Jloni| ляр ныс лекции
ПО МАТЕМАТИКЕ
«О>
Л. А. СКОРНЯКОВ
СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ


НИКИТИНА
ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ
ПО МАТЕМАТИКЕ
ВЫПУСК 59
Л. А. СКОРНЯКОВ
СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
f
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
198 6
ББК 22.143
С44
УДК 512(023)
Скорняков Л. А.
С44 Системы линейных уравнений. — М.: Наука.
Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 64 с. — (Попул. лек-
ции по мат.)
10 коп. 100 000 экз.
В брошюре содержится исчерпывающее изложение учения о
системах линейных уравнений, опирающееся лишь иа элементарные
преобразования матриц.
Для широкого круга читателей, включая школьников старших
классов, интересующихся математикой.
с
1702030000-027
053(02)-86
ББК 22.143
Рецензент
кандидат физико-математических наук Д. В. Беклемишев
© Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической литературц
J986
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие............................................  4
§ 1.	Системы линейных уравнений и их решения............ 5
§ 2.	Матрицы и их элементарные преобразования ....	Ч
§ 3.	Метод решения систем линейных уравнений............./О
§ 4.	Ранг матрицы .......................................28
§ 5.	Теорема о главных неизвестных.......................35
§ 6.	Фундаментальные системы решений ...................44
Ответы...................................................53
Решения.................................................57
Предметный указатель.....................................62
ПРЕДИСЛОВИЕ
Содержание настоящей книги достаточно четко оха-
рактеризовано в аннотации. Добавим еще, что формаль-
но в ней не используется метод полной математической
индукции. Однако в некоторых случаях он скрывается
под словами «и т. д.». Читатель, знакомый с этим мето-
дом, без труда доведет изложение до современного
уровня строгости. Основная цель приводимых упраж-
нений— дать читателю возможность проверить уровень
усвоения изучаемого им материала. Для более глубокого
знакомства с предметом годится любой курс линейной
алгебры. Автору, разумеется, кажется наилучшим его
учебное пособие «Элементы алгебры» (М.: Наука, 1980),
но это, конечно, субъективно.
Идея, положенная в основу предлагаемой книги, ис-
пользовалась при преподавании на отделении структур-
ной лингвистики филологического факультета Москов-
ского университета. Автор глубоко благодарен Ю. А. Бах-
турину, обратившему его внимание на эту идею.
Ю. А. Бахтурин, Д. В. Беклемишев, Д. П. Егорова и
А. П. Мишина высказали ряд полезных замечаний по
тексту рукописи. Автор с удовольствием пользуется слу-
чаем, чтобы поблагодарить этих математиков. С благо-
дарностью он отмечает большую помощь, оказанную
Т. А. Гуровой при подготовке рукописи.
§ 1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ РЕШЕНИЯ
Линейным уравнением от п неизвестных называется
уравнение вида
alxi+a2x2 +...+апхп = Ь,	(1.1)
где аь а2> .ап, Ъ— данные действительные числа.
Например,
2х1+х2 = 3,	(1.2)
Х[ “J~ х2 — Л'з = 0	(1*3)
и
Х1 Н~ *2 + Х3 Н- х4 ~ 40	(1.4)
— уравнения от двух, трех и четырех неизвестных соот-
ветственно. Числа ai, а2, ..., ап называются коэффи-
циентами уравнения (1.1), а число Ь — его свободным
членом. Что является решением линейного уравнения?
Чтобы ответить на этот вопрос, введем в рассмотрение
строку длины п*)
(а1( ..., а„),	(1.5)
где ai, ..., ап— действительные числа. Подчеркнем, что
понятие строки является неопределяемым. Конечно, мож-
но сказать, что строка — это последовательность, состоя-
щая из п действительных чисел. Но тогда уместно спро-
сить: что такое последовательность? Строка (1.5) назы-
вается решением уравнения (1.1), если
+ ед + ... + апап = Ъ.
Так, решением уравнения (1.2) служат строки (1,1),
(0, 3), (2, —1). Можно указать и другие решения. Среди
решений уравнения (1.3) назовем строки (1, 1, 2),
,(1, 0, 1), (0, 0, 0), среди решений уравнения (1.4) —
*) Часто вместо «строка» говорят «вектор».
б
строки (10, 10, 10, 101, (40, 0, О, 0), (70, —10, -10,-101.
Для уравнения
Oxi Н- 0#2 Н- • • • Н- 0хге = О
решением служит любая строка длины п, а уравнение
Oxi И- 0x2 “Ь • • • “Ь 0хге = 1
вообще не имеет решений. Таким образом, линейное
уравнение может обладать большим количеством реше-
ний. Решить такое уравнение — это значит каким-либо
способом описать это множество решений. Для уравне-
ния (1.2) можно предложить следующее описание: ре-
шениями уравнения (1.2) служат всевозможные строки
вида (а, 3 — 2а), где а — произвольное действительное
число. Множество решений уравнения (1.3) состоит из
всех строк вида (а, р, а + Р), где а и р — произвольные
действительные числа. Решениями уравнения (1.1) при
=/= 0 служат строки
( Ь — агаг — ... — апап	\
I	щ	' “2> • • • • ап) •
где аг, ..., «л — произвольные действительные числа,
Подобное описание можно получить и в случае, когда
отличен от 0 какой-нибудь другой коэффициент этого
уравнения. Если же все коэффициенты равны нулю, то
при b = 0 решением служит любая строка длины п, а
при & =/= 0 решений нет.
В качестве задачи, решаемой с помощью уравнения
(1.4), рассмотрим следующую. В бассейн объемом 40 м3
проведено 4 трубы. Сколько воды надо пропустить через
каждую из них, чтобы заполнить бассейн? Приведенные
выше решения уравнения (1.4) можно трактовать так:
первое — через каждую трубу следует влить по 10 м3,
второе — через первую трубу влить 40 м3 и не пользо-
ваться остальными, третье — через первую трубу влить
70 м3, а через каждую из остальных вылить по 10 м3.
Нетрудно понять, что через любые три трубы можно
влить или вылить произвольное количество воды. Од-
нако если это сделано, то количество воды, выливаемой
или вливаемой через четвертую трубу, определяется
однозначно.
Усложним только что рассмотренную задачу с бас-
сейном, потребовав, чтобы количество воды, поступаю-
щей через третью трубу, совпадало с количеством воды,
поступающей через все остальные трубы, вместе взятые.
6
Тогда объемы воды, проходящей через каждую из труб,
должны наряду с уравнением (1.4) удовлетворять урав-
нению
X] 4- х2 — х3 4- х4 = 0.
В этом случае говорят, что искомая строка должна удов-
летворять системе из двух линейных уравнений:
Х1 4" *2 4- хз 4" ^4 — 40,
Х1 4" х2 — Х3 4- х4 = 0.	' ’ '
Вычитая из первого уравнения второе, получим 2хз = 40,
откуда Хз = 20. Следовательно, в любом случае через
третью трубу должно быть влито 20 м3 воды. Действие
же остальных труб определяется уравнением
4“ Х2 4“ х4= 20,
из которого видно, что режим работы любых двух из
оставшихся труб может быть задан произвольно. Если
же он задан, то объем воды, проходящей через послед-
нюю трубу, определяется однозначно.
В общем случае мы имеем дело с системой т урав-
нений от п неизвестных:
а11Х14-а12х24-... 4-alrex„ = &i,
<*2 Л 4~ «2 2*2 4~ • • • 4-^2 пхп ~Ь2,	(1.7)
ат Iх! 4- й-т 2Х2 + • • • 4" О,т пхп ~ Ът-
Строка (ai, ..., осп) называется решением этой системы,
если она является решением каждого из входящих в него
уравнений. В частности, множеству решений системы
(1.6) принадлежат строки (5, 5, 20, 10), (—15, 10, 20,
25) и другие.
Обратим внимание иа систему обозначений, принятую в записи
системы (1.7). Например, индексы коэффициента си 2 указывают, что
мы имеем дело со вторым коэффициентом первого уравнения. По-
этому следует говорить «а один два», а не «а двенадцать».
Уже на примере системы (1.6) было видно, что неиз-
вестные далеко не равноправны. Значение одних может
определяться системой линейных уравнений, другие мо-
гут задаваться произвольно, третьи определяются
однозначно, когда выбор значений произвольно задавае-
мых неизвестных осуществлен. Задача настоящей кни-
ги — научить читателя проводить соответствующий
анализ.
1
Две системы линейных уравнений называются экви*
валентными, если всякое решение первой системы яв-
ляется решением второй системы и наоборот. Ясно, что
вместо данной системы можно решать любую, ей экви-
валентную.
Например, система (1.6) эквивалентна системе
Х1 + *2 + хз + х4 = 40,
Oxi -]- 0^2 “I- Хз -]- Охд = 20.
В самом деле, если й = (си, а2, а3, ад)—решение систе-
мы (1.6), то эта строка служит решением первого урав-
нения этой системы, а значит, и первого уравнения
системы (1.8). Кроме того, как уже отмечалось, должно
быть аз = 20, и, следовательно, строка й является реше-
нием и второго уравнения системы (1.8). Таким образом,
всякое решение системы (1.6) служит решением системы
(1.8). Наоборот, допустим, что v = (рь Рг, Рз, рд)—реше-
ние системы (1.8). Как и раньше, сразу видим, что v
является решением первого уравнения системы (1.6).
Кроме того, рз = 20 и Pi + ₽2 + 20 + р4 = 40. Отсюда
Pi + Рг + Рд = 20 и, следовательно, Pi + р2 — Рз + Рд —
= Pi + Р2 — 20 + рд = 40 — 20 = 20. Таким образом, v
служит решением второго уравнения системы (1.6), а
значит, и решением всей этой системы.
Теорема 1.1. Если к системе линейных уравнений
от п неизвестных присоединить уравнение
Oxj -j- ОХ2 “1“ • * • “Ь 0х„ = 0,
то возникает система, эквивалентная исходной.
Доказательство. Поскольку каждое уравнение
старой системы является уравнением новой, то каждое
решение новой системы служит решением старой. Если
же строка й является решением старой системы, то она
является, конечно, решением всех уравнений новой си-
стемы, кроме, быть может, присоединенного. Но й слу-
жит решением и этого уравнения, ибо, как уже отмеча-
лось, его решением служит любая строка длины п. Та-
ким образом, всякое решение старой системы является
решением новой, чем и завершается доказательство.
Упражнения
1. Составить системы линейных уравнений для решения следую-
щих задач:
. а) Каковы стороны четырехугольника, если сумма их длин рав-
на 40 м, а сумма длин трех первых сторон иа 20 м больше, чем
длина четвертой стороны?
8
6J Какими способами можно заплатить 2 рубля 20 монетами
достоинством в 5, 10, 15 и 20 копеек?
в) Какими могут быть четыре числа, сумма любых трех из ко-
торых равна 1?
г) Какими могут быть четыре числа, сумма любых двух из ко-
торых равна 1?
д) На стройке имеется четыре бетономешалки с производитель-
ностью 20, 12, 15 и 10 тонн бетона в час. Требуется в течение трех
дней ежедневно выпускать по 120 тонн бетона с соблюдением сле-
дующих условий: 1) наименее производительная бетономешалка ра-
ботает ежедневно, а каждая из остальных по два дня; 2) одновре-
менно работают трн бетономешалки; 3) число рабочих часов каж-
дой бетономешалки одно и то же для всех рабочих дней. Сколько
часов должна работать каждая из бетономешалок?
е) Какой может быть последовательность из п чисел, если сум-
ма двух соседних членов этой последовательности равна нулю и то
же самое верно для первого и последнего членов?
2. Если к системе (1.7) добавить уравнение
(а1 1 + 0,2 1) Х1 + (а1 2 + а2 2) Х2 + . . . + (<2] п + й2 п) Xn = bi-{- b2,
то получится система, эквивалентная исходной. Доказать.
§ 2. МАТРИЦЫ И ИХ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Аппаратом, позволяющим решить поставленную в
предыдущем параграфе задачу, являются матрицы, воз-
никающие, как мы увидим, из строк длины п. Напом-
ним, что понятие строки длины п действительных чисел
является неопределяемым. Если дана строка й ==
= (ai, ..., ап), то числа ai называются ее координа-
тами или компонентами. Строки (ai,..., am) и (&i.......bn)
считаются равными, если m = п и at — bi для всех I.
Строка, состоящая из _одних нулей, называется нулевой
и обозначается через 0. Лидером строки называется ее
первая ненулевая координата. Например, лидеры строк
(0, 1, 0, 0, 0), (1,0, 1) и (0, 0, 0, 0, 1) расположены на
втором, первом и пятом местах соответственно. Понятно,
что нулевая строка лидера не имеет. Две строки одной
и той же длины можно складывать. Сумма двух строк
определяется следующим правилом:
(ab ..., ara) + (blt ..., bn) = (ai + bi, ..., an + bn).
Подчеркнем, что символ + в левой и правой частях
этого равенства имеет различный смысл. Слева он обо-
значает сумму строк, а справа — сумму действительных
.чисел. Например,
(1, 2, 3, -1) + (2, 1, 0, 1) = (3, 3, 3, 0).
9
Если а — произвольная строка длины п, а 0 — нулевая
строка длины п, то, как легко подсчитать,
а + 0 — а и б + й = а.
Теорема 2.1. Если а, Б и с— произвольные строки
длины п, то
а + b = Ъ + а
и	-	-
(а + Ь) + с = а + (Ь + с).
Доказательство. Пусть
а = («1....а„)
и
& = (р1, ..., ₽„).
Тогда
а + Ь = («1 + Pi, ....	+ р„)
и
b + а = (Pi + аь ..., р„ + ап).
Поскольку для сложения действительных чисел ком-
мутативный закон справедлив, то
«1 + ₽1 — ₽1 + а1> а2 + ₽2 == ₽2 + а2> •••> «П + ₽П =
= Рл + «»•
Таким образом, строки а, + Б и Б + а имеют одну и ту же
длину и для каждого i одну и ту же i-ю координату. По
определению равенства строк а-\-Б — Б-\- а, что и тре-
бовалось.
Для доказательства второго равенства положим с —
= (уь ..., уп) и заметим, что i-ми координатами строк,
стоящих в левой и правой частях нашего равенства,
служат числа (а, + 0/) + у, и аг + (Р; + у»). Принимая
во внимание справедливость ассоциативного закона для
действительных чисел, как и выше, придем к нужному
равенству.
Заметим, что не все операции, встречающиеся в математике,
коммутативны. Рассмотрим, например, множество слов, записанных
с помощью букв русского алфавита. При этом под словом будем
понимать любую конечную последовательность этих букв: напри-
мер, прк, мама, наотум — слова. Определим операцию сложения сле-
дующим правилом:
Х1 ... Хщ + У1 ... Уп = Xi ... xmyi ... Уп
(здесь как X/, так и yi — не обязательно различные буквы). Ясно,
что, например, м + (ама) = мама &= амам = (ама) + м. Следова-
тельно, существуют такие слова и я о, что и -j-,p =?£ о + и. Однако
10
можно доказать, что равенство (и + о) +w и + (и + а») спра-
ведливо для любых слов и, v и w (попробуйте!). Другой пример
некоммутативной операции — операция возведения в степень иа
множестве натуральных чисел, ибо 2а З2.
