/
Author: Еркович О.С. Васюков В.И.
Tags: физика пищевое производство механика термодинамика задачи по физике естественные науки молекулярная физика
Year: 2004
Text
УЧЕБНЫЙ ЦЕНТР «ОРИЕНТИР»
МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
имени Н.Э. БАУМАНА
В. И. ВАСЮКОВ, О С. ЕРКОВИЧ
ФИЗИКА
ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ
Москва
2004
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..................................................3
Введение.....................................................5
РАЗДЕЛ I.МЕХАНИКА
Глава 1. Элементы кинематики.................................7
1.1. Общие понятия....................................7
1.2. Кинематика точки.................................8
1.3. Скорость и ускорение материальной точки.........15
1.4. Вращение твердого тела..........................16
Кинематика материальной точки при движении
по окружности...................................17
Глава 2. Законы классической механики.......................18
2.1. Инерциальная система отсчета. Основные законы
механики..............................................18
Симметрия пространства и времени................19
Принцип относительности Галилея.................20
Преобразования Галилея..........................20
2.2. Второй и третий законы Ньютона..................23
Основное уравнение динамики.....................28
2.3. Центр масс. Ц-система...........................29
Уравнения движения центра масс..................30
Глава 3. Законы сохранения..................................31
3.1. Общие сведения..................................31
3.2. Закон сохранения импульса системы...............32
3,3. Закон сохранения энергии........................36
Работа..........................................36
Мощность........................................39
3.4. Закон сохранения механической энергии...........40
Потенциальная энергия...........................40
Кинетическая энергия............................41
Полная механическая энергия частицы.............42
Глава 4. Сила тяготения. Движение в поле тяготения
планет. Искусственные спутники...............................44
4.1. Законы движения планет..........................44
4.2. Космические скорости............................45
Глава 5. Статика............................................47
5.1. Общие сведения..................................47
5.2. Условия равновесия тел..........................47
Глава 6. Механика жидкостей и газов.........................50
6.1. Основные законы.................................50
Закон Паскаля..................................50
Закон сообщающихся сосудов.....................51
Закон Архимеда.................................51
448
6.2. Движение тела в жидкости и газе...............51
6.3. Стационарное течение. Уравнение Бернулли......52
6.4. Формула Стокса................................56
Глава 7. Релятивистская механика..........................57
7.1. Основы теории относительности.................57
Постулаты теории относительности..............61
7.2. Относительность одновременности...............63
7.3. Преобразования Лоренца........................65
7.4. Относительность расстояний....................69
7.5. Относительность промежутков времени...........72
7.6. Релятивистский закон сложения скоростей.......73
7.7. Релятивистская динамика. Зависимость массы
от скорости........................................75
7.8. Закон взаимосвязи массы и энергии.............76
Релятивистский импульс........................76
Релятивистское уравнение движения.............78
Принцип соответствия..........................79
7.9. Релятивистское соотношение между энергией
и импульсом........................................82
Контрольные задания
Качественные задачи.......................................84
Примеры решения задач..............................85
Задачи для самостоятельного решения................92
РАЗДЕЛ II. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА
Глава 1. Общие сведения..................................94
Глава 2. Основные положения молекулярно-
кинетической теории.......................................96
Глава 3. Взаимодействие молекул и агрегатные
состояния.......................................98
Глава 4. Размеры и масса молекул. Единицы измерения
физических величин.............................102
Глава 5. Основное уравнение молекулярно-кинетической
теории газа....................................104
5.1. Общие сведения...............................104
5.2. Температура и ее измерение...................105
5.3. Скорость молекул газа........................108
Глава 6. Газ и его свойства.............................110
6.1. Общие сведения...............................110
6.2. Внутренняя энергия идеального газа...........110
6.3. Уравнение состояния идеального газа..........112
Диаграммы состояния..........................112
6.4. Изопроцессы..................................113
449
Глава 7. Тепловое равновесие. Законы термодинамики. 116
7.1. Общие сведения....................................116
7.2. Нулевой закон термодинамики.......................116
7.3. Первый закон термодинамики........................116
7.4. Теплоемкость газов................................118
7.5. Тепловые двигатели................................120
Рабочий цикл тепловой машины......................120
КПД теплового двигателя...........................121
Роль тепловых двигателей в народном хозяйстве.....121
7.6. Второй закон термодинамики........................122
Необратимость тепловых процессов..................123
Глава 8. Фазовые состояния и превращения вещества............124
8.1. Агрегатные состояния вещества.....................124
Фазовонеоднородные системы........................124
8.2. Фазовые состояния вещества........................125
Плавление........................................129
Испарение........................................129
Кипение..........................................130
Конденсация......................................130
8.3. Теплота сгорания топлива..........................130
Глава 9. Диаграммы состояния вещества.........................131
9.1. Общие сведения....................................131
9.2. Насыщенный и ненасыщенный пары....................131
9.3. Критическая точка вещества........................134
Глава 10. Строение и некоторые свойства твердых тел,
жидкостей и газов...........................................135
10.1. Свойства твердых тел.............................135
Упругие свойства твердых тел....................136
Тепловое расширение твердых тел.................138
Теплопроводность................................139
10.2. Свойства жидкостей...............................140
Тепловое расширение жидкости....................140
Поверхностное натяжение.........................141
Смачивание. Краевой угол........................143
Влияние кривизны поверхности на сжатие жидкости.145
Капиллярные явления.............................146
Тепловое расширение жидкости....................148
10.3. Влажность воздуха................................149
Контрольные задания
Качественные задачи.........................................152
Примеры решения задач..................................153
Задачи для самостоятельного решения....................159
РАЗДЕЛ III. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Глава 1. Основы электродинамики...............................162
1.1. Общие сведения....................................162
450
Глава 2. Электростатика......................................164
2.1. Электрические заряды. Закон Кулона...............164
Глава 3. Электрическое поле..................................168
3.1. Напряженность электрического поля................168
Теорема Остроградского-Гаусса....................171
3.2. Проводник во внешнем электрическом поле..........172
Равновесие зарядов на проводнике.................172
3.3. Диэлектрик во внешнем электрическом поле.........173
Глава 4. Электростатическое поле.............................176
4.1. Потенциал........................................176
4.2. Связь напряженности электростатического поля
с потенциалом.........................................179
Глава 5. Энергия электрического поля.........................181
5.1. Электроемкость...................................181
5.2. Конденсаторы.....................................182
Плоские конденсаторы.............................183
Цилиндрические конденсаторы......................183
Сферические конденсаторы.........................183
Слоистые конденсаторы............................183
5.3. Энергия электрического поля системы
неподвижных точечных зарядов..........................184
5.4. Энергия электрического поля уединенного
заряженного проводника...............................185
5.5. Энергия заряженного конденсатора................185
5.6. Объемная плотность энергии электрического поля.....186
Глава 6. Постоянный электрический ток. Сторонние силы . 187
6.1. Закон Ома для участка цепи.......................187
6.2. Закон Ома для замкнутой цепи.....................189
6.3. Правила Кирхгофа.................................190
Порядок расчета разветвленной цепи постоянного тока.191
Глава 7. Работа и мощность электрического тока...............193
7.1. Тепловое действие тока...........................183
Глава 8. Электрический ток в различных средах................194
8.1. Электрический ток в металлах.....................194
8.2. Электрический ток в жидкостях....................195
Законы электролиза...............................196
8.3. Электрический ток в газах........................197
8.4. Электрический ток в вакууме......................199
8.5. Электрический ток в полупроводниках...........^..201
Электропроводимость полупроводников и ее
зависимость от температуры.......................201
Собственная и примесная проводимость
полупроводников..................................201
Терморезистор....................................202
451
Электронно-дырочный переход....................202
Полупроводниковый диод.........................202
Транзистор.....................................203
Глава 9. Магнитное поле....................................204
9.1. Общие сведения................................204
9.2. Основные свойства магнитного поля.............204
9.3. Магнитное поле токов различной конфигурации...209
9.4. Взаимодействие двух прямолинейных проводников
с током............................................210
9.5. Магнитный поток................................211
9.6. Движение проводника стоком в магнитном поле....212
Глава 10. Электромагнитная индукция........................213
10.1. Общие сведения................................213
10.2. Самоиндукция. Индуктивность контура...........215
10.3. Энергия магнитного поля.......................216
10.4. Электрическая машина. Генератор постоянного тока.217
10.5. Магнитные свойства вещества...................219
Диамагнетики.................................221
Парамагнетики................................221
Ферромагнетики...............................221
Контрольные задания
Качественные задачи........................................224
Примеры решения задач...............................225
Задачи для самостоятельного решения.................233
РАЗДЕЛ VI. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Глава 1. История вопроса...................................235
Глава 2. Механические колебания............................236
2.1. Общие сведения.................................236
2.2. Гармонические колебания........................238
Кинематика гармонических колебаний.............238
Динамика гармонических колебаний...............239
Энергетические превращения при гармонических
колебаниях.....................................240
Глава 3. Маятники..........................................242
3.1. Пружинный маятник..............................242
3.2. Математический маятник.........................242
3.3. Физический маятник.............................243
Глава 4. Сложение гармонических колебаний..................245
4.1. Общие сведения.................................245
4.2. Биения.........................................246
4.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний....247
Глава 5. Затухающие колебания..............................250
452
Глава 6. Вынужденные колебания............................252
6.1. Общие сведения.................................252
6.2. Резонанс.......................................253
6.3. Автоколебания..................................254
6.4. Параметрический резонанс.......................255
Глава 7. Электрические колебания..........................256
7.1. Общие сведения.................................256
7.2. Свободные электромагнитные колебания
в контуре LC.......................................256
7.3. Аналогия механических и электромагнитных
колебаний..........................................260
Свободные затухающие колебания. LCR-контур.....261
7.4. Вынужденные колебания. Резонанс................263
Глава 8. Переменный ток....................................268
8.1. Генератор переменного тока.....................268
8.2. R, L и С в цепи переменного тока. Резонанс.....269
Активное сопротивление в цепи переменного тока.269
Емкость в цепи переменного тока................270
Индуктивность в цепи переменного тока..........271
Произвольная цепь переменного тока.............271
Резонанс..................................... 276
8.3. Мощность в цепи с активным сопротивлением......276
8.4. Трансформатор..................................277
Глава 9. Механические волны................................280
9.1. Общие сведения.................................280
9.2. Уравнения плоской бегущей волны................281
9.3. Фазовая скорость...............................285
9.4. Энергия упругой волны..........................286
9.5. Принцип суперпозиции и групповая скорость......288
9.6. Интерференция волн. Стоячие волны..............288
9.7. Колебания струны...............................290
Глава 10. Электромагнитные волны...........................291
10.1 Вихревое электрическое поле....................291
10.2. Ток смещения..................................292
Контрольные задания
Качественные задачи.......................................297
Примеры решения задач...............................298
Задачи для самостоятельного решения.................308
РАЗДЕЛ V. ОПТИКА
Глава 1. Оптика волновая...................................310
1.1. Общие сведения.................................310
1.2. Электромагнитная природа света.................311
1.3. Принцип Гюйгенса...............................312
453
1.4. Интерференция света. Принцип суперпозиции...........313
Расчет интерференционной картины от двух
когерентных источников..............................316
Интенференция в тонких пленках......................317
Полосы равной толщины. Кольца Ньютона...............319
Использование интенференции в науке и технике.......320
1.5. Дифракция света.....................................322
Принцип Гюйгенса-Френеля............................322
Метод зон Френеля...................................322
Дифракция от малого круглого отверстия..............325
Дифракция в параллельных лучах на щели..............326
Дифракция в параллельных лучах на дифракционной
решетке.............................................328
1.6. Поляризация света...................................331
Естественный и поляризованный свет..................331
Поляризация света при отражении и преломлении
на границе двух диэлектриков........................333
Двойное лучепреломление.............................334
Призма Николя. Закон Малюса.........................335
1.7. Дисперсия света.....................................336
Электронная теория дисперсии света..................336
Нормальная и аномальная дисперсия...................338
Глава 2. Оптика геометрическая...................................340
2.1. Основные законы геометрической оптики...............340
Отражение света на основе волновой теории...........342
Скорость света в вакууме и в среде..................343
Преломление света на основе волновой теории.........343
Полное внутреннее отражение.........................344
Ход лучей в плоскопараллельной пластинке............344
Ход лучей в призме..................................345
2.2. Линза...............................................346
Тонкая линза........................................346
Изображение в линзе.................................347
Формула линзы.......................................347
Фокусное расстояние.................................349
Правило знаков при использовании формулы
тонкой линзы........................................351
Построение изображений в тонкой линзе...............352
Увеличение линзы....................................353
Освещенность изображения, даваемого линзой..........353
Недостатки линзы....................................355
2.3. Глаз как оптическая система.........................358
Строение глаза......................................358
2.4. Оптические приборы..................................359
Очки...............................................359
Лупа...............................................360
454
Микроскоп.....................................362
Фотоаппарат...................................363
Проекционный аппарат..........................365
Глава 3. Оптика квантовая.................................366
3.1. Тепловое излучение............................366
3.2. Фотоэлектрический эффект......................368
З.З. Корпускулярные свойства света.................370
Контрольные задания
Качественные задачи.......................................372
Примеры решения задач..............................373
Задачи для самостоятельного решения................379
РАЗДЕЛ VI. ОСНОВЫ ФИЗИКИ АТОМА. ФИЗИКА АТОМНОГО
ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
Глава 1. Основы физики атома..............................382
1.1. Общие сведения................................382
1.2. Модели атома Томсона и Резерфорда.............382
1.3. Спектр атома водорода. Сериальные формулы.....383
1.4. Комбинационный принцип Ритца..................385
1.5. Модель атома водорода по Бору.................385
1.6. Уровни энергий в атоме........................387
1.7. Линейчатые спектры............................387
1.8. Спин электрона. Спиновое квантовое число......389
1.9. Фермионы. Бозоны. Принцип Паули...............390
Глава 2. Физика атомного ядра. Радиоактивность............391
2.1. Общие сведения................................391
2.2. Характеристика атомного ядра..................391
Размер ядра...................................393
Масса и энергия связи ядра....................393
2.3. Модели атомного ядра..........................395
2.4. Ядерные силы..................................396
2.5. Радиоактивность...............................401
Закон радиактивного превращения...............402
Глава 3. Элементарные частицы.............................405
3.1. Виды взаимодействия элементарных частиц.......405
3.2. Классы элементарных частиц....................406
3.3. Методы регистрации элементарных частиц........407
3.4. Космические лучи..............................411
3.5. Частицы и античастицы.........................412
Глава 4. Современные представления о структуре
материи...................................................420
4.1. История исследования элементарных частиц......420
4.2. Фундаментальные частицы.......................421
4.3. Взаимодействие как обмен квантами
соответствующего поля..............................422
455
4.4. Симметрии в мире частиц..........................423
Пространственно-временные симметрии.............423
Структура адронов и внутренние симметрии........425
Кварковая модель адронов........................426
Новая характеристика кварка -- «цвет»...........428
4.5. Единые теории....................................430
4.6. Мечты теоретиков.................................432
4,7. Космомикрофизика.................................435
Контрольные задания
Качественные задачи..........................................436
Примеры решения задач.................................437
Задачи для самостоятельного решения...................444
Литература ..................................................446
Учебное издание
Васюков Владимир Иванович
Еркович Ольга Станиславовна
ФИЗИКА
Пособие для поступающих в вузы
Редактор Бойцова Н.Г.
Корректор Максимова О.К.
Художник Черных П.И.
Компьютерная верстка Семенов И.А.
Подписано к печати 27.07.2004 г. Формат 60x84/16 Бумага офсетная.
Гарнитура Таймс. Усл.п.л. 29,7. Тираж 1500 экз. Зак. № 119
Учебный центр «Ориентир» при МГТУ им. Н.Э. Баумана
105005 Москва, 2-я Бауманская ул„ д.5.
ББК 22.3/2:365
я729
В 20 Васюков В.И., Еркович О.С. Физика. Пособие для
поступающих в вузы. М.: Ориентир, 2004. - 456 с.
В пособии изложен теоретический курс физики в объеме программы
для поступающих в вузы.
Материал пособия, насколько возможно, свободен от излишней ма-
тематизации - основной акцент перенесен на физическую сторону рас-
сматриваемых явлений.
В каждом разделе пособия приведены качественные задачи с отве-
тами, примеры решения типовых задач, а также задачи для самостоя-
тельного решения с ответами.
Пособие предназначено для подготовительных отделений и курсов,
а также для самостоятельной подготовки к вступительным экзаменам по
физике. Может быть использовано в школьных физических кружках,
полезно студентам младших курсов.
© Васюков В.И., Еркович О.С., 2004
ПРЕДИСЛОВИЕ
В пособии в краткой форме изложены теоретические вопросы курса
физики для поступающих в вузы. Сделан акцент на изложении основных
идей и методов современной физики. Даны разъяснения физических яв-
лений, основополагающих законов и понятий.
Основная цель данного пособия - сосредоточить внимание абитури-
ентов на основных законах физики, а также показать, как следует приме-
। нять эти законы при решении различных конкретных задач.
к Пособие состоит из 6 разделов: I - Механика; II - Молекулярная
К физика. Термодинамика; III - Электродинамика; IV - Колебания и вол-
ны; V - Оптика; VI - Физика атомного ядра и элементарных частиц.
В Внутри каждой главы раздела принята своя нумерация формул, рисунков
и таблиц. В предлагаемом пособии учтены современные требования к
В стандартизации и унификации терминологии, обозначениям и единицам
В измерения физических величин.
В Теоретический материал дается на основе курса лекций, читаемого
В на подготовительных курсах МГТУ им. Н.Э. Баумана и содержащего
В сведения по разделам физики в объеме программы средней школы.
| Главное внимание в пособии уделяется важнейшим физическим яв-
лениям и физическим законам. Достаточно полно освещаются те вопро-
сы, которые, как показала практика приемных экзаменов и опыт работы
I Подготовительных курсов, наиболее сложны для усвоения. Мы стреми-
лись изложить теоретический курс, насколько это возможно, в том виде,
в каком она изучается в высших учебных заведениях, не выходя, однако,
за рамки программы средней школы. Ряд важных вопросов, о которых
вскользь упоминается в существующих пособиях (и которые входят в
действующую в настоящее время программу по физике для поступаю-
щих), рассмотрен значительно полнее. Мы надеемся, что этот дополни-
тельный материал поможет читателю более глубоко представить физиче-
ские основы соответствующих разделов физики.
В каждом разделе пособия сначала излагаются теоретические аспек-
ты соответствующего вопроса, а затем на ряде наиболее поучительных и
интересных в физическом отношении примеров и задач показывается,
как следует подходить к их решению. Задачи (их более 100) тесно связа-
ны с основным текстом и часто являются его развитием и дополнением,
поэтому работа над ними не менее важна, чем изучение теоретического
материала.
3
Решение качественных задач - необходимый компонент полноцен-
ного физического образования, поскольку не требует громоздких мате-
матических выкладок, концентрируя внимание читателя на физической
сущности явлений, их взаимосвязи и формах проявления. Разбор таких
задач в значительной степени углубляет знание фундаментальных поня-
тий и законов физики, пробуждает интерес у читателя к изучению окру-
жающего мира.
Знание законов физики предполагает умение не только формулиро-
вать эти законы, но и применять их в конкретных случаях при решении
задач. Для решения задач оказывается, как правило, недостаточно фор-
мального знания физических законов. В некоторых случаях необходимо
знание специальных методов, приемов, общих для решения определен-
ных групп задач. В других случаях таких методов не существует. Тогда
главным, что способствует успеху дела (кроме знания теории), становит-
ся способность аналитического мышления, т.е. умение рассуждать.
Пособие рассчитано на слушателей подготовительных отделений
вузов, школьников, учащихся ПТУ и техникумов, а также тех, кто инте-
ресуется физикой и занимается самостоятельно.
ВВЕДЕНИЕ
Физика - одна из наук, изучающих природу. Свое название физика по-
лучила от греческого слова «фюзис», что в переводе означает «природа».
Физика - наука, которая изучает свойства окружающего нас мира,
строение и свойства материи, устанавливает наиболее общие фундамен-
тальные законы взаимодействия и движения различных форм материи.
Материя - философская категория для обозначения объективной
реальности, которая отображается нашими ощущениями, существуя не-
зависимо от них. С точки зрения физики мир есть движущаяся материя,
существующая в пространстве и во времени.
Пространство - философская категория для определения протя-
женности и порядка расположения одновременно существующих пред-
метов.
Время - философская категория для определения длительности и
последовательности событий в природе.
Физика оперирует с понятием величина. Этому понятию придается
смысл характеристики измеряемых свойств объектов материального ми-
ра.
Измеряемые качества, признаки или свойства называются физиче-
скими величинами.
Физические законы - устойчивые, повторяющиеся во множестве
опытов, связи между величинами, присущие самой природе явлений.
Физические законы выражаются в виде математических соотношений
между величинами.
Физические законы устанавливаются на основе обобщения опытных
фактов и выражают объективные закономерности, существующие в при-
роде. Основным методом исследования в физике является опыт, т.е. на-
блюдение исследуемого явления в точно контролируемых условиях, по-
зволяющих следить за ходом явления и воссоздавать его каждый раз при
повторении этих условий.
Для объяснения экспериментальных данных принимаются гипоте-
зы. Гипотеза - это научное предположение, выдвигаемое для объясне-
ния какого-либо факта или явления и требующее проверки и доказатель-
ства для того, чтобы стать научной теорией или законом. Правильность
высказанной гипотезы проверяется посредством постановки соответст-
вующих опытов, путем выяснения соответствия следствий, вытекающих
из гипотезы, результатам опытов и наблюдений. Успешно прошедшая
такую проверку и доказанная гипотеза превращается в научную теорию
или закон.
5
Физическая теория представляет собой систему основных идей,
обобщающих опытные данные и отражающих объективные закономер-
ности природы. Физическая теория дает объяснение целой области явле-
ний природы с единой точки зрения. В качестве примера ниже приведена
схема различных физических картин мира, известных в настоящее время
в координатах масштаба г-и.
г
1,5-10" (м)
Расстояние от Земли до Солнца
Классическая механика
(1687 г.)
Принцип относительности Галилея
Законы Ньютона
Лапласовский детерменизм
/ 101О(м)
Размер атамов
и молекул
Релятивистская механика
Постулаты Эйнштейна
(1905 г.)
Преобразования Лоренца
Законы сохранения энергии,
момента импульса, импульса, массы,
электрического заряда
Квантовая механика
(1924 -1926)
Уравнение Шредингера
Принцип Паули
Соотношение неопределенностей
Гейзенберга
10’” (м)
Релятивистская
квантовая механика
Уравнение Дирака
Попытка создания
теории микрочастиц
Размер ядра
и, м/с
РАЗДЕЛ I. МЕХАНИКА
Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ
1.1. Общие понятия
Самым простым видом движения в природе является механическое
движение, состоящее в изменении взаимного расположения тел и (или)
их частей в пространстве с течением времени. Закономерности механи-
ческого движения изучает раздел физики, называемый механикой. В
более узком смысле слова под механикой обычно понимают классиче-
скую механику, изучающую движение макроскопических тел со скоро-
стями, во много раз меньшими скорости света в вакууме.
Кинематикой называют раздел механики, в котором изучаются за-
коны механического движения независимо от причин, вызывающих это
движение.
Механические свойства тел определяются их химической природой,
внутренним строением, агрегатным состоянием, рассмотрение которых
является предметом не механики, а других разделов физики. Для описа-
ния реальных движущихся тел в механике используются упрощенные
модели, выбор которых в каждом конкретном случае определен усло-
виями поставленной задачи.
Материальной точкой называют тело, размеры и форма которого
несущественны в условиях данной задачи. В дальнейшем для краткости
мы будем говорить также просто «точка», а также использовать термин
«точечное тело».
Любое протяженное тело или систему тел можно рассматривать как
систему материальных точек. Для этого все протяженные тела, входящие
в состав системы, следует мысленно разделить на малые элементы - дос-
таточно малые для того, чтобы каждый из них рассматривать как мате-
риальную точку.
Абсолютно твердым (абсолютно жестким) телом называют тело,
деформацией которого в условиях данной задачи можно пренебречь.
Расстояние между любыми двумя точками абсолютно твердого тела
не изменяется при любых воздействиях. Иными словами, абсолютно
твердым называют тело, размер и форма которого не зависят от внешних
воздействий. Его можно рассматривать как систему материальных точек,
жестко связанных между собой.
Другие модели, используемые в механике, будут обсуждаться в со-
ответствующих разделах.
Положение тела в пространстве можно определить только по отно-
шению к другим телам, но не в пространстве «вообще». Поэтому рас-
смотрение любого типа движения начинается с выбора системы отсчета.
7
Поскольку движение происходит не только в пространстве, но и во вре-
мени, выбор системы отсчета связан и с заданием способа измерения
временных характеристик движения (нужны часы!). Система отсчета
представляет собой абсолютно твердое тело, с которым жестко связана
система координат, снабженная часами и используемая для определения
положения в пространстве исследуемых тел в различные моменты вре-
мени (рис. 1.1).
Иногда системой отсчета называют хронометризированную (снаб-
женную часами) систему координат, а твердое тело, с которым она свя-
зана, называют телом отсчета.
Выбор системы отсчета осуществляется так, чтобы максимально
упростить решение поставленной задачи.
Очевидно, что из разных систем отсчета движение одного и того же
тела выглядит по-разному. В этом заключается относительность меха-
нического движения и его кинематических параметров.
Механическое движение проявляет себя только в относительной
форме. Однако сам факт существования движения является абсолютным.
1.2. Кинематика точки
Основная задача кинематики - описание положения тела в про-
странстве в зависимости от времени. При этом не выясняют причин дви-
жения, а лишь описывают его геометрию.
Движение любой механической системы может рассматриваться как
движение составляющих ее точечных элементов, поэтому остановимся
на основных понятиях кинематики точки.
Положение точки М в системе отсчета определяет ее радиус-вектор.
У Радиус-вектор г точки М - это вектор,
М начало которого совпадает с началом коорди-
Z* нат О, а конец - с самой точкой М(рис. 1.1).
г/ В элементарной математике младших
классов вектор определяют как «направлен-
GjjV-------------* ный отрезок», поэтому «найти» точку М по
/7 тело ) ее радиус-вектору можно, условно говоря,
л X У пройдя правильное расстояние в правильном
Рис- направлении от начала координат.
Работая непосредственно с радиусами-векторами и их производ-
ными, мы пользуемся векторным способом описания движения точки.
Радиус-вектор точки с течением времени t, вообще говоря, изменя-
ется, - точка движется. Движение материальной точки полностью опре-
делено, если зависимость г = r(t) известна.
8
Линия, описываемая в пространстве движущейся точкой, называет-
ся траекторией этой точки. Траекторию можно также определить как
геометрическое место концов радиуса-вектора точки (рис. 1.2). Траекто-
рия, таким образом, представляет собой пространственную кривую, ко-
торую можно охарактеризовать, описав ее форму и задав длину t.
Если траектория представляет собой
плоскую кривую (т.е. такую кривую, все
точки которой принадлежат одной и той же
плоскости), то говорят о плоском движе-
нии материальной точки. Если траектория
точки - прямая, то ее движение называют
прямолинейным.
Изменение положения точки в про-
странстве характеризует перемещение.
Перемещением точки Аг за промежуток времени от t до t + At
называют вектор, начало которого совпадает с положением точки в мо-
мент t, конец - с положением точки в момент t + At (рис. 1.2). Очевид-
но, что
Дг = r(t + At)-r(t),
(1)
так что перемещение можно определить как приращение радиуса-
вектора r(t) за время At. В общем случае модуль вектора перемещения
|Аг| не может превышать длины траектории С:
|Аг| < t.
Путь S - это расстояние, пройденное точкой вдоль траектории.
Момент времени t = t0, ранее которого
движение точки не рассматривается, назы-
вают начальным моментом времени, поло-
жение точки в этот момент (точка В на рис.
1.3) - начальным положением. Выбор начала
отсчета времени произволен, поэтому, как
правило, полагают t0 = 0 .
Путь S, пройденный точкой из ее начального положения, является
скалярной функцией времени:
S = S(t).
Функция S(t) по определению неотрицательна; в процессе движе-
ния пройденный путь может только возрастать.
9
Если точка движется по дуге траектории, не меняя направления
движения, то пройденный ею за время движения от В к С путь будет ра-
вен длине дуги ВС:
^ав = •
Если точка изменяет направление движения и какие-то участки
проходит многократно, то пройденный путь окажется больше длины тра-
ектории. Например, если точка, пройдя от В до С, изменила направление
движения и вернулась в точку В, то ее перемещение Аг = 0, длина тра-
ектории £, а пройденный путь S = 2£. В общем случае
| Аг | < £ < S;
только в том случае, когда точка движется по прямой, не изменяя на-
правления движения,
| Аг | = £ = S.
Быстроту даижения тела характеризует скорость.
Если нам необходимо понять, насколько быстро тело приближается
к намеченной цели, то его движение можно охарактеризовать средней
скоростью по перемещению.
Средней скоростью по перемещению за промежуток времени от t
до t + At называют отношение перемещения Аг к времени At, за кото-
рое оно произошло:
r(t+At)-r(t)_Ar
ср At At ‘
Средняя скорость по перемещению - векторная величина, совпа-
дающая по направлению с перемещением Аг . Очевидно, что зависит
и от t, и от времени усреднения At.
Если уменьшать время усреднения At, то можно показать, что в
конце концов зависимость от At исчезнет. В этом случае говорят о
мгновенной скорости u(t).
Иными словами, мгновенная скорость точки u(t) - это предельное
значение ее средней скорости иср за промежуток времени от t до t + At
при переходе к пределу при At, стремящемся к нулю.
Символически это записывается так:
r(t + At)-r(t) dr(t)
' 7 dt i
Последний символ dr(t)/dt используется в тех случаях, когда ।
можно говорить о том, что приращение At достаточно мало для того?|
10
чтобы зависимость отношения kr/kt от At исчезла. Такого рода мате-
матическую операцию называют дифференцированием радиуса-вектора
r(t) по времени t; мгновенная скорость v(t) представляет собой про-
изводную радиуса-вектора по времени.
Если скорость точки u(t) с течением времени не изменяется, такое
движение называют равномерным. В этом случае u(t) = иср = const.
Средняя скорость по перемещению vcp сонаправлена с Аг . Как на-
правлен вектор мгновенной скорости i>(t) ?
Рассмотрим векторы перемеще-
ния Аг;, Дг2, Arj, ..., соответствую-
щие уменьшающимся промежуткам
времени: At, >At2 >At, >... (рис. 1.4).
Чем меньше время усреднения At,
тем ближе «прижимается» дуга АД к
стягивающей ее хорде, секущая пре-
вращается в касательную.
Таким образом, при переходе к предельно малому времени усредне-
ния dt можно говорить о том, что мгновенная скорость направлена по
касательной к траектории. Направление вектора мгновенной скорости
называют направлением движения точки.
Если нас интересует, насколько быстро изменяется пройденный те-
лом путь, то удобно ввести понятие среднепутевой скорости.
Среднепутевой скоростью за промежуток времени от t до t + At
называют отношение пути AS, пройденного за этот промежуток време-
ни, к At:
(3)
S(t + At)-S(t)_ AS
Ucn “ At At
Среднепутевая скорость - неотрицательная скалярная величина,
причем из неравенства AS > |Дг| следует, что исп > .
При переходе к предельно малому времени усреднения At из ри-
сунка 1.4 легко видеть, что чем меньше At, тем ближе длина дуги к дли-
не стягивающей ее хорды: AS -»|Аг|. При достаточно малых At можно
говорить о том, что эти величины совпадают: dS = |dr|. Поэтому
AS dS
lim — = —
л»->0 At dt
dr
dt
11
Быстроту изменения скорости характеризует величина, называемая
ускорением.
Средним ускорением аср за промежуток времени от t до t + At назы-
вают отношение изменения скорости А<5 за этот промежуток времени к At:
ср At '
Это векторная величина, зависящая, вообще говоря, от t и At.
Мгновенное ускорение a(t) может быть введено как предельное
значение среднего ускорения аср при уменьшении At:
' ' м-,0 м dt
Мгновенное ускорение, чаще называемое просто ускорением, пред-
ставляет собой производную вектора скорости по времени.
Если ускорение точки с течением времени не изменяется, такое дви-
жение называют равноускоренным. В этом случае среднее ускорение aq,
за любой промежуток времени равно мгновенному ускорению:
а. = а = const.
ср
Таким образом, зная зависимость r(t), можно найти скорость и и
ускорение а точки в каждый момент времени.
Возникает и обратная задача: можно ли найти u(t) и г (t), зная за-
висимость от времени ускорения a(t)? Оказывается, для получения од-
нозначного решения этой задачи одной зависимости a(t) недостаточно,
необходимо еще знать так называемые начальные условия, а именно:
скорость v0 и радиус-вектор г0 точки в некоторый начальный момент
t = 0. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим простейший случай, когда в
процессе движения ускорение точки а = const.
Если рассмотреть промежуток времени от t0 = 0 до t, то среднее
ускорение за этот промежуток времени будет равным
_ v(t)-v0 _ ,
а = —------, где и0 = v(0), откуда
y(t) = 60 +at. (5)
Таким образом, для определения v(t) следует знать не только
ускорение, но и начальную скорость тела ии.
12
В общем случае движения с переменным ускорением a(t)
I 6(t) = 60 + ja(t)dt,
о
r(t) = r0 + Jv(t)dt, гдего=г(О),
О
S(t)= j|v(t)|dt.
О
В частности, при а - const
r(t] = r0+vQt + ^a.t2.
Итак, для полного решения задачи о движении точки - определения
ее скорости v и положения г в зависимости от времени - недостаточно
знать зависимость a(t), но еще необходимо знать и начальные условия,
т.е. скорость о0 и положение г0 точки в начальный момент времени.
Координатный способ. С выбранным телом отсчета жестко связы-
вают определенную систему координат (декартову, косоугольную или
криволинейную). Выбор той или иной системы координат определяется
рядом соображений: характером или симметрией задачи, постановкой
вопроса, а также стремлением упростить само решение. Ограничимся
здесь декартовой системой координат х, у, г .
Запишем проекции на оси х, у, г радиуса-вектора r(t), характе-
ризующего положение интересующей нас точки относительно начала
координат О в момент t: x = x(t), y = y(t), z = z(t).
Зная зависимость этих координат от времени - закон движения точ-
ки, можно найти положение точки в каждый момент времени, ее ско-
рость и ускорение. Действительно, спроецировав выражения (1) и (2),
например, на ось х, получим формулы, определяющие проекции векто-
ров скорости и ускорения на эту ось:
dx
v, = —,
х dt
где dx - проекция вектора перемещения dr на ось х;
dor d2x
°* " dt " dt2 ’
где dvx - проекция вектора приращения скорости do на ось х.
(6)
(7)
13
Аналогичные соотношения получаются для у - и г -проекций соот-
ветствующих векторов. Из этих формул видно, что проекции векторов
скорости и ускорения равны соответственно первой и второй производ-
ным координат по времени. /
Таким образом, зависимости x(i), y(f), z(i) по существу полно-
стью определяют движение точки. Зная их, можно найти не только по-
ложение точки, но и проекции ее скорости и ускорения, а следовательно,
модуль и направление векторов и и а в любой момент времени. На-
пример, модуль вектора скорости
» = №+1}2у+1}2г >
направление же вектора v задается направляющими косинусами по
формулам:
Vx a Vv Vz /оч
cosa = —; cosp = —; cosy = —, (8)
v v v
где a, р, у - углы между вектором и и осями х, у, г соответственно.
Аналогичными формулами определяются модуль и направление
вектора ускорения. Кроме того, можно решить и ряд других задач: найти
траекторию точки, зависимость пройденного ею пути от времени, зави-
симость скорости от положения точки и пр.
Решение обратной задачи - нахождение скорости и закона движе-
ния точки по заданному ускорению - проводится, как и в векторном спо-
собе, путем интегрирования (в данном случае проекций ускорения по
времени), причем задача и здесь имеет однозначное решение, если кроме
ускорения заданы еще и начальные условия: проекции скорости и коор-
динаты точки в начальный момент.
Естественный способ. Его применяют тогда, /
когда траектория точки известна заранее. Положе- -
ние точки А определяют дуговой координатой S j^^^A
- расстоянием вдоль траектории от выбранного ®
начала отсчета О (рис. 1.5). При этом произвольно О/£
устанавливают положительное направление отсчета РнС 1 5
координаты £.
Движение точки определено, если известны: ее траектория, начало
отсчета О, положительное направление отсчета дуговой координаты £
и закон движения точки, т.е. зависимость ^(t).
14
il.3. Скорость и ускорение материальной точки
Введем единичный вектор г , связанный с движущейся точкой А и
>авленный по касательной к траектории в сторону возрастания дуго-
координаты S (рис. 1.3). Очевидно, что х - переменный вектор: он
сит от S. Вектор скорости v точки А направлен по касательной к
траектории, поэтому его можно представить так:
и = vxi > (9)
где vT = d£/dt - проекция вектора и на направление вектора х , причем
и, - величина алгебраическая. Кроме того,
Ы=М=”-
Продифференцируем выражение (6) по времени:
du du, _ dx
а = — = —-х + и,—.
dt dt dt
Затем преобразуем последний член этого выражения:
dS'
(10)
dx dx dS 2 dx
U, — = u------= U, — — U
T dt T dS dt T d£
Определим приращение вектора x на
участке dS (рис. 1.6).
Можно строго показать, что при стрем-
лении точки В к точке А отрезок траектории
между ними стремится к дуге окружности с
центром в некоторой точке О. Эту точку на-
зывают центром кривизны траектории в дан-
ной точке, а радиус R соответствующей ок-
ружности - радиусом кривизны траектории в
той же точке.
(И)
dr
=J_
dS ~ R'
откуда
Как видно из рис. 1.6, угол da = 1—1 = 1—1,
R 1
причем при dS -> 0 dx 1 х. Введя единичный вектор п нормали к тра-
ектории в точке 1, направленной к центру кривизны, запишем последнее
равенство в векторном виде:
dx _ п
~dS~~R
Подставим (9) в (8) и тогда выражение (7):
_ dut _ и2 _
а = —-х +—п .
dt R
(12)
15
7
Здесь первое слагаемое называют тангенциальным ускорением Л
второе - нормальным ускорением аИ : /
dir _ _ и1 _ /
а =—-т, а=—п. I
т dt " R 1
Таким образом, полное ускорение а точки может быть представле-
но как сумма тангенциального и нормального ускорений.
Модуль полного ускорения точки
а = ^а2 + а2 = ^(6)2 ,
где v - производная модуля скорости по времени.
1.4. Вращение твердого тела
При вращении тела вокруг неподвижной оси его положение опреде-
ляется углом поворота d<p (рис. 1.7а, б). Кинематическое уравнение
вращательного движения:
<p = (p(t).
Угловая скорость
_ dip
со = —,
dt
где dcp^- псевдовектор (т.е. вектор, направление которого связано с на-
правлением вращения).
16
' В дальнейшем мы будем использовать общепринятую правовинто-
вую’| систему, т.е. при вращении тела против часовой стрелки вектор d<p
направлен вдоль оси вращения вверх (рис. 1.7а), а его величина равна
величине угла поворота dtp. R - радиус окружности произвольной точ-
ки А твердого тела, г - радиус-вектор этой точки, v - мгновенная ско-
dco d2co
рость точки, угловое ускорение fe = — = —т.
dt at
Связь между угловыми и линейными характеристиками: dS = 7tdq>,
где dS - дуга, описываемая точкой при повороте тела на угол dtp.
Кинематика материальной точки при движении по окружности
(рис. 1.76).
d(p = —; ld<pl = —. dr = d$xR = d$xr . S=—; 6=—.
r 1 1 R dt dt
_ _ s - - di> d d© й .. cLR
v = a>xR = a>xr ; — = —Ifflxfl 1= — хЯ + йх—.
dt dt' ' dt dt
aT = S x R, an = co x v .
Глава 2. ЗАКОНЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ /
2.1. Инерциальная система отсчета. I
Основные законы механики j
В кинематике, где речь идет лишь об описании движений и не за-
трагивается вопрос о причинах, вызывающих эти движения, никакой
принципиальной разницы между различными системами отсчета нет, и
все они в этом отношении равноправны. Совершенно иначе обстоит делб
в динамике при изучении законов движения. Здесь обнаруживается су-
щественное различие между разными системами отсчета и преимущества
одного класса систем отсчета по сравнению с другими.
В принципе можно взять любую из бесчисленного множества сис-
тем отсчета. Однако законы механики в разных системах отсчета имеют,
вообще говоря, различный вид и может оказаться, что в произвольной
системе отсчета законы, описывающие даже совсем простые явления,
будут весьма сложными. Естественно, возникает задача отыскания такой
системы отсчета, в которой законы механики были бы возможно более
простыми. Такая система отсчета, очевидно, наиболее удобна для описа-
ния механических явлений.
Для решения этой задачи рассмотрим ускорение материальной точ-
ки относительно некоторой произвольной системы отсчета. Какова при-
чина этого ускорения? Опыт показывает, что этой причиной могут быть
как действие на данную точку каких-то определенных тел, так и свойства
самой системы отсчета (действительно, относительно разных систем от-
счета ускорение в общем случае будет различным).
Можно, однако, предположить, что существует такая система отсче-
та, в которой ускорение материальной точки целиком обусловлено только
взаимодействием ее с другими телами. Свободная материальная точка, не
подверженная действию никаких других тел, движется относительно такой
системы отсчета прямолинейно и равномерно, или, как говорят, по инер-
ции. Такую систему отсчета называют инерциальной (И.С.О.).
Утверждение, что инерциальные системы отсчета существуют, со-
ставляет содержание первого закона механики - закона инерции Гали-
лея-Ньютона:
Существуют системы отсчета, относительно кото-
рых тела находятся в состоянии покоя или равномерно-
го поступательного движения, если действие всех тел
на это тело скомпенсировано.
Существование инерциальных систем отсчета подтверждается опы-
том. Первоначальными опытами было установлено, что такой системой
отсчета является Земля. Последующие более точные опыты (опыт Фуко
18
и все аналогичные ему) показали, что эта система отсчета не совсем
инерциальная, а именно: были обнаружены ускорения, существование
которых нельзя объяснить действием каких-либо определенных тел.
В то же время наблюдения над ускорениями планет показали инер-
ииальность гелиоцентрической системы отсчета, связанной с центром
Солнца и «неподвижными» звездами. В настоящее время инерциаль-
ность гелиоцентрической системы отсчета подтверждается всей сово-
купностью опытов.
Любая другая система отсчета, движущаяся равномерно и прямоли-
нейно относительно гелиоцентрической системы, является также инерци-
альной. Действительно, если в гелиоцентрической системе отсчета ускоре-
ние тела равно нулю, то оно равно нулю и в любой другой системе отсчета.
Таким образом, существует не одна, а бесконечное множество инер-
циальных систем отсчета, движущихся относительно друг друга прямо-
линейно и равномерно. Системы отсчета, движущиеся с ускорением от-
носительно инерциальных систем, называют неинерциальными.
Симметрия пространства и времени.
Важной особенностью инерциальных систем отсчета является то,
что по отношению к ним пространство и время обладают определенными
свойствами симметрии. А именно: опыт убеждает, что в этих системах
отсчета пространство однородно и изотропно, а время однородно.
Однородность и изотропность пространства заключаются в том, что
свойства пространства одинаковы в различных точках (однородность), а
в каждой точке одинаковы во всех направлениях (изотропность).
Однородность времени заключается в том, что протекание физиче-
ских явлений (в одних и тех же условиях) в разное время их наблюдения
одинаково. Иначе говоря, различные моменты времени эквивалентны
друг другу по своим физическим свойствам.
Заметим, что по отношению к неинерциальным системам отсчета
Пространство является неоднородным и неизотропным. Это значит, что
если какое-либо тело не взаимодействует ни с какими другими телами,
то тем не менее его различные положения в пространстве и его различ-
ные ориентации в механическом отношении не эквивалентны.
То же самое относится в общем случае и ко времени, которое будет
неоднородным (в неинерциальных системах), т.е. его различные момен-
ты не эквивалентны.
Ясно, что такие свойства пространства и времени вносили бы большие
усложнения в описание механических явлений. Так, например, тело, не под-
верженное действию со стороны других тел, не могло бы покоиться: если
его скорость в некоторый момент времени и равна нулю, то уже в следую-
щий момент тело начало бы двигаться в определенном направлении.
19
Принцип относительности Галилея. f
Для инерциальных систем отсчета справедлив принцип относитель-
ности, согласно которому все инерциальные системы по своим механи-
ческим свойствам эквивалентны друг другу. Это значит, что никакими
механическими опытами, проводимыми «внутри» данной инерцийяьной
системы, нельзя установить, покоится эта система отсчета или двдается.
Во всех инерциальных системах отсчета свойства пространства и време-
ни одинаковы, одинаковы также и все законы механики. ‘’
Данные утверждения составляют содержание принципа относитель-
ности Галилея - одного из важнейших принципов ньютоновской меха-
ники. Этот принцип является обобщением опыта и подтверждается всём
многообразием приложений ньютоновской механики к движению тела,
скорость которого значительно меньше скорости света.
Все сказанное достаточно ясно свидетельствует об исключительно-
сти свойств инерциальных систем отсчета, в силу которых именно эр!
системы должны, как правило, использоваться при изучении механиче-
ских явлений.
Преобразования Галилея.
Найдем формулы преобразования координат при переходе от одной
инерциальной системы отсчета
к
2
другой. Пусть инерциальная система
К' движется со скоростью v отно-
сительно другой инерциальной сис-
темы К . Выберем системы коорди-
нат х', у', z' К' -системы парал-
лельно соответствующим осям х,
у, г К -системы так, чтобы оси х'
и х совпадали между собой и были
направлены вдоль вектора v (рис.
2.1). Взяв за начало отсчета времени
момент, когда начала координат О'
и О совпадали, запишем соотноше-
ние между радиусами-векторами г' и г одной и той же точки А в К' -
и К -системах:
f' = f-Vt
(1)
и, кроме того,
t' = t. (2)
Здесь подразумевается, что длина отрезков и ход времени не зависят от
состояния движения и, следовательно, одинаковы в обеих системах отсчета.
20
Предположение об абсолютности пространства и времени лежит в самой
основе представлений ньютоновской механики, представлений, основан-
ных на обширном экспериментальном материале, относящемся к изуче-
нию движений со скоростями, значительно меньшими скорости света.
Соотношения (1) и (2) представляют собой так называемые преоб-
разования Галилея. В координатах эти преобразования имеют вид:
x' = x-Vt, у'—у, г' = г, t' = t. (3)
Продифференцировав (2.1) по времени, найдем классический закон
преобразования скорости точки при переходе от одной инерциальной
системы отсчета к другой:
v'-v-V. (4)
Дифференцируя это выражение по времени с учетом того, что
V = const, получаем а' = а , т.е. ускорение точки одинаково во всех
инерциальных системах отсчета.
Изучая на опыте различные движения, мы обнаруживаем, что в
инерциальных системах отсчета всякое ускорение тела вызывается дей-
ствием на него каких-либо других тел. При этом степень влияния (дейст-
вия) каждого из окружающих тел на состояние движения интересующего
нас тела А - это вопрос, на который в каждом конкретном случае может
дать ответ только опыт.
Влияние другого тела (или тел), вызывающее ускорение тела А,
называют силой. Итак, причиной ускорения тела является действующая
на него сила.
Одной из важнейших характеристик силы является ее материальное
происхождение. Говоря о силе, мы всегда неявно предполагаем, что в
отсутствие посторонних тел сила, действующая на интересующее нас
тело, равна нулю. Если же обнаруживается, что сила действует, мы ищем
ее источник в виде того или иного конкретного тела или других тел.
Все силы, с которыми имеет дело механика, обычно подразделяют
на силы, возникающие при непосредственном контакте тел (силы давле-
ния, трения), и силы, возникающие через посредство создаваемых взаи-
модействующими телами полей (силы гравитационные, электромагнит-
ные). Заметим, однако, что такое подразделение сил имеет условный ха-
рактер; в сущности и при непосредственном контакте силы взаимодейст-
вия обусловлены также наличием тех или иных полей, создаваемых мо-
лекулами или атомами тел. Таким образом, все силы взаимодействия
между телами обусловлены в конечном счете полями. Вопрос о природе
сил взаимодействия выходит за рамки механики и рассматривается в
других разделах физики.
21
Масса. Опыт показывает, что всякое тело «оказывает сопротивление»
при любых попытках изменить его скорость - как по модулю, так и по, на-
правлению. Это свойство, выражающее степень неподатливости тела к из-
менению его скорости, называют инертностью. У различных тел оно про-
является в разной степени. Мерой инертности служит величина, называемая
массой. Тело с большей массой является более инертным, и наоборот.
Введем понятие массы т, определив отношение масс двух различных
тел по обратному отношению ускорений, сообщаемых им равными силами:
mt а2
т2 а, '
Отметим, что такое определение не требует предварительного изме-
рения самих сил. Достаточно лишь располагать критерием равенства сил.
Например, если на два различных тела, лежащих на гладкой горизон-
тальной плоскости, последовательно подействовать одной и той же пру-
жиной, ориентировав ее горизонтально и растянув на одну и ту же длину,
то можно утверждать, что в обоих случаях влияние пружины на каждое
тело одинаково, другими словами, одинакова и сила.
Таким образом, сравнение масс двух тел, на которые действует одна и
та же сила, сводится к сравнению ускорений этих тел. Взяв некоторое тело
за эталон массы, мы имеем возможность сравнить массу любого тела с этим
эталоном. Единицей массы в СИ является, как известно, килограмм (кг).
Как показывает опыт, в рамках ньютоновской механики масса обла-
дает следующими двумя важнейшими свойствами:
масса - величина аддитивная, т.е. масса составного тела равна
сумме масс его частей;
масса системы тел, не обменивающейся веществом с окружением,-
величина постоянная, не изменяющаяся при его движении.
Сила. Вернемся к опыту по сравнению ускорений двух различных
тел под действием одинаково растянутой пружины. Тот факт, что в обо-
их случаях пружина была растянута одинаково, позволил нам высказать
утверждение, что силы со стороны пружины действуют одинаково.
С другой стороны, сила является причиной ускорения тела. Ускоре-
ния же различных тел под действием одной и той же одинаково растяну-
той пружины разные. Наша задача так определить Силу, чтобы, несмотря
на различие ускорений разных тел в рассматриваемом опыте, сила была
бы одной и той же.
Для этого прежде всего надо выяснить: что является одинаковым в
данных ответах? Ответ очевиден: произведение та. Эту величину и при-
няли за определение силы. Учитывая, что ускорение - вектор, будем считать
и силу вектором, совпадающим по направлению с вектором ускорения а..
22
Итак, в ньютоновой механике сила, действующая на тело массой т,
определяется как произведение та.
Оправданием именно такого определения силы, кроме соображений
наибольшей простоты и удобства, послужила дальнейшая проверка всех
вытекающих из него следствий.
. 2.2. Второй и третий законы Ньютона
Изучая на опыте взаимодействия различных материальных точек с
окружающими телами, мы обнаруживаем, что произведение та зависит
от величин, характеризующих как состояние самой материальной точки,
так и состояние окружающих тел. Это является весьма существенным
физическим фактом, лежащим в основе одного из наиболее фундамен-
тальных обобщений ньютоновской механики: произведение массы мате-
риальной точки на ее ускорение является функцией положения этой точ-
ки относительно окружающих тел, а иногда также и функцией ее скоро-
сти. Эту функцию обозначают F и называют силой. Именно в этом и
состоит фактическое содержание второго закона Ньютона:
Ускорение, приобретаемое материальной точкой (те-
лом) в инерциальной системе отсчета, пропорционально
действующей на точку силе, обратно пропорционально
массе материальной точки и по направлению совпадает
с силой:
Это уравнение называют уравнением движения материальной точки.
Сразу же подчеркиваем, что второй закон Ньютона и уравнение (5)
получают конкретное содержание только после того, как установлен вид
функции F - зависимость от определяющих ее величин, или, как говорят,
закон силы. Установление вида этой зависимости в каждом конкретном
случае является одной из основных задач физической механики.
Единицей силы в СИ является ньютон (Н). Ньютон - это сила, кото-
рая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1м/с2.
На всякую материальную точку в данных конкретных условиях дей-
ствует, строго говоря, всего только одна сила F, модуль и направление
которой определяются расположением этой точки относительно всех
окружающих тел, а иногда также и ее скоростью. И тем не менее, часто
бывает удобно эту силу F представлять как суммарный результат дей-
ствия отдельных тел или сил Ft, F2 ... Опыт показывает, что если тела,
23
являющиеся источниками сил, не влияют друг на друга и поэтому Не ме-
няют своего состояния от присутствия других тел, то сила
F = F}+F2+... Ft, ''
где Ft - сила, с которой действовало бы на данную материальную точку
i -е тело в отсутствие других тел.
Если это так, то говорят, что силы F... подчиняются принципу
суперпозиции. Такое утверждение надо рассматривать как обобщение
опытных фактов.
Во всех случаях, когда в опыте участвуют только два тела А и В,
тело А сообщает ускорение телу В, то обнаруживается, что и тело В
сообщает ускорение телу А. Отсюда следует, что действие тел друг на
друга имеет характер взаимодействия.
Общее свойство всех сил взаимодействия отражает третий закон
Ньютона:
В инерциальной системе отсчета силы, с которыми две
материальные точки действуют друг на друга, всегда
равны по модулю и направлены в противоположные
стороны вдаль прямой, соединяющей эти точки:
. (6)
Это значит, что силы взаимодействия всегда появляются парами.
Обе силы приложены к разным материальным точкам и, кроме того, яв-
ляются силами одной природы.
Закон (6) распространяется на системы из произвольного числа ма-
териальных точек. Мы исходим из представления, что и в этом случае
взаимодействие сводится к силам попарного взаимодействия между ма-
териальными точками.
Законы Ньютона являются основными законами механики. Они по-
зволяют решить любую механическую задачу; кроме того, из них могут
быть выведены и все остальные законы механики.
В соответствии с принципом относительности Галилея законы ме-
ханики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Это значит, в
частности, что уравнение (5) будет иметь один и тот же вид в любой
инерциальной системе отсчета.
Действительно, масса т материальной точки, как таковой, не зави-
сит от скорости, т.е. одинакова во всех системах отсчета. Кроме того, для
инерциальных систем отсчета одинаковым является и ускорение а точки.
Сила F тоже не зависит от выбора системы отсчета, поскольку она оп-
ределяется только взаимным расположением и скоростью материальной
24
точки относительно окружающих тел, а эти величины, согласно нереля-
тивистской кинематике, в разных инерциальных системах отсчета оди-
наковы.
Таким образом, все три величины, т, а и F, входящие в уравне-
ние (5), не меняются при переходе от одной инерциальной системы от-
счета к другой, а следовательно, не меняется и само уравнение (5). Дру-
гими словами, уравнение та = F инвариантно относительно преобразо-
ваний Галилея.
Чтобы свести нахождение закона движения частицы к чисто мате-
матической задаче, необходимо прежде всего (в соответствии с уравне-
нием та = F) знать действующую на частицу силу, т.е. зависимость
силы от определяющих ее величин. Каждая такая зависимость получена
в конечном счете на основании обработки результатов опыта и по суще-
ству всегда опирается на уравнение та = F , как на определение силы.
Наиболее фундаментальные силы, лежащие в основе всех механиче-
ских явлений, - это силы гравитационные и электрические. Приведем выра-
жения для этих сил в самом простом виде, когда взаимодействующие массы
(заряды) покоятся или движутся с малой (нерелятивистской) скоростью.
Сила гравитационного притяжения, действующая между двумя
материальными точками, в соответствии с законом всемирного тяготения
пропорциональна произведению масс точек тп, и т2, обратно пропор-
циональна квадрату расстояния г между ними и направлена по прямой,
соединяющей эти точки:
F = (7)
г
где G - гравитационная постоянная.
Фигурирующие в этом законе массы называют гравитационными в
отличие от инертной массы, входящей во второй закон Ньютона. Опы-
том, однако, установлено, что гравитационная и инертная массы любого
тела строго пропорциональны друг другу, поэтому можно считать их
равновесными (т.е. выбрать один и тот же эталон для измерения обеих
масс) и говорить просто о массе, которая выступает как мера инертности
тела или как мера гравитационного действия.
Кулоновская сила, действующая между двумя неподвижными то-
чечными зарядами и в вакууме, определяется по закону Кулона:
7? = /гк1^1, (8)
г
где г - расстояние между зарядами, k - коэффициент пропорциональ-
ности, зависящий от выбора системы единиц.
25
В отличие от гравитационной силы кулоновская сила может быть
как силой притяжения, так и силой отталкивания.
Заметим, что закон Кулона перестает выполняться точно, если заря-
ды движутся. Взаимодействие движущихся зарядов оказывается более
сложным. Одну из частей этого взаимодействия, обусловленную движе-
нием, называют магнитной силой (отсюда и другое название данного
взаимодействия - электромагнитное). При малых (нерелятивистских)
скоростях магнитная сила составляет пренебрежимо малую часть элек-
трического взаимодействия и она с высокой степенью точности описы-
вается законом Кулона.
Несмотря на то, что гравитационные и электромагнитные взаимодей-
ствия лежат в основе всего бесчисленного многообразия механических
явлений, анализ явлений, особенно макроскопических, оказался бы весьма
сложным, если бы во всех случаях мы исходили из этих фундаментальных
взаимодействий. Поэтому удобно ввести другие силы, приближенно опи-
сывающие взаимодействие реальных макроскопических тел.
Однородная сила тяжести:
F -mg, (9)
где т - масса тела, g - ускорение свободного падения.
Силу тяжести можно считать постоянной, если размеры области, в
которой движется тело, намного меньше радиуса Земли.
Упругая сила - сила, пропорциональная смещению материальной
точки из положения равновесия и направленная к положению равновесия:
F = -kf , (10)
где г - радиус-вектор, характеризующий смещение частицы из положе-
ния равновесия, k - положительный коэффициент, зависящий от «упру-
гих» свойств той или иной конкретной силы.
Примером такой силы является сила упругой деформации при рас-
тяжении (сжатии) пружины или стержня; в соответствии с законом Гука
эта сила определяется как F = k.\(, где М - величина упругой дефор-
мации. Сила упругости пропорциональна деформации тела, если дефор-
мации не слишком велики.
Сила трения скольжения, возникающая при скольжении данного
тела по поверхности другого тела:
F = (11)
где ц - коэффициент трения скольжения, зависящий от природы и со-
стояния соприкасающихся поверхностей (в частности, от их шероховато-
сти), N - сила нормального давления, прижимающая трущиеся поверх-
ности друг к другу.
26
Сила F направлена в сторону, противоположную направлению
движения данного тела относительно другого.
Сила сопротивления, действующая на тело при его поступатель-
ном движении в газе или жидкости. Эта сила зависит от скорости v тела
относительно среды, причем направлена противоположно вектору и ;
F--kv, (12)
где k - положительный коэффициент, характерный для данного тела и
данной среды. Этот коэффициент зависит, вообще говоря, от скорости v,
однако при малых скоростях во многих случаях его можно практически
считать постоянным.
Сила Архимеда (выталкивающая сила) - действующая на тело,
помещенное в неподвижную жидкость или газ, численно равная весу
жидкости или газа, вытесненного этим телом; эта сила приложена в точ-
ке, где находился центр масс вытесненной телом жидкости (газа) и на-
правлена вертикально вверх:
FA=-mJ; (13)
если жидкость однородна, то
где р - плотность жидкости, V - объем погруженной в жидкости части тела.
Сила, действующая на электрический заряд, помещенный в
электрическое поле с напряженностью Ё :
F = qE .
Сила, действующая на прямой проводник с током в однородном
магнитном поле (закон Ампера):
F = I£Bsma,
где I - сила тока в проводнике, £ - длина
проводника, В - индукция магнитного поля,
а - угол между направлением тока в провод-
нике и силовой линией индукции магнитного
поля. Направление силы Ампера определяет-
ся правилок; левой руки (рис. 2.2).
Сила Лоренца - сила, действующая на заряженную частицу, кото-
рая движется в магнитном поле:
= quBsina,
где q - электрический заряд частицы, v - скорость частицы, a - угол
между направлением вектора скорости и и силовой линией индукции
магнитного поля В.
27
Сила, действующая на движущийся со скоростью v заряд q, если на
него действуют электрическое поле Ё и магнитное поле с индукцией В:
.F = дЁ + .
Сила взаимодействия прямых бесконечно длинных проводников с
током:
р _
2лг
где цо=4л-1О~7 Ai/i - магнитная постоянная, ц - магнитная прони-
цаемость среды, /, и 12 - силы тока в проводниках, г - расстояние ме-
жду проводниками, £ - длина взаимодействующих проводников.
Основное уравнение динамики.
Основное уравнение динамики материальной точки представляет со-
бой не что иное, как математическое выражение второго закона Ньютона:
= (14)
аг
Уравнение (14) есть, по существу, дифференциальное уравнение
движения точки в векторном виде. Его решение - основная задача дина-
мики материальной точки. При этом возможны две противоположные
постановки задачи.
1. Найти действующую на точку силу F, если известны масса т
точки и зависимость от времени ее радиус-вектора r(t).
2. Найти закон движения точки, т.е. зависимость от времени ее радиу-
са-вектора r(t), если известны масса т точки, действующая на нее сила F
(или силы 2^ ) и начальные условия: скорость и0 и положение г0 точки в
начальный момент времени.
В первом случае задача сводится к дифференцированию r(t) по
времени, во втором - к интегрированию уравнения (14).
В зависимости от характера и постановки конкретной задачи реше-
ние уравнения (14) проводят или в векторной форме, или в координатах,
или в проекциях на касательную и нормаль к траектории в данной точке.
Выясним, как записывают уравнение (14) в последних двух случаях.
В проекциях на оси декартовых координат. Записывая обе части
уравнения (14) в проекциях на оси х , у, г, получим три дифференци-
альных уравнения вида
du, „ du „ du,
т—- = F,, т—- = F„, т—- = F,, (15)
dt dt ’ dt 2 v ’
где Fx, Fy, F, - проекции вектора F на оси x, у, г .
28
Необходимо напомнить, что эти проекции - величины алгебраиче-
ские: в зависимости от ориентации вектора F они могут быть как поло-
жительными, так и отрицательными. Знак проекции результирующей
силы F определяет и знак проекции вектора ускорения.
В проекциях на касательную и нормаль к
траектории в данной точке. Записывая обе части
уравнения (14) в проекциях на подвижные орты т
и п (рис. 2.3) и используя полученные ранее вы-
ражения для тангенциального и нормального уско-
„ , dut v2 .
рений (а, =—, ап =—п), получим
dt р
n№- = F,, m— = Fn, (16)
at р
где и Fn - проекции вектора F на орты т и п. На рис. 2.3 обе про-
екции положительные. Векторы F, и Fn называют тангенциальной и
нормальной составляющими силы F.
Напомним, что направление орта т выбирают в сторону возраста-
ния дуговой координаты £, а направление орта п - к центру кривизны
траектории в данной точке.
Уравнениями (16) удобно пользоваться, если заранее известна тра-
ектория движения материальной точки.
2.3. Центр масс, //-система
В любой системе частиц имеется одна замечательная точка С , на-
зываемая центром масс, которая обладает рядом интересных и важных
свойств. Ее положение относительно начала О данной системы отсчета
характеризуется радиусом-вектором гс:
т
где mt и rt - масса й радиус-вектор i -й частицы,
т - масса всей системы (рис. 2.4).
Следует заметить, что центр масс системы
совпадает с ее центром тяжести. Впрочем, это ут-
верждение справедливо лишь в том случае, когда
поле сил тяжести в пределах данной системы мож-
но считать однородным.
29
Теперь найдем скорость ис центра масс системы. Продифференци-
ровав (17) по времени, получим
vc=—^mA- О8)
т
Если скорость центра масс равна нулю, то говорят, что система, как
целое, покоится. Это вполне естественное обобщение понятия покоя от-
дельной материальной точки. Скорость же vc приобретает смысл скоро-
сти движения всей системы как целого.
Из последней формулы с учетом р = ^Д следует, что
р = /пбс, (19)
т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее
центра масс.
Уравнение движения центра масс.
Понятие центра масс позволяет придать уравнению (19) иную фор-
му, которая часто бывает более удобной. Для этого достаточно выраже-
ние (19) подставить в dp/dt = Гвнеш и учесть, что масса системы как та-
ковой есть величина постоянная. Тогда получим
= *L.> (20)
где К,— - результирующая всех внешних сил, действующих на систему.
Это и есть уравнение движения центра масс системы - одно из важ-
нейших уравнений механики. Согласно этому уравнению, центр масс
любой системы частиц движется так, как если бы вся масса системы бы-
ла сосредоточена в этой точке и к ней были бы приложены все внешние
силы. При этом ускорение центра масс совершенно не зависит от точек
приложения внешних сил.
Далее, из уравнения (20) следует, что если К._«0. то duc/dt = 0,
а значит, vc = const. Таков, в частности, случай замкнутой системы (в
инерциальной системе отсчета). Кроме того, если vc = const, то, соглас-
но (20), и импульс системы р = const.
Таким образом, если центр масс системы движется равномерно и
прямолинейно, то это означает, что ее импульс сохраняется в процессе
движения. Разумеется, справедливо и обратное утверждение.
Уравнение (20) по форме совпадает с основным уравнением динамики
материальной точки и является его естественным обобщением для системы
частиц: ускорение системы, как целого, пропорционально результирующей
всех внешних сил и обратно пропорционально суммарной массе системы.
Глава 3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
3.1. Общие сведения
Любое тело (или совокупность тел) представляет собой, по сущест-
ву, систему материальных точек, или частиц. Если система с течением
времени изменяется, то говорят, что изменяется ее состояние. Состояние
системы характеризуется одновременным заданием положений (коорди-
нат) и скоростей всех ее частиц.
Зная законы действующих на частицы системы сил и состояние сис-
темы в некоторый начальный момент времени, можно, как показывает
опыт, с помощью уравнений движения предсказать ее дальнейшее пове-
дение, т.е. найти состояние системы в любой момент времени. Так, на-
пример, решается задача о движении планет Солнечной системы.
Однако детальное рассмотрение поведения системы с помощью
уравнений движения часто бывает настолько затруднительно (например,
из-за сложности самой системы), что довести решение до конца пред-
ставляется практически невозможным. А в тех случаях, когда законы
действующих сил вообще неизвестны, такой подход оказывается в прин-
ципе неосуществимым. Кроме того, существует ряд задач, в которых
детальное рассмотрение движения отдельных частиц просто не имеет
смысла (например, описание движения отдельных молекул газа).
Естественно возникает вопрос: нет ли каких-либо общих принци-
пов, являющихся следствием законов Ньютона, которые позволили бы
иначе подойти к решению задачи и помогли бы в какой-то степени обой-
ти подобные трудности?
Оказывается, такие принципы есть. Это так называемые законы
сохранения.
Как уже было сказано, при движении системы ее состояние изменя-
ется со временем. Существуют, однако, такие величины, которые обла-
дают весьма важным и замечательным свойством сохраняться во време-
ни. Среди этих сохраняющихся величин наиболее важную роль играют:
энергия, импульс и момент импульса.
Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса относят-
ся к числу тех фундаментальных принципов физики, значение которых
трудно переоценить. Роль этих законов особенно возросла после того,
как выяснилось, что они далеко выходят за рамки механики и представ-
ляют собой универсальные законы природы. Во всяком случае, до сих
пор не обнаружено ни одного явления, где бы эти законы нарушались.
Они безошибочно «действуют» и в области элементарных частиц, и в
области космических объектов, и в физике атома, и физике твердого тела
и являются одними из тех немногих наиболее общих законов, которые
лежат в основе современной физики.
31
Открыв возможность иного подхода к рассмотрению различных ме-
ханических явлений, законы сохранения являются весьма мощным и эф-
фективным инструментом исследования, которым повседневно пользу-
ются физики. Это обусловлено тем, что законы сохранения:
не зависят ни от траекторий частиц, ни от характера действующих
сил, поэтому они позволяют получить ряд весьма общих и существенных
заключений о свойствах различных механических процессов, не вникая в
их детальное рассмотрение с помощью уравнений движения. Если, на-
пример, выясняется, что такой-то процесс противоречит законам сохра-
нения, то сразу можно утверждать: этот процесс невозможен, и бессмыс-
ленно пытаться его осуществить;
не зависят от характера действующих сил, позволяют использовать
их даже тогда, когда силы вообще неизвестны. В этих случаях законы со-
хранения являются единственным и незаменимым инструментом исследо-
вания (так, например, обстоит дело в физике элементарных частиц);
могут оказать существенную помощь при решении многих задач о
движении частиц, даже в тех случаях, когда силы в точности известны,
хотя все эти задачи могут быть решены с помощью уравнений движения
(в этом отношении из законов сохранения сил не получим никакой до-
полнительной информации), привлечение законов сохранения очень час-
то позволяет получить решение наиболее простым и изящным путем,
избавляя нас от громоздких и утомительных расчетов. Поэтому при ре-
шении новых задач обычно принято придерживаться следующего поряд-
ка: прежде всего один за другим применяют соответствующие законы
сохранения и, только убедившись, что этого недостаточно, переходят
затем к решению с помощью уравнения движения.
3.2. Закон сохранения импульса системы
Импульс частицы. По определению импульс частицы
p = mv,
где т и и - ее масса и скорость.
Воспользовавшись понятием импульса, запишем основное уравне-
ние динамики в иной форме:
(1)
dt
т.е. производная импульса материальной точки по времени равна дейст-
вующей на нее силе. В частности, если F = 0, то р = const.
Заметим, что в неинерциальной системе отсчета сила F в выраже-
нии (1) включает в себя не только силы взаимодействия данной частицы
с другими телами, но и силы инерции.
32
Уравнение (1) позволяет найти приращение импульса частицы за
любой промежуток времени, если известна зависимость силы F от вре-
мени. Действительно, элементарное приращение импульса частицы за
промежуток времени dt есть dp = Fdt. Проинтегрировав это выражение
по времени, найдем приращение импульса частицы за конечный проме-
жуток времени t:
t
Pi "А = pdf. (2)
о -
Величину, стоящую в правой части этого уравнения, называют
импульсом силы. Таким образом, приращение импульса частицы за лю-
бой промежуток времени зависит не только от значения силы, но и от
продолжительности ее действий, или, другими словами, равно импульсу
силы за это время. В частности, если F = const, то вектор F можно
вынести из-под интеграла и тогда р2 - Д = Ft.
Импульс системы. Рассмотрим произвольную систему частиц. В
общем случае частицы этой системы могут взаимодействовать как между
собой, так и с телами, не входящими в данную систему. В соответствии с
этим силы взаимодействия между частицами системы называют внут-
ренними, а силы, обусловленные действием других тел, не входящих в
данную систему, - внешними. Ясно, что такое разделение сил условно -
оно целиком зависит от выбора интересующей нас системы частиц. За-
метим также, что в неинерциальных системах отсчета к внешним силам
относятся и силы инерции.
Теперь введем понятие импульса системы как векторной суммы им-
пульсов ее отдельных частиц, т.е.
Р = (3)
где Д - импульс i -ой частицы.
Заметим, что импульс системы - величина аддитивная, т.е. импульс
системы равен сумме импульсов ее отдельных частей независимо от то-
го, взаимодействуют они между собой или нет.
Найдем физическую величину, которая определяет изменение импуль-
са системы. Для этого продифференцируем выражение (3) по времени:
dp __ v"1 dp-
dt”'^ dT
Известно, что
33
где Fjk - силы, действующие на i -ую частицу со стороны других частиц
системы (внутренние силы); Ft - сила, действующая на эту же частицу
со стороны других тел, не входящих в рассматриваемую систему (внеш-
няя сила).
Подставив последнее выражение в предыдущее, получим
Двойная сумма справа - это сумма всех внутренних сил. В соответ-
ствии с третьим законом Ньютона силы взаимодействия между частица-
ми системы попарно одинаковы по модулю и противоположны по на-
правлению. Поэтому результирующая сила в каждой паре взаимодейст-
вия равна нулю, а значит, равна нулю и векторная сумма всех внутрен-
них сил. В результате последнее уравнение принимает вид:
— = F (4)
dt °неш
где ГВ11еш - результирующая всех внешних сил, т.е. Гвнеш = •
Уравнение (4) означает: производная импульса системы по времени
равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на частицы сис-
темы.
Как и в случае с одной частицей, из уравнения (4) следует, что при-
ращение импульса системы за конечный промежуток времени t
А-А=Лнеш^> (5)
т.е. приращение импульса системы равно импульсу результирующей
всех внешних сил за соответствующий промежуток времени. И здесь,
конечно, F - результирующая всех внешних сил.
Уравнения (4) и (5) справедливы как в инерциальной, так и в не-
инерциальной системах отсчета. Следует только иметь ввиду, что в не-
инерциальной системе отсчета необходимо учитывать и действие сил
инерции, играющих роль внешних сил, т.е. под /внеш в этих уравнениях
надо понимать сумму Рю + Гин, где FB3 - результирующая всех внешних
сил взаимодействия, FHH - результирующая всех сил инерции.
Замкнутая (изолированная) система. Так называют систему час-
тиц, на которую не действуют никакие посторонние тела (или их взаимо-
действие пренебрежимо мало). Другими словами, система замкнута, если
внешние силы отсутствуют. Очевидно, что понятие замкнутой системы
34
I
имеет смысл только по отношению к инерциальной системе отсчета, по-
скольку в неинерциальных системах отсчета всегда действуют силы
инерции, играющие роль внешних сил.
Понятие замкнутой системы является естественным обобщением
понятия изолированной материальной точки и играет весьма важную
роль в физике.
Согласно уравнению (4) импульс системы может изменяться под
действием только внешних сил. Внутренние силы не могут изменить им-
пульс системы. Отсюда непосредственно вытекает закон сохранения
импульса:
Импульс замкнутой системы частиц остается посто-
янным, т.е. не меняется со временем:
P = %Pi(t) = const. (6)
При этом импульс отдельных частиц или частей замкнутой системы
может меняться со временем, что и подчеркнуто в последнем выраже-
нии. Однако эти изменения всегда происходят так, что приращение им-
пульса одной части системы равно убыли импульса оставшейся части
системы. Другими словами, отдельные части системы могут только об-
мениваться импульсами. Обнаружив в некоторой системе приращение
импульса, можно утверждать, что это приращение произошло за счет
убыли импульса в окружающих телах.
В этом смысле уравнения (4) и (5) следует рассматривать как более
общую формулировку закона сохранения импудьса, в которой указана
причина изменения импульса незамкнутой системы: действие других тел
(внешних сил). Это справедливо только по отношению к инерциальным
системам отсчета.
Импульс может сохраняться и у незамкнутой системы при условии,
что результирующая всех внешних сил равна нулю. Это вытекает из
уравнений (4) и (5). В практическом отношении сохранение импульса в
этих случаях представляет особый интерес, ибо дает возможность полу-
чать достаточно простым путем ряд сведений о поведении системы, не
вникая в детальное рассмотрение процесса.
У незамкнутой системы может сохраняться не сам импульс р, а
его проекция рх на некоторое направление х. Это бывает тогда, когда
проекция результирующей внешней силы FBHem на направление х равна
нулю, т.е. вектор Гвнеш перпендикулярен ему. В этом случае уравнение
(4) принимает вид
= F (7)
я внеш V/
35
Если FXBHem = 0, то рх = const. Например, при движении системы в
одном поле сил тяжести сохраняется проекция ее импульса, на любое
горизонтальное направление, что бы в системе ни происходило.
Подчеркнем еще раз: закон сохранения импульса выполняется
только в инерциальных системах. Это не исключает случаев, когда им-
пульс системы сохранялся бы и в неинерциальных системах отсчета,. Для
этого достаточно, чтобы в уравнении (4), справедливом и для неинерци-
альных систем отсчета, внешняя сила Fm была равна нулю. Ясно, что
такое положение может осуществляться лишь при специальных услови-
ях. Соответствующие случаи довольно редки и имеют частный характер.
Теперь покажем, что если импульс системы сохраняется в одной
инерциальной К -системе отсчета, то он сохраняется и в любой другой
инерциальной К'-системе.
Пусть в К -системе
= const.
Если К' -система движется относительно К -системы со скоростью у,
то скорость i -ой частицы в К -системе можно представить как ц = ц' + v,
где и- - скорость этой частицы в К' -системе. Тогда импульс системы
тр’ + ту = const.
Вторая сумма в этом равенстве не зависит от времени. А это значит,
что и первая сумма - импульс системы в К' -системе отсчета - тож§ не
зависит от времени, т.е.
^тр- = const.
Полученный результат полностью соответствует принципу относи-
тельности Галилея, согласно которому законы механики одинаковы во
всех инерциальных системах отсчета.
3.3. Закон сохранения энергии
Работа. f
Пусть частица под действием силы F со- / \
вершает перемещение по некоторой траектории
1-2 (рис. 3.1). В общем случае сила F в про- Жа,__________
цессе движения частицы может измениться как F
по модулю, так и по направлению.
Рассмотрим элементарное перемещение dr, ^ис‘ '
в пределах которого силу F можно считать постоянной.
36
Действие силы F на перемещение dr характеризуют величиной,
равной скалярному произведению Fdr , которую называют элементар-
ной работой силы F на перемещении dr. Ее можно представить и в
другом виде:
Fdr = F- cos a-dS = FsdS,
где а - угол между векторами F и dr, dS = |dr| - элементарный путь,
Fs - проекция вектора F на вектор dr. Итак, элементарная работа силы
F на перемещении dr
8A = Fdr = FsdS. (8)
Величина ЗА - алгебраическая: в зависимости от угла между векторами
F и dr (или от знака проекции Fs вектора F на вектор dr) она может
быть как положительной, так и отрицательной и, в частности, равной
нулю (если F1 dr, т.е. Fs = 0).
Суммируя (интегрируя) выражение (8) по всем элементарным участ-
кам пути от точки 1 до точки 2, находим работу силы F на данном пути:
2 2
А= j>dr= j>sdS.
। । ч
Отметим следующее важное обстоятельство: формула (9) справед-
лива не только для частицы, но и вообще для любого тела (или системы
тел). Надо только иметь в виду, что под dr (или. dS) следует понимать
перемещение точки приложения силы F. Игнорирование этого обстоя-
тельства зачастую приводит к ошибочным результатам.
(9)
Выражение (9) можно представить
графически (рис. 3.2), где Fs изображена
как функция положения частицы на тра-
ектории. Из рисунка видно, что элемен-
тарная работа ЗА численно равна пло-
щади заштрихованной полосы, а работа
А на пути от точки 1 до точки 2 - пло-
щади фигуры, ограниченной кривой,
ординатами 1 и 2 и осью S. При этом
площадь фигуры над осью S берется со
знаком плюс (она соответствует положительной работе), а площадь фи-
гуры под осью S - со знаком минус (она соответствует отрицательной
работе).
37
Рассмотрим несколько примеров вычисления работы.
Работа упругой силы F = -kr , где г - радиус-
2 вектор частицы М относительно точки О (рис. 3.3).
1 ^"7* Переместим частицу М , на которую действует
\ г / эта сила, по произвольному пути из точки 1 в точку 2.
- \ Найдем сначала элементарную работу силы F на
1 \ JF/ 2 элементарном перемещении dr :
V ЗА = Fdr = -ferdr. (10)
Рис. 3.3 Скалярное произведение rdr = r(dr)j , где (dr)r
- проекция dr на вектор г . Эта проекция равна dr - приращению мо-
дуля вектора г . Поэтому rdr = rdr и
[ hr1 'l
8A = -&rdr = -d--- . (И)
I 2 J
Теперь вычислим работу данной силы на всем пути, т.е. проинтег-
рируем последнее выражение от точки 1 до точки 2:
А = - d ---- =—1-------- .
Г I 2 J 2 2
Работа однородной силы тяжести F = mg . Запишем это выраже-
ние в векторной форме:
F = -mgk,
где k - орт вертикальной оси г, положи-
тельное направление которой выбрано
вверх (рис. 3.4).
Элементарная работа силы тяжести на
перемещении dr
ЗА = Fdr = -mgkdr .
Скалярное произведение fedr = (dr)4, где (dr)6 - проекция dr на
орт k , равная dz - приращению координаты z . Поэтому kdr = dz и
ЗА = -mgdz = -d (mgz).
Работа же данной силы на всем пути от точки 1 до точки 2
2
А = - Jd(zngz) = zng(z,-z2). (12)
I
38
Рассмотренные силы интересны в том отношении, что их работа не
зависит от вида траектории между точками 1 и 2, а зависит только
от положения этих точек.
Это весьма важная особенность данных сил присуща, однако, не
всем силам. Например, сила трения этим свойством не обладает: работа
этой силы зависит не только от положения конечной и начальной точек,
но и от вида траектории между ними.
До сих пор речь шла о работе одной силы. Если же на частицу в
процессе движения действуют несколько сил, результирующая которых
F = + F2 +F3 +..., то нетрудно показать, что работа результирующей
силы на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ,
совершаемых каждой из сил в отдельности на том же перемещении, т.е.
А = + F2 + ...jdr = pjdr + jF2df+ ... = Д + A2 + ...
Единицей работы СИ является джоуль (Дж). Джоуль - это работа
силы в 1 Н на пути в 1 м (при условии, что направление силы совпадает с
направлением перемещения), или 1 Дж = 1 Нм.
Мощность.
Для характеристики скорости, с которой совершается работа, вводят
величину, называемую мощностью.
Мощность, по определению, - это работа, совершаемая силой за
единицу времени. Если за промежуток времени dt сила F совершает
работу Fdr , то мощность, развиваемая этой силой в данный момент
xr Fdr dr _
времени, N = —. Учитывая, что — = v, получим N = Fv .
Таким образом, мощность, развиваемая силой F, равна скалярному
произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точ-
ка приложения данной силы. Как и работа, мощность - величина алгеб-
раическая.
Зная мощность силы F, можно найти и работу, которую совершает
эта сила за промежуток времени t. В самом деле, преобразуя выражение
2
А = jFdr в виде Fdr = Fvit = Ndt, получим
i
2
A=$Ndt. (13)
i
Единицей мощности в СИ является ватт (Вт), равный джоулю на се-
кунду (Дж/с).
39
В заключение обратим внимание на одно весьма существенное об-
стоятельство. Когда говорят о работе (или мощности), то необходимо в
каждом случае четко указывать или представлять себе, работа какой
именно силы (или сил) имеется в виду. В противном случае, как правило,
неизбежны недоразумения.
3.4. Закон сохранения механической энергии
Потенциальная энергия.
Если в каждой точке пространства на помещенную туда частицу
действует сила, то говорят, что частица находится в поле сил. Так, на-
пример, частица может находиться в поле сил тяжести, в поле упругих
сил, в Поле сил сопротивления (в потоке жидкости, газа и т.д.).
Поле, остающееся постоянным во времени, называют стационар-
ным. Стационарное поле в одной системе отсчета может оказаться не-
стационарным в другой. В стационарном силовом поле сила, действую-
щая на частицу, зависит только от ее положения.
Работа, которую совершают силы поля при перемещении частицы
из одной точки в другую, зависит от пути между этими точками. Вместе
с тем, имеются стационарные силовые поля, в которых работа, совер-
шаемая над частицей силами поля, не зависит от пройденного пути. Си-
лы, обладающие таким свойством, называются консервативными.
Все силы, не являющиеся консервативными, называются неконсер-
вативными. К числу неконсервативных сил относятся, например, силы
трения и сопротивления. Работа этих сил зависит от пути между началь-
ным и конечным положениями частицы (и не равна нулю на замкнутом
пути).
Потенциальной энергией называют часть энергии механической
системы, зависящую от ее конфигурации, т.е. от взаимного расположе-
ния частиц системы и их положения во внешнем силовом поле. В качест-
ве примера можно привести энергию поднятого над землей тела, энер-
гию сжатой пружины. И поднятое тело, и сжатая пружина могут произ-
вести работу.
При падении тела массой т, поднятого на высоту h, сила тяжести
совершает работу, величина которой зависит от начального и конечного
положений тела, т.е. высоты h, и равна mgh. Следовательно, тело,
поднятое на некоторую высоту, обладает потенциальной энергией, рав-
ной той работе, которую совершает сила тяжести, когда тело достигает
конечного положения:
u = mgh. (14)
40
Потенциальной энергией кроме тел, поднятых над землей, обладают
упругие тела, подвергшиеся деформации (упругой деформации). Так, на-
kx^
пример, выше мы подсчитали работу упругих сил (А ------^-). Упру-
гая пружина, растянутая на длину х, обладает потенциальной энергией
Из формул (14) и (15) следует, что работа силы тяжести и упругих
сил не зависит от пути, а зависит от начального и конечного положений
тела; следовательно, сила тяжести и упругая сила - потенциальные или
консервативные. Работа потенциальных сил равна убыли потенциальной
энергии системы, т.е.
dA = -du.
Кинетическая энергия.
Пусть частица массой т движется под действием некоторой силы F
(в общем случае сила F может быть результирующей нескольких сил).
Найдем элементарную работу, которую совершает' эта сила F.
F = и dr = vdt, SA = Fdr = mvdv .
dt
Скалярное произведение udu = u(du)r, где (du)f - проекция векто-
ра du на направление вектора и. Эта проекция равна du - приращению
модуля вектора скорости. Поэтому udu = udu и элементарная работа
ЗА = mvdv = d| |.
I V2 J
Отсюда видно, что работа результирующей силы F идет на прира-
щение некоторой величины (выражение в скобках), которую называют
кинетической энергией:
Т .
2
Таким образом, приращение кинетической энергии частицы при
элементарном перемещении
dT = 3A, (16)
а при конечном перемещении из точки 1 в точку 2
Т2-Т,=412> (17)
т.е. приращение кинетической энергии частицы на некотором перемеще-
нии равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на частицу
41
на том же перемещении. Если А|2 > 0, то 72 > '1], т.е. кинетическая энер-
гия частицы увеличивается; если же А|2<0, то кинетическая энергия
уменьшается.
Уравнения (16) и (17) справедливы в инерциальных и неинерциаль-
ных системах отсчета. В последних кроме сил, действующих на рассмат-
риваемую частицу со стороны каких-то тел (сил взаимодействия), необ-
ходимо учитывать и силы инерции. Поэтому под работой в этих уравне-
ниях надо понимать алгебраическую сумму работ как сил взаимодейст-
вия, так и сил инерции.
Полная механическая энергия частицы.
Согласно (16) приращение кинетической энергии частицы равно
элементарной работе результирующей F всех сил, действующих на час-
тицу. Что это за силы? Если частица находится в интересующем нас ста-
ционарном поле консервативных сил, то на нее действует консерватив-
ная сила Еконс со стороны этого поля. Кроме того, на частицу могут дей-
ствовать и другие силы, имеющие иное происхождение. Назовем их сто-
ронними силами Fcm?. , :
Таким образом, результирующая F всех сил, действующих на час-
тицу, может быть представлена в виде F = Fmm + F. Работа всех этих
сил идет на приращение кинетической энергии частицы:
дт=Аюнс+АГОр-
2
Так как А12 = рМг = и, - и2, работа сил поля равна убыли потенци-
1
альной энергии частицы: Аконс = -Ди. Подставив это выражение в пре-
дыдущее и перенеся величину Ди влево, получим
ДТ + Ди = Д(Т + и) = Астор.
Отсюда видно, что работа сторонних сил идет на приращение вели-
чины Т + и . Эту величину - сумму кинетической и потенциальной энер-
гий - называют полной механической энергией частицы:
Е = Т + и.
Заметим, что полная механическая энергия Е , как и потенциальная
энергия и , определяется с точностью до произвольной постоянной.
Итак, из предыдущих двух уравнений следует, что приращение
полной механической энергии частицы в стационарном поле консерва-
тивных сил при перемещении ее из точки 1 в точку 2:
-Е1 = Астор,
42
т.е. приращение полной механической энергии частицы на некотором
пути равно алгебраической сумме работ всех сторонних сил, действую-
щих на частицу на том же пути. Если Астор > 0, то полная механическая
энергия частицы увеличивается, если же Астор < 0 , то уменьшается.
Итак, мы установили, что полная механическая энергия частицы мо-
жет измениться под действием только сторонних сил. Отсюда непосредст-
венно вытекает закон сохранения механической энергии частицы:
Если сторонние силы отсутствуют или таковы, что не
совершают работы в течение интересующего нас вре-
мени, то полная механическая энергия частицы в ста-
ционарном поле консервативных сил остается посто-
янной за это время:
Е ~ Т+ и = const. (18)
Глава 4. СИЛА ТЯГОТЕНИЯ. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
ПЛАНЕТ, (искусственные СПУТНИКИ
4.1. Законы движения планет
Сила гравитационного взаимодействия (сила тяготения) двух точеч-
ных масс /га, и т2, находящихся на расстоянии г, 2, определяется по
формуле Fl2 = -G п,2 |jj,21 = G .
Г1,2 V ^,2 >
Потенциальная энергия Е, двух взаимодействующих точечных масс
Е . cmimi
' г
Законы движения планет, открытые немецким ученым И. Кеп-
лером в начале XVII века, в современной формулировке:
I закон: Орбита материальной точки в невозмущенном движении -
это одно из конических сечений, т.е. окружность, эллипс,
парабола или гипербола.
В солнечной системе планеты движутся по эллипсам, в одном из
фокусов которых находится Солнце.
II закон: Радиус-вектор планеты в равные времена описывает
площади одинаковой величины (рис. 4.1).
Здесь Ff и F2 - фокусы эллипса, в одном из которых находится Солнце (S);
г - радиус-вектор планеты; СА = СП - большая полуось орбиты; от-
резки ПВ и АД планета проходит за одинаковое время; сектора 8ПВ
и SAD имеют равные площади.
Рис. 4.1
III закон: Произведение квадратов времени обращения на сумму
масс центральной и движущейся точек относятся как
кубы больших полуосей их орбит:
ГДотд + от,) _д,3
T>2(m0 + m2) а3’
44
где Т| и Т2 - период обращения двух точек, тп, и тп2 - их масса, т,. -
масса центральной точки (Солнца), ах и а2 - большие полуоси орбит
точек (планет).
Пренебрегая массами планет тх и т2 по сравнению с массой
Солнца тп0, получим III закон в его первоначальной форме: квадраты
периодов обращений двух планет вокруг Солнца относятся как кубы
больших полуосей их эллиптических орбит:
I Л I _ I ai I
VjJ I а2 J
4.2. Космические скорости
В астрономии и динамике космического полета употребляются по-
нятия трех космических скоростей (рис. 4.2).
Первой космической скоростью ц (круговой скоростью) называ-
ется наименьшая начальная скорость, которую' нужно сообщить телу,
чтобы оно стало искусственным спутником земли (ИСЗ). Она равна
скорости кругового движения на данной высоте h над Землей.
где М и R соответственно масса и радиус Земли.
При Л = 0 v, =. G-^- = 7,9-103 м/с.
н ' V R + h
45
Второй космической скоростью ои (параболической скоростью)
называется наименьшая начальная скорость, которую надо сообщить
телу, чтобы оно, начав движение вблизи поверхности Земли, преодолело
земное притяжение. ц, = ц>/2 = 11,2 • 103 м/с.
Отметим, что необходимая величина скорости не зависит от направ-
ления, в котором осуществляется запуск тела с Земли. От этого направле-
ния зависит лишь вид траектории, по которой тело удаляется от Земли.
Третьей космической скоростью уш называется наименьшая на-
чальная скорость, при которой тело начинает движение вблизи поверх-
ности Земли, преодолевает земное притяжение, затем притяжение Солн-
ца и покидает Солнечную систему.
У поверхности Земли скорость иП1 зависит от направления запуска.
При запуске в направлении орбитального движения Земли эта скорость
наименьшая и составляет 16,7 • 103 м/с.
При запуске в направлении, противоположном направлению движе-
ния Земли, эта скорость наименьшая и составляет 42,1 • 103 м/с.
Глава 5. СТАТИКА
5.1. Общие сведения
До сих пор мы рассматривали разнообразные движения тел, их
взаимодействия, вследствие которых у этих тел возникают ускорения.
Сумма сил, приложенных к телу, может быть отличной от нуля или
равной нулю. В зависимости от этого скорость тела изменяется или оста-
ется постоянной. В последнем случае тела будут находиться в покое или
двигаться равномерно и прямолинейно.
Если тело, к которому приложены силы, покоится, то говорят, что
это тело находится в равновесии. Изучение условий равновесия тел имеет
большое практическое значение в строительном деле, машиностроении,
приборостроении и других областях техники.
Раздел механики, в котором изучается равновесие абсолютно твер-
дых тел, называется статикой.
В статике учитываются размеры и формы тел, и все рассматривае-
мые тела считаются абсолютно твердыми. Статика является частным
случаем динамики, так как покой тел, когда на них действуют силы, есть
частный случай движения.
5.2. Условия равновесия тел
Очевидно, что тело может покоиться только по отношению к одной
определенной системе координат. В статике изучают условия равновесия
тел именно в такой системе. При равновесии скорости и ускорения всех
участков (элементов) тела равны нулю. Учитывая это, можно установить
одно из необходимых условий равновесия тел, используя теорему о дви-
жении центра масс.
Внутренние силы не влияют на движение центра масс, так как их
сумма всегда равна нулю. Определяют движение центра масс тела (или
системы тел) лишь внешние силы. Так как при равновесии тела ускоре-
ние всех его элементов равно нулю, то равно нулю и ускорение центра
масс. Но ускорение центра масс определяется векторной суммой внеш-
них сил, приложенных к телу. Поэтому при равновесии эта сумма долж-
на равняться нулю.
Действительно, если сумма внешних сил равна нулю, то и ус-
корение центра масс ас = 0. Отсюда следует, что скорость центра масс
vc = const. Если в начальный момент скорость центра масс равнялась
нулю, то и в дальнейшем центр масс остается в покое.
47
Полученное условие неподвижности центра масс является необхо-
димым (но, как мы скоро увидим, недостаточным) условием равновесия
твердого тела. Это так называемое первое условие равновесия: для рав-
новесия тела необходимо, чтобы сумма внешних сил, приложенных к
телу, была равна нулю:
а)
i
Если сумма сил равна нулю, то равна нулю и сумма проекций сил на
все три оси координат. Обозначая внешние силы через , F2, F, и т.д.,
получаем три уравнения, эквивалентных одному векторному уравнению (1):
f1x+f2x+f3x+...=o,
FlV + F2y +F3y +- = 0, (2)
Fu+F2,+F3x+... = 0.
Для того чтобы тело покоилось, необходимо еще, чтобы начальная
скорость центра масс была равна нулю.
Равенство нулю суммы внешних сил, действующих на тело, необхо-
димо для равновесия, но недостаточно. При выполнении этого условия
лишь центр масс будет покоиться. В этом нетрудно убедиться.
Приложим к стержню в разных точках равные по модулю и противо-
положные по направлению силы (рис. 5.1) (две такие силы называют па-
рой сил). Сумма этих сил равна нулю:
F + (-F) = 0.
Но стержень будет повора-
чиваться. В покое находится
только центр масс, если его на-
чальная скорость (скорость до
приложения сил) была равна
нулю.
Вращательное свойство си-
лы характеризуется физической
величиной, которая называется
моментом силы ( М ).
Момент силы М относительно неподвижной точки (оси) равна век-
торному произведению радиуса вектора г на вектор силы F (рис. 5.2):
M=[rF],
где г - радиус-вектор, проведенный из неподвижной точки О в точку
приложения силы F.
48
Модуль момента силы
М = r-Fsma = F-h,
[M] = f -i ,
где h = r-sina - плечо силы (кратчайшее расстояние между линией дей-
ствия силы и осью вращения).
Если в начальный момент угловая скорость равнялась нулю, то и в
дальнейшем тело не будет совершать вращательное движение. Следова-
тельно, равенство
£М=0 (3)
i
(при со = О) является вторым условием равновесия твердого тела: при
равновесии твердого тела сумма моментов всех внешних сил, дейст-
вующих на него относительно любой оси, равна нулю.
При действии произвольного числа внешних сил условия равнове-
сия твердого тела запишутся в виде:
^+3+3+...=О,
М. +М2 + М} + ... = 0.
Эти условия необходимы и достаточны для равновесия любого
твердого тела. Если они выполняются, то векторная сумма сил (внешних
и внутренних), действующих на каждый элемент тела, равна нулю.
Глава 6. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ и газов
6.1. Основные законы
При оценке равновесия частиц внутри жидкости или газа (рис. 6.1)
пользуются величиной, которая называется давлением-.
г F
./f S’
(fe) где F - проекция силы на нормаль к такому элементу
поверхности площадью , на которой распределена
эта сила. Если на всех элементах плоской поверхности
'— давление постоянно, то
Рис. 6.1 F
P = ~S’
где F - проекция на нормаль к поверхности суммарной силы, дейст-
вующей на плоскую поверхность площадью S .
В системе СИ давление измеряется в паскалях (Па):
Ь1=5-=Па-
м
Закон Паскаля.
Давление на поверхности жидкости, произведенное
внешними силами, передается жидкостью одинаково во
всех направлениях.
В любой точке внутри жидкости создаваемое ею давление не зави-
сит от ориентации поверхности, на которую оказывается давление. Дав-
ление внутри жидкости или газа на глубине h (гидростатическое) дав-
ление не зависит от формы сосуда и вычисляется по формуле:
Р = Ро + Р#А-
Атмосферное давление на какой-либо высоте h от поверхности
Земли обусловлено силой тяжести вышележащих слоев газа. Если при-
нять, что температура Т постоянна (изотермическая атмосфера), то за-
висимость давления р от высоты h выражается формулой
р = poe~MshtRr,
где р0 - атмосферное давление на поверхности Земли (h = 0); М - мо-
лярная масса воздуха; R - универсальная газовая постоянная. Эта фор-
мула называется барометрической. Из нее следует, что давление убывает
с высотой тем быстрее, чем ниже температура.
50
Закон сообщающихся сосудов.
Сообщающиеся сосуды - сосуды, соединенные между собой в ниж-
ней части (рис. 6.2).
Если сообщающиеся сосуды наполнены различными, не-
Рис. 6.2
смешивающимися жидкостями, то высота
столбов этих жидкостей относительно гра-
ницы их раздела обратно пропорциональны их
плотностям'.
А.=Ь.
*2 Pi ’
где Pj и р2, Л, и Aj соответственно плотности и высоты столбов жидко-
стей. Если pj = р2, то й, = Aj.
Закон Архимеда.
На тело, погруженное в неподвижную жидкость или
газ, действует выталкивающая (архимедова) сила, мо-
дуль которой равен весу жидкости или газа в объеме
погруженной части тела'.
=~mxg,
где тж - масса вытесненной телом жидкости (газа).
Если жидкость, в которую погружено тело, однородна (р = const), то
FA--pVg,
где р - плотность жидкости или газа, V - объем погруженной части тела.
Выталкивающая сила приложена к телу в точке, совпадающей с
центром масс объема вытесненной жидкости или газа; эту точку называ-
ли4 центром давления.
6.2. Движение тела в жидкости н газе
' ' При движении тела в жидкости или газе на не-
> гр1 действуют силы, равнодействующую которых
£ бтозначим через R (рис. 6.3). При постоянной
” Скорости движения тела относительно жидкости
Л сила, действующая на тело, будет в соответствии с
НВ случае движения жидкости с той же скоростью _ „ , ~
гИС« о.j
Относительно неподвижного тела. Силу R можно
разложить на две составляющие, одна из которых Fconp направлена
51
в сторону, противоположную движению тела (или в сторону движения
потока, набегающего на тело), а вторая F - перпендикулярно этому
направлению.
Составляющие Гсопр и называются соответственно лобовым со-
противлением и подъемной силой.
Очевидно, что на тело, расположенное симметрично относительно
направления движения потока, может действовать только лобовое сопро-
тивление, подъёмная сила в этом случае будет равна нулю.
При рассмотрении течения жидкости сделаем ряд предположений:
жидкость идеальная, т.е. отсутствует трение;
жидкость несжимаема, т.е. плотность жидкости остается постоянной;
течение стационарное (скорость и давление в любой точке Жидко-
сти не зависят от времени);
при своем движении различные слои жидкости не смешиваются
(ламинарное течение).
6.3. Стационарное течение. Уравнение Бернулли
Рассмотрим установившееся, стационарное течение жидкости. В этом
случае скорость разных частиц жидкости, поочередно попадающих в неко-
торую точку пространства, одинакова, что позволяет жидкость представить
как поле скоростей. Его графически изображают линиями тока, касательные
к которым показывают направление вектора скорости, а их густота пропор-
- циональна значению скорости v2 > ц (рис. 6.4). Линии
тока являются траекториями частиц жидкости. Часть
жидкости, ограниченная линиями тока, образует трубку
тока (струю). На рис. 6.4 заштриховано сечение одной из
трубок тока плоскостью чертежа. Так как скорость час-
Рн тиц направлена вдоль линий тока, то частицы жидкости
^ис’6,4 не могут выходить за пределы трубки тока.
