЙ. ОБОЛОЧКА С ДВУМЯ КРАЯМИ
§17. Оболочка с двумя краями
Перейдем к рассмотрению оболочек, имеющих два края рис. 50. Будем предполагать, что оба края gl9 g2 — неасимптотические, что выбрана такая система ортогональных координат, в которой g± и g2 проходят вдоль линий ai аи const и аг — а12 const, и что gl9 g2 расположены настолько
далеко друг от друга, что простой краевой эффект, возникший у gl9 затухает, не достигнув g2, и наоборот. Кривизна срединной поверхности не обязательно положительна. Оболочка может, например, иметь вид однополостного гиперболоида, изображенного на рис. 50.
9i
йц-1 ?
%
hi
S5
Рис. 50.
Рис. 51.
Будет удобно считать, что на срединной поверхности установлена система координат, подобная географической, причем краям аг а1г и аг а12 соответствуют параллели, а а2 является аналогом долготы. Тогда можно принять, что область, где надо строить решения уравнений теории оболочек, представляет собой бесконечную полосу, разбитую на прямоугольники Gn см. рис. 51 прямыми
а2 па 21.17.1)
где п — целое, а2 — константа. Срединной поверхности оболочки будет соответствовать любой прямоугольник Gn, на сторонах 21.17.1 которого должны выполняться условия периодичности.
Для оболочки, имеющей два края, надо находить непротиворечивые значения четырех показателей а, Ь9 съ с2. Здесь а, b — показатели интенсивности безмоментного и чисто моментного напряженных состояний, господствующих во внутренних частях оболочки, а съ с2 — показатели интенсивности простых краевых эффектов вблизи g± и g2 соответственно эти напряженные состояния, по предположению, взаимно независимы.


оболочка с двумя тангенциальн. закреплениями
305
§ 18. Оболочка с двумя краями, закрепленными в обоих тангенциальных направлениях
Обращаясь к рассмотрению конкретных граничных условий, начнем со случая, когда на каждом из краев оба тангенциальные граничные условия — геометрические, т. е. оба края закреплены в двух тангенциальных направлениях. Тогда можно использовать результаты §§ 20.10, 20.11. В первом из них было показано, что если оболочка имеет один край и последний закреплен в обоих тангенциальных направлениях, то существует только одна непротиворечивая комбинация значений а, , с. Поэтому надо считать, что и в случае двух краев, закрепленных в обоих тангенциальных направлениях, непротиворечивые комбинации значений а, , съ с2 определяются однозначно. А именно, в соответствии с 20.11.2 надо положить
а 0, Ь — 2, 21.18.1)
а сг и с2 следует выбирать в зависимости от принятого варианта нетангенциальных граничных условий. Например, если граничные условия сформулированы следующим образом:
u1 u2 w y1 0 на g-Д
иг и2 Nt Gx 0 на g2,
21.18.2)
то исходя из 20.11.31, 20.11.34, надо положить
с10, с2 — 2. 21.18.3)
При этом в приближении s граничные равенства запишутся так:
UTL “Гы — uus — на gj и g2,
i 1, 2; k 1 на gt, k 3 на ga,
а,кР _ a,, _ Шб _
YKe — ТГЛ-П — V6U — Ha Si-
G-Gs-Gs-G^
IVn — MeU — Nus-1 на g2.
21.18.4)
21.18.5)
21.18.6)
Им соответствует такая
Схема построения приближения s:
1 Безмоментное и чисто моментное напряженные состояния s определяются с учетом граничных условий 21.18.4.
2 Простые краевые эффекты s вблизи краев gly g2 определяются раздельно; для первого из них учитываются граничные условия 21.18.5, а для второго — граничные условия 21.18.6.
Обоснование схемы. В ней, очевидно, достаточно обсудить выполнимость этапа 1. При всех s, включая 0, он эквивалентен решению полной краевой задачи безмоментной теории для оболочки с двумя краями, закрепленными в обоих тангенциальных направлениях. Эта задача обсуждалась в § 17.34; она разрешима при любых, достаточно гладких правых частях уравнений и граничных условий для оболочек весьма широкого класса, включающих оболочки положительной, отрицательной и нулевой кривизны.


306 ИТЕРАЦИОННОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ. ОБОЛОЧКИ ГЛ. 21
§ 19. Оболочка положительной кривизны с двумя краями
одно тангенциальное закрепление)
Примем теперь, что на обоих краях оболочки осуществлено по одному тангенциальному закреплению, и запишем граничные условия задачи так:
РШ ° w 0, Yi 0 на gi, 21.19.1)
Р2 0, р2 о Wi 0, yi 0 на g2. 21.19.2)
Здесь Р и р имеют тот же смысл, что и в равенствах 20.12.1, а дополнительные индексы 1 и 2 обозначают, что эти величины определены на краях gl9 g2 соответственно; для конкретности выбраны определенные разные на разных краях нетангенциальные граничные условия.
Назовем задачей Р интегрирование статических уравнений безмоментной теории с учетом граничных условий Pw 0 на gx и Рр 0 на g2, а задачей р — интегрирование геометрических уравнений безмоментной теории с учетом граничных условий рщ 0 на g± и р 0 на g2. По смыслу они совпадают с задачами Р и р, введенными в § 20.12, только здесь их надо решать в двухсвязной области.
Если кривизна оболочки всюду положительна, то теоремы разрешимости задач Р и р формулируются одинаково для областей любой связности, надо только должным образом определить понятие об индексах этих задач. Поэтому для оболочек положительной кривизны, используя результаты §§ 20.12—
20.14, можно поступать следующим образом.
Примем, что условия рщ 0 и рщ 0 соответствуют жесткому тангенциальному закреплению не существует изгибаний срединной поверхности, удовлетворяющих обоим этим условиям, и рассмотрим граничные равенства 21.19.1 и 21.19.2 в отдельности. Первые из них соответствуют граничным условиям 20.12.1, 20.12.21, а вторые—граничным условиям
20.12.1, 20.12.23. Для этих случаев в § 20.12, считая тангенциальное закрепление жестким, мы получили непротиворечивые значения 20.12.81, 20.12.83, в которых а и b одинаковы, а различны только значения с. Учитывая, что простые краевые эффекты на краях gx и g2 не влияют друг на друга, заключаем, что непротиворечивые значения ау b, с19 с2 для задачи 21.19.1,
21.19.2 можно записать так:
а 0, b — 2, сг 0, с2 — 1.
В справедливости этого утверждения можно убедиться, приняв описанную в § 20.12 схему построения приближения s и буквально повторив приведенное там же обоснование этой схемы оно основано на условии разрешимости задач Р и р, которые по предположению сохраняются.
Так же можно поступить для оболочек положительной кривизны и в любых других задачах, если для обоих, в отдельности взятых краев непротиворечивые значения а и b окажутся одинаковыми.
Примем теперь, что условия рщ 0 и р 0 определяют нежесткое тангенциальное закрепление и что внешние силы уже в главных членах не удовлетворяют условиям разрешимости задачи Р. Тогда надо исходить из результатов § 20.13, в котором для отдельно взятых условий 21.19.1 и
21.19.2 получены непротиворечивые значения 20.13.81 и 20.13.83. Здесь возникает новая ситуация, связанная с тем, что в 20.13.S1 и 20.13.83 число b неодинаково.
В этом случае надо положить
а 0, b — 1, сг 1, с2 0.


§20 ОБОЛОЧКА ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ. ОДНО ТАНГЕНЦ. ЗАКРЕПЛЕНИЕ gQ7
Тогда в приближении s граничные условия примут вид дополнительные значки 11, 21 при Р и р опущены)
Ptl Р-Р-Р,
р® -pU - pU - р,
кр ——и2-1,—— “'??• 21-19.3)
те - vrU - vtfU - vftu
на ft,
PfJ — - РЗ — Ps,
PPT-X-Pslu-P2y ВД — WfiU, — N — Nft-, 21.19.4)
— Vl6U — Yfii,
на gt.
Им соответствует следующая
Схема построения приближения s:
1 Чисто моментное напряженное состояние s определяется с учетом второго граничного условия 21.19.3 и второго граничного условия 21.19.4.
2 Простые краевые эффекты s определяются с учетом третьего и четвертого граничных условий 21.19.3 и 21.19.4; первые два из них принимаются во внимание для простого краевого эффекта на краю gly а последние два — для простого краевого эффекта на краю g2.
3 Безмоментное напряженное состояние s определяется с учетом первых граничных условий 21.19.3, 21.19.4.
Эта схема, в сущности, не отличается от схемы § 20.13, и на ее обосновании можно не останавливаться. Используя результаты § 15.22, легко убедиться, что схема настоящего параграфа сохранит силу и для оболочки нулевой кривизны.
§ 20. Оболочка отрицательной кривизны с двумя краями
одно тангенциальное закрепление)
Для оболочек всюду отрицательной кривизны условия разрешимости задач Р и р — могут оказаться не такими, как в случае, когда кривизна оболочки положительна. Так, например, могут оказаться справедливы и такие
Условия разрешимости задач Р и р:
Неоднородные задачи Р и р имеют решение единственное при любых, достаточно гладких свободных членах в уравнениях и граничных условиях, если размеры прямоугольников Gn §21.17, рис. 51 удовлетворяют некоторому требованию Л, одинаковому для задачи Р и задачи р; при нарушении требования А обе задачи имеют решение тогда и только тогда, когда выполнена бесконечная последовательность интегральных условий в последнем случае обе задачи имеют бесчисленное множество линейно независимых решений.
Такие условия разрешимости справедливы, например, для оболочки, имеющей форму однополостного гиперболоида § 18.37; в этом случае требование А заключается в том, что отношение длин сторон прямоугольника Gn рис. 51 должно быть иррациональным числом.


308 ИТЕРАЦИОННОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ. ОБОЛО ЧКИ ГЛ. 21
Будем искать непротиворечивые значения а, Ь, съ с2, соответствующие сформулированным здесь условиям разрешимости задач Р и р, взяв для конкретности такие граничные условия:
значки 1, 2 при Р и р опущены.
Тогда будет существовать два варианта непротиворечивых значений я b, Ci, с2\
Первый из них отвечает случаю, когда требования А выполняются, а второй — случаю, когда требования А нарушены. Например, для однополостного гиперболоида будут справедливы формулы 21.20.2, если отношение сторон прямоугольника Gn иррационально, а формулы 21.20.3 будут справедливы в противоположном случае.
Исходя из 21.20.1 и 21.20.2, получим обычным образом граничные условия для приближения s)
В этом случае приближение s можно строить по схеме §20.12. При проверке этого утверждения надо учесть, что требование А выполнено, и следовательно, задача Р имеет единственное решение, а для задачи р не надо выполнять каких бы то ни было условий разрешимости.
Перейдем к случаю, когда требование А нарушено. Тогда соотношения
21.20.1, 21.20.3 приведут к таким граничным условиям для приближения s:
Пусть все напряженные состояния построены в приближениях 0,
1, , s— 1, причем при 0, 1, , s— 2 все они определены единственным образом, а в приближении s— 1 единственным образом определены чисто моментное напряженное состояние и простой краевой эффект, в то время как безмоментное напряженное состояние выражается через последовательность произвольных констант С s—i 1, 2, Тогда будет применима следующая
Схема построения приближения s:
1 Чисто моментное напряженное состояние s определяется с учетом второго граничного условия 21.20.4 на g± и g2.
2 Простые краевые эффекты s определяются раздельно вблизи g± и g2 с учетом третьего и четвертого граничных условий 21.20.4.
3 Безмоментное напряженное состояние s определяется с учетом первого граничного условия 21.20.4 на g± и g2.
Обоснование схемы. В п. 1 речь идет о неоднородной задаче р. Условие ее разрешимости составляет некоторую последовательность равенств. Для их выполнения мы располагаем последовательностью констант с S-i, которые по предположению входят в приближение s— 1 безмоментного напряженного состояния. Примем, что сs_i можно выбрать так, что условия раз-
Р 0, р 0, 0, Gj 0 на gl и g2 21.20.1)
а — 0, b — 2, Cj са 0,
а 0, b — 1, с2 1.
21.20.2)
21.20.3)
на gu gt.
на glt g2.
21.20.4)


913
НЕОДНОТИПНОЕ ЗАКРЕПЛЕНИЕ КРАЕВ
309
решимости будут удовлетворены и что в результате cj s_i определятся единственным образом. Тогда задача р, предусмотренная в п. 1, будет иметь решение, и оно будет содержать новую последовательность констант ds 1, 2, В результате выполнения п. 2 константы df- s перейдут в приближение s простого краевого эффекта и попадут в правую часть первого равенства 21.20.4. Поэтому при выполнении п. 3 мы вновь будем располагать последовательностью констант для выполнения условий разрешимости задачи Р. Решение этой задачи будет зависеть от последовательности произвольных констант Cj s 1, 2, , которая будет нужна для построения приближений s 1.
Для полного обоснования обсуждаемой схемы остается рассмотреть случай s 0. При таком значении s правая часть второго равенства 21.20.4 обращается в тождественный нуль и не содержит констант. Одновременно задача р становится однородной. По предположению, она имеет решение, зависящее от констант d0 1, 2, Эти константы после выполнения п. 2 схемы войдут в формулировку задачи Р для приближения 0 через величину Рор. Из условий разрешимости задачи Р константы d;-о определятся, а в решение этой задачи войдут новые константы с о, которые пока остаются неопределенными, как и было предположено.
§ 21. Оболочка с двумя неоднотипно
закрепленными краями
Рассмотрим случай, когда тангенциальные граничные условия на краях g 1 и g2 различны. А именно, примем, что
консольная оболочка.
Для граничных условий 21.21.1 и 21.21.2, взятых в отдельности, были получены непротиворечивые значения а, , с 20.11.2, 20.11.31 и 20.16.24 соответственно. Перепишем их еще раз:
а 0, Ь —2, с 0 и й 0, Ь 2 — jli, с— 2 — jli.
Потребовав, чтобы число Ъ было одинаковым в обоих группах, находим р 4. Отсюда получаем равенства
которые обычным образом приводят к таким условиям в приближении s:
иг 0, и2 0, w 0, Yi 0 на ft, 21.21.1)
7 0, S21 0, Л 0, Gx 0 на g2 21.21.2)
а 0, b — 2, сг 0, с2 — 2,
21.21.3)
21.21.4)
21.21.5)
на g2)


310 ИТЕРАЦИОННОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ. ОБОЛОЧКИ ГЛ. 21
Им отвечает следующая
Схема построения приближения s:
1 Безмоментное напряженное состояние s и чисто моментное напряженное состояние s определяются с учетом первых двух граничных условий
21.21.4 на gi и первых двух граничных условий 21.21.5 на g2.
2 Простые эффекты s вблизи g± и g2 определяются раздельно; для первого из них учитываются два последних граничных условия 21.21.4, для второго — два последних граничных условия 21.21.5.
Обоснование схемы. Достаточно обсудить только выполнимость п. 1. Он эквивалентен решению полной безмоментной краевой задачи для консольной оболочки, обсужденной в §§ 18.38, 18.39. Эта задача при любых достаточно гладких свободных членах уравнений и граничных условий имеет решение либо в точной постановке для оболочек неположительной кривизны, либо в смягченной постановке для оболочек положительной кривизны, и следовательно, п. 1 выполним.
Замечание. Как правило, роль напряженных состояний с большой изменяемостью относительно мала, и ошибка, совершаемая при их построении, несущественна. Если расчет ведется методом расчленения, то логически правильно было бы всегда решать задачи безмоментной теории в смягченной постановке, отбрасывая слагаемые с большой изменяемостью как малые добавки, недоступные правильному построению в рамках применяемого метода. Однако не всегда удобно строить решение так, чтобы члены с большой изменяемостью могли быть выделены и отброшены. Поэтому, вообще говоря, надо считать, что смягчение постановки задачи или отказ от нее зависят от нашего выбора. С этой точки зрения особенность обсуждаемой ситуации сводится только к тому, что в ней смягчение условий задачи стано ится обязательным
Задачи, в которых по той или иной причине напряженные состояния с большой изменяемостью отбрасывать нельзя, должны рассматриваться особо; для них надо использовать итерационный процесс, базирующийся не на уравнениях безмоментной теории, а на уравнениях напряженных состояний с большой изменяемостью § 10.24.
§ 22. Оболочка с двумя неоднотипно закрепленными
краями случай приложения краевых сил)
Пусть поверхностная нагрузка отсутствует, но к свободному краю консольной оболочки приложены заданные силы. Тогда граничные условия
21.21.1 сохранятся, а вместо 21.21.2 надо написать
Тг Ти S21 S21, Ni Nu Gi G на gl. 21.22.1)
Здесь величины со звездочкой определяют заданные краевые силы и моменты. Будем предполагать, что все они представимы в виде
Tt S21, Nt G Ц Ti S S21 s NiSt Gi s)
s0
если, как это обычно бывает, левая часть не зависит от h, а следовательно, и от г, то надо считать, что S21 s. Ais, G1 s, отличны от тожде¬
ственного нуля только при s — 0.
Далее следует раздельно рассматривать три случая:
TL S2I ф0, N 0, Gl 0; 21.22.2)
71 0, Sji 0, 0, Gi 0; 21.22.3)
Т 0, SieeO, Ai 0, Gi Ф 0. ‘ 21.22.4)
В случае 21.22.2 для а, Ь, съ с2 остаются в силе формулы 21.21.3 и граничные равенства 21.21.4, 21.21.5. Различие будет заключаться


ОБОЛОЧКА С ИЗЛОМОМ СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ
311
только в том, что в 21.21.4, 21.21.5 величины с индексами ч обратятся в нули, так как поверхностная нагрузка, по предположению, отсутствует, а в 21.21.5 появятся величины Т S, S21 s. Эта замена совершенно несущественна для выполнения описанной в §21.21 схемы построения приближения s.
В случаях 21.22.3, 21.22.4 в формулах 21.21.3 надо изменить значение с2, приняв соответственно
а О, b — 2, сг 0, с21 21.22.5)
а О, Ь — 2, сг 0, с2 2. 21.22.6)
Значениям 21.22.5 соответствуют граничные условия
гр 6 rp М гр кр об оМ окр)
1 s I 1 s—4 1 1 s 021 S — 021 s—4 021 s >
wlKs A” 1 s A16s_4 MMs_4, GiKs G6s—3 GMs_3)
на g2,
а значениям 21.22.6 — граничные условия
'Т'б 'рМ 'Г'кр об оМ окр)
i 1 s п s—4 1 1 sl 021 S 021 S—4 021 S1>
A1Ks M6l—5 A’Ms_5, GiKs Gi S Gifs_4 GjMg—4)
на g2.
Как 21.22.7, так и 21.22.8 надо пополнить равенствами 21.21.4, остающимися без изменения во всех случаях. Если, для конкретности, говорить о граничных условиях 21.21.4, 21.22.8, то им соответствует такая Схема построения приближения s:
1 Простой краевой эффект s вблизи g2 определяется с учетом двух последних граничных условий 21.22.8.
2 Безмоментное и чисто моментное напряженные состояния s определяются с учетом первых двух граничных условий 21.21.4 и первых двух граничных условий 21.22.8.
3 Простой краевой эффект s вблизи g1 определяется с учетом двух последних граничных условий 21.21.4.
Схема обосновывается так же, как в § 21.21. Надо только заметить, что в 21.22.8 величины 7к51 и S21Ksi должны быть преобразованы при помощи формулы 20.13.7.
Описанная здесь схема сохраняет силу и для граничных условий
21.21.4, 21.22.7.
§ 23. Оболочка с изломом срединной поверхности
Пусть вдоль некоторой замкнутой линии X срединная поверхность оболочки имеет излом. Тогда, как это обычно делается, мы будем рассекать поверхность вдоль этой линии и выполнять на X условия сопряжения. Срединная поверхность оболочки f будет при этом состоять из двух частей •
2
и f. Установим- на ней единую ортогональную систему криволинейных координат аь а2, так, чтобы в этой системе линия стыка задавалась уравнением
const, и условимся считать, что движению от X соответствует на f
2
уменьшение аь а на — увеличение а±.
Линии аг const и, в частности, X в общем случае будут пространственными кривыми. Построим для них подвижный триэдр, образованный


312 ИТЕРАЦИОННОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ. ОБОЛОЧКИ ГЛ. 21
единичными векторами т касательная, v главная нормаль и р бинормаль. Тогда векторы т и v определятся формулами
1 дМ
Ап да*
дМ
до
v
р"
дт
до
21.23.1)
о — длина дуги а2-линий, р — главный радиус кривизны а2-линий.
Плоскость v, Р, т. е. плоскость нормалей линии X, ортогональна век-
1 2
тору М2- Это значит, что для обеих поверхностей и f на линии их стыка v, Р представляет собой нормальную плоскость, проведенную в направле¬
нии ai-линии. В этой плоскости лежат перемещения иъ w и следовательно, можно написать равенства
— иг cos w sin , г sin -f ay cos ф на Ji, 21.23.2)
где х—угол между положительным направлением их и отрицательным
направлением v по разные стороны линии стыка имеет различные значения, , г — проекции полного смещения на v и р соответственно рис. 52, а. Равным образом можно написать
L — Тг cos Nx sin х, R Tt sin N1 cos x, 21.23.3)
где L, R — проекции краевых усилий на v и p рис. 52, б.
На линии стыка должны выполняться геометрические условия сопряжения, которые можно записать так:
12 1 2 12 12
, и2 и2, Г г, Yi на X, 21.23.4)
и статические условия сопряжения, которые можно записать так:
12121 2 12
L L, R R, S12 S12, Gx Gx на X. 21.23.5)
Преобразуем равенства 21.23.4 и 21.23.5.
Величина р—главный радиус кривизны а2-линии — связана с R22 радиусом нормальной кривизны поверхности в направлении а2-линии формулой Менье
1 _cos 21.23.6)
22 Р
в которой ф— угол между — п и v рис. 53.


ОБОЛОЧКА С ИЗЛОМОМ СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ
313
Имеют силу деривационные формулы 1.5.4. Положим в первом из этих равенств i 2, I и помножим его скалярно на Получим
дА,
Mi
к д м\
' да А2 '
АгА2 даг
Справедливы формулы 21.23.1, и кроме того, рис. 53)
Мг
можно написать
v • — cos — sin ф.
Отсюда
1
дА,
АхАг даг
Подставив эти результаты в формулу
__ 1 ди, .
2 А2 досг +
1
sin ур
21.23.7)
w
А1А2 di
и учтя 21.23.2, получим
ди,
8 --
21.23.8)
Продифференцируем по о обе части второго равенства 21.23.4 и вычтем
из него первое равенство 21.23.4, поделенное на р. Тогда в силу 21.23.8)
получим преобразованное геометрическое условие сопряжения
е2е2 на X, 21.23.9)
которым можно заменить первое равенство
21.23.4.
Главные уравнения чисто моментного итерационного процесса в приближении s можно выразить равенствами § 19.3)
8М 8р-4, 0М й8-4, 82 8-4.
21.23.10)
Рис. 53.
Здесь, как и в §20.13, верхним индексом s—4 отмечаются некоторые линейные выражения, составленные из величин, относящихся к приближениям не выше s— 4. Третье из этих равенств мы будем считать выполняющимся всюду, включая X, и используем ниже при действиях с условием сопряжения 21.23.9.
Обращаясь к преобразованию статических условий сопряжения 21.23.5, помножим первое из них на р, продифференцируем по о и вычтем из полученного равенства третье равенство 21.23.5. Тогда, введя обозначение
S -S21 -pL, 21.23.11)
будем иметь условие сопряжения
21.23.12)
которым можно заменить третье равенство 21.23.5.


314 ИТЕРАЦИОННОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ. ОБОЛОЧКИ ГЛ. 21
Для простого краевого эффекта были доказан® равенства 20.13.5. Первое из них при помощи 21.23.6, 21.23.7 преобразовывается к виду учитывается также, что ф л2 — )
RT sin ПКУ cos xNiW SX. 21.23.13)
Запишем равенства 21.23.3 для простого краевого эффекта в приближении s, выразим ГР по выше написанной формуле и будем рассматривать полученные равенства как уравнения относительно и А. Тогда
для Лкр получим
ВДТсозф ЛГ1^
Это позволяет второе равенство 21.23.5 преобразовать при помощи
19.7.1, 21.23.6 и 21.23.11 к виду
2sP 2S'- 21.23.14)
Формулы 21.23.13 и 21.23.14 будут нужны для действий со вторым условием сопряжения 21.23.5 и с условием сопряжения 21.23.12.
Напряженное состояние оболочки, имеющей излом, также можно представить как сумму безмоментного напряженного состояния, чисто моментного напряженного состояния и простого краевого эффекта, считая, что вблизи излома простой краевой эффект возникает по обе стороны от линии X. Конечно, при этом надо требовать, чтобы выполнялись условия применимости метода расчленения и, в частности, чтобы линия излома была неасимптотической.
Для введенных здесь величин , г, L, R легко получить формулы вида
20.10.3. Внеся в правые части равенств 21.23.2, 21.23.3 разложения
20.10.3 и расположив должным образом полученные выражения по степеням г, будем иметь
I W.sOs тГ №’, С62 МО. тГ WTs, Г лsr:s л'“ лvps л-6-2 лМП л'с лМГ5,
L xfLs л ° rfLs л_62 ЫЦЦЪ Л“С1 лр5, }
R rfRfl' г,- л5?®5 л_62 лЭД. лс лГ.
Коэффициенты этих разложений очевидным образом связаны с коэффициентами разложений 20.10.3. В частности,
ЦТ — 71бcosX MCU, SinX, T sinx cosx.
21.23.16)
Равным образом для величин е2, 2 в соответствии с формулами
20.10.3, 21.23.8 и 21.23.11 можно написать разложения
Е2 л5еГ,3 Л“а л’вЭД,. Л-Ь_2л3еГв Л- Ds,
2 л5 2 ГЛ л-а л5 ш С62 л5 m 21-23-17)
гГ1 л52р8,
в которых, в частности,
2 -Sftt рL. 21.23.18)
Внесем выражения 20.10.3, 21.23.15 и 21.23.17 в условия сопряжения и запишем их следующим образом.


5 24]
ОБОЛОЧКА С ИЗЛОМОМ. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
315
21.23.19)
21.23.20)
Геометрические условия сопряжения
№,. л“° г-й-2 л' лЭД.? 0,
т,. Ш, уГь2 л. гГ'1 л‘иЭДЫ? о,
IGiUU T-a лгй,с6-2 Ыг, тГ' лМГрз 0,
Шчи л“ МЛ. л л‘Л. л'”1 о
на X.
Статические условия сопряжения
тfLWs ла WLI5. л“й2 пВД. л'1 №.? О, Кл’О.л л8я л-62 0. л'1 л?1?Г.? О,
1Ы Ss л° л5 2. л62 л5 Si?. +
лс'1л52Йр5? о,
т4 rsG4ss Л'а4 nSGi6ss Л‘62 л8°1М58 +
г,-‘;'2г1ад5? 0
на X.
Здесь индексы у фигурных скобок обозначают, что заключенное в них
1 2
выражение надо построить на линии X для и и вычесть первое значение
из второго; под а, b, с' подразумеваются показатели, соответствующие без-
моментному, чисто моментному напряженным состояниям и простому крае-
1 2
вому эффекту на линии излома. Принимается, что а, Ь, с' для f и f одинаковы.
Общность рассуждений от такого предположения не нарушается. Если, 1 1 например, М — чисто моментное напряженное состояние в f — окажется
2 2 асимптотически более интенсивным, чем Л4, то нулевое приближение для М тождественно исчезнет.
§ 24. Оболочка с изломом срединной поверхности.
Краевые задачи
Одной из непротиворечивых комбинаций значений а, Ь, с' для 21.23.19, 21.23.20 будет
а О, Ь — 2, с' 0, 21.24.1)
а соответствующие ей условия сопряжения для приближения s можно записать в виде двух групп равенств
I Г 6 12 _ г ч , Г м , Г кр 2
I s J1 — IMs “Г Ms—4 bs_ 1 J1,
рб2_ пч , рм пкр 12
As l — s A s—4 A s—1 J Ь
l2jsJl — 12js 2js—4 2js—1J1>
u26s 4sl W24s 2K—1?
на Я;
e;? -44,s 8f, e2Ms?,
1р? -гй гг“2>
vlKPi - M4U YeUi Y1 U,f,
GlKs2 — Gl4s—2 Gi-2 GjKs—2ll
на Я.
21.24.2)
21.24.3)


316 ИТЕРАЦИОННОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИИ ОБОЛОЧКИ ГЛ 2!
Преобразуем равенства 21.24.2. Первые два из них можно записать так:
■б -б rS—1 пб рб ns—1)
Ms —bS L , s As — A
21.24.4)
Здесь значки над буквами означают принадлежность данной величины 1 2
к поверхностям f или , а значком s— 1 отмечаются выражения, которые при построении приближения s можно считать известными смысл таких выражений мы не будем раскрывать, как не имеющий значения в обсуждаемых вопросах.
Раскрывая левые части равенств 21.24.4 по формулам 21.23.16, получим уравнения
— cos х Т cos х Llsn,
T°s sin x — T’ls, Slnx ;
?s-1)
решая которые, будем иметь
i
' .
s)
rpi 6 —1)
1 1 S i
rp6)
1 2 s)
21.24.5)
21.24.6)
Равенства 21.24.6 теряют силу только тогда, когда определитель
2 1
системы 21.24.5 обращается в нуль, т. е. при — пп. Этот случай
1 2
мы исключим из рассмотрения, считая, что на X поверхности и не имеют общей касательной. Это значит, что нормальное сечение срединной поверхности вблизи стыка не должно представлять собой гладкую кривую или кривую, имеющую острие такая конфигурация не допускается даже в отдельных точках X.
Третье равенство 21.24.2, учитывая 21.23.18 и 21.24.4, перепишем так:
С б I об)
‘ 21 s -21 S)
Рис. 54.
и будем в дальнейшем вместо 21.24.2 пользоваться равенствами 21.24.4, 21.24.7 и равенством
ts_1 на X,
21.24.8)
,м б)
U2 s “р s 2 s '
гм)
■ 2 s)
которое очевидным образом следует из последнего соотношения 21.24.2, Перечисленные равенства должны выполняться на линии стыка X и могут в определенных случаях рассматриваться при построении приближения s как условия сопряжения. Чтобы показать это, рассмотрим
Пример 1. Цилиндрическая и коническая оболочки соединены по линии X и жестко заделаны в двух поперечных сечениях, как схематически показано на рис. 54.
Будем отдельно рассматривать в этой конструкции цилиндрическую 1 2 часть и коническую часть и считать, что на линии X к каждой из них приложены обобщенные силы заменяющие действие отброшенных частей, которые мы обозначим соответственно через
1 1 1 1 2 2 2 2
7 S, N, G и Т, S, N, й


ОБОЛОЧКА С ИЗЛОМОМ. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
317
1 2
Тогда для f и f получатся однотипные задачи, рассмотренные в §§ 21.21, 21.22. Их решения можно получить, положив а О, b —2 значение с сейчас не существенно, что находится в соответствии с формулами 21.24.1. Определение безмоментного и чисто моментного напряженных состояний s)
I 2
как для , так и для f, сводится при этом к решению задач, эквивалентных полным безмоментным краевым задачам для консольных оболочек, подвер-
11 2 2
женных на краях X действию тангенциальных сил 7 S и 7 S соответственно. Эти задачи рассмотрены в § 15.18. Анализ полученных там решений показывает, что произволы безмоментных геометрических уравнений полностью определяются из условий заделки, а произволы безмоментных статических
11 2 2
уравнений выражаются через функции Т, S и Т, S. Такий образом, в безмоментных и чисто моментных напряженных состояниях цилиндрической
и конической оболочек будут содержаться четыре
112 2
функции Т, S, Т, S, которые пока не определены. ^
Естественно предположить, что их можно выбрать ^
единственным образом так, чтобы выполнились все ^
четыре условия сопряжения 21.24.6—21.24.8. ^
Тогда останутся невыполненными только требова- ^
ния 21.24.3, в которых слагаемые перенесенные в правые части, надо рассматривать как известные ве- §
личины, так как безмоментное и чисто моментное ^
напряженные состояния s предполагаются уже по- Рис. 55.
строенными. Эти требования надо наложить на простые краевые эффекты s, возникающие вблизи X. Они возникают по обе стороны от линии излома X, а следовательно, зависят в общей сложности от четырех произвольных функций. Для определения последних и должны служить четыре равенства 21.24.3.
Таким образом, для рассмотренного примера 21.24.1 действительно представляют собой непротиворечивые значения показателей интенсивности, так как вытекающие из них равенства 21.24.2 и 21.24.3 можно рассматривать как условия сопряжения для приближения s.
Возможны и другие случаи, когда 21.24.2 и 21.24.3 становятся непригодными в качестве условий сопряжения для приближения s. Чтобы показать это, рассмотрим
Пример 2. Конструкция — такая же, как и в примере 1, но ее правый край свободен рис. 55.
Здесь снова коническую и цилиндрическую оболочки можно изучать раздельно, но при этом оба края конической оболочки надо будет рассматривать как свободные. Эта задача обсуждалась в § 15.24, и там было показано, что если заданы поверхностные силы и тангенциальные силы, приложенные к одному краю оболочки, то на втором крае тангенциальные силы уже не будут зависеть от нашего выбора, так как они определятся из условий раз-
2 2
решимости задачи. Это значит, что функции Т, S, которыми мы распоряжались в примере 1, теперь уже надо рассматривать как фиксированные и для выполнения четырех условий сопряжения 21.24.6—21.24.8 в нашем распо-
1 1
ряжении останутся только две функции Т, S. Таким образом, при граничных условиях, выбранных в примере 2, значения 21.24.1 только случайно могут оказаться непротиворечивыми.
Итак, формулы 21.24.1 для непротиворечивых значений а, Ь, с' и вытекающие из них условия сопряжения 21.24.2 и 21.24.3 оказались


318 ИТЕРАЦИОННОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ. ОБОЛОЧКИ ГЛ. 21
применимы в примере 1 и неприменимы в примере 2. Обсудим, в чем заключается различие между этими случаями. В примере 2 число статических тангенциальных граничных условий' и число геометрических тангенциальных граничных условий или, что то же, тангенциальных закреплений, на обоих краях в общей сложности равны друг другу. Будем для кратности говорить про такую оболочку, что она не имеет лишних тангенциальных закреплений. В примере 1 мы имеем дело с оболочкой, имеющей лишние закрепления. Отсутствие лишних тангенциальных закреплений означает возможность расчленить полную безмоментную краевую задачу на статическую задачу, при решении которой учитываются статические граничные условия, и геометрическую задачу, решаемую с учетом геометрических граничных условий. Если есть лишние тангенциальные закрепления, то такое разделение делается невозможньг, так как в статической задаче граничных условий будет недостаточно, а в геометрической их станет слишком много.
Возможность выделить статическую безмоментную задачу и является препятствием при использовании обсуждаемых условий сочленения. В равенствах 21.24.6—21.24.8 содержатся три статических условия сочленения, и все их надо выполнить при решении статической безмоментной задачи. Это, вообще говоря, невозможно, так как статические безмоментные уравнения эквивалентны уравнению второго порядка § 7.4.
Итак, область применимости формул 21.24.1 и условий сочленения
21.24.2, 21.24.3 определяется требованием, чтобы оболочка имела лишние тангенциальные закрепления как, скажем, в примере 1.
§ 25. Оболочка с изломом срединной поверхности.
Краевые задачи продолжение)
Наряду с 21.24.1 существует и другая непротиворечивая комбинация значений а, Ь, с':
а О, Ь —1, с’ 1. 21.25,1)
Ей соответствуют две следующие группы условий сопряжения для приближения s:
? -М Гр?,
2 - Sis41 2?Рь 21.25.2)
l M4s—1 Н M26s—1 u2Ks—ll>
на X\
82Ksl S'iVs—1 S'26s—1 S2Ms l,
т-тшцы2и
- GHU G6s_3 СГи ъ 21.25.3)
№K5? — YUs-2 YMs—2 YlMs-ll
на X.
Пусть оболочка представляет собой купол, имеющий излом вдоль внутренней замкнутой линии X. Примем, что край купола совмещен с линией
о1 аю и вдоль него оболочка закреплена только в одном тангенциальном направлении. Это значит, что надо потребовать выполнения граничных


§ 25J
ОБОЛОЧКА С ИЗЛОМОМ. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
319
условий
р о, jt? 0, 0, Gx 0 приа1а10, 21.25.4)
совпадающих с 20.12.1, 20.12.24 и соответствующих случаю, когда лишних тангенциальных закреплений нет. Для гладкой оболочки непротиворечивые значения а, Ь, с в этом случае зависят от целочисленного параметра т и определяются формулами 20.12.5. Условия сопряжения 21.25.2,
21.25.3, которые, как следует ожидать, должны найти применение в этом случае, можно использовать вместе с граничными условиями 21.25.4 только в том случае, когда 21.25.1 и 20.12.5 приводят к одинаковым значениям а, Ь. Отсюда получаем р, 3 и, следовательно,
Этим равенствам соответствуют в приближении s граничные условия
К ним надо присоединить условия сопряжения 21.25.2, 21.25.3, и тогда будет применима следующая
Схема построения приближения s:
1 Безмоментное напряженное состояние s определяется с учетом первого граничного условия 21.25.6 и первых двух условий сопряжения
21.25.2.
2 Чисто моментное напряженное состояние s определяется с учетом второго граничного условия 21.25.6 и двух последних условий сопряжения
3 Простые краевые эффекты s по обе стороны от X определяются с учетом четырех условий сопряжения 21.25.3.
4 Простой краевой эффект s вблизи края аг а10 определяется с учетом двух последних граничных условий 21.25.6.
Обоснование схемы. Краевые задачи, предусмотренные п. 1 и 2, представляют собой обобщение задач Р и ?, сформулированных в § 20.12; различие заключается лишь в том, что в рассматриваемом случае они должны решаться для оболочки с изломом X и что на X в каждой задаче должны выполняться два условия сопряжения. Примем, что теоремы существования задач Р и р здесь формулируются так же, как и в § 20.12, 20.13. Тогда можно- утверждать, что обсуждаемая схема соответствует случаю, когда тангенциальное закрепление — жесткое, т. е. когда изгибания срединной поверхности невозможны, а следовательно, задача Р при любых, достаточно гладких правых частях уравнений и граничных условий имеет решения, зависящие от г констант Cs, а задача р имеет решение единственное тогда и только тогда, когда выполнены г интегральных требований. В рамках это га предположения обоснование схемы построения приближения s превращается, в сущности, в повторение рассуждений § 20.12. Опуская их, остановимся только на следующем обстоятельстве.
Последнее равенство 21.25.2 должно быть использовано уже при реализации п. 2 обсуждаемой схемы, но в него входит величина rsP, связанная
а 0, 6 — 1, с — 1, с' 1.
21.25.5)
21.25.6)
21.25.2.


320 ИТЕРАЦИОННОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ. ОБОЛОЧКИ ГЛ. 21
с простым краевым эффектом s, а последний, по предположению, должен определяться только на этапе 3. Это значит, что п. 2 и 3, строго говоря, надо соединить в один пункт, заключающийся в совместном определении чисто моментного напряженного состояния s и простых краевых эффектов s вблизи X. Однако последние выражаются явным образом через четыре произвольные функции, и можно считать, что четвертое равенство 21.25.2 вместе с равенствами 21.25.3 образует систему пяти уравнений, из которых четыре произвольные функции краевых эффектов могут быть исключены. В результате получится равенство, не содержащее членов с верхним индексом кр. Его и можно принять за второе условие сопряжения для чисто моментного напряженного состояния s.
Условиями сопряжения 21.25.2, 21.25.3 можно пользоваться и в случае, когда оболочка имеет два края, из которых один жестко заделан, а другой свободен, т. е. в случае, когда граничные условия имеют вид 21.21.1,
21.21.2.
и выпишем соответствующие граничные условия для приближения s:
К ним надо присоединить условия сопряжения 21.25.2, 21.25.3. В результате станет возможна следующая
Схема построения приближения s:
1 Безмоментное напряженное состояние s определяется с учетом первых двух граничных условий 21.25.9 и первых двух условий сопряжения 21.25.2.
2 Чисто моментное напряженное состояние s определяется с учетом первых двух граничных условий 21.25.8 и последних двух условий сопряжения 21.25.2.
3 Простые краевые эффекты s вблизи X определяются с учетом четырех условий сопряжения 21.25.3.
4 Простые краевые эффекты s вблизи gx и g2 определяются самостоятельно предполагается, что края не слишком близки, вблизи учитываются два последних граничных условия 21.25.8, а вблизи g2 — два последних граничных условия 21.25.9.
Обоснование схемы. В ней допущена та же условность, что и в предыдущей схеме этого параграфа: считается, что в последнем условии сопряжения
21.25.2 величина исключена с помощью равенств 21.25.3.
Замечание. При s 0 первые два граничных условия 21.25.8 будут однородными. Поэтому, как нетрудно проверить, исходное приближение чисто моментного напряженного состояния обратится в тождественный нуль для той части оболочки, край которой закреплен. Это не противоречит высказанному в § 20.10 требованию, что не должны обращаться в тождественный нуль исходные приближения в отдельности взятых безмоментного, чисто моментного напряжен¬
Положим
а 0, b — 1, Cf 1, с2 — 1, с' 1
21.25.7)
21.25.8)
на й;
21.25.9)
на g2.


ОБОЛОЧКА С ИЗЛОМОМ. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
321
ных состояний и краевого эффекта. Дело в том, что условия сопряжения остаются неоднородными и при s 0, и поэтому в другой части оболочки имеющей свободный край исходное приближение чисто моментного напряженного состояния будет отлично от нуля. Таким образом, обращение в нуль исходного приближения чисто моментного напряженного состояния на части оболочки означает лишь, что эта часть будет относительно мало деформироваться.
Пп. 1 и 2 схемы в совокупности сводятся к решению полной краевой безмоментной задачи для консольной оболочки, которая разобрана в §§ 18.38, 18.39. Там было показано существование решения такой задачи для гладкой оболочки в точной или смягченной постановке, и мы примем предположение, что это утверждение останется верным, когда есть излом, на котором должны выполняться два статических и два геометрических условия сопряжения 21.25.2 Тогда применимость обсуждаемой схемы станет очевидной.
Рассмотренные примеры показывают, что условия сопряжения 21.25.3,
21.25.4 действительно непротиворечивы. Область их применимости, как и следовало ожидать, ограничивается оболочками, не имеющими лишних тангенциальных закреплений.


ГЛАВА 22
ЗАВИСИМОСТЬ напряженного состояния ОБОЛОЧКИ ОТ УСЛОВИЙ ЗАКРЕПЛЕНИЯ ЕЕ КРАЕВ
§ 26. Безусловная и условная применимость
безмоментной теории
В § 7.3 безмоментная теория была определена как приближенный метод исследования оболочек, базирующийся на возможности выделить построение основного напряженного состояния в самостоятельную задачу, не требующую введения в рассмотрение краевого эффекта. Просматривая полученные здесь схемы построения приближения s, замечаем, что в определенных случаях в них построение безмоментного и чисто моментного напряженных состояний во всех приближениях, включая приближение 0, должно производиться вначале, и оно не требует знания простого краевого эффекта s. В этих случаях для определения нулевого приближения безмоментного и чисто моментного напряженных состояний не нужно знать даже нулевого приближения простого краевого эффекта, а следовательно, эта операция по смыслу совпадает с расчетом оболочки по безмоментной теории. Такими свойствами обладают схемы построения приближения s в §§ 20.10—20.12, 21.18—21.21, 21.24.
Существуют и такие схемы построения приближения s, в которых отыскание основного напряженного состояния s может быть закончено только после того, как будет найден простой краевой эффект s. Они приведены в §§20.13—20.16, 21.19,21.22, 21.25. Вместе с тем простой краевой эффект ясно выражается через произвольные функции точек породившей его линии искажения, и эти функции при желании можно исключить. Рассмотрим, например, схему, приведенную в §20.13. В ней безмоментное напряженное состояние s должно удовлетворять первому граничному условию 20.13.2, содержащему простой краевой эффект. Поэтому последний надо определять раньше, требуя, чтобы его произвольные функции фь гр2 удовлетворяли граничным условиям 20.13.3. Присоединив 20.13.3 к первому граничному условию 20.13.2, будем иметь три уравнения, содержащие две функции Фъ Фг- можно исключить и получить искомое граничное условие, которому должно подчиняться безмоментное напряженное состояние s. Таким образом, случаи, рассмотренные в §§ 20.13—20.16, 21.19’, 21.22, 21.25, формально можно объединить со случаями, рассмотренными в §§ 20.10—20.12,
20.15, 21.18—21.21, 21.24, считая, что все они могут быть получены методом расчленения и что всегда определение основного напряженного состояния можно рассматривать как самостоятельную задачу, только иногда для этого надо выполнить некоторые промежуточные выкладки, сводящиеся, в сущности, к преобразованию граничных условий. Однако ниже мы увидим, что, если основное напряженное состояние выделяется чисто, то оно по своим свойствам существенно отличается от основного напряженного состояния, выделенного ценой предварительных преобразований. Поэтому мы будем


5 261
ПРИМЕНИМОСТЬ БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ
323
различать эти два случая и говорить, что в первом из них безмоментная теория применима безусловно, а во втором — что имеет место условная примени• мость безмоментной теории.
Замечание. Строго говоря, безусловная применимость безмоментной теории в соответствии с определением, данным в §7.3, означает простую применимость этого приближенного метода, а слова условная применимость в том же смысле надо было бы заменить словом неприменимость. Однако в этом разделе будет удобнее предлагаемая терминология, подчеркивающая возможность расширительного толкования столь важного понятия, как безмоментная теория.
Схемы построения приближения s, приведенные в §§ 20:10—20.12,
20.15, 21.18—21.21, 21.24, показывают, что безмоментная теория безусловно применима тогда, когда
а оболочка не имеет излома,
б возможно выделение двух тангенциальных граничных условий,
в тангенциальные закрепления обеспечивают жесткость срединной повепхности оболочки,
г к краю оболочки не приложены нетангенциальные краевые сильг
Эго значит, что оставаясь в круге рассмотренных здесь задач, надо к оболочкам, допускающим безусловную применимость безмоментной теории, отнести
1 купола, закрепленные в обоих тангенциальных направлениях §20.11,
2 купола, имеющие одно жесткое тангенциальное закрепление §§ 20.12, 20.15,
3 оболочки с двумя неасимптотическими краями, на каждом из которых поставлены два тангенциальных закрепления §21.18,
4 оболочки с двумя неасимптотическими краями, на каждом из которых поставлено по одному тангенциальному жесткому закреплению §§ 21.19, 21.20,
5 оболочки с двумя неасимптотическими краями, на одном из которых поставлено два тангенциальных закрепления, а на другом тангенциальные закрепления отсутствуют §21.21.
Если срединная поверхность оболочки имеет излом на линии Я, то, помимо граничных условий, надо учитывать условия сопряжения. Для них в §§ 21.24, 21.25 были получены два варианта. Безусловной применимости безмоментной теории отвечает только тот из них, который приведен в § 21.24. Поэтому к сказанному можно добавить, что для оболочек с изломом безмоментная теория будет, безусловно, применима только тогда, когда выполняются требования б, г и, кроме того,
д оболочка имеет лишние тангенциальные закрепления.
Таким образом, в приведенном выше списке оболочек, допускающих безусловную применимость безмоментной теории, излом срединной поверхности могут иметь только оболочки 1 и 3. Если излом имеют оболочки 2,
4 и 5, то к ним безмоментная теория будет применима лишь условно.
Для безусловной применимости безмоментной теории надо, как уже говорилось, чтобы граничные условия разделялись на тангенциальные и нетангенциальные. Просмотрев еще раз соответствующие схемы построения приближения 0, можно заметить, чтов этих случаях при определении нулевого приближения основного напряженного состояния используются только тангенциальные граничные условия. Поэтому различие между безусловной и условной применимостью безмоментной теории можно охарактеризовать и так. Безмоментная теория безусловно применима тогда, когда существует основное напряженное состояние 0, удовлетворяющее тангенциальным граничным условиям и если есть излом первому варианту условий сопряжения. Безмоментная теория условно1 применима тогда, когда для гладких


324
ЗАКРЕПЛЕНИЕ ОБОЛОЧКИ И ЕЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ГЛ. 22
оболочек существует основное напряженное состояние 0, удовлетворяющее тангенциальным граничным условиям, должным образом преобразованным при помощи нетангенциальных граничных условий, или тогда, когда для оболочек с изломом существует основное напряженное состояние 0,’ удовлетворяющее тангенциальным граничным условиям и второму варианту условий сопряжения.
§ 27. Физический смысл непротиворечивых значений показателей интенсивности
Безмоментное напряженное состояние определяется разложениями
19.2.2. Из них, учитывая формулы
1 fh Т 3 G
Л — у г , ат— 2h ’ 03 2 h? ’
можно сделать вывод, что оно имеет следующую асимптотику: атб О гГа_2, аоб О л_а, О тГа2, U6 О тГа, 22.27.1)
где of т 03 — напряжения от тангенциальных усилий, перерезы- вающих усилий и моментов соответственно, i6 — вектор смещения.
Точно так же из разложений 19.3.1 и 19.8.8, вытекают следующие асимптотики для чисто моментного напряженного состояния:
отм О гГ6, О °с?м 0 С6-2. им О с-2 22.27.2)
и для простого краевого эффекта
0 0 гГ'2, аГ О гГ1, а£р О т1“-2, t 0rT.
22.27.3)
Простой краевой эффект имеет довольно сложную асимптотику. Здесь, например, различные тангенциальные усилия, обозначенные в совокупности через Т, ведут себя различно нормальное усилие в сечении, ортогональном к линии искажения, имеет наибольший порядок. Поэтому в 22.27.3 указывается асимптотика наибольшей из величин, входящих в данную группу. Если линия искажения совмещена с ах а10, то надо считать, что
-кр -кр кр _ кр кр _ кр)
От сТтг , Ом Омх , Оо — Оо, У
а под U следует понимать нормальный прогиб w.
При заданных а, Ь, с формулы 22.27.1—22.27.3 позволяют сравнивать между собой безмоментное напряженное состояние, чисто моментное напряженное состояние и простой краевой эффект, т. е. определять относительный порядок вклада перечисленных напряженных состояний в полное напряженное состояние оболочки. Такое сравнение можно производить двояким образом: по напряжениям и перемещениям. Сравнение по напряжениям конечно, подразумеваются напряжения, имеющие наивысший порядок показывают, что равенства
а Ь с 22.27.4)
представляют собой условия асимптотической эквивалентности всех напряженных состояний по напряжениям.
Равным образом условиями асимптотической эквивалентностй по перемещениям служат равенства
а Ь 2 с. 22.27.5)


АСИМПТОТИКА напряженно-деформированного состояния
325
Когда нарушаются условия асимптотической эквивалентности по напряжениям и имеет место, например, равенство
а b s s — целое, положительное,
то будем говорить, что чисто моментные напряжения на s порядков больше безмоментных напряжений.
Замечание. Считается, что величина А на порядок больше величины В, если
4-ort
т. е., если относительная толщина оболочки равна 0,01, то слова на порядок больше имеют обычный смысл, означающий, грубо говоря, увеличение в десять раз.
Итак, значения показателей интенсивности а, b, с определяют качественную характеристику напряженного состояния оболочки. Так, например,' если
а 0, b — 2, с 0,
то получается следующая характерная для многих реальных оболочек картина. Вдали от краев и других линий искажения господствует безмоментное напряженное состояние моментные напряжения в этих зонах на два порядка меньше безмоментных, а по перемещениям чисто моментное и безмоментное напряженные состояния эквивалентны; у линии искажения появляется простой краевой эффект, который накладывается ка безмоментное напряженное состояние и асимптотически эквивалентен ему как по напряжениям, так и по перемещениям. Из формул 22.27.3 видно, что в простом краевом эффекте напряжения от тангенциальных усилий и от моментов асимптотически эквивалентны друг другу. Это значит, что у линии искажения без- моментность напряженного состояния оболочки, вообще говоря, будет утрачена.
В дальнейшем, если выполняются равенства
а 0, Ъ — 2, 22.27.6)
мы будем говорить, что напряженно-деформированное состояние оболочки имеет оптимальную асимптотику, так как можно показать, что вдали от краев для напряжений и перемещений лучшей асимптотики достигнуть нельзя конечно, если не уменьшается порядок приложенных сил.
§ 28. Асимптотика напряженно-деформированного состояния
при безусловной и условной применимости
безмоментной теории
Область условной применимости безмоментной теории включает случаи:
а когда тангенциальные закрепления оболочки — не жесткие §§ 20.13, 20.14, 20.16, 21.19, 21.20;
б когда единственное закрепление не считая закреплений от поворотов является косым §20.15;
в когда на оболочку действуют краевые нормальные силы или моменты §21.22;
г когда оболочка имеет излом, а лишние тангенциальные закрепления у нее отсутствуют §21.25.
Во всех этих случаях непротиворечивые значения обладают следующими свойствами:
а 0, Ь — 2, с0. 22.28.1)


326
ЗАКРЕПЛЕНИЕ ОБОЛОЧКИ И ЕЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ГЛ. 22
В противоположность этому в случаях безусловной применимости безмоментной теории свойства непротиворечивых показателей изменяемости выражаются соотношениями
а-О, Ь — 2, сО. ' 22.28.2)
Это значит, что оболочки, допускающие условную и безусловную применимость безмоментной теории, отличаются друг от друга не только по формальным математическим признакам, но по существенным свойствам их напряженно-деформированных состояний. Если безмоментная теория применима безусловно, то асимптотика ее напряженно-деформированного состояния оптимальна, а если безмоментная теория может быть применена лишь условно, то это приводит к ухудшению асимптотики напряженно-деформированного состояния оболочки как внутри оболочки, так и вблизи линий искажения.
Исключением из сформулированного правила является случай, когда тангенциальные закрепления оболочки — жесткие, но непосредственное применение безмоментной теории невозможно потому, что к краю оболочки приложены нормальные силы или моменты. Тогда для а, b, с получаются формулы 21.22.5 или 21.22.6, и следовательно, второе соотношение 22.28.1 переходит в равенство b —2. Это значит, что в таких оболочках вдали от краев асимптотика напряженно-деформированного состояния остается оптимальной. Приложение краевых сил ухудшает только асимптотику краевого напряженно-деформированного состояния. Ухудшение получается значительным, что совершенно естественно, так как здесь простой краевой эффект служит передаточным звеном, трансформируя внешние нетангенциальные силы во внутренние тангенциальные воздействия.
Второе соотношение 22.28.1 в ряде случаев конкретно значит, что формулы 22.27.6, отвечающие оптимальной асимптотике, заменяются равенствами
а 0, b — 1, 22.28.3)
из которых следует, что
аЬ, Ь 2а. 22.28.4)
Первое неравенство 22.28.4 показывает, что безмоментное напряженное состояние остается преобладающим, т. е. вдали от краев напряжения в основном будут обусловливаться тангенциальными усилиями, и асимптотика останется оптимальной. Второе неравенство 22.28.4 означает нарушение эквивалентности безмоментного и чисто моментного напряженных состояний по перемещениям. Преобладать будут чисто моментные перемещения, т. е. вдали от краев деформативность оболочки по сравнению с оптимальной возрастет на порядок.
Итак, равенства 22.28.3 означают существенное увеличение деформа- тивности оболочек при сохранении асимптотики напряженного состояния. Это явление будет иметь место в следующих случаях:
а когда жесткие тангенциальные закрепления заменяются жесткими косыми закреплениями §20.15;
б когда у оболочки есть излом, лишних тангенциальных закреплений нет, а имеющиеся тангенциальные закрепления обеспечивают жесткость срединной поверхности;
в когда тангенциальные закрепления не обеспечивают жесткости срединной поверхности.
Особого внимания заслуживает случай в. При этом, как показано в §§ 20.13, 20.15, 21.20, число b — показатель интенсивности чисто моментного напряженного состояния — зависит от того, имеются ли нетангенциаль¬


§ 28 АСИМПТОТИКА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
ные закрепления и обращается ли в нуль работа внешних сил на перемещениях возможных изгибаний.
Примером, в котором Ъ увеличивается относительно мало, служит задача, рассмотренная в §21.20. Ей с некоторыми оговорками соответствует конструкция, рассматриваемая в работе В. 3. Власова 32, т. е. оболочка в форме однополосного гиперболоида вращения, закрытая по двум поперечным сечениям относительно тонкими днищами. Если принять, как это обычно делается, что днища абсолютно жестки в своей плоскости и абсолютно податливы как в линейном направлении, нормальном плоскости днища, так и в угловом направлении, то мы придем к условиям вида 21.20.1 различие между нормальными и косыми закреплениями в данном случае,не существенны. Для полученной задачи были найдены два варианта непротиворечивых значений а, Ь, сг, с2. Первый из них задается формулами 21.20.2 и относится к случаю, когда размеры срединной поверхности — не собственные, второй вариант 21.20.3 справедлив для оболочки, имеющей собственные размеры. Переход от 21.20.2 к 21.20.3 означает ухудшение асимптотики напряженно-деформированного состояния оболочки: у краев получается повышение напряженности и деформативности, а вдали от краев повышается только деформативность.
Таким образом, попадание на собственный размер, когда тангенциальные закрепления становятся нежесткими, в данном случае приводит к увеличению показателя интенсивности чисто моментного напряженного состояния лишь на одну единицу благодаря дополнительным нетангенциальным закреплениям. Однако эта единица означает увеличение на порядок, и не приходится удивляться, что на моделях, которые изготовлял В. 3. Власов, повышенная деформативность при попадании на собственные размеры обнаруживалась даже без приборов.
В качестве наихудшего варианта в случае в могут получаться равенства
а 0, Ь — 2. 22.28.5)
Они, например, будут иметь место, если край или все края, когда их несколько совсем не имеет закреплений, в том числе и нетангенциальных §20.16.
Сравнив 22.28.5 с 22.27.4 и 22.27.5, заключаем, что в незакрепленных оболочках вдали от линий искажения интенсивность напряженно-деформированного состояния будет превышать интенсивность оптимального напряженно-деформированного состояния на два порядка по напряжениям и на четыре порядка по перемещениям, т. е. при относительной толщине, равной 0,01, грубо говоря, напряжения увеличатся в 100 раз, а перемещения в 10 000 раз. Конечно, это — чисто формальный результат. При нагрузках, обычно передаваемых на оболочки, перемещения будут настолько велики, что расчет придется вести по нелинейной теории, однако отсюда следует качественный вывод об огромном влиянии, которое могут оказать краевые закрепления на масштабы напряженности и деформативности оболочки.
Показатели интенсивности 22.28.5 определяют наихудшую асимптотику основного напряженно-деформированного состояния оболочки. Дальнейшее существенное увеличение напряженности или деформативности может произойти только за счет существенного увеличения интенсивности внешних сил. Наоборот, улучшение асимптотики основного напряженного состояния при нежестких тангенциальных закреплениях или при их отсутствии возможно. Формулы 20.16.2 показывают, что такого результата можно достичь введением нетангенциальных закреплений. Остановимся на этом подробнее.


328
ЗАКРЕПЛЕНИЕ ОБОЛОЧКИ И ЕЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ГЛ. 22
Напомним, что равенствами 20.16.2 задаются показатели интенсивности для куполообразной оболочки, на краю которой тангенциальные закрепления отсутствуют. Приводятся четыре варианта, соответствующие четырем типам нетангенциальных граничных условий 20.12.2. Число р в 20.16.2 выбирается в зависимости от того, с какой точностью внешние силы удовлетворяют условиям теоремы о возможных изгибаниях, и если эти условия не выполняются в главных членах, то надо положить р 0.
Из 20.16.2 и 20.12.2 следует, что нетангенциальные закрепления улучшают асимптотику основного напряженного состояния. Введение закрепления в направлении нормали варианты 1 и 2 нетангенциальных граничных условий снижает интенсивность чисто моментного напряженного состояния на три порядка. В результате асимптотика основного напряженного состояния будет характеризоваться формулами 22.28.3, т. е. останется повышенной на один порядок только деформативность оболочки.
Угловое закрепление вариант 3 нетангенциальных граничных условий снижает интенсивность чисто моментного напряженного состояния на один порядок. В результате основное напряженное состояние по сравнению с оптимальным случаем будет интенсивнее на один порядок по напряженности и на три порядка по деформативности.
Все эти выводы вытекают из рассмотрения случая, когда на краю оболочки тангенциальные закрепления совсем отсутствуют. Однако они остаются в силе и тогда, когда имеется одно тангенциальное закрепление, если оно нежесткое. В этом можно убедиться, просмотрев формулы 20.13.1 и 20.13.8, которые показывают, что нежесткое тангенциальное закрепление не оказывает влияния на асимптотику напряженного состояния. Значение такого закрепления заключается лишь в том, что оно сокращает число линейно независимых изгибаний срединной поверхности, а следовательно, и уменьшает число условий, которые по теореме о возможных изгибаниях надо выполнить, чтобы стало возможным решение полной краевой задачи безмоментной теории. В частности, может случиться, что тангенциальное закрепление оставит возможными лишь так называемые тривиальные изгибания, т. е. смещения срединной поверхности как жесткого целого примеры см. § 17.32. Тогда изменятся и выводы, относящиеся к асимптотике основного напряженного состояния оболочки. Действительно, если возможные изгибания тривиальны, то им отвечают нулевые компоненты изгибной деформации к19 т, х2. Это значит, что в исходных приближениях чисто моментного напряженного состояния обратятся в нуль все усилия и моменты, а последние и порождают напряжения наибольшей интенсивности. Более подробно на этом случае мы останавливаться не будем.
§ 29. Случай неустойчивой асимптотики
напряженно-деформированного состояния оболочки
Как уже упоминалось, асимптотика напряженного состояния оболочки, не имеющей жестких тангенциальных закреплений, улучшается, если работа приложенных к ней внешних сил на возможных допускаемых тангенциальными закреплениями перемещениях будет с той или иной точностью обращаться в нуль. В этом случае в формулах 20.16.2 и подобных им надо выбирать число р отличным от нуля и давать ему тем большее значение, чем точнее обращается в нуль работа внешних сил. Если последняя точно равна нулю, то для р надо выбирать максимальное из значений, которые допускают неравенства, указанные в 20.16.2. Нетрудно заметить, что выбрав для р максимально допустимое значение, мы во всех вариантах получим формулы
22.27.6. Это значит, что, если тангенциальные закрепления оболочки нежестки в частности, вовсе отсутствуют, но работа внешних сил на перемеще¬


СЛУЧАЙ НЕУСТОЙЧИВОЙ АСИМПТОТИКИ
329
ниях допускаемых ими изгибаний с достаточной точностью равна нулю, то асимптотика напряженного состояния станет такой же, как и в случаях, когда безмоментная теория применима безусловно. Однако к физическому истолкованию этого результата надо относиться с большой осторожностью, как вытекает из нижеследующих соображений.
Рассмотрим формулы 20.16.24, т. е. будем считать, что на единственном краю оболочки отсутствуют и тангенциальные, и нетангенциальные закрепления. Тогда оптимальная асимптотика 22.27.6 получится лишь при р 4, т. е. только тогда, когда работа внешних сил на возможных перемещениях будет равна нулю с ничтожной погрешностью О г4 при hlr 0,01 — с погрешностью порядка 0,0001. Малейшее изменение характера внешних сил, если оно сопровождается нарушением условия нулевой работы, будет в корне менять свойства напряженно-деформированного состояния оболочки. Так, например, при изменении нагрузки на величину порядка О т3 надо положить л 3, что приведет к формулам
а 0, b — 1, с —— 1,
т. е. будет означать повышение деформативности на порядок при hr 0,01 получается, что изменение нагрузки на величину порядка 0,1 вызовет увеличение перемещений в 10 раз. Если отклонение нагрузки достигнет величины порядка О т2, то надо считать р, 2.
Отсюда
а 0, 6 0, с 0.
Вдали от краев деформативность увеличится на два порядка, а напряженное состояние качественно изменится, перейдя из безмоментного в смешанное моментно-безмоментное.
Таким образом, в оболочке с нежесткими тангенциальными закреплениями может иметь место неустойчивость асимптотики напряженно-деформированного состояния, т. е. явление, заключающееся в том, что исчезающе малые при h — 0 изменения во внешней нагрузке вызывают не малые изменения напряженности и деформативности оболочки отклонения от невозмущенного случая могут даже неограниченно расти.
Неустойчивость асимптотики напряженного состояния оболочки наиболее ярко проявляется в рассмотренном выше случае, когда тангенциальные закрепления нежестки, а нетангенциальные закрепления отсутствуют. Введение нетангенциальных закреплений ослабляет или совсем уничтожает это явление, как видно из соотношений 20.16.2. Если оболочка имеет закрепление в направлении нормали, т. е. если осуществлены варианты 1 или
2 нетангенциальных граничных условий, то оптимальная асимптотика получится уже тогда, когда работа внешних сил на возможных перемещениях станет равной нулю с точностью до величин порядка О т, а при увеличении этой погрешности будет быстро расти только дефор мативность оболочки, но не ее напряженность. Промежуточное положение занимают оболочки, на краю которых осуществлено только угловое закрепление вариант 3 нетангенциальных граничных условий. Тогда условие нулевой работы внешних сил надо выполнить уже с точностью до величин порядка О т3, а большие погрешности, например порядка О V, приведут уже не только к возрастанию деформативности на два порядка, но и к коренному изменению характера напряженности: к переходу от безмоментного к смешанному напряженному состоянию.
Замечание. В оболочке7 с нежесткими тангенциальными закреплениями можно получить напряженное состояние с оптимальной асимптотикой неустойчивой выполнив условие нулевой работы внешних сил. Однако даже в этом случае надо считать, что безмоментная теория приме¬


330
ЗАКРЕПЛЕНИЕ ОБОЛОЧКИ И ЕЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ГЛ. 22
нима только условно. В этом читатель может удебиться, просмотрев еще раз соответствующие схемы построения приближения s и обратив внимание на то, что безмоментная теория считается безусловно применимой, если решения безмоментных уравнений с учетом тангенциальных граничных условий не только возможны, но и единственны, так как иначе для определения оставшихся произволов надо ввести в рассмотрение следующее приближение, а следовательно, в какой-то мере учесть и простые краевые эффекты.
Таким образом, если сравнить оболочку с жесткими тангенциальными закреплениями, с одной стороны, и оболочку с нежесткими тангенциальными закреплениями и нагрузкой, не совершающей работы, с другой стороны, то, хотя асимптотика их напряженного состояния и будет одинаковой, но между ними существует важное различие: в оболочке второго типа асимптотика неустойчива и безмоментная теория к ней применима лишь условно.
§ 30. Зависимость асимптотики напряженно-деформированного
состояния оболочки от нетангенциальных закреплений
Сформулируем теперь некоторые выводы, относящиеся к влиянию нетангенциальных закреплений на напряженное состояние оболочки.
В тех случаях, когда оболочка имеет жесткие тагненциальные закрепления, роль не тангенциальных закреплений отрицательна: они только увеличивают интенсивность простого краевого эффекта. Это в равной мере видно из равенств 20.11.3, относящихся к оболочке с двумя тангенциальными закреплениями, и из равенств 20.12.2, 20.12.8, относящихся к оболочке с одним жестким тангенциальным закреплением.
В обоих случаях при отсутствии нетангенциальных закреплений, т. е. при нетангенциальных граничных условиях 20.12.24, получается с —2, что соответствует наилучшей асимптотике простого краевого эффекта последний и по напряжениям, и по деформациям на два порядка менее интенсивен, чем основное напряженное состояние.
Введение углового закрепления, т. е. принятие нетангенциальных граничных условий 20.12.23, приводит к равенству с —1, что отвечает ухудшению асимптотики простого краевого эффекта на один порядок он, однако, останется менее интенсивным, чем основное напряженное состояние.
Введение закрепления в направлении нормали безразлично — одного или в совокупности с угловым закреплением, т. е. принятие нетангенциальных граничных условий 20.12.21 или 20.12.22 ухудшает асимптотику простого краевого эффекта на два порядка и делает его уже соизмеримым с основным напряженным состоянием.
Из сказанного, разумеется, не следует, что всегда надо стараться освободить края оболочки от нетангенциальных закреплений. Если тангенциальные закрепления нежестки, то нетангенциальные закрепления улучшают асимптотику напряженно-деформированного состояния оболочки. Об этом говорят формулы 20.16.2, относящиеся к случаю, когда тангенциальных закреплений вовсе нет. Тогда при любых ц при любой точности выполнения условия нулевой работы внешних сил на возможных перемещениях с введением нетангенциальных закреплений асимптотика основного напряженно-деформированного состояния улучшается. Наихудшая асимптотика 20.16.24 получается, когда нетангенциальных закреплений нет. Несколько лучшую асимптотику 20.16.23 дает введение углового закрепления, а иаилучшую асимптотику 20.16.21 или 20.16.22 обеспечивает закрепление, расположенное по нормали. Однако нетангенциальные закрепления никогда не становятся эквивалентными тангенциальными, так как при х 0 получить оптимальные равенства 22.27.6 не удается.
В главах 20—22 исследовано влияние условий закрепления краев оболочки на асимптотику ее напряженно-деформированного состояния.