Благодаря теореме 2.1, складывая строки, мы можем
действовать так же, как мы привыкли действовать при
сложении чисел, т. е. не обращать внимания на порядок
слагаемых, а при наличии нескольких слагаемых рас-
ставлять скобки произвольным образом. Подчеркнем,
что как для чисел, так и для строк запись
01 + «2 + • • • +
строго говоря, смысла не имеет, ибо мы можем вы-
числять лишь сумму двух чисел или строк. Вычисляя же
«длинную» сумму, мы мысленно так или иначе расстав-
ляем скобки. Подробнее см. «Элементы алгебры», с. 36,
Кроме сложения, нам понадобится умножать строку
на действительное число X. Эта операция определяется
следующим правилом:
X (аи ..., а„) = (Хаь ..., Ха„).
Теорема 2.2. Если а. и 5 — строки длины п, а X -—
действительное число, то
X (а 4*'Ь) = Ха 4* Х5,
(X 4- р.) й — Ха 4- ра,
(Хр)а = Х(ра)
и
1а —а.
Доказательство. Чтобы доказать, например, ра-
венство Х(а 4- &) = Х54- Х&, заметим, что i-ми координа-
тами строк, стоящих в левой н правой частях этого ра-
венства, являются Х(а,4- bi) и Ха,4~ХЬ, соответственно
и их совпадение вытекает из справедливости закона
дистрибутивности для действительных чисел.
Справедливость остальных равенств устанавливается
аналогичными рассуждениями, которые, надеюсь, чита-
тель сможет провести самостоятельно.
Таблицу, представляющую собой несколько строк
длины п, записанных одна под другой, называют матри-
цей. Матрица
а11	“12	... Ящ
а21	а22	•••	<*2Л
ami атг • • • атп
11
содержит т строк и п столбцов. Будем говорить также,
что она имеет размер тХп. Например, таблицы
II1	2	~	1
2	1	О
1	2	О
1	2	1
2	12	|| 1	2	3	4	5
-	-1	О	О И |15	1	2	3	4
О	1	О
являются матрицами размеров 3X4, 4X3 и 2X5 со-
ответственно. Строка длины п является матрицей раз-
мера 1Х«> а столбец длины т можно рассматривать
как матрицу размера mX 1- Матрицу размера «Хи на-
зывают квадратной матрицей порядка п. Матрица О,
состоящая из нулевых строк, называется нулевой, а ма-
трица
1 0 ... О
„ О 1 ... О
О 0 ... 1
— единичной. Подчеркнем, что для каждого числа п су-
ществует своя единичная матрица порядка ' п, а для
каждого размера гпХп — своя нулевая матрица. Две
матрицы считаются равными, если они имеют одинако-
вые размеры и их элементы, стоящие на соответствую-
щих местах, совпадают.
В дальнейшем элементы матрицы, обозначенной не-
которой большой буквой (скажем, А), будем, как пра-
вило, без специальных оговорок обозначать соответ-
ствующей малой буквой с индексами (в нашем случае
ац), обозначающими номер строки и столбца соответ-
ственно.
Под преобразованием матрицы понимается переход
от одной матрицы к другой, осуществленный по опреде-
ленным правилам. Будем рассматривать следующие
преобразования:
I.	Перемена местами двух строк матрицы.
II.	Прибавление к какой-либо строке матрицы дру-
гой ее строки, умноженной на некоторое число.
Эти преобразования называются элементарными пре-
образованиями строк первого и второго типа соответ-
ственно. Аналогично определяются элементарные преоб-
разования столбцов.
Иногда оказывается полезным и элементарное преобразование
третьего типа:
III.	Умножение некоторой строки на отличное от нуля число.
12
Например, от матрицы
II 2 -1 Oil
2 1 0 ill,
[120 OU
прибавляя к третьей строке первую, умноженную на 2,
Перейдем к матрице
II1 2 ~ 1 0II
2 1	0	1,
Из 6 — 2 о||
а при прибавлении ко второй строке этой матрицы пер-
вой строки, умноженной на —2, приходим к матрице
II1 2 ~ 1 0II
0-3	2	1 .
II3 6 — 2 01|
Теорема 2.3. Если в матрице А элемент atk отли-
чен от 0 и i =А= j, то в матрице В, полученной из А при-
бавлением к j-й строке i-й строки, умноженной на
------, элемент b,k равен 0.
aih
Доказательство. Из определений сложения
строк и умножения на число получаем (невыписанные
координаты рассматриваемых строк нас не интересуют!)
(&/ь ..., bjk, • ••> Ь/п) =
— (а/ь ..., ajk, ..., а1п) + Г— ) (а/ь .
\ ik /
• ’ aik>  • • > ®гп)
==(•••, ajk,	—ajk,	О, ...).
В силу определения равенства строк отсюда вытекает,
что bjk — 0.
Теорема 2.4. Если от матрицы А к матрице В
можно перейти конечным числом элементарных преоб-
разований строк, то и от В к А также можно перейти
конечным числом элементарных преобразований строк.
Доказательство. Предварительно будет уста-
новлена
Лемма. Если от матрицы А к матрице В можно пе-
рейти с помощью одного элементарного преобразования,
13
то и от В к А также можно перейти с помощью одного
элементарного преобразования.
В самом деле, справедливость леммы очевидна, если
для перехода от Л к В использовано одно элементарное
преобразование первого типа. Допустим, что от Л к В
перешли, используя одно элементарное преобразование
второго типа, т. е. (i-я строка в В)~(1-я строка в Д)-Ь
Н~Х(/-я строка в А), а каждая из остальных строк ма-
трицы В совпадает с соответствующей строкой матрицы
А. Таким образом, &м = а(* + Аа;* для каждого номера
k. Если теперь к г-й строке матрицы В прибавить ее
j-ю строку, умноженную на (—X), то в получившейся
после этого матрице на месте (г, k) окажется элемент
btk + (~ tybik — (aik + Щь) + (~	— aik-
Поскольку элементы получившейся матрицы, располо-
женные в строках, отличных от х-й, совпадают с соот-
ветствующими элементами матрицы А, то и вся она
совпадает с А. Этим завершается доказательство леммы.
Возвращаясь к доказательству теоремы, допустим,
что переход от Л к В осуществлен с использованием t
элементарных преобразований, где />1. Обозначим
через Ci, С2, ,.., Ct-1 матрицы, последовательно возни-
кающие при этих преобразованиях. Таким образом, с
помощью одного элементарного преобразования можно
перейти от А к Cj, от Ct к Сж при 1= 1, 2, ..., t — 2
и от Ct-i к В. Но тогда согласно лемме можно с по-
мощью одного элементарного преобразования перейти от
В к Ct-i, то Ct-i к Ct-2 и т. д. В конце концов мы пе-
рейдем к матрице Cj, а от нее к А, что и завершает
доказательство теоремы.
Назовем матрицу ступенчатой, если она обладает
следующими свойствами.
(1) Если i-я строка нулевая, то (i-J- 1)-я строка
также нулевая.
(2) Если лидеры i-й и (i‘+ 1)-й строк располагаются
в столбцах с номерами ki и ki+l соответственно, то
< ki+i~
Наглядно эти свойства означают, что ниже нулевой
строки могут располагаться лишь нулевые строки, а все
элементы, располагающиеся влево и вниз от лидера ка-
кой-либо строки, являются нулями. Происхождение на-
14
звания нетрудно объяснить, рассматривая, например,
ступенчатую матрицу
О | 1	2	0	3	1
О	0	0 | 2	0	0
0	0	0	0	1	2’
0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0
где ki = 2, k2 = 4 и k3 = 5.
Теорема 2.5. Если А — ступенчатая матрица раз-
мера ш\п, а В получена из А приписыванием к ней
снизу некоторого количества нулевых строк длины п, то
В — ступенчатая матрица.
Доказательство. Допустим, что r-я строка ма-
трицы В нулевая. Если эта строка одна из добавленных,
то все строки, расположенные ниже ее, являются нуле-
выми по условию. Если же эта r-я строка принадлежит
матрице А, то согласно определению ступенчатой ма-
трицы строки матрицы А, расположенные ниже r-й, ока-
зываются нулевыми. Под ними же располагаются добав-
ленные строки, являющиеся нулевыми по условию. Сле-
довательно, матрица В удовлетворяет первому требова-
нию, входящему в определение ступенчатой матрицы.
Поскольку все ненулевые строки матрицы В являются
строками матрицы А и расположены в том же порядке,
то их лидеры удовлетворяют второму условию из опре-
деления ступенчатой матрицы. Следовательно, В сту-
пенчатая.
Решающую роль для построения нужной нам теории
играет следующий факт.
Теорема 2.6. Всякую матрицу конечным числом
элементарных преобразований строк можно превратить
в ступенчатую матрицу.
Доказательство. Пусть А — произвольная ма-
трица и пг — число ее строк. Если А = О, то она сту-
пенчатая. Если А ненулевая, то в ней есть хоть один
ненулевой элемент. Ненулевой элемент располагается
в какой-то строке. Значит, в нашей матрице есть нену-
левые строки. Выберем ту из них, в которой лидер рас-
полагается в столбце с наименьшим номером, скажем, с
номером ki. Применив преобразование первого типа,
перенесем эту строку на первое место. Тогда матрица
15
примет вид
о ... о blkt ...
о ... о &2fti	...
о ••• о bmki ...
причем Ai*, #= 0. Теперь будем применять преобразова- ния второго типа: ко второй строке прибавим первую, h..	
умноженную	на ——к третьей строке — первую,
умноженную	на —ь~^' и т- д‘ теоРеме 2-4 после
применения т—1 таких элементарных преобразований
получим такую матрицу, что в ее Ai-м столбце все эле-
менты, кроме первого, равны нулю:
0 ... 0	blkt   
0 ... 0	0
0 ... 0	0	...
Однострочная матрица
||0 ... О blkl ...||
является ступенчатой, ибо условия, входящие в опреде-
ление ступенчатой матрицы, выполняются для нее три-
виальным образом: нулевых строк нет и строк с лиде-
ром, расположенным в ki+i-м столбце, также нет. В силу
теоремы 2.5 матрица В оказывается ступенчатой и в слу-
чае, когда все ее строки начиная со второй нулевые.
Если это не так, то, как и выше, находим среди них
строку, лидер которой располагается в столбце с наи-
меньшим номером, скажем, с номером Аг. Поскольку
левее и ниже элемента стоят только нули, то ki < Аг.
Поставим найденную строку на второе место и, снова
воспользовавшись теоремой 2.4, придем к матрице
	0 .	. 0	61А>	6l*l+l	• •
	0 .	. 0	0	0	 •
с=	0 .	. 0	0	0	
^1*2—1	•••
0	c2k, • • •
о 0	... >
о ... о о о ... о о
где c2k2 #= 0 (конечно, может случиться, что Аг = Ai’+ 1
и элементовА^+ь •••> 6i*2—iне будет). Ясно, что первые
две строки матрицы С образуют ступенчатую матрицу,
16
Если т = 2 или все строки матрицы С начиная с
третьей нулевые, то, как и выше, заключаем, что С —
ступенчатая матрица. Если же среди этих строк есть
ненулевые, то те же рассуждения, что и раньше, позво-
ляют прийти к матрице
0..	0	д1А,	A/ft+i •	• ^ia2-i	&lf2			61A3 
0..	0	0	0 .	.0	C2R2	c2k^\-	c2k3-l	c2k3
0..	0	0	0 .	. 0	0	0	. 0	^2k, —
0..	0	0	0 ..	. 0	0	0	..	0	0 ...
0...	0	0	0 ..	. 0	0	0	..	. 0	0 ...
где =¥= 0- Опять замечаем, что матрица, располо-
женная в первых трех строках, ступенчатая, и ли(5о
убеждаемся в ступенчатости всей матрицы, либо имеем
возможность добиться того, что в первых четырех стро-
ках располагается ступенчатая матрица. Ясно, что самое
большее через т шагов ступенчатой окажется матрица,
содержащая все т строк.
Изложенное доказательство теоремы 2.6 эффективно
в том смысле, что в нем содержится практический метод
приведения данной матрицы к ступенчатому виду. На-
пример, такое приведение матрицы
11	114
11 2 0 4
11 0 2 4
11-13 4
осуществляется следующим образом:
111	14
0 0	1	-10
00—1 1 0
00-2	20
(из второй, третьей
и четвертой строк
вычитается первая),
111	14
001-10
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Для матрицы
(к третьей строке прибавляется
вторая, а к четвертой — вто-
рая, умноженная на 2).
II0 о — 1	1	1
0 1	2	— 1 0
|о 1 1	0	0
2 Л. А. Скорняков
17,
получаем
10 11 ООП
01	2	— 10
0 0-1	1	1||
11° 1 1 0 0II
00 1 -1 о
||о О -1 1 1||
10 11	0 011
0 0 1 -1 о
ООО	0 1|
а для матрицы
II1
1
1
(меняются местами пер-
вая и третья строки),
(из второй строки
вычитается первая),
(к третьей строке при-
бавляем вторую),
1	1 3|
2	3 6
4 9 14||
будем иметь
II1	1	1	3 II	,
0	1	2	3	'из ВТ0Р0И и третьей	строки
0	з	8	11	вычитаем первую),
и
0 1 2 3 тРетьеи строке прибавляется
0 0 2 2 вт°Рая> умноженная на (—3)).
Упражнения
1.	Пусть лидеры строк 5, Б и а + Б расположены в столбцах
с номерами k, I и т соответственно, причем k I. Доказать, что
k т. Привести примеры строк, для которых k < т. Доказать, что
это возможно лишь при k = I.
2.	Пусть а = (1, 2, —3, 0,_ 1) и Б — (1, —1, 0, 2, 3). Найти
строку х, для которой а х — Ь.
3.	Доказать, что уравнение а 4- х = 0 разрешимо для любой
строки а.
4.	Доказать, что 0а = 0 = Z0 и (—1)5 + 5 = 0 для любой
строки а и любого действительного числа X.
5.	Пусть а = (5, —8, —1, 2) Ь = (2, —1, 4, —3) и с = (—3, 2,
—5, 4). Найти строки х и у, удовлетворяющие уравнениям
а + 2b + Зс + 4х = б
и
3 (а — у) + 2 (5 + у) = 5 (с + у).
6.	Говорят, что строка а является линейной комбинацией строк
51, ..., ат, если а — XiSi +... + Xm3m для некоторых чисел
X,, ,.., Лт*
а) Найти линейную комбинацию 33 + 55 — S. где а = (4, 1,
8, —2), 5 = (1, 2, —3, 2), 3 = (16, 9, 1, —3).
18
6J Если строка 2 является линейной комбинацией строк St,
Бг, bs, а каждая из этих строк — линейной комбинацией строк
fit, аг, .... аг, то строка с является линейной комбинацией строк
fii, аг, .... аг. Доказать.
7.	Привести к ступенчатому виду:
а)
в) 111
1
1
1
1
О
1
1
1
1
1
1
о
1 40|-
-1 20II’
О 1
1 1
1 1
1 1
г)
б) || 1	1	1	1	20 II
|| 5 10	15 20 2001|:
110 0 1
10 10 1
10 0 1 1 .