Выберем такую трубку тока, в произвольном перпендикулярном сече-
нии которой скорость всех точек одинакова. Двум сечениям этой трубки
соответствуют площади Sj и S2 и скорости ц и v2
(рис. 6.5). Через любое сечение струи в единицу вре-
мени протекает одинаковый объем несжимаемой
у жидкости, равный произведению площади сечения на
скорость:
Рис. 6.5 8м = 82о2 или Su = const. (1)
Уравнение (1) выражает условие неразрывности струи: только при
сплошном течении через любое сечение за одно и то же время проходит
одинаковое количество жидкости.
52
Рассмотрим трубку тока малого се-
чения (рис. 6.6). Жидкость, находящаяся
между сечениями 1 и 2, переместится и
займет положение Г - 2'. Так как сечение
стационарное, то никаких энергетиче-
ских изменений с частью жидкости Г - 2
не произойдет. Изменение энергии жид-
кости при перемещении от объема 1 - 2 к
Г-2' равно тем изменениям, которые
происходят при перемещении заштрихо-
ванного объема от 1 - Г к 2 - 2'.
Считая объемы 1 - Г и 2-2' цилиндрическими, можем записать
V = SI£,=S2£2.
Если скорость жидкости в пределах каждого заштрихованного объ-
ема одинакова, то изменение кинетической энергии жидкости
=“-~^у-=|(р«2^2и2 -pSAtf)’ (2)
так как т = pS/t = pS2/2, где р - плотность жидкости.
Вычислим работу внешних сил, действующих на жидкость.
Силы со стороны соседних трубок тока нормальны к поверхности
рассматриваемой трубки тока и работы не совершают. Работа сил, оказы-
вающих давления рх и р2 на торцы объема 1 - 2 при его перемещении,
Ap=Fx(x-F2t2=pxSx£x-p2S2£2. (3)
Работа силы тяжести
Ad = mgh^ - mgh^ = pS^^ - pS^gh^ . (4)
Так как работа равнодействующей силы равна изменению кинети-
ческой энергии, то, складывая (3) и (4) и приравнивая эту сумму выраже-
нию (2), можем записать
p1S1^1 -p2S2£2 + pS1^1gZi1 — pS2£2gh2 = —(pS2£2v2 — pS/jUj ) .
После преобразований имеем
pi>,2 i pi>,2 ,
pl+r^-+pghl= р2 +^~+pgh2. (5)
Так как выбор сечений трубки произволен, то индексы можно опус-
'тить и тогда
53
Это - уравнение Бернулли, которое может быть отнесено не толь-
ко к сечениям трубки, но и к точкам, расположенным вдоль некоторой
линии тока. . 1
Слагаемые, входящие в уравнение Бернулли, имеют размерность и
смысл давления. Давление р называют статическим; оно не связано с
движением жидкости и может быть измерено, например, манометром,
перемещающимся вместе с жидкостью. “
Давление pi?2/2 называют динамическим; оно обусловлено
движением жидкости и проявляется при ее торможении.
Сумма статического и динамического давлений есть полное давление'.
v1
р,=р + р—.
Давление р#Л - весовое. В состоянии невесомости весовое давле-
ние отсутствует, с увеличением перегрузок оно возрастает.
Используя эту терминологию, уравнение Бернулли можно сформу-
лировать как закон:
В различных точках линии тока идеальной жидкости
сумма статического, динамического и весового давле-
ний одинакова.
Некоторые частные случаи, вытекающие из уравнения Бернулли.
1. Наклонная трубка постоянного сечения.
В такой трубке скорость жидкости всюду одна и та же (v = const),
тогда из (5) получим
Pi + pghl=p2+pgh2, или Pi-p^pgQh-fh), &p = phAh.
В этом случае, как и в гидростатике, разность давлений обусловлена
разностью весов соответствующих столбов жидкости.
2. Горизонтальная трубка тока переменного сечения (рис. 6.7).
Так как при этом Л] = , то
РЦ2 , Р»2
P^-t=^+~T-
Полное давление в разных сечениях горизонтальной трубки тока оди-
наково. В более узких местах S2 < S,, и, > ц
и р2 < Р|. На рис. 6.7 манометрические трубки
демонстрируют статические давления в разных
сечениях. Так как нижние сечения этих трубок
параллельны линиям тока, то динамического
давления они не показывают.
54
Можно сделать столь узкое сечение трубки, что вследствие малого
давления (ниже атмосферного) в это сечение будет засасываться воздух
или жидкость (так называемое всасывающее действие струи). Это ис-
рользуется в водоструйных насосах, ингаляторах и пульверизаторах.
3. Измерение скорости жидкости. Трубка Пито.
* Выберем в движущемся потоке жидкости точки 1 и 2, лежащие на
одной линии тока (рис. 6.8). Так как труба горизонтальна, a v2 = 0 , то на
основании (5) запишем
pi>,2
Pi+~ = P2>
откуда
(7)
V Р
Рис. 6.8 Рис. 6.9
Трубку, изображенную на рис. 6.8 называют трубкой Пито, по высоте
столба жидкости в которой измеряют полное давление р2. Статическое
давление р{ л»ия/ущ,ейся жидкости определяют при помощи трубки, пока-
анной на рис. 6.9 по высоте й, столба. Имея систему двух таких трубок,
ычисляют скорость потока жидкости по формуле (7). Иногда для этой цели
спользуют дифференциальный манометр, который сразу дает значение
рг - рх или проградуирован в единицах скорости.
4. Истечение жидкости из отверстия сосуда. Формула Торричелли.
Условно покажем линии тока при истечении
падкости из небольшого отверстия широкого со-
уда (рис. 6.10); при этом S, » S2, ц « v2, при-
ниженно считаем ц ® 0, Pta Р2 (атмосферное
явление на уровнях 1 и 2). Учитывая эти условия,
з выражения (6.5) получаем
55
, РЦ> ,
P§\ =^+pgh2,
откуда
и2=5/2^(й1-А2) = л/2^ДЛ. (8)
Следовательно, скорость вытекания струи равна скорости тела при
свободном падении с высоты АЛ = h> - h2.
6.4. Формула Стокса
Формула Стокса применяется для определения силы сопротивления,
которую испытывает движущийся в вязкой жидкости (газе) шарик:
F = 6тгг|Г1?,
где т| - коэффициент внутреннего трения жидкости или газа (динамиче-
ская вязкость); г - радиус, v - скорость шарика относительно жидкости.
Закон Стокса имеет место только для ламинарного течения.
Характер движения жидкости (газа) определяется безразмерным
числом Рейнольдса
Т]
где D - величина, характеризующая линейные размеры тела, обтекаемо-
го жидкостью (газом); v - скорость течения; р - плотность жидкости;
т| - динамическая вязкость.
Критическое значение числа Рейнольдса, определяющее переход от
ламинарного течения к турбулентному, различно для тел разной формы.
Критическое значение числа Рейнольдса для движения шарика в
жидкости в длинных трубах Re^ = 2300. При значении Re « Re^ дви-
жение жидкости переходит в турбулентное.
Глава 7. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
Специальная теория относительности, созданная Эйнштейном в
1905 г., означала пересмотр всех представлений о свойствах пространст-
ва и времени. Поэтому данная теория по своему основному содержанию
может быть названа физическим учением о пространстве и времени. Фи-
зическим потому, что и свойства времени в этой теории рассматриваются
в теснейшей связи с законами совершающихся в них физических явле-
ний. Термин «специальная» подчеркивает то обстоятельство, что эта
теория рассматривает явления только в инерциальных системах отсчета.
7.1. Основы теории относительности
Развитие электродинамики и оптики привело к пересмотру пред-
ставлений о пространстве и времени. Согласно классическим представ-
лениям о пространстве и времени, считавшимся на протяжении веков
незыблемыми, движение не оказывает никакого влияния на течение вре-
• мени (время абсолютно), а линейные размеры любого тела не зависят от
того, покоится тело или движется (длина абсолютна).
к Специальная теория Эйнштейна - это новое учение о пространстве
(' и времени, пришедшее на смену старым (классическим) представлениям.
I После создания электродинамики возникли сомнения в справедли-
I'вост и принципа относительности Галилея применительно к электромаг-
£ нитным явлениям.
I После того как во второй половине XIX в. Максвеллом были сфор-
|мулированы основные законы электродинамики, возник вопрос: распро-
ограняется ли принцип относительности, справедливый для механиче-
Lckhx явлений, и на электромагнитные процессы (взаимодействие зарядов
|и токов, распространение электромагнитных волн и т.д.) одинаково во
«Сех инерциальных системах отсчета? Или, может быть, равномерное
| прямолинейное движение, не влияя на механические явления, оказывает
I некоторое воздействие на электромагнитные процессы?
Е Чтобы ответить на этот вопрос, нужно было выяснить, меняются ли
^основные законы электродинамики (уравнения Максвелла) при переходе
|» одной инерциальной системы к другой, или же, подобно законам
ЙЙьютона, они остаются неизменными. Только в последнем случае можно
Ирбросить сомнения в справедливости принципа относительности при-
менительно к электромагнитным процессам и рассматривать этот прин-
Мип как общий закон природы.
57
1
Значения координат и времени в двух инерциальных системах от-
счета связаны друг с другом преобразованиями Галилея, которые выра-
жают классические представления о пространстве и времени.
Уравнения Ньютона инвариантны относительно преобразований
Галилея, и этот факт как раз и выражает принцип относительности в ме-
ханике.
Законы электродинамики сложны, и выяснить, инвариантны эти за-
коны относительно преобразований Галилея или нет, - нелегкое дело.
Однако простые соображения позволяют найти ответ.
В электродинамике Максвелла скорость распространения электро-
магнитных волн в вакууме одинакова по всем направлениям и равна
с = ЗЛО8 м/с. Но, с другой стороны, в соответствии с законом сложения
скоростей, вытекающим из преобразований Галилея, скорость может
равняться с только в одной избранной системе отсчета. В любой другой
системе отсчета, движущейся по отношению к этой избранной системе
со скоростью v, скорость света должна равняться с - v. Это означает,
что если справедлив обычный закон сложения скоростей, то при перехо-
де от одной инерциальной системы к другой законы электродинамики
должны меняться так, чтобы в этой новой системе отсчета скорость света
равнялась Не с , а с - v.
Таким образом, обнаружились определенные противоречия между
электродинамикой и механикой Ньютона, законы которой согласуются с
принципом относительности. Возникшие трудности можно было попы-
таться преодолеть тремя различными способами.
Первая возможность состояла в том, чтобы объявить несостоятель-
ным принцип относительности в применении к электромагнитным явле-
ниям. Этой точки зрения придерживался великий голландский физик,
основатель электронной теории, X. Лоренц.
Электромагнитные явления еще со времен Фарадея рассматрива-
лись как процессы в особой, всепроникающей среде, заполняющей все
пространство, - «мировом эфире». Инерциальная Система отсчета, по-
коящаяся относительно эфира, - это, согласно Лоренцу, особая преиму-
щественная система. В ней законы электродинамики Максвелла справед-
ливы и имеют наиболее простую форму. Лишь в этой системе отсчета
скорость света в вакууме одинакова по всем направлениям.
Вторая возможность состоит в том, чтобы считать неправильными
сами уравнения Максвелла и пытаться изменить их таким образом, чтобы
они при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (в со-
ответствии с обычными, классическими представлениями о пространстве
58
и времени) не менялись. Такая попытка, в частности, была предпринята
Г. Герцем. По Герцу, эфир полностью увлекается движущимися телами,
и поэтому электромагнитные явления, разыгрывающиеся в эфире, про-
никают одинаково, независимо от того, покоится тело или движется.
Принцип относительности справедлив.
Наконец, третья возможность разрешения указанных трудностей
состоит в отказе от классических представлений о пространстве и време-
ни с тем, чтобы сохранить как принцип относительности, так и уравне-
ния Максвелла. Это наиболее революционный путь, ибо он означает пе-
ресмотр самых глубоких, самых основных представлений в физике. С
данной точки зрения оказываются неточными не уравнения электромаг-
нитного поля, а законы механики Ньютона, соглашающиеся со старыми
представлениями о пространстве и времени, выражаемыми преобразова-
ниями Галилея. Изменять нужно законы механики, а не законы электро-
динамики Максвелла.
Единственно правильной оказалась именно третья возможность.
Последовательно развивая ее, Эйнштейн пришел к новым представлени-
ям о пространстве и времени. Первые два пути, как оказалось, опровер-
гаются экспериментом.
При попытках Герца изменить законы электродинамики Максвелла
выяснилось, что новые уравнения не способны объяснить ряд Наблюдае-
мых фактов. Так, согласно теории Герца, движущаяся вода должна пол-
ностью увлекать за собой распространяющийся за ней свет, так как она
увлекает эфир, в котором свет распространяется. Опыт же показал, что в
'действительности это не так.
Точка зрения Лоренца, согласно которой должна существовать из-
бранная система отсчета, связанная с мировым эфиром, пребывающим в
'абсолютном покое, также была опровергнута прямыми опытами.
Опыт Майкельсона. Если бы скорость света была равна 300 000 км/с
’ только в системе отсчета, связанной с эфиром, то, примеряя скорость
света в произвольной инерциальной системе, можно было бы обнару-
жить движение этой системы по отношению к эфиру и определить ско-
рость этого движения. Подобно тому, как в системе отсчета, движущейся
Относительно воздуха, возникает ветер, при движении по отношению к
эфиру (если, конечно, эфир существует) должен быть обнаружен «эфир-
ный ветер».
.j. Опыт по обнаружению «эфирного ветра» был поставлен в 1881 г.
американскими учеными А. Майкельсоном и Э. Морли по идее, выска-
"занной за
12 лет до этого Максвеллом.
Суть этого опыта можно понять с
. помощью следующего примера.
59
Расстояния между городами
,С
А
В
Рис. 7.1
Из города А (рис. 7.1) самолет совершает рейсы в города В и С .
одинаковы и равны I = 300 км, причем
трасса АВ перпендикулярна трассе АС .
Скорость самолета относительно воздуха
с = 200 км/ч . Пусть в направлении АВ
дует ветер со скоростью и = 10 км/ч.
Спрашивается: какой рейс займет больше
времени: от А к В и обратно, или от А
к С и обратно?
В первом случае время полета
II
1 =-------------------+----«3,00075 ч.
C+V C-V
Во втором случае самолет должен держать курс не на сам город С , а
на некоторую точку D, лежащую против ветра. Относительно воздуха са-
молет пролетит расстояние АО . Воздушный поток сносит самолет на рас-
стояние DC . Отношение этих расстояний равно отношению скоростей:
DC у
AD ~ с
Относительно Земли самолет пролетит расстояние АС. Так как
DC/AD = sina , то sina = и/с. Но
лт. АС АС
AD --------------------------= j....—г-,
cosa Vl-sin2a
поэтому
АР= . АС .
ф-(и/с'У
Следовательно, время t2, затраченное самолетом на прохождение этого
пути туда и обратно со скоростью с, определится так:
2AD 2АС 2АС
с у[1 -(и/с)2 у[с2-и2
«3,00375 ч.
и ско-
Разность времен налицо. Зная ее, а также расстояние АС
рость с , можно определить скорость ветра относительно Земли.
Упрощенная схема опыта Майкельсона приведена на рис. 7.2. В этом
опыте роль самолета играла световая волна, имеющая скорость 300 000 км/с
относительно эфира (никаких сомнений в существовании эфира Тогда не
было). Роль обычного ветра играл предполагаемый «эфирный ветер»,
обдувающий Землю. Относительно неподвижного эфира Земля не может
60
мг
Рис. 7.2
* покоиться все время, так как она движется
вокруг Солнца со скоростью около 30 км/с
ж и эта скорость непрерывно меняет направ-
Ж ление. Роль города А играла полупро- 1,
В. зрачная пластина Р, разделяющая поток
в света от источника S на два взаимно пер-
К пендикулярных пучка. Города В и С за-
В' менены зеркалами М, и М2, направляю-
ж. щими световые пучки обратно.
«к . Далее оба пучка света соединялись и попадали в объектив зритель-
® ной трубы. При этом возникала интерференционная картина, состоящая
К )из чередующихся светлых и темных полос. Расположение полос зависело
В от разности времен, затрачиваемых на одном и том же пути.
В- Направление «эфирного ветра» неизвестно. Но при вращении при-
ж бора ориентация световых путей ОМХ и ОМ2 относительно «эфирного
Ж. ветра» должна была изменяться. Следовательно, должна была изменять-
кся разность времен прохождения путей ОМ\ и ОМ2, а поэтому должны
Ж* были смещаться и интерференционные полосы в поле зрения трубы. По
ж этому смещению надеялись определить скорость «эфирного ветра» И ее
«направление.
к' Однако, к удивлению ученых, опыт показал, что никакого смещения
Якинерференционных полос при повороте прибора не происходит. Экспери-
в|менты ставились в разное время суток и в различные времена года, но всегда
Яке одним и тем же отрицательным результатом: движения Земли по отноше-
И| нию к эфиру обнаружить не удалось. Точность последних экспериментов
Нкбыла такова, что они позволили бы обнаружить изменение скорости распро-
Ж' странения света (при повороте интерферометра) даже на 2 м/с.
Шк Все это было похоже на то, что если бы вы, высунув голову из окна
ЯЬйашины, при скорости 100 км/ч не заметили бы встречного ветра.
|К Таким образом, идея о существовании преимущественной системы
Як-Ьтсчета не выдержала опытной проверки. В свою очередь, это означало,
ЯнЧто никакой особой среды - «светоносного эфира», с которой можно бы-
Вйб бы связать такую преимущественную систему отсчета, не существует.
к „ Постулаты теории относительности.
В основе теории относительности лежат два постулата. Для объяс-
ЯИЙения отрицательных результатов опыта Майкельсона и других опытов,
Жйоторые должны были обнаружить движение Земли относительно эфира,
Як'вводились различные гипотезы. С помощью этих гипотез пытались
61
объяснить, почему не удается обнаружить преимущественную систему
отсчета (считали, что такая система в действительности якобы имеется).
Так, в частности, для объяснения опыта Майкельсона высказывали гипо-
тезу о сокращении линейных размеров всех тел при их движении относи-
тельно эфира.
Совсем по-иному подошел к проблеме великий физик XX в. Аль-
берт Эйнштейн: не следует изобретать различные гипотезы для объясне-
ния отрицательных результатов всех попыток обнаружить различие ме-
жду инерциальными системами. Законом природы является полное рав-
ноправие всех инерциальных систем отсчета в отношении не только ме-
ханических, но и электромагнитных процессов. Нет никакого различия
между состоянием покоя и равномерного прямолинейного движения.
Именно это обнаружилось в опыте Майкельсона (движение Земли по
орбите не оказывает влияния на оптические явления на Земле).
Принцип относительности - главный постулат тёбрии Эйнштей-
на. Его можно сформулировать так: все законы природы одинаковы в
любой инерциальной системе отсчета. Это означает, что во всех инер-
циальных системах физические законы имеют одинаковую форму. Таким
образом, принцип относительности классической механики обобщается
на все процессы в природе, в том числе и на электромагнитные. Но тео-
рия относительности основывается не только на принципе относительно-
сти. Имеется еще второй постулат: скорость света в вакууме одинакова
для всех инерциальных систем. Она не зависит ни от скорости источника,
ни от скорости приемника светового сигнала.
Скорость света занимает, таким образом, особое положение.
Для того чтобы решиться сформулировать постулаты теории отно-
сительности, нужна была большая научная смелость. Дело в том, что они
находятся в очевидном противоречии с классическими представлениями
о пространстве и времени.
В самом деле, допустим, что в момент времени, когда начала коор-
динат инерциальных систем К и К' (рис. 7-3), движущихся относительно
друг друга со скоростью v, совпадают, в
начале Координат произошла вспышка
света. За время t системы сместятся друг
относительно друга на расстояние vt, а
сферический волновой фронт будет иметь
радиус ct. Системы К и К' равноправ-
ны, и скорость света будет одинакова в
той и другой системе.
62
Следовательно, с точки зрения наблюдателя, связанного с системой К ,
центр сферы будет находиться в точке О, а с точки зрения наблюдателя,
связанного с системой К', - в точке О'. Но ведь не может один и тот же
сферический фронт иметь центры в О и О'. Это явное противоречие выте-
кает из рассуждений, основанных на постулатах теории относительности.
Противоречие здесь действительно есть. Но не внутри самой теории
относительности. Имеется лишь противоречие с классическими пред-
ставлениями о пространстве и времени, которые при больших скоростях
движения уже несправедливы.
7.2. Относительность одновременности
До начала XX в. никто не сомневался, что время абсолютно. Два со-
бытия, одновременные для жителей Земли, одновременны для жителей
любой космической цивилизации. Создание теории относительности
показало, что это не так.
Причиной несостоятельности классических представлений о про-
странстве и времени является неправильное предположение о возможно-
сти мгновенной передачи взаимодействий и сигналов из одной точки
пространства в другую. Существование предельной конечной скорости
. взаимодействий вызывает необходимость глубокого изменения обычных
представлений о пространстве и времени, основанных на повседневном
опыте. Представление об абсолютном времени, которое течет раз и на-
всегда заданным темпом, совершенно независимо от материи и ее дви-
жения, оказывается неправильным.
Если допустить мгновенное распространение сигналов, то утвержде-
ние, что события в двух пространственно разделенных точках А и В про-
исходят одновременно, будет иметь абсолютный смысл. Можно поместить в
точки А и В часы и синхронизировать их с помощью мгновенных сигна-
лов. Если такой сигнал отправлен из точки А, например, в 0 ч. 45 мин. и он
пришел в точку В в этот же момент времени по часам В, то, значит, часы
показывают одинаковое время, т.е. идут синхронно. Если же такого совпа-
I дения нет, то часы можно синхронизировать, подводя вперед те часы, кото-
рые показывают меньшее время в момент отправления сигнала.
! Любые события, например два удара молнии, одновременны, если
они происходят при одинаковых показаниях синхронизированных часов.
; Только располагая в точках А и В синхронизированными часами,
i можно судить о том, произошли ли два каких-либо события в этих точ-
ках одновременно или нет. Но как можно синхронизировать часы, нахо-
дящиеся на некотором расстоянии друг от друга, если скорость распро-
странения сигналов не бесконечно велика?
63
Для синхронизации часов естественно прибегнуть к световым или
вообще электромагнитным сигналам, так как скорость электромагнитных
волн в вакууме является строго определенной, постоянной величиной.
Именно этот способ используют для проверки часов по радио. Сиг-
налы времени позволяют синхронизировать ваши часы с точными элек-
тронными часами. Зная расстояние от радиостанции до дома, можно вы-
числять поправку на запаздывание сигнала. Эта поправка, конечно, очень
невелика. В повседневной жизни она не играет сколько-нибудь сущест-
венной роли. Но при огромных космических расстояниях она может ока-
заться весьма существенной.
Л
Рис. 7.4
Рассмотрим подробнее простой ме-
тод синхронизации часов, не требующий
никаких вычислений. Допустим, что кос-
монавт хочет узнать, одинаково ли идут
часы А и В, установленные на проти-
воположных концах космического кораб-
ля (рис. 7.4). Для этого с помощью ис-
точника, неподвижного относительно корабля и расположенного в его
середине, космонавт производит вспышку света. Свет одновременно
достигает обоих часов. Если показания часов в этот момент одинаковы,
то часы идут синхронно.
Но так будет лишь относительно системы К', связанной с кораблем.
В системе же отсчета К , относительно которой корабль движется, поло-
жение иное. Часы на носу корабля удаляются от того места, где произошла
вспышка света источника, и, чтобы достигнуть часов А, свет должен пре-
одолеть расстояние, большее половины длины корабля (рис. 7.5а). Напро-
тив, часы В на корме приближаются к месту вспышки, и путь светового
сигнала меньше половины длины корабля (рис. 7.56). Поэтому наблюда-
тель в системе К придет к выводу, что сигналы достигают обоих часов не
одновременно. Соответственно часы А и В идут неодинаково.
Рис. 7.5
64
Два любых события в точках А и В, одновременные в системе К',
неодновременны в системе К. Но в силу принципа относительности
системы К' и К совершенно равноправны. Ни одной из этих систем
; нельзя отдать предпочтение. Поэтому мы вынуждены прийти к заключе-
I нию, что одновременность пространственно разделенных событий от-
k носительна. Причиной относительности одновременности является, как
I мы видим, конечность скорости распространения сигналов.
Именно в относительности одновременности кроется решение па-
радокса со сферическими световыми сигналами. Свет одновременно дос-
К тигает точек сферической поверхности с центром в точке О только с точ-
| ки зрения наблюдателя, находящегося в покое относительно системы К .
| С точки зрения же наблюдателе связанного с системой К', свет дости-
к гает этих точек в разные моменты времени.
к Разумеется, справедливо и обратное: в системе К свет достигает
L точек поверхности сферы с центром в О' в различные моменты времени,
в а не одновременно, как это представляется наблюдателю в системе К'.
Ё. Отсюда следует, что никакого парадокса в действительности нет.
в 7.3. Преобразования Лоренца
й Подобно тому как классические представления о пространстве и
в; времени формулируются количественно с помощью преобразований Га-
у лилея для координат и времени, новые релятивистские, как их обычно
Называют, представления о пространстве и времени формулируются с
g- помощью преобразований Лоренца.
, », Эти преобразования однозначно вытекают из постулатов теории от-
» «осительности. Кроме двух постулатов необходимо лишь наложить еще
К' одно требование: преобразования должны быть линейными. Требование
№ линейности преобразований следует из однородности пространства -
St времени: все точки пространства и все моменты времени физически рав-
Е ’ Ноцеины. Начало систем отсчета пространственных координат и начало
»>тСчета времени ничем не должны быть выделены. При любых нелиней-
Е вых преобразованиях (например, х' = kx2 и т.д.) такое выделение имело
МЫ место.
| ' Мы не будем рассматривать общие преобразования Лоренца, связы-
Ваюшие координаты и время в двух инерциальных системах, движущих-
<я в произвольном направлении друг относительно друга. Ограничимся
К частными преобразованиями - это позволит наиболее отчетливо увидеть
f физическое содержание новых преобразований.
А
65
Пусть имеется инерциальная система отсчета К.. Координаты любой
точки, например точки Р, в этой системе обозначим через х , у, г , а
время через t (рис. 7.6). Другая инерциальная система К' движется с
постоянной скоростью v относительно системы К , причем таким обра-
зом, что ее ось х' совпадает с осью х системы К , а оси у' и z' парал-
лельны соответствующим осям у и г
(это означает рассмотрение частных
преобразований, а не общих). Наша
задача состоит в определении коор-
динат х', у', г' и времени t' неко-
торого события относительно систе-
мы К', если известны координаты
х, у, г и время t этого же собы-
тия в системе К.
Начало отсчета времени выберем таким образом, чтобы в момент
времени £ = 0 начала отсчета наших систем (точки О и О') (рис. 7.6)
совпадали.
Во-первых, так как движение вдоль осей у и z отсутствует, то
можно ожидать, что
У' = У, z' = 2. (1)
Далее, начало отсчета системы К' (точка с координатой х' = 0 в этой
системе) движется относительно системы К вдоль оси х со скоростью у,
так чтОШврдината точки О' в системе К изменяется по закону: х = vt.
Таким образом, задание условия х' = 0 эквивалентно условию х - vt = 0.
Учитывая этот факт и линейность преобразований координат, связь между
координатами х' и х для любой точки можно записать в виде:
х' = a(x-vt), (2)
где а - подлежащий определению коэффициент, который может зави-
сеть от скорости, но не от координат и времени. Для преобразований Га-
лилея а = 1.
С другой стороны, согласно принципу относительности скорость
системы К по отношению к системе К' должна быть по модулю равна
той же скорости и, но с противоположным знаком. (Если мы отказались
от старых представлений о пространстве и времени, то ничего, кроме
принципа относительности, не принуждает нас к этому заключению. Об-
наружение различия в скоростях означало бы существование абсолютного
66
движения.) Координата начала отсчета системы К (х = 0) в системе К'
изменяется по закону: х' - -vt'. Снова, учитывая линейность преобразо-
ваний, мы можем записать:
. x = p(x' + t>f). (3)
и Коэффициент Р также подлежит определению.
Г' Для нахождения аир достаточно использовать второй постулат
5, теории относительности. Пусть в момент t = 0 из общего для данного мо-
J мента времени начала координат системы К и К/ испущен вдоль осей х ,
[ х' световой сигнал. Через промежуток времени t этот сигнал достигнет
£ некоторой точки, имеющей координату х в системе К и х' в системе К'.
. Так как скорость света с одинакова в обеих системах, то
| х = ct и х' = ct'. (4)
к ’ Возводя почленно уравнения (4) в квадрат и вычитая второе из пер-
к вого, будем иметь:
В х2 -х'2 = сЧ2 -сЧ'2, или х2 - сЧ2 - х'2 + сЧ'2 = 0. (5)
| Исключая х' из уравнений (5) и (3), можно получить выражение для t':
КА. t' = а
Е /
Вх Если в уравнение (5) подставить значения х' и t' из (2) и (6), то мы
L получим:
(-41--!-
и А ар )
(6)
“12
х2 - сЧ2 — а2 (х — ut)2 + с2а2
= 0. (7)
v ар;
. Так как это уравнение должно выполняться при любых х и t, то
коэффициенты при t2, xt, и х2 должны равняться нулю. Это дает три
1 следующих уравнения:
(8)
(9)
и-
(Ю)
-с2 -а2у2 + а2с2 = 0,
2 2 2
2 ас с а Л
a v-----+-----= 0,
v и Р
, 2 с2 2 с2 1 2с2 а _
1-а +-га +—г-—------5— = 0.
v2 и2р2 v2 р
Последнее равенство, впрочем, нам не понадобится, так как оно вы-
полняется автоматически, если выполнены равенства (8) и (9). Из урав-
р Нения (8) следует, что
1
а = -=====.
Jl-tv/cY
(И)
67
Подставляя данное значение а в уравнение (9), найдем, что
Если теперь подставить найденные значения а и (i в уравнения (2)
и (6) и вспомнить равенства (1), то можно окончательно окончательно
записать преобразования Лоренца в следующей форме:
t XV
х'= /"7 2; у'=у’ г'=г’ t>=~r...........т? (13)
Vl-Cv/c) Vl-(l>/c)2
Решив уравнения (13) относительно х, у и t, мы получим обрат-
ные преобразования, выражающие координаты и время в системе К
через координаты и время в системе К':
, x'v
t + ’ .
t = -r Ct 2 • (14)
^-(ц/с)2
x' + vt' , ,
I У = У, 2 = 2,
^-(у/с)2
Эти преобразования можно также получить из уравнений (13) пере-
множив знак скорости.
Несколько существенных замечаний.
1. Преобразования Лоренца значительно отличаются от преобразо-
ваний Галилея. Но это отличие существенно только при скоростях движе-
ния, близких к скорости света. Если же скорость относительно движения
систем мала по сравнению со скоростью света, т.е. — «1, то членами
с
(y[cf и xvfc1 в преобразованиях (13) можно пренебречь, и мы полу-
чим преобразования Галилея:
x' = x-vt-, у' = У, z' = z, t' = t. (15)
2. Преобразования Лоренца выражают новые представления о Про-
странстве - времени. Согласно принципу относительности не только
уравнения Максвелла для электромагнитного поля, но и любые другие
законы природы не должны менять свою форму при преобразованиях
Лоренца. Законы Ньютона, инвариантные относительно преобразований
Галилея, не инвариантны относительно преобразований Лоренца. По-
этому законы классической механики не могут описывать движения тел
со скоростями, близкими к скорости света.
68
3. Характерной чертой новых преобразований является связь време-
ни с пространственными координатами и скоростью движения систем
отсчета. В частности, из этих преобразований следует относительность
одновременности пространственно разделенных событий. Если в точках
А и В системы отсчета К произошло одновременно два события (на-
пример, световые вспышки в момент времени t), то с точки зрения сис-
темы К.' событие в А произошло в момент времени
t--x
f - С2 А
ф-(и/с)2 ’
а в В - в момент времени
t--x
, . t' - с2
В Jl-tv/cy
Если хА < хв, то t'A > t'B.
4. Преобразования Лоренца ставят скорость света в вакууме в ис-
। ключительное положение. Это максимально возможная скорость движе-
ния любых тел. При v > с для координат и времени получаются мнимые
! выражения.
7.4. Относительность расстояний
Рассмотрим основные кинематические следствия преобразований
Лоренца.
Пусть твердый стержень покоится в системе К' (рис. 7.7). Его дли-
на в этой системе отсчета, если стержень расположен вдоль х',
^0 = ~ • (16)
Это длина покоящегося стержня (длина покоя).
Спрашивается, какова длина стержня с точки зрения системы К , от-
носительно которой стержень дви-
i жегся со скоростью v ? С самого
Еначала не ясно, что понимать под
?длиной движущегося стержня. Ведь
движущийся стержень нельзя изме-
рить так же, как и покоящийся, пу-
тем простого прикладывания линей-
' ки. Координатным является опреде-
ление длины движущегося стержня,
У
К
К'
zzzzzzz.
X X-
Рис. 7.7
69
предложенное Эйнштейном. Наблюдатель системы К одновременно (по
своим часам), отмечает положение концов стержня в своей системе отсчета.
Длиной стержня £ в системе К является разность координат его концов:
£-х2-хх, (17)
где х2 и х, относятся к одному и тому же моменту времени.
Согласно преобразованиям Лоренца (13) для координат
, х, - vt . x,-vt
X = —........., X = 1 .. .
Jl-(y/c)2 ^-(v/c)2
(Мы должны использовать именно эти преобразования, содержащие
время t, а не уравнение (14), так как концы стержня - координаты х, и х2 -
засекаются в один и тот же момент времени t - время системы К , а не К'.)
Следовательно,
(0 = х'2 - Х[ = .....
или
£ = £0yll-(v/c)2 . (18)
Таким образом, длина £ движущегося стержня в ^/1-(и/с)2 раз
меньше длины £0 покоящегося стержня. Длина не является абсолютной
величиной, как считалось раньше, а зависит от скорости движения объ-
екта. Абсолютным является лишь утверждение о том, что покоящийся
стержень всегда длиннее движущегося.
Действительно, пусть тот же стержень покоится в системе К. Тогда
его длина в этой системе (системе покоя)
4 = х2 - X).
Относительно системы К' стержень движется, и его длина в этой
системе
£ — х'2—х'х,
если концы стержня х2 и х[ засекаются в один и тот же момент времени f'.
Используя преобразования Лоренца (14), найдем, что, как и в пре-
дыдущем случае,
£ = £0/-(v/c)2 .
В этом состоит симметрия обеих физических ситуаций, требуемая
принципом относительности.
Сокращение размеров обладает замечательным свойством взаимности.
70
Обратим еще внимание на то, как наблюдатель из системы отсчета,
относительно которой стержень покоится, объясняет укорочение стерж-
ня для движущегося по отношению к стержню наблюдателя. С точки
зрения первого наблюдателя, второй наблюдатель засекает положение
концов стержня не одновременно! Ведь понятие одновременности отно-
сительно, и то, что одновременно для одной системы отсчета, не одно-
временно для другой. Таким образом, можно сказать, что относитель-
ность расстояний, в конце концов, обусловлена относительностью одно-
временности событий.
Обнаружить сокращение движущегося стержня непосредственно экс-
периментально не представляется возможным из-за того, что оно может
стать заметным лишь при скоростях, близких к скорости света. Измерения
длин можно производить только для макроскопических тел, а такие тела
практически невозможно разогнать до больших скоростей. Пока это удает-
ся только с элементарными частицами. Однако о размерах элементарных
частиц говорить, как о чем-то вполне определенном, нельзя. Тем не менее,
релятивистское сокращение расстояний ни в коей мере нельзя считать
субъективным или кажущимся. Зависимость расстояния от выбора систе-
мы отсчета столь же объективна, как, скажем, зависимость кинетической
энергии от скорости движения тела в обычной механике Ньютона или за-
висимость угловых размеров предмета от расстояния до него.
Любопытно, что если бы удалось сфотографировать движущееся с
очень большой скоростью макроскопическое тело, то на фотографии со-
кращение размеров не обнаружилось бы. Дело в том, что от различных
участков тела свет проходит различные расстояния. Это запаздывание
приводит к искажению фотографируемого предмета, в точности компен-
сирующему сокращение его размеров.
> Влияние эффекта запаздывания светового сигнала на фотографиче-
ское изображение можно отчетливо обнаружить при фотографировании
двух очень кратковременных световых импульсов продолжительностью
порядка 10’" с.
Пусть созданные лазером два световых импульса расположены в
плоскости, перпендикулярной направлению их движения. Движение
происходит в мутной воде, рассеивающей свет. Если световые импульсы
находятся в вертикальной плоскости на равном расстоянии от объектива
фотоаппарата, то на фотографии при времени экспозиции КГ11 с их изо-
бражения лежат на одной вертикальной прямой. Но фотография выгля-
дит совсем по-другому, если световые импульсы находятся на разных
расстояниях от объектива фотоаппарата. Изображение более удаленного
светового импульса смещено назад по сравнению с изображением бли-
жайшего импульса.
71
7.5. Относительность промежутков времени
Пусть в одной и той же точке с координатой х„ системы К' проис-
ходят два события, разделенные интервалом времени
ти = t2 — t, . (19)
Например, это могут быть два последовательных удара метронома,
отбивающего каждую секунду. Система К' является для данных событий
«системой покоя», т.е. системой, относительно которой события происхо-
дят в одной точке, т.е. покоятся.
Найдем интервал времени между этими же событиями, измеренный
по часам системы К, относительно которой события «движутся», т.е.
происходят в разных точках с координатами х01 и xU2 (рис. 7.5):
где ts и t2 - время наступления событий по часам системы К .
Согласно преобразованиям Лоренца (14):
V , . V ,
t2+-jX0 f,+-_ хо
т = -?=£= — с или т -
V!-(v/e)2 y]l-(v/c)2
I \2 (20)
Промежуток времени, измеренный по часам, относительно которых
события «движутся», больше, чем промежуток времени, измеренный по
часам системы, в которой оба события происходят в одной и той же точ-
ке. Временной интервал между событиями оказывается не абсолютной
величиной, как считалось ранее, а относительной.
Время, измеренное по часам системы, в которой события покоятся, на-
зывается собственным временем. Оно минимально, и этот факт имеет такое
же абсолютное значение, как и то, что длина покоящегося стержня макси-
мальна. (Собственно время - инвариант, как и длина в системе покоя.) Если
собственное время между событиями, к примеру, равно 5 с, то все движу-
щиеся наблюдатели по своим часам отметят большие интервалы: 6 с, 10 с и
т.д. в зависимости от скорости v относительного движения. Этот эффект
часто называют замедлением времени в движущихся системах.
Требуемое принципом относительности равноправие систем К И
К' состоит в том, что если события происходят в одной и той же систе-
ме К, то тогда интервал между событиями будет минимален по часам
этой системы. В самом деле, теперь
Т0 А >
а интервал времени по часам системы К'
т = t' -1' = *2 ~ = т° .
y[i-(v/c)2 71-(и/с)2
72
Можно сказать, что данный предмет или последовательность двух
событий в одной точке в некотором смысле выделяют преимущественную
систему отсчета (систему покоя), которая может быть особенно удобной
для описания явлений. Но требуемое принципом относительности равно-
правие отсчета этим обстоятельством нисколько не нарушается.
Явление замедления времени обнаруживается экспериментально
при наблюдении распада нестабильных элементарных частиц, таких, как
мюон, л -мезоны и др. Среднее время жизни, например мюона, т.е. время
жизни между двумя событиями: рождением мюона и его распадом, в
системе покоя в среднем равно то = 2,2-1О~6 с. Чем быстрее движется
мюон относительно лабораторной системы отсчета, тем больше его вре-
мя жизни. Так как скорости движения элементарных частиц могут быть
очень близкими к скорости света, то это увеличение времени жизни, оп-
ределяемое формулой (20), обнаруживается на опыте. Оно может ока-
заться больше времени жизни покоящейся частицы в несколько десятков
раз, причем увеличение времени жизни в зависимости от скорости v
движения мюона относительно лаборатории в точности соответствует
формуле (20). В результате при скорости v « с мюон проходит путь не
тос ® 660 м, а во много раз больший.
7.6. Релятивистский закон сложения скоростей
Новым релятивистским представлениям о пространстве и времени
соответствует новый закон сложения скоростей. Очевидно, что классиче-
ский закон сложения скоростей не может быть справедлив, так как он
противоречит утверждению о постоянстве скорости света в вакууме. Рас-
смотрим пример.
Если поезд движется со скоростью и и в вагоне в направлении
движения поезда распространяется световая волна, то ее скорость отно-
сительно Земли должна равняться опять-таки с, а не v + с. Новый закон
сложения скоростей и должен приводить к требуемому результату.
Мы получим закон сложения скоростей для
частного случая, когда тело движется вдоль оси х'
системы отсчета К', которая, в свою очередь,
движется со скоростью v относительно систе-
мы отсчета К. Причем в процессе движения
координатные оси х и х' все время совпадают,
а координатные оси у и у', г иг' остаются
параллельными (рис. 7.8).
Рис. 7.8
73
Обозначим скорость тела относительно системы К' через vxl, а ско-
рость этого же тела относительно К через vx2.
За малый интервал времени At', измеренный по часам системы К',
тело переместится на отрезок Ах' в системе К' и на отрезок Ах в сис-
теме К . Этот же интервал времени по часам системы К обозначим че-
рез At. Согласно преобразованиям Лоренца (14) интервалы Ах, Ах' и
At связаны соотношением
. Ах' + xAt' .
Ах = -Т (21)
а интервалы At, At' и Ах' - соотношением
At' + -^-Дх'
At =.,- g.... .
ф-iv/c)2
Разделив почленно левые и правые части уравнений (21) и (22), по-
лучим:
(22)
Ax Ax' + uAt'
At ” . v . ,
№ +—Ах
с
Числитель и знаменатель правой части равенства (22) разделим на At':
Ах'
Дх_ At'+U
At
(23)
(24)
, v Ах
1+-7----
С2 At'
- не что иное, как скорость тела в
- скорость того же тела в системе
(25)
В выражении (24) Ax/At = vx2
системе отсчета К , a Ax'/At' = uxl
отсчета К'. Следовательно, выражение (24) представляет собой реляти-
вистский закон сложения скоростей:
V,, + v
Vx2 ~ 1 UX1U
+ С2
Если v « с и их1« с , то членом vxlv/c2 в знаменателе можно пре-
небречь и вместо (25) получим классический закон сложения скоростей:
ux2=uxl+v.
При их} = с скорость vx2 также равна с , как этого требует второй
постулат теории относительности. Действительно,
74
с + о
и =--------= С .
xi . CV
Z
Замечательным свойством релятивистского закона сложения скоростей
является то, что при любых скоростях vx] и v (конечно не больших с )
результирующая скорость vx2 не превышает с. В предельном случае
при vx2 = v = с получаем
2c
u =_ = c>
c
Скорости v>c невозможны. Скорость света является максимально
возможной скоростью передачи взаимодействий в природе.
7.7. Релятивистская динамика.
Зависимость массы от скорости
С новыми пространственно-временнымй представлениями при боль-
ших скоростях движения не согласуются и законы механики Ньютона.
Лишь при малых скоростях движения, когда справедливы классические
представления о пространстве и времени, второй закон Ньютона •
т~ = F (26)
At
не меняет своей формы при переходе от одной инерциальной системы
отсчета к другой (выполняется принцип относительности). Но при боль-
ших скоростях движения этот закон в своей обычной (классической)
форме несправедлив.
Согласно второму закону Ньютона (26) постоянная сила, действуя на
тело продолжительное время, может сообщить телу сколь угодно большую
скорость. Но в действительности скорость света в вакууме является пре-
дельной, и ни при каких условиях тело не может двигаться со скоростью,
превышающей скорость света в вакууме. Требуется совсем небольшое
изменение уравнения движения тел, чтобы это уравнение было верным
при больших скоростях движения. Предварительно перейдем к той форме
записи второго закона динамики, которой пользовался сам Ньютон:
= (26а)
At
где р = mv - импульс тела, причем масса тела считалась постоянной,
независимой от скорости.
Поразительно, что при больших скоростях движения, близких к ско-
рости света, уравнение движения (26а) не меняет своей формы. Изменения
75
касаются лишь массы. Именно при больших скоростях движения масса
не остается постоянной, а начинает возрастать по мере приближения
скорости движения к скорости света с . Считавшаяся со времен Ньютона
на протяжении двух с половиной веков неизменной, масса в действи-
тельности зависит от скорости.
Зависимость массы от скорости можно найти, исходя из предполо-
жения, что закон сохранения импульса справедлив и при новых пред-
ставлениях о пространстве и времени, и, в частности, при релятивист-
ском законе сложения скоростей.
7.8. Закон взаимосвязи массы и энергии
Релятивистский импульс.
Рис. 7.9
Покажем вначале, что если импульс р = mv
и т = const, то закон сохранения импульса не
согласуется с релятивистским законом сложения
скоростей.
Рассмотрим два одинаковых шара, движу-
щихся вдоль оси х навстречу друг другу. Ско-
рости шаров равны по модулю и противополож-
ны по направлению: ц = й и v2 = -и (рис. 7.9).
Между шарами происходит абсолютно неупругое соударение, после
которого в системе отсчета К они останавливаются.
Как выглядит этот процесс с точки зрения системы К', относительно
которой система К движется со скоростью -и? Согласно релятивист-
скому закону сложения скоростей (25), скорость первого шара до удара
а второго:
, u-v
щ ------
им
с2
Начальный импульс системы шаров до удара
Pi
u-v u+v
= m-----m----
UV
с2
, UV
1+z
(27)
(28)
(29)
где m - масса одного шара.
76
и После удара шары движутся вместе со скоростью -v, так как в сис-
Ж Теме К они покоятся. Конечный импульс шаров
| . Рк = -2mv . (30)
И _
Совершенно очевидно, что рн * рк, хотя равенства импульсов тре-
; бует закон сохранения импульса.
При исследовании более сложного случая упругого соединения ша-
ров, когда скорости их меняются как по модулю, так и по направлению,
можно непосредственно найти, каким образом должна зависеть масса от
скорости, чтобы закон сохранения импульса выполнялся в любой систе-
ме отсчета. Мы пойдем по более простому пути. Покажем, что закон со-
1 хранения импульса при неупругом соударении, о котором шла речь, вы-
' полняется, если масса следующим образом зависит от скорости:
J т = -, . (31)
к Здесь v - скорость тела по отношению к определенной системе от-
I счета, а та - масса покоя, т.е. значение массы в системе координат, по
отношению к которой тело покоится.
Массу первого шара до соударения в системе отсчета К' можно
найти, если в формулу (31) вместо скорости v подставить скорость и[
(см. формулу (27)):
f UV 1
тос 1—г
______\ с у
I_____2 2*
' 2 2 2 U V
С -и -V +—
С
тп0
(32)
=
РИ
(Здесь v - скорость систем отсчета К и К' друг относительно друга.)
Масса второго шара до соударения:
( . UV )
тос 1+—г
V с )
2 2 2 U2V2
С -и2 -V1 +--т—
С
т2 =
т0
/ \2
(32а)
1 —------Ч?
2 2 I 1 UV, )
Если допустить, что в релятивистской теории масса сохраняется (в
последствии мы увидим, что сохранение массы вытекает из закона со-
хранения энергии), то закон сохранения импульса в системе К' запи-
шется так:
77
u-v -u-v
+ /п2—- = Ь+^)Ы- (33)
1+-7
1 uv
с2
Подставив в это уравнение массы mi и т2,
определяемые выражениями (32) и (32а), мы
убедимся, что уравнение (33) выполняется.
Закон сохранения импульса имеет место,
если под импульсом понимать выражение
р - .... 0 = то, .(34)
где т - релятивистская масса (31), зависящая
от скорости.
На рис. 7.10 представлена зависимость массы тела от его скорости.
При скоростях движения, много меньших скорости света, выраже-
ние ^l-(v/c)2 чрезвычайно мало отличается от единицы. Так, при ско-
рости современной космической ракеты и = 10 км/с получаем
71 - (y/cf = 0,99999999944. ;
Неудивительно поэтому, что заметить увеличение массы с ростом
скорости при таких сравнительно небольших скоростях движения невоз-
можно. Но элементарные частицы в современных ускорителях частиц
достигают огромных скоростей. Если скорость частицы на 90 км/с
меньше скорости света, то ее масса увеличится в 40 раз.
Мощные ускорители для электронов способны разгонять эти части-
цы до скоростей, которые меньше скорости света лишь на 35-40 м/с.
При этом масса электрона возрастает примерно в 2 000 раз, и электрон по
массе превосходит протон. Чтобы такой электрон удерживался на круго-
вой орбите, на него со стороны магнитного поля должна действовать
сила в 2 000 раз большая, чем можно было бы предполагать, не учитывая
зависимости массы от скорости. Для расчета траекторий быстрых частиц
пользоваться механикой Ньютона уже нельзя.
Релятивистское уравнение движения.
Основной закон релятивистской динамики, заменяющей классиче-
ское уравнение движения Ньютона, записывается в следующей форме:
тйу
71-(и/с)2
At
д
= F.
(35)
78
По мере увеличения скорости движения масса тела, определяющая
его инертные свойства, увеличивается. При и —> с масса тела в соответ-
ствии с уравнением (34) возрастает неограниченно (тп-юо); поэтому
ускорение стремится к нулю и скорость практически перестает возрас-
тать, как бы долго ни действовала сила.
Необходимость пользоваться релятивистским уравнением движения
при расчете ускорителей заряженных частиц означает, что теория отно-
сительности в наше время стала инженерной наукой.
Принцип соответствия.
Законы механики Ньютона можно рассматривать как частный слу-
, чай релятивистской механики, справедливой при скоростях движения
тел, много меньших скорости света. Точно так же классические пред-
ставления о пространстве и времени, выражаемые преобразованиями
Галилея, справедливы только для скоростей движения систем отсчета,
много меньших скорости света.
Все это является выражением принципа соответствия: любая но-
вая физическая теория, претендующая на более глубокое описание
I процессов и на более широкую область применимости, чем старая,
'должна включать последнюю как предельный случай.
L Впервые принцип соответствия был выдвинут Н. Бором в 1923 г. в
связи с установлением связи квантовой теории с классической.
I Связь между энергией и массой неизбежно следует из закона со-
хранения энергии и того факта, что масса тела зависит от скорости его
| движения. Это видно из простого примера. При нагревании газа в сосуде
I ему сообщается определенная энергия. Скорость хаотического теплового
I движения молекул зависит от температуры и увеличивается с нагреванием
К* газа. Увеличение скорости движения молекул, согласно формуле (31),
| означает увеличение массы всех молекул. Следовательно, масса газа в
Г сосуде увеличивается при увеличении его внутренней энергии. Между
f массой газа и его энергией существует связь.
В) Проще всего установить связь массы с энергией количественно на
г примере движения тела со скоростью v, значительно меньшей скорости
| света с . Для этого найдем приближенное выражение для зависимости мае-
ft сы от скорости при v « с. Знаменатель в формуле (31) можно записать так:
£ 1 !✓ \2
I
I V с2 2 с1 J 4 с4 ’
1 v4
Пренебрегая малой величиной получим
79
'1-4.1-14.
сг 2 с2
Поэтому
1-Ц
2 с2
Умножая числитель и знаменатель на ^+~~2~ и снова пренебрегая
14
членом —j-, приходим к приближенной формуле
4 с
m = ma+^-mov2^-. ... (36)
2 с ;
Отсюда следует, что изменение массы тела Дтп = т - т0 при уве-
личении его кинетической энергии на ДЕ = тпоу2/2 выражается так:
ДЕ
Дтп=—Г-.
с
Это значит, что приращение массы тела при увеличении его скорости
равно сообщенной ему кинетической энергии, деленной на квадрат ско-
рости света.
Формула Эйнштейна. Данный вывод можно обобщить на случай
любых скоростей движения. Для этого придется проявить умение диф-
ференцировать не очень простые функции.
Вычислим работу в единицу времени силы F (т.е. мощность), ис-
пользуя релятивистское уравнение движения (35):
v = mov-
v'
= тои
(37)
Здесь учтено, что (у)2 = v2; v' означает производную скорости по времени.
80
Теперь продифференцируем по времени выражение .
Й
зический смысл этого выражения установим немного позднее):
тас2
mov • o'
7^'
и* \
(фи-
(38)
правые части уравнений (38) и (37) совпадают, поэтому
Fv =
(39)
Вспомним, что при изучении закона сохранения энергии в разделе
«Механика» мы доказали теорему о кинетической энергии. Согласно
этой теореме работа силы F на перемещении Дг равна изменению ки-
нетической энергии:
^•Дг = ДЕ. (40)
Разделив правую и левую части на At и устремив At к нулю, получим
F-v = E', (41)
где Е' - производная энергии по времени.
Если в классической механике работа силы, совершенная за едини-
цу времени, равна производной от кинетической энергии по времени, то
работа за то же время в релятивистской механике тоже должна равняться
производной от энергии. Следовательно, величина, стоящая в скобках в
правой части уравнения (39), тоже представляет собой энергию:
Е='; . . (42)
7i-(v/c)2
Это и есть великая формула Эйнштейна о связи между энергией и
массой: энергия тела равна массе, умноженной на квадрат скорости
света. Во всей физике найдется лишь две-три столь же простые универ-
сальные формулы, связывающие фундаментальные физические величины.
81
Полученное выражение (42) обобщается в теории относительности
на случай системы любых тел: энергия системы тел равна массе систе-
мы, умноженной на квадрат скорости света.
Если изменяется энергия системы, то изменяется и ее масса:
\т = ^-. " (43)
с
При химических реакциях или при нагревании тел в обычных усло-
виях изменения энергии настолько малы, что соответствующие изменения
массы не удастся обнаружить на опыте. Горячий чайник имеет большую
массу, чем холодный; но даже с помощью самых чувствительных весов эта
разность не может быть обнаружена. Лишь при превращениях атомных
ядер и элементарных частиц изменения энергии оказываются настолько
большими, что и связанное с ними изменение массы уже заметно.
При взрыве водородной бомбы выделяется огромная энергия - около
1017 Дж. Эта энергия превышает выработку электроэнергии на всем зем-
ном шаре за несколько дней. Выделяющаяся энергия уносится вместе с
излучением. Излучение обладает наряду с энергией также и массой, кото-
рая составляет приблизительно 0,1% от массы исходных материалов.
Энергия ПОКОЯ. При малых скоростях движения тела ( v « с ) фор-
мулу (42) моябМНМисать так:
Е^т0с2+^-. (44)
Здесь второй член - это обычная кинетическая энергия тела. Наиболь-
ший интерес ^новизну представляет собой первый член: он определяет энер-
гию тела при скорости, равной нулю, - так называемую энергию покоя Ео:
Е0 = т0с2. (45)
Это замечательный результат. Любое тело обладает энергией уже только
благодаря факту своего существования, и эта энергия пропорциональна
массе покоя та Самым очевидным экспериментальным доказательст-
вом существования энергии покоя является тот факт, что при превраще-
ниях элементарных частиц, обладающих массой покоя, в частицы, у ко*-
торых тп„ = 0, энергия покоя целиком превращается в кинетическую
энергию вновь образовавшихся частиц.
7.9. Релятивистское соотношение между энергией и.импульсом
Энергия Е = тс2 - это энергия тела или системы Тел. Ее можно
рассматривать как сумму энергии покоя и релятивистской кинетической
энергии. Релятивистская кинетическая энергия
82
Е - —9.с -т0с2. (46)
Г"“
В энергию, определяемую формулой Эйнштейна (46), не входит
ргия взаимодействия системы с внешними телами.
Найдем релятивистское соотношение между энергией и импульсом,
орое очень часто используется в физике элементарных частиц. В
ссической физике эта связь очень проста:
2
Е = £_. (47)
2т
Релятивистское соотношение можно найти путем исключения ско-
пи из выражений для энергии (42) и релятивистского импульса (34).
1водя в квадрат обе части уравнения (42), получим
т2с4=Е2-^-. (48)
с
Затем возведем почленно в квадрат уравнение (34) и найдем из него
драт скорости:
v2= ..Р—г. (49)
2 Р
т20+~
Подставляя выражение для и2 из (49) в уравнение (48), получим
(нчательный результат:
Е = с^р2 + mlc2 . (50)
1
Контрольные задания
Качественные задачи
1. Какие из приведенных зависимостей описывают равномерное,
равноускоренное и переменное движение?
l)S = 2t + 3. 3)S = 3t. 5)v = 7. 7) Si=3f3.
2)S = 5t2. 4)v = 4-t. 6)S = S0+5t2.
2. На тележке стоят два бака, соединенные _ .
между собой трубкой с краном. Один из них _________I
наполнен водой. При открывании крана вода
переливается в другой бак. Будет ли при этом rS-igcJ
двигаться тележка? Когда она остановится? Тре-
ние между тележкой и горизонтальной поверх- 1 (•)
ностью, на которой она стоит, не учитывать. гггттттттгтгггпттггтггг,
3. Если на материальную точку действуют уравновешивающиеся
силы, то какой из графиков пути будет справедлив для этого случая?
4. Как будут двигаться катушки, изобра-
женные на рисунке, под действием малой силы
F (примерно 0,5 Н)?
5. Оценить время упругого соударения двух Одинаковых металличе-
ских шаров.
6. Стальной шарик плавает в ртути. Изменится ли погружение ша-
рика в ртуть, если сверху налить воды?
7. Какая сила при ходьбе обеспечивает перемещение человека? Как
она направлена?
8. Лебедка и велосипед используют зубчатую передачу, но у лебед-
ки усилие прилагается к малому зубчатому колесу, а у велосипеда - к
большому. Объяснить, чем вызвано такое различие.
9. Метеорит сгорает в атмосфере, не достигая поверхности Земли.
Что происходит при этом с его импульсом?
10. Как измерить массу тела в условиях невесомости?
84
Ответы-.
1. Равнопеременное 1, 3, 5; равноускоренное 2,4,6; переменное 7.
2. Положение центра масс системы не может измениться под действием
олько внутренних сил. Поэтому при переливании воды тележка должна начать
(вигаться в сторону, противоположную движению воды. После того как уровни
юды в баках сравняются, движение тележки прекратится.
3. 2, 3, 4.
4. Продолжив прямую действия силы, можно убедиться, что на катушки
^действуют и противоположно направленные моменты сил. Одна катушка будет
вращаться по часовой стрелке и покатится вправо, вторая катушка будет вра-
щаться против часовой стрелки и покатится влево.
5. Для оценки будем считать, что столкновение шаров происходит следую-
щим образом: при столкновении соприкасающиеся участки шаров деформируют-
ся и в шарах возникают бегущие волны сжатия, распространяющиеся со скоро-
стью звука. Волны отражаются от границ шаров и возвращаются назад. Шары
«расталкиваются». Тогда искомое время т = 4Я/и, где R - радиус шаров,
и - скорость звука в материале шара. Для стальных шаров (и = 6-103 м/с) с
радиусом 5 см, t«3,3-10s с.
6. Шарик немного всплывает относительно уровня ртути.
7. Сила трения покоя, направленная вперед.
8. Пользуясь лебедкой, Достигают выигрыша в силе, при езде на велосипеде
- выигрыша в скорости (за счет проигрыша в силе).
9. Импульс метеорита , передается молекулам воздуха и в конечном счете
земному шару.
10. Подействовать на тело известной силой (например, силой упругости
пружины) и измерить ускорение, полученное телом. Отношение силы к ускоре-
нию даст величину массы тела.
Примеры решения задач
1, Частице в момент t = 0 сообщили скорость й0, после чего ее
( t\
Скорость стала меняться со временем t по закону о = va 1 — , где т -
V т)
положительная постоянная. Найти за первые t секунд движения: вектор
перемещения Дг частицы; пройденный ею путь S.
Решение. Имеем dr = udi = р0 ^1 --jdi. Проинтегрировав это уравнение по
* ’ * _ ( t
времени от 0 до t, получим Дг « vot 11 - — I.
t
Путь S, пройденный частицей за время t, равен S да Jodt, где и - модуль
о
вектора и .
85
В данном случае
t
v-v01---
т
(, t )
и0 1— , если t<t
к т J
(t
i>0 —1 , если t> т.
кт J
Отсюда следует, что, при t > т интеграл для вычисления пути необходимо
разбить на две части: от 0 до т и от т до t.
Проведя интегрирование для обоих случаев, получим
S =
unt| 1 - — I, если t <, т
“к 2т J
1
2иот
если t £ т.
На рисунке показаны графики зависимостей v(t) и S(t). Здесь же штрихо-
выми линиями показаны графики зависимости от t проекций vr и Дх векторов
б и Дг на ось х, направленную вдоль вектора ц,.
2. Два груза массой = 2 кг и т2 -1 кг скреплены между собой
Решение. Запишем второй
нерастяжимой и невесомой нитью,
перекинутой через блок (см. рис.).
Грузы находятся на наклонной плос-
кости с углами относительно горизон-
тали а = 60°, Р = 30°. Коэффициент
трения между грузами и плоскостью
р = 0,1. Массой блока и нитей пренеб-
речь, трение у оси блока отсутствует.
Определить ускорения грузов.
закон Ньютона для каждого тела:
mfl^m.g + T^+F^+N,,
m2a2=m2g + T2 + F^ +N2.
Оси х, и х2 выбираем вдоль направлений
ускорения тел (т, >т2, а > 0). Спроецируем
векторные уравнения на выбранные оси.
(х,): п^а, = m,g sin а-Г,-F^ ; (х2):
m2a2 =Т’2-m2sinP-2?rpj;
(j/,): 0 = -mucosa + Nt; (y2):
0 = -m2gcosfi + N2.
86
Для того чтобы найти силу трения, необходимо выяснить, двигаются тела
ли покоятся. Так как zn^sina > m^sinp + ^m^cosa + fc/n^cosp^
2-10-— >1-10—+0,if 2-10-—+1-10-—
2 2 2 2
о тела двигаются, значит, сила трения - сила трения скольжения.
F^ = pm,gcosa , = pm2gcos|3.
Так как нить нерастяжима, то a, =a2 = a (кинетическая связь). Поскольку
ить и блок невесомы, то 7] = Т2 = Т. Тогда
m,a = nijgsina-Т-посева , m,a = T-zn2gsinP-|im2cosP.
> zn^sina-w^gsinP-pzn.gcosa-pmjCosP <2
и — ———————......——. -------------ss 3,3 м/с
7П| +тп2
Ответ: а, = а2 = 3,3 м/с2.
3. Призме, на которой нахо-
тся брусок массой т, сообщи-
направленное влево горизон-
1ьное ускорение а (см. рис. а).
и каком максимальном значе-
и этого ускорения брусок будет оставаться еще неподвижным относи-
ьно призмы, если коэффициент трения между ними k < ctga ?
Решение. Силы, действующие на брусок показаны на рис. б. Уравнения
рого закона Ньютона в проекциях на горизонтальную ось х и вертикальную
У-
F^ cosa + Nsina = та , ~F sina + Xcosa = mg.
Максимальное значение силы трения покоя = nN соответствует макси-
ьному ускорению атах, при котором брусок еще неподвижен относительно
змы. В этом предельном случае получаем:
nNcosa + Nsina - та^ ; -|х!Уsina + Ncosa = mg.
Разделив первое уравнение на второе, найдем искомое выражение ддя мак-
ального ускорения:
°тах
_ р ctga+ 1
Ответ: aIM> =--s- -- g
ctga-А
pcosa + sina pctga + l
87
4. Шнур в виде замкнутой окружности вращается вокруг вертикаль-
ной оси с угловой скоростью о). Масса шнура пг, длина шнура в вытя-
нутом состоянии £0, коэффициент жесткости k. Найти силу натяжения
шнура.
Решение. Выделим мысленно малый элемент шнура массой 6т , как пока-
зано на рисунке. Этот
11о закону I у ка
элемент движется но окружности под действием силы
Тба, представляющей собой геометрическую сумме
векторов, каждый из которых равен по модулю искомой
силе натяжения Т . 1 !оэтому, согласно второму закону
Ньютона iSmcr/? = 77>а .
Учтем, что ёт=—du, R- <!2п , где С длина
2 л
шнура при вращении. Тогда уравнение движения при-
нимает вид
mu2 _ т
4л2
(1)
Исключая ( из (1) и (2), получаем Т =----------
(4п'й/т<а2)-1 '
В случае абсолютно жесткого шнура сила натяжения Т = — ~/'о.
4л2
11роверка единиц измерения физических величин:
[t] = J12L=h.
с
Ответ-. T = f И.
4л‘ °
5. На пути тела А, скользящего по гладкому горизонтальному сто-
лу, находится незакрепленная «горка» высотой Н = 2 м (см. рис.). При
(какой минимальной скорости тело
pj сможет преодолеть горку? Масса
горки в 5 раз больше массы тела.
Считать, что тело движется, не от-
рываясь от горки. Тело по горке, а также «горка» по столу скользят без
трения.
Решение. Минимальная скорость тела определяется из условия, что в верх-
ней точке горки скорость его относительно юрки равна нулю; при этом по закону
сохранения импульса лгц, =(М+/п)ц, где т и М массы тела и «горки»,
- начальная скорость тела, о, скорость горки в тот’ момент, когда тело дос-
тигает ее вершины. Из закона сохранения энергии имеем:
mu2 „ (М + лЦЦ l2gH(MA т) ,
__iL = zngH+5-----Л—, Vli = ^......... «6,9 м/с.
Ответ-. - 6,9 м/с .
6. На гладком столе покоятся два ма-
леньких шарика массой 5m и 3m , скреп-
ленных невесомым легким стержнем длиной
L (см. рис.). На шарик массой 3m налетает
и прилипает к нему кусочек пластилина мас-
сой 2/// , двигавшийся вдоль стола со скоро-
стью ц, перпендикулярно стержню. Опре-
делить силу упругости, возникающую в
стержне, при дальнейшем движении шариков.
Решение. В результате пеупругого взаимодействия кусочка пластилина с
шариком массой 2т система из двух шариков с одинаковой массой 5т прихо-
дит во вращательное движение вокруг центра масс системы (см. рис.). Сила уп-
ругости, возникающая в стержне,
= 5та„ - 5mv’/R ,
где R-L/2, и скорость шариков относительно Ц.М.
Из закона сохранения импульса по оси Ох имеем 2/иц, =10тос, где г’с -
скорость центра масс.
Отсюда следует, что ц. =Ц,/5 .
Ио закону сохранения энергии 2 ---=10п/-^- + 2:
„ 5ти2 8 тЦ
а сила упругости г = —-— ---— .
L/2 5 L
Г 8 mV<>
Ответ-. I- =----- .
5 L
5/по2
2
имеем v = —
5 °
7. Цепочка массой т =1 кг и длиной ( —1,4 м висит на нити, касаясь
поверхности стола своим нижним концом. После пережигания нити це-
почка упала на стол. Найти полный импульс, который она передала столу.
Решение. Рассмотрим небольшой элемент цепочки длиной dx, располо-
женный на высоте х над столом. Масса этого элемента dm-{m/()dx, а его
скорость непосредственно перед ударом о поверхность стола определяется
88
89
выражением для скорости свободно падающего с высоты х тела: v = j2gx .
После удара о стол рассматриваемый элемент цепочки покоится и поэтому им-
пульс, предаваемый сголу,
dp = ~^2gx(\x
Интегрируя по всей длине цепочки от 0 до 1, найдем полный импульс, ко-
торый передала цепочка столу при падении:
р= = =
О 0 3
Подставляя численные значения, получаем р = 3,5 кг-м/с
Ответ-, р = 3.5 кг м/с .
8. В К -системе отсчета находится непод-
вижный стержень длиной ( = 1,00 м, ориентиро-
ванный под углом 0 = 45° к оси Ох (см. рис.).
Найти его длину £' и соответствующий угол 9'
в К' -системе, движущейся относительно К -
системы со скоростью v = c/2 вдоль оси Ох.
Решение. Длина стержня в К' -системе
£' = fax')2 + (by')2 = J(Ax)2(l-p2) + (Ap)2 ,
где Р = и/с . Имея в виду, что A.r = (eosO и Ар = £sinO, получим
£' = £^l-p2cos20 =0,94 м.
Угол 0' в К' -системе найдем через тангенс:
tg6- = ^ = _^_ = _^=U55.
Дхф-р2 J]_p3
Отсюда 0' = 49° . Следует обратит ь внимание на то, что полученные ре-
зультаты не зависят от направления скорости К' -системы: она может двигаться
или в положительном направлении оси х, или в противоположном.
Ответ-. £' = 0,94 м; 0' = 49°.
9. В К -системе отсчета частица с массой покоя т„ и кинетической
энергией Т налетает на другую, покоящуюся, частицу с той же массой
покоя. Найти массу покоя Ми и скорость v составной частицы, образо-
вавшейся в результате столкновения.
Решение. Воспользовавшись инвариантностью величины Е2 - р2с2, запи-
шем: Е~ - р2с2 = МдС*, где левая часть равенства относится к К -системе отсче-
та (до столкновения), а правая - к /(-системе (после столкновения).
90
В данном случае К = 7' + 2тьс2. Кроме того, согласно формуле
рс = ^Т(Т + 2т„с2), р2с2 = Т(Т + 2тп0с2). Поэтому
(Т + 2mtic2 )2 - Т (Т + 2тис2) = М2с4.
Отсюда Л/о = —^2wi0 (т + 2тос2) .
Скорость образовавшейся частицы - это скорость //-системы. Согласно
, п / г pc2 I Т
формуле p=Lv с о = -— = с ———г .
£ у7’ + 2/пос‘
Ответ: Л/о = -^2ти(Т + 2т„с2); и
10. Частица с массой покоя ти начала двигаться под действием по-
стоянной силы F . Найти зависимость скорости частицы от времени.
Решение. Основное уравнение релятивистской динамики
Умножим обе части этого уравнения на d/, тогда d
= Fdt .
Проинтегрировав это выражение с учетом того, что в начальный момент
о = 0, полу чим
_ . Ft/т..с
= Ft .Отсюда v(t) = -.
Сравним полученное выражение с ньютонов-
ским. Согласно второму закону Ньютона, а - F/mn
и скорость vH = Ftlm0 , поэтому предыдущее выра-
жение для скорости v(t) можно представить так:
v(t)= . V"
71+(цн/с)2
Отсюда видно, что v< рн , т.е. действительная скорость и частицы растет
со временем медленнее, чем ун, причем при t -> оо, скорость о->с (с.м. рис.).
Интересно, что импульс частицы при этом будет расти линейно со временем: из
уравнения dp/dt = £ следует, что p = Ft.
В этом характерная особенность релятивистского движения: в то время как
скорость частицы стремится к определенному пределу (т.е. практически устанав-
ливается), импульс частицы продолжает расти.
91
Задачи для самостоятельного решения
1. Радиус-вектор частицы меняется со временем t по закону
г = где b - постоянный вектор, a - положительная постоян-
ная. Найти: скорость v и ускорение d частицы в зависимости от време-
ни; промежуток времени Д£, по истечении которого частица вернется в
исходную точку, а также путь, который она пройдет при этом.
2. Тело брошено под углом а к горизонту с начальной скоростью ц,.
При этом на тело действует попутный горизонтальный ветер, сообщая
ему постоянное ускорение а Найти время полета ?поле1, наибольшую
высоту Л , и наибольшую дальность полета г, .
3. Тело массой т -1 кг начинает двигаться по прямой под действи-
ем силы, пропорциональной времени. F~Fx=at, ex = 6 Н/с . В началь-
ный момент времени тело имеет скорость г0 = 10 м/с . Найти уравнение
движения тела, т.е. х = x(t); расстояние, пройденное телом к концу пер-
вой секунды.
4. Вертикальная гладкая стена движется со
скоростью й . Навстречу стене летит шарик, ско-
рость которого v0 и направлена под углом <х к
нормали (см. рис.). Под каким углом [J шарик от-
скочит оз' стены? Удар считать абсолютно упругим.
Масса стены намного больше массы шарика.
5. Тележка массой т совершает «мертвую
петлю» (см. рис.), скатываясь с наименьшей не-
обходимой для этого высоты. Определить, с ка-
кой силой N тележка давит на рельсы в той точ-
ке петли, радиус которой составляет угол а с
вертикалью. Трением пренебречь.
6. Бетонная однородная свая массой т лежит на дне водоема глу-
биной Л , большей, чем длина сваи t. Привязав трос к одному концу
сваи, ее медленно вытаскивают из воды так, что центр тяжести сваи под-
нимается на высоту Н от поверхности воды (Н > f ). Какая работа со-
вершается при подъеме сваи? Плотность бетона в п раз больше плотно-
сти воды. Силами сопротивления пренебречь.
92
7. В свинцовом шаре радиусом R сделана сферическая полость,
поверхность которой касается шара и проходит через его центр (см.
рис.). Масса сплошного шара равна М. С какой силой F свинцовый
шар будет притягивать маленький шарик массой
т, находящийся на расстоянии (1 от центра
свинцового шара, на продолжении прямой, со-
единяющей центр свинцового шара с центром
полости?
8. В современных гигантских ускорителях протоны ускоряются до
скоростей, отличающихся от скорости света на 0,0003%. Во сколько раз
релятивистская масса таких протонов превышает их массу покоя?
9. Электрон ускоряется в электрическом поле с напряженностью
Е = 3-10' В/м . Найти скорость электрона спустя время t = 1 нс.
10. Мощность излучения Солнца, приходящаяся на поверхность
площадью 1 м’, расположенную перпендикулярно солнечным лучам у
поверхности Земли, составляет 1,4-10' Вт/м- . Какую массу т теряет
Солнце за 1 с за счет излучения? Расстояние от Солнца до Земли
R -1,5 10s км.
Ответы:
1. v = b(l -2at); d = -2ah; AZ = l/a; S = |b|/2o. 2.
'полег
2ц, sina
Ц) • 2
=Trsin a; %
2 ц, . j ( о I * . , a . i
—-sin a ctga + — . 3. x(t) =—t+vot;
g V g) 6m
6ni
ц, cosa + 2u
. 5. M = 3m.^(l-cosa).
Л 1
6. A = mg H + h\ I-. 7. F - GMm —~
d2 8(d-(B/2))2
8. -ZLa4.ioJ. 9. о *2,6 10“ м/с. 10. m*4-10* 8 9 10 кг.
РАЗДЕЛ IE МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА.
ТЕРМОДИНАМИКА
Глава I. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Молекулярная физика изучает явления, связанные с молекулярным
строением вещества и хаотическим движением молекул. В физике при
описании этих явлений используют два основных, принципиально от-
личных друг от друга метода: молекулярно-кинетический (статистиче-
ский) и термодинамический.
Молекулярная физика представляет собой раздел физики, изу-
чающий строение и свойства вещества, исходя из молекулярно-кинети-
ческих представлений. Согласно этим представлениям, любое тело -
твердое, жидкое или газообразное - состоит из большого количества
весьма малых обособленных частиц - молекул (атомов). Молекулы вся-
кого вещества находятся в беспорядочном, хаотическом, не имеющем
какого-либо преимущественного направления, движении. Его интенсив-
ность зависит от температуры вещества.
Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) рассматривает те свойст-
ва тел, которые непосредственно наблюдаются на опыте (давление, тем-
пература и т.п.), как суммарный результат действия молекул. При этом
она пользуется статистическим методом, интересуясь не отдельным
движением отдельных молекул, а лишь такими средними величинами,
которые характеризую!' движение огромной совокупности частиц. Отсю-
да другое её название — статистическая физика.
Изучением различных свойств тел и изменений состояния вещества
занимается также термодинамика. Однако в отличие от МКТ термоди-
намика изучает макроскопические свойства тел и явлений природы, не
интересуясь их микроскопической картиной. Не вводя в рассмотрение
молекулы и атомы, не входя в микроскопическое рассмотрение процес-
сов, термодинамика позволяет делать целый ряд выводов относительно
их протекания. В основе термодинамики лежат несколько фундамен-
тальных законов (называемых началами термодинамики), установленных
на основании обобщения большой совокупности опытных фактов. В си-
лу этого выводы термодинамики имеют весьма общий характер.
Подходя к рассмотрению изменений состояния вещества с различ-
ных точек зрения, термодинамика и молекулярно-кинетическая теория
взаимно дополняюг друг друга, образуя по сущеетву одно целое.
Обращаясь к истории развития молекулярно-кинетических пред-
ставлений, следует, прежде всего, отмстить, что об атомистическом
строении вещества высказывались ещё древние греки. Однако у древних
94
греков эти идеи были не более чем гениальной догадкой. В XVIII в. ато-
мистика возрождается вновь, но уже не как догадка, а как научная гипо-
теза. Особенное развитие эта гипотеза получила в трудах гениального
русского ученого и мыслителя М.В. Ломоносова (1711-1765), который
предпринял попытку дать единую картину всех известных в его время
физических и химических явлений. При этом он исходил из корпуску-
лярного (по современной терминологии - молекулярного) представления
о строении материи. Восставая против господствовавшей в его время
теории теплорода (гипотетической тепловой жидкости, определяющей
степень его нагретости), Ломоносов «причину тепла» видит во враща-
тельном движении частиц. Таким образом, Ломоносовым были по суще-
ству сформулированы молекулярно-кинетические представления.
Во второй половине XIX в. и в начале XX в. благодаря трудам ряда
ученых атомистика превратилась в научную теорию.
Глава 2. основные положения
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Основные положения, на которых базируется молекулярно-кинети-
ческая зеория вещества:
вещество (тело) состоит из микрочастиц - атомов, молекул или
ионов;
микрочастицы находятся в непрерывном хаотическом движении;
микрочастицы взаимодействуют друг с другом; тепловое движе-
ние между микрочастицами в различных агрегатных состояниях неоди-
наково, оно зависит от сил притяжения и отталкивания, действующих
между атомами, молекулами и ионами.
Существование молекул, атомов и ионов доказано эксперименталь-
но. Молекулы досконально изучены и даже сфотографированы с помо-
щью электронных микроскопов. Непрерывным хаотическим движением
молекул объясняется способность газов неограниченно расширяться, и
занимать весь представленный им объём. Упругость газов, твёрдых и
жидких тел, способность жидкостей смачивать некоторые твердые тела,
процессы окрашивания, склеивания, сохранения формы твердыми тела-
ми и многое другое говорят о существовании сил притяжения и отталки-
вания между молекулами.
Распространения запахов, смешивание разнородных жидкостей,
процесс растворения твердых тел в жидкостях, сварка металлов, как пу-
тем расплавления, так и путем давления, объясняются явлением диффу-
зии, которое подтверждает правильность основных положений МКТ.
Диффузия - это процесс взаимного проникновения молекул одного ве-
щества в промежутки между молекулами другого. Диффузия достаточно
легко наблюдается в жидкостях (самопроизвольное перемещений рас-
твора медного купороса с водой) и газов (распространение паров эфира).
Намного сложнее обнаружить диффузию в твердых телах. В одном из
опытов гладко отшлифованные пластинки свинца и золота клали одну на
другую и ставили на них груз. При обычной комнатной температуре
(около 20 °C) за 5 лет золото и свинец срослись, взаимно проникнув друг
в друга на расстояние 1 см. Получился слой из однородного сплава золо-
та со свинцом, хотя, конечно, ни о каком плавлении этих металлов при
20 °C не могло быть и речи.
В результате диффузии плотность газа во всем объеме выравнивает-
ся. Процесс диффузии ускоряется с повышением температуры, что мо-
жет быть объяснено тем, что при этом увеличивается скорость беспоря-
дочного движения молекул.
96
Явление диффузии играет большую роль в природе: оно способст-
вует поддержанию однородности состава атмосферного воздуха вблизи
Земли. Диффузия растворов различных солей в почве способствует нор-
мальному питанию растений.
К числу опытных доказательств движения молекул в теле относится
явление, открытое в 1827 г. английским ботаником Робертом Броуном.
Он наблюдал в микроскоп споры плауна в воде и заметил, что твердые
частицы, взвешенные в жидкости, находятся в непрерывном хаотическом
движении. Хаотическое движение броуновских частиц объясняется дви-
жением молекул, в данном случае жидкости, которые сталкиваются с
микроскопическими частицами и приводят их в движение. Наиболее
подробно броуновское движение было изучено французским ученым
Перреном, который, выполнив ряд экспериментов, доказал хаотичность
движения броуновских частиц и зависимость их скорости от температу-
ры. Теорию броуновского движения разработал немецкий физик Альберт
Эйнштейн. Законы движения броуновских частиц имеют статистический,
вероятностный характер. Известен только один способ уменьшения ин-
тенсивности броуновского движения: уменьшение температуры. Суще-
ствование броуновского движения убедительно подтверждает движение
молекул.
Глава 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МОЛЕКУЛ
И АГРЕГАТНЫЕ СОСТОЯНИЯ
Межмолекулярное взаимодействие имеет электрическую природу,
хотя молекула в целом электрически нейтральна, так как суммы положи-
тельных и отрицательных зарядов в ней равны друг другу. При такой
компенсации электрических зарядов электрическое поле за пределами
молекулы быстро убывает с расстоянием. Молекулы взаимодействуют
друг с другом. Между ними действуют силы притяжения и силы оттал-
кивания, которые быстро убывают при увеличении расстояния между
молекулами. Силы отталкивания действуют только на очень малых рас-
стояниях. Практически поведение вещества и его агрегатное состояние
определяются тем, что является доминирующим: силы притяжения или
хаотическое тепловое движение.
В твердых телах, где концентрация молекул п (число молекул в
единице объема) относительно велика, доминируют силы взаимодейст-
вия, и твердое зело сохраняез' свои размеры и форму.
Жидкости, где концентрация меньше, а следовательно, меньше си-
лы взаимодействия, сохраняют свой обьем, но принимают форму сосуда,
в котором они находятся.
В газах, где концентрация п молекул еще меньше, силы взаимодей-
ствия малы, поэтому газ занимает весь предоставленный ему объем.
Сила молекулярного взаимодействия зависит от формы и структуры
молекул. Поэтому нет единого закона для ее расчета. Однако, если пред-
положить, что молекулы имеют форму шара, то общий характер зависи-
мости этих сил от расстояния между молекулами будет следующим: на
расстояниях, меньших размера молекулы, силы отталкивания преобла-
дают над силами притяжения; на расстояниях, больших размера молеку-
лы, силы притяжения преобладают над силами отталкивания. Установ-
лено, что силы отталкивания обратно пропорциональны расстоянию ме-
жду ними:
F = —,
отталк п
Г
где а и п - положительные постоянные, причем л «14-12,
а силы притяжения
где b и т - положительные постоянные, причем тл«7-5.
Поэтому на малых расстояниях силы отталкивания возрастают бы-
стрее сил притяжения.
98
На рис. 3.1 а показаны теоре-
тически найденные кривые, харак-
теризующие изменение сил притя-
жения и сил отталкивания в зави-
симости от расстояния г между
молекулами, а также график изме-
нения результирующей силы вза-
имодействия. Из графика видно,
что на некотором расстоянии г0
(оно различно для молекул разных
веществ) силы притяжения равны
силам отгалкивания. Изучая пове-
дение большой совокупности моле-
кул, удобно пользоваться не силой
взаимодействия молекул, а потен-
циальной энергией U(r}.
На рис. 3.16 приведен график
зависимости потенциальной энер-
гии U взаимодействия двух моле-
кул от расстояния г между ними.
Пусть в точке г = 0 находит-
ся одна молекула, а вторая моле-
кула приближается к ней из беско-
нечности.
Напомним, что
AU = -Д,3 = -РюЬг ,
„ tiU , „ dU .
откуда F = —— (F„ = -—-).
Дг dr
При г > ги Ротплк <F —
г л »•
>0.
При г = г0 Ратплк = F , потенциальная энергия минимальна, сум-
марная сила, действующая на молекулы, равна нулю.
При г<г0 /’0_>Рпр; Д17/Д2?<0.
Набольшее сближение молекул достигается при расстоянии r = d
(рис. 3.1е), при котором вся кинетическая энергия молекул VZ, полно-
стью израсходована на совершение работы против сил отталкивания.
99
Приближаясь к первой молекуле, вторая молекула под действием
силы притяжения движется со все возрастающей скоростью. В результа-
те кинетическая энергия IV также рас тет.
Однако полная энертия системы №то1н = 3Vk+l7 остается неизмен-
ной (система двух молекул замкнутая).
При прохождении молекул точки с координатой г0 силы притяжения
сменяются силами отталкивания, вследст вие чего молекула начинает быстро
терять скорость (в области отталкивания кривая U(г) идет очень круто). В
момент, когда потенциальная энергия U(r) становится равной полной энер-
гии системы IV,, скорость молекул обращается в ноль. В этот момент имеет
место наибольшее сближение молекул друг с другом. Минимальное
расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул,
называется эффективным диаметром молекулы d (рис. 3.1 в).
Таким образом, эффективный диаметр d молекул зависит от их
энергии, а следовательно, и от температуры. С повышением температуры
(7] <Т2) эффективный диаметр d молекул уменьшается. Расстояние d
представляет собой эффективный диаметр молекулы, т.е. эффективный
диаметр молекулы определяет линейные размеры той области, в которую
другая молеку'ла проникнусь не может. Это позволило рассматривать
молекулы как два упругих шарика диаметром d , так как d - минималь-
ное расстояние между их центрами (рис. 3.1в).
Взаимодействие молекул рассматривается по законам абсолютно уп-
ругого удара. При хаотическом тепловом движении молекул средняя кине-
тическая энергия имеет порядок kT , где k — постоянная Больцмана, рав-
ная 1,38 10 23 Дж/К , а Т - абсолютная температура. Агрегатное состоя-
ние вещества существенно зависит от соотношения между Umin и kT .
При низких температурах, когда кинетическая энергия молекул ма-
ла (kT «|Пп||г|), молекулы притянутся друг к другу вплотную и устано-
вятся в определенном порядке - вещество находится в твердом агрегат-
ном состоянии.
При высоких температурах, т.е. при большой кинетической энергии
молекул (kT »|Н|П1г|), интенсивное тепловое движение молекул мешает
им соединиться в агрегаты из нескольких частиц, оставляя их на некото-
ром расстоянии г <rv друг от друга. Вещество при этом находится в га-
зообразном состоянии.
100
Если взять промежуточные значения температур ( kT = |t7min|), то
оказывается, что молекулы непрерывно перемещаются в пространстве,
обмениваясь местами. Однако они не будут увеличивать взаимного рас-
стояния на величину, заметно превышающую d . Вещество при этом
находится в жидком агрегатном состоянии.
Следовательно, в зависимости от температуры любое вещество
может находиться в твердом, жидком и газообразном состоянии.
Среднее расстояние между молекулами газа в десятки раз превыша-
ет размеры его молекул. Только 0,04% объема, занятого газом, прихо-
дится на долю самих молекул, а остальную часть пространства составля-
ет свободный от молекул объем.
Взаимного притяжения молекул газа практически нет, и их движе-
ние происходит по инерции. Молекула газа движется равномерно и пря-
молинейно до тех пор, пока не столкнется с другой молекулой, а, изме-
нив направление и величину скорости, снова будет двигаться равномерно
и прямолинейно до очередного столкновения. Если молекулы газа состо-
ят из нескольких атомов, то при столкновении они приобретают еще и
вращательное движение. Таким образом, тепловое движение молекул
газов является поступательным и вращательным.
В жидкостях силы сцепления молекул некоторое время удерживают
их в равновесии, где они колеблются, а затем перескакивают в новое по-
ложение равновесия и т.д. Таким образом, тепловое движение в жидко-
сти в основном является колебательным и поступательным.
В твердых телах молекулы расположены плотнее, чем в жидкостях,
получаемых после плавления этих тел. Тепловое движение молекул
в твердых телах в основном является колебательным, хотя возможны
переходы молекул из одного положения в другое, что подтверждается
диффузией.
Глава 4. РАЗМЕРЫ И МАССА МОЛЕКУЛ.
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Специфика микромира приводит к необходимости введения специ-
альных единиц молекулярной физики. Так как массы молекул очень ма-
лы («ИГ27 кг), удобно использовать в расчетах не абсолютные значения
масс, а относительные. По международному соглашению массы всех
атомов и молекуш сравнивают с 1/12 массы атома углерода (так называе-
мая углеродная шкала атомных масс).
Относительной молярной (или атомной) массой вещества Мг на-
, . 1
зывают отношение молекулы (атома) т0 данного вещества к — массы
атома углерода /71ос.
Мг=-р-.
Относительная атомная масса всех химических элементов точно из-
мерена и приведена в таблице Менделеева.
Складывая относительные атомные массы элементов, входящих в
состав молекулы вещества, можно вычислить относительную молярную
массу вещества.
В международной системе единиц (СИ) количество вещества выра-
жается в молях.
Моль - это количество вещества, в котором содержится столько
структурных элементов (молекул, атомов, ионов), сколько атомов содер-
жится в 0,012 кг изотопа углерода 12С . Значит, в моле любого вещества
содержится одно и то же число атомов или молекул. Это число атомов
обозначают и называют постоянной Авогадро.
Масса атома углерода ,2С равна тж = 1,995-10 26 кг, тогда
NA = = 0,012—---------------= 6,02 1023 моль 1.
тог моль 1,995-10 кг
Количество вещества v равно отношению числа молекул N в данном
теле к постоянной Авогадро NA, т.е. к числу молекул в 1 моле вещества:
N
v =---.
Наряду с относительной молекулярной массой в физике и химии
широко используют понятие «молярная масса».
102
Молярной массой вещества называют массу вещества, взятого в
количестве одного моля, т.е.
М = mnNA = — тх Мг = Мг • 10 3 кг/моль .
12 тм
М = Мг -10 3 кг/моль .
С учетом вышесказанного, количество вещества v равно отноше-
нию массы вещества к его молярной массе:
т
v = —.
М
Число молекул любого количества вещества массой т и малярной
массой М
N=——NA.
м А
Приближенная оценка размеров и массы молекул (рис. 4.1).
Объем капли 0,5%-ного раствора равен 2 мм3.
Объем пятна: V = 0,005%-2-Ю'9 м3 = 10" м3.
м .
Площадь пятна:
5 = 2^ = Ш(о,2)2 = 3,14-10’2 м2.
4 4
Толщина слоя или диаметр молекулы:
d=K = -“Г^з-кг*
S 3,14-10 2 м2
Объем одной молекулы:
V0 = d3 = 2,7-10"29
Масса одной молекулы:
т = рИ = 0,9-10’ И-2,7-10'29
м
м3.
Рис.4.1
м3 = 2,4.10“ кг.
Глава 5. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ МОЛЕКУЛЯРНО-
КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
5.1. Общие сведения
Всякий газ давит на оболочку, внутри которой он находится. Давле-
ние, производимое газом на стенки сосуда, объясняется ударами движу-
щихся молекул. При ударе о стенки молекулы газа отдают ей определен-
ный импульс; стенка при этом испытывает действие некоторой силы. Но
молекул газа очень много, удары о стенки сосуда происходят беспрерыв-
но, поэтому в результате получается значительное давление.
Хаотичность движения молекул приводит к тому, что давление газа
одинаково во всех направлениях. Для объяснения свойств вещества в
газообразном состоянии используется модель идеального газа.
Идеальным принято считать газ, если:
а) между молекулами отсутствуют силы притяжения, т.е. молекулы
ведут себя как абсолютно упругие тела;
б) газ очень разрежен, т.е. расстояние между молекулами намного
превосходит размеры самих молекул;
в) тепловое равновесие по всему объему достигается мгновенно.
Условия, необходимые для того чтобы реальный газ обрел свойства
идеального, осуществляются при соответствующем разрежении реально-
го газа. Некоторые газы даже при комнатной температуре и атмосферном
давлении слабо отличаются от идеальных.
Основными макроскопическими параметрами идеального газа
являются: давление, объем и температура.
Одним из первых и важных успехов МКТ было качественное и ко-
личественное объяснения давления газа на стенки сосуда. Количествен-
ное объяснение заключается в том, что молекулы газа при столкновениях
со стенками взаимодействуют с ними по законам механики как упругие
тела и передают свои импульсы стенкам сосуда.
Выведем основное уравнение МКТ.
Импульс силы, передаваемый стенке при уда-
ре одной молекулы (рис. 5.1):
F, = movlx -movlx = mDvx -(-mnvx) = 2mpvx .
За время t о стенку ударяется N молекул,
меняющих направление своей скорости и пере-
дающих стенке импульс силы
F, = N-2m„vx.
104
Рассчитаем число ударяющихся о стенку мо-
лекул (рис. 5.2), С,С = vxt .
C^CDD, = vxtS- объем, nvtS - число моле-
кул в объеме, п = N/V - концентрация микрочастиц.
К стенке движется только половина молекул:
N =—nvrtSFt -—nvItS-2m..vI;
2 * 2** v * *
отсюда F = nmevxS .
F 1
Давление р = — = пггцр2. Так как и* = -о2, то
<S 3
с
Р, D
Рис. 5.2
p=—nmov2.
Это уравнение (основное уравнение молекулярно-кинетической
теории идеального газа) устанавливает связь между микро- и макропара-
метрами.
1 muq2 2 =
р-—п—^- = — пЕ .
2 2 3
Давление идеального газа прямо пропорционально средней кинети-
ческой энергии поступательного движения молекул, содержащихся в
единице объема газа.
5.2. Температура и ее измерение
Однако, измерив только давление газа, невозможно узнать ни сред-
нее значение кинетической энергии молекул в отдельности, ни их кон-
центрацию. Следовательно, для нахождения микроскопических парамет-
ров газа необходимо знать какую-то еще физическую величину, связан-
ную со средней кинетической энергией молекул. Такой величиной в фи-
зике является температура.
Температура - скалярная величина, описывающая состояние тер-
модинамического равновесия (состояния, при котором не происходит
изменения микроскопических параметров). Как термодинамическая ве-
личина, температура характеризует тепловое состояние системы и изме-
ряется степенью его отклонения от принятого за нулевое, как молеку-
лярно-кинетическая величина характеризует интенсивность хаотическо-
го движения молекул и измеряется их средней кинетической энергией.
_ 3
2
где k = 1,38-1(Г23 Дж/К - постоянная Больцмана.
105
Температура всех частей изолированной системы, находящейся в
равновесии, одинакова. Измеряется температура термометрами в граду-
сах различных температурных шкал. Существует абсолютная термоди-
намическая шкала (шкала Кельвина) и различные эмпирические шкалы,
которые отличаются начальными точками. До введения абсолютной шка-
лы температур в практике широкое распространение получила шкала
Цельсия (за О °C принята точка замерзания воды, за 100 °C принята точка
кипения воды при нормальном атмосферном давлении).
Единица температуры по абсолютной шкале называется Кельвином
и выбрана равной одному градусу по шкале Цельсия: 1 К = 1 °C.
В шкале Кельвина за нуль принят абсолютный нуль температур,
т.е. температура, при которой давление идеального газа при постоянном
объеме равно нулю. Вычисления дают результат, что абсолютный нуль
температуры равен -273 °C. Таким образом, между абсолютной шкалой
температур и шкалой Цельсия существует связь: Т = t °C + 273 (рис. 5.3).
Абсолютный нуль температур недостижим, так как любое охлаждение
основано на испарении молекул с поверхности, а при приближении к
абсолютному нулю скорость поступательного движения молекул на-
столько замедляется, что испарение практически прекращается. Теорети-
чески при абсолютном нуле скорость поступательного движения моле-
кул равна нулю, т.е. прекращается тепловое движение молекул.
Для измерения температуры используют прибор - термометр.
Термометр - устройство, используемое для измерения температуры
данного тела путем сравнения с опорными значениями, условно выбран-
ными за точки отсчета и позволяющими установить шкалу измерений.
При этом в разных термометрах используются разные связи между тем-
пературой и каким-то наблюдаемым свойством прибора, которое можно
считать линейно зависящим от температуры.
В общеизвестном ртутном термометре значение температуры оп-
ределяется по высоте подъема столбика ртути в капилляре. Градуировка
этого термометра использует тот факт, что увеличение объема ртути
прямо пропорционально температуре.
В термопаре используется зависимость тока, проходящего через
контакт двух металлов, от температуры контакта. Один из контактов по-
гружается в тело с опорной температурой (например, в тающий лед, тем-
пература которого условно принята за ноль), другой - в исследуемое те-
ло. По разности потенциалов между контактами можно судить о темпе-
ратуре исследуемого тела. По существу, аналогично действует термо-
метр на сопротивлении, в котором используется зависимость сопротив-
ления проводника от температуры.
106
В газовом термометре постоянного объема используется экспери-
ментальный факт, заключающийся в том, что при постоянном объеме
давление газа пропорционально температуре. Сначала термометр, со-
стоящий из герметичной колбы с газом, соединенной с манометром для
измерения давления газа в колбе, приводится в тепловой контакт с сис-
темой 1. После установления теплового равновесия система 1 и термо-
метр обладают общей температурой 7]. В этот момент измеряется дав-
ление р, газа в колбе. Затем то же самое повторяется с системой 2. Так
Т р
как температура пропорциональна давлению, то — = —. Остается толь-
Р,
ко выбрать шкалу, заключив соглашение, чему равна температура како-
го-то выделенного состояния конкретной системы, без труда допускаю-
щего воспроизведение. По договоренности за опорную точку принимают
тройную точку воды.
Связь температурных шкал (рис. 5.3):
9
tc = T-273,15 °C; tF=-tc+32°F.
К °C °F
373,15 100,00 212,00 1)
273,16 273,15 0.01 0,00 32,02, 32,0(Г 2)
б” -273,15 -459,67 3)
Рис. 5.3. 1) - Точка кипения воды при нормальных условиях;
2) - тройная точка воды, точка таяния воды при нормальных
условиях; 3) - абсолютный ноль.
С физической точки зрения естественной шкалой температур явля-
ется шкала Кельвина или абсолютная шкала температур. Но некоторые
страны, например США, до сих пор используют совсем непривычную
для нас шкалу Фаренгейта.
107
S.3. Скорость молекул газа
Если газ находился в равновесии, молекулы движутся совершенно
беспорядочно, хаотически. Все направления движения равновероятны, ни
одному из них не может быть отдано предпочтение перед другими. Скоро-
сти молекул могут быть самыми различными по величине. При каждом
соударении с другими молекулами величина скорости данной молекулы
должна, вообще говоря, изменяться, причем с равной вероятностью она
может как возрасти, так и уменьшиться. Изменение скоростей молекул при
столкновениях происходит случайным образом: молекула в целом ряде
последовательных соударений может получать энергию от своих партне-
ров по столкновениям, в результате чего ее энергия значительно превзой-
дет среднее значение Е . Однако, даже если представить себе такой со-
вершенно фан тастический случай, при котором все молекулы газа остано-
вятся, передав свою энергию одной - единственной молекуле, то и тогда
энергия этой молекулы, а следовательно, и ее скорость, будет конечна.
Таким образом, скорость молекул газа вообще не может иметь значений,
начиная с некоторого umax до оо. Учитывая, что процессы, которые приве-
ли бы к сосредоточению на одной молекуле заметной доли суммарной
энергии всех молекул, маловероятны. Можно утверждать, что слишком
большие по сравнению со средним значением скорости могут реализо-
ваться крайне редко. Точно так же практически исключено, то в результате
соударений скорость молекулы станет равной точно нулю.
Из сказанного следует, что скорости молекул группируются в ос-
новном вблизи некоторого наиболее вероятного значения.
Впервые закон о распределении молекул по скорости и энергии по-
лучил экспериментальное подтверждение в опытах О. Штерна.
Изменение скоростей молекул было
проверено на установке, схема которой
представлена на рис. 5.4.
Установка состоит из двух концен-
трических цилиндров А и В, имеющих
различные диаметры и общую ось.
Воздух внутри цилиндра откачан. В
цилиндре А имеется узкая щель С. По
оси протянута платиновая проволока Р,
покрытая слоем серебра, по которой про-
пускают электрический ток. При нагрева-
В
Рис. 5.4
нии проволоки током серебро испаряется, атомы его вылетают через
щель С и попадают на внутреннюю поверхность цилиндра В. Если 'оба
цилиндра неподвижны, то все атомы серебра независимо от их скорости
попадут в одну и ту же точку D" цилиндра В. При одновременном
108
вращении обоих цилиндров с угловой скоростью со атом серебра в зави-
симости от скорости попадает в другую точку на стенке цилиндра В, на-
пример, в точку D', так как за время полета атомов от проволоки Р до
стенки цилиндр В успевает немного повернуться. Зная расстояния d , на
которые сместились следы атомов относительно их следов при неподвиж-
ных цилиндрах, угловые скорости вращения цилиндров, радиусы Лиг
внешнего и внутреннего цилиндра, легко вычислить скорость молекулы.
Действительно, если скорость внешнего цилиндра - и, а время
пролета молекулы от внутреннего цилиндра до внешнего - t, то рас-
стояние на поверхности цилиндра
d = ut = e>Rt,
а скорость молекулы
R-r
t
Исключив из обоих уравнений t, получим
сой(Д-г)
V~ d
Средняя скорость атомов серебра в опыте оказалась равной 650 м/с.