§ 30]
ВЛИЯНИЕ НЕТАНГЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАКРЕПЛЕНИЙ
331
При этом мы не имели возможности обсудить влияние некоторых других факторов.
К ним, например, относятся:
1 величина показателя изменяемости внешних сил 0 считалось, что 0 - 0;
2 некоторые особенности геометрической формы срединной поверхности из рассмотрения были исключены оболочки с особой поверхностью;
3 расположение краев оболочки считалось, что края — неасимптотические;
4 соотношение между жесткостью оболочки и краевых подкреплений учитывались только идеализированные граничные условия;
5 знак кривизны срединной поверхности К учитывались только связанные со знаком К особенности формулировок теорем существования решений безмоментных краевых задач, но не обсуждались возможные последствия некорректности этих задач.


Часть V
КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
В части V рассмотрена относительно простая с математической точки зрения теория круговых цилиндрических оболочек. Она представляет интерес по следующим соображениям.
Прежде всего именно цилиндрические оболочки чаще любых других находят применение на практике. Кроме того, эти оболочки при определенных условиях закрепления краев допускают точное решение в тригонометрических рядах, структура которого может быть выражена при помощи некоторого числа явных, хотя и довольно громоздких формул. Это позволяет на основе элементарных соображений выявить роль тех или иных факторов на окончательный результат расчета, и, следовательно, конкретно проверить те общие соображения о различных приближенных подходах, которые были изложены в части И.
Таким образом, здесь цилиндрическая оболочка использована как эталон, и надо заметить, что в этом отношении она очень удобна. Дело в том, что несмотря на относительную простоту своей геометрии, цилиндрическая оболочка является объектом, для которого возможности применения различных приближенных методов расчета переплетаются весьма сложным образом.
Изучение свойств цилиндрической оболочки в части V выполняется следующим образом. При помощи тригонометрических рядов и применения метода Эйлера задача построения каждого члена разложения сводится к исследованию некоторого алгебраического уравнения восьмой степени характеристического уравнения, в коэффициенты которого входит малый параметр h и еще один параметр, связанный с номером рассматриваемого члена разложения. Последний может принимать в известных рамках как большие, так и малые значения. Поэтому можно поставить вопрос об асимптотической зависимости модулей корней характеристического уравнения от упомянутых параметров. Он решается элементарными приемами, и располагая ответом, мы можем получать оценки любого члена в формулах, определяющих напряженно-деформированное состояние оболочки, а следовательно, и судить о ценности того или иного приближенного метода, а также выяснить область его применимости 48, 89, 182. С этой точки зрения на примере круговой цилиндрической оболочки обсуждены практически все приближенные методы, описанные в части IL


ГЛАВА 23
ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
§ 1. Уравнения теории круговых цилиндрических оболочек
Для цилиндрической оболочки произвольного очертания в §11.28 были построены на срединной поверхности криволинейные координаты. В них под аг подразумевалось расстояние по прямолинейной образующей, а за а2 принят произвольный параметр, задающий точку на направляющей кривой. При этом
А1 1, Аг У у'2 z'2, у уа2, 2 2 а2.
Если под а2 также подразумевать длину дуги, то первая квадратичная форма будет иметь вид
ds2 dal -f- dal-
В теории круговых цилиндрических оболочек удобно принять, что
аг rl, а2 г0,
где г — радиус оболочки, £ — относительные измеренные в долях г расстояния по образующей, 0 — относительное расстояние по направляющему кругу, т. е. центральный угол. При этом первая квадратичная форма запишется так:
ds2 г2 dl2 r2dl2,
откуда следует, что
Аг А2 г.
Имеют силу также очевидные формулы
оо9 2 Г •
Подставив эти выражения в общие соотношения теории оболочек, получим для круговой цилиндрической оболочки Уравнения равновесия 6.44.1)
I di2 у л dS2i дТ2 дт , у л
щ де т1 N2 “■
Га - - г2 0, 0, 23.1.1)
/
д°2 _ w _ q
00 dl nvs —и.


334
ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Lrл. 2а
Формулы деформации—перемещения, углы поворота. 6.44.3)
1 дщ 1 дщ 1 ди2 дщ \
е —-af —af -г*
.. 1 Tl 1 аТ2 т 1 dy2 j_ 94 1 9\
г ’ 2 г ае ’ г ag ’ Tl г, ’ ka-z)
1 dw \
ъ Т Ж г'2 •
Уравнения состояния 5.28.4)
ОГ7' I ч 'Г 2Eh ч
81 V82 2 — 1 2 82 4“ V8l»
7 =
1 —Л2
2 Eh 1
21
1 V '
2Eh3 /
1 —V2
г2 т о 2 Eh
03 I L_l 5 - 2£
V “2 3 г У’ 1 ——
v v
23.1.3)
°1 — 3T1- V Х’ V2’ °3 3 — v2 Х VXl>
„ 2£7г3 _
пп — п12— 31 v т
принят вариант JI. И. Балабуха—В. В. Новожилова; он, как известно, согласован с шестым уравнением равновесия, поэтому последнее здесь не выписано и в дальнейшем не будет приниматься во внимание.
Исключив перерезывающие усилия в уравнениях равновесия 23.1.1, получим
дТг dSl2 у аб21 - дТ2 1 dG2 дН21 у ^
аГ ае- Щ аё аё а“ гХ и’
23.1.4)
Из 23.1.2 и 23.1.3 выводим следующие‘формулы, связывающие тангенциальные усилия и моменты с перемещениями:
m 2Eh Г дщ ди9 1 ™ 2Eh Г ди9 , дщ 1
Тг -YZ hi v Ue “ - J ’ r2 7Tj Ж W vdT’
—v d 2дгж “2 ’
23.1.5)
2 Eh
21 г 1
12 r— V2 2
1 2Eh 2 Г а2ш а dw “I
т 1 i—v2Q lv ж ж ы2 J.
1 n 2 Eh 9 Y d dw d2w 1
2 r —v2 ж ж “2 'УЖГJ ’
1 tj 1 rj 2Eh Л 2 d dw \
r Hsi-rHi2- r 1—v21—Va 5” V Ж T“'
в которых принято обозначение
2 _
3г*
a2 -S-. 23.1.6)


РАЗРЕШАЮЩЕЕ УРАВНЕНИЕ
335
Наконец, при помощи 23.1.1, 23.1.5, 23.1.6 можно получить уравнения равновесия в перемещениях для круговой цилиндрической оболочки:
д2 1 — V ?2 , 1 V d22 dw 2V А
dg2 2 d6Y Ul 2 dfdQ V df Г 1 U’
1v d2ut , 1 — v d2 d2 3 r„ , d2 , d2 14
2 dg50 2 dg2 o02 1 a 3g2 d02 J“2 +
j W a 2 dg230 303 J ш r2 =
23.1.7)
— v Й0- °2 2 — v Ц2 dQ 6T иг 1 a2 Л,A' w — r2Z 0,
d2 d2
где A -Щ2 02 — оператор Лапласа,
1 V2 у T7 1 у 7 1 V2 у
1 2Eh 1 2 “ 2Eh 2’ 2Eh '
Система 23.1.7 содержит три уравнения с тремя неизвестными. Из нее мы и будем исходить в этом разделе книги, имея в виду две основные задачи:
1 задачу расчета замкнутой в поперечном сечении оболочки, ограниченной двумя плоскими сечениями, ортогональными оси цилиндра; сюда мы отнесем и предельные случаи, когда одно или оба концевые сечения оболочки бесконечно удалены полубесконечная и бесконечная замкнутая оболочки;
2 задачу расчета открытой оболочки, которая, помимо указанных выше поперечных краев, имеет продольные края, идущие вдоль образующих цилиндра.
Для открытой оболочки должны быть выполнены: а четыре граничных условия на каждом из двух поперечных краев £ и 2; б четыре граничных условия на каждом из двух продольных краев 0 0Х и 0 02. Для замкнутой оболочки должны быть выполнены: а четыре граничных условия на каждом из двух поперечных краев £ и £ б восемь условий возврата, заключающихся в требовании, чтобы усилия, моменты, перемещения и углы поворота на продольных сечениях возвращались к своим первоначальным значениям после обхода поперечного контура.
§ 2. Разрешающее уравнение
Приведем систему 23.1.7 к одному уравнению, воспользовавшись операторным методом. Он основан на том, что коэффициенты уравнений 23.1.7 постоянны и эти соотношения можно рассматривать как алгебраические уравнения относительно иъ и2, w, в коэффициенты которых наряду с другими величинами входят и символы дифференцирования дд и ддб символ кратного дифференцирования рассматривается как произведение соответствующих степеней дд и ддд.
Составим определитель уравнений 23.1.7:


336
ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
ГЛ. 23
и вычислим некоторые его миноры, оперируя символами дифференцирования как алгебраическими величинами. Получим
г, ту 1 у d3 vl-_v._g_.J_
13 — ut — 2 dg д02 2 d3
rlv2-v Э3 1v a3 v — I л ?_1
а I 2 2 зае vu V, cae2 J»
n _n n-v2 v a3 i — v a3
23 — 3V j 2 50 f у O03
a Гг. ч d , 4—3v-t-v2 a5 , l—v a5- 04 о i4
— a 2 —v-gig-H § aae3 2 ae6J’ 23.2.1)
_ i-v а2 а2 у
33- —2—-- d02 j --
-f a2 2 1 v -f- 2 2v v2-2g2- H g gr j .
Положим
3 3 3
12 ДД, 2 DsVs, ® 2 VP. 23.2.2)
1 4 1 51
и подставим эти выражения в исходные уравнения 23.1.7. Тогда в соответствии с известными теоремами теории линейных алгебраических уравнений мы получим три соотношения:
D41 r2X1 О, ОТ2 г2Х2 О, D43— r2Z 0, 23.2.3)
где D — выписанный выше определитель рассматриваемой системы уравнений, который в раскрытом виде записывается так:
D n a2l 4a2 --g- -f- 4 1 -j- a2 я2 -j- 1 v2 a2]
2 “ VA “Г J “Г V1 Г “ 6 02 T i Г V • d£4d64
, , d8 d8 , Q 0,2, d6 q д6 0 d6
I dg2 de6 ' di дв2 dg2 de4 r z aey
—v2f 4аг 4 £gS
a4 , a4
,2a03 ae4
Таким образом, если T10, Т20 и Чо — какие-либо частные интегралы уравнений 23.2.3, то а10, а20, w0, определяемые формулами
ззз и1В — S DlsWs0, а2о S sG W0 — X sO>
sl sl sl
дают частный интеграл исходных неоднородных уравнений. Это утверждение основано на том, что все действия, которые нам пришлось здесь выполнять, сводились к сложениям, вычитаниям и умножениям, а при этом, как известно, символы дифференцирования ведут себя как алгебраические величины конечно, если коэффициенты при них постоянны.
Тройку функций иГ, и, w9 составляющих интеграл однородной системы, соответствующей уравнениям 23.1.7, можно также искать в виде 23.2.2. Для определения ¥2, ¥3 мы получим при этом вместо 23.2.3 три уравнения
ОТх Оэ DY2 о, DW3 G. 23.2.4)


РАЗРЕШАЮЩЕЕ УРАВНЕНИЕ
337
Таким образом, функции и. и, аЛ определяемые равенствами
3 3 3
и? t DiW, uS i D2sWt, w S £3s¥,
S1 S1 41
будут давать интеграл однородных уравнений 23.1.7 для любых ¥, ¥5, ¥, удовлетворяющих уравнениям 23.2.4. В частности, можно положить
¥Г ¥2 0, ¥3 Ф.
Тогда каждому решению уравнения
£Ф 0 23.2.5)
будет соответствовать интеграл однородных уравнений равновесия в перемещениях 23.1.7, определяемый формулами
и? ДзФ, 2 -у Z23 Ф, ш у-1- ДззФ. 23.2.6)
Обратное положение, как мы увидим впоследствии, неверно: не всякий интеграл однородных уравнений 23.1.7 может быть выражен через интеграл уравнения 23.2.5 формулами 23.2.6.
Развернув символы D13, Z23, D33 согласно 23.2.1 и отбросив в обозначениях искомых функций звездочки, мы можем переписать 23.2.6 в виде
и - д3 -4-у д -1л2 Г1Н-У2-У ,
Ча L 1—v д£3д02
LV , 4v Ё_11ф
1 —v ?g?e4 а 1 —v dgde2Jj ’
о,ч д3 д 2 Г 2 2 — v ^
“a— 2 v aga de дв3 a L 1 —V d'dQ +
23.2.7)
4 — 3v -j- V2 d6 d5
W =
— L _?L_ 1 ф
ag2 ae3 ae5 J j ’
JL JLV 22-2v v2 а4 а4 -n
ag2 ae2 L i —v ag2ae2 ae Jp-
Написанными формулами при каждом конкретно выбранном Ф, удовлетворяющем уравнению 23.2.5, определяются перемещения, соответствующие некоторому напряженному состоянию круговой цилиндрической оболочки, не загруженной поверхностной нагрузкой. Формулы для усилий, моментов, компонент деформации и углов поворота, отвечающих выбранному Ф. могут быть выведены при помощи соотношений 23.1.2, 23.1.5 и двух последних равенств 23.1.1. Получающиеся при этом формулы очень громоздки, и мы их приводить не будем.
При интегрировании однородных уравнений равновесия цилиндрической оболочки Ф можно рассматривать как потенциальную функцию, а соотношение 23.2.5, которое в развернутом виде записывается так:
1 4а2 41 6 1--г +
4 w 8-2v2 W8W+
2w1v2ir44f0’ 2з-2-8>
можно назвать разрешающим уравнением для однородной системы 23.1.7.


338
ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
гл. га
Замечание. Отыскание частного интеграла неоднородных уравнений 23.1.7, как мы видели, сводится к построению частных интегралов неоднородного разрешающего уравнения 23.2.8. Методов решения этой задачи в настоящем разделе мы специально рассматривать не будем. Для поверхностных нагрузок, обычно встречающихся на практике, частный интеграл строится относительно просто с помощью приближенных методов, описанных в части II. Во многих случаях частный интеграл можно строить, исходя из уравнений безмоментной теории. В этом разделе книги всегда будет считаться, что частный интеграл точно или приближенно уже построен.
§ 3. Применение тригонометрических рядов по переменной 0
Интегралы разрешающего уравнения 23.2.8 удобно искать с помощью разложения потенциальной функции Ф в тригонометрические ряды либо по переменной 0, либо по переменной £. Начнем с рассмотрения первого
из этих приемов. Будем искать Ф в виде
Ф £Фт 23.3.1)
т0
где т — целое число, а фт — комплексная функция.
Подставив это выражение в разрешающее уравнение 23.2.8, получим для срт следующее обыкновенное дифференциальное уравнение индекс при ф опущен:
1 4а2 — 41 а2т2-р- бт4 а21 — v2m4 —
-8-2v2 т2 1 -v2 4 -0- -
— 4т2 т2 — I2 т4 т2 — I2 ср 0. 23.3.2)
Каждому члену ряда 23.3.1 соответствует напряженно-деформированное состояние круговой цилиндрической оболочки, перемещения и моменты которого можно вычислить по формулам §§ 23.1, 23.2. Так, положив Ф Фт, в 23.2.7 получим
и, Ujme, w WmeimQ 1, 2, 23.3.3)
где
и -m2 df I V d3y I а2 Г 1 у 2 v 2 I
ulm — m V dl3 ' L 1 — V dl3 T-
■ ' mi dP 1v d3P 2V m2 dP 1
1 — v dl 4d3 1 — v J ’
vm — m3cp — a2 - j2 m -0- -
- ’ 7 '''•'. 23.3.4)
. -—мФ 0 4--
- 2P72vH-., +
этими формулами перемещения определяются как комплексные функции вещественных переменных.


ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ПО 0
339
Усилия, моменты, компоненты деформации и углы повороДа можно выразить через перемещения 23.3.3, 23.3.4 по формулам § 23.1, но результаты этих выкладок мы приводить не будем.
Обратимся к интегрированию уравнения 23.3.2. Это — обыкновенное линейное уравнение с постоянными коэффициентами, решение которого можно искать в виде
Ф Аекь А и k — константы. 23.3.5)
Для k обычным образом получаем характеристическое уравнение 1 4а2 k8 — 4 1 a2 m2k +
6 а2 1 — v2т4— 8 — 2v2 rtf 1 — v2 -1 4 k —
— 4rrf nf— l2fe2 m4 rtf — l2 0. 23.3.6)
Корни уравнения 23.3.6 мы будем считать комплексными это будет так при любых т, кроме случаев т 0 и пг 1, когда четыре из восьми корней обращаются в нуль, а остальные четыре остаются комплексными.
Каждому корню уравнения 23.3.6 соответствует напряженно-деформированное состояние оболочки, которое в силу 23.3.1 и 23.3.5 можно определить равенством
F AFekime. 23.3.7)
Здесь F — любая величина из перемещений, углов поворота, деформаций,
усилий или моментов оболочки, а А—некоторое комплексное выражение, зависящее от т и k. Так, например, для перемещения иг и усилия S21 формула 23.3.7 расшифровывается следующим образом:
иг Auxekimk, S2 ASnekimQ.
о
Выражения F выводятся при помощи равенств 23.3.4, 23.3.5 и формул § 23.1. Они записываются так:
иг k т2 vk2 а2 f 2V V т2№ +
тк 4vfe3 — ,
и, — — — 2 v А3 4-
w k2 — m22 a2 4№ m2k2 4- m4J, 23.3.8)
о Q,Fh
F ,_V2 1 — v2 rrf if -f- a2 — 2 — v ttfk 4-
-f- 1 — v2mk2 -f- vm6 -j- 2v 1 — v m2k2 — vm4,
T2 r — 1 — V2 kf a2 4 — V2 trfk — 4m4fe2 nf —
— 41 — v2 № 4- 4m2k2 — m4,


340 ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
о 9Fh
i --j _ v2 m 1 — v2 3 4. a2 — 5 —1 —v2 m2k3 4 mk +
4 1 — v 2 3v k3 — m?k a4 — 2v5 -fvl-v m23,
0 9Fh
12 1 г 1 — v2 m 'Д —v2 k3—a2 2 — v 5— 1 —v2m2k3—vmik —
— 2v 1 — v 3 4- vm2,
0 9Fh
GX Гa21fe2 — m22 fe3 — — V 2 v m2k2 4 vm4 —
4 a2 4k6 — 4m24 41 — v2 л42J,
0 9Г,
G2 pziygя2 2 — 22 v2 — та2 — 2 4 v m22 4 4-
4 a2 4v6 — 2v 1 — v m24,
0 o opu
21 12 t -y-— d?mkk2 — m22 4 2 4 vk‘ —
— m2k — a2 j kb 4 vm2k3 j J,
0 9Fh
Ni i:-m2s - 2 -f-vm¥4 й 4
4 a2 4k1 — 2 2 — v m2kb 41 — v m43 2 — i a2m k2 — m23 l-v2 v 4 —3 л22 4
я4 cl2 2vk6 — v 1 — v m24, et -y jm2k2 4 v4 4 a2 — 1 Ууу m24 4
4 -jTr m42 4 4v4 — m2k2 J,
s2 -j- j— vm2k2 — 4 4 o2 £ 212_ vv- m24 —
- 4itV2 mi — 4fe4 —27lvvv2 та22—m4 j,
© --j2l 4v3 — a2-f--kb — 21 4vm23— уп4 —
— 4v3 T4m2A;’ к, 412 2 — rn22 4 a2 4k6 2 7_ m4 m42 J >
k2 4 j— 22 — m22 — 2 4 v и22 4 m4 4
4 a2 -j-4та24 — vn42J, т 772 — 22 2 v 3 — m2k ■— a2 £ t kb — vл23 J j.
ГЛ. 23
23.3.8)


ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ПО 0
341
Общий интеграл уравнения 23.3.2 записывается следующим образом:
8
Ф Afi f •
i
Из этого равенства в силу 23.3.7 вытекает формула
F =
Е A,Fme
L1
kfi
23.3.9)
Вместе с формулами 23.3.8 она определяет все компоненты напряженно-деформированного состояния оболочки, соответствующего m-у члену разложения 23.3.1, как комплексные функции действительных аргументов. Переход к действительной форме достигается обычными приемами и, не останавливаясь на подробностях, мы сформулируем окончательный результат.
Коэффициенты характеристического уравнения 23.3.6 действительны, и неизвестное k входит в него только в четных степенях. Отсюда следует, что 23.3.6 имеет только два существенно различных корня
Pi “Ь iQit k2 — р2 23.3.10)
а остальные корни можно получить из них, меняя всеми возможными способами знаки при действительных числах qlt р2, q2. В соответствии
0 а)
с этим в формуле 23.3.9 величины FK1 в зависимости от у имеют только два существенно разных значения, которые мы обозначим так:
Fl aF -- фр, F2 dp -- фр.
о )
Остальные F получатся из этих двух должным выбором знаков при действительных величинах dp, 5, ару р.
Имея все это в виду, можно следующим образом записать действительные выражения для компонент напряженно-деформированного состояния оболочки, соответствующего т-у члену разложения 23.3.1:
Ф Сх sin q С2 cos q-Jz ePi£ -f- С3 sin q-- C4 cos q-J- ePt -j-
-f- C5 sin q2 -f- C6 cos q2ep -f- C7 sin q2 --
-f- C8 cos q2l ерЦ cos m0, 23.3.11)
U oujC 1 2 sin q -- фихС -- 2 cosi ePt --
ихСз pWlС4 sin q -- РМ1Сз xUlC cos ePt -j-
Vsufib Рб sin q2 -j- Pmis -4“ илСб cos q2fz ep-j-
4- — dUlC7 p'WiC8 sin q2l XC7 — dUiC8 cos q2 ерЦ cos m0, 23.3.12)
u2 a„2Ci — pC2 sin qil P'tCi aC2 cos e +
H- ам8з P24 sin qil- -- Р2Сз -- ocW2C4 cos epi --
“f Рм2Сб sin q2£, -- Pm25 -f- Qbufid cos 2S --
27 Ри2Св sin 2 -f- — p2C7 +
d'u2C8 cos g2 sinm0. 23.3.13)
Здесь Cj — новые произвольные константы.
Выписаны формулы только для трех величин Ф, и1у и2. Остальные формулы идентичны. Надо только иметь в виду следующее.
Множители cos mQ должны ставиться при следующих величинах:
Иь w Т19 ТШ9 Glt G2, Nlt 8lf e2, и1э xa. 23.3.14)


342
ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
ГЛ. 23
Они характеризуются тем, что в соответствующие формулы 23.3.8 не входит явно мнимая единица i. Множитель sin тд должен ставиться при величинах
Ыа, S21, S12, 21, 12, 2, ю, т, 23.3.15)
у которых в правых частях равенств 23.3.8 есть общий множитель i. По формулам вида 23.3.12 должны строиться величины
ы3, W, 7, Г2, Gb G2, N2, ех, е2, хх, х3, 23.3.16)
для которых правые части формул 23.3.8 — четные функции k. По фор¬
мулам 23.3.13 должны строиться величины
1, 21 12, 21, 12, 1 23.3.17)
для которых правые части формул 23.3.8 — нечетные функции k.
Формулами вида 23.3.11—23.3.13 определяется только часть напряженно-деформированных состояний, соответствующих т-у члену разложения 23.3.1. Остальная часть может быть получена, если в 23.3.11—
23.3.13 множители cos тв и sin m0 поменять местами: ставить sin т0 при величинах 23.3.14 и cos m0 при величинах 23.3.15. Это связано с тем, что формулами вида 23.3.11—23.3.13 определяется симметричное относительно образующей 0 0 напряженно-деформированное состояние круговой цилиндрической оболочки, а взаимная замена множителей cos m0 и sin m0 соответствует переходу к обратно-симметричному напряженно- деформированному состоянию.
§ 4. Применение тригонометрических рядов по переменной |
Возможен и другой метод интегрирования разрешающего уравнения
23.2.8, основанный на разложении в тригонометрический ряд по переменной Зададим Ф £, 0 в виде
оо
ф S 'Фт 0 sin Хт 23.4.1)
т1
кт — константа, которая будет выбрана ниже.
После подстановки m-го члена этой суммы в 23.2.8 и сокращения на sin получим последовательность таких обыкновенных дифференциальных уравнений:
-ф- - 4 - 2 -ф- 6 а 1 - v2 Хт _ 8Гт 1 4 -
— 4 1 а2 XI — 8 — 2v2 Я, 4Хт +
-f- 1 -- 4а2 -j- 1 v2 -- 4 Хт j im 0. 23.4.2)
Для подсчета перемещений можно воспользоваться равенствами 23.2.7. В результате перемещения также выразятся рядами
ОО 00
' £ Ulm 0 cos Хт1, и2 Uzm 0 sin Xml,
m0 m1
CO
U S WmQsinXm£, 23.4.3)
m1


ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ПО |
343
в первом из них суммирование начинается с пг 0 по причинам, которые выяснятся ниже. Коэффициенты рядов 23.4.3 выражаются через фт так:
II d2tym лзл п2 Г 1 v 2 — v з d2tym
vl m — vAmlpm CL I pj
„2 Г 2 2 — v dtym 4 3v -j- v2 n, 2 d?tym P'tym o0 A ^
— a L '1 —V 1_V J 23A4>
Fm Ж— 2?l2m -ф- +
I у2 h4 ill 2v V2 A 2 rf2,v?m I
a 4шфш -j— +
Усилия, моменты, компоненты деформации и углы поворота с помощью соотношений §23.1 можно также без труда выразить через ряды вида 23.4.3. Формулы для коэффициентов этих рядов громоздки, и их приводить не будем. Заметим только, что величины ul9 S21, S12, H21, H12 и N± будут при этом разложены в ряды по косинусам, а величины и2, w, Tlt Т2, Gb G2, N2 — в ряды по синусам. Отсюда, между прочим, вытекает, что ряды для первой группы величин оказываются неполными — в них отсутствуют слагаемые, отвечающие m 0. Это связано с тем, что для потенциальной функции Ф использовано разложение 23.4.1, в котором соответствующий член отсутствует. В дальнейшем считается, что т пропорционально т, поэтому было бы бессмысленно начинать ряд для Ф с нулевого члена, но к разыскиваемому решению надо присоединить еще одно, в котором и, S21, S12, 21, Я12, являются функциями одного 0, а остальные перемещения, усилия и моменты равны нулю. При помощи уравнений 23.1.7, положив в них X Y Z 0, мы без труда найдем такое напряженное состояние. Соответствующие перемещения будут
щ Сг-- С20, и2 0, w 0, 23.4.5)
откуда по формулам 23.1.5 получим:
Тг Т2 Ог G2 H2i Н12 Ni N2 0,
S2i Su ,12L c2. 23.4.6)
Будем строить напряженно-деформированное состояние оболочки, соответствующее пг-у члену разложения 23.4.1. Тогда для функции фт надо решать уравнение 23.4.2. Перепишем его еще раз, отбросив в коэффициентах величины порядка а2 по сравнению с величинами порядка единицы и опуская индекс m при и ф,
-£f—№-2-£4 fa-8l 1---
— 4Хе — 8 — 2v2 X 4Я2 - я8 -LL Я4 Ф 0 23.4.7)
iа2 — большое число, однако в коэффициенте при ф сохранены оба члена, так как пока не сделано никаких предположений относительно значений, которые может принимать X.


344
ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
ГЛ. 23
Решение 23.4.7 — линейного уравнения с постоянными коэффициентами — ищем в виде
ф Ае Л, х— константы 23.4.8)
и для определения х получаем характеристическое уравнение
х8 — 4Х2 — 2 х6 6№ — 8Х2 1 х4 — 4А,6 — 8 — 2v2 Я,4 4А2 х2 +
8-Ц-4 0’ 23А9)
корни которого отличны от нуля всегда, за исключением не представляющего интереса случая X 0.
Дальнейшие выкладки строятся так же, как в § 23.3, и не требуют подробных пояснений. Напряженно-деформированное состояние, соответствующее решению 23.4.8, записываем в виде
о спя F AFeе XI
sm
о
Здесь под F, как и раньше, подразумевается любое из перемещений, усилий или моментов; символ cos относится к случаю, когда под F подразумеваются величины
S21, S12, 21, 12, 1, 23.4.10)
символ sin относится к случаю, когда под F подразумеваются величины
ы2 w, Ти Т2, Glf G2, N2, 23.4.11)
о
выражения F — разные для разных F — определяются следующими формулами:
иг — vA,3 -f- А,х2 — а2 £ “Ь —
--г-И.
1 —V J ’
и2 — 2 -f- v А,2х -- х3 — а2 £ 2 2_ А,4х — 4 v - А,2х3 х5 J ,
ш А2 — х22а2 4А4 — 227Д-—2х2 х4 ,
T1 TL b22 тД, 2 — V А4х2 - 1 - V2 А2х4 -
— vx6 —I— 2v 1 — v А2х2 — vx4l,
• 23.4.12)
T, A4 4 - v2 A4x2 4A2x4 -
— x6 — 41 — v2 A4 -f- 4AV — x4 j,
sn Я.5х 1 — v2 A3x3 — Ax5 +
-- 1 —v 2 -j- 3v A3x—Ax3 -—t 7'v'2 ' 2vA5x — v 1 — v A3x3j,
-Sia — -Щ?- a3x -f 12 — v A5x — 1 — v2 A3x3—
— vAx5 -j- 2v 1 — v A3x — vAx3 j,


ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ПО |
34S
£ TV а2 — № — и22 А-2 — vx2 — v 2 v A.V +
vx4 4- 2а2 — 2Я6 2А,4х2 LL JlV ,
4 - -га3 i-22 К2- к2-2 v Гх2 х4 +
__ а2 —4v6 2v 1 — v Я-4х2 ,
О 0 OFh (
я21 я12 а2 ,х X2- х22- 2 V ЯЛе Лх3- 23.4.12-
а2 jlrv — vA.3x3 Л,
0 9Fh
N1 r 1 v2j а 2 и23 2 v А,32 А,х4 -J-
а 4Я;7 _ 2 2 — v 5х2 1 — v Х3х4,
Л2 — г j v2 1 х 2 23 “Ь 1 v 2 v А,4х—
— ЗА,23 х5 а2 —2vA,6x -f- v 1 —v Я4х3.
Общему интегралу уравнения 23.4.7 соответствует напряженно-деформированное состояние, записываемое в комплексной форме так:
F j Я V® “s Я. 23.4.13.
Для перехода к действительной форме записи можно поступить так же, как в § 23.3. Характеристическое уравнение 23.4.9 имеет действительные коэффициенты и содержит только четные степени неизвестного к. Поэтому оно имеет только два существенно различных корня
i i Vi, n2 i2 iv2. 23.4.14)
Им в формуле 23.4.13 соответствуют два существенно различных значения величины FW
Fl dF ibF, F2 aF ibp. 23.4.15)
Учитывая это, получим следующие действительные формулы, определяющие напряженно-деформированное состояние для m-го члена разложения 23.4.1:
Ч? Сг sin vx 0 4-С2 cos VjG ев 4- С3 sin vx0 С4 cos vx0 e-Q 4-
C5 sin v20 C6 cos v20 e° C7 sin v20 C8 cos v20 eQ sin 23.4.16>
U bUtC2 sin vi0 —j— ЬцхС -j— cf'Ux2 cos Vi0 -j—
“I- utCz 4“ 14 sin vi0 — butCs — uxa cos vi0 e-“
“f“ tix5 bUlCo Sin V20 4“ but5 4“ ихб COS V2 0 £20 -j-
4-7 4-08sinv20 — b'utC7 — fl£fC8cosv20 g, 23.4.17.
u2 HKA — b'u2C2 sin Vi0 4- b’ufii 4- a'UtC2 cos vi0 eQ +
4 — ctufiз 4 bU2C sin V10 — — bUzCз 4 ttufi4 cos vi0]
H“ 25 bufio Sin V20 4“ bu25 4 Яи2Сб COS V20 4“
sin
1— flufii -j bUiC sin V20 bufi'i 4- a„2c8 cos v_0 ew'20 23.4.18»


-346
ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
ГЛ. 23
Эти формулы, в которых Cj — произвольные действительные константы, выписаны только для трех величин. Остальные формулы имеют такую же структуру. Равенствами вида 23.4.17 надо пользоваться при построении величин
иь w, Тъ Т2, Git G2, Nb
для которых в правые части 23.4.12 корень входит в четных степенях. Равенствами вида 23.4.18 надо пользоваться при построении величин
2 21 1'2 -21 -12 2»
для которых в правые части 23.4.12 корень к входит в нечетных степенях. Знак cos надо брать для величин 23.4.10, знак sin — для величин 23.4.11.
§ 5. Расчет замкнутой круговой цилиндрической оболочки в тригонометрических рядах по 0
Пусть расчету подлежит замкнутая круговая цилиндрическая оболочка, ограниченная двумя поперечными краями и 2- В этом слу¬
чае при интегрировании дифференциальных уравнений теории круговых цилиндрических оболочек, помимо граничных условий на поперечных краях, надо учитывать условия возврата, т. е. требование, чтобы после обхода контура поперечного сечения некоторые усилия, моменты, перемещения и углы поворота вернулись к прежним значениям. В связи с этим для исследования замкнутых цилиндрических оболочек широко используется метод тригонометрических рядов по переменной 6, так как в нем условия возврата очевидно выполняются в каждом отдельно взятом члене разложения. Схема такого расчета заключается в следующем.
Примем, для конкретности, что в числе граничных условий, которые надо выполнить на поперечных краях оболочки, содержится требование
щ — и при £ 23.5.1)
где и и 6 — заданная функция 6 если граничное условие однородно, то надо положить и 0. Тогда представим и1 в виде
со
1 2 V'im I cos tnQ Ulm I sin m0 +
m0
CD
2 U'im £ cos m0 Jm I sin m0, 23.5.2)
m 0
считая, что первая сумма есть общий интеграл однородных уравнений
23.1.7, а вторая—частный интеграл неоднородных уравнений 23.1.7. Функции Um и Uim находятся для каждого т, как показано в § 23.3, и содержат произвольные константы интегрирования. Функции Um, Um надо считать заданными, так как частный интеграл предполагается известным чтобы получить ит, Uim, вообще говоря, надо частный интеграл разложить в тригонометрический ряд, но, как правило, частный интеграл также ищется в виде тригонометрических рядов, и эти функции мы получаем сразу.
Представим правую часть условия 23.5.1 в виде
со
и Uirn COS 710 4- Ulm Sin 710
Во1 J 23.5.3)
Jim, Jm — заданные константы,


ОТКРЫТАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА
347
подставим 23.5.2 и 23.5.3 в 23.5.1 и потребуем, чтобы обращались в нуль коэффициенты при каждой функции sin m3 и cos п0 в отдельности. Получим для каждого т два равенства
U'lm El Um El Uim, Um El U'im Um.
Такие же пары равенств можно составить и для всех восьми граничных условий, которые должны быть выполнены на поперечных краях. В результате для функций вида Umj Um получится при любом т две системы уравнений, каждая из 8 линейных алгебраических уравнений. Их можно выполнить за счет констант, входящих в полученные выше решения 23.3.12 и 23.3.13. Таким образом, расчет замкнутой круговой цилиндрической оболочки в тригонометрических рядах по 0 можно строить так, что в каждом отдельно взятом члене разложения будут выполняться и условия возврата при обходе контура поперечного сечения, и граничные условия на поперечных краях.
Разумеется, тригонометрические ряды по 0 можно применять и для других задач, но для конкретности мы будем в дальнейшем трактовать интегралы, полученные этим методом, как решения, определяющие напряженно- деформированное состояние некоторой замкнутой круговой цилиндрической оболочки.
§ 6. Расчет открытой круговой цилиндрической оболочки
в тригонометрических рядах по £
Разложение в тригонометрические ряды по продольной переменной мы будем применять к расчету открытых имеющих прямолинейные края круговых цилиндрических оболочек и будем требовать, так же как при расчете замкнутых оболочек, чтобы граничные условия удовлетворялись в каждом члене разложения в отдельности. Это возможно только в тех случаях, когда на поперечных краях осуществлены некоторые определенные закрепления, из которых практический интерес представляют шарнирные опоры. Только их мы и будем в дальнейшем иметь в виду. Это значит, что на поперечных краях оболочки £ £а должны выполняться
граничные условия § 5.33)
7 0, и2 0, w 0, Gi 0. 23.6.1)
Будем считать, что частный интеграл неоднородных уравнений круговой цилиндрической оболочки известен1и соответствующие перемещения, усилия и моменты разложены в тригонометрические ряды по переменной , так что, в частности
Ты S t sin Xml,
т\
со
Wo Sin Xml,
m1
Это решение в каждом члене разложения будет при h и 2 удовлетворять граничным условиям 23.6.1, если принять, что li 0, 2 Hr I—длина оболочки, и определить Хт формулой
Xm aL. 23.6.3)
Граничным условиям на прямолинейных краях 0 0Х и 0 02 решение 23.6.2, вообще говоря, удовлетворять не будет, и для ликвидации
20 — U2т Sin
т1
G10 — S Sim sin
m1
23.6.2)


348
ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
ГЛ. 23
этой невязки к нему надо прибавить общий интеграл однородных дифференциальных уравнений теории круговых цилиндрических оболочек. Его можно также искать в форме
— любая из неизвестных функций теории оболочек.
Тогда для каждого отдельно взятого члена разложения получится задача, рассмотренная в § 23.4. Нетрудно видеть, что в силу формулы 23.6.3 полученные там решения также удовлетворяют граничным условиям 23.6.1 и, значит, восемь констант, содержащихся в них при каждом т. можно использовать для выполнения граничных условий на прямолинейных краях 0 0Х и 0 02.


ГЛАВА 24
ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
§ 7. Свойства корней характеристического
уравнения 23.3.6)
Задача построения напряженного состояния, соответствующего т-у члену разложения потенциальной функции в тригонометрический ряд по 0, принципиально решена до конца. Однако полученные формулы слишком громоздки, и в дальнейшем нашей главной задачей будет упрощение выведенных в предыдущих параграфах соотношений за счет отбрасывания второстепенных членов. Для этого прежде всего надо изучить корни характеристического уравнения.
Коэффициенты характеристического уравнения 23.3.6 зависят от трех параметров: a, m, v. Параметр а определяется формулой 23.1.6. Для тонкой оболочки он всегда мал, и можно принять, что
1 а0. 24.7.1)
Параметр т принимает только неотрицательные целые значения. Область его изменения определяется неравенствами
О m оо. 24.7.2)
Коэффициент Пуассона v изменяется в малых пределах и оказывает
незначительное влияние на величину коэффициентов характеристического
уравнения 23.3.6. Поэтому в дальнейшем мы будем считать, что а и т могут меняться в пределах, ограниченных неравенствами 24.7.1 и 24.7.2, a v всегда сохраняет фиксированное значение.
Для упрощения выкладок и рассуждений примем, что в каждом отдельно взятом коэффициенте характеристического уравнения 23.3.6 можно отбросить величины порядка а2 по сравнению с величинами порядка единицы, и вместо 23.3.6 будем рассматривать несколько более простое уравнение
г _ 4m2fe6 6m4£4 _ 8 _ 2v2 rrfk 1 — v2 а2г4 —
— 4т2 т2— I2 U2 4- т4 т2 — I2 0. 24.7.3)
Параметр т в левой части этого уравнения удобно представить в виде
га ?2а-ц, 24.7.4)
считая, что 72 — число, мало отличающееся от единицы, ар, — новый параметр, удовлетворяющий неравенствам
0 р, С оо
отрицательные значения р, исключаются из рассмотрения; им соответствует случай, который будет изучен другим методом.


350
ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ ГЛ. 24
Помножим уравнение 24.7.3 на а заменим в нем т по формуле
24.7.4, a k по формуле
k a-sx, 24.7.5)
и запишем полученный результат так:
Лъ'х? -— Ав6 -— А4 -j— А4 -— А£ х4 Лз -— Л2 -— Л2 х2 --
Л0 Л6 Ло' 0, 24.7.6)
где
А 8 a- 8s, Л6 — 4ma_6s“2, Л4 — 8 — 2v2 т2а4s_2,
Л' 6т4 а-45-4, Л 1 — v2 a-“4s-2, Л2 — 4 ma-2s—\
24 7 7V
л; 8mJa-2s“4, л; — 4m2 a-2s-i, Л0 и® а-®-', 1 ‘ '
Л' — 2maQt, Ло т4а_4м/
и s — пока произвольные числа. Каждый из коэффициентов Л содержит в качестве множителя некоторую степень малого параметра а показатели всех этих степеней выписаны в первой строке нижеследующей таблицы.
Задачу исследования корней характеристического уравнения 24.7.3 поставим так: найти, с какими степенями а соизмеримы модули корней k при а — 0 в зависимости от значений параметра р. Это значит, что надо найти в формуле 24.7.5 те значения s, при которых величина х стремится к конечному и отличному от нуля пределу, если а — 0.
Как известно, корни алгебраического уравнения являются непрерывными функциями его коэффициентов при всех таких значениях коэффициентов, при которых эти корни определены. Поэтому, если какой-либо корень уравнения 24.7.6 имеет при а — 0, как мы предполагаем, конечный предел, то этот предел будет равен корню предельного уравнения конечно, если последнее не обращается в тождество. Учитывая это, будем искать такие значения t и s, при которых уравнение 24.7.6 после перехода к пределу при а — 0 имеет конечные и не равные одновременно нулю коэффициенты.
Подбор таких значений t и s не представляет принципиальных трудностей, но связанные с ним кропотливые рассуждения мы излагать не будем их можно найти, например, в 85. Уточним только требования, которые надо выполнять при подборе значений t и s.
Пусть фиксировано р р и выбрана некоторая комбинация показателей t f и s s'. Внесем р, ', s' в 24.7.6 и подсчитаем во всех коэффициентах А показатели при а. Комбинацию t s' надо считать правильной для р р, если, _во-первых, в 24.7.6 существует по меньшей мере два коэффициента, в которые а входит в нулевой степени, и, во-вторых, во всех остальных коэффициентах если они есть степени а положительны. Действительно, отсутствие в коэффициентах отрицательных степеней а означает, что переход к пределу при а — 0 сводится просто к отбрасыванию в уравнении 24.7.6 всех таких членов, в коэффициенты которых входят положительные степени а. В результате получится предельное уравнение, содержащее по меньшей мере два члена. Оно заведомо имеет некоторое число г' не нулевых корней конечно, считается, что в предельном уравнении сохранились два члена с разными степенями х. Это значит, что при р р комбинации Г, s' соответствует г' таких корней уравнения 24.7.6, асимптотика которых определяется равенством 24.7.5 при s s'. Нулевые корни предельного уравнения, разумеется, сохранять нельзя. Поэтому, если предельное уравнение допускает сокращение на некоторую степень х, то такое сокращение является не только допустимым, но и обязательным.


Показатели степеней а
Ас
■ 8s t
— 6s—2i t
A4
— 4s —
— 2i t
— 4s —
— 4i t
_4s_2/
— 2s—61 t
— 2s — — 4fit
— 2s — — 2x t
Ao
— 8i 1
— 6jLt j— t
-4i f
t0 s — V2
t 4
1—21
2 — 21
2 — 4p
3 — 61
3 — 4i
3 — 2i
4 — 8i
4 — 61
t — 4i
t 81 s — V2 21
4 — 81
3 — 6i
2 — 21
2 — 4i
1 —2i
1 2i
21
4i
t 81 s 1
2i
-2 4i
2i
21
4X
GO
СЛ
КОРНИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 23.3.6)


352
ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ 1ГЛ. 24
Число г' может оказаться меньшим, чем степень уравнения это произойдет в том случае, если не все корни исходного уравнения имеют одинаковую асимптотику. Тогда должны существовать другие правильные комбинации t t s s, и в совокупности ими определится асимптотика всех корней уравнения. Исключение представляет только случай, когда при данном л исходное уравнение 24.7.3 имеет нулевые корни, так как они отбрасывались.
При подборе значений t, s будем различать четыре случая.
Случай I: р 0. При этом существуют две правильные комбинации значений t, s:
a t 0, s —Va, б t 4, s V2. 24.7.8)
Отвечающие им показатели степеней а в коэффициентах А помещены во второй и третьей строках таблицы показателей в третьей строке надо положить fx 0. Выбранные значения удовлетворяют сформулированным требованиям, и нетрудно записать соответствующие им предельные уравнения. Для этого в 24.7.6 надо оставить только те члены, для которых во второй и третьей строках таблицы получились нулевые значения. Получим
1—v2x4 m4m2 —12 0 s —V 1 0, 24.7.9)
X4 1 — V2 0 s Va, II 0 24.7.10)
второе из этих уравнений, в соответствии со сказанным выше, сокращено на х4.
Случай И: 0 р V2. При этом снова существуют две правильные комбинации значений t, s:
г t 8jli, s — Va 2x, 6 f 4, s V. 24.7.11)
Отвечающие им показатели а помещены в четвертой и третьей строках таблицы показателей. Просмотрев их, замечаем, что они обладают нужными свойствами, в силу неравенства р V2. Предельное уравнение, соответствующее комбинации а, записывается так:
1 v2 х4 -f- 0 s V2 Ч-2jx, 0 V2 24.7.12)
а комбинации б соответствует предельное уравнение 24.7.10.
Случай III: i V2. При этом существует только одна правильная комбинация значений t, s
t 4, s V2. 24.7.13)
Ей соответствует четвертая строка таблицы показателей, в которой надо положить I V2, а предельное уравнение записывается так:
х2 — т24 1 —2 и4 0. 24.7.14)
Случай IV: jn Vg. При этом единственной комбинацией t, s будет
t 8fx, s fx. 24.7.15)
Ей соответствует пятая строка таблицы показателей, а предельное уравнение имеет вид
х2 —т24 0. 24.7.16)
Асимптотика корней характеристического уравнения 24.7.3 построена. Сформулируем результаты.
1°. При 0 fx V2 случаи I и II корни характеристического уравнения разделяются на две группы. К первой из них относятся корни, которые мы назовем малыми; их асимптотика определяется равенствами


КОРНИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 23.3.6)
353
24.7.5, 24.7.8а, 24.7.11а и записывается так:
012-21, 0 sg Х 12.
Ко второй группе относятся корни, которые мы назовем большими; их асимптотика определяется формулами 24.7.5, 24.7.86, 24.7.116 и записывается так:
k 0 а_12.
2°. При р х2 случаи III и IV все восемь корней имеют одинаковую асимптотику, вытекающую из формул 24.7.5, 24.7.15. Она записывается так:
k О аи.
Замечание. Малые корни при а оо безгранично уменьшаются по модулю при ш х4 и
безгранично растут при иСД Называя их малыми мы подчеркиваем, что они по модулю мень¬
ше больших корней пока ы 12.
Предельные уравнения можно, конечно, использовать и для приближенного подсчета корней характеристического уравнения. Выразим в предельных уравнениях к и т через k и т по формулам 24.7.4, 24.7.5 и примем во внимание равенства, указанные в скобках для некоторых из предельных уравнений. Тогда после очевидных преобразований получим равенства: при р, О
1 — v2 fe4 а2т4 т2 — I2 О, 24.7.17)
k —— 0, 24.7.18)
при 0 р У 2 при pi V2
при р V2
1—v264 --я2п8 0, 24.7.19)
,k2 — тУ Х k4 0, 24.7.20)
k2 — тУ 0, 24.7.21)
которыми при соответствующих значениях р определяются приближенные значения корней характеристического уравнения 24.7.3.
Можно построить итерационный процесс для беспредельного уточнения результатов, вытекающих из равенств 24.7.17—24.7.21. Принципы его изложены в статье 851. Мы не будем описывать здесь этот процесс и сформулируем только вытекающий из него метод определения асимптотической оценки погрешностей уравнений 24.7.17—24.7.21.
Структура предельных уравнений, а следовательно, и обсуждаемых уравнений, определяется таблицей показателей стр. 351. В предельное
уравнение входят только те члены левой части равенства 24.7.6, в которых показатель степени а равен нулю. Для определения асимптотической погрешности надо найти в данной строке наименьшую ненулевую степень а. Пусть это будет число X в таблице числа X обведены рамкой. Тогда относительная асимптотическая погрешность уравнения, отвечающего этой строке, будет задаваться формулой
е О аяр,
где р — кратность рассматриваемого корня, вычисляемого по приближенному уравнению.


354
ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ ГЛ. 24
Рассмотрим, например, уравнение 24.7.19. Оно имеет силу при 0 3 р У 2 и получено из предельного уравнения 24.7.12, а при выводе последнего мы исходили из четвертой строки таблицы показателей. В этой строке взяты в рамку два числа, так как при разных р наименьшие отличные от нуля цифры будут разными. А именно,
I 2i при 0 i V4, k 1 — 2р, при V4 ii V2.
Отсюда следует, что относительную асимптотическую погрешность уравнения 24.7.19 можно выразить так:
s О а21 О т2 если О Ц 4 4 7 22)
8 0 а12 О am2, если V4 jn 12.
Так же находим и относительные асимптотические погрешности других приближенных уравнений. Они выражаются так: для уравнения 24.7.17 согласно второй строке таблицы
8 0а1, 24.7.23)
для уравнения 24.7.18 согласно третьей строке таблицы
8 0 а1-2 О am2 0 jы V2, 24.7.24)
для уравнения 24.7.20 согласно четвертой строке таблицы при р V2)
8 0a ц 1а, 24.7.25)
для уравнения 24.7.21 согласно пятой строке таблицы
s oa0L-. 24.7.26)
У а т )
При выводе этих формул принято во внимание, что корни уравнений
24.7.17—24.7.20 однократны, а все корни уравнения 24.7.21 четырехкратны.
Точность каждого из выведенных здесь упрощенных уравнений будет, конечно, падать по мере приближения р к границе тех значений, которые допустимы для данного уравнения. Вместе с тем одному и тому же значению р могут соответствовать различные варианты приближенных характеристических уравнений, и оказывается, что их всегда можно выбирать так, что погрешность останется достаточно малой. Чтобы показать это, надо уточнить некоторые результаты, относящиеся к уравнениям 24.7.17 и
24.7.20.
Уравнение 24.7.17 и отвечающая ему оценка погрешности 24.7.23 получены в предположении, что р 0. При таком значении р погрешность
24.7.17 имеет порядок а, и очевидно по непрерывности, что это уравнение должно иметь силу и при р 0. Имея в виду показать это, заметим, что вторая строка таблицы показателей стр. 351, определившая структуру уравнения 24.7.17, может быть получена из четвертой строки, если в последней положить р 0. Поэтому уравнение 24.7.17 можно получить и из четвертой строки таблицы показателей. Для этого надо сохранять не только те слагаемые, для которых в соответствующей клетке стоят нули, но и те, в которых в соответствующей клетке получится нуль при р 0. Исходя из этого, можно найти и оценку погрешности уравнения 24.7.17. Степень а, характеризующая порядок этой погрешности, равна наименьшему из таких чисел четвертой строки, которые не только отличны от нуля, но и не обращаются в нуль при jit 0. Числа 1—2р и 2р были взяты в четвертой строке в рамку потому, что при 0 х V2 одно из них оказывается


КОРНИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 23.3.6)
355
меньше всех других, отличных от нуля чисел этой строки. Но число 2ц при ц 0 обращается в нуль. Следовательно, соответствующий ему член характеристического уравнения уже учтен в 24.717. Отсюда вытекает, что погрешность обсуждаемого уравнения определяется числом 1—2ц, т. е. формальная область применимости уравнения 24.7.17 ограничена неравенством 0 ц V2, а его асимптотическая погрешность определяется формулой
обобщающей оценку 24.7.23.
Перейдем к уравнению 24.7.20. Его структура была определена цифрами, получающимися при ц V2 в четвертой строке таблицы показателей. При этом обратились в нуль числа, стоящие в столбцах Л8, Aq, А, А, Л2, А о, и соответствующие им члены вошли в обсуждаемое приближенное характеристическое уравнение. Не обращаются в нуль при ц V2 в четвертой строке следующие выражения:
Из них наименьшим при ц V2 является выражение 2ц, а при ц У2 — выражение 2—2ц. Отсюда следует, что оценка погрешностей уравнений
24.7.20 выражается соотношениями
обобщающими формулу 24.7.25.
Итак, мы имеем пять вариантов приближенных характеристических уравнений 24.7.17—24.7.21, погрешности которых оцениваются соответственно формулами 24.7.27, 24.7.24, 24.7.22, 24.7.28 и 24.7.26.
Сопоставляя эти оценки и выбирая для каждого ц наилучшие в смысле погрешностей варианты, можно сформулировать следующие результаты:
1 При 0 ц V4 наилучшую точность дает пара уравнений 24.7.17,
24.7.18,
2 при У4 ц 5 б6 наилучшую точность дает единое уравнение
24.7.20,
3 при 56 3 Ц 3 1 наилучшим является единое уравнение 24.7.21,
4 при ц У4 одинаково точными оказываются три варианта: пара уравнений 24.7.17, 24.7.18, пара уравнений 24.7.19, 24 7.18 и единое уравнение 24.7.20. Предпочтения, конечно, заслуживает пара уравнений
24.7.19, 24.7.18 как наиболее простая; ею рационально пользоваться и в случаях, когда ц мало отличается от V4, хотя это и сопровождается некоторой потерей точности.
В заключение настоящего параграфа отметим, что из всех членов, входящих в левую часть характеристического уравнения 24.7.3, только один, а именно член 8—2v2 m24, не вошел ни в одно из приближенных соотношений 24.7.17—24.7.21. Поэтому не представляет труда выписать и единое приближенное характеристическое уравнение, пригодное для вычисления всех корней при всех значениях ц. Оно имеет вид
к8 — 4m2kG 6m44 I — v2 а24 — 4m2 m2 — I2k2 -- m4 rri2 — 1 2 0.
e О al2 О am2,
24.7.27)
2 — 2ц, 1, 12ц, 2ц, 4ц.
24.7.28)
е 0 а22 — О а2т2, 12 ц 1,
24.7.29)
Это уравнение предложено в монографии 98. Его можно рассматривать как наилучший вариант универсального приближенного уравнения характеристического уравнения, так как оно содержит все слагаемые,


356
ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ ГЛ. 24
которые являются главными хотя бы при одном из возможных значений т, ив нем нет ни одного второстепенного при любых т слагаемого.
В уравнении 24.7.29 отброшено слагаемое, которое в 24.7.6 обозначено через Л4. Поэтому не представляет труда оценить погрешности уравнения 24.7.29. В соответствующем столбце таблицы показателей проставлены выражения 2, 2—р и 2р. Последнее из них находится в строке, отвечающей случаю, когда р V2. Поэтому наименьшие значения имеет выражение 2—2р, а следовательно, погрешности уравнения 24.7.29 имеют порядок
е ? О а22 О а2т2.
В части VI мы убедимся, что существенно уменьшить эту погрешность можно, только уточнив исходные уравнения теории оболочек.
Уравнение 24.7.29 значительно сложнее любого из приближенных уравнений 24.7.17—24.7.21. Это еще раз подтверждает ту мысль, что в теории оболочек существенных упрощений можно добиться лишь на пути введения разумной классификации задач и составления приближенных методов расчета для каждого класса задач в отдельности.
§ 8. Нулевые корни и их физический смысл
При т 0 и т 1 и только при этих значениях характеристическое уравнение 24.7.3 имеет нулевые корни, причем кратность каждого из них равна четырем. Это значит, что при т 0 и т 1 четыре частных решения 23.3.5 уравнения 23.3.2 выродятся в решения вида
Ф1, ф £, Ч 1 Ф£3.
Таким образом, разложение потенциальной функции Ф в ряд 23.3.1 будет содержать следующие слагаемые:
Ф Ао АЦ АЦ2 АЦ3 +
56 Big ВЦ2 ВЦ3 cos 6 Во ВЦ ВЦ2 ВЦ3 sin 6 24.8.1)
А и В — константы; эти слагаемые надо рассмотреть особо, так как к ним формулы § 23.3 неприменимы.
Перемещения, отвечающие функции 24.8.1, определяются непосредственной подстановкой Ф Ф в формулы 23.2.7. Отбросив в этих выражениях а2 по сравнению с единицей, будем иметь
Ul 6 vAs В 2 ВЦ 3B6ga 6vBa cos 6 +
Bi 2ВЦ ЗВЦ2 6vBa sin 0,
u2 - 2 V 2B2 mi Bo ВЦ B£a Bag8 sin 0 +
2 v 2B'2 6ВЦ — Bo Big ВЦ2 ВЦ3 cos 0, (
w —2 2B2 6ВЦ -j- B6 -f- Big -f- ВЦ2 -f- B3E3 cos 0 -f-
f—2 2B2 mi Bo Big ВЦ2 Bag3 sin 0,
а соответствующие этим перемещениям усилия и моменты запишутся так:
9Fh
Tx f- 2В2 ЪВЦ COS 0 2B5 mil sin 0. T2 0,
Sit S12 — 6B3 Sin 0 — 6B3 COS 0,
-j-Gi a2 2B2 QB-il cos 0 22 6Щ sin 0, G2 0, 24.8.3)
-L я21 -J- Hn — va2 6Bi sin 0 — 6B3 cos 0,
Nx— 1 — v a2 6Bi cos 0 -j- 6B3 sin 0, N2 0.


НУЛЕВЫЕ КОРНИ И ИХ ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
357
Формулы 24.8.2, 24.8.3 целиком определяют напряженно-деформированное состояние оболочки, но, просмотрев их, можно заметить, что из 12 констант, содержащихся в 24.8.1, в формулах 24.8.2, 24.8.3 сохранились только 9. Постоянные Л6, Л, исчезли при дифференцировании, и возникает несоответствие между числом граничных условий и числом констант, которыми можно распоряжаться для их выполнения. Оно объясняется недостаточной общностью формул 23.2.7, связывающих перемещения с потенциальной функцией Ф. Ниже потерянные решения будут восстановлены.
Круговая цилиндрическая оболочка представляет собой частный случай оболочки вращения, поэтому здесь можно использовать некоторые общие соображения § 14.14. Одно из них заключается в том, что среди всех напряженно-деформированных состояний оболочки вращения, меняющихся по переменной 9 по закону 1, sin 9, cos 9, должны содержаться и шесть линейно независимых смещений срединной поверхности как жесткого целого. Пять из этих жестких смещений в формулах 24.8.2,24.8.3 легко обнаруживаются: они соответствуют константам Лз, Во, Во, В и В'ь так как последние содержатся в формулах 24.8.2 для перемещений, но не входят в формулы 24.8.3 для усилий и моментов. Нетрудно проверить, что константа Лз соответствует смещению в направлении образующей цилиндра, константы Во и Во соответствуют смещениям в направлениях осей г и у см. рис. 18, а константы В и В соответствуют жестким поворотам относительно осей z и у. Отсутствует, таким образом, только жесткий поворот срединной поверхности относительно оси х оси цилиндра. Ему должен был бы соответствовать интеграл
который, как нетрудно видеть, действительно удовлетворяет однородной системе уравнений 23.1.7. Это и есть одно из трех потерянных решений.
Перейдем к установлению физического смысла напряженных и деформированных состояний, связанных с константами В2, В2, В, В'з. Формулы
24.8.3 показывают, что обусловленные ими тангенциальные усилия Тг изменяются вдоль образующей по линейному закону, сдвигающие усилия S21 и S12 остаются постоянными, а усилия Т2 равны нулю. Именно такое решение получается по безмоментной теории, как мы имели возможность убедиться в § 13.1. Более того, можно убедиться, что первая, вторая и третья формулы 24.8.3 получаются, если рассмотреть замкнутую круговую цилиндрическую оболочку как балку.
Константы В'з и Вз отвечают поперечному изгибу оболочки-балки силами, направленными по осям у и z соответственно, а константы В2 и В'з — чистому изгибу оболочки-балки краевыми моментами с векторами, направленными по осям z и у соответственно. Таким образом, из всех элементарных напряженных состояний оболочки-балки отсутствуют напряженные состояния, соответствующие растяжению и кручению. Первому из них отвечает интеграл вида
Непосредственной подстановкой легко проверить, что 24.8.5, 24.8.6 удовлетворяют однородным уравнениям теории круговых цилиндрических
щ 0, и2 А0, w О,
24.8.4)
Тг — Лх, S21 — s12 — о, Т 2 — о,
24.8.5)
второму — интеграл вида
Тг — О, Sn — S12 — A2i Т2 — 0, иг — О,
24.8.6)


358
ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
ГЛ. 24
оболочек 23.1.1—23.1.3. Следовательно, 24.8.5, 24.8.6 и определяют еще два потерянных решения.
Итак, нулевые корни характеристического уравнения соответствуют двенадцати линейно независимым напряженно-деформированным состояниям. Шесть из них описывают смещения срединной поверхности как жесткого целого, а остальные шесть — напряженные состояния оболочки, работающей как балка.
Надо помнить при этом, что формальные выкладки, основанные на использовании потенциальной функции, не дают всех этих двенадцати напряженных состояний, и в общем случае необходимо использовать решения 24.8.4, 24.8.5 и 24.8.6 33.
§ 9. Анализ напряженного состояния замкнутой
цилиндрической оболочки
Дадим т определенное целочисленное значение и будем, для конкретности, считать, что речь идет о симметричном напряженном состоянии, определяемом формулами 23.3.11—23.3.13. Кроме того, воспользовав. шись свободой выбора корней kx и k2 в формулах 23.3.10, условимся назначать их так, чтобы их действительные части рг, р2 были положительны р 1 о, р2 0.
Положим в 23.3.11 произвольные константы С3, С4, С7 С8 равными нулю и, заменив 5 на —£х, перепишем эту формулу так:
Ф С1 sin q1 £ — х С2 cos qt £ — gx ePi 6_6‘ +
C5 sin q2 —gx C6 cos q2 g— x eP2 6-5, cos m0. 24.9.1)
Такую же структуру имеют формулы для любого перемещения, усилия и момента оболочки.
Речь идет об интегралах однородных уравнений. Это значит, что поверхностные силы отсутствуют и формулами вида 24.9.1 определяется напряженно-деформированное состояние, возникающее в результате воздействия на оболочку некоторой системы краевых сил, приложенных к поперечным краям оболочки напомним, что оболочка считается замкнутой в поперечном направлении. Примем, что поперечные края оболочки совмещены с линиями i, I g2 и что £2 £i-’ Тогда в правой части равенства
24.9.1 экспоненциальные функции будут монотонно убывать при удалении от края £ £1 в силу предположения о положительности р1у р2 и, если край £ 2 расположен достаточно далеко, то вблизи него интенсивность напряженно-деформированного состояния 24.9.1 станет практически равной нулю. Таким образом, можно считать, что формулами 24.9.1 задается напряженно-деформированное состояние замкнутой круговой цилиндрической оболочки, порожденное силами, приложенными к краю £ £1 при условии, что внутренним точкам оболочки соответствует неравенство
I i.
Равным образом, положив в 23.3.11 константы Си С2, С5, С6 равными нулю и заменив Е на —£2, получим для потенциальной функции Ф формулу
Ф С, sin qt £ —12 C4 cos qx g — g2 e. - +
C7 sin q2 g —ga C8 cos q2 g —ga ep cos 0, 24.9.2)
из которой вытекают формулы такой же структуры и для соответствующего напряженно-деформированного состояния. Оно будет убывать при удалении от края Б £2 в сторону £ Ба, и его можно рассматривать как напряженно-


НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ЗАМКНУТОЙ ОБОЛОЧКИ
359
деформированное состояние, вызванное силами, приложенными к краю
I н2.
Вспомним теперь, что корни характеристического уравнения 24.7.3 разделяются на большие и малые случай больших т, когда такое разделение не имеет места, пока исключается из рассмотрения, и условимся в связи с этим считать, что рг является действительной частью малого корня, а р2 — действительной частью большого корня. Тогда каждое из напряженно- деформированных состояний 24.9.1 и 24.9.2 естественно разбить на два и рассмотреть в связи с этим четыре вида потенциальных функций:
Ф 1С, sin ,—l1 C2cosq1l—У ePl 6“5l cosпЭ, 24.9.1a)
Ф Съ sin q2 I— £, -- C6 cos q2 — £x ep5-6, cosmG, 24.9.16)
Ф C3sini — i2 C4cos?2l — 2ePl 52_6 cosn0, 24.9.2a)
Ф C7 sin q2 £—12 C8 cos q2 £ —12 l cos m?. 24.9.26)
Напряженные и деформированные состояния 24.9.16 и 24.9.26 будут затухать значительно быстрее, чем напряженные и деформированные состояния 24.9.1а и 24.9.2а. Поэтому первые из них мы будем называть быстро затухающими, а вторые — медленно затухающими.
Краевые силы, порождающие напряженно-деформированные состояния 24.9.1 и 24.9.2, меняются вдоль поперечных краев по закону sin т9 или cos m0, и следовательно, при т 1 это будут самоуравновешенные воздействия см. § 14.13, и затухание вызванных ими напряженно-деформированных состояний согласуется с принципом Сен-Венана. При т О и т 1 и только при таких т краевые воздействия, порождающие напряженно-деформированные состояния 24.9.1, 24.9.2, могут оказаться статически несамоуравновешенными, но именно при т 0 и т 1 характеристическое уравнение 24.7.3 имеет нулевые корни, для которых формулы вида 24.9.1 и 24.9.2 теряют смысл. Таким образом, появление нулевых корней обусловлено физическим смыслом рассматриваемой задачи. Отсутствие их привело бы к противоречию, так как тогда получилось бы, что эффект приложения к краю статически неуравновешенной нагрузки
для достаточно длинной оболочки затухает в некоторой зоне, примыкающей к Е и не доходящей до £ 2. Оболочка в целом была бы не уравновешена. К этому надо добавить, что, как видно из формул § 24.8, при смещениях кругового цилиндра как жесткого целого компоненты перемещения меняются по £ по линейному закону, а по 0 остаются постоянными, либо меняются по закону sin 0 или cos 0. Поэтому если бы при т 0 и т 1 характеристическое уравнение не имело нулевых корней, то оказалось бы невозможным и смещение оболочки как жесткого целого. Таким образом, характеристическое уравнение 24.7.3 не только должно при т 0 и т 1 иметь нулевые корни, но кратность последних при каждом из этих значений т должна равняться четырем, так как только при этом мы получим в общей сложности двенадцать линейно независимых напряженных и деформированных состояний, соответствующих, как было пока- зано в § 24.8, всем шести перемещениям оболочки как жесткого целого и всем шести видам статически неуравновешенного загружения оболочки.
Замечание. Характеристическое уравнение 24.7.3 имеет нужное число нулевых корней только в том случае, когда уравнения состояния выбраны надлежащим образом.
Пусть теперь т больше единицы, но не настолько велико, чтобы было нарушено неравенство р V2. Тогда корни характеристического уравнения разделятся на большие и малые. Соответственно этому напряженно-


360
ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
ГЛ. 24
деформированные состояния, вызванные краевыми нагружениями, будут подразделяться на медленно затухающие и быстро затухающие.
Положим
Съ С6 С7 С8 0,
т. е. исключим из рассмотрения быстро затухающие напряженно-деформированные состояния 24.9.16 и 24.9.26 и заменим, не заботясь пока о точности, четыре малых корня нулями. Тогда для потенциальной функции вместо 24.9.1а и 24.9.2а можно написать
ф В0 В£ В2£2 ад cos п9. 24.9.3)
Такому Ф будет соответствовать некоторое напряженно-деформированное состояние, для которого тангенциальные усилия можно найти так, как описано в § 23.3. После отбрасывания величин порядка а2 и а4 для 7, Г2, S21 и S12 получатся такие формулы:
т2 2В2 -- 6В£ cos m0, Т2 0, S21 S12 mvC3 sin m 0.
Они являются частным случаем формул 13.1.7, полученных при расчете произвольной цилиндрической оболочки по безмоментной теории „ Отсюда следует, что при расчете оболочки по безмоментной теории мы приближенно определяем только медленно затухающие напряженные состояния. Быстро затухающие напряженные состояния при расчете по безмоментной теории выпадают, а малые корни характеристического уравнения заменяются нулями.
Пусть замкнутая цилиндрическая оболочка, которую мы хотим рассчитывать при помощи уравнений безмоментной теории, ограничена поперечными краями £ 0, £ Иг, где I — длина оболочки. Тогда о точности безмоментной теории можно судить по погрешности, с которой на интервале 0; I аппроксимируются потенциальные функции 24.9.1а и 24.9.2а выражениями вида 24.9.3. Обозначим через k любой из малых корней характеристического уравнения и выпишем известную формулу разложения экспоненциальной функции
е6 lTTili JT О01.
Переход от моментной теории к безмоментной равносилен предположению. что в правой части этого равенства может быть отброшено последнее слагаемое, или предположению, что
П4
4!
Величина k должна быть, следовательно, мала и, основываясь на этом, можно в левой части написанного неравенства отбросить экспоненциальный множитель, как мало отличающийся от единицы. Имея в виду оценить наибольшую погрешность, мы должны, кроме того, положить Иг. Отсюда
1. 24.9.4)
Мы здесь говорим о безмоментной теории для краткости. Точнее было бы говорить о расчете при помощи уравнений безмоментной теории, так как последняя § 7.3 предполагает использование не только определенных уравнений, но и определенных граничных условий, вопрос о которых здесь не затрагивается.


НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ЗАМКНУТОЙ ОБОЛОЧКИ
361
Можно принять, что малые корни k приближенно определяются уравнением 24.7.17. Внеся соответствующее этому выражение для г4 в 24.9.4 и раскрыв в нем а2 согласно 23.1.6, получим сильное неравенство
I2 4 J 24 9 5)
3-41 1 — v2 ”6 А’ уж.Ч.О)
которое определяет область применимости безмоментных уравнений при
расчете замкнутых круговых цилиндрических оболочек. Оно представляет
собой частный случай второго из двух сильных неравенств 12.31.9, играющих ту же роль, что и рассматриваемые неравенства, в теории цилиндрических оболочек произвольного очертания. Действительно, в соотношениях 12.31.9 под р подразумевается характерный радиус кривизны цилиндра, и можно положить р г. Оператор М для круговой цилиндрической оболочки принимает вид
., 1 д4 , д2 \
М до '
а так как мы пользуемся тригонометрическими рядами по 0, то надо считать, что t0 a cos п0 а const, откуда следует, что

р6АШг0 “ m4 т2 — I2 ’
и обсуждаемое утверждение становится очевидным.
Сильное неравенство 24.9.5 при т 0 и т 1 выполняется, каково бы ни было I. При таких и только таких значениях т безмоментные уравнения остаются в силе для расчета замкнутых оболочек любой длины в части II подобные случаи были выявлены и в теории произвольных цилиндрических оболочек. При т 1 предельная длина цилиндрической оболочки с точки зрения применимости безмоментных уравнений ограничена неравенством 24.9.5.
§ 10. Анализ напряженного состояния замкнутой
круговой цилиндрической оболочки продолжение)
Допустим теперь, что длина оболочки слишком велика, чтобы малые корни характеристического уравнения можно было заменить нулями, и обсудим свойства соответствующих напряженных состояний.
Пусть интегралы разрешающего уравнения 23.3.2 составляются из функций вида Где k — малый корень характеристического урав¬
нения. Для оценки модуля k мы имеем формулу
k a2mi m2— l2,
которая получается из 24.7.17 после отбрасывания делителя 1—va, как мало отличающегося от единицы. Из написанного равенства следует, что перемещения, углы поворота, усилия и моменты исследуемого напряженно- деформируемого состояния затухают в пространстве между двумя поперечными сечениями £ h и g —6gb если 6 таково, что
g-mes. 1 24.10.1)
Примем, например, что величины порядка 0,01 по сравнению с единицей уже не представляют для нас интереса. Тогда неравенство 24.10.1 можно считать выполненным, если
е 661 0,01, т. е. если 1 1 4,6.


362
ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
ГЛ. 24
Отсюда для 61 — отношения ширины области затухания основного напряженного и деформированного состояния к радиусу оболочки — полу чается формула
4л 4,6 24.10.2)
а2т4 т2 — I2
в которой численный коэффициент носит, разумеется, условный характер.
Выведенная формула показывает, что 6 обращается в бесконечность при т 0 и т 1. Физический смысл этого очевиден: при т 0 и т 1 к краю оболочки прикладываются статически неуравновешенные силы и моменты, и затухание вообще не должно иметь место. При т 2 краевые нагрузки становятся самоуравновешенными. При т 2 нагрузка самоуравновешена на всем поперечном сечении, при т 4 нагрузка само- уравновешена уже на любой половине контура поперечного сечения и т. д. Соответствующие напряженные и деформированные состояния, как показывает формула 24.10.2, будут затухать тем быстрее, чем больше т, т. е. чем уже наименьший из участков поперечного сечения, на котором оказываются самоуравновешенными краевые силы и моменты, вызвавшие рассматриваемое напряженно-деформированное состояние. Таким образом, поведение медленно затухающих напряженно-деформированных состояний находится в полном соответствии с принципом Сен-Венана.
Замечание. Надо иметь в виду, что в цилиндрических оболочках принцип Сен-Венана хотя и остается в силе, но проявляется менее ярко, чем обычно. Это связано с тем, что правая часть равенства 24.10.2 содержит большой множитель п-12, увеличивающий зону затухания действия самоуравновешенных краевых воздействий.
Медленно затухающие напряженно-деформированные состояния круговой цилиндрической оболочки, связанные с малыми корнями характеристического уравнения, в частном случае, когда выполняется неравенство 24.9.5, приближенно определяются безмоментными уравнениями, т. е. по смыслу совпадают с основными напряженными состояниями § 7.1. Вместе с тем разделение корней характеристического уравнения на малые и большие обусловливаются требованием х V2 или, что то же, требованием т2 С сг1. Оно слабее неравенства 24.9.5, и возможны случаи, когда напряженные состояния, обусловленные малыми корнями, нельзя назвать основными, так как для их определения уже не пригодны безмоментные уравнения, но они еще сохраняют свойство относительно медленного затухания и с этой точки зрения могли бы называться основными. Такие напряженно- деформированные состояния уже выявились при анализе произвольной оболочки в § 12.30 и были названы обобщенными основными состояниями. Теперь можно утверждать, что в круговой цилиндрической оболочке обобщенные основные напряженные состояния соответствуют таким малым корням характеристического уравнениякоторые при данной длине оболочки нельзя заменить нулями.
Большим корням характеристического уравнения, очевидно, соответствуют напряженно-деформированные состояния, названные в части II простыми краевыми эффектами.
Если относительную ширину области затухания простого краевого эффекта задать числом то, рассуждая так же, как при выводе формулы
24.10.1, получим соотношение
е-ii
в котором под k надо теперь подразумевать большой корень характеристического уравнения. Для оценки его модуля можно воспользоваться прибли¬


НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ЗАМКНУТОЙ ОБОЛОЧКИ
363
женным уравнением 24.7.18, которое дает k а12 величина 1—v2 снова заменена единицей. Отсюда, в тех же предположениях, в которых была выведена формула 24.10.2, получим:
4,6а12. 24.10.3)
Таким образом, область затухания краевых эффектов оказывается очень узкой: для достаточно тонких оболочек она будет исчисляться сотыми долями радиуса. Эта область, как можно судить по полученной приближенной оценке, не зависит от числа т, т. е. от характера краевого загружения, вызвавшего рассматриваемое напряженное состояние, и поэтому представляется, что появление простых краевых эффектов не следует рассматривать как прямое проявление принципа Сен-Венана. Правильнее будет трактовать краевые эффекты, в том числе и простой краевой эффект, как особое явление, характерное только для тонкого искривленного упругого тела. Оно обусловлено взаимодействием двух факторов: малой толщиной оболочки и искривленностью ее срединной поверхности. Чтобы пояснить эту мысль, опишем схему возникновения краевого эффекта в тонкой оболочке необязательно цилиндрической.
Положим, что в некоторой части оболочки по тем или иным причинам возникли моменты и перерезывающие усилия это произойдет, например, если к краю оболочки будут приложены внешние моменты и нормальные к срединной поверхности силы. Так как срединная поверхность оболочки искривлена первый фактор, вызывающий краевой эффект, то равновесие будет в общем случае возможно только при одновременном наличии и тангенциальных сил. Но если обратиться теперь к выражению потенциальной энергии оболочки 5.31.9, то заменив в нем компоненты деформации через усилия и моменты по формулам
е 2Eh 'Ti vTi’ 2 2Eh 'SI — vSif>
3 со 3
Щ — 2ЕНЪ v т 2Ri 2Е№ ^
можно написать
2Й J JТг Га2 - 2 1 v TiT2 Sai Sia л,Ла dai da +
G
23 °22 - 2 1 v OxG, HM A,A2 da, da2.
G
Отсюда видно, что посредством моментов накапливается значительно больше потенциальной энергии, чем посредством тангенциальных усилий. Это является следствием малой толщины оболочки второй фактор, вызывающий краевой эффект. Таким образом, если мы начнем удаляться от той области, где действовали внешние причины, вызывающие появление моментрв и перерезывающих усилий скажем, от края оболочки, то в силу принципа минимума потенциальной энергии должен начаться процесс затухания интенсивности моментов и перерезывающих усилий конечно, при условии, что исчезновение моментов и перерезывающих усилий не поведет к невозможности выполнить условия статики. В результате и возникают те быстро затухающие напряженные состояния, которые носят название краевых эффектов. Напряженно-деформированные состояния такого рода не возникают и в тонких неискривленных телах плитах, ни в упругих телах, все три протяжения которых одинакового порядка.
Изложенное физическое истолкование краевого эффекта вполне согласуется с формальными математическими результатами.
Скорость затуханий простого краевого эффекта в цилиндрической оболочке не зависит от m пока пг не слишком велико. Это значит, что, вопреки классической трактовке принципа Сен-Венана, здесь оказывается несущественной длина участка, на котором краевая нагрузка статически эквивалентна нулю. В общем случае §8.10 в разрешающее уравнение простого краевого эффекта не входят производные по а2, что тоже свидетельствует о малом влиянии изменяемости вдоль края. Вместе с тем толщина оболочки и искривленность ее края, т. е. параметры h и R22t существенно влияют на скорость затухания простого краевого эффекта. Разрешающее уравнение 8.10.9, показывает, что скорость затухания возрастает с уменьшением Л и i?22.


364
ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ ГЛ. 24
Замечания. 1. В части VI книги будет показано, что в тонких упругих телах возникает так называемый погранслой, т. е. дополнительное напряженно-деформированное состояние, тоже быстро затухающее от края. Оно в равной мере характерно и для искривленных, и для плоских тонких упругих тел. Это не противоречит сказанному, так как природа погранслоя совсем другая и согласие с принципом Сен-Венана в погранслое в полной мере соблюдается.
2. Скорость затухания различных напряженно-деформированных состояний в оболочках произвольного очертания рассматривается в Приложении § П. 16.
В заключение параграфа коснемся кратко случая больших т, который пока был исключен из рассмотрения. При больших т, когда
корни характеристического уравнения уже перестают разделяться на большие и малые. Соответственно этому теряет смысл и попытка разделить напряженные состояния на быстро и медленно затухающие. Для таких значений т все напряженные состояния будут быстро затухать, как это и должно быть в соответствии с принципом Сен-Венана.
§ 11. Приближенные методы построения обобщенного основного напряженного состояния
Обобщенное основное напряженное состояние существует только тогда, когда корни характеристического уравнения могут быть достаточно четко разделены на большие и малые, т. е. если § 24.7)
Это сильное неравенство одновременно является и условием применимости приближенных уравнений 24.7.17 и 24.7.19. Таким образом, один из приближенных способов построения обобщенных напряженных состояний заключается в использовании уравнения 24.7.17.
Перепишем его еще раз:
Оно приближенно определяет малые корни характеристического уравнения, модули которых, как легко видеть, оцениваются следующим образом:
Опираясь на это соотношение, можно упростить выражения комплекс¬
ных коэффициентов F, определяемых формулами 23.3.8. Отбрасывая в них величины, выходящие за рамки асимптотической погрешности 24.7.27, уже допущенной при переходе к 24.11.2, получим
т аг р V2,
т2 С а \
24.11.1)
№ т2— I2 0.
24.11.2)
k О а12т2.
24.11.3)
о
о
о
о
иг m2ky и2— im3, w m4,
24.11.4)


§ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ 36 5
здесь, как и во многих последующих формулах, пропущены выражения, относящиеся к компонентам деформации и не имеющие самостоятельной ценности.
Характеристическое уравнение 24.11.2 и приближенные формулы
24.11.4 можно получить и сразу, введя некоторые гипотезы и упростив с их помощью исходные уравнения теории цилиндрических оболочек. Эти гипотезы заключаются в следующем:
1 Геометрические соотношения
1 ди2 1 диг ди,з \
е2 — Ыи, ® —Ы at)
могут быть заменены равенствами:
diin дш ди9 г, л.
Ш w ’ 24Л1-5)
2 Уравнения состояния
о _ 2Eh О h2 т rp 2Eh .
21 “ 1 v 2 I 3 г ’ 1 —— V8’
л 2Fz3 2Fh3
31 v2 Х1 VX2 2 31 _ v2 x2 Wl)
могут быть заменены равенствами:
с 2 Eh со л
2i — 1 v 2 9 б2 VBj — О,
г 2 Eh3 г 1Екъ с
— зП — v v2 °2 —зТТ-u- Г24 11 6>
3 Во всех уравнениях равновесия, кроме четвертого, можно положить
Gi Н21 Я12 Nx 0. 24.11.7)
Замечание. Все сформулированные гипотезы сводятся к предположениям, что то или иное точное конечно, в рамках двумерной теории оболочек равенство может быть заменено приближенным. Нигде не предлагается считать какую-либо величину равной нулю это было бы логически противоречиво, так как повело бы к появлению лишнего уравнения. Так, например, если мы говорим, что вместо точного выражения
1 ди2 \
можно приближенно написать:
ди2 л
Ж-0’
то это обозначает только, что гг2 мало по сравнению с ди2дВ и w но ничего не говорит о том, в каком соотношении стоит е2, например, с ех.
Принятые гипотезы эквивалентны утверждению, что при построении обобщенного основного напряженного состояния можно исходить из следующей упрощенной системы уравнений.
Геометрические соотношения:


366
ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
ГЛ. 24
Уравнения состояния :
2 Eh
Т1 ei vg2 2Ehslt 0 е2 ve,,
S21 S12 -, 24.11.9)
п 2Ehv п _ 2Eh3 „ „ 2Eh3
31— v2 Xs’ Ua — 31—v22’ n 21 — Я12 — 3“TZ V T-
Уравнения равновесия: jE1 _l dis I — q ds2 371, «
3g 30 rAi — u ag ae л2гл2 —u,
dj?_2_ гдг — a T 2 J. r7 — П dHn ,T .
30 --m2-u ae rz-u. a ae rw, —o.
24.11.10)
Нетрудно проверить, что при Х Х2 Z 0 все соотношения
24.11.8—24.11.10, кроме третьего уравнения равновесия, обращаются в тождества, если искомые величины выразить через потенциальную функцию Ф следующим образом:
„ _3®ф _ 33Ф 34Ф _ 2Eh а4®
1 — ззе2 ’ “2 — зез w зе4 11 — т зрзе2 ’
т 2Eh З4® , а2 Зе® , З4® с _ с 2Eh 34Ф
2 г ag4 т 1 — v2 we3 зе4 j’ 1 12 г agae3 *
п п 2Ehv 2 д6® , д4Ф \
1 v°2 -:ГГ2 а-т ’
Н — Н _ 2Eh Л д‘Ф I \
1 1 v а agae3 agae3 ’
V Ш а д7ф I дЬф \
1 ri —v2 agae3 ' agae4 ’
л т 2 д7Ф I \
г 1 — V2 а V W “Зр- ’
1_ З4® _ v З4® 2 1 v З4®
1 — г ag2ae2 ’ 82 Т ag2ae2 ’ ® г зрзе- ’
М _ 1 33Ф 1 36Ф , З4® 1 3Ф , З4® \
г2 ag2ae4 ’ Хз тг V w зё4 ’ т — I зрё3 зрё3- *
Третье уравнение равновесия при этом дает
Ж Г1Ит1111-а 2412)
24.11.11)
Отсюда вытекает, что обсуждаемые гипотезы находятся в полном соответствии с теми упрощениями, которые привели к характеристическому уравнению 24.11.2 и расчетным формулам 24.11.4, так как, если подставить в 24.11.11 и 24.11.12 Ф екЬ cos m0, то мы придем к 24.11.2 и 24.11.4.
Замечание. Равенства вида 24.11.11 — приближенные. Ими можно пользоваться лишь тогда, когда вычисления не сопровождаются взаимным уничтожением главных слагаемых. Так, например, из первых двух формул 24.11.11 и третьей формулы 23.П2 вытекает, что со 0, но этот результат указывает лишь на то, что произошла потеря точности.
Принято во внимание, что е2 —ve.


§11 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ 367
Покажем теперь, что 24.11.8—24.11.10 представляют собой частный случай уравнений приближенной теории В. 3. Власова, т. е. уравнений
11.29.2—11.29.4, 11.29.7. Соотношения В. 3. Власова выведены для произвольной цилиндрической оболочки и для перехода к круговому цилиндру в них надо положить
B r, R г, а г г, а2 0. 24.11.13)
Уравнения 11.29.2, 11.29.7 переходят при этом в 24.11.10, а формулы 11.29.4, 11.29.7 становятся идентичными формулам 24.11.9.
Остается рассмотреть уравнения неразрывности деформаций 11.29.3,
11.29.7. Исключив во втором и третьем из них величины £2 и учтя
24.11.13, получим три уравнения
32 Зт _ п 31 Зт J_ Зех_ _ п ,1 .
30 U’ 30 3£ “ г 30 ’ 4 г 302 U’ 14Л1Л^
и нетрудно убедиться, что все они тождественно выполняются в силу формул 24.11.8.
Так, например, для третьего равенства 24.11.14 это следует из таких выкладок:
1 326j _ 1 d2w 1 33ux 1 d2w 332 _
Xl Т 302 — 72 з2- г Т2 3302 г2 32 3£230 ~
1 З2 Зи2 л
Таким образом, тождественность уравнений В. 3. Власова с полученными здесь приближенными уравнениями обобщенного основного напряженного состояния в замкнутой круговой цилиндрической оболочке доказана. Постулируя, что этот результат сохраняется и для произвольной цилиндрической оболочки, можно утверждать, что формулы В. 3. Власова, а следовательно, и сформулированные им гипотезы правильны в том смысле, что позволяют приближенно строить обобщенные основные напряженные состояния в произвольной замкнутой цилиндрической оболочке.
В § 24.7 было показано, что если р, не слишком сильно отличается otV4, то приближенное уравнение 24.11.2 можно дополнительно упростить, заменив его таким:
4rim8 0. 24.11.15)
Соответственно упростятся и расчетные формулы 24.11.4; в них, как и в уравнении 24.11.2, можно отбросить единицу по сравнению с т2, так что они примут вид )
0 0 0 0 при 0 при
их m2k, и2 — ш3, w яг4, Тх —-— т2г2, Т2 — ,
0 0 OFU 0 OPhi о 0 OFh
sn su i mk3, Gt vG2 n2m H21 H12 i
24.11.16)
0 9Fh 0 2Fh
0
В формуле для T2 отброшено еще одно слагаемое, содержащее т6, так как оно мало по сравнению с сохраненным слагаемым в силу уравнения 24.11.15.


368
ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
ГЛ. 24
К уравнению 24.11.15 и формулам 24.11,16 можно также прийти ценой некоторых допущений, относящихся к исходной системе уравнений. Для этого надо к гипотезам 24.11.5—24.11.7 присоединить два дополнительных предположения.
Дополнительное предположение 1 заключается в том, что в формулах 24.11.8 в выражениях для компонент изгибной деформации можно сохранить только члены, содержащие нормальный прогиб w.
Дополнительное предположение 2 заключается в том, что во втором уравнении равновесия можно отбросить член, содержащий N 2.
Это значит, что характеристическое уравнение 24.11.15 и расчетные формулы 24.11.16 получатся без всяких дополнительных отбрасываний, если исходная система уравнений будет взята в таком виде:
Геометрические соотношения
__ 1 диг п _ ди п _ ди2 диг
1 г д 9 ае ' di ае
1 d2w 1 d2w 1 d2w
Kl ’ 2 дв2 ’ T r д 00 '
24.11.17)
Уравнения состояния
Ti ,2Д,2 fsx -f- ve2 2EIie1, 0 e2 ve1J
S“ Slf7T’ 24.11.18)
Q _ VQ 2Eh3v T
иг — vu2 — 31 — v2 2 12 3l-fv)
Уравнен ия равновесия
L T '-x--°. -T r. °-
24.11.19)
JL rZ 0 Mi-_dHu_rN - o
00 ’ 05 00 rnl — v.
Чтобы доказать это, перейдем к однородным уравнениям, т. е. положим, что Х1 Х2 Z 0, и введем потенциальную функцию Ф следующими формулами:
Э3Ф 03Ф д4® „ 2 Eh д4®
м2 ЛЙЗ ДЯ4 М
05 002 ’ 003 _ 004 ’ 4 1 л 052 002 »
2£Уг 04Ф с с 2 Eh 04Ф
1 2 г 21 12 —
ag3 ае ’
G, vG 2£п 0Оф 24.11.20)
U1 2 1 — V2 00® ’
гг и 2Eh Ф 2£7г , 07Ф
Я., Я12 — -r-т— а2 я,
1 V 05 006 ’ Х Г 1 — V2 0 006 ’
,, 2Eh , 07Ф
No Гл оГ хаГ- •
2 г 1 — v2 аэ«


§ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ 1 ОБОБЩЕННОГО ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ 369
Тогда все соотношения 24.11.17—24.11.19 будут удовлетворяться тождественно, кроме третьего уравнения равновесия, которое даст для определения функции Ф разрешающее уравнение
®__1 £_4S- 0. 24.11.21)
ag4 ■ i _ V2 ае8 v 1
Если в 24.11.20 и 24.11.21 внести
ф ek cos 720,
то после очевидных сокращений мы получим вновь характеристическое уравнение 24.11.15 и расчетные формулы 24.11.16.
Область применимости приближенных уравнений 24.11.17——24.11.19 совпадаете областью применимости характеристического уравнения 24.7.19, т. е. определяется соотношениями 24.7.22. Ее можно выразить сильными неравенствами
1т21. , 24.11.22)
Таким образом, приближенному характеристическому уравнению
24.11.15 соответствует дополнительно упрощенный метод построения Ьбобщенного основного напряженного состояния замкнутой круговой цилиндрической оболочки, и легко установить, что он является частным случаем метода В. В. Новожилова § 11.29. Действительно, было показано, что переход от метода В. 3. Власова к методу В В. Новожилова осуществляется в общем случае ценой принятия трех дополнительных предположений, сформулированных в § 11.29. Третье из них относится к случаю, когда коэффициенты уравнений зависят от переменной а2, а потому является лишним в теории круговых цилиндрических оболочек. Вторые дополнительные гипотезы настоящего параграфа и § 11.29 совпадают. Остается обсудить первое дополнительное предположение. Им в конечном итоге утверждается возможность заменить геометрические соотношения В. 3. Власова 24.11.8 более простыми формулами 24.11.17. Выше было показано, что 24.11.8 обращают в тождество уравнения неразрывности деформаций в том виде, в котором их надо брать в теории В. 3. Власова. Так же можно убедиться, что 24.11.17 обратят в тождество эти уравнения, если во втором из них отбросить слагаемое с £i. Отсюда и вытекает, что дополнительные предположения 1 здесь и в § 11.29 по смыслу также совпадают.
Итак, приближенный метод В. В. Новожилова, так же как и связанные с ним дополнительные предположения, правильны в том смысле, что они дают возможность приближенно строить обобщенное основное напряженное состояние замкнутой цилиндрической оболочки. Этот результат, полученный для круговых цилиндрических оболочек, по-видимому,также можно экстраполировать и на произвольные цилиндрические оболочки, однако надо заметить, что область применимости метода В. В. Новожилова в теории круговых цилиндрических оболочек ограничена двухсторонними сильными неравенствами 24.11.22. Такого рода оценками надо проверять применимость обсуждаемого метода и в более общем случае.
Уравнениями В. 3. Власова и В. В. Новожилова часто пользуются и для полного расчета замкнутых цилиндрических оболочек а не только для построения обобщенного основного напряженного состояния. Это тоже законно. Надо только помнить, что при этом опускаются простые краевые эффекты на поперечных краях оболочки и вообще на линиях искажения.
Замечание. В § 24.9 изучались погрешности, связанные с заменой малых корней характеристического уравнения нулевыми корнями, и было установлено, что для длинных оболочек погрешности определения напряженно-деформированного состояния могут оказаться существенно выше тех, которые были допущены ,при замене малых корней нулем. Поскольку результат


370
ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ ГЛ. 24
оказался не тривиальным, естественно обсудить такой же вопрос и для других случаев. Например, для случая, когда малые корни не полагаются равными нулю, но находятся из приближенного уравнения 24.11.2. Однако подробно мы на этом не останавливаемся, так как выяснилось, что при любой длине оболочки погрешности определения напряженно-деформированного состояния имеют такой же порядок, как и погрешности корней во всех случаях, кроме рассмотренного в § 24.9. Это объясняется тем, что с увеличением длины оболочки усиливается эффект экспоненциального затухания искомых величин.
§ 12. Приближенный метод построения простого
краевого эффекта
Понятие о простом краевом эффекте было введено в § 8.9. В круговой цилиндрической оболочке его можно определить как напряженно-деформированное состояние, связанное с большими корнями характеристического уравнения, а соответствующая приближенная теория может быть построена по схеме, которая была уже дважды применена в § 24.11, поэтому мы здесь сократим пояснения.
Большие корни характеристического уравнения могут быть найдены из приближенного соотношения
fe4 -Ц 0. 24.12.1)
Отсюда вытекает оценочная формула
k f— V2 а-2 а-12. 24.12.2)
К ней надо добавить сильное неравенство
т а12. 24.12.3)
так как если т це подчиняется этому ограничению, то разделение полного напряженного состояния на основное напряженное состояние и краевой эффект уже не будет иметь места.
Пользуясь 24.12.2 и 24.12.3, можно значительно упростить расчетные формулы 23.3.8, отбросив в каждой из них второстепенные слагаемые. Тогда, оставаясь в рамках асимптотической погрешности 24.7.24, к которой приводит уравнение 24.12.1, мы получим следующие расчетные формулы:
о ' 0 0 0 прк
х vk3, иг i 2 -- v mk2, w fe4, TV ——
T,--k S21 S12 i mk3, G2 vG1 —
H2iHl2 i-amk Nl r12_2-afe7, 24Л2‘4)
?T 2 Eh о иб
N2 — i 27- a2mkG.
2 Г 1 V2)
Гипотезы, которые надо принять в исходных уравнениях круговой цилиндрической оболочки, чтобы получить характеристическое уравнение 24.12.1 и расчетные формулы 24.12.4, формулируются так:
1 В геометрических соотношениях, связывающих компоненты деформации с перемещениями, главную роль играет нормальный прогиб, и поэтому формулы
1 ди2 1 dfdw \
е - до w Э0 “•»
1 dfdw \
т — 7 af ае “2)


§ 12]
ПРИБЛИЖЕННЫЙ метод для простого краевого эффекта
371
можно заменить такими:
е JE. Т - J- 24 12 51
Г — г2 дб2 9 г2 аае •
2 Уравнения состояния
с 2Eh со , h2 т m 2Eh , , ч
2£7г3 , 2ЕЛ2
1 ““ 3 J _ v2 Х1 VX2 g _ v2 Х2 И- Vl)
могут быть заменены равенствами:
с 2 Eh со п п 2ЕНЪ
21 — 1 -j- V 29 1 “1“ V8a ’ 1 — 3 1 — V2)
2л 24.12.6)
31—V2 VXl*
3 Во всех уравнениях равновесия, кроме четвертого, можно положить
G Ht Н2 N2 0 24.12.7)
а в четвертом уравнении можно оставить только G2 и Ы2.
При расчете краевого эффекта исходные уравнения круговой цилиндрической оболочки надо брать в таком виде:
Геометрические Соотношения:
р __Ll P__iL m — 1 ди2 I ai N х“ г ag ’ 82 “ г 9 г dl Т дв 9
24.12.8)
1 d2w 1 d2w 1 d2w
— “То ЗГ5Г 9 Кто — —Т- -109 J Т =
г2 di2 9 г2 аэ2 9 г2 di ае •
Уравнения состояния
, л m 2ЕН , ч о о 2£Тг о
е1 4“ 2 О Т2— J v2 S2 Н V£l 21 12 v “2“ *
24.12.9)
„ -2 Eh г 2 Eh3 rr rj 2Ehs
4i_v2 1 2 31 — v2 V1’ 2l 12_ 3l-f-v 7
Уравнения равновесия:
d7 I dSla n dSgi I dT2 л
T ЛА и I ЯА и»
di 1 ае ’ т ае
04.12,10)
dNi — и д21 — dGv I rjf _о dGl rN —0
di “ ’ di ae r 2 ’ di nVl “u*


372
ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ ГЛ. 24
Искомые величины можно теперь выразить через потенциальную функцию при помощи формул:
д3ср д3Ф д4Ф
Ui — VM3 и2 2 v2afl w =
'dg2de ’ ag •
т — 2Eh дф т — 2ЕН а4ф С С 2Eh -
1 г ддв2 ’ '2 Г 2ic12 =
5 г 01 м 24.12.11)
С, 2ЕН д6Ф н —и - 2Ёк 2 дФ
2 1 1 — v2 age 2 12 1 v ag6 ае ’
дг 2Eh 2 а7Ф 2Eh 2 а7Ф
1 ri-v2 а ag7 2 - 7i-v2 а ’Жар'
причем все исходные равенства 24.12.8 — 24.12.10 обращаются в тождества, кроме третьего уравнения равновесия. Последнее будет также удовлетворяться, если потребовать, чтобы потенциальная функция была связана разрешающим уравнением
Д4ф 1 v2
-- -ЦФ 0. 24.12.12)
Отбрасывания, вытекающие из сформулированных гипотез, вполне эквивалентны тем, которые были получены путем анализа корней характеристического уравнения, так как если мы будем искать интегралы разрешающего уравнения 24.12.12 в виде
Ф ek COS 720,
то получится характеристическое уравнение 24.12.1, а соотношения 24.12.11 превратятся в расчетные формулы 24 12.4.
Разумеется, систему уравнений 24.12.8 — 24.12.10 можно интегрировать и другими способами. В частности, исключив все неизвестные, кроме нормального прогиба w, ее легко свести к одному уравнению
dw ,1 — v2 л
-2— 0,
которое представляет собой частный случай разрешающего уравнения общей теории простого краевого эффекта 8.10.9.
§ 13. Напряженное состояние с большой изменяемостью
Качественное различие между основным напряженно-деформированным состоянием и простым краевым эффектом уменьшается при увеличении т, так как скорость затухания основного напряженного состояния возрастает с возрастанием 72, а скорость затухания простого краевого эффекта не зависит от т. Поэтому при больших т, когда нарушается сильное неравенство
24.12.3, ограничивающее область применимости приближенных методов §§ 24.11, 24.12, расчленение полного напряженного состояния становится невозможным. Вместо этого при больших т надо исходить из приближенного уравнения
k1 — от24 ±IL k4 0, 24.13.1)
модули корней которого имеют одинаковый порядок. Очевидно, что корням уравнения 24.13.1 соответствуют напряженные состояния, которые были названы в части II напряженными состояниями с большой изменяемостью.


НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ С БОЛЬШОЙ ИЗМЕНЯЕМОСТЬЮ
373
Сформулируем приближенный метод построения напряженных состояний с большой изменяемостью для замкнутых круговых цилиндрических оболочек.
Уравнение 24.13.1 совпадает с уравнением 24.7.20, а структура последнего была определена при помощи четвертой строки таблицы показателей стр. 351. Поэтому для оценки модулей корней можно воспользоваться формулой 24.7.5, внеся в нее значение s из четвертой строки таблицы показателей.
Получим
k О я12_2 О 1faт2. 24.13.2)
При помощи 24.13.2 можно так же, как это делалось в §§24.11, 24.12, упростить формулы 23.3.8. Тогда они примут вид
иг k т2 vfe2, и2 — im т2 — 2 v k w n2 — k2\
, 2Eh_m2k2 1 r
0, 2Eh ui J. _ _ 2Eh
T2 — - k , S2i — S-£2 — i r mk ,
4 a № — тУ W — vm2,
G2 a2 k2 — m22 vfe2—m2, 24.13.3)
ЯИ ЯЙ —ifv a2mkk2-m2\
Ni rZhvi a2kk2-my, k a2mk2-m2f
Характеристическое уравнение 24.13.1 и приближенные формулы
24.13.3 можно получить и непосредственно из исходных уравнений круговой цилиндрической оболочки, внеся в них некоторые упрощения. Для этого надо принять следующие гипотезы:
1 В геометрических соотношениях, выражающих компоненты изгибной деформации через перемещения, можно сохранить только слагаемые, содержащие нормальный прогиб, т. е. принять, что
1 д2 Г24 134)
i— Г2 д2 — Г2 аеа г dgae •
2 Соотношение упругости для сдвигающего усилия можно брать в упрощенном виде:
2 Eh со 1 V Т
3 Во втором уравнении равновесия можно положить
Ы2 0. 24.16)
Другими словами, исходные уравнения круговой цилиндрической оболочки надо взять в виде:


374
ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
ГЛ. 24
Геометрические соотношения:
_ 1 диг 1 ди2 1 диг ди2\
1- г аб 62-— ае ш’ ®- ар’
24.13.7)
1 а2оу 1 d2w 1 d2w
Hl W йр ’ тг д§г • т 72 аре •
Уравнения состояния:
rp 2Eh ln i Л9П rp 2Eh л , л ч с 0 2Eh со
Tl — 1 v2 S1 V82 T2 — j v2 82 V£l 21 — S12 — -jq_ v “2“ >
24.13.8)
_ 2a 4 i- ,
Gl — 31 V2 X1 VX2 G2 — 3 _ v2 X2 Vl,
cl 21 fl-19. о 1 T.
2Eh 31 v)
Уравнения равновесия:
дТг as12 у q as21 аг2 у n
ag ae rAi—u ag
адл ал 24.13.9)
T I avi I I r7 fj v 7
7 2 ag ae rz — u>
_21 dG2 дг _ q _ дЯ12 _q
ag ae r 2 u ag ae rVl u-
Потенциальная функция для этой системы вводится формулами: азФ , азФ а3Ф 0 , азФ Л
Ul di ае2 “Ьv ag3 ’ 2 “ ag3 v ag2 ae ’ w *
' _ 2Eh а4Ф T _ 2 Eh а4Ф
1 “ r di2 ae2 2 “ г ag4 *
0 „ 2£г а4Ф
2i — 12 — r ag3ae ’
Ог—г5гаа АЛФ- ‘ 24.13.10)
2Eh 3 d2 , d2 АТ,
пгтга v ар“ аё2 ддф>
H2i — 12 — j __ v я2 ag ае д Дф >
W—
Все соотношения 24.13.7—24.13.9 при Хг Х2 Z 0 обращаются в тождества, если в них внести 24.13.10. Исключение представляет третье уравнение равновесия. Оно будет удовлетворяться, если потенциальную функцию связать разрешающим уравнением
ДДДДФ -Ц- 0. 24.13.11)


НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ С БОЛЬШОЙ ИЗМЕНЯЕМОСТЬЮ
375
Положив в 24.13.10 и 24.13.11)
ф е№ cos 720,
мы придем вновь к характеристическому уравнению 24.13.1 и к расчетным формулам 24.13.3.
При весьма больших т, а именно при т а12, в соотношения 24.13.7—
24.13.9 можно внести новые упрощения, которые соответствуют переходу к характеристическому уравнению
Это эквивалентно введению дополнительных предположений, что в геометрических соотношениях 24.13.7 формулу для е2, отбросив в ней слагаемое, содержащее нормальный прогиб, можно брать в виде
а в третьем уравнении равновесия 24.13.9 можно отбросить нормальное усилие Г2, т. е. записать это уравнение в виде
Тогда уравнения цилиндрической оболочки распадаются на две, не связанные между собой группы соотношений.
Первая группа соотношений, содержащая только тангенциальные перемещения, компоненты тангенциальной деформации и тангенциальные усилия, будет:
Это — уравнения обобщенного плоского напряженного состояния.
Вторая группа боотношений, содержащая только моменты, перерезывающие усилия, компоненты изгибной деформации и нормальный прогиб будет:
k2 — m24 0.
24.13.12)
1 ди,
Тд0~
24.13.13)
24.13.14)
Это — уравнения изгиба пластинки.


376
ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ ГЛ. 24>
§ 14. Приближенные методы расчета замкнутых круговых цилиндрических оболочек
Подведем итог обсуждению методов расчета замкнутых круговых цилиндрических оболочек. Пусть надо решить однородную задачу, условия которой таковы, что потенциальную функцию Ф, введенную в § 23.2, надо искать в виде следующей суммы:
представляющей собой начальную часть комплексного тригонометрического ряда.
Разобьем правую часть 24.14.1 на три подсуммы, представив ее так:
и будем считать, что М0 0, а М1у М2 выбраны так, что при т Mj выполняется неравенство 24.9.5 и при Мг т М2 выполняется неравенство т2 сТ1. Тогда для построения каждой из потенциальных функций Ф1у Ф2, Ф3 можно указать свой приближенный метод.
В подсумме, образующей потенциальную функцию Фъ параметр т удовлетворяет неравенству 24.9.5. Это значит, что для нахождения Фх можно воспользоваться обычным методом расчленения, т. е. считать, что соответствующее напряженно-деформированное состояние составляется из основного напряженного состояния, определяемого с достаточной точностью из уравнений безмоментной теории, и простого краевого эффекта, для которого имеют силу уравнения и формулы §24.12 они представляют собой частный случай уравнений и формул общей теории простого краевого эффекта.
Во всех слагаемых потенциальной функции Ф2 параметр т удовлетворяет сильному неравенству т2 аГобеспечивающему разделение корней характеристического уравнения на большие и малые. Это значит, что функции Ф2 соответствует напряженно-деформированное состояние, составляющееся из обобщенного основного напряженного состояния и простого краевого эффекта. Следовательно, процедура построения Ф2 с удовлетворением граничных условий представляет собой некоторое обобщение метода расчленения, в котором основное напряженное состояние заменено обобщенным основным напряженным состоянием § 11.27.
Во всех слагаемых потенциальной функции Ф3 параметр т не удовлет-, воряет сильному неравенству т2 сГ а это значит, что корни характеристического уравнения не разделяются на большие и малые. Поэтому любой вариант метода расчленения для построения Ф3 становится неприменимым. Простейшим характеристическим уравнением для таких т является уравнение 24.7.20, которому отвечает теория напряженных состояний с большой изменяемостью. Она и должна быть использована для построения потенциальной функции Ф3.
Итак, для приближенного расчета замкнутой круговой цилиндрической оболочки можно использовать три основных приближенных подхода: простой метод расчленения, обобщенный метод расчленения и теорию напряженных состояний с большой изменяемостью. Каждый из них обладает своими преимуществами, но может быть использован лишь в рамках определенной области применимости, и ни один из них не является универсальным.
м
ф £ф т®ешв,
24.14.1)
24.14.2)


ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЗАМКНУТЫХ ОБОЛОЧЕК
377
В некоторых случаях построение обобщенного основного напряженного состояния и напряженного состояния с большой изменяемостью можно еще больше упростить. Если выполняются сильные неравенства 24.11.22, то для обобщенного основного напряженного состояния будут иметь силу с пониженной точностью уравнения и формулы 24.11.17—24.11.19,' соответствующие приближенному характеристическому уравнению 24.11.15. Если выполняется сильное неравенство
таг12, 24.14.3)
то вместо теории напряженных состояний с большой изменяемостью можно пользоваться уравнениями 24.13.15 и 24.13.16, т. е. считать, что оболочка работает как плоское упругое тело.
Просматривая еще раз перечисленные здесь приближенные уравнения и формулы теории круговых цилиндрических оболочек, можно заметить,- что во всех приближенных подходах, кроме теории В. 3. Власова, во втором уравнении равновесия отбрасывается член, содержащий Nz, а формулы деформации—перемещения записываются так, что они соответствуют отбрасыванию слагаемого, содержащего величину во втором уравнении неразрывности деформаций; так как в цилиндрических оболочках в силу равенства R± оо в первом уравнении равновесия исчезает член с Nl9 а в первом уравнении неразрывности исчезает член с £2 то это значит, что предположения 1 и 2, сформулированные в § 10.22 для пологих оболочек, остаются правильными и в теории цилиндрических оболочек во всех тех случаях, когда нет необходимости прибегать к теории В. 3. Власова.
Поясним на примере, как может быть реализовано разбиение 24.14.2. Пусть
— 103, — 4, а2 -2- 4-106-
Г Г Зг2 3
Примем, кроме того, что сильное неравенство А В означает, что А 50J5 это эквивалентно требованию, чтобы ошибка была порядка 2. Тогда неравенство 24.9.5 даст
7 8 3-4 341 1П6
Ш 4М0 или m 150 10 •
Произведя вычисления, убеждаемся, что с небольшой потерей ожидаемой точности можно принять т 3. Равным образом сильное неравенство т2 С я1 будет обеспечено, если
2 я-1
откуда получаем т 6. Таким образом, в рассматриваемом примере для принятого уровня точности надо положить Мг 3, М2 6; это значит, что при т 3 допустимо применение простого метода расчленения, при 3 т 6 можно пользоваться обобщенным методом расчленения, а при т 6 — расчет надо производить на основе теории напряженных состояний с большой изменяемостью.
Сильное неравенство т2 1, обеспечивающее возможность упрощения обобщенного метода расчленения, сводится к требованию т2 50 или т 7, а сильное неравенство 24.14.3, обеспечивающее упрощение теории напряженных состояний с большой изменяемостью, сводится к требованию т 2080. Отсюда следует, что оба упрощения в данном случае не приемлемы: при т 7 уже исчерпана область применимости любого обобщенного метода расчленения, а при т 2080 становится неприменимой любая двумерная теория оболочек.


-378
ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ 1ГЛ. 24
Невозможность дополнительных упрощений объясняется высокими требованиями к ожидаемой точности. Если снизить их, считая, что сильное неравенство А В выполняется, когда А 205, то получим Мх 3, М2 9. Это значит, что область применимости простого метода расчленения осталась столь же узкой, но для обобщенного метода расчленения она расширилась. При тех же предположениях получаем, что сильное неравенство 1 С т2 эквивалентно требованию т 4. Следовательно, обобщенный метод расчленения при любых допустимых для него т, кроме т 4, можно упростить, используя для построения обобщенного основного напряженного состояния метод В. В. Новожилова, основанный на уравнениях и формулах 24.11.17—24.11.20. Сильное неравенство 24.14.3 теперь становится эквивалентно требованию т 832. Такие т не представляют практического интереса и стоят на границе области применимости любой теории оболочек. Таким образом, упрощенный метод построения обобщенного основного напряженного состояния в практических расчетах может оказаться вполне приемлемым при не слишком высоких требованиях к точности, но возможность расчета оболочки как плоского упругого тела практической ценности, по-видимому, не представляет.


ГЛАВА 25
ОТКРЫТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
§ 15. Свойства корней характеристического уравнения 23.4.9)
Рассмотрим характеристическое уравнение 23.4.9 и поставим перед собой задачу, как и в § 24.7, изучить свойства его корней.
В уравнение 23.4.9 входят три параметра. Один из них а определяется формулой 23.1.6, и следовательно, для тонкой оболочки он мал по сравнению с единицей. Вторым параметром является Хт напомним, что в характеристическом уравнении индекс т опущен. Он определяется формулой 23.6.3 и зависит как от т — номера члена разложения, так и от Иг — отношения длины оболочк i к радиусу. Поэтому X может изменяться практически в неограниченных пределах: от значений, близких к нулю при больших г, до сколь угодно больших значений при больших т или малых Иг. Третий
параметр — коэффициент Пуассона v. Он изменяется в узких пределах
и оказывает незначительное влияние на модули корней уравнения 23.4.9, поэтому в дальнейших рассуждениях мы будем считать, что v всегда имет одно и то же значение.
Следуя приему, использованному в §24.7, положим
Х 25.15.1)
ц будем считать, что х может принимать любые как положительные, так и отрицательные значения. Введем, кроме того, замену искомой величины цо формуле
к сГ3к 25.15.2)
и подставим эти выражения для X и х в уравнение 23.4.9. Тогда после умножения обеих частей полученного равенства на at придем к уравнению
Bah8 — Be — В'6 k6 В4 — В4 В4 kA —
— В2 — £2 Bl k2 Во -- Во О, 25.15.3)
где
В8 аъ £6 4a_6s_2, B'6 2at6 В4 6a_4s_4№,
В4 8a'-4s-2t, В4 a_4s, В2 4я-2s-6p', В'2 8 —2v2 a-2s_4“,
В2 4a2s_2t Воа-, Во l — v2 а2.
Наша цель снова будет заключаться в том, чтобы определить асимптотику корней х, т. е. указать, с какими степенями малого параметра а соизмеримы х. Для этого, так же как в § 24.7, надо подобрать такие пары значений t и s в зависимости от ц, при которых уравнение 25.15.3 после


Таблица показателей
B8
Be
Be
B4
/
B4
в”
B2
B2
в"
Bo
Bo
1
Показатели степеней а
—8s
t—6s—2ji
—6s
i
t—4s—41
I
rf*
CO
1
to
P
t — 4s
£ — 2s — 61
i
to
CO
1
P
t—2s—2x
Г
00
P
1
■p
1
to
2
и
о
СО
II
О
,
0
0
— 4fx
— 21
0
— 61
— 4fx
— 81
— 2ji
— 21
—4 — 2
3
t 4i 2,
s i 42
— 41 — 1
— 2ji — 1
— 4x
— 2fx
0
— 4г 1
-21
—4ц2
0
i
P
i
to
1
4
t 2 -f- 4ц,
S-J- JL
4 2
0
1
2 ^
1 ,
1 — 2fi
1
1 2fi
3,
3
T--“M
3 ,
Т й
2 — 41
0
5
t 81, s i
0
0
21
0
2i
4jx
0
21
4ц
0
M
I
Й.
rt*
ОТКРЫТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ ГЛ. 25


КОРНИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 23.4.9.
381
перехода к пределу при а — 0 будет иметь конечные и ненулевые корни. Рассуждения, приводящие к правильному выбору t и s, остаются такими же, как в § 24.7. Опуская их, приведем здесь только соответствующую таблицу показателей и сформулируем окончательно результаты.
Надо различать пять случаев.
Случай I. Если p. j —V2, то существует две комбинации значений t, s:
которым соответствуют предельные уравнения в них уже выполнен переход к первоначальному неизвестному х)
х212 0 s 0, х4 ЦА,4 0 s n 2. 25.15.4)
В таблице показателей случаю 1а соответствует вторая строка, случаю 16 — третья строка, случаю II —вторая строка при р —V2, случаю III — четвертая строка, случаю IV — четвертая строка при р V2, случаю V — пятая строка.
Каждому из этих вариантов приближенных характеристических уравнений соответствуют свои асимптотические погрешности и оценки модулей корней. Погрешности уравнений определяются так же, как в § 24.7, только теперь, конечно, надо исходить из таблицы показателей на стр. 380 в ней во второй и третьей строках в' рамку взяты числа, равные наименьшему ненулевомух показателю. Оценки модулей корней выводятся элементарно, и на подробностях мы не останавливаемся. Окончательные результаты, в которых величина а согласно 25.15.1 заменена на X, заключаются в. следующем.
I. Уравнения 25.15.4 дают две группы корней. Корни первой группы подчиняются соотношению
и определяются из первого уравнения 25.15.4 с асимптотической погреш-
а t 0, s 0, б t 4р 2, s р V2,
Случай II. Если р —V2, то
Случай III. Если —х2 ц. V2, то
2 4ц, s-f, х8 -4 0. 25.15.6)
Случай IV: Если ц, V2, то
t 4, s 4-, х2-ЬУ -Ц 0.
25.15.7)
Случай V. Если н- V2, то
t 8л, s ц, х2 —А,24 0.
25.15.8)
х О 1)
25.15.9)
ностью
О при Ха,
25.15.10)
: Принято во внимание, что в данном случае X а .


382 ОТКРЫТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ ГЛ 25
Корни второй группы подчиняются соотношению
25 15 11)
и определяются из второго уравнения 25.15.4 с асимптотической погрешностью
II. Уравнение 25.15.5 даег восемь корней. Оно выведено в предположении, что р —2, и при таком значении р асимптотика его корней и оценка погрешности получаются без труда:
01, в 0a.
Таким образом, при р —V2 25.15.5 имеет довольно высокую точность, и можно рассчитывать, что это уравнение будет пригодно и в некоторой окрестности точки р —V2. Область применимости 25.15.5 можно установить, исходя из второй и третьей строки таблицы показателей стр. 380. Они определяют структуру первого и второго уравнений 25.15.4. содержащих в совокупности все слагаемые, входящие в 25.15.5. Поэтому при р Ф —Ч2 уравнение 25.15.5 можно трактовать как приближенное равенство. которое получается, если оставить в 25.15.3 все члены, соответствующие нулям во второй или в третьей строчках таблицы показателей. Учитывая это и просмотрев еще раз третью строку, замечаем, что уравнение 25.15.5 получено ценой отбрасывания слагаемых, содержащих малый параметр а в следующих степенях:
Все эти числа остаются положительными тогда и только тогда, когда р —V4. Этим неравенством и определяется область применимости уравнения 25.15.5. Далее замечаем, что среди выписанных выше чисел наименьшим будет —4р — 1 если р —V2 или 1 если р —V2. Отсюда заключаем, что уравнение 25.15.5, корни которого однократны и имеют следующую асимптотику:
выведено с погрешностью, которая согласно правилу, сформулированному в § 24.7, имеет порядок
III. Уравнение 25.15.6 дает восемь корней, для которых выполняется соотношение 25.15.13. Использование этого уравнения приводит к асимптотической погрешности
О а при к ; ja®.
8 =
4
О -£г при Уа С I уа.
25.15.12)
— 4р—1, —4р, —2р, —4р1, —2р1, 1, —4р. 2.
25.15.13)
25.15.14)
25.15.15)


ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ОТКРЫТЫХ ОБОЛОЧЕК
38а
IV. Уравнение 25.15.7 дает восемь корней. При р V2 они подчиняются соотношению 25.15.13, а при р V2—соотношению
V. Уравнение 25.15.8 дает восемь корней, для которых выполняется соотношение 25.15.16. Асимптотическая погрешность этого уравнения
Из соотношений 25.15.10, 25.15.12, 25.15.14, 25.15.15, 25.15.17 и 25.15.18 вытекает, что области применимости приближенных уравнений 25.15.4—25.15.8 определяются следующими сильными неравенствами:.
1 для уравнений 25.15.4 X а,
причем ф является интегралом уравнения 23.4.7. Она удовлетворяет однородному разрешающему уравнению теории круговых цилиндрических оболочек и, следовательно, определяет некоторое напряженное состояние оболочки, не загруженной по поверхности и шарнирно опертой по поперечным краям I 0, £ Иг. Соответствующие усилия, моменты, перемещения и углы' поворота определяются по формулам § 23.4. Эти величины также меняются по по закону cos Х или sin XI, где X mnrl. При т 1 функция sin Х проходит через нуль т 1 раз на интересующем нас интервале 0, , и можно считать, что оболочка разбивается в продольном направлении на т равных отсеков длины 1т. На их краях sin XI проходит через нули, а это значит, что каждый отсек работает так, как если бы он был изолирован от других и так же, как оболочка в целом, шарнирно оперт по криволинейным краям. Поэтому можно считать, что т всегда равно*
и О X.
25.15.16 >
Асимптотическая погрешность уравнения 25.15.7 равна
25.15.17)
25.15.18'
2 для уравнения 25.15.5 X -7-,
У а
3 для уравнения 25.15.6 Уа X —IL-,
_ а
4 для уравнения 25.15.7 X У а,
5 для уравнения 25.15.8 X
V а
§16. Приближенные методы расчета открытых цилиндрических оболочек
Пусть потенциальная функция имеет вид
Ф ф 0 sin XI,
25.16.1'


384
ОТКРЫТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
ГЛ.1 25
единице, но I означает не полную длину оболочки, а лишь т-ю часть этой величины, которую мы будем называть приведенной длиной оболочки. Под приведенной длиной оболочки подразумевается, таким образом, длина отсеков оболочки, изображенных на рис. 56.
Параметр р, был определен формулой 25.15.1. Внеся в это равенство значение к тпг1, запишем его в виде
паР,
где JL J. относительная приведенная длина. Это равенство позволяет связать классификацию, выявившуюся при исследовании корней характеристического уравнения 23.4.9, с понятием о приведенной относительной
длине и формулировать результаты так: Случай I х —V2 —оболочки весьма большой относительной приведенной длины, для которых
Ьяг, I а'г. 25.16.2)
Случай II р, —У2 — оболочки большой относительной приведенной длины, для которых Рис. 56. v
О аг, I —О а'г. 25.16.3)
Случай III —У2 х У2 — оболочки средней относительной приведенной длины, для которых
аи аГч аи аГч 25.16.4)
Случай IV р, V2 — оболочки малой относительной приведенной длины, для которых
0сГч2, l 0ah. 25.16.5)
Случай V р, У2 — оболочки весьма малой относительной приведенной длины, для которых
25.16.6)
Для каждого из этих пяти классов задач теории открытых цилиндрических оболочек кругового очертания существует свой приближенный метод, основанный на возможности заменить характеристическое уравнение 23.4.9 одним из приближенных уравнений 25.15.4—25.15.8 и внести соответ-
о
•ствующие упрощения в формулы § 23.4 для F. В этих формулах можно оценить все слагаемые, пользуясь соотношениями 25.15.9, 25.15.11, 25.15.13,
25.15.16, и отбросить те, которые выходят за пределы асимптотических погрешностей 25.15.10, 25.15.12, 25.15.14, 25.15.15, 25.15.17,
25.15.18, допущенных при переходе к приближенным уравнениям 25.15.4—
25.15.8. Не входя в подробности всех этих рассуждений и выкладок, приведем окончательные результаты.
Оболочки средней приведенной относительной длины. Для них к и 1 ограничены сильными неравенствами 25.16.4. Приближенное характеристическое уравнение имеет вид 25.15.6, а модули его корней оцениваются соотношением 25.15.13. С той же асимптотической погрешностью, с которой


§ 16J
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ОТКРЫТЫХ ОБОЛОЧЕК
385
составлено уравнение 25.15.6, приближенные формулы для F могут быть записаны так:
О ооо 9Fh Q 9 Fh
щ — Хх2, u2 x8, да х4. 7 -Гх2, Т2 — -Х\
о о ори о о 9Fh
Sn Slf - Хк, G, vC2 - va2x®,
о o OFh о 9Fft
Я Я12 —b aXx®, Aj — r,_2 a2Ax®„
2Eh ,
25.16.7)
Приближенное характеристическое уравнение 25.15.6 и формулы
25.16.7 можно получить сразу, введя некоторые упрощения в исходные уравнения теории круговых цилиндрических оболочек. Соответствующие гипотезы и предположения совпадают с теми, на которых в § 24.11 был построен упрощенный приближенный метод определения обобщенного основного напряженного состояния замкнутой оболочки, т. е. метод В. В. Новожилова. Действительно, рассмотрим еще раз приближенные уравнения 24.11.17—24.11.19, лежащие в основе этой теории. При Хг Х2 ■ Z 0 их можно заменить формулами 24.11.20 и разрешающим уравнением 24.11.21, но легко проверить, что, если в этих соотношениях положить
Ф eesinXl, 25.16.8)
т. е. применить их к расчету открытой шарнирно опертой оболочки, го формулы 24.11.20 обратятся в 25.16.7, а 24.11.21 перейдет в приближенное характеристическое уравнение 25.15.6.
Оболочки малой приведенной относительной длины. Для них А, и 1 подчиняются требованиям 25.16.5. Приближенное характеристическое уравнение имеет вид 25.15.7, и модуль его корней оценивается соотношением
25.15.17. В рамках этой точности приближенные формулы для F могут быть записаны так:
иг — Хк2 vX3, и2 — 2 v Х2к -f- х3, w X2 — х22,
г, Х2н Т2 — — Х Sn S12 Х3г,
4 а2 X2 — х2 X2 - vx2, G2 -j5- а2Х2 — х22 vX2 — x2,
25.16.9)
A ax 2 23 -71- a2x x23-
Гипотезы, которые могут быть использованы для оболочек малой приведенной длины, т. е. предположения, сразу приводящие к формулам 25.16.9 и характеристическому уравнению 25.15.7, совпадают с предположениями 24.13.4—24.13.6, введенными для приближенного определения полного напряженного состояния замкнутой круговой цилиндрической оболочки при больших значениях номера разложения m m 1, т. е.


386
ОТКРЫТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
ГЛ. 25
с гипотезами теории напряженных состояний с большой изменяемостью. Они привели к соотношениям 24.13.10 и разрешающему уравнению 24.13.11. Те и другие сохраняют силу и для открытых оболочек малой приведенной относительной длины, так как, если в 24.13.10 и 24.13.11 взять Ф в виде 25.16.1, то мы получим расчетные формулы 25.16.9 и разрешающее уравнение 25.15.7.
Оболочки большой приведенной относительной длины. Для них А, и
определяются требованиями 25.16.3. Приближенное характеристическое
уравнение имеет вид 25.15.5, и модуль его корней оценивается равен-
*
ством 25.15.13. В рамках такой погрешности приближенные формулы для F могут быть записаны так:
иг —у?, и2 х3, w х4, Тх -2— Х2кг,
V 1 25.16.10)
4 •§ - Й.Ч bt vG3 - а2 и 1,
ТГ- afr’O, 2 -g—oV l.
Гипотезы, которые можно использовать для открытых оболочек большой приведенной относительной длины, т. е. предположения, сразу приводящие к формулам 25.16.10 и характеристическому уравнению 25.15.5, совпадают с гипотезами 24.11.6—24.11.8, введенными для неупрощенного приближенного метода определения обобщенного основного напряженного состояния замкнутой цилиндрической оболочки, т. е. для метода В. 3. Власова. Это нетрудно проверить, сопоставив 24.11.11, 24.11.12 с 25.16.10,
25.15.5 при помощи подстановки 25.16.8.
Оболочки весьма малой приведенной относительной длины. Для них и ограничены сильными неравенствами 25.16.6. Приближенное характеристическое уравнение имеет вид 25.15.8. С присущей ему асимптотической погрешностью 25.15.18 можно снова пользоваться формулами 25.16.10. Гипотезы, которые ведут к этим соотношениям, совпадают с гипотезами 24.13.4—24.13.6, 24.13.13, 24.13.14, полученными выше для замкнутых оболочек при весьма больших значениях номера разложения т т аг12.
Оболочка весьма большой приведенной относительной длины. Для нее X и Z ограничены сильными неравенствами 25.16.2. Оболочки такой длины надо относить уже к тонким стержням, и мы на этом вопросе останавливаться не будем.


ЧАСТЬ VI
ОБОСНОВАНИЕ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Настоящий раздел посвящен главным образом опенкам возможных асимптотических погрешностей двумерной теории оболочек. Обсуждаются также и пути ее уточнения. Применяется асимптотический метод, т. е. считается, что интересующей нас краевой задаче теории оболочек соответствует некоторая краевая задача трехмерной теории упругости, и для последней ищется итерационный метод решения, который основан на малости толщины области и в исходном приближении возвращает нас к двумерной теории.
Намеченная цель достигается при помощи двух итерационных процессов итегрирования трехмерных уравнений теории упругости. Первый из них позволяет строить внутреннее напряженно-деформированное состояние оболочки. Оно в однородном случае соответствует внешним воздействиям, не самоуравновешенным по толщине оболочки т. е. на любом отрезке нормали к срединной поверхности, и в исходном приближении описывается двумерными уравнениями часть I. Второй итерационный процесс позволяет строить так называемые погранслои, т. е. краевые напряженные состояния, соответствующие самоуравновешенным по толщине краевым воздействиям В исходном приближении нахождение погранслоев сводится к интегрированию уравнений плоской и антиплоской задач теории упругости.
Итерационный процесс для внутреннего напряженного состояния обсуждается в главе 26. Для его построения приходится принять некоторые предположения об асимптотических свойствах искомого напряженно-деформированного состояния и, в частности, ввести понятие о нормальной асимптотике. Полученные результаты используются в главе 27, где даются оценки погрешностей различных вариантов двумерных теорий оболочек и показывается, что вариант, построенный в части I, в известном смысле является наилучшим. Показано также, что в тех случаях, когда искомое напряженно- деформированное состояние имеет особую не являющуюся нормальной асимптотику, погрешности классической теории оболочек повышаются.
Итерационный процесс для погранслоев обсуждается в главе 28. В ней формулируются также и условия затухания, которым должны в силу принципа Сен-Венана удовлетворять погранслои.
В конкретно сформулированной трехмерной краевой задаче теории упругости, моделирующей рассматриваемую задачу теории оболочек, внутреннее напряженное состояние должно определенным образом взаимодействовать с погранслоями. Это взаимодействие обсуждается для трех вариантов граничных условий в главе 29. Показано, что в рамках определенной асимптотической точности полный расчет оболочки включающий обследование краевых упругих явлений можно разбить на самостоятельные этапы, первый из которых состоит из обычного расчета оболочки по классической двумерной теории. На последнем этапе при этом могут быть найдены и краевые напряженно-деформированные состояния, вопрос о которых в классической теории оболочек вообще не может ставиться. Попутно выясняется, что эти краевые напряженно-деформированные состояния по своей интенсивности асимптотически эквивалентны получающимся по классической теории.
Таким образом, слово погранслой надо понимать как условный термин, заменяющий слова напряженно-деформированное состояние, локализованное в пограничной зоне.


rjIAR А 26
ИТЕРАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 1. Трехмерные уравнения теории упругости
Будем снова рассматривать оболочку как трехмерное упругое тело и отнесем его к триортогональной системе координат. Тогда дифференциальные уравнения задачи будут иметь такой вид в этом разделе снова всюду считается, что i Ф j и каждый из этих индексов может принимать значения 1, 2:
Уравнения равновесия.
Я,ЯЛ Я,я,,, Я,Я,о, -
з
Нз дсГ аи да °33 3daGfi да °3i Н“ 0, 26.1.1)
f з
-щ- Я,Я2азз Я3Я2а31 4- -fa- Я3Я1ст32 —
— Н а“ Нг даь °22 ”9af CTl3 fof О
в части I они были записаны одним векторным равенством 2.9.1. Уравнения, выражающие обобщенный закон Гука:
£e„£4-g- -JH--g-t,, -Js--g-0,_a„-va,1T„,26i2)
в части I эти уравнения были записаны при помощи равенств 2.9.3—2.9.5.
Кроме того, будут приниматься во внимание условия на лицевых поверхностях оболочки
°1за3Н 4t' a33 ash 4t 1 3)
°l3 as—h “Ь Qi a33 a3—i “ Qs *
Все обозначения в уравнениях 26.1.1—26.1.3 заимствованы из §2.9.
Так же как в § 2.9, считается, что срединная поверхность оболочки
отнесена к линиям кривизны при помощи векторного равенства
М М аь а2,


ТРЕХМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
389
а триортогональная система координат в пространстве задается равенством
Р alt а2, а3 М аи а2 а3п,
в котором Р — радиус-вектор точки трехмерного пространства, п—единичный вектор нормали срединной поверхности.
При этом коэффициенты Ламэ Нк в уравнениях 26.1.1, 26.1.2 будут определяться формулами 1.8.5)
26.1.4)
а при дифференцировании этих величин надо пользоваться формулами 1.8.7, 1.8.8)
1-2S-V -P- 4L, 4 4- 4- 0 26.1.5)
doLj doLj ' Rf J das Ri dat oa2 da3
срединная поверхность отнесена к линиям кривизны, поэтому координатные нормальные радиусы кривизн отмечаются одинарными индексами. Введем несимметричные напряжения , определив их так:
‘“I1 7°“’ т‘ 1 “ягН’
и Х3г 1 7Г- з, хз 1 1 7J- °зз
26.1.6)
преобразуем равенства 26.1.1—26.1.3 при помощи формул 26.1.4—
26.1.6 и запишем результат следующим образом:
Уравнения равновесия
1'й1 SrK'li т“ О ЧЙ Tq‘ ”0,
f 261J)
Уравнения состояния
£1тЬ-1т'-Ч1тЬ-’’'
£1 t1 f7£,-S7“21'’1--T 26X8)
Ei--™,£i.-2avi-T„.
Условия на лицевых поверхностях
13>
■tL
1УЙ
— 4t
яг,
Rf a3—i
—77,
a 9h
26.1.9)
h 7i’.
a3—h
Под этим подразумеваются величины, более удобные для дальнейшего, чем обычные напряжения. Достаточно наглядного физического содержания они не имеют.