0 110 1’
0 10 11
0 0 111
1
1
О
1
1
д) Я 20
к
12	0	10	120
0	15	10	120
12	15	10	120
е)
1
о
о
1 о о
1 1 о
О 1 1
ООО
ООО
ООО
О	О	О	0	...	1	1	о
О	0	0	0	...	О	1	1
1	О	О	О	...	О	0	1
'(матрица размера «Хп).
8.	Доказать, что перемена местами i-й и /-й строк может быть
осуществлена с помощью следующей последовательности элементар-
ных преобразований: 1) прибавление к i-й строке /-й строки, умно-
женной на (—1); 2) прибавление к /-Й строке i-й строки; 3) прибав-
ление к i-й строке /-й строки, умноженной на (—1); 4) умножение
i-й строки на (—1).
9.	Доказать, что элементарными преобразованиями строк и
столбцов любую матрицу можно привести к диагональному виду
(матрица D называется диагональной, если di / = 0 при
Привести пример, показывающий, что существуют матрицы, которые
нельзя привести к диагональному виду элементарными преобразова-
ниями строк.
10. Доказать аналог теоремы 2.4 для элементарных преобразо-
ваний III типа, а аналоги теорем 2.4 и 2.6 — для элементарных пре-,
образований столбцов.
11. Доказать, что, совершая с ненулевой матрицей
элементарные преобразования II типа со строками и столбцами,
матрицу А можно привести к виду
li
о
— ab
12.	Пусть матрица В получена из матрицы А при помощи ко-
нечного числа элементарных преобразований строк I, II и III типов.
2*
19
Доказать, что каждая строка матрицы В является линейной комби-
нацией строк матрицы А. Указание: использовать упр. 6 б).
13	(А. Н. Миронов). Пусть В и С — ступенчатые матрицы, по-
лученные из матрицы А конечным числом элементарных преобразо-
ваний строк I, II и III типов. Доказать, что лидеры строк матриц
В и С располагаются в одних и тех же столбцах. Указание:
использовать упр. 12.
§ 3. МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Система линейных уравнений
ОДХ] -р «12Х2 + • • • + а\пхп — bi,
fl21xl + а22х2 + • • • + а2пхп = ^2»	/о 1
ат1х1 + ат2х2 +•••+«
тпхп' '
однозначно определяется матрицей
411	412	41Я	Ь}
а21	422	• • • а2П	^2
ат1 &т2 • • •	Ьт
которая называется расширенной матрицей системы.
Матрица, стоящая левее вертикальной черты, называется
матрицей системы. Например, расширенными матрицами
систем
Х\ -[- х2 -4- х3 -[- х4 = 4,
М + х2 + 2хз = 4,
X] + х2 + 2х4 = 4,	' ’ '
Х1 + х2 ~ хз + Зх4 = 4;
— Хз х4 = 1>
х2 + 2х3 — х4 = О,	(3.3)
Х2 Х3 = О
и
xi “Ь Х2 “Ь хз== 3,
Xi -f- 2х2 -f- Зх3 = 6,	(3.4)
Xj 4х2	9х3 = 14
служат матрицы
11	114
112 0 4
110 2 4
11-13 4
110 °	— !	1	111
01 2	-1	0
Цо 1 1	о	о||
20
и
II1 1	1	3
12	3	6
||1 4	9	14
соответственно.
В дальнейшем, говоря о строках системы линейных
уравнений, мы будем иметь в виду строки соответствую-
щей расширенной матрицы.
Теорема 3.1. Если некоторую строку системы ли-
нейных уравнений умножить на отличное от нуля число,
то возникает система линейных уравнений, эквивалент-
ная исходной.
Доказательство. Допустим, что на отличное от
нуля число X умножается i-я строка системы (3.1). Со-
ответствующее уравнение принимает вид
(Хйп) xi х2 + • • • + хп =	(3-5)
Если (аь .... ал)—решение системы (3.1)', то, подстав-
ляя его в левую часть уравнения (3.5), получим
(^flii) Oj 4~ (^й/г) а2 + • • • + (^ai«) ап ~
= Л (ала1 +	+ • • • + ainan)= hbt.
Следовательно, строка (аь ..., ап) является решением
уравнения (3.5). Поскольку остальные уравнения новой
системы такие же, как у старой, то эта строка является
решением новой системы. Допустим теперь, что строка
(ai, ..., ап) служит решением новой системы. Тогда она
служит решением для всех уравнений системы (3.1),
кроме, быть может, i-ro. Подставляя это решение в урав-
нение (3.5) и вынося X за скобки, получим
А» (ада1 + О12а2 + • • • + (linan) = М>{.
Поскольку 1 ф 0, то отсюда вытекает
°/1а1 + О/2а2 + • • • + <^inan — bi,
т. е. (аь ..., ал) оказывается решением i-ro уравнения
системы (3.1), а значит, и решением всей этой системы.
Теорема 3.2. Если от матрицы А к матрице В
можно перейти конечным числом элементарных преобра-
зований строк, то соответствующие системы линейных
уравнений эквивалентны.
Предварительно докажем следующую лемму.
Лемма. Если от матрицы А к матрице В можно
перейти конечным числом элементарных преобразований
21
строк, то всякое решение системы, соответствующей ма-
трице А, служит решением системы, соответствующей
матрице В.
Для доказательства сначала допустим, что переход
От А к В осуществлен с помощью одного элементарного
преобразования. Если при этом применено элементарное
преобразование первого типа, т. е. переставлены местами
строки, то наши уравнения только меняются местами.
Конечно, старые решения по-прежнему будут им удов-
летворять. При элементарных преобразованиях второго
типа к i-й строке прибавляем /-ю строку, умноженную
на К. Следовательно, t-я строка матрицы В имеет вид
(ап +	• • •, ain + I bi + Xbj).
Пусть (<Xi, ct2, ..., a„)‘—решение системы с матрицей А,
т. е. решение каждого из ее уравнений. Будет ли оно
решением системы с матрицей В? Сомнение может вы-
звать только t-е уравнение этой системы. Но
(аи + ^a/i) ai + • • • + (ain + ^а1п) ап ~
— (ала1 + • • • + ainan) + л («/]«! + ... + а/чап) = bi + kbjr
Таким образом, для рассматриваемого частного случая
лемма доказана. В общем случае мы имеем последова-
тельность матрицы А, С], Ck, В, где от левой ма-
трицы к правой можно перейти, используя одно элемен-
тарное преобразование. Поэтому любое решение системы
с расширенной матрицей А служит решением системы с
расширенной матрицей Ci. Но тогда оно служит реше-
нием системы с расширенной матрицей С2- Продолжая
таким образом, убедимся, что это решение является ре-
шением системы с расширенной матрицей В.
Переходя к доказательству теоремы, заметим, что
согласно лемме каждое решение системы, соответствую-
щей матрице А, служит решением системы, соответствую-
щей матрице В. С другой стороны, в силу теоремы 2.4
от матрицы В к матрице А можно перейти с помощью
элементарных преобразований. Следовательно, применив
демму еще раз, видим, что каждое решение системы
с расширенной матрицей В служит решением системы
С расширенной матрицей А. Таким образом, эти системы
эквивалентны.
Теперь ясно, что для нахождения решений любой си-
стемы линейных уравнений достаточно уметь находить
решения ступенчатой системы, так как любую матрицу
22
можно привести к ступенчатому виду, а после элемен-
тарных преобразований получается эквивалентная си-
стема уравнений.
Например, заметив, что в конце § 2 к ступенчатому
виду были приведены расширенные матрицы систем
'(3.2)—(3.4), заключаем, что вместо них можно решать
системы
Х1 “Ь Х2 “Ь Х3 “Ь х4 ~
х3 — х4 = О
'(последние два уравнения отброшены на основании тео-
ремы 1.1),
Х2 + Х3 ~ О»
х3 — х4 = О,
Oxj + 0х2 + 0х3 + 0х4 = 1
и
Xj —|- Xg “Н х3 == 3,
Л^2 Д- 2Хз — 3,
2х3 = 2
соответственно.
Приступим к анализу ступенчатой системы линейных
уравнений.
Пусть нам дана ступенчатая матрица, соответствую-
щая системе т линейных уравнений с п неизвестными.
Возможны следующие два случая:
I. Существует строка, лидер которой расположен в
последнем столбце.
II. Такой строки нет.
В первом случае соответствующая система уравнений
содержит уравнение вида Oxi + ... + 0хп = Ь, где Ъ ф 0.
Ясно, что никакой набор значений Xt не может удовле-
творять этому уравнению, а тем более всем уравнениям
системы. Значит, система уравнений не имеет решений.
Для анализа второго случая допустим, что рассма-
триваемая ступенчатая матрица содержит г ненулевых
строк и что первые ненулевые элементы этих строк рас-
полагаются в столбцах с номерами k\, ,.., kr. По опре-
делению ступенчатой матрицы
1 kx < k2 < ... < kr п.
Неизвестные Xkt ..., Xkr назовем главными, а все
остальные (если они есть)—свободными. Кроме того,
23
отбросим уравнения, соответствующие нулевым строкам,
что в силу теоремы 1.1 приведет к системе, эквивалент-
ной исходной.
Допустим сначала, что свободных неизвестных нет.
Тогда
r = n, kx — 1, fe2 = 2, kn = n
и рассматриваемая система имеет вид
ацХ1 + «12х2 + ... + «1 n_lxn_l + ainxn = bir
а22Х2 + • • • + а2 п-1хп-1 + а2пХп ~ ^2>
Яп— 1 п—1хп—1 “Ь Яп_1 пхп	Ьп—\,
Яппхп Ьп,
причем «И, «22, .... Япп отличны от нуля. Поскольку
аПп ¥= 0, из последнего уравнения однозначно опреде-
ляется хп. После этого предпоследнее уравнение позво-
ляет однозначно определить хп-\ и т. д. Таким образом,
в выделенном случае рассматриваемая система имеет
единственное решение.
Предположим теперь, что свободные неизвестные
есть. В этом случае мы обозначим через Li сумму сво-
бодных неизвестных, умноженных на стоящие перед
ними коэффициенты /-го уравнения, и, перенося свобод-
ные неизвестные в правую часть, придем к системе
Олк^хь^ -f- ci\k2Xk2 -}-••• a\krXkr — bi — Li,
tiik2Xk2 -f- • • • 4~ ^2krXkr = 62 — L%,
ClrkrXkr — br Lr,
где коэффициенты aikt, <ц> •••, arkr отличны от нуля.
Как и выше, мы можем последовательно определять
Xkr_x и т. д., если придадим свободным неизвестным
какие-либо определенные значения. При этом главные
неизвестные определяются однозначно. Придавая сво-
бодным неизвестным всевозможные значения, найдем
все решения данной системы, т. е. решим ее. Поскольку
свободным неизвестным можно придавать различные
значения, система в рассматриваемом случае имеет бо«
лее одного решения.
24
Анализируя описанным образом ступенчатые систе-
мы, возникшие из систем (3.2)—(3.4), заключаем: 1) си-
стема (3.3) решений не имеет; 2) система (3.4) имеет
единственное решение (1,1,1); 3) в системе (3.2) неиз-
вестные xi и х3 являются главными, а х2 и х^ — свобод-
ными, причем Хз = х4, a xj=4— х2— 2x4. Последнее
можно трактовать так: всякое решение системы (3.2)
имеет вид
(4 —а—20, а, 0, 0),
где аи0 — произвольные действительные числа.
Система линейных уравнений называется однород-
ной, если все ее правые части равны нулю. Однородная
система всегда имеет решение, например нулевую строку.
Поэтому интересно выяснить, когда имеются и ненуле-
вые решения.
Теорема 3.3. Если число уравнений однородной си-
стемы линейных уравнений меньше числа неизвестных,
то она имеет хотя бы одно ненулевое решение.
Доказательство. Приведем данную однородную
систему к ступенчатому виду. Разумеется, она останется
однородной. Ясно, что число главных неизвестных не
может превысить числа строк. Следовательно, суще-
ствуют свободные неизвестные, что обеспечивает суще-
ствование ненулевых решений: ведь свободным неиз-
вестным можно придать и ненулевые значения.
Теорема 3.4. Однородная ступенчатая система п
линейных уравнений с п неизвестными обладает ненуле-
выми решениями в том и только в том случае, когда ее
матрица содержит нулевую строку.
Доказательство. Если есть нулевая строка, то
согласно теореме 1.1 ее можно отбросить, и существова-
ние ненулевых решений вытекает из теоремы 3.3. Если
же нулевых строк нет, то все неизвестные оказываются
главными, а поскольку все свободные члены равны О,
последовательно (начиная с конца!) получаем, что все
неизвестные должны равняться нулю.
Теорема 3.5. Если строки й\, ..., щ являются ре-
шениями уравнения
а\х\ + • • • + апхп =	(3.6)
то для любых действительных чисел М, ..., Kt строка
й = Л1«1	К fit
также является решением этого уравнения.
25
Доказательство. Пусть
«< = («п....«/J	(/ = 1,2,...,/).
Тогда
й — (AqCt]] + ... + ^tan> • • •» ^iai« + • • • + ^tatn)‘
Поскольку ut — решения уравнения (3.6)', то
«I (^1а11 + • • • + ^/а/1) + •••+«« (^1 а1п + • • • + ^tatn) ~
= к1(а1а11 + ... -}-апа1п) + ..,	Ч" ... -j-anatn)=
= Л1«0+... +^.0 = 0,
т. е. й оказывается решением уравнения (3.6).
Резюмируя результаты этого параграфа, можно ска-
зать, что мы располагаем методом, позволяющим решить
любую систему линейных уравнений, т. е. или устано-
вить, что она не имеет решений, или указать ее един-
ственное решение, или, выбрав свободные неизвестные,
выразить через них остальные. Этот метод часто назы-
вают методом Гаусса или методом последовательного
исключения неизвестных. Однако остается неясным, не
зависит ли число свободных неизвестных от способа ре-
шения. Более того, даже в случае, если такой зависи-
мости нет, остается открытым вопрос: существует ли для
данного набора неизвестных способ решения, при кото-
ром именно эти неизвестные окажутся свободными? На-
помним, что в § 1 была приведена система, имеющая
свободные неизвестные, но не всякое неизвестное которой
можно объявить свободным. А важность знания номеров
неизвестных, которые можно объявить свободными,
трудно переоценить. Предположим, что система линей-
ных уравнений возникла из какой-либо инженерной за-
дачи. Если неизвестное нельзя объявить свободным, то
его значением нельзя маневрировать для того, чтобы
добиться более приемлемого с инженерной точки зрения
решения. Так, например, в задаче о трубах, рассматри-
вавшейся в § 1, дополнительные ограничения можно на-
кладывать лишь на объем воды, проходящей через пер-
вую, вторую и четвертую трубы.
Ответить на поставленные выше вопросы позволяет
теория, развиваемая в последующих параграфах.