Характерно, что слой серебра на внешнем цилиндре получился размы-
тым. Это означает, что скорости движения атомов различны.
Это совпадение является одним из важнейших прямых доказа-
тельств справедливости молекулярно-кинетической теории.
В теоретической физике вводятся понятия:
средней квадратической скорости'.
2 у2х+у}+...у^ ,
формула для расчета средней квадратической скорости:
средней арифметической скорости'.
_ ц +v2 +..ГА. .
ср N
формула для расчета средней арифметической скорости:
_ |8RT
наиболее вероятной скорости'.
_ [2R7
У М
Глава 6. ГАЗ И ЕГО СВОЙСТВА
6.1. Общие сведении
В молекулярной физике и термодинамике рассматриваются систе-
мы, состоящие из большого числа частиц, т.е. макроскопические систе-
мы. Для одной частицы в отдельности нельзя указать ее координату и
направление движения, определить температуру и давление. Измеримы
только параметры состояния совокупности молекул, т.е. макроскопиче-
ские характеристики.
Выясним вначале, каким закономерностям подчиняется поведение
вещества, находящегося в газообразном состоянии. При этом будем рас-
сматривать идеализированную модель реальных газов - идеальный газ.
Газ (ог греч. Cha'os) - агрегатное состояние вещества, которое рас-
сматривается как совокупность слабо взаимодействующих частиц, нахо-
дящихся в непрерывном хаотическом (тепловом) движении.
Газ, молекулы которого рассматриваются как не взаимодействую-
щие на расстоянии друг с другом частицы, суммарным объемом которых
можно пренебречь по сравнению с объемом, занятым !азом, называется
идеальным. Идеальный газ — простейшая физическая модель реального
газа. Его характеристики:
расстояние между молекулами X (А. 33 -1О“10 м) велико по сравне-
нию с размерами самих молекул газа (d ~ 10 10 м);
молекулы - упругие частицы;
силы притяжения стремятся к нулю;
отталкивание - только при ударах;
движение - по законам Ньютона.
Основные свойства газов:
1) полностью заполняют любые предоставленные им объемы;
2) легко меняют свой объем и форму;
3) легко перемешиваются между собой в любых пропорциях.
6.2. Внутренняя энергия идеального газа
Газ, состоящий из отдельных атомов, а не молекул, называется од-
ноатомным. К одноатомным газам относятся инертные газы — гелий,
неон, аргон. В случае идеальных газов пренебрегают силами взаимодей-
ствия молекул, т.е. их потенциальная энергия полагается равной нулю,
поэтому внутренняя энергия идеального газа представляет собой кинети-
ческую энергию тепловою движения молекул.
ПО
Кинетическая энергия поступательного движения молекулы (одно-
атомной)
т
(Е)--ет.
Определим внутреннюю энергию идеального одноатомного газа
массой т. Для этого среднюю энергию одного атома надо умножить на
число атомов. В 1 моле содержится NA атомов, в газе массой т содер-
жится v = mlM моль, поэтому внутренняя энергия идеального одно-
атомного газа
U=—Na -kT или U =—RT , так как kN. = R.
М л2 2М А
Внутренняя энергия идеального газа пропорциональна массе газа и
его термодинамической температуре.
Молекула одноатомного газа принимается за материальную точку.
так как масса атома сосредоточена, в основном, в ядре, размеры которого
малы. Положение одноатомной молекулы в пространстве однозначно за-
дается тремя координатами. Говорят, что одноатомный газ имеет три сте-
пени свободы (1 = 3). Эта молекула движется только поступательно.
Вследствие того, что молекула находится в хаотическом движении, все
направления ее движения являются равноправными, т.е. средняя кинети-
ческая энергия хаотического теплового движения молекулы равномерно
распределена между тремя степенями свободы. 11а каждую степень сво-
боды поступательного движения одноатомной молекулы приходится
одинаковая кинетическая энергия, равная
-kT.
2
Молекула двухатомного газа представляет собой два атома, жестко
связанных между собой. Эти молекулы не только движутся поступатель-
но, но и вращаются. Такая молекула кроме трех степеней свободы посту-
пательного движения имеет две степени свободы вращательного движе-
ния, т.е. i = 5. Если газ многоатомный, то i = 6, если молекулу газа счи-
тать жесткой. При повышении температуры газа сталкивающиеся моле-
кулы начинают деформироваться, приобретая дополнительные степени
свободы. Мы будем рассмазривать только газы с абсолютно жесткими
молекулами.
Внутренняя энергия многоатомного газа представляет собой кине-
тическую энергию всех движений частиц. Все степени свободы много-
атомной молекулы являются равноправными, поэтому они вносят одина-
ковый вклад в ее среднюю кинетическую энергию:
Ill
Внутренняя энергия многоатомного идеального газа
U=—NA-kT =—RT .
М 2 2М
Число степеней свободы i для различных случаев можно опреде-
лить, используя табл.6.1.
Таблица 6.1
Вещество Т ип движения
1 2 3 Всего
Одноатомный газ, одна молекула 3 — — 3
Двухатомный газ, одна молекула 3 2 — 5
Трехатомный газ, одна молекула 3 3 — 6
Т вердое тело - — 6 6
Жидкость не определено
Здесь: 1 - поступательное, 2 - вращательное, 3 - колебательное движения.
6.3. Уравнение состоянии идеального газа
Состояние данной массы газа полностью определено, если известны:
давление, температура и его объем. Эти величины называют параметрами
состояния газа. В природе часто имеют место процессы, когда одновре-
менно меняются все три величины, характеризующие состояние газа.
Уравнение, связывающее параметры состояния, называют уравне-
нием состояния. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Кла-
пейрона) является обобщением опыта и имеет следующую формулиров-
ку: при переходе из одного состояния в другое данной массы газа произ-
ведение давления на объем, деленное на абсолютную температуру, есть
величина постоянная'. pV/Т = const.
Диаграммы состояния.
Уравнение состояния фиксированного количества идеального газа
представляет соотношение между тремя переменными величинами: дав-
лением, объемом и температурой и определяет поверхность в трехмер-
ном пространстве с координатами р, V, Т (рис. 6.1) Каждое возможное
состояние равновесия данного количества идеального газа соответствует
точке на этой поверхности. Газ не может существовать в состоянии, ко-
торое не попадает на эту поверхность. Если газ переходит из одного рав-
новесного состояния в другое, точка, изображающая состояние газа, пе-
ремешается по кривой, лежащей на поверхности.
112
Для произвольной
массы состояние газа
описывается уравнени-
ем Менделеева -Кла-
пейрона:
pV = — RT,
М
где р - давление,
V - объем, т - мас-
са, М - молярная
масса, R - универ-
сальная газовая посто-
янная, Т - абсолютная
температура.
Физический смысл
универсальной газовой
постоянной в том, что
=RT
pV
р, На
4600
4100-
3600—
зюо-
2600—
2100-
1600—
1100
600-
100
1,0 2-6 4 2 <«
5'8 7,4 90 100
Км3
420
Г, К
164
Рис. 6.1
она показывает, какую работу совершает один моль идеального газа при
изобарном расширении при нагревании на 1 К.
6.4. Изопроцессы
Уравнение Менделеева-Клапейрона показывает, что для данной
массы какого-либо газа возможно изменение одновременно трех пара-
метров, характеризующих состояние в природе и осуществляемых в тех-
нике; часто происходит так, что изменяются два параметра из пяти. Осо-
бую роль в физике и технике играют четыре процесса: изотермический,
изохорный, изобарный и адиабатный.
Изопроцессом называют процесс, проходящий с данной массой га-
за при одном постоянном параметре - температуре, давлении, объеме, а
также без теплообмена с окружающей средой. Из уравнения состояния,
как частный случай, можно получить законы для изопроцессов.
Изотермическим называют процесс, протекающий при постоянной
температуре. Из уравнения состояния:
Р1Ц P1V2
с учетом того, что 7] = Тг, получаем:
Р V
р, У, = р2 V2 ~ pV = const, или —1- = —.
Pi
ИЗ
Это математическое выражение закона Бойля-Мариотта:
Для данной массы газа при постоянной температуре
давление идеального газа обратно пропорционально его
объему.
График изотермического процесса называется изотермой (рис. 6.2п).
Процесс, протекающий при постоянном объеме, называют изохор-
ным. Из уравнения состояния
Р1У1 _ Р2Г2
71 Тг
с учетом того, что V, - V2, получаем
a=2L
л т2'
закона Шарля, который можно
Л Р,
—L = —, или
т; т2
Это математическое выражение
ТЛ Р
представить в виде: V = const, — = const.
Закон Шарля:
Для данной массы газа при постоянном объеме давление
прямо пропорционально его абсолютной температуре.
График изохорного процесса называется изохорой (рис. 6.2(5).
Изобарным называют процесс, протекающий при постоянном дав-
лении. Уравнение этого процесса выводится аналогично и имеет вид
V
— = const
Т
при р = const и называется законом Гей-Люссака:
Для данной массы газа при постоянном давлении объем
идеального газа прямо пропорционален его абсолютной
температуре.
График этого процесса называется изобарой (рис. 6.2«).
114
Адиабатным называю! процесс, проходящий в системе без теплооб-
мена с окружающими телами (dQ = 0). В действительности невозможно
осуществить такой процесс, однако если процесс происходит быстро или
с хорошей термоизоляцией, то он будет близок к адиабатному. В этом
случае первое начало термодинамики записывается так:
А = -аС/ или АА = -AU .
Работа при адиабатном процессе совершается газом за счет измене-
ния его внутренней энергии. Если газ расширяется, совершая работу
против внешних сил, то его внутренняя энергия уменьшается и темпера-
тура понижается.
Уравнение, связывающее два параметра газа, например, давление и
объем в адиабатном процессе, называют уравнением Пуассона и оно
имеет следующий вид:
pVy = const,
где у - показатель адиабаты.
, i+2 г „
Отметим, что у всегда больше 1, у =-------, и представляет собой
i
характерную для каждого газа величину. Полученное соотношение
pV = const представляет собой уравнение адиабаты идеального газа в
переменных pV. Из этого уравнения, используя уравнение состояния
идеального газа pV = —RT , получим
М
Y-I
TV1"1 = const, или Тр Y .
Из сопоставления уравнения адиабаты pVy = const с уравнением
изотермы pV = const, следует, что адиабата идет круче, чем изотерма
(рис. 6.2г).
Глава 7. ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ.
ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
7.1. Общие сведении
Макроскопические величины, характеризующие состояние термоди-
намической системы (в качестве образа можно иметь в виду газ, заклю-
ченный объем), - это давление р, объем V , число частиц или число мо-
лей v, температура Т, внутренняя энергия U и др. Все эти параметры
состояния данной термодинамической системы являются величинами, ме-
няющимися в зависимости от ее взаимодействия с окружающей средой.
Рассматриваемая система может быть отделена от окружающей сре-
ды или другой системы изолирующей адиабатической перегородкой. В
этом случае взаимодействие систем друг с другом полностью отсутствует.
Другой предельный случай - диаметрическая перегородка, которая совер-
шенно не препятствует тепловому взаимодействию систем. При тепловом
контакте две системы приходят в состояние теплового равновесия.
Две системы находятся в состоянии теплового равновесия, если при
контакте через диаметрическую перегородку параметры состояния обеих
систем не изменяются. По определению, две системы, находящиеся в
тепловом равновесии, обладают одинаковой температурой.
7.2. Нулевой закон термодинамики
Две системы, находящиеся в т епловом равновесии с третьей системой,
находятся в тепловом равновесии друг с другом.
Системы 1 и 2 (рис. 7.1) изолированы друг от
друга, между ними помещена не пропускающая
теплоту перегородка, и соединены диаметриче-
ской, свободно пропускающей теплоту перегород-
кой с тепловым резервуаром 3.
Нулевой закон утверждает, что если системы
1 и 2 находятся в тепловом равновесии с 3, то они
р 7 1 находятся в тепловом равновесии друг с другом.
7.3. Первый закон термодинамики
Каждое тело состоит из частиц, которые хаотически движутся и
взаимодействуют друг с другом, поэтому любое тело обладает внутренней
энергией. Внутренняя энергия характеризует термодинамическое состоя-
ние тела. С точки зрения молекулярно-кинстической теории строения ве-
щества внутренняя энергия равна сумме кинетической энергии движения
частиц вещества и потенциальной энергии их взаимодействия:
116
Внутренняя анергия тела может изменяться только в результате его
взаимодействия с другими гелами. Существуют два способа изменения внут-
ренней энергии: теплопередача и совершение механической работы (напри-
мер, нагревание при трении или сжатии, охлаждение при расширении).
Теплопередача - это изменение внутренней энергии без соверше-
ния работы. Энергия передается от более нагретых тел к менее нагретым.
Существует три вида теплопередачи:
'теплопроводность - непосредственный обмен энергией между хао-
тически движущимися частицами взаимодействующих тел или частей
одного и того же тела;
конвекция — перенос энергии потоками жидкости или газа;
излучение - перенос энергии электромагнитными волнами.
Мерой переданной энергии при теплопередаче является количество
теплоты Q.
Внутренняя энергия системы изменяется на АС7 в процессе совер-
шения работы А внешними силами и передаче системе от этих тел не-
которого количества теплоты, тогда закон сохранения энергии замкну-
той системы гласит:
Изменение внутренней энергии системы равно сумме
количества теплоты, переданной системе, и работы
внешних сил, совершенной над системой:
&U=Q+A,
где AL7 - изменение внутренней энергии, Q - количество теплоты, пе-
реданное системе, А - работа внешних сил.
Если система сама совершает работу, то ее условно обозначают А'.
При этом А' = -А. Тогда закон сохранения энергии для тепловых
процессов, который называется первым законом термодинамики,
можно записать так:
Q = A' + A(7,
т.е. количество теплоты, переданное системе, идет на совершение сис-
темой работы против внешних сил и изменение ее внутренней энергии.
Работа совершается газом при расшире-
нии. При изобарном натревании газ совершает
над внешними силами работу
А' = р(У2-У1) = рлУ,
где Vt и V2 - начальный и конечный объем газа.
Если процесс не является изобарным, ве-
личина работы может быть определена площа-
дью между графиком р = р(П) и осью OV
(рис. 7.2).
117
Рассмотрим применение первого закона термодинамики к изопро-
цессам, происходящим с идеальным газом.
В изотермическом процессе температура постоянна, следовательно,
внутренняя энергия не меняется. Тогда уравнение первого закона термо-
динамики примет вид:
Q = A',
При изобарическом процессе р-const, т.е. количество теплоты,
переданное газу, идет на увеличение его внутренней энергии и на совер-
шение им работы:
Q=AUtA'.
При изохорном процессе газ не меняет своего объема, следовательно,
работа им не совершается, А = 0 и уравнение первого закона имеет вид:
Q = AU,
т.е. переданное количество теплоты идет на увеличение внутренней
энергии газа.
Как было выше сказано, адиабатным называют процесс, проте-
кающий без теплообмена с окружающей средой, Q = 0, следовательно,
газ при расширении совершает работу за счет уменьшения его внутрен-
ней энергии, следовательно, газ охлаждается:
A' = -AU .
7.4. Теплоемкость газов
Соотношение Q = At7 + А' есть закон сохранения энергии в тепло-
вых процессах. Этот закон справедлив, разумеется, для тел любой при-
роды. Теплоемкость с, тела
Дж/К’
где AQ - количество теплоты, сообщенное телу, АТ - изменение его
температуры.
Если объем тела не меняется, т.е. AV = 0 и работа, совершенная его
внутренней энергии - AU, теплоемкость тела
AU
АТ
где индекс V подчеркивает, что объем тела постоянный и изменение
внутренней энергии происходит при постоянном объеме. Отсюда
AU =cvAT.
Теплоемкость тел при постоянном давлении ср, где индекс р под-
черкивает, что внешнее давление постоянно:
с„ =--.
р АТ
118
(1)
Количество теплоты AQ подсчитывают, используя первое начало
термодинамики. Подставляя в выражение для теплоемкости ср величину
AQ = А (7 + рЛУ, находим:
AL7 W
с =----+ р---.
₽ ЛТ ЛТ
Изменение объема AV твердых и жидких тел при нагревании на
1°С незначительно и составляет 1-10"5-г5 10"5 их первоначального объ-
ема, поэтому для твердых и жидких тел зачастую можно пренебречь вто-
AV ЛИ
рым членом 110 сравнению с первым и не различать теплоем-
кости при постоянном объеме сг и постоянном давлении ср, т.е. считать
cp=cv.
Коэффициент объемного расширения газов примерно в 100 раз
больше коэффициента расширения твердых и жидких тел, вследствие
чего вклад в теплоемкость газов при постоянном давлении ср члена
AV
р---- оказывается значительным.
АТ
Этот вклад нетрудно рассчитать для идеального газа. Воспользуем-
ся для этого уравнением состояния газа pV =~RT :
pAV = pV2 -pV. = —RT, --RT. ,
2 ' M 2 M 1
pAV = ^-fiAT. (2)
M
Подставляя выражение (2) в соотношение (1), находим:
SU m „
с = +—R .
" лт м
Внутренняя энергия идеального газа U есть сумма кинетических
энергий всех молекул газа и зависит только от температуры. Для одно-
атомного газа
3
U=-NkT,
2
где N - число молекул газа, k = R/NA - постоянная Больцмана.
Выражение ~^ = ~2Лк ПОЭТОМУ не зависит от того, как нагревают
газ - при постоянном объеме или при постоянном давлении. Это свойство
119
внутренней энергии идеального газа позволяет установить простую связь
между теплоемкостями ср и cv :
т п
cp = cv+~Z7R-
М
Для газов обычно принято вводить теплоемкость одного моля газа.
В этом случае
CMV — cw +R
Молярная теплоемкость одноатомного идеального газа
3 3
cmv = cv Ak , поскольку NAk = R , то сЛ„, = —R.
Молярные теплоемкости многоатомных идеапьных газов при посто-
янном объеме не равны Для двухатомных газов cw = -|jR, для
трехатомных cw = iR.
7.5. Тепловые двигатели
Рабочий цикл тепловой машины.
Тепловым двигателем называется устройство, предназначенное
для преобразования внутренней энергии в механическую. Основными
частями любо1 о теплового двигателя являются:
рабочее тело - это вещество, внутренняя энергия которого исполь-
зуется для преобразования в механическую;
нагреватечь - совокупность частей, обеспечивающих увеличение
температуры рабочего тела;
холодильник - совокупность устройств, служащих для охлаждения
рабочего тела.
В качестве рабочего тела обычно используют газ (например, пары
бензина, водяной пар, и т.п.), который, расширяясь, совершает работу.
Очевидно, что двигатель должен совершать работу циклически, а
для этого необходимо над рабочим телом периодически осуществлять
ряд процессов, приводящих его в первоначальное состояние; совокуп-
ность этих процессов называется рабочим циклом тепловой машины.
О I
Рис. 7.3
Рассмотрим, например, тепловую машину, в качестве
рабочего тела в которой используется идеальный газ. До-
пустим, что идеальный газ расширяется изобарически
(p = const) и совершает при этом работу A = p(V2-V;).
Совершенная работа - площадь заштрихованной фигуры
(рис. 7.3).
120
Если же газ вернуть в первоначальное состояние по
тому же закону, т.е. при той же температуре, то работа, со-
вершенная рабочим телом при расширении, будет равна
работе, совершенной над рабочим телом по его сжатию.
Значит, такой тепловой двигатель никакой полезной работы
совершать не будет. И смысла делать такой двигатель нет.
Чтобы тепловой двигатель совершал полезную работу,
необходимо, чтобы работа при расширении рабочего тела
Рис. 7.4
была больше, чем работа по его сжатию, а для этого необходимо рабочее
тело охладить. Вот для этого и нужны холодильник и нагреватель.
Рис. 7.5
Циклы теплового двигателя (рис. 7.4):
12 - расширение рабочего тела; 2-3 - охлаждение;
3-4 - сжатие; 4-1 - нагревание.
В любом из самых разнообразных тепловых
двигателей можно выделить принципиально важные
части, без которых двигатель не может работать:
нагреватель, рабочее тело, холодильник (рис. 7.5).
Эта схема позволяет наглядно представить процесс
преобразования энергии в циклически действующем
двигателе.
КПД теплового двигателя.
Нагреватель, имеющий температуру 7], отдает рабочему телу коли-
чество теплоты Q,. Рабочее зело расширяется и совершает работу. Для
приведения рабочего тела в исходное состояние оно должно отдать хо-
лодильнику некоторое количество теплоты Q2.
A Q Q,
Полная работа за цикл равна А, а КПД двигателя Г| = — = —----.
Qi Qi
Роль тепловых двигателей в народном хозяйстве.
Наибольшее значение имеет использование тепловых двигателей
(в основном мощных паровых турбин) на тепловых электростанциях, где
они приводят в движение роторы генераторов электрического тока.
На всех основных видах современного транспорта преимуществен-
но используются тепловые двигатели: на автомобильном - поршневые
двигатели внутреннего сгорания; на водном - ДВС и паровые турбины
(для крупных судов); на железнодорожном - тепловозы с дизельными
установками; а авиации - поршневые, турбореактивные и реактивные
двигатели. Без тепловых двигателей современная цивилизация немысли-
ма. Без них мы не имели бы в изобилии дешевую электроэнергию и были
бы лишены всех двигателей скоростного транспорта.
121
Отрицательное влияние тепловых машин на окружающую среду
связано с действием различных факторов:
при сжигании топлива используется кислород из атмосферы, вслед-
ствие чего содержание кислорода в воздухе постепенно уменьшается;
сжигание топлива сопровождается выделением в атмосферу углеки-
слого газа;
при сжигании угля и нефти атмосфера загрязняется азотными и сер-
ными соединениями, вредными для здоровья человека. А автомобильные
двигатели ежегодно выбрасывают в атмосферу 2-3 млн. т свинца.
Один из путей уменьшения загрязнения окружающей среды - ис-
пользование в автомобилях вместо карбюраторных бензиновых двигате-
лей дизелей, для которых в топливо не добавляют соединения свинца.
Перспективными являются разработки автомобилей, в которых вместо
бензиновых двигателей применяются электродвигатели или двигатели,
использующие в качестве топлива водород.
Выбросы вредных веществ в атмосферу - не единственная сторона
воздействия энергетики на природу. Согласно законам термодинамики
производство электрической и механической энер! ии в принципе не мо-
жет быть осуществлено без отвода в окружающую среду значительных
количеств теплоты. Это не может не приводить к постепенному повыше-
нию средней температуры на Земле.
Одно из направлений охраны окружающей среды - увеличение эф-
фективности использования энергии, борьба за ее экономию.
7.6. Второй закон термодинамики
Основываясь на первом законе термодинамики, можно предполо-
жить, что у идеального теплового двигателя, в котором нет потерь энер-
гии, КПД будет равен 100%.
На первый взгляд кажется, что это вполне обоснованное предполо-
жение. Ведь оно не противоречит закону сохранения энергии.
Такую идеальную (мысленную) модель «сконструировал» С. Карно
в 1824 г. Анализируя вопрос о повышении КПД, он установил, что мак-
симальное значение КПД идеального двигателя не стремится к 100%, как
это следовало ожидать, а имеет верхний предел, определяемый только
температурой нагревателя и холодильника, т.е.
Исследование С. Карно показало, что работа тепловых двигателей
«управляется» не только законом сохранения энергии.
122
Таким образом «природа дает знать» о существовании еще одного за-
кона, который не позволяет сконструировать тепловой двигатель с КПД,
большим КПД идеального двигателя.
Чтобы сформулировать этот закон, поставим вопрос: почему возни-
кает такая особенность у тепловых двигателей? При каких условиях т] = 1 ?
Из формулы г] = (Q -Q,)/Q, видно, что г] =1, если Q2 = 0 . Но при этом
двигатель не будет цикличным. Только при Q2 *0 двигатель вернется в
исходное состояние: при работе циклического теплового двигателя рабо-
чее тело обязательно должно отдать часть полученного от нагревателя ко-
личества теплоты холодильнику. Даже в идеальном случае Q2 * 0.
Изложенное позволяет сформулирован, второй закон термодинамики:
В циклически действующей тепловой машине невозмо-
жен процесс, единственным результатом которого бы-
ло бы преобразование в механическую работу всего ко-
личества теплоты, полученного от источника энергии —
нагревателя.
Необратимость тепловых процессов.
Одно из проявлений второго закона термодинамики - необрати-
мость тепловых процессов.
Действительно, второй закон термодинамики накладывает ограничения
на процессы так, что они не противоречат закону сохранения, но не проис-
ходят. Например, если от нагревателя получено Q = 1000 Дж, то в цикличе-
ском двигателе нельзя получить механическую работ}' А = Q, = 1 000 Дж.
Приведем пример такого процесса (рис. 7.6). Пусть в калориметр с хо-
лодной водой при температуре 7] опущено нагретое тело с температурой
Т2, через некоторое время т в полном соответствии с первым законом тер-
модинамики надетое тело отдает количество теплоты Q2 = c2m2(T’2 -Т^), а
вода получит такое же количество теплоты 02 = Q = схтх (Тв -Д). Но никто
никогда не наблюдал обратный процесс нагревания тела за счет охлаждения
воды (рис. 7.7).
Глава 8. ФАЗОВЫЕ СОСТОЯНИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
ВЕЩЕСТВА
8.1. Агрегатные состояния вещества
Вещество может находиться в твердом, жидком и газообразном со-
стояниях. Эти физические состояния обычно называют агрегатными.
Различие между ними проявляется внешне следующим образом. Газ зани-
мает любой предоставленный ему объем. Жидкость сохраняет свой объем,
но она весьма подвижна и всегда принимает форму сосуда, в котором на-
ходится. Твердое тело способно сохранять не только объем, но и форму.
Чтобы изменить её, необходимы заметные усилия. Вещество в твердом
состоянии встречается преимущественно в виде кристаллов, которые за-
мечательны своей геометрически правильной внешней формой. Но наибо-
лее отличительным признаком кристаллов является их анизотропия, т.е.
зависимость свойств от направления. Жидкости и газы, наоборот, изо-
тропны, их свойства не зависят от направления в пространстве.
При изменении температуры наряду с обычным плавным изменени-
ем характеристик вещества (плотности, удельного объема и т.п.) наблю-
дается их резкое, скачкообразное изменение при переходе вещества из
одного агрегатного состояния в другое.
Агрегатные превращения протекают при определенных значениях
температуры и давления, определяющих точку превращения вещества. В
справочниках она указывается обычно для нормального давления. Опыт
подсказывает, что на превращение вещества зазрачивается значительная
энергия, называемая обычно скрытой теплотой превращения.
Фазовонеоднородные системы.
Характерной особенностью превращения вещества является возмож-
ность возникновения неоднородных систем, когда вещество может в тече-
ние длительного времени сосуществовать в различных агрегатных состоя-
ниях. При описании таких равновесных состояний неоднородных систем
наряду с понятием агрегатного состояния пользуются более широким по-
нятием фазы вещества. Под фазами понимают обычно физически одно-
родные, разделенные в пространстве части системы, на которые распада-
ется вещест во в условиях теплового и механического равновесия.
Если система состоит из однородного вещества, то говорят, что она
состоит из одной фазы. Например, это может быть кусок льда, капли
жидкости или газ.
Двухфазную систему представляют: вода, кипящая длительное время
в закрытом сосуде, насыщенный раствор сахара в воде, когда в растворе
остаются кусочки сахара. Фазами здесь являются соответственно вода и
водяной пар, раствор сахара в воде и нерастворённые твердые кусочки.
124
Примерами системы, состоящей из трех фаз одного и того же веще-
ства, может быть вода, находящаяся в закрытом, предварительно отка-
чанном сосуде, когда в ней плавают кусочки льда. Различными фазами
здесь являются вода, кусочки льда и водяной пар над жидкостью. Темпе-
ратура, при которой сосуществуют гри фазы одного вещества, называет-
ся тройной точкой. Для воды она равна +0,01 °C.
8.2. Фазовые состояния вещества
С молекулярно-кинетической точки зрения три состояния вещества
- твердое, жидкое и газообразное - отличаются друг от друга той ролью,
которую в них играез взаимодействие молекул и интенсивность их теп-
лового движения.
Потенциальная энергия взаимодействия молекул вместе с их кине-
тической энергией (т.е. энергией посту паз ельного движения относитель-
но их центра масс) определяет внутреннюю энергию системы. Для мик-
роскопического тела она практически неотличима от её среднего значе-
ния. Напомним, что с молекулярно-кинетической точки зрения земпера-
тура системы есть среднекинетическая энергия поступательного движе-
ния, приходящаяся на долю одной молекулы. Именно относительной
ролью двух составляющих внутренней энергии системы - средней кине-
тической и средней потенциальной энергии взаимодействия молекул -
определяется зо или иное фазовое состояние или превращение вещества.
Газообразное состояние вещества являезся примером существующего
в природе полного, совершенного беспорядка во взаимном расположении
молекул. Для воздуха на каждую молекулу приходится кубик с размером
ребра 35 10"10 м, тогда как диаметр молекулы азота ® 4 10 10 м. Иначе
говоря, на одну молекулу азота приходится объем, почти в 1000 раз боль-
ший ее собственного объема. При такой степени разрежения каждая моле-
кула находится в хаотическом движении, причем действие других молекул
проявляезся золько при столкновениях. Силы призяжения между парами
молекул очень бысгро убывают с ростом расстояния между ними. Потен-
циальная энергия взаимодействия закже быстро уменьшается по абсолют-
ной величине до нуля. Поэтому притяжение молекул в газе не способно
противодействовать тепловому движению молекул: кинетической энергии
с избытком хватает, чзобы выйти за пределы действия сил призяжения.
Таким образом, в газе средняя кинетическая энергия молекул боль-
ше абсолютного значения средней потенциальной энергии взаимодейст-
вия молекул. И чем сильнее выполняется это неравенство, тем лучше
реальный газ моделирует свойства идеального газа, в котором по опреде-
лению вообще отсутствует любое взаимодействие между молекулами.
125
Заметим, что само значение внутренней энергии в газе больше её значе-
ния в других агрегатных состояниях при одинаковой температуре, так
как для перевода молекулы из жидкого или твердого состояния в газооб-
разное требуется значительная энергия.
Жидкость по своему строению существенно отличается от газа. В
жидкости молекулы соприкасаются друг с другом и находятся как бы в
состоянии постоянного «топтания» на месте, по существу в окружении
одних и тех же соседей. Из-за большой тесноты молекулы в жидкости не
могут перемещаться так свободно, как в газе. Они могут лишь очень
медленно вместе со своими соседями перемещаться по объему, занятому
жидкостью. Этим, в частности, объясняется относительно высокая теку-
честь всех обычных жидкостей. Но если силы вязкого трения оказывают-
ся большими, то такие перемещения настолько затрудняются, что жид-
кость кажется жесткой, похожей на твердое тело. Её можно сильно охла-
дить и сохранить при этом присущую жидкости структуру. Она характе-
ризуется, по сути дела, порядком в малой области, охватывающим лишь
самых ближайших соседей. Этот порядок, называемый обычно ближним,
из-за теплового движения беспрерывно нарушается и снова из-за притяже
ния молекул восстанавливается. Иначе говоря, в жидкости может быть
некоторый порядок, но он охватывает лишь малую область и «живет», как
говорят физики, короткое время. За время, значительно большее времени
«жизни» ближнего порядка, и в масштабе всего объема жидкость пред-
ставляется системой хаотически блуждающих молекул. Таким образом, в
жидкостях силы притяжения удерживают молекулы в ограниченной об-
ласти, но они не в состоянии противостоять разупорядоченному действию
их теплового движения. В жидкостях средняя кинетическая энергия моле-
кулы меньше абсолютного значения средней потенциальной энергии и
внутренняя энергия в целом отрицательна, хотя её абсолютное значение
незначительно отличается от нуля.
В твердом веществе средняя кинетическая энергия оказывается во
много раз меньше абсолютного значения потенциальной энергии взаи-
модействия. Поэтому внутренняя энергия твердых тел определяется
практическим взаимодействием молекул и зависит от их расположения.
Молекулы находятся на своих местах, перемещение их по объему кри-
сталла исключено: они совершают лишь непрерывные колебания около
положений равновесия.
Внутренняя энергия вещества в твердой фазе для температуры, при
которой могут существовать одновременно и другие фазы, имеет наи-
меньшее значение, а в газообразной фазе - наибольшее значение.
Молекулярная картина однородных состояний вещества, рассмот-
ренная выше, может быть использована и при описании фазовых пре-
вращений. Сама возможность таких превращений с молекулярной точки
зрения кажется естественной.
126
Действительно, подвод энергии к телу приводит не только к изме-
нению его внутренней энергии в целом, но и изменению количественных
соотношений между её составляющими: средней потенциальной энерги-
ей взаимодействия молекул и их средней кинетической энергией. Выше
отмечалось, что именно относительной ролью составляющих внутренней
энергии тел определяется их фазовое состояние. Пока количественные
соотношения между ними лежат в пределах, удовлетворяющих устойчи-
вости того или иного однородного состояния вещества, рост внутренней
энергии сопровождается ростом температуры и, следовательно, ростом
средней кинетической энергии молекул без изменения фазового состоя-
ния. При нагревании тела происходит увеличение его линейных разме-
ров, объема и, следовательно, среднего расстояния между молекулами.
Но при этом, как отмечалось, наблюдается значительное уменьшение
абсолютного значения потенциальной энергии взаимодействия молекул.
Таким образом, изменения составляющих внутренней энергии тела при
нагревании имеют противоположный характер. В результате возникает
ситуация, когда при некоторой температуре количественные соотноше-
ния между составляющими внутренней энергии уже не удовлетворяют
условиям устойчивости старого фазового состояния и происходит пере-
ход системы в новую фазу. Эта фаза, разумеется, отличается своими,
присущими только ей пределами для изменения количественных соот-
ношений между составляющими внутренней энергии, при которых обес-
печивается устойчивость нового фазового состояния.
Для перевода всей массы т вещества в новое состояние требуется
определенное количество теплоты Q, называемое скрытой теплотой
фазового превращения и определяется соотношением
Q = mq,
где q - удельная теплота фазового превращения, является характеристи-
кой данного вещества.
Если приток энергии извне оказывается меньше скрытой теплоты
Q, то в новое состояние переходит не вся масса вещества, а лишь неко-
торая часть. Остальная её часть будет оставаться в старом состоянии.
Иначе говоря, система распадается на две физически однородные под-
системы (части), которые занимают определенные части объема систе-
мы, отделены друг от друга поверхностями раздела и состоят из одно-
родного вещества. Если система теплоизолирована, то никаких видимых
изменений в состоянии подсистем не наблюдается. .
Но в действительности равновесие между новой и старой фазами яв-
ляется динамическим, подвижным и впечатление о кажущейся неподвиж-
ности равновесия между этими фазами чисто внешнее, поверхностное.
127
Из-за непрерывного теплового движения молекул происходит не-
прерывный обмен частицами между фазами через их поверхности разде-
ла. Такой обмен частицами, естественно, сопровождается непрерывным
обменом массы, энергии и т.п. в полном соответствии с законами сохра-
нения массы вещества, энергии его частиц и полного числа частиц. Ди-
намика такого обмена и является основной для описания фазовых пре-
вращений вещества в молекулярной физике.
Вещество в определенном агрегатном состоянии может существо-
вать в нескольких устойчивых состояниях, называемых фазами (от греч.
fasis - проявление). Понятие «фаза» является более широким, чем агре-
гатное состояние. Хорошо известны две твердые фазы углерода - графит
и алмаз.
Если система разделяется на граничащие друг с другом однородные
части, находящиеся в физически различных состояниях, то эти части
называют фазами системы.
Если две или больше различных фаз вещества при данных темпера-
туре и давлении существуют одновременно, соприкасаясь друг с другом,
и если при этом масса одной из фаз не увеличивается за счет уменьшения
другой, то говорят о фазовом равновесии.
Переход вещества из одного состояния (фазы) в другое называют
фазовым переходом. Фазовый переход связан с качественным изменени-
ем свойств вещества. Например, газообразное, жидкое и кристаллическое
состояния вещества различаются характером движения атомов или моле-
кул, наличием или отсутствием упорядоченной структуры. Кипение,
плавление являются примерами фазовых переходов первого рода. Для
фазовых переходов первого рода характерно скачкообразное, т.е. проис-
ходящее в узком интервале температур, изменение свойств вещества.
Эти переходы сопровождаются скачкообразным изменением энергии,
плотности и других параметров.
Фазовые переходы первого рода - широко распространенное в при-
роде явление. К ним относят испарение и конденсацию, плавление и за-
твердевание.
Встречаются фазовые переходы, при которых превращение происхо-
дит сразу во всем объеме в результате непрерывного изменения кристал-
лической решетки, т.е. взаимного расположения частиц в решетке. Это
приводит к тому, что при определенной температуре изменяется симмет-
рия решет ки. Такая температу ра - точка фазового перехода второго рода.
Температура, при которой происходит фазовый переход второго рода, на-
зывается точкой Кюри, по имени французского физика П. Кюри, кото-
рый обнаружил фазовый переход второго рода в ферромагнетиках.
128
Плавление.
Плавлением называется переход вещества из кристаллического со-
стояния в жидкое. Количество тепла X, необходимое для превращения
1 кг твердого вещества в жидкость, называют удельной теплотой плавле-
ния. Для плавления массы т вещества необходимо количество теплоты
Q = Кт.
Для льда X = 0,335-10s Дж/кг при 7 = 273 К; для серебра
X = 0,88-106 Дж/кг при 7 = 961 ° С.
При кристаллизации - для образования кристалла из жидкости -
происходит переход в более устойчивое состояние. При этом должно
выделиться количество теплоты Q = Xm, которое ведет к замедлению
кристаллизации. Например, за зиму в Северном Ледовитом океане тол-
щина льда возрастает с 3 до 4,5 м.
Испарение.
Обычно паром называю! газообразное состояние вещества в тех слу-
чаях, когда газовая фаза находится в равновесии с жидкой фазой при
обычных природных условиях. Переход вещества из жидкого состояния в
газообразное, происходящий на свободной поверхности жидкости, назы-
вается испарением. Аналогичный процесс, происходящий на поверхности
твердого тела, называют сублимацией (отлат. sublimature - возносить).
Молекулы в жидкости связаны силами притяжения, удерживающи-
ми их внутри жидкости. Однако небольшая доля молекул имеет скоро-
сти, значительно превосходящие квадратичную скорость. Если они нахо-
дятся вблизи поверхности, то могут покинуть объем жидкости. Поэтому
испаряются, в основном, самые быстрые молекулы. Средняя кинетиче-
ская энергия остающихся в жидкости молекул уменьшается и, следова-
тельно, жидкость охлаждается.
Для испарения при постоянной температуре жидкости необходимо
передать определенное количество теплоты. При переходе через поверх-
ность жидкости потенциальная энергия быстрой молекулы возрастает, а
кинетическая уменьшается. Поэтому средние кинетические энергии мо-
лекул жидкости и пара в состоянии теплового равновесия одинаковы.
Для того чтобы перевести в пар т кг жидкости при постоянной
температуре, необходимо передать количество теплоты
Q = rm,
где г - удельная теплота парообразования. Для воды г = 2,5 МДж/кг
при 7 = 0° С и г = 2,26 МДж/кг при 7 = 100° С; для этилового эфира
г = 0,354 МДж/кт при 7 = 30°С; для серебра г = 2,3 МДж/кг при
7 = 2212° С.
С ростом температуры величина удельной теплоты парообразования
уменьшается.
129
При комнатной температуре теплота парообразования, приходящая-
ся на одну молекулу воды, составляет rM/NA = 7,3-1О“20 Дж, а средняя
энергия теплового движения молекул воды 3/г7’/2 = 6,06-10 21 Дж. Сле-
довательно, в пар переходят молекулы с энергией, в 10 раз большей
энергии теплового движения.
В закрытом сосуде увеличение массы пара происходит до тех пор,
пока не установится динамическое равновесие, характерное для данной
температуры: число молекул, переходящих в единицу времени из жидко-
сти в пар и из пара в жидкость, одинаково. Пар, находящийся в состоя-
нии теплового равновесия с жидкостью (или твердым телом) того же
химического состава, называется насыщенным паром.
Давление насыщенного пара- наибольшее давление, которое может
иметь пар при данной температуре.
Кипение.
Кипением называется процесс перехода жидкости в пар, происхо-
дящий в результате всплывания пузырьков, заполненных паром.
Для всплывания пузырька необходимо, чтобы давление насыщенно-
го пара при температуре кипения Тк превосходило внешнее давление р,
близкое в обычных условиях к ратм . Поэтому условие кипения жидкости
в открытом сосуде имеет вид
Снижая давление до 2333 Па, получим «кипяток» при температуре
293 К. Центрами парообразования являются неоднородности сосуда и
частицы примесей.
Конденсация.
Переход вещества из газообразного состояния в жидкое называется
конденсацией. Дождь, снег, роса, иней - следствие конденсации насы-
щенного водяного пара в атмосфере.
Конденсация широко применяется в холодильной технике, отопи-
тельных установках, химических технологиях и т.д. При конденсации
выделяется такое же количество теплоты, которое было передано для
перехода жидкости массой m в пар:
Q = гтп.
8.3. Теплота сгорании топлива
При полном сгорании топлива массой m выделяется количество
теплоты
Q - qm,
где q - удельная теплота сгорания топлива, Дж/кг .
Глава 9. ДИАГРАММЫ СОСТОЯНИЙ ВЕЩЕСТВА
9.1. Общие сведения
Каждое из однородных состояний вещества - твердое, жидкое и га-
зообразное - полностью описывается в термодинамике своим уравнени-
ем состояния. Оно, как известно, отражает тот опытный факт, что пара-
метры системы (давление, температура и объем при данной массе) не
могут меняться произвольно, независимо друг от друга. Однако в анали-
тической форме уравнение состояния удается получить только для i азов.
В предыдущих главах рассмотрены неоднородные системы с пози-
ции молекулярной физики. Обратимся теперь к термодинамическому
описанию таких систем. Напомним, что термодинамический подход ос-
нован на использовании как самых общих законов (или начал), обоб-
щающих опытные факты, так и специфических особенностей изучаемых
систем, обнаруживаемых на опыте.
В условиях механического и теплового равновесия состояния неод-
нородных систем определяются заданием давления и температуры, гак как
именно эти параметры оказываются одинаковыми для каждой из подсис-
тем в любой ее части. Что же касается других параметров: массы, объема
или числа частиц, то они могут быть различными для данных давлений и
температур и зависят от предыстории фазового превращения. Поэтому при
описании свойств самого вещества в различных фазовых состояниях поль-
зуются обычно удельными характеристиками, например, плотностью р,
удельным объемом V& , плотностью числа частиц п и т.п.
Опыт показывает, что при равновесии двух фаз
давление и температура связаны функциональной
зависимостью, представляющей собой кривую фазо-
вого равновесия. Она может быть задана с помощью
таблиц или графика в переменных р и t или Т . В
частности, такая зависимость для насыщенных па-
ров воды представлена на рис. 9.1. Кривая фазового
равновесия паров над твердым телом известна как
кривая возгонки твердого вещества, а кривая его равновесия с жидко-
стью - как кривая плавления (или кривая кристаллизации).
Если кривые всех фазовых равновесий вещества построить на плос-
кости, то они разобьют её на отдельные области, а сами сойдутся в од-
ной, так называемой тройной точке. Она, как отмечено выше, описывает
состояние вещества, в которой могу г сосуществовать три фазы.
~р,10 Па ,
10 - /
5 - У
: .У t'C
о 40 120 200
Рис. 9.1
131
В целом вся плоскость представляет собой диаграмму состояний
вещества. Точки, лежащие на кривых фазовых равновесий, описывают
неоднородную систему, в которой сосуществуют две фазы. Точки, ле-
жащие внутри областей, отделяемых этими кривыми равновесий, описы-
вают однородные состояния вещества.
Если состояние системы изменять квазистатически вдоль какой-
либо кривой на плоскости так, чтобы она пересекала кривые фазовых
равновесий, то можно проследить за последовательным изменением со-
стояний вещества. При этом в точках пересечения линий с кривыми рав-
новесий происходит расслоение системы на различные фазы и наблюда-
ется переход из одного состояния в другое. Такой переход протекает при
вполне определенных температурах и давлениях, соответствующих точ-
кам на кривой фазового равновесия. В справочниках точки превращения
указываются обычно для нормального внешнего давления. На рис. 9.2а, в
в качестве примера приведены диаграммы состояний для воды и углеки-
слоты (для давления использован логарифмический масштаб, чтобы ох-
ватить весь диапазон изменения давления).
Рис. 9.2
Эти диаграммы, в общем, похожи друг на друга. Наиболее сущест-
венное отличие связанно с расположением тройных точек вещества (от-
носительно нормального давления). Если давление в тройной точке
меньше атмосферного (например, для воды 4,56 мм. рт.ст.), то вещество
относится к плавящимся. Оно при нагревании сначала плавится и пре-
вращается в жидкость, а потом уже переходит целиком в газообразное
состояние (пар). Если давление в тройной точке больше атмосферного
(например, для углекислоты 5,1-105 Па), то вещество относится к лету-
чим. При нагревании, если давление равно 105 Па, оно не плавится, а
переходит в пар, возгоняется.
132
9.2. Насыщенный и ненасыщенный пар
При описании свойств насыщенных и ненасыщенных паров наряду
с использованием плоскости состояний рТ весьма полезным и удобным
оказывается представление состояния паров с помощью кривых зависи-
мости удельного объема Ууд пара от температуры в плоскости У дТ или
с помощью изотерм в плоскости pV . Такие диаграммы отличаются
большей наглядностью и позволяют дать более полное описание свойств
многофазных систем.
Изотермы для единичной массы паров
воды представлены в координатах pV на
рис. 9.3. Они заметно отличаются от изо-
терм идеального газа наличием у них гори-
зонтальных участков, отвечающих области
существования двухфазной системы. Дав-
ление пара на этих участках равно давле-
нию насыщенных паров при данной темпе-
ратуре и не зависит от объема, занимаемо-
го паром. Совокупность точек, соответст-
вующих краям горизонтального участка
Рис. 9.3
изотерм, выделяют в плоскости pV область существования двухфазной
системы, и отделяют сё от областей однофазных состояний вещества.
Пограничная кривая области двухфазных состояний со стороны больших
значений объема системы описывает состояние насыщенного пара и од-
новременно представляет собой кривую конденсации. Изотермическое
расширение насыщенного пара из состояния на кривой конденсации де-
лает пар ненасыщенным, и изотермическое расширение такого пара про-
текает по кривой, не отличающейся от изотермы обычного газа. Наобо-
рот, изотермическое сжатие пара из того же состояния не меняет его дав-
ления, значение которого равно максимально возможному для данной
жидкости при данной температуре, но вызывает выпадение росы и появ-
ление жидкости. Пограничная кривая со стороны меньших объемов
представляет собой кривую, на которой заканчивается конденсация пара
при изотермическом сжатии и остается только одна жидкость. Поскольку
в одной и той же точке начинается испарение жидкости при изотермиче-
ском расширении, то её называют кривой испарения. Крутой рост давле-
ния при уменьшении объема жидкой фазы левее кривой испарения соот-
ветствует малой сжимаемости жидкостей.
133
9.3. Критическая точка вещества
Обратим внимание на то, что при повышении температуры изотермы
располагаются выше (рис. 9.3), горизонтальные участки, соответствующие
двухфазным состояниям системы, укорачиваются так, что в конце концов
сходятся в некоторой точке К . Это легко понять. При нагревании давле-
ние насыщенных паров и их плотность увеличггваются, а объем, занимае-
мый единичной массой, при этом уменьшается. С другой стороны, нагре-
вание вызывает расширение жидких тел и увеличение их объема. Поэтому
при некоторой температуре удельные объемы и плотности жидкости и её
насыщенного пара соответственно сравняются. Эту температуру принято
называть критической температурой вещества Тк{>.
Состояние вещества при температуре Т = Т , отвечающее на диа-
граммах состояний критической точке К (рис. 9.26, в и 9.3) называют
критическим состоянием вещества.
Критическое состояние вещества примечательно тем, что для него
не существует границы раздела между жидкой и газообразной фазами,
скрытая теплота перехода жидкости в пар обращается в ноль. Соответст-
вующее ему давление, температуру и удельный объем называют крити-
ческими параметрами. При температуре выше критической система од-
нофазна.
Существование критической температуры вещества объясняет, по-
чему при обычных температурах одни вещества могут быть как жидки-
ми, так и газообразными, а другие остаются газами.
Дело в том, что для большинства газов комнатные температуры ле-
жат выше их критических температур. Наоборот, для жидкостей они ле-
жат значительно ниже критических температур. Это означает, что пар
следует представлять как газообразное состояние вещества, находящего-
ся при температуре ниже критической. Поэтому из газов только пары
могут превращаться в жидкость изометрическим сжатием. Обычные газы
для сжижения нужно сначала охладить до температуры ниже критиче-
ской, а затем сжимать с выделением теплоты.
При наличии критической точки возможен непрерывный переход
между любыми состояниями, которые лежат по разные стороны кривой
фазового равновесия жидкость-пар, без расслоения системы на две фазы.
Для этого необходимо изменять состояние вещества квазистатически
вдоль любой кривой 1, 2 (рис. 9.2п), огибающей критическую точку К и
не пересекающей кривой фазового равновесия.
Таким образом, при наличии критической точки самоделение на фа-
зы становится условным, так как говорить строго о фазах можно тогда,
когда они существуют одновременно, соприкасаясь друг с другом.
Глава 10. СТРОЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ свойства
ТВЕРДЫХ ТЕЛ, ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
10.1. Свойства твердых тел
Твердыми телами называются тела, которые обладают постоянст-
вом формы и объема. Различаю! кристаллические и аморфные твердые
тела. Аморфными называют тела, физические свойства которых одина-
ковы по всем направлениям. Примерами аморфных тел могут служить
куски затвердевшей смолы, янтарь, изделия из стекла. Аморфные тела
являются изотропными телами.
Изотропность (одинаковость) физических свойств аморфных тел объ-
ясняется беспорядочностью расположения составляющих их атомов и мо-
лекул. Аморфные твердые тела представляют собой переохлажденные
жидкости и не обладают четко выраженными свойствами кристаллов.
Кристаллы имеют внешне правильную геометрическую форму и
периодически повторяющееся на протяжении всего кристалла располо-
жение составляющих его частиц - кристаллическую решетку. В этом
смысле говорят о дальнем порядке в кристаллах. Кристаллы ограничены
упорядоченно расположенными друг относительно друга плоскими гра-
нями, которые сходятся в ребрах и вершинах.
Крупные одиночные кристаллы, имеющие форму правильных много-
гранников, называются монокристаллами. Их форма определяется хими-
ческим составом кристалла. Поликристаллы имеют мелкокристалличе-
скую структуру - состоят из большого числа сросшихся мелких, хаотиче-
ски расположенных кристаллов (кристаллические зерна, кристаллиты).
Каждая частица в кристаллической решетке испытывает силы моле-
кулярного взаимодействия. Равновесное расположение всех частиц твер-
дого тела в узлах кристаллической решетки соответствует минимуму
свободной энергии кристалла и наиболее устойчивому его состоянию.
При этом частицы в узлах решетки располагаются на некоторых равно-
весных расстояниях друг от друга, называемых периодом кристалличе-
ской решетки.
Основные типы кристаллических твердых тел, различающиеся ха-
рактером сил взаимодействия между частицами и видом частиц, распо-
ложенных в узлах кристаллической решетки:
ионные кристаллы,
валентные (атомные) кристаллы,
молекулярные кристаллы,
металлы (Na , Си , А1 и др.).
135
В узлах кристаллической решетки находятся положительные ионы,
образовавшиеся после отщепления от атомов внешних (валентных) элек-
тронов, образующих электронный газ коллективизированных свободных
частиц. Особая металлическая связь является специфическим видом хи-
мической связи и возникает между ионами кристаллической решетки и
электронным газом. Электроны «стягивают» положительные ионы (глав-
ным образом, электростатическими силами) и уравновешивают отталки-
вание между ионами.
При расстояниях между ионами, равных периоду кристаллической
решетки, образуется устойчивое состояние металлического кристалла.
Ангармонический характер тепловых колебаний частиц в узлах
кристаллической решетки проявляется в том, что зависимость потенци-
альной энергии взаимодействия частиц от их смещения из положений
равновесия не является параболической, а сила, действующая на частицу,
не является квазиупругой. Это имеет основное значение для понимания
некоторых тепловых и электрических свойств твердых тел.
Характерной особенностью монокристаллов является их анизотро-
пия (анизотропия кристаллов) - зависимость физических свойств твер-
дых тел (тепловых, упругих, электрических, оптических) от направлений
в кристалле.
Упругие свойства твердых тел.
Внешнее механическое воздействие на тело вызывает смещение
атомов из равновесных положений и приводит к изменению формы и
объема тела, т.е. к его деформации. Самые простые виды деформации -
растяжение и сжатие. Растяжение испытывают тросы подъемных кранов,
буксирные тросы, струны музыкальных инструментов. Сжатию подвер-
гаются стены и фундаменты зданий. Деформацию сжатия и растяжения
можно характеризовать абсолютным удлинением А/, равным разности
длин образца до растяжения 10 и после него /.:
А/ = I -10 .
Абсолютное удлинение А/ при растяжении положительно, при
сжатии - отрицательно.
Отношение абсолютного удлинения А/ к длине образца 10 называ-
ется относительным удлинением:
£ = Д/Д, .
При деформации тела возникают силы упругости. Физическая вели-
чина, равная отношению модуля силы упругости к площади сечения те-
ла, называется механическим напряжением:
о = F/S .
136
Единица механического напряжения в СИ - паскаль (Па), 1 Па= 1 Н/м.
При малых деформациях напряжение прямо пропорционально от-
носитсл ьному удл и нению:
а = Ее ,
где Е - модуль упругости (модуль Юнга).
Модуль упругости одинаков для образцов любой формы и размеров,
изготовленных из одного материала:
°
Е- — = —- = const,
е &IS
откуда следует, что
„ ES ,
F ------л/.
Сравнивая последнее выражение с законом Гука, получим, что ко-
эффициент упругости стержня
, ES
k =---.
k
Зависимость напряжения от относительного
удлинения является одной из важнейших харак-
теристик механических свойств твердых тел.
Графическое изображение этой зависимости на-
зывается диаграммой растяжения (рис. 10.1).
Закон Гука выполняется при небольших дефор-
мациях. Максимальное напряжение оп, при ко-
тором еще выполняется закон Гука, называется
пределом пропорциональности (точка А ).
Рис. 10.1
За пределом пропорциональности напряжение перестает быть про-
порциональным относительному удлинению, до некоторого напряжения
после снятия нагрузки размеры тела восстанавливаются полностью. Та-
кая деформация называется упругой. Максимальное напряжение оуп, при
котором деформация еще остается упругой, называется пределом упруго-
сти (точка В). Большинство металлов испытывает упругую деформа-
цию до значений £<0,1%.
При напряжениях, превышающих предел упругости оуп, образец после
снятия нагрузки не восстанавливает свою форму или первоначальные раз-
меры. Такие деформации называются остаточными или пластическими.
В области пластической деформации (участок СВ) деформация
происходит почти без увеличения напряжения. Это явление называется
текучестью материала.
137
Материалы, у которых область текучести (участок CD ) значитель-
на, могут без разрушения выдерживать большие деформации. Если же
область текучести материала почти отсутствует, он без разрушения мо-
жет выдержать лишь небольшие деформации. Такие материалы называ-
ются хрупкими. Примерами хрупких материалов могут служить стекло,
кирпич, бетон, чугун.
За пределом текучести кривая напряжений поднимается и достигает
максимума в точке М . Напряжение, соответствующее точке М , назы-
вается пределом прочности о11П. После точки М кривая идет вниз и
дальнейшая деформация вплоть до разрыва (точка К ) происходит при
все меньшем напряжении.
Тепловое расширение твердых тел.
При повышении температуры твердого тела происходит его тепловое
расширение, которое может быть линейным и объемным. Оба вида тепло-
вого расширения характеризуются средними коэффициентами линейного
а и объемного Р расширений в некотором интервале температур.
Если /„ - длина тела при температуре 0°С (273 К), то его удлинение
AZ при нагревании до температуры t° С
Д/ = o.^t°,
Л/
откуда а =----, тогда I = lD (1 + и t °).
4/
Коэффициент линейного расширения характеризует относитель-
ное удлинение — тела при нагревании его на один градус. Для боль-
но
шинства твердых тел а *(10ч •= 10 ’) К1 и незначительно зависит от
температуры.
При нагревании тела от 0° до t° С его объем изменяется от Vo до
V по закону:
y=v0(i+pt°),
откуда коэффициент объемного расширения
v.i°
Коэффициент объемного расширения определяет относительное
изменение объема дП/Vf, при нагревании тела на один градус.
Связь коэффициентов а и fl: (3=3а.
138
Плотность (р) твердых тел при их тепловом расширении изменяет-
ся по закону:
Р = -^,
l + pt°
где р, р0 - соответственно плотность тела при t° и 0° С.
У твердых тел и жидкостей тепловое расши-
рение связано с несимметричностью (ангармо- //S
низмом) тепловых колебаний атомов, благодаря
чему межатомные расстояния с ростом темпера-
туры увеличиваются.
Тепловое расширение тел учитывается при о
конструировании всех установок, приборов и 1г / /К t°
машин, работающих в переменных температур- —
ных условиях. —>1—I*——
Теплопроводность. ^ис- '^-2
Теплопроводность - один из видов переноса теплоты от более на-
гретых частей тела к менее нагретым, приводящий к выравниванию тем-
пературы.
При теплопроводности перенос энергии осуществляется в результа-
те непосредственной передачи энергии от частим (молекул, атомов, эле-
ментов), обладающих большей энергией, частицам с меньшей энергией.
Обсудим вопрос: от чего зависит количество перенесенной при теп-
лопроводности теплоты? Введем для этого понятие потока тепла.
Потоком тепла называют количество теплоты, проходящее через
площадку в 1 м? в единицу времени.
Если через плошадку S за время т проходит количество теплоты Q,
то поток тепла j найдем из соотношения
Поток тепла, как показывает опыт, имеет место только тогда, когда
температура среды меняется от точки к точке. Теплота при этом всегда
переходи! от точек с высшей температурой к точкам с низшей. Простей-
шим является случай распространения тепла внутри однородной пластин-
ки толщиной I и площадью S , удовлетворяющей условию I« y[S , т.е.
толщина ее много меньше ширины и высоты.
Если на одной стороне пластинки (рис. 10.2) поддерживается посто-
янная температура I,, а на другой - постоянная температура t2, причем
t2 > £,, то опыт показывает, что поток тепла прямо пропорционален раз-
ности температур t7 -t, и обратно пропорционален толщине пластинки /.
139
Математически это можно представить в виде:
t,-/.
j = ее- (закол Фурье),
где £ - положительная постоянная величина, называемая коэффициен-
том теплопроводности и зависящая только от материала пластины и его
агрегатного состояния.
Этот закон справедлив не только для твердых тел, но и для жидкостей
и газов. Однако для жидкостей и газов при использовании этого закона
нужно быть весьма осторожными. Для них он применим, если в процессе
теплопередачи не происходит перемещения вещества, т.е. конвекции.
10.2. Свойства жидкостей
Тепловое расширение жидкости.
Жидкое состояние, занимая промежуточное положение между газами
и кристаллами, сочетает в себе некоторые черты обоих этих состояний.
В частности, для жидкостей, как и для кристаллических тел,
характерно наличие определенного объема, и вместе с тем, жидкость,
подобно газу, принимает форму того сосуда, в котором она находится.
Для кристаллического состояния характерно упорядоченное распо-
ложение частиц (атомов или молекул), в газах, в этом смысле, царит
полный хаос. Согласно рентгенографическим исследованиям, в отноше-
нии характера расположения частиц жидкости также занимают промежу-
точное положение. В расположении частиц жидкости наблюдается так
называемый ближний порядок. Это означает, что по отношению к любой
частные расположение ближайших к ней соседей является упорядочен-
ным. Однако по мере удаления от данной частицы расположение по от-
ношению к ней других частиц становится все менее упорядоченным, и
довольно быстро порядок в расположении частиц полностью исчезнет.
В кристаллах имеет место дальний порядок', упорядоченное положе-
ние частиц по отношению к любой частице наблюдается в пределах зна-
чительного объема.
Наличие в жидкостях ближнего порядка служит причиной того, что
структуру жидкостей называют квазикристаллической (кристаллоподоб-
ной). Из-за отсутствия дальнего порядка жидкости, за немногим исклю-
чением, не обнаруживают анизотропии, характерной для кристаллов с их
правильным расположением частиц.
Существуют твердые тела, которые во многих отношениях оказы-
ваются ближе к жидкостям, чем к кристаллам. Такие тела, называемые
аморфными, пс обнаруживают анизотропии. В расположении их частиц
имеется, как и у жидкостей, только ближний порядок. Переход от
140
аморфного твердого тела к жидкости при нагревании осуществляется
непрерывно, в то время как переход от кристалла к жидкости совершает-
ся скачком. Все это дает основание рассматривать аморфные твердые
тела как переохлажденные жидкости, частицы которых вследствие силь-
но возросшей вязкости имеют ограниченную подвижность.
Типичным примером аморфного твердого тела служит стекло. К
числу аморфных тел относятся также смолы, битумы и т.п.
Я.И. Френкель разработал теорию, согласно которой молекула жид-
кости в течение некоторого времени колеблется около своих положений
равновесия, как бы находясь в узле кристаллической решетки. Время
оседлой жизни молекулы жидкости очень мало (~10 10-г 10 ” с), после
чего молекула жидкости переходит в новое положение равновесия (но-
вый узел). В простейших случаях пробег молекулы жидкости совпадает с
постоянной решетки - расстояние между двумя соседними узлами ре-
шетки. Молекула, находящаяся в узле решетки, совершает тепловые ко-
лебания с амплитудой, меньшей, чем постоянная решетки.
Поверхностное натяжение.
Рассмотрим свободную поверхность жидкости, отделяющую ее от
газообразной среды. В поверхностном слое
проявляется нескомпенсированность моле-
кулярных сил. Действительно, любая моле-
кула внутри тела, вдали от поверхности,
окружена со всех сторон такими же моле-
кулами, действие которых взаимно компен-
сируется (рис. 10.3).
Рис. 10.3
Молекула в поверхностном слое имеет одинаковых соседей лишь с
одной стороны. В частности, в случае свободной поверхности имеются
соседи лишь со стороны жидкости, тогда как со стороны газа они прак-
тически отсутствуют (из-за его большой разреженности). В результате
молекулы, находящиеся в поверхностном слое, испытывают силу притя-
жения со стороны молекул, находящихся внутри жидкости. Толщина
поверхностного слоя, в котором проявляется нескомпенсированность
молекулярных сил, равна примерно диаметру молекул (®1(Г9 м - по
оценкам самой общей карт ины взаимодействия молекул в жидкости).
Физически ясно, что для извлечения молекулы из внутренних час-
тей на ее поверхность требуется затратить работу. При этом размещение
молекулы в поверхностном слое увеличивает поверхность жидкост и на
конечную величину. Наоборот, увеличение поверхности на величину AS
однозначно связано с определенным числом молекул, размещаемых в
поверхностном слое.
141
Работа А, затрачиваемая в таком квазистатическом процессе при
постоянной температуре, пропорциональна AS и записывается в виде:
А = oAS .
Коэффициент пропорциональности о представляет собой основ-
ную характеристику поверхности раздела, зависящую от природы сред и
их теплового состояния. Называют его коэффициентом поверхностного
натяжения или просто поверхностным натяжением.
Говоря о величине о , необходимо всегда указывать, к каким средам
она относится. Просто о поверхностном натяжении жидкости говорят
лишь для поверхности раздела ее с воздухом или парами. В таком случае
о всегда уменьшается при нагревании.
По своему физическому смыслу о является работой, которую надо
затратить, чтобы изотермически и квазистатически увеличить поверх-
ность жидкости на единицу ври сохранении ее объема неизменным. Ра-
бота, как известно, служит мерой изменения энергии. С какой же энерги-
ей здесь имеют дело? Очевидно, что эта энергия должна быть потенци-
альной, так как она связана с размещением молекул в поверхностном
слое при постоянной температуре. При размещении молекул в поверхно-
стном слое затрачивается работа. Поэтому потенциальная энергия таких
молекул больше потенциальной энергии взаимодействия молекул внутри
жидкости. Эту избыточную потенциальную энергию молекул в поверх-
ностном слое будем называть энергией поверхностного натяжения или
просто поверхностной энергией Um, изменение которой At7nOT по опре-
делению равно работе А при изотермическом изменении поверхности
раздела на величину AS , т.е. С/пов = А - gAS .
Из механики известно, что силы действуют так, чтобы привести
систему в состояние с наименьшей потенциальной энергией. И силы по-
верхностного натяжения действуют так, чтобы энергия поверхностного
натяжения принимала наименьшее возможное значение. Поэтому по-
верхность раздела сред стремится уменьшиться. Например, капля жидко-
сти в свободном состоянии принимает шарообразную форму, так как
только поверхность сферы при данном объеме имеет наименьшее значе-
ние. В земных условиях действует сила тяжести, которая старается сда-
вить каплю. Потенциальная энергия силы тяжести пропорциональна объ-
ему жидкости, а энергия поверхностного натяжения - ее поверхности.
Поэтому относительное влияние силы тяжести по сравнению с влиянием
поверхностного натяжения тем больше, чем больше объем тела. Для ма-
леньких капель преобладает влияние поверхностного натяжения, и они
принимаю! шарообразную форму.
142
Формула А — oAS , определяющая о, в точности соответствует
формуле Л=-рЛ17 для работы при квазистатическом изменении объе-
ма АП • Можно сказать, что о играет для поверхности такую же роль,
что и давление для объема. Размерность о , как следует из определения,
совпадает с размером поверхностной энергии (Дж/м2), а также с раз-
мерностью силы, отнесенной к единице длины (Н/м ). Это соотношение
имеет не только размерный, но и глубокий физический смысл.
Оказывается, что поверхностное натяжение о представляет со-
бой силу, действующую на единицу длины контура, ограничивающего
участок поверхности раздела, и направленную касательно к поверхно-
сти по внутренней нормали к контуру.
Смачивание. Краевой угол.
При рассмотрении явлений на границе раздела различных сред следу-
ет иметь в виду, что поверхностная энергия жидкости или твердого тела
зависит не только от свойств данной жидкости или твердого тела, но и от
свойств того вещества, с которым они граничат. Только если одно вещест-
во газообразное, химически не реагирует с
другим веществом и мало в нем растворя-
ется, можно говорить просто о поверхност-
ной энергии (или коэффициент поверхно-
стного натяжения) второго жидкого или
твердого тела. Если граничат друг с другом
сразу три вещества: твердое, жидкое и га-
зообразное (рис. 10.4), то вся система при-
нимает конфигурацию, соответствующую
минимуму суммарной энергии (поверхно-
стной, в поле сил тяжести и т.п.).
Пусть притяжение между молекулами твердого тела больше, чем
между молекулами жидкости. Тогда коэффициент поверхностного натя-
жения ап на границе раздела твердой поверхности и газа будет больше
коэффициента ожг на границе раздела жидкости и газа и коэффициента <т1Ж
на 1ранице раздела твердого тела и жидкости. При этом может оказаться
энергетически более выгодным, чтобы жидкость растекалась по поверх-
ности кристалла.
Конечно, при растекании жидкости увеличивается поверхностная
энергия на границе жидкости с газом. Однако это увеличение перекрыва-
ется более значительным уменьшением поверхностной энергии на гра-
нице раздела кристалла и жидкости. В этом случае говорят, что жидкость
полностью смачивает твердое тело. В свободном состоянии она будет
143
обволакивать его со всех сторон, а само тело при этом будет как бы пла-
вать в жидкости. Если же при растекании жидкости по поверхности кри-
сталла не наблюдается уменьшения суммарной энергии поверхностного
натяжения на границах раздела жидкой, твердой и газообразной сред, то
тогда жидкость сама по себе без внешних воздействий не будет расте-
каться по твердой поверхности. В этом случае говорят, что жидкость не
смачивает поверхность твердого тела.
Степень взаимодействия между молекулами твердого тела и жидко-
сти, а следовательно, и степень смачиваемости твердой поверхности
жидкостью принято характеризовать так называемым краевым углом.
Каждый, вероятно, не раз наблюдал, что поверхность у края в сосу-
де искривляется, отклоняется от плоской формы, наблюдаемой в средней
части. Например, в хорошо промытом стакане вода около его стенки не-
много поднимается и образует вогнутую поверхность, или, как говорят,
имеет вогнутый мениск. А ртуть в гаком стакане образует выпуклый ме-
ниск, ее края вблизи стенки слегка опущены. Плоскость, касательная к
поверхности жидкости у ее края, образует с поверхностью стенки неко-
торый угол 0, называемый краевым. Можно показать, что этот угол за-
висит только от свойств соприкасающихся сред (точнее говоря, от по-
верхностных натяжений! на границах раздела этих сред). Действительно,
у стенки сосуда на краю жидкости соприкасаются три среды, молекуляр-
ное взаимодействие на границах которых может быть охарактеризовано
соответствующими коэффициентами натяжения границ раздела. К линии
соприкосновения трех сред приложены три силы поверхностных натяже-
ний. Эти силы нормальны к линиям соприкосновения сред и направлены
по касательной к поверхности соприкосновения соответствующих сред.
Выше было показано, что эти силы, отнесенные к единичной длине линии
соприкосновения, равны соответственно коэффициентам поверхностного
натяжения на границе раздела двух сред: отж , отг или ожг (рис. 10.4).
Поверхность жидкости устанавливается под таким углом 0 к стенке
сосуда, что равнодействующая сил поверхностных натяжений вдоль
стенки равна нулю (результирующая сил поверхностного натяжения,
перпендикулярная стенке, уравновешивается при этом реакцией стенки):
~ °.. + °., cos 0 = 0 .
Отсюда cos© = ——.
°»<г
Из полученной формулы видно, что если с>тг > отж, т.е. поверхност-
ное натяжение на границе раздела твердого тела с газом больше поверх-
ностного натяжения на границе раздела твердой стенки с жидкостью, то
144
cos6 > о, краевой угол 0 острый и мениск вогнутый. Это случай смачи-
вания твердой поверхности жидкостью. При этом полному смачиванию
соответствует угол 0 = 0. В случае обратного неравенства ,
cos0<O и угол 0 тупой. Край жидкости при этом опущен, и мениск ее
выпуклый. Это случай не смачивания твердой стенки жидкостью. Капли
таких жидкостей, находясь на гладкой горизонтальной поверхности, как
бы отжимаются от нее, стремясь уменьшить площадь контакта.
Влияние кривизны поверхности на сжатие жидкости.
Рассмотрим поверхность жидкости, опирающуюся на некоторый
плоский контур (рис. 10.5«).
Рис. 10.5
Рис. 10.6
Если поверхность жидкости не плоская, то стремление ее к сокраще-
нию приведет к возникновению давления, дополнительного к тому, кото-
рое испытывает жидкость с плоской поверхностью. В случае выпуклой
поверхности, это дополнительное давление положительно (рис. 10.56), в
случае вогнутой поверхности - отрицательно (рис. 10.5в). В последнем
случае поверхностный слой, стремясь сократит ься, растягивает жидкость.
Величина добавочного давления, очевидно, должна
возрастать с увеличением коэффициента поверхностно-
го натяжения а и кривизны поверхности.
Вычислим добавочное давление для сферической
поверхности жидкости. Для этого рассечем мысленно
сферическую каплю жидкости диаметральной плоско-
стью на два полушария (рис. 10.6).
Из-за поверхностного натяжения оба полушария
притягиваются друг к другу с силой
F = 1(3 = 2hRg .
Эта сила прижимает друг к другу оба полушария
S = nR2 и, следовательно, обуславливает дополнительное давление
F 2л Ra 2g
А» = — =----г- =--.
Я nR2 R
по поверхности
(1)
145
Кривизна сферической поверхности всюду одинакова и определяет-
ся радиусом сферы R . Очевидно, что чем меньше R, тем больше кри-
визна сферической поверхности. Кривизну произвольной поверхности
принято характеризовать так называемой средней кривизной, которая
может оказат ься различной для разных точек поверхности.
Средняя кривизна определяется через кривизну нормальных сече-
ний. Нормальным сечением поверхности в
n t -К ।
j z— д некоторой точке называется линия пересече-
-^7 —у ния этой поверхности с плоскостью, прохо-
/ дящей через нормаль к поверхности в рас
/Г I/ Л/ сматриваемой точке (рис. 10.7). Если поверх-
/ ________'/ ность жидкости не является сферической, то
величина добавочного давления определяется
Рис. 10.7 по формуле Лапласа
. ( 1 1 1
Др = о —+— , (2)
где Rt и R2 - радиусы двух взаимно перпендикулярных сечений поверх-
ности жидкости, проведенных через нормальный единичный вектор п ,
восстановленный к этой поверхности в рассматриваемой точке (рис. 10.8).
Для случая Д = R2 формула (2) совпадает с формулой (1).
Дополнительное давление Ар есть величина алгебраическая. В слу-
чае выпуклой поверхности Др имеет положительное, а в случае выгнутой
- отрицательное значение. Если Др < 0, то поверхностный слой, стремясь
сократиться, будет не сжимать, а растягивать жидкость.
Аналогично, радиус кривизны нормального сечения поверхности
является величиной алгебраической. Если центр кривизны нормального
сечения лежит над поверхностью жидкости, радиус кривизны считается
отрицательным; если центр кривизны находится под данной поверхно-
стью жидкости, соответствующий радиус кривизны считается положи-
тельным. Если поверхность жидкости представляет собой плоскость, то
Я, = со и R2 = со. В этом случае согласно формуле (2) Др = 0.
Капиллярные явления.
В зависимости от свойств жидкости, твердого тела и газа, с которы-
ми граничит жидкость, краевой угол 6 , как было показано выше, может
принимать различные значения (рис. 10.8). Величина краевого угла 0
характеризует степень искривления поверхности жидкости вблизи твер-
дого тела.
146
Если 0 = 0, то имеет место полное смачивание и жидкость неогра-
ниченно растекается по поверхности твердого тела.
Если 0 = л, то имеет место полное несмачивание - поверхность, по
которой граничит жидкость и твердое тело, стягивается в точку.
Частичному смачиванию соответствует угол ()<0<л/2 (рис. 10.8«),
частичному несмачиванию - угол л/2<0<л (рис. 10.86).
Рис. 10.8
В узкой трубке с достаточно малым радиусом поперечного сечения
вся поверхность жидкости может оказаться искривленной. Такая трубка
называется капиллярной, а поверхность жидкости в капиллярной трубке
будет представлять собой мениск (meniskos - выпуклость).
Капиллярную трубку радиусом г одним концом опустим в жидкость
с плоской поверхностью. Если жидкость смачива-
ет поверхность трубки (частичное смачивание),
то уровень жидкости в капиллярной трубке бу-
дет выше уровня плоской поверхности жидкости
на величину h (рис. 10.9). В этом случае крае-
вой угол смачивания О<0<л/2, а форма мени-
ска окажется вогнутой. Под искривленной по-
верхностью в капилляре на уровне мениска дав-
ление жидкости р будет меньше атмосферного
Рис. 10.9
давления р0 на величину добавочного давления
Ар, т.е.
Р = Ро+Ар,
где Ар определяется по формуле (2) (Ар < 0).
Величину h найдем из условия, что давление в капиллярной трубке
на уровне горизонтальной плоской поверхности жидкости складывается
из давления р под мениском и гидростатического давления рр/г. Это
Давление должно равняться атмосферному давлению р(|, т.е.
p + pgh = p0 => pu+ty + pgh = p„ => bp = -pgh, (3)
где р - плотность жидкости.
147
Предположим, что мениск представляет собой часть поверхности
шара и радиус кривизны мениска равен R . Тогда (рис. 10.9) 7? =-----—
cos 0
(появление знака минус в последнем равенстве обусловлено тем, что
центр кривизны мениска лежит над поверхност ью жидкости, т.е. должно
выполняться условие R < 0, где cosO > 0). Тогда из формулы Лапласа (2)
получим
. 2о 2ocos6
Др = —= ±--------, (4)
R г
где г - радиус капиллярной трубки.
Подставляя найденную величину Др в равенство (4), окончательно
получим
2ocos6 , , 2ocos6
= -pgh^>h = —. (5)
г----------------------------------------гр ft
При полном смачивании cos6 = l, следовательно, формула (5) в
этом случае может быть записана в виде
Анализируя полученный результат, можно сделать вывод, что фор-
мула (5) справедлива и в случае смачивания, и в случае, если жидкость не
смачивает поверхность. При этом величину ft надо считать алгебраиче-
ской. Если имеет место смачивание, то в формуле (5) cos6>0 и ft>0,
если жидкость не смачивает трубку, то cosO <0 и ft < 0.
Изменение высоты уровня жидкости в узких трубках, опущенных
одним концом в жидкость, получило название капиллярности. В более
общем смысле под капиллярностью понимают все явления, обусловлен-
ные силами поверхностного натяжения.
Тепловое расширение жидкости.
С ростом температуры жидкости возрастает кинетическая энергия те-
плового движения молекул. С термодинамической точки зрения это озна-
чает, что увеличивается потенциальная энергия взаимодействия. Измене-
ние объема жидкости в процессе ее нагревания называется тепловым
расширением. Для жидкостей тепловое расширение связано с несиммет-
ричностью (энгармонизмом) тепловых колебаний атомов, благодаря чему
межатомные расстояния с ростом температуры увеличиваются.
Объемное расширение жидкости характеризуется температурным ко-
эффициентом объемного расширения р в данном интервале температур.
148
I
Объем жидкости V7 при температуре I определяется формулой
Г=У0(1 + р\«), ' (7)
где Уо - начальный объем жидкости, - изменение температуры.
Для большинства жидкостей [3 > 0, но существуют исключения, на-
пример, вода при нагревании от 0 до 4° С сжимается.
При нагревании жидкости изменяется плотность вещества р = тп/М ,
преобразуя формулу (7), получим:
где р0 - плотность при 0° С (То = 273 К).
10.3. Влажность воздуха
В состав земной атмосферы входят водяные пары, количество кото-
рых зависит от разных факторов (географического расположения данного
места, времени года, времени дня и т. п.). Слишком сухой, как и слишком
влажный воздух, неблагоприятен для жизни людей и животных. Прогноз
погоды невозможен без знания влажности. Для количественной характе-
ристики влажности воздуха введены специальные величины.
Абсолютной влажностью р называют массу водяного пара,
содержащегося в 1 м’ воздуха.
Чаще абсолютную влажность измеряют парциальным давлением
водяного пара, находящегося в воздухе.
Относительной влажностью называют отношение абсолютной влаж-
ности к гой массе воздуха пара, которая необходима для насыщения 1 м’
воздуха при данной температуре. Относительную влажность измеряют в
процентах. Обозначим через р,- массу пара, необходимую для насыщения
1 м’ воздуха и через р - фактическую массу пара в этом объеме воздуха.
Тогда относительная влажность
Г =2-100%. (9)
Pi
Из табл. 10.1 видно, что плотность водяных паров, содержащихся в
воздухе, с довольно большой точностью пропорциональна их парциаль-
ному давлению, т.е.
Pj. = Af
Р2 Л ’
где р] и р? - плотность насыщенного водяного пара при температурах
1, и t2,a р, и р2 - его давления при тех же температурах.
149
Таблица 10.1
г°С -4 0 4 8 12 16 20 24 28 32
рн, г/м3 3,51 4,84 6,40 8,30 10,7 13,6 17,3 21,8 27,2 33,9
р, мм рт.ст. 3,28 4,58 6,10 8,05 10,52 13,63 17,54 22,38 28,3 33,|
Поэтому относительную влажность можно определять и как отно-
шение наблюдаемого давления водяного пара к давлению насыщенного
пара при температуре наблюдения:
г = -£--юо%. (Ю)
Р„
Опытным путем установлена нормальная для хорошего самочувст-
вия человека относительная влажность, равная примерно 60%.
Температуру, при которой пары, находящиеся в воздухе, становятся
насыщенными, называю! точкой росы.
При температуре, равной точке росы, начинается конденсация водя-
ных паров.
Точку росы t0 определяют с помощью гигрометра (рис. 10.10). В
металлический сосуд А прибора наливают эфир, заставляю! его испаряться
и замечают его температуру t0 в тот момент, когда
полированная поверхность сосуда А запотевает. Что-
бы сделать появление росы более заметным, сосуд А
окружен неохлаждаемым полированным кольцом В.
По табл. 10.1 находят плотность насыщенного водяно-
го пара при температуре t0, равную плотности паров в
воздухе в момент измерения точки росы, т.е. абсо-
лютную влажность р . Измерив затем температуру t
воздуха, определяют по той же таблице плотность
насыщенных паров р, и по формуле (9) находят от-
носительную влажность. Если пользоваться второй строкой таблицы
(значения р), то относительную влажность определяют по формуле (10).
Для определения относительной влажности чаще используют пси-
хрометр (рис. 10.11). Психрометр состоит из двух одинаковых термо-
метров t и /см. Шарик одного из них (/см) обернут кусочком чистого
батиста, край которого опущен в стаканчик с водой. Если воздух не на-
сыщен водяными парами, то вода из батиста испаряется и охлаждает ша-
рик термометра. Разница между показаниями обоих термометров тем
Рис. 10.10
150
больше, чем меньше относительная влажность.
Зная разность показаний обоих термометров и по-
казания сухого термометра, находят относитель-
ную влажность по специальным психрометриче-
ским таблицам. Часть такой таблицы (табл. 10.2), в
которой указана относительная влажность в про-
центах; в интервале температур от - 8 до 10°С при
нормальном атмосферном давлении приведена
ниже.
Рис. 10.11
Таблица 10.2
/°с\. 0,5 1 2 3 4 5 6 7
-8 87 73 46
-6 88 76 52 29
-4 89 78 57 36
- 2 90 80 61 42 25
0 91 82 65 48 31
2 92 84 68 52 37 22
4 92 85 70 56 42 29
6 93 86 73 60 47 35 23
8 94 87 75 63 51 40 29 18
10 94 88 76 65 54 44 34 24
Контрольные задания
Качественные задачи
1. У какой воды больше поверхностное натяжение: у чистой или у
мыльной? Почему мыльная вода дает такие прочные пузыри, каких из
чистой воды получить нельзя?
2. Почему при распиливании дерева пила нагревается до более вы-
сокой температуры, чем дерево?
3. Теплый воздух поднимается кверху. Почему же в тропосфере
внизу теплее, чем вверху?
4. Нагревается или охлаждается идеальный газ при расширении, ес-
ли его давление р и объем V связаны формулой p-klvn , где k
постоянная, а п > 1 ? Масса газа остается постоянной.
5. Почему, когда, купаясь в жаркий день вы входите в воду, вода
кажется холоднее воздуха, а когда выходите, то наоборот?
6. Можно ли всасывающим водяным насосом поднять кипящую воду?
7. Почему нефтепродукты отпускаются со склада (с нефтебазы) не в
объемных единицах, а в весовых?
8. Внутри воды плавает полый стеклянный пузырек. В сосуд подли-
вают воды, и пузырек поднимается вверх. Затем еще подливают воды, и
пузырек тонет. Как можно это объяснить?
9. Почему баллоны со сжатым газом взрывоопасны, а труба с водой
под большим давлением взрывобезопасна?
10. Будет ли работать гидравлический пресс, если его цилиндр за-
полнить не жидкостью, а газом?
Ответы.
1. Больше поверхностное натяжение у чистой воды. Вязкость, от которой
зависит прочность пленки, больше у мыльной воды.
2. Теплоемкость пилы меньше, чем дерева.
3. Атмосферный воздух, поднимаясь вверх, расширяется и охлаждается.
4. Если температура газа оставалась бы постоянной, то при увеличении его
объема, скажем, в 2 раза, давление газа уменьшилось бы тоже в 2 раза. В разби-
раемой задаче при увеличении объема в 2 раза давление уменьшается больше,
чем в 2 раза. Большее падение давления, чем это следует из закона Бойля-
Мариотта, показывает , что газ охлаждает ся.
5. Из-за большей теплоемкости вода нагревается медленнее, чем воздух.
Поэтому она холоднее воздуха. Когда выходят из воды, то капельки ее, остав-
шиеся на теле, испаряются. Поглошая при этом много тепла, они отбирают его нс
толг.ко у окружающей среды, но и у тела. Тело охлаждается, и воздух кажется
холоднее воды.
152
6. Нельзя, так как под поршнем вместо разреженного воздуха будет нахо-
диться пар под давлением, равным внешнему атмосферному.
7. При колебаниях температуры нефтепродукты (керосин) меняют свою
плотность, по лому при разных температурах в единице объема будет содер-
жаться разная масса того или иного нефтепродукта (керосина).
8. Вначале подливали более холодную воду, затем более горячую, чем во-
да в сосуде.
9. При взрыве грубы давление воды практически сразу падает до нуля, и
она не может совершить больших разрушений. При взрыве баллона вследствие
сильного увеличения объема газа (при понижении его давления) осколки приоб-
ретают большие скорости и производят значительные разрушения.
10. Да, но КПД будет очень мал, так как большая часть совершаемой рабо-
ты пойдет на сжатие самого газа.
Примеры решения задач
1. Один моль идеального газа (одноатомного) расширяется от Vt до
V-, по политропическому закону: pV3 = const. Определить изменение
внутренней энергии газа, если первоначальное давление его р,.
Решение. Тепло идет на увеличение внутренней энергии газа:
AZ7 = Q = -—Т?(Т,-Т),
2 М ' 2 17
где i = 3, т/М = 1.
Из уравнения Менделеева-Клапейрона:
7]=^й, р,=р,И , то Т2=^,
АТ = р, = -^(V,2 - V/ ) , MJ = -^-(И,2 - И; ) .
RV2 R RV2' ' ' 2 V2 ' ' ’
Ответ-. Д1/=|^(у,2-У22).
т, Т, т2 Т2
2. Теплоизолированный сосуд объемом V = 22,4 дм3 разделен тон-
кой непроницаемой проводящей тепло перегородкой на две равные час-
ти. В первую половину сосуда вводят т1 = 11,2 г азота
при t] = 20 °C, во вторую т2 = 16,8 г азота при темпе-
ратуре t2 = 15 °C (см. рис.). Какое давление установит-
ся в каждой части сосуда при выравнивании температур?
153
Решение. Для определения давления в каждой части сосуда необходимо ус
тановить температуру и процессе теплообмена. Запишем уравнение теплового
баланса: Qt ~Q2, или cm^f,-6) = cnt,(6-f,), откуда 0 установившаяся тем-
пература:
m.t: + mJ-
0 = 17° С = 290 К .
т, + ш.
Давление в первой половине сосуда определим по уравнению Менделеева-
Клапейрона:
2ш!Л0= 1()4
pV
а во второй половине сосуда:
2т,й 0= 7 10? Па
PV
Ответ: р,=8,5 104 Па; р, =1,27-105 Па.
3. В трубе между двумя поршнями массой М каждый находится
моль идеального одноатомного газа, масса которого меньше массы
поршней (см. рис). В начальный момент значения параметров газа равны
р0, Vo, а поршни имеют равные по величине скорости v, направленные
М М
навстречу друг другу. Определить максимальную темпе-
ратуру газа при дальнейшем движении поршней по
инерции. Система теплоизолирована; теплоемкостями
поршней и трубы, внешним давлением пренебречь.
Решение. По закону сохранения энергии
£»H=v7;,, cv=-
R " ' 2
2 2 R 2
v = 1, откуда
Т - J°V|1 2Mv'
л max
Ответ:
R 3R
2Mv‘
R 3R
4. На p-V -диаграмме (см. рис.) изобра-
жен цикл, проводимый с одноатомным идеаль-
ным газом. Определить коэффициент полезного
действия этого цикла.
Решение. КПД процесса: ц = (A,JQ) 100% , где
Д - полезная работа процесса.
A = = =|p0V0 .
154
По уравнению Менделеева-Клапейрона р^ = vf?'P0 :
А =|vBT„.
По уравнению Клапейрона: —; откуда Т2 = 8Д .
Д> д
Первый закон термодинамики:
Qn + Aj =|v(8T0 - Д,)+1(2р„ + р„)(4К0 - П) = 15уЯД .
Делим (1) на (2), находим
г) = ~——100% = 10%.
2 15с-ЯД
(1)
(2)
PL
3
jU4
1
Ответ: г) = 10%.
5. Над молем идеального газа совершают
замкнутый цикл, состоящий из двух изохор и двух
изобар (см. рис.). Температуры в точках 1 и 3 рав-
ны Д и Т}. Определить работу, совершенную
газом за цикл, если известно, что точки 2 и 4 ле-
жат на одной изотерме.
Решение. Газ, расширяясь ио изобаре 2-3, совершает работу
А,=Р2(^-^) = Й(Д-Д)> где Д>Д.
На изобаре 4-1 газ совершает работу сжатия
Л,=Р4(^-^) = Л(Д-Т2).
Чтобы давление не росло вследствие сжатия, от газа отводят тепло.
Полная работа А = Ав + Д41 = R(T} + Д - 2Т2).
Из уравнения процесса 3-4 находим Т2 и подставляем в выражение для А :
6. В ведре находится смесь со льдом массой m -10 кг. Ведро внесли
в комнату' и сразу же начали измерять температуру смеси. Получившаяся
Г t,°c
2-------------
зависимость температуры смеси от времени изо-
бражена на рисунке. Удельная теплоемкость воды
св =4,2 кДж/кг-К , удельная теплота плавления
льда X = 340 кДж/кг . Определить массу льда в
ведре, когда его внесли в комнату; теплоемко-
стью ведра пренебречь.
т, мин
0 20 40 6°
155
Решение. Из i рафика видно, что первые Ат, =50 мин температура смеси
оставалась равной 0°С: таял лсд, и на это шло вес подводимое к смеси тепло.
Далее та Дт2=10 мин температура воды поднялась па Д1 = 2°С. Эти данные
позволяют выразить скорость подвода тепла
q'=£^
Лт2
и количество теплоты, пошедшее на плавление льда
Ат
Q = Q Ат. = cmAt—L
Дт2
Поскольку Q = дгД , то
с,m&tАт. 4,2-10’-10-2-50 , ,,
пг, = —------ = —-------:-----= 1,23 кг.
ЛДт, 340-10-10
Ответ-. т, =1,23 кг.
7. В сосуд объемом V = 100 дм3, наполненный сухим воздухом при
давлении рп=105 Па и температуре 7], =273 К, вводят т=3 г воды.
Сосуд нагревают до температуры У = 373 К . Каково давление влажного
воздуха в сосуде при этой температуре?
Решение. Давление р влажного воздуха складывается из давлений воздуха
и водяного пара: р = pt + рп . В закрытом сосуде давление газа пропорционально
Т
температуре, т.е. рг = р0—. Предположим, что введенная вода испарится, и
То
найдем, считая нар идеальным газом, давление паров воды при температуре Т :
_ mRT
Рп~ MV '
Для проверки правильности предположения нужно произвести расчет рп и
сравнить эту' величину с давлением насыщенного пара при этой же температуре Т .
В нашем случае
что меньше Р1ГК = р„ - 105 Па. Таким образом, пар ненасыщен и давление влаж-
ного воздуха
Р = Ро~+ Р, = 105-—+5,1-104 =1,88-10' Па.
То ' 273
Ответ: р = 1,88-1 О' Па.
156
8. Железный шарик радиусом г = 1 см, нагретый до /=120 °C, по-
ложен на лед. На какую глубину погрузится шарик в лед? Температура
окружающей среды 0 С.
Решение. Углубившись в лед на расстояние х, шарик радиусом г , распла-
, 2 ,
вил объем льда, состоящий из объема цилиндра т.г'х и объема полушара —пг ,
2 2 ,
т.е. пг х+—пг .
3
Количество теплоты, необходимое для плавления льда
Q = А^лг2х + -|лг’jp,, (1)
где А - удельная теплота плавления льда; р, - плотность льда.
Количество теплоты, выделенное шариком,
ф = улг'рс(/ (2)
где с -удельная гсплоемкость железа.
1 приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получим:
< л 2 А 4
AJ лг2х+~лг3 1р, =—лг'рс(* “£,) ,
2[2рс(/-/,)-р|А]
откуда х = —--------------;
ЗрД
2-7880 Д-46U ———120 град-917 Д--3,3-10’
х =------М--------iSLIDiEl------------------------^-*о,О1 м.
3-917 -^--3,3-Ю5 —
м кг
I дубина погружения шарика (высота цилиндра плюс радиус шарика)
/1 = 0,01+0,01 = 0,02 м.
Ответ; h = 0,02 м.
9. Биметаллическая пластина состоит из стальной и алюминиевой
полосок толщиной d = 0,2 мм каждая. Температура t=20°C. Коэффи-
циент линейного расширения алюминия а, = 2,4-10 5 град-1, а стали -
а2 = 1,1-10 ' град-1. Какой радиус кривизны будет иметь пластина при
/ = 100 °C?
Решение, г - средний радиус кривизны пластинки, средняя длина алюми-
ниевого слоя - СВ , стального - DE (см. рис.). Тогда
157
Если первоначальную длину пластинок обозначить через ta, то
CB = CD(\ + a^t); DE = f0(l + a2At), (2)
где а, и а2 коэффициенты линейного расширения соответственно алюминия
и стали.
_____ А1 Разность длин дуг СВ и DE составляет:
В M = CB-DE = lir + ^-^r + ^- = [>,d
/сталь''',?.
£)\. -----/Е или
Af = €o + €0At-€0-/'0a2Af = f0(a1-a2)At,
откуда
f0(a,-a2)At =pd. (3)
Из уравнения (1) [3 =——- . Подставляя значение СВ из выражения (2),
г + —
2
получим:
/„(l + a.At)
Р d
г + —
2
Тогда уравнение (3) примет вид:
. < х G(l + a,At) ,
(a, - a,) Af = —i—d .
r + —
2
После решения данного уравнения найдем
Г2 + (Ц| + СФ\,.
2(a, -a2)Af
Подставляя численные значения, получим:
2 + (2,4105 град1+1,1 10 5 град ')80 град
г = —/-----------------------------------2 10^ м = 0,192 м.
2(2,4 -10“5 град -1,1 10 град’) 80 1-рад
Ответ: г = 0,192 м.
10. Стальной брус сечением S = 100 см2 заделан между двумя кир-
пичными стенами при температуре 70 = 273 К . При какой температуре
сила, действующая на каждую стену, не будет превышать /'' = 7,5 кН?
Модуль Юнга и коэффициент линейного расширения стали равны соот-
ветственно Е = 2,1-10" Па и а = 1,2-10-5 К '. Тепловое расширение
кирпича не учитывать.
158
Решение. В задаче идет речь о нагревании стального бруса. Если бы он был
свободен, то при нагревании до искомой температуры его длина стала бы
€ = б„[1+а(Т-Т0)]. (1)
Здесь - длина бруса при температуре Т„.
Но по условию задачи расстояние между стенами не меняется. Поэтому аб-
солютное удлинение бруса = определяет его деформацию сжатия. Но
закону Гука
(2)
А
где a = F/S - напряжение материала бруса.
Из уравнения (1) = foa(T-TB) . Из уравнения (2) =
Е S 0
Тогда
^(г-7’0)=1|с
F
откуда Т = Т0 +---= 302,8 К - максимальная температура, удовлетворяющая
ESu.
условию задачи.
Ответ: Т = 302,8 К .
Задачи для самостоятельного решения
1. Какое число N молекул содержится в объеме V = 1,0 см3 воды?
Какова масса т одной молекулы воды? Каков приблизительно ее диа-
метр d ?
2. Спутник сечением 8=1 м2 движется с первой космической ско-
ростью v - 7,9 км/с по околоземной орбите. Давление воздуха на высо-
те орбиты (Л = 200 км) J9 = 1,37-10 4 Па, температура У = 1226 К . Оп-
ределить число столкновений спутника с молекулами воздуха в единицу
времени.
3. Два баллона вместительностью 3 л и 7 л наполнены соответст-
венно кислородом под давлением 200 кПа и азотом под давлением
300 кПа при одинаковой температуре. В баллонах после их соединения
образуется смесь газов с той же температурой. Определить давление
смеси в баллонах.
159
4. Теплоизолированная полость с небольшими одинаковыми отвер-
стиями соединена с двумя объемами, содержащими газообразный гелий
(см. рис.). Давление гелия в этих объемах поддержи-
вается постоянным и равно р, а температура под-
держивается равной Т в одном из объемов и 2Т - в
другом. Найти установившиеся давление и темпера-
туру внутри полос ти.
5. Определить наименьшее возможное давление идеального газа в
процессе, происходящем по закону Т = То + аУ2, где То и а - положи-
тельные постоянные, V - объем моля газа. Изобразить примерный гра-
фик этого процесса в параметрах р и V
6. В цилиндре под поршнем содержится воздух с относительной
влажностью гр = 80% при температуре 100 "С и нормальном атмосфер-
ном давлении. Каким будет давление р в цилиндре, если объем воздуха
изотермически уменьшить в и = 2 раза?
7. На рисунке представлен график процесса,
происходящего в идеальном газе. Состояние I
характеризуется объемом Уо и давлением 2ри,
состояние 2 - объемом 2У0 и давлением р0.
Найти количество теплоты AQ , которое было
сообщено газу.
8. В вертикальном цилиндре под поршнем находится m = 2 кг ки-
слорода. При повышении температуры кислорода на АТ = 5 К его внут-
ренняя энергия увеличилась на АС/ - 6570 Дж. Найти количество тепло-
ты Qp и , сообщенное кислороду; работу Ар и Av , совершаемую им
при расширении; его удельную теплоемкость с и cv в случае, если
поршень не закреплен. Молярная масса кислорода М = 32-10"’ кг/моль .
Молярная (универсальная) газовая постоянная R = 8,3 Дж/моль-К.
9. В цилиндре двигателя внутреннего сгорания при работе образу-
ются газы, температура которых 7] =1000 К . Температура отработанно-
го газа Т2 =373 К . Двигатель расходует в час m = 36 кг топлива, удель-
ная теплота сгорания которого <? = 43 МДж/кг. Какую максимальную
полезную мощность Рлол может развивать этот двигатель?
160
10. Оценить, сколько воды т можно унести в решете. Ячейка ре-
шета представляет собой квадратик площадью 8 = 1x1 мм2, площадь
решета 8 = 0,1 м2. Решето водой не смачивается.
Ответы:
1. N = 3,3-1022 ; m = 3,0 10-“ кг; d = 3,l-1010 м. 2. N = 610” сч.
3. рсм = 270 кПа. 4. рх « р; Тх = 1,4'Г. 5. р„ = 2R^ . 6. р = 1,4р0.
3
7. Д(?=|р0П0.8. (?р =9164 Дж; Qv =6570 Дж; Ар = 2594 Дж; Av = 0 ;
ср =916 Дж/кг-К ; =657 Дж/кг-К. 9. = 296610 Вт. 10. т = 3 кг.
РАЗДЕЛ 111. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Глава 1. ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
1.1. Общие сведения
В настоящее время известно, что в основе всего разнообразия явле-
ний природы лежат четыре фундаментальных взаимодействия между
элементарными частицами - сильное, электромагнитное, слабое и гра-
витационное.
Каждый вид взаимодействия связывается с определенной характе-
ристикой частицы. Например, гравитационное взаимодействие зависит
от массы частиц, электростатическое - от электрических зарядов.
Электрический заряд частицы является одной из основных, первич-
ных ее характеристик.
Совокупность явлений, обусловленных существованием, движени-
ем и взаимодействием электрически заряженных тел или частиц изучает-
ся в разделе «Электричество».
Взаимодействие электрических зарядов осуществляется с помощью
электромагнитного поля (в случае неподвижных электрических зарядов-
электростатического поля).
Движущиеся заряды (электрический ток) наряду с электрическим
возбуждают и магнитное поле, т.е. порождают электромагнитное поле,
посредством которого осуществляется электромагнитное взаимодейст-
вие. Электромагнитные явления описываются классической электроди-
намикой.
Электродинамика охватывает огромную совокупность явлений, в
которых основную роль играют взаимодействия между заряженными
частицами, осуществляемые посредством электромагнитного поля.
Все электромагнитные явления можно описать с помощью уравне-
ний Максвелла, которые устанавливают связь величин, характеризую-
щих электрическое и магнитное поля с распределением в пространстве
зарядов и токов.
Содержание уравнений Максвелла для электромагнитного поля ка-
чественно сводится к следующему:
магнитное поле порождается движущимися электрическими заря-
дами и переменным электрическим полем (током смещения);
электрическое поле с замкнутыми силовыми линиями (вихревое по-
ле) порождается переменным магнитным полем;
силовые линии магнитного поля всегда замкнуты (это означает, что
оно не имеет источников - магнитных зарядов, подобных электрическим);
162
электрическое поле с незамкнутыми силовыми линиями (потенци-
альное поле) порождается электрическими зарядами - источниками этого
поля.
