Text
                    Е.С. КОЧЕТКОВ
Е.С. КОЧЕТКОВА
Ялгевра
и элементарные
срункции
ЧАСТЬ 2

Е. С. КОЧЕТКОВ Е. С. КОЧЕТКОВА Алгебра и элементарные функции Учебное пособие для учащихся 10 класса средней школы Под редакцией доктора физико-математических наук О. Н. ГОЛОВИНА Утверждено Министерством просвещения РСФСР Издание 2-е ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ» МОСКВА 1967
Эта книга, предназначенная для учащих- ся 10 класса, представляет собой вторую часть учебника <Алгебра и элементарные функции». В обеих книгах сохранена единая нуме- рация глав, параграфов, рисунков и упраж- нений. 6—в
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ Расстояние между двумя точками плоскости. Системы координат VII § 149 Каждая точка А плоскости характеризуется своими коорди- натами (х, у). Они совпадают с координатами вектора О А, выхо- дящего из точки О—начала координат (рис. 216). Пусть А и В—произвольные точки плоскости с координа- тами (xlt pj) и (х2, у2) соответственно (рис. 217). Тогда вектор АВ имеет, очевидно, координаты (х2—xt, у2—уг). Известно, что квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат (см. ч. I, § 92). Поэтому расстояние d между точками А и В, ------------------------------------► или, что то же самое, длина вектора АВ, определяется из ус- ловия da = (x2 —х1)г + (у2 — &1)2. Отсюда __________________ d = V(x2 —xj2 + (у2 —у J*. Полученная формула позволяет находить расстояние между любыми двумя точками плоскости, если только известны коор- динаты этих точек. Каждый раз, говоря о координатах той или иной точки плос- кости, мы имеем в виду вполне определенную систему коорди- нат хОу. А вообще-то систему координат на плоскости можно выбирать по-разному. Так, вместо системы координат хОу можно рассмотреть систему координат х'Оу' (рис. 218), которая полу- чается в результате поворота старых осей координат вокруг
начальной точки О против часовой стрелки на угол а. Если некоторая точка плоскости в системе коорди- нат хОу имела координаты (х, у), то в новой системе координат х’Оу’ она будет иметь уже другие коор- динаты (х', у'). В качестве примера рассмотрим точку 7И, расположенную на оси Ох’ и отстоящую от точки О па расстоянии, равном 1 (рис. 218). Очевидно, что в системе координат хОу эта точка имеет ко- ординаты (cos a, sin а), а в системе координат х’Оу' коорди- наты (1, 0). Координаты любых двух точек плоскости А и В зависят от того, как в этой плоскости задана система координат. А вот расстояние между этими точками не зависит от способа задания системы координат. Это важное обстоятельство будет существенно использовано нами в следующем параграфе. Упражнения 1024. Найти расстояния между точками плоскости с коор- динатами: 1) (3,5) и (3,4); 3) (0,5) и (5,0); 5) (—3,4) и (9,-17); 2) (2,1) и (—5,1); 4) (0,7) и (3,3); 6) (8,21) и (1,-3). 1025. Найти периметр треугольника, стороны которого за- даны уравнениями: х + у—1=0, 2х—у—2 = 0 и у=1. 1026. В системе координат хОу точки М и N имеют коорди- наты (1,0) и (0,1) соответственно. Найти координаты этих точек в новой системе координат, которая получается в результате поворота старых осей вокруг начальной точки на угол в 30° против часовой стрелки. 1027. В системе координат хОу точки МяИ имеют коорди- наты (2,0) и > — ~2 ) соответственно. Найти координаты этих точек в новой системе координат, которая получается в резуль- тате поворота старых осей вокруг начальной точки на угол в 30э по часовой стрелке. 4
Косинус сумны и раевости двух углов б 150 В этом параграфе будут доказаны следующие две формулы: cos(a-40) = cosacos0—sin a sin 0, (1) cos (а — 0) = cos a cos 04“ sin a sin 0. (2) Косинус суммы (разности) двух углов равен произве- дению косинусов этих углов минус (плюс) произведение синусов этих углов. Нам удобнее будет начать с доказательства формулы (2). Для простоты изложения предположим сначала, что углы а и 0 удов- летворяют следующим условиям: 1) каждый из этих углов неотрицателен и меньше 2л: 0 а <Z 2л, 0 0 < 2л, 2) a 3s 0. Пусть положительная часть оси Ох является общей началь- ной стороной углов а и 0 (рис. 219). Конечные стороны этих углов обозначим соответственно через ОА и ОВ. Очевидно, что угол а —0 можно рассматривать как такой угол, на который нужно повернуть луч ОВ вокруг точки О против часовой стрелки, чтобы его направление совпало с направлением луча ОА. На лучах ОА и ОВ отметим точки М и N, отстоящие от начала координат О на расстоянии 1, так что ОМ. ^ON =\. В системе координат хОу точка 7И имеет координаты (cosa, siha), а точка N—координаты (cos0, sin0). Поэтому квадрат расстояния между ними равен: d2 = (cosa—cos 0)2 + (sin a—sin 0)2 — cos2 a—2 cos a cos 04 4 cos2 04 sin2 a—2 sin a sin 04-sin2 0 = . = 2(1—cos a cos 0—sin a sin 0). При вычислениях мы воспользовались тождеством sin2 ср 4 cos2 ср = 1. Теперь рассмотрим другую систему координат ВОС, которая получается путем поворота осей Ох и Оу вокруг точки О против часовой стрелки на угол 0. В этой системе координат точка М имеет координаты (cos(а—0), sin(a—0)), а точка N — координаты (1,0). По- этому квадрат расстояния между ними равен: d2 = [cos (a—0) — 1 ]2 4 [sin (a—0) — —О]2 = cos2 (a—0)—2 cos (a—0)4 4 1 4 sin2 (a—0) = 2 [1 — cos (a— 0)].
Но расстояние между точками /И и N не зависит от того, относительно какой системы координат мы рассматриваем эти точки. Поэтому или 2 (1 —cos a cos Р — sin a sin Р) = 2[1 —cos (а—Р)]. Отсюда и вытекает формула (2). Теперь следует вспомнить о тех двух ограничениях, которые мы наложили для простоты изложения на углы а л р. Требование, чтобы каждый из углов аир был неотрицатель- ным, на самом деле не существенно. Ведь к любому из этих углов можно прибавить угол, кратный 2л, что никак не отра- зится на справедливости формулы (2). Точно так же от каждого из данных углов можно вычесть угол, кратный 2л. Поэтому можно считать, что 0^а<2л, 0^Р<2л. Не существенным оказывается и условие а^р. Действи- тельно, если а < р, то Р > а; поэтому, учитывая четность функ- ции cosx, получаем: cos (а—Р) = cos (Р—а) = cos р cos а + sin Р sin а, что по существу совпадает с формулой (2). Таким образом, формула cos (а— Р) = cosa cos р -|- sin a si n Р верна для любых углов а и р. В частности, заменяя в ней Р на —р и учитывая, что функция cosх является четной, а функ- ция sinx нечетной, получаем: cos (a-г Р) = cos [«—(— Р)] = cosacos (— Р) -f-sinasin (— Р) =« = cos a cos р — sin a sin р, что доказывает формулу (1). Итак, формулы (1) и (2) доказаны. Примеры. — 1) cos 75° = cos (30° -J- 45°) = cos 30° • cos 45° - sin 30° - sin 45° = _ К 3 V"2 1 /'2_K~6-V/~2 — 2 ’ 2 2 * 2 ~ 4 2) cos 15°--cos(45°—30°) = cos45°-cos30°-f-sin45°-sin30е« _ V2 уГз V"2 1 _ 1^6+ V”2 2 ’ 2 "г 2 ’ 2 ~ 4 Упражнения 1028. Вычислить, не пользуясь тригонометрическими таб- лицами: а) cos 17° cos 43° — sin 17° • sin 43°; 6
6) sin 3°-sin 42е —cos3е-cos 42е; в) cos29°-cos74° + sin29°-sin74°; г) sin97°«sin37° + cos37°-cos97°; д) cos-| ji-cos-^--f-sin-j-3i«sin-^-; e) sin-|-л • sin 4-л — cos 4-л-cosn. О д и D О Упростить выражения (№ 1029—1034): 1029. cos(a+y) + cos(y-a) . 1030. cos (ЗОР 4-а) • cos (24° — а) — sin (36° 4-а)-sin (а — 24е). 1031. sin — а^ -sin (-£ +а^ — cos -J-aYcosf-^ —а 1032. cos 2а + tg а • si п 2а. jQgg cos (а + Р) 4-sin a-sin р cos (а—0)—sin a-sin p ‘ 1024 cos (a—P)—cosa-cosP cos (a + P)4-sin a-sin p * 1035. Вычислить: a) cos (a— 0), если cosa= — sin0 =— 90° < a < 180°, 180° < 0 < 270°; 6) cos (a -f- , если cos a = 0,6; я < a < 2я. 1036. Найти cos (a 4-0) и cos (a—0), если известно, что sina=> 7 • 5 — cos0= — уд и оба угла (a и 0) оканчиваются в одной и той же четверти. Вычислить: 1037. cos 1038. cos 1039. cos 1 21 arcsi п -г- 4- arccos . V U I • 1 / arcsin-z-—arccos ( —: Q \ . I , Синус суммы и разности двух углов § 151 Полученные в предыдущем параграфе формулы для cos(a4:P) мы используем теперь при выводе соответствующих формул для sin(a±0). Для этого нам придется воспользоваться формулами приведения (см. ч. 1, § 111). 7
Представим sin (а 4-Р) в виде: sin (а + р) = cos [у—(а + p)j . После этого заметим, что |-(а + ₽) = (у-а)-р. Следовательно, sin (а 4- Р) = cos [( f"- а) — Р] = cos (Y — а) cos Р -|- sin — а J sin р = sin ос-cos р 4-sin P-cosa. Итак, sin (a + P) = sin a • cos p -f* sin p • cos a. (1) Синус суммы дзух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго плюс произведение си- нуса второго угла на косинус первого. Например, sin 105° = sin (60°+ 45°) = sin 60°-cos 45°+ + sin45°-cos 4 - . Формула (1) представляет собой тождество, то есть равенство, справедливое при любых значениях а и р. В частности, оно должно быть верным, если р заменить на — р. В результате такой замены мы получим: sin (a — Р) = sin a -cos (— Р) + sin (— Р) • cos а = = sin а • cos р — sin р • cos а. Итак, sin (а — Р) = sin a - cos р — sin р • cos а. Синус разности двух углоЪ равен произведению синуса первою угла на косинус второго минус произведение синуса второго угла на косинус первого. Например, sin 15°= sin (45° —30°) = sin 45° • cos 30°—sin 30°-cos 45° = У"з 1 V’2_Vr6—K2 2*2 2*2 4 Упражнения 1040. Вычислить: a) sin 19°-cos26°+sin26°-cos 19°; 6) sin 46° • cos 44° 4- cos 46° • sin 44°; 8
в) si'n61e-cos31e — cos 61°-sin 31е; г) sin53e-cos Т— cos53°-sin(—7е); д) sin(— 15е)-cos75еcos 15е-sin 75°. Упростить выражения (№ 1041—1047): 1041. cos (25° 4- а) • sin (15° — а) 4- sin (25° 4- а) • cos (15е —а). 1042. sin (96° — а) • cos (36° 4- а) — cos (96е—а) • sin (36° 4- а), 1043. sin (а 4- Р) • cos (а — Р) — sin (а — Р) cos (а 4- Р). 1044. 1045. 1046. 1047. 1046. ctg а sin 2а — cos 2а. sin (а4~Р)—cosa-sin Р sin (а—P)4-cos а-sin р * sin (а—Р)4-cosct-sin Р sin(a4_P)—sin а-cos р ’ sin (а—Р) tga — tgp ' Найти sin fa — , если sina = —0,8. \ / 1/"з” 1049. Найти sin (a 4- P) и sin (a — P), если sin a = , cos P = 1^13 ~ , л л , „ , =-----J-, причем 0 < a < -у ; -у < P < л. 1050. Найти sin (a 4-Р) и sin (a—р), если известно, что 4 5 cos a = у, sinp = — jg, причем углы аир оканчиваются в разных четвертях. Вычислить: / 1 2 \ 1051. sin ( arcsih-5-4-arccos-г-) . \ V & / г 1 / 2XI 1052. sin arcsin -=-4-arccos — -5-) . L ~ \ / J 1053. sin(arctg3—arctg2). Г, IX * 1 x ”1 arcsin (—у) 4- arccos (— -=-) . Тангенс суммы и разности двух углов § 152 Формулы для выражения синуса и косинуса суммы (разности) двух углов через синусы и косинусы этих углов позволяют полу- чить соответствующие формулы для тангенса и котангенса. Действительно, . , л _ sin (а4-Р)_sina-cos P4-sin P-cos a Sva+ P) —cos (a-j-0) cosa-cosp—sina-sinp Предположим, что cos a и cosp отличны от нуля (это рав- носильно тому, что tg а и tg р определены). Тогда, разделив 9
числитель и знаменатель последней дроби на cos a-cos р, по- лучим: sin a-cos P+$in P-cos a sin a-cos P4~sin p-cosa_cosa-cosp_tg a + tg P cos a-cos p—sin a-sin p cosa-ccs p —sin a-sin p 1 — tg a-tg p * cos a-cos p Итак, если только тангенсы углов аир определены, то tg(«+P)=. Тангенс суммы двух углов равен сумме тангенсов этих углов, деленной на единицу минус произведение тангенсов этих углов. Пример. (1) ° \ 4 1 / . . л 1 — tg a ' 1 —tg—-tRa Заменяя в формуле (1) P на (—P) и учитывая, что функция y = tgx является нечетной получаем: ter (n—R\= tga+tg(— Р) _ tgq—tgp . Р/ 1 —tga-tg(—p) l + tga-tgp’ f/ _ _o\ __ tg a —— tg P 0) 1 + tgatgP* Тангенс разности двух углов равен разности танген- сов этих углов, деленной на единицу плюс произведение тангенсов этих углов. Пример 1. ;-1+(?^_4еа *+*«• Пример 2. Пусть прямая у = krx образует с осью абсцисс угол а, а прямая y = k2x — угол Р (рис. 220). Тогда угол <р между этими прямыми будет равен <р = р — а. Предположим, что рассматриваемые прямые не перпендику- лярны друг другу. Тогда тангенс угла ф существует и равен Но tg a = ki, tg p == k2. Следовательно, * *а— ‘gf-i+Jjs;- 10
Формулы для котангенса суммы и разности двух углов можно получить аналогично. Однако на практике эти формулы исполь- зуются очень редко, и поэтому приводить их мы не будем. Упражнения 1055. Найти tg 105°, представив 105° в виде суммы 60° 4-45°. 1056. Вычислить: tgl3°+tg47e . . tg Iе — tg 46° . 1-tg 13° tg 47°’ Ц-tg l’-tg46° ’ 1 -tg 27°-tg 33° . . l+tg4°-tg49° tg27° + tg33° ’ * 1' tg 49°—tg 4° ’ 1057. Найти tg(a-bP) и tg(a—P), если sin a = 0,6; cnsp = — "g' a , л p * 4 5 1058. Найти tg(a-f-P) и tg(a—P), ec.nnsina = —cosp=^, причем оба угла (a и P) оканчиваются в одной и той же чет- верти. Вычислить (№ 1059— 1061): 1059. tg [arctg 2 + arctg 3]. [1 21 arcsin у + arccos -g- Найти угол между данными прямыми (№ 1062, 1063): 1062. у = х и У = -| х4-6. 1063. Зх —2t/ = 6 и 2x+3i/ —7 = 0. 1064. Доказать, что прямые у = Л1х + Ь1‘ и у = k2x-j-b2 перпен- дикулярны тогда и только тогда, когда кгЬ2 =— 1. 11
Тригонометрические функции двойного угла § 153 Положив в формуле sin(a-j-P) = sin a-cos Р +sin Р-cos а Р = а, мы получим: sin 2а = sin а • cos а+sin а• cos а = 2 sin а cos а. Итак, sin 2а = 2 sin а cos а. (1) Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса данного угла на его косинус. Аналогично, положив в формуле cos (а + Р) = cos а - cos Р — sin а - sin р Р = а, получим: cos2a= cosa-cosa — sina-sina = cos2a — sin2a. Итак, cos 2a = cos2 a —sin2 a. (2) Косинус двойного угла равен квадрату косинуса дан- ного угла минус квадрат синуса того же угла. Точно так же, положив в формуле tg(a + P)=,tg°+tfPft bv II 1—tga-tgp Р = а, получим: *S2«=r^i- Р) Тангенс двойного угла равен удвоенному тангенсу дан- ного угла, деленному на единицу минус квадрат тангенса того же угла. Примеры. 1) Пусть sin а = 0,6, причем угол а оканчи- вается во 2-й четверти. Тогда cosa =— ]/ 1 — sin2 a = = -1/1-0,36 = —0,8. Поэтому sin 2a = 2 sin a-cos a = 2 -0,6-(— 0,8) = —0,96; cos 2a = cos2 a — sin2 a = 0,64 — 0,36 = 0,28. 2) Пусть tga = 3. Тогда Замечание. He следует думать, что двойной угол обяза- тельно содержит четное число градусов или радианов: 20°; 60°; 4; 6 и т. д. Под двойным углом можно понимать любой угол. Например, 45°= 2-(^); 75° = 2-^); 3 = 2*(4) 12
и т. д., вообще, а = 2-у . Поэтому иногда доказанные выше формулы полезно записывать в виде: Л . tt U sin а = 2 sin—-cos — ; cos а = cos2 — sin2 -у ; 2tg£ V---------а • l-tg’y Этн формулы выражают тригонометрические функции угла через тригонометрические функции половинного угла. Упражнения 1065. Известно, что sin а = 0,8, причем угол а оканчивается во 2-й четверти. Найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла 2а. 1066. Найти tg2a и cos 2a, если известно, что у!гол а окан- чивается не в 1-й четверти и tga = 4. 1067. Найти cosa, если sin-^- = — 0,1 и угол а оканчивается в 4-й четверти. 1068. В какой четверти оканчивается угол а, если а) sina>0, sin 2a >0; в) sina<0, sin 2a >0; 6) sina>0, sin 2a <0; r) sina<0, sin 2a <0? 1069, Вычислить: a) sin 22°30'"COs22°30'; в) , i 1-ig“4 6) cos222°30' —sin222°30'; r) --. lgT 1070. Доказать тождества: a) (sin a+cos a)2 = 1 + sin 2a; 6) cos4 a—sin* a = cos 2a; в) ctga — tga = 2ctg2a. 1071. Доказать, что для любого острого угла a sih2a<2sina. 1072. В каких пределах может изменяться выражение sin a-cos a? Упростить выражения (№ 1073—1078): 1073. sin2 (Р - 45°)-cos2 (Р-45°). 13
1074. sin—a^-cos^-“)• |f)7K 1______1 KIT7 ~i~a) I°75, 1-tg a 14-lB о ' 1П7‘ I - ’ь* + a) ' 1076. (sin 4-4-cos 4-) (s>n 4—C0s4)- sin4cos-4ci>sa. Доказать равенства (№ 1079, 1080): 1079. sin 10°-cos 20°-cos 40° = 4-. О . • л 2л 1 . л 1080. sin-E--cos—=- = —tg-^-. О о 4 0 1081. Выразить sin a и cos a: а) через sin 4 и cos 4 ; б) через sin — ; в) через cos-у . Упростить выражения (№ 1082—1087): «лол sln’a-clga «лое - (я . А (л А 1082. ---. * . 1085. sec -j-4-a ]-sec (-з—al. sin 2a \ 4 ' ) \ 4 / 1083. (tg a-}-ctga)sin 2a. 1086. • 1084. 2 cos’ a - cos 2a. 1C87. -1~5in2n . cos a—sin a Вычислить (№ 1088—1091): 1088. tg(2arctg3). 1090. cos ^2arcsin -i) . 1089. tg Г2 arccos Г—g*)] Ю91. sin[2arctg(—2)]. 1092. Найти формулу общего члена арифметической про- грессии, для которой: aj = cos2(p; a2--=cos2<p. 1093. Доказать, что бесконечная геометрическая прогрессия, у которой at = 4 sin <р, а2 = sin 2<р, является бесконечно убываю- щей, и найти ее сумму. Выражение sin а и cos а через тангенс половинного угла § 154 При решении некоторых задач оказываются полезными сле- дующие формулы: 2tg|- sina =-------(1) 14
l-tg’l- cos« =-------(2) » + tg2Y Докажем их. _ . a a 2 Sin -Д- • COS -7Г n . a a 2 2 sina = 2sin-jr • cos -^- =----------n =* 4 A Cl a a sin»-+cos«-5- 2 sin • cos — cosa-|- 2lB*7 sin»-|-+cos2-| tg’y + l « a c°s»T Тем самым доказана формула (1). Аналогично доказывается и формула (2): 2 2 . , a , а s,n y+cos Т . а . в а cos’у-S‘n ’у COS’ -у l-tg’y sin« y + cos2y- a a cos’- Формулы (1) и (2) верны лишь в том случае, когда cos -£-=54=0, или, другими словами, когда выражение tgy определено. Пример. Найти since и cost», если tg-|- = 2. По формулам (I) и (2) получаем: п=о.в; cosa = sin a ------------ H-tg’y ^=ra=-W- а 1+4 2 IS IS
Упражнения 1094. Найти sin а и cosa, если tgy=5. 1095. Найти sin 2a и cos 2a, если а) tga=—3; б) ctga = 3. 1096. Дать тригонометрическое доказательство неравенства I—1<1. 1Ц-а21 1097. Доказать, что при любом a sin2a и tga имеют один и тот же знак (оба отрицательны, оба положительны или оба равны нулю). 1098. Известно, что tg-|- = y. Найти: а) sin4 a—cos4 a; 6) sin a «cos a-cos 2a. Соотношения между тригонометрическими функциями половинного угла и косинусом целого угла § 155 Складывая и вычитая почленно тождества 1 = cos2 -у + sin2 у и о a . » а cos a = cos2 —sin2 у, получаем: 1 cos a == 2 cos2 у; (1) 1—cos ct = 2 sin2 , (2) £ Эти две формулы очень часто используются для преобразо- вания различных тригонометрических выражений. Кроме того, они позволяют выразить синус и косинус половинного угла через косинус целого угла: (3) 2 (4) Из последних двух формул, в свою очередь, вытекает тождество . a_____ . _ ZI — cos a ® 2" —" 212 г I + cos a ’ (5) 16
Знаки (4- или —) перед радикалами в формулах (3), (4) и (5) выбираются в зависимости от того, в какой четверти оканчива- ется угол у . Если, например, -у < у < л, то в формуле (4) нужно взять знак плюс, а в формулах (3) и (5) —минус (синусы углов, оканчивающихся во 2-й четверти, положительны, а косинусы и тангенсы —отрицательны). Примеры. 1) Найти синус и косинус угла 22°30'» По формуле (4) получаем = 22°30'-, а = 45°к sin22°30'= —cos 45° 2 Знак + перед радикалом мы выбрали потому, что синус угла 22°30'' положителен. Аналогично, исходя из формулы р), получим: cos22°30'= 1/-1+c°s 45° = У?+О. » 0,9239. г Л £ 2) Найти tg-y. По формуле (5) получаем (2— V 2) (2— К~2) 2 —V 2 (24- У ¥)(2—У 2) У4 —2 = 2~L2 =/2 -1 «0,4142. Упражнения Доказать тождества (№ 1099—1102): 1099. 1 + 2 cos 2а + cos 4а = 4 cos2 а cos 2а. 1100. 1 —2 cos За + cos 6а — —4 sin2^ • cos3a. 1101. 1 4-sina = 2cosa (-?-—-г V 1102. 1 —sina = 2sin2 (4J— ПОЗ. Упростить выражение » 1104, Найти sin a, cosa и tg а, если известно, что cos 2а = —0,6. 17
1105. Найти sin у, tgy и cos у, если известно, что cos ос = —0,6. 1106. Найти tga, если sin2a = y. Вычислить: 1107. sin (у arccos 0,8). 1109. tg 11081 cos (4-arcsin 0,6). 1110. tg X * } Гу arcsin ( —0,8)J. у arctg (- 0,75) J. Выражение тангенса половинного угла через синус и косинус целого угла § 156 Тангенс половинного угла можно выразить через синус и КО' синус целого угла с помощью формул: sin ct е 1 + cos а ’ а___1 —cos а 2 ~~~ sin а (!) (2) „ . а а 2 sin -s- • ccs -д- Действител ьно, = - ---«= tg у • 2 cos» у Тем самым доказана формула (I). Аналогично доказывается и формула (2). Формулы (I) и (2) удобнее доказанной в § 155 формулы 1 —cosa 1 + cos a ’ (3) поскольку они не содержат радикала и, следовательно, не нужно решать, какой знак должен стоять перед радикалом. Однако при расчетах по формуле (3) достаточно знать лишь косинус угла а, а при расчетах по формулам (1) -и (2), помимо косинуса, нужно знать и синус этого угла. Пример. 4 । со sin 30 *s15 =T+cbs3O i 2 = 1 2 = J-jf3 ---г = 2 - V 3 « 0,2679. (2+ Кз)(2-у 3) Упражнения 1111. Найти tg у, если известно, что sina = || и угол a оканчивается не в 1-й четверти. 18
1112. Найти tga, если известно, что sin2а =—0,8 и угол 2с/ оканчивается не в 4-й четверти. 1113. Доказать, что если синус и косинус угла 2а рацио- нальны, то тангенс угла а также рационален. Верно ли обратное утверждение? Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму § 157 Сложив почленно тождества sin (а 4- Р) = sin а • cos р 4- sin Р • cos а п sin (а— Р) = sina-cosP — sin P-cosa, получим: sin (а 4-Р) 4-sin (a — Р) = 2sin a-cos р, откуда sin a-cosp = у [sin (а+ Р)sin (а—Р)]. (1) Произведение синуса одного угла на косинус другого равно полусумме синуса суммы и синуса разности этих углов. Например, sin 15°-cos750 = y[sin(1504-75°)4-sin(150 — 75е)] = = | [sin 90° + sin (-60°)] = | Г Сложив почленно тождества cos (a 4- P) = cos a • cos P — sin a • sin p, cos (a — P) = cos a • cos sina-siii p, получим: cos (a 4-P) 4-cos (a — P) = 2cosacos p, откуда cosa*cosp=y [cos(a + P)4-cos(a — p)]. (2) Произведение косинусов двух углов равно полусумме косинуса суммы и косинуса разности этих углов. Например, cos^n-cos-jg = у [cos [i2n + T2 J+cos ^Т2П“ 12 ~ 2 [C0SyIX + C0S у] —у [ 2 *" °] ~ 4’ Если из тождества > cos (a— Р) = cos a-cos Р 4- sin a-sin р 19
вычесть почленно тождество cos (« + Р) = cos a- cos Р — sin а • sin Р, то в результате получим: cos (а—Р) —cos (а4-Р) = 2 sin а-sin Р, откуда sin а-sinр=у [cos (а — Р)—cos(a + P)J« (3) Произведение синусов двух углов равно полуразности косинуса разности и косинуса суммы этих углов. 1117. sin 52°30' sin 7°30‘ 1118. cos 75° cos 105°. 1119. sin 45° sin 15°. Упражнения Вычислить, не пользуясь таблицами (№ 1114—1119): 1114. 2 sin 37°30'соз 7°30‘ 1115. sin 52’30' cos 7е 30'. 1116. cos37°30'cos7c30'. Данные произведения представить в виде сумм (№ 1120 — 1127): 1120. sin 3°-sin 5°. 1121. sin 7°«cos 9°. 1122. cos 17°-cos 3°. 1123. sin(x+a)sin(x —a). 1124. siri(x-i-a)cos(x —a). 1125. cos(%4-a)-cos(x— a). 1126. 4 sin 20° • cos 50° • cos 80°. 1127. 4 cos 15°-sin20c-sin 40°. Доказать тождества: 1128. 2 sin 2a sin a cos 3a = cos a. 1129. sin a— 2 sin (4— 15°^ • cos f-4 + 15°) =4-. \ j \ f ** Преобразование суммы (рвзности) синусов двух углов в произведение § 158 В предыдущем параграфе мы получили формулу sina-cosp = ^ [sin(a + P)-[-sin(a—Р)]. . (1) Эта формула верна для любых значений а и р. Пусть аир таковы, что а + Р = х, а— Р = у. Тогда а и Р найдутся как ре- шение системы уравнений ( a-j-P = x, I a-p = y. 20
Складывая эти уравнения почленно, получаем 2а = х + у. Вычи- тая эти уравнения почленно, получаем 2fi — x—у. Поэтому В таком случае тождество (1) можно переписать в виде: sin • cos =у (sin х + sin у), откуда sinx-4-siny = 2 sin —j^cos (2) it Z Сумма синусов двух углов равна удвоенному произве- дению синуса полусуммы на косинус полуразности этих углов. Заменяя в формуле (2) у на —у и учитывая, что sin(—у)=> = —sin yt получаем: sinx — sin Ji = 2 sin ^^'cos —"JpK (3) Z it Разность синусов двух углов равна удвоенному произ- ведению синуса полуразности на косинус полусуммы этих углов. Примеры. 1) Сумму sin75°sin 15° легко вычислить без таблиц, если использовать формулу (2): . •-Со . • .го П • 75° 4-15’ 75’ —15° sin 75 sin 15 = 2 sin —-j---cos —%— = = 2 sin 45° • cos 30° = 2 1 / 6. 5 % 2) Разность sinygji — sin-jg- легко вычислить без таблиц, если использовать формулу (3): 5 _ я 5 и , я • 5 .я п . 12 Л ТТ „„„12 Л + ТГ Sin Л — sin -77Г = 2 sin --р--COS =-----= 1Z AZ x. с Я Я n- 1 KT_ KT = 2 Sin 6 - COS 4 2- 2 • 2 2 • Упражнения Вычислить (№ 1130—1135) без таблиц, используя формулы для суммы и разности синусов двух углов: ИЗО. sin 105°4-sin75°. 1131. sin 105°—sin75°., 24
1132. sin^n -f-sin^n. 1134. cos+ sin л. 1133. sin^n—sin-^n. 1135. cos-^-—sinj^JT. Упростить данные выражения (№ 1136, 1137): 1136. sin(-y-f-a)-{-sin (-j-—a). 1137. sinf-^+a^—sinf-^—a\ 1138. Доказать тождества: 1 + sin a = 2 cos2 , 1—sina = 2sin2 используя формулы для суммы и разности синусов двух углов. Данные выражения (№ 1139, 1140) представить в виде про- изведений: 1139. 4--f-sina. 1140. К 3—2sina. 1141. Доказать, что синусы углов аир равны тогда и только тогда, когда а = (— 1)"р 4-пл, где п—некоторое целое число. Преобразование суммы (разности) косинусов двух углов в произведение § 159 Для суммы и разности косинусов двух углов верны следую- щие формулы: cos х + cos у = 2 cos -cos **7^; (1) cos х— cosy = — 2 sin sin * . (2) Сумма косинусов двух углов равна удвоенному про- изведению косинуса полусуммы на косинус полуразности этих углов. Разность косинусов двух углов равна минус удвоен- ному произведению синуса полусуммы на синус полу раз- ности этих углов. Примеры. 1) cos75°4-cos 15° = 2cos7° j>15 ♦ cos75 ~IS- = z Z - 2 cos 45° - cos 30’ = 2 . 22
5 , л 5 л 2) cos^-cos " =-2sin124-ll. sinC^ = n я . л o 1 2 sin 4 - Sin 6 — 2-2~*2'— 2 * Формулы (1) и (2) могут быть получены многими способами. Докажем, например, формулу (1). 1-й способ. В § 157 была доказана формула cos a- cos Р = у [cos (а + Р) + cos (а— р)]. Полагая в ней а + Р = *. а—Р = у, мы и приходим к фор* муле (1). Этот способ аналогичен тому, с помощью которого в предыдущем параграфе была получена формула для суммы синусов двух углов. 2-й способ. В предыдущем параграфе была доказана формула sin а + sin р = 2 sin —. cos EzzP. Полагая в ней а = х + -у. Р = «/ + -^-. получаем: sin 4-sin (у 4--^-) = 2sin + • cos Но по формулам приведения sin (х+ -£-)= cosx; sin ( у + -£•) = = cosy; sin(^y^ + -^ = cos Следовательно, cosx4-coSi/=» = 2 cos cos , что и требовалось доказать. Формулу (2) мы предлагаем учащимся доказать самостоя- тельно. Попробуйте найти не менее двух различных способов доказательства! Упражнения Вычислить (№ 1142—1147) без таблиц, используя формулы для суммы и разности косинусов двух углов: 1142. 1143. cos 105 4-cos 75. П45. cos Ц л —cos л. cos 105°—cos 75°. 12 12 1144. н 5 1146. cos 15°-sin 15°. cos J2 Л 4-COS-л. . п И 1 12 1147. sin-jg-4-cos л. Упростить данные выражения (№ 1148, 1149): 1148. cos (-2-4-4- cos а). 1149. cos (-5-4-а^—cos —а\ \ О / \ о / 23
1150. Каждое из тождеств sina4-cosa = pr 2sin (сс-|- sina — cos a = К 2 sin (a— Доказать не менее чем двумя различными способами. Данные выражения (№ 1151—1154) представить в виде про- изведений: 1151. ]/~2 + 2 cos a. Н53. sinx+cost/. 1152. КЗ —2 cos a. 1154. sinx — siiiy. 1155. Упростить выражение sin2 (a—— cos2 (a-f--^-). Разложить на множители данные выражения (№ 1156—1159): 1156. 1-J-sina — cpsa. 1157. sina + sin(a+p)4-sinp. 1158. cos a-J-cos 2a-|-cos 3a. 1159. 1 -h sin a + cos a. Доказать данные тождества (№ 1160—1163): 1160. silic'j~sin?a = tg2a. ccsa+cos Sa ° iiei. sin;°+p;+sin;°--p; _ lg cos(a-rp)-j-cos(a—P) ° 1162. — ctga. ccs(a + P)—cos (a—P) 6 , 163. = , 2 ccsa—2 cos 2a 4-cos 3a ° 1164. Доказать, что косинусы углов аир равны тогда и только тогда, когда а = ±Р + 2пл, где п — некоторое целое число. Преобразование суммы (разности) тангенсов двух углов §160 При решении некоторых задач бывают полезны следующие формулы: ,2) Сумма тангенсов двух углов равна отношению синуса суммы этих углов к произведению косинусов тех же углов.' Разность тангенсов двух углов равна отношению си- нуса разности этих углов к произведению косинусов тех же углов. 24
Докажем, например, формулу (1). Имеем: tgx-ptgy=^ sin к . sin у sin х-cost/ -4-cosxsin у . . = +-т-^=--------но smx-cosy+cosx-sin i/ = COSX * CCS tj CCS x* cost/ J a = sin(x4-t/), поэтому tgx-|-tgt/ = sin(x+y). _ тем caMbIM форму- ла (1) доказана. Аналогично доказывается н формула (2). Пример. Доказать, что тангенсы углов и Р^=—-|-п.л равны тогда и только тогда, .когда эти углы раз- нятся па угол, кратный л. Пусть аир разнятся на угол, кратный л; тогда а = Р4-/1л, где п — некоторое целое число. Но в таком случае tga=tg(P + nn) = tgp. Обратно, пусть tga = tgp. Тогда tga — tgP = O и по фор- муле (2) sin (a—д cosa-cusp Но это возможно лишь при условии, что sin (а — Р) = 0. Как известно, синус обращается в нуль лишь для углов, крат- ных л. Поэтому а — р = л л, а = Р +лл, что и требовалось доказать. Упражнения Вычислить (№ 1165—1168), не пользуясь тригонометрическими таблицами: 1165. tg 22°30' + tg 67°30'. 1167. tg || л + tg А л. 1166. tg 22°30' - tg 67°30'. 1168. tg л - tg А л. 1169. Упростить выражение tga+tgp tg a—tgp ’ 1170. Данные выражения представить в виде произведений: а) V 3 —tga; б) 1+tga. 1171. Найти условие, при котором котангенсы углов а и Р равны друг другу. Доказать тождества: 1172. 25
t < i A sin 2a4- f 173. -----1— '-'Ч2” sin (2a- Графики тригонометрических функций кратных углов § 161 В главе V (часть I) мы показали, как строятся графики тригоиометрических’функций f/ = sinx; i/ = cosx; //=tg х\ i/=ctgx. Теперь мы рассмотрим вопрос о том, как строить графики три- гонометрических функций кратных углов сох, где со—некоторое положительное число*. Для построения графика функции с/= sin сох сравним эту функцию с уже изученной нами функцией i/ = sinx. Предполо- жим, что при х = х0 функция f/ = sinx принимает значение, рав- ное у0. Тогда Уо = sin х0. Преобразуем это соотношение следующим образом: • /ш \ - Г / х0 \ 1 Уо =sin (-5- х°) = s,n Г’ J] • Итак, Ус = sin [со (-£)]. Следовательно, функция 1/= sin сох при х = -^-принимает то же самое значение у0, что и функция ^ = sinx при х = х0. А это означает, что функция у — sin сох повторяет свои значения в со раз чаще, чем функция t/ = sinx. Поэтому график функции с/= sin сох получается путем „сжатия" графика функции |/=sinx в со раз вдоль оси х. Например, график функции sin 2х получается путем „сжа- тия" синусоиды c/ = sinx вдвое вдоль оси абсцисс (рис. 221). График функции у — sin-|- получается путем „растяжения" сину- соиды у = sin х в два раза Гили „сжатия" в ураза) вдоль оси х (рис. 222). Поскольку функция c/ = sincox повторяет свои значения в со раз чаще, чем функция i/ = sinx, то период ее в со раз меньше периода функции # = sinx. Например, период функции i/=sin2x 2л . . х 2л . равен = л, а период функции i/ = sin-2 равен —р = 4л. У * w — греческая буква; читается: омега. 26
27
Аналогично строятся графики и других тригонометрических функции кратных углов. На рисунке 223 представлен график функции i/ = cos2x, который получается путем „сжатия" косину- соиды y = cosx в два раза вдоль оси абсцисс. График функции i/=cos-|- (рис. 224) получается путем „растяжения" косинусои- ды y = cosx вдвое вдоль оси х. На рисунке 225 вы видите график функции y — tg2x, полу- ченный „сжатием" тангенсоиды y = tgx вдвое вдоль оси абсцисс, а на рисунке 226—график функции y=tgy, полученный „рас- тяжением" тангенсоиды y=igx вдвое вдоль оси х. Упражнения Построить графики данных функций (№ 1174—1181) и ука- зать координаты точек пересечения этих графиков с осями коор- динат. Определить периоды данных функций. 1174. у—sin-|-x. 1177. y = tg-|-A'. 1180. y = cos4~*- 1175. y = cos-|-x. 1178. z/ = ctg|x. 1181. y=dg~. 1176. w = tg-^x. 1179. y=sin-^-x. 1182. Определить периоды функций t/ = sinnx и y=tgyX. 1183. Приведите два примера функций, которые принимают все значения от —1 до +1 (включая эти два числа) и изме- няются периодически с периодом 10. 1184*. Приведите два примера функции, которые принимают все значения от 0 до 1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом . 1185. Приведите два примера функций, которые принимают все действительные значения и изменяются периодически с пе- риодом 1. 1186*. Приведите два примера функций, которые принимают все отрицательные значения и нуль, но не принимают положи- тельные значения и изменяются периодически с периодом 5. Графини функций у—4 sin ах, yz=Acosax, у=А1Цах, y=4ctgcox § 162 Пусть А > 0. Тогда если у — A sin со/ >• 0, то значения этой функции в А раз больше соответствующих значений функции </ = sinct)/; если же у=А sin со/ •< 0, то значения этой функции в А раз меньше соответствующих значений функции i/=sin at. Поэтому кривая у = A sin со/ получается путем „растяжения" кри- вой у — sin сох в А раз в вертикальном направлении. 28
29
Например, кривая y = 3sin2x (рис. 227) получается путем „растяжения" кривой t/ = sin2x в вертикальном направлении втрое. Аналогично, кривая t/ = ysin2x (рис. 228) получается путем „сжатия" кривой i/ = sin2x в вертикальном направлении втрое (или путем „растяжения" в у раза). 30
IS
32
Рис. 233. Аналогично строятся и графики функций y=Acos<nx, y«=Actgcox, y=Atgcox. На рисунке 229 представлен график функции y = 3cos2x, на рисунке 230 —график функции у=» = ytg2x, на рисунке 231—график функции // = 3ctgx. Если А<0, то для построения графика функции у = Asinтх предварительно следует построить график функции у = \А |sin«с, а затем отобразить его симметрично относительно осп х. На ри- сунке 232, например, показано построение графика функции у= — 3sin2x. Аналогично строится график функции у = = —ytg2x (рис, 233). Отметим, что периоды функций y=Asin сох, у— A cos сох, y = Atgcox, y=/ctgiiu' (А#=0) не зависят от А. Упражнения Построить графики данных функций (№ 1187—1196) и ука- зать координаты точек пересечения этих графиков с осями координат. Определить периоды данных функции: 1187. у = sin Зх. 1190. p-lsinf-lL * \ о j 1188. у — — 3sin2x. 1191. у=—4-cos2x. 1189. sin3x. 1192. у=* — 2 cos А 2 Заказ № 33
1193. у = — 2cos(—Зх). 1195. y= — у tg2x. 1194. y = 2tg|. 1196. y=±fg(_|). 1197. Приведите два примера функций, которые принимали бы все значения от —4- до +4-, включая эти два числа, пе- л» Л риодпчески с периодом у. 1198* *. Приведите пример функции, которая принимает все значения, по модулю большие чем 5, и изменяется периодически 1 с периодом у. Графини тригонометрических функций /=Л sin [со (•* + «)], у—A cos [со (•* + «)] и т. д. 6 163 Начнем с простого примера. Пусть нам требуется построить график функции y = sin^x-|-y). Для этого сравним данную функцию с функцией y = sinx, график которой мы уже умеем стропть. Пусть данная функция у = sin^x-J-y) при х==х0 прини- мает некоторое значение; равное у0. Тогда y0 = sin (х0 + yj . Но в таком случае функция у = sin х должна принять то же самое значение уе при x=x0-J--^-. Таким обраеом, все значе- О ния, которые принимает функция у = sin (х-|-у) , принимает и функция y = sinx. Если х толковать как время, то можно ска- зать, что каждое значение у0 функцией y = sinf x-J-y 1 принима- ется на единицы времени раньше, чем функцией y=>sinx. От- • / л \ сюда вытекает, что график функции у —sinlx + y I получает- ся посредством сдвига синусоиды y = sinx по оси абсцисс влево па у (рпс. 234). Апалопшно можно было бы построить и графики таких функций, как у=соз^х + у), = + и т. д. Заметим, что с подобными задачами мы уже сталкивались в § 120, ч. I, при построении графика функции у = COS X = Sin I X -J- у 1 . 34
Если бы нам нужно было построить график функции у- = sin(x—-2-), то рассуждения, аналогичные приведенным выше, дали бы такой результат. Функция z/=sin(x—у^ принимает те же значения, что и функция y=sinx, только с запаздыва- нием во времени (если аргумент х интерпретировать как время) на у. Поэтому график функции y = sin(x—у получается по- средством сдвига синусоиды y = sinx по оси абсцисс вправо на у (рис. 235). Аналогично можно было бы построить п графики таких функ- ций, как u = cos[x— ?) и т. д. J \ О / ° \ о у Теперь рассмотрим более сложные примеры. Пусть нам нуж- но построить график функции у = A sin [со (х-]-а)]. Для этого сравним данную функцию с функцией у= A sin шх, график которой мы уже умеем строить (см. § 162). Предполо- жим, что функция у = A sin |ш (х + а)1 при х = х0 принимает не- которое значение, равное у0. Тогда i/0= Asin [<o(xo4-a)J. 35
Это соотношение показывает, что функция у- Л sin сох при х~ х0-а принимает то же самое значение у0. Поэтому все те значения, которые принимает функция у = A sin |о) (.<+«)], при- нимает п функция у- /1 sin сох. При этом каждое значение принимается первой функцией на а единиц времени (если х тол- ковать как время) раньше, чем второй функцией. Но это озна- чает, что график у = A sin [со (х-|-а)| получается посредством сдвига графика функции у= Asintox по оси абсцисс влево на а. Например, кривая у-3 sin ^х-р ^ j получается посред- ством сдвига кривой y = 3sin2x влево по оси абсцисс на у (рис. 236). Кривая у= —3cos^2 + получается посредством сдви- га кривой у= — 3cos2x влево по оси абсцисс на расстояние у (рис. 237). Аналогично могут быть построены графики таких функций, как у — A sin (о)(х — а)|, у = A cos [<о (х—а)| и т. д. Они получа- ются соответственно посредством сдвига графиков функций у = A sin (их, у = A cos сох и т. д. вправо по оси абсцисс на рас- стояние а. На рисунке 238 (стр. 38) вы видите график функции у^ =• 3 sin [2 (х—у)]» полученный посредством сдвига графика функции y = 3sin2x вправо по оси абсцисс на расстояние -у- . На рисунке 239 представлен график функции y = 4-ctg|2 (х — —т)1’ полученный посредством сдвига графика функции y = yctg2x вправо по оси абсцисс на расстояние у. Заметим, что период функции у = A sin [<о(х-|-а)], как и пе- риоды других аналогичных тригонометрических функций, не зависит от а. Упражнения Построить графики данных функций (№ Н99—1205) и ука- зать координаты точек пересечения этих графиков с осями коор- динат. Определить периоды данных функций: 1199. а) у — sin б) у = sin в) у = cos г) y = cos(x—у! д) у - tg (* + т) • е) 36
ze •zes *эил [&*}г]яц-=б ГТ*1 •0£3 ЗИЛ
38
4200. у 2 sin [4 (л 4- . 1203. у = 1 sin [у (х - л)] 1201. £/ = -1-cos[4-(*+y)]- ,204' у= ~2cos[y(jc — n)j 1202. у= -ltg[2(x + 4)]. ,205‘ у = * 1 2 ‘s[t (л~ т)]* Графики функций / = 4sin(wJf-|-а), у = 4 cos (ш* 4-а) и т. д. S 164 Пусть нужно построить график функции у = 3 sin (2х~Э). Представим эту функцию в виде у = 3 sin |^2 — у)] • П°сле этого нетрудно понять, в какой последовательности следует вы- полнять построение. 1. „Сжимая" синусоиду y = sinx по оси х вдвое, получаем кривую y = sin2x (рис. 240, кривая I). 2. Путем „растяжения" кривой y = sin2x в вертикальном на- правлении в 3 раза получаем кривую y^3sin2.v (рис. 240, кри- вая II). 39
3. Смещая кривую у—-3sin2x вправо па расстояние в -у единицы масштаба, получаем график функции у = 3sin(2x —5) (рис. 240, кривая III). Аналогично строится график функции у== A sin(cox-|-a) и при любых других значениях А, со, а. На том же принципе основано построение графиков функ- ций у = A cos (w.v Н а), A tg((Dx4-a), у = ACtg((ox-|-a). На- пример, для построения графика функции у = у tg ^2х+ -у) сначала представим ее в виде у = -у tg ^2 J после этого: 1) „сжимая" тангенсоиду z/=tgx по оси х вдвое, получаем график функции у = tg 2х (рис. 241, кривая I); 2) „сжимая" кривую y = tg2x в вертикальном направлении в три раза, получаем кривую z/ = ytg2x (рис. 241, кри- вая II); 3) перенося кривую у = ytg2x влево на расстояние у, по- лучаем график функции i/ = 4-tg ( 2х(рис. 241, кри- вая 111). V ’ 40
Упражнения Построить графики данных функций (№ 1206— 1213) и ука- зать координаты точек пересечения этих графиков с осями коор- динат. Определить периоды данных функций. Каковы экстре- мальные (то есть минимальные и максимальные) значения этих функций? 1206. у = 2 sin (Зх — 2). 1207. у = -? sin (Зх — 3). 1208. у = 2 sin (-ух+у). 1209. у = 2 cos fl—у). 1210. // = — у cos (Зх-f-2). 1211. у~ — у соз (уХ- у)* 1212. 1213. v = 3tgfy—2х). Гармоническое колебание § 165 Пусть точка М (рис. £42) движется но окружности радиуса А против часовой стрелки равномерно с постоянной угловой скоростью со радианов в секунду. Если в начальный момент времени (t = 0) эта точка занимала положение Л40, определяемое углом ф, то через t секунд она займет некоторое положение М, определяемое углом со/ 4- ф. В то время как точка М движется по окружности, се про- екция Р па ось ординат совершает колебания вдоль диаметра CD, достигая то наивысшего положения С, то наинизшего по- ложения D. Чтобы математически описать это колебание, выразим ординату точки Р через угол ф, угловую ско- рость со и текущее время t. Отношение этой ординаты у к ра- диусу окружности А является синусом угла, который обра- > зует вектор ОМ с осью х. Но этот угол в момент времени/, как указано выше, равен со/4-ф. Поэтому -у = sin (со/4-ф), откуда у = А sinfw#4-<p>. (1) Формула (1) и представляет собой закон колебания проекции точки М па ось ординат. Колебания такого рода полу- чили название гармонических колебаний. Формула гармонического колебания у — A sin (со/ 4- ф) определяет у как функ- цию времени /. Максимальное значение этой функции равно, очевидно, А, а мини- мальное (— Л). Следовательно, все зна- чения этой функции заключены между — А и А. Поэтому А называется ампли- тудой колебания. 41
Переменный угол <о/Ч-ср называется фазой колебания. Начальная фаза колебания <р всегда положительна и мень- ше 2л. Время Т, о течение которого точка М сделает один полный оборот по окружности, называется периодом гармонического колебания. В течение этого периода проекция Р точки М пройдет дважды все свои возможные положения н возвратится в перво- начальное положение. Исключение составят лишь предельные положения С и D (см. рис. 242), каждое из которых точка прой- дет один раз. Выразим период гармонического колебания Т через ампли- туду А, угловую скорость о) и начальную фазу ср. За время Т точка М пройдет путь мТ радианов. Но этот путь вместе с тем равен длине окружности, то есть 2л радианов. Поэтому а>Т — 2л, откуда Т = —. (2) со ' ’ Таким образом, период гармонического колебания обратно пропорционален угловой скорости. Он не зависит ни от амплитуды, ни от начальной фазы колебаний. Период гармонического колебания (1) является периодом функ- ции у = A sin (со/ 4- ср). Действительно, A sin [со (t + Т)|-ср] = A sin to^+~^+<pj = = A sin [со/ 4- <р 2л ] = Д sin (со/ 4- ф)- Это можно было бы понять, конечно, и без выполненных пре- образований. Ведь в момент времени 14- Т точка Р возвращается в то же самое положение, которое она занимала в момент вре- мени t. А значения функции A sin(a>t 4- ср) представляют собой ординаты точки Р. Величину, обратную периоду колебания, принято называть частотой колебания и обозначать буквой v*. Частота гармони- ческого колебания (1) равна <3> Эта величина показывает, сколько колебаний совершает точка в течение одной секунды. Угловая скорость со выражается через частоту v и период колебания Т следующим ©бравом (см. (3)): о 2л со = 2л v = -у-. Поэтому уравнение гармонического колебания (1) часто записы- вают в виде: у — A sin (2nv/ 4- ср), v—греческая буква; читается: ню. 42
пли Л. / Х.Ч . , sin ( -у t + ф Упражнения 1214. Для каждого из данных гармонических колебаний оп- ределить амплитуду А, период Т, частоту v и начальную фазу ф: а) у = у sin ^3/4- y) ; b)i/ = 3cos3/; б) у = 7 sin ^2/ + ; г) y = 2sin(3nf1). 1215. Какие числовые значения могут принимать амплитуда, частота и начальная фаза гармонического колебания? Построить графики данных гармонических колебаний (№ 1216, 1217): 1216. y = 3sin(2f+y) . 1217. y = lsin(3/+y). 1218. Какое влияние на график гармонического колебания оказывают амплитуда и частота этого колебания? Гармоническое колебание в электротехнике § 166 Электрический ток, которым питаются городские оссетптель- иые сети, является переменным током. Его величина / постоян- но изменяется, совершая гармоническое колебание / = /osin (-у-/ц-ф) , (1) где /0 —максимальное значение тока, Г—период колебания, ф —начальная фаза. Выясним, в какие моменты времени ток достигает экстре- мальной (то есть минимальной пли максимальной) величины и когда его величина обращается в нуль. Как это следует из формулы (1), своей минимальной вели- чины сила тока достигает при условии, что sin I у t -J-ф ) = — 1. Это уравнение дает: ~+ф —у л+ 2ля, откуда (2) Если "4 > > «ли ф < ~2 то первый момент минимума мож- но получить из формулы (2) при л--0: 1 —т (А___5’Л \4 2л; • 43
Если же или то первый момент минимума получается из (2) при п=1: т__ ч_А 4 2л J • G = T Каждый последующий момент минимума наступает через Т секунд после предыдущего момента минимума (докажите это!). Своей максимальной величины ток / достигает при условии, что sin + = 1- Это уравнение дает: + ф = у + 2пл, откуда / 1 „ \ Г=Т(„+|_1). (3) <р .л пли <р<у, то первый момент максимума можно из формулы (3) при п — 0: / —Т ( J ФЛ Г1 1 I 4 2л) ‘ с 1 - Если -т- > 4 получить Если же или v то первый момент максимума по- лучается из (3) при п=1: Г1 U 2л/' Каждый последующий момент максимума наступает через Т се- кунд после предыдущего момента максимума (докажите это!). Теперь выясним, в какие моменты времени величина тока / обращается в нуль. Для этого нужно решить уравнение: которое дает откуда sin у, t -j- <pj = О, 2л . . — Г + <р = /1л, (4) Так, впервые величина тока станет пулевой в момент времени t = L Ф А 2 V п ) ’ если ф < л, и в момент времени (=4(2-£). если ф> л. Каждый последующий такой момент наступает через ~2 секунд после предыдущего (докажите это!). 44
Упражнения 1219. Знаете ли вы, какова частота колебания тока в ваших осветительных сетях? 1220. В какие моменты времени величина у, изменяющаяся по закону fnt . 2л\ ^=S,nV2+_3j ’ принимает экстремальные (то есть минимальные или максималь- ные) значения и когда она обращается в нуль? 1221. То же, что и в задаче 1220, для законов колебаний: а) у= 2sin ^3/ + ; 6) j/=^7 sin . Преобразование выражения nsin х-|-й cos х путем введения вспомогательного угла § 167 Лемма. Если сумма квадратов двух действительных чисел равна единице, то одно из этих чисел можно рас- сматривать как косинус, а другое как синус некоторого угла. Другими словами, если а!-|-//2-1, то существует угол ф такой, что a = cos<p; 6 = sin<p. Прежде чем доказывать эту лемму, поясним ее на следующем примере: +(±у_2+1_! \ 2 J ^\2 J 4^4 *• КЗ 1 Поэтому существует угол <р такой, что ig- = cos<p; у = 8'шф. В качестве <р в данном случае можно выбрать любой из углов 30°, 30° ±360°, 30° i 2-360° и т. д. Доказательство леммы. Рассмотрим вектор О А (рис. 243) с координатами (а, Ь). По- скольку а2+62=1, длина этого вектора равна 1. Но в таком случае его координаты должны быть равны costp и sin <р, где <р — угол, который образует данный вектор с осью абсцисс. Итак, а = cos <р; b = sin <р, что и требова- лось доказать. Доказанная лемма позволяет преобразовать выражение a sin х + + 6cosx к более простому для изучения виду. 45
Прежде всего вынесем за скобки выражение У а2 + Ь2: a sin л-+b cos х = Уа2 + Ь2( sin х + a\^'cosx)‘ \ г в* 4 Ь* У а2 4- о2 / гп / а \а / Ь \а а Поскольку ) = 1 • первое из чисел и -----— можно рассматривать как косинус некоторого угла ф, У аа4 Ь* а второе как синус того же угла ф: а b / аа4-Ь2 Но в таком случае ____________ a sin л'+b cos х = У a2 + b2 (cos ф sin х 4- sin ф cos х) = = У a2 -J- b2 sin (х 4- ф). Итак, ______ a sin х + b cos х = У а2 4-д*$!п(х-|-ф), где угол ф определяется из условий . Ь а sin <р = -----; cos ф=—т—_____-. Уа2+Ь* Y Vas+l>2 Примеры. 1) pr3sinx4-cosx = 1^3 4-1 sin (х 4- ф) = 2 sin (х -J- ф), где угол Ф определяется из условий 1 Уз Sin ф =। COS ф =—g—. В данном случае в качестве ф можно выбрать угол в 30°. (Ко- нечно, в качестве ф можно было бы взять и любой из углов 30° 4-360°, 30° 4-2-360° н т. д.) Итак, V3sinx4-cos х= 2 sin (х 4-30°). 2) sinx4-cos х = У2 (—sin х-|- -4=cos х^ — = У~2 (cos sin х4-sin cosxj = У% sin (х • Полученную формулу sin х -J- cos х = У 2 sin (х 4- ) полезно запомнить; с ней нам придется еще неоднократно стал- киваться. Упражнения Преобразовать данные выражения (№ 1222—1229) путем вве- дения вспомогательного угла: 1222. sin х-Ь |/3cosx. 1226. 5sinx— 13cosx. 1223. sin х —cos х. 1227. — 7sin2x —24cos2x. 1224. 3sirix4- 4cosx. 1228. 3sin3x4-2 V 2cos3x. 1225. 4sinx —3cos x. 1229. sin 5x-f-cos 5x. 46
1230. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать каждое из данных выражении: а) 3 sin х4-4cos х; г) 5—7 sin*—24 cosх; б) |3sinx—4 cos л |; д) jXsin х—cosx; в) — 5 sin х + 12 cos х\ е) -г-:—----г ? ' ' )sin*4-cosx| 1231. Доказать, что уравнение Jz99sin х — 49 cos л = 51 . не имеет корней. Построить графики данных функций (Л« 1232, 1233): 1232. //-sinx-J-p^Bcosx. 1233. j/ = sin2x—cos2x. Сложение гармонических колебаний одинаковой частоты § 168 На практике (например, в электротехнике) часто приходится иметь дело с колебаниями одинаковой частоты. Любые два таких колебания можно представить в виде: yt = Ат sin (wt + <рх); у2 = А2 sin (of -J- ф2). Особый интерес представляет случай, когда начальная фаза пер- вого колебания равна 0, а начальная фаза второго колебания равна ” . Тогда = Aj sin со/; </2 = A, sin — A, cos of. Сумма таких гармонических колебаний равна: Al sinwf-j-A, cos&t='^-sin (o/4-<p), (1) где угол ф определяется из условий sin ср = cos<p = Д1 (2) /д? + д? Формула (1) показывает, что если два гармонических колебания имеют одинаковую частоту и фазы О и то их сумма есть гармоническое колебание той же частоты. Амплитуда А суммарного колебания выражается через ампли- туды Дг и Л2 слагаемых колебаний по формуле Д = /Д? +Д’, а начальная фаза ф определяется из условий (2). Пример. Найти амплитуду, част<#у и начальную фазу колебания у = sin 5f — V 3 cos 5/._ Имеем: sin5/ — КЗ cos 51 = ]/ 1 + 3 -sin (5/ ф-ф) = 2 sin (5/ -г ф), 47
причем sin<p= — • cos<p = y. Поэтому <f —у и, следова- тельно, sin 5t — Из cos 5/ = 2 sin ( 51 + . \ V / 5 Амплитуда данного колебания равна 2, частота а начальная Упражнения Для каждого из данных гармонических колебаний (№ 1234— 1237) найти амплитуду, частоту п начальную фазу. Построить графики этих колебаний: 1234. у = sin 2/ — cos 2/. 1236. у = 4 sin nt 4- 3 cos л/. 1235. i/= Из sin3f 4-cos3L 1237. у = 7 sin x—24 cos x. 1238. Докажите, что сумма двух произвольных гармониче- ских колебаний одинаковой частоты есть гармоническое коле- бание топ же частоты. Как определяются амплитуда, частота и начальная фаза суммарного колебания через соответствующие характеристики слагаемых колебаний? 1239. В мастерской установлены два двигателя. При вклю- чении одного из инк каждая точка пола приходит в гармони- ческое колебание с амплитудой 0,1 мм и частотой 1400 i/мин. При включении другого каждая точка пола начинает совершать гармонические колебания с той же амплитудой и частотой 1450 l/мин. Как будет колебаться пол при включении обоих электро- двигателей? Доказательство тригонометрических тождеств § 169 Существует много различных способов доказательства триго- нометрических тождеств. На конкретных примерах мы рассмот- рим некоторые из этих способов.. Пример 1. Доказать тождество cosa-|-sina . I , я \ cos a—sin a 4 j • (1) 1-й способ. Выражение, стоящее в левой части этого тождества, преобразуем так, чтобы оно привелось к виду tg^a-j-Y^-Ann этого запишем cos а как sin(y + a) . Тогда, используя форму- лы для суммы и разности синусов двух углов, получим: cos a-f-sin a sin -|-sina = 2 sin fa -J- • cos = V 2 sin fa -| д j ; 48
• • . ! Л , \ . • о •• л f , л \ cosa—sina»sin к + а— sina—Zsin-;- • cos a-T •, = X 2 / 4 \ 4 / = K2cos(^a + -jJ . Поэтому . ^2 sin fa + -y^ / x cos a-]-sin a \ 4/ ! , л\ ----—---— 7------г = tg a 4- -r | . cos <r—sina ,/„--------[ , л \ ° \ 4 7 y2cos(a + — 1 ' ' 2-й способ. Выражение tg^a-j--^), стоящее в правой части - cos a 4- sin a п данного тождества, преобразуем к виду ----. Для этого воспользуемся формулой для тангенса суммы двух углов: , , . л sin a , , sin a4-cos a , . tga + tg — . , ,------kl ----------- । . л \___ 6 4 _ tg a+1 cos a _____ cos a ® \ **” 4 1 , 4 , л 1 — tga , sin a cos a—sin <r I —tgatg — 1------------------- 4 cosa cosa ___ cos asin a cosa—sina Однако здесь необходимо сделать одно принципиально важное замечание. Когда мы писали, что tgia-]--y] =------------.то ' ‘ 1— tgatg-£ фактически мы предполагали, что выражение tga определено, то есть + «л. На самом же деле это предположение может оказаться неверным. Поэтому случай, когда а —нужно рассмотреть отдельно. В этом случае cosa—0, и поэтому левая часть данного тождества принимает впд: cosa + sina sina । cosa—sina —sina Правая же часть данного тождества при a =-^ 4-лл обращается в tg + + ,1Л) • Н° л есть пеР,1ОД тангенса, сле- довательно, fg (а4-у) = |ёул = —!• Таким образом, и при а = у-|-лл равенство (1) справедливо. Теперь можно считать, что данное тдждество полностью до- казано. 49