26
Упражнени я
1.	Решить системы линейных уравнений!
a)	5xi + Зх2 + 5х3 + 12^4 = Ю,
2xj + 2хз Ч- ЗХз + 5x4 “ 4,
X] + 7хг Ч- 9хз Ч- 4x4 = 2;
б)	*" 9xi Ч- 0x2 Ч- 7хз Ч" Юх4:=s 3,
— 6xi Ч- 4х2 + 2х3 + Зх4 = 2,
— 3xi + 2х2 + Нхз — 15х4 e 1:
в)	9X1 — 20х2 Ч- Зх3 Ч- 7х4 = 1,
4xt — 9х2 + Хз Ч- 2х4 = 2,
— 2xi + 5х2 Ч- Хз + 4х4 = 8
(указание: для упрощения вычислений можно сначала из первой
строки вычесть удвоенную вторую);
г)	12xi Ч- 9х2 Ч* Зхз Ч- Юх4 = 13,
4xi Ч* Зх2 Ч” Хз Ч" 2x4 — 3,
8xi + 6х2 + 2х3 + 5х4 = 7;
д)	— 6Х] Ч- 9х2 Ч- Зхз Ч- 2х4 = 4,
— 2xi Ч- Зх2 Ч* 5х3 Ч- 4х4 = 2,
— 4Х] Ч- 6х2 Ч- 4х3 Ч- Зх4 = 3;
е)	Xi Ч- х2 Ч- 4х3 — Зх4 = О,
3xi Ч- 5х2 Ч- 6хз — 4х4 = О,
4xi + 5х2 Ч- 2х3 Ч- Зх4 = О,
3X1 4“ 8х2 Ч* 24хз — 19x4 = 0;
ж)	Xi — Хз — О,
х2 — х4 = О,
— Xi Ч- Хз — х6 — О,
— х2 Ч- х4 — х6 = О,
Хз Ч~ Хз = О,
— х4 ч- Х6 = 0;
з)	Xi — Хз Ч- х5 = О,
х2 — х4 Ч- х6 = О,
Xi — х2 Ч- х5 — х6 = О,
х2 — хз Ч- х6 = О,
Xi — Х4 Ч- х5 = 0;
н) 5xi Ч- 6х2 — 2х3 Ч- 7х4 Ч- 4х5 = О,
2xi Ч- Зх2 — Хз Ч- 4х4 + 2х5 = О,
7xi Ч- 9х2 — Зхз Ч- 5х4 + 6х5 = О,
5xi Ч-9х2 — Зхз Ч- Х4Ч-6хв = 0:
к)	3X1 Ч- 4х2 Ч- Хз Ч- 2х4 Ч- Зх5 = О,
5x14- 7х2 Ч- Хз Ч- 3x4 Ч- 4х5 = О,
4xi Ч" 5хз 4“ 2хз 4“ Х4 4“ 5хв === О,
7xi 4- Юх2 Ч” хз Ч- 6x4 Ч” 5xs = 0;
27
л)	Xi + х2 — О,
Xi + х2	+ х3 = О,
х2 + Хз	+ Xi — О,
Хп — 2 + Хп— 1 + Хп — о,
Хп-1 + ХП = О.
2.	Решить задачи, сформулированные в упр. 1 из § 1. В за-
даче б) дополнительно найти решения при максимально возможном
числе 20-копеечных и 15-копеечных монет. В задаче д) найуи реше-
ния, соответствующие максимальному и минимальному использова-
нию самой маломощной бетономешалки, если потребовать, чтобы
число ее рабочих часов было целым.
3.	Система линейных уравнений однородна тогда и только тог-
да, когда нулевая строка является ее решением (доказать).
4.	Составить систему, состоящую из двух линейных уравнений,
для которой строки (1, 1, 1, 1) и (1, 2, 2, 1) служат решениями.
5.	Доказать, что, отбросив строку расширенной матрицы системы
линейных уравнений, являющуюся линейной комбинацией остальных,
мы получим систему линейных уравнений, эквивалентную исходной.
6.	Сформулировать и доказать условия на элементы расширен-
ной матрицы системы линейных уравнений с п неизвестными, необ-
ходимые и достаточные для того, чтобы всякая строка длины п
служила решением этой системы.
7.	Может ли система линейных уравнений с действительными
коэффициентами иметь в точности два различных решения?
§ 4. РАНГ МАТРИЦЫ
Квадратная матрица называется вырожденной, если
с помощью конечного числа элементарных преобразова-
ний строк она может быть превращена в матрицу, имею-
щую хотя бы одну нулевую строку.
Теорема 4.1. Следующие свойства квадратной ма-
трицы А эквивалентны-.
(1) А — вырожденная матрица-,
однородных линейных уравнений с ма-
хотя бы одно ненулевое решение;
(3) при любом способе приведения
матрицы А к ступенчатому виду эле-
ментарными преобразованиями строк
получаемая ступенчатая матрица со-
держит нулевую строку.
Доказательство. Утвержде-
ние теоремы состоит в том, что при вы-
полнении какого-либо из свойств (1)—,
(3) оказываются справедливыми и все остальные. Чтобы:
установить это, докажем, что из свойства (1) вытекает
свойство (2), из (2) —свойство (3) и из (3) —свойство
(1) (рис. 1), откуда и следует искомая эквивалентность
всех трех свойств.
28
система
трицей А имеет
(О
(2) ==> (3)
Рис. 1
На всем протяжении этого доказательства условимся
обозначать через А матрицу, полученную из А присоеди-
нением справа нулевого столбца.
(1)=^(2). Если А — вырожденная матрица, то со-
гласно определению после выполнения конечного числа
подходящих элементарных преобразований строк она
превращается в матрицу В с нулевой строкой. Те же
самые -Элементарные преобразования -Превращают ма-
трицу А в матрицу В. Тогда матрица В содержит нуле-
вую строку, отбрасывание которой приводит к системе,
которая по теореме 1.1 эквивалентна системе с расши-
ренной матрицей В. Но число уравнений в этой системе
меньше числа неизвестных, и по теореме 3.3 она обла-
дает ненулевым решением. Следовательно, ненулевым
решением обладает система с расширенной матрицей В,
а значит, и эквивалентная ей по теореме 3.2 система
с матрицей А.
(2)=>(3). Пусть С — ступенчатая матрица, получен-
ная из А конечным числом элементарных преобразова-
ний. Тогда матрица С получается из матрицы А теми же
элементарными преобразованиями. Из теоремы 3.2 вы-
текает, что система с расширенной матрицей С обладает
ненулевым решением. Теперь существование нулевой
строки у матрицы С, а значит, и у матрицы С вытекает
из теоремы 3.4.
(3)=>(1). Достаточно вспомнить, что по теореме 2.6
матрица Л приводится к ступенчатому виду, и восполь-
зоваться свойством (3).
Теорема 4.2. Если А — вырожденная матрица и от
А к В можно перейти конечным числом элементарных
преобразований, то В — вырожденная матрица.
Доказательство. По теореме 2.4 от матрицы В
к матрице А можно перейти с помощью конечного числа
элементарных преобразований строк. С другой стороны,
по определению вырожденной матрицы конечное число
подходящих элементарных преобразований строк позво-
ляет перейти от матрицы А к матрице С, имеющей ну-
левую строку. Следовательно, от В к С также можно
перейти конечным числом элементарных преобразова-
ний строк, и вырожденность матрицы В вытекает из
определения.
Теорема 4.3. Если А — вырожденная матрица, а
матрица В получена из А умножением одной из ее строк
на действительное число %, то В — также вырожденная
матрица.
29
Доказательство. Если X = 0, то матрица В
оказывается вырожденной по определению. Если же
X =#= 0, то из теоремы 3.1 вытекает, что системы однород-
ных линейных уравнений с матрицами А и В эквива-
лентны. Но по теореме 4.1 система однородных линейных
уравнений с матрицей А обладает ненулевым решением.
Следовательно, система однородных линейных уравне-
ний с матрицей В также обладает ненулевым решением,
и вырожденность матрицы В вытекает из теоремы 4.1.
Теорема 4.4. Если матрицы
Оц	012	а1П		Oil	oI2	... aln
>-11	“<-12 •••	а. , i— 1 n		ai-l 1	ai-l 2	
Z	Г	r		rr	//	rr
ап	ai2 •••	CL • „ in	и A" —	ail	ai2	••• ain
i+l 1	ai+l 2 “•	a. , t+1 n		a. 1 . i + l 1	CL. . Л i + l 2	• CL. « i +1 tl
ani	аП2 . .	ann		ani	0«2	... ann
вырожденные, то матрица
	0ц	012	...	a\n
	ai-l 1	Cl. , i —1 2	i-ln
A =	a'il + <1	' i rr ai2*@i2	••• ain + ain
	Cl. , , i + l 1	ai+l 2	' ‘ • ai+l n
	am	аП2	... ann
также является вырожденной.
Доказательство. По теореме 4.1 системы одно-
родных линейных уравнений с матрицами А' и А" обла-
дают ненулевыми решениями. Пусть
«' = (“[. ..., а'п)
"	»"=«'......о
— эти решения. Ясно, что как строка й', так и строка й"
удовлетворяют всем уравнениям системы однородных
линейных уравнений с матрицей А, кроме, быть может,
i-ro. В силу теоремы 3.5 этим уравнениям удовлетворяют
любые строки вида Кй' — рй", где X и ц — произвольные
действительные числа. Положим
Л = а'па" +  • • + а'щап
80
Тогда
«1 + (И - pxf) + ... + (а'п + (Q (Ха' - ра") =.
= % (а'{1а{ + ... + а'1па'п) + % (а''а' + ... + а" а') ~~
- И «1«Г + • • • + <па") - И («Н< + • . • + <Х) =
= ХО 4- Хр — рХ — рО = 0.
Следовательно, если строка Хй'—рй"У=0, то она ока-
зывается ненулевым решением системы однородных ли-
нейных уравнений с матрицей А, что ввиду теоремы 4.1
доказывает вырожденность матрицы А. Допустим те-
перь, что Хй'—рй" = 0. Если при этом р=#0, то й" =
X
=— и , откуда
н
=7 «,»;+••+ ««о++  • + со=
=А0 + 0 = 0.
Следовательно, система однородных линейных уравне-
ний с матрицей А опять обладает ненулевым решением
й", и, как и выше, вырожденность матрицы А вытекает
из теоремы 4.1. Если, наконец, р = 0, то
(а'ч + а") а{ 4- ... + (а'п + а" ) а" =
= (<iaf + • • • + <Х) + (<Х + • • • + «М =
= 0Ч~И = 0 + 0 = 0.
Снова у однородной системы линейных уравнений с ма-
трицей А нашлось ненулевое решение й', и можно опять
воспользоваться теоремой 4.1.
Если в матрице А отметить какие-нибудь k строк и
k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении отме-
ченных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу
порядка k — подматрицу матрицы А. Наивысший поря-
док невырожденных подматриц матрицы А называется
ее рангом. Разумеется, ранг матрицы размера тХлне
превосходит наименьшего из чисел m и п. Если же в
31
матрице А невырожденных подматриц нет, то ее ранг по
определению равен нулю. Ясно, что нулевые матрицы, и
только они, не содержат невырожденных подматриц, так
что ранг матрицы А равен нулю тогда и только тогда,
когда А — нулевая матрица.
Теорема 4.5. Ранг ступенчатой матрицы равен
числу ее ненулевых строк.
Доказательство. Если А = 0, то ее ранг равен
нулю по определению. Если же А — ненулевая ступенча-
тая матрица, то допустим, что она содержит г ненулевых
строк. Тогда, отметив ненулевые строки и столбцы, в ко-
торых располагаются их лидеры, получим ступенчатую
подматрицу, не содержащую нулевых строк. По тео-
реме 4.1 эта подматрица невырожденная, так что ма-
трица А содержит невырожденную подматрицу порядка
г. Всякая же подматрица большего порядка содержит
нулевую строку и оказывается вырожденной по опре-
делению.
Решающее значение для нашего исследования имеет
Теорема 4.6. Ранг матрицы не меняется при эле-
ментарных преобразованиях строк.
Сначала будет доказана
Лемма. Если от матрицы А к матрице В можно
перейти конечным числом элементарных преобразований
строк, то (ранг В)-^. (ранг Л).
Установим справедливость этой леммы для случая,
когда использовано только одно элементарное преобра-
зование. Пусть (ранг Л) = г. Для доказательства леммы
достаточно убедиться, что всякая подматрица М ма-
трицы В порядка, большего г, оказывается вырожден-
ной. Если от матрицы А к матрице В перешли переменой
местами двух строк, то подматрица М либо совпадает
с некоторой подматрицей М' матрицы А, порядок кото-
рой больше г, либо отличается от такой подматрицы М'
только порядком строк. Поскольку (ранг А)—г, то
М'—вырожденная матрица, и вырожденность матрицы
М вытекает из теоремы 4.2. Допустим теперь, что пере-
ход к матрице В осуществлен прибавлением к t-й строке
матрицы А ее /-й строки, умноженной на X. Возможны
три случая: 1) t-я строка не проходит через подматрицу
М\ 2) как t-я, так и /-я строки проходят через подма-
трицу М\ 3) t-я строка проходит через подматрицу М, а
/-я не проходит. В первом случае подматрица М совпа-
дает с соответствующей подматрицей матрицы А и, сле-
довательно, оказывается вырожденной. Во втором слу-
&
чае имеем
М =
aikl + Kajkl ••• aiks + Ka/ks
aiki • • • ajks
Ясно, что матрица М получена из матрицы
ЛГ =
а,.	... а..
flit	i h
/»1	iks
с помощью элементарного преобразования второго типа.
Но матрица М', будучи подматрицей матрицы А по-
рядка, большего г, является вырожденной. По теореме
4.2 вырожденной должна быть и матрица М. В третьем
случае запишем
М = aiki + Kaiki • • • aiks + Kajks
M'=	aiks
M"—
И
- -!ks
Матрица M' является подматрицей матрицы A, a
лишь порядком строк отличается от некоторой подматри-
цы матрицы А. Поскольку порядок этих матриц превы-
шает г, то ввиду теоремы 4.2 обе они оказываются вы-
рожденными. Из теоремы 4.3 вытекает вырожденность
матрицы М", после чего вырожденность матрицы М яв-
ляется следствием теоремы 4.4. Таким образом, для слу-
чая, когда использовано лишь одно элементарное преоб-
разование, лемма доказана. Допустим, что использовано
k преобразований. Пусть
A, Ci, ..., Cfe_i> В
S3
— последовательность матриц, возникших при выполие-
нии этих преобразований. В силу доказанного
(ранг В)^(ранг С*_1)^ ... ^(ранг С1)=с(ранг А].
Доказательство теоремы. Допустим, что от
матрицы А к матрице В перешли конечным числом эле-
ментарных преобразований. Ввиду леммы (ранг В)^'
^(ранг А). Но если элементарные преобразования
позволяют перейти от А к В, то согласно теореме 2.4 от
В к А также можно перейти конечным числом элемен-
тарных преобразований. Еще раз применяя лемму, по-
лучаем, что (ранг А(ранг В). Нужное равенство
сразу следует из полученных неравенств.