Из теории Максвелла вытекает конечность скорости распростране-
ния электромагнитного взаимодействия и существования электромагнит-
ных волн.
Рождению электродинамики как науки предшествовали многочис-
ленные открытия и эксперименты. В 1785 г. французским физиком
Ш. Кулоном был экспериментально установлен закон взаимодействия
двух неподвижных точечных зарядов. В 1820 г. датский физик X. Эрстед
показал, что токи, текущие по проводам, создают вокруг себя магнитное
поле. Затем А. Ампер, Ж. Био и Ф. Савар экспериментально, а потом и
теоретически, определили силу воздействия магнитного поля на провод-
ник с током. В 1831г. М. Фарадей открыл явление электромагнитной
индукции.
Фундаментом электродинамики явилась теория английского учено-
го Дж. Максвелла (1867). Основываясь на опытных данных, он предло-
жил уравнения, достаточные для описания всех электромагнитных явле-
ний, в которых не проявляются квантовые закономерности.
Практическое развитие теория Дж. Максвелла получила в трудах
Г. Герца и А.С. Попова.
Глава 2. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
2.1. Электрические заряды. Закон Кулона
В процессе познания природы человек столкнулся с новым свойст-
вом тел, которое присуще всем телам в особом состоянии. Еще в древно-
сти было замечено, что янтарь, потертый о шерсть, приобретает способ-
ность притягивать к себе различные легкие тела. Позже было обнаруже-
но, что кроме янтаря свойство притягивать легкие тела приобретают при
трении и многие другие вещества (стекло, сера, смола). Дальнейшее изу-
чение этого явления показало, что оно вызывается электрическими заря-
дами, находящимися на телах.
Тело, обладающее свойством притягивать к себе легкие тела благо-
даря наличию на нем электрических зарядов, называется наэлектризо-
ванным. Явление возникновения этих свойств у тела было названо элек-
тризацией.
В природе существует два рода электричества. Заряды, возникаю-
щие на стекле при натирании его шелком, условились называть положи-
тельными, а заряды, возникающие на янтаре при натирании его мехом, -
отр и цател ьны м и.
Многочисленными опытами установлено, что одноименные заряды
отталкиваются, разноименные - притягиваются. Этим электрические
силы принципиально отличаются от гравитационных, которые всегда
являются силами притяжения.
При электризации тел трением происходит тесное соприкосновение
двух различных тел. При этом часть зарядов с одного тела переходит на
другое. В результате на поверхности одного тела оказывается положи-
тельный заряд, а на поверхности другого - отрицательный. При избытке
отрицательных зарядов (электронов) тело заряжено отрицательно, при их
недостатке - положительно.
Для того чтобы наэлектризовать тело, не обязательно привести его в
контакт с заряженным телом. Опыт показывает, что тела заряжаются и
тогда, когда они находятся на некотором расстоянии от заряженного тела.
Если на шелковой нити подвесить полоску бумаги, а затем прибли-
зить к ней изолированный, заряженный, например, с помощью стеклян-
ной палочки металлический шар, то полоска бумаги отклонится, хотя
заряженное тело и не касалось ее. Таким образом, бумажная полоска за-
рядилась, не касаясь заряженного тела. В этом случае говорят, что тело
зарядилось через влияние, а само влияние называют заряжением через
влияние, или электростатической индукцией.
164
Электрические свойства присущи всем телам и некоторым их со-
ставным частям. Для количественной характеристики электрических
свойств тел ввели понятие электрического заряда.
По современным представлениям электрический заряд является
физической величиной, определяющей интенсивность электромагнит-
ных взаимодействий.
Электромагнитное взаимодействие - взаимодействие между элек-
трически заряженными частицами или макроскопическими заряженными
телами. Рассмотрение электромагнитных взаимодействий основывается
на концепции близкодействия, т.е. взаимодействие между заряженными
частицами или телами распространяется с конечной скоростью, равной
скорости света. В вакууме эта скорость составляет 3 • 108 м/с . При элек-
тризации электрический заряд изменяется не непрерывным и произволь-
ным образом, а только на строго определенное значение, равное или
кратное минимальному количеству электричества, называемому элемен-
тарным электрическим зарядом.
Наименьшая по массе стабильная частица, обладающая элементар-
ным электрическим отрицательным зарядом, называется электроном.
Электрический заряд электрона е = 1,6 10"19Кл. Масса электрона
те =9,1Ы0"3' кг.
Заряд протона положителен и по модулю равен заряду электрона,
его масса тр = 1,67 10 27 кг.
Заряд тела, состоящего из N заряженных частиц, кратен целым зна-
чениям заряда электрона: q = +eN . Элементарный заряд впервые был
измерен Р.Э. Милликеном в 1909 г.
Существуют ли дробные заряды? Это предположение возникло в
связи с предсказанием существования кварков - частиц, из которых по-
строено большинство тяжелых элементарных частиц, например, прото-
1 2
нов. Электрический заряд кварков предполагали равным ±-е, ±—е.
Поиски кварков проводились многими учеными различными методами,
но все они дали отрицательный результат.
Таким образом, в настоящее время экспериментально с большой
точностью показано, что дробных зарядов в свободном состоянии не су-
ществует.
Значение заряда, измеренное в различных инерциальных системах
отсчета (ИСО), всегда одинаково и не зависит от того, движется заряд
или покоится.
165
Суммарный заряд электрически изолированной системы не изменяется
Закон сохранения электрического заряда:
Электрические заряды не создаются и не исчезают, а
только передаются от одного тела к другому или пере-
распределяются внутри данного тела:
£<?, = const.
Отметим, что закон сохранения электрического заряда тесно связан
с релятивистской инвариантностью заряда.
Действительно, если бы величина заряда зависела от его скорости,
то, приводя в движение заряды одного знака, мы изменили бы заряд изо-
лированной системы.
Итак, электрический заряд не является самостоятельной сущностью,
независимой от материи, он - одно из свойств материи. Закон сохране-
ния заряда имеет такое же фундаментальное значение в физике, как и
законы сохранения энергии, импульса и т.д.
Основной закон электростатики - закон взаимодействия между двумя
неподвижными точечными электрически заряженными телами в вакууме.
Закон Кулона:
Сила взаимодействия неподвижных точечных заряжен-
ных частиц в вакууме пропорциональна произведению их
зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстоя-
ния между ними.
Под точечным зарядом следует понимать электрически заряженное
тело, размеры которого малы по сравнению с
расстоянием между ними.
Рис. 2.1
В инерциальной системе отсчета (рис. 2.1)
Закон Кулона, описывающий взаимодействие
точечных зарядов qt и q2, находящихся на
расстоянии г друг от друга в вакууме, запи-
сывается в виде:
г г
(1)
где k - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора систе-
мы единиц физических величин. В системе СИ
4ле0 ’
где 1/4л - коэффициент рационализации, вводится для упрощения чи-
словых расчетов.
166
С учетом этого коэффициента закон Кулона в скалярной форме
имеет вид:
? = (2)
4лЕ„Г
Величину е0 называют электрической постоянной. Это одна из
фундаментальных физических констант.
Для того чтобы определить числовое значение и единицу измерения
электрической постоянной, рассмотрим взаимодействие зарядов
qt = q2 = 1 Кл каждый, расположенных на расстоянии г = 1 м друг от
друга в вакууме; Е = 1.
Сила взаимодействия зарядов в этом случае F = 9 -109 Н.
Подставляя числовые значения в формулу (2), получим:
или
е0 =8,85-10 '2 Ф/м .
Если однородный и изотропный диэлектрик полностью заполняет
рассматриваемый объем, то сила взаимодействия точечных электриче-
ских зарядов внутри диэлектрика уменьшается в е раз.
Величину Е называют относительной диэлектрической проницае-
мостью среды. Эта величина безразмерная.
Таким образом, можно сказать, что если в инерциальной системе
отсчета, заполненной по всему объему однородным изотропным диэлек-
триком с относительной диэлектрической проницаемостью е , находятся
неподвижные точечные электрические заряды, то модуль силы взаимо-
действия между ними определяется законом Кулона, который записыва-
ется в виде:
Г = (3)
4ле0ег
Анализ уравнений Максвелла показывает, что и взаимодействие
движущихся зарядов можно считать подчиняющимся закону Кулона, ес-
ли скорости их движения удовлетворяют условию v « с, где с - ско-
рость света в вакууме.
Глава 3. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
3.1. Напряженность электрического поля
Взаимодействие между электрически заряженными телами, в общем
случае движущимися в данной системе отсчета, называют электромаг-
нитным взаимодействием. Форма материи, посредством которой осуще-
ствляются электромагнитные взаимодействия, называется электромаг-
нитным полем.
Если имеем систему неподвижно распределенных электрических
зарядов, то их взаимодействие осуществляется посредством электриче-
ского (электростатического) поля. Причем, как было указано ранее,
взаимодействие осуществляется не мгновенно, а распространяется в ва-
кууме с некоторой конечной скоростью, равной скорости распростране-
ния света: с = 3-108 м/с. Электростатическое поле не изменяется во вре-
мени и создается только электрическими зарядами.
Изучая основы электродинамики, мы будем знакомиться и с пере-
менным во времени электрическим полем, которое не связано с зарядами
неразрывно. Многие свойства статических и переменных полей совпа-
дают, но между ними есть и существенные различия. В дальнейшем поле
будем называть электрическим, если данное свойство в равной мере
присуще как статическим, так и переменным полям.
— Всякий электрический заряд q изменяет
5. F свойства окружающего его пространства -
ИСО п₽ создает в нем электрическое поле. Это поле
у' проявляет себя в том, что помещенный в ка-
у )г кую-либо его точку пробный заряд qnp ока-
рис з । зывается под действием силы F (рис. 3.1).
По величине силы, действующей на
данный заряд q^, можно, очевидно, судить об интенсивности поля.
Исследуем с помощью точечного пробного заряда qn[i поле, созда-
ваемое неподвижным точечным зарядом q .
Поместив в точку, положение которой относительно заряда q
определяется радиусом-вектором г, мы обнаружим, что на пробный за-
ряд действует сила
где г/г - называют ортом радиуса-вектора г .
168
Из формулы (1) следует, что отношение Flq^ для всех пробных
зарядов будет одним и тем же и зависит лишь от величины q и г , опре-
деляющих поле в данной точке, а также электрических свойств окру-
жающей среды е.
• F
Векторная величина Е = — называется напряженностью элек-
9„Р
трического поля в данной точке.
Таким образом, напряженностью электрического поля Ё в дан-
ной точке называется векторная силовая характеристика электрическо-
го поля, численно равная силе, действующей на единичный положитель-
ный точечный заряд, находящийся в данной точке. В системе СИ за еди-
ницу измерения напряженности электрического поля принимается
[Е] = В/м.
Из формулы (1) следует, что напряженность элекзрического поля
точечного заряда
М.
4де0ег г
а по модулю
(2)
Ё^=-^~
4яе(|ег'
Напряженность электрического поля системы зарядов равна вектор-
ной сумме напряженностей электрических полей, которые создавал бы
каждый из зарядов системы в отдельности:
E = ZE. (3)
Последнее утверждение называется принципом суперпозиции (на-
ложения) электрических полей. Он позволяет вычислить напряжен-
ность электрического поля любой системы зарядов, разбив протяженные
заряды на достаточно малые доли:
т=-у(Кл/м),
с = ^(Кл/м2),
о
р = -^(Кл/м3),
dg „
т = — - линейная плотность заряда;
df
do
о = —— поверхностная плотность заряда;
dS
d<? _
р = —— объемная плотность заряда.
dt”
169
Любую систему зарядов можно свести к совокупности точечных за-
рядов. Вклад каждого из таких зарядов в результирующее поле вычисля-
ется по формуле
Электрическое поле можно описать, указав для каждой точки мо-
дуль и направление вектора Е . Совокупность этих векторов образует
поле вектора напряженности электрического поля. Это поле графически
удобно представлять силовыми линиями.
Силовыми линиями или линиями напряженности электриче-
ского поля называют линии, касательные к которым в каждой точке
совпадают с вектором напряженности в данной точке поля.
Свойства силовых линий:
линии напряженности электростатического поля начинаются на
положительном заряде, а заканчиваются на отрицательном;
линии напряженности не пересекаются;
густотой линий напряженности характеризуют напряженность поля;
силовые линии и эквипотенциальные поверхности ортогональны
(перпендикулярны) друг другу в каждой точке пространства.
Примеры простейших электрических полей представлены на рис. 3.2.
Поле точечных зарядов неоднородно.
Поле равномерно заряженной (o = g/S) плоскости однородно.
Число силовых линий, пронизывающих площадку AS, перпенди-
кулярную им, определяет поток вектора напряженности Ф£ электриче-
ского поля (рис. 3.3).
Рис. 3.3
170
ДФ£ = EAScos а = EnAS,
где а - угол между вектором Е и нормалью п к поверхности AS .
В общем случае поток вектора напряженности сквозь поверхность S
Os = pdS=fE„dS,
s s
где Е„ — проекция вектора Е на нормаль п к поверхности S .
Теорема Остроградского-Гаусса.
Теорема Остроградского-Гаусса позволяет в ряде случаев найти на-
пряженность электрического поля более простым способом, чем с ис-
пользованием формул (3) и (4):
п
ФЕ=^-. (5)
Ео
Поток вектора напряженности электрического поля в вакууме
сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заря-
дов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую
постоянную.
Теорема Остроградского-Гаусса позволяет сравнительно просто рас-
считать электрическое поле при симметрично распределенных зарядах.
Напряженность электрического поля, создаваемого:
точечным зарядом q на расстоянии г :
тз 4леоег2
бесконечно длинной, равномерно заряженной нитью (или ци-
линдром) на расстоянии г от оси:
Е Х
^"'ннть ~ ’
2леоег
где т - линейная плотность заряда;
бесконечной, равномерно заряженной плоскостью:
где о - поверхностная плотность заряда;
двумя параллельными бесконечными равномерно и разно-
именно заряженными плоскостями с одинаковой по модулю поверхност-
ной плотностью а заряда (поле плоского конденсатора):
171
3.2. Проводник во внешнем электрическом поле
В металлических проводниках концентрация свободных электронов
составляет порядка 102“ м 3. Носители заряда в проводнике способны
____________перемешаться под действием сколь угодно
малой силы. При внесении незаряженного
проводника в электрическое поле носители
заряда приходят в движение (средняя ско-
Е рость теплового движения равна нулю). В
~~ результате у концов проводника возникают
_____________ __ _ заряды противоположного знака, называе-
Рис. 3.4_________мые индуцированными зарядами (рис. 3.4).
Перераспределение носителей зарядов происходит до тех пор, пока
не буду! выполнены следующие условия.
1. Напряженность электрического поля всюду внутри проводника
должна быть равна нулю (Епр =0); это означает, что потенциал внутри
проводника должен быть постоянным (ф = const).
2. Напряженность поля на поверхности проводника должна быть в
каждой точке направлена по нормали к поверхности (Ё = Ё„). Следова-
тельно, в случае равновесия зарядов поверхность проводника будет эк-
випотенциальной.
Таким образом, нейтральный проводник, внесенный в электриче-
ское поле, разрывает часть линий напряженности - они заканчиваются на
отрицательных индуцированных зарядах и вновь начинаются на положи-
тельных. Индуцированные заряды распределяются по внешней поверх-
ности проводника. На этом свойстве основывается электростатическая
защита. Внешнее поле при этом компенсируется внутри экрана возни-
кающими на его поверхности индуцированными зарядами. Подобный
экран действует хорошо и в том случае, если его сделать не сплошным, а
в виде густой сетки. Индуцированные заряды исчезают при удалении
проводника из электрического поля.
Равновесие зарядов на проводнике.
Если проводящему телу сообщить некоторый заряд q, то он рас-
пределится так, чтобы соблюдались условия равновесия. Следовательно,
при равновесии ни в каком месте внутри проводника не может быть из-
быточных зарядов - все они распределяются по поверхности проводника
с некоторой плотностью о .
172
Применив теорему Гаусса для заряженного проводника, можно по-
казать, что напряженность поля вблизи поверхности проводника
Е= —,
Еое
где е - диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник.
Особенно велика бывает плотность зарядов на остриях, иногда на-
столько большой, что возникает ионизация молекул газа, окружающего
проводник.
3.3. Диэлектрик во внешнем электрическом поле
Идеальных изоляторов в природе не существует. Все вещества хотя
бы в нич тожной степени проводят электрический ток. Однако вещества,
называемые диэлектриками, проводят ток в 10l5^102li раз хуже, чем ве-
щества, называемые проводниками.
Диэлектрики представляют собой большой, обширный и очень важ-
ный для практических целей класс веществ. Диэлектриками могут быть
вещества в трех агрегатных состояниях:
газообразном (азот, водород),
жидком (чистая вода),
твердом (янтарь, фарфор, кварц).
В идеальном диэлектрике свободных зарядов нет.
Оценим напряженность электрического поля внутри атома. При
внутриатомном расстоянии порядка г = 10“'° м напряженность
Е = е ______________1,6-10~19 Кл_______.
4леог2 4л-8,85-10’12 Ф/м-(1О10)2 м2 ’
Е = 10"В/м.
Эта величина почти в 104 раз больше, чем полученная в настоящее
время в технике напряженность электрического поля. Однако, несмотря
на эту большую количественную разницу, если диэлектрик внести во
внешнее электрическое поле, это поле и сам диэлектрик претерпевают
существенные изменения, что объясняется молекулярным строением
диэлектрика.
Всякая молекула представляет собой систему с суммарным зарядом,
равным нулю. Линейные размеры этой системы, как уже было сказано
выше, составляют порядка 10“'° м .
Поведение молекулы во внешнем электрическом поле эквивалентно
диполю.
173
е
-Ч +q
Рис. 3.5
Электрическим диполем называется система (рис. 3.5) двух оди-
наковых по абсолютной величине разноименных
точечных зарядов +q и -q , расстояние С между
которыми значительно меньше расстояния до тех
точек, в которых определяется поле системы.
Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя.
Физическая величина p = ql называется электрическим моментом
диполя. Вектор р направлен по оси диполя от отрицательного заряда к
положительному.
При помещении диэлектрика во внешнее электрическое поле (Ёо)
происходит процесс поляризации.
Яо
Рис. 3.6
Электрической поляризацией называют
особое состояние вещества, при котором электри-
ческий момент некоторого объема этого вещества
не равен нулю. В результате поляризации на гра-
нях диэлектрика концы молекулярных диполей
окажутся не компенсированы соседними диполя-
ми, как это происходит внутри диэлектрика. Это
приводит к тому, что на одной его поверхности
создаются положительные заряды, а на другой -
отрицательные (рис. 3.6). Эти электрические заря-
ды называются связанными (осв), так как принадлежат молекулам ди-
электрика и не могут быть удалены с его поверхности.
Рис. 3.7
Напряженность Есе электрического поля, соз-
даваемого связанными зарядами, направлена проти-
воположно напряженности Ev внешнего электриче-
ского поля, поляризующего диэлектрик (рис. 3.7).
Напряженность суммарного электрического по-
ля внутри диэлектрика
Ё-Ёи + Ёс,.
Вектор напряженности электрического поля в ди-
электрике характеризует результирующее макроскопическое поле, т.е. поле,
создаваемое системой свободных зарядов, напряженность которого Д, и
поле, создаваемое системой связанных зарядов, напряженность которого
Дв, т.е. напряженность электрического поля Е зависит от электриче-
ских свойств среды и
Д=Д>+Д.- (6)
174
Есв можно вычислить как напряженность электрического поля, соз-
даваемого двумя разноименно заряженными плоскостями с поверхност-
ной плотностью заряда осв:
Ео
где ои = аг е0Е , тогда
°о
где ге - не зависящая от Е величина (для изотропного диэлектрика),
называемая диэлектрической восприимчивостью диэлектрика.
Подставляя найденное значение Е в формулу (6), имеем
Е = Еп<еЕ, или Е0 = (1+ае)Е.
Величину е = 1 + <е называют относительной диэлектрической про-
ницаемостью среды.
Очевидно, что
Е
т.е. относительная диэлектрическая проницаемость среды показывает,
во сколько раз напряженность поля в вакууме больше, чем в диэлектрике.
Величины е и ге являются безразмерными.
Значения е для разных веществ:
для газов: от 1,0002 до 1,006;
для жидкостей: от 2 до 81,
для стекла: от 3 до 20;
для различных кристаллических веществ: от 4 до 3000.
Глава 4. электростатическое поле
4.1. Потенциал
Из механики известно, что любое стационарное поле центральных
сил является консервативным, т.е. работа сил этого поля не зависит от
пути, пройденного материальной точкой, а зависит только от начального
и конечного положений этой точки в поле сил. Именно таким свойством
обладает электростатическое поле - поле, образованное системой непод-
вижных зарядов.
Элементарная работа, совершаемая силой F при перемещении то-
чечного электрического заряда <?пр из одной точки электрического поля в
другую на отрезке пути dS,
dA = FdScosa, (1)
где a - угол между вектором силы F и направлением движения точеч-
ного электрического заряда.
Если работа совершается внешними силами, то dA < 0; если силами
поля, то dA > 0.
Интегрируя (суммируя) выражение (1), получим
2 2
А = J<1A, =-|FdScosa
। ।
Для точечного заряда F = —, dr = dScosa (рис.4.1),
4леог
А =
4ле0г 4ле0
Из выражения (2) следует, что работа сил
электростатического поля при перемещении
заряда не зависит от формы пути, а зависит
лишь от взаимного расположения начальной и
конечной точек траектории. Это свойство по-
тенциальных полей. Из него следует, что рабо-
та, совершаемая в электрическом поле по замк-
нутому контуру, равна нулю.
Работа сил потенциального поля может быть представлена как
убыль потенциальной энергии:
A = -^FdScosa I.
। )
q^q i i
(2)
W„ -wn .
Г|1 п2
(3)
176
Сопоставление формул (2) и (3) приводит к следующему выраже-
нию для потенциальной энергии заряда q в поле заряда q:
Vvn =---— + const.
4ле0г
Значение константы в последней формуле обычно выражается та-
ким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность (т.е. при
г = сс) потенциальная энергия обращалась бы в нуль. Тогда
W =—!— 2Z2L. (4)
4ле0 г
Величина
будет для всех зарядов одинаковой, она называется потенциалом элек-
трического поля в данной точке и используется, наряду с напряженно-
стью поля Е , для описания электрических полей.
Из формулы (5) следует, что потенциал численно равен потенци-
альной энергии, которой обладал бы в данной точке поля единичный
положительный заряд.
Подставим в выражение (5) значение потенциальной энергии (4) для
потенциала точечного заряда с учетом электрических свойств среды е :
<р = —-—
4ле0ег
(6)
Используя принцип суперпозиции для системы точечных электри-
ческих зарядов, запишем
Сопоставляя формулы (7) и (6), делаем вывод, что потенциал поля,
создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциа-
лов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.
В то время как напряженности электрического поля складывают-
ся при наложении полей векпюрно, потенциалы складываются алгеб-
раически.
По этой причине вычисление потенциалов оказывается обычно го-
раздо проще, чем вычисление напряженностей электрического поля.
Из формулы (5) вытекает, что заряд q, находящийся в точке поля с
потенциалом <р, обладает потенциальной энергией
WJ. = 9<р.
(8)
177
Следовательно, работа сил поля над зарядом q может быть выра-
жена через разность потенциалов:
A-2=w;-wn2=Q(<p1-<p2). (9)
Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, рав-
на произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной
и конечной точках (т.е. на убыль потенциала).
Если заряд q из точки с потенциалом <р удаляется на бесконеч-
ность (где по условию потенциал равен нулю), работа сил поля
(10)
Отсюда следует, что потенциал численно равен работе, которую со-
вершают силы поля над единичным положительным зарядом при удале-
нии его из данной точки на бесконечность. Такую же по величине работу'
нужно совершить против сил электрического поля для того, чтобы пере-
местить единичный положительный заряд из бесконечности в данную
точку поля.
Формулу (10) можно использовать для установления единиц потен-
циала.
За единицу потенциала принимают потенциал в такой точке поля,
для перемещения в которую из бесконечности единичного положитель-
ного заряда необходимо совершить работу, равную единице.
Так, в СИ за единицу потенциала, называемую вольтом, принимает-
ся потенциал в такой точке, для перемещения в которую из бесконечно-
сти заряда, равного 1 кулону, нужно совершить работу в 1 джоуль:
1В = Ж
1 Кл
Потенциал <р, так же, как и вектор напряженности Ё электриче-
ского поля, можно изобразить графически.
Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый
потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Ее уравнение
имеет вид:
<p(x,j/,z) = const.
При перемещении по эквипотенциальной поверхности на отрезок df
потенциал не изменяется (dcp = O). Отсюда заключаем, что вектор Ё в
каждой точке направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности,
проходящей через данную точку, и линии напряженности в каждой точке
ортогональны к эквипотенциальным поверхностям.
178
Эквипотенциальную поверхность можно провести через любую
точку поля. Следовательно, таких поверхностей может быть построено
бесконечное множество. Условливаются проводить поверхности таким
образом, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей
была всюду одна и та же. Тогда по густоте эквипотенциальных поверх-
ностей можно судить о напряженности электрического поля.
Действительно, чем чаще располагаются эквипотенциальные по-
верхности, тем быстрее изменяется потенциал при перемещении вдоль
нормали к поверхности.
На рис. 4.2 показаны эквипотенциальные
поверхности (точнее, их пересечения с плоско-
стью чертежа) для поля точечного электриче-
ского заряда.
В соответствии с характером зависимости
Е от г эквипотенциальные поверхности при
приближении к заряду становятся гуще.
Для однородного поля эквипотенциальные
поверхности представляют собой систему равно-
отстоящих друг от дру га плоскостей, перпенди-
кулярных направлению поля.
Рис. 4.2
4.2. Связь напряженности электрического поля с потенциалом
На рис. 4.3 изображены две эквипотенциальные поверхности с по-
тенциалами <р, и ф2.
Пусть заряд q перемещается из точки 1 в точку 2. Работа по переме-
щению заряда
А = f/EAScos а..
Поскольку AS мало, то можно под Е по-
нимать среднее значение напряженности на пе-
ремещении AS . Из рисунка видно, что AScosct
равно -Аг - кратчайшему расстоянию между
двумя эквипотенциальными линиями, очевидно,
что Аг указывает направление наибыстрейшего
изменения потенциала. С другой стороны, работа
определяется выражением
А = д(ф1-ф2) = -?Дф.
Рис. 4.3
Приравнивая оба выражения для работы, получим
giEAScos а = -дАф,
179
откуда
А<р ~ -EAScos а .
Если а = 0, то
£ = -“ (Н)
Аг
Силовые линии направлены в сторону уменьшения потенциала. При
а = л/2 разность потенциалов а = 0, следовательно, силовые линии
перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
Соотношение (11) выражает связь напряженности электрического
поля и потенциала. Знак минус показывает, что вектор напряженности
направлен в сторону уменьшения потенциала.
Если разность потенциалов <р, — ц>2 =—Д<р обозначить через U,
формулу (11) для однородного поля можно записать в виде:
(12)
а
где d - кратчайшее расстояние между эквипотенциальными поверхно-
стями ср, и <р2, U - разность потенциалов между ними, причем, вследст-
вие однородности поля, никаких ограничений на длину отрезка d нет.
Глава 5. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
5.1. Электроемкость
Сообщенный проводнику заряд q распределяется по его поверхно-
сти так, чтобы напряженность электрического поля внутри проводника
была равна нулю. Такое распределение является единственным. Поэто-
му, если проводнику, уже несущему заряд q, сообщить дополнительно
заряд такой же величины, то второй заряд должен распределиться по
проводнику точно таким же образом, как и первый, в противном случае,
он создаст в проводнике поле, отличное от нуля. Следует оговорить, что
это справедливо лишь для удаленного от других тел (уединенного) про-
водника.
Если вблизи данного проводника находятся другие тела, сообщение
проводнику новой порции заряда вызовет изменение поляризации этих
тел, либо изменение индуцированных зарядов на этих телах.
Итак, различные по величине заряды распределяются по поверхно-
сти уединенного проводника только подобным образом, т.е. отношение
плотностей заряда в других произвольных точках поверхности провод-
ника при любой величине заряда будет одним и тем же.
Отсюда вытекает, что потенциал уединенного проводника пропор-
ционален находящемуся на нем заряду.
Действительно, увеличение в некоторое число раз заряда приводит
к увеличению в то же число раз напряженности поля в каждой точке ок-
ружающего проводник пространства. Соответственно в такое же число
раз возрастет работа переноса единичного заряда из бесконечности на
поверхность проводника, т.е. потенциал проводника.
Таким образом, для уединенного проводника
<7 = С<р.
Коэффициент пропорциональности С называют электроемкостью.
С=^-. (1)
<Р
Электроемкость проводника или системы проводников - физиче-
ская величина, характеризующая свойство проводника или системы про-
водников накапливать электрические заряды.
За единицу электроемкости принимают электроемкость такого про-
водника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему за-
ряда в 1 Кл.
Эта единица емкости называезгя фарад (Ф).
181
Используя формулу для потенциала <р проводящей сферы, находя-
щейся в однородном безграничном диэлектрике с проницаемостью е ,
ф = —-— ,
4тге0е/?
где R - радиус сферы, получим, что электроемкость уединенной сферы
С = — = 4ле0е/? . (2)
Емкостью в 1 Ф обладал бы уединенный шар радиусом 9-109 м , т.е.
радиусом, в 1500 раз большим, чем радиус Земли. Следовательно, фарад
- очень большая величина. Поэтому на практике пользуются единицами,
равными долям фарад: миллифарад (мФ), микрофарад (мкФ), нанофарад
(нФ) и пикофарад (пФ).
Из соотношения (2) видно, что электроемкость зависит как от гео-
метрии проводника, так и от относительной диэлектрической проницае-
мости среды.
5.2. Конденсаторы
Известно, что электроемкость проводника в общем случае зависит
как от среды, в которой он находится, так и от расположения окружаю-
щих его проводников. Практический интерес представляют конденсато-
ры - система из двух проводников, обкладок, разделенных диэлектри-
ком, толщина которого мата по сравнению с размерами обкладок. Элек-
троемкость определяется геометрией конденсатора и диэлектрическими
свойствами среды, заполняющей пространство между обкладками.
Основной характеристикой конденсатора является его емкость, под
которой понимают величину, прямо пропорциональную заряду q и об-
ратно пропорциональную разности потенциалов между обкладками:
(3)
(Ф1 -ф2)
Разность потенциалов (<р, - <р2) называют напряжением между со-
ответствующими точками, обозначается буквой V .
Тогда формула (3) принимает вид:
с = |. (4)
где U - напряжение между обкладками конденсатора.
По форме исполнения различают плоские, цилиндрические, сфериче-
ские и слоистые конденсаторы.
182
Плоские конденсаторы.
Электроемкость плоского конденсатора
q _ ££0S
d ’
где S - площадь обкладки конденсатора, d - расетояние между обклад-
ками, е - относительная диэлектрическая проницаемость среды, запол-
няющей пространство между обкладками.
Цилиндрические конденсаторы.
Электроемкость цилиндрического конденсатора
_ _ 2лее0Д
1п (Л/г)’
где R и г - радиусы аксиальных цилиндров, L - длина образующей
цилиндров.
Сфер и чески е конденсаторы.
Электроемкость сферического конденсатора
_ 4лее„гЯ
R-r ’
где г и R - радиусы сферы, е - относительная диэлектрическая прони-
цаемость среды, заполняющей пространство между сферами.
Слоистые конденсаторы.
Электроемкость слоистого конденсатора, т.е. конденсатора, имею-
щего слоистый диэлектрик,
Q _ _ ____EqS______
V- ^L + i+ |
ZtE, E, E2 E3
Для получения необходимой электроемкости конденсаторы соеди-
няют в батареи.
Различают два вида соединений: параллельное и последовательное.
Рис. 5.1
При параллельном соединении конденса-
торов (рис. 5.1) общий заряд батареи
<7 = Ё<7( >
1-1
а общая электроемкость
С-^С,. (4я)
И
183
Рис. 5.2
При последовательном соединении
(рис. 5.2) заряд батареи
<7 = 9i=<7/ = - = <7„>
а общая электроемкость
- = £-• (46)
С trc(
5.3. Энергия электрического поля системы
неподвижных точечных зарядов
Пусть два заряда qt и q2 находятся на расстоянии г друг от друга.
Каждый из зарядов, находясь в поле другого заряда, обладает потенци-
альной энергией. Зная, что W = q<p , определяем
W, =91Ф|-2, W2=q2(p2_l,
где (Р|_2 и <р2_| - соответственно потенциал поля заряда q2 в точке нахо-
ждения заряда <?, и заряда в точке нахождения заряда q2.
Аналогично, используя формулу для потенциала
Ф = —^—,
4лс()г
<7i
запишем: <р,_2 = ———, ф21 = ———.
4ле0г 4ле0г
Следовательно,
w=W2=W=-^_, или W = -(W + Ж).
4ле(1г 2V ' 27
^=|(9|ф1-2+<72Ф2.|)-
Итак, энергия электрического поля системы точечных зарядов в
общем виде
i=i
где <р, - потенциал поля, создаваемого (п-1) зарядами (за исключением </,)
в точке, в которой находится заряд </,.
Для выполнения расчетов очень удобна формула
2 77 77 4ле0г;/
где гч - расстояние между зарядами q, и qjt суммирование ведется по
всем возможным парам частиц ij , I ф j .
5.4. Энергия электрического поля уединенного
заряженного проводника
Уединенный незаряженный проводник можно зарядить до потен-
циала ф, многократно перенося порции заряда d<? из бесконечности на
проводник.
Элементарная работа, которая совершается против сил поля,
dA = фб<?.
Перенос заряда dq из бесконечности на проводник изменяет его
потенциал на d<p , тогда
dq - Сбф,
где С - электроемкость проводника.
Следовательно,
dA = Сфбф,
т.е. при переносе заряда d<? из бесконечности на проводник увеличиваем
потенциальную энергию поля на
dH = dW = dA = Сфбф .
Проинтегрировав данное выражение, находим потенциальную энер-
гию электрического поля заряженного проводника при увеличении его
потенциала от 0 до ф :
W= ^Сфбф = Сф2/2.
О
Применяя соотношение q> = q/C, получаем следующие выражения
для потенциальной энергии:
1 (1^ 1
1У = -Оф,
2 С 2
где q - заряд проводника.
5.5. Энергия заряженного конденсатора
Если имеется система двух заряженных проводников (конденсато-
ров), то полная энергия системы равна сумме собственных потенциаль-
ных энергий проводников и энергий их взаимодействия:
_ САФ2 _ _ 9АФ (5)
2 2С 2 ’
где q - заряд конденсатора, С — его электроемкость, Аф = ф] - ф2 = С -
разность потенциалов (напряжение) между обкладками.
Формула (5) справедлива при любой форме обкладок конденсаторов.
185
5.6. Объемная плотность энергии электрического поля
Физическую величину, численно равную отношению потенциаль-
ной энергии поля, заключенной в элементе объема, к этому объему назы-
вают объемной плотностью энергии.
Для однородного поля объемная плотность энергии
W
(J) -- .
V
Для плоского конденсатора, объем которого
V = Sd,
где S - площадь пластины, d - расстояние между пластинами,
W 1 си2 ю = = . (6) Sd 2 Sd
Но C = EEQS/d; E = U/d,
тогда E0ESE2d2 1 „2 о = — = - eebE- , (7) 2dSd 2 ° v ’
где Е - напряженность электрического поля в среде с диэлектрической
проницаемостью е.
Следовательно, объемная плотность энергии однородного электри-
ческого поля определяется напряженностью Е .
Следует отметить, что выражения (6), (7) справедливы только для
изотропного диэлектрика.
Выражение (7) соответствует теории поля - теории близкодействия,
согласно которой носителем энергии является поле.
Глава 6. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК.
СТОРОННИЕ СИЛЫ
6.1. Закон Ома для участка цепи
Электрический ток — направленное движение заряженных частиц
под действием сил электрического поля или сторонних сил. В общем
случае силой пюка называется скалярная величина
Z = lim—= <7'(t), (1)
«-О М
где Д<7 - количество электричества (величина заряда), которое перено-
сится через поперечное сечение проводника за время At.
Для постоянного тока
(2)
где q - количество электричества, прошедшее через поперечное сечение
проводника за время t.
Плотностью тока называется отношение
>4
где S - площадь поперечного сечения проводника.
Плотность тока - вектор, направление которого совпадает с направ-
лением движения положительно заряженных частиц.
Электродвижущей силой (ЭДС) источника тока называется величина
(4)
Q
гае Д, - работа сторонних сил при перемещении по-
ложительного заряда q на участке 1-2 (рис. 6.1).
Напряжением (падением напряжения) называется
величина
С/2Ч=-, (5)
9
где А - полная работа кулоновских и сторонних сил при перемещении
положительного заряда q на участке.
Учитывая соотношения (4), (5), а также что А =<7(9, -<р2), можно
записать:
^2-1=(ф.-ф2) + ®г-1- (6)
I
Ф1 fe.l -i- Ф2
гт*1-------------2
Рис. 6.1
187
Электрическим сопротивлением называют одну из характеристик
электрических свойств участка цепи, которая определяет направленное
движение заряженных частиц на этом участке. Для однородного цилинд-
рического проводника
Л= —, (7)
S
где С - длина проводника, S - площадь его поперечного сечения,
р -удельное сопротивление материала проводника.
Удельное сопротивление материала проводника зависит от темпера-
туры:
р = р0(1 + аАТ), Я = й0(1 + аДТ), (8)
где р0 - удельное сопротивление при температуре 273 К , а - термиче-
ский коэффициент сопротивления, А7’ = (Т-7],) - изменение темпера-
туры проводника.
Для произвольного участка цепи (рис. 6.1) напряжение на этом уча-
стке равно произведению сопротивления этого участка на силу тока:
Сравнивая значения U2_t из последнего равенства и равенства (6),
имеем
/ДобШ =(<Р1-ф2) + ^-1>
откуда
j (Ф.-Ф2) + ^-. (9)
где /?о6ш - общее сопротивление участка, равное сумме внешнего R и
внутреннего г сопротивлений. Равенство (9) является законом Ома для
произвольного участка цепи, содержащего источник постоянного тока.
Для участка цепи, не содержащего источника тока (6 = 0, г = 0),
закона Ома имеет вид:
Закон Ома для замкнутой цепи, содержащей источник тока, где
<р, = <р2, имеет вид:
R + r
(И)
188
Из выражения (11) следует, что
& = IR + Ir,
где IR = Свнеш - падение напряжения на внешнем участке цепи.
(12)
Соотношение (12) имеет большое практическое значение для реше-
ния задач, поскольку позволяет вычислить показания вольтметра, под-
ключенного к полюсам источника для замкнутой и разомкнутой цепей.
Закон Ома по выражениям (9)-^(11) является следствием закона со-
хранения энергии для частного случая электрических цепей.
6.2. Закон Ома для замкнутой цепи
В общем случае электрическая цепь представляет собой совокуп-
ность источников тока и проводников - резисторов, «нагрузок», потре-
бителей.
Проводники могут соединяться последовательно или параллельно.
Смешанное соединение представляет собой комбинацию этих видов со-
единений.
Рис. 6.3
При последовательном соединении (рис. 6.2) конец предыдущего
проводника соединяется с началом последующего. В этом случае:
сила тока во всех проводниках одинакова;
падение напряжения на всем последовательно соединенном участке
равно сумме падений напряжений на каждом отдельном проводнике;
сопротивление всего участка равно сумме сопротивлений каждого
проводника;
падение напряжения на проводниках прямо пропорционально их
сопротивлениям, т.е.
п п TIT?
/ = const; С7 = £с/,., Л = =
189
При параллельном соединении начала проводников соединены в
одной точке, а концы их в другой (рис. 6.3). В этом случае:
сила тока в неразветвленной части цепи равна сумме сил токов, те-
кущих в каждом проводнике;
падение напряжения на всех проводниках одинаково;
величина, обратная общему сопротивлению (проводимость участка),
равна сумме обратных величин сопротивлений (проводимостей) каждого
проводника;
сила тока в каждом проводнике обратно пропорциональна их сопро-
тивлениям, т.е.
И ] Я 1
/ = (7 = const, — = У —
il К i=l -Ц
А н2
6.3. Правила Кирхгофа
Сложные схемы, в которых нет точек с одинаковыми потенциалами,
рассчитывают с помощью правил Кирхгофа.
Расчет сложных (разветвленных) цепей состоит в отыскании токов в
различных участках таких цепей по заданным сопротивлениям участков
цепи и приложенным к ним ЭДС.
Узлом называется точка разветвленной цепи, в которой имеется бо-
лее двух возможных направлений тока. В узле сходится более двух про-
водников.
Первое правило Кирхгофа (правило узлов): алгебраическая сум-
ма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю:
11
Ел=о,
л
где п - число проводников, сходящихся в узле, I, - сила тока в узле.
Положительными считаются токи, втекающие в узел, отрицатель-
ными - токи, отходящие от узла.
Второе правило Кирхгофа (правило контуров): в любом замкну-
том контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической
цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов It на сопротивле-
ния R, соответствующих участков этого контура равна алгебраиче-
ской сумме ЭДС в контуре:
i-n li-n
1=1 k-i
где п - число отдельных участков, на которые конзур разбивается узлами.
190
Для применения второго правила Кирхгофа выбирается определен-
ное направление обхода контура (по часовой стрелке или против нее).
Положительными считаются токи, направления которых совпадают
с направлением обхода контура.
ЭДС источников электрической энергии считаются положительны-
ми, если они создают токи, направления которых совпадают с направле-
нием обхода контура.
Порядок рас чета разветвленной цепи постоянного тока.
1. Произвольно выбираются направления токов во всех участках цепи.
2. Для т узлов в цепи записываются (т-1) независимых уравне-
ний по первому правилу Кирхгофа.
3. Выделяются произвольные замкнутые контуры, и после выбора
направления обхода записывается система уравнений по второму прави-
лу Кирхгофа.
В разветвленной цепи, состоящей из р участков между соседними
узлами (ветвей) и т узлов, записываются (р-т + 1) независимых урав-
нений но второму правилу Кирхгофа. При их составлении контуры вы-
бираются таким образом, чтобы каждый новый контур содержал хотя бы
один участок цепи, не входивший в уже рассмотренные контуры.
При решении задач на расчеты шунтов и добавочных сопротивлений
к гальванометру нужно помнить, что шунт - это сопротивление, подклю-
чаемое параллельно к гальванометру, для «расширения» его шкалы при
измерении силы тока; добавочное сопротивление подключается последо-
вательно к гальванометру для «расширения» его шкалы при измерении
напряжения. Тогда становится очевидным, что расчет шунтов и добавоч-
ных сопротивлений сводится к расчету сопротивлений, сил токов, напря-
жений при последовательном или параллельном соединении резисторов.
Схема шунтирования амперметра изображена на рис. 6.4. К ампер-
метру параллельно подключено сопротивление
Re , с помощью которого амперметр, имеющий
сопротивление Ro и рассчитанный на макси-
мальный ток /0, может измерять токи, превы-
шающие 10.
Сопротивление шунта определяется по
I = Io + Ia , I0R0 =IeRe , откуда, исключая 1е
п _ АЛ _
° 1-10 п-\’
Д, I
Рис. 6.4
правилам Кирхгофа:
получим
где п = I/Iv .
19)
Схема включения дополнительного сопротивления приведена на
рис. 6.5. Если разность потенциалов <р, — <р2 = на участке цепи, кото-
рую необходимо измерить вольтметром, рассчитанным на Uo при мак-
Рис. 6.5
симальном токе в приборе IU(UO = I„R0), превышает
Uv, т.е. U >U0, то последовательно с вольтметром
включается добавочное сопротивление Ru, опреде-
ляемое из уравнения
U = (Ro+Ra)lB,
откуда
Ra -1),
где n=V!UB.
Глава 7. РАБОТА и мощность электрического
ТОКА
7.1. Тепловое действие тока
При прохождении по участку цепи количества электричества элек-
трическое поле совершает работу
/г2
A = qU=J~Rt=—t,
R
где первые две формулы справедливы для любого участка цепи, на кон-
цах которого поддерживается разность потенциалов U , а последние две
- для однородных участков цепи.
Мощность тока
P = JU = I2R = ~.
R
Коэффициент полезного действия генератора тока
Р U
Т|=-Ж- = Г-
Р б
затр
где и U -соответственно мощность и падение напряжения на внеш-
нем участке цепи, Р и 6 - полная мощность, вырабатываемая источ-
ником, и его ЭДС.
Полная (затраченная) мощность есть сумма мощностей, выделяе-
мых генератором на внешнем и внутреннем участках цепи.
Если участок цепи не содержит источников тока, то необратимые
преобразования энергии в проводнике связаны с увеличением его внут-
ренней энергии.
Количество теплоты, выделяющееся в проводнике за время t,
, и2
Q = I2Rt = IUt =—t = Pt = A,
R
где I, U, R , P, A - соответственно сила тока, напряжение на концах,
сопротивление проводника, мощность и работа тока на этом участке.
Первое из этих уравнений называется законом Джоуля-Ленца, ос-
тальные - его следствия, получаемые при использовании закона Ома для
данного участка цепи.
В общем случае при протекании тока по замкнутой электрической
цепи за счет развиваемой источником мощности происходит не только
увеличение внутренней энергии проводников, но и совершается механи-
ческая работа, осуществляются химические реакции и другие превраще-
ния электрической энергий.
Глава 8. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В РАЗЛИЧНЫХ СРЕДАХ
8.1. Электрический ток в металлах
Металлы состоят из положительно заряженных ионов и совокупно-
сти свободных электронов. Вне электрического поля свободные электро-
ны движутся хаотично, подобно молекулам идеального газа, поэтому
совокупность свободных электронов внутри металлов называют элек-
тронным газом.
Внешнее электрическое поле изменяет характер движения свобод-
ных электронов внутри металла. Электроны, продолжая совершать хао-
тические движения, вместе с тем смещаются в направлении сил электри-
ческого поля.
Ток в металлах обусловлен движением свободных электронов внут-
ри проводника под действием электрического поля, которое создается
сторонними силами внутри источника. Сила тока в металлическом про-
воднике с поперечным сечением S определяется по формуле
I = en„{v)S, (1)
где е - модуль заряда электрона; п0- концентрация электронов прово-
димости; (о) - средняя скорость упорядоченного движения электронов.
Плотность тока проводимости j численно равна заряду, проходя-
щему за 1 с через единицу площади поверхности, перпендикулярной ли-
нии тока:
j = en0(v). (2)
Закон Ома для однородного участка:
/ = U/R, (3)
где U - напряжение на данном участке пени; R — электрическое сопро-
тивление данного участка цепи.
Для однородного участка пени
й = р4> (4)
О
где f. - длина проводника, м; S - площадь поперечного сечения провод-
ника, i 2; р — удельное электрическое сопротивление проводника, I 1 - i .
Дая металлов
т
Р = ---,
е пот
где т - масса электрона; т - среднее время взаимодействия электрона
с ионами кристаллической решетки.
194
Зависимость удельного сопротивления металлического проводника
от температуры выражается соотношением
р = р0(1 + аДТ), (5)
где р0 - удельное сопротивление металлического проводника при темпе-
ратуре Г,, =273 К; ct - термический коэффициент сопротивления, К’1;
ДТ = Т-7’0 - изменение температуры проводника.
8.2. Электрический ток в жидкостях
Проводимость растворов солей, щелочей и кислот объясняется яв-
лением электролитической диссоциации. Молекулы солей, щелочей и
кислот в воде (растворителе) распадаются на ионы противоположных
знаков. Благодаря этому в электролитах образуется большое количество
свободных носителей заряда и они становятся проводниками.
При отсутствии электрического поля ионы в растворе совершают
хаотическое тепловое движение. Случайно столкнувшись между собой,
отдельные ионы противоположных знаков могут вновь объединиться в
нейтральную молекулу. В растворе, таким образом, протекают два вза-
имно противоположных процесса: распад нейтральных молекул на ионы
- диссоциация и объединение ионов в нейтральные молекулы - реком-
бинация (молизания). Благодаря этому в растворе устанавливается дина-
мическое равновесие — сколько ионов за единицу времени образуется из
нейтральных молекул, столько же свободных ионов объединяется в ней-
тральные молекулы. Концентрация ионов в растворе не изменяется.
При наличии между электродами внешнего электрического поля ха-
рактер движения ионов изменяется. Под действием электрического поля
положительные ионы перемещаются в направлении к катоду, а отрица-
тельные - к аноду. Между электродами устанавливается направленное
перемещение электрически заряженных частиц вещества - электриче-
ский ток.
Электрический ток в электролитах представляет собой направлен-
ное перемещение ионов. При движении внутри электролитов ионы испы-
тывают многочисленные соударения с молекулами воды и другими ио-
нами. Вследствие этого электролиты оказывают определенное противо-
действие направленному движению зарядов, т.е. обладают электриче-
ским сопротивлением.
Сопротивление электролитов зависит от концентрации ионов в рас-
творе, величины зарядов и скорости движения ионов обоих знаков: чем
выше концентрация, чем больше заряд и скорость упорядоченного дви-
жения ионов внутри электролита, тем меньше его сопротивление.
195
Сопротивление электролитов определяется гем же соотношением,
что и для металлов:
Я = р-,
S
где t - длина жидкостного проводника; S - площадь поперечного се-
чения столбика жидкости, через который проходит электрический ток;
р - удельное электрическое сопротивление электролита. Например, для
10%-го раствора медного купороса р = 31,5-)0 2 Ом м.
При повышении температуры электрическое сопротивление элек-
тролитов уменьшается, а при понижении температуры - увеличивается.
Это объясняется тем, что при повышении температуры уменьшается вяз-
кость электролита и благодаря этому увеличивается скорость направлен-
ного движения ионов: электрическое сопротивление электролита умень-
шается.
Прохождение электрического тока через электролиты сопровожда-
ется электролизом - выделением на электродах веществ, входящих в со-
став электролита.
Законы электролиза.
1. Масса вещества, выделяющегося на электроде, прямо пропор-
циональна электрическому заряду, прошедшему через электролит'.
m = kq, (6)
где k - электрохимический эквивалент , численно равный массе выделив-
шегося вещества при прохождении через электролит единицы заряда q .
2. Электрохимические эквиваленты веществ прямо пропорциональ-
ны их химическим эквивалентам:
где М - молярная масса; п — валентность; F — постоянная Фарадея,
численно равная количеству электричества, которое должно пройти че-
рез электролит, чтобы выделить из него массу вещества, численно рав-
ную химическому эквиваленту.
Объединенный закон электролиза
1 М 1 М
т =------q или т =----------q, (8)
F п eN А п
где NА - число Авогадро; е - модуль заряда электрона.
196
8.3. Электрический ток в газах
При нормальных условиях (Р(| = 105 Па, Т(> =273 К) преобладаю-
щее большинство молекул газа электронейтрально и поэтому газы в ес-
тественном состоянии являются диэлектриками. Газы становятся про-
водниками тока при нагревании или при облучении различного рода лу-
чами, т.е. под действием внешнего фактора.
Проводимость газа, обуславливаемая действием внешних факторов,
называется несамостоятельной проводимостью газа.
При нагревании или облучении кинетическая энергия молекул уве-
личивается, интенсивность их теплового движения возрастает, отдель-
ные молекулы при столкновении друг с другом теряют электроны и пре-
вращаются в положительно заряженные ионы. Электроны, оторвавшись
от молекул, могут присоединиться к другим нейтральным молекулам
газа. Такие молекулы становятся отрицательно заряженными ионами.
Часть оторвавшихся от молекул электронов остается свободной. Таким
образом, при нагревании газа в нем возникают три типа носителей элек-
трических зарядов: положительные ионы, отрицательные ионы и сво-
бодные электроны - газ ионизируется. Благодаря соударению и дейст-
вию излучений воздух в естественных условиях всегда несколько иони-
зирован. В среднем в 1 см3 воздуха при нормальных условиях находится
примерно 700 пар ионов. Для получения электрического тока, измеримо-
го на опыте, такого количества ионов совершенно недостаточно и поэто-
му воздух при нормальных условиях является диэлектриком.
Чтобы оторвать электрон от нейтральной молекулы или атома, не-
обходимо затратить определенное количество энергии. Количество энер-
гии, которое затрачивается на ионизацию нейтральных атомов и моле-
кул, называется энергией ионизации. Энергия ионизации зависит от при-
роды атомов и молекул и для разных веществ различна.
Минимальной энергией ионизации обладают атомы щелочных ме-
таллов, так как у них валентные электроны слабее всего связаны с ядра-
ми. У инертных газов - гелия, неона, аргона - электронные оболочки
наиболее устойчивы и поэтому энергия ионизации у них максимальна.
Под действием внешнего электрического поля ионы и свободные
электроны, находящиеся между электродами, приходят в направленное
движение: положительные ионы перемещаются к катоду, отрицательные
ионы и свободные электроны — к аноду. В газе возникает электрический
ток. Электрический ток в газе представляет собой направленное движе-
ние положительных и отрицательных ионов и свободных электронов.
197
т Зависимость силы тока в газах от на-
1 С j
у пряжения достаточно сложная. Графически
д_______/ она выражается кривой ОЛ ВС (рис. 8.1).
4i Пока напряжение между электронами
/ । । невелико (напряженость электрического поля
I/ 1________1 также мала), ионы движутся с небольшими
О U2 U скоростями, и основная их часть, не достигая
Рис. 8.1 электродов, рекомбинирует. Сила тока в цепи
мала. С увеличением напряжения между электродами скорость направ-
ленного движения электронов и ионов возрастает, все большая часть за-
ряженных частиц достигает электродов: сила тока в цепи растет прямо
пропорционально напряжению (на графике участок ОЛ).
В интервале напряжений 0-Ut сила тока в газах подчиняется зако-
ну' Ома.
Когда напряжение увеличивается настолько, что все ионы, созда-
ваемые ионизатором (пламя спиртовки, горелки, излучение), не реком-
бинируя, достигают электродов, дальнейший рост силы тока прекраща-
ется. Все ионы достигают электродов, ток становится максимально воз-
можным и независящим от напряжения. Этот постоянный по величине и
независящий от напряжения ток называется током насыщения. На гра-
фике эта зависимость изображается участком АВ.
При напряжении в несколько тысяч вольт сила тока в газе мгновенно,
скачком, увеличивается в десятки и даже сотни раз, а между электродами
проскакивает искра. На графике этот процесс изображается участком ВС.
В сильном электрическом поле при напряжении порядка 30 кВ ско-
рость свободных электронов, возникающих в процессе ионизации
молекул газа, достигает очень больших значений. Их кинетическая энер-
гия становится соизмеримой с энергией ионизации и поэтому, ударяясь о
нейтральные молекулы газа, они ионизируют их, выбивая один-два элек-
трона. Эти вторичные электроны разгоняются электрическим полем до
большой скорости и, сталкиваясь с нейтральными молекулами, в свою
очередь ионизируют их. Благодаря лому при каждом новом столкнове-
нии число заряженных частиц между электродами удваивается. Количе-
ство зарядов нарастает лавинообразно: сила тока в газе увеличивается в
сотни раз без воздействия внешнего ионизатора.
Прохождение электрического тока в газах без воздействия внешнего
ионизатора называется самостоятельным разрядом. При атмосферном
давлении в газах возникает несколько видов самостоятельного разряда:
искровой, коронный и дуговой.
198
8.4. Электрический ток в вакууме
По своим электрическим свойствам вакуум является диэлектриком.
Это объясняется гем, что в вакууме нет свободных носителей заряда.
Для получения электрического тока в вакууме необходимо наличие
свободных электрически заряженных частиц вещества. Их получают из
металла путем нагрева его электрическим током до высокой температу-
ры. При комнатных температурах (18-20°С) средняя кинетическая
энергия теплового движения свободных электронов внутри металла во
много раз меньше работы выхода и поэтому подавляющее большинство
электронов не может вылететь за пределы металла. И только те из них,
кинетическая энергия которых больше работы выхода, покидают по-
верхность металла.
Минимальное количество энергии, необходимое электрону для пре-
одоления сил притяжения, удерживающих его внутри металла, называет-
ся работой выхода. Математически выражение для этого случая имеет
вид:
то1
где Д(рк - контактная разность потенциалов на участке металл-вакуум;
то'/2 - кинетическая энергия теплового движения электрона. Таких
электронов сравнительно мало.
При нагревании металла увеличивается средняя кинетическая энер-
гия свободных электронов, растет число электронов, кинетическая энер-
гия которых больше работы выхода из металла, и поэтому при достаточ-
но высоких температурах (700- 800°C) из металла вылетает большое
количество электронов.
Испускание свободных электронов из металла при его нагревании
до высокой температуры называется термо-электронной эмиссией.
Для осуществления термоэлектронной эмиссии один из электродов
вакуумной трубки изготовляется в виде тонкой проволочной нити из ту-
гоплавкого металла. Эта нить подсоединяется к источнику тока напря-
жением 6 - 8 В . При прохождении тока через нить она накаляется до
высокой температуры и испускает большое количество электронов. Во-
круг нее образуется большой пространственный электрический заряд -
электронное облако. Чем выше температура накала, тем гуще электрон-
ное облако возле нити. Нить накала является катодом вакуумной трубки.
Катоды, которые непосредственно нагреваются при прохождении тока
через них, называются катодами прямого накала (или накаливаемыми
катодами).
199
При испускании электронов катод заряжается положительно и элек-
тростатическими силами удерживает электроны возле себя. Образую-
щееся возле катода электронное облако постепенно пополняется элек-
тронами, вылетающими из накаливаемого катода. Благодаря хаотичности
своего движения некоторые электроны возвращаются внутрь катода. Чем
выше температура накала катода, тем больше вылетает из него электро-
нов, но и больше электронов возвращается внутрь катода. Внутри ваку-
умной трубки устанавливается динамическое равновесие: сколько элек-
тронов покидает катод, столько же и возвращается в него. При наличии
электрического поля между катодом и анодом вакуумной трубки, созда-
ваемого источником тока напряжением 300- 400 А, электроны устрем-
ляются к аноду.
Благодаря наличию высокого вакуума электроны, движущиеся к
аноду, не сталкиваются с молекулами газа и друг с другом. В трубке ме-
жду электродами возникает электрический ток - направленный поток
быстролетящих электронов.
Зависимость силы тока в вакууме от напряжения (вольт-амперная
характеристика) приведена на рис. 8.2.
Как видно из графика, по мере увеличе-
ния напряжения U сила тока J в вакууме
растет: все большее число электронов устрем-
ляется к аноду (участок кривой ОЛВ).
В определенном интервале напряжений
(С7, - U2) исследуемая зависимость носит
линейный характер: сила тока в вакууме здесь
прямо пропорциональна напряжению. В этом сравнительно узком интер-
вале напряжений соблюдается закон Ома для участка цепи.
При дальнейшем росте напряжения плотность электронного облака
возле катода продолжает уменьшаться: количество электронов, устрем-
ляющихся к аноду, больше, чем вылетающих из катода. Прямо пропор-
циональная зависимость между силой тока и напряжением нарушается.
Закон Ома здесь оказывается неприменимым (участок кривой BCD).
При достаточно большом напряжении наступает такой момент,
когда все электроны, вылетающие из катода, устремляются к аноду, и
ток в вакууме достигает максимума. Если и далее повышать напряжение
между электродами, то сила тока возрастать уже не будет (участок CD).
Электрический ток в вакууме достигает насыщения.
200
8.5. Электрический ток в полупроводниках
Полупроводники - это вещества, удельное сопротивление которых
убывает с повышением температуры, наличия примесей, изменения ос-
вещенности. По этим свойствам они разительно отличаются от металлов.
Обычно к полупроводникам относятся кристаллы, в которых для осво-
бождения электрона требуется энергия не более 1.5-2 эВ. Типичными
полупроводниками являются кристаллы германия и кремния, в которых
атомы объединены ковалентной связью. Природа этой связи позволяет
объяснить указанные выше характерные свойства.
Электропроводимость полупроводников и ее зависимость от
температуры.
При нагревании полупроводников их атомы ионизируются. Освобо-
дившиеся электроны не могут быть захвачены соседними атомами, так
как все их валентные связи насыщены. Свободные электроны под дейст-
вием внешнего электрического поля могут перемещаться в кристалле,
создавая ток проводимости. Удаление электрона с внешней оболочки
одного из атомов в кристаллической решетке приводит к образованию
положительного иона. Этот ион становится нейтральным, захватив элек-
трон. Далее, в результате переходов от атомов к положительным ионам
происходит процесс хаотического перемещения ионов в кристалле.
Внешне этот процесс хаотического перемещения воспринимается как
перемещение положительного заряда, называемого «дыркой». При по-
мещении кристалла в электрическое поле возникает упорядоченное дви-
жение «дырок» - ток дырочной проводимости.
Собственная и примесная проводимость полупроводников.
В идеальном кристалле ток создается равным количеством электро-
нов и «дырок». Такой ток проводимости называется собственной прово-
димостью полупроводников. При повышении температуры (или осве-
щенности) собственная проводимость проводников увеличивается.
На проводимость полупроводников большое влияние оказывают
примеси. Примеси бывают донорные и акцепторные.
Донорная примесь - это примесь с большей валентностью. При
добавлении донорной примеси в полупроводнике образуются лишние
электроны. Проводимость станет электронной, а полупроводник назы-
вают полупроводником и-типа. Например, для кремния с валентностью
п = 4 донорной примесью является мышьяк с валентностью п = 5. Каж-
дый атом примеси мышьяка приведет к образованию одного электрона
проводимости.
201
Акцсп'1 орная примесь - это примесь с меньшей валентностью.
При добавлении такой примеси в полупроводнике образуется лишнее
количество «дырок». Проводимость будет дырочной, а полупроводник
называют полупроводником p-типа. Например, для кремния акцептор-
ной примесью является индий с валентностью п = 3. Каждый атом индия
приводит к образованию лишней «дырки».
Терморезистор.
В полупроводниках электрическое сопротивление в значительной
степени зависит от температуры. Это свойство используют для измере-
ния температуры по силе тока в цепи с полупроводником. Такие прибо-
ры называют терморезисторами или термисторами.
Термисторы - одни из самых простых полупроводниковых прибо-
ров. Выпускаются термисторы в виде стержней, трубок, дисков, шайб и
бусинок размером от нескольких микрометров до нескольких сантимет-
ров. Диапазон измеряемых температур большинства термисторов лежит
в интервале от 170 до 570 К. Но существуют термисторы для измерения
как и очень высоких (1300 К), так и очень низких (4-80 К) температур.
Термисторы применяются для дистанционного измерения температуры,
противопожарной сигнализации и т. д.
Э.чектронно-дырочиый переход.
Принцип действия большинства полупроводниковых приборов ос-
нован на основании р-п-перехода. При приведении в контакт двух полу-
проводниковых приборов p-типа и и-типа в месте контакта начинается
диффузия электронов из «-области в p-область, а «дырок» - наоборот, из
p-области в «-область. Этот процесс будет не бесконечный во времени,
так как образуется запирающий слой, который будет препятствовать
дальнейшей диффузии электронов и «дырок» (рис. 8.3а).
Полупроводниковый диод.
р-«-контакт полупроводников обладает односторонней проводимо-
стью: если к p-области подключить «+» источника тока, а к « области «-»
источника тока, то запирающий слой разрушится и р-п будет проводить
ток. Электроны из области «- пойдут в р- область, а «дырки» из р- в н-
область (рис. 8.36). В случае обратного подключения ток равен нулю
(рис. 8.3«). Если к p-области подключить «+» источника тока, а к «-
области «-», то запирающий слой расширится.
р - п - переход
Рис. 8.3
202
Полупроводниковый диод (рис. 8.4) СОСТОИТ ИЗ ПО- +
лупроводников р- и и-типа. Достоинствами полупро- “
водникового диода являются малые размеры и масса, рис к.4
длительный срок службы, высокий коэффициент полез-
ного действия, а недостатком - зависимость его сопротивления от темпе-
ратуры. Основное применение полупроводникового диода - в качестве
выпрямителя тока.
Транзистор.
В радиоэлектронике применяется также еще один полупроводнико-
вый прибор: транзистор, который был изобретен в 1948 г. В основе тран-
зистора лежит не один, а два р-п- перехода. Например, две области мо-
нокристаллов германия с примесью индия - полупроводники с дырочной
проводимостью, а на их границе соприкосновения возникают два р-п-
перехода. Средняя область кристалла называется базой, а две крайние -
коллектором и эмиттером.
Основное применение транзистора - это использо-
вание его в качестве усилителя слабых сигналов по току
и напряжению. В электрических схемах транзисторы
обозначаются, как показано на рис. 8.5.
После открытия транзистора насту пил качественно
новый этап развития электроники — микроэлектроники,
поднявшей на качественно новую ступень развития
К
Рис. 8.5
электронной техники систем связи, автоматики. Микроэлектроника за-
нимается разработкой интегральных микросхем и принципов их приме-
нения.
Интегральной микросхемой называют совокупность большого чис-
ла взаимосвязанных компонентов - транзисторов, диодов, резисторов,
соединительных проводов, изготовленных в едином технологическом
процессе. В результате этого процесса на одном кристалле одновременно
создается несколько тысяч транзисторов, конденсаторов, резисторов и
диодов, количеством до 3500. Размеры могут быть 2-5 мкм, погрешность
при их нанесении не должна превышать 0,2 мкм. Микропроцессор со-
временной ЭВМ, размещенный на кристалле кремния размером 6x6 мм,
содержит несколько десятков или даже сотен тысяч транзисторов.
Глава 9. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
9.1. Общие сведения
Опыт показывает, что подобно тому, как в пространстве, окружаю-
щем электрические заряды, возникает электростатическое поле, в про-
странстве, окружающем токи и постоянные магниты, возникает силовое
поле, называемое магнитным.
Наличие магнитного поля обнаруживается по силовому действию
на внесенные в него проводники с током или постоянные магниты. На-
звание «магнитное поле» связывают с фактором ориентации магнитной
стрелки под действием поля, создаваемого током. Это явление в 1820 г.
обнаружил датский физик Эрстед.
Таким образом, можно сказать, что вокруг проводника с током соз-
дается поле, отличное от электрического.
Вид материи, посредством которой осуществляется взаимодействие
электрических токов, находящихся на расстоянии, называется магнит-
ным полем.
В дальнейшем будет показано, что все электрические и магнитные
явления взаимосвязаны и взаимозависимы, так как являются различными
формами проявления единого электромагнитного поля. Магнитное поле
может создаваться как током, так и намагниченными телами. Изменение
во времени электрического поля проявляется в форме вихревого магнит-
ного поля. Таким образом, магнитное паче создается либо движущими-
ся зарядами, либо переменным электрическим полем.
Термин «магнитное поле» ввел в 1845 г. английский физик М. Фа-
радей, считавший, что как электрический гок, так и магнитные взаимодей-
ствия осуществляются посредством единого материального поля.
Классическая теория электромагнитного поля была создана англий-
ским физиком Дж. Максвеллом (1873 г.), квантовая теория - в 20-х гг. XX в.
Источниками микроскопического магнитного поля являются намаг-
ниченные тела, проводники с током и движущиеся электрические заря-
женные тела. Природа этих источников едина: магнитное поле возникает
в результате движения заряженных микрочастиц (электронов, протонов,
ионов), а также благодаря наличию у микрочастиц собственного (спино-
вого) магнитного момента.
9.2. Основные свойства магнитного поля
Для магнитного поля наиболее характерны следующие проявления:
1. Магнитное поле можно исследовать с помощью магнитной стрел-
ки. Стрелка представляет собой маленький прямолинейный постоянный
204
।
магнит, имеющий возможность свободно по-
ворачиваться относительно центра О (рис. 9.1).
Полюсы на концах этого магнита условно
обозначают- буквами S, N и называют «юж-
ным» и «северным» соответственно. Если
стрелку поместить в магнитное поле, то в ка-
ждой точке поля стрелка переходит в состоя-
ние устойчивого равновесия - устанавливает-
ся естественным образом вдоль определенно-
го направления, поэтому магнитное поле в точке характеризуют некото-
рой векторной величиной В.
Принимается, что направление вектора В совпадает с направлени-
ем стрелки, т.е. с направлением вектора, который проходит через ее
центр и направлен от полюса S к полюсу N.
Векторная величина В, характеризующая магнитное поле в точке,
называется вектором магнитной индукции.
Использование магнитной стрелки для введения единицы измере-
ния и способов определения модуля вектора магнитной индукции В
вызывает трудности, так как возникают проблемы с выбором некоторой
эталонной стандартной стрелки, а также тем, что поле В материала
стрелки зависит от величины внешнего магнитного поля.
2. Магнитное поле можно исследовать с помощью замкнутого кон-
тура с током. Геометрические размеры контура должны быть настолько
малы, чтобы в его пределах поле не изменялось. На контур в магнитном
поле действует механический вращающий момент. Отношение макси-
мального вращательного момента к произведению силы тока I,
текущего по контуру, и площади поверхности S, охватываемой этим
контуром, величина постоянная:
Af
—ааь = const.
IS
Этим отношением определяется основная силовая характеристика
магнитного поля — вектор магнитной
индукции В.
Произведение ISri называется
дипольным магнитным моментом
контура с током:
Рт - ISri, по модулю Рт = IS,
где п - нормаль к контуру (рис. 9.2).
Рис. 9.2 Рис. 9.3
205
Направление магнитного момента совпадает с направлением индук-
ции магнитного поля, создаваемого в центре контура текущим по нему
током. Направление вектора В определяется по правилу правого винта:
если направление вращения правого винта совпадает с направлением тока
в контуре, то его поступательное движение укажет направление индук-
ции магнитного поля и, соответственно, магнитного момента (рис. 9.3)
(следствие правила «правого винта»).
Итак, вектор магнитной индукции определяется максимальным
вращающим моментом, действующим на контур с током, магнитный
момент которого равен единице:
В = М^/Рт. (1)
В общем случае для вращающего момента (рис. 9.4)
М = IBSsina,
где а - угол между вектором индукции магнитного поля В и нормалью
к контуру п . В векторной форме
Магнитная индукция измеряется в теслах (Тл). Тесла - это индукция
такого однородного магнитного поля, которое действует с максималь-
ным вращающим моментом Hi на контур с током, магнитный мо-
мент которого равен 1 А • м2.
7*0------- _ гк! Н м Н т
/ » В А-м2 А-м
~ 3. Одним из проявлений магнитного поля явля-
ется его силовое воздействие на проводник с током,
Рис 9 4
помещенный в магнитное поле.
Ампером было установлено, что на проводник с током, помещен-
ный в однородное магнитное поле с индукцией В, действует сила, про-
порциональная силе тока и индукции магнитного поля:
F = BI (sina, (2)
где а - угол между направлением тока и индукцией магнитного поля.
Эта формула справедлива для прямолинейного проводника и одно-
родного поля.
Если проводник имеет произвольную форму и поле неоднородно, то
выражение (2) принимает вид:
dLF = B/dfsinfd£',B , (3)
k >
206
или в векторной форме
dF = [Zdffi],
где (К - малый участок проводника, имеющий направление, совпадаю-
щее с направлением тока. Произведение 1д( называют элементом тока.
Соотношения (2), (3) выражают закон Ампера.
Сила Ампера направлена перпендикулярно плоскости, в § _
которой лежат векторы d? и В (рис. 9.5).
Для определения направления силы, действующей
на проводник с током, помещенный в магнитное поле, к 'sf
применяется правило левой руки’ если левую руку рас-
положить так, чтобы линии магнитной индукции вхо- В I (XXV
доли в ладонь, а вытянутые четыре пальца совпадали с ’ t |
направлением тока в проводнике, то отогнутый боль-
шой палец укажет направление силы, действующей на ^ис- ^-5
проводник с током, помещенный в магнитное поле (рис. 9.5).
Эта сила всегда перпендикулярна плоскости, в которой лежат про-
водник и вектор В. Зная направление и модуль силы, действующей на
любой участок d/( проводника, можно вычислить силу, действующую на
весь проводник. Для этого нужно найти сумму сил, действующих на все
участки проводника:
о
Закон Ампера является основным в учении о магнетизме и играет
такую же роль, как и закон Кулона в электростатике.
Из закона Ампера
(4)
F
__ max
К ’
т.е. это один из способов определения вектора индукции магнитного по-
ля и единиц его измерения.
[В] = —= Тл.
1 J А-м
4. На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера
ВА = BTYsina . (5)
Сила тока
I=qnvS, (6)
где q - заряд частицы, п - концентрация движущихся заряженных час-
тиц, v — средняя скорость их направленного движения, S - площадь
поперечного сечения проводника.
207
Подставив значение (6) в выражение для (5), получим
FA = qnvSfBs'ma.,
где nSC = N - общее число частиц, создающих ток.
Тогда сила, действующая на отдельный движущийся заряд - сила
Лоренца,
F„ = qvBsina.,
где а - угол между векторами скорости и магнитной индукции;
или в векторной форме
Л = ff[vB],
Направление силы Лоренца определяется для положительно заря-
женной частицы по правилу левой руки. Для частицы с отрицательным
зарядом направление силы Лоренца противоположно.
Исходя из формулы для силы Лоренца, можно ввести понятие век-
тора индукции В магнитного поля:
F
В = -^-. (7)
Таким образом, в настоящее время понятие вектора индукции магнит-
ного поля В можно ввести тремя: (1), (2), (7) эквивалентными способами.
Независимо от способа введения индукция магнитного поля В -
экспериментально измеряемая величина, зависящая от токов, создающих
поле, и свойств среды, в которой оно создано.
Так как магнитное поле является силовым, то его, по аналогии с
электрическим, изображают с помощью линий магнитной индукции -
линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлени-
ем вектора В. Их направление задается правилом правого винта: го-
ловка винта, ввинчиваемого по направлению тока, вращается в направ-
лении линий магнитной индукции.
Рис. 9.6
208
На рис. 9.6 показаны силовые линии прямого тока (а), кругового то-
ка (о) и поля соленоида (е).
Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают провод-
ники с током. Этим они отличаются от силовых линий электростатиче-
ского поля, которые являются разомкнутыми, начинаясь на положитель-
ных зарядах и кончаясь на отрицательных.
Поле, обладающее замкнутыми силовыми
линиями, называется вихревым.
На рис. 9.7 изображены линии магнитной
индукции полосового магнита: они выходят из
северного полюса и входят в южный. Вначале
казалось, что здесь наблюдается полная аналогия
с силовыми линиями электростатического поля и
полюсы магнитов играют роль магнитных «заря-
Рис. 9.7
дов», создающих магнитное поле.
Опыты показали, что, разрезая магнит на части, его полюсы разде-
лить нельзя, т.е. в отличие от электрических зарядов свободных магнит-
ных «зарядов» не существует, поэтому линии магнитной индукции не
могут обрываться на полюсах. В дальнейшем было установлено, что
внутри полосовых магнитов имеется магнитное поле, аналогичное полю
внутри соленоида, и силовые линии этого магнитного поля являются
продолжением силовых линий вне магнита. Таким образом, силовые ли-
нии магнитного поля постоянных магнитов являются также замкнутыми.
9.3. Магнитное поле токов различной конфигурации
Индукция магнитного поля, создаваемая проводниками с током раз-
личной конфигурации, определяется по закону Био-Савара-Лапласа.
Дальнейшие формулы приводим без вывода.
1. Индукция магнитного поля, создаваемого бесконечным прямым
проводником с током I на расстоянии d от проводника,
в
2nd ’
где Цо - магнитная постоянная, равная 4л-10 7 Гн/м, ц - относительная
магнитная проницаемость среды, показывающая, во сколько раз индукция
магнитного поля в данной среде больше или меньше, чем в вакууме.
2. Индукция магнитного поля в центре кругового витка с током I
в ИоМ*
2г ’
где г - радиус витка.
209
3. Индукция магнитного поля в центре соленоида (вдали от краев
соленоида, где поле существенно неоднородно)
В = р(1рп7,
где п - число витков, приходящееся на единицу длины соленоида.
Если поле создается несколькими источниками, то вектор магнит-
ной индукции в данной точке определяется как векторная сумма векто-
ров магнитной индукции полей, создаваемых каждым источником в от-
дельности (принцип суперпозиции):
i=i
Заметим, что силовые линии магнитного поля замкнуты, так как в
природе не существует положительных и отрицательных магнитных за-
рядов.
9.4. Взаимодействие двух прямолинейных
проводников с током
Пусть по двум параллельным проводникам, отстоящим друг от дру-
га на расстоянии d , в одном направлении текут токи 7, и 12 (рис. 9.8).
Рассмотрим про-
водник 2 в поле про-
водника 1 с током 7,.
Индукция магнитного
поля, созданного про-
водником с током 7,
на расстоянии d,
По закону Ампера на проводник 2 действует сила
ГА ~ 12ВД(,
где Af - элемент длины проводника 2,
или
Л 2nd
На такой же элемент длины проводника AZ действует равная по ве-
личине сила, но противоположная по направлению. Поскольку закон (8)
легко проверить опытным путем, то из него можно определить основную
электрическую единицу СИ - ампер.
210
1 ампер - это сила такого тока, при протекании которого по двум
бесконечным параллельным проводникам ничтожно малого сечения,
расположенным друг от друга на расстоянии d = 1 м в вакууме (ц = 1),
проводники взаимодействуют с силой F = 2-10*7H на каждый метр
длины проводника.
Подставляя числовые значения и единицы измерения физических
величин в уравнение (12), получим
2-Ю"7 Н = Ц(|(А)
2л (м)
отсюда
ц0 =4л-107 Гн/м .
Из рис. 9.8 следует, что токи, текущие в одном направлении, притя-
гиваются (рис. 9.8«), а в противоположных - отталкиваются (рис. 9.8(7).
Рис. 9.9
9.5. Магнитный поток
Магнитным потоком Ф через некоторую по- лттпк П/ В
верхность S (рис. 9.9) называется скалярная вели-
чина, равная произведению модуля вектора магнит- “—*~
ной индукции на площадь этой поверхности и коси- ШЩу
нус угла между нормалью п к ней и направлением
вектора магнитной индукции В:
Ф = BScosa,
где а - угол между направлениями векторов п и В.
Если магнитное поле неоднородно, то поверхность
элементарные площадки AS, (рис. 9.10), в пределах
каждой из которых поле можно считать однородным.
Тогда полный поток через эту поверхность равен сумме
потоков вектора магнитной индукции через элементар-
ные площадки:
Ф = ДФ4 = B.ASjCosa,-, или Ф = jBdS.
l-t 1=1 s
В СИ единицей магнитного потока является 1 вебер (Вб) - магнит-
ный поток через поверхность площадью 1 м2, расположенную перпен-
дикулярно направлению однородного магнитного поля, индукция кото-
рого равна 1 Тл.
1 Вб = 1 Тл-м2 =1(В-с/м2) м2 =1 Вс .
S разбивают на
Рис. 9.10
211
9.6. Движение проводника с током в магнитном поле
Проводник длиной I, по которому течет постоянный ток I, помещен
в однородное магнитное иоле, индукция которого В (рис. 9.11). На провод-
® В в ® ник действует сила = /Bfsina, и если провод-
ник свободен и может перемещаться, то под дей-
ствием силы Fa он движется в магнитном поле.
При этом сила тока поддерживается постоянной.
Пусть перемещение проводника равно Ах,
работа силы Ампера на этом перемещении
Л = F\Axcosp = /BfAxcosP = IBiXS,
где AxZcosP = AS - изменение площади, ограниченной контуром с током.
Изменение магнитного потока через поверхность, ограниченную
контуром с током,
АФ =, BAS,
откуда работа, совершаемая при перемещении проводника в магнитном
поле,
Л = МФ = 7(Ф2-Ф,), (9)
где Ф, - магнитный поток в начальный момент, Ф2 - магнитный поток
через поверхность, ограниченную контуром в конце перемещения.
Такая же работа совершается при вращении рамки в магнитном поле:
А = /АФ,
где АФ - изменение магнитного потока через площадь рамки.
Отметим, что работа (9) совершается не за счет энергии внешнего
магнитного поля, а за счет источника, поддерживающего неизменным
ток в контуре.
Глава 10. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
10.1. Общие сведения
В 1831 г. М. Фарадеем экспериментально бьцю обнаружено, что в
замкнутом контуре возникает электрический ток при изменении магнит-
ного потока, пронизывающего его. Это явление было названо электро-
магнитной индукцией (индукция - значит наведение).
Для определения ЭДС применяется основной закон электромаг-
нитной индукции - закон Фарадея
6Ф
6 =----
‘ dt
где 6Ф - изменение магнитного потока через замкнутый контур за вре-
мя dt. Знак «—» отражает правило Ленца, согласно которому индукци-
онный ток имеет такое направление, чтобы противодействовать причине,
его вызывающей.
Если контур, в котором наводится ЭДС индукции, состоит не из од-
ного, а из N одинаковых витков, то формула (1) запишется в виде
dT
dt ’
где величина xi' = NS называется потокосцеплением, или полным маг-
нитным потоком.
Из определения магнитного позока (Ф = В8сояа) видно, что его
изменение может быть осуществлено по крайней мере тремя независи-
мыми способами;
(1)
(2)
ДФ = ,\В • S cosa, (3)
АФ = В • Д$ cosa, (4)
ДФ = !]•£• A(cosa). (5)
Гак, в случае (3) ДФ обусловлено изменением величины индукции В
магнитного поля, пронизывающего неподвижный контур с постоянным
сечением.
В случае (4) ДФ связано с изменением площади контура в постоян-
ном магнитном поле, при этом направление В остается неизменным по
отношению к S.
В случае (5) ДФ возникает при вращении контура неизменного се-
чения в постоянном магнитном поле.
Сила индукционного тока I в контуре
1 1 АФ
В М ’
где В - сопротивление контура.
(6)
213
ЭДС индукции 6,, возникающая на концах проводника длиной t,
движущегося в однородном магнитном поле с индукцией В со скоро-
стью и, выражается формулой
(7)
г
Величина электрического заряда, проходящего через поперечное
сечение проводящего контура,
|a<z| = ЛФ/Д
не зависит от скорости изменения магнитного поля.
Закон Фарадея может быть непосредственно получен из закона со-
хранения энергии.
Пусть проводник с током силой I помещен в однородное магнит-
ное поле, перпендикулярное плоскости контура, и может свободно пере-
мещаться. Под действием силы Ампера проводник переместится на отре-
зок dx . Следовательно, сила Ампера совершает работу dA = /6Ф. Пол-
ное сопротивление контура равно R , и, согласно закону сохранения
энергии, энергия Idt источника тока за промежуток времени б/ будет
расходоваться на джоулеву теплоту I2Rdt и энергию 76Ф по переме-
щению проводника в магнитном поле:
$Idt = I2Rdt + Id<& ,
откуда
(8)
R
где -бФ/dZ = &, - не что иное, как закон Фарадея.
Электродвижущая сила в цепи - это результат действия сторонних
сил, т.е. сил неэлектрического происхождения. При движении проводни-
ка в магнитном поле роль сторонних сил выполняет составляющая силы
Лоренца, под действием которой происходит разделение зарядов, в ре-
зультате чего на концах проводника появляется разность потенциалов.
ЭДС индукции в проводнике является работой по перемещению единич-
ного положительного заряда вдоль проводника (4), (5).
Переменное магнитное поле (3) вызывает появление индукционного
электрического поля. Это поле является непотенциальным, так как рабо-
та, совершаемая в этом поле при перемещении единичного положитель-
ного заряда по замкнутой цепи, равна ЭДС индукции, а не нулю. Такие
поля называют вихревыми. Силовые линии вихревого электрического
поля замкнуты сами на себя в отличие от линий напряженности электро-
статического поля.
214
10. 2. Самоиндукции. Индуктивность контура
ЭДС электромагнитной индукции, которая возникает в контуре при
изменении силы тока в нем, называется ЭДС самоиндукции. Это частный
случай электромагнитной индукции.
ЭДС самоиндукции определяется из закона Фарадея
(1Ф
dt
Магнитный поток, сцепленный с контуром, всегда пропорционален
силе тока в нем:
Ф = Ы . (9)
Коэффициент пропорциональности L называют коэффициентом
самоиндукции (индуктивностью контура).
Индуктивность - одна из основных характеристик цепи переменно-
го тока. Подставляя в формулу (1) выражение (9), получим
йФ
6с=-£—. (Ю)
dt
Если контур представляет собой соленоид, содержащий N витков, то
где - потокосцепление.
В результате самоиндукции при замыкании цепи сила тока в соле-
ноиде никогда сразу не достигает максимального значения, а нарастает
постепенно. При размыкании цепи возникает индукционный ток, иду-
щий в гом же направлении, что и основной, и проявляющийся в виде
искры на контактах рубильника.
Индуктивность L зависит от формы и размеров соленоида, а
также от магнитных свойств окружающей среды. Если размеры, форма
соленоида и магнитные свойства окружающей среды не изменяются, то
L - const.
Определим индуктивность соленоида, т.е. катушки, длина £ кото-
рой много больше ее диаметра. В этом случае можно пренебречь иска-
жением поля вблизи концов соленоида.
Индукция поля во всех точках внутри соленоида одинакова:
В = ЦО|^П>
где п - число витков, приходящихся на единицу длины соленоида.
Если общее число витков соленоида равно N, то
« rN
215
Магнитный поток, пронизывающий один виток соленоида,
N
Ф = BS = р0р1—8,
где S - площадь поперечного сечения соленоида, р - относительная
магнитная проницаемость окружающей среды. Полный магнитный поток
равен потокосцеплению:
'P = NO = p0p—S.
Так как St = V (объем соленоида), то
N2I >
Поэтому индуктивность соленоида
№s
L = popnV , или L = pop—— . (12)
10.3. Энергия магнитного поли
Если в контуре с индуктивностью L течет ток силой I, то в момент
размыкания цепи возникает индукционный ток и им совершается работа.
Эта работа совершается за счет энергии уменьшающегося при размыкании
цепи магнитного поля. На основании закона сохранения и превращения
энергии энергия магнитного поля превращается, равным образом, в энер-
гию электрического поля, за счет которой происходит нагревание провод-
ников. Работа может быть определена из соотношения
dA =
Так как
я =-L^£,to <SA = ~LI<]] .
di
Уменьшение энергии магнитного поля равно работе тока, поэтому
WJ = JdA = -Lpd7 = LZ72. (13)
i i
Формула (13) справедлива для любого контура и показывает, что
энергия магнитного поля зависит от индуктивности контура и силы
тока, протекающего по нему.
Рассчитаем энергию однородного магнитного поля длинного соле-
ноида, индуктивность которого определяется по формуле L = р()ри2У . В
этом случае формула (13) примет вид:
' 2
216
Учитывая, что индукция магнитного поля внутри бесконечно длин-
ного соленоида В = popln,
W. = -^—V.
2цц0
(14)
Вследствие того, что магнитное поле соленоида однородно и лока-
лизовано внутри соленоида, энергия распределена по объему соленоида с
постоянной плотностью
В
2рр,
Сравнивая выражения для собственных энергий конденсатора
W =— — и соленоида W =—Ы2 с потенциальной W„ ~—kx2 и кине-
’ 2С 4 2 2
тической WK =—mv2 энергиями, можно провести аналогию между элек-
тромагнитным и механическим явлениями.
Так, для электрического поля величина 1/С , обратная емкости, ана-
логична упругости пружины, а для магнитного поля индуктивность L
аналогична массе т тела. Таким образом, индуктивность является ме-
рой «инертности» контура по отношению к изменению в нем тока.
10.4. Электрическая машина. Генератор постоянного тока
Рассмотрим проводящий контур с включенным в него источником
тока с ЭДС 6, помещенный в однородное магнитное поле В. Подвиж-
ная часть генератора?!С может без трения скользить по рельсам. Обозна-
чим через 1 силу тока в контуре. Тогда на
подвижную часть АС действует сила Ампера
ГА = ВИ, направленная, как показано на
рис. 10.1. Сила Ампера не зависит от того,
покоится стержень АС или движется. Если
мы хотим, чтобы стержень двигался равно-
мерно, необходимо приложить к нему
внешнюю силу F, которая в любой момент
уравновешивала бы силу Ампера.
На основании закона сохранения энергии была получена формула (8):
fi-dO/df
R
217
Сопоставляя это выражение с законом Ома для полной цени
(I = &/R), мы видим, что роль ЭДС играет величина, состоящая из двух
слагаемых: ЭДС источника тока 6 и величина -бФ/<11 . Последняя
представляет собой добавочную ЭДС (ЭДС индукции), обусловленную
действием сторонних сил при движении стержня А С.
Рассмотренный пример представляет собой модель электродвигате-
ля постоянного тока. При работе электродвигателя (электромотора) элек-
трическая мощность, развиваемая источником тока, расходуется частич-
но на нагревание цепи, частично на вращение якоря.
Если ЭДС источника 6 , сила тока в цепи I, полное сопротивление
цепи R, то
/6 = ЛГ? + Рмех. (15)
Механическую мощность можно выразить через ЭДС индукции §,
возникающей в обмотке якоря, и ток в цепи. Формула (15) тогда примет вид:
I& = I2R + I&1 или 6 = /.R + £j. (16)
Теперь предположим, что стержень АС скользит в противополож-
ном направлении, т.е. в направлении действия внешней силы. При этом
работа силы Ампера ЛА = /ДФ отрицательна, так как ДФ < 0. Равная ей
по величине работа внешней силы F - положительна. Джоулево тепло
теперь выделяется как за счет работы источника тока, так и за счет рабо-
ты внешней силы F. Закон сохранения энергии имеет вид:
&1М + 1\ЛФ\ = Г RM,
откуда, переходя к пределу At —> 0, получаем
& + [c№/dt|
R
В этом случае устройство работает как генератор.
Машины, служащие для получения токов путем использования
электромагнитной индукции, называются генераторами.
Из формулы (18) следует, что даже если мы уберем источник тока
(6 = 0), в цепи все равно будет идти ток и выделяться тепло. Из уравне-
ния (18) видно, что это будет происходить за счет работы внешней силы.
Согласно закону сохранения энергии при работе генератора
где 6 - ЭДС генератора, Рмех, Р^ - соответственно механическая и
электрическая мощности.
Обратим внимание на то, что на самом деле нет необходимости рас-
сматривать эти случаи (электродвигатель и генератор) в отдельности.
(17)
(18)
218
Легко видеть, что уравнение баланса энергии (15) и уравнение закона
Ома (18) охватывают оба случая, если только учитывать знак изменения
магнитного потока АФ.
Таким образом, одно и то же устройство может служить моделью и
электродвигателя, и генератора. Его работа в любом режиме описывается
одними и теми же уравнениями. В электрической машине направление
преобразования энергии может быть изменено на обратное. Свойство
обратимости присуще всем электрическим машинам постоянного тока и
широко используется в технике.
10. 5. Магнитные свойства вещества
Магнитными свойствами обладают все вещества, поэтому термин
«магнетики» применим ко всем без исключения материалам. Для объяс-
нения магнитных свойств различных веществ посмотрим, как магнитное
поле действует на движущиеся заряды (электроны) в молекулах и атомах
вещества.
Электрон, вращающийся вокруг ядра атома по замкнутой орбите,
представляет собой ток, направление которого противоположно движе-
нию электрона. Условно будем считать, что электрон в атоме движется
со скоростью v по круговой орбите. Поскольку это движение аналогич-
но круговому току, возникает магнитное поле, и движение электрона
можно охарактеризовать орбитальным магнитным моментом
Рт=™. (19)
Вектор орбитального магнитного момента атома равен векторной
сумме орбитальных векторов отдельных электронов, входящих в атом:
Р,„=Хрт1) (20)
ы
где z - порядковый номер элемента в таблице Менделеева.
Если вещество имеет молекулярное строение, то орбитальный маг-
нитный момент молекулы равен векторной сумме орбитальных магнит-
ных моментов атомов, входящих в состав молекулы.
Независимо от орбитального движения электроны являются источ-
ником магнитного поля, так как они обладают собственным моментом
импульса. >
Таким образом, магнетизм атомов обусловлен Pmi
двумя причинами: движением электронов по орбитам И.. ^—5
вокруг ядра и собственным моментом импульса (рис. 1
10.2). Кроме того, ядро атома обладает собственным /~
магнитным моментом.
Рис. 10.2
219
При внесении магнетика но внешнее магнитное ноле происходит
изменение его свойств, т.е. магнетик намагничивается. Намагниченный
магнетик создает собственное магнитное поле с индукцией В', которое
складывается с внешним магнитным полем, индукция которого рав-
на Ви.
Вектор магнитной индукции В в магнетике определяется по прин-
ципу суперпозиции:
В = В0+В'.
Индукция В' собственного магнитного поля зависит как от Во,
так и от магнитной восприимчивости х вещества
В' = хЯ (21)
Тогда
в=вп+хв0=в0(1+х).
Магнитная индукция поля внутри магнетика зависит от магнитной
проницаемости вещества
В = цВ0. (22)
Из сопоставления формул (21) и (22) следует, что
р = 1 + Х- (23)
При наложении внешнего магнитного поля происходит упорядоче-
ние направлений векторов магнитных моментов рт отдельных атомов
пли молекул магнетика, в результате чего микроскопический объем при-
обретает определенный суммарный магнитный момент.
Магнитные свойства магнетика характеризуются вектором намаг-
ничения J - величиной, равной отношению магнитного момента тела к
его объему:
<24)
к i=|
где п - число атомов и молекул, входящих в объем.
Если диэлектрическая проницаемость у всех веществ больше еди-
ницы, то их магнитная проницаемость может быть как больше, так и
меньше единицы.
Различают диамагнетики ( ц < 1), парамагнетики ( ц > 1) и ферро-
магнетики ( ц »1).
220
Диамагнетики.
У большинства атомов диамагнетика нет собственного магнитного
момента, его магнитный момент индуцирован внешним полем подобно
тому, как появляется электрический момент в неполярных диэлектриках.
Учитывая, что наведенный магнитный момент пропорционален внешне-
му магнитному полю Во, можно записать (по аналогии с диэлектри-
ком), что
7? = рД,
где ц<1.
Диамагнитный эффект не зависит от температуры, так как тепловое
движение атомов не нарушает ориентации индуцированных токов внутри
атомов. Диамагнитный эффект присущ практически любому веществу.
Диамагнетиками являются: вода, мрамор, некоторые металлы, на-
пример, золото, ртуть, медь, инертные газы.
Парамагнетики.
Молекулы парамагнетика имеют отличные от нуля собственные
магнитные моменты. В отсутствие магнитного поля они расположены
хаотически, поэтому вектор намагничения равен нулю.
При внесении парамагнетика в магнитное поле магнитные моменты
отдельных атомов или молекул ориентируются вдоль линий В, так что
собственное поле парамагнетика усиливает внешнее магнитное поле.
Если такой эффект существует, то он играет значительную роль и всегда
преобладает над диамагнетизмом (р. > 1).
Тепловое движение атомов и молекул разрушает взаимную ориен-
тацию магнитных моментов молекул, поэтому намагниченность пара-
магнетика зависит от температуры и относительная магнитная прони-
цаемость парамагнетика убывает с увеличением температуры.
Магнитная проницаемость парамагнетиков, как и диамагнетиков, не
зависит от индукции внешнего магнитного поля.
Парамагнетиками являются: щелочные металлы, кислород, алюми-
ний, платина.
Ферромагнетики.
Предельным случаем парамагнетизма является ферромагнетизм. Его
объяснение дается в квантовой теории, где показано, что в системе, со-
стоящей из многих атомов (молекул), магнитные моменты которых обу-
словлены спинами электронов, действуют обменные силы, стремящиеся
одинаково ориентировать спины двух соседних атомов (молекул).
221
Поэтому в некоторых веществах возникают области, имеющие вследст-
вие сложения спинов электронов значительные магнитные моменты. Эти
области получили название доменов (рис. 10.3).
Рис. 10.3
В отсутствие поля распределение направлений магнитных моментов
доменов имеет случайный характер.
в ъ У ферромагнетиков ц зависит от внешнего
магнитного поля, т.е. между В и Во существует
У '/1 нелинейная зависимость.
В / < / ; При намагничивании индукция магнитного по-
—!Е1_ —1—1 ля внутри ферромагнетика возрастает от 0 до неко-
I / В° торого значения Во (рис. 10.4).
j / Изменение индукции в ферромагнетике харак-
// теризуется кривой OL. Если уменьшить В, то из-
Ри 10 4 менение индукции изобразится кривой LM. При
напряженности поля В = 0 индукция отлична от
нуля. В этом состоянии ферромагнетик является постоянным магнитом.
Чтобы уничтожить остаточное намагничивание, приходится создавать
поле В, направление которого противоположно первоначальному.
Индукция магнитного поля, при которой В = 0, называют задержи-
вающей или коэрцитивной силой Вк. При последующем изменении на-
пряженности поля индукция изменяется, образуя, как показано на рисунке,
петлю гистерезиса.
В зависимости от значения коэрцитивной силы ферромагнетики де-
лят на мягкие и жесткие.
Мягкие ферромагнетики имеют узкую петлю гистерезиса и малые
значения коэрцитивной силы. К мягким ферромагнетикам относят железо,
пермаллой и другие материалы.
Для жестких ферромагнетиков характерны широкая петля гистере-
зиса и соответственно большие значения коэрцитивной силы.
Площадь петли гистерезиса характеризует ту работу, которую необ-
ходимо совершить для перемагничивания ферромагнетика.
222
Если по условиям работы ферромагнетик должен перемагничивать-
ся в переменном магнитном поле, то целесообразнее использовать мяг-
кие ферромагнетики, площадь петли гистерезиса которых мала.
Из мягких ферромагнетиков изготовляют сердечники трансформато-
ров, генераторов, электродвигателей. Из жестких ферромагнетиков, к ко-
торым относятся сталь и ее сплавы, изготовляют постоянные магниты.
При возрастании температуры намагничивание ферромагнетиков
уменьшается, они теряют свои ферромагнитные свойства и превращают-
ся в парамагнитные вещества.
Для каждого ферромагнитного материала есть своя температура пе-
рехода, называемая точкой Кюри', так, например, для некоторых метал-
лов она составляет:
Fe-1043K, Со-1393 К, №-631 К.
Контрольные задания
Качественные задачи
1. Наэлектризованный мыльный пузырь раздувается настолько, что
его радиус R делается вдвое больше, заряд на пузыре при этом не меня-
ется. Как изменяется энергия заряда? Помогает или препятствует при-
сутствие заряда раздуванию пузыря?
2, Возможно ли увеличить энергию заряженного школьного раз-
движного конденсатора, не изменяя его заряда?
3. Изменится ли разность потенциалов пластин плоского воздушно-
го конденсатора, если одну из них заземлить?
4. Может ли существовать в пустоте электриче- ----------
ское поле, вектор напряженности которого во всем ”.
объеме поля имеет одинаковое направление, а пер- е е
пендикулярно этому направлению изменяет свою
величину по линейному закону (см. рис.)?
5. Почему птицы слетают с провода высокого напряжения, когда
включают ток?
6. Могут ли два положительно заряженных шара притягиваться друг
к другу?
7. Баллоны электрических ламп заполняют азотом при пониженной
температуре и давлении. Почему заполнение производят именно при
таких условиях?
8. Что нужно сделать, чтобы трехэлектродную лампу можно было
использовать в качестве диода?
9. Как известно, при температурах, близких к абсолютному нулю,
некоторые металлы переходят в сверхпроводящее состояние. Можно ли
путем понижения температуры получить сверхпроводящие германий и
кремний?
10. По оси металлической трубы, сужающейся на А в
участке АВ, движется с постоянной скоростью заря- у*4,
женная частица. Изменится ли скорость частицы при__________
прохождении сужения?
Ответы:
1. При раздувании пузыря энергия заряда убывает: считая пузырь сфериче-
„ Q2 Q2
ским, можно написать П ----------. Так как заряд пузыря не меняется, а радиус
2С 2JR
становится вдвое больше, то энергия уменьшается в 2 раза. Заряженный пузырь
раздувать легче, так как заряды взаимно отталкиваются и способствуют увеличе-
нию свободной поверхности.
224
2. Возможно, раздвигая его пластины. Совершаемая при раздвижении пластин
работа внешних сил будет израсходована на увеличение энергии конденсатора.
3. Не изменится, хотя абсолютное значение потенциала каждой пластины
изменится. г-i
4. Нет, так как такое поле не будет потенциальным. Работа-------
при передвижении заряда по замкнутому контуру (см. рис.) не ~~
будет равна нулю. -Ьг—
5. При включении тока высокого напряжения на перьях птицы возникает
статический электрический заряд, вследствие чего перья птицы топорщатся и
расходятся (как расходятся кисти бумажного султана, соединенного с электро-
статической машиной). Это пугает птицу, и она слетает с проводов.
6. Могут. В случае, когда заряд одного из шаров много меньше, чем заряд
другого, решающую роль может сыграть поляризация этого шара.
7. Чтобы во время работы лампы давление азота не превышало атмосфер-
ного (превышение давления привело бы к взрыву баллона).
8. Закоротить сетку и анод.