3-й способ. Выражения, стоящие в левой п правой частях данного тождества, преобразуем к одному и тому же виду. Для * cosa-4-sina этого числитель и знаменатель дроби --------—:—• разделим на г cos a—sin a r cos a, предполагая сначала, что cosa=#=0/ В результате получим: cos a-]- sin a cosa-fsinu ________________ ccs a ______14-tga cos a—sin a ccs a—sin a 1—tga' ' ' cos a Правую часть данного тождества преобразуем, используя формулу для тангенса суммы двух углов: . tga’4-tg-^r . , , лХ ь 1 ь 4 lga-|-1 4 J , , . л 1—tga’ 7 1 — tga-tg — Б Сравнивая (2) и (3), получаем: cosa-l sin a . ( , л -----a + -r cos a—sin a ° \ 4 (3) Случай, когда cosa = 0, нужно рассмотреть отдельно, так же, как мы это сделали при рассмотрении способа 2. Пример 2. Доказать тождество cos 3a-sin 5а—sin2a = sin3a*cos 5а. Покажем, что разность между выражениями, стоящими в левой и правой частях данного тождества, равна. 0. Действи- тельно, cos3a-sin5a—sin 2a—sin 3a -cos 5a = = (cos 3a-sin 5a—sin 3a-cos 5a) — sin 2a = — sin (5a—3a) —sin 2a — sin 2a—sin 2a = 0. Тем самым тождество доказано. Упражнения Доказать данные тождества: <п>,п sin (а—6) Q *240. г-- —. -4- = cosa-cos р. tga—tg fi r , / л , \ . / л \ ,g7+a~tg7-a 1241. - P----{-----p-----{= sin 2a. lg (д+aj+tg (““J 1942 (gct = SIH (a+P)-bsin (a—P) tgp sin (a4-p)—sin (a—P) ’ 1243 tg (a4- 6) = 2 sin a-cos P—sin (a—P)___ ‘ Н/ (sin a4-cosa)cosp—(sin P4-cos p)sina ‘ 1244. -°sa . = -"i 14-sina ® < 4 2j' 50
f . sir. (3(h + a) — cos (6C + a) _ „ sin (30° + a) + cos (60 + a) И 0 ig a 1246. cos4acos6a — cos I0a= sin4asin6a. 1 1247. — 4 ctg 2a = -----7-5- . ь tg2a — ctg2 a Равенства, содержащие выражения arcsifn, arccosa и т. д. § 170 Пусть нужно доказать равенство а тс tg 2 + arctg 3 = я. Прежде всего выясним, в каких пределах заключен угол arctg 2 + arctg 3. Каждый из углов arctg 2 и arctg 3 больше 0 и меньше у. Поэтому 0 < arctg 2 + arctg 3 < л. Аналогичному неравенству удовлетворяет и угол у л: 0<-л <л. 4 3 Таким образом, углы arctg 2 +arctg 3 и у л находятся в интер- вале от 0 до л. Но в таком случае для доказательства их ра- венства достаточно показать, что равны их тангенсы. Имеем: ter Мretry 2 4- arc try 3) = (arctg 2)+<g (arctg 3) _ 2-ЬЗ _ _ .. tg (arctg 2-f-arclgo) 1—tg (arctg 2)-tg (arctg 3) 1-2-3 t 3 1 fg-4 Л----1- Тем самым данное равенство доказано. Заметим, что нахождение тех пределов, в которых заклю- чена сумма arctg2 + arctg 3, является обязательным. Нельзя делать з вывод, что arctg 2 + arctg 3 = у л на основании только того, что з tg (arctg 2 +arctg 3) = tg у л. Из равенства тангенсов двух углов еще не следует, что равны сами эти углы. Однако если углы заключены в пределах от 0 до л, то равенство их тангенсов обеспечивает равенство и самих углов. Упражнения Доказать данные равенства: 1248. arctg4-arctg у =. 51
1249. arctg 5 t- arctg . 1250. arcsin 0,(Г4-arcsin 0,8= . 5 12 120 1251. arccos уд—arccos = arccos 1252. arcsin 0,8 4 arccosу = у • 1253. arcsin 0,8—arccos 0,6 = 0. Тригонометрические уравнения § П1 В этой главе был полечен ряд важных тригонометрических тождеств. Сейчас на конкретных примерах мы покажем, как эти тождества можно использовать для решения тригонометрических уравнении. Пример 1. Решить уравнение tg-v+tg(7+x) = —2. Используя формулу для тангенса суммы двух углов, полу- чаем: Поэтому данное уравнение можно переписать в виде: tgx+l+lS-*-------------------------2. ° г1 —tgx Обозначив tgx через у, мы приходим к алгебраическому урав- нению: 04-1+® = — 2, J 1 1— у ’ НЛП 1/(1— у) 4-1 +у = —2(1 — У), откуда у=±/з: Итак, либо tgx = |/3 и тогда х=4-пл, либо1гх= —1^3 н тогда х~—у4-Лл, где п и k—любые целые числа. Обе эти группы решений можно представить одной формулой л = — ± у 4~ пп‘ 52
От ЕСТ. Л= rfc-y 4-ПЛ. Пример 2. Решить уравнение 3 cos 2л = 7 sin х. Представим cos 2л как cos2 л —sin2 х. Тогда данное урав- пенне можно записать в виде: • 3(cos2x —sin2x) = 7sinx. Заменяя cos2x на 1 —sinax, получаем: 3(1 — 2 sin2 х) — 7 sin х. Обозначая sinx через у, приходим к следующему квадрат- I 3 пому уравнению: — бу2 — 7у ] 3 = 0, откуда r/j =-^- ; i/2= — <т. w 0 Z Вспоминая, что у — sinx, получаем: либо sirix = -q-, либо V 3 sinx — —у. Но второе невозможно: синус любого угла по абсо- лютной величине не превышает единицы. Поэтому sinx = 4-, откуда х= ( —l)”arcsiny 4-лл, где л —любое целое число. Пример 3. Решить уравнение 2 sin2 х-f- cos2 х = у sin 2х. Представив sin2x в виде 2sinxcosх, придем к однородному уравнению 2 sin2 х 4- cos2 х = 3 sin х cos х. Разделив обе части этого уравнения на cgs2x, получим: 2 tg2 х 4-1 = 3 tg х. Отсюда (tg л)1 = 1, или х = у 4- лл;- <tg*)2=y’ ,,ли х= arct4 + Ответ. х = -^-4-пл, х— arctgy4-ftn, где п и А —любые це- лые числа. Пример 4. Решить уравнение cos 4х cos 2х — cos 5х cos х. Представим произведения cos4x-cos2x и cos5x-cosx в виде (см. § 157): cos 4х cos 2л = -i- (cos 6х -J- cos 2х); I * cos 5х cos х = у (cos 6х 4- cos 4х). 63
Тогда данное уравнение можно переписать в виде: (cos 6х 4- cos 2л) - 4- (cjs 6х 4- cos 4л). Отсюда cos 2л = cos 4л; — 2 sin Зл - sin (— х) = 0; cos 2х — cos 4л =* 0; 2 sin Зл sin х — 0. Поэтому либо sinx = 0 и тогда х = лл, либо sin3x-0 и тогда Зх=6л; х = ^. Очевидно, что обе группы корней можно за- писать одной формулой х=у/«. г\ л Ответ. х = -у/п. Пример 5. Решить уравнение 1 4- cos х -|- sin х = 0. Представим 1 4-cos л как 2cos2y, a sinx как 2sinycosy. Тогда данное уравнение можно записать в виде: 2 cos2 -у 4- 2 sin у cos у = 0. Поэтому 2 cos у ( cos у 4- sin у 1 - 0. Если cos-£- = 0, то у = -^-4~пп и, следовательно, х = я 4-2лл. Если cos у 4- siriy = 0 (однородное уравнение), то 1 4-tgy = 0, откуда tg у = — 1; -у = —-у4- 6л. Следовательно, к - — ^-4-26л. Ответ. х = л4-2лл; к = — -у 4-26л, где п и 6 — любые целые числа. Пример 6. Решить уравнение cos 2х = cos 6л. Перепишем данное уравнение в виде cos 2х — cos6х = 0 и ис- пользуем формулу для разности косинусов двух углов. В ре- зультате получим: О . 2х-|-6х . 2х—6* п —2 sin —— sin —g или 2 sin 4х sin 2л = 0. Б4
В таком случае либо sin2х — 0 и тогда 2.г = /лл, х=~т, либо sin 4x^0 и тогда 4х= /?п, x=-^-k. Обе группы корней можно представить одной формулой x = -^-k. Ответ. x = -r-k. 4 Пример 7. Решить уравнение tg Зх — tg х = 0. Используя формулу для разности тангенсов двух углов, по- лучаем; Olli Q cos Зх COS X ~ ’ откуда sin2x=0, 2х = тя; х—^-т. Из этих значений х нужно отбросить как посторонние те, при которых хотя бы одно из выражений cos3x и cosx обращается в пуль. Выражение cosx обращается в нуль при х = ^-~-кл. Поэтому из полученных ранее значений х = -^-т остаются лишь значения х = тл. Выра- жение cos3x обращается в нуль при условии, что Зх = -^-4-пя или х = -^-4--£- А = -^-(2Л.+ 1). Число (2Л 4-1) нечетное, а число 6 О «5 О П 2*4-1 , четное. Поэтому число —не может быть целым и, следова- 2*4-1 тельно, значения х = л не содержатся среди значении х = тл. Таким образом, все числа вида х — тл являются корнями данного уравнения. Ответ. х = тл. Пример 8. Решить уравнение sin22x’-psin2x= 1. Из тождества 1 — coscc = 2sin2-^- вытекает, что . ,п 1—cos4x . 2 1—cos2x sm2 2х =----2---i sm2 х =---2---' Поэтому данное уравнение можно переписать в виде: 1—cos4x j 1—cos2x _ । 2 + 2 ’ откуда cos 4х 4- cos 2х = 0. Это уравнение легко решается с помощью формулы для суммы косинусов двух углов, из которой получаем: 2 cos Зх cos х = 0. бб
Если cosa—О, то х = -5- + пл; если же cos3x = 0, то Зх = -£--р + Лл, откуда х = -^--р-уЛ. Нетрудно понять, что вторая груп- па корней (х =•-£- + -у при £- Зл4-1 содержит в себе все корни первой группы (х =-^--р лл) . Поэтому ответ к данной задаче можно выразить одной формулой: х = -^-4--^-й. Пример 9. Решить уравнение sinx— /Jcosx = 1. Преобразуем выражение sinx—р 3cosx, введя вспомогатель- ный угол (см. § 167): sinx—/3 cos х = г i/~ 1а4-(]/ З)2 [ , 1 —-»<tinx-r = cosх] = К 1/1’+(/з)2 /1»+(/з)а J n / 1 . /3 \ о ( л. . п \ = 2 I -jz-Sin X — —х—cos х 1 = 2 cos sinx—sin -^-cosx) = у z £ / \ о □ J —-2sin (x--. \ <5 / Теперь данное уравнение можно записать в виде: 2 sin ^х—у) — 1, / п \ 1 откуда sin х---о-)='о следовательно, х-у = (-1)л|ш * = -у + (-1)п-у+лл. Ответ. х = -^--р(— 1)п-у+лл. Пример 10. Решить уравнение 5 sinx — cpsx = 5. Это уравнение в принципе можно решать тем же способом, что и предыдущее уравнение: pr26 ( JLr sin х--^= cos х^ = 5, V/26 /26 J /26 sin (х — <p) = 5, где C0S(p=-^=, sinep-»-~, T /26 /25 или <p = arctg|-. 53
Поэтому 5 / 26 ’ откуда 1 5 х—arctg—- = ( — 1)" arcsin-~= + nn; о V ‘2fi + /2Л. Но в данном случае лучше использовать другой метод реше- ния, который приводит к более простому ответу. Введем в рас- смотрение новую переменную i/=tg4- 2t*T 2у п 1-^-2 1-^ sinx =------= , , а, cosx =------= , , . H-tgs4 +у , + ‘е,4 +у Тогда данное уравнение можно переписать в виде: 10</ 1 —г/2_ с 1+«/2 Ц-£/2 ’ откуда 10{/-1 +{/2 = 5(1 +{/2); 4{/2— 10{/ + 6 О, 1 3 {/1=1. У2=у Вспоминая, что {/ = tgy, получаем: (х \ л , / х \ 3 2-Л=Т + ЛЛ; (2), = аГСМа Следовательно, данное уравнение имеет две группы корней: x = ~-l-2rin и х = 2 aretgy+ 2/ел, где п и k — любые целые числа. Желающие могут проверить, что ответы, полученные двумя различными способами, выражают один и тот же результат. Упражнения Решить уравнения: 1254. tgx—tg (-g-—х)-1. 1255. sin(-5-+x)—-K-sinx = —s—. \ J / £- & 1256. cos f v-—0,5 sin x = ^ cos x. \ b J ’ 67
1257. cos2x cosx = sin2x-sinx. 1258. sin a cos (a + x) = cos < 1259. cos(-^-4~x)—sin(-y 1260. tg3x-tgx=l. 1261. sin2x = 2sinx. 1262. cos2x= 2sin2x. 1263. sin x-cosx — 0,25. 1264. sin x + cos -£ = 0- 1265. sin1 x+ cos4 x = sin 2x. 126G. sin2y—cos® у = 0,5. •sin(a + x). -x)=0. 1267. sin4-J —cos4 у = 0,25. 1268. 5 cos 2x = |/56 sin x. 1269. cos 2x = 2 sin x — у. 1270. tgy tgx-tg^- + tgx. 1271. tg2x = 3tgx. 1272. + tg* <g2* 1273. 2sin2x= |/6sin2x—3cos2x. 1274. cos2 x + 4 sin2 x = 2 sin 2x. 1275. sin 2x 4- sin x • cos x = 2 cos 2x. 1276. cos7x-cos3x = cos4x. 1277. cos 3x - cos x = cos 7x • cos 5x. 1278. cos 2x • cos 3x = cos 5x • cos 6x. 1279. sin x-sin 3x= sin 2x-sin 4x. 1280. sin 2x - cos 3x = sin 3x • cos 2x. 1281. cos (a + x) • cos (a—x) + sin2 x = 0,5. 1282. cos| = l + cos.v. ,285' cos2x=l+sinx. I94R 4 (I + COS ж)_qc:r,2 1283. 1 — cosx = sin x. *28fi' ж 8 sin COS у 1284. 1 + cos x + cos 2x = 0. 1287 sill x + sjn3x = o. 1288. sin x—sin 3x— 0. 1289. sin (30° +x) — sin (60° —x) = 1. 1290. cos2x-}-cos6x=0. 1291. cos2x—cos6x—0. 1292. cos (x — a) — cos (x — P) = sin (P —a) 1293. sin3x = cos2x. 1294. sin x-j- sin 2x 4- sin 3x4- sin 4x — 0. .1295. cos x — cos 2x=sin 3x. 1296. sin x4-sin 3x4-sin 5x = 0. 1297. tg5x4-‘g3x = 0. 1298. tg5x = tg3x. 1299. tg4x = tg2x. 1300. tg (a 4-x) 4-tg (a—x)=0. 1301. tg|4-tg x=tg^. 1302*. tgx4-tg.3x4-tg5x=0. , 1303. cos2 x 4- 3 cos2 4-=2. 58
1304. sin2 * * * * * * * x ~h sin2 Зх -|- у cos 6x = 1. 1305. cos2 x 4- 2 sin2 5x = ,3~^os 10 x . 1300. sin2 4л7 cos2 6л 4-у cos8x 5. 1307. sinx-|-1/3 cosx= 1. 1308. КЗ sinx 4-cosx = V 2. 1309. sin 5л 4- 3 cos 5x = 2 sin 7x. M10*. sinx— cosx = Jz7. cos 2x . r 1312. sin x—cos x 4- tg л = 1. 1313. 2sinx—5cosx'4-2tgx = 5. 1314. ИЗ sinx—J'5 cosx= Г 3. 1315. sin2x-tgx = 1. 1316. cos 4x 4- tg 2x =-1. 1317. cosx tg2| = -|. Графический способ решения тригонометрических уравнений § 17? О графическом способе решения некоторых тригонометричес- ких уравнений мы уже говорили в§ 125, ч. I. Теперь, умея строить графики тригонометрических функции кратных углов, мы може.л решать этим способом гораздо больше уравнений, чем прежде. Но основная идея решения, конечно, остается той же самой. Для примера рассмотрим уравнение tg| = 2-x. Графики функций у =u tg ^ и у ~ 2 — х (рис. 244) пересекаются в бесконечном числе точек. Значит, данное уравнение имеет бес- конечное множество корней. Найдем, например, наименьший положительный корень л0. Этот корень, является абсциссой точки пересечения графиков. Примерно он равен 1,2. Чтобы найти этот корень точнее, воспользуемся таблицами татенса (см. таблицы В. М. Брадиса, стр. 62). Выпишем значе- ния функций у =- tg и у — 2 — х в окрестности точки л=1,2. 53
X 1,2 1.3 £ Ь5 X 0,6841 0,7602 у = 2—х 0,8000 0,7000 tgf—(2-х) —0,1159 0,0602 Как видно из этой таблицы, при переходе от значения х= 1,2 к значению х= 1,3 разность tg-^—(2 — х) меняет свой знак на противоположный (с — на +). Значит, в нуль эта разность обращается где-то между значениями 1,2 и 1,3. Следовательно, с точностью до 0,1 х0 х 1,2 (с недостатком) и « 1,3 (с избытком). Используя таблицу тангенсов, можно найти и приближенное вначение этого корня с точностью до 0,01. Для этого рассмот- рим значение х = 1,25, являющееся средним значением чисел 1,2 и 1,3. При х=1,25 tg|« 0,7215, 2 -х = 0,7500. 60
Поскольку tg у <2 — х, то х0 > 1,25 (см. рис. 244). Итак, 1,25 < х0 < 1,30. Теперь испробуем значение х— 1,28, которое близко к сред- нему значению чисел 1,25 и 1,30. При х-= 1,28 tg 4 ® 0,7445, 2-х = 0,7200. Теперь уже tg4>2 —х. Значит (см. рис. 244), х0<1,28. Аналогично, рассматривая значение х= 1,26, мы получили бы tg 4 < 2 — х и потому х0 > 1,26. Значит, 1,26 <х0 < 1,28. Поэтому с точностью до 0,01 хох 1,27. Если бы нужно было определить, какое это приближенное значение (с недостатком или с избытком), то нам пришлось бы сравнить значения tg 4 и 2 —х в точке х= 1,27. Предлагаем учащимся сделать это самостоятельно. Упражнения 1318. Найти наименьший положительный корень уравнения tg ^2х — у) =2 —хг с точностью до 0,01. 1319. Найти корень уравнения sin 2х = 1 — 4х с точностью до 0,01. Задачи на повторение 1320. Сколько действительных корней имеет каждое из дан- ных уравнений: a)sinx = 2x; в) 1gах = &х + с (6^=0); б) sin х = *4 - J г) cos2х = х? 1321. Может ли тангенс суммы двух углов быть равен сумме тангенсов этих углов? Если может, то в каком случае? 1322. Вычислить sin(a-J-P) и cos (а— 0), если известно, что Кз о К2 о яла =_?2— cosp =------, причем углы аир оканчиваются в одной н той же четверти. 61
1323. Вычислить sin 2а и cos 2а, если cosa = ——— a-f-b (известно, что а > b > 0 и угол а оканчивается не в 1-й чет- верти). 1324. Найти sin4x, если известно, что tgx = 3. Доказать тождества (№ 1325—1327): 1325. sin 200° sin 310°-|- cos 340е-cos 50° = -^- . 1326. 16 sin 10c-sin30o-sin50°-sin70c— 1. « A Я I 3 1 1327. cos у 4-cos у л . Упростить выражения (№ 1328, 1329); 1328 sin2 и—sin2 P * sin p cos a —ccs p sina 1329. К1 4- sin ф — pl — sin ф; при а) 0 < ф < у ; б) у < ф <. Л. 1330. Разложить на множители: cos2 4a 4- cos2 3a — sin2 2a — sin2a. Доказать тождества (№ 1331 — 1334): I-sin a _t^2 f л a\ 14-sina ° \4 2 ) ’ 1 qqo 1 4-cos a 4-ccs 2a 4-cos 3a __ 9 cosa4~2cos2a—1 “ ^Cosa. «то 1—sin* a—ccs* a 3 1—sin4 a—cos*a ~ 2 ’ 1334. tg3a-tg 4-a^tg —a) tga- 1335. Электрогенератор вырабатывает трехфазный ток: Л = /0 sin ((at 4- ф), /2 = /0 sin (со/4-ф 4-у л) , /3=/0sin (wN-ф 4-ул) • v Доказать, что в любой момент времени t 4* ^2 4* 73 — 0. 1336. Как связаны между собой углы а и 0, если | sin а | = | sin р | ? 1337. Упростить выражение \/ sin2 a 4- ccs 2a 4-1 п проверить справедливость полученного результата при а= 0 и а = л. 62
Решить уравнения (№ 1338—1351): 1338. 2 sin х sin 2х 4 cos Зх = 0. 1339. | cos2 х — sin2 х I = —. 1 /2 1340. sin x 4- cos x = r-c-os 2* . 1 1—sin 2x 1341. 5 (sin x 4* cosx)2 — 13 (sin x-|- cos x) 4- 8 = 0. 1342. cos 3л — sin x -= cos x — sin 3л. 1343. tgx tg2x — tg 3x 4-tg 4л = 0. 1344. у (sin4 x -|- cos4 x) 4- sin л cos x4- sin2 x cos2 x = 0. 1345. sin 2л4-cos2x4-sin xcosx4-1 =0- 1346. sin (cos x) = cos (sin x). 1347. cos2 x 4- cos2 2x 4- cos2 3x 4- cos2 4x == 2. 1348. cos 2x -j tg x 1. 1349. cos3 x sin 3x 4- sin3 x cos 3x = . 1350. sinxsin3x = 0,5. 1351. sinx-|-cosx4- 2sinxcosx= — 1. Решить ( 1352. 1 ( системы уравнений: sin x 4- sin у = 1, । я *+!/ = -3 . 1353. sinx4- sin у =-рЗГ, я x+y=y. 1354. V3—1 sin л sm 11 = .— 4 /У 4-1 cos X cos у — ——— ( sin x sin и — , 1355. 1 ‘ 4 I tg -vtgy-S. {tg* = (КЗ -2), х + У = ^ ( 2E,2L = j '3", (' sin y сод x ____ 1 CCS у у 3 ’ Из истории тригонометрии § 173 Слово „тригонометрия1* греческого происхождения. В переводе на рус- ский язык оно означает „измерение треуч ельников". Как и все другие разделы математики, зародившиеся в глубокой древности, тригонометрия возникла в результате попыток решить те задачи, с которыми человеку приходилось сталкиваться на практике. Среди таких задач следует прежде всего назвать задачи землемерия и астрономии. В том, что тригонометрия относится к древним наукам, нас убеждает хотя бы такой факт. Для предсказания момента наступления солнечно! о или лунного затмения необходимо произвести расчеты, требующие при влечения тригонометрии. Весьма точно предсказывали затмения еще древне- вавилонские ученые. По-видимому, они уже владели элементарными триго- нометрическими понятиями. 63
Первые достоверно засвидетельствованные тригонометрические таблицу были составлены во втором веке до и. э. Их автором был греческий астроном Гиппарх. Таблицы эти до нас не дошли, ио в усовершенст- вованном виде они были включены в „Альмагест** („Великое построение**) александрийского астронома Птолемея. Таблицы Птолемея подобны таблицам синусов от 0° до 90°, составленным через каждые четверть градуса. В „Альмагесте", в частности, есть формулы для синуса и коси- нуса суммы двух углов, содержатся также элементы сферической тригоно- метрии *. В средине века наибольшие успехи в развитии тригонометрии были достигнуты учеными Средней Азии и Закавказья. В это время к тригоно- метрии начинают относиться как к самостоятельной науке, не связывая ее, как прежде, с астрономией. Большое внимание уделяется задаче реше- ния треугольников. Одним из самых примечательных сочинении по триго- нометрии этого периода является „Трактат о четырехугольнике" Насир Эддина (XIII век). В этом трактате введен ряд новых тригонометриче- ских понятий, по-новому доказаны некоторые уже известные результаты. Основные работы по тригонометрии в Европе были выполнены почти на два столетия позднее. Здесь следует прежде всего отметить немецкого уче- ного Региомонтана (XV век). Его главное произведение „Пять книг о различного рода треугольниках" содержит достаточно полное изложение основ тригонометрии. От наших нынешних учебников по тригонометрии это сочинение отличается в основном лишь отсутствием удобных современ- ных обозначений. Все теоремы сформулированы словесно. После появления „Пяти книг** Региомонтана тригонометрия окончательно выделилась в само- стоятельную науку, не зависящую от астрономии. Региомонтаном составлены также довольно подробные тригонометрические таблицы. Развитие алгебраической символики и введение в математику отрица- тельных чисел позволило рассматривать отрицательные углы; появилась возможность рассматривать тригонометрические функции 'числового аргу- мента. Развитие математики позволило вычислять значения тригонометри- ческих функций любого числа с любой наперед заданной точностью. Существенный вклад в развитие тригонометрии внес Эйлер. Им даго современное определение тригонометрических функции н указано на тес- ную связь этих функций с показательными функциями (ем. гл. VIII). В настоящее время тригонометрические функции лежат в основе спе- циального математического аппарата, так называемого гармонического анализа, при но?.ющи которого изучаются различного рода периодические процессы: колебательные движения, распространение воли, некоторые атмосферные явления и пр. * Сферическая тригонометрия рассматривает углы и другие фигуры не на плоскости, а на сфере.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ Степень положительного числа с положительным рациональным показателем VIII § 174 В главе IV (часть I) было дано определение степени поло- жительного числа а с рациональным показателем г. Напомним это определение. Если число г —натуральное, то аг есть произведение г чисел, каждое из которых равно а: ar — aa'...-a. (1) Г Если число г — дробное и положительное, то есть г = , где т и п— натуральные числа, то аг= а" = УсГ. (2) Формулы (1) и (2) определяют степени любого положительного числа а с любым положительным рациональным показателем г. Если же показатель г является рациональным и отрицательным, то выражение аг определяется как величина, обратная к а~г: «'“А- (3) Здесь уже число —г положительно. Наконец, если r — Q, то аг равно 1: а° = 1. (4) Формулы (1), (2), (3) и (4) определяют степень положи- тельного числа а для любого рационального показателя г. Для дальнейшего нам потребуются следующие две теоремы. Теорема 1. Если число а больше 1, то из двух сте- пеней. этого числа с положительными рациональными показателями больше та, показатель которой больше. Доказательство. Пусть а> 1 и где т, п, р и 0 —натуральные числа. Покажем, что m р ап > а ’. 3 Заказ Ki 85 65
Действительно, д n =. pd*- а я Приведем эти корни к корням с одинаковыми показателями: Так как —> » то mq > пр. Поскольку а > 1, то отсюда вы- текает, что аЯ1? > <fp, а потому и n\/amq > или т р а п > а v. Аналогично может быть доказана и другая теорема. Теорема 2. Если число а больше нуля, но меньше 1, то из двух степеней этого числа с положительными рациональными показателями больше та, показатель которой меньше. Доказательство этой теоремы предлагаем учащимся провести самостоятельно. Примеры. 1) 1,4 <1,5. Поэтому 31.4<31.в; М \i.« (_\1Л \з) > \з) 2) 0,51 < 0,52. Поэтому л0-61 < л0-6’; (л \ 0,01 / jt \ о,ва Т J > Упражнение 1358. Какое число больше: 1 2 а) 5я или 5 3 ; в.о /1 ИЛИ (-3 a т б) р/4е или jZ4е; 10\° 3 В * 10_%/10\e34 — 1 ИЛИ 1/ I гг 1 Г Степень положительного числа с положительным иррациональным показателем § 175 В предыдущем параграфе мы напомнили, как определяется степень аг любого положительного числа а с любым рацио- нальным показателем г. Теперь нам предстоит определить степень ах положительного числа а с положительным 66
иррациональным показателем х. Мы начнем с рассмотре- ния следующего частного примера: как следует понимать выра- жение Зг« ? _ Выпишем десятичные приближения числа)/2 с недостатком: 1; 1,4; 1.41; 1.414; ... (1) и с избытком: 2; 1,5; 1,42; 1,415; .... (2) Все члены этих последовательностей представляют собой рациональные числа. А степень положительного числа с рацио- нальным показателем нами уже определена. Поэтому мы вправе рассмотреть последовательности: Как известно. З1; З1-4; З1-41; З1-414; ... , За; 31в; З1-42; 3Ь41В; .... (3) (4) 1 < V2 < 2 1,4 <У2 < 1,5 1,41 </Г< 1,42 1,414 <У2 < 1,415 Поэтому, принимая во внимание теорему 1 из предыдущего параграфа, естественно считать, что интересующее нас число у = 3^ удовлетворяет неравенствам: &<у<3* З1-4 < у < З1» З1-41 <у < З142 З1-414 < у < 314,5 Можно доказать, что существует и притом только одно число а, удовлетворяющее каждому из этих неравенств*. По определе- нию это число а и принимается за 3^’. Рассмотрим еще один пример: как следует понимать выра- жение I v ) ? \ V / * Доказательство этого факта выходит за пределы нашей программы и потому здесь не приводится. 3* 67
По аналогии с первым примером рассмотрим последова тсльности: (1)41)” (1Г; (!)“• - ,5) II /п2. pV-‘. flV-42; (G) \з) ' \з) ' \з) \з) .... ' ’ _ ' (1 Естественно считать, что интересующее нас число # = I у I удовлетворяет неравенствам (см. теорему 2 из предыдущего параграфа): Можно доказать, что существует и притом только одно число р, удовлетворяющее каждому из этих неравенств. По а (1\VT определению это число р и принимается за 1-у) Рассмотрение представленных двух примеров приводит нас к следующему определению. Определение. Если а> 1, то степенью этого числа с положительным иррациональным показателем х называется число, которое больше всех степеней числа а с показателями, равными десятичным приближениям числа х с недостатком, но меньше всех степеней числа а с показателями, равными деся- тичным приближениям числа х с избытком. Если 0 < а < 1, то степенью этого числа с положительным иррациональным показателем х называется число, которое больше всех степеней числа а с показателями, равными деся- тичным приближениям числа х с избытком, • но меньше всех степеней числа а с показателями, равными десятичным при- ближениям числа х с недостатком. К этому остается добавить, что для любого иррационального числа х 1*=1. 68
Степень положительного числа с отрицательным иррациональным показателем в 176 Если а>0 и к—положительное иррациональное число, то по определению a-'-i. (1) Например, 'o-w 1 . (1 1 ° \ 3 J /1 \Г7 • \ 3 J Чтобы введенное определение было корректным, необходимо показать, что дробь -L в правой части равенства (1) имеет смысл при любых положительных а и х. Для этого нужно доказать, что ах=£0. Действительно, по определению степени е положительным иррациональным показателем ах' °* ах", где одно из чисел х' и х" есть десятичное приближение числа х с недостатком, а другое —соответствующее десятичное прибли- жение этого числа с избытком. Числа х' и л? рациональные и положительные. Поэтому ах'>0 и с*">0. Но число, заклю- ченное между двумя положительными числами, само должно быть положительным. Поэтому а* > 0. Итак, мы определили степень положительного числа с лю- бым действительным показателем. Степень отрицательного числа С действительным показателем, вообще говоря, не определена. Основные свойства степеней положительных чисел с действительными показателями § 177 Степени положительных чисел обладают следующими основ- ными свойствами: 1) ax^av = ax+y, 3) (ab)x = aKbx. 5) (ах)у = аху. Эти свойства были частично доказаны нами в главе IV (ч. I) для рациональных показателей. На самом же деле они верны и 69
для иррациональных показателей. На доказательстве этого факта мы не будем останавливаться. Примеры. 1) [lVr*=(3-1)‘v'f= \ 3 / 2) [(I)vr] ~VT=(4) =(I)4=(3~ 1)_‘=34=81 • 3) = 5Vt Упражнения Доказать тождества (№ 1359, 1360): 1359. ( * 163 = \ Z ] \ о / 1360. • ^—-(6-2 "V я. 4V 10» gl'27 Упростить выражения: vj~ 1361. [(Уз'Л7]-213• 1362. [(/a)-4'»'] . Показательная функция и ее график § 178 Показательной функцией называется функция вида У = ах, еде а—некоторое фиксированное положительное число. Примером показательных функций могут служить функции! у = 2х-, В природе наблюдается целый ряд явлений, которые мате- матически можно описать с помощью показательных функций. Например, распад радия приближенно можно описать соотно- шением /п (/) = m (0) • (0,9996)‘, где т (0) — первоначальное количество радия в граммах, а m(t) — то количество радия, которое останется через t лет после начала распада. По показательному закону изменяется также атмосферное давление с изменением высоты. 70
В определении показательной „ функции у = ах указывается, что число а положительное. Объясняется это тем, что степень отрицательного ц=1 числа с произвольным показателем, - —— —<——у вообще говоря, не определена. 1 Среди всех положительных зна- -----------q------------у- чений а следует особо выделить а=1. При таком а функция у = ах имеет вид у= 1 (рис. 245). Такая Рис 245 функция не представляет особого интереса. Поэтому в дальнейшем, говоря о показательной функции у = аж, мы всегда будем пред- полагать, что о>0и а^1. Перейдем к построению графика показательной функции. В качестве примера на одном чертеже построим графики функ- ций у = 2* и у=10х, а на другом—графики функций (1 \* Г 1 Т) иу=(Т5рДля этого предварительно соста- вим таблицы значений этих функций. Для функций у—2х / 1 V и —1 в качестве зна- чений х выберем —3, —2, —1, 0, 1, 2 и 3. (1 \ * jq] целесообразно выбрать другие значения х, поскольку при х=~ + 2, ч_3 указанные функции принимают либо слишком большие, либо слишком (1 1 io) =io66‘ Такие зна- чения у трудно зафиксировать на графике. Поэтому в данном случае в качестве значений х удобнее выбрать, например, такие । 3 2 1 п 1 2 з , . числа: —1, — т, — т, — 7 , 0, 7. т и 1. Соответственные значения у можно вычислить последовательно: 10°= 1; 10“ = /То = )//К)« /3J 622» 1,8; 10^=- 10т = /10» 3.2; 10^ - ‘/ТО* ~ /Тббб » /31,6227 » 5,6; 71
10* - 10; io-r_J_=_L8«o.6 10* и т. д. В итоге получается следующая таблица приближенных зна- чений функций у =10* и у=(±\ : X -1 _ 2. 4 1 >&.] to _2 4 0 1 4 £ 4 _3 4 1 у—10х 0,1 0,2 0,3 0,6 1,0 1.8 3,2 5,6 10 ( 1 V \ioj 10 5,6 3,2 1,8 1,0 0,6 0,3 0,2 0,1 Используя составленные таблицы, можно в общих чертах представить себе поведение рассматриваемых функций. Точные графики функций у =2* и у =10* приведены на рисунке 246, y) и4/ = (1о) на рисунке 247. 72
Упражнения 1363. Используя график функции у = 2* найти /2, /4, * ' г ’ |/2 2/2 При каких значениях аргумента эта функция принимает значения, равные 0,5; 0,9; 1,0; 1,8; 2,7? 1364. Используя график функции у=(-^ , найти KS' 10'3; (та)"’’- При каких значениях х эта функция принимает значения, равные 0,5; 0,9; 1,0; 3,0; 5,0? 1365. Построить графики функций: а) у = 2к~\ в) у = 21*1; д)у = 2*+1; б) y = 2x+I; г) у = 2*— 1; е) у = 2~|*'. 1366. Построить графики функций: \ / 1 V-* 8 а) У=\2-) f 1 \*+3 б) у=(т) в) У = О У = д) У = е) у = 1367. На одном и том же рисунке построить графики функций У = 3* и у = 3"\ Основные свойства показательной функции § 179 В этом параграфе мы изучим основные свойства показа- тельной функции У = а*. (1) Напомним, что под а в формуле (1) мы подразумеваем любое фиксированное положительное число, отличное от 1. Свойство 1. Областью определения показательной функции является совокупность всех действительных чисел. В самом деле, при положительном а выражение а* опреде- лено для любого действительного числа х. Свойство 2. Показательная функция принимает только положительные значения. Действительно, если х > 0, то, как было доказано в § 176, а*>0. 73
Если же х<0, то где —х уже больше нуля. Поэтому а~*>0. Но тогда и а* = -4зг>0. а * Наконец, при х = 0 а 2-е свойство показательной функции имеет простое графи- ческое истолкование. Оно заключается в том, что график этой функции (см. рис. 246 и 247) располагается целиком выше оси абсцисс. Свойство 3. Если то при х>0 а*>1, а при ж<0 Если же то, наоборот, при х>0 а при х<0 а*>1. Это свойство показательной функции также допускает про- стую геометрическую интерпретацию. При а > 1 (рис. 246) кривые у = ах располагаются выше прямой у=1 прих>0и ниже прямой у=1 при х<0. Если же а< 1 (рис. 247), то. наоборот, кривые у — ах располагаются ниже прямой у=1 при х > 0 и выше этой прямой при х < 0. Приведем строгое доказательство 3-го свойства. Пусть а > 1 их— произвольное положительное число. Покажем, что ах> 1. . т ______ Если число х рационально = то а* = ап •= х/ат. Поскольку а > 1, то и ат > 1. Но корень из числа, большего единицы, очевидно, также больше 1. Если х иррационально, то существуют положительные ра- циональные числа х' и х", которые служат десятичными при- ближениями числа х: х' < х < х?. Но тогда по определению степени с иррациональным показа- телем ах'< ах < а*’. Как показано выше, число а*' больше единицы. Поэтому и число. ах, большее чем ах', также должно быть больше 1. Итак, мы показали, что при а > 1 и произвольном поло- жительном X ах> 1. Если бы число х было отрицательным, то мы имели бы х 1 ° = --=~х . а х 74
где число —х было бы уже положительным. Поэтому а”*> 1. Следовательно, Таким образом, при о>1 и произвольном отрицательном х а*<1. Случай, когда 0<а<1, легко сводится к уже рассмотрен- ному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом само- стоятельно. Свойство 4. Если лг=О, то независимо от а а*=1. Это вытекает из определения нулевой степени: нулевая сте- пень любого числа, отличного от нуля, равна 1. Графически это свойство выражается в том, что при любом а кривая у = ся (см. рис. 246 и 247) пересекает ось у в точке с ординатой 1. Свойство 5. При а> 1 показательная функция у=а* является монотонно возрастающей, а при а<1—мо- нотонно убывающей. Это свойство также ддпускает простую геометрическую ин- терпретацию. При а> 1 (рис. 246) кривая у = с ростом х поднимается все выше и выше, а при а < 1 (рис. 247)—опускается все ниже и ниже. Приведем строгое доказательство 5-го свойства. Пусть а > 1 и х2 > xt. Покажем, что а*> > ах*. Поскольку хг > Хр то x2 = x1-}-rf, где d—некоторое положитель- ное число. Поэтому а*» —а** — ax*+d—ах* = aXi (ad—1). По 2-му свойству показательной функции ах*> 0. Так кая d>0, то по 3-му свойству показательной функции ad> 1. Оба множителя в произведении с** (в4—1) положительны, поэтому и само это произведение положительно. Значит, ах*—ах* > О, или ах> > ах>, что и требовалось доказать. Итак, при а > 1 функция у = о* является монотонно воз- растающей. Аналогично доказывается, что при а < 1 функция j/ = ox является монотонно убывающей. Следствие. Если две степени одного и того же по- ложительного числа, отличного от 1, равны, то равны и их показатели. Другими словами, если аь = ас(а > 0 и а~£ 1), то Ь = с. 7S
Действительно, если бы числа Ь п с были не равны, то в силу монотонности функции у — ах большему из них соот- ветствовало бы при а>1 большее, а при а < 1 меньшее зна- чение этой функции. Таким образом, было бы или at’>ac, или И то и другое противоречит условию d’ = ac. Остается признать, что Ь = с. Свойство 6. Если а>\, то при неограниченном воз- растании аргумента х (х—оо) значения функции у=ах также неограниченно растут (у—* оо). При не- ограниченном убывании аргумента х (х—>— оо) значения этой функции стремятся к нулю, оставаясь при этом положительными £у—»-0; _у>0). Принимая во внимание доказанную выше монотонность функ- ции у = ах, можно сказать, что в рассматриваемом случае функция у = ах монотонно возрастает от 0 до оо. ЕслиЪ<а<\, то при неограниченном возрастании аргумента х(х—> оо) значения функции у=ах стре- мятся к нулю, оставаясь при этом положительными (у -* 0; у >0). При неограниченном убывании аргумента х (х —> — оо) значения этой функции неограниченно растут (у—>оо). В силу монотонности функции у = ах можно сказать, что в этом случае функция у — ах монотонно убывает от оо до 0. 6-е свойство показательной функции наглядно отражено на рисунках 246 и 247. Строго доказывать его мы не будем. Нам осталось лишь установить область изменения показа- тельной функции у = ах (a>0, а^=- 1). Выше мы доказали, что функция у = ах принимает только положительные значения и либо монотонно возрастает от 0 до оо (при а > 1), либо монотонно убывает от оо до 0 (при 0 < а < 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претер- певает ли функция у = ах при своем изменении каких-нибудь скачков? Любые ли положительные значения она принимает? Вопрос этот решается положительно. Если а>0 и то каково бы ни было положительное число у0, обязательно най- дется х0 такое, что a*« = i/0. (В силу монотонности функции у*=ах указанное значение х0 будет, конечно, единственным.) Доказательство этого факта выходит за пределы нашей программы. Геометрическая интерпретация его состоит в том, что при любом положительном значении у0 график функции у = ах обязательно пересечется с прямой у = у0 и притом лишь в одной точке (рис. 248). Отсюда можно сделать следующий вывод, который мы фор- мулируем в виде свойства 7. 76
Свойство 7. Областью изменения показательной функции у=ах (а>0, аф:1) служит множество всех положительных чисел. Упражнения 1368. Найти области определения следующих функций: а) у = 2х; б) У-\тп) ; в) У^-р. 1869. Какие из данных чисел больше 1 и какие меньше 1: 1370. На основании какого свойства показательной функции можно утверждать, что 1371. Какое число больше: а) л 3 или (— J ; в) ) или (у] в) „ли (i)’; г) (ГЗ)^-^ или (/3) 1372. Равносильны ли неравенства: а) а* > а4 и х > 4; 0) 5*’ <5* и х2 < х; (1 \х /1 \х-1 - - -ч 1б) > (т) и2х<х—1? 1373. Что можно сказать о числах х и у, если ах = ау, где в—заданное положительное число? 77
1374. 1) Можно ли среди всех значений функции у = 2* вы- делить: а) наибольшее значение; б) наименьшее значение? 2) Можно ли среди всех значений функции у = 2*л| выделить; а) наибольшее значение; б) наименьшее значение? Логарифм числа по данному основанию § 180 Алгебру иногда называют „арифметикой семи действий", же- лая этим подчеркнуть, что, кроме четырех арифметических дей- ствий (сложения, вычитания, умножения и деления), она рас- сматривает также возведение в степень и два обратных к нему действия. Обозначим основание степени через а, показатель через х, степень через Ь. Тогда можно написать: b = a\ (1) „Пятое" алгебраическое действие —возведение в степень— состоит в нахождении числа Ь по известным а и х. Это дейст- вие мы подробно изучили в главе IV (часть I), о нем говори- лось также в начале этой главы. „Шестое" алгебраическое действие состоит в нахождении числа а по известным значениям b и х. Возводя обе части ра- венства (1) в степень у (если только л=^0), получаем: 1 а = Ьх. Поэтому „шестое" алгебраиче- ское действие легко сводится к „пятому". /Теперь мы переходим к изу- чению „седьмого" алгебраичес- кого действия — нахождению показателя х по известным зна- чениям степени Ь и его осно- вания а. Эта задача по существу состоит в том, чтобы решить уравнение а* = Ь, (2) где а и b — некоторые заданные, а х— неизвестная величина. Сразу же заметим, что данная задача разрешима не всегда. 78
Если, например, в уравнении (2) число а положительно, а число Ь отрицательно, то это уравнение корней не имеет. Но если только а и b положительны и а=/=1, то оно непременно имеет и притом только один корень. Напомним, что график показательной функции у=*а* обязательно пересекается с пря- мой у = Ь и притом лишь в одной точке (см. рис. 249). Абсцисса точки пересечения и представляет собой корень уравнения (2). Корень уравнения (2) принято обозначать logeb (читается: логарифм числа- b по основанию а). Логарифм числа Ь по основанию а есть показатель степени, в которую нужно возвысить число а, чтобы получить число Ь: alojat — у. Примеры. 1) 2* = 16, поэтому log216 = 4. 2) 2-3 = , поэтому log8 у = — 3. 3) 6° = 1, поэтому loge 1=0. С логарифмами мы сталкиваемся при решении целого ряда при* кладных задач. В качестве примера рассмотрим следующую задачу. Как мы знаем, распад радия приближенно описывается фор- мулой (см. § 178): /и(0=/и(0) • (0,9996)*, где /п(0) —первоначальное количество радия в граммах, а/п(0 — количество радия (также в граммах) через t лет. Выясним, ка- ков период полураспада радия, то есть через сколько лет коли- чество радия уменьшается вдвое? Искомое число лет t является корнем уравнения /п(0) • (0,9996)* = 0,5/п (0), или (0,9996)* = 0,5. Поэтому / <= 10g0>eeeeO,5. В дальнейшем мы научимся находить такие логарифмы с помощью специальных таблиц, а пока нам придется принять на веру, что 1°бо,ееевО>5 ~ 1600. Таким образом, количество радия уменьшается вдвое примерно через каждые 1600 лет. Упражнения 1375. Данные равенства записать в виде логарифмических равенств (например, За = 9 —► logs 9 =" 2): а) 2а = 4; в) 44 = 256; д) 2~а = |; б) З3 = 27; г) 53 = 125; е) 3~4 =1; 79
вычислить: 80 ж) 7°= 1; и) 8 s =4; л)8° = 1; з) 4Т = 2; к) ^/'27 = 3; м) >/8 = 2. 1376. Проверить справедливость следующих равенств: a) log4 16 = 2; в) logB125 = 3; A)*og3^-= — 4; б) log3 243 = Б; * г) log, 1 = — 2; е) log10 1 = 0. 1377. Найти логарифмы следующих чисел по основанию 2: 4; 16; 32; 1; 0,5; 0,125; /2; 2 V 2. 1378. Найти логарифмы следующих чисел по основанию у : 1; 2; 8; 32; 0,25; тЬ * ; /2; 4/2. 16’ /2 • 1379. Найти логарифмы следующих чисел по основанию 3: 3; 1; 27; 81; ±; /3; 3)/3. 1380. Найти логарифмы следующих чисел по основанию j S’: 27’ 81* 3; 27; 7=1; ^3; ГТз - - 1381. Вычислить: a) loga (sin в) log3 (tg-y); ’ б) log2 (sin-£); г) log3 (tg-J-). 1382. Доказать тождество Используя это тождество, вычислить: a) log8 16; г) logie64; ж) logj_125; б) log2 2/2; д) log327; з) log4 (slri-J-)j в) ,og/-;T: е) log27 243; и) log9 (tg-y)- 1383, Используя основное логарифмическое тождество а а =Ь,
1) 2,ое*8 ; 4) 3alo|Tie ; 7) З’Т‘“Л Ю) / 1 \log.e > \ 3 ) ’ 2) 310е»® ; 5) 5Т ; 8) 41О«>7 ; П) / 1 \log,e И ) ’ 3) 2в1о»«8 । 6) 2-4,°е«1 ; 9) 9log, ю . 12) | f ] \-alog,i2 Cd) 1384. Доказать, что при любом положительном а 1 loga (sin 1°) • loga (sin 2°) ... loga (sin 89°) • 1 bga (sin 90°) = 0. Логарифмическая функция и ее график § 181 Логарифмической функцией называется функция вида У=^Х, где а—некоторое фиксированное положительное число, отличное от 1. Формула t/=lQgox выражает то же самое, что и формула а» = х. (1) Отсюда легко установить связь логарифмической функции с показательной функцией У = а*. . (2) Если показательная функция (2) описывает изменение степени в зависимости от изменения ее показателя, то ввиду (1) логариф- мическая функция, наоборот, описывает изменение показателя степени в зависимости от изменения степени. Поэтому логариф- мическая функция у = loga х называется обратной к показатель- ной функции у = ах. Формула (1) получается из формулы (2), если в последней пе- ременные величины х и у поменять местами. Отсюда следует, что значения логарифмической функции z/ = logax легко полу- чить из соответствующих значений показательной функции у = ах, если то, что для показательной функции было, у-ом, для логарифмической функции рассматривать как х, а то, что для показательной функции было х-ом, для логарифмической функ- ции рассматривать как у. Таблицы значений показательных функций у = 2х, 10х, Tj-j и были составлены нами в § 178. Используя их, 'мы получаем таблицы (см. стр. 82) приближенных значений функций: у = log2 х, y==log10x, z/=log±x и y=log2_x. 9 lv 81
X 1 8 1 4 £ 2 1 2 4 8 ... logs* -3 —2 — 1 0 1 2 3 ... 3 2 1 0 -1 —2 —3 2 X 0,1 0,2 0,3 0,6 1.0 i.e 3,2 5,6 10,0 ... login X -1 4 2. 2 1_ 4 0 i 4 2 2 4 1 ... log J* l<f 1 3 4 2 1 4 0 co 1 -1 ... Эти таблицы дают некоторое (хотя и весьма ограниченное) представление о поведении рассматриваемых функций. В част- ности, они могут быть использованы при построении графиков этих функций. На рисунке 250 вы видите графики функций y = log2x и £/ = log10x, а на рисунке 251—графики функций y=log1x и i/ = logi х. Т 10 Следует обратить внимание на следующее важное обстоя- тельство. Когда х —”0, то логарифмическая кривая t/ = logex неограниченно приближается к оси ординат. Но оси этой она никогда не достигает (см. рис. 250 и 251). Об этом не следует забывать при построении логарифмических кривых. 82
Для сравнения графика логарифмической функции у = logex с графиком соответствующей ей показательной функции у = а* обратимся к рисункам 252 (а = 2) и 253 = Как видно из этих рисунков, графики логарифмической функции и соответст- вующей ей показательной функции симметричны друг другу относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Если, например, рисунок 252 перегнуть по этой биссектрисе, то гра- фики функций у = 2* и y=log2x наложатся друг на друга. Упражнения 1385. Пересекается ли логарифмическая кривая y = logaxi а) с осью х; б) с осью у? 1386. Используя график функции y = log2x, найти логариф- мы по основанию 2 чисел 0,5; 0,6; 0,7; 1,5; 2,3; 3,0. Логарифмы каких чисел по основанию 2 равны 0,7; 0,8; 0,9; 1,0; 1,5? 1387. Исходя из графика функции y = log2x, построить гра- фики функций: а) у = log2 (х— 1); в) у = — log3 х; д)у = I log2 х|; б) y=log2(x + 2); r)y=log2|x|; е) t/ = log2( —х). 1388. Построить графики функций: a) »/ = logi_x; в) у = log i_(x4-2); д) у = log J х |; б) y = logi_(x—1); г) y = |logj_x|; е) у = logi_( — х). 3 3 3 1389. На одном и том же рисунке построить графики функ- ций у = log8x и y = logj_x. * в 83
Основные свойства логарифмической функции $ 182 В этом параграфе мы изучим основные свойства логарифми- ческой функции y=logax. (1) Напомним, что под а в формуле (1) мы подразумеваем лю- бое фиксированное положительное число, отличное от I. Свойство 1. Областью определения логарифмической функции служит множество всех положительных чисел. Действительно, пусть b есть произвольное положительное число. Покажем, что выражение logab определено. Как мы знаем, loga6 есть не что иное, как корень уравнения <f = b. (2) Если а и Ь— положительные числа, причем а^1, то такое уравнение по'свойствам 2 и 5 показательной функции (см. § 179) всегда имеет и притом только один корень. Этим корнем и яв- ляется loga Ь. Следовательно, loga& в данном случае определен. Покажем теперь, что если 6^0, -то выражение loga& не оп- ределено. Действительно, если бы это выражение имело смысл, то рно давало бы корень уравнения (2); в таком- случае должно было бы выполняться равенство a10go4> = ft. На самом же деле это равенство не выполняется, поскольку левая его часть представляет собой положительное, а правая — отрицательное число или нуль. Итак, выражение logab(a>0, с=/=1) определено для всех положительных значений Ь, но не определено ни для какого отрицательного значения Ь, ни для 6=»0. А это и означает, что областью определения функции у= logox является множество всех положительных чисел. 1-е свойство логарифмической функции доказано. Геометри- ческая интерпретация этого свойства заключается в трм, что график функции i/=logax целиком расположен в правой полу- плоскости, которая соответствует только положительным значе- ниям х (см. рис. 250 и 251). Свойство 2. Областью изменения логарифмической функции служит множество всех чисел. Это означает, что выражение logax при различных значе- ниях х может принимать любые числовые значения. Пусть Ь— произвольное действительное число. Покажем, что существует число х, которое удовлетворяет условию logex = 6. (3) Тем самым и будет доказано свойство 2. 84
Соотношение (3) означает то же самое, что н соотношение аь — х. Число о —положительное. А степень любого положительного числа с произвольным показателем всегда определена. Поэтому выбрав в качестве искомого значения х число оь. мы и удовле- творим условию (3). Свойство 3. При а>1 логарифмическая функция У = 1щах является монотонно возрастающей, а при О < а -< 1 — монотонно убывающей. Пусть а > 1 и х2 > хх. Докажем, что loga *2 > loga *1- Для доказательства предположим противное: logax2< logajq или logax2 = logax1. При а> 1 показательная функция у = а* монотонно возрастает. Поэтому из условия logax2 < logax1 вы- текает, что а'°вахг < Но а1о8а*> = х2, а1ое«»*« = хх. Следо- вательно, х2 < хГ А это противоречит условию, согласно кото- рому х2 > хг. К противоречию приводит и другое предположе- ние: logrfx1= logax2. В этом случае должно было бы быть aio8a xi Qiogo x,t ИЛ1, Х1 = Хг Остается признать, что loga хг > loga xv Тем самым мы доказали, что при о> 1 функция t/= logax яв- ляется монотонно возрастающей. Случай, когда а < 1, предлагаем учащимся рассмотреть самостоятель но. 3-е свойство логарифмической функции допускает простую геометрическую интерпретацию. При о> 1 график функции </== =- logax с ростом х все выше и выше поднимается (см. рис. 250), а при о<1 он с ростом х все ниже и ниже опускается (см. рис. 251). Следствие. Если логарифмы двух чисел по одному и тому же положительному основанию, отличному от 1, равны, то равны и сами эти числа. Другими словами, из условия logax=iogay (о > 0, а^1) вытекает, что Х = у. Действительно, если бы одно из чисел х и у было больше другого, то в силу монотонности логарифмической функции одно из чисел logax и logay было бы больше другого. Но это не так. Следовательно, х«=у. 85
Свойство 4. При х=1 логарифмическая функция y = \ogax принимает значение, равное нулю. Графически это означает, что независимо от а кривая у = = logax пересекается с осью х в точке с абсциссой х=1 (см. рис. 250 и 251). Для доказательства 4-го свойства достаточно заметить, что при любом положительном а а°=1. Поэтому logal=0. Свойство 5. Пусть а>1. Тогда при х>>1 функция у = loga х принимает положительные, а при 0 < х < 1 — отрицательные значения. Если же 0<а<1, то, наоборот, при х>1 функция y = \ogax принимает отрицательные, а при 0<ж<1— положительные значения. Это свойство логарифмической функции также допускает простую графическую интерпретацию. Пусть, например, a> 1. Тогда та часть кривой y=logax, которая соответствует значе- ниям х> 1, располагается выше оси х, а та часть этой кри- вой, которая соответствует значениям 0 <х < 1, находится ниже оси х (см. рис. 250). Аналогично может быть интерпретирован и случай, когда а < 1 (рис. 251). 5-е свойство логарифмической функции является простым следствием 3-го и 4-го свойств. Для определенности рассмотрим случай, когда a> 1. Тогда по 3-му свойству функция y=logex будет монотонно возрастающей. Поэтому если х> 1, то logex> > loga 1. Но по 4-му свойству 1oga 1 = 0. Следовательно, при х > 1 loga* > 0- При х < 1 logax < loga 1, то есть logax < 0. Аналогично может быть рассмотрен и случай, когда а<1. Учащимся предлагается разобрать его самостоятельно. К рассмотренным пяти свойствам логарифмической функции мы без доказательства добавим ещ©- одно свойство, справедли- вость которого наглядно отражается на рисунках 250 и 251. Свойство 6. Если а > 1, то. при х —* 0 значения функ- ции у = \о%ах неограниченно убывают (у—► — со). Если 0<а<1, то при х—>0 значения функции у = \о%ах не- ограниченно возрастают (у —* со). Упражнения 1390. Найти области определения следующих функций: а) у = log2(1 + х); д) у - log, |*|; б) у = logL(*2 + 1); в) у= log10(4-hx2); г) У= logj(-x); е) у= log3(xa4-x — 2); ж) у= log0i5(5x—ха — 6); з) у= 1 oge (*а 4- х + 1). 86
1391. Для каких значений х в интервале 0<х<2л опре- делены выражения: a) log2 (sin х), в) log4(tgx); б) lpg3(cosx); г) log6(ctgx)? 1392. Что вы можете сказать о наибольших и наименьших значениях функций: а) у = log2 г,- б) у = |log2 х|? 1393. На основании какого свойства логарифмической функ- ции можно утверждать, что: a) logI0 5 > logI0 4; б) log0,t 5 < log0tl 4? 1394. Какое число больше: a) log2 5 или log26; в) log j 2 или log । 4; ~з Т б) logs у или logsyi г) Iogj4- или logjjp 7 ° 7 1395. Решить относительно х неравенства: a) log2x> log23; г) logj_ (Зх) < log | 6; 2 2 б) loga х2 > log3 4; д) log10 (х2 - 1) > log10 (4х + 4); в) \oQ2_x^\og^2; е) log01I(l—x2)> log0,j(2х + 2). 3 3 1396. Что можно сказать о числе а, если a) loge 7 > loga 6; в) loga у < loga у; б) loga 5 < loga 4; г) 1 oga 5 > О? 1397. Что можно сказать о числе а, если при любых значе- ниях х loga (х2 + 1)> logex? 1398. Между какими последовательными целыми числами заключены логарифмы: a) log25; б) log8 8; в) log^7; г) log±9? 3 2 1399. Какие из данных чисел являются положительными и какие отрицательными: a) log25; в) logj_5; д) log7l; ж) logj, 4; 2 3 б) log2-|-; г) logjjr; е) logn3; > з) logi4? 87
Логарифм произведения и частного § 183 Теорема I. Логарифм произведения двух положи- тельных чисел равен сумме их логарифмов; точнее, если числа а, х и у положительны и а =£ 1, то bga (ху) = loga х + loga у. (1) Для доказательства этого тождества достаточно убедиться о том, что aloga (40 = flloga х+ logo У, (2) (Если степени одного и того же положительного числа, отлич- ного от 1, равны, то равны и показатели этих степеней.) Справедливость формулы (2) установить очень просто, если вос- пользоваться определением логарифма. Имеем: alogo (*у) = Xyf Qloga * + logay _Qloga *.Qloga у = X‘y. Отсюда вытекает формула (2), а стало быть, и формула (1). Примеры. 1) log315=log3(3-5) = log,34-logs5= l + log35. 2) log10 2 + log105 = logJ0 (2-5) = log10 10 = 1. Если числа x и у отрицательны, то формула (1) теряет смысл. Например, нельзя писать log2 [(-8)-(-4)] = log2(-8)4-log2(-4), поскольку выражения log2( —8) и log2( — 4) вообще не опреде- лены (логарифмическая функция t/=log2x определена лишь для положительных значений аргумента х)._ Теорема 1 справедлива не только для двух, но и для про- извольного числа сомножителей, то есть для любого натураль- ного k и любых положительных чисел х1, х2, ..., хь loga (Х1 • Х2 • Х3 • • • xh) = 'Oga Х1 + 1 Оба Х2 + <Oga *3 + • • + loga xk- Теорема 2. Логарифм частного двух положитель- ных чисел равен разности логарифмов делимого и дели- теля. Другими словами, если числа а, х и у положительны н о 1, то - 10ga (у)в ,0^ bgeJ. (3) Доказательство. Формула (3), очевидно, равносильна следующей формуле: loga f + loga У~ loga х, (4) 88