390 ИТЕРАЦИОННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УПРУГОСТИ ГЛ. 26
Здесь приняты следующие обозначения:
г — 1 I 1 д1 1 dAi i • dAi , , ч
1 Ai дщ Т- Aj да, AiAj да. i AiA, да, ii'
_l Jl. F J_Eis_ i _kT I
Rx R2 ’ At dax ' A2 da2 ' АгА2 dax 13
1 dAi
3, 26.1.10)
1 dvi ■ 1 dAt , v8 i dAi
1 Ai dat t AiA, да Vi' Ri ’ mi А daAiAj dai V’
_ _L Jb. VJ_
gi Ai dat Ri *
Замечание. Введение несимметричных напряжений увеличило на единицу число неизвестных величин теории упругости, так какт12 т21. Со ответственно увеличилось и число уравнений: так как каждое уравнение, в котором можно варьировать индексы , , надо считать за два,
то равенства 26.1.1, 26.1.2 эквивалентны 9 уравнениям, а равенства 26.1.7, 26.1.8 эквивалентны 10 уравнениям. Лишнее уравнение дает последнее двойное равенство 26.1.8, оно после возвращения к симметричным напряжениям станет одинарным.
§ 2. Преобразование уравнений теории упругости
Введем новые независимые переменные, положив
ai RX-pti, a 3 RX-lL 26.2.1)
где R — некоторый характерный радиус кривизны срединной поверхно¬
сти, р, — целые числа, удовлетворяющие неравенствам
1р 0, 26.2.2)
а А, — большой постоянный параметр, определяемый формулой
h RX-‘. 26.2.3)
Замечание. Ниже будут постоянно употребляться величины Я, , р, хотя мы не располагаем формулами, позволяющими определять их в отдельности. В этом и нет необходимости, так как нужно знать только X1 и Хр. Для X1 мы имеем формулу 26.2.3, а Хр выражается через X1 и р, т. е. через число, совпадающее по смыслу, как мы увидим в § 27.3, с показателем изменяемости t. Что же касается t, то в конкретных задачах его можно считать известным § 12.30)
Пользуясь такой неопределенностью, будем считать, что — небольшое число, и следовательно, при достаточно малом hR параметр X весьма велик по сравнению с единицей.
Сделаем также следующие замены искомых величин:
Т 1ти Т Атг, т.-о АЛс.-о,
4 1 26.2.4)
_ 'l с л I—РЬ л I—С--Ь*
т3 — л т3, Vf — A Vi, v3 — A v3,
и будем считать, что 6 и с — числа, из которых первое пока принимается равным нулю:
6 0, 26.2.5)
а второе всегда задается следующим образом:
с 0 при 2р1, с 2р — I при 2р1. 26.2.6)
Смысл подстановок 26.2.1, 26.2.4 обсуждается в §27.7. Пока будем выполнять их формально. Внеся 26.2.1, 26.2.4 в 26.1.10, получим
J Х1р г J X1 у р Х2р р
i —Г” и R y ’
Xlb lb I1р-сь 26.2.7)
i Mi Wit Si Si*


ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
391
где
; _ 1 5т,- ,1 дх I, Rx-P дА, ,• , RX-P dAi ,1 , • ч
1 Ai А dlj Л,Л, да, i l ’ Л; Л За,- г' т»
D Т1 _1_ Т2 J7 dxls 1
LH Rt ’ ь Ж аь А
?тж
1
, RX-” дА2 , RXP дАх 26.2.8)
ЛХЛ2 За, Т3 т ЛХЛ2 да., Т3’
Л д£ 1 ЛЛ,- 0а ' ' Ri
m- »
1 Aj dlj AiAj dai 1 Я*
Подставив 26.2.7 в исходные уравнения и выполнив очевидные сокращения, будем вместо 26.1.7 иметь
Li — -щ- d2iiz RaiajQi — О, *
— CL Xl2pcF TlcRaxa2qs 0. Здесь и ниже применяется обозначение
26.2.9)
а, 1 Li£l-r£. 26.2.10)
Таким же образом 26.1.8 приводятся к виду а;е Xbaii — vXbajXf — vA, г
Е dvs л —2l2c—b л —1--с—b , ч
212 “gg — Т3 Л 4“ Я2Т2,
Е dvi __f_2p—с 01 I к-21-2р—Ь*
Ц-аа1-Щ- Х ajgi 21 vX Tt-3
-г а,т аm, 2 1 v X-fta,Tl7.
26.2.11)
§ 3. Интегрирование уравнений теории упругости
Наша цель теперь будет заключаться в том, чтобы приближенно свести трехмерные с независимыми переменными ь £2, О уравнения предыдущего параграфа к двумерным с независимыми переменными 2 уравнениям. Для этого, в частности, надо избавиться в 26.2.9, 26.2.11 от дифференцирования по £. Эту операцию мы будем выполнять так, чтобы в коэффициентах получаемых уравнений был виден характер их зависимости от параметра А и переменной £.
В уравнения 26.2.9, 26.2.11 входят в различных комбинациях величины а1у а2. Они определены формулой 26.2.10, т. е. являются функциями переменной А“£- Заменим такие комбинации рядами вида
rrlZ. 26.3.1)
rО


392 ИТЕРАЦИОННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ УПРУГОСТИ 1.ГЛ. 26
Например, будем принимать, что
гО
Символом fr обозначен коэффициент ряда Тейлора по А, от функции, стоящей в скобках, т. е.
Фг
дХ
п 1
JS0*
Из этой формулы, в частности, вытекают следующие равенства:
м _Ц М 1
ai Jo а1°2 0 а Iо
xi О
аЧ 1
26.3.2)
Будем рассматривать второе и третье равенства 26.2.11 как уравне-
*
ния, определяющие vb v3f а величины gh тг, т,3, т3 считать известными,
задав их формулами
т£ г -, т£ т£;- Я_г2р_с6 Tt,
Ti3 Т£3 £т,з А,-г2р-ейтЙ, Тз Тз £т3 X -г2р-с2т3 26.3.3)
Я_2,4р_2еХ^
в которых
00000 *
г Тй т3 gj, Tt-, Тгу, тг3, Т3о,
Тогда, интегрируя второе и третье равенства 26.2.11 по £, получим
v3 Щ — X
—1с—ь vR_
Е
тх 4“ к
—l2p—cbi.X
d£ +
о L го J
1 12 T2 x-z2p-cbT?d4 +
О L г0 1 J J
-212сь 4 J Г 2 irrxrlz я-г2р-сг s2:
О L г0 1 2
2
Х3 -Ь
Я
Тзх dC.
ц,._Я-г2р-с
а/
J У -''? +
£ Г 00 1
2 ir тгз з Я-г2р-с6т?з d'Q
О L го '
О L г0 —2J2p—b 2i? 1 -f- v)
ум 3 — произвольные функции интегрирования, зависящие от £ь §2. Запишем этот результат в следующем виде:
Vi Щ irl2p-Vi Я2'2рЙ, vs V3-h Я“'з Я-2,2рУз, 26.3.4)


ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
393
считая, что vi9 v3 зависят только от £а и определяются формулами
2 2
Тогда для v'i, V3 штрихом отмечено, что эти величины зависят и от £ получатся следующие выражения:
По такой же схеме ниже выводятся формулы вида 26.3.4 и 26.3.5 для остальных искомых величин. Однако при этом мы не будем здесь раскрывать смысла величин, отмеченных штрихом сверху. Для них можно построить формулы вида 26.3.6, которые пока не нужны. Все они выписаны в § 26.6.
Внеся 26.3.4 в три последних формулы 26.2.8 и следуя изложенной схеме, напишем
Здесь для величин с верхними индексами 0, 1 справедливы формулы
Сравнивая последнее равенство 26.3.8 с первым равенством 26.3.3, получаем
1 0 1 __b R О 0
i — gt, V3 — vX Xfa Ta.
26.3.5)
Здесь введено обозначение
сю
00
£ Е ГЛПгп1гп- ’ 26.3.7)
—I г—п г—п 1
26.3.7)
гп
26.3.8)
к
26.3.9)
а0 —с, аг — 27-J-c, d0 —2 р--с, —с. 26.3.10)


394 ИТЕРАЦИОННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УПРУГОСТИ ГЛ. 26
В первом равенстве 26.2.11 можно варьировать значения индексов .
Поэтому оно эквивалентно двум уравнениям. Решив последние относи- *
гельно ть та, получим
_ Е 4 , , v ни, _
Х1 - R Г- VS V” е veij ТГ -57
*
Внесем сюда выражения е и т3 согласно 26.3.8, 26.3.3 и запишем полученный результат так:
b-2l2pk+
ve° Яг 2р-с X-2l2pl х-с- Х-г +
Х12Р-С b хРс-ь_Я-С __ £ у-2рс-ь +
тз Я_2р_стзХ-
Здесь при помощи прибавления и вычитания одинаковых величин искусственно введены. слагаемые cnnZ'. Под последними подразумеваются некоторые функции, которые должны быть выбраны так, чтобы оба выражения в ломаных скобках были величинами вида О 1. В § 26.5 будет показано, что отвечающие этому требованию т и Z' выражаются через компоненты сил, приложенных к лицевым поверхностям, поэтому мы будем рассматривать их как известные величины.
Последнее равенство 26.2.11 с учетом 26.3.8 запишется так:
WWv af Х‘2РС b2l2Prii +
тХ--Хт1 Х-Ц.
*
Поэтому ть т; можно представить в виде
; _ “ 12р-сЬг1 , л-22рб5
Т — Tt -J- A Qli А и
® , л — 1--2р—с--Ьч — 22р ■
Tlf — Ti ЬТ A Т.
26.3.12)
Здесь принимается, что
ч—ь° Е I о ч I v л —1—ь т
i Я1 — V2 l 1 —v 2
о Е 0 0
Х ТЧ 2R 1 v т‘ 'Г тд ’
ШГ’‘ЧTTV-T
Ч 2gl v ■ v''
26.3.13)
26.3.14)


ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
395
Сравнивая 26.3.12 со вторым и третьим равенствами 26.3.3, получаем т Х1 т £т,у Х-1., 26.3.15)
Далее, внеся 26.3.12 в две первые формулы 26.2.8, перепишем их так:
Li Lt k-l2p-cLi X-2l2pbi’it о l 2 26.3.16)
L L Xl2pcL l_2'2pL',
где
_ 1 4 , J_ii , R_ d_kr i ч 9Aj *
Li“ лг аь- А ЙБ, AM dat T' AM йв № T 3 ^
k ^
Введем теперь в рассмотрение первое уравнение равновесия 26.2.9, внесем в него разложения вида 26.3.1, выразим Lt по формуле 26.3.16 и, интегрируя по £, определим из полученного равенства т13:
х I 4- X-l2p-cLi X-2l2pbL'i dl —
- rx‘p 41' j 2 4i K
t,3— произвольная функция интегрирования, зависящая от i, а.
Примем для простоты, что компоненты массовых сил qif q не зависят от £, и запишем последнее равенство в следующем виде:
;£3;я1т13xi2p-cbi2li3x-2i2pbl'i3. 26.3.18)
О 1
Здесь тз, т,з имеют тот же смысл, что и в четвертом равенстве 26.3.3, 2 2 а Тз связано с т следующим образом:
Й й-,втв. 26.3.19)
При этом
1 0 1 0 j
„ — I, X-1 Щ т£3- X-l-pRq,
т£3 -4 Ц-Х-2Р‘Ъ аг, L, - 2РС-6 Щ L„
3
а для г£з получится выражение, выписанное в § 26.6,
26.3.20)


396 ИТЕРАЦИОННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УПРУГОСТИ ГЛ. 26
Из 26.2.8 и 26.3.18 вытекает, что
F IF l-P-cbpX' 26.3.21)
Fx '£f lcF, 26.3.22)
где
1 Л13 1 Эт23 RP дА2 дАг к
5
1 — i2p—с
б
. 1.2 26-3-23 Наконец, рассмотрев второе уравнение 26.2.9, найдем для т3:
О 1 0 2
Т3 Хс J L я-2р-с1 jrwapi'J dt,—
О
С
jV £F xl2p-cbgF я_2г2р6' —
С Г оо -|
S' Lro - J
Перепишем ее так:
т3 ?з -J- £т3 -l2pcbtl х21Лр-2съ т, 26.3.24)
£3т3 АТ 2р2стз. 26:3.25)
О 1
Тогда т3, т3 будут иметь тот же смысл, что и в равенствах 26.3.3, и справедливы следующие формулы:
т3 l-cL—l-t2p-cF—Rl-l-cqs,
2 у — с 1 —b 13 1 2
Т3 V L—V F 3 - i- F, 26.3.26)
4
а для Тз получим выражение, выписанное в § 26.6.
§ 4. Основной итерационный процесс
*
Обозначим через Я совокупность величин, отмеченных в §§ 26.2, 26.3 звездочкой сверху, а именно, будем считать, что
*
Р vh v3, et, mh gi, x, xtj, Lh L, l3, F, x3.
*
Можно принять, что величиной Р определяется некоторое напряженно-
деформированное состояние трехмерной упругой среды, составляющей обо-
*
лочку, так как, если известно Я, то напряжения и перемещения находятся
при помощи простых формул 26.2.4 и 26.1.6. Получены формулы
26.3.4, 26.3.8, 26.3.12, 26.3.16, 26.3.18, 26.3.21, 26.3.24, при
*
помощи которых Р выражаются через величины Р и Я', где
ООО 000000 000
Р £ t3, т£3, т3, £t-, mh gt, i, тij, Li, Я, Я, gg ^
111 1 1 1 1 1 112 223 V • • /
3 SV Tt3 3, T3 з»
Я' v'i, Уз, т-з, T-, т;7, Тз, б-, п;-, gj, L;-, L', Я'. 26.4.2)


ОСНОВНОЙ ИТЕРАЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС
397
Просмотрев перечисленные формулы и учитывая 26.2.5, легко убедиться, что их можно коротко выразить равенством
—2Z-1-2р т/
Р ВР Ь р' 26.4.3)
где В Р — некоторая линейная алгебраическая комбинация величин 26.4.1.
Представим Р как сумму
Р Рг Р2,
в которой под Рг понимается совокупность следующих величин:
и и о о 0 0
Pi ti, v2, v3, т1з, т23, т3, 26.4.4)
а в Р2 входят все оставшиеся величины Р. Тогда можно принять, что имеет место равенство
P2 GPx, 26.4.5)
которым выражается тот факт, что любую из величин Р2 можно выразить
как линейную дифференциальную комбинацию из величин Рь т. е. из совокупности всех произвольных функций, которые появились в результате интегрирований, выполненных в предыдущем параграфе.
Соотношения, условно записанные в виде равенства 26.4.5, можно фактически получить по следующей схеме:
L к, к, 126.3.9; 26.3.10;
0 0 0 0
Tt, Tt — еи m,, 26.3.13;
L„ L — ть т, 26.3.17; F—xi3, 26.3.23;
f26-3-5;
et, mlt gt — vit 03 26.3.9; 26.3.10;
,oo ,oo 26-4-6)
№ — Lt, xt3, 26.3.20; тв—1, F, 26.3.26;
F- tI3 26.3.23;
Lt, L —C tj 26.3.17; т3—L, F, 26.3.26;
fa. xa —' еь mi ei mi 26.3.14; тL-, 26.3.20;
2 2 3 2
P— x3 26.3.23; x3— P. 26.3.26.
Здесь слева от стрелки выписываются величины, для которых строятся выражения типа 26.4.5. Справа помещены величины, входящие в эти выражения, а в квадратной скобке указан номер соответствующей формулы. Считается, что выкладки должны выполняться в том порядке, в котором они здесь приведены. Поэтому величины, поставленные справа от стрелки, надо рассматривать как известные: они либо входят вРь либо определены на предыдущих стадиях выкладок компоненты внешних массовых сил, конечно, считаются известными. В качестве примера укажем, что четвертую строку 26.4.6)
надо читать гак: есть формулы 26.3.5, при помощи которых величины vi9 v3


398 ИТЕРАЦИОННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УПРУГОСТИ ГЛ. 26
ООО
стоящие слева выражаются через gh т2 стоящие справа, а для трех
последних величин такие же формулы уже значатся в предыдущих стро-
0 о
ках 26.4.6, а именно, в первой строке для g и во второй— для xt.
В § 26.3 не были использованы условия на лицевых поверхностях 26.1.9.
Они представляют собой линейные недифференциальные равенства, связы-
*
вающие между собой различные величины, входящие в совокупность Р, и учитывая формулу 26.4.3, их можно коротко записать так:
31 В Р -2l2pP' Q. 26.4.7)
Здесь 31 — символ некоторой совокупности линейных алгебраических выражений, а под Q подразумеваются нагрузочные члены, происходящие от правых частей равенств 26.1.9 и зависящие от компонент поверхностной нагрузки.
Множитель в выражении, заключенном в фигурные скобки,
имеет малые значения, в силу 26.2.2. Это позволяет применить для интегрирования дифференциальных уравнений теории упругости итерационный процесс, который в дальнейшем будет называться основным и заключается в следующем.
Исходное приближение для Р обозначим через Ро и определим его как решение уравнения
BPm Q.
В нем Ро можно выразить равенством
Ро Я' Pi 0,
в котором Я' — символ некоторой совокупности линейных дифференциальных операторов, а именно: если речь идет о величине, принадлежащей Рь то Я' 1, если речь идет о величине, принадлежащей Р 2, то согласно 26.4.5 надо положить Я' G2. Таким образом, введя обозначение
Я ВН\
можно написать равенство
ЯНРг о ?.
Оно ведет свое происхождение от условий на лицевых поверхностях,
т. е. эквивалентно шести уравнениям, и в силу 26.4.4 содержит шесть не¬
известных.
Для величин Р' справедливы формулы, выписанные в §26.6. Просмотрев их, мы убеждаемся, что они имеют вид
Р' J Р, Р'. 26.4.8)
Поэтому исходное приближение для Р' можно определить как решение системы
Р0 J Р0, Ро. 26.4.9)
В ней неизвестными считаются величины, перечисленные в правой части равенства 26.4.2 к каждой из них надо в качестве дополнительного индекса приписать внизу нулик в скобках. Система 26.4.9 содержит столько уравнений, сколько и неизвестных, так как в § 26.6 приводится формула для каждой из величин 26.4.2.
Пусть система 26.4.9 решена. Тогда можно принять, что Pi — первое приближение для Р — определится из уравнения
ВР1--Х-212рРф Q.


СОПОСТАВЛЕНИЕ С ДВУМЕРНОЙ ТЕОРИЕЙ ОБОЛОЧЕК
399
Пользуясь линейностью оператора 31, его можно представить в виде Я В Я,, Q — Я-22рР'о. 26.4.10)
Таким образом, для Рi получается уравнение такого же типа, как и для Р0, но с поправкой в свободных членах или, если угодно, с заменой истинных компонент поверхностной нагрузки некоторыми приведенными компонентами. Далее, очевидным образом, итерации можно повторять.
Итак, можно считать, что построен основной итерационный процесс, который сводится к многократному решению уравнений вида 26.4.10. Это утверждение имеет условный характер, так как принимается, что известно решение системы 26.4.9. Справедливость такого предположения мы обсудим в § 26.6, а пока заметим, что 26.4.10 представляет собой систему дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными ь £2, так как уравнения 26.4.10 выражают условия на лицевых поверхностях, т. е. равенства, получающиеся при £ — 1, и входящие в них неизвестные величины 26.4.4 представляют собой произвольные функции интегрирования по С и также зависят только от £ь 2. Таким образом, основным итерационным процессом в известном смысле решается основная проблема теории оболочек — сведение трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям.
Заключая параграф, отметим следующее обстоятельство. Исходное приближение основного итерационного процесса определяется уравнениями, которые в короткой записи выражаются двумя следующими равенствами дополнительный индекс 0 отброшен:
Р2 0Л; 3lBP1 Q.
В развернутом виде первое из них эквивалентно формулам схемы 26.4.6, а второе — уравнениям, приведенным ниже под номерами 26.5.6, 26.5.7. Просмотрев все эти соотношения, можно убедиться, что в каждом из них в отдельности по меньшей мере один из коэффициентов при искомых величинах 26.4.1 не зависит от большого параметра к, а остальные коэффициенты содержат к в неположительных степенях. Поэтому при некоторых дополнительных предположениях они будут обсуждаться ниже можно принять, что основной итерационный процесс позволяет строит такие напряженно- деформированные состояния, для которых все величины Р имеют одинаковый асимптотический порядок,
р о d.
Число d здесь зависит от условий задачи, т. е. от порядка величин ±,
qf 7i 7з и порядка свободных членов в граничных условиях.
В частности, если граничные условия однородные, а внешние силы имеют вид
Яи Я2, 7з. Ф 0. № Ф 0 Ь°.
то, основываясь на формулах 26.5.6, можно принять
р О АГР max qf qT, qt — qT i 1, 2, 26.4.11)
а если
i. 7. 78, Ф Ф 0. 7? 0 №,
TO
P 0 kc max qf ?Г, qf — 7з. 26.4.12)
§ 5. Сопоставление с двумерной теорией оболочек
Рассмотрим более подробно полученную в § 26.4 систему уравнений перврго приближения основного итерационного процесса и будем сравнивать ее с системой двумерных уравнений дгеории оболочек части I.


ИТЕРАДИОННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УПРУГОСТИ ГЛ. 26
Подставим в 26.2.4 выражения для величин со звездочкой по формулам 26.3.4, 26.3.12, 26.3.18, 26.3.24 и отбросим в полученных равенствах величины со штрихами:
т, X1 т,. X- 12рсх,, х 1 т;. X- 12всь1хи.
тгз т'з £т1з Ч- Р S хгз 2б 5 1)
с I I rl I л -2;4р-2с Ьгг1.
т3 X т3 £т3 к £ тз л £ хз.
v, XlDbV, X-l2pxk, v3 X'- ь S, 4- Х-'з.
Усилия и моменты в теории оболочек определяются формулами 3.17.5. Используя несимметричные напряжения 26.1.6, их можно записать так:
п п Г1
Тi — j т, da3, Stj т7 da3, Gt — J x,a3 da3,
—h —h —h
h П
Hif т£Оз da3, Nf — J Tl8 da3.
-h -h
Внеся сюда 26.5.1, учтя 26.2.1, 26.2.3 и выполнив интегрирование по £, будем иметь
Tt 2Rxi, Sti 2Rxt, Nt X‘p 2R t°3 ± X-‘p-‘s ,
2D2 , 2? i 26.5.2)
G, — Х-2г2 xt, Htj Х-2г2Р- -Щ- xlf.
Перемещения срединной поверхности оболочки связаны с перемещениями трехмерной среды, образующей оболочку, следующими очевидными соотношениями:
Ui Vi с0, w — Узсо,
из которых в силу 26.5.1 получаем
о
Vj —lpb щ, у3 — 26.5.3)
Для определения величин
О О Oil 1 1 0 01 1012
et, mt, gh vh v3. eh m, gh Lt, L, L„ L, F, F, F
служат соответственно формулы 26.3.9, 26.3.10, 26.3.5, 26.3.17,
26.3.23. С их помощью, воспользовавшись равенствами 26.5.2 и 26.5.3, перечисленные величины можно выразить через перемещения срединной поверхности, усилия и моменты. Эти формулы записываются так:


СОПОСТАВЛЕНИЕ С ДВУМЕРНОЙ ТЕОРИЕЙ ОБОЛОЧЕК,
401
_ JL х21—зрс—ь Г L j L
1 2 I A i dat Aj daj
-т-ёг°'-° тЬ7г Н М- 26-6-4)
I — _L j±- J_ J2_ I L -2l-2pc-b -9l.+
L- 2 v tfi R2 r 2 V R2 )
Здесь под 7t, o£, ег-, и,, т подразумеваются упругие углы поворота и компоненты деформации срединной поверхности оболочки. Эти величины выражаются через перемещения срединной поверхности формулами 4.26.1—
4.26.3. На выкладках, ведущих к 26.5.4, мы не останавливаемся. Их легко проверить, имея в виду, что в них всюду выполнен переход от дифференцирования по к дифференцированию по at при помощи первого равенства 26.2.1.
Все величины, входящие в 26.3.13 и 26.3.14, можно теперь выразить при помощи 26.5.2 и 26.5.4. Проделав это и выполнив некоторые преобразования, получим равенства
rp 2Eh vh с с Eh
— i va е ve j — v — Sji — j _j_ v ,
2Eh Г 1 1 \
в.— 1П5ч ' и—И-Ь- 26.5.5)
и 2 Ehz ® \
nV- 3lvTW’
совпадающие цо внешнему виду с уравнениями состояния 5.28.1. Это совпадение пока не совсем полно, так как в 26.5.5 величины т и Z' еще не определены, но мы скоро убедимся, что они имеют тот же смысл, что и в уравнениях состояния 5.28.1.
Введем теперь в рассмотрение условия на лицевых поверхностях, записанные в виде равенств 26.1.9. Выразим в них т,3 и т3 по формулам 26.2.4, 26.3.18, 26.3.24, 26.3.25 и отбросим величины со штрихом. Тогда после простых преобразований, с использованием формул 26.2.1, получим
4 А-2р-с'х,3 - -qt—qT brl4-qt ?Г1,
— г -1 26.5.6)
4 2 qt 7Г 4- ЙГ qt — ЧТ,
О 2 L ' J
tg -j- —1ЪР—C6T3 =
2 7з й, lR -дг Яз +
3 Я-2г4Р-2хя3 =
26.5.7)
— 2 ?3 Й ”Ь
Х21£ъ -
Из равенств 26.5.7 видно, что функции п и Z', входящие в формулы 26.3.13, 26.3.14, надо определить следующим образом:
m — qf — qi, Z — qt-j-qi, 26.5.8)


ИТЕРАЦИОННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УПРУГОСТИ ГЛ. 26
так как тогда из 26.5.7 будет следовать
УК1-2рс-Ь ° з _ х-с UL =
—у— к‘' -J- -- J- , „-_
-Ь12Р' 1Щ-№ —к 01, 26.5.9)
1-рс-Ь — JLy—X-l2p-cb_
-гГ4- -х--ЦА- +
- iqt ,г 0 1-
Именно в выполнении этих асимптотических соотношений и состояло единственное требование, которое накладывалось на т и Z' § 26.3.
Сравнив 26.5.8 с формулами 2.10.5, убеждаемся, что введенные здесь величины т и Z' совпадают по смыслу с теми, которые входят в уравнения состояния 5.28.1, и следовательно, совпадение этих соотношений с 26.5.5 является полным.
Преобразуем теперь к нужному виду формулы 25.5.6, 25.5.7. Равенства 26.3.20 при помощи 26.3.2 можно привести к виду
£ -' т,3 l-‘pRqi 0, 26.5.10)
-12Р-сь Д — ЗХ-сь U 2ти 0. 26.5.11)
Первое и третье равенства 26.3.26 перепишем так:
X-tL—K-WP-'F—Ts — RX-qs 0, 26.5.12)
_ х-214Р-2сь _1_ р т3 0. 26.5.13)
Вычитая из 26.5.10 первое и второе равенства 26.5.6, помноженные соответственно на XtRRl и 1, получим
Д -Ь-12рсьЬз — Х-ы-сь
2 Ь х 1R 7 +
Х21 Щ itqT b-lpRqi 0. 26.5.14)
Прибавив к 26.5.11 равенство 26.5.10, помноженное на ЗА,-—,
а также первое и второе равенства 25.5.6, помноженные на —3 и —ЗА,-- , будем иметь
X-Wp-0ьI._3 t,3 -1-—
-±X-pqt-qT XlR J- qf q? +
1 -щ- qt—qT AT2' - t,3 X-PRqt 0. 26.5.15)


СОПОСТАВЛЕНИЕ С ДВУМЕРНОЙ ТЕОРИЕЙ ОБОЛОЧЕК
403
Наконец, сложив равенства 26.5.12 и 26.5.13, прибавив к ним второе равенство 26.5.7 и учтя формулу 26.3.23, можно написать
-Ц-? С х'р7 г №—1 ’,‘Гк1Г '—
— RXl°q3 0. 26.5.16)
В равенствах 26.5.14—26.5.16 величины с надбуквенными индексами можно выразить при помощи формул 26.5.2, 26.5.4. Проделав это и заменив в 26.5.16 независимые переменные 2 через ось ос2 по формулам 26.2.1, получим требуемые равенства
1 дТj 1 dSjj 1 dAj srp rp , 1 dAj , i 9 _ I
Ai dai ' Af da,j AiAj dai 1 A iAj da j li ' t' Ri '
X, 6X, 0, 26.5.17)
-w та hkr г H-6Z o,
1 dGi 1 dHa , 1 dAj yo yo ч 1 dAi м \
AT-- — д faTGi “ Щ -far Hi HI —
— N — Yt — 6Y t 0,
в которых X£, Yi9 Z определяются формулами
—1 таг г №-г +
J I-ll---“fab
-h
—■Ч1 таг --',Чтатаw,r+
Ji3li -a3qidas, 26.5.18)
-ft 1 '
z 1 таг,rft i-та - J ‘ sr1 ‘й‘,’л'.
—h
т. e. совпадают по смыслу с компонентами внешних поверхностных сил и моментов, введенными в §3.19, а 6Х, бYi9 бZ имеют вид:
fiX, — 1-иг-‘ -§- т3 2hqi — J 1 1 -£7 аз>
5F, —Ti3— Зг7— j аз9аз 26.5.19)
i —h
62-2u73 J lr1't'78da3-


404
ИТЕРАЦИОННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УПРУГОСТИ
ГЛ. 2»
Примем, что компоненты массовых сил qt, q3 можно с достаточной точностью аппроксимировать в виде строки Тейлора по а3
N
коэффициенты которой имеют одинаковый порядок по к. Тогда непосредственным интегрированием легко убедиться, что, если
н
будут также иметь одинаковый порядок. Если считать, кроме того, что справедливы формулы 26.4.11, 26.4.12, и сопоставить выражения 26.5.18 с 26.5.19, то можно заключить, что 6Х., 6Yiy 6Z при b 0 есть величины порядка О к212Р по сравнению с Xif Y iy Z. Следовательно, равенства
26.5.17 с точностью до величин вида О к212Р совпадают с уравнениями равновесия двумерной теории оболочек.
Итак, показано, что, если от нештрихованных величин с верхними числовыми индексами, т. е. от 26.4.1, перейти к усилиям, моментам, перемещениям, углам поворота и деформациям двумерной теории оболочек, то для последних будут верны уравнения равновесия с точностью до величин 8Xiy 8Yif 8Z по сравнению с Xiy Yiy Z и уравнения состояния, соответствующие гипотезам § 2.10. В полученных здесь уравнениях состояния компоненты деформации имеют такой же смысл, что и в части I, т. е. для них справедливы формулы, связывающие эти величины с перемещениями. Это значит, что с оговоркой, относящейся к уравнениям равновесия, будут иметь силу все уравнения и формулы общей теории оболочек, выведенные в части I.
§ 6. Вспомогательный итерационный процесс
Вернемся к величинам, которые были обозначены в совокупности через Р' и определены равенством 26.4.2. Для каждой из них, как вытекает из рассуждений § 26.3, есть своя формула. Все они приведены здесь под номерами 26.6.1—26.6.12, причем для удобства дальнейшего всем этим формулам придан следующий вид: сначала дается представление рассматриваемой величины как линейной комбинации двух других величин, отмеченных одной и двумя точками, а затем приводятся формулы для этих новых величин. Кроме того, постоянно исподь- уется обозначение 26.3.7:
Як £ Як, паз k 1, 2, 3,
я0
О величины
Щк— J i -J- l -2J- Якй3.
—h
—h
•—2p2c—b
0


ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ ИТЕРАЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС
405
■4я-2р-
Л- Я
£
R
£
“F j У 3 “2p“c “2рс“(
о
'Ш. ‘Ш 'Ф+
0
, J-2P2Л.. _ 1 3 Я'2р 4 О
г, П' е- _l —5 W—T,')
2, 2
2 У 2
v. у; н-
t
2
ь гг
у j4 ict +
о о о ai
О О
Е
2 1-Ь vЯ ь У 4- Я
о *
О О
-cbr2t
fe т,
'3(
-г2Р Г ®*
Г
2 2 I 2 2 1 ду, т —р л д. 2 у 2 \
1се.лл е — - L КА ал „. _1_ —с п 3 -••)
’ Л; ait ЛЛ, Эа, R Ri Vе' ;•
2 2 £ означает, что для е имеет силу такая же формула, как и для ef ия используются и ниже:
2 г2 2 j 4 RXT ЭЛ, i \
' т ’ -7Ж J7J77vi 1 *
1.. 2. 1 Я-р дА, 2
1‘ ' т‘ 17 “
Л г-Л у да Vi
2
с *
i •
'’“ —-5tel 5
йЛ1'’£ШЧ+
тЫ‘Мт.'т т--
“'-г ж -щ ’ Г £ -1-'-' 'з-
■ft -4 -J- Ча - 4а 1 £гт, 4- Х‘2рА
26.6.1 I, 26.6.2)
26.6.3)
26.6.4 Подоб-
26.6.5)
26.6.6)


ИТЕРАЦИОННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УПРУГОСТИ ГЛ. 2 6
R 1
:2 Ш л ■ тт i1’ т-г х -
- ГУс-1 4 - ?.- с - У?_, -
2р_Ь_е № с ■-k ь1-2рсь “з - я-с -?- +
£ х‘-2Рр-р т3- f- S2 т3 х-‘р-‘ т т;,
Hi Я-'с тгу ,
2Ri V mi mf К 2P£2--2m‘>
2i?l v Ь 1’ 771 m‘ +
26.6.7)
26.6.8)
2 , , 2
l; a,-cz,v .
1 dxi 1 fa if t R-P dAj 2' 2;
_..-p 0Aj 2' 2 ^
Л T ГАЩ AA Ж7 vTi‘ — V J +
. dAi 2 г 2 \
лмГ7Ь тУ Ur-
26.6.9)
3 ,, *
йГ'Ч,
X-2P-
_RX-3p-b
26.6.10)


ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ ИТЕРАЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС
407
iiV т£3-Д jl’adt-
с
U2 j ■k-2cLf Л- L£ d£ +
2 о
1 2,ЬЧс2 S. Ь+
-гадь
f' f l4,
6 3
• 1 13 1 аг23 RXP дА2 3. ал 3 \
A, 3 Л2 AxAj V За, т13 даг х2з)
№,
П
То То Ч- Я
Тз Я-® J L • di - Я 2р jF'dC-ЛЯ 2р 6 aai7a?2.
т3-- Я-‘ j J L dl — Я“'2р F ” сО — Rk2p-‘2c-b 22а2а
ЧЧ'
26.6 АО)
26.6.11)
26.6.12)
В 26.6.1—26.6.12 всюду в первых равенствах при величинах с одной точкой коэффициенты отсутствуют, а при величинах с двумя точками стоят множителями некоторые неположительные степени большого параметра к. Поэтому, пользуясь такой же символикой, как в § 26.4, можно написать
Р' Р' каР
26.6.13)
причем, как показывают первые равенства 26.6.1—26.6.12, для разных величин показатель а имеет разные значения, но всегда выполняется неравенство а 0.
В § 26.4 описан итерационный процесс интегрирования уравнений теории упругости. В нем постулировалось, что, если найдено Р, т. е. получены величины, не отмеченные штрихом то можно определить и соответствующее Р', т. е. построить величины, отмеченные штрихом. Покажем теперь, что это действительно можно сделать, прибегнув к новому вспомогательному итерационному процессу. Вспомогательный итерационный процесс надо выполнять на каждом этапе основного итерационного процесса, и заключается он в следующем.
Для получения исходного приближения отбрасываем в правой части равенства 26.6.13 второе слагаемое, положив
Р0 ' р •
Тогда, используя вторые равенства 26.6.1—26.6.12 и вводя их в рассмотрение в том порядке, как они здесь приведены, можно прямыми действиями выразить последовательно все


408
ИТЕРАЦИОННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УПРУГОСТИ
ГЛ. 29
величины, отмеченные точкой, через величины Р, а значит, найти Роу В этом легко убедиться, просмотрев упомянутые равенства и помня, что в каждой следующей из формул 26.6.1— 26.6.12 надо в правой части считать известными все величины, перечисленные в правой части 26.4.1, т. е. не отмеченные справа дополнительными значками, а также величины с одной точкой, если они стоят в левой части одной из предыдущей формулы 26.6.1—26.6.12.
В третьи равенства 26.6.1—26.6.12 большой параметр X входит только в неотрицательных степенях, поэтому можно принять, что Р есть величина порядка О 1. Отсюда заключаем, что, отбрасывая в правой части равенства 26.6.13 второе слагаемое, мы совершаем ошибку порядка О Ха. Здесь смысл числа а определяется видом первых равенств 26.6.1—26.6.12, т. е. можно сказать и более определенно: в исходном приближении вспомогательного итерационного процесса величины
2, 2, 2, 2 , 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4
ei, ти Ti, т7 L , Li, тз, F , ТЗ 26.6.14)
, 2t
определены с погрешностью порядка О X ‘с, а величина g. — с погрешностью по¬
рядка О Х2р2с.
Первую поправку во вспомогательном итерационном процессе можно получить, положив
ра р х-ар,-0;
и считая, что величина Р0 строится с помощью третьих равенств 26.6.1—26.6.12, в правых частях которых величина Р заменена на Р0- Можно убедиться, что при этом Р будет отличаться от истинного Р на величину, исчезающе малую при Х- оо. Это вытекает из структуры правых частей третьих равенств 26.6.1—26.6.12. В них входят, во-первых, величины 26.6.14, определенные с погрешностью порядка О Х1су во-вторых, величины со звездочкой, определенные при b Ос погрешностью порядка О X2tJt2p, в третьих, величины, не отмеченные дополнительным значком или отмеченные точкой, т. е. величины, которые при выполнении вспомогательного итерационного процесса можно считать построенными точно; в четвертых, — некоторые величины с двумя точками, но только такие, которые при рассмотрении данного ра-
1
венства можно считать уже построенными на предыдущих этапах; в-пятых, — величины g*
1 з
, т, для которых есть соответственно формулы 26.3.11, 26.3.15, 26.3.25, показывающие, что связанная с ними погрешность имеет порядок О Х212р.
Отсюда можно заключить, что погрешность определения Р0 имеет порядок О А,-1с. Здесь показатель степени при X всегда отрицателен, и следовательно, вспомогательный итерационный процесс можно считать построенным.
Существует много математических методов приведения трехмерных уравнений теории оболочек к некоторой последовательности систем двумерных уравнений, описывающих напряженное состояние тонких оболочек. С этой целью применялись разложения в степенные ряды по толщине 72, 159, разложения по функциям Лежандра 15, 105, 106, 140, а также энергетические подходы 88. Метод, изложенный в этой главе, можно назвать асимптотическим. Он развивался в последние годы рядом авторов для изотропных однородных оболочек 3, 12, 20, 34, 54, 55, 75, 76, 144—147, 171, 172, 179, для анизотропных оболочек 1, 2 и, наконец, для слоистых пластин 65—68, 150. Обзоры работ, посвященных проблеме сведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям теории оболочек, можно найти в 34, 58, 157, 158.


ГЛАВА 27
ПОГРЕШНОСТИ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
§ 7. Нормальная асимптотика
напряженно-деформированного состояния
Примем, что при помощи итерационного процесса §§ 26.4—26.6 или каким-либо другим способом можно построить такие решения уравнений теории упругости, для которых правильно следующее.
Допущение. Все величины Р, Р' вместе с любыми их производными по £, £2 в рассматриваемой области имеют порядок О kdy где d — число, одинаковое для всех величин, образующих совокупности Р или Р' значение d зависит от порядка величин, задающих внешние воздействия; оно не влияет на дальнейшие рассуждения, и для упрощения записи всегда будет условно считаться, что d — 0.
Обсудим, какими свойствами обладает напряженно-деформированное состояние, соответствующее таким решениям.
При выводе формул § 26.3 была существенно использована замена независимых переменных ос, на Она определена первым равенством 26.2.1, из которого следует, что
Вместе с тем, принятое допущение предполагает, в частности, что дифференцирование по не влияет на асимптотический порядок искомых величин. Поэтому из 27.7.1 вытекает, что в результате дифференцирования по ос, порядок искомых величин изменяется, и мерой этого изменения является число Ал Его можно выразить при помощи 26.2.3 как некоторую степень относительной толщины оболочки равенством
Отсюда, в соответствии с определением показателя изменяемости Ь
12.30.3, получаем
Следовательно, числами р и , введенными в выкладки формулами 26.2.1, учитывается изменяемость искомого напряженно-деформированного состояния.
в котором
27.7.2)
27.7.3)
Замечание. Из равенства 27.7.1 формально следует, что изменяемость искомого напряженно-деформированного состояния должна считаться одинаковой в обоих координатных направлениях. Однако в дальнейшем мы будем говорить и о случаях не одинаковой изменяемости


410
ПОГРЕШНОСТИ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
ГЛ 27
считая, что им отвечают интегралы, существенно уменьшающиеся при дифференцировании в направлении относительно малой изменяемости. Таким образом, под t здесь подразумевается общий показатель изменяемости напряженно-деформированного состояния, и считается, что могут существовать квазистационарные направления, для которых показатель изменяемости меньше t
Неравенства 26.2.2 означают, что число t заключено в пределах
1. 27.7.4)
Нас сейчас интересует вид дифференциальных уравнений теории оболочек, а он зависит только от локальных свойств напряженно-деформированного состояния. Поэтому можно считать, что в разных частях рассматриваемой области t имеет разные значения, но они нигде не должны выходить за пределы 27.7.4.
Ограничение t сверху, вытекающее из 27.7.4. необходимо: без него основной итерационный процесс § 26.4 теряет смысл, так как он базируется на отбрасывании величин вида О А,-220, а последние не будут малы при t 1, т. е. при р .
Необходимость ограничить t сверху очевидна и с физической точки зрения. При t 1 любая двумерная теория оболочек в обычном понимании этого термина становится совершенно не пригодной, так как тогда на расстояниях, соизмеримых с толщиной оболочкц, напряжения и перемещения будут претерпевать радикальные изменения например, падать от максимума до нуля и т. п..
Ограничение t снизу введено в связи с тем, что понятие об отрицательном показателе изменяемости не является достаточно определенным. Нарушение неравенства t 0 означает только, что случаи, когда показатель изменяемости искомого напряженно-деформированного состояния в известном смысле может считаться отрицательным, требуют специального рассмотрения.
*
Величины vt t3, xf, xf-, xt-3, x3 определяются формулами 26.3.4,
26.3.12 26.3.18. 26.3.24, 26.3.25, в которые величины Р и Р' входят с множителями вида считается, что b 0)
Х°, XlC, Х-212Р'
Все показатели степеней здесь неположительны. Это значит, что в силу
26.2.4 при b 0 будут справедливы следующие оценки перемещений и несимметричных напряжений:
Tt 0V9 xf 0V, т3 О №, т3 О Xе,
vt О Х1р, v3 О Х1с. 27.7.5)
В дальнейшем условимся говорить, что, если выполняются равенства
27.7.5, то оболочка имеет нормальную асимптотику. Тогда сформулиро¬
ванное в этом параграфе допущение будет означать, что постулируется существование напряженно-деформированных состояний с нормальной асимптотикой и пока учитываются только случаи, когда именно оно реализуется в оболочке.
В преобразованиях §§ 26.2, 26.3 было также использовано второе равенство 26.2.1, определяющее замену переменной а3. Можно показать но на этом мы не будем останавливаться, что если первая формула 26.2.1 и формулы 26.2.4 фиксированы, то вид этого равенства не зависит от нашего произвола. Это значит, что задав а3 формулой
а3 RX-1,
мы должны выбрать в ней q' единственным образом, положив q' При других значениях q' попытка построить итерационный процесс приведет


АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ ГИПОТЕЗ
411
для исходного приближения к системе уравнений, не имеющей достаточно общих решений, т. е. получатся несоответствия такого же рода, как и в § 20.10 при неправильном выборе показателей интенсивности а, 6, с.
Физически второе равенство 26.2.1 означает, что показатель изменяемости напряженно-деформированного состояния оболочки в направлении толщины оболочки принимается равным единице. Это совершенно естественно: в трехмерной среде, образующей оболочку, напряжения oi3 и а3 должны на лицевых поверхностях принимать значения, предписанные им граничными условиями, а это значит, что в поперечном направлении на расстоянии, равном толщине оболочки, ai3 и сг3, вообще говоря, радикально изменят свои значения.
Итак, смысл преобразований искомых величин и независимых переменных, выполненных при помощи равенств 26.2.1 и 26.2.4, заключается в следующем.
Первым равенством 26.2.1 в рассуждения введена изменяемость искомого напряженно-деформированного состояния и обеспечена возможность прослеживать ее влияние. Равенствами 26.2.4 вместе с допущением, принятым в этом параграфе, класс рассматриваемых напряженно-деформированных состояний ограничен требованием, чтобы они имели нормальную асимптотику. Второе равенство 26.2.1 делает возможным изучение этих напряженно-деформированных состояний при помощи итерационного процесса, описанного в § 26.4.
Забегая вперед, отметим, что возможны случаи, когда асимптотика напряженно-деформированного состояния оболочки окажется особой, т. е. не будет обладать вышеописанными свойствами. Они выявятся ниже, причем будет показано, что для таких напряженно-деформированных состояний асимптотику также можно определить формулами 26.2.4, если в них считать b отличным от нуля.
§ 8. Асимптотические погрешности гипотез теории оболочек
Выясним теперь, каков асимптотический порядок погрешностей различных двумерных теорий оболочек, в том случае, когда они применяются для построения напряженно-деформированного состояния с нормальной асимптотикой.
При расчете оболочек по любой двумерной теории допускаются неточности двух родов. Во-первых, неточно определяются неизвестные величины двумерной теории перемещения срединной поверхности, углы поворота,
усилия, моменты. Во-вторых, допускаются погрешности при переходе от
двумерных неизвестных к перемещениям и напряжениям трехмерного тела оболочки. Оценить неточности второго рода не представляет труда. Определив перемещения, углы поворота, усилия и моменты, мы, как показывают формулы § 26.5, будем знать и следующие величины:
0 0 1 1 0 0 1 1
Vi, Vh V3t Tit , T„ Tlf9
а следовательно, сможем приближенно найти смещения vi9 v3 и главные несимметричные напряжения тг., тtj по формулам 26.2.4, 26.3.4 и 26.3.12. Две последние из них показывают, что, если речь идет о напряженно-деформированном состоянии с нормальной асимптотикой, т. е. если 6 0, то погрешность будет иметь порядок
8 — 0 Х212Р Ь 0. 27.8.1)
Здесь запись 60 напоминает, что обсуждается пока только напряженно-деформированное состояние с нормальной асимптотикой; при 6 0 погрешности второго рода согласно 26.3.12 увеличатся.


412
ПОГРЕШНОСТИ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
1ГЛ. 27
Погрешности первого рода оценить труднее. Обычно учитывают, что в теории оболочек не точны только уравнения состояния, и принимают, что погрешность определения перемещений, углов поворота, усилий и моментов равна наибольшей погрешности, допущенной в уравнениях состояния. Примем и мы пока это предположение, имея в виду обсудить его в конце главы. Тогда обсуждаемую погрешность можно найти при помощи формул
26.2.11, представляющих собой результат преобразования равенств, выражающих обобщенный закон Гука. В 26.2.11, помимо физических констант и характерного радиуса кривизны ?, входят только величины аь а2, мало отличающиеся от единицы, некоторые степени большого параметра X и величины, отмеченные звездочкой. Последние, как уже говорилось, имеют порядок О 1. Отсюда следует, что порядок каждого слагаемого в равенствах 26.2.11 определяется явно выписанными степенями ХприЬ 0.
Начнем с гипотезы Кирхгофа—Лява, сформулированной в § 5.28 и заключающейся в принятии некоторых предположений. Мы сформулируем их еще раз и укажем для каждого из них порядок е тех величин которые в силу данного предположения отбрасываются по сравнению с единицей. Величины е выписываются в квадратных скобках. Они не требуют пояснений. Надо только учитывать, что в оценочных рассуждениях нет нужды делать различие между симметричными и несимметричными напряжениями, так как согласно 26.1.6 они отличаются только в малом.
Предположение 1. Нормальный до деформации элемент оболочки остается
нормальным и после деформации, т. е. в третьем равенстве 26.2.11 можно *
отбросить член с т,-3. При этом получаем е О X—22р.
Предположение 2. Нормальный элемент не меняет своей длины в процессе деформации, т. е. во втором' равенстве 26.2.11 можно оставить только член, стоящий слева. При этом получаем е О Х-'с1.
Предположение 3. Нормальным напряжением а33 можно пренебречь
по сравнению с напряжениями а1Ь а22, т. е. в первом равенстве 26.2.11)
*
можно отбросить член с т3. При этом е О X“zCj.
Число с определяется формулой 26.2.6, из которой легко выводятся соотношения
i с Х“22р при 2р1, т. е. при 112,
х-22 при 2pzl, т. е. при 12.
Отсюда, учитывая 26.2.3 и 27.7.3, заключаем, что, если построению подлежат напряженно-деформированные состояния с нормальной асимптотикой, то использование гипотезы Кирхгофа—Лява означает отбрасывание по сравнению с единицей величин вида
8 0 -1 О ftj при 12, е 0 Х“2,2р 0hl2t при t 12,
и h
К — я •
Эти соотношения, как уже говорилось, можно принять за оценку погрешности определения перемещений срединной поверхности, усилий и моментов. Неточности, связанные с переходом к трехмерным перемещениям и напряжениям, как показывает 27.8.1, не выходят из этих рамок. Поэтому оценка 27.8.2 характеризует полную погрешность определения напряженно- деформированного состояния оболочки, которую мы совершаем, пользуясь уравнениями, основанными на гипотезе Кирхгофа—Лява.
Первая оценка погрешностей гипотезы Кирхгофа—Лява приведена в работе 931. В ней не учитывалась изменяемость искомого напряженно-


АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ ГИПОТЕЗ
413
деформированного состояния, и оценка выражена формулой е О h. Она совпадает с 27.8.2 при малой изменяемости, когда t V2. Оценка, полностью совпадающая с 27.8.2, получена в работах 155, 156. В них показано, что решения двумерных уравнений теории оболочек отклоняются по энергии от решений трехмерной теории упругости на величину порядка
27.8.2. При этом было установлено, что уравнения состояния теории оболочек можно брать в простейшем виде, выполняя лишь единственное условие, чтобы они не противоречили шестому уравнению равновесия §5.29. Так, например, оценка 27.8.2 в описанном выше смысле остается верной и в случае, если для оболочки, отнесенной к линиям кривизны, уравнения состояния взять в следующем виде:
2Eh чо, 1 „ Eh
Ti - 1_V2 8 V8’ S4 4 Wi Rf H4 -
со,
1 V
r _ 2Eh И — 2Eh 27.8.3)
Ф 31 _V2 xf vx Нц— 3i v T
i ф j 1,2,
т. e. считать, что они отличаются от простейших уравнений состояния 5.28.2 только выражением для Sl7-.
Результат работ 155, 156 верен для любых напряженно-деформированных состояний, показатель изменяемости которых меньше единицы. Предположения о нормальности асимптотики он не требует. Более гого, допускается геометрическая нелинейность конечно, если она не превосходит известного предела.
В этой книге теория оболочек построена при помощи гипотез, принятых в § 2.10. Для них, так же как и для гипотез Кирхгофа—Лява, легко найти порядки величин е, отбрасываемых по сравнению с единицей.
Гипотеза 1 в принятых здесь обозначениях заключается в предположении, что ть Tijy vit v3 меняются по толщине по линейному закону. Согласно 26.3.4 и 26.3.12 при этом отбрасываются величины порядка е 0 к-212р .
Гипотеза 2 предполагает, что в следующих равенствах, выражающих закон Гука,
Ее13 21 vais i 1, 2, Ее33 ст33—vсти ст22)
можно отбросить члены с ai3 и а33. Это значит, что допускается отбрасывание члена с xt3 в третьем равенстве 26.2.11 и члена с т3 во втором равенстве 26.2.11. Соответствующая величина 8 определится так:
8 0 max Ji22, Jt-22c.
Отсюда, в силу 26.2.6, получаем е О 212р.
Гипотеза 3 предполагает, что в следующих равенствах закона Гука:
Еви 7n V о22 733, Ее22 22 V 11 Узз)
можно сохранить только ту часть величины сг33, которая линейно меняется по толщине оболочки. Это значит, что в первом равенстве 26.2.11 величину т3 можно заменить приближенным выражением, получающимся, если в правой части 26.3.24 оставить только два первых слагаемых. При этом
отбрасываются величины порядка -12р-с. Но т3 входит в первое равенство
26.2.11 с множителем а следовательно, и здесь мы получаем U =
О X2l2PL


414
ПОГРЕШНОСТИ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
.ГЛ 27
Итак, все три гипотезы, принятые в §2.10, предусматривают отбрасывание величин одинакового порядка
8 0 Х-иър О hl2t. 27.8.4)
Можно считать, что этой формулой оценивается порядок полной погрешности варианта теории оболочек, принятого за основу в этой книге.
Таким образом, гипотезы, предложенные в этой книге, более последовательны с точки зрения связанных с ними погрешностей, нежели гипотеза Кирхгофа—Лява. Кроме того, важное свойство принятых здесь предположений заключается в том, что вытекающий из них вариант теории оболочек, как показано в §§ 26.4—26.6, может рассматриваться как исходное приближение некоторого итерационного процесса интегрирования уравнений теории упругости. Поэтому будем в дальнейшем выведенную в части I теорию оболочек называть итерационной теорией или когда важно подчеркнуть, что она дает только исходное приближение итерационной теорией исходного приближения.
Отметим, что различные варианты теорий оболочек, предусматривающие применение итераций, предлагались на основе физических соображений в работах 4—10. Существуют и другие варианты гипотез, на базе которых можно строить теорию оболочек. Их можно подразделить на две группы.
К первой группе относятся гипотезы, приводящие к двумерной теории оболочек, система уравнений которых в известном смысле эквивалентна одному уравнению восьмого порядка, т. е. должна интегрироваться с учетом четырех граничных условий. Такие теории мы назовем теориями типа Лява. В них уравнения состояния представляют собой недифференциальные равенства, связывающие тангенциальные усилия и моменты, с одной стороны, и компоненты деформации срединной поверхности, с другой стороны. Примерами теории типа Лява служат теория, предложенная самим Лявом под ней в дальнейшем будет подразумеваться вариант, изученный в работах 155, 156, и изложенная здесь итерационная теория первого приближения.
Ко второй группе отнесем все остальные гипотезы. Они приводят к теориям оболочек, требующим интегрирования уравнений более высокого порядка. К ним, в частности, относятся гипотезы, в которых предположение о сохранении нормального элемента заменено менее сильным допущением, учитывающим деформацию поперечного сдвига. Такого рода гипотезы первым использовал С. П. Тимошенко в предложенной им теории балок 117, поэтому все теории, базирующиеся на учете деформации поперечного сдвига, мы будем называть теориями типа Тимошенко. Примерами могут служить теории, предложенные для пластин в известных работах 138, 174 и теория оболочек, полученная в работе 164. Во всех этих теориях уравнения состояния сложнее, чем в теориях типа Лява, что и приводит к повышению порядка уравнений.
Таким образом, уже учет поперечного сдвига выводит нас за пределы теории Лява. Отсюда следует, что существует нижняя грань порядка погрешностей любой теории типа Лява. Она равна порядку погрешности, допускаемой при отбрасывании напряжений ai3 в соответствующем уравнении закона Гука, т. е. как показывает третье равенство 26.2.11, совпадает с порядком погрешности 27.8.4 итерационной теории. Это значит, что порядок погрешности итерационной теории в классе теорий типа Лява является оптимальным: его нельзя улучшить без принципиального усложнения теории, т. е. без увеличения порядка или без выполнения итераций.


АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ ГИПОТЕЗ
415
§ 9. Асимптотические погрешности гипотез теории оболочек продолжение)
Сравним оценку 27.8.2, которую можно рассматривать как характеристику погрешностей теории Лява, с оценкой 27.8.4, характеризующей погрешности итерационной теории.
Если 0 — показатель изменяемости внешних воздействий включая силы реакции —удовлетворяет неравенству 0 V2, то такое воздействие порождает напряженно-деформированное состояние, общий показатель изменяемости которого t равен т § 12.30. При таком t оценки 27.8.2 и 27.8.4 совпадают друг с другом. Вместе с тем уравнения состояния 26.5.5 итерационной теории сложней, чем уравнения состояния 27.8.3 теории Ляваг и последняя выглядит в этом случае более рациональной. Однако оказывается, что при V2 и итерационная теория, и теория Лява содержат много слагаемых, выходящих за рамки точности, присущей этим теориям, и не увеличивая порядка погрешностей, можно и ту и другую заменить приближенной теорией напряженных состояний с большой изменяемостью § 10.24.
Чтобы показать справедливость высказанного утверждения, заметим, что при 2р надо положить с 2р — I. Отсюда вытекает, что имеют место легко проверяемые неравенства
Ъг4 -212р , -2рс -212р .
Это значит, что в рамках точности любой теории типа Лява можно отбрасывать величины порядка О АН и О к2Рс. Заметив это, введем в рассмотрение формулы 26.3.13, 26.3.14. Легко видеть, что при b 0 в указанном выше смысле будут пренебрежимо малы в первой группе равенств
о
слагаемое с величиной т, а во второй группе — слагаемые с величинами ei%
о
mit Z'. Но по выкладкам § 26.5 можно проследить, что отбрасывание перечисленных слагаемых соответствует переходу от уравнений состояния 26.5.5 к простейшим уравнениям состояния 5.28.2. На этом и основана первая часть упрощений теории напряженных состояний с большой изменяемостью
§ 10.24. В первом равенстве 26.3.20 на том же основании можно пре-
о
небречь слагаемым с Tj3 как величиной порядка О A,z. Просмотрев выкладки § 26.5, можно убедиться, что это соответствует отбрасыванию перерезывающих усилий в первых двух силовых уравнениях равновесия, с которым связана вторая часть упрощений теории напряженных состояний с большой изменяемостью. Третья часть упрощений этой теории вытекает из возможности отбросить тангенциальные смещения в выражении для компонент изгибной деформации. Ей соответствует отбрасывание слагаемого
и 0
ciijB выражении для gt. Из последнего равенства 26.3.9 и формул 26.3.10 следует, что погрешность при этом будет допустимого порядка О Х-2рс. Четвертая и последняя часть упрощений в теории напряженных состояний с большой изменяемостью заключается в отбрасывании в выражениях для тангенциальных усилий функции напряжения а, Ь. Оно двойственно по статико-геометрической аналогии третьей группе отбрасываний и вносит погрешности такого же порядка этого мы доказывать не будем. Таким образом, теорию напряженных состояний с большой изменяемостью § 10.20 в рамках любой теории типа Лява можно рассматривать как точную в том смысле, что порядок связанных с ней дополнительных погрешностей не превышает порядка погрешностей, допущенных при выводе исходных уравнений. Это делает бессодержательным сравнение различных теорий типа Лява,.


416
ПОГРЕШНОСТИ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
UVL 27
если они предназначаются для исследования напряженных состояний, общий показатель изменяемости которых не меньше 12.
Более сложен и более интересен для практических применений случай, когда 6 имеет малые значения. Рассмотрим его, считая, что 6 0. При этом будет выполняться условие применимости метода расчленения по признаку изменяемости, и мы примем, что эти условия выполняются по всем остальным признакам. Тогда искомое напряженное состояние будет составляться из основного напряженного состояния и простого краевого эффекта. Обозначим через f и t” показатели изменяемости этих напряженных состояний. Тогда можно принять § 12.30, что
V 0 0, f 12,
а следовательно, погрешности основного напряженного состояния взятого вне связи с простым краевым эффектом в теории Лява и в итерационной теории будут иметь, соответственно порядки
г 0К г О ft2,-20, 27.9.1)
а для погрешностей краевого эффекта также рассматриваемого отдельно получится единая оценка
е 0 AJ.
Итак, если значения показателя изменяемости внешних сил 0 малы, то итерационная теория позволяет существенно повысить точность построения основного напряженного состояния, но для простого краевого эффекта она в смысле погрешностей эквивалентна теории Лява. Вообще говоря, погрешность расчета в целом не меньше, чем наибольшая из погрешностей, допущенных на отдельных этапах. Поэтому формально надо считать, что обе обсуждаемые теории приводят к одинаковой погрешности порядка О ft. Однако с точки зрения практических выводов, которые можно извлечь из статического расчета оболочек, значительно важнее правильно знать основное напряженное состояние, нежели простой краевой эффект. Это значит, что не следует пренебрегать возможностью более точно определить первое из них. Вместе с тем вторая оценка 27.9.1, разумеется, не окончательна. Ею не учитывается взаимодействие основного напряженного состояния с простым краевым эффектом и связанное с этим взаимное влияние содержащихся в них погрешностей. Чтобы учесть это влияние, будем считать, что полное напряженное состояние оболочки строится при помощи одного из итерационных процессов, описанных в главах 20, 21. В этом случае, как было показано на примерах, разобранных в цитированных разделах, основное напряженное состояние может быть определено расчетом по безмоментной теории без учета краевого эффекта с некоторой погрешностью е, оцениваемой формулой
1 0ц ohj 27.9.2)
п — целое неотрицательное число. Для этого в итерационном процессе надо сохранить только те п приближений, для построения которых не требуется вводить в рассмотрение простой краевой эффект. Из результатов гл. 20 вытекает, что в любом случае число п заключено в пределах
4.
Равенство п 0 означает, что простой краевой эффект оказывает влияние уже на исходное приближение основного напряженного состояния. Это — случай, который в § 22.26 был назван случаем условной применимости безмоментной теории. Неравенство п 0 означает безусловную применимость безмоментной теории.


АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ ГИПОТЕЗ
417
1
Заметим, что формулой 27.9.2 определяется е — порядок погрешности, связанный с приближенным подходом к интегрированию уравнений теории оболочек, в то время как формула 27.9.1 дает е — порядок погрешности самих уравнений. Было бы логически непоследовательно интегрировать уравнения с большей точностью, чем они составлены. Отсюда и вытекает ограничение п сверху; при п Г 4, 0 0 оценка 27.9.2 становится лучше оценки 27.9.1.
Улучшить оценку 27.9.2 при определении основного напряженного состояния можно, только введя в рассмотрение простой краевой эффект. Вместе с тем, для него t 12, и следовательно, по любой теории типа Лява, б том числе и по итерационной теории, простой краевой эффект нельзя построить с погрешностью, меньшей чем
е О h.
Отсюда следует, что наилучшая точность, на которую можно рассчитывать при построении основного напряженного состояния, определяется формулой
е 8 в О h 27.9.3)
здесь не учитываются погрешности, связанные с неточностью уравнений итерационной теории оболочек, поэтому полученная оценка имеет силу,
только пока 1 2.
При я 0, т. е. в случае безусловной применимости безмоментной теории, оценка 27.9.3 лучше первой из оценок 27.9.1, а это значит, что итерационная теория дает возможность определять основное напряженное состояние точнее, нежели теория Лява И.
Итак, если для искомого напряженно-деформированного состояния в целом 12, то уточнения, даваемые уравнениями состояния итерационной теории, т. е. формулами 25.5.5, становятся бесполезными, более того, в этом случае предельно достижимую точность можно получить, исходя из еще более простых уравнений, т. е. из уравнений теории напряженных состояний с большой изменяемостью § 10.24. Вместе с тем, если вдали от краев выполняется неравенство 12 и если условия закрепления краев оболочки таковы, что безмоментная теория безусловно применима к данной задаче, то итерационная теория позволяет существенно точнее строить основные напряженные состояния. Точность построения простого краевого эффекта, а следовательно, вообще говоря, и точность построения напряженно- деформированного состояния вблизи краев оболочки останется при этом такой же, как в теории Лява. Точность определения напряженно-деформированного состояния не повысится и вдали от краев, если имеет место условная применимость безмоментной теории.
Напомним, что условная применимость безмоментной теории по сравнению с безусловной означает некоторое ухудшение напряженного состояния § 22.28. Поэтому в подавляющем большинстве практически важных случаев мы будем иметь дело с разумно сконструированными оболочками, к которым безмоментная теория должна быть применима безусловно. Это значит, что уравнения состояния итерационной теории позволяют добиться уточнений для наиболее важных задач допускающих безусловную применимость безмоментной теории и для наиболее важных составляющих напряженно-деформированного состояния основных напряженных состояний.
Приведем примеры, разъясняющие оценку 27.9.3.
Пусть расчету подлежит оболочка, все края которой — неасимптотические и жестко заделаны. Будем считать, что для нее выполнены все условия


418
ПОГРЕШНОСТИ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
ГЛ. 27
применимости метода расчленения и что 00. Этот случай рассмотрен в §20.10. Там для приближения s основного напряженного состояния выведены граничные условия 20.10.8. Положив в них s 0 и отбросив величины с отрицательными нижними индексами они равны нулю по предположению, убеждаемся, что слагаемые, связанные с простым краевым эффектом, выпадают. Однако уже при s 1 они войдут в вычисления. Это значит, что для основного напряженного состояния без учета краевого эффекта может быть построено исходное приближение и только оно. Отсюда вытекает, что в рассматриваемом случае в 27.9.3 надо положить п 1, и следовательно, погрешность основного напряженного состояния в итерационной теории будет порядка h3J2. Она меньше погрешности теории Лява, имеющей порядок h. Для показателей интенсивности а Ъ, с справедливы формулы 20.10.6. Из них следует, что краевой эффект в данном случае асимптотически эквивалентен основному напряженному состоянию по напряжениям и перемещениям § 22.27. Поэтому на краю обе обсуждаемые теории дадут одинаковые погрешности порядка h.
В качестве второго примера рассмотрим такую же оболочку, что и раньше, но будем считать, что ее край освобожден от закрепления по нормали, т. е. примем граничные условия в виде 20.11.13. Тогда для приближения s основного напряженного состояния должны будут выполняться первые два граничных условия 20.11.4. Они показывают, что теперь без учета простого краевого эффекта можно строить уже приближения 0 и 1, а следовательно, в 27.9.3 надо положить п 2. Это значит, что погрешность построения основного напряженного состояния снижается до величин порядка hi. Для показателей интенсивности мы имеем формулы 20.11.2 и 20.11.33. Из них вытекает, что интенсивность простого краевого эффекта понижается, что приводит к уменьшению погрешности определения краевых напряжений и перемещений до величин порядка h3J2. Напомним, что устранение лишних нетангенциальных закреплений улучшает асимптотику напряженно-деформированного состояния при условии, что тангенциальные закрепления обеспечивают жесткость срединной поверхности. Мы видим теперь, что это улучшает также и точность итерационной теории.
В заключение отметим, что усложнение уравнений состояний, связанное с переходом к итерационной теории, в ряде случаев не имеет существенного значения. В отношении тангенциальных уравнений состояний, т. е. первых двух равенств 26.5.5, это очевидно: в них дополнительно появляются только некоторые нагрузочные слагаемые. Более значительным выглядит усложнение нетангенциальных уравнений состояния, т. е. двух последних равенств
26.5.5. Однако в таком сложном виде, их надо брать только тогда, когда 0 12, т. е. когда может быть применен метод расчленения, причем они нужны только для того, чтобы подсчитать моменты по заданным деформациям, т. е. выполнить некоторые элементарные действия. Это значит, что усложнение нетангенциальных уравнений состояния приведет только к увеличению объема чисто технической работы.
§ 10. Область применимости итерационной теории оболочек
В начале § 27.7 принято допущение, относящееся к свойствам решений системы уравнений итерационной теории исходного приближения. Оно весьма существенно, так как для решений, не обладающих свойствами, оговоренными в этом допущении, итерационный процесс § 26.4—26.6 может стать бессодержательным. Рассмотрим с этой точки зрения последствия, к которым могут повести обращение в нуль или бесконечность величин Ru ?2>
А 2, входящих в коэффициенты уравнений итерационной теории первого приближения.