Теоремы 2.6, 4.6 и 4.5 дают практический способ вы-
числения ранга матрицы: следует привести матрицу к
ступенчатому виду и сосчитать число ненулевых строк
получившейся ступенчатой матрицы. В частности, вы-
числения, проведенные в конце § 2, показывают, что
ранг
IIО О — 1
ранг 01 2
II0 1 1
11	114
11	2	0 4
11 0 2 4
11—13 4
1 ’II
—1 0 =ранг
о о||
= 2,
II1	1	1	3 II
В1	2	3	6 =3,
h	4	9	14||
Упражнения
1. Найти ранг матриц, указанных в упр. 7 из § 2,
2. Найти ранг следующих матриц:
а)	18 7	4	8			
	10 1	0	4			
	17 3	1	7	♦		
	40 17	10	18			
б)	1 -	1	2	1	-1	- 1
	— 1	2	-7	-5	6	0
	8 —	4	3	— 1	-2	-5
	1	0	— 2	— 2	2	— 1
	3 -	1	— 1	— 2	1	— 2
в)	1	1		2	1	2
	0	0	<	1	- 1	1
	0	2	с	0	1	1
	2 -	1	— 1	0	0	0
	- 1	1	с	-1	0	1
	1	0		1	2	- 1
34
г)
1 10 0 о
0 110 0
0 0 110
0 0 0 1 1
1 0 0 0 1
д)
01 + 61
а2 4* 61
Ot + Ьг >.. Oi + 6ге
аг 4" 6j ... аг 4* 6rt
ап 4* 6i ап 4- bi ... an-}-bn
3.	Если А и В — матрицы с одинаковым числом столбцов, то
^раиг
(ранг А) 4- (ранг В).
4.	Если А и В — матрицы с одинаковым числом строк, то
ранг
||А |В || )<(ранг Л) 4- (ранг В).
5.	Если А и В — матрицы одинакового размера, то
ранг
Оц 4- 6ц
а21 4- 621
O-ml 4- bmi
а12 4" 612 • • • «1Л 4- 61л
«22 4* 6 22 • • • °2Л 4- 62л]
атг 4- bmi • • • ат 4" Ъ тп
С(ранг А) 4- (ранг В).
Указание: воспользоваться упр. 3.
6. Пусть А — невырожденная матрица размера п X п, В — мат-
рица размера р X <7, С— матрица размера п X <7 и О — нулевая
матрица размера р\ п. Доказать:
IIА С ||
а)	ранг 0 в =я 4- 1ранг В).
б)	если kD обозначает матрицу, полученную из матрицы D
умножением всех ее элементов на число k, и р = п, то
ранг|2А 5?| = «+(рангВ).
7.	Ранг матрицы не меняется при приписывании к ней строки,
являющейся линейной комбинацией строк этой матрицы.
8.	Доказать, что, применяя элементарные преобразования строк
и столбцов всех трех типов, любую матрицу ранга г можно превра-
тить в такую матрицу D, что = ... = d„ = 1, а на всех осталь-
ных местах стоят нули.
9.	Доказать, что если А — квадратная матрица порядка п, при-
чем ее ранг равен п, то, совершая элементарные преобразования
35
второго типа со строками и столбцами, можно привести матрицу А
К виду
1 0 ... О О
01 ... О О
О 0 ... 1 О
О 0 ... О d
10.	Если некоторый столбец квадратной матрицы А является
линейной комбинацией остальных, то Л — вырожденная матрица.
Указание: воспользоваться теоремой 4.1.
§ 5. ТЕОРЕМА О ГЛАВНЫХ НЕИЗВЕСТНЫХ
Система линейных уравнений называется совместной,
если она имеет решение. В частности, однородная си-
стема линейных уравнений всегда совместна.
Теорема 5.1 (теорема Кронекера — Капелли). Сн-
стема линейных уравнений совместна тогда и только
тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу ее рас-
ширенной матрицы.
Доказательство. Поскольку согласно теоремам
2.6 и 3.2 от каждой системы линейных уравнений можно
перейти к эквивалентной ей ступенчатой системе, а
ранги матрицы системы и ее расширенной матрицы
в силу теоремы 4.6 при этом меняться не будут, доста-
точно установить справедливость теоремы для ступенча-
той системы. Для ступенчатой же системы в силу тео-
ремы 4.5 ранги матрицы системы и ее расширенной
матрицы равны тогда и только тогда, когда эти матрицы
имеют одинаковое число ненулевых строк, или, что то же
самое, тогда и только тогда, когда первый ненулевой эле-
мент последней ненулевой строки расширенной матрицы
не располагается в Столбце свободных членов. Из ана-
лиза ступенчатой системы, проведенного в § 3, известно,
что это имеет место тогда и только тогда, когда система
совместна.
Когда в § 3 мы говорили о главных и свободных не-
известных, то эти понятия зависели от способа приве-
дения расширенной матрицы системы к ступенчатому
виду. Для решения задач, обсуждавшихся в конце § 3,
необходимо иметь определение, зависящее лишь от дан-
ной системы линейных уравнений. С этой целью, если
дана система линейных уравнений относительно неиз-
вестных xi, , хп, условимся говорить, что неизвестные
Xit, ..., xik можно объявить главными, если при любом
36
задании остальных неизвестных значения этих неиз-
вестных определяются однозначно. Про эти остальные
неизвестные будем говорить, что их можно объявить сво-
бодными. Подчеркнем, что в последних двух фразах
определяются термины «можно объявить свободными»,
«можно объявить главными», а не понятия «главное не-
известное», «свободное неизвестное». Неизвестные ста-
новятся главными или свободными лишь после того как
мы, реализуя имеющуюся возможность, объявим их та-
ковыми. Ясно, что главные и свободные неизвестные в
смысле, определенном в § 3, можно объявить такими и
в смысле нашего нового определения.
Центральным результатом нашей теории является
Теорема 5.2 (теорема о главных неизвестных).
Пусть имеется совместная система m линейных уравне-
ний с п неизвестными, А— расширенная матрица этой
системы и (ранг А) = г. Тогда неизвестные хц, ..., x,k
можно объявить главными в том и только в том случае,
когда k = rue столбцах матрицы А с номерами й,... ,ik
располагается невырожденная подматрица порядка г.
Доказательство. Допустим, что k — r и что в
столбцах с указанными номерами располагается невы-
рожденная подматрица порядка г. Тогда ранг матрицы
“и, ан2 ••• анг
a2it а21г •“ a2ir
а , а . .<» а .
гп1[ mt2 пиГ
размера tn/j равен г. Приведя эту матрицу к ступенча-
тому виду, в силу теорем 4.5 и 4.6 получим матрицу
ьщ ьи2 ••• bur
0 b2i2	b2ir
o'  о ’	' br'ir ,
0	0	...	0
0	0	...	0
где ftiij, &2«2> •••> brir=^=0. Применив те же самые эле-
ментарные преобразования к матрице А, получим ма-
37
трицу
...	bUf	...	Ъц2	...	btlf
• • •	°	• • •	62i'2	• • •	b2ir
C1
C2
...	0	...	0	...	brlr	...	CT
...	0	...	0	...	0	...	t>+i
...	0	...	0	...	0	...	Cm
Подчеркнем, что эта запись не означает, что все строки
матрицы В, начиная с (г 4* 1 )-й, нулевые: в столбцах с
номерами, отличными от Ц, i2....ir, могут встретиться
ненулевые элементы, стоящие в этих строках. Однако на
самом деле все строки матрицы В начиная с (г 4- 1)-й
нулевые. Действительно, допустим, что это не так, т. е.
Ьра = 0 для некоторых р и q, где г 4- 1 р т. Ко-
нечно, q ¥= i\, ir. Однако может случиться, что q =
= п4- 1, т. е. Ьрд = ср. Пусть М — подматрица матрицы
В порядка г 4-1, расположенная в строках с номерами
1,2.....г, р и в столбцах с номерами ц, ..., ir, q. Воз-
можны следующие три случая: 1) q < if, 2) is < q < is+i
для некоторого s; 3) ir<_q. Переставляя, если нужно,
строки матрицы М, приходим к матрице М', равной
b „	0	0		0
РЧ				
bi4	Ь^1		• • •	4
b2q	0	b2i2		b2ir
	brq 0	0	brir	
	b\4	b,, l’s+1	••• bu
0	••• bs‘s	bsq	bsi sis+i	• • •	b sir
0	...	0	ЬРЧ	0	0
0	...	0	bs+lq	^+1гз+1	•• bs+lir
О ... О Ьгд 0	... ьнг
blil ьщ ••• Ьиг blq
0 b2i2 • • • b2iT b2q
или
°	0	••• brlf brq
0	0	...	0 bpq
Я9
соответственно. Поскольку bnt, Ьц2, brir, bpq=£Qt
в третьем случае матрица М' сразу оказывается ступен-
чатой. В первых же двух случаях ее можно превратить
в ступенчатую с помощью элементарных преобразований
второго типа, обратив в нуль элементы Ьщ, Ь^, ..., Ьг9и
bs+i9, .... ЬгЧ соответственно (см. теорему 2.3). В силу
теорем 4.5 и 4.6
(ранг 7И) = (ранг М') = г }-1.
Следовательно, М — невырожденная матрица, и, прини-
мая во внимание определение ранга матрицы и тео-
рему 4.6, получаем
(ранг А) = (ранг B)^r + 1,
что противоречит условию. Таким образом, отбросив у
матрицы В нулевые строки, придем к системе линейных
уравнений, содержащей г уравнений. Придавая неиз-
вестным, отличным от Xzp ..., Xir, произвольные зна-
чения и перенося их в правую часть, легко убедиться,
что неизвестные xt), .... однозначно определяются
одно за другим, начиная с последнего. Таким образом,
их можно объявить главными. В силу теорем 1.1 и 3.2
то же самое верно и для исходной системы линейных
уравнений.
Допустим теперь, что неизвестные х^, ..., Xik можно
объявить главными. Положив остальные неизвестные
равными нулю, придем к системе
ащх^ + ...	=
.................................. (5.1)
a-mi^Xi' 4- . . . + amikXik — Ьщ,
имеющей единственное решение. Пусть С — расширен-
ная матрица системы (5.1), а В — ступенчатая матрица,
к которой согласно теореме 2.6 приводится матрица С.
В силу теоремы 3.2 соответствующая система линейных
уравнений имеет единственное решение. Как показывает
анализ ступенчатой системы, проведенный в § 3, отсюда
вытекает, что матрица В содержит k ненулевых строк,
причем их лидеры располагаются в первом, втором,
третьем и т. д. столбцах. Другими словами,
Ь11 Ь12
blk
b2k
0	Ь22
С1
С2
I 0	0	••• bkk Ck
39
В силу теорем 4.5 и 4.6
й = ранг В = ранг Странг А = г.
Допустим, что k <_ г. Применим к матрице А элементар-
ные преобразования, с помощью которых был осуще-
ствлен переход от С к В. Тогда матрица А превращается
в матрицу
... blt	...	&12	...	blk	...	Cj
0	• • •	^22’	• • •	b2k	• • •	С2
О	...	О	...	Ь..	...	ск
kk	К
О	...	О	...	О	...	Ck+1
О ... О ... О ... Cfn
причем столбцы этой матрицы, занимаемые столбцами
матрицы В, имеют номера й, ..., ik, п-\- 1. В силу тео-
ремы 4.6 (ранг В)= г, а по теореме 3.2 система линей-
ных уравнений с расширенной матрицей В совместна, и
неизвестные ..., можно объявить главными. Из
теоремы 5.1 вытекает, что такой же ранг имеет и ма-
трица D, полученная из В отбрасыванием последнего
столбца. Поскольку k < г, среди строк матрицы D с но-
мерами, большими k, имеются ненулевые, ибо в против-
ном случае она не могла бы содержать невырожденных
подматриц порядка г. Однако ненулевой элемент такой
строки не может^асполагаться в столбце, занятом столб-
цами матрицы В. Таким образом, матрица D содержит
элементы dpq =?= 0, где р > k и q й, ..., й, п + 1. Если
теперь положить равными нулю все неизвестные с номе-
рами, отличными от й, .. •, ik, q, то получим xq — cp/dpq.
Поэтому xq не может быть взят произвольным, что про-
тиворечит ВОЗМОЖНОСТИ объявить Xie .... Xik главными
неизвестными. Следовательно, k = г, чем и завершается
доказательство.
Из только что доказанной теоремы вытекает, что в
системе (1.6) главными можно объявлять или Xi и Хз,
или Хз и Хз, или Хз и Х4, а остальные пары нельзя.
Остановимся еще на одном способе описания реше-
ний однородной системы линейных уравнений. Из тео-
ремы 3.5 вытекает, что множество всех решений данной
однородной системы линейных уравнений от п неизвест-
ных вместе с любым семейством n-мерных строк содер-
жит и их линейную комбинацию. Поэтому естественно
40
желание найти такое семейство решений (по возмож-
ности, самое маленькое), чтобы все остальные решения
были линейными комбинациями этого семейства. Одно
из таких семейств указывает следующая теорема:
Теорема 5.3. Пусть неизвестные Xie Xi2, ..., xin_r
однородной системы линейных уравнений от п неизвест-
ных с матрицей А ранга г можно объявить свободными.
Для каждого k, где 1 k п. — г, обозначим через ilk
то единственное решение системы, которое получается,
если неизвестному Xik придать значение 1, а остальным
свободным неизвестным — значение 0. Тогда всякое ре-
шение рассматриваемой системы является линейной
комбинацией семейства щ, йч, ..., йп-г-
Доказательство. Пусть
v = (vi, ..., vn)
— произвольное решение рассматриваемой системы. Рас-
смотрим строку
w = Vifii + Vi2U2 + . . . + Vin_Un-r.
Согласно теореме 3.5 w— также решение этой системы.
Нетрудно подсчитать, что п-я, гг-я, ..., in-r-x коорди-
наты строки w равны V/2, vin_r соответственно.
Другими словами, значения неизвестных х(1, х;2, . ..
..., xin_r у решений v и w одни и те же. Но из опреде-
ления возможности объявить неизвестные свободными
вытекает, что задание значений перечисленных неизвест-
ных однозначно определяет значения остальных неиз-
вестных. Следовательно, и оставшиеся координаты строк
v и w должны совпадать, т. е.
V = W — Vifil + Vi2U2 + . . . + Vin_Un-r,
что и требовалось.
Невозможность уменьшения числа решений, входя-
щих в найденное выше семейство, вытекает из такого
результата:
Теорема 5.4. Если всякое решение однородной си-
стемы линейных уравнений от п неизвестных с матрицей
А ранга г является линейной комбинацией решений
V1, .vs, то s п — г.
Доказательство. Пусть s < п — г. Положим
V» = («<!••••> ам) (*=1,2....s)
41
и, принимая во внимание теорему 5.2, обозначим через
й/ = (₽д, .... Р/«)	(/= 1, 2, .... п — г)
решения, рассмотренные в теореме 5.3. По условию
ut = aljvl+ ... +asj-6s (/= 1, 2, ..., га — г)
для подходящих действительных чисел а,/. Рассмотрим
однородную систему линейных уравнений
aUxl + й.12х2 + • • • + al n—rxn—r =
«21X1 + О22х2 + • • • + ^2 п—гхп—г — 0>
“1“ Cls2^2 + • • • “1” ^з n—rxn—r
По предположению число уравнений этой системы мень-
ше числа неизвестных, и в силу теоремы 3.3 она обла-
дает ненулевым решением, скажем, (gi, ..., gn-r). За-
метив, что числа gt, ..., gn-r являются й-й, 12-й, ...