которая получается из (3), если выражение loga£/ перенести из правой части в левую. Поэтому для доказательства формулы (3) достаточно установить формулу (4). А эта формула легко выво- дится из формулы (1): •oga | + loga у = loga(y • !/) = loga х. Пример ы. О ,о8зт| = logs 25-log816. 2) log., 1 000 - log2 125 = log., = log2 8 = 3. Следствие из теоремы 2. Поскольку logal=0, то loga = loga 1 — loga b = — loga b. Таким образом, logay = — loga&. Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию отличаются друг от друга только знаком. Примеры. Iog3 9 = - log3 -Ь loga = - logb 125 и т. д. Упражнения 1400. Вычислить: 1) loge 2 + log83; 2) log.3 + log2y; 3) log3 7-log3 4) logw40 + logIO25; 5) log100,18— log]0180; 6) logI2 44-log1236; 7) logs 100 — logs 4; 8) loge 4loge 9; 9) log6 ^+loge^; 10) logo,150 logo,10,5, 1401. Зная, что logl02 « 0,3010, log103«0,4771, loglo5^0,6990, найти логарифмы следующих чисел по основанию 10: 6; 15; 201 1. 1402. Найти log102 и logI05, если известно, что произведе- ние этих логарифмов приближенно равно 0,2104. 1403. Найти log2 (tg <р) и log2(ctg<p), если известно, что log2 (sin<р) » 0,1919; log. (cost?) « 0,1157. 8J
1404. При каких значениях х выполняется равенство log3 [(X + 1) (X— 1)] = log3 (* *+!) + Iog3 (х — 1)? 1405. При каких значениях х выполняется равенство logA х»—зЛГ2 = +1) — ,ogj_ (*9—3x 4- 2)? 1406. На сколько loga 100а больше log2 1407. Как нужно изменить число, чтобы его логарифм изме- нил знак на противоположный? Логарифм степени и корня § 184 Теорема 1. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя этой степени на логарифм ее основания. Другими словами, если а и х положительны иа=/=1,тодля любого действительного числа k 10gaX* = ft 10gaX. (1) Для доказательства этой формулы достаточно показать, что aioge ж* = iogu *. • (2) Имеем: а1о&» ак * = (а1о«о *)* = хк. Отсюда вытекает справедливость формулы (2), а стало быть, и (1). Заметим, что если число k является натуральным (Л = п), то формула (1) является частным случаем формулы >oga(x1-x3.... x„)=logax1+logax24-... 4-1с^хл, доказанной еще в предыдущем параграфе. Действительно, пола- гая в этой формуле *i = х2 = ... = х„ = х, получаем: loge-*" = «,°gaJC- Примеры. 1) log325==log3J2^2log35; 2) log32’z’ = /3log32. При отрицательных значениях х формула (1) теряет смысл. Например, нельзя писать log9 (— 4)2 = 2 log2 (—4), поскольку 90
выражение 1og2(—4) не определено. Заметим, что выражение, стоящее в левой части этой формулы, имеет смысл: loga( —4)2-log; 16 = 4. Вообще, если число х отрицательно, то выражение logexa* опре- делено, поскольку х2* > 0. Выражение же logex в этом случае не имеет смысла. Поэтому писать loge хаЛ = 2Л loge х нельзя..Однако можно писать logo х®*=-2Л logo |х|. (3) Эта формула легко получается из (1), если учесть, что . хаЛ = |х|1А. Например, (—3)4 = 4log3|—3| = 4 log3 3 = 4. Теорема 2. Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного выражения, делен- ному на показатель корня. Другими словами, если числа а и х положительны, а =/= I и п — натуральное число, то loga v/X = -i-10gaX. — 1 Действительно, х—хп. Поэтому по теореме 1 ___ _L 1 logo l/x = 10geX" =- 10gaX. Примеры. 1) log3/8=4 log38; 2) logj/27 = lloga27. Упражнения 1408. Как изменится логарифм числа, если, не изменяя осно- вания: а) возвести число в квадрат; б) извлечь из числа квадратный корень? 1409. Как изменится разность log2 а—log2fe, если числа а и b заменить соответственно на: а) а* и Ь3\ б) За и ЗЬ? 1410. Зная, что log10 2 « 0,3010; logln 3 « 0,4771, найти лога- рифмы по основанию 10 чисел: 8; 9; 1'2; j/б; 0,5; -1. 91
1411. Доказать, что логарифмы последовательных членов геометрической прогрессии образуют арифметическую прогрес- сию. 1412. Отличаются ли друг от друга функции у = log3 х2 * * * и у = 2 log3 л? Построить графики этих функций. 1413. Найти ошибку в следующих преобразованиях: Iog2y = log3y; 2 log2 -Ь > log. у; 1о& (у)*> 1о824; /Цг. J_i \ 3 ) > 3 ’ £ £ 9 > 3 ’ Переход от одного основания логарифмов к другому § 185 Иногда оказывается полезным от логарифмов по одному основанию (например, а) перейти к логарифмам по другому основанию (например, с). В этом случае пользуются -следующей формулой: loga& = l^. (1) При этом предполагается, что а, b и с—положительные числа, причем а и с отличны от единицы. Пусть, например, нам известно, что log10 2 « 0,3010; log10 3 ~ & 0,4771. Требуется найти log23. По формуле (I) incf о_logio 3_ 0,4771 , ео Для доказательства формулы (1) воспользуемся основным логарифмическим тождеством д'°Ва Ь — Ь. Если положительные числа равны, то, очевидно, равны и их логарифмы по одному и тому же основанию с. Поэтому 1о&.(а1ог“ь) = logcL Но по теореме о логарифме степени log,. (al0<?° 6 * * *) = loga b- logca. 92
Следовательно, log„b-log, (7= log, b, откуда вытекает формула (1). Если в формуле (1) в качестве с взять Ь, то получим: log & = !£!*?= ’ . Бв logba logba Итак, (*) Примеры. i°g32 2 = .^32=у» 106125 5 = loge ]2g = у. Упражнения 1414. Зная, что log102 а#0,3010 и log10 3 ~ 0,4771, найти: a) loga 2; б) log38; в) 1og3 12; г) log123. 1415. Доказать, что отношения • log»* и log*2 log3 х l°gx 3 не зависят от х. 1416. Доказать неравенства: a) log2 54-log6 2 > 2; б) log г 4 + log4 у <~2- о 3 1417. Изменится ли логарифм числа, если это число и осно- вание логарифма возвести в одну и ту же степень? Логарифмирование и потенцирование 8 186 Если некоторое выражение составлено из положительных чисел посредством умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня, то логарифм всего этого выражения легко выразить через логарифмы входящих в него чисел. Пусть, например, 13* У МО |/ 67-98 Тогда по теореме о логарифме дроби log. х = log. (132 /140) - log. /бГ98. Теорема о логарифме произведения дает: log. (1З2 /Т4б) = log. 134 log. /140, log. /67-98 = log. /67 + log. /98. 93
Теперь, используя теоремы о логарифме степени и корня, получаем: log4 13й = 2 loga 13, loga р/67 = ’ loga 67, loga У140 = у Iog* 140’ log« = Т Iog‘ 98‘ Таким образом, logax = 2 loga 13 + yloga 140——loga 67—у loga98. Переход от выражения к его логарифму называется лога- рифмированием этого выражения. Операция, обратная логарифмированию, называется потен- цированием. Она заключается в том, что по логарифму некото- рого выражения восстанавливается само выражение. Поясним это на следующем примере. Пусть logax = 21oga 10—y 1о^7—3 loga3 + y Iogo 19. X о Прежде всего, используя теоремы о логарифме степени и корня, можно записать: 21oga10=loga102 = loga100, A- loga 7= loga (7)^= loga /7, 3 loga 3 = loga 33 = loga 27, 1 loga 19 = loga (19)^ = loga i/19. О После этого logax можно записать в виде logax= loga 100— — logaP4? — loga 274- loga p/19. Теперь, используя теоремы о логарифме произведения и частного, получим: 10ga Х = (10ga ЮО + 10ga (10ga ¥?+ 10ga 27) - = logd(100-yi9)-loga (1/7-27)- Итак, Но если логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же основанию равны, то равны и сами эти числа. Поэтому 100 100 у/19 х = —. 27 К7 Упражнения Прологарифмировать по основанию 10 следующие выражения (№ 1418—1422): 94
1418. a) x = 3a’; в) x = a2£/ab6; 6) x = 15astsc’; г) x = af/ab2. ,..л \ а+Ь /а—Ь . < /"о* 1419. а) х= г 1/ ——; в) х = V ; ' а—b г а-\-Ь* ' г Ь* ’ «)Г,Л=(К(1)У- 1420. 6>-t-(KS^c,8’’) • 142L а> (тв)‘ »> х~ / /Ь)’- В задачах № 1423—1426 найти х из данных уравнений: 1423. a) loge х = log,, 2 + loge 3; в) loge х = 2 loge 8—4 loge 2; 6) loge№loge2—loge4; г) logax = 3log^2 + 210^2. 1424. a) log3x=y!ogs8; 6) log8 x = у logs 8 + у log8 16; B) l0g,x=2-l^-3_!^. 1426« a) log2x=log2fl+nlog2(a + &) —ylog2(a—fe); 6) log3x = —у log3 a+y [logs&—ylogsa4- 4-41og,(a-&)-|log3(fl + t)] ; в) logs x = —logs (a+ 6) 4-у [21og5a + 41og5fr— —5- (!°ge a—logs b) — logs a] •. o 1 95
1426. a) log„x = |dogusin ф-Ьу logjgip —logacos<jp; 6) log2x= 1 + y logatg-j~у log2 (l+tg2-f-) + + у log2 C0S• Целая и дробная части числа § 187 Целой частью числа а называется наибольшее целое число, не превосходящее а. Целая часть числа а обозначается [а]. Например, [2,3] = 2; [0,165] = 0; [5] = 5. Целая часть числа —4,7 равна —5. Ошибочно было бы считать, что [ —4,7] = — 4.-По определению целая часть числа а не должна превосходить а, но —4>—4,7. Аналогично [-5,79]= -6, [ — 0,142] = -1, [ —л] = [ —3,14...] = -4. Разность между числом а и его целей частью [а] называется дробной частью этого числа и обозначается {а}: {а} = а—[а]. Например, {2,3} = 2,3-2 = 0,3; {0,165} = 0,165 - 0 = 0,165; {—5,79} = —5,79—( — 6) = 0,21; {-0,142}= —0,142 —(— 1) = 0,858. Очевидно, что целая часть числа а может быть любым целым числом: положительным, отрицательным или нулем. Дробная же часть числа а всегда неотрицательна и меньше 1. Любое действительное число а можно представить в виде суммы его целой и дробной частей: а = [а] + {а}. Например, 2,3 = 24-0,3; 0,165 = 04-0,165; — 5,79= -64-0,21; — 0,142= -14-0,858. Упражнения 1427. Данные числа представить в виде суммы их целых и дробных частей: 2,01; л; 5; - 2,37; -6,07; -7; -л. 96
1428. а) Изменится ли дробная часть числа, если к нему прибавить целое число? .6) Изменится ли целая часть числа, если к нему прибавить правильную дробь? Десятичные логарифмы и их свойства § 188 За основание логарифмов часто принимают число 10. Лога- рифмы чисел по основанию 10 называются десятичными. Для обозначения десятичных логарифмов обычно используют знак 1g, а не log; при этом число 10, указывающее основание, не пишут. Например, вместо log10 105 пишут просто: 1g 105; вместо log10 2 пишут 1g 2 и т. д. Десятичным логарифмам присущи все те свойства, которыми обладают логарифмы при основании, большем 1. Например, десятичные логарифмы определены только для положительных чисел. Десятичные логарифмы чисел, больших 1, положительны, а чисел, меньших 1, отрицательны; из двух положительных чи- сел большему соответствует и больший десятичный логарифм и т. д. Но, кроме того, десятичные логарифмы обладают и рядом специфических свойств, которыми и объясняется, почему в качестве основания логарифмов удобно выбирать именно число 10. Прежде чем рассмотреть эти свойства, введем следующее определение. Целая часть десятичного логарифма числа а называется харак- теристикой, а дробная — мантиссой этого логарифма. Характеристика десятичного логарифма числа а обозначается как [Iga], а мантисса—как {Iga}. Известно, например, что 1g 2 «0,3010. Поэтому [1g 2] = 0, {1g 2} «0,3010. Известно* также, что 1g 543,1 « 2,7349. Следовательно, [lg543,l]-2, {1g543,1} «0,7349. х Точно так }ке из равенства lg0,005«—2,3010 заключаем, что [lg0,005] = —3, {1g 0,005} = 0,6990. Теперь перейдем к рассмотрению свойств десятичных лога- рифмов. Свойство 1. Десятичный логарифм целого положи* тельного числа, изображенного единицей с последую- щими нулями, есть целое положительное число, равное количеству нулей в записи этого числа. * В дальнейшем мы научимся находить десятичные логарифмы поло- жительных чисел ио таблицам. 4 Заказ № № 97
Например, lg 1000 = 3, lg 1000 000 = 6. Вообще, если а = 1 000.. .0, то а = 10” и потому lg а = lg Ю" = п 1g 10 = л. Свойство 2. Десятичный логарифм положительной десятичной дроби, изображенной единицей с предшест- вующими нулями, равен —п, где п—число нулей в за- писи этого числа, считая и нулб целых. Например, 1g 0,01=—2, 1g 0,00001 = -5. Вообще, если а= 0,000.. .01, то а=10-я и потому Iga = lg Ю-" = — л lg 10 = —и. Свойство 3. Характеристика десятичного логариф- ма положительного числа, большего 1, равна количёству цифр в целой части этого числа без одной. Примеры. 1) Характеристика логарифма 1g75,631 равна 1. Действительно, 10 < 75,631 < 100. Поэтому 1g 10 < 1g 75,631 < lg 100, или 1 < lg 75,631 <2. Значит, lg 75,631 = l + a, где a —некоторая правильная положительная дробь. Но тогда [1g 75,631]= 1, что и требовалось доказать. 2) Характеристика логарифма 1g 5673,1 равна 3. Действительно, 1000 <5673,1 < 10 000. Поэтому 1g 1000 < 1g 5673,1 < lg 10000, или 3 < lg 5673,1 < 4. Следовательно, [lg 5673,1] =3. Вообще, если целая часть положительного числа а, большего единицы, содержит л цифр, то 10"-1^а < 10". 98
Поэтому или Следовательно, 1g 10"-’ < Iga < 1g 10я, п—1 Iga < п. [Iga] =n—1. Свойство-4. Характеристика десятичного логариф- ма положительной десятичной дроби, меньшей 1, равна — п, где п—число нулей в данной десятичной дроби перед первой значащей цифрой, считая и нуль целых. Примеры. 1) Характеристика логарифма lg0,0015 равна —3. Действительно, 0,001 <0,0015 <0,01. Поэтому 1g 0,001 < 1g 0,0015 <Ig 0,01, или —3 < 1g 0,0015 <—2. Значит, lg0,0015=—З + a, где a—некоторая правильная поло- жительная дробь. Но в таком случае [1g 0,0015] = -3. 2) Характеристика логарифма Ig 0,6 равна —1. Действительно, 0,1 <0,6 < 1. Поэтому 1g 0,1 <lg0,6<lgl, или —1 < 1g 0,6 < 0. Следовательно, lg0,6=-l+a, где a—некоторая правильная положительная дробь. Но в таком случае [lg0,6] = -l. Вообще, если первой значащей цифре правильной десятичной дроби а предшествует п нулей (считая в том числе и нуль це- лых), то 0,000...001 <а< 0,00...01. п п-1 Поэтому 1g0,000.. .001 < Iga < lg0,00.. .01, или —rz<Jga <—(a—I). 4* 99
Следовательно, [lga}= — п. Свойство 5. При умножении числа на Юп десятич- ный логарифм его увеличивается на п. Действительно, по теореме о логарифме произведения lg (a • 10") = 1g а + 1g 10“ = 1g a + n. Например, lg (579,13-100) = lg 579,13 + 2; lg(16-1000) = lg 16 + 3. Перенос запятой в положительной десятичной дроби на п зна- ков вправо равносилен умножению этой дроби на 10". Поэтому при переносе запятой в положительной десятичной дроби на п знаков вправо десятичный логарифм увеличивается на п. Свойство 6. При делении числа на 10п десятичный логарифм уменьшается на п. Например, lgj^= 1g 1,57—3; l8“'^=lg 0.63-2. При переносе запятой в положительной десятичной дроби на п знаков влево десятичный логарифм умень- шается на п. Например, 1g 0,3567 = 1g 35,67 — 2; lg 0,00054 = lg 0,54-3. Учащимся предлагается самостоятельно доказать эти утвер- ждения. Все доказанные до сих пор свойства десятичных логарифмов относились к их характеристике. Теперь обратимся к мантиссе десятичных логарифмов. Свойство 7. Мантисса десятичного логарифма по- ложительного числа не изменяется при умножении этого числа на 10я с любым целым показателем л. Действительно, при любом целом п (как положительном, так и отрицательном) lg(a-10")= Iga+lg 10"= Iga + n. Но дробная часть числа не изменяется при прибавлении к нему целого числа. Перенос запятой в десятичной дроби вправо или влево равно- силен умножению этой дроби на степень числа 10 с целым по- казателем п (положительным или отрицательным). Поэтому при переносе запятой в положительной десятичной дроби влево или вправо мантисса десятичного логарифма этой дроби не изменяется. Например, {1g0,0067} = {1g0,67} = {lg0,0000067}. 100
Упражнения 1429. (Устно.) Найти десятичные логарифмы чисел: 1; 10; 100; 1000; 10000; 0.1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001. 1430. (Устно.) Найти характеристики десятичных логариф- мов чисел: 2,00; 57,38; 632,70; 3402,99; 0,17; О.,99; 0,023; 0,0100; 0,0003. 1431. Известно, что 1g 2 «0,3010, 1g 3« 0,4771. Найдите характеристики и мантиссы следующих логарифмов: a) 1g 6; б) 1g 15; в) 1g 32; г) 1g 30; д) lg^. Таблицы десятичных логарифмов § 189 Для нахождения десятичных логарифмов составлены специ- альные таблицы. По ним, зная число х, можно с той или иной точностью определить 1g х. Мы будем пользоваться „Четырех- значными математическими таблицами*' В. М. Брадиса. Они содержат значения десятичных логарифмов с точностью до 0,0001. В § 188 было показано, что характеристики десятичных ло- гарифмов легко находятся без таблиц. Поэтому в таблицах при- ведены лишь мантиссы логарифмов. Рассмотрим несколько при- меров нахождения логарифмов чисел по таблицам. 1) Логарифмы трехзначных целых чисел Пусть, например, требуется найти 1g456. Характеристика этого логарифма равна 2. В таблице XIII на страницах 65—67 находим число, стоящее на пересечении строки с пометкой 45 и столбца с пометкой 6. Это число 6590.-Оно указывает на то, что мантисса логарифма числа 456 приближенно равна 0,6590. Значит, 1g 456 « 2,6590. Аналогично находим 1g 238 « 2,3766, 1g 850 « 2,9294 и т. д. 2) Логарифмы одно- и двузначных целых чисел Пусть, например, нужно найти 1g 5. Если число умножить на 100, то мантисса его десятичного логарифма не изменится. Поэтому мантисса логарифма однозначного числа 5 равна ман- тиссе трехзначиого числа 500. По таблицам эта мантисса равна 0,6990. Поскольку характеристика логарифма числа.5 равна 0, то lg5« 0,6990. Аналогично найдем 1g3« 0,4771 и т. д. Если нужно найти логарифм числа 13, то для определения его мантиссы достаточно число 13 умножить на 10. Мантисса логарифма числа 130 равна 0,1139. Поскольку характеристика логарифма числа 13 равна 1, то 1g 13 «1,1139. Аналогично найдем 1g 75 « 1,8751, 1g 64 « 1,8062 у т. д. 3) Логарифмы четырехзначных целых чисел Вы, наверное, уже обратили внимание,на то, что в правой части таблицы XIII расположены числа, напоминающие поправки 101
к таблицам тригонометрических функций. Эта часть таблицы содержит поправки на четвертую цифру, что дает возможность вычислять логарифмы четырехзначных чисел. Пусть, например, нужно найти 1g2587. По таблице XIII найдем мантиссу трех- значного числа 258 и прибавим к ней поправку на число 7. В результате мы получим мантиссу логарифма четырехзначного числа 2587. Мантисса lg258 приближенно равна 0,4116, а по- правка на 7 равна 0,0012 (в таблице вместо 0,0012 пишут просто 12). Поэтому мантисса логарифма числа 2587 равна: .0,4116 г 0,0012 0,4128 Учитывая, что характеристика этого логарифма равна 3, Получаем окончательно 1g 2587 « 3,4128. Аналогично, 1g 9625 « 3,9832 1g 7718 ъ 3,8871 -f-0,0002 4-0,0004 3,9834 3,8875 4) Логарифмы целых чисел, содержащих более четырех цифр Если целое число содержит более четырех цифр, то его округляют так, чтобы все цифры, начиная с пятой, были нулями. Если при этом пятая цифра меньше 5, то первые четыре цифры не изменяются. Если же пятая цифра больше или равна 5, то четвертую цифру увеличивают на 1. Например, 573 528 « 573 500, 36289 ^36290, 19998 « 20000, 7425 538 х 7426 000. Логарифмы исходных чисел приближенно равны логарифмам чисел, полученных в результате округления. Мантиссы логарифмов этих чисел легко найти по таблицам. Например, мантисса логарифма числа 573 500 равна мантиссе логарифма числа 5735 (при делении числа на 100 мантисса его десятичного логарифма не изменяется). По таблицам находим эту мантиссу: 0,7586. Учитывая, что 1g573528 имеет характе- ристику 5, получаем: 1g 573 528 « 5,7586. Аналогично получаем: мантисса логарифма числа 36 290 равна мантиссе логарифма числа 3629, то есть 0,5598. Поэтому 1g 36 289 «4,5598. 5) Логарифмы дробных чисел Пусть, например, нужно найти 1g803,24. Характеристика этого логарифма равна 2 (целая часть числа 803,24 содержит 3 цифры). Мантисса этого логарифма равна мантиссе логарифма числа 80324 пли приближенно мантиссе логарифма числа 80 320. Из таблиц находим эту мантиссу: 0,9048. Значит, 1g 803,24 « « 2,9048. Аналогично, характеристика логарифма 0,0053 равна 102
— 3 (дробь 0,0053 перед первой значащей цифрой имеет три нуля, включая нуль целых). Мантисса этого логарифма равна мантиссе логарифма числа 530. Из таблиц находим эту мантиссу: 0,7243. Следовательно, 1g 0,0053» — 3 + 0,7243 = —2,2757. Упражнения 1432. Используя таблицы В. М. Брадиса, найти десятич- ные логарифмы- следующих чисел: 257; 301; 25; 99; 2; 3; 3796; 9999; 10 325; 267398; 37990653; 263,56; 35,074; 2,9345; 0,002863; 0,000056. 1433. Используя таблицы В. М. Брадиса, вычислить: log35; Ioge 17; logo.oj 0,004. Таблицы антилогарифмов § 190 По таблице XIII можно находить не только логарифмы чисел, но и числа по их логарифмам. Однако еще проще эта задача решается с помощью таблицы XIV (см. таблицы В. М. Бра- диса, стр. 68 — 70). Рассмотрим несколько примеров. 1) Найти число, логарифм которого равен 2,345. Не обращая внимания на характеристику 2 этого логарифма, найдем число, мантисса логарифма которого равна0,345.Для этого в таблице XIV отыскиваем строку с пометкой 34 и столбец с пометкой 5. На их пересечении стоит число 2213. Это и есть (приближенно) значащая часть искомого числа. Поскольку характеристика логарифма равна 2, то целая часть искомого числа содержит три цифры. Значит, искомое число приближенно равно 221,3. 2) Решить уравнение lgx = 0,7823. В таблице XIV отыски- ваем число, стоящее на пересечении строки с пометкой 78 и столбца с пометкой 2. Им оказывается число 6053. К нему при- бавляем поправку на 3, равную 4. В результате получаем 6057. Это и есть значащая часть числа. Поскольку характеристика логарифма числа х равна 0, целая часть числа х содержит одну цифру. Поэтому х» 6,057. 3) Найти число, логарифм которого равен —3,0576. Прежде всего найдем характеристику и мантиссу этого логарифма: — 3,0576= —4 + 0,9424. Следовательно характеристика равна — 4, а мантисса 0,9424. Такой логарифм принято записывать в виде 4,9424. Черта над цифрой 4 указывает, что характери- стика логарифма равна —4, а не 4. Теперь, не обращая вни- мания на характеристику 4, найдем число, соответствующее мантиссе 0,9424. Это число 8758. Поскольку характеристика лога- рифма искомого числа равна —4, то это искомое число запи- сывается в виде десятичной дроби с четырьмя нулями перед первой значащей цифрой: 0,0008758. 103
Упражнение 1434. Пользуясь таблицей антилогарифмов, решить следую- щие уравнения: a) lgxr = 0,3625; г) lgx= — 2,5440; б) 1g х — 4,0002; д) 1g х = —3,0257; в) 1g л = -0,3928; е) 1g х = - 1,9994. Таблицы десятичных логарифмов тригонометрических функции §191 Логарифмы синусов малых углов (от 0° до 14°) приведены В. М. Брадисом в таблице XV на страницах 71 — 72. Напри- мер, чтобы найти lgsin8°47', отыскиваем в этой таблице строку с левой пометкой 8°40' и столбец с верхней пометкой 7'. На их пересечении стоит число 1,1838 (характеристика 1 указана выше на пересечении строки с пометкой 8°00' и столбца с пометкой О'). Значит, lgsin8°47'« 1,1838 (или — 1+0,1838=—0,8162). По таблице XV можно находить и логарифмы косинусов углов от 76° до 90°. Пусть, например, нужно найти lgcos77°34'; на пересечении строки с правой пометкой 77°30' и столбца с нижней пометкой 4' стоит число 1,3331. Значит, lgcos77°34'«? 1,3331 (или -0,6669).. Для нахождения логарифмов синусов углов от 14° до 90°, а также косинусов углов от 0° до 76° нужно пользоваться табли- цей XVI, приведенной В. М. Брадисом на страницах 73 — 74. Здесь углы чередуются через каждые 6'. Поэтому иногда прихо- дится учитывать поправки. Правило учета поправок таково: если данный угол больше угла, приведенного в таблице, то поправка прибавляется для синуса и отнимается для косинуса; если же данный угол меньше угла, приведен- ного в таблице, то, наоборот, поправка прибавляется для косинуса и отнимается для синуса. Примеры. 1) Найти lgsin43°36'. В таблице XVI на пересечении строки с левой пометкой 43° и_верхней пометкой 36' стоит число 1,8386. Значит, lg sin 43°36' ~ 1,8386 (или —0,1614). 2) Найти lgsin65°32'. На пересечении строки с левой помет- кой 65° и верхней пометкой 30' (стр. 74) стоит число 1,9590. К этому числу нужно прибавить 1 — поправку на 2'. В резуль- тате получим: lgsin65°32'«s 1,9591 (или —0,0409). 3) Найти lgcosll°54'. На пересечении строки с правой по- меткой 11° и нижней пометкой 54' стоит число 1,9906, Поэтому lgcosll°54'» 1,9906 (или -0,0094). 104
4) Найт» lgcos51°20'. Сначала находим lgcos51°18', а затем отнимаем от него поправку на 2'; lgcos51°18'« 1,7960; поправка на 2' равна 3. Поэтому lg cos 51 °20' ~ 1,7957 (или —0,2043). Логарифмы тангенсов углов от 0° до 14° (а также котанген- сов углов от 76° до 90°) приведены в таблице XVII на страни- цах 75 — 76. Логарифмы тангенсов и котангенсов углов от 14° до 76° находятся по таблице XVIII (стр. 77 — 78). Логарифмы тан- генсов углов от 76° до 90°, а также котангенсов углов от 0е до 14° содержатся в' таблице XIX (стр. 79—80). Устройство этих трех таблиц вполне аналогично устройству описанных выше таблиц XV и XVI. Поэтому подробно на них мы останавли- ваться не будем. Отметим только, что поправки учитываются для логарифмов тангенсов углов также, как и для логарифмов синусов углов, а для логарифмов котангенсов углов —так же, как и для логарифмов косинусов углов. Упражнения 1435. Пользуясь таблицами логарифмов тригонометрических функций, найти десятичные логарифмы следующих величин: a) sin 12°17'; sin3°29'; cos77°47'; cos88°19'; б) sin48°38'; sin60°46'; sin85°57'; cos4°34'; cos49°52'; cos74°33'; в) tg3°49'; tg 13°23'; ctg80°29'; ctg89°35'; r) tg45°38'; tg67°I0'; tg74°39'; ctg31°2'; ctg56°46'; ctg71°27'; д) tg83o39'; tg89°29'; ctg0°17'; ctg9°36'. 1436. Дать обоснование правила учета поправок при нахож- дении по таблицам логарифмов тригонометрических функций. Действия над логарифмами § 192 Сложение логарифмов в особом пояснении не нуждается. Поэтому мы ограничимся лишь приведением двух примеров: 3,0607 4,0380 4-1,8701 4-5,9927 3,0056 2,0449 1,9364 6,0756 Вычитание логарифмов целесообразно сводить к сложению. Для этого логарифмы, перед которыми стоит знак —, преобра- зуют так, чтобы этот знак сменился на знак 4"« Например, — 7,5604 =-84- 0,43968,4396; - 5,2967 = 5 - 0,2967 = 4,7031 105
Так, выражение 2,0073 — 7,5604 — 5,2967 преобразуется в сумму: 2,0073 + £,4396 4,7033 5,1502 Умножение логарифма на число. Сначала умножаем на число характеристику, а затем мантиссу логарифма и получен- ные результаты складываем. Например, 5,6315-4= -20 + 2,5260= 18,5260; 2,0501 -|-« -3 + 0,0751 =3,0751; 3,7500- (- 0,5) = 1,5 - 0,3750 = 1,1250. Деление логарифма на число. Если характеристика логарифма неотрицательна, то деление его на число производится обыч- ным способом. Например, 8,024:4 = 2,006. Если же характери- стика отрицательна, то возможны два случая. 1) Отрицательная характеристика делится на делитель без остатка. В этом случае характеристику и мантиссу делим на делитель отдельно. Например, . 15,6305:5 = 3,1261. 2) Отрицательная характеристика не делится на делитель без остатка. Тогда прибавляем к ней столько отрицательных единиц, чтобы полученное число делилось на делитель без ос- татка; к мантиссе прибавляем столько же положительных еди- ниц. Например, 2,5608:4 = ( — 4+ 2,5608) :4= 1,6402. Мы рассмотрели случаи, когда делитель есть целое число. Если это не так, то предварительно логарифмы нужно пред- ставить в обычном виде. Например, 4,7102:2,3546= -3,2898:2,3546 « -1,3971 = 2,6029. Деление логарифма на отрицательное число сводится к де- лению на положительное число. Например, 3,6409: (- 4)« - (3,6409: 4)« - (1,4102) = 1 - 0,4102 = 0,5898. Упражнения 1437. Выполнить указанные действия над логарифмами! а) 1,4792+1,5706+3,0056; б) 5,0032 + 2,7368 + 3,9263; в) 0,9329—1,2605 — 5,0060; 106
г) 2,4645 — 4,3839 + 6,0092 — 5,3973; д) 1,2396-0,5974-2,9328. Вычислить с точностью до 0,0001 («№ 1438, 1439): 1438. а) 2,0296-0,36; г) 1,0256-( б) 3,1728-5; д) 4,4437-(-0,2). в) 7,2894-9,8; 1439. а) 2,6302:7; б) 3,0280:-|-; в) 5,2709:(--у). Примеры вычисления с помощью таблиц логарифмов 8 198 ---л Пример 1. Пусть нужно вычислить 0,475« ?/sin* 2 38°22' Х =-------с , —. tg85°13' у239.3 Логарифмируя это выражение, получаем: 1g х = 21g 0,475 + -Jig sin 38°22' - lg tg 85° 13' - 41g 239,3. По таблицам логарифмов находим: lg 0,475 » 1,6767; lg sin 38°22' » 1,7929; lg 239,3 « 2,3790; lg tg 85°13' » 1,0774. Поэтому 2 lg 0,475 » 2+ 1,3534 = 1,3534; --^-Ig 239,3» — 0,4758= 1,5242; -|-lg sin 38°22' » e Ц858 _ ! 86l9. - Igtg 85° 13' » - 1,0774 = 2,9226. Следовательно, i,3534 1,5242 1,8619 2,9226 Igx » 3,6621. Итак, Igx» 3,6621. Отсюда, используя таблицу антилога- рифмов, получаем: х л 0,004593. 107
Пример 2. Вычислить 35 — /30. Сплошное логарифмирование здесь невозможно, поскольку под знаком корня 5-й степени стоит разность. В подобных случаях вычисления ведут по частям: сначала находят /35, потом /30, затем их разность и, наконец, корень 5-й степени из этой разности. 1g /35 = 1 1g 35 » у • 1,5441 ж 0,3860, /35 л 2,432, 1g/30 = | 1g 30 «1- 1,4771 «0,2462, • /30^ 1,763, /35—/30 « 2,432- 1,763 = 0,669, 1g]/ /35 —/30 » lg/0^669 = 1 lg 0,669 « 4 • Г,8254 « »1,9651, |/ /35-/30 « 0,9228. Упражнения Вычислить с помощью таблиц логарифмов (№ 1440—1446): 12.483 J/5J6 1440. ___Г------. /673,8-1,842 У sin 32°14'-26,73| 1443. ---------- /13,65-cig 29° 18' 144L Л2,591« /0,0836 . 1444. cos 75*28'-/о,5 . у 1,147* / tg» 70° 16'-siu 4 ’ 3,89“* У— 0,1536 з /с s/п , 5/о—Z~5Z=- 1442. -----оды*-----* 1445. ]/5 И 2+И 3““2У5- 1446. ]//cos 16°32'+ ]/t/|. 1447. Найти площадь треугольника со сторонами 67,28см, 36,54 см и 59,02 см. 1448. Найти площадь треугольника со сторонами 238,4 см и 79,3 см, если угол между этими сторонами равен 37°23'. Натуральные логарифмы § 194 Десятичные логарифмы для наших потребностей являются весьма удобными. Однако при изучении высшей математики более удобными сказываются логарифмы по основанию е = 2,718281828... (см. § 134, ч. I). Упо- 108
требленне этих логарифмов позволяет значительно упростить большое количество математических формул. Логарифмы по основанию е получают- ся при решении многих физических задач и естественным образом вхо- дят в математическое описание некоторых химических, биологических и других процессов. Этим и объясняется их название «натуральные лога- рифмы». Натуральный логарифм числа а обозначается 1па. Сейчас имеются достаточно полные таблицы натуральных логарифмов. Обоснование действий на логарифмической линейке § 195 Известные нам свойства логарифмов позволяют довольно просто обосновать правила действий, выполняемых с помощью логарифмической линейки. В этом параграфе мы рассмотрим Два простейших действия — умножение и деление. Предварительно покажем, как с помощью двух простых линеек можно произво- дить сложение и вычитание чисел. Каждую из двух одинаковых по длине линеек АВ и CD разобьем на 20 равных частей и отметим эти части на ли- нейке АВ у верхнего края, а на линейке CD у нижнего края (рис. 254). Пусть к числу 11 нужно прибавить число 5. Отметку 0 на линейке CD установим над отметкой 11 линейки Л В (рис. 255). Тогда под отметкой 5 на шкале CD будет находиться отметка 16 на шкале АВ. Эта отметка и показывает сумму чисел И и 5. Теперь предположим, что от 18 нужно отнять 6. Над отметкой 18 на шкале АВ установим отметку 6 на шкале CD (рис. 256). --------1-------1" — I---------- 0 5 1Ь 15 20 А В с 5 0 5 10 15 20 ___________1 -----------1......... Рис. 254. С D 0 5 Ю 15 20 “I-------ГТ-------г4--------Н---------1--------- 5 1011 1516 20 А В Рис. 255. 109
C D О 5 6 10 15 20 11 I I I I I I I I I I"< "Г I I | I I I г 1 1 123456789 1011121314151617181920 A В Рис. 256. Тогда под отметкой 0 на шкале CD будет находиться от- метка 12 на шкале АВ. Эта отметка и показывает разность чисел 18 и 6. На этом простом принципе основано устройство логарифми- ческой линейки. Только здесь отметки изображают не числа, а их логарифмы. Как известно, сумма логарифмов двух положи- тельных чисел равна логарифму их произведения: Ig а 4- 1g 6 = lg (ab), а разность логарифмов двух положительных чисел—логарифму их частного: Iga-lg6 = Igf . Поэтому если на линейках отмечать не сами числа, а их логарифмы, то с помощью двух таких линеек (или шкал) можно будет легко производить умножение и деление чисел. Примем длину линейки за единицу. Цифрой 1 отметим на ней точку, соответствующую числу 1g 1 = 0; цифрой 2—точку, соответствующую числу 1g 2» 0,3010; цифрой 3—точку, соот- ветствующую числу 1g 3« 0,4771, пт. д. (рис. 257). Правая крайняя точка будет при этом отмечена числом 10, что соответ- ствует числу 1g 10=1. В результате мы получим шкалу, кото- рая называется логарифмической шкалой. С помощью двух таких шкал можно производить умножение и деление чисел. Пусть, например, нужно умножить 2 на 4. Отметку 1 на шкале CD устанавливаем над отметкой 2 на шкале АВ (рис. 258). Под отметкЬй 4 на шкале CD читаем отметку 8 на шкале АВ. Эта отметка и показывает произведение чисел 2 и 4. ___________2 3 4 5 6 7 8 910 I 1 I 1 I I—I—1~ Рис. 257. НО
Рис. 258. D 2 В - п---Г ' ' -I---1----1--Г~Г I I /.9 a S' 4 В 6 7 8 9 А ----------------------18 Рис. 259. Аналогично производится деление. Пусть 9 нужно разделить на 6. Отметку 6 на шкале CD устанавливаем над отметкой 9 на шкале АВ (рис. 259). Под отметкой 1 на шкале CD стоит 9 отметка 1,5 на шкале АВ. Эта отметка и дает отношение . О Основные способы решения показательных уравнений § 196 Показательными уравнениями называются уравнения, со- держащие неизвестную величину в показателе степени. К таким относятся, например, уравнения 3*=2*-1; 5*"-в— 1=0 и другие. Показательные уравнения, так же как и тригонометриче- ские, в отличие от алгебраических (например, линейных, квад- ратных), относятся к трансцендентным уравнениям. Простейшим показательным уравнением является уравнение ах = Ъ, (1) где а и Ь — данные положительные числа (а #= 1), а х—неизвест- ная величина. Такое уравнение имеет единственный корень х— = loga6. Более сложные показательные уравнения часто сводятся либо к алгебраическим уравнениям, либо к уравнению вида (1). Рассмотрим основные способы решения показательных урав- нений на частных примерах. 1. Решить уравнение , 5^-в = 51»-«*. 111
Решение подобных уравнений основано на следующем свой- стве степеней: если две степени одного и того же положитель- ного числа, отличного от 1, равны, то равны и их показатели. В данном случае это свойство степеней дает: х—6 = 15—2х, откуда х = 7. Проверка. При х = 7 5х-6 = 5, 5*8-а* = 5. Значит, л= 7 —корень данного уравнения. Отв ет. х = 7. Аналогично решается уравнение Действительно, 49* = (72)* = 7ах; (у)*1 = (7-*)*1 = 7"*а. Поэтому 7аж = 7-*1, откуда 2х=.—х2, или х1 = 0, х2=—2. Проверка по- казывает, что оба эти значения х удовлетворяют данному уравнению. Ответ. хг = 0; х3 =— 2. По этому же принципу можно решать и показательное урав- нение ах=Ь, если b есть целая степень числа а. Например, если 3* = 27, то, представив 27 в виде 27 = 3s. получаем 8*=33, откуда х = 3. 11. Иногда путем введения новой неизвестной величины показательное уравнение сводится к алгебраическому уравнению. Пусть, например, нужно решить уравнение 4*4-2* —6 = 0. Обозначим 2* через у. Тогда 4* = (22)* = 2а* — (2*)2 — у2. Поэтому данное уравнение сводится к квадратному уравнению y2-j-y —6 = 0, из которого получаем: у1 = 2, у3~-— 3. Но у = 2*. Значит, если только данное уравнение имеет корни, то они должны удовле- творять либо уравнению 2* — 2, либо уравнению 2* = — 3. Первое из этих уравнений имеет корень х=1; второе же уравнение корней, не имеет, поскольку выражение 2х не может принимать отрицательных значений. Итак, мы получили: х=1. Проверка. При х= 1 4*4-2* —6 = 4*4-21 —6 = 0. Следовательно, х=1 —корень данного уравнения. Ответ, х — 1. III. Решить уравнение 2* —3*. 112
Разделив обе части данного уравнения на 3х (такое деление возможно, поскольку при любом х Зх>0), получим: (4) =1. — / 2 \ о Но 1 = 1=1 » поэтому х=0. Проверка показывает, что это действительно корень данного уравнения. Ответ. х = 0. Аналогично решается уравнение 5а*=7ЭЛ:. Действительно, 5** = (52)* — 25х; 7ах=(73)х = 343х. Поэтому данное уравнение можно переписать в виде 25х = 343*. Отсюда, так же как н в предыдущем случае, получаем: л = 0. Упражнения Решить уравнения (№ 1449—1454): 1449. а) 5х =125; д) 2Х+3 = 32; з) /3*=^$ б) 4х = 64; е)8х=16; и)/Г=/343; в) Зх = 1; ж) 9"х = 27; к) /2"х./З7 = 36. г) 25’—р, 1450. а) (у)Х=(у)1; г) 2х’-•*-«•» = 16/2; б) (4)* = (4)б; Д) а(х-а) (х-э)= 1 (а > 0); в) (1)*'(4)Х = Й; е) 52,51’5в 5а* = 0,04-28. 1451. а) Зх + Зг+1= 108; г) 3r-14-3r-a + 3v-3 = 13; б) 7х - 1Х~1 = 6; д) 7¥+а + 4 • 7Х~1 = 347; в) 5*+1 — 5*-» = 24, е) 5t+1 + З-б*"1 — 6-5х 4-10 = 0. 1452. a) 26-x = 23JC-3; е) (0,25)а"х=2^-; б) (Зух- = ж) /27^ = ^9-^Г в) 3) (ОО); г) 2х-5х=0,1 (10х-1)5; II) 4J/xT> = 64-2Кх+>; = у /(0,5)а-«; 1453. а) 5ах — 5х — 600 = 0; г) Зх + 9х"1-810 = 0; б) 9х—Зх-6=0; д) ЗаГГ-4-3’,‘ 4-3 = 0; в) 4х4-2х+1 = 80; «) 4 + 3^ = 3A; 113
1455. 1456. 1457. ж) (3.y+i + (|y-*el,2| 3)9*4-6* = 4*. 1454. а) 11*=17*; г) 5а* — 7* — 5»*-174-7*-17 = 0; «)9’-(^)В: Д) 3.2«-2.3«; в) 13*= 19-4*; е) 7-2* = 5-3*; ж) а* х = ЬХ (а > 0, b > 0). Решить системы уравнений: Г3.2*4-2-3>' = У-> J 5* —5^=100, 2Х-ЗУ = —-. ,458’ I 5*-14-5J'-1=20. к 2*.3'=648, Г *"/49 = "-/343, 3*-2^ = 432. ,45У* ^Зу = 9«'-*'. ' 2*4-3' = 8|, 2Х^ = ~ . У Основные способы решения логарифмических уравнений § 197 Логарифмическими уравнениями называются уравнения, содер- жащие неизвестные величины под знаком логарифма. К таким относятся, например, уравнения log2x=5, logx(x—1) = 0 и т. д. Так же как и показательные, логарифмические уравне- ния являются трансцендентными. Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение logex = fe, (1) где а и Ь — данные числа, а х— неизвестная величина. Если а— положительное и не равное единице число, то такое уравнение имеет единственный' корень х = аь. Решение более сложных логарифмических уравнений, как пра- вило, сводится либо к решению алгебраических уравнений, либо к решению уравнений вида (1). Поясним это на некоторых частных примерах. I. Решить уравнение logx(x2—Зх + 6) = 2. По определению логарифма из этого уравнения следует, что л2 = х2 — Зл 4- 6, отк уда х = 2. 114
Проверка. При х = 2 log, (х2 — Зх 4- 6) = log2 (4 -6+6) = log, 4 = 2. Значит, х= 2—корень данного уравнения. Ответ, х=2. II. Решить уравнение 1g (х2- 17) = 1g (л 4-3). Решение подобных уравнений основано на следующем свой* стве логарифмов: если логарифмы двух чисел по одному и тому же основанию равны, то равны и сами эти числа. Из этого свойства логарифмов вытекает, что если только данное уравнение имеет корни, то они должны удовлетворять уравнению №-17 = х4-3, откуда хх = 5, х2 = — 4. Проверка. При х = 5 1g (х2- 17) = 1g 8; Ig(x4-3) = lg8. Значит, х = 5 —корень данного уравнения. При х =—4 левая и правая части данного уравнения не определены, поскольку х2— 17= —1 <0 и х4-3 = — I <0. Следовательно, х= —4 не есть корень этого уравнения. Ответ. х = 5. Рассмотрим еще одно уравнение 2 lg(x—I) =-^ Igx5 —1g (Лх. (2) Выполним следующие преобразования: 21g(x—I) = lg(x—I)2, — — — "г" у 1g X5— lg]/x = lgxa — 1g X 2 =lg^- = lgx2. z^ Таким образом, исходя из уравнения (2), мы пришли к урав- нению lg(x-I)2 = lgx2. (3) Из него вытекает, что (х—1)2 = х2, или х = у. Но прих = -|- левая часть уравнения (2) не определена (х— 1 = — у<о) J следовательно, данное уравнение не имеет корней. Заметим, однако, что для уравнения (3) число является корнем. Таким образом, уравнения (2) и {3) не эквивалентны друг другу. Это лишний раз говорит о том, что при решении 115
логарифмических уравнений необходимо делать проверку получен» ных значений. Среди них часто оказываются „посторонние** корни. III. Некоторые логарифмические уравнения сводится к алге- браическим уравнениям посредством введения новой неизвест- ной величины. Если, например, в уравнении log’ х—3 log8 х— 10 = О Jog3x обозначить через у, то оно сведется к квадратному урав- нению у2—Зу—10 = 0, откуда уг = —2, уг = Ъ. Вспоминая, что у = log3 х, получаем: если logaх — — 2, то х = -^-; если же log3 х = б, то х = 243. Проверкой легко установить, что оба эти значения х удов- летворяют данному уравнению. Ответ. Хд = ; х2 = 243. IV. Некоторые уравнения решаются путем почленного лога- рифмирования. Пусть, например, дано уравнение xig*-i = 100. Прологарифмируем это уравнение почленно! lg (x’e*-i) = lgl00, (Igx- l)lgx = 2. Обозначая Igx буквой у, мы приходим к квадратному уравне- нию у2 — у — 2 = 0, имеющему корни ух=—\, уг = %. Вспоминая, что f/ = lgx, полу- чаем: либо 1g х = — 1, и тогда х = 0,1; либо 1g х = 2, и тогда х = 100. Проверка. При х = 0,1 x,ex-1 = O,l-1~1 = O,t_-2 = Q^= 100) следовательно, х = 0,1—корень данного уравнения. При х= 100 xiex-i= 1002-!= 100, так что х= 100—также корень уравнения. Ответ. Хд = 0,1; х3= 100. V. При решении оказывается полезным основания логарифмов некоторых логарифмических уравнений использовать формулу перехода от одного к другому: Ofce^ loge а * 116
Решим, например, уравнение log2x + log3x= I. Для этого от логарифмов по основаниям 2 и 3 перейдем к логарифмам по основанию 10: log2 х = ]^2 1 х = 1^з • Тогда данное уравнение примет вид: 1g х 1g х _ . откуда ь Je2jg3_ _ ig 2-1g з g Ig2 + lg3“ lg6 • Поэтому lga-lg3 Iga Ig3 x = 10 fc® = (10lg2)’cc =2’6®. При необходимости это значение х можно определить с помощью таблиц логарифмов. Проверка. При найденном значении х log V== _L. Ig (1 опИР \ = _L. ilLli3=Ш 1g 2 1g 2 ,g\ j lg 2 lg6 lg6* Аналогично, 1 4 lg 2 10бзХ=1Гб- Поэтому Vil^ - !g3 , lg 2_ Ig3+lg2 Tg 6 . . . log2x-Moe3x lg6+ig6 ig 6 'ig6 Значит, найденное значение, x является корнем данного уравнения. Ig3 Ответ. х — 2^е. Рассмотрим еще одно уравнение: log3x+logx2 = 2. Поскольку l08-2-toh’ то, обозначая logax через у, получаем: 117
откуда y—L Следовательно, log2х=1 и х = 2. Проверка пока- зывает, что х = 2 есть корень данного уравнения. Ответ. х=2. Упражнения Решить данные уравнения 1460. а) б) в) (№ 1460-1465): ig(ig*) = O; log2 [log3(log4x)] = 0; logx_1(x2-5x + 7)= 1; logx2—logx3 = 4; 1461. Д) e> I IK) lgx=3 — lg 5; lg* o. — Ig2 1001g (*+so) — io 000. 1462. a) Igx=lg2; 6) lgx=—lg2; в) log, (x — 1) = log2 (x2 — x—16); r) 21g/x= lg (15 — 2x); д) 2lgx= — lg(6 — x2); . 2 Igx . e) ]g(5x —4) “ Ж) 2 log3 X = 1 10g3 у . a) lg(0,5 + x) = lg2— Igx; 6) 0,5 lg(2x — 1) = 1 — lg Kx^9; в) 1463» а) б) lg(x + 6)-2 = llg(2x-3)-lg25. T2lg‘x = "3 —TIgx’ 1 2 = . 5—Igx '14-Igx * j 4 _ 3. 5-41g(x+l) 1 +lg(x+l) °’ 1464. в) г) 0,1 lg4x— lg2x + 0,9 = 0 а) Xх = x; в) б) = 125; 1465. a) logex+ Iogx.3- 1; 6) log2 x- log8 x = loga 3; в) iog3x-|- log5x = log315; Решить системы уравнении иве. •!!6х,+2,'еГ„_3' I Igx3 — lgr/2 = 9. . (x4-t/ = 34, 1467, S. , . p I log2 Л:+ loga У = 6. 53k* = 12,5x; Д) x= 10i~o-«e’e*; ^igx+2 100O; e) 0,lx‘8*-2 = 1Q0. r) log5x+logx5 = 2,5; Д) 1°£>зх 3 = (log3 3x)2; e) logie*+ log.ix+ log2x = 7. (№ 1466- 1469): Ufifi p*-36y = 0, ,468- 16’-250-0. 1469 И-40' 1 - lx's^-4. 118
Примеры графического решения показательных и логарифмических уравнений § 198 Пример 1. Решить уравнение 2х = 2х. На одном и том же чертеже (рис. 260) построим графики двух функций: у=?2х и у = 2х. Эти графики пересекаются в двух точках: А с абсциссой 1 и В с абсциссой 2. Поэтому данное уравнение имеет два корня: х=1их=2. Пример 2. Решить уравнение lgx = x. Графики функций y = lgx и у = х(рис. 261) не пересекаются друг с другом. Поэтому данное уравнение не имеет корней. Мы рассмотрели простейшие примеры. Уравнения, которые получаются при решении практических задач, обычно значи- тельно отличаются от таких „учебных1* задач. Для их решения наряду с графической иллюстрацией приходится обращаться и к таблицам. Рассмотрим, например, такое уравнение. logs* = l. Графики функций t/ = log2x и у = у(рнс. 262) пересекаются в одной точке, абсцисса которой заключена между 1 и 2. Поэтому данное уравнение имеет один меньше 2: I < х0 < 2. Возьмем точку х=1,5, яв- ляющуюся средней точкой интервала (1,2). В этой точке 1 1 3 log2x=loga-2 = -log,3-log,2-^|-l. Используя таблицы В. М. Брадиса, находим, что log, 4 « 0,58. При х= 1,5 4 ~ 0,66. По- скольку в точке х= 1,5 log,x<l , корень х0, который больше 1, но Рис. 260. 119
искомый корень х0 должен быть больше, чем 1,5 (см. рис. 262). Теперь мы уверены, что 1,5 < х0 < 2. „Испробуем" точку х=1,7 как одну из ближайших передней точке интервала (1,5; 2,0). При х=1,7 получаем, используя таблицы В. М. Брадиса, 1O^X=VF«0’76’ 120
Поскольку log2 1,7 > искомый корень х0 должен быть меньше, чем 1,7 (см. рис. 262). Следовательно, 1,5 < х0 < 1,7. Поэтому с точностью до 0,1 х0 « 1,6. Рассматривая точки интервала (1,5; 1,7), мы могли бы получить и более точное значение корня х0. Попробуйте, например, са- мостоятельно получить приближенное значение х0 с точностью до 0,01. Упражнения 1470. Решить графически уравнения: а) 2* = х-J- 2; в) 2* = х2; д) log2 х = ; б) 3* = 3х; г) log2х-= х—1; е) log2(x-f-3) = 3 —х. 1471. Найти корень уравнения 2* = 2-х с точностью до 0,1. 1472. Найти наименьший корень уравнения log3 х = у X с точностью до 0,01. Показательные и логарифмические неравенства § 199 Решение показательных и логарифмических неравенств основано на том, что функции у=ах и y=logax при а > 1 являются монотонно возрастающими, а при 0 < а < 1—монотонно убывающими. Рассмотрим несколько примеров. 1) Решить неравенство 2* >4. Перепишем данное неравенство, представив 4 в виде 23i 2* > 22. Функция у = 2* является монотонно возрастающей. Поэтому большему значению этой функции соответствует большее значение аргумента. Следо- вательно, х > 2. 2) Решить неравенство Перепишем данное неравенство, представив — в виде 3-а: 3**-зх > 121
Отсюда ха—Зх>—2, или х1—Зх-]-2>0. Это неравенство выполняется при х < 1, а также при х > 2 Хч. I, § 61). 3) Решить неравенство log^Jx —1) > —2. Представив —2 как log 25, перепишем данное неравенство в виде Т log ! (Л —1) > log^25. Т Т Функция у=log t х является монотонно убывающей. Поэтому большему 5 значению этой функции соответствует меньшее значение аргумента. Следо- вательно, х—1 < 25. К этому неравенству необходимо добавить еще нера- венство х— 1 > 0, выражающее тот факт, что под знаком логарифма может на- ходиться только положительная величина. Таким образом, данное неравен- ство эквивалентно системе двух линейных неравенств (х—1 <25, |х— 1 > О, из которой получаем: 1 < х < 26. Важно отмстить, что если бы мы „забыли" учесть условие х—1 >0, то пришли бы к неверному выводу: х < 26. В частности, в это решение входило бы и значение х=0, при котором левая часть исходного неравенства не имеет смысла. Упражнения 1473. Решить неравенства! 1 / 1 \х*-* 1 а) 3х >-~; в) 3х > 2; д)(±) <-^. 1474. Решить неравенства: a) lg (х+1) > 1g (5—х); б) log । (х—7) > 4; в) log^(2x—6) < log^x. ~г Ч- 7 1475. Данные неравенства решить графически! а) 2х < 2х; б) log3x>x—1. Из истории открытия логарифмов § 200 Основная идея введения логарифмов основывается на формуле ат.ап = ат+п (1) и состоит в том, что умножение можно свести к более простому действию— сложению. С идеей этой были знакомы еще математики древности. Общая формулировка, эквивалентная правилу умножения (1), дана, например, в девятой книге знаменитых „Начал" Евклида. Однако о логарифмах в древние времена не могло быть и речи. Тогда еще ие рассматривались степени с дробными и отрицательными показателями, да и сами отрица- 122
тельные числа многим математикам не были известны. Впервые дробные показатели использовал, по-видимому, французский математик Орезм (вторая половина XIV века). Но идеи Ореэма слишком опередили матема- тику того времени, и трактат его был вскоре забыт. Нулевой и отрица- тельный показатели появились в работе французского математика Ш ю к е (XV век). Введение в математику степеней с произвольными действительными показателями подготовило почву для рассмотрения логарифмов. Первые логарифмические таблицы были составлены независимо друг от Труга шотландцем Непером (1550—1617) и швейцарцем Бюрги (1552— 632). Характерно следующее высказывание Непера, которое он приводит в предисловии к своим таблицам: „Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, отделаться от трудности и скуки вычислений, до- кучность которых обыкновенно отпугивает многих от изучения математики". Таблицы Непера были в некоторых отношениях более совершенными, чем таблицы Бюрги. Однако и они были неудобны для вычислений. Не* перовские логарифмы (Nep log х) определялись (в наших обозначениях) таким образом: 10’ Nep log х = 10’ loge — , где е»2,7 (см. ч. I, § 134). В частности, Nep log 1 = 107 loge 107 # 0. Такие таблицы не удовлетворяли и самого Непера. Вместе со своим почитателем Бриггсом (1561 — 1631) Непер решил составить таблицы более простых, десятичных логарифмов. Эти таблицы были изданы Бриггсом в 1624 году уже после смерти Непера. Наибольшее влияние оказали логарифмы иа развитие астрономии. Успехи мореплавания в средние века обусловливали большой спрос на астрономические таблицы, составление которых требовало весьма сложных вычислений. Использование логарифмических таблиц значительно облегчало и ускоряло эти вычисления. По образному выражению французского мате- матика Лапласа (1749—1827), изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь. Общее определение логарифмической функции и ее широкое обобщение дал Леонард Эйлер. Задачи на повторение 1476. Население города возрастает ежегодно на 3% по срав- нению с предыдущим годом. Через сколько лет население этого города увеличится в 1,5 раза? 1477. Одна бригада за месяц вырабатывает продукции в 1,1 раза меньше, чем другая бригада. Ежемесячно производи- тельность труда первой бригады растет на 1%, а второй бригады —на 0,7°/о. Через сколько месяцев первая бригада догонит вторую по сменному выпуску продукции? Какая из бригад даст больше продукции за полгода: первая или вторая? 1478. Вычислить: , . / 1 \log, 2-3 а) в) (-=-) ; ' \ о у г) ' \ J / 123
1479. Построить графики функций: 1480. Решить уравнения: а) (/2),,П2Х= /2; б) 5“"«= 2]/ 2/2 1481. Найти log2 log2 1482. Не решая квадратного уравнения log2 х—5 Iog2x4-4 = 0, доказать, что произведение его корней равно 32. 1483. Не решая данных уравнений, найти произведения их корней: б) 6%*i-blgx— 1 =0; в> !g2*—lg*+l“0- 1484. Решить уравнение logJta = a(a> 1). 1485. Пользуясь таблицами десятичных логарифмов, найти: а) log725; б) log± j. 3. ~ 1486. Что больше: а) logj_y или log_LT: а з б) logj_ у или log^y; Ь 7 1487. При каких значениях х в интервале 0=^а^2л опре- делены функции: а) г = lg(sinх); б) у = sin(Igx)? 1488, Доказать, что уравнение - >)*Т? lg sinx = sinx не имеет-действительных корней. 1489. Сколько цифр содержат числа 21эо и 5200? 1490. Доказать, что функция у= lg(14-х) является монотонно возрастающей, а функция z/=lg(l— х) монотонно убывающей. Решить уравнения (№ 1491 —1499): 1491. 5-Згх~х—9*-°>6 = 9*+4-За*~г. 1492. 3*+3*+14-3*+а = 5*. 1493. 3-4*4-2-9* = 5-6х. 1494. 5’* = 7Б*. 1495, ба*+4 = 28+*.3«*. 1496*. (/4+Г15)’-(/4-И5)*-|. 1497. Iog2 (х— I)2—logo j (х—1) = 9. 1498, 5’г*—З'е*-1 = 31ex+l—5'в*-1. 124
1499. logHx+log2x+log2x+ ... =y. 1500. He пользуясь таблицей логарифмов, найти lg2 и lg5, если известно, что 1g 2 — 1g 5 «—0,3980. 1501. Доказать тождества: logMIogb а) a) <№b = t№a; б) а '°еь° =logba. 1502. Какое число больше, а или Ь, если: a) log2a=log3&; б) loge2= logb3? 1503. Выразить logabx через logax и logbx. 1504. Доказать тождество loga (& + /&2-1) = - loga (&-]/&*=!). Решить уравнения (№ 1505—1507): 1505. 31g2(x2) — Igx—1=0. 1506. 2 lg2 (х3) —3 lg х—1 = 0. 1507. 41ogl5x—7 log3 15x4-7 = 0. Решить системы уравнений (№ 1508, 1509): lgsinx4-lgsiht/ = lg-|, sin2 х+sin2 г/=. [ 3»ln*.3cosy=3 1508. < Л1 • । JJsln X COS V _ 1 . 1509. 1510. Решить систему уравнений I xv^ = z/, \уУх—ху. интервалы возрастания и интервалы убЫ' 1511. Определить вания функций: а) у^2х‘+*х+3-. Решить неравенства (№ 1512—1514): 1512. Ig(x2-3) > lg(x + 3). 1513. Ig2x—2Igx—8<0. 1514. (0,25)*~4< ' б) !/=log1 (8-f-2x—х2).
ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ IX Постоянные и переменные величины. Понятие функции §201 С понятием функции мы уже неоднократно сталкивались. В части I мы рассмотрели линейную, квадратную, степенную и тригонометрические функции. Предыдущая глава была по- священа изучению показательной и логарифмической функций. Теперь нам предстоит сделать общий обзор того, что мы уже знаем о функциях, и рассмотреть некоторые новые вопросы. Наблюдая различные процессы, можно заметить, что вели- чины, участвующие в них, ведут себя по-разному: одни из них изменяются, другие остаются постоянными. Если, например, в треугольнике АВС вершину В перемещать по прямой MN, параллельной основанию АС (рис. 263), то величины углов А, В и С при этом будут непрерывно изменяться, а сумма их, высота h и площадь треугольника будут оставаться неиз- менными. Другой пример. Если какой-нибудь газ сжимать при по- стоянной температуре, то объем его (V) и давление (р) будут изменяться: объем уменьшаться, а давление увеличиваться. Произведение же этих величин, как устанавливает закон Бойля—/Мариотта, будет оставаться постоянным: Vp = c, где с—некоторая константа. Все величины можно разделить на постоянные и переменные. Переменные величины, участвующие в каком-либо процессе, обычно изменяются не независимо друг от друга, а в тесной М В fl, в2 N Рис. 263. связи друг с другом. Например, сжатие газа (при постоянной темпе- ратуре) приводит к изменению его объема, а это, в свою очередь, обу- словливает изменение давления газа. Изменение радиуса основания ци- линдра вызывает изменение плдщади этого основания; последнее же при- водит к изменению объема цилиндра 126
и т. д. Одна из главных задач математического изучения того или иного процесса заключается в том, чтобы установить, как изменение одних переменных величин влияет на изменение других переменных величии. Рассмотрим несколько примеров. Упомянутый выше закон Бойля —Мариотта говорит, что при постоянной температуре объем газа V изменяется обратно пропорционально давлению р: Если известно давление, то по этой формуле можно вычислить объем газа. Аналогично, формула 5 = лг2 позволяет определить площадь круга S, если известен его радиус г. По формуле Р = —а можно найти острый угол прямоугольного треугольника, если известен другой острый угол этого треуголь- ника, и т. д. При сравнении двух переменных величин одну из них удоб- но рассматривать как независимую переменную, а другую —как зависимую переменную величину. Например, радиус круга г естественно считать независимой переменной, а площадь круга S=nr2 — зависимой переменной величиной. Аналогично давле- ние газа р можно считать независимой переменной величи- ной; тогда его объем V= у будет зависимой переменной вели- чиной. Какую же из двух переменных величин выбрать в качестве зависимой и какую в качестве независимой? Этот вопрос решается по-разному в зависимости от поставленной цели. Если, например,. нас интересует, к чему приводит изменение давления газа при постоянной температуре, то естественно давление принять за независимую, а объем —за зависимую переменную величину. В этом случае зависимая переменная величина V будет выражаться через независимую величину р по формуле: V = -£. Если же мы хотим выяснить последствия сжатия газа, то лучше объем рассматривать как независимую, а давление —как зависимую переменную величину. Тогда зави- симая переменная величина р будет выражаться через неза- висимую переменную величину V по формуле р = -^-. В любом из этих случаев две величины связаны между собой так, что каждому возможному значению одной из них соответствует вполне определенное значение другой. Если каждому значению одной переменной величины х каким- либо образом поставлено в соответствие вполне определенное значение другой величины у, то говорят, что задана функция. Величину у при этом называют зависимой переменной величиной или функцией, а величину х — независимой переменной величи- ной или аргументом. 127
Для выражения того, что у есть функция аргумента х, обычно используют обозначения: y = f(x), y = g(x), t/ = <p(x) и т. д. (читается: игрек равно эф от икс, игрек равно же от икс, игрек равно фи от икс и т. д.). Выбор буквы для обозна- чения функции (/, g, ф) является, конечно, несущественным. Существенно лишь то, какую связь между величинами х и у выражает эта буква. Значение, которое принимает функция f(x) при обо- значается f (a). Если, например, /(х)= х2+1, то /(!)= 12 + 1 = 2; /(2) = 22+1 =5; /(а4-1) = (а+1)2+1=а2 + 2а + 2; /(2п) = (2а)2+1=4а2+1 и т. д. Упражнения 1515. Газ, находящийся под давлением двух атмосфер, сжимается. Как изменяется при этом: а) вес газа; б) его объем; в) его давление? 1516. По электрической цепи течет ток. С помощью реостата мы изменяем сопротивление цепи. Изменяется ли при этом: а) ток в цепи; б) напряжение тока? 1517. Вершина В треугольника АВС движется по окруж- ности, диаметр которой совпадает с основанием АС этого тре- угольника. Какие величины в этом процессе остаются постоян- ными и какие изменяются? 1518. = Найти: а) /(0); б) j (а2); в) f (у) ; г) J (sin а). 1519. Выразить /(2о) через /(а) для функций: a) f (х) = sin х; 6)/(x) = tgx; в)/(х) = х2. Способы задания функций § 202 Задать функцию—это значит указать, как по значениям аргумента отыскиваются соответствующие значения функции. В школьном курсе математики мы привыкли к аналитическому способу задания функции. При таком способе указывается фор- мула, связывающая зависимую переменную величину (функцию) с независимой переменной величиной (аргументом), например: у — Ух, у = Ig х, S = яг2, V = -“ и т. д. Рассмотрим более слож- ные примеры функций, заданных аналитически. 128
Пусть У = j х, если х < О, | sin .v, если х О. (1) Каждому значению х поставлено в соответствие вполне опре- деленное значение у, причем при отрицательных значениях х величина у находится по формуле у = х, а при неотрицательных значениях х—по формуле у = sinх. Если, например, х = — 2, то у = х = — 2; если х = -у, то у = sin — 1 и т. д. Не следует думать, что соотношение (1) определяет две функ- ции. Речь идет лишь об одной функции у, которая при отри- цательных значениях аргумента х ведет себя как линейная функция у— х, а при неотрицательных значениях аргумента х — как тригонометрическая функция y=sinx. График рассматриваемой функции представлен на рисунке 264. Рассмотрим еще один пример: _ f х2, если х^ О, — ) 3, если х > 0. ' ) Это соотношение между значениями х и у также определяет одну функцию. График ее представлен на рисунке 265. Стре- лочка на прямолинейном участке указывает, что точка М не принадлежит графику дайной функции. Ведь согласно формуле (2) при х=0 величина у находится по формуле у = х2, а не по формуле у = 3. Поэтому при х = 0 у также равен 0. Предположим, что функция у задана посредством некоторого выражения f (х), например: у — х2, y = tgx и т. д. Если при этом не сделано никаких оговорок относительно того, в каких пре- делах изменяются значения аргумента х, то мы будем считать, что выражение /(х) задает нашу функцию при всех тех значе- ниях х, при которых оно определено. Так, запись у = х2 озна- чает, что у = х2 при всех действительных значениях х. Аналогично, запись у— Ig.v означает, что t/=lgx при всех положительных значениях х. 5 Заказ № 85 129
у Помимо аналитического спо- соба, на практике часто пользу- л ются графическим способом зада- г Ч /\ ния функций Этот способ удобен, Д / \ когда задать функцию аналити- I / ' чески довольно трудно (см., на- -------т—q—~г---------“•* пример, рис. 266). Кроме того, I f--------------------при изучении многих процессов \ / мы пользуемся приборами, Кото- V. / рые не могут говорить с нами на х языке формул. Однако с помощью этих приборов мы получаем кри- Рнс. 266. вые. по КОТОрЫМ можно судить о характере изменения одних вели- чин в зависимости от изменения других величин. В медицине, например, широко используются электрокардиографы. С помощью этих приборов можно получать электрокардиограммы —кривые, которые отражают изменение электрических импульсов, возни- кающих в мышце сердца. Такие кривые помогают сделать пра- вильные заключения о работе сердца. Графический способ задания функции очень часто используется в математике для иллюстрации тех пли иных свойств функции. При изучении некоторых процессов удобно пользоваться также табличным способом задания функций. Метеорологи, например, составляют таблицы выпавших осадков в различных точках земного шара. Эти различные точки земного шара вы- ступают в данном случае в роли „значений аргумента", а коли- чества осадков— в роли „значений функции**. Упражнения 1520. f(x) = Найти: cosx, если х^О, sin х, если х > 0. г) Ж). 1521. f(x) = < 1 4-х2, если х < 2, sin х, если х 2. Найти: а) / (у); б) / (я); в) f(2 —а2). Построить графики следующих функций (№ 1522—1525): 1522. —1, если х<- 1, у = х, если — 1 х 1, 1, если х > 1. 130
1523. ( 1,5x4-3, если х < 0, 13 —2х, если х^О. 1524. У = 'х4-6, если х < — 2, х2 —х —2, если | х | 2, 0, если х> 2. 1525. 1 2*, если х > 0, — 1 1, если х^О. 1526. Как по графику функции у = [(х) построить график функции у = /(х)4-с, где с—некоторое заданное число? Ответ пояснить на примере функций: а) у = у + 2; б)у = у-1; в)у = 2х4-1; г) у = Igx— 2. 1527. Как по графику функции уs= f (х) построить график функции y = f(x4-o), где а —некоторое заданное число? Ответ пояснить на примере следующих- функций: 1) y = sin (х —y-J 2) у = sin (x + v) 3) y = cos(x — 4) у = cos (х 4- ; \ / 5) tg (jf-7-) ’ 6) y = ctg(x4--j) . 1528. Как по графику функции y = f(x) построить график функции y=Af(x), где / — некоторое заданное число? Ответ пояснить на примере следующих функций:' 1) у = 2х2; 3) у = — 2.V2; 5) у = —2cosx; 2) у = — х2; 4) у = 3 sin х; 6) у == 1 tg х. «J 1529. Как по графику функции y = f(x) построить график функции у = |/(х)|? Ответ пояснить на примере следующих функций: 1) у = |х2—х —6|; 3)y=|cosx|; 2) у = |-6х24-х4-1 |; 4)y=|sinx|. 1530. Как по графику функции y~f(x) построить график функции y — f(<ax), где со —некоторое заданное число? Ответ пояснить на примере следующих функций: 1) y = sin2x; 3) y = cosl,5x; 2) у = sin у ; 4) у = cos у . 5* 131
Область определения и область изменения функции § 203 Каким бы способом ни была задана функция y — f(x), рассматривая ее, мы всегда имеем дело с двумя множествами: мно- жеством значений, кото- рые может принимать ар- гумент х, и множеством значений, которые может принимать функция у. Например, для функции у = 2* (рис. 267) множе- ством всех значений, ко- торые может принимать аргумент х, является со- вокупность всех действи- тельных чисел, а множе- ством всех значений, ко- торые может принимать функция у,—совокупность всех положительныхчпсел. Совокупность всех тех значений, которые прини- мает аргумент х функции y = f(x), называется обла- стью определения этой функции. Совокупность всех тех значений, кото- рые принимает сама функ- ция у, называется областью изменения этой функции. Например, областью определения функции у= =sin х (рис. 268) является совокупность всех дей- ствительных чисел, а об- ластью изменения — сово- купность всех чисел, за- ключенных между — 1 и 1, включая эти два числа. Для функции у — 1g х (рис. 269) областью опре- 132
деления является совокупность всех положительных чисел, а областью изменения—совокупность всех действительных чисел и т. д. Ранее мы изучали числовые последовательности. Члены любой числовой последовательности можно рассматривать как возмож- ные значения некоторой функции, определенной для натуральных значений аргумента. Например, члены последовательности .11'1 1 • I — - — ’ 2 . з . 4 . являются значениями функции члены последователь- ности 1, —1, 1, —1 ... — значениями функции у = (—1)п+1. Каждую из этих функций мы рассматриваем как функцию, определенную только для на- туральных значений аргумента п. Вот почему иногда говорят, что числовая последовательность есть функция нату- рального аргумента. Рассмотрим несколько более сложных примеров на нахож- дение области определения функции. Пример 1. Найти область определения функции у— _ *—1 —*’+2*—3 • Эта функция определена для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель дроби х2-|-2х—3 обращается в нуль. Решая уравнение х2-|-2х—3 = 0, находим: Xj=l, х2 =— 3. Поэтому областью определения данпой'функцпп является сово- купность всех действительных чисел, кроме 1 и —3. Пример 2. Найти область определения функции Корни квадратные определены только для неотрицательных чисел. Поэтому область определения данной функция можно рассматривать как совокупность всех значений х, удовлетво- ряющих неравенству Прежде всего выясним, при каких значениях аргумента х числитель и знаменатель этой дроби положительны и при каких отрицательны. Решая неравенство 2х—4 > 0, получаем х > 2. Таким образом, при х>2 числитель положителен; при х<2 133
* 0 2 й/жпж*** - • — 2 Рис. 270. он, очевидно, отрицателен. Это от- мечено на рисунке 270. Заштрихо- ванная часть верхней числовой пря- мой соответствует той области, в которой он положителен, а незаштри- хованная—той области, в которой он отрицателен. Аналогично иссле- дуется знаменатель 3 —6х. Имеем: 3 —6х>0; 3 > G.t; 6х < 3; 1 х < 2 • Заштрихованная часть второй числовой прямой на рисунке 270 соответствует области, в которой знаменатель 3 — б.г положи- телен, а незаштрихованная— области, в которой он отрицателен. Из рисунка 270 видно, что оба выражения (числитель и знаменатель) имеют одинаковые знаки только при у < х < 2. 2 v — 4 Поэтому в этой области дробь положительна. При х—2 она обращается в 0. Следовательно, областью определения дан- ной функции является совокупность действительных чисел, удовлетворяющих неравенству Пример 3. Найти область определения функции Десятичные логарифмы определены только для положитель- ных чисел. Поэтому область определения данной функции можно рассматривать как совокупность всех значений х, удовлетво- ряющих неравенству * Выполнив вычитание в левой части этого неравенства, получим: Числитель этой дроби положителен при х> 1 и отрицателен при х< 1, а знаменатель положителен “ -----*----при х > — 1 и отрицателен при х< — 1 (рис. 271). Поэтому дробь положитель- ямявмимивюмивда на при х< — 1 и при х> 1. Все эти 4 0 значения х можно записать в виде Рис. 271. одного неравенства |х|>1. 134
Пример 4. Найти область определения функции tg * У = ——5-----• J sinx — COS X Во-первых, tgx не определен для х = -~ + пп. Во-вторых, данная дробь не определена для тех значений х, при которых знаменатель обращается в нуль. Эти значения находятся из уравнения sinx — cosх = 0. Это однородное'тригонометрическое уравнение. Деля обе его части на cosx (докажите, что это де- ление возможно!), получим: tg*= 1, откуда х —— 4-ял. 4 Итак, областью определения данной функции является сово- купность всех действительных чисел, кроме -^-4-ил и -^-4-Ал, где п в А —произвольные целые числа. Теперь мы рассмотрим несколько примеров на нахождение области изменения функции. Пример 5. Как известно, линейная функция у = ах-\-Ь при может принимать любые действительные значения. Поэтому областью изменения этой функции является совокупность всех действительных чисел. Пример 6. Найти область изменения функции у = х2 — 4х 4- 7. Преобразуем квадратный трехчлен х2—4x4-7, выделив из него полный квадрат: у = х2 — 4х-|- 4 4- 3 = (х — 2)24- 3. Выражение (х—2)а принимает, очевидно, все неотрицательные значения. Поэтому областью изменения данной функции яв- ляется совокупность всех чисел, больших или равных 3. Эту область можно задать с помощью неравенства у 3. Пример 7. Найти область изменения функции = sinx4- cosx. Представив данную функцию в виде у =/2* sin + 7-) (вспомните, как это делается!), нетрудно понять, что область ее изменения определяется неравенством — /Г<и$с/2, пли lt/14/2-. 135
Упражнения Найти области определения функций (№ 1531—1566): 1531. з*ч-1 0-Зх-б * 1549. 1532. *а—9 У~ х + 3 * 1550. 1533. 5 1551. ! х—5 У~ 6х2— х— 1 ’ У k 2 + х-х4 ' 1534. Зх—1 1552. -|ч II =h ха+х+1 ' 1535. у = У х — 1. 1553. У = Ctg Л X. 1536. у —J/5—10х. 1554. y = (sinnx)~l. CCS X 1537. у = У 1 —cosx. 1555. у Уз —2sin х 1 1538.. у — У sin х — 1. 1556. р^З -|-2ccsx 1539. у«2]/х-1 у У4-х 1557. 1 Уз +tgx ‘ ] 1540. у = У х2 + 2х + 4. 1558. a sinx-cosx" 1541. у = |/л +F1—X. 1559. 1 У ~ sin x-j-ccs х sin х-j- Уз cos x 1560. 1542. у = у х2 — 4х — 12. sin x— у 3 cos x 1000 1561. 1543. у = ]/(! — л)(1 +5х). v У2 sin2x —cosx 1544. у = log2 (х2 — 4л — 5). 1562. y = 2-lZ-. 1545. у = log И—Зл2— 7л— 2). 1563. у = Зг* + 3^. 3 1546. у= 1564. у = lg|6х —8|. 1547. у = у/~—^7 • 1565. У = lg cosx. 1548. у = j/±_ 1 . 1566. y=lgtgx. 1567. (Устно.) Найти ций: a) y = |sinx|; б) y = cos2x; в) у = cosx— 1; г) y=tg2x; д) y = sin2x-| cos2x; области изменения следующих функ- е) у = cosx — sinx; ж) y = 3$inx + 4cosx; з) у — 12sinx— 5cosх; и) у = sin х-cos х. 136
1568. Найти области а) у = (х —З)2—1; б) у = -(х + 2)2 + 5; в) у = 2х2 —28х-)-96-, изменения функций: г) (y = 5s,n\ Д) У = х — |х|; е) у = sin4 x-|-cos4x. 1569. Сравнить области определения функций: а) у = х и у = Ю’в'; б) у = 2 Igx п у= Igx2. Построить графики этих функций. Возрастание и убывание функций § 204 Функция / (х) называется монотонно возрастающей (или просто возрастающей) в интервале а^.х^.Ь, если из условия х2 > Xi вытекает, что / (Jc2)>f(*i). При этом а Xj Ь, а^х2^Ь. Другими словами, функция называется монотонно возраста- ющей в некотором интервале, если из двух произвольных значе- ний аргумента, взятых из этого интервала, большему соответ- ствует большее значение функции. Например, функция у = sin х (см. рис. 268 на стр. 132) является возрастающей в интервалах —у^х^ у , ул^х^у л, уЛ д ^х^ у л и т. д. Функция у = 2* (см. рис. 267) является возра- стающей на всей числовой прямой. Функция y = l у) нигде не возрастает (рис. 272). Если функция y = f{x) монотонно возрастает в интервале а^.х^Ь, то график ее в этом интервале с ростом х поднимается все выше и выше. Это, конечно, не означает, что график „уходит** вверх как угодно высоко. Например, гра- фик функции у = — у при положи- тельных значениях х (см. рис. 273) под- нимается с ростом аргумента все выше и выше. Тем не менее он никогда не перейдет и даже не дойдет до оси абсцисс. Функция y = f (х) называется моно- тонно убывающей (или просто убываю- 137
щей) в интервале а^х^Ь, если из условия х2 > хх вытекает, что f(x2)<f(xx). При этом a^Xj^fc, a^x2^b. Другими словами, функ- ция называется монотонно убывающей в некотором ин- тервале, если из двух произ- вольных значений аргумента, взятых из этого интервала, большему соответствует меньшее значение функции. Например, функция у = sin х монотонно убывает в интервалах 5 7 9 11 Л /IV уЛ^Х^-^Л, -^Л^Х^^-Л II Т. Д. Функция У=(’2') убывает на всей числовой прямой. Функция и=2* нигде не убывает. Если функция f (х) монотонно убывает в интервале а^х^б, то график ее в этом интервале с ростом х опускается все ниже и ниже. Это также не означает, что график „уходит" как угодно далеко вниз. Учащимся предлагается самостоятельно построить соответствующий рисунок. Функции, которые в интервале а^х^Ь только возрастают или только убывают, называются монотонными в этом интер- вале. До сих пор мы говорили об интервале а^х^Ь. Такой интервал включает в себя крайние точки х=а и х=Ь и по- тому называется замкнутым интервалом. Но в некоторых слу- чаях говорить о замкнутом интервале нехорошо. Неудобно, например, говорить о поведении функции y = tgx в интервале | <х<£. Ведь при х = — у и x=y эта функция вообще не определена. Поэтому вместо интервала —g-^x^y лучше го- ворить об интервале —у < х < у . Такой интервал не содержит крайних точек х — — у их = у и поэтому называется откры- тым интервалом. В дальнейшем нам придется говорить как об открытых, так и о замкнутых интервалах. Однако в каждом из этих случаев 138
будет ясно, о каком интервале идет речь, и потому мы будем говорить просто об интервалах. Отметим лишь, что замкнутый интервал а^х^Ь обычно записывается в виде [а, Ь], а откры- тый интервал «<х<Ь—в виде (а, Ь). Упражнения Определить участки возрастания и участки убывания данных функций; построить графики этих функций (№ 1570—1585): 1570. у = х2 4-Зх—108. 1578. y = |eosx| 1571. у = — х2 4-Зх-)-4. 1579. J " II 1572. у = |х34-Зх— 10|. 1580. у = sin 2х. 1573. у = | — X8 4-3x4-4]. 1581. y- X cosy. 1574. У= Sin (х4- . 1582. y = Ig(H-x). 1575. y = cos (х—у)'. 1583. y = Ig(l-x). 1576. y = tg (х + |) • \ м / 1584. y = 5x4-4 X 1577. y = ctg (x--y) • 1585. y = x4-l x—I " 1586. Определить участки возрастания и участки убывания функций: а) у = 2з-‘*; б)//=(4УХ-5- 1587. Доказать, что сумма двух функций, монотонно возра- стающих в некотором интервале, есть функция монотонно воз- растающая в этом интервале. 1588. Будет ли разность двух монотонно возрастающих функций монотонно возрастающей функцией? Экстремальные значения функции§205 В этом параграфе мы изучим некоторые вопросы поведения функции y = f(x) в интервале [о, 6]. При этом, конечно, мы будем предполагать, что функция f (х) определена в каждой точке этого интервала. Наибольшее из всех тех значений, которые принимает функ- ция у — f (х) в интервале [а, 6], называется ее абсолютным максиму- мом, а наименьшее—абсолютным минимумом в данном интервале. Например, для функции y = f(x), графически представленной на рисунке 274, абсолютным минимумом в интервале [0,7] яв- ляется значение f(0)= I, а абсолютным максимумом — значение f(6)-5. 139
Наряду с абсолютным макси- мумом и абсолютным минимумом в математике часто говорят о ло- кальных. (т. е. местных) макси- мумах н минимумах. Точка х = с, лежащая внутри интервала [а, &], называется точ- кой локального максимума функ- ции y = f (х), если для всех зна- чений х, достаточно близких к с, /(х)</(с). (1) Значения функции у = / (х) в точках ее локальных максимумов называются локальными максимумами этой функции. Например, для функции у — [(х), графически представленной на рисунке 274, точками локального максимума являются точки х = 2 и х = 6. а самими локальными максимумами —значения /(2) = 3 и /(6) = 5. В точках х = 2 и х = 6 функция f (х) принимает значения, боль- шие, чем в соседних точках, достаточно близких к ним: /(2)>f(x); /(6)>/(х). Для функции г/ = /(х), графически представленной на ри- сунке 275, точкой локального максимума будет, например, точка х = с. Для всех х, достаточно близких к с, f(x) = f(c). так что условие (1) выполняется. Точка x — xt также является точкой локального максимума. Для всех значений х, достаточно близких к xlf / (х) < f (xj, если х < хи и f (х) = / (хх), если х > ха. Следовательно, и в этом случае /(x)<f (xj. А вот точка х = ха уже не будет точкой локального максимума. Левее ее /(х) = /(х2), но правее ее f (х) > / (х2). Поэтому условие (1) не выполняется. Точка х—с, лежащая внутри интервала [а, &], называется точ- кой локального минимума функ- ции y = f(x), если для всех зна- чений х, достаточно близких к с, /(*)>/(<?). (2) Значения функции в точках ее локальных минимумов называются 140
локальными минимумами этой функ- ции. Например, для функции y = f(x), графически представленной на рисунке 274, точкой локального минимума яв- ляется точка х = 3, а самим локаль- ным минимумом — значение f (3) = 2. Для функции, графически пред- ставленной на .рисунке 275, точкой локального минимума будет, например, точка х=х2. Для всех значений х, достаточно близких к х2, f (х) = ( (х„), если х < х2, и / (х) > f (х2), если х > х2. Следовательно, условие / (х) / (х2) вы- полняется. Точка х = с, отмеченная нами выше как точка локаль- ного максимума, является вместе с тем и точкой локального минимума. Ведь для всех точех х, достаточно близких к ней, /(*) = /(с). и потому формально неравенство f(x)^f(c) выполняется. Точки минимумов и точки максимумов функции / (х) назы- ваются точками экстремумов этой функции. Значения функции /(х) в точках экстремумов называются экстремальными значе- ниями этой функции. Рисунок 274 показывает различие между абсолютными и ло- кальными экстремумами. Функцняу = /(х), изображенная на этом рисунке, имеет в точке х = 2 локальный максимум, который не является абсолютным максимумом в интервале [0, 7]. Точно так же в точке х = 3 эта функция имеет локальный минимум, не являющийся абсолютным минимумом в интервале [0, 7]. Если абсолютный максимум функции у = /(х)‘ в интервале [a, ft] достигается во внутренней точке этого интервала, то этот абсо- лютный максимум является, очевидно, и локальным максимумом (см., например, рис. 274 в точке х = 6). Но может случиться, что этот абсолютный максимум достигается не внутри интер- вала [а, 6], а в какой-нибудь крайней его точке (рис. 276). Тогда он не является локальным максимумом. Отсюда вытекает следующее правило для нахождения абсолйэтного максимума функции у = / (х) в интервале [a, fr]. 1. Находим все локальные максимумы функции у = /(х) в дан- ном интервале. 2. К полученным значениям добавляем значения этой функ- ции в концах данного интервала, то есть значения f(a) и f(b). Наибольшее из всех этих значений и даст нам абсолютный максимум функции у — f (х) в интервале [а, 6]. Аналогично находится и абсолютный' минимум функции У = [(х) в интервале [а, 6]. 141
Пример. Найти все локальные У экстремумы функции у = х2 — 2х —3. Каковы наибольшее и наименьшее зна- чения этой функции в интервале [0, 5|? I / Преобразуем данную функцию, вы- \ / делив полный квадрат: —--------------/—*-Л i/ = х2 —2х-(-1 —4 = (х—I)2 — 4. \ ° * / Теперь легко построить ее график. Эго \ I / будет направленная вверх парабола с \ । / вершиной в точке (I, —4) (рис. 277). \ ! / Единственной точкой локального экст- ремума является точка х = 1. В этой точке функция имеет локальный мини- мум, равный —4. Чтобы найти нап- Рнс. 277. большее и наименьшее значения данной функции в интервале [0, 5], заметим, что при х = 0 у = — 3, а при х = 5 у = 12. Из трех значений —4, •—3 и 12 наименьшим является —4, а наибольшим 12. Таким образом, наименьшее значение (абсолютный минимум) данной функции в интервале [0, 5] равно—4; оно достигается при х=1. Наибольшее значение (абсолютный максимум) данной функции в интервале [0, 5] равно 12; оно достигается при х = 5. Упражнения 1589. Какие из известных вам функций на всей числовой прямой: а) совсем не имеют локальных экстремумов; б) имеют ровно один локальный экстремум; в) имеют бесконечное множество локальных экстремумов? В упражнениям № 1590—1600 найти точки локальных экстре- мумов и сами локальные экстремумы данных функций. Выяснить, какие это экстремумы (максимумы или минимумы): 1590. у = (х-1)2 + 5. 1595. 1 У ~ 2—cosx 1591. у = 3-(х-Ь2)2. 1596. у=.ух2 —2х+8. 1592. у = 12х2 —х— 1. 1597. у = — х(х + 2а). 1593. i/ = (x- 1) (х — 3). 1598. t/ = sin (х — L \ 4 / 1594. у х»4-х-н' 1599. / Л \ у= cos X 4-^ ). 1600. у = sinx-|- cosx. Найти абсолютные экстремумы данных функций в указанных интервалах (№ 1601—1603): 1601. у — — 2х2 —Зх—1 в интервале |х|^2. 1602. у |х24-5х4-6| в интервале [—5, 4]. 142
1603. y= sin х — cosx Г л л! в интервале I — -у, у . 1604. Наити абсолютные экстремумы функции t/ = (x-3) (х —5) У Nfa.b) M(a,b) в интервалах: а) [2, 3]; - в) [4, 5); б) [3. 4); г) [2, 5]. Четные и нечетные функции §208 Рис. 278. Функция у = / (х) называется четной, если при всех значе- ниях х из области определения этой функции = f (х). Примерами четных функции могут служить хороню изучен- ные нами функции у = х2, £/ = COSX, 1/=|х| и т. Д. Пусть точка М с координа- тами (а, Ь) принадлежит гра- фику четной функции i/ = f(x). Тогда b = f(a). Так как функ- ция f (х) четна, то и f(—а) = f(a) = b. Но это означает, что наряду с точкой М (а, Ь) гра- фику функции у = f (х) должна принадлежать и точка N с координатами (—а, Ь). Эти две точки симметричны друг другу относительно оси у (рис. 278). Таким образом, какую бы точку графика четной функции мы ни взяли, на нем обяза- тельно найдется точка, сим- метричная первой относительно осн у. Вот почему график чет- ной функции представляет собой линию, симметрич- ную относительно оси ор- динат (одни из таких гра- фиков показан на рис. 279). 143
Функция у = f (х) называется нечетной, если при всех значе- ниях х из области определения этой функции Примерами нечетных функций служат функции у = х, у = х3, у = sin х и т. д. Пусть точка Р с координатами (а, Ь) принадлежит графику нечетной функции {/ = /(*); тогда b = f (а). Так как функция f(x) нечетна, то f (— а) = — f (а). Поэтому [ (— а) = — Ь. Последнее ра- венство означает, что точка Q с координатами (—а, —Ь) должна принадлежать графику функции y — f(x). Итак, если точка Р с координатами (а, Ь) принадлежит графику нечетной функции у = f (х), то этому графику должна принадлежать и точка Q с координатами (—а, —Ь) (рис. 280). Точки Р и Q симметричны относительно начала координат (докажите это!). Таким образом, какую бы точку графика нечетной функции мы нн взяли, на нем обязательно найдется другая точка, сим- метричная первой относительно начала координат. Вот почему график любой нечетной функции симметричен относи- тельно начала координат (см., например, рнс. 281). Не следует думать, что всякая функция является либо чет- ной, либо нечетной. Существует очень много функций, которые нельзя отнести ни к четным, ни к нечетным. Так, например, для функции /(х)_ х4-№ имеем: f(—х) = — x-f-x2. Ни одно из двух тождеств /(— х) = /(х) и /(—*) = — /(*) не имеет места. Следовательно, данная функция не является нн четной, ни не- четной. Кроме того, говорить о том, что функция y = f(x) четна или нечетна, можно лишь в том случае, когда область определения этой функции является симметричной относительно начала коор- динат. Это означает, что если функция определена при х — а, то 144
она должна быть определена и прнх =—а. В противном случае сравнивать выражения / (х) и [(—х) не имеет смысла. Например, функция y = lgx определена только для положительных значе- нии аргумента. Поэтому одно из выражений 1gх и lg(—х) на- верняка не имеет смысла. Следовательно, говорить о том, является ли логарифмическая функция четной или нечетной, также не имеет смысла. Упражнения 1605. (Устно.) Средн данных функций указать четные и нечетные: 1) у = х,0°; 2) у = х~3; 3) у = Ух; 4) у = Ух', 5) у = х* — 2х2 4- 3; 8)_t/ = tgx + ctgx. 9) у = sinx-г со'ссх; 10) у = х + sin х\ 11) у^2*4-2-я; 12) у = ^; 6) у = х3 — 5х — 1; 13) У=~- 7) y = sin(x*); 1606. Какие из данных функций являются четными и какие нечетными: 1) у — 10-Л- 10х; 4) y = sin(x— 2) y = sin(—х); 5) y = sin (-4--J); 3) y = cos(—X); 6) y = tg (х- у). 1607. Доказать, что сумма, разность, произведение и частное двух четных функций являются четными функциями. 1608. Доказагь, что произведение и частное двух нечетных функций представляют собой четные функции. 1609. Может ли функция быть одновременно и четной н не- четной? 1610*. Что вы можете сказать о четности функции f(x\ если известно, что функция |f(x)|: а) четна; б) нечетна? 1611. Может ли монотонная на всей числовой прямой функ- ция быть: а) четной; б) нечетной? 1612. Как достроить график четной функции у = /(х), если он задан только при х О? 145
Периодические функции § 207 Функция у = [ (х) называется периодической, если существует число Т =£Q, такое, что при всех значениях х из области опре- деления этой функции f(x + T) = f(>). Число Т в этом случае называется периодом функции. Периодическими являются, например, тригонометрические функции {/ = sinx и у —cosx. Их период равен 2л. Примером периодической нетрнгонометрической функции может служить функция у {х}, которая каждому числу х ставит в соответствие его дробную часть *. Например, {3,56} = 0,56; {2,01} = 0,01 и т. д. Если к произвольному числу х прибавить 1, то изменится лишь целая часть этого числа; дробная же часть останется прежней. Следовательно, {х+1] = {х} и потому функция у = {х} является периодической с периодом 1. Из равенства / (х4- Т) = f (х) следует, что все значения функ- ции у = f (х) повторяются с периодом Г. Это находит свое отра- жение и в графическом изображении периодических функций. Так, например, в интервале [0, 2л] синусоида имеет ту же самую форму, что и в интервалах [2л, 4л], [4л, бл] и т. д. (рис. 282). На рисунке 283 представлен график функции i/ = {x}. Периодич- ность функции у = {х} обусловливает то, что график ее в интер- вале [0, 1] имеет ту же самую форму, что и в интервалах [1, 2], [2. 3] и т. д. Если Т — период функции / (х), то 2Г, ЗТ, 4Т и т. д. также периоды этой функции. Действительно, f(x + 2T) = f[(x + T) + T] = f(x+T) = f(x), Мх4-ЗП = /[(х + 2Т) + Т] = Пх + 2Т) = /(х) • О дробной части числа см. в главе VIII, § 187. 146
и т. д. Кроме того, периодом функции f (х) можно считать и лю- бое из чисел: — Т, — 2Т, — ЗТ и т. д. В самом деле, /(x-7) = f[(x-7) + 7] = f(x), f (х — 2T) = f [(х - 2Т) + 27] = f (х) и т. д. Итак, если число 7 есть период функции f(x), то при лю- бом целом п число пТ также пе- У Рис. 283 риод этой функции. Поэтому всякая периодическая функ- ция имеет бесконечное множество периодов. Например, периодом функции y = sinx можно считать любое из чисел: 2л, 4л, 6л, —2л, —4л, а периодом функции у = {х} — любое из чисел: 1, 2, 3, —1, —2, —3 и т. д. Говоря о периоде функции y = f(x), обычно имеют в виду наименьший положительный период. Так,'мы говорим, что пе- риодом функции y = sinx является число 2л, периодом функции y = tgx —число л, периодом функции {х}—число 1 и т. д. Следует, однако, иметь в виду, что наименьшего положитель- ного периода у периодической функции может и не быть. Напри- мер, для функции f (х) = 3 (рис. 284) любое действительное число является периодом. Но среди положительных действительных чисел не существует наименьшего. Поэтому и функция f (х) = 3, имея бесконечное множество- периодов, не имеет наименьшего положительного периода. Упражнения Для каждой из данных функций (Л« 1613—1621) найти наи- меньший положительны й период: 1613. у = sin 2х. 1619. y = sin r3x—4- Ta 1614. У =cos i • 1620. у — sin2x. 1615. y=tg3x. 1621. у = sin* x 4- cos* X. 1616. y = cos(l — 2x). У 1617. у — sin xcosx. 1618. !/ = c‘g-i. 3 * 1622. Доказать, что сумма и про- изведение двух функций, периодиче- ских с одним и тем же периодом 7, являются функциями, периодическими 0 —— X с периодом 7. 1623*. Докажите, что функция у =, = sinx+{x}, являющаяся суммой двух Рис. 284. Н7
периодических функций у = sinx и !/={*}, сама не является периодической. Не противоречит ли это результату предыдущей задачи? 1624. Как достроить график функции y = f(x), периодической с периодом Т, если он задан лишь в интервале [О, Г]? Обратные функции § 208 Каждому допустимому значению переменной величины х ра- венство y = f(x) ставит в соответствие вполне определенное зна- чение переменной величины у. Однако в некоторых случаях соотношение y = f(x) можно рассматривать и как такое равен- ство, которое каждому допустимому значению переменной вели- чины у ставит в соответствие вполне определенное значение переменной величины х. Поясним это на конкретных примерах. Пример 1. Равенство у = 2х — 1 каждому значению у ста- вит в соответствие следующее значение x:x = ^-L Например, при у— I х= 1; при у = 2 х= 1,5; при t/ = 3 х = 2 и т. д. По- этому можно сказать, что равенство у = 2х— 1 определяет* как некоторую функцию переменной величины у. В явном виде эта функция записывается таким образом: х = ^±-1. Пример 2. Равенство у = 2х каждому положительному зна- «епшо I/ ставит в соответствие следующее значение х: х — log2 у. Например, при у =—1 x=log2l=0; при у = 2 x=log22=l; при у = 3 x=log23 и т. д. Следовательно, равенство у = 2х опреде- ляет х как некоторую функцию переменной величины у. В явном виде эта функция записывается таким образом: x=log2r/. Пример 3. При —равенство у = sin х каждому значению у, заключенному в интервале от —1 до +1, ставит в соответствие число х, равное arcsin у. Например, при У— — 1 x=arcsin(—1) = —у; при у = 0 х = arcsin 0 = 0; при у = -^— х= arcsin =-у ит. д. Следовательно, равенство у = sinx при дополнительном условии, что —-у х , определяет х как некоторую функцию переменной величины у. В явном виде эту функцию можно записать следующим образом: х= arcsin у. Вообще, пусть, исходя из равенства = по каждому допустимому значению величины ^ можно восстановить одно и только одно значение величины х. Тогда это равенство 148
определяет х как некоторую функцию от у. Обозначим эту функцию буксой <р: х = гр(у). В этой формуле у выступает в роли аргумента, ах—в роли функции. Вошло в обычай букву х употреблять для обозначения аргумента, а букву у—для обозначения функции. Поэтому ту функциональную зависимость, которая обозначена буквой <р, мы перепишем в виде: У = <Р(*)- Так, определенная функция у=<р(х) называется обратной по отношению к функции У = /(*)• Примеры. I) Исходя из равенства у = 2х— 1, мы получили Поэтому функция является обратной к функ- ции у=2х — 1. 2) Исходя из равенства у = 2х, мы получили x=logfi/. Поэтому функция y = log2x является обратной к функции у = 2х.. 3) Исходя из равенства y = sinx при —х -у, мы по- лучили х = arcsin у. Поэтому функция у = arcsin х является об- ратной к функции y = sinx, рассматриваемой на интервале Отметим, что область определения и область изменения функ- ции у —/(х) и обратной к ней функции у = (р(х) как бы меня- ются ролями. То, что для функции у ~ f (х) было областью опре- деления, для обратной функции у = <р(х) становится областью изменения, а то, что для функции у = [ (х) было областью изме- нения, для обратной функции y = tp(x) становится областью определения. Так, например, для функции у = 2х областью опреде- ления является совокупность всех действительных чисел, а об- ластью изменения— совокупность всех положительных чисел. Для обратной к ней функции y=log2x, наоборот, совокупность всех положительных чисел является областью определения, а совокупность всех действительных чисел — областью изменения. Для любой ли функции у = f (х) существует обратная функ- ция у = <р(х)? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим два примера. Пример 1. Каждому значению у по формуле у = хг соот- ветствует два значения х; например, значению у = 1 соответст- вуют значения х = 4-1 и х=—1; значению у = 4 соответствуют значения х = 2 и х=—2 и т. д. Поэтому если функцию у = ха рассматривать на всей числовой прямой (или при всех действи- тельных значениях х), то она не будет иметь обратной функции. Однако если эту функцию рассматривать только при положи- тельных значениях х, то она будет обладать обратной функцией. 149
По значению квадрата положительного числа это число восстанавливается однозначно. Обратную функцию в данном случае можно записать в виде у = Угх. Пример 2. Каждому значению величины у, заключенному в интервале от —1 до 1, по формуле t/ = sinx соответствует бесконечное множество значений х. Например, при у = 0 такими значениями х являются 0, л, 2л, Зл и т. д.; при у=1 х = ^~ • у л, у л и т. д. Поэтому, если функцию у = sin х рассматривать на всей числовой прямой (пли при всех действительных значе- ниях х), то она не будет иметь обратной функции. Если же эту функцию рассматривать только при —х^-^-, то по значе- ниям у значения х восстанавливаются однозначно. Следова- тельно, при —-у-^х^-у- функция j/ = sinx имеет обратную функцию t/ = arcsinx. Нетрудно подметить то общее, что делали мы в обоих при- мерах при нахождении функций, обратных к данным. Для каждой из данных функций мы выделяли интервал, в котором она является монотонной. Можно доказать общее утверждение: если функция f(x) монотонно возрастает (или убывает) в интервале [a, ft], то при as^.xs^.b существует обратная к ней функция. Упражнения В упражнениях № 1625—1628 найти функции, обратные к данным. Указать области определения и области изменения данных и обратных к ним функций: 1625. у = х3. 1626. у = log, х. 1627.1/ = }^. 1628. у = х2 (х<0). 3 ' 1629. Доказать, что при а #= 0 функция, обратная к линейной функции р = ах-}-6, есть функция линейная. 1630. Доказать, что функция, обратная к дробно-линейной функции у = (ad — 6с#=0), сама является дробно-линейной. 1631. Какому условию должны удовлетворять числа a, b,cnd, чтобы дробно-линейная функция у = была тождественно равна обратной к ней функции? Приведите несколько примеров. 1632. Существует ли функция, обратная к функции y = cosx в интервале: а) —б) 0<х<л; в)-^-<х<4л? 150
в 1633. Существует ли функция, обратная к функции y=tgx интервале: a) -T<X<Y; б) 0<х<л; в)-^-<х<-|-л? 1634. Существует ли функция, обратная к функции (/=-{>:} в интервале: a) 0<Сх<Су; в) 0^х<1; б) 0<х< 1; г) у<х<-|? Взаимное расположение графинов прямой и обратной функций § 209 В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о взаимном распо- ложении графика функции у — f (х) и графика обратной к ней функции у = ср(х). Для этого нам потребуется следующая лемма. Лемма. Точки плоскости с координатами (а, Ь) и (Ь, а) симметричны друг другу относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Доказательство. Пусть точка Р имеет координаты (а,Ь), а точка Q — координаты (Ь, а) (рис. 285). Доказать, что эти точки симметричны друг другу относительно биссектрисы OR, —это значит показать, что PQ _\_OR и PR = QR. Так как точка R лежит на прямой у — х (биссектрисе 1-го и 3-го координатных углов), то ее абсцисса и ордината равны. Обозначим их буквой с. Тогда по формуле для расстояния между двумя точками плоскости (см. § 149) получаем: РР = /(с-а)2 + (с-6)2, QR = /(с-6)2 + (с-а)2, откуда н вытекает, что PR = QR. Значит, OR — медиана треуголь- ника OPQ. Далее, по той же са- мой формуле OP = /tF+b2, 0Q = /ба + а2. ПоэтомуОР =0Q. Следовательно, треугольник OPQ равнобедрен- ный. Но в таком случае его медиа- на OR является и высотой, то есть PQJ.OP. . 151
Лемма доказана. Пусть теперь точка Р с коор- динатами (а, Ь) принадлежит гра- фику функции у — f (х). Тогда зна- чению у = Ь равенство у = f (х) ставит в соответствие значение х = а. Но это означает, что точка Q с координатами (Ь, а) должна принадлежать графику обратной функции у=ф(х). Итак, если точка Рс коорди- натами (а,Ь) принадлежит графику функции у = /(х), то точка Q с координатами (6, а) должна при- надлежать графику обратной функ- ции у = ф(х). Эти точки симмет- X ричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Таким образом, какую бы точку Р на графике функции у = [ (х) мы ни взяли, на графике обратной к ней функции у = ф(х) обязательно найдется точка Q, симметричная точке Р относи- тельно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Вот почему графики взаимно обратных функций симметричны друг другу относительно биссектрисы 1-го и 3-го координат- ных углов (см., например, рис. 286, на котором представлены графики взаимно обратных функций у = 2* и y=log2x). Упражнения На одном и том же чертеже построить графики данной и обратной к пей функций (№ 1635—1641): 1635. у = х«(*>0). 1636. y=j х+ 1. I х, если х < О, 1637. у = ’ J ( 2х, если х>0. 1638. у=/Г^7 1 0,5х 4- 2, если х 0. 1639. У = { о , о . п 1 2x4-2, если х < 0. (ха, если х > О, 1640. у={ , _ ( ха, если х < 0. 1641. y = sinx( — • 1642. Каковы особенности графика функции у = [ (х), если эта функция тождественно равна обратной к ней функции? Ответ пояснить примерами (см., например, задачу № 1631). Краткий обзор свойств и графиков ранее изученных функций § 210 В этом параграфе мы дадим краткий обзор свойств и графи- ков ранее изученных функций. При этом мы будем придержи- ваться следующего плана: 1) область _ определения функции; 152
2) область изменения функции; 3) четность функции; 4) периодич- ность функции; 5) интервалы знакопостоянства; 6) пули функ- ции, то есть те значения аргумен- та, при которых функция обра- щается в нуль; 7) монотонность функции; 8) локальные экстремумы функции; 9) поведение функции вблизи „особых"точек ^например, функции у=у вблизи точки х = о). Впрочем, порядок этот не яв- ляется обязательным и в некото- рых случаях для пользы дела может быть смело изменен. От- метим лишь, что осуществление каждого пункта плана всегда по- лезно сопровождать геометричес- кой интерпретацией на графике исследуемой функции. 1. Квадратная функция у = ах2 + Ьх + с (а^О) Эта функция определена для всех значении х, так что областью ее определения служит совокуп- ность всех действительных чисел. Графиком квадратной функции служит парабола, вершина кото- / b рон имеет координаты I—, —4ос\ n п - ----— I. При о>0 парабола направлена вверх (рис. 287), а при а<0 — вниз (рис. 288). Если а>0, то областью изменения данной функции является совокупность всех чисел, боль- h« — 4ас ших или равных------.еслиже а<0, то областью изменения ее служит множество всех чи- сел, меньших или равных __—4ос 4а 153
При b^Q функция r/ = ox24- 4-Ьх + с не будет ни четной, ни нечетной, поскольку ни одно из равенств ах* — Ьх 4- с = ах2 4- Ьх 4- с, [f (-x) = f (х)] и ах2 — Ьх + с = — (ах2 4- Ьх 4- с), [/(-х)= -/(л)] не выполняется тождественно. При 6 = 0 квадратная функция прини* мает вид г/ = ах2 4- с н потому яв- ляется четной функцией. Данная функция иеперподпчна. Если дискриминант d = Ь2 — 4ас отрицателен, то функция не имеет нулей. В этом случае все ее значения имеют один и тот же знак —знак коэффициента а (см. рис. 289 для о>0 п рис. 290 для а<0). Если дискрими- нант </ положителен, то функция имеет два нуля: —b — VЫ*—4ас —Ь4- V &— 4ас 2о " 2о ' Если к тому же о>0, то функция положительна при x<xt и х>х2, а отрицательна при х1<х<х2 (см. рнс. 287). В случае, когда d>0. а о<0, функция положительна при Xj<x<x2, а отрицательна прн х<хх и х>х2 (см. рис. 288). Наконец, возможен и случай, когда J = 0. Тогда квадратная функция имеет единственный нуль Прн всех значениях х^4 —она сохраняет один и тот жезнак — знак коэффициента а. В случае, когда о>0, квадратная функция у = ах24-Ьх 4- с монотонно убывает при х< — и монотонно возрастает при х~> (см. рис. 287 и рнс. 289). В случае, когда о<0, она, наоборот, монотонно возрастает при х< — и монотонно убы- вает при л> — (см. рнс. 288 и рис. 290). Данная функция имеет единственный локальный экстремум Ь*—4ас (/экстр = fa • 154
Этот экстремумдостигается при ь х = — 2^и является минимумом при а>0 (рис. 287 и рнс. 289) п максимумом при а<0 (рис. 288 и рис. 290). 2. Степенная функция у=хг Область определения такой функции зависит, от г. Напри- мер, при г = 1 (у = л') это будет совокупность всех действитель- 1 ных чисел, при г = у (у = — Ух)— совокупность неотри- цательных чисел, при г = 0 (у =х°) —совокупность всех чи- сел, кроме 0. Для положитель- ных значений х функция у = хг определена всегда, независимо от того, чему равно г. Область изменения функции у = л^такжезавнсптотг. Напри- мер, функция у=х (г = 1) может принимать все действительные значения, функция у = ха (г = 2) — только неотрицательные зна- чения, а функция у = л°(г = 0) — лишь одно значение, рав- ное 1. Среди степенных функций есть четные и нечетные. На- пример, функции у = х3, у — =л4—четные, афункцииу -х3, у = х“3 — нечетные. Некоторые степенные функции (например, у=У~х) определены лишь для неотрицательных значений ар- гумента. Для них ставить воп- рос о четности не имеет смысла. Степенная функция у = хг неперподична. При х>0 степенная функ- ция у = хг независимо от г по- ложительна. Некоторые степенные функ- ции fнапример. 155
у — х * ) не имеют нулей, для дру- гих же нулем является число 0 (на- пример, для функций у = Их,у = х3 и т. д.). Если число г положительно, то при х>0 степенная функция у — хг ,х монотонновозрастает(рпс. 291). Если же г отрицательно, то при х>0 сте- пенная функция у = хг монотонно Рис. 294. убывает (рис. 292). Некоторые степенные функции, например у=-х2, у = х*, имеют локальный минимум в точке х —0. Отметим еще поведение функций у — — и у = вблизи точки х = 0. Когда х стремится к нулю, оставаясь положительным, функция У = у неограниченно возрастает. Когда же х стремится к нулю, оставаясь отрицательным, она неограниченно убывает (рис. 293). Функция у = —я при приближении х к пулю (как слева, так и справа) неограниченно возрастает (рис. 294). 3. Тригонометрические функции Из тригонометрических функций мы рассмотрим лишь две функции: y=sinx и y = tgx. Областью определения функции у = sin .г является совокуп- ность всех действительных чисел, а областью изменения —сово- купность всех чисел, заключенных в интервале [— 1,1]. Функция является нечетной и периодической с периодом 2л. В интервалах 2лл<х<л4-2лл эта функция положительна, а в интервалах л4-2пл<х<2л4-2лл отрицательна (рис. 295). При х = пл она обращается в нуль. В интервалах—-£ + 2пл<х<^4-2лл функ- ция монотонно возрастает, а в интервалах у4-2лл<х<-|-« + + 2лл монотонно убывает. 156
Точки X — -у -|-2лл являются точками локального максимума функции y=sin х. В них она при- нимает наибольшие значения, равные 1. Точки х=> — у 4-2л л являются точками локального минимума. В них.функция при- нимает наименьшие значения, равные — 1. Функция у = tg хопределена при всех значениях х, кроме х= у4-лл. Областью ее измене- ния является совокупность всех действительных чисел. Эта функция нечетна н периодична с пери- одом л (рис. 296). В интервалах лл<х<-^-4-лл она положи- тельна, а в интервалах —у + лжХлл отрицательна. При х = лл функция обращается в нуль. В каждом интервале, не содержащем точек х = у4-лл, эта функция монотонно возрастает. Локальных экстремумов функция не имеет. Когда значения х неограниченно приближаются к у -f- пл, оставаясь меньше + лл, значения функции у = tgx неограниченно возрастают. Когда же значения х неограниченно приближаются к оставаясь больше этих значений, функция y = tgx неограниченно убывает. 4. Показательная функция у = а* (а>0, ajtl) Областью определения этой функции является совокупность всех действительных чисел, а областью изменения — совокупность всех положительных чисел. Функция не является ни четной, пи нечетной. Не является она н периодической. При всех значениях аргумента к эта функция положительна. При а>1 показатель- ная функция у— а* является монотонно возрастающей (рис. 297), а при а<1—монотонно убывающей (рис. 298). Точек локаль- ных экстремумов функция не имеет. 5. Логарифмическая функция jz = !ogax (а>0, aj^t) Областью определения этой функции является совокупность всех положительных чисел, а областью изменения— совокупность всех действительных чисел. О четности или нечетности этой функции говорить не имеет смысла. Функция не является перио- дической. Если а>1, то при л>1 функция положительна, а 157
при л<1 отрицательна (рис. 299). Если же а<1, то, наоборот, при л> 1 функ- ция отрицательна, а при л<1 положительна (рис.300). Единственным нулем лога- рифмической функции яв- ляется точка х = 1. При а> 1 эта функция является моно- тонно возрастающей (рис. 299), а при а<1—монотон- но убывающей (рис. 300). Ло- кальных экстремумов функ- ция не имеет. Если а>1, то при приближении лк ну- лю функция неограниченно убывает; если же а<1, то при приближении х к нулю функция неограниченно возрастает. Упражнения По плану, описанному в данном параграфе, исследо- вать функции (№1643—1652): 1643. у = sin2 х. 1644. у = sin 2л. 1645. у = — I cos л I . 1646. w = sin ^л—. 1647. y=tg . 1648. у = х2— 4л+ 5. 1649. у=л24-л— 7. 1650. у=1-|-л — 2л2. 1651. у = л]/л. 1652. J I—х Предел функции § 211 Прежде чем дать общее оп- ределение предела функции, рас- смотрим несколько примеров. Пряме’р I. Пусть )(х) = х2. Если аргумент х пробегает ряд значений, сходящихся к числу 2, 158
то функция f(r) будет пробегать ряд значений, сходящихся к числу 4. Это можно заметить, рассматривая таблицу приближенных значений функ- ции | ха — 4|. X 1.95 1,97 1,98 1,99 2,00 2.01 2,02 х* (приближенно) 3,84 3,88 3,92 3,96 -too 4,04 4,08 |ха-4| (приближенно) 0,16 0,12 0,03 0,04 0 0,04 0,08 Чем ближе значение аргумента х к 2, тем меньше абсолютная величина разности ха—4. В этом можно убедиться и строго математически, не обращаясь к таб- личной иллюстрации. Докажем, что, какое бы малое положительное число е мы ин взяли, всегда можно указать такой интервал, содержащий внутри себя точку х=2, что для всех точек этого интервала будет выполняться неравенствах3— 41 < е. Действительно, неравенство | ха—4 | < е эквивалентно двойному нера* веиству — е < х3 — 4 < е, откуда получаем: 4 —е < ха < 4 + е, 1^4 — « < х < + в. (Мы учитываем только положительные значения х, поскольку попеденпе функции у = х* нас интересует сейчас лишь вблизи точки х=2.)____ Итак, неравенство |ха —4| <е выполняется в интервале \^4 — е< х< < У^ + е, который содержит внутри себя точку х = 2. Например, неравенство | ха — 4| < 0,1 (е = 0,1) выполняется в интервале У"3,9 < х < К4,1, или 1,98 < х < 2,02; Неравенство | ха—4 | < 0,01 (е = 0,01) выполняется в интервале Кз,99 < х < К4,01, пли 1,998 < х < 2.002. Интервал (К4 — е. p^4 +в) можно было бы построить п геометрически. Пусть А есть точка графика функции j/ = xa с абсциссой х = 2 (рис. 301). По обе стороны от этой точки проведем горизонтальные прямые, отстоящие от Я " на расстоянии е. Эти прямые пересе- кают правую часть параболы у = ха 159