9. При понижении температуры сопротивление полупроводников возраста-
ет, следовательно, в сверхпроводящее состояние они не могут перейти.
10. Скорость увеличится. При движении заряженной частицы на внутрен-
ней поверхности трубы индуцируются заряды противоположного знака. В ци-
линдрической части трубы эти заряды не создают сил, действующих на частицу
вдоль оси. В сужении трубы эти силы будут направлены так, что дадут состав-
ляющую, направленную в сторону сужения.
Примеры решения задач
1. Два заряженных шарика подве-
шены на нитях одинаковой длины, об- а) I
разующих угол 2а (см. рис. а). Какова _
должна быть плотность материала ша- J—/ j
риков, чтобы при погружении их в ке- > /\ I
росин (в = 2, рк=800 кг/м3) угол ~~"mg ।
расхождения нитей не изменился?
Решение. В случае равновесия шариков в воздухе (рис. а) на каждый из них
действуют три силы: сила тяжести, кулоновская сила и сила натяжения нити. Угол
расхождения нитей определяется отношением кулоновской силы FK к силе тяже-
сти mg:
tga = F/mg . (1)
При погружении шариков в керосин (рис. б) кулоновская сила уменьшится
в 6 раз:
F/F' = & , (2)
а против силы тяжести действует архимедова сила
^A=Pyg = PK—g (3)
Р«
225
При этом
F F'
mg mg - F,
(4)
(5)
F'
tga =-----—
mg-FA
Приравнивая (1) и (4) и учитывая (2) и (3), получаем
1
или £ -------------------------------------, откуда
1-(Рк/Рж)
£
Рж =----Рк •
£ - 1
Подставляя данные для плотности и относительной диэлектрической про-
ницаемости керосина в выражение (5), найдем плотность материала шариков:
р = 800—— = 1600 кг/м3.
2-1
Ответ: рж =1600 кг/м3 .
2. На капельках ртути радиусом г = 0,1 см находятся одинаковые
заряды q = 6,66-1014 К. Десять таких капелек п сливаются в одну
большую. Каков будет потенциал U этой капли?
Решение. Обозначим радиус большой капли через . Если сливается п
капель, то заряд Q большой капли будет равен nq, и, следовательно, ее потен-
циал принимая во внимание, что с = 4ле0£^ , составит
с 4л£0е^
Радиус большой капли легко определить, исходя из того, что объем V кап-
4
ли(П =-----) равен п объемов маленькой капли:
Злтр
V = nV, = п—пг3.
3
Сравнивая правые части этих равенств, находим
г; = гЦп. .
Таким образом,
U = ——Vn7;
4Л£О£Г
И------" КЯ'ЙД _2|78 в.
4-3,14-8,85-10“2 Ф/м -10 3 м
Ответ: U = 2,78 В.
226
3. Тонкое проволочное кольцо радиусом R несет электрический за-
ряд q. В центре кольца расположен одноименный с q заряд Q, причем
Q » q. Определить силу, растягивающую кольцо.
Решение. Так как q « Q, взаимодействием между отдельными элементами
можно пренебречь. Выделим на кольце точечный заряд Дд. На элемент кольца
действует: со стороны заряда Q кулоновская сила отталкивания (см. рис.):
„ &q • Q . q _ „ qQa
Fk = л ’ причем = о “ ' Тогда Fk = Q 2 p2
4ле0Я 2л 8л e0B
. a a
sin— ,
2 2
Условие равновесия на ось Ox
K-2Tcos(---Uo=s>K-2Tp-/T- = 0.
K (2 2) к 2
-^a-2T“ = 0. Т = -^.
8л'е"2? 2 8л e0R
т_ qQ
8л2е0Л2
Ответ',
4. Два протона и два позитрона, первоначально покоившихся в вер-
шинах квадрата, разлетаются. Отношение их масс
М/т = 2000, а заряды одинаковые. Найти отношение
скоростей протонов и позитронов после их разлета (на
бесконечности) (см. рис.).
?-----------<?₽
а
Р а Ч,*
Решение. Позитрон - элементарная частица, масса которой равна массе
электрона, ее заряд положителен и равен |е| = 1,6 • 10 19 Кл . Из симметрии задачи
следует, что на протоны и позитроны в тот момент, когда они расположены в
вершинах квадрата, действуют одинаковые силы. Так как масса протонов много
больше массы позитронов, то сначала разлетаются позитроны, а затем протоны.
Вычислим потенциальную энергию, которой обладают позитроны, находясь в
вершинах квадрата. Энергия взаимодействия позитронов между собой
где а - сторона квадрата.
Энергия взаимодействия между протонами и позитронами
Ге2 е2^ е2
2 k— + k— = 4А—.
(а а) а
Таким образом, положительная энергия позитронов
е2 е2 е2 ( 1 А
W„ =h—» + 4й—= 4А— -U + 4 .
' aV2 a a(V2 J
227
1
Когда позитроны окажутся на бесконечности, они будут обладать только
кинетической энергией
ттг ти. 2
WK -2-----,
к( 2 1
где ц - скорость позитронов на бесконечности.
По закону сохранения энергии
W = IV =>4ft—f ’ +4 | = ШЦ2 =>Ц = \k—I ’ +4 I.
После того, как позитроны разлетятся, потенциальная энергия протонов
е2
W=k-L=.
После разлета на бесконечности они будет обладать только кинетической
энергией
Tir .Mv; .. ,
W = 2------ = Mv;,
кг 2 2
где и2 - - скорость протонов.
По закону сохранения энергии
е2 , I ~
W =WK =>k-^ = Mo2=>t>2=. fe
Р| : aj2 V Maj2
Искомое отношение:
ц
— 1 =o,oi.
M4V2 + 1
Ответ: р2/ц = 0,01.
5. Электрон, имеющий кинетическую энергию T = 10 кэВ, влетает в
плоский конденсатор параллельно пластинам на равном расстоянии от них
(см. рис.). Между пластинами поддерживается
постоянная разность потенциалов U = 40 В.
Расстояние между пластинами d = 1 см, длина
пластины & = 10 см. На расстоянии L = 20 см
от конденсатора находится экран. Найти сме-
щение X электрона на экране. Силой тяжести
пренебречь.
Решение. Смешение X = Ltga + A, где tga = V1//V0, h - смещение по
вертикали при движении в поле конденсатора U, Л = at2/2 .
F еЕ eU
Ускорение а = — = — =---.
т т dm
228
Время движения в поле конденсатора t = b/V0, а начальная скорость опре-
деляется из формулы кинетической энергии Т :
v2-*L
ко ~
т
„ l eUb2
Смещение h =----
4dT
„ .. eUb
11роекция скорости по вертикали: V = at =-.
dmVe
Найденные значения подставляем в выражение для X :
v r eUb eUb2 т eUb eUb2 eUb( т {Л
X-L-------+-----= £------------------ L + — = 0,5 см
4dT 2Td 4dTa 2Td[ 2J
Ответ'. X = O,5-1O2 m.
К 6. Электрон влетает в однородное электрическое поле напряженно-
стью Е = 6 104 В/м перпендикулярно силовым линиям (рис. а). Опреде-
К лить величину и направление вектора индукции магнитного поля В,
К которое надо создать в этой области пространства
К для того, чтобы электрон пролетел ее, не отклоня-
к ясь от первоначального направления. Кинетиче-
К ская энергия Ек = 1,6-10"'6 Дж, масса электрона
В т = 9 • 10~31 кг. Силой тяжести пренебречь.
В Решение. В данном однородном электрическом поле напряженностью Е
электрон движется под действием кулоновской силы FK по параболической
к траектории (здесь |е| - абсолютная величина заряда электрона).
Е; Для того чтобы электрон двигался прямолинейно, нужно создать такое од-
В нородное магнитное поле, в котором действую-
Е щая на электрон сила Лоренца Рл в каждой
Е. точке его траектории была бы равна кулонов-
Е ской силе по величине и противоположна ей по
В направлению, т.е. Ёд = -FK .
К Величина силы Лоренца 7!^=|е|ц)Дк,
К (здесь и0 - скорость электрона, В± - величина составляющей вектора магнит-
' ной индукции, перпендикулярной скорости), ее направление определяется пра-
| вилом левой руки. Очевидно, что сила Лоренца направлена против кулоновской
в силы в том случае, если магнитная индукция направлена перпендикулярно Ha-
lf чальной скорости электрона и напряженности электрического поля (рис. б).
I Применяя правило левой руки, с учетом того, что заряд электрона отрицателен,
229
1
находим, что вектор магнитной индукции должен быть перпендикулярным плос-
кости рисунка и направлен на нас. Составляя равенство |е|Е = |е|о0В и учитывая,
что и0 т , получаем:
В = Еу]т/2Ек -3,2-10 ' Тл.
Ответ'. В»3,2-10'5 Тл.
7. В электролитической ванне с раствором сульфата цинка (ZnSO4)
сила тока изменяется по линейному закону I = 2 + 0,02t. Сколько цинка
выделится на катоде за 5 мин после начала изменения силы тока?
Решение. Для решения задачи воспользуемся первым законом Фарадея
m = kQ,
где Q - количество электричества, протекшего через электролит.
1,А Для определения Q построим график изменения силы
атока со временем (см. рис.). Определим из уравнения силу
тока: для начального момента времени: t0 = 0 : 10 = 2 А;
для момента времени t = 300 с
/ = (2 + 0,02-300) А = 8 А.
t,c
--------------► Анализируя график, приходим к выводу, что количество
электричества, протекающего через электролит, численно равно площади заштри-
хованной фигуры (трапеции):
Q = = = A + Y А7зоо С = 1500 Кл.
2 2
Масса цинка т = 3,4 • 10 7 кг/Кл • 1500 Кл = 51,0 • 10’5 кг.
Ответ: тп = 510 мг.
8. В однородном магнитном поле в плоскости, перпендикулярной
линиям индукции, расположены два проводника длиной t каждый, по
которым течет ток I. Определить, во сколько раз
отличаются силы, действующие на первый и второй
проводники, если первый проводник прямой, второй
- согнут в форме полукольца (см. рис.)
Решение. По закону Ампера сила, действующая на
элемент d£ проводника, dF = [ldlBy В данном случае
л_
угол d(B для обоих проводников во всех точках равен
л/2 . Поэтому формула может быть записана в виде:
dF = IdlB.
230
Параллельность элементарных сил позволяет записать выражение для ре-
зультирующей силы:
Ft = | dF = J IBM .
Интеграл следует брать по длине всего проводника. Окончательно для пер-
вого проводника получим
FI=IB^M = IB£.
Для второго проводника все элементарные силы направлены в разные сто-
роны, следует отдельно искать проекции результирующей силы на оси х и у ,
расположенные в плоскости чертежа:
Fx = J dFr ; = cLFx = dFsina ; dFJ/=dFcosa.
Чтобы провести интегрирование, элемент дуги надо выразить через
приращение угла a : df = 7?da. Подставляя данное выражение в интегральные
соотношения и произведя интегрирование в пределах ±л/2, получим:
F' = IB R Г sina • da = 0;
х J-n/2
F' = IB R Г"7 cosa • da = 21BR .
у J-x/2
Выражая радиус полукольца через его длину и учитывая, что Fx = 0, находим
F2 = 2IB-.
Я
Окончательно получим
— = — = 1,57 .
F2 2
Ответ", в 1,57 раз.
9. По металлической ленте, толщина которой
равна Л , течет ток I. Лента помещена в однород- а |
ное магнитное поле, индукция которого В, и на- / / '/у
правлена перпендикулярно плоскости ленты. Опре- /с/ //I
делить разность потенциалов между точками А и г—*-----------
С ленты, если концентрация свободных электронов ------------v
в металле равна п .
Решение. Сила Лоренца смещает электрон к краю ленты и внутри нее воз-
никает дополнительное электрическое поле с напряженностью Е, которая на-
правлена перпендикулярно току. Условие равенства силы Лоренца кулоновской
силе обеспечит прекращение смещения электронов:
-Рл =Fll, e -v-B = е~Е ,
откуда Е = v • В , но Е = A<p/d , где d = АС .
231
Отсюда
Atp = -vBd. (1)
Из величины тока I = envS, где S = h d, находим скорость электронов
I I
v-------= —----
e nS е nhd
и подставляем в (1):
где знак минус - для движения электронов внутри ленты.
. BI
Ответ: Дер = ——.
е nh
10. По двум параллельным направляющим, наклоненным под углом
а к горизонту и расположенным на расстоянии b друг от друга, может
С
мычки пренебречь.
скользить без трения металлическая перемычка
массой т. Направляющие замкнуты снизу и свер-
ху незаряженными конденсаторами емкостью С
каждый. Вся конструкция находится в магнитном
поле, индукция которого В направлена верти-
кально (рис. а). В начальный момент времени пе-
ремычку удерживают на расстоянии L от осно-
вания «горки». Какую скорость будет иметь пере-
мычка у основания «горки» после того как ее от-
пустят? Сопротивлением направляющих и пере-
поэтому
Решение. На перемычку действуют: сила ампера FA и сила тяжести mg
(рис. б), причем Fa тормозит перемычку, которая скользит
по направляющим с ускорением а :
та = mgsina + BI• bcosa . (1)
r atI 2 I2L L = , откуда t =.— . (2)
2 V a
Скорость v = at. (3)
Ток /=—; <7 = 2С6,, &,=-^- = ~Bv bcosa,
t At
I = 2СВ у b cos a = 2CBab cos a . (4)
Значение I (4) подставим в (1) и определим ускорение
_ mg sin а
т + 2CB2b2 cos2 а ’
232
а затем найденное значение ускорения подставим в (2):
2L(m+2CB2b2 cos2 а)
\ mg sin а
Находим скорость:
I 2Lmgsma
v = at = .--— —
\ т + 2СВ b cos а
_ 2Lmgsma.
Ответ: v =.-------;—:--—
V тп + 2Cb2B2 cos2 а
Задачи для самостоятельного решения
1. В схеме (см. рис.) в начальный момент времени ключ К разомк-
нут, конденсатор не заряжен. Определить макси- ц
мальное значение силы тока I, после замыкания ( r С
ключа. Индуктивность катушки L , емкость конден- л
сатора С и ЭДС б известны. Сопротивление про- С g
водов катушки и внутреннее сопротивление источ-
ника пренебрежимо малы.
2. Протон влетает в однородное магнитное поле с индукцией
В = 0,40 Тл под углом а = 30° к направлению силовых линий и движет-
ся по винтовой линии радиусом R = 0,50 см. Определить кинетическую
энергию Ек протона.
3. В магнитном поле с большой высоты падает кольцо, имеющее
диаметр d и сопротивление R Плоскость кольца сохраняет горизон-
тальное положение. Определить установившуюся скорость и падения
кольца, если модуль индукции В магнитного поля изменяется с высотой
Н по закону |В| = Во (1 + аН). Масса кольца равна т.
4. По жесткому проволочному кольцу диаметром d = 10 см и сече-
нием В = 5,0 мм2 течет ток силой I = 5,0 А. Плоскость кольца перпен-
дикулярна магнитному полю, индукция которого В = 1 Тл. Определить
механическое напряжение о , возникающее в проволоке.
5. Сверхпроводящее кольцо радиусом г и индуктивностью L поме-
щено в однородное магнитное поле, индукция которого возрастает от нуля
до Во. Плоскость кольца перпендикулярна линиям индукции магнитного
поля. Определить силу индукционного тока I, возникающего в кольце.
233
6. Точечные заряды +q, -2q, +3q расположены в вершинах пра-
вильного треугольника со стороной а . Какова потенциальная энергия W
этой системы?
7. Радиус проводящей сферической оболочки, равномерно заряжен-
ной зарядом q, увеличивается от Rl до R2. Определить работу АА,
совершенную при этом электрическими силами.
8. На расстоянии г от центра незаряженного металлического шара
находится точечный заряд q. Определить потенциал шара ср .
9. Электродвигатель постоянного тока с независимым возбуждением
(с постоянным магнитом) поднимает груз со скоростью ц при помощи
невесомой нити, наматывающейся на ось двигателя. В отсутствие груза
невесомая нить поднимается со скоростью ь>0. С какой скоростью v2 бу-
дет опускаться тот же груз, если обмотка якоря будет замкнута накоротко?
Трением в подшипниках пренебречь.
10. Плоский конденсатор, между обкладками которого находится
пластинка из диэлектрика проницаемостью е, присоединен к аккумуля-
тору. Заряд конденсатора равен q0. Какой заряд \q пройдет через акку-
мулятор при удалении пластинки?
Ответы:
_ 1 (eBR~X |6 16т£Й
2. Ек ---- ----- =1,2-10 Дж. 3. v =----------2---2 .
2m < sin a J (itd2Z)Boa)
. IBd п пг2В0 5д2 „ , . о2 f 1 1
4.д =----= 500 кПа. 5.7 =---2-. 6. W =—3—. 7. ДА = ——----------
2S L 4теоа ЗлеДЯ, Я2
8- Ф = “-• 8 9- v2 = Ц)-Ц • Ю- Л?=—?о-
4я£0 г е
РАЗДЕЛ IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Глава 1. история вопроса
Теория колебаний и волн является областью науки, исследующей ко-
лебательные и волновые явления разного рода. В различных колебатель-
ных и волновых процессах обнаруживаются одни и те же закономерности,
которые описываются одними и теми же математическими и физическими
моделями. Колебательная и волновая теория устанавливает общие свойст-
ва колебательных и волновых процессов в реальных системах и определя-
ет связь между параметрами системы и ее колебательными (волновыми)
характеристиками, независимо от свойств конкретной системы, связанных
с проявлением ее природы (физической, химической и пр.). Поэтому ре-
зультаты, полученные при исследовании колебаний и волн, например, в
механике, могут быть перенесены в оптику или радиотехнику.
Изучение любого волнового или колебательного процесса начина-
ется с идеализации реальной системы, т.е. с построения модели и состав-
ления для нее соответствующих уравнений. Идеализации одних и тех же
систем могут быть различны в зависимости от того, какое явление иссле-
дуется. Справедливость принятых идеализаций оценивается путем срав-
нения результатов теории, построенной на основании данной модели, с
результатами анализа более общей модели или с поведением реальной
системы - экспериментом.
Методы колебательной и волновой теории - это методы анализа урав-
нений, описывающих модели реальных систем. Большинство из них совпа-
дают с методами качественной теории дифференциальных уравнений.
Изучение колебаний на разных этапах играло стимулирующую роль
в развитии науки. Так, исследования колебаний маятника дали возмож-
ность Г. Галилею более точно измерить промежутки времени (1636 г.),
изучение законов обращения планет вокруг Солнца привело И. Ньютона
к созданию начал классической механики (1686 г.). Дж.К. Максвелл, сле-
дуя М. Фарадею, связал свойства электрических колебаний с волновыми
характеристиками (1864 г.). В результате корпускулярно-волнового рас-
смотрения материи появилась квантовая механика.
По мере изучения колебаний различной физической природы возник-
ло убеждение о возможности общего, «внепредметного», подхода к ним,
основанного на свойствах и закономерностях колебательных процессов
вообще. В результате появилась теория колебаний и волн, которая, осно-
вываясь на математических и физических моделях, устанавливает общие
свойства колебательных и волновых процессов в реальных системах.
235
т
Глава 2. механические колебания
2.1. Общие сведения
Среди разнообразных физических явлений в окружающем нас мире мы
часто наблюдаем периодические или почти периодические процессы: вос-
ход и заход солнца, волнение на море, колебания маятника часов, перемен-
ный электрический ток, электромагнитные волны, колебания молекул в
твердом теле - примеры можно бьию бы продолжать до бесконечности.
Колебательные явления обладают общими чертами и даже подчи-
няются одинаковым закономерностям, несмотря на то, что могут иметь
совершенно разную физическую природу. Самая характерная черта ко-
лебательных движений состоит в том, что колебательные движения мно-
гократно повторяются или приблизительно повторяются через опреде-
ленные промежутки времени. Универсальность законов колебательных
процессов позволяет с единой точки зрения рассматривать различные
виды колебаний, встречающиеся в разнообразных физических явлениях
и технических устройствах.
Единый подход к изучению различных колебаний позволяет глубже
проанализировать любое конкретное явление, выявить аналогию между со-
вершенно разными по своей природе явлениями, найти общий язык для их
описания и в конечном счете почувствовать единство физического мира.
В зависимости от вида повторяющегося процесса различаются ко-
лебания: механические, электромагнитные, электромеханические и т.д.
В данной главе рассматриваются механические колебания.
Колебания широко распространены в природе и технике. Во многих
случаях они играют отрицательную роль. Колебания моста, возникаю-
щие из-за толчков, сообщаемых ему колесами поезда при прохождении
через стыки рельсов, колебания (вибрации) корпуса корабля, вызванные
вращением гребного винта, вибрации крыльев самолета - все эти про-
цессы могут привести к катастрофическим последствиям. В подобных
случаях задача заключается в том, чтобы предотвратить возникновение
колебаний или во всяком случае воспрепятствовать тому, чтобы колеба-
ния достигли опасных размеров.
Вместе с тем, колебательные процессы лежат в самой основе раз-
личных отраслей техники. Так, например, на колебательных процессах
основана вся радиотехника.
В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему
различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные коле-
бания, автоколебания и параметрические колебания.
236
Свободными, или собственными, называют такие колебания, кото-
рые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как
ей был сообщен толчок, либо она была выведена из положения равнове-
сия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити
(маятник). Для того чтобы вызвать колебания, можно либо толкнуть ша-
рик, либо, отведя в сторону, отпустить его.
Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых
колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодиче-
ски изменяющейся силы. Примером служат колебания моста, возникаю-
щие при прохождении по нему людей, шагающих в ногу.
Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются
воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако моменты
времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеб-
лющейся системой - система сама управляет внешним воздействием.
Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маят-
ник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной
пружины, причем эти толчки происходят в моменты прохождения маят-
ника через среднее положение.
При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия про-
исходит периодическое изменение какого-либо параметра системы, напри-
мер, длины нити, к которой подвешен шарик, совершающий колебания.
Простейшими являются гармонические колебания, т.е. такие коле-
бания, при которых колеблющаяся система (например, отклонение маят-
ника) изменяется во времени по закону синуса или косинуса. Этот вид
колебаний особенно важен по следующим причинам: во-первых, колеба-
ния в природе и в технике часто имеют характер, очень близкий к гармо-
ническим, и, во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой
зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение не-
скольких гармонических колебаний.
Любое колебательное движение материальной точки характеризует-
ся смещением х и максимальным смещением х0 (амплитудой) колеб-
лющейся точки от положения равновесия.
Колебания точки, происходящие с постоянной амплитудой, назы-
вают незатухающими, а колебания с постоянно уменьшающейся ампли-
тудой - затухающими. Время Т, в течение которого совершается пол-
ное колебание, называют периодом.
Частотой v периодических колебаний называют число полных
колебаний, совершаемых за единицу времени:
1
v = —.
Т
237
Частота колебаний выражается в герцах. Герц - это частота колеба-
ний, период которой равен 1 секунде, т.е. 1 Гц = 1 с"1. Циклической, или
круговой, частотой периодических колебаний называется число полных
колебаний за время 2л секунд:
„ 2л
го = 2л v = —.
Т
Циклическую частоту со выражают в радианах на секунду (рад/с ).
Если положение точки (тела) в любой момент времени может быть
описано единственным параметром, то тело (точка) имеет одну степень
свободы (так, например, колебания пружинного маятника, происходящие в
заданной плоскости, могут быть описаны изменением одной координаты).
Гармонический осциллятор - система (тело), совершающая гармо-
нические колебания около положения устойчивого равновесия:
х - x0cos(co0t + ф0) .
Аргумент косинуса ф =(coot + ф0) называют фазой колебаний. Фаза ко-
лебания определяет смещение тела в момент времени t. Начальная фаза ф0
определяет смещение тела в момент начала отсчета времени (t = 0).
Фаза колебаний представляет собой угловую меру времени, про-
шедшего от начала колебаний.
Если начальная фаза колебаний ф0 = 0 , то фазе ф = 2л соответству-
ет t = Т , фазе л/2 соответствует Т/4 и т.д.
2.2. Гармонические колебания
Кинематика гармонических колебаний.
Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармониче-
ские колебания вдоль оси координат х около положения равновесия,
принятого за начало координат. Тогда зависимость координаты х от
времени t задается уравнением
х - x0cos(co0t + ф0). (1)
Соответственно скорость v и ускорение а колеблющейся точки
v = х' = -xocoosin (cooZ + ф0) = x0co0cos (<в01 + ф0 + л/2); (2)
а = v’ = х" = -x0co„cos (co0Z + ф0) = x0co^cos (coot + ф0 + л). (3)
Амплитуды соответственно равны: v0 = хошо и а0 = хош„. Фаза ско-
рости ц отличается от фазы величины х на л/2, а фаза ускорения а
238
отличается от фазы величины х на л. Следовательно, моменты време-
ни, когда х = 0, х' приобретает наибольшее значение, когда же х дос-
i тигает максимального отрицательного значения, то х" приобретает наи-
s' большее положительное значение (рис. 2.1).
Динамика гармонических колебаний.
Рассмотрим динамику свободных колебаний, происходящих в сис-
теме с одной степенью свободы. Пусть тело массой т укреплено на
пружине, упругость которой k. В отсутствие сил трения на тело, выве-
денное из положения равновесия, действует упругая сила пружины
F = -kx (рис. 2.1).
На основании второго закона Ньютона F = та , или F = тх’. От-
сюда следует
тх’ = -kx или тх’ + kx- Q . (4)
Выражение (4) является дифференциальным уравнением свободных
колебаний с одной степенью свободы.
Величина соо = yjk/m является циклической частотой колебаний.
Учитывая это, формулу (4) можно записать в виде:
. k -
х +—х = 0 ,
т
или X” + (£)2QX = O.
239
Последнее уравнение, содержащее вторую производную x"(t), на-
зывается однородным дифференциальным уравнением второго порядка.
Его решением является функция вида
х = x0sin(a>0t + q>0),
где х0 и ср0 - произвольные постоянные, для определения которых не-
обходимо знать начальные условия. Каждое конкретное колебание ха-
рактеризуется определенными значениями амплитуды х0 и начальной
фазы ф0. Тело данной массы т, находясь под действием одной и той же
упругой (квазиупругой) силы F = -kx , может совершать колебания с
различными амплитудами и начальными фазами в зависимости от на-
чальных условий, но период колебания всегда остается одним и тем же.
Энергетические превращения при гармонических
колебаниях.
Квазиупругая сила является консервативной. Поэтому полная энер-
гия гармонического колебания должна оставаться постоянной (рис. 2.2).
F=-kx
. F
им
-х0 о Хо х
Е E = kx2/2
-ха 0 х
Е = ЕК + Еп
Ев = kx2/2 ; Ек = то2/2 ;
Рис. 2.2
В процессе колебаний происходит превращение кинетической энер-
гии в потенциальную и обратно, причем в моменты наибольшего отклоне-
ния от положения равновесия полная энергия Е состоит только из потен-
циальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения Еп :
kx2
£=£n(max)=Y; <5>
240
(6)
при прохождении же системы через положение равновесия полная энер-
гия состоит лишь из кинетической энергии, которая в эти моменты дос-
тигает своего наибольшего значения Ev, ,:
л I птах J
р _ р - mV^ тХ<>^>
& Лк(тах) 2 2
(выше было показано, что амплитуда скорости равна хоюо). Выражения
(5) и (6) равны друг другу, так как та20 = k.
Выясним, как изменяется со временем кинетическая и потенциаль-
ная энергия гармонического колебания.
Кинетическая энергия
nw2 тх2^ . 2/ . \
£к - sin ((£>at + ф0).
Потенциальная энергия выражается формулой
_ kX kx® 2 I , \
£п= —= —cos (го0г + ф0).
Сложив (7) с (8) и приняв во внимание, что ти(2, = k, получим фор-
мулу для полной энергии:
(7)
(8)
Е = £ +Е - fex0 - тх№>
к п 2 2
[сравним с (5) и (6)]. Таким образом, полная энергия гармонического
колебания действительно оказывается постоянной.
Используя формулы тригонометрии, выражениям для Ек
можно придать вид:
£к =£8т2(соо# + фо) = £ у—^со82(м^ + ф0) ,
1 1 /
2 2 ’"'J’
Еп = £cos2 (a>„t + ф0) = Е - + -cos2(<V + <p0) ,
(9)
и Еп
(Ю)
(И)
где Е - полная энергия системы.
Из этих формул видно, что Ек и Еп изменяются с частотой, в два
раза превышающей частоту гармонического колебания. На рис. 2.2. со-
поставлены графики для х , Ек и Еп.
Среднее значение квадрата синуса и квадрата косинуса равно, как
известно, половине. Следовательно, среднее значение Ек совпадает со
средним значением Еп и равно Е/2.
Глава 3. маятники
Как было показано выше, гармоническим осциллятором называется
система, описываемая уравнением вида
х" + со„х = 0.
Колебания гармонического осциллятора являются важным приме-
ром периодического движения и служат точной или приближенной мо-
делью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами
гармонического осциллятора являются пружинный, математический и
физический маятники. В физике под маятниками понимают твердое тело,
совершающее под действием силы тяжести колебания около неподвиж-
ной точки или оси.
3.1. Пружинный маятник
Пружинный маятник - груз массой т, подвешенный на абсолютно
упругой пружине и совершающий гармонические колебания под дейст-
вием упругой силы F - -kx , где k - коэффициент упругости, а в случае
пружины называется жесткостью. Уравнение движения маятника
тх" = -kx,
или
х" + (fe/m)x = 0.
Пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону
х = x0cos((o0t+ <р0) с циклической частотой и0 = yjk/m и периодом
Т = 2Tty]m/k .
Эта формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в ко-
торых выполняется закон Гука, т.е. когда масса пружины мала по срав-
нению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника
Д = kx2/2.
3.2. Математический маятник
Математический маятник - идеализиро-
ванная система, состоящая из материальной
точки массой т, подвешенной на нерастяжи-
мой невесомой нити, колеблющаяся под дей-
ствием силы тяжести. Хорошим приближени-
ем математического маятника является не-
большой тяжелый шарик, подвешенный на
тонкой длинной нити (рис. 3.1).
242
Уравнение движения маятника вдоль оси Ох имеет вид
тх" = -mg’sincp.
Так как колебания малые, то для них выполняется соотношение
, sincp = x/t.
С учетом этого соотношения уравнение движения примет вид:
' х" + (g/?)x = 0.
Отсюда следует, что математический маятник совершает гармони-
ческие колебания по закону х = x0cos(co0f + ср0) с циклической частотой
<o = Jgfe
и периодом
Т = 2л75Л •
3.3. Физический маятник
if
Физический маятник - твердое тело, совершаю-
щее под действием силы тяжести колебания около не- ,
подвижной горизонтальной оси 0 подвеса, не проходя- ।
щей через центр масс С тела (рис. 3.2). При отклоне- ।
нии маятника от положения равновесия на угол ср воз- <
никает вращающий момент, стремящийся вернуть ма- '
ятник в положение равновесия. Этот момент
М = -mgfsincp, -г mg
где т - масса маятника, I - расстояние между точ- 1 рис 3 2
кой подвеса 0 и центром масс С маятника.
Мерой инертности тел при поступательном движении является мас-
са. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от
массы, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вра-
щения. Мерой инертности при вращательном движении служит величи-
на, называемая моментом инерции I тела относительно оси вращения.
Моментом инерции материальной точки относительно оси враще-
ния называют произведение массы этой точки на квадрат расстояния от
оси:
It = mfi .
Моментом инерции тела относительно оси вращения называют сумму
моментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело:
т
I^mrf .
i=0
243
В общем случае, если тело сплошное и представляет собой сово-
купность точек с малыми массами dm , момент инерции определяется
интегрированием:
I = jr2dm,
о
где г - расстояние от оси вращения до элемента массой dm .
Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно
вращается и как распределена масса тела по объему.
Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходя-
щей через точку подвеса, буквой I, можно написать
/ср" = -TngZ’sincp. (1)
В случае малых колебаний выражение (1) принимает вид известного
нам уравнения
ф" + (о^ф = 0, (2)
где через <м(> обозначена в данном случае следующая величина:
®2a=mgtll. (3)
Из уравнений (2) и (3) следует, что при малых отклонениях от по-
ложения равновесия физический маятник совершает гармонические ко-
лебания, частота которых зависит от массы маятника, момента инерции
маятника относительно оси вращения и расстояния между осью враще-
ния и центром масс маятника.
В соответствии с (3) период колебаний физического маятника опре-
деляется выражением
(4)
T = 2nj—
\rngt
Из сопоставления формул (3) и (4) получается, что математический
маятник длиной
(5)
mt
будет иметь такой период колебаний, как и данный физический маятник.
Величину (5) называют приведенной длиной физического маятника. Таким
образом, приведенная длина физического маятника - это длина такого мате-
матического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом
данного физического маятника.
Глава 4. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
4Л. Общие сведения
Решение ряда вопросов, в частности, сложение нескольких колеба-
ний одинакового направления (или, что то же самое, сложение несколь-
ких гармонических функций), значительно облегчается и становится на-
глядным, если изображать колебания графически в виде векторов на
плоскости. Полученная таким способом схема
диаграммой
Возьмем ось, которую обозначим буквой х
(рис. 4.1). Из точки О, взятой на оси, отложим век-
тор длиной х0, образующий с осью угол ф . Если
привести этот вектор во вращение с угловой скоро-
стью О)о, то проекция конца вектора будет переме-
щаться по оси х в пределах от -х0 до +х0, причем
называется векторной
координата этой проекции будет изменяться со временем по закону
х - x0cos(co0£ + ф0) .
Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармо-
ническое колебание с амплитудой, равной длине вектора, с круговой часто-
той, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, рав-
ной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.
Из сказанного следует, что гармоническое колебание может быть
задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а
направление вектора образует с осью х угол, равный начальной фазе
колебания
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового на-
правления и одинаковой частоты. Смещение х колеблющегося тела будет
суммой смещений х, и х2, которые запишутся следующим образом:
х, = x01cos (сооД + ф) ), х2 = x02cos (сооt + ф2).
Представим оба колебания с помощью
векторов х01 и х02 (рис. 4.2). Построим по
правилам сложения векторов результирую-
щий вектор ха. Проекция этого вектора на
ось х равна сумме проекций слагаемых век-
торов, т.е.
х = х, + х2.
245
(1)
Следовательно, вектор х0 представляет собой результирующее коле-
бание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью соо, как и век-
торы х01 и х02, так что результирующее движение будет гармоническим
колебанием с частотой со0, амплитудой х0 и начальной фазой ср0.
Из построения видно, что
•^0 = •’‘'О! + *'"02 — 2x01x02cos[\ — (ф2 ~ Ф1,
= х01 + х02 + 2х01х02 соя(ф2 — ф(),
t x01sirup,+x02sirup-,
Х01СО8ф1 + Х02СО8ф2
Итак, представление гармонических колебаний посредством векто-
ров дает возможность свести сложение нескольких колебаний к опера-
ции сложения векторов.
Проанализируем выражение (1) для амплитуды. Если разность фаз
обоих колебаний (ф2 -ф.) равна нулю, амплитуда результирующего ко-
лебания равна х0| и х02. Если разность фаз (ф2 - ф.) равна +л или -л,
т.е. оба колебания находятся в противофазе, то амплитуда результирую-
щего колебания равна (х01 - х02).
Если частоты колебаний х0| и х02 неодинаковы, векторы х01 и х02
будут вращаться с различной скоростью. В этом случае результирующий
вектор х0 пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоро-
стью. Следовательно, результирующим движением будет в этом случае не
гармоническое колебание, а некоторый сложный колебательный процесс.
4.2. Биения
Особый интерес представляет случай, когда два складываемых гар-
монических колебания одинакового направления мало различаются по
частоте. Такие колебания называются биениями.
Обозначим частоту одного из колебаний через со, частоту второго
колебания через (со + Дсо). По условию Дсо «со. Амплитуды обоих ко-
лебаний будем полагать одинаковыми и равными х0. Чтобы не услож-
нять без надобности формулы, допустим, что начальные фазы обоих ко-
лебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний будут иметь следую-
щий вид:
х, = x0coscot, х2 =x0cos[(co +Дсо)г] .
246
Складывая эти выражения и применяя тригонометрическую форму-
лу для суммы косинусов, получаем
х = Xj + х2 =
(во втором множителе пренеб-
регаем членом Дю/2 по срав-
нению сю). График функции
(2) изображен на рис. 4.3а.
Заключенный в квадратные
скобки множитель в формуле (2)
изменяется гораздо медленнее,
чем второй множитель. Ввиду
условия Дю « ю за то время, за
которое множитель cos (cot)
совершает несколько полных колебаний, множитель, стоящий в квадрат-
ных скобках, почти не изменяется. Это дает нам основание рассматри-
вать колебание (2) как гармоническое колебание с частотой ю, амплиту-
да которого изменяется по некоторому периодическому закону.
График амплитуды показан на рис. 4.36. Аналитическое выражение
амплитуды, очевидно, имеет вид
А =
2x„cos —t
I 2
(3)
Функция (3) - периодическая функция с частотой, в два раза пре-
вышающей частоту выражения, стоящего под знаком модуля, т.е. с час-
тотой Дю . Таким образом, частота пульсаций амплитуды - ее называют
частотой биений - равна разности частот складываемых колебаний.
4.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Допустим, что материальная точка может совершать колебания как
вдоль оси х, так и вдоль перпендикулярной к ней оси у. Если возбудить
оба колебания, материальная точка будет двигаться на некоторой, вооб-
ще говоря, криволинейной траектории, форма которой зависит от разно-
сти фаз обоих колебаний.
Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого
колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся сле-
дующим образом:
x = acosrat, у = bcos(cot + а), (4)
где а - разность фаз обоих колебаний.
247
1
Выражения (4) представляют собой заданные в параметрической
форме уравнения траектории, по которой движется тело, участвующее в
обоих колебаниях. Чтобы получить уравнение траектории в обычном
виде, нужно исключить из уравнений (4) параметр t. Из первого урав-
нения следует, что
Следовательно,
coscot = —,
а
sin cot = ±
(5)
(6)
Из уравнения(4) для у имеем
У- = cos (cot + а) = coscotcosa + sincotsina ,
или, преобразуя это уравнение, получим
ух L х1
— = —cos a ± sina. 1—- .
ba У a
Окончательно запишем
х2 у2 2ху . 2
-у + ^-----cosa=sina. (7)
a b ab
Уравнение (7) есть, вообще говоря, уравнение эллипса, оси которого
повернуты относительно координатных осей х и у .
Определим формулу траектории для некоторых частных случаев.
1. Разность фаз равна нулю. В этом случае уравнение (7) примет вид
ь J
откуда получается уравнение прямой
у=-х. (8)
а
Результирующее движение является гармо-
ническим колебанием вдоль этой прямой с часто-
той со и амплитудой, равной уа^ + б2 (рис. 4.4).
2. Разность фаз а равна ±л. Уравнение (7) имеет вид
/
(9)
248
г откуда получается, что результирующее движение
[представляет собой гармоническое колебание
I вдоль прямой (рис. 4.5).
Г b
I. У =—х-
| а
I 3. При а = ±л/2 уравнение (7) переходит в
(Ю)
I т.е. в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, причем
। полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При
1 равенстве амплитуд а и b эллипс превращается в окружность.
Глава 5. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
Затухающие колебания - собственные колебания, амплитуда кото-
рых уменьшается со временем.
Уменьшение амплитуды обусловлено потерями энергии колеба-
тельной системы.
В случае механических колебаний механическая энергия убывает за
счет действия сил трения и других сил сопротивления.
Затухающие колебания описываются уравнением
х" + 2рх'+ cojjx = 0, (1)
где 2Р = г/т, со„ = fe/zn , г - коэффициент сопротивления, т.е. коэф-
фициент пропорциональности между скоростью х' и силой сопротивле-
ния; k - коэффициент квазиупругой силы.
Отметим, что ш0 представляет собой ту частоту, с которой соверша-
лись бы свободные колебания системы в отсутствие сопротивления среды
(при г = 0 ). Эту частоту называют собственной частотой системы.
При не слишком сильном затухании общее решение уравнения (1)
имеет вид
x = x0e^'cos(rof+ ср0). (2)
Здесь х0 и <р0 - произвольные постоянные, со - величина, определяемая
формулой
0) = -р2 •
На рис. 5.1 дан график функции (2). Пунктирными линиями показаны
пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки х .
В соответствии с видом функции (2) движение системы можно рас-
сматривать как гармоническое колебание частоты ю с амплитудой, из-
меняющейся по закону x(t) = хое"₽'.
Верхняя пунктирная кривая (рис.
5.1) есть график функции x(t), причем
величина х0 представляет собой ам-
плитуду в начальный момент времени.
Начальное смещение х(0) зависит от
х0, а также от начальной фазы <р0:
х(0) = x0cos<p.
Скорость затухания колебаний определяется величиной р = г/2т,
которую называют коэффициентом затухания. Найдем время т, за
х
Рис. 5.1
250
:оторое амплитуда уменьшается в е раз. По определению е~$х = е 1, от-
уда Рт = 1. Следовательно, коэффициент затухания обратен по величи-
не тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в е
>аз.
Период затухающих колебаний
Т = -Л
(3)
Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени,
отличающихся на период,
х(*) ... срт
x(t + T)
Это выражение называют декрементом затухания. Для характеристики
колебательной системы обычно используется логарифмический декре-
мент затухания X:
Х = 1п-^- = рТ. (4)
x(t + T)
Выразив в соответствии с (4) р через X и Т , закон убывания ам-
плитуды со временем можно записать в виде
-7'
х = хое т .
За время т, за которое амплитуда уменьшается в е раз, система успевает
совершить Nt = х/Т колебаний. Из условия е~ ~ получается, что
Х(т/Т) = XN, = 1. Следовательно, логарифмический декремент затухания
обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за ко-
торое амплитуда уменьшается в е раз.
Для характеристики колебательной системы часто употребляется
также величина
Q = л/Х = nNe,
называемая добротностью колебательной системы. Как видно из ее
определения, добротность пропорциональна числу колебаний Ne, со-
вершаемых системой за то время т, за которое амплитуда колебаний
уменьшается в е раз.
Глава 6. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
6Л. Общие сведения
Рассмотренные выше колебания происходили с частотами, опреде-
ляемыми параметрами колебательной системы (масса, сопротивление,
коэффициент упругости). Колебания, возникающие под действием
внешней, периодически изменяющейся силы FBH = .F’(lsin(o£, называют
вынужденными механическими колебаниями. Дифференциальное урав-
нение вынужденных колебаний в общем случае имеет вид
тх” + гх'+ kx = F0sino)t. (1)
Для простоты предположим, что затухание отсутствует, т.е. гх' = 0,
тогда уравнение (1) можно записать так:
Fosinro t - kx = -тих,
2 ff 2 F
где k = m&g, x = -cox, откуда x-------2—-sinrot, или, разделив чис-
k-mm
литель и знаменатель на т,
х = sincot, (2)
со0 — со
где и(| = ^k/m - частота собственных колебаний. Величина, равная
Fa/m ч
х = . -- - , является амплитудой, т.е.
VW-»’)’
F
А—Г°- х2-
?пЛсоо -со j
С учетом силы трения F^ = -гх', действующей на систему, амплитуда
колебания определяется формулой
F
А = --г-Л (4)
my(®o~®2) +4р2ю2
где р = г/2ти.
Вынужденное колебание отстает по фазе на угол ср от обусловли-
вающей его вынуждающей силы, тангенс этого угла определяется соот-
ношением
=
2Рсо
0)„ - со2
(5)
252
Анализ выражения (4) показывает, что если заданы амплитуда вы-
нуждающей силы Fq и параметры колебательной системы т, г, h, то
амплитуда А и фаза ср вынужденных колебаний определяются частотой
вынуждающей силы. Как видно из выражения (4), чем меньше разность
собственной частоты о)о и частоты вынуждающей силы со, тем больше
амплитуда вынужденных колебаний.
В 6.2. Резонанс
Ь Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний
I при определенном значении частоты вынуждающей силы называют ме-
| химическим резонансом.
Частоту вынуждающей силы, при которой наступает резонанс, на-
I зывают резонансной частотой.
| Для определения резонансной частоты нужно найти минимум
I функции f = ^|о)о-(о2) +4р2со2 , являющейся знаменателем в формуле
I; (4), для этого первую производную по и приравняем к нулю.
I у = - 2со2со2 + с/ + 432со2 ,
! где у - подкоренное выражение;
I у' = -4со2о) + 4соэ + 8(32со = 0 .
Г Сократив на 4со, имеем -Юр + со2 + 2р2 = 0,
[ откуда
® = ®рез = J®O-2P2 • (6)
| Из выражения (4) следует, что резонансная амплитуда
Г р
! Аез=--------(7)
2тпР-7(Оо+Р
Г Анализ выражений (6) и (7) показывает,
I что резонансная частота и резонансная ампли-
| туда зависят от коэффициента затухания р.
j С уменьшением коэффициента затухания резо-
I нансная частота возрастает и стремится к соб-
г ственной частоте (рэ < Р2 < р,).
| На рис. 6.1 показан график зависимости
I амплитуды вынужденных колебаний от часто-
। ты вынуждающей силы.
Рис. 6.1
253
Из рисунка видно, что чем меньше затухание, тем больше увеличи-
вается амплитуда по мере приближения к резонансной частоте. При
больших р резонанс слабо выражен, так как с возрастанием амплитуды
быстро увеличиваются потери энергии на трение и сопротивление среды.
6.3. Автоколебания
При затухающих колебаниях энергия системы расходуется на пре-
одоление сопротивления сферы. Если восполнить эту убыль энергии,
колебания станут незатухающими. Если система сама управляет воздей-
ствием внешних сил, то возникающее в ней колебательное движение на-
зывают автоколебаниями.
Автоколебания поддерживаются источником энергии, находящимся
в самой системе. Амплитуда и период автоколебаний определяются па-
раметрами автоколебательной системы. Пример автоколебаний: колеба-
ния маятника часов.
Автоколебательная система - физическая система, в которой могут
существовать автоколебания (рис. 6.2).
В автоколебательной системе можно выделить:
1) колебательную систему, параметры которой определяют частоту
автоколебаний;
2) источник энергии, поддерживающий колебания в системе;
3) клапан, регулирующий поступление энергии в колебательную
систему;
4) устройство положительной обратной связи, посредством которой
колебательная система управляет клапаном так, чтобы энергия, посту-
пающая в систему за период, компенсировала потери энергии (например,
на преодоление трения и сопротивления среды за то же время).
Автоколебательная система
Обратная связь - воздействие результатов какого-либо процесса на
его протекание.
254
Если отклонение какой-либо характеристики процесса в некоторый
момент времени приводит благодаря обратной связи к дальнейшему рос-
ту этого отклонения, то обратная связь называется положительной; если
К уменьшению - отрицательной.
Амплитуда автоколебаний определяется параметрами колебатель-
ной системы и энергией, поступающей в систему за период.
а)
Рис. 6.3
t
6.4. Параметрический резонанс
В рассмотренном предыдущем разделе приложенная извне сила обу-
словливала непосредственно смещение системы из положения равновесия.
Оказывается, существует иной вид воздействия извне, с помощью
: которого можно сильно раскачать систему. Этот вид воздействия заклю-
К Чается в совершаемом в такт с колебаниями периодическом изменении
какого-либо параметра системы, вследствие чего само явление называет-
' ся параметрическим резонансом, т.е. можно сказать, что параметриче-
; ский резонанс - это явление раскачки колебаний при периодическом из-
менении параметров тех элементов системы, в которых сосредотачивает-
[• ся энергия колебаний (реактивные или энергоемкие параметры). Пара-
метрический резонанс возможен в колебательных системах различной
физической природы.
Пример механической системы, в которой
возможен параметрический резонанс, -
маятник в виде груза массой т, подве-
: шейного на нити, длину t которой мож-
\ но изменять (рис. 6.3). На рис. 6.3а пока-
зано устройство маятника с переменной
длиной £ подвеса, на рис. 6.36 - схема
движения тела маятника за один период.
Маятник с неподвижной точкой подвеса совершает собственные ко-
лебания с частотой соо = -^g/t, причем сила натяжения нити максимальна
j в нижнем положении груза и минимальна в крайних. Поэтому если
уменьшать £ в нижнем и увеличивать в крайних положениях, то работа
внешней силы, совершаемая в среднем за период, оказывается положи-
тельной и колебания маятника будут продолжаться за счет работы по из-
' менению параметра £ системы. На параметрическом резонансе основано
самораскачивание на качелях, когда эффективная длина маятника перио-
дически изменяется при приседаниях и вставаниях качающегося.
Параметрический резонанс учитывается в небесной механике при
расчете возмущений планетных орбит, вызванных влиянием других пла-
нет.
m
Глава 7. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
7Л. Общие сведения
При рассмотрении электрических колебаний приходится иметь дело
с токами, изменяющимися во времени. Электромагнитные возмущения
распространяются по цепи со скоростью, равной скорости света
с = 3-108 м/с.
Пусть длина цепи равна £. Если за время т=£/с, необходимое для
передачи возмущения в самую отдаленную точку цепи, сила тока изме-
няется незначительно, то мгновенные значения силы тока во всех сече-
ниях цепи будут практически одинаковыми. Токи, удовлетворяющие
такому условию, называются квазистационарными. Для периодически
изменяющихся токов условие квазистационарности имеет вид
где Т - период изменений.
Для цепи длиной 7 = 3 м запаздывание т = 10~8 с. Таким образом,
вплоть до Т ~106 с (что соответствует частоте v = 106 Гц) токи в та-
кой цепи можно считать квазистационарными. Ток промышленной час-
тоты (v = 50 Гц) квазистационарен для цепей длиной до ~ 100 км.
Мгновенные значения квазистационарных токов подчиняются зако-
ну Ома. Следовательно, для них справедливы и правила Кирхгофа.
В дальнейшем при изучении электрических колебаний мы всегда
будем предполагать, что рассматриваемые нами токи квазистационарны.
7.2. Свободные электромагнитные колебания
в контуре LC
В цепи, содержащей индуктивность и емкость, могут возникать элек-
трические колебания. Поэтому такая цепь называется колебательным
контуром. На рис. 7.1 изображены последовательные стадии колебатель-
ного процесса в контуре, не обладающем активным сопротивлением.
Колебания в контуре можно вызвать, либо сообщив обкладкам конденса-
тора некоторый начальный заряд, либо возбудив в индуктивности ток (напри-
мер, путем включения внешнего магнитного поля, пронизывающего витки ка-
тушки). Воспользуемся первым способом. Присоединим к источнику напряже-
ния отключенный от индуктивности конденсатор (рис. 7.1а). Это приведет
к возникновению на обкладках разноименных зарядов +q и -q.
256
Рис. 7.1
Между обкладками возникнет электрическое поле, энергия которого
равна q2/1С. Если затем отключить источник напряжения и замкнуть
конденсатор на индуктивность (рис. 6.15), емкость начнет заряжаться и в
контуре потечет ток. В результате энергия электрического поля будет
уменьшаться, но зато возникнет все возрастающая энергия магнитного
поля, обусловленного током, текущим через индуктивность. Эта энергия
равна LI1 /2.
Поскольку активное сопротивление контура равно нулю, полная
энергия, слагающаяся из энергий электрического и магнитного полей, не
расходуется на нагревание проводов и будет оставаться постоянной. По-
этому в момент, когда напряжение на конденсаторе, а следовательно, и
энергия электрического поля обращаются в ноль, энергия магнитного
поля, а значит, и ток достигают наибольшего значения (начиная с этого
момента ток течет за счет ЭДС самоиндукции). В дальнейшем ток
уменьшается, и, когда заряды на обкладках достигнут первоначального
значения q, сила тока станет равной нулю. Затем те же процессы проте-
кают в обратном направлении (рис. 6.1 в, г, д'), после чего система прихо-
дит в исходное состояние и весь цикл повторяется снова и снова.
В ходе процесса периодически изменяются (т.е. колеблются): заряд
на обкладках, напряжение на конденсаторе и сила тока, текущего через
индуктивность. Колебания сопровождаются взаимными превращениями
энергий электрического и магнитного полей.
Полная электромагнитная энергия W контура в любой момент вре-
мени равна сумме энергий магнитного и электрического полей:
2 2С
Эта энергия не меняется с течением времени, если сопротивление R
контура равно нулю.
257
Производная полной энергии по времени равна нулю, так как энер-
гия постоянна. Следовательно, равна нулю сумма производных по вре-
мени от энергий магнитного и электрического полей, т.е.
(1)
Физический смысл уравнения (1) состоит в том, что скорость изме-
нения энергии магнитного поля по модулю равна скорости изменения
энергии электрического поля; знак минус указывает на то, что, когда
энергия электрического поля возрастает, энергия магнитного поля убы-
вает, и наоборот. Именно благодаря этому полная энергия не меняется.
Вычисляя обе производные в уравнении (1), получим
Но производная заряда по времени представляет собой силу тока в
данный момент времени:
= q', (3)
at-»o At
поэтому уравнение (2) можно переписать в следующем виде:
Li’i=-qi/C. (4)
Производная силы тока по времени есть не что иное, как вторая
производная заряда по времени, подобно тому как производная скорости
(ускорение) есть вторая производная координаты по времени. Подставив
в уравнение (4) i'-q” и разделив левую и правую части этого уравнения
на Li, получим основное уравнение, описывающее свободные электро-
магнитные колебания в контуре:
Если ввести обозначение
то уравнение (5) примет вид
q” + (d2oq=O. (7)
Это уравнение описывает изменение во времени величины заряда на
обкладках конденсатора.
Математическая форма полученного уравнения не отличается от
уравнения механических колебаний тела под действием упругой силы
(см. главу 2 «Механические колебания»).
258
Решением этого уравнения является функция
g = g0cos((o0i+ ф). (8)
Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармо-
ническому закону с частотой, определяемой выражением (6). Эта частота
называется собственной частотой контура (она соответствует собст-
венной частоте гармонического осциллятора).
Для периода колебаний получается так называемая формула Томсона:
T=2itjLC. (9)
Напряжение на конденсаторе отличается от заряда множителем 1/С .
U =~ cos(<B0i + (p)={70cos(<B0t-i-(p). (10)
С
Продифференцировав функцию (8) по времени, получим выражение
для силы тока
I- —(о0q0sin(ю01 + ф)=/0cos! <B0t + (p4-^-j. (11)
Таким образом, сила тока опережает по фазе напряжение на конден-
саторе на л/2.
Сопоставление формул (8) и (10) с формулой (11) показывает, что в
момент, когда ток достигает наибольшего значения, заряд и напряжение
обращаются в ноль, и наоборот. Это соотношение между зарядом и током
мы уже установили ранее, основываясь на энергетических соображениях.
Из формул (10) и (11) следует, что
_ г ’ Л) _<0о?о •
С*
Взяв отношение этих амплитуд и заменив соо по формуле (6), получим
^0=^»- (12)
Эту формулу можно получить также, исходя из того, что наиболь-
шее значение энергии электрического поля СС702 /2 должно быть равно
наибольшему значению энергии магнитного поля Ы02/2 •
Полная энергия в колебательном контуре в любой момент времени скла-
дывается из энергии, запасенной в конденсаторе (электрическая энергия), и
энергии магнитного поля, связанной с током в катушке индуктивности.
Т Г- ZT2
e=wk+w„=-—+^-.
259
Полная энергия не меняется во времени, что проверяется прямой
подстановкой значений g(t) и I(t). Тогда
Р «» ЬЛ2
Е
7.3. Аналогия механических и электромагнитных колебаний
Электромагнитные колебания в контуре имеют сходство со свобод-
ными механическими колебаниями, например, колебаниями тела, закре-
пленного на пружине. Сходство относится не к природе самих величин,
которые периодически изменяются, а к процессам периодического изме-
нения различных величин.
Соответствие между механическими и электрическими величинами
при колебательных процессах можно свести в таблицу 7.1.
Таблица 7.1
Механическая система Электромагнитная система
Масса т Индуктивность L
Координата х Заряд q
Скорость и=х' Сила тока i=q'
Жесткость пружины k Величина, обратная емкости 1/С
Потенциальная энергия W„=kx2/2 Энергия электрического поля W3=q2/2С
Кинетическая энергия WK = mv2/2 Энергия магнитного поля Wv=Li2l2
Соответствие между механическими и электрическими величинами
при колебательных процессах (математический или пружинный маятни-
ки) можно изобразить графически (рис. 7.2).
Рис. 7.2
260
I Свободные затухающие колебания. LCR-контур.
I Всякий реальный контур обладает актив-
I ным сопротивлением. Энергия, запасенная в
I контуре, постепенно расходуется в этом сопро-
I тивлении на нагревание, вследствие чего сво-
£ бодные колебания затухают. Закон Ома, напи-
I санный для цепи 1-2-3, изображенной на рис. 7.3,
I имеет вид:
-------------------J1
I R
3 L Т
------х000000>-----1
Рис.7.3
г Разделив это уравнение на £ и заменив I на q , a dZ/dt на q , получим
| 9+у9+7779=0 • О4)
й 1л 1л(л
I Приняв во внимание, что величина, обратная LC , равна квадрату собст-
| венной частоты контура соо, и введя обозначение
| 2Р=Я/£, (15)
I уравнению (14) можно придать вид
I g+2Pg+co„g=0. (16)
Последнее уравнение совпадает с дифференциальным уравнением зату-
хающих механических колебаний.
При условии, что р2 , т.е. при
R2 1
4L2< LC
решение уравнения (16)
I имеет вид
I
| где ю=7®о-р2 .
g=?moexp(-PO cos(cot+a),
(17)
Подставив в уравнение (17) значения ш0=1Д/Ес из выражения (6) и
Р из выражения (15), найдем, что
С0 = .----г . (18)
У LC 4L2
Таким образом, частота затухающих колебаний со меньше собственной
частоты со0. При R=0 выражение (18) переходит в выражение co0=l/VZc .
Разделив уравнение (17) на С, получим напряжение на конденсаторе
L7=-^-exp(-pt) cos(cot+a)=J7m0exp(~pt). (19)
Чтобы найти силу тока, продифференцируем (17) по времени:
7=g=gm0exp(-Pt)[-Pcos(cot+a)-cosin(cot+a)].
261
9
Рис. 7.4
График функции (17) изображен на рис.
7.4. Графики для напряжения и силы тока
имеют аналогичный вид. Затухание колеба-
ний принято характеризовать логарифмиче-
ским декрементом затухания
Х=1п-4^т=РТ.
x„(t+T)
Здесь x0(t) - амплитуда соответствую-
I). Напомним, что логарифмический декре-
(20)
щей величины (g, U или
мент затухания обратен числу колебаний Ne, совершаемых за время, в
течение которого амплитуда уменьшается в е раз:
\=\/Ne .
Подставив в (20) значение р (15) и заменив Т на 2тг/со , получим
(21)
2L а> Lai
Частота го, а следовательно, и >. определяются параметрами контура L,
С и R . Таким образом, логарифмический декремент затухания является
характеристикой контура.
Если затухание невелико (р2 «со2), можно положить со »го() =-^1 .
у LC
Тогда
. nRjLC [с
к»------=KRJ-. (22)
xj У L
Колебательный контур часто характеризуют его добротностью Q ,
которая определяется как величина, обратно пропорциональная лога-
рифмическому декременту затухания:
Q=^Ne. (23)
Л
Из (23) следует, что добротность контура тем выше, чем больше
число колебаний успевает совершиться прежде, чем амплитуда умень-
шится в е раз.
В случае слабого затухания, используя выражение (22), получим
(24)
Добротность контура Q можно выразить через убыль относительного
уменьшения энергии за период, т.е.
W
Q=-2k— .
AHZ
262
к 1
I Отметим, что при —->—, т.е. при р2>а>о вместо колебаний происхо-
в 4L LC
I дит апериодический разряд конденсатора. Сопротивление контура, при
I котором колебательный процесс переходит в апериодический, называет-
I ся критическим. Значение критического сопротивления Я, определяется
I 1
I условиемоткуда
Rt = 24L/C.
[ 7.4. Вынужденные колебания. Резонанс
I До сих пор мы рассматривали собственные колебания, т.е. колебания,
j происходящие в отсутствие внешних воздействий. Внешнее воздействие
I было необходимо лишь для того, чтобы вывести систему из состояния
| равновесия, после чего она предоставлялась самой себе. Уравнение собст-
I венных колебаний д+ш„д=0 вообще не содержит следов внешнего воздей-
I ствия на систему: оно отражается лишь в начальных условиях.
| Но очень часто приходится сталкиваться с колебаниями, которые
I происходят при постоянно присутствующем внешнем воздействии. Осо-
I бенно важен, и в то же время достаточно прост для изучения случай, когда
I внешнее воздействие имеет периодический характер. Общей чертой вы-
I нужденных колебаний является то, что спустя некоторое время после на-
[ чала колебаний система полностью «забывает» свое начальное состояние,
i колебания приобретают стационарный характер и не зависят от начальных
। условий. Начальные условия проявляются только в период установления
!' колебаний, которые обычно называют переходным процессом.
* Чтобы вызвать вынужденные колеба-
ния, нужно оказывать на систему внешнее,
периодически изменяющееся воздействие.
В случае электрических колебаний это
можно осуществить, если включить после-
довательно с элементами контура пере-
менную ЭДС (рис. 7.5) или, разорвав кон-
тур, подать на образовавшиеся контакты переменное напряжение
[/=C/Ocoscot.
Это напряжение нужно прибавить к ЭДС самоиндукции.
В результате формула закона Ома IR=—~примет вид
IR=~—-L—+J70coscot.
С dt 0
R L С
—IF
uR I uL I uc
U
Рис. 7.5
(25)
(26)
263
Произведя преобразования, получим уравнение
q+2\Sq+a>‘0q=—cos<n£=f0coscot ,
L
(27)
где использованы обозначения:
2_ 1 . . f _ Up
“° LC’ Z ’ ° L '
Уравнение (27) совпадает с дифференциальным уравнением вынуж-
денных механических колебаний. Частное решение этого уравнения име-
ет вид
q-q0cos(a>t-'¥),
(28)
(29)
(30)
Подстановка значений (Оц и Р дает
?u_ Up
ro-J-R2 + (coZ-l/©C)2 ’
tg4>=——5----------------------------.
(1/шС)-со£
Общее решение получится, если к частному решению (28) прибавить
общее решение соответствующего однородного уравнения.
Это решение содержит экспоненциальный множитель e-|3f, поэто-
му по прошествии достаточного времени становится очень малым и им
можно пренебречь. Следовательно, установившиеся вынужденные коле-
бания описываются уравнением (28).
Продифференцировав выражение (28) по t, найдем силу тока в кон-
туре при установившихся колебаниях:
/ = -<Bg0sin(a)i-4/)=/0cos cot-T-h—
где Iq — mq0.
Запишем это выражение в виде
Z = Z0cos(®t-(p), (31)
где <р=Ч/-(л/2) есть сдвиг по фазе между током и приложенным напря-
жением.
264
(32)
В соответствии с (30)
f 7гА 1 (£>L~\/(£>C
tg(p = tg т------------------------
2 J tgcp R
Из этой формулы следует, что ток отстает по фазе от напряжения
(ср > 0) в том случае, когда со£>1/соС, и опережает напряжение (ср < 0)
при условии, что o)L<l/o)C .
Согласно (29)
Z0=®g0 =
Uo
(33)
Запишем соотношение (26) в виде
IR+-- + 1~ = U0COS(£)t .
С dt °
Произведение IR равно напряжению VR на активном сопротивлении,
q тт т М
~ есть напряжение на конденсаторе Uc, выражение Ь— определит
напряжение на индуктивности UL. С учетом этого можно написать
+ [7С + UL = U0cos(£it. (35)
Таким образом, сумма напряжений на отдельных элементах контура
равна в первый момент времени напряжению, приложенному извне.
В соответствии с (31)
UR ~RI0cos(<X)t-q>). (36)
Разделив выражение (28) на С, получим напряжение на конденсаторе
Uc = —cos(cof -Т) = (7Cocos| coi -Т - —
Здесь Uc =^ =------------;-----°----------=
с ®C^R2 +(®L-l/aC¥ mC
Умножив производную функцию (31) на L, получим напряжение
на индуктивности
UL = L— = -coU0sin(a>£ -<p) = ^l0cos( " Ф + Т • (39)
(34)
(37)
Здесь
v0
(38)
(40)
^l0 ~ .
265
Сопоставление формул (31), (36), (37), (39) показывает, что напряжение на
емкости отстает по фазе от силы тока на п/2, а напряжение на индуктив-
ности опережает ток на л/2. Напряжение на активном сопротивлении из-
меняется в фазе с током. Фазовые отношения можно представить очень
наглядно с помощью векторной диаграммы. Напомним, что гармоническое
колебание (или гармоническую функцию) можно задать с помощью векто-
ра, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора
образует с некоторой осью угол, равный начальной фазе колебания.
Возьмем в качестве прямой, от
которой отсчитывается начальная
фаза, ось токов. Тогда получается
диаграмма, изображенная на рис.
7.6. Согласно (35) три функции UR,
Uс и UL в сумме должны быть
равны приложенному напряжению
U . В соответствии с этим напря-
жение U изображается на диа-
грамме вектором, равным сумме векторов U R, Uс и U гЗаметим, что из
прямоугольного треугольника, образованного на диаграмме векторами U ,
UR и разностью UL -Uc, легко получить формулу (33).
Резонансная частота для заряда q и напряжения на конденсаторе Uc
Т 1 Я2
yLC 2L2
Резонансные кривые для Uc изображены на рис. 7.7 (резонансные
кривые для q имеют такой же вид). Они сходны с резонансными кри-
выми,
(41)
®<?рез ®17рез
получающимися для механических колебаний. При со—>0 резо-
нансные кривые сходятся в одной точке с ор-
динатой UC0=U0, что соответствует напря-
жению, возникающему на конденсаторе при
подключении его к источнику постоянного
напряжения Uo.
Максимум при резонансе получается тем
выше и острее, чем меньше р=Я/2£, т.е. чем
меньше активное сопротивление и больше
индуктивность контура.
266
Резонансные кривые для силы тока изо-
бражены на рис. 7.8. Они соответствуют резо-
нансным кривым для скорости при механиче-
ских колебаниях. Амплитуда силы тока имеет
максимальное значение согласно (41) при
соТ-(1/соС)=0. Следовательно, резонансная
частота для силы тока совпадает с собственной
частотой контура 0)0, т.е.
(О
го0
Рис. 7.8
(42)
нулю -
1
«Грез -®0 - г—•
Л/ хлС/
Отрезок, отсекаемый резонансными кривыми на оси IQ, равен
при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсато-
ром течь не может.
В соответствии с выражением (41) при малом затухании (при
р2 <<®о) резонансную частоту для напряжения можно положить рав-
ной <в0. Соответственно можно считать, что wMsL-(l/coC)«0. Согласно
формуле (38) отношение амплитуды напряжения на конденсаторе при
резонансе ^с0рез к амплитуде внешнего напряжения Uo будет в этом
случае
= Q
(43)
Uc 1
’-'Орез 1
Uo (£>oCR
(мы приняли в (41) со = <»cz - ®0 )• 3Десь Q - добротность контура.
Таким образом, добротность контура показывает, во сколько раз на-
пряжение на конденсаторе может превысить приложенное напряжение.
Глава 8. ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК
Описанные в предыдущем параграфе установившиеся вынужденные
колебания можно рассматривать как протекание в цепи с емкостью, ин-
дуктивностью и активным сопротивлением переменного тока, обуслов-
ленного переменным напряжением.
U = [TgCOSCD^ .
Переменное напряжение можно получить с помощью генератора пере-
менного тока.
8.1. Генератор переменного тока
Простейшим генератором переменного тока является квадратная
рамка, вращающаяся с круговой частотой со между полюсами постоян-
ного магнита. Поток магнитной индукции через рамку
Ф = BScos(cp + Фо),
где ф0 - начальная фаза.
Так как угол ф меняется со временем, т.е.
ф = со£ + ф0 =2лу^ + ф0,
где v - частота, то
Ф = BScos(coi + Фо).
Но генерируемая ЭДС индукции равна взятой со знаком минус про-
изводной по времени от потока магнитной индукции через рамку.
+ Фо).
Итак, вращающаяся между полюсами магнита рамка генерирует пере-
менную ЭДС индукции, и, следовательно, в цепи возникает переменный ток.
Если между полюсами магнита поместить обмотку, содержащую N
витков (рис. 8.1), каждый из которых представляет собой отдельную рамку, то
в каждом витке будет генерироваться вычисленная выше ЭДС и полная ЭДС
= ,V5Scosin (со t+<р0).
268
Генерируемое во внешней цепи напряжение
U = Uosin((i)t + ф0),
а сила тока в цепи по закону Ома
I = /0sin((oi + (p0),
Л
Произвольное значение (р0 определяет начальную фазу напряжения
или тока (произвол в выборе фазы соответствует произволу в выборе
начального положения рамки). Если в цепи действует только активное
сопротивление R, то фазы напряжения и тока совпадают.
Описанная простая установка является прообразом всех генераторов
переменного тока, в которых механическая или тепловая энергия пре-
вращается в электрическую (гидроэлектростанции, тепловые электро-
станции и др.). Обычная частота промышленного переменного тока на
территории России v = 50 Гц.
8.2. R, L н С в цепи переменного тока. Резонанс
Активное сопротивление в цепи переменного тока.
Пусть внешний источник создает в цепи переменное напряжение
(7(i)={70sin(a>t).
Если цепь содержит только активное сопротивление R, то закон Ома
для внешней цепи можно записать в виде
Uosin[(i)t)=IR,
откуда
I = —sin((ot) =/osin(©t),
На графике (рис. 8.2) показано изменение напряжения и силы тока в
цепи как функции времени. Видно, что ток меняется синхронно с напря-
жением (в одной фазе). Это удобно отобразить на специальной фазовой
диаграмме. Конец вектора Uo описывает окружность, вращаясь с часто-
той, равной частоте (0 напряжения. Проекция этого вектора на ось Ох в
каждый момент времени равна мгновенному значению напряжения.
Аналогично ведет себя вектор тока 10. Так как напряжение и ток изме-
няются в одной фазе, направления векторов Uo и 10 совпадают.
269
Емкость в цепи переменного тока.
Пусть в цепи переменного тока включен конденсатор емкостью С.
Если пренебречь активным сопротивлением, то в каждый момент време-
ни напряжение на обкладках конденсатора
Uosina)£=g/C,
откуда можно найти значение заряда
q = {70Csincot.
Сила тока равна производной заряда по времени, т.е.
I=dq/dt,
поэтому
I тс
I - U0&Csme>t = /osin I (f>t + —
Io=UoaC = ^.
xc
Здесь no аналогии с активным сопротивлением введено реактивное
емкостное сопротивление
хс =1/соС.
На графике (рис. 8.3) показано, как изменяются во времени напря-
жение и сила тока в такой цепи. Из векторной диаграммы видно, что ток
опережает напряжение по фазе на л/2.
Рис. 8.3
270
i Индуктивность в цепи переменного тока.
s 1 Пусть в цепи переменного тока включена катушка индуктивностью L.
(При прохождении тока через катушку (ее активное сопротивление счита-
i ется равным нулю) создается ЭДС самоиндукции. Напряжение источни-
ка должно равняться этой ЭДС.
Unsm(f>t =----.
° dt
Чтобы найти силу тока в цепи, следует проинтегрировать это выра-
жение по времени. Так как интеграл от sin cot равен - coscot, то
т Ua . ( т . ( п
I =------ COSCOt = —— Sin I cot-= /0Sin ------
&L aL \ 2 J I 2
1o ~ T ~ >
coL xL
где введено реактивное индуктивное сопротивление
xL - (£>L.
Из фазовой диаграммы на графике (рис. 8.4) видно, что в этом слу-
чае ток отстает от напряжения по фазе на л/2 .
Произвольная цепь переменного тока.
Рис. 8.4
Рассмотрим два случая включения R, С и L в цепь переменного
тока.
7. Последовательное соединение.
В последовательной цепи переменного тока (рис. 8.5а) сила тока I
в каждый момент времени во всех участках цепи одинакова, а сумма
мгновенных значений напряжений на сопротивлении R, емкости С и
индуктивности L равна значению приложенного напряжения в тот же
момент времени.
u=uR+uc+uL.
271
Воспользуемся тем обстоятельством, что мгновенное значение любой
изменяющейся по гармоническому закону величины можно представить
как проекцию вектора на некоторое заданное выбранное направление,
причем сам вектор равномерно вращается в плоскости с частотой со, а
его длина равна амплитудному значению исследуемой величины. С по-
мощью такого представления исследуемую схему можно сопоставить с
векторной диаграммой, изображенной на рис. 8.56.
Рис. 8.5
Каждой величине: силе тока I, напряжениям на сопротивлении R,
емкости С и индуктивности L соответствуют векторы, длина которых
равна амплитудному значению соответствующей величины. Вся система
векторов вращается как целое с частотой со вокруг оси, перпендикулярной
плоскости рисунка. Мгновенные значения величин I, UR, UL и Uc по-
лучаются проецированием соответствующих векторов на заранее вы-
бранное направление N - N . Поскольку, как мы видели, ток в цепи
находится в фазе с напряжением U R, отстает на тг/2 от напряжения на
индуктивности UL и опережает на тг/2 напряжение на емкости Uc, то
при выбранном направлении вращения вектор U0L опережает векторы 10
и U0R на тг/2, которые, в свою очередь, опережают на тг/2 вектор Uoc.
Как теперь найти вектор Uo, изображающий приложенное напряже-
ние U ? Легко видеть, что для этого нужно просто найти сумму векторов
U0B , U0L и Uoc, так как проекция результирующего вектора, которая и
определяет мгновенное значение приложенного напряжения U, равна
сумме проекций составляющих векторов, представляющих собой мгно-
венные значения напряжений UR, UL и Uc, в полном соответствии с
равенством (рис. 8.5в). Из этого рисунка легко видеть, что
и,1 = U‘R +(U„L-U„C)2, tg<p = ^U-«c .
272
Используем связь между амплитудным значением силы тока 10 и
амплитудными значениями напряжений на отдельных элементах цепи.
Uoc=-7?’ U0R=I0aL,
соС
тогда
7-В2 +(®L-l/wC)2 ’
a>L — 1/соС
tg<P =--------- (2)
гС
Итак, если приложенное напряжение U(t)= Uo coswt, то сила то-
ка в цепи cos(®t-(p), где 10 и ф определяются формулами
(1) и (2). Ток в цепи, как и напряжение, меняется по синусоидальному
закону, но между током и напряжением существует сдвиг по фазе, рав-
ный ф.
С помощью векторной диаграммы (рис. 8.5в) теперь легко написать
выражения для мгновенных значений напряжений на отдельных элемен-
тах схемы:
UR =I0R cos(cdt - ф),
I я I
UL = Iq&L cosl cot - ф + — I,
rr In (
Ur = ——cos ©t-ф-------.
c вС 2 J
к Выясним, что покажет вольтметр, если его подключить к какому-
I либо из элементов схемы. Если вольтметр проградуирован так, что он
I показывает действующее значение напряжения, то его показания будут в
I э/2 раза меньше амплитудного значения напряжения на том элементе
I схемы, к которому он подключен. Произведя измерения напряжений на
| всех элементах схемы по отдельности, можно убедиться, что сумма этих
| напряжений всегда больше действующего значения подаваемого на схе-
: му напряжения. Более того, напряжение на любом из реактивных сопро-
5 тивлений может быть гораздо больше подаваемого напряжения. Напря-
: жение же на активном сопротивлении никогда не бывает больше пода-
ваемого напряжения.
273
Если при измерении напряжений на реактивных элементах напря-
жения окажутся равными друг другу, то это значит, что равны реактив-
ные сопротивления: <в£=1/юС . Такую ситуацию называют резонансом
напряжений в цепи переменного тока. При этом напряжение на активном
сопротивлении равно приложенному внешнему напряжению. Сопротив-
ление всей последовательной цепи при резонансе напряжений становит-
ся чисто активным и равным R. Сдвиг фаз между приложенным напря-
жением и током в этом случае отсутствует.
2. Параллельное соединение.
Перейдем теперь к рассмотрению цепи переменного тока, содержа-
щей параллельно соединенные активное сопротивление R, индуктив-
ность L и емкость С (рис. 8.6а), на которую подается переменное сину-
соидальное напряжение U(t)= Uo coscot. Как и в случае последова-
тельного соединения элементов, эту цепь удобно исследовать с помощью
векторных диаграмм. Напряжение на всех параллельно соединенных
элементах одинаково и равно приложенному напряжению 17(t).
Мгновенное значение силы тока в неразветвленной части цепи l(t)
равно алгебраической сумме сил токов в параллельных участках:
/ = I я + 1С + IL .
Поскольку ток через сопротивление R находится в фазе с прило-
женным напряжением, ток в ветви, содержащей емкость, опережает на-
пряжение на тг/2, а ток через индуктивность отстает от напряжения на
л/2, то векторная диаграмма, соответствующая этой цепи, имеет вид,
изображенный на рис. 8.66. Учитывая связь между амплитудными значе-
ниями токов в различных элементах и амплитудным значением прило-
женного напряжения,
Uо = IqrR = he = >
(йС
274
помощью векторной диаграммы (рис. 8.66) нетрудно получить сле-
тощие выражения для амплитуды тока в неразветвленной части цепи и
[Я сдвига по фазе между приложенным напряжением и этим током:
i0-u0
(3)
I Л 1
| tg<p = R\---соС .
। (aL J
I Таким образом, ток в неразветвленной части цепи
| l(t) = Io cos(cot - (p),
[где Io и (p определяются формулами (3), (4).
» Векторная диаграмма дает также возможность написать выражения
[для мгновенных значений тока в отдельных ветвях цепи:
[ г и0
f Iп -—-coscot,
! R R
Т ио ( ,
1Т =—-COS (At------,
L (AL I 2
(4)
к i л I
Ic = U0(aC cosl cot + — I.
При равенстве емкостного и индуктивного сопротивления, т.е. при
(oL=l/(oC , сдвиг фаз между током в неразветвленной части цепи и напря-
I жением обращается в ноль. Токи 1С и IL при этом равны, и так как они
находятся в противофазе, то ток в неразветвленной части становится равным
току IR через активное сопротивление. Заметим, что токи IL и 1С в от-
дельных ветвях цепи могут значительно превосходить ток в подводящих
I проводах. Такая ситуация носит название резонанса токов. При этом
I происходит обмен энергией между электрическим и магнитным полями,
I сосредоточенными в емкости и индуктивности, а источник питания
I только компенсирует потери энергии за счет выделения джоулевой теп-
I лоты на сопротивлении R. Если сопротивление J? вообще убрать из цепи
| (R —> со), то энергетические потери в такой идеализированной схеме
| вообще отсутствуют и ток в подводящих проводах равен нулю, хотя в
| контуре, состоящем из L и С, ток может быть очень большим. В этом
[ случае на резонансной частоте со=l/x/Zc полное сопротивление конту-
ра неограниченно возрастает.
275
Резонанс.
Пусть меняется частота напряжения в цепи переменного тока, но
все параметры цепи (R, L, С и Uo) остаются постоянными. Уравне-
ния колебаний в цепи переменного тока имеют вид
L — + IR + — = U; U = Uosin®t; Z = Zosin(cotч-<р).
j
Как видно из графика зависимости 10 от го (рис. 8.7), при определенной
частоте емкостное и индуктивное сопротивления становятся равными
друг другу и импеданс цепи принимает минимально возможное значение
Zq=R . При этом амплитуда силы тока в цепи достигает максимального
значения
I
° R '
Частота (О0, при которой происходит описанное явление, называется
резонансной частотой контура. Она определяется из условия хс = xL
и равна
co0=l/VZc .
Как видно, резонансная частота контура совпадает с собственной часто-
той LC -контура.
8.3. Мощность в цепи с активным сопротивлением
Мощность в цепи тока, где имеется только активное сопротивление R,
равна P — I2R. Так как ток быстро меняется со временем, то и мощ-
ность является функцией времени. Удобно пользоваться средней мощно-
стью за какой-то большой промежуток времени по сравнению с перио-
дом колебаний тока в цепи. Для этого нужно знать среднюю мощность за
один период, т.е. количество энергии, поступающей в цепь за один пери-
од, деленное на период.
276
ЗЛусть I = /Ocoscoi (фазу тока выберем равной <р=л/2). Тогда
I2
[ P = I1R-llRco9,2&t~—7?(l + cos2cot).
f 2
;JIpH усреднении за период второе слагаемое обращается в ноль, так что
среднее значение мощности оказывается равным
— I2 (I V -
Р = — R = R = I2R,
где введено среднее (действующее) значение силы тока
V2
Аналогично можно ввести и действующее значение напряжения
йЛ.
Л
Понятия действующих значений силы тока и напряжения в цепи пе-
ременного тока полезны на практике, так как именно они регистрируют-
ся амперметрами и вольтметрами.
8.4. Трансформатор
Передача электрической энергии от электростанции на значитель-
ное расстояние до большого города или промышленного центра является
сложной научно-технической проблемой.
Потери энергии на нагревание проводов прямо пропорциональны
квадрату силы тока в линии электропередачи. Поэтому для уменьшения
потерь необходимо уменьшить силу тока в линии. Мощность тока равна
произведению силы тока на напряжение. Чтобы при уменьшении силы
тока в линии не уменьшалась передаваемая мощность, следует увеличить
напряжение во столько же раз, во сколько раз была уменьшена сила тока.
При высоком напряжении переменный ток передается на большие
расстояния с малыми потерями, но для использования на промышленных
предприятиях, транспорте, в быту необходимо понижение напряжения.
Повышение и понижение напряжения переменного тока осуществляется
трансформаторам и.
Трансформатор был изобретен в 1878 г. русским ученым Павлом
Николаевичем Яблочковым (1847-1894 гг.). Самый простой трансформа-
тор переменного тока состоит из двух катушек. Одна из катушек, концы
которой подключают к источнику переменного напряжения, называется
277
первичной катушкой (обмоткой), другая - вторичной катушкой (обмот-
кой). При подключении выводов первичной катушки к источнику пере-
менного напряжения в катушке возникает переменный ток. Если напря-
жение изменяется со временем по гармоническому закону с частотой со,
то по гармоническому закону с той же частотой происходят изменения
силы тока i в катушке магнитного потока Ф , создаваемого этим током:
Ф = Фт coscoi.
При изменении магнитного потока в каждом витке провода первич-
ной катушки возникает изменяющаяся по гармоническому закону ЭДС
самоиндукции
е - ~Ф'(^) = ®Фт sin cot.
Произведение ®Фт является амплитудой колебаний ЭДС в одном
витке, т.е.
e = 6OTsincot.
Если число витков в первичной катушке п,, а ЭДС самоиндукции в
одном витке равна е, то мгновенное значение ЭДС самоиндукции в пер-
вичной катушке
ех = еп}.
Вторичную катушку пронизывает тот же самый магнитный поток, кото-
рый проходит через первичную катушку. При изменении магнитного
потока в каждом ее витке возникает ЭДС индукции, изменяющаяся по
гармоническому закону; амплитуда изменений ЭДС индукции в одном
витке имеет такое же значение, что и ЭДС самоиндукции в одном витке
первичной катушки. Если число витков провода вторичной катушки п2,
то мгновенное значение ЭДС в ней
е2 = еп2.
Отношение ЭДС самоиндукции в первичной катушке к ЭДС ин-
дукции е2 во вторичной катушке равно отношению числа витков п, в
первичной катушке к числу витков п2 во вторичной катушке, т.е.
е. п,
— = — (5)
е2 п2
Если активное сопротивление провода первичной катушки мало по
сравнению с его индуктивным сопротивлением, то приложенное напря-
жение U, в любой момент времени примерно равно ЭДС самоиндукции,
взятой с противоположным знаком.
278
При разомкнутой цепи вторичной катушки - режим холостого хода
ансформатора - напряжение U2 на ее концах в любой момент времени
вно ЭДС индукции е2, взятой с противоположным знаком. Поэтому
, выражения (5) следует, что
U2 п2
то отношение называется коэффициентом трансформации К :
ри К > 1 трансформатор понижающий, при К < 1 - повышающий.
При подключении нагрузки к концам вторичной катушки во вто-
ичной цепи возникает переменный ток. Мощность тока в первичной и
торичной цепях, если пренебречь потерями, одинакова. Поэтому увели-
ение напряжения на выходе повышающего трансформатора в К раз
опровождается уменьшением силы тока во вторичной катушке в К раз.
рансформаторы для преобразования переменных токов больших мош-
остей обладают высоким КПД, достигающим 98 - 99,5 %. Снижение
ТТД трансформатора обусловлено потерями энергии на нагревание про-
одов его обмоток и стального сердечника. Сердечник нагревается в ре -
ультате перемагничивания и возникновения в нем вихревых индукни-
1нных токов. Для уменьшения вихревых токов сердечники трансформа-
торов обычно изготавливают из тонких стальных листов, изолированных
ipyг от друга.
Это приводит к значительному увеличению электрического сопро-
тивления сердечника и уменьшению потерь на его нагревание вихревы-
ми токами.
Глава 9. МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
9.1. Общие сведения
Волны представляют собой процесс распространения в пространст-
ве с течением времени какого-либо возмущения материальной среды или
физического поля. Волны бывают самой разнообразной природы: в зави-
симости от того, что колеблется и где распространяется, различают зву-
ковые волны в упругой среде, волны на поверхности волны, электромаг-
нитные волны в вакууме или в веществе и т.п. Несмотря на различную
физическую природу, волны любого типа, как и колебания, имеют очень
много общего и подчиняются аналогичным закономерностям.
По физической природе различают механические волны (упругие, зву-
ковые, волны на поверхности жидкости), электромагнитные волны в волно-
водах, в различных средах (свет, радиоволны, рентгеновское излучение).
По ориентации возмущений относительно направлений распро-
странения различают продольные волны (звуковые волны в газе, где
смещения частиц происходят вдоль направления распространения (рис.
9.1а) и поперечные волны (волны в струне, где частицы смещаются пер-
пендикулярно направлению распространения (рис. 9.16).
WVWVW с)
Рис. 9.1
По характеру зависимости возмущения от времени в фиксирован-
ной точке (по форме) различают одиночные волны или импульсы (рис.
9.1в) - короткие возмущения, не имеющие регулярного характера; волно-
вые пакеты (рис. 9.1г) - ограниченные совокупности регулярно повто-
ряющихся возмущений; цуги волн (рис. 9.Id) - ограниченные возмуще-
ния синусоидальной формы.
Важное значение для теории волновых процессов имеет представ-
ление о гармонической или монохроматической волне - бесконечно про-
тяженной волне с синусоидальной зависимостью возмущения от коорди-
нат и времени (рис. 9.1е).
280
S' Упругие волны - механические возмущения (деформации), распро-
| страняющиеся в упругой среде. Источники волн - тела, которые, воздей-
| ствуя на среду, вызывают эти возмущения.
| Упругая волна называется гармонической (т.е. синусоидальной), ес-
I ли соответствующие ей колебания среды являются гармоническими.
J Звуковые (акустические) волны - упругие волны малой интенсивно-
| сти. Звуки воспринимаются ухом человека, если их частота лежит в ин-
I тервале от 20 Гц до 20 кГц. Не воспринимаемые на слух колебания с час-
| тотой ниже 20 Гц называют инфразвуком, а выше 20 кГц - ультразвуком.
I Бегущие волны - волны, переносящие энергию в пространстве.
I В зависимости от формы волновой поверхности волны бывают
। плоские, сферические, цилиндрические.
I Однородная среда - среда, физические свойства которой не
I изменяются от точки к точке.
I Изотропная среда - среда, физические свойства которой
| одинаковы во всех направлениях.
| Анизотропная среда - среда, физические свойства которой
г различны в различных направлениях.
Е Среды однородные и изотропные в отношении одних физических
I свойств могут быть не изотропными в отношении других свойств. Напри-
I мер, монокристалл, однородный по своим упругим свойствам, оптически
’ неоднородный для рентгеновских лучей; кристаллы с кубической решеткой
! оптически изотропны, а в отношении упругих свойств они анизотропны.
[ Фронт волны (волновой фронт) - геометрическое место точек,
до которых доходят колебания к моменту времени t.
Волновая поверхность - геометрическое место точек, ko-
i' леблющихся в одинаковой фазе.
Волновых поверхностей существует бесконечное множество (они
! неподвижны), а волновой фронт в каждый момент времени один (он все
время перемещается).
9.2. Уравнения плоской бегущей волны
Записать уравнение волны - это значит записать для каждой точки
среды закон изменения смещения £, как функцию времени. В общем
виде закон £, = f{t,x, y,z) представляет собой функцию времени и трех
пространственных координат. Временная зависимость определяется ха-
рактером колебаний источника волны.
Мы остановимся на частном случае синусоидальной волны, у которой
смещение £, частиц зависит лишь от одной координаты х. Это означает,
что волна распространяется вдоль оси х, а все точки среды, находящиеся в
281
одной плоскости х = const (рис. 9.2 а), имеют в данный момент времени
одинаковое смещение от положения равновесия. В случае продольной вол-
ны плоскость (у, г) целиком смещается по оси х в ту или иную сторону на
расстояние . В случае же поперечной волны происходит смещение плос-
кости {у,г) в направлении, перпендикулярном оси х.
Волны такого типа называются плоскими', для них смещение
в общем виде представляет собой функцию двух переменных:
t и х. Следует отметить, что в однородной среде (шнур, струна) волно-
вой процесс также описывается функцией двух переменных t и х, если
ось х направить вдоль шнура. Одна и та же формула ^=f(t,x) описыва-
ет и плоские волны, и волны в однородной среде.
Возьмем шнур и внешним воздействием заставим точку О (рис.
9.25) колебаться вдоль направления , которое либо перпендикулярно
оси х, либо параллельно ей, по закону
= sin cot.
В результате по шнуру побежит волна.
Н Поперечная
волна
___ Продольная
—- волна
х - const______
X
Плоскость
одинаковой
фазы
(t=0) (t-x)
Рис. 9.2
Спустя некоторое время t = x/v волновой процесс достигнет точки
с координатой х и вовлечет ее в колебательное движение.
Если пренебречь затуханием, то амплитуда колебаний точки х бу-
дет такой же, как и точки О. Запишем математически колебание этой
точки х. Очевидно, что в данный момент времени t точка х будет
иметь такое же смещение и такое же направление движения, какие
имела точка О в более ранний момент t' = t-. Поэтому закон коле-
V
баний смещения точки х запишется так:
^ = q0smcot-- . (1)
k v J
282
(2)
I Полученное соотношение и есть уравнение синусоидальной одномерной
|(или плоской) волны, бегущей в сторону положительных значений коорди-
I наты х. Уравнение волны, бегущей в сторону отрицательных х, имеет вид
I I X ।
Г £ = sin co £ + — .
I \ v)
[ Исследуем уравнение (1). Если принять t = t0 фиксированным, то
t формула (1) отображает мгновенную картину смещений от положений
[ равновесия всех точек шнура, до которых дошел волновой процесс. Гра-
I • ( х')
фик функции sin со t0---------имеет вид синусоиды (рис. 9.1е).
г V v J
f' Для поперечных волн этот график обозначает и действительное
j расположение частиц в пространстве. Оно, как видим, характеризуется
) гребнями и впадинами. В следующий момент времени (t0 + А£) гребни
и впадины сместятся в сторону положительных х. Происходит непре-
I рывное движение синусоиды вправо (рис. 9.3а).
Рис. 9.3
и в какую
сместилась
частица от
равновесного
I Для продольных
I волн график (рис.
I 9.36) не соответствует
I действительному по-
I ложению в простран-
I стве частиц шнура: он
I показывает только, на
I сколько
| сторону
I каждая
I своего
г положения в данный
I момент времени. Так,
I из графика, приве-
| денного на рисунке
’ 9.36, видно, что точка
: А сместилась на
. расстояние влево, а точка В - на S,2 вправо. Действительное положение
этих точек на шнуре показано на рисунке точками А' и В' соответственно.
В результате смещений точек в шнуре образуются сжатия и растя-
жения, которые так же, как и гребни и впадины, распространяются вдоль
шнура в сторону положительных значений х.
283
(3)
Положим в формуле (1) фиксированное значение х = х0 , тогда
^ = <^0 sinсо| t- — |.
\ v )
Отсюда видно, что точка с координатой х0 колеблется около своего
положения равновесия по синусоидальному закону, но колебания ее от-
стают по фазе от колебаний начальной точки О на cp=(oxo/i>.
Уравнение бегущей волны (1) может иметь и следующие виды:
с t • Г * ® с f . 2л: Л
5, = ^smo) t----= ^osin cot-----x = ^osin ----------x =
< иJ v J < vT J
-ft 2n
= ^osin ---------x .
\ )
m /- 2л ,
Учитывая, что X = vl , и введя обозначение — = — = к, получаем
v X
£, = £,osin(®t-fex).
Величину /г=2л/Х называют волновым числом, оно показывает, сколько
длин волн укладывается на отрезке длиною 2л метров, или на какой
угол изменится фаза колебания, если переместится на один метр в сторо-
ну распространения волн.
Запишем формулы для колебаний смещений двух фиксированных
точек волны с координатами х{ и х2.
t t I + 2л |
С, = С,о Sin cot-Xj ,
\ X )
£,2 =^osin ®t-^x2 |.
\ J
Разность фаз колебаний этих точек
. f 2я W 2к А 2л(х, - х,)
Аф= cot------х. — cot------х, =—— ---------—.
I k ) I X 2J X
Она зависит от взаимного расположения точек. В частности, если
х2 - х, = X , Аф = 2л.А это значит, что точки колеблются в одной фа-
зе. Отсюда следует более общее определение длины волны: длина волны
есть наименьшее расстояние между двумя точками, колеблющимися в
одинаковой фазе. Подчеркиваем: наименьшее, так как в одинаковой фа-
зе колеблются все точки, удовлетворяющие условию
284
[ x2-X] =nX (zi = l,2,...).
Приведенное ранее определение длины волны (расстояние между сосед-
ними гребнями) является частным случаем общего определения.
9.3. Фазовая скорость
Фазовая скорость - скорость распространения синусоидальных
=волн. Она равна скорости перемещения в пространстве точек поверхно-
сти, соответствующей любому фиксированному значению фазы. Для
плоской волны из условия cot - kx + а = const следует
dx со
0 =— = —,
dt k
где co - циклическая частота, k - волновое число.
Фазовая скорость волны зависит от свойств среды, в которой она
распространяется.
Скорость распространения поперечных волн
вдоль натянутой струны
v=y[F/pS ,
где F - сила натяжения струны, р - плотность материала струны, S -
площадь ее поперечного сечения.
Скорость распространения поперечных (сдвиговых) волн
в изотропном твердом теле
v=^G/p,
где G - модуль сдвига среды, р - ее плотность.
Скорость распространения продольных упругих волн
в тонком стержне
v=yjE/p,
где Е - модуль Юнга материала стержня, р - плотность материала стержня.
Скорость распространения продольных (звуковых) волн:
в жидкости и газе
v=jk/p,
где k - модуль объемной упругости среды, р - плотность невозмущен-
ной среды;
в идеальном газе
IK,,
V Р V м
где у - отношение теплоемкости газа при постоянном давлении к его
теплоемкости при постоянном объеме, р0 - среднее давление газа, R -
универсальная газовая постоянная, М - молярная масса газа;
285
в воздухе
v = 20,1л/Т м/с ,
где Т - термодинамическая температура (измеренная по шкале Кельвина).
9.4. Энергия упругой волны
Энергия волны в упругой среде состоит из кинетической энергии со-
вершающих колебания частиц и потенциальной энергии упругой дефор-
мации. Кинетическая энергия, заключенная в малом объеме А У среды,
AWK =-f—'I АУ,
к 2{dt)
где рАУ - масса элементарного объема, dtjdt - скорость его движения.
Потенциальная энергия этого объема
2 / \2
ЛГ.
2
где З^/Зх - деформация, v - фазовая скорость волны.
Полная энергия объема АУ
AW = —р
2
\ 2 z \ У
dt) у dx )
AV.
Плотность энергии упругой волны
AW 1
---= тп = —р
АУ 2
— = -£,отп sin(cot - kx + а);
dt
= £,0/?sin(®t - kx + а),
поскольку k2v2 = со2, то плотность энергии, возникающей в упругой
среде при распространении в ней плоской волны,
тл = р^о®2 sin2 (at - kx + а).
Среднее по времени значение плотности энергии в данной точке среды
нЦр^о®2,
где р - плотность среды, £,0 - амплитуда волны, со - циклическая частота.
286
Среда, в которой распространяется упругая волна, обладает допол-
нительной механической энергией, доставляемой от источника колеба-
ний в различные точки среды этой волной. Волна переносит энергию,
j Поток энергии - количество энергии, переносимое волной через не-
которую поверхность в единицу времени.
Ф =-----.
dt
[ф]=Вт (ватт), сНтФ = Ь2МТ~2.
Плотность потока энергии j - величина, численно равная потоку
энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке, пер-
пендикулярно направлению, в котором переносится энергия. Направле-
ние вектора j совпадает с направлением переноса энергии.
/ = W,
где / - плотность потока энергии (вектор Умова), тп - плотность энер-
гии, и - вектор, модуль которого равен фазовой скорости.
Среднее значение вектора плотности потока энергии
где р - плотность среды, £,0 - амплитуда волны, со - циклическая час-
тота, v - фазовая скорость волны.
Интенсивность волны J в данной точке - среднее по времени зна-
чение плотности потока энергии, переносимой волной. Для плоской и
сферической синусоидальных волн
Интенсивность волны, распространяющейся в вязкой среде, убывает с
расстоянием по закону Бугера:
J = Joe~kx,
где k - коэффициент поглощения упругих волн, 1/й - расстояние, на
котором интенсивность волн уменьшается в е раз.
[&] = — , dimk = L~l.
м
Дисперсия волн - зависимость фазовой скорости гармонической
волны от частоты со (или от длины волны А).
287
Дисперсионное соотношение
k - fe(co) = —уЦ,
где X - волновое число, и((о) - фазовая скорость.
Среда, в которой наблюдается явление дисперсии, называется дис-
пергирующей средой.
9.5. Принцип суперпозиции и групповая скорость
Принцип суперпозиции волн: результирующее возмущение в какой-
либо точке среды при одновременном распространении в ней нескольких
волн равно сумме возмущений от каждой из этих волн.
Любую несинусоидальную волну можно заменить эквивалентной ей
системой синусоидальных волн - группой волн, или волновым пакетом.
Спектр частот - совокупность значений частот этих синусоидальных волн.
В недиспергирующей среде все синусоидальные волны, образую-
щие волновой пакет, имеют одинаковые фазовые скорости и. В диспер-
гирующей среде волновой пакет перемещается со скоростью, называе-
мой групповой. Это скорость перемещения центра пакета (максимальной
амплитуды).
Групповая скорость волны (пакета) - это скорость переноса энергии
этой волной.
Связь между групповой U=d(a/dk и фазовой v=(£>/k скоростями:
, dv
U = и-Х—,
dX
где X - длина волны.
В недиспергирующей среде du/dX=0 и групповая скорость совпа-
дает с фазовой.
Для световой волны в вакууме
[7 = р = с = 3-108 м/с.
9.6. Интерференция воли. Стоячие волны
Когерентные волны - волны, создающие колебания, обладающие в
каждой точке среды постоянной (не зависящей от времени) разностью
фаз. Источники когерентных волн - когерентные источники.
Интерференция - явление наложения волн, полученных от коге-
рентных источников. В результате интерференции колебания в одних
точках усиливаются, в других ослабляют друг друга.
288
Стоячая волна - волна, образующаяся в результате наложения двух
^бегущих синусоидальных волн, распространяющихся навстречу друг
'другу и имеющих одинаковые частоты и амплитуды.
Уравнение стоячей волны.
X ।
2^0 cos2n— coscot,
X )
где амплитуда стоячей волны
X
^ост = 2^0 cos 2л- = 2£,0 cosfcx.
Л
Амплитуда является периодической
функцией координаты X.
Точки, в которых kx = 0,л,..., ^о=0 -
узлы стоячей волны, а точки, в которых
^Ост =2^0’т,е' ампли‘
туда максимальна - пучности стоячей
волны (рис. 9.4).
Длина стоячей волны - расстояние между двумя узлами или двумя
пучностями
Хст=Х/2,
где X - длина бегущей волны.
При переходе через узел фаза колебаний изменяется скачками на л .
Точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе;
все точки, находящиеся между соседними узлами, колеблются синфазно
(в одинаковой фазе).
Скорость частиц в стоячей волне описывается уравнением
5S, f х
- 2^0 cos 2л— sin cot = -(2^0cocos/?x)sin®t.
St X J
Деформация среды
8 = — = -(2^0 — cos 2л— | cos cot = -(2^0/?cos/?x)coso>t.
дх < X X)
Энергия стоячей волны периодически (с частотой 2®) перекачивается
от узлов, где сосредоточена Wn, к пучностям, где сосредоточена WK, и
обратно. Стоячая волна энергию не переносит.