..., 1л-г-й координатами строки
4“ £2^2 4“ • • • 4“	г^п—п
и принимая во внимание теоремы 2.1 и 2.2, получим
б =0= w = gj (anPi +	+ ... + aslvs) +
4” ?2 (а12®1 4” а22^2 4” • • • 4” as2^s) 4”
+ ?п-г (а1 п-А + ^2 п-г&2 + • • • + as n-r^s) =
— (^11 + ?2а12 + • • • + ?n-A n-r)	4"
+ (£1^21 4” ^2^22 + • • • + ^И-Г^г n-r) ®2 +
+ (^l«sl + ^>2as2 + • • • + ^n-r^s n-r) —
= OOj + °V2 + • • • + 06s = 6.
Полученное противоречие завершает доказательство
теоремы.
Итак, теорема 5.3 показывает, что все решения одно-
родной системы линейных уравнений можно получить,
рассматривая всевозможные линейные комбинации неко-
торой конечной системы решений.
Чтобы получить столь же прозрачное описание мно-
жества всех решений неоднородной системы линейных
уравнений, обратим внимание на следующие факты:
42
Теорема 5.5. а J Если й — решение системы линей»
ных уравнений с матрицей A,av — решение однородной
системы линейных уравнений с той же матрицей А, то
и + v является решением первой из этих систем.
б) Если йо — некоторое решение системы линейных
уравнений с матрицей А, то всякое решение й этой си-
стемы представляется в виде суммы йо + v, где v — не*
которое решение однородной системы линейных уравне*
ний с той же матрицей А.
Доказательство. Пусть bi — свободный член
i-ro уравнения рассматриваемой системы.
а)	Если й = (а1, ..., сс„) и v ==(₽i, .... то, под-
ставляя координаты строки й + v в i-e уравнение рас-
сматриваемой системы, получим
au (ai + Pi) + • • • + ain (ап + Р„) —
= (яг’1а1 + • • • + агпап) + (аП Р 1 + • • • + Я>п₽п) =
=	+ 0 = bi,
что и требовалось.
б)	Если По = (Y1, .... Уп) и й = (аь ..., ап), то
а{1 («1 — Vi) + • • • + ain (а„ — у„) =
= (аНа1 + • • • + ainan) ~ (ailVl + • • • + ^ZnVn) —
= bi-bi = O.
Следовательно, строка v — й— й0 является решением
однородной системы с матрицей А, а значит, равенство
Й = Йо “1“ (й — йо) == йо -]- v
дает искомое представление.
Из теоремы 5.5 вытекает, что для описания множе-
ства всех решений произвольной системы линейных урав-
нений с матрицей А следует найти какое-нибудь решение
этой системы и прибавлять к нему произвольные линей-
ные комбинации описанной в теореме 5.3 системы реше-
ний однородной системы с той же матрицей А. В каче-
стве примера рассмотрим систему
— 4,
Xi “J- %2 — %3 + %4 ===
Ясно, что строка (1, 1, 1, 1)—решение этой системы.
Поэтому любое решение имеет вид
(1, 1, 1, 1)+а(1, О, О, ~1) + ₽(0, 1, О, -1)
43
или, что то же самое,
(1 +а, 1 +р, 1, 1 — а — 0),
где а и р — произвольные действительные числа.
Упражнения
1.	Какие неизвестные в системах линейных уравнений из упр. 1
и 2 в § 3 можно объявить главными?
2.	Доказать, что совместная система линейных уравнений от
/; неизвестных имеет единственное решение тогда и только тогда,
когда ранг матрицы этой системы равен п.
3.	Если система п линейных уравнений с п — 1 неизвестными
совместна, то расширенная матрица этой системы — вырожденная.
4.	Найти описанную в теореме 5.3 систему решений для систем
линейных уравнений из упр. 1 з) —л) в § 3.
5.	Найти описанную в теореме 5.3 систему решений для систе-
мы линейных уравнений, решающей упр. 1 е) из § 1.
6.	Описать решения систем линейных уравнений из упр. 1
а)—д) в § 3 способом, указанным в конце настоящего параграфа.
7.	То же, что и в упр. 7, для систем линейных уравнений, даю-
щих решение упр. 1 а), б) ид) в § 1.
8.	Пусть Si, ..., йг — решения некоторой неоднородной системы
линейных уравнений. Доказать, что строка Zi«j + ... + Тгй, явля-
ется решением той же системы тогда и только тогда, когда Xi + ...
... +Хг = 1.
§ 6. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ РЕШЕНИЙ
Как уже говорилось, теорема 5.3 показывает, что все
решения однородной системы линейных уравнений мож-
но получить, составляя линейные комбинации некоторого
конечного множества решений. Естественно спросить:
как узнать, можно ли из данной системы решений полу-
чить таким образом все решения? Получить ответ на
этот вопрос — цель настоящего параграфа.
Рангом системы {щ, .... йт} строк длины п назо-
вем ранг (т X п)-матрицы, составленной из строк этой
системы. Например, ранг системы строк
{(1, 1, 1, 1, 4), (1, 1, 2, 0, 4), (1, 1, 0, 2, 4), (1, 1, -.1, 3, 4)}
равен рангу матрицы
11	114
11	2 0 4
11	0 2 4
11-134
т. е., как отмечено на с. 34, двум.
44
Установим несколько вспомогательных фактов. На-
помним, что строка v является, по определению, линей-
ной комбинацией строк йь ..., йт, если й = Км + ...
.., + Ъпйт для некоторых действительных чисел ...
..., Хт. В этом случае говорят также, что строка v ли-
нейно выражается через строки й1, ..., йт. Например,
строка w = (3, 1,2, 2) линейно выражается через строки
й = (1, 2, 1, 2) и v =( —1, 3, 0, 2), поскольку w = 2u -f-
+ ( —1)6.	_
Теорема 6.1. Если строка w линейно выражается
через строки й\, ..., us, а каждая из строк ш линейно
выражается через строки щ, ..., vt, то строка w линей-
но выражается через строки щ, vt.
Доказательство. По условию имеем
w — XjUi + ... + Xsus
и
й/ = И/А + ••• 4-И/Л
для подходящих действительных чисел ..., Xs, р,п, ..
..., рл. Отсюда, принимая во внимание теоремы 2.1 и
2.2, получаем
гй = Х1(р11й1 +р1262 + ... +Р1А) +
+ А,2(р21Й! + р2252 + ... + р2А) +
+ МИзА + Mb + ••• + НзА) =
= (^1Н11 + ^2^21 + ••• + ^sHsl)^l +
+ (Л 1И12 + ^2^22 + • • • + '‘“зНзг) +
+ (^iHlf + ^-2P2f + ••• + ^sHsf)Pf>
что и требовалось.
Теорема 6.2. Пусть
“11 ••• “in
де. _ “si ” * “sn
~ “11 ••• “in
“fl ••• “f„
Тогда (ранг И) (ранг W}. Если же строки матрицы
V линейно выражаются через строки матрицы U, то
(ранг W7) = (ранг U).
45
Доказательство. Для доказательства первого
утверждения достаточно заметить, что всякая невырож-
денная подматрица матрицы U является невырожденной
подматрицей матрицы W. Следовательно, наивысший по-
рядок таких подматриц у матрицы U не может быть
выше, чем у матрицы W. В силу определения ранга мат-
рицы это и означает, что (ранг 1/)=С(ранг №). Переходя
к доказательству второго утверждения, положим щ =
= (Wii....uin\ и Vj=(vjlt .... vjn). По условию
V/ =	+ ... + kjSUs
для подходящих действительных чисел Ад, A/s. Вы-
читая из (s-|- 1)-й строки матрицы W ее первые s строк,
умноженные на Ац, Ачг, ..., Au соответственно, превра-
тим ее в нулевую. Аналогично поступая с последующими
строками матрицы W, придем к матрице
Иц ••• Uln
Usi ... Usn
О ... О
О ... О
По теореме 4.6 (ранг Т) '= (ранг F). Приведя матрицу U
к ступенчатому виду S, что возможно в силу теоремы 2.6,
заметим, что те же самые элементарные преобразования
превращают матрицу Т в ступенчатую матрицу
где О — нулевая (^Х я)-матрица. В силу теорем 4.5 и 4.6
(ранг 17) = (ранг Т)~ ранг |$ | = (ранг S) = (ранг U).
Теорема 6.3. Если от матрицы U к матрице V мож-
но перейти конечным числом элементарных преобразо-
ваний строк, то каждая из строк матрицы V линейно вы-
ражается через строки матрицы U.
Доказательство. В случае применения одного
элементарного преобразования справедливость теоремы
вытекает из определения. В общем случае мы имеем по-
следовательность матриц U, 17ь 172, ..., Wk, V, где от
левой матрицы к правой можно перейти, используя одно
элементарное преобразование. Следовательно, как уже
отмечено, каждая строка правой матрицы линейно вы-
ражается через строки левой. Остается лишь несколько
раз применить теорему 6.1.
4в
Теорема 6.4. Если каждая строка системы Q ли-
нейно выражается через строки системы S, то (ранг
^(ранг 3).
Доказательство. Если U и V — матрицы, состав-
ленные из строк систем Ний соответственно, то, исполь-
зуя теорему 6.2, получим
(ранг Q) = (ранг 7) < (ранг | у I) = (ранг U) = (ранг 3).
Теорема 6.5. Если 3 = {йь йт} — система
строк длины п и (ранг 3) < гп, то хотя бы одна из строк
системы 3 линейно выражается через остальные.
Доказательство. Пусть Гл — (иц, ..., uin) uU —
матрица, составленная из строк системы 3. По условию
(ранг U) = г < т. Пусть Г, ..., ir — номера строк, в
которых располагается невырожденная подматрица мат-
рицы U порядка г, и V — (г X»)-матрица, составленная
из этих строк. Воспользовавшись теоремой 2.6, приведем
матрицу V к ступенчатому виду S. Применив те же са-
мые элементарные преобразования к матрице U и пере-
местив строки, в которых располагалась матрица V, па
первые г мест, получим матрицу Н7'=|$,|, где Т' —
— ((т — г)Xп)-матрица, составленная из строк матри-
цы U, не вошедших в матрицу V. В силу теорем 4.5 и 4.6
все строки ступенчатой матрицы S отличны от нулевой.
Допустим, что лидеры ее строк расположены в столбцах
с номерами ji, ..., jr, т. е.
sl/l	••• sl/2	• •	ч ••
0	••• S2/2	• •	Ч
W' =	... 0	... 0	• •• ч
	•••	••• 4	• •• ч
••• ^п-гЦ ••• *п-г12 ••• tn-rir •••
причем si/p S2/2, ..., Srir 0. Воспользовавшись несколь-
ко раз теоремой 2.3, можно от матрицы W' перейти с по-
мощью элементарных преобразований к матрице W=*
= |у|, где все элементы матрицы Т, располагающиеся
в столбцах с номерами /и ..., jr, равны нулю. Убедимся,
47
что все строки матрицы Т — нулевые. Действительно, до-
пустим, что tPq 0 для некоторых р и q. Конечно, q
=/= /1, ..., ]r. Рассмотрим подматрицу М матрицы W, рас-
положенную в строках с номерами 1,2, ..., г, р и в
столбцах с номерами ji, ..., jr, q. Возможны следую-
щие три случая: \/q<Zji‘, 2/jn<Z q < jn+i для некото-
рого h; 3/jr < q. Переставляя, если необходимо, строки
матрицы М, приходим к матрице М', равной
/О 0	... О
р<?
si<?	si/j	si/2	•••	snr
S2q	0	S2/2	• • •	S2jr	>
Srq	0	0	•••	Srjr
X	S'.q	51/Л + 1	•••	SUr
0	Shjn	Shq	Shjh + l		Shjr
0	...	0	tpq	0	...	0
0	•••° Sh+\q Sh+Uh + i  Sh+\jr
0	...	0	srq	0	...	srjr
или
sl/l	sl/2	4	sl<7
0	s2/2	•• •	S2ir	s2q
0	0	...	srir	srq
0	0	...	0	tpq
соответственно. Поскольку si/1, s^2...sr/r, tpq =£ 0, to
в третьем случае матрица М' сразу оказывается ступен-
чатой. В первых же двух случаях ее можно превратить
в ступенчатую с помощью элементарных преобразований
второго типа, обратив в нуль элементы s\q, s^q, , srq и
sh+i q, ..., Srq соответственно (см. теорему 2.3). В силу
теорем 4.5, 4.6 и 6.2 получаем
г + 1 = (ранг М') — (ранг М) < (ранг W) —
= (ранг 1^/) = (ранг U) ~г.
Возникающее противоречие показывает, что 1F = |q|,
где О — нулевая ((/и — г)Х«)-матрица. В силу тео-
48
рем 2.4 и 6.3 строки матрицы S линейно выражаются че-
рез строки матрицы V, а строки матрицы U — через
строки матрицы W или, что то же самое, через строки
матрицы S. Отсюда, воспользовавшись теоремой 6.1, за-
ключаем, что строки матрицы U, не входящие в матри-
цу V, линейно выражаются через строки матрицы V, чем
и завершается доказательство.
Семейство F решений однородной системы линейных
уравнений называется фундаментальной системой реше-
ний, если всякое решение этой системы является линей-
ной комбинацией решений из системы F, но при выбра-
сывании из F хотя бы одной строки оставшееся семей-
ство уже не обладает этим свойством. В силу теоремы 5.4
семейство решений, рассмотренное в теореме 5.3, являет-
ся фундаментальной системой решений. Существуют и
другие фундаментальные системы решений.
В качестве примера рассмотрим систему
Xi Хг -|- Хз “Ь %4 = О,
Xi -f- Xi — х3 -f- Х4 = 0.
Согласно теореме 5.2 можно объявить свободными не-
известные Xj и х4. Поэтому из теоремы 5.3 вытекает, что
решения (1, —1, 0, 0) и (0, —1, 0, 1) образуют фунда-
ментальную систему решений. Фундаментальной систе-
мой решений является и семейство {(1, 0, 0, —1),
(0, 1, 0, —1)}. Оно возникает, если свободными объявить
неизвестные Xi и Х2. Исходя из первой фундаментальной
системы, получаем, что совокупность всех решений си-
стемы (5.2) состоит из строк вида
(а, -(а + Р), 0, Р),
где аир — произвольные действительные числа. Вторая
фундаментальная система дает нам совокупность строк
вида
(а, р, 0, — (а + Р)).
Нетрудно сообразить, что, как и следовало ожидать, мы
получаем одно и то же множество.
Теорема 6.6. Каждая фундаментальная система
решений системы линейных однородных уравнений от п
неизвестных с матрицей системы, имеющей ранг г, со-
держит п — г решений, и ее ранг равен п — г.
Доказательство. Согласно теореме 5.2 какие-то
п — г неизвестных нашей системы линейных уравнений
49
можно объявить свободными, и, следовательно, суще*
ствует система решений В = {йь ..., йп-г}, описанная в
теореме 5.3. Пусть U — ((п — г) X и)-матрица, составлен*
ная из этих решений. Столбцы матрицы U с номерами
<i, ..., in-r образуют подматрицу Е, являющуюся еди-
ничной матрицей порядка п — г. В силу теорем 4.5 и 6.2
п — г ~ (ранг Е)^ (ранг U)^n — г,
откуда
(ранг S) = (ранг U\= п — г.