в точках В и С. Опуская из них перпендикуляры на ось абсцисс, получим отрезок В'С’. Этот отрезок н представляет собой интервал (К4—е, К 4 4-е), который раньше мы получили алгебраически. Итак, если значения аргумента х выбирать достаточно близкими к 2, то значения функции у = х2 будут как угодно мало отличаться от 4- Можно, например, добиться, чтобы выполнялись неравенства |х2 —4| < 0,001; I4 I < 0,0001 и т, д. Число 4 в таком случае естественно назвать пределом функции у=х2 при х, стремящемся к 2. “~9 Пример 2. Рассмотрим таблицу значений функции У=х_£ вблизи точки х = 3. X 2,94 2,96 2,98 3 3,02 3,04 3,06 Чм Н *4 to I 1 оо (0 5,94 5,96 5,98 Функция не определена 6,02 6,04 6,06 При х=3 паша функция не определена: числитель и знаменатель дроби обращаются в пуль. Если же значения х выбирать достаточно близкими к 3 (но не равными 3), то соответствующие значения у будут сколь угодно близки к 6. Не ограничиваясь табличной иллюстрацией, докажем этот факт строго математически, а именно: покажем, что для любого положительного числа е, как бы мало оно нн было, можно указать такой интервал, содержащий точку х = 3, что всюду внутри пего, за исключением самой точки х=3, будет выполняться неравенство |у-6|<е. (1) Действительно, если х 3, то Поэтому неравенство (1) сводится к такому неравенству! 1*4*3—6| <е, пли j х—31 < е. Последнее неравенство эквивалентно двойному неравенству — е < х—3 < е, откуда получаем: 3 —е < х < 34" е. Таким образом, неравенство (1) выполняется для всех значении х, заклю- ченных в интервале от 3—е до 3+е, кроме значения х=3. Если, например, мы хотим, чтобы значение у отличалось от 6 меньше чем на е=0,01, то должны рассматривать значения х в интервале от 3—0,01 до 34*0,01, то есть в интервале (2,99; 3,01). Аналогично, при е = 0,001 мы получили бы интервал (3—0.001; 3-(-0,001); или (2,999; 3,001) и т. д. 160
Интервал 3—е < х < 3-|-е можно было бы построить и геометрически. Это по- строение вполне аналогично тому, кото- рое мы делали при рассмотрении приме- ра'1. Поэтому мы ограничимся лишь тем, что приведем соответствующий рисунок (рис. 302), предлагая учащимся самостоя- тельно в нем разобраться. Итак, если значения аргумента х вы- бирать достаточно близкими к 3, но не равными 3, то значения функции / (х) будут сколь угодно мало отличаться от 6. Можно, например, добиться, чтобы раз- ность | у — 6| была меньше 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. Несмотря на то что рассматриваемая функция не определена при х = 3, есте- ственно считать, что предел ее при х—»-3 существует и равен 6. р 3()9 Рассмотрев примеры, мы переходим к ' следующему определению предела функции. Число b называется пределам функции f (х) при х, стремящемся к а, если для любого положительного числа е можно указать такой открытый интервал, содержащий точку х=а, что всюду внутри него, за исключением, быть может, самой точки х = о, будет выполняться неравенство I — < Е Тот факт, что предел функции f (х) при х стремящемся к а, ревен Ь, ва- пнсывается следующим обрезом: lim / (x) = b х-*а (читается: предел /(х) при х, стремящемся к а, равен Ь). Например, х2________________________________________9 lim х2 = 4; lim ——5-=6. Х->2 х-*з * а Упражнения Исходя из определения предела, доказать следующие соотношения (№ 1653-1658): X— 1 1653. lim (1к5) = 5. х-> с 1656. 1ПП -7- =2. х-1 \Г X — 1 1654. lim р/х = 2. х-* в v х2—0,25 less. Вт ,_0 5 -1. 2 х2 — х—6 1657. If in ——р-7— = —5. 1658*. lim 10х =1. X —* о 1659. Почему при нахождении пределов некоторых дробей (см., напри- мер, упр. № 1655—1657) возможно сокращение этих дробей? Ведь то выраже- ние, на которое мы сокращаем, может обратиться в нуль! Ь заказ № Ь5 161
Рис. 305. Основные теоремы о пределах функций § 212 Пре л де всего заметим, что не для всякой функции y — f (х) существует предел lim [ (х). Так, например, при к-*а х__►-^- значения функции # = tgx (рис. 303) или неограниченно растут [ л \ , I при х < 1 , или неограниченно убы- (л \ „ при х > — }. Поэтому нельзя ука- зать никакого числа Ь, к которому стре- мились бы значения этой функции. Другой пример. Пусть / 1 —х, если х < 0, f (х) = •; 0, если х=0, ’ — 2—х, если х > 0. График этой функции представлен на рисунке 304. Когда значения аргумен- та х приближаются к 0, оставаясь от- рицательными, соответствующие значе- ния функции стремятся к 1. Когда значения аргумента х приближаются к 0, оставаясь положительными, соот- ветствующие значения функции стре- мятся к —2. В самой же точке х—0 функция обращается в 0. Очевидно, что указать одно какое-нибудь число, к ко- торому стремились бы все значения у при приближении х к 0, нельзя. Поэто- му данная функция не имеет предела при х —» 0 Говоря в дальнейшем о пределе фуикции. мы всегда будем предполагать, что этот предел существует. (Предположение о существовании предела lim [ (х) еще не означает, что этот предел совпадает со значением функции f (х) в точке х = а. Для при- мера рассмотрим функцию, график ко- торой представлен на рисунке 305. Оче- видно, что предел Iim/(x) существует х-> о и равен 1 Но в самой точке х = 0 функ- ция принимает значение, равное 2. Поэтому в данном случае lim /(х)^/(0). Х-» о Если функции y = f(x) ряет условию lim f(x)=f(a), х-*а удовлетво- 162
то она называется непрерывной в точке х=а. Есля же указанное условие не выполняется, то функция / (х) называется разрывной в точке х=а. Все элементарные функции (например, у — х", у=ыпх, у — tg х, у= tg*x-f-tgх и т. д.) непрерывны в каждой точке, в которой они опре- делены. Функция y = f (х) называется непрерывной в интервале [а, Ь], если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Например, функция ^ = lgx [л ----------------------------4" ’ ~4~ прерывны в любом интервале и т. д.'_ Приведем без доказательства основные теоремы о пределах функций.' Эти теоремы вполне аналогичны тем, которые мы рассматривали (также без доказательства) ранее прн изучении пределов числовых последовательностей. 1. Предел константы равен самой этой константе-. lim с=с. Л , функции j/ = sinx и у = cos у—ве- 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела-. lim [£•((*)] = £• l>m / (*)- х-»а х-»а 3. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) про- делав этих функций-. lim [f(x)±g(x)]= lim f (х) ± limg(x). ж -* а ж-» а x -♦ а 4. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций-. lim [f(x)-g(x)]= lim f(x)- lim g(x) x-» a x -» a x -» a 5. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен кулю-. lim f (х) lim --7\ = х^-а—гч» [limg(x) 0). W I'1" £ (х) х-о х-»а Рассмотрим несколько типичных примеров нахождения пределов функций. Пример 1. Найти 7х—5 ж™, 10 + 2х- По свойству пределов lim (7х—5) lim 7х— lim 5 .. 7х — 5 _ х в_______________ х~> а____х-» » J™ 10 + 2x-lim (10 + 2х)“ lim 10+ Um 2х = х-»» х-6 ж-& nta«-s 7,5_5_30_3 = i0+2 lim х 10 + 2-5 20 2 * Х-» 6 Пример 2. Найти Um ж-»з х*—2х—3 х*—5х+6 ’ 163
При х—>3 числитель и знаменатель данной дроби стремятся к нулю. Поэтому непосредственное применение теоремы о пределе частного здесь невозможно. Однако данную дробь можно сократить: Л»-2х-3 = (х-3)(х+1) = *+_1 х1— 5х+6 (х—3)(х—2) х —2‘ После этого предел может быть легко найден: lim X —► .1 хг—2х —3 ха —5х 4-6 lim х-* з х+1 3+1 х—2 3—2 Пример 3. Найти __ lim »++. *-► О х— к X Этот предел легко находится, если предварительно данную дробь сократить на У х: lim lim JlZ±1=£+1 = --1. x-Ох— yx x-t-oyx— 1 0-1 (Обратите внимание па следующую важную особенность, характерную для рассмотренного примера. Когда мы говорим о пределе lim f(x), то х-»а обычно предполагаем, что функция f (х) определена во всех точках, достаточно близких к точке х = а. Однако функция определена х— у х лишь для положительных значений х. Поэтому, рассматривая предел этой функции, мы фактически предполагаем, что х—► 0, оставаясь все время положительным. В подобных случаях говорят не просто о пределе, а об одностороннем пределе. С аналогичными примерами мы еще встретимся при выполнении упражнений к этому параграфу.) Пример 4. Найти lim —Х --- . х-»о V 1+х-1 Предел знаменателя дроби при х—*-0 равен 0. Поэтому непосредственное использование теоремы о пределе частного здесь невозможно. Кроме этого, данную дробь нельзя сократить, как мы делали ето в примерах 2 н 3. В данном случае числитель н знаменатель дроби следует умножить на выражение yl + x+1, сопряженное знаменателю дроби. В результате получим; х = *(У 1 +х+ 1) = х(К1+*+1)_ у+ j ГГ+7-1 (/Г+7-1)(КГ+^+О i+x-l После этого данный предел находится легко: 11т з/тт-'—lim (К1+х+0 = 14 !—2. к -» о V 1 +х— 1 х-» о (Полагая, что lim У1 + х= 1, х —► о мы тем самым используем свойство непрерывности функции у=У\-\-х: lim /Г+7= )/"1 + 0— 1.) X о 164
Пример 5. Найти lim « Ух-2 х — 4 При х—>-4 числитель и знаменатель данной дроби стремятся к нулю. Поэтому применить теорему о пределе дроби нельзя. Преобразуем дробь, представив знаменатель в виде произведения: У~х—2 —2 1 х — 4 ~(У7 + 2)(У'Т-2)~У7 + 2’ Теперь получаем: KT-2_r 1 1 _1 х-* « х—4 х-ыУх-]-2 24-2 4 Упражнения Найти пределы (№ 1660—1675): 1660. lim (2xs4-3x—5) Х-» 1 1661. lim (Зх —xs). Х-* ь 1668. lim х-1 i-j< А 1669. lim j-J —2. v-* ю У х —4 1662 lim _ к^.02хя—х — 1 1670. V х* + 4—2 ’ , Xs—Зх-4-2 •вез. шп х,-4х;3. Зх»4-5х —2 1664. *Um* 5л2+12x4-4* 1671. 1672. lim Х-> 3 1673. lim *-* 1 х —3 /2x4-10 — 4 ’ /х~+3-2 1667. lim + х-* о х 1674. lim х-» о 1675. lim х-»о Некоторые тригонометрические неравенства и их использование при нахождении пределов В $ 213 В этом параграфе мы докажем некоторые тригонометрические неравен- ства, которые будут играть важную роль в дальнейшем изучении функций. 1. Для любого острого угла х (выраженного в радианах} sin*<*<tgx (1) Доказательство. Пусть на рисунке 306 ОА = ОВ = 1, ^£АОВ = х радианам, BD и АС перпендикулярны к ОА. Очевидно, что площадь тре- угольника ОАВ меньше площади кругового сектора ОАВ, а площадь круго- 165
вого сектора О АВ, в свою очередь, меньше площади треугольника ОАС. По S^oab = ^OA.BD = ^BD-, _ л-ОА* х ^сскг. ОАВ— 2д 'х— 2 * ОАС — 2" ’ рнс /-Q6 Учитывая, что BD=sinx, AC— tgx, получаем: 1 х 1 , -yStnx< — < — tgx, откуда п вытекает неравенство (I). Рисунок 307 служит графической иллюстрацией неравенства (О- В интервале ^0, график функции у = х расположен выше графика функции i/ = sinx, ио ниже графика функции i/ = tgx. Остановимся подробнее на неравенстве sinx<x. Мы доказали его „ л в предположении, что 0 < х < . Но прн таком предположении х u sin х положительны. Поэтому х = |х| и sinx=|sinx| и неравенство sinx<x можно переписать в виде: > I sin х I < I X |. (2) Эго неравенство верно н для отрицательных значений х, заключенных в интервале (-----— , 0 1, так как (sin (— х) | = | — sin х | = | sin х|, |-х| = |х|. Перепишем неравенство (2) в виде: | sin х —01 < | х |. Если х стремится к 0, то |sinx—0|, будучи меньше |х|, тем более будет стремиться к нулю. В частности, |sinx —0| может стать меньше 0,1; 0,01; 0,001 п т. д. Вообще, какое бы малое по- ложительное число е мы ни взяли, всегда можно добиться, чтобы выполнялось -нера- венство |sinx—0|<е. Для этого нужно х выбирать в интервале (—е, е). Но это означает, что lim sin х = 0. о Предел синуса х при х —»• 0 равен 0. (Поскольку 0 = sin0, то полученный резуль- тат по существу означает, что функция j/==sinx- непрерывна в нуле (то есть прн х = 0).) 2. Для любого острого угла х (выражен- ного в радианах) I — cos х < X. (3) Действительно, 1—cos х = 2 snis . Но 166
О < sin — <М. Поэтому sin* — < sin . По доказанному выше sin . Итак. 22 1 —cos х =2 sin* у < 2 sin < 2 у = х, что и доказывает формулу (3). Если угол х острый, то х и 1—cosx положительны. Поэтому х=|х|» 1—cosx = fl—cosх|. Следовательно, неравенство (3) можно переписать в виде: 11 —cos х | < | х |. И) Это неравенство, очевидно, верно и при х < 0, поскольку 11 —cos (—х) | = | 1—cosx|; |—х| = |х|. Из (4) вытекает, что lim cosx=l. X — О Предел косинуса ж при ж—>-0 равен 1. (Поскольку l=cosO, то полученный результат по существу означает, что функция у = cosx непрерывна в нуле. Отсюда, используя доказанную выше непрерывность в нуле функции 9 = sinx, легко показать, что функции i/=sinx и y = cosx непрерывны в любой точке х. Попробуйте это сделать сами!) Упражнения Найти пределы (№ 1676—1681)1 1676. lim tgx. 1678. lim sinf2L_{_xV 1680. lim tg (—+2x^ . x-t-o x-»t \ 4 / x-»o \ 3 ) 1677. lim cos — . 1679. lim sin 2x. 1681. Urn cos (-5—x \ . x-o 2 x-o x-o <3 ) 1682. Доказать тождества: a) lim sin (x + a) = sin a; 6) lim cos (x + a) = cos a. x—- о x — 0 1683. Для всех ли положительных значении х верны неравенства: а) sin х < х; б) х < tg х? 1684. Докажите, что единственным корнем уравнения sinx=0 является Предел отношения при х —0 $ 214 Докажем, что lim ««*=1. (1) х —о X Пусть х стремится к нулю, оставаясь при этом положительным. Тогда можно считать, что 0 < х < и потому, как было показано в § 213. sin х < х < tg х. причем все входящие в это неравенство выражения положительны' Рассмотрим три дроби: sin х sin х sin х sin х х tg х 167
При одинаковых числителях меньше та дробь, знаменатель которой больше. Поэтому sinx sinx sinx sin х x tg x или , sin x 1 > > COS X. X Умножим это неравенство почленно на —1. Знаки неравенства при этом изменятся на противоположные: . sin x _ — 1 < < — cos X. X Прибавив к каждой части этого неравенства 1, получим: _ _ , sin х _ , 0 < 1 < 1 —cos x. X Но 1 —cos X < X (см. § 213). Поэтому о< i-^LL < х. X _ „ , sin х . sin х Так как х> 0 и 1----------> 0, то величины 1--------— и х в последнем неравенстве можно заменить их абсолютными значениями. В результате получим: 1. sin х I , , 1 х <W. что можно, конечно, записать н в таком виде: Ц^-1|<|.|, (Э Неравенство (2) мы получили в предположении, что х > 0. Однако оно _ . sin х верно н при х < 0, так как функция —— четна, и, следовательно, | sin (—х) ,| | sin х | (-х) |~| х Если х стремится к нулю, то, как видно нз (2), —1|, будучи меньше | х |, тем более будет стремиться к нулю. Как бы мало ин было положительное число е, всегда можно добиться, чтобы выполнялось не- равенство sin х , I ——1| < е. Для этого х нужно выбирать в интервале (— в, е). Но это и означает, что lim *™=1. х-о х । „ п I sin х , I Следствие. Поскольку при малых значениях х I—------1 мало, то можно написать приближенное равенство | sin х г. sin х итсюда —— х 1 и, следовательно, sm х х х. х 0. 168
Итак, при малых значениях х sin ххх. Это лишний раз подтверждает справедливость вывода, к которому мы пришли в § 113 главы V (часть I) при рассмотрении графика функции y=sin х при малых значениях х. Примеры! sin (0,01) «0,01, sin (0,04) х 0,04, sin (0,07) и 0,07, sin (—0,03) х —0,03. Сравните эти значения с теми, которые приведены в таблицах В. М. Бредиса: Примеры вычисления пределов § 215 В этом параграфе мы вычислим несколько пределов, используя соот- ношение Mm li!LL=l. X о х Пример 1. Найти lim . * -» О х Умножив числитель и знаменатель данной дроби на 3. получим: sin 3х_3 sin Зх ~х~~ Зх • Обозначим Зх через у. Из условия х—* *-0, очевидно, вытекает, что и у—»-0. Поэтому lim s-!!13f= lim ?sin3x= lim 1^=3 lim =3.1=3. - K-*0 x X -> 0 3x V -* 0 У f -» 0 у Пример 2. Найти sinmx , , Mm —— (n # 0). X -» V ЯХ Умножая числитель и знаменатель данной дроби на т и вводя новую переменную у — тх, получаем: Mm sin/nx- lim m‘sin-2-x= Мт х-»о лх «-»о л(тх) у-»о пу Вт ^1£=/1.1 = -^. Л ч -> <1 у Л п Пример 3. Найти Используя тождество 1 — cos x=2sin*-^-, получаем: 2sina -£• Mm lim :--Д. Х-0 X» , *-*0 X* 169
Введем новую переменную У— -% • Тогда х=2у и Итак, lim х-> о lirn Xs Р-* о 2sin2y_ i ljm sin2у (2y)s 2j-m у2 =1 lim lim Щ ’ bi > 2 i/-* о у y-f о У 2 2 Dm x-* о 1—cosx 1 i2 2 Отсюда, в частноеru, вытекает, что при малых значениях х 1 —cosx 1 I2 ~ 2 ’ или I 1 . 1 — cos х я Xs, cos хи 1 —2 Xs. Например, cos (0.04) и 1 —у • 0.0016 я 0,9992. cos (— 0,08) я I —у • 0,0064 » 0,9968. Сравните эти значения с табличными! Упражнения Найти пределы: 1685. Ил. * -+ о 2х 1686. lim X-f 0 6х 1687. Мт . 1690. lim . х -* о X 1691. Нт tg °L. х-» О bx 1692. Пт S?s6x-cos4x> * — 0 Xs 1693. Вт v~Lin4x ж-» о х 1694. Вт >С±+^пх-/х Х-»Л sin X 1695. lim Зх-sin 12х , х -» о 10х 1696. lim sin5* + sin 7х Х-* О X Т 1697. lim /H sinx-K5-sinx х-» О х 1698. lim К» + COSX-/2 t х->0 Xs 170
1699. lim coslOx-cosx t x -* о 4x8 1701. 1700. lim sin llx~6x x-f о 5x 1—cos Um я ь (5x +n)2 Из истории развития понятий функции и предела § 216 До XVII века математика была наукой о постоянных величинах. Введение переменных величин связано с именем французского ученого Декарта. Его работы получили высокую оценку Ф. Энгельса, который говорил: „Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение ц диалектика". Термин „функция** появился в одной из работ немецкого ученого Лейбница (1646—1716). Понятие функции ученые XVII и XVIII веков вводили по-разному. Одни определяли функцию как некое „аналитическое выражение**, другие связывали понятие функции с „произвольно начерченной кривой**. Идею соответствия, как единственную основу понятия функции, подчеркнул в своем определении‘немецкий математик Дирихле (1805—1859). у есть функция ог х, говорил он, если всякому значению х соответствует вполне определенное значение у, причем совершенно неважно, каким именно спосо- бом установлено указанное соотношение. Еще до Дирихле идею соответ- ствия высказал основатель неевклидовой геометрии Николай Иванович Лобачевский (1792—1856). Однако долгое время это оставалось неза- меченным в математике. Привычное для нас обозначение функции у — f (х) принадлежит Эйлеру. Определение предела впервые появилось в XVII веке. Зачатки теории пределов можно обнаружить, например, в работах английского физики и математика Исаака Ньютона (1642—1727). Однако математики XVII и XVIII веков не ставили своей задачей построить стройную теорию преде- лов. Эта задача была поставлена и решена лишь в Х[Х веке. Большая заслуга в этом принадлежит французскому математику Коши (1789—1857). Он развил теорию пределов и положил ее в основу построения одного из важнейших разделов математики — ы атематического анализа. Задачи на повторение Найти области определения функций (№ 1703—1706): 1703. у = ,705- 1. 1704. g-ie/JL-is- |Ж- » = Ж7- Найти области изменения функций (№ 1707—1709): 1707. »/ = (— 1)х. 1708. у = 5sin х—10cosx4-1. 1709. у = 10CMV. 1710. Функции /(х) и g(x) — монотонно возрастающие на всей числовой прямой. Будет ли их произведение монотонно возрас- тающей функцией? Ответ пояснить примерами. 171
1711. Доказать, что если функция f(x) периодична с перио- дом тТ, а функция g(x) периодична- с периодом пТ, где m и и — натуральные числа, то функции f(x)+g(x) и f(x) g(x) периодичны с периодом пгпТ. 1712. Доказать, что функции у— а* и у = logux(a> 0, аФ 1) не являются периодическими. Какое обобщение этого результата вы могли бы предложить? 1713. Используя тождество (подумайте, как оно получается!) f (%) = Н *)+/(-*) । доказать, что любую определенную на всей числовой прямой функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функций. 1714*. Доказать, что любую функцию f(x), определенную на всей числовой прямой, можно единственным способом пред- ставить в виде суммы четной функции <р(х) и нечетной функ- ции 6 f (л) = ф (л) +g(x). 1715. Представить функцию у = 2* в виде суммы четной и нечетной функций. Исследовать функции (№ 1716—1721): 1716. у = /<Гsinх + cosx. 1718. y = ^=-L 1720.у=6х’+х+1. 1717. у = |х2 —2х—3|. 1719. у =/Г-cosx. 1721. у-[х}. Найти пределы (Х° 1722—1737): 1722. lim * -* i x* + 3x + 2 x2 — 2x4-3 ’ 1723. lim x -* 0 /2 —K2^x 2x Уа-j-x— Va—x УТ+Х—УТ^Х 1724. lim X -► 0 1725. lim о X £/14-xa—1 1726. lim x -> о X 1727. lim x -> о sin 9x-|-sin И* 5x 1728. lim x -► 0 Sin X—tg X x3 1729. lim ! ~c?s х . X -» О х 1738. Доказать, что для любых 1730. lim —QX . х -r n sin bx 1731. lim . X- 0 tgt>x 1732. lim tg *+te . x-»o sin3x 1733. lim Le^ + 4^ . x - 0 (n 4- 6) X 1734. lim ><1+sin x-Kl-sinx x->o tgx 1735. lim ( -J-------L_\ . x -» n \ sin x tg x j 1736*. lim . x-a fx-J/a 1737*. у = lim ' 1—Ksin2_. x _» Д. V 1 + cos л — 1 a натуральных чисел m и n lim n
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ X Равномерное и переменное движение по прямой. Скорость и средняя скорость движения § 217 Из всех движений тел простейшим является равномернее движение по прямой. Это такое движение, когда тело, не меняя направления, за любые равные промежутки времени проходит пути одинаковой длины. Равномерно и прямолинейно движутся на некоторых участках поезда, автомобили, пароходы, самолеты и т. д. Путь, проходимый телом при равномерном движении по.прямон в еди- ницу времени, называется скоростью этого движения. На практике мы часто имеем дело с неравномерным движением. Поезд, отходящий от станции, сначала только „набирает скорость**. За вторую минуту своего движения он проходит путь, больший, чем за первую, за третью минуту — путь, больший, чем за вторую, и т. д. Набрав опреде- ленную скорость, он идет равномерно, проходя за каждую минуту пути одинаковой длины. При приближении к месту назначения поезд начинает сбавлять скорость, проходя за каждую минуту путь, меньший, чем за предыдущую минуту. То же самое можно сказать об автомобиле, паро- ходе и т. д. В различные, но равные по величине интервалы времени тело, нахо- дящееся в неравномерном движении, может проходить пути разной длины. Поэтому неравномерное движение (в отличие от равномерного) нельзя полностью охарактеризовать длиной пути, пройденного в какую-нибудь единицу времени. Часто неравномерное движение характеризуется средней скоростью за определенный промежуток времени. Средней скоростью движения за время t называется отношение длины s пути, пройденною телом за время f, к этому времени: s V'P = T • Для равномерного движения средняя скорость на любом участке пути совпадает со скоростью движения. Средней скоростью обычно характери- зуется движение поездов. Например, экспресс Москва —Ленинград (рас- стояние 650 кж) находится в пути 6 «, и потому мы говорим, что его сред- няя скорость равна: V'P = Одиако это не означает, что за каждый час экспресс проходит 108 км. Например, за первый час движения, когда поезд „набирает скорость**, он проходит всего лишь 80—90 км. В следующий час пройденный путь со- ставляет примерно 130 км. В Бологом экспресс делает остановку, и потому за тот час, на коюрый приходится эта остановка, экспресс проходит путь еще меньший, чем 80—90 км. 173
Из этого примера видно, что средняя скорость не может служить полной характеристикой неравно- мерного движения. Упражнения 1739. На рисунке 308 представ- лен график движения поезда. На ка- ких участках поезд шел равномерно и на каких неравномерно? Когда он делал остановку и на сколько ми- нут? Найти среднюю скорость по- езда за первые 4 часа. С какой средней скоростью шел поезд в течение четвертого часа дви- жения? 1740. В интервале времени (0, tt) км поезд шел со скоростью , в интервале времени (tlf ft)—со скоростью оа —, в интервале времени (/а, /3) — со скоростью о3-^- н т- Д > наконец, в интервале времени (/„_!, /п)—со скоростью и„. Чему равна средняя скорость движения поезда в интервале времени (0, 1Я)? Закон движения. Мгновенная скорость движения § 218 К более полной характеристике движения можно прийти следующим образом. Время движения тела разобьем на несколько отдельных проме- жутков (ft, /а), (/а, 13) и т. д. (не обязательно равных, см. рис. 309) и на каждом из них зададим среднюю скорость движения. Эти средине скорости, конечно, будут полнее характеризовать движение на всем участке, чем средняя скорость за все время движения. Однако и они не дадут ответа на такой, например, вопрос: в какой момент времени в ин- тервале от до tt (рис. 309) поезд шел быстрее: в момент fj или в мо- мент fa? Средняя скорость тем полнее характеризует движение, чем короче участки пути, на которых она определена. Поэтому один из возможных способов описания неравномерного движения состоит в задании средних скоростей этою движения на все более и более малых участках пути. Предположим, что задана функция $(/), указывающая, какой путь проходит тело, двигаясь прямолинейно в одном и том же направлении, {г tf t.2 tj tn Рис. 309. 174
эа время t от начала движения. Эта функция определяет закон движения тела. Например, равномерное движение происходит по закону s (t)=ot, где v—скорость движения; свободное падение тел происходит по закону где g—ускорение свободно падающего тела, и т. д; Рассмотрим путь, пройденный телом, движущимся по некоторому за- кону s(t) за время от t до /-|-т. К моменту времени t тело пройдет путь s(<). а к моменту времени f-j-т—путь $((-|-т). Поэтому за время от I до <4-т оно пройдет путь, равный s(Z-)-t) — s (/) Разделив этот путь на время движения т, мы получим среднюю скорость движения за время от t до Предел этой скорости при г —► 0 (если только он существует) называется мгновенной скоростью движении в момент времени t: о(О= Um Stf + T)—s(Q т -» О т Мгновенной скоростью движения в момент времени t называется пре- дел средней скорости движения за время от t до / + т, когда х стремится к нулю Рассмотрим два примера. Пример 1. Равномерное движение по прямой. В этом случае s(t)=ot, где о — скорость движения Найдем мгновен- ную скорость этого движения Для этого предварительно нужно найти среднюю скорость в интервале времени от /до /-|-т. Но для равномер- ного движения средняя скорость на любом участке пути совпадает со ско- ростью движения v. Поэтому мгновенная скорость о (/) будет равна: и(/) = lim п=и. t-»0 Итак, для равномерного движения мгновенная скорость (как и средняя скорость на любом участке пути) совпадает со скоростью движения. К такому же результату, конечно, можно было бы прийти и фор- мально, исходя нз равенства (1) Действительно, o(t) = lim + lim t-* о т т— о г — Нт bL2= lim v=v. х -* о t х о Пример 2. Равноускоренное движение с нулевой начальной ско- ростью и ускорением а. В этом случае, как известно нз физики, тело движется по закону 175
По формуле (1) получаем, что мгновенная скорость такого движения о(0 равна: а (1~Н)а—ata ... li— s(t4-T)—s(/) Iim 2 v(t) = lim ——‘— -----— = lim --------------_ T -* 0 т r -* 0 i = lim о/г + 2оП + отг —al2 iim т -• о 2т t -» о 2r = lim ( at -|- — т ) = lim at -f- lim ~ x. т -»• о \ 2 J т-»о т -* о 2 Поскольку at не зависит от т, lim at=at. т -»о Кроме того. Поэтому lim —х=— lim т=— .0 = 0. : о 2 2 I -» о 2 v (t) = af -j-O = at Итак, мгновенная скорость равноускоренного движения в момент времени t равна произведению ускорения на время t. В отличие от равно- мерного движения мгновенная скорость равномерно ускоренного движения меняется с течением времени. Упражнения at* 1741. Точка движется по закону s(l) = v0Z4—— (s —путь в метрах, t — время в минутах). Найти мгновенную скорость этой точки: а) в начальный момент движения; б) в момент времени t0. 1742. Найти мгновенную скорость точки, движущейся по закону s(0 = /3 — путь в метрах, I —время в минутах): а) в начальный момент движения; б) через 10 сек после начала движения; в) в момент /=5 мин 1743. Найти мгновенную скорость тела, движущегося по закону $(/)—^7 , в произвольный момент времени t. Производная функции § 219 На протяжении всего школьного курса алгебры и элементарных функ- ций мы расширяли математические понятия, углубляли их, доводя до более общих, более сложных понятий. То же самоа нам предстоит сделать и в этом параграфе. Что представляет собой мгновенная скорость движения, определен- ная в § 218? Имеется некоторая функция s (I), указывающая путь, пройденный телом за время от 0 до t. Аргументу t дается некоторое приращение т, то есть вместо значения i рассматривается значение f + т. Этому приращению аргумента соответствует следующее приращение функции $(/): s (I + т)-s (I). 176
Это приращение функции делится на приращение аргумента т s(/+0-s(0 (1) и берется предел прн т —► 0. Выражение s(/ + t) —s(0 т можно рассматривать как „среднюю скорость** изменения функции s (0 в интервале от t до /-f-т, а предел этого отношения при т—»-0—как мгновенную скорость изменения этой функции в момент времени I. В приведенных выше рассуждениях функция s(0 представляла собой путь, пройденный телом за время от 0 до t. Это обстоятельство накла- дывало на функцию s(O определенные ограничения. В частности, она дол- жна была быть определена только для неотрицательных значений аргумен- та I (ведь/ — время), принимать только неотрицательные значения (s — дли- на пути) и быть монотонно возрастающей (чем больше время, тем больше пройденный путь). Теперь же мы обобщим наши результаты на произволь- ные функции, вообще говоря, никак не связанные с движением тел. Пусть Дх)—произвольная функция. При фиксированном значении х0 аргумента х эта функция принимает значение, равное / (х0). Дадим знач. - нию х0 приращение Дх0* ••, то есть вместо значения х0 рассмотрим значенье х04-Дл0. Тогда функция f (х) примет значение Дхр4-Дхр) и» таким обра- зом, получит приращение Дг/0 **: дРо =Д*о+ Аар> — t (То)- Отношение Д|/о Дх0+Дх0) —Дх0) Д*р Д*о представляет собой среднюю скорость изменения функции Дх) в интервале от х0 до Xp-J-Дхр. Эта средняя скорость зависит, очевидно, как от х0, так я от Дх0. Устремляя теперь Дх0 к нулю, мы получим мгновенную скорость изменения функции [ (х) в точке х = х0: lim lim /<Ао+Дуо)-/(Ао) Д»в-»рД*о Дхо-»о Дхр (если, конечно, указанный предел существует). Для заданной функции f (х) этот предел зависит от х0 и называется производной от $ункции Дх) в точке х = Хр. Каждому значению х0 соответствует свое значение мгновен- ной скорости изменения функции Дх) Поэтому предел (если только он существует) Itm Дх) —Дх) , Дх -* р Дх представляющий собой мгновенную скорость изменения функции Дх) в произвольней точке х, можно рассматривать как новую функцию аргу- мента х. Эта новая функция называется производной сап заданной функ- ции Цх) * Выражение Дх0 читается: дельта икс нуль. Это одно, нераздельное выражегие Его не следует путать с произведением Д-х0. •• Д|/я также нераздельное выражение Его не следует ну тать с про- изведением Дт/о- 177
Часто в выражении „производная от функции f (х)“ слово „от“ опускают и говорят просто „производная функции /(х)“. В математике используется несколько обозначений производной Мы будем пользоваться следующими обозначениями: у’ и f' (х): , Дм f (х +Дх)—f (х) y' = f'(x)= lim = lim ——I——-—-3— . Дх-»о Дх-+о Рассмотрим несколько примеров. Пример 1- Найти производную функции {(х)=с, где с—некоторая константа. Имеем: f(x) = c, /(х-|-Дх)=с. Поэтому Д«/ = /(х-|-Дх)—/(х) = с—с = 0 и, следовательно, ^=^=0. Таким образом, у'= liin lim 0 = 0. ДГ-»О ДХ Дг-*о Производная константы равна 0. Пример 2. Найти производную функции /(х) = *. Имеем: Дх) = х, f (х+ Дг) = х + Дх. Поэтому Д</=/ (х+ Дх)— f (х) = (х+ Дх) —х —Дх. Следовательно, Л|/ Д* . д;=д^=1 Отсюда вытекает, что и = lim -^- = lim 1 = 1. Лк -♦ О Л* А г-* о Производная функции f (х) = х равна I. Пример 3. Найти производную функции f(x)=xa. Имеем! /(х) = х\ /(х+Дх) = (х + Дл)1 Поэтому &у = 1 (х+ Дх)—/(х) = (х -|-Дх)2 —х2 = [х24-2л-Дл-|-^Дх/) —л2 = = 2х'Дх4;(Дхр. Значит, ^ = 2х Дх, Дх Следовательно, у' = lim 11m (2х4-Дх)= lim 2x4- lim (Лх) = Дг-*оа* Дх-»о Дх-»о = 2х4-0 = 2х. Производная функции /(х) = х2 равна 2*. В отличие от первых двух примеров здесь производная зависит от х. Значение производной от функции f(x) при х = а обозначают Г (а) Например, если /(х) = х2, то f'(x) = 2x и потому f (0) = 2-0 = 0 Г (0 = 21 = 2. 178
Упражнения 1744. Найти производные следующих функций: а){/ = х+1; в) «/ = (х4-1)«; д){/=1-х2; б) у = 2х’; г) |f = 2 V х; е) у = ха. 1745. При нагревании тела его температура Т изменяется с течением времени t по закону T = 0,4/s (Т — температура в градусах, t—время в се- кундах). Найти: а) среднюю скорость изменения температуры тела за промежуток вре- мени от ^ = 4 сек до /, = 8 сек; б) мгновенную скорость изменения температуры теЛа в момент 1 = 5 сек. 1746. Ток / ампер изменяется с течением времени t по закону /=0,5Р, где /—число секунд. Найти скорость изменения тока в конце пятой се- кунды. Дифференцируемые функции § 220 Производная функции y = f(x} в точке к определяется как предел г (х) lim Дх-Ю Дх Но пределы существуют не всегда. Точно так же не всегда существуют и производные. В качестве примера рассмотрим следующую функцию: i(*)e|x|. Покажем, что производная f (0) от этой функции при х = 0 не определена. Действительно, по определению производной г (0)_ Um «0+М-/(0) Дх -* о Д* Lm 1°+дх|-|0| = lim 1М дх-»о Дх дх-»0 а* (1) Если Дх стремится к нулю, оставаясь положительным, то | Дх| = Дх и тогда lim Ах-» о (Ах>о) 1^1=1 Дх Если же н тогда Дх стремится к нулю, оставаясь отрицательным, то |Дх|=—Дд г |д*| lim L__L Ах -* о Д* (Ах<о) 1. Если бы предел в формуле (1) существовал, то он не зависел бы от того, как &х стремится к нулю. На самом же деле это не так. Но отсюда можно сделать лишь тот вывод, что предел в (1) не существует. Итак, для функции /(х) = |х| производная в точке х=0 не определена. Легко показать, что во всех остальных точках производная функции /(х) = |х| существует н равна „, _ ( 1, если х > 0, I (х) — —|, если x<-q Предлагаем учащимся убедиться в этом самостоятельно. 179
Рис. 310. Рис. 311. Операция нахождения производной от данной функции называется дифференциро- ванием этой функции. Функция, имеющая производную в точке х = а, называется дифференцируемой в этой точке. Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то говорят, что она дифференцируема в этом интервале. Напри- мер, функция i/ = | х| дифференцируема в каждом интервале, не содержащем точки х=0; функция у = х дифференцируема всюду. (Можно доказать, что функция, разрыв- ная в точке х = а (см. гл. IX, § 212), не является дифференцируемой в этой точке. Таким образом, дифференцируемыми мо- гут быть только непрерывные функции. Однако не следует думать, что любая не- прерывная в точке х = а функция является дифференцируемой в этой точке. Например, функция y = ]xl непрерывна в точке х = 0, но, как показано выше, ие дифференциру- ема в этой точке. Существуют и более убедительные примеры: функция может быть всюду непрерывна, но нигде не диф- ференцируема. Однако рассмотрение таких функций выходит далеко за пределы на- шей программы.) Упражнение 1747. Являются ли функции f (х) = |х|* н^(х) = |х|э дифференцируемыми в точке х = 0? Касательная к кривой § 221 До снх пор мы имели дело лишь с касательной к окружности. Касательной к окружности в заданной точке М мы назы- вали прямую, имеющую с окружностью од- ну н только одну общую точку — точку М. Такое определение годится не для всякой кривой. Например, естественно считать, что прямая АВ касается кривой MNP в точке М (рис. 310), хотя имеет с этой кри- вой не одну, а две общие точки: Л1 и Р. Прямая CD, наоборот, имеет лишь одну общую точку с кривой MNP — точку N. Однако считать ее касательной к кривой МА Р а точке N было бы совсем не есте- ственно. Чтобы определить касательную к про- извольной кривой в точке М (рис. 311), возьмем на этой кривой еще одну точку Mi и проведем секущую MMt. Если точку 180
Mi перемещать по данной кривой, неограниченно приближая ее к точке М, то секущая будет все время поворачиваться вркруг точки М, занимая последовательно положения /И Afi, MMt, ММ3 и т. д. Предельное положе- ние A1N секущей и даст нам касательную к кривой в точке М. Касательной к кривой в точке М называется предельное положение секущей MMt, когда точка Mt, двигаясь по кривой, неограниченно прибли- жается к точке М. Нетрудно понять, что для окружности это определение эквивалентно тому, которым мы пользовались до сих пор в геометрии (см. рис. 312). Точка Л1], двигаясь по кривой, может неограниченно приближаться к точке М с разных сторон. Например, на рисунке 313 точка М' прибли- жается к М не сверху, как на рисунке 311, а снизу. В этом случае мы имеем дело с другими секущими: ММ', ММ", ММ'" и т. д., но их пре- дельное положение то же самое—MN. Однако не исключена и такая возможность (см. рис. 314): в результате приближения точки /Vft к точке М справа секущие ММг, /ИЛ1а, ММЛ стремятся занять одно предельное положение—MN, а в результате при- ближения точки М' к точке М слева секущие ММ', ММ", ММ'" стре- мятся запять другое предельное положение— МР. В подобных случаях говорят, что кривая не имеет касательной в данной точке. Упражнения 1748. Что является касательной к прямой в произвольной ее точке? 1749. Имеет ли график функции r/ = | х| касательную в точкес абсциссой: а) —1; б) 0; в) 1? _____ 1750. Существует ли касательная к графику функции у = | sin х | в точке * = п? 1751. Хорошо известно, как определяется угол / \ между двумя прямыми. А как бы вы определили I угол между двумя пересекающимися кривыми в точке их пересечения? (см. рис. 315) Рис. 315. 181
у Геометрическое истолкование произ- водной § 222 Пусть кривая KL, представ- ленная на рисунке 316, есть гра- фик функции y = f(x). Отметим на ней две точки: М с коорди- натами (х, у) и ЛЦ с координа- тами (хЦ-Дх, у + Ду). Проведем отрезок МР параллельно оси абсцисс. В треугольнике MMiP -К МР = &х, MiP = &y. Поэтому от- Ду ношение равно тангенсу угла а, образованного секущей MMt с осью абсцисс. При Дх—»0 точ- ка М остается неподвижной, а Mi неограниченно приближается вдоль кривой к точке М. Секущая ЛЯЛ!* все это время меняет свое направление. Вместе с этим изменяется и угол а. При этом Ду , —-=tg а. Дх Б В пределе хорда MMi займет положение касательной MN, образуя с осью абсцисс некоторый угол 0. Очевидно, что при этом 0 = lim а, и дх-» о tg Р = lim tg а. Дх -► о Но Следовательно, &У Дх ’ lg₽=*lira Дх = !Л Дк -» О Таким образом, производная функции f(x) в точке х равна тангенсу угла нак- лона касательной к графику этой функ- ции в точке с абсциссой х. Полученное соотношение между значе- ► нпем производной от функции f(x) в пронз- Л вольной точке х и угловым коэффициентом касательной к кривой y = f(x) в этой точке позволяет довольно просто составить уравне- ние касательной. Поясним это на следующем примере. Пусть требуется найти уравнение каса- тельной к параболе у — хг в точке М с абсцис- сой х = 2 (рис. 317). Искомая касательная имеет уравнение y—kx-i-b. Угловой коэффи- циент k равен значению производной от функ- ции у = х’ в точке х — 2. Так как у — х\ то у' = 2х. Поэтому k — 4. Следовательно, касательная имеет уравнение у = 4х + 4>. Не- известный коэффициент b можно найти из 182
условия, что касательная проходит через точку М параболы ’;/ = х* с абс- циссой х = 2 (то есть через точку касания). Ордината этой точки равна 4. Подставляя в уравнение у = 4х + Ь х = 2, у = 4. получаем 4=8 + 6, откуда Ь =—4. Итак, искомая касательная имеет уравнение ;/ = 4х—4. Упражнения 1752. Написать ураннеиие касательной к параболе у = х* в точке с абсциссой: а) —1; б) 0, в) +1. 1753. Под каким углом прямая х = 3 пересекается с параболой у=х*) 1754. В каких точках прямая у = х пересекается с параболой у = хг? Какие углы образуются в результате пересечения? Вынесение постоянного множителя за знак производной § 223 Пусть g(x) — af(x), где а—некоторое число, a / (х) —произвольная дифференцируемая функция. Покажем, что функция g(x) также дифферен- цируема и g'(x) = fl/'(*)- (1) Действительно, g(x + Ax) — g(x) = af (x-J-Ax)—д/(х) = / (х-|-Дх) —/ (х) Дх Дх Дх Так как функция I (х) дифференцируема, то предел отношения / (Х~+Дх) — f (X) ла о , . п ——!—’ прн Дх —► 0 существует н равен £ (х). Поэтому lim gJx + Ax)-g(x) Дх-» о также существует и равен af (х). Соотношение (1) доказано. Постоянную величину можно выносить за знак производной. Примеры. (Зх)' = 3(х)' = 3-1 =3; ( — 5ха)' = — 5 (х2)' = — 5-2х= — 10х. Упражнение . 1755. (Устно.) Найти производные следующих функций: 1 х» ,— а) </——х; в) у=—д-х; д)у=—ж)у=—И3х»1 б) У=у; г)у=У’5’д; е)у = -^-х»; з) ха. Производная суммы функций § 224 Теорема. Если функции и(х) и v (х) дифференцируемы, то их сумма w (х) = я (х) + v (х) также дифференцируема, причем w’(x) = u' (х) + »'(*)• 183
(Производная от суммы двух функций равна сумме производных от втих функций.) Доказательство. Имеем: ДЮ (х) = Ш (x-f- Дх) — ш(х) = = [“ (х+ Дх)4-г(х + Дх)| — [« (х) 4-«(*)! = = [и (*+ Дх) — и (х)] + [и (х+ Дх) — v (х)|. Поэтому Дю _и(х+Дх) —ц(х) [ о(х +Дх) —о(х) ~Дх Дх + Дх Так как функции и(х) и о(х) дифференцируемы, то существуют пределы и (х + Дх)— и (х) . , . v lira - . ---— — и' (х), Дх-»о о (х+Дх) —с» (х) 1ип .-----— = v'(x). Лх->о Д* Следовательно, существует и предел 1,т лГ=и’ ,х)- Лх-*о лх причем ip'(х) = ц'(х)+р'(х). Мы получили формулу для производной суммы двух функций. Анало- гично можно получить п формулу для производной разности двух функций) [и (х) —о(х)]' = и' (х) — о' (х). Впрочем, ее можно вынести из формулы для производной от суммы, если выражение и (х)—о(х) рассматривать как суммуи(х)4-[—о(х)| и исполь- зовать теорему о вынесении постоянного множителя за знак производной. Предлагаем учащимся разобраться в этом самостоятельно. Отметим, что доказанная выше теорема верна для любого числа сла- гаемых: (ui + и, + ... + и„)' = н', + ut + ... + ип. Примеры. Пусть f(x) = x® + 2x—5. Тогда f (х) = (х®)' + (2х)' —(5)' = 2х + 2-О=2х+2. Аналогично (- Зх« + 5x4-7)' = (—Зх«)' 4- (5х)' 4- (7)' = — 3- 2х -|- 5-1 4- 0 = — 6х 5. Упражнения Найти производные следующих функций: 1756. (Устно.) а) у = 1—х;- б) у — х — х*; г) 1/=1— Зх4-6х*; ж) у = Х(1— х); д) у = 6 — Зх®^_ 3) |/ = (х4-1)(х — 1). в) у = 2х 4-х®—7; х V2 а е) 1/-=х--4-х»; 1757. у = (х—1)(х-|-2). 1760. У = (3—2х)(х—6). 1758. у = (х—1)* 173!?. у _ (2.Т- 1)®. 1761. у = 3х—5 (1 — х) (1 —2х). 1762. У^(х- 1р-(л-] 1р. 181
Дифференцирование произведения двух функций § 225 Пусть функция w (х) равна произведению двух функций и (х) н u (x)i w(x) = u (x)*u(x). To же самое мы будем записывать короче: w=u-v Предположим, что функции и и и дифференцируемы. Будет ли дифферен- цируемым их произведение ш? Имеем: Д w=w (х + Д х) — w (х) = = и (х+Дх) и(х4-Дх)— и (х) и(х). Но Отсюда Следовательно, Поэтому и(х+Дх) — и (х) = Ди, v (x-f- Дх) —и(х) = Ди. и (х+ Дх) =«+ Ди, и(х-|-Дх) = иЦ-Ди. Дш= (и + Ди) (и Н~ Ди)—ии= = и-и 4-и < Ди Н-Д«Г-и4- Ди* Ли—иря = иДи-|~иДи4- ЛиЛо Л:а Ди , Ди , Ди , = и — 4-и—+ — Ди. Дх Дх Дх Дх При Дх -* О получаем! и —► и; v о; Ли Дх Ди Дх и ; v . Покажем, что при Дх -► 0 Ди также стремится к нулю. Действительно, Ди=4- • Дх -* и'*0 = 0. Дх Таким образом, lim — = ии' 4-и'и 4-и'-0 = ии'4-и'и. Дж-* о Дх Итак, в рассматриваемом случае производная существует и равна! (t№)' =.u'v + ио'. Производная произведения двух функций равна произведению про- изводной от первой функции на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную от второй функции. Примеры. 1) Найти производную функции у=(х4-о) (хЦ-Ь). По правилу дифференцирования произведения у' = (х + аГ (х4-Ь)-|- (х-|-а) (x-f-b)' = 1*(х4-Ь) + (х+а)*1=»2х4-а4-Ь. 2) Найти производную функции у=(х4-1) (ха—3). 185
Имеем: у' = (х+ D' (ха-3)+(х+1) (х8—3)' = = (1+0)(х2—3) + (х+1)(2х+0)=Зх’4-2х—3. Упражнения Найти производные следующих функций (№ 1763—1771): 1763. у = (х’4-1) (3—5хэ) 1768. у = х8(1—ха). 1764. у = 5ха (х—ха). 1769. у = (2х—З)4. 1765. у = (ха + х+1)(ха—х+1). 1770. у = (х»+ах)а. 1766. У = (1 -Зх + 7ха) (-бх8— 1). 1771. у = (ха-а) (х»+Ь). 1767. у = х*. 1772. Показать, что теорема о вынесении постоянного миожителя за знак производной (§ 223) является частным случаем теоремы о дифферен- цировании произведения. 1773. Доказать тождество (ниву)' = u'vw-\-uv'w-{- uvw'. Используя его, найти производную функции у = (х-}-а)(х-}-Ь)(х-|-с). Производная дроби § 226 Пусть и и v—некоторые функции аргумента х. Как, зная производ- ные этих функций и и v , иаитн производную их отношения — в тех точ- ках, в которых v не равно нулю? Да и вообще, существует ли эта производная? Чтобы решить эту задачу, выполним следующие преобразования: и (х-Ь Дх) »(х) ц-уДц « _ о(х-}-Дх) v(x) о-}-До v _ ио-*- оДи— uv— иЛи___оДа— иДо ~ о(о-|-До) ~~ ‘ Поэтому и (х-У Дх) и(х) о(х+Дх) о(х)_ 1 ГДи ________ Ди1 Дх ~оа-}-о-До |_Дх V U Дх|" Поскольку функции и и v дифференцируемы, существую! пределы: lim Лх~» о д« Дх и'. lim Дс-»о До , &х V ’ Кроме того. lim [v*4-o«Ao]= lim • ДхI =va-4-uu'-0=va. Дх-»0 Дх-»0 I ‘ Дх J 1 186
Поэтому существует к предел « (л~Ь Ах) lim ^Л'+М А*->о Дх равный it'v—utf V» Итак, если функции и и v дифференцируемы, то в тех точках, и в которых v отлично от нуля, отношение — также дифференцируемо а / _и \'_u'v — uv’ \ V ) V2 Примеры. п /1+х\'_(1+-0'+ *)(!-*)'_ ' \1-*/ (1— Х)3 ~ 1.(1_х)_(1+х)(_|) 2 . (1-х)* (1-х)»’ ' \ х J х» х» х» ’ Упражнения Найти производные следующих функций: 1 —X 2 ta —7 1774. у= 14-х' ,777- ^1-7х- *780-^ 3-10Х’ 1775 2х —3 1778 и— 1781 и~~аХ + Ь 5 —4х‘ У 6х—4* ,/И1- У cx+d’ 1776. у = X х»-1 • 1779. у=* v 6—X Производная степенной функции § 227 В предыдущих параграфах мы уже рассматривали некоторые примеры на нахождение производной от степенной функции у = хп при натураль- ном п. Так, например, мы доказали, что (х)' = 1, (х»)'=2х. Используя теорему о производной произведения двух функций, легко получить произ- водные н любых других натуральных степеней х. Например, (х3)' = (хэ • х)' = (х2)' • х + х» - (х)' = 2х- х + х» • 1 = Зх»; (.г*)' = (х3 • х)' = (Xs)' • х 4- х3 • (х)' = Зх2 • х хэ • 1 = 4Х3; (х5)' = (х* • я) ‘ (л4)' • х 4- х4 • (х)' = 4 х3 • х 4- х* • 1 = 5х’ и т. д. Нетрудно подметить общее правило для нахождения производной от функции у = хи при любом натуральном п. Чтобы найти производную функции у = хп, нужно показатель л взять коэффициентом, а у самого х показатель понизить на единицу, то есть (*")' =пхп~1. (1) 187
Например, (Х*°Г = 10х®, (x«)'= 45*44. Рассуждения, которые мы проводили здесь в подтверждение справед- ливости формулы (1), являются лишь наводящими: за строгое доказатель- ство этой формулы их принять, конечно, нельзя. К формуле (1) мы еще вернемся в § 262, где и дадим ее строгое доказательство. Полученное нами правило нахождения производной от степенной функ- ции верно не только для натуральных, ио и для любых показателей, то есть для любого действительного числа а (хв)' = ахв-' (х > 0). Доказательство этой формулы выходит за пределы школьной программы и поэтому здесь ие приводится. Примеры. 1) Пусть у = -у. Тогда </' = (уУ = (х-,)' = -1*-,-, = -х-« = -1 (х^О) 2) Пусть 1/=м. Тогда Упражнения Найти производную следующих функций (№ 1782—1788): 1782. (Устно.) ' а) У = *7: г)1/ = 4: е) У = Т5- б)у = -|-х«; д)(/=хУ7;’ ж) !/=з^5« в) у =—2х1/*\ 1783. ij=Vxfx. 1785. у = ч-7=- 1787. . у х J х 1784. у=^3х /бх. 1786. у=—~ . 1783. у = ?~3-Х+^ 1789. Почему, приводя общую формулу (t’)' = ax’-1, обычно сговаривают, что х > 0? 188
Производная многочлена § 228 Многочлен степени л имеет вид: Рп (*) = аохп + atxn*1 + агхп. + ап_+ап, где а„ — свободный член, а о0, ...... an_t—коэффициенты при х", хп~1, х (соответственно), причем л0 0. Такое выражение можно рассматривать как сумму (n-f-1) функций: аохп, aix”~l, а2хп~г, .... an_ix, ап. Поэтому производная многочлена равна сумме производных этих функций; Рп (ж) = (о0жя)' + (в1х“-Ч' + (в2жп"г)' + - • • + + («„)'- Производная от ап, как производная от константы, равна нулю. Остальные производные легко найти, используя то, что постоянный мно- житель можно выносить за знак производной и при любом натуральном k х^)‘ = Ax*-1. Таким образом, получаем: (во*")' =«о (*")' = о0лхя~‘; (о^""1)' =Oi (хп~*)' = ot (л — 1) х”~г; (вп_1*)'=вп_1 (*)' =an-i. (ап)'=0. Отсюда (вохп + oixn~1 + агхп+ ... + а„_tx + а„Г = = о0лхп~1 + о1(л-1)хп-*+...+о„_1 Примеры 1) (Зхг— 5х — 7)' = 3-2х—5 = 6х—5; 2) (Юж’—4xs+x)'=10-6xi—4-Зх»+1=60х5—12ха + 1 Упражнения Найти производные следующих функций: 1790. j/ = 2x5—х. 1794. у = (ж8—1—2х)( ж* —5). 1791. у = Ы — 6ж« — 4х3 + 5ж2 + 17. 1795. ^ = (ж7 + ж)а. 1792. у = — Xs— Зхэ + 6х-100. 1796. g = (2x—6xs)3. 1793. у = 5 — 6ж+17х«. Дифференцирование тригонометрических функций § 229 Теорема 1. Производная синуса равна косинусу: (sin х)' = cos х. Доказательство. Пусть аргумент х получил приращение Дх. Тогда функция j/=sinx получит приращение Aj/=sin (ж 4- Дх)—sin х. Преобразуем это выражение, используй формулу для синуса суммы двух углов: Aj/ = sin x-cos(Ax)4-cosx-sin (Дх)—>sin х=я =cosх-sin (Дх)—sin х (1 —cos Ax). 189
Л . л (Дх\ Учитывая, что I—cos Ax = 2sina ( -у 1 , получаем: Ду = cosxsin Дх—2 sin x-sin* Отсюда Ди sin Дх -r^ = cosx- Дх sin* I - -г----2 sinx----- Дх Дх (1) Мы знаем (гл IX, § 214), что lim 5‘п &х-= I. Исходя из этого, найдем д*-»о Дх sin’ предел выражения потому Дх Обозначим -у через г. Тогда Дх=2г и sin* Дх sin* г ~2г~ Следовательно, 2 fЛх sin* I -й- lim ----------Х2_ Дх^-п Дх Теперь из (1) получаем: I’m sin z=4- • 1-0=0. о 2 (sin х)' = lim A? = cos x - Ajr-» О &X sin* sin Дх „ . —;------2sinx lim ------_ Дх дг-»о Дх 1<т JC —► О = cos х* 1 —2 sin x-0 = cos х. lim ^3 :-><! 2г 1 lim 515Z о z 2 Теорема доказана. Теорема 2. Производная косинуса равна синусу, взятому с про- тивоположным знаком: (cos х)' = — sin х. Доказательство. Пусть аргумент х получил приращение Дх. Тогда функция y = cosx получит приращение Ap = cos(x+ Дх) — cos х. Преобразуем это выражение, используя формулу для косинуса суммы двух углов: Др = cos (x-J-Дх)—cosx = cosx-cos Дх—sin xsin Дх—cos х* = — sin х sin Дх—cos х (1 — cos Дх) = = — sin х sin Дх— 2 cos х sin* Отсюда Др sin Ах — = — Sin X —:----- Дх Дх sin* f - 2 cos х---- Дх ио llr_ sin Дх lim —---------=3 1 a д> -* и Дх /Ax\ hm — 3------Z=o, Л-хе Дх 190
Поэтому (cosx)' = lim ^ = — sin x-1 — 2cosx-0= — sin x. Ax -♦ о Теорема доказана. Примеры- 1) Найти производную функции y=asin x-|-bcosx. Имеем: у' =(аsin x-j-b cos х)' — a (sin x)'-|-b (cos x)' = acos x— b sin x. 2) Найти производную функции t/=xsinx. По правилу дифференцирования произведения двух функций получаем: i?' = (xsin х)' =х' sin х + х (sin х)' =sin x+xcosx Используя правило дифференцирования дроби, легко найти производ- ные функций tgx при х # —|-пл и ctgx при х / пл. Действительно, . ., _ / sin х\' _ (sin х)' cos х—sin х (cos х)' _ , ~~\cosxj ~ cos’x ~ _cosxcosx—sinx(—sin х)_____cos9x4-sin2x__ 1 cos9x ccs2x cosax' /cosx\' (cos x)'sin x—cos x(sin x)' (CtgX) ~ — sin2x — _ —sinxsin x—cosxcosx_ sin9 x + cos2 x _ 1 ~ sin2x ~ sin2 x ~ sin9x" Итак, (^y + nn)» (ctgx)' = ~—L- (x#nn). Упражнения 1797. Написать уравнение касательной к синусоиде »/ = sinx в точке с абсциссой: , _ - л . 3 л а) х=0; б) х=—, в)х=ул; г)х=-^-; д) х=л. 1798. Написать уравнение касательной к косинусоиде у = cosx в точке с абсциссой: а) х = 0; б) х=-^-; в) х = -^-л; г) х=-^; Д) * = л. Найти производные следующих функций: 1799. y=3sin x-|-2cosx. 1805. y = sinx-cosx. 1800. y = 4sin х —5cos x. 1800. i? = x9sin x. 1801. у = — sin x -f 7 cos x. 1807. y = x2cosx. 1802. y= — 6 s>n x—9 cos x. 1808*. y = cos9^-. 1803. y—sin9x. 1809. 0 = (5x4-sin x) (x9—cos x). 1804. I/ = COS9X. 1810. (/—(1— 2sinx)(l— 3cosi). 191
1811. у = мп 2х. 1812. y = cos2x. 1813. y = (a4-bx)sinx4-(c4-dx)cosx. 1815. y = bin^_x4-cos2x. 1816. y = К*sinx. Дифференцирование функции f(ax -|- ft) 1817. 3 cos x </=~77= 1818. 1819. j/ = sin (/ = COS § 230 В математике часто приходится иметь дело с выражениями вида /(ax-f-ft), где f (х)—некоторая заданная функция. Так, при изучении гар- монических колебаний рассматриваются функции типа fin (а>х4*<Р)- При ре- шении различных задач часто встречаются выражения вида lg(ax4-6), (x-J-a)" и т. д. Большой интерес представляет вопрос о дифференцирова- нии подобных функций. Пусть / (х)—некоторая функция, для которой мы можем найти произ- водную. Как в таком случае найтя производную функции <р (г), которая выражается через / (х) следующим образом: <р (х)=/ (ах4-6)? По определению производной Ф (х)= lim Ф(х4-Ах)~<p(x) lim /|л(х4-Дх)4-Ь]-/(а< + 6)_ дх-»о Дх Вт-» о Ах _ lini /1(«х4-6)4-а-Ах|—/ (0x4-6). ДХ -* О Дх Обозначив ах-)-6 через у, получим: ф' (х) = /(У + аДх) —f (у) дх-»о Ах Умножим числитель и знаменатель этого выражения на число а: Ф' (х) = lim /(У + °Дх)-/(У).о. Дх ->• о аДх Обозначив теперь а Ах через h, получим: <р'(х) = lim h -> о h (Поскольку Ах 0, то и Л = аДх -> 0.) Но lim P<i/+/0-Hg)1=r(y). h -» о L к 1 Поэтому <р' (x) = af‘ (у). Вспоминая, что у=ах^[-Ь, получаем окончательно! ф- (х)=а/' (ах 4-6). 192*
Итак, [/(ях -I- &))' = af' (ах -I- &). fl) Чцсло а есть производная функции ах4-0. Поэтому равенство (I) можно сформулировать таким образом. Для нахождения производной выражения f(ax^-b) достаточно продифференцировать его по правилу дифференцирования выражения /(х) (с заменой в окончательном выражении х на ах + &) и резуль- тат умножить на производную выражения ах-\-Ь (то есть на число а). Примеры. 1) [(2х4-1)»«J' = 10 (2х +1 )* * (2х +1)' = 10 (2х +1 • 2 = 20 (2х + i)»; 2) (sin3x)'=cos3x-(3x)' = 3cos3x; Упражнения Найти производные следующих функций (№ 1820—1834): 1820. (/ = (2x4-3)®. 1821. j/ = (x4-7)«. 1822. с/ = (1—5х)’. 1823. c/ = sin4x. 1824. u=sin . * 5 1826. (/=cos6x. 1828. y=sin (2х—3). 1827. р=соз^-2—х 1836. Доказать, что 1828. у = А sin (сох-)-?). 1829. у —A cos(<p — сох). 1830. y = 3xsin2x. 1831. у = 3(х — 5)«4-2(1 —х)«. 1832. у = 3х sin 2х-)-2х cos Зх. 1833. у — К2х4-1, 3 /-------------- 1834. у = у 1 —х. ох4-ЬУ_ ad—bc c*+d) ~(ix4-d)s Понятие о второй производной. Производные высших порядков 9 231 Производная от производной у' функции у, называется второй проиа- водной втрй функции и обозначается у" или j’ (х): '/*=(»')'; Г (*)— II'(*)]'•• Рассмотрим несколько примеров. '1) Преть y«=3xs—6х’4-7х—1. По правилу дифференцирования много- членов . «,?. ’- - • „ у'=ж(ЗД— 6х*4-7х— 1)'=9х»— 12x4-7; , . ... if=(pj)' = (9x*—12x4-7)' = 18х—12. 2) Пусть у =isin х>Тогда у' = (sinx)'»cosх; if = (cosx)'=— ainx. 7 Заказ M as I®®