289
9.7. Колебания струны
В закрепленной в точках х = 0 и х = £ натянутой струне при воз-
буждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны. В
местах закрепления струны должны располагаться узлы (рис. 9.5).
Условие образования стоячей волны:
п=1
€=п(Х/2),
п-2
где I - длина струны, "к - длина волны,
п - целые числа.
п=3
Собственные частоты струны
Рис. 9.5
где v - фазовая скорость волны, определяемая линейной плотностью
струны, v = l>/2< - основная частота.
Колебания с собственными частотами - собственные колебания, или
гармоники.
Глава 10. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ волны
Различные виды механических волн, как поперечных, так и продоль-
ных, объединяет одно общее свойство: они могут распространяться только
в непрерывной среде, только в твердых телах, жидкостях или газах. В ва-
кууме, т.е. в пустоте, механические волны распространяться не могут.
Английский физик Джеймс Максвелл (1831-1879 гг.) на основании
изучения экспериментальных работ Фарадея по электричеству и магне-
тизму в 1864 г. высказал гипотезу о существовании особых волн, способ-
ных распространяться в вакууме. Эти волны Максвелл назвал электромаг-
нитными волнами.
Для обоснования своей гипотезы Максвелл предположил, что суще-
ствуют:
1) вихревое электрическое поле;
2) ток смещения.
10.1. Вихревое электрическое поле
Из закона Фарадея =-бФ/<1Г следует, что любое изменение сцеп-
ленного с контуром потока магнитной индукции приводит к возникнове-
нию электродвижущей силы индукции, и вследствие этого появляется
индукционный ток. Следовательно, возникновение ЭДС электромагнит-
ной индукции возможно и в неподвижном контуре, находящемся в пере-
менном магнитном поле. Однако ЭДС в любой цепи возникает только
тогда, когда в ней на носители тока действуют сторонние силы - силы
неэлектростатического происхождения. Поэтому возникает вопрос о
природе сторонних сил в данном случае.
Опыт показывает, что эти сторонние силы не связаны ни с тепловы-
ми, ни с химическими процессами в контуре; их возникновение также
нельзя объяснить силами Лоренца, так как они на неподвижные заряды
не действуют. Максвелл высказал гипотезу, что всякое переменное маг-
нитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое по-
ле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в
контуре. Согласно представлениям Максвелла, контур, в котором появ-
ляется ЭДС, играет второстепенную роль, являясь своего рода лишь
«прибором», обнаруживающим это поле.
Итак, по Максвеллу, изменяющееся во времени магнитное поле по-
рождает электрическое поле напряженностью Ев , циркуляция которого
($ЁВЫ=$ЕВ1Ы=-™, (1)
где ЕВ( - проекция вектора Ё на направление d7; частная производ-
ная сФ/ot учитывает зависимость потока магнитной индукции только
от времени.
291
Подставив в формулу (1) выражение Ф - j-BdS , получим
S
cfEBdK-cJ—BdS.
Так как контур и поверхность неподвижны, то операции дифферен-
цирования и интегрирования можно поменять местами. Следовательно,
(jEBdf=-(J^dS. (2)
L S
Циркуляция вектора напряженности электростатического поля (обо-
значим его Eq ) вдоль любого замкнутого контура равна нулю:
(jEed'£=<jEe)d^O. (3)
L L
Сравнивая выражения (1) и (3), видим, что между рассматриваемыми
полями (Ев и Eq ) имеется принципиальное различие: циркуляция век-
тора Ев в отличие от циркуляции вектора Eq не равна нулю. Следова-
тельно, электрическое поле Ев , возбуждаемое магнитным полем, как и
само магнитное поле, является вихревым.
10. 2. Ток смещения
Согласно Максвеллу, если всякое переменное магнитное поле воз-
буждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, то
должно существовать и обратное явление: всякое изменение электриче-
ского поля должно вызвать появление в окружающем пространстве вих-
ревого магнитного поля. Так как магнитное поле всегда связывается с
электрическим током, то Максвелл назвал переменное электрическое
поле, возбуждающее магнитное поле, током смещения, в отличие от тока
проводимости, обусловленного упорядоченным движением зарядов. Для
возникновения тока смещения, по Максвеллу, необходимо лишь сущест-
вование переменного электрического поля.
Рассмотрим цепь переменного тока, содержа-
щую конденсатор (рис. 10.1). Между обкладками за-
ряжающегося и разряжающегося конденсатора име-
ется переменное электрическое поле, поэтому, со-
гласно Максвеллу, через конденсатор «протекают»
токи смещения, причем в тех участках, где отсутст-
вуют проводники. Следовательно, так как между об-
кладками конденсатора имеется переменное электрическое поле (ток
смещения), между ними возбуждается и магнитное поле.
Рис. 10.1
292
Найдем количественную связь между изменяющимся электрическим
И вызываемым им магнитным полями. По Максвеллу, переменное элек-
тр и чес кое поле в конденсаторе в каждый момент времени создает такое
' магнитное поле, как если бы между обкладками конденсатора существовал
ток проводимости силой, равной силе тока в подводящих проводах.
Тогда можно утверждать, что плотности тока проводимости j и
смещения /см равны, т.е.
/см ~ J ‘
Плотность тока проводимости вблизи обкладок конденсатора
. _J _ 1 dQ _ d ( Q _ dx
}~ ~S~ ~dt’
где т - поверхностная плотность заряда, S - площадь обкладок кон-
денсатора.
Следовательно,
Если электрическое смещение в конденсаторе равно D , то поверх-
ностная плотность заряда на обкладках т = D.
Учитывая это, выражение (4) можно записать в виде
dD
— (5)
dt
где знак частной производной указывает на то, что магнитное поле опреде-
ляется только быстротой изменения электрического смещения во времени.
Рассмотрим, каково направление векторов j и /см. При зарядке кон-
денсатора (рис. 10.2а) через проводник, соединяющий обкладки, ток течет
от правой обкладки к левой; поле в конденсаторе усиливается, вектор D
растет со временем; следовательно, dD]dt>® , т.е. вектор dbjdt направ-
лен в ту же сторону, что и D . Из рисунка видно, что направления векто-
ров dbjdt и j совпадают. При разрядке конденсатора (рис. 10.26) через
проводник, соединяющий обкладки, ток течет от левой обкладки к правой;
поле в конденсаторе ослабляется, вектор D убывает со временем; следо-
вательно, dbjdt<Q , т.е. вектор db/dt направлен противоположно векто-
ру Ь . Однако вектор dbjdt направлен опять так же, как и вектор j .
293
Из приведенных примеров следует, что направление вектора j , а
следовательно, и усм совпадает с направлением вектора db/ot и выраже-
ние (5) можно записать в векторном виде:
' -dD
~ dt ’
Таким образом, при любом изменении электрического поля (в ва-
кууме или веществе) возникают ток смещения и связанное с ним магнит-
ное поле. Отметим еще раз, что ток смещения эквивалентен току прово-
димости только по способности создавать магнитное поле.
(6)
Рис. 10.2
В диэлектриках ток смещения состоит из двух слагаемых. Так как
D = е0Е + Р,
где Е - напряженность электростатического поля, а Р - поляризован-
ность, то плотность тока смещения
7 _ ЗЕ ЭР
Лм - ео dt + dt >
дЁ дР
где е0------плотность тока смещения в вакууме,------плотность тока
dt dt
поляризации - тока, обусловленного упорядоченным движением элек-
трических зарядов в диэлектрике (смещение зарядов в неполярных моле-
кулах или поворот диполей в полярных молекулах). Возбуждение маг-
нитного поля токами поляризации правомерно, так как токи поляризации
по своей природе не отличаются от токов проводимости. Однако то, что
, дЕ
и другая часть тока смещения (е0---), не связанная с движением заря-
би
дов, а обусловленная только изменением электрического поля во време-
ни, также возбуждает магнитное поле, является потенциально новым
294
утверждением Максвелла. Даже в вакууме всякое изменение во времени
электрического поля приводит к возникновению в окружающем про-
странстве магнитного поля.
Так как ток смещения возникает при любом изменении электриче-
ского поля, то он существует не только в вакууме или диэлектриках, но и
внутри проводников, по которым течет переменный ток. Однако в дан-
ном случае он пренебрежимо мал по сравнению с током проводимости.
Введение Максвеллом понятия тока смещения привело его к завер-
шению созданной им единой макроскопической теории электромагнит-
ного поля, позволившей с единой точки зрения не только объяснить
электрические и магнитные явления, но и предсказать новые, существо-
вание которых было впоследствии подтверждено.
Физическая сущность уравнений Максвелла:
1) электромагнитное поле можно разделить на электрическое и
магнитное лишь относительно;
2) изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле, и
изменяющееся электрическое поле порождает магнитное, причем эти
поля взаимосвязаны.
Из уравнений Максвелла следует, что электромагнитное поле спо-
собно существовать в отсутствие электрических зарядов и токов. При
этом изменение его состояния имеет волновой характер, т.е. является
электромагнитной волной. Электромагнитная волна в вакууме распро-
страняется со скоростью света с = 3 • 108 м/с . Этот вывод и теоретиче-
ское исследование свойств электромагнитных волн привели Максвелла к
созданию электромагнитной теории света, согласно которой свет пред-
ставляет собой также электромагнитные волны. Электромагнитные вол-
ны на опыте были получены Г. Герцем (1857-1894 гг.), доказавшим, что
законы их возбуждения и распространения полностью описываются
уравнениями Максвелла. Таким образом, теория Максвелла получила
блестящее экспериментальное подтверждение.
Согласно принципу относительности Эйнштейна, механические,
оптические и электромагнитные явления во всех инерциальных системах
отсчета протекают одинаково, т.е. описываются одинаковыми уравне-
ниями. Из этого принципа вытекает, что отдельное рассмотрение элек-
трического и магнитного полей имеет относительный смысл. Так, если
электрическое поле создается системой неподвижных зарядов, то эти
заряды, являясь неподвижными относительно одной инерциальной сис-
темы отсчета, движутся относительно другой и, следовательно, будут
порождать не только электрическое, но и магнитное поле. Аналогично,
неподвижный относительно одной инерциальной системы отсчета
295
проводник с постоянным током, возбуждая в каждой точке пространства
постоянное магнитное поле, движется относительно других инерциаль-
ных систем, а создаваемое им переменное магнитное поле возбуждает
вихревое электрическое поле.
Таким образом, теория Максвелла, ее экспериментальное подтвер-
ждение, а также принцип относительности Эйнштейна приводят к единой
теории электрических, магнитных и оптических явлений, базирующихся
на представлении об электромагнитном поле.
Уравнения Максвелла стоят в одном ряду с такими великими зако-
нами природы, как законы механики Ньютона, начала термодинамики.
В современной физике электромагнитное поле рассматривается как
особый вид материи, к которой применимы важнейшие понятия физики
- «энергия», «импульс», «масса».
Контрольные задания
Качественные задачи
1. Как будет меняться период колебаний ведерка с водой, подвешен-
ного на длинном шнуре, если из отверстия в его дне постепенно будет
вытекать вода?
2. По частоте звука, порожденного крыльями летящей пчелы, можно
определить, куда летит пчела - из улья за медом или обратно в улей с
медом. Каким образом?
3. Если ударить по одному концу длинной металлической трубы, то
стоящий у другого конца услышит двойной удар. Почему?
4. Случайно залетев в окно, летучая мышь часто садится людям на
голову. Почему?
5. В бутылку наливают воду. Струя воды производит при этом шум,
в котором можно уловить некоторый определенный тон. По мере напол-
нения бутылки водой тон звука становится выше. Объясните явление.
6. По звуку легко обнаружить в небе винтовой самолет и трудно -
реактивный. Почему?
7. Почему при проверке колес вагонов во время остановки поезда их
обстукивают молотком?
8. Почему нельзя осуществить радиосвязь между подводными лод-
ками, находящимися на некоторой глубине в океане?
9. На высоте более 3 км от поверхности Земли нельзя воспринять ни
одного звука, источник которого находится на поверхности Земли. По-
чему?
10. Почему башни телецентров строят очень высокими?
Ответы:
1. Для системы, описанной в задаче, хорошим приближением является мо-
дель математического маятника. Если ведро было заполнено целиком, то сначала
период будет увеличиваться, так как центр тяжести системы «ведро-вода» при
вытекании воды сначала будет понижаться и вследствие этого будет расти длина
маятника. Затем будет происходить уменьшение периода вследствие повышения
положения центра тяжести системы «ведро-вода». Когда вода выльется целиком,
период колебаний станет равен первоначальному, так как восстановится перво-
начальная длина.
2. Нагруженная медом пчела при полете издает звук более низкой частоты.
3. Первое ощущение удара обусловлено звуковой волной, распро-
странившейся по трубе. Второе - звуковой волной, распространившейся
по воздуху.
297
4. Летучая мышь для обнаружения преград издает, а затем улавливает отра-
женный от преграды ультразвук. Волосы человека сильно поглотают ультразву-
ковые волны, поэтому мышь не замечает преграды.
5. Полость бутылки служит резонатором, выделяющим из шума тон опреде-
ленной частоты. По мере наполнения бутылки длина резонатора уменьшается,
поэтому рас тет высота тона.
6. Скорость реактивного самолета близка к скорости звука или превосходит
ес. Поэтому мы видим самолет не там, откуда слышим производимый его двига-
телем шум, а совершенно в другом месте (впереди).
7. Удар молотка по колесу вызывает колебание колеса, при этом издается
звук. Целое колесо и колесо с трещиной издают различные звуки, это и исполь-
зуется при осмотре.
8. Морская вода как проводник поглощает радиоволны.
9. Звуковые волны с Земли не распространяются па высоту более, чем на
2,2-5 км. Переходя в воздух меньшей плотности, они преломляются и возвра-
щаются снова на Землю. Причина состоит в том, что с уменьшением плотности
воздуха увеличивается скорость распространения звуковых волн и, следователь-
но, уменьшается их коэффициент преломления. Другими словами, мы имеем
здесь эффект, аналогичный эффекту полного внутреннего отражения в оптике.
10. Телецентры работают на ультракоротких волнах (?v< 10 м). Эти волны
не испытывают дифракции на холмах, оврагах и т.д., поэтому приемная антенна
телевизора и передающая антенна телецентра должны быть в зоне прямой види-
мости.
Примеры решения задач
1. Под действием внешней вертикальной силы Fx = Facos(ot тело,
подвешенное на пружинке, совершает установившиеся вынужденные
колебания по закону х = acos(cnt-<р). Найти работу Аг силы F за
период колебания.
Решение. Элементарная работа силы за период определяется выражением
dA = Fxdx, (1)
где
dx = —<zcosin(cDi — cp)dt. (2)
Подставляя (2) в (1), получаем
dA = -(j;icosfi)f)a(Osin(cot-q))di.
Работа за период
г
Ат = -aaF0 |cos(o<sin(o>i-<p)dt.
О
Используя известное тригонометрическое соотношение, получим
298
т
А^, =~a®F0 j[sin(2®t-<p) + sin(-<p)] dt .
О
Интеграл от первого слагаемого за период равен нулю. В результате
. a<oF„T sin ср _ .
А’ - —2-------- = лаЛ>sln Ф
Ответ: А? = пар, sin qi.
2. В сеть переменного тока с действующим
напряжением С/.ф = 220 В и частотой v = 50 Гц
включен контур, состоящий из резистора сопро-
тивлением R = 100 Ом, конденсатора емкостью
ё
С = 35,4 мкФ и катушки индуктивностью L = 0,7 Гн (см. рис.). Написать
уравнения зависимости от времени напряжения U(t) и силы тока I(t).
Найти падение напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке. Опре-
делить частоту переменного тока, при которой в данной цепи наступит
резонанс, и мощность, потребляемую контуром.
Решение. В задаче идет речь о вынужденных незатухающих электромаг-
нитных колебаниях силы тока, вызванных периодически изменяющимся внеш-
ним напряжением U . В подобных случаях следует записать уравнения U(t) и
Z(t) в общем виде. Анализ этих уравнений покажет, какие величины не заданы в
условии задачи и, следовательно, какие величины нужно искать, используя вели-
чины заданные.
На рис. изображена соответствующая условию задачи цепь переменного тока,
в которой колебания силы тока I и внешнего напряжения U происходят по сину-
соидальному закону с одинаковой круговой частотой о) и сдвигом по фазе ср .
1 = /Osin(ot, {7 = {7osin((ot + (p). (1)
Из уравнения (1) следует, что основное внимание нужно сосредоточить на
определении амплитудного значения силы тока 10 и сдвига фазы <р, ибо извест-
ное амплитудное значение напряжения Ua и круговая частота со легко находят-
ся из данных условия задачи. Действительно,
Г,, =[/,фЛ, co = 2nv. (2)
Вспомним, что соотношение амплитудных значений 10 и Uo в цепи пере-
менного тока определяется законом Ома:
г=-^ , (3)
0 R_____
где полное сопротивление цепи переменного тока
(4)
299
Величина, слоящая под знаком радикала в скобках в выражении (4), есть
реактивное сопротивление цепи переменного тока, в котором индуктивное и ем-
костное сопротивления
Rt = coL , Rc = 1/<лС,. (5)
Решая совместно уравнения (2) - (5), находим
•*0 | —————- K'J)
ylR2 + (2nvL-l/2nLC)
Подставляя числовые значения в выражения (2) и (6), получим
[/„ = 311 В, [„ = 1,9 А, <о = 1ООлс'.
Сдвиг фаз между колебаниями силы тока и внешнего напряжения опреде-
ляется соотношением
R
coscp = ——, (7)
**полн
или с учетом выражений (4) и (5)
R
cos ср = - =0,61; (р = О,Зтт. (8)
+(a>L-//a>C)2
С учетом полученных числовых значений £„, [/„, го, <р уравнения (1)
принимают окончательный вид:
I = l,9sin(100nt), U = 31 lsin(1007tt + 0,Зл).
Следовательно, в заданной цепи напряжение опережает по фазе силу тока на
0,3л рад, или на 54° .
Расчет падений напряжения на различных элементах цепи переменного тока
принципиально ничем не отличается от подобного расчета в цепи постоянного тока.
Так как все элементы цепи соединены последовательно, то
[/й = [зф[[, UC = I^RC, UL = I*RL, (9)
гае Дф=-Го/'/2 .
С учетом последнего соотношения (9), а также формулы (5)
[/Я=Д£, и с=-£—, иг=№-.
я V2 с ЛгоС L 42
Подставляя в эти выражения данные из условия и найденные в решении за-
дачи числовые значения, получаем
[/Д = 134В, Uc=121 В, [/, =295 В.
Для нахождения частоты v„, при которой в цепи наступит резонанс,
вспомним, что последний сопровождается резким возрастанием амплитуды вы-
нужденных колебаний силы тока. Анализируя формулу (6), приходим к выводу,
что амплитуда силы тока 1а достигает наибольшего значения при наименьшем
значении полного сопротивления Rnom, т.е. при условии
300
2nv„L--------= 0, откуда v„ --------т= = 32 Гц.
2?tv0C 2njLC
Мощность, потребляемая контуром,
P = r^coscp = ^coscp. (10)
Подставляя в формулу (10) найденные значения Д, Uo, coscp, получим
Р = 180 Вт.
Интересное следствие вытекает из анализа формулы (10). Если подставить в
нее значение Un и costp из формул соответственно (3) и (7), то получим
р _ Д Р|«1.1цР _ А)Р _ р р
1 эф
Следовательно, потребляемая контуром мощность выделяется только на ак-
тивном сопротивлении. На индуктивном и емкостном сопротивлениях мощность
не выделяется. Этот вывод дает принципиальную возможность расчета мощно-
сти, которую должен потреблять контур, чтобы в нем поддерживались незату-
хающие колебания: потребляемая контуром мощность должна компенсировать
мощность, выделяемую на активной нагрузке.
Ответ'. 17 = 311 sin(1 OOTti-+ 0,3л); I = l,9sin(100nt); UB = 134 В;
Uc = 121 В; UL = 295 В; у0 = 32Гц; Р = 180Вт.
3. Плоская бегущая волна распространяется вдоль прямой со скоро-
стью и = 20 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях
т\ =12 м и г2 =15 м от источника волн, колеблются с разностью фаз
Л(р = 0,75 рад. Амплитуда колебаний источника волн А = 0,1 м. Опре-
делить, в какой момент времени после начала распространения волн
дальняя от источника волн точка будет иметь смещение х2 = 7,1 см. Ка-
ково смещение ближней к источнику волн точки в этот момент?
Решение. Ни на один из поставленных вопросов невозможно ответить до
тех пор, пока мы не напишем уравнение плоской волны:
( г I
х = A cos (1)1 t— . (1)
k v)
Тогда не трудно будет найти искомое время t. Для этого в уравнение (1)
положим х = х2 и г = г2. Затем, подставив в это же уравнение найденное значе-
ние t и полагая г = г,, найдем искомое значение х,.
Для реализации такого порядка решения нам следует вычислить не задан-
ную в условии круговую частоту го . Вспомним, что го = Itt/T , где Т - период
колебаний. Но период колебаний Т связан с заданной скоростью распростране-
ния волн соотношением v = >./Т, где X. - длина волны. Значит, Т = 'f-jv и
го = 2тщ/Х.. (2)
301
Возникшая проблема определения незаданной длины волны легко разре-
шима, если помнить о том, что точки, находящиеся друг от друга на любом рас-
стоянии Дг = г, - г,, колеблются с разностью фаз
2лДг 2л(г,-г)
д<р-----— _----z---- (3)
Подставляя найденное из формулы (3) значение к в формулу (2), находим
оДф , ,
га ----— = 5 л рал/с .
Подставляя заданные и найденные значения A, v, (о в уравнение (1), за-
пишем уравнение плоской волны в виде
x = 0,)cos5n \t~— I. (4)
k 207
Дальнейший ход решения уже известен. Полагая в уравнении (4)
х = хг =7,1-10 2 м и г = г2 = 15 м, находим
I = 0,8 с.
Подставляя в уравнение (4) найденное значение t и полагая г = т\ =12 м,
находим
х, = -0,1 м.
Ответ: t = 0,8 с; х,=-0,1 м.
4. Радиолокатор работает на волне л = 15 см и испускает импульсы с
частотой v„Mn =4 кГц. Длительность каждого импульса т = 2 мкс. Какова
наибольшая дальность обнаружения цели <Smax ? Сколько колебаний
содержится в одном импульсе? Какова частота электромагнитных колеба-
ний уюл в радиоволне?
Решение. Поскольку электромагнитные волны распространяются в одно-
родной среде равномерно, то наибольшую дальность обнаружения цели Smax
определим, воспользовавшись уравнением равномерного движения
= ct,
где t - время прохождения радиоволной расстояния STOX от радиолокатора до
цели.
Поскольку для прохождения обратного пути от цели до радиолокатора
электромагнитной волне потребуется столько же времени, то общее время
на прохождение двойного расстояния 28^ туда и обратно равно удвоенному
времени t.
t^ = It, отсюда t = t^/2 и Smax = cto6ui/2 .
302
Радиолокатор работает в импульсном режиме. Это значит, что он испускает
в течение времени т радиоволну, которая распространяется в течение времени
до цепи и обратно, после чего испускается следующий импульс.
Время между двумя последовательными импульсами, равное времени ,
равно частному от деления времени t испускания Химп импульсов на их коли-
чество:
t _ 1______1_
~ ~ N lt~ v
’ кип нмп/ ИМО
Тогда
Найдем число колебаний NKO1 в одном импульсе. Очевидно, что оно равно
частному от деления длительности всего импульса т на длительность одного
электромагнитного колебания, т.е. на его период Ттл.
N =х/Т .
КОЛ / кол
Период одного электромагнитного колебания Ттп можно найти, разделив
длину электромагнитной волны X , т.е. расстояние, на которое она распространя-
ется за время , равное одному периоду колебания в электромагнитной волне,
на скорость ее распространения с :
Тогда
Вторая искомая величина найдена. Осталось определить частоту электро-
магнитных колебаний vK(n . Эта величина - обратная периоду электромагнитных
колебаний TK01, т.е.
v = \/Т
кол / кол
Поскольку Тк01 = '/./с , то vral = с/Х..
Подставим числовые значения и произведем вычисления:
S,„„ = ——— = 3,7-104 м.
2-4-103
*°1' 0,15
Ответ-. = 3,7-104 м; ^=4-103; vXM = 2• 10’ Гц.
303
5. Однородный стержень положили на два быстро вращающихся
блока (см. рис. а). Известны расстояние (
между осями блоков и коэффициент трения
ц между стержнем и блоками. Показать, что
стержень будет совершать гармонические
колебания. Найти их период.
Решение. Согласно основному уравнению динамики
б) N, N,
mx~F\-F, -ЛГ2). (1)
Отсутствие вращения стержня означает,
что алгебраическая сумма моментов всех сил,
действующих на стержень, равна нулю (см.
рис. б). Относительно точки 0 (начала отсчета
координаты х)
(Я, - N2)-| + mgx = 0 .
Найденное отсюда (X,-N2) подставим в (1) и после сокращения на т
получим
х + ---- х = 0.
I f )
Это есть уравнение гармонического осциллятора с частотой <о() = ^3Mg/( и
периодом Т = n^2(/Mg .
Ответ-. Т = n^lt/Mg .
6. Найти период вертикальных колебаний груза массой //////
т в системе, изображенной на рисунке. Считать массу
блока М сосредоточенной в его оси. Пружина имеет жест-
кость k, нить нерастяжима.
Решение. Приравняем энергии системы в положении рав- ч____
новесия и в крайнем положении, когда скорость груза обращает-
ся в ноль.
Обозначив длину нерастянутой пружины через Zo, а длину FT7777
ее в положении равновесия через t, запишем
/г(^-С,)=Л^ + 2^. Ь
Пусть максимальное смещение оси блока вниз от положе- Lzl
ния равновесия равно хтах, тогда полная энергия системы в крайнем положении:
- Mgx^ - mg(2x^).
304
Обозначив скорость оси блока при прохождении равновесия через ит , най-
[ем полную энергию системы в этот момент:
Е —L°L + LMv2m + — m(2v )2;
для гармонических колебаний ит = хпмх<1)0;
kx2 Мх2к>2 „ 2
—=--------+ 2пгх а ,
2 2
отсюда
2л „ М + 4т
— = 2л.-------------
<оо V k
_ ,т, „ \М + 4т
Ответ: Г = 2л,------------
V k
7. Жестко соединенная конструкция
из легкого стержня и небольшого по раз-
; мерам шарика массой т может совер-
: шать колебания под действием двух пру-
жин жесткостью k и k2, двигаясь при
вращении без трения вокруг вертикальной
оси О по гладкой поверхности стола. Пру-
\ жины легкие, их оси горизонтальны, а
точки прикрепления их к стержню делят его на три равные части. В поло-
жении равновесия оси пружин перпендикулярны стержню, и пружина же-
сткостью растянута на величину Д . Определить период малых коле-
баний конструкции.
Решение. Обозначим через а длину стержня, L2 - удлинение второй пру-
жины в положении равновесия. Первая пружина действует на стержень с силой,
равной fejL,, а вторая - k2L2. При равновесии стержня суммарный момент этих
сил относительно оси О равен нулю:
а , откуда Ь2 = .
2k2
Направим ось х перпендикулярно равновесному положению стержня, со-
вместив начало координат с равновесным положением шарика, тогда деформа-
ция первой пружины равна L, + (х/3), а второй L2 + (2х/3) .
Потенциальная энергия этих пружин
_fe,(A+(x/3))2 k2(L2 + (2x/3))2
1 2 ’ 2 2
Кинетическая энергия шарика К = тп(х')2/2 .
305
Полная энергия пружин и шарика сохраняется при колебаниях:
П, + П2 + К = const.
Дифференцируя это уравнение, получим
mg
Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний величины х.
Период колебаний
г = 2л/-^- = бл1-^-.
\ fej + 4k2 'У + 4k,
„ ™ £ т
Ответ: Т = 6л -------
у k, + 4k2
8. К маятнику АВ с шариком массой М подвешен маятник ВС с
шариком массой т. Точка А совершает колебания в горизонтальном
положении с периодом Т . Найти длину нити ВС, если известно, что
нить АВ все время остается вертикальной (см. рис.).
-*--Решение. Так как нить АВ вертикальна, то центр тяже-
сти системы перемещается в горизонтальном направлении с
тем же периодом Т, что и точка А .
/~~\д Определим положение центра масс системы:
W М£
/ М Гй~(М + т)'
q где £ - искомая длина маятника ВС .
Т = 2л Б = 2л I, Ш
\g у(М + т)
g(M + m)T2 (M + m)g 2л
откуда длина £ = —-------‘—, или £ = ---г2—, так как со = — .
4лМ Ми2 Т
(M + m)g
Ответ: £ = ----А—.
9. Тонкий однородный брусок длиной £ скользит сначала по глад-
кому горизонтальному столу, а затем попадает на шероховатый участок с
коэффициентом трения ц. Брусок останавливается, выехав туда наполо-
вину. Найти начальную скорость бруска и время торможения.
Решение. Пусть в некоторый момент на шероховатой поверхности нахо-
дится часть бруска длиной х<1/2. Считая, что сила нормальной реакции рас-
пределена вдоль бруска равномерно, найдем силу трения:
= -\img(x/£)
306
ускорение бруска:
F х
К а-х" = — = -р^у,
К т
И)гда x’ + ^-x = Q.
Торможение начинается в момент, когда х = 0 и заканчивается при скоро-
Вги v = 0 , что соответствует ровно четверти периода «колебаний», следователь-
Ко, время торможения
| т=1г=12н=2Е 1±.
К 4 4 соо 2 у
№ Разумеется, настоящих колебаний не будет - брусок после остановки нику-
па не поедет.
Теперь запишем выражение для координаты х :
к f lug
К x = -sinj~-t (приО<£<т)
|й для скорости и :
I v = x’=i^'cos^''t (при0-<2т)
начальная скорость бруска и = v(t = 0) = ТТ/2 .
I Л 1 г—; л ГТ
к Ответ: v-—JugC ; т = —— .
Г 2V 2\ixg
| 10. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью
| С = 2,5-10~2 мкФ и катушки индуктивностью L = 101,5-Ю'2 Гн. Пласти-
|нам конденсатора сообщают заряд q0 = 2,5 мкКл. Найти значение силы
втока в контуре в тот момент, когда напряжение на пластинах конденса-
тора U = 70,7 В. Активным сопротивлением пренебречь.
* Решение. Пусть начальный момент времени соответствует максимальному
‘ заряду q0 на пластинах конденсатора. Тогда с учетом соотношения C = qa/U(1
’ можно утверждать, что при t = 0 напряжение на пластинах также будет иметь
\ максимальное значение, ибо С - const. В этом случае уравнение u(t) записыва-
ется в виде
U = U0COSO>£ , (1)
где и0 = до/С = 1ОО В.
Для написания уравнения /(<) вспомним, что, по определению, I = q'(t).
Но изменение заряда на пластинах со временем происходит по тому же закону,
что и u(t). Поэтому
g = Q0coso>«.
307
Находя производную </(t), получим
I = - qota sin cot = -Io sincot , (2)
где Io = q0(t> - амплитудное значение силы тока.
В уравнениях (1) и (2) со - круговая частота, связанная, как известно, с пе-
риодом колебаний соотношением со = Iti/T , где Т = 2n\iLC .
Тогда
о> = 1/\LC = 2л 103 рад/с ;
Д, = 15,7 -103 А.
Выражения (1) и (2) примут вид:
U = 100cos(2k 103t); Z =-15,7 10 3sin(2тг105«). (3)
Найдем момент времени t, соответствующий заданному в условии задачи
значению напряжения:
70,7 = 1 00cos(2tt-1031) , откуда £ = 12,510 5 с.
Подставив это значение времени в (2), найдем
1 = -11,1 А.
Ответ: I = -11,1 мА.
Задачи для самостоятельного решения
1. Амплитуда гармонических колебаний х0 = 50 мм, период Т = 4 с
и начальная фаза (р0 = л/4. Написать уравнение этого колебания. Опре-
делить смещение колеблющейся точки от положения равновесия при
t = 0 и при t = 1,5 с.
2. Груз, подвешенный на пружине жесткостью k = 1 кН/м, совершает
гармонические колебания с амплитудой х0 = 2 см. Найти кинетическую и
потенциальную энергию груза, если начальная фаза <р0 = л/3 рад.
3. Вагон массой 50 т подвешен на рессорах жесткостью k = 4 • 107 кг/с2.
Считая, что длина рельса € = 12,5 м, определить скорость вагона, при которой
он будет раскачиваться особенно сильно.
4. Точка участвует в двух колебаниях одинакового периода с одина-
ковыми начальными фазами. Амплитуды колебаний Д = 3 см и
Д = 4 см. Найти амплитуду результирующего колебания, если колеба-
ния совершаются в одном направлении; колебания взаимно перпендику-
лярны.
308
’ 5. Звуковые колебания, имеющие частоту v = 500 Гц и амплитуду
= 0,25 мм, распространяются в воздухе. Длина волны X = 70 см. Най-
' ти скорость распространения колебаний; максимальную скорость частиц
i воздуха.
6. Определить длину волны колебаний X, если расстояние между
; первой и четвертой пучностями стоячей волны Ах = 15 см.
7. Конденсатор емкостью С = 36 мкФ включен в сеть переменного
синусоидального тока стандартной частоты напряжением Uu = 220 В.
Написать уравнения 17 = 17(1) и I = l(t) для этой цепи. Активным со-
противлением пренебречь.
8. Уравнение изменения со временем разности потенциалов на об-
. кладках конденсатора в колебательном контуре дано в виде
U = 50cosl047t£ (В). Емкость конденсатора С = 9-10 7 Ф. Найти: период
колебаний; индуктивность контура; закон изменения во времени тока в
цепи; длину волны, соответствующую этому контуру.
9. При подаче на катушку постоянного напряжения U = 9 В в ней
была сила тока I = 0,5 А. При подаче такого же переменного напряже-
ния с частотой v = 50 Гц сила тока уменьшилась на 40%. Какова индук-
тивность катушки?
10. Понижающий трансформатор, в обмотках которого содержится со-
ответственно СО] = 1000 и (о2 = 100 витков, включен в сеть с напряжением
U = 220 В и питает нагрузку сопротивлением R = 2 Ом. Каково напряже-
ние на выходе трансформатора, если активное сопротивление вторичной
обмотки г = 0,2 Ом? Сопротивлением первичной обмотки пренебречь.
Ответы:
| 7Г 7t 1
1. x = 50sinl —1 + — I мм; x,=35,2 mm; x2=0. 2. EK =150 мДж;
.Еп=50мДж. З.о = 56 м/с. 4.7 см; 5 см. 5. v = 350 м/с;
i>r = 0,79 м/с . 6. А = 0,1 м. 7. U = 31 l(sinlOOnt),
I = 5,3sin| 1007tt + - |. 8. 7’ = 210"4 с; £ = 10,15 мГн;
I 2/
l = -157sin lO4TTt мА; А = 6-104 м. 9. L = 0,13 Гн. 10. С, =2 В.
РАЗДЕЛ V. ОПТИКА
Глава 1. оптика волновая
1.1. Общие сведения
Оптика - раздел физики, в котором рассматриваются закономерно-
сти излучения, поглощения и распространения света. Оптическое излу-
чение представляет собой электромагнитные волны, поэтому оптика -
часть общего учения об электромагнитном поле. По традиции оптику
принято подразделять на геометрическую и физическую.
Оптика геометрическая не рассматривает вопросов природы све-
та. Ее основными законами являются прямолинейное распространение
света, его отражение и преломление. На основании законов геометриче-
ской оптики рассчитываются и конструируются оптические приборы от
очковых линз до сложных объективов в огромных астрономических ин-
струментах.
Оптика физическая изучает проблемы, связанные с природой све-
та и световых явлений. Природа света двойственна. С одной стороны,
свет представляет собой электромагнитную волну, с другой - поток час-
тиц - фотонов. Дуализм света, в частности, отражается формулой Планка
е = hv, так как энергия фотона является квантовой характеристикой, а
частота колебаний - волновой. Гипотеза Планка о дискретности излуче-
ния положила начало квантовой физике.
Теоретические исследования Дж. Максвелла (1865 г.) показали, что
изменение электрического и магнитного полей не локализованы в про-
странстве, а распространяются со скоростью, равной скорости света. Это
теоретическое заключение позднее было подтверждено опытами Герца и
П.Н. Лебедева. Итак, по Максвеллу, свет - электромагнитная волна, рас-
пространяющаяся в среде со скоростью
v = -^=, (1)
д/ЕЦ
где с - скорость света в вакууме, и - скорость света в среде, имеющей
относительную диэлектрическую проницаемость 8 и относительную
магнитную проницаемость р.
По определению, показатель преломления среды
с I—
п = — = Jep.
v
Это соотношение связывает оптические, электрические и магнитные
характеристики вещества.
310
1.2. Электромагнитная природа света
Под светом в настоящее время понимают электромагнитное излуче-
ние,, воспринимаемое человеческим глазом. Длина волн воспринимаемого
электромагнитного излучения лежит в интервале от 0,38 до 0,76 мкм. В
физике часто называют светом и невидимые электромагнитные волны,
лежащие за пределами этого интервала: от 0,01 до 340 мкм. Это связано
с тем, что физические свойства этих электромагнитных волн близки к
свойствам световых волн.
В 1873 г. Дж. Максвелл сформулировал уравнения, устанавливаю-
щие в любой точке пространства и любой момент времени связь между
значениями напряженности Е электрического и индукцией В магнит-
ного полей, плотностью электрических токов j и зарядов.
Из теории Максвелла вытекало, что изменения электрического и
магнитного полей взаимосвязаны. На основе этой теории было сформу-
лировано важнейшее понятие в физике - электромагнитное поле. В урав-
нения Максвелла вошла скорость, с которой должны распространяться в
пространстве изменяющиеся электрическое и магнитное поля, т.е. элек-
тромагнитная волна. Эта скорость равна скорости света. Вот что об этом
сказал Максвелл: «Едва ли мы можем избежать заключения, что свет -
это поперечное волнообразное движение той же самой природы, которая
вызывает электрические и магнитные явления». Итак, на основании сво-
их теоретических исследований Максвелл сделал вывод: свет имеет
электромагнитную природу.
Экспериментальное подтверждение электромагнитной теории света
было получено в опытах Герца, показавшего, что электромагнитные вол-
ны, подобно свету на границе раздела двух сред, испытывают отражение
и преломление. Помимо этого, тождественность природы световых и
электромагнитных волн подтверждалась одинаковой скоростью их рас-
пространения.
Из уравнений Максвелла для электро-
магнитного поля получена формула, связы-
вающая скорость распространения света и
электромагнитных волн в веществе с его
электрическими и магнитными свойствами.
Амплитуды гармонических колебаний
частоты v (частота волны), совершаемых
векторами Е и В (рис. 1.1) распростра-
няющейся электромагнитной плоской мо-
нохроматической волны, описываются выражениями
311
Е = Eosin(a>Z + <р0) B = B(1sin(tt>/ + <p0), (2)
где Ео и Во - максимальные (амплитудные) значения векторов Е и В;
<р0 - начальная фаза.
Векторы Е и В всегда взаимно перпендикулярны и перпендику-
лярны направлению распространения волны.
Из рис. 1.1 видно, что векторы Е и В изменяются со временем по
гармоническому закону. Они одновременно достигают максимального и
минимального значений. За время, равное периоду колебаний Т , векто-
ры имеют максимальные значения в моменты времени Т/4 и ЗТ/4 и
нулевые значения в моменты времени О, Т/1 и Т .
Длиной волны X называют расстояние, которое электромагнитная
волна проходит за время, равное периоду Т , т.е. за время полного коле-
бания векторов Е и В :
л = сТ . (3)
Параметры, характеризующие электромагнитную волну, связаны
между собой соотношением
с = va. (4)
Понятие электромагнитной природы света не только объяснило на-
блюдаемые световые явления, но и позволило предсказать такое явление,
как давление света, которое экспериментально было обнаружено рус-
ским физиком П.Н. Лебедевым (1899). Это стало истинным триумфом
электромагнитной природы света.
Итак, свет - это электромагнитные волны, которые могут распро-
страняться как в среде, так и в вакууме.
1.3. Принцип Гюйгенса
Рассмотрим волновую теорию распространения света, предложен-
ную Гюйгенсом и развитую в дальнейшем Эйлером, Ломоносовым, Юн-
гом, Френелем.
Согласно этой теории свет распространяется вследствие волнового
движения особой среды - эфира, который наделен механическими свой-
ствами - упругостью и плотностью. Таким образом, волновая теория
рассматривала свет как волны в эфире, подобные звуковым в воздухе или
волнам на поверхности воды.
Для анализа механизма распространения света Гюйгенс предложил
простой и наглядный метод. Его называют принципом Гюйгенса:
312
Каждая точка среды, до которой доходит световое
возбуждение, является, в свою очередь, центром вто-
ричных волн.
Поверхность, огибающая в некоторый момент времени эти вторич-
ые волны, указывает положение фронта действительно распростра-
яющейся волны в этот момент времени.
Непрерывное геометрическое место точек среды, колеблющихся в
динаковой фазе, называют волновой поверхностью, а множество точек,
[О которых дошло колебание к заданному моменту времени, - фронтом
^олны. В зависимости от вида фронта волны различают плоские и сфери-
ческие волны.
Пусть в момент времени t фронт волны, распро-
страняющейся в однородной изотропной среде, занима-
ет положение S, (рис. 1.2). Каждую точку этого фронта
Волны в интервале времени от t до t + At можно рас-
:матривать как источник вторичных волн, представ-
ляющих
собой
сферы
радиуса
uAt
В момент времени
;,t + At поверхностью фронта волны S, станет огибаю-
Рис. 1.2
;щая эти вторичные волны.
1.4. Интерференция света. Принцип суперпозиции
Интерференция света - сложение двух (или нескольких) световых
.волн одинакового периода, сходящихся в одной точке в однородной и
(изотропной среде, в результате чего наблюдается увеличение или
(уменьшение амплитуды слагаемых волн.
Необходимым условием интерференции волн является их когерент-
I, ность, т.е. равенство их частот и постоянная во времени разность фаз.
‘ Когерентность волны можно получить от одного источника. Для этого
(нужно каким-нибудь образом «разделить» световую волну на две, а по-
еле прохождения различных путей снова соединить их. Тогда разность
г фаз будет определяться разностью хода волн; при постоянной разности
>. хода разность фаз тоже будет постоянной.
Для световых волн, так же, как и для любых других, справедлив
принцип суперпозиции. Так как свет имеет электромагнитную природу,
j то применение этого принципа означает, что результирующая напряжен-
( ность электрического (магнитного) поля двух световых волн, проходя-
, щая через одну точку, равна векторной сумме напряженностей электри-
; ческих (магнитных) полей каждой из волн в отдельности.
313
При сложении плоских когерентных волн амплитуда результирую-
щего колебания определяется формулой
А2 = А2 + Af + 2А1А2сов(ф2 -ф,), (5)
где (ф2 -ф|) - разность фаз слагаемых волн.
Анализируя выражение (5), делаем выводы:
1) если ф2 -ф| = 0; 2л; 4л;... 2/гл , где k = 0, 1, 2, 3,..., то
соя(ф2 -ф,) = 1 и А = А, + А,;
2) если ф2 -ф, = л; Зл; 5л; ... (2й-1)л , где k = 0, 1, 2, 3,..., то
соз(ф2 ~ ф| = -1 и А =|А, - А,|.
В первом случае происходит усиление колебания, во втором - ослаб-
ление. Если при этом А, = А2, то А^ = 2А, , А^ = 0 . В последнем слу-
чае происходит полное гашение света светом. Обычно эти условия форму-
лируются не через разность фаз (ф2 - ф,), а через разность хода волн 5 .
Пусть одна из интерферирующих волн проходит путь х, со скоро-
стью о, в среде с показателем преломления = c/v , а другая - путь х,
со скоростью и2 в среде с показателем преломления n2 = c/v2 .
При наложении волн разность фаз
Дф = ф2 -ф| =2лу t-— -2лу t- — =
I V2 J I V2 )
~ (x, х, 2л , x
= 2nv ——- =—(x.n, -x,n-,).
v2J cT{ 1 ' 2 2>
Учитывая, что длина волны в вакууме А. = сТ , а Д = х,п,, L2 = х2п2,
L=xn - оптическая длина пути, имеем
Д<р = ^(Д-Д),
А
где Д - L2 = 5 - оптическая разность хода;
тогда
а 2л, X .
Дф = —5 или 5 = —Дф.
X 2л
При наложении световых волн колебания усиливают друг друга в
тех точках, где оптическая разность хода равна четному числу полуволн
или целому числу волн:
§ = 2лу = Н. (6)
314
При наложении световых волн колебания ослабляют друг друга в
тех точках, для которых оптическая разность хода равна нечетному чис-
лу полуволн:
(7)
5 = (27Г + 1)|,
где й = 0,1, 2, 3,... - порядок интерференционного максимума или ми-
нимума.
Известно, что излучение светящегося тела складывается из волн,
испускаемых
отдельными атомами.
Продолжительность излучения от-
дельного атома составляет 10 8 с. За это время образуется цуг волн (по-
следовательность горбов
впадин) протяженностью
около
вакуума наибольшее значение разности хода
метра.
Для
3 = ct = 10 8 с-3-108 м/с = 3 м.
Одновременно энергию излучает большое количество атомов. Воз-
буждаемые ими цуги волн, накладываясь друг на друга, претерпевают
случайные изменения; так как волны не являются когерентными, то ус-
тойчивой картины не наблюдается. Для наблюдения устойчивой картины
интерференции необходима согласованность волн по времени и длине.
Согласованность, заключающуюся в том, что разность фаз (<р2 - ср])
двух колебаний остается неизменной с течением времени в данной точке
пространства, называют временной когерентностью.
Согласованность, заключающуюся в том, что разность фаз остается
постоянной в разных точках волновой поверхности, называют простран-
ственной когерентностью. Таким образом, естественные источники све-
та не когерентны.
Для получения когерентных световых III
пучков применяют различные искусственные \
приемы. Физическая сущность всех приборов s «ЛАТ?: jZwXaaXa)
(зеркала Френеля, бипризмы Френеля, щели *<^7/Г'A\\\\vr с
Юнга и т.д.) для наблюдения интерференции 1 \\\\\
света одна и та же: свет от одного источника
идет к экрану двумя различными путями. Рис. 1.3
Схема наблюдения интерференции света с помощью бипризмы Фре-
неля изображена на рис. 1.3. В этой схеме для раздвоения волны, идущей
от источника 8, использовано преломление света. Волна, идущая от ис-
точника 8 , раздваивается путем преломления в двух половинах бипризмы
и доходит до экрана двумя различными путями. На экране в области АВС
наблюдается интерференция двух систем когерентных волн, как бы исхо-
дящих из двух источников 8, и S,, которые являются мнимыми изобра-
жениями источника 8 .
315
Расчет интерференционной картины от двух когерентных
источников.
Рассмотрим два монохроматических когерентных источника S' и
S'2, находящихся на расстоянии d друг от друга (рис. 1.4). Расстояние
от источников до экрана d«l. Выберем на экране произвольную точку
М , положение которой определяется координатой х , отсчитываемой от
точки О, равноудаленной от когерентных источников S{ и S'2. В точке
S2 =Z2+ lx
О всегда наблюдается усиление света,
так как разность хода интерферирую-
щих волн равна нулю.
По мере удаления от центра экрана
(точка О) наблюдается чередование
темных и светлых полос. Чтобы выяс-
нить, что будет в точке М , определим
разность хода 5 от источников S[ и
S2. Из рис. 1.4 следует, что
, S-> — I + x + —
2 J ( 2J
откуда
S2 - S2 = (S2 + S, )(S2 - S,) = 2xd.
При вычислении были сделаны следующие допущения: так как
d «I, то S, + S2 - 21, a S, - S2 = 5 . Тогда
§=Т- (8)
Если для точки М 5 = 2k— , то в этой точке наблюдается усиление
света. Следовательно, любая точка экрана, имеющая координату хк и
удовлетворяющая условию
1 3. хк d
5 = 2fe—= -4— ,
2 I
откуда хк = k—k , где k = 0, 1, 2,..., будет иметь максимум интенсивности.
d
Если для точки М
5 = (М|
то в этой точке наблюдается га-
шение света. Следовательно, любая точка экрана, имеющая координату
хк и удовлетворяющая условию
316
= О, 1, 2,...), будет иметь минимум интенсивности.
j Зная координаты максимумов и минимумов, можно рассчитать ши-
рину интерференционной полосы, т.е. расстояние между соседними ми-
нимумами:
•т = х/( — (9)
а
Анализируя полученное выражение, можно сделать вывод, что ши-
рина Ах интерференционной полосы увеличивается с уменьшением рас-
стояния d между источниками. Для того чтобы интерференционная кар-
тина четко наблюдалась, необходимо соблюдение условия d«l. Если
^источник света монохроматический, то на экране будет ряд чередую-
щихся светлых и темных полос. При белом источнике света полосы на
экране будут цветными, за исключением центральной, где для лучей лю-
бой длины волны разность хода равна нулю. Соседние с центральной
белой полосой будут радужными, так как для каждой длины волны будет
'своя разность хода 5 . При этом красные лучи удалены от центральной
полосы на большее расстояние, чем фиолетовые, вследствие того, что
Интерференция в тонких пленках.
Наиболее типичным и распространенным примером интерференции
: света является интерференция в тонких пленках (мыльная пленка, тонкая
стеклянная пластинка и т.д.).
На рис. 1.5 представлена тонкая пленка толщиной d, на нее под уг-
i’ лом а к нормали падает параллельный пучок лучей. Рассмотрим резуль-
тат интерференции в лучах, отраженных от пленки.
Луч SA, попадая в точку А, частично
отражается (АЕ), частично преломляется
(АВ). Преломленный луч АВ испытывает
. отражение от нижней поверхности пленки в
: точке В и, преломляясь в точке С, выходит
из пленки (CD). Лучи АЕ и CD когерентны,
так как образованы от одного луча А.
Найдем оптическую разность хода лучей
АЕ и CD. Для этого из точки С проведем
нормаль СК к лучам АЕ и CD. Оптические
317
пути лучей АЕ и CD от нормали СК до места их наложения одинако-
вы. Так как луч АЕ проходит в первой среде (воздух), показатель пре-
ломления которой Tij = 1, его оптический путь АК, а луч CD проходит
во второй среде (пленка), показатель преломления которой п, его
оптический путь (АВ + ВС)п , то
5 = (АВ + ВС)п-АК .
Из рис. 1.5 следует, что АВ = ВС = d/cosy, a AX = ACsina, но
АС = 2dtgy , тогда АК = 2dtgysini = 2dtgysina .
Сделав эти тригонометрические преобразования, получим, что раз-
ность хода двух лучей
„ 2dn „ , 2dn 2sinysina
о =------2d tg у sin а =------------,
cos у cos у cos у
но sina = nsiny ; следовательно,
2dn (1 - sin2 у) ------—- /—------—
5=------------- = 2dncosy = 2dy/n~-n~sin2y =2dy/n -sin a . (10)
cosy
Для получения окончательной разности хода необходимо учесть,
что световые волны, отражаясь от оптически более плотной среды, т.е. с
большим показателем преломления, изменяют фазу на л, т.е. получают
дополнительную разность хода, равную А./2. Тогда выражение (10)
можно записать так:
5 = 2d^n1 -sin2 a +у . (11)
Разность хода зависит от толщины d пленки, показателя преломле-
ния п материала, угла падения а лучей и длины волны X падающего
света.
Итак, результат интерференции в отраженном свете в тонких плен-
ках определяется следующими условиями, выраженными через оптиче-
скую разность хода:
2k— = 2dVn2 - sin2 a + — (условие максимума), (12)
(2k + \)—~2d^n2 -sin2a + — (условие минимума). (13)
Анализируя выражения (12) и (13), приходим к выводам:
• если на тонкую пленку падает монохроматическое излучение, на-
пример А. = 6,7-1(Г7 м - красный цвет, то она в отраженном свете будет
либо красной (12), либо темной (13);
318
Рис. 1.6
г • если на тонкую пленку падает белый свет (сложный), то она будет
иметь окраску, соответствующую Л, для которой выполняется условие
(12).
Однородная окраска наблюдается в том случае, когда толщина
пленки всюду одинакова, в противном случае окраска различных мест
! окажется различной, и только части пленки, имеющие одинаковую тол-
щину, будут казаться окрашенными в один цвет.
Интерференционная картина наблюдается и в проходящем свете, но
так как в проходящем свете нет потери полуволны, то вся картина ин-
терференции изменится на обратную.
Полосы равной толщины. Кольца Ньютона.
Интерференционные полосы в воздушном клине
можно наблюдать, если положить одну плоскопарал-
лельную стеклянную пластину на другую, а под один
из концов верхней пластины положить небольшой
предмет таким образом, чтобы между ними образовал-
ся воздушный клин (рис. 1.6). В этом случае разность
хода лучей определяется формулами (12) и (13).
Допустим, что лучи 1, 2 попадают на клин нормально (sina = 0) и
показатель преломления воздуха п = 1, тогда
5 = 2</ + —.
2
На границе, где стеклянные пластины соприкасаются, d ® 0 и
5 = л/2, поэтому наблюдается темная полоса (минимум).
Первая светлая полоса (k = 1) возникает при 5 = Л, так как
XX X
5 = 2fe—= 2-1 •—= X, поэтому 5 = 2</ + —= Х. Отсюда получим, что в
этом месте толщина воздушного клина d = ’kl$. Именно такой воздуш-
ный промежуток проходит параллельно грани сопротивления, и светлая
полоса имеет вид прямой линии.
Вторая светлая полоса находится там, где толщина воздушного
, 3 л. , А.
клина достигает значения d = — , так как при этом о = 2 • 2— = 2a + —.
42 2 2
Эти полосы, каждой из которой соответствует своя вполне опреде-
ленная толщина клина или параллельной пластины, называют полосами
равной толщины.
Полосы равной толщины могут быть прямыми клиньями, концен-
трическими окружностями и иметь любую другую форму в зависимости
319
от расположения точек, соответствующих d = const. Угол клина должен
быть очень малым, иначе полосы равной толщины ложатся друг на друга
и их нельзя различить.
Полосы равной толщины можно получить, если положить плосковы-
пуклую линзу с большим радиусом
кривизны (7? = 10ч-100 м) на плоскопа-
раллельную пластинку (рис. 1.7t/). В
этом случае полосы равной толщины
имеют вид колец, которые называются
кольцами Ньютона (рис. 1.76).
Если на линзу падает монохроматический свет, то волны, отраженные
от верхней и нижней границ этой воздушной прослойки, интерферируют
между собой и их разность хода зависит от толщины этого воздушного
клина. В отраженном свете при этом наблюдается следующая картина: в
центре - черное пятно, окруженное чередующимися концентрическими
светлыми и темными интерференционными кольцами убывающей шири-
ны (рис. 1.76). В проходящем свете картина обратна: все светлые кольца
заменяются темными, а в центре - светлое пятно.
Использование интерференции в науке и технике.
Интерференция широко используется в различных областях науки и
техники. В настоящее время эталон длины установлен как определенное
число (избранных) длин световых волн. Используя интерференцию,
можно определить длины волн, показатели преломления, микроскопиче-
ские размеры тел, микронеровности на поверхности деталей.
Интерференция в рентгеновской области электромагнитных коле-
баний является основой рентгеноструктурного анализа кристаллических
решеток твердых растворов, сплавов и чистых веществ. Для этих целей
служат различные по конструкции приборы, называемые интерферомет-
рами. В каждом интерферометре измеряемый параметр является пере-
менной величиной, а все остальные - постоянными.
Интерферометр Майкельсона. Первый интерферометр был пред-
ложен А. Майкельсоном. Принцип его действия (рис. 1.8.) до сих пор
широко применяется в различных типах таких приборов.
Прибор состоит из дух зеркал Mt и М2 и полупрозрачной посереб-
ренной пластинки 7}. Свет от источника S падает на пластинку Pt под
углом 45° и разделяется на два луча, поэтому прибор относится к группе
двухлучевых. Пути лучей, как видно из рисунка, различны, вследствие
чего они приобретают определенную разность хода. Луч 1, отражаясь от
зеркала М,, частично проходит сквозь пластинку Д (луч Г). Луч 2,
320
отражаясь от зеркала М2, возвращается к пла-
стинке Pt, дважды проходя сквозь стеклянную
пластинку Р2, параллельную Р{. Пластинка Р2
отличается от пластинки Pt тем, что она не по-
крыта слоем серебра. Луч 2 частично отражается
от пластинки Р (луч 2'). Лучи Г и 2' когерент-
ны. Результат их интерференции зависит от опти-
ческой разности хода луча 1 от точки О до зерка-
ла и луча 2 от точки О до зеркала М2. Из-за
питии М2
Рис. 1.8
пластинки Р2 их оптические пути одинаковы, поэтому пластинку Р2 на-
зывают компенсатором. Таким образом, оптическая разность хода лучей Г
и 2' б = 2п, (Z, -12), где / и L. - расстояния от точки О до соответст-
вующих зеркал, п, - показатель преломления воздуха.
Если Z, = 12, то наблюдается максимум интерференции. Смещение
одного из зеркал на расстояние л/4 дает разность хода лучей ?./2, что
приводит к возникновению минимума. Таким образом, по изменению
интерференционной картины можно судить о малых перемещениях од-
ного из зеркал и использовать интерферометр для точных измерений
длины. Помещая вместо одного из зеркал какую-либо деталь, можно по
форме полос или колец контролировать качество ее обработки.
Просветленная оптика. Особое место в применении интерференции
занимает просветленная оптика. При прохождении света через линзы или
призмы от каждой из поверхностей световой поток частично отражается. В
сложных оптических системах, где много линз или призм, проходящий
световой поток уменьшается значительно; кроме того, появляются блики.
Так, было установлено, что в перископах подводных лодок отражается до
50% входящего в него света. Для устранения этих дефектов оптических
систем и применяется метод просветленной оптики. Сущность метода за-
ключается в том, что оптические поверхности покрываются тонкими
пленками, создающими условия для интерференционных явлений.
Обычно толщина просветляющей пленки составляет Х/4 падающе-
го света. Тогда отраженный свет имеет разность хода, равную л/2, что
соответствует условию минимума при интерференции. Таким образом
достигается четкое изображение, уничтожаются блики. Просветляющие
покрытия наносятся на поверхности линз и призм путем их химической
обработки (травление в кислоте), нанесения пленок фторидов при испа-
рении в вакууме или механически.
321
1.5. Дифракция света
Принцип Гюйгенса-Френеля.
Явления, вызванные нарушением целостности волновой поверхно-
сти в среде с резкими неоднородностями, называют дифракцией света.
Это явление свойственно всем волновым процессам. Дифракция прояв-
ляется в нарушении прямолинейности распространения световых волн. В
результате дифракции свет проникает в область геометрической тени.
Возможность наблюдения дифракции зависит от соотношения длины
волны и размеров неоднородностей. Явление дифракции объясняется с
помощью метода, предложенного Френелем, с применением принципа
Гюйгенса-Френеля.
Согласно принципу Гюйгенса, каждую точку фронта волны можно
рассматривать как самостоятельный источник колебаний. Френель до-
полнил этот принцип, введя представление о том, что волновое возму-
щение в любой точке пространства можно рассматривать как результат
интерференции вторичных волн от фиктивных источников, на которые
разбивается волновой фронт. Френель впервые высказал предположение
о том, что эти фиктивные источники когерентны и потому волны, иду-
щие от них, могут интерферировать в любой точке пространства, в ре-
зультате чего они могут гасить или усиливать друг друга. Каждый эле-
мент поверхности, которой достигла в данный момент волна, является
источником вторичных волн, огибающая которых будет волновой по-
верхностью в последующие моменты времени. Вторичные волны коге-
рентны, и возмущение в любой точке среды можно рассматривать как
результат интерференции вторичных волн.
Принцип Гюйгенса-Френеля позволяет рассмотреть многие случаи
дифракции света и дает результаты, вполне удовлетворительно согла-
сующиеся с опытом.
Пусть плоский фронт волны
W распространяется от точечного,
расположенного в бесконечности,
источника света и в некоторый мо-
мент находится на расстоянии МО
от точки наблюдения М (М -
произвольная точка, амплитуда А
световых колебаний (рис. 1.9) в ко-
торой требуется определить напря-
женность электрического поля).
322
Во всех точках фронта волны, согласно принципу Гюйгенса-Френе-ля,
возникают элементарные сферические волны, которые распространяются по
всем направлениям (вторичные волны) и через некоторое время достигают
точки М. Амплитуда колебаний в этой точке определяется векторной сум-
мой амплитуд всех вторичных волн. Для определения результирующей ам-
плитуды всех волн Френель предложил метод разбиения фронта волны на
кольцевые зоны, который впоследствии был назван методом зон Френеля.
Колебания всех точек фронта волны W происходят в одной фазе. В
это же время все точки фронта волны находятся от точки М на различ-
ных расстояниях.
Обозначим через г0 (МО) кратчайшее расстояние от точки М до
фронта волны. Затем разобьем фронт волны на зоны Френеля следую-
щим образом. Из точки М, увеличивая каждый раз радиус г0 на Х/2,
построим ряд сфер, которые в пересечении с фронтом волны W дадут
концентрические окружности радиусами ОД = pt, ОВ2 = р2, ОВ3 = р3,
..., ОВк =р4. В результате на фронте волны появятся кольцевые зоны,
которые называют зонами Френеля.
Определим площади этих зон. Для этого рассмотрим прямоуголь-
ные треугольники с основаниями, лежащими на плоскости W с общей
вершиной в точке М . Так как ОД = р,, то ОД2 = ВМг - ОМг, т.е.
2 С ХУ 2 , V
р| =l r°+IJ ~г° =Г°Х+Т’
Так как X « г0, то вторым членом правой части уравнения можно
пренебречь, следовательно
Р1 =Г(Л.
Аналогично для второй, третьей зон и т.д.:
р2 = (r0 + X)2 - г2 = 2r0X + X2 = 2г0Х ,
( xV х2
P3=^r0+3-J -г2=Зг0Х + 9- = Зг0Х,
для k -й зоны рк = ЙГ0Х .
Для оценки амплитуд колебаний определим площади зон.
Для 1-й зоны (круг радиусом р,): Д = лр2 = лг0Х ;
для 2-й зоны (кольцо): S2 = лр2 - лр2 = лг0Х ;
для 3-й зоны (кольцо): Д = лр2 - лр2 = лг0Х;
для k -й зоны: St = лг0Х .
323
Полученные площади зон Френеля говорят о том, что они равнове-
лики, а значит, содержат одинаковое количество когерентных источни-
ков света.
Очевидно, что колебания, возбуждаемые в точке М двумя сосед-
ними зонами, противоположны по фазе, так как разность хода соответст-
вующих лучей от этих зон до точки наблюдения М равна к/2, поэтому
при наложении эти колебания должны взаимно ослаблять друг друга.
Следовательно, амплитуда А результирующих колебаний, возбужден-
ных волнами, исходящими от всего фронта волны W , может быть пред-
ставлена в виде знакопеременного ряда:
А = АО-А1 + А2-А3 + А4-А5 + ...,
где A^, - амплитуда колебаний в точке М, возбуждаемых действием
центральной зоны Френеля; А, - амплитуда колебаний, возбуждаемых
действием первой зоны; А2, А3, А4 и т.д. - амплитуды колебаний сле-
дующих зон.
Здесь необходимо отметить, что зоны, достаточно удаленные от
центра О, посылают в точку М волны в противофазах практически с
одинакового расстояния, вследствие чего их действие полностью унич-
тожается. Это позволяет утверждать, что для определения эффекта в точ-
ке М следует учитывать лишь действия центральных зон. В выражении
(15) все амплитуды от четных зон входят с одним знаком, а от нечетных
- с другим. Запишем это уравнение в виде:
Можно считать, что результирующая амплитуда в точке М равна
среднему арифметическому амплитуд колебаний, создаваемых в этой
точке волнами, приходящими от точек соседних k -х зон:
д - Ам + At-i
* 2
При этом условии выражения, заключенные в скобки в формуле (14),
равны нулю, тогда
Таким образом, амплитуда результирующего колебания в точке М та-
кая, как если бы действовала только половина центральной зоны Френеля.
В силу приведенных выше рассуждений можно считать, что поло-
вина центральной зоны вместе с действием половины второй зоны в точ-
ке М компенсирует в ней действие первой зоны; половина второй и
324
четвертой компенсируют третью и т.д., т.е. нескомпенсированным оста-
ется лишь действие половины центральной зоны. Иными словами, коле-
бания, вызываемые в точке М волновой поверхностью W , имеют та-
кую же амплитуду, как если бы действовала только половина централь-
ной зоны. Поэтому и говорят, что свет распространяется как бы в узком
канале, площадь сечения которого равна 1/2 площади центральной зоны
Френеля.
Отсюда вытекает объяснение, во-первых, прямолинейности распро-
странения света и, во-вторых, ряда явлений дифракции, наблюдаемой в
сферических волнах, - дифракции Френеля, в плоских волнах - дифрак-
ции Фраунгофера.
Дифракция от малого круглого отверстия.
Характерные дифракционные явления можно наблюдать при про-
хождении света сквозь малое отверстие или близ малого экрана.
Рассмотрим случай, когда на
малое круглое отверстие радиу-
сом а попадает плоская волна
(длина волны /t) (рис. 1.10). Со-
гласно принципу Гюйгенса-Фре-
неля, плоский фронт волны, сов-
падающий в момент времени t с
круглым отверстием, можно рас-
сматривать как множество фик-
тивных источников, испускаю-
щих когерентные волны. Разобьем площадь отверстия на ряд кольцевых
зон Френеля. Для этого из точки М, лежащей на оси отверстия, после-
довательно проведем окружности: первую - радиусом г, = г0 +—, вторую
2Х Л
- г2 = г0 +— , третью - г3 = г0 + 5— и т.д.
Так как лучи, идущие от крайних точек зоны, имеют разность хода в
полволны, то колебания от этих двух точек приходят в точку М в про-
тивоположной фазе. Для каждой точки одной зоны найдется точка в со-
седней зоне с разностью хода в полволны. Следовательно, в точке М
излучение соседних зон сходится с разностью хода л/2. Поэтому, если
число зон, которые укладываются в отверстии, четное, то в точке М
будет темное пятно, а если нечетное, то - светлое. Если отверстие от-
крывает всего лишь одну зону или небольшое нечетное число зон, то
325
амплитуда колебаний, а значит, и интенсивность света в точке М боль-
ше, чем в случае отсутствия экрана с отверстием. Максимум интенсив-
ности соответствует размеру отверстия в одну зону. Число зон Френеля,
расположенных на одном и том же отверстии, зависит от расстояния г0.
Предположим, что радиус k-й зоны Френеля равен радиусу отверстия,
тогда
Pt = а2 = kr0X ,
откуда
Если а = const, X = const, то k = f(r0).
Поместим в точке М экран и будем удалять его от отверстия. То-
гда число зон уменьшается, становясь попеременно то четным, то нечет-
ным. В результате на экране в точке М будет то светлое, то темное пят-
но. Случай, когда на отверстии укладывается одна зона Френеля, соот-
ветствует расстоянию между экраном и отверстием, равному
Доказано, что, начиная с этого расстояния и с увеличением его, пу-
чок света становится относительно быстро расширяющимся вследствие
дифракции света.
Расчет амплитуды результирующих колебаний, пришедших в дру-
гие точки экрана, более сложен. Из соображений симметрии следует, что
интерференционная картина на экране вокруг центрального светлого
(или темного) пятна должна иметь вид чередующихся светлых и темных
колец с центрами в точке М. Интенсивность максимумов убывает при
удалении от точки М .
Если отверстие освещается не монохроматическим, а белым светом,
то кольца имеют радужную окраску, так как число зон Френеля зависит
от длины волны X.
Случай дифракции на круглом отверстии имеет большое практиче-
ское значение, так как все оправы линз и объективов обычно имеют
круглую форму.
Дифракция в параллельных лучах на щели.
Пусть на щель падает плоская монохроматическая световая волна.
За щелью поместим линзу, которая собирает лучи в своей фокальной
плоскости. В этом случае интерферируют между собой параллельные
лучи, распространяющиеся в данном направлении.
326
! В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля освещенную щель
можно рассматривать как множество точечных когерентных источников
>света, так что от каждой точки щели распространяются световые коге-
рентные лучи по всем направлениям.
Выберем сначала направление, парал-
лельное главной оптической оси линзы и
^совпадающее с первоначальным направле-
нием лучей (рис. 1.11). Линза соберет лучи
этого направления в своем главном фокусе
j F. Все эти лучи до точки схождения F
^проходят одинаковые оптические пути, по-
этому они придут в одинаковой фазе и уси-
дят друг друга. Следовательно, в результате
интерференции в главном фокусе линзы все-
гда наблюдается максимум света.
Рис. 1.11
Рассмотрим теперь лучи, идущие под углом <р к первоначальному
направлению
экрана.
Лучи
распространения.
Эти лучи линза
соберет в точке Р
когерентны, поэтому они будут интерферировать. Лучи до
прошли различные пути. Между лучами, идущими от крайних
точечных
источников,
возникает разность хода
8 = a-sin(p,
(15)
где a = АВ - ширина щели, АС - новый фронт волны для лучей, иду-
щих под углом <р к первоначальному направлению.
Начиная от плоскости АС лучи не наберут разности фаз, так как до
точки встречи их оптические пути одинаковы. Но до этой плоскости ме-
жду лучами существует разность фаз.
Воспользуемся методом зон Френеля. Для определения числа зон
Френеля поступим следующим образом: на отрезке ВС = 5 отложим
отрезки, равные половине длины волны, и через эти точки проведем
плоскости, параллельные АС . Эти плоскости разделяют щель на зоны
Френеля, которые в этом случае представляют собой полоски, парал-
лельные краям щели. Из такого построения ясно, что разность хода лу-
чей, идущих от двух соответствующих точек соседних зон Френеля, рав-
на Х/2. На щели укладывается k зон Френеля:
ВС _ asincp
Х/2~ Х/2 ’
или
asincp = k—.
327
Если k - четное число (k = 2т), то на щели укладывается четное
число зон Френеля, которые попарно гасят друг друга. В этом направле-
нии будут минимумы света. Следовательно, условие минимумов света:
asincp = 2гпу (т = 1, 2, 3 ...). (16)
Если k - нечетное число ( 2т +1), то в соответствующих направле-
ниях получим максимум света; следовательно, условие максимумов света:
asin(p = (2m + I)y. (17)
При неизменной ширине щели максимумы света различной длины
волны приходятся на различные углы. Если щель освещается белым све-
том, то нулевой (центральный) максимум (ф = 0) будет белым, так как в
этом направлении усиливаются все длины волн. По обе стороны от нуле-
вого максимума расположатся максимумы первого порядка. Они будут
цветными. Действительно, согласно формуле (16), красный свет
(X = 0,76 мкм) отклонится на больший угол, а фиолетовый (X = 0,4 мкм)
- на меньший. Между ними расположены остальные цвета спектра.
Дифракция в параллельных лучах на дифракционной решетке.
Одна щель дает слишком мало света, и дифракционные максимумы
недостаточно резки. Чтобы получить четкую дифракционную картину,
применяют ряд параллельных узких щелей, расположенных на равном
расстоянии друг от друга. Такое устройство называют дифракционной
1 _ с _ । решеткой. Она представляет собой стеклян-
а ( *| ную пластинку, на которой алмазным острием
у /gZcsinq) нанесен ряд параллельных штрихов с проме-
г / / жутками между ними. Хорошие дифракцион-
Z—-—у ные решетки содержат до 2000 штрихов на
у—1—<7 1 мм.
\ 1 У Пусть на решетку падает пучок парал-
\[/р_________ лельных лучей перпендикулярно плоскости
Рис 1 12 решетки. Рассмотрим дифракционную картину
на примере двух щелей (рис. 1.12).
При увеличении числа щелей дифракционная картина становится
более отчетливой. Разность хода крайних лучей от двух щелей
5 = csin<p, (18)
где с - постоянная решетки, равная сумме ширины а щели и ширины
Ъ непрозрачного промежутка между щелями, т.е. с = а + Ъ.
328
Для каждой из щелей, взятой в отдельности, соблюдается условие
максимума (17) или минимума (16). Так как все щели решетки одинако-
вы, то при выполнении условий минимума для одной щели оно выполня-
ется и для всех щелей. Следовательно, там, где был минимум для одной
щели, будет минимум и для решетки.
Для интерпретации дифракционного спектра от двух щелей и более
следует учитывать не только интерференцию лучей, пришедших в дан-
ную точку экрана, но и от других щелей.
Предположим, что свет распространяется под углом ср к нормально-
му распространению лучей, и первая, и вторая щели дают максимум осве-
щенности. Вероятно, суммарная освещенность в данной точке экрана Р
будет зависеть от того, насколько отличаются по фазе волны, пришедшие
от разных щелей. Если фазы волн отличаются на 2л, 4л, 6л и т.д., т.е.
разность хода от соседних щелей 5 = csincp равна целому числу А,, то
условие максимумов
csincp = feA,, (19)
где k = 0, 1, 2, 3,... - порядок дифракционного максимума.
Если пришедшие от разных щелей волны отличаются по фазе на л,
„ , „ . A. ЗА. 5А.
Зл , 5л и т.д., то разность хода лучей равна csincp =—, —, — и
csincp = fe?v + —,
т.е. выполняется условие минимумов.
Для наглядности воспользуемся векторной диаграммой сложения
амплитуд. Предположим, что амплитуда Д от первой щели равна ам-
плитуде А2 от второй щели, тогда результирующая амплитуда А в рас-
сматриваемой точке экрана А = А, + Д = 2Д или А = Д + А2 = 0.
Из приведенной векторной
диаграммы сложения амплитуд
(рис. 1.13) следует, что при на-
личии двух щелей (N = 2) меж-
ду двумя соседними максимума-
ми располагается (N-1), т.е.
один максимум.
csin<p=j csin<₽=|-'- csin<p=j?-
min min min
Рис. 1.13
Эти рассуждения можно продолжить и для 3, 4, 5, 6, ... щелей, при
этом следует иметь в виду, что при наличии N щелей между двумя со-
седними максимумами образуется (ДГ-1) минимумов, т.е. разность хода
329
от двух соседних щелей для условия максимумов равна целому числу X 5
а для минимумов - X/2, ЗХ/2, ... Дифракционный спектр от N щелей
представлен на рис. 1.14.
: Очевидно, чем больше щелей,
г\ Р\ г\ тем больше минимумов образуется
А /\ /Ц I \ А между соседними максимумами, тем
WWW IWllM W W более интенсивны максимумы. Если
I csin(p=z на единицу длины решетки приходит-
rsin<p=0 ся п щелей, то период решетки мож-
Рис. 1.14 но заменить на число щелей: с = 1/тг .
Из формулы (19) следует, что лучи различной длины волны имеют
максимумы в различных направлениях. Следовательно, если на решетку
падает белый свет, то она разложит его в спектр, обращенный к централь-
ной белой полосе фиолетовым концом.
Таким образом, дифракционная решетка является спектральным при-
бором и характеризуется угловой дисперсией и разрешающей способно-
стью. Угловая дисперсия D определяет угловую ширину спектра. Поло-
жение главных максимумов определяется формулой (19). Из этой форму-
лы следует, что синус угла отклонения sin ср = k/./c.
Обычно на практике углы ср (sin ср ~ ср ) невелики, поэтому это ус-
ловие можно представить в виде: ср = йХ/с.
Для двух различных длин волн
ЙХ. йХ
Ф|=----L, Ф2 =----
С с
откуда
D = ср2 -ср, = — (X, - X,). (20)
Из формулы (20) следует, что угол между двумя максимумами, со-
ответствующими двум различным длинам волн, пропорционален поряд-
ку спектра и обратно пропорционален постоянной решетки, т.е. угловая
дисперсия тем выше, чем больше порядок спектра и чем меньше посто-
янная решетки.
С увеличением числа щелей решетки главные дифференциальные
максимумы становятся уже (рис. 1.14). Разрешающая способность ди-
фракционной решетки R характеризует минимальную разность двух
монохроматических волн X, и Х2 равной интенсивности, которые мож-
но раздельно видеть в спектре:
R=—b—
X] ~ А
330
Согласно Ралею, две спектральные линии считаются разрешенны-
ми, если главный максимум одной длины волны попадает на ближайший
минимум второй линии. Это выполняется при условии
—-— = kN, или R = kN .
X) —
Таким образом, разрешающая способность решетки равна произве-
дению количества щелей на порядок спектра.
1.6. Поляризация света
Естественный и поляризованный свет.
Как было сказано выше, свет представляет собой электромагнитные
колебания с длиной волны (3,8 - 7,6) -КГ7 м, распространяющиеся в виде
электромагнитных волн. Электромагнитная волна характеризуется век-
тором напряженности электрического поля Ё и вектором индукции
магнитного поля В. Векторы Ё и В расположены во взаимно перпен-
дикулярных плоскостях и колеблются в одинаковых фазах (рис. 1.15).
Колебания этих векторов в изотропной среде происходят перпенди-
кулярно направлению распространения колебаний - к лучу. Поэтому
электромагнитные волны относятся к
типу поперечных волн. В большинстве
случаев воздействие световых волн,
таких, как физиологические и фотохи-
мические воздействия, люминесценция,
фотоэффект и т.д., определяется векто-
ром напряженности Ё электрического
поля, так как большинство явлений,
наблюдаемых в веществе под действи-
ем света, связаны с воздействием на
электроны.
Чтобы выяснить, какое из полей оказывает большее воздействие на
электроны вещества, рассмотрим отношение сил, действующих на элек-
трон со стороны электрического и магнитного полей:
Ft evB
где е - заряд электрона, и - скорость движения электрона, В - индук-
ция магнитного поля, Е - напряженность электрического поля. Отсюда
Ё ФЦрН
Ё Е ’
где В = мр0Я .
331
Отношение напряженностей магнитного и электрического полей
Я = Гёё^
тогда
= 14ф0 & = i^7eeoMMo = -V- >
Е, \ цц0 с/п
где ^/еСоЦЦц - величина, обратная скорости света в среде и характери-
зующаяся диэлектрической в и магнитной ц проницаемостью, - коэф-
фициентом преломления п . Тогда
с = -у2= = 3-1О8 м/с; - = 1 .
уЕоМо п х/ееоИИо
Так как с/п » v, то Ем » Еэ. Поэтому, говоря в дальнейшем о ко-
лебаниях в световом луче, мы всегда будем понимать под ним колебания
вектора Е , который называют световым вектором.
Электромагнитные волны, излучаемые светящимся телом, - резуль-
тат тех отдельных волн, которые испускаются его атомами (элементар-
ными вибраторами). Вследствие того, что атомы беспрерывно изменяют
свою пространственную ориентацию, изменяется с большой частотой и
направление колебаний вектора Е - результирующей световой волны.
Если в световой волне колебания вектора напряженности Е элек-
трического поля происходят по всевозможным направлениям в плоско-
сти, перпендикулярной направлению распространения (к лучу), то свет
называют естественным.
Если колебания вектора Е происходят только в одном направле-
нии, перпендикулярном лучу, то свет называют тоскополяризованным.
Плоскость, проходящая через направление колебаний вектора Е и че-
рез луч (на рис. 1.15 плоскость А ), называется плоскостью поляризации.
Плоскость, проходящая через луч и перпендикулярная направлению
колебаний вектора Е (плоскость D), в которой колеблется вектор В,
называется плоскостью колебаний.
Плоскость колебаний и плоскость поляризации всегда взаимно пер-
пендикулярны. Если колебания в каком-либо направлении ослаблены, то
свет называют частично поляризованным.
Прибор, превращающий естественный свет в поляризованный, на-
зывают поляризатором, а прибор, определяющий направление колеба-
ний (гасящий поляризованную волну), - анализатором.
332
Поляризация света при отражении и преломлении на границе
двух диэлектриков.
Один из способов получения поляризованного света состоит в ис-
пользовании явления отражения и преломления света на поверхности
диэлектрика. Пусть на черное зеркало (в этом зеркале устранено отраже-
ние от второй поверхности) падает естественный свет. Световые колеба-
ния, как и любое колебание, происходящее в одной плоскости, можно
разложить по правилу параллелограмма на два колебания, происходящие
в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Следовательно, естест-
венный луч света можно представить как луч, в котором колебания про-
исходят в двух взаимно перпендикулярных направлениях, например, в
плоскости чертежа, которую считаем совпадающей с плоскостью паде-
ния (условно отмечаются черточками) и с плоскостью перпендикулярной
(отмечаются точками). Эти два вида колебаний по-разному отражаются
от зеркала из диэлектрика.
Если угол а падения света на границу разде-
ла двух диэлектриков с показателями преломления
И) и п, не равен нулю, то отраженный и прелом-
ленный лучи оказываются частично поляризован-
ными (рис. 1.16).
В отраженном луче преобладают колебания,
перпендикулярные плоскости падения, в прелом-
ленном луче - колебания, параллельные плоскости
Рис. 1.16
падения. Степень по-
ляризации зависит от угла падения а. При угле падения, удовлетворяю-
щем условию
tg «поли =«21 (21)
(п21 - показатель преломления второй среды относительно первой), от-
раженный луч полностью поляризован, а преломленный луч поляризован
только частично.
Соотношение (21) названо законом Брюстера. Угол аполн называ-
ют углом Брюстера или углом полной поляризации.
Из закона Брюстера и закона преломления sina/sinp = пг, следует,
что при падении луча на диэлектрик под углом полной поляризации луч,
отраженный под этим углом, и луч преломленный взаимно перпендику-
лярны.
Выше рассмотрено явление преломления света, возникающее на
границе раздела двух сред. Если одна из этих сред анизотропна, т.е. если
физические свойства этой среды различны по различным направлениям,
то явление преломления происходит сложнее.
333
Двойное лучепреломление.
В природе существуют кристаллы (например, исландский шпат),
которые дают двойное преломление. Это явление объясняется следую-
щим образом.
Кристаллы тела анизотропные, их физические свойства, например,
скорость распространения световых колебаний, различны в различных
направлениях. Но особенностью кристалла является то, что в нем можно
выделить оптическую ось. Она характеризуется следующим: свойства
кристалла одинаковы во всех направлениях, которые составляют с опти-
ческой осью кристалла равные углы. Это свойство справедливо для лю-
бого угла. Необходимо отметить, что оптическая ось не есть определен-
ная линия, а только определенное направление. Плоскость, проходящая
через падающий луч и оптическую ось кристалла, называется главным
сечением кристалла.
Скорость распространения света в кристалле зависит от угла ср ме-
жду направлением колебаний и направлением главной оси кристалла:
и = 1>(<р).
Если луч света идет вдоль оптической оси кристалла, то все его ко-
лебания перпендикулярны оптической оси (ср = 90°) и, следовательно,
распространяются с одной и той же скоростью. Луч в этом случае не раз-
дваивается и двойного изображения нет.
Если луч света падает на кристалл под некоторым углом ср к его
оптической оси, то можно разложить колебания в падающем луче на два
взаимно перпендикулярных колебания: колебания, происходящие в
плоскости сечения, и колебания, происходящие в плоскости, перпенди-
кулярной главному сечению.
Колебания, перпендикулярные главному сечению кристалла (обо-
значаются точками), распространяются в кристалле с той же скоростью,
что и колебания луча, идущего вдоль оптической оси, так как при любом
угле падения они составляют с осью кристалла угол 90°.
Колебания, расположенные в плоскости главного сечения кристалла
(обозначаются черточками), распространяются с другой скоростью, так
как они составляют с осью кристалла другой угол, равный (90° - <р).
Так как скорость распространения колебаний в кристалле зависит от
угла <р, т.е. v = <Хф), то колебания, перпендикулярные главному сечению,
и колебания, лежащие в плоскости главного сечения, распространяются в
кристалле с различной скоростью и, следовательно, имеют различный
показатель преломления. Но при различном показателе преломления
различны и углы преломления. В этом случае луч света раздваивается и
334
дает двойное изображение. Лучи, колебания в которых перпендикулярны
плоскости главного сечения, называют обыкновенными', лучи, колебания
в которых расположены в плоскости главного сечения, - необыкновен-
ными.
Лучи обыкновенные и необыкновенные являются лучами поляризо-
ванными; обыкновенный луч поляризован в плоскости главного сечения,
а необыкновенный луч - в плоскости, перпендикулярной плоскости
главного сечения.
Призма Николя. Закон Малюса.
Устройства, служащие для получения поляризованного света, назы-
вают поляризационными призмами. Поляризационная призма может слу-
жить и анализатором. Поляризационную призму Николя часто называют
просто николь. Он представляет собой кристалл исландского шпата,
имеющий форму параллелепипеда (рис. 1.17).
Кристалл разрезается на-
клонно по плоскости BEDP на
две части, а затем склеивается
канадским бальзамом. Показатель
преломления канадского бальзама
1,549. Показатель преломления
исландского шпата для обыкно-
венных лучей пв =1,658 . Для не-
обыкновенных лучей показатель преломления исландского шпата разли-
чен для различных направлений: для лучей, идущих параллельно длин-
ным ребрам призмы, он равен пе = 1,515 .
Пусть естественный луч падает на нижнюю грань призмы (рис.
1.176) в плоскости главного сечения (плоскости чертежа) под таким уг-
лом, что преломленные лучи, раздвоившись, идут почти параллельно
продольным ребрам. Необыкновенный луч (е), дойдя до слоя канадского
бальзама, вступает в него как в тело более преломляющее и продолжает
путь, не отклоняясь, так как слой канадского бальзама очень тонок.
Обыкновенный же луч (о ) встречает слой бальзама как среду менее пре-
ломляющую, и так как угол падения его больше предельного угла, то
этот луч испытывает полное отражение и поглощается зачерненной гра-
нью призмы. Из призмы выходит один только необыкновенный луч, ко-
лебания в котором параллельны главному сечению. Направление коле-
баний показано на рисунке.
Если/на анализатор падает поляризованный луч, плоскость поляриза-
ции которого составляет угол а с плоскостью поляризации анализатора,
335
то интенсивность прошедшего через анализатор луча определяется зако-
ном Малюса:
I = Io cos2 а ,
где 10 - интенсивность луча, прошедшего анализатор, когда их плоско-
сти поляризации параллельны; I - интенсивность луча, выходящего из
анализатора, без учета потерь в анализаторе в результате поглощения и
рассеяния света.
Если а = п/2 , то будет полное затмение поля зрения.
1.7. Дисперсия света
Электронная теория дисперсии света.
В отношении электромагнитных волн термин «дисперсия» понима-
ется в смысле спектрального разложения сложного излучения (на его
составные части) по частотам или длинам волн. Причиной такого разложе-
ния является зависимость фазовой скорости от частоты или длины волны:
Ср = f(y) = Ф(М •
Показатель преломления среды определяется соотношением
n = clvcP и является функцией фазовой скорости vcp. Следовательно,
показатель преломления п есть функция частоты или длины волны.
Рассмотрим распространение света в прозрачной среде. Под дейст-
вием проходящей электромагнитной волны электроны среды начинают
совершать гармонические вынужденные колебания с частотой, равной
частоте вынуждающей силы. Колеблющиеся электроны излучают вто-
ричные волны той же частоты. Между первичной и вторичными волнами
образуется сдвиг фаз, вызванный запаздыванием колебаний электронов.
Результирующая волна (от первичной и вторичной волн) также сдвинута
по фазе по сравнению с первичной волной. Сдвиг фаз между первичной
и результирующей волнами зависит от частоты колебаний электромаг-
нитного поля. Результирующая волна отстает по фазе от проходящей
волны, когда v < v0, и опережает при v > v0, где v0 - собственная час-
тота осциллятора (электрона), v - частота вынуждающей силы. Этот
сдвиг фаз результирующей волны определяет фазовую скорость распро-
странения излучения в среде.
Используя закон Максвелла v^^c/Je^ и соотношение
Р
в = 1 + ае = 1 + —, где Р - вектор поляризации вещества, аг - диэлектри-
еЕ
ческая восприимчивость диэлектрика, имеем
п = > откуда п2 = (е/иср )2.
336
Так как в оптической области спектра для всех веществ ц «I , то
п = Ve .
Следовательно,
п2=1 + -^, (22)
е0Е
т.е. показатель преломления зависит от Р .
В рассматриваемом случае основное значение имеет электронная
поляризация, т.е. вынужденные колебания оптических электронов (слабо
связанных с ядром атома) под действием электрической составляющей
поля электромагнитной волны. Наведенный дипольный момент электро-
на, совершающего вынужденные колебания,
р-ех,
где е - заряд электрона, х - его смещение.
Вектор поляризации
Р = ndp = поех,
где п0 - концентрация атомов в диэлектрике.
Таким образом, выражение (22) можно переписать в виде:
п2=1+По£Х (23)
s0E
Для определения смещения х электрона под действием вынуж-
дающей силы F = Fosinwi = запишем уравнение вынужден-
ных колебаний, пренебрегая (для простоты) силой трения:
d X j € „ , /Ал,
—г- + ы;х =—£,osin©f, (24)
dr т
где еЕ„ - амплитудное значение силы, <э„ = k/m - собственная частота
колебаний электрона, т - масса электрона.
Решением уравнения (23) является
x = Asincot, (25)
где
еЕ
А= (26)
7П((Й0 —О )
Подставляя (25), (26) в (23), получаем
=1+ -°е- у---... (27)
е0/п - а» )
337
При наличии в веществе электронов с разными частотами ш0/ соб-
ственных колебаний показатель преломления
= (28)
£07П , ~ Ш
Так как частота колебаний связана с длиной волны соотношением
_ ~ с
ю = 2лг = 2л—,
X
то коэффициент преломления, фазовая скорость распросзранения света и
диэлектрическая проницаемость оказываются функциями длины волны.
Для вакуума п0 = 0; следовательно, на основании формулы (27) п = 1
для всех длин волн, т.е. дисперсия отсутствует. Фазовая скорость распро-
странения электромагнитных волн равна групповой (с = 3 • 108 i /п).
Нормальная и аномальная дисперсия.
Рассмотрим диэлектрик (например, стеклянную призму), в котором
имеются электроны с различными собственными частотами и соответст-
вующими им длинами волн. При пропускании через призму белого света
на экране возникает спектр. Наибольшую длину волны и наименьший
показатель преломления имеет красный свет, поэтому красные лучи от-
клоняются призмой на меньший угол. Наименьшая длина волны и боль-
ший коэффициент преломления у фиолетового цвета; следовательно,
фиолетовые лучи отклоняются призмой на больший угол.
Таким образом, с изменением длины волны происходит монотонное
возрастание коэффициента преломления, которое характеризует разло-
жение падающего на призму сложного света на монохроматические со-
ставляющие.
Количественной мерой дисперсии являет-
ся производная от показателя преломления по
длине волны, т.е. dn/dX. Зависимость показа-
теля преломления от длины волны с учетом сил
сопротивления представлена на рис. 1.18, где
Хо = 2лс/соо.
На участке кривой АВ dn/dX < 0. Этот
участок соответствует изменению длины волны от 0 до Хо (частоты - от
оо до соо) и, как следует из выражений (27), (28), n2 < 1. На этом участке
показатель преломления убывает с увеличением длины волны (область
нормальной дисперсии).
338
На участке ВС dn/dz. > 0 ; этот участок соответствует аномальной
дисперсии. Аномальная дисперсия, т.е. возрастание показателя прелом-
ления с увеличением длины волны, объясняется явлением резонанса.
Явление аномальной дисперсии наступает при условии, когда частота
внешнего электромагнитного поля равна частоте собственных колебаний
электронов среды.
На участке кривой CD dn/dA < 0 - область нормальной дисперсии.
Как следует из выражений (27), (28), nr > 1 и убывает до 1 с увеличени-
ем длины волны от Хо до 00 .
Глава 2. ОПТИКА ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
2.1. Основные законы геометрической оптики
Длины воспринимаемых глазом световых волн очень малы (порядка
10 7 м). Поэтому распространение видимого света можно в первом при-
ближении рассматривать, отвлекаясь от его волновой природы и полагая,
что свет распространяется вдоль некоторых линий, называемых лучами. В
предельном случае, соответствующем X -> 0, законы оптики можно
сформулировать на языке геометрии. В соответствии с этим раздел оптики,
в котором пренебрегают конечностью длины волн, называется геометри-
ческой оптикой. Другое название этого раздела - лучевая оптика.
В основе геометрической оптики лежат четыре закона:
закон прямолинейного распространения света;
закон независимости световых лучей;
закон отражения света;
закон преломления света.
Закон прямолинейного распространения света утверждает, что в
однородной среде свет распространяется прямолинейно. Этот закон
является приближенным; при прохождении света через очень малые от-
верстия наблюдаются отклонения от прямолинейности тем больше, чем
меньше отверстие.
Закон независимости световых лучей утверждает, что лучи при
пересечении не возмущают друг друга. Пересечения лучей не мешают
каждому из них распространяться независимо друг от друга. Этот закон
справедлив лишь при не слишком больших интенсивностях света. При
интенсивностях, достигаемых с помощью лазеров, независимость свето-
вых лучей перестает наблюдаться.
В основу геометрической оптики может быть положен принцип, ус-
тановленный французским математиком Ферма (1601-1665 гг.) в середи-
не XVII столетия. Из этого принципа вытекают законы прямолинейного
распространения, отражения и преломления света.
В формулировке самого Ферма принцип гласит, что свет распро-
страняется по такому пути, для прохождения которого ему требуется
минимальное время.
2 Для прохождения участка пути dS (рис. 2.1) свету
К .1# dS
требуется время dr = —, где v - скорость света в данной
1/ и
точке среды.
Рис. 2.1
340
Заменив v на cjn , получим, что dt = (l/c)ndS . Следовательно, вре-
мя т, затрачиваемое светом на прохождение пути от точки 1 до точки 2,
, 2
T = -f«dS. (1)
Имеющая размерность длины величина
2
L = JradS . (2)
1
называется оптической длиной пути. В однородной среде оптическая
длина пути равна произведению геометрической длины пути S на пока-
затель преломления среды п :
L = nS. (3)
Согласно (1) и (2)
т = -. (4)
с
Пропорциональность времени прохождения т оптической длине
пути L даст возможность сформулировать принцип Ферма следующим
образом: свет распространяется по такому пути, оптическая длина
которого минимальна. Точнее, оптическая длина пути должна быть экс-
тремальной, т.е. либо минимальной, либо максимальной, либо стацио-
нарной - одинаковой для всех возможных путей. В последнем случае все
пути света между двумя точками оказываются таутохронными (требую-
щими для своего прохождения одинакового времени).
Из принципа Ферма вытекает обратимость световых лучей. Дейст-
вительно, оптический путь, который минимален в случае распростране-
ния света из точки 1 в точку 2, окажется минимальным и в случае рас-
пространения света в обратном направлении. Следовательно, луч, пу-
щенный навстречу лучу, проделавшему путь из точки 1 в точку 2, прой-
дет по тому же пути, но в обратном направлении.
Законы отражения и преломления света получим с помощью прин-
ципа Ферма.
Пусть свет падает из точки А в точку В, отразившись от поверх-
ности MN (рис. 2.2) (прямой путь из А в В прегражден непрозрачным
экраном Э). Среда, в которой проходит луч, однородна. Поэтому мини-
мальность оптической длины пути сводится к минимальности его гео-
метрической длины. Геометрическая длина произвольно взятого пути
равна АО'В = А'О'В (вспомогательная точка А' является зеркальным
отображением точки А). Из рис. 2.2 видно, что наименьшую длину име-
ет путь луча, отразившегося в точке О, для которой угол падения равен
341
углу отражения. Заметим, что при удалении точки О' от О геометриче-
ская длина пути неограниченно возрастает, в данном случае имеет место
только один экстремум - минимум.
Теперь найдем
точку, в которой дол-
жен преломиться луч,
распространяясь от
точки А к точке В,
чтобы оптическая
длина пути была экс-
тремальна (рис. 2.3).
Для произвольного
луча оптическая дли-
на пути
L = + n2S2 = п,yja, + х2 + п2 у]а22 + (Ь- х)2 .
Чтобы найти экстремальное значение пути, продифференцируем L
по х и приравняем производную нулю:
dL _ П]Х п2 (Ъ - х) _ х Ъ - х _
/а2 +х2 у]а2 + (Ь-х)2 1 Sj 2 S2
Множители при п1 и п2 равны соответственно sin а и sin а". Та-
ким образом, получается соотношение
n-j sin а = n2 sin а’,
выражающее закон преломления.
Эти же законы можно получить, используя волновую природу света.
Отражение света на основе волновой теории.
Пусть плоская волна падает под некоторым углом а на отражающую
поверхность (рис. 2.4). Угол падения (как и углы отражения и преломле-
ния) отсчитывается от нормали к
поверхности в точке падения волны.
На рисунке АО и ВО' - лучи па-
дающей плоской волны, которые
перпендикулярны волновому фронту
ОС . Видно, что, пока волна достиг-
нет точки О', все точки отражающей
поверхности между О и О' после-
довательно будут становиться ис-
точниками вторичных сферических
342
волн. Максимальный радиус вторичной сферической волны OD = cAt,
где время запаздывания \t = CO'lc . Огибающая этих волн O'D и будет
в силу принципа Гюйгенса являться фронтом отраженной волны. Угол
между лучом ОА’ отраженной волны и нормалью к поверхности равен
углу отражения у . Из элементарных геометрических соображений сле-
дует два вывода:
• падающий луч, отраженный луч и нормаль к поверхности в точке
падения волны лежат в одной плоскости;
• угол падения ос равен углу отражения у .
Скорость света в вакууме и в среде.
Скорость света в среде меньше скорости в вакууме. В вакууме
С = —р=,
VEoMo
где £0 и - электрическая и магнитная постоянные.
Если же свет распространяется в однородной среде с диэлектриче-
ской проницаемостью s и магнитной проницаемостью ц, то скорость
света в такой среде
с с
^/ер п
где п >1 - абсолютный показатель преломления среды.
В общем случае скорость света зависит от свойств среды, ее темпе-
ратуры и длины волны света. Обычно чем больше длина волны света,
тем быстрее он распространяется в данной среде, т.е. скорость распро-
странения красного света больше, чем фиолетового.
Относительным показателем преломления одной среды относи-
тельно другой среды называется отношение скоростей распространения
света в двух средах:
Ц п,
п21 = —= —-
1>2 п,
Среда с большим показателем преломления называется оптически
более плотной средой, с меньшим показателем преломления - оптически
менее плотной средой.
Преломление света на основе волновой теории.
Закон преломления света при переходе из одной среды в другую с
иным показателем преломления был открыт Снеллиусом в 1620 г. и
впервые упомянут в трудах Р. Декарта. Этот закон можно вывести с по-
мощью принципа Гюйгенса.
343
Рис. 2.5
Пусть плоская световая волна падает
под углом а на границу раздела двух сред
с разной скоростью распространения света
в них. На рис. 2.5 линия АВ представляет
волновой фронт падающей волны. Когда
луч ВО' достигнет поверхности раздела
сред, радиус сферической волны от точки
О станет равным OD = u2At. Фронт пре-
ломленной волны займет положение O'D.
Из сравнения треугольников ОСО' и
ODO' находим:
СО' = v{\t = 00'sina, OD = u2At = OO'sinp.
Разделив одно равенство на другое, получим:
sin а V,
—-г = — = "21-
sin р v2
Полное внутреннее отражение.
Если свет проходит из оптически более плотной среды в оптически ме-
нее плотную (например, из стеклянного полотна в воздух), то угол прелом-
ления становится больше угла падения. Так как угол преломления не может
быть больше л/2, чему отвечает угол падения a0=arcsin(n21)=arcsin(l/n12)
(предельный угол полного отражения), то все лучи света, падающие на
поверхность раздела сред под углом, большим а0, отражаются назад. Это
явление называется полным внутренним отражением.
Явление полного внутреннего отражения в последние годы находит
особенно широкое применение при создании оптических волноводов в
волоконной оптике.
Ход лучей в плоскопараллельной пластинке.
Пусть луч АВ падает на плоскопарал-
лельную стеклянную пластинку под углом i к
горизонтали. В стекле он преломляется и идет
по направлению ВС под углом г к горизон-
тали (рис. 2.6). В точке С он снова преломля-
ется и выходит из пластинки по направлению
CD под углом i' к горизонтали. Докажем, что
луч CD, выходящий из пластинки, паралле-
лен падающему на пластинку лучу АВ.
344
Для преломления в точке В имеем: sini/sinг = п , где п - показа-
тель преломления пластинки.
„ _ sinr 1
Для преломления в точке С имеем: -----= —, так как в этом случае
sin i, п
луч выходит из пластинки в воздух. Перемножив эти два выражения,
получаем: sin i = sin i,, или, так как i < 90° и ^<90°, то i = ii, откуда
следует, что лучи АВ и CD параллельны.
Луч СВ смещен относительно падающего луча АВ. Величина
смещения I = ЕС зависит от толщины пластинки и углов падения и пре-
ломления. Смещение, очевидно, тем меньше, чем тоньше пластинка.