Пусть теперь F — произвольная фундаментальная систе-
ма решений рассматриваемой системы линейных уравне-
ний и 5 — число решений, входящих в F. По теореме 5.4
$ п — г. Если s > п —- г, то в силу теорем 6.1 и 6.5 все
решения нашей системы линейно выражаются через часть
решений системы F, что противоречит ее фундаменталь-
ности. Наконец, дважды применив теорему 6.4, получим
(ранг В) (ранг Е)^(ранг S)’,
откуда в силу доказанного выше
(ранг Е) = (ранг Е) = п — г.
Поставленную в начале параграфа задачу решает
следующее утверждение.
Теорема 6.7. Если F — система решений однород-
ной системы линейных уравнений от п неизвестных с мат*
рицей ранга г, содержащая п — г решений, и ранг систе-
мы F равен п — г, то F — фундаментальная система ре-
шений.
Доказательство. Допустим, что существует ре-
шение v, не являющееся линейной комбинацией решений
из F. Рассмотрим систему решений F, полученную при-
соединением к F решения v. Поскольку из теорем 5.3
и 6.6 вытекает, что рассматриваемая система линейных
уравнений обладает фундаментальной системой решений
ранга п — г, то в силу теорем 6.2 и 6.4 (ранг F) = п — г.
Но тогда из теоремы 6.5 и выбора решения v следует
существование такого решения й е F, что
й = XiU] • • • 4" ^sUs 4"
где й =# Si, ..., Us^F. Если р = 0, то в силу теоре-
мы 6.4 (ранг F\ < п — г вопреки условию. Если ЖО
60
р, 0, то, принимая во внимание теоремы 2.1 и 2.2, по-
лучам
v = ц-'й — p,_,2iiiZi — .,. — p_1Xsizs,
что противоречит выбору решения v. Таким образом, лю-
бое решение рассматриваемой системы линейных урав-
нений линейно выражается через F. Если того же самого
можно достичь, используя часть системы F, то, учиты-
вая теоремы 6.1 и 6.4, приходим к невозможному соот-
ношению
п — г = (ранг F) < п — г,
.что и доказывает фундаментальность системы F.
В качестве примера применения теоремы 6.7 рассмот-
рим систему линейных уравнений
Xi + х2 + Хз + х4 + 4х5 = О,
*1 + х2 + 2х3	+ 4х5 = О,
•^1 + ^2	+2х4 + 4х5 = 0,
х> + х2 — х3 + Зх4 + 4х5 = 0.
Ранг матрицы этой системы равен двум (см. с. 34). Ре-
шения (1, 1, 1,1, —1), (0, 2, 1, 1, -1), (0, 0, 2, 2, -1)
образует фундаментальную систему решений, поскольку
II1 1
ранг ° 2
||0 0
-1
-1
-1
= 3.
1 1
1 1
2 2
Упражнения
1. Найти фундаментальную систему решений системы линейных
уравнений
Xi 4" Ха 4" хз 4- х4 4~ хд = 0,
3xi 4- 2хг 4- Хз 4- х4 — Зхд = 0,
х2 4- 2Хз 4- 2х4 4- бхд = 0,
5xi 4- 4x2 4- Зхз 4- Зх4 *— хд = 0.
2. Будут ли фундаментальными следующие системы решений
системы линейных уравнений из упр. 1: а) {(3, —2, —1, —1, 1),
(2, 0, —2, —1, 1)}; б) {(3, —2, —1, —1, 1), (1, —2, 1, 0, 0), (2, 0,
—2, —1, 1)}; в) {(1, —2, 1, 0, 0), (0, 0, —1, 1, 0), (4, 0, 0, —6,2)};
Г) {(1, —2, 1, 0, 0), (1, —2, 0, 1, 0), (0, 0, 1, —1, 0), (1, —2, 3,
-2, 0)}?
61
3,	Найти фундаментальную систему решений системы линейных
уравнений:
Л1&1Ж1 + ... -f-Xnbixn -f-aixn+i = 0,
4" ••• 4* ^»П^2ХП 4* ^2-^n+l
AabniXi 4" ••• 4" hnfimxn 4" amxn+l — 0.
( II a b II \ п
Указание: предварительно доказать, что I ранг I 1—2
тогда и только тогда, когда ad — be Ф 0.
4.	Найти систему однородных линейных уравнений, для кото-
рой фундаментальную систему решений образуют строки: а) (1, 2,
—1, 0, 1) и (1, 3, 1, 1, 2); б) (2, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0) и (—1, 0,
0, 1); в) (1, 2, 3, —1).
5.	Пусть А* — матрица, строками которой служат столбцы мат-
рицы А. Доказать:
а)	если А — вырожденная матрица, то матрица А* — также вы-
рожденная. Указание: воспользоваться теоремой 6.4 и упр. 10
в § 4;
б)	(ранг Д) = (ранг Л*). Указание: использовать а).
6.	Доказать, что ранг матрицы не меняется прн элементарных
преобразованиях столбцов I и II типов. Используется ли ранг мат-
рицы при элементарных преобразованиях III типа?
ОТВЕТЫ
§ 1
1. а)
б)
в)
Д)
е)
Xi + х2 4- хз + Kt = 40,
Xi 4" х2 4* Хз — Х4 = 20:
xj 4- Хг 4- Хз 4- х$ = 20,
5x1 4- 10x2 4- 15хз 4- 20x4 200:
Х1 4- Х2 4- Хз = 1, г) X] + х2 = 1,
Xj 4* хз 4* Х4	=	1,	Xi + хз =	1,
xj 4- Хз 4- Х4	==	1,	Xj 4- Х4 =	1,
Х2 4" Хз 4" Х4	=	1:	Х2 4"	Хз=	1,
Хг 4" Х4 = 1,
Хз 4- Xi= 1;
20х] 4- 12х2 4- Юх4 = 120,
20xi 4- 1бхз 4- 10x4=== 120,
12X2 4- 15хз4- 10X4= 120;
Xj 4- Хз 0,
х2 4- хз = О,
Хц-1 + хга= О,
Xi 4- хга = 0.
§ 2
1. Например, а = (О, 1, 2, 0), 5 = (0, —1, —1, 2). 2. (О, —3, 3,
2, 2). б. X .=: (О, 1, 2, —2), у = (20/3, —25/3, 10/3, —5/3). 6. а) (1,
4, —7, 7).
7, а) I	1 0	1 1		1 — 2		40II — 20|г	61 и		1 5	1 10	1 15	2° II. 1001|’
		0	0									
в)	1	1	1	0	1		г)	1		1	0	0 1
	0	1	1	1	1			0	—	1	1	0 0
	0	0	1	2	1	»		0		0	- 1	1 0
	0	0	0	3	1			0		0	0	2 1
								0		0	0	0 0
								0		0	0	0 0
53
д) 1120	12	0	10	120
О	-12	15	О	О
II О	0	30	10	120
1	1	0	0	...	О	О	О
О	1	1	0	...	О	О	О
О	0	1	1	...	О	О	О
е) при четном п .......................
О	0	0	0	...	1	10
О	0	0	0	...	О	1 1
О	0	0	0	...	О	О О
1	1	0	0	...	О	О	О
О	1	1	0	...	О	О	О
О	0	1	1	...	О	О	О
при нечетном п
О	0	0	0	...	1	1	О
О	0	0	0	...	О	1	1
О	О	О	0	...	О	0	2
Замечание. Ответы в упр. 7а)—е) могут быть другими.
Однако лидеры должны располагаться в тех же самых столбцах
(см. упр. 13). 9. Например, Н *|.
1. a) xi =-£ (8 — Хз — 9х4), х2 = — у (5х3 + х4); б) xi =
2	1	п
= уХг—д-,	хз=х4 = 0; в) система несовместна; г) Xi =
= —(1 — Зх2 — Хз), х4 = 1; Д) х, = — -jg- (7 — 18X2 + х4), хз —
= —(1—5х4); е) xi = х2 = хз = х4 = 0; ж) xt = х2 = х3 = х4 =
= х5 = Хе = 0; з) xi = х4 — хз, х2 — Хз — Хе, х3 = х4; и) xi =
= х4 = 0, х2 = у(х3 — 2х3); к) xi = —Зхз—5х5, х2=2х3 +
+ Зх5, х4 = 0; л) если п = 8k или п = 3k 4- 1, то только нулевое
решение, если же п = 3k + 2, то
б 0, если i = Зт,
х{ = < — хп, если i = Зт + 1,
I Хп, если I = Зт + 2.
Замечание. Ответы к упр. 1 а), б), г), д), з), и), к) и л)
при п = 3k + 2 допускают и другую запись.
2. а) Одна из сторон равна 10 см, а сумма остальных — 30 м.
Например, 8 м, 15 м, 7 м и 10 м, б) Если xi —число 5-копеечных,
Xz — число 10-копеечных, х3— число 15-копеечных и xt — число
20-копеечных монет, то xI — xs 4- 2х4 и Хз — 20 — 2х3 — Зх4. Одно
из решений—(7, 8, 3, 2). При максимальном числе 20-копеечных
монет имеем (12, 2, 0, 6) или (13, 0, 1, 6), а при максимальном
числе 15-копеечиых—(10, 0, 10, 0). в) Xi = х2 = х3 = х4 = 1/3.
г) xt = хг = Хз = х4 — 1/2. д) Если хз, х2, Хз, х4 — число ежеднев-
ных рабочих часов бетономешалок производительностью 20, 12, 15 И
10 тонн в час соответственно, то Xt = -^- (12 — х4), х2 =	(60 —
— 5х4), х3 = 4 (12— х4). Одно из решений — (5/2, 25/6, 10/3,2).
При максимальном использовании четвертой бетономешалки имеем
(1/4, 5/12, 1/3, 11), а при минимальном—(11/4, 55/12, 11/3, 1)„
е) Если п нечетное, то все числа равны нулю, а при четном п все
они равны по абсолютной величине, причем половина из них больше
или равна нулю, а остальные меньше и равны нулю.
4. Одна из систем:
— 2X1 — 2х2 4" 2х3 4* Зх4 — 1,
— 2xi — х2 4- х3 4- 2х4 = 0.
7. Нет: число решений одно или бесконечно.
§ 4
1.	а) 2; б) 2; в) 4; г) 4; д) 3; е) п—1 при четном пап при
нечетном п. 2. а) 2; б) 3; в) 6; г) 5; д) если а{ = ...=ап, то ранг
равен нулю при at = —bi = ... — —bn и 1 в противном случае;
если же существует ф at, то ранг равен 1 при bi == ... = bn и 2
в противном случае.
§ 5
1. Для упр. I в § 3: а) любые два; б) xt, х3, х4 или х2, х3, х4;
в) система несовместна; г) xt и х4, или х2 и х4, или х3 и х4; д) xt и
х3, или Xt и х4, или х2 и х3, или х2 и х4, или Хз и х4; е) все; ж) все;
3) Xl, Xi, Хз, ИЛИ	Xl, Xi,	Xi,	ИЛИ Хз, Хз,	Хз,	ИЛИ Хз,	Xi,	хз, или Хз, Хз,
хе, или Xi, хз, х«; и) Xi,	хз,	Xi,	или Xi,	х3,	Xi, или	xt,	Xi, х3; к) лю-
бые три, среди которых встречается х4; л) если п = 3k или 3k 4-1,
то все, если п =	3k 4- 2,	то	хз,	х3, ....	Хзк	и любые k	4-1 из остав-
шихся. Для упр.	2 в §	3:	a)	Xt и х4,	или х2 и	х4,	или хз и х4;
б)	любые два; в) все; г) все; д) любые три; е) если п нечетное, то
все, если п четное, то любые п — 1;
4.	Для упр. 1 в § 3: з) (1, 1, 1, 1, 0, 0), (—1, 0, 0, 0, 1, 0),
(0, —1, 0, 0, 0, 1); и) (0, 1, 3, 0, 0), (0, —2, 0, 0, 3); к) (—3, 2,
1, 0, 0), (—5, 3, 0, 0, 1); л) если п — 3k или 3k 4-1, то имеется
только нулевое решение, если п = 3k 4- 2, то (—1, 1, 0, —1, 1,
0, .... —1, 1, 0, —I, I).
5.	Если п нечетное, то имеется лишь нулевое решение. Если я
четное, то (1, —1, 1, —1. .... —1. 1. —1).
65
Замечание. Ответы в упр. 4 и 5 могут быть и другими, ио
число строк, входящих в найденную систему решений, долж-
но совпадать с числом строк, указанных и приведенных ответах.
6.	а) (2, 0, 0, 0) + % (- 1, - 5, 4, 0) + Ц (- 9, - 1, 0, 4);
б) (— 1, — I, 0, 0) + Л (2, 3, 0, 0); и) система не совместна;
г) (1, - 1, 0, 1) + X (-3, 4, 0, 0) + р (- 1, 0, 4, 0); д) (1, 1, 1, - 1)+
4- X (- 1, 0, - 10, 12) + р (3, 2, 0, 0).
7.	а) (10, 10, 10, 10) + X (- 1, 0, 1, 0) 4- р (0, - 1, 1, 0); б) (7, 8,
3, 2) + X (1, - 2, 1, 0) 4- Р (2, - 3, 0, 1); д) (0, 0, 0, 12) +
4- X (3, 5, 4, - 12).
Замечание. Ответы в упр. 6 и 7 могут быть и другими, ио
число строк, входящих в ответ, должно быть тем же самым.
§ 6.
1.	Например, {(1, —2, 1, 0, 0), (1, —2, 0, 1, 0), (5, —6, О,
О, 1)}.
2.	а) нет; б) нет; в) да; г) нет.
3.	Если все коэффициенты равны нулю, то {ёь ..., ёп}, где
ё,- = (0, ... ,0, 1, 0, ..., 0); если существуют ненулевые коэффи-
Г-и—'
циеиты, ио Kiajbk — Kiakbj = 0 для всех I, /, k, что {а,ё1 — Х^/вл-н,
а,ё2—Х26,ёл+1, ..., а,ёп—'knb^+i в случае, когда а/# О, и
{Х/&лё] Х\Ькё1, ..., ?йЬкё1~}—Ki— \bьё<, hib^ё^^ — Хй-^Ььё/, •.., УлЬьёп
—ЪпЬкё^ ёл+i} в случае, когда а, = ... = ат = 0, ио Х/&*=^0; если
Д = Хщ/Ь*— Х,а*Ь/=Н= 0 для некоторых I, j, k, то {Лё[ 4-Х|<оё;, ...
.... Дёг-i + Хг-^ёг, Дё(+! + Х<+1<йё;, ..., Дёп 4-Хп<йё1, где <й =j
=. akbj — a,bk.
4.	a)	8xt — 4х2 + Хз + xt 4- Xs = О,
х2 4- Хз — 2Xf — Хз = О,
Хз — ЗХ4 4" Хз = 0;
б)	xi — 2х2 — хз 4- *4 = 0;
в)	— 5X14- х? 4- хз =0,
х2 4- хз 4~ бх4 = О,
Хз 4- ЗХ432 0.
Замечание. Ответы могут быть и другими, ио ранг найден-
ных систем должен совпадать с рангом приведенных.