ОБЛАСТЬ ПРИМЕНИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
419
Пусть в некоторой зоне g в частности, во всей интересующей нас области главные радиусы кривизны Rly R2 обращаются в бесконечность порознь или вместе. Тогда в соответствующих точках мы получим уравнения теории оболочек нулевой кривизны или пластинки, т. е. уравнения, не приводящие к каким бы то ни было явным противоречиям. Нет необходимости отдельно рассматривать их свойства: они будут обсуждаться ниже, когда это станет нужно. Наоборот, при R± — 0 или R2 0 уравнения теории оболочек становятся бессмысленными, и отсюда следует, что итерационная теория, так же как и любая другая двумерная теория оболочек, теряет силу, если Rly R2 станут слишком малыми. Это можно было заранее предвидеть, так как оболочку сколь угодно большой кривизны уже нельзя считать тонкой.
Влияние безграничного увеличения уменьшения коэффициентов первой квадратичной формы А1у А2 тесно связано с влиянием изменяемости искомого напряженного состояния, и прежде чем идти дальше, необходимо уточнить последнее понятие.
Показатель изменяемости t, определяемый формулой 27.7.3, характеризует изменяемость искомых величин по тем переменным аь а2, которые приняты за параметры координатной системы. Таким образом, реальный смысл t в известной степени зависит от нашего произвола. Если заменить щ на ai Dat и оставить в 27.7.3 числа ру I прежними, то при больших значениях константы D реальная изменяемость искомых функций уменьшится, так как это будет уже изменяемость по растянутой переменной а.
Уравнения теории оболочек всегда можно записать так, что все символы
дифференцирования будут иметь вид т. е. дифференцирование
будет выполняться по длине дуги координатных линий срединной поверхности. Заметим это и примем для конкретности, что за параметры at выбраны величины, имеющие размерность длины, и что, следовательно, под Аь надо подразумевать безразмерную величину. Если при этом в некоторой точке коэффициент At будет соизмерим с единицей, то в ней параметр а можно назвать квазилонгальным в том смысле, что единичное изменение щ будет соответствовать движению вдоль аглинии на длину, соизмеримую с единицей в принятом масштабе. В этом случае t будет характеризовать реальную, изменяемость напряженно-деформированного состояния.
Если А, велики по сравнению с единицей, то упоминавшийся выше символ дифференцирования можно преобразовать следующим образом:
■7Г157 Ц' А' -ТГ' 27',01)
а константу D можно подобрать так, чтобы А стали соизмеримы с единицей. При этом D должно быть большим числом, которое можно представить в виде
D-
тг fi 0- 27.10.2)
Параметр станет квазилонгальным, а следовательно, аь в силу 27.10.1 представляет собой растянутый параметр. Но t характеризует изменяемость по at, а значит, реальная изменяемость будет в рассматриваемом случае меньше, и если обозначить ее показатель через реальн т0 учиты вая 27.10.2, можно записать
реальн “ t М"
Итак, возрастание коэффициентов первой квадратичной формы At при фиксированных р, I соответствует уменьшению реального показателя изменяемости. Равным образом можно показать, что уменьшение AL сопро-*


420
ПОГРЕШНОСТИ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
ГЛ. 27
Вождается увеличением реальн- Отсюда следует, что область применимости итерационной теории ограничена, в частности, требованием, чтобы ни один из коэффициентов первой квадратичной формы не был слишком мал, так как В противном случае реальный показатель изменяемости сделается больше единицы. Случаи, когда At принимают весьма большие значения, требуют более конкретного рассмотрения, так как при этом реальный показатель Изменяемости может стать отрицательным.
Обсудим полученные выводы на более конкретных случаях. В § 14.9 построена географическая система координат для произвольных поверхностей вращения. В ней коэффициент Л2 обращается в нуль в той вершине поверхности вращения Р, в которую помещен полюс географической системы координат. Таким образом, в окрестности полюса географической системы координат итерационную теорию оболочек, так же как и любую другую двумерную теорию, формально надо считать непригодной. Вместе с тем, вершина Р, вообще говоря если она не представляет собой острие, не обладает особыми геометрическими свойствами. Особой в точке Р является только выбранная система координат. Поэтому обсуждаемый вывод требует пояснений.
Будем считать, что мы рассчитывали оболочку вращения, применяя тригонометрические ряды по углу ф, задающему долготу, и рассмотрим т-й член разложения. В нем все компоненты напряженно-деформированного состояния оболочки изменяются по закону sin шр или cos шр. Поэтому на параллелях географической системы координат изменяемость рассматриваемого напряженно-деформированного состояния по квазилонгальной переменной может неограниченно увеличиваться по мере приближения к вершине Р. Далее возможны два случая. В первом из них вершина Р принадлежит оболочке купол без отверстия в вершине. Тогда в условие задач надо ввести требование ограниченности решения в Р предполагается, что в Р отсутствуют сосредоточенные воздействия,'а это приведет к тому, что интенсивность напряженно-деформированного состояния в т-ы приближении будет стремиться к нулю при приближении к Р. Несостоятельность двумерных теорий оболочек вблизи Р будет при этом иметь чисто формальный характер: по мере приближения к Р станут нарастать погрешности определения напряженно-деформированного состояния, но его интенсивность будет при этом убывать. Исключение представит только случай т 0, когда не будет ни убывания интенсивности, ни нарастания погрешностей. Второй случай будет иметь место, если вблизи Р оболочка имеет отверстие или если в Р приложены сосредоточенные воздействия. Тогда, вообще говоря, надо оставлять все решения, в том числе и возрастающие, и если отверстие мало, то ошибки двумерных теорий оболочек могут оказаться существенными. Это понятно из физических соображений. Отверстие вносит в напряженно-деформированное состояние оболочки возмущение, реальная изменяемость которого увеличивается по мере уменьшения отверстия, и если периметр последнего станет соизмеримым с толщиной оболочки, то область применимости любой двумерной теории будет исчерпана. Неприменимы такие теории, конечно, и в окрестности приложения сосредоточенных воздействий.
Таким образом, окрестность любой точки, в которой выбранная система координат имеет особенность, требует специального рассмотрения при обсуждении возможности применения двумерных теорий оболочек. Равным образом надо проявлять осторожность и в тех случаях, когда срединная поверхность оболочки является особой или в каком-то смысле близка к ней. Напомним, что понятие об особых поверхностях было введено в § 9.13 в связи с обсуждением области применимости метода расчленения. По этому признаку к особым были отнесены


§ ИЗ ОБЛАСТЬ ПРИМЕНИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК 421
1 бесконечно протяженные поверхности;
2 поверхности, имеющие особенности типа вершины конуса;
3 плоскости;
4 поверхности, касающиеся плоскости вдоль замкнутой кривой.
С точки зрения применимости итерационной теории, плоскости и близкие
к ним пологие поверхности не должны вызывать беспокойства. Как выяснится ниже, теорию изгиба пластинок, а также теорию обобщенного плоского напряженного состояния можно трактовать как частный случай итерационной теории оболочек, и обращение в бесконечность нормальных радиусов кривизны также не ведет к нарастанию погрешностей. То же относится и к пологим оболочкам. Наоборот, к расчету оболочки, срединная поверхность которой имеет особенность типа вершины конуса, применять двумерные теории нельзя; во всяком случае, надо отдавать себе отчет, что такие результаты будут недостоверными в окрестности особенностей. Что же касается оболочек с особыми поверхностями типа 1 и 4, то они требуют более конкретного обсуждения, на котором мы не будем останавливаться.
§ 11. Область применимости итерационной теории оболочек
продолжение)
В двух следующих параграфах будут разобраны случаи, когда число , введенное в § 26.2, становится не равным нулю, принимая положительные значения. В связи с этим обсудим здесь погрешности, которые дает итерационная теория оболочек при определении таких напряженно-деформированных состояний соответствующую асимптотику мы будем называть особой.
Из формул 26.3.12 вытекает, что при Г 0 отбрасывание величин со
штрихом при вычислении т,, тг- сопряжено с погрешностью порядка
8 0Х-212ь, 27.11.1)
которая заведомо выше, чем погрешность порядка 27.8.4, получающаяся при b 0. Это значит, что, если b £0, т. е. если напряженно-деформированное состояние имеет особую асимптотику, то возрастают погрешности второго рода § 27.8, связанные с переходом от усилий и моментов к напряжениям упругой среды.
Замечание. Отметим два любопытных обстоятельства.
1. Просматривая еще раз формулы 26.2.11, которые являются результатом преобразования равенств, выражающих обобщенный закон Гука, можно заметить, что в правых частях число b входит в показатели, при X только со знаком минус. Поэтому погрешности первого рода § 27.8, т. е. погрешности, связанные с отбрасыванием тех или иных слагаемых в правых частях 26.2.11, при b 0 не растут, а уменьшаются. Однако решающими становятся погрешности второго рода, которые, как уже говорилось, растут.
2. Формулы 26.3.4, определяющие перемещения трехмерного упругого тела оболочки, не зависят от Ь, и погрешности второго рода, связанные с переходом от перемещений срединной поверхности и углов поворота к трехмерным перемещениям, при b 0 остаются прежними. Это значит, что понижение точности, которым сопровождается применение итерационной теории к напряженно-деформированным состояниям с особой асимптотикой, относится только к определению напряжений, но не перемещений.
В части II была установлена классификация решений уравнений теории оболочек и введены понятия о напряженных состояниях, обладающих различными свойствами. В связи со сказанным здесь становится существенным выяснить, какие из них соответствуют напряженно-деформированным состояниям с нормальной асимптотикой. Ответ на такой вопрос не представляет принципиальных трудностей.
Все напряженные состояния, о которых идет речь, введены в части II таким образом, что для любого из них можно найти асимптотику соответствующих усилий, моментов и перемещений. Далее не представляет труда


422
ПОГРЕШНОСТИ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
ГЛ. 27
найти асимптотику напряжений и перемещений трехмерного тела оболочки и выяснить, при каком значении Ъ она совпадает с асимптотикой 26.2.4.
Не останавливаясь на подробностях, сформулируем окончательный результат. Безмоментное напряженное состояние, простой краевой эффект и напряженные состояния с большой изменяемостью имеют нормальную асимптотику. Асимптотика чисто моментного напряженного состояния и обобщенных краевых эффектов, как будет показано в двух следующих параграфах, — особая.
§ 12. Чисто моментное напряженное состояние
Перейдем к более подробному обсуждению напряженно-деформированных состояний с особой не являющейся нормальной асимптотикой и будем считать, что их можно получить, положив в формулах § 26.3
Ь 0, с 0. 27.12.1)
Из 26.3.13 вытекает, что при этом с некоторой точностью должны
выполняться равенства
0 0 0 0
ег 0, е2 0, т1 -- т2 0, 27.12.2)
о о о
так как иначе по меньшей мере одна из величин ть т12, т2 будет иметь вид О №, а это при положительном b противоречит допущению §27.7.
Величины, стоящие в левых частях равенств 27.12.2, пропорциональны компонентам тангенциальной деформации срединной поверхности. Следовательно, один из способов выполнить 27.12.2 заключается в требовании, чтобы удовлетворились уравнения
р
1 диг
|
1
дАг
и2
W
Аг да2
1
AiA2
да2
RT
р
1 ди2
+
1
дА2

W
Ь2
Л2 да^
АхА2
даг
RT
СО =
2
- д да2 \
1
■+
-42
Ai
д даг \
' 2 42
27.12.3)
В § 7.3 было показано, что такими уравнениями связаны смещения срединной поверхности в приближенной теории чисто моментного состояния. Это значит, что последнее и представляет собой один из видов напряженно- деформированных состояний с особой асимптотикой.
Напомним, что смысл чисто моментного напряженного состояния определен не совсем точно. В нем тангенциальные усилия находятся как частный интеграл системы, образованной силовыми уравнениями равновесия, и асимптотику этого частного интеграла в известных пределах можно варьировать. От этого будут зависеть относительные порядки величин аТ напряжений, обусловленных тангенциальными усилиями и oG напряжений, обусловленных моментами. Поэтому потребуем дополнительно, чтобы
-Hi- О Хь 27.12.4)
можно показать, что такое условие непротиворечиво, на этом мы останавливаться не будем.


ОБОБЩЕННЫЙ КРАЕВОЙ ЭФФЕКТ
423
Оценка 27.12.4 должна быть увязана с формулами 26.2.4, 26.3.12. Этого, как нетрудно видеть, можно достигнуть, положив
b —2р, 27.12.5)
т i Х-1тц, т ij 27.12.6)
где
01, ?,л 01.
Из 26.3.12, 26.3.16, 26.3.18, 26.3.24, 26.3.25 видно, что, отбра-
2 2 3 4.
сывая в этих формулах величины т, ттЬ, тз, мы допускаем при определении напряжений погрешности порядка
е 0к-212Рь. 27.12.7)
Это значит, что, если итерационная теория оболочек, в которой такие отбрасывания делаются, применяется для построения напряженно-деформированных состояний с особой асимптотикой, соответствующей неравенству b 0, то погрешности в определении напряжений увеличиваются и для них вместо 27.8.4 получается оценка 27.12.7. Погрешности в определении перемещений, как показывают формулы 26.3.4, остаются прежними. В частности, отсюда следует, что оценка погрешностей итерационной теории оболочек при построении чисто моментных напряженных состояний, в силу
27.11.1, 27.12.1 и 27.12.5, записываются так:
в 0Я,- 0д. 27.12.8)
Положив b — 2р, с 0 в равенствах 26.3.13 и учтя 27.12.6, легко убедиться, что в рамках погрешности 27.12.7 формулы 27.12.2 и 26.3.13 эквивалентны друг другу. Вместе с тем, в § 26.5 было показано, что равенствам 26.3.13 в итерационной теории оболочек соответствуют тангенциальные уравнения состояния. Отсюда следует, что если итерационная теория исходного приближения применяется к построению чисто моментного напряженного состояния, то, не выходя за рамки погрешности этой теории, тангенциальные уравнения состояния можно заменить приближенными уравнениями 27.12.2 или, что то же, 27.12.3. Другими словами, приближенная теория чисто моментных напряженных состояний § 7.3 адекватна по точности итерационной теории оболочек, а следовательно, и любой другой теории типа Лява.
В заключение отметим, что принятое выше равенство с 0 не уменьшает общности рассуждений этого параграфа, так как в нем речь шла о чисто моментных напряженных состояниях, которые существуют только при t 3 12, т. е. только тогда, когда с 0.
§ 13. Обобщенный краевой эффект
Рассмотрим оболочку нулевой кривизны и отнесем ее срединную поверхность к криволинейным координатам, в которых кривые аг const и а2 — const являются линиями кривизны. В этом случае § 11.28 справедливы формулы
Аг 1, А2 А2 а2, R2 R2 а2, R± R12 оо. 27.13.1)
Будем для такой оболочки строить напряженно-деформированные состояния, для которых асимптотические направления на срединной поверхности являются квазистационарными § 12.30. Формулы 27.13.1 составлены в предположении, что а j-линии совмещены с асимптотическими линиями, следовательно, надо потребовать, чтобы дифференцирование по аг сопровожда-


424
ПОГРЕШНОСТИ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
ГЛ. 27
лось менее значительным увеличением искомых величин, нежели дифференцирование по а2. Вспомним в связи с этим, что при помощи первого равеггт ства 26.2.1 мы выполнили замену переменных аь а2, соответствующую увеличению масштабов длин в обоих координатных направлениях. Это позволило учесть возрастание искомых величин при дифференцировании, причем предполагалось, что оно по обеим переменным одинаково. Но теперь принято, что направление о-линий квазистационарно. Поэтому выполним дополнительную замену переменного соответствующую уменьшению масштаба длин в этом направлении, положив
27.13.2)
и считая, что а — положительное число, которое будет выбрано впоследствии.
Наша задача теперь будет заключаться в том, чтобы показать, что в рассматриваемом случае также можно принять соотношения 27.12.1, т. е. считать, что искомое напряженно-деформированное состояние также имеет особую асимптотику.
Внеся 27.13.1, 27.13.2 в формулы 26.3.9, получим
2тлз-з)
п 0 п 0 0
_1_ дщ_ 1 ду2 _ ,_д ду2
mi “ Л2 ае ’ 2 Аг д1г К ‘
Из 27.12.1, как было показано в предыдущем параграфе, вытекает необходимость выполнить равенства 27.12.2. Этого с некоторой степенью точности можно достигнуть, положив в 27.13.3)
0 л® 1 d°v2 R 0 п 1 dvi d°v2 „
х1 01’ А2 Э2 R2 y3-0. Лз 52 dgi - О
ООО
и считая, что ui, v2, t3 являются величинами вида 01. При этом
ООО
три функции ui, V2, V3 будут связаны двумя уравнениями, которые в обозначениях двумерной теории оболочек записываются так:
е2 0, 0 0.
Эти приближенные формулы, как показано в § 24.11, эквивалентны предположениям, положенным в основу теории расчета цилиндрических оболочек В. 3. Власова или, что то же, приближенной теории обобщенного краевого эффекта. Основываясь на этом, примем, что обсуждаемое напряженно- деформированное состояние с квазистационарными направлениями, проходящими вдоль асимптотических линий по смыслу совпадает с обобщенным краевым эффектом, и потребуем, чтобы число а в формуле 27.13.2 соответствовало этому предположению.
Преобразования вида 27.13.2, как уже отмечалось, должны определять характер изменяемости того напряженно-деформированного состояния, для исследования которого они вводятся, поэтому при выборе а будем исходить из формулы 12.30.8, связывающей общий и частный показатели изменяемости в краевых эффектах. Для обобщенного краевого эффекта в оболочке нулевой кривизны в этом равенстве надо положить s 4. Отсюда получаем
4 4f. 27.13.4)


ОБОБЩЕННЫЙ КРАЕВОЙ ЭФФЕКТ
425
Вместе с тем, справедливы общие формулы t ?, t' р'И, во второй из которых р' можно найти, сопоставляя 27.13.4 со следующими равенствами:
а1 КХ-Ръ a1 RK-P'l1. 27.13.5)
Отсюда находим
а--1—2р. 27.13.6)
Остается определить число Ь. Оно должно быть назначено так, чтобы асимптотика напряженно-деформированного состояния, вытекающая при таком Ъ из формул §§ 26.2, 26.3, была согласована с асимптотикой обобщенного краевого эффекта в оболочке нулевой кривизны. Из этих соображений вытекает, что надо положить
Ь 1—2р. 27.13.7)
Это утверждение можно проверить на примере круговой цилиндрической оболочки, для которой асимптотика обобщенного краевого эффекта легка находится при помощи формул §§ 25.16. На подробностях мы останавливаться не будем.
Итак, обобщенный краевой эффект в оболочке нулевой кривизны также принадлежит к числу напряженно-деформированных состояний с особой асимптотикой; для него Ъ определяется формулой 27.13.7, т. е. имеет такое же значение, как для чисто моментного напряженного состояния, поэтому погрешности итерационной теории при построении обобщенного краевого эффекта, так же как и для чисто моментного напряженного состояния, оцениваются формулой 27.12.7.
На этом мы закончим рассмотрение напряженно-деформированных состояний с особой асимптотикой. Проведенные обсуждения, конечно, не претендуют на общность. Список таких напряженно-деформированных состояний можно было бы пополнить обобщенным краевым эффектом в оболочках отрицательной кривизны укажем без разъяснений, что в этом случае остаются в силе формулы 27.13.7 и 27.12.8 для b и для погрешности е. Однако и это не исчерпывает вопроса, так как остаются в стороне, например, такие напряженно-деформированные состояния, которые возникают вблизи переходных линий тора. Полный перечень случаев, которые надо было бы обсудить для оболочки совершенно произвольного очертания, по-видимому, составить невозможно. Поэтому остается открытым и такой вопрос: существуют ли обстоятельства, при которых b отлично и от нуля, и от I — 2р.
Асимптотическая точность итерационной теории оболочек для чисто моментных напряженных состояний и для обобщенных краевых эффектов, как показывает оценка 27.12.8, понижается. Однако можно показать, что в этих случаях существует такая модификация итерационных процессов интегрирования уравнений теории упругости, при которой погрешности исходного приближения снова попадают в рамки оценки 27.8.1. Соответствующие подробности громоздки, и не останавливаясь на них, сформулируем некоторые окончательные результаты. Формулы 26.3.4, 26.3.12, 26.3.18,
26.3.24 перейдут в такие равенства:
Vi vt 4- к-12Р£р1 -- Х-212201 -f- k—sl4Pv'iy
V3 v3 -j- к-г12р£р3 -f- X-2l2p£2v3 -f- X3l2Pv3, 27.13.8)


426
ПОГРЕШНОСТИ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
ГЛ. 27
— к 1.J _J_ gZij -f- к -j- X 22pTif,
Tt-3 xi3 k-Tis £2T,3 k-ltTi3 k-2l2? T-3,
X3 T3 k-l2 T3 £2t3 к12Чг k-WPTl
В них нештрихованные величины удовлетворяют некоторой системе, эквивалентной уравнениям двумерной теории оболочек. При этом в уравнении равновесия 26.5.17 изменится смысл величин 6ХЬ 8Y, 8Z, а уравнения состояния для чисто моментного напряженного состояния должны браться в следующем виде:
г-е-те—-37TW 2rbiy irw ,‘’1'+
тг---к' +
vh
72,
с с Eh „ , Eh3 1 1 27.13.9)
s 5‘=
G — 2£73 и I_ vu — 2EhS т
— 3i — v2j Pw-rvv 771 — 77t — з i _j_ v T
об уравнениях состояния для обобщенных краевых эффектов будет сказано ниже.
Замечание. В обсуждаемой приближенной теории предполагается, конечно, что штрихованные величины должны отбрасываться. В связи с этим может показаться, что формулы 27.13.8 непоследовательны. В первых двух из этих равенств отбрасываемые величины имеют порядок О Я-З'4р, а в остальных равенствах отбрасываются величины вида 0Х 22р. Однако это имеет свое объяснение; из формул 26.2.4 видно, что напряженно-деформированное состояние с особой асимптотикой при Ь 0 имеет повышенную деформативность и для того, чтобы в ней добиться требуемой точности для напряжений, необходимо повысить точность определения перемещений.
Таким образом, в двумерной теории оболочек вид наиболее рациональных уравнений состояния зависит от свойств того напряженно-деформированного состояния, которое подлежит исследованию. Если оно имеет нормальную асимптотику b 0, то оптимальными надо признать равенства
26.5.5, а если асимптотика особая и b I — 2р, то предпочтения заслуживают формулы 27.13.9. Разумеется, два этих варианта можно объединить, юставив все слагаемые, которые входят по крайней мере в одну из групп формул 26.5.5 или 27.13.9. Тогда мы придем к таким уравнениям состояния:
ур 2Eh 2Ehz Г v 1 , v , , ч .
1—v2 8' v8 31 —v2 1.21— v R “1“ Rj '■ и,- +
_L J 1 1 v 1 I vh -
Ri Rj 1 ' lv Rt Rj l-vm’
c _ c _ Eh Eh.3 1 1 \
Ю 3 1 v Ri Rj'3 271310)
Gi 3 f —v2 ' vxi Т7“ЙГ r в“
h2 v 7, о _ 2Eh3 ш \
3 1 ■— v ■ пЧ 3 1 H- v 4 2 Rj'


ОБОБЩЕННЫЙ КРАЕВОЙ ЭФФЕКТ
427
Их надо рассматривать как уравнения состояния, обеспечивающие асимптотическую точность 27.8.1 для весьма широкого класса напряженно- деформированных состояний. К ним, помимо перечисленных в § 27.11, очевидно, надо присоединить чисто моментное напряженное состояние. Кроме того, можно показать но мы на этом не будем останавливаться, что в равенствах 27.13.10 содержатся также все члены, необходимые для построения с точностью 27.8.1 обобщенных краевых эффектов. Не исключено, что с обсуждаемой точки зрения формулы 27.13.10 — универсальны, но утверждать этого с уверенностью нельзя потому, что, как уже говорилось, пока еще рассмотрены не все напряженно-деформированные состояния с особой асимптотикой.
Замечание. Уравнения состояния обсуждались лишь с точки зрения связанных с ними асимптотических погрешностей. Разумеется, существуют и другие аспекты вопроса. Можно, например, требовать, чтобы выражение энергии деформации оболочки, соответствующее выбираемому варианту уравнений состояния, обладало нужными свойствами. Этого также можно добиться, опираясь на результаты §§ 5.30—5.32 и добавляя нужные слагаемые в уравнения состояния или отбрасывая лишние слагаемые, если нет необходимости в повышении точности, но на подробностях, мы останавливаться не можем.
Остановимся в заключение на теории изгиба пластинок. В ней исследуется напряженно-деформированное состояние, в основном обусловленное моментами. Из этого не нужно делать вывод, что итерационная теория первого приближения даст в теории изгиба пластинок пониженную точность. Дело в том, что соответствующие главные напряжения обратно симметричны по £, а поэтому в третьем и четвертом равенствах 27.13.8 слагаемые с £2, отбрасывание которых и приводило к погрешности 27.12.8, теперь точно обращаются в нуль.
Замечание. В настоящей главе считалось, что если в дифференциальных уравнениях отбрасываются слагаемые, имеющие для решений данного типа определенный порядок малости, то порядок погрешности этих решений будет таким же. Вместе с тем, из результатов, изложенных в приложении, вытекает, что это может быть и не так. Например, если для однородного уравнения П. 3.1 надо построить интеграл с положительным, но не ’слишком большим показателем изменяемости т и мы выполняем это, отбрасывая второстепенное слагаемое xfN Ф, то для соответствующей погрешности выведена оценка П. 7.8, показывающая, что это есть величина вида
0е2т1-пг,
в то время как для решений такого типа справедлива оценка
тfN Ф L Ф О е2т'-л.
Здесь е — малый параметр, а г — положительное число, равное кратности некоторого семейства характеристик оператора L. Поэтому в данном случае обсуждаемое правило приводит к преувеличенно хорошей оценке.
Мы не будем разбирать вопросов, связанных с такими несоответствиями. В статике оболочек оно, как правило, не влияет на окончательные выводы, т. е. на выводы, относящиеся к погрешностям решений краевых задач. Это объясняется тем, что, как показано в приложении § П. 12, в решение краевых задач статики оболочек входят обычно лишь такие интегралы с большой изменяемостью, которые быстро затухают при удалении от края. Это правило допускает и исключения, которые могут иметь место при статическом расчете оболочек неположительной кривизны. В этом случае, а также при решении динамических Задач при оценке погрешностей надо проявлять осторожность.


ГЛАВА 28
ТЕОРИЯ ПОГРАНСЛОЯ
§ 14. Преобразование уравнений теории упругости
Обратимся к изучению краевых упругих явлений и будем снова отправляться от уравнений трехмерной теории, взяв их в форме 26.1.1, 26.1.2,
26.1.4. Так же как и раньше, введем несимметричные напряжения, а кроме того, преобразуем компоненты перемещений упругой среды, приняв следующие формулы:
Su-Oi-K s--S5-K s--sr°.
i2 1 Н—СГ12’ 22 4“ °22f a32 28.14.1)
S18 l --ог13, SM l -r-723 533 1 ‘-1 --7зз>
Vm hr1vm т 1,2,3.
Здесь величины St- по смыслу совпадают с величинами iy xr, i3y т3, введенными при помощи равенств 26.1.6, но для дальнейшего удобно обозначить их по-другому.
Будем считать, что край оболочки, вблизи которого надо исследовать напряженное состояние, задается уравнением а10, и введем замену независимых переменных по формулам
ai — ю а2 а3 RX- 28.14.2)
в которых величины R, А,, I, р имеют тот же смысл, что и в 26.2.1. В дальнейшем будет считаться, что в краевом напряженно-деформированном состоянии искомые величины не меняют своего асимптотического поведения при дифференцировании по 2, £. Отсюда, рассуждая так же, как в § 27.7, можно сделать вывод, что формулами 28.14.2 предопределяется характер изменяемости погранслоя. А именно, постулируется, что по переменным а± и а3 показатель изменяемости погранслоя равен единице, а по переменной а2 — числу t, определяемому формулой
28.14.3)
После подстановки 28.14.1, 28.14.2 в 26.1.1, 26.1.2, 26.1.4 уравнения теории упругости можно переписать так:
Я 1 dStl i № 1 dSig А , R dSls ,
R At dh ' R A2 dl2 t- R V1 W dl ^
Жа; Si1 lir 4lSl2 'wr Sl3 °’


§ 14]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
429
X1 1 as31 Хр 1 ' dS22 , X1 л , R ,_Z5. as,
R Ах дЪ R А2 д2 R V Rt Л ^
28.14.4)
22 Sl1 4j42 да 12 S2i -щ- 523 О,
х1 1 as41 , хр 1 as,.
г а, дх • r а2 а§2 1 R ag
_1_ 1 дЛ2 1 1 с _ 5ii jS22 _ л
АхА2 да, °13““ Лх4а да2 23 R, R U’
04т№ 7. £-
1Г О “lrA'_ Sll — V О “7 _S22 —v53s 0, 0 --я-г0-Ж-л7-
I*
“xtO -tJl_0S22-V1 vS3s °,
El4rx-l№--bx-'tJt-
28.14.5)
X1
I—v 1 —л-11—V i -g
1 dV9
33 vlH—R vl“l—£7^
41ir-'cTr- T1l-'c-i aSl -
- -ssr-g-O l-'0l'--TT3r-t-1
_2lv-l -§rb-‘£su 0, ' -S7l-'£r-f-:1 г1-'0тгж-- л,л, л ■ -frl_'£F,_aa, 4 0 ir'_'cv'‘ ~
— 2lv-j-l -X-S12 0,
£0 1Вг>
— 2lv-l -XS,3 0,
-2dv7i -f-'cs-o.


430
ТЕОРИЯ ПОГРАНСЛОЯ
ГЛ. 28
Обозначим через М любую из следующих величин:
1 1 1 d-4i I дЛ2 1 1 1 л ра
А,’ Л2 АгА2 да2 ’ АгА2 даг ’ ’ R2 9
входящих в коэффициенты уравнений 28.14.4, 28.14.5, и будем считать, что М можно разложить в ряд Тейлора вблизи а10, т. е. учитывая
28.14.2, написать
М S сч —10р S Ъ-р1М0№1*
р0 р0
под Мр подразумеваются коэффициенты тейлоровского разложения. Пользуясь этим, будем иногда представлять М в виде
М М0 Х-1 М 28.14.7)
где
Moм ш s агр_1 1 м0 те.
pi
§ 15. Преобразование уравнений теории упругости продолжение)
Задача интегрирования уравнений теории упругости сводится к определению совокупности величин, стоящих в левых частях равенств 28.14.1. Обозначим ее через S и разобьем на две группы, т. е. напишем
S P Q,
где под Р и Q подразумеваются следующие совокупности величин:
р Sn, Si VJ, 28.15.1)
Q Sa, S22, S33, Si3, Vt, V3. 28.15.2)
Введем понятия о решениях типа а и о решениях типа b. Первое из них определим условным равенством
S P l-‘pQ. 28.15.3)
Оно в развернутом виде эквивалентно соотношению S 1И, 512, SB V2, Х-ч§ь, №Sa, X-‘Sw, X-‘”S13,
X-lPVly X-‘°vX
в котором буквой а сверху отмечены величины вида О к0. Аналогично, решение типа b определим требованием
S X-ipp Qt 28.15.4)
которое означает, что
ь ъ ь ь ььььььь\
s k-ltS2i, klPS12, llPS23, K-t'V SluS22t S33, S13 V, V9.
Подставим в преобразованные уравнения теории упругости 28.14.4,
28.14.5 выражения 28.15.3 для решений типа а или выражения 28.15.4 для решений типа 6, заменим коэффициенты уравнений выражениями вида


ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
431
28.14.7 и запишем полученный результат следующим образом:
dSn , dSls у I j _ yi ч
-Atr drXl l Xl0*
•11 I °13 I V i 1 — i yl
110 5? •■ dt
k k f,
1 dS9r , dSo k k'
Л db ^
__А_А_Х1Я_,Х,0>
— s„ — v 1m g, 1 ' ll 0,
Г k k Aj 1 k k
I522 V S„ S33JJ 2 ,— 2 0,
Ж
dv k k k k k 28.15.5>
Er L-Sss—v Sn S22JJ Гз 0,
k
E dV,
10
— 21 v S21 21 l 0,
E dV<
•21 -j- v S22 f 2? 12 f“ X 12 0,
10
, 1 3 on , , -£1
Xlo
k
— 21 4 v S13 b 13 b 13 0,
E — 2 1 v S23 Jv 0.
Уравнения 28.15.5 имеют силу как для решений типа а, так и для решений типа Ь, т. е. значку k можно придавать значения а и Ь. Величины X и 8 с различными индексами представляют собой выражения, не содержащие в коэффициентах положительных степеней X. Ниже приводятся те из этих выражений, которые понадобятся в дальнейшем. Не выписанные формулы, имеют такую же структуру.
а а а
Формулы для Хь 8 „ Sц\
у _ 1 dL , R' дА10 )
А1--Л М АА да 12 •” 21»
л20 ис2 Л10Л20 иа2
у 1 d.S3a о —р R дЛ10 о
Л2„ dg2 Л А10А20 да2 28.15.6.
ER дА10 £, Е dV2
1020 дх2 2у 2 Л2 о д£2 9
а а а а а а
х2 п аг12 г3 гт18 г23 0.
ft ft b
Формулы для Xit 8t, 8if:
v S22 - _p R dA10 оч
2A20 dt2 A10A20 da2 V — bnh
9p J3 j? 1 di —p R 10 Л gp E dV3 28.15.7)
и21Е--Ж — Х-р --V, , S2z— -r-
■20 2 1020 a2 ' 20 2
ft h b ft ft ft
X, X3 sx 813 Г2Г3 0.


432
ТЕОРИЯ ПОГРАНСЛОЯ
С ГЛ. 28
Формулы для X: yi _j_ У 11 I __ У 12 I R ? 13 Г
Al - A J дЪ I Л2 д£2 R, Q dl +
я ■Л371ST •§- - J” тк -st' J- 21-1
VI 1 У Sgl 1 22 I R 9- dS23 j
X2-a; Ж 42 dU R2 £ 0C +
1 d4x £ ? 'j - p 1 дЛ2 f q .
лй7 —uJ -47 -7 W12 -21 -г- - ■R
, ■ ■ ■ x x 28.15.8)
LHpp 1 с ‘ 1 ал2 § I 0 ? ^
к кТГ ж:W22 — Ьц -j-j- Ж7 z'r7 *
yi 1 dS31 1 у dS32 , p 1 ЗЛ2 о ,
ХзАг ЩГ V4J Ж ИА'Г 13 +
I 1рр У 9 Я о 9
А 'Ч’мГайГУ ,b23—я75п — И7 22*
Формулы для X:
yi 1 У I л—2р 1 di?i2 I ?■ 13
Xl ж, л:дгж^
, n 1 дЛ2 91 R 1 s I С. I о С
yi_r 1 У dS21 1 у as22 7? tas23 , 28.15.9)
Л2а -ЩГ-Г2 +
-Ш'-х- йтзг+
I Р 9 9 9
к к лй7 Ж7 23 яГ 11 R7 23*
§ 16. Построение решений типа а и )
Рассмотрим подробнее уравнения 28.15.5 и примем, что их можно приближенно решать, отбросив слагаемые
-1Хги Tlk, X'lhj 28.16.1)
как содержащие малые множители.
Пусть речь идет о решениях типа а. Тогда в 28.15.5 надо положить
а а а
k а и определить Xh h ё?ц по формулам вида 28.15.6. Поэтому, после


ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ ТИПА а и Ъ)
433
отбрасывания величин 28.16.1, второе, седьмое, восьмое и десятое уравнения 28.15.5 можно записать так:
а а
з. 0 _Е_ _ 2 1 v S2f 2 1 v S12,
л10 °Ь1 Аю 28 16 2)
а
£ 21vS23.
Они образуют самостоятельную подсистему, содержащую четыре урав-
а
нения с четырьмя неизвестными величинами Р, из которой последние и могут быть определены.
Уравнения 28.16.2 имеют простой физический смысл. Положим в них пока А 1е 1 и будем понимать под £lf 2 £ — декартовы координаты, под
а а а а ^
S12 S21, S аз У2 — напряжения и смещения упругой среды, отнесенной к этим координатам значки 1, 2, 3 соответствуют направлениям £2, £. Тогда 28.16.2 можно трактовать как уравнения антиплоской задачи теории упругости, для которой плоскость отсчета задается равенством
l2 g20 const. 28.16.3)
При этом в системе 28.16.2 второе двойное уравнение можно отбросить, заменив его равенством
S12 521, 28.16.4)
выражающим закон парности касательных напряжений.
Такую интерпретацию системы 28.16.2 нетрудно распространить и на случай, когда А10 отлично от единицы. В этих уравнениях £2 можно рассматривать как параметр, так как искомые функции не дифференцируются по £2. Вместе с тем А10 краевое значение коэффициента первой квадратичной формы срединной поверхности зависит только от 2. Поэтому можно ввести следующую замену переменной:
Л10Ь Еь 28.16.5)
которая эквивалентна принятому выше допущению А10 1.
а
Итак, 28.16.2 относительно величин Р представляют собой уравнения антиплоской задачи, в которой плоскость отсчета определяется равенством 28.16.3, а координата растянута в разных плоскостях 28.16.3)
а
по-разному по закону 28.16.5. Для определения величин Q мы имеем неиспользованные пока первое, третье, четвертое, пятое, шестое и девятое уравнения 28.15.5. Их, отбросив снова величины 28.16.1, можно переписать так:
1 д£ц dS13 y 1 dS31 dS33 а
W13 I у Л 1 W31 f w33 iy A
dl, dt ” U’ Al0 dg, dt Г Аз “ U’
sn-VSM S33-г. £L S33-v sn sj28.16.6)
a a \
a Iй' a a i FV 1 fiV a
s22 — vsil sj 2, Et -Ar 2lvSu —i


434
ТЕОРИЯ ПОГРАНСЛОЯ
ЕГЛ. 28
Здесь величины вида Xi9 i9 определяются равенствами 28.15.6. Просматривая их, убеждаемся, что все эти величины либо равны нулю, либо
а
выражаются через Р9 т. е. через величины, для которых уже выведены урав-
а а
нения 28.16.2. Итак, приближенное построение величин Р9 Q может быть
а
выполнено в два этапа. Первый из них заключается в нахождении Р из
а
уравнений 28.16.2. Второй этап заключается в нахождении Q из уравне-
а а а
ний 28.16.6, в предположении, что Xi9 i9 ц известны.
Равным образом при построении решений типа Ь надо исходить из
системы 28.15.5, считая, что в ней положено k b, отброшены слагаемые
ь ь ь
28.16.1, а величины Xi9 i9 Sц определяются формулами 28.15.7. В ре-
ъ
зультате для Q получается следующая подсистема:
1 dSu dSi3 n 1 3i I dS33 ~
№. rfr a?. T“ ar
a10 r ac a10 ' di
b h - — b
dV- b
b b ь av b b ь \
Sfl — v S22 SJ, E S33-v Sn Sj, 28.16.7)
4lo 11 v22'r33 as
L - v L D 0, J--2lv Si3.
Она составляется из первого, третьего, четвертого, пятого, шестого и девя-
ь ь ь
того уравнений 28.15.5, в которые величины Xi9 i9 не входят в силу
шести последних равенств 28.15.7.
b h
Физический смысл равенств 28.16.7 также прост. Считая, что Sn, S22,
b b b b
S33, S13— напряжения, a Vl9 V3 — смещения упругой среды, отнесенной
к декартовой системе координат i, £2, £, легко убедиться, что 28.16.7 представляют собой уравнения плоской задачи теории упругости, для которой плоскость отсчета задается уравнением 28.16.3, а декартова координата £1
растянута при помощи замены 28.16.5.
ь
Величины Р определяются из следующих уравнений:
1 dS2l , dS23 , у о Е dV2 0 I -
“1 at I дГТЛ2 - -J- яр — 21»
л10 0Q Ю 051 ,0Q , n 04
b h 28Л68)
E dV9 01 b JL e. dV2 b b
21 —— v S12 — 12, E —ijr- 21 vS23 — (
A7ir“MiTV;U12 12’ dZ “-VTV23 - 23,
они получаются из второго, седьмого, восьмого и десятого равенств 28.15.5)
ь ь ь
после отбрасывания слагаемых 28.16.1. Величины вида Xl9 l9 &
в 28.16.8 надо подсчитывать при помощи первых четырех равенств 28.15.7.
ъ ь ь
Просмотрев последние, убеждаемся, что Xt9 §i9 tl выражаются только b ь ъ
через величины Q. Это значит, что построение величин Р9 Q также может быть
ь
выполнено в два этапа: на первом из них определяется Q как интеграл урав-
ь
нений плоской задачи, а на втором этапе определяются Р ценой интегрирова-
ь ъ ь
ния уравнений 28.16.8, в которых Xi9 §i9 £ц можно рассматривать как известные величины.


ПЛОСКИЙ И АНТИПЛОСКИЙ ПОГРАНСЛОИ
435
Полученные результаты можно сформулировать так. В решении типа а,
а
как видно из 28.15.3, главными являются величины Р9 которые удовлетворяют однородным уравнениям антиплоской задачи теории упругости
28.16.2.
В решении типа 6, как видно из 28.15.4, главными являются ь
величины Q, которые удовлетворяют уравнениям плоской задачи теории упругости 28.16.7. Основываясь на этом, будем называть решения типа а и Ь антиплоским и плоским решениями уравнений теории упругости соответственно.
а b
Величины Q в антиплоском решении и величины Р в плоском решении, как уже говорилось, второстепенны. Первые из них удовлетворяют неоднородным уравнениям плоской задачи 28.16.6, а вторые — неоднородным уравнениям антиплоской задачи 28.16.8. В обоих случаях свободные члены составляются как некоторые линейные дифференциальные выражения от величин, определенных ранее.
Отметим, что при интегрировании уравнений 28.16.2 или уравнений 28.16.8 можно требовать, чтобы на лицевых поверхностях выполнялись условия
S3Js±i0, 28.16.9)
а при интегрировании уравнений 28.16.6 или уравнений 28.16.7 можно требовать, чтобы на лицевых поверхностях выполнялись условия
S311с±1 Sss Ic±i 0. 28.16.10)
Описанный здесь подход позволяет строить антиплоское и плоское решения лишь приближенно, так как он базируется на отбрасывании членов
28.16.1.
Легко показать, что полученный результат можно формально уточнять при помощи итераций, но на подробностях мы останавливаться не будем и примем, что построенные в этом параграфе уравнения позволяют строить обсуждаемые решения с асимптотической погрешностью порядка
8 О Х1,
так как такой порядок имеют отбрасываемые слагаемые 28.16.1.
§ 17. Плоский и антиплоский погранслои
В дальнейшем нас будут интересовать только такие решения уравнений теории упругости типа а и Ь, которые на лицевых поверхностях удовлетворяют условиям 28.16.9, 28.16.10 и, кроме того, затухают при удалении от края а1 а10 последнее уравнение в дальнейшем будет записываться также в виде £i 0 или 0. Такие решения мы будем называть антиплоским погранслоем и плоским погранслоем соответственно.
Дополнительное требование, чтобы погранслои затухали, не всегда может быть выполнено. Из сказанного выше следует, что погранслои представляют собой напряженные состояния, возникающие в полуполосе
— оой0, — К£1,
лицевые стороны которой и ее бесконечно удаленный торец £i —оо свободны от внешних сил. Поэтому полуполоса будет уравновешена в целом тогда и только тогда, когда краевые при 0 напряжения находятся


436
ТЕОРИЯ ПОГРАНСЛОЯ
ГЛ. 28
в равновесии с массовыми силами, т. е. когда выполняются следующие четыре физически очевидных равенства:
которые можно получить и формальными математическими выкладками, интегрируя первые три равенства 28.15.5, представляющих собой уравнения равновесия.
Равенства 28.17.1 мы назовем условиями затухания. Очевидно, что они необходимы для того, чтобы существовали затухающие решения типа а и Ь, а следовательно, и для того, чтобы существовали антиплоский и плоский погранслои. Основываясь на принципе Сен-Венана, примем, что они являются и достаточными.
§ 18. Структура полного напряженно-деформированного состояния оболочки
В дальнейшем мы будем исходить из предположения, что напряженное состояние трехмерного тела оболочки составляется из внутреннего напряженного состояния и погранслоев. Погранслои, как уже говорилось, локализуются вблизи краев оболочек или других линий искажения, а под внутренним понимается напряженное состояние, не обладающее свойством затухания и захватывающее, вообще говоря, все области тела оболочки. Итерационная теория оболочек, изложенная в гл. 26, является приближенным методом построения внутреннего напряженного состояния, а приближенная теория погранслоев изложена в гл. 28. Для того чтобы оправдать высказанное предположение, надо показать, что внутреннее напряженное состояние и погранслои в совокупности содержат достаточно произволов для выполнения трехмерных граничных условий на боковых поверхностях оболочки. Это будет сделано в следующей главе для некоторых конкретных видов граничных условий.
Обозначим через Л напряженное состояние трехмерного тела оболочки, а через Лм и Лп' с внутреннее напряженное состояние и погранслой соответственно, и будем считать, что
■1 —1 —со
—1 —со
1 1 —00
—1 —1 —со
J кг L0dl J J x, Xl h Aw db o,
л лвнлп-с\
Эта концепция характерна для всех работ, в которых теория оболочек строится асимптотическим методом ссылки в § 26.6.


СТРУКТУРА ПОЛНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧКИ
437
Конкретное содержание символов Лвн и Лп‘с определяется формулами глав 26 и 28.
Внутреннее напряженно-деформированное состояние Лвн строится так, чтобы выполнялись условия на лицевых поверхностях, которые, вообще говоря, неоднородны и выражают тот факт, что к этим поверхностям приложены внешние силы. Таким же условиям будут удовлетворять и полное напряженно-деформированное состояние Л, так как погранслой Апс подчинен однородным условиям на лицевых поверхностях. В соответствии с результатами § 28.15 выразим Лп,с так:
а b
дп.с __ дп.с дп-с)
а Ь
Здесь Лпс и Л'п'с соответствуют антиплоскому и плоскому погранслоям, поэтому, учитывая соотношения 28.15.3, 28.15.4, напишем равенства
лп-с г р х-‘р о, лп-с -1рр о.
В них Ха, Х — постоянные множители, которые мы вводим, пользуясь тем, что задача о погранслое однородна. Под аир подразумеваются произвольные числа, которые в антиплоском погранслое и в плоском погранслое в отдельности должны иметь одпнаковое значение для любого напряжения или
a a b Ь
перемещения. Асимптотика величин Я, Q, Я, Q была определена выше, а именно, было принято, что
A Q, Р, Q 01, 28.18.1)
поэтому порядок вклада погранслоев в полное напряженное состояние оболочки определяется значениями чисел а, р, и мы назовем последние показателями интенсивности антиплоского и плоского погранслоев.
Таким образом, принимается формула
л лвн -f Ха р аггр5 4- Xе -,рР -I- q, 28.18.2)
и следуя той же схеме, что и в части IV, мы будем в дальнейшем подбирать в ней значения а, р так, чтобы граничные условия на боковых поверхностях можно было выполнять при помощи итераций.
В 28.18.2 под Я, Q понимаются величины, определяемые формулами
28.15.1—28.15.4, а для Лвн справедливы формулы 26.1.6, 26.2.4,
26.3.4, 26.3.8, 26.3.16, 26.3.18, 26.3.24, 26.3.25. Учитывая все это и принимая во внимание, что ft RXl, можно следующим образом расшифровать равенство 28.18.2 для некоторых ведичин, которые понадобятся ниже:
„ 1 _ л‘ Р, А +
Я,а-гр5п 5ц,
Си 1 -7Г- ст12 я ти АГ'ТВ к212р?т'п +
v Rl ’ 28.18.3)
a5i2 ktpSi2,
1l3 1 -r СГ31 kP xi3 £T13 h l2PCfrl3 _2,2P?3Ti3 -f-
Г-1рАз Аз,


438
ТЕОРИЯ ПОГРАНСЛОЯ
ГЛ. 28
VI Xlp pi _2Z2prf; R-Vx RXnlVu
ъ Яг_р й -l2p-v2 Х212рк Rl v2 RX2lpV2, V3 Xl-C Сз Kl О Ь212рАз RXa2lp Vs RXlVs
считается, что асимптотика внутреннего напряженного состояния — не особая, и в относящихся к нему формулах положено b 0.
В дальнейшем для простоты рассуждения будут проводиться на том уровне точности, который соответствует итерационной теории исходного приближения, хотя принципиально можно было бы показать, что во всех рассматриваемых случаях существуют и итерационные процессы. В связи с этим в равенствах 28.18.3 всегда, когда не оговорено противоположное, будут отбрасываться величины, отмеченные штрихом, что соответствует обычно принимаемой в этой части книги точности порядка
е О Х212р. 28.18.4)
В погранслоях пока никаких отбрасываний делаться не будет. Погрешности, допустимые для связанных с ними величин, выявятся ниже.
Замечание. В 28.18.3 в показателях степеней X при числах, относящихся к внутреннему напряженному состоянию, надо под р подразумевать число, определяющее по формуле 27.7.3 общий показатель изменяемости искомого общего напряженно-деформированного состояния. В степенях X при членах, относящихся к погранслоям, надо было бы вместо р писать р', т. е. число, характеризующее частный показатель изменяемости в направлении края аг — а10. При этом, очевидно, было бы справедливо неравенство р' р.
Для простоты мы пренебрегаем таким различием и будем пользоваться в следующей главе формулами 28.18.3, так как можно показать, что введение числа р' не изменило бы окончательных результатов. Эта поправка сказывается только на оценках погрешностей построения погранслоя при р' j р точность возрастает.


ГЛАВА 29
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНСЛОЯ С ВНУТРЕННИМ НАПРЯЖЕННЫМ СОСТОЯНИЕМ ОБОЛОЧКИ
§ 19. Свободный край
Пусть край оболочки совмещен с боковой поверхностью аг а10 и на нем должны выполняться граничные условия, выражающие отсутствие внешних поверхностных сил. Учитывая, что несимметричные напряжения, введенные формулами 26.1.6, пропорциональны симметричным напряжениям, эти условия можно записать так:
0, Ti2 0, т13 0 ах а10.
Расшифровав здесь левые части по формулам 28.18.3 и отбросив величины со штрихом, получим
тх 'кг12Р—1 -f- A—2lpaSn ArlpS11 0,
Ч2 4- Я,-зр12 0,
29.19.1)
°13 Ст18 4- X-lS13 0
ах а10.
Входящие сюда числа а, р — показатели интенсивности плоского и анти- плоского погранслоев — пока произвольны. Их надо выбрать так, чтобы получить удобный итерационный процесс выполнения условий 29.19.1. Чтобы сократить связанные с этим рассуждения, используем традиционные граничные условия классической двумерной теории оболочек см. часть I. Пренебрегая в них поправками от крутящих моментов и учитывая формулы 26.5.2, запишем эти условия для свободного края следующим образом:
Ti 0, т12 0, т13 А,_2р_ст13 0, Tj 0 ах а10 29.19.2)
и примем, что они верны с некоторой степенью приближенности.
Единственно приемлемые значения чисел а, р в случае свободного края определяются так:
а 2 р— с, Р р. 29.19.3)
Чтобы показать это, внесем 29.19.3 в 29.19.1, учтем 29.19.2 и, сохранив в полученных равенствах только главные члены, напишем
Su --А, р Su 0, S12 4- £т12 0,
Sia 4“ Р SM 4- 1 Чз Ь STi3 0
ах а10. 29.19.4)


440
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНСЛОЯ С ВНУТРЕННИМ СОСТОЯНИЕМ
ГЛ. 29
Второе из этих равенств можно рассматривать как торцевое условие для исходного приближения антиплоского погранслоя. Равным образом первое и третье равенства 29.19.4 можно принять за торцевые условия для исходного приближения плоского погранслоя. При этом, считая, что сначала определяется антиплоский погранслой, величины с верхним индексом а в первом и третьем равенствах 29.19.4 можно рассматривать как известные. Таким образом, формулы 29.19.3 приводят для определения исходного приближения антиплоского и плоского погранслоев к формально непротиворечивым задачам. Они заключаются в интегрировании уравнений 28.16.2 или 28.16.7 с учетом условий 28.16.9 или 28.16.10 на лицевых поверхностях, требований затухания при —оо и торцевых условий 29.19.4. Эти задачи оче¬
видно однородны, когда однородны торцевые условия, и неоднородны в противоположном случае. При торцевых условиях 29.19.4 исходные приближения погранслоев будут, вообще говоря, отличны от тождественного нуля случайные нарушения этого правила мы рассматривать не будем. В этом и заключается формальная непротиворечивость задач, к которым приводят формулы 29.19.3.
Легко проверить, что на свободном крае формулами 29.19.3 определяется единственная комбинация значений а, р, приводящая к формально непротиворечивым задачам для построения погранслоев. В самом деле, если а 2р — с, 3 р, то равенства вида 29.19.4 станут однородными относительно величин, связанных с погранслоями; если а 2 2р — с, Р i р, то в равенства вида 29.19.4 не войдут величины, связанные с погранслоями; если а 2р — с, Р р, то для исходного приближения плоского погранслоя получатся однородные торцевые условия; если а 2р — с, Р р, то такая же ситуация получится для антиплоского погранслоя. Во всех случаях задачи построения погранслоев не свободны от противоречий противоречивыми надо считать случаи, когда упомянутые задачи получаются однородными, так как тогда соответствующий погранслой можно считать приближенно равным нулю, а это и значит, что а или Р были выбраны неправильно.
Подставив еще раз 29.19.3 в 29.19.1 и не производя пока никаких отбрасываний, получим
т, х-12рхк к -tpsu о,
xi2 Р £т12 Р 12 0 29 19 5)
х1з -г £х1з ь х1з Si3 0
а1 хо.
Смысл величин, отмеченных здесь звездочкой и точкой сверху, определяется равенствами
Р Р Q Q X-‘-°Q,
а b • a b
p p X-lcP, Q Q klcQ.
a a b b
Величины P, Q и P, Q порознь удовлетворяют линейным уравнениям 28.15.5. Из формул 29.19.6 вытекает, что это останется в силе и для .
величин Р, Q, Р, Q, если в этих уравнениях заменить индекс k звездочкой либо точкой и считать, что
Xt Х‘х - Х Г-г2о-сХ, X-1 х А'2р“сХг, xt х‘х Xi х1сХ; гг1 х А,_ех.
Но, согласно 28.15.6 и 28.15.7,
Xs 0 sl,3, Х2 0,


СВОБОДНЫЙ КРАЙ
441
поэтому
29.19.7)
Равенства 29.19.5 должны выполняться при любых значениях £. Воспользовавшись этим, помножим каждое из них на d£ и проинтегрируем в пределах —1, 1. Кроме того, помножим первое равенство 29.19.5 на £ d£ и выполним такое же интегрирование. Получим
Здесь величины со звездочкой и точкой определяются формулами
29.19.6 и представляют собой линейные комбинации погранслоев. Следовательно, надо требовать, чтобы для них выполнялись условия затухания, т. е. равенства, получающиеся из 28.17.1 в результате замены индекса k звездочкой или точкой. Таким образом, введя некоторые дополнительные множители, можно написать
Раскрыв в правых частях равенств подынтегральные выражения по формулам 29.19.7, отбросив слагаемые, выходящие за пределы точности
—1
-1
29.19.8)
—1
-1
аг а10.
1 1 о
1 ‘10
Sal L 0 dl f dl f x3 Я- Xj Лю dl г,
1 —1 —00
1 i О
1 О
0.


442
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНСЛОЯ С ВНУТРЕННИМ СОСТОЯНИЕМ
ГЛ. 29
а b
28.18.4, и выразив величины Xt и X при помощи 28.15.6 и 28.15.9, получим
1 0
1 Л J,
si*
-1 -1 -а
1
—1Р—с
— 1
1
J
Ь1Р j5u,o -X-2Z3p-c jdt J
— 1 — оо
L
J 52110с — О 5a ,о dt =
—1 —CD
1 1 0 ° 1 АГгр js„ ll0£d£ — -2г3р-е Jud j -±- --i410dd dt +
— 1 —1 V CD /
29.19.9)
1 V CD
1 0
x-2l3p-c j d j _L ЛхоЬ dlu
-1
Правые части этих равенств можно значительно упростить, учитывая, что точно или в пределах погрешностей порядка 28.18.4 мы имеем право выполнять следующие действия:
1. Выносить за знаки интегрирования символ дифференцирования по £2, а также величины, зависящие только от £2, к которым, в частности, относятся величины, отмеченные дополнительным индексом 0.
2. Заменять величины
Ш'- яг
1 дА, 1 1
Л2 даг 9 i?i ’ R2
их контурными значениями, т. е. приписывать им дополнительный индекс 0 и также выносить их за знаки интегрирования при этом совершается ошибка порядка О А,-; она допустима при тех множителях, которые стоят при интегралах в правых частях обсуждаемых равенств.
3. Пользоваться равенствами вида
k k
Sif sft
при i Ф j 1, 2 они приближенны, но и в этом случае погрешность имеет порядок О А,--
Учитывая все это, получим
1 1
Ь1р Sn Lo dt — X2l3pc -J- , xl2pc js12 El_od£ 0,


5 19]
СВОБОДНЫЙ КРАЙ
443
J U,_—£4г*
—Р R дЛ10
А1пЛ on да9
-ХтгХ, Х''л5г.-—29.19.10)
I
Ь-1Р j Si L0 £ d£ - _ ht
10 10
A j 1210 2 j 3210
— 1 —CO 1 CO
10 b 10
з f I Ж- Л° 4 II Aodgi,
1 U
5 Jd£ j Siodli,
— 1 —00 1 0 7 jM? j SnAiodh,
— 1 —00
1 0
J J 2210 61»
— 1 —00
0 0
h
-1 —00
29.19.11)
и и
J J S32A?obdb.
Выписанные интегралы можно вычислить или привести к нужному виду при помощи следующих приемов:
1 изменение порядка интегрирования;
2 выполнение квадратур по переменным или £ и интегрирование по частям по той или иной из этих переменных;
3 использование условий затухания при £г —оо для вычисления обынтегрированных слагаемых, получающихся при интегрировании по
4 использование условий на лицевых поверхностях'28.16.9 и 28.16.10 для вычисления обынтегрированных слагаемых, получающихся при интегрировании по £;
5 использование уравнений 28.15.5 для преобразования подынтегральных выражений.
Замечания. 1. При использовании условий затухания принимается без доказательства, что напряжения затухают экспоненциально, т. е. быстрее, чем '£п п — любое.
2. Легко проверить, что для достижения точности 28.18.4 все интегралы достаточно строить с погрешностями порядка О А,-11с, поэтому в уравнениях 28.15.5 можно отбросить величины с верхним индексом 1, а это значит, что величины с индексом а и величины с индексом b удовлетворяют однородным уравнениям 28.16.2 и 28.16.7 соответственно.
Преобразования интегралов Iky в которых использованы все эти приемы, приводятся ниже без дополнительных пояснений:
1 ' 0 а )
х Ло j MJ-- j U =
— 1
— OO 0
—Ак iь 1 ж-dha 114- 4 - °
—00 V—1 —CO K—l )


444
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНСЛОЯ С ВНУТРЕННИМ СОСТОЯНИЕМ
.ГЛ. 29
а j Ш-- j dh—а10 j ?J J at =
1 0 а ч -pi
01 b 0 1 b
з Л,о j dg, j Д?- —40 j dgi j dt o,
— CO —1 CO 1
П' 1 о ь ^
IA,”—- j pMs.J-K-
—A'° 15 1 J- 4t. 0’
—CO V— 1 ' —00 V 1 '
Aj— J llfdtdt =
0 1 b 0 1 b 1
— Д„ j I, J j dsjdgi — 4o j I, j -g2- dgjdg, 0,
10 -p 1 0
j 33 10 “Ь vAo SAo =
— 1 —CO —1 —CO
v4I0 j Аз-— j £--dcd, —v10 j c J --dJdC*
I AAd;‘v 1
— 1 00 ' —1
8 4o j ЦШ-- j lddh =
Ша Л 1 0 a
?1 dbd£ Лю j gdf jA-gs-d?,»
э J —1 —CO
•f j- 0 ч 1 0
— 10 J r j 112—00 JSudbU J С 1210 7-
— 1 V —00 —1 —00
так,
i
1 з 4 50, 2 j Sui,_o£d£,
— 1
1 1 0 e v j S3iLo Cdg, -8 7 j tdt j Siodb-
— 1 -1 a
1 г о b 1
1
29.19.12)
—1 —1 —00


СВОБОДНЫЙ КРАЙ
445
Вернемся к формулам 29.19.8. Они составлены с точностью 29.18.4. Поэтому, сопоставив их с 29.19.10 и 29.19.12, получим такие оценки:
4 L _0 О Г-22р, т121 о О Л-2г2р,
б1“° 1,“° х 29.19.13)
4з l2p-cL 10 О Я-г2р-р , тг 10 О Я-'р.
Условимся здесь и всюду в дальнейшем, что краевое напряженно- деформированное состояние оболочки будет строиться с меньшей точностью, нежели внутреннее напряженно-деформированное состояние. А именно, будет допускаться погрешность порядка
e QAT'p. 29.19.14)
Основание для этого выясняется ниже, а пока отметим, что формулой 29.19.14 оценивается погрешность суммы антиплоского и плоского по- гранслоев. В рассматриваемом случае, когда а 3, принятые выше требования к точности означают, что для антиплоского погранслоя допустимой остается погрешность 29.19.14, в то время как для плоского погранслоя она определяется так:
80 xipa4i О Х12рс, 29.19.15)
Будем рассматривать первое и третье равенства 29.19.5 как торцевые условия для плоского погранслоя, а второе равенство — как торцевое условие для антиплоского погранслоя, и произведем в перечисленных равенствах отбрасывания, соответствующие допустимым погрешностям 29.19.14,
29.19.15. При этом для оценок слагаемых, относящихся к внутреннему напряженнодеформированному состоянию, используем равенства 29.19.13, третье из которых означает, что
т13 012рс.
Для величин со звездочкой и с точкой справедливы формулы 29.19.6. Не выходя за рамки погрешности 29.19.14 для антиплоского погранслоя и погрешности 29.19.15 — для плоского погранслоя, эти формулы можно заменить более простыми:
ь ь а а
Р Р, Q Q, Р Р, Q Q.
Учитывая все это, получим с нужной точностью торцевые условия для плоского погранслоя
L О, S13 — £т13 0 29.19.16)
и торцевые условия для антиплоского погранслоя
St2 — — ii2 I, 0. 29.19.17)
Пользуясь полученными равенствами, можно преобразовать формулы
29.19.12 для 2 и 6 и написать
-И ^
2 lio J £2 — з 12 L0,
_1 29.19.18)
Г 1 I 2 1 I
h — v J т13 li0£2 d£ — у vrls ,о.
-1


446
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНСЛОЯ С ВНУТРЕННИМ СОСТОЯНИЕМ
ГЛ. 29
Замечание. Величины 2 и 6 входят в третью формулу 29.19.10 с множителями Х1 и Х‘1 соответственно. Первая из них преобразовывалась при помощи равенства 29.19.17, а вторая — при помощи равенств 29.19.16. Им отвечают указанные выше погрешности порядка 0Х1С и О Х12—с9 и в конечном итоге для 29.19.10 рамки точности 28.19.4, с которой составлены эти равенства, будут соблюдены.
Преобразуем теперь формулу 29.19.12 для Введем в рассмотрение
I £Z
величину Si2B и будем подразумевать под этим такое напряжение S12, которое получается в результате решения уравнений антиплоского погранслоя
28.16.2 с учетом условий 28.16.9 на лицевых поверхностях, требований затухания на бесконечности и торцевого условия
S2B Lo £ 29.19.19)
смысл записи св выяснится ниже.
В силу линейности задачи построения антиплоского погранслоя справедлива формула
4-к,ов.
Поэтому можно написать
1 1 0 h — U ZTi2 U D j £ j SgBMio di. 29.19.20)
—1 —со
Полученные результаты позволяют исключить в граничных равенствах
29.19.8 все величины, относящиеся к погранслоям. Для этого мы располагаем формулами 29.19.10, 29.19.11, 29.19.12, 29.19.18 и 29.19.20. Воспользовавшись ими, получим
о о
2i 0, 2т12 0,
2 Я-'’Ч я-''Л J- Л- _ 0.
29.19.21)
1
2 Я_г2Р_ _ -21Зр-с дт_ 0
3 1 д12
1 “io-
Эти равенства представляют собой уточнение граничных условий для внутреннего напряженного состояния, т. е. условий 29.19.2, которые выше были заимствованы из двумерной теории.
§ 20. Жестко заделанный край
Пусть на боковой поверхности оболочки at ос10 должны выполняться условия, которые соответствуют жесткой заделке и в рамках трехмерной теории упругости формулируются так:
01 0, v2 0, v3 0 аг а10.
Их можно развернуть по формулам 28.18.3 и записать следующим образом:
Х‘р о, Л_,ар“е£о1 RXa2lp Vi -f. RtflVi 0,
Х1р щ Аг2р-с RXalV2 R2lpV2 - 0, 29.20.1)
Xlc 4 _j_ RXa2lpV3 RXlilV3 0.