и О** 3) Если 0=-^-, то У" = (ах)' =а. Вторая производная if функции у, так же как и первая ее произвол* пая у‘, допускает простую физическую интерпретацию. Будучи производной от первой производной у', она характеризует скорость изменения этой про- изводной. Первая же производная у’ характеризует скорость изменения функции у. Таким образом, и" характеризует „скорость изменения скоро- сти изменения** функции у. С подобным понятием мы уже сталкивались в физике. Изучая равноускоренное движение, мы вводили понятие уско- рения как изменения скорости движения в единицу времени. Это поня- тие как раз и характеризует скорость изменения скорости движения. По- этому, используя язык механики, можно сказать, что вторая производная р* функции у есть ускорение, с которым функция y=f(x) изменяет свои значения при изменении значений аргумента х. Третья производная функции у=[(х) есть производная от второй про- изводной этой функции. Она обозначается у,}’ или (х): у'”=*ЬгУ, Г”(х) = [Г (*)]'. Аналогично, четвертая производная функции y=f (х) (обо- значается у™ или flv (х)) есть производная от ее третьей производной нт. д. л-я производная функции f(x) иначе называется производной n-fo по- рядка (обозначается /’м) (х)). Например, третья производная иначе назы- вается производной третьего порядка, четвертая производная—производ- ной четвертого порядка н т. д. Примеры. 1) Для функции (/=хг4-х-|-1 имеем: 4/ = 2х+1; (/" = 2; (/'" = 0; i/,v = 0. Очевидно, что все производные данной функции, начиная с третьей, равны нулю. 2) Для функции f/=sinx: у' — cosx; ' у" — — sin х; (/"' = — cos х; #IV = — (— sin x)=sin х; i/v = cosx и т. д. Упражнения 1836. Найти ускорение тела, движущегося по закону s (()=2/94-513-}-4/ (s—путь в метрах, t — время в минутах), в момент времени: а) ( = 40 сек, б) ( = 1 ч. 1837. Найтн ускорение тела, движущегося по закону s= V7(s—путь в метрах, t—время в минутах), в произвольный момент времени t. Для данных функций найтн производные всех порядков (1838—1843): 1838. г/ = (х-|-2)3. 1840. г/ = х2-г-1. 1842. у = cosx. 1839. (/ = (2х— I)3. 1841. р = лН ‘к’~7л’- 1843. у = (!-(-л)'””. 194
1844. Доказать, что для функции p=asinx-[ Ь ccs х справедливо соот- ношение yw=y. 1846. Сколько раз нужно продифференцировать функцию чтобы в результате получился многочлен БО-и степени? 1846*. Найти производную 100-го порядка * функция у=в!п xcos* г. Выражение коэффициентов многочлена через значения его производных g 232 Пусть P(x)=ao+ai*+a2*,+as*s+a4X4+...+al,x’’. (1) Тогда Р* (х)= l-a1-f-2a2x+3a3x8 + 4a<x8+... 4-паяхя-1, (2) Р'’(*)=2-1-а3+3-2а3х+4-За4х«+...+п(п—1)аях"“« (3) Р'.” (x) = 3-21-flj + 4.3.2с4х+ ... + п (п —1) (п—2) а„х"-» (4) и т. д. Полагая в формулах (1), (2). (3) и (4) х=0, получаем} Р(0)=ао, P'(0)=l-alt Р" (0) = Ь2а2, Р'" (0)= 1-2-3as, откуда ас=Р(0), Р'(0) °i = — ’ „ _Р' (0) °2- 1.2 * Продолжая этот процесс дальше, мы получили бы: P»v (0) а*~\ -2-3-4 ’ _ _ Pv (0) a& 1-2-3-4-5 и т л. Очевидно, что для любого натурального k где P<ft) (0)—значение й-й производной многочлена Р(х) при х=0. Произведение l-2-З-...-й принято обозначать символом Ы (читается! ка факториал). Поэтому формулу (5) можно переписать в виде: prt) (0) °* ” М (6) Эта формула будет верна и при fe=0, если под выражением Р(п’ (х) (нулевой производной функция Р (х)) подразумевать просто функцию Р (х) и считать, что 01 = 1. Формула (6) выражает коэффипиент многочлена Р (х) при х* через зна- чение fe-ii производной этого многочлена в нуле. 195
Поясним эту формулу на некоторых примерах. Пример 1. Найти коэффициент многочлена (х-|-1)10 при х®. Имеем! Р(х) = (х4-1)10; Р' (х) = 10 (х+1)®; Р" (х) = 10-9(х+1)«; Р'" (х) = 10-9-8(х-Н)7. Поэтому Р"* (0)= 10-9-8-17 = 720. По формуле (6) получаем! Итак, коэффициент многочлена (х+1)10 при х® равен 120. Пример 2. Найти коэффициент многочлена (Зх—1)® при х®. Имеем: ( Р(х) = (3х— !)•; Р' (х) = 9 (Зх-1)®-3 = 27 (Зх— I)8; Р" (х) = 27-8 (1х—1)7-3=648 (Зх— I)7. Поэтому искомый коэффициент равен: Р"(0) 648-(-1)7_____ 21 1-2 — Упражнения В задачах Я° 1847—1851 найти коэффициенты данных многочленов при указанных степенях х. 1847. Р(х) = (х4-2)1® при х3. 1850. Р (х) = (х4-а)« при х4. 1848. Р(х) = (1 — х)40 при ха. 1851. Р (х) = (х+О" при х®. 1849. Р(х) = (2—х)2® при х®. 1852. Определить степень многочлена Р(х)=(х + 2)п, если его коэффи- циент при х* равен 24. Формула бинома Ньютона § 233 До сих пор нам были известны формулы для второй и третьей степени двучлена a-f-b: (а + 1>)я=аг + 2аЬ + Ь2, (а 4- 6)3=а3 + Зя26+Заб® 4- 6®. В этом параграфе мы получим формулу для степени (а-|-6)" с произ- вольным натуральным показателем п. Для этого рассмотрим многочлен степени п РСх) = (х+с)п, где а—некоторое заданное число. , .7 ! Свободный член- этого много.члена .равенчР(0)==а”., Для,нахождения коэффициентов' при степенях; х воспользуйся формулой ((я \1]йё,^ыдуц1ёгр параграфа/Согласно эТой формуле коэффициент при х^ равен’ — где г > 196
P(ftl(0)— значение А-й производной многочлена РМ при х — 0. Найдем эю значение. Имеем: * (*) = (*+о)"; Р'(*)=л (x+fl)"-1; Р” (х) = п(п—1)(х+а)"-г; Р'" (X) =п (п— 1) (л—2) (x-J-fl)"-8 и т. д. Очевидно, что k-я производная многочлена Р (х) равна: Р‘*> (х) = л (и— 1) (л—2).. .(л—А-ф 1) (х+а)’,_\ Поэтому РФ(0)=л (л—1) (л —2).. .(л—A-ф 1) л"-*. Следовательно, коэффициент многочлена Р(х) при х* равен: Р(/°(0)л (л-1) (л-2),, ,(л-А-Ц) -_А А! А! Выражение * л (л—1) (и—2). ..(и—A-J-1) А! принято обозначать С* (читается: це из ан пока). Поэтому коэффициент многочлена Р (х) при х* равен С^рп~к. Например, коэффициент при х ра- вен С\ап~1, коэффициент при х1 равен С*ап~а и т. д. Но в таком случае данный многочлен можно представить в виде: (x+a)n = a" + C*a"-,x + CX“®*s++С£-,вх»-* + С£х". Полагая в этой формуле х=Ь, получим: (a + 6)« = an-l-C*a"",* + C“o""aAa+ ... (I) Отметим, что (A-J-l)-e по счету слагаемое в разложении (л-}-6)" имеет вид: Скап~кЬк (0<А<л). Формула (1) называется формулой бинома* Ньютона, а коэффициенты 1, С8» С8, С» участвующие в ней,—биномиальными коэффици- ентами. Пример. (а+ьу* = а*+С\а*Ь -J- С -J- C\aba -J- С’6«. Но с!=пИ c9_i±2=4. *~Ь2-3 ’ _________ 1-2-3-4 * Формула (!) была строго доказана еще до Ньютона Якобом Бер- нулли (1654—1705)—одним из членов семьи швейцарских ученых, давшей миру 11 видных математиков. Ньютону принадлежи* идея о ласпростране- иии формулы (1) ив случай дробных и отрицательных значений л. Эта идея широко используется при решении многих задач высшей математики. 197
Поэтому (а+ЬУ=а*+4а9Ь+6аЧ>«+tab3 + b*. Упражнения 1853. Вычислить! a)Cj; б) С’; в) С’; г) С'; д) С}0; е) С». 1854. Исходя из формулы бинома Ньютона, получить формулы для ку- бов суммы и разности двух чисел. 1855. Вычислить по формуле бинома Ньютона: а) (К"5- б) (}^6+ в) (/"б- г) (/10- К~2)'- 1856. Определить степень бинома (За—2)", если известно, что коэффи- циент при а* в разложении этого бинома равен 216. 1857. Доказать равенства: .) с;-=с;_л; в> . 1858. Доказать тождество: . ”~fe " п *4-1 ' 1859*. Доказать, что число Н10—L делится на 100. Об одном свойстве биномиальных коэффициентов § 234 По определению лг л(п-— — 2)>..(л —ft+t) 1-2-3... k ’ <1' Умножив числитель и знаменатель этой дроби на (л—ЛМ«—* — !).• -3-2-1, получим: п(п— 1)...(л —ft+D(n— k)(n-k— 1)...3-2-1 л! "e 1-2-З...А(л — Л),(л—ft—1)...3-2-1 — fe!(n—fe)| ’ Таким образом, Г* - W1 Эта формула справедлива для любых натуральных чисел л в Л, если только л>А. В частности, заменяя в ней ft на л—ft, получаем: рп-Д л! л! " в(л —ft)! [л — (л — ft)]l = (n-fe)!ftl * Правые части равенств (2) и (3) равны; вначит, равны и левые части! (4) Формула (4), выражай важное свойство биномиальных коэффициентов, внвчительио упрощает ик вычисление. Например, при воаведаввИ Дйучлена 198
л-f-ft в 6-ю степень приходится вычислять <С>, С*, Cj, С*, C.J, .CJ. По оп- ределению (см. формулу (!)): с:--Н Для вычисления С* я 'CJ теперь нет необходимости представлять-их по фор- муле (I). Достаточно воспользоваться формулой (4) и уже полученными значениями: c;=c;-*=q = i5; c;=c;-®=ci= 6. о о в Отметим еще, что С„ = 1. Это вытекает непосредственно из определения числа CJJ: с„=л (л—1) (л—2),. .3-2-1 _ » 1-2-3. ..(л-2)(л—1)л Условимся считать, что С° = 1. В результате такого соглашения фор- мула (4) оказывается верной не только для л > ft, но и для n = fti Сп = С°= I. Упражнения I860. Вычислить: »С?0; б) С»; в) С*;о; г) С’*. 1861. Известно, что Схп = Суп. Можно лн утверждать, что х=у? 1862. Решить уравнения! а) с;-а + 2х = 9; в) С»-а = С». б) С'1а=х®—13; I IV® 1863. В разложении 1а-|—I найти коэффициент при а®. / I V® 1S64. В разложении ( 2а—х- ) найти коэффициент при а®. Применение формулы бинома Ньютона н приближённый вычислениям Я 238 Положив в формуле бинома Ньютона (а+ Ь)п = ап+С X - ‘0 + С*ап~яЬ*+... тЬ С"“ 'ab^1+С"Л" а = 1, Ьяах, получим: <i+x)"=i+cA*+caxa+.. .+с2-1л--,+с2*л- (О 100
Если величина х мала, то величины *а, *®, хп тем более малы. По- этому если в формуле (1) отбросить члены, содержащие *а, *э..хп, ю полученная в результате формула (! + *)" » 1 + С2* (2) будет приближенной, причем ошибка такого приближения должна быть небольшой. Поскольку С^=п, формулу (2) можно переписать в виде: (14-ж)'* » 1+л*. (3) Практически при малых значениях х формула (3) дает вполне удовлет- ворительный результат. В подтверждение этого приведем следующую таб- лицу для случая *=0,01. I \П+*)« л X. По фор- муле (3) Значение с четырьмя верными десятичными знаками 2 1,02 1,0201 3 1,03 1,0303 4 1,04 1,0406 10 1,10 1,1046 Формула (3) верна и для малых отрицательных значений х. Например, fi (1—0,02)5 х 1—5-0,02=0,9; (0,93)2= (1-0,07)’ х 1-2-0,07 = 0,86. Формулу (3) мы получили для натуральных значений л. На самом же деле ею можно пользоваться при любых действительных значениях Например, 1 КН003= (1 + 0,003) 2 х 1 + А.0,003= 1,0015; |Zo797 = (l — 0,03)Т» 1—1.0,03 = 0,99; ^=0.98-1= (1-0,02)-» х 1 + (-1) (-0,02) = 1,02; , ~___=0,96 * =(1-0,04) * и 1+4-0,04=1.01. /Об 4 Упражнения Найти приближенные значения следующих выражений; 1865. (1,04)». 1866. (1,001)“. 1867. (1,03)®. 1868. (0,99)8.._ 1869. (0,98)®. 1870. (0,97)®. 1871. /1,05. lg77> 1 1872. V6T95- * /0»98* 1873. /ГбЗ. 1878. pL. 1874. /09. 187Э> _1_. ии. V гКШ. 1вю 0,971 1876. (/0,98)4. ‘ (/О®)* 200
Применение производной и нахождению участков возрастания и участков убывания функций § 236 С помощью производно» легко найти участки возрастания и участки убыва- ния любой дифференцируемой функции. Имеет место следующая теорема. Теорема. - Если производная f'(x) функции f(x) положительна в интервале [a, ft], то функция f\x) монотонно возрастает в этом ин- тервале. Если же производная от- рицательна в этом интервале, то в нем функция f(x) монотонно убы- вает. Доказательство этой теоремы выхо- дит за пределы школьной программы. Поэтому мы ограничимся лишь ее гео- метрической иллюстрацией. Производная функции y = f(x) при х=х0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции y — f (х) в точнее абсциссой х0. Условие г (х) > 0 означает, что в рас- сматриваемом интервале угловые коэф- фициенты касательных положительны. Но это возможно лишь в том случае, когда углы, образованные касательными с положительным направлением оси х, острые (рис. 318). Тогда график функции y = f(x) с ростом х поднимается все выше и выше. А это и означает, что функция у = [(х) монотонно возрастает. Случай, когда в интервале [a, ft] Г (х) < 0, рассматривается аналогично. Условие (х)<0 означает, что угловые коэффициенты касательных к графику функции y = f(x) отрицательны. Но это возможно лишь в том случае, когда углы, образованные касательными с положительным направлением оси х, тупые (рис. 319). Тогда график функ- ции у = / (х) с ростом х опускается все ниже и ниже. А это и означает, что функция y~f(x) монотонно убывает. Пример. Определить участки возрастания и участки убывания функ- ции f(x) = x2 —4x4-3. Имеем: Г (х) = 2х —4. При х>2 /'(х)>0, а прн х<2 f (х)<0. Значит, функция f (х) = ха — 4x4- 3 при х > 2 возрастает, а прн х < 2 убывает (см. рис. 320). 20J
К такому же результату мы пришли бы, если бы исследовали дачную функцию путем выделения полi ого квадрата (см । не. 320): / (х) = хя—4x4-3=хя —4x4-4—1 =(х—2)я—I. Использование лронзводюй в данном случае легче и быстрее лршодит к решению задачи. Упражнения Определить участки возрастания и участки убывания следующих функций; 1881. I/ -3 + <х—хя. 1886. 0 = 3хя4-*- 1882. v=x’-3x-f-l. 1887. у= У Xs—Зх. 1883. (/-**— 2.<а — 3. 1888. 1/ = *+4- 1884. у = Xя 4- бх2 — 15х 4 2. 1889. 1 у = Sin X —уХ. 1 £85. у = хя — 5 — 2х—8х3. 1890. у = —7= X4-COS X. К2 Доказать, что данные функции (№ 1891- — 1894'. являются монотонными па всей числовой прямой. Каксе 113 них монотонно возрастают и какие монотонно убывают? 1691. у = -^-х3—^х24-х—5. 1893. (/= К 2х—cosx. 1892. (/=6 — 6х —2л34-Зха. 1894. t/=sin х—^-х. Определить участки гозрастания и участки убывания следующих функций: 1895. = 1896. i/ = y+cosx. 1897. t/=-sin2x —х. Применение производной к нахождению локальных экстремумов функции § 237 . В этом параграфе мы покажем, как с помощью производной можно находить локальные экстремумы дифференцируемой функции. Теорема. Если точка х~а является точкой локального экстремума дифференцируемой функции y=f(x), то производная /'(-*) в этой точке обращается в нуль: Г («) = о. Доказательство этой теоремы выходит за пределы школьной программы, поэтому мы ограничимся лишь ее геометрической иллюстрацией. Пусть точка х = а является точкой локального максимума функции У = /(х) (Р,,с- 321). Тогда касательная к графику этой функции в точке с абсциссой а будет параллельна оси х. Угловой коэффициент этой каса- тельной равен 0. По, как мы знаем, £тот углоьой коэффициент должен равняться I' (а). Следовательно, Г(а) = 0. 202
Рис. 321. Рис. 322. Аналогично интерпретируется случай, когда точка х=а является точкой локального минимума (рис. 322). Важно подчеркнуть, что полученное условие f (а) = 0 относится лишь к функциям, дифференцируемым в точке х = а. Вообще же функция может иметь локальный экстремум в точке х = а и будучи иедифференцируемой в этой точке. Взгляните, например, еще раз на кривую, представленную на рисунке 274 (стр. 140). Эта кривая служит графиком функции f(x), для которой точка х = 3 является точкой локального минимума. Но эта функ- ция при х = 3 не имеет производной (кривая в точке с абсциссой 3 не имеет касательной). Поэтому условие /'(3) = 0 не выполняется. Пример. Функция f (х)=ахл-}-Ьх-[-с имеет единственный локальный b экстремум в точке х=—В этом легко убедиться путем выделения иэ данного квадратного трехчлена полного квадрата (см. ч. 1, § 49); , ( b \я Ья— 4ас ax»+bx + c = aix + -^}-----4~ Легко проверить, что --------------2aJ=®’ /(x) = axa-f-!>x-]-c, то Действшельно, поскольку и потому Г (х) = 2ах-р Естественно возникает вопрос: как, зная, что х — а есть точка локаль- ного экстремума функции f (х), определить, какой экстремум она дает: максимум или минимум? Пусть при х < a f' (х) < 0, а при х > a f (х) > 0. Тогда вблизи точки х = а функция f (х) должна убывать в точках, лежащих левее а, и возрастать в точках, лежащих правее а (рис. 322). В этом случае точка х=а является точкой локального минимума. Если же при x<a f'(x)>0, а при х>а f' (х) < 0, то, наоборот, левее точки х=а функция f(x) будет возрастать, а правее х = о убывать. В этом случае точка х = а будет точкой локального максимума (рис. 321). Итак, если производная f‘(x) в точке х — а обращается в нуль, а при переходе через эту точку меняет свой знак с на то точка а есть точка локального минимума функции J (*). Если про- изводная Г (л) в точке х—а обращается в нуль, а при переходе через эту точку меняет свой знак с на то. точка а есть точка локального максимума функции f(x). 203
У Например, для функции f (x)—axi-)-bx-]-c произ- водная /'(*) = 2ах-|-Ь обращается в пуль при х = I ь I —------2^. Предположим, что а>0; тогда при х< I ь I < —‘2^’ получим: / * 2ах < —Ь, I 2ах+Ь < О, 7 b ----7 о------а п₽и х > “27 / 2ах > —Ь, I 2ах+Ь >0. / Итак, если а>0, то при переходе через точку I х= —-^производная функции £(х)=ах2Ц-бх+с меия- b п ет знак с " па „ + Поэтому точка х = являет- Нис. 323. ся точкой локального минимума этоп функции. К та- кому же результату мы приходили и раньше, рассматривая выражение / Ъ \« 4ас V+ 27/'--------4Г-- Учащимся предлагается самостоятельно с помощью производной рас- Ь смотреть случай, когда а < 0, и убедиться, что тогда точка х= —-^является точкой локального максимума функции f (х)=ах24-бх+с. Не следует думать, что если f'(a)=O, то точка х — а обязательно является точкой локального экстремума. Например, для функции f(x) = x* имеем f (х)=3х2, и поэтому [' (0) = 0. Но, как видно из графика этой функ- ции (рис. 323), точка х = 0 не является ни точкой локального минимума, ии точкой локального максимума. Объясняется это тем, что в точке х = 0 производная f (х) = 3х2, обращаясь в нуль, не меняет своего знака. Как при х < 0, так и при х > 0 она положительна. Можно доказать, что если f(a)=0 и при переходе через точку х = а производная f (х) не меняет знака („+и переходит в или „ —" в „—и), то точка х~а не является ни точкой локального минимума, ни точкой локального максимума. Точки, в которых производная f (х) функции f (х) обращается в нуль, называются стационарными точками, а значения функции в этих точках — стационарными значениями этой функции. Упражнения Для данных функций (№ 1898—1909) найти все локальные экстремумы. По возможности выяснить, какие из них представляют собой локальные минимумы и какие—локальные максимумы: 1898. р=4х2—6х—7. 1899. у=— Зх2— 12x4*100. 1900. у=(а—х) (а—2х). 1901. у-(1—ах)(1—2х). 1902. у—2х«^6х2—18x^120. 1903. р=2х»—6х2—48х—17. 1904. у-=3х*—4х*. 1905. у=sin x-f- cos х. 1906. у= f/Sainх—cosx. 1907. V=sinx4- КЗсобх. 204
1908. f/ = №. 1909. y = sln* x — cos* x. В задачах № 1910—1913 иайти стационарные значения данных функций! 1910. у = х—sin*4-cosх. 1912. j/=*5sln x4-I2cosx— 13x. 1911. o==2x4-slnx—p^3cosx. 1913. j/=sinax—cosx. 1914. Докажите, что функция f(x) = | x | имеет и точке x=>0 локальный минимум. Удовлетворяется ли при этом условие /' (0)=0? 1915. В конус вписан цилиндр наибольшего объема. Докажите, что 2 радиус этого цилиндра состапляет -д- радиуса основания конуса, а аы* 1 сота— -д- высоты конуса. Наименьшее и наибольшее значения функции в заданном интервале § 233 В главе IX (§ 205) мы рассмотрели вопрос о том, как отыскивается абсолютный минимум и абсолютный максимум функции f (х) в интервале [а, Ь]. Среди всех локальных экстремумов и значений функции /(х) в концах интервала [а, 6] нужно выбрать наименьшее и наибольшее значения. Они и дают абсолютные экстремумы. Однако в главе IX мы не могли решить вопрос о том, как находить локальные экстремумы. Теперь же мы можем решить эту задачу. Для того чтобы найти абсолютный минимум и абсолютный максимум дифференцируемой функции y = f (х) в интервале [а, 6], нужно: I) иа уравнения f (х) = 0 найти все стационарные точки функции /(х) и, выбирая те из них, которые попадают в интервал [а, Ь], определить стационарные значения этой функции в данном интервале; 2) к стационарны:: значениям функции f (х) в интервале [а, Ь] добавить вначения этой функции в концах этого интервала, то есть f (о) и f(b), средн полученных значений нужно выбрать наименьшее и наибольшее. И вновь, как и в § 237, следует подчеркнуть, что полученный результат относится лишь к функциям, дифференцируемым в рассматриваемом интер- вале [а, Ь]. Если же в этом интервале имеются точки, в которых исследу- емая функция не имеет производной, то эти точки следует рассмотреть особо. Абсолютный минимум пли абсолютный максимум функции в интервале [а, Ь] может достигаться в одной из таких точек (см. рис. 274 иа стр. 140 в интер- вале [2, 6]). Рассмотрим несколько примеров. .Пример I. Найти наименьшее и наибольшее значения функции f(x)=x3—Зх* I) 2 в интервале [1,3]. Имеем: f(x) = x3—Зх2, f‘ (х) = 3х2—6х. Из уравнения f' (х) = 0, или Зх*—6х = 0, находим стационарные точки функции /(х): хх = 0, ха=ч2. В интервал [1,3] попадает лишь вторая точка. В ней функция прини- мает значение /(2) = —4. В крайних точках интервала [1,3] имеем: f (!)=—2. /(3)=0. Из трех значений ](2)=—4, f (1)=—2 и /(3)=0 наименьшим является* —4, аунаибольшим 0. " * , '• Поэтому минимальное значение функции /|х)=х9—ЗхаЬ интервале [1,3] равно —4, максимальное 0. Они достигаются соответственно в точках" х=2 и х=3. _ . Пример 2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции £(х) = 3 ...... — jyx-bsinx в интервале [а, Ь]. - 1 1 Имеем; ! ; т . 3 _ (х) = у 4 cos х. .• • - 205
Функция Г (х) положительна при всех значениях х. Поэтому f1*) монотонно ьозрастает на всей числовой прямой. В таком случае в левом конце (х = ц) 3 интервала [а. 6] эта функция должна принимать наименьшее значение 3 4-sin о, а в правом конце (л = 6) — наибольшее значение &4-sinb. Упражнения 1916. Найтн наименьшее и наибольшее значения функции а = х*—Зх в интервалах: а) |—0,5; 0,5]; б) (—1,5; 2]. 1917. Найтн наименьшее и наибольшее значения функции y = sinx— Г П1 — у 3cosx в интервалах: а) [—л; 0]; б) [0; I • х3 1918. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у = ~2- 5 — -2'Х2-|-6х-|- 10 в интервалах: а) ]0; 1]; б) |0; 2,5]; в) (0; 4]. Найтн наименьшие и наибольшие значения данных функций в указанных интервалах (№ 1919—1923): 1 Г я 1 , Г я Я1 1919. у = ~^х—sin х в интервалах: а) | 0; I; б) I—4"; ; Г пл] в) [ 2 : 2 J- [л л 1 -------------------------------------------2", у ; б) [—л; л]; в) I—л; 0|. 1921. у = х*—8хя—9 в интервалах: а) [ — 1; 1]; б) (0; 3]; в) [—3; 5]. 1922. у = 3х*—4х3—72х24-200 в интервалах: а) (— 1; 1]; б) [—0,5; 3,5]; в) ]-2; 5]. 1923. у = 1 -]- Збх 4-36х2—2xs в интервалах: а) (—3; —1]; б) [—2; 2]; в) ( — 10; 4]. Использование производных для исследования дифференцируемых функций и построения кх графинов § 239 Использование производных значительно облегчает исследование диф- ференцируемых функций и построение их графиков. С помощью производ- ной можно установить интервалы возрастания н интервалы убывания функции, найти стационарные точки и локальные экстремумы. А это по- зволяет более точно построить графики исследуемых функций. В дальнейшем мы будем придерживаться следующего плана* иссле- дования функции y=f(x): 1) область определения функции; 2) поведение функции вблизи „особых" точек (например, функции у = — вблизи точки х=0^; * Этот план лишь незначительно отлнчаекя от плана, оинсанного в § 210. 206
3) четность функции*. 4) периодичность функции: 5) стационарные точки и локальные экстремумы функции; 6) интервалы возрастания и интервалы убывания функции; 7) нули функции, то есть корни уравнения f (л) = 0; 8) интервалы знакопостоянства функции; 9) поведение функции при неограниченном возрастании значений ар- гумента (ж -» со) и при неограниченном убывании значений аргумента (х->— со); 10) область изменения функции. Осуществление' каждого пункта этого плана полезно сопровождать геометрической интерпретацией, выполняя шаг за шагом построение гра- фика исследуемой функции. В качестве примера рассмотрим функцию р = х«—10л«+9. 1) Областью определения дайной функции является множество всех действительных чисел. 2) „Особых" точек (тнпа точки х = 0 для функции y = эта функ- ция не имеет. 3) Функция четна, поскольку прн любом значении х (—л)*—10 (—л)» + 9=х*— 10х2+9. Это должно ианти свое отражение и в графике функции. Он должен получиться симметричным относительно оси ординат. 4) Рассматриваемая функция, очевидно, непериодична. Вообще периодичность той или иной функции часто устанавливается путем простого указания на периодические составляющие этой функции (например, sinx, cos л и т. п.). Данная функция подобных составляющих не имеет. Конечно, это не может служить строгим доказательством непе- риодичиости рассматриваемой функции. Поэтому мы еще вернемся к этому вопросу прн рассмотрении пункта 6. (Впрочем, возможно и такое доказательство непернодичиости. Если бы данная функция была периодической с периодом Т > 0, то при любом зна- чении х выполнялось бы равенство (л + Т)*— 10 (х-J- ТУ 4- 9 = х* — Юл2 + 9. В частности, при х=0 мы получили бы 74 — 107’» +9=9, откуда Г-Ж Таким образом, в качестве периода может выступать лишь числе KiO”- Но, как мы знаем, периодические функции имеют бесконечно много положительных периодов. Получено противоречие. Следовательно, опедположеиие о периодичности данной функции неверно.) 5) Стационарные точки функции f (х) находятся как корни уравнения ^'(х) = 0. В данном случае f'(x) = 4xs—20х; поэтому нам нужно решить уравнение 4х»—20х = 0. Оно имеет три корня: Xj = 0; х2=-К5; z *з= Кб. 207
Чтобы выяснить, какие tn этих трех стационарных точек дают локальные екстремумы н какие именно экстремумы (минимумы пли максимумы), рас- смотрим поведение производной /'(х) вблизи стационарных точек. Имеем: f (х) = 4хэ—20х = 4х (х2—5). Если х близко к нулю п х < 0, то оба сомножителя 4х и х2—б отрица- тельны. В этом случае f (х) > 0. Если же х близко к нулю и х > 0, то множитель 4х будет положительным, а миожитель х2—5—отрицательным. В этом случае Г (•*) < 0. При переходе через точку х = 0 производная f (х) меняет знак с на и—Поэтому точка х=0 является точкой локального максимума функ- ции у = х*—10х+9. Аналогично устанавливается (сделайте это самостоятельно!), что точки х =— 5 н х=рг5 являются точками локальных минимумов. Теперь можно найтн н сами локальные экстремумы. При х=0 t/=9; прн х = ± У ——16. Итак, функция у = х*—10х2-|-9 имеет один локальный максимум, равный 9 (ои достигается при х = 0), и два локальных минимума, каждый нз кото- рых равен —16 (они достигаются при х= — их=Уб). Это позво- 208
ляет иам отметить иа координатной плоскости три точки графика нашей функции. Это будут точки с координатами (0,9), (—У~5, —16) п (Из? —16), причем первая из иих служит геометрическим образом локального максимума, а остальные две—геометрическими образами локальных мини- мумов данной функции (рис. 324, а). 6) Найдем интервалы возрастания и интервалы убывания рассматри- ваемой функции. После исследования стационарных точек легко понять, что при —рг5<х<0 н х> ]f5 эта функция возрастает, а при * < < — V5 и 0<х< ]^5 убывает (см. рис. 324. а). Но это, конечно, можно доказать и строго, .не обращаясь к геометрической интуиции. Действительно, производная Г(х)-4х(х»—5) при — 1^5 < х < О и х > 1^5 положительна, а при х <— ]^5 и 0 < х < <1^*5 отрицательна. А это и служит доказательством того, что выше мы подметили, исходя из геометрических соображений. Полученный результат, между прочим, доказывает (н притом вполне строго), что функция у=х*— 10х2-{-9 непериодична. Действительно, при х> она монотонно возрастает и, следовательно, значения ее не могу г повторяться периодически. 7) Нули данной функции находятся из уравнения х*— Юх»4-9 = о. Оно имеет четыре корня: 1 Xi3 —— 3, Ха = — 1. х3 —!. х4 = 3. (Симметричность этих корней вполне понятна: ведь рассматриваемая функ- ция четна.) Теперь мы можем отметить. на плоскости координат еще четыре точки, принадлежащие графику нашей функции. Это точки оси х с абсциссами—3, — 1, 1 и 3 (см. рис. 324, б). 8) Очевидно, что между любыми двумя соседними нулями функция (х) сохраняет свой знак постоянным*. Так, при —3<х<— 1 она принимает либо только положительные, либо только отрицательные значения. Чтобы выяснить, какие именно (по знаку) значения принимает наша функция при —3<х<—1, достаточно определить ее знак в какой-нибудь одной точке етого интервала. В данном случае удобно выбрать *= —1^5—точку ло- кального минимума. В ней, как было указано выше, функция принимает значение, равное —16. Поэтому всюду в интервале —3<х<—1 наша функция принимает отрицательные значения. Аналогично можно установить (сделайте это самостоятельно!), что при — 1 < х;< 1 наша функция принимает положительные значения, а при 1 < х < 3—отрицательные значения. Что касается значений функции при | х | > 3, то. все они будут положительными. 9) При’неограниченном возрастании х(х-»-оо) и неограниченном убы- вании х(х-*-—во)* значения функции р=х*—Юх’-фЭ неограниченно воз- растают ((у-»- оо). Этот факт является очевидным, поскольку с ростом х величина х* растет гораздо быстрее, чем Юх8. Возможно и такое объясне- ние: ' [ х«—10х«-4-9=(х«—1)(х«—9). * Это „очевидное" утверждение может быть доказано и совсем строго. Однако* доказательство выходит за .пределы нашей программы. 209
Когда *-♦ оо пли *-► —оо, то каждый нз сомножителей *а—1 и Xs—9 неограниченно растет. Поэтому неограниченно растет и их произнедение. 10) Теперь нетрудно определить область изменения исследуемой функ- ции. Минимальное значение, равное —16, функция принимает , в двух точ- ках*. *=_ и х= 1^5. Максимального значения она ие имеет: при не- ограниченном росте х (по абсолютной величине) неограниченно растут и вначения функции. Поэтому область изменения функции у=х*—10ха+9 Определяется неравенством —16. График функции у^х*— 10ха+9 представлен на рисунке 324, в. Упражнения I Исследовать данные функции (№ 1924 —1930) и построить их графики! 1924. {/ = **—2*а—3. 1928. р = у x+sin х. 1925. У-'уц (х4 — 13ха4-36) 1929. у= /Тcos* — 2х. 1926. у = ха—Эх. 1930*. y=sina* + 2cosx-|--^ . 1927. р = ха—Зха + 2. Применение производной н графическому решению уравнений § 240 Вопрос о применении производно?! к графическому решению уравнений мы рассмотрим на примере уравнения sin х=х. Для решения этого уравнения на одном н том же чертеже построим графики функций t/=sin * й у=х (рис. 325). Эти графики пересекаются в точке с абсциссой х=0. Поэтому х=0 есть корень данного уравнения. Можем ли мы быть уверены, что других корней этого уравнения ие су- ществует? Может быть, вблизи точки х=0 имеется еще какая-нибудь точка пересечения графиков, которую мы просто ие замечаем? Ведь нельзя же, например, при выбранном на рисунке 325 масштабе „графически** убедиться, что 0,01 не корень уравнения sinx=x. К тому же, если мы заглянем в три- гонометрические таблицы, то обнаружим, что sin 0,01 % 0,01; sin 0,02 0,02, sin0,03 =е0,03... . Так что пока у нас нет оснований считать, что *—0—единственный корень уравнения sjn*=*. Чтобы разобраться в данном вопро- се, заметим, что (sin *)'=cos*, а (*)'=!. Для любого острого угла * cos*<l. Поэтому на участке 0 < * < скорость изменения функции у = х больше ско- рости изменения функции у — sinx. Но Л* в таком случае при 0 < х < функция р=х будет всегда „опережать** функцию у =sln х. Следовательно, никакое число из интервала 0 < * < ^ие может слу- жить корнем уравнения sinx = *. Тем более не может быть корнем уравнения 210
и поскольку slri*<1 Таким образом, данное уравнение не имеет положительных корней. Если бы существовал отрицательный корень этого уравнения — о, то мы имели бы sin (— о) =— о, откуда sino=o. Но это означало бы, что урав- нение sinx = x имеет положительный корень х=а. Получено противоречие. Значит, уравнение sin х=х не может иметь отри- иа!ельных корней. Остается признать, что число *=0 является единствен- ным корнем этого уравнения. Упражнения 1931. Доказать, что единственным корнем уравнения cos*=-g- —л яв- л лястся *== —. Решить графически уравнения! о 1932. sin х = — х—л. 1933. созх-х—— л. Исторические замечания § 241 Тот раздел математики, который изучает производные функций и их применения, называется дифференциальным исчислением. Это исчисление возникло из решения задач на проведение касательных к кривым, на вычи- сление скорости движения, на отыскание наибольших и наименьших зна- чений функций. Отдельные результаты в дифференциальном исчислении были получены уже давно. Однако до конца XVII века не удавалось выделить основных понятий, лежащих в основе данного вопроса. Поэтому, хотя почва для со- здания нового исчисления была подготовлена, исчисления, как такового, еще ие было. В систематической форме дифференциальное исчисление впервые было изложено по-разному и независимо друг от друга Ньютоном и Лейб- ницем. Ньютон изложил свои взгляды на новое исчисление в работе „Ме- тод флюксий и бесконечных рядов**. Этот трактат был составлен около 1671 г., но вышел в свет лишь в 1736 г.— уже после смерти автора. Первая печат- ная работа Лейбница по дифференциальному исчислению относится к 1684 г. Автором первого курса по дифференциальному исчислению был пред- ставитель школы Лейбница французский математик Л оп и та л ь (1661—1704). Этот курс под названием „Анализ бесконечно малых** вышел в свет в 1696 г. Современной трактовке дифференциального исчисления положил нача о Коши. Термин „производная** был введен французским математиком Лаг- ранжем (1736—1813). Задачи на повторение 1934. Найти значения производной от функции y=—-t4—4x3-|-16 в точ- ках * = 0 и х = 2. 1935. Найти значения производной от функции р = (Зх + 5) (2ха—I) в точ- ках х =— I и *=0. 1936. Найти значения второй производной от функции y=5sinx—Зсоах л л в точках х = — и * = —2*- 1937. Точка движется по закону s(/) = l3 (s—путь ^метрах, t—время в секундах). В какой момент времени ее мгновенная скорость равна сред- ней скорости движения в интервале от G = 18 сек дд /в=46 сек? 211
1938. Точка движется ио закону s(/) = 15 — (5— t) (3 — t) до тех пор, пока ее скорость не обратится в нуль. Какой путь проАдет при этом точка? 1939. Одна точка движется по закону s1(1) = 131-|-11, а другая—по за- кону $2 (1) = 31’-|-1, где s, и за—длины путей в метрах, 1 — время в секун- дах. Найти скорости движения точек в тот момент, когда пути их равны. 1940. Найти уравнение касательной к кривой р = Зх8-|-2х4-5 в точке пересечения этой кривой с осью ординат. 1941. Найти уравнение касательной к кривой у = 8х®—1 в точке пере- сечения этой кривой с осью абсцисс. 1942. Какой угол образуется при пересечении прямой х=-|-л с сину- соидой p=sinx? 1943. Какие углы образуются при пересечении прямой У—~^ с косп' нусопдой у = cosx? 1944. Найти координаты вершин парабол! а) Зх2—6х + 7=0; б) 2х8 + 8х—3 = 0. (х 3 X м —-----] найти тот член, который содержит х4. 3 Я / 1946. Доказать тождество 1 С*-|- ... -|-С" = 2я. (Указание. В формуле бинома Ньютона положить а = Ь=1.) 1947. Сколько рациональных членов содержит разложение (К2 4- /~з)1м? Исследовать функции и построить их графики (№ 1948—1955)1 1948. 1 а 5 tf = l6v4-2 1952. i/=sin8-^-. 1949. у=2х2—х«— 1. 1950. у — х—Xs. 1951. y=x-}-si!ix. 1953*. |/ = 0,5xe4-cosx. 1954. 0=sin х (1 -(-cos x). 1955*. 0=4 cos’x — 4K 3 sin x-|-5. 1956. Известно, 'по прочность балки с прямоугольным сечением прямо пропорциональна ширине и квадрату длины сечения. Найти размеры сечения балки наибольшей прочности, которую можно выпилить из круглого бревна, имеющего диаметр в d сантиметров. Найти производные следующих функций (№ 1957—1963): 1958. 0 = КЗ—х. I9S9. 1961. у = (х8-|-1)cosx— (х2 — I)sinх. 1962. у = -.--. 1gx-|-ctgx 1G63. 0 = sin4 x-|-cos4x. 1960 0 = sin’2x-|-cos. 1964. Доказать, что кривые i/=cos2x-|-sin 2х и tj=—5х’-|-2х-|-1 ка- саются друг друга в точке х = 0. (Касание кривых в некоторой точке озна- чает, что они имеют общую касательную в этой точке.) у 1965. В шар радиуса ' вписан Цилиндр наибольшего объема Чему равен этот объем? . 1966*. Доказать, что биномиальные коэффициенты—числа целые.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА XI Числовые поля § 242 Понятие числа прошло длинный путь исторического разви- тия. В главе II (см. ч. I) мы рассказали о том, как от простейших, натуральных чисел человек пришел к более сложным, действи- тельным числам. Сейчас мы хотим вернуться к рассмотрению этого вопроса. Но при этом нам придется несколько отступить от того порядка, в котором исторически развивалось понятие числа. Одним из простейших числовых множеств является множе- ство натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, ... - В нем всегда выполнимы два основных алгебраических дейст- вия: сложение и умножение. Это означает, что, каковы бы ни были натуральные числа т и п, сумма их m-J-n, а также произведение лг-л являются непременно натуральными числами. При этом соблюдаются следующие пять законов: 1) коммутативный закон сложения: т п = п т; 2) ассоциативный закон сложения: (т 4- п) k = т (л А); 3) коммутативный закон умножения: m-n — n-nv, 4) ассоциативный закон умножения: (т-л)-й = 5) дистрибутивный закон умножения относительно сложения: (ш4-л)*“ m-k+n-k. Что касается вычитания -и деления, то эти два действия в множестве натуральных чисел выполнимы не всегда. Так, ни одна из разностей 3—5 н 2—2, а также ин рдно из частных 3:5 и 7:4 нельзя выразить никаким натуральным Числом. 213
Чтобы действие вычитания было выполнимым всегда, мно- жество натуральных чисел нужно расширить путем присоеди- нения» к» нему всех отрицательных целых чисел и нуля. В ре- зультате такого расширения мы приходим к множеству всех целых чисел-. , _3> 3...... Числовое множество, в котором всегда выполнимы сложение и умножение, подчиненные указанным выше пяти законам, а также вычитание, называется кольцом. Таким образом, множество всех целых чисел образует кольцо. Расширив множество всех натуральных чисел до множества всех целых чисел, мы добились тем самым, что действие вычита- ния стало выполнимым всегда. Но деление по-прежнему оста- лось, вообще говоря, невыполнимым. Чтобы устранить этот пробел, нужно расширить и' множество всех целых чисел. Сделать это можно- путем присоединения к нему всех обЫкновен- ных дробен, то есть чисел вида — , где тип — произвольные целые числа и л =/= 0. В результате такого расширения мы по- лучаем множество всех рациональных чисел. Как было показано во второй главе, в этом числовом множестве всегда выполнимы действия сложения, умножения, вычитания и деления (кроме деления на нуль), причем первые два из них подчинены пяти основным законам сложения и умножения. Множество чисел, в котором всегда выполнимы действия сложения и умножения, подчиненные пяти основным законам, а также дейсгпвия вычитания и деления (кроме деления на нуль), называется полем. Множество всех рациональных чисел является простейшим числовым полем. Уместно сразу же заметить, что множество всех иррациональ- ных чисел поля не образует. Действительно, любое из четырех действий (сложение, умножение, вычитание и деление)' над ирра- циональными числами может привести к числу рациональному. Так, например, г— .— н т. д. А вот множество всех действительных чисел образует поле. Как указывалось во второй главе, действия сложения, умножения, вычитания и деления действительных чисел (кроме деления на нуль) не выводят нас за пределы действительных чисел, причем сложение и умножение подчинены пяти основным законам. Приведем еще один, более сложный, (Григер числового поля. Рассмот- рим все действительные числа внаа r-f-sy 2, где г и s — рациональные числа. Пусть o + bjr2 и c-j-d 2 — произвольные два числа рассматри- ваемого вида. Тогда 214
(o-l-ЛК ^(a+ci+rfh+d),/^ (o+b'V^2») — (c+d^ 2) = (д—x)+(fe—d>KX (fl +*V"2)• (c4-d V"2) = ac+ad 'У~2-Н>сУ~2+2bd = = (ac+2bd)+(ad+bc) У2. Предпоожим теперь, что число c-J-dJ1^ 2 ме равпо'нулю. 'Ьосда, очевидно, и сопряженное .ему число с—d У 2 будет отлично .от иуля>4докажите это1). Поэтому можно написать: а + ьУИ = (o + (>/D(c—dK2~) = (ac-2bd)+lbc—Md)jy~2 = c + dV~2 (c + dKT) (с—d^~2) сг—2й* _ac—2bd bc^ad y-^- ~ca—2d» +ca— 2d»K Как мы видим, каждое из четырех действий (сложение, вычитание, умножение и деление) над числами вида r-f-s У 2 приводит к числу того же самого вида. Ясно также, что сложение и умножение всех этих чисел подчинено каждому из пяти указанных выше законов. Поэтому совокуп- ность всех чисел вида 2, где и г и s—рациональные числа, обра- зует числовое поле. Упражнения 1967. Образует ли кольцо: а) множество всех четных чисел; б) множество всех нечетных чисел; в) множество всех чисел, кратных некоторому числу р? 1968. Образует ли поле: а) множество всех дробей со знаменателем 3; б) множество всех дробей, знаменатели которых есть целые степени числа 3? 1969. Докажите, что множество всех конечных десятичных дробей образует кольцо, но нс образует поле. 1970. Докажите, что любое числовое поле либо совпадает с множеством всех рациональных чисел, либо содержит в себе это множество. 1971. Докажите, что множество всех чисел вида а-[-ЬУ 3, где а н Ь — рациональные числа, является полем. Содержит ли это поле: а) все рациональные числа; б) все иррациональные числа; в) все действительные числа? Постановка задачи о расширении поля действительных чисел. Комплексные числа § 243 Потребности математики уже давно указывали на серьезную необходимость расширения поля действительных чисел. Как мы знаем, в нем, помимо сложения, вычитания, умножения и де- 215
ления, выполнимо еще действие возведения в степень, представ- ляющее собой не что иное, как многократное умножение. А вот извлечение корней, то есть действие, обратное возведению в сте- пень, выполнимо не всегда. Мы не знаем, например, какой смысл можно придать выражениям V—1, р/ —16. Поэтому в поле действительных чисел не разрешимы даже такие на первый взгляд’ простые уравнения, как ха-|-1=0, х*-|-16=0 и т. д. Перед математикой встала задача: расширить поле действи- тельных чисел путем присоединения к нему новых чисел так, чтобы расширенное множество образовывало числовое поле, в ко- тором было бы выполнимо действие извлечения корней. Окончательно эта задача была решена лишь в XIX столетии. Посмотрим, какие же элементы должно содержать новое, расширенное поле. Прежде всего оно должно содержать все действительные числа. Далее, в нем должно быть разрешимо уравнение х2=—1, поскольку действие, обратное возведению в степень, в этом поле выполнимо. Число, квадрат которого равен—1, принято обо- значать буквой i и называть мнимой единицей. Итак, по опре- делению числа i । Мы требуем, чтобы новое множество чисел было полем. Поэтому наряду с действительным числом b и мнимой единицей i ему должно принадлежать и их произведение Ы. Точно так же вместе с действительным числом а и произведением Ы новому числовому полю должна принадлежать и их сумма а-]-Ы. Таким образом, новое множество чисел должно содержать все числа вида , ,. a -р uit где а и b—произвольные действительные числа, a i—мнимая единица. Эти числа мы назовем комплексными числами. Число а принято называть действительной частью, а вы- ражение Ы—мнимой частью комплексного числа а + Ы. Число 6 называется коэффициентом при мнимой части. Например, для комплексного числа 2-|-3i действительной частью является число 2, а мнимой—выражение 3i; коэффициент при мнимой части равен 3. Для числа 0—3i действительной частью является число 0, а мнимой—выражение—3i; коэффициент при мнимой части равен —3. Для числа 5-|-0t действительной частью яв- ляется число 5, а мнимой—выражение Oi; коэффициент при мни- мой части равен нулю. Два комплексных числа считаются равными, если равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях. Другими словами, , ,. , .. a+bi = c+di тогда и только тогда, когда а=с, b = d. 216
Как мы знаем, для неравных действительных чисел опреде- лены соотношения „больше" и „меньше". Так, 5 > 4, 0 < 7 и т. д. Для неравных комплексных чисел такие соотношения определить невозможно. Нельзя, Например, сказать, какое из двух чисел больше: 24*& или 5—70 O-J-2Z или 04-47 и т. д. Упражнения 1972. Что значит, что два комплексных числа а+Ы и c-j-di: а) равны друг другу; 8) не равны друг другу? 1973. Найти действительные числа х и у из уравнений: а) (х—!/) + (3x+z/)i = 3—30 б) (x-5t/) + (2«-.z/)Z = 6 + 3L Сложение комплексных чисел. Противоположные числа § 244 Определение. Суммой двух комплексных чисел fl4- Ы и c-\-di называется комплексное число (а 4- с) 4- (b 4- d) i : , (а 4-М 4-(с 4-Л) = (а+с) 4-(Ь 4-^)0 Другими словами, при сложении комплексных чисел их действительные части и коэффициенты при мнимых частях складываются. Примеры. 1) (14-1)Ч-(24-31) = (]4-2) + (14-3)i = 34-4z; 2) (5 + 6i) 4- (7—б/) = (5 4 7) 4- (6—6) i = 12 4- 0t; 3) (44- 90 4-(-44- 0 = (4-4)4- (94-1)/ = 04-100 4) (3 -70 4-(— 3 4- 70 = (3-3) 4- (— 7 4- 7) i = 04- 00 В области действительных чисел имеется число „нуль", при- бавление которого к любому другому действительному числу не меняет этого числа: , Л а 4-0 = а. В области комплексных чисел аналогичную роль играет число 04-Oi. Действительно, каково бы ни было комплексное число а 4- bi, (а+Ы) 4- (0 4- 00 = (а4- 0) 4- (& 4- 0) I = а+Ы. Как мы знаем, два действительных числа а и —а, сумма которых равна нулю, называются противоположными. По ана- логии с этим комплексные числа а 4-6/ и —а—Ы также назы- ваются противоположными. Упражнения 1974. (У с т н о.) Назвать комплексные числа, противополож- ные данным: а) 34-/; б) 1—50 в) —2,4-00 г), 04-40* д) 0-|-0О е) 74-0 217
1975. Найти действительные числа х «и у «из уравнений: а) (5х-J-3t/i) + (2у—xi) «=3—г, С) (2х—5/)+-(7у + 2х/)— I2 + 0yi; в) (x + 3yi) + (yy + 2jcf)=4 + W* Вычитание комплексных чисел g 245 Определение. Разностью двух комплексных чисел zt=^ •=a-)-bi и za = c+ di называется такое ягоммексное число z3 = x + yi, которое в сумме с z8 дает zv. Другими словами, для комплексны-х чисел «сак же, как и для действительных, равенство *э = г1—*з по определению означает то же самое, что и равенство Само по себе введенное нами определение не гарантирует, что из каждого комплексного числа можно вычесть любое дру- гое комплексное число. Возможность такого вычитания и его однозначность устанавливаются следующей теоремой. Теорема. Для любых комплексных чисел х^—а -}-Ы и xt = c-f-dl разность х9 = х3—х9 определена и притом однозначно. Фактически нужно доказать, что существует и притом един- ственное комплексное число z8 = x + yi, которое в сумме с z, дает Zj: (c+di)4-(*+y0=a + 6i. (I) По определению суммы комплексных чисел: (с + di) + (х + yi) = (с + х) + (d+у) I. Поэтому уравнение (1) можно переписать в виде: (£+*) + (<* + !/) г = а + «. Два комплексных числа равны тогда и только товда, ковда равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях. Поэтому ( с + х = а, I d + y = b. Эта система уравнений всегда имеет и притом единственное решение: х = а — с, у — Ь—d. Поэтому существует и притом единственная пара действитель- ных чисел (х, у\ удовлетворяющая уравнению (1). Тем самым теорема доказана. 218
По существу мы доказали, что (а4-67)—(с 4-di) = (а—с) + (Ь—d) I. Чтобы из одного комплексного числа вычесть другое, достаточно это вычитание произвести отдельно для действительных частей этих чисел и коэффициентов при мнимых частях. Примеры. 1) (5 4- 6i)—(3 + 70 = (5—3) 4- (6—7) i = 2—i; 2) (2 + 0 -(9 4- 0 = (2 ~9) + (Т -1) । = - 7 4- 0i; 3) (3 4-40—(3—0 = (3—3) 4- (.44- 1)» = 0+5»; 4) (7 - 0 - (7 - 0 = (7 - 7>+ (.-1 4- 1) / = 0 + 0/. Упражнения 1976. Что выражает каждая» из данных.формул—определение или теорему: а) (а 4- 60 4- (с + di) = (а + с) + (Ь+d)»; б) (a + bi)—(c-b-di) = (a—с)+(b^—d.) i? 1977. Найти действительные числа х и у из уравнений: а) (0 4- 3x0—(10х + 2t/0 = — 5у + 3i; б) —Зу 4- y — (— 8х 4- 5у0 = — 24-12»"; в) ^х—2yi^ — (уу + 6х») =04-21». Умножение комплексных чисел § 246 Естественно потребовать, чтобы умножение комплексных чисел а 4-и c-f-di выполнялось так же, как* и- умножение двучленов с действительными коэффициентами, а именно: (а 4- bi) (с di) = ас + adi 4- bci 4- bdi2 = ас-±- (ad + bc)i 4- bdi2. Но по определению числа i i2------------------------------1. Поэтому bdi2 = — bd и, следовательно, (a + bi)(c + di} = (ac—bd) + (ad+bc)l. (I) Эта формула и кладется в основу определения произведения двух комплексных чисел. Определение. Произведением двух комплексных чисе* »-\-bi и c-\-di называется комплексное число (ас—bd)+(ad,+ bc)i. Для того чтобы уметь умножать комплексные числа друг на «руга, формулу (1) помнить не* обязательно: Нужно лишь-знать, 'что, она дает такой же результат, как. и. простое умножение двучленов а 4-to и c-j-dt с последующей заменой i2 на —1 219
Пример ы: 1) (2 + 3/) (6-5/)= 12—10/+ 18/—15/2=(12+15)+(18 —10)/= = 27+8/; 2) (4 + 0 (4—0 = 16—4/+4/—/2=( 16+1) + (— 4+4) i = 17+0/; 3) (1 + /)» = (! + /) (l+0=l+i + i + /2 = (l-l) + 2i = 0 + 2i. Как мы знаем, в области действительных чисел нуль обла- дает тем свойством, что произведение его с любым другим дей- ствительным числом равно нулю: а-0 = 0. Учащиеся без особого труда могут убедиться в том, что в мно- жестве комплексных чисел аналогичным ' свойством обладает число 0 + 0i. Для любого комплексного числа a-j-bi: (а+Ы) (0 + 0/) = 0+0/. Упражнения Вычислить (№ 1978—1987): 1978. (5 + /) (—2 + 3/). 1979. (3 + 4/) (6—5/). 1980. (7—2/) (3,5—/). 1981. (0,5+ 0,2/) (2 + 3/). 1982. (7 + 4/)=. 1983. (5 + 0(15—3/). 1984. (—6 + 2/) (11+5/). 1985. (0,5+ /)(!+2/). 1986. (VT—/)(/3 +20- 1987. (/З +50(5—/3"/). 1988. Найти комплексное число г из уравнения (2—3/).z = —1—5/. Деление комплексных чисел § 247 В области комплексных чисел так же, как и в области дей- ствительных чисел, соотношение понимается в том смысле, что z3«z2 = zv Определение. Частным от деления комплексного числа zt на комплексное число гг называется такое комплексное число zs, которое при умножении на za дает zv В области действительных чисел частное у определено для всех значений а и Ь, если только 6^0. Аналогично обстоит дело и в области комплексных чисел. Теорема. Частное определено и притом одно- вначно для всех комплексных чисел а+Ы и с+<Н, если только c-j-d/gfeO-f-O/. 220
Доказательство. Нам нужно показать, что если с+ di 0 + Oi, то существует и притом единственная пара действитель- ных чисел (Л, у), удовлетворяющая уравнению (x+pi)(c+di) = a+b'. (О По правилу умножения комплексных чисел (*+yi) (с + di) = (хс—yd) + (xd+ус) I. Поэтому уравнение (1) можно переписать в виде! (хс—yd) + (xd + yc) i = a+bl. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда рав- ны Й5с действительные части и коэффициенты при мнимых частях. Поэтому j сх—dy = a, ( dx + cy=b. (2) Вычислим главный определитель этой системы: д= л _<|=с!+Л Поскольку с-]-Л =5^04-0i, хотя бы одно из чисел end отлично от нуля. Но тогда A = c2+da>0. Следовательно, по правилу Крамера (см. § 30, ч. I) система уравнений (2) имеет и притом единственное решение: Лх_ |t> с| _ac+bd х~ Л — с»+О1 ~с»+<Р ’ &у | d Ь | be—ad У ~ дГ — с2-J-d* ~ с«-|-d2 ’ Итак, а+'Ы___________________________ac-j-bd . be—ad . c + di~c* + d? ~'Ct+<P Запоминать эту формулу не нужно; достаточно внать, как она получается. _ »т j. 9—7i П р и м,е р. . Найти отношение 2_^ . Пусть ** •’ • Тогда’ г ; ’ = ‘ ' ..... л (x-H/i>(2-3i)-9-7i, . v 2x-f-2yt—Зхг—3yi2 = 9—7f, ••... . Отсюда»' — •. (2х+Зу)Ч;(2у—Зх)х = 9—7i. . . . u ' " J л '2х+3^9, ’* ' > I —3x-)-2y=—7." v* ' '221
Решая эту систему, находим y —3 Поэтому 9~7|3 . ,- 2=з7 ~ Упражнения 1989. Что выражает каждая из данных формул — определе- ние или теорему: а) (а+bi) (с + di) = (ac—bd) + (ad -j- be) i; fi. a+bi ac-b-bd.bc—ad..? °' c+di~c«4-d« + c«+<P Вычислить (№ 1990—1992): 1990. 1991. . 1992. Доказать равенства: 1993 6~« 13+41' iqo4 2-H 13+4/ 1JJW. 3 + 4f.— -25-J-25/ * ISJ4, 3—i 17 — 91' Поле комплексных чисел § 248 Комплексным числам мы посвятили уже несколько параграфов. Но каши рассуждения часто были нестрогими. Мы допустили (хотя и созна- тельно!) ряд логических погрешностей, которые теперь нужно устранить. Чтобы разобраться в этом, поставим перед собой такой вопрос: что значит ввести в рассмотрение новые числа? Конечно, для новых чисел мы должны выбрать какие-то обозначения. Например, комплексные числа мл обозначаем a-J-Ы. Но главное не в атом. Главное в том, чтобы опре- делить, как сравниваются эти числа друг с другом, как производятся действия над ними (сложение, вычитание, умножение, деление). Пока эти действия не определены, употреблять такие выражения, как „сумма новых чисел" и „произведение новых чисел”, мы не имеем права. А как мы вводили комплексные числа? Прежде всего (см. § 243) мы потребовали, чтобы новое множество чисел содержало число, квадрат которого (то есть произведение с самим собой) равен —1. Среди уже из- вестных нам действительных чисел такого числа не существует. Если оно и существует, то только средн новых чисел. Но как же в таком случае мы могли говорить о произведении? Ведь умножение новых чисел еще ие было определено! Таким образом, уже определение мнимой единицы было математически некорректным. Об умножении новых чисел мы гово- рили фактически и тогда, когда требовали, чтобы новое множество чисел вместе с действительным числом b и мнимой ‘единицей i -содержало их про- изведение Ы. Далее, мы говорили о сумме а-]-Ы, хотя сложение новых чисел так же, как н умножение, еще ие было определено. Вот почему наше изложение теории комплексных чисел нельзя при- знать математически строгим. Но как же в таком случае ввести в рас- смотрение комплексные числа? Ответ иа этот .вопрос дается ниже. Комплексными числами называются числа, записываемые в виде а-(-Ы, еде а и b—произвольные действительные числа, a i— некоторый символ. Вводя обозначение а-(-Ы, мы вовсе ие связываем его с какой бы то нн было суммой. Знак и-|-“ в выражении o-J-bi пока не является призна- ком суммирования. Он входят просто как составная часть одного, не разделяемого на чвети выражения a~\-bi. Отметим также, что мы не тре- буем заранее, чтобы выполнялось соотношение ia=—1. Ведь пока что «—это просто символ, а не число. 222