Ход лучей в призме.
Пусть луч АВ падает на одну из граней призмы (рис. 2.7). Прело-
мившись в точке В, луч пойдет по направлению ВС и, вторично пре-
ломившись в точке С , выйдет из призмы
в воздух. Найдем угол d , на который луч,
пройдя через призму, отклонится от пер-
воначального направления. Этот угол мы
будем называть углом отклонения. Угол
между преломляющими гранями, назы-
ваемый преломляющим углом призмы,
обозначим через р.
Из четырехугольника BMCN , в котором углы при В и С - прямые,
найдем, что угол BNC равен (180° - р). Из четырехугольника BMCN :
(180°-d) + (180°-p) + i + iy = 360° .
Отсюда
d = i + ii -р . (5)
Угол р, как внешний угол в треугольнике BCN ,
р = г + 7] , (6)
где г - угол преломления луча в точке В, т\ - угол падения выходяще-
го из призмы луча в точке С .
Далее, в соответствии с законом преломления, имеем:
sini = nsinr, (7)
sin ij = п sin т\. (8)
С помощью полученных уравнений, зная преломляющий угол
призмы р и показатель преломления п , мы можем при любом угле па-
дения i вычислить угол отклонения d .
345
Особенно простую форму получает выражение (5) для угла откло-
нения в том случае, когда преломляющий угол призмы р мал, т.е. приз-
ма тонкая, а угол падения i невелик, тогда угол i, также мал. Заменяя
приближенно в выражениях (7) и (8) синусы углов самими углами (в ра-
дианах), имеем:
i = nr, ii=nrl.
Подставляя эти выражения в формулу (5) и учитывая (6), находим:
d = п(г + гх) - р = (п - 1)р .
2.2. Линза
Прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностя-
ми, называют линзой.
Линзы бывают разных видов. Линза может быть ограничена: двумя
выпуклыми сферическими поверхностями (двояковыпуклая линза (рис.
2.8а)), выпуклой сферической поверхностью и плоскостью (плосковы-
пуклая линза (рис. 2.86)), выпуклой и вогнутой сферическими поверхно-
стями (вогнуто-выпуклая линза (рис. 2.8в)). Эти линзы посредине толще,
чем у краев, и все они называются собирающими, или выпуклыми.
Рис. 2.10
Рис. 2.8 Рис. 2.9
Линзы, которые посередине тоньше, чем у краев, называются вогну-
тыми. На рис. 2.9 изображены три вида вогнутых линз: двояковогнутая
(рис. 2.9а), плоско-вогнутая (рис. 2.96) и выпукло-вогнутая (рис. 2.9в).
Тонкая линза.
Мы будем рассматривать наиболее простой случай, когда толщина
линзы 1 = АВ (рис. 2.10) пренебрежимо мала по сравнению с радиусами
Rt и R2 поверхностей линзы и расстоянием пред-
мета от линзы. Такую линзу называют тонкой.
В дальнейшем, говоря о линзе, мы всегда будем
подразумевать только тонкую линзу.
Точки А и В - вершины сферических сегментов
- в тонкой линзе расположены столь близко друг к
другу, что их можно принять за одну точку, которую называют оптиче-
ским центром линзы и обозначают обычно буквой О.
346
Луч света, который проходит через оптический центр линзы, прак-
тически не преломляется. Объясняется это просто. Центральная область
тонкой линзы возле оптического центра может с большой степенью точ-
ности быть принята за плоскопараллельную пластинку. Луч света, про-
ходя через эту область, своего направления не меняет, а лишь несколько
смещается. Но если угол падения невелик (параксиальные лучи) и линза
достаточно тонка, то смещением луча можно пренебречь и считать, что
он проходит через линзу, не меняя своего направления.
Прямую ОО2, проходящую через центры
сферических поверхностей, которые ограни-
чивают линзу, называют ее главной оптиче- Л
ской осью. Ясно, что главная оптическая ось _ „
о1 “KPI Главная Ч:
ТОНКОЙ ЛИНЗЫ проходит через ее оптический IN оптическая'ось
центр. Любую другую прямую, проходящую \/ \
через дптический центр, называют побочной
оптической осью (рис. 2.11). ?ис- 2.11
Изображение в линзе.
Подобно зеркалу линза создает изображения источников света. Это
означает, что свет, исходящий из какой-либо точки предмета (источни-
ка), после преломления в линзе снова собирается в одну точку (изобра-
жение), независимо от того, через какую часть линзы прошли лучи. Если
на выходе из линзы лучи сходятся, то они образуют действительное
изображение. В случае же, когда прошедшие через линзу лучи расходят-
ся, пересекаются в одной точке не сами эти лучи, а их продолжения.
Изображение в этом случае мнимое.
Заметим, что лучи или их продолжения будут пересекаться практи-
чески в одной точке, если они образуют малые углы с главной оптиче-
ской осью. Все дальнейшие расчеты мы будем производить только для
таких лучей.
Формула линзы.
Найдем связь между расстоянием
d от светящейся точки до линзы, рас-
стоянием f от изображения этой точки
до линзы, показателем преломления п
материала линзы относительно окру-
жающей линзу среды и радиусами кри-
визны R, и R2 поверхностей, ограни-
чивающих линзу. Сделаем это сначала
для двояковыпуклой линзы (рис. 2.12).
Рис. 2.12
347
(9)
мнимое изображение источника. Используя формулу
После преломления светового луча, вышедшего из точки S , первой
поверхностью он пойдет в направлении AS,. Если бы не было второй
поверхности, то изображение точки S оказалось бы в точке S, на рас-
стоянии /j от линзы, определяемом уравнением
1 п _ п-1
d+7r^
Но в действительности свет преломляется еще раз второй сфериче-
ской поверхностью, и изображение, даваемое линзой, оказывается в точ-
ке S2 на оптической оси, на расстоянии f от линзы.
Воспользуемся обратимостью световых лучей. Если поместить источ-
ник в точку S2, то после преломления на сферической поверхности радиу-
сом R2 лучи пойдут так, что их продолжения пересекутся в точке S,, давая
1 п п-1
— + — =-------------------------------------------------------- и
d f R
можем записать
учитывая, что S, - мнимое изображение точки S2, мы
уравнение
(Ю)
(П)
1 п _ п -1
Складывая почленно уравнения (9) и (10), получим
1 1 , ,/ 1 О
d-f R2J
Эта формула называется формулой тонкой линзы. Она выведена
нами для двояковыпуклой линзы.
Но такие же рассуждения можно провести, когда ограничивающая
линзу поверхность является вогнутой или плоской. В случае вогнутой
поверхности соответствующий член 1/R формулы (11) входит со знаком
минус. Плоская поверхность соответствует бесконечному радиусу кри-
визны, так что для нее 1/R = 0 . Знак правой части формулы (11) опреде-
ляет оптические свойства линзы. При положительной правой части линза
является собирающей, при отрицательной - рассеивающей. У двояковы-
пуклой стеклянной линзы, находящейся в воздухе, (п-1)>0 и
I—+ —|>0. Она поэтому является собирающей. Это можно объяс-
нить так: толщина двояковыпуклой линзы увеличивается от краев к
348
середине. Такую линзу схематично можно представить как совокупность
стеклянных призм (рис. 2.13а).
Каждая призма отклоняет
лучи к основанию. Все лучи,
идущие через линзу, отклоня-
ются в сторону ее главной оп-
тической оси. Параллельный
или слабо расходящийся пучок
собирается в одну точку.
У двояковыпуклой воздушной линзы в стекле (п-1)<0, а
^2 )
> 0 . Это - рассеивающая линза. Она отклоняет («рассеивает»)
параллельный пучок от оси.
У двояковогнутой стеклянной линзы, находящейся в воздухе,
(п -1) > 0 , а — + — j < 0 . Следовательно, эта линза рассеивающая. Ее
тоже можно представить как совокупность стеклянных призм (рис. 2.136).
Фокусное расстояние.
Введем понятие фокуса линзы и вычислим фокусное расстояние.
Из формулы (11) следует, что при удалении источника от линзы
изображение приближается к линзе. Когда же источник удалится на-
столько, что лучи от него, падающие на линзу, можно считать парал-
лельными (d -> оо или 1/d -> 0), изображение окажется в точке, рас-
стояние до которой определяется из уравнения
1 , 1 1
- = (п-1) — + —
f ЛЪ
Эту точку называют главным фокусом линзы и обозначают буквой
F (рис. 2.14а).
Главным фокусом линзы называют точку, в которой пересекаются
после преломления линзой лучи, падающие на нее параллельно главной
оптической оси.
Лучи, параллельные глав-
ной оптической оси, можно
направить на линзу и с проти-
воположной стороны. Точка, в
которой они сойдутся, пройдя
линзу, является другим глав-
ным фокусом (рис. 2.146).
349
Следовательно, у линзы два главных фокуса. В однородной среде
они располагаются по обе стороны линзы на одинаковом расстоянии от
нее. Это расстояние называется фокусным расстоянием линзы и также
обозначается буквой F:
F =
__________1
, 1 1
(п -1) — + —
(12)
Отрицательное значение F
(рассеивающая линза) обозначает,
что фокус мнимый, т.е. лучи, падаю-
щие на линзу параллельно главной
оптической оси, после преломления
пойдут расходящимся пучком. В
главном мнимом фокусе сойдутся не
сами преломленные лучи, а их про-
должения (рис. 2.15а). У рассеивающей линзы тоже два фокуса. Второй
мнимый главный фокус находится по другую сторону линзы на таком же
расстоянии, если среда по обе стороны линзы
одна и та же (рис. 2.156).
Плоскость, проведенная через главный фо-
кус линзы перпендикулярно главной оптической
оси, называется фокальной плоскостью линзы.
Так как у линзы два главных фокуса, то
линза имеет и две фокальные плоскости, распо-
ложенные по обе стороны линзы (рис. 2.16).
Фокальная плоскость обладает замечатель-
ным свойством. Когда на собирающую линзу падает пучок лучей, парал-
лельных какой-либо побочной оптической оси, то после преломления в
линзе он сходится на соответствующей побочной оптической оси в точке
F' ее пересечения с фокальной плоскостью (рис. 2.16). Если же в точке
F', взятой на фокальной плоскости, поместить точечный источник света,
то после преломления в линзе мы получим параллельные лучи (рис. 2.17).
Рис. 2.18
350
Лучи, падающие параллельно побочной оси на рассеивающую лин-
зу, расходятся так, что их продолжения сходятся на побочной оси в точ-
ке ее пересечения F' с фокальной плоскостью (рис. 2.18). Фокальная
плоскость рассеивающей линзы является мнимой. Этих плоскостей у
линзы тоже две.
Величину, обратную главному фокусному расстоянию, называют
оптической силой линзы. Ее обозначают буквой D:
Рис. 2.19
Рис. 2.20
Чем ближе к линзе лежат ее фокусы, тем сильнее линза преломляет
лучи, собирая или рассеивая их, и тем больше абсолютное значение оп-
тической силы линзы.
Оптическую силу линз выражают, как и оптическую силу сфериче-
ских зеркал, в диоптриях (дптр). Оптической силой в 1 дптр обладает лин-
за с фокусным расстоянием 1 м.
Используя понятия фокусного расстояния или оптической силы,
можно формулу тонкой линзы записать значительно проще:
1 1 1
— + — = — (14) или
d f F
Таким образом, зная расстояние от ис-
точника до линзы и фокусное расстояние
(положения фокусов), можно определить
расстояние до изображения, не прибегая к
рассмотрению хода лучей внутри линзы. В
связи с этим отпадает надобность изобра-
жать на чертеже точный вид сферических поверхностей линзы.
Собирающую линзу изображают как показано на рис. 2.19, а рас-
сеивающую - на рис.2.20.
Правило знаков при использовании формулы тонкой линзы.
Если линза собирающая, то ее фокус действительный, и перед чле-
ном 1/F ставится знак плюс.
В случае рассеивающей линзы перед этим членом ставится знак ми-
нус. Перед членом l/f ставится знак плюс, если изображение действи-
тельное, и знак минус, если изображение мнимое.
В том случае, когда F или f неизвестны, перед членами 1/F или
l/f ставится знак плюс.
Если в результате вычислений фокусного расстояния или расстоя-
ния до изображения получается отрицательная величина, то это означает,
что фокус или изображение является мнимым.
351
Построение изображений в тонкой линзе.
Нам уже известно, что все лучи, вышедшие из какой-либо точки
предмета, пройдя сквозь линзу, пересекаются также в одной точке.
Именно благодаря этому свойству тонкая линза дает изображение любой
точки предмета, а следовательно, и всего предмета в целом.
Для построения изображений, получаемых с помощью собирающей
линзы, фокусы и оптический центр которой заданы, мы преимуществен-
но будем пользоваться тремя видами «удобных» лучей. Как было указа-
но ранее, лучи, параллельные главной оптической оси, преломившись в
линзе, проходят через ее фокус. Из обратимости хода лучей следует, что
лучи, идущие к линзе через ее фокус, после преломления пойдут парал-
лельно главной оптической оси. Наконец, лучи, проходящие через опти-
ческий центр линзы, не меняют своего направления. Они лишь испыты-
вают параллельное смещение, которое в случае тонкой линзы невелико,
и им можно пренебречь.
Построим изображение предмета АВ (рис. 2.21). Чтобы найти изо-
бражение точки А, направим луч АС параллельно главной оптической
оси. После преломления он пойдет через фокус линзы. Другой луч AD
можно направить через фокус. После преломления он пойдет параллельно
главной оптической оси. В точке пересечения этих двух преломленных
лучей будет находиться изображение А, точки А . Так же можно постро-
ить и все остальные точки изображения. Не следует только думать, что оно
создается двумя или тремя лучами; оно создается всем бесчисленным
множеством лучей, вышедших из точки А и собравшихся в точке А, .
В частности, в точку А, попадает луч АОА,, прошедший через оптиче-
ский центр О линзы.
Таким образом, для построения изображения точки можно исполь-
зовать два из трех «удобных» лучей, ход которых через линзу известен:
1) луч, проходящий через оптический центр;
2) луч, падающий на линзу параллельно главной оптической оси;
3) луч, проходящий через фокус.
352
Рассмотрим случай, когда необходимо построить изображение точ-
ки, расположенной на главной оптической оси. Трудность заключается в
том, что все три «удобных» луча сливаются в один, совпадающий с глав-
ной оптической осью. Поэтому возникает необходимость определить ход
произвольного луча SB (рис. 2.22), попавшего на линзу в точке В.
Для построения преломленного луча проведем побочную оптиче-
скую ось PQ, параллельную лучу SB. Затем построим фокальную
плоскость F и найдем точку С пересечения фокальной плоскости с по-
бочной оптической осью. Через эту точку пройдет луч ВС . Таким обра-
зом, построен ход двух лучей, выходящих из точки S . После преломле-
ния в линзе эти лучи расходятся. Изображение S' точки является мни-
мым, так как в ней сходятся продолжения преломленных лучей.
Увеличение линзы.
Изображение, даваемое линзой, обычно отличается своими разме-
рами от предмета, в частности, оно увеличивается.
Линейным увеличением называют отношение линейного размера
изображения к линейному размеру предмета.
Для нахождения линейного увеличения обратимся снова к рис. 2.21.
Если высота предмета АВ равна h , а высота изображения Д Д равна Н ,
то линейное увеличение
Из подобия треугольников ОАВ и ОДД следует, что
Я /
h d
Следовательно, увеличение линзы
Г = (16)
d
Используя подобие треугольников OCF и FA.B., можно получить
другую формулу для увеличения линзы:
f-F
Г = !—-—. (17)
F
Освещенность изображения, даваемого линзой.
Рассмотрим, от каких параметров линзы зависит освещенность да-
ваемого ею изображения. Освещенность изображения важна при работе
фотоаппарата, глаза и других оптических систем. Ею определяется воздей-
ствие света на фотопленку или чувствительную к свету сетчатку глаза.
353
(19)
(20)
(21)
При фиксированном расстоянии d от светящегося предмета до
линзы световой поток, падающий на линзу от источника света, прямо
пропорционален площади линзы, т.е. квадрату ее диаметра:
Ф~П2. (18)
Если пренебречь поглощением света в линзе, то весь этот поток
участвует в создании изображения. Освещенность изображения равна
отношению светового потока Ф к площади изображения S :
Ф
Т= —
S
Согласно формуле (16) для увеличения линзы размер изображения
пропорционален отношению расстояния f от линзы до изображения к
расстоянию d от предмета до линзы. Поэтому площадь изображения
пропорциональна квадрату этого отношения:
f
d-
Согласно формуле линзы (14)
f . dF _ F
' d-F
d
Чем больше фокусное расстояние при фиксированном d, тем
больше расстояние f . Если расстояние d » F , как это обычно бывает
при фотографировании, то f = F и
S ~ F2. (22)
Используя определение освещенности (19) и учитывая зависимость
(22), получим
(23)
)
Следовательно, освещенность изображения, даваемого линзой, пря-
мо пропорциональна квадрату ее диаметра и обратно пропорциональна
квадрату фокусного расстояния.
Величина (D/F}2 носит название светосилы линзы. Наряду со све-
тосилой часто пользуются величиной D/F, называемой относительным
отверстием.
Для увеличения освещенности изображения нужно увеличить
диаметр линзы. Но для получения четкого изображения на линзу дол-
жен падать узкий (параксиальный) пучок световых лучей. Поэтому для
354
получения четкого изображения нужно, напротив, уменьшить диаметр
линзы. В результате большую светосилу линзы трудно согласовать с хо-
рошим качеством изображения. Для этого приходится вместо одной лин-
зы создавать сложные оптические системы, дающие четкие изображения
и в случае широких световых пучков.
Недостатки линзы.
Рассмотрим, по каким причинам изображения, даваемые линзами,
не являются четкими.
Сферическая аберрация. Известно, что только узкие (параксиаль-
ные) пучки лучей собираются после прохождения линзы в одной точке.
При падении на линзу широких пучков от точечного источника света
лучи в одной точке уже не собираются. Периферические части линзы
сильнее преломляют световые лучи, чем центральные. В результате при
падении параллельного пучка лучей на собирающую линзу они не схо-
дятся в одной точке. Определенного фокуса у линзы нет (рис 2.23а). Пе-
риферические лучи собираются линзой на расстоянии, меньшем фокус-
ного расстояния линзы (для параксиальных лучей).
Рассеивающая линза также преломляет в большей мере перифери-
ческие лучи, чем центральные, и их продолжения пересекаются ближе к
линзе, чем продолжения приосевых лучей (рис 2.236).
Рис. 2.23 Рис. 2.24
Объясняется это так. Линзу можно схематически представить как
совокупность стеклянных призм. Углы падения параллельных лучей на
тонкую линзу малы и незначительно отличаются друг от друга. Но пре-
ломляющие углы призм различны. Они минимальны у призм возле опти-
ческой оси и максимальны у призм на периферии линзы. Угол отклоне-
ния лучей призмой при малых углах падения лучей и малых прелом-
ляющих углах прямо пропорционален преломляющему углу призмы.
Поэтому периферические лучи как собирающих, так и рассеивающих
линз преломляются сильнее.
В результате при падении на линзу широких пучков, что неизбежно
для линз большого диаметра, изображение точечного источника получа-
ется в форме расплывчатого светлого пятна. Эта погрешность линзы на-
зывается сферической аберрацией.
355
Сферическую аберрацию можно устранить практически полностью
с помощью комбинации двух линз: собирающей и рассеивающей. Соби-
рающая линза сводит периферические лучи слишком близко к линзе. А
рассеивающая линза эти же лучи делает слишком расходящимися. Мож-
но так рассчитать комбинацию этих двух линз, что в результате перифе-
рические лучи будут после прохождения двух линз преломляться прак-
тически так же, как и параксиальные (рис. 2.24). Эти две линзы склеива-
ют друг с другом. Даже объективы телескопов диаметром в десятки сан-
тиметров, изготовленные таким образом, дают изображения, почти не
искаженные сферической аберрацией.
Хроматическая аберрация. Белый свет можно рассматривать как
состоящий из многих лучей различных цветов, имеет различные показа-
тели преломления. Поэтому при прохождении белого света через линзу
лучи преломляются по-разному. Сильнее всего преломляются фиолето-
вые лучи. Они собираются ближе всего к линзе. Красные лучи прелом-
ляются меньше и собираются в точке, лежащей дальше всего от линзы.
Остальные цветные лучи собираются между этими точками (рис. 2.25).
Это явление называется хроматической аберрацией. В результате хрома-
тической аберрации края изображения в линзе получают радужную ок-
раску. В самом деле, если поставить экран
SS ближе фиолетового фокуса (рис.
2.25), то все лучи, кроме наружных крас-
ных, сместятся на экране и дадут белый
цвет. Красные же дадут периферическую
красную окраску. Если же отодвинуть эк-
ран (S'S') за красный фокус FK, то дадут
окраску периферические фиолетовые лучи.
Хроматическая аберрация является крупным недостатком изображе-
ния. Любопытно, что Ньютон считал ее неустранимой. Из-за этого он по-
строил первый зеркальный телескоп со сферическим зеркалом вместо лин-
зы. Однако хроматическая аберрация может быть устранена соответст-
вующим подбором нескольких выпуклых и вогнутых линз из сортов стек-
ла с различной зависимостью показателя преломления от длины волны.
Поэтому объективы и окуляры современных оптических приборов пред-
ставляют собой очень сложные системы линз. Подобные объективы и оку-
ляры называются ахроматическими.
Астигматизм. Еще один недостаток линз обнаруживается при па-
дении на линзу лучей под большим углом к оптической оси. Проявляется
он в том, что изображение светящейся точки на экране превращается в
356
пятно даже для узких пучков лучей. При определенном положении экра-
на пятно превращается в короткий отрезок горизонтальной или верти-
кальной прямой (при падении лучей в вертикальной плоскости).
Рассмотренный недостаток линзы называется астигматизмом. Его
тоже можно устранить подбором сложной системы линз. Современные
объективы - анастигматы - дают хорошее изображение при падении лу-
чей под углом 60-70° к оптической оси.
Полное устранение всех аберраций невозможно, и при конструиро-
вании оптических систем приходится идти на компромисс, устраняя наи-
более существенные (для данного назначения системы) недостатки и
мирясь с другими, менее существенными аберрациями.
2.3. Глаз как оптическая система
Одним из самых совершенных «приборов», которым природа снаб-
дила человека и животных, является глаз.
Строение глаза.
Глаз человека имеет почти шарообраз-
ную форму (рис. 2.26). Его диаметр около
2,5 см. Снаружи глаз покрыт защитной
оболочкой 1 белого цвета - склерой. Перед-
няя прозрачная часть 2 склеры называется
роговой оболочкой или роговицей. С внут-
ренней стороны к склере прилегает сосуди-
Рис. 2.26
стая оболочка 3, состоящая из сложного сплетения кровеносных сосудов,
питающих глаз. Эта вторая оболочка в передней части глаза переходит в
радужную оболочку 4, окрашенную у разных людей в различный цвет. В
радужной оболочке имеется отверстие 5 - зрачок. В зависимости от ин-
тенсивности падающего света диаметр зрачка рефлекторно меняется
приблизительно от 2 до 8 мм. Этот процесс подобен изменению диа-
фрагмы фотоаппарата. За зрачком помещается хрусталик 6 - прозрачное
слоистое тело, похожее на линзу. Особая мышца 7 может в некоторых
пределах менять форму хрусталика, делая ее более выпуклым при рас-
смотрении близких предметов.
Между роговицей и радужной оболочкой находится водянистая
жидкость 8. Остальную часть глаза до задней стенки (глазного дна) за-
нимает прозрачное полужидкое стекловидное тело 9. Глазное дно покры-
то очень сложной сетчатой оболочкой 10 (сетчаткой), представляющей
собой разветвления зрительного нерва 11 с нервными окончаниями в
виде палочек и колбочек. Палочки и колбочки являются светоощущаю-
щими элементами.
357
Наибольшее преломление лучи света, попадающие в глаз, испытыва-
ют на поверхности роговицы. Небольшое дополнительное преломление
осуществляет хрусталик. В целом оптическую систему глаза можно рас-
сматривать как собирающую линзу с переменным фокусным расстоянием
и неизменной «глубиной» (расстояние от линзы до экрана). «Экраном»,
на котором образуется действительное обратное изображение рассмат-
риваемого предмета, служит сетчатка.
Раздражение нервных окончаний (палочек и колбочек) падающим
светом вызывает у нас зрительное ощущение. Палочки и колбочки вос-
принимают отдельные части изображения предмета. Чем больше их чис-
ло участвует в этом восприятии, тем больше подробностей мы различаем
в предмете. Эти светочувствительные элементы крайне малы, и в сетчат-
ке их очень много (около 130 млн.). Чем крупнее изображение предмета
D А на сетчатке, тем больше подробностей его
Ж. можно различать. Размер изображения на
X С । сетчатке тем больше, чем больше угол, под
) которым глаз видит предмет (рис. 2.27). Уда-
В i ленный предмет DC дает на сетчатке изо-
А, бражение DXCX, которое меньше, чем изо-
бражение ДД такого же, как DC , но бли-
Рис. 2.27 же расположенного предмета АВ .
Угол, образованный прямыми, проведенными от краев предмета в
оптический центр глаза, называется углом зрения. Размер угла зрения
зависит от размера рассматриваемого глазом предмета и расстояния
предмета до глаза. При угле зрения, меньшем одной минуты, детали
предмета глазом не различаются - предмет воспринимается как одна
точка. В этом случае изображение предмета раздражает только одно
окончание зрительного нерва.
Опыт показывает, что глаз не может одновременно четко видеть
предметы, находящиеся на разных расстояниях.
Если держать, например, карандаш на расстоянии 25-30 см от глаза
и смотреть так, чтобы видеть его резко, то все удаленные предметы рас-
плываются. Наоборот, если резко видны удаленные предметы, то стано-
вится нечетким изображение карандаша. Это можно понять, если вспом-
нить, что когда изменяется расстояние d от предмета до линзы, то изме-
няется и расстояние f от линзы до изображения.
Но расстояние от оптического глаза до сетчатки в глазу человека ме-
няться не может. Поэтому механизм «наводки на резкость» у него иной.
Хрусталик весьма эластичен; под действием специальных мышц хруста-
лик меняет свою кривизну, а следовательно, и фокусное расстояние так,
358
чтобы резкое изображение рассматриваемого предмета всегда оказыва-
лось на сетчатке. Этот процесс происходит совершенно бессознательно и
настолько быстро, что при переводе взгляда с предмета на предмет мы не
замечаем времени изменения кривизны хрусталика.
Приспособление глаза путем изменения кривизны хрусталика к рез-
кому выделению на различных расстояниях называется аккомодацией.
Для нормального глаза аккомодация не требуется при рассматрива-
нии очень удаленных предметов, от каждой точки которых в глаз идут
практически параллельные лучи. Глазу в этом случае не приходится на-
прягаться, и поэтому он мало утомляется. Удаленная точка, наблюдение
которой не требует напряжения глаза, называется дальней точкой акко-
модации.
Когда предмет приближается к глазу, кривизна хрусталика возрас-
тает. Однако увеличение кривизны хрусталика имеет предел. Нормаль-
ный глаз может длительно без особого напряжения рассматривать пред-
меты, расположенные от него не ближе 25 см. Если предмет располага-
ется ближе, то для его резкого видения нужно чрезмерно увеличивать
кривизну хрусталика, глаз утомляется, и появляются болезненные ощу-
щения. Расстояние от глаза до предмета, равное 25 см, называется рас-
стоянием наилучшего зрения. Точка, отстоящая от глаза на расстоянии
наилучшего зрения, называется ближней точкой аккомодации.
Глаз человека снабжен мышцами, поворачивающими его так, чтобы
ось глаза была направлена на рассматриваемый предмет. При зрении
двумя глазами (бинокулярное зрение) напряжения мышц левого и право-
го глаза различаются тем сильнее, чем ближе предмет. Кроме того, изо-
бражения близкого предмета на сетчатых оболочках правого и левого
глаза несколько отличаются друг от друга. Это дает человеку возмож-
ность оценивать расстояние от предмета или его частей, а также создает
впечатление объемности наблюдаемого тела.
2.4. Оптические приборы
Для того, чтобы мелкие детали рассматриваемого предмета были
различимы, угол зрения должен быть достаточно велик. Этот угол может
оказаться малым по двум причинам: предмет, хотя и расположен близко,
но слишком мал; предмет расположен далеко. В обоих случаях для уве-
личения угла зрения применяют оптические приборы.
Очки.
У многих людей глаза создают в
ненапряженном состоянии изображение
удаленного предмета не на сетчатке, а
перед ней (рис. 2.28а).
359
Такие люди не могут четко видеть удаленные предметы. Этот де-
фект зрения называют близорукостью. Близорукий часто видит предмет,
лишь начиная с некоторого расстояния. Дальняя точка аккомодации гла-
за не бесконечно удалена. Соответственно меньше и расстояние наилуч-
шего зрения.
Близорукость исправляют ношением очков с рассеивающими лин-
зами. Параллельные лучи после того, как они пройдут сквозь такую лин-
зу, воспринимаются как исходящие из дальней точки аккомодации глаза
(точка А на рис. 2.286). Поэтому близорукий, вооруженный очками,
может рассматривать удаленные предметы, как и человек с нормальным
зрением, т.е. без напряжения. Фокусное расстояние очков, прописывае-
мых близорукому человеку, равно расстоянию от глаза до дальней точки
аккомодации (рис. 2.286).
Дефект зрения, при котором изображения удаленных предметов по-
лучаются за сетчаткой (рис. 2.29а), называется дальнозоркостью. Даль-
нозоркий должен напрягаться уже при наблюдении далеких предметов, а
при наблюдении близких предел аккомодации будет исчерпан при рас-
стоянии до предмета, большем 25 см.
Дальнозоркость исправляют ношением очков с собирающими лин-
зами. Для наблюдения удаленных предметов оптическая сила линзы
должна быть такой, чтобы параллельные лучи фокусировались на сет-
чатке глаза (рис. 2.296). Лучи от предмета, находящегося на расстоянии
d0 = 25 см (рис. 2.29в), пройдя сквозь эту линзу, станут менее расходя-
щимися, и предмет будет казаться удаленным на расстояние d > 25 см,
при котором дальнозоркий может рассматривать предмет без заметного
напряжения. Следовательно, расстояние наилучшего зрения будет таким
же, как и нормального глаза.
Лупа.
По своему назначению оптические приборы, вооружающие глаз
можно разделить на две группы: 1) приборы для рассматривания мелких
объектов; 2) приборы для рассматривания далеких объектов.
К первой группе относятся лупы и микроскопы, ко второй - зри-
тельные трубы, телескопы и т.п.
360
В отличие от фотоаппарата и проек-
ционного аппарата, дающих действитель-
ные изображения на экранах, в приборах,
вооружающих глаз, изображения рассмат-
риваемых предметов являются мнимыми.
Отношение угла зрения при наблюде-
нии невооруженным глазом принимают за
характеристику оптического прибора - его
угловое увеличение.
Угол зрения, под которым виден
предмет невооруженным глазом (рис. 2.30)
Рис. 2.30
Рис. 2.31
(24)
где d0 = 25 см - расстояние наилучшего зрения, h - линейный размер
предмета.
Простейший способ увеличения угла зрения при рассмотрении мел-
ких предметов - применение лупы.
Лупой называют собирающую линзу или систему линз с малым фо-
кусным расстоянием F (как правило, не более 10 см). Лупу помещают
обычно близко к глазу, а предмет располагается в ее фокальной плоскости.
В этом случае лучи из любой точки объекта после выхода из лупы образу-
ют параллельные пучки (рис. 2.31). Следовательно, четкое изображение
точек на сетчатке получается без напряжения глаза. В лупу предмет виден
под углом
Ф1 = (25)
Г
разделив почленно равенство (25) на равенство (24), найдем угловое уве-
личение лупы
Г = ^=А. (26)
<р d
Помещая предмет ближе фокальной плоскости, можно получить
немного большее увеличение, чем в случае нахождения предмета в фо-
кальной плоскости. Но это уже требует напряжения глаза.
Увеличение, даваемое лупой, ограничено ее размерами. Действи-
тельно, линза с большей оптической силой должна быть сильно выпук-
лой. Вследствие этого размеры лупы приходится уменьшать до несколь-
ких миллиметров, что ограничивает поле зрения и затрудняет пользова-
ние лупой. Поэтому лупы с увеличением более 40 не применяются.
361
Лупы различных типов используются при мелкой и точной работе,
при измерениях и т.п. Их применяют часовых дел мастера, геологи, бо-
таники, криминалисты.
Микроскоп.
Если необходимо получить увеличение большее, чем может дать
лупа, прибегают к помощи микроскопа.
Микроскоп представляет собой комбинацию двух линз или систем
линз (рис. 2.32).
Линза Д, обращенная к предмету, называется объективом. Дейст-
вительное увеличенное изображение предмета, даваемое объективом,
рассматривается через лупу L, - окуляр. В результате общее увеличение
получается весьма большим.
Рассмотрим схему действия микроскопа. Для получения действи-
тельного увеличенного изображения предмет АВ располагают между
фокусом объектива и точкой, находящейся на двойном фокусном расстоя-
нии. Наблюдение в окуляр удобно вести без напряжения глаза. Для этого
окуляр размещают так, чтобы изображение ДД , даваемое объективом,
было совмещено с фокальной плоскостью окуляра (рис 2.32).
Увеличением микроскопа называется отношение угла зрения ф,,
под которым виден предмет при наблюдении через микроскоп, к углу
зрения ф при наблюдении невооруженным глазом с расстояния наилуч-
шего зрения d0 = 25 см:
Г. = ^-. (27)
Ф
Согласно формуле (24)
ф=4> <28>
сг0
где h - линейный размер предмета.
362
(29)
(30)
Окуляр микроскопа действует подобно лупе и
Н
ф, =—,
F2
где Н - линейный размер изображения, даваемого объективом, F2- фо-
кусное расстояние окуляра.
Линейный размер изображения в объективе связан с линейным раз-
мером предмета соотношением (17):
Н _f-F,
h
Здесь Ft - фокусное расстояние объектива.
Оптической длиной тубуса .микроскопа называется расстояние ме-
жду задним фокусом объектива и передним фокусом окуляра:
8 = f-^. (31)
Подставляя в (27) значения углов (28) и (29) и учитывая соотноше-
ния (30) и (31), получим выражение для увеличения микроскопа
р _ И
f,f
Увеличение микроскопа варьируется от нескольких десятков до 1500.
Микроскоп позволяет различить мелкие детали предмета, которые при
наблюдении невооруженным глазом или с помощью лупы сливаются.
Однако волновая природа света накладывает определенные ограни-
чения на способность микроскопа различать детали объекта.
(32)
Фотоаппарат.
На законах геометрической оптики основано устройство и действие
разнообразных оптических приборов. В первую очередь рассмотрим те из
них, в которых изображение получается действительным. Для фиксации и
сохранения этого изображения используется химическое действие света.
Фотография была изобретена в 30-х гг. XIX в. и прошла долгий путь
развития. Современная фотография, ставшая малоформатной, момен-
тальной, цветной, стереоскопической, нашла широчайшее применение во
всех областях жизни. Велика ее роль в исследовании природы. Фотогра-
фия позволяет регистрировать различные объекты (от микроскопических
до космических), невидимые излучения и т.д. Всем известно значение
художественной фотографии, детищем которой является кино.
Основными частями фотоаппарата являются непрозрачная камера и
система линз, называемая объективом. Простейший объектив представ-
ляет собой одну собирающую линзу. Объектив создает вблизи задней
363
стенки камеры действительное перевернутое изображение фотографи-
руемого предмета. В большинстве случаев предмет находится на рас-
стоянии, большем двойного фокусного расстояния. Поэтому изображе-
ние получается уменьшенным. В том месте, где получается изображение,
помещают фотопластинку или фотопленку, покрытую слоем светочувст-
вительного вещества, - так называемой фотоэмульсией.
Фотографируемый предмет может находиться на разных расстояни-
ях от аппарата. В связи с этим расстояние между объективом и пленкой
также нужно изменять. Это изменение осуществляют обычно перемеще-
нием объектива.
Световая энергия, попадающая на светочувствительный слой, дози-
руется фотографическим затвором, который открывает доступ свету
лишь на определенное время - время экспозиции. Оно зависит от чувст-
вительности фотоэмульсии и от освещенности пленки. Последняя опре-
деляется светосилой объектива D2jF2 , где D - диаметр объектива, a F
- его фокусное расстояние.
Диаметр действующей части объектива можно менять с помощью
диафрагмы и этим регулировать освещенность фотопленки. Но диафраг-
ма играет еще и другую роль.
Пусть мы фотографируем светящуюся точку А , расположенную на
некотором расстоянии от аппарата, и изображение этой точки на фото-
пленке получается также в виде точки (рис. 2.33а).
Тогда изображение точки В, расположенной ближе к объективу
(рис. 2.336), как и изображение точки С, расположенной дальше (рис.
2.33в), получается в виде небольших кружков. Если вблизи объектива
поместить диафрагму (рис. 2.33г, д, е), то диаметр этих кружков будет
тем меньше, чем меньше диаметр действующей части объектива (рис.
2.33d, е). Уменьшая отверстие диафрагмы, можно добиться того, что
изображения точек, находящихся на разных расстояниях от аппарата,
будут достаточно четкими. Возрастет, как говорят, глубина резкости.
364
Проекционный аппарат.
Проекционный аппарат предназначен для получения на экране дей-
ствительного увеличенного изображения предмета. Таким предметом
может быть освещенный сзади рисунок или фотоснимок, выполненный
на прозрачной основе, - диапозитив. Схема устройства проекционного
аппарата приведена на рис. 2.34.
Изображение диапозитива D создается на экране с помощью объек-
тива О . Система линз К , называемая
конденсором, предназначена для того,
чтобы весь световой поток после диапо-
зитива прошел через объектив. Объек-
тив проецирует освещенный диапозитив
на экран. Ход лучей от диапозитива до
Рис. 2.34
экрана изображен на рисунке.
Увеличение проекционного аппарата можно менять, приближая объ-
ектив к диапозитиву или удаляя от него с одновременным изменением
расстояния от аппарата до экрана.
В кинопроекционном аппарате (проекторе) вместо диапозитива пе-
ремещается кинолента со скоростью 24 кадра в секунду. Так как глаз
имеет способность сохранять зрительное впечатление около 0,1 с, то
изображения последовательных снимков движущихся предметов слива-
ются в одно движущееся изображение.
Применяются также проекционные аппараты, позволяющие полу-
чить на экране изображения как прозрачных (диапроекция) так и непро-
зрачных (эпипроекция) картин. Такие комбинированные приборы назы-
ваются эпидиаскопами.
Глава 3 оптика квантовая
Одна из величайших революций в физике, связанная с открытием
квантовых свойств электромагнитного поля, произошла в начале XX века.
Наиболее ярко квантовые свойства электромагнитного поля прояв-
ляются при взаимодействии электромагнитного излучения, в частности,
света, с веществом.
Свойства теплового излучения, фотоэлектрический эффект, эффект
Комптона, давление света, фотохимические процессы - в этих и многих
други;? явлениях свет проявляет в первую очередь корпускулярные
(квантовые) свойства и ведет себя подобно потоку частиц.
3.1. Тепловое излучение
Электромагнитное излучение, испускаемое веществом, находящим-
ся в состоянии термодинамического равновесия, и возникающее за счет
его внутренней энергии, называется тепловым излучением.
Тело, полностью поглощающее все падающее на него излучение,
называют абсолютно черным телом.
Интегральной светимостью тела R называется отношение мощ-
ности излучения Р к площади поверхности излучателя S :
Р
R=—. (33)
S
Спектральной светимостью тела rf в интервале волн от X до АХ
называют отношением светимости в данном диапазоне длин волн к ши-
рине диапазона:
AR ....
^=77- (34)
АХ
Излучение абсолютно черного тела.
Излучение абсолютно черного тела описывается законами, которые
могут быть получены в рамках классической термодинамики:
Закон Стефана-Больцмана (1879, 1884): интегральная свети-
мость абсолютно черного тела пропорциональна чет-
вертой степени его абсолютной температуры.
R = vT\ (35)
где ст = 5,671 Ю’8 ВтДм2-К) - постоянная Стефана-Больцмана.
366
Закон смещения Вина: длина волны, на которую приходится мак-
симум спектральной светимости абсолютно черного те-
ла, обратно пропорциональна абсолютной температуре:
(36)
где Ь = 2,9 • 103 м • К - постоянная Вина.
Анализ зависимости спектральной светимости гх(Х,Т) для абсо-
лютно черного тела, удовлетворяющий упомянутым выше законам излу-
чения, показывает, что энергия излучения абсолютно черного тела рас-
пределена по его спектру неравномерно. Абсолютно черное тело почти
не излучает в областях очень малых и очень больших длин волн. По мере
повышения температуры тела максимум гх смещается в сторону мень-
ших длин волн. Такая зависимость экспериментально была установлена
Р. Кирхгофом в 1860 г. Вместе с тем, попытки описать эту зависимость
теоретически на основе законов электродинамики и классической термо-
динамики о распределении энергии по степеням свободы равновесной
системы приводили к абсурдному выводу о том, что при любой темпера-
туре интегральная светимость тела, а, значит, и его энергия бесконечно
велики. Этот результат, к которому пришла классическая физика в задаче
о спектральном распределении равновесного излучения, получил назва-
ние «ультрафиолетовая катастрофа».
В 1990 г. немецкий физик М. Планк смог осуществить правильное
теоретическое описание спектральной светимости абсолютно черного
тела, предложив гипотезу, не имевшую аналогов в классической физике.
Квантовая гипотеза Планка: абсолютно черное тело испускает и
поглощает свет не непрерывно, а определенными конеч-
ными порциями - квантами.
Значение минимальной порции энергии излучения - кванта - про-
порционально его частоте. Энергия кванта
Еу = hv, (37)
где h = 6,626 -10 34 Дж с - постоянная Планка, входящая в основные
уравнения квантовой теории.
Величину с такой размерностью в теоретической механике называют
действием, поэтому постоянную Планка иногда называют квантом действия.
В уравнениях квантовой теории часто используют так называемую
приведенную постоянную Планка
h= — = 1,054 10 м Дж-с.
2л
367
3.2. Фотоэлектрический эффект
Квантовая гипотеза Планка, первоначально предложенная лишь как
удобный расчетный прием, позволяющий обеспечить согласование экс-
периментальных и теоретических результатов, была подтверждена при
исследовании фотоэлектрического эффекта, открытого в 1887 г. Г. Гер-
цем и впервые детально исследованного профессором Московского го-
сударственного университета А.Г. Столетовым.
Явление фотоэффекта (внешнего фотоэффекта) состоит в вырыва-
нии электронов из вещества падающим на него светом. К моменту от-
крытия фотоэффекта еще ничего не было известно об электронах, откры-
тых Дж. Томсоном только в 1897 г. Однако уже Г. Герц установил, что
при освещении металл теряет именно отрицательный заряд.
Количественное исследование законов фотоэффекта осуществил
А.Г. Столетов.
Схема установки представлена
на рис. 3.1.
Простейший способ наблюде-
ния фотоэффекта - освещать ульт-
рафиолетовым излучением заряжен-
ный отрицательным зарядом элек-
троскоп.
В опытах Столетова металличе-
ская пластина К, из которой свет
вырывает электроны (фотоэлектро-
ны), размещалась в вакуумирован-
ном сосуде, выполненном из кварце-
вого стекла; кварцевое стекло отли-
чается от обычного способностью
пропускать ультрафиолетовое излучение. Вылетающие из пластины (фо-
токатода) электроны двигались по направлению к аноду А; возникающий
при этом ток измерялся миллиамперметром. Током фотоэлектронов (фо-
тотоком) можно было управлять, изменяя напряжение U между катодом
и анодом. Изучая зависимость фототока I от напряжения U между ка-
тодом и анодом, а также от частоты и интенсивности падающего света,
Столетов получил результаты, не находящие объяснения в рамках клас-
сической физики.
1. Если на фотокатод направить монохроматическое излучение, то
сила фототока при постоянном напряжении U будет пропорциональна
световому потоку, падающему на фотокатод.
2. Фотоэффект возникает мгновенно - он безынерционен.
368
3. Если, не меняя светового потока, уве-
личивать напряжение U между электродами,
то сила фототока нарастает; при некотором
напряжении она достигает максимального
значения, после чего перестает увеличиваться
(рис. 3.2). Это максимальное значение тока
достигается тогда, когда все испускаемые фо-
тоэлектроны попадают на анод.
4. Фототок прекращается, когда потен-
циал анода будет меньше потенциала катода
на величину , называемую задерживаю-
щим напряжением. Величина L7, оказалась
линейно зависящей от частоты падающего на
катод света и не зависит от его интенсивно-
сти (рис. 3.3).
Рис. 3.3
Оказалось, что для любого металла можно указать минимальную час-
тоту v0 света, при которой еще возможен фотоэффект. Эту частоту v0 и
соответствующую ей длину волны л(1 называют красной границей фо-
тоэффекта. При уменьшении частоты падающего света ниже v0 фото-
эффект не наблюдается.
Очевидно, что значение U3 зависит от максимальной кинетической
энергии фотоэлектронов. Измеряя задерживающее напряжение и исполь-
зуя закон сохранения энергии, можно определить максимальную кинети-
ческую энергию фотоэлектронов:
K^=eU3. (38)
Эксперименты Столетова показали, что кинетическая энергия элек-
тронов, испускаемых поверхностью металла, освещаемой видимым или
ультрафиолетовым светом, не зависит от интенсивности излучения, а
зависит лишь от рода металла, состояния его поверхности и частоты из-
лучения v.
Теоретическое объяснение наблюдаемой закономерности было дано
в 1905 г. а. Эйнштейном на основе квантовой гипотезы Планка.
Эйнштейн предположил, что квант света, поглощенный металлом,
отдает свою энергию Е, = hv вырываемому электрону. Часть этой энер-
гии расходуется на удаление электрона из металла, часть - достается
электрону в виде кинетической энергии.
369
Электроны в металле могут обладать разными начальными энер-
гиями, поэтому для их удаления из металла требуются различные энерге-
тические затраты. Очевидно, что наибольшей будет кинетическая энер-
гия тех электронов, для удаления которых из металла потребуется со-
вершить минимальную работу (она называется работой выхода и опре-
делена свойствами металла).
Закон сохранения энергии для элементарного акта взаимодействия
светового кванта с электроном в металле имеет вид
hv = K + A, (39)
где К - кинетическая энергия фотоэлектрона.
Для фотоэлектронов с максимальной кинетической энергией
= #Иах + Аых >
где Авых - работа выхода электронов из металла, это уравнение называ-
ют уравнением Эйнштейна для фотоэффекта.
Уравнение Эйнштейна позволяет объяснить существование красной
границы фотоэффекта. Действительно, для электрона, находящегося вне
металла
Kv, = Av - А ,
с другой стороны, кинетическая энергия частицы неотрицательна:
Ктм > 0 , очевидно, что отсюда следует условие, фотоэффект возможен,
если энергия кванта света не меньше работы выхода:
Av > Аых,
откуда частота, определяющая красную границу фотоэффекта
v0=^. (40)
h
Здесь мы рассмотрели простейший случай внешнего однофотонного
фотоэффекта: поглотив один квант света, электрон вышел за пределы
металла. Сегодня изучены и используются более сложные виды фотоэф-
фекта: многофотонный - когда одному электрону передается энергия
сразу нескольких квантов света; внутренний - когда электроны не выхо-
дят за пределы твердого тела, но превращаются в свободные носители
заряда, увеличивая проводимость образца и др.
3.3. Корпускулярные свойства света
Обобщение данных различных опытов позволило говорить о том,
что электромагнитное излучение наряду с волновыми свойствами имеет
свойства корпускулярные, при этом не существует опытов, которые
принципиально невозможно интерпретировать с обеих точек зрения.
370
Взаимодействие света с веществом, в особенности процессы излу-
чения и поглощения квантов излучения, удобно рассматривать именно с
корпускулярной точки зрения, когда свет представляет собой поток час-
тиц - фотонов. Энергия каждого фотона
Еу = hv;
согласно теории относительности энергия частицы связана с ее массой
соотношением
Еу = т.е2,
откуда релятивистская масса фотона
а его импульс
hv
р =тс= — . (42)
с
Энергия, импульс и масса покоя любой релятивистской частицы
связаны соотношением
Е2 = nigC4 +(рс)2; (43)
отсюда для фотона тп 0 = 0 , т.е. масса покоя фотона равна нулю.
Тот факт, что фотон обладает не только энергией, но и импульсом,
хорошо иллюстрирует наличие светового давления.
Рассмотрим свет, падающий нормально на мишень с dJV
коэффициентом отражения р (рис. 3.4). Фотон, погло- $
S ....................................................—----
щенный мишенью, передает ей импульс hv/c ; фотон, от- 5
раженный мишенью, отдаст ей импульс 2/iv/c. Если за $ > -
раЛ
время dt на мишень упадет dN фотонов, то она получит
импульс Рис. 3.4
, 2Ztv hv <. \ ,,, /. \ Ztv ,
dp =-----pdN -I--(1 - p) AN =(l + p)—dN ;
c c c
hvdN = dE - энергия, излучаемая источником за время dt.
Таким образом, действующая на мишень сила светового давления
г'^ = (1+р)Г17’(1+₽)Т- <44)
где W - мощность излучения.
Полученный результат согласуется с результатами многочисленных
экспериментов по измерению светового давления.
Контрольные задания
Качественные задачи
1. При каком условии непрозрачный предмет дает тень без полутени?
2.Если поверхность воды колеблется, то изображения предметов в
воде принимают причудливые формы. Почему?
3. Может ли человек бежать быстрее своей тени?
4. При каком условии плоское зеркало может дать действительное
изображение?
5. Почему заходящее солнце кажется нам красным?
6. Нагрейте на спиртовке лезвие безопасной бритвы. Вы увидите на по-
верхности металла так называемые «цвета побежалости» - радужную окра-
ску, появляющуюся при нагревании стали до температуры 220-350° С.
Объясните явление.
7. Диаметр зрачка человеческого глаза может меняться от 2 до 8 мм.
Чем объяснить, что максимальная острота зрения имеет место при диа-
метре зрачка 3-4 мм?
8. Как объяснить радужные кляксы, наблюдаемые в тонком слое ке-
росина на поверхности воды?
9. Если, прищурив глаз, смотреть на нить лампочки накаливания, то
нить кажется окаймленной светлыми бликами. Почему?
10. Почему свет, преломляясь в бриллианте, дает более насыщенные
цвета, чем при преломлении в стразе (стеклянной имитации бриллианта)
той же формы?
Ответы:
1. Когда источник света точечный.
2. Колеблющаяся поверхность воды представляет собой ряд вогнутых и вы-
пуклых зеркал самой разнообразной формы, дающих разнообразные изображения.
3. Может, если тень образуется на стене, параллельно которой бежит чело-
век, а источник света движется быстрее человека в том же направлении, что и
человек.
4. Если на зеркало падает сходящийся пучок лучей.
5. Лучи заходящего солнца проходят в атмосфере ббльший путь; при этом
воздух и различные частицы в нем (например, пылинки) рассеивают равным об-
разом коротковолновое излучение.
6. При температуре 220-350° С сталь покрывается тонким прозрачным
слоем окисла. Толщина этого слоя (следовательно, и цвет побежалости) зависит
от температуры. Например, температуре 220° С соответствует светло-желтый
цвет, температуре 285° С - фиолетовый.
7. При большом диаметре зрачка острота зрения уменьшается из-за боль-
шой сферической аберрации. При малом диаметре сказывается искажение изо-
бражения дифракционными явлениями.
372
8. Радужные полосы в тонких пленках возникают в результате интерферен-
ции световых волн, отраженных от верхней и нижней границ пленки. Волна, от-
раженная от нижней границы, отстает по фазе от волны, отраженной от верхней
границы. Величина этого отставания зависит от толщины пленки и длины свето-
вых волн в пленке. Вследствие интерференции будет происходить гашение одних
цветов спектра и усиление других. Поэтому места пленки, обладающие разной
толщиной, будут окрашены в различные цвета.
9. Имеет место дифракция на щели, образованной веками прищуренного
глаза, и на решетке, образованной ресницами.
10. Бриллиант (алмаз) имеет более высокий коэффициент преломления
(п = 2,5 ), а значит, и большую дисперсию.
Примеры решения задач
1. Луч света падает на плоскопараллель-
ную пластину из стекла с показателем пре-
ломления п = 1,73 толщиной Н = 1см (см.
рис). Из-за многократных отражений от гра-
ней пластины на экране Э образуется ряд
светлых пятен. Найти расстояние d между
этими пятнами, если угол падения a = 60° и
падающий луч перпендикулярен плоскости
экрана. Плоскость падения луча совпадает с
плоскостью рисунка.
Решение. После однократного преломления на обеих гранях пластинки луч
выходит из пластинки параллельно падающему лучу. Поскольку при дальнейших
отражениях и преломлениях углы падения на грани одинаковы, все падающие на
экран лучи параллельны падающему. Расстояние d между этими лучами, равное
расстоянию между пятнами на экране,
d = ACcosa, AC = 2HtgP, tgP = . SlnP , sinp = -^,
71-sin2 P n
, H sin 2a . __
откуда a = > « 0,58 cm.
vn2 - sin2 a
Ответ: d = 5,8103M.
2. Узкий пучок света, проходящий через центр стеклянного шара
радиусом R , фиксируется на расстоянии 2R от его центра. Определить
показатель преломления стекла п .
Решение. В этой задаче используются законы так называемой параксиаль-
ной оптики, т.е. оптики малых углов падения и преломления лучей. Для малых
углов sina » tga « а и закон преломления принимает вид nlal = n2a2.
373
Рассмотрим произвольный луч пучка, падающего на шар на расстоянии h
от оси (см. рис). Так как h<szR (пучок узкий),
угол падения этого луча на шар а « h/R <к 1 . По-
строив дальнейший ход этого луча, найдем все
углы в треугольниках АОВ , OBD и BDC :
АОАВ = АОВА = -- ABOD = — -a;
п п
{2(Х 1 I 1
ABCD = a-\-----а = 2а 1--
V п ) \ п
Тогда BD = В-а , DC = ---
I » ) 2<Д%)
г. 2-п
('-%) 2<’-т
По условию задачи DC = R , откуда получаем п = 4]3 .
Ответ: п = .
3. Пространство между двумя стеклянными линзами заполнено водой
(см. рис). Одна из линз двояковогнутая с радиусом кривизны преломляю-
щих поверхностей Д = 30 см. Вторая линза двояковыпуклая с радиусом
кривизны преломляющих поверхностей 7?, = 20 см. Определить фокусное
___________R.\-------------расстояние F этой оптической системы. Счи-
тать ЛИНЗЫ и слой воды между ними тонкими.
—--------------------------т *jj~ Абсолютный показатель преломления стекла
/ У*дУ ni = 1>5 , воды п2 = 1,333 .
Решение. Будем рассматривать эту систему
линз как систему из трех линз: двух стеклянных - собирающей и рассеивающей,
и водяной линзы. Оптическая сила этой системы
1 _ 1 1 1
F ~ F, + F2 + Д '
Оптическая сила собирающей стеклянной линзы Д = —, Д = ——
Fi R
„ - 1 2(га"1)
Оптическая сила рассеивающей линзы — = —------ .
F2 R2
„ - 1 i А1 и
Оптическая сила водяной линзы — = (п. -1)---.
Д v 2 r2)
Окончательно получим: F = ------'—А,----.
(2п,-п2-1)(Д-Д)
Ответ: F « 90 см.
374
4. Луч света падает на основание прямоугольной призмы перпенди-
кулярно основанию (см. рис. а). Определить угол у между падающим
лучрм и лучом, вышедшим из призмы. Угол при вершине призмы
<р = 30°. Показатель преломления материала призмы п = 1,5 .
Решение. Ход лучей в призме по-
казан на рис. б. В точке D луч, падаю-
щий на призму перпендикулярно ее
грани, не испытывает преломления. На
грань АВ луч падает иод углом
а = 90°-<р ; а = 60° .
Угол полного внутреннего отра-
жения для границы етекло-воздух
a(l=arcsin—, (х,1~4Г'2О’. а > а(|,
п
следовательно на грани призмы АВ происходит явление полного отражения:
луч MN падает на грань ВО , причем угол падения Р = ф, Р = 30° .
Для доказательства рассмотрим треугольник MBN :
Р +90° + ф + (90°-а) = 180° , р = а-ф = 90°-2ф; так как ф = 30°,то Р = ф.
Угода, - угол преломления лучей на границе етекло-воздух - определим
из закона преломления:
sina, _ a = arcsin(zi-sinp).
sinp 1 v ’
Угол между падающим и вышедшим лучами
у = а,+90°, y = 90° + arcsin(/isinp).
Ответ: у«138°40'. 5 *
5. Лампа висит на высоте h = 3 м. На какой высоте Л] видит эту
лампу пловец из под воды? Показатель преломления воды п = 1,333 .
Решение. Лампа S будет казаться пловцу вися-
щей на высоте Л, в точке S', в которой встречаются
два луча (один, падающий нормально к поверхности
раздела - точка В , другой под углом а - точка А ),
попадающих в глаз пловца, от источника S (см. рис).
Рассмотрим треугольники ABS и ABS':
АВ = BStga = htga ; АВ = BS'tgР = /г, tgP ,
откуда
Y
375
Поскольку углы а и р малы (малы размеры зрачка глаза), то
tga = sina; tgp = sin0,
, , sina , , . ,
тогда h, = h---= nh => h, = 3 • 1,33 = 4 m.
sinp
Ответ-, =4 м.
6. Два когерентных источника света посылают на экран свет длиной
волны к = 550 нм, дающий на экране интерференционную картину. Ис-
точники удалены один от другого на d = 2,2 мм, а от экрана - на
( = 2,2 м. Определить, что будет наблюдаться на экране в точке О -
гашение или усиление света.
Решение. Для ответа на вопрос задачи необходимо знать оптическую раз-
ность хода лучей А . В данном случае оптическая разность хода лучей равна их
геометрической разности (лучи располагаются в одной среде - воздухе):
& = S2D = S2O-Sp; StO = (.
Из треугольника S,OS2 (см. рис.)
s2o='le+d2 = ^\+(d/()2.
Учитывая, что d/( величина малая по сравнению с I,
можно воспользоваться формулой приближенного вычисле-
ifdY'
2U
ния
S2O = (
тогда
2 (г
d2 (2,2-10-3)2
2С~ 2-2,2
= 1,1-10'6м.
A = f
В точке О будет максимальное усиление, если разность хода будет соот-
ветствовать целому числу волн, т.е. k = 1; 2; 3;...
А_ 1,1-lQ-6
к ~ 5,5 -10’7
Ответ-, в точке О произойдет усиление света (светлая полоса).
7. Плосковыпуклая линза, радиус кривизны
которой R = 12 м, положена выпуклой стороной
на плоскопараллельную пластину (см. рис). На
плоскую грань линзы нормально падает монохро-
матический свет, и в отраженном свете образуются
темные и светлые кольца. Определить длину вол-
ны X монохроматического света, если радиус
шестого темного кольца г6 = 7,2 10"3 м, k = 6.
376
Решение. На плоскую поверхность линзы нормально падает световая вол-
на, которая частично отражается от выпуклой поверхности линзы, другая часть
проходит через воздушный промежуток d, затем отражается от плоской пласти-
ны, при этом разность хода увеличивается на Х/2 . Таким образом, вторая волна
проходит путь d дважды, следовательно, разность хода A = 2d + (X/2).
X XX
Условием минимума света будет А = — (2& + 1), или 2d + — = 'kk + —,
откуда d = Мг/2 .
Из треугольника ABC R2 =(R-d)2 + r6‘, 2Rd -d2 = r62.
Величиной d2 можно пренебречь из-за малости d, тогда получим
2 Rd = г62, откуда d = г2/2R .
Сравнивая полученные выражения для d : — = ——, получим
Х =
kR
(7,2-10’3)2
642
= 7,2 40’7м.
Ответ: Х = 720 нм.
8. Период дифракционной решетки
d = 0,016 мм. Красная линия спектра второго
порядка оказалась расположенной на расстоянии
А* =14,2 см от средней линии. Расстояние от
решетки до экрана I = 1,5 м. Определить длину
волны красных лучей Хк и ширину спектра h
второго порядка. Длина волны фиолетовых лучей
Хф = 440“7м (см. рис).
Решение. Длину волны красных лучей найдем из формулы дифракционной
решетки: /гХк = dsincp . В данном случае угол ср очень мал, поэтому sin(р »tg(p .
„ . dtgip , dhK 1,640"’ 4,4240“' _„ln-7
к k k£ 24,5
Для определения ширины спектра надо знать расстояние от средней линии
спектра до фиолетовых лучей Ьф дифракционной решетки:
, Х„М 41О“7-21,5 _ . ,._2
ha = —— ---------;— = 7,540 м.
Ф d 1,6 10“’
Тогда h = - Лф = 14,2 • 10“2 - 7,5 • 10“2 = 6,7 10“2 м.
Ответ: Хк = 7,57 10“7 м; Л = 6,710“2м.
377
9. На пути частично поляризованного пучка света поместили никель.
При повороте николя на угол ф = 60° из положения, соответствующего
максимальному пропусканию света, интенсивность прошедшего света
уменьшилась в 5 - 3 раза. Найти степень поляризации падающего света.
Решение. Частично поляризованный свет можно рассматривать как смесь
плоскополяризованного и естественного света. Николь всегда пропускает половину
падающего на него естественного света (превращая его в плоскополяризованный).
Степень пропускания поляризованного света, падающего на николь, зави-
сит, согласно закону Малюса, от взаимной ориентации главных плоскостей поля-
ризатора. Поэтому полная интенсивность света, проходящего через николь,
1 = 0,5In +JpCos2(p (I)
где 1п , 1р - интенсивности естественной и поляризованной составляющих све-
та, падающего на николь.
Чтобы воспользоваться формулой p = Lm—t заметим, что входящие в
^тах + Pii-i
нее величины, согласно (1), равны:
V = 0,57,+ZP; V=0,5Z„. (2)
По условию, = 61, или, согласно формулам (1) - (2),
J™x=s[V+(V-V)cos2(p]. (3)
Уравнение (3) содержит два неизвестных: , 1тт . Достаточно найти их отно-
шение a = Vx/V> так как степень поляризации Р можно выразить через
величину а :
Р = (4)
а +1
разделив обе части уравнения (3) на , имеем:
l = 5[a + (l-a)cos2(p].
Выразив отсюда а и подставив его в (4), получим:
Р =----Г~ 2~'\ = 0’8-
1 + 8(1 - 2cos2 ф)
Ответ-. Р = 0,8 .
10. Микроскоп дает увеличение в р = 157,5 раз. Фокусное расстояние
объектива f}=0,3 см. Предмет находится от объектива на расстоянии
а, =0,31 см. Определить увеличение Р2, которое дает окуляр, и его фо-
кусное расстояние f2. Какова длина L тубуса микроскопа, если изобра-
жение получается на расстоянии d2 = 26,25 см?
378
Решение. Увеличение микроскопа определяется увеличением 0, объектива
и 02 окуляра: 0 = 0, + 02. Для определения 02 необходимо знать увеличение 0,,
которое дает объектив.
Определить положение изображения, полученного от объектива можно из
формулы линзы:
111 , f,a, 9,3 см-0,31 см
— = — + —; а, = — 1 --------------------= 9,3 см;
f а, а{ 0,31 см-0,3 см
АЛ
01=4 = ЛЗ_£± = ЗО;
Oj 0,31 см
Найдем увеличение,
которое дает окуляр:
г=£=112Л =
₽, 30
Определим расстояние а2 (см. рис.)
от окуляра до изображения А'В', которое по отношению к окуляру можно
считать предметом:
а', 26,25 см .
а, = — =---------= 5 см.
02 5,25 см
Окуляр по отношению к изображению Д'В, располагают так, чтобы рас-
сматривалось, как через лупу; в этом случае, изображение А2В2 будет мнимым и
при определении фокусного расстояния f2 окуляра необходимо поставить знак
минус перед 1/а2 ;
111 1 1 , , „
—=--------=----------------; /2=6,2 см.
/2 а2 а2 5 см 26,25 см
Длина тубуса микроскопа L = а{ + а2 =9,3 + 5 = 14,3 см.
Ответ: 02 = 5,25 ; /2=6,2 см; В = 14,3 см.
Задачи для самостоятельного решения
1. Луч света падает на границу раздела двух сред, причем угол па-
дения равен 30°. Показатель преломления первой среды 2,4. Определить
показатель преломления второй среды, если известно, что отраженный и
преломленный лучи перпендикулярны друг другу.
2. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы Д =1 м, второй
В2 = 0,2 м. Определить, собирающая или рассеивающая это линза. Най-
ти фокусное расстояние линзы. Показатель преломления материала лин-
зы и, = 1,5 . Чему равна оптическая сила такой линзы в жидкости с пока-
зателем преломления п2 = 1,7 ?
379
3. Под центром основания сплошного стеклянного
цилиндра (см. рис.) лежит монета. Видна ли она через
боковую поверхность цилиндра? Показатель преломле-
ния стекла п = 1,6.
4. Внутри стекла имеется воздушная полость треугольного сечения
(см. рис.). Угол при вершине треугольника
у = 30°. Показатели преломления стекла и
воздуха соответственно равны: пс = х/З ,
nB = 1. На боковую грань треугольника приз-
мы падает луч света под углом а = 30° . Опре-
делить угол Р выхода луча из другой грани
призмы.
5. С помощью линзы с фокусным расстоянием F на экране получают
уменьшенное И, и увеличенное Н2 изображения предмета, находящего-
ся на расстоянии L от экрана. Найти отношение размеров изображений.
6. Расстояние между двумя когерентными источниками света (ще-
лями) с длиной волны 3, = О,5мкм равно с? = 0,1мм. Расстояние между
интерференционными максимумами в средней части интерференцион-
ной картины Дх = 1см. Определить расстояние L от источников до эк-
рана, плоскость которого параллельна плоскости щели.
7. Собирающую линзу диаметром D = 5 см с фокусным расстояни-
ем F = 50 см разрезали по диаметру пополам и половинки раздвинули на
расстояние й = 5мм. Точечный источник света S расположен на рас-
стоянии а = 1 м от линзы. На каком расстоянии L от линзы можно на-
блюдать интерференционную картину?
8. Радиус четвертой зоны Френеля для плоского волнового фронта
г4 = 3 мм (п, = 4). Определить радиус двенадцатой зоны Френеля г12 из
этой же точки наблюдения (п2 =12).
9. Период дифракционной решетки d = 4 мкм. Дифракционная кар-
тина наблюдается с помощью линзы с фокусным расстоянием F =40 см.
Определить длину волны X падающего нормально на решетку света,
если первый максимум на экране находится на расстоянии х = 5 см от
центрального.
380
10. Поляризатор освещен параллельным пучком естественного све-
та, падающим перпендикулярно к его поверхности. Освещенность поля-
ризатора Е0=84лк. Определить освещенность Е экрана, расположен-
ного за анализатором, если плоскости поляризации и анализатора будут
сдвинуты на а = 60° и каждый из элементов поглотит т] = 4% проходя-
щего через него светового потока. Плоскость экрана перпендикулярна
направлению распространения света.
Ответы:
1. = 1,4.2. В жидкости с показателем преломления nx > п такая линза явля-
ется собирающей. £ = -0,5 м. Д=-2 дптр. 3. Монета не видна. 4. (S = 17° .
5. 2 -J ,£ . 6. L = 7. L = l,22 м. 8. г,, «5,2 мм.
L lT~ I
---л-----г Li
U V 4 J
9. /. = (), 5 мкм. 10. £ = 9,65 лк.
РАЗДЕЛ VI. ОСНОВЫ ФИЗИКИ АТОМА.
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
Глава 1. основы физики атома
1.1. Общие сведения
Гипотеза о том, что все вещества состоят из большого числа атомов,
зародилась свыше 2 000 лет тому назад.
Сторонники атомистической теории рассматривали атом (с греч. - не-
делимый) как мельчайшую неделимую частицу и считали, что все многооб-
разие мира есть не что иное, как сочетание неизменных частиц - атомов.
Конкретные представления о строении атома развивались по мере
накопления физикой фактов о свойствах вещества.
Большая роль в этой области физической науки принадлежит Д.И. Мен-
делееву, который, открыв периодический закон, впервые на научной осно-
ве поставил вопрос о единой природе атомов. Д.И. Менделеев говорил, что
атомы простых тел есть сложные вещества.
Открытия, совершенные во второй половине XIX в., заставили по-
степенно усомниться в справедливости представлений об атомах как не-
делимых частицах. Важным стало открытие немецких ученых К. Кирх-
гофа и Р. Бунзена. Они обнаружили, что каждому химическому элементу
соответствует характерный, присущий лишь этому элементу набор спек-
тральных линий в спектрах испускания и поглощения.
Это означало: свет испускается и поглощается отдельными ато-
мами, а атом, в свою очередь, представляет собой сложную систему,
способную взаимодействовать с электромагнитным полем.
1.2. Модели атома Томсона и Резерфорда
Английский физик Дж. Томсон в 1898 г. предложил первую модель
атома в виде положительно заряженного шарика радиусом порядка КГ10 м,
в который вкраплены отдельные электроны, нейтрализующие положи-
тельный заряд.
Экспериментальная проверка модели Томсона была осуществлена в
1911 г. английским физиком Э. Резерфордом. Резерфорд использовал для
этой цели поток быстрых положительно заряженных а -частиц, испускае-
мых некоторыми так называемыми радиоактивными веществами (напри-
мер, полонием) и имеющих заряд +2е и массу, равную 6,64 10 ” кг. Про-
пуская пучок а -частиц через тонкую золотую фольгу, Резерфорд обнару-
жил, что некоторая часть частиц отклоняется на довольно значительный
угол от первоначального направления, а часть даже отражается от фольги.
382
Этот результат был совершенно непонятен в рамках модели Томсо-
на, так как положительный заряд атома, распределенный по всему его
объему, не мог оказать столь значительного воздействия на массивные и
быстрые а-частицы.
Обобщая результаты опытов, Резерфорд предложил ядерную (пла-
нетарную) модель строения атома, в которой атом представлен в виде
миниатюрной Солнечной системы. Согласно этой модели, весь положи-
тельный заряд и почти вся масса атома (99,4%) сосредоточены в атомном
ядре. Размер ядра (-10 15 м) ничтожно мал по сравнению с размером
атома (-10 10м). Вокруг ядра по замкнутым эллиптическим орбитам,
которые в первом приближении можно считать круговыми, движутся
электроны, образуя электронную оболочку атома. Заряд ядра равен сум-
марному заряду электронов.
Однако предложенная Резерфордом модель строения атома не объ-
яснила спектральных закономерностей и даже оказалась в противоречии
с законами классической механики и электродинамики.
В самом деле, движение электрона по орбите, как и всякое криволи-
нейное движение, есть движение с ускорением. Согласно законам класси-
ческой электродинамики, криволинейное движение должно сопровождать-
ся излучением света соответствующей частоты. Следовательно, при дви-
жении электрона вокруг ядра атом должен непрерывно излучать энергию.
Но уменьшение энергии приводит к уменьшению радиуса орбиты элек-
трона - электрон должен двигаться по спирали, приближаясь к ядру. А так
как скорость движения электрона остается неизменной, то должна увели-
читься и круговая частота его вращения, непрерывно должна расти частота
излучения, т.е. спектр излучения должен быть сплошным. Непрерывно
приближаясь к ядру, электрон через малое время должен упасть на ядро,
т.е. в модели Резерфорда атом является неустойчивой системой.
В действительности же атомы являются весьма устойчивыми систе-
мами и имеют линейчатые, а не сплошные спектры излучения.
1.3. Спектр атома водорода. Сериальные формулы
Внутреннее строение атома изучать непосредственно невозможно
из-за малости его размера (приблизительно Ю"|Ом). Структура атома
проявляется только косвенно в явлениях, связанных с его внутренним
строением. К числу этих явлений относится излучение.
При изучении излучения элементов ученым удалось установить общие
закономерности в характере спектров и найти ряд эмпирических законов,
которым они подчиняются. Было установлено, что спектральные линии всех
элементов можно разбить на ряд серий. Структуры соответствующих серий,
383
относящихся к различным химическим элементам, схожи между собой.
В пределах одной серии расположение спектральных линий имеет опре-
деленный порядок. Наиболее простым атомом является атом водорода.
В 1885 г. Бальмеру удалось найти формулу, описывающую распре-
деление спектральных линий видимого спектра атома водорода, полу-
чивших название «серии Бальмера»:
где "к- длина волны; \/к~ волновое число; п для различных линий се-
рии принимает значение последовательного ряда целых чисел, начиная с
трех: п = 3,4,5,...; R = 1,097 107 м1 - постоянная Ридберга.
Формула (1) определяет длину волны, соответствующую последова-
тельным линиям серии Бальмера, как функцию целого числа.
Исследования излучения в невидимой части спектра показали, что
существуют серии, расположенные в инфракрасной области, - серии Па-
шена, Брэккета, Пфунда, в ультрафиолетовой области - серия Лаймана.
Формулы, определяющие расположение спектральных линий в ка-
ждой из этих серий, аналогичны формуле для серии Бальмера. Обычно
обобщенную формулу Бальмера для всех линий спектра атома водорода
записывают в виде
где i и п принимают вполне определенные значения для каждой серии
и каждой спектральной линии (табл. 1.1).
Таблица 1.1
Значение i Наименование серии Значение п
1 Лаймана 2,3,4, ...
2 Бальмера 3,4, 5,...
3 Пашена 4, 5, 6, ...
4 Брэккета 5,6,7, ...
Учитывая, что
, С 1 V
л=— или — = —,
V к с
формулу можно переписать в виде
v = 7?'[l—О, (3)
у I п )
где R'-Rc = 3,29-1015 с'1. Величину R' также называют постоянной
Ридберга.
384
При увеличении п длина волны уменьшается, а частота линий уве-
личивается и достигает предельного значения R/i2 при п—>сс;
R]i2 является границей серии.
1.4. Комбинационный принцип Ритца
Аналогичные спектральные линии имеются не только у атома водо-
рода, а, например, и у щелочных металлов. Расположение спектральных
линий у них определяется формулой, аналогичной формуле Бальмера.
Частота, соответствующая какой-либо спектральной линии этой серии,
является разностью двух величин, одна из которых зависит от номера I
серии и постоянна для всех линий данной серии, а другая определяется
номером п линии в этой серии. Такая закономерность объясняет, что
частота некоторой спектральной линии часто оказывается равной
сумме частот, соответствующих двум другим линиям спектра.
Эта закономерность была установлена экспериментально Ритцем и
названа комбинационным принципом, который является основой всей
современной спектроскопии.
Комбинационный принцип Ритца:
Для каждого атома возможно найти последователь-
ность чисел, называемых спектральными термами, та-
ких, что частоты всех спектральных линий этого ато-
ма будут выражаться в виде двух каких-либо спек-
тральных термов:
v = Tt{i)-T2[ri). (4)
Справедливость этого принципа подтверждается многочисленными
экспериментальными данными. Обоснование этого принципа связано со
строением атома, с процессами, происходящими внутри атома при излу-
чении волн с частотой, соответствующей какой-либо спектральной ли-
нии. И только теория Бора, выдвинутая им в 1913 г., выявила значение
спектральных законов и показала, что эти законы отражают квантовый
характер внутриатомной структуры.
1.5. Модель атома водорода по Бору
Н. Бор ввел идеи квантовой теории в ядерную модель Резерфорда и
разработал теорию атома водорода, полностью подтвержденную экспе-
риментально.
В основе боровской теории атома лежат два основных положения
(постулата):
385
1. Электроны могут двигаться в атоме только по определенным ор-
битам, находясь на которых они, несмотря на наличие у них ускорения, не
излучают.
Эти орбиты соответствуют стационарным состояниям электронов в
атоме и определяются условием
= , (5)
2л
где гп -.радиус п -ой орбиты; vn - скорость электрона на этой орбите;
те - масса электрона; mtvnrn - момент импульса электрона на этой орбите;
п - целое число (п * 0); главное квантовое число h = 6,62 • 10 34 Дж • с -
универсальная постоянная, получившая название постоянной Планка;
Й = Л/2л = 1,05-Ю34 Дж-с.
2. Атом излучает или поглощает квант электромагнитной энергии
при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое.
Энергия кванта равна разности энергий стационарных состояний
электрона до (Е2) и после (Д) перехода:
йу = £2-Д. (6)
Рассмотрим простейший атом - атом водорода. Он состоит из ядра,
в состав которого входит один протон, и одного электрона, вращающего-
ся вокруг ядра по круговой орбите. Па электрон со стороны ядра дейст-
вует кулоновская сила притяжения, сообщая ему центростремительное
ускорение, поэтому
т
г, г.
где е - заряд электрона и протона, е0 - электрическая постоянная.
Поскольку должен выполняться первый постулат Бора, воспользу-
емся выражением (5). Определим скорость ип, возведем в квадрат и под-
ставим в (7). Из полученного выражения найдем
где п =1, 2, 3,....
Как следует из соотношения (8), радиусы орбит электрона в атоме
водорода пропорциональны п2. Подставляя в (8) значения констант и
считая п = 1, получаем значение первого боровского радиуса, который
является единицей длины в атомной физике:
гБ =0,528-10 10 м.
386
1.6. Уровни энергий в атоме
По боровской модели ядро атома считается неподвижным, поэтому
полная энергия Е атома является суммой кинетической энергии Ек
вращения электрона и потенциальной энергии Еп взаимодействия элек-
трона с ядром:
„ то2 е2 „ е2 „ „ „ е2
Ек —-------------, Еп —----------, Е — Еу + Еп —---------. (9)
2 87ХЕог„ 4ле0ги 8ле0г„
Полученное значение Е отрицательно, так как потенциальная энер-
гия двух зарядов, находящихся на бесконечно большом расстоянии,
предполагается равной нулю. При сближении зарядов потенциальная
энергия уменьшается.
Наименьшей энергией, как следует из уравнения (9), атом обладает
при n = 1. В этом случае говорят, что атом находится в основном энерге-
тическом состоянии. Состояния с n > 1 называют возбужденными.
Определим энергию Д на любом энергетическом уровне. Для это-
го подставим (8) в выражение (9):
4 1 4
_ те 1 те
1 ~”(4пе0)22/гД
(10)
1.7. Линейчатые спектры
При переходе электрона с одного энергетического уровня на другой,
согласно второму постулату Бора, выделяется или поглощается квант
энергии
(И)
, ,, с те | 1 1
liv^E,-- Е. = —— —----------
8й2е2 n2 п2
Если электрон переходит, например, со второй орбиты (п2 = 2) на
первую(п, =1), то выделяется квант энергии. В обратном случае такой
же квант энергии поглощается. Таким образом, максимальную энергию
атому водорода нужно сообщить для того, чтобы перевести электрон на
орбиту с п = 1 на п -> оо, т.е. оторвать его от ядра (ионизировать атом).
Из соотношения (11) можно определить частоту v или длину волны
X = c/v поглощаемого или испускаемого фотона:
J____1_
2 2
П] п2
те
8й3е2
(12)
387
1 _ тпе4 [ J_________1_
X 8ft3 nl
(13)
(12) и (13) - сериальные формулы. Видно, что выражение (12) представ-
ляет собой обобщенную формулу Бальмера, а величина
R=-^rr-
8h\oc
(14)
является постоянной Ридберга. Значение R, вычисленное по формуле
(14) совпадает с экспериментальным значением этой постоянной, что
является подтверждением правильности теории Бора для атома водорода.
Теория Бора объяснила расхождения при экспериментальных опре-
делениях постоянной Ридберга для атома водорода и однократно иони-
зованного атома гелия.
Бор указал, что для получения точных выражений постоянной Рид-
берга нужно учитывать движение ядра под действием сил со стороны
электрона. Теория, исходившая из предположения о неподвижности яд-
Е, эв
14 L
13
12
11
10 -
2
{J — *
Серия
Пашена
Серия
Бальмера
6
5
Серия
Лаймона
Рис. 1.1
ра, является лишь первым при-
ближением. Таким образом, на
основании теории Бора можно
объяснить наличие линейчатых
спектров, образующихся у атома
водорода при переходе электрона
из одного стационарного состоя-
ния в другое. Каждая спектральная
линия получается в результате
того, что атом испускает фотон
при переходе из одного энергети-
ческого состояния в другое. При
этом разность между энергиями
атома в начальном и конечном
состояниях определяет частоту
электромагнитного излучения, а
следовательно, и положение дан-
ной линии в спектре. Придавая п
в соотношении (10) различные
значения, можно получить вели-
чину энергий стационарных со-
стояний атома водорода (рис. 1.1).
9 -
8
7
388
Существование дискретных энергетических состояний атомов явля-
ется одной из самых характерных особенностей их свойств, оно доказано
многочисленными опытами.
Рождение теории Бора ознаменовало начало нового этапа в разви-
тии современной физики. Тем не менее эта теория обладала рядом недос-
татков. Сам Бор первым заметил и подчеркнул слабые стороны предло-
женной им теории: искусственность планетарной модели, своеобразие
понятий стационарных состояний, т.е. сочетание классических и кванто-
вых понятий.
1.8. Спин электрона. Спиновое квантовое число
Голландские физики Уленбек и Гоудсмит в 1925 г. выдвинули гипо-
тезу, согласно которой электрон обладает не только электрическим
зарядом, но также магнитным и механическим моментами.
Для описания собственного вращения электрона и соответствующе-
го момента импульса они ввели понятие «спин» (от англ, spin - вращать).
Спином электрона или другой элементарной частицы называют
собственный момент импульса (Ms).
Магнитный момент частицы обозначается ps. Этот момент может
иметь только две ориентации относительно индукции внешнего магнит-
ного поля. Проекция спина на направление индукции внешнего магнит-
ного поля принимает только два значения:
Msz=s— = sft, (15)
2л
где h ~ А/2л; s = ±1/2- спиновое квантовое число.
Собственный момент импульса электрона определяется через спи-
новое квантовое число s по формуле
(16)
Опытным путем было установлено, что отношение собственного
магнитного и механического моментов электрона
-Ь- = —— , (17)
Ms тс
где ps- собственный магнитный момент электрона; т- масса электро-
на; е- заряд электрона; с - скорость света в вакууме.
Подставляя (16) в (17), определяем собственный магнитный момент:
ps=-—М8=~х/з=цлх/з, (18)
тс тс
где магнетон Бора.
389
Физический смысл знака минус в формуле (18) означает, что меха-
нический и магнитный моменты электрона имеют противоположные на-
правления.
Проекция собственного магнитного момента на направление индук-
ции магнитного поля равна магнетону Бора:
Msz=±MB- (19)
Магнитный и механический моменты электрона проявляются не
только в магнитных свойствах вещества, но и в других явлениях, напри-
мер, наличии спина у электрона объясняются особенности оптических
спектров.
1.9. Фермионы. Бозоны. Принцип Паули
На основании принципа неразличимости тождественных частиц в
квантовой механике частицы делят на два класса состояний, зависящих
от их природы.
В природе существуют частицы, например, фотоны и некоторые яд-
ра, обладающие спином, равным й/2л = h. Эти частицы называют бозо-
1. - h h ,
нами. Частицы, имеющие спин, равный — = — , называют фермионами.
4л 2
К фермионам относятся электроны, протоны, нейтроны. Для всех фер-
мионов справедливо утверждение: в системе в одном н том же кванто-
вом состоянии не может находиться более одного фермиона (принцип
запрета Паули).
Стационарное квантовое состояние электрона в атоме характеризу-
ется четырьмя квантовыми числами: главным п (n = 1, 2, 3, 4), орби-
тальным I (I = 1, 2,..., п-1), магнитным т(т = -1, ..., -1, 0, 1, ..., +1),
спиновым 8 (б = ±1/2) .
Принцип Паули в применении к атому гласит:
В атоме каждый электрон обладает своим набором
квантовых чисел, отличным от набора этих чисел для
любого другого электрона.
Общее число электронных состояний, отличающихся хотя бы одним
из квантовых чисел, при данном главном квантовом числе п
2§(2i + l) = 2n2. (20)
z=o
Глава 2. физика атомного ядра.
РАДИОАКТИВНОСТЬ
2.1. Общие сведения
Ядро простейшего атома - атома водорода - состоит из одной эле-
ментарной частицы, называемой протоном. Ядра всех остальных атомов
состоят из двух видов частиц - протонов и нейтронов, называемых ну-
клонами. Протонно-нейтронная модель ядра была предложена в 1932 г.
одновременно и независимо Иваненко и Гейзенбергом.
Протон (р) обладает зарядом +е и массой тр =938,28 МэВ (в еди-
ницах энергии 1 а.е.м. =931,49 МэВ). Для сравнения укажем, что масса
электрона те = 0,511 МэВ. Отсюда следует, что тр = 1836тс.
Нейтрон (п) был открыт в 1932 г. Чедвиком. Электрический заряд ней-
трона равен нулю, а масса т„ = 939,57 МэВ очень близка к массе протона.
Разность масс нейтрона и протона составляет 1,3 МэВ, т.е. т,, - 2,5т,.
В свободном состоянии нейтрон нестабилен (радиоактивен) - он
самопроизвольно распадается, превращаясь в протон и испуская элек-
трон (е~) и еще одну частицу, называемую антинейтрино (v). Период
полураспада (т.е. время, за которое распадается половина первоначаль-
ного количества нейтронов) равен примерно 12 мин. Схему распада
можно написать следующим образом:
е _
п —> + v .
Р+
Масса атинейтрино равна нулю. Поскольку масса нейтрона больше
массы протона на 2,5те, следовательно, масса нейтрона превышает
суммарную массу частиц, фигурирующих в правой части данного урав-
нения, на 1,5те, т.е. на 0,77 МэВ. Эта энергия выделяется при распаде
нейтрона в виде кинетической энергии образующихся частиц.
2.2. Характеристики атомного ядра
Одной из важнейших характеристик атомного ядра является зарядо-
вое число Z. Оно равно количеству протонов, входящих в состав ядра, и
определяет его заряд, который равен +Ze. Число Z определяет порядко-
вый номер химического элемента в периодической таблице элементов
Д.И. Менделеева, поэтому его также называют атомным номером ядра.
391
Число нуклонов (т.е. суммарное число протонов и нейтронов) в ядре
обозначается буквой А и называется массовым числом ядра. Число ней-
тронов в ядре N = А - Z .
Для обозначения ядер применяется символ ^Х, где под X подра-
зумевается химический символ данного элемента. Слева вверху ставится
массовое число, слева внизу - атомный номер (его часто опускают). Ино-
гда массовое число пишут не слева, а справа от символа химического
элемента (ZX4).
Ядра с одинаковыми Z , но разными А называются изотопами.
Большинство химических элементов имеет несколько стабильных
изотопов. Так, например, у кислорода имеется три стабильных изотопа:
'gO, 'gO, 'gO; у олова - десять. Водород имеет три изотопа: J И - обыч-
ный водород, или протий (Z = 1, N = 0); Н - тяжелый водород, или дей-
терий ( Z = 1, N = 1); ’ Н - тритий (Z = 1, N = 2). Протий и дейтерий ста-
бильны, тритий радиоактивен.
Ядра с одинаковым массовым числом А называются изобарами
(“Аг и “Са).
Ядра с одинаковым числом нейтронов N называются изотопами
С С; “N).
Наконец, существуют радиоактивные ядра с одинаковыми Z и А,
различающиеся периодом полураспада. Они называются изомерами. На-
пример, существует два изомера ядра “ Вг ; у одного из них период по-
лураспада равен 18 мин, у другого - 4,4 ч.
Известно около 1500 ядер, различающихся либо Z, либо А, либо
тем и другим. Примерно 1/5 часть всех этих ядер устойчивы, остальные
- радиоактивны. Многие ядра были получены искусственным путем с
помощью ядерных реакций.
В природе встречаются элементы с атомным номером Z от 1 до 92,
исключая технеций (Тс, Z = 43) и прометий (Pm, Z = 61). Плутоний
(Pu, Z = 94) после получения его искусственным путем был обнаружен
в ничтожных количествах в природном минерале - смоляной обманке.
Остальные трансурановые (т.е. заурановые) элементы (с Z от 93 до 107)
были получены искусственным путем посредством различных ядерных
реакций.
392
Размер ядра.
В первом приближении ядро можно считать шаром, радиус которо-
го довольно точно определяется формулой:
г = 1,3-10~13А^3 см = 1,3’А!/1 ферми
(ферми - название применяемой в ядерной физике единицы длины, рав-
ной 10~15 м).
Из этой формулы следует, что объем ядра пропорционален числу
нуклонов в ядре. Таким образом, плотность вещества во всех ядрах при-
мерно одинакова.
Масса и энергия связи ядра.
Масса ядра всегда меньше суммы масс входящих в него частиц.
Это обусловлено тем, что при объединении нуклонов в ядро выделяется
энергия связи нуклонов друг с другом. Энергия покоя частицы связана с
ее массой соотношением Ео = тс2. Следовательно, энергия покоящегося
ядра меньше суммарной энергии невзаимодействующих покоящихся
нуклонов на величину
Есв =c2[[Zmp+(A-Z)mn]-m,,}. (1)
Эта величина и есть энергия связи нуклонов в ядре. Она равна той
работе, которую нужно совершить, чтобы разделить образующие ядро
нуклоны и удалить их друг от друга на такие расстояния, при которых
они практически не взаимодействуют друг с другом.
Соотношение (1) практически не нарушится, если заменить массу про-
тона тр массой атома водорода тн , а массу ядра тя - массой атома т,.
Действительно, если пренебречь сравнительно ничтожной энергией связи
электронов с ядрами, указанная замена будет означать добавление к умень-
шаемому и вычитаемому выражению, стоящему в фигурных скобках, оди-
наковой величины, равной гт,. Итак, формуле (2) можно придать вид:
Есв =c2{[ZmH+(A-Z)mJ-maj>. (2)
Формула (2) удобнее, чем (1), так как в таблицах обычно даются не
массы ядер, а массы атомов. Энергия связи, приходящаяся на один нуклон,
т.е. Есв /А называется удельной энергией связи нуклонов в ядре.
Величина
A = [Zmp +(А-г)тпп]-тпя (3)
называется дефектом массы ядра. Дефект массы связан с энергией связи
соотношением
А = £св/е2.
393
Вычислим энергию связи нуклонов в ядре * Не , в состав которого
входят 2 протона (Z = 2) и 2 нейтрона (А - Z = 2).
Масса атома * Не равна 4,00260 а.е.м., чему соответствует 3728,0 МэВ.
Масса атома водорода ,Н равна 1,00815 а.е.м. Масса нейтрона равна
939,57 МэВ. Подставив эти величины в формулу (3) получим:
= (2-938,7 + 2-939,5)-3728,0 = 24,8 МэВ.
В расчете на 1 нуклон энергия связи ядра гелия составляет 7,1 МэВ.
Для сравнения укажем, что энергия связи валентных электронов в атомах
имеет величину, в 106 раз меньшую (порядка 10 эВ). Для других ядер
удельная энергия связи, т.е. энергия связи, приходящаяся на 1 нуклон
(£СВ/А), имеет примерно такую же величину, как у гелия.
Рис. 2.1
На рис. 2.1 изображен график, пока-
зывающий зависимость удельной энергии
связи ECJА от массового числа А. Силь-
нее всего связаны нуклоны в ядрах с массо-
выми числами порядка 50-60 (т.е. для эле-
ментов от Сг до Zn). Энергия связи для
этих ядер достигает 8,7 МэВ/нуклон. С рос-
том А удельная энергия связи постепенно
уменьшается; для самого тяжелого природ-
ного элемента - урана она составляет
7,5 МэВ/нуклон.
Такая зависимость удельной энергии
связи от массового числа делает энергетически возможным два процесса:
1) деление тяжелых ядер на несколько более легких ядер,
2) слияние (синтез) легких ядер в одно яро.
Оба процесса должны сопровождаться выделением большого количе-
ства энергии. Так, например, деление одного ядра с массовым числом
А = 240 (удельная энергия связи 7,5 МэВ) на два ядра с массовыми чис-
лами А = 120 (удельная энергия связи 8,5 МэВ) привело бы к высвобож-
дению энергии 240МэВ. Слияние двух ядер тяжелого водорода । Н в ядро
гелия j Не привело бы к выделению энергии, равной 24 МэВ. Для сравне-
ния укажем, что при соединении одного атома кислорода с двумя атомами
углерода (сгорание угля до СО2) выделяется энергия порядка 5 МэВ.
Ядра со значениями массового числа А от 50 до 60 являются энер-
гетически более выгодными. В связи с этим возникает вопрос: почему
394
ядра с иными значениями А являются стабильными? Ответ заключается
в следующем. Для того, чтобы разделиться на несколько частей, тяжелое
ядро должно пройти через ряд промежуточных состояний, энергия кото-
рых превышает энергию основного состояния ядра. Следовательно, для
процесса деления ядер требуется дополнительная энергия (энергия акти-
вации), которая затем возвращается обратно, приплюсовываясь к энер-
гии, выделяющейся при делении за счет изменения энергии связи. В
обычных условиях ядру неоткуда взять энергию активации, вследствие
чего тяжелые ядра не претерпевают спонтанного деления. Энергия акти-
вации может быть сообщена тяжелому ядру захваченным или дополни-
тельным нейтроном.
Процесс деления ядер урана или плутония под действием захваты-
ваемых ядрами нейтронов лежит в основе действия ядерных реакторов и
обычной атомной бомбы.
Что касается легких ядер, то для слияния их в одно ядро они долж-
ны подойти друг к другу на весьма близкое расстояние (10-15 м). Такому
сближению ядер препятствует кулоновское отталкивание между ними.
Для того, чтобы преодолеть это отталкивание, ядра должны двигаться с
огромными скоростями, соответствующими температурам порядка не-
скольких сотен миллионов Кельвин.
По этой причине процесс синтеза легких ядер называется термо-
ядерной реакцией.
Термоядерные реакции протекают в недрах Солнца и звезд. В зем-
ных условиях пока были осуществлены неуправляемые термоядерные
реакции при взрывах водородных бомб. Ученые ряда стран настойчиво
работают над изысканием способов осуществления управляемого термо-
ядерного синтеза.
2.3. Модели атомного ядра
Попытки построения теории ядра наталкиваются на две серьезные
трудности: недостаточность знаний о силах, действующих между нукло-
нами; чрезвычайную громоздкость квантовой задачи многих тел (ядро с
массовым числом А представляет собой систему из А тел). Эти трудно-
сти вынуждают идти по пути создания ядерных моделей, позволяющих
описывать с помощью сравнительно простых математических средств
определенную совокупность свойств ядра. Ни одна из подобных моделей
не может дать исчерпывающего описания ядра. Поэтому приходится
пользоваться несколькими моделями, каждая из которых описывает свою
совокупность свойств ядра и свой круг явлений. В каждой модели со-
держатся произвольные параметры, значения которых подбираются так,
чтобы получить согласие с экспериментом.
395
Капельная модель предложена Я.И. Френкелем в 1939 г. и развита
затем Н. Бором и другими учеными. Френкель обратил внимание на сход-
ство атомного ядра с капелькой жидкости, заключающееся в том, что в
обоих случаях силы, действующие между составными частями - молеку-
лами в жидкости и нуклонами в ядре - являются короткодействующими.
Кроме того, практически одинаковая плотность вещества в разных ядрах
свидетельствует о крайне малой сжимаемости ядерного вещества. Столь
же малой сжимаемостью обладают и жидкости. Указанное сходство дало
основание уподобить ядро заряженной капельке жидкости.
Капельная модель позволила вывести полуэмпирическую формулу
для энергии связи частиц в ядре. Кроме того, эта модель помогла объяс-
нить многие явления, в частности, процесс деления тяжелых ядер.
Оболочная модель была развита Марией Гёпперт-Майер и другими
учеными. В этой модели нуклоны считаются движущимися независимо
друг от друга в усредненном нейтрально-симметричном поле. В соответ-
ствии с этим имеются дискретные энергетические уровни, заполняемые
нуклонами с учетом принципа Паули. Эти уровни группируются в обо-
лочки, в каждой из которой может находиться определенное число ну-
клонов. Полностью заполненная оболочка образует особо устойчивое
образование.
В соответствии с опытом, особо устойчивыми оказываются ядра, у
которых число протонов, либо число нейтронов (либо оба этих числа)
равно: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Эти числа получили название магических.
Ядра, у которых число протонов Z или число нейтронов N являет-
ся магическим (т.е. особо устойчивые ядра), также называются магиче-
скими. Ядра, у которых магическими являются и Z, и N , называются
дважды магическими.
Дважды магических ядер известно всего пять:
, Не (Z = 2, N = 2); ‘‘О (Z = 8, N = 8); % Са (Z = 20, N = 28);
2„Са (Z = 20, N = 28); 2“*Pb (Z = 82, N = 126).
Эти ядра особенно устойчивы. В частности, особенная устойчивость
ядра гелия * Не проявляется в том, что это единственная составная час-
тица, испускаемая тяжелыми ядрами при радиоактивном распаде (она
называется а-частицей).
2.4. Ядерные силы
Огромная энергия связи нуклонов в ядре указывает на то, что между
нуклонами имеется очень интенсивное взаимодействие. Это взаимодейст-
вие носит характер притяжения. Оно удерживает нуклоны на расстояниях
396
10~15 м друг от друга, несмотря на сильное кулоновское отталкивание
между протонами. Ядерное взаимодействие между нуклонами получило
название сильного взаимодействия. Его можно описать с помощью поля
ядерных сил.
Отличительные особенности ядерных сил.
1. Ядерные силы являются короткодействующими. Их радиус дей-
ствия имеет порядок 10~15 м. На расстояниях, существенно меньших
ИГ15 м, притяжение нуклонов сменяется отталкиванием.
2. Сильное взаимодействие не зависит от зарядов нуклонов. Ядер-
ные силы, действующие между двумя протонами, протоном и нейтроном
и двумя нейтронами, имеют одинаковую величину. Это свойство называ-
ется зарядовой независимостью ядерных сил.
3. Ядерные силы зависят от взаимной ориентации спинов нуклонов.
Так, например, нейтрон и протон удерживаются вместе, образуя ядро
тяжелого водорода - дейтрон (или дейтон) только в том случае, если их
спины параллельны друг другу.
4. Ядерные силы не являются центральными. Их нельзя представ-
лять направленными вдоль прямой, соединяющей центры взаимодейст-
вующих нуклонов. Нецентральность ядерных сил вытекает, в частности,
из того факта, что они зависят от ориентации спинов нуклонов.
5. Ядерные силы обладают свойством насыщения (это означает, что
каждый нуклон в ядре взаимодействует с ограниченным числом нукло-
нов). Насыщение проявляется в том, что удельная энергия связи нукло-
нов в ядре при увеличении числа нуклонов не растет, а остается пример-
но постоянной. Кроме того, на насыщение ядерных сил указывает также
пропорциональность объема ядра числу образующих его нуклонов.
По современным представлениям сильное взаимодействие обуслов-
лено тем, что нуклоны виртуально обмениваются частицами, получив-
шими название мезонов. Для того, чтобы уяснить сущность этого про-
цесса, рассмотрим прежде, как выглядит электромагнитное взаимодейст-
вие с точки зрения квантовой электродинамики.
Взаимодействие между заряженными частицами осуществляется
через электромагнитное поле. Мы знаем, что это поле может быть пред-
ставлено как совокупность фотонов. Согласно представлениям кванто-
вой электродинамики процесс взаимодействия между двумя заряженны-
ми частицами, например, электронами, заключается в обмене фотонами.
Каждая частица создает вокруг себя поле, непрерывно испуская и по-
глощая фотоны. Действие поля на другую частицу проявляется в резуль-
тате поглощения ею одного из фотонов, испущенных первой частицей.
Такое описание взаимодействия нельзя понимать буквально. Фотоны,
397
посредством которых осуществляется взаимодействие, являются не
обычными реальными фотонами, а виртуальными. В квантовой механике
виртуальными называются частицы, которые не могут быть обнаружены
за время их существования. В этом смысле виртуальные частицы можно
назвать воображаемыми.
Чтобы лучше понять смысл термина «виртуальный», рассмотрим
покоящийся электрон. Процесс создания им в окружающем пространстве
поля можно представить уравнением
е" е + йсо . (4)
Суммарная энергия фотона и электрона больше, чем энергия по-
коящегося электрона. Следовательно, превышение, описываемое уравне-
нием (4), сопровождается нарушением закона сохранения энергии. Од-
нако для виртуального фотона это нарушение является кажущимся. Со-
гласно квантовой механике энергия состояния, существующего в течение
времени At, оказывается определенной лишь с точностью АЕ, удовле-
творяющей соотношению неопределенности:
AEAt~h. (5)
Из этого соотношения вытекает, что энергия системы может пре-
терпевать отклонения ЛЕ, длительность которых At не должна превы-
шать значения, определяемого условием (4). Следовательно, если испу-
щенный электроном виртуальный фотон будет поглощен этим же или
другим электроном до истечения времени At = й/е (где е = Йсо), то на-
рушение закона сохранения энергии не может быть обнаружено.