ЖЕСТКО ЗАДЕЛАННЫЙ КРАЙ
447
Эти граничные равенства составлены с погрешностью порядка 28.18.4, и наша цель будет заключаться в том, чтобы выполнить их с такой же точностью.
Традиционные граничные условия классической двумерной теории оболочек для жестко заделанного края осх а10 можно при помощи формул
26.5.3 и 26.5.4 записать так:
v1 v2 v3 v1 0 li 0. 29.20.2)
Кроме того, из формул 26.3.5, 26.3.9 следует, что
—29-20-3>
а так как равенства 29.20.2 должны выполняться тождественно по переменной 2, то будет справедливо и дополнительное краевое равенство
щ ь_0 о. 29.20.4)
Показатели интенсивности антиплоского и плоского погранслоев a, i в равенствах 29.20.1 надо определить формулами
а р, 3 29.20.5)
При таком выборе а, 3, учитывая 29.20.2 и 29.20.4, мы получим в исходном приближении торцевые условия для плоского погранслоя
RVt 0, RV3—Zv з и торцевое условие для антиплоского погранслоя
RV2 — RV21
которые обладают нужными свойствами: они позволяют сначала построить плоский погранслой, а затем, считая последний известным, найти и антипло- ский погранслой. При этом обе краевые задачи, которые надо для этого решать, будут неоднородными и формально непротиворечивыми § 29.19, что является проверкой правильности формул 29.20.5.
Подставим снова значения а, Р в 29.20.1 и отбросим в полученных равенствах только те слагаемые, которые выходят за пределы погрешности
28.18.4. Получим
Х1р их __ 1-12рХщ RV, 0,
р v2 Xl2p-v2 RllD v2 V2 0, 29.20.6)
blc RVa 0
a a10.
Будем рассматривать первое и третье из этих равенств как торцевые условия для плоского погранслоя и представим последний как сумму симметричного и обратно симметричного плоских погранслоев. Под симметричным понимается напряженно-деформированное состояние, соответствующее
ъ ь
изгибу полосы. В нем V3 — четно, Vг — нечетно, а торцевые условия имеют вид
RV, 0, Я13 0 0. 29.20.7)


448
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНСЛОЯ С ВНУТРЕННИМ СОСТО ЯНИЕМ
ГЛ. 29
В обратно симметричном напряженно-деформированном состоянии, соответствующем растяжению полосы, V3 — нечетно, Уг — четно, а торцевые условия записываются так:
RVX 0, RV3 О gx 0. 29.20.8)
При построении симметричной и обратно симметричной частей плоского погранслоя надо выполнять следующие действия:
1 интегрировать однородные уравнения 28.16.7 или, если мы хотим увеличить точность, соответствующим им неоднородные уравнения, свободные члены которых, как показывают равенства 28.15.5 и формулы 28.15.7,
имеют порядок О АГг;
2 выполнять условия на лицевых поверхностях 28.16.10;
3 выполнять условия затухания, т. е. требовать, чтобы при li——оо исчезали все перемещения и напряжения;
4 выполнять торцевые условия 29.20.7 или 29.20.8.
Как было уже показано § 28.17, это приводит к переопределенной
задаче, и для того, чтобы ее решение стало возможным, надо наложить неко-
0 о
торые дополнительные требования на граничные значения величин и2>
о 1 1
03, vlt и3, входящих в торцевые условия 29.20.7 и 29.20.8. Введем в связи
с этим неполные условия затухания
RV1 L—о, о, RV3 ll-oo о 29.20.9)
и рассмотрим вспомогательные задачи I, II, III, подразумевая под этим следующее. Первые две задачи заключатся в интегрировании однородных дифференциальных уравнений 28.16.7 с учетом условий на лицевых поверхностях 28.16.10, неполных условий затухания 29.20.9 и торцевых условий:
задача I: RVг £ 0, RVS 0,
задача II: RVt 0, RV3 10.
В третьей задаче считается, что в дифференциальные уравнения 28.16.7 входят свободные члены порядка О _ сохраняются условия на лицевых поверхностях 28.16.10 и неполные условия затухания 29.20.9, а торцевые условия однородны и имеют вид
задача III: RVX 0„ RV3 0 считается, что все вспомогательные задачи имеют решения, так как из четырех условий затухания на бесконечности оставлены только два.
Теория погранслоя линейна, поэтому симметричную часть плоского погранслоя можно очевидным образом представить как линейную комбинацию решений грех вспомогательных задач, в которую задачи I, II и III входят, соответственно, с множителями
arL-o, A,Ui0, 1. ' 29.20.10)
В построенном таким образом плоском погранслое неполные условия затухания 29.20.9 выполняются, очевидно, автоматически, и значит, перемещения при £i —оо будут равны нулю. Остается потребовать, чтобы на бесконечности исчезали и напряжения. Из статических соображений и из принципа Сен-Венана ясно, что для этого необходимо и достаточно,’ чтобы на торце h 0 обращались в нуль вертикальная равнодействующая 9^


ЖЕСТКО ЗАДЕЛАННЫЙ КРАЙ
449
и главный изгибающий момент т. е. чтобы выполнялись равенства
v, £l0 lt,o аг'дш о,
L0 О,
в которых через 9, 99, 91п, 9ИП и Х1 91ш, 99?ш обозначены торцевая вертикальная составляющая и главный торцевой изгибающий момент для соответствующих вспомогательных задач рис. 57. Рассматривая эти
равенства как уравнения относительно первых двух величин 29.20.10, по¬
лучим формулы
i U А,-2'ср1 Г12р- 10 Ъ21Ррг, 29.20.11)
в которых рх, р2 определяются, очевидным образом, по формулам Крамера и имеют порядок О 1.
Просмотрев еще раз равенства
29.20.6 и вспомнив, что они составлены с точностью 28.18.4, заключаем, что не выходя за пределы уже допущенных погрешностей, можно вместо 29.20.11 написать равенства
уз,о0, vx 10 0. 29.20.12)
Их в рамках точности 28.18.4 и надо Рис. 57.
рассматривать как условия существования симметричной части плоского погранслоя.
Точно так же можно поступить и с обратно симметричной частью плоского погранслоя, т. е. ввести вспомогательные задачи IV, V и VI, которым соответствуют следующие торцевые условия в задаче VI уравнения — неоднородны:
задача IV: RV г 1 0, RV3 0, задача V: RVx 0, RV3 £ 0, задача VI: RV2 0, RV3 0.
Все эти задачи можно решить, выполнив неполные условия затухания
29.20.9 и условия на лицевых поверхностях 28.16.10. При этом выполнение условий исчезновения напряжений при 2 —оо выразится равенством
llvXl pvx 10 -f- lvv3 1o -f- lvX 1 0,
в котором 9iIV, 5HV, — горизонтальная равнодействующая торцевых сил для задач IV, V, VI рис. 57. Отсюда с точностью до величин порядка
О Х21р получаем равенство
щ i0 mklpv3б1_о 0, 29.20.13)
выражающее условие существования' обратно симметричной части плоского погранслоя. Это равенство составлено с точностью до величин порядка -21рс а коэффициент т в нем имеет следующий смысл:
Щ 29.20.14)
т “ 1W *


450
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНСЛОЯ С ВНУТРЕННИМ СОСТОЯНИЕМ
ГЛ. 29
Обратимся теперь ко второму равенству 29.20.6 и будем трактовать его
ъ
как торцевое условие для антиплоского погранслоя величину V2 надо при этом рассматривать как известную. Применяя прежнюю схему рассуждений, разобьем антиплоский погранслой на симметричную и обратно симметричную части. Им будут соответствовать торцевые условия
1рк R-lp v2 к 0 i, 0, 29.20.15)
р-с tp2 RllP v2 V'i 0 0 29.20.16)
плоский погранслой также считается разбитым на симметричную, отмеченную штрихом, и обратно симметричную, отмеченную двумя штрихами, части.
Из физических соображений ясно, что единственным статическим требованием, обеспечивающим исчезновение напряжений при £х—оо, является требование, чтобы силы, приложенные к торцу 0, не давали равнодействующей, направленной по оси £2. Обратно симметричная часть антиплоского погранслоя, соответствующая торцевому условию 29.20.16, такому требованию удовлетворяет тождественно в силу того, что в этом случае S21 нечетно по £. Для симметричного антиплоского погранслоя, соответствующего торцевому условию 29.20.15, исчезновение напряжений на бесконеч-
о
ности возможно только тогда, когда v2 с погрешностью порядка 28.18.4 удовлетворяет равенству
t2g10 0 29.20.17)
выполнение этого равенства с оговоренной точностью, как видно из 29.20.15, необходимо также и для того, чтобы напряжения й перемещения симметричной части антиплоского погранслоя были порядка О А,0.
Равенства 29.20.12, 29.20.13 и 29.20.17 в совокупности образуют следующую группу краевых соотношений:
0 1 О О 1
-тХ pv3 0, v2 0, v3 0, v1 0, 29.20.18)
которые выведены в предположении, что трехмерные граничные условия теории упругости должны выполняться с погрешностью порядка 28.18.4. Они составляют те граничные условия, которые надо выполнять при построении внутреннего напряженно-деформированного состояния, т. е. представляют собой результат уточнения граничных условий 29.20.2 классической теории оболочек. Торцевые условия для плоского и антиплоского погранслоев выражаются равенствами 29.20.6. Их можно упростить, отбрасывая второстепенные члены. Для этого можно воспользоваться оценками величин, относящихся к внутреннему напряженно-деформированному состоянию. Они вытекают из формул 29.20.11, из равенств 29.20.17 и 29.20.13, выполняющихся с точностью О АГ2С и из точной формулы 29.20.3. Приняв все это во внимание, можно написать
к L-0 — ml-lpk go о к21рс, к L0 о -21с, к Le О -21с, к U о 1-‘-рс, к gI0 о -21с. 29.20.19)
Отсюда в рамках точности 29.19.14 получаем торцевые условия для плоского погранслоя
Rk—mk 0, RV3 з 0 х 0 29.20.20)


ШАРНИРНО ОПЕРТЫЙ КРАЙ
451
и торцевое условие для антиплоского погранслоя
RV2 RV2 X2l2p°v2 0. 29.20.21)
В торцевом условии 29.20.21 последнее слагаемое левой части в рамках принятой точности не может быть определено. Вторая оценка 29.20.19)
показывает, что величина X2l2pv2 имеет порядок Х21с, а это значит, что
0 л -214-с
v2 надо знать с точностью до членов порядка К , что выводит нас за пределы принятой точности 28.18.4. В связи с этим заметим, что при погрешностях порядка 29.19.14, которые допускаются в краевых напряженно- деформированных состояниях, нет необходимости определять антиплоский погранслой, так как для него допустимая погрешность определяется так:
8 О Х'1р-а О Х\
а это значит, что вклад антиплоского погранслоя в краевое напряженно- деформированное состояние вблизи заделанного края находится за пределами принятой точности.
§ 21. Шарнирно опертый край
Примем, что шарнирно опертому краю х а0 соответствуют следующие трехмерные граничные условия:
Ti 0, v2 0, v3 0 ах а10.
Запишем их в развернутом виде при помощи формул 28.18.3:
г •? яrl2pctlj ,_'pasu -f sH о,
Xlp ti _г2р_2 RXta v2 RX-llp,V О, 29.21.1 Ъ1с й RX2lpaV3 wlf,vs о
1 ю)
и снова условимся, что при выполнении этих равенств допустимая погрешность имеет порядок 28.18.4.
Следуя прежней схеме, выпишем в принятых здесь обозначениях граничные условия классической двумерной теории для шарнирно опертого края 1 10:
0 10 0
Tj 0, 1 О, и2 0, и3 0 aj a10. 29.21.2)
Два последних из этих равенств влекут за собой так же, как и в случае жестко заделанного края, выполнение дополнительного равенства 29.20.4.
Непротиворечивыми в данном случае, так же как и для жестко заделанного края, являются следующие значения а, р:
а р, р 29.21.3)
В силу 29.21.2 и 29.20.4, им соответствуют в исходном приближении
торцевые условия для плоского погранслоя
кг о, RV3 lvs 0 29.21.4)
и торцевое условие для антиплоского погранслоя
оа. я №, £, О, 29.21.5)


452
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНСЛОЯ С ВНУТРЕННИМ COCTOHHMEMn
ГЛ. 29
которые надо считать формально непротиворечивыми § 29.19, так как
29.21.4 определяют отличный от тождественного нуля плоский погранслой, а, исходя из 29.21.5, можно построить также ненулевой антиплоский погранслой.
Подставив 29.21.3 в равенства 29.21.1 и отбрасывая только слагаемые, выходящие за рамки точности 28.18.4, получим
А.гт1 2р-1 11 0,
, яг-рS, х12р-к ю1вv2vt о, х1с J, RV3 о
а, а10.
29.21.6)
Проинтегрируем первое равенство 29.21.6 по С на интервале —1, 1, помножим это же равенство на £ и вновь выполним такое же интегрирование. Будем иметь
Н “И- ^
2, J Su dt, 0, -A,2p- jsu£d£ 0 ах а10. 29.21.7)
—I
Входящие сюда интегралы можно выразить при помощи первых двух
ь ь ь ь
условий затухания 28.17.1. Положив в них k b, выразив Хь Х3, X, Хз по формулам 28.15.7, 28.15.9 и отбросив члены порядка 28.18.4, получим
— —1 —оо
dS,
%
—1 —00
R dA2 q 9 I ° S M7 даг Wn — Z Ri
11 ■ J i' ■4?R ■+
io?i
-1 —a
Правые части этих равенств можно преобразовать так же, как это делалось в § 29.19, и написать
1 Ь
Snlb-o£ £ — 1 -о5—+
I дАр Г J R 20 J
АиА да, АыА20 даг Ji0


ШАРНИРНО ОПЕРТЫЙ КРАЙ
453
Здесь
-J-1 О Ь 1 О ь ь \
л j dt J A10d, л J di j -L 2S13 j A10dli,
—1 —CO —1 —CO
1 0 b 1 0 b
J 1 lodil, 4 f j 2210 ii»
—1 —OO —1 —oo
10 -f-1 0 j
f £ d£ J Andb, h jdi J Лк.d£b
-1 —со Сг -1 —CO 1
1 0 b b 1 0
J1 I 2з AodSi. Ja jzdt f Sodli,
— 1 —00 —1 —00
1 0 b 1 0 b
j J S22A10dlit 10 J J Si3i4i0idSb
—1 —oo —1 —oo
i о b x о b
1 J Л2 J S22oildl.
—1 —со —1 —CO
j SnAwhdh, Ji2 dt, J S224io£id£i.
—00 —1 CO
ралы в правых частях этих равенств можно вычислить при помощи шисанных в § 29.19. Ниже приводятся соответствующие выкладки:
I■“Ь-А j-o,
— 1 —00 —ОО —1
— ОО —СО 1
; j -j--k2SlsdhA10 j dl, J
—00 —00 —1
;513-i j sa dt J dl, A10 jjksJL - j Ex db j dt =
10 b 0 1 I
Aiodt j iidi o J El J-S-dC d£i 0,
—1 -00 ' —CO l—l /
ft I
3 5 0, J Je v f S131 o£d£,
-1
0 0 b °
;iS3i_oo— J S3id£id£ 4?o J 5зз£ =
—00 • —oo —1
tki-l - J £ dt Ao J tdt -§ db JS,
-1 I —1 —CO 1
0 1
- t2S3i dh


ГЛ. 29
454 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНСЛОЯ С ВНУТРЕННИМ СОСТОЯНИЕМ
Ja — Aw J dMJL- J-Sidbdt Ao j idi j d£ =
—1 —CO ' —00 —1
0 --l v -J-l 0
Ao J h Si3_i—J Si3dudli—Aw J d£ j Si3idgi — Jw9
—00 i. —1 j —1 —00
-fl 0 1 0
io j S d j Sn Ь A10 J £ d£ S33 d,i
1 ■ —00
л v
-l
72 ^
Ь С
2
1
ii
10
—l
1,
Jn A2i0 JA-5U
— V8 V10
vJ8- J £d£ j W8—f js31 li.oC2,
—1 -00 1 —1
—00 /
—00 v—1 /
Пё-Ц-
0 1
-му
—oo —1
1 ft
as,
dt
dtidt i 0,
Jl2 Aq\
1 0
J d J Sub d£i J d£ J S33£i db
—1 —00 —1 —00
-f-1 0 0 -f-1 £ \
vJu Aiov Jrfg J S33i dll Alov j I, fesJS — j d di =
—1 —OO —00 —1 '
“H 0 ь И 0 'I
A10v J £d£ J b--db 410v j dtlAJ-co — j 513dli d =
—1 —00 —1 ' —oo *
jsuLoad.
1 0 ft
v f asx
2 J J db —1 —00


ШАРНИРНО ОПЕРТЫЙ КРАЙ
455
Таким образом, формулы 29.21.8 принимают вид
j Sn U di A,-' v j S311 6l0£ dl,
-1 29.21.9)
-hi “M hl
j Sn 6lo£ dC — A.-1 j S3I llo£2 dt Ц- J Su U,oC
-1 —1
а следовательно, 29.21.7 можно переписать так:
i
2?' ls' vl ‘ J I60 s “ 0
-1 29.21.10)
■i 1
J S3i 1o£2d£ 4- J Sn l3oS
-0.
Будем теперь рассматривать первое и третье равенства 29.21.6 как торцевые условия для плоского погранслоя и вновь представим последний в виде суммы симметричной и обратно симметричной частей § 29.20. При этом в качестве торцевых условий надо принимать следующие равенства: для симметричной части плоского погранслоя
Sn £тх 0, RV з V-°v3 0
Ь 0,
для обратно симметричной части плоского погранслоя
Sn т, 0, RV3 tp3 0 Нх 0. 29.21.1П
Введем в рассмотрение вспомогательные задачи VII, VIII, IX, определив их так же, как вспомогательные задачи 1, II, III § 29.20, и приписав им следующие торцевые условия:
задача VII: Sn -f 1 0, RV3 0 £х 0, задача VIII: S1± 0, RV3 £ 0 h 0, задача IX: S1± 0, RV3 0 h 0.
При этом условия существования затухающего решения для симметричной части погранслоя выразятся следующими двумя равенствами:
3i4nX-l-41 ll0 liio blSKi х 0,
Зйуп А.-'тх Ь SRvniA.'-'Sa Lo A.-'3MiX 0,
в которых 9lvn, vii, 9viii, SOlviii и -1 9lIX, 9№ix — вертикальная равнодействующая и главный изгибающий момент от сил, приложенных к торцу, для соответствующей вспомогательной задачи. Рассматри-


456
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНСЛОЯ С ВНУТРЕННИМ СОСТОЯНИЕМ
ГЛ. 29
1 О
вая полученные равенства как уравнения относительно Х-12рс и Xlc v и решая их, приходим к формулам
Т 10 Х-2р'1И, Уз U l2tcli2, 29.21.12)
в которых рх, р2 — величины вида О 1, очевидным образом получающиеся
по формулам Крамера.
Условие существования обратно симметричного плоского погранслоя,
удовлетворяющего торцевым условиям 29.21.11, не даег каких-либо новых
соотношений. В этом случае на заделанном торце может возникнуть только
горизонтальная реактивная сила. Поэтому, как показывают равенства
29.21.11, единственным условием затухания обратно симметричной части
плоского погранслоя будет требование обращения в нуль краевого значения о
величины Тх. Но этот результат не является новым; он следует и из первого
равенства 29.21.10.
Итак, условие затухания плоского погранслоя в целом дает нам два
равенства 29.21.12. Ими можно воспользоваться, в частности, для оценки
1 о
граничных значений величин г и v3. Первая оценка 29.21.12 совпадает с той, которая вытекает из второго равенства 29.21.10, а вторая оценка показывает, что в рамках точности 28.18.4 можно написать
y3l,o 0. 29.21.13)
Обратимся ко второму равенству 29.21.6. Оно полностью совпадает со вторым равенством 29.20.6. Поэтому, повторив рассуждения § 29.20, мы получим в рамках точности 28.19.4 равенство
Ц_о 0. 29.21.14)
Равенства 29.21.10, 29.21.13, 29.21.14 представляют собой уточнение равенств 29.21.2 и образуют те граничные условия, которые в рамках точности 28.18.4 надо выполнить при построении внутреннего напряженного состояния. При построении краевого напряженного состояния надо учитывать равенства 29.21.6, рассматривая первое и третье из них как торцевые условия для плоского погранслоя, а второе — как торцевое условие для антиплоского погранслоя. Для шарнирно опертого края показатели интенсивности погранслоев остаются такими же, как для жестко заделанного края, поэтому вблизи шарнирно опертого края так жег как и вблизи жестко заделанного, антиплоский погранслой можно целиком отбросить, не превышая погрешности 29.19.14. Это значит, что отпадает
необходимость и в выполнении второго равенства 29.21.6. Первое и третье
равенства 29.21.6 в рамках точности 28.18.4 можно упростить, и пользуясь для оценок равенствами 29.21.10, 29.21.12, 29.21.13, написать эти торцевые условия плоского погранслоя следующим образом:
L 0, RV з 3 0 0. 29.21 15)
Вернемся к формулам 29.21.9 и преобразуем интегралы, входящие в их правые части, при помощи равенств 29.21.15. Погрешность последних оценивается равенством 29.19.14, а так как при обсуждаемых интегралах стоит множитель Х1 то окончательная погрешность не выйдет за пределы 28.18.4*
ь
Из 29.21.15 следует, что V3 — нечетная функция а структура уравне¬


ПРИВЕДЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
457
ний 28.16.7, которым подчиняется плоский погранслой, показывает, что
ь
при этом S3i также нечетна по £. Поэтому
Ч I Sai 6lo£2d£ 0.
-i
Далее, в силу первого равенства 29.20.15 получаем
ь I
JSnb0£d£ 0.
-1
Из 29.21.15 следует, кроме того, что все величины, определяющие плоский погранслой, вблизи шарнирно опертого края могут быть получены из
решения вспомогательной задачи VIII умножением последнего на краевое
1
значение величины v3. Поэтому можно написать
I I I
j S3i £,o£dC -jrD'v3ito, jirD' jS31 Vm 10£d£, 29.21.16)
b
где индекс VIII означает, что величина S31 должна быть получена в результате решения вспомогательной задачи VIII, а множитель ЕR внесен для упрощения дальнейших формул. Учитывая все это, можно теперь равенства
29.21.10, 29.21.12 и 29.21.13 переписать следующим образом:
ivHJ 4Л о,
люл2о oai ° 9 21 17)
к о, к о, 0.
Здесь D' определяется формулой 29.21.16.
Требуемый результат получен. Равенства 29.21.16 образуют граничные условия для внутреннего напряженно-деформированного состояния и представляют собой результат уточнения соотношений 29.21.2. Торцевые условия для плоского погранслоя записываются равенствами 29.21.15, а торцевое условие для антиплоского погранслоя можно было бы получить в результате упрощения второго равенства 29.21.6, но в этом нет необходимости, так как в силу 29.21.3 вблизи шарнирного края вклад антиплоского погранслоя в краевое напряженно-деформированное состояние лежит вне рамок принятой точности.
§ 22. Приведенные граничные условия
В §§ 29.19—29.21 рассмотрены три вида закрепления боковых краев оболочки, и для каждого получены граничные условия обеспечивающие построение внутреннего напряженно-деформированного состояния с точностью до величин порядка О А,-22, а также торцевые условия для плоского и антиплоского погранслоев, обеспечивающие построение краевого напряженно-деформированного состояния с точностью до величин порядка О Лг?. Во всех изученных случаях построение полного напряженно-деформированного состояния оболочки распадается на следующие этапы.
1 Подсчет величин D, т и D' входящих в граничные условия для внутреннего напряженно-деформированного состояния.
2 Построение внутреннего напряженно-деформированного состояния в предположении, что в соответствующих граничных условиях величины D, ту D' известны.


458
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНСЛОЯ С ВНУТРЕННИМ СОСТОЯНИЕМ
ГЛ. 29
3 Построение плоского и антиплоского погранслоев а следовательно, и краевого напряженно-деформированного состояния в предположении, что величины, относящиеся к внутреннему напряженно-деформированному состоянию в соответствующих торцевых условиях, известны.
Обсудим этап 1. Для определения величины D надо найти затухающее решение уравнений антиплоской задачи 28.16.2, удовлетворяющее на лицевых поверхностях условию 28.16.9 и на торце 0 условию 29.19.19.
а
В результате станет известна величина S£B, и останется только применить формулу 29.19.20.
Величину т можно определить из требования, чтобы плоская задача теории упругости для бесконечной полуполосы при условиях 28.16.10 на лицевых поверхностях и при торцевых условиях
Юл — т 0, RV3 £ 0, Ь 0 29.22.1)
имела затухающее решение. При этом, очевидно, будет иметь затухающее решение и такая же плоская задача с торцевыми условиями 29.20.20, что и является определяющим свойством величины т.
Для подсчета D' надо знать решение вспомогательной задачи VIII § 29.21, после чего останется только воспользоваться формулой 29.21.16.
Таким образом, для выполнения этапа 1 нет необходимости знать результаты выполнения остальных этапов. Более того, D, т и £', как будет видно в § 29.23, могут быть найдены заранее для любых анизотропных оболочек, как величины, зависящие только от коэффициента Пуассона v.
Обратимся к этапу 2. При его выполнении надо учитывать граничные условия для внутреннего напряженно-деформированного состояния. Они были найдены в §§ 29.19—29.21 и записаны для свободного, жестко заделанного и шарнирно опертого краев соответственно в виде равенств 29.19.21, 29.20.18 и 29.21.17 во всех случаях считалось, что край совмещен с координатной линией aj а10.
Во всех перечисленных равенствах величины, относящиеся к внутреннему напряженно-деформированному состоянию, можно выразить через традиционные величины классической теории оболочек. Для этого надо воспользоваться формулами § 26.5, которые мы выпишем еще раз:
° 1 0 1 2т 2ij — St-,
0 1 2 л—11—р
2 т8 l2p-is =
29.22.2)
3 1 j2l 2p-f-c 3 1 _ X2l2Pc
2 i i 2 P2 ip
Vf h-lpuh v3 — -lcv3, Vi RXlPcyh v3 Ti -f T2.
Кроме того, как легко проверить, справедливы равенства
л 1 д RX-P длЛ 1 _ RXP д J д __ RXp д
1V Л2 д12 АгА2 да2 Аг Л2 да2 ’ А2 д2 “ А2 да2 *
Заметив все это, получим граничные условия на свободном крае аг а0 Г, О, S„_ О, 0, O, 3Dj-- 0. 29.22.3,


ПРИВЕДЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
459
Граничные условия на жестко заделанном крае а1 а10:
2ЕНщ —vmh Тг Г2 0, 2Ehu2 0, 2Ehw 0, 2Ehyt 0. 29.22.4)
Граничные условия на шарнирно опертом крае аг ос10:
Т0’лкТ' Т'-0-
29.22.5)
2 Ehu2 0, 2 Ehw 0, Gx 0.
Входящие сюда числа D, m, D' можно считать известными. Поэтому построение внутреннего напряженно-деформированного состояния, в процессе которого надо учитывать 29.22.3—29.22.5, составляет самостоятельную задачу. В ее выполнении и заключается этап 2.
Назовем 29.22.3—29.22.5 приведенными граничными условиями и сравним их с граничными условиями классической двумерной теории оболочек, которые будем теперь называть каноническими. Для случая, когда срединная поверхность отнесена к линиям кривизны, а край совмещен с линией а10, канонические граничные условия формулируются следующим образом § 5.33: свободный край
Та 0, S21-l О, tf1 -L_ 0, Gx 0;
жестко заделанный край
щ 0, и2 0, w 0, Yj 0; шарнирно опертый край
Тг 0, и2 — 0, до 0, Gx 0.
Сопоставление этих равенств с 29.22.3—29.22.5 показывает, что известную поправку Кирхгофа, которую надо вносить в граничное значение перерезывающего усилия, можно трактовать как результат взаимодействия погранслоя с внутренним напряженно-деформированным состоянием оболочки Однако теми дополнительными слагаемыми, зависящими от крутящего момента, которые вносятся в классическую теорию оболочек, влияние погранслоя не исчерпывается. Чтобы обеспечить точность 28.19.4, надо учитывать еще члены, входящие в равенства 29.22.3—29.22.5 с множителями D, m4D’. Кирхгофовскую поправку для перерезывающего усилия можно выделить только в том смысле, что она — асимптотически главная. Чтобы убедиться в этом, достаточно вернуться к равенствам 29.22.3—29.22.5 и выяснить, какие степени X стоят в слагаемых, отражающих влияние погранслоев. Получаем, что слагаемым ,
-kit' 3Dr41f’ ■‘°'ТГААГЖТ' Т‘)
29.22.6)
отвечают соответственно следующие степени X:
X-izp-с, Х1р, -21зр-с9 Х-1, 29.22.7)
Легко проверить, что при всех допустимых значениях рис выписанные степени X идут в невозрастающем порядке, и требуемое утверждение доказано.
Это было показано для пластинки в работах 144, 145.


460
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНСЛОЯ С ВНУТРЕННИМ СОСТОЯНИЕ-М
ГЛ. 29'
В § 27.8 было показано, что асимптотическая погрешность простейшего варианта уравнений классической двумерной теории оболочек имеет порядок
О ЯН при p-j- и О Х-'212р при pz-t-.
Но в рамки такой погрешности укладывается только последняя из четырех степеней X 29.22.7. Это значит, что канонические граничные условия асимптотически непоследовательны. В них отбрасываются второй и третий члены 29.22.6, которые существенно больше при h — 0, чем члены, отбрасывавшиеся в дифференциальных уравнениях.
В канонических граничных условиях на краю, проходящем вдоль линии кривизны, поправки от крутящих моментов учитываются не только для перерезывающих усилий Nu но и для тангенциальных усилий S21- Однако в приведенных граничных условиях поправка в S21 отсутствует. Это объясняется тем, что были рассмотрены только случаи, когда внутреннее напряженно-деформированное состояние имеет нормальную асимптотику § 27.7, и считалось, что число b равно нулю, а при таких обстоятельствах обсуждаемые поправки лежат за рамками принятой точности. Действительно, обозначим через аТ и oG напряжения от тангенциальных усилий и от моментов соответственно. Тогда из формул 26.3.12 можно заключить, что при b 0)
оа О k-l2p-coT.
Вместе с тем, если Т — некоторое тангенциальное усилие, G — некоторый момент, справедливы формулы
Т _ 3G
°т 2h 9 °° W •
Но hR X-1, поэтому имеет место оценка
А о Х-212рсТ,
из которой и следует, что в выражении S21 второе слагаемое находится
вне рамок точности 28.18.4.
Для напряженных состояний с особой асимптотикой число Ъ будет отлично от нуля, и приведенные граничные условия должны быть пересмотрены. Если фиксирована точность 28.18.4, которую должны обеспечивать приведенные граничные условия, то последние могут оказаться и не такими, как для внутренних напряженно-деформированных состояний с нормальной асимптотикой. Не останавливаясь на подробностях, выпишем приведенные граничные условия, соответствующие погрешности 28.18.4 на свободном крае
при b I — 2р, с 0:
г.0, о, с. зт--МГяО-о,
Л'-тк'ТЕГЛН‘ ЗШ-, 0’
где
г _ JL Г d 1 1 дЛ21 дАх .
2 L даг Лл АгА2 даг J АЛА2 да2 '
, 1__ дА 1_ J__dAi__l д_ J д_ дАг 1
‘ АхА2 даг 2 L А да2 А2 да2 Аг даг АгА2 да2 J ‘


§ 23]
КРАЕВОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ОБОЛОЧКИ
461
§ 23. Краевое напряженно-деформированное состояние оболочки
Обозначим через М краевое напряженно-деформированное состояние оболочки, считая, что оно обусловлено плоским и антиплоским погранслоями. Так как структура полного напряженно-деформированного состояния, по предположению, определяется формулой 28.18.2, то это значит, что
М №М №М, 29.23.1)
где
a a a b b b
М Р X-1PQ, М X-lpp Q.
Примем, что для краевого напряженно-деформированного состояния допустимой является погрешность 29.19.14. Тогда два последних равенства можно упростить и записать при помощи формул
М Д M Q, 29.23.2)
которые означают, что в антиплоском и плоском погранслоях достаточно
строить только те величины, которые являются искомыми соответственно
в антиплоской и плоской задачах теории упругости. Кроме того, если разность между числами а и р по абсолютней величине не меньше чем — р, то, очевидно, в рамках той же точности в правой части равенства 29.23.1 надо сохранить только слагаемое, содержащее наибольшую степень X. Таким образом, вместо 29.23.1 можно написать: вблизи свободного края, когда а 2р — с, р р,
М №-°Р lPQ 29.23.3)
вблизи заделанного и шарнирного краев, когда а р, р ,
М VQ. 29.23.4)
а b
В правой части равенства 29.23.3 под Р и Q подразумеваются затухающие решения антиплоской и плоской задач теории упругости в полуполосе, удовлетворяющие на ее лицевых сторонах условию отсутствия напряжений. При этом на торце 0 должны выполняться условия 29.19.16, 29.19.17, выведенные для свободного края. Введем в рассмотрение антиплоский погран- слой Ясв и плоский погранслой QCB, определив их теми же требованиями,
а b
что и Р, Q, но считая, что торцевые условия имеют вид: для антиплоской задачи
SJ1B —С; 29.23.5)
для плоской задачи
0, 5f —£. 29.23.6)
Так как рассматриваемые задачи линейны, то, сопоставив 29.23.5 и 29.23.6 с 29.19.16 и 29.19.17, можно написать
Р Р Чиьо, Q Qcbt13Sio.
Внеся этот результат в формулу 29.23.3 и приписав букве М дополнительный индекс св, напоминающий, что речь идет о напряженно-деформиро-
банном состоянии вблизи свободного края, напишем
Исв СРсв1о A,pQcbt13 1о.
29.23.7)


462
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНСЛОЯ С ВНУТРЕННИМ СОСТОЯНИЕМ
1ГЛ.
1
Для т£3 было получено равенство 26.5.6. Кроме того, справедлива формула 3.19.12. Поэтому с погрешностью 29.19.14 будем иметь
У
Tis-f-
Хг — компонента внешней поверхностной нагрузки двумерной теории оболочек. |
Кроме того, согласно 29.22.2)
2 21—2рЧс
1 W
т н
12 — о D2
Поэтому 29.23.7 можно переписать так:
2
3 г2
Мсв JL ни б1_о“ 4- 4 ls,oQCB-
Прежде чем идти дальше, заметим, что оболочка занимает в трехмерном пространстве область, имеющую изломы вдоль линий пересечения лицевых и боковых поверхностей. Вблизи этих ребер граничные условия трехмерной теории упругости могут оказаться несогласованными друг с другом. В качестве примера рассмотрим оболочку, загруженную по лицевым поверхностям внешними силами qf и имеющую свободный незагруженный силами боковой край at a10. В этом случае условиями согласования граничных условий на лицевых и боковых поверхностях будут равенства
Ql lactje Я la,a10 9,
так как иначе не выполнится закон парности касательных напряжений. При нарушении написанных равенств краевая задача теории упругости не будет иметь решения в обычном понимании этого термина, и ее надо смягчить, допустив появление особенностей определенного вида. В этом случае такие же особенности надо допускать и в решении плоской задачи, при помощи которой определяется плоский погранслой QCB, так как для этой задачи торцевые условия 29.23.6 и условия на лицевых поверхностях 26.16.10 имеют несогласованность такого же вида, как и в обсуждаемой трехмерной задаче теории упругости.
Из разобранного примера видно, что характерный для асимптотического метода прием выделения погранслоя является одновременно и приемом выделения тех особенностей, которые могут возникать в оболочке у ребра, отделяющего лицевую поверхность от боковой.
Обращаясь к жестко заделанному краю, введем в рассмотрение плоский погранслой Q3aKP, определив его обычными требованиями и считая, что на торце полуполосы должны выполняться условия
EV закр _ т о, ЕУзакр £ Q 0. 29.23.8)
Вместе с тем, вблизи жестко заделанного края торцевые условия плоского погранслоя выражаются равенствами 29.20.20. Сравнив их с 29.23.8, можно написать
QXoQ3aKp-
Следовательно, вблизи жестко заделанного края формула 29.23.4 примет вид
ДОзакр Г1 JL щ £l0Q®aKP.


КРАЕВОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ОБОЛОЧКИ
463
Поэтому, учитывая последнее равенство 29.22.2, можно написать окончательную формулу
Мзакр тг r26t0Q3aKP, 29.23.9)
определяющую краевое напряженно-деформированное состояние вблизи жестко заделанного края оболочки.
Таким же образом вблизи шарнирно опертого края краевое напряженно- деформированное состояние оболочки определится формулой
уИшарн 1_ т1 Г210 шаРн, 29.23.10)
при составлении которой учтены торцевые условия 29.21.15 для плоского погранслоя на шарнирно опертом крае и принимается, что плоский погран-
ft
СЛОЙ Qujapn должен подчиняться торцевым условиям
SJmapH 0, ЕЩ шарн £ Q 0. 29.23.1 1)
Таким образом, для всех рассмотренных здесь видов закрепления краев краевые напряженно-деформированные состояния оболочки можно с точностью 29.19.14 получить как линейные комбинации напряженно-деформированных состояний
pi св? Q СВ? Q закР Q шарн 29.23.12)
причем коэффициенты этих линейных комбинаций нам будут известны, коль скоро найдено внутреннее напряженно-деформированное состояние, т. е. решена краевая задача классической двумерной теории оболочек.
Остановимся на задачах, к решению которых приводится построение напряженно-деформированных состояний 29.23.12. Все они состоят в интегрировании уравнений 28.16.2 антиплоской задачи теории упругости или уравнений 28.16.7 плоской задачи теории упругости. Для этих уравнений в полуполосе
— 1 1, 0 Aioh — оо
должны строиться затухающие решения, удовлетворяющие условиям 28.16.9 или 28.16.10 на лицевых, поверхностях и соответствующим торцевым условиям 29.23.5, 29.23.6, 29.23.8, 29.23.11. Просматривая упомянутые здесь уравнения, условия на лицевых поверхностях, торцевые условия, а также неравенства, определяющие область интегрирования, легко заметить, что все эти соотношения относительно искомых величин
a a a ft ft ft ft ft ft
12 S23, EV2, Sn, S22, S33, S13, EVl9 EV3 и относительно независимых переменных
£ и Ц
почти стандартны, т. е. не зависят ни от толщины рассматриваемой оболочки, ни от геометрических свойств ее срединной поверхности, ни от расположения бокового края, ни от модуля упругости Е считается, что оболочка — изотропная. Имеет место только зависимость слабая от коэффициента Пуассона. Это значит, что для любой анизотропной оболочки с произвольно закрепленными краями свободными, жестко заделанными или шарнирно опертыми напряженные состояния 29.23.12 могут быть найдены заранее как функции второстепенного параметра v ценой решения некоторых задач, все определяю¬


464
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНСЛОЯ С ВНУТРЕННИМ СОСТОЯНИЕМ
ГЛ. 29
щие параметры которых соизмеримы с единицей. После этого определение краевых напряженно-деформированных состояний сведется к составлению тех или иных линейных комбинаций из 29.23.12.
Числа D, т, D' в приведенных граничных условиях также можно подсчитать заранее. Для D мы имеем формулу 29.19.20. Она получается в результате интегрирования по переменным Д10£1 и £ величины SB, а последняя определяется в результате решения одной из рассмотренных выше задач легко проследить, что D не зависит и от v. Число т может быть найдено из условия существования затухающего решения задачи построения Q3aKp. Число D' подсчитывается по формуле 29.22.16. В ней под S3ivn понимается решение вспомогательной задачи VIII, соответствующей торцевым условиям
VIH V3vnl -- £ 0.
Сравнив их с торцевыми условиями 29.23.11 задачи для Qmaрн, видим,
что
SE шарн)
31 VIII рГ 31 9
отсюда получаем формулу
i
D’ J 53шарн№
-1
из которой и следует справедливость обсуждаемого утверждения.
§ 24. Решение вспомогательных плоских и антиплоских задач
Методы построения затухающих решений плоской задачи для полуполосы со свободными лицевыми поверхностями предложены в работах 63, 64. Не пересказывая содержания этих статей, сформулируем вытекающие из нее результаты.
Для вычисления коэффициента D' по формуле 29.21.16 надо знать решение вспомогательной задачи VII § 29.21. Эта задача соответствует в терминах работ 63, 64 задаче 3, из решения которой легко выводятся следую- щие формулы для нахождения коэффициентов:
со
°’ тё. °-4 2R'bkr-
п1
где рп — корень трансцендентного уравнения
sin рп cos рп рп.
Вычисления показывают, что D 0,0960.
Коэффициент т, как уже говорилось, может быть найден из условия существования затухающего решения вспомогательной плоской задачи, удовлетворяющей торцевым условиям 29.22.1 и являющейся частным случаем задачи 4 работы 64. В этой работе указан путь получения условий затухания. Подсчеты выполнены для конкретных условий задачи 29.22.1, и получено, что m —0,3701v.
Для определения коэффициента D по формуле 29.19.20 надо располагать решением антиплоской задачи при торцевом условии 29.19.19. Это достигается следующим образом.


РЕШЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ И АНТИПЛОСКИХ ЗАДАЧ 455
В дифференциальных уравнениях антиплоской задачи 28.16.2 полагаем А10 1 это не уменьшает общности решения, так как переход к случаю А10 f 1 совершается при помощи замены h на А10г и ищем решение полученных уравнений в виде
EV2 2 1 — v)
2 ап Х “Ь sin2n-l-£
П1
с,
JC
23 2
JAn2n-le2n П ь cos 2я—--£, 29.24.1)
21
s” -f а2п1е2 11 sia2n— Г £.■
п1
где и С — константы.
Легко проверить, что каждый член этого разложения удовлетворяет, всем уравнениям 28.16.2, лицевому условию 28.16.9, а также требованию затухания при h — —оо. Остается выполнить лишь торцевое условие, 29.19.19. Этого можно достичь, заметив, что на интервале —1, 1 величина £ имеет следующее представление:
г-А. у -П1 d
. л2 La
п 1
-U о Я
кж8Ш2-1-гС.
и положив
л„ =
16 — 1ге1
П3 2я I3
29.24.2)
Формулами 29.24.1 и 29.24.2 определяется решение вспомогательной задачи с точностью до константы С, соответствующей смещению полосы, как жесткого целого. Подставив эти результаты в формулу 29.19.20, получим константу D в виде такого ряда:
D =
384
ио
2
г1
I5
откуда D 0,4200 этот ряд был получен в работе 75.
Исходя из решения плоской задачи, предложенного в 63, 64, и изложенного здесь решения антиплоской задачи, численно построены все на-'
a b b
пряженно-деформированные состояния Рсв и Qmaрн для Qcb задачу надо уточнить, так как в соответствующей плоской задаче не соблюдено согласование граничных условий. Как уже говорилось, составляя линейные комбинации из 29.23.12, можно построить краевые напряженно-деформированные состояния вблизи свободного, жестко заделанного и. шарнирно опертого краев произвольной изотропной оболочки. Результаты вычислений представлены в таблицах, в которых помещены только асимптотически главные напряжения данного состояния, т. е. Sllt S22, S33, S13 для плоской задачи и S12 23 — Яля антиплоской задачи.


ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНСЛОЯ С ВНУТРЕННИМ СОСТОЯНИЕМ ГЛ. 29
Таблица значений
1
0
-0,05
-0,1
-0,5
-1
-1,5
0
0
0
0
0
0
0
0,1
0,100
0,950-1О'1
0,90Ы0-!
0,54310-1
0,260-10-1
0,119.10-1
0,2
0,200
0,189
0,179
0,107
0,514-10-1
0,236-10-1
0,3
0,300
0,284
0,269
0,159
0,757-10-1
0,348-10-1
0,4
0,400
0,378
0,357
0,209
0,982-10-1
0,450-10-1
0,5
0,500
0,472
0,443
0,254
0,118
0,542-10-1
0,6
0,600
0,563
0,529
0,295
0,136
0,621-10-1
0,7
0,700
0,655
0,610
0,330
0,150
0,684-10-1
0,8
0,800
0,740
0,684
0,356
0,160
0,731-10-1
0,9
0,900
0,821
0,747
0,373
0,167
0,759-10-1
1
1,000
0,863
0,773
0,378
0,169
0,769-10-1
Таблица
значений
Ь х.
0,01
0,05
0,10
0,5
1
1.5
0
0,742
0,694
0,647
0,361
0,167
0,767-10-1 !
0,1
0,737
0,688
0,642
0,357
0,165
0,758-Ю-1
0,2
0,722
0,673
0,627
0,346
0,159
0,730-10-1
0,3
0,696
0,647
0,602
0,327
0,149
0,68410-1
0,4
0,659
0,611
0,565
0,301
0,136
0,621-10-1
0,5
0,610
0,561
0,517
0,266
0,119
0,543-10-1
0,6
0,547
0,498
0,455
0,225
0,998-Ю-1
0,452-10-1
0,7
0,466
0,418
0,376
0,176
0,773.10“!
0,349-10-1
0,8
0,363
0,316
0,278
0,121
0,527.10“!
0,23810-1
0,9
0,224
0,183
0,153
0,622-10-1
0,267.10!
0,12010-1
1
0
0
0
0
0
0
Таблица
значений 1шаРн)
-0,01
— 0,06
-0,10
- 0,5
-1
- 1,5
0
—0,72610“2
—0,272-10“1
—0,537 10-!
—0,184
—0,141
—0,611.10-1
01
—0,732-102
—0,27410'1
—0,540-10-1
—0,182
—0,137
—0,586-10-1
0,2
—0,751•102
—0,280-101
—0,550-10-1
—0,176
—0,124
—0,515-10-1
0,3
-0,781-10-2
—0,288-101
—0,565.10-1
—0,163
—0,103
—0400-10—1
0,4
-0,824-10“2
—0,302-10-1
—0,586-10-1
—0,142
—0,724.10-1
—0,246-10“!
0,5
—0,87Ы0-2
1 —0,319.10-!
-0,610-10-1
—0,105
—0,324-10-1
—0,614-10-2
0,6
-0,924-10-2
—0,340-10-1
—0,628-10-1
—0,422-10-1
0,167-10-1
0,142-10-1
0,7
—0,965 10-2
—0,360-10-1
—0,608-10-1
0,513.10-2
0,73210-1
0,348-10-1
0,8
-0,948-10-2
—0,353-Ю-1
—0,396.10-!
0,192
0,134
0,540-101
0,9
—0,794.102
1 —0,281-10-2
0,105
0,380
0,195
0,695-101
1
1,089
1,046
0,992
0,595
0,249
0,789-10-1


§ 24 РЕШЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ И АНТИПЛОСКИХ ЗАДАЧ 467
Таблица значений 5арн)
-0,01
-0,05
-0,10
-0,5
-1
- 1,5
0
—0,325
—0,308
—0,286
—0,135
-0,350-101
-0,367-10-2
0,1
—0,325
—0,307
—0,285
—0,132
—0,337-10'1
—0,321-10-2
0,2
—0,325
—0,306
—0,283
—0,126
-0,296-10'1
-0,184-10-2
0,3
—0,325.
-0,304
—0,279
-0,114
—0,229-10-1
0,364-103
0,4
—0,324
—0,300
—0,272
-0,964-101
—0,137 -10-1
0,329-Ю’2
0,5
—0,323
—0,295
—0,261
—0,721-10-1
—0,208-10“2
0,678-10-2
0,6
—0,321
—0,286
—0,245
—0,596-101
0,116-101
0,106-101
0,7
—0,318
—0,271
—0,216
0,218-10-2
0,269-1О1
0,145-10-1
0,8
—0,311
—0,239
—0,159
0,528-101
0,431 10-1
0,182-10-1
0,9
—0,290
—0,149
—0,281-101
0,114
0,594- КГ1
0,214-101
1
0,326
0,314
0,297
0,179
0,747-101
0,237-10“1
Таблица
з н а ч е н и
й sOfapH)
С
0,01
0,05
0,10
0,5
1
1,5
0
— 1,077
—0,998
—0,899
—0,265
0,245-1О'1
0,488-1О1
0,1
— 1,077
—0,997
-0,896
—0,259
0,248- КГ1
0,480-101
0,2
— 1,076
-0,992
—0,887
—0,243
0,257 101
0,454-101
0,3
— 1,074
—0,984
—0,872
—0,216
0,266-10-1
0,412-101
0,4
— 1,071
—0,972
—0,848
—0,180
0,267-101
0,355-103
0,5
— 1,067
-0,952
-0,810
—0,135
0,254- 10\
1 0,287-101
0,6
— 1,060
—0,920
—0,752
-0,879-10'1
0,220-101
0,212-10”1
0,7
—1,049
—0,867
—0,658
—0,440-Ю1
0,165-101
0,136-101
0,8
— 1,027
—0,761
—0,492
—0,130-Ю1
0,949-10-2
0,686-Ю2
0,9
—0,960
—0,494
—0,199
-0,354-103
0,299-10-2
1 0,192-10-2
1
—0,112.10“2
—0,124-10-4
-0,430-10“ 5
—0,170-10-6
—0,164-10-7
0,244-10-®
Т а б л и ц а
з н а ч е н и
й 5арн)
£
0,01
0,05
0,10
0,5
1
1.5
0
0
0
0
0
0
0
0,1
0,541 • 10“1
0,541 • 101
0,520-Ю1
0,924-10-2
—0,176-101
—0,123-10-1
0,2
0,109
0,109
0,104
0,165-101
—0,349-101
—0,239-Ю1
0,3
0,165
0,164
0,157
0,196-10-1
—0,514-101
—0,338-10'1
0,4
0,223
0,223
0,211
0,164-10“1
—0,661-1о-1
—0,414-101
0,5
0,284
0,283
0,266
0,485-10-2
-0,776-101
—0,457- 1€Г1
0,6
0,349
0,346
0,318
—0,155-101
-0,837-101
—0,461-10'1
0,7
0,418
0,411
0,361
—0,415-10-1
—0,818-101
—0,419-Ю'1
0,8
0,493
0,469
0,371
—0,622-10-1
—0,688-10'1
—0,328-Ю1
0,9
0,571
0,459
0,250
-0,566-101
—0,421-10'1
—0,187-10-1
1
0,448-10-2
0,203-10-5
0,994-Ю-6
0,150-10-6
0,410-10-7
0,122-10-7


468
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНСЛОЯ С ВНУТРЕННИМ СОСТОЯНИЕМ
ГЛ. 29
Для погранслоев, как видно из формул 28.14.1, характерна, относительно малая роль перемещений как правило, в погранслое напряжения соизмеримы с внутренним напряженным состоянием, а интенсивность перемещений на порядок ниже. Поэтому результаты подсчета перемещений здесь не приводятся.
В плоском напряженном состоянии искомые величины имеют на торце 0 особенности, сильно осложняющие вычисления. Поэтому в таблицах, относящихся к плоскому напряженному состоянию, вместо i 0 берется сечение Ц 0,01. По переменной £ в таблице представлен только интервал 0 1. На интервал 0 —1 соответствующие результаты продол¬
жаются либо симметрично для величин S13, SX1, S22, S33, либо обратно симметрично для величин S12, S23.


ПРИЛОЖЕНИЕ
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
В приложении обсуждаются свойства интегралов дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными и предлагаются асимптотические методы построения этих интегралов. Показывается также, как из них можно составить решение некоторых краевых задач типа Дирихле, близких по смыслу к краевым задачам теории оболочек.
Весьма общее и совершенно строгое изложение теории асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных дано в серии работ 22—25. В ней можно найти строгое обоснование многих положений, которыми уже давно пользуются в теории оболочек. Значительная часть излагаемых здесь результатов также является частными случаями результатов цитированных работ. Тем не менее описанный выше круг вопросов освещается здесь с совершенно другой точки зрения, более способствующей пониманию явлений, с, которыми приходится иметь дело при исследовании оболочек.
Предлагаемый вариант теории асимптотического интегрирования основан на использовании экспоненциального представления решения см. формулу П.2.2. Этот прием хорошо известен в теории асимптотического интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, где его называют методом В КБ. Для уравнений с частными производными, встречающихся в теории оболочек, метод экспоненциального представления'применялся в 48, 51, 52, 160, 188.
Предлагаемое изложение совершенно не претендует на математическую строгость. Обсуждаются только формальные алгоритмы построения интегралов рассматриваемых уравнений, заключающиеся в выполнении некоторых итерационных процессов. Вопрос об асимптотическом характере этих процессов остается вне рамок рассмотрения. Мы не останавливаемся и на возможности использовать метод экспоненциального представления как эффективный прием фактического получения решений задач теории оболочек, так как это заняло бы слишком много места. Однако из общих рассуждений будет видно, что такая возможность вполне реальна, а соответствующие конкретные примеры даны в работах 101—104.
В современной теории оболочек все шире применяется понятие об изменяемости искомого напряженного состояния или эквивалентное ему понятие о характерной длине рисунка деформации, используемое в зарубежной литературе. От изменяемости зависит как область применимости различных приближенных методов расчета оболочек, так и область применимости двумерной теории оболочек в целом. Вместе с тем, как уже говорилось в части II, это важнейшее понятие теории оболочек по самой своей сущности имеет расплывчатый характер, и, к сожалению, можно указать случаи, когда оно применяется неправильно. В связи с этим напомним, что в § 12.30 выражения вида П.2.2 уже рассматривались в качестве примера функций с большой однородной изменяемостью, т. е. функций, по отношению к которым понятие изменяемости становится достаточно четким. Метод экспоненциального представления позволяет в задачах теории оболочек получать искомые величины в виде некоторых сумм слагаемых, каждое из которых имеет достаточно определенную изменяемость. Более того, как выяснится ниже, появляется возможность оперировать такими понятиями, как изменяемость, квази- стационарные направления и т. д. для напряженно-деформированного состояния в целом, пока же они даны § 12.30 лишь для некоторых функций. Попутно выявляется и зависимость между изменяемостью внешних воздействий, т. е. величиной, которую мы знаем заранее, и изменяемостью вызванного ими напряжённо-деформированного состояния, т. е. величиной, которую надо суметь предугадать, если мы не хотим, закончив расчет, убедиться, что он был основан на ложных предпосылках.
Для правильного понимания структуры напряженно-деформированного состояния оболочки важным является и то обстоятельство, что, если решению соответствующей краевой задачи придать форму П.2.2, то легко прослеживается характер изменения решения при переходе от одной точки срединной поверхности к другой. В частности, выявляются направления, в которых с определенной скоростью убывают составляющие искомого решения. Это позволяет оценить и использовать явления, которые можно назвать сен-венановскими, так как их


470 ПРИЛОЖЕНИЕ. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
существование при определенных обстоятельствах и составляет содержание принципа Сен- Венана.
Обнаруживаются направления и линии, названные здесь квазистационарными, вдоль которых сен-венановское затухание в тонких оболочках проявляется значительно слабее, чем в массивных телах. При этом легко прослеживается связь такого вырождения с существованием асимптотических линий на срединной поверхности.
§ 1. Простой итерационный процесс
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
т
мф £ т2Ф р. аил)
Ц1
где Ф — искомая функция, Р — заданная функция, rj — малый постоянный параметр, a L и Nд — линейные дифференциальные однородные операторы, которые пока будем считать произвольными.
Будем строить асимптотические методы интегрирования уравнения П. 1.1, т. е. методы, в которых используется малость параметра т. Один из них очевиден: он может быть получен так.
Зададим решение уравнения П. 1.1 в виде
S
Ф 2 8s®s es1®si, П.1.2)
S0
где 8 — малый параметр, связанный с г формулой
гг т2 г—целое положительное число, П. 1.3)
и потребуем, чтобы в П. 1.2 функции
ф0 Фъ ф2, ф5 П. 1.4)
удовлетворяли следующим уравнениям: т
L Фб Фз-гц 6°sP s 0, 1, 2, ,5; bLk — символ Кронекера. П.1.5)
ц1
Здесь и всюду в дальнейшем считается, что
Ф 0 при к 0. П. 1.6)
Тогда для функции Ф1, входящей в остаточный член суммы П. 1.2, получится такое уравнение:
т Sju- т
M®si 2 2 eS_S £ Л1„ф,_0. П.1.7)
jUl Ss1 Ц1
Система П. 1.5 имеет рекуррентный характер. Из нее можно последовательно определять функции П. 1.4, интегрируя уравнения вида
LOsFS9 П. 1.8)
где Fs либо равно заданной функции Р при s 0, либо равно нулю при 1 s г, либо при s г выражается через Ф0, Фх, , Во всех случаях при построении Ф можно Fs рассматривать как известную функцию, считая, что Ф0, Фх, , Ф8_1 уже найдены.
Если известны решения уравнений П. 1.5, то приближенное решение исходного уравнения П. 1.1 можно определить формулой П. 1.2, отбросив в ней остаточный член. Такой прием построения решений уравнений вида П. 1.1 назовем простым итерационным процессом, а соответствующие решения — простыми интегралами.
Простой итерационный процесс, как видно, имеет смысл только в применении к уравнениям, содержащим малые множители в коэффициентах. В нем остается элемент неопределенности, заключающийся в возможности произвольно выбирать целое положительное число г в формуле П. 1.3.
Если уравнение П. 1.7 имеет решение, в котором
I Ф5х I м.


БЫСТРОМЕНЯЮЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ
471
то можно утверждать, что простой итерационный процесс имеет асимптотический характер, т. е. что он позволяет строить решение, асимптотическая погрешность которого X определяется равенством
0es1. П. 1.9)
Обстоятельства, при которых имеет место оценка вида П. 1.9, здесь обсуждаться не будут поэтому в дальнейшем X называется формальной асимптотической погрешностью.
§ 2. Интегралы с большой изменяемостью
Пусть дано однородное линейное дифференциальное уравнение порядка q
stq
ds*
Q ф О, Q У Xatt——T9 П.2.1)
dajdog
s,tо
в котором Ф — искомая функция двух независимых переменных ах, а2, t — переменные коэффициенты, а суммирование распространяется на все целые неотрицательные значения s, t, не превышающие в сумме числа q.
В П.2.1, так же как и во всех других рассматриваемых здесь уравнениях, коэффициенты считаются дифференцируемыми столько раз, сколько может понадобиться в рассуждениях. Будем искать решение уравнения П.2.1 в виде
Ф ф ехр е7, П.2.2)
где ф, — искомые функции ах, а2, а е— малый постоянный параметр.
Подставив П.2.2 в П.2.1, получим
SK9 1
Q Ф 2 Xs, t e-i У е_12 У ф ехР 8V • П.2.3)
Здесь под
подразумевается s и t раз повторенные символические множители, заключенные в скобки, a fi— производная от по а иногда вместо Д будет применяться развернутая запись dfdcci.
Выражение, взятое в П.2.3 в фигурные скобки, есть полином степени q относительно е1. Поэтому П.2.3 можно представить в виде
Q ф е- J фj ехр е-1, П.2.4)
где Qin — дифференциальные операторы порядка г, коэффициенты которых составляются из коэффициентов оператора Q и цз частных производных от .
Нетрудно вывести, что
г0-Ех..-ЛЯЛ Qiq Q.
s0
1 _ aQ° д dQ° д 1 a2Q°>
V dh day dft da, 2 df ' +
a2o0 t i a2o0 17-1
аЩ-l2 2 £ X.. • П.2.5)
Общие формулы для Qn громоздки, и мы их приводить не будем. В конкретных случаях составить Qr не представляет труда.
Выберем так, чтобы


472 ПРИЛОЖЕНИЕ. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
тогда, подставив П.2.4 в П.2.1 и сократив на е1 q и на экспоненциальный множитель, получим
У ф о. П.2.7)
jUo
Уравнение П.2.1 свелось к двум уравнениям П.2.6 и П.2.7. Первое из них определяет функцию и представляет собой уравнение первого порядка степени q. Второе — определяет ф и представляет собой линейное уравнение порядка q. Оно содержит малый параметр е и принадлежит к классу уравнений, рассмотренных в § П.1.
Функция П.2.2 пропорциональна экспоненциальной функции, имеющей большой коэффициент в показателе, поэтому значения Ф весьма быстро меняются от точки к точке, причем характер изменения Ф в основном определяется поведением , в то время как функция ф относительно мало влияет на характер изменения Ф конечно, вне окрестности нулей ф. В связи со сказанным, в дальнейшем будем называть функцию вида П.2.2 при малых 8 функцией с большой изменяемостью, соответствующее решение уравнения П.2.1 — интегралом с большой изменяемостью, — функцией изменяемости, ф — функцией интенсивности.
Полученный выше результат сводится к тому, что для интегралов с большой изменяемостью функция изменяемости определяется уравнением П.2.6, а функция интенсивности — уравнением П.2.7. Так как в П.2.7 входит малый параметр е, то интегралы с большой изменяемостью можно строить асимптотическим методом, который в данном случае сводится к интегрированию уравнения П.2.7 с помощью простого итерационного процесса, описанногов § 1. >
Замечание. Пока не предполагалось, что исходное уравнение П.2.1 содержит малый параметр, хотя в дальнейшем будут рассмотрены и случаи, когда он входит в уравнение. Асимптотический подход стал возможен вследствие того, что класс допустимых решений ограничен формулой П.2.2, в которую входит малый параметр s.
Изучим подробнее уравнения П.2.6, П.2.7. Средняя часть равенства П.2.6 представляет собой однородный полином степени q относительно 1 2. Его можно разложить на линейные множители, т. е. представить в виде
0т ‘ П л35Г вжО- Шг-8>
и1
Здесь Аи, Ви —г пары функций, которые могут быть и комплексными, т. е. такими, что АиВи есть комплексная величина. В связи с этим в дальнейшем будет считаться, что интегралы с большой изменяемостью строятся в классе комплексных функций действительных переменных.
Примем, что требование выполнения уравнения П.2.8 эквивалентно требованию, чтобы выполнялось одно из q уравнений
Л“ В“ ° 1.2, • П.2.9)
Они представляют собой уравнения характеристик оператора Q. Это значит, что если fn а1? а2 есть нетривиальное отличное от константы решение п-то уравнения П.2.9, то равенством fnolx, сс2 const определяется n-e семейство характеристик оператора L. Таким образом, предлагаемым методом можно строить только такие интегралы с большой изменяемостью, в которых линии уровня функции ' изменяемости f совпадают с некоторым семейством характеристик оператора Q. Будем говорить, что этот интеграл с большой изменяемостью соответствует данному семейству характеристик, а последнее назовем определяющим по отношению к соответствующему ему интегралу семейством характеристик.
Уравнение П.2.7 содержит малый параметр при старших производных, и это позволяет для определения ф прибегнуть к тому или иному итерационному процессу. Однако мы условимся, что при построении интегралов с большой изменяемостью функция интенсивности ф всегда должна рассматриваться как простой интеграл уравнения П.2.7. Это значит, что ее надо находить при помощи простого итерационного процесса, описанного в § 1. Он приводится к последовательному интегрированию уравнений вида Q1J фя Выражая этот факт, будем в дальнейшем в подобных ситуациях говорить, что ф в первом приближении удовлетворяет уравнению
Qd Ф Н 0. 1 П.2.10)
В нем точки служат напоминанием, что есть еще слагаемые с малыми коэффициентами, влияние которых при желании можно учесть при помощи простого итерационного процесса.
Замечание. В §§ П. 12, П. 13 будет показано, что, отсеивая в П.2.7 все интегралы, кроме простых, мы все же сохраняем достаточно общности для того, чтобы из интегралов с большой изменяемостью можно было составить решение широкого класса краевых задач.


§ 3 БЫСТРОМЕНЯЮЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ ДЛЯ ВОЗМУЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
Остановимся на структуре уравнении ц 1.2.10. Воспользовавширь третьим равенством П.2.5 и формулой П.2.8, получим
через Q' обозначены слагаемые, не содержащие символов дифференцирования по а1г а2. Выполнив дифференцирования по f± и 2, будем иметь
fl
п
м1
О
Здесь знак П — символ произведения, в котором пропущен множитель номера t.
Пусть обсуждению подлежит интеграл, соответствующий ы-у семейству характеристик оператора Q, и пусть это определяющее семейство однократно. Это значит, что функция есть нетривиальный интеграл уравнения П.2.9 номера jli и что левые части других уравнений П.2.9 не могут обратиться в тождественный нуль.
В сумме, стоящей в правой части последнего равенства, есть только одно слагаемое, которое не содержит множителя BVif2 обращающегося, по предположению, в нуль.
Этому слагаемому соответствует t — ц и, следовательно,
Qi =
П Aufi 2
и1
Aufi Bf2
Adk BdkQ’- П.2.11)
Отсюда видно, что уравнение характеристик оператора Q1 совпадаете р,-м уравнением П.2.9, т. е. характеристики обсуждаемых уравнений П.2.11 совпадают с определяющим семейством характеристик оператора Q. Множитель при главной части оператора Q1, взятый в П.2.11)
в квадратные скобки, не может обратиться в тождественный нуль, так как по предположению
рассматриваемое семейство характеристик однократно, а отлично от константы. Обращение в нуль этого множителя в отдельных точках с возможно. Это будет иметь место в следующих случаях: J
1 когда при некотором и две пары чисел Аш Ви и АU, В будут в с пропорциональны;,
2 когда в с выполняются равенства 1 f2 0;
3 когда в с какая-либо пара функций AUi Ви обратится в нуль.
В случае 1 будем условно говорить, что сесть точка касания характеристики определяющего семейства с характеристикой какого-либо другого семейства Q, хотя реальный смысл это утверждение имеет только в случае действительных характеристик. В случае 2 с является стационарной точкой функции В случае 3 с есть особая точка исходного уравнения П.2.1, т. е. точка, в которой обращаются в нуль коэффициенты при всех старших производных оператора Q.
Итак, каждому однократному семейству характеристик оператора Q соответствуют интегралы с большой изменяемостью, в которых линии уровня функции изменяемости i совпадают с характеристиками этого определяющего семейства, а функция интенсивности ф в первом приближении удовлетворяет уравнению первого порядка П.2.10. Главная часть этого уравнения может обращаться в нуль только:
1 в точках касания характеристик определяющего семейства с характеристиками другого семейства оператора Q;
2 в стационарных точках функции изменяемости ■;
3 в точках, в которых исчезает главная часть всего оператора Q.
Замечание. Легко видеть, что, если Q0 отлично от тождественного нуля, то для 9S получается рекуррентная система алгебраических уравнений, имеющая только тривиальное решение фь 0. Поэтому предположение о выполнении равенства П.2.6 является обязательным для построения интегралов с большой изменяемостью.
§ 3. Интегралы с большой изменяемостью для уравнений с малой главной частью
Рассмотрим однородное уравнение, содержащее малый параметр г2:
s-f s—J- s--tn S—^
U. ф-О, L- 2 У П'ЗЛ>


474 ПРИЛОЖЕНИЕ. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
Примем, что г , т. е. что малый множитель стоит перед старшими производными, и будем искать для уравнения П.3.1 интегралы с большой изменяемостью, т. е. решения вида П.2.2. Тогда в формулировку задачи будет входить два малых параметра: т, содержащийся в уравнении, и е, содержащийся в равенстве П.2.2, т. е. в определении класса искомых решений. Свяжем две эти величины зависимостью
8 тт П.3.2)
и назовем т показателем изменяемости рассматриваемого интеграла если г фиксировано, то функция П.2.2 будет изменять свои значения от точки к точке тем быстрее, чем больше т. Учитывая П.2.2 и П.3.2, можно по аналогии с П.2.4 написать
L Ф е-1 ф 1 ехр е-1 ,
° П.3.3)
тfN Ф е2т— 12 sп-ЛГп- Ф exp e'V >
где и Nin — операторы, определяемые формулами вида П.2.5.
Подставим П.3.3 в П.3.1, отбросим экспоненту и помножим на 8а, считая, что а — шах , п — 2т. Получим равенство
еа-‘ 8'-,- ф 4- еа-п211 2 8n-iNn-i ф 0 П.3.4)
в левой части которого коэффициенты содержат множителями неотрицательные степени 8. Потребуем, чтобы функция интенсивности ф определялась как простой интеграл § 2 этого уравнения, а функцию изменяемости f выберем так, чтобы простой итерационный процесс при построении ф не приводил к противоречиям. Смысл последнего требования становится ясным, если выписать для П.3.4 уравнение первого приближения. Его можно представить так:
М0 ф • • • 0. П.3.5)
Здесь в зависимости от значений числа а под М0 надо подразумевать L0 если а £ п — —2т, W0 если а п—2т или L0 N0 если а I п — 2т. Во всех случаях М0
согласно формулам вида П.2.5 представляет собой функцию, зависящую от , а не оператор. Поэтому из уравнения П.3.5, вообще говоря, следует, что ф 0, а такое значение ф нельзя рассматривать как исходное приближение простого итерационного процесса. Основываясь на этом, потребуем, чтобы f удовлетворяло уравнению М0 0.
Введем число т с помощью формулы
Т. П.3.6)
и рассмотрим три следующих случая.
Случай I. т т. Тогда —I 2т — п и, в соответствии со сказанным выше, функцию надо подчинить уравнению
s0
После подстановки П.3.3 в П.3.1 и сокращения на е1 и на экспоненциальный множитель это приведет для определения ф к уравнению
1—1 п
Ф -Ь £р1 21 Ф 0 р I - п 2т 0. П.3.8,
о о
Случай 11. тт. Тогда 2т — п — I и функцию f нужно подчинить требованию
П-М)
s0
а для функции ф получится уравнение
L П—1
ер—1 J ф 8Ф 0 р п — 2х—1 0. П.3.10)
о о


§3 БЫСТРОМЕНЯЮЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ ДЛЯ ВОЗМУЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ 475
Случай III. т т. Тогда —I 2т — п и функцию f нужно подчинить уравнению
t 2 L J JL ‘- £.i • _ °, П.з. 1„i)
s0 s0
а для ф получится
l—i n—1
2 J-i-'LS1- ф Yi ф 0. П.3.12)
0 0
Уравнение П.3.7 аналогично П.2.6. Из него вытекает, что, если изменяемость интегралов уравнения П.3.1 не слишком велика 0 т т, то для них определяющими могут быть только семейства характеристик оператора L, т. е. линии уровня функций изменяемости таких интегралов должны совпадать с характеристиками L. Кроме того, из П.3.8 следует, что при таком т функцию ф можно определить как простой интеграл, удовлетворяющий в исходном приближении уравнению первого порядка
1,, б0ф••• 0 р — 1 — и 2т; 6 — символ Кронекера. П.3.13)
Главная часть этого уравнения совпадает с главной частью оператора L1, имеющего
такую же структуру, что и оператор Q1. Поэтому, основываясь на § 2, можно утверждать, что главная часть П.3.13 будет обращаться в нуль только в точках касания характеристик определяющего семейства с характеристиками L, принадлежащими другому семейству, в стационарных точках функции изменяемости ив точках обращения в нуль главной части оператора L.
Из П.3.8 видно, что, если П.3.1 заменить приближенным уравнением
LD0, П.3.14)
то при определении ф мы будем допускать ошибки порядка ер1. Поэтому можно принять, что
уравнение П.3.14 позволяет строить функцию интенсивности ф с формальной асимптотической погрешностью § 1)
Х 0ер1 0sln2,x-1. П.3.15)
Замечания. 1. В дальнейшем под формальной асимптотической погрешностью интеграла
с большой изменяемостью будет подразумеваться формальная асимптотическая погрешность его функции интенсивности. В рассматриваемом случае это значит, что формулой П. 3.15 оценивается формальная асимптотическая погрешность приближенного уравнения П.3.14, если оно применяется для построения интеграла с большой изменяемостью при
2
т г-— т.
п — 1 р
2. Во второй сумме П.3.8 член с е° равен У0ф. Он может обратиться в тождественный нуль. Это произойдет тогда, когда функция изменяемости удовлетворяет не только уравнению П.3.7, но и уравнению П.3.9, т. е. когда определяющее семейство характеристик оператора L совпадает с одним из семейств характеристик оператора N. Тогда формальная асимптотическая погрешность интеграла с большой изменяемостью уменьшится, но на анализе таких случаев мы останавливаться не будем.
Если имеет место случай II, т. е. т т, то все рассуждения, относящиеся к случаю I, в сущности, сохраняются, но операторы L и N меняются ролями. Таким образом, при достаточно большей изменяемости т т определяющим семейством характеристик для интегралов уравнения П.3.1 может быть только одно из семейств характеристик оператора N. Если при этом определяющее семейство характеристик N однократно, то ф в первом приближении можно определить уравнением
N ф 0 р п — 2т— I.
Это значит, что вместо П.3.1 при таком т можно брать уравнение
т2Уф 0, П.3.16)
причем формальная асимптотическая погрешность П.3.16 будет
X О ер-‘ О en-'-2x_I. П.3.17)
Формула П.3.15, оценивающая погрешность уравнения П.3.14, показывает, что последнее имеет смысл только при р 1. Отсюда при помощи П.3.8 заключаем, что неравенством
СТЙ


476- ПРИЛОЖЕНИЕ. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ7 УРАВНЕНИЙ
устанавливается область применимости П.3.14 как приближенного уравнения для интегралов с большой изменяемостью, соответствующих однократным характеристикам оператора L. Равным образом неравенством
•;пгт П'ЗЛ9>
определяется область применимости П.3.16 как приближенного уравнения для интегралов с большой изменяемостью, соответствующих однократным характеристикам оператора N.
§ 4. Интегралы с заданной квазистационарной линией
Перейдем к случаю III, т. е. будем считать, что т т, и рассмотрим уравнение П.3.11, которому должна удовлетворять при этом функция изменяемости Будем интегрировать это уравнение, требуя, чтобы одна из линий уровня искомой функции совпала с некоторой произвольно заданной действительной кривой у.
Замечание. При т т такая задача, вообще говоря, не имеет решения, так как тогда линии уровня совпадают либо с характеристиками L, либо с характеристиками N, т. е. не зависят от нашего выбора.
Примем, что у — заданная линия уровня функции — совмещена с линией ах а1а для этого в случае необходимости надо предварительно выполнить соответствующую замену независимых переменных, и подчиним f следующему условию:
Ь авГ ° ai “io- п.4.1>
Положив ах а10 в уравнении П.3.11 и учтя П.4.1, получим равенство
, vn,o ai аю П.4.2)
которое можно рассматривать как алгебраическое уравнение относительно граничных значений Д. Оно имеет п — ненулевых корней
fir£t V-To п-4-з>
радикал понимается в алгебраическом смысле.
Таким образом, п — I способами можно найти значение, которое принимает на у первая производная от по ах. Примем, не вдаваясь в подробности, что каждому такому значению в некоторой окрестности у соответствует свое решение сформулированной задачи, определяемое с точностью до аддитивной константы.
Замечание. Нулевые корни уравнения П.4.2 не представляют интереса: им соответствует тривиальное решение const.
Будем для конкретности считать, что аг — а10 — замкнутая линия, все точки которой
принадлежат интересующей нас ббласти, и примем, что всюду на а10 выполняются условия
0 а1 аю- П.4.4)
Второе из них означает, что уравнение П.4.2 всегда имеет смысл, а из первого соотношения П.4.4 вытекает отсутствие на ах — а10 стационарных точек функции , т. е. точек, в которых, кроме П.4.1, выполняется и равенство f1 0.
Для определения функции интенсивности ф мы располагаем уравнением П.3.12, содержащим малый параметр. Под ф будет ’пониматься простой интеграл этого уравнения которое в первом приближении имеет вид
L1 -f- yV1 ф -J 0. П.4.5)
Пользуясь третьим равенством П.2.5, запишем его так:
£ Л1 ф l-А- L° +
I °7l U1
-щ- 1° лд° L' N' А ф о П.4.6)
через U Nr обозначены слагаемые, не содержащие символов дифференцирования.
Ненулевые корни двучленного уравнения П.4.2 однократны, поэтому коэффициент при ддаг в последнем равенстве заведомо будет отличен от нуля во всех точках линии ах а10 и следовательно, эта линия нигде не касается характеристик уравнения П.4.5.


ИНТЕГРАЛЫ С КВАЗИСТАЦИОНАРНОЙ ЛИНИЕЙ
477
Заметив, что Xi, 0 и vn 0суть коэффициенты при старших производных по аг в операторах L п N соответственно, легко расшифровать смысл требований П.4.4. Они означают, что линия 1 а10 не должна касаться соответственных характеристик L ц N или совпадать с ними. В дальнейшем всегда будет предполагаться, что N — эллиптический оператор. Касание его мнимых характеристик с действительной кривой ах а10 невозможно. В противоположность этому, случаи, когда характеристики L касаются линии аг а10 или проходят вдоль нее, возможны и представляют для теории оболочек существенный интерес. Эти случаи должны рассматриваться особо.
Если f сохраняет постоянное значение на выбранной кривой у, то соответствующие интегралы будут относительно медленно меняться вдоль у. Назовем такие решения интегралами ■с заданной квазистационарной линией у, а в том случае, когда у не касается характеристик L, будем говорить об интегралах с заданной не характеристической квазистационарной линией у. В следующем параграфе понятие о таких интегралах будет несколько обобщено.)
Среди интегралов с заданной квазистационарной линией ах а10 выделим такие, у которых действительная часть f на линии ос1— а10 равна нулю, а при ах а10 или при а10 монотонно убывает, и будем называть их интегралами, локализованными в ах аю 0, или интегралами, локализованными в схх ос10 — 0, соответственно. При достаточно малом е их абсолютные значения в области а10 ах а10 существенно отли¬
чаются от нуля только в непосредственной близости к линии аг — а10.
В силу П.4.4 подкоренное выражение в правой части равенства П.4.3 сохраняет знак. Если это выражение отрицательно, а п — кратно четырем, или если подкоренное выражение положительно, а п — равно удвоенному нечетному числу, то П.4.3 определит 12 п — I решений, в которых действительная часть f1 положительна, и 12 п — решений, в которых действительная часть отрицательна. Это значит, что в описанных случаях, т. е. в случаях, когда уравнение П.4.3 не имеет чисто мнимых корней, можно вблизи любой линии а1 а10 построить 12 п — функций , соответствующих интегралам, локализованным в ах 30 0, и 12 п — функций , соответствующих интегралам, локализованным в ах а10 —0.
§ 5, Интегралы с заданной квазистационарной линией. Обобщение
Результаты предыдущего параграфа можно обобщить, приняв, что функция изменяемости f зависит от параметра 8, а именно, имеет вид
0-1-87 0 х 1. П.5.1)
Под интегралами с заданной квазистационарной линией — а10 будем в этом случае подразумевать такие интегралы с большой изменяемостью, в которых вдоль линии аг а10 сохраняет постоянное значение главная часть функции П.5.1, т. е.
°2 - ° eti otio. П.5.2)
Так же как в § 4, примем, что линия аг а10 нигде не касается ни характеристик L, ни характеристик N, т. е. что выполняются требования П.4.4, и будем строить интегралы с заданной нехарактеристической квазистационарной линией. Тогда уравнения П.3.11 и П.3.12 сохран-ят силу, но первое из них можно преобразовать, внеся в него П.5.1 и расположив левую часть полученного- равенства по степеням е; Получим
'2 £ srNr0 п-5-3)
г0 г0
Здесь выражения L£0, Nr0 имеют очевидный смысл. В частности,
Ц° 40 L0 Nfu, П.5.4)
ч. •' _- ,ь... JL - L-. £ ц лг,
через L N обозначены слагаемые, не содержащие производных от .
Таким образом, уравнению П.3.11 или, что то же, уравнению П.5.3 можно удовлетворить, положив
Ц°Щ° 0,
ф N0 е £ хф 2 ЛГ0 0. ' П.5.5)
г'2 , , г2 г 1 J


478 ПРИЛОЖЕНИЕ. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
Первое из этих равенств представляет собой уравнение для 0, а из второго, считая известным 0, можно определить Из П.5.5 вытекает, что в рассматриваемом случае главная часть функции изменяемости 0 удовлетворяет такому же уравнению, какому в § 4 была подчинена функция изменяемости в целом. Сравнив П.4.1 с П.5.2, заключаем, что условия, накладываемые при аг а10 на функции и 0, также одинаковы.
Уравнение, которому подчинено, содержит малый параметр, и под мы будем подразумевать его простой интеграл. Таким образом, в первом приближении будет удовлетворять уравнению
цо Ni0 j о. П.5.6)
Это значит, что П.5.6 по структуре аналогично уравнению П.4.6. В частности, можно утверждать, что характеристики уравнения П.5.6 также нигде не касаются линии а1 ос10.
Функцию ф мы определим как простой интеграл уравнения П.3.12, в коэффициентах которого надо расшифровать по формуле П.5.1. При этом уравнение первого приближения для ф будет отличаться от П.4.5 только тем, что в последнем надо заменить на 0, а эти две функции определяются одинаковыми уравнениями и одинаковыми условиями на ах а10.
Итак, показана возможность строить интегралы с заданной нехарактеристической квази- стационарной линией аг а10 в предположении, что функция изменяемости имеет вид П.5.1 и что на линии аг а10 постоянное значение сохраняет только главная часть Для таких решений можно, как и в § 4, ввести понятие об интегралах, локализованных в аг а10 £ 0. Под этим теперь надо подразумевать интегралы, в которых действительная часть 0 обращается в нуль при аг а10, а в окрестности ах а10 действительная часть f0 монотонно возрастает или, соответственно, монотонно убывает по аг.
Введенный в § 3 показатель изменяемости характеризует скорость изменения функции Ф вида П.2.2 в любом направлении, не являющемся направлением стационарности или относительно медленного изменения функции Для интегралов, локализованных в аг а10 0,
функция , задаваемая равенством П.5.1, относительно медленно меняется вдоль линии аг а10, так как при аг а10 обращается в нуль действительная часть функции 0 —главной части , поэтому показатель экспоненциальной функции в П.2.2 на аг а10 можно определить формулой
--f S-1 а, а10,
из которой следует, что при аг — а10 функцию Ф можно задать так:
Ф aiCCio ф ехр еТ1 е' е1-.
Введем величину т' с помощью формулы
е' в1- тт'. П.5.7)
Она аналогична П.3.2, а поэтому естественно считать, что т' характеризует изменяемость Ф в направлении линии аг — а10. Сравнив П.3.2 с П.5.7, получим равенство
т' 1 — хт, П.5.8)
устанавливающее зависимость между наименьшим показателем изменяемости т' и наибольшим показателем изменяемости т для интегралов, локализованных в at а10— 0.
Обсуждаемые здесь интегралы при х 1 по смыслу совпадают с интегралами, построенными в § 4, так как в этом случае
фехре—V фехрехр во. П.5.9)
Здесь первый экспоненциальный множитель можно включить в функцию ф, и функция П.5.9 не будет по смыслу отличаться от П.2.2. *
Таким образом, показано, что интегралы, локализованные в аг 0, можно строить
так, чтобы их показатель изменяемости вдоль квазистационарной линии хг а10 определялся формулой П.5.7 и мог быть выбран по нашему усмотрению.
§ 6. Интегралы, соответствующие г-кратному семейству характеристик L
Если семейство характеристик оператора L или N кратно, то соответствующие ему интегралы нельзя строить тем методом, который описан в § 3, так как одним из условий его применимости является требование, чтобы характеристики рассматриваемого семейства нигде не касались характеристик другого семейства. Оно теперь очевидно будет нарушаться всюду. Переходя к обсуждению этого случая, примем, что в уравнении П.3.1 оператор L имеет г-кратное семейство характеристик что требуется построить интегралы, соответствующие , и будем считать, что установлена такая система координат, в которой а1-линии совпадают с ха¬


§ 6 ИНТЕГРАЛЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ КРАТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ L
479
рактеристиками координатные линии в такой системе, конечно, могут быть и мнимыми. В этом случае надо считать, что функция изменяемости имеет вид
0 в? 0х1, П.6.1)
и принять, что интеграл соответствует характеристикам , если
°- п-6-2)
Представим L в виде суммы слагаемых, каждое из которых в отдельности однородно относительно порядка производных
-1Г‘‘■-4ч-- £ Е- £ ‘-w.
s, 0 ц0 s0
М-
примем, что линии являются -кратными характеристиками оператора L, т. е. что выполняются соотношения
К. S 0 при S г , ц - ф о, П.6.4)
И
в которых, очевидно, надо считать, что г, г. Примем кроме того, что гц 0 ,если не совпа- JLt Ц
дает с характеристиками L, и что Гм оо, если L 0.
Согласно П.2.3 и П.6.3, П.6.4 имеем
ехр - г-Ч 1т в- fj Я-
S —Г
Ц
Подставив сюда П.6.1 и П.6.2, получим
IX _ II—М*
ехр —в-1 L Ф е ц L. ф, П.6.5)
Отсюда
ехр — е'Ч L Ф 2 Tr-L. Ф. П.6.6)
ц0
Воспользуемся этим, учтем второе равенство П.3.3 и введем целое число тг определив его требованием, чтобы при данном х выполнялось неравенство
— т хгт — ц игц 1фт.
Тогда уравнение П.3.1 можно представить в виде
I П
-тхгт вп-хгт-и.кги £ g2T_„ 2 sn-iNn- ф 0 П.6.7)
ц0 fQ
причем под знаками обеих сумм все степени е будут неотрицательны.
Дальнейшие результаты существенно зависят от свойств целого числа т, и избегая необходимости перебирать различные варианты, остановимся только на случае, когда т имеет единственное значение, равное , т. е. когда справедливо строгое неравенство
— I 4- кг — л -J- xru и I — 1, П.6.8)
так как только этот случай и представляет интерес в теории оболочек. При таких обстоятельствах интеграл требуемого типа можно построить, положив в формуле П.6.1)
2Т — П1 П Q\


480 ПРИЛОЖЕНИЕ. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
При этом неравенства 0 х 1, которыми ограничена область применимости формулы П.6.1, будут выполняться лишь тогда, когда показатель изменяемости т заключен в пределах
2 ;Т—П.6.10)
1 I 1 1 •
ti — I —- т п — I
Положим в уравнении П.6.7 т—1. Тогда в силу П.6.9 в этом равенстве множители при знаках суммирования станут равными друг другу. Отбросив их, получим I п
2 1-кг—jLlХГ,, Ц , 4
8 цМф и sn-'Nn-i ф 0. П.6.11)
ы0 0
ц
Оператор L. расшифровывается второй формулой П.6.5. Его можно представить в виде L. Ь0 s lKL П.6.12)
ь -жг'“ ft1ft Г'“ • ,п'в‘13’
а под L' подразумевается некоторый дифференциальный оператор, коэффициенты которого
не содержат отрицательных степеней 8. Уравнению П.6.11 можно удовлетворить, положив
i
21-кг-му.г ДГи Пч
е • ц L0 N0 0, П.6.14)
Ы0
I п—1
2 ь ф2 e'-w-'’ Фо. п.6.15)
ц0 f0
Функция 0 была подчинена выше дифференциальному уравнению П.6.2. Равенство П.6.14 мы будем рассматривать как уравнение для определения Оно содержит в коэффициентах малый параметр 8, который входит в П.6.14 явно, а, кроме того, степени 8 содержатся
ц
и в выражениях П.6.13 для L0. Все эти степени 8 неотрицательны, и основываясь на этом, будем для искать только простые интегралы. Тогда уравнение первого приближения для можно получить, оставив в4П.6.14 только члены с нулевыми степенями явно входящего' 8. В силу П.6.8 оно имеет вид
L0-_w04 о. П.6.16)
Оставляя в выкладках только самые низкие степени е, можно написать -
ft Г-
Из формулы П.3.9 таким же образом следует, цто
ft'
Поэтому в уравнении первого приближения П.6.16 можно произвести дальнейшее упрощение и записать его так:
ft ' ft Г •-■ ft • ■■ ■• -10 п-6-7)
здесь fо надо рассматривать как известную- функцию, так как для ее определения выше уже
было построено дифференциальное уравнение.
Равенство П.6.15 будем рассматривать как уравнение для определения ф и также ограничимся для него простым интегралом. При этом в первом приближении для ф получится
уравнение первого порядка. В случае, когда, например,
min , — кг—ц 4- хгц 4-1 — к 1,
оно имеет вид
Л Ф • • • Aft ’ w ф • • • 0. П.6.18)


ИНТЕГРАЛЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ КРАТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
481
§ 7. Интегралы, соответствующие г-кратному семейству характеристик L продолжение)
В § 6 область допустимых значений показателя изменяемости т была ограничена сверху
и снизу неравенствами П.6.10. Ограничение сверху существенно связано с постановкой во¬
проса: если т превзойдет этот предел, то. построение интегралов, соответствующих характеристикам оператора L, для уравнения П.3.1 станет невозможным § 3. Обратимся к случаю когда
тя_?7- П-7Л)
При таком х интеграл требуемого типа можно построить, приняв, что не зависит от в и что в рассматриваемой области выполняется уравнение
-У- — 0. П.7.2)
даг
При этом, как легко убедиться, равенства П.6.5 примут форму
М —И 4-Г Ц
ехр — 81?ЦФ 11L. ф,
м-
1 ь. лГ'ц с да\
fJL VI s-r д8 df , д м
L Zj IX-S8 ггт 8 до,2 <
П.7.3)
Будем считать, что теперь вместо П.6.8 при любых допустимых значениях р выполняются неравенства
— I г — ц г№.
Тогда уравнение П.6.7 примет вид
е-,' £ I ф г1п £ епЫпП ф 0. П.7.4)
д0 0
и можно принять, что ф есть простой интеграл этого уравнения. Из П.7.1 вытекает, что 2х — — я — 1 г. Поэтому в соответствующее уравнение первого приближения войдет только
слагаемое, содержащее L. Этот оператор определяется вторым равенством П.7.3 и содержит лишь одно слагаемое, в которое не входят положительные степени 8. Таким образом, уравнение первого приближения для ф запишется так:
,П-7Е)
Сформулируем выводы.
Пусть есть г-кратное семейство характеристик оператора L, и для уравнения П.3.1 надо построить интеграл, соответствующий при дополнительном предположении выражаемом неравенствами П.6.8. Тогда для не слишком больших значений показателя изменяемости х, когда выполняется неравенство П.7.1, можно считать, что функция изменяемости f не зависит от 8 и подчиняется уравнению П.7.2, т. е. является произвольной функцией а2
а2. П.7.6)
Для функции интенсивности ф получается при этом уравнение с малым параметром 8. Ему в первом приближении соответствует уравнение П.7.5 порядка г, в котором коэффициент при старших производных не будет обращаться в нуль, если принять дополнительно, что в рассматриваемой области
v, i-r ф °. п-7-7>
Первое из этих условий означает, что характеристики нигде не должны касаться характеристик оператора L, принадлежащих другому семейству; второе условие накладывает ограничение на выбор функции П.7.6, в остальном целиком зависящей от нашего,произвола.
Если показатель изменяемости х не удовлетворяет неравенству П.7.1, но находится в пределах П.6.10, то функцию изменяемости для интеграла рассматриваемого типа надо задать формулой П.6.1 и подчинить главную часть функции изменяемости 0 уравнению


482 ПРИЛОЖЕНИЕ. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
П.6.2, т. е. считать, что
о о аг •
При этом число х определяется равенством П.6.9, а функции f и ф можно найти как простые интегралы уравнений П.6.14 и П.6.15 соответственно. В первом приближении для получится уравнение П.6.17 первого порядка и степени г, а для ф — линейное уравнение первого порядка, имеющее при некоторых дополнительных условиях вид П.6.18.
Таким образом, в рассматриваемом случае происходит явление, которое мы условимся называть разветвлением функции изменяемости. Оно заключается в том, что для всех интегралов, соответствующих г-кратным характеристикам оператора L, главная часть функции изменяемости определяется единым дифференциальным уравнением первого порядка П.6.2, в то время как для можно из П.6.17 очевидным образом получить г различных линейных уравнений первого порядка. Область значений показателя изменяемости т, при которых разветвляется функция изменяемости, определяется неравенствами П.6.10.
При любых положительных значениях т должны выполняться условия П.7.7, в которых при т, удовлетворяющем неравенствам П.6.10, надо заменить на 0. При нарушении этих условий в уравнениях П.6.17 и П.7.5 появятся особые точки, т. е. точки, в которых коэффициенты при старших производных проходят через нули.
Если показатель изменяемости т удовлетворяет неравенству П.7.1, то функция интенсивности ф определяется уравнением П.7.4. Из него видно, что при таких т можно пренебречь влиянием оператора N, т. е. заменить П.3.1 приближенным уравнением П.3.14. Это равносильно отбрасыванию второй суммы в левой части П.7.4. Поэтому можно принять, что П.3.14 при построении интегралов, соответствующих г-кратной характеристике оператора L, приводит к формальной погрешности порядка
0е2х1пг. П.7.8)
Этой формулой обобщается оценка П.3.15. Равным образом обобщением П.3.18 является неравенство П.7.1. Им определяется область применимости приближенного уравнения П.3.16 на случай г-кратной характеристики.
§ 8. Интегралы, соответствующие г-кратному семейству характеристик N
Обратимся к интегралам, соответствующим линиям которые являются г-кратными характеристиками оператора N и также совмещены с а1-линиями. Оператор N зададим в виде
N 2J N, £ V,. u_s
с1
. dajdo s
Ц0 50 1
и ограничимся случаем, когда линии , будучи г-кратными характеристиками оператора V,
м-
не являются характеристиками ни для одного из операторов N, т. е. будем предполагать, что выполняются соотношения
v,,„_, 0 при sr, Vr, п-гфЪ vo, ц 0, П.8.1)
ц
и что ни один из операторов N не обращается в тождественный нуль.
Для построения интегралов требуемого вида, при некоторых дополнительных условиях, которые обнаружатся ниже, надо принять, что функция изменяемости задается формулой П.6.1, а ее главная часть 0 удовлетворяет уравнению П.6.2. Поэтому по аналогии с П.6.6 можно написать следующую формулу:
ехр — е-1 N Ф 6 tlXrf‘ N. ф, П.8.2)
Ll0
где
SLl
. - s h.-'1£ ■ ' ]
чг
U
П.8.3)
В силу предположения П.8.1 надо считать, что в П.8.3 гя г иг 0 при р, п. Поэтому


§ 8 ИНТЕГРАЛЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ КРАТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ N
483
легко убедиться, что при
к-1- П.8.4)
выполняются неравенства
— г хг — ц, хгц Рп — 1, П.8.5)
а при х Mr справедливы соотношения
— п кг —я-f-1 — и,--хгц р я — 2. П. 8:6)
Если показатель изменяемости т удовлетворяет неравенствам
2 ъ—А Г, П.8.7)
Т—Т п—1 — 1’
то для интеграла обсуждаемого, вида число х в формуле П.6.1 надо определить равенством
_Ln- —--. П.8.8)
Ограничение значений т сверху обеспечивает выполнение неравенства П.8.4, а ограничение снизу является необходимым условием существования интегралов, соответствующих характеристикам оператора N.
Подставим П.8.2 в уравнение П.3.1, примем во внимание первое равенство П.3.3, а также неравенство П.8.5 и запишем результат в следующем виде:
п *
2т—пytr уг п—хг—llХГ м- —,I l—i l—i ч л ТТ о
8 8 N ф е V 8 ф 0- П.8.9)
ио jo
м>
Для N справедливо равенство П.8.3. Поэтому по аналогии с П.6.12 положим
считая, что
JLL LI л , Ц,
N. N0 4- z N , П 8.10)
и подразумевая под N' некоторый оператор, коэффициенты которого не содержат отрицательных степеней е.
Далее можно поступать точно так, как и в § П.6. Учтя равенство П.8.8, отбрасываем в П.8.9 множители при знаках суммирования и заменяем полученное равенство двумя следующими уравнениями:
п
£ gn-xr-lixrfO L0 0i JLt0
П.8.12)
n I—I
2 е,п-г-г1- Nip 2 Ф 0.
Ll0 0
Первое из них позволяет определить f как простой интеграл, для которого уравнение первого приближения имеет вид
V,. V , -g- • • ■ - П.8.18)
Второе уравнение П.8.12 позволяет определить ф как простой интеграл, для которого в первом приближении получится линейное уравнение первого порядка; так как гпг, то при Iх п справедливо неравенство п — ш — ц хг 1 — х 1 и это уравнение можно записать так:
ЛГ Ф ••• 0.
п
Раскрыв здесь смысл оператора N' и вновь отбросив члены с положительными степенями е, получим
n, JLy Жо-п-г Jl. о п-8-14>
гп-гда1 да2 дах и-


484 ПРИЛОЖЕНИЕ. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
§ 9. Интегралы, соответствующие r-кратному семейству характеристик N продолжение)
Если показатель изменяемости т вместо П.8.7 удовлетворяет неравенству
2
: Г,
П— — 1
го в формуле П.6.1 число х надо определить так:
П.91)
x П.9.2)
При этом будет выполняться неравенство
— 2т -f п — кг — 10.
Учитывая это и использовав П.8.10, запишем уравнение П.8.9 следующим образом:
2 8л-хг-дсгц yv0 в1-4 Л' ф е-2тп-ил-г g_Li_ ф о
JLI0 и
перед вторым знаком суммирования степень е заведомо положительна, ц
Так как N-0 и L0 — не операторы, а функции, то полученному уравнению можно удовлетворить, положив
п
-хг-дхг0 8_2x„-xr-L0 0>
JLI0
П 1—1
8п-хл-цхгц1-х' ф ъ-2хп-у.г-1 sl-iLl-i ф 0.
ц0 0
П.9.3)
Функция f при этом определится как простой интеграл первого уравнения П.9.3. Но если х определяется формулой П.9.2, то справедливы соотношения П.8.6, и следовательно, уравнение первого приближения для f запишется так:
д° 0.
При расшифровке левой части этого равенства надо принимать во внимание П.8.11 и П.6.1. В результате, после отбрасывания слагаемых, имеющих множителями положительные степени е, получим
-Ш’ -ёгГ' -яг Г1- - - °- П94)
Из второго уравнения П.9.3 можно определить ф как простой интеграл, причем в первом приближении для ф получается линейное уравнение первого порядка. В частности, если, например, выполняется неравенство 1—х—2т п — кг— 1, то оно примет вид
АГфН 0. П.9.5)
Итоги рассуждений §§ П.8, П.9 сводятся к следующему.
Пусть есть г-кратное семейство характеристик оператора N и для уравнения П.3.1 надо построить интеграл, соответствующий , при дополнительном предположении, что %
ц
не являются характеристиками ни для одного из операторов N ы п — 1. Тогда при любых значениях т, удовлетворяющих неравенству
2
Тгт*
-надо функцию изменяемости брать в виде П.6.1 и считать, что в ней
1 2 х — п — — 2т при т -
• 1 1 П-9‘6>
X при Т Г- .
Г и — — 1


§ 10 ИНТЕГРАЛЫ С ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ КВАЗИСТАЦИОНАРНОЙ ЛИНИЕЙ 4§5
При этом всегда происходит разветвление функции изменяемости, т. е. ее главная часть fQ должна удовлетворять уравнению П.6.2, а для f в первом приближении получается г различных линейных уравнений, вытекающих из П.8.13 и П.9.4. Функция интенсивности р в первом приближении определяется линейным уравнением вида П.8.14 или П.9.5.
Если т не слишком велико, т. е. выполняется неравенство, стоящее в первой строке П.9.6, то для справедливо уравнение первого приближения П.8.13. Оно зависит от , т. е. от вида оператора L. Отсюда следует, что в рассмотренном здесь случае неравенство П.3.19 сохраняет свой смысл, как условие, ограничивающее область применимости приближенного уравнения П.3.16 при построении интегралов, соответствующих характеристикам оператора N. Это значит, что при принятых здесь предположениях кратность характеристики не меняет результата. Легко показать но мы на этом не будем останавливаться, что сохраняет силу и соотношение П.3.17, оценивающее формальную погрешность приближенного уравнения П.3.16.
§ 10. Интегралы с заданной характеристической квазистационарной линией
Будем теперь для уравнения П.3.1 искать интегралы с заданными квазистационарнымн линиями, предполагая, что последние проходят вдоль характеристик оператора L, и применим для этого распространенный в теории асимптотического интегрирования метод изменения масштаба.
Рассмотрим функцию вида
Ф ф exp гЦ, f0--ex? 0и1. П. 10.1)
Она будет обладать свойствами интеграла рассматриваемого вида, если потребовать, чтобы выполнялись соотношения
Т5Г0' -i-0
предполагается, что интересующие нас г-кратные характеристики совмещены с аа-линиями. Для функций П. 10.1, П. 10.2 справедливы равенства
дФ _i дф —14-клч
шг е ф“’ -7 8 ф2*
в которых
ф ■ 8 Г 8шг,рехр em ф2 -- 8l_x-r,pexp 8-
Это значит, что первые производные по ах и а2 от функции вида П. 10.1, П. 10.2 остаются функциями того же вида, но приобретают дополнительные множители е“1 и Таким
образом, справедлива и более общая формула
АрЧ® 8-р- - яф п.ю.з)
дад4 р-я’
в которой —также функция вида П. 10.1, П. 10.2.
Заметив это, примем, что равенство П. 10.3 определяет свойства искомого решения, и будем искать интеграл, обладающий такими свойствами, не считая, что он должен обязательно иметь вид П. 10.1, П. 10.2. Выполним в П.3.1 замену независимых переменных по формулам
ai s£i. a2 s1-xi2. П.10.4)
Тогда в нем, помимо т, появится новый малый параметр е, а равенство П. 10.3, определяющее свойства искомого интеграла, примет вид
дРQ ф
ФР. „• П.10.5)
дЦдЩ


486 ПРИЛОЖЕНИЕ. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ' УРАВНЕНИЙ
Связав т и s соотношением вида П.3.2, можно интегрировать преобразованное уравнение П.3.1 с помощью простого итерационного процесса § П.1. Этим будет достигнута поставленная цель, так как, вообще говоря, интегралы, получаемые при помощи простого итерационного процесса, обладают свойством ПЛ0.5, т. е. в них искомая функция и все ее производные по независимым переменным £1 имеют одинаковую асимптотику по 8. Конечно, при этом надо проявлять осторожность при выборе произволов интегрирования и не допускать случаев, когда в первом приближении получаются решения, в которых частные производные, начиная с некоторого порядка, тождественно исчезают.
В применении преобразования вида П. 10.4 с последующим использованием простого итерационного процесса и заключается метод изменения масштаба. Применим его к исследованию интегралов с заданными квазистационарными а2-линиями, совпадающими с некоторым г-кратным семейством характеристик оператора L. Будем считать, что операторы L и N заданы формулами П.3.1, и выполним в них преобразование П. 10.4. Получим
I 1—S
уу jzZL. N_ у у Zj Zj 8 As' ’ N Zj Zj 8 Vs- ddl{
s0 0 s0 0
П.10.6)
Примем, что N — эллиптический оператор и его мнимые характеристики нигде не касаются действительных а2-линий. Это значит, что vn 0 всюду отлично от нуля. Поэтому, учитывая неравенства, которыми в П. 10.1 ограничено число х, легко убедиться, что во втором выражении П. 10.6 наименьшая степень е равна —п. Минимальная степень 8 в первом выражении П. 10.6 зависит от вида оператора L и от свойств того семейства характеристик, которые являются квазистационарными линиями. Здесь получается та же ситуация, как и в § П.6 с заменой а1-линий на а2-линии. Для теории оболочек достаточно ограничиться случаем, когда
min — s — 1 — х t — хг П. 10,7)
и когда значение, стоящее справа, достигается только при s — I — г, t г. Этот случай соответствует неравенству П.6.8.
В рамках принятого предположения формулы П. 10.6 можно переписать следующим образом:
L — P—ilr V —КГ—S—1—xt л
Le Zj Zj •*
s0 £0
П.10.8)
vi vi dsi
s0 n—s
нричем под знаками сумм все степени 8 будут положительны, кроме тех, которые соответствуют в первом выражении s I — г, t — г, а во втором s п, t 0.
Потребуем, чтобы выполнялось равенство
sir г2гп, П. 10.9)
смысл которого выяснится ниже, подставим П. 10.8 в П.3.1 и будем для полученного уравнения искать простой интеграл § П. 1. Тогда уравнение первого приближения можно записать, так:
дГш fin—1гш д1гФ
k-Г. Г -4 лЧг, о I Д7- • • • 0, Y 8-'4-7-. П. 10.10)
да£ да да г
В этих равенствах мы вернулись к первоначальным переменным alf a2, учли П. 10.9 и искусственно записали уравнение первого приближения в виде цепочки двух уравнений. Последнее сделано, чтобы подчеркнуть, что в уравнении первого приближения существуют решения, в которых частные производные отФ по ах, или, что то же, по х, обращаются в тождественные нули, начиная с некоторого порядка. Это — решения, соответствующие тривиальным интегралам W 0 первого уравнения П. 10.10. Их, как уже говорилось, следует отбрасывать, как не обладающие нужными свойствами.
Замечание. Принятие равенства П. 10.9 необходимо, так как иначе система П. 10.10 будет иметь только тривиальные решения типа 4я 0.
Полученный результат можно рассматривать как дальнейшее обобщение результатов §§ П.4, П.5. Рассмотренный там случай, когда квазистационарные линии не совпадают с ха¬


§ ю ИНТЕГРАЛЫ С ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ КВАЗИСТАЦИОНАРНОЙ ЛИНИЕЙ 4gy
рактеристиками оператора L, получается, если положить равным нулю число г кратность характеристик L. Тогда уравнения П. 10.10 примут вид
xi,o4; v„,o-f3----0' 8 ГТ• П.10.11)
да” да[
Этой системе соответствует уравнение П.4.2 в том смысле, что, если искать решение П. 10.11 в виде П.2.2, то для построения функции изменяемости снова получится уравнение П.4.2, которым определяются главные свойства интеграла с заданной квазистационар- ной линией, не проходящей вдоль характеристик оператора L.
Первое равенство П. 10.10 можно называть уравнением первого приближения для интегралов с квазистационарными а2-линиями. В том и только в том случае, когда а2-линии не совпадают с характеристиками оператора L, т. е. когда г 0, это уравнение не содержит производных по а2 и, в сущности, является уравнением без частных производных. Для интегралов с характеристическими квазистационарными линиями, когда rg 0, оно перейдет в П. 10.10, т. е. станет параболическим.
Сопоставив П. 10.9 с П.3.2, получим формулу
Т , П.10.12)
п — хг 9 v
которой определяется показатель изменяемости интеграла с заданными квазистационарными линиями проходящими вдоль г-кратных характеристик оператора L. Число к в настоящем параграфе очевидно играет такую же роль, как и в § П.5: оно характеризует изменяемость рассматриваемого интеграла вдоль заданной квазистационарной линии. А именно, согласно П.5.8 можно принять, что
т' 1 —хт 2‘ —И)
v п — I гх
Пользуясь этим, можно в П. 10.12 исключить к и получить следующую зависимость между общим показателем изменяемости т и показателем изменяемости в направлении квазистационарной линии т':
т -2-±-У—. П.10.13)
П— --Г
Отсюда видно, что т не зависит от т' тогда и только тогда, когда г 0, т. е. для интегралов с нехарактеристическими квазистационарными линиями. В последнем случае получим как и в § П.4, что т т 2п — .
Из формулы П. 10.13 легко вывести, что неравенство т' т, которое очевидно должно выполняться для интегралов с квазистационарными линиями, будет действительно иметь место тогда и только тогда, когда
Этим требованием ограничиваются значения показателя изменяемости вдоль квазистационарной линии , при которых существуют интегралы с этой квазистационарной линией.
Замечание. Метод изменения масштабов очень широко применяется в 1еории оболочек в зарубежных работах. Он выглядит весьма универсальным, но в действительности существуют некоторые обстоятельства, существенно ограничивающие область его применения.
Если исследованию подлежат интегралы с большой изменяемостью, то изменение масштаба должно заключаться в его растяжении, а если изменяемость интегралов мала, го масштаб надо сжимать. При этом в первом случае изменяемость коэффициентов уравнения уменьшится, а во втором случае увеличится. Вместе с тем, как уже говорилось, надо требовать, чтобы в новых независимых переменных решения имели среднюю изменяемость. Существование таких решений при пониженной изменяемости коэффициентов когда они мало отличаются от констант представляется вполне естественным, но при весьма быстро меняющихся коэффициентах это становится совсем не очевидным, а это значит, что для исследования интегралов с весьма малой изменяемостью метод изменения нельзя считать обоснованным.
В монографии Руттена 184 метод изменения масштаба положен в основу всего изложения общей теории оболочек, но сложности, вытекающие из вышеприведенных соображений, не принимаются во внимание. Руттен отмечает, что его результаты не всегда согласуются с результатами, изложенными в первом издании настоящей монографии 48. При этом оказывается, что все расхождения относятся к случаям, когда изменяемость исследуемого напряженно-деформированного состояния весьма мала. При подготовке настоящего издания оспариваемые Руттеном результаты были тщательно проверены. Однако поводов для их исправления не оказалось.


488 ПРИЛОЖЕНИЕ. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
§ 11. Частный интеграл
Рассмотрим теперь неоднородное уравнение
L т2Л0 Ф х exp 8-igr)
П.11.П
и покажем, что, если константа в достаточно мала, то при выполнении некоторых дополни тельных требований частный интеграл этого уравнения можно искать в виде
Подставив П. 11.2 в П. 11.1 и отбросив экспоненциальный множитель, получим для определения уравнение
во-г jL0 -- е-1 ф - b e'L‘ pj?-f
- tV-n iW° ф eNw Ф • - • q,_e X- П.11.3)
на L или N, a — на g.
Будем считать, что в П. 11.1 числа виг связаны зависимостью П.3.2, назовем т показателем изменяемости свободного члена, введем снова в рассмотрение число т, определенное формулой П.3.6, и будем различать три следующих случая:
Случай I: т т. При таком т выполнится неравенство
и будем считать, что ф определяется как простой интеграл полученного уравнения. В силу П. 11.4 и П.2.5 это приведет нас к следующему уравнению первого приближения для ф:
ленится на обратное. По-
Случай III: т т. При таком т надо а определить формулами П.11.5 или, что то же, П. 11.6, а для ф при этом получится следующее уравнение первого приближенияг
Итак, при любых т функцию ф можно, вообще говоря, строить при помощи итерационного процесса, заключающегося в последовательном решении алгебраических уравнений, выписанных здесь в первом приближении. Исключение представляют случаи, когда где-либо в рассматриваемой области будут выполняться соотношения
Повторив рассуждения § П.З, легко заметить, что первые два равенства П. 11.7 имеют простой смысл. Предлагаемый метод построения частного интеграла при т или тт*
ф еа ф exp e-1g.
П. 11.2)
В нем операторы Nin-j определяются формулами вида П.2.5 с заменой Q
а—1 2г—па _ g2T—n-f-a^
П. 11.4)
Заметив это, положим
а I
П. 11.5)
ФН— X"
ФЧ— Х.
П. 11.6)
H0N‘°fg Ф-. s
fi0fg 0 Притт„, W0fg 0 притт. Ц N0 fg 0 при т x.
П.11.7)


§ 123
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
489
применим только в том случае, если линии уровня функции g нигде не касаются характеристик оператора L или N соответственно.
Если условия П. 11.7 нарушены, то в общем случае вопрос построения частного интеграла уравнения П.11.1 становится сложным, и мы его разбирать не будем. Однако при известных конкретных обстоятельствах здесь принципиальных трудностей не возникает. Покажем это на примере.
Пусть линии уровня функции g совпадают с у —некоторым однократным семейством характеристик оператора L — и нигде не касаются линий другого семейства характеристик L. Тогда при т, удовлетворяющем неравенству
J7i -
можно указать простой итерационный процесс построения частного интеграла, положив
а I — 1. П.11.9)
Предполагается, что g совпадает с характеристиками оператора L. Поэтому во всех точках рассматриваемой области выполняется уравнение
iO,fg 0, П.11.10)
а так как характеристики у однократны и нигде не касаются характеристик других семейств, то справедливо соотношение
--£о4 фо, п.ii.il)
I °fl jf—ё
означающее, что две функции левой части ни в одной точке не обращаются одновременна в нуль.
В силу П. 11.10 уравнение П. 11.3 можно записать так:
о—11 il, Ф sL2 ф 8- 1L0 ф +
Г2е°” W0 ф 8W1 ф • • • 8nN ф,_л X. П.11.12)
Вместе с тем из П. 11.8 легко вывести неравенство
T2ga п 8Д2-П 8a“Z1,
и следовательно, из П.11.12 можно определить ф как простой интеграл, для которого уравнение первого приближения имеет вид
£1фН— П. и. 13)
В этом уравнении оператор L1 расшифровывается по формулам вида П.2.5, а следовательно, в силу П. 11.11 главная часть П. 11.13 нигде не исчезает. Итак, показано, что, если свободный член уравнения П. 11.1 представляет собой функцию с большой изменяемостью вида П.2.2, то, вообще говоря, это уравнение имеет частный интеграл, представляющий собой функцию такого же вида. При этом показатели изменяемости и функции изменяемости у свободного члена и частного интеграла одинаковы. Различными могут оказаться только функции интенсивности. В частном интеграле последняя содержит дополнительный множи. тель еа, в котором число а определяется формулами П. 11.5 или П. 11.6. Это значит, что функция интенсивности частного интеграла существенно меньше по абсолютным значениям, нежели соответствующий свободный член. Достаточное условие справедливости высказанного утверждения заключается в том, что линии уровня функции изменяемости свободного члена при не слишком большом показателе изменяемости тт не должны касаться характеристик оператора L, а при достаточно большом показателе изменяемости т т они не должны касаться характеристик оператора N. Частный интеграл обсуждаемого вида может существовать и при нарушении сформулированного выше условия. При этом, как показано на примере, будут иметь место явления, которые можно назвать резонансными. Они заключаются в том, что в дополнительном множителе га число а уменьшается, так как формула П. 11.5 переходит в формулу П. 11.9.
§ 12. Решение краевых задач
Обсудим теперь, как можно из интегралов, рассмотренных в §§ П.1—П.9, составлять решения некоторых краевых задач.
Пусть область G, в которой надо решать краевую задачу, конечна и ограничена двумя замкнутыми кривыми glt g2. Введем такую криволинейную систему координат р1 32 чтобы в ней gX g2 совпадали с р2-линиями а область G определялась неравенствами
PioSSPisSPu. 120 5 Йа Р21 Фн — констант,


490 ПРИЛОЖЕНИЕ. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
и будем считать, что plf р2 — параметры криволинейной системы координат, подобной полярной рис. 58. Это значит, что два уравнения Р2 Р20 и Р2 Р21 задают одну кривую, на которой должны выполняться условия возврата. Связанные с этим подробности несущественны для дальнейшего и будут опущены. Допускается, что линия 3Х рп может стягиваться в точку, т. е. что область G может быть как двухсвязной, так и односвязной.
Будем решать задачу Дирихле для уравнения вида П.3.1, которое запишем теперь так:
stl
L 4- хЩ Ф 0, L
s. t 0
K,t
gst
эть
N
s--tn
-2
s, 0
vs, t
П.12.1)
Напомним, что в §§ П.1.—П.9 криволинейная система координат ах, а2 выбиралась специальным образом например, совмещалась с характеристиками операторов L или V. В противоположность этому здесь криволинейная система координат Рь Р2 фиксируется с учетом вида области G. Поэтому будет считаться, чтоах, а2 и Р1? р2 имеют различный смысл, в связи
- с чем коэффициенты операторов L, N отмече-
РГРЮ ны штрихами. Переход от аь а2 к рх, Р2 со¬
вершается при помощи соотношений
Pi Pi 1, а2- Рг Р2 1. аг- П. 12.2)
Будет приниматься, что рг и Р2-линии нигде в интересующей нас области не касаются характеристик оператора L .
Граничные условия задачи определим равенствами на Р-, Р10)
ф S£g,1,exp
П. 12.3)
в которых — достаточно гладкие заданные функции точек контура рх Р10; 6 — символ Кронекера неоднородным считается только одно условие, относящееся к производной порядка т.
На линии рх рп также должны выполняться условия вида П.12.3 или условия непрерывности если линия Pl Ри стягивается в точку, но мы пока их не будем учитывать. Постоянный параметр 8 в правой части П. 12.3 считается малым, т. е. рассматривается задача Дирихле с сильно осциллирующими граничными условиями 24, 25. Кроме того, принимаются следующие дополнительные предположения:
1 V и L — операторы порядка п и , причем пи — четные числа и п I;
2 N — эллиптический оператор, а тип оператора L произволен;
3 все семейства характеристик оператора L имеют одинаковую кратность, выражаемую четным числом такими же свойствами обладают и характеристики N\
4 если число е в правой части П. 12.3 связать с малым параметром г соотношением
е ть, П.12.4)
то число 0 — показатель изменяемости граничных условий — ограничено неравенствами
2 2 П.12.5)
п—1 r
е<
П — 9
в которых г — кратность характеристик оператора L;
5 функция ф в П. 12.3 всюду на рх р10 удовлетворяет условию монотонности
дф
др2
Ф0.
П. 12.6)
Наша цель теперь будет заключаться в том, чтобы показать, что решение сформулированной задачи можно составить как сумму интегралов, соответствующих характеристикам оператора L, и интегралов, локализованных в Рх р10 0 и в Рх рп — 0.
Рассмотрим интегралы вида
Ф ф ехр 8“1 f, f f0 -f- sx f,
П.12.7)
Это, в частности, значил, что границы области О нигде не касаются характеристик L.


РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
491
считая, что в них 8 имеет такой же смысл, как в граничных условиях П. 12.3, и положим
8 ТХ, т 0. П.12.8)
Тогда т в силу П. 12.5 будет удовлетворять неравенствам П.6.10, а следовательно, будет
иметь силу изложенный в §§ П.6, П.7 метод построения интегралов вида П. 12.7 для уравнения П. 12.1. Это значит, что в П. 12.7 надо согласно П.6.9 положить
7- -g--п П.12.9)
и считать, что 0 и удовлетворяют уравнениям П.6.2 и П.6.17. Оба эти уравнения выведены в предположении, что ai-линии совмещены с характеристиками оператора L. Поэтому перейдя отах, a2 к Рх, Р2 и разрешив равенство П.6.17 относительно производной от , можно написать
1Г1- Ж- 'Т±-Ж 0’ П.12.10)
dax dPi dax dp2
Pi df dp2 df
дал дРт da, dp2
Потребуем, чтобы выполнялись условия
,о1р1з„ 1э1р10° П.12.12)
равносильные требованию, чтобы в интеграле П. 12.7 функция изменяемости обладала следующим свойством:
lp,3l, t. П.12.13)
Уравнения П. 12.10, П. 12.11 представляют собой результат преобразования независимых переменных в уравнениях П.6.2 и П.6.17. Поэтому их характеристики совпадают с тем семейством характеристик L, которое порождает рассматриваемый интеграл, а по предположению линия Pi Pi о не касается каких бы то ни было характеристик L. Отсюда вытекает что уравнения П. 12.10 и П. 12.11 заведомо имеют решения, удовлетворяющие условиям П. 12.12. Для о это будет единственное решение, а для получится г различных решений, так как радикал в правой части П. 12.11 надо, конечно, понимать в алгебраическом смысле.
Условимся называть интегралы вида П. 12.7 при фиксированном е существенно различными, если их функции изменяемости неодинаковы. Тогда полученный выше результат можно сформулировать так; среди решений вида П. 12.7, соответствующих г-кратному семейству характеристик, и удовлетворяющих условиям П. 12.12, есть ровно г существенно различных интегралов предполагается, что число 8 фиксировано и удовлетворяет требованиям П. 12.4, П. 12.5.
Замечание. Из вышеприведенных рассуждений вытекает, что главная часть функции изменяемости 0 остается одинаковой для всех'существенно различных интегралов, соответствующих фиксированному г-кратному семейству характеристик L. Различие в функциях изменяемости в них проявляется лишь во второстепенных слагаемых, содержащих .
Так как интеграл вида П. 12.7 удовлетворяет условию П. 12.13, то при Pi Рю функция Ф является величиной порядка О ф. Если, кроме того, выполняется условие
Re
Уг-1 °- П.12.14)
Ь,р10
то абсолютные значения Ф в окрестности рх Pi0 будут экспоненциально убывать с возрастанием рх, и при достаточно малых 8 это убывание станет весьма интенсивным. Учитывая это, назовем П. 12.14 условием экспоненциального затухания вблизи рх рхо подразумевается затухание при движении вглубь рассматриваемой области и поставим вопрос: сколько можно построить существенно различных интегралов, соответствующих всем характеристикам L, которые удовлетворяют краевому равенству П. 12.13 и условию экспоненциального затухания П. 12.14.
Примем, что L имеет г-кратное семейство действительных характеристик, и рассмотрим соответствующие ему интегралы, удовлетворяющие условиям П. 12.12. В этом случае можно принять, что введенные в § П.6 независимые переменные ах, а2 являются параметрами действительной системы координат, и считать поэтому, что в правых частях П. 12.2 стоят действительные функции. Тогда коэффициенты уравнения П. 12.10 будут действительными, и его решение, удовлетворяющее первому условию П. 12.12, очевидно должно быть чисто мнимым. Это значит, что условие экспоненциального затухания П. 12.14 в силу второго равенства П. 12.7 примет вид


492 ПРИЛОЖЕНИЕ. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ
Но функция f определяется из уравнения П. 12. И и второго граничного условия П. 12.12. Учитывая это, примем, что П. 12.11 выполняется всюду, включая границу, положим Pi Рю в этом равенстве и упростим его, заметив, что в силу второго условия П. 12.12 производная от f по исчезает при 510. Получим
даг даг Ни одна из величин
0Ра
П.12.16)
даг
в,.,.' -Щ-Х-ь.
не обращается в нуль. Первая из них — потому, что а1-линия есть характеристика L, а Рх- линия с ней нигде не соприкасается; относительно второй и третьей величин соответствующее предположение было принято в § П.6, а для последней величины это следует из первого равенства П. 12.12 и дополнительного условия П. 12.6. Отсюда вытекает, что условие П. 12.15, а вместе с ним и П. 12.14 будет, вообще говоря, выполняться ровно в г2 решениях, которые возможны для функции f напомним, что г четно. Исключения возможны. Они имеют место, когда в правой части П. 12.16 радикал имеет чисто мнимое значение. Эти случаи легко обнаружить в конкретных задачах, и мы их исключим из рассмотрения, так они не реализуются в уравнениях статической теории оболочек.
Итак, каждому г-кратному семейству действительных характеристик L при четном г и некоторых дополнительных обстоятельствах, всегда имеющих место в теории оболочек, соответствует ровно г2 существенно различных интегралов, удовлетворяющих требованию П. 12.13 и условию экспоненциального затухания П. 12.14.
Обратимся к случаю, когда L имеет г-кратное семейство мнимых характеристик у. Так как по предположению оператор L действителен, то он одновременно должен иметь и г-кратное семейство комплексно-сопряженных характеристик у. Под этим подразумевается следующее: если для у переход от аг, а2 к р1? Р2 осуществляется при помощи П. 12.2, то для у этого результата можно достигнуть при помощи равенств
Pi Pi “i. а Р2 Ра “1. “а)
функции pj, Р2 должны быть, разумеется, комплексными, а черточка сверху означает комплексную сопряженность.
Уравнение П. 12.10, так же как и комплексно-сопряженное ему уравнение получающееся заменой filt р2 на pl5 Р2, имеет, конечно, только комплексные решения. При этом, если первое из них имеет решение 0, то второе заведомо цдоеет решение — 0, а в том случае, когда 0 удовлетворяет первому условию П. 12.12, этому же условию будет удовлетворять и—0. Отсюда следует, что каждой паре комплексно-сопряженных г-кратных г — необязательно четно мнимых характеристик L всегда соответствует ровно г существенно различных интегралов, удовлетворяющих краевому равенству П. 12.13 и таких, что в них главная часть функции изменяемости удовлетворяет условию экспоненциального затухания вблизи р Рю При достаточно малом можно принять, что последнему условию, т. е. неравенству П. 12.14, удовлетворяет и функция в целом.
Если порядок оператора L равен четному числу , то из сказанного выше вытекает, что в общей сложности можно построить 2 существенно различных интегралов, соответствующих характеристикам L, удовлетворяющих краевому равенству П. 12.13 и условию экспоненциального затухания вблизи рх р10.
Введем теперь в рассмотрение интегралы, локализованные в Р10 -j- 0 см. § П.5, и зададим их так:
i-e „
X xexpA,-, ххп Х 2 х, П.12.17)
считая, что X — малый параметр, определяемый формулой
2
Хцп1. П.12.18)
Из этого равенства и равенства П. 12.8 следует, что
. п—1
X 2 8. П. 12.19)
В силу П. 12.5 справедливы неравенства
о 1 — 0-—L 1.


§ 13J
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
493
Поэтому при построении интеграла X можно пользоваться результатами § П.5, отождествив ф, 0, , 8 с Хо х, X соответственно и положив
В § П.5 при выборе координатной системы предполагалось только, что заданная квази- стационарная линия должна совпадать с аг — а10 const Поэтому можно считать, что параметры ах, а2 в данном случае совпадают с Рх, Р2. Для 0 и f были выведены уравнения П.5.2, П.5.6. Они сохраняют силу для х0, х, если в этих уравнениях отождествить ах, а2 с рг, р2, под понимать производную от х0 по рх и расшифровывать левую часть П.5.6 при помощи второй формулы П.5.4. Эти уравнения обсуждались уже в § П.5. При их интегрировании можно выполнять граничные условия
и требовать дополнительно, чтобы имело место экспоненциальное затухание. Из результатов § П.5 вытекает, что такая задача имеет ровно п — 112 решений. Это значит, что есть ровно п — 2 существенно различных интегралов, локализованных в Р10 0 и таких, что в них выполняется краевое равенство
очевидным образом следующее из П. 12.17, П. 12.19 и П. 12.20.
§ 13. Решение краевых задач продолжение)
Покажем теперь, что, если в обсуждаемой задаче Дирихле сохранить пока только граничные условия П. 12.13, т. е. не учитывать условий на краю Pi Pii, то решение можно искать в виде
Здесь а, b — числа, которые будут выбираться ниже; Фа — существенно различные интегралы, соответствующие характеристикам L, удовлетворяющие граничному равенству П. 12.13 и условию экспоненциального затухания вблизи 3Х 310; Х9 — существенно различные интегралы, локализованные в 6Х р10 0 и удовлетворяющие граничному равенству П. 12.21 Из рассуждений § П. 12 вытекает, что существует ровно столько функций Ф0 и Х0, сколько нужно для составления сумм П. 13.1.
Будем подставлять П. 13.1 в граничные условия П. 12.3 и воспользуемся для этого формулой П.2.5. Положив в ней
П. 12.20)
П.12.21)
П—I 2~
П.13.1)
о0
о0
Фа ф® exp s'1?0, Х„ Ха ехР Я1-
П.13.21
ди
Q D‘'J' —, а, р., а2 Р,
1 Hi. 2 Р|
и приняв во внимание П. 12.4, П. 12.2, получим формулу
£м. ф0 e£jtt ф„ exp s'1?0, П.13.3)
в которой
Лц а — р0,
в — конечный при е -■ 0 оператор.
Так же, учитывая П. 12.17, П. 12.18, будем иметь
П. 13.4)
г,Ч tfP ,Х Ха Г Ха ехр Х'Ч0.
П.13.5)
П.13.6)


494 приложение, асимптотическое интегрирование уравнений
Функции 9 и х° должны при любых о удовлетворять граничным равенствам П. 12.13 и П.12.21. Поэтому равенства, получающиеся после подстановки П. 13.1, П.13.3, П.13.5 в граничные условия П. 12.3, можно сократить на экспоненциальный множитель. В результате мы будем иметь граничные условия
в которых точками обозначены слагаемые вида О е.
Для того чтобы получить удобный процесс выполнения граничных условий, надо в формулах П. 13.4, П. 13.6 надлежащим образом выбрать числа а, Ъ. Если число т порядок производной, граничное значение которой отлично от нуля подчиняется неравенству т 2. то надо положить
Из них следует, что если в П. 13.7 сохранить только слагаемые вида О г°, то эти равенства можно записать в виде
Их можно рассматривать как систему алгебраических уравнений относительно граничных значений q и Для ф0 мы получаем при этом неоднородную подсистему П. 13.8, состоящую из 2 уравнений со столькими же неизвестными. После определения фа можно найти из подсистемы П. 13.9, в которой также число уравнений и число неизвестных одинаковы.
Аналогичный результат получится и в случае, когда число т находится в пределах 2 т п — 112. Тогда а и b надо выбрать так:
12
п—I 2~
П. 13.7)
Pi — PioJ М — 1 • • ч я2,
При этом будут справедливы соотношения
/
I
—,
при р -у-, при ц =
П. 13.8)
п—1
2
П.13.9)
п—1
2
Pi Рю; 2, 2Ч- 1 п - 02-D.
В результате вместо П. 13.8, П. 13.9 получим алгебраические уравнения
п—1
П.13.10)
п—1
2
2 f w xJ8gUl Pipi°: ц1121 п 1у2п' ПЛЗ'И)


РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
495
Из них также можно определить граничные значения pw и G, но только надо сначала находить Xcf из подсистемы П. 13.11, а затем находить фст из подсистемы П. 13.10.
Определители Дх, Д2 подсистем П. 13.8, П. 13.9 и подсистем П. 13.10, П. 13.11 одинаковы. Они имеют вид нижний индекс 1 при fG и х° означает производную по Рх)
т. е. пропорциональны определителям Вандермонда.
Выше уже говорилось, что величины fG при разных о имеют разный смысл и что таким же свойством обладают величины xf. Справедливо и более сильное утверждение на доказательстве которого мы не будем останавливаться, что во всех точках контура Pi Р10
Отсюда вытекает, что Дх 0, Д2 0, а следовательно, граничные значения функций фа и Хо можно во всех точках контура рх р10 выразить через заданную функцию Вместе
с тем, из результатов §§ П.5, П.7 вытекает, что каждая из функций интенсивности ф0 и 0 в первом приближении удовлетворяет некоторому линейному уравнению первого порядка и что характеристики этого уравнения нигде не касаются контура рх Р10. Требуемое утверждение можно считать доказанным. Указан метод, при помощи которого в первом приближении можно выполнить единственным образом граничные условия П. 12.3 за счет произволов, содержащихся в решении вида П. 13.1, П. 13.2. Построение первого приближения сводится к решению некоторого числа задач Коши для линейных уравнений первого порядка, поэтому изложенный метод можно использовать и как эффективный прием получения приближенного решения 101—104. Его можно уточнить при помощи итерационного процесса, на подробностях которого мы не будем останавливаться.
Замечание. Функции fG, как уже говорилось, различаются друг от друга при разных о только во второстепенных слагаемых , поэтому Ax, хотя и отлично от нуля, но мало при малом s. Связанные с этим вопросы мы также не будем разбирать.
В описанном решении использованы только экспоненциально затухающие интегралы. Поэтому можно считать, что все члены суммы П. 13.1 у края рх р1А по модулю мало отличаются от нуля, и значит при Д — р1Х приближенно выполняются однородные условия вида П. 12.3 или условия непрерывности если рх рХ1 стягивается в точку. Таким образом, предлагаемый подход является приближенным методом решения задачи Дирихле для случая, когда неоднородность содержится только в граничных условиях на краю рх р10.
Рассмотренная задача Дирихле линейна. Поэтому, использовав принцип суперпозиции, можно значительно обобщить ее постановку, считая, что все граничные условия П. 12.3 неоднородны и имеют правые части вида
в которых gs, фв — заданные функции точек линии рх р10, a ss — числа, отвечающие требованиям П. 12.4, П. 12.5 в общем случае gs, ф5, ss могут иметь различный смысл для разных значений s. Очевидно также, что и на крае рх рХ1 в граничных условиях можно допускать неоднородность вида П. 13.12. При этом, конечно, в решение войдут уже интегралы, соответствующие характеристикам L, которые удовлетворяют при Рх рХ1 равенствам вида П. 12.12 и для которых условия экспоненциального затухания имеют вид
а также интегралы, локализованные в рх Р1Х — 0.
Вернемся к неравенствам П. 12.5, которым должны удовлетворять значения показателя изменяемости граничных условий 0, определенного формулой П. 12.4, и начнем с обсуждения ограничения 0 сверху. Оно необходимо, так как при
Д, АТ1 Pi Pio; о1, 2, l2,i 0, 1, 12-1.
Pi Piol 01, 2, n—02, 1 0, 1, , п — 02-1.
2 gsexp 1гМ >
П. 13.12)
П. 13.13)
не существуют ни интегралы, соответствующие характеристикам оператора L, ни интегралы, локализованные в Pi Рю 0. Вместе с тем становится возможным построение интегралов, соответствующих характеристикам оператора N. Эти интегралы обсуждались в §§ П.8,


496 ПРИЛОЖЕНИЕ. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
П.9, где было показано, что по своим свойствам они вполне аналогичны интегралам, соответствующим характеристикам оператора L, поэтому, повторив приведенные здесь рассуждения, легко убедиться, что есть ровно я2 существенно различных интегралов, соответствующих характеристикам V и таких, что они удовлетворяют граничным равенствам вида П. 12.12, а также условию экспоненциального затухания вблизи р10 вида П. 12.14. Учитывая все это, можно утверждать, что решение задачи Дирихле с граничными условиями вида П. 12.3 при Р10 и с однородными граничными условиями при Рх Рх1 будет иметь вид
п2
Ф£Фа, Фа ФвР Iе1??■ П.13.14)
01
Здесь CDff — существенно различные интегралы, соответствующие характеристикам N, о которых говорилось выше для них оставлены обозначения, применявшиеся для интегралов, соответствующих характеристикам L, а для х вместо П. 12.9 надо принять такие определяющие равенства:
х“-гя--т при 07Г7Т’
j 2 П. 13.15)
Х при 0 : г .
г г п— I — 1
Обобщения этого результата, связанные с линейностью задачи, очевидны.
Если показатель изменяемости граничных условий 0 заключен в пределах
0e--_2._v, П.13.16)
то форма решения П. 13.1, П. 13.2 остается в силе конечно, для того случая, для которого она предназначена. Однако при выполнении условий П. 13.16 интегралы, соответствующие характеристикам L, надо строить, основываясь на результатах § П.6. Это значит, что во втором равенстве П.12.7 надо положить 0, т. е. считать, что функции изменяемости fa не зависят от е. Но выше было показано, что в интегралах, соответствующих фиксированному г-кратному семейству характеристик L и удовлетворяющих условиям П. 12.12, функции изменяемости f отличаются только смыслом слагаемого с J. Следовательно, теперь г существенно различных интегралов, порождаемых г-кратным семейством характеристик L, сольются в интеграл, в котором функция интенсивности удовлетворяет уравнению не первого, а г-го порядка. Таким образом, в общей сложности число существенно различных интегралов, соответствующих характеристикам L, будет равно V — Ijr напомним, что кратность всех семейств характеристик L одинакова. Примем, что ' четно, выберем каким-то образом из них '2 существенно различных интегралов не накладывая пока условий экспоненциального затухания по рх и будем считать, что в первом слагаемом П. 13.1 верхний предел суммирования равен V12. Тогда уменьшение числа членов первой суммы П. 13.1 будет компенсироваться повышением порядка уравнений, которым должны удовлетворять в них функции интенсивности ф0, и, не входя в подробности, можно сформулировать следующий вывод: если показатель изменяемости граничных условий П. 12.3 заключен в пределах П. 13.16, то П. 12.3 можно выполнить за счет произволов, содержащихся в решении П. 13.1; при этом предел суммирования в первой сумме будет равен '2, определение каждой из функций фа сведется к решению задачи Коши для линейного уравнения порядка г, а для каждой из функций получится по-прежнему задача Коши первого порядка.
Построенная таким образом функция Ф удовлетворяет только граничным условиям П. 12.3 на крае 3Х 310. Если речь идет о задаче Дирихле, в которой, кроме того, ставятся однородные условия или условия непрерывности на крае 3П, то Ф можно рассматривать как приближенное решение этой задачи только в том случае, если V2 существенно различных интегралов в первой сумме удастся подчинить требованиям экспоненциального затухания по Но в рассматриваемом случае функции изменяемости f в первом равенстве П. 13.2 не зависят от 8 и совпадают с , которые в общем случае назывались главными частями f°. Вместе с тем было показано, что, если речь идет об интегралах, соответствующих мнимым характеристикам L, то fjf комплексны и, взяв пару комплексно-сопряженных семейств характеристик L, можно найти нужное число соответствующих им интегралов, удовлетворяющих условиям экспоненциального затухания. Это значит, что, если L — эллиптический оператор, то предлагаемый здесь метод приближенного решения задачи Дирихле сохраняет силу и в случае, когда 0 ограничено неравенствами П. 13.16. Наоборот, если L — гиперболический или параболический оператор и имеет поэтому действительные характеристики, то в соответствующих им интегралах в силу граничного равенства П. 12.13 функции f станут чисто мнимыми и выполнить условие экспоненциального затухания не удастся. В результате в решении вида


14 J
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
497
П. 13.1 появятся интегралы, распространяющиеся без затухания на всю область G, и прием раздельного выполнения граничных условий на краях Р10 и Pi Рц станет неприменимым.
В этом случае возникнут осложнения такого же содержания, как и в задачах, рассмотренных в работе 22, если не выполнятся условия регулярности вырождения.
§ 14. Краевая задача теории оболочек
Обозначим через F напряженно-деформированное состояние оболочки, ограниченной
S
некоторым числом замкнутых краев уу, и будем считать, что Ч задается своими компонентами У под ними подразумеваются пронумерованные в определенном порядке усилия, моменты, перемещения, углы поворота и т. д.. Примем, что существует разрешающее уравнение
М Ф 0. П.14.1)
эквивалентное в некотором смысле однородной при отсутствии внешних поверхностных сил)
S
системе уравнений теории оболочек, т. е. такое, что компоненты ¥ можно выразить через решения уравнения П. 14.1 при помощи формул вида )
V mD П. 14.2)
S
т — символ однородного линейного дифференциального оператора.
Пусть известно решение краевой задачи, заключающейся в интегрировании дифференциального уравнения П. 14.1 с учетом некоторых граничных условий, которые однородны на всех краях у у, за исключением одного края у, а на у эти граничные условия имеют вид
v lv Чтр ехР Ч s Sb s2, s3, s4 П. 14.3)
б — символ Кронекера, p, ф — заданные функции точек линии у; st, s2, s4 — номера
ТП
тех компонент Р, значения которых задаются на ул m — 1, 2, 3, 4.
Умея решать описанную выше задачу и пользуясь принципом суперпозиции, можно найти решения и значительно более общих задач. Например, можно считать, что в правой части неоднородного условия П. 14.3 стоит выражение
Ps ехр tes 4s, П. 14.4)
S
позволяющее аппроксимировать функции весьма широкого класса § 12.30.
Очевидным образом, решение можно распространить и на случай, когда неоднородны все граничные условия на всех краях уу, а также на случай, когда на оболочку действуют внешние поверхностные силы и уравнение П. 14.1 становится неоднородным. Это значит, что, изучив математические свойства решения краевой задачи П. 14.1, П. 14.3, мы сможем судить о свойствах напряженно-деформированного состояния оболочки, вызванного краевыми или поверхностными воздействиями практически любого вида.
При обсуждении свойств решения краевой задачи П. 14.1, П. 14.3 ограничимся случаем, когда в П. 14.3 число е мало, т. е. будем считать, что изучаемое напряженно-деформированное состояние W вызвано краевым воздействием, имеющим достаточно большую изменя- мость. Естественно предположить и это подтвердится в дальнейшем, что изменяемость будет также не мала. Примем поэтому, что Y можно приближенно строить, исходя из следующей системы уравнений:
97,3 1
Aiy—31— V AAw Z0 ARW 2Eh ДЛс °*
A tV 1Г- 1Г- 1Г- П.14.5)
АгА2 даг Аг даг да2 А2 да2 )
А 1 д А2 1 д д Аг 1 а\
R АгА2 да А1 R2 дал да2 А2 Rл да0 9
Эта эквивалентность, по-видимому, может быть только приближенной, так как уравнения теории оболочек пока не удалось свести к одному уравнению.