РЕШЕНИЯ
§ 2
7. е) К последней строке данной матрицы прибавим все преды-
дущие четные строки и все предыдущие нечетные строки, умножен-
ные на —1. Тогда для. четного
матрицы
1 1 о	о	...	О	О	О
О 1 1	о	...	о	о	о
001	1	...	о	о	о
О	О	О	О	...	1	10
О	О	О	О	...	О	1 1
О	О	О	О	...	О	о о
и нечетного п получаем ступенчатые								
	1	1	0	0 .	. 0	0	0	
	0	1	1	0 .	. 0	0	0	
	0	0	1	1 .	. 0	0	0	
и	0	0	0	0 .	. 1	1	0	
	0	0	0	0 .	. 0	1	1	
	0	0	0	0 .	. 0	0	2	
последовательным получением
11.	При а ф 0 задача решается
следующей цепочки матриц:
1| а ОII || а 01| Ц а- 01| || а 01| || а — аЬ || || О
110 ft И’ ||а &||’ h+ 1 й||’ |1 ft II’ В 0 ||’ ||1
— ай || ||1 О I
О ||’ ||0 -ай Г
12.	Следует заметить, что при выполнении одного элементар-
ного преобразования каждая строка новой матрицы является линей-
ной комбинацией строк данной матрицы, после чего нужное число
раз воспользоваться упр. 6 б).
13.	Пусть 51, ..., 5, и Ci, ..., cs — ненулевые строки матриц В
и С соответственно. Допустим, что лидеры этих строк располагаются
в столбцах с номерами kit ..., kr и li, ..., ls, где ki < ... < kr
и li < ... < Is. Из теоремы 2.4 вытекает, что как от В к С, так
и от С к В можно перейти с помощью элементарных преобразова-
ний. Согласно упр. 12 каждая из строк 5; является линейной ком-
бинацией строк ci, ..., Cs, а каждая из строк ё/ — линейной ком-
бинацией строк 51......5Г.	Отсюда видно, что ki — Ц. Если, далее,
5а = £1С1 + . . , + £sCs И С2 = Т]151 + •• • + Пг5г> ТО £1 = 0=7]!, и,
как и выше, убеждаемся, что &2 = 1г. Аналогично, рассматривая
выражения для 5з и ёз, убедимся, что k3 = 1з- Если г s, то, про-
67
должая этот процесс, придем к ki = Ц, где 1 i г. При г < s
из равенства cr+j = gi/ч + ... + t,rBr выводим, что £i — ... =£>=0.
Отсюда 0 Sr+i = 0, что невозможно. Случай, когда s г, рас-
сматривается аналогично.
§ 3
1. л) Матрица системы имеет вид
Вычтем из вторе	1 1 0 1 1 1 0 1 1	0	0	...	0	0	0	0 0	0	...	0	0	0	0 1	0	...	0	0	0	0	торую строку на
	0 0 1 ООО ООО )й строки	1	1	...	0	0	0	0 0	0	...	0	1	1	1 0	0	...	0	0	1	1 первую, переместим в	
третье место и вычтем ее из четвертой. Тогда получится матрица
1 1 0 0 1 1 0 0 1	ООО 1 0 0 ООО	0 ... 0 ... 0 ...
ООО ООО ООО	1 1 0 1 1 1 0 1 1	0 ... 0 ... 1 ...
Теперь вычтем из пятой строки четвертую, переместим пятую стро-
ку на шестое место и вычтем ее из седьмой строки. В результате
возникает матрица
1 1 0 0 1 1 0 0 1	ООО 000 0 10 0 000 0 ООО 000 0
ООО ООО ООО	1 1 о 0 1 1 0 0 1	ООО 1 0 О ООО	0 ... 0 ... 0 ...
ООО ООО ООО	ООО ООО ООО	1 1 0 1 1 1 0 1 1	0 ... 0 ... 1 ...
Далее, из восьмой строки вычитаем седьмую, перемещаем восьмую
строку на девятое место и вычитаем ее из десятой. Продолжая этот
68
процесс, при п — 3k, 3k -f- 2 или ЗА: + 1 соответственно приходим
к матрицам
	в 0 ... 0	О 1 1 0			0	в ... 0	О 1 1
	0 ... 0	1 1 1			0	... 0	1 1
	0 ... 0	0 1 1					
ИЛИ			в 1		О		
			0 ...	01	1	i	
где О — нулевая матрица, а
В =
1	1	0	0	0	0	0 ...	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0	0 ...	0	0	0	0
0	0	1	0	0	0	0 ...	0	0	0	0
0	0	0	1	1	0	0 ...	0	0	0	0
0	0	0	0	1	1	1 ...	0	0	0	0
0	0	0	0.	0	1	0 ...	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0 ...	1	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0 ...	0	1	1	0
0	0	0	0	0	0	0 ...	0	0	1	1
0	0	0	0	0	0	0 ...	0	0	0	1
В первых двух случаях после очевидных элементарных преобразо- !
ваний получаем
	В	О		В	О	
	0 ... 0	1 1 0	и	0 ... 0	1 1	
	0 ... 0	0 1 1		0 ... 0	0 0	
	0 ... 0	0 0 1				
соответственно. Теперь		ясно, что в первом и третьем				случаях си-!
стема обладает только		нулевым	решением. Во втором случае полу-			
чаем Хз1 — 0 и хз;+2 = —x3;+i = хп (заметим, что п = 3k + 2).
5. Если строка 5, о которой идет речь, представляется в виде
5 = Xi5i + ,.. + Х„5„, где 51, ..., 5„ — остальные строки, то, при-
бавив к 5 линейную комбинацию — KiBi —... — кпБп, превратим эту
строку в нулевую. Остается воспользоваться теоремами 1.1 и 3.2.
6. Расширенная матрица должна быть нулевой. Достаточность
этого условия очевидна. Для доказательства необходимости следует
воспользоваться тем, что строки 0 и= (0,..., О, 1,0,.... 0) {1 = 1,
i-L
2,..., п) являются решениями.
69
§ 4
2. д) От данной матрицы с помощью элементарных преобразо-
ваний легко перейти к матрице
«1 + bi «1 + Ьг ... Qi + 6л
0,2	^2	Т"’	• • •	0^2	Л1
О-П	йп	• • • Яп ~~
Если ai = ... = ап, то все строки, кроме первой, нулевые, и ранг
равен 0 или 1 в зависимости от того, является ли первая строка
нулевой или нет. Если а, #= Я] для некоторого <’, то <-я строка от-
лична от нулевой. Очевидными элементарными преобразованиями
рассматриваемая матрица превращается в -
«1+61	«1	+	62	...	«1	+	6л
ai —	ai	at	—	ai	...	ai	—	at
О	0	...	О	.
О	0	...	О
П ,	„	«1 + 61
Прибавив к первой строке вторую, умноженную на--------—-----, при
а£ а£
б, — ... = 6„ получим матрицу с единственной ненулевой строкой, а
в противном случае, переменив местами первые две строки, придем
к ступенчатой матрице с двумя ненулевыми строками.
5. Если к каждой строке матрицы А прибавить соответствую-
щую строку матрицы В, то получится матрица С, совпадающая с
матрицей, стоящей в левой части доказываемого неравенства. По-
этому, учитывая теорему 4.6 и упр. 3, получаем
(ранг С)^| ранг
А
В
(ранг Л) + (ранг В).
10. Достаточно заметить, что если j-й столбец является линей-
ной комбинацией остальных с коэффициентами..., Az_j, &г+1, ...
.... Лга, то строка (Л).~	.....\) служит ненуле-
вым решением однородной системы линейных уравнений с матрицей
Л, и принять во внимание теорему 4.1.
§ 5
3. Если расширеннаи матрица системы линейных уравнений ока-
жется невырожденной, то ранг этой матрицы равен п, в то время
как ранг матрицы системы не превосходит п— 1, что в силу тео-
ремы 5.1 влечет несовместимость рассматриваемой системы линей-
ных уравнений.
60
§ 6
3. Если ab — cd^O, то при а ф 0 от	достаточно
_ II а Ь П
перейти к к Ьс , прибавив ко второй строке первую, умно-
женную на — —, и заметить, что d —	0. Если же а = 0, то
а	'а
с Ф 0 и можно поступить аналогично. Наоборот, если рант
I? d|| = 2’T0 ° или с 0- При а Ф 0, сделав тот же пере-
Ьс
ход, что и выше, получаем d---— Ф 0, откуда ad — Ьсф 0. При
с 0 поступаем аналогично.
6. Поскольку элементарным преобразованиям столбцов матри-
цы А соответствуют элементарные преобразования строк матрицы
А*, то достаточно принять во внимание упр. 9 а) и теорему 4.6.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Вырожденная матрица 28
Главные неизвестные 23 (ср.
с. 36, 37)
Диагональная матрица 19
Единичная матрица 12
Квадратная матрица 12
Компонента строки 9
Координата строки 9
Коэффициент 5
Лидер строки 9
Линейная выражаемость строки
45
►— комбинация строк 18, 45
Матрица 11
— системы линейных уравнений
20
Нулевая матрица 12
— строка 9
Объявление неизвестных глав-
ными 36
— свободными 37
Однородная система линейных
уравнений 25
Подматрица 31
Порядок матрицы 12
Равные матрицы 12
—	строки 9
Размер матрицы 12
Ранг матрицы 31
—	системы строк 44
Расширенная матрица системы
линейных уравнений 20
Решение системы уравнений 7
—	уравнения 5
Свободные неизвестные 22 (ср.
с. 37)
Свободный член 5
Система линейных уравнений 7
Строка 5
Ступенчатая матрица 14
Сумма строк 9
Умножение строки на число 11
Фундаментальная система реше-
ний 49
Эквивалентные системы линей-
ных уравнений 8
Элементарные преобразования
строк (столбцов) 12
Лев Анатольевич Скорняков
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 59
Редактор В. В. Донченко
Художественный редактор Г. Н. Кольченко
Технический редактор Е. В. Морозова
Корректоры Г. Г. Егорова. О. М. Березина
ИБ № 12881
Сдано в набор 25.05.85. Подписано к печати 29.12.85.
Формат 84X108V32. Бумага тип. № 2. Гарнитура литературная.
Печать высокая. Усл. печ. л. З.Зб.Усл. кр.-отт. 3,47. Уч.-изд. л. 3,42.
Тираж 100 000 экз. Заказ № 666. Цена 10 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена
Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Тех-
ническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. 198053г. Ленинград, Л-52,
Измайловский проспект, 29
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
ГОТОВИТСЯ К ПЕЧАТИ:
Штейнгауз Г. Сто задач: Пер. с пол. — 4-е изд., испр.—
9 л. — 50 к.
Содержится сто нестандартных задач по элементарной ма-
тематике. Цель книги — показать школьнику настоящую мате-
матику на доступном ему материале. Все задачи снабжены пол-
ными решениями.
Для учащихся, интересующихся математикой. Может быть
использована в работе школьных математических кружков.
Переиздается по просьбе книготорговых организаций.
Заказы на данную книгу принимаются без ограничения все-
ми книжными магазинами, распространяющими научно-техни-
ческую литературу

1(^коп.^ —
\>\^ / ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
Ь  I /
Вып. 1. А. И. Маркушевич. Возвратные последовательности.
Вып. 2. И. П. Натансон. Простейшие задачи иа максимум и минимум
Вып. 3. И. С. Соминский. Метод математической индукции.
Вып. 4. А. И. Маркушевич. Замечательные кривые.
Вып. 5. П. П. Коровкин. Неравенства.
Вып. 6. Н„ Н. Воробьев. Числа Фибоначчи.
Вып 7 А Г. Курош. Алгебраические уравнения произвольных степеней.
Вып 8. А. О. Гельфонд. Решение уравнений в целых числах.
Вып 9. А. И. Маркушевич. Площади и логарифмы.
Вып. 10 А. С. Смогоржевский. Метод координат.
Вып. 11. Я. С. Дубнов. Ошибки в геометрических доказательствах.
Вып. 12 И. П. Натансон. Суммироаание бесконечно малых величин.
Вып 13. А. И Маркушевич Комплексные числа и конформные отображения.
Вып. 14. А. И. Фетисов. О доказательствах в геометрии.
Вып. 15. И Р. Шафаревич. О решении уравнений аысшнх степеней.
Вып. 16. В. Г. Шерватов. Гиперболические функции.
Вып 17. В. Г. Болтянский. Что такое дифференцирование?
Вып. 18. Г. М. Миракьян. Прямой круговой цилиндр.
Вып. 19. Л. А. Люстерник. Кратчайшие линии.
Вып. 20. А. М. Лопшиц Вычисление площадей ориентированных фигур.
Вып. 21. Л. И= Головина и И. М. Яглом. Индукция в геометрии.
! Вып. 22. В Г. Болтянский. Равновеликие и равиосоставленные фигуры.
Вып. 23 А. С. Смогоржевский. О геометрии Лобачевского.
Вып. 24 Б. И. Аргунов и Л. А. Скорняков. Конфигурационные теоремы.
Вып. 25. А. С. Смогоржевский. Линейка в геометрических построениях.
Вып. 26. Б. А. Трахтенброт. Алгоритмы и машинное решение задач.
Вып. 27. В. А Успенский. Некоторые приложения механики к математике.
Вып 28. Н. А Архангельский н Б. И Зайцев. Автоматические цифровые
машины.
Вып. 29. А. Н. Костовский. Геометрические построения одним циркулем.
Вып. 30. Г. Е. Шилов. Как строить графики.
Вып. 31 А. Г. Дорфман. Оптика конических сечеинй.
Вып. 32. Е С. Вентцель. Элементы теории игр.
Вып 33 А С. Барсов. Что такое линейное программироаание.
Вып 34. Б Е. Маргулис. Системы линейных уравнений.
Вып. 35 НЯ Вилеикин. Метод последовательных приблнжений.
Вып. 36 В. Г. Болтянский. Огибающая.
Вып. 37 Г. Е. Шилов. Простая гамма (устройство музыкальной шкалы)
Вып. 38 Ю. А. Шрейдер. Что такое расстояние?
Вып. 39. Н Н. Воробьев. Признаки делимости.
Вып 40. С. В. Фомин. Системы счисления.
Вып. 41. Б Ю. Коган. Приложение механики к геометрии.
Вып 42. Ю. И. Любим ц Л. А Шор. Кинематический метод в геометрических
задачах.
Вып. 43 В. А. Успенский. Треугольник Паскаля.
Вып. 44 И. Я. Бакельман. Инверсия.
Вып. 45. И. М. Яглом. Необыкновенная алгебра.
Вып. 46. И М. Соболь. Метод Монте-Карло.
Вып. 47. Л А. Калужнин. Основная теорема арифметики.
Вып 48. А. С. Солодовников. Системы линейных нерааеиств.
Вып. 49 Г. Е. Шилов. Математический анализ в области рациональных
функций.
Вып. 50 В Г Болтянский, И. Ц. Гохберг. Разбиение фигур на меньшие части.
Вып. 51 Н.М. Бескин. Изображения пространственных фигур.
Вып 52. Н. М Бескин. Деление отрезка в данном отношении.
। Вып 53. Б А. Розенфельд и Н. Д. Сергеева. Стереографическая проекция.
Вып. 54. В. А. Успенский. Машина Поста.
Вып. 55. Л. Беран. Упорядоченные множества.
Вып. $6. С. А. Абрамов. Элементы программирования.
1 Вы г, 57. В. А. Успенский. Теорема Гёделя о неполноте
Вып. 58. Ю. А Шашкин. Эйлерова характеристика.
Вып 59. <П. А. Скорняков. Системы линейных уравнений.