По определению в4-6/ = е4Ш тогда и только тогда, когда а=с, b=d. Сумма двух комплексных чисел определяется по формуле: (a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i, (1) а произведение—по формуле: (a-)-ai)(c-)-di) = (ac—bd)4-(ad4-6c) I. (2) Разность двух комплексных чисел а-)-Ы и с4-di определяется как таксе комплексное число, которое в сумме с cj-di дает Как было доказаьэ в § 245, это число существует и равно: (a-c)+(b-d)l, то есть (а+bi)—(с+ di) = (а—с) + (Ь—d) /. (3) Частным от деления комплексного числа a4-tu на комплексное числа с-Ь-di называется такое комплексное число, которое в результате умноже- ния нас-)-di дает a-)-bi. В § 247 было доказано, чю если с-)-di ft 04-Oi, то частное от деления a-j-bi на c-)-di существует и равно: a-j-bi_ac-)-bd Ьс—ad. . c+d«'“ca+da +с2+<Р ' ( ’ Из приведенных выше четырех формул естественными на первый взгляд кажутся лишь формулы (1) и (3). Другие же две формулы трудно понять с первого взгляда. Вот почему мы начали- с такого изложения тео- рии комплексных чисел, которое хотя и является нестрогим, ио зато дает возможность понять, как можно прийти к формулам (2) и (4). Действия сложения, умножения, вычитания и деления над комплексными числами приводят опять же к комплексным чис- лам. Посмотрим, выполняются ли при этом те законы сложе- ния и умножения, которые были присущи действительным числам: А+ *2 = ?» + ?!, (*1 + Ze) + ?3 — Z1 + (z2 4“ гз)» ZtZ2 = ZoZj, (ZlZi) Z3 = Zl (г2^з)> <Z1+ZC)Z3 = Z1Z3 + Z2Z3- Если мы покажем, что эти законы выполняются, то тем самым будет доказано, что множество всех комплексных чисел обра- зует поле. Начнем с первого закона. Пусть zt = a-}-bi, za = c-}-di. Тогда zt + z2 = (а 4 bi) 4~ (<" + di) = (a+c) + (b+d) i, za + z1 = (c + di) + (a + bi) = (c-j-a) +(d + b) i. Для действительных чисел коммутативный закон сложения, как мы знаем, выполняется. Следовательно, а + с = с-}-а; b-)-d = d-\ Ь. Поэтому комплексные числа ^4-Za и г2+г1 имеют одинаковые действительные части и коэффициенты при мнимых частях. Но в таком случае они равны: zt }-z2 = za + zl. Теперь обратимся к пятому закону. Пусть zt=a+bi, z2 = = с4-Л, г3 = <?4-/й Тогда z^z^(а4-с)4-(Ь4-d)t. 223
Следовательно, + z2) z3 -= [(a 4-c) 4- (b 4-d) i) (e4-fO =• = [(a + c) e—(b 4- d) f] 4- [(a 4-c) f + (b+d) e] i - = (oe—bf) 4- (ce— df)] 4- [(af 4- be) 4- (cf 4- de)) i. С другой стороны, = (a 4- bi) (e 4- fi) = (ae—bf) 4- (af 4- be) i, «Bz3 = (c 4- di) (c 4- fi) = (ce—df) 4- (cf 4- de) i. Поэтому ?iZ3 4- z2z3 = [(ae—bf) 4- (ce—df)] 4- [(af4-be) 4- (cf 4-d<0] i- Сравнивая числа (z14-z2)z3 и z1z34-2’2Z3, мы замечаем, что они имеют соответственно равные действительные части и коэффи- циенты при мнимых частях. Но в таком случае эти комплекс- ные числа равны между собой: (zx 4" z2) z3 = zLz3 4- z2z3. Мы доказали, что для комплексных чисел выполняются комму- тативный закон сложения и дистрибутивный закон умножения относительно сложения. Предлагаем учащимся самостоятельно убедиться в том, что для комплексных чисел выполняются и все остальные законы сложения и умножения. Итак, множество всех комплексных чисел образует поле. Упражнения 1995. Образует ли поле совокупность всех чисел вида: а) O4-W, где b—действительное число; б) aj-ai, где а—действительное число; в) n-j- Ы, где а и b—произвольные рациональные числа? Геометрическое изображение комплексных чисел g 248 ч. , Как известно (см. ч. I, § 44), действительные чцсла можно изображать точками числовой прямой. При этом каждому действи- тельному числу соответствует единственная точка числовойпря- мой. Например, действительному числусоответствует точкаЛ (рис. 326), находящаяся справа от начальной точки О на рас- стоянии в единицы длины; дей- S q Vg ствительному числу—2 соответству- -1 О * ет точка Я» находящейся слева от а точки О на расстоянии в 2 единицы Рис. 326. длины; действительному Ччвдлу У 2 224
соответствует точка С, находящаяся справа от О на расстоянии в К2 еди- ниц длины. Обратно, каждой точке чи- словой прямой соответствует вполне определенное действительное число. Например, точкам А и В (рис. 326) со- ответствуют рациональные числа и — 2, а точке С—иррациональное число У~2. Таким образом, множество всех действительных чисел находится Рис. 327. во взаимно однозначном соответствии с множеством всех точек числовой прямой. Подобно тому как действительные числа можно изображать точками числовой прямой, комплексные числа можно геометри- чески представлять точками плоскости. Каждому комплексному числу а-]-Ы поставим в соответствие точку плоскости с координатами (а, Ь). Например, числу 2+31 поставим в соответствие (рис. 327) точку А с координатами (2, 3), числу —1-Н—точку В с координатами (—1, 1), числу 4 + Ot— точку С с координатами (4, 0), числу 0—2i — точку Г) с координатами (0, —2) и т. д. Каждая точка плоскости имеет определенные координаты. Поэтому при выбранном соответствии каждой точке плоскости будет отвечать некоторое комплексное число. Например, точке А с координатами (2, 3) отвечает число 2-J-3i (рис. 327), точке В с координатами (— 1, 1) — число (—1+0, точке С с координа- тами (4, 0)—число 4 + 0t, а точке D с координатами (0, —2)— число 0—2Л Но не может ли случиться так, что одной п той же точке плоскости, например точке (а, 0), будут соответство- вать различные комплексные числа, например, аА + b±i и 6Г2 + Ь,г? Если бы было так, то мы имели бы: Ct •— 67 j, 0 — Ь1. а = а2, 0 = 62. Отсюда at = a2, bl = b2. Но в таком случае числа -f-и a2 + b2i были бы равны между собой. Итак, каждому комплексному числу а + Ь/ соответствует одна, вполне определенная точка плоскости, а именно точка с координатами (а, Ь). Наоборот, каждой точке плоскости (а, 0) соответствует одно, вполне определенное комплексное число, а именно число а 4- 0t. Таким образом, множество всех комп- лексных чисел находится во взаимно однозначном соот- ветствии с множеством всех точек плоскости. « С каждой точкой плоскости А можно связать вектор ОА, выходящий из начала координат и оканчивающийся в точке А (рис. 328). Поэтому комплексные числа допускают и другую гео- 8 Заказ Na 85 225
Рис. 328. ленне, которое метрическую интерпретацию. Каждое ком- плексное число a-j-bi можно геометрически интерпретировать как вектор ОАс координа- тами (а, Ь). Координаты вектора О А при этом будут такими же, как и координаты точки А, а именно (а, Ь). Очевидно, что такое соответ- ствие между всеми комплексными числами и всеми векторами плоскости, выходящими из начала координат, является также взаимно однозначным. Используя векторную интерпретацию комп- лексных чисел, легко истолковать то опреде- мы приняли для суммы двух комплексных чисел: (а + Ы) 4- (с + di) = (а-Ьс) 4- (& + d) i. Как известно, при сложении векторов их соответственные координаты складываются. Поэтому если вектор ОА (рис. 329) имеет координаты (а, Ь), а вектор ОВ — координаты (с, d), то их сумма—вектор ОС—будет иметь координаты (а 4- с, b-j-d). Этот вектор как раз и соответствует комплексному числу (a4-c)4-(b4-d)i, которое является суммой комплексных чисел л 4- bi и с 4- di. К сожалению, определение произведения двух комплексных чисел (а 4- Ы) (с 4- di) = (ас — bd)-}- (ad 4- be) i не допускает такой простой интерпретации. Упражнения 1996. Данные комплексные числа изобразить точками плос кости: а) 1 4- i; в) —2-|-3i; б) 1—<; г) —3 —2i; д) 5 4-0»; ж) 04-5/; е) —64-ОГ, з) 0—4/. 1997. Какие комплексные числа изображают на рисунке 330 точки А, В, С, D и О? 1998. Дать геометрическую ин- терпретацию формулам: а) (1 4-2i)4-(l-2i) = 24-0i; б) (3-404-(—14-20 = 2-20 1999. Пусть точка М служит изображением на плоскости комп- лексного числа a 4-bi. Построить на той же плоскости точки, ко- торые изображали бы комплекс- ные числа: 226
Рассмотрим отдельно все точки плоскости, лежащие на беи абсцисс. Они имеют координаты (а, 0) и, следовательно, соот- ветствуют комплексным числам вида a-j-Oi. Пусть a1 + 0i и o2 + 0i—два таких числа. Легко убедиться в справедливости следующих соотношений: (°i + 00 + (°2 4* 01) = (flj 4~а2) 4- Of; (а 1 + Ot) — (аа + 00 = (а1 — а2) 4- Of; ч (ах + Qi) (а2 Qi) = ata2 4- Qi; ei+£=-^+Oj (о2=/=0). Эти соотношения показывают, что все комплексные числа вида a-f-Oi, то есть числа с нулевыми коэффициентами при мнимых частях, складываются, вычитаются, умножаются и делятся друг на друга как соответствующие им действительные числа. Геомет- рическое изображение этих чисел также совпадает с геометри- ческим изображением соответствующих действительных чисел: как те, так и другие представляются точками оси абсцисс. Это позволяет нам не делать различия между комплексным числом а 4 Qi и действительным числом а. Поэтому в дальнейшем мы всюду вместо а 4-0: будем писать просто а; в частности, 04- 4- Of = 0. По этой причине ось абсцисс, на которой расположены точки, соответствующие действительным числам, или комплекс- ным числам вида a + Of, называется действительной осью. Теперь нам ясно, каким образом действительные числа вхо- дят в совокупность всех комплексных чисел. Точки оси ординат имеют координаты (0, Ь) и потому соот- ветствуют числам вида 04-^i, то есть комплексным числам. 8 227
действительные части которых равны нулю. Такие числа харак- теризуются тем, что квадраты их отрицательны (если только b 0). Действительно, (0 + Ы)- + (0 + Ы) (Q + bi} = 0 + Qbi + b0i — b2 = = —b2 + 0i= —b2. В частности, (04-0*=-1. Когда комплексные числа еще не были введены в математику, трудно было представить себе, что квадраты чисел могут быть отрицательными. Поэтому комплексные числа вида 0 4- Ы полу- чили название чисто мнимых чисел. В дальнейшем эти числа мы будем обозначать не 0+Ы, а просто bi. Ось ординат, на которой располагаются все чисто мнимые числа, называется мнимой осью. Условимся в дальнейшем комплексное число 0-|-< обозначать просто I. После такого соглашения мы можем говорить не только о каком-то сим- воле t, ио и о комплексном числе t, подразумевая под ним число 0-f-i. Как было показано выше, (04-«)г =— 1- Поэтому 1. Число i получило название мнимой единицы. Рассмотрим произведе- ние произвольного действительного числа b иа мнимую единицу i: t>i = (ft + Oi)(0 + i) = ft.O-|-fti4-0.0/4-0-i2 = 04-W. И гак, b-i = O-\-bi. Этим и оправдывается принятое выше соглашение обозначать числа вида 0-|-bi просто Ы. В § 248 мы говорили, что по определению a-f-bi есть просто особое обозначение, а не выражение суммы чисел а и Ы. Ведь тогда мы еще не знали, что представляют собой комплексные числа а и Ьг, тем более мы ие могли знать, как складываются эти числа. Теперь же мы знаем, что представляют собой комплексные числа а и di и что представляет собой сумма двух комплексных чисел. Поэтому теперь законно поставить вопрос: а нельзя ли выражение a-\-bi рассматривать как сумму двух чисел а и bit Для решения этого вопроса заметим, что a=a+0i, bi =0|- Ы. Поэтому сумма чисел а к Ы равна: (a4-0i)4-(0+W) =(04-0)4-(04-0 i = a-\-bi. Это дает положительный ответ на поставленный выше вопрос. Комплексное число a+bi можно рассматривать как сумму двух комплексных чисел: дей- ствительного числа а и чисто мнимого числа Ы. Упражнения 2001. Что означает каждое из выражений: а) комплексное число а-\-Ы равно нулю; б) комплексное число a-f-bi не равно нулю? 2002. Найти действительные числа х и у из уравнений: a) (x + y) + (x~y)i = 2 Hi; 6) (х + у) + (х—y)i = 4i; 228
В) (^+y) + U—У) j = 2; г) (у+2х) + (2у + 4хН = 0; Д) (х 4-1,5у) 4-(2х 4-Зу) i = 13/. 2003. Найти чисто мнимые числа и и v из уравнений: a) u + w=—34-2»; б) 5и — 6ii» =—24—5». 2004. Что можно сказать о двух комплексных числах, если их сумма и разность одновременно представляют собой: а) действительные числа; б) чисто мнимые числа? 2005. Вычислить: a) [i(2—0F; б) [2i(3-4i)P. 2006. Доказать, что квадрат комплексного числа а+Ы пред- ставляет собой действительное число тогда й только тогда, когда либо а = 0, либо Ь = 0. Сопряженные числа. Практический способ деления комплексных чисел § 251 Комплексное число a— Ы называется сопряженным к комп- лексному числу а + Ы. Например, число 2 — 3» является сопря- женным к числу 2-|-3», число .5 4- 4» — сопряженным к числу 5—4», число — 6»( = 0—6»)— сопряженным к числу 6/( = 0-|-6»') и т. д. Пусть а—произвольное действительное число. Тогда a=a + Qi = а—0i. Поэтому любое действительное число равно своему сопряжен- ному. Верно и обратное утверждение: если комплексное число а + Ы равно своему сопряженному, то есть а+Ы = а—Ы, (1) то это число действительное. В самом деле, из (1) вытекает, что Ь=— b или Ь = 0. Следовательно, а 4 bi = а4-0-» = а, что и тре- бовалось доказать. Таким образом, из всех комплексных чисел действи- тельные числа (и только они) равны своим сопряженным числам. Число а—Ы является сопряженным к числу а + Ы. Но чис- ло а+Ы будет,- очевидно, сопряженным к числу а—Ы. Таким образом, числа а + Ы и а— Ы являются сопряженными друг другу. Поэтому они называются взаимно сопряженными комплекс- ными числами. Очевидно, что любые взаимно сопряженные ком- плексные числа а + Ы и а—Ы изображаются на плоскости точками, симметричными друг другу относительно действитель- ной оси ,(см. рис. 331). Произведение двух взаимно сопряженных комплексных чисел есть число действительное. ' 9 229
В самом деле, (а+Ы) (а — Ы) — = а*-(Ы)* = аг-Ь212. Но »® =— 1. Поэтому (а + Ы) (а—bi) = a2 + ba. Доказанное свойство взаимно сопряженных чисел позволяет до- вольно просто производить деле- ние комплексных чисел. Пусть нужно найти частное Умножим числитель и знаменатель этой дроби на число c—dl, сопряженное знаменателю. В результате мы получим дробь, знаменатель которой будет действительным числом: а-^-Ы__(а-^-Ы) (с—di)_(ac+bd)-f-(bc—ad) i c-{-di (c+di) (c—di) Теперь, исцользуя дистрибутивный закон умножения относи- тельно сложения, получим: a-±bi I f. . , ... j. ac-i-bd . be—ad. cH-di~c2-|-d3^flC'*“^“*_^ — cs-j-rf» + c“4-d»^ В § 247 эта формула была получена иным путем. Примеры. .. 7 — (7— 0(3—о 21—7i—3i —1 _20—10i_ „ .. ' 34-i~(3 + O(3-i)~ 9+1 ~ 10 2 1+i (1+0(14 0 1 + 21-1 _-2i f i—i (i-0(l+0 1 + 1 Упражнения 2007. Назвать комплексные числа, сопряженные данным. Изобразить данные и сопряженные к ним числа точками плоскости: a) 1+i; 6)2—3»; Вычислить: в) 5; г) 4t; д) 0; 2008. 2012. V 3+i 4-f-t 4—i * «00. 2013. 2010.^. ™<+at ia + bi- 2011. 4. е) 2i—1. 230
Степени мнимой единицы § 252 По определению первой степенью числа i является само число i, а второй степенью число —1: P-i, Р = —1. Более высокие степени числа i находятся следующим образом! i3 = i2-i= —1 i = — i; i4 = i8.(= —/2=1; i* = ibi = i*= —I и т. д. Очевидно, что при любом натуральном п j4n+3 _ J . j4n+3 e Например, jl« — = f124 + l—./24+2 __ t‘_,2 = I _f_ j f f!00_|_ jloo_|_ j86 + »_|_ t-eo + s_ J 1 j. Упражнения Вычислить (№ 2015—2020): 2015. i® 4- i1® 4- i2® 4- i8® 4- i4® 4- iM- 2016. i3 4- i19 4- »28 4- i" 4- Iю 4- i*9. 2017. i4-i24-i84-i*4-- -. 4-Г (n>4). 2018. i i2 t’ i4 ... i100. 2419. i- 2®29* "jn tr + 'pS pss- 2021. При каком действительном значении а число 3i3 —2ш2 + 4-(1 — a) i’4- 5 будет: а) действительным; б) чисто мнимым; в) равным нулю? Извлечение корней квадратных из отрицательных чисел. Решение квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами g 253 Как мы знаем, t2= —1. Вместе с тем (_1)2=(_1.1)2 = (_1)«.Р=_1. Таким образом, существуют по крайней мере два значения корня квадратного из —1, а именно i и —i. Но, может быть, естб еще какие-нибудь комплексные числа, квадраты которых равны — 1? 231
Чтобы выяснить этот вопрос, предположим, что квадрат комплексного числа а+Ы равен —1. Тогда (а+М)2=—1, aa+2abi—b2 = — 1. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях. Поэтому Согласно второму уравнению системы (1) хотя бы одно из чисел а и Ь должно равняться нулю. Если 6 = 0, то из первого урав- нения получается а2= — 1. Число а действительное, и поэтому а2 0. Неотрицательное число а2 не может равняться отрица- тельному числу —1. Поэтому равенство Ь = 0 в данном случае невозможно. Остается признать, что а = 0, но тогда из первого уравнения системы получаем: —Ь2 =—1, 6=±1. Следовательно, комплексными числами, квадраты которых равны —1, являются только числа I и — i. Условно это запи- сывается в виде: ___ Аналогичными рассуждениями учащиеся могут убедиться в том, что существует ровно два числа, квадраты которых равны отрицательному числу —а. Такими числами являются К at и — y~ai. Условно это записывается так: V— а— ± И a t. Под V а здесь подразумевается арифметический, то есть поло- жительный, корень. Например, К 4 = 2, К 9 = 3; поэтому К—4 = ± 2», И—9 = ± 3i и т. д. Если раньше при рассмотрении квадратных уравнений с от- рицательными дискриминантами мы говорили, что такие уравне- ния jie имеют корней, то теперь так говорить уже нельзя. Квадратные уравнения с отрицательными дискриминантами имеют комплексные корни. Эти корни получаются по известным нам формулам. Пусть, например, дано уравнение х24-2х+ 5 = 0; тогда *ьа=-1 ±УТ=5= —I ± И — —1 ±2t. Итак, данное уравнение имеет два корня: — 1-|-2Z, х2 = = —1—2i. Эти корни являются взаимно сопряженными. Инте- ресно отметить, что сумма их равна —2, а произведение 5, так что выполняется теорема Виета! 232
Упражнения 2022. (Устно.) Решить уравнения: а) №-16; б)№=—2; в)3№=—5. 2023. Найти все комплексные числа, квадраты которых равны: . . -.1 КТ. а) г, б) у---^-i. 2024. Решить квадратные уравнения: а) №—2л4-2.= 0; б) 4№-|-4л + 5 = 0; в) №—14x4-74 = 0. Решить системы уравнений (№ 2025; 2026): 2025. |% + !/Z6’ 2020. = 1 ху — 45. I ху = 1. 2027. Доказать, что корни квадратного уравнения с действи- тельными коэффициентами и отрицательным дискриминантом являются взаимно сопряженными. 2028. Доказать, что теорема Виета верна для любых квад- ратных уравнений, а не только для уравнений с неотрицательным дискриминантом. 2029. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, корнями которого являются: a) Xj = 5—i, xa = 5 + i; б) xx = 3t, х2 =—3r. 2030. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, один из корней которого равен (3—i)(2i—4). 2031. Составить квадратное уравнение с действительными 32___________________________________________I коэффициентами, один из корней которого равен Двучленные уравнения 3-й степени о действительными коэффициентами § 254 Так называются уравнения вида ах8 = 6, где а и Ь— произвольные действительные числа, отличные от нуля. Решение таких уравнений мы рассмотрим на некоторых част- ных примерах. Пример 1. Решить уравнение № = 8. Перепишем данное уравнение в виде х8—8 = 0. Используя формулу для разности кубов, получим: (х—2) (х8 + 2х+4) = 0. Если х—2 = 0, то х =2; если же ха-|-2х + 4=0, то х =—1 ± ±уГ-^4 = -1 ± У=3 = -1 Таким образом, данное уравнение имеет три корня: Xi = 2; х2 — — 1 —УЗ i; хя = — 1 + УЗ I. Действительным среди них является лишь один корень х = 2. 233
Пример 2. Решить уравнение —ух3 = 4. Умножив обе части этого уравнения на —2, мы придем к уравнению х3 =—8. Это уравнение принципиально не отли- чается от ранее рассмотренного уравнения х8 = 8. Поэтому мы приводим его решение без объяснений: х8 4-8 = 0, (х + 2) (х2—2х + 4) = 0, xt=—2; х2=1 — КЗ Л хв=1+Кз7.' » I Пример 3. Решить уравнение у х3 = —2. Умножйв обе части этого уравнения на 3, получим х8 = — 6, откуда х84-6 = 0. Рассматривая число 6 как куб числа jZ 6, разложим х®4-6 на множители: (х8 4- 6) = (х 4- /3) [х2-У~6х 4- (/'б)2]. Следовательно, либо х-\-у/ 6 = 0, либо х2—у/ 6х4-(^ 6)2=О. Первое из этих уравнений имеет корень xt = — у/ 6. Второе уравнение дает: J/T ± j/(^/Гб‘)2-4(р/’б)2 У 6”± У"6-/3"i *2,8= 2 ~ 2 ~ 3/Т Итак, данное уравнение имеет три корня: 3/"с xt = — |/ 6; 3/ *6* ^ = £2-(1+/3i); X3 = ^-(1— /3i). Из этих трех корней лишь один представляет собой действи- тельное число. Упражнения Решить уравнения (№ 2032—2037): 2032. Зх3 = 81. 2034. х3 = 3. 2036. Зх3 = 2. 2033. х3= — 27. 2035. х3= —5. 2037. —4х3 = у. 2038. Доказать, что сумма всех корней уравнения х3= — 4 равна 0. 2039. Найти произведение всех корней уравнения л8 = 6. 234
§ 255 Двучленные уравнения 4-й степени с действительными коэффициентами Так называются уравнения вида ах* = Ь, где а иЬ—произвольные действительные числа, отличные от нуля. Решение таких уравнений мы тоже рассмотрим на некоторых частных примерах. Пример 1. Решить уравнение х* = 16. Перепишем данное уравнение в виде: х4—16 = 0. Левую часть этого уравнения разложим на множители: х* - 16 = (х2—4) (х2 + 4) = (х 4- 2) (х - 2) (х2 4- 4). Отсюда следует, что корнями уравнения х4=16 будут: Xj = 2, х2 = — 2, х3 = 21, xt = —21. Действительными среди этих корней являются лишь два корня: хх = —2 и х2 = 2. Пример 2. Решить уравнение х4=—16. В множестве действительных чисел это уравнение не имеет корней, так как четная степень любого действительного числа неотрицательна. В множестве комплексных чисел это уравнение, как мы сейчас покажем, имеет 4 различных корня. Перепишем данное уравнение в виде: х4 4-16 = 0. Выражение х44~ 16 можно рассматривать как сумму квадратов чисел х2 и 4. Дополнив эту сумму до точного квадрата, получим: х4 4-16 = х4 4-164-2-4-х2-2-4.х2 = (х24-4)2-8х2. Теперь используем формулу для разности квадратов двух чисел: (х2 4- 4)2 - 8х2 = (х2 4- 4 4- /вх2) (*2 4- 4 -/вх2) = = (х2 4-2 / 2х 4-4) (х2 - 2/"2х4-4). Итак, _ _ х24-1б=(х24-2/2х4-4)(х2 —2/2x4-4). Поэтому уравнение х4= —16 можно представить в виде: (х2 4- 2У2х 4- 4) (х2 - 2 V ~2х 4- 4) = 0. Если х24-2р/~2х4-4'=0, То' xlt 2 = —V~2 ±1^2—4, или хх = —У~2 — УТ1, ха = -У“24-/27; 235
если же х2 — 2 1^2х4-4 = 0, то х3>4 = }/г2±рг2—4, или x3 = V2-V'2i, л4 = К2 + 1/Г2 i- Мы получили четыре корня уравнения х* = — 16. Среди них нет ни одного действительного корня. Пример 3. Решить уравнение Зх4 =—6. Принципиально вто уравнение не отличается от предыдущего. Поэтому мы при- водим его решение без объяснений: х4=-2. х* 4- 2 = х< + (/2)2 = л4 + (/2)2 + 2х2 /2— 2х2 /2 = . =(хг + К2)2—2/2х2 = -(хг+У"2)г-(/8х)2 =(*г+ /8х+/2)(х2- /8х + / 2). Если х2+ I/ 8x4-1^ 2 = 0, то _У1±/(/!)>-< К2 _{А8±t/ii *1.«_' 2 2 2 Если же х2—JZ8х4-К2 = 0, то аналогично получим: х *3,4-----2 • Таким образом, данное уравнение имеет четыре различных корня. Средн них нет ни одного действительного корня. Упражнения Решить уравнения (№ 2040—2044): 2040. л4 = 81. 2042. х4 = 2. 2044. Зх4 = 5. 2041. х4 = —81. 2043. х4=—3. 2045. Найти сумму всех корней уравнения х4 = 4. 2046. Найгп произведение всех корней уравнения х*=—7. Тригонометрическая форма комплексных чисел § 258 Пусть комплексному числу а 4- bi соответствует вектор О А с координатами (а, Ь) (см. рис. 332). Обозначим длину этого вектора через г, а угол, который он образует с осью х, че- рез ф. По определению синуса и косинуса: а Ь — = cos ф, у — sin ф. 236
Поэтому а = г cos ф, b = г sin ф. Но в таком у случае комплексное число а + Ы можно запи- сать в виде: А__t а + Ы — г cosф-|- ir sin ф = г (cosф-|- i sin ф). Как известно, квадрат длины любого век- J у1 тора равен сумме квадратов его координат. I Поэтому г2 = а2 + Ь2, откуда r = j/ra2 + b2. | \ Итак, любое, комплексное число а-\-Ыа о можно представить в виде: a-]-bi=r(cosц>-{-isinq), (1) р,,с- ’ где г =Уа2-j-Ь2, а угол ф определяется из условия: sin<p= —-- . Такая форма записи комплексных чисел называется тригоно- метрической. Число г в формуле (1) называется модулем, а угол ф—аргу- ментом комплексного числа а + Ы. Если комплексное число а + Ы не равно нулю, то модуль его положителен; если же а4-Ь’ = 0, то а = Ь = 0 и тогда г = 0. Модуль любого комплексного числа определен однозначно. Если комплексное число а + Ы не равно нулю, то аргумент его определяется формулами (2) однозначно с точностью до угла, кратного 2л. Если же а + Ы = 0, то а = Ь = 0. В этом случае г — 0. Из формулы (1) легко понять, что в качестве аргумента ф в данном случае можно выбрать любой угол: ведь при любом ф 0 • (cos ф + i sin ф) = 0. Поэтому аргумент нуля не определен. Модуль комплексного числа z иногда обозначают |z|, а аргу- мент— argz. Рассмотрим несколько примеров на представление комплексных чисел в тригонометрической форме. Пример 1. Записать в тригонометрической форме комп- лексное число 1 4- i. Найдем модуль г и аргумент ф этого числа. /==/Р4-1г = У~2. Следовательно, Таким образом, sin ф = COS ф = откуда ф = 4- 2лл. 1 -|-i = V2^cos (у 4~2пл) -|-isin -|-2nn)j , 2Т7
у vjm п—любое целое число. Обычно из беско- нечного множества значений аргумента комп- лексного числа выбирают то. которое заклю- 1 А чено между 0 и 2л. В данном случае таким значением является . Поэтому ° 14- i = 2 ( cos -г- 4- i sin . Рис. 333. Пример 2. Записать в тригонометриче- ской форме комплексное число —L Имеем: г = /34-1 =2; cos<p = -^, sin<p=— у. Поэтому с точностью до угла, кратного 2л, ф = Ул; следова- тельно, ,/5 . о / 11 , . . И \ у 3—1 = 2 cos л 4-1 sin л) . * \ и и } Пример 3. Записать в тригонометрической форме комп- лексное число I. Комплексному числу i соответствует вектор О А, оканчиваю- щийся в точке А оси у с ординатой 1 (рис. 333). Длина такого вектора равна 1, а угол, который он образует с осью абсцисс, равен у. Поэтому л . . . л i = cos -у 4-i sin -g-. Пример 4. Записать в тригонометрической форме комп- лексное число 3. Комплексному числу 3 соответствует вектор О А, оканчиваю- щийся в точке оси х абсциссой 3 (рис. 334). Длина такого вектора равна 3, а угол, который он образует с осью абсцисс, ра- У , вен 0. Поэтому 3=3 (cos 0 1 sin 0). Пример 5. Записать в три- ж А_► тонометрической форме комплекс- ®-----------------------3 X ное число —5. Комплексному числу—5 соот- ветствует вектор ОА, оканчиваю- Рнс. 334. щийся в точке оси х с абсцис- 238
сой —5 (рис. 335). Длина такого вектора равна 5, а угол, кото- рый он образует с осью абсцисс, равен л. Поэтому —5 = 5 (cos л 4- i sin л). Упражнения 2047. Данные комплексные числа записать в тригонометри- ческой форме, определив их модули и аргументы: 1) 2 4-2/3i; 4) 12i—5; 7) 3i; 2) /З + i; 5) 25; 8) — 2Г, 3) 6—6i; 6) —4: 9) 3t—4. 2048. Указать на плоскости множества точек, изображающих комплексные числа, модули г и аргументы ф которых удовлет- воряют условиям: 1) Ф=Т’ 2) г = 2; 3) гСЗ; 4) г<3; 5) 2 < г < 3 6) Ф-у; 7) 0<ф<-|; 8) 0 < ф < л; 9) 1 < г < 2, 0<фСу . 2049. Могут ли модулем комплексного числа одновременно быть числа г и —г? 2050. Могут ли аргументом комплексного числа одновременно быть углы ф и —ф? Данные комплексные числа представить в тригонометрической форме, определив их модули и аргументы: 2051*. 1 4- cos а 4- i sin а; 2054*. 2 (cos 20°—i sin 20е). 2052. sin ф 4- i cos ф. 2055*. 3 (—cos 15°—i sin 15°). 2053* — 5 (cos 40”—(sin 40°). 239
Умножение и деление комплексных чисел, ' заданных в тригонометрической форме § 257 Умножение и деление комплексных чисел удобнее выполнять, если эти числа заданы в тригонометрической форме. Имеют место следующие теоремы. Теорема 1. Модуль произведения двух комплексных чисел ра- вен произведению их модулей, а аргумент—сумме их аргументов. Доказательство. Пусть Zj = ri(cosф1 + гsin(fi), a га = г2(со5фа+г£тфа). Тогда ' Zi-za=ri-rs(cos<Pi4-rsin<j>i)(cos<j>a4-rsin фа) = = Г1-Га (COS ф1-СОЗфа4-Г COS фгSin фа+« Sin ф]-СО5ф2— Sin ф]-51П фа) = — ri'ri l(cos Ф1-СО5фа—sin ф1*5!п ф2) + « (sin ф1-со5фа-}-со5 фрвт фа)[; но cos фа• cos фа —•sin ф!-51П фа = соз(ф1+фа); sin ф^совфг+соз фа*зт фа =sin (фх + фг)- Поэтому ZiZa = G',2 [С08(ф1+фа) + »8!п (ф1+фа)]. А это и означает, что модуль произведения Zj-Zg равен произведению модулей чисел zx и гЛ, а аргумент произведения — сумме аргументов чисел Fi и z2. Теорема 1 доказана. Примеры. 2 (cos 130°+i sin 130°)-3 (cos 230° +г sin 230°) =6 (cos360°+ i sin 360°)—6. 5(cos47° + Zsin 47°)-4(cos 13° + i sin 13°) = 20(cos60° + i sin 60°) = = 20 (A-+г = 10+JO/3r. Отметим, что доказанная теорема справедлива для любого числа сомно- жителей, то есть прн любом п: r\ (cos ф! + : sin ф1)-га (cos фа + / sin фа).. .rn (cos ф„ + » в1п ф„) = = Vt • • • rn [cos (фж + фа + ... + ф„)+г si п (ф! + фа +... + ф„)]. В частном случае, когда все сомножители рав>1ы между собой, по- лучаем: [г (cos ф + < sin ф)]" = г" [cos Пф + < sin пф]. Эта формула носит название формулы Муавра *. Прн г=1 она принимает вид: (созф + isin ф)"=со5 лф + /в!п «ф. Теорема 2 Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя; аргумент частного двух не равных нулю комплексных чисел равен разности аргументов де- лимого и делителя. Доказательство. Обозначим частное от деления комплексного числа Zx = rx (cos ф1+г sin ф!) на комплексное число za = ra (cos фа+« sin фа)#0 через z= г (cos ф+i sin ф). Тогда z=—, или z-z^zp Поэтому z2 г (cos ф +1 sin ф)• г2 (cos фа + i sin фа) = rx (cos фв + i sin фД Производя умножение в левой части этого равенства, получаем; ГГа[СО5(ф + фа) + г 5т (ф + ф2)) = <1(СО5ф1 + «ЯП фх). Модули двух равных комплексных чисел, отличных от нуля, равны, в аргументы могут отличаться Лишь па угол, кратный 2л Поэтому из •Муавр (1667—1754)—английский математик. 240
последнего равенства вытекает, что /•rs=rlt ф -|- ф, — ф, = 2л л, где л — некоторое целое число. Следовательно, ' = Ф=<Р1-фа+2лл. Аргумент любого комплексного числа, отличного от нуля, определен лишь с точностью до угла, кратного 2л. Поэтому можно считать, что аргу- мент ф комплексного числа г равен ’ Ф1— Фа- Теорема доказана. Примеры. .. 2(cos 150°+ i sin 150°) 2 . ...... 2 ( )<2 , )<2 3 (cos 105° 4-i sin 105е)- 3 (cos45 +/sin45 )-3 ( 2 + / 2 « с^1№^Ь|"1М-=с°5 (-3»Ч + < sin (-30 ) - cos 30--1 sin Кз i . = 2 2C Упражнения 2056. Выполнить указанные действия: а) 5 (cos40°4-i sin 40°).3(cos50°4-isin50°): б) 2 (cos 20’4- i sin 20°)-7 (cos 100°4- i sin lOO"); , , Л , , . Л \ cl ... в) 4 rcos-E-4-*sin-s- J • 6 ( cos-5-л4”* sin-Q- л \ о о / V о о (8 8 \ / 2 2\/4 4 cosr=n4-i sin —л 1 -3 ( cos— л4** sin -=-л I -2 ( cos-=-^4-isin—л 1о !о / \ 3 3/\о О 2057. Вычислить: а>(Кг-|Г' •> (тг+'рт)’ 2058. Как изменятся модуль п аргумент комплексного числа в резуль- тате умножения этого числа на: а) г, в) 2i; д) 4; б) — г, г) —31; е) 5? 2059. Выполнить деление: . cos 130’4-1 sin 130° ' а cos 40°4-1 sin 40’ * cos 130°—i sir. 130°. 6) cos 40° 4- i sin 40° ’ 2060. Как изменятся модуль тате деления этого числа на: о) . —cos 100’4-» sin 100° , В' cos 40° — i sin 40° 1 2(cos 107°4-isin 107°) ** 5 (cos 47° 4- i sin 47°) и аргумент комплексного числа в i; б) —i? резуль* Извлечение норией из комплексного числа § 258 Предположим, что корень степени п из комплексного числа т (cos ф4-1 sin ф), отличного,от нуля, существует и равен р (cos 0-|-* cosO) ♦. • р и 0—греческие буквы; читаются соответственно: ро и тэта. 241
Рнс. 336. Тогда [р (cos 6+ i sin fl)]" =r (cos ф +1 sin <p) Используя формулу Муавра, получаем: р" (cos nO-f-i sin nO) = r (cos ф-f-isin ф). Модуля двух равных комплексных чисел, отличных от нуля, равны, а аргументы могут отличаться Поэтому лишь на угол, кратный 2л. р"=г, п6=фЧ-2Ал, „ г/- й фЧ-2Ал г у п откуда где k может быть любым целым числом. В частности, при А=0 ® = ‘д"' . , п Ф , 2л при А = 1 6=—Ч— I г п п при А=2 0= — + — ; г п п . , п Ф 1 2(п—1) л при А = п — 1 0 = —Ч—------- г п п При А = п, пЧ-1. пЧ-2 и т. д. будут получаться значения 6, отличающиеся от написанных выше на углы, кратные 2л. Поэтому никаких новых комп- лексных чисел эти значения k дать не могут. Легко показать, что никаких новых комплексных чисел мы не получим н при отрицательных значениях А. Итак, если только корень степени п из комплексного числа г (cos ф Ч-ii sin ф) существует, то он может принимать лишь следующие п вначений! Я ( ф ф \ «о = 1/г ( cos— Ч- < sin — ]; г \ П П / л/— f фЧ-2л . . . фЧ-2л\ Ci = j/r ( cos5— -F t sin —L— j ; nf- ( фЧ-2(п— 1)л’ . . фЧ-2(п —1)л а_ i=i/r I cos - ——----—F1 sin 1 —1 У \ Я 1 n Непосредственной проверкой легко установить, используя формулу Муавра, что каждое из этих чисел удовлетворяет соотношению а” — г (cos ф Ч- * sin ф) и потому является корнем n-й степени иэ комплексного числа г (cos ф Ч-i sin ф). Таким образом, каждое комплексное число, отличное от куля, имеет ровно п корней п~й степени. Геометрически все п значений корня n-й степени из комплексного числа г (созфЧ-4 sin ф) изображаются точками, лежащими на окружности с центром в начале координат, радиус которой равен г (см., например, 242
рис. 336, на котором г (cos<p4-/sin <р)= 1, л=6). Если sth точки соеди- нить последовательно прямолинейными отрезками, то в результате полу* Читея правильный л-угольннк. Пример. Найти все значения корня 4-й степени из числа i. Представив i в виде i=cos-^--H sin -5., найдем, что модули всех кор- ней равны j/T=l, а аргументы Тг+т "Ли • г о о 4 о 4 В 4 В 5 9 13 л ТЯ’ ’в"я: 'в’я‘ 110ЭТ0МУ корнями 4-н степени из числа i являются числа: я . . . п c°s_ + ,slP_; cos -g- л-|-/sin -g-л; в в 9 9 cos — л-f-isin — л; л 13 . , • 13 Cos— Л Ч-1 sin —л. о о Прн желании, используя -тригонометрические таблицы, эти корни можно ваппсать в более явном виде. Упражнения 2061. Найти все значения данных корней: а) |/3? в) {/Т; д) cos 100°+i sin 100°. 6) i/T+7; г) {/=1 2062. Решить уравнения: а) хъ=а (а—действительное число); б) х* = /. 2063. Решить уравнение: х4 * * * 4-х8 * 4-х’4-х 4-1 — 0. 2064. Доказать, что все корни л-й степени из комплексного числа я можно расположить так, что в результате получится геометрическая про- грессия. Найти знаменатель этой прогрессии. Алгебраическое уравнение л-й степени 8 259 Наиболее полно элементарная математика рассматривает алгебраические уравнения только двух степеней: первой и вто- рой. Эти уравнения имеют вид: ах 4- b = 0 (о =# 0), ах2 4- Ьх 4- с = 0 (а 0). В области комплексных чисел любое алгебраическое уравне- ние 1-й степени имеет ровно один корень, а любое алгебраиче- ское уравнение 2-й степени — ровно два корня. В высшей алгебре изучаются уравнения произвольных степеней. Алгебраическое уравнение n-й степени имеет следующий вид: аохл + а1хл-1+аях?-11+... 4-а„_1х'4-авв0» 0) 243
где х—неизвестная величина, а а0, ар ... , ап — заданные комп- лексные числа, причем ао=/=О. Вопрос о существовании .и коли- честве корней такого уравнения долгое время являлся централь- ным вопросом алгебры. В 1799 г. выдающийся немецкий математик Гаусс (1777—1855) доказал следующую теорему: любое алге- браическое уравнение n-й степени имеет хотя бы один комплексный корень. Это утверждение вошло в математику под названием основ- ной теоремы алгебры*. После доказательства Г аусса было предложено очень много других способов доказательства этой теоремы. Да и сам Гаусс предложил еще три доказательства. Все существующие до настоящего времени доказательства этой теоремы довольно сложны и потому не могут быть рассмотрены в нашем учебнике. Рассмотрим уравнение (х—1)3(х—2) = 0. Нетрудно понять, что оно имеет ровно два корня: 1 и 2. Однако корни эти находятся в неравноправном положении. Множитель х— 2, соответствующий корню 2, входит в левую часть уравне- ния в первой степени, а множитель х— 1, соответствующий корню 1, —в третьей степени. Про корень 2 говорят, что он яв- ляется простым корнем рассматриваемого уравнения, а про ко- рень 1 — что он является кратным корнем, точнее, корнем крат- ности 3. Основная теорема алгебры гарантирует существование хотя бы одного комплексного корня алгебраического уравнения. Од- нако, исходя из нее, можно доказать, что любое алгебраиче- ское уравнение n-й степени имеет ровно п комплексных корней, если каждый корень считать столько раз, ка- кова <его кратность. При этом если корни уравнения (1) равны, xt, xs, ... , хп, то левая часть этого уравнения пред- ставляется в виде: а0 (х—х,) (х — х2)... (х - х„). (Сравните с квадратным уравнением*) Для уравнений 1-й и 2-й степени выведены общие формулы, по которым можно находить корни этих уравнений. Так, напри- мер, для уравнения ox2-j-fex + c = 0 такой формулой является формула —b ± V Ьг—4ас х~ 2а Аналогичные формулы получены и для уравнений 3-й и 4-й степени. Однако эти формулы слишком громоздки и потому здесь не приводятся. Что же касается произвольных алгебраических * По мере развития алгебры изменялось и ее содержание. Современ- ная алгебра включает в себя настолько обширный материал, что сейчас указанную теорему часто уже не считают основной теоремой всей алгебры. 244
уравнений более высоких степеней, то для них, как показал норвежский математик Абель (1802—1829), таких формул со- ставить, вообще говоря, нельзя. Исчерпывающее решение вопроса об условиях, при которых уравнение может быть решено в ра- дикалах, дал выдающийся французский математик Эварисг Галуа (1811—1832). Итак, точно решить алгебраическое уравнение степени выше четвертой удается не всегда. Однако современная математика располагает весьма эффективными методами приближенного решения таких уравнений. Эти методы излагаются в книгах по вычислительной математике. Исторические замечания § 260 Первое упоминание о „мнимых" числах как о квадратных корнях из отрицательных чисел относится еще к XVI веку. В 1545 г. итальянский уче- ный Кардано (1501—1576) опубликовал работу, в которой, пытаясь ре- шить уравнение х* 8—12х-|-16 = 0, он пришел к выражению V—243. Через это выражение представлялись действительные корни уравнения xl = xi = 2, х3= —4. Таким образом, в работе Кардано мнимые числа появились как промежуточные члены в вычислениях. В 1629 г. голландский ученый Жирар (1595—1632) впервые высказал утверждение, что всякое алгебраическое уравнение л-й степени имеет ровно л корней. Строго доказать это ему не удалось. Как мы знаем, это сделал Г аусс лишь в 1799 г. Однако важно то, что, высказав правильную гипо- тезу, Жирар подчеркнул, что, помимо действительных корней, при этом нужно учитывать н комплексные корни. До середины XVIII века комплексные числа появляются лишь эпизо- дически в трудах некоторых математиков. С середины XVIII века Дален- б с р, Эйлер и Лагранже успехом используют функции комплексного аргумента для решения некоторых задач гидродинамики. С помощью функций комплексного переменного решаются задачи о составлении географических карт, а также ряд чисто математических задач. К концу XVIII века были изучены все основные свойства комплексных чисел. Эти числа становятся одним из сильнейших инструментов математики. Однако математики XVIII века не понимали до конца природы ком- плексных чисел. Они считали эти числа воображаемыми, лишенными вся- кого объективного содержания. Лишь в конце XVI11 века, когда в математику прочно вошли векторы, комплексным числам стало возможно дать простую геометрическую интер- претацию и объяснить правила действий над ними. Впервые это сделал дат- чанин Вессель (1745—1818). Интересно отметить, что Вессель не был специалистом-математиком. Его исследования о геометрическом истолкова- нии комплексных чисел долгое время оставались неизвестными и обратили на себя внимание лишь во второй половине XIX века. Полное признание математиками комплексных чисел началось лишь после выхода в свет работ Гаусса. Одним из самых замечательных достижений 'математики XVIII и XIX веков.явилось создание теории функций комплексного переменного. Эта теория играет сейчас одну из основных ролей в прикладной математике. 245
Задачи на повторение 2065. Может ли сумма квадратов двух чисел быть отрица- тельной? Ответ пояснить примерами. 2066. При каком условии квадрат комплексного числа а+Ы является чисто мнимым числом? 2067. В каком случае сумма и произведение двух комплекс- ных чисел являются действительными числами? Упростить выражения 2068. (14-i)2 + (l —1)2. 2069. (14-i)’ + (l —О’. 2070. (l+i)4 + (l— О4- (2068—2073): 2071. 2072. 2073. 1-Н , 1-1 1-1 *'14-1' (1-Ю8 , 3+й . d-Ю8 (2-i 0,4(1 —О8' \4-|-31 (1-НЛ 1—2i\ 3-1-41) ' Доказать тождества (№ 2074, 2075): 2074. (l-|-i)20 = — 2*°. 2075. (1 — i)30 = 216i. 2076. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, один из корней которого равен: а) (5 + 0(£ —3); б) * ““О 2077. Может ли квадратное уравнение с действительными коэффициентами иметь корни l-j-i и 14- 2i? 2078. Найти действительные числа х и у из уравнений: Зх—1у _ 74-51 . й. у—1х_ 4-|-1 ' 2у—Ых 12—81 ’ ' x-\-iy 41—1 ’ 2079. Найти чисто мнимые числа и и v из уравнений: a) 5v — 7ui = — 7-f-5i; б) 2u-j-3vi = 12-}-6i. 2080. Доказать, что для любых комплексных чисел и za |z1 + za|2 + |2i_22|2 = 2|z1|2 + 2|za|«. Какую известную из геометрии теорему о диагоналях парал- лелограмма выражает это соотношение? 2081. Найти модуль и аргумент комплексного числа (5—12i) X Х(3—4i). 2082. Выразить модуль и аргумент комплексного числа через модуль и аргумент сопряженного к нему числа. 2083. Представить в тригонометрической форме комплексные числа: ») '+<<!!«; 2084. Точка плоскости А изображает комплексное числоа+Ы. Какое число изображает точка В, симметричная точке А отно- сительно: а) действительной оси; б) мнимой оси; в) начала координат? £46
2085*. На плоскости известно положение точки, соответст- вующей комплексному числу г. Как с помощью циркуля н ли- нейки отыскать на той же плоскости точку, соответствующую комплексному числу у? 2086. Доказать, что все корни л-й степени из комплексного числа г (cos <р -|- i sin <р) геометрически изображаются как вершины правильного л-угольника. Найти сторону этого л-угольника. 2087. Доказать, что сумма всех корней л-степепи из лю- бого комплексного числа равна нулю. 2088. Вычислить: (/3 + i)i°+(/3-i)10. 2089. xt, и х3— корни уравнения х3—1=0. Чему равно выражение
МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ Общие и частные утверждения. Дедукция и индукция XII § 261 Все утверждения можно разделить на общие л частные. Примерами общих утверждений являются утверждения: 1) в любом треугольнике сумма двух сторон больше третьей стороны; 2) все числа, оканчивающиеся четной цифрой, делятся на 2 и т. д. Частными являются, например, утверждения: 1) в треугольнике АВС (рис. 337) сумма двух сторон АВ и ВС больше третьей стороны АС. 2) число 136 делится на 2. Переход от общих утверждений к частным называется дедук- цией. Дедукция очень часто используется в математике. Все об- щие теоремы мы доказываем именно для того, чтобы затем ис- пользовать их для решения различных частных задач. Но наряду с этим в математике часто приходится от частных утверждений переходить к общим. Например, рассматривая арифметическую прогрессию ах, а2, а3, ... , а„, ... (см. ч. 1, § 142), мы заметили, что a2 = ax + d, a3 = fli+2d. G4 = и х 3d. Исходя из этих частных формул, мы сделали вывод, что при любом натуральном п a» = ai + (n— О**- Переход от частных утверждений к общим называется ин- дукцией. В отличие от дедукции индукция может привести как к верным, так и к неверным результатам. Например, рассматривая значения квадратного трехчлена f(n) = n* 1 24-n+41 при ма- лых натуральных значениях л, можно заметить, что эти значения вы- 24S
ражаются простыми числами (то есть числами, которые без остатка делятся только на себя и на 1). Действительно, 7(1) = 43; = 47; 7(3)-53; 7 (4) = 61 и т. д. Напрашивается вывод, что при любом натуральном п Значение выражения л2+«4-41 является простым числом. Од- нако вывод этот является неверным. Например, при л = 41 л’ + л 4 41 = 412-|-41 4-41 = 41 (41 4-1 4-1) -41 -43. Пусть некоторое утверждение справедливо в нескольких част- ных случаях. Рассмотрение всех остальных случаев пли совсем невозможно, или требует большого числа вычислений. Как же узнать, справедливо ли это утверждение вообще? Этот вопрос иногда удается решить посредством применения особого метода рассуждений, называемого методом математической индукции. Этот метод мы рассмотрим в следующем параграфе. В математике уже издавна используется индуктивный метод, основан- ный на том, что то или иное общее утверждение делается на основании рассмотрения лишь нескольких частных случаев. История, например, со- хранила следующее высказывание Эйлера: „У меня нет для доказатель- ства никаких других доводов, за исключением длинной индукции, которую я провел так далеко, что никоим образом не могу сомневаться в законе, управляющем образованием этих членов... И кажется невозможным, чтобы закон, который, как было обнаружено, выполняется, например, для 20 чле- нов, нельзя было бы наблюдать и для следующих**. Веря в непогрешимость индукции, ученые иногда допускали грубые ошибки. К середине семнадцатого столетия в математике накопилось немало ошибочных выводов. Стала сильно ощущаться потребность в научно обо- снованном методе, который позволял бы делать общие выводы на основании рассмотрения нескольких частных случаев. И такой метод был разработан. Основная заслуга в этом принадлежит французским математикам Паскалю (1623—1662) и Декарту, а также швейцарскому математику Якобу Бернулли (1654—1705). Упражнения 2090. Какие из данных утверждений являются общими и ка- кие частными: а) число 16 четное; б) всякое число, оканчивающееся цифрой 6, четное; в) синус любого угла по абсолютной величине не превы- шает 1; г) синус угла 50е меньше 1; д) десятичный логарифм числа—2 не определен; е) отрицательные числа не имеют десятичных логарифмов? 2091. Числа 24, 64, 104 делятся на 4. Можно ли на основа- нии этого сказать, что любое число, оканчивающееся цифрой 4, делится на 4? 249
f V2 V 3 i 2092. Синусы углов 45° и 60° иррациональны (и J • Можно ли из этого заключить, что синусы любых углов ирра- циональны? Метод математической индукции в 262 В основе метода математическом индукции лежит следующий принцип. Некоторое утверждение верно при любом натураль- ном п, если: 1) оно верно при п = 1 и 2) из справедливости этого утверждения при каком- либо произвольном значении n=k(k^l) следует, что оно верно и при. л=Л-|-1. Действительно, при л=1 утверждение верно в силу 1). Да- лее, 2=14-1, а потому в силу 2) утверждение верно при л = 2; 3 = 24-1, поэтому в силу 2) утверждение верно и при п -= 3. Вообще, любое натуральное число п может быть получено из 1 путем последовательного прибавления к нему единицы п—1 раз. Ери каждом таком прибавлении мы получаем натуральное число, для которого рассматриваемое утверждение верно. Поэтому оно верно и для натурального числа л. Метод доказательства, основанный на использовании этого принципа, называется методом математической индукции. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Найти сумму S = _L_l_Lj-_L_к 4-—!____ " Ь2^2-3^3-4^ ’ ’ ’ (л4-1) ’ Сначала найдем суммы одного, двух, трех и четырех сла- гаемых. Имеем: 2 s --1-1- 12~ 2 ’ s =_L+_L__L. 1________ 2 1-2 '2-3 2'6 3 ’ с __L . _L ._L=£4-2=1- 3 1-2 ' 2-3 '3-4 3 “И 12 4 * С L 4.-L-L 2-4--!-= 14-1-1 4 1-2 ' 2-3 3-4 ' 4-5 4т20~5 В каждом из этих случаев получается дробь, в числителе которой стоит число слагаемых, а в знаменателе —число, на 260
единицу большее числа слагаемых. Это позволяет высказать ги- потезу (предположение), что при любом натуральном п <? - п п +1 * Для проверки этой гипотезы воспользуемся методом матема- тической индукции. 1) При п = 1 гипотеза верна, так как ^1 = у^2 = у’ 2) Предположим, что гипотеза верна при п = А, то есть с _ J__।__!_। I 1____________а * 1-2^2-3~Г • • • • Докажем, что тогда гипотеза должна быть верной и при п =- k 4-1, то есть о 1 1 -fe+1 “ ,-гА(Л+1) “Г (Л+1) ОН 2) ~Л+2‘ - Действительно, । Sft+1 = Sft + (Л+1) (*+2)' k Но по предположению t . Поэтому q - fe । 1 - *a+2fe+l (fe+i)a _ fe-j-1 A+1 (H1)(H2Г(H1)(H2)~H2, Таким образом, исходя из предположения, что гипотеза = верна при n = k, мы доказали, что она верна и при /i = A4-1. Поэтому формула с _ _} । ! t I 1 ___ п " 1-2 ' 2-3 ' ’ * * ‘ л (л +1)— л-|-1 верна при любом натуральном п. Пример 2. Доказать, что п-ii член арифметической прогрес- сии равен , . ,. , ... где а±—первый член, a d—знаменатель этой прогрессии. Этот пример отличается от предыдущего тем, что строить гипотезу здесь не надо; она дана. Нужно только доказать, что эта гипотеза верна. Доказательство будем вести методом математической индук- ции. 1) При п=1 формула (1) имеет вид: ^1 = 01, так что при п=1 эта формула верна. Предположим, что она верна при n = kt то есть ak — ai 4- — О 251
н покажем, что в таком случае она должна быть верной и при п — '< 4-1, то есть , , . o* + i = Oi4-Ad- Действительно, «л+1 = °л + ^= [flj4-(A—l)d]4-d = o14-W, что и требовалось доказать. Оба условия принципа математической индукции выполни* ются, и потому формула (1) верна для любого натурального числа п. Пример 3. Доказать тождество (cos а 4- i sin а)" = cos па 4- i sin ла. (2) 1) При п= 1 обе части’формулы (2) принимают один .и тот же'вид, cosa4risina, так что прн л=1 эта формула верна. 2) Пусть она верпа прн n = k, то есть (cos a4- i sin a)ft = cos ka 4-1 sin to. Тогда (cos а 4- i sin a)ft+1 = (cos a 4- i sin a)* • (Cos a 4- i sin a) = = (cos ka 4- i sin /га) (cos a 4- i sin a) = = (cos ka cos a— sin ka sina) 4- i (cos ka sin a 4- sin ka cos a) = = cos (to 4-a) 4-1 sin (to 4-a) —cos (ft 4-1) a 4-i sin (k 4- l)a. Но это означает, что формула (2) верпа и при n = ft4-l. Оба условия принципа математической индукции выполняют* ся, и потому формула (2) верна прн любом натуральном п. Пример 4. Доказать, что при любом натуральном п * (хл)' = лх”-1. (3) 1) При л = 1 формула (3) принимает вид: х' = 1. Это соотношение, как было доказано в главе X, верно. Значит, при л = 1 формула (3) верна. 2) Предположим, что она верна при n = k, то есть (х*)'=Лх*-1, и, исходя из этого, докажем, что она должна быть верна и при л=Л4-1. то есть (x*+1)' = (ft+1) х*. Действительно, представляя х*+* в виде х*-х и используя правило дифференцирования произведения, получаем: (х*+*)' = (х* • х)' = (х*)'х 4- х* • (х)'. Но по предположению (хЛ)'=йх4”1, к тому же х' = 1. Поэтому (x*+1)' = ftxft-1'x + xft-l =(ft + О xk- Итак, оба условия принципа математической индукции выполняются, и по- тому формула (3) верна при любом натуральном п. Упражнения Доказать тождества (№ 2093—2096): 2093. 734-3^= + «р? + • • • +(2л4-1)= 2 л+1 ’ 2094 1 -I_____1_____l -I_________!_________п a(Q4-l)^(a-t-l)(a4 2) г т (a-Ь п-1) (а + п) а(а4-л)* * Если х Ф 0; случай, когда х = 0, требует, строго говоря, специаль- ною рассмотрения. 252
2095. 1а + 2а + За 4-. • 4-па=п(п+1-^-2 —°. 2096. Р 4- 23 Ч- З3 4- • • • + я8 = [-**0] ’ .• 2097. Вывести формулу общего члена геометрической про- грессии. 2098. Доказать, что при любом натуральном п число п34-5п делится без остатка на 6. 2099. На сколько частей делится плоскость п различными прямыми, проведенными в этой плоскости через одну ее точку? 2100. Методом математической индукции доказать тождество: cos а • cos 2а • cos 4а... cos 2па = *‘,гт2, * °. 2" + ’ sin а _ Какой еще метод вы можете предложить для доказательства этого тождества? 2101. Доказать, что при любом натуральном п и а> — 1 (1 4- а)" 14- па. 2102. Доказать, что при любом п с помощью циркуля и ли- нейки с заданной единицей длины можно построить отрезок длиной в 2103. Доказать, что при любом натуральном п ]sinлх| n| sinx|. 2104. Доказать, что при любом натуральном л [р (х)]'-лГ->(.х) Г (х). 2105. Используя формулу задачи № 2104, найти производные следую- щих функций: 4) 0=(ж2-Зх4-5)’; 1) у —sin* х+cos* х; 2) = sin8 2х; о. (х—1\8 3) Л3 —— ; 6) 4/ = (sinx—cosx)4. Другой вариант метода математической индукции § 263 Некоторые утверждения справедливы не для всех натураль- ных п, а лишь для натуральных п, начиная с некоторого числа р. Такие утверждения иногда удается доказать методом, несколько отличным от того, который описан в § 262, но вполне анало- гичным ему. Состоит он в следующем. Утверждение верно при всех натуральных значениях п^р, если: 1) оно верно при п—р (а не при n = 1, как было в § 262); 2) из справедливости этого утверждения при n=*k, где k^p (а не k^l, как в § 262), вытекает, что оно верно и при n = k+ 1. 253
Поясним это на следующем при- Омере. Доказать, что сумма S„ внутрен- них углов любого выпуклого много- угольника* равна (л—2) л, где л — число сторон этого многоугольника: 5„ = (л-2)л. (1) Это утверждение имеет смысл не Рис. 338. для всех натуральных п, а лишь для л^З. Поэтому метод, описанный в § 262, здесь использовать нельзя. Однако можно исполь- зовать другой вариант индукции, описанный на предыдущей странице. 1) При л = 3 наше утверждение принимает вид: 53=л. Но сумма внутренних углов любого треугольника действительно равна л. Поэтому при л = 3 формула (1) верна. 2) Пусть эта формула верна при n=k, то есть Sft = (£—2)л, где k^3. Докажем, что в таком случае имеет место и фор- мула Sk+J = (k—1)л. Пусть Д1Д2... ДлДл+1 — произвольный выпуклый^-уголь- ник (рис. 338). Соединив точки At и Ak, мы получим выпуклый Л-угольник A tAt... Д^А. Очевидно, что сумма углов (£4-1)- угольника Aj^Aj. .. Д*Дл+1 равна сумме углов £-угольника А1Аа...Ал плюс сумма углов треугольника Д1Д*Д*+1. Но сумма углов £-угольника Д^.^Д^по предположению равна (k—2) л, а сумма углов треугольника A1AkAki.l равна л. Поэтому 5л+1=5л-|-л = (k—2) л 4- л = (£— 1) л. Итак, оба условия принципа математической индукции выпол- няются, и потому формула (1) серна при любом натуральном л^З. Упражнения 2106. На сколько треугольников может быть разбит выпуклый л-угольник своими непересекающимися диагоналями? 2107. Доказать, что при л^З 2">2л4-1. 2108. При каких натуральных значениях л справедливо не- равенство 2" > л2? * Это утверждение верно и для иевыпуклых многоугольников, если, правда, стороны их пересекаются только в вершинах. Мы же для простоты ограничиваемся лишь выпуклыми многоугольниками. 254
Замечание и методу математической индукции § 26 4 Доказательство методом математической индукции состоит и» двух этапов. 1-й этап. Проверяем, верно ли утверждение при л-1 (или при п = р, если речь идет о методе, описанном в § 263). 2-й этап. Допускаем, что утверждение верно при n = k, и, исходя из этого, доказываем, что оно верно и при п = А-|-1. Каждый из этих этапов по-своему важен. В § 261, рассмат- ривая пример f (п) = пг + п + 41, мы убедились, что утверждение может быть верным в целом ряде частных случаев, но неверным вообще. Этот пример убеждает нас в том, насколько важен 2-й этап доказательства методом математической индукции. Опус- тив его, можно прийти к неверному выводу. Не следует, однако, думать, что 1-й этап менее важен, чем 2-й. Сейчас мы приведем пример, показывающий, к какому нелепому выводу можно прийти, если опустить 1-й этап дока- зательства. «Теорема». При любом натуральном п число 2n -|-1 четное, «Доказательство». Пусть эта теорема верна при n = k, то есть число 2k 4- 1 четное. Докажем, что тогда число 2 (А 4-1) 4-1 также четно. Действительно, 2(А+1)4-1 =(2А +1)4-2. По предположению число 2 А 4-1 четно, а поэтому его сумма с четным числом 2 также четна. Теорема «доказана». Если бы мы не забыли проверить, верна ли наша «теорема» при п— 1, мы не пришли бы к такому «результату».
ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ ВСЕГО КУРСА АЛГЕБРЫ И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 2109. На одном складе а тонн угля, на другом b тонн. Еже- дневно на оба склада поступает пос тонн угля. Через сколько дней на первом складе будет угля в 2 раза больше, чем на втором? 2110. Два крана, работая одновременно, наполняют сосуд за 6 ч. За какое время наполняет сосуд каждый кран в отдель- ности, если известно, что одни первый кран наполняет сосуд на 5 ч дольше, чем один второй? 2111. Поезд был задержан на 16 мин и нагнал опоздание на перегоне 80 км, увеличив скорость на 10 км/ч по сравнению с обычной. Найти обычную скорость поезда. 2112. На вспашку поля один тракторист тратит времени в 1,2 раза больше другого, но на 3 ч меньше третьего тракто- риста. Работая вместе, три тракториста вспахали поле за 4 ч. За сколько часов может вспахать поле каждый из трактористов? 2113. Велосипедист совершил поездку из Л в В и обратно. Путь состоял из подъема, горизонтального участка и спуска. На горизонтальном участке он ехал со скоростью 20 км!ч, на спуске —25 км/ч, а на подъеме—15 км/ч. Из Л в В велосипе- дист ехал 2 ч 22 мин, а нз В в А—2 ч 14 мин. Определить длину подъема и длину спуска, если горизонтальная часть пути составляет 30 км. 2114. Два самолета вылетают одновременно навстречу друг другу из городов А и В, расстояние между которыми равно 1800 км. Встреча между ними произошла через час после вы- лета. Первый самолет прибыл в город В на 27 мин раньше, чем второй в город А. Найти скорости самолетов. 2115. Один сплав состоит из двух металлов, входящих в отношении 1:2, а другой содержит те же металлы в отношении 3:4. Сколько частей каждого сплава нужно взять, чтобы полу- чить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 256
2116. Два пешехода, находясь друг от друга па расстоянии 10,2 км, отправляются одновременно из пунктов А и В, дви- гаясь по прямой АВ. Они встретятся через 1 ч 12 мин, если будут идти навстречу друг другу, и через 6 ч 48 мин, если будут идти в одном направлении. Найти скорость каждого пешехода. 2117. В шахматном турнире двое из участников выбыли, сы- грав по пять партий каждый. Поэтому на турнире было сыграно всего 38 партий. Сколько участников было в начале турнира? Сыграли ли между собой выбывшие из турнира шахматисты? 2118. Пароход идет от Горького до Астрахани 5 суток, а от Астрахани до Горького — 7 суток. Сколько времени будут плыть от Горького до Астрахани плоты? 2119*. Два конькобежца выбегают одновременно: первый из А в В, а второй из В в А — и встречаются на расстоянии 300 м от А. Пробежав дорожку АВ до конца, каждый из них по- ворачивает назад и встречает другого на расстоянии 400 м от В. Найти длину дорожки АВ. 2120. Решить уравнения: а) о2х—1=а.4-х; б) ах = Ь — х; . а(1—Ъх) Ь4-а®х_ак(а®-|-6®) В' а-J-ft "Г a — b ~ аг — Ь* ‘ 2121. Решить уравнения: а) | 2х— 31 - а\ б) |4—5х| —18—х|; в)* |х+1| + |х-1| + |х-3|-3 + х. 2122. (Устно.) Сколько решений имеет каждая из данных систем: а) |х —2(/=0, г) /х—9(/ = 0, | Зх—у = \', (0,5х—4,5j/ = 2; б) /4х-]-5у = 3, д)|2х—3</=5, (2х—6у=^0; ( 4у—6х = 7? в) (х—0,5i/ = 3,5, (2х-у=7; 2123. Решить системы уравнений: На-1)х-в=1, JI*?'1' (х+ед-о; £_3_5<i-3. V X у ( 2х—ау = а+1, ’ [ах-2у=1; 9 Заказ ЛЬ 85 257
2124. Найти действительные решения систем уравнений: а) | х у 20 * (ху=20; в) | х2—у2 = а 1 х—у = Ь; х + у = 2-. г) (х + у = а, I ху = Ь. 2125. Доказать неравенства: ч а+b а . l+a+ft^i+b’l б) a+46>4/ab (а > 0, b > 0); О (а > 0, Jb > 0). 2126. У продавца неточные весы (коромысла весов имеют различные длины). Зная это, продавец отвешивает каждому по- купателю половину товара на одной чашке, а половину—на другой чашке весов, думая, что тем самым он компенсирует неточность весов. Прав ли он? 2127*. Доказать, что из всех треугольников с данным пе- риметром Р наибольшую площадь имеет равносторонний тре- угольн нк. 2128. Доказать, что для любого острого угла <р tg<p + ctg<p>2. 2129. Решить неравенство 2130. Для каких значений а неравенство _а^х»+Ох-2 » удовлетворяется при всех значениях х? 2131. Решить уравнения: а) х—6^ 1 -|-Ух — 1; в) Ух — 1 + |/х — 4 = 3. б) Ух^1 4-/ЗхП = 2; 258
2132. При каких значениях а уравнение (а —3) х2 —4х—2а=0 имеет: а) действительные корни; 6) действительные корни однвго знака; , в) действительные корни разных знаков? 2133. Решить уравнения: а) /(х-2)»= -(х-2), в) VU-2)2 + /(х-4)2 = 2. б) /( —х +1 )2 == ха — х +1; 2134. Построить график функции: |/ = /72 + /(х-1)2. 2135. Что больше: а) З000 или 6300; б) (2/Зр или (3/2)“; в) (2/21)" или (4/5)““? 2136. Средний годовой процент прироста населения из года в год остается постоянным. Если бы он увеличился на А°/о, то через п лет численность населения была бы в два раза больше, чем при нормальных условиях. Определить годовой процент прироста населения. 2137. Найти косинус, тангенс и котангенс угла <р, если 5 Sin <Р = Г5 • 1 чЭ 2138. Найти синус, тангенс и котангенс угла <р, если 3 cos<p=- --g-. 2139. Найти cniiyQ, косинус и котангенс угла <р, если tg<p = y- 2140. Найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла . 1 arcsin -5-. 2141. Найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла / 12\ arccos 1 —pi . 2142. Найти синус, косипус, тангенс и котангенс угла , f 2 \ arct<S з J - 9* 25®
Доказать тождества (№ 2143 — 2147): 2143. 2144. 2145. 1 — cos а . V 1 + ccs а !g;°iC,“‘“7^cos4a. tg2« + ctg2a + 2 tg I И-cos q.^21 cosec а W__ rnc л 1 1 14- sin 2а 1—sin 2а * 2146. 2147. 2 sin 5a sin 3a 4* cos 8a — cos 2a. 1 —sin a t _______2_\ 1 -4- sin a ° \ 4 2 / ' Упростить выражения (2148—2150): «I «о 1 —sin8 a—cos8 a 1—sin8 a—cos8 a ‘ 2149. 1^1 4-cos <p—j/l — cos<p (o<<p<y). • 2150. a) tg l°tg 2°-tg 3°-... tg89°; 6) Igtg 1° Igtg 2° •... • Igtg 89°. 2151. При каких значениях а данные уравнения имеют дей- ствительные. корни: a) 1g2 х— lgx4-a = 0; б) cos2 х 4* cos х + a = 0? 2152. Числа a, Р и у составляют арифметическую прогрес- сию с разностью Доказать, что О tgatgP + tgP-tgYH-1еУ-1ёа= ~ 3. 2153. Доказать равенства: а) tg20° tg40° tg80° = V3; б) sin 18° cos 36° = 0,25; . l-tgM5° КЗ ' 14- tg215°— 2 * 2154. Вычислить: a)* sin[дarccos( — 0,8)j; 6) sin[arctg24-arcctg( — 2)]; в) tg[-|- arc sin ( — 0,6)1. 266
2155. Проверить равенства: a) arctg^4-arctg 4=Т’ б) arcsin 0,8 — arccos 0,6 = 0. Решить уравнения (№ 2156—2179): 2156. sin x—cos2x=2. 2162. 1^3 cosx = —sinx. 2157. sin xcos3x= —1. 2163. cos2x—3 sinx cos x4-l =0. 2158. cos 2x' = sin x cos 2x. 2164. cos (cos x) = sin (sin x). 2159. 2cos2x— 2165. l 2 sinx cos x=cos2 X. -7 sin x—5 = 0. У з 216U. ^ = 0. tg x 2166. COS X ctg2 у = у . 2161. 3 sin x—2 cosx=6. 2167. sin4 x= 14-cos2 x. 2168. tgx— tg —xj =—1. 2174. sinx—4cosx-Hgx = 4. 2169. 3 cos 4x = 7 sin 2x. 2170. 2 cos2 x4* sin2 x — sin 2x. 2176. 2175. 2171. cos Зх cos 5x = cosx cos 7x. 2177. cos2 x 4- 3 cos2 ~ = 2. cos lx— sin 5x= = ]/3 (cos 5x— sin 7x). sin (x4--j)= sinx4- 1 Л 4-sm з • 2172. sin2 2x4-sin2 x= 1. 2178. 2173. sinx—K3cosx= — 1. Решить системы уравнений (№ 2180—2183): .. , 2л 3 ’ = tgx+tgj. 2179. (tg х)со,л = (ctgx)CO1'. 2180*. 2181. 2182. . 14- К 3 sin х4* cos у = ——. 211nx+cosy _ | gain1 х+cos-1»_JJ 1 —( COSXcosy = 4. 2 ’ I J 4 r- 2183л - ctgxctgy= —T. 4 * V fl sin x+ cosy sinx-cos y = Является ли последовательность всех положительных 2184. 1 Л корней уравнения cosy = 0: а) конечной; б) ограниченной? 261
2185. Крайние члены арифметической прогрессии равны 5 и 25. Найти два равноотстоящих от них члена, произведение которых равно 189. 2186. Найти четыре числа, из которых первые три состав* ляют геометрическую прогрессию, а последние три —арифме- тическую; сумма крайних чисел равна 14, а сумма средних равна 12. 2187. Арифметическая и возрастающая геометрическая про- грессии имеют первые члены, равные каждый 2, и равные тре- тьи члены. Второй член арифметической прогрессии на 4 боль- ше второго члена геометрической прогрессии. Найти эти про- грессии. 2188. Найти острый угол прямоугольного треугольника, ес- ли известно, что его стороны образуют геометрическую про- грессию. 2189. Дан правильный треугольник, сторона которого равна а. В треугольник вписан круг, в круг снова вписан правиль- ный треугольник, в треугольник—круг и так далее до беско- нечности. Определить сумму площадей всех кругов и сумму длин всех окружностей. 2190. Найти бесконечно убывающую геометрическую про- грессию, если ее сумма равна 3, а сумма квадратов ее членов равна 4,5. 2191. При каких значениях х числа lg2, lg(2x —1) и lg(2x-f- 4 1) образуют арифметическую прогрессию? 2192. Доказать, что log23—число иррациональное. 2193. Вычислить: a) log3vr27; в) logntgi; д) (1),ов“г-'-5; б) Igly— 1g 150; г) 2<‘oe-—‘ —1; е) 2,ов,гг*б. Решить уравнения (№ 2194—2208): 2194. 2^-9х—2-63х“14-42х"1 3U-2 = 0. 2195. 9х—2r*^= 2*+^—З-2*-». 2196. 8х + 18х — 2-27х = 0. X X 2197. 3х-50-2*=5-3s -2s. 2198*. + —/3 )* = 4. 2199. Ig(x4-a)= Igx-f-lga. 2200*. л‘с'*-з = ЮО. 2201. lg(3x—4)= lg (6x-|-2) — 1. 262
2202. = 1 2203. Iogj4x—log312x=l.- 2204. Ig«x3 —51gx2+l=0. 2205. lg(lKr+21 + /‘ +9992) = 2. 2206. 2x-lg(52* + 4x— 16)=lg4*. 2207. Iog3'I + log’ x = 1. 2208. Igsin x = Igcosx. 2209. Вычислить: a) log, log, V 1^ 1V1\ 6) 10,+^,ei’; в) log35-log2627; r) logebb. если logflt,a = 4. 2210. Доказать, что уравнение lgcosx = cosx не имеет корней. 2211. Что больше: a) logs 2 или log, 3; б) 0,01 или 0,001 ? 2212. Найти все значения х, для которых 1g 1X2 > jg 1X2 s х+4 ' s * + 2 2213. Решить системы уравнений: а) log, (ху) = 5, | log, х + log2 у = 5, ( log2 (х2 + У2) = log210 + 3; ( lgx-lg(xy) = 2, в) lg*=3; k & У г) ( v/2*=/T28, I lg(x + y) = lg40—lg(x—y); ( 5(log x+logxy) = 26, *» I xS-64. 233
2214. Световой луч, проходя через пластмассовую пластинку, теряет -у свое* интенсивности. Сколько таких пластинок можно поставить на пути луча, чтобы при прохождении через них 211 потерялось не более его первоначальной интенсивности? 2215. Построить графики функций: а) у = | log2x|; б) y=log2|x|; в) у = log,|—х|. 2216. Найти области определения функций: а) у = У — 5х2 + 8х + 4; Ух У~ /++1 — . 1 О у=- г - 2s*-1 —1 У х . Д) У tg х— 1 * е) !/= lg(1.5 +sinx4-cosx). (1 + 2х}* ' 2217. Доказать, что функция f(x) = -—четная, а функ- 1 1 X ция f(*)=lgj-^ нечетная. 2218. Функция Дирихле определяется следующим образом: D (х) = { О, если х рационально, 1, если х иррационально. а) Является ли эта функция четной? б) Доказать, что эта функция периодична, причем любое рациональное число является ее периодом. Есть ли у этой функции наименьший положительный период? в) Доказать, что никакое иррациональное число не является периодом данной функции. 2219. Доказать, что производная периодической функции является периодической функцией. Привести примеры- 2220. Доказать, что производная четной функции есть функция нечетная, а производная нечетной функции—функция четная. Привести примеры. 2221. В каких интервалах существуют функции, обратные данным: а) У = tg (f—т)• б) У = cos2 х? 2222. На одном и том же чертеже построить графики данной и обратной к ней функций: а) у = 2х—1; б) t/ = 3*+1. 264
2223. Найти предела: в) lim ж-»о 1—cos2x Зх» б) lim JC-* о X» р'л’+'э'—з’ г) lim х-»о sin (x+o)+sin (х—о) X 2224. Вычислить х26 — 8х14 + 5х*—4№— 10 прн x = t. 2225. Доказать, что числа и являются противопо- ложными . 2226. Выполнить указанные действия: , /а—1 . 5-а\ 34 а) + 6)l+i!«2; ' 1—i tg а В) (2 + Q (1-Q . 3—2i 1 г) (2-Н /2)3 +(2- i/2)3 • 2227. Доказать, что кубы сопряженных чисел представляют собой сопряженные числа. 2228. Найти действительные значения хи у из уравнений: a) (Xi-p)3 = 6-8i-b(x+ii/)2; б)Й + ГЙ=1-Зг в)744=Н+г 2229. Показать, что произведение любых двух корней урав- нения х3 = 1 есть также корень этого уравнения. 2230.. Вычислить (1 + cos а 4-f sin а)”. (Указание. Воспользоваться формулой Муавра.) 2231. Показать, что если п кратно 3, то -1 + 1 Кзу+(-!-< Кз)" 2232. На плоскости даны две точки, соответствующие ком- плексным числам: *i = Xi-H’i/i и za = xa + tz/a. Где находится точка, соответствующая числу -s-(*i4-za)? л 265
2233. Выражение (cos <р + i sin <р)в преобразовать двумя способами: с помощью формулы Муавра и с помощью формулы биИома Ньютона. Срав- нивая результаты, выразить sin 5<р -и cos5<p через sin <р и cosq>. 2234. Тело движется по закону s(t) = <8 (s—путь в метрах, t—время в секундах). В некоторый момент т сек его мгновенная скорость равна средней скорости в интервале от сек до ta сек (ta > tt). Доказать, что <1 < т < t3 _ 2235. Написать уравнение касательной к кривой у=|^х в точке с абс- циссой х = 4 2236. Написать уравнения касательных к параболам у = хл и у = (х—2)а в точке их пересечения. 2237. Найти производные следующих функций: a) sin*x; в) cos®(x—I); д) (х84-1)5; б) cos’2x; г) cos* (2— х); е) (3 —2х)®. 2258. Тело совершает гармоническое колебание с амплитудой А, час- тотой w и начальной фазой <р. Найти скорость и ускорение этой точки. 2239. Могут ли две разные функции иметь равные производные? Ответ пояснить примерами. 2240. Исследовать данные функции и построить их графики: х а) у=х — Зх3; в) t/ = cos3-^-; б) у=х®—4х; г) у=cosx(14-sin х). 2241. Пусть Сд = Сд. Доказать, что либо й = т, либо k=п — г. 2242. Доказать, что 1000-е производные функций (2х3 4-7)*о® и (7х>4-2),0° равны друг другу. 2243. Пусть (х —2)luo = o0 + o1x-|-oax3-|-...+aiooX100. Найти: а) йт', б) Оо + fli + °2 + • - • 4" Яюо! в) а14" 2а2 4- Зо3-|- ... 4" 100о100- 2244. Доказать, что квадрат суммы п чисел равен сумме квад- ратов этих чисел, сложенной со всевозможными их удвоенными попарными произведениями. 2245. Доказать, что* если Т - период функции /(х), то при любом натуральном п пТ—также период этой функции. 2246. Доказать тождество lg(a^j.. ,о„) = lgа! 4- 1gаг 4- ... 4- 1gап (о, > 0, a2 > °- • - fln > 0). 2247. Доказать, что при любом натуральном nsinnx и cosnx выражаются рационально через sinx и cosx. 2246. Доказать неравенство 1°1 1 °а + • • •+ая I 1 °il+ 1 °г| + ...4-|а„|. 266
2249. Доказать тождество Г----- Г - ~ - | Я ре ДИКИ лов V 2 + V 2 + / 2 +... + /‘2 +1/2 = 20082^7. 2250. Проверить справедливость неравенства sin2" а + cos2" a С 1. где п — натуральное число. 2251. Доказать, что производная суммы любого фиксированного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций.
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ VII 1024. 1) 1; 2) 7; 3) 5/2; 4) 5; 5) 3/65; 6) 25.' 1025. * 1 2 * 1026. А1 ; --; л fl: К?) • ,027- л< </£ О; Л' (1 ;0). юге. а) 1 г \ZZ/\ZZ/ б)в)-^; г)1; д)^.; е) -1. 1029. cos а. 1030.1. 1031.0. 1032. 1. (а#=~+пл). 1033. 1. fa?£-y+nn; 0 ?£ 1-+Ап). 1034.1ga tgp. .л,с -х 24-5 /2! 3/3+4 ,л,л 36 204 ,п„ 4 /2-/5 1°35. а)^___; б) ----_ . 1036. 325 И >037. --§---- Ю38. ^5~4 1039.1.1040. а) ; б) 1; в) 1; г)-^-; д) 1044. 1. (а #: пл). 1045. 1. (а^лп, р ;£-у+Ал^ . 1046. tga'ctgp. 1047. cos a cosР ( а / 1-|-лл, P^^+AjiV 1048. —0,4 + 0,3 /з, если л + + 2лл <а < ^+2пл; —4 —0,з/з, если у л+ 2Ал < а < 2л + 2Ал. 1049.0 И -1^.1050. -Ци -||. 1051.1(1 +-/Т6). 1052. У2.1053. . 1054. ^.1055.-2-/1 1056. б)-А= I г) 1. 1057. . 1058. 1 I/ 2 *vO ОО ОО DO 1059. - I. 1060. 1(/2+/5). 1061. — 2/2. 1062. arctg 1.1063. 1 0 D Z 24 7 1065. sin 2a — — 0,96; cos2a=—0,28. 1066.—=?; —==. 1067. 0»98. 7 25 1068. а) В l-й; б) во 2-й; в) в 3-й; г) в 4-й. 1069. в) 1; г) -| /3? z о 1072. От —у до +у, включая эти два числа. 1075. lg 2a. 1077.—|- cig2a (a 45°+ 181Г-Л). 1078. Isin2a. 1081. в) sin a = 2sinl 1/ 1—sin’-l. 4 2 r 2 если — n+4ruc < a < л+4лл, sin a=—2sin1/ 1 —sin*-^-, если л-j- Z r z 268
4 4лл < а < Зл-1 4/<л; ccs а= 1 -2sin« у . 1082. у (а * . 1083. 2 (а ?fe ?4yV 1086. cos2a #:-у + nnj . 1087. sin аД- cosa #: -y + nn\ . *4 94 1 ’4 7 Я4 1088. W89. =£. 1090. -?r . 1091. 1098. a)- . 1103. 4 7 2 5 25 025 tg*(y- —yj Га ?£-у 4-2лл\ . 1105. K0.8. /0,2 и 2, если у 4-4лл < <а<л4-4лл; F-0,8,— |Ч2 и —2, если лД-4Ля < а < ул 4-4Ал. 1106. 34-2/"2 или 3—2/2. 1107. /ОД. 1108. /о/Э. 1109. —у. 1110. —у. 1111. у. 1112. — 2. 1114. 1 . 1115. У. 2. * 1116. 1117. . 1118. . 1119. У Э--1-. 1126. 1- 4 4 4 4 Z Y 2 —sin 10° — cos 20” + sin 50°. 1127. cos5“ — cos 75° + cos 35’-£—.1130. V2+ Y 3. 1131. 0. 1132. УУ 1133. -У/. П34. Z2+/3. 1135. 0. 1139. 4-4-sin a = sin -^-4-sin a = 2sin | 2 6 (т+т?)см(у-й)- ‘“°- 1143. -/2-/ 3. 1144. -У^-- П45.— У* . 1146. УУ 1147.--~ 1151. Y 24-2cosa=2fXr"+cosa )=2 (cos -^-+cosa^ = 4cos (-^-Д--^ X \ 2 / у 4 ] \ о 2 J X CCS (v —455. —^j^cos2a. 1156. 2 /"5sin -sin ( + •7 V 1158. 4cos (^+-^Vcos Ycos2a. 1165.2 /2. 1166.-2. 1169.-.-(a+^ у 2 b ] у 2 b / sin (a—p) o . ( л \ t \ 2s,n "3--a) 1 (a ?£ уД-лл, ₽ ^-^Д-Лл) . 1170. a)-A—---7 .1184.i/ = y(l+sin4x)- один из примеров; другой укажите сами. 1186. i/ = —| tg^ | —один из при- меров; другой укажите сами. 1215. А > 0, (и > 0, 0 «й qx, 2л (или —Ж<р<л). 1219. 50 герц. 1220. Минимальные значения при 1 = 4л, максимальные О 1 4 значения при t = —5--(-4п; нулевые значения при 1 = —^-4-2n. •5 «5 13 л 2fj л 1221. а) Минимальные значения при 1=-5^-4--5-, максимальные значения . л , 8лл , л , пл ,ппо „ . / . л \ при I =—+-т—; нулевые значения при 1 =•—т-=-+1222. 2sin 1* + -^-) • 10 3 15 3 \ 3 / (л\ t 4 \ / 3 \ *—— ) . 1224. 5 sin ( х 4-arctg ) . 1225. 5 sin ( х—arclg — ) . 4/ \ 3 I \ 4 / 1226. . 1230. а) —5; 5; б) 0,5; в)—13; 13; г)—20; 30; д) 0; 2, е) минимальное значение—^. 269
максимального не существует. 1234. А = V 2, ш=2, <р =-—. 1236. Л—5, <0 = л, <р = arctg . 1254. arctg arctg 1255. 2лл. 1256. х—любое число. 1257. -g-+ -д' -1258. пл. 1259. —-—J-лл. 1260. + 1261. пл. 1262.±у + пл. 1263. (-1)в{§ + у • 12W. (2п+1)л, (-!)*+> J+2A«. 1265. у [(—!)“arcsin (Кз—1)+ лл]. 1266. ± у л-|-2пл. 1267. ± arccos-^- -f- я___1/Т4 л 4- (2п4-1) л. 1268. (— 1)" arcsin —-(-лл. 1269. (— 1)" у 4-пл. 1270. 2лл; 4/" g 2*л— 2arctg 3. 1271. лл, ± -у 4-*л. 1272. Нет корней. 1273. arclg-1-g—пя_ 1274. arctg-|-+ля. 1275. arctg у4-лп; —arctg 24- kn. 1276. . 1277. 1278. у. 1279.у. 1280. пл. 1281. Если а=4 + ^« то х—любое число, если а#у4-™, то корней нет. 1282. (2л-|-1)я; ±у4-4*л. 1283. 2лл; у 4-2* л. 1284. ~|-лл; ±-|-n4-2fct. 1285. пл; (—1)*+I ^-4-ftn. 1286. ± 2 arccos у 4-4лл. 1287.™. 1288. лл; y+T’ 1289' 6О’+36Э’Я’ ,5'° +360° п. 1290. -у+т: Т+Т- 1291- —, 1292. Если а=р + лл, то к—любое число, еааи аэ^р + лл, то 4 х = -у + а+2Ал; х=-у 4-₽ + 2/пл. 1293.^4-^; -у+2Лл’ 1294. -£-+*я; (2т+1)л. 1295.2-£s 4+*п’ “тг + 2тп- «296. D Z о Ч Z □ ± у 4-/гл. 1297. у, О О где п—любое число, не делящееся на 4. 1298. лл. 1299. 1300. Если а=-у , т0 *—любое число, если а , то корней нет. 1301. 2лл; ± у 4-2/гл. 1303. ± arccos 4- 2лл. 1304. 1305. Д-. 1306. Нет корней. 1307.4-+2лл; — £-|- 2йл. 1308. ^4-2лл; ^4-2Ал. 1309. -^-4-лл. А + 1310. 2arctg }^7 + 2лл; (2&4-1)л. 12 О IO О 1311. -^-4-2лл; — ^4-2/гл. 1312. у+пл; (2й4-1)л. 1313. (2л4-1)л; arctg 1314. -^-4-2nn; —2 arctg (44- К15) 4-2* л. 1315. ± ^4-лл. Z z 4 1316. 1317. ± ? + 2лл. 1318. 0,94. 1319. 0,17. 1320. a) 1; б) 1; в) 1. Z 0 2 3 если а = 0; бесконечное множество, если aytO; г) 3 1321. В том и только в том случае, когда сумма этих углов кратна л и тангенсы их 270
сушестпуют. 1322. — . 1323. —1^2_-) ^аЬ • . 4 4 (e+.b)a ----(ffby**' 1324, “II’ ,328> —si,l(a+₽) (Р^а+лл). 1329. a) 2 sin ; 6)—2cos-^-. 1330. 2 cos a cos 2a cos 5a. 1338. 4гЧ-лл. 1339. ±-£-+лл; ±^4-Лл. 1340. — ^-4-лл; —-^+2тл; 2fat. 1341. 4гЧ-2пл;2Лл. Со 4 X х «пал ЛЛ^л ЯЛ ЛлЛА Л а Л . » 2 • 1342. пл;-S-+—. 1343. -=~ . 1344.—i^+лл. 1345. -77+пл; — arctg -5-+ Ал. О f, О 4 £. 0 1346. Нет корней. 1347. -^Ч-лл; -у 4-^1 -fi+V’ ,348- Т+*Л 1349. 4+п?- ,351- —^+лл; —£+2Ал; л-|-2/пл. 1352. х=-^- + 2ш4 —2лл. 1353. х=^-+2лл, р=-^—2пл. 1354. х=-у + (п4-л1) л, ^Ч-Сп—т)л’.*=—js+P'+s)*. y = ^+(r—s)n; х= —^Ч-(*Ч-0«» »=Т+(Л“Оп: 7+(’Ч-0«. 1/ = ^Ч-(5-Пл. 1355. х~ = 4-+(пч-т)л. 1/=4г+(п—т)л; х=—?ч-(*ч-о«» у——4ч-(*—ол. 0 0 0 0 I Кз 1 1357. cos№y, cosp=-^— или cos* = — у, cosj/ —-—; отсюда по- лучается 8 групп решений. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ Vill 1 1361. -д . 1362. 2 • . действительных чисел. ,9). 1371. а) J в б) 1358. а) 5е ; б) ]7 4е; а) ; г) ) 1368. s) х 0; б) |х|^1; в) множество всех 1369. Больше 1: 2), 5), 6). 7); меньше 1:1). 3). 4), f в) + г) ,373- Если а £ *• т0 Х—У’ если 4 ' — 1 I I a = lt то х и у—любые числа. 1377. log2 1^2=»=-=-; log3“—= — d у 2 z __________ a ff ----- | 15 log, 2^2=2 13». 'V±7i = 7-. lo8±K3_____________________7;loejL—= 7. s' 3 3 1381. a) —1; 6) 0; в) A-; г) 0. 1383. 3) 243; 4) 81; 5) 7; 6) 1; 7)*4- ; 8) 49; 9) 100; 10) ; H)^; 12) 20736. 1390. a) x> — lr. б) множество всех чисел; г) x < 0; д) х 0; е) х <—2; х.> 1; ж) 2 < х < 8; з) множество всех чисел. 271
Л 1391. а) 0 < х < л; б) О < х < у ; у л < х < 2п- ”) 0 < х < 2 ’ я < * < у я5 г) О < х<— ; л < х < у л. 1392. а) Ни наибольшего, ни наименьшего зна- чения функция не имеет; б) наименьшее значение функции равно нулю (при х=1), а наибольшего не существует. 1395. а) х > 3; б) |х|>2; в) 0 < х< 2; г) X5s2; д) х 2^5; е) |х | < 1. 1396. а) а > 1; б) а < 1; в) а > 1; г) а > 1. 1397. а > 1. 1398. а) 2 и 3; б) 1 и 2; в) —2 и —1; г) —4 и —3. 1400. Б) —3; 9) —3; 10) -2. 1403. 0,0762; -0,0762. 1404. х> 1. 1405. х< 1; х > 2. 1406. На log2 10000. 3414. а) 0,6309; б) 1,8927; в) 2,26f8; г) 0,4421. 1417. Нет. 1418. a) lg34-7 Iga; б) lgl5-f-3 lga-f-3 lgt> + 7 Igc; в) у Iga 4- + 4 ’б*: r> + 4 14,Э- a) V ng(a+b)—r) T-Oga— I о о X О Q 1 — lgt>— Ig2). 1420. a) — ylgcoscp; 6) у (lg2-|- 2 Igcos <p — 3 Igsin <p). 1421. a) у (Igb-lg a-3 lg3); 6) - lg 3+y Ig4--|-lga —lgb; f) (31g 54- 71g m 4- 41g «). 1422. в) (Iga-lgb). 1423. a) 6; 6) 0,5; в) 4; 1P/64 a(a4-b)n 1 f b*ia—b)* r) 8. 1424. a) 2; 6) 16; в) у . 1425. a) ; 6) -1= j/ в) • 1426. a) lg <p; 6) 2cosy- у sin-^-. 1427. л = 34-0,1415...; —2,37=—34-0,63; —7=—74-0; —n=—44-0,8584.... 1431. a)lg6« as 04-0,7782; 6) lg 15 » 14- 0,1761; д) lg =s -24-0,9201. 1433. я 1,4651; a 1,2894; ~ 1,7686. 1434. a) as 2,304; 6) a: 10000, в) = 0,4018; г) 0.002858; д) as 0,0009426; e) = 0,01001. 1438. a) T.2S07; 6) 15,8640; в) 66,2361; г) 0,6496; д) 0,7112. 1440. as 186,5. 1441. as 3,870. 1442. = — 0,04146. 1443. =88. 1444. = 0,3224. 1445. = 1,617 1446. = 1,087. 1447. = 1076 см2. 1448. = 5738 см». 1 4 1449. г)—g-; з) у; к) 4. 1450. а) —4; в) 3; г) 7; —1; д) если а=1, то х— любое, если а 1, то xt = 2, х2 = 3; е) 7. 1451. a) 3; б) 1; е) 2. 1452. б) 1; 4 17 ч г) у; е) 3; ж) ; к) 24. 1453. а) 2; б) 1; в) 3; г) 4; д) О; 1; е) 1; log3 у ; ж) 0; s) log^ 1 ~^g^5 . 1454. а) 0; б) 0; в) 0; г) 0; д) 1; е) ж> есл“ а / t>, то х = 0; если а=Ь, то х—любое. 1455. х=—2, у = 0. 1456. х = 3, j/=4. 1457. х = 3, ;/=—2; х=—log29, j/=log38. 1458. Система несов- местна. 1459. х = 3, {/ = 4. 1460. а) 10; б) 64; в) 2; 4. г) у-; д) 200; е) 25; ж) ЕО. 1461. а) 2; 6)1; в) 5, г) Б; д) /24-1, /2-1; е)4;ж)=в^—. х lOlxO 1462. а) ; б) 13; в) 14; 6. 1463. а) 10; 0,0001; б) 100; 1000; в) 9; /10-1; г) 0,001; 0,1; 10; 1000. 1464. а) 1; -1; б) 0.2; 125; в) 10; г) 0,001, 10; д) У10000; е) 0,1; 1000. 1465. а) 3; б) -1- ; 3; в) 5; г) /б; 3 272
25; д) 1; е) 16 1466. x=10j/T0, » =-- 1467. х = 2. и = 32; х = 32. 100 */Тб v у = 2. 1468. х= — 2. 0=gjjo- М69. х = 10, 0 = 4; х = 4, 0=10. 1471. 0,6. 1472. 1,40. 1473. а) х>—2; б) х > 3; в) х>1оез2; г) х<1; х > 5; д) х < — I; х > 2. 1474. а) 2 < х < Б; б) 7 < х < 7 ; в) х > 6. 1476. При- мерно через 14 лет. 1477. Примерно через 8 месяцев; вторая бригада. 1478. а) 8- ; б) 2000; в) ; г) 0,02. 1480. a) (-1)в^ + ^; О «х 1481. log2 7—3. 1483. а) 0,1; б)—?—; в) £/ ю 1 1484. а °. 1485. а) чг 1.6541; б) « 0,6309. уравнение не имеет корпел. 14Ж. a) log , у; б) log , у ; fi Я / I \ig , /1 \1С ~ в) (4-1 =(4-1 . 1487. а) 0 < х < я; 6) х > 0. 1489, 31; 140. \ 5 / \ ’ / 1491. Нет корней. 1492. ? 1493. 0; I. 1494. . 1g 5—1g 3 lg 7— lg 5 1495. 4. 1496. -7lg2 1497. 9. 1498. 100. 1499. 2. 1502. a) b; 6) b. *g v 4 + V 1'5 1503. J??e«^OKb£ 1505. V10. 1506. -r-Us! £/10. 1507. -b ; 1 oga x -J- logb x £/10 ' £/10 V * 5 у £/27. 1508. х = пл. 0 = 2/tn; x = y--f-2nn, y=-^-f-kn. 1Щ)9. Система не- совместна. 1510. х = 0=1. 1511. а) Возрастает при x>—2, убывает при х <—2; б) возрастает при х > 1, убывает при х < I. 1512. —3<х <—2; л > 3. 1513. 0,01 < х < 10000. 1514. х<—4. ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ IX 1518. и) При о = 0 и 0= 1 I не определено; при а 0 и а # 1 / (— | =п~Ь*.. 1519. а) Если —-4-2пл<а<-^-|-2пл (п—любое целое \ и J а— I 2 2 число), то I (2о) = 2/ (а) )/1— f2(a); если у-|-2лЖ а<у л+2пл, то / (2а) = —2f (а) )/1 —/2 (о). 1520. г) 1, если а = 0, и sin* а, если а # 0. 1521. а) 1+у; б) 0; в) sin 2. если а=0, и 1-|-(2— а2)2, если а jt 0. 1534. Совокупность всех действительных чисел. 1538. х = у-{-2лл. 1539. 1<Сх< 4. 1542. х^—2; х^б. 1543. — 4<х<С1. 1547. х < 2; 5 5 2 х;а4. 1548. 0 < х< 1. 1550. 0 < л < —; х > 3. 1552. х 0; х # ... , . 2 273
У У 1553. xjfen. 1557. x#£+nn; xyt —^-4-fen. 1563. x = 0. 1565. — j- 4-2лж<х< ^+2лл. 1568. в) ySs—2; д) у<0; е) у<у<1. 3 3 1569. б) См. рис. 1" и 2". 1570. При х< — —убывает, прнх> — -% 3 возрастает 1572. Убывает при х<—5 и при —-^-<х<2, возрастает 3 при — 5<х<—и при х^е2. 1576. Возрастает при 5 1 — g- л-f-nn < х < -g-л4*пл- 1579. Возрастает в каждом интервале, не содер- жащем точки х = 2. 1581. Убывает при 4лл< х< 2л4-4пл; возрастает при 2n-|-4fen<x<4n4-4fen. 1584. Убывает в каждом интервале, ие содержа- X-L1 2 щем точки х = 0. 1585. Указание. = 14- у—। . 1586. а) Всюду убы- вает; б) всюду убывает. 1588. Вообще говоря, нет. 1590. xmin= 1, «/mln = 5. 1о93. xm|n = 2, j/min = — 1. 1597. = — о, Ртах = 1598, х^^ 4-2лл, 3 3 l/m!n = 1« хп>ах = ’4“ л4" 2Лл, Утах= 1- 1600. ^-Л4*2/1Л, Уш1п = = -/2; хтах=-—4-5Ал, утах=К2. 1601. -15; 1. 1602. 0; 42. 1603. — К2; • 1606. Четные функции 3) и 5), нечетные 1) и 2). Остальные функции ие относятся нн к четным, ни к нечетным. 1609. Един- ственной такой функцией является функция у = 0. 1610. а) Функция / (х) удовлетворяет условию £(—x)=±f(x), причем одним значениям х может соответствовать знак „ + а другим „—" В этом случае относительно четности функции £(х) нельзя сделать, вообще говоря, никаких выводов; б) 1{х) = 0. 1611. а) Нет; б) да; например, у = х9. 1613. л. 1614. 4л. 1615. 4- 1616. л. 1617. л. 1618.3л. 1619.^. 1620. л. 1621. . О Ох я /~ / 1 \* 1 — X 1625. у=,/х . 1626. у=( — 1 . 1627. у = г~1—• Данная и обратная к ней г \ х/ 1 +* 274
функции .совпадают. Области определения этих функций задаются неравен- ством х — 1, а области изменения — неравенством — 1 1628. У—х. 1632. а) Нет; б) да; в) нет. 1633. а)Да; б) да; в) да. 1634. а) Да; б) нет; в) да; г) нет. 1060. 0. 1661. —10. 1662. 1. 1663. 4-. 1664. -1. 1665. 0. Z Q 1 I 2 1666. —2. 1667. —. 1668. —2. 1669. -г-. 1670. . 1671. 4. 1672. 4. 2 /Т 4 3 1673. Д-. 1674. 3. 1675. *_- 1677. 1. Указание. Ввести позую 4 3 у а* х 1/^ 2 / л \ 2 переменную 9=. 1678. —%—. Указание, sin I — -|-xl=—х X(sin x + cosx). 1685. 2. 1687. 9. 1688. 1. переменную у = х—1690. 1. 1692. —10. 1696. 48. 1698.--U= . 1700. 1. 1701. 0,02. 4 КТ Указание. Ввести новую 1 9 1694. —~ . 1695. —Д . 2 КТ ю sin a cos а 1702. ----------, если а # 0, а 1, если а = 0. 1703. 2 < х<7. 1704. —3 < х < 0; 2 < х < 5. 1705. х # — . 1706. Совокупность всех нецелых положительных чисел- 1708. 1 — 5 КТ<0<14-5 КТ 1709. 0,1<у<10. 1710. Вообще говоря, нет. 1715. 2х = (2х-1 + 2_х_1)+(2х-1 — 2-х-1). 1722. 3. 1723. — 4 К 2 1724. -4=. 1725. 4-. 1726. 0. 1727. 4. 1728. —4 . 1729. 0. 1730. Д • у а 3 z D 1731. 1. 1732. 1. 1734. 1. 1735. 0. 1736. cosa 1/ -Д-. 1737. 0. г sm а ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ * б) X 1741. в) v0, б) v04-al0. 1742. a) 0 м!мин, б) м!мин\ в) 75 м!мин. 1743. —Ur. 1744.a)l; б) 4х; в)2(х+1); г) —U; д) —2х; е) Зх«. 2 КТ V х 1745. а) 4,8 град!сек\ б) 4 гр adj сек. 1746. 5 ампер! сек. 1747. Обе функции дифференцируемы в точке х = 0. 1748. Эта же прямая. 1749. а) Имеет, у = — х; б) нет; а) имеет, у=х. 1751. Угол между касательными к кривым в точке нх пересечения (см. рис. За). 1752. а) 2x4 4-04-1=0; б) 0 = 0; в) 2х— 0 — 1=0. 1753. , Д—arctg 6. 1754. В точке (0, 0) под углом Д- и в точке (1, 1) под углом arctg 2—^-. 1757.2x4-1. 1758. 2х—2. 1759. 8х—4. 1760. —4x4 /I 4-15. 1761. 18—20х. 1762. —4. 1763. —20х»—4х. 1 1764. 5ха(3—4х). 1765. 4х»42х. 1766. — 140хяф- Рнс. 3*. 275
4 45хя—24л -|-3. 1767.4л9. 1768. 2х(1 — 2л*). 1769. 8(2х —З)1. 1770. 2(*»4-ах)Х Х(2*4-а) 1771. Зх»(2л9-&4-о). 1774. ,775« 1776. 1 + ** 1777 4х-14х* - 15 7 _5_ ”(х*—!)•* ,777' (1 - 7х)» ' ,77в* 2(3х-2)» ’ (6-х)»’ 1780. 70 fre * 3 1/ 45 -- fr_. 1781. ; 1783.—^—. 1784. -J-—.- (.1—lOx)» (£* + <*)» 4/x 2fx 1785. L— . 1786. 3 . 1787. 54--^ . 1788. ~2l+3*j-5x« 3x / x 2 V 2х» К x *» 2х» V x 1790. 1796. 1796. -4 } 1804. 1809. 10x* — 1. 1791. 21*®—36x®— 12x»4-10x. 1792. —3x»—6x4-6. — 6-f-68x®. 1794. 5x*—21x»—2x4-10. 1795. 2x(x®4-l)(7x«4-l). 24t» (1 — 3**)* (1 — 15x®). 1797. a) y=x; 6) j/=l; в) j/= —1; r) 4x— j/4-(4—л)=0; Д) *4-!/—л=0. 1803. sin 2v. —sin 2x. 1805. cos2x. 1806. 2*sinx-}-**cosx. (54-cosx)(x*—cosx) 4-(5x-}-sin x) (2x-}-sin x). 1812. — 2 sin 2*. 1815.0. 1816. —(sin x-}-2xcosx). 1818. cos ^x-}--^-^- 1820. 10(2x4-3)*. 1821. 6 (x 4- 7)». 1822. — 35 (1 — 5x)«. 1823. 4 cos 4*. 1824. cos • □ V 1828. Лео cos (сох + ф). 1829. dcosin (ф — сох). 1833. — У 2*4-1 1834.----г , ----. 1836. а) 18 л1/лшн»; 6) 730 лс/лшн». 1837.--!—= . 3/(1-*)* 41 VI 1838. </' = 3 (*4-2)»; р* = 6(х4-2); у"'= 6; yiv = yv = ... =0. 1839. у'= = 6(2*—!)»; с/" = 24(2х—1); {/"' = 48; {/lv = yv = ... =0. 1842. tf=— sinx; у" = — cosx; j/'" = sinx; t/iv = cosx н далее все повторяется. 1845. 150 раз. 1 1 З100 1346. -i-sinx—j-cosx-I—— sin At. 1847. 15360. 1848. 780. 1849. -2300-2“. 2 4 4 л(л—1)(л—2)(л —3)(л —4) 1852. 4. 1853. a) 10; r) 7; e) 6. 1855. a) 89-28 /10; 6) 1124-64 К 3; в) 176 V 6 — 304 V 2- 1856. 4. 1859. Указание. Il10—1 =(104-1)10—1; (104-1)*® разложить по формуле бинома Ньютона. Для полного решения задачи нужно доказать, чго биномиальные коэффициенты — числа целые, i860, а) 45; г) 630. 1862. а) 3; б) 4; в) 5. 1863. 66. 1864. — 1865. 1,12. 1868. 0,97. 1S71. 1.025. 1875. 0,99. 1877. 1,01. 1878. 0,98. 1881. При х<2 возрастает, при х>2 убывает. 1882. При |х|<1 убывает, при |х|>1 возрастает. 1883. При —1<х<0 и х>1 возрастает, а при х< — 1 и 0<х<1 убывает. 1884. При х< —5 их>1 возрастает, а при —5<х< 1 убывает. 1885. Всюду убывает. 1889. При—4-2лл< х <-^-4-2пл возрастает, при о *5 -^-4-2Ал< х <-|-л4-2Ал убывает. 1890. При 4-2лл < х < л4-2лл □ v 4 4 3 9 убывает, при у л 4-2Ал < х < л-4-2Лл возрастает. 1891. Возрастает. 1892. Убывает. 1893. Возрастает. 1894. Убывает. 1895. При —1<х<0 и 0 < х < 1 убынает, при | х | > 1 аозрастает. 1896. При х < 0 убывает, а при 27#
х > 0 возрастает. 1897. Всюду убывает. 1898. — (минимум). 1900. —(минимум). 1902. 4 0 Минимум ПО, максимум 174. 1903. Минимум — 177, максимум 39. 1904. Минимум — 1. 1905. Минимум—2, максимум 2. 1906. Ми- нимум — 2, максимум 2. 1908. Пег локальных экстремумов. 1910. 2лл-|-1 11 -^-Ч-2Лл—1-1916. а) —1,375; 1,375; б) —2; 2. 1917. а) —2; КЗ; б) — /3; 1. 1919. а) 0; б) 8 2’ 8 ’ 2 1 В) 6 2 ’ л 1/" ч — 4-4-Х-2. 1926. См. рис. 4*. 1928. См. и 2 рнс. 5*. 1937. ( = 31 сек. 1939. 25 м/сек и 37 м/сек. 1940. 2х —^-|-5 = 0. 1941. 6х—1/ — 3 = 0. л V 2 1А Ч 1942. arclg . 1943. arctg и «/"о я—arctg—g—. 1944. а) (1, 4); б) ( —2, —11). 1945. -д л*. 1947. 51. 1956. Ширина должна , d быть равна —— . Ч -(T=3ji- *960- 1963. —sin 4л. *957- -Д2гЬр 1958- 2sin 4х —sin £ . 1961. ----' . . 1959. 3(х—3)»- 2 К 3-х (1 —2х—х2)cosx—(х-j-1)2sin х. 277
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА XI 1967. а) Да; б) нет; в) да. 1968. а) Нет; б) нет. 1972. а) а=с, b = d‘, б) либо а ± с. либо b # d; возможно, конечно, что и а # с и b & d. 112 1973. а) х = 0, {/=—3; б) х=1, у= — 1. 1975. а) х = ^> у==~17‘ 2 в) х — 1, у =—(4 — 0, гДе / — любое действительное число. 1977. а) х=— 3, 3 со 104 О У=-6;б) х = -^, У=—£. в) х=-2, У=-|. 1978. -134-13/. 19S2. 334-56/. 1988. 1—/. 1989. а) Определение, б) теорема. 1990. 24-2/. 1991. -|-4--|-/. 1993. Указание. Для доказательства пропорции достаточно показать, что числа b и d отличны от нуля и ad = bc. 1995. а) Нет; б) нет; в) да 2001. а) а = Ь = 0, б) хотя бы одно из чисел а и b отлично от нуля. 2002. а) х = 3, t/ =— 1; б) х = 2, у=—2; в) х = у=1; г) х=/, у——2/, где I — любое действительное число; д) равенство ие выполняется ни прн каких действительных значе- ниях х и у. 2004. а) Действительные числа; б) чисто мнимые числа. 2008. (1 — КЗО- 2011. —i. 2014. — 1—i. 2015. 0. 2016. 0. 2017. 0, если n = 4fe; i, если п = 4Л4*1- 1—1» если n = 4fe4-2; —1, если п=4й4-3. 2018. -1. 2019. I. 2023. а) ±-L (1 +/); б) ± ^Л~~- Y 2 2 2029. а)а(х«—10х4-26) = 0. 2030. а (х14-20x4-200) = 0. 4-205) = 0. 2032. 3; — 2024. а) 1 ± /. ± V з«). 2031. а(2х«—14x4- |-(1 ± К»). 2033. -3, -|(1 ± КЗ/). 2035. -/5; 2042. ± /12; ± /7/. 2039. Х1Х8хэ = 6, 2043. /12(1 ±i) /12(1 ± I) 2 : 2 . 2045. 0. 2046. 7. 2047. 1) 4 fcos-^-4- \ "5 . , л \ л. Л , . . л \ ... _ /7 7 \ 4-i sin ; 2) 2 cos -ё-4-/ s,n -к-г. 3) 6 у 2 cos — л-l-i sin — л I ; 3/ \ о о / \ 4 4/ » 12 4) 13[со8(л — <p)-|l/sin (л— <р)], где <p = arctg-=-; 5) 25(cosO-f-i sin 0); О 6) ' 4(cos л4-i sin л); 7) 3^coss’n 8) 2 (cosn-f-isin; 3 9) 5 [cos (n—<p) 4-/ sin (л— <p)], где <p=arclg — . 2048. 2) На окружности ра- диуса 2 с центром в начале координат; 3) в круге радиуса 3 с центром в начале координат; 5) в кольце между концентрическими окружностями радиусов 2 и 3 с центром в начале координат, исключая эти окружности; 6) на луче, исходящем из начала координат и образующем с осью х угол л т- 2049. Только при г = 0. 2050. Могут, при <р = пл. 2051. 2cos-^-fcos —[- X \ * 4-i sir. -5- \ если —л4 2Лл < а < л-[-2Лл; — 2cos-^- Feos (y4-nj 4- 278
+ i sin (у -I- л j , если л 4-25л < a < Зл+2Ая. 2054. 2 (cos 340°4- i sin 340"). 2055.’3(cos 195’4-£sin 195°). 2056. a) 15r. 6) —74-7 V"3i; в) —24; г) 42. 2057. a) — -1— ™ i; 6) 2*’(14- VTi); в) 1. 2059. a)i; 6) cos 190’4-/sin 190°. 2062. a) l/a fees ^4-/ sin^\ k = Q, 1. 2, 3. 4; 6) cos fln4--| Ал> i r \ D 5 / \1U a J (1 2* \ пя+т*» . ft = 0, 1. 2, 3, 4. 2066. При | a | = | b | * 0. 2069. -4. 10 V« f 2070. —8. 2071. 0. 2073. —2i. 2076. a) a (*’4-32*4-260) =0; 6) a(5*’4-14* 4- 4-13)=0. 2077. Нет. 2078. a) * = 2(, y = t, где ( — любое действительное число, отличное от нуля; б) * и у—любые действительные числа, не равные нулю одновременно. 2083. б) cos (— 2а) 4*' sin (—2а). 2088. 1024. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ XII 2099. 2п частей. 2101. Прн п = 1 утверждение верно. Пусть оно верно при n=k. Тогда (14-c)*+* 1 * * 4 * = (14-a)*-(14-a)Ss(14-Ao)(14-a) = 14-Aa4 с-|-кса=» = 14-(Л4-1)а4-А>иа>? 14-(/г4-1)а. ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ ВСЕГО КУРСА АЛГЕБРЫ И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 2109. Если а >25, то через -—— дней. Если а<5, то на первом складе никогда не будет угля вдвое больше, чем на втором. 2110. 5 ч и 10 ч. 2111. 50 км/ч. 2112. 12, 10 и 15 ч 2113. 10 км и 5 км. 2114. 1000 км/ч и 800 км/ч. 2115. 9; 28. 2116. 5 км/ч и 3,5 км[ч. 2117. 10 человек. 2118. 35 суток. 2119. 500 м. 2120. а) Если ауЬ ± 1, то * = ——если с =• а— 1 = —1, то *—любое число; если а=1, то корней нет; в) нет корней.* 2121. а) Если о < 0, то корней нет; если о^0. то *=—^ °; б) —Г, 2. „„ , 2а а’—а—1 „ 1 2,2Э* а> х=а8—о-Ц* б *> «ли аг ±2, то *=— ,у = 1—а п - л . Н 2/ = а ; если а=2, то решении нет; если а = — 2, то *=(, у= —, где ( — любое число; в) при а = 0 и а=1 нет решений; при а г 0 и а # 1 1 1 2 * = —, у=~.---. 2124. а) * = 5, у=4 и *=— 4, у = — 5; б) *=-=-. у =• о 1 — О и 4 4 2 1 Z а . , \ 1 / о \ = Т и Х=Т’ в)если ь’60’ гох=2\т + ь} 4/= 2-<Т —: если 5=0, а а г 0, то решений нет; если а=5=0, то x = y—t, где 1 — 9 7 любое число. 2129. ~г<*<тг- 2130. —1 <а<2. 2131. а) 10; б) Г, в) 5. 4 2 2132. а) а< 1; а >2; б) 0 <а < 1; 2 < а < 3; в) а < 0; а > 3. 2133. s) *<2; б) *—любое действительное число; а) 2<*<4. 2135. а) 3е00 > 6800. 279
то ежегол- Указание. З800 = (З®)300 = 9**- 2136. Если k > 100 ( ft-100(^2-1) пый прирост населения составляет ---------- процента. При ft<100(£/2— 1) условия задачи противоречивы. 2137. Если угол ф оканчи- вается во 2-й вается вается • - - |2 5 в I-й четверти, то С05ф=т=, 1£ф = —; если угол ф оканчивается 1 о 1 х 12 5 четверти, то С05ф = —1бф = —-п>- 2138. Если угол ф окаичи- 1 «5 12 л . 4 , 4 во 2-й четверти, тоБ1Пф = -=-, 1рф=—5-; если угол ф оканчи- о 3 4 4 12 1^*2 * а 3-н четгерти, ю sin ф= —, (еф = у.214О. у ; —; ^р==- ; . 2140. 2 lAj 2(41 —• — — •_— • _— 2142 — 2 • •_— •_— К 13- 13’ 12’ 5 2И2’ /ТЗ’ ГТЗ’ 3' 2 2148. у (а#™). 2149. 2sin (у—2150. а) 1; б) 0. 2151. о< < б) -2<а<у. 2154. а) Ий); б) -у; в) -у. 2156. у4-2лл. 2(57. Нет корней. 2(58. J + y: у+2**- 2,5в- (-1)л+1 л . уЧ-лл. 2160. ±4 + лл. 2161. Нет <5 корней. 2(62. —-5-4- «л- 2163. <5 л . у4-лл; aictg2-)-ftn. 2(64. Нет корней 2165. 4+лл; -^4-ftn. 2(67. 2. Ъ я . у4- ля. 2(68. лл; —arctg 34-ftn. 2(69. LIT.’arcsin-I-4-^. 2170. х Ох т+ пп' 4 arctg 2Ц-fen. 2(71. 2172. ^4-55- 2173. о о 5-+2лп; ъ — y+2ftn. 2174. (2n+l)n; VT7— arctg 44- ftn. 2(75. ± arccos j— 4 •3 —|- 2лл. Л176. ^ + лл; + 2177. 2лл; — y+2ftn. 2178. лл; - 1 + ftn- 2(79. -^4-лл. 2180 х = 4 4 б 4-2лл, 2лл; х=2 arctg 0^34-2)4* О , 4- 2лл, у = 2arctg(p^3 4-2)—2лл. 2(81. * = (—()" <5 Л у4-лл. »=±4п+2ля^ *=(-nn+,-J+™. !/=±4+2Лл- 2|82- *=(-1)я-£-1- о о о о 4-лл; у= ± -|-n+2ftn; х»(-1)"+,4г4-пя, y=±-^+2ftn. 2183.* = О о о =у+(л+/г)п, у=у4-(л —ft)n; х= —y4-(n4-ft)л, у= — у +(л — ft) л. 2185. 9 и 21. 2186. 2, 4. 8, 12 или v- V’ 4’ i' 2187’ 2> 10- 18 и 2. Л л л 6. 18. 2188. arctg 1Л-1+ . 2189. . 2190. 2, 4- 4......... т 2 9 |/ з 3 9 280
q 9 2194. 1. 2195. 4. 2196 0 2197. 2198. 2; -2 2199. Если а > |, 2 Ig *>* Ig 2 то х=—° ; прн о<1 корней нет. 2200. 100. ± -/_= 2202. 1; \b/s" о-I r г ую 2 V 2203. Ёг 2204’ ,0’ 2203' 1 220в' 4 2207, 1: 3; У 2208. 7 + 4-2лл 2212. х<—5. 2213. а) х=4, </= 8; х = - 4, у = — 8; б) х = 8, у=4; х=4, р = 8; г) х=7, у = 3; х = —7, у= — 3; д) х = 2, р = 32; л = 32, у —2 2214. Не Солее 5 пластинок. 2216. в)*2<х <5; г)*/0 , 1 и х ; д) совокупность всех положительных чисел, кроме х = = -^-|-пл и х=-^4-Лп. 2223. а) 9; б) 6; в) 4-; г) 2 ccs а. 2226. a) 84-53Z; 2 4 3 о г) —8. 2228. а) х= 1, у = 2; х = — 1, у = — 2; б) х = 0, у=7; х =— , у — 18. 2230. ^2cos-^-J ^cov^- + l sin 2233. cos5<p = cos*<p—10 cos3 <psinJ <р 4- 4-5созф81п<ф; з!п5ф = з1п6ф—10 sin8 ф cos8 ф 4-5 sin фсо5*ф. 2235. х—4у 4* 4-4 = 0. 2236. 2х—у—1=0; 2х+у—3=0. 2237. a) 4sin’xcosx; б) 6sin82xcos2x; в) —5cos4(x—l)sin(x—I); г) 4cos8(2—x)*sin(2—л); д) 10х(х84-1)1; е) —6(3—2х)8. 2238. Лю cos (at 4- ф); —4<o*sin (wZ4- ф). 2239. Могут, например, х и «4-1. 2243. а) —1293600; б) I, в) —100.
ОГЛАВЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ § 149. Расстояние между двумя точками плоскости Системы коор- динат ............................................................ 3 § 150. Косинус суммы и разности двух углов.......................... 5 § 151. Синус суммы н разности двух углов............................ 7 $ 152. Тангенс суммы и разности двух углов.......................... 9 § 153. Тригонометрические функции двойного угла.................. 12 § 154. Выражение sin а и cos а через тангенс половинного угла ... 14 $ 155. Соотношения между тригонометрическими функциями половин- ного угла и косинусом целого угла.................................. 16 § 156. Выражение тангенса половинного угла через синус и косинус целого угла........................................................ 18 $ 157. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.............................................................. 19 $ 158. Преобразование суммы (разности) синусов двух углов в про- изведение ......................................................... 20 § 159. Преобразование суммы (разности) косинусов двух углов в про- изведение ......................................................... 22 § 160. Преобразование суммы (разности) тангенсов двух углои ... 24 § 161. Графики тригонометрических функций кратных углов .... 26 § 162. Графики функций i/ = Hsincox. i/ = Hcoscox, i/=Htgcox, t/ = — A ctg cox........................................................ 28 § 163. Графики тригонометрических функций y=4sin [co(x + a)l, y = = A cos [co(x-f-a)] и т. .......................................... 34 § 164. Графики функций у— A sin (cox -f-a), y=A cos (cox-f-a) и т д. 39 § 165. Гармоническое колебание.............................. . . 41 § 166. Гармоническое колебание в электротехнике ................... 43 $ 167. Преобразование выражения a sin х 4-b cosx путем введения вспомогательного угла ............................................. 45 282
$ 158. Сложение гармонических колебаний одинаковой частоты ... 47 § 169 Доказательство тригонометрических тождеств.............. 48 § 170. Равенства, содержащие выражении arcsina, arccosа и т. д. 51 $ 171. Тригонометрические уравнения........................... 52 § 172. Графический способ решения тригонометрических уравнений 59 Задачи на повторение.................................... 61 $ 173. Из истории тригонометрии............................. 63 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ VЛ| $ 174. Степень положительного числа с положительным рациональным показателем............................................... 65 $ 175. Степень положительного числа с положительным иррациональ- ным показателем......................................... 65 $ 176. Степень положительного числа с отрицательным иррациональ- ным показателем......................................... 69 § 177. Оси овиые свойства степеней положительных чисел с действитель- ными показателими......................................... . — $ 178. Показательней функция и ее график ..................... 70 § 179. Основные свойства показательной функции................ 73 § 180. Логарифм числа по данному основанию . . . ............. 78 § 181. Логарифмическая функция и ее график.................... 81 § 182. Основные свойства логарифмической функции.............. 84 § 183. Логарифм провзведения и частного ............. 88 § 184. Логарифм степени и корив.............................. 90 § 185. Переход от одного основания логарифмов к другому .... 92 § 136. Логарифмирование и потенцирование...................... 93 § 187. Целая и дробная части числа....................... , 96 § 188. Десятичные логарифмы и их своСства..................... 97 § 189. Таблицы деситнчиых логарифмов......................... 101 § 190. Таблицы антилогарифмов................................. ЮЗ § 191. Таблицы десятичных логарифмов тригонометрических функций 101 $ 192. Действия над логарифмами ............................. 105 § 193. Примеры вычисления с помощью таблиц логарифмов........ 107 § 194. Натуральные логарифмы................................ Ю8 $ 195. Обоснование действий иа логарифмической линейке....... ЮЗ $ 196. Основные способы решения показательных уравнений .... 111 § 197. Основные способы решения логарифмических уравнений ... Ill 283
$ 198. Примеры графического решения показательных и логарифми- ческих уравнений ............................................. $ 199. Показательные и логарифмические неравенства ....... § 200. Из истории открытия логарифмов.......................... Задачи на повторение .................................... 119 121 122 123 IX ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ § 201. Постоянные и переменные величины. Понятие функции ... 126 202. Способы задания функций.................. 128 $ 203. Область определения и область изменения функции ..... 132 § 204. Возрастание и убывание функций.............. 137 $ 205. Экстремальные значения функции.................... 139 $ 206. Четные и нечетные функции......................... 143 $ 207. Периодические функции............................. 146 $ 208. Обратные функции.................................. 148 § 209. Взаимное расположение графиков прямой и обратной функций 151 $ 210. Краткий обзор свойств и графиков ранее изученных функций 152 1. Квадратная функция у=ах*+Ьх + с(а # 0)...... . 153 2. Степенная функция у = хг ................. 155 3. Тригонометрические функции ..................... 156 4. Показательная функция y = ax(a>Q, а # I) ....... 157 5. Логарифмическая функция у= logo х (о > 0, а I) .... — $211 Предел функции..................................... 158 $ 212. Основные теоремы о пределах функций.............. 162 $ 213. Некоторые тригонометрические неравенства и их использование при нахождении пределов............................ 165 § 214. Предел отношения ~~~ при х-»- 0.................. 167 $ 215- Примеры вычисления пределов...................... 169 $ 216. Из истории развития понятий функции и предела.... 171 Задачи на повторение .................... — ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ X $ 217. Равномерное и переменное движение по прямой. Скорость и средняя скорость движения............................. 173 $ 218. Закон движения. Мгновенное скорость движения........... 174 2Ы
§ 219. Производная функции................................. (7G § 220. Дифференцируемые функции.............................. 179 § 221. Касательная к кривой.................................. 180 § 222. Геометрическое истолкование производной .............. 182 § 223. Вынесение постоянного множителя за знак произсодной , . . 183 § 224. Производная суммы функций .............................. — § 225. Дифференцирование произведения двух функций .......... 185 § 226. Производная дроби ...............t . . .............. 186 § 227, Производная степенной функции ........................ 187 § 228. Производная многочлена................................ 189 § 229. Дифференцирование тригонометрических функций............ — § 230. Дифференцирование функции f(ax-{-b)................... 192 § 231. Понятие о второй производной. Производные высших порядков 193 § 232. Выражение коэффициентов многочлена через значения его про- изводных .................................................. 195 § 233. Формула бинома Ньютона................................ 196 § 234. Об одном свойстве биномиальных коэффициенте? ......... 198 § 235. Применение формулы бинома Ньютона к приближенным вычис- лениям .................................................... 199 § 236. Применение производной к нахождению участков возрастания и участков убывания функций................................ 201 § 237. Применение производной к нахождению локальных экстремумов функции ................................................... 202 § 238. Наименьшее и наибольшее значения функции в заданном интер- вале ...................................................... 205 § 239. Использование производных для исследования диффереициру. емых функций и построения их графиков................. 205 §240. Применение производной к графическому решению уравнений 210 § 241. Исторические замечания......................... 211 Задачи на повторение .............. ..... — КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА XI § 242. Числовые поля ........................................ 213 § 243. Постановка задачи о расширении поля действительных чисел. Комплексные числа............................................. 215 § 244. Сложение комплексных чисел. Противоположные числа . . . 217 285
§ 245. Вычитание комплексных чисел.......................... 218 $ 246. Умножение комплексных чисел......................... 219 $ 247. Деление комплексных чисел............................ 220 $ 248. Поле комплексных чисел............................... 222 § 249. Геометрическое изображение комплексных чисел ........ 224 $ 250. Действительные и чисто мнимые числа.................. 227 § 251. Сопряженные числа. Практический способ деления комплекс- ных чисел............................................... 229 $ 252. Степени мнимой единицы .............................. 231 $ 253. Извлечение корней квадратных из отрицательных чисел. Ре- шение квадратных уравнений с отрицательными дискрими- нантами .................................................. — § 254. Двучленные уравнения 3-й степени с действительными коэф- фициентами ......................................... ... 233 § 255. Двучленные уравнения 4-й степени с действительными коэф- фициентами ............................................. § 256. Тригонометрическая форма комплексных чисел ...... § 257. Умножение и деление комплексных чисел, заданных в три го- неметрической форме.....................................1№№1 § 258. Извлечение корней из комплексного числа..............”841 § 259. Алгебраическое уравнение л-й степени................ 243 $ 260. Исторические замечания............................... 245 Задачи на повторение .................... 246 МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ XII § 261. Общие и частные утверждении. Дедукция и индукция .... 248 $ 262. Метод математической индукции................... 250 § 263. Другой вариант метода математической индукции... 253 § 264. Замечание к методу математической индукции...... 255 Задачи на повторение всего курса алгебры и элементарных функций ........................... 256 Ответы к упражнениям .................................. 268
Евгений Семенович Кочетков Екатерина Семеновна Кочеткова АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 10 класс Редактор Г. С. Уманский Переплет художника А. С. Котлярова Художественный редактор В. С. Эрденко Технический редактор В. It. Корнееча Корректор А. И. Киселева
Сдано в набор 12/IX 1966 г. Подписано к печати 28/11 1967 г. 60 X90’/i6- Типографская № 3. Печ. л. 18. Уч.-изд. л. 14,89. Тираж 1100 тыс. (1200001— 2 300 000) экз. Заказ 85. ' Издательство «Просвещенно Комитета по печати при Совете Министров РСФСР. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано с матриц Ордена Трудового Красного Знамени Первой Образцовой типографии имени Л. А. Жданова Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР. Москва, Ж-54, Валовая, 28 па Саратовском полиграфическом ком- бинате Росглавполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров РСФСР. Саратов, ул. Черны- шевского, 59. Ценз без переплета 20 коп. Переплет бум. 7 коп., коленкор. 15 коп.
юлка к СССР у Библиотека бесплатных учебников на сайте: ussrvopros.ru (перейти каталогу