498 ПРИЛОЖЕНИЕ. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
выведенной в § 10.24 для напряженно-деформированных состояний с большой изменяемостью для упрощения записи считается, что срединная поверхность отнесена к линиям кривизны.
При интегрировании уравнений П. 14.5 с некоторой степенью приближенности можно заморозить их коэффициенты, т. е. обращаться с ними, как с константами § 10.24. Поскольку предстоящие рассуждения имеют качественный характер, воспользуемся этим не касаясь допускаемых погрешностей, чтобы привести систему П. 14.5 к одному уравнению. Положим
2Ehw — ААФ, с — АФ, П.14.6)
тогда второе уравнение П. 14.5 примет вид считается, что 2Eh const
— ДДФ -- ДДДФ о, но коэффициенты операторов Д и Д рассматриваются как константы. Поэтому символы А и Ая можно менять местами, и написанное равенство обращается в тождество. Следовательно, второе уравнение П. 14.5 выполнится при любых Ф. Подставив П. 14.6 в первое равенство П. 14.5, получим искомое уравнение
h2 Г 1 б А2 д d Лг d I4
31—v2 L А,А2 да, А, да, да2 А2 да2 J
, Г 1 d л2 1 d , d Ai 1 д _ п г, ,. _
_А,А2 dax Ах R2 да, да2 А R, да2 ~
оно записано в однородном варианте, т. е. в предположении, что Z 0; в более общем случае справа надо написать — Z.
Уравнение П. 14.7 мы и будем считать эквивалентным системе уравнений теории оболочек. Оно обладает этим свойством, конечно, только в пределах определенных погрешностей, и в рамках той же точности в П. 14.7 можно было бы оставить только члены со старшими производными, однако удобнее сохранить прежний вид этого уравнения.
Каждому решению уравнения П. 14.7 соответствует некоторое напряженно-деформиро-
S
ванное состояние, компоненты которого ¥ можно подсчитать при помощи формул П. 14.6 и расчетных формул § 10.22. Не останавливаясь на подробностях, отметим, что это и приведет нас к соотношениям, условно выраженным равенством П. 14.2.
Уравнение П. 14.7 является частным случаем уравнения П.3.1. Переход от второго к первому можно осуществить, положив в П.3.1 h
П R — характерный радиус кривизны,
А
Г 1 д A, Ai д 14
31—v2 I АгА2 даг Аг да1 да2 А2 да2 J *
1-Г 1 д Л2 1 д I д Л1 1 д У.
L АгА2 дах Аг R2 даг ' да2 А2 Rt да2 J
П.14.8)
Итак, для того чтобы использовать в теории оболочек математические результаты §§ П.1—П.13, надо считать, что
1 п 8, 4;
2 N — эллиптический оператор, имеющий два комплексно-сопряженных семейства мнимых характеристик, кратность каждого из которых равна четырем в рассуждениях, относящихся к N, надо полагать г 4;
3 L — оператор, характеристики которого совпадают с асимптотическими линиями срединной поверхности, а тип определяется знаком гауссовой кривизны С; если 0, то L — эллиптический оператор с двумя двухкратными комплексно-сопряженными семействами мнимых характеристик, если К 0, то L — гиперболический оператор с двумя двухкратными семействами действительных характеристик, если С 0, то L — параболический оператор с одним четырехкратным семейством действительных характеристик в рассуждениях, относящихся к L, надо полагать г 2 при R f 0 и г 4 при К 0.
Приближенное равенство П.3.14, получающееся в результате отбрасывания всех членов с малым множителем иг2, соответствует уравнениям безмоментной теории § 7.3, а приближенное равенство П.3.16 соответствует уравнениям теории Напряженных состояний с весьма большой изменяемостью § 24.13.
Замечание. При рассмотрении интегралов, соответствующих характеристикам операторов L и N, в §§ П.6—П.8 мы, сокращая число вариантов, приняли предположение, что для L справедливы неравенства П.6.8, а для N справедливы неравенства П.8.5 или П.8.6. Все они, вообще говоря, выполняются, когда L и N определены формулами П. 14.8. Исключения возможны, и нетрудно показать, что они не изменяют окончательных выводов, но на этом мы останавливаться не будем.


§ 15 ИЗМЕНЯЕМОСТЬ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧКИ
499
Сравним краевую задачу П. 14.1, П. 14.3 с краевой задачей П.12.1, П. 12.3. В них дифференциальное уравнение П. 14.1, как уже сказано, представляет частный случай П. 12.1. Однако граничные условия П. 14 3 и П. 12.3 друг к другу, вообще говоря, не сводятся. Равенства П. 12.3 являются классическими условиями Дирихле: в них задаются нормальные производные всех порядков до п2 — 1, а в левых частях условий П. 14.3 стоят дифференциальные выражения П. 14.2 более общего вида. Тем не менее, мы будем здесь краевую задачу П. 14.1, П. 14.3 рассматривать как частный случай краевой задачи П.12.1, П.12.3 и примем, что по выявленным в §§ П.12, П.13 свойствам последней можно судить о свойствах напряженно-деформированного состояния оболочки. Это, в частности, значит, что края оболочки должны быть неасимптотическими, так как в § П. 12 предполагалось, что граница области нигде не касается характеристик оператора L, а в теории оболочек они совпадают с асимптотическими линиями срединной поверхности возможное влияние различия в типе граничных условий на окончательные выводы будет обсуждено ниже.
§ 15. Изменяемость напряженно-деформированного состояния оболочки
Пусть краевое воздействие определяется равенствами П. 14.3 и в них 8 мало. Тогда из результатов § П. 12 вытекает следующий общий вывод. Соответствующее этому случаю напряженно-деформированное состояние вообще говоря, будет составляться из некоторого числа напряженно-деформированных состояний, каждое из которых определяется решением вида р, — малый постоянный параметр)
Ф ф exp pV. П.15.1)
Исключения из этого правила возможны и выявятся ниже, но пока они не принимаются во внимание.
Прежде чем идти дальше, внесем некоторые уточнения в первостепенно важное для теории оболочек понятие об изменяемости.
Изменяемость была введена в §§ 9.13, 12.30 как свойство функции с большей или меньшей быстротой менять свои значения при переходе от точки к точке в плоскости независимых переменных. Поэтому, если речь идет о функции двух для конкретности переменных g alt а2, то под мерой изменяемости по некоторой переменной р а1а1 а2а2 естественно понимать величину
I 1 д\
°э-Т 1
случай, когда в рассматриваемой области g — 0, исключается. Определенная таким образом мера изменяемости зависит как от значений аь а2, так и от смысла варьируемой переменной р. Это отражает тот очевидный факт, что в общем случае функция по-разному изменяется в разных точках, а если точка фиксирована, то изменяемость будет различна в разных направлениях и при разном выборе масштабов р.
Унифицируем некоторым образом масштабы изменения варьируемых переменных, например, примем, что все они выражают безразмерные длины дуг. Тогда v можно назвать частной мерой изменяемости в направлении р.
Для функции П. 15.1 мы имеем
дФ 1 f df дф -
Ж 7ЖФ 'ЖГР,‘ ^
Поэтому, если модули ср и имеют одинаковый порядок, ар, — малый параметр, то с точностью до величин вида О р получим
df
?Р
П.15.2)
В тех случаях, когда рассматриваются задачи, содержащие малый параметр i как, например, безразмерная толщина в задачах теории оболочек, вместо меры изменяемости пр удобно пользоваться показателем изменяемости тв, определив его при помощи равенства
32*
П.15.3)


500 ПРИЛОЖЕНИЕ. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ
Логарифмируя это равенство при основании h и используя П. 15.2, можно написать
df
Отсюда следует, что, если
Э)
др
01, П.15.4)
го второе слагаемое в правой части формулы для х будет мало. Следовательно, справедлива приближенная формула
Tp TlgM,. П. 15.5)
Таким образом, для функции вида П. 15.1 показатель изменяемости можно приближенно выразить общим для всех точек рассматриваемой области числом т, связанным с Л, использованной уже выше формулой
li h П. 15.6)
*
Отсюда следует, что при малых р выражение вида П. 15.1 можно назвать не только функцией с большой изменяемостью, как делалось выше, но и функцией с большой однородной изменяемостью, подчеркивая этим, что для нее понятие о показателе изменяемости, выражаемое некоторым числом, имеет реальный смысл, так как он мало меняется от точки к точке.
Условие П. 15.4, использованное при выводе формулы П. 15.5, может и нарушиться. Это случится, например, тогда, когда точно или с достаточной степенью приближенности выполнится равенство
--• in-15-7»
Направление, в котором изменяется р в левой части этого равенства, мы назовем квази- стационарным направлением для данной функции вида П.15.1, а линии, идущие в каждой точке в квазистационарном направлении, будем называть квазистационарными линиями. Очевидно, что квазистационарным будет такое направление, в котором Ф меняется существенно медленнее, чем в любом неквазистационарном направлении. При этом, если Ф комплексна, то в квазистационарном направлении относительно медленно будут меняться и действительная часть Ф, и коэффициент при ее мнимой части. Заметим, что при решении интересующих нас краевых задач надо учитывать и случаи, когда функция изменяемости f комплексна. Поэтому надо считать, что функция П.15.1, вообще говоря, не имеет действительных квази- стационарных направлений.
Пусть f в формуле П. 15.1 определяется так:
f fo V?f 0 и 1,
т. е. имеет тот вид, в котором мы получили функции изменяемости при интегрировании уравнения П.3.1. Тогда f будет приближенно удовлетворять равенству П. 15.7, если
эр • эр ф '
Вычисляя для этого случая меру изменяемости при помощи П. 15.2, получим приближен ную формулу
v — и—д/
°э - эр
Поэтому, логарифмируя вновь П. 15.3 и воспользовавшись равенством П. 15.6, получим формулу
Хр 1 — хх. П. 15.8)
Она связывает частный показатель изменяемости хр в квазистационарном направлении с показателем изменяемости х в нестационарном направлении, который мы в дальнейшем будем называть общим.
Функция вида П.15.1, если она является решением уравнения П. 14.7, соответствует
S
некоторому напряженно-деформированному состоянию оболочки Его компоненты Ч? определяются равенствами П. 14.2, в правых частях которых, как уже говорилось, стоят однород-
S
ные дифференциальные операторы от Ф. Следовательно, ¥ можно подсчитать по формулам


§ 16 ХАРАКТЕР НАГРУЗКИ И ИЗМЕНЯЕМОСТЬ СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧКИ 5QJ
s
вида П.2.4. Из них вытекает, что любая из величин W есть также функция с большой однород^
S
ной изменяемостью вида П. 15.1. При этом все W имеют одинаковую функцию изменяемости ,
s
и смысл числа л для всех 4я одинаков они отличаются лишь смыслом функции интенсивности. Это позволяет перенести все сказанное выше относительно свойств функции Ф и на соответствующее ей напряженно-деформированное состояние оболочки А именно, будем говорить, что в этом случае ¥ есть напряженно-деформированное состояние с большой однородной изменяемостью, его общий показатель изменяемости т определяется формулой П. 15.6. Можно говорить и о квазистационарных направлениях линиях, под которыми надо понимать квази- стационарные направления функции П.15.1. Если последние действительны, то это будут направления, вдоль которых существенно медленнее меняются все компоненты напряженно- деформированного состояния ЧС Если квазистационарные направления мнимы, то это значит, что не существует направлений действительных, в которых относительно медленно меняются
S
все компоненты 'F при этом, конечно, для отдельно взятых 4“ направления относительно медленного изменения могут и существовать.
§ 16. Зависимость изменяемости напряженно-деформированного состояния оболочки от изменяемости краевого воздействия
Утверждение, высказанное в начале § П. 15, теперь можно сформулировать так: краевое воздействие, имеющее большую однородную изменяемость, вызывает в оболочке некоторую совокупность напряженно-деформированных состояний, каждое из которых в отдельности также имеет большую однородную изменяемость. Переходя к более детальному обсуждению зависимости напряженно-деформированного состояния оболочки от свойств породившего его краевого воздействия, будем считать, что последнее задается краевыми условиями П. 14.3, и введем понятие о показателе изменяемости краевого воздействия, подразумевая под этим число 0, определяемое равенством
е i0.
*
Тогда, исходя из результатов §§ П. 12, П. 13 и помня, что в теории оболочек г 8, 4, надо различать два основных случая.
Случай I: 0 2 п — 12. При таких значениях 0 решение краевой задачи складывается из интегралов, соответствующих характеристикам оператора N. Поэтому, обозначив определяемые ими напряженно-деформированные состояния через 46. изм, можно написать
26. ИЗМ. П.16.1)
СлучайП: 0 0 С 2п — 12. При таких значениях 0 в решения войдут только интегралы, соответствующие характеристикам L, и интегралы, локализованные вблизи у. Следовательно, если обозначить первые из них через Чсн, а вторые — через Ч'кр, то можно написать
•г 2 'РоснЧ- £ П. 16.2)
Интегралы, соответствующие характеристикам А, с некоторой степенью приближенности определяются уравнением П.3.16, а интегралы, соответствующие характеристикам L, — уравнением П.3.14. В теории оболочек, как уже говорилось, приближенному равенству П.3.16 отвечают уравнения теории напряженных состояний с большой изменяемостью, а приближенному равенству П.3.14 — уравнения безмоментной теории. Отсюда следует, что в П.16.1 под Фб. изм надо понимать напряженные состояния с весьма большой изменяемостью § 24.13, а в П. 16.2 под Чсн — основные напряженные состояния § 7.1. Очевидно также, что Чр представляют собой простые краевые эффекты напомним в связи с этим, что у по предположению § П. 14 является неасимптотическим краем оболочки.
Все напряженные состояния в правых частях равенств П.16.1, П. 16.2, вообще говоря, можно подчинить требованиям экспоненциального затухания исключения возможны и обсуждаются ниже. Это позволяет выполнять граничные условия на у независимо от того, какие граничные условия ставятся на других краях оболочки, лишь бы они были однородны. Физический смысл этого свойства напряженно-деформированного состояния Чг в общих чертах очевиден: краевое воздействие, вызвавшее Чг, при малом s быстро осциллирует, и затухание Ч при удалении от у является следствием принципа Сен-Венана.
Обсудим подробнее характер затухания напряженно-деформированных состояний оболочки и начнем с Чгб. изм- При построении этой величины в П. 15.1 надо положить jit в § П. 12. Отсюда следует, что общий показатель изменяемости т напряженных состояний Фб. изм равен показателю изменяемости внешнего краевого воздействия 0. Вместе с тем Чгб. Изм стро¬


502 ПРИЛОЖЕНИЕ. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
ятся при помощи интегралов, соответствующих характеристикам N, и квазистационарньщи линиями для 46. изм могут быть только эти характеристики, а для уравнений теории оболочек они заведомо мнимы. Таким образом, не существует таких направлений действительных, в которых все компоненты Ч'б. изм меняются существенно медленнее, чем в других. Это значит, в частности, что Ч'б. изм при удалении от у убывает с такой же скоростью, с какой осциллирует на у внешнее воздействие, вызвавшее Тб. изм они имеют одинаковые показатели изменяемости. Условимся в этом случае говорить, что сен-венановское затухание происходит с асимптотически нормальной быстротой.
Чтобы разъяснить физическое содержание введенного понятия, рассмотрим следующую краевую задачу. Для бигармонического уравнения
д4Ф , д4Ф , д4Ф
дх4 дх2ду2 1 ду ~
найти в верхней полуплоскости —оо х оо, у 0 ограниченное при у - оо решение, удовлетворяющее условиям
• Ф
ф 0 sm гх,
0.
уо
ду
Решение этой задачи находится элементарно. Оно записывается так:
ф пу 1 епу sin пх
и при больших п имеет асимптотически нормальную быстроту затухания. Вместе с тем задаче можно дать очевидную физическую интерпретацию, из которой вытекает, что мы считаем нормальной такую асимптотику быстроты сен-венановского затухания, которая в плоской теории упругости характерна для задачи о приложении к полуплоскости осциллирующей краевой нагрузки.
Высказанное выше утверждение означает, что, если краевое воздействие осциллирует достаточно сильно 0 12, то искривленность оболочки не влияет на асимптотику сен- венановского затухания. При 0 12 искривленность оболочек, как мы увидим ниже, в этом смысле оказывается существенной.
При построении в правой части равенства П. 15.1 надо положить ju, к и считать, что к определяется формулой П. 12.18, которая для теории оболочек записывается так:
*
Отсюда следует, что для YKp общий показатель изменяемости т равен 12 это вполне согласуется с результатами § 8.12. Действительные квазистационарные линии в YKp заведомо существуют. Они составляют некоторое семейство, к которому, в частности, принадлежит линия у. Частный показатель изменяемости xv в направлении линии у легко найти при помощи равенства П. 12.21, выражающего краевые значения показателя экспоненциальной функции на линии у. В нем е имеет такой же смысл, как и в П. 14.3. Поэтому
т?0т 12'
Это значит, что быстрота сен-венановского затухания напряженно-деформированного состояния ¥кр простого краевого эффекта превышает асимптотически нормальную, т. е. показатель изменяемости т 12, характеризующий скорость затухания Ч'кр, заведомо больше показателя изменяемости xv 0 12, характеризующего скорость осцилляции внешнего краевого воздействия.
Напряженные состояния Ч'осн, строятся при помощи интегралов, соответствующих характеристикам L. Их общий показатель изменяемости х, так же как и для интегралов, соответствующих характеристикам N, равен показателю изменяемости внешнего краевого воздействия. Однако вопрос о квазистационарных линиях здесь решается несколько сложнее. Надо рассмотреть два подслучая.
2
Подслучай На: J гДе
• - ТГТГ- Ш6'3)
а под г подразумевается удвоенная кратность асимптотических линий срединной поверхности г 2 при К h 0; г 4 при К 0.
Подслучай 116: 0 0 0'.
Они отличаются друг от друга тем,что в подслучае Па функция изменяемости напряженно- деформированных состояний ¥0сн разветвляется, т. е. имеет вид
f to-tsh


ХАРАКТЕР НАГРУЗКИ И ИЗМЕНЯЕМОСТЬ СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧКИ
503
а в подслучае 116 разветвления не происходит, т. е. можно считать, что при соответствующих значениях 0 не существует различия между и ее главной частью f0 §§ П.7, П.8.
Если кривизна срединной поверхности оболочки положительна С 0, то на ней асимптотические линии мнимы, а так как они и только они могут являться линиями уровня функции изменяемости f или ее главной части 0, то напряженно-деформированные состояния Фосн при С 0 не имеют действительных квазистационарных направлений. Поэтому, рассуждая так же, как при рассмотрении Ч'б.изм мы заключаем, что в обоих подслучаях На и Пб для оболочки положительной кривизны сен-венановское затухание основного напр яженно-деформиро- ванного состояния имеет асимптотически нормальную быстроту.
Если К неположительно, то главная часть функции изменяемости f0 будет оставаться постоянной на определяющих § П.2 асимптотических линиях рассматриваемого интеграла П.15.1, а большая изменяемость 'Fqch и, в частности, его экспоненциальное затухание будут обусловливаться только функцией Это значит, что для оболочек неположительной кривизны существуют направления, в которых быстрота сен-венановского затухания основного напряженного состояния осн меньше асимптотически нормальной быстроты. Эти направления совпадают с асимптотическими линиями срединной поверхности. Для оболочки нулевой кривизны, имеющей только одно семейство асимптотических линий, все 'Fqch будут относительно медленно затухать в одном и том же направлении, изображенном стрелкой на рис. 59, а для оболочки отрицательной кривизны, имеющей два семейства асимптотических линий, часть напряженно- деформированных состояний 'Fqch будет относительно медленно затухать в направлении, изображенном на рис. 59, б стрелкой , а часть — в направлении, изображенном стрелкой 2.
Число Хр — показатель изменяемости основного напряженного состояния Чсн в квазистационарном направлении можно подсчитать по формуле П. 15.8. В ней надо положить х0, а к заимствовать из П.6.9. Получим равенство
Ч Нп1—гг0, П-16-4)
в котором г — удвоенная кратность асимптотических линий на срединной поверхности.
Формула П.6.9, а вместе с ней и П. 16.4 имеют силу только тогда, когда 0 ограничено неравенствами П.6.10, т. е. когда имеет место подслучай Пб. При 0 2п — I — 12 равенство П. 16.4 дает х 0, и асимптотические линии уже перестают быть линиями относительно медленного затухания Ч'осн- При 0 0' из П. 16.4 мы получаем хр 0. Этот результат надо считать верным и при 0 0', т. е. в подслучае Па, так как тогда функция изменяемости в целом а не только ее главная часть 0 сохраняет постоянное значение на асимптотических линиях. Таким образом, в подслучае 1а сен-венановское затухание Ч'осн не будет уже связано со структурой функции изменяемости f, т. е. станет настолько медленным, что для его исследования необходимо ввести в рассмотрение функцию интенсивности.
Итак, с точки зрения свойств затухания основных напряженных состояний Ч'осн в оболочке неположительной кривизны число 0', определяемое формулой П. 16.3. является критическим значением показателя изменяемости внешнего краевого воздействия: при 0 0' показатель изменяемости сен-венановского затухания ЧгОСн равен нулю. при 0 0' это число становится отличным от нуля, но, как показывает формула П. 16.4, остается меньше 0, наконец, при 0 - 2л — I оно стремится к 0. Критическое значение 0 согласно П. 16.3 определяется так:
0' при К 0, когда г 2,
0' -i- при К 0, когда г 4.
Итак, краевое воздействие с большой однородной изменяемостью приводит к возникновению в оболочке некоторой совокупности напряженно-деформированных состояний Чг0сн, Ч'кр Рб. изм каждое из которых в отдельности также имеет большую однородную изменяемость. При этом общие показатели изменяемости х для Чг0сн и Чгб. изм подчиняются равенству
х 0,
а для Ч'кр существующего только при 0 12 имеем
2 1
Рис. 59.


ПРИЛОЖЕНИЕ. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
Обратимся к случаю, когда на оболочку действует поверхностная нагрузка и, снова опираясь на принцип суперпозиции, будем считать, что отлична от нуля только одна ее компонента. Пусть для конкретности это будет Z. Тогда в правой части равенства П. 14.7, как уже говорилось, появится член — Z, который мы зададим так:
— Z £ exp 8-1ze П. 16.5)
где 8 — малая константа. Это предположение мало влияет на общность рассуждений, так как из функций, стоящих в правой части, варьируя смысл функций £, z и числа 8 и суммируя, можно составить функцию весьма общего вида.)
Уравнение П. 14.7 с правой частью вида П. 16.5 представляет собой частный случай уравнения П. 11.1. Поэтому можно считать, что один из частных интегралов П. 14.7 имеет вид
ф ехр 8_1г)
г. е. он соответствует некоторому нагрузочному напряженно-деформированному состоянию с большой однородной изменяемостью. Общие показатели изменяемости нагрузочного напряженно-деформированного состояния т и внешней поверхностной нагрузки д равны друг другу. Они имеют также одинаковые функции изменяемости. Поэтому их квазистационарные линии совпадают.
В общем случае нагрузочное напряженно-деформированное состояние, построенное методом § П. 11, будет давать в граничных условиях некоторые невязки, выражаемые функциями вида
Ф ехр е-‘г q р ?; г г т. П. 16.6)
Поэтому для решения краевой задачи надо к нагрузочному напряженно-деформированному состоянию присоединить дополнительное напряженно-деформированное состояние, снимающее невязки. Построение последних сводится к рассмотренной выше задаче об эффекте приложения краевых воздействий. Отсюда вытекает, что дополнительное напряженно-деформированное состояние будет также определяться решениями вида П. 15.1, в которых надо, вообще говоря, число р, отождествлять с числом 8, входящим в П. 16.5. Исключение представляет случай, когда в П.16.6 функция z точно или приближенно обращается в нуль, т. е. когда край у близок или совпадает с линией уровня функции изменяемости внешней поверхностной нагрузки.
Вернемся к вопросу о законности замены граничных условий П. 14.3 на граничные условия вида П. 12.3. Исходя из последних, мы свели в конечном итоге задачу Дирихле к некоторой последовательности задач Коши, но на пути к этому результату надо было для определения граничных значений функций интенсивности фа решать систему алгебраических линейных уравнений П. 13.8 с определителем Вандермонда, поведение которого хорошо известно. Система алгебраических уравнений для определения граничных значений фа получится и в случае, когда граничные условия имеют более общий вид, однако исследование определителя станет уже нетривиальным. Для того чтобы он оказался отличным от нуля, надо правильно подобрать числа а и Ь, введенные формулами П. 13.1. Здесь возникает много вариантов, связанных с большим разнообразием граничных условий теории оболочек, а соответствующие результаты, в сущности, повторяют те, которые уже были получены в части IV. На подробностях мы останавливаться не будем.
В §§ П. 15, П. 16 мы исходили из предположения конец § П. 14, что линии искажения оболочки — асимптотические. Если они совпадают с асимптотическими линиями срединной поверхности, то в решение краевой задачи теории оболочек при 0 С 12 войдут интегралы с заданной характеристической квазистационарной линией. Они обсуждены в § П. 10, и в теории оболочек им соответствуют обобщенные краевые эффекты.


ЛИТЕРАТУРА
1. Агаловян Л. А., Применение метода асимптотического интегрирования к построению приближенной теории анизотропных оболочек, ПММ, 1966, т. 30, вып. 2.
2. Агаловян Л. А., Об уравнениях изгиба анизотропных пластин, Тр. VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, Наука, 1970.
3. Аксентян О. К., Ворович И. И., Напряженное состояние плиты малой толщины, ПММ, 1963, т. 27, вып. 6.
4. Амбарцумян С. А., О двух методах расчета двухслойных ортотропных оболочек, Изв. АН Арм. ССР серия физ.-матем. наук, 1957, т. X, № 2.
5. Амбарцумян С. А., К расчету двухслойных ортотропных оболочек, Изв. АН СССР, ОТН, 1957, № 7.
6. Амбарцумян С. А., Теория анизотропных оболочек, Физматгиз, 1961.
7. Амбарцумян С. А., Теория анизотропных пластин. Прочность, устойчивость и колебания, Наука, 1967.
8. Амбарцумян С. А., Еще одна уточненная теория анизотропных оболочек, Механика полимеров, 1970, № 5.
9. А м б а р ц у м я н С. А., Об одной уточненной теории анизотропных оболочек, Тр. Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, Наука, 1970.
10. А м б а р ц у м я н С. А., Общая теория анизотропных оболочек, Наука, 1974.
11. Антропова Н. Н., Гольденвейзер А. Л., Погрешности построения основного напряженного состояния и простого краевого эффекта в теории оболочек, Изв. АН СССР, МТТ, 1971, № 5.
12. Базаренко Н. А., Ворович И. И., Асимптотическое поведение решения задач теории упругости для полого цилиндра конечной длины при малой толщине, ПММ, 1965, т. 29, вып. 6.
13. Б а л а б у х Л. И., Изгиб и кручение конических оболочек, Труды ЦАГИ, 1946, № 577.
14. В е к у а И. Н., Интегрирование уравнений сферической оболочки, ПММ, 1945, т. 9, вып. 5.
15. В е к у а И. Н., Об одном методе расчета призматических оболочек, Тр. Тбилисского матем. ин-та, 1955, т. 21.
16. В е к у а И. Н., Об условиях, обеспечивающих безмоментное напряженное состояние равновесия выпуклой оболочки, Сообщ. АН Груз. ССР, 1958, т. 26, № 5.
17. В е к у а И. Н., Об условиях безмоментности выпуклых оболочек, Сообщ. АН Груз. ССР, 1958, т. 21, № 6.
18. В е к у а И. Н., Теория обобщенных аналитических функций и некоторые ее применения в геометрии и механике, Тр. 3-го Всесоюзн. математич. съезда, т. 3, Изд-во АН СССР, 1958.
19. В е к у а И. Н., Обобщенные аналитические функции, Физмаггиз, 1959.
20. В и л е н с к а я Т. В., В о р о в и ч И. И., Асимптотическое поведение решения задачи теории упругости для сферической оболочки малой толщины, ПММ, 1966, т. 30, вып. 2.
21. Виссарион В., С т э н е с к у К-, Исследование квазиинвариантов статико-геометрической аналогии для тонких упругих оболочек, ПММ, 1961, т. 25, вып. 1.
22. В и ш и к М. И., Л ю с т е р н и к Л. А., Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром, Успехи матем. наук, 1957, т. 12, вып. 577.
23. В и ш и к М. И., Л юстер н и к Л. А., Об асимптотике решений задач с быстро осциллирующими граничными условиями для уравнений с частными производными, ДАН СССР, 1958, т. И У, No 4.
24. В и ш и к М. И., Л ю с т е р н и к Л. А., Асимптотика решения некоторых краевых задач с осциллирующими граничными условиями, ДАН СССР, 1958, т. 120, № 1.
25. В и ш и к М. И., Л ю с т е р н и к Л. А., Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстро меняющимися коэффициентами и граничными условиями, Успехи матем. наук, 1960, т. 15, вып. 4 94.
26. Власов В. 3., Новый практический метод расчета складчатых перекрытий и оболочек, Строи I ел н и и промышленность, 1932, № 11—12.
27. В л а с и о Li. 3., Строительная механика оболочек, Стройиздат, 1936.


506
ЛИТЕРАТУРА
28. Власов В. 3., О расчете оболочек вращения на произвольную несимметричную нагрузку, Проект и стандарт, 1937, № 3.
29. В л а с о в В. 3., Расчет оболочек, очерченных по центральным поверхностям второго порядка, В сб.: Пластины и оболочки, Госстройиздат, 1939.
30. Власов В. 3., Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек, ПММ, 1944, т. 8, вып 2.
31. Власов В. 3., Общая теория оболочек и ее приложение в технике, Гостехиздат, 1949.
32. В л а с о в В. 3., К теории безмоментных оболочек вращения, Изв. АН СССР, ОТН,
1955, № 5.
33. В о р о в и ч И. И., О некоторых представлениях решения уравнений теории пологих оболочек, ПММ, 1961, т. 25, вып. 3.
34. В о р о в и ч И. И., Общие проблемы пластин и оболочек, Тр. VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, Наука, 1966.
35. Г е к к л е р И., Статика упругого тела, ОНТИ, 1934.
36. Гольденвейзер A. JL, Дополнения и поправки к теории тонких оболочек, В сб.: Пластины и оболочки, Госстройиздат, 1939.-
37. Гольденвейзер А. Л., Мрощинский А. К-, Репман Ю. В., Методы расчета сферических куполов по безмоментной теории, В сб.: Пластинки и оболочки, Госстройиздат, 1939.
38. Гольденвейзер А. Л., Уравнения теории тонких оболочек, ПММ, 1940, т. 4, вып. 2.
39. Гольденвейзер А. Л., О применимости общих теорем теории упругости к тонким оболочкам, ПММ, 1944, т. 8, вып. 1.
40. Гольденвейзер А. Л., Исследование напряженного состояния сферической оболочки, ПММ, 1944, т. 8, вып. 6.
41. Гольденвейзер А. Л., Качественное исследование напряженного состояния тонкой оболочки, ПММ, 1945, т. 9, вып. 6.
42. Гольденвейзер А. Л., Температурные напряжения в тонких оболочках, Труды ЦАГИ, 1947, № 618.
43. Гольденвейзер А. Л., Безмоментная теория оболочек, очерченных по поверхностям второго порядка, ПММ, 1947, т. 11, вып. 2.
44. Гольденвейзер А. Л., О приближенных методах расчета тонких оболочек нулевой гауссовой кривизны, ПММ, 1947, т. 11, вып. 4.
45. Гольденвейзер А. Л., Лурье А. И., О математической теории равновесия упругих оболочек, ПММ, 1947, т. 11, вып. 5.
46. Гольденвейзер А. Л., Влияние условий закрепления краев тонкой оболочки на ее напряженное состояние, Труды Мин-ва авиационной пром-сти СССР, 1948, № 669.
47. Гольденвейзер А. Л.,О применении решений задачи Римана—Гильберта к расчету безмоментных оболочек, ПММ, 1951, т. 15, вып. 2.
48. Гольденвейзер А. Л., Теория упругих тснких оболочек, Гостехиздат, 1953.
49. Гольденвейзер А. Л., Уточнение теории простого краевого эффекта, ПММ,
1956, т. 20, вып. 3.
50. Гольденвейзер А. Л., Уравнения теории оболочек в перемещениях и функциях напряжений, ПММ, 1957, т. 21, вып. 6.
51. Гольденвейзер А. Л., Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями, зависящими от параметра, ПММ, 1958, т. 22, вып. 5.
52. Г ол ьденвейзер А. Л., Асимптотическое интегрирование линейных дифференциальных уравнений в частных производных с малой главной частью, ПММ, 1959, т. 23, вып. 1.
53. Гольденвейзер А. Л., Развитие теории упругих тонких оболочек, Тр. Всесоюзного съезда по теор. и прикл. мех., Изд-во АН СССР, 1962.
54. Гольденвейзер А. Л., Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости, ПММ, 1962, т. 26, вып. 4.
55. Гольденвейзер А. Л., Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости, ПММ, 1963, т. 27, вып. 4.
56. Гольденвейзер А. Л., Краевые задачи теории функций комплексного переменного в безмоментной теории оболочек, В кн.: Приложения теории функций в механике сплошной среды, Труды международного симпозиума, т. 1, Наука, 1965.
57. Гольденвейзер А. Л., Погранслой и его взаимодействие с внутренним напряженным состоянием упругой тонкой оболочки, ПММ, 1966, т. 33, вып. 6.
58. Гольденвейзер А. Л., Методы обоснования и уточнения теории оболочек Обзор последних результатов, ПММ, 1968, т. 32, вып. 4.
5 9. Гольденвейзер А. Л., О двумерных уравнениях общей линейной теории тонких упругих оболочек, В кн.: Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды, Наука, 1968.
60. Гольденвейзер А. Л., Зверяев Е. М., Напряженное состояние незакрепленных оболочек нулевой кривизны, ПММ, 1971, т. 31, вып. 2.


ЛИТЕРАТУРА
507
61. Гольденвейзер A. JL, Теорема о возможных изгибаниях в безмоментной теории оболочек, В сб.: Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа, Наука, 1972.
62. Гр и г ор е н ко Я. М., Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости, Наукова думка, 1973.
63. Г у с е й н - 3 а д е М. И., Об условиях существования затухающих решений плоской задачи теории упругости для полуполосы, ПММ, 1965, т. 29, вып. 2.
64. Г у с е й н -3 а д е М. И., О необходимых и достаточных условиях существования затухающих решений плоской задачи теории упругости для полуполосы, ПММ, 1965, т. 29, вып. 4.
65. Гусейн-Заде М. И., К построению теории изгиба слоистых пластинок, ПММ, 1968, т. 32, вып. 2.
66. Г у с е й н - 3 а д е М. И., О некоторых свойствах напряженного состояния тонкого
упругого слоя, ПММ, 1967, т. 31, вып. 6.
67. Г у с е й н - 3 а д е М. И., Напряженное состояние погранслоя для слоистых пластинок, Тр. VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, Наука, 1970.
68. 3 в е р я е в Е. М., О соотношениях упругости в линейной теории тонких упругих оболочек, ПММ, 1970, вып. 6.
69. 3 е н о в а Е. В., Н о в о ж и л о в В. В., Симметричная деформация торообразных
оболочек, ПММ, 1951, т. 4, вып. 2.
70. И в а н о в С. Д., Чернышев Г. Н., Моделирование в задачах термоупругости оболочек с отверстиями на основе статико-геометрической аналогии, Изв. АН СССР, МТТ, 1974, № 4.
71. Именитов Л. Б., Задача о сферической оболочке с неподкрепленным отверстием, Инженерный ж., 1963, т. 3, вып. 1.
72. К и л ь ч е в с к и й Н. А., Обобщение современной теории оболочек, ПММ, 1939, т. 2, вып. 4.
73. К и л ь ч е в с к и й Н. А., Основы аналитической механики оболочек, Изд-во АН УССР, Киев, 1963.
74. К о л к у н о в Н. В., Ч е р н ы ш е в Г. Н., О решении некоторых задач термоупругости оболочек и об одном приложении теоремы об изгибаниях, Изв. АН СССР, МТТ, 1974, № 6.
75. Колос А. В., Методы уточнения классической теории изгиба и растяжения пластинок, ПММ, 1965, т. 29, вып. 4.
76 Колос А. В., Об области применения приближенных теорий изгиба пластин типа теории Рейсснера, Тр. VI Всесоюзн. конференции по теории оболочек и пластин, Наука, 1966.
77. Лурье А. И., Общая теория упругих тонких оболочек, ПММ, 1940, т. 4, вып. 2.
78. Л у р ь е А. И., Определение перемещения по заданному тензору деформаций, ПММ, 1940, т. 4, вып. 1.
79. Л у р ь е А. И., К теории толстых плит, ПММ, 1942, т. 6, вып. 2—3.
80. Л у р ь е А. И., Концентрация напряжений в области отверстия на поверхности кру¬
гового цилиндра, ПММ, 1946, т. 10, вып. 3.
81. Л у р ье А. И., Статика тонкостенных упругих оболочек, Гостехиздат, 1947.
82. Лурье А. И., Об уравнениях общей теории упругих оболочек, ПММ, 1950, т. 14, вып. 5.
83. Л у р ь е А. И., О статико-геометрической аналогии теории оболочек, В сб.: Проблемы
механики сплошной среды, Изд-во АН СССР, 1961.
84. Л я в А., Математическая теория упругости, ОНТИ, 1935.
85. М е н ь ш и к о в В. М., О приближенном методе расчета круговых цилиндрических оболочек, ПММ, 1960, т. 24, вып. 4.
86. М у ш т а р и X. М., Об устойчивости круглой тонкой цилиндрической оболочки при кручении, Тр. Казанского авиац. ин-та, 1934, № 2 см. также Муштари X. М., Некоторые обобщения теории тонких оболочек, Изв. физ.-матем. о-ва при Казанск. ун-те, 1938, т. 11, сер. 8.
87. М у ш т а р и X. М., Об области применимости приближенной теории оболочек Кирхгофа—Лява, ПММ, 1947, т. 11, вып. 5.
88. Муштари X. М., Терегулов И. Г., К теории оболочек средней толщины, ДАН СССР, 1959, т. 128, № 6.
89. Н и г у л У. К-, Некоторые результаты исследования уравнений собственных колебаний упругой круглоцилиндрической оболочки, Тр. Таллинского политехнического ин-та, 1960, No 171.
90. Новожилов В. В., Расчет напряжений в тонкой сферической оболочке при произвольной нагрузке, ДАН СССР, 1940, т. 27, № 6.
91. Н о в о ж и л о в В. В., Некоторые замечания по поводу теории оболочек, ПММ, 1941, т. 5, вып. 3.
92. Новожилов В. В., Теория тонких оболочек, Оборонгиз, 1941.
93. Новожилов В. В., Финкел ьштейн Р. М., О погрешности гипотез Кирхгофа в теории оболочек, ПММ, 1943, т. 7, вып. 5.
94. Новожилов В. В., К вопросу о решении задач теории тонких оболочек в усилиях и моментах, ДАН СССР, 1943, т. 38, N° 9.


508
ЛИТЕРАТУРА
95. Новожилов В. В., Новый метод расчета тонких оболочек, Изв. АНС ССР. ОТН 1946, № 1.
96. Новожилов В. В., Обобщение метода комплексных перемещений на неоднородную задачу теории оболочек, ДАН СССР, 1946, т. 53, № 6.
97. Новожилов В. В., Расчет оболочек тел вращения, Изв. АН СССР, ОТН, 1946, № 7.
98. Нов о ж и л о в В. В., Теория тонких оболочек, Судпромгиз, Ленинград, 1962.
99. Новожилов В. В., Черных К- Ф., К расчету оболочек на сосредоточенные воздействия, В сб.: Исследования по упругости и пластичности, № 2, Изд-во ЛГУ, 1963.
100. П i д с т р и г а ч Я. С., Ярема С. Я., Температурю напруження в оболонках Кюв, Видавництво АН УРСР, 1961.
101. Петрова-Денева А., Върху безмоментната теория на тънкостенните черупки върху проективни повърхнини с отрицателна кривина на болгарском языке, Годишник на машинно-електротехническия институт, 1956, кн. 1, т. 2.
102. Петрова-Денева А., Расчет оболочек вращения положительной кривизны на циклические нагрузки, Инженерный ж., 1965, т. 5, вып. 5.
103. Петрова-Денева А., Пресмятане на ротационна черупка с положителна гаусова кривина и граница наклонено сечение при циклични гранични условия на болгарском языке, Годишник на висшите технически учебни заведения, Математика 1965, кн. 1, т. 1.
104. Петрова-Денева А., Расчет цилиндрической оболочки на циклические нагрузки. Инженерный ж., МТТ, 1966, № 6.
105. Понятовский В. В., К теории пластин средней толщины, П ММ, 1962, т. 26, вып. 2.
106. Понятовский В. В., К теории изгиба анизотропных пластинок, ПММ 1964, т. 28, вып. 6.
107. Работнов Ю. Н., Основные уравнения теории оболочек, ДАН СССР, 1945, т. 47, № 2.
108. Работнов Ю. Н., Уравнения пограничной зоны в теории оболочек ДАН СССР, 1945, т. 47, № 5.
109. Работнов Ю. Н., Некоторые решения безмоментной теории оболочек. ПММ, 1946, т. 10, вып. 5—6.
110. Р е п м а н Ю. В., Расчет сферических оболочек по моментной теории на произвольную нагрузку, В сб.: Пластины и оболочки, Госстройиздат, 1939.
111. Р о г а ч е в а Н. Н., О методе расчленения напряженного состояния в оболочках отрицательной кривизны с асимптотическими краями, ПММ, 1975, т. 39, вып. 2.
112. Соболев С. Л., Пример корректной краевой задачи для уравнения колебаний струны с данными на всей границе, ДАН СССР, 1956, т. 109, № 4.
ИЗ. Соколов А. М., К вопросу об области применимости безмоментной теории к расчету оболочек отрицательной кривизны, Изв. АН СССР, ОТН, 1955, № 5.
114. Соколовский В. В., Расчет сферических оболочек, ДАН СССР, 1937, т. 16, № 1.
115. Соколовский В. В., О безмоментных оболочках вращения, ПММ. 1938, т. 1,
вып. 3.
116. Соколовский В. В., Уравнения равновесия безмоментных оболочек, ПММ, 1943, т. 7, вып. 1.
117. Т и м о ш е н к о С. П., Колебания в инженерном деле, Физматгиз, 1959.
118. Тумаркин- С. А., Асимптотическое решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с переходной точкой и его приложение к расчетам торообразных оболочек и лопастей, ПММ, 1959, т. 23, вып. 6.
119. Урбанович Н. В., Чернышев Г. Н., Местные напряжения в оболочке от сосре¬
доточенных нагрузок и тепловых источников, Изв. АН СССР, МТТ, 1970, № 2.
120. Файнберг С. М., К вопросу о построении моментной теории цилиндрических оболочек, Проект и стандарт, 1936, № 12.
121. Файнберг С. М., К вопросу о построении приближенной теории тонкостенных оболочек произвольного очертания, В сб.: Исследования по теории сооружений, Строй- издат, 1939.
122. Ф л ю г е В-, Статика и динамика оболочек, Госстройиздат, 1961.
123. Ч е р н и н а В. С., К расчету торообразных оболочек, Изв. АН СССР, ОТНг Механика и машиностроение, 1961, № 4.
124. Чернина В. С., Статика тонкостенных оболочек вращения, Наука, 1968.
125. Чернина В. С., Некоторые математически эквивалентные задачи статики оболочек вращения, Изв. АН СССР, МТТ, 1973, № 3.
126. Черных К. Ф., О сопряженных задачах теории тонких оболочек, ДАН СССР, 1957, т. 117, № 6.
127. Черных К. Ф., Связь между дислокациями и сосредоточенными воздействиями в теории оболочек, ПММ, 1959, т. 23, вып. 2.
128. Черных К. Ф., Сопряженные задачи теории тонких оболочек, В сб.: Проблемы механики сплошной среды, Изд-во АН СССР, 1961.
129. Черных К- Ф-, Линейная теория оболочек, ч. I, Изд-во ЛГУ, 1962.
130. Черных К. Ф., Линейная теория оболочек, ч. II, Изд-во ЛГУ, 1964.
131. Черных К. Ф., Шамина В. А., Расчет торообразных оболочек, В сб.: Исследования по упругости и пластичности, 2, Изд-во ЛГУ, 1963.


ЛИТЕРАТУРА
509
132. Чернышев Г. М., О действии сосредоточенных сил и моментов на упругую тонкую
оболочку произвольного очертания, ПММ, 1963, т. 27, вып. 1.
133. Чернышев Г. Н., Представление решений типа Грина уравнений оболочек методом
малого параметра, ПММ, 1968, т. 33, вып. 6.
134. Чернышев Г. Н., Малые изгибания оболочек с незакрепленными границами, Изв. АН СССР, МТТ, 1974, № 5.
135. Штаерман И. Я., Расчет купола как арки на упругом основании, Проект и стандарт, 1933, № 9.
136. Экстрем Дж. Э., Тонкостенные симметричные купола, Гос. научно-техн. изд-во Украины, Харьков—Киев, 1936.
137. Blumenthal О., Ober assymptotische Integration von Differentialgleichungen mit Auwendeung auf die Berechnung von Spannungen in Kugelschalen, Zeitschr. fur Math, und Phys., Bd. 62, 1914.
138. В о 1 1 e L., Contribution on problem lineaire de flexion d'une plaque elastique, Parts 1, 2,' Bulletin technique de la Suisse Romande, 1947.
139. Budiansky B.,Sanders J. L., On the best first-order linear shell theory, Progr. appl. mech., The Prager anniv. volume, Macmillan Comp., 1963.
140. Cicala P., Consistent approximations in shell theory, J. Engin. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civil. Engrs, 1962, v. 88, № 4, pt. 1.
141. Clark R., On the theory of thin elastic toroidal shells, J. Math, and Phys., 1950, 29, № 3.
142. Donnell L., Stability of thin walled tubes under torsion, NACA, 1933, Rep. № 479.
143. Donnell L., A discussion of thin shell theory, Proc. 5th Congr. of Appl. Mech., 1939.
144. Friedrichs К. O., Kirchhof's boundary conditions and the edge effect for elastic plates, Proc. Symp. Appl. Math. 3. Amer. Math. Soc., N. Y., 1950.
145. Friedrichs К. O., Dressier R. F., A boundary-layer theory of elastic plates, Comm. Pure and Appl. Math., 1961. v. 14. № 1.
146. Green A. E., On the linear theory of thin elastic shells, Proc. Roy. Soc. A, 1962, v. 266,
№ 1325.
147. Green A. E., Boundary layer equations in the linear theory of thin elastic shells, Proc. Roy. Soc., A, 1962, v. 269, № 1339.
148. Giinther W., Analoge systeme von Schalengleichungen, Ing.-Arch., 1961, Bd. 30, № 3.
149. Havers A., Assymptotische Biegetheorie der unbelasteten Kuqelschale. Ing. Arch., 4, 1935.
150. Hussein-sade M. J., Zum Aufbau der Biegetheorie mehrschichtiger Platten, Plaste und Kautschuk, 15 Jahrgang, Heft 41968.
151. John F., The Dirichlet problem for a hyperbolic equation, Amer. Journ. Math., 1941, v. 63, № 1.
152. John F., Estimates for the derivatives of the stress in a thin shells and interior shell equations, Comm. Pure and Appl. Math., 1965, v. 18, № 12.
153. Johnson M. W., Reissner E., On the foundations of the theory of thin elastio shells, J. Math. Phys., 1959, v. 37, № 4.
154. Jordan P. F., Stress and deformations of thin walled pressurized torus, IAS, Paper 14, 1961.
155. Koitet W. Т., A consistent first4 approximation in the general theory of thin elastic shells, Proc. of the symposium on the theory of thin elastic shells, 1960, North-Holland Publishing Company-Amsterdam.
156. К о i t e r W. Т., On the nonlinear theory of thin elastic shells, Proc. Koninkl. Nederl. Akademie van Wetenschappen, Amsterdam, 1966, Ser. B., № 1.
157. К о i t e r W. Т., Foundations and basic equations of shell theory, A Survey of recent progress, Theory of thin shells, 2nd simpos., Copenhagen, 1967, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg—New York, 1969.
158. Koiter W. Т.. SimmondsJ. G., Foundations of shell theory, Appl. Mech. Proc. of 13 th Intern. Congr. of theoretical and Appl. Mech., Springer—Verlag., Berlin—Heidelberg—New York, 1973.
159. Krauss F., Ober die Gerundgleichungen der Elastizitatstheorie, Schwachdeformierten Schalen, Math. Ann., 1929, Bd. 101, № 1.
160. Logan T. R., Asymptotic solutions for shell with general boundary curves, PhD Thesis, Standford University, 1970.
161. Marguere K., Zur Theorie der gekriimmten Platte grosser Formanderung, Proc. 5th Int. Congr. Appl. Mech., 1939.
162. M e i s s n e r E., Die Elastizitat fur diinne Schalen von Ringsflachen, Kugel und Kegel- form. Phys. Zeitschr., Bd. 14, 1913.
163. M e i s s n e г E., Ober Elastizitat und Festigkeit diinner Schalen. Viertelschr. d. natur. Ges. Bd. 60, Ziirich, 1915.
164. N a g h d l P. М., On the theory of thin elastic shells, Quart. Appl. Math., 1957, v. 14, № 4.
165. N a g h d i P. М., Foundations of elastic shell theory, Progress in solid mechanics, v. 4., North-Holland publishing company, Amsterdam, 1963.
166 N a g h d i P. М., A new derivation of the general equations of elastic shells, int. J. Engng bci, 1963, v. 1.


510
ЛИТЕРАТУРА
167. N a g h d i P. М., On a variational theorem in elasticity and its application to shell theory. J. of Appl. mech., 1964, v. 31, № 4.
168. N a g h d i P. М., Further results in the derivation of the general equations ol elastic shells, Int. J. Engng Sci., 1964, v. 2.
169. N a g h d i P. М., A static-geometric analogue in the theory of couple stresses. Koninkl. Nederl. Akademie van Wetenschappen, Amsterdam, Proceedings, Ser. B, 1965, v. 68, JMb 1.
170. N e u b e r H., Allgemeine shalentheorie, T und II, Z. Angew. Math, und Mech., 1949, Bd. 29, JMb 4 and JMb 5.
171. Reiss E. L., A theory for small rotationally symmetric deformation of cylindrical shells, Comm. Pure and Appl. Math., 1960, v. 13, JMb 3.
172. Reiss E. L., On the theory of cylindrical shells, Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1962, v. 15, JMb 3.
173. Reissner E., A new derivation of the equations for the deformation of elastic shells, Amer. Journ. of Math., 1941, v. 63.
174. R e i s s n e E., On the theory of bending of elastic plates, J. Math, and Phys., 1944, v. 23, pp. 184—191.
175. Reissner E., Stress-strain relations in the theory of thin elastic shells, J. Math. Phys. 31, 1952, pp. 109—119.
176. Reissner E., Variational considerations for elastic beams and shells, J. Engin. Mech., Division., Proc. Amer. Soc. of Civil Engrs, 1962, v. 88, JMb EMI.
177. Reissner E., On asymptotic solutions for nonsymmetric deformations of shallow
shells of revolution, Int. J. Engng. Sci., 1964, v. 2, pp. 27—43.
178. Reissner E., On asymptotic expansions for circular cylindrical shells, J. Appl. Mech.,
1964, v. 31, pp. 245—252.
179. Reissner E., On the foundations of the theory of elastic shells, Appl. Mech., Proc.
of the 11th Intern. Congr. of Appl. Mech., Munich 1964, 1966-
180. Reissner E., and Wan F. Y. М., On stress strain relations and strain displacement relations of the linear theory of shells, The Folke Odqvist Volume, Stockholm, 1967
181. Reissner E.,A note on stress functions and compatibility equations in shell theory. Topics in applied mechanics. Memorial volume to the late prof. E. Schwerin. Amsterdam,
1965.
182. Reissner E.,Simmonds J. G., Asymptotic solutions ol boundary value problems for elastic semi-infinite circular cylindrical shells, Journ. of Math, and Phys., 1966, v. 45, JMb 1.
183. Reissner H., Spannungen in Kugelschalen Kuppeln, Mtiller, Breslau—Festschr., 1912.
184. R u t t e n H. S., Asymptotic approximation in the three-dimensional theory of thin and thick elastic shells, Nederlandse boekdruk industrie N. Y., Hertogenbosch, 1971.
185. Sanders J. L., On the shell equations in complex form, IUTAM Symposium Copenhagen, 1967, Theory of thin shells, Springer-Verlag, 1969.
186. Sanders J. L., Singular solutions to the shallow shell equations, Journal of applied
mechanics, ASME, June 1970 Paper JMb 70-WAAPM-l.
187. Stanescu C., Visarion V., Calculul starilor de tensiune in teoria placilor curbe cilindri cu sectiune arbitrea superfete de arie minima, Editura Academili Republicii Socia- liste Romania, 1969.
188. Steel C. R., A geometric optics solution for the thin shell equation. Int. J. Engng. Sci., 1971, v. 8.
189. Visarion V., Elemente pentru calculul placilor curbe subtin, elastice, Bucuristi, 1961.
190. Van der N e u t A., De elastische stabiliteit van den dunwandigen bol. Diss., Delft, 1932.


ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аналогия статико-геометрическая 75—78, 238 Асимптотика напряженно-деформированного состояния нормальная 410
оптимальная 325
особая 411
Быстрота сен-венановского затухания асимптотически нормальная 502
Вектор внешних моментов 40 сил 40
— поверхности основной 14
— упругого вращения 47 перемещения 47
— функций напряжений 45
Гипотеза Кирхгофа —Лява 26, 58 Гипотезы теории цилиндрических оболочек В. 3. Власова 159 — упрощенной теории цилиндрических пластин В. В. Новожилова 161 Гладкость граничного условия 212, 221, 228
Деформация без растяжения и сжатия 103 Длина рисунка деформации характерная 469 — цилиндрической оболочки приведенная 384
относительная большая 384, 386
весьма большая 384, 386
малая 384, 386
малая 384, 385
средняя 384
Жесткость срединной поверхности 217
Компонента вектора основная 14
— деформации изгибной 51 тангенциальной 50
— перемещения нормальная прогиб 47 тангенциальная 47
— поверхностной поправочной нагрузки 100, 126
— тензора физическая 79
Координаты географические на поверхности вращения 196
второго порядка 188, 192
на сфере 140, 178
— криволинейные в пространстве 22 изотермические 179
изотермически сопряженные 186
на произвольной поверхности 12
на развертывающейся поверхности 155—158
Корни характеристического уравнения замкнутой цилиндрической оболочки большие 353, 359, 370
малые 352, 359, 364
нулевые 356 — 358
Коэффициенты квадратичной формы второй 15 первой 13
— Ламе 23
Край поперечный оболочки нулевой кривизны 213 Кривизна поверхности Гауссова 18, 22 нормальная 17
Линия асимптотическая на поверхности 19
— излома срединной поверхности 128
— искажения асимптотическая 149
напряженно-деформированного состояния 97,
128
неасимптотическая 113, 149
— квазистационарная напряженно-деформирован¬
ного состояния 500
— кривизны на поверхности 19
Задача вспомогательная 448, 449, 455
— краевая безмоментной теории геометрическая
110, 254, 297
полная 111, 212
статическая НО, 254, 297
Закрепление в направлении п 294
— косое 301
— тангенциальное жесткое 297, 298 лишнее 318
Значения показателей интенсивности непротиво- оечивые 291
Изгибание поверхности 14, 78 тривиальное 107
— срединной поверхности возможное 219 Излом срединной поверхности 128, 311 Изменяемость большая однородная 162
— напряженно-деформируемого состояния 501
— реальная 419
— функции общая 125 частная 125
Интеграл локализованный в а10 ± 0 477, 478
— простой 470
— с большой изменяемостью 472
, соответствующий данному семейству характеристик 472
— с заданной квазистационарной линией 477 характеристической квазистационарной линией 477, 485
Интегралы с большой изменяемостью существенно различные 499 Интенсивность поперечного сжатия 27
Матрица деформаций изгибных 273 тангенциальных 273
— моментов 273
— смещений 273
— усилий перерезывающих 273 тангенциальных 273
Метод асимптотического интегрирования уравнений 470
— комплексный В. В. Новожилова 78
— расчленения 97, 124, 162, 164, 166, 289, 376 обобщенный 154, 155, 165, 166, 376
Направления квазистационарные 163, 469, 500 Напряжения несимметричные 389 Неустойчивость асимптотики напряженно-деформированного состояния 329
Область применимости безмоментной теории безусловная 323 условная 323
безмоментных уравнений замкнутых цилиндрических оболочек 361
уравнений цилиндрических оболочек
В. 3. Власова 172 Оболочка пологая 137
— торообразная 125, 168, 222
— цилиндрическая замкнутая 215, 335 — открытая 215, 335


512
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Поверхность оболочки липевая 26
— срединная 26
— особая 125 Погранслой 364, 387, 428
— антиплоский 435
— плоский 435
Погрешность асимптотическая формальная 470.
475
Показатель изменяемости 163, 409
внешних воздействий 164
граничного условия 490
интеграла дифференциального уравнения 474
краевого воздействия 501
напряженно-деформированного состояния 501
общий 163, 500
частный 163, 500
— интенсивности напряженных состояний 290 погранслоев 437
Постановка смягченная краевых задач безмоментной теории 270, 310 Применимость безмоментной теории безусловная 323
условная 323
Производная ковариантная 84, 91 Процесс итерационный безмоментный 276
для основного напряженного состояния 279
для простого краевого эффекта 285
простой 470
чисто моментный 277
Работа сил в оболочке 66 Разветвление функции изменяемости 482 Размеры собственные однополостного гиперболоида 265, 327 -Решения типа а и типа Ь 433
€емейство характеристик,определяющее интеграл с большой изменяемостью 472 Сечение оболочки нормальное 37 Символ Кристобзфеля 15, 82, 91 Система координат почти декартова 140, 145
плоская 138
полярная 140, 145
триортогональная 23
— уравнений безмоментной теории головная 108
теории оболочек полная 74, 75
Смещение срединной поверхности как жесткого
целого 56, 208 Состояние напряженно-деформированное внутреннее 387, 436
краевое 461
полное 289
— напряженное безмоментное 100, 103 выродившееся 101
основное 97, 101, 103, 164
обобщенное 164, 165, 362, 364, 367, 369
с большой изменяемостью 146, 372, 376, 386
чисто моментное 102, 103
выродившееся 103
Тензор деформации вспомогательный 83
изгибной 83
тангенциальной 83
— дискриминантный 80
— кривизны 80
— метрический 80
— моментов 81
— неоднородности 85
— перерезывающих усилий 80
— тангенциальных смещений 83 усилий 80
— углов поворота 83
— упругости 85
— функций напряжений второй 81 первый 81
Теорема взаимности Бетти в теории оболочек 68
— единственности Кирхгофа в теории оболочек 69
— Клапейрона в теории оболочек 66
— о возможных изгибаниях 174, 219, 225, 226,
228, 242, 259, 263, 266, 270 Теория безмоментная 78, 103, 322
— В. 3. Власова полубезмоментная цилиндри¬
ческих оболочек 160, 367, 386
— оболочек итерационная первого приближения
414
—■ типа Ляве 4 14
— — Тимошенко 414
Теория упрощенная цилиндрических пластин В. В. Новожилова 161, 369, 385 Триедр поверхности основной 14
Уравнение первого приближения 472, 474
— равновесия теории упругости осредненное вто¬
рое 32 первое 31
— разрешающее круговой цилиндрической обо¬
лочки 337
напряженных состояний с большой изменяемостью 147, 149
обобщенного краевого эффекта в оболочке
нулевой кривизны 150
отрицательной кривизны 150
пологих оболочек 142
простого краевого эффекта 116, 288
— статики дополнительное 60
— характеристическое цилиндрической оболочки
замкнутой 339, 349 — 358
открытой 344, 379 — 383
Уравнения безмоментной теории 104
геометрические 107
статические 104
— в комплексных перемещениях 89
— главные безмоментного итерационного про¬
цесса 280, 297 итерационного процесса для основного напряженного состояния 292
чисто моментного итерационного процесса
280, 297
— изгибания в деформациях 107 в перемещениях 107
— Кодацци — Гаусса 17, 21, 90
— моментной теории оболочек 99
— неразрывности деформаций 54 — 57, 84
— равновесия безмоментные интегральнее 204
интегральные в комплексной форме 233
моментные 41, 82, 84, 92
силовые 40, 82, 84, 92
— состояния 58, 85, 93
нетангенциальные 98
тангенциальные 98
Усилие косое 300
— перерезывающее 80
— приведенное -71, 290
— тангенциальное 80
Условие граничное идеализированное 70, 111 215
геометрическое 212
нетангенциальное 111,' 211
статическое 212
— тангенциальное 111, 211
приведенное 459
— единственности решений задач теории оболо¬
чек 69
полной безмоментной краевой задачи 112
— затухания 436
экспоненциального 491
— непрерывности нетангенциальное 128, 211 тангенциальные 127, 211
— сопряжения 133, 211, 311—321 Условия затухания неполные 448
— применимости метода расчленения 124, 125.
162, 289
Форма квадратичная вторая 17 первая 13
Формулы деривационные Гаусса—Вейнгартена 16, 21
Функции аналитические в безмоментной теории 181 — 191
обобщенные в безмоментной теории 194.
243, 261 Функция изменяемости 472
— интенсивности 472
— напряжения 44 — 46, 81 комплексная 81
— перемещения комплексная 182
— с большой изменяемостью 472
— с весьма малой изменяемостью 166
Энергия деформации оболочки 66 Эффект краевой 97, 114
вырожденный 154
обобщенный 149—155
простой ИЗ, 164, 362, 363, 372