При сообщении электрону дополнительной энергии (это может
произойти, например, при соударении его с другим электроном) вместо
виртуального может быть испущен реальный фотон, который может су-
ществовать неограниченно долго.
За определенное условием (4) время At = й/е виртуальный фотон
может передать взаимодействие между точками, разделенными расстоя-
нием I = с At = c(h/z).
Энергия фотона е = йсо может быть сколь угодно мала (частота со
может изменяться от 0 до <х>). Поэтому радиус действия электромагнит-
ных сил является неограниченным. Если бы частицы, которыми обмени-
ваются электроны, имели отличную от нуля массу т, то радиус дейст-
вия соответствующих сил был бы ограничен величиной
лх й й ,
r = cAtmm =с---=----= Х0,
ет„ тс
где Хо- комптоновская длина волны данной частицы. Мы предположили,
что частица - переносчик взаимодействия - движется со скоростью с .
398
В 1934 г. И.Е. Тамм высказал предположение, что взаимодействие
между нуклонами также передается посредством каких-то виртуальных
частиц. В то время кроме нуклонов были известны лишь фотон, элек-
трон, позитрон и нейтрино. Самая тяжелая из этих частиц - электрон -
обладает комптоновской длиной волны Хо = 3,86-Ю'11 см, на два по-
рядка превышающей радиус действия ядерных сил. Кроме того, величи-
на сил, которые могли быть обусловлены виртуальными электронами,
как показали расчеты, оказалась чрезвычайно малой. Таким образом,
первая попытка объяснения ядерных сил с помощью обмена виртуаль-
ными частицами оказалась неудачной.
В 1935 г. Юкава высказал смелую гипотезу о том, что в природе
существуют пока не обнаруженные частицы с малой, в 200 - 300 раз
большей массой электрона, и что эти-то частицы и выполняют роль пе-
реносчиков ядерного взаимодействия подобно тому, как фотоны являют-
ся переносчиками электромагнитного взаимодействия. Юкава назвал эти
гипотетические частицы тяжелыми фотонами. В связи с тем, что по ве-
личине массы эти частицы занимают промежуточное положение между
электронами и нуклонами, они впоследствии были названы мезонами (от
греч. mesoc - средний).
В 1936 г. Андерсон и Неддермейер обнаружили в космических лу-
чах частицы с массой, равной 207тпе. Вначале полагали, что эти части-
цы, получившие название ц-мезонов, или мюонов, и есть переносчики
взаимодействия, предсказанные Юкавой. Однако впоследствии выясни-
лось, что мюоны очень слабо взаимодействуют с нуклонами, так что не
могут быть ответственными за ядерные взаимодействия. Только в 1947 г.
Пауэлл и Оккиалини открыли в космическом излучении еще один тип
мезонов - так называемые л -мезоны, или пионы, которые оказались но-
сителями ядерных сил, предсказанные за 12 лет до того Юкавой.
Существуют положительный (л+), отрицательный (п) и нейтраль-
ный ( л°) мезоны. Заряд л+ - и л“ -мезонов равен элементарному заряду е.
Масса заряженных ионов одинакова и равна 273 тс (140 МэВ), масса л° -
мезона равна 264 тс (135 МэВ). Спин как заряженных, так и нейтрального
л -мезона равен нулю (s = 0). Все три частицы нестабильны. Время жизни
л+-и л”-мезонов составляет 2,60-Ю"8 п, л°-мезона- 0,8-10“'6 п.
Подавляющая часть заряженных л -мезонов распадается по схеме
Л+->Ц++У, Л’->Ц“+У, (6)
где ц+ и ц’ - положительный и отрицательный мюоны, v- нейтрино,
v - антинейтрино.
399
В среднем 2,5 распада из миллиона протекают по другим схемам
(например, л—>e + v, л—>л°+е + у и т.п., причем, в случае л' образу-
ется е+, т.е. позитрон, а в случае л" возникает е”, т.е. электрон).
В среднем 98,8% л° -мезонов распадаются на два у -кванта:
л° —> у + у .
Остальные 1,2 % распадов осуществляются по схемам:
л°—>е’+е +у, л° —>е‘+е +е’+е, л°->у + у + у.
Частицы, называемые ц -мезонами или мюонами, принадлежат к клас-
су лептонов, а не мезонов. Поэтому в дальнейшем мы будем называть их
мюонами. Мюоны имеют положительный (ц) или отрицательный (ц )
заряд, равный элементарному заряду е (нейтрального мюона не существу-
ет). Масса мюона равна 207 тпе (106 МэВ), спин - половине (s = 1/2). Мюо-
ны, как и л -мезоны, нестабильны, они распадаются по схеме
p+->e++v + v, >е +v + v.
Время жизни обоих мюонов одинаково и равно 2,2-10 6 й.
Обратимся к рассмотрению обменного взаимодействия между ну-
клонами. В результате виртуальных процессов
р?=>п + л+, п?=>р + л , р <=> р + л°, п«=»п + л°
нуклон оказывается окруженным облаком виртуальных л-мезонов, об-
разующих поле ядерных сил. Поглощение этих мезонов другими нукло-
нами приводит к сильному взаимодействию между нуклонами, которое
осуществляется по одной из следующих схем (рис. 2.2):
а) © ® 6) ® ® в) ® X© X ©
® © ® ® -* © ® ® ^© ^®
® ® ® ® ®Х©т£ ®
Рис. 2.2
а) р + п?с±п + л++п<=2п + р.
Протон испускает виртуальный л+ -мезон, превращаясь в нейтрон.
Мезон поглощается нейтроном, который вследствие этого превращается
в протон. Затем такой же процесс протекает в обратном направлении.
400
Каждый из взаимодействующих нуклонов часть времени проводит в за-
ряженном состоянии, а часть - в нейтральном (рис. 2.2а).
б) n + p<Z±p + 7t°+n<^p + n.
Нейтрон и протон обмениваются л -мезонами (рис. 2.26).
в) р + п<=»р + л°+п«=>р + п,
р + Р р + Л° + Р Р + П,
п + п«=2п + л0 + п<=2п + п.
Нуклоны обмениваются л° -мезонами (рис. 2.2в).
Первый из трех описанных выше процессов находит эксперимен-
тальное подтверждение в рассеянии нейтронов на протонах. При прохо-
ждении пучка нейтронов через водород в этом пучке появляются прото-
ны, многие из которых имеют ту же энергию и направление движения,
что и падающие нейтроны. Соответствующее число практически появ-
ляющихся нейтронов обнаруживается в мишени. Совершенно невероят-
но, чтобы такое большое число нейтронов полностью передавало свой
импульс ранее покоившимся протонам в результате лобовых ударов. По-
этому приходится признать, что часть ней-
тронов, пролетая вблизи протонов, захва- -(п)—-•> ---©-—»
тывает один из виртуальных л+ -мезонов. я 0
В результате протон превращается в ней- ® ®
трон (рис. 2.3). Рис. 2.3
Если нуклону сообщить энергию, эк-
вивалентную массе л -мезона, то виртуальный л -мезон может стать ре-
альным. Необходимая энергия может быть сообщена при столкновении
достаточно ускоренных нуклонов (или ядер) либо при поглощении ну-
клонами у -кванта. При очень больших энергиях соударяющихся частиц
может возникнуть несколько реальных л -мезонов.
2.5. Радиоактивность
Радиоактивностью называется самопроизвольное превращение
одних атомных ядер в другие, сопровождаемое испусканием элементар-
ных частиц. Такие превращения претерпевают только нестабильные яд-
ра. К числу радиоактивных процессов относятся:
а -распад,
Р -распад (в том числе электронный захват),
у -излучение ядер,
спонтанное деление тяжелых ядер,
протонная радиоактивность.
401
Радиоактивность, наблюдающаяся у ядер, существующих в природ-
ных условиях, называется естественной. Радиоактивность ядер, полу-
ченных посредством ядерных реакций, называется искусственной. Меж-
ду искусственной и естественной радиоактивностью нет принципиально-
го различия. Процесс радиоактивного превращения в обоих случаях
подчиняется одинаковым законам.
Закон радиоактивного распада.
Отдельные радиоактивные ядра претерпевают превращение незави-
симо друг от друга. Поэтому можно считать, что число ядер сШ, распа-
дающихся за малый промежуток времени di, пропорционально как чис-
лу имеющихся ядер N , так и промежутку времени dt:
dN = -XNdt. (7)
Здесь X- характерная для радиоактивного вещества константа, называе-
мая постоянной распада. Знак минус взят для того, чтобы cW можно
было рассматривать как приращение числа нераспавшихся ядер N .
Интегрирование выражения (7) приводит к соотношению
N = N0-exp(-Xt), (8)
где Ng- количество ядер в начальный момент, N- количество нерас-
откуда
павшихся атомов в момент времени t.
Формула (8) выражает закон радиоактивного распада:
Число нераспавшихся ядер убывает со временем по экс-
поненте.
Число ядер, распавшихся за время t определяется выражением
Ai0-tt = N0[l-exp(-Xt)]. (9)
Время, за которое распадается половина первоначального количества
ядер называется периодом полураспада. Это время определяется условием:
=^o-exp(-Xt),
1п2 0,693
X X
Период полураспада для известных в настоящее время радиоактив-
ных ядер находится в пределах от 3 • 10-7 с до 5 • 1015 лет.
Активностью радиоактивного препарата (А) называется число рас-
падов, происходящих за единицу времени. Если за время dt распадается
dW
d ЛГрасп ядер, то активность А = —, откуда d2Vpacn = |dЛГ| = XNdt.
402
Отсюда следует, что активность радиоактивного препарата равна
XN , т.е. произведению постоянной распада на количество имеющихся в
препарате нераспавшихся ядер. В международной системе единиц (СИ)
единицей активности является беккерель (Бк), равный одному распаду в
секунду. Допускается применение внесистемных единиц: расп/мин и
кюри. Единица активности, называемая кюри, определена как активность
такого препарата, в котором происходит 3,7 1О10 актов распада в секун-
ду. Применяются дробные единицы: килокюри (ккюри), мегакюри
(Мкюри) и т.д.
Естественная радиоактивность была открыта в 1896 г. французским
ученым Беккерелем. Большой вклад в изучение радиоактивных веществ
внесли Пьер Кюри и Мария Складовская. Было обнаружено, что имеется
три вида радиоактивных излучений. Одно из них, получившее название
а -лучей, отклоняется под действием магнитного поля в ту же сторону, в
которую отклонялся бы поток положительно заряженных частиц. Вто-
рое, названное [3 -лучами, отклоняется магнитным полем в противопо-
ложную сторону, т.е. так, как отклонялся бы поток отрицательно заря-
женных частиц. Наконец, третье излучение, никак не реагирующее на
действие магнитного поля, было названо у -лучами. Впоследствии выяс-
нилось, что у -лучи представляют собой электромагнитное излучение
весьма малой длины волны (от 10 ?' до 1 А) (от 10 |? до 1010м).
Альфа-распад. Альфа-лучи представляют собой поток ядер гелия
2 Не . Распад протекает по следующей схеме:
*Х-> t42Y+lHe.
Буквой X обозначен химический символ распадающегося (мате-
ринского) ядра, буквой Y - химический символ образующегося (дочер-
него) ядра. Альфа-распад обычно сопровождается испусканием одним
ядром у -лучей. Из схемы распада видно, что атомный номер дочернего
вещества на 2 , а массовое - на 4 единицы меньше, чем у исходного ве-
щества. Примером может служить распад изотопа урана 238 U, проте-
кающий с образованием тория:
238 U-> “40Th+j Не .
Бета-распад. Существует три разновидности (3 -распада. В одном
случае ядро, претерпевающее превращение, испускает электрон, в дру-
гом - позитрон. В третьем случае, называемом электронным захватом
(е -захватом), ядро поглощает один из электронов К -оболочки, значи-
тельно реже L - или М -оболочки (соответственно говорят о К -захвате
или М -захвате).
403
Первый вид распада (Р -распад или электронный распад) протекает
по схеме
*X->^Y+.°e + v.
Чтобы подчеркнуть сохранение заряда и числа нуклонов в процессе
Р -распада, мы приписали р -электрону зарядовое число Z = -1 и массо-
вое число А = 0 .
Второй вид распада (Р+ -распад или позитронный распад) протекает
по схеме
^Х-> ^.Y+JJe + v.
В качестве примера можно привести превращение азота ” N в уг-
лерод 13 С:
!;NVjC+ 4,e + v.
Из схемы видно, что атомный номер дочернего ядра на единицу
меньше, чем материнского. Процесс сопровождается испусканием пози-
трона е' и нейтрино v.
Третий вид р -распада (электронный захват) заключается в том, что яд-
ро поглощает один из К -электронов (реже один из L - или М -электронов)
своего атома, в результате чего один из протонов превращается в ней-
трон, испуская при этом нейтрино: р + е ->n + v. Возникшее ядро мо-
жет оказаться в возбужденном состоянии. Переходя затем в более низкие
энергетические состояния, оно испускает у -фотоны. Схема процесса
выглядит следующим образом:
AZX+ _°e-»Z-A,Y + v. (10)
Место в электронной оболочке, освобожденное захваченным элек-
троном, заполняется электронами из вышележащих слоев, в результате
чего возникают рентгеновские лучи. Электронный захват легко обнару-
живается по сопровождающему его рентгеновскому излучению. Именно
этим путем и был открыт К -захват американским физиком Альваресом
в 1937 г. Примером электронного захвата может служить превращение
калия 40 К. в аргон 40 Аг :
40 vs . 0 _ 40 а „ . ,,
|9К+_,е-э- lgAr + v .
Глава 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
3.1. Виды взаимодействия элементарных частиц
Дать строгое определение понятия элементарной частицы затрудни-
тельно. В качестве первого приближения можно понимать под элемен-
тарными частицами такие микрочастицы, внутреннюю структуру кото-
рых на современном уровне развития физики нельзя представить как
объединение других частиц. Во всех наблюдавшихся до сих пор явлени-
ях каждая такая частица ведет себя как единое целое. Элементарные час-
тицы могут превращаться одна в другую.
Для того чтобы объяснить свойства и поведение элементарных час-
тиц, их приходится наделить, кроме массы, электрического заряда и спи-
на, рядом дополнительных, характерных для них величин (квантовыми
числами), о которых будет сказано ниже.
Известно четыре вида взаимодействия между элементарными час-
тицами: сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное (в порядке
убывания интенсивности).
Интенсивность взаимодействия принято характеризовать с помощью
так называемой константы взаимодействия, которая представляет собой
безразмерный параметр, определяющий вероятность процессов, обуслов-
ленных данным видом взаимодействия. Отношение значений констант
дает относительную интенсивность соответствующих взаимодействий.
Сильное взаимодействие. Этот вид взаимодействия обеспечивает
связь нуклонов в ядре. Константа сильного взаимодействия имеет вели-
чину порядка 10. Наибольшее расстояние, на котором проявляется силь-
ное взаимодействие (радиус действия г), составляет примерно 10-15 м.
Электромагнитное взаимодействие. Константа взаимодействия
равна 1/137 ~ 10 2 (формула a^^/hc). Радиус действия не ограничен
(г = оо).
Слабое взаимодействие. Это взаимодействие ответственно за все
виды р -распада ядер (включая е -захват), за многие распады элементар-
ных частиц, а также за все процессы взаимодействия нейтрино с вещест-
вом. Константа взаимодействия порядка 10 14. Слабое взаимодействие,
как и сильное, является короткодействующим.
Гравитационное взаимодействие. Константа взаимодействия имеет
значение порядка 10 39, радиус действия не ограничен (г = со). Гравита-
ционное взаимодействие является универсальным, ему подвержены все
без исключения элементарные частицы. Однако в процессах микромира
гравитационное взаимодействие ощутимой роли не играет.
405
В табл. 3.1. приведены значения (по порядку величины) константы
разных видов взаимодействия. В последнем столбце таблицы указано
среднее время жизни частиц, распадающихся за счет данного вида взаи-
модействия (это время называют также временем распада).
Таблица 3.1
Виды взаимодействия Константа взаимодействия Время жизни, с
Сильное Электромагнитное Слабое Гравитационное 10 10“2 10м 10w 10'23 1016 10’8
3.2. Классы элементарных частиц
Элементарные частицы обычно подразделяют на четыре класса. К
одному из них относится только одна частица - фотон. Второй класс об-
разуют лептоны, третий - мезоны и, наконец, четвертый класс - барио-
ны. Мезоны и барионы часто объединяют в один класс сильно взаимо-
действующих частиц, называемых адронами (от греч. adros - крупный,
массивный).
Краткая характеристика перечисленных классов частиц.
1. Фотоны, у (кванты электромагнитного поля), участвуют в элек-
тромагнитных взаимодействиях, но не обладают сильным и слабым взаи-
модействиями.
2. Лептоны (от греч. leptos - легкий). К их числу относятся частицы,
не обладающие сильным взаимодействием: электроны (е’, е+), мюоны
(ц , ц+), обнаруженный в 1975 г. тяжелый тау-лептон (f, т+), а также
электронные нейтрино (ve, ve), мюонные нейтрино (v , ) и тау-
нейтрино (vx, vT). Все лептоны имеют спин, равный 1/2, и, следова-
тельно, являются фермионами. Все лептоны обладают слабым взаимо-
действием. Те из них, которые имеют электрический заряд (т.е. мюоны и
электроны), обладают также электромагнитным взаимодействием.
3. Мезоны - сильно взаимодействующие нестабильные частицы, не
несущие так называемого барионного заряда. К их числу принадлежат
л-мезоны, или пионы (л+, л’, л°), К-мезоны, или каоны (К+, К”,
К0, К°), и эта-мезон (т|).
Масса К -мезонов составляет примерно 970 тс (494 МэВ для заря-
женных и 498 МэВ для нейтральных К -мезонов). Время жизни К -мезонов
406
имеет величину порядка 10 8 с. Они распадаются с образованием
л-мезонов и лептонов или только лептонов. Масса р-мезона равна
549 МэВ (1074 иге), время жизни порядка 10 19 с. г| -мезоны распадают-
ся с образованием л -мезонов и у -фотонов.
В отличие от лептонов мезоны обладают не только слабым (и, если
они заряжены, электромагнитным), но также и сильным взаимодействи-
ем, проявляющимся при взаимодействии их между собой, а также при
взаимодействии между мезонами и барионами. Спин всех мезонов равен
нулю, так что они являются бозонами.
4. Класс барионов объединяет в себе нуклоны (р, п) и нестабиль-
ные частицы с массой, большей массы нуклонов, получившие название
гиперонов (Л, S+, -°, S', Н°, S', Q ). Все барионы обладают силь-
ным взаимодействием и, следовательно, активно взаимодействуют с
атомными ядрами. Спин всех барионов равен 1/2, так что барионы яв-
ляются фермионами. За исключением протона, все барионы нестабиль-
ны. При распаде бариона наряду с другими частицами обязательно обра-
зуется барион. Эта закономерность является одним из проявлений закона
сохранения барионного заряда.
Кроме перечисленных выше частиц обнаружено большое число
сильно взаимодействующих короткоживущих частиц, которые получили
название резонансов. Эти частицы представляют собой резонансные со-
стояния, образованные двумя или большим числом элементарных час-
тиц. Время жизни резонансов составляет всего лишь 1О'23 -10'22 с. Неко-
торые из резонансов являются бозонами и должны быть отнесены к
классу мезонов. Другие резонансы - фермионы - и должны быть при-
числены к классу гиперонов.
3.3. Методы регистрации элементарных частиц
Элементарные частицы, а также сложные микрочастицы (а, р и
т.п.) удается наблюдать благодаря тем следам, которые они оставляют
при своем прохождении через вещество. Характер следов позволяет су-
дить о знаке заряда частицы, ее энергии, импульсе и т.п. Заряженные
частицы вызывают ионизацию молекул на своем пути. Нейтральные час-
тицы следов не оставляют, но они могут обнаружить себя в момент рас-
пада на заряженные частицы или в момент столкновения с каким-либо
ядром. Следовательно, в конечном счете нейтральные частицы также
обнаруживаются по ионизации, вызванной порожденными ими заряжен-
ными частицами.
407
Приборы, применяемые для регистрации ионизирующихся частиц,
подразделяются на две группы.
Первая группа - устройства, которые регистрируют факт пролета
частицы и, кроме того, позволяют в некоторых случаях судить об ее энер-
гии. К ним относятся ионизационные камеры и газоразрядные счетчики, а
также черенковские, сцинтилляционные и полупроводниковые счетчики.
Сцинтилляционный счетчик. Его действие основано на том, что
заряженная частица, пролетающая через вещество, вызывает не только
ионизацию, но и возбуждение атомов. Возвращаясь в нормальное со-
стояние, атомы испускают видимый свет. Вещества, в которых заряжен-
ные частицы возбуждают заметную световую вспышку (сцинтилляцию),
называют фосфорами. Сцинтилляционный счетчик состоит из фосфора,
от которого свет подается по специальному светопроводу к фотоумно-
жителю. Импульсы, получающиеся на выходе фотоумножителя, подвер-
гаются счету. Определяется также амплитуда импульсов (которая про-
порциональна интенсивности световых вспышек), что дает дополнитель-
ную информацию о регистрируемых частицах.
Полупроводниковый счетчик представляет собой полупроводни-
ковый диод, на который подается напряжение такого знака, что основные
носители тока оттягиваются от переходного слоя. Следовательно, в нор-
мальном состоянии диод заперт. При прохождении через переходный
слой быстрая заряженная частица порождает электроны и «дырки», ко-
торые отсасываются к электродам. В результате возникает электриче-
ский импульс, пропорциональный количеству порожденных частицей
носителей тока.
Счетчики часто объединяют в группы и включают так, чтобы заре-
гистрировались только такие события, которые отмечаются одновремен-
но несколькими приборами, либо, напротив, только одним
из них. В первом случае говорят, что счетчики включены
по схеме совпадений, во втором - по схеме антисовпаде-
ний. Применяя различные схемы включений, можно из
множества явлений выделить то, которое представляет ин-
терес. Например, два счетчика (рис. 3.1), установленные
один за другим и включенные по схеме совпадений, зареги-
стрируют летящую вдоль их совместной оси частицу 1 и не
зарегистрируют частицы 2 и 3.
Вторая группа - трековые приборы, т.е. приборы, позволяющие на-
блюдать следы (треки) частиц в веществе. К ним относятся камеры Виль-
сона, диффузионные, пузырьковые, искровые и эмульсионные камеры.
Рис. 3.1
408
Камера Вильсона. Этот прибор создан английским физиком Виль-
соном (1869-1959) в 1912 г. Дорожка из ионов, проложенная летящей
заряженной частицей, становится видимой в камере Вильсона, потому
что на ионах происходит конденсация пересыщенных паров какой-либо
жидкости. Прибор работает не непрерывно, а циклами. Сравнительно
короткое (0,1-1 с) время чувствительности камеры чередуется с мерт-
вым временем ( в 100- 1000 раз большим), в течение которого камера
готовится к следующему рабочему циклу. Пересыщение достигается за
счет внезапного охлаждения, вызываемого резким (адиабатическим)
расширением рабочей смеси, состоящей из неконденсирующегося газа
(гелия, азота, аргона) и паров воды, этилового спирта и т.п. В этот же
момент производится стереоскопическое (т.е. с нескольких точек) фото-
графирование рабочего объема камеры. Стереографии позволяют вос-
создать пространственную картину зафиксированного явления. Так как
отношение времени чувствительности к мертвому времени очень мало,
приходится иногда делать десятки тысяч снимков, прежде чем будет за-
фиксировано какое-либо событие, обладающее наибольшей вероятно-
стью. Чтобы увеличить вероятность наблюдения редких явлений, ис-
пользуются управляемые камеры Вильсона, у которых работой расшири-
тельного механизма управляют счетчики частиц, включенные в элек-
тронную схему, выделяющую нужное событие.
НЕсли поместить камеру Вильсона между полюсами
электромагнита, ее возможности сильно расширяются. По
искривлению траектории, вызываемому действием магнит-
ного поля, удается определить знак заряда частицы и ее
импульс. В качестве примера фотографии, полученной с
помощью камеры Вильсона, помещенной в магнитное поле,
Рис 3 2 может служить рис. 3.2, на котором видны треки электрона
и позитрона.
Диффузионная камера. Как и в камере Вильсона, рабочим вещест-
вом в диффузионной камере является пересыщенный пар. Однако состоя-
ние пересыщения создается не адиабатическим расширением, а в резуль-
тате диффузии паров спирта от находящейся при температуре порядка
10° С крышки камеры к охлаждаемому твердой углекислотой (температу-
ра - 70° С) дну. Недалеко от дна возникает слой пересыщенного пара,
имею-щий толщину несколько сантиметров. В этом слое и образуются
треки. В отличие от камеры Вильсона диффузионная камера работает
непрерывно.
Пузырьковая камера изобретена американским физиком Глазером
в 1952 г. В пузырьковой камере пресыщенные пары заменены прозрач-
ной перегретой жидкостью (т.е. жидкостью, находящейся под внешним
409
давлением, меньшим давления ее насыщенных паров). Пролетевшая че-
рез камеру ионизирующая частица вызывает бурное вскипание жидко-
сти, вследствие чего след частицы оказывается обозначенным цепочкой
пузырьков пара - образуется трек. Пузырьковая камера, как и камера
Вильсона, работает циклами. Запускается камера резким снижением
(сбросом) давления, вследствие чего рабочая жидкость переходит в мета-
стабильное перегретое состояние. В качестве рабочей жидкости, которая
одновременно служит мишенью для пролетающих над ней частиц, при-
меняются водород, ксенон, пропан (С,Н8) и некоторые другие вещества.
Рабочий объем камер достигает 30 м2.
Искровая камера. В 1957 г. Краншау и де Биром был сконструиро-
ван прибор для регистрации траекторий заряженных частиц, названный
искровой камерой. Прибор состоит из системы плоских параллельных
друг другу металлических электродов (рис. 3.3). Электроды соединяются
через один.
Одна группа электродов заземляется, а на
другую периодически подается кратковремен-
ный (длительностью 10 7 с) высоковольтный
импульс (10 - 15 кВ). Если в момент подачи
импульса через камеру пролетит ионизирующая
частица, ее путь будет отмечен цепочкой искр,
проскакивающих между электродами. Прибор
запускается автоматически с помощью вклю-
ченных по схеме совпадений дополнительных
счетчиков, регистрирующих прохождение через
рабочий объем камеры исследуемых частиц.
Более совершенной разновидностью искровой камеры является
стримерная камера. В этой камере высокое напряжение снимается рань-
ше, чем успевает развиться полностью искра. Поэтому возникают лишь
зародышевые искры, которые образуют отчетливый след.
Эмульсионная камера. Советские физики Л.В. Мысовский и А.П. Жда-
нов впервые применили для регистрации микрочастиц фотопластинки.
Заряженные частицы оказывают на фотографическую эмульсию такое же
действие, как и фотоны. Поэтому после проявления пластинки в эмульсии
образуется видимый след (трек) пролетевшей частицы. Недостатком мето-
да фотопластинок была малая толщина эмульсионного слоя, вследствие
чего получались полностью лишь треки частиц, летящих параллельно
плоскости слоя. В эмульсионных камерах облучению подвергаются тол-
стые пачки (весом до нескольких десятков килограммов и толщиной не-
сколько сотен миллиметров), составленные из отдельных слоев фото-
410
эмульсии (без подложки). После облучения пачка разбирается на слои,
каждый из которых проявляется и просматривается под микроскопом.
Для того, чтобы можно было проследить путь частицы при переходе из
одного слоя в другой, перед разборкой пачки на все слои наносится с
помощью рентгеновских лучей одинаковая координатная сетка.
Получающиеся таким способом треки частиц
показаны на рис. 3.4, на котором зафиксировано по-
следовательное превращение л-мезона в мюон и
затем в позитрон.
10 мин.
Рис. 3.4
3.4. Космические лучи
До создания мощных ускорителей заряженных частиц космическое
излучение было единственным источником частиц с энергией, достаточ-
ной для образования мезонов и гиперонов. Позитрон, мюоны, л -мезоны и
многие странные частицы были обнаружены в составе космических лучей.
Различают первичные и вторичные космические лучи. Первичные
лучи представляют собой непрерывно падающий на Землю поток атом-
ных ядер (в основном протонов) высокой энергии (в среднем около
10 ГэВ, энергия отдельных частиц достигает Ю10 ГэВ). Частицы первич-
ных космических лучей претерпевают неупругие столкновения с ядрами
атомов в верхних слоях атмосферы, в результате чего возникает вторич-
ное излучение. На высотах ниже 20 км космические лучи практически
полностью носят вторичный характер. Во вторичном излучении встре-
чаются все известные в настоящее время элементарные частицы.
Интенсивность первичных космических лучей на границе атмосферы
(т.е. на высоте 50 км) составляет примерно 1 част./(см2 - с). Поток заря-
женных частиц на уровне моря равен в среднем 2-10“2 част./(см2 • с).
Существование магнитного поля Земли приводит к тому, что интенсив-
ность космических лучей меняется с широтой. Это явление называется
широтным эффектом.
С помощью приборов, установленных на искусственных спутниках
Земли и космических ракетах, вблизи Земли были открыты радиацион-
ные пояса, которые представляют собой две окружающие Землю зоны с
резко повышенной интенсивностью ионизирующего излучения. Их су-
ществование обусловлено захватом и удержанием заряженных космиче-
ских частиц магнитным полем Земли. В плоскости экватора внутренний
пояс радиации простирается от 600 до 6 000 км, внешний пояс - от
20 000 до 60 000 км. На широтах 60-70° оба пояса приближаются к
Земле на расстояние нескольких сот километров.
411
В составе вторичных космических лучей имеются две компоненты.
Одна из них сильно поглощается свинцом и поэтому была названа мяг-
кой; вторая же проникает через большие толщи свинца и получила на-
звание жесткой.
Мягкая компонента состоит из каскадов, или ливней, электронно-
позитронных пар. Возникший в результате распада -мезона (—> у + у)
или резкого торможения быстрого электрона у -фотон, пролетая вблизи
атомного ядра, создает электронно-позитронную пару (рис. 3.5). Тормо-
жение этих частиц снова приводит к образованию у -фотонов и т.д. Про-
цессы рождения пар и возникновения у -квантов чередуются друг с дру-
iy гом до тех пор, пока энергия у -фотонов не станет
* недостаточной для образования пар. Поскольку энер-
егия первоначального фотона бывает очень большой,
успевает возникнуть много поколений вторичных
f | частиц, прежде чем прекращается развитие ливня.
Жесткая, проникающая компонента космиче-
Yi у I iy iY СКИХ лУчев состоит в основном из мюонов. Ее обра-
f If f зование происходит преимущественно в верхних и
средних слоях атмосферы за счет распада заряжен-
Рис. 3.5 ных я _мезонов фис 3 5)
С появлением ускорителей, позволяющих разгонять частицы до
энергий в сотни гигаэлектронвольт, космические лучи утратили свое ис-
ключительное значение при изучении элементарных частиц. Однако они
по-прежнему остаются единственным источником частиц сверхвысоких
энергий.
3.5. Частицы и античастицы
В 1928 г. П. Дираку удалось найти релятивистское квантовомехани-
ческое уравнение для электрона, из которого вытекает ряд замечатель-
ных следствий. Прежде всего из этого уравнения естественным образом,
без каких-либо дополнительных предположений, получаются спин и чи-
словое значение собственного магнитного момента электрона. Таким
образом выяснилось, что спин представляет собой величину одновре-
менно и квантовую, и релятивистскую.
Но этим не исчерпывается значение уравнения Дирака. Оно позво-
лило также предсказать существование античастицы электрона - пози-
трона. Из уравнения Дирака получаются для полной энергии свободного
электрона не только положительные, но и отрицательные значения.
412
(1)
6
Исследование уравнения показывает, что при заданном импульсе
частицы р существуют решения, соответствующие энергиям
Е = +у]с2р2 + т.2с* .
Между наибольшей отрицательной энергией
(-?пес2) и наименьшей положительной энергией
(+/пес2) имеется интервал значений энергии, кото-
рые не могут реализоваться. Ширина этого интерва-
ла равна 2тес2 (рис. 3.6).
Следовательно, получаются две области собст-
венных значений энергии: одна начинается с +тсс2 и
простирается до +<» , другая начинается с -т.е2 и простирается до -оо .
В неквантовой релятивистской механике энергия выражается через
импульс с помощью соотношения, совпадающего с (1), так что формально
также может иметь отрицательные значения. Однако в неквантовой теории
энергия изменяется непрерывно и поэтому не может пересечь запрещен-
ную зону и перейти от положительных значений к отрицательным. В кван-
товой теории энергия может изменяться не только непрерывно, но и скач-
ком, так что существование запрещенной зоны не может воспрепятство-
вать переходу частицы в состояния с отрицательной энергией.
Частица с отрицательной энергией должна обладать очень стран-
ными свойствами. Переходя в состояния со все меньшей энергией (т.е. с
увеличивающейся по модулю отрицательной энергией), она могла бы
выделять энергию, скажем, в виде излучения, причем, поскольку |Е|
ничем не ограничена, частица с отрицательной энергией могла бы излу-
чить бесконечно большое количество энергии. К аналогичному выводу
можно прийти следующим путем.
Из соотношения Ео = тс2 вытекает, что у частицы с отрицательной
энергией масса будет также отрицательной. Под действием тормозящей
силы частица с отрицательной массой должна не замедляться, а уско-
ряться, совершая над источником тормозящей силы бесконечно большое
количество работы.
Ввиду этих трудностей следовало, казалось бы, признать, что состоя-
ния с отрицательной энергией нужно исключить из рассмотрения как при-
водящие к абсурдным результатам. Это, однако, противоречило бы неко-
торым общим принципам квантовой механики. Поэтому Дирак выбрал
другой путь. Он предположил, что переходы электронов в состояния с от-
рицательной энергией обычно не наблюдаются по той причине, что все
имеющиеся уровни с отрицательной энергией уже заняты электронами.
413
Напомним, что электроны подчиняются принципу Паули, который запре-
щает находиться в одном и том же состоянии более чем одной частице.
а) :: ~
E = Q
Е = 0
1 2 12тсс2
Рис. 3.7
Согласно Дираку вакуум есть такое состояние, в котором все уров-
ни отрицательной энергии заселены электронами, а уровни с положи-
тельной энергией свободны (рис. 3.7а). Поскольку заняты все без исклю-
чения уровни, лежащие ниже запрещенной полосы, электроны на этих
уровнях никак себя не обнаруживают. Если одному из электронов, нахо-
дящихся на отрицательных уровнях, сообщить энергию
Е > 2тсс2, (2)
то этот электрон перейдет в состояние с положительной энергией и будет
вести себя обычным образом, как частица с положительной массой и от-
рицательным зарядом. Вакансия («дырка»), образовавшаяся при этом в
совокупности отрицательных уровней, должна вести себя как электрон,
имеющий положительный заряд. Действительно, отсутствие частицы, об-
ладающей отрицательной массой и зарядом, будет восприниматься как
наличие частицы с положительной массой и положительным зарядом. Эта
первая из предсказанных теоретически частиц была названа позитроном.
При встрече позитрона с электроном они аннигилируют (исчезают) -
электрон переходит с положительного уровня на вакантный отрицатель-
ный. Энергия, соответствующая разности этих уровней выделяется в ви-
де излучения. На рис. 3.76 стрелка 1 изображает процесс рождения пары
электрон-позитрон, а стрелка 2 - их аннигиляцию. Термин «аннигиля-
ция» не следует понимать буквально. По существу происходит не исчез-
новение, а превращение одних частиц (электрона и позитрона) в другие
(у -фотоны).
Теория Дирака была настолько «сумасшедшей», что большинство
физиков отнеслось к ней весьма недоверчиво. Она получила признание
только после того, как в 1932 г. американский физик Андерсон обнару-
жил позитрон в составе космических лучей. В камере Вильсона, поме-
щенной между полюсами электромагнита, позитрон оставлял такой же
след, как и рождавшийся одновременно с ним электрон, только этот след
был закручен в противоположную сторону (рис. 3.2).
414
Рождение электронно-позитронных пар происходит при прохожде-
нии у -фотона через вещество. Это один из основных процессов, приво-
дящих к поглощению у -лучей веществом. В полном соответствии с тео-
рией Дирака минимальная энергия у -фотона, при которой наблюдается
рождение пар, оказывается равной 2тпес2 =1,02 МэВ (рис. 3.3). Для со-
блюдения закона сохранения импульса в процессе рождения пары долж-
на участвовать еще одна частица (электрон или ядро), которая воспри-
нимает избыток импульса у -фотона над суммарным импульсом элек-
трона и позитрона. Следовательно, схема рождения имеет вид
у + е“-> е~+е'+е+ (3)
либо
у + Х->Х + е~+е\ (4)
где X - ядро, в силовом поле которого происходит рождение пары.
Электронно-позитронные пары могут также возникать при столкно-
вении между двумя заряженными частицами, например, электронами:
е~+е“->е“+е~+е~+е+. (5)
При аннигиляции требования закона сохранения импульса удовле-
творяются тем, что возникают два (реже три) у -фотона, разлетающихся
в разные стороны:
е~ + е'-> у + у(+у). (6)
Доля энергии, получаемая ядром X в ходе процесса (4), столь мала,
что порог реакции образования (т.е. необходимая для этого минимальная
энергия у -фотона) практически равен 2тес2. Порог реакции (3) составля-
ет 4тсс2, а реакции (5) - 7 т.е1 (в последнем случае под порогом реак-
ции подразумевается минимальная суммарная энергия сталкивающихся
электронов). Таким образом, требования одновременного сохранения
энергии и импульса приводит к тому, что порог реакции (минимальная
энергия исходных частиц) может оказаться заметно больше, чем суммар-
ная энергия покоя рождающихся частиц.
В несколько измененном виде уравнение Дирака применимо не
только к электронам, но и к другим частицам со спином, равным 1/2.
Следовательно, для каждой такой частицы (например, протона и нейтро-
на) должна существовать античастица. По аналогии с (5) рождения пары
протон-антипротон (р - р) или нейтрон-антинейтрон (п - п) можно
было ожидать при столкновении нуклонов достаточно большой энергии.
Суммарная энергия покоя протона и антипротона, как и нейтрона и ан-
тинейтрона, составляет почти 2 ГэВ. Определяемый требованиями со-
хранения энергии и импульса порог реакции равен 5,6 ГэВ. В 1955 г
415
в г. Беркли (США) был запущен ускоритель (синхрофазотрон), позво-
ляющий разгонять протоны до энергии 6,3 ГэВ. Облучая пучком уско-
ренных протонов медную мишень, американский физик Чемберлен,
итальянский физик Сегре, К. Виганд и П. Ипсилантис наблюдали обра-
зование пары р-р . Реакция протекала по одной из следующих схем:
р + р->р + р + р + р или р + п —> р т п + р + р . (7)
Второй из нуклонов в левой части входит в состав ядра Си . По-
скольку нуклоны в ядре находятся в движении, пороговая энергия уда-
ряющейся частицы составляет в этом случае приблизительно 4,3 ГэВ.
Антипротон отличается от протона знаком электрического заряда и
собственного магнитного момента (у антипротона магнитный момент
отрицателен, т.е. направлен противоположно механическому моменту).
Главное же, что отличает антипротон от протона (и вообще частицу от
античастицы), заключается в их способности к взаимной аннигиляции, в
результате которой возникают другие частицы. Антипротон может анни-
гилировать при встрече не только с протоном, но и с нейтроном. Сово-
купность возникающих частиц в отдельных актах аннигиляции различна.
Например, возможны процессы:
р + р -> П* + 7Г + 7Г* + 7Г + 7Г° ,
р + р -> + Л“ + Л° + Л° + Л° , (8)
р + П —> Л* + Л + Л* + Л° + Л° .
В 1956 г. на том же ускорителе в Беркли Б. Корком, Г. Ламберт-
соном, О. Пиччиони и В. Вентцелем были наблюдены антинейтроны, ко-
торые получались перезарядкой антипротонов, т.е. в результате процессов
р + р —> п + п, р + п->п + п + л-. (9)
Антинейтрон отличается от нейтрона знаком собственного магнит-
ного момента (у антинейтрона направление магнитного момента совпа-
дает с направлением механического момента) и способностью аннигили-
ровать при встрече с нуклоном (нейтроном или протоном). В результате
аннигиляции рождаются новые частицы (главным образом л -мезоны).
Античастицы имеются не только у фермионов, но и у бозонов. Так,
например, л~ -мезон является античастицей по отношению к л+ -мезону.
Существуют частицы, которые тождественны своим античастицам
(т.е. не имеют античастиц). Такие частицы называются абсолютно ней-
тральными. К их числу принадлежат фотон, л° -мезон и т| -мезон. Части-
цы, тождественные своим античастицам, не способны к аннигиляции.
Это, однако, не означает, что они вообще не могут превращаться в дру-
гие частицы.
416
Если барионам (т.е. нуклонам и гиперонам) приписать барионный
заряд (или барионное число) В = +1, антибарионам - барионный заряд
В = -1, а всем остальным частицам - барионный заряд В = 0, то для
всех процессов, протекающих с участием барионов и антибарионов, бу-
дет характерно сохранение барионного заряда, подобно тому, как для
процессов (3) - (6) характерно сохранение электрического заряда.
Закон сохранения барионного заряда обуславливает стабильность
самого легкого из барионов - протона. Другие законы сохранения (энер-
гии, импульса, момента импульса, электрического заряда и т.п.) не за-
прещают, например,процесса
p^e’+v + v, (10)
который в итоге привел бы к аннигиляции атомов. Однако такой процесс
сопровождался бы уменьшением барионного заряда на единицу и поэто-
му не наблюдается. Аналогично закон сохранения электрического заряда
обуславливает стабильность самой легкой заряженной частицы - элек-
трона, запрещен, например, процесс
e^Y + Y + v. (11)
Для объяснения особенностей протекания процессов с участием лепто-
нов и антилептонов приходится ввести квантовое число L, получившее
название лептонного заряда (или лептонного числа). Лептонам приписыва-
ется L =+l, антилептонам L = -l, всем остальным частицам L = 0. При
этом условии во всех без исключения процессах наблюдается сохранение
суммарного лептонного заряда рассматриваемой физической системы.
Преобразование всех величин, описывающих физическую систему,
при котором все частицы заменяются античастицами (например, электро-
ны - позитронами, а позитроны - электронами и т.д.), называется зарядо-
вым сопряжением. Какую их двух зарядово-сопряженных частиц считать
частицей, а какую - античастицей, является, вообще говоря, делом чисто
условным. Однако, сделав выбор для одной пары зарядово-сопряженных
частиц, выбор для других пар нужно делать так, чтобы в наблюдавшихся
взаимодействиях сохранялись барионный и лептонный заряды.
Принято считать электрон и протон частицами, а позитрон и анти-
протон - античастицами. При этом условии выбор для остальных барио-
нов и лептонов делается однозначным. Так, например, для сохранения
барионного заряда в ходе процесса необходимо считать частицей ней-
трон. Результаты, к которым приводит учет требований сохранения В и
L для других частиц, приведены в табл. 3.2.
В табл. 3.2 указаны все обнаруженные до 1977 г. частицы, за ис-
ключением резонансов. В графе 1 даны названия частиц. В тех случаях,
когда античастицы обозначаются с помощью тильды (~) или дефиса (-),
название античастицы получается путем добавления к названию частицы
417
приставки «анти». Например, частица: ламбда-гиперон, античастица:
антиламбда-гиперон. Античастица электрона называется позитроном. В
остальных случаях названия частицы и античастицы различаются добав-
лением слов «плюс» или «минус». Например: частица: пи-плюс-мезон,
античастица: пи-минус-мезон.
В графе 2 даны символы античастиц. Символы абсолютно ней-
тральных частиц проставлены между графами 1 и 2.
В графах 3 и 4 приведены масса т и среднее время т жизни части-
цы соответственно.
В графе 5 указаны основные схемы распада частиц. Чтобы получить
схему распада античастицы, нужно заменить частицы античастицами, а
античастицы - частицами. Например, схема распада положительного
мюона имеет вид е+ + vf + .
Теперь мы имеем возможность объяснить, почему частицу, возни-
кающую при распаде (10) следует называть антинейтрино, а возникаю-
щую при распаде (11) - нейтрино. Это вытекает из требования сохране-
ния лептонного заряда. У электрона и нейтрино L = +1, а у позитрона и
антинейтрино L = -1. Поэтому суммарный лептонный заряд не изменя-
ется, если электрон возникает вместе с антинейтрино, а позитрон - вме-
сте с нейтрино.
Приписав электрону L = +1, мы должны в соответствии со схемой
распада отрицательному мюону также приписать L = +1, т.е. считать ц
частицей, а положительный мюон рассматривать как античастицу и при-
писывать ему значение L = -l. Легко убедиться в том, что в процессах
распада л -мезонов также сохраняется лептонный заряд.
Таблица 3.2
Частица Античастица т, МэВ т, с Схема распада
1 2 3 4 5
У 0 стабилен
ЛЕПТОНЫ
е е+ 0,511 стабилен
Ve ve 0(?) стабильно
н+ 106 2,2-Ю"6 e"+ve+v^
0(?) стабильно
т“ т+ 1782 3,4-10"13 е” +ve +v,; ц’ + vR + vT; iC +vT
vt vT ? ?
418
Продолжение табл. 3.2
1 2 з 4 5
МЕЗОНЫ
л" Л 140 2,6-IO"8
л° 135 0,8-10"16 у + у ; e" + e" + y
К к 494 1,2-10-® p++vR; n + л°; л+ + л+ + л"
К0 к° 498 0,9-10 10 5-10'8 л’+л"; л°+л“; л+ +е" +ve; л" +е+ + ve
л 549 7 1019 Y + Y ; л+ +л" + л°; л° + л° +л°
БАРИОНЫ
Р р 938,3 Стабилен (?)
п п 939,6 918 p + e"+ve
А А 1116 2,6-10 10 р + л"; п + л°
Г S’ 1189 0,8-IO10 р + л°; п-гЛ+
Е° Ё° 1192 5,8-10"'° A + y
S" i- 1197 1,5-10"'° п + л"
Н° £0 1315 2,9-10"'° А +л°
1321 1,6-10 10 А +л"
о Q 1672 0,8-10”'° £°+л"; Н" + л°; А + К"
Названия частиц:
е - электрон, vf - электронное нейтрино, р - мюон, - мюонное
нейтрино, т' - тяжелый лептон, v, - тау-нейтрино, л+ - пи-плюс-
мезон, л° - пи-нуль-мезон, JC - ка-плюс-мезон, К0 - ка-нуль-мезон,
г, - эта-мезон, п - нейтрон, А - ламбда-гиперон, S+ - сигма-плюс-
гиперон, Е° - сигма-нуль-гиперон, S - сигма-минус-гиперон, Н° - кси-
нуль-гиперон, Н - кси-минус-гиперон, Q - омега-минус-гиперон.
Глава 4. СОВРЕМЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
О СТРУКТУРЕ МАТЕРИИ
4.1. История исследования элементарных частиц
История физики элементарных частиц условно отсчитывается от
открытия электрона (Дж. Томсон, 1897 г.). Затем была выяснена струк-
тура атомного ядра - открыт протон (Э. Резерфорд, 1910 г.) и нейтрон
(Дж. Чадвик, 1932 г.).
Первый этап развития физики частиц условно завершился к середи-
не 1930 г. К этому времени список элементарных частиц был невелик: три
частицы - электрон е , протон р и нейтрон п - входят в состав всех
атомов; фотон у (квант электромагнитного поля) участвует во взаимо-
действии заряженных частиц и процессах излучения и поглощения света.
Важнейшим теоретическим открытием стало предсказание П. Дира-
ком в 1929 г. существования античастиц (частиц, имеющих ту же массу и
спин, но противоположные заряды всех типов). В 1932 г. была открыта
первая античастица - позитрон е+. Наконец, изучая свойства Р -распада
ядер, В. Паули предсказал в 1930 г. существование еще одной частицы -
нейтрино v . Аргументы Паули были настолько убедительными, что, хотя
регистрация нейтрино реально оказалась возможной только в 1956 г., в
существовании этой частицы никто не сомневался сразу после того, как
Паули высказал свою гипотезу.
Второй этап развития физики частиц начался после Второй миро-
вой войны с открытия в 1947 г. пи-мезона (л) в космических лучах. В
течение примерно пятнадцати лет (до начала 1960 г.), благодаря прогрес-
су в создании ускорителей и приборов для регистрации частиц, было
открыто несколько сотен новых элементарных частиц, имеющих массы в
диапазоне от 140 МэВ до 2 ГэВ. Все эти частицы были нестабильными,
т.е. распадались на частицы с меньшими массами, в конечном счете пре-
вращаясь в стабильные протон, электрон, фотон и нейтрино (и их анти-
частицы). Все они казались в равной степени элементарными, так как в
разных экспериментах можно было порождать любые из открытых час-
тиц в процессе соударения других частиц. Перед физиками-теоретиками
встала труднейшая задача: упорядочить весь обнаруженный «зоопарк»
частиц и попытаться свести число фундаментальных частиц к минимуму,
доказав, что другие частицы состоят из фундаментальных частиц.
Третий этап развития физики частиц начался в 1962 г., когда
М. Гелл-Манн и независимо Дж. Цвейг предложили модель сильновзаи-
модействующих частиц, состоящих из фундаментальных частиц - квар-
ков. Эта модель к настоящему времени превратилась в стройную теорию
420
всех известных типов взаимодействий частиц. Можно считать, что тре-
тий этап завершился в 1995 г. открытием последнего из ожидавшихся,
шестого кварка. В настоящее время не известно ни одного эксперимента,
который бы противоречил существующей теории элементарных частиц,
получившей название стандартной модели, и не находил бы количест-
венного объяснения в рамках этой теории.
Это не означает, что все вопросы решены, и физика элементарных
частиц закончила свое развитие (так же, как, скажем, в XIX в. завершила
свое развитие классическая механика). Существующие теории (которые
пока не удается проверить на опыте из-за необходимости постройки
чрезвычайно дорогостоящих ускорителей или проведения не менее доро-
гостоящих экспериментов с запуском аппаратуры в космическое про-
странство) предсказывают удивительные вещи о структуре пространства-
времени, о новых фундаментальных частицах материи и т.п. Однако от-
сутствие экспериментальных данных не позволяет с уверенностью гово-
рить о том, в каком направлении пойдет развитие наших представлений о
структуре микромира. Возможно, наши сегодняшние представления
окажутся в чем-то неверными, требующими уточнений и дополнений.
Несомненно, что впереди еще много интереснейших открытий.
4.2. Фундаментальные частицы
Классификация всего многообразия известных элементарных час-
тиц основана на том, что каждая частица обладает единственным, только
ей присущим набором квантовых чисел, т.е. некоторых характеристик,
однозначно выделяющих данную частицу среди остальных.
На 1.01.1997 г. все фундаментальные частицы (т.е. считающиеся на
данном этапе развития физики бесструктурными) могут быть разделены на
несколько групп, как показано на так называемой лестнице спинов (рис. 4.1).
G
гравитон
У и>
калиброванные
частицы (переносчики
взаимодействия)
1
2
Н°
хигсовский
бозон
фундаментальные
частицы, из которых
состоит материя
Рис. 4.1
421
В группу частиц со спином s = 1/2 входят фундаментальные со-
ставляющие материи -лептоны и кварки.
В группу частиц со спином s = 1 входят частицы - переносчики
взаимодействий: фотон, промежуточные бозоны W, Z и глюоны (от
англ, glue - клей).
Особняком стоит частица со спином s = 0 - хигсовский бозон. На-
личие этой частицы требуется для самосогласованности теории, но она
еще не обнаружена на опыте (из-за своей очень большой массы, предпо-
ложительно несколько сотен ГэВ).
Точно так же теория предсказывает и существование кванта грави-
тационного взаимодействия - гравитона со спином 8 = 2.
4.3. Взаимодействие как обмен квантами
соответствующего поля
Современные представления о взаимодействии частиц начали фор-
мироваться еще во времена Фарадея и Максвелла, которые ввели в физи-
ку понятие поля и решительно встали на точку зрения близкодействия,
т.е. передачи взаимодействия между телами от точки к точке через окру-
жающее тела поле.
В настоящее время концепция взаимодействия через поле является
общепринятой и теория взаимодействий частиц носит название релятиви-
стской квантовой теории поля (РКТП). По сравнению с эпохой Максвелла
добавилось понимание того, что только квантовая теория вместе с теорией
относительности способна описать взаимодействие элементарных частиц.
Сами поля рассматриваются в квантовой теории как совокупность квантов
этих полей (фотон - квант электромагнитного поля и т.д.).
Схема всех взаимодействий одинакова: каждый тип взаимодействий
имеет свой носитель (или носители), при этом любое взаимодействие
е / \ е
/
СлВ СВ
Рис. 4.2
между перечисленными выше
фундаментальными частицами
сводится к совокупности элемен-
тарных актов испускания или по-
глощения этой фундаментальной
частицей соответствующего кван-
та поля (рис. 4.2).
Реальный процесс взаимодействия, скажем, двух электронов друг с
другом (процесс рассеяния электрона на электроне е~е“ —> ее , обу-
словленный ЭМВ) может быть тогда изображен графически в виде диа-
граммы Фейнмана (рис. 4.3).
422
Эта диаграмма как раз соответствует
тому, что один из электронов испускает, а
другой поглощает квант электромагнит-
ного поля - фотон. Таким образом, про-
цесс взаимодействия сводится к обмену
квантами соответствующих полей.
Конечно, представленная диаграмма
е е
У '
е“ е
Рис. 4.3
не единственная, описываю-
щая процесс взаимодействия электронов друг с другом. Можно постро-
ить бесчисленное множество диаграмм, имеющих четыре заданных
внешних «хвоста», изображающих начальные и конечные электроны
(рис. 4.4). Однако вся современная РКТП основана на представлении о
том, что вклад в наблюдаемые величины диаграмм с большим числом
вершин мал (этот вклад пропорционален константе взаимодействия в
степени, равной числу вершин, а константы всех взаимодействий малы
по сравнению с единицей).
Кварки, входящие в состав протона, нейтрона и других адронов,
сильно взаимодействуют друг с другом путем обмена глюонами. Это СВ
приводит к тому, что кварки оказываются связанными внутри адрона.
Квантами СлВ являются промежуточные бозоны W± и Z°. На рис.
4.2 приведены диаграммы типичных процессов СлВ, обусловленные об-
меном промежуточными бозонами W± и Z0.
4.4. Симметрии в мире частиц
Пространственно-временные симметрии.
Еще в ньютоновскую модель пространства и времени, в рамках ко-
торой разыгрываются все физические события, были заложены некото-
рые, кажущиеся самоочевидными, свойства пространства и времени.
Предполагается, что время однородно, т.е. выбор начала отсчета времени
не может повлиять на ход физического процесса.
Пространство предполагается однородным (можно где угодно вы-
бирать начало отсчета) и изотропным (направление осей координат
можно выбирать произвольно). Эти же свойства пространства-времени
сохраняются и в частной теории относительности.
Одним из важнейших теоретических открытий было доказательство
неразрывной связи между симметриями пространства-времени и законами
сохранения. Однородность времени влечет закон сохранения энергии в
консервативной системе, однородность пространства - закон сохранения
импульса в замкнутой системе, изотропия пространства - закон сохране-
ния момента импульса. Таким образом, семь аддитивных законов сохране-
ния являются следствиями пространственно-временных симметрий.
423
На формальном математическом языке однородность времени озна-
чает возможность преобразования t' -1 +10, где t0 - произвольное начало
отсчета времени, при котором уравнения теории остаются инвариантными.
Аналогично можно описать и преобразования точек пространства, отве-
чающие его однородности (сдвиг начала отсчета: х- = xt + а() и изотропии
(возможность поворота системы координат на любой угол). Поэтому эти
преобразования и называются преобразованиями симметрии, т.е. преобра-
зованиями, при которых основные уравнения физических законов сохра-
няют свой вид. С этой точки зрения преобразования Лоренца перехода от
одной ИСО к другой также являются преобразованиями некоторой сим-
метрии. Инвариантность физических законов относительно преобразова-
ний Лоренца ограничивает возможную форму этих законов.
Все перечисленные выше пре-
образования симметрии отличает
одно свойство: они относятся к
классу непрерывных преобразова-
ний, т.е. могут осуществляться шаг
за шагом. Но существуют и другие,
дискретные преобразования. При-
мером может служить отражение в
зеркале (рис. 4.5) (формально - из-
менение знака пространственных
евозможно осуществить непрерыв-
ным образом. Кажется очевидным, что законы природы не могут зави-
сеть от того, какую из двух возможных декартовых систем - правую или
левую - мы выберем для описания физических процессов. Представляет-
ся, что это чисто условный вопрос, соглашение, принятое людьми и не
связанное с физикой. Таким образом, можно ожидать, что уравнения фи-
зики на микроскопическом уровне симметричны относительно преобра-
зования инверсии.
Как мы уже знаем, каждой симметрии соответствует свой закон со-
хранения. Инверсия не исключение; симметрии относительно отражения
в зеркале отвечает закон сохранения четности. Неожиданным и серьез-
ным ударом по представлениям физиков стало открытие в 1956 г. того
факта, что четность не сохраняется в процессах СлВ (например, в
Р -распаде нейтрона или в любой реакции с участием нейтрино).
Можно пояснить причину волнения физиков следующим примером.
Пусть к нам приближается звездолет из другой галактики. Разум-
ные существа на борту звездолета установили с нами связь с помощью
электромагнитных волн и расспрашивают нас о том, о сем. Если закон
сохранения четности неверен, земляне имеют возможность рассказать
Инверсия
Рис. 4.5
Отражение
в зеркале
Правая
система
координат,
или
, которое
424
инопланетянам, что мы на Земле называем правым, а что левым, описав
результаты опытов с нейтронами. Таким образом, чисто условное согла-
шение оказывается имеющим физический смысл.
Ясность в вопросе о несохранении четности была внесена в 1957 г., в
частности, в работе Л.Д. Ландау, который заметил, что точно так же, как
условно выбраны понятия правой и левой систем координат, столь же ус-
ловно выбраны понятия положительного и отрицательного зарядов. Пре-
образование перехода от частицы к античастице (при котором меняется
знак заряда) носит название зарядового сопряжения (это преобразование
переводит электрон е~ в позитрон е+ и т.п.). Уравнения теории слабых
взаимодействий не сохраняют свою форму ни при преобразовании инвер-
сии, ни при преобразовании зарядового сопряжения по отдельности, одна-
ко остаются инвариантными по отношению к одновременному преобразо-
ванию комбинированной инверсии (термин Ландау), когда система отража-
ется в зеркале, а все частицы заменяются на античастицы, и наоборот.
Пользуясь опять гипотетическим примером с инопланетянами,
можно сказать, что объяснение того, что мы называем правым, а что ле-
вым, требует независимого объяснения того, что мы называем частицей,
а что античастицей. Но это сделать уже невозможно. Таким образом,
симметрия мира восстанавливается.
Структура адронов и внутренние симметрии.
Помимо пространственно-временных симметрий в мире частиц дей-
ствуют симметрии совершенно иного происхождения, называемые внут-
ренними симметриями. Они позволяют, в частности, дать классифика-
цию всего многообразия адронов - частиц, состоящих из кварков и уча-
ствующих в СВ.
Пояснить понятие внутренней симметрии лучше всего на конкрет-
ном примере.
Рассмотрим два легчайших бариона: протон и нейтрон. Массы этих
частиц очень близки: щр =938,2 МэВ, тп =939,5 МэВ. Заряд протона
Q = +1, заряд нейтрона Q = 0.
Как показывают точные эксперименты, во всех реакциях сильного
взаимодействия с участием протонов и нейтронов эти частицы взаимо-
действуют одинаково. Правда, протон электрически заряжен, а нейтрон
не имеет электрического заряда. Поэтому два протона могут взаимодей-
ствовать за счет обычного электростатического отталкивания. Но если
«вычесть» это электромагнитное взаимодействие, не учитывать его, то во
всем остальном протон и нейтрон совершенно одинаковы. В частности,
равны друг другу измеряемые характеристики процессов рассеяния:
425
р+р->р+р,
n + p->n + p,
П T П —> П T П ,
обусловленные СВ. Таким образом, по отношению к СВ протон и ней-
трон выступают как одна частица - нуклон, которая может находиться в
двух разных состояниях - протонном и нейтронном.
Такую «взаимозаменяемость» протона и нейтрона в реакциях СВ
можно математически описать как симметрию по отношению к враще-
ниям в некотором гипотетическом (не имеющем ничего общего с обыч-
ным) трехмерном пространстве, получившем название изотопического
пространства. По аналогии с тем, как электрон со спином 1/2 может
находиться в двух состояниях с проекциями спина на ось квантования,
равными 1/2 или -1/2, так и протон с нейтроном могут быть описаны
как состояния одной частицы - нуклона N , обладающего новым внут-
ренним квантовым числом - изотопическим спином I = 1/2, но с разны-
ми значениями проекции изотопического спина на ось квантования
Z3 = 1/2 и 73 =-1/2.
Инвариантность СВ относительно замены протона на нейтрон мо-
жет быть теперь математически описана как инвариантность уравнений
теории СВ относительно «вращений» в гипотетическом изотопическом
пространстве. Это и есть внутренняя симметрия.
Как мы знаем, всякой симметрии отвечает свой закон сохранения,
так что и в данном случае можно сформулировать закон сохранения изо-
топического спина I в реакциях СВ, запрещающий некоторые реакции и
позволяющий устанавливать соотношения между наблюдаемыми харак-
теристиками разрешенных реакций.
Поскольку математически изотопический спин ничем не отличается
от обычного спина, можно доказать, что возможные значения изотопиче-
ского спина любых адронов I = 0,1/2, 1,... Число частиц, объединенных
одним значением изотопического спина, равно (21 +1). Таким образом,
возможны группы частиц с одинаковыми свойствами по отношению к
СВ. Эти группы называют мультиплетами. Примерами изотопических
мультиплетов могут служить дублет (р , п) и триплет (л+, л°, л“).
Кварковая модель адронов.
—.. По современным представлениям все адроны
м) (барионы и мезоны) состоят из кварков, причем
В ~ qqq, М ~ qq . Так, протон и нейтрон устроены
протон нейтрон следующим образом: р - uud , n - ddu (рис. 4.6).
Рис. 4.6
426
Шесть кварков объединяются попарно в три поколения, соответствующие
трем поколениям лептонов. Такое соответствие, конечно, не случайно, и
находит свое объяснение в современной теории элементарных частиц.
Главной особенностью кварков (в свое время поразившей физиков своей
нетривиальностью) является дробность их электрического заряда. Один
из кварков каждого поколения имеет заряд Q = 2/3 , а другой Q = —1/3.
Кроме того, у каждого из шести кварков есть свое, особенное квантовое
число, отличающее этот кварк от других. Любящие шутить физики на-
звали эту характеристику кварков их «запахом», или «ароматом» (от
англ, flavour/
Кварки и («верхний») и d («нижний») отличаются значениями про-
екций изотопического спина 1} (эти кварки по своим квантовым числам
аналогичны протону и нейтрону), кварку s приписывается новая характе-
ристика - «странность» S (часто вместо странности используют гиперза-
ряд Y - B + S ), кварку с - «очарование» с , кварку b - «красота» b.
Последнему кварку t приписывается квантовое число «истинность» t.
Квантовые числа кварков приведены в табл. 4.1
Таблица 4.1
В Q I а S(Y) с ь t
и \/3 2/3 1/2 +1/2 0(1/3) 0 0 0
d 1/з -1/3 1/2 -1/2 0(1/3) 0 0 0
с 1/3 2/3 0 0 0 1 0 0
S 1/3 -1/3 0 0 -1 (-2/3) 0 0 0
t 1/3 2/3 0 0 0 0 0 1
Ъ 1/3 -1/3 0 0 0 0 -1 0
Адроны, в состав которых входят кварки того или иного аромата,
также становятся обладателями соответствующего значения квантового
числа (например, частица Q - sss обладает странностью S = -3).
Смысл введения этих характеристик тот же, что и в случае лептонно-
го и барионного зарядов. Они помогают сформулировать действующие в
реакциях СВ правила отбора, например, правило, что сумма странностей
частиц в начале и конце реакции сильного взаимодействия одинакова.
Обладающие наименьшей массой барионы со спином s = 1/2 и ме-
зоны со спинам s = 0 и их кварковый состав показаны на диаграммах
(рис. 4.7). Обращает на себя внимание симметрия расположения частиц,
что отражает наличие внутренней симметрии (правда, более сложной,
427
чем изотопическая). Полное число легчайших адронов, в состав которых
входят кварки и , d , s, и обладающих близкими массами и одинаковы-
ми спинами, равно, как видно из диаграммы, 8 (октет).
Можно доказать (это сделал в 1961 г. М. Гелл-Манн), что такое чис-
ло частиц в мультиплете может возникнуть только при определенной
внутренней симметрии, которую математики называют SU (З)-симмет-
рией (конечно, цифра 3 в обозначении соответствует рассматриваемому
числу сортов кварков). Таким образом, установив тип внутренней симмет-
рии адронов, можно расклассифицировать их по группам-мультиплетам,
содержащим совершенно определенное число частиц (1, 8, 10, 27 и т.д.).
Опыт полностью подтвердил такую классификацию. Заметим, что в то
время, когда Гелл-Манн опубликовал свою работу под характерным на-
званием «Восьмеричный путь», еще не все адроны были открыты на опы-
те. Из результатов Гелл-Манна следовало предсказание о необходимости
существования ряда частиц (чтобы заполнить пробелы в мультиплетах, в
частности, в декуплете, содержащем 10 частиц). В частности, Гелл-Манн
предсказал, что должна существовать частица Q“ ~ sss с массой прибли-
зительно 1680 МэВ. Буквально через месяц после публикации работы
Гелл-Манна эта частица была открыта и ее масса оказалась равной
1672 МэВ, что произвело глубокое впечатление на физиков.
Новая характеристика кварка - «цвет».
Несмотря на успехи, кварковая модель с самого начала столкнулась
с серьезной проблемой. Суть ее можно описать на примере.
Существует частица А++ (ее называют А -резонансом), которая со-
стоит из трех и -кварков. Спин А*+ равен 3/2 , поэтому она может нахо-
диться в состоянии с проекцией спина J3 = 3/2. Единственный способ
образовать такое состояние из и -кварков - взять каждый и -кварк в со-
стоянии с проекцией спина J3 = 1/2 . Таким образом, состояние А++ мо-
жет быть образовано только из трех тождественных (не отличимых друг
428
Рис. 4.8
РиС. 4.4 Индексы означают:
ф-фмолетовый, к-красный,
о-ораяжевый, ж- желтый,
з-зеленый, с-синий.
от друга) и -кварков. Так как по законам квантовой механики стабильное
состояние частицы всегда отвечает состоянию наименьшей энергии, ко-
торое всегда пространственно симметрично, то и -кварки в Д++ находят-
ся в симметричном состоянии с наименьшей энергией. Но это противо-
речит упомянутому выше принципу Паули, запрещающе-
му трем тождественным частицам со спином 1/2 нахо-
диться в одинаковом состоянии (рис. 4.8). Итак, налицо
противоречие, причем очень серьезное: кварковая модель
предсказывает существование состояний, запрещенных
принципом Паули.
Выход из положения был предложен японским физиком И. Намбу
(независимо ту же гипотезу высказали советские ученые Н.Н. Боголюбов,
Б.В. Струминский и А.Н. Тавхелидзе). Идея заключается в том, чтобы
приписать каждому кварку дополнительное квантовое число, т.е. новую
характеристику, которая может принимать три (и только три) разных
значения. Тогда принцип Паули может быть сохранен, если считать, что
все и -кварки в Д++ отличаются друг от друга значением этого нового
квантового числа. Оно получило название
«цвет», хотя, конечно, не имеет никакого
отношения к обычному цвету (рис. 4.9).
Таким образом, принимается, что
каждый кварк каждого сорта может нахо-
диться в одном из трех цветовых состоя-
ний (условно: желтом, синем и красном).
Антикварки обладают дополнительными
цветами. По определению цвет кварков
никогда не проявляется явно, реальные
адроны всегда бесцветны, т.е. в мире ад-
ронов существует цветовая симметрия.
Приняв эту идею, можно построить состояние Д++, не нарушающее
принципа Паули. Для этого надо взять суперпозицию состояний, в каж-
дом из которых нет двух кварков одинакового цвета (рис. 4.10).
-®+@+©+®+®+©
Рис. 4.10
Гипотеза цветовой симметрии сыграла решающую роль в построении
согласованной теории сильных взаимодействий. Такая теория - квантовая
хромодинамика - была построена в середине 70-х гг. Ее выводы оказались
429
неожиданными. Выяснилось, что силы, действую-
щие между кварками внутри любого адрона, ведут
себя очень необычно: они растут с увеличением рас-
стояния между кварками (рис. 4.11). Как показывают
расчеты, глюонное поле между кварками, перенося-
щее СВ, собирается в упругие струны, так что при
попытке раздвинуть кварки струны натягиваются и
стремятся вернуть кварки в исходное положение. По
этой причине кварки в свободном состоянии не мо-
гут существовать, они заперты внутри адронов. Это
явление получило название конфайнмент (от англ.
confinement - удержание, пленение). Другой вывод заключается в том,
что истинно сильное взаимодействие между кварками, которое возникает
в результате обмена глюонами, носит короткодействующий характер и
не простирается на расстояния, большие размера адрона (из опыта следу-
ет, что характерный размер протона ~ 1015 м). Однако это взаимодейст-
вие неизмеримо сильнее, чем то «сильное взаимодействие», которое воз-
никает между протонами и нейтронами внутри ядра. Чтобы разбить ядро
на составные части, нужна энергия в несколько МэВ. Чтобы разбить про-
тон на составляющие его кварки, не хватит и энергии в миллионы мил-
лионов МэВ. Таким образом, только сейчас, в конце XX в., выяснилось,
что то сильное взаимодействие, которое удерживает вместе нуклоны в
ядрах, есть всего лишь слабый отголосок истинно сильного взаимодейст-
вия, действующего между кварками в нуклонах.
4.5. Единые теории
Усилия многих физиков-теоретиков в 1970-80-х гг. были направлены
на осуществление давней мечты всех физиков - построение единой теории
всех взаимодействий. Еще в 1940 г. была фактически завершена квантовая
электродинамика (КЭД) - теория взаимодействия заряженных частиц и
света. Эта теория оказалась чрезвычайно успешной и позволяет в настоя-
щее время предсказать результат любого эксперимента в этой области с бес-
прецедентной точностью, превышающей точность расчетов в астрономии
(так, КЭД предсказывает значение магнитного момента электрона с точно-
стью до 12-ти значащих цифр после запятой!).
Действуя по схеме КЭД, удалось построить квантовую хромодина-
мику (КХД) - теорию взаимодействия цветных кварков глюонов.
Наконец, была построена единая теория электромагнитных и сла-
бых взаимодействий - электрослабая теория. Эта теория в совокупности
с КХД и составляет основу сегодняшнего понимания мира элементарных
частиц и их взаимодействий.
430
1
Когда физик строит модель какого-то круга явлений, его задача за-
ключается в том, чтобы сформулировать систему уравнений, описываю-
щих эти явления. Содержательные уравнения, описывающие конкретные
явления, обязательно содержат некоторое количество параметров, кото-
рые на данном этапе развития науки берутся из опыта. Можно убедиться,
что любая хорошая теория содержит небольшое количество таких пара-
метров. Так, в ньютоновской теории тяготения параметрами являются
массы притягивающихся тел и гравитационная постоянная. Если задать
начальное положение и начальные скорости всех масс, то можно вычис-
лить их дальнейшее движение. Нетрудно привести и другие примеры. В
стандартной модели элементарных частиц параметрами теории являются
на данном этапе массы всех фундаментальных частиц, указанных на ле-
стнице спинов, константы взаимодействий и несколько параметров, вво-
димых в теорию для самосогласованности - всего около 20 параметров.
Это, конечно, много. Поэтому мечтой продолжает оставаться построение
такой теории, в которой, исходя из совсем небольшого числа параметров,
можно было бы объяснить любое явление в микромире.
Надежда физиков на возможность построения единой теории под-
крепляется поведением констант взаимодействия. Одним из важных за-
воеваний теории, которое подтвердилось на опыте, явилось предсказание
зависимости констант взаимодействия от энергии. Возник термин бегу-
щие константы взаимодействия. Смысл этого понятия заключается в
следующем.
Если рассматривать какую-то реакцию, скажем, рассеяние электро-
на на электроне, вызванное ЭМВ, при низких энергиях сталкивающихся
частиц (до 1 ГэВ), то константа а® 1/137. Если увеличивать энергию
сталкивающихся частиц, то а постепенно растет (уже сейчас проверено,
что при энергиях порядка 100 ГэВ а® 1/125). Этот рост очень медлен-
ный (теоретическая формула показывает, что константа растет как лога-
рифм энергии, а логарифм - медленно растущая функция). Важно отме-
тить, что растет и константа другого взаимодействия - слабого, причем
так, что при энергии порядка 300 ГэВ константы слабого и электромаг-
нитного взаимодействий сливаются. Именно это обстоятельство и позво-
лило в свое время построить единую теорию ЭМВ и СлВ.
Поведение константы СВ, связанной с обменом глюонами между
кварками, существенно отличается от поведения констант других взаи-
модействий. Причиной этого является принципиальное отличие глюонов
от фотонов - переносчиков ЭМВ. Как пояснялось выше, обмен фотонами
обуславливает взаимодействие между электрически заряженными части-
цами. Однако сам фотон электрически нейтрален. Поэтому он не может
взаимодействовать сам с собой (следствием этого является принцип
431
суперпозиции электромагнитных полей). Аналогом электрического заря-
да в СВ является цвет кварков (приписываемая им новая характеристи-
ка). Обмен глюонами обуславливает взаимодействие между кварками раз-
ного цвета, но и сам глюон при этом является носителем «цветового заря-
да». Поэтому глюоны могут взаимодействовать сами с собой. Во многих
отношениях глюоны - близнецы фотонов, но их способность к взаимодей-
ствию кардинально отличает их от фотонов. По образному выражению,
глюоны - это «светящийся свет». Благодаря такому свойству глюонов
принципиально меняется и поведение константы СВ: эта константа не рас-
тет с ростом энергии, а уменьшается (теоретическое обоснование этого
факта явилось важным достижением середины 70-х гг.). Иными словами,
чем ближе друг к другу кварки, тем слабее они взаимодействуют (при этом
нужно не забывать, что речь идет о расстояниях, меньших размеров про-
тона, т.е. < 1015 м). Образом адрона может быть тогда система кварков,
скрепленных упругими струнами. Попытка раздвинуть кварки приводит к
росту силы, пытающейся вернуть их в исходное состояние.
Предсказываемое дальнейшее поведение констант всех взаимодей-
ствий как функции энергии взаимодействия представлено на рис. 4.12.
Можно сделать вывод, что при фантастических энергиях Е -1014 ГэВ
константы СВ и объединенного электрослабого взаимодействия становятся
одинаковыми. Именно при этих энер- а
гиях следует ожидать слияния всех
взаимодействий в единое взаимодей-
ствие. Если же энергия еще на не-
сколько порядков больше (-1019 ГэВ),
то должно происходить слияние кон-
стант всех взаимодействий с констан-
той гравитационного взаимодействия.
Таким образом, по современным
представлениям, при энергиях больше „ . „
., гИС. 4.12. Индексы означают:
10 ГэВ все известные взаимодейст- гв -гравитационное взаимодействие,
вия сливаются в одно общее взаимо- СВ - сильное взаимодействие,
СлВ - слабое взаимодействие,
действие. ЭмВ - электромагнитное взаимодействие.
4.6. Мечты теоретиков
Можно ли на качественном уровне понять, почему объединение
взаимодействий происходит при таких чудовищно больших энергиях?
На помощь приходят соображения, связанные с анализом размерностей
физических величин.
432
Известны три фундаментальные мировые постоянные: скорость
света с, постоянная Планка h и гравитационная постоянная G. Еще
М. Планк в первой же работе 1900 г., где он ввел постоянную, называе-
мую теперь его именем, заметил, что из трех указанных постоянных
можно образовать комбинации, имеющие размерности массы и времени.
Это позволяет, вообще говоря, построить самую естественную, с точки
зрения физики, систему единиц, в которой единицами длины, времени и
массы выбраны эти комбинации.
Построим указанные величины. Для этого следует вспомнить не-
сколько ключевых формул. Так, потенциальная энергия тела массой т в
гравитационном поле другого тела той же массы
U = -Gm2/г.
Поэтому размерность левой части, совпадающая с размерностью
энергии покоя тс2, равна размерности правой части;
[znc2] = [Gzn2r''J, откуда [г] = .
Подобная формула показывает, как связаны между собой размерно-
сти величин в правой и левой частях этого равенства.
С другой стороны, комптоновская длина волны равна h/mc, поэто-
му должно выполняться равенство размерностей:
[Gm/c2~^ = [h/mc].
Отсюда получаем, что комбинация констант G, h, с, имеющая
размерность массы, есть
Подставляя эту комбинацию в формулу для размерности длины, на-
ходим
Ue =(Gh/c2/ и Ц tUJc = (Gh/c^ .
Итак, мы построили три величины нужной размерности, называе-
мые планковскими. Приведем численные значения каждой из них.
”^к =(йс/<?)1/2 «2,1-Ю-8 кг = 1,2.10” ГэВ/c2;
Млан«=Мс3)'/2 «2,6-Ю-35 м;
«Планк =(G/j/c5)'/2 «2,9-Ю42 с.
Весь опыт физики показывает, что если удается построить величины
определенной размерности из параметров, описывающих данную физиче-
скую систему, то эти величины определяют характерное поведение систе-
мы. В данном случае речь идет о всеобъемлющей системе, о всей Вселен-
ной, так как мировые константы характеризуют поведение мира в целом.
433
1
Поэтому можно сделать вывод, что на характерных планковских рас-
стояниях порядка IO<1S м и при характерных типичных энергиях порядка
К)” ГэВ гравитационное взаимодействие нельзя рассматривать классиче-
ски. Появление в планковских величинах квантовой постоянной h есть сви-
детельство необходимости рассматривать гравитацию на квантовом языке.
Именно при указанных энергиях и на указанных расстояниях ГВ сливается с
остальными и происходит полное объединение всех сил природы.
Ученые последовательно, в течение почти 400 лет (со времен Галилея
и Ньютона, являющихся родоначальниками современной физики), при-
ближались к пониманию этого единства. Путь был нелегким, его этапы
могут быть условно изображены вершинами «куба теорий» (рис. 4.13).
Вершина G соответствует построенной Ньютоном теории тяготения (для
которой G является определяющей
константой). Вершина С соответст-
вует электродинамике Максвелла и
частной теории относительности
Эйнштейна, для которой скорость
света является основным парамет-
ром. Вершина Gh отвечает кванто-
вой теории. В первой четверти XX
в. все три указанные вершины соот-
ветствовали хорошо развитым фи-
зическим теориям.
Завоевания науки последних десятилетий сводятся к построению
релятивистской теории тяготения, или общей теории относительности
(вершина Gc) и релятивистской квантовой теории (вершина he). Но так
и продолжает оставаться мечтой теоретиков построение квантовой тео-
рии тяготения (вершина Gh) и «окончательной» теории, объединяющей
все на свете (вершина Gch ).
Правда, теория предсказывает упомянутое выше слияние взаимодей-
ствий при планковских энергиях. Совершенно очевидно, что проверить
эти утверждения в земных экспериментах не удастся никогда. Самый
мощный современный ускоритель частиц разгоняет их до энергии порядка
103 ГэВ. Теоретики подсчитали, что кольцевой ускоритель, способный
разогнать частицы до планковских энергий, имел бы длину порядка свето-
вого года (1012 км), т.е. порядка расстояния до ближайшей звезды. Таким
образом, идеи об объединении взаимодействий могут быть проверены
только косвенно в той лаборатории, которую подарила нам природа, - в
самой Вселенной.
Gft(?)
Gc(OTO)
Gch ('!'.)
мечта теоретика
С (теория отно-
сителъности)
he (РКТП)
(jrn {квантовая
механика)
Рис. 4.13
434
4.7. Космомикрофизика
Современные представления об эволюции нашей Вселенной сводят-
ся к тому, что около 15 миллиардов лет тому назад она возникла в ре-
зультате спонтанного взрыва. Наверное, некорректно спрашивать, что
было до этого взрыва. Ведь в результате такого взрыва родилось и про-
странство-время, которое является неотъемлемой частью материи и оп-
ределяется свойствами материи. Поэтому вопрос «а что было до?» не
имеет ответа. Не было самого времени.
Однако ученые довольно точно рассчитали последствия этого взры-
ва и этапы эволюции Вселенной, образование в ней ядер атомов, затеи
самих атомов, образование галактик и т.п. Итог космологических иссле-
дований последних десятилетий таков.
Через 1О"35 с после «Начала» наша Вселенная состояла из смеси
всех мыслимых элементарных частиц, в том числе кварков, энергия ко-
торых достигала 1015 ГэВ (в пересчете на температуру это эквивалентно
1028 К). Вселенная с большой скоростью расширялась, при этом ее тем-
пература падала. Через 105 с после «Начала» кварки уже были навсегда
связаны в протонах и нейтронах, через 3 мин образовались простейшие
ядра и определился первичный химический состав Вселенной - 75% во-
дорода и 25% гелия. Это, кстати, находит полное подтверждение при
анализе состава звезд. Затем еще через 700 000 лет Вселенная охладилась
настолько, что электроны смогли «сесть» на орбиты вокруг ядер водоро-
да и гелия, и начался медленный этап собирания вещества в сгустки и
образования первичных звезд и галактик.
Изложенная в нескольких словах модель Большого Взрыва предпола-
гает, что на самом раннем этапе характер и темп эволюции Вселенной оп-
ределялся свойствами элементарных частиц и их взаимодействий. Так,
например, количество образовавшегося гелия критически зависит от обще-
го числа сортов нейтрино. Космологи (а не физики, занимающиеся части-
цами) предсказали, что число этих сортов не может быть меньше трех.
Таким образом, сейчас произошло знаменательное слияние двух, казалось
бы, далеких друг от друга областей науки. Космология (наука об эволюции
Вселенной) сомкнулась с физикой микромира. Так на наших глазах воз-
никла новая ветвь физики - космомикрофизика. В настоящее время все
новые идеи в физике частиц проходят тест на совместимость с установ-
ленными космологическими законами, и наоборот, исследование моделей
эволюции Вселенной невозможно без знания законов физики микромира.
Контрольные задания
Качественные задачи
1. В настоящее время можно осуществить мечту алхимиков средне-
вековья - превратить ртуть в золото. Каким образом?
2. Почему а -частицы, испускаемые радиоактивными препаратами,
не могут вызвать ядерных реакций в тяжелых элементах?
3. Два препарата имеют одинаковое число ядерных расщеплений:
один - 1 мин, другой - 1 ч. Какой из препаратов дает более интенсивное
излучение?
4. Какое животное способно реагировать на радиоактивное излучение?
5. Известно, что чем больше плотность среды, тем большее сопро-
тивление она оказывает движущейся в ней материальной частице. Поче-
му же слой свинца меньше ослабляет поток нейтронов, чем такой же
слой графита?
6. Сразу же после экспериментального открытия нейтрона
Д.Д. Иваненко и А. Гейзенберг предложили протонно-нейтронную мо-
дель ядра. Эта модель подтверждена экспериментальными исследова-
ниями ядерных превращений. Согласно протонно-нейтронной модели
ядра состоят из протонов и нейтронов. Число протонов в ядре равно
атомному номеру элемента Z в таблице Менделеева, а число нейтронов
N = A-Z , где А - массовое число. В ядре нет никаких других частиц.
Однако при радиоактивном (3 -распаде из ядра атома вылетает электрон.
Откуда же он берется?
7. Почему природный уран не является атомным горючим и хране-
ние его не связано с опасностью взрыва?
8. Один-единственный нейтрон может вызвать в куске урана цеп-
ную реакцию с выделением огромного количества энергии. Как может в
этом куске появиться нейтрон? Откуда?
9. Почему бомбардировка ядер урана медленными нейтронами мо-
жет дать даже ббльший эффект, чем быстрыми?
10. Можно ли рентгеновские лучи, применяемые в металлургии для
просвечивания металлов и обнаружения дефектов в них, заменить гамма-
лучами, испускаемыми каким-нибудь искусственным радиоактивным
веществом?
Ответы:
1. Путем осуществления ядерной реакции. В природе существует один ста-
бильный изотоп золота Au”7 и семь - ртути (Hg'56 , Hg”a, Hg”’, Hg™, Hg20’,
Hg202 , Hg2M). Значит, в ходе ядерной реакции из ядра ртути необходимо удалить
один протон и либо добавить нейтрон, либо удалить один, два, три, четыре, пять
или семь нейтронов.
436
2. Энергии а -частиц недостаточно, чтобы преодолеть силу отталкивания
ядра тяжелого элемента и проникнуть в него.
3. Первый.
4. Чувствительным индикатором радиоактивного излучения является улит-
ка. По существу, это живой счетчик Гейгера.
5. Свинец состоит из тяжелых атомов, графит - из легких (углерод). При
упругом столкновении с тяжелым ядром нейтрон меняет направление движения,
практически не меняя величину своей скорости. При столкновении с более близ-
ким по массе ядром углерода нейтрон передает ему большую часть своей энер-
гии. Поэтому в качестве замедлителей нейтронов применяют вещества, состоя-
щие из легких молекул, например, воду или графит. Названные вещества отли-
чают также высокая концентрация молекул и способность сохранять свои свой-
ства при поглощении большого количества энергии (вода обладает высокой теп-
лоемкостью, графит - высокой температурой плавления).
6. При Р-распаде ядро претерпевает изменения. Это объясняется тем, что
один из нейтронов, входящих в ядро атома, превращается в три частицы (протон,
электрон и антинейтрино), причем протон остается в образовавшемся ядре, а элек-
трон и антинейтрино вылетают из ядра. Это увеличивает заряд ядра на единицу.
Заряд ядра атома определяет порядковый номер элемента в таблице Менделеева и
все его химические свойства.
7. Нейтроны, являющиеся результатом спонтанного деления ядер урана, как
правило, поглощаются ядрами U238 , при этом цепная реакция не происходит.
Столкновения же их с ядрами U235 происходят очень редко из-за малого (0,7%)
количества последних в урановой среде.
8. Нейтрон может появиться за счет самопроизвольного деления ядра урана;
при этом каждое деление дает 2-3 свободных нейтрона.
9. Быстрые нейтроны зачастую вылетают из толщи вещества урана, не ус-
пев вступить в цепную реакцию. Медленные нейтроны дольше находятся вблизи
ядра, поэтому возрастает вероятность захвата их ядром урана.
10. Можно; у -лучи проникают сквозь тела, причем в ббльшей степени, чем
рентгеновские.
Примеры решения задач
1. Свет от Солнца падает на плоское зеркало площадью S = 1 м2
под углом а = 60°. Найти силу F светового давления, считая, что зерка-
ло полностью отражает весь падающий на него свет. Известно, что сред-
няя мощность солнечного излучения, приходящаяся на 1 м2 земной по-
верхности, перпендикулярной к излучению, Р = 1,4 • 103 Вт/м2 .
Решение. Падающие на зеркало фотоны упруго отражаются от него, при этом
импульс фотонов изменяется. Это изменение обусловлено импульсом силы, дейст-
вующей со стороны зеркала на фотоны в момент отражения (взаимодействие с
зеркалом). По третьему закону Ньютона точно такая же сила (по модулю) будет
действовать на зеркало со стороны фотонов. Она и создает световое давление.
437
Найдем сначала импульс силы, дейст-
вующей на зеркало в течение промежутка
времени At со стороны фотонов, обла-
дающих энергией Av,, где v( - некоторая
фиксированная частота.
Пусть концентрация таких фотонов в
падающем потоке равна nt. Тогда за время
At на зеркало попадут n^AtS cosa фото-
нов (с - скорость света). Их суммарный импульс до взаимодействия с зеркалом
р, = (ntc&tS• cosa)mc = ^Scosa/nrAt.
После отражения импульс по модулю остается тем же: pt = р2, т.е.
Ар = 2р, cosa = 2njAviS-cos2a-At,
а сила давления на зеркало со стороны фотонов данного сорта
F, = — = 2n hv,S cos2 a ;
‘At
суммарная сила давления
r = £jF = 2S cos2a ^nthvt ;
p = cY'njAv1 = 2—S-cos2a»2,3-IO'6 H.
i c
Мощность излучения перпендикулярна направлению излучения.
Ответ-. f’ = 2,3 10^6 Н.
2. На рисунке приведен экспериментально полученный график за-
висимости задерживающей разности потенциалов U3 (т.е. напряжения
между катодом и анодом, при котором ток в вакуумном фотоэлементе
становится равным нулю) от частоты v падающего света. С помощью
этого графика найти значение постоянной Планка, работу выхода элек-
тронов из катода и красную границу фотоэффекта.
Решение. При освещении фотокатода
светом происходит взаимодействие квантов
света с электронами вещества, причем в слу-
чае фотоэффекта речь идет о слабо связанных
с атомами электронах, т.е. электронах прово-
димости. В результате взаимодействия фото-
на с одним из таких электронов энергия фо-
тона hv полностью передается электрону, и,
если этой дополнительной энергии будет
достаточно, электрон покинет поверхность
фотокатода.
438
Максимальная кинетическая энергия Ек электрона определяется уравнени-
ем Эйнштейна для фотоэффекта:
£к = hv - А ,
где А ~ работа выхода электрона с поверхности освещаемого вещества в вакуу-
ме. Очевидно, что фототок станет равным 0, т.е. выбитые с поверхности катода
электроны не дойдут до анода, если задерживающая разность потенциалов будет
равна
[73=£к/е, или U3e=EK,
где е - заряд электрона.
Подставив это выражение в уравнение фотоэффекта, получим:
г, h А
U,=—v-------------------------------;
е е
A = e-tgW = e—«6,7-10"” Дж с.
Av
Для определения работы выхода А продолжим экспериментальную пря-
мую до пересечения с вертикальной осью: А = 1,9 эВ. Красной границей фото-
эффекта является наименьшая частота света, при которой возникает фотоэффект
=> V, =4,5 1014 Гц.
Ответ: h = 6,7 • КГ34 Дж • с; А = 1,9 эВ; vK = 4,5 • 1014 Гц.
3. При распаде нейтральной частицы образовались два фотона, дви-
жущиеся под углами а, = 30° и а2 = 60° к первоначальному направле-
нию движения частиц. Какова была скорость нейтральной частицы?
Решение. В этом случае закон сохранения импульса разумно записать в
проекциях на горизонтальную и вертикальную оси.
m„v hv, hv.
, - — =—L-cosa. +—-cosa
Jl-fp/eV с c
. hv, . hv2 .
0 = —— sina,------sina2.
с с
Закон сохранения энергии имеет вид:
т0С2 L 1.
—==^=== = hvl + hv2.
Из второго уравнения с учетом того, что sina, = 1/2 и sina2 =х/з/2 , полу-
чим v, = v2>/3 , тогда
. m°VC =2hv2- — = йу2(х/з+1).
439
Разделим полученные равенства одно на другое и найдем — = —2-
v 2
Окончательно v = 2сД/3 +1 = 0,73 с.
Ответ-. v = 0,73 с.
4. Частица, двигавшаяся первоначально со скоростью v = 0,8 с, рас-
падается на два фотона. Найти минимальный угол разлета этих фотонов.
Решение. Применив законы сохранения энергии и импульса, получим:
т0с2 1. 1.
- = hv, + h.v2,
zn„v
hv,Y fAv2Y 2/i2v,v2 cosP
Tj +u ] ?
где р = 180° - а .
Подставим сюда и = 0,8 си умножим второе равенство на с :
S/hm^c2 = Av, + ftv2;
16/9zn2c4 = (Av,)2 + (ftv2)2 + 2/i2v,v2 cosa .
Выделим во втором уравнении полный квадрат:
)2 - 2ft2v,v2 (1 - cosa) ,
так как сумма энергий фотонов посто-
янна и равна 5/3/пос2, то
2/г\ v2 (1 - cosa) = zn2 • с4, т.е.
.Г4
1 ™0С
1 - cosa = —г---.
2h v,v2
Чтобы угол разлета a , а значит,
и разность (1-cosa) были минимальными, произведение v,v2 должно быть
максимальным.
Исследуем на максимум функцию.
f(v2) = (j"V2 -&v2^v2 = |znoc2/iv, -h2v\.
г- , , 5 mac2
График - парабола, точка максимума v2 =---й— , тогда
6 п
и 5 2 5 2 5 2
~~тас -~тас ,
3 6 6
а искомое произведение
440
\
viv2 = ~з^°2~ i 1 - cos amin= 18/25 = 0,72,
откуда
amin = arccos0,28 ® 47° .
Ответ: amin « 47°.
5. Покоившееся ядро изотопа радона 86Rn220 распадается с испускани-
ем а -частицы. При этом ядро, образовавшееся в результате распада, и a -
частица разлетаются в противоположных направлениях. Определить ско-
рость образовавшегося ядра, если скорость а -частицы иа = 1,6 107 i /п.
Решение. Так как система замкнута, то выполняются законы сохранения
электрического заряда, массы частиц, а также законы сохранения импульса и
энергии.
Ядро изотопа радона распадается с испусканием а -частицы, поэтому
86Rn220 -» 84Ро216 + 2Не4,
отсюда следует, что относительная атомная масса полония Л/= 216, для
а -частицы относительная масса Ма = 4 .
В соответствии с законом сохранения импульса
0 = Mv-MV, т.е. г = ^г2 = 2,96 1 05 i/ft.
М
Ответ: о = 2,96 105 м/с.
6. Период полураспада изотопа углерода 6С14 составляет 5570 лет.
Чему равен средний интервал времени At между распадами отдельных
f ядер в образце, содержащем Л7о = 1О12 атомов этого изотопа?
I’ Решение. Из сравнения двух вариантов записи закона радиоактивного распада
________________________________________________t_
I N(t) = N0e-'u = Na-2*
получим для постоянной распада X выражение X = In2/t^.
• За период полураспада в образце происходит jV0/2 = 0,5 -1012 распадов, no-
il этому средний интервал времени от распада до распада мал: At«t^2. За это время
® число ядер 6С14 уменьшается в среднем на единицу:
1 ДХ = -1 = -N^At,
X откуда
I At=_^ = _!jtL_s_2£_sO,25 с.
I У„Х X0ln2 О,693Л7о
К Ответ: At = 0,25 с.
441
7. В микрокалориметр с теплоемкостью с = 100 Дж/К помещен об-
разец радиоактивного кобальта с относительной атомной массой А = 61.
Масса образца пг = 10 мг. При распаде одного ядра кобальта выделяется
энергия W = 2-Ю-'9 Дж. Через время т = 50 мин температура калоримет-
ра повысилась на At = 0,06° С. Каков период полураспада данного препа-
рата кобальта?
Решение. Повышение температуры калориметра определяется выделением
энергии Q в образце при распаде ядер атомов кобальта:
cAt = Q = Z\XW ;
здесь АХ - число распавшихся ядер за время т. Его можно найти из закона
радиоактивного распада:
AX = N0-No-2-^=^(l-2-^),
где No - первоначальное число радиоактивных атомов.
По закону Авогадро
N =N —
0 AM ’
где NA = 6- 10й моль-1 - постоянная Авогадро, М = А-10~3 кг/моль - моляр-
ная масса кобальта.
cAt = Na m ,(1-.
аА10-Л '
Т =-------------- = 5700 с *95 мин.
. 1-cAt-lO"3
togi/2— -----
* NAWm
Ошвепк T « 95 мин.
8. В некоторый момент времени счетчик радиоактивного излучения,
расположенный вблизи препарата фтора-18 с малым периодом полурас-
пада, зафиксировал 10 = 77 отсчетов в секунду. Через время т = 14 мин
показания изменились до = 70 отсчетов в секунду. Определить период
полураспада фтора-18.
Решение. Счетчик радиоактивного излучения регистрирует интенсивность
радиоактивного распада, которая определяется скоростью изменения числа не-
распавшихся радиоактивных атомов:
г - . г _
а п — > •* | “" ’ •
At At
Используя закон радиоактивного распада, получаем
1=1- 2'х/т
*1 хо z
442
Следовательно, период полураспада
т
Ответ: Т ®102 мин.
9. Лазер работает по трехуровневой схеме
(см. рис.). Длина волны оптической накачки
Хо = 530 нм, длина волны стимулированного
излучения Xj = 630 нм. Найти разность энер-
гий возбужденного и метастабильного уровней.
Решение. По условию задачи
откуда
E.-E.=hc\ —----. ДЕ = 0,37 эВ.
Ответ: АЕ = 0,37 эВ.
10. При термоядерной реакции слияния дейтерия fH2 и трития jH3
образуется нейтрон, неизвестная частица и выделяется Е0=17,6 МэВ
энергии. Определить неизвестную частицу и полную энергию Е , кото-
рая выделится, если прореагирует т = 1 г дейтерия. Число Авогадро
Na = 6-1023 моль'1; 1 эВ = 1,6-10” Дж.
Решение. Реакция слияния дейтерия с тритием:
.НЧ.Н’-ЭгНеЧдН1.
Таким образом, кроме нейтрона образуется еще ядро атома гелия 2Не4.
Количество дейтерия, содержащегося в одном грамме,
А М
где М = 210-3 кг/моль - молярная масса дейтерия.
Полная энергия
E = EnN = EaNA — = 8,5-10’" Дж.
Ответ: 2Не4; £ = 8,5-10 11 Дж.
443
Задачи для самостоятельного решения
1. Плоский алюминиевый электрод освещается ультрафиолетовым
светом с длиной волны X = 83 нм. На какое максимальное расстояние I
от поверхности электрода может удалиться фотоэлектрон, если вне элек-
трода имеется задерживающее электрическое поле напряженностью
Е = 7,5 В/см ? Красная граница фотоэффекта для алюминия соответст-
вует длине волны Хо =332 нм.
2. Первоначально невозбужденный водород начинает излучать фо-
тоны, если через него пропустить пучок электронов, прошедших уско-
ряющую разность потенциалов, не меньшую Uo =10,2 В. Какую мини-
мальную ускоряющую разность потенциалов должен пройти пучок про-
тонов, чтобы при пропускании их через первоначально невозбужденный
водород последний начал излучать фотоны? Чему равна (в электрон-
вольтах) энергия ионизации атома водорода? Считать, что масса элек-
трона много меньше массы протона и что атом водорода перед ударом
покоится.
3. Летевшая со скоростью и = 0,8 с ней- q
тральная частица распадается на два фотона,
движущихся затем в противоположных на- д
правлениях (см. рис.). Каково отношение час-
тот этих квантов?
4. Найти изменение длины волны света, излучаемого возбужденным
атомом водорода, вследствие отдачи, которую испытывает ядро атома со
стороны вылетающего кванта света.
5. Поток фотонов с длиной волны Xj, падающий по нормали на
идеальное зеркало, оказывает на него давление р, (см.
рис.). Какое давление р2 оказывает на идеальное зер-
кало поток фотонов с той же плотностью числа частиц
и длиной волны Х2, если он падает на зеркало по нор-
мали, зеркало отражает долю а < 1 падающего света, а
остальное поглощает? X, = 450 нм, Х2 = 630 нм,
а = 0,8.
6. За период полураспада в образце зарегистрировано N) рас-
падов. Сколько распадов N2 будет зарегистрировано непосредственно
после этого за время 2^/2 ?
X, Р,
77777777777777777
Х2 Р2
птптттт
444
7. Найти численное значение постоянной Ридберга Ry для атома во-
дорода, если известно, что энергия основного состояния Е} = -13,6 эВ.
8. В результате нескольких а - и р-распадов исходного ядра ZXA
получилось ядро . п = 24 и А = 37. Сколько при этом происхо-
дило а - и р -распадов соответственно?
9. При аннигиляции медленно движущихся ©——©
электронов и позитрона образуется 2 гамма-кванта ^180^
(см. рис.). Под каким углом <р друг к другу они раз- ftv
летаются? Какова частота v возможного излучения? с с
10. Максимальная длина волны фотона, способного ионизировать
атом водорода, равна Zo. Чему равна длина волны \ фотона, излучае-
мого при переходе электрона в атоме водорода из состояния Е} в со-
стояние Е2 ? Будет ли восприниматься поток таких фотонов как види-
мый свет?
Ответы:
1. Z = 1,51O'2 м. 2. umin=20,4 В; ЕИО„=13,6 эВ. 3. v,/v2=9.
4. ДХ«6,7• IO'16 м. 5. р2 = 0,64р, . 6. Х2=О,75-ЛГ,. 7. Я, =1,095-107 Г'.
8. 24 а-распадов; 17 Р-распадов. 9.(0 = 180°; v = ——. 10. X, =6,6-Ю'7 м
h
(красный свет).